4, existe un proceso Gaussiano centrado K(·) en [0,1) tales\nKn(·)− na(·)\nDK(·) en D[0,1− \nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 5\ncomo n→ فارسى. El proceso K(·) depende de la distribución de Xi. Esta pro-\nel cesto satisface K(0) = 0 y tiene trayectorias continuas a.s. La covarianza\nfunción R(s, t) de K(·) es continua en [0,1)2, R(s, t)> 0 en (,1)2, y\nR(s, t) = 0 en [0,1)2 \\ (,1)2.\nEn el modelo uniforme, (2) se mantiene para algún proceso Gaussiano centrado KUnif(·)\nel [0,1). Este proceso satisface KUnif(0) = 0 y tiene a.s. trayectoria continua-\nRies. La función de covarianza RUnif(s, t) de KUnif(·) es continua en [0,1)2,\ny RUnif(s), t =RPoiss(s), t)− s2t2.\nAsí, el Poisson y los modelos uniformes conducen a diferentes procesos de límite\nKPOiss(·) y KUnif(·), aunque aPoiss(·) = aUnif(·).\nComo corolario inmediato del Teorema 1 (véase Billingsley [3], sección 15),\n¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.\nKn(t)− na(t)\nDN (0, 2(t)), n(3)\npara cualquier t < 1, donde 2(t) := R(t, t). Es posible demostrar que en el i.d.\nmodelo, (3) se mantiene para todos t 6= 1 bajo la condición menos restrictiva EX2i,\ncon 2(t) = 0 para t > 1; no se requiere continuidad de Xi.\nTambién estudiamos la convergencia del lado izquierdo de (3) en la crítica\nmomento t= 1. Aparentemente, el límite no es gaussiano, pero esto complicado\nproblema está relacionado con una conjetura curiosa, pero difícilmente demostrable sobre integrado\nCamina al azar. En vista de esta no-Gaussianity, parece imposible probar\ncualquier versión extendida del Teorema 1 que describe la débil convergencia de\ntrayectorias en todo el intervalo [0,1]; nos referimos a la sección 7 para más información\ndebate.\nTerminamos esta subsección con una nota sobre el escalado. En nuestro modelo, las masas\nde partículas son iguales a 1\ny las distancias entre ellos son del orden\n. Reescalemos la identificación. modelo multiplicando todas las masas y distancias\npor n: el sistema de partículas de masa uno cada una, situado inicialmente en puntos\nS1 − S[n/2], S2 − S[n/2],. .., Sn − S[n/2], se llama el modelo en expansión. Los\nlas partículas se desplazan por S[n/2] porque queremos que el sistema se expanda “llenando”\nla totalidad de la línea como nÃ3r, en lugar de solamente la media línea positiva.\nTodos los resultados de nuestro trabajo son válidos para el modelo en expansión. Esto no lo es.\ninesperado porque el cambio no produce ningún cambio y el cambio de escala\nde masas es equivalente a la contracción del tiempo por n veces mientras que el escalado\nde distancias es equivalente a la expansión del tiempo por n veces. Nos referimos a la\nleer la sección 2 abajo o Lifshits y Shi [16] para argumentos rigurosos.\n1.3. Organización del documento. En la sección 2 describimos un método general\nque se utiliza para estudiar sistemas de partículas pegajosas. Este método se aplica para\nestudiando la identificación. modelo en la Sección 3, donde investigamos algunas propiedades de\n6 V. V. VYSOTSKY\nel proceso de agregación. Demostraremos que el proceso de agregación es altamente\nlocal, es decir, el comportamiento de una partícula es esencialmente definido por el movimiento\nde partículas vecinas. Esta propiedad de localización sugiere que podríamos utilizar\nlimitar los teoremas para variables débilmente dependientes para probar tanto el hecho 1 como\nTeorema 1 para la identificación. modelo; esto se hará en la Sección 4. Entonces lo haremos.\nprobar el teorema 1 para el modelo uniforme en la sección 5. En la Sección 6 estudiamos\nel número de clusters en el momento crítico t = 1. Algunas preguntas abiertas\nse examinan en la sección 7.\n2. Método de los baricentros. En esta sección describimos brevemente el método\nde los baricentros, que es la principal herramienta utilizada para estudiar los sistemas de\nticles; también es aplicable a modelos más generales en los que las partículas podrían\ntienen velocidades iniciales no nulas y diferentes masas. El método de los baricentros\nfue introducido independientemente por E, Rykov y Sinaí [6] y Martin y\nPiasecki [20].\nComencemos con varias definiciones. Siempre numeramos partículas de\nizquierda a derecha e identificar las partículas con sus números. Un bloque de partículas es\nun conjunto no vacío J â € [1, n] que consiste en números consecutivos. Por ejemplo,\nel bloque (i, i+k] consiste en partículas i+1,. .., i+k. Tenga en cuenta que no hay\ncualquier relación entre bloques y cúmulos: por ejemplo, las partículas de un bloque\npodría estar contenido en diferentes grupos y estos grupos podrían incluso contener\npartículas que no pertenecen al bloque.\nEs conveniente suponer que las partículas iniciales no desaparecen en las colisiones\npero siguen existiendo en los clusters creados. A continuación, la coordenada xi,n(t) de una\npartícula i podría definirse como la coordenada de un clúster que contiene la\npartícula en el tiempo t. El segundo subíndice n siempre indica el número de\npartículas iniciales; omitiremos este subíndice tan a menudo como sea posible.\nPor xJ(t) := J 1\nxi(t) denotar la posición del baricentro de una\nbloque J en el momento t. Además, definir\nx*J(t) := xJ(0) +\ndonde M\nJ := n\n−1(n −maxjóJ) y M (L)J:= n−1(minjóJ −1) son las\nmasas tal de partículas situadas a la derecha y a la izquierda del bloque J,\nrespectivamente.\nUn bloque está libre de la derecha hasta el tiempo t si, hasta este momento, el bloque\nlas partículas no chocaron con las partículas localizadas inicialmente a la derecha del\nBloqueo. Definimos de manera similar bloques que están libres de la izquierda y decir que un\nbloque es libre hasta el tiempo t si está libre tanto de la derecha como de la izquierda.\nLa siguiente declaración juega el papel clave en el análisis de partículas pegajosas\nsistemas. El baricentro de un bloque libre se mueve como una partícula imaginaria\nla tensión de todas las partículas del bloque juntas en el baricentro inicial. En una\nde manera más precisa y general, decimos lo siguiente.\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 7\nProposición 1. Si un bloque J está libre de la derecha (resp. izquierda) hasta el tiempo\nt, entonces xJ(s) ≥ x*J(s) para s ≤ [0, t] [resp. xJ(s)≤ x*J(s)]. Si un bloque J es libre\nhasta el tiempo t, entonces xJ(s) = x\nJ(s) para s â € [0, t].\nEsta afirmación se puede encontrar, por ejemplo, en Lifshits y Shi [16],\nProposición 4.1. La prueba fácil se basa en la propiedad de la conservación de\nimpulso.\nEl momento en que una partícula j se pega con su lado derecho vecino\nj + 1 se llama el tiempo de fusión Tj,n de la partícula j. En otras palabras, Tj,n\nes el primer momento cuando las partículas j y j + 1 están contenidas en un\ncluster; aquí j [1, n− 1]. Proposición 4.3 de Lifshits y Shi [16], que\nse indica a continuación, nos da una manera de calcular Tj,n.\nProposición 2. Por cada j â € [1, n− 1], tenemos\nTj,n = min\nj j, el bloque [j + 1, k]\nestá libre de la izquierda. Por la Proposición 1,\nx*(l,j](u)≤ x(l,j](u)≤ xj(u) j tal que los bloques (l, j] y (j, k] son\nlibre hasta el tiempo Tj,n (los cúmulos que contienen partículas de estos bloques chocan\nexactamente en el momento Tj,n). En vista de la Proposición 1,\nx*(l,j)(Tj,n) = x(l,j)(Tj,n) = x(j,k)(Tj,n) = x\nj,k](Tj,n);\npor lo tanto Tj,n = {s≥ 0 :x*(j,k](s) = x\n(l, j)\n(s)} y Tj,n ≥min· ·. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n3. Estudio de la identificación. modelo. La propiedad de localización. Al principio, tenga en cuenta que\nKn(t) = 1+\n1{tM : 1\n(Si − it2)M : 1\n(Si − it2)\n(Si − it2) 1M\ni=1 (Si − it2), nosotros\nconcluir que el hecho considerado implica\n•k >M : 1\n(Si − it2)< 0\nk >M :\n(Si − it2)< 0\nClaramente, esto último implica\ni≥M :Si − it2 < 0}=\npor lo tanto, combinando todas las estimaciones juntos, obtenemos\nP{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)\n≤ ≤ 2P\n.(13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nTenga en cuenta que obtuvimos (13) sin ninguna suposición sobre los momentos de Xi.\nAhora estimamos el lado derecho de (13); recuerde que EXi = 1. Entonces\nla primera parte de (12) inmediatamente sigue del resultado clásico de Baum\ny Katz [1] (véase su Teorema 3 y Lemma):\nV. V. VYSOTSKY\nHecho 2. Si EXi = a y EXi para algunos γ ≥ 1, entonces\n= o(k1), k\npara cualquiera de los dos tipos siguientes:........................................................................................................................................................................................................................................................... Además, la serie\nk=1P{supi≥k Sii − a converge\npara todos los > 0 si γ = 2.\nLa estimación de la segunda probabilidad en el lado izquierdo de (12) es\ncompletamente análogo, ya que\n{Tj 6= T (M)j, T\nj ≤ t}\n= {Tj < T (M)j ≤ t}\n1≤k,l\nFk,j,l(T\nj ) < 0, min\n1≤k,l≤M\nFk,j,l(T\nj ) = 0, T\nj ≤ t\nPusimos j :=−1, repetir las estimaciones, y obtener\nP{Tj 6= T (M)j, T\nj ≤ t} ≤ 2Pi≥M :Si − i[T\n< 0, T\n−1 ≤ t}\nen lugar de (13). La parte derecha no excede de 2Pi≥M : Si − it2 <\n0}, por lo tanto\nP{Tj 6= T (M)j, T\nj ≤ t} ≤ 2P\n.(14)\n3.3. La función de distribución de T0 en el modelo Poisson. Es increíble.\nque en el modelo Poisson, la función de distribución de T0 se puede encontrar\nexplícitamente. Esto es importante porque por (27) abajo, la función límite a(t)\nes igual a P{T0 > t} para el i.d. modelo. También, en la prueba de Teorema 1 para el\nmodelo uniforme, necesitaremos aPoiss(t) = P{TPoiss0 ≥ t}\ny tienen una segunda derivada continua.\nLemma 2. En el modelo Poisson, para 0≤ t≤ 1, tenemos\nP{T0 ≥ t}= 1− t2.(15)\nAdemás, para t≥ 0, n≥ 2, y 1≤ j ≤ n− 1, tenemos\nP{Tj,n ≥ t}= et\n1≤k≤j\n(Si − it2)≥ 0\n1≤k≤n−j\n(Si − it2)≥ 0\ndonde Si es una caminata aleatoria exponencial estándar.\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 13\nPrueba. Comenzamos con (16). Por (8), (9) y propiedades de Fk,j,l(·),\nP{Tj,n ≥ t}= P\n1≤k≤n−j\n1≤l≤j\nFk,j,l(t)≥ 0\n1≤k≤n−j\n(k− i)(Xj+i+1 − t2)(17)\n+ min\n1≤l≤j\n(l− i)(Xj−i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0\nEn el lado derecho de la última igualdad, por Y denotan el primer mínimo\ny por denotan el segundo.\nSupongamos que X es un r.v. exponencial estándar, Z es un r.v. no negativo, y\nque X y Z son independientes; entonces\nP{Z ≤X}=\nP{Z ≤ x}e−x dx\nE1{Z≤x}e\n−x dx= E\n1{Z≤x}e\n−x dx= Ee−Z.\nPor lo tanto en vista de la independencia de Y, , Xj+1 obtenemos\nP{Y + +Xj+1 − t2 ≥ 0}= EEYt\nEeY−t\nEet\ny, por lo tanto,\nP{Tj,n ≥ t}= et\nP{Y +Xj+1 − t2 ≥ 0} · P +Xj+1 − t2 ≥ 0}.\nAhora, por\nP +Xj+1 − t2 ≥ 0}\n1≤l≤j\n(l− i)(Xj−i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0\n1≤l≤j\n(l− i)(Xi+1 − t2) + l(X1 − t2)\n1≤l≤j\n(l− i+1)(Xi − t2)≥ 0\nconcluimos la prueba de (16). De hecho, la expresión en la última línea es igual a\nla primera probabilidad en el lado derecho de (16).\n14 V. VYSOTSKY\nAhora probemos (15). De la definición de T0 y T\n0 vemos que\n1{t≤T (k)\n} → 1{t≤T0} a.s. como k; luego por (16),\nP{T0 ≥ t}= et\n(Si − it2)≥ 0\nEntonces tenemos que comprobar que\n(Si − it)≥ 0\n1− te−t/2\npara 0 ≤ t ≤ 1. Los complicados cálculos de esta probabilidad requieren más\nluego diez páginas. Por lo tanto, se separaron en papel independiente [26].\nAunque estos cálculos parecen ser técnicos, se basan en\nideas originales. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n3.4. Algunas propiedades de las variables Ti. En esta subsección demostramos\nvarias propiedades importantes del Ti de r.v..\n1. La secuencia Ti es estacionaria.\nPrueba. Esta afirmación se desprende inmediatamente de la definición de Ti y\nla estacionalidad de Xi, que son i.i.d.\n2. La función de distribución común de Ti está definida por\nP{Ti ≥ t}= P\n(k− i) (Xi − t2)\n+ inf\n(l− i)(X−i − t2) + (X0 − t2)≥ 0\nPrueba. Esta fórmula se deriva de (9).\n3. Tenemos P ≤ Ti ≤ 1} = 1 mientras que sup{y :P{Ti < y} = 0} =\nμ y\ninf{y :P{Ti < y} = 1} = 1; recuerde que μ = sup{y :P{Xi < y} = 0}. En addi-\ntion, si 0 1.\nSi t= 1 y 0 1, entonces para cualquier s, t â € [0,1] y k â € N,\nTenemos\ncov(1{s≤T0},1{t≤Tk}) ≤ 2\nγ(l(s) + (t))k1.(21)\nPrueba. La idea es aproximar 1{s≤T0} y 1{t≤Tk} por 1{s≤T (k/2)0 }\n1{t≤T (k/2)\n}, respectivamente; aquí por k/2 nos referimos a k/2, donde xm\nZ :m ≥ x}. Nótese que 1{s≤T (k/2)0 }\ny 1{t≤T (k/2)\n} son independientes porque el\nprimero es una función de {Xi}i≤k/2 mientras que el segundo es una función de {Xi}i≥k/2+1.\nEntonces tenemos\ncov(1{s≤T0},1{t≤Tk})\n= cov(1{s≤T0},1{t≤Tk})− cov(1{s≤T (k/2)\n},1{t≤T (k/2)\n≤ E(1{s≤T0}1{t≤Tk} − 1{s≤T (k/2)\n}1{t≤T (k/2)\n+ E(1{s≤T0} − 1{s≤T (k/2)\n}) E(1{t≤Tk} − 1{t≤T (k/2)\n})(22)\n= P{1{s≤T0}1{t≤Tk} 6= 1{s≤T (k/2)\n}1{t≤T (k/2)\n+ P{1{s≤T0} 6= 1{s≤T (k/2)0 P{1{t≤Tk} 6= 1{t≤T (k/2)k }\nP{1{s≤T0}1{t≤Tk} 6= 1{s≤T (k/2)\n}1{t≤T (k/2)\n≤ P{1{s≤T0} 6= 1{s≤T (k/2)\n} 1{t≤Tk} 6= 1{t≤T (k/2)\nPor lo tanto, el resultado sigue de Lemma 1.\n6. El r.v.’s {Ti}iÓZ, {T (k)i }iÓZ, y {Ti,n}\ni=1 están asociados ; el autor\nLe debe esta observación a M.A. Lifshits.\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 17\nPrueba. Recordemos en primer lugar la definición y algunas propiedades básicas de como\nvariables sociadas. R.v.’s â € 1,. ...............................................................................\nfunciones no decrecientes f, g :Rm →R, es cierto que\ncov(f(+1,. .............................................................. .....................................................................................................................\n(suponiendo que el lado izquierdo está bien definido). Un conjunto infinito de r.v. es\nasociado si algún subconjunto finito de sus variables está asociado.\nLas siguientes condiciones de asociación suficientes son bien conocidas; véase [7].\na) Se asocian variables independientes.\nb) Funciones no decrecientes en función de la coordinación (del número finito de\n) de los r.v. asociados están asociados.\n(c) Si las variables â € 1,k,. .................................. ..,\n(m,k)\nD (1,. ............................................................... .........................................\n(d) Si dos conjuntos de variables asociadas son independientes, entonces la unión de\nestos conjuntos también están asociados.\nEntonces {Ti,n}n−1i=1 se asocian para cada n por (a), (b) y (20). Analo...\nDios mío, {T (k)i }iZ se asocian para cada k. Finalmente, desde T\ni → Ti a.s. como\nk para cada i, c) asegura la asociación de {Ti}iZ.\n7. Para cualquier s, t â € R y k â € Z,\ncov(1{T0≤s},1{Tk≤t})≥ 0.23)\nPrueba. Esta desigualdad se deriva de la cov(1{T0≤s},1{Tk≤t}) = cov(1{s 2. Para γ = 2, nosotros\nobtener α(k)≤ 16\ni=k/2 P{inf i≥M Sii < t\n2}= o(1) usando el mismo argumento y\naplicación (13), (14), y hecho 2 en lugar de Lemma 1.\n3.5. La última colisión. Terminamos esta sección con una declaración sobre el\nconvergencia de los momentos de la última colisión.\nProposición 3. En la identificación. modelo, T lastn\nP 1 como n si EX2i.\nEste resultado es bien conocido por el modelo Poisson; véase Giraud [8].\nPrueba de la Proposición 3. Primero probemos que P{T dura ≥ t 0 como\nnâ € para todos los t > 1. Desde T lastn =max1≤j≤n−1Tj,n, tenemos\nP{T duran ≥ t} ≤\nP{Tj,n ≥ t}.(25)\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 19\nAl tener en cuenta que los mínimos en (17) no son positivos y\nargumentando como en (18),\nP{Tj,n ≥ t} ≤ P\n1≤k≤jÃ3n−j\n(k− i)(Xj+i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0\n1≤k≤jÃ3n−j\n(k− i+1)(Xi − t2)≥ 0\n1≤k≤n/2\n(Si − it2)≥ 0\nAfirmamos que (sin ninguna suposición sobre los momentos de Xi)\nP{Tj,n ≥ t} ≤ P\ni≥(t−1)/4tn\n1 + t2\n;(26)\nrecuerda que t > 1. Claramente, (26) sigue si comprobamos que\n1≤k≤n/2\n(Si − it2)≥ 0\ni≥(t−1)/4tn\n1 + t2\nAsume lo contrario; entonces, por la no negatividad de Si,\n(Si − it2) =\n(Si − it2) +\ni=cn+1\n(Si − it2)\n(Scn − it2) +\ni=cn+1\n1 + t2\n− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −\ndonde c := t−1\n. Estimamos la última expresión con\ncnScn −\n(cn)2\nt2 − (n/2)\n2 − (cn)2\n2 − 1\nn2 − 1/4− c\n2 − 1\nEs fácil comprobar que el lado derecho es negativo, por lo que tenemos un\ncontradicción.\nLuego a partir de (25), (26) y hecho 2 se deduce que P{T dura ≥ t} =\ni=1 o(cn)\n−1) = o(1) para todos los t > 1.\nAhora vamos a probar que P{T duran < t} → 0 como n → • para todos t < 1. Desde\nT lastn =max1≤j≤n−1Tj,n, estimamos\nP{T duran < t} ≤ P\nn,n < t\nP{1{t≤TjŁn,n} 6= 1{t≤T (\n20 V. V. VYSOTSKY\nEn vista de (10) y Lemma 1, la suma es\nj=1 o(n)\n−1/2) = o(1), por lo tanto\nQueda por comprobar que la primera probabilidad en la última línea tiende a cero.\nPara un n fijo, todos T\nson independientes porque cada uno es una función de\n{Xij?n−in/2 (para ser exactos, de Xj?nn/2+2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... Por lo tanto,\nn−1{T (\nn/2 /............................................................................................................................................................................................................................................................. \n< t} ≤ P\nn−1{T0 < t},\nque tiende a cero; de hecho, P{T0 < tâ ° 1 por la propiedad 3, Sección 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n4. Pruebas del hecho 1 y el teorema 1 para el i.d. modelo. Recordemos que el\nnúmero de clusters Kn(t) es dado por (6). Nuestra idea es estudiar.\ni=1 1{t t}.(27)\nPrimero probemos (1) para todos t < 1. Basta con comprobar que\nKn(t)\n1{t 1. Uso (26) da E\nKn(t)\ni=1 P{Ti,n > t} → 0\nKn(t)\nP a(t) = 0 sigue de la\nDesigualdad de Chebyshev.\nQueda por comprobar que (1) se mantiene para t = 1 si EX2i < \nla prueba. Si DXi = 0, entonces la situación es determinista, este caso fue\ndescrita en la Introducción. Aquí siempre tenemos Kn(1) = 1 y (1) es cierto.\nSi 0 t} es continuo en t= 1. Entonces\n(1) es cierto para t = 1 desde 0 <\nKn(1)\n≤ Kn(t)\nP a(t) para cualquier t(0,1) y\na(t)→ a(1) = 0 como t 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora probamos el Teorema 1 para la identificación. modelo. Pensamos en D[0,1] como de un\nespacio métrico separable equipado con la métrica de Skorohod d, que induce\nla topología de Skorohod.\nPrueba de Teorema 1. Al principio, probamos (2). En vista de la representación\n(6) para Kn(t), la relación (2) sigue de la relación\n0≤t≤1\n1{t > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > A continuación, los procesos empíricos de la\nborde en D[0,1] a un proceso Gaussiano centrado con la función de covarianza\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas.\nObservación. El proceso gaussiano límite es a.s. continuo en [0,1]. Hecho 4\ntambién es cierto si F es una función de distribución continua arbitraria.\nLa continuidad a.s. del proceso de límite podría ser concluido por un compar-\nde la prueba de Lin y Lu [17] con la prueba de Teorema 22.1 de\nBillingsley [3]. Las declaraciones y las pruebas de estos teoremas son idénticas,\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 23\nPero Lin y Lu no dicen la continuidad mientras Billingsley lo hace. Además,\nya que F (i) se distribuye uniformemente en [0,1] si F es continua, el hecho 4 sostiene\nverdadero para cada F continua; vea la prueba de Teorema 22.1 por Billingsley [3]\npara explicaciones.\nRecordemos que tenemos que demostrar la convergencia del proceso empírico de\nTi. Parece que el Ti de r.v. no están mezclando fuertemente; pero min{Ti,1− son\nmezcla fuerte debido a la propiedad 8, sección 3.4. Estas variables no son\ncontinua y por lo que tenemos que arreglarlos. Vamos a arreglar un (0,1), y dejar que αi\nser i.i.d. r.v. es independiente de todo Ti y, por ejemplo, se distribuye uniformemente en [0, ♥];\ndefinimos T‡i := min{Ti,1− 1{Ti≥1i.\nLas variables estacionarias T‡i se distribuyen en [0,1], su\nfunción de atribución G es continua, y los coeficientes de mezcla fuerte\nDisminución de G(Ti) como o(k)\n2). La prueba de la última declaración es la misma\ncomo prueba de la propiedad 8 de la sección 3.4. De hecho, aproximar el vari-\npowers G(T̃0), G(T1),. .. del “pasado” por G(T\n(k/2)\n0 ),G(T\n(k/2+1)\n−1 ),. .. donde\ni := min{T\ni,1− 1{T (m)\n≥1i; utilizar la aproximación análoga\npara las variables del “futuro”; y luego repetir palabra por palabra el ar-\ncomentarios de la prueba anterior.\nAhora, recordando que γ > 4, vemos que Tûi satisfacer las suposiciones de hecho 4,\ncon la única diferencia de que su distribución no es uniforme. Por n(·)\ndenotan el proceso empírico de T‡i; claramente, n(·) coincide con el proceso empírico\nproceso Un(·) de Ti en [0,1− فارسى]. Por la observación al hecho 4, llegamos a la conclusión de que\nprimero,\nn(·)\nD Kś(·) en D[0,1],(33)\ndonde Kś(·) es un proceso Gaussiano centrado con la función de covarianza\nR贸(s, t) :=\ncov(1{T0≤s},1{Ti≤t})\ny, en segundo lugar, las trayectorias de Kś(·) son a.s. continuas en [0,1].\n[Existe una prueba más simple y elegante de (33). Nótese que {T\nse asocian como funciones no decrecientes en función de las coordenadas de los r.v. asociados\n{Ti, αi}iZ, véanse los apartados a), b) y d) de la propiedad 6, sección 3.4. Entonces podemos\nobtener (33) aplicando el resultado de Louhichi [18] sobre la convergencia de\nprocesos de r.v. asociado estacionario i en lugar de utilizar el hecho 4. Esta es la...\norem solo requiere cov(F (+0), F (+k)) = O(k)\n-(4)), que podría probarse\nanálogamente a la propiedad 5, sección 3.4. Así evitamos el complicado esti-\nmaciones de los fuertes coeficientes de mezcla, y la prueba de (33) se convierte en\nmucho más simple. El único problema es que esta prueba requiere γ > 5.\nTambién tomamos nota de que la continuidad de A.S. de Kś(·) podría demostrarse directamente,\nsin referirse a la prueba del hecho 4. Los argumentos deben ser los mismos\ncomo en la prueba de la continuidad de KUnif(·) en la sección 5.]\n24 V. V. VYSOTSKY\nDefinir\nR(s), t(s) :=\ncov(1{T0≤s},1{Ti≤t}),(34)\nque es, evidentemente, igual a Rū(s, t) en [0,1 − Ł]2. Puesto que R(s), t) es positivo\ndefinited y فارسى > 0 es arbitrario, la función R(s, t) es positiva definida en\n[0,1)2. Por lo tanto, por Lifshits [15], Sección 4, existe un Gaussian centrado\nprocesar K(·) en [0,1) con la función de covarianza R(s, t). Las trayectorias\nde K(·) son a.s. continuos en [0,1) por K(·) D= K(·) en [0,1], arbitrariedad\nde 0, y la continuidad a.s. de K.(·) en [0,1].\nPor último, por (33), n(·) = Un(·) en [0,1− \nla continuidad a.s. de Kс(·), obtenemos (32). Puesto que (32) implica (30), concluimos\nla prueba de (2).\nSólo quedan por probar las propiedades declaradas de R(s, t). La continuidad\nde la función de distribución conjunta de las variables continuas T0 y Ti implica\nque la cov(1{T0≤s},1{Ti≤t}) es continua en [0,1)\n2 por cada i ≥ 0. Entonces, en\nvista de (21), R(s, t) es continua en [0,1)2 como suma de convergencia uniforme\nserie de funciones continuas.\nLa estricta positividad de R(s, t) en (\nμ,1)2 sigue trivialmente de (34), (23)\ny cov(1{T0≤s},1{T0≤t}) = a(s≤ t)(1−a(s≤ t)) > 0; la última desigualdad mantiene\npor propiedad 3, sección 3.4. El R(s, t) = 0 en [0,1)2 \\ (,1)2 sigue de\nP{Ti ≤\n= 0, que contiene las propiedades 3 y 4 de la sección 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservamos que (3) se mantiene para t 6= 1 bajo la condición menos restrictiva EX2i <\n- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para t < 1, la prueba es casi la misma: Por (29), que es cierto para γ > 3/2,\nconcluimos que (3) se mantiene si la secuencia asociada estacionaria 1{t 1, la relación (3) es verdadera con\n2(t) = 0 debido a la Proposición 3.\nFinalmente, tenga en cuenta que el proceso K(·) está asociado, es decir, el r.v.’s\n{K(t)}t[0,1) están asociados. De hecho, por (6), la propiedad 6 de la sección 3.4,\ny Condición (b) de la misma Propiedad 6, los procesos\nKn(·)−na(·)\nasociado para cada n. Entonces K(·) está asociado por (2) y (c), Propiedad 6.\n5. Prueba de Teorema 1 para el modelo uniforme. Existe un simple\nmétodo que permite extender los resultados del modelo Poisson al uniforme\nmodelo y vise versa. El método se basa en la siguiente declaración (ver\nKarlin [13], sección 9.1).\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 25\nHecho 5. Deja que Si sea un caminar exponencial al azar. Entonces para cualquier k ≥ 1, nosotros\n,. ..,\n= (U1,k,U2,k,. .,Uk,k),(35)\ndonde Ui,k son las estadísticas de orden de k i.i.d. r.v. se distribuye uniformemente en\n[0,1]. Por otra parte, el vector aleatorio en el lado izquierdo de (35) es indepen-\nabolladura de Sk+1.\nPor lo tanto, si xPoissj,n (0) =\nSj son las posiciones iniciales de las partículas en el\nModelo Poisson, entonces para las posiciones iniciales de partículas en el modelo uniforme,\ntenemos xUnifj,n (0) =\n· xPoissj,n (0). Por Proposición 2 y (5), concluimos\nTUnifj,n = β\nPoiss\nj,n, βn :=\n,(36)\ny por lo tanto, utilizando (6), obtenemos\nKUnifn (t) =K\nPoiss\nn (βnt).(37)\nTenga en cuenta que el proceso KUnifn (·) y el r.v. βn son independientes ya que val-\nues del proceso se definen por xUnif1,n (0),. .., x\nn,n (0), que son mutuamente\nindependiente de βn por hecho 5.\nAhora probamos el Teorema 1 para el modelo uniforme.\nPrueba de Teorema 1. Denotar\nYn(t) :=\nKUnifn (t)− na(t)\n, Zn(t) :=\nn(a(t)− a(βnt));\nsubrayamos que Yn(·) y Zn(·) son independientes.\nArreglar un 0,1). En primer lugar, se deriva de (2) para el modelo Poisson y (37)\nYn(·) +Zn(·)\nDKPoiss(·) en D[0,1− ].38)\nDe hecho, el proceso Yn(·) +Zn(·) se obtiene a partir de 1\nPoiss\nn (·)− na(·)) por\nel cambio aleatorio de tiempo t 7→ βnt; y desde nt− tC[0,1]\nP 0, tenemos\nYn(·) +Zn(·),\nKPOISSN (·)− na(·)\nP 0\npor la definición de la métrica de Skorohod d.\nEn segundo lugar, del hecho 1, (15) y (27) se deduce que aUnif(t) = aPoiss(t) =\nP{TPoiss0 ≥ t}= 1− t2 para 0≤ t≤ 1, y por el teorema del límite central,\nZn(t)\nD t2η en D[0,1− Ł],(39)\n26 V. V. VYSOTSKY\ndonde η es un estándar Gaussian r.v.\nAfirmamos que (38), la independencia de Yn(·) y Zn(·), y (39)\nla débil convergencia de Yn(·) en D[0,1− فارسى]. Vamos a comprobar la opresión de\nYn(·) y la convergencia de sus distribuciones finitas-dimensionales.\nLa estrechez de Yn(·) en D[0,1− ] se deriva de Yn(·) = (Yn(·)+Zn(·)−\nZn(·), (38), y (39). De hecho, por el teorema de Prokhorov, (38) y (39) rendimiento\nque ambas secuencias Yn(·) + Zn(·) y −Zn(·) están ajustadas. Pero las trayectorias\nde −Zn(·) son a.s. continua debido a la continuidad de a(·), y el\nla tensión se deriva de la continuidad de la adición + :D×C →D y el hecho\nque bajo cualquier mapeo continuo, la imagen de un conjunto compacto es también un\nConjunto compacto.\nAhora estudiamos la convergencia de las distribuciones dimensionales finitas de Yn(·).\nRecordemos que la función característica de un vector Gaussiano centrado en Rm\nes e−1/2(Ru,u), donde u Rm y R es la matriz de covarianza del vector.\nEntonces (38), la independencia de Yn(·) y Zn(·), y (39) dan que para el\nfunciones características de todas las distribuciones finitas-dimensionales de Yn(·), nosotros\nEei(Yn(t),u) e−1/2({R)\nPoiss(tj,tk)−t2j t\nj,k=1\n,(40)\ndonde u â € TMm, t= (t1,. ..., tm) [01,]m, e Yn(t) := (Yn(t1),. ., Yn(tm)).\nInsistimos en que (40) es cierto para cada t â € [0,1− ¬]m desde los procesos de límite\nen (38) y (39) tienen trayectorias continuas.\nVemos que la matriz {RPoiss(tj, tk)− t2j t2k}mj,k=1 es positiva definida para\ncualquier t = (t1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nel lado izquierdo de (40) no exceda de uno. Poniendo\nRUnif(s), t :=RPoiss(s, t)− s2t2,\ntenemos {RPoiss(tj, tk)− t2j t2k}mj,k=1 = {RUnif(tj, tk)}mj,k=1; entonces la función\nRUnif(s, t) es positivo definido en [0,1)2 puesto que > 0 es arbitrario. Por lo tanto, por\nLifshits [15], Sección 4, RUnif(s, t) es la función de covarianza de algunos centrados\nProceso gaussiano KUnif(·) en [0,0].\nAsí pues, se demuestra la relación (2). Ahora verifique que KUnif(·) C[0,1− فارسى] a.s. a\nconcluir la prueba de Teorema 1 para el modelo uniforme.\nPara este propósito, vamos a probar que a.s., trayectorias de Yn(·) tienen saltos\nde la talla 1\nSólo. De hecho, los saltos de Yn(·) coinciden con los saltos de\nKUnifn (·), cuyos saltos son de tamaño 1\n6= TUnifj2,n para\n1 ≤ j1 6 = j2 ≤ n − 1. Para (36), necesitamos verificar que TPoissj1,n 6= T\nPoiss\npara 1 ≤ j1 6 = j2 ≤ n − 1. Esta relación sigue de (20) si H(k1, j1, l1) 6=\nH(k2, j2, l2) a.s. para j1 6= j2 y k1, k2, l1, l2 ≥ 1. La última a.s. ninguna calidad es\nobvio porque si la igualdad se mantiene verdadera, entonces un cierto lineal no trivial\ncombinación de i.i.d. Xi exponencial es igual a cero.\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 27\nEntonces existe a.s. continuum n(·) tal que supta[0,1] n(t)−Yn(t) ≤\na.s.; consecuentemente, d(n, Yn) ≤ 1n a.s. Entonces por Yn(·)\nD KUnif(·), nosotros\nTambién tienen n(·)\nDKUnif(·). Pero 1 = lim inf Pn(·) C} ≤ P{KUnif(·) C}\nya que C D está cerrado en la topología de Skorohod, por lo tanto, a.s., KUnif(·) es\ncontinua en [0,1− فارسى].\nDado que el término «0,1)» es arbitrario, a.s., KUnif(·) es continuo en su conjunto.\nval [0,1). El RUnif(s, t) =RPoiss(s, t)− s2t2 es continuo en [0,1)2 porque\nRPoiss(s, t) es. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. El número de grupos en el momento crítico. Ahora giramos nuestro\natención al número de clusters en el momento crítico t = 1. Lo somos.\ninteresado en el comportamiento de\nKn(1)− na(1)\nKn(1)\nque es el lado izquierdo de (3) en t = 1; aquí tenemos un (1) = 0 bajo\nEX2i, véase Propiedad 3, Sección 3.4.\nNo sabemos si esta secuencia es débilmente convergente, pero esperamos que\nLo es. También tenemos una ingenua suposición de que su límite es gaussiano porque el límite\nen Teorema 1 es gaussiano. En vista de Kn(1) ≥ 1, este límite débil conjeturado\nes no negativo, por lo tanto es gaussiano si y sólo si es idénticamente igual a\ncero. Sin embargo, los resultados de esta sección muestran que el límite no es cero, por lo tanto\nnuestra suposición sobre Gaussianity falla.\nEl estudio de la convergencia de\nKn(1)\nEs bastante complicado. Por lo tanto, en este\nsección, consideramos sólo el modelo Poisson. Primero, probemos lo siguiente:\ndeclaración.\nProposición 4. En el modelo de Poisson, tenemos limnàP{Kn(1) =\n1 + 0.\nPrueba. Por un lado, Kn(1) = 1 es equivalente a T\nn;Poiss ≤ 1, donde\nT lastn;Poiss denota el momento de la última colisión en el modelo Poisson. Activar\npor otra parte, un resultado de Giraud [8] indica que en el modelo uniforme,\nn(T lastn;Unif − 1)\nD sup\n0≤x≤1\nW (y)dy −\nW (y)dy\n=: ,\ndonde\nW (·) es un puente browniano. Ahora, por (36), tenemos T lastn;Unif = 1n T lastn;Poiss,\npor lo tanto\nn(1n T\nn;Poiss − 1)\nDó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó.41)\n28 V. V. VYSOTSKY\nPero desde el teorema del límite central y la ley de los grandes números,\nn(1n − 1) =−\nSn+1 − n\nSn+1(\nSn+1 +\nD η\n,(42)\ndonde η es un estándar Gaussian r.v. y Si es un estándar exponencial-\ndom caminar que define las posiciones iniciales de las partículas. Desde entonces, en vista del hecho 5,\nT lastn;Unif = β\nn;Poiss y βn son independientes, de (41), (42), y la ley\nde grandes cantidades se deduce que\nn(T lastn;Poiss − 1)\nD ♥ − η\n= +\nen los que los Estados miembros son independientes. Por lo tanto,\nP{Kn(1) = 1}= lim\nP{T lastn;Poiss ≤ 1}= P\nLa principal ventaja del modelo Poisson es que, por Lemma 2 y Prop-\n4, sección 3.4 tenemos P{Tj,n > 1}= epjpn−j, donde\npk := P\n1≤m≤k\n(Si − ESi)≥ 0\ny Si es una caminata aleatoria exponencial estándar. Decimos que la secuencia de\nr.v.’s\ni=1(Si−ESi) es una caminata aleatoria integrada. En la prueba de la propiedad\n3, Sección 3.4, hemos mostrado que pk → 0 como k». Por lo tanto, es razonable\npara decir que pk son las pequeñas probabilidades de desviación unilateral de un integrado\nCaminata aleatoria centrada.\nNecesitamos obtener la asintótica de pk → 0 para continuar el estudio de\nconvergencia de las\nKn(1)\n. Desafortunadamente, los resultados del resto de esta sección\ndependen completamente de la corrección de la siguiente conjetura.\nConjetura 1. Tenemos pk c1k-1/4 como kâ € para algunos c1 â € (0, €).\nLas simulaciones muestran que la conjetura es verdadera y c1 • 0.36. El más débil\nforma pk k−1/4 de la conjetura 1 fue probado por el Sinaí [22], pero sólo para inte-\nSimétrico rallado Bernoulli camina al azar. También es interesante observar que,\npor McKean [19], las pequeñas probabilidades de desviación unilateral de un\nEl proceso de Wiener tiene el mismo orden que T:\n0≤s≤T\nW (u)du1\n• c2T−1/4(43)\npara algunos c2 â € (0,â €). El lado izquierdo de (43) es una pequeña desviación unilateral\nprobabilidad desde\n0≤s≤T\nW (u)du1\n0≤s≤1\nW (u)duT−3/2\n.(44)\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 29\nPara ser precisos, McKean estaba interesado en un problema más general, y\nse requieren algunos cálculos para obtener (43) de sus resultados. Por lo tanto,\nAdemás, nos referimos a Isozaki y Watanabe [12] que declaran (43) explic-\nPor supuesto.\nPor los resultados mencionados anteriormente, también suponemos que la conjetura 1 es\nverdadero para otras caminatas aleatorias centradas integradas que satisfacen algún momento\ncondiciones.\nAhora somos capaces de demostrar el siguiente resultado sobre la convergencia de\nKn(1)\nProposición 5. Supongamos que la conjetura 1 es cierta. Luego en el Poisson\nmodelo, tenemos\nKn(1)\n= c3, sup\nKn(1)\n(45)\npara algunos c3 â € € TM € TM ; la secuencia Kn(1) â € TM es ajustada y uniformemente integrable;\ny el límite de cualquier subsecuencia débilmente convergente de\nKn(1)\ntoma el valor cero\ncon probabilidad positiva, pero no es idénticamente igual a cero.\nLas simulaciones numéricas muestran que\nKn(1)\nes débilmente convergente y que este\nLa convergencia es bastante rápida. En la Figura 1 presentamos la distribución (empírica)\nfunción de\nKn(1)\npara n = 10.000. Desde las simulaciones realizadas para n =\n40.000 mostraron una diferencia apenas perceptible, esta función parece ser un\nbuen candidato para la función de distribución del límite conjeturado.\nNote que si debilitamos la Conjetura 1 a pk k−1/4, entonces Proposición 5\nsigue siendo cierto con la única diferencia que E\nKn(1)\nPrueba de la Proposición 5. Comenzamos con la convergencia de la ex-\npectoración. Por un lado, por (6) y Lemma 2,\nKn(1)\npipn−i,\ny, por otra parte,\ni−1/4(n− i)−1/4 = 1\n)-1/4(\n)-1/4\nB(3/4,3/4)\ncomo la suma integral de la función Beta. Luego se sigue de la conjetura 1 y\nargumentos estándar de que E\nKn(1)\nconverge a c3 := ec\n1B(3/4,3/4) > 0.\nV. V. VYSOTSKY\nFig. 1. La función de distribución de\nKn(1)\npara n= 10.000.\nAhora comprobamos el límite uniforme de E(\nKn(1)\n)2. Por (6) es suficiente\npara demostrar que\ni,j=1,i 6=j\nP{Ti,n > 1, Tj,n > 1.(46)\nSupongamos que i < j; entonces usando (8) y las propiedades de Fk,j,l(·), obtenemos\nP{Ti,n > 1, Tj,n > 1}= P\n1≤k≤n−i\n1≤l≤i\nFk,i,l(1) > 0, min\n1≤k≤n−j\n1≤l≤j\nFk,j,l(1)> 0\n1≤k≤(j−i)/2\n1≤l≤i\nFk,i,l(1) > 0, min\n1≤k≤n−j\n1≤l≤(j−i)/2\nFk,j,l(1)> 0\ndonde por (j − i)/2 nos referimos a (j − i)/2». Los mínimos en la última expres-\nión son independientes como funciones de {Xm}m≤(i+j)/2 y {Xm}m≥(i+j)/2+1,\nrespectivamente; por lo tanto\nP{Ti,n > 1, Tj,n > 1} ≤ P\n1≤k≤(j−i)/2\n1≤l≤i\nFk,i,l(1)> 0\n1≤k≤n−j\n1≤l≤(j−i)/2\nFk,j,l(1)> 0\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 31\n= P{Ti,i+(j−i)/2 > 1} · P{T(j−i)/2,n−j+(j−i)/2 > 1}\n= e2pip\n(j-i)/2pn−j,\ndonde la primera igualdad se deriva de (8) y la segunda de Lemma 2.\nRecordando la conjetura 1, obtenemos\ni,j=1,i 6=j\nP{Ti,n > 1, Tj,n > 1} ≤\ni,j=1,i 6=j\ne2pip\nj−i/2pn−j\ni,j=1,i 6=j\ni−1/4j − i/21/2(n− j)−1/4\ni,j=1,i 6=j\n) - 1 - 4 - 4\n−1/2(\n)-1/4\npara algunos c > 0. La última expresión es una suma integral convergente a\nx−1/4x− y1/2(1− y)−1/4 dxdy,\ny es un ejercicio simple para comprobar que la integral es finita. Concluye así:\n46).\nLa integrabilidad uniforme de\nKn(1)\nsigue de la segunda relación de\n(45), véase Billingsley [3], sección 5, y la rigidez se deriva del uniforme\nla integrabilidad.\nPor último, supongamos que\nKni(1)\nPara algunas subsecuencias ni → y algunas\nr.v. - Sí. A continuación, Eâ = c3 > 0 por la integrabilidad uniforme y (45), y por lo tanto\n• no es idénticamente igual a cero. Pero la distribución de tiene un átomo en\ncero desde por la Proposición 4 y propiedades de convergencia débil,\nP = 0}= lim\nP ≤ \n≥ lim\nlim sup\nKni(1)\n≥ lim\nP{Kni(1) = 1+ 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7. Preguntas abiertas. 1. El número de grupos temáticos en el momento crítico\nt= 1.\nAquí la pregunta principal es si la conjetura 1 es cierta. Incluso por sí mismo, esto\nEl problema vale la pena estudiar.\nPero incluso si Conjetura 1 es verdad, todavía no tenemos una prueba de debilidad\nconvergencia de las\nKn(1)\n, sólo se sabe que esta secuencia es estrecha. El autor\n32 V. V. VYSOTSKY\ncree firmemente, basándose en simulaciones numéricas, que el límite existe. Lo siento.\nsería interesante encontrar este límite conjeturado, que debería ser no trivial\npor la Proposición 5, en forma explícita.\n2. La escasa convergencia de las\nKn(·)−na(·)\nen todo el intervalo [0,1].\nEs muy natural preguntar si es posible fortalecer el Teorema 1 por\nprueba de la escasa convergencia de las\nKn(·)−na(·)\nen D[0,1]. Esto es complicado.\nproblema nos devuelve de nuevo a la pregunta 1 porque la débil convergencia de\nKn(·)−na(·)\nen D[0,1] implica la débil convergencia de\nKn(1)−na(1)\nKn(1)\n, ver\nBillingsley [3], sección 15. Pero incluso si\nKn(1)\nconvergen, su límite débil K(1)\nno es gaussiano, de ahí el proceso límite K(·), que es gaussiano en [0,1),\nya no es gaussiano en [0,1]. Por lo tanto, es dudoso que el Teorema 1 es\nverdadero en D[0,1]; por lo menos, uno debe proporcionar una prueba completamente diferente de\nel presentado. Además, no está claro cómo definir el finito-dimensional\ndistribuciones de la K(·) no gaussiana en [0,1] porque las simulaciones muestran\nque K(1) no sería independiente con K(t) para t < 1.\n3. El número de cúmulos en el gas caliente.\nEn el caso presentado, las velocidades iniciales de partículas son cero. Este modelo es de...\ndiez llamado el gas frío de acuerdo a su cero temperatura inicial. Presentamos\nun nuevo modelo que indica que las velocidades iniciales de las partículas son anv1, anv2,. .............................................................................\ndonde vi son algunos i.i.d. r.v. y a es una secuencia de normalización\nStants. Este modelo, llamado el gas caliente, fue estudiado en muchos artículos, para\nejemplo, [14, 16, 20, 25].\nEs de gran interés estudiar el comportamiento de Kn(t) en el gas caliente.\nEn [25], el autor probó que en el caso de base donde un = 1 para todos n y\nEv2i, tenemos\nKn(t)\nP 0 para todos los t > 0. La pregunta es encontrar un...\nsión de Kn(t) que conduce a algún límite no trivial. Es evidente que esta normalización\nnes, pero es muy posible que haya un efecto de fase\nSituación similar a la descubierta por Lifshits y Shi [16]: Si una son pequeñas\nsuficiente, entonces el gas tiene una temperatura baja y la normalización es la\nigual que en el gas frío. Si una son lo suficientemente grandes, como en el caso básico de un 1,\nentonces la normalización y el comportamiento del gas difieren completamente de la\nel caso del gas frío.\nEl autor cree que la propiedad de localización, que se describe en\nLa sección 3 podría ser útil en un estudio de estas cuestiones.\nTambién es interesante comparar el comportamiento de Kn(1) en el\nlos gases fríos; en el gas caliente, el momento t= 1 juega el mismo “crítico”\npapel como en el gas frío, ver Lifshits y Shi [16]. La variable Kn(1) fue\nestudiados por Suidan [24], que consideró el gas caliente con un\nposiciones iniciales minísticas de partículas (sus posiciones iniciales fueron 1\n,. .., n\nPara este caso, Suidan encontró la distribución de Kn(1) y mostró que\nEKn(1)® logn. Recordemos que en el caso presentado, EKn(1)® c3\nINCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 33\n4. El número de cúmulos en sistemas balísticos de partículas pegajosas.\nUn modelo de partículas pegajosas se llama balístico si evoluciona de acuerdo con el\nleyes introducidas en el artículo 1, pero en ausencia de gravitación. Tales modelos\nson, en cierto sentido, más naturales que gravitacionales porque el ba-\nsuposición de que la gravitación no depende de la distancia es a veces\nConfundiendo. Sin embargo, un artículo inédito de Lifshits y Kuoza muestra que\nciertos modelos gravitacionales y balísticos están estrechamente conectados.\nParece interesante estudiar el número de clusters en el modelo balístico.\nEl autor no conoce ningún resultado en este campo.\nAgradecimientos. Estoy agradecido a mi asesor Mikhail A. Lifshits por\nllamar mi atención sobre el tema y por su guía. También doy las gracias a la\nárbitros anónimos para leer cuidadosamente este artículo y comentarios útiles.\nREFERENCIAS\n[1] Baum, L. E. y Katz, M. (1965). 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La propiedad de localización\n\tEl estudio inicial\n\tPropiedad de localización del proceso de agregación\n\tLa función de distribución de T0 en el modelo Poisson\n\tAlgunas propiedades de las variables Ti\n\tLa última colisión\n\tPruebas del hecho 1 y el teorema 1 para el i.d. modelo\n\tPrueba de Teorema 1 para el modelo uniforme\n\tEl número de grupos temáticos en el momento crítico\n\tAbrir preguntas\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n\tDirección del autor\n"}}},{"rowIdx":80,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0087,"string":"704.0087"},"title":{"kind":"string","value":"Approximate solutions to the Dirichlet problem for harmonic maps between\n hyperbolic spaces"},"full_text":{"kind":"string","value":"SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DEL DIRICHLET\nPARA MAPAS ARMONICAS ENTRE ESPACIOS HIPERBÓLICOS\nDUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nResumen. Nuestro principal resultado en este trabajo es el siguiente: Dado Hm, Hn\nespacios hiperbólicos de m dimensional ≥ 2 y n correspondientes, y\nFunción del titular f = (f1,..., fn−1) :..................................................................................................................................\naries de Hm y Hn. Entonces para cada â € > 0 existe un mapa armónico\nu : Hm → Hn que es continuo hasta el límite (en el sentido de Eu-\nclidiano) y uHm = (f\n1,..., fn−1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \n1. Introducción\nQue Hm y Hn sean espacios hiperbólicos con dimensiones m ≥ 2 y n corresponden-\nIngly. Para mayor comodidad, utilizamos los modelos de espacio de la mitad superior para Hm y Hn. Así que\nHm = {(x1,..., xm) • IRm : xm > 0}, Hn = {(y1,..., yn) • IRn : yn > 0} con\nmétricas\nd2Hm =\n(xm)2\n(dx1)2 +...+ (dxm)2),\nd2Hn =\n(yn)2\n((dy1)2 +...+ (dyn)2).\nAsí que los campos de tensión de u = (y1,..., yn) es\n• = (xm)2\n< 0y\nα,0y\nn >),\npara 1 ≤ α ≤ n− 1 y\nN(u) = (xm)2\n2 − 0y\nn2)),\ndonde 0 es el gradiente euclidiano y 0 es el Laplaciano euclidiano.\nUn mapa de C2 u : Hm → Hn se llama un mapa armónico si (u)s = 0 para todos s =\n1, 2,..., n. La literatura sobre mapas armónicos entre los colectores Riemannianos son\nabundante, nos referimos a los lectores a la obra clásica [4].\nUno de los problemas interesantes para los mapas armónicos es el de la prob Dirichlet\nlem en el infinito: dados los límites geométricos de Hm y Hn y\ndado un mapa continuo f : M → N (aquí la continuidad se entiende en el sentido\nFecha: 22 de octubre de 2018.\n2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 53A35.\nPalabras y frases clave. Problemas de Dirichlet; Funciones armónicas; Espacios hiperbólicos.\nEste trabajo se ha iniciado cuando el segundo autor estaba en el Departamento de matemáticas,\nUniversidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Vietnam. Le gustaría dar las gracias al profesor Dang.\nDuc Trong por sus muchas ayudas invaluables. También desea expresar su agradecimiento a\nEl profesor F. Helein, el profesor R. Schoen y el Sr. Le Quang Nam por su generosa ayuda.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0087v2\n2 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nde Euclidiano), hay un mapa armónico u : Hm → Hn tal que en el sentido euclidiano\nu es continuo hasta el límite ♥Hm y toma valor límite f?\nPara este problema con algunos más requisitos para la suavidad de f, hay\nmuchos resultados. En tres documentos [8], [9] y [7], Li y Tam establecieron la existencia\ny la unicidad de una función armónica u que es C1 hasta el límite y tiene\nvalor límite f, siempre que f sea C1. Pero para los tipos más generales de f, de acuerdo con\nnuestro conocimiento, no hay respuesta a la existencia de una solución u.\nEn este trabajo establecemos la existencia de soluciones aproximadas al Dirichlet\nproblema para mapas armónicos entre dos espacios hiperbólicos con límites prescritos-\nary value. Más explícitamente, demostramos el siguiente resultado:\nTeorema 1. Let f : Hm → Hn ser un límite uniformemente continuo. Permitir funciones\ng) ser como en la sección 2. Asumir que\nt−1g(t)dt < فارسى, en particular, este\nla condición se cumple si f es Holder continuo. Para cada > 0, existe un\nmapa armónico o : H\nm → Hn que es continuo hasta el límite ♥Hm y\nuHm = (f\n1,..., fn−1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \nNuestra estrategia para probar este resultado es la siguiente: Primero, construimos una inicial\nmapa, es decir, un mapa C2 v = (v1,..., vn−1, vn) : Hm → Hn que tiene valor límite\nf para cualquier mapa continuo f : Hm → Hn. Para este paso seguimos las ideas en\n[9], con algunos cambios: Puesto que la función f no necesita diferenciable, podemos\nno tomar vn como en [9], y la función vn de la nuestra es una función de una variable xm.\nEntonces, utilizamos esta función para producir mapas armónicos uâ € : H\nm → Hn que toma\nvalor límite (f1,..., fn−1, vn + ) por cada ≤ > 0.\n2. Mapas iniciales\nEn esta parte, utilizamos las técnicas en [9] para construir buenos mapas iniciales v tener\nel mapa f : ♥Hm → ♥Hn como el valor límite.\nLet f : IRm−1 → IRn−1 ser una función limitada uniformemente continua. Vamos.\ng : Hm → (0.•) ser C2, limitada y\ng(x′, xm) = 0,\nuniformemente en x′.\nDenotamos por v = {f, g} : Hm → Hn la extensión de f definida como sigue\nvα(x′, xm) =\nxmfα(y′)\n(x′ − y2 + (xm)2)m/2\npara 1 ≤ α ≤ n− 1 y\nvn(x′, xm) = g(x′, xm).\nPor resultados en [9] (pp. 628-630) tenemos\n(i) v es C2 y hasta el límite dado por xm = 0 es continuo.\nii) Si 1 ≤ α ≤ n− 1 entonces\nxm0v\n= 0,\nuniformemente en x′.\nAdemás, según las estimaciones de las ECP elípticas (véase el Teorema 2.10 en [5]),\nvα está limitado, existen constantes C > 0 tales que\n(2.1) max{(xm)3D3v, (xm)2D2v, (xm)0v\n≤ C.\nSOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS3\nPusimos\ng(r) = sup\nx′,yIRm−1, xyr\nf(y′)− f(x′),\n(r) =\ns2 + r2\ng(s)ds.\nDado que g es monotona, se deduce que g es Lebesgue medible. Por otra parte, puesto que g es\nLimitado, vemos que.... está bien definido.\nUsando coordenadas polares con el centro en x′ vemos que existe una constante\nC > 0 de tal manera que \nIRm−1\nxmf(y′)− f(x′)\n(x′ − y2 + (xm)2)m/2\n≤ C(xm),\npara todos los x′ • IRm−1.\nComo f es uniformemente continua vemos que\ng(r) = 0.\nAhora lo mostramos.\n(xm) = 0.\nDe hecho, para cualquier â € > 0, encontramos â € > 0 tales que\ng(s) ≤ ≤,\nsi es 0 < s ≤ . Por lo tanto, si K = sup\nsÍR g(s) tenemos\n(r) =\ns2 + r2\ng(s)ds+\ns2 + r2\ng(s)ds\ns2 + r2\ns2 + r2\n= arctan(l/r) +K(l/2− arctan(l/r)).\nDejando r → 0 vemos que\nlim sup\n(r) ≤ /2.\nPuesto que â > 0 es arbitrario, vemos que\n(r) = 0.\nPor lo tanto, si ponemos v = {f, {xm)} vemos que v es una extensión de f.\ntener el siguiente resultado:\nLemma 1. Let f :?Hm →?Hn ser no constante, uniformemente continuo y\nDelimitado. Ponga v = {f, Ł(xm)} como arriba. Entonces v es suave, hasta el límite\nes continuo, vIRm−1 = f y existe C > 0 tal que para x\nm cerca de 0 we\n(v)2 ≤ C.\n4 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nPrueba. Por la sección 6 en [9] tenemos\n(xm)0v\n≤ C3(x\ndonde 1 ≤ α ≤ n− 1 y C3 es una constante positiva.\nEl cálculo directo da\n(r) =\ns2 − r2\n(s2 + r2)2\ng(s)ds,\nفارسى”(r) =\n(s2 + r2)2\ng(s)ds+\n−4r(s2 − r2)\n(s2 + r2)3\ng(s)ds.\nmaxr(r), r2\ndonde C4 es una constante.\nDado que g está aumentando, g′ existe casi en todas partes y g′ ≥ 0. Utilización de la integración\npor partes, teniendo en cuenta que d\ns2+r2\n) = s\n(s2+r2)2\n, tenemos\n(r) =\ns2 − r2\n(s2 + r2)2\ng(s)ds\ns2 + r2\ng(s)0 +\ns2 + r2\ng′(s)ds\ns2 + r2\ng′(s)ds.\nDiferenciando el último término por encima de la igualdad obtenemos\n(r) = −\n(s2 + r2)2\ng′(s)ds.\nDado que f no es constante vemos fácilmente que g′ 6o 0 (de hecho, no necesitamos esto\nrestricción ya que podemos añadir g con una función positiva no constante, por ejemplo\nxm)1/2 ). Por lo tanto, desde g′ ≥ 0, se deduce de las igualdades por encima de que\n(r) > 0,\nrl»(r) ≤ C5\n′(r),\ndonde C5 es una constante positiva. A continuación, utilice la fórmula para el campo de tensión que somos\nHecho. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n3. Prueba de Teorema 1\nPrueba. Fijo ≤ > 0. Definimos vÃ3r : H\nm → Hn como sigue:\nvâr(x) = (v)\n1(x), v2(x),..., vn−1(x), \nPara cada una de las indicaciones siguientes: a) o b) o c) : c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c o c o c o c o c o c o c) o c o c o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o\nm k = {x\nm > → En el mapa armónico\nTomando el valor vâr en.\nPor la desigualdad (2.1) en [2] y las propiedades de v y vâ € (véase Lemma 1) tenemos\n•HmdHn(uá,uá,uá, vá) ≥ (vá) ≥ −C\n(xm)\n* (xm) + (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n(xm),\npara todos x , y aquí C es una constante de Lemma 1.\nSOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS5\nAlegamos que la función\n•(r) =\nu−2o(u) du ds\nestá bien definido para r ≥ 0. De hecho, el uso de la fórmula para\n•(r) =\n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\nu−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds.\nPuesto que el integrand no es negativo, usando el teorema de Fubini tenemos\nu−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds =\nu−1(u2 + t2)−1g(t)du dt ds\nlog(1 +\n)g(t)dt ds\nlog(1 +\n)g(t)ds dt\n2 arctan( t\n)t2 + r log(1 + t\ng(t)dt.\nAhora, puesto que g(t) está limitado tenemos\n2 arctan( t\ng(t)dt\nes convergente. Fijo r ≥ 0, cerca de t = 0 tenemos\nr log(1 + t\ng(t) فارسى t−1g(t),\ny cuando t→\nr log(1 + t\ng(t) فارسى t−3g(t),\npor lo tanto, puesto que g(t) está limitado y la suposición de que\nt−1g(t) converge, nuestra reclamación\nestá verificado.\nUtilizamos el mismo.... para denotar la función......................................................................................................................................................................................................................................................\npara x = (x1,..., xm−1, xm) Ahora tenemos (r) =\nu -2° du > 0 y\n(r) = −r−2(r), ya que m ≥ 2 tenemos\n•Hm((x)) = −(x)\nm)2[”(xm)−\n(m–2)\n(xm)] ≥ −(xm)2\nPor lo tanto\n• Hm (dHn(u»,......................................................................................................................................................................................................................................................... \n(+) ≥ 0,\npara x . Por lo tanto, por principio máximo tenemos\n≤ C\n(xm).\nEsto se refiere a dHn(u®,ü, v®) es independiente de , por lo tanto, mediante argumentos estándar (véase el apartado 2 del artículo 85 del Tratado CE).\nla prueba de Teorema 6.4 en [9]) tenemos un mapa armónico u. : H\nm → Hn que es\nel posterior límite de uooo,oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo. Por otra parte, para todos x H\nM tenemos\ndHn(u, v) ≤ C\n(xm).\n6 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nPor lo tanto\ndHn(uÃ3r, vár) = 0,\nque muestra que u® es continuo hasta el límite y toma valor de límite\n1,..., xm−1, 0) = (f1, f2,..., fn−1, ). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[1] Shiu-Yuen Cheng, Teorema de Liouville para mapas armónicos, Proc. Symp. Matemáticas puras. 36, 1980,\n147–151.\n[2] Wei-Yue Ding y Youde Wang, mapas armónicos del hombre Riemanniano no compacto\nIfolds, Internat. J. Matemáticas. 2, 1991, 617–633.\n[3] Duong Minh Duc y Alberto Verjovsky, Mapas armónicos adecuados con límite Lipschitz\nvalores, preimpresión.\n[4] James Eells, Jr. y J. H. Sampson, Cartografías armónicas de colectores Riemannianos, Ams. J.\nMatemáticas. 86 (1), 1964, pp. 109–160.\n[5] David Gilbarg y Neil S. Trudinger, Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden,\nSpringer - Verlag, Berlín - Heidelberg-Nueva York - Tokio, 1983.\n[6] Frederic Helein, Regularite des applications faiblement armonías entre une surface et une\nvariete riemannienne, C. R. Acad. Sci. París 312 (1), 1991, 591–596.\n[7] Peter Li y Luen-Fai Tam, La ecuación de calor y mapas armónicos de colectores completos,\nInventar. Matemáticas. 105, 1991, 1–46.\n[8] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos apropiados, Anales de\nMatemáticas 137, 1993, pp. 167-201.\n[9] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos adecuados II, Indiana\nUniversity Mathematics Journal 42 (2), 1993, pp. 591-635.\n[10] Richard Schoen y Shing Tung Yau, acciones de grupo compacto y la topología de los colectores\ncon curvatura no positiva, Topología 18, 1979, 361-380.\nDepartamento de Matemáticas, Universidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Viet Nam\nDirección de correo electrónico: dmduc@hcmuns.edu.vn\nDepartamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Rawles Hall, Bloomington, IN 47405\nDirección de correo electrónico: truongt@indiana.edu\n\t1. Introducción\n\t2. Mapas iniciales\n\t3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Nuestro principal resultado en este documento es el siguiente: Dado $H^m, H^n$ hiperbólico\nespacios dimensionales de $m$ y $n$ correspondientes, y dada una función Holder\n$f=(s^1,...,fn-1}):\\parcial H^m\\to \\parcial H^n$ entre límites geométricos\nde $H^m$ y $H^n$. Entonces por cada $\\epsilon >0$ existe un mapa armónico\n$u:H^m\\to H^n$ que es continuo hasta el límite (en el sentido de\nEuclidiana) y $u_{parcial H^m}=(f^1,...,fÃ3n-1},\\epsilon)$.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nQue Hm y Hn sean espacios hiperbólicos con dimensiones m ≥ 2 y n corresponden-\nIngly. Para mayor comodidad, utilizamos los modelos de espacio de la mitad superior para Hm y Hn. Así que\nHm = {(x1,..., xm) • IRm : xm > 0}, Hn = {(y1,..., yn) • IRn : yn > 0} con\nmétricas\nd2Hm =\n(xm)2\n(dx1)2 +...+ (dxm)2),\nd2Hn =\n(yn)2\n((dy1)2 +...+ (dyn)2).\nAsí que los campos de tensión de u = (y1,..., yn) es\n• = (xm)2\n< 0y\nα,0y\nn >),\npara 1 ≤ α ≤ n− 1 y\nN(u) = (xm)2\n2 − 0y\nn2)),\ndonde 0 es el gradiente euclidiano y 0 es el Laplaciano euclidiano.\nUn mapa de C2 u : Hm → Hn se llama un mapa armónico si (u)s = 0 para todos s =\n1, 2,..., n. La literatura sobre mapas armónicos entre los colectores Riemannianos son\nabundante, nos referimos a los lectores a la obra clásica [4].\nUno de los problemas interesantes para los mapas armónicos es el de la prob Dirichlet\nlem en el infinito: dados los límites geométricos de Hm y Hn y\ndado un mapa continuo f : M → N (aquí la continuidad se entiende en el sentido\nFecha: 22 de octubre de 2018.\n2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 53A35.\nPalabras y frases clave. Problemas de Dirichlet; Funciones armónicas; Espacios hiperbólicos.\nEste trabajo se ha iniciado cuando el segundo autor estaba en el Departamento de matemáticas,\nUniversidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Vietnam. Le gustaría dar las gracias al profesor Dang.\nDuc Trong por sus muchas ayudas invaluables. También desea expresar su agradecimiento a\nEl profesor F. Helein, el profesor R. Schoen y el Sr. Le Quang Nam por su generosa ayuda.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0087v2\n2 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nde Euclidiano), hay un mapa armónico u : Hm → Hn tal que en el sentido euclidiano\nu es continuo hasta el límite ♥Hm y toma valor límite f?\nPara este problema con algunos más requisitos para la suavidad de f, hay\nmuchos resultados. En tres documentos [8], [9] y [7], Li y Tam establecieron la existencia\ny la unicidad de una función armónica u que es C1 hasta el límite y tiene\nvalor límite f, siempre que f sea C1. Pero para los tipos más generales de f, de acuerdo con\nnuestro conocimiento, no hay respuesta a la existencia de una solución u.\nEn este trabajo establecemos la existencia de soluciones aproximadas al Dirichlet\nproblema para mapas armónicos entre dos espacios hiperbólicos con límites prescritos-\nary value. Más explícitamente, demostramos el siguiente resultado:\nTeorema 1. Let f : Hm → Hn ser un límite uniformemente continuo. Permitir funciones\ng) ser como en la sección 2. Asumir que\nt−1g(t)dt < فارسى, en particular, este\nla condición se cumple si f es Holder continuo. Para cada > 0, existe un\nmapa armónico o : H\nm → Hn que es continuo hasta el límite ♥Hm y\nuHm = (f\n1,..., fn−1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \nNuestra estrategia para probar este resultado es la siguiente: Primero, construimos una inicial\nmapa, es decir, un mapa C2 v = (v1,..., vn−1, vn) : Hm → Hn que tiene valor límite\nf para cualquier mapa continuo f : Hm → Hn. Para este paso seguimos las ideas en\n[9], con algunos cambios: Puesto que la función f no necesita diferenciable, podemos\nno tomar vn como en [9], y la función vn de la nuestra es una función de una variable xm.\nEntonces, utilizamos esta función para producir mapas armónicos uâ € : H\nm → Hn que toma\nvalor límite (f1,..., fn−1, vn + ) por cada ≤ > 0.\n2. Mapas iniciales\nEn esta parte, utilizamos las técnicas en [9] para construir buenos mapas iniciales v tener\nel mapa f : ♥Hm → ♥Hn como el valor límite.\nLet f : IRm−1 → IRn−1 ser una función limitada uniformemente continua. Vamos.\ng : Hm → (0.•) ser C2, limitada y\ng(x′, xm) = 0,\nuniformemente en x′.\nDenotamos por v = {f, g} : Hm → Hn la extensión de f definida como sigue\nvα(x′, xm) =\nxmfα(y′)\n(x′ − y2 + (xm)2)m/2\npara 1 ≤ α ≤ n− 1 y\nvn(x′, xm) = g(x′, xm).\nPor resultados en [9] (pp. 628-630) tenemos\n(i) v es C2 y hasta el límite dado por xm = 0 es continuo.\nii) Si 1 ≤ α ≤ n− 1 entonces\nxm0v\n= 0,\nuniformemente en x′.\nAdemás, según las estimaciones de las ECP elípticas (véase el Teorema 2.10 en [5]),\nvα está limitado, existen constantes C > 0 tales que\n(2.1) max{(xm)3D3v, (xm)2D2v, (xm)0v\n≤ C.\nSOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS3\nPusimos\ng(r) = sup\nx′,yIRm−1, xyr\nf(y′)− f(x′),\n(r) =\ns2 + r2\ng(s)ds.\nDado que g es monotona, se deduce que g es Lebesgue medible. Por otra parte, puesto que g es\nLimitado, vemos que.... está bien definido.\nUsando coordenadas polares con el centro en x′ vemos que existe una constante\nC > 0 de tal manera que \nIRm−1\nxmf(y′)− f(x′)\n(x′ − y2 + (xm)2)m/2\n≤ C(xm),\npara todos los x′ • IRm−1.\nComo f es uniformemente continua vemos que\ng(r) = 0.\nAhora lo mostramos.\n(xm) = 0.\nDe hecho, para cualquier â € > 0, encontramos â € > 0 tales que\ng(s) ≤ ≤,\nsi es 0 < s ≤ . Por lo tanto, si K = sup\nsÍR g(s) tenemos\n(r) =\ns2 + r2\ng(s)ds+\ns2 + r2\ng(s)ds\ns2 + r2\ns2 + r2\n= arctan(l/r) +K(l/2− arctan(l/r)).\nDejando r → 0 vemos que\nlim sup\n(r) ≤ /2.\nPuesto que â > 0 es arbitrario, vemos que\n(r) = 0.\nPor lo tanto, si ponemos v = {f, {xm)} vemos que v es una extensión de f.\ntener el siguiente resultado:\nLemma 1. Let f :?Hm →?Hn ser no constante, uniformemente continuo y\nDelimitado. Ponga v = {f, Ł(xm)} como arriba. Entonces v es suave, hasta el límite\nes continuo, vIRm−1 = f y existe C > 0 tal que para x\nm cerca de 0 we\n(v)2 ≤ C.\n4 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nPrueba. Por la sección 6 en [9] tenemos\n(xm)0v\n≤ C3(x\ndonde 1 ≤ α ≤ n− 1 y C3 es una constante positiva.\nEl cálculo directo da\n(r) =\ns2 − r2\n(s2 + r2)2\ng(s)ds,\nفارسى”(r) =\n(s2 + r2)2\ng(s)ds+\n−4r(s2 − r2)\n(s2 + r2)3\ng(s)ds.\nmaxr(r), r2\ndonde C4 es una constante.\nDado que g está aumentando, g′ existe casi en todas partes y g′ ≥ 0. Utilización de la integración\npor partes, teniendo en cuenta que d\ns2+r2\n) = s\n(s2+r2)2\n, tenemos\n(r) =\ns2 − r2\n(s2 + r2)2\ng(s)ds\ns2 + r2\ng(s)0 +\ns2 + r2\ng′(s)ds\ns2 + r2\ng′(s)ds.\nDiferenciando el último término por encima de la igualdad obtenemos\n(r) = −\n(s2 + r2)2\ng′(s)ds.\nDado que f no es constante vemos fácilmente que g′ 6o 0 (de hecho, no necesitamos esto\nrestricción ya que podemos añadir g con una función positiva no constante, por ejemplo\nxm)1/2 ). Por lo tanto, desde g′ ≥ 0, se deduce de las igualdades por encima de que\n(r) > 0,\nrl»(r) ≤ C5\n′(r),\ndonde C5 es una constante positiva. A continuación, utilice la fórmula para el campo de tensión que somos\nHecho. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n3. Prueba de Teorema 1\nPrueba. Fijo ≤ > 0. Definimos vÃ3r : H\nm → Hn como sigue:\nvâr(x) = (v)\n1(x), v2(x),..., vn−1(x), \nPara cada una de las indicaciones siguientes: a) o b) o c) : c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c o c o c o c o c o c o c) o c o c o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o\nm k = {x\nm > → En el mapa armónico\nTomando el valor vâr en.\nPor la desigualdad (2.1) en [2] y las propiedades de v y vâ € (véase Lemma 1) tenemos\n•HmdHn(uá,uá,uá, vá) ≥ (vá) ≥ −C\n(xm)\n* (xm) + (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n(xm),\npara todos x , y aquí C es una constante de Lemma 1.\nSOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS5\nAlegamos que la función\n•(r) =\nu−2o(u) du ds\nestá bien definido para r ≥ 0. De hecho, el uso de la fórmula para\n•(r) =\n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\nu−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds.\nPuesto que el integrand no es negativo, usando el teorema de Fubini tenemos\nu−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds =\nu−1(u2 + t2)−1g(t)du dt ds\nlog(1 +\n)g(t)dt ds\nlog(1 +\n)g(t)ds dt\n2 arctan( t\n)t2 + r log(1 + t\ng(t)dt.\nAhora, puesto que g(t) está limitado tenemos\n2 arctan( t\ng(t)dt\nes convergente. Fijo r ≥ 0, cerca de t = 0 tenemos\nr log(1 + t\ng(t) فارسى t−1g(t),\ny cuando t→\nr log(1 + t\ng(t) فارسى t−3g(t),\npor lo tanto, puesto que g(t) está limitado y la suposición de que\nt−1g(t) converge, nuestra reclamación\nestá verificado.\nUtilizamos el mismo.... para denotar la función......................................................................................................................................................................................................................................................\npara x = (x1,..., xm−1, xm) Ahora tenemos (r) =\nu -2° du > 0 y\n(r) = −r−2(r), ya que m ≥ 2 tenemos\n•Hm((x)) = −(x)\nm)2[”(xm)−\n(m–2)\n(xm)] ≥ −(xm)2\nPor lo tanto\n• Hm (dHn(u»,......................................................................................................................................................................................................................................................... \n(+) ≥ 0,\npara x . Por lo tanto, por principio máximo tenemos\n≤ C\n(xm).\nEsto se refiere a dHn(u®,ü, v®) es independiente de , por lo tanto, mediante argumentos estándar (véase el apartado 2 del artículo 85 del Tratado CE).\nla prueba de Teorema 6.4 en [9]) tenemos un mapa armónico u. : H\nm → Hn que es\nel posterior límite de uooo,oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo. Por otra parte, para todos x H\nM tenemos\ndHn(u, v) ≤ C\n(xm).\n6 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN\nPor lo tanto\ndHn(uÃ3r, vár) = 0,\nque muestra que u® es continuo hasta el límite y toma valor de límite\n1,..., xm−1, 0) = (f1, f2,..., fn−1, ). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[1] Shiu-Yuen Cheng, Teorema de Liouville para mapas armónicos, Proc. Symp. Matemáticas puras. 36, 1980,\n147–151.\n[2] Wei-Yue Ding y Youde Wang, mapas armónicos del hombre Riemanniano no compacto\nIfolds, Internat. J. Matemáticas. 2, 1991, 617–633.\n[3] Duong Minh Duc y Alberto Verjovsky, Mapas armónicos adecuados con límite Lipschitz\nvalores, preimpresión.\n[4] James Eells, Jr. y J. H. Sampson, Cartografías armónicas de colectores Riemannianos, Ams. J.\nMatemáticas. 86 (1), 1964, pp. 109–160.\n[5] David Gilbarg y Neil S. Trudinger, Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden,\nSpringer - Verlag, Berlín - Heidelberg-Nueva York - Tokio, 1983.\n[6] Frederic Helein, Regularite des applications faiblement armonías entre une surface et une\nvariete riemannienne, C. R. Acad. Sci. París 312 (1), 1991, 591–596.\n[7] Peter Li y Luen-Fai Tam, La ecuación de calor y mapas armónicos de colectores completos,\nInventar. Matemáticas. 105, 1991, 1–46.\n[8] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos apropiados, Anales de\nMatemáticas 137, 1993, pp. 167-201.\n[9] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos adecuados II, Indiana\nUniversity Mathematics Journal 42 (2), 1993, pp. 591-635.\n[10] Richard Schoen y Shing Tung Yau, acciones de grupo compacto y la topología de los colectores\ncon curvatura no positiva, Topología 18, 1979, 361-380.\nDepartamento de Matemáticas, Universidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Viet Nam\nDirección de correo electrónico: dmduc@hcmuns.edu.vn\nDepartamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Rawles Hall, Bloomington, IN 47405\nDirección de correo electrónico: truongt@indiana.edu\n\t1. Introducción\n\t2. Mapas iniciales\n\t3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":81,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0088,"string":"704.0088"},"title":{"kind":"string","value":"Some new experimental photonic flame effect features"},"full_text":{"kind":"string","value":"EFECTO FOTÓNICO DEL FLAME\nALGUNOS NUEVOS EFECTOS FOTONICOS EXPERIMENTALES \nCARACTERÍSTICAS \nN.V.Tcherniega \nP.N.Lebedev Physical Institute, RAS \nLeninskii pr., 53, 119991, Moscú, Rusia \ntchera@sci.lebedev.ru\nResumen \n Los resultados de las características espectrales, energéticas y temporales de la radiación en el \nse presenta la presencia del efecto fotónico de la llama. Opalo artificial posado en la placa de Cu en el \ntemperatura del punto de ebullición de nitrógeno líquido (77 K) irradiado por láser de rubí de nanosegundo \npulso produce luminiscencia a largo plazo con una duración de hasta diez segundos con una fina estructura \nespectro en la parte antistocks del espectro. Manifestación analógica de luminiscencia visible \nEl tiempo de retraso apareció en otras muestras de los ópalos artificiales colocados en la misma placa. En el caso \ndel ópalo infiltrado con diferentes líquidos no lineales el umbral de la luminiscencia es \nreducción y la dispersión espacial del área de emisión brillante en la superficie del ópalo está siendo \ncambiado. En el caso de la colocación de los líquidos no lineales congelados en la placa Cu azul a largo plazo \nluminiscencia brillante tuvo lugar en las especies congeladas de los líquidos. Características temporales de \nEsta luminiscencia es casi la misma que en las matrices de ópalos. \nPalabras clave: efecto de llama fotónica, luminiscencia óptica, excitación, ópalo artificial, espectro \n1. Introducción \n En [1-3] se encontró un nuevo efecto llamado efecto fotónico de la llama y algunas de sus propiedades fueron: \nestudiados. Este efecto está determinado por las propiedades de los cristales fotónicos. \n Los cristales fotónicos han atraído gran atención desde los primeros documentos relativos a \nestructuras [4-6]. Uno de los cristales fotónicos más importantes son los ópalos artificiales – uno mismo –\nestructuras ensambladas compuestas por esferas SiO2 organizando celosía cúbica centrada en la cara. El tamaño \nde tales esferas que varían entre 200 nm y 400 nm y define los parámetros de la cara-\nretícula cúbica centrada y el bandgap fotónico. La posibilidad de infiltración de ópalos con diferentes \nmedio da lugar a un procesamiento eficaz de las propiedades de la luz que propoga a través de la \ncristal. Los huecos en las estructuras de ópalos pueden ser llenados con semiconductores, superconductores, \nmateriales ferromagnéticos, medio fluorescente [7] y este hecho da una gran posibilidad de \nlas aplicaciones de dichas estructuras a la optoelectrónica. El estudio de las propiedades ópticas lineales de \nla brecha de banda fotónica ha sido la tarea de muchos trabajos teóricos y experimentales y todavía \nsigue siendo la tarea que debe investigarse [7,8]. La descripción teórica del campo electromagnético \ndentro de las estructuras de cristal fotónico (obtenido por método de matriz de transferencia [9] o modo acoplado) \nla teoría [10]) da una imagen clara del espectro transmitido y reflejado, electromagnético \ndistribución del campo dentro del cristal y su dependencia de los parámetros del fotónico \nestructura cristalina (valores del período, número de períodos, contraste del índice de refracción). Grandes valores de \nla localización del campo electromagnético en algunas regiones conducen a la expectativa de los fuertes \nmejora de la interacción de la materia de onda no lineal en comparación con los cristales a granel. Segundo \nEn [11,12] se investigó la generación armónica en diferentes tipos de cristales fotónicos. Apropiadamente. \nEl cristal fotónico elegido presenta refracción negativa en algunas condiciones [13]. Algunas características de \nla dispersión de Raman estimulada en la estructura fotónica unidimensional se consideraron en [14]. \nTratamiento mecánico completamente cuántico de la generación de fotones enredados en fotónico no lineal \nlos cristales en el proceso de conversión descendente se realizaron en [15]. Propiedades de la brecha de banda fotónica \nque son demostrados por cristales fotónicos están siendo utilizados activamente para la investigación de \nInteracción foton-excitón [16]. Modos acústicos excitados en bolas SiO2 que componen ópalo \ncristal fotónico muestran el efecto de la cuantificación de los modos de fonón [17] y son la razón de \ndispersión globular estimulada [3]. Características específicas de la propagación de ondas acústicas en el \nestructuras fotónicas conducen a la posibilidad de que el rayo ultrasónico divergente se enfoque en un \nmailto:tchera@mail1.lebedev.ru\npunto focal estrecho con una gran profundidad focal [18]. Oscilaciones paramétricas ópticas a través de cuatro ondas \nmezcla en cristales fotónicos isotrópicos muestra la posibilidad de un procesamiento eficaz de la frecuencia \n[19]. \n El objetivo de este trabajo es dar una breve revisión de los resultados [1-3] y estudiar el comportamiento colectivo \nde varios cristales fotónicos. Los cristales se posan en la placa Cu a la temperatura del líquido \nnitrógeno. Uno de los cristales fotónicos está iluminado por el pulso láser y la luz láser está enfocada \nen este único cristal. El fenómeno que observamos es la aparición de luminiscencia de \notros cristales fotónicos. La duración de la luminiscencia de otros cristales que son espacialmente \nseparado con el cristal iluminado por el pulso láser es del orden de los segundos. La aparición de \nla luminiscencia tiene lugar con algún tiempo de retraso, respectivamente, en el pulso láser. La forma de \nestos puntos de luz en los otros cristales y sus movimientos lentos a lo largo del cristal recuerda a un pequeño \nPunto de llama. Esto nos inspiró a dar el nombre de “llama fotónica” al efecto observado. En el caso \nde cubrir la superficie de la placa de Cu con líquido (acetona, etanol, agua) después de la PFE \nexcitación en el ópalo situado en esta placa luminiscencia azul se ve en el líquido congelado. \nLas características temporales de esta luminiscencia son el sme como para el cristal de un solo ópalo. Los \nel papel se organiza de la siguiente manera. En Sec.2 la configuración experimental, láser, los cristales fotónicos \n(opalos artificiales) utilizados en el experimento se describen. En el artículo 3, el “efecto de llama fotónica” \nse discute en el experimento. En la sección 4 las perspectivas y posibles explicaciones son: \nPresentado. \n2. Cristales fotónicos y láser utilizados en experimentos. \n Uno de los cristales fotónicos tridimensionales más prometedores es el ópalo artificial. El ópalo es un \ncristal con retícula cúbica centrada en la cara que consiste en las esferas de SiO2 empaquetadas de cerca monodisperso \ncon diámetro de unos cientos de nanómetros. Debido al contraste del índice de refracción (ratio \nnSiO2/nair) es alrededor de 1,45 el espacio completo de la banda fotónica no existe, pero el fotónico \nSe produce pseudo-gap. Las cavidades vacías entre estos glóbulos tienen octaedros y tetraedros \nforma. Es posible investigar tanto los ópalos iniciales (Matrices de ópalo) como los nanocompuestos, en los que \nlas cavidades están llenas de materiales orgánicos o inorgánicos, por ejemplo, semiconductores, \nsuperconductores, sustancias ferromagnéticas, dieléctricos, con diferentes tipos de \nFig.1. Aparición común de un cristal fotónico globular, construido con partículas esféricas (glóbulos) \nno linealidades y así sucesivamente. Vacíos de llenado del cristal fotónico con materiales diferentes \níndice de refracción se puede procesar eficazmente los parámetros del pseudogap fotónico. \n Pulso gigante láser rubí (de 694,3 nm, de 20 ns, Emax = 0,3 J, ancho espectral de la luz inicial - \n0,015 cm-1.) se ha utilizado como fuente de excitación. Emocionante luz se ha centrado en el \nmaterial por lentes con diferentes longitudes focales (50, 90 y 150 mm). Las muestras de ópalo \nlos cristales utilizados tenían el tamaño de 3x5x5mm y se cortaban en paralelo al plano (111) (véase la Fig.2). \nEl ángulo de incidencia del rayo láser en el plano (111) varió de 0 a 600. Muestra \ndistancia del sistema de enfoque y la energía de luz emocionante fueron diferentes en diferentes carreras de la \nexperimento. Esto dio la posibilidad de hacer mediciones para diferentes densidad de potencia en el \nentrada de la muestra y para una distribución de campo diferente dentro de la muestra. Cristales de ópalo \ncompuesta de las esferas de amorfosa envasadas de cerca con un diámetro de 200 nm, 230 nm, 250 nm y \nSe investigaron los nanocompuestos (cristales de ópalo con huecos llenos de acetona o etanol). \n z\n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n [111] x\nFig.2. El esquema de iluminar la muestra. Plano XY corresponde a la superficie de la placa CU. \n3.Características de la “llama fotónica” \n Se colocaron cristales de ópalo en la placa de Cu, que se colocó en la célula con nitrógeno líquido (ver \nFig.3). El número de cristales varió de 1 a 5. La distancia (d) entre los cristales era de la \norden de varios centímetros (valor máximo de d fue de 5 centímetros y fue determinado por el \nCu tamaño de la placa). Uno de los cristales fue iluminado por el pulso láser enfocado. En el caso de la \nAlcanzó la luminiscencia visible (azul). La duración de la luminiscencia fue \nde 1 a 12 segundos y parecía una mancha inhomogénea que cambiaba su distribución espacial y \nposición en la superficie del cristal durante este tiempo. \n N2 líquido\n Ópalo\n luz emocionante\n d\n opal Cu\nFig.3. Puesta en marcha experimental. \n Los parámetros de la luminiscencia (duración, umbral) fueron determinados por la geometría \ncaracterísticas de la iluminación y el contraste del índice de refracción de la muestra. Para optimizar \ngeometría de la excitación el umbral de densidad de potencia para el cristal de ópalo fue 0,12 Gw/cm2, para \nCristales de ópalo rellenos de etanol – 0,05 Gw/cm2, para cristal de ópalo rellenos de acetona - 0,03 \nGw/cm2. Distribución temporal típica de la luminiscencia medida para la parte del cristal \nEn la Fig.4 se muestra el brillo más intenso. El mismo comportamiento es típico para todos \ncasos de luminiscencia en estas condiciones de excitación, pero el valor de la luminiscencia \nla duración fluctuó de un disparo a otro. \n a) b) \nFig.4. Distribución temporal de la luminiscencia visible. \n La duración de la luminiscencia fluctuó de 1 a 12 segundos y se demostró \nestructura oscilante. En algunos casos, la distribución temporal tuvo un máximo al principio de \nla luminiscencia en algunos casos – mínimo. Fig.4 a) y b) muestran la luminiscencia de la pureza \nmatriz opal de la casi la misma duración en las mismas condiciones geométricas y energéticas de \nexcitación cerca del umbral de excitación (0.12 Gw/cm2). El comienzo de las medidas \ncorresponde a un retraso de 0,3 s después del lanzamiento del láser (la duración del pulso del láser es de 20 ns). \n Espectro de emisión secundario observado en el efecto fotónico de la llama se ha investigado con \nla ayuda de la configuración que se muestra en la Fig.5. \n \n 12\n 11 10\n 9\n 8\n 1\n 3 4 2\n 6 7\n Fig. 5.La configuración experimental para el estudio del espectro de EPI. 1- láser rubí; 2 lentes; 3, 4, 5 – fotónico \ncristales; 7 – célula con nitrógeno líquido 6 – placa de Cu; 8 – guía de ondas de fibra; 9 – minicromador; \n10 – ordenador; 11 – cámara; 12 – ordenador. \nEspectro de la luz emitida por cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de la luz de bombeo son \nse muestra en la Fig. 6 a) y b) \n \n200 300 400 500 600 700 800 900 1000\n643I, \n, nm\n200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100\n, nm\n a b \n Fig. 6. Espectro de emisión secundario de un cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de luz láser: \na - I = 0,12 GW/cm2, b - I = 0,14 GW/cm2. \nEl espectro consistía en las líneas afiladas con longitudes de onda: 429,0, 453,0, 489.0, 555,0, 643,0 nm, \nque corresponde al rango espectral antistokes para la línea emocionante 694.3 nm. Intensidad de las líneas en \nel espectro dependía fuertemente de la intensidad de bombeo láser, que era evidencia de \ntipo estimulado de la emisión de radiación. \n En el caso de varios cristales colocados en la placa de Cu, sólo uno de ellos fue irradiado por el \nPulso láser. La luminiscencia tuvo lugar en este cristal en el caso del umbral que alcanzaba. Brillante \nbrillante de los otros cristales comenzó con algún retraso de tiempo después del lanzamiento del láser. El valor de este retraso \n(y la intensidad de la luminiscencia) fue determinada por la posición espacial de los cristales en \nel plato. El robo de la abeja de la pantalla puesta entre los cristales (con el fin de evitar la irradiación de la \ncristales por la luz dispersada por el cristal excitado por el láser) no detuvo la aparición de la \nluminiscencia si la distancia entre la placa Cu y la pantalla era superior a 0,5 mm. Los \nduración de la luminiscencia fue del orden de varios segundos y el comportamiento temporal fue como \nse muestra en la Fig.4. Las características típicas de tal distribución eran la existencia de máximo y grande \nPlato con valor casi constante de la intensidad. \n Con el fin de mostrar el papel del material de la placa utilizada repetimos estas medidas \ncon placas del mismo tamaño pero hechas de acero y quarz sobre las que se colocaron cristales de ópalo \ncomo en los experimentos anteriores. Luminiscencia del mismo tipo en el cristal irradiado tomado \nlugar, pero no se observó la luminiscencia de las otras muestras situadas en estas placas. \n El efecto también fue determinado por el ángulo de incidencia (fig.2). Para las muestras utilizadas: \nvalor del ángulo fue elegido experimentalmente para lograr el valor máximo de la \nluminiscencia (Vale la pena mencionar que este valor difería de 0 y era alrededor de 400). Más fácil la \nEl efecto se emocionó en las muestras no procesadas. En la Fig.5 se puede ver la luminiscencia del \ncristales situados a la distancia de aproximadamente 1 centímetro del cristal que fue irradiado. \n \nFig.7 Luminiscencia visible de los cristales de ópalo en el caso de la irradiación de uno de ellos (la \ncristal irradiado se puede ver por la luz roja brillante; en la imagen izquierda era el cristal en el \ncentro, en la imagen de la derecha era el cristal a la izquierda). Imagen de la izquierda corresponde a la caja \ndonde los cristales son infiltrados por la acetona. Imagen derecha corresponde al caso del ópalo \ncristales sin infiltración. \n En el caso de la gran energía láser (varias veces más el umbral) o si el cristal era \nirradiado por varios pulsos láser el ópalo puede ser destruido y las partes del cristal producen \nla luminiscencia con las propiedades espectrales y temporales descritas anteriormente (Fig.8). \nFig.8 Cristal de ópalo es destruido y 3 piezas grandes y varias piezas pequeñas están pasando a \nproducir la luminiscencia. \n Con el fin de aclarar el papel de la superficie de la placa Cu en el transporte de energía entre el \ncristales se realizó el siguiente experimento: la matriz de ópalo puro colocado en la placa de Cu fue \nirradiado por el pulso láser de rubí y demostró una fuerte luminiscencia que duraba unos segundos \ncon las propiedades descritas anteriormente (Fig.9) \nFig.9 Luminiscencia de la matriz de un único ópalo \n El siguiente paso fue cubrir la superficie de la placa de Cu con el líquido (se hicieron experimentos \ncon agua, acetón o etanol). El espesor del líquido congelado en la superficie de la placa era de aproximadamente \n1 mm. El tamaño transversal del líquido congelado era de aproximadamente 1 cm. Después de iluminar el cristal \npor el pulso láser rubí la luminiscencia del cristal aparece la luminiscencia azul brillante de \nAparecen las especies congeladas del líquido utilizado. Las características temporales de la luminiscencia en \ncristal y en el líquido congelado son aproximadamente iguales (la duración de la luminiscencia es de \nvarios segundos). La luminiscencia del líquido congelado continúa a pesar de poner la pantalla \nentre el cristal y el líquido. Muestra que la luminiscencia del líquido no es un reflejo \nde la luz que es emmitida por el cristal. Fig.10 muestra la luminiscencia del cristal y el \nlíquido congelado (en este caso era agua). Las imágenes fueron hechas con el intervalo de 1 segundo \nel uno entre el otro. El acetón y el etanol demuestran un comportamiento análogo. Los \nluminiscencia de la zona cubierta de líquido congelado se produce incluso si esta zona está a la distancia \nla explicación de la luminiscencia azul del cristal irradiado. \nlíquido congelado se puede hacer de varias maneras y para aclarar las razones de esta luminiscencia \nla apariencia es necesario producir experimentos adicionales. La intensidad del láser en el \nexperimentos es de aproximadamente 0,12 Gw/cm2, y la gran mejora de este campo debido a Mie – \nresonancia [20] simultánea con el efecto de interferencia causado por la estructura del ópalo \nmatricial puede conducir a la mejora de campo extremadamente grande que puede desempeñar un papel importante en este \nefecto. \n \n \nFig.10 Luminiscencia de la matriz de ópalos (punto redondo brillante) y líquido congelado (punto azul grande) \nen la superficie de la placa Cu. \n 4. Conclusiones. \n En este artículo informamos sobre algunas nuevas características del efecto fotónico de la llama. El principal \nlas características de la FEP son: \n- En la excitación del cristal de ópalo artificial que se coloca en la placa de Cu en el \ntemperatura del nitrógeno líquido por el pulso láser rubí del nanosegundo de largo alcance\nla luminiscencia óptica continua se produce en el caso de que el umbral del proceso sea \nAlcanzado; \n- En el caso de varios cristales de ópalo que se ponen en la placa de Cu mientras uno de ellos está siendo \nla luminiscencia visible brillante irradiada se produce en todas las muestras; \n- Se ha determinado el comportamiento temporal y los umbrales de la luminiscencia. Fotónico \ncristales infiltrados con diferentes líquidos no lineales y sin infiltración han sido \ninvestigada. Transporte investigado de la excitación entre las muestras separadas espacialmente \npor la longitud de varios centímetros da la posibilidad de las aplicaciones prácticas de \nPFE; \n- La luminiscencia azul del líquido congelado en la superficie de la placa Cu tiene lugar en la \nprecense del efecto fotónico de la llama; \n El efecto fotónico de la llama puede tener una explicación diferente. Probablemente se juega un papel esencial. \npor propiedades plasmáticas. El lento transporte de las excitaciones del cristal irradiado a otros \nLos cristales fotónicos se pueden asociar con ondas sonoras creadas debido a la interacción del pulso láser con \nla muestra. El mecanismo de excitón y las guías de ondas superficiales en la superficie de la placa Cu también pueden \ndesempeñar un papel importante. Se comprobó que el cambio de las propiedades de la superficie de la placa era \nconduce al cambio del efecto fotónico de la llama. Retirar la capa oxidada de la placa cambiada \nel umbral PFE. La luminiscencia de los líquidos congelados en la superficie de la placa de Cu muestra \nel importante papel de la mejora del campo electromagnético debido a la resonancia Mie y Bragg \nDifracción en la celosía de cristal fotónico. La mejora del campo electromagnético puede conducir a \nproducción de plasma láser, aceleración de electrones y producción de rayos X. \nBibliografía \n1. N.V.Tcherniega, A.D.Kudryavtseva, ArXiv Physics/ 0608150 (2006). \n2. N.V.Tcherniega, A.D.Kudryavtseva, Journal of Russian Laser Research, V.27, N 5, 400-\n409 (2006). \n3.A.A.Esakov, V.S.Gorelik, A.D.Kudryavtseva, M.V.Tareeva y N.V.Tcherniega, SPIE \nActas, V 6369, 6369 OE1 - 6369 OE12, Cristales fotónicos y Fibras de Cristal fotónico para \nSensing Applications II; Henry H. Du, Ryan Bise; Eds, (octubre de 2006). \n4.P. Bykov, J. Eksp. Teor. Fiz., 35, 269, (1972). \n5.E.Yablonovich, Phys. Rev. Lett.,58, 2059 (1987). \n6.S.John, Phys. Rev. Lett., 58, 2486, (1987). \n7.V. N. Astratov, V. N. Bogomolov, A. A. Kaplyanskii, A. V. Prokofiev, L. A. Samoilovich, S. \nSr. Samoilovich, Yu. A. Vlasov, Nuovo Cimento, D 17,1349 (1995). \n8.A. V. Baryshev, A. A. Kaplyanskii, V. A. Kosobukin, M. F. Limonov, K. B. Samsuev, \nFiz.Tverd.Tela, 45, 434 (2003), en ruso. \n9.M. Nacido en E. Wolf, Principles of Optics, Macmillan, Nueva York (1964) \n10.A. Yariv, Quantum Electronics, John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, Londres, Sudneu \n(1967). \n11.M. G. Martemyanov, D. G. Gusev, I. V. Soboleva, T. V. Dolgova, A. A. Fedyanin, O. A. \nAkstipetrov, y G. Marovsky, Laser Physics, 14, 677 (2004). \n12.A. A. Fedyanin, O. A. Aktsipetrov, D. A. Kurdyukov, V. G. Golubev, M. Inoue, \nAppl.Phys.Letters, 87, 151111 (2005). \n13.Foteinopoulou, E.N.Economou, C.M. Soukoulis, Phys.Rev.Let., 90, 107402, (2003). \n14.R. G. Zaporozhchenko, S. Ya. Kilin, A. G. Smirnov, Quantum Electronics, 30, 997 (2000), in \nRuso. \n15.W. T. M. Irvine, M. J. A. de Dood, D. Bouwmeester, Phys Rev.A 72, 043815 (2005). \n16.N. A. Gippius, S. G. Tihodeev, A. Christ, J. Kuhl, H. Giessen, Fiz. Tverd. Tela, 47, 139 \n(2005). \n17.M.H.Kuok, H.S.Lim, S.C.NG, N.N.Liu, Z.K.Wang, Phys.Rev.Let., 90, 255502, (2003). \n18. Suxia Yang, J.H.Page, Zhengiou Liu, M.L.Cowan, C.T.Chan, Ping Sheng, Phys.Rev.Let., 93 \n, 024301, (2004). \n19.Claudio Conti, Andrea Di Falco, Gaetano Assantom, Optics Express, 12, 823 (2004). \n20.G.Mie, Ann. Phys., (Berlín), 25, 377, (1908)\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Los resultados de las características espectrales, energéticas y temporales de\nse presenta radiación en presencia del efecto fotónico de la llama.\nOpalo artificial colocado en la placa de Cu a la temperatura de ebullición de nitrógeno líquido\nEl punto (77 K) irradiado por el pulso láser de rubí de nanosegundo produce\ntérmino luminiscencia con una duración de hasta diez segundos con una estructura fina\nespectro en la parte antistocks del espectro. Análogo visible\nluminiscencia manifestando el tiempo de retraso apareció en otras muestras de la\nOpalos colocados en el mismo plato. En el caso del ópalo infiltrado con\ndiferentes líquidos no lineales se reduce el umbral de la luminiscencia y\nla dispersión espacial del área de emisión brillante en la superficie del ópalo es\ncambiándose. En el caso de la colocación de los líquidos no lineales congelados en el\nLa luminiscencia azul brillante a largo plazo de la placa Cu tuvo lugar en las especies congeladas de\nlos líquidos. Las características temporales de esta luminiscencia son casi las mismas\ncomo en las matrices de ópalos.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción \n En [1-3] se encontró un nuevo efecto llamado efecto fotónico de la llama y algunas de sus propiedades fueron: \nestudiados. Este efecto está determinado por las propiedades de los cristales fotónicos. \n Los cristales fotónicos han atraído gran atención desde los primeros documentos relativos a \nestructuras [4-6]. Uno de los cristales fotónicos más importantes son los ópalos artificiales – uno mismo –\nestructuras ensambladas compuestas por esferas SiO2 organizando celosía cúbica centrada en la cara. El tamaño \nde tales esferas que varían entre 200 nm y 400 nm y define los parámetros de la cara-\nretícula cúbica centrada y el bandgap fotónico. La posibilidad de infiltración de ópalos con diferentes \nmedio da lugar a un procesamiento eficaz de las propiedades de la luz que propoga a través de la \ncristal. Los huecos en las estructuras de ópalos pueden ser llenados con semiconductores, superconductores, \nmateriales ferromagnéticos, medio fluorescente [7] y este hecho da una gran posibilidad de \nlas aplicaciones de dichas estructuras a la optoelectrónica. El estudio de las propiedades ópticas lineales de \nla brecha de banda fotónica ha sido la tarea de muchos trabajos teóricos y experimentales y todavía \nsigue siendo la tarea que debe investigarse [7,8]. La descripción teórica del campo electromagnético \ndentro de las estructuras de cristal fotónico (obtenido por método de matriz de transferencia [9] o modo acoplado) \nla teoría [10]) da una imagen clara del espectro transmitido y reflejado, electromagnético \ndistribución del campo dentro del cristal y su dependencia de los parámetros del fotónico \nestructura cristalina (valores del período, número de períodos, contraste del índice de refracción). Grandes valores de \nla localización del campo electromagnético en algunas regiones conducen a la expectativa de los fuertes \nmejora de la interacción de la materia de onda no lineal en comparación con los cristales a granel. Segundo \nEn [11,12] se investigó la generación armónica en diferentes tipos de cristales fotónicos. Apropiadamente. \nEl cristal fotónico elegido presenta refracción negativa en algunas condiciones [13]. Algunas características de \nla dispersión de Raman estimulada en la estructura fotónica unidimensional se consideraron en [14]. \nTratamiento mecánico completamente cuántico de la generación de fotones enredados en fotónico no lineal \nlos cristales en el proceso de conversión descendente se realizaron en [15]. Propiedades de la brecha de banda fotónica \nque son demostrados por cristales fotónicos están siendo utilizados activamente para la investigación de \nInteracción foton-excitón [16]. Modos acústicos excitados en bolas SiO2 que componen ópalo \ncristal fotónico muestran el efecto de la cuantificación de los modos de fonón [17] y son la razón de \ndispersión globular estimulada [3]. Características específicas de la propagación de ondas acústicas en el \nestructuras fotónicas conducen a la posibilidad de que el rayo ultrasónico divergente se enfoque en un \nmailto:tchera@mail1.lebedev.ru\npunto focal estrecho con una gran profundidad focal [18]. Oscilaciones paramétricas ópticas a través de cuatro ondas \nmezcla en cristales fotónicos isotrópicos muestra la posibilidad de un procesamiento eficaz de la frecuencia \n[19]. \n El objetivo de este trabajo es dar una breve revisión de los resultados [1-3] y estudiar el comportamiento colectivo \nde varios cristales fotónicos. Los cristales se posan en la placa Cu a la temperatura del líquido \nnitrógeno. Uno de los cristales fotónicos está iluminado por el pulso láser y la luz láser está enfocada \nen este único cristal. El fenómeno que observamos es la aparición de luminiscencia de \notros cristales fotónicos. La duración de la luminiscencia de otros cristales que son espacialmente \nseparado con el cristal iluminado por el pulso láser es del orden de los segundos. La aparición de \nla luminiscencia tiene lugar con algún tiempo de retraso, respectivamente, en el pulso láser. La forma de \nestos puntos de luz en los otros cristales y sus movimientos lentos a lo largo del cristal recuerda a un pequeño \nPunto de llama. Esto nos inspiró a dar el nombre de “llama fotónica” al efecto observado. En el caso \nde cubrir la superficie de la placa de Cu con líquido (acetona, etanol, agua) después de la PFE \nexcitación en el ópalo situado en esta placa luminiscencia azul se ve en el líquido congelado. \nLas características temporales de esta luminiscencia son el sme como para el cristal de un solo ópalo. Los \nel papel se organiza de la siguiente manera. En Sec.2 la configuración experimental, láser, los cristales fotónicos \n(opalos artificiales) utilizados en el experimento se describen. En el artículo 3, el “efecto de llama fotónica” \nse discute en el experimento. En la sección 4 las perspectivas y posibles explicaciones son: \nPresentado. \n2. Cristales fotónicos y láser utilizados en experimentos. \n Uno de los cristales fotónicos tridimensionales más prometedores es el ópalo artificial. El ópalo es un \ncristal con retícula cúbica centrada en la cara que consiste en las esferas de SiO2 empaquetadas de cerca monodisperso \ncon diámetro de unos cientos de nanómetros. Debido al contraste del índice de refracción (ratio \nnSiO2/nair) es alrededor de 1,45 el espacio completo de la banda fotónica no existe, pero el fotónico \nSe produce pseudo-gap. Las cavidades vacías entre estos glóbulos tienen octaedros y tetraedros \nforma. Es posible investigar tanto los ópalos iniciales (Matrices de ópalo) como los nanocompuestos, en los que \nlas cavidades están llenas de materiales orgánicos o inorgánicos, por ejemplo, semiconductores, \nsuperconductores, sustancias ferromagnéticas, dieléctricos, con diferentes tipos de \nFig.1. Aparición común de un cristal fotónico globular, construido con partículas esféricas (glóbulos) \nno linealidades y así sucesivamente. Vacíos de llenado del cristal fotónico con materiales diferentes \níndice de refracción se puede procesar eficazmente los parámetros del pseudogap fotónico. \n Pulso gigante láser rubí (de 694,3 nm, de 20 ns, Emax = 0,3 J, ancho espectral de la luz inicial - \n0,015 cm-1.) se ha utilizado como fuente de excitación. Emocionante luz se ha centrado en el \nmaterial por lentes con diferentes longitudes focales (50, 90 y 150 mm). Las muestras de ópalo \nlos cristales utilizados tenían el tamaño de 3x5x5mm y se cortaban en paralelo al plano (111) (véase la Fig.2). \nEl ángulo de incidencia del rayo láser en el plano (111) varió de 0 a 600. Muestra \ndistancia del sistema de enfoque y la energía de luz emocionante fueron diferentes en diferentes carreras de la \nexperimento. Esto dio la posibilidad de hacer mediciones para diferentes densidad de potencia en el \nentrada de la muestra y para una distribución de campo diferente dentro de la muestra. Cristales de ópalo \ncompuesta de las esferas de amorfosa envasadas de cerca con un diámetro de 200 nm, 230 nm, 250 nm y \nSe investigaron los nanocompuestos (cristales de ópalo con huecos llenos de acetona o etanol). \n z\n * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n [111] x\nFig.2. El esquema de iluminar la muestra. Plano XY corresponde a la superficie de la placa CU. \n3.Características de la “llama fotónica” \n Se colocaron cristales de ópalo en la placa de Cu, que se colocó en la célula con nitrógeno líquido (ver \nFig.3). El número de cristales varió de 1 a 5. La distancia (d) entre los cristales era de la \norden de varios centímetros (valor máximo de d fue de 5 centímetros y fue determinado por el \nCu tamaño de la placa). Uno de los cristales fue iluminado por el pulso láser enfocado. En el caso de la \nAlcanzó la luminiscencia visible (azul). La duración de la luminiscencia fue \nde 1 a 12 segundos y parecía una mancha inhomogénea que cambiaba su distribución espacial y \nposición en la superficie del cristal durante este tiempo. \n N2 líquido\n Ópalo\n luz emocionante\n d\n opal Cu\nFig.3. Puesta en marcha experimental. \n Los parámetros de la luminiscencia (duración, umbral) fueron determinados por la geometría \ncaracterísticas de la iluminación y el contraste del índice de refracción de la muestra. Para optimizar \ngeometría de la excitación el umbral de densidad de potencia para el cristal de ópalo fue 0,12 Gw/cm2, para \nCristales de ópalo rellenos de etanol – 0,05 Gw/cm2, para cristal de ópalo rellenos de acetona - 0,03 \nGw/cm2. Distribución temporal típica de la luminiscencia medida para la parte del cristal \nEn la Fig.4 se muestra el brillo más intenso. El mismo comportamiento es típico para todos \ncasos de luminiscencia en estas condiciones de excitación, pero el valor de la luminiscencia \nla duración fluctuó de un disparo a otro. \n a) b) \nFig.4. Distribución temporal de la luminiscencia visible. \n La duración de la luminiscencia fluctuó de 1 a 12 segundos y se demostró \nestructura oscilante. En algunos casos, la distribución temporal tuvo un máximo al principio de \nla luminiscencia en algunos casos – mínimo. Fig.4 a) y b) muestran la luminiscencia de la pureza \nmatriz opal de la casi la misma duración en las mismas condiciones geométricas y energéticas de \nexcitación cerca del umbral de excitación (0.12 Gw/cm2). El comienzo de las medidas \ncorresponde a un retraso de 0,3 s después del lanzamiento del láser (la duración del pulso del láser es de 20 ns). \n Espectro de emisión secundario observado en el efecto fotónico de la llama se ha investigado con \nla ayuda de la configuración que se muestra en la Fig.5. \n \n 12\n 11 10\n 9\n 8\n 1\n 3 4 2\n 6 7\n Fig. 5.La configuración experimental para el estudio del espectro de EPI. 1- láser rubí; 2 lentes; 3, 4, 5 – fotónico \ncristales; 7 – célula con nitrógeno líquido 6 – placa de Cu; 8 – guía de ondas de fibra; 9 – minicromador; \n10 – ordenador; 11 – cámara; 12 – ordenador. \nEspectro de la luz emitida por cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de la luz de bombeo son \nse muestra en la Fig. 6 a) y b) \n \n200 300 400 500 600 700 800 900 1000\n643I, \n, nm\n200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100\n, nm\n a b \n Fig. 6. Espectro de emisión secundario de un cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de luz láser: \na - I = 0,12 GW/cm2, b - I = 0,14 GW/cm2. \nEl espectro consistía en las líneas afiladas con longitudes de onda: 429,0, 453,0, 489.0, 555,0, 643,0 nm, \nque corresponde al rango espectral antistokes para la línea emocionante 694.3 nm. Intensidad de las líneas en \nel espectro dependía fuertemente de la intensidad de bombeo láser, que era evidencia de \ntipo estimulado de la emisión de radiación. \n En el caso de varios cristales colocados en la placa de Cu, sólo uno de ellos fue irradiado por el \nPulso láser. La luminiscencia tuvo lugar en este cristal en el caso del umbral que alcanzaba. Brillante \nbrillante de los otros cristales comenzó con algún retraso de tiempo después del lanzamiento del láser. El valor de este retraso \n(y la intensidad de la luminiscencia) fue determinada por la posición espacial de los cristales en \nel plato. El robo de la abeja de la pantalla puesta entre los cristales (con el fin de evitar la irradiación de la \ncristales por la luz dispersada por el cristal excitado por el láser) no detuvo la aparición de la \nluminiscencia si la distancia entre la placa Cu y la pantalla era superior a 0,5 mm. Los \nduración de la luminiscencia fue del orden de varios segundos y el comportamiento temporal fue como \nse muestra en la Fig.4. Las características típicas de tal distribución eran la existencia de máximo y grande \nPlato con valor casi constante de la intensidad. \n Con el fin de mostrar el papel del material de la placa utilizada repetimos estas medidas \ncon placas del mismo tamaño pero hechas de acero y quarz sobre las que se colocaron cristales de ópalo \ncomo en los experimentos anteriores. Luminiscencia del mismo tipo en el cristal irradiado tomado \nlugar, pero no se observó la luminiscencia de las otras muestras situadas en estas placas. \n El efecto también fue determinado por el ángulo de incidencia (fig.2). Para las muestras utilizadas: \nvalor del ángulo fue elegido experimentalmente para lograr el valor máximo de la \nluminiscencia (Vale la pena mencionar que este valor difería de 0 y era alrededor de 400). Más fácil la \nEl efecto se emocionó en las muestras no procesadas. En la Fig.5 se puede ver la luminiscencia del \ncristales situados a la distancia de aproximadamente 1 centímetro del cristal que fue irradiado. \n \nFig.7 Luminiscencia visible de los cristales de ópalo en el caso de la irradiación de uno de ellos (la \ncristal irradiado se puede ver por la luz roja brillante; en la imagen izquierda era el cristal en el \ncentro, en la imagen de la derecha era el cristal a la izquierda). Imagen de la izquierda corresponde a la caja \ndonde los cristales son infiltrados por la acetona. Imagen derecha corresponde al caso del ópalo \ncristales sin infiltración. \n En el caso de la gran energía láser (varias veces más el umbral) o si el cristal era \nirradiado por varios pulsos láser el ópalo puede ser destruido y las partes del cristal producen \nla luminiscencia con las propiedades espectrales y temporales descritas anteriormente (Fig.8). \nFig.8 Cristal de ópalo es destruido y 3 piezas grandes y varias piezas pequeñas están pasando a \nproducir la luminiscencia. \n Con el fin de aclarar el papel de la superficie de la placa Cu en el transporte de energía entre el \ncristales se realizó el siguiente experimento: la matriz de ópalo puro colocado en la placa de Cu fue \nirradiado por el pulso láser de rubí y demostró una fuerte luminiscencia que duraba unos segundos \ncon las propiedades descritas anteriormente (Fig.9) \nFig.9 Luminiscencia de la matriz de un único ópalo \n El siguiente paso fue cubrir la superficie de la placa de Cu con el líquido (se hicieron experimentos \ncon agua, acetón o etanol). El espesor del líquido congelado en la superficie de la placa era de aproximadamente \n1 mm. El tamaño transversal del líquido congelado era de aproximadamente 1 cm. Después de iluminar el cristal \npor el pulso láser rubí la luminiscencia del cristal aparece la luminiscencia azul brillante de \nAparecen las especies congeladas del líquido utilizado. Las características temporales de la luminiscencia en \ncristal y en el líquido congelado son aproximadamente iguales (la duración de la luminiscencia es de \nvarios segundos). La luminiscencia del líquido congelado continúa a pesar de poner la pantalla \nentre el cristal y el líquido. Muestra que la luminiscencia del líquido no es un reflejo \nde la luz que es emmitida por el cristal. Fig.10 muestra la luminiscencia del cristal y el \nlíquido congelado (en este caso era agua). Las imágenes fueron hechas con el intervalo de 1 segundo \nel uno entre el otro. El acetón y el etanol demuestran un comportamiento análogo. Los \nluminiscencia de la zona cubierta de líquido congelado se produce incluso si esta zona está a la distancia \nla explicación de la luminiscencia azul del cristal irradiado. \nlíquido congelado se puede hacer de varias maneras y para aclarar las razones de esta luminiscencia \nla apariencia es necesario producir experimentos adicionales. La intensidad del láser en el \nexperimentos es de aproximadamente 0,12 Gw/cm2, y la gran mejora de este campo debido a Mie – \nresonancia [20] simultánea con el efecto de interferencia causado por la estructura del ópalo \nmatricial puede conducir a la mejora de campo extremadamente grande que puede desempeñar un papel importante en este \nefecto. \n \n \nFig.10 Luminiscencia de la matriz de ópalos (punto redondo brillante) y líquido congelado (punto azul grande) \nen la superficie de la placa Cu. \n 4. Conclusiones. \n En este artículo informamos sobre algunas nuevas características del efecto fotónico de la llama. El principal \nlas características de la FEP son: \n- En la excitación del cristal de ópalo artificial que se coloca en la placa de Cu en el \ntemperatura del nitrógeno líquido por el pulso láser rubí del nanosegundo de largo alcance\nla luminiscencia óptica continua se produce en el caso de que el umbral del proceso sea \nAlcanzado; \n- En el caso de varios cristales de ópalo que se ponen en la placa de Cu mientras uno de ellos está siendo \nla luminiscencia visible brillante irradiada se produce en todas las muestras; \n- Se ha determinado el comportamiento temporal y los umbrales de la luminiscencia. Fotónico \ncristales infiltrados con diferentes líquidos no lineales y sin infiltración han sido \ninvestigada. Transporte investigado de la excitación entre las muestras separadas espacialmente \npor la longitud de varios centímetros da la posibilidad de las aplicaciones prácticas de \nPFE; \n- La luminiscencia azul del líquido congelado en la superficie de la placa Cu tiene lugar en la \nprecense del efecto fotónico de la llama; \n El efecto fotónico de la llama puede tener una explicación diferente. Probablemente se juega un papel esencial. \npor propiedades plasmáticas. El lento transporte de las excitaciones del cristal irradiado a otros \nLos cristales fotónicos se pueden asociar con ondas sonoras creadas debido a la interacción del pulso láser con \nla muestra. El mecanismo de excitón y las guías de ondas superficiales en la superficie de la placa Cu también pueden \ndesempeñar un papel importante. Se comprobó que el cambio de las propiedades de la superficie de la placa era \nconduce al cambio del efecto fotónico de la llama. Retirar la capa oxidada de la placa cambiada \nel umbral PFE. La luminiscencia de los líquidos congelados en la superficie de la placa de Cu muestra \nel importante papel de la mejora del campo electromagnético debido a la resonancia Mie y Bragg \nDifracción en la celosía de cristal fotónico. La mejora del campo electromagnético puede conducir a \nproducción de plasma láser, aceleración de electrones y producción de rayos X. \nBibliografía \n1. N.V.Tcherniega, A.D.Kudryavtseva, ArXiv Physics/ 0608150 (2006). \n2. N.V.Tcherniega, A.D.Kudryavtseva, Journal of Russian Laser Research, V.27, N 5, 400-\n409 (2006). \n3.A.A.Esakov, V.S.Gorelik, A.D.Kudryavtseva, M.V.Tareeva y N.V.Tcherniega, SPIE \nActas, V 6369, 6369 OE1 - 6369 OE12, Cristales fotónicos y Fibras de Cristal fotónico para \nSensing Applications II; Henry H. Du, Ryan Bise; Eds, (octubre de 2006). \n4.P. Bykov, J. Eksp. Teor. Fiz., 35, 269, (1972). \n5.E.Yablonovich, Phys. Rev. Lett.,58, 2059 (1987). \n6.S.John, Phys. Rev. Lett., 58, 2486, (1987). \n7.V. N. Astratov, V. N. Bogomolov, A. 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A\nla ley física, que relaciona las variables medidas, se extrae óptimamente de los datos experimentales por\nel estimador medio condicional. Se deriva directamente del estimador del núcleo y corresponde\na una regresión general no paramétrica. El método propuesto queda demostrado por la modelización de un\nvolver mapa de datos caóticos ruidosos. En este ejemplo, la regresión no paramétrica se utiliza para predecir\nun valor futuro de las series cronológicas caóticas del presente. El error predictor medio se utiliza en\nla definición de calidad predictora, mientras que la redundancia se expresa por la distancia cuadrada media\nentre puntos de datos. Ambas estadísticas se utilizan en una nueva definición de función de costo predictor. Desde\nel mínimo de la función de coste del predictor, se estima un número adecuado de datos en el modelo.\nNúmeros PACS: 02.50.-r,07.05.-t,05.45.-a,89.90.+n,84.35.+i,06.20.DK\n* También en Amanova, Kantetova 75, 1001, Liubliana, Eslovenia.\n†Dirección electrónica: igor.grabec@fs.uni-lj.si; URL: http://www.fs.uni-lj.si/lasin/\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0089v1\nmailto:igor.grabec@fs.uni-lj.si\nhttp://www.fs.uni-lj.si/lasin/\nI. INTRODUCCIÓN\nUna tarea básica de la descripción física de los fenómenos naturales es expresar las relaciones entre\ndatos experimentales sobre variables medidas en términos de leyes físicas [1]. Desde el corre...\nel modelado analítico sponding depende esencialmente de la intuición del explorador que realiza\n, una ambigüedad rodea esta tarea básica y, por lo tanto, se plantea la cuestión de cómo podría ser\nEvitado. Este problema adquiere una importancia práctica fundamental a la hora de desarrollar\nsistemas electrónicos flexibles para el modelado automático de leyes físicas [2]. La ambigüedad podría\nevitar que se encuentre un método objetivo único de modelización que tenga en cuenta\npropiedades comunes de las observaciones experimentales y de las transiciones a partir de datos experimentales\na modelos. El objetivo de este artículo es mostrar cómo un método de este tipo podría ser desarrollado a partir de\nprincipios básicos de probabilidad y estadísticas, así como para demostrar un ejemplo de su\naplicabilidad.\nUna propiedad común de todas las exploraciones experimentales es que cada experimento corresponde a\na un proceso que va de la preparación a la ejecución. Si queremos un experimento seleccionado\npara dar cualquier información sobre el fenómeno en observación, a continuación, el resultado de la\nel experimento no podrá determinarse de antemano, es decir, varios resultados del experimento deben\nEs posible. La siguiente propiedad común es la repetibilidad de los experimentos. En consecuencia, a\nla correcta presentación de las observaciones experimentales requiere el uso de una distribución de ex-\nlos resultados perimentales y esto debe estar relacionado con el concepto de probabilidad. La probabilidad\nla distribución es, por lo tanto, una base común para la descripción de las propiedades naturales en términos\nde datos experimentales [3], mientras que la transición de los datos experimentales a un análisis ex-\nla presión de la función de distribución de probabilidad correspondiente es el problema crucial de\nmodelar. Una solución objetiva de este problema representa el modelado estadístico de la prob-\nfunción de distribución de capacidad por un estimador de núcleo no paramétrico si el núcleo está determinado\nmediante una calibración de la configuración experimental [4, 5, 6]. Con este fin, el teorema central de\nla teoría de la probabilidad y el principio de la entropía máxima proporcionan una ruta bastante general a la\nespecificación de la función del núcleo del estimador. En este caso, un examen físico experimental\nley, que representa una relación entre variables observadas, también se puede expresar generalmente\naplicando la teoría de los estimadores estadísticos óptimos. El resultado no paramétrico de la re-\nla regresión es la media condicional (CA), que se puede extraer automáticamente de la\nfunción de densidad de probabilidad (PDF) de los datos experimentales en un sistema de medición. Los\nenfoque completo para modelar así parece objetivo, independiente de la intuición de la\nobservador y, en consecuencia, aplicable en general a la ejecución automática. Debido a estos...\npropiedades venientes, CA es ampliamente aplicable en diversos campos de las ciencias naturales y técnicas\nYa se ha propuesto una expresión no paramétrica del PDF por el estimador del núcleo\npor Parzen [7, 8], pero las debilidades de su propuesta son que la función del núcleo es arbitrariamente\nintroducido, y que hay una suposición de que su anchura debe disminuir a cero cuando el\nnúmero de datos se aumenta a infinito. Para evitar esta debilidad, especificamos el núcleo\nfunción objetivamente mediante la dispersión de la salida del sistema de medición durante la calibración\n[7, 8]. La única ambigüedad en la expresión del PDF se relaciona entonces con el número de\ndatos experimentales, que según la hipótesis de Parzen no deberían ser limitados. Desde un\nnúmero infinito de experimentos no se puede realizar, surge una pregunta fundamental:\n“Cuántos experimentos es razonable realizar para explorar el fenómeno\n¿por una configuración experimental dada?\" Intuitivamente, podemos concluir que es razonable\nrepetir experimentos durante el tiempo que aporten nueva información. Sin embargo, con un aumento\nnúmero de experimentos, los puntos de datos adquiridos se concentran cada vez más en el\nespacio de muestra y, en consecuencia, la repetición de los experimentos se vuelve redundante. Esto\nse observa cuando las distancias entre los puntos de datos se vuelven comparables a la anchura del núcleo\nfunción. Este razonamiento llevó recientemente a una especificación de una función de coste de la información C\n[4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13]. Para ello, la indeterminación de las mediciones fue la primera\nse expresa en términos de entropía de la información, que condujo a la definición de la\ninformación I y la redundancia R de los experimentos. Utilizando estas estadísticas, la información\nla función de coste se expresó por la diferencia C = R - I. Desde la posición de su mínimo,\nun número adecuado de experimentos puede entonces determinarse objetivamente [4, 5, 6].\nLa estimación de la función de coste de la información está relacionada con el cálculo de integrales, que\nes inconveniente en un caso multivariado. Por lo tanto, otra estadística, con propiedades similares\npero se busca un cálculo más simple. Puesto que se ha demostrado anteriormente que la pre-\ndictor calidad exhibe propiedades similares a la información experimental, lo utilizamos aquí\nen la definición de la función de coste predictor. Desde su mínimo, un número adecuado de\nTambién se pueden estimar los experimentos. Si esto se utiliza como un número adecuado para la adaptación de\nla regresión no paramétrica a los datos proporcionados por los experimentos, el modelado de la corre-\nsponding la ley física se puede realizar automáticamente en un sistema de adquisición de datos de la\nUna configuración experimental. Para demostrar esta posibilidad, primero describimos brevemente el nonpara-\nregresión métrica y luego recurrir a la definición de la calidad del predictor, redundancia y\nfunción de coste. Las propiedades de todas las estadísticas se demuestran posteriormente en la modelización de\nun mapa de retorno correspondiente a un proceso caótico ruidoso.\nII. FUNDAMENTALES DEL MODELO NO PARAMÉTRICO\nA. Descripción de la función del núcleo\nConsideremos un fenómeno que puede ser descrito por sólo dos variables conjuntas, ya que el\nLa generalización a un caso multivariado es directa. Un único resultado de la medición conjunta\nes representado por la pareja z = (x, y). A continuación suponemos que el fenómeno puede ser\ncaracterizado estadísticamente por la repetición de mediciones que producen puntos de muestra zn = (xn, yn)\nen el intervalo de unión de un instrumento de dos canales S\n= Sx Sy.\nDado que los instrumentos están generalmente sujetos a perturbaciones estocásticas, los resultados de\nlas mediciones están dispersas incluso durante la repetición de la calibración [9]. La dispersión puede ser\ndescrito por los datos proporcionados por una serie de calibraciones simultáneas repetidas de ambos\ncanales de instrumentos. Para este fin, tenemos que realizar una medición conjunta en un\nobjeto que representa dos unidades físicas ux y uy que denotamos juntos por la unidad conjunta\nu = (ux, uy). La dispersión de las salidas del instrumento durante la calibración se caracteriza por\nconjunto PDF (zu), que llamamos la función de dispersión (SF) [2, 4, 9]. Cuando la interacción\nentre ambos canales es insignificante, el SF es dado por el producto (zu) = (xux)(yuy).\nSin pérdida de generalidad, consideramos más adelante un caso con canales iguales que están sujetos\na perturbaciones aleatorias mutuamente independientes que no dependen de u. En tales casos,\nel teorema del límite central de la teoría de la probabilidad, así como el principio de la entropía máxima,\nSugiere que expresemos el SF de un canal particular por la función gaussiana:\ng(x− ux, ) =\n− (x− ux)\nLos parámetros ux, representan el valor medio y la desviación estándar de la señal x en la cal-\nibración y puede estimarse estadísticamente a partir de datos dados. La junta SF se determina entonces\npor el producto (z− u) = g(x− ux, \nCuando se reportan resultados experimentales, los experimentalistas más a menudo sólo especifican\nus y desviaciones estándar de las variables durante la calibración. El principio de la entropía máxima\nnos dice que, en tales casos, la función gaussiana es la mejor opción para SF [2, 9].\nB. Estimación no paramétrica del PDF correspondiente a los datos experimentales\nCuando realizamos una sola medición, obtenemos una muestra z1 = (x1, y1) que representa\nel valor medio de z durante la medición y, por lo tanto, expresamos el PDF como (z−z1) =\n* (x − x1) * (y − y1). Cuando repetimos las mediciones N veces, obtenemos un conjunto de muestras\n{zi, 1 ≤ i ≤ N}, por el cual modelamos el PDF conjunto por la media estadística:\nf(z) =\n(z- zi) (2)\nque representa el estimador del núcleo.\nPropiedades de los componentes particulares x, y se describen por los PDF marginales\nf(x), f(y). Se obtienen a partir del PDF conjunto por integración con respecto a un com-\npont, por ejemplo:\nf(x) =\nf(z)dy =\n• (x− xi). 3)\nPara modelar leyes naturales, lo más importante es el PDF condicional de la variable y en\nun valor dado de x, definido como:\nf(yx) =\n(z− zi)\n(x− xj)\nC. Estimación de una ley física\nDistribuciones de datos experimentales conjuntos, por ejemplo los que se muestran en la Fig. 1, a menudo se parecen\nuna cresta a lo largo de alguna línea hipotética yo(x), que queremos extraer de los datos dados\nde una manera óptima. Para este fin, seleccionamos de un conjunto de datos conjuntos sólo aquellos que\npertenecen a algunas x seleccionadas. Estos datos conjuntos generalmente muestran varios valores de y que nosotros\ntratar de representar por un solo valor llamado el predictor de la variable y de un valor x dado.\nConsideramos como un predictor óptimo del yo hipotético el valor yp en el que la media\nEl error de predicción cuadrada es mínimo:\nE[(yp − y)2x] = min(yp). 5)\n0 0.1\n0,2 0,3\n0,4 0,5\n0,6 0,7\n0,8 0,9\nFIG. 1: El PDF f(z) conjunto utilizado para demostrar las propiedades de la media condicional\nEstimador.\nAquí E[. . x] denota la operación del promedio estadístico en la condición dada x. El mini-\nmamá satisface la ecuación: dE[(yp − y)2x]/dyp = 0 que produce como el yp predictor óptimo\nla media condicional:\nyp(x) = E[yx] =\ny f(yx) dy (6)\nUsando Eq. (4), obtenemos para el promedio condicional la expansión:\nyp(x) =\n(x− xi, )\n*(x− xj, *)\nyiBi(x). 7)..................................................................................................................................................\nLos coeficientes de esta expansión son valores de muestra yi, mientras que las funciones de base son\nBi(x) =\n(x− xi, )\n*(x− xj, *)\n, (8)\ny cumplan las siguientes condiciones:\nBi(x) = 1, 0 ≤ Bi(x) ≤ 1. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nLas funciones de base Bi(x) pueden interpretarse como una medida normalizada de similitud entre\nel valor dado de x y su valor de muestra xi. En una x dada, el valor de la muestra ym contribuye\nmás al valor estimado yp(x) cuyo valor de muestra complementario xm es más similar a\nEl cálculo de yp(x) corresponde a un recuerdo asociativo de elementos memorizados, que\nes propiedad de una inteligencia. Por lo tanto, el estimador yp(x) podría tratarse como una base\npara el desarrollo de una inteligencia de máquina basada en el modelado de leyes naturales. Los\nmedia condicional dada en Eq. 7 de hecho corresponde a una función de base radial normalizada\nred neuronal que es equivalente a un perceptrón multicapa - el paradigma básico utilizado en\nla teoría de las redes neuronales artificiales [2, 21].\nIII. CARACTERÍSTICAS DEL MODELO\nA. Calidad de los predictores\nUn predictor mapea la variable estocástica x a una nueva variable estocástica yp que genera-\nally difiere de la variable y. Cuando las variables x, y están relacionadas por alguna hipotética\nla ley física yo(x) y el ruido de medición es pequeño, la primera y la segunda estadística mo-\nE[y − yp], E[(y − yp)2] del error de predicción también son pequeños. El segundo momento\nes: E[(y − yp)2] = Var(y) + Var(yp) − 2Cov(y, yp) + [m(y) − m(yp)]2, donde E,m,Var,Cov\nindicar la media estadística, el valor medio, la varianza y la covarianza, respectivamente. En el caso de:\nvariables estadísticamente independientes y yp con valores medios iguales, los dos últimos términos son\ncero y obtenemos: E[(y − yp)2] = Var(y) + Var(yp). Con respecto a esta relación, definimos\nla calidad del predictor relativamente por la fórmula\nQ = 1− E[(y − yp)\nVar(y) + Var(yp)\n2Cov(y, yp)\nVar(y) + Var(yp)\n− [m(y)−m(yp)]\nVar(y) + Var(yp)\nLa calidad es 1 si la predicción es exacta: yp = y, mientras que es 0 si y yp son estadísticamente\nindependiente y tienen los mismos valores medios. La calidad Q puede ser negativa si m(y) 6= m(yp).\nPara el predictor definido por el promedio condicional yp(x) =\ny f(yx) dy, nosotros analíticamente\nobtener las equivalencias: m(y) = m(yp) y Cov(y, yp) = Var(yp), que producen\n2Var(yp)\nVar(y) + Var(yp)\n. (11)\nA partir de la definición de la media condicional, sigue 0 ≤ Var(yp) ≤ Var(y) y, por lo tanto,\n0 ≤ Q ≤ 1. Esta desigualdad no necesita ser cumplida exactamente si la CA se estima estadísticamente a partir de\nun número finito de muestras.\nCon un N en aumento, generalmente esperamos que la CA estimada estadísticamente por Eq. 7)..................................................................................................................................................\nrepresenta cada vez mejor la ley física gobernante y, en consecuencia, que el corre-\nsponding predictor calidad Q en promedio aumenta a un determinado valor límite. Como se ha mencionado\nantes, un aumento ilimitado en el número de experimentos es experimentalmente imposible\ny, en consecuencia, se plantea la cuestión de cómo determinar un número adecuado de datos\nque dará una estimación juiciosa de la ley gobernante.\nB. Función de redundancia y costo predictor\nPara responder a la última pregunta, hemos analizado varios casos experimentales que han\nnos mostró que, con un número creciente de muestras experimentales, el valor del predictor\ncalidad generalmente se estabiliza cuando la distancia entre los puntos de datos se hace similar a la\nanchura de la función de dispersión. Por lo tanto, no es razonable superar significativamente\nel número correspondiente de datos. Esto se puede lograr si una proporción de\nse considera la medida de la distancia entre los puntos de datos vecinos. Con este fin, nosotros\nintroducir el valor medio de la distancia cuadrada mínima entre los puntos de datos................................................................................................................................................\nE[min{(xi−xj)2+(yi−yj)2)}; i = 1.... N, j = 1... N, ], y definir una medida de redundancia\nde datos por la variable relativa:\nR = 2N\nDado que el 2 se compone de dos términos que denotan las contribuciones de los componentes x e y, a\nel factor 2 se utiliza en el nominador. La fracción 2o2/o2 representa un aumento medio de\nredundancia que se asigna a la adquisición de un nuevo punto de datos. Con el fin de tener en cuenta\nadquisición de cuentas de puntos de datos N, factor N se utiliza más. Con respecto a esto, nosotros\nintroducir la función de coste predictor por la suma:\nC = R−Q+ 1\nE[(y − yp)2]\nVar(y) + Var(yp)\n. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nLa constante 1 se inserta en la primera fila para obtener una expresión más simple\nen la segunda fila de Eq. 13. Del mismo modo que la definición del coste de la información\nfunción dada en [5, 6], la función de coste se expresa aquí en una forma relativa compuesta\nde dos términos: el primero corresponde a la redundancia de experimentos por inexactitud\nmediciones mientras que la segunda representa la influencia de la adquisición de información sobre\nel fenómeno por medio de experimentos. Con un número creciente de muestras N, la redundancia\nen promedio aumenta mientras que el segundo plazo disminuye con el error decreciente. Por lo tanto,\nla función de coste C muestra un mínimo en algún No que representa un número adecuado de datos\nnecesaria para la modelización de la ley física que rige el fenómeno explorado. Sin embargo,\nla influencia del primer término se convierte en predominante cuando la distancia entre los puntos de datos\nse vuelve esencialmente más pequeño que el ancho de la función de dispersión.\nIV. EJEMPLO\nPara demostrar las propiedades del estimador de CA, utilizamos los datos generados por un\nmapa de retorno caótico corrupcionado por ruido con el espolón Sx = (0, 1). Este ejemplo se usa porque\ncasos similares aparecen a menudo en el análisis de series temporales caóticas [2, 14]. El problema básico\nen tal análisis es extraer el mapa de retorno de un registro dado de series temporales que\nestá influenciado por el ruido aditivo de origen instrumental. En nuestro caso, aplicamos analíticamente\ndatos determinados para establecer una comparación entre el material físico original y el extraído\ny hacer posible una reproducción objetiva del método completo. Lo básico\nla ley que rige se da aquí por el mapa logístico:\nχn+1 = 3,8xn(1- χn), (14)\nmientras que el valor inicial χ1 es arbitrario seleccionado a partir del intervalo (0, 1) utilizando un\nator. Para los valores de las series caóticas generadas, el ruido gaussiano / de valor medio cero y\nSe añade la desviación estándar = 0,1 para simular un ruido aditivo de medición. El iter-\nsolución ativa de Eq. 14 entonces produce una serie de valores caóticos dañados ruido: xn = χn + νn.\nLa figura 2 muestra dos registros de una serie de este tipo que se utilizaron en el modelado y ensayo de la\nmétodo propuesto.\nDe la serie {xn ;n = 1...}, se obtienen las muestras conjuntas de las variables básicas x, y\ntratando el valor sucesivo de xn como la variable dependiente: yn = xn+1. El generador\nDe este modo, la norma describe analíticamente los datos:\nxn = χn + νn\nyn = xn+1, (15)\nmientras que la ley que rige es dada por yo = 3.8 x(1−x). Los puntos de muestra {xn, yn ; n = 1...N}\nse distribuyen a lo largo de la parábola correspondiente en el espacio de muestra. De acuerdo con nuestro\ntratamiento previo, la desviación estándar corresponde a la anchura del instrumento\nfunción scattering. El PDF de la articulación se muestra en la Fig. 1 es determinado por el estimador del núcleo\n0 5 10 15 20 25 30\nFIG. 2: Registros de lo básico – (X), y la prueba – (Xt) el ruido corrompió las series caóticas.\n0 0,2 0,4 0,6 0,8 1\nENSAYO DE CA PREDICTOR\nFIG. 3: Pruebas del predictor de CA. Los gráficos representan la ley que rige yo y los datos básicos y –\n(últimos dos: · · · ; ∗ ∗ )*), prueba y datos predichos yp – (segundos medios: + + + ;\nerror Er = yp − yt – (abajo: ). Las dos parábolas superiores se desplazan sucesivamente por 0,35\nen la dirección vertical para una mejor visualización.\nEq. (2) utilizando 200 datos, mientras que un conjunto reducido de 30 datos se utiliza también para demostrar\nlas propiedades del estimador medio condicional. Los datos obtenidos del caos puro\nel generador son mostrados por yo · â € en la parábola superior de la Fig. 3, mientras que el ruido básico corrugado\nlos datos y* se muestran por puntos dispersos alrededor de puntos de datos puros.\nEl estimador medio condicional se obtiene insertando datos de los datos básicos\n0 5 10 15 20 25 30\nERROR DE PREDICTOR SQUARE\nFIG. 4: Error medio de predicción cuadrada E[(y − yp)2] en función del número de datos N.\nen Eq. (7). Para demostrar su rendimiento, además generamos con diferentes\nsemillas de generadores aleatorios un conjunto de Nt = 60 datos de ensayo {xt,i,yt,i}. Basado en datos xt,i de\neste conjunto, los valores correspondientes de yp,i son predichos por el estimador de CA. El ensayo y\nLos datos predichos se muestran en la Fig. 3 por el medio dos conjuntos de puntos (+ + + y â â € € €.\nEl error de predicción Er = yp − yt, calculado a partir de ambos conjuntos de datos, se presenta por\nen la parte inferior de la Fig. 3. Diferencias relativamente pequeñas entre los puntos predichos y los puntos de ensayo\nindican que las propiedades de la ley que rige yo(x) son adecuadamente modeladas por la CA\nEstimador. Para confirmar esta conclusión cualitativa, a continuación analizamos las propiedades de las estadísticas\nE[(ye − yt)2], Q, Ł2, R, C dependiendo del número de datos N utilizados en el modelado. Los\nnúmero de datos de ensayo se mantiene constante Nt = 60 durante el cálculo de estas estadísticas. Propiedades\ndel modelo estadístico de la ley rectora depende de conjuntos de muestras utilizadas en el modelado\ny pruebas. Para demostrar esta dependencia, repetimos el modelado y pruebas tres\ntiempos utilizando varios conjuntos de muestras estadísticas.\nEl error medio del predictor cuadrado E[(y − yp)2] se presenta en la Fig. 4 frente al número de\nmuestras N. Su valor varía estadísticamente pero, en promedio, disminuye con el aumento\nnúmero N. Las fluctuaciones estadísticas son mayores a pequeña N y dependen significativamente de las muestras\nutilizado en el modelado. Sin embargo, con el aumento de N, las fluctuaciones estadísticas son cada vez menores\npronunciado. Si el número de muestras de ensayo Nt es mucho mayor que el número de muestras N,\ncambiar el conjunto de muestras de ensayo no influye significativamente en las propiedades de\nestadísticas, que es el caso en nuestra demostración. Esta es la razón por la que usamos el valor\n0 5 10 15 20 25 30\nCALIDAD DEL PREDICTOR\nFIG. 5: Calidad predictor Q en función del número de datos N.\nNt = 60.\nLa calidad del predictor Q, determinada a partir del error de predicción, se presenta en la Fig. 5\nen comparación con el número de muestras N. Para cada conjunto de datos las fluctuaciones estadísticas disminuyen con\naumentar N para que las cualidades calculadas a partir de diferentes conjuntos de datos converjan al mismo límite\nvalor. Con el aumento de N, las curvas determinadas a partir de diferentes conjuntos de datos\nmately en N+11. La calidad está allí â ¬ 0,97 y sube a â ¬ 0,98 en N = 30. En N+11,\nla diferencia entre las curvas obtenidas de diferentes conjuntos de datos es de aproximadamente dos órdenes\nde magnitud menor que la calidad correspondiente. Con respecto a estas propiedades, nosotros\npodría conjeturar que en el presente caso unos 11 valores de datos ya proporcionan un juicio\nmodelización de la ley de gobierno yo(x) por el predictor de CA.\nPara confirmar nuestra última conjetura, nos dirigimos a la determinación de la función de costo predictor.\nPara este propósito, primero analicemos las propiedades de la distancia cuadrada media entre los datos\npuntos 2 y siguientes. El gráfico correspondiente, mostrado en la Fig. 6, indica que el 2 es bastante monótonamente\nDisminución con el número de muestras con la dependencia aproximada de â € 1/N.\nEn consecuencia, la redundancia correspondiente R está aumentando con N similarmente como N2.\nEsta conclusión está confirmada por el gráfico de la Fig. 7.\nSiguiendo la definición dada por Eq. 13, obtenemos del error estimado y el\nredundancia de la función de coste predictor C mostrada en la Fig. 8. Su mínimo no es muy favorable.\nAnunciado. De varios conjuntos de datos estadísticos, obtenemos las estimaciones del valor mínimo\nCo = 0,033±0,006. El número correspondiente no = 10±2 confirma nuestra conjetura anterior\n0 5 10 15 20 25 30\nMSD ENTRE PUNTOS DE DATOS\nFIG. 6: Media de la distancia cuadrada entre los puntos de datos فارسى2 en función del número de datos N.\n0 5 10 15 20 25 30\nRESPONSABILIDAD\nFIG. 7: Redundancia R en función del número de datos N.\na partir del análisis de la calidad del predictor.\nCon un número creciente de muestras N, la calidad Q(N) del predictor de CA muestra\nuna convergencia a algún valor límite Q.o que caracteriza la calidad máxima hipotética de\npropuesta de modelización estadística no paramétrica. Este valor límite aumenta generalmente con el\nDisminución de la anchura de dispersión . En relación con esto, el valor mínimo de la función de coste es dimin-\nished y se lleva a cabo en un No más grande ; por ejemplo en = 0,005 obtenemos Co = 0,018 ± 0,003\ny no = 14± 3. No obstante, el valor límite de la calidad de Q° es inferior a 1 si se trata de\nfinito. Esto significa que no es posible determinar exactamente el derecho físico que rige\n0 5 10 15 20 25 30\nFUNCIÓN DE LOS GASTOS DEL PREDICTOR\nFIG. 8: Función de coste predictor C en función del número de datos N.\ny = yo(x) de los datos articulares obtenidos por un instrumento influenciado por alteraciones estocásticas.\nV. DEBATE\nNuestro método de estimación de leyes naturales a partir de datos dados puede ser simplemente generalizado a\ncasos multivariables sustituyendo los vectores correspondientes para las variables x, y. Semejante modelización\nya se ha aplicado en una variedad de ejemplos derivados de la física [15], técnica\n[2, 16], económico [2, 16] y ambientes médicos [2, 17, 18]. Particularmente en el ámbito económico\nambientes médicos, fenómenos se caracterizan a menudo por muchas variables que podrían\nser informativo o perturbador. Debido a la complejidad de estos casos, por lo general hay\nexiste poca o ninguna información sobre una posible función que podría describir el gobierno\nley. En relación con esto, los investigadores se enfrentan al problema de cómo definir la complejidad\ny reducirlo mediante la extracción de variables informativas de un conjunto dado [19]. Junto a la mutua\ninformación, la calidad del predictor también podría aplicarse para este fin. Por ejemplo, tiene\nrecientemente demostrado en el campo de la medicina cómo un análisis de la calidad predictor puede proporcionar\npara un ordenamiento de variables y la extracción de un conjunto que produce un predictor óptimo de\nel proceso de curación de la enfermedad [17, 18]. Este análisis hace posible seguir avanzando hacia la consecución de los objetivos de desarrollo del Milenio.\nlos orígenes de la enfermedad tratada.\nEl valor del número adecuado No, tal como se define por el mínimo de función de coste predictor,\npodría interpretarse como una medida de la complejidad de un modelo predictor adecuado. Lo es.\nimportante que esta medida depende sólo de la exactitud de la observación y las propiedades de\nel fenómeno representado por datos experimentales dados.\nEn relación con el ejemplo demostrado aquí, surge una conclusión importante\nsobre la descripción de los fenómenos naturales por las leyes físicas en la forma y = yo(x). As\nmientras se considere que una ley de este tipo es la única base para la descripción del fenómeno,\nno es suficiente para una descripción completa, ya que no se proporciona información sobre la\npropiedades del espacio de muestreo de los datos conjuntos. Consideremos un ejemplo bien conocido: la ley\nm = V que relaciona la masa m, el volumen V y la densidad de un objeto. Esto\nla ley no incluye la restricción m ≥ 0, y en este aspecto no está completa. Similar,\npero mucho más complejo, se encuentran ejemplos al tratar fenómenos caóticos y su\nAtractores extraños [14]. Por ejemplo, la ley que se aplica aquí es un caso especial de la ley\nχn+1 = aχn(1 − χn), con un ser constante. Dependiendo del valor de a y el\nvalor inicial χ1, la serie n ;n = 1...} muestra valores grandes del parámetro n →\n• un espacio de muestra discreto o continuo. Por otra parte, en el caso continuo, el\nespacio de muestra puede estar compuesto de intervalos desconectados que difícilmente podrían predecirse\nanalíticamente. Similar, pero aún más engorrosa, es la situación si consideramos caótica\nprocesos con parámetros continuos. En consecuencia, aparece una ley gobernante y = yo(x)\nincompleta para la descripción del fenómeno. La deficiencia más sobresaliente es que\nno incluye información sobre la estructura del espacio de muestra correspondiente al\nfenómeno observado. Esta deficiencia no aparece si consideramos como base para modelar\nla función de densidad de probabilidad y estimarla no paramétricamente, directamente a partir de medidas\ndatos conjuntos. La extracción de una ley que describe una relación entre variables puede entonces ser\ngeneralmente se realiza utilizando el estimador medio condicional. Sin embargo, las aplicaciones de\nleyes paramétricas simples, como m = V, son de enorme importancia para las ciencias analíticas\ny no esperamos que los modelos no paramétricos propuestos puedan sustituirlos,\naunque son convenientes para aplicaciones directas. En consecuencia, se plantea la cuestión de:\ncómo encontrar un vínculo unívoco entre ambos paradigmas de modelado.\nVI. CONCLUSIONES\nNuestro enfoque indica que el estimador de núcleo introducido objetivamente proporciona un\nmodelización estadística no paramétrica de un fenómeno explorado cuantitativamente. Desde que no\nse requiere información previa sobre la forma de la ley física que rige, el modelo\npuede ser realizado automáticamente por un ordenador en un sistema de medición. La propuesta\nfunción de coste predictor C permite estimar el número adecuado No de datos necesarios para\nel modelado. Propiedades de la función de costo predictor se asemejan a las del costo de la información\nfunción [5, 6], pero su estimación es mucho más simple. Las propiedades de la extracción\nmodelo de la ley rectora puede ser descrito cuantitativamente por la calidad predictor Q y\nredundancia R de los datos de los que se extrae la ley aplicable. Esta ley representa\nla distribución de la variable y a un valor x dado por un único valor predicho yp(x).\nTal representación comprimida corresponde generalmente a la creación de información sobre\nel fenómeno explorado [5, 6]. Esto contrasta con la pérdida de información causada por\nAlteraciones estocásticas en los canales de transmisión de señal [20]. Si la extracción de información\nde las observaciones se considera como una base de la inteligencia natural [21, 22], a continuación, un sistema\nque puedan estimar una ley física a partir de datos medidos de forma autónoma deben ser tratados como\nuna unidad inteligente. Esta interpretación proporciona una base común para un tratamiento unificado\nde las ciencias experimentales y de la inteligencia natural o artificial [2, 21, 22].\nAgradecimientos\nEste trabajo contó con el apoyo del Ministerio de Educación Superior, Ciencia y Tecnología\nde la República de Eslovenia y de la UE – COST.\n[1] R. Feynman, El carácter del derecho físico (The MIT Press,Cambridge, MA, 1994).\n[2] I. Grabec y W. Sachse, Synergetics of Measurement, Prediction and Control (Springer-\nVerlag, Berlín, 1997).\n[3] R. E. Collins, Found. Física 35, 734 (2005).\n[4] I. Grabec, Eur. Phys. J. B 22, 129 (2001).\n[5] I. Grabec, Eur. Phys. J. B 48, 279 (2005), (DOI: 10.1140/epjb/e2005-00391-0).\n[6] I. Grabec, arXiv:cs.IT/0612027 v1 5, (2006).\n[7] E. Parzen, Ann. Matemáticas. Stat. 35, 1065 (1962).\n[8] R. O. Duda y P. E. Hart, Clasificación de Patrones y Análisis de Escenas (J. Wiley e Hijos,\nNueva York, 1973), Ch. 4.\n[9] J. C. G. Lesurf, Information and Measurement (Institute of Physics Publishing, Bristol, 2002).\n[10] J. Risanen, Complejidad, Entropía y Física de la Información (Addison-Wesley, 1990), ed.\nW. H. Zurek, 117-125.\n[11] J. Rissanen, IEEE Trans. Inf. Teoría 42, 40 (1996).\n[12] T. M. Cover y J. A. Thomas, Elementos de la Teoría de la Información (John Wiley & Sons, Nuevo\nYork, 1991).\n[13] A. N. Kolmogorov, IRE Trans. Inf. Teoría IT-2, 102 (1956).\n[14] F. C. Moon, Chaotic and Fractal Dynamics (John Wiley & Sons, INC. Nueva York, 1992).\n[15] S. Mandelj, I. Grabec y E. Govekar, Int. J. Bifurcación y Caos 11, 2731 (2001).\n[16] M. Thaler, I. Grabec y A. Poredoš, Physica A 35, 46 (2005).\n[17] I. Grabec y D. Grošelj, Comput. Métodos en Biomech. Biomed. Engin. 6, 319 (2003)\n[18] I. Grabec, I. Ferkolj y D. Grošelj, Proc. de la 2a Conferencia Internacional sobre\nInteligencia en Medicina y Salud, Lisboa, (CIMED-2005 Proceedings, ISBN: 0-86341-\n520-2,IEE, 2005), ed. J. M. Fonseca, 311-316\n[19] C. H. Bennett, Complejidad, Entropía y Física de la Información (Addison-Wesley, 1990),\ned. W. H. Zurek, 137-148.\n[20] C. E. Shannon y W. Weaver, La Teoría Matemática de la Comunicación (Univ. de Illinois\nPress, Urbana, 1949).\n[21] S. Haykin, Neural Networks, Una Fundación Integral (Mcmillan College Publishing)\nCompany, Nueva York, 1994)\n[22] D. J. C. MacKay Teoría de la Información, Inferencia y Algoritmos de Aprendizaje (Cambridge Uni-\nversity Press, Cambridge, Reino Unido, 2003)\nhttp://arxiv.org/abs/cs/0612027\n\tIntroducción\n\t Fundamentos del modelado no paramétrico\n\tDescripción de la función del núcleo\n\t Estimación no paramétrica de PDF correspondiente a datos experimentales\n\tEstimación de una ley física\n\t Características del modelo\n\t Calidad del predictor\n\t Función de redundancia y costo predictor\n\t Ejemplo\n\t Discusión\n\t Conclusiones\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" El modelo estadístico de las leyes físicas experimentales se basa en el\nfunción de densidad de probabilidad de las variables medidas. Se expresa por:\ndatos experimentales a través de un estimador del núcleo. 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Desde el mínimo de la\nfunción de coste predictor, se estima un número adecuado de datos en el modelo.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\n\t Fundamentos del modelado no paramétrico\n\tDescripción de la función del núcleo\n\t Estimación no paramétrica de PDF correspondiente a datos experimentales\n\tEstimación de una ley física\n\t Características del modelo\n\t Calidad del predictor\n\t Función de redundancia y costo predictor\n\t Ejemplo\n\t Discusión\n\t Conclusiones\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":83,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.009,"string":"704.009"},"title":{"kind":"string","value":"Real Options for Project Schedules (ROPS)"},"full_text":{"kind":"string","value":"ASA_0.1.ps\nOpciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\nLester Ingber\nInvestigación Lester Ingber\nAshland Oregon\ningber@ingber.com, ingber@alumni.caltech.edu\nhttp://www.ingber.com/\nResumen\nLas opciones reales para los planes de proyectos (ROPS) tienen tres conchas recursivas de muestreo/optimización. Un exterior\nOptimiza los parámetros de los Planes Estratégicos de Optimización de Analización Simulada Adaptativa (ASA)\nque contiene varios proyectos que contienen tareas ordenadas. Distribución de probabilidad de las muestras de capa intermedia\nde las duraciones de las tareas. Un caparazón interior muestra distribuciones de probabilidad de costos de tareas. PATHTREE es\nutilizado para desarrollar opciones en los horarios. Los algoritmos utilizados para operar en dimensiones de riesgo (TRD) son:\naplicada para desarrollar un análisis de riesgo relativo entre los proyectos.\nPALABRAS CLAVE: opciones; recocido simulado; gestión de riesgos; cópula; no lineal; estadística\n† L. Ingber, “Real Options for Project Schedules (ROPS)”, Report 2007:ROPS, Lester Ingber Research,\nAshland, OR, 2007. URL http://www.ingber.com/markets07_rops.pdf.\n$Id: markets07_rops,v 1.22 2007/04/01 14:32:24 ingber Exp ingber $\nLester Ingber - 2 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n1. Introducción\nEste documento es una breve descripción de una metodología de opciones de desarrollo (en el sentido de opciones financieras,\npor ejemplo, con todos los griegos), que se aplicará en colaboración con Michael Bowman, como primer ejemplo para\nprogramando un proyecto masivo del Ejército de EE.UU., Future Combat Systems (FCS) [1].\nEl objetivo principal es desarrollar opciones reales para proyectos no financieros, como se ha señalado en otros anteriores.\ndocumentos [3,4,12]. Los datos y algunas orientaciones sobre su uso han sido comunicados en un estudio previo de FCS [2,5].\nSe ha hecho hincapié en la necesidad de contar con instrumentos para programar y fijar los precios de un proyecto tan complejo como éste.\nRecomendaciones para la adopción de medidas ejecutivas en un informe de la Oficina General de Contabilidad de los Estados Unidos (GAO) sobre\nFCS [14], y también hacen hincapié en la necesidad de gestión de los planes de negocio de FCS [13].\n2. Objetivos\nA giv en Plan resultados en S(t), el dinero asignado por el cliente/gobierno se define en términos de Proyectos\nSi(t),\nS(t) =\nSi(t)\ndonde ai(t) puede ser algunas restricciones programadas. PATHTREE procesa un árbol de probabilidad desarrollado sobre\nla vida del plan T, dividido en N nodos a veces {tn}, cada uno con la longitud media de la época dt [11]. Opciones\nincluyendo a todos los griegos, familiarizados con los mercados financieros, se calculan para medios no lineales bastante arbitrarios y\nvarianzas del ruido multiplicativo [6,9]. Esta capacidad de procesar funciones no lineales en probabilidad\nlas distribuciones son esenciales para las aplicaciones del mundo real.\nCada tarea tiene una gama de duraciones, con Ai no cero, con un desembolso de fondos utilizados, definiendo Si(tn).\nCualquier tarea dependiente de una tarea completa es esclavizada a sus precursores.\nDesarrollamos la densidad de probabilidad condicional del Plan (CPD) en términos de costos diferenciados, dS,\nP(S ± dS; tn + dt S; tn)\nP es modelado/casado/adaptado a la forma funcional\nP(S ± dS; tn + dt S; tn) = (2η g\n2 exp(−Ldt)\n(dS − fdt)2\n(2g2dt2)\ndonde f y g son función no lineal de costo S y tiempo t. La función de varianza g2 absorbe el múltiple\nCoste de la tarea y programación de los spreads estadísticos, para determinar P(dS, t), dando lugar a la naturaleza estocástica de\ndólares gastados en el Plan.\nUn giv en Project i con Task k tiene una duración media iik, con un coste medio Sik. La difusión en dS tiene dos\ncomponentes que surgen de: (1) una duración estocástica alrededor de la duración media, y (2) una propagación estocástica\nde dólares medios alrededor de un desembolso determinista en un momento dado. Diferentes asimétricas de ancho finito\nlas distribuciones se utilizan para duraciones y costes. Por ejemplo, la distribución creada para Adaptive\nSimulated Annealing (ASA) [8], originalmente llamado Very Fast Simulated Re-annealing [7], es un anaranjado finito\ndistribución con forma determinada por un parámetro “temperatura” q. Para cada estado (ya sea duración o\ncoste): (a) Una elección binaria aleatoria puede ser mayor o menor que la media, utilizando cualquier relación de\nprobabilidades seleccionadas por el cliente. (b) A continuación, se utiliza una distribución ASA en el lado elegido. Cada lado\ntiene un q diferente, cada uno cayendo de la media. Esto se ilustra y se describe más adelante en la Fig. 1.\nAl final del árbol en un momento T (T también puede ser un parámetro), hay un costo total en cada nodo S(T ),\nllamó a una “huelga” final en el lenguaje financiero. (Una huelga final también puede aparecer en cualquier nodo antes de T debido a\ncancelación del proyecto utilizando un tipo particular de alternativa de horario.) Trabajando hacia atrás, opciones\nse calculan en el momento t0. Los griegos (derivados funcionales de la opción) evalúan la sensibilidad a las diversas\nvariables, por ejemplo, como las discutidas en documentos anteriores [12], pero aquí entregamos números precisos basados en\nla mayor cantidad de información del mundo real disponible.\nLester Ingber - 3 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n-1 -0,5 0 0,5 1\nAAS (q = 0,1)\n1/(2 * (abs(y) + q) * log(1 + 1/q))\nFig. 1. La distribución ASA se puede utilizar para desarrollar distribuciones asimétricas de rango finito\na partir de la cual se puede elegir un valor para un determinado estado de duración o coste. a) Un binario aleatorio\nla distribución se selecciona para una media inferior o superior a la media, utilizando cualquier relación de probabilidades\nseleccionado por el cliente. Cada lado de la media tiene su propia temperatura q. Aquí un ASA distri-\nbutión se da para q = 0,1. El rango se puede escalar a cualquier intervalo finito y la media\ncolocado dentro de este rango. b) Una distribución aleatoria uniforme selecciona un valor de [-1,1], y\nun valor ASA normalizado se lee para el estado dado.\n3. Datos\nLos siguientes datos se utilizan para elaborar el Plan CPD. Cada tarea que tengo\na) un costo asignado previsto, Ci\nb) un calendario previsto, Ti\nc) un documento del programa del país con una anchura estadística de los fondos gastados, SWSi\nd) una distribución con una anchura estadística de duración, SWTi\ne) una gama de duraciones, RTi\nf) una serie de costes, RSI\nEs necesario prever las suposiciones de los expertos para las letras c) a f) del prototipo de estudio.\nA giv en Plan debe ser construido entre todas las tareas, especificando el orden de las tareas, por ejemplo, obedeciendo a cualquier\nLimitaciones secuenciales entre las tareas.\n4. Tres conchas recursivas\n4.1. Concha exterior\nPuede haber varios parámetros en el Proyecto, por ejemplo, como coeficientes de variables en medios y varianzas de\notro departamento de policía. Estos están optimizados en una carcasa exterior utilizando ASA [8]. Este producto final, incluido\nLos estados MULTI_MIN devueltos por ASA, dan al cliente flexibilidad para aplicar durante un proyecto completo [12]. Nosotros\npuede desear minimizar el costo / T, o (CostOverrun - CostInitial) / T, etc.\nLester Ingber - 4 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n4.2. Concha intermedia\nPara obtener el Plan CPD, un caparazón medio de los estados de Monte Carlo (MC) se generan a partir de recursivo\ncálculos. Una Weibull o alguna otra distribución finita asimétrica puede ser utilizada para duraciones de tareas.\nPara un estado de giv en el medio externo, un estado de MC tiene duraciones y desembolsos medios de costes definidos para\ncada una de las tareas.\n4.3. Concha interior\nEn cada momento, para cada tarea, el costo diferenciado ((Sik(t + dt) − Sik(t)) se somete a una cáscara interna\nvariación estocástica, por ejemplo, alguna distribución finita asimétrica. Los costes netos dSik(t) de cada proyecto i y\nLa tarea k se añade para definir dS(t) para el Plan. El costo interno de la cáscara CPD se vuelve a aplicar muchas veces para obtener un\nconjunto de {dS} en cada momento.\n5. Opciones reales\n5.1. Opciones del plan\nUna vez completado el muestreo MC externo, se generan histogramas de dS(t) del Plan y\ndS(t)/S(t − dt) en cada momento t. Los histogramas se normalizan en cada momento para dar P(dS, t). En cada momento\nt, los datos que representan P son “curve-fit” a la forma de Eq. (0), donde f y g son funciones necesarias para obtener\nbuen ajuste, por ejemplo, coeficientes de ajuste de los parámetros {x}\nf = x f 0 + x f 1S + x f 2S\n2 +..................................................................................................\ng = xg0 + xg1S + xg2S\n2 +..................................................................................................\nEn cada momento t, las funciones f y g se ajustan a la función ln((P(dS, t)), que incluye el prefactor\nque contiene g y la función L que puede ser visto como un padé aproximado de estos polinomios.\nLimitaciones complejas como funciones de Sik(t) pueden incorporarse fácilmente en este enfoque, por ejemplo, debido a la regularidad\nexámenes realizados por agencias de financiación o ejecutivos. Estos P son entrada en PATHTREE para calcular las opciones para un\nuna estrategia o un plan dados.\n5.2. Gestión de riesgos de las opciones de proyectos\nSi se desea una cierta medida de riesgo entre los proyectos, entonces durante los cálculos de MC desarrollados para el top-\nplan de nivel, conjuntos de costos diferenciados para cada proyecto, dSi(t) y dSi(t)/Si(t − dt), almacenados de cada uno de los\nTareas del proyecto. A continuación, se desarrollan histogramas y proyectos CPD, similares al desarrollo de la\nPlan CPD. Se aplica un análisis de cópulas, codificado en TRD para la gestión de riesgos de los mercados financieros.\ndesarrollar un análisis de riesgo relativo entre estos proyectos [10]. En ese análisis, los CPD marginales del proyecto\ntodos se transforman en espacios gaussianos, donde tiene sentido calcular covarianzas y correlaciones.\nUn rastro de auditoría de los espacios originales del Proyecto permite analizar el riesgo dependiente de las colas del Proyecto\nDepartamentos de policía.\n6. Aplicaciones genéricas\nROPS se puede aplicar a cualquier programación compleja de tareas similares al proyecto FCS. La necesidad de\nLos organismos gubernamentales encargados de planificar y supervisar esos proyectos de gran envergadura son cada vez más difíciles y\nnecesario [15]. Muchas grandes empresas tienen proyectos similares y requisitos similares para gestionar su\nproyectos complejos.\nLester Ingber - 5 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\nBibliografía\n[1] M. Bowman y L. Ingber, “Opciones reales para los futuros sistemas de combate del ejército estadounidense”, informe\n2007:ROFCS, Lester Ingber Research, Ashland, OR, 2007.\n[2] G.G. Brown, R.T. Grose y R.A. Koyak, ‘Estimando el costo total del programa a largo plazo,\ntecnología, proyecto de alto riesgo con duraciones de tareas y costes que pueden aumentar con el tiempo,’ Militar\nInvestigación de Operaciones 11, 41-62 (2006). [URL\nhttp://www.nps.navy.mil/orfacpag/resumePages/papers/Brownpa/Estimating_total_\nprograma_cost.pdf]\n[3] T.E. Copeland y P.T. Keenan, ‘Hacer reales las opciones’, McKinsey Quarterly 128-141 (1998).\n[URL http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK98_3.pdf]\n[4] G. Glaros, “Real options for defense”, Tr ansformation Trends June, 1-11 (2003). [URL\nhttp://www.oft.osd.mil/library/library_files/trends_205_transforma-\ntion_trends_9_june%202003_issue.pdf]\n[5] R. Grose, ««Programación de proyectos con limitaciones de costes con duración de las tareas y costes que pueden aumentar\ncon el tiempo: Demostrado con los futuros sistemas de combate del Ejército de los Estados Unidos’, Tesis, Posgrado Naval\nEscuela, Monterey, CA, 2004. [URL http://www.stormingmedia.us/75/7594/A759424.html]\n[6] J.C. Hull, Opciones, Futuros y Otros Derivados, 4a Edición (Prentice Hall, Upper Saddle River,\nNJ, 2000).\n[7] L. Ingber, «Renanalización simulada muy rápida», Mathl. Comput. Modelado 12, 967-973 (1989).\n[URL http://www.ingber.com/asa89_vfsr.pdf]\n[8] L. Ingber, «Adaptive Simulated Annealing (ASA),» Código C de optimización global, Alumnos de Caltech\nAsociación, Pasadena, CA, 1993. [URL http://www.ingber.com/#ASA-CODE]\n[9] L. Ingber, «Mecánica estadística de las carteras de opciones», Informe 2002:SMPO, Lester Ingber\nInvestigación, Chicago, IL, 2002. [URL http://www.ingber.com/markets02_portfolio.pdf]\n[10] L. Ingber, «Trading in Risk Dimensions (TRD),» Report 2005:TRD, Lester Ingber Research,\nAshland, OR, 2005.\n[11] L. Ingber, C. Chen, R.P. Mondescu, D. Muzzall, y M. Renedo, ‘‘algoritmo de árbol de probabilidad para\nprocesos de difusión general,’ Phys. Rev. E 64, 056702-056707 (2001). [URL\nhttp://www.ingber.com/path01_pathtree.pdf]\n[12] K.J. Leslie y M.P. Michaels, ‘El verdadero poder de las opciones reales’, McKinsey Quarterly 4-22 (1997).\n[http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK97_3.pdf]\n[13] Oficina General de Contabilidad, ‘“Los riesgos futuros del sistema de combate subrayan la importancia de\nInforme GAO-07-672T, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-\nbin/getrpt?GAO-07-672T]\n[14] Oficina General de Contabilidad, ‘Decisiones clave que deben tomarse sobre el futuro sistema de combate’, informe\nGAO-07-376, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-\nbin/getrpt?GAO-07-376]\n[15] B. Wysocki, Jr, ‘¿Es el gobierno estadounidense ‘Externalizar su cerebro’?’, Wall Street Journal 30 de marzo, 1\n(2007).\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS) tiene tres recursivo\nConchas de muestreo/optimización. Un revestimiento exterior adaptativo simulado (ASA)\nshell optimiza los parámetros de los planes estratégicos que contienen múltiples\nProyectos que contienen tareas ordenadas. Una probabilidad de las muestras intermedias de la cáscara\ndistribuciones de duraciones de tareas. Una probabilidad de las muestras interiores de la cáscara\ndistribución de los costes de las tareas. PATHTREE se utiliza para desarrollar opciones sobre\nlos algoritmos utilizados para el trading en las dimensiones de riesgo (TRD) se aplican a\ndesarrollar un análisis de riesgo relativo entre los proyectos.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEste documento es una breve descripción de una metodología de opciones de desarrollo (en el sentido de opciones financieras,\npor ejemplo, con todos los griegos), que se aplicará en colaboración con Michael Bowman, como primer ejemplo para\nprogramando un proyecto masivo del Ejército de EE.UU., Future Combat Systems (FCS) [1].\nEl objetivo principal es desarrollar opciones reales para proyectos no financieros, como se ha señalado en otros anteriores.\ndocumentos [3,4,12]. Los datos y algunas orientaciones sobre su uso han sido comunicados en un estudio previo de FCS [2,5].\nSe ha hecho hincapié en la necesidad de contar con instrumentos para programar y fijar los precios de un proyecto tan complejo como éste.\nRecomendaciones para la adopción de medidas ejecutivas en un informe de la Oficina General de Contabilidad de los Estados Unidos (GAO) sobre\nFCS [14], y también hacen hincapié en la necesidad de gestión de los planes de negocio de FCS [13].\n2. Objetivos\nA giv en Plan resultados en S(t), el dinero asignado por el cliente/gobierno se define en términos de Proyectos\nSi(t),\nS(t) =\nSi(t)\ndonde ai(t) puede ser algunas restricciones programadas. PATHTREE procesa un árbol de probabilidad desarrollado sobre\nla vida del plan T, dividido en N nodos a veces {tn}, cada uno con la longitud media de la época dt [11]. Opciones\nincluyendo a todos los griegos, familiarizados con los mercados financieros, se calculan para medios no lineales bastante arbitrarios y\nvarianzas del ruido multiplicativo [6,9]. Esta capacidad de procesar funciones no lineales en probabilidad\nlas distribuciones son esenciales para las aplicaciones del mundo real.\nCada tarea tiene una gama de duraciones, con Ai no cero, con un desembolso de fondos utilizados, definiendo Si(tn).\nCualquier tarea dependiente de una tarea completa es esclavizada a sus precursores.\nDesarrollamos la densidad de probabilidad condicional del Plan (CPD) en términos de costos diferenciados, dS,\nP(S ± dS; tn + dt S; tn)\nP es modelado/casado/adaptado a la forma funcional\nP(S ± dS; tn + dt S; tn) = (2η g\n2 exp(−Ldt)\n(dS − fdt)2\n(2g2dt2)\ndonde f y g son función no lineal de costo S y tiempo t. La función de varianza g2 absorbe el múltiple\nCoste de la tarea y programación de los spreads estadísticos, para determinar P(dS, t), dando lugar a la naturaleza estocástica de\ndólares gastados en el Plan.\nUn giv en Project i con Task k tiene una duración media iik, con un coste medio Sik. La difusión en dS tiene dos\ncomponentes que surgen de: (1) una duración estocástica alrededor de la duración media, y (2) una propagación estocástica\nde dólares medios alrededor de un desembolso determinista en un momento dado. Diferentes asimétricas de ancho finito\nlas distribuciones se utilizan para duraciones y costes. Por ejemplo, la distribución creada para Adaptive\nSimulated Annealing (ASA) [8], originalmente llamado Very Fast Simulated Re-annealing [7], es un anaranjado finito\ndistribución con forma determinada por un parámetro “temperatura” q. Para cada estado (ya sea duración o\ncoste): (a) Una elección binaria aleatoria puede ser mayor o menor que la media, utilizando cualquier relación de\nprobabilidades seleccionadas por el cliente. (b) A continuación, se utiliza una distribución ASA en el lado elegido. Cada lado\ntiene un q diferente, cada uno cayendo de la media. Esto se ilustra y se describe más adelante en la Fig. 1.\nAl final del árbol en un momento T (T también puede ser un parámetro), hay un costo total en cada nodo S(T ),\nllamó a una “huelga” final en el lenguaje financiero. (Una huelga final también puede aparecer en cualquier nodo antes de T debido a\ncancelación del proyecto utilizando un tipo particular de alternativa de horario.) Trabajando hacia atrás, opciones\nse calculan en el momento t0. Los griegos (derivados funcionales de la opción) evalúan la sensibilidad a las diversas\nvariables, por ejemplo, como las discutidas en documentos anteriores [12], pero aquí entregamos números precisos basados en\nla mayor cantidad de información del mundo real disponible.\nLester Ingber - 3 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n-1 -0,5 0 0,5 1\nAAS (q = 0,1)\n1/(2 * (abs(y) + q) * log(1 + 1/q))\nFig. 1. La distribución ASA se puede utilizar para desarrollar distribuciones asimétricas de rango finito\na partir de la cual se puede elegir un valor para un determinado estado de duración o coste. a) Un binario aleatorio\nla distribución se selecciona para una media inferior o superior a la media, utilizando cualquier relación de probabilidades\nseleccionado por el cliente. Cada lado de la media tiene su propia temperatura q. Aquí un ASA distri-\nbutión se da para q = 0,1. El rango se puede escalar a cualquier intervalo finito y la media\ncolocado dentro de este rango. b) Una distribución aleatoria uniforme selecciona un valor de [-1,1], y\nun valor ASA normalizado se lee para el estado dado.\n3. Datos\nLos siguientes datos se utilizan para elaborar el Plan CPD. Cada tarea que tengo\na) un costo asignado previsto, Ci\nb) un calendario previsto, Ti\nc) un documento del programa del país con una anchura estadística de los fondos gastados, SWSi\nd) una distribución con una anchura estadística de duración, SWTi\ne) una gama de duraciones, RTi\nf) una serie de costes, RSI\nEs necesario prever las suposiciones de los expertos para las letras c) a f) del prototipo de estudio.\nA giv en Plan debe ser construido entre todas las tareas, especificando el orden de las tareas, por ejemplo, obedeciendo a cualquier\nLimitaciones secuenciales entre las tareas.\n4. Tres conchas recursivas\n4.1. Concha exterior\nPuede haber varios parámetros en el Proyecto, por ejemplo, como coeficientes de variables en medios y varianzas de\notro departamento de policía. Estos están optimizados en una carcasa exterior utilizando ASA [8]. Este producto final, incluido\nLos estados MULTI_MIN devueltos por ASA, dan al cliente flexibilidad para aplicar durante un proyecto completo [12]. Nosotros\npuede desear minimizar el costo / T, o (CostOverrun - CostInitial) / T, etc.\nLester Ingber - 4 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\n4.2. Concha intermedia\nPara obtener el Plan CPD, un caparazón medio de los estados de Monte Carlo (MC) se generan a partir de recursivo\ncálculos. Una Weibull o alguna otra distribución finita asimétrica puede ser utilizada para duraciones de tareas.\nPara un estado de giv en el medio externo, un estado de MC tiene duraciones y desembolsos medios de costes definidos para\ncada una de las tareas.\n4.3. Concha interior\nEn cada momento, para cada tarea, el costo diferenciado ((Sik(t + dt) − Sik(t)) se somete a una cáscara interna\nvariación estocástica, por ejemplo, alguna distribución finita asimétrica. Los costes netos dSik(t) de cada proyecto i y\nLa tarea k se añade para definir dS(t) para el Plan. El costo interno de la cáscara CPD se vuelve a aplicar muchas veces para obtener un\nconjunto de {dS} en cada momento.\n5. Opciones reales\n5.1. Opciones del plan\nUna vez completado el muestreo MC externo, se generan histogramas de dS(t) del Plan y\ndS(t)/S(t − dt) en cada momento t. Los histogramas se normalizan en cada momento para dar P(dS, t). En cada momento\nt, los datos que representan P son “curve-fit” a la forma de Eq. (0), donde f y g son funciones necesarias para obtener\nbuen ajuste, por ejemplo, coeficientes de ajuste de los parámetros {x}\nf = x f 0 + x f 1S + x f 2S\n2 +..................................................................................................\ng = xg0 + xg1S + xg2S\n2 +..................................................................................................\nEn cada momento t, las funciones f y g se ajustan a la función ln((P(dS, t)), que incluye el prefactor\nque contiene g y la función L que puede ser visto como un padé aproximado de estos polinomios.\nLimitaciones complejas como funciones de Sik(t) pueden incorporarse fácilmente en este enfoque, por ejemplo, debido a la regularidad\nexámenes realizados por agencias de financiación o ejecutivos. Estos P son entrada en PATHTREE para calcular las opciones para un\nuna estrategia o un plan dados.\n5.2. Gestión de riesgos de las opciones de proyectos\nSi se desea una cierta medida de riesgo entre los proyectos, entonces durante los cálculos de MC desarrollados para el top-\nplan de nivel, conjuntos de costos diferenciados para cada proyecto, dSi(t) y dSi(t)/Si(t − dt), almacenados de cada uno de los\nTareas del proyecto. A continuación, se desarrollan histogramas y proyectos CPD, similares al desarrollo de la\nPlan CPD. Se aplica un análisis de cópulas, codificado en TRD para la gestión de riesgos de los mercados financieros.\ndesarrollar un análisis de riesgo relativo entre estos proyectos [10]. En ese análisis, los CPD marginales del proyecto\ntodos se transforman en espacios gaussianos, donde tiene sentido calcular covarianzas y correlaciones.\nUn rastro de auditoría de los espacios originales del Proyecto permite analizar el riesgo dependiente de las colas del Proyecto\nDepartamentos de policía.\n6. Aplicaciones genéricas\nROPS se puede aplicar a cualquier programación compleja de tareas similares al proyecto FCS. La necesidad de\nLos organismos gubernamentales encargados de planificar y supervisar esos proyectos de gran envergadura son cada vez más difíciles y\nnecesario [15]. Muchas grandes empresas tienen proyectos similares y requisitos similares para gestionar su\nproyectos complejos.\nLester Ingber - 5 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)\nBibliografía\n[1] M. Bowman y L. Ingber, “Opciones reales para los futuros sistemas de combate del ejército estadounidense”, informe\n2007:ROFCS, Lester Ingber Research, Ashland, OR, 2007.\n[2] G.G. Brown, R.T. Grose y R.A. Koyak, ‘Estimando el costo total del programa a largo plazo,\ntecnología, proyecto de alto riesgo con duraciones de tareas y costes que pueden aumentar con el tiempo,’ Militar\nInvestigación de Operaciones 11, 41-62 (2006). [URL\nhttp://www.nps.navy.mil/orfacpag/resumePages/papers/Brownpa/Estimating_total_\nprograma_cost.pdf]\n[3] T.E. Copeland y P.T. Keenan, ‘Hacer reales las opciones’, McKinsey Quarterly 128-141 (1998).\n[URL http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK98_3.pdf]\n[4] G. Glaros, “Real options for defense”, Tr ansformation Trends June, 1-11 (2003). [URL\nhttp://www.oft.osd.mil/library/library_files/trends_205_transforma-\ntion_trends_9_june%202003_issue.pdf]\n[5] R. Grose, ««Programación de proyectos con limitaciones de costes con duración de las tareas y costes que pueden aumentar\ncon el tiempo: Demostrado con los futuros sistemas de combate del Ejército de los Estados Unidos’, Tesis, Posgrado Naval\nEscuela, Monterey, CA, 2004. [URL http://www.stormingmedia.us/75/7594/A759424.html]\n[6] J.C. Hull, Opciones, Futuros y Otros Derivados, 4a Edición (Prentice Hall, Upper Saddle River,\nNJ, 2000).\n[7] L. Ingber, «Renanalización simulada muy rápida», Mathl. Comput. Modelado 12, 967-973 (1989).\n[URL http://www.ingber.com/asa89_vfsr.pdf]\n[8] L. Ingber, «Adaptive Simulated Annealing (ASA),» Código C de optimización global, Alumnos de Caltech\nAsociación, Pasadena, CA, 1993. [URL http://www.ingber.com/#ASA-CODE]\n[9] L. Ingber, «Mecánica estadística de las carteras de opciones», Informe 2002:SMPO, Lester Ingber\nInvestigación, Chicago, IL, 2002. [URL http://www.ingber.com/markets02_portfolio.pdf]\n[10] L. Ingber, «Trading in Risk Dimensions (TRD),» Report 2005:TRD, Lester Ingber Research,\nAshland, OR, 2005.\n[11] L. Ingber, C. Chen, R.P. Mondescu, D. Muzzall, y M. Renedo, ‘‘algoritmo de árbol de probabilidad para\nprocesos de difusión general,’ Phys. Rev. E 64, 056702-056707 (2001). [URL\nhttp://www.ingber.com/path01_pathtree.pdf]\n[12] K.J. Leslie y M.P. Michaels, ‘El verdadero poder de las opciones reales’, McKinsey Quarterly 4-22 (1997).\n[http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK97_3.pdf]\n[13] Oficina General de Contabilidad, ‘“Los riesgos futuros del sistema de combate subrayan la importancia de\nInforme GAO-07-672T, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-\nbin/getrpt?GAO-07-672T]\n[14] Oficina General de Contabilidad, ‘Decisiones clave que deben tomarse sobre el futuro sistema de combate’, informe\nGAO-07-376, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-\nbin/getrpt?GAO-07-376]\n[15] B. Wysocki, Jr, ‘¿Es el gobierno estadounidense ‘Externalizar su cerebro’?’, Wall Street Journal 30 de marzo, 1\n(2007).\n"}}},{"rowIdx":84,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0091,"string":"704.0091"},"title":{"kind":"string","value":"Groups with finitely many conjugacy classes and their automorphisms"},"full_text":{"kind":"string","value":"GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN Y\nSUS AUTOMÓRFICOS\nASHOT MINASYAN\nResumen. Combinamos métodos clásicos de teoría de grupos combinatoria con\nla teoría de la pequeña cancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos para construir\ngrupos sin torsión finitamente generados que tienen sólo finitamente muchas clases de\nconjugar elementos. Por otra parte, presentamos varios resultados relativos a la integración\nnes en estos grupos.\nComo otra aplicación de estas técnicas, demostramos que cada cuenta\ngrupo C se puede realizar como un grupo de automorfismos externos de un grupo N,\ndonde N es un grupo finitamente generado que tiene la propiedad de Kazhdan (T) y\nque contiene exactamente dos clases de conjugación.\n1. Introducción\nEmpezaremos con\nDefinición. Supongamos que n ≥ 2 es un entero. Diremos que un grupo M tiene el\npropiedad (nCC) si hay exactamente n clases de conjugación de elementos en M.\nTenga en cuenta que un grupo M tiene (2CC) si y sólo si hay dos elementos no triviales\nconjugado en M. Para dos elementos x, y de algún grupo G, escribiremos x\n• y si x\ny y son conjugados en G, y x\nY si no lo son.\nPara un grupo G, denote por η(G) el conjunto de todos los órdenes finitos de elementos de G. A\nEl teorema clásico de G. Higman, B. Neumann y H. Neumann ([8]) afirma que\ncada grupo contable G puede ser incrustado en un contable (pero infinitamente gen-\ngrupo M, en el que se conjugan dos elementos del mismo orden y\nη(M) = η(G).\nPara cualquier entero n ≥ 2, tome G = Z/2n−2Z e incruste G en un grupo contable\nM según el teorema de arriba. A continuación, tarjeta(l(M)) = tarjeta(l(G)) = n − 1.\nPuesto que, además, M siempre contendrá un elemento de orden infinito, el teorema\nde Higman-Neumann-Neumann implica que G ha (nCC).\nOtra forma de construir grupos infinitos con muchas clases de conjugación finitamente\nfue sugerido por S. Ivanov [15, Thm. 41,2], que mostró para cada lo suficientemente grande\nprime p hay un infinito 2-generado groupMp de exponente p poseyendo exactamente p\nclases de conjugación. El groupMp se construye como un límite directo de la palabra hiperbólica\ngrupos, y, como se indica en [21], es imposible obtener un grupo infinito con (2CC)\nde la misma manera.\nEn el reciente artículo [21] D. Osin desarrolló una teoría de la pequeña cancelación sobre\ngrupos relativamente hiperbólicos y lo utilizaron para obtener el siguiente resultado notable:\n2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 20F65, 20E45, 20F28.\nPalabras y frases clave. Clases de Conjugación, Grupos Relativamente Hiperbólicos, Auto-\nGrupos de phism.\nEste trabajo contó con el apoyo de la Fundación Nacional Suiza para la Ciencia, Subvención #PP002-68627.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0091v2\n2 ASHOT MINASYAN\nTeorema 1.1 ([21], Thm. 1.1). Cualquier grupo contable G puede ser incrustado en un\nGrupo M 2-generado de tal manera que cualesquiera dos elementos del mismo orden son conjugados\nEn M y en M η(M) = η(G).\nAplicando este teorema al grupo G = Z/2n−2Z uno puede mostrar que para cada uno\nnúmero entero n ≥ 2 existe un grupo de 2 generaciones con (nCC). Y cuando n = 2 nos\nObtener un grupo libre de torsión 2 generados que tiene exactamente dos clases de conjugación.\nLa presencia de elementos de orden finito en las construcciones anteriores fue impor-\ntant, porque si dos elementos tienen órdenes diferentes, nunca pueden ser conjugados.\nPor lo tanto, naturalmente, uno puede preguntar lo siguiente\nPregunta 1. ¿Existen grupos libres de torsión (generados finalmente) con (nCC),\npara cualquier entero n ≥ 3?\nTenga en cuenta que si G es el grupo generado finitamente con (2CC) construido por Osin,\nentonces la potencia directa m-th Gm de G es también un grupo sin torsión finitamente generado\nque satisface (2mCC). Pero ¿qué pasa si queremos lograr un grupo libre de torsión con\n(3CC)? Con este propósito se podría llegar a\nPregunta 2. Supongamos que G es un grupo libre de torsión contable y x, y G son\nno conjugar. ¿Es posible incrustar G en un groupM, que tiene (3CC), de modo que\nx e y permanecer sin conjugar en M?\nDesafortunadamente, la respuesta a la pregunta 2 es negativa como el siguiente ejemplo:\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEjemplo 1. Considere el grupo\n(1.1) G1 = a, t tat\n−1 = a−1\nque es isomórfico al producto semidirecto no trivial Z Z. Tenga en cuenta que G1 es\nsin torsión, y t no se conjuga a t−1 en G1 porque t t\n−1 en el infinito\ngrupo cíclico â € € TM que es canónicamente isomórfico al cociente de G1 por el normal\ncierre de una. Sin embargo, si G1 está integrado en un grupo M (3CC), es fácil de ver\nque cada elemento de M se conjugará a su inversa (de hecho, si y M \\ {1}\ny y\ny−1 entonces y\n# A-1, para algunos # # # 1, # 1 #, por lo tanto y #\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ncontradicción). En particular, t\n• t−1.\nSe puede dar un análogo del ejemplo anterior para cada n ≥ 3 – ver Sección 3. Esto\nejemplo muestra que, para obtener un resultado positivo, uno tendría que fortalecer\nlas suposiciones de la pregunta 2.\nDeja que G sea un grupo. Se dice que dos elementos x, y G son commensurables si hay\nexisten k, l • Z \\ {0} de tal manera que xk es conjugado a yl. Usaremos la notación x\nsi x e y son commensurables en G. En el caso de que x no es commensurable con\nY escribiremos x\n6o y. Observar que la conmensurabilidad, así como la conjugación, define\nuna relación de equivalencia sobre el conjunto de elementos de G. Es algo sorprendente que\nsi se sustituyen las palabras “no-conjugar” por las palabras “no-commensurable” en\nPregunta 2, la respuesta se vuelve positiva:\nCorollary 1.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n + N, n ≥ 2,\ny x1,. .................................................................. Entonces existe un\nel grupo M y un homomorfismo inyector : G→M tal que\n1. M es libre de torsión y se genera por dos elementos;\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 3\n2. M ha (nCC);\n3. M es 2-boundedly simple;\n4. los elementos فارسى(x1),. ....(xn−1) son no commensurables por pares en M.\nRecordemos que se dice que un grupo G es k-boundedly simple si para cualquier x, y G \\ {1}\nexisten l ≤ k y g1,. ..., gl • G de tal manera que x = g1yg\n1 · · · glyg\nl en G. Un grupo\nse llama limitedly simple si es k-boundedly simple para algunos k N. Evidentemente\ncada grupo limitadamente simple es simple; lo contrario no es cierto en general. Por\nejemplo, el grupo de alternancia infinita A...........................................................................................................................................................................................................................................................\nporque la conjugación preserva el tipo de descomposición de una permutación en\nun producto de ciclos. Los primeros ejemplos de sin torsión finitamente generada delimitadamente\ngrupos simples fueron construidos por A. Muranov (véase [12, Thm. 2], [13, Thm. 1]).\nEl corolario 1.2 es una consecuencia inmediata de un teorema más general 3.5 que\nse demostrará en la sección 3.\nAplicando el corolario 1.2 al grupo G = F (x1,. .., xn−1), que es libre en el\nset {x1,. .., xn−1}, y sus elementos no comparables x1,. .., xn−1, obtenemos un\nRespuesta positiva a la pregunta 1:\nCorollary 1.3. Para cada entero n ≥ 3 existe un 2-boundedly libre de torsión\ngrupo simple satisfactorio (nCC) y generado por dos elementos.\n(En el caso de que n = 2 la declaración anterior fue obtenida por Osin en [21,\nCor. 1.3].) De hecho, para cualquier grupo H (generado finalmente) libre de torsión podemos establecer\nG = H ∗ F (x1,. .., xn−1), y luego utilizar el corolario 1.2 para incrustar G en un grupo M\ndisfrutar de las propiedades 1 - 4 de su reclamación. Puesto que hay un continuum de par\nGrupos libres de torsión no isomórficos ([4]), y un grupo generado finitamente\npuede contener como máximo muchos de los diferentes subgrupos de 2 generaciones, esto muestra\nque debe haber continuamente muchos grupos no isomórficos por pares satisfactorios\npropiedades 1− 3 del corolario 1.2.\nRecuerde que el rango de rango (G) de un grupo G es el número mínimo de elementos re-\ndemanda para generar G. En la Sección 4 mostramos cómo la teoría clásica de las extensiones HNN\npermite construir diferentes incrustaciones en grupos (infinitamente generados) que tienen\nfinitamente muchas clases de elementos conjugados, y en la Sección 5 utilizamos los resultados de Osin\n(de [21]) con respecto a los cocientes de grupos relativamente hiperbólicos para demostrar\nTeorema 1.4. Que H sea un grupo contable libre de torsión y que M H sea un no-\nsubgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un sin torsión\ngrupo Q, que posee un subgrupo normal N Q, tal que\n• Q = H ·N y H •N =M (de ahí Q/N = H/M);\n• N tiene (2CC);\n• x, y Q \\ {1}, x\nSi y sólo si (x)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nes el homomorfismo natural;\n• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.\nEste teorema implica que si Q/N = H/M tiene exactamente (n− 1) clases de conjugación\n(por ejemplo, si es finito), entonces el grupo Q tendrá (nCC) y no será simple\n(si n ≥ 3). Por lo tanto, se puede utilizar para construir grupos (nCC) de una manera recursiva.\nTambién permite obtener incrustaciones de grupos libres de torsión contables en (nCC)-\ngrupos, que no pudimos conseguir usando el corolario 1.2. Por ejemplo, como vimos en\nEjemplo 1, el grupo fundamental de la botella Klein G1, dado por (1.1), no puede\nestar incrustado en un grupo M (3CC) de modo que t\nt−1. Sin embargo, con 4 conjugaciones\n4 ASHOT MINASYAN\nclases esto ya es posible: ver corolario 5.5 en la sección 5. La idea es como\na continuación: el grupo G1 puede ser mapeado en Z/3Z de tal manera que las imágenes de\nlos elementos t y t−1 son distintos. Que M sea el núcleo de este homomorfismo.\nUno puede aplicar el Teorema 1.4 al par (G1,M) para obtener la incrustación requerida\nde G1 en un grupo Q. Y como Z/3Z tiene exactamente 3 clases de conjugación, el grupo\nQ tendrá (4CC).\nUna aplicación de Teorema 1.4 al caso cuando H = Z y M = 2ZH también\nproporciona una respuesta afirmativa a una pregunta de A. Izosov de [9, Q. 11,42], preguntando\nsi existe un grupo Q libre de torsión (3CC) que contenga un subgrupo normal\nN del índice 2.\nEl objetivo de la segunda parte de este artículo es mostrar que cada grupo contable\npuede ser realizado como un grupo de automorfismos externos de algunos finitamente generados (2CC)-\ngrupo. Este problema tiene algunos antecedentes históricos: en [11] T. Matumoto demostró\nque cada grupo es un grupo de automorfismos externos de algún grupo (en contraste,\nhay grupos, por ejemplo, Z, que no son grupos de automorfismo completo de ningún grupo); M.\nDroste, M. Giraudet, R. Göbel ([7]) demostraron que para cada grupo C existe\nun grupo simple S tal que Out(S) = C; I. Bumagina y D. Sabio en [3] probó\nque cada grupo contable C es isomórfico a Out(N) donde N es un 2-generado\nsubgrupo de un grupo contable C′(1/6), y si, además, C se presenta finitamente\nentonces uno puede elegir N para ser residualmente finito.\nEn la Sección 6 establecemos algunas declaraciones útiles sobre los caminos en el Cayley\ngráfico de un grupo relativamente hiperbólico G, y aplicarlos en la sección 7 para obtener\npequeños cocientes de cancelación de G que cumplen ciertas condiciones. Por último, en la sección\n8 probamos lo siguiente:\nTeorema 1.5. Que C sea un grupo contable arbitrario. Entonces por cada no-elemen-\nSin torsión tardía palabra hiperbólica grupo F1 existe un grupo libre de torsión N sat-\nisfiting las siguientes propiedades:\n• N es un cociente de F1 de 2 generaciones;\n• N tiene (2CC);\n• Fuera (N) = C.\nLa principal diferencia entre este teorema y el resultado de [3] es que\nEl grupo N está libre de torsión y es simple. Por otra parte, si se aplica Teorema 1.5 a la\ncaso cuando F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión con la propiedad de Kazhdan (T) (y\nrecuerda que cada cociente de un grupo con la propiedad (T) también tiene (T)), uno conseguirá\nCorollary 1.6. Para cualquier grupo contable C hay un grupo N de 2 generaciones tales\nque N tiene (2CC) y la propiedad de Kazhdan (T), y Out(N) C.\nLa razón por la propiedad de Kazhdan (T) es interesante en este contexto es el\npregunta de [6, p. 134] que preguntó si existen grupos que satisfagan\npropiedad (T) y tienen infinitos grupos de automorfismo externo (puede ser motivado\npor un teorema de F. Paulin [22] que afirma que el grupo de automorfismo exterior es\nfinito para cualquier grupo hiperbólico palabra con la propiedad (T)). Respuestas positivas a esto\nla pregunta fue obtenida (utilizando diferentes métodos) por Y. Ollivier y D. Wise [14],\nY. de Cornulier [5], e I. Belegradek y D. Osin [2]. Corollary 1.6 no sólo\nmuestra que el grupo de automorfismos externos de un grupo N con la propiedad (T)\npuede ser infinito, pero también demuestra que no hay ninguna restricción en\nFuera (N).\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 5\nAgradecimientos. El autor desea agradecer a D. Osin su fructífera labor.\nGolpes y estímulos.\n2. Grupos relativamente hiperbólicos\nSupongamos que G es un grupo, {H es una colección fija de subgrupos de G (llamado\nsubgrupos periféricos), y X es un subconjunto de G. El subconjunto X se llama\ngenerar el conjunto de G con respecto a {H si G es generado por X \nH/23370/. In\neste caso G un cociente del producto libre\nF = (H/23370/) ∗ F (X ),\ndonde F (X ) es el grupo libre con base X. Dejar R ser un subconjunto de F tal que el\nnúcleo del epimorfismo natural F → G es el cierre normal de R en el grupo\nF ; entonces diremos que G tiene una presentación relativa\n(2.1) X, H R = 1, R + R®.\nSi los conjuntos X y R son finitos, se dice que la presentación relativa (2.1) es finita.\nConjunto H =\n(H/23370/ \\ {1}). Se dice que una presentación relativa finita (2.1) satisface un\ndesigualdad isoperimétrica relativa lineal si existe C > 0 tal que, por cada palabra\nw en el alfabeto X â € ¢ H (por conveniencia, vamos a asumir aún más que X−1 = X )\nrepresenta la identidad en el grupo G, uno tiene\nf−1i R\ni fi,\ncon igualdad en el grupo F, donde Ri-R, fi-F, para i = 1,................................................................................................................................................................................................................................................... \ndonde la palabra \"w\" es la longitud de la palabra \"w\".\nLa siguiente definición se debe a Osin (véase [20]:\nDefinición. el grupo G se llama hiperbólico relativo a (la\nsubgrupos) {H, si G admite una presentación relativa finita (2.1) satisfaciendo un\ndesigualdad isoperimétrica relativa lineal.\nEsta definición es independiente de la elección del conjunto de generación finita X y\nel conjunto finito R en (2.1) (véase [20]). También quisiéramos señalar que, en general,\nno requiere que el grupo G se genere finitamente, lo que será importante en\nEste periódico. La definición implica inmediatamente los siguientes hechos básicos:\nObservación 2.1 ([20]). a) Que {H sea una familia arbitraria de grupos. Entonces el\nproducto libre G = H♥ será hiperbólico relativo a {H.\n(b) Cualquier palabra grupo hiperbólico (en el sentido de Gromov) es relativo hiperbólico\na la familia 1o, donde {1} denota el subgrupo trivial.\nRecuerde que un grupo H se llama elemental si tiene un subgrupo cíclico de finito\níndice. Más adelante en esta sección asumiremos que G es un grupo no elemental\nhiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H.\nUn elemento g G se dice que es parabólico si se conjuga a un elemento de H\npara un poco de \"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\" De lo contrario g se dice que es hiperbólico. Dado un subgrupo S ≤ G,\ndenotar por S0 el conjunto de todos los elementos hiperbólicos de S de orden infinito.\nLemma 2.2 ([17], Thm. 4.3, Cor. 1.7). Por cada g de G0 las siguientes condiciones:\nEspera.\n6 ASHOT MINASYAN\n1) El elemento g está contenido en un subgrupo elemental máximo único EG(g)\nde G, donde\n2.2) EG(g) = {f) G : fg\nnf−1 = g±n para algunos n+N}.\n2) El grupo G es hiperbólico en relación con la colección {H {EG(g)}.\nRecordemos que un subgrupo no trivial H ≤ G se llama no normal si por cada g\nG \\H, H • gHg−1 = {1}. El siguiente lema es un caso especial de Teorema 1.4 de\n[20]:\nLemma 2.3. Para cualquiera de los siguientes tipos de productos, la intersección de los productos de la sección H y de los productos de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y de la sección G de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y la sección G de la sección G de la sección H y la sección G de la sección G de la sección G de la sección G de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección\n−1 es\nfinito. En caso de que se produzca un cambio de dirección en la dirección de la dirección del vehículo, la dirección del vehículo deberá indicarse en la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo y en la dirección de la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo.\n−1 es finito. In\nEn particular, si G está libre de torsión, entonces He es anormal (siempre que He 6 = {1}).\nLemma 2.4 ([20], Thm. 2.40). Supongamos que un grupo G es relativo hiperbólico\na una colección de subgrupos {H {S1,. .., Sm}, donde S1,. .., Sm son palabra\nhiperbólico (en el sentido ordinario no-relativo). Entonces G es hiperbólico relativo a\n{H.\nLemma 2.5 ([19], Cor. 1.4). Let G ser un grupo que es hiperbólico relativo a un\nrecogida de subgrupos {H {K}. Supongamos que K se genera finitamente y\nHay un monomorfismo α : K → H v para algunos ν. Luego la extensión HNN\nG, t txt−1 = α(x), x â € € € TM es hiperbólico con respecto a {H.\nEn [21] Osin introdujo la siguiente noción: un subgrupo S ≤ G es adecuado si\nexisten dos elementos g1, g2 + S\n0 tales que g1\n6-g2 y EG(g1)-EG(g2) = {1}.\nPara cualquier S ≤ G con S0 6 = \n2.3 EG(S) =\nEG(g)\nque es obviamente un subgrupo de G normalizado por S. Tenga en cuenta que EG(S) = {1} si la\nEl subgrupo S es adecuado en G. Como se muestra en [1, Lemma 3.3], si S no es elemental\ny S0 6= فارسى entonces EG(S) es el subgrupo finito máximo único de G normalizado por\nLemma 2.6. Dejar {H ser una familia de grupos y dejar que F sea una torsión libre de no-\npalabra elemental grupo hiperbólico. Entonces el producto libre G = (H♥) * F es\nhiperbólico relativo a {H y F es un subgrupo adecuado de G.\nPrueba. De hecho, G es hiperbólico relativo a {H por Observación 2.1 y Lemma\n2.4. Dado que F no es elemental, hay elementos de orden infinito x, y F tales\nque x\n(véase, por ejemplo, [16, Lemma 3.2]). Evidentemente, x e y son hiperbólicos\nelementos de G que no son comparables entre sí, y los subgrupos\nEG(x) = FE (x) ≤ F, EG(y) = FE (y) ≤ F son cíclicos (como subgrupos elementales de una\ngrupo libre de torsión). Por lo tanto EG(x) • EG(y) = {1}, y por lo tanto F es adecuado en G.\nLemma 2.7 ([21], Lemma 2.3). Supongamos que G es un grupo hiperbólico relativo a un\nfamilia de subgrupos {H y S ≤ G es un subgrupo adecuado. Entonces uno puede encontrar\ninfinitamente muchos elementos no commensurables (en G) g1, g2, · · · S\n0 de los cuales:\nque EG(gi) • EG(gj) = {1} para todos los i 6= j.\nEl siguiente teorema fue probado por Osin en [21] utilizando la teoría de la pequeña\ncancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos, y representa nuestra herramienta principal para\nla obtención de nuevos cocientes de estos grupos con una serie de propiedades prescritas:\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 7\nTeorema 2.8 ([21], Thm. 2.4). Dejar G ser un grupo sin torsión hiperbólico relativo a\nuna colección de subgrupos {H, dejar que S sea un subgrupo adecuado de G, y dejar que T, U\nser subconjuntos finitos arbitrarios de G. Entonces existe un grupo G1 y un epimorfismo\nη : G→ G1 tales que:\ni) La restricción de η a\nU es inyector, y el grupo G1 es hy-\nperbólica relativa a la colección (H♥);\n(ii) por cada T, tenemos η(t) η(S);\niii) η(S) es un subgrupo adecuado de G1;\niv) El G1 está exento de torsión;\n(v) el núcleo ker(η) de η es generado (como subgrupo normal de G) por un finito\ncolección de elementos pertenecientes a T · S.\nHemos cambiado ligeramente la formulación original del teorema anterior de\n[21], exigiendo la inyectividad en V =\nU (en lugar de justo\nH/23370/)\ny añadiendo el último punto relativo a los generadores del núcleo. Esta última\nse desprende de la forma explícita de las relaciones, impuestas a G (véase la prueba de\nThm. 2.4 en [21]), y el primero – de la parte 2 de Lemma 5.1 en [21] y el hecho\nque cualquier elemento de V tiene longitud (en el alfabeto X + H) como máximo N, donde\nN = máx.\n3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente\nLemma 3.1. Dejar que G sea un grupo y dejar que x1, x2, x3, x4 G sean elementos de orden infinito\ntal que x1\nxi, i = 2, 3, 4. Let H = G, t tx3t\n−1 = x4® ser la extensión HNN\nde G con subgrupos cíclicos asociados generados por x3 y x4. Entonces x1\n6° x2.\nPrueba. Argumentando por contradicción, asumir que hxl1h\n−1xm2 = 1 para algunas h • H,\nl,m Z \\ {0}. El elemento h tiene una presentación reducida del formulario\nh = g0t\n1g1t\n2 libras esterlinas. .....................................................................................................................\ndonde g0,. ............................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ngj/ x3° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j > 0, j+1 < 0\ngj/ x4° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j < 0, j+1 > 0\nPor los supuestos, x1\n6o x2 por lo tanto k ≥ 1, y en el grupo H tenemos\n(3.1) hxl1h\n−1xm2 = g0t\n1g1t\n2 libras esterlinas. .......................................................................................................................................................................................\nk. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\n1 gœ0 = 1,\ndonde g0 = g\n2 G. Por Britton’s Lemma (véase [10, IV.2]), el lado izquierdo\nen (3.1) no se puede reducir, y esto sólo puede suceder si gkx\nk pertenece a cualquiera de los dos\n* x 3 o x 4 en G, lo que contradice las suposiciones. Por lo tanto, el lema es\nprobado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDefinición. Supongamos que G es un grupo y Xi G, i I, es una familia de subconjuntos.\nDiremos que Xi, yo, soy independiente si ningún elemento de Xi es commensurable.\ncon un elemento de Xj siempre que i 6= j, i, j+ I.\nLemma 3.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n+ N, n ≥ 2, y\nLos subconjuntos no vacíos Xi G \\ {1}, i = 1,...., n− 1, son independientes en G. Entonces G\npuede ser (isomórficamente) incrustado en un grupo libre de torsión M\nforma en que M tiene (nCC) y los subconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecen independientes en\n8 ASHOT MINASYAN\nPrueba. Para cada i = 1,...., n− 1, fijar un elemento xi â € Xi. Primero incrustamos G en un\ngrupo G1 libre de torsión contable de tal manera que para cada elemento no trivial g G allí\nexist i {1,............................................................................................................................................................................................................................................................\n−1 = xj en G1, y los subconjuntos Xi,\ni = 1,...., n− 1, permanecer independiente en G1.\nLet g1, g2,. .. ser una enumeración de todos los elementos no triviales de G. Conjunto G(0) = G\ny supongamos que ya hemos construido el grupo G(k), que contiene G, así que\nque para cada l {1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \nconjugado en G(k) a xj, y Xi, i = 1,...., n− 1, son independientes en G(k).\nSupongamos, al principio, que gk+1 es commensurable en G(k) con un elemento de Xj\npara un poco de j. Entonces gk+1\n6° h por cada h °\ni=1,i6=j\nXi. Definir G(k + 1) como la\nExtensión de HNN â ¬ G(k), tk+1 â ¬ tk+1gk+1t\nk+1 = xjÃ3. Por Lemma 3.1 los subconjuntos Xi,\ni = 1,...., n− 1, permanecerá independiente en G(k + 1).\nAsí podemos asumir que gk+1 no es commensurable con ningún elemento de\ni=1 Xi en G(k). Según las hipótesis de inducción se puede aplicar Lemma 3.1\na la extensión HNN\nG(k + 1) = + G(k), tk+1 + tk+1gk+1t\nk+1 = x1\npara ver que los subconjuntos Xi-G ≤ G(k + 1), i = 1,...., n − 1, son independientes en\nG(k + 1).\nAhora, setG1 =\nk=0G(k). Evidentemente G1 tiene las propiedades requeridas. En el mismo\nde manera, se puede incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2 para que cada no-\nelemento trivial de G1 se conjugará a xi en G2, para algunos i • {1,....., n − 1},\ny los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, continúan siendo independientes en G2.\nProcediendo así obtenemos el grupo deseadoM =\ns=1Gs. Por la construcción...\ntion, M es un grupo contable libre de torsión que tiene exactamente n clases de conjugación:\n[1], [x1],. ., [xn−1]. Los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, son independientes en M porque\nson independientes en Gs para cada s â € N.\nCorolario 3.3. En Lemma 3.2 se puede añadir que el groupM es 2-boundedly simple.\nPrueba. Dejar un grupo contable sin torsión G y sus subconjuntos independientes no vacíos\nXi, i = 1,..., n− 1, sea como en Lemma 3.2. Let F = F (a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1) ser\nel grupo libre con el conjunto de generación libre {a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1}, y considerar\nPara cada i = 1,..................................................................................................................................\nX̄i = Xi {ai, a\nj = 1,.............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde [aj, bi] = ajbia\ni. Uso de las propiedades universales de los grupos libres y libres\nproductos uno puede ver fácilmente que los subconjuntos X̄i, i = 1,...., n− 1, son independientes\nen â € € TM.\nAhora aplicamos Lemma 3.2 para encontrar un grupo libre de torsión (nCC) M, con-\n...............................................................................................................................................................................................................................................................\nimplica que para cualquier i dado = 1,...., n− 1, cualesquiera dos elementos de X̄i se conjugan en\nM. Para x arbitrario, y M \\ {1} existen i, j {1,....., n − 1} de tal manera que x\ny y\n# AJ. # Si i = j entonces x\n- Sí. De lo contrario, y\n• a−1j y x\n[aj, bi] que\nes un producto de dos conjugados de aj, y, por lo tanto, de y. Por lo tanto, el grupo M es\n2-boundedly simple, y desde G ≤ ≤ ≤ M, el corolario se demuestra. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 9\nA continuación se muestra un caso particular (libre de torsión) de un teorema demostrado por Osin en [21, Thm.\n2.6]:\nLemma 3.4. Cualquier grupo libre de torsión S puede ser integrado en un 2-generado\ngrupo M de modo que S es anormal en M y cada elemento de M se conjuga a un\nelemento de S en M.\nPrueba. Después de la prueba de Osin de Teorema 2.6 de [21], vemos que el requerido\ngrupo M se puede construir como un límite inductivo de grupos relativamente hiperbólicos\nG(i), i+N. Más precisamente, un conjunto G(0) = S* F2, donde F2 es un grupo libre de\nrango 2, +0 = idG(0) : G(0) → G(0), y para cada i +N se construye un grupo\nG(i) y un epimorfismo : G(0) → G(i) de modo que i es inyector en S, G(i) es\nlibre de torsión e hiperbólico en relación con i(S)}, y i factores a través de i−1. Los\nEl grupo M se define como el límite directo de (G(i), i) como i →, es decir, Q = G(0)/N\ndonde N =\nN ker(i). Por Lemma 2.3, i(S) es anormal en G(i), por lo tanto la\nla imagen de S también será anormal en M.\nTeorema 3.5. Que G sea un grupo contable libre de torsión, n + N, n ≥ 2, y no-\nLos subconjuntos vacíos Xi G \\ {1}, i = 1,...., n − 1, ser independiente en G. Entonces G puede\nestar incrustado en un grupo libre de torsión M de 2 generaciones que tiene (nCC), de modo que el\nsubconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecer independiente en M. Además, se puede elegir M\nser 2-boundedly simple.\nPrueba. En primer lugar, de acuerdo con el corolario 3.3, podemos incrustar el grupo G en un contable\ngrupo S libre de torsión tal que S tiene (nCC) y es 2-boundedly simple, y Xi,\ni = 1,...., n − 1, son independientes en S. En segundo lugar, aplicamos Lemma 3.4 para encontrar la\nGrupo M de su reclamación. Elegir cualquier i, j • {1,....., n − 1}, i 6= j, y\nx Xi, y Xj. Si x e y fueran commensurables en M, la malnormalidad de S sería\nimplica que x e y deben ser commensurables en S, contradiciendo la construcción.\nPor lo tanto Xi, i = 1,..., n − 1, son independientes en M. Puesto que cada elemento de M es\nconjugado a un elemento de S, es evidente que M tiene (nCC), es libre de torsión y\n2-boundedly simple. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.6. Una prueba más directa de Teorema 3.5, no utilizando Lemma 3.4, puede ser\nextraída de la prueba del Teorema 5.1 (véase la sección 5), aplicada al caso cuando\nH = M.\nEs fácil ver que el teorema 3.5 implica inmediatamente corolario 1.2 que fue\nformulado en la Introducción. Como se prometió, ahora damos un contraejemplo a\nPregunta 2 (formulada en la introducción) para cualquier n ≥ 3.\nEjemplo 2. Dejar G2 = a, t tat\n−1 = a2® ser el grupo Baumslag-Solitar BS(1, 2).\nEntoncesG2 es libre de torsión, y los elementos t\n2, t4,. .., t2\nson pares no conjugados\nen G2 (ya que esto se mantiene en el cociente de G2 por el cierre normal de a). Supón\nque G2 está integrado en un grupo M que tiene (nCC) de modo que t\n2, t4,. .., t2\npar no conjugar en M. Luego t2,. .., t2\nes la lista de representantes de todos\nclases de conjugación no trivial de M. Por lo tanto existen k, l • {1,....., n− 1} tales\nque t\ny a\n. En consecuencia\ny t2\npor lo tanto k = l = n− 1 según los supuestos. Pero esto da resultados.\nn−1 M\n* t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2\n10 ASHOT MINASYAN\nlo que implica que t2\nT4, lo que contradice nuestras suposiciones.\nPor lo tanto, G2 no puede integrarse en un grupo M (nCC) de tal manera que\nt2,. .., t2\npermanecer por pares no conjugados en M.\n4. Subgrupos normales con (nCC)\nSi M es un subgrupo normal de un grupo H, H actúa naturalmente sobre M por\nJugación. Diremos que esta acción preserva las clases de conjugación de M si\ncualquier h H y a M existe b M de tal manera que hah−1 = bab−1.\nLemma 4.1. Que G sea un grupo libre de torsión, N G y x1,. ..............................................................\nser elementos no commensurables (en G) por pares. Entonces existe una partición\nN \\ {1} =\nk=1Xk de N \\ {1} en una unión (disjunta) de subconjuntos G-independientes\nX1,. ................................................. Además, cada subconjunto Xk\nserá invariante bajo conjugación por elementos de G.\nPrueba. Desde\nSe trata de una relación de equivalencia en Gâ 1}, se puede encontrar la correspondiente\ndescomposición: G \\ {1} =\nJJ Yj, donde Yj es una clase de equivalencia para cada JJ.\nPara cada k = 1,..., l, existe j(k) • J de tal manera que xk • Yj(k). Tenga en cuenta que\nj(k) 6= j(m) si k 6= m desde xk\n6° xm.\nNota J ′ = J \\ {j(1). ...............................................................\nX1 = Yj(1) N,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nYj N.\nEvidentemente N+1} =\nk=1Xk, X1,. .., Xl son subconjuntos independientes de G y xk Xk\npara cada k = 1,...., l. La propiedad final sigue de la construcción ya que para cualquier\na G y j J tenemos aYja\n−1 = Yj y aNa\n−1 = N.\nLemma 4.2. Para cada grupo contable C y cada n+N, n ≥ 2, existe un\ngrupo H libre de torsión contable que tiene un subgrupo normal M H tal que\ni) M satisface (nCC);\nii) El M es 2 veces simple;\niii) la acción natural de H sobre M preserva las clases de conjugación de M;\niv) H/M = C.\nPrueba. Que H ′0 sea el grupo libre de rango contable infinito. Elegir N\n0 para que\nH ′0/N\n• C. Let F = F (x1,. .., xn−1) denotan el grupo libre libremente generado por\nx1,. .., xn−1. Definir H0 = H\n0 ∗ F y dejar que N0 sea el cierre normal de N\n0 â € F en\nH0. Evidentemente, H0/N0 = H\n= C y los elementos x1,. ..................................................................................................\npar de no-commensurable en H0.\nPor Lemma 4.1, se puede elegir una partición de N0 \\ {1} en la unión de H0-\nsubconjuntos independientes:\nN0 \\ {1} =\nde modo que xk X0k para cada k = 1,...., n− 1.\nPor corolario 3.3 existe un grupo sencillo sin torsión de dos límites\nM1 con la propiedad (nCC) que contiene una copia de N0, tal que los subconjuntos X0k,\nk = 1, 2,...., n − 1, son independientes en M1. Nota por H1 = H0 ∗N0 M1\nproducto amalgamado de H0 y M1 a lo largo de N0, y dejar que N1 sea el cierre normal\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 11\nde M1 en H1. Tenga en cuenta que H1 es libre de torsión como un producto amalgamado de dos\ngrupos libres de torsión ([10, IV.2.7]).\nTenemos que verificar que los elementos x1,. .., xn−1 son pares no-commen-\nasegurable en H1. De hecho, si un â ¬ X0k y b â ¬ X0l, k 6= l, se conjugan en H1 entonces\ndebe existir y1,. ............................................................................................................... ...................................................................................\nz0y1 · · zt−1ytztaz\nt−1 · · · y\nSupongamos que t es mínimo posible con esta propiedad. Como conjugación por elementos\nde H0 conserva X0k y X0l, podemos asumir que z0, zt = 1. Por lo tanto\ny1z1 · · · zt−1ytay\nt−1 · · · z\n−1 H1= 1.\nPor las propiedades de los productos amalgamados (véase [10, Ch. IV]), el lado izquierdo\nen esta igualdad no se puede reducir, en consecuencia\nt N0 \\ {1} =\nk=1 X0k.\nPero entonces ittay\nt X0k por las propiedades de M1, contradiciendo la minimalidad de t.\nPor lo tanto, hemos demostrado que xk\n6° xl cuando k 6= l.\nSupongamos que el grupoHi = Hi−1*Ni−1Mi, i ≥ 1, ya ha sido construido,\npara que\n0) Hi es contable y libre de torsión;\n1) Ni−1 Hi−1;\n2) Hi−1 = H0 ·Ni−1 y H0 •Ni−1 = N0;\n3) Mi satisface (nCC);\n4) x1,. .., xn−1 no son comparables en pareja en Hi.\nDeja que Ni sea el cierre normal de Mi in Hi. Debido a la condición 4) y\nLemma 4.1, se puede encontrar una partición de Ni \\ {1} en una unión de Hi-independiente\nsubconjuntos:\nNi \\ {1} =\nde modo que xk Xik para cada k = 1,...., n − 1. Por Lemma 3.2 hay una cuenta\ngrupo un Mi+1, con (nCC), que contiene una copia de Ni, en el que los subconjuntos Xik,\ni = 1,...., n− 1, permanecen independientes. Set Hi+1 = Hi ∗Ni Mi+1. Ahora, es fácil de\nverificar que los análogos de las condiciones 0)-3) mantienen para Hi+1 y\n(4.1) Ni−1 ≤Mi ≤Ni ≤Mi+1.\nEl análogo de la condición 4) es cierto en Hi+1 por las mismas consideraciones que antes\n(en el caso de H1).\nDefinir el grupo H =\ni=1Hi y su subgrupo M =\ni=1Ni. Observar que\nla condición 0) implica que H está libre de torsión, condición 1) implica que M es\nnormal en H, y 2) implica que H = H0 ·M y H0 â € M = N0. Por lo tanto H/M =\nH0/(H0-M) = C. Aplicando (4.1) obtenemosM =\ni=1Mi, y por lo tanto, por las condiciones\n3), 4) disfruta de la propiedad (nCC): cada elemento de M será un conjugado de xk\npara algunos k {1,...., n− 1}. Desde x1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nsimple, entonces así será M. Finalmente, 4) implica que xk\nxl cuando k 6= l,\ny, en consecuencia, la acción natural de H sobre M preserva sus clases de conjugación.\nQ.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 4.3. Suponga que G es un grupo, N G, A, B ≤ G y : A → B es\nun isomorfismo de tal manera que a) a n (es decir, las imágenes canónicas de a y a) en\n12 ASHOT MINASYAN\nG/N coinciden) para cada una de las A. Let L = â € ¢ G, t â € € TM tat−1 = â € (a), â € a â € Aâ € ser el\nHNN-extensión de G con subgrupos asociados A y B, y dejar que K sea el normal\nel cierre de N.N., t. en L. A continuación G.K. = N.\nPrueba. Esta afirmación se deriva fácilmente de la propiedad universal de las extensiones HNN\ny se deja como un ejercicio para el lector. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl próximo lema nos permitirá construir grupos (nCC) que no sean simples:\nLemma 4.4. Supongamos que H es un grupo contable libre de torsión y MH es un no-\nsubgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un contable\ngrupo G libre de torsión que posee un subgrupo normal K G tal que\n1) G = HK y H + K = M ;\n2) x, y G \\ {1}, x) = y) si y sólo si h K tal que x = hyh−1,\ndonde : G → G/K es el homomorfismo natural; en particular, K\ntener (2CC);\n3) x, y G \\ {1}, x\nSi y sólo si (x)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nPrueba. Elija un conjunto de representantes Z • H de cosets de H módulo M, en tal\nforma en que cada coset está representado por un elemento único de Z y 1 /».\nDefinirG(0)=H yK(0)=M. Enumerar los elementos de G(0)+1}: g1, g2,. ...\nPrimero incrustamos el grupo G(0) en un grupo sin torsión contable G1, que tiene un\nsubgrupo normal K1 G1, de tal manera que G1 = HK1, H K1 =M y para cada i ≥ 0\nhay ti K1 y zi Z satisfactoria tigit\ni = zi.\nSupongamos que el grupo G(j), j ≥ 0, y K(j) G(j),\nya se han construido de modo que H ≤ G(j), G(j) = HK(j), H ≤ K(j) = M\ny, si j ≥ 1, tjgjt\nj = zj para algunos tj â € K(j) y zj â € Z. El grupo G(j+1),\nque contenga G(j), se define como la siguiente extensión de HNN:\nG(j + 1) = G(j), tj+1 tj+1gj+1t\nj+1 = zj+1\ndonde zj+1 â € ¢ Z â € H es el representante único que satisface gj+1 â € zj+1K(j) en\nG(j). Denota por K(j+1)G(j+1) el cierre normal de K(j), tj+1® en G(j+1).\nEvidentemente, el grupo G(j + 1) es contable y libre de torsión, H ≤ G(j) ≤ G(j + 1),\nG(j + 1) = HK(j + 1) y H (j + 1) = H (j) K(j) = M por Lemma 4.3.\nAhora, es fácil verificar que el grupo G1 =\nj=0G(j) y su subgrupo normal\nj=0K(j) disfrutar de las propiedades requeridas.\nDe la misma manera podemos incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2, que\ntiene un subgrupo normal K2G2, de modo que G2 = HK2, HK2 =M y cada elemento\nde G1 \\ {1} se conjuga en G2 a un elemento correspondiente de Z. Desempeñar este tipo de actividades\nun procedimiento infinitamente muchas veces logramos el grupo G =\ni=1Gi y normal\nsubgrupo K =\ni=1Ki G que satisfacen las afirmaciones 1) y 2) del lema. Lo es.\nfácil de ver que la reclamación 2) implica 3), por lo que la prueba está terminada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n5. Añadiendo generación finita\nTeorema 5.1. Supongamos que H es un grupo libre de torsión contable y M es un no-\nsubgrupo normal trivial de H. Dejar F ser un arbitrario no elemental sin torsión\nGrupo hiperbólico de palabras. Entonces existe un grupo Q sin torsión contable, que contiene\nH, y un subgrupo normal N Q con las siguientes propiedades:\n1. H es anormal en Q;\n2. Q = H ·N y N •H =M ;\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 13\n3. N es un cociente de F ;\n4. el centralizador CQ(N) de N en Q es trivial;\n5. por cada q â € TM a Q hay z â € TM a H tal que q\nPrueba. El grupo Q se construirá como un límite directo de relativamente hiperbólico\ngrupos.\nPaso 0. Set G(0) = H*F y F (0) = F ; entonces G(0) es hiperbólico relativo a su\nEl subgrupo H y F (0) es un subgrupo adecuado de G(0) por Lemma 2.6. LetN(0)G(0)\nser el cierre normal del subgrupo M,F en G(0). Evidentemente G(0) = H ·N(0)\ny H N(0) = M. Enumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. ...................................................................................................\nG(0): {q0, q1, q2,. .. }, de tal manera que g0 = q0 = 1.\nPasos 0-i. Suponga que los grupos G(j), j = 0,...., i, i ≥ 0, ya han sido\nconstruido, de modo que\n1o. para cada 1 ≤ j ≤ i hay un epimorfismo j−1 : G(j−1) → G(j) que es\ninyective on (la imagen de) H en G(j − 1). Nota F (j) = j−1(F (j − 1)),\nN(j) = j−1(N(j − 1));\n2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤\nG(j) es un subgrupo adecuado, j = 0,..., i;\n3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M, j = 0,.... i;\n4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j), j = 0,..., i;\n5o. existe zj H tal que q̄j\n* zj, j = 0,.... i, donde q̄j es la imagen\nde qj en G(j).\nPaso i+1. Que qâ € € € G(i), € i+1 € N(i) sean las imágenes de qi+1 y gi+1 en G(i).\nPrimero construimos el grupo G(i+1/2), su subgrupo normal Ki+1 y su elemento\nti+1 como se indica a continuación.\nSi para algunos f • G(i), f q • i+ 1f\n−1 = z + H, luego set G(i + 1/2) = G(i), Ki+1 =\nN(i)G(i + 1/2) y ti+1 = 1.\nDe lo contrario, qÍñi+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i). Dado que G(i) es\nlibre de torsión, el subgrupo elemental EG(i)(qÍ+1) es cíclico, por lo que EG(i)(qÍ+1) = hx\npara algunos h â € TM H y x â € N(i) (por 3â €), y qâ € i+1 = (hx)\nm para algunos m â € ¢ Z. Ahora, por\nLemma 2.2, G(i) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1\ny dejar que G(i + 1/2) sea la siguiente extensión HNN de G(i):\nG(i + 1/2) = «G(i), ti+1 » ti+1(hx)t\ni+1 = hyâ.\nEl grupo G(i+ 1/2) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.\nVerifiquemos ahora que el subgrupo F (i) es adecuado en G (i + 1/2). De hecho,\nde acuerdo con Lemma 2.7, hay dos elementos hiperbólicos f1, f2 o F (i) de infinito\norden en G(i) tal que fl\n6° hx, fl\n6o hi, l = 1, 2, y f1\n6o f2. Entonces\nG(i+1/2)\n6o f2 de Lemma 3.1. Queda por comprobar que fl es un elemento hiperbólico\nde G(i + 1/2) para cada l = 1, 2. Elija un elemento arbitrario w â € ¢ H y observar\nque fl\n6o w (ya que H es anormal en G(i) por Lemma 2.3, un poder no trivial de\nfl se conjuga a un elemento de H si y sólo si fl se conjuga a un elemento de\nH en G(i), pero este último es imposible porque fl es hiperbólico en G(i)). Aplicar\nLemma 3.1 de nuevo, tenemos que fl\nG(i+1/2)\nPor lo tanto f1, f2 o f (i) son\nelementos hiperbólicos de orden infinito en G(i+1/2). La intersección EG(i+1/2)(f1)\n14 ASHOT MINASYAN\nEG(i+1/2)(f2) debe ser finito, ya que estos grupos son prácticamente cíclicos (por Lemma 2.2),\ny f1 no se puede comparar con f2 en G(i+1/2). Pero G(i+ 1/2) está libre de torsión,\nPor lo tanto, EG(i+1/2)(f1) (EG(i+1/2)(f2) = {1}. Por lo tanto, F (i) es un subgrupo adecuado de\nG(i+ 1/2).\nLemma 4.3 asegura que H-Ki+1 =M donde Ki+1 G(i + 1/2) es el normal\nel cierre de «N(i), ti+1», en G(i + 1/2). Por último, tenga en cuenta que\nti+1qçói+1t\ni+1 = ti+1(hx)\nmt−1i+1 = (hi)\nm = z + H en G(i + 1/2).\nAhora, que el grupo G(i+ 1/2) se ha construido, set Ti+1 = i+1, ti+1}\nKi+1 y definir G(i+1) como sigue. Desde Ti+1 ·F (i) • Ki+1 G(i+1/2), podemos\naplicar el teorema 2.8 para encontrar un grupo G(i+1) y un epimorfismo : G(i+1/2) →\nG(i + 1) de tal manera que Łi es inyector en H, G(i + 1) es libre de torsión e hiperbólico\nen relación con (la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}\nsubgrupo de G(i + 1), y ker(eli) ≤ Ki+1. Denotan la restricción de los derechos de\nG(i). A continuación, el valor de G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1) porque G(i + 1/2) fue generado por\nG (i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 (i) (F (i)) ≤ (i) (G (i)). Ahora,\ndespués de definir F (i+1) = «i(F (i)», N(i+1) = «i(N(i)»), i+1 = «i(i+1)» (i+1)\ny zi+1 = i(z) • H, vemos que las condiciones 1\nEn el caso que nos ocupa, cabe señalar que el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso que nos ocupa, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 2, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71.\ncuando j = i+1. Las propiedades G(i+1) = H ·N(i+1) y N(i+1)G(i+1) son\nconsecuencias inmediatas de sus análogos para G(i) y N(i). Por último, observar que\n1i (H-N(i+1)) = H · ker(\nH N (i) · ker (l)\n· ker(i)\nH-Ki+1\n· ker(i) =M · ker(i).\nPor lo tanto H N (i+ 1) = M y la condición 3 ° se mantiene para G (i + 1).\nDejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que\nF () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Entonces Q es\nlibre de torsión por 2°, N Q, Q = H · N y H °N = M por 3°. N ≤ F () por 4 °,\ny 5o implica la condición 5 de la reclamación.\nDesde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico\nimagen de F (0) = F.\nPara cualquier i, j â € N â € €, i < j, tenemos un epimorfismo natural â € € : G(i) → G(j)\nDe tal manera que si i < j < k entonces فارسىjk â â € € € € = â € € € € € €. Tome cualquier g de G(0). Desde F = F (0)\nse genera finitamente, utilizando las propiedades de los límites directos uno puede mostrar que si\nw = + 0 + g + CQ(F) en Q, luego + 0j(g) + + CG(j) (F (j)) para algunos j + N. Pero\nCG(j)(F (j)) ≤ EG(j)(F (j)) = {1} (por fórmulas (2.2) y (2.3)) porque F (j) es\nun subgrupo adecuado de G(j), por lo tanto w =\n0j(g)\n= 1, es decir, CQ(F) =\nCQ(N) = {1}. Esto concluye la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLa siguiente declaración es bien conocida:\nLemma 5.2. Asumir G es un grupo y N G es un subgrupo normal tal que\nCG(N) N, donde CG(N) es el centralizador de N en G. Entonces el cociente-grupo\nG/N se incrusta en el grupo de automorfismo externo Out(N).\nPrueba. La acción de G sobre N por conjugación induce un homomorfismo natural\nDesde G hasta el grupo de automorfismo Aut(N) de N. Puesto que Ł(N) es exactamente el\ngrupo de automorfismos internos Inn(N) de N, se puede definir un nuevo homomorfismo\n: G/N → Out(N) = Aut(N)/Inn(N) de la manera natural: (gN) = (g)Inn(N)\npor cada gN + G/N. Queda por comprobar que es inyector, es decir, si g G \\N entonces\n(gN) 6=1 in Out(N); o, equivalentemente, (g) / Inn(N). De hecho, de lo contrario no hay\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 15\nexistiría un N tal que ghg−1 = aha−1 por cada h N, por lo tanto N 6 a−1g\nCG(N), contradiciendo los supuestos. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTenga en cuenta que para un grupo arbitrario N, cualquier subgrupo C ≤ Out(N) actúa naturalmente\nsobre el conjunto de clases de conjugación C(N) del grupo N.\nTeorema 5.3. Para cualquier n° N, n ≥ 2, y un grupo contable arbitrario C, C puede\nser incrustado isomórficamente en el grupo de automorfismo externo Out(N) de un grupo\nN que cumplan las condiciones siguientes:\n• N está libre de torsión;\n• N se genera por dos elementos;\n• N tiene (nCC) y la acción natural de C sobre C(N) es trivial;\n• N es 2-boundedly simple.\nPrueba. Por Lemma 4.2 podemos encontrar un grupo libre de torsión H y su normal\nSubgrupo M que disfruta de las propiedades i) a iv) de su reclamación. Ahora, si F denota\nel grupo libre de rango 2, podemos obtener un grupo libre de torsión contable Q juntos\ncon su subgrupo normal N que cumplen las condiciones 1-5 de la declaración de\nTeorema 5.1.\nEntonces N es libre de torsión y generado por dos elementos (como cociente de F ).\nLa condición 2 implica que Q/N = H/M = C y, por 4 y Lemma 5.2, C incrusta\ndentro del grupo Out(N).\nUsando la propiedad 5, por cada g â € N podemos encontrar u â € Q y z â € H tales que\nugu−1 = z â € N â € H = M. Desde Q = HN, hay h â € H y x â € N\ntal que u = hx. Desde z, h−1zh M y la acción de H sobre M conserva\nlas clases de conjugación de M, hay r â € M tal que rh−1zhr−1 = z, por lo tanto\nz = rh−1ugu−1(rh−1)−1 = rxgx−1r−1, donde v = rx â N. Así para cada g â N\nhay v â € N tal que vgv−1 â € M. Evidentemente, esto implica que N es también 2 -\nDelimitadamente simple. Como M ha (nCC), el número de clases de conjugación en N\nser a lo sumo n.\nSupongamos que x1, x2 M y x1\nx2. Entonces x1\nx2 (por la propiedad (iii) de\nla reclamación de Lemma 4.2), y como H es anormal en Q obtenemos x1\nx2. Por lo tanto\nx2, es decir, N también disfruta (nCC).\nEl hecho de que la acción natural de C sobre C(N) es trivial se deriva de la misma\npropiedad para la acción de H en C(M) y la malnormalidad de H en Q. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora, procedamos con el\nPrueba de Teorema 1.4. Primero aplicamos Lemma 4.4 para construir un grupo G y un\nSubgrupo normal K G según su reclamación. Ahora, por Teorema 5.1, hay un\ngrupoQ, teniendo un subgrupo normal NQ tal que G es anormal en Q, Q = GN,\nG N = K, rango (N) ≤ 2 (si se toma el grupo libre de rango 2 como F ) y cada\nel elemento q • Q se conjuga (en Q) a un elemento de G. Por la reclamación 2) de Lemma 4.4,\nK tiene (2CC), y un argumento, similar al utilizado en la prueba de Teorema\n5.3, muestra que N también tendrá (2CC). En consecuencia, rango(N) > 1 porque N es\nlibre de torsión, por lo tanto rango (N) = 2.\nDesde G = HK y H â € TM K = M tenemos Q = HKN = HN y H â € N =\nH •K =M. Puesto que Q/N = H/M y N pueden ser generados por dos elementos, podemos\nconcluir que rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.\n16 ASHOT MINASYAN\nConsiderar arbitraria x, y Q \\ {1} y suponer que فارسى(x)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por el teorema\n5.1, hay w, z G \\ {1} de tal manera que x\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n* z. Por lo tanto (w)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\npor lo tanto las imágenes de w y z en G/K también se conjugan. En la reclamación 3) de Lemma\n4.4, w\nz, lo que implica x\n- Sí. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTeorema 1.4 proporciona una forma alternativa de obtener grupos libres de torsión que\ntienen finitamente muchas clases de conjugación: para cualquier grupo contable C podemos elegir\nun grupo libre H de rango contable y un subgrupo normal {1} 6= M H de modo que\nH/M = C, y luego aplicar el teorema 1.4 al par (H,M) para obtener\nCorollary 5.4. Asumir que n+N, n ≥ 2, y C es un grupo contable que\ncontiene exactamente (n− 1) clases distintas de conjugación. Entonces existe una libertad de torsión.\ngrupo Q y N Q tales que\n• Q/N = C;\n• N tiene (2CC) y Q tiene (nCC);\n• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(C) + 2.\nCorollary 5.5. El grupo G1, dado por presentación (1.1), puede ser isomórficamente\nincrustado en un grupo Q sin torsión de 2 generaciones que satisface (4CC) de tal manera\nque t\nt−1.\nPrueba. Denotar por K el núcleo del homomorfismo : G1 → Z3, para el cual\n*(a) = 0 y *(t) = 1, donde Z3 es el grupo de enteros módulo 3. Ahora, aplíquese.\nTeorema 1.4 al par (G1,K) para encontrar el grupo Q, que contiene G1, y el normal\nSubgrupo N Q de su reclamación. Puesto que Q/N = G1/K = Z3 tiene (3CC), el grupo\nQ tendrá (4CC). También tenemos t\nt−1 porque las imágenes de t y t−1 no son\nconjugado en Q/N.\nElija un elemento q1 • Q \\ N. A continuación, q2 = q\n1 N \\ {1} y puesto que N es 2\ngenera y tiene (2CC), hay q3 â € N tal que N = â € € TM q2, q3â € en Q. Como Q/N\nes generado por la imagen de q1, el grupo Q será generado por {q1, q2, q3}, y,\nEn consecuencia, por {q1, q3}. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente\nQue G sea un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H,\ny dejar que X sea un conjunto de generación relativo simetrizado finito de G. Denote H =\n(H/23370/ \\ {1}).\nPara una ruta combinatoria p en el gráfico de Cayley (G,X,H) (de G con respeto\np−, p+, L(p) y lab(p) denotarán el punto inicial, el punto final,\nla longitud (es decir, el número de bordes) y la etiqueta de p respectivamente. p−1 will\nser el camino obtenido de p siguiéndolo en la dirección contraria. Además, si\nes un subconjunto de G y g ≤ G, entonces g se utilizará para denotar la longitud de una\npalabra más corta en 1 que representa g.\nUtilizaremos la siguiente terminología de [20]. Supongamos que q es una ruta en\n(G,X,H). Un subpath p de q se llama un componente H\nsimplemente un componente) de q, si la etiqueta de p es una palabra en el alfabeto H/23370/ \\ {1} y\np no está contenido en un subpath más grande de q con esta propiedad.\nDos componentes p1, p2 de una ruta q en •(G,X • H) se llaman conectados si\nson los componentes de la misma de la misma y existe una ruta c en la de la misma (G,X,H)\nconectar un vértice de p1 a un vértice de p2 de manera que el laboratorio(c) se componga enteramente de letras\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 17\nde H/23370/. En términos algebraicos esto significa que todos los vértices de p1 y p2 pertenecen a la\nel mismo coset gH♥ para un determinado g â € ¬ G. Siempre podemos suponer c para tener longitud en\nLa mayoría de 1, ya que cada elemento no trivial de H.O. está incluido en el conjunto de generadores. Un\nEl componente p de una ruta q se llama aislado si ningún otro componente de la ruta de q es\nconectado a p.\nLa siguiente declaración es un caso particular de Lemma 2.27 de [20];\nmuéstralo de una forma ligeramente más general, como aparece en [18, Lemma 2.7]:\nLemma 6.1. Supongamos que un grupo G es hiperbólico relativo a una familia de subgrupos\n{H. Entonces existe un subconjunto finito de G y una constante de K N tal\nque lo siguiente se mantiene. Let q ser un ciclo en G, X H, p1,. ..............................................................\nde componentes aislados de q y g1,. ...............................................................\nLab(p1),. ..,Lab(pk) respectivamente. Entonces g1,. ..., gk pertenecen al subgrupo ≤ G\ny las longitudes de la palabra de gi con respecto a \ngi ≤ KL(q).\nDefinición. Supóngase que m (N y N) es un subconjunto finito de G. Define W(l,m) a\nser el conjunto de todas las palabras W sobre el alfabeto X â € ¢ H que tienen la siguiente forma:\nW فارسى x0h0x1h1. .. xlhlxl+1,\ndonde l • Z, l ≥ −2 (si l = −2 entonces W es la palabra vacía; si l = −1 entonces W • x0),\nhi y xi se consideran letras únicas y\n1) xi • X • 1}, i = 0,..., l + 1, y para cada i = 0,..., l, existe • i) •\nDe los cuales: hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos.\n2) en caso de que la letra i) de la letra i) = la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i).\n3) i = 0,...., l.......................................................................................................................................................................................................................................................\nElija el subconjunto finito G y la constante K > 0 de acuerdo con la reclamación\nde Lemma 6.1.\nRecordemos que se dice que un camino q en •(G,X • H) es sin retroceso si todo de\nsus componentes están aislados.\nLemma 6.2. Dejar q ser un camino en el gráfico de Cayley (G,X,H) con Lab(q)\nW(,m) y m ≥ 5K. Entonces q es sin retroceso.\nPrueba. Asumir lo contrario a la reclamación. Entonces uno puede elegir un camino q proveyendo\nun contraejemplo de la longitud más pequeña posible. Así si p1,. ...............................................................\nutive) lista de todos los componentes de q entonces l ≥ 2, p1 y pl debe estar conectado H -\ncomponentes, para algunos , los componentes p2,. ..., pl−1 debe ser aislado, y q\ncomienza con p1 y termina con pl. Desde Lab(q) â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nSi l = 2 entonces la (X {1})-letra entre p1 y p2 pertenecería a H\ncontradiciendo la propiedad 2) de la definición de W(l,m).\nPor lo tanto l ≥ 3. Dado que p1 y pl están conectados, existe una ruta v en \nH) entre (pl)− y (p1)+ con Lab(v) H (así podemos asumir que L(v) ≤ 1).\nDenotar por qâ € el subpath de q comenzando con (p1)+ y terminando con (pl)−. Tenga en cuenta que\nL(q+) = L(q)−2 ≤ 2l−3, y p2,. ..., pl−1 es la lista de componentes de q®, todos los cuales\nestán aislados. Si uno de ellos estuviera conectado a v implicaría que está conectado\na p1 contradiciendo con la minimalidad de q. Por lo tanto, el ciclo o = qv posee\n18 ASHOT MINASYAN\nk = l − 2 ≥ 1 componentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................\nConsecuentemente, aplicando Lemma 6.1 se obtiene que hi , i = 1,..., k, y\nhi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + 1) ≤ K(2l− 2).\nPor la condición 3) de la definición de W(l,m) uno tiene hi > m ≥ 5K para\ncada i = 1,..., k. Por lo tanto\nk · 5K ≤\nhi ≤ K(2l− 2), o 5 ≤\n2l − 2\nque contradice la desigualdad k ≥ l − 2. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDefinición. Considerar un ciclo arbitrario o = rqr′q′ en Ł(G,X H), donde Lab(q)\ny Lab(q′) pertenecen a W(,m). Dejar p ser un componente de q (o q′). Diremos\nque p es regular si no es un componente aislado de o. Si m ≥ 5K y, por tanto, q y\nq′ son sin retroceso por Lemma 6.2, esto significa que p está conectado\na algún componente de q′ (respectivamente q), o a un componente de r o r′.\nLemma 6.3. En las anotaciones anteriores, suponga que m ≥ 7K y denote C =\nmax{L(r),L(r′)}. Entonces\na) si C ≤ 1 cada componente de q o q′ es regular;\n(b) si C ≥ 2 entonces cada uno de q y q′ puede tener como máximo 4C componentes que son\nNo es normal.\nc) si l es el número de componentes de q, entonces al menos (l− 6C) de componentes\nde q están conectados a componentes de q′; y dos componentes distintos de q\nno se puede conectar al mismo componente de q′. Similarmente para q′.\nPrueba. Asumir lo contrario a (a). Entonces uno puede elegir un ciclo o = rqr′q′ con\nL(r),L(r′) ≤ 1, con al menos un componente aislado en q o q′, y de manera que\nL(q) + L(q′) es mínimo. Es evidente que esta última condición implica que cada componente\nde q o q′ es un componente aislado de o. Por lo tanto q y q′ juntos contienen k\ndistintos componentes aislados de o, que representan elementos h1,. ......................................................\nk ≥ 1 y k ≥ (L(q) − 1)/2 + (L(q′) − 1)/2. Aplicando Lemma 6.1 obtenemos\nhola , i = 1,...., k, y\nhi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + L(q)\n′) + 2).\nRecordemos que hi > m ≥ 7K por la propiedad 3) de la definición de W(l,m).\nPor lo tanto\ni=1 hi ≥ k · 7K, lo que implica\nL(q′)\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\nque da lugar a una contradicción.\nDemostremos (b). Supongamos que C ≥ 2 y q contiene más de 4C aislados\ncomponentes de o. Examinaremos dos casos:\nCaso 1. No hay ningún componente de q conectado a un componente de q′. Entonces un com-\nel ponente de q o q′ sólo puede ser regular si está conectado a un componente de r o r′.\nPuesto que, por Lemma 6.2, q y q′ son sin retroceso, dos componentes distintos\nde q o q′ no se puede conectar al mismo componente de r (o r′). Por lo tanto q y\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 19\nq′ juntos pueden contener como máximo 2C componentes regulares. Así el ciclo o tiene k\ncomponentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................\nk ≥ (L(q)−1)/2+(L(q′)−1)/2−2C. Por Lemma 6.1, hola para cada i = 1,..., k,\ni=1 hi ≤ K(L(q) + L(q)\n′) + 2C). Una vez más podemos utilizar la propiedad 3)\nde la definición de W(l,m) para lograr\nL(q′)\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\n− 2C + 1 + 3C\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\n≤ 2 +\ndando lugar a una contradicción.\nCaso 2. La ruta q tiene al menos un componente que está conectado a un com-\nponiente de q′. Let p1,. .., pl denota la secuencia de todos los componentes de q. Por parte\na), si ps y pt, 1 ≤ s ≤ t ≤ l, están conectados a componentes de q\n′, entonces para cualquier\nj, s ≤ j ≤ t, pj está conectado a algún componente de q\n′ (porque q es sin espalda-\nseguimiento por Lemma 6.2). Podemos tomar s (respectivamente t) para ser mínimos (respectivamente\nmáximo) posible. En consecuencia p1,. .., ps−1, pt+1,. .., pl contendrá el conjunto de\ntodos los componentes aislados de o que pertenecen a q, y ninguno de estos componentes\nestar conectado a un componente de q′.\nSin pérdida de generalidad podemos suponer que s− 1 ≥ 4C/2 = 2C. Puesto que ps es\nconectado a algún componente p′ de q′, existe una ruta v en \nv− = (ps)−, v+ = p\n+, Lab(v) â € H â € {1}, L(v) ≤ 1. Deje q̄ (respectivamente q̄\n′) denotar\nel subpath de q (respectivamente q′) de q− a (ps)− (respectivamente de p\n+ a q\nConsidere un nuevo ciclo ō = rq̄vq. Razonando como antes, uno puede demostrar que ō tiene k\ncomponentes aislados, donde k ≥ 2C ≥ 4 y k ≥ (L(q̄)−1)/2+(L(q)−1)/2−C−1.\nAhora, una aplicación de Lemma 6.1 al ciclo ō junto con la propiedad 3) de\nla definición de W(l,m) conducirá a una contradicción como antes.\nPor simetría, la declaración (b) del lema también es válida para q′.\nLa reclamación c) se deriva de b) y de la estimación L(r) + L(r′) ≤ 2C porque si\ndos componentes diferentes p y p̄ de q fueron conectados al mismo componente de\nalgún camino en #(G,X #H), entonces p y p̄ también estarían conectados el uno con el otro,\nque contradiría a Lemma 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.4. En las anotaciones anteriores, m ≥ 7K, C = max{L(r), L(r′)}, y\nlet p1,. .., pl, p\n1,.., p\nl′ ser las listas consecutivas de los componentes de q y q\nSi l ≥ 12max{C, 1} + 2, entonces hay índices s, t, s′ N tales que\n1 ≤ s ≤ 6C + 1, l − 6max{C, 1} ≤ t ≤ l y para cada i {0, 1,...., t − s}, la\ncomponente ps+i de q está conectado al componente p\nsi de q\nPrueba. Por parte (c) de Lemma 6.3, existen ≤ 6C +1 tales que el componente\nps está conectado a un componente p\ns′ para algunos s\n{1,.................................................................................................................. Por lo tanto hay un camino\nr1 entre (p\ns′)+ y (ps)+ con L(r1) ≤ 1. Considerar un nuevo ciclo o1 = r1q1r\ndonde q1 es el segmento de q de (ps)+ a q+ = r\n− y q\n1 es el segmento de q\nde q = r\n+ a (p\ns′)+.\nObserve que ps+1,. .., pl es la lista de todos los componentes de q1 y l−s ≥ l−6C−1 ≥\n6max{1, C 1, por lo tanto, de acuerdo con la parte (c) de Lemma 6.3 aplicado a o1, hay\nt ≥ l − 6max{1, C} > s de tal manera que pt esté conectado a p\nt′ por medio de una trayectoria r\ndonde s′ + 1 ≤ t′ ≤ l′, (r′1)− = (pt)+, (r\n1)+ = (p\nt′)+ y L(r\n1) ≤ 1. Considerar\n20 ASHOT MINASYAN\nsi′ p\nGráfico 1\nel ciclo o2 = r1q2r\n2 en los que q2 y q\n2 son los segmentos de q1 y q\n1 de\n(ps)+ = (r1)+ a (pt)+ y a partir de (p)\nt′)+ a (p\ns′)+ = (r1)− respectivamente (fig. 1).\nTenga en cuenta que ps+1,. .., pt es la lista de todos los componentes de q2 y p\ns1,. .., p\nt′ es la\nlista de todos los componentes de q′2\n. El ciclo o2 cumple los supuestos de la parte a) de\nLemma 6.3, por lo tanto para cada i {1,........................................................................................................................................................................................................................................................ \nde tal manera que ps+i está conectado a p\nsi′ (ps+i no se puede conectar a r1 [r\n1] porque en\neste caso estaría conectado a ps [pt], pero q es sin retroceso por Lemma\n6.2).\nQueda por demostrar que i′ = i para cada i. De hecho, si i′ < i para algunos\ni {1,....., t − s} entonces se puede considerar el ciclo o3 = r1q3r\n3, donde q3 y\nq′3 son segmentos de q2 y q\n2 de (q2)− = (r1)+ a (ps+i)+ y de (p)\nsi′ )+ a\n(q′2)+ = (r1)−, respectivamente, y (r\n3)− = (q3)+, (r\n3)+ = (q\n3)−, L(r\n3) ≤ 1. De acuerdo\na la parte a) de Lemma 6.3, cada uno de los componentes ps+1,. ..., ps+i de q3 debe ser\nconectado a uno de p′s1,. .., p\nsi′. Por lo tanto, ya que i\n′ < i, dos componentes distintos\nde q3 se conectará al mismo componente de q\n, que es imposible por parte\nc) de Lemma 6.3.\nLa desigualdad i′ > i llevaría a una contradicción después de una aplicación de un\nargumento simétrico a q′3. Por lo tanto i\n′ = i y se demuestra el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.5. En las anotaciones anteriores, deje m ≥ 7K y C = max{L(r),L(r′)}. Por\ncualquier número entero positivo d existe una constante L = L(C, d) N tal que si L(q) ≥ L\nentonces hay d componentes consecutivos ps,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ns′,. .., p\nsd−1 de\nq1, de modo que ps+i está conectado a p\nsi para cada i = 0,...., d− 1.\nPrueba. Elija la constante L de modo que (L − 1)/2 ≥ 12max{C, 1} + 2 + d.\np1,. .., pl ser la lista consecutiva de todos los componentes de q. Desde Lab(q)\ntienen l ≥ (L − 1)/2 (debido a la forma de cualquier palabra de W(,m)). Así podemos\naplicar Lemma 6.4 para encontrar índices s, t de su reclamación. Por la elección de s y t, y\nla estimación en l, tenemos t− s ≥ d+ 1, dando la declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorollary 6.6. Dejar G ser un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos adecuados\n{H. Suponga que un â € TM â € TM, para algunos â € â € TM, es un elemento de orden infinito,\ny x1, x2 â € ¬ G \\ H0. Entonces existe k â € N tal que g = a\nk1x1a\nk2x2 es un\nelemento hiperbólico de orden infinito en G cuando k1, k2 ≥ k.\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 21\nPrueba. Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que x1, x2 x, desde relativa\nhiperbólica no depende de la elección del conjunto de generación relativo finito\n([20, Thm. 2.34]). Elija el subconjunto finito \nde acuerdo con la reclamación de Lemma 6.1, y set m = 7K. Como el orden de una es infinito,\nNo hay k â € N tal que ak\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n≥ k. Asumir\nque k1, k2 ≥ k.\nSupongamos, en primer lugar, que gl = 1 para algunos l N. Considere el ciclo o = rqr′q′ en\n(G,X,H) donde q− = q+ = 1, Lab(q) • (a)\nk1x1a\nk2x2)\nl • W(,m) (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\nse consideran como letras únicas del alfabeto X H) y r, r′, q′ son vías triviales\n(consiste en un solo punto). Luego, por parte (a) de Lemma 6.3, cada componente de\nq debe ser regular en o, lo que es imposible ya que q es sin retroceso según\na Lemma 6.2. Por lo tanto g tiene orden infinito en G.\nSupongamos, ahora, que existe â â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\n−1 = u.\nNota C = yXH. Puesto que el elemento u â € ¢ G tiene un orden infinito, existe l â € TM N tales\nque 2l ≥ 6C+2 y ul / {h : h ≤ m}. La igualdad yg\nly−1u−l = 1 da\nla altura del ciclo o = rqr′q′ en فارسى(G,X»,H), donde r y r′ son carriles de longitud C cuya\nlas etiquetas representan y en G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q)\nk1x1a\nk2x2)\nl.o W.o.m.,\nr = q+, q\n− = r\n+ = y(a)\nk1x1a\nk2x2)\nly−1 y Lab(q′) u−l (l) W(,m), L(q′) = 1.\nPor parte c) de Lemma 6.3, al menos 2l − 6C ≥ 2 componentes distintos de q\nestar conectado a componentes distintos de q′, lo que es imposible ya que q′ tiene sólo uno\ncomponente. La contradicción muestra que g debe ser un elemento hiperbólico de G.\nLemma 6.7. Que G sea un grupo hiperbólico libre de torsión relativo a una familia de\nSubgrupos {H, a {H°0 \\ {1}, para algunos {0 â °, y t, u â € G \\Hœ0. Supón\nque existe kÃ3r â n de tal manera que para cada k ≥ kÃ3r el elemento g1 = a\nktakt−1\nes conmensurable con g2 = a\nkuaku−1 en G. Luego hay β, γ \nTal que u = γt, βa1 = a, 1aγ = a.\nPrueba. Cambiando el conjunto de generación relativo finito X de G, si es necesario, podemos\nAsumir que t, u, t−1, u−1 X. Deja que el subconjunto finito de G y G y la constante\nK N se elegirá de acuerdo con Lemma 6.1. Definir m = 7K y suponer que k es\nlo suficientemente grande como para satisfacer ak/ {h : h ≤ m}.\nDado que g1 y g2 son commensurables, existen l, l\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\nygl2y\n−1 = gl\n1. Let C = yXÃ3H, d = 8 y L = L(C, d) ser la constante de Lemma\n6.5. Sin pérdida de generalidad, asumir que 4l ≥ L. Considere el ciclo o = rqr′q′\n(G,X,H) de manera que r y r′ sean vías de longitud C cuyas etiquetas representen y\nen G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q) \nkuaku−1)l â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € €.................................................................................................................................................................................................................................. \nq = r\n+ = yg\n−1, Lab(q′) فارسى (aktakt−1)l\n• W(,m), L(q′) = 4l′.\nAhora, por Lemma 6.5, hay subtrayectorias q? = p1s1p2s2p3s3p4 de q y q?\n4 de q\n1 tal que el Lab(pi)\nk, Lab(p′i)\nk, i = 1, 2, 3, 4, para\nalgunos de ellos (que depende del signo de l′), laboratorio(s1), laboratorio(s3), u,\nLaboratorio(s2)\n−1, Lab(s′1) • Lab(s)\n3) t\n*, Lab(s′2) * t\n, para algunos 1, 1}, y\npi está conectado a p\ni para cada i = 1, 2, 3, 4. Por lo tanto existen caminos\np1, p2, p3, p4 cuyas etiquetas representan, respectivamente, los elementos α, β, γ,\nque (p01) = (p1)+, (p1)+ = (p\n1)+, (p̃2)− = (p\n2)+, (p2)+ = (p2)+, (p3)− = (p3)−,\n(p̃3)+ = (p\n3) -, (p04) - = (p\n4)−, (p̃4)+ = (p4)− (ver Fig. 2).\nLos ciclos s−11 pœ1s\n2p‡2p\n2, s2pс3s\np‡2 y s\n3 pœ3p\nEl 3p4 da lugar a la creación de una sociedad de la información en la que la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información y la sociedad de la información.\nla bajada de las equivalencias en el grupo G:\nu = αtaakβa−k, u = γt y u = a−kγakt.\n22 ASHOT MINASYAN\np1 s1 p2 s2 p3 s3 p4\np′1 s\np. 1 p. 2 p. 3 p. 4\nak u ak u−1 ak u\na-ka-ka-ka-ka-k\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nGráfico 2\nConsecuentemente, recordando que Hl0 es anormal (Lemma 2.3) y que t\n# Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # # Nos # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nβak1ak = t1αtà â â € â € â € â € â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nH/23370/0t\n• = {1}, y\nak1akγ = t1t â € â € â € â € TM t\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n= {1}.\n(6.1) βak1 = ak y 1akγ = ak\npara algunos β = β(k), γ = γ(k) Tenga en cuenta que\nla prueba funciona para cualquier k suficientemente grande, por lo tanto podemos encontrar dos mutuamente\nNúmeros enteros positivos primos k, k′ con las propiedades anteriores de tal manera que â € (k) = â € (k′) = â € €\nDenota = β(k′) y γ(k′), luego γt = u = t,\nlo que implica\n1 = t\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n= {1}.\nPor lo tanto = β, = γ,\n(6.2) βak\n1 = ak\ny 1ak\nγ = ak\nQueda por observar que, puesto que k y k′ son mutuamente primos, las fórmulas (6.1)\ny (6.2) juntos rinden\nβa1 = a y 1aγ = a,\nq.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos\nDejar G ser un grupo generado por un subconjunto A G y dejar O ser el conjunto de todos\npalabras en el alfabeto A±1, que son triviales en G. Entonces G tiene una presentación de la\nel siguiente formulario:\n(7.1) G = â € A â € Oâ € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nDado un conjunto simetrizado de palabras R sobre el alfabeto A, considere el grupo G1\ndefinido por\n(7.2) G1 = â € A â € O â € Râ € = â € G â € Râ €\nDurante la prueba del resultado principal de esta sección utilizamos presentaciones (7.2) (o,\nEquivalentemente, los conjuntos de retablos adicionales R) que satisfacen el\nla condición de cancelación C1(, μ, , c, ). En el caso de los grupos hiperbólicos de la palabra esto\ncondición fue sugerido por Ol'shanskii en [16], y se generalizó después a\ngrupos hiperbólicos relativamente por Osin en [21]. Para la definición y la teoría detallada\nremitimos al lector al artículo [21], ya que sólo utilizaremos las propiedades, que fueron\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 23\nya establecido allí. La siguiente observación es una consecuencia inmediata\nde la definición:\nObservación 7.1. Dejar que las constantes (j, μj, , c, /23370/j, j = 1, 2, satisfagan 0 < ≤ 1, 0 ≤ فارسى1 ≤\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Si la presentación (7.2) disfruta de la condición\nA continuación, también goza de la condición C1(2, μ2, 2, c, 2), y de la condición C1(1, 1, 1, c, 1).\nTambién asumiremos que el lector está familiarizado con la noción de un van Kampen\ndiagrama sobre la presentación del grupo (7.2) (véase [10, cap. V] o [15, Ch. 4]). Dejad en paz.\nTal diagrama. Una célula Π de • se llama una célula-R si la etiqueta de su contorno de contorno\n(es decir, la palabra escrita en él comenzando con algún vértice en el sentido contrario a las agujas del reloj\ndirección) pertenece a R.\nConsiderar una ruta cerrada simple o = rqr′q′ en un diagrama\n(7.2), de tal manera que q es un subcamino del ciclo límite de una célula R Π y q′ es un\nsubpath de. Dejado denotar el subdiagrama de la o. Asumiendo que\nNo tiene agujeros, ni células-R y L(r), L(r′) ≤ \nsubdiagrama de Π a. La razón L(q)/L() se denominará grado de contigüidad\nde Π a y denotado (Π,, ).\nUn diagrama se dice que se reduce si tiene un número mínimo de células-R entre todos\nlos diagramas con la misma etiqueta de contorno.\nSi G es un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados\nun conjunto de generación relativo finito X, entonces G es generado por el conjunto A = X •\n(Hola)\n{1}), y el gráfico de Cayley (G,A) es un espacio métrico hiperbólico [20, Cor. 2.54].\nEn cuanto a cada condición de cancelación pequeña, la declaración principal de la teoría es\nel siguiente análogo de Lemma de Greendlinger, alegando la existencia de una célula,\ngran parte de cuyo contorno se encuentra en el límite del diagrama de van Kampen.\nLemma 7.2 ([21], Cor. 4.4. Supongamos que el grupo G es generado por un subconjunto A\ntal que el gráfico de Cayley (G,A) es hiperbólico. Entonces para cualquier 0 < ≤ 1 hay\nμ0 > 0 de tal manera que para cualquier μ â € (0, μ0] y c ≥ 0 haya â € 0 ≥ 0 y â € 0 > 0 con la\ndespués de la propiedad.\nQue la presentación simetrizada (7.2) satisfaga la condición C1(0, μ, , c, 0).\nAdemás, vamos a ser un diagrama reducido de van Kampen sobre G1 cuyo contorno de contorno\nes (l, c)-cuasigeodésico en G. Entonces, a condición de que tiene una célula-R, existe una célula-R\nΠ en los Estados miembros y en un subdiagrama de contiguidad de los Estados miembros de la Comunidad, de Π a, de modo que:\n(Π,l, ) > 1− 23μ.\nLa aplicación principal de esta pequeña condición particular de cancelación es\nLemma 7,3 ([21], Lemmas 5.1 y 6.3). Para cualquier 0 < ≤ 1, c ≥ 0 y N > 0\nexisten μ1 > 0,1, 1 ≥ 0 y 1 > 0 de tal manera que para cualquier conjunto de palabras simetrizadas\nR que cumplan las condiciones siguientes: C1(1, μ1, 1, c, 1)-condición:\n1. El grupo G1 definido por (7.2) es hiperbólico en relación con la colección de\nimágenes (Hola)}iI bajo el homomorfismo natural η : G→ G1.\n2. La restricción de η al subconjunto de elementos que tienen longitud como máximo N con\nel respeto a A es inyector.\n3. Cualquier elemento que tiene un orden finito en G1 es una imagen de un elemento de\norden finito en G.\nA continuación se muestra el lema principal de esta sección que más tarde se utilizará para probar\nTeorema 1.5.\n24 ASHOT MINASYAN\nLemma 7.4. Supongamos que G es un grupo hiperbólico libre de torsión en relación con una familia\nde los subgrupos adecuados {Hi}iI, X es un conjunto de generación relativa finita de G, S es un adecuado\nEl subgrupo de G y U-G es un subconjunto finito. Supón que yo, un Hi0 \\ {1}\ny v1, v2+G son elementos hiperbólicos que no son comparables entre sí.\nEntonces existe una palabra W (x, y) sobre el alfabeto {x, y} de tal manera que lo siguiente es\nCierto.\nDenotar w1 = W (a, v1) G, w2 = W (a, v2) G, y dejar que w2 sea el normal\ncierre de w2 en G, G1 = G/w2 y η : G → G1 ser el epimorfismo natural.\n• η es inyector en {H • U y G1 es hiperbólico en relación con la familia\n(H/23370/);\n• η(S) es un subgrupo adecuado de G1;\n• G1 está libre de torsión;\n• η(w1) 6= 1.\nPrueba. Por Lemma 2.7 hay elementos hiperbólicos v3, v4 S tal que vi\n6o vj si\n1 ≤ i < j ≤ 4. Entonces por Lemma 2.2, el grupo G es hiperbólico relativo a lo finito\nRecolección de subgrupos\nj=1{EG(vj)}, y generado por el conjunto\nA = X\nEG(vj)\n\\ {1}.\nLet G y K N denotar el subconjunto finito y la constante lograda después de un\naplicación de Lemma 6.1 a esta nueva colección de subgrupos periféricos.\nDefinir m = 7K, = 1/3, c = 2 y N = maxuA : u U} + 1. Elegir\nμj > 0, Łj ≥ 0 y /23370/j > 0, j = 0, 1, según las alegaciones de Lemmas 7,2\ny 7.3. Dejemos que L = L(C, d) > 0 sea la constante dada por\nLemma 6.5 donde C = 0 y d = 2. Es evidente que existe n o N tal que, para\nμ = (3 11)/n, uno tiene\n0 < μ ≤ min0, μ1}, 2n(1− 23μ) > L, y 2n > max0, \nF() =\nh : h ≤ max{K(32 70),m}\nPuesto que el subconjunto F () es finito, podemos encontrar k • N de tal manera que ak\n1, v\n2 / F(♥)\ncuando k′ ≥ k. Considere la palabra\nW (x, y) فارسى xkykxk+1yk+1. .. xk+n−1yk+n−1.\nQue wj G sea el elemento representado por la palabraW (a, vj) en G, j = 1, 2, y que\nR es el conjunto de todos los cambios cíclicos de W (a, v2) y sus inversas. Por Lemma 2.3, Hi0\nEG(v2) = {1} porque G está libre de torsión, por lo tanto por [21, Thm. 7.5] la presentación\n(7.2) cumple la condición C1( siguientes, μ, 1/3, 2, 2n), y por lo tanto, mediante la Observación 7.1,\ncumple las condiciones C1(0, μ, 1/3, 2,0) y C1(1, μ1, 1/3, 2,1).\nObserve que w1 6= 1 en G porque, de lo contrario, habría existido un cerrado\nruta q en Ł(G,A) etiquetada con la palabra W (a, v1), y, por parte (a) de Lemma 6.3,\ntodos los componentes de q habrían sido regulares en el ciclo o = rqr′q′ (donde r, r′, q′\nson caminos triviales), lo que es obviamente imposible.\nDenotar G1 = G/w2 y dejar η : G → G1 ser el epimorfismo natural. Entonces,\nde acuerdo con Lemma 7.3, el grupo G1 es libre de torsión, hiperbólico relativo a\n# Hola # # I # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I #\nj=1(EG(vj))} y η es inyector en el conjunto\n¡Hola!\nj=1 EG(vj)\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 25\nU (porque la longitud en A de cualquier elemento de este conjunto es como máximo N). Desde cualquier\ngrupo elemental es palabra hiperbólica, G1 es también hiperbólica relativa a (Hola)}iI\n(por Lemma 2.4) y η(v3), η(v4) η(S) se convierten en elementos hiperbólicos de infinito o-\nder en G1, que no son comparables entre sí (por Lemma 2.3). Por lo tanto\nEG1(η(v3)) • EG2(η(v4)) = {1} (recordemos que estos subgrupos son cíclicos por Lemma\n2.2 y porque G1 está libre de torsión), y, por consiguiente, η(S) es un subgrupo adecuado\nde G1.\nSupongamos que η(w1) = 1. Por Lemma de van Kampen existe una reducción\ndiagrama plano sobre la presentación (7.2) con la palabra W (a, v1) escrita en su\nlímite. SinceW (a, v1)\n6 = 1, posee al menos una célula-R. Fue probado en [21,\nLemma 7.1] que cualquier camino en •(G,A) etiquetado por W (a, v1) es (1/3, 2)-cuasigeodésico,\npor lo tanto, podemos aplicar Lemma 7.2 para encontrar una R-célula Π de.................................................................................................................................................................................................................................................... \n(que no contienen R-células) entre Π y de tal manera que (Π,,) >\n1− 23μ. Por lo tanto, existe un ciclo o = rqr′q′ en Ł(G,A) de tal manera que q está etiquetado por un\nsubpalabra de (un cambio cíclico de) W (a, v2), q\n′ está etiquetada con una subpalabra de (un cambio cíclico\nde) W (a, v1)\n±1, L(r), L(r′) ≤ 0 = C y\nL(q) > (1− 23μ) · L() = (1− 23μ) · 2n > L.\nEn particular, Lab(q), Lab(q′) Por lo tanto, podemos aplicar Lemma 6.5 a\nencontrar dos componentes consecutivos de q que están conectados a algunos componentes de\nq′. Debido a la forma de la palabra W (a, v2), uno de los\nEG(v2)-componente, pero q\n′ puede tener sólo EG(v1)- o Hi0 -componentes. Esto da resultados\nuna contradicción porque EG(v2) 6= EG(v1) y EG(v2) 6= Hi0. Por lo tanto η(w1) 6= 1 en\nG1, y la prueba está completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)\nLemma 8.1. Existe una palabra R(x, y) sobre el alfabeto de dos letras {x, y} tales\nque cada palabra libre de torsión no elemental del grupo hiperbólico F1 tiene un no-elemen-\ntary torsion-free palabra cociente hiperbólico F que se genera por dos elementos a, b\nF satisfactoria\n(8.1) R(a, b)\n6= 1, R(a−1, b−1)\n= 1, R(b, a)\n= 1, R(b−1, a−1)\nPrueba. Considere la palabra\nR(x, y) فارسى xy101x2y102. x100y200.\nDenotar por F (a, b) el grupo libre con los generadores libres a, b. Vamos.\nR1 = {R(a, b), R(a)\n−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)},\ny R2 ser el conjunto de todas las permutaciones cíclicas de palabras de R\n1. Es fácil de ver.\nque el conjunto R2 satisface la condición clásica de cancelación pequeña C\n′(1/8) (véase [10,\nCh. V]). Denotar por Ñ el cierre normal del juego\nR3 = {R(a)\n−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)}\nen F (a, b). Dado que la simetría de R3 también satisface C\n′(1/8), el grupo F\nF (a, b)/Ñ está libre de torsión ([10, Thm. V.10.1]) grupo de palabras hiperbólicas (porque\ntiene una presentación finita para la cual la función Dehn es lineal por [10, Thm. V.4.4])\nde tal manera que\nR(a, b)\n6= 1 pero R(a−1, b−1)\n= R(b, a)\n= R(b−1, a−1)\n26 ASHOT MINASYAN\nDe hecho, si la palabra R(a, b) eran triviales en Fû entonces, por Lemma de Greendlinger [10,\nThm. V.4.4], que contendría más de la mitad de un\nR3 como subpalabra, lo que contradice el hecho de que R2 disfruta de C\n′(1/8).\nEl grupo F‡ no es elemental porque cada grupo elemental libre de torsión es\ncíclico, por lo tanto, abeliano, pero en cualquier grupo abeliano la relación R(a−1, b−1) = 1 implica\nR(a, b) = 1.\nAhora, el producto libre Gś = Fś ∗F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión. Sus subgrupos\nFū y F1 no son elementales, por lo tanto, según un teorema de Ol'shanskii [16,\nThm. 2], existe una palabra no elemental sin torsión hiperbólica grupo F y\na homomorfismo \nF. Por lo tanto F es un cociente de F1, los elementos a, b generar F\ny disfrutar de las relaciones requeridas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora estamos listos para probar el Teorema 1.5.\nPrueba de Teorema 1.5. El argumento será similar al que se usó para probar el...\norem 5.1.\nEn primer lugar, establecer n = 2 y aplicar Lemma 4.2 para encontrar un grupo libre de torsión H\ny un subgrupo normal M H, donde H/M = C y M tiene (2CC) (alternativamente,\nuno podría comenzar con un grupo libre H ′ y M ′ H ′ de tal manera que H ′/M ′ C, y luego\naplicar Lemma 4.4 al par (H ′,M ′) para obtener H y M con estas propiedades).\nConsidere la palabra R(x, y) y el grupo hiperbólico libre de torsión F, generado por\nlos elementos a, b • F que satisfacen (8.1), dados por Lemma 8.1. Nota G(−2) =\nH* F y dejar que N(−2) sea el cierre normal de M, F en G(−2), F (−2) = F,\nR(−2) = {R(a, b)} – un subconjunto finito de F (−2). Por Lemma 2.6, G(−2) será\nhiperbólico en relación con el subgrupo H, G(−2) = H ·N(−2), H •N(−2) =M y\nF (−2) será un subgrupo adecuado de G(−2).\nEl elemento a F (−2) será hiperbólico en G(−2) y desde el grupo G(−2)\nes libre de torsión, el subgrupo elemental máximo EG(−2)(a) será cíclico generado\npor algún elemento h−2x−2, donde h−2 â € H, x−2 â € N(−2).\nElija y -2 â € M de modo que h -2y -2 6= 1. Por Lemmas 2.2 y 2.5, la HNN-\nextensión\nG(−3/2) = •G(−2), t−1 • t−1h−2x−2t\n−1 = h−2y−2\nes hiperbólico en relación con H. Como en la prueba de Teorema 5.1, se puede verificar que F (−3)\nes un subgrupo adecuado de G(−3/2), y aplicar Teorema 2.8 para encontrar un epimorfismo\n2 : G(−3/2) → G(−1) de tal manera que G(−1) es un grupo sin torsión hiperbólico relativo\na 2(H), 2 es inyector en H (−2) y 2(t−1) F (−1) donde F (−1) =\n2(F (−2)) es un subgrupo adecuado de G(−1). Por lo tanto 2(G(−2)) = G(−1) como\nG(−3/2) fue generado por G(−2) y t−1.\nNota N(−1) = 2(N(−2)), R(−1) = 2(R(−2)) y 2 = 2G(−2):\nG(−2) G(−1). Uno puede mostrar queG(−1) = H ·N(−1) yH •N(−1) =M usando\nlos mismos argumentos que en la prueba de Teorema 5.1. Según la construcción,\nTenemos\n2(t−1)2(a)2(t)\n−1) = η(t−1at\n-1) - N(−1) - H = M\nen G(−1), por lo tanto, puesto que la conjugación por 2(t−1) es un automorfismo interno\nde F (−1), podemos suponer que F (−1) es generada por a−1 y b−1, donde a−1 â € M\ny R(a−1, b−1) 6= 1 en F (−1) (porque 2(R(a, b)) 6= 1 en F (−1)).\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 27\nAhora, si b−1 no es un elemento hiperbólico de G(−1), es decir, si b−1\nG(−1)\nC para algunos\nc H, luego c N(−1)H = M, y puesto que M tiene (2CC) podemos encontrar s−1 G(−1)\ntal que b−1 = s−1a−1s\n−1. En este caso definimos G(0) = G(−1), N(0) = N(−1),\nF (0) = F (−1), R(0) = R(−1), a0 = a−1, s0 = s−1 y 1 = idG(−1).\nDe lo contrario, si b−1 es hiperbólico en G(−1), entonces construimos el grupo G(0),\ny un epimorfismo 1 : G(−1) → G(0) de una manera análoga, para asegurarse de que\n1 es inyector en H R(−1), G(0) sin torsión e hiperbólico relativo a (la\nimagen de) H, F (0) = 1(F (−1)) es un subgrupo adecuado de G(0), G(0) = H ·N(0)\ny H N(0) = M donde N(0) = 1(N(−1)), y b0 = s0a0s\n0 en G(0) donde\nb0 = 1(b−1), a0 = 1(a−1) para algunos s0 • G(0)\nEnumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. . }, y de G(0): {q0, q1, q2,. .. },\nasí que g0 = q0 = 1.\nLos grupos G(j) junto con N(j)G(j), F (j) ≤ G(j), subconjuntos finitos R(j)\nG(j), y los elementos aj, sj • G(j), j = 1, 2,...., que construiremos satisfarán\nlas siguientes propiedades:\n1o. para cada j • N hay un epimorfismo •j−1 : G(j − 1) → G(j) que es\ninyectora de H+R(j− 1). F (j) = j−1(F (j − 1)), N(j) = j−1(N(j − 1)),\naj = •j−1(aj−1) •M, sj = •j−1(sj−1) • G(j);\n2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤\nG(j) es un subgrupo adecuado generado por aj y sjajs\n3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M ;\n4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j);\n5o. existe zj H tal que q̄j\n* zj, donde q̄j es la imagen de qj en G(j);\n6o. si j ≥ 1, q̄j−1 â ¬ G(j − 1) \\H y para cada kâ ¬ N hay k ≥ kâ € de tal manera que\nakj−1sj−1a\nG(j−1)\n6o akj−1q̄j−1a\nj−1q̄\nj−1, entonces hay una palabra Rj−1(x, y)\nsobre el alfabeto de dos letras {x, y} que satisface\nR(j) j−1\nRj−1(aj−1, sj−1aj−1s\n6= 1 y\nRj−1(aj−1, q̄j−1aj−1q̄\n=1 en G(j).\nSupongamos que los grupos G(0),. .., G(i) ya se han definido. El grupo\nG(i+1) se construirá en tres pasos.\nEn primer lugar, supóngase que q̄i • G(i) \\ H y para cada kâ · N hay k ≥ kâ ° tal que\naki sia\n6o aki q̄ia\ni. Obsérvese que si / H porque, de lo contrario, uno podría\ntener F (i) H, lo que es imposible, ya que F (i) es adecuado en G (i). Por lo tanto, por\nCorollary 6.6, podemos suponer que k es tan grande que los elementos v1 = a\ni sia\ny v2 = a\ni q̄ia\ni son hiperbólicos en G(i). Aplicando Lemma 7.4 podemos encontrar un\npalabra W (x, y) sobre {x, y} tal que el grupo G(i+1/3) = G(i)/W (ai, v2) y\nel epimorfismo natural η : G(i) → G(i + 1/3) satisfacen lo siguiente: η es inyector\nen H • R(i), G(i + 1/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de)\nH, η(F (i)) ≤ G(i + 1/3) es un subgrupo adecuado, y η(W (ai, v1)) 6= 1. Definir la\npalabra Ri(x, y) • W (x, x\nkyk). Entonces Ri(ai, siais\ni ) = W (ai, v1), Ri(ai, q̄iaiq̄\ni ) =\nW (ai, v2) en G(i), por lo tanto\nRi(ai, siais\n6= 1 y η\nRi(ai, q̄iaiq̄\n= 1 en G(i + 1/3).\n28 ASHOT MINASYAN\nSi, por otro lado, q̄i H o hay kâr â € N tal que por cada k ≥ kâ € uno tiene\naki sia\nفارسى aki q̄ia\ni, entonces definimos G(i+1/3) = G(i), η : G(i) → G(i+1/3)\nser el homomorfismo idéntico y Ri(x, y) ser la palabra vacía.\nDenotar las imágenes de gi+1 y qi+1 en G(i + 1/3) y Qí+1 en G(i + 1/3)\nη(N(i)), FÃ3r (i) = η(F (i)) y RÃ3r(i) = η\nR(i) {Ri(ai, siais)\n. Entonces, usando 3o,\nObtenemos G(i + 1/3) = H · N+(i) y H+N+(i) = M porque ker(η) ≤ N(i) (como\nai, q̄iaiq̄\ni) N(i)).\nAhora construimos el grupo G(i + 2/3) exactamente de la misma manera que el grupo\nG(i+ 1/2) fue construido durante la prueba de Teorema 5.1.\nSi para algunos f • G(i + 1/3), f q • i + 1f\n−1 = z • H, luego set G(i + 2/3) = G(i),\nKi+1 = No(i)G(i + 2/3) y ti+1 = 1.\nDe lo contrario, qáši+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i + 1/3). Desde\nG(i + 1/3) es libre de torsión, uno tiene EG(i+1/3)(qáñi+1) = áhxÃ3n para algunos h à H y\nx â € € TM Nâ € (i), y hay m â € € TM Z tal que qâ € i + 1 = (hx)\nm. Ahora, por Lemma 2.2,\nG(i + 1/3) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1 y\nque G(i+ 2/3) sea la siguiente extensión HNN de G(i + 1/3):\nG(i + 2/3) = G(i + 1/3), ti+1 ti+1(hx)t\ni+1 = hyâ.\nEl grupo G(i + 2/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.\nSe puede demostrar que F® (i) es un subgrupo adecuado de G(i + 2/3) de la misma manera que\ndurante la prueba de Teorema 5.1. Lemma 4.3 asegura que H-Ki+1 = M donde\nKi+1 G(i+2/3) es el cierre normal de â € € TM nâ € (i), ti+1â € en G(i+2/3). Por último, nota\nti+1qçói+1t\ni+1 = ti+1(hx)\nmt−1i+1 = (hi)\nm = z + H en G(i + 2/3).\nDefinir Ti+1 = i+1, ti+1} Ki+1. El grupo G(i + 1) se construye a partir de\nG(i+2/3) de la siguiente manera. Desde Ti+1 · Fâ € (i) · Ki+1G(i+2/3), podemos aplicar el teorema\n2.8 para encontrar un grupo G(i + 1) y un epimorfismo : G(i + 2/3) → G(i + 1) tales\nque el i es inyector en el H-R-i, G-i-+1 está libre de torsión e hiperbólico en relación con el\n(la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}\nde G(i + 1), y ker(Łi) ≤ Ki+1. Denota por : G(i) → G(i + 1) la composición\nNo. No. No. No. No. No. No. No. No. No. No. A continuación, se genera G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1 porque G(i + 2/3)\npor G(i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 \nAhora, después de definir F (i+1) = i(F (i)), N(i+1) = i(N(i)), R(i+1) = i(R®(i)),\ni+1 = i(i+1) F (i+1) y zi+1 = i(z) H, vemos que las condiciones 1\n5o período de sesiones\nmantener en el caso cuando j = i + 1, como en la prueba de Teorema 5.1. La última propiedad\n6o sigue de la forma en que construimos el grupo G(i + 1/3).\nDejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que\nF () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Vamos a, b,\ny ser las imágenes de a0, b0 y s0 en Q respectivamente. A continuación, b. = s............................................................................................................\n*, Q\nestá libre de torsión por 2°, N Q, Q = H ·N y H °N =M por 3°, N ≤ F () por 4°.\nPor lo tanto, Q/N = H/M = C.\nDesde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico\nimagen de F (0) = F, y, en consecuencia, es un cociente de F1. Por 5\n# Para cualquier q # N\nhay z • H y p • Q de tal manera que pqp−1 = z. En consecuencia z • H • N = M.\nElija x â € N y h â € H para que p = hx. Puesto que M tiene (2CC) y h−1zh M,\nhay y M tal que yh−1zhy−1 = z, por lo tanto (yx)q(yx)−1 = z M y\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 29\nPor lo tanto, cada elemento q de N se conjugará (en N) a un\nelemento de M, y como M tiene (2CC), por lo tanto el grupo N también tendrá (2CC).\nLa propiedad que CQ(N) = {1} se puede establecer de la misma manera que en\nTeorema 5.1. Por lo tanto, el homomorfismo natural Q → Aut(N) es inyector. Lo siento.\nsigue siendo para demostrar que es sujetivo, es decir, para cada Aut (N) hay g Q\ntal que فارسى(x) = gxg−1 por cada x • N. Puesto que todos los elementos no triviales de N son\nconjugado, después de componer Ł con un automorfismo interno de N, podemos asumir\neso es, a) = a). Por otra parte, existen qÃ3n à n y i à n de tal manera que\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\nLa imagen de Q es la imagen de Q en Q. Tenga en cuenta que sâ € / € H porque\nsi G(i) \\ H para cada i(i) N. Esto implica que H es un subgrupo adecuado de N,\nPor lo tanto, se trata de una medida que no se aplica a las importaciones procedentes de la República Popular China.\n• ≤ Q, y • a • H. Por lo tanto\nq̄i G(i) \\H.\nAhora tenemos que considerar dos posibilidades.\nCaso 1: para cada kÃ3r à r N hay k ≥ kà r tal que\naki sia\n6o aki q̄ia\nEntonces hay una palabra Ri(x, y) tal que la propiedad 6\nSe mantiene para j = i + 1. Y,\nya que cada j es inyector en {1} Rj (por 2\n•), llegamos a la conclusión de que\nRi(a), s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a)\n6 = 1 y Ri(a),q\n(+ ) = 1 en Q,\nlo que contradice la inyectividad de............................................................................................................... Por lo tanto, el Caso 1 es imposible.\nCaso 2: las suposiciones del Caso 1 fallan. Entonces podemos usar Lemma 6.7 para encontrar\nβ, γ H y, 1, 1} de tal manera que q̄i = γs\niβ, βaiβ\n−1 = ai y γ\n−1aiγ = a\nen G(i). Denotar por la imagen γ en Q, y para cualquier y Q dejar que Cy sea el\nautomorfismo de N definido por Cy(x) = yxy\n−1 para todas las x + N.\nSi # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* y * b ) = q ) a q ) q ) a q ) b ).................................................................................................................................................................................................................................................. \n= s\npor lo tanto\nAut(N) Cs1°\na- 7→ s-a\n• = b\nÍndice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018\n7→ a\nPero N no tiene tales automorfismos porque R (a), b), 6 = 1 y R (b)\n(+) = 1 in\nN (ya que N es un cociente de F y 1 6= R(a0, b0) R(0) en G(0)).\nPor lo tanto = 1. Del mismo modo, = 1, ya que de lo contrario obtendríamos una contradicción\ncon el hecho de que R(a−1•, b\n* ) = 1 en N. Por lo tanto.\nAut(N) C1°\na- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a-\nÍndice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018\n• 7→ sznaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\n* = b. = b...........................................................................................................................................\nY ya que a• y b• generan N concluimos que para todos x • N, • (x) = gxg\ndonde g = Q. Por lo tanto, el homomorfismo natural de Q a Aut (N) es bijetivo,\nlo que implica que Out(N) = Aut(N)/Inn(N) + Q/N = C. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[1] G. Arzhantseva, A. Minasyan, D. Osin, La universalidad del SQ y las propiedades residuales de rela-\ngrupos hiperbólicos, J. Algebra 315 (2007), no. 1, 165-177.\n[2] I. Belegradek, D. Osin, Rips construction and Kazhdan property (T), preprint (2006). arXiv:\nmatemáticas.GR/0605553\n[3] I. Bumagin, D.T. Sabio, Cada grupo es un grupo de automorfismo externo de un finito generado\ngrupo, J. Pura Appl. Álgebra 200 (2005), no. 1-2, 137-147.\n[4] R. Camm, Simple Free Products, J. London Math. Soc. 28 (1953), 66 a 76.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0605553\n30 ASHOT MINASYAN\n[5] Y. de Cornulier, finitamente presentable, grupos no-hopfianos con la propiedad de Kazhdan e infi-\nnite grupo de automorfismo externo, Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 135 (2007), no. 4, 951-959.\n[6] P. de la Harpe, A. Valette, La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts,\n(avec un apendice de Marc Burger). Astérisque 175, 1989.\n[7] M. Droste, M. Giraudet, R. Göbel, Todos los grupos son grupos de automorfismo externo de simple\ngrupos, J. London Math. Soc. (2) 64 (2001), no 3, 565-575.\n[8] G. Higman, B.H. Neumann, H. Neumann, Teoremas empotrados para grupos, J. London Math.\nSoc. 24 (1949), 247-254.\n[9] El cuaderno de Kourovka. Problemas sin resolver en la teoría de grupos, 16a edición aumentada, V. D.\nMazurov y E. I. Khukhro eds., Rossskaya Akademiya Nauk, Sibirskoe Otdelenie, Insti-\ntut Matematiki (rama siberiana de la Academia Rusa de Ciencias, Instituto Matemático),\nNovosibirsk, 2006.\n[10] R. Lyndon y P. Schupp, Teoría del Grupo Combinatorio, Springer-Verlag, 1977.\n[11] T. Matumoto, Cualquier grupo está representado por un grupo de automorfismo externo, Hiroshima Math.\nJ. 19 (1989), No. 1, 209-219.\n[12] A. Muranov, Diagramas con selección y método de construcción\nGrupos limitedly simples, Comm. Álgebra 33 (2005), no. 4, 1217-1258.\n[13] A. Muranov, Finitely generó infinitos grupos simples de anchura infinita del conmutador, Int. J.\nAlgebra Comput. 17 (2007), No. 3, 607-659.\n[14] Y. Ollivier, D.T. Sabio, Kazhdan grupos con infinito grupo de automorfismo externo, Trans. Amer.\nMatemáticas. Soc. 359 (2007), no. 5, 1959-1976.\n[15] A.Yu. Ol'shanskii, Geometría de las relaciones de definición en grupos, Moscú, Nauka, 1989 (en Rus-\nSian); traducción al inglés en Matemáticas y sus Aplicaciones (Serie Soviética), 70. Kluwer\nGrupo de Editores Académicos, Dordrecht, 1991.\n[16] A.Yu. Ol'shanskii, Sobre homomorfismos residuales y subgrupos G de grupos hiperbólicos,\nInternat. J. Algebra Comput. 3, no. 4 (1993), 365-409.\n[17] D.V. Osin, subgrupos elementales de grupos relativamente hiperbólicos y generación limitada,\nInternat. J. Algebra Comput. 16 (2006), no. 1, 99-118.\n[18] D.V. Osin, rellenos periféricos de grupos relativamente hiperbólicos, Invent. Matemáticas. 167 (2007), no. 2,\n295-326.\n[19] D.V. Osin, funciones relativas de Dehn de extensiones HNN y productos amalgamados, Topo-\naspectos lógicos y asintóticos de la teoría de grupo, Contemp. Matemáticas. 394, 209-220, Amer. Matemáticas.\nSoc., Providence, RI, 2006.\n[20] D.V. Osin, Grupos relativamente hiperbólicos: geometría intrínseca, propiedades algebraicas, y algo-\nProblemas rítmicos, Mem. Amer. Matemáticas. Soc. 179 (2006), No. 843, vi+100 pp.\n[21] D.V. Osin, pequeñas cancelaciones sobre grupos relativamente hiperbólicos e incrustar teoremas,\nAnales de Matemáticas, para aparecer. arXiv: matemáticas.GR/0411039\n[22] F. Paulin, Automorfismos exteriores de grupos hiperbólicos y pequeñas acciones sobre árboles-R, Arboreal\nTeoría del Grupo (MSRI, Berkeley, 1988), R.C. Alperin ed., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 19,\nSpringer, Nueva York, 1991.\nFacultad de Matemáticas, Universidad de Southampton, Highfield, Southampton, SO17\n1BJ, Reino Unido.\nDirección de correo electrónico: aminasyan@gmail.com\nhttp://arxiv.org/abs/math/0411039\n\t1. Introducción\n\t2. Grupos relativamente hiperbólicos\n\t3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente\n\t4. Subgrupos normales con (nCC)\n\t5. Añadiendo generación finita\n\t6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente\n\t7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos\n\t8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Combinamos métodos clásicos de teoría de grupos combinatoria con la teoría de\npequeñas cancelaciones sobre grupos relativamente hiperbólicos para construir finitamente\ngrupos libres de torsión generados que sólo tienen finitamente muchas clases de conjugado\nelementos. Por otra parte, presentamos varios resultados relativos a las incorporaciones en\ngrupos.\n Como otra aplicación de estas técnicas, demostramos que cada cuenta\ngrupo $C$ se puede realizar como un grupo de automorfismos externos de un grupo $N$,\ndonde $N$ es un grupo finitamente generado que tiene la propiedad de Kazhdan (T) y\nque contiene exactamente dos clases de conjugación.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEmpezaremos con\nDefinición. Supongamos que n ≥ 2 es un entero. Diremos que un grupo M tiene el\npropiedad (nCC) si hay exactamente n clases de conjugación de elementos en M.\nTenga en cuenta que un grupo M tiene (2CC) si y sólo si hay dos elementos no triviales\nconjugado en M. Para dos elementos x, y de algún grupo G, escribiremos x\n• y si x\ny y son conjugados en G, y x\nY si no lo son.\nPara un grupo G, denote por η(G) el conjunto de todos los órdenes finitos de elementos de G. A\nEl teorema clásico de G. Higman, B. Neumann y H. Neumann ([8]) afirma que\ncada grupo contable G puede ser incrustado en un contable (pero infinitamente gen-\ngrupo M, en el que se conjugan dos elementos del mismo orden y\nη(M) = η(G).\nPara cualquier entero n ≥ 2, tome G = Z/2n−2Z e incruste G en un grupo contable\nM según el teorema de arriba. A continuación, tarjeta(l(M)) = tarjeta(l(G)) = n − 1.\nPuesto que, además, M siempre contendrá un elemento de orden infinito, el teorema\nde Higman-Neumann-Neumann implica que G ha (nCC).\nOtra forma de construir grupos infinitos con muchas clases de conjugación finitamente\nfue sugerido por S. Ivanov [15, Thm. 41,2], que mostró para cada lo suficientemente grande\nprime p hay un infinito 2-generado groupMp de exponente p poseyendo exactamente p\nclases de conjugación. El groupMp se construye como un límite directo de la palabra hiperbólica\ngrupos, y, como se indica en [21], es imposible obtener un grupo infinito con (2CC)\nde la misma manera.\nEn el reciente artículo [21] D. Osin desarrolló una teoría de la pequeña cancelación sobre\ngrupos relativamente hiperbólicos y lo utilizaron para obtener el siguiente resultado notable:\n2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 20F65, 20E45, 20F28.\nPalabras y frases clave. Clases de Conjugación, Grupos Relativamente Hiperbólicos, Auto-\nGrupos de phism.\nEste trabajo contó con el apoyo de la Fundación Nacional Suiza para la Ciencia, Subvención #PP002-68627.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0091v2\n2 ASHOT MINASYAN\nTeorema 1.1 ([21], Thm. 1.1). Cualquier grupo contable G puede ser incrustado en un\nGrupo M 2-generado de tal manera que cualesquiera dos elementos del mismo orden son conjugados\nEn M y en M η(M) = η(G).\nAplicando este teorema al grupo G = Z/2n−2Z uno puede mostrar que para cada uno\nnúmero entero n ≥ 2 existe un grupo de 2 generaciones con (nCC). Y cuando n = 2 nos\nObtener un grupo libre de torsión 2 generados que tiene exactamente dos clases de conjugación.\nLa presencia de elementos de orden finito en las construcciones anteriores fue impor-\ntant, porque si dos elementos tienen órdenes diferentes, nunca pueden ser conjugados.\nPor lo tanto, naturalmente, uno puede preguntar lo siguiente\nPregunta 1. ¿Existen grupos libres de torsión (generados finalmente) con (nCC),\npara cualquier entero n ≥ 3?\nTenga en cuenta que si G es el grupo generado finitamente con (2CC) construido por Osin,\nentonces la potencia directa m-th Gm de G es también un grupo sin torsión finitamente generado\nque satisface (2mCC). Pero ¿qué pasa si queremos lograr un grupo libre de torsión con\n(3CC)? Con este propósito se podría llegar a\nPregunta 2. Supongamos que G es un grupo libre de torsión contable y x, y G son\nno conjugar. ¿Es posible incrustar G en un groupM, que tiene (3CC), de modo que\nx e y permanecer sin conjugar en M?\nDesafortunadamente, la respuesta a la pregunta 2 es negativa como el siguiente ejemplo:\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEjemplo 1. Considere el grupo\n(1.1) G1 = a, t tat\n−1 = a−1\nque es isomórfico al producto semidirecto no trivial Z Z. Tenga en cuenta que G1 es\nsin torsión, y t no se conjuga a t−1 en G1 porque t t\n−1 en el infinito\ngrupo cíclico â € € TM que es canónicamente isomórfico al cociente de G1 por el normal\ncierre de una. Sin embargo, si G1 está integrado en un grupo M (3CC), es fácil de ver\nque cada elemento de M se conjugará a su inversa (de hecho, si y M \\ {1}\ny y\ny−1 entonces y\n# A-1, para algunos # # # 1, # 1 #, por lo tanto y #\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ncontradicción). En particular, t\n• t−1.\nSe puede dar un análogo del ejemplo anterior para cada n ≥ 3 – ver Sección 3. Esto\nejemplo muestra que, para obtener un resultado positivo, uno tendría que fortalecer\nlas suposiciones de la pregunta 2.\nDeja que G sea un grupo. Se dice que dos elementos x, y G son commensurables si hay\nexisten k, l • Z \\ {0} de tal manera que xk es conjugado a yl. Usaremos la notación x\nsi x e y son commensurables en G. En el caso de que x no es commensurable con\nY escribiremos x\n6o y. Observar que la conmensurabilidad, así como la conjugación, define\nuna relación de equivalencia sobre el conjunto de elementos de G. Es algo sorprendente que\nsi se sustituyen las palabras “no-conjugar” por las palabras “no-commensurable” en\nPregunta 2, la respuesta se vuelve positiva:\nCorollary 1.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n + N, n ≥ 2,\ny x1,. .................................................................. Entonces existe un\nel grupo M y un homomorfismo inyector : G→M tal que\n1. M es libre de torsión y se genera por dos elementos;\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 3\n2. M ha (nCC);\n3. M es 2-boundedly simple;\n4. los elementos فارسى(x1),. ....(xn−1) son no commensurables por pares en M.\nRecordemos que se dice que un grupo G es k-boundedly simple si para cualquier x, y G \\ {1}\nexisten l ≤ k y g1,. ..., gl • G de tal manera que x = g1yg\n1 · · · glyg\nl en G. Un grupo\nse llama limitedly simple si es k-boundedly simple para algunos k N. Evidentemente\ncada grupo limitadamente simple es simple; lo contrario no es cierto en general. Por\nejemplo, el grupo de alternancia infinita A...........................................................................................................................................................................................................................................................\nporque la conjugación preserva el tipo de descomposición de una permutación en\nun producto de ciclos. Los primeros ejemplos de sin torsión finitamente generada delimitadamente\ngrupos simples fueron construidos por A. Muranov (véase [12, Thm. 2], [13, Thm. 1]).\nEl corolario 1.2 es una consecuencia inmediata de un teorema más general 3.5 que\nse demostrará en la sección 3.\nAplicando el corolario 1.2 al grupo G = F (x1,. .., xn−1), que es libre en el\nset {x1,. .., xn−1}, y sus elementos no comparables x1,. .., xn−1, obtenemos un\nRespuesta positiva a la pregunta 1:\nCorollary 1.3. Para cada entero n ≥ 3 existe un 2-boundedly libre de torsión\ngrupo simple satisfactorio (nCC) y generado por dos elementos.\n(En el caso de que n = 2 la declaración anterior fue obtenida por Osin en [21,\nCor. 1.3].) De hecho, para cualquier grupo H (generado finalmente) libre de torsión podemos establecer\nG = H ∗ F (x1,. .., xn−1), y luego utilizar el corolario 1.2 para incrustar G en un grupo M\ndisfrutar de las propiedades 1 - 4 de su reclamación. Puesto que hay un continuum de par\nGrupos libres de torsión no isomórficos ([4]), y un grupo generado finitamente\npuede contener como máximo muchos de los diferentes subgrupos de 2 generaciones, esto muestra\nque debe haber continuamente muchos grupos no isomórficos por pares satisfactorios\npropiedades 1− 3 del corolario 1.2.\nRecuerde que el rango de rango (G) de un grupo G es el número mínimo de elementos re-\ndemanda para generar G. En la Sección 4 mostramos cómo la teoría clásica de las extensiones HNN\npermite construir diferentes incrustaciones en grupos (infinitamente generados) que tienen\nfinitamente muchas clases de elementos conjugados, y en la Sección 5 utilizamos los resultados de Osin\n(de [21]) con respecto a los cocientes de grupos relativamente hiperbólicos para demostrar\nTeorema 1.4. Que H sea un grupo contable libre de torsión y que M H sea un no-\nsubgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un sin torsión\ngrupo Q, que posee un subgrupo normal N Q, tal que\n• Q = H ·N y H •N =M (de ahí Q/N = H/M);\n• N tiene (2CC);\n• x, y Q \\ {1}, x\nSi y sólo si (x)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nes el homomorfismo natural;\n• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.\nEste teorema implica que si Q/N = H/M tiene exactamente (n− 1) clases de conjugación\n(por ejemplo, si es finito), entonces el grupo Q tendrá (nCC) y no será simple\n(si n ≥ 3). Por lo tanto, se puede utilizar para construir grupos (nCC) de una manera recursiva.\nTambién permite obtener incrustaciones de grupos libres de torsión contables en (nCC)-\ngrupos, que no pudimos conseguir usando el corolario 1.2. Por ejemplo, como vimos en\nEjemplo 1, el grupo fundamental de la botella Klein G1, dado por (1.1), no puede\nestar incrustado en un grupo M (3CC) de modo que t\nt−1. Sin embargo, con 4 conjugaciones\n4 ASHOT MINASYAN\nclases esto ya es posible: ver corolario 5.5 en la sección 5. La idea es como\na continuación: el grupo G1 puede ser mapeado en Z/3Z de tal manera que las imágenes de\nlos elementos t y t−1 son distintos. Que M sea el núcleo de este homomorfismo.\nUno puede aplicar el Teorema 1.4 al par (G1,M) para obtener la incrustación requerida\nde G1 en un grupo Q. Y como Z/3Z tiene exactamente 3 clases de conjugación, el grupo\nQ tendrá (4CC).\nUna aplicación de Teorema 1.4 al caso cuando H = Z y M = 2ZH también\nproporciona una respuesta afirmativa a una pregunta de A. Izosov de [9, Q. 11,42], preguntando\nsi existe un grupo Q libre de torsión (3CC) que contenga un subgrupo normal\nN del índice 2.\nEl objetivo de la segunda parte de este artículo es mostrar que cada grupo contable\npuede ser realizado como un grupo de automorfismos externos de algunos finitamente generados (2CC)-\ngrupo. Este problema tiene algunos antecedentes históricos: en [11] T. Matumoto demostró\nque cada grupo es un grupo de automorfismos externos de algún grupo (en contraste,\nhay grupos, por ejemplo, Z, que no son grupos de automorfismo completo de ningún grupo); M.\nDroste, M. Giraudet, R. Göbel ([7]) demostraron que para cada grupo C existe\nun grupo simple S tal que Out(S) = C; I. Bumagina y D. Sabio en [3] probó\nque cada grupo contable C es isomórfico a Out(N) donde N es un 2-generado\nsubgrupo de un grupo contable C′(1/6), y si, además, C se presenta finitamente\nentonces uno puede elegir N para ser residualmente finito.\nEn la Sección 6 establecemos algunas declaraciones útiles sobre los caminos en el Cayley\ngráfico de un grupo relativamente hiperbólico G, y aplicarlos en la sección 7 para obtener\npequeños cocientes de cancelación de G que cumplen ciertas condiciones. Por último, en la sección\n8 probamos lo siguiente:\nTeorema 1.5. Que C sea un grupo contable arbitrario. Entonces por cada no-elemen-\nSin torsión tardía palabra hiperbólica grupo F1 existe un grupo libre de torsión N sat-\nisfiting las siguientes propiedades:\n• N es un cociente de F1 de 2 generaciones;\n• N tiene (2CC);\n• Fuera (N) = C.\nLa principal diferencia entre este teorema y el resultado de [3] es que\nEl grupo N está libre de torsión y es simple. Por otra parte, si se aplica Teorema 1.5 a la\ncaso cuando F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión con la propiedad de Kazhdan (T) (y\nrecuerda que cada cociente de un grupo con la propiedad (T) también tiene (T)), uno conseguirá\nCorollary 1.6. Para cualquier grupo contable C hay un grupo N de 2 generaciones tales\nque N tiene (2CC) y la propiedad de Kazhdan (T), y Out(N) C.\nLa razón por la propiedad de Kazhdan (T) es interesante en este contexto es el\npregunta de [6, p. 134] que preguntó si existen grupos que satisfagan\npropiedad (T) y tienen infinitos grupos de automorfismo externo (puede ser motivado\npor un teorema de F. Paulin [22] que afirma que el grupo de automorfismo exterior es\nfinito para cualquier grupo hiperbólico palabra con la propiedad (T)). Respuestas positivas a esto\nla pregunta fue obtenida (utilizando diferentes métodos) por Y. Ollivier y D. Wise [14],\nY. de Cornulier [5], e I. Belegradek y D. Osin [2]. Corollary 1.6 no sólo\nmuestra que el grupo de automorfismos externos de un grupo N con la propiedad (T)\npuede ser infinito, pero también demuestra que no hay ninguna restricción en\nFuera (N).\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 5\nAgradecimientos. El autor desea agradecer a D. Osin su fructífera labor.\nGolpes y estímulos.\n2. Grupos relativamente hiperbólicos\nSupongamos que G es un grupo, {H es una colección fija de subgrupos de G (llamado\nsubgrupos periféricos), y X es un subconjunto de G. El subconjunto X se llama\ngenerar el conjunto de G con respecto a {H si G es generado por X \nH/23370/. In\neste caso G un cociente del producto libre\nF = (H/23370/) ∗ F (X ),\ndonde F (X ) es el grupo libre con base X. Dejar R ser un subconjunto de F tal que el\nnúcleo del epimorfismo natural F → G es el cierre normal de R en el grupo\nF ; entonces diremos que G tiene una presentación relativa\n(2.1) X, H R = 1, R + R®.\nSi los conjuntos X y R son finitos, se dice que la presentación relativa (2.1) es finita.\nConjunto H =\n(H/23370/ \\ {1}). Se dice que una presentación relativa finita (2.1) satisface un\ndesigualdad isoperimétrica relativa lineal si existe C > 0 tal que, por cada palabra\nw en el alfabeto X â € ¢ H (por conveniencia, vamos a asumir aún más que X−1 = X )\nrepresenta la identidad en el grupo G, uno tiene\nf−1i R\ni fi,\ncon igualdad en el grupo F, donde Ri-R, fi-F, para i = 1,................................................................................................................................................................................................................................................... \ndonde la palabra \"w\" es la longitud de la palabra \"w\".\nLa siguiente definición se debe a Osin (véase [20]:\nDefinición. el grupo G se llama hiperbólico relativo a (la\nsubgrupos) {H, si G admite una presentación relativa finita (2.1) satisfaciendo un\ndesigualdad isoperimétrica relativa lineal.\nEsta definición es independiente de la elección del conjunto de generación finita X y\nel conjunto finito R en (2.1) (véase [20]). También quisiéramos señalar que, en general,\nno requiere que el grupo G se genere finitamente, lo que será importante en\nEste periódico. La definición implica inmediatamente los siguientes hechos básicos:\nObservación 2.1 ([20]). a) Que {H sea una familia arbitraria de grupos. Entonces el\nproducto libre G = H♥ será hiperbólico relativo a {H.\n(b) Cualquier palabra grupo hiperbólico (en el sentido de Gromov) es relativo hiperbólico\na la familia 1o, donde {1} denota el subgrupo trivial.\nRecuerde que un grupo H se llama elemental si tiene un subgrupo cíclico de finito\níndice. Más adelante en esta sección asumiremos que G es un grupo no elemental\nhiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H.\nUn elemento g G se dice que es parabólico si se conjuga a un elemento de H\npara un poco de \"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\"\" De lo contrario g se dice que es hiperbólico. Dado un subgrupo S ≤ G,\ndenotar por S0 el conjunto de todos los elementos hiperbólicos de S de orden infinito.\nLemma 2.2 ([17], Thm. 4.3, Cor. 1.7). Por cada g de G0 las siguientes condiciones:\nEspera.\n6 ASHOT MINASYAN\n1) El elemento g está contenido en un subgrupo elemental máximo único EG(g)\nde G, donde\n2.2) EG(g) = {f) G : fg\nnf−1 = g±n para algunos n+N}.\n2) El grupo G es hiperbólico en relación con la colección {H {EG(g)}.\nRecordemos que un subgrupo no trivial H ≤ G se llama no normal si por cada g\nG \\H, H • gHg−1 = {1}. El siguiente lema es un caso especial de Teorema 1.4 de\n[20]:\nLemma 2.3. Para cualquiera de los siguientes tipos de productos, la intersección de los productos de la sección H y de los productos de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y de la sección G de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y la sección G de la sección G de la sección H y la sección G de la sección G de la sección G de la sección G de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección\n−1 es\nfinito. En caso de que se produzca un cambio de dirección en la dirección de la dirección del vehículo, la dirección del vehículo deberá indicarse en la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo y en la dirección de la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo.\n−1 es finito. In\nEn particular, si G está libre de torsión, entonces He es anormal (siempre que He 6 = {1}).\nLemma 2.4 ([20], Thm. 2.40). Supongamos que un grupo G es relativo hiperbólico\na una colección de subgrupos {H {S1,. .., Sm}, donde S1,. .., Sm son palabra\nhiperbólico (en el sentido ordinario no-relativo). Entonces G es hiperbólico relativo a\n{H.\nLemma 2.5 ([19], Cor. 1.4). Let G ser un grupo que es hiperbólico relativo a un\nrecogida de subgrupos {H {K}. Supongamos que K se genera finitamente y\nHay un monomorfismo α : K → H v para algunos ν. Luego la extensión HNN\nG, t txt−1 = α(x), x â € € € TM es hiperbólico con respecto a {H.\nEn [21] Osin introdujo la siguiente noción: un subgrupo S ≤ G es adecuado si\nexisten dos elementos g1, g2 + S\n0 tales que g1\n6-g2 y EG(g1)-EG(g2) = {1}.\nPara cualquier S ≤ G con S0 6 = \n2.3 EG(S) =\nEG(g)\nque es obviamente un subgrupo de G normalizado por S. Tenga en cuenta que EG(S) = {1} si la\nEl subgrupo S es adecuado en G. Como se muestra en [1, Lemma 3.3], si S no es elemental\ny S0 6= فارسى entonces EG(S) es el subgrupo finito máximo único de G normalizado por\nLemma 2.6. Dejar {H ser una familia de grupos y dejar que F sea una torsión libre de no-\npalabra elemental grupo hiperbólico. Entonces el producto libre G = (H♥) * F es\nhiperbólico relativo a {H y F es un subgrupo adecuado de G.\nPrueba. De hecho, G es hiperbólico relativo a {H por Observación 2.1 y Lemma\n2.4. Dado que F no es elemental, hay elementos de orden infinito x, y F tales\nque x\n(véase, por ejemplo, [16, Lemma 3.2]). Evidentemente, x e y son hiperbólicos\nelementos de G que no son comparables entre sí, y los subgrupos\nEG(x) = FE (x) ≤ F, EG(y) = FE (y) ≤ F son cíclicos (como subgrupos elementales de una\ngrupo libre de torsión). Por lo tanto EG(x) • EG(y) = {1}, y por lo tanto F es adecuado en G.\nLemma 2.7 ([21], Lemma 2.3). Supongamos que G es un grupo hiperbólico relativo a un\nfamilia de subgrupos {H y S ≤ G es un subgrupo adecuado. Entonces uno puede encontrar\ninfinitamente muchos elementos no commensurables (en G) g1, g2, · · · S\n0 de los cuales:\nque EG(gi) • EG(gj) = {1} para todos los i 6= j.\nEl siguiente teorema fue probado por Osin en [21] utilizando la teoría de la pequeña\ncancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos, y representa nuestra herramienta principal para\nla obtención de nuevos cocientes de estos grupos con una serie de propiedades prescritas:\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 7\nTeorema 2.8 ([21], Thm. 2.4). Dejar G ser un grupo sin torsión hiperbólico relativo a\nuna colección de subgrupos {H, dejar que S sea un subgrupo adecuado de G, y dejar que T, U\nser subconjuntos finitos arbitrarios de G. Entonces existe un grupo G1 y un epimorfismo\nη : G→ G1 tales que:\ni) La restricción de η a\nU es inyector, y el grupo G1 es hy-\nperbólica relativa a la colección (H♥);\n(ii) por cada T, tenemos η(t) η(S);\niii) η(S) es un subgrupo adecuado de G1;\niv) El G1 está exento de torsión;\n(v) el núcleo ker(η) de η es generado (como subgrupo normal de G) por un finito\ncolección de elementos pertenecientes a T · S.\nHemos cambiado ligeramente la formulación original del teorema anterior de\n[21], exigiendo la inyectividad en V =\nU (en lugar de justo\nH/23370/)\ny añadiendo el último punto relativo a los generadores del núcleo. Esta última\nse desprende de la forma explícita de las relaciones, impuestas a G (véase la prueba de\nThm. 2.4 en [21]), y el primero – de la parte 2 de Lemma 5.1 en [21] y el hecho\nque cualquier elemento de V tiene longitud (en el alfabeto X + H) como máximo N, donde\nN = máx.\n3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente\nLemma 3.1. Dejar que G sea un grupo y dejar que x1, x2, x3, x4 G sean elementos de orden infinito\ntal que x1\nxi, i = 2, 3, 4. Let H = G, t tx3t\n−1 = x4® ser la extensión HNN\nde G con subgrupos cíclicos asociados generados por x3 y x4. Entonces x1\n6° x2.\nPrueba. Argumentando por contradicción, asumir que hxl1h\n−1xm2 = 1 para algunas h • H,\nl,m Z \\ {0}. El elemento h tiene una presentación reducida del formulario\nh = g0t\n1g1t\n2 libras esterlinas. .....................................................................................................................\ndonde g0,. ............................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ngj/ x3° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j > 0, j+1 < 0\ngj/ x4° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j < 0, j+1 > 0\nPor los supuestos, x1\n6o x2 por lo tanto k ≥ 1, y en el grupo H tenemos\n(3.1) hxl1h\n−1xm2 = g0t\n1g1t\n2 libras esterlinas. .......................................................................................................................................................................................\nk. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\n1 gœ0 = 1,\ndonde g0 = g\n2 G. Por Britton’s Lemma (véase [10, IV.2]), el lado izquierdo\nen (3.1) no se puede reducir, y esto sólo puede suceder si gkx\nk pertenece a cualquiera de los dos\n* x 3 o x 4 en G, lo que contradice las suposiciones. Por lo tanto, el lema es\nprobado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDefinición. Supongamos que G es un grupo y Xi G, i I, es una familia de subconjuntos.\nDiremos que Xi, yo, soy independiente si ningún elemento de Xi es commensurable.\ncon un elemento de Xj siempre que i 6= j, i, j+ I.\nLemma 3.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n+ N, n ≥ 2, y\nLos subconjuntos no vacíos Xi G \\ {1}, i = 1,...., n− 1, son independientes en G. Entonces G\npuede ser (isomórficamente) incrustado en un grupo libre de torsión M\nforma en que M tiene (nCC) y los subconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecen independientes en\n8 ASHOT MINASYAN\nPrueba. Para cada i = 1,...., n− 1, fijar un elemento xi â € Xi. Primero incrustamos G en un\ngrupo G1 libre de torsión contable de tal manera que para cada elemento no trivial g G allí\nexist i {1,............................................................................................................................................................................................................................................................\n−1 = xj en G1, y los subconjuntos Xi,\ni = 1,...., n− 1, permanecer independiente en G1.\nLet g1, g2,. .. ser una enumeración de todos los elementos no triviales de G. Conjunto G(0) = G\ny supongamos que ya hemos construido el grupo G(k), que contiene G, así que\nque para cada l {1,........................................................................................................................................................................................................................................................... \nconjugado en G(k) a xj, y Xi, i = 1,...., n− 1, son independientes en G(k).\nSupongamos, al principio, que gk+1 es commensurable en G(k) con un elemento de Xj\npara un poco de j. Entonces gk+1\n6° h por cada h °\ni=1,i6=j\nXi. Definir G(k + 1) como la\nExtensión de HNN â ¬ G(k), tk+1 â ¬ tk+1gk+1t\nk+1 = xjÃ3. Por Lemma 3.1 los subconjuntos Xi,\ni = 1,...., n− 1, permanecerá independiente en G(k + 1).\nAsí podemos asumir que gk+1 no es commensurable con ningún elemento de\ni=1 Xi en G(k). Según las hipótesis de inducción se puede aplicar Lemma 3.1\na la extensión HNN\nG(k + 1) = + G(k), tk+1 + tk+1gk+1t\nk+1 = x1\npara ver que los subconjuntos Xi-G ≤ G(k + 1), i = 1,...., n − 1, son independientes en\nG(k + 1).\nAhora, setG1 =\nk=0G(k). Evidentemente G1 tiene las propiedades requeridas. En el mismo\nde manera, se puede incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2 para que cada no-\nelemento trivial de G1 se conjugará a xi en G2, para algunos i • {1,....., n − 1},\ny los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, continúan siendo independientes en G2.\nProcediendo así obtenemos el grupo deseadoM =\ns=1Gs. Por la construcción...\ntion, M es un grupo contable libre de torsión que tiene exactamente n clases de conjugación:\n[1], [x1],. ., [xn−1]. Los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, son independientes en M porque\nson independientes en Gs para cada s â € N.\nCorolario 3.3. En Lemma 3.2 se puede añadir que el groupM es 2-boundedly simple.\nPrueba. Dejar un grupo contable sin torsión G y sus subconjuntos independientes no vacíos\nXi, i = 1,..., n− 1, sea como en Lemma 3.2. Let F = F (a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1) ser\nel grupo libre con el conjunto de generación libre {a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1}, y considerar\nPara cada i = 1,..................................................................................................................................\nX̄i = Xi {ai, a\nj = 1,.............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde [aj, bi] = ajbia\ni. Uso de las propiedades universales de los grupos libres y libres\nproductos uno puede ver fácilmente que los subconjuntos X̄i, i = 1,...., n− 1, son independientes\nen â € € TM.\nAhora aplicamos Lemma 3.2 para encontrar un grupo libre de torsión (nCC) M, con-\n...............................................................................................................................................................................................................................................................\nimplica que para cualquier i dado = 1,...., n− 1, cualesquiera dos elementos de X̄i se conjugan en\nM. Para x arbitrario, y M \\ {1} existen i, j {1,....., n − 1} de tal manera que x\ny y\n# AJ. # Si i = j entonces x\n- Sí. De lo contrario, y\n• a−1j y x\n[aj, bi] que\nes un producto de dos conjugados de aj, y, por lo tanto, de y. Por lo tanto, el grupo M es\n2-boundedly simple, y desde G ≤ ≤ ≤ M, el corolario se demuestra. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 9\nA continuación se muestra un caso particular (libre de torsión) de un teorema demostrado por Osin en [21, Thm.\n2.6]:\nLemma 3.4. Cualquier grupo libre de torsión S puede ser integrado en un 2-generado\ngrupo M de modo que S es anormal en M y cada elemento de M se conjuga a un\nelemento de S en M.\nPrueba. Después de la prueba de Osin de Teorema 2.6 de [21], vemos que el requerido\ngrupo M se puede construir como un límite inductivo de grupos relativamente hiperbólicos\nG(i), i+N. Más precisamente, un conjunto G(0) = S* F2, donde F2 es un grupo libre de\nrango 2, +0 = idG(0) : G(0) → G(0), y para cada i +N se construye un grupo\nG(i) y un epimorfismo : G(0) → G(i) de modo que i es inyector en S, G(i) es\nlibre de torsión e hiperbólico en relación con i(S)}, y i factores a través de i−1. Los\nEl grupo M se define como el límite directo de (G(i), i) como i →, es decir, Q = G(0)/N\ndonde N =\nN ker(i). Por Lemma 2.3, i(S) es anormal en G(i), por lo tanto la\nla imagen de S también será anormal en M.\nTeorema 3.5. Que G sea un grupo contable libre de torsión, n + N, n ≥ 2, y no-\nLos subconjuntos vacíos Xi G \\ {1}, i = 1,...., n − 1, ser independiente en G. Entonces G puede\nestar incrustado en un grupo libre de torsión M de 2 generaciones que tiene (nCC), de modo que el\nsubconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecer independiente en M. Además, se puede elegir M\nser 2-boundedly simple.\nPrueba. En primer lugar, de acuerdo con el corolario 3.3, podemos incrustar el grupo G en un contable\ngrupo S libre de torsión tal que S tiene (nCC) y es 2-boundedly simple, y Xi,\ni = 1,...., n − 1, son independientes en S. En segundo lugar, aplicamos Lemma 3.4 para encontrar la\nGrupo M de su reclamación. Elegir cualquier i, j • {1,....., n − 1}, i 6= j, y\nx Xi, y Xj. Si x e y fueran commensurables en M, la malnormalidad de S sería\nimplica que x e y deben ser commensurables en S, contradiciendo la construcción.\nPor lo tanto Xi, i = 1,..., n − 1, son independientes en M. Puesto que cada elemento de M es\nconjugado a un elemento de S, es evidente que M tiene (nCC), es libre de torsión y\n2-boundedly simple. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.6. Una prueba más directa de Teorema 3.5, no utilizando Lemma 3.4, puede ser\nextraída de la prueba del Teorema 5.1 (véase la sección 5), aplicada al caso cuando\nH = M.\nEs fácil ver que el teorema 3.5 implica inmediatamente corolario 1.2 que fue\nformulado en la Introducción. Como se prometió, ahora damos un contraejemplo a\nPregunta 2 (formulada en la introducción) para cualquier n ≥ 3.\nEjemplo 2. Dejar G2 = a, t tat\n−1 = a2® ser el grupo Baumslag-Solitar BS(1, 2).\nEntoncesG2 es libre de torsión, y los elementos t\n2, t4,. .., t2\nson pares no conjugados\nen G2 (ya que esto se mantiene en el cociente de G2 por el cierre normal de a). Supón\nque G2 está integrado en un grupo M que tiene (nCC) de modo que t\n2, t4,. .., t2\npar no conjugar en M. Luego t2,. .., t2\nes la lista de representantes de todos\nclases de conjugación no trivial de M. Por lo tanto existen k, l • {1,....., n− 1} tales\nque t\ny a\n. En consecuencia\ny t2\npor lo tanto k = l = n− 1 según los supuestos. Pero esto da resultados.\nn−1 M\n* t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2\n10 ASHOT MINASYAN\nlo que implica que t2\nT4, lo que contradice nuestras suposiciones.\nPor lo tanto, G2 no puede integrarse en un grupo M (nCC) de tal manera que\nt2,. .., t2\npermanecer por pares no conjugados en M.\n4. Subgrupos normales con (nCC)\nSi M es un subgrupo normal de un grupo H, H actúa naturalmente sobre M por\nJugación. Diremos que esta acción preserva las clases de conjugación de M si\ncualquier h H y a M existe b M de tal manera que hah−1 = bab−1.\nLemma 4.1. Que G sea un grupo libre de torsión, N G y x1,. ..............................................................\nser elementos no commensurables (en G) por pares. Entonces existe una partición\nN \\ {1} =\nk=1Xk de N \\ {1} en una unión (disjunta) de subconjuntos G-independientes\nX1,. ................................................. Además, cada subconjunto Xk\nserá invariante bajo conjugación por elementos de G.\nPrueba. Desde\nSe trata de una relación de equivalencia en Gâ 1}, se puede encontrar la correspondiente\ndescomposición: G \\ {1} =\nJJ Yj, donde Yj es una clase de equivalencia para cada JJ.\nPara cada k = 1,..., l, existe j(k) • J de tal manera que xk • Yj(k). Tenga en cuenta que\nj(k) 6= j(m) si k 6= m desde xk\n6° xm.\nNota J ′ = J \\ {j(1). ...............................................................\nX1 = Yj(1) N,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nYj N.\nEvidentemente N+1} =\nk=1Xk, X1,. .., Xl son subconjuntos independientes de G y xk Xk\npara cada k = 1,...., l. La propiedad final sigue de la construcción ya que para cualquier\na G y j J tenemos aYja\n−1 = Yj y aNa\n−1 = N.\nLemma 4.2. Para cada grupo contable C y cada n+N, n ≥ 2, existe un\ngrupo H libre de torsión contable que tiene un subgrupo normal M H tal que\ni) M satisface (nCC);\nii) El M es 2 veces simple;\niii) la acción natural de H sobre M preserva las clases de conjugación de M;\niv) H/M = C.\nPrueba. Que H ′0 sea el grupo libre de rango contable infinito. Elegir N\n0 para que\nH ′0/N\n• C. Let F = F (x1,. .., xn−1) denotan el grupo libre libremente generado por\nx1,. .., xn−1. Definir H0 = H\n0 ∗ F y dejar que N0 sea el cierre normal de N\n0 â € F en\nH0. Evidentemente, H0/N0 = H\n= C y los elementos x1,. ..................................................................................................\npar de no-commensurable en H0.\nPor Lemma 4.1, se puede elegir una partición de N0 \\ {1} en la unión de H0-\nsubconjuntos independientes:\nN0 \\ {1} =\nde modo que xk X0k para cada k = 1,...., n− 1.\nPor corolario 3.3 existe un grupo sencillo sin torsión de dos límites\nM1 con la propiedad (nCC) que contiene una copia de N0, tal que los subconjuntos X0k,\nk = 1, 2,...., n − 1, son independientes en M1. Nota por H1 = H0 ∗N0 M1\nproducto amalgamado de H0 y M1 a lo largo de N0, y dejar que N1 sea el cierre normal\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 11\nde M1 en H1. Tenga en cuenta que H1 es libre de torsión como un producto amalgamado de dos\ngrupos libres de torsión ([10, IV.2.7]).\nTenemos que verificar que los elementos x1,. .., xn−1 son pares no-commen-\nasegurable en H1. De hecho, si un â ¬ X0k y b â ¬ X0l, k 6= l, se conjugan en H1 entonces\ndebe existir y1,. ............................................................................................................... ...................................................................................\nz0y1 · · zt−1ytztaz\nt−1 · · · y\nSupongamos que t es mínimo posible con esta propiedad. Como conjugación por elementos\nde H0 conserva X0k y X0l, podemos asumir que z0, zt = 1. Por lo tanto\ny1z1 · · · zt−1ytay\nt−1 · · · z\n−1 H1= 1.\nPor las propiedades de los productos amalgamados (véase [10, Ch. IV]), el lado izquierdo\nen esta igualdad no se puede reducir, en consecuencia\nt N0 \\ {1} =\nk=1 X0k.\nPero entonces ittay\nt X0k por las propiedades de M1, contradiciendo la minimalidad de t.\nPor lo tanto, hemos demostrado que xk\n6° xl cuando k 6= l.\nSupongamos que el grupoHi = Hi−1*Ni−1Mi, i ≥ 1, ya ha sido construido,\npara que\n0) Hi es contable y libre de torsión;\n1) Ni−1 Hi−1;\n2) Hi−1 = H0 ·Ni−1 y H0 •Ni−1 = N0;\n3) Mi satisface (nCC);\n4) x1,. .., xn−1 no son comparables en pareja en Hi.\nDeja que Ni sea el cierre normal de Mi in Hi. Debido a la condición 4) y\nLemma 4.1, se puede encontrar una partición de Ni \\ {1} en una unión de Hi-independiente\nsubconjuntos:\nNi \\ {1} =\nde modo que xk Xik para cada k = 1,...., n − 1. Por Lemma 3.2 hay una cuenta\ngrupo un Mi+1, con (nCC), que contiene una copia de Ni, en el que los subconjuntos Xik,\ni = 1,...., n− 1, permanecen independientes. Set Hi+1 = Hi ∗Ni Mi+1. Ahora, es fácil de\nverificar que los análogos de las condiciones 0)-3) mantienen para Hi+1 y\n(4.1) Ni−1 ≤Mi ≤Ni ≤Mi+1.\nEl análogo de la condición 4) es cierto en Hi+1 por las mismas consideraciones que antes\n(en el caso de H1).\nDefinir el grupo H =\ni=1Hi y su subgrupo M =\ni=1Ni. Observar que\nla condición 0) implica que H está libre de torsión, condición 1) implica que M es\nnormal en H, y 2) implica que H = H0 ·M y H0 â € M = N0. Por lo tanto H/M =\nH0/(H0-M) = C. Aplicando (4.1) obtenemosM =\ni=1Mi, y por lo tanto, por las condiciones\n3), 4) disfruta de la propiedad (nCC): cada elemento de M será un conjugado de xk\npara algunos k {1,...., n− 1}. Desde x1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nsimple, entonces así será M. Finalmente, 4) implica que xk\nxl cuando k 6= l,\ny, en consecuencia, la acción natural de H sobre M preserva sus clases de conjugación.\nQ.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 4.3. Suponga que G es un grupo, N G, A, B ≤ G y : A → B es\nun isomorfismo de tal manera que a) a n (es decir, las imágenes canónicas de a y a) en\n12 ASHOT MINASYAN\nG/N coinciden) para cada una de las A. Let L = â € ¢ G, t â € € TM tat−1 = â € (a), â € a â € Aâ € ser el\nHNN-extensión de G con subgrupos asociados A y B, y dejar que K sea el normal\nel cierre de N.N., t. en L. A continuación G.K. = N.\nPrueba. Esta afirmación se deriva fácilmente de la propiedad universal de las extensiones HNN\ny se deja como un ejercicio para el lector. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl próximo lema nos permitirá construir grupos (nCC) que no sean simples:\nLemma 4.4. Supongamos que H es un grupo contable libre de torsión y MH es un no-\nsubgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un contable\ngrupo G libre de torsión que posee un subgrupo normal K G tal que\n1) G = HK y H + K = M ;\n2) x, y G \\ {1}, x) = y) si y sólo si h K tal que x = hyh−1,\ndonde : G → G/K es el homomorfismo natural; en particular, K\ntener (2CC);\n3) x, y G \\ {1}, x\nSi y sólo si (x)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nPrueba. Elija un conjunto de representantes Z • H de cosets de H módulo M, en tal\nforma en que cada coset está representado por un elemento único de Z y 1 /».\nDefinirG(0)=H yK(0)=M. Enumerar los elementos de G(0)+1}: g1, g2,. ...\nPrimero incrustamos el grupo G(0) en un grupo sin torsión contable G1, que tiene un\nsubgrupo normal K1 G1, de tal manera que G1 = HK1, H K1 =M y para cada i ≥ 0\nhay ti K1 y zi Z satisfactoria tigit\ni = zi.\nSupongamos que el grupo G(j), j ≥ 0, y K(j) G(j),\nya se han construido de modo que H ≤ G(j), G(j) = HK(j), H ≤ K(j) = M\ny, si j ≥ 1, tjgjt\nj = zj para algunos tj â € K(j) y zj â € Z. El grupo G(j+1),\nque contenga G(j), se define como la siguiente extensión de HNN:\nG(j + 1) = G(j), tj+1 tj+1gj+1t\nj+1 = zj+1\ndonde zj+1 â € ¢ Z â € H es el representante único que satisface gj+1 â € zj+1K(j) en\nG(j). Denota por K(j+1)G(j+1) el cierre normal de K(j), tj+1® en G(j+1).\nEvidentemente, el grupo G(j + 1) es contable y libre de torsión, H ≤ G(j) ≤ G(j + 1),\nG(j + 1) = HK(j + 1) y H (j + 1) = H (j) K(j) = M por Lemma 4.3.\nAhora, es fácil verificar que el grupo G1 =\nj=0G(j) y su subgrupo normal\nj=0K(j) disfrutar de las propiedades requeridas.\nDe la misma manera podemos incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2, que\ntiene un subgrupo normal K2G2, de modo que G2 = HK2, HK2 =M y cada elemento\nde G1 \\ {1} se conjuga en G2 a un elemento correspondiente de Z. Desempeñar este tipo de actividades\nun procedimiento infinitamente muchas veces logramos el grupo G =\ni=1Gi y normal\nsubgrupo K =\ni=1Ki G que satisfacen las afirmaciones 1) y 2) del lema. Lo es.\nfácil de ver que la reclamación 2) implica 3), por lo que la prueba está terminada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n5. Añadiendo generación finita\nTeorema 5.1. Supongamos que H es un grupo libre de torsión contable y M es un no-\nsubgrupo normal trivial de H. Dejar F ser un arbitrario no elemental sin torsión\nGrupo hiperbólico de palabras. Entonces existe un grupo Q sin torsión contable, que contiene\nH, y un subgrupo normal N Q con las siguientes propiedades:\n1. H es anormal en Q;\n2. Q = H ·N y N •H =M ;\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 13\n3. N es un cociente de F ;\n4. el centralizador CQ(N) de N en Q es trivial;\n5. por cada q â € TM a Q hay z â € TM a H tal que q\nPrueba. El grupo Q se construirá como un límite directo de relativamente hiperbólico\ngrupos.\nPaso 0. Set G(0) = H*F y F (0) = F ; entonces G(0) es hiperbólico relativo a su\nEl subgrupo H y F (0) es un subgrupo adecuado de G(0) por Lemma 2.6. LetN(0)G(0)\nser el cierre normal del subgrupo M,F en G(0). Evidentemente G(0) = H ·N(0)\ny H N(0) = M. Enumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. ...................................................................................................\nG(0): {q0, q1, q2,. .. }, de tal manera que g0 = q0 = 1.\nPasos 0-i. Suponga que los grupos G(j), j = 0,...., i, i ≥ 0, ya han sido\nconstruido, de modo que\n1o. para cada 1 ≤ j ≤ i hay un epimorfismo j−1 : G(j−1) → G(j) que es\ninyective on (la imagen de) H en G(j − 1). Nota F (j) = j−1(F (j − 1)),\nN(j) = j−1(N(j − 1));\n2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤\nG(j) es un subgrupo adecuado, j = 0,..., i;\n3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M, j = 0,.... i;\n4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j), j = 0,..., i;\n5o. existe zj H tal que q̄j\n* zj, j = 0,.... i, donde q̄j es la imagen\nde qj en G(j).\nPaso i+1. Que qâ € € € G(i), € i+1 € N(i) sean las imágenes de qi+1 y gi+1 en G(i).\nPrimero construimos el grupo G(i+1/2), su subgrupo normal Ki+1 y su elemento\nti+1 como se indica a continuación.\nSi para algunos f • G(i), f q • i+ 1f\n−1 = z + H, luego set G(i + 1/2) = G(i), Ki+1 =\nN(i)G(i + 1/2) y ti+1 = 1.\nDe lo contrario, qÍñi+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i). Dado que G(i) es\nlibre de torsión, el subgrupo elemental EG(i)(qÍ+1) es cíclico, por lo que EG(i)(qÍ+1) = hx\npara algunos h â € TM H y x â € N(i) (por 3â €), y qâ € i+1 = (hx)\nm para algunos m â € ¢ Z. Ahora, por\nLemma 2.2, G(i) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1\ny dejar que G(i + 1/2) sea la siguiente extensión HNN de G(i):\nG(i + 1/2) = «G(i), ti+1 » ti+1(hx)t\ni+1 = hyâ.\nEl grupo G(i+ 1/2) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.\nVerifiquemos ahora que el subgrupo F (i) es adecuado en G (i + 1/2). De hecho,\nde acuerdo con Lemma 2.7, hay dos elementos hiperbólicos f1, f2 o F (i) de infinito\norden en G(i) tal que fl\n6° hx, fl\n6o hi, l = 1, 2, y f1\n6o f2. Entonces\nG(i+1/2)\n6o f2 de Lemma 3.1. Queda por comprobar que fl es un elemento hiperbólico\nde G(i + 1/2) para cada l = 1, 2. Elija un elemento arbitrario w â € ¢ H y observar\nque fl\n6o w (ya que H es anormal en G(i) por Lemma 2.3, un poder no trivial de\nfl se conjuga a un elemento de H si y sólo si fl se conjuga a un elemento de\nH en G(i), pero este último es imposible porque fl es hiperbólico en G(i)). Aplicar\nLemma 3.1 de nuevo, tenemos que fl\nG(i+1/2)\nPor lo tanto f1, f2 o f (i) son\nelementos hiperbólicos de orden infinito en G(i+1/2). La intersección EG(i+1/2)(f1)\n14 ASHOT MINASYAN\nEG(i+1/2)(f2) debe ser finito, ya que estos grupos son prácticamente cíclicos (por Lemma 2.2),\ny f1 no se puede comparar con f2 en G(i+1/2). Pero G(i+ 1/2) está libre de torsión,\nPor lo tanto, EG(i+1/2)(f1) (EG(i+1/2)(f2) = {1}. Por lo tanto, F (i) es un subgrupo adecuado de\nG(i+ 1/2).\nLemma 4.3 asegura que H-Ki+1 =M donde Ki+1 G(i + 1/2) es el normal\nel cierre de «N(i), ti+1», en G(i + 1/2). Por último, tenga en cuenta que\nti+1qçói+1t\ni+1 = ti+1(hx)\nmt−1i+1 = (hi)\nm = z + H en G(i + 1/2).\nAhora, que el grupo G(i+ 1/2) se ha construido, set Ti+1 = i+1, ti+1}\nKi+1 y definir G(i+1) como sigue. Desde Ti+1 ·F (i) • Ki+1 G(i+1/2), podemos\naplicar el teorema 2.8 para encontrar un grupo G(i+1) y un epimorfismo : G(i+1/2) →\nG(i + 1) de tal manera que Łi es inyector en H, G(i + 1) es libre de torsión e hiperbólico\nen relación con (la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}\nsubgrupo de G(i + 1), y ker(eli) ≤ Ki+1. Denotan la restricción de los derechos de\nG(i). A continuación, el valor de G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1) porque G(i + 1/2) fue generado por\nG (i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 (i) (F (i)) ≤ (i) (G (i)). Ahora,\ndespués de definir F (i+1) = «i(F (i)», N(i+1) = «i(N(i)»), i+1 = «i(i+1)» (i+1)\ny zi+1 = i(z) • H, vemos que las condiciones 1\nEn el caso que nos ocupa, cabe señalar que el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso que nos ocupa, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 2, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71.\ncuando j = i+1. Las propiedades G(i+1) = H ·N(i+1) y N(i+1)G(i+1) son\nconsecuencias inmediatas de sus análogos para G(i) y N(i). Por último, observar que\n1i (H-N(i+1)) = H · ker(\nH N (i) · ker (l)\n· ker(i)\nH-Ki+1\n· ker(i) =M · ker(i).\nPor lo tanto H N (i+ 1) = M y la condición 3 ° se mantiene para G (i + 1).\nDejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que\nF () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Entonces Q es\nlibre de torsión por 2°, N Q, Q = H · N y H °N = M por 3°. N ≤ F () por 4 °,\ny 5o implica la condición 5 de la reclamación.\nDesde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico\nimagen de F (0) = F.\nPara cualquier i, j â € N â € €, i < j, tenemos un epimorfismo natural â € € : G(i) → G(j)\nDe tal manera que si i < j < k entonces فارسىjk â â € € € € = â € € € € € €. Tome cualquier g de G(0). Desde F = F (0)\nse genera finitamente, utilizando las propiedades de los límites directos uno puede mostrar que si\nw = + 0 + g + CQ(F) en Q, luego + 0j(g) + + CG(j) (F (j)) para algunos j + N. Pero\nCG(j)(F (j)) ≤ EG(j)(F (j)) = {1} (por fórmulas (2.2) y (2.3)) porque F (j) es\nun subgrupo adecuado de G(j), por lo tanto w =\n0j(g)\n= 1, es decir, CQ(F) =\nCQ(N) = {1}. Esto concluye la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLa siguiente declaración es bien conocida:\nLemma 5.2. Asumir G es un grupo y N G es un subgrupo normal tal que\nCG(N) N, donde CG(N) es el centralizador de N en G. Entonces el cociente-grupo\nG/N se incrusta en el grupo de automorfismo externo Out(N).\nPrueba. La acción de G sobre N por conjugación induce un homomorfismo natural\nDesde G hasta el grupo de automorfismo Aut(N) de N. Puesto que Ł(N) es exactamente el\ngrupo de automorfismos internos Inn(N) de N, se puede definir un nuevo homomorfismo\n: G/N → Out(N) = Aut(N)/Inn(N) de la manera natural: (gN) = (g)Inn(N)\npor cada gN + G/N. Queda por comprobar que es inyector, es decir, si g G \\N entonces\n(gN) 6=1 in Out(N); o, equivalentemente, (g) / Inn(N). De hecho, de lo contrario no hay\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 15\nexistiría un N tal que ghg−1 = aha−1 por cada h N, por lo tanto N 6 a−1g\nCG(N), contradiciendo los supuestos. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTenga en cuenta que para un grupo arbitrario N, cualquier subgrupo C ≤ Out(N) actúa naturalmente\nsobre el conjunto de clases de conjugación C(N) del grupo N.\nTeorema 5.3. Para cualquier n° N, n ≥ 2, y un grupo contable arbitrario C, C puede\nser incrustado isomórficamente en el grupo de automorfismo externo Out(N) de un grupo\nN que cumplan las condiciones siguientes:\n• N está libre de torsión;\n• N se genera por dos elementos;\n• N tiene (nCC) y la acción natural de C sobre C(N) es trivial;\n• N es 2-boundedly simple.\nPrueba. Por Lemma 4.2 podemos encontrar un grupo libre de torsión H y su normal\nSubgrupo M que disfruta de las propiedades i) a iv) de su reclamación. Ahora, si F denota\nel grupo libre de rango 2, podemos obtener un grupo libre de torsión contable Q juntos\ncon su subgrupo normal N que cumplen las condiciones 1-5 de la declaración de\nTeorema 5.1.\nEntonces N es libre de torsión y generado por dos elementos (como cociente de F ).\nLa condición 2 implica que Q/N = H/M = C y, por 4 y Lemma 5.2, C incrusta\ndentro del grupo Out(N).\nUsando la propiedad 5, por cada g â € N podemos encontrar u â € Q y z â € H tales que\nugu−1 = z â € N â € H = M. Desde Q = HN, hay h â € H y x â € N\ntal que u = hx. Desde z, h−1zh M y la acción de H sobre M conserva\nlas clases de conjugación de M, hay r â € M tal que rh−1zhr−1 = z, por lo tanto\nz = rh−1ugu−1(rh−1)−1 = rxgx−1r−1, donde v = rx â N. Así para cada g â N\nhay v â € N tal que vgv−1 â € M. Evidentemente, esto implica que N es también 2 -\nDelimitadamente simple. Como M ha (nCC), el número de clases de conjugación en N\nser a lo sumo n.\nSupongamos que x1, x2 M y x1\nx2. Entonces x1\nx2 (por la propiedad (iii) de\nla reclamación de Lemma 4.2), y como H es anormal en Q obtenemos x1\nx2. Por lo tanto\nx2, es decir, N también disfruta (nCC).\nEl hecho de que la acción natural de C sobre C(N) es trivial se deriva de la misma\npropiedad para la acción de H en C(M) y la malnormalidad de H en Q. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora, procedamos con el\nPrueba de Teorema 1.4. Primero aplicamos Lemma 4.4 para construir un grupo G y un\nSubgrupo normal K G según su reclamación. Ahora, por Teorema 5.1, hay un\ngrupoQ, teniendo un subgrupo normal NQ tal que G es anormal en Q, Q = GN,\nG N = K, rango (N) ≤ 2 (si se toma el grupo libre de rango 2 como F ) y cada\nel elemento q • Q se conjuga (en Q) a un elemento de G. Por la reclamación 2) de Lemma 4.4,\nK tiene (2CC), y un argumento, similar al utilizado en la prueba de Teorema\n5.3, muestra que N también tendrá (2CC). En consecuencia, rango(N) > 1 porque N es\nlibre de torsión, por lo tanto rango (N) = 2.\nDesde G = HK y H â € TM K = M tenemos Q = HKN = HN y H â € N =\nH •K =M. Puesto que Q/N = H/M y N pueden ser generados por dos elementos, podemos\nconcluir que rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.\n16 ASHOT MINASYAN\nConsiderar arbitraria x, y Q \\ {1} y suponer que فارسى(x)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por el teorema\n5.1, hay w, z G \\ {1} de tal manera que x\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n* z. Por lo tanto (w)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\npor lo tanto las imágenes de w y z en G/K también se conjugan. En la reclamación 3) de Lemma\n4.4, w\nz, lo que implica x\n- Sí. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTeorema 1.4 proporciona una forma alternativa de obtener grupos libres de torsión que\ntienen finitamente muchas clases de conjugación: para cualquier grupo contable C podemos elegir\nun grupo libre H de rango contable y un subgrupo normal {1} 6= M H de modo que\nH/M = C, y luego aplicar el teorema 1.4 al par (H,M) para obtener\nCorollary 5.4. Asumir que n+N, n ≥ 2, y C es un grupo contable que\ncontiene exactamente (n− 1) clases distintas de conjugación. Entonces existe una libertad de torsión.\ngrupo Q y N Q tales que\n• Q/N = C;\n• N tiene (2CC) y Q tiene (nCC);\n• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(C) + 2.\nCorollary 5.5. El grupo G1, dado por presentación (1.1), puede ser isomórficamente\nincrustado en un grupo Q sin torsión de 2 generaciones que satisface (4CC) de tal manera\nque t\nt−1.\nPrueba. Denotar por K el núcleo del homomorfismo : G1 → Z3, para el cual\n*(a) = 0 y *(t) = 1, donde Z3 es el grupo de enteros módulo 3. Ahora, aplíquese.\nTeorema 1.4 al par (G1,K) para encontrar el grupo Q, que contiene G1, y el normal\nSubgrupo N Q de su reclamación. Puesto que Q/N = G1/K = Z3 tiene (3CC), el grupo\nQ tendrá (4CC). También tenemos t\nt−1 porque las imágenes de t y t−1 no son\nconjugado en Q/N.\nElija un elemento q1 • Q \\ N. A continuación, q2 = q\n1 N \\ {1} y puesto que N es 2\ngenera y tiene (2CC), hay q3 â € N tal que N = â € € TM q2, q3â € en Q. Como Q/N\nes generado por la imagen de q1, el grupo Q será generado por {q1, q2, q3}, y,\nEn consecuencia, por {q1, q3}. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente\nQue G sea un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H,\ny dejar que X sea un conjunto de generación relativo simetrizado finito de G. Denote H =\n(H/23370/ \\ {1}).\nPara una ruta combinatoria p en el gráfico de Cayley (G,X,H) (de G con respeto\np−, p+, L(p) y lab(p) denotarán el punto inicial, el punto final,\nla longitud (es decir, el número de bordes) y la etiqueta de p respectivamente. p−1 will\nser el camino obtenido de p siguiéndolo en la dirección contraria. Además, si\nes un subconjunto de G y g ≤ G, entonces g se utilizará para denotar la longitud de una\npalabra más corta en 1 que representa g.\nUtilizaremos la siguiente terminología de [20]. Supongamos que q es una ruta en\n(G,X,H). Un subpath p de q se llama un componente H\nsimplemente un componente) de q, si la etiqueta de p es una palabra en el alfabeto H/23370/ \\ {1} y\np no está contenido en un subpath más grande de q con esta propiedad.\nDos componentes p1, p2 de una ruta q en •(G,X • H) se llaman conectados si\nson los componentes de la misma de la misma y existe una ruta c en la de la misma (G,X,H)\nconectar un vértice de p1 a un vértice de p2 de manera que el laboratorio(c) se componga enteramente de letras\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 17\nde H/23370/. En términos algebraicos esto significa que todos los vértices de p1 y p2 pertenecen a la\nel mismo coset gH♥ para un determinado g â € ¬ G. Siempre podemos suponer c para tener longitud en\nLa mayoría de 1, ya que cada elemento no trivial de H.O. está incluido en el conjunto de generadores. Un\nEl componente p de una ruta q se llama aislado si ningún otro componente de la ruta de q es\nconectado a p.\nLa siguiente declaración es un caso particular de Lemma 2.27 de [20];\nmuéstralo de una forma ligeramente más general, como aparece en [18, Lemma 2.7]:\nLemma 6.1. Supongamos que un grupo G es hiperbólico relativo a una familia de subgrupos\n{H. Entonces existe un subconjunto finito de G y una constante de K N tal\nque lo siguiente se mantiene. Let q ser un ciclo en G, X H, p1,. ..............................................................\nde componentes aislados de q y g1,. ...............................................................\nLab(p1),. ..,Lab(pk) respectivamente. Entonces g1,. ..., gk pertenecen al subgrupo ≤ G\ny las longitudes de la palabra de gi con respecto a \ngi ≤ KL(q).\nDefinición. Supóngase que m (N y N) es un subconjunto finito de G. Define W(l,m) a\nser el conjunto de todas las palabras W sobre el alfabeto X â € ¢ H que tienen la siguiente forma:\nW فارسى x0h0x1h1. .. xlhlxl+1,\ndonde l • Z, l ≥ −2 (si l = −2 entonces W es la palabra vacía; si l = −1 entonces W • x0),\nhi y xi se consideran letras únicas y\n1) xi • X • 1}, i = 0,..., l + 1, y para cada i = 0,..., l, existe • i) •\nDe los cuales: hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos.\n2) en caso de que la letra i) de la letra i) = la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i).\n3) i = 0,...., l.......................................................................................................................................................................................................................................................\nElija el subconjunto finito G y la constante K > 0 de acuerdo con la reclamación\nde Lemma 6.1.\nRecordemos que se dice que un camino q en •(G,X • H) es sin retroceso si todo de\nsus componentes están aislados.\nLemma 6.2. Dejar q ser un camino en el gráfico de Cayley (G,X,H) con Lab(q)\nW(,m) y m ≥ 5K. Entonces q es sin retroceso.\nPrueba. Asumir lo contrario a la reclamación. Entonces uno puede elegir un camino q proveyendo\nun contraejemplo de la longitud más pequeña posible. Así si p1,. ...............................................................\nutive) lista de todos los componentes de q entonces l ≥ 2, p1 y pl debe estar conectado H -\ncomponentes, para algunos , los componentes p2,. ..., pl−1 debe ser aislado, y q\ncomienza con p1 y termina con pl. Desde Lab(q) â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nSi l = 2 entonces la (X {1})-letra entre p1 y p2 pertenecería a H\ncontradiciendo la propiedad 2) de la definición de W(l,m).\nPor lo tanto l ≥ 3. Dado que p1 y pl están conectados, existe una ruta v en \nH) entre (pl)− y (p1)+ con Lab(v) H (así podemos asumir que L(v) ≤ 1).\nDenotar por qâ € el subpath de q comenzando con (p1)+ y terminando con (pl)−. Tenga en cuenta que\nL(q+) = L(q)−2 ≤ 2l−3, y p2,. ..., pl−1 es la lista de componentes de q®, todos los cuales\nestán aislados. Si uno de ellos estuviera conectado a v implicaría que está conectado\na p1 contradiciendo con la minimalidad de q. Por lo tanto, el ciclo o = qv posee\n18 ASHOT MINASYAN\nk = l − 2 ≥ 1 componentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................\nConsecuentemente, aplicando Lemma 6.1 se obtiene que hi , i = 1,..., k, y\nhi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + 1) ≤ K(2l− 2).\nPor la condición 3) de la definición de W(l,m) uno tiene hi > m ≥ 5K para\ncada i = 1,..., k. Por lo tanto\nk · 5K ≤\nhi ≤ K(2l− 2), o 5 ≤\n2l − 2\nque contradice la desigualdad k ≥ l − 2. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDefinición. Considerar un ciclo arbitrario o = rqr′q′ en Ł(G,X H), donde Lab(q)\ny Lab(q′) pertenecen a W(,m). Dejar p ser un componente de q (o q′). Diremos\nque p es regular si no es un componente aislado de o. Si m ≥ 5K y, por tanto, q y\nq′ son sin retroceso por Lemma 6.2, esto significa que p está conectado\na algún componente de q′ (respectivamente q), o a un componente de r o r′.\nLemma 6.3. En las anotaciones anteriores, suponga que m ≥ 7K y denote C =\nmax{L(r),L(r′)}. Entonces\na) si C ≤ 1 cada componente de q o q′ es regular;\n(b) si C ≥ 2 entonces cada uno de q y q′ puede tener como máximo 4C componentes que son\nNo es normal.\nc) si l es el número de componentes de q, entonces al menos (l− 6C) de componentes\nde q están conectados a componentes de q′; y dos componentes distintos de q\nno se puede conectar al mismo componente de q′. Similarmente para q′.\nPrueba. Asumir lo contrario a (a). Entonces uno puede elegir un ciclo o = rqr′q′ con\nL(r),L(r′) ≤ 1, con al menos un componente aislado en q o q′, y de manera que\nL(q) + L(q′) es mínimo. Es evidente que esta última condición implica que cada componente\nde q o q′ es un componente aislado de o. Por lo tanto q y q′ juntos contienen k\ndistintos componentes aislados de o, que representan elementos h1,. ......................................................\nk ≥ 1 y k ≥ (L(q) − 1)/2 + (L(q′) − 1)/2. Aplicando Lemma 6.1 obtenemos\nhola , i = 1,...., k, y\nhi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + L(q)\n′) + 2).\nRecordemos que hi > m ≥ 7K por la propiedad 3) de la definición de W(l,m).\nPor lo tanto\ni=1 hi ≥ k · 7K, lo que implica\nL(q′)\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\nque da lugar a una contradicción.\nDemostremos (b). Supongamos que C ≥ 2 y q contiene más de 4C aislados\ncomponentes de o. Examinaremos dos casos:\nCaso 1. No hay ningún componente de q conectado a un componente de q′. Entonces un com-\nel ponente de q o q′ sólo puede ser regular si está conectado a un componente de r o r′.\nPuesto que, por Lemma 6.2, q y q′ son sin retroceso, dos componentes distintos\nde q o q′ no se puede conectar al mismo componente de r (o r′). Por lo tanto q y\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 19\nq′ juntos pueden contener como máximo 2C componentes regulares. Así el ciclo o tiene k\ncomponentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................\nk ≥ (L(q)−1)/2+(L(q′)−1)/2−2C. Por Lemma 6.1, hola para cada i = 1,..., k,\ni=1 hi ≤ K(L(q) + L(q)\n′) + 2C). Una vez más podemos utilizar la propiedad 3)\nde la definición de W(l,m) para lograr\nL(q′)\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\n− 2C + 1 + 3C\nL(q)− 1\nL(q′)− 1\n≤ 2 +\ndando lugar a una contradicción.\nCaso 2. La ruta q tiene al menos un componente que está conectado a un com-\nponiente de q′. Let p1,. .., pl denota la secuencia de todos los componentes de q. Por parte\na), si ps y pt, 1 ≤ s ≤ t ≤ l, están conectados a componentes de q\n′, entonces para cualquier\nj, s ≤ j ≤ t, pj está conectado a algún componente de q\n′ (porque q es sin espalda-\nseguimiento por Lemma 6.2). Podemos tomar s (respectivamente t) para ser mínimos (respectivamente\nmáximo) posible. En consecuencia p1,. .., ps−1, pt+1,. .., pl contendrá el conjunto de\ntodos los componentes aislados de o que pertenecen a q, y ninguno de estos componentes\nestar conectado a un componente de q′.\nSin pérdida de generalidad podemos suponer que s− 1 ≥ 4C/2 = 2C. Puesto que ps es\nconectado a algún componente p′ de q′, existe una ruta v en \nv− = (ps)−, v+ = p\n+, Lab(v) â € H â € {1}, L(v) ≤ 1. Deje q̄ (respectivamente q̄\n′) denotar\nel subpath de q (respectivamente q′) de q− a (ps)− (respectivamente de p\n+ a q\nConsidere un nuevo ciclo ō = rq̄vq. Razonando como antes, uno puede demostrar que ō tiene k\ncomponentes aislados, donde k ≥ 2C ≥ 4 y k ≥ (L(q̄)−1)/2+(L(q)−1)/2−C−1.\nAhora, una aplicación de Lemma 6.1 al ciclo ō junto con la propiedad 3) de\nla definición de W(l,m) conducirá a una contradicción como antes.\nPor simetría, la declaración (b) del lema también es válida para q′.\nLa reclamación c) se deriva de b) y de la estimación L(r) + L(r′) ≤ 2C porque si\ndos componentes diferentes p y p̄ de q fueron conectados al mismo componente de\nalgún camino en #(G,X #H), entonces p y p̄ también estarían conectados el uno con el otro,\nque contradiría a Lemma 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.4. En las anotaciones anteriores, m ≥ 7K, C = max{L(r), L(r′)}, y\nlet p1,. .., pl, p\n1,.., p\nl′ ser las listas consecutivas de los componentes de q y q\nSi l ≥ 12max{C, 1} + 2, entonces hay índices s, t, s′ N tales que\n1 ≤ s ≤ 6C + 1, l − 6max{C, 1} ≤ t ≤ l y para cada i {0, 1,...., t − s}, la\ncomponente ps+i de q está conectado al componente p\nsi de q\nPrueba. Por parte (c) de Lemma 6.3, existen ≤ 6C +1 tales que el componente\nps está conectado a un componente p\ns′ para algunos s\n{1,.................................................................................................................. Por lo tanto hay un camino\nr1 entre (p\ns′)+ y (ps)+ con L(r1) ≤ 1. Considerar un nuevo ciclo o1 = r1q1r\ndonde q1 es el segmento de q de (ps)+ a q+ = r\n− y q\n1 es el segmento de q\nde q = r\n+ a (p\ns′)+.\nObserve que ps+1,. .., pl es la lista de todos los componentes de q1 y l−s ≥ l−6C−1 ≥\n6max{1, C 1, por lo tanto, de acuerdo con la parte (c) de Lemma 6.3 aplicado a o1, hay\nt ≥ l − 6max{1, C} > s de tal manera que pt esté conectado a p\nt′ por medio de una trayectoria r\ndonde s′ + 1 ≤ t′ ≤ l′, (r′1)− = (pt)+, (r\n1)+ = (p\nt′)+ y L(r\n1) ≤ 1. Considerar\n20 ASHOT MINASYAN\nsi′ p\nGráfico 1\nel ciclo o2 = r1q2r\n2 en los que q2 y q\n2 son los segmentos de q1 y q\n1 de\n(ps)+ = (r1)+ a (pt)+ y a partir de (p)\nt′)+ a (p\ns′)+ = (r1)− respectivamente (fig. 1).\nTenga en cuenta que ps+1,. .., pt es la lista de todos los componentes de q2 y p\ns1,. .., p\nt′ es la\nlista de todos los componentes de q′2\n. El ciclo o2 cumple los supuestos de la parte a) de\nLemma 6.3, por lo tanto para cada i {1,........................................................................................................................................................................................................................................................ \nde tal manera que ps+i está conectado a p\nsi′ (ps+i no se puede conectar a r1 [r\n1] porque en\neste caso estaría conectado a ps [pt], pero q es sin retroceso por Lemma\n6.2).\nQueda por demostrar que i′ = i para cada i. De hecho, si i′ < i para algunos\ni {1,....., t − s} entonces se puede considerar el ciclo o3 = r1q3r\n3, donde q3 y\nq′3 son segmentos de q2 y q\n2 de (q2)− = (r1)+ a (ps+i)+ y de (p)\nsi′ )+ a\n(q′2)+ = (r1)−, respectivamente, y (r\n3)− = (q3)+, (r\n3)+ = (q\n3)−, L(r\n3) ≤ 1. De acuerdo\na la parte a) de Lemma 6.3, cada uno de los componentes ps+1,. ..., ps+i de q3 debe ser\nconectado a uno de p′s1,. .., p\nsi′. Por lo tanto, ya que i\n′ < i, dos componentes distintos\nde q3 se conectará al mismo componente de q\n, que es imposible por parte\nc) de Lemma 6.3.\nLa desigualdad i′ > i llevaría a una contradicción después de una aplicación de un\nargumento simétrico a q′3. Por lo tanto i\n′ = i y se demuestra el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.5. En las anotaciones anteriores, deje m ≥ 7K y C = max{L(r),L(r′)}. Por\ncualquier número entero positivo d existe una constante L = L(C, d) N tal que si L(q) ≥ L\nentonces hay d componentes consecutivos ps,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ns′,. .., p\nsd−1 de\nq1, de modo que ps+i está conectado a p\nsi para cada i = 0,...., d− 1.\nPrueba. Elija la constante L de modo que (L − 1)/2 ≥ 12max{C, 1} + 2 + d.\np1,. .., pl ser la lista consecutiva de todos los componentes de q. Desde Lab(q)\ntienen l ≥ (L − 1)/2 (debido a la forma de cualquier palabra de W(,m)). Así podemos\naplicar Lemma 6.4 para encontrar índices s, t de su reclamación. Por la elección de s y t, y\nla estimación en l, tenemos t− s ≥ d+ 1, dando la declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorollary 6.6. Dejar G ser un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos adecuados\n{H. Suponga que un â € TM â € TM, para algunos â € â € TM, es un elemento de orden infinito,\ny x1, x2 â € ¬ G \\ H0. Entonces existe k â € N tal que g = a\nk1x1a\nk2x2 es un\nelemento hiperbólico de orden infinito en G cuando k1, k2 ≥ k.\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 21\nPrueba. Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que x1, x2 x, desde relativa\nhiperbólica no depende de la elección del conjunto de generación relativo finito\n([20, Thm. 2.34]). Elija el subconjunto finito \nde acuerdo con la reclamación de Lemma 6.1, y set m = 7K. Como el orden de una es infinito,\nNo hay k â € N tal que ak\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n≥ k. Asumir\nque k1, k2 ≥ k.\nSupongamos, en primer lugar, que gl = 1 para algunos l N. Considere el ciclo o = rqr′q′ en\n(G,X,H) donde q− = q+ = 1, Lab(q) • (a)\nk1x1a\nk2x2)\nl • W(,m) (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\nse consideran como letras únicas del alfabeto X H) y r, r′, q′ son vías triviales\n(consiste en un solo punto). Luego, por parte (a) de Lemma 6.3, cada componente de\nq debe ser regular en o, lo que es imposible ya que q es sin retroceso según\na Lemma 6.2. Por lo tanto g tiene orden infinito en G.\nSupongamos, ahora, que existe â â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\n−1 = u.\nNota C = yXH. Puesto que el elemento u â € ¢ G tiene un orden infinito, existe l â € TM N tales\nque 2l ≥ 6C+2 y ul / {h : h ≤ m}. La igualdad yg\nly−1u−l = 1 da\nla altura del ciclo o = rqr′q′ en فارسى(G,X»,H), donde r y r′ son carriles de longitud C cuya\nlas etiquetas representan y en G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q)\nk1x1a\nk2x2)\nl.o W.o.m.,\nr = q+, q\n− = r\n+ = y(a)\nk1x1a\nk2x2)\nly−1 y Lab(q′) u−l (l) W(,m), L(q′) = 1.\nPor parte c) de Lemma 6.3, al menos 2l − 6C ≥ 2 componentes distintos de q\nestar conectado a componentes distintos de q′, lo que es imposible ya que q′ tiene sólo uno\ncomponente. La contradicción muestra que g debe ser un elemento hiperbólico de G.\nLemma 6.7. Que G sea un grupo hiperbólico libre de torsión relativo a una familia de\nSubgrupos {H, a {H°0 \\ {1}, para algunos {0 â °, y t, u â € G \\Hœ0. Supón\nque existe kÃ3r â n de tal manera que para cada k ≥ kÃ3r el elemento g1 = a\nktakt−1\nes conmensurable con g2 = a\nkuaku−1 en G. Luego hay β, γ \nTal que u = γt, βa1 = a, 1aγ = a.\nPrueba. Cambiando el conjunto de generación relativo finito X de G, si es necesario, podemos\nAsumir que t, u, t−1, u−1 X. Deja que el subconjunto finito de G y G y la constante\nK N se elegirá de acuerdo con Lemma 6.1. Definir m = 7K y suponer que k es\nlo suficientemente grande como para satisfacer ak/ {h : h ≤ m}.\nDado que g1 y g2 son commensurables, existen l, l\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\nygl2y\n−1 = gl\n1. Let C = yXÃ3H, d = 8 y L = L(C, d) ser la constante de Lemma\n6.5. Sin pérdida de generalidad, asumir que 4l ≥ L. Considere el ciclo o = rqr′q′\n(G,X,H) de manera que r y r′ sean vías de longitud C cuyas etiquetas representen y\nen G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q) \nkuaku−1)l â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € €.................................................................................................................................................................................................................................. \nq = r\n+ = yg\n−1, Lab(q′) فارسى (aktakt−1)l\n• W(,m), L(q′) = 4l′.\nAhora, por Lemma 6.5, hay subtrayectorias q? = p1s1p2s2p3s3p4 de q y q?\n4 de q\n1 tal que el Lab(pi)\nk, Lab(p′i)\nk, i = 1, 2, 3, 4, para\nalgunos de ellos (que depende del signo de l′), laboratorio(s1), laboratorio(s3), u,\nLaboratorio(s2)\n−1, Lab(s′1) • Lab(s)\n3) t\n*, Lab(s′2) * t\n, para algunos 1, 1}, y\npi está conectado a p\ni para cada i = 1, 2, 3, 4. Por lo tanto existen caminos\np1, p2, p3, p4 cuyas etiquetas representan, respectivamente, los elementos α, β, γ,\nque (p01) = (p1)+, (p1)+ = (p\n1)+, (p̃2)− = (p\n2)+, (p2)+ = (p2)+, (p3)− = (p3)−,\n(p̃3)+ = (p\n3) -, (p04) - = (p\n4)−, (p̃4)+ = (p4)− (ver Fig. 2).\nLos ciclos s−11 pœ1s\n2p‡2p\n2, s2pс3s\np‡2 y s\n3 pœ3p\nEl 3p4 da lugar a la creación de una sociedad de la información en la que la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información y la sociedad de la información.\nla bajada de las equivalencias en el grupo G:\nu = αtaakβa−k, u = γt y u = a−kγakt.\n22 ASHOT MINASYAN\np1 s1 p2 s2 p3 s3 p4\np′1 s\np. 1 p. 2 p. 3 p. 4\nak u ak u−1 ak u\na-ka-ka-ka-ka-k\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nGráfico 2\nConsecuentemente, recordando que Hl0 es anormal (Lemma 2.3) y que t\n# Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # # Nos # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nβak1ak = t1αtà â â € â € â € â € â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nH/23370/0t\n• = {1}, y\nak1akγ = t1t â € â € â € â € TM t\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n= {1}.\n(6.1) βak1 = ak y 1akγ = ak\npara algunos β = β(k), γ = γ(k) Tenga en cuenta que\nla prueba funciona para cualquier k suficientemente grande, por lo tanto podemos encontrar dos mutuamente\nNúmeros enteros positivos primos k, k′ con las propiedades anteriores de tal manera que â € (k) = â € (k′) = â € €\nDenota = β(k′) y γ(k′), luego γt = u = t,\nlo que implica\n1 = t\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n= {1}.\nPor lo tanto = β, = γ,\n(6.2) βak\n1 = ak\ny 1ak\nγ = ak\nQueda por observar que, puesto que k y k′ son mutuamente primos, las fórmulas (6.1)\ny (6.2) juntos rinden\nβa1 = a y 1aγ = a,\nq.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos\nDejar G ser un grupo generado por un subconjunto A G y dejar O ser el conjunto de todos\npalabras en el alfabeto A±1, que son triviales en G. Entonces G tiene una presentación de la\nel siguiente formulario:\n(7.1) G = â € A â € Oâ € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nDado un conjunto simetrizado de palabras R sobre el alfabeto A, considere el grupo G1\ndefinido por\n(7.2) G1 = â € A â € O â € Râ € = â € G â € Râ €\nDurante la prueba del resultado principal de esta sección utilizamos presentaciones (7.2) (o,\nEquivalentemente, los conjuntos de retablos adicionales R) que satisfacen el\nla condición de cancelación C1(, μ, , c, ). En el caso de los grupos hiperbólicos de la palabra esto\ncondición fue sugerido por Ol'shanskii en [16], y se generalizó después a\ngrupos hiperbólicos relativamente por Osin en [21]. Para la definición y la teoría detallada\nremitimos al lector al artículo [21], ya que sólo utilizaremos las propiedades, que fueron\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 23\nya establecido allí. La siguiente observación es una consecuencia inmediata\nde la definición:\nObservación 7.1. Dejar que las constantes (j, μj, , c, /23370/j, j = 1, 2, satisfagan 0 < ≤ 1, 0 ≤ فارسى1 ≤\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Si la presentación (7.2) disfruta de la condición\nA continuación, también goza de la condición C1(2, μ2, 2, c, 2), y de la condición C1(1, 1, 1, c, 1).\nTambién asumiremos que el lector está familiarizado con la noción de un van Kampen\ndiagrama sobre la presentación del grupo (7.2) (véase [10, cap. V] o [15, Ch. 4]). Dejad en paz.\nTal diagrama. Una célula Π de • se llama una célula-R si la etiqueta de su contorno de contorno\n(es decir, la palabra escrita en él comenzando con algún vértice en el sentido contrario a las agujas del reloj\ndirección) pertenece a R.\nConsiderar una ruta cerrada simple o = rqr′q′ en un diagrama\n(7.2), de tal manera que q es un subcamino del ciclo límite de una célula R Π y q′ es un\nsubpath de. Dejado denotar el subdiagrama de la o. Asumiendo que\nNo tiene agujeros, ni células-R y L(r), L(r′) ≤ \nsubdiagrama de Π a. La razón L(q)/L() se denominará grado de contigüidad\nde Π a y denotado (Π,, ).\nUn diagrama se dice que se reduce si tiene un número mínimo de células-R entre todos\nlos diagramas con la misma etiqueta de contorno.\nSi G es un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados\nun conjunto de generación relativo finito X, entonces G es generado por el conjunto A = X •\n(Hola)\n{1}), y el gráfico de Cayley (G,A) es un espacio métrico hiperbólico [20, Cor. 2.54].\nEn cuanto a cada condición de cancelación pequeña, la declaración principal de la teoría es\nel siguiente análogo de Lemma de Greendlinger, alegando la existencia de una célula,\ngran parte de cuyo contorno se encuentra en el límite del diagrama de van Kampen.\nLemma 7.2 ([21], Cor. 4.4. Supongamos que el grupo G es generado por un subconjunto A\ntal que el gráfico de Cayley (G,A) es hiperbólico. Entonces para cualquier 0 < ≤ 1 hay\nμ0 > 0 de tal manera que para cualquier μ â € (0, μ0] y c ≥ 0 haya â € 0 ≥ 0 y â € 0 > 0 con la\ndespués de la propiedad.\nQue la presentación simetrizada (7.2) satisfaga la condición C1(0, μ, , c, 0).\nAdemás, vamos a ser un diagrama reducido de van Kampen sobre G1 cuyo contorno de contorno\nes (l, c)-cuasigeodésico en G. Entonces, a condición de que tiene una célula-R, existe una célula-R\nΠ en los Estados miembros y en un subdiagrama de contiguidad de los Estados miembros de la Comunidad, de Π a, de modo que:\n(Π,l, ) > 1− 23μ.\nLa aplicación principal de esta pequeña condición particular de cancelación es\nLemma 7,3 ([21], Lemmas 5.1 y 6.3). Para cualquier 0 < ≤ 1, c ≥ 0 y N > 0\nexisten μ1 > 0,1, 1 ≥ 0 y 1 > 0 de tal manera que para cualquier conjunto de palabras simetrizadas\nR que cumplan las condiciones siguientes: C1(1, μ1, 1, c, 1)-condición:\n1. El grupo G1 definido por (7.2) es hiperbólico en relación con la colección de\nimágenes (Hola)}iI bajo el homomorfismo natural η : G→ G1.\n2. La restricción de η al subconjunto de elementos que tienen longitud como máximo N con\nel respeto a A es inyector.\n3. Cualquier elemento que tiene un orden finito en G1 es una imagen de un elemento de\norden finito en G.\nA continuación se muestra el lema principal de esta sección que más tarde se utilizará para probar\nTeorema 1.5.\n24 ASHOT MINASYAN\nLemma 7.4. Supongamos que G es un grupo hiperbólico libre de torsión en relación con una familia\nde los subgrupos adecuados {Hi}iI, X es un conjunto de generación relativa finita de G, S es un adecuado\nEl subgrupo de G y U-G es un subconjunto finito. Supón que yo, un Hi0 \\ {1}\ny v1, v2+G son elementos hiperbólicos que no son comparables entre sí.\nEntonces existe una palabra W (x, y) sobre el alfabeto {x, y} de tal manera que lo siguiente es\nCierto.\nDenotar w1 = W (a, v1) G, w2 = W (a, v2) G, y dejar que w2 sea el normal\ncierre de w2 en G, G1 = G/w2 y η : G → G1 ser el epimorfismo natural.\n• η es inyector en {H • U y G1 es hiperbólico en relación con la familia\n(H/23370/);\n• η(S) es un subgrupo adecuado de G1;\n• G1 está libre de torsión;\n• η(w1) 6= 1.\nPrueba. Por Lemma 2.7 hay elementos hiperbólicos v3, v4 S tal que vi\n6o vj si\n1 ≤ i < j ≤ 4. Entonces por Lemma 2.2, el grupo G es hiperbólico relativo a lo finito\nRecolección de subgrupos\nj=1{EG(vj)}, y generado por el conjunto\nA = X\nEG(vj)\n\\ {1}.\nLet G y K N denotar el subconjunto finito y la constante lograda después de un\naplicación de Lemma 6.1 a esta nueva colección de subgrupos periféricos.\nDefinir m = 7K, = 1/3, c = 2 y N = maxuA : u U} + 1. Elegir\nμj > 0, Łj ≥ 0 y /23370/j > 0, j = 0, 1, según las alegaciones de Lemmas 7,2\ny 7.3. Dejemos que L = L(C, d) > 0 sea la constante dada por\nLemma 6.5 donde C = 0 y d = 2. Es evidente que existe n o N tal que, para\nμ = (3 11)/n, uno tiene\n0 < μ ≤ min0, μ1}, 2n(1− 23μ) > L, y 2n > max0, \nF() =\nh : h ≤ max{K(32 70),m}\nPuesto que el subconjunto F () es finito, podemos encontrar k • N de tal manera que ak\n1, v\n2 / F(♥)\ncuando k′ ≥ k. Considere la palabra\nW (x, y) فارسى xkykxk+1yk+1. .. xk+n−1yk+n−1.\nQue wj G sea el elemento representado por la palabraW (a, vj) en G, j = 1, 2, y que\nR es el conjunto de todos los cambios cíclicos de W (a, v2) y sus inversas. Por Lemma 2.3, Hi0\nEG(v2) = {1} porque G está libre de torsión, por lo tanto por [21, Thm. 7.5] la presentación\n(7.2) cumple la condición C1( siguientes, μ, 1/3, 2, 2n), y por lo tanto, mediante la Observación 7.1,\ncumple las condiciones C1(0, μ, 1/3, 2,0) y C1(1, μ1, 1/3, 2,1).\nObserve que w1 6= 1 en G porque, de lo contrario, habría existido un cerrado\nruta q en Ł(G,A) etiquetada con la palabra W (a, v1), y, por parte (a) de Lemma 6.3,\ntodos los componentes de q habrían sido regulares en el ciclo o = rqr′q′ (donde r, r′, q′\nson caminos triviales), lo que es obviamente imposible.\nDenotar G1 = G/w2 y dejar η : G → G1 ser el epimorfismo natural. Entonces,\nde acuerdo con Lemma 7.3, el grupo G1 es libre de torsión, hiperbólico relativo a\n# Hola # # I # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I #\nj=1(EG(vj))} y η es inyector en el conjunto\n¡Hola!\nj=1 EG(vj)\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 25\nU (porque la longitud en A de cualquier elemento de este conjunto es como máximo N). Desde cualquier\ngrupo elemental es palabra hiperbólica, G1 es también hiperbólica relativa a (Hola)}iI\n(por Lemma 2.4) y η(v3), η(v4) η(S) se convierten en elementos hiperbólicos de infinito o-\nder en G1, que no son comparables entre sí (por Lemma 2.3). Por lo tanto\nEG1(η(v3)) • EG2(η(v4)) = {1} (recordemos que estos subgrupos son cíclicos por Lemma\n2.2 y porque G1 está libre de torsión), y, por consiguiente, η(S) es un subgrupo adecuado\nde G1.\nSupongamos que η(w1) = 1. Por Lemma de van Kampen existe una reducción\ndiagrama plano sobre la presentación (7.2) con la palabra W (a, v1) escrita en su\nlímite. SinceW (a, v1)\n6 = 1, posee al menos una célula-R. Fue probado en [21,\nLemma 7.1] que cualquier camino en •(G,A) etiquetado por W (a, v1) es (1/3, 2)-cuasigeodésico,\npor lo tanto, podemos aplicar Lemma 7.2 para encontrar una R-célula Π de.................................................................................................................................................................................................................................................... \n(que no contienen R-células) entre Π y de tal manera que (Π,,) >\n1− 23μ. Por lo tanto, existe un ciclo o = rqr′q′ en Ł(G,A) de tal manera que q está etiquetado por un\nsubpalabra de (un cambio cíclico de) W (a, v2), q\n′ está etiquetada con una subpalabra de (un cambio cíclico\nde) W (a, v1)\n±1, L(r), L(r′) ≤ 0 = C y\nL(q) > (1− 23μ) · L() = (1− 23μ) · 2n > L.\nEn particular, Lab(q), Lab(q′) Por lo tanto, podemos aplicar Lemma 6.5 a\nencontrar dos componentes consecutivos de q que están conectados a algunos componentes de\nq′. Debido a la forma de la palabra W (a, v2), uno de los\nEG(v2)-componente, pero q\n′ puede tener sólo EG(v1)- o Hi0 -componentes. Esto da resultados\nuna contradicción porque EG(v2) 6= EG(v1) y EG(v2) 6= Hi0. Por lo tanto η(w1) 6= 1 en\nG1, y la prueba está completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)\nLemma 8.1. Existe una palabra R(x, y) sobre el alfabeto de dos letras {x, y} tales\nque cada palabra libre de torsión no elemental del grupo hiperbólico F1 tiene un no-elemen-\ntary torsion-free palabra cociente hiperbólico F que se genera por dos elementos a, b\nF satisfactoria\n(8.1) R(a, b)\n6= 1, R(a−1, b−1)\n= 1, R(b, a)\n= 1, R(b−1, a−1)\nPrueba. Considere la palabra\nR(x, y) فارسى xy101x2y102. x100y200.\nDenotar por F (a, b) el grupo libre con los generadores libres a, b. Vamos.\nR1 = {R(a, b), R(a)\n−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)},\ny R2 ser el conjunto de todas las permutaciones cíclicas de palabras de R\n1. Es fácil de ver.\nque el conjunto R2 satisface la condición clásica de cancelación pequeña C\n′(1/8) (véase [10,\nCh. V]). Denotar por Ñ el cierre normal del juego\nR3 = {R(a)\n−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)}\nen F (a, b). Dado que la simetría de R3 también satisface C\n′(1/8), el grupo F\nF (a, b)/Ñ está libre de torsión ([10, Thm. V.10.1]) grupo de palabras hiperbólicas (porque\ntiene una presentación finita para la cual la función Dehn es lineal por [10, Thm. V.4.4])\nde tal manera que\nR(a, b)\n6= 1 pero R(a−1, b−1)\n= R(b, a)\n= R(b−1, a−1)\n26 ASHOT MINASYAN\nDe hecho, si la palabra R(a, b) eran triviales en Fû entonces, por Lemma de Greendlinger [10,\nThm. V.4.4], que contendría más de la mitad de un\nR3 como subpalabra, lo que contradice el hecho de que R2 disfruta de C\n′(1/8).\nEl grupo F‡ no es elemental porque cada grupo elemental libre de torsión es\ncíclico, por lo tanto, abeliano, pero en cualquier grupo abeliano la relación R(a−1, b−1) = 1 implica\nR(a, b) = 1.\nAhora, el producto libre Gś = Fś ∗F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión. Sus subgrupos\nFū y F1 no son elementales, por lo tanto, según un teorema de Ol'shanskii [16,\nThm. 2], existe una palabra no elemental sin torsión hiperbólica grupo F y\na homomorfismo \nF. Por lo tanto F es un cociente de F1, los elementos a, b generar F\ny disfrutar de las relaciones requeridas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora estamos listos para probar el Teorema 1.5.\nPrueba de Teorema 1.5. El argumento será similar al que se usó para probar el...\norem 5.1.\nEn primer lugar, establecer n = 2 y aplicar Lemma 4.2 para encontrar un grupo libre de torsión H\ny un subgrupo normal M H, donde H/M = C y M tiene (2CC) (alternativamente,\nuno podría comenzar con un grupo libre H ′ y M ′ H ′ de tal manera que H ′/M ′ C, y luego\naplicar Lemma 4.4 al par (H ′,M ′) para obtener H y M con estas propiedades).\nConsidere la palabra R(x, y) y el grupo hiperbólico libre de torsión F, generado por\nlos elementos a, b • F que satisfacen (8.1), dados por Lemma 8.1. Nota G(−2) =\nH* F y dejar que N(−2) sea el cierre normal de M, F en G(−2), F (−2) = F,\nR(−2) = {R(a, b)} – un subconjunto finito de F (−2). Por Lemma 2.6, G(−2) será\nhiperbólico en relación con el subgrupo H, G(−2) = H ·N(−2), H •N(−2) =M y\nF (−2) será un subgrupo adecuado de G(−2).\nEl elemento a F (−2) será hiperbólico en G(−2) y desde el grupo G(−2)\nes libre de torsión, el subgrupo elemental máximo EG(−2)(a) será cíclico generado\npor algún elemento h−2x−2, donde h−2 â € H, x−2 â € N(−2).\nElija y -2 â € M de modo que h -2y -2 6= 1. Por Lemmas 2.2 y 2.5, la HNN-\nextensión\nG(−3/2) = •G(−2), t−1 • t−1h−2x−2t\n−1 = h−2y−2\nes hiperbólico en relación con H. Como en la prueba de Teorema 5.1, se puede verificar que F (−3)\nes un subgrupo adecuado de G(−3/2), y aplicar Teorema 2.8 para encontrar un epimorfismo\n2 : G(−3/2) → G(−1) de tal manera que G(−1) es un grupo sin torsión hiperbólico relativo\na 2(H), 2 es inyector en H (−2) y 2(t−1) F (−1) donde F (−1) =\n2(F (−2)) es un subgrupo adecuado de G(−1). Por lo tanto 2(G(−2)) = G(−1) como\nG(−3/2) fue generado por G(−2) y t−1.\nNota N(−1) = 2(N(−2)), R(−1) = 2(R(−2)) y 2 = 2G(−2):\nG(−2) G(−1). Uno puede mostrar queG(−1) = H ·N(−1) yH •N(−1) =M usando\nlos mismos argumentos que en la prueba de Teorema 5.1. Según la construcción,\nTenemos\n2(t−1)2(a)2(t)\n−1) = η(t−1at\n-1) - N(−1) - H = M\nen G(−1), por lo tanto, puesto que la conjugación por 2(t−1) es un automorfismo interno\nde F (−1), podemos suponer que F (−1) es generada por a−1 y b−1, donde a−1 â € M\ny R(a−1, b−1) 6= 1 en F (−1) (porque 2(R(a, b)) 6= 1 en F (−1)).\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 27\nAhora, si b−1 no es un elemento hiperbólico de G(−1), es decir, si b−1\nG(−1)\nC para algunos\nc H, luego c N(−1)H = M, y puesto que M tiene (2CC) podemos encontrar s−1 G(−1)\ntal que b−1 = s−1a−1s\n−1. En este caso definimos G(0) = G(−1), N(0) = N(−1),\nF (0) = F (−1), R(0) = R(−1), a0 = a−1, s0 = s−1 y 1 = idG(−1).\nDe lo contrario, si b−1 es hiperbólico en G(−1), entonces construimos el grupo G(0),\ny un epimorfismo 1 : G(−1) → G(0) de una manera análoga, para asegurarse de que\n1 es inyector en H R(−1), G(0) sin torsión e hiperbólico relativo a (la\nimagen de) H, F (0) = 1(F (−1)) es un subgrupo adecuado de G(0), G(0) = H ·N(0)\ny H N(0) = M donde N(0) = 1(N(−1)), y b0 = s0a0s\n0 en G(0) donde\nb0 = 1(b−1), a0 = 1(a−1) para algunos s0 • G(0)\nEnumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. . }, y de G(0): {q0, q1, q2,. .. },\nasí que g0 = q0 = 1.\nLos grupos G(j) junto con N(j)G(j), F (j) ≤ G(j), subconjuntos finitos R(j)\nG(j), y los elementos aj, sj • G(j), j = 1, 2,...., que construiremos satisfarán\nlas siguientes propiedades:\n1o. para cada j • N hay un epimorfismo •j−1 : G(j − 1) → G(j) que es\ninyectora de H+R(j− 1). F (j) = j−1(F (j − 1)), N(j) = j−1(N(j − 1)),\naj = •j−1(aj−1) •M, sj = •j−1(sj−1) • G(j);\n2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤\nG(j) es un subgrupo adecuado generado por aj y sjajs\n3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M ;\n4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j);\n5o. existe zj H tal que q̄j\n* zj, donde q̄j es la imagen de qj en G(j);\n6o. si j ≥ 1, q̄j−1 â ¬ G(j − 1) \\H y para cada kâ ¬ N hay k ≥ kâ € de tal manera que\nakj−1sj−1a\nG(j−1)\n6o akj−1q̄j−1a\nj−1q̄\nj−1, entonces hay una palabra Rj−1(x, y)\nsobre el alfabeto de dos letras {x, y} que satisface\nR(j) j−1\nRj−1(aj−1, sj−1aj−1s\n6= 1 y\nRj−1(aj−1, q̄j−1aj−1q̄\n=1 en G(j).\nSupongamos que los grupos G(0),. .., G(i) ya se han definido. El grupo\nG(i+1) se construirá en tres pasos.\nEn primer lugar, supóngase que q̄i • G(i) \\ H y para cada kâ · N hay k ≥ kâ ° tal que\naki sia\n6o aki q̄ia\ni. Obsérvese que si / H porque, de lo contrario, uno podría\ntener F (i) H, lo que es imposible, ya que F (i) es adecuado en G (i). Por lo tanto, por\nCorollary 6.6, podemos suponer que k es tan grande que los elementos v1 = a\ni sia\ny v2 = a\ni q̄ia\ni son hiperbólicos en G(i). Aplicando Lemma 7.4 podemos encontrar un\npalabra W (x, y) sobre {x, y} tal que el grupo G(i+1/3) = G(i)/W (ai, v2) y\nel epimorfismo natural η : G(i) → G(i + 1/3) satisfacen lo siguiente: η es inyector\nen H • R(i), G(i + 1/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de)\nH, η(F (i)) ≤ G(i + 1/3) es un subgrupo adecuado, y η(W (ai, v1)) 6= 1. Definir la\npalabra Ri(x, y) • W (x, x\nkyk). Entonces Ri(ai, siais\ni ) = W (ai, v1), Ri(ai, q̄iaiq̄\ni ) =\nW (ai, v2) en G(i), por lo tanto\nRi(ai, siais\n6= 1 y η\nRi(ai, q̄iaiq̄\n= 1 en G(i + 1/3).\n28 ASHOT MINASYAN\nSi, por otro lado, q̄i H o hay kâr â € N tal que por cada k ≥ kâ € uno tiene\naki sia\nفارسى aki q̄ia\ni, entonces definimos G(i+1/3) = G(i), η : G(i) → G(i+1/3)\nser el homomorfismo idéntico y Ri(x, y) ser la palabra vacía.\nDenotar las imágenes de gi+1 y qi+1 en G(i + 1/3) y Qí+1 en G(i + 1/3)\nη(N(i)), FÃ3r (i) = η(F (i)) y RÃ3r(i) = η\nR(i) {Ri(ai, siais)\n. Entonces, usando 3o,\nObtenemos G(i + 1/3) = H · N+(i) y H+N+(i) = M porque ker(η) ≤ N(i) (como\nai, q̄iaiq̄\ni) N(i)).\nAhora construimos el grupo G(i + 2/3) exactamente de la misma manera que el grupo\nG(i+ 1/2) fue construido durante la prueba de Teorema 5.1.\nSi para algunos f • G(i + 1/3), f q • i + 1f\n−1 = z • H, luego set G(i + 2/3) = G(i),\nKi+1 = No(i)G(i + 2/3) y ti+1 = 1.\nDe lo contrario, qáši+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i + 1/3). Desde\nG(i + 1/3) es libre de torsión, uno tiene EG(i+1/3)(qáñi+1) = áhxÃ3n para algunos h à H y\nx â € € TM Nâ € (i), y hay m â € € TM Z tal que qâ € i + 1 = (hx)\nm. Ahora, por Lemma 2.2,\nG(i + 1/3) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1 y\nque G(i+ 2/3) sea la siguiente extensión HNN de G(i + 1/3):\nG(i + 2/3) = G(i + 1/3), ti+1 ti+1(hx)t\ni+1 = hyâ.\nEl grupo G(i + 2/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.\nSe puede demostrar que F® (i) es un subgrupo adecuado de G(i + 2/3) de la misma manera que\ndurante la prueba de Teorema 5.1. Lemma 4.3 asegura que H-Ki+1 = M donde\nKi+1 G(i+2/3) es el cierre normal de â € € TM nâ € (i), ti+1â € en G(i+2/3). Por último, nota\nti+1qçói+1t\ni+1 = ti+1(hx)\nmt−1i+1 = (hi)\nm = z + H en G(i + 2/3).\nDefinir Ti+1 = i+1, ti+1} Ki+1. El grupo G(i + 1) se construye a partir de\nG(i+2/3) de la siguiente manera. Desde Ti+1 · Fâ € (i) · Ki+1G(i+2/3), podemos aplicar el teorema\n2.8 para encontrar un grupo G(i + 1) y un epimorfismo : G(i + 2/3) → G(i + 1) tales\nque el i es inyector en el H-R-i, G-i-+1 está libre de torsión e hiperbólico en relación con el\n(la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}\nde G(i + 1), y ker(Łi) ≤ Ki+1. Denota por : G(i) → G(i + 1) la composición\nNo. No. No. No. No. No. No. No. No. No. No. A continuación, se genera G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1 porque G(i + 2/3)\npor G(i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 \nAhora, después de definir F (i+1) = i(F (i)), N(i+1) = i(N(i)), R(i+1) = i(R®(i)),\ni+1 = i(i+1) F (i+1) y zi+1 = i(z) H, vemos que las condiciones 1\n5o período de sesiones\nmantener en el caso cuando j = i + 1, como en la prueba de Teorema 5.1. La última propiedad\n6o sigue de la forma en que construimos el grupo G(i + 1/3).\nDejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que\nF () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Vamos a, b,\ny ser las imágenes de a0, b0 y s0 en Q respectivamente. A continuación, b. = s............................................................................................................\n*, Q\nestá libre de torsión por 2°, N Q, Q = H ·N y H °N =M por 3°, N ≤ F () por 4°.\nPor lo tanto, Q/N = H/M = C.\nDesde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico\nimagen de F (0) = F, y, en consecuencia, es un cociente de F1. Por 5\n# Para cualquier q # N\nhay z • H y p • Q de tal manera que pqp−1 = z. En consecuencia z • H • N = M.\nElija x â € N y h â € H para que p = hx. Puesto que M tiene (2CC) y h−1zh M,\nhay y M tal que yh−1zhy−1 = z, por lo tanto (yx)q(yx)−1 = z M y\nGRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 29\nPor lo tanto, cada elemento q de N se conjugará (en N) a un\nelemento de M, y como M tiene (2CC), por lo tanto el grupo N también tendrá (2CC).\nLa propiedad que CQ(N) = {1} se puede establecer de la misma manera que en\nTeorema 5.1. Por lo tanto, el homomorfismo natural Q → Aut(N) es inyector. Lo siento.\nsigue siendo para demostrar que es sujetivo, es decir, para cada Aut (N) hay g Q\ntal que فارسى(x) = gxg−1 por cada x • N. Puesto que todos los elementos no triviales de N son\nconjugado, después de componer Ł con un automorfismo interno de N, podemos asumir\neso es, a) = a). Por otra parte, existen qÃ3n à n y i à n de tal manera que\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\nLa imagen de Q es la imagen de Q en Q. Tenga en cuenta que sâ € / € H porque\nsi G(i) \\ H para cada i(i) N. Esto implica que H es un subgrupo adecuado de N,\nPor lo tanto, se trata de una medida que no se aplica a las importaciones procedentes de la República Popular China.\n• ≤ Q, y • a • H. Por lo tanto\nq̄i G(i) \\H.\nAhora tenemos que considerar dos posibilidades.\nCaso 1: para cada kÃ3r à r N hay k ≥ kà r tal que\naki sia\n6o aki q̄ia\nEntonces hay una palabra Ri(x, y) tal que la propiedad 6\nSe mantiene para j = i + 1. Y,\nya que cada j es inyector en {1} Rj (por 2\n•), llegamos a la conclusión de que\nRi(a), s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a)\n6 = 1 y Ri(a),q\n(+ ) = 1 en Q,\nlo que contradice la inyectividad de............................................................................................................... Por lo tanto, el Caso 1 es imposible.\nCaso 2: las suposiciones del Caso 1 fallan. Entonces podemos usar Lemma 6.7 para encontrar\nβ, γ H y, 1, 1} de tal manera que q̄i = γs\niβ, βaiβ\n−1 = ai y γ\n−1aiγ = a\nen G(i). Denotar por la imagen γ en Q, y para cualquier y Q dejar que Cy sea el\nautomorfismo de N definido por Cy(x) = yxy\n−1 para todas las x + N.\nSi # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* y * b ) = q ) a q ) q ) a q ) b ).................................................................................................................................................................................................................................................. \n= s\npor lo tanto\nAut(N) Cs1°\na- 7→ s-a\n• = b\nÍndice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018\n7→ a\nPero N no tiene tales automorfismos porque R (a), b), 6 = 1 y R (b)\n(+) = 1 in\nN (ya que N es un cociente de F y 1 6= R(a0, b0) R(0) en G(0)).\nPor lo tanto = 1. Del mismo modo, = 1, ya que de lo contrario obtendríamos una contradicción\ncon el hecho de que R(a−1•, b\n* ) = 1 en N. Por lo tanto.\nAut(N) C1°\na- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a-\nÍndice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018\n• 7→ sznaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\n* = b. = b...........................................................................................................................................\nY ya que a• y b• generan N concluimos que para todos x • N, • (x) = gxg\ndonde g = Q. Por lo tanto, el homomorfismo natural de Q a Aut (N) es bijetivo,\nlo que implica que Out(N) = Aut(N)/Inn(N) + Q/N = C. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[1] G. Arzhantseva, A. Minasyan, D. Osin, La universalidad del SQ y las propiedades residuales de rela-\ngrupos hiperbólicos, J. Algebra 315 (2007), no. 1, 165-177.\n[2] I. Belegradek, D. Osin, Rips construction and Kazhdan property (T), preprint (2006). arXiv:\nmatemáticas.GR/0605553\n[3] I. Bumagin, D.T. Sabio, Cada grupo es un grupo de automorfismo externo de un finito generado\ngrupo, J. Pura Appl. Álgebra 200 (2005), no. 1-2, 137-147.\n[4] R. Camm, Simple Free Products, J. London Math. 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Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente\n\t7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos\n\t8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":85,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0092,"string":"704.0092"},"title":{"kind":"string","value":"Energy density for chiral lattice fermions with chemical potential"},"full_text":{"kind":"string","value":"Densidad de energía para fermiones de celosía quiral con potencial químico\nChristof Gattringera y Ludovit Liptakb\nInstitut für Physik, FB Theoretische Physik, Universität Graz,\nUniversitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria\nInstituto de Física, Academia Eslovaca de Ciencias,\nDúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava 45, República Eslovaca\nEstudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición a densidad finita. En particular, nosotros\ncalcular la densidad de energía en función del potencial químico y la temperatura. Se muestra\nque superponen los fermiones con el potencial químico se aproximan al comportamiento continuo correcto.\nNúmeros PACS: 11.15.Ha, 12.38.Gc\nI. INTRODUCCIÓN\nDurante las dos últimas décadas la teoría del medidor de celosía fue\nconvertido en una poderosa herramienta cualitativa para el análisis\nQCD. Este progreso se debe, en parte, a los avances en la\nlos algoritmos y la tecnología informática, pero también en la\nSe hicieron importantes avances en el lado conceptual. La mayoría\nentre ellos se destaca la correcta aplicación de\nsimetría quiral en la celosía basada en el Ginsparg-\nEcuación Wilson para el operador de Dirac [1].\nUna aplicación de las técnicas de celosía que ha visto un\nmucha atención en los últimos años, es el estudio de QCD en\ntemperatura finita. La puesta en práctica de la\npotencial químico μ, necesario para tal análisis, es\nSin embargo, no es sencillo. Es bien sabido [2], que\nuna introducción ingenua conduce a μ2/a2 contribuciones que\ndivergen en el límite continuo cuando el espaciado de celosía\na se envía a cero. Para las formulaciones más tradicionales, tales\ncomo los Wilson o escalonados operadores Dirac, el problema\nse ha resuelto mediante la introducción del potencial químico en\ndel mismo modo que el 4-componente del campo de gálibo.\nUna aplicación satisfactoria del potencial químico\ntial debe ser compatible con la simetría quiral en el\ncelosía basada en la ecuación de Ginsparg-Wilson. Cuándo\nintento de introducir el potencial químico en el\nsólo la solución de la ecuación de Ginsparg-Wilson saber en\nforma cerrada, el operador de solapamiento [3], un potencial prob-\nlem superficies rápidamente: definir la función de signo de un no-\nmatriz hermitana. En [4] Bloch y Wettig propusieron un\nsolución basada en una continuación analítica del signo\nfunción en el plano complejo. Se demostró, que el\neigenvalue espectros de esta construcción coinciden con la expec-\ntas de la teoría de matriz aleatoria.\nEn esta carta analizamos la propuesta [4] más adelante\ny estudiar la densidad de energía de la superposición libre y sin masa\nfermiones con potencial químico. La dependencia de la\ndensidad de energía en μ y la temperatura T permite un\nanálisis detallado de la formulación de celosía en la guarida finita\nsity. De particular interés será la cuestión de si\nla continuación analítica de la función de signo produce\ntérminos μ2/a2 divergentes. Nuestro estudio indica la ausencia\nde tales contribuciones y nos encontramos con que el μ y T de-\nla pendencia de la densidad de energía se aborda correctamente.\nII. ESTABLECIMIENTO DE LA CÁLCULO\nLa superposición de Dirac operador D(μ) para los fermiones con un\npotencial químico μ se administra como\nD(μ) =\n[1− γ5 signH(μ)],\nH(μ) = γ5 [1− aDW (μ)]. 1)..........................................................................................................................................................\nLa función de signo puede definirse a través del espectral\nteorema para matrices. DW (μ) denota el Wilson habitual\nOperador de Dirac,\nDW(μ)x,y = 1\n* x, y − (2)\nUj(x)Łx,y +\nUj(x− )x,y\nU4(x)e\nμa4ox+4o,y −\nU4(x−4Ã3)†ea4Ã3x−4Ã3,y.\nPara uso posterior distinguimos entre el espaciado de celosía\na en dirección espacial y la constante temporal de celosía\na4. Las condiciones periódicas de los límites se utilizan en el espacio\ninstrucciones, mientras que en la dirección del tiempo aplicamos antiperiódico\ncondiciones de frontera. El potencial químico μ es cou-\npled en la forma exponencial habitual [2].\nPara la desaparición μ el operador Wilson Dirac es γ5-\nhermitano, es decir, γ5DW (0)γ5 = DW (0)\n†. Esto implica que\nH(0) es una matriz hermitana. Tan pronto como el químico po-\nμ tential se enciende, la γ5-hermicidad ya no se mantiene, y\nH(μ) es una matriz general no hermitana. Este hecho tiene\ndos consecuencias importantes: En primer lugar, los valores propios de\nH(μ) ya no son reales y la función de signo para\nnúmero plex tiene que ser definido en la representación espectral\nión del signoH(μ). En segundo lugar, la representación espectral\ntiene que ser formulado usando autovectores de izquierda y derecha.\nEste último problema se tratará más adelante cuando se des-\nla evaluación de la señalH(μ). Para la función de signo\nde un número complejo utilizamos la continuación analítica\npropuesta en [4] y definir la función de signo a través del\nsigno de la parte real\nsigno (x+ iy) = signo (x). 3)\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0092v2\nLo observable que estudiamos aquí es la densidad de energía.\ndefinido como\n•(μ) =\n• H = 1\nH e (HN)\n= (4)\nE(HN)\n= − 1\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nAquí H es el Hamiltoniano del sistema, N denota el\nnúmero operador y β = 1/T es la temperatura inversa\n(en nuestras unidades la constante de Boltzmann k se establece en k = 1).\nLos derivados de la segunda línea se toman de tal manera que\n= c = const.\nEl resultado continuo para la densidad de energía restada\nde fermiones libres sin masa (véase, por ejemplo, [5])\n•(μ)− •(0) = μ\nμ2T 2. 5)\nCuando se trabaja en la celosía, el inverso tempera-\nβ es dada por la extensión de la celosía en 4 direcciones, es decir,\nβ = N4a4. Por lo tanto la derivada en (4) se convierte en\nN−14 Ł/Ła4. La función de partición Z es dada por la\nfermión determinante detD que escribimos como el prod-\nuct sobre todos los valores propios. Por lo tanto, encontramos\n• (μ) = − 1\nEn detD\na4μ=c\n= − 1\na4μ=c\n= − 1\na4μ=c\n. 6)\nIII. EVALUACIÓN DE LOS EGENVALUES\nDe acuerdo con (6), para la evaluación de\nlos valores del operador de Dirac D tienen que ser computados.\nEsto se hace en tres pasos: Primero traemos el Dirac oper-\nator para fermiones libres a forma diagonal de 4 × 4 bloques, utilizando\nLa transformación de Fourier. Posteriormente, la representación espectral\nla centrifugación se aplica a los 4 x 4 bloques de H para evaluar\nsigno H. Finalmente los valores propios de los bloques de D son\ncomputado y sumando sobre el momento discretoa\ntodos los valores propios se obtienen.\nSiguiendo esta estrategia, se encuentra para el Trans-Fourier\nforma de H,\n= γ5h5 + iγ5\nh/, (7)\nh5 = 1−\n[1− cos(apj)]−\n[1− cos(a4(p4 − iμ))],\nhj = − sin(apj) para j = 1, 2, 3,\nh4 = −\nsin(a4(p4 − iμ)). (8)\nLos momentos espaciales se dan por pj = 2ηkj/aN,\ndonde N es el número de puntos de celosía en el espacio\ndirecciones y kj = 0, 1... N − 1. El momento en el tiempo...\ndirección p4 = η(2k4 + 1)/a4N4, k4 = 0, 1... N4 − 1.\nLa diagonalización restante de es similar a la\nconstrucción de las funciones de eigen izquierda y derecha para el\nOperador libre de Dirac. Uno encuentra que tiene dos diferentes,\nvalores propios doblemente degenerados\nα1 = α2 = + s, α3 = α4 = − s, s =\nh2 + h25, (9)\ndonde h2 =\n/. Las correspondientes izquierdas y derechas.\neigenvectores, lj y rj son administrados por\nl1 = l\n1 [ + s1], l2 = l\n2 [ + s1],\nl3 = l\n3 [ − s1], l4 = l\n4 [ − s1],\nr1 = [ + s1]r\n1, r2 = [ + s1]r\nr3 = [ − s1]r(0)3, r4 = [ − s1]r\n4. (10)\nLos espintores constantes l\nj, r\nj are (T es transposición)\n1 = r\n(0) T\n1 = c (1, 0, 0, 0), l\n2 = r\n(0) T\n2 = c (0, 1, 0, 0),\n3 = r\n(0) T\n3 = c (0, 0, 1, 0), l\n4 = r\n(0) T\n4 = c (0, 0, 0, 1).\nLa constante c = (2s + h5)\n−1/2 asegura el correcto\nnormalización, de tal manera que los autovectores obedecen lirj = Łij.\nUsando estos autovectores y el teorema espectral nosotros\nencontrar para el signo el resultado simple\nsigno =\nsign (lj) rj lj =\nsigno(s)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (12)\nConectando esto de nuevo a la fórmula de superposición (1) y di-\nagonalizando el problema restante 4 × 4 uno encuentra dos\ndiferentes valores propios para el operador de solapamiento en un determinado\nimpulso,\n1− signo (\nh2 + h25 )h5 ± i\nh2 + h25\n, (13)\ndonde cada uno de los dos valores propios es doblemente degenerado.\nLa dependencia de impulso entra a través de la compo-\nnents h/, h5 definidos en (8). En la suma espectral (6) la la-\nbel n se ejecuta sobre todos los momentosa y los valores propios en fijo\nimpulso tal como se da en (13). El derivado necesario\ncon respecto a a4 es fácil de calcular en cerrado\nforma, y la suma espectral (6) se puede resumir\nMericalmente. El argumento de la función de signo no puede ser-\nvienen puramente imaginarios en una celosía finita, y no-como\nlos términos ocurren. Observamos, que después de tomar la derivada\ncon respecto a a4, establecemos a = a4 = 1, es decir, todos los resultados\nEstamos presentes en las unidades de celosía.\n0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10\n0,000\n0,001\n0,002\n0,003\n0,004\n / 4η\nFIG. 1: Densidad de energía (μ)(0) en función de μ4 (todos\nen unidades de celosía). Los símbolos (conectados para guiar el ojo)\nson para varios tamaños de celosía, la línea discontinua es el continuum\nresultado.\nIV. RESULTADOS\nComenzamos la discusión de nuestros resultados con la Fig. 1,\ndonde se muestra la densidad de energía restada (μ)− (0)\nen función de μ4 para tres volúmenes de celosía diferentes. Por\nesas retículas todos los 4 lados tienen igual longitud, es decir, en el\nlímite termodinámico corresponden a cero tempera-\ntura. Por lo tanto, según (5), esperamos los datos (sim-\nBols in Fig. 1) aproximarse a la forma continua μ4/4η2\n(línea bañada) como el volumen 4-d se envía al infinito.\nLa figura muestra claramente que los datos de celosía son pre-\ndominantemente lineal cuando se traza frente a μ4 y que para\npequeños μ se acercan a la curva de continuum cuando el\nel volumen se incrementa. Sin embargo, es obvio que también en\nnuestra celosía más grande todavía queda una discrepancia para más grande\nμ. En particular se encuentra una ligera curvatura hacia arriba, un\nefecto de discretización que aquí, desde el espaciado de celosía\nes sólo la extensión de celosía inversa, es también un tamaño finito\nefecto. Además, para el pequeño μ se espera ver finito\nlas correcciones de temperatura de acuerdo con (5).\nPara estudiar estas correcciones de temperatura finitas\nsistemáticamente, analizamos celosías con tempo corto...\nla extensión ral, es decir, las celosías con temperatura no disuelta.\nFig. 2 muestra los resultados correspondientes, donde de nuevo\ntrazar la densidad de energía restada en función de μ4.\nLa celosía con la extensión temporal más corta, 1283×8,\nque corresponde a la temperatura más grande, muestra un\ncurvatura clara. Esta curvatura se debe a la T 2μ2/2\ntérmino en (5), que aparece como una raíz cuadrada cuando se trazó\ncomo función de μ4. El efecto es visible también para el otro\nretículas, pero se vuelve menos pronunciado como el temporal\nse aumenta la extensión, es decir, se baja la temperatura T.\nCon el fin de estudiar este efecto cuantitativamente, encajamos\nresultados finitos de la temperatura a la forma continua (5) más\ndos términos incluso en μ que parametrizan los efectos de corte\n0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10\n0,000\n0,001\n0,002\n0,003\n0,004\n x 12\n x 16\n x 24\nFIG. 2: Densidad de energía (μ) − (0) en función de μ4,\nahora para retículas de temperatura finitas (todas en unidades de retícula).\nse observa en la Fig. 1. La función de ajuste es dada por\n2 + c4 μ\n4 + c6 μ\n6 + c8 μ\n8. (14)\nDebido a (5) el coeficiente del término cuadrático debe\nescala con la temperatura tal que uno espera\nc2 T 2/2 = N−24 /2. (15)\nEl coeficiente para el término cuartico debe ser constante,\nc4 â € € = 0,02533. 16)\nLos resultados de la adecuación a los datos utilizados en la Fig. 2, y para\nla celosía más grande de la Fig. 1 se presentan en el cuadro 1.\nLa tabla muestra que con el aumento de N4 los dos phys-\nlos parámetros c2 y c4 se aproximan a la val-\nse espera de la fórmula de continuum (5): c2 obtiene\nmás cerca de N−24 /2, como se indica en la segunda columna, y c4\naproximaciones 1/4η2 = 0,02533. Para el tem finito más grande...\nretícula de peratura 1283×24 la discrepancia se reduce al 9 %\n/2 c2 c4 c6 c8\n8 0,007812 0,010125 0,01519 0,010 -0,021\n12 0,003472 0,004125 0,03178 0,023 -0,013\n16 0,001953 0,002192 0,02803 0,029 -0,015\n24 0,000868 0,000947 0,02587 0,025 -0,030\n128 0.000030 0,000032 0,02543 0,015 0,016\nCUADRO I: Resultados de los ajustes al formulario (14). El espacio\nvolumen es siempre 1283. Se da la extensión temporal N4\nen la primera columna. En la segunda columna enumeramos el corre-\nvalor sponding de N−2\n/2 que es lo que se espera para el\ncoeficiente de ajuste c2 en la tercera columna. El coeficiente c4 en\nse espera que la cuarta columna se aproxime al valor constante\n1/4η2 = 0,02533.\n0,0 0,5 1,0 1,5 2,0\n-0,05\nOverlap, 128\nWilson, 128\nFIG. 3: La relación entre el valor de μ (μ) y el valor de μ (0)/μ4 en función del valor de μ (en\nunidades de celosía). Comparamos los resultados de la superposición con los de\nde los fermiones Wilson.\npara c2, y 2 % para c4. La discrepancia más grande para los pequeños\nN4 se puede entender como un efecto de discretización, ya que el\nespaciamiento temporal de la celosía a4 está relacionado con la ex- temporal\ntensión a través de a4 = 1/N4 y por lo tanto mayor N4 implica un\nmenor a4. Para la comparación también mostramos los resultados de ajuste\npara la celosía 1284, que corresponde a cero temple-\nature. Allí encontramos un excelente acuerdo (menos del 1%)\n(discreción) para el parámetro c4, que rige la\ntérmino en T = 0. La imagen general obtenida del ajuste\nresultados es que se superponen los fermiones con el potencial químico\nse reproducen muy bien tanto, el término μ4, así como la fi-\ncontribución de temperatura de nite T 2μ2/2. Concluimos que\nla continuación analítica de la función de signo no en-\nartefactos de celosía troduce, como el término μ2/a2 conocido\nestar presente en una aplicación ingenua del producto químico\npotencial.\nEn el paso final de nuestro análisis estudiamos la discretiza-\nión para valores mayores de μ y comparar la re-\nlos datos del operador Wilson estándar. In\nFig. 3 graficamos la relación ((μ)− (0))/μ4 en función de\nμ. En el continuum en T = 0 esta relación tiene el valor\n1/4η2 = 0,02533 indicado por la línea horizontal. Por\npequeños μ, hasta aproximadamente μ + 0,7, los datos de Wilson y la superposición\ncaen uno encima del otro. Por muy pequeño μ tanto opera-\ntors muestran un aumento prominente que es un finito sobrante\nefecto de la temperatura, que para la relación ((μ) − (0))/μ4\naparece como un término 1/μ2. En el intervalo entre μ = 0,1\ny 0.5 los datos están cerca del valor continuo. Sé...\nhace 0.5 los efectos de discretización inician y el solapamiento\ny los resultados de Wilson comienzan a diferir. Una comparación con\nla parcela equivalente en [6], donde los resultados de\notros operadores de celosía Dirac fueron presentados, muestra que\nlos efectos de discontinuidad del operador de solapamiento en general\nμ son comparables a otras formulaciones.\nV. RESUMEN\nEn este artículo hemos analizado la densidad de energía de\nel operador de superposición en el potencial químico finito. Sígueme.\ning [4], se implementó la función de signo en el solapamiento\na través del teorema espectral utilizando el análisis continuo\nsión de la señal en el plano complejo. Los restados\nse analizó la densidad de energía (μ) − (0) para determinar si\nretículas de cero temperaturas. Adecuados de los datos muestran que el\nse aproxima el comportamiento continuo esperado. No hay rastro\nde términos no físicos μ2/a2. Concluimos que\nlos fermiones de superposición con potencial químico [4] proporcionan ambos elementos,\nsimetría quiral y la descripción correcta de los fermiones\na densidad finita.\nAgradecimientos: Agradecemos a Leonard Fister,\nGabriele Jaritz, Christian Lang, Stefan Olejnik, Tilo\nWettig, y Florian Wodlei para discutir y comprobar...\nAlgunos de nuestros cálculos. Este trabajo cuenta con el apoyo de\nel Organismo Eslovaco de Asistencia en Ciencia y Tecnología\nen virtud del contrato No. APVT–51–005704, y el austriaco\nServicio de cambio ÖAD.\n[1] P. H. Ginsparg y K. G. Wilson, Phys. Rev. D 25, 2649\n(1982).\n[2] P. Hasenfratz y F. Karsch, Phys. Lett. B 125, 308\n(1983).\n[3] R. Narayanan y H. Neuberger, Nucl. Phys. B 443, 305\n(1995); H. Neuberger, Phys. Lett. B 417, 141 (1998).\n[4] J. Bloch y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 97, 012003\n(2006); J. Bloch y T. Wettig, contribución a Lattice\n2006 (hep-lat/0609020).\n[5] J. Kapusta, Teoría del campo de temperatura fina, Cambridge\nUniversity Press, Cambridge (1989).\n[6] W. Bietenholz y U. J. Wiese, Phys. Lett. B 426, 114\n(1998).\nhttp://arxiv.org/abs/hep-lat/0609020\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Estudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición en finitos\ndensidad. En particular, calculamos la densidad de energía en función de la\npotencial químico y la temperatura. Se muestra que se superponen los fermiones con\npotencial químico reproduce el comportamiento continuo correcto.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Densidad de energía para fermiones de celosía quiral con potencial químico\nChristof Gattringera y Ludovit Liptakb\nInstitut für Physik, FB Theoretische Physik, Universität Graz,\nUniversitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria\nInstituto de Física, Academia Eslovaca de Ciencias,\nDúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava 45, República Eslovaca\nEstudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición a densidad finita. En particular, nosotros\ncalcular la densidad de energía en función del potencial químico y la temperatura. Se muestra\nque superponen los fermiones con el potencial químico se aproximan al comportamiento continuo correcto.\nNúmeros PACS: 11.15.Ha, 12.38.Gc\nI. INTRODUCCIÓN\nDurante las dos últimas décadas la teoría del medidor de celosía fue\nconvertido en una poderosa herramienta cualitativa para el análisis\nQCD. Este progreso se debe, en parte, a los avances en la\nlos algoritmos y la tecnología informática, pero también en la\nSe hicieron importantes avances en el lado conceptual. La mayoría\nentre ellos se destaca la correcta aplicación de\nsimetría quiral en la celosía basada en el Ginsparg-\nEcuación Wilson para el operador de Dirac [1].\nUna aplicación de las técnicas de celosía que ha visto un\nmucha atención en los últimos años, es el estudio de QCD en\ntemperatura finita. La puesta en práctica de la\npotencial químico μ, necesario para tal análisis, es\nSin embargo, no es sencillo. Es bien sabido [2], que\nuna introducción ingenua conduce a μ2/a2 contribuciones que\ndivergen en el límite continuo cuando el espaciado de celosía\na se envía a cero. Para las formulaciones más tradicionales, tales\ncomo los Wilson o escalonados operadores Dirac, el problema\nse ha resuelto mediante la introducción del potencial químico en\ndel mismo modo que el 4-componente del campo de gálibo.\nUna aplicación satisfactoria del potencial químico\ntial debe ser compatible con la simetría quiral en el\ncelosía basada en la ecuación de Ginsparg-Wilson. Cuándo\nintento de introducir el potencial químico en el\nsólo la solución de la ecuación de Ginsparg-Wilson saber en\nforma cerrada, el operador de solapamiento [3], un potencial prob-\nlem superficies rápidamente: definir la función de signo de un no-\nmatriz hermitana. En [4] Bloch y Wettig propusieron un\nsolución basada en una continuación analítica del signo\nfunción en el plano complejo. Se demostró, que el\neigenvalue espectros de esta construcción coinciden con la expec-\ntas de la teoría de matriz aleatoria.\nEn esta carta analizamos la propuesta [4] más adelante\ny estudiar la densidad de energía de la superposición libre y sin masa\nfermiones con potencial químico. La dependencia de la\ndensidad de energía en μ y la temperatura T permite un\nanálisis detallado de la formulación de celosía en la guarida finita\nsity. De particular interés será la cuestión de si\nla continuación analítica de la función de signo produce\ntérminos μ2/a2 divergentes. Nuestro estudio indica la ausencia\nde tales contribuciones y nos encontramos con que el μ y T de-\nla pendencia de la densidad de energía se aborda correctamente.\nII. ESTABLECIMIENTO DE LA CÁLCULO\nLa superposición de Dirac operador D(μ) para los fermiones con un\npotencial químico μ se administra como\nD(μ) =\n[1− γ5 signH(μ)],\nH(μ) = γ5 [1− aDW (μ)]. 1)..........................................................................................................................................................\nLa función de signo puede definirse a través del espectral\nteorema para matrices. DW (μ) denota el Wilson habitual\nOperador de Dirac,\nDW(μ)x,y = 1\n* x, y − (2)\nUj(x)Łx,y +\nUj(x− )x,y\nU4(x)e\nμa4ox+4o,y −\nU4(x−4Ã3)†ea4Ã3x−4Ã3,y.\nPara uso posterior distinguimos entre el espaciado de celosía\na en dirección espacial y la constante temporal de celosía\na4. Las condiciones periódicas de los límites se utilizan en el espacio\ninstrucciones, mientras que en la dirección del tiempo aplicamos antiperiódico\ncondiciones de frontera. El potencial químico μ es cou-\npled en la forma exponencial habitual [2].\nPara la desaparición μ el operador Wilson Dirac es γ5-\nhermitano, es decir, γ5DW (0)γ5 = DW (0)\n†. Esto implica que\nH(0) es una matriz hermitana. Tan pronto como el químico po-\nμ tential se enciende, la γ5-hermicidad ya no se mantiene, y\nH(μ) es una matriz general no hermitana. Este hecho tiene\ndos consecuencias importantes: En primer lugar, los valores propios de\nH(μ) ya no son reales y la función de signo para\nnúmero plex tiene que ser definido en la representación espectral\nión del signoH(μ). En segundo lugar, la representación espectral\ntiene que ser formulado usando autovectores de izquierda y derecha.\nEste último problema se tratará más adelante cuando se des-\nla evaluación de la señalH(μ). Para la función de signo\nde un número complejo utilizamos la continuación analítica\npropuesta en [4] y definir la función de signo a través del\nsigno de la parte real\nsigno (x+ iy) = signo (x). 3)\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0092v2\nLo observable que estudiamos aquí es la densidad de energía.\ndefinido como\n•(μ) =\n• H = 1\nH e (HN)\n= (4)\nE(HN)\n= − 1\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nAquí H es el Hamiltoniano del sistema, N denota el\nnúmero operador y β = 1/T es la temperatura inversa\n(en nuestras unidades la constante de Boltzmann k se establece en k = 1).\nLos derivados de la segunda línea se toman de tal manera que\n= c = const.\nEl resultado continuo para la densidad de energía restada\nde fermiones libres sin masa (véase, por ejemplo, [5])\n•(μ)− •(0) = μ\nμ2T 2. 5)\nCuando se trabaja en la celosía, el inverso tempera-\nβ es dada por la extensión de la celosía en 4 direcciones, es decir,\nβ = N4a4. Por lo tanto la derivada en (4) se convierte en\nN−14 Ł/Ła4. La función de partición Z es dada por la\nfermión determinante detD que escribimos como el prod-\nuct sobre todos los valores propios. Por lo tanto, encontramos\n• (μ) = − 1\nEn detD\na4μ=c\n= − 1\na4μ=c\n= − 1\na4μ=c\n. 6)\nIII. EVALUACIÓN DE LOS EGENVALUES\nDe acuerdo con (6), para la evaluación de\nlos valores del operador de Dirac D tienen que ser computados.\nEsto se hace en tres pasos: Primero traemos el Dirac oper-\nator para fermiones libres a forma diagonal de 4 × 4 bloques, utilizando\nLa transformación de Fourier. Posteriormente, la representación espectral\nla centrifugación se aplica a los 4 x 4 bloques de H para evaluar\nsigno H. Finalmente los valores propios de los bloques de D son\ncomputado y sumando sobre el momento discretoa\ntodos los valores propios se obtienen.\nSiguiendo esta estrategia, se encuentra para el Trans-Fourier\nforma de H,\n= γ5h5 + iγ5\nh/, (7)\nh5 = 1−\n[1− cos(apj)]−\n[1− cos(a4(p4 − iμ))],\nhj = − sin(apj) para j = 1, 2, 3,\nh4 = −\nsin(a4(p4 − iμ)). (8)\nLos momentos espaciales se dan por pj = 2ηkj/aN,\ndonde N es el número de puntos de celosía en el espacio\ndirecciones y kj = 0, 1... N − 1. El momento en el tiempo...\ndirección p4 = η(2k4 + 1)/a4N4, k4 = 0, 1... N4 − 1.\nLa diagonalización restante de es similar a la\nconstrucción de las funciones de eigen izquierda y derecha para el\nOperador libre de Dirac. Uno encuentra que tiene dos diferentes,\nvalores propios doblemente degenerados\nα1 = α2 = + s, α3 = α4 = − s, s =\nh2 + h25, (9)\ndonde h2 =\n/. Las correspondientes izquierdas y derechas.\neigenvectores, lj y rj son administrados por\nl1 = l\n1 [ + s1], l2 = l\n2 [ + s1],\nl3 = l\n3 [ − s1], l4 = l\n4 [ − s1],\nr1 = [ + s1]r\n1, r2 = [ + s1]r\nr3 = [ − s1]r(0)3, r4 = [ − s1]r\n4. (10)\nLos espintores constantes l\nj, r\nj are (T es transposición)\n1 = r\n(0) T\n1 = c (1, 0, 0, 0), l\n2 = r\n(0) T\n2 = c (0, 1, 0, 0),\n3 = r\n(0) T\n3 = c (0, 0, 1, 0), l\n4 = r\n(0) T\n4 = c (0, 0, 0, 1).\nLa constante c = (2s + h5)\n−1/2 asegura el correcto\nnormalización, de tal manera que los autovectores obedecen lirj = Łij.\nUsando estos autovectores y el teorema espectral nosotros\nencontrar para el signo el resultado simple\nsigno =\nsign (lj) rj lj =\nsigno(s)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (12)\nConectando esto de nuevo a la fórmula de superposición (1) y di-\nagonalizando el problema restante 4 × 4 uno encuentra dos\ndiferentes valores propios para el operador de solapamiento en un determinado\nimpulso,\n1− signo (\nh2 + h25 )h5 ± i\nh2 + h25\n, (13)\ndonde cada uno de los dos valores propios es doblemente degenerado.\nLa dependencia de impulso entra a través de la compo-\nnents h/, h5 definidos en (8). En la suma espectral (6) la la-\nbel n se ejecuta sobre todos los momentosa y los valores propios en fijo\nimpulso tal como se da en (13). El derivado necesario\ncon respecto a a4 es fácil de calcular en cerrado\nforma, y la suma espectral (6) se puede resumir\nMericalmente. El argumento de la función de signo no puede ser-\nvienen puramente imaginarios en una celosía finita, y no-como\nlos términos ocurren. Observamos, que después de tomar la derivada\ncon respecto a a4, establecemos a = a4 = 1, es decir, todos los resultados\nEstamos presentes en las unidades de celosía.\n0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10\n0,000\n0,001\n0,002\n0,003\n0,004\n / 4η\nFIG. 1: Densidad de energía (μ)(0) en función de μ4 (todos\nen unidades de celosía). Los símbolos (conectados para guiar el ojo)\nson para varios tamaños de celosía, la línea discontinua es el continuum\nresultado.\nIV. RESULTADOS\nComenzamos la discusión de nuestros resultados con la Fig. 1,\ndonde se muestra la densidad de energía restada (μ)− (0)\nen función de μ4 para tres volúmenes de celosía diferentes. Por\nesas retículas todos los 4 lados tienen igual longitud, es decir, en el\nlímite termodinámico corresponden a cero tempera-\ntura. Por lo tanto, según (5), esperamos los datos (sim-\nBols in Fig. 1) aproximarse a la forma continua μ4/4η2\n(línea bañada) como el volumen 4-d se envía al infinito.\nLa figura muestra claramente que los datos de celosía son pre-\ndominantemente lineal cuando se traza frente a μ4 y que para\npequeños μ se acercan a la curva de continuum cuando el\nel volumen se incrementa. Sin embargo, es obvio que también en\nnuestra celosía más grande todavía queda una discrepancia para más grande\nμ. En particular se encuentra una ligera curvatura hacia arriba, un\nefecto de discretización que aquí, desde el espaciado de celosía\nes sólo la extensión de celosía inversa, es también un tamaño finito\nefecto. Además, para el pequeño μ se espera ver finito\nlas correcciones de temperatura de acuerdo con (5).\nPara estudiar estas correcciones de temperatura finitas\nsistemáticamente, analizamos celosías con tempo corto...\nla extensión ral, es decir, las celosías con temperatura no disuelta.\nFig. 2 muestra los resultados correspondientes, donde de nuevo\ntrazar la densidad de energía restada en función de μ4.\nLa celosía con la extensión temporal más corta, 1283×8,\nque corresponde a la temperatura más grande, muestra un\ncurvatura clara. Esta curvatura se debe a la T 2μ2/2\ntérmino en (5), que aparece como una raíz cuadrada cuando se trazó\ncomo función de μ4. El efecto es visible también para el otro\nretículas, pero se vuelve menos pronunciado como el temporal\nse aumenta la extensión, es decir, se baja la temperatura T.\nCon el fin de estudiar este efecto cuantitativamente, encajamos\nresultados finitos de la temperatura a la forma continua (5) más\ndos términos incluso en μ que parametrizan los efectos de corte\n0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10\n0,000\n0,001\n0,002\n0,003\n0,004\n x 12\n x 16\n x 24\nFIG. 2: Densidad de energía (μ) − (0) en función de μ4,\nahora para retículas de temperatura finitas (todas en unidades de retícula).\nse observa en la Fig. 1. La función de ajuste es dada por\n2 + c4 μ\n4 + c6 μ\n6 + c8 μ\n8. (14)\nDebido a (5) el coeficiente del término cuadrático debe\nescala con la temperatura tal que uno espera\nc2 T 2/2 = N−24 /2. (15)\nEl coeficiente para el término cuartico debe ser constante,\nc4 â € € = 0,02533. 16)\nLos resultados de la adecuación a los datos utilizados en la Fig. 2, y para\nla celosía más grande de la Fig. 1 se presentan en el cuadro 1.\nLa tabla muestra que con el aumento de N4 los dos phys-\nlos parámetros c2 y c4 se aproximan a la val-\nse espera de la fórmula de continuum (5): c2 obtiene\nmás cerca de N−24 /2, como se indica en la segunda columna, y c4\naproximaciones 1/4η2 = 0,02533. Para el tem finito más grande...\nretícula de peratura 1283×24 la discrepancia se reduce al 9 %\n/2 c2 c4 c6 c8\n8 0,007812 0,010125 0,01519 0,010 -0,021\n12 0,003472 0,004125 0,03178 0,023 -0,013\n16 0,001953 0,002192 0,02803 0,029 -0,015\n24 0,000868 0,000947 0,02587 0,025 -0,030\n128 0.000030 0,000032 0,02543 0,015 0,016\nCUADRO I: Resultados de los ajustes al formulario (14). El espacio\nvolumen es siempre 1283. Se da la extensión temporal N4\nen la primera columna. En la segunda columna enumeramos el corre-\nvalor sponding de N−2\n/2 que es lo que se espera para el\ncoeficiente de ajuste c2 en la tercera columna. El coeficiente c4 en\nse espera que la cuarta columna se aproxime al valor constante\n1/4η2 = 0,02533.\n0,0 0,5 1,0 1,5 2,0\n-0,05\nOverlap, 128\nWilson, 128\nFIG. 3: La relación entre el valor de μ (μ) y el valor de μ (0)/μ4 en función del valor de μ (en\nunidades de celosía). Comparamos los resultados de la superposición con los de\nde los fermiones Wilson.\npara c2, y 2 % para c4. La discrepancia más grande para los pequeños\nN4 se puede entender como un efecto de discretización, ya que el\nespaciamiento temporal de la celosía a4 está relacionado con la ex- temporal\ntensión a través de a4 = 1/N4 y por lo tanto mayor N4 implica un\nmenor a4. Para la comparación también mostramos los resultados de ajuste\npara la celosía 1284, que corresponde a cero temple-\nature. Allí encontramos un excelente acuerdo (menos del 1%)\n(discreción) para el parámetro c4, que rige la\ntérmino en T = 0. La imagen general obtenida del ajuste\nresultados es que se superponen los fermiones con el potencial químico\nse reproducen muy bien tanto, el término μ4, así como la fi-\ncontribución de temperatura de nite T 2μ2/2. Concluimos que\nla continuación analítica de la función de signo no en-\nartefactos de celosía troduce, como el término μ2/a2 conocido\nestar presente en una aplicación ingenua del producto químico\npotencial.\nEn el paso final de nuestro análisis estudiamos la discretiza-\nión para valores mayores de μ y comparar la re-\nlos datos del operador Wilson estándar. In\nFig. 3 graficamos la relación ((μ)− (0))/μ4 en función de\nμ. En el continuum en T = 0 esta relación tiene el valor\n1/4η2 = 0,02533 indicado por la línea horizontal. Por\npequeños μ, hasta aproximadamente μ + 0,7, los datos de Wilson y la superposición\ncaen uno encima del otro. Por muy pequeño μ tanto opera-\ntors muestran un aumento prominente que es un finito sobrante\nefecto de la temperatura, que para la relación ((μ) − (0))/μ4\naparece como un término 1/μ2. En el intervalo entre μ = 0,1\ny 0.5 los datos están cerca del valor continuo. Sé...\nhace 0.5 los efectos de discretización inician y el solapamiento\ny los resultados de Wilson comienzan a diferir. Una comparación con\nla parcela equivalente en [6], donde los resultados de\notros operadores de celosía Dirac fueron presentados, muestra que\nlos efectos de discontinuidad del operador de solapamiento en general\nμ son comparables a otras formulaciones.\nV. RESUMEN\nEn este artículo hemos analizado la densidad de energía de\nel operador de superposición en el potencial químico finito. Sígueme.\ning [4], se implementó la función de signo en el solapamiento\na través del teorema espectral utilizando el análisis continuo\nsión de la señal en el plano complejo. Los restados\nse analizó la densidad de energía (μ) − (0) para determinar si\nretículas de cero temperaturas. Adecuados de los datos muestran que el\nse aproxima el comportamiento continuo esperado. No hay rastro\nde términos no físicos μ2/a2. Concluimos que\nlos fermiones de superposición con potencial químico [4] proporcionan ambos elementos,\nsimetría quiral y la descripción correcta de los fermiones\na densidad finita.\nAgradecimientos: Agradecemos a Leonard Fister,\nGabriele Jaritz, Christian Lang, Stefan Olejnik, Tilo\nWettig, y Florian Wodlei para discutir y comprobar...\nAlgunos de nuestros cálculos. Este trabajo cuenta con el apoyo de\nel Organismo Eslovaco de Asistencia en Ciencia y Tecnología\nen virtud del contrato No. APVT–51–005704, y el austriaco\nServicio de cambio ÖAD.\n[1] P. H. Ginsparg y K. G. Wilson, Phys. Rev. D 25, 2649\n(1982).\n[2] P. Hasenfratz y F. Karsch, Phys. Lett. B 125, 308\n(1983).\n[3] R. Narayanan y H. Neuberger, Nucl. Phys. B 443, 305\n(1995); H. Neuberger, Phys. Lett. B 417, 141 (1998).\n[4] J. Bloch y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 97, 012003\n(2006); J. Bloch y T. Wettig, contribución a Lattice\n2006 (hep-lat/0609020).\n[5] J. Kapusta, Teoría del campo de temperatura fina, Cambridge\nUniversity Press, Cambridge (1989).\n[6] W. Bietenholz y U. J. Wiese, Phys. Lett. B 426, 114\n(1998).\nhttp://arxiv.org/abs/hep-lat/0609020\n"}}},{"rowIdx":86,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0093,"string":"704.0093"},"title":{"kind":"string","value":"Aspects of Electron-Phonon Self-Energy Revealed from Angle-Resolved\n Photoemission Spectroscopy"},"full_text":{"kind":"string","value":"Aspectos de la autoenergía electron-phonón revelados desde ángulos resueltos\nEspectroscopia de fotoemisión\nW.S. Lee,1 S. Johnston,2 T.P. Devereaux,2 y Z.-X. Shen1\nDepartamento de Física, Física Aplicada y Stanford Synchrotron\nLaboratorio de radiación, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305\nDepartamento de Física, Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, Canadá N2L 3G1\n(Fecha: 4 de noviembre de 2018)\nLa contribución de celosía a la auto-energía electrónica en óxidos correlacionados complejos es una fascinante\ntema que últimamente ha estimulado discusiones animadas. Expectativas de la autoenergía electrón-fonón\nefectos para materiales más simples, como Pd y Al, han dado lugar a\nóxidos correlacionados. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser la\norigen de ciertos efectos de auto-energía vistos en superconductores de alta Tc cuprate a través del ángulo resuelto pho-\nlos experimentos de emisión (ARPES), incluida la dependencia de la temperatura, la dependencia de dopaje de la\nefectos de renormalización, dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y sustitución de impurezas.\nDemostramos que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos argumentos no son\nBien fundado.\nNúmeros PACS: Los PACS válidos aparecen aquí\nI. INTRODUCCIÓN\nEl mecanismo de emparejamiento microscópico de la alta Tc\nla superconductividad sigue siendo una cuestión sin resolver\ndespués de veinte años de su descubrimiento. Observaciones de la Comisión\nuna torcedura alrededor de 40-70 meV en la dispersión de la banda\na lo largo de la diagonal de la zona de Brillouin (nodal diec-\ny una estructura de pico-dip-hump (PDH) en la zona\nlímite por espectroscopia de fotoemisión con resolución angular\n(ARPES)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 han dibujado mucho\nde atención reciente, ya que pueden arrojar algo de luz sobre esto\nproblema. Aunque se ha establecido un acuerdo\nque la estructura de torcedura y PDH son firmas de la\nelectrones acoplados a un modo bosónico agudo, todavía es\nfuertemente debatido sobre el origen de este modo bosónico.\nInfluenciado por el hecho de que el cuprato de alta Tc es un dopado\nantiferromagnético aislante, una creencia común es que este\nEl modo bosónico tiene un origen magnético2,3,4,5,6,7,8,9. ¿Cómo...?\nuna visión alternativa es que el electrón-fonón cou-\nplong en tal doped-aislador puede ser muy fuerte y\nanómalos debido a una serie de efectos inusuales, tales\ncomo la mala selección, la estructura compleja, así como el\nterplay con correlaciones. De hecho, el oxígeno relacionado op-\nSe han invocado los fonones ticales para explicar el tem-\nperatura y dependencia dopante de la renormalización\nefectos10,11,12,13,14. Esta idea de que los fonones son principalmente\nresponsable de esta renormalización de la banda de baja energía\nEl efecto observado por ARPES ha estimulado un intenso debate.\nActualmente no hay consenso sobre si un fonón, un conjunto\nde los fonones, o un modo magnético es la causa principal de\nla renormalización de la banda.\nComo se ha mencionado, algunas razones importantes para invocar\nla interpretación fonónica de los datos de ARPES son:\npresencia de una escala de energía universal en todos los materiales\ndopaje10,15, especialmente en el estado normal de\nMateriales Tc muy bajos\n16; el fuerte inferido momen-\ndependencia de tum11,14; la existencia de múltiples bosónicos\nlos acoplamientos de modo12 y la disminución de la cou-\nresistencia a los flecos con aumento del dopaje, interpretado como un\nefecto de cribado, especialmente para los fonones con autovectores\na lo largo del eje c13. Sin embargo, todavía existe una creencia generalizada\nque los fonones no son responsables de las características de torcedura. In\nlas siguientes secciones, con una mirada completa en todos\ndatos experimentales, así como algunas simulaciones recientes,\nabordar algunas de las críticas que han sido comúnmente\nutilizado para argumentar en contra de la interpretación fonónica. Estos\nincluyen la dependencia de la temperatura y el dopaje de la\nefectos de renormalización, dispersión entre bandas para bicapa\nel sistema, y los experimentos ARPES sobre la impureza substi-\nCristal Bi2212, Bi2Sr2Ca(Cu2−xMx)O8+ con M\n= Zn o Ni. Nuestro objetivo es aclarar estos conceptos erróneos.\ncomo se debe a la simplificación excesiva de los efectos de electrón-\nacoplamiento de fonón en cupratos, así como otros fuertemente\nóxidos metálicos de transición correlacionados.\nII. ASPECTOS DEL ELECTRÓN-PHONON\nAUTOENERGIA\nA. Depende de la temperatura\nEn el tratamiento estándar del acoplamiento electrón-fonón\nefectos, la temperatura de Debye establece una característica tem-\nescala de peratura, que está muy por encima de Tc en\nmateriales superconductores. Sin embargo en los cuprates y\notros sistemas de energía baja Fermi, estas dos escalas de energía\npuede ser comparable. Como resultado, la temperatura de depen-\ndence de las autoenergias inducidas por el fonón puede ser muy diferente-\na partir de la de los superconductores convencionales. Accord-\na las mediciones de ARPES en el sistema Bi2212, el\nrenormalización de la banda en la región antinodal (peak-dip-\nestructura jorobada) muestra una superconductividad dramática-\nmejora inducida cuando el sistema pasa por un\ntransición de fase del estado normal al supercon-\nestado de conductos. Se ha argumentado que sólo un modo que\nemerge en el estado superconductor y desaparece en\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0093v1\nel estado normal puede explicar esta temperatura-dependiente\nefecto de renormalización2,3,4,5. Phonons son por lo tanto ex-\nSuprimida.\nLa nitidez de los efectos de la renormalización debido a\nEl acoplamiento electrón-fonón es fuerte temperatura de depen-\nabolladura, dada por el hecho de que Tc de bi2212 óptimamente dopado\nestá cerca de 100K. Para demostrar esta temperatura de-\nPendencia, consideramos el estado normal (120 K) y su-\nestado perconductor (10 K) de un superconductor de onda d\nacoplado a 36 meV B1g, 55meV oxígeno A1g, y 70\nMeV respirando fonones14,17. El electrón-fonón cou-\npling para el B1g y los fonones respiratorios son los utilizados\nen Ref. 14. Los modos A1g implican movimientos del eje c de\nambos oxígenos planos y apicales, y tienen dos ramas\nalrededor de 55 y 80 meV. El electrón-fonón apical cou-\npling, derivado en Ref. 17, implica un cargo-transferencia desde\nel ápice de oxígeno en el plano CuO2 a través de los Cu 4s o-\nBital, el mismo camino que da lugar a la división de dos capas-\nting. Sin embargo, para la simplicidad, el electrón-fonón apical\nel acoplamiento se trata como una constante en los cálculos pre-\nenviado en este periódico. La razón para incluir tres modos\nen el cálculo se inspiró en el éxito anterior de\nel cálculo de dos modos11, así como el reciente discov-\nery del acoplamiento de modo múltiple12,13. Para este cálculo,\nla estructura de banda de unión apretada descrita en Ref. 19\nha sido utilizado. La parte real y la parte imaginaria de la\nautoenergía (k, ) y las funciones espectrales A(k, ) at\nk = (0, η) se obtienen entonces dentro del acoplamiento débil Eliash-\nberg formalismo14 y conspirado en la Fig. 1. Detalles de la\nlos cálculos se presentan en el apéndice.\nA alta temperatura, tanto Re. (k,...) como Im. (k,.........................................................................................................................................\nno exhibe una característica de renormalización nítida como se muestra\npor las curvas discontinuas en la Fig. 1 a) y fig. 1 b), respec-\nTily. Esto demuestra que la ampliación térmica\nefecto mancha las características nítidas de la renormalización; en\nadicional, ampliando los efectos debido a muchos cuerpos adicionales\nefectos mancharían las características de la renormalización piel-\nther. Por lo tanto, uno no debe esperar a observar cualquier agudo\ncaracterísticas de renormalización a k = (0, η) en el estado normal\n(+ 100K) del acoplamiento electrón-fonón. En el su-\nperconducting state, las características de renormalización de la\nla auto-energía se vuelve mucho más aguda, debido a la menor\nefecto de ampliación mal, así como la apertura de un su-\nPerconducting gap. Consistente con el dopado óptimo\nBi2212 y Bi2223 mediciones2,4,11,18, la estructura PDH\nión de la función espectral a k = (0, η) surge a baja\nla temperatura y desaparece a alta temperatura (ni-\nmal estado), como se ilustra en la Fig. 1 c) y fig. 1 d),\nrespectivamente. Mientras que este comportamiento es generalmente esperado\npara cualquier fonón, notamos que, además, la auto-energía\nde acoplamientos electrón-fonón que involucran a momen-\ntransferencias dentro de y entre regiones antinodales de\nla superficie de Fermi, como el ápice A1g y los fonones B1g,\nse mejoran en gran medida para todos los puntos k debido a la gran\ndensidad de las mejoras del estado en estas regiones a través de la\napertura de una brecha de onda D. Un detallado impulso depen-\ndence de los efectos de renormalización en el estado normal\ny estado superconductor debido al acoplamiento a la B1g\nFIG. 1: La (a) parte real calculada, Re., (b) imaginaria\nparte de la auto-energía, Im., y el espectral correspondiente\nfunciones, A(k) en c) estado normal y d) superconductores\nEstado. Un extra de 5 meV se añade a la parte imaginaria de la\nautoenergía en simulación de 120K para dar cuenta de la térmica\nampliación de la vida de las cuasi-partículas. La ubicación de\neste cálculo se indica en la entrada de (a) por un punto rojo con\nuna curva roja que representa el FS. Los conjuntos de las letras c) y d) son los siguientes:\ndatos del sistema Bi2223 con dopaje óptimo (Tc=110K) tomados en\nel estado normal (120K) y el estado superconductor(25K)18,\nrespectivamente.\nfonón ha sido discutido en Ref. 11 y Ref. 14. Piel...\ntermorre, tanto el torbellino de dispersión como la estructura PDH-\nen la región nodal se han observado claramente en\nel estado normal cuando se mide a baja temperatura\nen muestras con una Tc inferior\n16. Esto brinda más apoyo\na la renormalización fuertemente dependiente de la temperatura\ncaracterísticas debidas al acoplamiento electrón-fonón.\nB. Dependencia de Dopaje\nOtra declaración problemática contra el fonón\nEl escenario se deriva de la aparente fuerte dependencia de dopaje.\ndence de la posición de torcedura y la fuerza. Basado en el\nsabiduría para los metales buenos convencionales, los fonones deben\nno tienen una fuerte dependencia del dopaje, ya sea en la frecuencia\ndel modo o de la fuerza del acoplamiento. Esto es\nno es necesario válido para aisladores en capas, dopados con\nfuertes efectos de correlación, tales como cupratos donde dop-\ning cambia dramáticamente la metalicidad y el abil-\nity de electrones a las fluctuaciones de carga de la pantalla. Nosotros primero.\nnote que muchos experimentos en varios cuprates han re-\nAnomalías dependientes del dopaje fuertemente portadas para varias\nfonones, lo que implica una fuerte dependencia dopante e-p\nacoplamiento para estos fonones. Por ejemplo, de inelástico\nmediciones de dispersión de neutrones, el modo de respiración,\nmodo de semi-respiración, y los modos de enlace-estiramiento ex-\n• prohibir la dependencia prominente del dopaje de la dispersión y\nrenormalizaciones ergy20,21. En Raman y especificaciones infrarrojas...\nFIG. 2: Las tramas de intensidad de las (a) funciones espectrales con-\na la convolución de la resolución y b) a las especificaciones complicadas de la resolución\nfunciones tral en el estado superconductor (10K) a lo largo de la\ndirección nodal, como se indica en la entrada de (b) por el azul\nlínea. Las curvas negras son la dispersión de banda extraída de\nlas posiciones máximas de las curvas de distribución del momento,\nque cortan las funciones espectrales a una energía fija. El MDC-\ndispersiones derivadas en (a) muestra tres “subkinks” afilados debido\nal acoplamiento a los tres modos de fonón utilizados en el modelo;\nmientras que en (b) los subkinks son lavados por el instru-\nefecto de resolución que deja una simple torcedura aparente en el\ndispersión de la banda. La línea blanca despejada ilustra el desnudo\nbanda para la extracción de Reel se muestra en la Fig. 3 a).\ntroscopía, las formas de línea Fano de los modos de fonón en B1g\ny la simetría B1u muestran fuertes dependencias de dopaje\nAdemás, la fuerza del cambio de energía fonónica y\nlinewidth variación a través de Tc también cambia fuertemente con\ndopaje23.\nEn segundo lugar, la dependencia dopante de la renormalización\nefectos en la auto-energía electrónica es sofisticado como en\nferred por dos estudios recientes de ARPES. Una es la observación...\nión de múltiples acoplamientos de modo bosónico a lo largo del nodal\ndirección12. El otro es la dependencia dopaje de la\nEfecto de cribado c-eje en el acoplamiento entre el elec-\ntron y c-axis fonones. Según lo propuesto por Meevasana et\n13,24 y Devereaux et al.17, para cou-\nploling a longitudes de onda largas, el cribado se vuelve más\neficaz para reducir la resistencia al acoplamiento cuando la c-\nla conductividad del eje se vuelve más metálica. Teniendo en cuenta estos\ndos resultados más la variación de la brecha de superconductores\nmagnitud con dopaje, la dependencia dopaje de la\nLa energía de torcedura es muy complicada en Bi2212 cuya super-\nla realización de la brecha tiene una energía comparable a algunos de los\n¡Fonones!\nIn Fig. 2, presentamos la parcela de intensidad de calculado\nFunciones espectrales que demuestran una dependencia del dopaje\nde la distorsión de la dispersión en el estado superconductor. Los\nEl tamaño de la brecha superconductora se fijó en 40, 20 y 10\nmeV para los sistemas óptimamente dopados y más superdotados-\nTems. Además, la fuerza de acoplamiento de la respiración\nmodo, cuyo acoplamiento apreciable es sólo para la onda corta-\nlas longitudes y las grandes transferencias de impulso20,21,\nFIG. 3: (a) El Re. extraido de la Fig. 2 a) (líneas puntiagudas)\ny Fig. 2 b) (líneas sólidas) restando una banda lineal desnuda\n(línea bañada en la Fig. 2 a)) de la dispersión de la banda. El ar-\nlas filas indican las posiciones máximas de la\n\"único\" aparente torcedura en la dispersión de la banda es generalmente de-\nmultado. b) Resumen de la dependencia del dopaje\nenergía de torcedura y la energía de modo aparente extraída por como-\nsumando un único escenario de modo.\ncambiado para nuestra simulación de dependencia de dopaje; mientras que, un\nfunción de filtro, •2/(•22sc) con diferente valor del eje c\nla frecuencia de cribado se aplica a los fonones del eje c\n(B1g y A1g), para simular la cou-\nresistencia al apriete debido al cambio del cribado del eje c\nefecto13,24. Tomamos nota de que, aunque se trata de una simplificación\nsión, representa el comportamiento general de la detección de\nsideraciones para los fonones que involucran pequeñas momen-\nTransferencias tumorales. Se ha estudiado a fondo la posibilidad de realizar exámenes de detección.\ndada en Ref. 17 y Ref. 24. Además, un componente\n0.005+ Se añade eV 2 en la parte imaginaria de la auto-\nenergía para imitar el tiempo de vida cuasipartícula que se amplía\ndebido a la interacción electrón-electrón.\nComo se muestra en la Fig. 2 a), el acoplamiento a un fonón múltiple\nlos modos inducen varias “subkinks” en la dispersión. Los\nlas posiciones de estos subkinks corresponden en su mayor parte a la en-\nergies de fonones más la brecha máxima de onda d SC,\nIncluso a través de ella no hay ninguna brecha a lo largo de la di-\nRección. Esto es porque al calcular la auto-energía,\nuna necesidad de integrar las contribuciones de la totalidad\nzona, que hace que los electrones en la región nodal “sienten”\nla presencia de la brecha. Además, revelado por el ex-\nTrazado real-parte de la auto-energía, Re. (curvas clavadas\nen Fig. 3 (a)), la característica dominante en el\nel caso es inducido por el modo B1g de 36 meV, mientras que para el OD1\ny OD2, las características del modo A1g de 55 meV y\nEl modo de respiración de 70 meV supera gradualmente el peso del con-\nAtribución del modo B1g. Esto demuestra que\nel cambio de la magnitud de la brecha SC y el aumento\nefecto de cribado a estos fonones debido a un aumento\ndopaje altera la fuerza relativa de las subkinks causadas\npor diferentes modos.\nPara simular los datos experimentales, envolvimos la\nfunciones espectrales mostradas en la Fig. 2 a) con un\nResolución instrumental de ARPES: 12,5 meV en energía res-\nolución y 0,012 η/a en la resolución del impulso. Como illus...\ntrated in Fig. 2 b) y las curvas sólidas\nen Fig. 3(a)), las subcocinas son menos obvias y se vuelven\nuna curva “single” ampliada en la dispersión que es\nde la energía de la fea dominante del fonon...\ntura determinada por la posición máxima de la\n(las flechas en la Fig. 3 a)). La dependencia del dopaje de\nla posición de torcedura se resume como los símbolos sólidos en\nFig. 3 b). Asumiendo un escenario de modo único, uno puede\nobtener la “dependencia dopante” de la energía de modo por\nrestando el tamaño de la brecha SC. Sin embargo, observamos que\nesta energía extraída del modo “aparente” no coincide con\ncualquiera de los modos utilizados en el modelo; en su lugar, es un av-\neliminación entre las características dominantes (símbolos abiertos en\nFig. 3 b). Claramente, ya que la energía de torcedura es una suma de la\nbrecha superconductora y un espectro de modos bosónicos,\nno debe tomarse como una medida precisa de la\nenergía de cualquier modo bosónico en particular. Esto arroja dudas.\nal análisis de las propiedades dependientes del dopaje de la\ntorcedura en la dispersión de la banda nodal basada en el sencillo\nEscenario de acoplamiento de modo bosónico7,8. Lo que es más importante,\nesto ilustra la naturaleza compleja de los efectos de celosía en\nEstos óxidos.\nC. Dispersión entre bandas\nBorisenko et al.8,9 observaron que la tasa de dispersión\nde las bandas de unión y antibono a lo largo del nodal\nla dirección se cruzan cerca de la energía de la Van\nLa singularidad de Hove, sugiriendo una fuerte dispersión entre bandas...\nentre las bandas de unión y antibonos. Ellos\narguyó que sólo un modo con simetría “odd”, como\nmodo de resonancia de spin, puede mediar tal scat inter-banda-\ntering. La cuestión de si los fonones pueden inducir tales\nLa dispersión interbanda también ha sido elevada por estos au-\nThors.\nEn primer lugar, tomamos nota de que, recientemente, la alta energía y el impulso\nExperimentos de resolución ARPES en Bi2212 utilizando\nlos fotones ergy( <10 eV) han resuelto mejor el bicapa\ndividirse en el punto nodal25. Sin embargo, como se muestra en la Fig.\n2 de Ref. 25, la tasa de dispersión de la unión y anti-\nbanda de enlace no exhibe un comportamiento cruzado como\nreportado por Borisenko en al.. La inconsistencia de la\nLos datos entre los dos grupos implican que más experiencia\nSe requiere un mejor análisis para verificar si\neste efecto de dispersión entre bandas es genuino.\nEn segundo lugar, empíricamente, se ha conocido desde hace más de 15 años\nque el acoplamiento electrón-fonón entre bandas en las copas\nes muy grande. La evidencia viene de la fuerte resolución...\nperfiles nance de muchos fonones activos Raman, que dis-\njugar grandes variaciones de intensidad26. Por lo general, esto no es suficiente.\nse mantuvo como resultado de un fuerte acoplamiento entre bandas, por lo que\nLos fonones pueden ser traídos y sacados de resonancias vía tun-\nla energía fotónica incidente27. Puesto que, en general,\nLos fonones también pueden proporcionar impulso para dispersar electrones\na lo largo del eje c, la dispersión inter bicapa directa puede ocurrir\nque implica la mezcla de diferentes simetrías de los fonones.\nEsto se puede ver de una manera simplificada, incluso si nosotros primero\ndescuidar la dispersión directa de la banda y considerar una bicapa\nsistema acoplado a c-eje fonones. Para qz = 0, un simple\nLa clasificación de los modos de eje c es posible:\nk,,α=1,2\n(k)c\nk,α,\nck,α, +\nt(k)\nk,1,eck,2,e + h.c.\nK,q,l,α=1,2, v.\ng/,α(k, q)\nk+q,α,\na(−q) + a\n+ h.c.\n, (1)\ndonde α es el índice para los estados electrónicos de diferentes\nlas capas, en la letra k) del punto 1 = en la letra k) del punto 2, en la letra k) del punto 1, se describe el salto de los elec-\ntrons entre dos capas, y el índice / puede ser o bien\nmodos de eje c activo gerade o ungerade, con simetría\nclasificación con respecto al desplazamiento eigenvec-\nhasta el centro de inversión de la celda, representado en la Fig.\n4. Después de diagonalizar los dos primeros términos por canónico\ntransformación, el acoplamiento electrón-fonón puede ser re-\nfundida como\n(g, u)\nk,q,\ng(g,u)(k, q)\na(g,u)(q) + a\n(g, u)\nk+q,+,ck,(+,−),\nk+q,−,ck,(−,+),\n+ h.c.\n..(2)\nHemos utilizado el c+ y c− para el par y impar\ncombinación lineal de c1 y c2, y subíndice g y u\npara el modo gerade y ungerade, respectivamente. Por lo tanto\npara qz = 0, donde esta clasificación es posible, ger-\nLos fonones de ade inducen la dispersión intrabanda (incluso chan-\nnel), mientras que los fonones de ungerade median el inter-\nproceso de dispersión de banda (odd canal) incluso sin di-\nacoplamiento de electrones y fonones rectos a través de las capas. Sin embargo, para\nqz = η/c, la clasificación invierte, donde los modos gerade\nse convierten en ungerade y viceversa, como se ilustra en la figura 4.\nPor lo tanto, incluso en este caso simple, modos a diferentes qz con-\ntributo tanto a la dispersión intra y interbanda, y el\npeso neto del acoplamiento que aparece en la energía de sí mismo es\nPor lo tanto, la Comisión considera que, en la medida en que se trata de una cuestión de interés común, la Comisión no puede adoptar una decisión en el sentido de la letra b) del apartado 1 del artículo 92 del Tratado.\ng(k, q). Puesto que la auto-energía generalmente implica sumas\nsobre qz, y acoplamiento directo de electrones en la posición adyacente-\nEs evidente que los fonones no son insignificantes, la interbanda\nfenómenos de dispersión no se puede utilizar para argumentar en contra\nFIG. 4: La ilustración de la gerade y ungerade c−axis\n¡Fonones! El eigenmodo del gerade (úñerade) phonones\nes uniforme (odd) con respecto al plano de espejo entre dos\nCuO2 capas a qz = 0, mientras que su definición se intercambió a qz =\nη/c. Los círculos negro, gris y blanco representan el Cu, Ca,\ny O átomos, respectivamente.\nlos fonones son importantes para los estados electrónicos.\nTambién agregamos una observación sobre el electrón-\nEnganche de fonón derivado de mediciones Raman28\nen YBa2Cu3O7 y Bi-2212 en comparación con los obtenidos\nde ARPES. Mientras que uno ingenuamente podría esperar el cou-\nPara que sean comparables entre Raman y ARPES, re-\ndad de que esta situación es extraordinariamente diferente si la cou-\nPLING es fuertemente dependiente del momento y siempre que corre-\nlas laciones son apreciables. Desde Raman mide los fonones\ncon transferencia neta de impulso cero y ARPES implica una\nsuma sobre todas las transferencias, una diferencia considerable de acoplamiento puede\nser discernible. Este es específicamente el caso para el B1g\nfonón, donde la dispersión implica transferencias de impulso\na través de los cuellos de la superficie de Fermi cerca (η, 0)14, más\npotenciado a través de correlaciones29, aporta una fuerte contribución\nal electrón auto-energía que está ausente en el fonón auto-\nenergías. Por otra parte, un análisis de la regla de suma presentado en Ref.\n30 destaca en general cómo electrón y fonón auto-\nlas energías pueden ser cualitativamente diferentes en\nSistemas lateados.\nD. Experimentos ARPES en Zn y Ni sustituidos\nBi2212\nEn esta sección, comentamos sobre experimentos recientes\nsobre los efectos de la renormalización en Zn y Ni substi-\nTuted Bi2212 cristal31,32. La fuerza del renor agudo...\nmalizaciones en estos cristales sustituidos se encuentra para ser\nDebilitado en comparación con los cristales prístinos. Desde el\npropiedades magnéticas se modifican previsiblemente debido a la\nCu sustitución por estas impurezas, los autores con-\nocluyó que los efectos agudos de la renormalización son inducidos\npor modos magnéticos, no por fonones.\nDe hecho, un examen detenido de los datos publicados por V.\nB. Zabolotnyy y otros 31 y K. Terashima y otros 32\nque la propiedad magnética no es la única modificación\ndebido a la sustitución por Zn y Ni. En primer lugar, aunque\nambos conjuntos de datos son consistentes en la región antinodal\ndonde la fuerza de la renormalización de la banda es re-\n, son inconsistentes entre sí en la torcedura\nfuerza a lo largo de la dirección nodal. En el conjunto de datos de V.\nB. Zabolotnyy et al., la fuerza de torcedura es más débil en el\nMuestras de dopaje Zn o Ni, mientras que no hay detectables\ncambio en el conjunto de datos comunicados por K. Terashima y otros.\nEn segundo lugar, los datos de K. Terashima et al. (Fig. 1 d)-\nf) en Ref. 32) sugieren que la estructura bicapa-dividir-\ntura es mucho más clara en los cristales prístinos que en el\nCristales de Zn y Ni dopados. Puesto que los autores han dictaminado\nla posibilidad de una diferencia significativa en el nivel de dopaje\nentre los cristales prístinos y los dopados por impurezas,\nvariación de la visibilidad tinte de la estructura bicapa implica\nun cambio relacionado con la impureza en la estructura electrónica.\nA partir de estas dos observaciones sobre sus datos, implica\nque no sólo las propiedades magnéticas podrían cambiar, el\nestructura de banda y comportamiento de dispersión también podría ser\nafectados debido a estas impurezas. Es posible que\nestos cambios de las estructuras electrónicas podrían “debilitar”\nlas características de renormalización observadas en el ARPES\nespectro. Además, observamos que la fuerza de\nel acoplamiento electrón-fonón también podría ser modificado por el\nimpurezas sustituidas: esto puede inferirse del\ncambio de la forma de línea del espectro Fano del B1g 340\ncm−1 fonón en Raman espectral para Zn dopado YBCO33\nYBCO34 y Th-doped como resultado de un aumento de la\nAncho de línea de fonón debido a la dispersión de impurezas. Por lo tanto,\nLos experimentos con Ni y Zn sustituyeron a los gritos de Bi2212.\nLos tals son experimentos inconclusivos para distinguir el fonón\ny los modos magnéticos como el origen de la renormalización\nefectos.\nIII. CONCLUSIÓN\nHemos demostrado que la temperatura y el dopaje de-\npendencia de los efectos de renormalización, banda interbanda\ndispersión, y los resultados de Zn y Ni dopado materiales\npuede ser entendido en el marco del electrón-fonón\nacoplamiento. Por otro lado, las cuestiones que lo hacen\nno es plausible para el afilado ser de origen spin, es-\npecialmente el modo de resonancia de giro, permanecen: i) el casi\nescala de energía constante en función del dopaje en pequeñas\ngap system12; ii) los múltiples modos12; iii) la presencia\nde torcedura clara en el estado normal4,13,16 iv) el detalle\nacuerdo entre B1g phonon explicación basada en el\nmodo de acoplamiento en función del impulso11,14, mientras que\nla resonancia de giro con peso espectral minúsculo (2%) es un-\nEs probable que dé una explicación tanto para el nódulo como para la antin-\nrenormalización odal; v) la evidencia acumulada para\nefecto polaron de celosía en undopado y profundamente bajo-\nsistemas dopados35,36. Con estas debilidades del giro\ninterpretación de resonancia, efecto de celosía es más plausible\nexplicación de los efectos de la renormalización. Sigue siendo un\nla posibilidad de que la spin-fluctuación y otros fuertes cor-\nefectos de relación también son muy importantes para determinar la\nestructura electrónica de los cuprates; probablemente contribuyen a\nuna suave renormalización de la banda y puede ser más\nrelevante para la energía de unión superior. Sin embargo, opti-\nLos fonones cal son el origen más probable para el renor-\nefectos de malización debidos a modos agudos cercanos a 40-70 meV,\nque también se apoya en la reciente conclusión de STM\nexperimentos 37,38.\nAgradecimientos\nW.S. Lee reconoce el apoyo de SSRL que\nes operado por la Oficina de Ciencias Básicas de la Energía de la DOE,\nDivisión de Ciencia Química y Ciencia de los Materiales\ncontrato DE-AC02-76SF00515. T. P. Devereaux\nagradecen el apoyo de NSERC, subvención ONR\nN00014-05-1-0127 y la Fundación A. von Humboldt.\nAPÉNDICE A: BASE MIGDAL-ELIASHBERG\nENFOQUE\nEn los cálculos presentados aquí, evaluamos elec-\nautoenergias tronicas y funciones espectrales vía Migdal-\nTratamiento de Eliashberg, como se explica en Ref. 39. Los\nla función de Green vestido en el estado superconductor es\ndada en la notación de Nambu por\n• (k, •) =\nC(k, ) 0 + [(k) + χ(k, )]3 + (k, )1\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n, (A1)\na partir de la cual la función espectral sigue A(k, •) = − 1\nG′′1,1(k, فارسى) como se muestra en las Figs. 1c,1d, y 2. El impulso...\ncomponentes dependientes de la energía propia Nambu se dan como generalizaciones de los que se encuentran en Ref. 39:\n•Z2(k, •) =\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf(Ep)][\n+[nb() + nf (−Ep)][\nχ2(k, ) = −\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf (Ep)][\n+[nb() + nf (−Ep)][\n*2(k, *) =\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf (Ep)][\n+[nb() + nf(−Ep)][\ndonde / denota el índice de modo fonón, y nf y nb\nson los factores de ocupación de Fermi y Bose. g(k,q) son\nlos correspondientes acoplamientos electrón-fonón para modo\nü, en la referencia14 para los modos de respiración y B1g.\nElegimos modelar el acoplamiento A1g a través de un impulso\nacoplamiento independiente. Más detalles se pueden encontrar en\nRef. 17.\n1 P. V. Bogdanov, A. Lanzara, S. A. Kellar, X. J. Zhou, E.\nD. Lu, W. J. Zheng, G. Gu, J.-I. Shimoyama, K. Kishio,\nH. Ikeda, R. Yoshizaki, Z. Hussain y Z. X. Shen, Phys.\nRev. Lett. 85, 2581 (2000).\n2 A. Kaminski, M. Randeria, J. C. Campuzano, M. R. Nor-\nhombre, H. Fretwell, J. Mesot, T. Sato, T. Takahashi, y K.\nKadowaki, Phys. Rev. Lett. 86, 1070 (2001).\n3 T. K. Kim, A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, A. Koitzsch,\nM. Knupfer, H. Berger, y J. Fink, Phys. Rev. Lett. 91,\n167002 (2003).\n4 T. Sato, H. Matsui, T. Takahashi, H. Ding, H.-B. Yang,\nS.-C. Wang, T. Fujii, T. Watanabe, A. Matsuda, T.\nTerashima, y K. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 91, 157003\n(2003).\n5 M. R. Norman, H. Ding, J. C. Campuzano, T. Takeuchi,\nM. Randeria, T. Yokoya, T. Takahashi, T. Mochiku, y\nK. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 79, 3506 (1997).\n6 A. D. Gromko, A. V. Fedorov, Y.-D. Chuang, J. D. Ko-\nRalek, Y. Aiura, Y. Yamaguchi, K. Oka, Yoichi Ando, y\nD. S. Dessau Phys. Rev. B 68, 174520 (2003)\n7 A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, V. B. Zabolotnyy, J. Geck,\nM. Knupfer, J. Fink, B. Büchner, C. T. Lin, B. Keimer, H.\nBerger, A.V. Pan, Seiki Komiya, y Yoichi Ando, Phys.\nRev. Lett. 97, 017002(2006).\n8 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, V. Zabolotnyy, J. Geck,\nD. Inosov, A. Koitzsch, J. Fink, M. Knupfer, B. Büchner,\nV. Hinkov, C. T. Lin, B. Keimer, T. Wolf, S. G. Chi-\nuzbăian, L. Patthey, y R. Follath, Phys. Rev. Lett. 96,\n117004 (2006).\n9 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, A. Koitzsch, J. Fink, J.\nGeck, V. Zabolotnyy, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,\nM. Falub, M. Shi, J. Krempasky, y L. Patthey, Phys.\nRev. Lett. 96, 067001 (2006).\n10 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, S. A. Kellar, D.\nL. Feng, E. D. Lu, T. Yoshida, H. Eisaki, A. Fujimori, K.\nKishio, J.-I. Shimoyama, T. Noda, S. Uchida, Z. Hussain,\nZ.-X. Shen, Nature (Londres) 412, 510 (2001).\n11 T. Cuk, F. Baumberger, D. H. Lu, N. Ingle, X. J. Zhou,\nH. Eisaki, N. Kaneko, Z. Hussain, T. P. Devereaux, N. Na-\nGaosa, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 93, 117003 (2004).\n12 X. J. Zhou, Junren Shi, T. Yoshida, T. Cuk, W. L. Yang,\nV. Brouet, J. Nakamura, N. Mannella, Seiki Komiya,\nYoichi Ando, F. Zhou, W. X. Ti, J. W. Xiong, Z. X. Zhao,\nT. Sasagawa, T. Kakeshita, H. Eisaki, S. Uchida, A. Fu-\njimori, Zhenyu Zhang, E. W. Plummer, R. B. Laughlin,\nZ. Hussain, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 95, 117001\n(2005).\n13 W. Meevasana, N. J. C. Ingle, D. H. Lu, J. R. Shi, F.\nBaumberger, K. M. Shen, W. S. Lee, T. Cuk, H. Eisaki,\nT. P. Devereaux, N. Nagaosa, J. Zaanen y Z.-X. Shen,\nPhys. Rev. Lett. 96, 157003 (2006).\n14 T. P. Devereaux, T. Cuk, Z.-X. Shen, y N. Nagaosa,\nPhys. Rev. Lett. 93, 117004 (2004).\n15 X.J. Zhou, T. Yoshida, A. Lanzara, P.V. Bogdanov, S.A.\nKellar, K.M. Shen, W.L. Yang, F. Ronning, T. Sasagawa,\nT. Kakeshita, T. Noda, H. Eisaki, S. Uchida, C.T. Lin, F.\nZhou, J.W. Xiong, W.X. Ti, Z.X. Zhao, A. Fujimori, Z.\nHussain, y Z.-X. Shen, Nature 423, 398 (2003).\n16 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, N. Kaneko,\nH. Eisaki, M. Greven, Z. Hussain y Z. - X. Shen,\ncond-mat/0412178.\n17 T. P. Devereaux, Z.-X. Shen, N. Nagaosa, y J. Zaanen,\npreimpresión.\n18 W.S. Lee et al., inédito.\n19 M. Eschrig y M. R. Norman, Phys. Rev. B 67, 144503\n(2003).\n20 L. Pintschovius, Phys. stat. Sol. b) 242, 30 (2005), y\nlas referencias aquí.\n21 D. Reznik, L. Pintschovius, M. Ito, S. Likubo, M. Sato,\nH. Goka, M. Fujita, K. Yamada, G. D. Gu y J. M.\nTranquada, Nature 440, 1170 (2006).\n22 M. Opel, R. Hackl, T. P. Devereaux, A. Virosztek y\nA. Zawadowski, A. Erb y E. Walker, H. Berger y L.\nForró, Phys. Rev. B 60, 9836 (1999); C. Bernhard, D.\nMunzar, A. Golnik, C. T. Lin, A. Wittlin, J. Humliček,\ny M. Cardona, ibíd. 61, 618-626 (2000).\n23 E. Altendorf, X. K. Chen, J. C. Irwin, R. Liang y W.\nN. Hardy, Phys. Rev. B 47, 8140(1993); K. C. Hewitt,\nX. K. Chen, C. Roch, J. Chrzanowski, J. C. Irwin, E. H.\nAltendorf, R. Liang, D. Bonn y W. N. Hardy, ibíd. 69\n064514(2004).\n24 W. Meevasana, T. P. Devereaux, N. Nagaosa, Z.-X. Shen,\ny J. Zaanen, Phys. Rev. B 74, 174524 (2006).\n25 T. Yamasaki, K. Yamazaki, A. Ino, M. Arita, H. Na-\nMatame, M. Taniguchi, A. Fujimori, Z.-X. Shen, M.\nIshikado, y S. Uchida, cond-mat/0603006.\n26 E. T. Heyen, S. N. Rashkeev, I. I. Mazin, O. K. Andersen,\nR. Liu, M. Cardona, y O. Jepsen, Phys. Rev. Lett. 65,\n3048-3051 (1990); B. Friedl, C. Thomsen, H.-U. Haber...\nMeier, y M. Cardona, Comunidad de Estado Sólido. 78, 291\n(1991); D. Reznik, S.L. Cooper, M.V. Klein, W.C. Lee,\nD.M. Ginsberg, A.A. Maksimov, A.V. Puchkov, I.I. Tar-\nTakovskii, y S-W. Cheong, Phys. Rev. B 48, 7624 (1993);\nM. Kang, G. Blumberg, M. V. Klein y N. N. Kolesnikov\nPhys. Rev. Lett. 77, 4434 (1996); X. Zhou, M. Cardona,\nD. Colson, y V. Viallet, Phys. Rev. B 55, 12 770 (1997);\nV.G. Hadjiev, X. Zhou, T. Strohm, M. Cardona, Q.M. Lin,\ny C.W. Chu, ibíd. 58, 1043 (1998).\n27 Véase, por ejemplo, E. Ya. Sherman y C. Ambrosch-Draxl, Phys.\nRev. B 62, 9713 (2000), y sus referencias.\n28 Considerando Y-123 y Bi-2212, la anterior medida Raman-\nCuando se ajusta a un perfil de Fano, se indica que B1g cou-\nplong en Y-123 es más apreciable que en Bi-2212, que\nse cree que se debe a los diferentes ambientes electrostáticos\nalrededor de los aviones CuO2. [T.P. Devereaux, A.\nVirosztek, A. Zawadowski, M. Opel, P.F. Müller, C. Hoff...\nmann, R. Philipp, R. Nemetschek, R. Hackl, H. Berger, L.\nForro, A. Erb, y E. Walker, Solid State Commun. 108,\n407 (1998)]. Esto en ese momento fue apoyado por electrostática\ncálculos del campo de cristal orientado al eje c en Y-123\n[J. Li y J. Ladik, Solid State Commun. 95, 35 (1995)],\npero no se habían realizado cálculos para Bi2212. Una re-\nexamen de los datos de Raman indican que la extracción\nel acoplamiento para Bi-2212 puede verse afectado por inhomo-\ngeneidad de las líneas fonónicas en Bi-2212 en comparación con Y-123, como\nbien a las diferencias en el fondo electrónico B1g. Mientras\nSe estimó que el valor de la sustancia problema era de 0,0013, con inhomogeneidad de la sustancia problema.\nlínea fonónica se tiene en cuenta junto con una opción diferente\nde antecedentes, puede obtenerse un valor de 0,02, comparable\na Y-123. Esto está respaldado por cálculos recientes de Ewald\npara Bi-2212, que da un valor de campo de cristal local 1.25\neV/cm, comparable a la obtenida para Y-123.\n29 Carsten Honerkamp, Henry C. Fu y Dung-Hai Lee,\ncond-mat/0605161.\n30 O. Rösch, y O. Gunnarsson, Phys. Rev. Lett. 93,\n237001(2004); O. Rösch, G. Sangiovanni, y O. Gunnars-\nhijo, cond-mat/0607612.\n31 V. B. Zabolotnyy, S.V. Borisenko, A. A. Kordyuk, J. Fink,\nJ. Geck, A. Koitzsch, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,\nA. Erb, C. T. Lin, B. Keimer y R. Follath, Phys. Rev.\nLett. 96, 037003 (2006).\n32 K. Terashima, H. Matsui, D. Hashimoto, T. Sato, T. Taka-\nhashi, H. Ding, T. Yamamoto y K. Kadowaki, Naturaleza\nFísica 2, 27 (2006).\n33 M. Limonov, D. Shantsev, S. Tajima y A. Yamanaka,\nPhys. Rev. B 65, 024515 (2001).\n34 E. Altendorf, J. C. Irwin, W. N. Hardy y R. Liang,\nPhysica C 185-189, 1375 (1991).\n35 K.M. Shen, F. Ronning, D.H. Lu, W.S. Lee, N.J.C. Ingle,\nW. Meevasana, F. Baumberger, A. Damascelli, N.P. Ar-\nMitage, L.L. Miller, Y. Kohsaka, M. Azuma, M. Takano, H.\nTakagi, y Z.-X. Shen, Phys, Rev. Lett. 93, 267002(2004)\n36 O. Rösch, O. Gunnarsson, X. J. Zhou, T. Yoshida, T.\nSasagawa, A. Fujimori, Z. Hussain, Z.-X. Shen, y S.\nUchida, Phys. Rev. Lett. 95, 227002 (2005).\n37 Jinho Lee, K. Fujita, K. McElroy, J. A. Slezak, M. Wang,\nY. Aiura, H. Bando, M. Ishikado, T. Masui, J.-X. Zhu, A.\nV. Balatsky, H. Eisaki, S. Uchida y J. C. Davis, Nature\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0412178\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0603006\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0605161\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0607612\n442, 546(2006).\n38 Jian-Xin Zhu, A. V. Balatsky, T. P. Devereaux, Qimiao\nSi, J. Lee, K. McElroy, y J. C. Davis, Phys. Rev. B 73,\n014511(2006); cond-mat/5507621.\n39 D. J. Scalapino, en Superconductividad, Vol. 1, editado por R.\nParks, Dekker, 1969.\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/5507621\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Contribución de celosía a la auto-energía electrónica en complejo correlacionado\nóxidos es un tema fascinante que últimamente ha estimulado discusiones animadas.\nExpectativas de efectos de autoenergía electrón-fonón para materiales más simples, tales como:\ncomo Pd y Al, han resultado en varios conceptos erróneos en fuertemente correlacionados\nóxidos. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser\nel origen de ciertos efectos de auto-energía vistos en alto-$T_c$ cuprate\nsuperconductores mediante experimentos de fotoemisión resuelta por ángulo (ARPES), incluidos:\ndependencia de la temperatura, dependencia de dopaje de los efectos de renormalización,\nla dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y la sustitución de impurezas. Nosotros\nmuestra que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos\nlos argumentos no están bien fundados.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Aspectos de la autoenergía electron-phonón revelados desde ángulos resueltos\nEspectroscopia de fotoemisión\nW.S. Lee,1 S. Johnston,2 T.P. Devereaux,2 y Z.-X. Shen1\nDepartamento de Física, Física Aplicada y Stanford Synchrotron\nLaboratorio de radiación, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305\nDepartamento de Física, Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, Canadá N2L 3G1\n(Fecha: 4 de noviembre de 2018)\nLa contribución de celosía a la auto-energía electrónica en óxidos correlacionados complejos es una fascinante\ntema que últimamente ha estimulado discusiones animadas. Expectativas de la autoenergía electrón-fonón\nefectos para materiales más simples, como Pd y Al, han dado lugar a\nóxidos correlacionados. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser la\norigen de ciertos efectos de auto-energía vistos en superconductores de alta Tc cuprate a través del ángulo resuelto pho-\nlos experimentos de emisión (ARPES), incluida la dependencia de la temperatura, la dependencia de dopaje de la\nefectos de renormalización, dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y sustitución de impurezas.\nDemostramos que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos argumentos no son\nBien fundado.\nNúmeros PACS: Los PACS válidos aparecen aquí\nI. INTRODUCCIÓN\nEl mecanismo de emparejamiento microscópico de la alta Tc\nla superconductividad sigue siendo una cuestión sin resolver\ndespués de veinte años de su descubrimiento. Observaciones de la Comisión\nuna torcedura alrededor de 40-70 meV en la dispersión de la banda\na lo largo de la diagonal de la zona de Brillouin (nodal diec-\ny una estructura de pico-dip-hump (PDH) en la zona\nlímite por espectroscopia de fotoemisión con resolución angular\n(ARPES)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 han dibujado mucho\nde atención reciente, ya que pueden arrojar algo de luz sobre esto\nproblema. Aunque se ha establecido un acuerdo\nque la estructura de torcedura y PDH son firmas de la\nelectrones acoplados a un modo bosónico agudo, todavía es\nfuertemente debatido sobre el origen de este modo bosónico.\nInfluenciado por el hecho de que el cuprato de alta Tc es un dopado\nantiferromagnético aislante, una creencia común es que este\nEl modo bosónico tiene un origen magnético2,3,4,5,6,7,8,9. ¿Cómo...?\nuna visión alternativa es que el electrón-fonón cou-\nplong en tal doped-aislador puede ser muy fuerte y\nanómalos debido a una serie de efectos inusuales, tales\ncomo la mala selección, la estructura compleja, así como el\nterplay con correlaciones. De hecho, el oxígeno relacionado op-\nSe han invocado los fonones ticales para explicar el tem-\nperatura y dependencia dopante de la renormalización\nefectos10,11,12,13,14. Esta idea de que los fonones son principalmente\nresponsable de esta renormalización de la banda de baja energía\nEl efecto observado por ARPES ha estimulado un intenso debate.\nActualmente no hay consenso sobre si un fonón, un conjunto\nde los fonones, o un modo magnético es la causa principal de\nla renormalización de la banda.\nComo se ha mencionado, algunas razones importantes para invocar\nla interpretación fonónica de los datos de ARPES son:\npresencia de una escala de energía universal en todos los materiales\ndopaje10,15, especialmente en el estado normal de\nMateriales Tc muy bajos\n16; el fuerte inferido momen-\ndependencia de tum11,14; la existencia de múltiples bosónicos\nlos acoplamientos de modo12 y la disminución de la cou-\nresistencia a los flecos con aumento del dopaje, interpretado como un\nefecto de cribado, especialmente para los fonones con autovectores\na lo largo del eje c13. Sin embargo, todavía existe una creencia generalizada\nque los fonones no son responsables de las características de torcedura. In\nlas siguientes secciones, con una mirada completa en todos\ndatos experimentales, así como algunas simulaciones recientes,\nabordar algunas de las críticas que han sido comúnmente\nutilizado para argumentar en contra de la interpretación fonónica. Estos\nincluyen la dependencia de la temperatura y el dopaje de la\nefectos de renormalización, dispersión entre bandas para bicapa\nel sistema, y los experimentos ARPES sobre la impureza substi-\nCristal Bi2212, Bi2Sr2Ca(Cu2−xMx)O8+ con M\n= Zn o Ni. Nuestro objetivo es aclarar estos conceptos erróneos.\ncomo se debe a la simplificación excesiva de los efectos de electrón-\nacoplamiento de fonón en cupratos, así como otros fuertemente\nóxidos metálicos de transición correlacionados.\nII. ASPECTOS DEL ELECTRÓN-PHONON\nAUTOENERGIA\nA. Depende de la temperatura\nEn el tratamiento estándar del acoplamiento electrón-fonón\nefectos, la temperatura de Debye establece una característica tem-\nescala de peratura, que está muy por encima de Tc en\nmateriales superconductores. Sin embargo en los cuprates y\notros sistemas de energía baja Fermi, estas dos escalas de energía\npuede ser comparable. Como resultado, la temperatura de depen-\ndence de las autoenergias inducidas por el fonón puede ser muy diferente-\na partir de la de los superconductores convencionales. Accord-\na las mediciones de ARPES en el sistema Bi2212, el\nrenormalización de la banda en la región antinodal (peak-dip-\nestructura jorobada) muestra una superconductividad dramática-\nmejora inducida cuando el sistema pasa por un\ntransición de fase del estado normal al supercon-\nestado de conductos. Se ha argumentado que sólo un modo que\nemerge en el estado superconductor y desaparece en\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0093v1\nel estado normal puede explicar esta temperatura-dependiente\nefecto de renormalización2,3,4,5. Phonons son por lo tanto ex-\nSuprimida.\nLa nitidez de los efectos de la renormalización debido a\nEl acoplamiento electrón-fonón es fuerte temperatura de depen-\nabolladura, dada por el hecho de que Tc de bi2212 óptimamente dopado\nestá cerca de 100K. Para demostrar esta temperatura de-\nPendencia, consideramos el estado normal (120 K) y su-\nestado perconductor (10 K) de un superconductor de onda d\nacoplado a 36 meV B1g, 55meV oxígeno A1g, y 70\nMeV respirando fonones14,17. El electrón-fonón cou-\npling para el B1g y los fonones respiratorios son los utilizados\nen Ref. 14. Los modos A1g implican movimientos del eje c de\nambos oxígenos planos y apicales, y tienen dos ramas\nalrededor de 55 y 80 meV. El electrón-fonón apical cou-\npling, derivado en Ref. 17, implica un cargo-transferencia desde\nel ápice de oxígeno en el plano CuO2 a través de los Cu 4s o-\nBital, el mismo camino que da lugar a la división de dos capas-\nting. Sin embargo, para la simplicidad, el electrón-fonón apical\nel acoplamiento se trata como una constante en los cálculos pre-\nenviado en este periódico. La razón para incluir tres modos\nen el cálculo se inspiró en el éxito anterior de\nel cálculo de dos modos11, así como el reciente discov-\nery del acoplamiento de modo múltiple12,13. Para este cálculo,\nla estructura de banda de unión apretada descrita en Ref. 19\nha sido utilizado. La parte real y la parte imaginaria de la\nautoenergía (k, ) y las funciones espectrales A(k, ) at\nk = (0, η) se obtienen entonces dentro del acoplamiento débil Eliash-\nberg formalismo14 y conspirado en la Fig. 1. Detalles de la\nlos cálculos se presentan en el apéndice.\nA alta temperatura, tanto Re. (k,...) como Im. (k,.........................................................................................................................................\nno exhibe una característica de renormalización nítida como se muestra\npor las curvas discontinuas en la Fig. 1 a) y fig. 1 b), respec-\nTily. Esto demuestra que la ampliación térmica\nefecto mancha las características nítidas de la renormalización; en\nadicional, ampliando los efectos debido a muchos cuerpos adicionales\nefectos mancharían las características de la renormalización piel-\nther. Por lo tanto, uno no debe esperar a observar cualquier agudo\ncaracterísticas de renormalización a k = (0, η) en el estado normal\n(+ 100K) del acoplamiento electrón-fonón. En el su-\nperconducting state, las características de renormalización de la\nla auto-energía se vuelve mucho más aguda, debido a la menor\nefecto de ampliación mal, así como la apertura de un su-\nPerconducting gap. Consistente con el dopado óptimo\nBi2212 y Bi2223 mediciones2,4,11,18, la estructura PDH\nión de la función espectral a k = (0, η) surge a baja\nla temperatura y desaparece a alta temperatura (ni-\nmal estado), como se ilustra en la Fig. 1 c) y fig. 1 d),\nrespectivamente. Mientras que este comportamiento es generalmente esperado\npara cualquier fonón, notamos que, además, la auto-energía\nde acoplamientos electrón-fonón que involucran a momen-\ntransferencias dentro de y entre regiones antinodales de\nla superficie de Fermi, como el ápice A1g y los fonones B1g,\nse mejoran en gran medida para todos los puntos k debido a la gran\ndensidad de las mejoras del estado en estas regiones a través de la\napertura de una brecha de onda D. Un detallado impulso depen-\ndence de los efectos de renormalización en el estado normal\ny estado superconductor debido al acoplamiento a la B1g\nFIG. 1: La (a) parte real calculada, Re., (b) imaginaria\nparte de la auto-energía, Im., y el espectral correspondiente\nfunciones, A(k) en c) estado normal y d) superconductores\nEstado. Un extra de 5 meV se añade a la parte imaginaria de la\nautoenergía en simulación de 120K para dar cuenta de la térmica\nampliación de la vida de las cuasi-partículas. La ubicación de\neste cálculo se indica en la entrada de (a) por un punto rojo con\nuna curva roja que representa el FS. Los conjuntos de las letras c) y d) son los siguientes:\ndatos del sistema Bi2223 con dopaje óptimo (Tc=110K) tomados en\nel estado normal (120K) y el estado superconductor(25K)18,\nrespectivamente.\nfonón ha sido discutido en Ref. 11 y Ref. 14. Piel...\ntermorre, tanto el torbellino de dispersión como la estructura PDH-\nen la región nodal se han observado claramente en\nel estado normal cuando se mide a baja temperatura\nen muestras con una Tc inferior\n16. Esto brinda más apoyo\na la renormalización fuertemente dependiente de la temperatura\ncaracterísticas debidas al acoplamiento electrón-fonón.\nB. Dependencia de Dopaje\nOtra declaración problemática contra el fonón\nEl escenario se deriva de la aparente fuerte dependencia de dopaje.\ndence de la posición de torcedura y la fuerza. Basado en el\nsabiduría para los metales buenos convencionales, los fonones deben\nno tienen una fuerte dependencia del dopaje, ya sea en la frecuencia\ndel modo o de la fuerza del acoplamiento. Esto es\nno es necesario válido para aisladores en capas, dopados con\nfuertes efectos de correlación, tales como cupratos donde dop-\ning cambia dramáticamente la metalicidad y el abil-\nity de electrones a las fluctuaciones de carga de la pantalla. Nosotros primero.\nnote que muchos experimentos en varios cuprates han re-\nAnomalías dependientes del dopaje fuertemente portadas para varias\nfonones, lo que implica una fuerte dependencia dopante e-p\nacoplamiento para estos fonones. Por ejemplo, de inelástico\nmediciones de dispersión de neutrones, el modo de respiración,\nmodo de semi-respiración, y los modos de enlace-estiramiento ex-\n• prohibir la dependencia prominente del dopaje de la dispersión y\nrenormalizaciones ergy20,21. En Raman y especificaciones infrarrojas...\nFIG. 2: Las tramas de intensidad de las (a) funciones espectrales con-\na la convolución de la resolución y b) a las especificaciones complicadas de la resolución\nfunciones tral en el estado superconductor (10K) a lo largo de la\ndirección nodal, como se indica en la entrada de (b) por el azul\nlínea. Las curvas negras son la dispersión de banda extraída de\nlas posiciones máximas de las curvas de distribución del momento,\nque cortan las funciones espectrales a una energía fija. El MDC-\ndispersiones derivadas en (a) muestra tres “subkinks” afilados debido\nal acoplamiento a los tres modos de fonón utilizados en el modelo;\nmientras que en (b) los subkinks son lavados por el instru-\nefecto de resolución que deja una simple torcedura aparente en el\ndispersión de la banda. La línea blanca despejada ilustra el desnudo\nbanda para la extracción de Reel se muestra en la Fig. 3 a).\ntroscopía, las formas de línea Fano de los modos de fonón en B1g\ny la simetría B1u muestran fuertes dependencias de dopaje\nAdemás, la fuerza del cambio de energía fonónica y\nlinewidth variación a través de Tc también cambia fuertemente con\ndopaje23.\nEn segundo lugar, la dependencia dopante de la renormalización\nefectos en la auto-energía electrónica es sofisticado como en\nferred por dos estudios recientes de ARPES. Una es la observación...\nión de múltiples acoplamientos de modo bosónico a lo largo del nodal\ndirección12. El otro es la dependencia dopaje de la\nEfecto de cribado c-eje en el acoplamiento entre el elec-\ntron y c-axis fonones. Según lo propuesto por Meevasana et\n13,24 y Devereaux et al.17, para cou-\nploling a longitudes de onda largas, el cribado se vuelve más\neficaz para reducir la resistencia al acoplamiento cuando la c-\nla conductividad del eje se vuelve más metálica. Teniendo en cuenta estos\ndos resultados más la variación de la brecha de superconductores\nmagnitud con dopaje, la dependencia dopaje de la\nLa energía de torcedura es muy complicada en Bi2212 cuya super-\nla realización de la brecha tiene una energía comparable a algunos de los\n¡Fonones!\nIn Fig. 2, presentamos la parcela de intensidad de calculado\nFunciones espectrales que demuestran una dependencia del dopaje\nde la distorsión de la dispersión en el estado superconductor. Los\nEl tamaño de la brecha superconductora se fijó en 40, 20 y 10\nmeV para los sistemas óptimamente dopados y más superdotados-\nTems. Además, la fuerza de acoplamiento de la respiración\nmodo, cuyo acoplamiento apreciable es sólo para la onda corta-\nlas longitudes y las grandes transferencias de impulso20,21,\nFIG. 3: (a) El Re. extraido de la Fig. 2 a) (líneas puntiagudas)\ny Fig. 2 b) (líneas sólidas) restando una banda lineal desnuda\n(línea bañada en la Fig. 2 a)) de la dispersión de la banda. El ar-\nlas filas indican las posiciones máximas de la\n\"único\" aparente torcedura en la dispersión de la banda es generalmente de-\nmultado. b) Resumen de la dependencia del dopaje\nenergía de torcedura y la energía de modo aparente extraída por como-\nsumando un único escenario de modo.\ncambiado para nuestra simulación de dependencia de dopaje; mientras que, un\nfunción de filtro, •2/(•22sc) con diferente valor del eje c\nla frecuencia de cribado se aplica a los fonones del eje c\n(B1g y A1g), para simular la cou-\nresistencia al apriete debido al cambio del cribado del eje c\nefecto13,24. Tomamos nota de que, aunque se trata de una simplificación\nsión, representa el comportamiento general de la detección de\nsideraciones para los fonones que involucran pequeñas momen-\nTransferencias tumorales. Se ha estudiado a fondo la posibilidad de realizar exámenes de detección.\ndada en Ref. 17 y Ref. 24. Además, un componente\n0.005+ Se añade eV 2 en la parte imaginaria de la auto-\nenergía para imitar el tiempo de vida cuasipartícula que se amplía\ndebido a la interacción electrón-electrón.\nComo se muestra en la Fig. 2 a), el acoplamiento a un fonón múltiple\nlos modos inducen varias “subkinks” en la dispersión. Los\nlas posiciones de estos subkinks corresponden en su mayor parte a la en-\nergies de fonones más la brecha máxima de onda d SC,\nIncluso a través de ella no hay ninguna brecha a lo largo de la di-\nRección. Esto es porque al calcular la auto-energía,\nuna necesidad de integrar las contribuciones de la totalidad\nzona, que hace que los electrones en la región nodal “sienten”\nla presencia de la brecha. Además, revelado por el ex-\nTrazado real-parte de la auto-energía, Re. (curvas clavadas\nen Fig. 3 (a)), la característica dominante en el\nel caso es inducido por el modo B1g de 36 meV, mientras que para el OD1\ny OD2, las características del modo A1g de 55 meV y\nEl modo de respiración de 70 meV supera gradualmente el peso del con-\nAtribución del modo B1g. Esto demuestra que\nel cambio de la magnitud de la brecha SC y el aumento\nefecto de cribado a estos fonones debido a un aumento\ndopaje altera la fuerza relativa de las subkinks causadas\npor diferentes modos.\nPara simular los datos experimentales, envolvimos la\nfunciones espectrales mostradas en la Fig. 2 a) con un\nResolución instrumental de ARPES: 12,5 meV en energía res-\nolución y 0,012 η/a en la resolución del impulso. Como illus...\ntrated in Fig. 2 b) y las curvas sólidas\nen Fig. 3(a)), las subcocinas son menos obvias y se vuelven\nuna curva “single” ampliada en la dispersión que es\nde la energía de la fea dominante del fonon...\ntura determinada por la posición máxima de la\n(las flechas en la Fig. 3 a)). La dependencia del dopaje de\nla posición de torcedura se resume como los símbolos sólidos en\nFig. 3 b). Asumiendo un escenario de modo único, uno puede\nobtener la “dependencia dopante” de la energía de modo por\nrestando el tamaño de la brecha SC. Sin embargo, observamos que\nesta energía extraída del modo “aparente” no coincide con\ncualquiera de los modos utilizados en el modelo; en su lugar, es un av-\neliminación entre las características dominantes (símbolos abiertos en\nFig. 3 b). Claramente, ya que la energía de torcedura es una suma de la\nbrecha superconductora y un espectro de modos bosónicos,\nno debe tomarse como una medida precisa de la\nenergía de cualquier modo bosónico en particular. Esto arroja dudas.\nal análisis de las propiedades dependientes del dopaje de la\ntorcedura en la dispersión de la banda nodal basada en el sencillo\nEscenario de acoplamiento de modo bosónico7,8. Lo que es más importante,\nesto ilustra la naturaleza compleja de los efectos de celosía en\nEstos óxidos.\nC. Dispersión entre bandas\nBorisenko et al.8,9 observaron que la tasa de dispersión\nde las bandas de unión y antibono a lo largo del nodal\nla dirección se cruzan cerca de la energía de la Van\nLa singularidad de Hove, sugiriendo una fuerte dispersión entre bandas...\nentre las bandas de unión y antibonos. Ellos\narguyó que sólo un modo con simetría “odd”, como\nmodo de resonancia de spin, puede mediar tal scat inter-banda-\ntering. La cuestión de si los fonones pueden inducir tales\nLa dispersión interbanda también ha sido elevada por estos au-\nThors.\nEn primer lugar, tomamos nota de que, recientemente, la alta energía y el impulso\nExperimentos de resolución ARPES en Bi2212 utilizando\nlos fotones ergy( <10 eV) han resuelto mejor el bicapa\ndividirse en el punto nodal25. Sin embargo, como se muestra en la Fig.\n2 de Ref. 25, la tasa de dispersión de la unión y anti-\nbanda de enlace no exhibe un comportamiento cruzado como\nreportado por Borisenko en al.. La inconsistencia de la\nLos datos entre los dos grupos implican que más experiencia\nSe requiere un mejor análisis para verificar si\neste efecto de dispersión entre bandas es genuino.\nEn segundo lugar, empíricamente, se ha conocido desde hace más de 15 años\nque el acoplamiento electrón-fonón entre bandas en las copas\nes muy grande. La evidencia viene de la fuerte resolución...\nperfiles nance de muchos fonones activos Raman, que dis-\njugar grandes variaciones de intensidad26. Por lo general, esto no es suficiente.\nse mantuvo como resultado de un fuerte acoplamiento entre bandas, por lo que\nLos fonones pueden ser traídos y sacados de resonancias vía tun-\nla energía fotónica incidente27. Puesto que, en general,\nLos fonones también pueden proporcionar impulso para dispersar electrones\na lo largo del eje c, la dispersión inter bicapa directa puede ocurrir\nque implica la mezcla de diferentes simetrías de los fonones.\nEsto se puede ver de una manera simplificada, incluso si nosotros primero\ndescuidar la dispersión directa de la banda y considerar una bicapa\nsistema acoplado a c-eje fonones. Para qz = 0, un simple\nLa clasificación de los modos de eje c es posible:\nk,,α=1,2\n(k)c\nk,α,\nck,α, +\nt(k)\nk,1,eck,2,e + h.c.\nK,q,l,α=1,2, v.\ng/,α(k, q)\nk+q,α,\na(−q) + a\n+ h.c.\n, (1)\ndonde α es el índice para los estados electrónicos de diferentes\nlas capas, en la letra k) del punto 1 = en la letra k) del punto 2, en la letra k) del punto 1, se describe el salto de los elec-\ntrons entre dos capas, y el índice / puede ser o bien\nmodos de eje c activo gerade o ungerade, con simetría\nclasificación con respecto al desplazamiento eigenvec-\nhasta el centro de inversión de la celda, representado en la Fig.\n4. Después de diagonalizar los dos primeros términos por canónico\ntransformación, el acoplamiento electrón-fonón puede ser re-\nfundida como\n(g, u)\nk,q,\ng(g,u)(k, q)\na(g,u)(q) + a\n(g, u)\nk+q,+,ck,(+,−),\nk+q,−,ck,(−,+),\n+ h.c.\n..(2)\nHemos utilizado el c+ y c− para el par y impar\ncombinación lineal de c1 y c2, y subíndice g y u\npara el modo gerade y ungerade, respectivamente. Por lo tanto\npara qz = 0, donde esta clasificación es posible, ger-\nLos fonones de ade inducen la dispersión intrabanda (incluso chan-\nnel), mientras que los fonones de ungerade median el inter-\nproceso de dispersión de banda (odd canal) incluso sin di-\nacoplamiento de electrones y fonones rectos a través de las capas. Sin embargo, para\nqz = η/c, la clasificación invierte, donde los modos gerade\nse convierten en ungerade y viceversa, como se ilustra en la figura 4.\nPor lo tanto, incluso en este caso simple, modos a diferentes qz con-\ntributo tanto a la dispersión intra y interbanda, y el\npeso neto del acoplamiento que aparece en la energía de sí mismo es\nPor lo tanto, la Comisión considera que, en la medida en que se trata de una cuestión de interés común, la Comisión no puede adoptar una decisión en el sentido de la letra b) del apartado 1 del artículo 92 del Tratado.\ng(k, q). Puesto que la auto-energía generalmente implica sumas\nsobre qz, y acoplamiento directo de electrones en la posición adyacente-\nEs evidente que los fonones no son insignificantes, la interbanda\nfenómenos de dispersión no se puede utilizar para argumentar en contra\nFIG. 4: La ilustración de la gerade y ungerade c−axis\n¡Fonones! El eigenmodo del gerade (úñerade) phonones\nes uniforme (odd) con respecto al plano de espejo entre dos\nCuO2 capas a qz = 0, mientras que su definición se intercambió a qz =\nη/c. Los círculos negro, gris y blanco representan el Cu, Ca,\ny O átomos, respectivamente.\nlos fonones son importantes para los estados electrónicos.\nTambién agregamos una observación sobre el electrón-\nEnganche de fonón derivado de mediciones Raman28\nen YBa2Cu3O7 y Bi-2212 en comparación con los obtenidos\nde ARPES. Mientras que uno ingenuamente podría esperar el cou-\nPara que sean comparables entre Raman y ARPES, re-\ndad de que esta situación es extraordinariamente diferente si la cou-\nPLING es fuertemente dependiente del momento y siempre que corre-\nlas laciones son apreciables. Desde Raman mide los fonones\ncon transferencia neta de impulso cero y ARPES implica una\nsuma sobre todas las transferencias, una diferencia considerable de acoplamiento puede\nser discernible. Este es específicamente el caso para el B1g\nfonón, donde la dispersión implica transferencias de impulso\na través de los cuellos de la superficie de Fermi cerca (η, 0)14, más\npotenciado a través de correlaciones29, aporta una fuerte contribución\nal electrón auto-energía que está ausente en el fonón auto-\nenergías. Por otra parte, un análisis de la regla de suma presentado en Ref.\n30 destaca en general cómo electrón y fonón auto-\nlas energías pueden ser cualitativamente diferentes en\nSistemas lateados.\nD. Experimentos ARPES en Zn y Ni sustituidos\nBi2212\nEn esta sección, comentamos sobre experimentos recientes\nsobre los efectos de la renormalización en Zn y Ni substi-\nTuted Bi2212 cristal31,32. La fuerza del renor agudo...\nmalizaciones en estos cristales sustituidos se encuentra para ser\nDebilitado en comparación con los cristales prístinos. Desde el\npropiedades magnéticas se modifican previsiblemente debido a la\nCu sustitución por estas impurezas, los autores con-\nocluyó que los efectos agudos de la renormalización son inducidos\npor modos magnéticos, no por fonones.\nDe hecho, un examen detenido de los datos publicados por V.\nB. Zabolotnyy y otros 31 y K. Terashima y otros 32\nque la propiedad magnética no es la única modificación\ndebido a la sustitución por Zn y Ni. En primer lugar, aunque\nambos conjuntos de datos son consistentes en la región antinodal\ndonde la fuerza de la renormalización de la banda es re-\n, son inconsistentes entre sí en la torcedura\nfuerza a lo largo de la dirección nodal. En el conjunto de datos de V.\nB. Zabolotnyy et al., la fuerza de torcedura es más débil en el\nMuestras de dopaje Zn o Ni, mientras que no hay detectables\ncambio en el conjunto de datos comunicados por K. Terashima y otros.\nEn segundo lugar, los datos de K. Terashima et al. (Fig. 1 d)-\nf) en Ref. 32) sugieren que la estructura bicapa-dividir-\ntura es mucho más clara en los cristales prístinos que en el\nCristales de Zn y Ni dopados. Puesto que los autores han dictaminado\nla posibilidad de una diferencia significativa en el nivel de dopaje\nentre los cristales prístinos y los dopados por impurezas,\nvariación de la visibilidad tinte de la estructura bicapa implica\nun cambio relacionado con la impureza en la estructura electrónica.\nA partir de estas dos observaciones sobre sus datos, implica\nque no sólo las propiedades magnéticas podrían cambiar, el\nestructura de banda y comportamiento de dispersión también podría ser\nafectados debido a estas impurezas. Es posible que\nestos cambios de las estructuras electrónicas podrían “debilitar”\nlas características de renormalización observadas en el ARPES\nespectro. Además, observamos que la fuerza de\nel acoplamiento electrón-fonón también podría ser modificado por el\nimpurezas sustituidas: esto puede inferirse del\ncambio de la forma de línea del espectro Fano del B1g 340\ncm−1 fonón en Raman espectral para Zn dopado YBCO33\nYBCO34 y Th-doped como resultado de un aumento de la\nAncho de línea de fonón debido a la dispersión de impurezas. Por lo tanto,\nLos experimentos con Ni y Zn sustituyeron a los gritos de Bi2212.\nLos tals son experimentos inconclusivos para distinguir el fonón\ny los modos magnéticos como el origen de la renormalización\nefectos.\nIII. CONCLUSIÓN\nHemos demostrado que la temperatura y el dopaje de-\npendencia de los efectos de renormalización, banda interbanda\ndispersión, y los resultados de Zn y Ni dopado materiales\npuede ser entendido en el marco del electrón-fonón\nacoplamiento. Por otro lado, las cuestiones que lo hacen\nno es plausible para el afilado ser de origen spin, es-\npecialmente el modo de resonancia de giro, permanecen: i) el casi\nescala de energía constante en función del dopaje en pequeñas\ngap system12; ii) los múltiples modos12; iii) la presencia\nde torcedura clara en el estado normal4,13,16 iv) el detalle\nacuerdo entre B1g phonon explicación basada en el\nmodo de acoplamiento en función del impulso11,14, mientras que\nla resonancia de giro con peso espectral minúsculo (2%) es un-\nEs probable que dé una explicación tanto para el nódulo como para la antin-\nrenormalización odal; v) la evidencia acumulada para\nefecto polaron de celosía en undopado y profundamente bajo-\nsistemas dopados35,36. Con estas debilidades del giro\ninterpretación de resonancia, efecto de celosía es más plausible\nexplicación de los efectos de la renormalización. Sigue siendo un\nla posibilidad de que la spin-fluctuación y otros fuertes cor-\nefectos de relación también son muy importantes para determinar la\nestructura electrónica de los cuprates; probablemente contribuyen a\nuna suave renormalización de la banda y puede ser más\nrelevante para la energía de unión superior. Sin embargo, opti-\nLos fonones cal son el origen más probable para el renor-\nefectos de malización debidos a modos agudos cercanos a 40-70 meV,\nque también se apoya en la reciente conclusión de STM\nexperimentos 37,38.\nAgradecimientos\nW.S. Lee reconoce el apoyo de SSRL que\nes operado por la Oficina de Ciencias Básicas de la Energía de la DOE,\nDivisión de Ciencia Química y Ciencia de los Materiales\ncontrato DE-AC02-76SF00515. T. P. Devereaux\nagradecen el apoyo de NSERC, subvención ONR\nN00014-05-1-0127 y la Fundación A. von Humboldt.\nAPÉNDICE A: BASE MIGDAL-ELIASHBERG\nENFOQUE\nEn los cálculos presentados aquí, evaluamos elec-\nautoenergias tronicas y funciones espectrales vía Migdal-\nTratamiento de Eliashberg, como se explica en Ref. 39. Los\nla función de Green vestido en el estado superconductor es\ndada en la notación de Nambu por\n• (k, •) =\nC(k, ) 0 + [(k) + χ(k, )]3 + (k, )1\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n, (A1)\na partir de la cual la función espectral sigue A(k, •) = − 1\nG′′1,1(k, فارسى) como se muestra en las Figs. 1c,1d, y 2. El impulso...\ncomponentes dependientes de la energía propia Nambu se dan como generalizaciones de los que se encuentran en Ref. 39:\n•Z2(k, •) =\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf(Ep)][\n+[nb() + nf (−Ep)][\nχ2(k, ) = −\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf (Ep)][\n+[nb() + nf (−Ep)][\n*2(k, *) =\ng/(k,p− k)\n[nb() + nf (Ep)][\n+[nb() + nf(−Ep)][\ndonde / denota el índice de modo fonón, y nf y nb\nson los factores de ocupación de Fermi y Bose. g(k,q) son\nlos correspondientes acoplamientos electrón-fonón para modo\nü, en la referencia14 para los modos de respiración y B1g.\nElegimos modelar el acoplamiento A1g a través de un impulso\nacoplamiento independiente. Más detalles se pueden encontrar en\nRef. 17.\n1 P. V. Bogdanov, A. Lanzara, S. A. Kellar, X. J. Zhou, E.\nD. Lu, W. J. Zheng, G. Gu, J.-I. Shimoyama, K. Kishio,\nH. Ikeda, R. Yoshizaki, Z. Hussain y Z. X. Shen, Phys.\nRev. Lett. 85, 2581 (2000).\n2 A. Kaminski, M. Randeria, J. C. Campuzano, M. R. Nor-\nhombre, H. Fretwell, J. Mesot, T. Sato, T. Takahashi, y K.\nKadowaki, Phys. Rev. Lett. 86, 1070 (2001).\n3 T. K. Kim, A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, A. Koitzsch,\nM. Knupfer, H. Berger, y J. Fink, Phys. Rev. Lett. 91,\n167002 (2003).\n4 T. Sato, H. Matsui, T. Takahashi, H. Ding, H.-B. Yang,\nS.-C. Wang, T. Fujii, T. Watanabe, A. Matsuda, T.\nTerashima, y K. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 91, 157003\n(2003).\n5 M. R. Norman, H. Ding, J. C. Campuzano, T. Takeuchi,\nM. Randeria, T. Yokoya, T. Takahashi, T. Mochiku, y\nK. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 79, 3506 (1997).\n6 A. D. Gromko, A. V. Fedorov, Y.-D. Chuang, J. D. Ko-\nRalek, Y. Aiura, Y. Yamaguchi, K. Oka, Yoichi Ando, y\nD. S. Dessau Phys. Rev. B 68, 174520 (2003)\n7 A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, V. B. Zabolotnyy, J. Geck,\nM. Knupfer, J. Fink, B. Büchner, C. T. Lin, B. Keimer, H.\nBerger, A.V. Pan, Seiki Komiya, y Yoichi Ando, Phys.\nRev. Lett. 97, 017002(2006).\n8 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, V. Zabolotnyy, J. Geck,\nD. Inosov, A. Koitzsch, J. Fink, M. Knupfer, B. Büchner,\nV. Hinkov, C. T. Lin, B. Keimer, T. Wolf, S. G. Chi-\nuzbăian, L. Patthey, y R. Follath, Phys. Rev. Lett. 96,\n117004 (2006).\n9 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, A. Koitzsch, J. Fink, J.\nGeck, V. Zabolotnyy, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,\nM. Falub, M. Shi, J. Krempasky, y L. Patthey, Phys.\nRev. Lett. 96, 067001 (2006).\n10 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, S. A. Kellar, D.\nL. Feng, E. D. Lu, T. Yoshida, H. Eisaki, A. Fujimori, K.\nKishio, J.-I. Shimoyama, T. Noda, S. Uchida, Z. Hussain,\nZ.-X. Shen, Nature (Londres) 412, 510 (2001).\n11 T. Cuk, F. Baumberger, D. H. Lu, N. Ingle, X. J. Zhou,\nH. Eisaki, N. Kaneko, Z. Hussain, T. P. Devereaux, N. Na-\nGaosa, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 93, 117003 (2004).\n12 X. J. Zhou, Junren Shi, T. Yoshida, T. Cuk, W. L. Yang,\nV. Brouet, J. Nakamura, N. Mannella, Seiki Komiya,\nYoichi Ando, F. Zhou, W. X. Ti, J. W. Xiong, Z. X. Zhao,\nT. Sasagawa, T. Kakeshita, H. Eisaki, S. Uchida, A. Fu-\njimori, Zhenyu Zhang, E. W. Plummer, R. B. Laughlin,\nZ. Hussain, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 95, 117001\n(2005).\n13 W. Meevasana, N. J. C. Ingle, D. H. Lu, J. R. Shi, F.\nBaumberger, K. M. Shen, W. S. Lee, T. Cuk, H. Eisaki,\nT. P. Devereaux, N. Nagaosa, J. Zaanen y Z.-X. Shen,\nPhys. Rev. Lett. 96, 157003 (2006).\n14 T. P. Devereaux, T. Cuk, Z.-X. Shen, y N. Nagaosa,\nPhys. Rev. Lett. 93, 117004 (2004).\n15 X.J. Zhou, T. Yoshida, A. Lanzara, P.V. Bogdanov, S.A.\nKellar, K.M. Shen, W.L. Yang, F. Ronning, T. Sasagawa,\nT. Kakeshita, T. Noda, H. Eisaki, S. Uchida, C.T. Lin, F.\nZhou, J.W. Xiong, W.X. Ti, Z.X. Zhao, A. Fujimori, Z.\nHussain, y Z.-X. Shen, Nature 423, 398 (2003).\n16 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, N. Kaneko,\nH. Eisaki, M. Greven, Z. Hussain y Z. - X. Shen,\ncond-mat/0412178.\n17 T. P. Devereaux, Z.-X. Shen, N. Nagaosa, y J. Zaanen,\npreimpresión.\n18 W.S. Lee et al., inédito.\n19 M. Eschrig y M. R. Norman, Phys. Rev. B 67, 144503\n(2003).\n20 L. Pintschovius, Phys. stat. Sol. b) 242, 30 (2005), y\nlas referencias aquí.\n21 D. Reznik, L. Pintschovius, M. Ito, S. Likubo, M. Sato,\nH. Goka, M. Fujita, K. Yamada, G. D. Gu y J. M.\nTranquada, Nature 440, 1170 (2006).\n22 M. Opel, R. Hackl, T. P. Devereaux, A. Virosztek y\nA. Zawadowski, A. Erb y E. Walker, H. Berger y L.\nForró, Phys. Rev. B 60, 9836 (1999); C. Bernhard, D.\nMunzar, A. Golnik, C. T. Lin, A. Wittlin, J. Humliček,\ny M. Cardona, ibíd. 61, 618-626 (2000).\n23 E. Altendorf, X. K. Chen, J. C. Irwin, R. Liang y W.\nN. Hardy, Phys. Rev. B 47, 8140(1993); K. C. Hewitt,\nX. K. Chen, C. Roch, J. Chrzanowski, J. C. Irwin, E. H.\nAltendorf, R. Liang, D. Bonn y W. N. Hardy, ibíd. 69\n064514(2004).\n24 W. Meevasana, T. P. Devereaux, N. Nagaosa, Z.-X. Shen,\ny J. Zaanen, Phys. Rev. B 74, 174524 (2006).\n25 T. Yamasaki, K. Yamazaki, A. Ino, M. Arita, H. Na-\nMatame, M. Taniguchi, A. Fujimori, Z.-X. Shen, M.\nIshikado, y S. Uchida, cond-mat/0603006.\n26 E. T. Heyen, S. N. Rashkeev, I. I. Mazin, O. K. Andersen,\nR. Liu, M. Cardona, y O. Jepsen, Phys. Rev. Lett. 65,\n3048-3051 (1990); B. Friedl, C. Thomsen, H.-U. Haber...\nMeier, y M. Cardona, Comunidad de Estado Sólido. 78, 291\n(1991); D. Reznik, S.L. Cooper, M.V. Klein, W.C. Lee,\nD.M. Ginsberg, A.A. Maksimov, A.V. Puchkov, I.I. Tar-\nTakovskii, y S-W. Cheong, Phys. Rev. B 48, 7624 (1993);\nM. Kang, G. Blumberg, M. V. Klein y N. N. Kolesnikov\nPhys. Rev. Lett. 77, 4434 (1996); X. Zhou, M. Cardona,\nD. Colson, y V. Viallet, Phys. Rev. B 55, 12 770 (1997);\nV.G. Hadjiev, X. Zhou, T. Strohm, M. Cardona, Q.M. Lin,\ny C.W. Chu, ibíd. 58, 1043 (1998).\n27 Véase, por ejemplo, E. Ya. Sherman y C. Ambrosch-Draxl, Phys.\nRev. B 62, 9713 (2000), y sus referencias.\n28 Considerando Y-123 y Bi-2212, la anterior medida Raman-\nCuando se ajusta a un perfil de Fano, se indica que B1g cou-\nplong en Y-123 es más apreciable que en Bi-2212, que\nse cree que se debe a los diferentes ambientes electrostáticos\nalrededor de los aviones CuO2. [T.P. Devereaux, A.\nVirosztek, A. Zawadowski, M. Opel, P.F. Müller, C. Hoff...\nmann, R. Philipp, R. Nemetschek, R. Hackl, H. Berger, L.\nForro, A. Erb, y E. Walker, Solid State Commun. 108,\n407 (1998)]. Esto en ese momento fue apoyado por electrostática\ncálculos del campo de cristal orientado al eje c en Y-123\n[J. Li y J. Ladik, Solid State Commun. 95, 35 (1995)],\npero no se habían realizado cálculos para Bi2212. Una re-\nexamen de los datos de Raman indican que la extracción\nel acoplamiento para Bi-2212 puede verse afectado por inhomo-\ngeneidad de las líneas fonónicas en Bi-2212 en comparación con Y-123, como\nbien a las diferencias en el fondo electrónico B1g. Mientras\nSe estimó que el valor de la sustancia problema era de 0,0013, con inhomogeneidad de la sustancia problema.\nlínea fonónica se tiene en cuenta junto con una opción diferente\nde antecedentes, puede obtenerse un valor de 0,02, comparable\na Y-123. Esto está respaldado por cálculos recientes de Ewald\npara Bi-2212, que da un valor de campo de cristal local 1.25\neV/cm, comparable a la obtenida para Y-123.\n29 Carsten Honerkamp, Henry C. Fu y Dung-Hai Lee,\ncond-mat/0605161.\n30 O. Rösch, y O. Gunnarsson, Phys. Rev. Lett. 93,\n237001(2004); O. Rösch, G. Sangiovanni, y O. Gunnars-\nhijo, cond-mat/0607612.\n31 V. B. Zabolotnyy, S.V. Borisenko, A. A. Kordyuk, J. Fink,\nJ. Geck, A. Koitzsch, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,\nA. Erb, C. T. Lin, B. Keimer y R. Follath, Phys. Rev.\nLett. 96, 037003 (2006).\n32 K. Terashima, H. Matsui, D. Hashimoto, T. Sato, T. Taka-\nhashi, H. Ding, T. Yamamoto y K. Kadowaki, Naturaleza\nFísica 2, 27 (2006).\n33 M. Limonov, D. Shantsev, S. Tajima y A. Yamanaka,\nPhys. Rev. B 65, 024515 (2001).\n34 E. Altendorf, J. C. Irwin, W. N. Hardy y R. Liang,\nPhysica C 185-189, 1375 (1991).\n35 K.M. Shen, F. Ronning, D.H. Lu, W.S. Lee, N.J.C. Ingle,\nW. Meevasana, F. Baumberger, A. Damascelli, N.P. Ar-\nMitage, L.L. Miller, Y. Kohsaka, M. Azuma, M. Takano, H.\nTakagi, y Z.-X. Shen, Phys, Rev. Lett. 93, 267002(2004)\n36 O. Rösch, O. Gunnarsson, X. J. Zhou, T. Yoshida, T.\nSasagawa, A. Fujimori, Z. Hussain, Z.-X. Shen, y S.\nUchida, Phys. Rev. Lett. 95, 227002 (2005).\n37 Jinho Lee, K. Fujita, K. McElroy, J. A. Slezak, M. Wang,\nY. Aiura, H. Bando, M. Ishikado, T. Masui, J.-X. Zhu, A.\nV. Balatsky, H. Eisaki, S. Uchida y J. C. Davis, Nature\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0412178\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0603006\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0605161\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/0607612\n442, 546(2006).\n38 Jian-Xin Zhu, A. V. Balatsky, T. P. Devereaux, Qimiao\nSi, J. Lee, K. McElroy, y J. C. Davis, Phys. Rev. B 73,\n014511(2006); cond-mat/5507621.\n39 D. J. Scalapino, en Superconductividad, Vol. 1, editado por R.\nParks, Dekker, 1969.\nhttp://arxiv.org/abs/cond-mat/5507621\n"}}},{"rowIdx":87,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0094,"string":"704.0094"},"title":{"kind":"string","value":"Timing and Lensing of the Colliding Bullet Clusters: barely enough time\n and gravity to accelerate the bullet"},"full_text":{"kind":"string","value":"arXiv:0704.0094v1 [astro-ph] 2 Abr 2007\nCalendario y lente de los cúmulos de balas de colisión: apenas el tiempo y la gravedad suficientes\npara acelerar la bala\nHongSheng Zhao\nUniversidad de St Andrews, Scottish University Physics Alliances, KY16 9SS, Reino Unido\nPresentamos restricciones semianalíticas sobre la cantidad de materia oscura en la galaxia de bala fusionada\nclúster usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local. Consideramos que las órbitas de partículas en potencial\nmodelos que se ajusten a los datos de lente. Modelos de CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana son\nencontrado con una masa total MCDM = 1 × 10\nMás de DM Frío: la bala subhalo se puede mover con\nVDM = 3000 kms\n−1, y el gas de rayos X “bullet” puede moverse con Vgas = 4200 kms\n−1. Estos son\ncasi las velocidades máximas que se aceleran por la gravedad de dos halos de CDM truncados en una\nTiempo Hubble incluso sin la presión del carnero. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de\nlas barras de error para la velocidad del gas de bala (5000− 5400 kms−1), y el gas de bala no estaría atado\npor el halo del sub-cluster para el tiempo del Hubble. Modelos con VDM 4500 kms\nVgas invocaría\ngran cantidad poco realista MCDM = 7× 10\nMâs de CDM para un clúster que contenga solamente â € 10\nMás de\nGas. Nuestros resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de 4500 kms-1 es fácil\nobtenido en el modelo de lente relativista MONDian de Angus et al. (2007). Sin embargo, MONDian\nmodelo con materia oscura caliente MHDM ≤ 0,6×10\nModelo Mó y CDM con una masa de halo ≤ 1×10\nson apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.\nNúmeros PACS: 98.10.+z, 98.62.Dm, 95.35.+d; sometidos a la revisión física D, publicaciones rápidas\nI. POTENCIAL DE TIMING\nEl tiempo es una técnica única para establecer el caso para\nhalos de materia oscura, primero y más a través explorado en\nel contexto del grupo local (Kahn & Woljter 1959,\nFich & Tremaine 1991, Peebles 1989, Inga & Saha 1998).\nEn su versión más simple, el Grupo Local consiste en:\nVía Láctea y M31 como dos masas puntuales aisladas, que\nse formaron cerca el uno del otro, se separaron debido al Hub-\nble expansión, y se desaceleró y se movió hacia cada uno\notros hasta su velocidad actual: 120 km s−1 y sepa-\nración (unos 700 kpc) debido a su gravedad mutua. Los\nla edad del universo fija el límite superior en el período de\neste par de galaxias, de ahí la masa total del par a través de\nLa tercera ley de Kepler asume la gravedad newtoniana.\nEl tiempo también encuentra una aplicación oportuna en el par de\nla fusión de cúmulos de galaxias 1E0657-56 en corrimiento al rojo z = 0,3,\nque es en gran parte una gran analogía extra-galáctica de la\nSistema M31-MW. El sub-cluster, llamado la “bulleta”,\nActualmente penetra 400-700 kpc a través de la masa principal.\nter con una velocidad aparente de 4750+710\n−550 kms\n−1 (Marke-\nvitch 2006). El gas de rayos X de la bala (cantidad\n2×1013M®) colisiona con el gas de rayos X del clus principal.\nter (con el gas total de hasta 1014M®) y forma un Mach-3\ncono en frente de la “bulleta”. Los dos grupos tienen en\nmínimo cuatro centros diferentes, que se compensan por 400 kpc\nentre el par de centros de gas de rayos X y por 700 kpc\nentre el par de centros estrella-luz, que coincide\ncon los centros de lente gravitacional y (materia oscura)\ncentros potenciales (Clowe et al. 2006). La penetración\nvelocidad es inusualmente alta, difícil para la cosmología estándar a\nexplicar estadísticamente (Hayashi & White 2006), y modi-\n* Dirección electrónica: hz4@st-andrews.ac.uk\nse ha sugerido la ley de fuerza fied (Farrar & Rosen 2006,\nAngus et al. 2007).\nEl método de tiempo se aplica en la gravedad MONDian\nasí como Newtonian. Al igual que la lente, el tiempo es simplemente un\nmétodo sobre la limitación de la distribución potencial, y es\nsólo indirectamente relacionado con la distribución de la materia. En este\nLetra que modelamos los cúmulos de bala como un par de timadores de masa.\ncentraciones formadas en alto corrimiento al rojo, y establecer restricciones en\nsu fuerza mutua utilizando el simple hecho de que su radial\nperíodo de oscilación debe estar cerca de la edad del universo\na z = 0,3. Comprobamos la consistencia con el lente\nseñal del clúster y dar interpretaciones en términos de\nCDM estándar y MOND.\nPrimero podemos entender la velocidad de la bala.\nmás analíticamente en escenarios simplificados. Aproximación de la\ndos grupos como puntos de masas fijas M1 y M2 en una\nórbita frontal, podemos aplicar el tiempo MW-M31 habitual\nargumentación. La masa total M0 = M1 + M2 es constante.\nEl período orbital radial se calcula a partir de\nT = 2\n∫ rmax\nV r)\n, (1)\nr3max\n, Newtonian p = 2 (2)\n2γrmax\n, profundo-MONDiano, p = 1 (3)\nK−n/2r\nmáx., para una K/r\np gravedad, (4)\ndonde rmax es el apocentro y está relacionado con el presente\nVelocidad relativa V (r) a la separación r = 700 kpc por energía\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0094v1\nconservación\nV r)2\n= −GM0\nNewtonian (5)\n= V 2M (ln rmax − ln r) profundo−MONDian (6)\nr1−p − r1−pmax\nK/(1− p) para una gravedad K/rp,(7)\ndonde VM =\n(GM0a0)\n1/4 es el cir-\nvelocidad angular de dos puntos de masa, a0 es igual a uno\nAngstrom por segundo cuadrado y es el MOND\nescala de aceleración, y el adimensional\n3M1M2\n• 0,81 • 1 (cf. Mil...\ngrom 1994, Zhao 2007, en preparación) para una masa típica\nrelación.\nLas predicciones para la simple grav de newtoniano Keplerian-\nity se dan en la Fig. 1; el caso más sutil para un MON-\nDian cluster se discute en la sección final. Configurando el\nperíodo orbital T = 10Gyrs, la edad del universo en\nel corrimiento al rojo del racimo, los rendimientos actuales V â € 3200 km s−1 en\nNewtoniano para una masa combinada normal de M1 + M2 =\n(0.7− 1)× 1015M® para los clusters, que es aproximadamente 7-10\nveces su contenido de gas bariónico (+ 1014M+) para Newto-\nuniverso nian de = 0,3 materia oscura fría. De acuerdo\ncon Farrar & Rosen y Hayashi & White, el sim-\nel argumento de cronometración sugiere que las velocidades de halo oscuro\nde 4750 km s−1, tan alto como el gas de rayos X\nrequieren halos con masas de oscuridad irrealmente más grandes\nmateria, 1016M, un orden de magnitud más que\nlo que implica una relación baryon-oscuro universal. Como una cordura\ncomprobar, suponiendo un grupo local convencional 3× 1012M®\nmasa de materia oscura Fig.1 predice la velocidad relativa de\n100 km/s para el sistema M31-MW en la separación 700\nkpc después de 14 Gyrs, consistente con la observación (Binney\n& Tremaine 1987).\nEstos argumentos analíticos, aunque sencillos, son\nno es preciso habida cuenta de sus suposiciones de simplificación. Por una vez,\nlos clusters no se forman inmediatamente en el infinito del shift rojo, y\nla masa de racimo y el tamaño podrían crecer con el tiempo gradual-\nlly. Más importante es ese punto masa halo newtoniano\nmodelos están lejos de encajar los datos de lente débil de la\n1E0657-56. Un potencial Newtoniano poco profundo lo hace\naún más difícil acelerar la bala. Por otro lado\nmano, Angus, Shan, Zhao, Famaey (2007) muestran que allí\nson potenciales inspirados en MOND que se adaptan a la lente. Como com-\nEn su conclusión, el mismo potencial es profundo\nlo suficiente como para que un V = 4750 km s−1 “bulleta” esté\nórbita de apocenter rmax de unos pocos Mpc, por lo que los dos clus-\nters podría acelerarse por gravedad mutua a partir de un cero\nvelocidad apocentro a 4750 km/s dentro de la vida de los cúmulos-\nTiempo. Esta línea de pensamiento fue explorada más a fondo por el\nestudio numérico más sistemático de Angus & McGaugh\n(2007).\nNuestro papel es un spin-off de estas obras y las obras\nde Hayashi & White y Farrar & Rosen. Enfatizamos\nla unificación de la perspectiva de tiempo semianalítica\ny la perspectiva de lente, y el objetivo de obtener robusto\nlimitaciones al potencial, sin limitarse a\nVelocidad de las balas de rayos X\nBaryon\n12,5 13 13,5 14 14,5 15\nRegistro (masa combinada)\nFIG. 1: Masa dinámica predicha analíticamente cronológicamente vs.\nvelocidad relativa de dos objetos separados por 700 kpc después de 10±\n4 Giros (tres líneas en orden creciente para aumentar el tiempo)\nAsumiendo el potencial kepleriano de las masas puntuales. Tres verticales\nlas líneas indican la típica masa Halo del Grupo Local, la masa Baryónica\nen cúmulos de galaxias, y las masas de halo más masivas del MDL. Tres\nlíneas horizontales indican la barra de error de la velocidad de la radiografía\nGas “bullet”.\nteoría de la gravedad específica o candidata a materia oscura.\nHacia la finalización de este trabajo, estamos hechos\npor la preimpresión de Springel & Farrar (2007) que el\nbala no observada DM halo podría estar moviéndose más lento que\nse observó gas de rayos X despojado. Estos autores, también\ncomo preimpresión de Milosovic et al. (2007), destacó el\nefecto de la presión hidrodinámica, que no vamos a ser\ncapaz de modelar aquí de forma realista. Pero para abordar la velocidad\ndiferencias, en lugar de tratar el gas de rayos X como un ”bullestic\npartícula”. Argumentamos que nuestra hipotética parte balística...\ndebe moverse lo suficientemente lento como para estar atado a las proximidades de la\nsubhalo antes de la colisión, pero se mueve un poco más rápido\nmás de 4700\n−550 kms\nahora, ya que no experimenta\nla presión del gas. Este modelo sigue el espíritu\nde los modelos clásicos de tiempo de la separación de la Gran\ny pequeñas nubes de Magallanes y la corriente de Magallanes\n(Lin & Lynden-Bell 1982).\nII. 3D POTENCIAL DE LA PRESTACIÓN\nEl mapa de cizallamiento de lente débil de Clowe et al. (2006)\nha sido equipado por Angus et al. (2007) utilizando un cuatro-\npotencial analítico componente cada uno es esférico, pero\nen diferentes centros. Para nuestro propósito redistribuimos la\ncomponentes menores y simplificar el potencial en dos\ncomponentes centrados en el centroide móvil de la galaxia\nluz del clúster principal con la actual coordi espacial\nnates r1(t) = (−564,−176, 0) galaxia kpc y subcluster\ncentroide r2(t) = (145, 0, 0) kpc; el origen de las coordenadas es\nestablecido en el punto más brillante actual de la “boleta” de rayos X\ngas; actualmente el cúmulo está en z = 0,3 o tiempo cósmico\nt = 10Gyrs. También aplicamos un truncamiento Keplerian a la\npotencial más allá del radio de truncación rt. Así que el siguiente...\nSe adopta el potencial 3D para el grupo 1E0657-56 en\ntiempo t,\nΦ(X,Y, Z, t) = (1800 km s−1)2 (r− r1) (8)\n+ (1270 km s−1)2 (r− r2),\n* (r − ri(t)) = ln\nr − ri(t)\n180 kpc\n+ cst, r < rt(9)\n= − r\nr− ri(t)\n, r ≥ rt(t) = C × t,(10)\ndonde r?t? r\n+1802\nes garantizar un continuo y suave\ntransición del potencial a través del radio de truncación rt.\nEl rt de truncamiento evoluciona con el tiempo, ya que un pre-cluster\nregión se derrumba gradualmente después del big bang, y su\nlímite y masa total crece con el tiempo hasta que alcanza\nel tamaño de un clúster. En interés de la simplicidad más bien\nque rigor, utilizamos un modelo lineal rt = C × t, donde C\nes una constante de la unidad kpc/Gyr.\nPara comprobar que el potencial simplificado sigue siendo consis-\ntienda con datos de lente débil, recomputamos el débil 3D\nconvergencia de lente (Taylor et al. 2004) para las fuentes en\ndistancia D(0, zs) en el shift rojo zs,\n(X,Y, zs) =\ni=X,Y\n∫ D(0,zs)\n2D(z, zs)\n(ΦiΦ)dZ\ndonde las integraciones en backets cuadrados son la deflec-\nángulos de tion para una fuente en zs, y el lente usrual\ndistancia efectiva está relacionada con las distancias de movimiento\npor D(z, zs) = (1 + z)\n−1Dś(z)\n1 - Dś(z)\nD(zs)\n= 587 Mpc es\npara el grupo de balas z = 0,3 fuentes de lente en zs = 1;\nla distancia aumenta en un factor 1.3 a 1.6 para la fuente\nRedshifts de 3 a infinito. En la figura 2 se muestra la predicción\na lo largo de la línea que une los dos centros oscuros; el resultado\nes insensible al radio de truncación del racimo siempre y cuando\nrt ≥ 1000kpc actualmente. El modelo de lente predice un\nseñal entre la de los datos de lente débil de Clowe\net al., y datos de lente fuerte de Bradac et al. Lo es.\nse sabe que estos dos conjuntos de datos son algo discrepantes\nel uno al otro. Así que el ajuste aquí es razonable. El método\nes la deproyección es esencialmente similar a la decomposi-\nmétodo de tion de Bradac et al. cuya suposición explícita\nde la gravedad Einsteiniana es, sin embargo, innecesario.\nLo importante aquí es que en cuanto a deproject-\nEn cuanto a las posibilidades mencionadas anteriormente, ninguna suposición es la siguiente:\nnecesaria en la teoría de la gravedad, siempre y cuando los rayos de luz fol-\ngeodésicos bajos, una característica construida en la mayoría de la grav-\nity teoría. Del mismo modo, las órbitas de las partículas masivas son también\n(diferente) geodésicos en estas teorías. El significado de\npotencial en tales teorías es que el potencial (escalado por\na factor 2/c2) representa perturbaciones métricas en el plano\nespacio-tiempo, especialmente al g00(cdt)\n2 = −(1+ 2Φ\n)cdt)2\ntérmino, por lo que el Christoffel i00 XiΦ, se puede mostrar\n–1200 –1000 –800 –600 –400 –200 0 200 400\nX/kpc\nFIG. 2: Convergencia prevista de los racimos de balas (reescalada para\nfuentes en el infinito) a lo largo de la línea Y = 0.3X + cst connect-\nnuestros dos potenciales centroides. El modelo predice una lente\nseñal entre la de los datos observados de lente débil de\nfuentes en zs = 1 (Clowe et al, extremo inferior de las barras de error) y\nla lente débil unida y la lente fuerte (zs = 3) datos\n(Bradc et al. parte superior de las barras de error); el desajuste de estos\nEn la actualidad no se han resuelto dos conjuntos de datos.\nque las ecuaciones geodésicas tienen la misma forma que Ein-\nsteiniano en el límite del campo débil: d\nR فارسى −(1 + v\n)RΦ,\ndonde R es el par de coordenadas espaciales perpendiculares\na la velocidad instantánea v; las trayectorias de los rayos de luz\nse desvían dos veces más por la perturbación métrica\n2Φ/c2 como los de partículas de baja velocidad.\nIII. ORBITACIONES DE LOS CULTIVOS DE COLLIDACIÓN\nAhora usamos este potencial para predecir la velocidad relativa\nde los dos grupos. Esto es posible usando el clásico\nargumento de tiempo, en el estilo de Kahn & Wolter (159),\nFich & Tremaine (1991) y Voltonen et al. (1998);\nposponemos los modelos de acción menos rigurosos (Pee-\nbles 1989, Schmoldt & Saha 1998) para más tarde investiga-\nciones, ya que éstas requieren modelar una relación cosmológica\nconcentraciones constantes y otras concentraciones de masa a lo largo del orbital\nla trayectoria de los cúmulos de balas, que tienen problemas técnicos en\ngravedad no newtoniana. Rastreamos las órbitas de los dos\ncentroides de los potenciales de acuerdo con la ecuación de\nmovimiento d\n= (ri). Asignamos diferentes relativas ve-\nvelocidad actual (a z = 0,3), e integrar hacia atrás\nen el tiempo y requieren los dos centroides del potencial ser\njuntos a la vez hace 10 Gyrs. Las mociones son:\nprincipalmente en el plano del cielo, pero permitimos para 600 km/s\ncomponente de velocidad relativa en la línea de visión. Claramente.\nen tiempos más tempranos cuando t es pequeño, los dos centroides son\nbien separados en comparación con sus tamaños, por lo que se mueven en\nel creciente potencial de Keplerian entre sí. En Lat-\nter veces los centroides se acercaron y se mueven en el núcleo\nPotencial isotérmico.\nVamos a considerar modelos con un truncado normal\nrt = C × t = 1000 kpc en el momento t = 10 Gyrs. Nosotros también.\nconsiderar modelos con un truncamiento muy grande C × t =\n10000 kpc. En el lenguaje del MDL, el truncado\nsignifica el radio virial del halo. El presente in-\nvelocidad de escape constante del modelo puede ser com-\npuesto por Vesc =\n−2Φ(X,Y,Z, t). Nos encontramos con Vesc\n4200− 4500 km s−1 en la región central de la zona más profunda\nmodelo potencial con una truncación actual 1000 kpc. Los\nvelocidad de escape aumenta a Vesc 5700 km s−1 para los modelos\ncon una truncación presente de 10000 kpc.\nFig. 3 muestra las órbitas predichas para diferentes presentes\nvelocidades relativas VDM = dr2dt −\nOh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entre los modelos\ncon un truncado normal, encontramos VDM + 2950 km s−1; a\nmodelo con velocidad relativa VDM < 2800 kms\n− 1\npredecir un cruce orbital no físico en alto corrimiento al rojo,\nmientras que los modelos con VDM > 3000 kms\n−1 predeciría\nque los dos centroides potenciales nunca estuvieron cerca en alto\nDesplazamiento al rojo.\nLas velocidades de halo más grandes sólo son posibles en modelos\ncon un truncado muy grande. Si la velocidad relativa es\n4200 km s−1 < VDM < 4750 km s\n−1 entre dos clus-\nter centroides de gravedad, entonces la truncación debe ser tan grande\ncomo 10Mpc en z = 0,3.\nTambién rastreamos la órbita de la bala de gas de rayos X...\ntraide como partícula trazadora en el poten bicéntrico anterior.\nTial. Buscamos órbitas donde la bala de rayos X gas\nestar siempre ligado a un miembro del sistema binario\nya que la presión del ariete en una colisión hidrodinámica es\nes poco probable que sea tan eficiente para expulsar el gas de rayos X fuera de\nPozos potenciales tanto de los grupos principales como de los subgrupos. Esto\nsignifica que la velocidad de la bala no debe exceder en gran medida el\npresente velocidad de escape instantánea del modelo, que es\n4200 - 4500 km s-1 en la región central de la profundidad\npotencial de un modelo con una truncación presente 1000 kpc.\nLa velocidad de escape aumenta a 5700 km s−1 para los modelos\ncon una truncación presente de 10000 kpc. El modelo con\nel truncado normal es marginalmente consistente con el\nVgas a la velocidad del gas servido: 4750+710−550 kms\n−1. El problema\nsería más grave si el potencial se hiciera\nmás superficial por un truncado aún más pequeño. La velocidad del gas\nes menos un problema en los modelos con truncamiento más grande.\nEn resumen, la velocidad actual y los datos de lente son eas-\nier explicado con modelos potenciales de trun muy grandes\ncatión. Los modelos con truncamiento normal tienen más pequeños\npoder gravitacional, sólo puede acelerar el subhalo a\n3000 km s−1 en 10 Gyrs. Modelos con trun CDM normal\ncation sólo puede acelerar la nube de gas de rayos X de la bala a\n4200-4400 km s-1, la velocidad de escape, marginalmente con-\ninsistente con las observaciones.\nLos resultados de simulación anteriores son sensibles al presente\nla separación de los grupos temáticos, pero no es sensible a la actual direc-\nión del vector de velocidad. Efectos no modelados, tales como:\nfricción dinámica asociada a un halo vivo reducirá\nVDM predicho para el mismo potencial, pero el efecto\nes leve ya que la colisión real es breve • 0,1− 0,3Gyrs\ny el factor exp(−M2/2) en las fórmulas de Chandrasekhar\nCurva 1\nCurva 2\nCurva 3\nCurva 4\nCurva 9\nCurva 10\nCurva 11\nV_DM=2850 \nC=100\nC=100\nV_DM=2950 \nC=1000\nV_DM=4200 \nC=1000kpc/Gyr\nV_DM=4750 km/s\n–2000\n–4000 –2000 0 2000 4000\nX kpc\nFIG. 3: La órbita del subcluster de balas de gases de rayos X (rojo,\ncon Vgas actual = 5400 kms\n−1 para los 10 Gyrs en el pasado,\ny rosa: para el futuro 4 Gyrs), y las órbitas de la\nhalo de racimo principal tapado (daños azules) y subahalo (negro)\ndashes) en el potencial (eqs. 8-10) determinado por lente\ndatos; los guiones indican la longitud recorrida en 0,5 Gyrs pasos. No\nPara estos cálculos se necesita una asunción explícita de la gravedad.\nciones. Órbitas con diferente velocidad relativa actual de halo VDM\ny la tasa de crecimiento del halo C se muestran después de un cambio vertical para\nclaridad. El tiempo requiere la velocidad relativa actual del clúster\nentre 2800 kms-1 < VDM < 3000 kms\n−1 para poten-\ntiales de truncación normal (paneles más bajos donde el clúster\nel truncado crece de cero a C × 10Gyr = 1000 kpc), y\n4200 kms−1 < VDM < 4750 kms\n−1 para potenciales con\ntruncado (dos paneles superiores donde el truncado de racimo\ncrece de cero a C × 10 Gyr = 10000 kpc).\nreduce bruscamente la fricción dinámica para un cuerpo supersónico,\ndonde M + 2− 3 es el número Mach de la bala.\nIV. NEWTONIAN Y MONDIAN SIGNIFICACIONES\nDEL MODELO POTENCIAL\nAsumiendo la gravedad newtoniana los modelos con normal\ntruncamiento rt = 1Mpc en t = 10Gyrs corresponden a clus-\nMasas ter (oscuras) de M1 = 0,745 × 1015M® y M2 =\n0,345×1015M®; el truncado más grande rt = 10Mpc corre-\nsponds a M1 = 7,45×1015M® y M2 = 3,45×1015M®\nen Newtonian. Todos estos modelos encajan en la lente.\nInterpretado en la gravedad MONDiana, la truncación\nes debido al efecto de campo externo y el fondo cósmico\nasí que para hacer el potencial de MOND finito por lo tanto escapable\n(Famaey, Bruneton, Zhao 2007). Más allá de la trun...\nradio catiónico, el potencial de MOND se vuelve casi Kep-\nLerian. Los modelos MONDian, insensibles a la\nión, tendría masas solamente M1 = 0,66 × 1015M • y\nM2 = 0,16 × 1015M®. Estas masas son aún más altas.\nque su contenido bariónico 1014M, lo que implica la\nnecesidad, por ejemplo, de neutrinos masivos; densidad de neutrinos\nes demasiado bajo en galaxias para afectar a los ajustes normales de MONDian a\ncurvas de rotación de la galaxia, pero es lo suficientemente alto para doblar la luz\ny orbita significativamente en escala 1Mpc. El neutrino-a-\nración de barión, aproximadamente 7:1 en el grupo de balas,\nSería una suposición razonable para un uni-\nVersículo con materia oscura caliente de 0,04 más 2eV neutrinos\n(Sanders 2003, Pointecoute &\nSilk 2005, Skordis et al. 2006, Angus et al. 2007). Los\ncantidad de materia oscura caliente inferida aquí es la misma que\nAngus et al. (2007) ya que sus posibles parámetros son:\nfijado por los mismos datos de lente.\nV. CONCLUSIÓN\nEn resumen, un conjunto consistente de lentes simples y dinam-\nSe encuentra el modelo ical del cúmulo de balas. El presente\nvelocidades relativas entre las galaxias de los dos cúmulos es pre-\ndictado para ser VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM +\n4500 km s−1 en μHDM (MOND + Materia Oscura Caliente) si\nlos dos racimos nacieron cerca unos de otros 10 Gyrs\nhace; ambos modelos asumen cerca de la relación gas-DM universal\nen racimos, es decir, aproximadamente (0,6 − 1) × 1015M® Caliente o frío\nDM. Modelando el gas de rayos X de la bala como partícula balística,\nencontramos la partícula de gas con velocidad de Vgas = 4200km/s\n(en el extremo inferior de la velocidad observada)\npotencial del subcluster para la mayor parte del Hubble\ntiempo para ambos modelos anteriores, insensibles a la preferencia\nde la ley de la gravedad. Pero si el futuro relativo propio mo-\nLas mediciones de la velocidad de la galaxia del subcluster son como\nalta como VDM = 4500 km/s, o la velocidad del gas es tan alta como\nVgas 5400 km s−1, entonces los modelos newtonianos necesitarían\npara invocar los halos DM de 7×1015M® inverosímiles alrededor de 1014M®\n[20] Angus, G.W. & McGaugh S.D. 2007, astrof/0703xxx\n[20] Angus G.W., Shan H, Zhao H., Famaey B., 2007, ApJ,\n654, L13\n[3] Bekenstein J., 2004, Phys. Rev. D., 70, 3509\n[4] Binney, J., & Tremaine, S. 1987, Dinámica Galáctica,\nPrensa de la Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey, Ch.7\n[5] Bradac M., Clowe D., Gonzalez A.H., et al., 2006,astro-\nph/0608408 (B06)\n[6] Clowe D., Bradac M., González A.H., et al., 2006,astro-\nph/0608407 (C06)\n[20] Farrar G., & Rosen R.A., astro-ph/0610298\n[20] Famaey B., Bruneton J.P., Zhao H.S. 2007, MNRAS, en\nprensa (astro-ph/072275)\n[20] Inga M.S. & Saha P. 1998, ApJ, 115, 2231\n[20] Lin D.N.C. & Lynden-Bell D, 1982, MNRAS, 198, 707\n[20] Markevitch M. 2006, en ESA SP-604: El universo de rayos X\n2005, ed. A.Wlison 723\n[20] Milgrom M. 1994, ApJ, 429, 540\n[20] Kahn, F.D. & Woltjer L. 1959, ApJ, 130, 705\n[20] Peebles P.J.E. 1989, ApJ, 344, L53\n[20] Pointecoute E. & Silk J. 2005, MNRAS, 364, 654\n[20] Skordis, C. et al. 2006, Phys. Rev. Lett, 96, 1301\n[20] Sanders R. 2003, MNRAS, 343, 901\n[20] Taylor A.,N., Bacon D.J., et al. 2004, MNRAS, 353, 1176\n[20] Fich M. & Tremaine S. 1991,ARAA, 29, 409\n[20] Voltonen M.J., Byrd G.G., McCall M., Innanen K.A.\n1993, AJ 105, 886\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Presentamos restricciones semi-analíticas sobre la cantidad de materia oscura en el\nfusionando el cúmulo de galaxias de bala usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local.\nConsideramos órbitas de partículas en modelos potenciales que se ajustan a los datos de lente.\nModelos CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana se encuentran con un\nmasa total M_{CDM} = 1 x 10~15}Sol de DM frío: el subhalo de bala se puede mover\ncon V_{DM}=3000km/s, y el gas de rayos X \"bullet\" se puede mover con\nV_{gas}=4200km/s. Estas son casi las velocidades máximas que son\nacelerable por la gravedad de dos halos truncados del MDL en un tiempo Hubble incluso\nsin la presión del ariete. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de\nlas barras de error para la velocidad del gas de bala (5000-5400km/s), y el gas de bala\nno estaría atado por el halo del sub-cluster por el tiempo del Hubble. Modelos con\nV_{DM 4500km/s ~ V_{gas} invocaría una gran cantidad poco realista M_{CDM}=7x\n10~15}El Sol del MDL para un clúster que contiene sólo ~ 10~14}El Sol del gas. Nuestro\nlos resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de\n$4500\\kms$ se obtiene fácilmente en el modelo relativista de lente MONDian de\nAngus et al. (2007). Sin embargo, modelo MONDian con poca materia oscura caliente\n$M_{HDM} \\le 0.6\\times 10â € 15â € msun$ y modelo CDM con una pequeña masa de halo $\\le\n1\\tiempos 10°15°msun$ son apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"arXiv:0704.0094v1 [astro-ph] 2 Abr 2007\nCalendario y lente de los cúmulos de balas de colisión: apenas el tiempo y la gravedad suficientes\npara acelerar la bala\nHongSheng Zhao\nUniversidad de St Andrews, Scottish University Physics Alliances, KY16 9SS, Reino Unido\nPresentamos restricciones semianalíticas sobre la cantidad de materia oscura en la galaxia de bala fusionada\nclúster usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local. Consideramos que las órbitas de partículas en potencial\nmodelos que se ajusten a los datos de lente. Modelos de CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana son\nencontrado con una masa total MCDM = 1 × 10\nMás de DM Frío: la bala subhalo se puede mover con\nVDM = 3000 kms\n−1, y el gas de rayos X “bullet” puede moverse con Vgas = 4200 kms\n−1. Estos son\ncasi las velocidades máximas que se aceleran por la gravedad de dos halos de CDM truncados en una\nTiempo Hubble incluso sin la presión del carnero. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de\nlas barras de error para la velocidad del gas de bala (5000− 5400 kms−1), y el gas de bala no estaría atado\npor el halo del sub-cluster para el tiempo del Hubble. Modelos con VDM 4500 kms\nVgas invocaría\ngran cantidad poco realista MCDM = 7× 10\nMâs de CDM para un clúster que contenga solamente â € 10\nMás de\nGas. Nuestros resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de 4500 kms-1 es fácil\nobtenido en el modelo de lente relativista MONDian de Angus et al. (2007). Sin embargo, MONDian\nmodelo con materia oscura caliente MHDM ≤ 0,6×10\nModelo Mó y CDM con una masa de halo ≤ 1×10\nson apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.\nNúmeros PACS: 98.10.+z, 98.62.Dm, 95.35.+d; sometidos a la revisión física D, publicaciones rápidas\nI. POTENCIAL DE TIMING\nEl tiempo es una técnica única para establecer el caso para\nhalos de materia oscura, primero y más a través explorado en\nel contexto del grupo local (Kahn & Woljter 1959,\nFich & Tremaine 1991, Peebles 1989, Inga & Saha 1998).\nEn su versión más simple, el Grupo Local consiste en:\nVía Láctea y M31 como dos masas puntuales aisladas, que\nse formaron cerca el uno del otro, se separaron debido al Hub-\nble expansión, y se desaceleró y se movió hacia cada uno\notros hasta su velocidad actual: 120 km s−1 y sepa-\nración (unos 700 kpc) debido a su gravedad mutua. Los\nla edad del universo fija el límite superior en el período de\neste par de galaxias, de ahí la masa total del par a través de\nLa tercera ley de Kepler asume la gravedad newtoniana.\nEl tiempo también encuentra una aplicación oportuna en el par de\nla fusión de cúmulos de galaxias 1E0657-56 en corrimiento al rojo z = 0,3,\nque es en gran parte una gran analogía extra-galáctica de la\nSistema M31-MW. El sub-cluster, llamado la “bulleta”,\nActualmente penetra 400-700 kpc a través de la masa principal.\nter con una velocidad aparente de 4750+710\n−550 kms\n−1 (Marke-\nvitch 2006). El gas de rayos X de la bala (cantidad\n2×1013M®) colisiona con el gas de rayos X del clus principal.\nter (con el gas total de hasta 1014M®) y forma un Mach-3\ncono en frente de la “bulleta”. Los dos grupos tienen en\nmínimo cuatro centros diferentes, que se compensan por 400 kpc\nentre el par de centros de gas de rayos X y por 700 kpc\nentre el par de centros estrella-luz, que coincide\ncon los centros de lente gravitacional y (materia oscura)\ncentros potenciales (Clowe et al. 2006). La penetración\nvelocidad es inusualmente alta, difícil para la cosmología estándar a\nexplicar estadísticamente (Hayashi & White 2006), y modi-\n* Dirección electrónica: hz4@st-andrews.ac.uk\nse ha sugerido la ley de fuerza fied (Farrar & Rosen 2006,\nAngus et al. 2007).\nEl método de tiempo se aplica en la gravedad MONDian\nasí como Newtonian. Al igual que la lente, el tiempo es simplemente un\nmétodo sobre la limitación de la distribución potencial, y es\nsólo indirectamente relacionado con la distribución de la materia. En este\nLetra que modelamos los cúmulos de bala como un par de timadores de masa.\ncentraciones formadas en alto corrimiento al rojo, y establecer restricciones en\nsu fuerza mutua utilizando el simple hecho de que su radial\nperíodo de oscilación debe estar cerca de la edad del universo\na z = 0,3. Comprobamos la consistencia con el lente\nseñal del clúster y dar interpretaciones en términos de\nCDM estándar y MOND.\nPrimero podemos entender la velocidad de la bala.\nmás analíticamente en escenarios simplificados. Aproximación de la\ndos grupos como puntos de masas fijas M1 y M2 en una\nórbita frontal, podemos aplicar el tiempo MW-M31 habitual\nargumentación. La masa total M0 = M1 + M2 es constante.\nEl período orbital radial se calcula a partir de\nT = 2\n∫ rmax\nV r)\n, (1)\nr3max\n, Newtonian p = 2 (2)\n2γrmax\n, profundo-MONDiano, p = 1 (3)\nK−n/2r\nmáx., para una K/r\np gravedad, (4)\ndonde rmax es el apocentro y está relacionado con el presente\nVelocidad relativa V (r) a la separación r = 700 kpc por energía\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0094v1\nconservación\nV r)2\n= −GM0\nNewtonian (5)\n= V 2M (ln rmax − ln r) profundo−MONDian (6)\nr1−p − r1−pmax\nK/(1− p) para una gravedad K/rp,(7)\ndonde VM =\n(GM0a0)\n1/4 es el cir-\nvelocidad angular de dos puntos de masa, a0 es igual a uno\nAngstrom por segundo cuadrado y es el MOND\nescala de aceleración, y el adimensional\n3M1M2\n• 0,81 • 1 (cf. Mil...\ngrom 1994, Zhao 2007, en preparación) para una masa típica\nrelación.\nLas predicciones para la simple grav de newtoniano Keplerian-\nity se dan en la Fig. 1; el caso más sutil para un MON-\nDian cluster se discute en la sección final. Configurando el\nperíodo orbital T = 10Gyrs, la edad del universo en\nel corrimiento al rojo del racimo, los rendimientos actuales V â € 3200 km s−1 en\nNewtoniano para una masa combinada normal de M1 + M2 =\n(0.7− 1)× 1015M® para los clusters, que es aproximadamente 7-10\nveces su contenido de gas bariónico (+ 1014M+) para Newto-\nuniverso nian de = 0,3 materia oscura fría. De acuerdo\ncon Farrar & Rosen y Hayashi & White, el sim-\nel argumento de cronometración sugiere que las velocidades de halo oscuro\nde 4750 km s−1, tan alto como el gas de rayos X\nrequieren halos con masas de oscuridad irrealmente más grandes\nmateria, 1016M, un orden de magnitud más que\nlo que implica una relación baryon-oscuro universal. Como una cordura\ncomprobar, suponiendo un grupo local convencional 3× 1012M®\nmasa de materia oscura Fig.1 predice la velocidad relativa de\n100 km/s para el sistema M31-MW en la separación 700\nkpc después de 14 Gyrs, consistente con la observación (Binney\n& Tremaine 1987).\nEstos argumentos analíticos, aunque sencillos, son\nno es preciso habida cuenta de sus suposiciones de simplificación. Por una vez,\nlos clusters no se forman inmediatamente en el infinito del shift rojo, y\nla masa de racimo y el tamaño podrían crecer con el tiempo gradual-\nlly. Más importante es ese punto masa halo newtoniano\nmodelos están lejos de encajar los datos de lente débil de la\n1E0657-56. Un potencial Newtoniano poco profundo lo hace\naún más difícil acelerar la bala. Por otro lado\nmano, Angus, Shan, Zhao, Famaey (2007) muestran que allí\nson potenciales inspirados en MOND que se adaptan a la lente. Como com-\nEn su conclusión, el mismo potencial es profundo\nlo suficiente como para que un V = 4750 km s−1 “bulleta” esté\nórbita de apocenter rmax de unos pocos Mpc, por lo que los dos clus-\nters podría acelerarse por gravedad mutua a partir de un cero\nvelocidad apocentro a 4750 km/s dentro de la vida de los cúmulos-\nTiempo. Esta línea de pensamiento fue explorada más a fondo por el\nestudio numérico más sistemático de Angus & McGaugh\n(2007).\nNuestro papel es un spin-off de estas obras y las obras\nde Hayashi & White y Farrar & Rosen. Enfatizamos\nla unificación de la perspectiva de tiempo semianalítica\ny la perspectiva de lente, y el objetivo de obtener robusto\nlimitaciones al potencial, sin limitarse a\nVelocidad de las balas de rayos X\nBaryon\n12,5 13 13,5 14 14,5 15\nRegistro (masa combinada)\nFIG. 1: Masa dinámica predicha analíticamente cronológicamente vs.\nvelocidad relativa de dos objetos separados por 700 kpc después de 10±\n4 Giros (tres líneas en orden creciente para aumentar el tiempo)\nAsumiendo el potencial kepleriano de las masas puntuales. Tres verticales\nlas líneas indican la típica masa Halo del Grupo Local, la masa Baryónica\nen cúmulos de galaxias, y las masas de halo más masivas del MDL. Tres\nlíneas horizontales indican la barra de error de la velocidad de la radiografía\nGas “bullet”.\nteoría de la gravedad específica o candidata a materia oscura.\nHacia la finalización de este trabajo, estamos hechos\npor la preimpresión de Springel & Farrar (2007) que el\nbala no observada DM halo podría estar moviéndose más lento que\nse observó gas de rayos X despojado. Estos autores, también\ncomo preimpresión de Milosovic et al. (2007), destacó el\nefecto de la presión hidrodinámica, que no vamos a ser\ncapaz de modelar aquí de forma realista. Pero para abordar la velocidad\ndiferencias, en lugar de tratar el gas de rayos X como un ”bullestic\npartícula”. Argumentamos que nuestra hipotética parte balística...\ndebe moverse lo suficientemente lento como para estar atado a las proximidades de la\nsubhalo antes de la colisión, pero se mueve un poco más rápido\nmás de 4700\n−550 kms\nahora, ya que no experimenta\nla presión del gas. Este modelo sigue el espíritu\nde los modelos clásicos de tiempo de la separación de la Gran\ny pequeñas nubes de Magallanes y la corriente de Magallanes\n(Lin & Lynden-Bell 1982).\nII. 3D POTENCIAL DE LA PRESTACIÓN\nEl mapa de cizallamiento de lente débil de Clowe et al. (2006)\nha sido equipado por Angus et al. (2007) utilizando un cuatro-\npotencial analítico componente cada uno es esférico, pero\nen diferentes centros. Para nuestro propósito redistribuimos la\ncomponentes menores y simplificar el potencial en dos\ncomponentes centrados en el centroide móvil de la galaxia\nluz del clúster principal con la actual coordi espacial\nnates r1(t) = (−564,−176, 0) galaxia kpc y subcluster\ncentroide r2(t) = (145, 0, 0) kpc; el origen de las coordenadas es\nestablecido en el punto más brillante actual de la “boleta” de rayos X\ngas; actualmente el cúmulo está en z = 0,3 o tiempo cósmico\nt = 10Gyrs. También aplicamos un truncamiento Keplerian a la\npotencial más allá del radio de truncación rt. Así que el siguiente...\nSe adopta el potencial 3D para el grupo 1E0657-56 en\ntiempo t,\nΦ(X,Y, Z, t) = (1800 km s−1)2 (r− r1) (8)\n+ (1270 km s−1)2 (r− r2),\n* (r − ri(t)) = ln\nr − ri(t)\n180 kpc\n+ cst, r < rt(9)\n= − r\nr− ri(t)\n, r ≥ rt(t) = C × t,(10)\ndonde r?t? r\n+1802\nes garantizar un continuo y suave\ntransición del potencial a través del radio de truncación rt.\nEl rt de truncamiento evoluciona con el tiempo, ya que un pre-cluster\nregión se derrumba gradualmente después del big bang, y su\nlímite y masa total crece con el tiempo hasta que alcanza\nel tamaño de un clúster. En interés de la simplicidad más bien\nque rigor, utilizamos un modelo lineal rt = C × t, donde C\nes una constante de la unidad kpc/Gyr.\nPara comprobar que el potencial simplificado sigue siendo consis-\ntienda con datos de lente débil, recomputamos el débil 3D\nconvergencia de lente (Taylor et al. 2004) para las fuentes en\ndistancia D(0, zs) en el shift rojo zs,\n(X,Y, zs) =\ni=X,Y\n∫ D(0,zs)\n2D(z, zs)\n(ΦiΦ)dZ\ndonde las integraciones en backets cuadrados son la deflec-\nángulos de tion para una fuente en zs, y el lente usrual\ndistancia efectiva está relacionada con las distancias de movimiento\npor D(z, zs) = (1 + z)\n−1Dś(z)\n1 - Dś(z)\nD(zs)\n= 587 Mpc es\npara el grupo de balas z = 0,3 fuentes de lente en zs = 1;\nla distancia aumenta en un factor 1.3 a 1.6 para la fuente\nRedshifts de 3 a infinito. En la figura 2 se muestra la predicción\na lo largo de la línea que une los dos centros oscuros; el resultado\nes insensible al radio de truncación del racimo siempre y cuando\nrt ≥ 1000kpc actualmente. El modelo de lente predice un\nseñal entre la de los datos de lente débil de Clowe\net al., y datos de lente fuerte de Bradac et al. Lo es.\nse sabe que estos dos conjuntos de datos son algo discrepantes\nel uno al otro. Así que el ajuste aquí es razonable. El método\nes la deproyección es esencialmente similar a la decomposi-\nmétodo de tion de Bradac et al. cuya suposición explícita\nde la gravedad Einsteiniana es, sin embargo, innecesario.\nLo importante aquí es que en cuanto a deproject-\nEn cuanto a las posibilidades mencionadas anteriormente, ninguna suposición es la siguiente:\nnecesaria en la teoría de la gravedad, siempre y cuando los rayos de luz fol-\ngeodésicos bajos, una característica construida en la mayoría de la grav-\nity teoría. Del mismo modo, las órbitas de las partículas masivas son también\n(diferente) geodésicos en estas teorías. El significado de\npotencial en tales teorías es que el potencial (escalado por\na factor 2/c2) representa perturbaciones métricas en el plano\nespacio-tiempo, especialmente al g00(cdt)\n2 = −(1+ 2Φ\n)cdt)2\ntérmino, por lo que el Christoffel i00 XiΦ, se puede mostrar\n–1200 –1000 –800 –600 –400 –200 0 200 400\nX/kpc\nFIG. 2: Convergencia prevista de los racimos de balas (reescalada para\nfuentes en el infinito) a lo largo de la línea Y = 0.3X + cst connect-\nnuestros dos potenciales centroides. El modelo predice una lente\nseñal entre la de los datos observados de lente débil de\nfuentes en zs = 1 (Clowe et al, extremo inferior de las barras de error) y\nla lente débil unida y la lente fuerte (zs = 3) datos\n(Bradc et al. parte superior de las barras de error); el desajuste de estos\nEn la actualidad no se han resuelto dos conjuntos de datos.\nque las ecuaciones geodésicas tienen la misma forma que Ein-\nsteiniano en el límite del campo débil: d\nR فارسى −(1 + v\n)RΦ,\ndonde R es el par de coordenadas espaciales perpendiculares\na la velocidad instantánea v; las trayectorias de los rayos de luz\nse desvían dos veces más por la perturbación métrica\n2Φ/c2 como los de partículas de baja velocidad.\nIII. ORBITACIONES DE LOS CULTIVOS DE COLLIDACIÓN\nAhora usamos este potencial para predecir la velocidad relativa\nde los dos grupos. Esto es posible usando el clásico\nargumento de tiempo, en el estilo de Kahn & Wolter (159),\nFich & Tremaine (1991) y Voltonen et al. (1998);\nposponemos los modelos de acción menos rigurosos (Pee-\nbles 1989, Schmoldt & Saha 1998) para más tarde investiga-\nciones, ya que éstas requieren modelar una relación cosmológica\nconcentraciones constantes y otras concentraciones de masa a lo largo del orbital\nla trayectoria de los cúmulos de balas, que tienen problemas técnicos en\ngravedad no newtoniana. Rastreamos las órbitas de los dos\ncentroides de los potenciales de acuerdo con la ecuación de\nmovimiento d\n= (ri). Asignamos diferentes relativas ve-\nvelocidad actual (a z = 0,3), e integrar hacia atrás\nen el tiempo y requieren los dos centroides del potencial ser\njuntos a la vez hace 10 Gyrs. Las mociones son:\nprincipalmente en el plano del cielo, pero permitimos para 600 km/s\ncomponente de velocidad relativa en la línea de visión. Claramente.\nen tiempos más tempranos cuando t es pequeño, los dos centroides son\nbien separados en comparación con sus tamaños, por lo que se mueven en\nel creciente potencial de Keplerian entre sí. En Lat-\nter veces los centroides se acercaron y se mueven en el núcleo\nPotencial isotérmico.\nVamos a considerar modelos con un truncado normal\nrt = C × t = 1000 kpc en el momento t = 10 Gyrs. Nosotros también.\nconsiderar modelos con un truncamiento muy grande C × t =\n10000 kpc. En el lenguaje del MDL, el truncado\nsignifica el radio virial del halo. El presente in-\nvelocidad de escape constante del modelo puede ser com-\npuesto por Vesc =\n−2Φ(X,Y,Z, t). Nos encontramos con Vesc\n4200− 4500 km s−1 en la región central de la zona más profunda\nmodelo potencial con una truncación actual 1000 kpc. Los\nvelocidad de escape aumenta a Vesc 5700 km s−1 para los modelos\ncon una truncación presente de 10000 kpc.\nFig. 3 muestra las órbitas predichas para diferentes presentes\nvelocidades relativas VDM = dr2dt −\nOh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entre los modelos\ncon un truncado normal, encontramos VDM + 2950 km s−1; a\nmodelo con velocidad relativa VDM < 2800 kms\n− 1\npredecir un cruce orbital no físico en alto corrimiento al rojo,\nmientras que los modelos con VDM > 3000 kms\n−1 predeciría\nque los dos centroides potenciales nunca estuvieron cerca en alto\nDesplazamiento al rojo.\nLas velocidades de halo más grandes sólo son posibles en modelos\ncon un truncado muy grande. Si la velocidad relativa es\n4200 km s−1 < VDM < 4750 km s\n−1 entre dos clus-\nter centroides de gravedad, entonces la truncación debe ser tan grande\ncomo 10Mpc en z = 0,3.\nTambién rastreamos la órbita de la bala de gas de rayos X...\ntraide como partícula trazadora en el poten bicéntrico anterior.\nTial. Buscamos órbitas donde la bala de rayos X gas\nestar siempre ligado a un miembro del sistema binario\nya que la presión del ariete en una colisión hidrodinámica es\nes poco probable que sea tan eficiente para expulsar el gas de rayos X fuera de\nPozos potenciales tanto de los grupos principales como de los subgrupos. Esto\nsignifica que la velocidad de la bala no debe exceder en gran medida el\npresente velocidad de escape instantánea del modelo, que es\n4200 - 4500 km s-1 en la región central de la profundidad\npotencial de un modelo con una truncación presente 1000 kpc.\nLa velocidad de escape aumenta a 5700 km s−1 para los modelos\ncon una truncación presente de 10000 kpc. El modelo con\nel truncado normal es marginalmente consistente con el\nVgas a la velocidad del gas servido: 4750+710−550 kms\n−1. El problema\nsería más grave si el potencial se hiciera\nmás superficial por un truncado aún más pequeño. La velocidad del gas\nes menos un problema en los modelos con truncamiento más grande.\nEn resumen, la velocidad actual y los datos de lente son eas-\nier explicado con modelos potenciales de trun muy grandes\ncatión. Los modelos con truncamiento normal tienen más pequeños\npoder gravitacional, sólo puede acelerar el subhalo a\n3000 km s−1 en 10 Gyrs. Modelos con trun CDM normal\ncation sólo puede acelerar la nube de gas de rayos X de la bala a\n4200-4400 km s-1, la velocidad de escape, marginalmente con-\ninsistente con las observaciones.\nLos resultados de simulación anteriores son sensibles al presente\nla separación de los grupos temáticos, pero no es sensible a la actual direc-\nión del vector de velocidad. Efectos no modelados, tales como:\nfricción dinámica asociada a un halo vivo reducirá\nVDM predicho para el mismo potencial, pero el efecto\nes leve ya que la colisión real es breve • 0,1− 0,3Gyrs\ny el factor exp(−M2/2) en las fórmulas de Chandrasekhar\nCurva 1\nCurva 2\nCurva 3\nCurva 4\nCurva 9\nCurva 10\nCurva 11\nV_DM=2850 \nC=100\nC=100\nV_DM=2950 \nC=1000\nV_DM=4200 \nC=1000kpc/Gyr\nV_DM=4750 km/s\n–2000\n–4000 –2000 0 2000 4000\nX kpc\nFIG. 3: La órbita del subcluster de balas de gases de rayos X (rojo,\ncon Vgas actual = 5400 kms\n−1 para los 10 Gyrs en el pasado,\ny rosa: para el futuro 4 Gyrs), y las órbitas de la\nhalo de racimo principal tapado (daños azules) y subahalo (negro)\ndashes) en el potencial (eqs. 8-10) determinado por lente\ndatos; los guiones indican la longitud recorrida en 0,5 Gyrs pasos. No\nPara estos cálculos se necesita una asunción explícita de la gravedad.\nciones. Órbitas con diferente velocidad relativa actual de halo VDM\ny la tasa de crecimiento del halo C se muestran después de un cambio vertical para\nclaridad. El tiempo requiere la velocidad relativa actual del clúster\nentre 2800 kms-1 < VDM < 3000 kms\n−1 para poten-\ntiales de truncación normal (paneles más bajos donde el clúster\nel truncado crece de cero a C × 10Gyr = 1000 kpc), y\n4200 kms−1 < VDM < 4750 kms\n−1 para potenciales con\ntruncado (dos paneles superiores donde el truncado de racimo\ncrece de cero a C × 10 Gyr = 10000 kpc).\nreduce bruscamente la fricción dinámica para un cuerpo supersónico,\ndonde M + 2− 3 es el número Mach de la bala.\nIV. NEWTONIAN Y MONDIAN SIGNIFICACIONES\nDEL MODELO POTENCIAL\nAsumiendo la gravedad newtoniana los modelos con normal\ntruncamiento rt = 1Mpc en t = 10Gyrs corresponden a clus-\nMasas ter (oscuras) de M1 = 0,745 × 1015M® y M2 =\n0,345×1015M®; el truncado más grande rt = 10Mpc corre-\nsponds a M1 = 7,45×1015M® y M2 = 3,45×1015M®\nen Newtonian. Todos estos modelos encajan en la lente.\nInterpretado en la gravedad MONDiana, la truncación\nes debido al efecto de campo externo y el fondo cósmico\nasí que para hacer el potencial de MOND finito por lo tanto escapable\n(Famaey, Bruneton, Zhao 2007). Más allá de la trun...\nradio catiónico, el potencial de MOND se vuelve casi Kep-\nLerian. Los modelos MONDian, insensibles a la\nión, tendría masas solamente M1 = 0,66 × 1015M • y\nM2 = 0,16 × 1015M®. Estas masas son aún más altas.\nque su contenido bariónico 1014M, lo que implica la\nnecesidad, por ejemplo, de neutrinos masivos; densidad de neutrinos\nes demasiado bajo en galaxias para afectar a los ajustes normales de MONDian a\ncurvas de rotación de la galaxia, pero es lo suficientemente alto para doblar la luz\ny orbita significativamente en escala 1Mpc. El neutrino-a-\nración de barión, aproximadamente 7:1 en el grupo de balas,\nSería una suposición razonable para un uni-\nVersículo con materia oscura caliente de 0,04 más 2eV neutrinos\n(Sanders 2003, Pointecoute &\nSilk 2005, Skordis et al. 2006, Angus et al. 2007). Los\ncantidad de materia oscura caliente inferida aquí es la misma que\nAngus et al. (2007) ya que sus posibles parámetros son:\nfijado por los mismos datos de lente.\nV. CONCLUSIÓN\nEn resumen, un conjunto consistente de lentes simples y dinam-\nSe encuentra el modelo ical del cúmulo de balas. El presente\nvelocidades relativas entre las galaxias de los dos cúmulos es pre-\ndictado para ser VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM +\n4500 km s−1 en μHDM (MOND + Materia Oscura Caliente) si\nlos dos racimos nacieron cerca unos de otros 10 Gyrs\nhace; ambos modelos asumen cerca de la relación gas-DM universal\nen racimos, es decir, aproximadamente (0,6 − 1) × 1015M® Caliente o frío\nDM. Modelando el gas de rayos X de la bala como partícula balística,\nencontramos la partícula de gas con velocidad de Vgas = 4200km/s\n(en el extremo inferior de la velocidad observada)\npotencial del subcluster para la mayor parte del Hubble\ntiempo para ambos modelos anteriores, insensibles a la preferencia\nde la ley de la gravedad. Pero si el futuro relativo propio mo-\nLas mediciones de la velocidad de la galaxia del subcluster son como\nalta como VDM = 4500 km/s, o la velocidad del gas es tan alta como\nVgas 5400 km s−1, entonces los modelos newtonianos necesitarían\npara invocar los halos DM de 7×1015M® inverosímiles alrededor de 1014M®\n[20] Angus, G.W. & McGaugh S.D. 2007, astrof/0703xxx\n[20] Angus G.W., Shan H, Zhao H., Famaey B., 2007, ApJ,\n654, L13\n[3] Bekenstein J., 2004, Phys. Rev. D., 70, 3509\n[4] Binney, J., & Tremaine, S. 1987, Dinámica Galáctica,\nPrensa de la Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey, Ch.7\n[5] Bradac M., Clowe D., Gonzalez A.H., et al., 2006,astro-\nph/0608408 (B06)\n[6] Clowe D., Bradac M., González A.H., et al., 2006,astro-\nph/0608407 (C06)\n[20] Farrar G., & Rosen R.A., astro-ph/0610298\n[20] Famaey B., Bruneton J.P., Zhao H.S. 2007, MNRAS, en\nprensa (astro-ph/072275)\n[20] Inga M.S. & Saha P. 1998, ApJ, 115, 2231\n[20] Lin D.N.C. & Lynden-Bell D, 1982, MNRAS, 198, 707\n[20] Markevitch M. 2006, en ESA SP-604: El universo de rayos X\n2005, ed. A.Wlison 723\n[20] Milgrom M. 1994, ApJ, 429, 540\n[20] Kahn, F.D. & Woltjer L. 1959, ApJ, 130, 705\n[20] Peebles P.J.E. 1989, ApJ, 344, L53\n[20] Pointecoute E. & Silk J. 2005, MNRAS, 364, 654\n[20] Skordis, C. et al. 2006, Phys. Rev. Lett, 96, 1301\n[20] Sanders R. 2003, MNRAS, 343, 901\n[20] Taylor A.,N., Bacon D.J., et al. 2004, MNRAS, 353, 1176\n[20] Fich M. & Tremaine S. 1991,ARAA, 29, 409\n[20] Voltonen M.J., Byrd G.G., McCall M., Innanen K.A.\n1993, AJ 105, 886\n"}}},{"rowIdx":88,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0095,"string":"704.0095"},"title":{"kind":"string","value":"Geometry of Locally Compact Groups of Polynomial Growth and Shape of\n Large Balls"},"full_text":{"kind":"string","value":"GEOMETRÍA DE LOS GRUPOS DE\nCRECIMIENTO POLINOMIAL Y FORMA DE BALLAS GRANDES.\nEMMANUEL BREUILLARD\nResumen. Demostramos que cualquier grupo G localmente compacto con crecimiento polinomio\nes débilmente commensurable a algunos simplemente conectado grupo de Lie solvable S, el\nLa sombra de la mentira de G. Luego estudiamos la forma de las bolas grandes y mostrar, generaliz-\ntrabajo de P. Pansu, que después de una adecuada renormalización, convergen a\nun conjunto compacto limitador, que es isométrico a la bola de la unidad para un invariante izquierdo\nmétrica subFinsler en la llamada nilshadow graduada de S. Como subproductos, nosotros\nobtener asintóticos para el volumen de bolas grandes, demostramos que las bolas son Folner\ny por lo tanto que el teorema ergódico tiene para todos los promedios de la bola. A lo largo del camino\nTambién respondemos negativamente a una pregunta de Burago y Margulis [7] sobre la asintótica\nmétricas de palabras y recuperar algunos resultados de Stoll [33] de la racionalidad del crecimiento\nserie de grupos de Heisenberg.\nSumario\n1. INTRODUCCIÓN 1\n2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie 12\n3. El nilshadow 19\n4. métricas periódicas 23\n5. Reducción al caso de nilpotente 27\n6. El caso de los nilpotentes 31\n7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados 39\n8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia 47\n9. Apéndice: los grupos Heisenberg 52\nReferencias 55\n1. Introducción\n1.1. Grupos con crecimiento polinomio. Dejar G ser un grupo localmente compacto con\nizquierda Haar medida volG. Asumiremos que G es generada por un sim-\nmétrica subconjunto. Clásicamente, G se dice que tiene crecimiento polinomio si existe\nC > 0 y k > 0 de tal manera que para cualquier entero n ≥ 1\nvolG(\nn) ≤ C · nk,\nFecha: abril de 2012.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0095v2\n2 EMMANUEL BREUILLARD\ndonde n = . · Es el conjunto de productos n-fold. Otra opción sólo sería\ncambiar la constante C, pero no la naturaleza polinómica del atado. Uno de los\nlas consecuencias del análisis realizado en este trabajo es el siguiente teorema:\nTeorema 1.1 (Volumen asintótico). Let G ser un grupo localmente compacto con poli-\ncrecimiento nominal y un subconjunto de generación simétrica compacta de G. Luego hay\nexiste c() > 0 y un entero d(G) ≥ 0 dependiendo de G solamente de tal manera que la\nen espera de lo siguiente:\nvolG(\nnd(G)\n= c(l)\nEsto extiende el resultado principal de Pansu [27]. El entero d(G) coincide con\nel exponente de crecimiento de un grupo de Lie nilpotente calificado naturalmente asociado, el\ncono asintótico de G, y se da por la fórmula Bass-Guivarc'h (4) a continuación.\nLa constante c(l) se interpretará como el volumen de la bola de unidad de un sub-\nmétrica de Riemannian Finsler en este grupo de mentiras nilpotentes. Teorema 1.1 es un by-\nproducto de nuestro estudio del comportamiento asintótico de pseudodistancias periódicas en G,\nque son pseudodistancias que son invariantes bajo un subgrupo cocompacto de G y\nsatisfacer un tipo débil de la existencia de axioma geodésico (véase la definición 4.1).\nNuestra primera tarea es obtener una mejor comprensión de la estructura de local compacto\ngrupos de crecimiento polinomio. Guivarc’h [21] demostró que los grupos compactos locales\nde crecimiento polinomio son amenizables y unimodular y que cada compactamente\nGenerado1 subgrupo cerrado también tiene crecimiento polinomio.\nGuivarc’h [21] y Jenkins [15] también caracterizaron grupos de Lie conectados con\ncrecimiento polinomio: un grupo de Lie conectado tiene crecimiento polinomio si y sólo si\nes de tipo (R), es decir, si para todos x • Lie(S), ad(x) sólo tiene puramente imaginario\nvalores propios. Estos grupos son solvable-por-compacto y cualquier nilpotente conectado\nEl grupo de mentiras es de tipo (R).\nEs mucho más difícil caracterizar grupos discretos con crecimiento polinomio,\ny esto se hizo en un célebre periódico de Gromov [17], demostrando que son\nPrácticamente nilpotente. Losert [24] generalizó el método de prueba de Gromov y mostró\nque se aplicó con poca modificación a los grupos arbitrarios localmente compactos con\ncrecimiento polinomio. En particular, mostró que contienen un compacto normal\nsubgrupo módulo que el cociente es un (no necesariamente conectado) grupo de mentira.\nDemostraremos el siguiente refinamiento.\nTeorema 1.2 (Sombra de mentira). Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio\ncrecimiento. Entonces existe un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado S\nde tipo (R), que es débilmente commensurable a G. Llamamos a tal grupo de la Mentira una Mentira\nsombra de G.\nSe dice que dos grupos compactos locales son débilmente comparables si, hasta\nmodificando por un núcleo compacto, tienen un subgrupo de cocompacto cerrado común.\nMás precisamente, demostraremos que, para algunos subgrupos compactos normalesK, G/K tiene\n1De hecho, de la teoría de la estructura Gromov-Losert se deduce que cada subgrupo cerrado es\ngenerado de forma compacta.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 3\nun subgrupo de cocompacto H/K que puede ser integrado como un cerrado y cocompacto\nsubgrupo de un grupo de Lie solvable S conectado y simplemente conectado de tipo (R).\nDebemos ser conscientes de que ser débilmente commensurable no es una equivalencia\nrelación entre grupos localmente compactos (a diferencia de los grupos finitos).\nAdemás, la sombra de Lie S no es única hasta el isomorfismo (e.g. Z3 es un\nco-compacto celosía en tanto R3 y la cubierta universal del grupo de movimientos de\nel avión).\nNo podemos sustituir la palabra solvable por la palabra nilpotente en el teo-\nrem. Referimos al lector al Ejemplo 7.9 para un ejemplo de un solvable conectado\nGrupo de mentiras de tipo (R) sin subgrupos normales compactos, que no admite co-\nsubgrupo compacto de nilpotente. De hecho, esto es típico de los grupos de Lie de tipo (R). Así que\nen el caso general localmente compacto (o sólo el caso de Lie) grupos de polinomio\ncrecimiento puede ser genuinamente no nilpotent, a diferencia de lo que sucede en el caso discreto.\nHay diferencias importantes entre el caso discreto y el caso general.\nPor ejemplo, demostraremos que no se puede esperar una tasa de convergencia en Teorema.\n1.1 cuando G es solvable no nilpotente, mientras que alguna tasa de polinomio siempre se mantiene en\nel caso discreto nilpotente [9].\nTeorema 1.2 nos permitirá reducir la mayoría de las preguntas geométricas sobre localmente\ngrupos compactos de crecimiento polinomio, y en particular la prueba de Teorema\n1.1, al caso de grupo Lie conectado. Observe también que Teorema 1.2 subsume\nTeorema de Gromov sobre el crecimiento polinomio, porque no es difícil ver que un\nretícula cocompacta en un grupo de Lie solvable de crecimiento polinomio debe ser virtualmente\nnilpotente (véase la Observación 7.8). Por supuesto, en la prueba que hacemos uso de Gromov’s\nteorema, en su forma generalizada para grupos localmente compactos debido a Losert. El resto\nde la prueba combina las ideas de Y. Guivarc’h, D. Mostow y una integración crucial\nTeorema de H.C. Wang. Se da en el párrafo 7.1 y es en gran medida independiente de\nel resto del periódico.\n1.2. Formas asintóticas. La parte principal del documento está dedicada al asymp-\ncomportamiento tótico de pseudodistancias periódicas en G. Referimos al lector a la definición\n4.1 para la definición precisa de este término, basta con decir ahora que es una clase de\npseudodistancias que contiene tanto métricas de palabra invariantes a la izquierda en G y geodésica\nmétricas en G que son invariantes a la izquierda en el subgrupo de cocompacto de G.\nTeorema 1.2 nos permite asumir que G es un subgrupo cocompacto de un simple\nel grupo S de Solvable Lie conectado, y en lugar de ver pseudodistancias en G,\nvamos a ver pseudodistancias en S que son invariantes de izquierda bajo un co-compacto\nSubgrupo H. Una consecuencia directa más precisa del Teorema 1.2 es la siguiente:\nProposición 1.3. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y \nuna métrica periódica sobre G. Entonces (G,?) es (1, C)-cuasi-isométrico a (S,?S) para algunos\nfinito C > 0, donde S es un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado de\ntipo (R) y ♥S alguna métrica periódica en S.\nRecuerde que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) se llaman (1, C)-cuasi-isométrico\nsi existe un mapa : X → Y de tal manera que cualquier y Y está a la distancia a lo sumo C\nde algún elemento en la imagen de ♥ y si dY (\n′)) − dX(x, x\n′) ≤ C para\ntodos x, x′ â € ¢ X.\n4 EMMANUEL BREUILLARD\nEn el caso cuando S es Rd y H es Zd, es un ejercicio simple para demostrar que cualquier\npseudodistancia periódica es asintótica a una norma en Rd, es decir. (e, x)/ (x) → 1\nx → #, donde # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(e, nx) es una norma bien definida en Rd. Burago en [6]\nmostró un resultado mucho más fino, a saber, que si \nestá limitado cuando x rangos sobre Rd.Cuando S es un grupo de mentira nilpotente y H una celosía\nen S, entonces Pansu demostró en su tesis [27], que un resultado similar sostiene, a saber:\n(e, x)/ x → 1 para algunos (único sólo después de la elección de un grupo de un parámetro de\ndilaciones) homogéneo cuasi-norma x en el grupo de la mentira nilpotente. Sin embargo, nosotros\nmostrar en la sección 8, que no es cierto en general que?(e, x) − x permanece limitada,\nincluso para grupos nilpotentes finitamente generados, respondiendo así a una pregunta de Burago\n(véase también Gromov [20]). Nuestro propósito principal aquí será extender el resultado de Pansu\na grupos de Lie solvables de crecimiento polinomio.\nComo fue notado por primera vez por Guivarc’h en su tesis [21], cuando se trata de geométrico\npropiedades de grupos de Lie solvable, es útil considerar la llamada nilshadow de\nel grupo, una construcción introducida por primera vez por Auslander y Green en [2]. Accord-\na esta construcción, es posible modificar el producto Lie sobre S en un\nmanera, por así decirlo quitando la parte semisimple de la acción en el nilradical,\ncon el fin de convertir S en un grupo nilpotent Lie, su nilshadow SN. Las dos mentiras\nlos grupos tienen el mismo colector subyacente, que es diffeomorphic a Rn, sólo un\ndiferente producto de mentira. También comparten la misma medida de Haar. Este “semisimple\nparte” es un subgrupo relativamente compacto conmutativo T (S) de automorfismos de S,\nimagen de S bajo un homomorfismo T : S → Aut(S). El nuevo producto g * h es\ndefinido de la siguiente manera retorciendo el antiguo g · h por medio de T (S),\n(1) g ∗ h := g · T (g−1)h\nLos dos grupos S y SN son fácilmente vistos como cuasi-isométricos, y es por eso que cualquier\ngrupo localmente compacto de crecimiento polinomio G es cuasi-isométrico a algunos nilpotente\nGrupo de mentiras. En particular, sus conos asintóticos son bi-Lipschitz. La asintótica\ncono de un grupo de mentira nilpotente es un cierto grupo de mentira nilpotente calificado asociado\ndotado de una distancia geodésica invariante izquierda (o grupo Carnot). Los clasificados\ngrupo asociado a SN se llamará el nilshadow grado de S. Sección 3 será\ndedicada a la construcción y las propiedades básicas de la nilshadow y su clasificación\ngrupo.\nEn este artículo, estamos tratando con una relación más fina que la cuasi-isometría. Lo haremos.\nestar interesado en cuando dos distancias invariantes izquierdas (o periódicas) son asintóticas2\n(en el sentido de que\nd1(e,g)\nd2(e,g)\n→ 1 cuando g → فارسى). En particular, por cada localidad\ngrupo compacto G con crecimiento polinomio, identificaremos su cono asintótico\nhasta isometría y no sólo hasta cuasi-isometría o equivalencia bi-Lipschitz (véase\nCorollary 1.9 infra). Uno de nuestros principales resultados es el siguiente:\n2Sin embargo, una relación de equivalencia más fina es (1, C)-cuasi-isometría, es decir. estar a una distancia limitada en\nmétrica Gromov-Hausdorff; clasificar métricas periódicas hasta este tipo de equivalencia es mucho\nMás fuerte.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 5\nTeorema 1.4 (Teorema principal). Deja que S sea un grupo de Lie solvable simplemente conectado\ncon crecimiento polinomio. Que se haga una pseudodistancia periódica en S, que está en...\nvariante bajo un subgrupo de cocompacto H de S (véase Def. 4.1). En el múltiple S,\nuno puede poner una nueva estructura de grupo de Lie, que convierte S en una mentira nilpotente estratificada\ngrupo, el nilshadow graduado de S, y un subFinsler métrica d(x, y) en S que es\nizquierda-invariante para esta nueva estructura de grupo tal que\n(e, g)\nd-(e, g)\ncomo g → en S. Por otra parte, cada automorfismo en T (H) es una isometría de d.\nEl lector que desee ver una simple ilustración de este teorema puede ir directamente\na la subsección 8.1, donde hemos tratado en detalle un ejemplo específico de\nmétrica sobre la cobertura universal de los grupos de movimientos del plano.\nLa nueva estructura estratificada de grupo de nilpotent Lie en S dada por el grado\nnilshadow viene con una familia de un parámetro de las llamadas dilaciones homogéneas\nt}t>0. También viene con un grupo adicional de automorfismos, a saber, la imagen\nde H bajo el homomorfismo T. Esto produce automorfismos de S para ambos el\nestructura de grupo original en S y la nueva estructura de grupo nilshadow graduada.\nPor otra parte las dilaciones t}t>0 son automorfismos de la nilshadow grado y\nse desplazan con T (H).\nUna métrica subFinsler es una distancia geodésica que se define exactamente como subRie-\nse definen las métricas de manian (o Carnot-Carateodory) en los grupos Carnot (véase, por ejemplo,\n[25]), excepto que la norma utilizada para calcular la longitud de las trayectorias horizontales no es\nnecesariamente una norma euclidiana. Remitimos al lector a la sección 2.1 para obtener información precisa.\ndefinición.\nEn Teorema 1.4, la métrica subFinsler de d.o.o. se deja invariante para la nueva Lie struc-\nen S y también es invariante bajo todos los automorfismos en T (H) (estos\nun grupo conmutativo relativamente compacto de automorfismos). Por otra parte satisface\nla siguiente ley de escala agradable:\nd-() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( > () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()\nLa prueba de Teorema 1.4 se divide en dos pasos importantes. La primera es una reducción.\nal caso de nilpotente y se realiza en la sección 5. Usando un doble promedio\nde la pseudodistancia sobre K := T (H) y S/H, construimos un asso-\nciated pseudodistancia, que es periódica para la estructura de nilshadow en S (es decir.\nizquierda-invariante por un subgrupo de cocompacto para esta estructura), y demostramos que\nes asintótico al original. Esto reduce el problema a grupos de mentiras nilpotentes.\nLa clave de esta reducción es la siguiente observación crucial:\ntomorfismos de S inducen sólo una distorsión sublineal, obligando a la métrica a ser\nasintóticamente invariante bajo T (H). El segundo paso de la prueba supone que\nS es nilpotente. Esta parte se trata en la sección 6 y es esencialmente una reforma.\nsión de los argumentos utilizados por Pansu en [27].\n6 EMMANUEL BREUILLARD\nIncidentemente, destacamos el hecho de que la generalidad en la que se trata la Sección 6\n(es decir, Para general geodésico groseramente, e incluso asintóticamente geodésico periódico met-\nrics) es necesario para demostrar incluso el caso más básico (es decir, métricas de palabras) de Teorema\n1.4 para grupos solvables no nilopotentes. Así que incluso si sólo estábamos interesados en el\nasintóticos de métricas de palabras invariantes izquierdas en un grupo de Lie solvable de polinomios\ncrecimiento S, todavía necesitaríamos entender las asintóticas de arbitraria groseramente\ngeodésico izquierda invariantes distancias (y no sólo métricas de la palabra!) sobre la mentira nilpotente\ngrupos. Esto se debe a que la nueva pseudodistancia obtenida por promedio, véase (30),\nya no es una palabra métrica.\nLa métrica subFinsler (e, x) en el teorema anterior es inducida por un cierto\nT (H)-invariante norma en el primer estrato m1 de la nilshadow grado (que\nes T (H)-invariante subespacio complementario del subalgebra conmutador de la\nnilshadow). Esta norma puede describirse de manera más bien explícita de la siguiente manera.\nRecordemos que tenemos3 un mapa canónico η1 : S → m1, que es un grupo homomor-\nphism para las estructuras nilshadow y nilshadow graduadas. Entonces:\n{v) m1, {v} ≤ 1} =\nCvxHull\nη1(h)\n(e, h)\n, h • H\\F\ndonde el lado derecho es la intersección sobre todos los subconjuntos compactos F de S de\nel casco convexo cerrado de los puntos \nLa Figura 1 da una ilustración de la forma límite correspondiente a la palabra\nmétrica en el grupo discreto de 3 dimensiones de Heisenberg con generadores estándar.\nExplicamos en el Apéndice cómo se puede calcular explícitamente la geodesia de la\nmétrica límite y la forma límite en este ejemplo.\nCuando S en sí mismo es nilpotente para empezar y es (en restricción a H) la\nmétrica de palabra asociada a un conjunto de generación compacta simétrica de H (es decir,\n(e, h) := inf{n(n) N;h(n)\nn}), la norma anterior adopta la siguiente forma sencilla:\n(2) {v · m1, ·v ≤ 1} = CvxHull ·1(), · · · · \nPor ejemplo, en el caso especial cuando H es un sin torsión finitamente generado nilpo-\ngrupo de tiendas con set de generación y S es su cierre Malcev, la bola de unidad\nEl poliedro de m1 es un poliedro de m1. Esta fue la descripción de Pansu en\n[27].\nSin embargo cuando S no es nilpotente, y está equipado con una palabra métrica sobre\nun subgrupo de cocompacto, a continuación, la determinación de la forma límite, es decir, el de-\nterminación de la norma límite · en el nilshadow abelianizado, es mucho más\nDifícil. Claramente · es K-invariante y es una simple observación de que la unidad\nla bola para · está siempre contenida en el casco convexo de la K-órbita de \n3El subespacio m1 se puede identificar con el nilshadow abelianizado (o abelianizado graduado\nnilshadow) identificando primero el nilshadow con su álgebra de Lie a través del mapa exponencial y\nentonces proyectando módulo el subalgebra conmutador. El mapa no depende de la elección\nimplicado en la construcción de la nilshadow. Véase también la Observación 3.7.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 7\nSin embargo, la bola de la unidad es típicamente más pequeña que eso (a menos que K-invariante\npara empezar).\nEn general, sería interesante determinar si existe una\ndescripción de la forma límite de una métrica de palabra arbitraria en un grupo de Lie solvable\ncon crecimiento polinomio. Remitimos al lector a la Sección 8 y al párrafo 8.2 para una\nejemplo de una clase de métricas de palabras en la cubierta universal del grupo de movimientos\ndel plano, para el cual fuimos capaces de calcular la forma límite.\nOtro subproducto del Teorema 1.4 es el siguiente resultado.\nCorollario 1.5 (forma asintótica). Deja que S sea una mentira solvable simplemente conectada\ngrupo con crecimiento polinomio y H un subgrupo cocompacto. Vamos a ser un H-\npseudodistancia periódica en S. Luego en la métrica de Hausdorff,\n(Bl(t)) = C,\ndonde C es un T (H)-invariante barrio compacto de la identidad en S, B\nla bola de radio t en S y t}t>0 es un grupo de un parámetro de dilaciones en S\n(equipado con la estructura de nilshadow graduada). Por otra parte, C = {g â € ¬ S, dâ € (e, g) ≤ 1}\nes la bola unitaria de la métrica límite subFinsler de Teorema 1.4.\nPrueba. Por el teorema 1.4, por cada > 0 tenemos Bd(tt) B\nsi t es lo suficientemente grande. Desde el 1 de enero de 1999\n(Bd.(t)) = C, para todos t > 0, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCombinando esto con Teorema 1.2, también obtenemos el siguiente corolario, de los cuales\nTeorema 1.1 es sólo un caso especial con la palabra métrica asociada a la gen-\nJuego de borraduras.\nCorolario 1.6 (Volumen asintótico). Supongamos que G es un grupo localmente compacto\ncon crecimiento polinomio y es una pseudodistancia periódica en G. Let Bl(t) be\nla bola de radio t en G, es decir, (t) = {x â € G, ¬(e, x) ≤ t}, entonces existe un\nconstante c(l) > 0 tal que exista el siguiente límite:\n3) lim\nvolG(Bl(t))\ntd(G)\n= c(l)\nAquí d(G) es el entero d(SN), la llamada dimensión homogénea de la\nNilshadow SN de una sombra de mentira S de G (obtenido por Teorema 1.2), y es dada por\nla fórmula Bass-Guivarc’h:\n(4) d(SN ) =\ndim(Ck(SN ))\ndonde {Ck(SN)}k es la serie central descendente de SN.\nEl límite c(l) es igual al volumen volS(C) de la forma límite C de Corollary\n1.5 una vez que hacemos la elección correcta de la medida de Haar en una sombra de mentira S de G.\nexplicamos esta elección. Recordemos que según Teorema 1.2, G/K admite una co-\nsubgrupo compacto H/K que incorpora cocompactamente en S. A partir de un Haar\nmedida volG en G, obtenemos una medida Haar en G/K después de fijar la medida Haar\nde K para ser de la masa total 1, y entonces podemos elegir una medida de Haar en H / K así\nque el cociente compacto G/H tiene volumen 1. Finalmente elegimos la medida Haar\n8 EMMANUEL BREUILLARD\nGráfico 1 La forma asintótica de las bolas grandes en el gráfico de Cayley\ndel grupo Heisenberg H(Z) = x, y[x, [x, y]] = [y, [x, y]] = 1\nvisto en coordenadas exponenciales.\nen S para que el otro cociente compacto S/(H/K) tenga volumen 1. Esto da la\nmedidas deseadas Haar volS tales que c(l) = volS(C).\nTenga en cuenta que la medida de Haar en S también es invariante en el grupo de automor-\nphisms T (S) y por lo tanto se deja invariante para la estructura de nilshadow en S. Es también\nizquierda invariante para la estructura de nilshadow graduada. En ambas coordenadas exponenciales\ndel primer tipo (en SN ) y del segundo tipo (como en Lemma 3.10), medida Haar\nes sólo la medida de Lebesgue.\nEn el caso del grupo discreto Heisenberg de dimensión 3 equipado con el\nmétrica de palabra dada por los generadores estándar, es posible computar el con-\nstant c(l) y el volumen de la forma límite como se muestra en la Figura 1. En este caso, el\nvolumen es 31\n(véase el apéndice). El grupo 5-dimensional de Heisenberg también puede ser\ntrabajado y el volumen de su forma límite (asociado a la palabra métrica dada\npor generadores estándar) es igual a 2009\n21870\nlog 2\n32805\n. El hecho de que este número es\ntrascendental implica que la serie de crecimiento de este grupo, es decir. el poder formal\nSerie\nn≥0 Bl(n)z\nn no es algebraico en el sentido de que no es una solución de un\necuación polinómica con funciones racionales en C(z) como coeficientes (véase [33, Prop.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 9\n3.3.]). Esto fue observado por Stoll en [33] por medios combinatorios más directos.\nStoll también muestra allí el hecho interesante de que la serie de crecimiento puede ser racional\npara algunas otras opciones de generar conjuntos en el grupo 5-dimensional Heisenberg.\nAsí que la racionalidad de la serie de crecimiento depende del conjunto generador.\nOtra característica interesante es la invarianza asintótica:\nCorollario 1.7 (invarianza asintótica). Deja que S sea un solvable simplemente conectado\nMentira de grupo con crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en S. Let * ser\nel nuevo producto Lie en S dado por la estructura del grupo nilshadow (o el grado\nestructura del grupo de nilshadow). A continuación,?(e, g ∗ x)/?(e, x) → 1 como x → • por cada\ng) S.\nEsto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ es el nilshadow calificado\nel producto, y del teorema 6.2 infra en el caso ∗ es el grupo nilshadow struc-\ntura.\nVale la pena observar que en general no podemos reemplazar ∗ por el ordinario\nproducto en S. De hecho, por ejemplo S = R R2 ser la cubierta universal de la\ngrupo de movimientos del plano euclidiano, entonces S, como su nilshadow R3, admite\nuna celosía Z3. El cociente S/e es diffeomórfico al 3-torus R3/Z3 y\nes fácil encontrar métricas Riemannianas en este toro para que su elevación a R3 no es\ninvariante en rotación alrededor del eje z. De ahí esta métrica, vista en la Mentira\ngrupo S no será asintóticamente invariante bajo la traducción izquierda por elementos de\nS. Sin embargo, si la métrica es izquierda-invariante y no sólo periódica, entonces tenemos\nel siguiente corolario de la prueba del Teorema 1.4.\nCorollario 1.8 (las pseudodistancias izquierdistas son asintóticas a subFinsler met-\nrics). Dejar S ser un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de crecimiento polinomio y \nser una pseudodistancia periódica en S que es invariante bajo todas las traducciones a la izquierda por\nelementos de S (por ejemplo: una métrica geodésica gruesamente invariante a la izquierda en S). Entonces, ahí está.\nes una métrica subFinsler izquierda-invariante d en S que es asintótica a \n(e,g)\nd(e,g)\n→ 1 como g → • •.\nYa hemos mencionado anteriormente que la determinación de la forma límite exacta de una palabra\nmétrica en S es una tarea difícil. En consecuencia, también lo es la tarea de decir cuándo dos\ndistintas métricas de palabras son asintóticas. La declaración anterior dice que en cualquier caso\nCada métrica de palabra en S es asintótica a alguna métrica subFinsler invariante izquierda. Así que\nel conjunto de posibles formas límite no es más rico para las métricas de palabras que para la variable izquierda\nmétricas subFinsler.\nObservamos que en el caso de grupos de mentiras nilpotentes (donde K es trivial), Teorema\n1.4 muestra que cada métrica periódica es asintótica a una métrica invariante izquierda. Lo es.\ntodavía un problema abierto para determinar si cada métrica periódica groseramente geodésica\nestá a una distancia limitada de una métrica invariante izquierda (este es el teorema de Burago en\nn, más sobre ello a continuación).\nLos teoremas 1.2 y 1.4 nos permiten describir el cono asintótico de (G, \npseudodistancia periódica en cualquier grupo localmente compacto con crecimiento polinomio.\n10 EMMANUEL BREUILLARD\nCorolario 1.9 (cono asintótico). Dejar G ser un grupo localmente compacto con polino-\ncrecimiento mial y una pseudodistancia periódica en G. A continuación, la secuencia de\nespacios métricos {(G, 1\nEn la topología de Gromov-Hausdorff converge n ≥ 1. Los\nlímite es el espacio métrico (N, d», e), donde N es un grado simplemente conectado nilpo-\ntienda Mentira de grupo y de una métrica invariante izquierda subFinsler en N. Por otra parte la Mentira\nEl grupo N es (hasta isomorfismo) independiente de El espacio (N, d.o.p.) es isométrico.\na “el cono asintótico” asociado a (G, Este cono asintótico es independiente\nde la elección del ultrafiltro utilizado para definirlo.\nEste corolario es una generalización del teorema de Pansu (10) en [27]. Nos referimos a\nel lector del libro [18] para las definiciones del cono asintótico y el\nConvergencia Gromov-Hausdorff. Debatimos en la sección 8 la velocidad de convergencia\n(en la métrica Gromov-Hausdorff) en este teorema y sus corolarios sobre volumen\ncrecimiento. En particular, hay una diferencia importante entre el caso discreto nilpotente\ny el caso Solvable no nilpotente. En el primero, se puede encontrar una tasa de polinomio\nde convergencia [9], mientras que en este último no existe tal tipo en general (véase Teorema\n8.1).\n1.3. Folner sets y teoría ergódica. Una consecuencia del corolario 1.6 es que\nsecuencias de bolas con el radio que va al infinito son secuencias Folner, a saber:\nCorolario 1.10. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y\nSeudodistancia periódica en G. Dejemos que Bl(t) sea la bola de radio t en G. Entonces\n{B/23370/(t)}t>0 forman una familia Folner de subconjuntos de G a saber, para cualquier conjunto compacto F\nen G, tenemos ( denota la diferencia simétrica)\n5) lim\nvolG(FB(t)B(t)\nvolG(Bl(t))\nPrueba. En efecto, para algunos c > dependiendo de F.\nPor lo tanto (5) sigue de (3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEsto resuelve el llamado “problema de localización” de Greenleaf para el local compacto\ngrupos de crecimiento polinomio (véase [16]), es decir, por la que se determina si las facultades de\nun conjunto generador compacto n}n forma una secuencia Folner. Al mismo tiempo,\nimplica que el teorema ergódico para G-acciones se mantiene a lo largo de cualquier secuencia de bolas\ncon el radio que va al infinito.\nTeorema 1.11. (Teorema Ergódico) Let se le da un grupo G localmente compacto con\ncrecimiento polinomio junto con un G-espacio X mensurable dotado de un G-\nmiden la probabilidad ergódica invariante m. Dejemos ser una pseudodistancia periódica en\nA continuación, para cualquier p, 1 ≤ p < \nfunción f • Lp(X,m) tenemos\nvolG(Bl(t))\nBl(t)\nf(gx)dg =\npara m-casi cada x X y también en Lp (X,m).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 11\nDe hecho, el corolario 1.10 arriba, era el “bloque perdido” en la prueba de la ergódica\nteorema en grupos de crecimiento polinomio. Hasta ahora y que yo sepa, Corollary\n1.10 y Teorema 1.11 sólo se conocían a lo largo de alguna secuencia de bolas {B(tn)}n\nelegido de modo que (5) se mantenga (véase, por ejemplo, [10] o [34]). Esta cuestión se planteó a continuación:\nmi atención por A. Nevo y fue mi motivación inicial para el presente trabajo. Nosotros\nremítase al lector al documento de la encuesta de A. Nevo [26] Sección 5.\nMás tarde resultó que el mero hecho de que las bolas son Folner en un polinomio dado\ncrecimiento local grupo compacto también se puede derivar del hecho de que estos grupos son\nduplicación de espacios métricos (que es un resultado más fácil que la asintótica precisa\nvol(ln) cn\nd(G) probado en este documento y sólo requiere límites inferiores y superiores\ndel formulario c1n\nd(G) ≤ vol(ln) ≤ c2n\nd(G)). Esto fue observado por R. Tessera\n[35] que redescubrió un lindo argumento de Colding y Minicozzi [11, Lemma 3.3.]\nmostrando que el volumen de las esferas ♥n+1 \\ ♥n es a lo sumo algunos O(n) veces el\nel volumen de la bola ln, donde ln > 0 es una constante positiva dependiendo solamente de la\ndoblando constante la métrica de la palabra inducida por en G.\nEn [9], damos un mejor límite superior (que depende sólo de la clase de nilpotencia\ny no en la constante de duplicación) para el volumen de esferas en el caso de finitamente\ngrupos de nilpotentes generados. Esto se hace mostrando el siguiente término de error en\nla asintótica del volumen de las bolas: tenemos vol(ln) = cln\nd(G)+O(nd(G)ár ),\ndonde αr > 0 depende sólo de la clase de nilpotency r de G. Referimos al lector a\nSección 8 y preimpresión [9] para más información al respecto. Sólo notamos aquí.\nque aunque el anterior enfriamiento-Minicozzi-Tessera límite superior en el volumen de\nesferas se sostiene generalmente para todos los grupos localmente compactos G con crecimiento polinomio,\na menos que G es nilpotente, no hay término de error en general en la asintótica de la\nvolumen de bolas. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña se da en §8.1.\n1.4. Una conjetura de Burago y Margulis. En [7] D. Burago y G. Margulis\nconjeturado que cualquier métrica de dos palabras en un grupo finitamente generado que son\nasintótico (en el sentido de que\n1(e,γ)\n2(e,γ)\ntiende a 1 en el infinito) debe estar en un límite\ndistancia unos de otros (en el sentido de que 1(e, γ) − γ2(e, γ) = O(1)). Esto\nse mantiene para los grupos abelianos. Un resultado análogo fue probado por Abels y Margulis\npara métricas de palabras en grupos reductivos [1]. S. Krat [23] estableció esta propiedad\npara métricas de palabras en el grupo Heisenberg H3(Z). Sin embargo, utilizando el Teorema 1.4\n(que en este caso particular de grupos nilpotentes finitamente generados es sólo de Pansu\nteorema [27]) mostraremos en la sección 8.3 que hay contraejemplos y\nmuestra dos métricas de palabras en H3(Z) × Z que son asintóticas y sin embargo no están en\nuna distancia limitada. Para más información sobre este contraejemplo, y cómo\nmodificar la conjetura de Burago y Margulis, nos referimos al lector interesado a\n1.5. Organización del documento. Las secciones 2 a 4 están dedicadas a los preliminares. In\nSección 2 presentamos la teoría básica nilpotente como se puede encontrar en Guivarc’h\ntesis [21]. En particular, una prueba completa de la fórmula Bass-Guivarc’h se da. In\nSección 3, recordamos la construcción de la nilshadow de un grupo Solvable Lie.\n12 EMMANUEL BREUILLARD\nEn la Sección 4 establecemos los axiomas y las propiedades básicas de la distancia (pseudo)\nfunciones que se estudian en este artículo.\nLas secciones 5-7 contienen el núcleo de la prueba de los principales teoremas. En la sección 5,\nasumir que G es un grupo simplemente conectado Solvable Lie y reducir el problema a\nel caso de los nilpotentes. En la Sección 6, suponemos que G es un simple nilpotente conectado.\nMentir grupo y probar Teorema 1.4 en este caso siguiendo la estrategia utilizada por Pansu\nen [27]. En la Sección 7, probamos el Teorema 1.2 para grupos generales localmente compactos\ny reducir la prueba de los resultados de la introducción al caso de la Mentira.\nEn la última sección hacemos más comentarios sobre la velocidad de convergencia.\nEn particular, damos ejemplos que responden negativamente a la pregunta antes mencionada\nde Burago y Margulis.\nEl Apéndice está dedicado a los grupos discretos de la dimensión 3 de Heisenberg y\n5. Calculamos sus bolas límite, explicamos la Figura 1, y recuperamos el resultado principal de\nStoll [33].\nEl lector que está principalmente interesado en el caso de grupo nilpotent puede leer directamente\nSección 6 mientras se mantiene un ojo en las secciones 2 y 4 para las anotaciones de antecedentes y\nhechos elementales.\nPor último, vamos a mencionar que los resultados y métodos de este documento fueron en gran medida\ninspirado en las obras de Y. Guivarc’h [21] y P. Pansu [27].\n1.6. Nota Bene. Una versión de este artículo distribuida desde 2007. El actual ver-\nsión contiene esencialmente el mismo material, sólo la exposición se ha mejorado\ny varios argumentos un tanto vagos han sido sustituidos por pruebas completas\n(en particular en las secciones 3 y 7). Este retraso se debe al hecho de que yo estaba planeando...\nning durante mucho tiempo para mejorar la sección 6 y mostrar un término de error en el volumen\nasintótica de las bolas en grupos nilpotentes. E. Le Donne y yo nos las arreglamos recientemente para\nlograr esto y ahora se ha convertido en un documento conjunto independiente [9].\n2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie\nEn esta sección, revisamos el material de antecedentes necesario sobre la mentira nilpotente\ngrupos. En el párrafo 2.4, damos algunas propiedades cruciales de la homogeneidad\nnormas y reproducir algunos lemas originalmente debido a Y. Guivarc’h que será\nutilizado en la secuela. Mientras tanto, probamos la fórmula Bass-Guivarc'h para el de-\ngrado de crecimiento polinomio de grupos de mentira nilpotente, siguiendo el original de Guivarc’h\nargumentación.\n2.1. métricas del Carno-Carateosorio. Deja que G sea un grupo de Lie conectado con Lie\nálgebra g y dejar m1 ser un subespacio vectorial de g. Denotamos por una norma en m1.\nAhora recordamos la definición de una métrica Carnot-Carathéodory invariante a la izquierda también\nllamada métrica subFinsler en G. Let x, y G. Consideramos todas las posibles piezas\nsenderos lisos : [0, 1] → G que va de â € (0) = x a â € (1) = y. Que (u) sea el\nvector tangente que es arrastrado de vuelta a la identidad por una traducción izquierda, es decir.\n= (u) · (u)\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 13\ndonde (u) g y la notación (u) · (u) significa la imagen de (u) bajo\nel diferencial en la identidad de la traducción izquierda por el elemento de grupo (u).\nDecimos que el camino es horizontal si el vector (u) pertenece a m1 para todos\nu â € [0, 1]. Denotamos por H el conjunto de caminos horizontales lisos por pieza. Los\nLa métrica Carnot-Carathéodory asociada a la norma se define por:\nd(x, y) = inf{\n(u)\ndu, â € H, â € (0) = x, â € (1) = y}\ndonde el infimum se toma sobre todos los senderos lisos a partes : [0, 1] → N con\n*(0) = x, *(1) = y que son horizontales en el sentido de que *(u) * m1 para todas las u. Si\nEs una norma euclidiana, la d(x, y) métrica también se llama subRiemanniano. En este\npapel, sin embargo, la norma normalmente no será euclidiana (puede ser poliedro\ncomo en el caso de las métricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados) y d(x, y)\nsólo será SubFinsler. Si m1 = g, y es un euclidiano (resp. Arbitraria) norma\nen g, entonces d es simplemente el habitual invariante de izquierda Riemannian (resp. métrica de Finsler)\nasociado a .\nTeorema de Chow (por ejemplo: [19] o [25]) nos dice que d(x, y) es finito para todos x y\ny en G si y sólo si el vector subespacio m1, junto con todos los paréntesis de elementos\nde m1, genera el álgebra completa de Lie g. Si esta condición se cumple, entonces d es un\ndistancia en G que induce la topología original de G.\nEn este artículo, sólo nos preocuparemos por las métricas Carnot-Caratheodory sobre\nuna simple conexión nilpotent Lie grupo N. En la secuela, cada vez que hablamos de un\nmétrica Carnot-Carathéodory en N, nos referimos a uno que está asociado a una norma \nen un subespacio m1 de tal manera que n = m1.» [n, n] donde n = Lie(N). Es fácil de comprobar\nque cualquiera de tales m1 genera el álgebra de Lie n.\nObservación 2.1. Vamos a observar aquí que para tal d métrica en N, tenemos el\ndespués de la descripción de la bola de unidad para \n{v) m1 {v} ≤ 1} =\nη1(x)\nd(e, x)\n, x â â € ¢ Nâ € e}\ndonde η1 es la proyección lineal de n (identificada con N via exp) a m1 con\nkernel [n, n]. De hecho, η1 da lugar a un homomorfismo de N al espacio vectorial\nm1. Y si es un camino horizontal de e a x, a continuación, la aplicación de η1 a (6) que\nget d\nη1((u)) = \n′(u), por lo tanto η1(x) =\n(u)du. Por lo tanto 1(x) ≤ d(e, x) con\nigualdad si x â € m1.\n2.2. Dilaciones en un grupo de mentira nilpotente y el grupo calificado asociado.\nAhora nos centramos en el caso de grupos de mentiras nilpotentes simplemente conectados. Dejad en paz a N.\ntal grupo con Lie álgebra n y clase de nilpotency r.\nanálisis de estos grupos, nos referimos al lector al libro [12]. El exponencial\nmapa es un difeomorfismo entre n y N. La mayoría de las veces, si x n, vamos a\nanotación de abuso y denotar el elemento de grupo exp(x) simplemente por x. Denotamos\npor {Cp(n)}p la serie descendente central para n, es decir, C\np+1(n) = [n, Cp(n)] con\nC0(n) = n y Cr(n) = {0}.\n14 EMMANUEL BREUILLARD\nDejar (mp)p≥1 ser una colección de subespacios vectoriales de n tal que para cada p ≥ 1,\n7) Cp−1(n) = Cp(n)®mp.\nEntonces n = p ≥ 1mp y en esta descomposición, cualquier elemento x en n (o N por abuso\nde notación) se escribirá en la forma\nηp(x)\ndonde γp(x) es la proyección lineal sobre mp.\nA tal descomposición se asocia un grupo de dilaciones de un parámetro (t)t>0.\nEstos son los endomorfismos lineales de n definidos por\nt(x) = t\npara cualquier mp x y para cada p. Por el contrario, el grupo de un parámetro (t)t≥0\ndetermina los (mp)p≥1’s ya que aparecen como espacios propios de cada uno, t 6= 1. Los\nlas dilaciones no conservan a priori el soporte de la mentira en n. Este es el caso si y\nsólo si\n(8) [mp,mq] mp+q\npara cada p y q (donde [mp,mq] es el subespacio extendido por todos los conmutadores de\nelementos de mp con elementos de mq). Si (8) se mantiene, decimos que el (mp)p≥1 forma un\nestratificación del álgebra de Lie n, y que n es una mentira estratificada (o homogénea)\nálgebra. Es un ejercicio para comprobar que (8) es equivalente a requerir [m1,mp] = mp+1\npara todos los p.\nSi (8) no se sostiene, sin embargo, podemos considerar una nueva estructura de álgebra de Lie en\nel espacio vectorial real n definiendo el nuevo soporte de Lie como [x, y]\nsi x â € TM y y â € mq. Este nuevo álgebra de Lie no es estratificado y tiene el mismo\nel espacio vectorial subyacente como n. Denotamos por N.O. el asociado simplemente conectado\nGrupo de mentiras. Por otra parte el (t)t>0 forman un grupo de un parámetro de los automorfismos de\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De hecho el soporte original de la Mentira [x, y] en n se puede deformar continuamente a\n[x, y]• a través de una familia continua de estructuras de álgebra de Lie mediante el ajuste\n(9) [x, y]t = 1\n([.tx,.tty])\ny dejando t → â € €. Tenga en cuenta que, a la inversa, si los Łt son automorfismos de n,\nentonces [x, y] = \nEl álgebra de Lie graduada asociada a n es por definición\ngr(n) =\nCp(n)/Cp+1(n)\ndotado con el soporte de Lie inducido a partir de la de n. El mapa de cociente mp →\nCp(n)/Cp+1(n) da lugar a un isomorfismo lineal entre n y gr(n), que es\na Isomorfismo de álgebra de mentira entre la nueva estructura de álgebra de Lie n.a. y gr.a.\nPor lo tanto estratificado Lie estructuras de álgebra inducidas por una elección de sub-\nlos espacios (mp)p≥1 como en (7) son todos isomórficos a gr(n).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 15\nEn N.O. las métricas sub-invariantes izquierdas de Finsler d.O. asociadas a una elección de norma\nen m1 son de especial interés. El grupo de un parámetro de dilaciones t}t es un\nautomorfismo de N.o y que\n(10) d..............................................................................................................................................................................................................................................................\npara cualquier x, y â € Nâ € TM. El espacio métrico (N, d) se llama grupo Carnot.\nSi, por otro lado, el simple nilpotent Lie groupN no está estratificado,\na continuación, el grupo de dilaciones asociado a una elección de vector suplementario\nsubespacios mi como en (7) no consistirá en automorfismos de N y la relación\n(10) no aguantará.\nTenga en cuenta también que si se nos dan dos opciones diferentes de subespacios suplementarios\nmi’s y m\ni es como en (7), a continuación, la izquierda-invariante Carnot-Carateosorio métricas en\nlos grupos de Lie estratificados correspondientes son isométricos si y sólo si (m1, ) y\n(m′1, \n) son isométricos (un isomorfismo lineal de m1 a m\n1 que envía a\nse extiende a una isometría de los dos grupos Carnot).\n2.3. La fórmula Campbell-Hausdorff. El mapa exponencial exp : n → N\nes un difeomorfismo. En la secuela, a menudo abusaremos de la notación e identificaremos a N\ny n sin previo aviso. En particular, para dos elementos x e y de n (o\nN equivalente) xy denotará su producto en N, mientras que x + y denota la suma\nen n. Dejar que sea un grupo de un parámetro de dilaciones asociadas a una elección de\nsubespacios suplementarios mi como en (7). Denotamos la estratificación correspondiente\nLie álgebra por n.o como arriba y el grupo de Lie por N.o. El producto en N.O. es:\ndenotado por x* y. Las dilaciones son automorfismos.\nLa fórmula Campbell-Hausdorff (véase [12]) permite dar una forma más precisa de\nel producto en N. Dejar que (ei)1≤i≤d sea una base de n adaptada a la descomposición en\nmi's, es decir, mi = span{ej, ej mi}. Dejar x = x1e1 +...+ xded el correspondiente\ndescomposición de un elemento x n. A continuación, definir el grado di = deg(ei) a ser el\nmás grande j tal que ei C\nj−1(n). Si α = (α1,..., αd) N\nd es un multi-índice, a continuación, dejar\ndα = deg(e1)α1 +...+ deg(ed)αd.\nLa fórmula Campbell-Hausdorff rinde\n(11) (xy)i = xi + yi +\nCα,βx\ndonde Cα,β son constantes reales y la suma es sobre todos los multi-índices α y β tales\nque dα + dβ ≤ deg(ei), dα ≥ 1 y dβ ≥ 1.\nA partir de (9), es fácil dar la forma de la ley de grupo de Lie estratificada asociada:\n(12) (x* y)i = xi + yi +\nCα,βx\ndonde la suma se limita a los α y β tales que dα + dβ = deg(ei),\ndα ≥ 1 y dβ ≥ 1.\n2.4. Casi-normas homogéneas y el teorema de Guivarc’h en polinomio\ncrecimiento. Dejar n ser un finito dimensión real nilpotente Lie álgebra y considerar un\ndescomposición\nn = m1\n16 EMMANUEL BREUILLARD\npor subespacios vectoriales suplementarios como en (7). Dejemos que el parámetro (t)t>0 sea el único parámetro\ngrupo de dilaciones asociadas a esta descomposición, es decir, t(x) = t\nix si x mi.\nAhora introducimos la siguiente definición.\nDefinición 2.2 (Homogénea cuasinorma). Una función continua · : n → R+\nse llama una cuasinorma homogénea asociada a las dilaciones (t)t, si satisface\nlas siguientes propiedades:\ni) x = 0 x = 0.\nii) t(x) = tx para todos los t > 0.\nEjemplo 2.3. (1) Quasi-norms del tipo supremamum, es decir: x = maxp p(x)\ndonde p son normas ordinarias en el espacio vectorial mp y πp es la proyección en\nmp como arriba.\n(2) x = d(e, x), donde d es una métrica Carnot-Carathéodory en una estratificación\ngrupo de mentira nilpotente (como muestra la relación (10).\nClaramente, una cuasi-norma está determinada por su esfera de radio 1 y dos cuasi-\nnormas (que son homogéneas con respecto al mismo grupo de dilaciones)\nsiempre equivalente en el sentido de que\n1 ≤ 2 ≤ c 1\npara alguna constante c > 0 (de hecho, por continuidad, · 2 admite un máximo en el\n“esfera” x1 = 1}). Si las dos cuasinormas son homogéneas con respecto a\ndos semi-grupos distintos de dilaciones, a continuación, las desigualdades (13) siguen manteniendo\nfuera de un barrio de 0, pero puede fallar cerca de 0.\nLas cuasinormas homogéneas satisfacen las siguientes propiedades:\nProposición 2.4. Que · sea una cuasi-norma homogénea en n, entonces hay\nconstantes C,C1, C2 > 0 tales que\na) xi ≤ C · x\ndeg(ei) si x = x1e1 +...+ xnen en una base adaptada (ei)i.\nb) x−1 ≤ C · x.\n(c) x+ y ≤ C · (x y)\n(d) xy ≤ C1(x y) + C2.\nLas propiedades (a), (b) y (c) son directas por el hecho de que x = maxp p(x)\nes una cuasinorma homogénea y de (13). d) Justifica el término “cuasi-\nnorma” y sigue de Lemma 2.5 abajo. Puede ser un problema que la constante\nC1 en (d) no puede ser igual a 1. De hecho, esta es la razón por la que usamos la palabra cuasi-norma\nen lugar de simplemente norma, porque no se requiere el triángulo desigualdad axioma a\nEspera. Sin embargo, el siguiente lema de Guivarc’h es a menudo un buen remedio\na esta situación. Que p sea una norma arbitraria en el espacio vectorial mp.\nLemma 2.5. (Guivarc’h, [21] lemme II.1) Let فارسى > 0. Hasta escalar cada p\nen una norma proporcional p p (p > 0) si es necesario, la cuasinorma x =\nmaxp p(x)\nSatisface\n(14) xy ≤ x \nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 17\nPara todas las x, y N. Si N es estratificado con respecto a (?t)t podemos tomar? = 0.\nEste lema es crucial también para la computación de la asintótica gruesa del volumen\ncrecimiento. Para la comodidad del lector, reproducimos aquí el argumento de Guivarc’h,\nque se basa en la fórmula Campbell-Hausdorff (11).\nPrueba. Arreglamos Ł1 = 1 y vamos a dar una condición en el Łi de modo que (14)\nEspera. Los Łi’s serán tomados para ser más y más pequeños a medida que yo aumente. Nos pusimos\nx = maxp p(x)\ny dejar que x = maxp p\npara cualquier r-tupla de Łi.\nQueremos que para cualquier índice p ≤ r,\n(15) p p p(xy)p ≤ (x + y + )\nPara (11) tenemos γp(xy) = γp(x) + γp(y) + Pp(x, y) donde Pp es un mapa polinomio\nen mp dependiendo únicamente de los ηi(x) y ηi(y) con i ≤ p− 1 de tal manera que\nPp(x, y) ≤ Cp\nl,m≥1,l+m≤p\nMp−1(x)\nlMp−1(y)\ndonde Mk(x) := maxi≤k i(x)\ni y Cp > 0 es una constante dependiendo de Pp y\nsobre las normas i. Desde 0, cuando se expande el lado derecho de (15) todos\ntérminos de la forma xly\n con l +m ≤ p aparecen con algún coeficiente positivo,\nDi: \"L,m\". Los términos x\ny y\naparecen con coeficiente 1 y no causan problemas\nya que siempre tenemos p p(x)p ≤ x\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, para\n(15) para sostener, es suficiente que\npCpMp−1(x)\nlMp−1(y)\nEl valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto\nPara todos los l y m restantes. Sin embargo, claramente Mk(x) ≤?k · x donde?k :=\nmaxi≤k{1/\ni } ≥ 1. Por lo tanto, una condición suficiente para (15) mantener es\nen la que = min l,m. Dado que el valor de p−1 depende únicamente de los primeros valores de p−1 de los\nes obvio que tal conjunto de condiciones puede ser cumplido por un r-tuple adecuado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 2.6. La constante C2 en Propiedad (d) anterior se puede tomar como 0 cuando N\nes estratificado con respecto a los mi (es decir. los automorfismos de los ts son), como es fácil\nvisto después de cambiar x e y en su imagen debajo de Y a la inversa, si C2 = 0\npara alguna casi-norma Homogénea en N, entonces N admite una estratificación. De hecho,\na partir de (11) y (12), vemos que si no son automorfismos, entonces uno puede\nencontrar x, y N tal que, cuando t es lo suficientemente pequeño, t(xy) −\n(r−1)/r\npara algunos c > 0. Sin embargo, combinando Propiedades (c) y Propiedad (d) con C2 = 0\narriba debemos tener t(xy)− Łt(x)/23370/t(y) = O(t) cerca de t = 0. Una contradicción.\nEl lema de Guivarc’h nos permite mostrar:\nTeorema 2.7. (Guivarc’h ibíd.) Vamos a ser un barrio compacto de la identidad\nen un grupo N y (x, y) = inf{n ≥ 1, x\n−1y ~ ~ ~ ~ n}.\n18 EMMANUEL BREUILLARD\nEntonces para cualquier cuasi-norma homogénea · en N, hay una constante C > 0 tal\nx ≤ (e, x) ≤ Cx C\nPrueba. Desde cualquier dos cuasi-normas homogéneas (w.r.t el mismo un-parámetro\ngrupo de dilaciones) son equivalentes, es suficiente para hacer la prueba de uno de ellos,\npor lo que consideramos la cuasi-norma obtenida en Lemma 2.5 con la propiedad adicional\n(14). El límite inferior en (16) es una consecuencia directa de (14) y se puede tomar\nallí C a ser maxx, x + فارسى. Para el límite superior, basta con mostrar\nque hay C # N tal que para todos n # N, si #x ≤ n entonces x #Cn. A\nlograr esto, procedemos por inducción de la longitud de nilpotencia de N. El resultado\nestá claro cuando N es abeliana. De lo contrario, por inducción obtenemos C0 N tal que\nx = 1 ·... · · C0n · z en los que • i • • y z • C\nr−1(N) siempre que x ≤ n. Por lo tanto\nz ≤ xC0n ·max \ni C0 · n ≤ C1n para alguna otra constante C1 · N. Así que\nhan reducido el problema a x = z mr = C\nr−1(N) que es central en N. Nosotros\ntener z = zn\n1 donde z1 = z/n ≤ C1. Puesto que ♥ es un barrio de la identidad\nen N, el conjunto U de todos los productos de al menos dim(mr) conmutadores simples de longitud\nr de elementos en ♥ es un barrio de la identidad en Cr−1(N) (e.g. Véase [19],\np113). De ello se deduce que hay una constante C2 N tal que z1 está en U\nC2, de ahí la\nproducto de como máximo C2 dim(mr) simples conmutadores. Entonces hemos terminado porque z\nserá igual al mismo producto de los conmutadores donde cada letra xi...................................................................................................................\nse sustituye por xni. Este último hecho se deriva del siguiente lema:\nLemma 2.8. Que G sea un grupo nilpotente de clase nilpotency r y n1,..., nr ser\nenteros positivos. A continuación, para cualquier x1,..., xr G\n1, [x\n2, [..., x\nr ]...] = [x1, [x2, [..., xr]...]\nn1·...·nr\nPara probar el lema basta con utilizar la inducción y el siguiente hecho obvio:\nsi [x, y] se desplaza a x e y entonces [xn, y] = [x, y]n.\nFinalmente, obtenemos:\nCorollary 2.9. Dejemos que ♥ sea un barrio compacto de la identidad en N. Entonces allí\nson constantes positivas C1 y C2 de tal manera que para todos los n+N,\nd ≤ volN ()\nn) ≤ C2n\ndonde d es dada por la fórmula Bass-Guivarc’h:\n(17) d =\ni · dimmi\nPrueba. Por Teorema 2.7, es suficiente estimar el volumen de la cuasi-norma\npelotas. Por homogeneidad de la cuasi-norma, tenemos volN{x, x ≤ t} = t\ndvolN{x, x ≤\n1}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 2.10. El uso del teorema de Malcev permite, como Guivarc'h ob-\nservido, para deducir inmediatamente que el resultado análogo tiene para prácticamente nilpotente\ngrupos finitos generados. Este hecho que también fue probado independientemente por H. Bass\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 19\n[3] por un argumento combinatorio directo. Véase también el apéndice de Tetas de Gromov\npor [17]. De hecho, el Teorema 2.7 de Guivarc’h parece haber sido redescubierto varios\nen los últimos 40 años, incluyendo por Pansu en su tesis [27], el último ejemplo\nde ese ser [22].\n3. El nilshadow\nEl objetivo de esta sección es introducir el nilshadow de un simplemente conectado\nSolvable Lie grupo G. Asumimos que G tiene crecimiento polinomio, aunque\nEsta última suposición no es necesaria para casi todo lo que hacemos en esta sección.\nLa única declaración que se utilizará después en el papel (en la sección 5) es:\nLemma 3.12 infra. El lector familiarizado con el nilshadow puede saltar directamente a\nla declaración de este lema y omitir la próxima discusión.\n3.1. Construcción del nilshadow. El nilshadow de G es un simple conectado\nnilpotent Lie grupo GN, que se asocia a G de una manera natural. Esta noción\nfue introducido por primera vez por Auslander y Green en [2] en su estudio de los flujos en\nSolvmanifolds. Lo definieron como el radical unipotente de una división semi-simple\nG. Sin embargo, vamos a seguir un enfoque diferente para su construcción por\ntrabajando primero en el nivel de álgebra de Lie. Referimos al lector al libro [13] donde\nEste enfoque ha sido adoptado.\nDejar g ser un álgebra de Lie real solucionable y n el nilradical de g.Tenemos [g, g] n.\nSi x g, escribimos ad(x) = ads(x) + adn(x) la descomposición jordana de ad(x) en\nGL(g). Desde ad(x) • Der(g), el espacio de derivaciones de g, y Der(g) es la Mentira\nálgebra del grupo algebraico Aut(g), los componentes jordanos ads(x) y adn(x)\ntambién pertenecen a Der(g). Por otra parte, para cada x g, ads(x) envía g en n (porque\nasí lo hace ad(x) y ads(x) es un polinomio en ad(x)). Que h sea una subalgebra de Cartan\nde g, a saber, un subalgebra autonormalizante nilpotente. Recordemos que la imagen de\na Cartan subalgebra por un sujetivo Lie homomorfismo álgebra es de nuevo un coche-\nTan subalgebra. Ahora como g/n es abeliano, se sigue que h mapas en g/n, es decir.\nh+ n = g. Por otra parte ads(x)h = 0 si x h, porque h es nilpotente.\nAhora elegir cualquier vector real subespacio v de h en suma directa con n. A continuación, el\nse mantienen dos condiciones:\ni) vâr n = g.\nii) ads(x)(y) = 0 para todas las x, y â € v.\nDe los incisos i) y ii), se desprende fácilmente que los anuncios (x) se desplazan con ad(y), ad(y) y\nadn(y), para todas las x, y en v. Tenemos:\nLemma 3.1. El mapa v → Der(g) definido por x 7→ ads(x) es un álgebra de Lie\nhomomorfismo.\nPrueba. Primero vamos a comprobar que este mapa es lineal. Vamos a x, y v. v. Por el anterior\nads(y) y ads(x) viajan entre sí (de ahí que su suma sea semi-simple) y\nviajar con adn(x)+adn(y). De la singularidad de la descomposición de Jordania\n20 EMMANUEL BREUILLARD\nQueda por comprobar que adn(x)+adn(y) es nilpotente si x, y en v. Para ver esto, aplicar\nla siguiente observación obvia dos veces a a = adn(x) y V = ad(n) primero y luego a\na = adn(y) y V = span{adn(x), ad(ad(y))\nnx), n ≥ 1} : Que V sea un nilpotente\nsubespacio de GL(g) y una GL(g) nilpotente, es decir, V n = 0 y am = 0 para algunos\nn,m N y asumir [a, V] V. Entonces (a+V )nm = 0.\nEl hecho de que este mapa es un homomorfismo Lie álgebra sigue fácilmente de la\nhecho de que todos los anuncios (x), x v v conmutarse entre sí y con [g, g] n.\nDefinimos un nuevo soporte de Lie en g estableciendo:\n(18) [x, y]N = [x, y]− ads(xv)(y) + ads(yv)(x)\ndonde xv es la proyección lineal de x en v de acuerdo con la suma directa vÃ3n = g.\nLa identidad de Jacobi es verificada por un cálculo directo donde lo siguiente:\nhecho es necesario: anuncios (ads(x)(y)) = 0 para todos x, y g. Esto se sostiene porque, como nosotros sólo\nvis, ads(x)(g) (n) para todos los x â € g, y ads(a) = 0 si un â € n.\nDefinición 3.2. Que gN sea el espacio vectorial g dotado con el nuevo álgebra de Lie\nestructura [·, ·]N dada por (18). El Nilshadow GN de G se define como el simple\ngrupo de mentira conectado con Lie álgebra gN.\nEs fácil comprobar que gN es un álgebra nilpotent Lie. Para ver esto, tenga en cuenta primero que\n[gN, gN ]N â n, y si x â gN e y â n, entonces [x, y]N = (adn(xv) + ad(xn)(y).\nSin embargo, adn(xv) + ad(xn) es un endomorfismo nilpotente de n como sigue de la\nla misma observación utilizada en la prueba de Lemma 3.1. Por lo tanto, gN es un nilpotente.\nEl producto nilshadow Lie en GN será denotado por * con el fin de distinguir\nlo del producto Lie original en G. En la secuela, identificaremos a menudo G (resp.\nGN ) con su Lie álgebra g (resp. gN) a través de su respectivo mapa exponencial. Desde\nel espacio subyacente de gN era g en sí mismo, esto da una identificación (aunque no\nun isomorfismo de grupo) entre G y GN. Entonces el producto Nilshadow Lie puede\nse expresarán en términos del producto original de la manera siguiente:\ng* h = g · (T (g−1)h)\nAquí T es el grupo Lie homomorfismo G → Aut(G) inducido por lo anterior\nelección del subespacio suplementario v como se indica a continuación.\n(19) T (ea)(eb) = exp(eads(av)b) \nEn otras palabras, T es el único homomorfismo grupo Lie cuyo diferencial\nen la identidad está el homomorfismo Lie álgebra deT : g → Der(g) dado por\ndeT (a)(b) = ads(av)b, es decir, la composición del mapa v → Der(g) de\nLemma 3.1 con la proyección lineal g → g/n v.\nEs fácil comprobar que esta definición del nuevo producto es compatible con\nla definición del nuevo soporte Lie.\nTambién se puede comprobar que dos opciones de espacios suplementarios v como por encima de rendimiento\nEstructuras isomórficas de la Mentira (véase [13, cap. III]). Por lo tanto, por el abuso del lenguaje, nosotros\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 21\nhablar de la nilshadow de g, cuando nos referimos a la estructura de la mentira en G inducido por un\nelección de v como anteriormente.\nEl siguiente ejemplo muestra varias de las características de una Lie solvable típica\ngrupo de crecimiento polinomio.\nEjemplo 3.3 (Nilshadow de un producto semidirecto). Let G = R R\nn donde\nGLn(R) es un subgrupo de un parámetro dado por GLn(R)\nA es alguna matriz en Mn(R) y A = Como +Au es su descomposición de Jordania, dando\nsubir a kt = exp(tAs) y ut = exp(tAu). El grupo G es diffeomórfico a R\npor lo tanto simplemente conectado. Si todos los valores propios de As son puramente imaginarios, entonces G tiene\ncrecimiento polinomio. Sin embargo G no es nilpotente a menos que As = 0. Así que vamos a asumir\nque ni As ni Au es cero. Entonces el Nilshadow GN es el producto semi-directo\nRu R\nn donde ut es la parte unipotente de Łt.\nEs fácil calcular la dimensión homogénea de G (o GN) en términos de\ndimensión de los bloques jordanos de Au. Si nk es el número de bloques de Jordania de Au\ndel tamaño k, entonces\nd(G) = 1 +\nk(k + 1)\n3.2. Propiedades básicas de la nilshadow. Ahora enumeramos en forma de unos pocos\nlemas algunas propiedades básicas de la nilshadow.\nLemma 3.4. La imagen de T : G → Aut(G) es abeliana y relativamente compacta.\nPor otra parte, T (g)h) = T (h) para cualquier g.\nPrueba. Dado que G tiene crecimiento polinomio es de tipo (R) por el teorema de Guivarc’h.\nPor lo tanto, todos los anuncios (x) tienen valores propios puramente imaginarios. De ello se deduce que K es compacto.\nPuesto que los factores T a través del nilradical, su imagen es abeliana. La última igualdad\nsigue a partir de (19) y el hecho de que \"x\", \"y\" g, ads(ads(x)(y)) = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 3.5. T (G) también pertenece a Aut (GN ) y T es un homomorfismo de grupo\nGN → Aut (GN ).\nPrueba. La primera afirmación se deriva de (19) y el hecho de que deT es una derivación\nde gN como se puede comprobar a partir de (18) y el hecho de que x, y g, ads(ads(x)(y)) = 0.\nLa segunda afirmación se deriva entonces de Lemma 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDenotamos por K el cierre de T (G) en Aut (G) = Aut (g).\nLemma 3.6 (K-action on gN ). K conserva v y actúa trivialmente en ella. También\nconserva los ideales n y la serie descendente central {Ci(gN)}i de gN.\nPrueba. Basta comprobar que los anuncios (v) preservan n y C\ni(gN ). Conserva n\nporque ad(x) conserva n para todos los x â € g. Conserva Ci(gN ) porque actúa como un\nderivación de gN como ya hemos comprobado en la prueba de Lemma 3.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.7 (Bien definido de η1). También es fácil comprobar desde la definición\ndel soporte de nilshadow que el subálgebra conmutador [gN, gN] y, de hecho, cada uno\ntérmino de la serie descendente central Ci(gN ) es un ideal en g y no depende\nsobre la elección del subespacio suplementario v utilizado para definir el soporte de nilshadow.\n22 EMMANUEL BREUILLARD\nEn particular, el mapa de proyección η1 : gN → gN/[gN, gN ] es un lineal bien definido\nmapa en g = gN (es decir, independientemente de la elección implicada en la construcción de\nel soporte de la mentira de nilshadow).\nLemma 3.8 (Mapa Exponencial). Los respectivos mapas exponenciales exp : g → G\ny expN : gN → GN coinciden en n y en v.\nPrueba. Puesto que los dos productos de Lie coinciden en N = exp(n), también lo hacen sus exponenciales\nmapa. Para la segunda afirmación, tenga en cuenta que T (e-tv)v = v para cada v v porque\nads(x)(y) = 0 para todas las x, y. De ello se deduce que {e)\ntv}t es un subgrupo de un parámetro\npara ambas estructuras de Lie, por lo tanto es igual a {expN (tv)}t.\nObservación 3.9 (Surjetividad del mapa exponencial). El mapa exponencial no es\nsiempre un difeomorfismo, como el ejemplo de la cubierta universal del grupo E\nde movimientos del plano muestra (de hecho, cualquier subgrupo de 1 parámetro de E es\nsubgrupo de traducción o un subgrupo de rotación, pero el subgrupo de rotación es compacto\npor lo tanto un toro, por lo que su elevación contendrá el centro (discreto) de E, por lo tanto se perderá\ncada elevación de una traducción no trivial). De hecho, es fácil ver que si g es la mentira\nálgebra de un grupo solvable (no-nilpotente) Lie de crecimiento polinomio, luego g mapas\nSuryctively en el álgebra de la mentira de E. Por lo tanto, para un solvable simplemente conectado y\ngrupo de mentira no-nilpotente del crecimiento polinomio, el mapa exponencial nunca está en.\nSin embargo, su imagen es fácilmente vista como densa.\nSin embargo, las coordenadas exponenciales del segundo tipo se comportan bien. Tenga en cuenta que\n[gN, gN] N.\nLemma 3.10 (Coordenadas exponenciales del segundo tipo). Dejar {Ci(gN)}i≥0\nser la serie descendente central de gN (con C\n1 gN ) = [gN, gN ]) y pick lineal\nsubespacios mi en gN tal que C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1(gN ) para i ≥ 2. Deja que yo sea un\nsubespacio suplementario de C1(gN) en n. Definir coordenadas exponenciales de la\nsegundo tipo mediante el ajuste\nSr....m2 v → G\n(r,..., 1, v) 7→ expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v)\nEste mapa es un difeomorfismo. Por otra parte, expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v) =\nPara todas las opciones de v. v. y de mi.\nPrueba. Por Lemma 3.8 los mapas exponenciales de G y GN coinciden en n y en v.\nAdemás g* h = g · h cuando g pertenece a la exp(n) nilradical de G. Por lo tanto\nexpN (r)*...........................................................................................................................................................................................................................................................\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nLa restricción del mapa a n es un difeomorfismo en exp(n), porque este mapa\ny sus inversos son mapas polinomios explícitos (las coordenadas de los\ntipo, ver el libro [12]). Ahora el mapa n â € v → G enviar (n, v) a en · ev es un\ndifeomorfismo, porque G está simplemente conectado y por lo tanto el grupo cociente\nG/ exp(n) isomórfico a un espacio vectorial y por lo tanto a exp(v). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 3.11 (“Bi-invariante” métrica Riemanniana). Existe un Riemanniano\nmétrica en G que se deja invariante bajo ambas estructuras de Lie.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 23\nPrueba. De hecho, basta con recoger un producto escalar en g que es invariante bajo el\nsubgrupo compacto K = T (G) • Aut(g). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nIdentificamos K = {T (g), g {G} con su imagen en Aut(g) bajo el canónico\nisomorfismo entre Aut(G) y Aut(g). Recordemos que, según Lemma 3.6,\nla serie descendente central de gN es invariante en ads(x) para todos x â € v y\nconsiste en ideales de g. Lo mismo se sostiene para n. Se deduce que estos subespacios lineales\ntambién invariante bajo K. Sin embargo, como K es compacto, su acción en g es completamente\nReducible. Por lo tanto, hemos demostrado:\nLemma 3.12 (estratificación K-invariante de la nilshadow). Let g ser el álgebra de Lie\nde un simplemente conectado Lie grupo G con el crecimiento polinomio. Deja que gN sea el nilshadow\nálgebra de mentira obtenida a partir de una división g = nov como se indica anteriormente (es decir, n es el nilradical y\nv satisface ads(x)(y) = 0 para cada x, y â € v). Let K := {T (g), g â € € G} â € € TM Aut (G),\ndonde T se define por (19). Luego hay una elección de subespacios lineales mi y l\nde tal manera que\n(20) gN = Sr. .. m2............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde cada término es K-invariante, m1 := l+V y la serie descendente central de\ngN satisface C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1 (gN ). Por otra parte, la acción en K se puede leer\nsobre las coordenadas exponenciales de segundo tipo en esta descomposición, a saber:\n#... # # E # # # E # # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E #\n= k(eñr) ·... · k(eñ0) = ek(ñr) ·... · ek(ñ0)\n= expN (k(r)) ∗... ∗ expN (k(0))\n4. métricas periódicas\nEn esta sección, a menos que se indique lo contrario, G denotará una\nGrupo pactado.\n4.1. Definiciones. Por una pseudodistancia (o métrica) en un espacio topológico X, nosotros\nmedia de una función : X × X → R+ que satisface las siguientes condiciones :.(x, y) =.(y, x) y.(x, z) ≤\nPara cualquier trillizo de puntos de X. Sin embargo, el valor de x, y puede ser igual a 0\nincluso si x 6= y.\nRequeriremos que nuestras pseudodistancias se limiten localmente, lo que significa que la\nimagen debajo de ♥ de cualquier subconjunto compacto de G × G es un subconjunto limitado de R+. A\nevitar los casos irrelevantes (por ejemplo, en el caso de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los de los de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos\nel mapa y 7→ ♥(e, y) es un mapa adecuado, es decir, la preimagen de un conjunto limitado es\nlimitado (no pedimos que el mapa sea continuo). Cuando se delimita el límite local\nentonces es apropiado si y sólo si y 7→ ♥(x, y) es apropiado para cualquier x G.\nSe dice que una pseudodistancia en G es asintóticamente geodésica si por cada فارسى > 0\nexiste s > 0 de tal manera que para cualquier x, y G se puede encontrar una secuencia de puntos\nx1 = x, x2,..., xn = y en G de tal manera que\n(xi, xi+1) ≤ (1 + \ny ♥(xi, xi+1) ≤ s para todos los i = 1,..., n − 1.\n24 EMMANUEL BREUILLARD\nVamos a considerar exclusivamente pseudodistancias en un grupo G que son invariantes\ndebajo de las traducciones de la izquierda por todos los elementos de un subgrupo cerrado fijo y cocompacto\nH de G, lo que significa que para todas las x, y G y todas las h H, H (hx, hy) = x, y.\nCombinando todos los axiomas anteriores, establecemos la siguiente definición.\nDefinición 4.1. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Una pseudodistancia en G\nse dice que es una métrica periódica (o métrica periódica H) si satisface lo siguiente\npropiedades:\n(i) es invariante en las traducciones a la izquierda por un subgrupo cerrado de cocompactos H.\nii) sea localmente limitada y adecuada.\niii) Es geodésica asintóticamente.\nObservación 4.2. La suposición de que es simétrico, es decir. * (x, y) = * (y, x) está aquí.\nsólo por el bien de la simplicidad, y la mayoría de lo que se demuestra en este documento puede ser\nhecho sin esta hipótesis.\n4.2. Propiedades básicas. Vamos a ser una métrica periódica en G y H algunos co-compacto\nsubgrupo de G. Las siguientes propiedades son straighforward.\n1) Se encuentra a una distancia limitada de su restricción a H. Esto significa que si F\nes un dominio fundamental limitado para H en G y para una x arbitraria + G, si hx\ndenota el elemento de H tal que x hxF, entonces (x, y)− ♥(hx, hi) ≤ C para\nalguna constante C > 0.\n(2) Łt > 0 existe un subconjunto compacto Kt de G de tal manera que, \nx−1y Kt. Y a la inversa, si K es un subconjunto compacto de G, t(K) > 0 s.t.\nx−1y • K (x, y) ≤ t(K).\n(3) Si el valor de x, y) ≥ s, el valor de xi en (21) puede elegirse de tal manera que s ≤\n(xi, xi+1) ≤ 2s (se puede tomar un subconjunto adecuado del xi original).\n(4) La restricción de la letra H × H es una pseudodistancia periódica en la letra H.\nsignifica que el xi en (21) puede ser elegido en H.\n(5) Por el contrario, dada la pseudodistancia periódica H sobre H, es posible extender\na una pseudodistancia periódica en G mediante el ajuste de.(x, y) =.(hx, hi) donde x =\nhxF para algunos dominios fundamentales limitados F para H en G.\n4.3. Ejemplos. Demos algunos ejemplos de pseudodistancias periódicas.\n(1) Let ser un grupo de nilpotente sin torsión finitamente generado que está incrustado\ncomo subgrupo discreto cocompacto de un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado.\nTeniendo en cuenta un conjunto de generación simétrica finita S de........................................................................................................................................................................................................................................................\nmétrica de la palabra dS en فارسى que da lugar a una métrica periódica en N dada por ♥(x, y) =\ndS(γx, γy) donde x γxF y y γyF si F es algún dominio fundamental fijo para\nEn el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva.\n(2) Otro ejemplo, dado en [27], es el siguiente. Deja que N/ sea un nilmanifold con\nla cobertura universal N y el grupo fundamental N. Dejar g ser una métrica Riemanniana en\nN.O.B. Puede ser elevado a la cubierta universal y por lo tanto da lugar a un Riemannian\nmétrica g? en N. Esta métrica es invariante, apropiada y delimitada localmente. Ya que..................................................................................................................\ncocompacto en N, es fácil comprobar que también es geodésico asintóticamente por lo tanto\nperiódica.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 25\n(3) Cualquier métrica de la palabra en G. Es decir, si es una generación simétrica compacta\nsubconjunto de G, let (x) = inf{n ≥ 1, x\nn}. A continuación, define ♥(x, y) = (x\n−1y).\nClaramente es una pseudodistancia (aunque no una distancia) y es G-invariante en el\nizquierda, también es apropiada, localmente limitada y asintóticamente geodésica, por lo tanto periódica.\n(4) Si G es un grupo de Lie conectado, cualquier métrica de Riemanniana invariante izquierda en G.\nAquí de nuevo H = G y obtenemos una distancia periódica. Del mismo modo, cualquier invariante izquierda\nLa métrica Carnot-Carathéodory en G servirá.\nObservación 4.3 (el teorema de Berestovski). Según un resultado de Berestovski [5]\ncada distancia geodésica izquierda-invariante en un grupo de Lie conectado es un subFinsler\nmétrica tal como se define en el punto 2.1.\n4.4. Equivalencia absoluta entre pseudodistancias invariantes. Lo siguiente:\nla proposición es básica:\nProposición 4.4. Dejemos que el 1 y el 2 sean dos pseudodistancias periódicas en G.\nes una constante C > 0 de tal manera que para todos x, y G\nC ≤ 1(x, y) ≤ C2(x, y) ≤ C2(x, y) + C\nPrueba. Claramente es suficiente probar el límite superior. Let s > 0 ser el número cor-\nresponder a la elección = 1 en (21) para 2. A partir de 4.2 (2), existe un pacto\nsubconjunto Ks en G de tal manera que.a2(x, y) ≤ 2s.a x\n-1a - K2s, y hay una constante\nt = t(K2s) > 0 tales que x\n-1a -2 K2s -1(x, y) ≤ t. Let C = max{2t/s, t}, y\nque x, y â € € TM G. Si?2(x, y) ≤ s entonces?1(x, y) ≤ t por lo que el lado derecho de (22) sostiene.\nSi el valor de 2(x, y) ≥ s entonces, a partir de (21) y 4.2 (3), obtenemos una secuencia de xis en G de x\na y tales que s ≤ ♥2(xi, xi+1) ≤ 2s y\n2 (xi, xi+1) ≤ 2(x, y). De ello se desprende:\nque?1(xi, xi+1) ≤ t para todos los i. Por lo tanto, el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y)\n1(xi, xi+1) ≤ Nt ≤\ntÿ2(x, y)\ny el lado derecho de (22) sostiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEn el caso particular cuando G = N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado,\nla distancia al origen x 7→ (e, x) es también groseramente equivalente a cualquier homogeneidad\nneous cuasi-norm en N. Tenemos,\nProposición 4.5. Supongamos que N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Dejad en paz a la gente.\nuna pseudodistancia periódica sobre N y · ser una cuasi-norma homogénea, entonces allí\nexiste C > 0 de tal manera que para todos x â € N\nx−1y − C ≤ 1(x, y) ≤ Cx\n−1y C\nPor otra parte, si se trata de una pseudodistancia periódica en el grupo nilpotente estratificado N\nasociado a N, entonces de nuevo, hay una constante C > 0 tal que\nC ≤ 1(e, x)− C ≤ 1(e, x) ≤ 2(e, x) + C\nLa propuesta se deriva inmediatamente del teorema de Guivarc’h (véase el corolario 2.7.\narriba), la equivalencia de cuasinormas homogéneas, y el hecho de que invariante de izquierda\nLas métricas de Carnot-Carateodory en N.O. son normas cuasi homogéneas. Sin embargo,\nDado que las estructuras de grupo de N y N9 difieren, (24) en general no pueden ser sustituidas.\npor la relación más fuerte (22) como los ejemplos simples muestran.\n26 EMMANUEL BREUILLARD\nLa siguiente propuesta es de importancia fundamental para el estudio de las métricas sobre\nGrupos de mentiras de crecimiento polinomio:\nProposición 4.6. Deja que G sea un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de polinomio\ncrecimiento y GN su nilshadow. Seamos seudodistancias periódicas arbitrarias.\nsobre G y GN, respectivamente. Entonces hay una constante C > 0 tal que para todos\nx, y â € TM G\nN (x, y)− C ≤ (x, y) ≤ C/23370/N (x, y) + C\nPrueba. De acuerdo con la Proposición 4.4, es suficiente mostrar (25) para alguna elección de\nmétricas periódicas en G y GN. Pero en Lemma 3.11 construimos un Riemanniano\nmétrica en G que se deja invariante para G y GN. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n4.5. Invarianza derecha bajo un subgrupo compacto. Aquí verificamos que, dado\nun subgrupo compacto de G, cualquier métrica periódica se encuentra a una distancia limitada de otro\nmétrica periódica que es invariante a la derecha por este subgrupo compacto. Deja K\nser un subgrupo compacto de G y una pseudodistancia periódica en G.\ncon la ayuda de la medida Haar normalizada en K para obtener:\n(26) K(x, y) =\n(xk1, yk2)dk1dk2\nA continuación, se mantiene lo siguiente:\nLemma 4.7. Hay una constante C0 > 0 dependiendo sólo de ♥ y K de tal manera que\npara todos los k1, k2 K y todos los x, y G\n(27) (xk1, yk2)− ♥(x, y) ≤ C0\nPrueba. A partir de 4.2 (2), t = t(K) > 0 s.t. (x, xk) ≤ t. Aplicando la\nTriángulo de desigualdad, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPor lo tanto obtenemos:\nProposición 4.8. La pseudodistancia K es periódica y se encuentra en un\nDesde el 1 de enero de 1985. En particular, como x tiende a infinito en G el siguiente límite se mantiene\n(28) lim\nK(e, x)\n(e, x)\nPrueba. A partir de Lemma 4.7 y 4.2 (3), es fácil comprobar que\ntoticalmente geodésico, y periódico. La integración (27) nos da que K está en un límite\nLa distancia entre los países de la Comunidad y los países de la Europa central y oriental es evidente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nSi K es normal en G, obtenemos así una métrica periódica de K en G/K de tal manera que\nK(p(x), p(y)) se encuentra a una distancia limitada de x, y, donde p es el mapa de cocientes\nG→ G/K.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 27\n5. Reducción al caso de nilpotente\nEn esta sección, G denota un grupo de polinomios Solvable Lie simplemente conectado\ncrecimiento. Vamos a reducir la prueba de los teoremas de la introducción\nal caso de un G nilpotent. Esto se realiza mostrando que cualquier\npseudodistancia en G es asintótica a alguna pseudodistancia periódica asociada\nN en el Nilshadow GN. Lo declaramos en la Proposición 5.1 a continuación.\nEl paso clave en la prueba es la Proposición 5.2 a continuación, que muestra la asintótica\nla invarianza de.. bajo la \"parte semisimple\" de G. El hecho crucial allí es que el\ndesplazamiento de un punto distante bajo un automorfismo unipotente fijo es insignificante\nen comparación con la distancia de la identidad (véase Lemmas 5.4, 5.5), de modo que la\nacción de la parte semisimple de los elementos grandes puede ser simplemente aproximado por\nsu acción por la traducción izquierda.\n5.1. Invarianza asintótica bajo un grupo compacto de automorfismos\nde G. El resultado principal de esta sección es el siguiente. Deja que G sea un conectado y\nsimplemente conectado grupo Solvable Lie con crecimiento polinomio y GN su nilshadow\n(véase la sección 3).\nProposición 5.1. Que H sea un subgrupo cerrado de cocompacto de G y un H-\npseudodistancia periódica (véase la definición 4.1) en G. Existe un subconjunto cerrado HK\nque contiene H, que es un subgrupo de cocompacto para G y GN, y un HK-\nperiódica (para ambas estructuras de mentira) pseudodistancia\n(29) lim\nK(e, x)\n(e, x)\nEl subgrupo cerrado HK se considerará el cierre del grupo generado\npor todos los elementos de la forma k(h), donde h pertenece a H y k pertenece a la\ncierre K en el grupo Aut(G) de la imagen de H bajo el homomorfismo\nT : G → Aut(G) introducido en la sección 3. Es fácil comprobar desde la definición\ndel producto nilshadow (1) que se trata de un subgrupo tanto en G como en su\nNilshadow GN.\nLa nueva pseudodistancia K se define de la siguiente manera, utilizando un doble promedio\nprocedimiento:\n(30) K(x, y) :=\n(gk(x), gk(y))dkdμ(g)\nAquí la medida μ es la medida Haar normalizada en el espacio de coset H\\HK\ny dk es la medida Haar normalizada en el grupo compacto K. Recordemos que\ntodos los subgrupos cerrados de S son unimodulares (ya que tienen crecimiento polinomio por\n[21][Lemme I.3.]). De ahí la existencia de medidas invariantes en los espacios coset.\nUna parte esencial de la prueba de la Proposición 5.1 está incluida en la siguiente\ndeclaración:\n28 EMMANUEL BREUILLARD\nProposición 5.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en G que es invariante\nbajo un subgrupo de cocompacto H. Entonces ♥ es asintóticamente invariante bajo el\nacción de K = {T (h), h {H} Aut(G). Es decir, (uniforme) para todos los k ° K,\n(31) lim\n(e, k(x))\n(e, x)\nLa prueba de la Proposición 5.2 se divide en dos pasos. Primero mostramos que lo es.\nlo suficiente para demostrar (31) para un denso subconjunto de k’s. Esto es una consecuencia de lo siguiente:\ndeclaración de continuidad:\nLemma 5.3. Deja فارسى > 0, entonces hay un barrio U de la identidad en K tales\nque, para todos los k â € ¢ U,\nlimx\n(x, k(x))\n(e, x)\nEntonces mostramos que la acción de T (g) se puede aproximar por la conjugación\npor g, esencialmente porque la parte unipotente de esta conjugación no se mueve x\nmucho cuando x está lejos. Este es el contenido del siguiente lema:\nLemma 5.4. Que sea una pseudodistancia periódica en G que es invariante bajo\nun subgrupo de cocompacto H. A continuación, para cualquier فارسى > 0, y cualquier subconjunto compacto F en H\nhay s0 > 0 tal que\n(e, T (h)x) − (e, hx) ≤ (e, x)\npara cualquier h • F y tan pronto como •(e, x) > s0.\nPrueba de la Proposición 5.2 módulo Lemmas (5.3) y (5.4):\nser H-invariante, por cada h â € H, tenemos (e, h−1x)/?(e, x) → 1. La prueba de\nla proposición sigue inmediatamente de la combinación de los dos últimos\nLemas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n5.2. Prueba de Lemmas (5.3) y (5.4). Elegimos los subespacios K-invariantes mi’s\ny l del nilshadow gN de g como en Lemma 3.12 de la sección 3. En particular\ngN = Sr. ...............................................................................................................................................\ndonde cada término es K-invariante, n = [gN, gN ] l y C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1 (gN ).\nPor otra parte, t(x) = t\nix si x â € mi (aquí m1 = lâ € v).\nTambién establecemos v(x) = maxi i\ni if x = expN (r) ∗. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ni > 0 y d0 = 1. Y dejamos que x := maxi-xi\n1/di si x = xr +. ...........................................................................................................\npor encima de la descomposición directa de la suma.\nNótese que · es una cuasi-norma de los t-homógenos. Además, es sencillo\nverificar (utilizando la fórmula Campbell-Hausdorff (12) y la Proposición 2.4) que\nv(x) ≤ CxC para alguna constante C > 0. En particular:\nde los restos delimitados\ncomo x se vuelve grande.\nPrueba de Lemma 5.3. Combinando las Proposiciones 4.5 y 4.6, hay una constante\nC > 0 De tal manera que para todos x, y â € € TM G,?(x, y) ≤ Cx1 * y + C. Por lo tanto tenemos\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 29\nreducido a probar la declaración para · en lugar de ♥, a saber, es suficiente para mostrar\nque x1 ∗ k(x) se vuelve insignificante comparado con x como x va al infinito y k\ntiende a 1.\nDe la fórmula Campbell-Baker-Hausdorff (11) y (12) se desprende que, si\nx, y GN y x, y son O(t), entonces 1\nx ∗ y) − 1\nx) * 1\n(y) = O(t−1/r), y\nSimilarmente 1\n(x1 *. * xm) − 1\nx1) ∗. ...............................................................................................\n(xm) = Om(t\n−1/r), para m elementos\nxi con xi = O(t). Por lo tanto, al escribir x = expN (r) ∗... ∗ expN (0), y el ajuste\nt = x, obtenemos así que la cantidad siguiente\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(x1* k(x)−\n0≤i≤r\nexpN (−t\n−di®i)*\n0≤i≤r\nexpN (t\n−dr−ik(r−i))\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nes un O(t−1/r). De hecho, recuerden de Lemma 3.12 que k(x) = expN (k(r))*...*\nexpN (k(+0)). A medida que x se hace más grande, cada t\n−diñái permanece en un subconjunto compacto de mi.\nPor lo tanto, como k tiende a la identidad en K, cada t-dik(i) se vuelve uniformemente cerca\na t-diÃ3ri independientemente de la elecciÃ3n de x Ã3 GN siempre y cuando t = xà es grande. Los\nEl resultado es el siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba de Lemma 5.4. Recordemos que hx = h* T (h)x para todas las x, h • G (véase (1).\nPor la desigualdad del triángulo es suficiente con atar Ł(y, h* y), donde y = T (h)x.\nDe las Proposiciones 4.5 y 4.6,...........................................................................................................................................................................................................................................................\nconstantes a la cuasi-norma homogénea ·. Por lo tanto, el Lemma sigue de la\nA continuación:\nLemma 5.5. Que N sea un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado y que · sea una\nnorma homogénea sobre N asociada a un grupo de dilaciones de 1 parámetro\nPara cualquiera de los dos subconjuntos compactos F de N, hay una constante s2 > 0\nde tal manera que\nx−1gx ≤ x\npara todos los g de F y tan pronto como x > s2.\nPrueba. Recordemos, como en la prueba del último lema, que para cualquier c1 > 0 hay\na c2 > 0 Tal que si t > 1 y x, y N son tales que x, y ≤ c1t, entonces\nxy)− 1\nx) * 1\n(y) ≤ c2t\n−1/r. En particular, si establecemos t = x, entonces\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(x−1gx)− 1\nx)–1 ∗ 1\ng) ∗ 1\n≤ c2t−1/r\nPor otro lado, como g permanece en el conjunto compacto F, 1\n(g) tiende uniformemente a\nla identidad cuando t = x va a la infinidad, y 1\n(x) permanece en un conjunto compacto.\nPor continuidad, vemos que 1\nx)–1 ∗ 1\ng) ∗ 1\n(x) se vuelve arbitrariamente pequeño como t\nincrementos. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n30 EMMANUEL BREUILLARD\n5.3. Prueba de la Proposición 5.1. Primero probamos el siguiente estado de continuidad:\nmento:\nLemma 5.6. Seamos una pseudodistancia periódica en G y فارسى > 0. Entonces, ahí está.\nexiste un barrio de la identidad U en G y s3 > 0 tal que\n1--(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(--)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(--(-)-(-)-(--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n(e, gx)\n(e, x)\n≤ 1 + \ntan pronto como g (U) y (e, x) > s3.\nPrueba. Deja que N sea una métrica de Riemanniano invariante a la izquierda en el GN de nilshadow.\n• (e, x)− • (e, gx) ≤ • (x, gx) ≤ • (x, g* x) + • (g* x, gx)\nSin embargo, en algunos casos C > 0, por la Proposición 4.6. Por otra parte, por\n(1) tenemos gx = g* T (g)x. Por lo tanto\n(e, x) − (e, gx) ≤ C/23370/N (x, g* x) + C/23370/N (x, T (g)x) + 2C\nPara completar la prueba, aplicamos Lemmas 5.5 y 5.3 en el lado derecho de arriba.\nProcedemos con la prueba de la Proposición 5.1. Let L ser el conjunto de todos g G\nDe tal manera que el punto (e, gx)/el punto (e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito en G. Claramente L es un\nEl subgrupo de G. Lemma 5.6 muestra que L está cerrada. La invarianza H de las garantías\nque L contiene H. Además, la Proposición 5.2 implica que L es invariante bajo K.\nEn consecuencia, L contiene HK, el subgrupo cerrado generado por todos los k(h), k+K,\nh. H. Esto, junto con la Proposición 5.2, concede una convergencia\nintegrand en (29). Convergencia de la integral sigue mediante la aplicación de Lebesgue\nTeorema de convergencia dominado.\nEl hecho de que K es invariante bajo la multiplicación izquierda por H e invariante bajo\nLa precomposición por automorfismos de K asegura que K es invariante bajo *-\nmultiplicación izquierda por cualquier elemento h H, donde * es la multiplicación en el\nNilshadow GN. Por otra parte, comprobamos que T (g) • K si g • HK, por lo tanto HK es un\nsubgrupo de GN. Es claramente cocompacto en GN también (si F es compacto y HF = G\nentonces H * FK = G donde FK es la unión de todos los k(F ), k • K).\nClaramente K es apropiado y localmente limitado, así que para terminar la prueba, nosotros\nSólo hay que comprobar que K es geodésico asintóticamente. Por la invarianza H de la letra K) y de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia,\nya que H es cocompacto en G, es suficiente para exhibir un pseudogeodésico entre e\ny un punto x â € H. Dejar x = z1 ·... ·zn con zi â € H y\n(e, zi) ≤ (1) (e, x).\nFijar un dominio fundamental compacto F para H en HK para que la integración en (29)\nsobre H\\HK se sustituye por la integración sobre F. Luego para algunos constante CF > 0\ntienen (g, gz) − ♥(e, gz) ≤ CF para g F y z H. Por otra parte, se deduce de\nProposición 5.2, Lemma 5.6 y el hecho de que HK\n(32) l(e, gk(z)) ≤ (1 + ♥) · l(e, z)\npara todos los g de F, k de K y tan pronto como z de G es lo suficientemente grande. Fijar s lo suficientemente grande\nde modo que CF ≤ فارسىs y que (32) se mantenga cuando (e, z) ≥ s. Como ya se ha observado en\nla discusión siguiente a la definición 4.1 (propiedad 4.2 (3)) podemos tomar la\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 31\nque s\n≤ (e, zi) ≤ s. A continuación, nCF ≤ nsl ≤ 3(e, x). Finalmente conseguimos para...................................................................................................................\nx lo suficientemente grande\nK(e, zi) ≤ CFn+ (1 + )\n2o(e, x)\n≤ CFn+ (1 + )\n3K(e, x)\n≤ 1 + 10 °) · K(e, x)\ndonde hemos utilizado la convergencia?K/ 1 que acabamos de probar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. El caso de los nilpotentes\nEn esta sección, probamos el Teorema 1.4 y sus corolarios expresados en el Intro-\nla inducción para un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Básicamente seguimos a Pansu’s\nargumento de [27], aunque nuestro enfoque difiere algo en su presentación.\nA lo largo de la sección, el grupo Nilpotent Lie será denotado por N, y su Mentira\nálgebra por n.\nQue m1 sea cualquier subespacio vectorial de n de tal manera que n = m1 â € [n, n]. Dejemos que η1 el\nproyección lineal asociada de n a m1. Dejar que H sea un subgrupo de cocompacto cerrado\nde N. A cada pseudodistancia H-periódica en N asociamos una norma 0 en\nm1 que es la norma cuya bola unidad se define como el casco convexo cerrado de todos\nlos elementos η1(h)/l(e, h) para todos los elementos h(h)}. En otras palabras,\n(33) E := {x â € m1, â € € > 0 ≤ 1} = CvxHull\nη1(h)\n(e, h)\n, h â â € TM â TM â TM â TM â TM â TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nEl conjunto E es claramente un subconjunto convexo de m1 que es simétrico alrededor de 0 (desde \nes simétrico). Para comprobar que E es de hecho la bola unitaria de la norma sobre m1 permanece\npara ver que E está limitada y que 0 se encuentra en su interior. El primer hecho es el siguiente:\ninmediatamente desde (23) y Ejemplo 2.3. Si 0 no se encuentra en el interior de E,\nentonces E debe estar contenido en un subespacio adecuado de m1, contradiciendo el hecho de que\nH es cocompacto en N.\nTomando grandes poderes hn, vemos que podemos reemplazar el conjunto H e} en el anterior\ndefinición por cualquier barrio de infinito en H. Del mismo modo, es fácil ver que\nse mantiene lo siguiente:\nProposición 6.1. Para s > 0 dejar Es ser el casco convexo cerrado de todos η1(x)/l(e, x)\ncon x N y x > s. A continuación E =\ns>0Es.\nPrueba. Debido a que es H-periódico, tenemos ♥(e, hn) ≤ n/23370/(e, h) para todos los n+N y h+H.\nEsto muestra E â € TM\ns>0Es. La inclusión opuesta se deriva fácilmente del hecho de que\nSe encuentra a una distancia limitada de su restricción a H, es decir. a partir del punto 4.2 (1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora elegimos un conjunto de subespacios suplementarios (mi) comenzando con m1 como en\nPárrafo 2.2. Esto define un nuevo producto de la Mentira * en N de modo que N = (N, *) es\nestratificado. Entonces podemos considerar la métrica de Carnot-Carathéodory invariante *-izquierda\nasociado a la norma 0 tal como se define en el párrafo 2.1 sobre el nilpotente estratificado\nGrupo de mentiras N. En esta sección, probaremos el teorema 1.4 para grupos nilpotentes en\nel siguiente formulario:\n32 EMMANUEL BREUILLARD\nTeorema 6.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en N y d- el Carnot-\nmétrica de caratheodory definida arriba, entonces como x tiende a infinito en N\n(34) lim\n(e, x)\nd-(e, x)\nNótese que la variable de la izquierda es para el producto de la Mentira, pero no para la Mentira original.\nproducto en N.\nAntes de ir más lejos, vamos a sacar algunas consecuencias simples.\n(1) En el Teorema 6.2 podemos reemplazar a d(e, x) por d(e, x), donde d es la izquierda\nmétrica invariante del Carno-Carateosorio en N (en lugar de N\nnorma 0 (en contraposición a la norma d, que es ∗-invariante de izquierda). Por lo tanto, d y d son\nasintótico. Esto se desprende de la combinación de Teorema 6.2 y Observación 2.1.\n2) Observar que la elección de m1 fue arbitraria. Por lo tanto, dos Carnot-Carathéodory\nmétricas correspondientes a dos opciones diferentes de un subespacio suplementario m1\ncon la misma norma inducida en n/[n, n], son equivalentes asintóticamente (es decir, su\nla relación tiende a 1), y de hecho isométrica (véase la Observación 2.1). Por el contrario, si dos\nLas métricas Carnot-Carathéodory están asociadas al mismo subespacio suplementario\nm1 y son equivalentes asintóticamente, deben ser iguales. Esto muestra que el\nconjunto de todas las normas posibles sobre el espacio vectorial cociente n/[n, n] está en\nel conjunto de todas las clases de equivalencia asintótica de las métricas Carnot-Carathéodory en\n(3) Como otra consecuencia vemos que si un local limitado propio y asymp-\nseudodistancia izquierda invariante toticalmente geodésica en N también es homogénea con\npor lo que respecta al grupo de 1 parámetro (t)t (es decir, Entonces tiene que ser\nde la forma \"(x, y)\" = \"(e), \"(x)\"\n−1y) donde d.o. es una métrica Carnot-Carathéodory en\n6.1. Volumen asintótico. Teorema 6.2 también produce una fórmula para el asintótico\nvolumen de bolas de gran radio. Vamos a fijar una medida de Haar en N (por ejemplo\nLa medida Lebesgue sobre n da lugar a una medida Haar sobre N en virtud de la exp). Desde el día de la reunión.\nes homogéneo, es sencillo calcular el volumen de un d-ball:\nvol({x N, d(e, x) ≤ t}) = t\nd(N)vol({x â € N, dâ € (e, x) ≤ 1})\ndonde d(N) =\ni≥1 dim(C)\ni(n)) es la dimensión homogénea de N. Para un pseu-\ndodistancia como en la declaración de Teorema 6.2, podemos definir el vol asintótico\nel volumen de la bola de unidad para el Carnot-Carathéodory asociado\nmétricas d...................................................................................................................................................................\nAsV ol() = vol({x N, d(e, x) ≤ 1})\nEntonces obtenemos como corolario inmediato del Teorema 6.2:\nCorolario 6.3. Dejemos que sea pseudodistancia periódica en N. Entonces\ntd(N)\nvol({x N, (e, x) ≤ t}) = AsV ol() > 0\nPor último, si se trata de un grupo arbitrario nilpotente finitamente generado, tenemos que tomar\ncuidado de los elementos de torsión. Forman un subgrupo finito normal T y aplican\nTeorema 6.2 a /T, obtenemos:\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 33\nCorolario 6.4. Let S ser un conjunto de generación simétrica finita de la bola y Sn\nde radio n es la palabra métrica de S asociada a S, entonces\nnd(N)\n#Sn = #T ·\nAsV ol(lS)\nvol(N/)\ndonde N es el cierre de Malcev de • = •/T, el cociente libre de torsión de •, y dS\nes la palabra pseudodistancia asociada a S, la proyección de S en.\nPor otra parte, es posible ser un poco más preciso sobre AsV ol(lS). De hecho,\nla norma 0 sobre m1 utilizado para definir el límite Carnot-Carathéodory distance d\nasociado a S es una norma poliédrica simple definida por\nx ≤ 1} = CvxHull (γ1(s), s S)\nDe manera más general, las siguientes reservas. Dejar que H sea cualquier subgrupo cerrado, cocompacto\nde N. Elija una medida Haar en H para que volN (N/H) = 1. Rendimientos del teorema 6.2:\nCorolario 6.5. Vamos a ser un compacto simétrico (es decir. Barrio de\nla identidad, que genera H. Dejar 0 ser la norma en m1 cuya bola unidad es\nCvxHull1()} y dejar que dŁ sea la correspondiente métrica Carnot-Carathéodory en\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces tenemos el siguiente límite en la topología de Hausdorff\n(ln) = {g + N, d{e, g) ≤ 1}\nvolH(\nnd(N)\n= volN ({g N, d(e, g) ≤ 1})\n6.2. Esquema de la prueba. Primero diseñamos algunos lemas estándar sobre la pieza...\naproximaciones prudentes de las vías horizontales (Lemmas 6.6, 6.7, 6.10). Entonces se muestra\n(Lemma 6.11) que el producto original en N y el producto en el\ngrupo de la mentira calificada son asintóticos entre sí, es decir, si (?t)t es un 1-parámetro\ngrupo de dilaciones de N, luego después de la renormalización por 1\n, el producto de O(t)\nelementos que se encuentran en algún subconjunto limitado de N, está muy cerca de la renormalización\nproducto de los mismos elementos en el grupo de la Mentira graduada N. Esta es la razón por la que todos los com-\nlas aplicaciones debido al hecho de que N no puede ser calificado a priori y los\nno ser automorfismos desaparecen cuando se mira la geometría a gran escala de la\ngrupo. Por último, observamos (Lemma 6.13), como se desprende de la propia definición de\nla unidad de bola E para la norma límite 0, que cualquier vector en el límite de E,\nse puede aproximar, después de volver a normalizar por 1\npor algún elemento x â € TM N acostado en\nun anillo fijo s(1 − ) ≤ (e, x) ≤ s(1 + ). Esto nos permite afirmar que cualquier\nLa geodésica-cuasi da lugar, después de la renormalización, a una di-geodésica (esto da la\nlímite inferior en el teorema 6.2). Y viceversa, que cualquier d-geodésico puede ser ap-\nproximalmente uniformemente por algunos geodésicos renormalizados \nencuadernado en Teorema 6.2).\n34 EMMANUEL BREUILLARD\n6.3. Lemas preliminares.\nLemma 6.6. Que G sea un grupo de Mentira y que e sea una norma euclidiana sobre la Mentira\nálgebra de G y de(·, ·) la métrica izquierda invariante Riemanniana asociada en G.\nQue K sea un subconjunto compacto de G. Luego hay una constante C0 = C0(de,K) > 0\nDe modo que cuando de(e, u) ≤ 1 y x, y\nde(xu, yu)− de(x, y) ≤ C0de(x, y)de(e, u)\nPrueba. La prueba se reduce al caso cuando u y x-1y están en un barrio pequeño\nde e. Entonces la desigualdad se reduce a lo siguiente:\nalgunos c > 0 y cada X,Y en Lie(G). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.7. Dejar G ser un grupo de la mentira, dejar ser alguna norma en el álgebra de la mentira de\nG y dejar de(·, ·) ser una métrica riemanniana invariante izquierda en G. Entonces para cada\nL > 0 hay una constante C = C(de, , L) > 0 con la siguiente propiedad.\nSupóngase: [0, 1] → G son dos caminos lisos en el grupo de la Mentira G\ncon â € 1(0) = â € 2(0) = e. Let â €\ni • Lie(G) ser el vector tangente tirado hacia atrás en el\nidentidad por una traducción a la izquierda de G. Asumir que supta[0,1] \n1 t) ≤ L, y que\n1(t)−\n2 t) ° dt ≤ °. Entonces\n≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > > > > > 1 > 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > > > > > \nPrueba. La función f(t) = de(1(t), 2(t)) es lisa a trozos. Para el pequeño dt nosotros\npuede escribir, utilizando Lemma 6.6\nf(t+ dt)− f(t) ≤ de(1(t)\n1 t)dt, 1 t)\n2(t)dt) + de(1(t)\n2 t)dt, 2 t)\n2(t)dt)− f(t) + o(dt)\n1(t)− 2(t)\nDT+ C0f(t)\n2(t)dt\n+ o(dt)\n≤ (t)dt +C0Lf(t)dt+ o(dt)\nen los que Ł(t) = 1(t)−\n2 t)oe. En otras palabras,\nf ′(t) ≤ (t) + C0Lf(t)\nDado que f(0) = 0, el lema de Gronwall implica que f(1) ≤ eC0L\n(s)e−C0Lsds ≤ C.\nA partir de ahora, tomaremos a G como el estratificado grupo de Nilpotent Lie, y\nde(·, ·) denotará una métrica de Riemanniana invariante izquierda en N, mientras que d(·, ·) es una izquierda\nmétrica de Carnot-Carateodory Finsler invariante en N.o asociado a alguna norma \nen m1.\nObservación 6.8. Hay c0 > 0 tal que c\n0 de(e, x) ≤ d(e, x) ≤ c0de(e, x)\nr en a\nbarrio de e. Por lo tanto, en la situación del lema se obtiene dâ € (â € 1, â € 2(1)) ≤\nr para alguna otra constante C1 = C1(L, d.o., de).\nLemma 6.9. Let N â € N y dN (x, y) ser la función en Nâ € definido en el\nde la siguiente manera:\ndN (x, y) = inf{\n(u)\nHPL(N), (0) = x, ((1) = y}\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 35\ndonde HPL(N) es el conjunto de trayectorias horizontales que son lineales a trozos con en\nla mayoría de los N posibles valores para. A continuación, tenemos dN → de forma uniforme en compacto\nsubconjuntos de N.O.\nPrueba. Tenga en cuenta que se desprende del teorema de Chow (p. ej. Véase [25] o [19]) que allí\nexiste K0 â € N tal que A := supdâ(e,x)=1 dK0(e,x) <. Por otra parte, ya que pieza-\nlos caminos lineales sabios son densos en L1, sigue por ejemplo de Lemma 6.7 que para\ncada x fijo, dn(e, x) → d•(e, x). Tenemos que demostrar que dN (e, x) → d(e, x) uni-\nFormalmente en x satisfaciendo d.(e, x) = 1. Por contradicción, supongamos que hay una secuencia\n(xn)n de tal manera que, en algunos casos, se destinen a la categoría D(e, xn) = 1 y a la categoría dn(e, xn) ≥ 1 + 0. Podemos\nasumir que (xn)n converge para decir x. Dejar que yn = x\n−1 *xn y tn = d(e, yn). Entonces\ndK0(e, yn) = tndK0(e, 1\n(yn)) ≤ Atn. Así dn(e, xn) ≤ dn(e, x) + dn(e, yn) ≤\ndn(e, x) + Atn tan pronto como n ≥ K0. Como n tiende a........................................................................... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEste lema indica la siguiente notación. En el caso de los países de la Europa central y oriental, el número de países de la Europa central y oriental será el más elevado de los países de la Europa central y oriental.\nprimer número entero de tal manera que 1 ≤ dN(e, x) ≤ 1 + para todas las x con d(e, x) = 1. Entonces nosotros\ntener:\nLemma 6.10. Por cada x â € Nâ € con dâ € (e, x) = 1, y todos â € > 0 existe un\nruta : [0, 1] → N.O. en HPL(N.O.) con velocidad unitaria (es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n= 1) tales que (0) = e\n≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >\n′ tiene como máximo una discontinuidad en cualquier subintervalo de\n[0, 1] de longitud.\nPrueba. Sabemos que hay una ruta en HPL(NŁ) que conecta e a x con la longitud\nl ≤ 1 + فارسى. Reparar el camino para que tenga velocidad de unidad, obtenemos un camino\n•0 : [0, l] → N.O. en HPL(N.O.) con d.O.(x, +0(1)) = d.O.(+0(l), +0(1)) ≤. La deriva...\ntivo 0 es constante en a lo sumo N♥ diferentes intervalos dicen [ui, ui+1). Quitemos\ntodos estos intervalos de longitud ≤ r/N, fundiéndolos en un intervalo adyacente\ny vamos a cambiar el valor de 0 en estos intervalos al valor en el adja-\nIntervalo de céntimos (no importa si elegimos el intervalo a la izquierda o en el\na la derecha). Obtenemos una nueva ruta : [0, 1] → N\nTal que tiene a lo sumo una discontinuidad en cualquier subintervalo de [0, 1] de longitud\n........................................................................................................................................................................................... Además\n(t)− 0(t)\nr. Por Lemma 6.7 y Observación 6.3, nosotros\nque tengan, por lo tanto, ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >\n≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1)\nLemma 6.11 (Aproximación horizontal de senderos). Que x*y denote la\nproducto dentro del grupo estratificado Lie N y x · y el producto ordinario en N.\nDejar n • N y t ≥ n. A continuación, para cualquier subconjunto compacto K de N, y cualquier x1,..., xn\nelementos de K, tenemos\nde(l) 1\n(x1 ·... · xn),\n(x1 ∗... ∗ xn)) ≤ c1\nde(l) 1\n(x1 ∗... ∗ xn),\n(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c2\n36 EMMANUEL BREUILLARD\ndonde c1, c2 dependen de K y de solamente.\nPrueba. Dejar ser una norma en el álgebra de la mentira de N. Para k = 1,..., n dejar zk =\nx1 ·... ·xk−1 y yk = xk+1 *...*xn. Puesto que todos los xis pertenecen a K, se deriva de (24)\nque tan pronto como t ≥ n, todos los\nzk) y 1\n(yk) para k = 1,..., n permanecer en un conjunto limitado\ndependiendo sólo de K. Comparando (12) y (11), vemos que cuando y = O(1)\ny 1\n(x) = O(1), tenemos\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\nxy)− 1\nx ∗ y)\n= O(\nPor otra parte, a partir de (12) es fácil verificar ese derecho *-multiplicación por un\nelemento limitado es Lipschitz para y la constante Lipschitz se limita localmente.\nSe deduce que hay una constante C1 > 0 (dependiendo sólo de K y ) tales\nque para todos los k ≤ n\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(zk · xk) ∗ yk)− 1\n(zk * xk * yk)\n≤ C1\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(zk · xk)− 1\n(zk ∗ xk)\nAplicando n veces la relación (35) con x = x1 ·... · xk−1 e y = xk, finalmente\nobtener 1\n(x1 ·... · xn)− 1\n(x1 ∗... ∗ xn)\n= O(\n) = O(\ndonde O() depende sólo de K. Por otro lado, utilizando (11), es otro simple\nverificación para comprobar que si x, y se encuentran en un conjunto limitado, entonces 1\nde(x, y) ≤ â € ~ x− yâ €\n≤ c2de(x, y) para algunas constantes c2 > 0. La primera desigualdad sigue.\nPara la segunda desigualdad, aplicamos Lemma 6.7 a las rutas de salida\nen e y con derivado igual a [ k\n, k+1\n) a no 1\nxk) en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n».\nη1(xk)\npara 2 libras esterlinas.\nLo conseguimos.\nde(l) 1\n(x1 ∗... ∗ xn),\n(η1(x1)*...* η1(xn)) = O(\nObservación 6.12. De la Observación 6.3 vemos que si reemplazamos de por d\nLemma, obtenemos el mismo resultado con 1\nsustituida por t−\nLemma 6.13 (Aproximación en el grupo abelianizado). Recuerde que 0 es el\nnorma sobre m1 definida en (33). Para cualquier فارسى > 0, existe s0 > 0 tal que para cada\ns > s0 y cada v â € m1 de tal manera que â € € TM = 1, existe h â € H tal que\n(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -)\ny \nη1(h)\n(e, h)\nPrueba. Deja que se arregle فارسى > 0. Considerando una red finita en E, vemos que existe\nun subconjunto simétrico finito {g1,..., gp} de Häe} de tal manera que, si consideramos el cerrado\nconvex casco de F = {fi = η1(gi)/l(e, gi)i = 1,..., p} y la norma asociada\nen m1, entonces 0 ≤ ≤ (1 + 2) 0. Hasta la reducción de F si es necesario, podemos\nasumir que fi = 1 para todos i’s. También podemos suponer que el fi de generar m1 como\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 37\nun espacio vectorial. La esfera {x, x = 1} es un poliedro simétrico en m1 y a\ncada una de sus facetas corresponde d = vértices dim(m1) yace en F y forma un vector\nbase de m1. Let f1,..., fd, digamos, ser tales vértices para una faceta dada. Si x m1 es de la\nforma x =\ni=1 ♥ifi con ♥i ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ d entonces vemos que x =\ni=1 ♥i,\nporque el casco convexo de f1,..., fd es precisamente esa faceta, por lo tanto se encuentra en la esfera\n{x, x = 1}.\nAhora vamos a v m1, v0 = 1, y vamos a > 0. La televisión de media línea, t > 0, llega a la\nesfera {x, x = 1} en un punto. Este punto pertenece a alguna faceta y allí\nson d elementos linealmente independientes de F, digamos f1,..., fd, los vértices de esa faceta,\ntal que este punto pertenece al casco convexo de f1,..., fd. El punto sv entonces miente\nen el cono convexo generado por η1(g1),..., η1(gd). Por otra parte, hay una constante\nÍndices de las emisiones de gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero, según se indica en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]\nmax1≤i≤p l(e, gi)) de forma que\nsv −\nNinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\npara algunos enteros no negativos n1,..., nd dependiendo de s > 0. Por lo tanto\nn(e, gi) =\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nNinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(sv + CŁ)\n≤ 1 + 2\n≤ 1 + 3\ndonde la última desigualdad se mantiene tan pronto como s > C\nAhora vamos a h = g\n1 ·... · g\nd H. Tenemos η1(h) =\ni=1 niη1(gi)\n(e, h) ≥ 1(h)0 ≥ s−\nAdemás\n(e, h) ≤\nn(e, gi) ≤ s(1 + 3\nCambiando a \"decir\" a \"decir\"\ny, por ejemplo, el número de personas menores de 1 año\n, obtenemos el resultado deseado con s0() =\nmax1≤i≤p l(e, gi). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6.4. Prueba de Teorema 6.2. Tenemos que mostrar que como x→ • en N\n1 ≤ lim\n(e, x)\nd-(e, x)\n≤ lim\n(e, x)\nd-(e, x)\nPrimera nota que es suficiente para probar los límites para x â € ¢ H. Esto sigue de\n(4.2) (1).\nComencemos con el límite inferior. Nos fijamos en la definición de 0 y s = s()\nde una métrica geodésica asintótica (véase el punto 21). Sabemos por 4.2 (3) y (4) que\ntan pronto como se encuentre x1,..., xn en H con s ≤ ♥(e, xi) ≤ 2s tales que\nxi y\n(e, xi) ≤ (1 + Let t = dŁ(e, x), entonces n ≤\n(e, x),\npor lo tanto n ≤ C\nt donde C es una constante que depende únicamente de C (véase el punto 23). Podemos\n38 EMMANUEL BREUILLARD\na continuación, aplicar Lemma 6.11 (y la observación siguiente) para obtener, como t ≥ n tan pronto como\ns() ≥ C,\nd-(l)-(l)-(l)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)\n(x), 1\n(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c\nPero para cada i tenemos 1(xi)+0 ≤ ♥(e, xi) por definición de la norma, por lo tanto\nt = d(e, x) ≤\n1(xi)+0(x, π1(x1) ∗... 1(xn)) ≤ (1+ \nPuesto que Ł fue arbitrario, dejando t→ ♥ obtenemos\n(e, x)\nd-(e, x)\nPasamos ahora al límite superior. Let t = dŁ(e, x) y فارسى > 0. De acuerdo con\nLemma 6.10, hay un camino lineal horizontal por partes (u)}u[0,1] con unidad\nvelocidad de tal modo que d() 1\n(x), • 1)) ≤ C2 y sin intervalo de longitud ≥\ncontiene\nmás de un cambio de dirección. Dejad que Lemma 6.13 dé s0() y asumid\nt > s0(\nr)N.O.\nr. Dividimos [0, 1] en n subintervalos de longitud u1,..., de tal manera que\nes constante igual a yi en la subintervalo i-th y s0(\nr) ≤ tui ≤ 2s0\nr). Nosotros\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lemma 6.13 produce puntos xi â € H tales que\nyi −\nη1(xi)\n≤ ♥\ny (e, xi) [(1 − \nr)tui, (1 + \nr)tui] (obsérvese que tui > s0(\nr)). Vamos a ser el\ntrazo lineal a partir de piezas [0, 1] → No con las mismas discontinuidades\nvalor yi se sustituye por\nη1(xi)\n. Luego, según Lemma 6.7, d...... (.................................................................................................................................................................................................................................................... \nDesde el punto de vista de la letra e) del punto xi) ≤ 4s0\nr) para cada i, podemos aplicar Lemma 6.11 (y la observación\ny ver que si y = x1 ·... · xn,\nd()(1), 1\n(y)) ≤ c′1()t\nPor lo tanto, d() 1\n(x), 1\n(y)) ≤ (C2+C)c\n1(l)t\nr y ♥(e, y) ≤\n(e, xi) ≤ 1\nSin embargo, el valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto\n(x−1y)) + C ′ ≤ t(Cd\n(x), 1\n(y)) + o............................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto\n(e, x) ≤ t+ o(t)\nObservación 6.14. En el último argumento usamos el hecho de que\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(xu)− 1\n(x ∗ u)\n= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 \n) si 1\nx) y 1\n(u) están limitados, con el fin de obtener para y = xu,\nd-(e, 1-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)\n(u)) ≤ d\n(x), 1\n(xu)) + d\n(xu), 1\n(x ∗ u))\n≤ d.o.p.\n(x), 1\n(y)) + o(1).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 39\n7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados\nEn esta sección, probamos el Teorema 1.2 y completamos la prueba del Teorema 1.4\ny sus corolarios. Comenzamos con lo último.\nPrueba de Teorema 1.4. Es la combinación de la Proposición 5.1, que reduce la\nproblema a los grupos nilpotent Lie, y Teorema 6.2, que trata el caso nilpotent.\nSólo queda por justificar la última afirmación de que el d- es invariante en virtud de la T (H).\nYa queK = T (H) estabilizam1 (véase Lemma 3.12 para la definición dem1) y actúa\npor automorfismos de la estructura nilpotente (nilshadow) (Lemma 3.5), dada la\nk K, la métrica dŁ(k(x), k(y)) no es otra cosa que el invariante izquierdo subFinsler\nmétrica en el nilshadow asociado a la norma â € € TM k(v)â € para v â € m1 (si â € € ~ € ~ € ~ ~ denota\nla norma asociada a d.o.p.).\nSin embargo, d.o. es asintóticamente invariante bajo K, debido a la Proposición 5.1.\nEs decir, dÃ3(e, k(x))/dÃ3(e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito. Por último, d(e, v) =\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Dos normas asintóticas en un vector\nEl espacio siempre es igual. De ello se deduce que las normas sobre m1 coinciden entre sí.\nPor lo tanto, de la letra e), k (x) = d(e, k (x)) para todas las x â € S, como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba del corolario 1.8. En primer lugar, algunas observaciones iniciales (véase también la Observación 2.1). Si d es\nuna métrica subFinlser invariante izquierda en un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado\ninducido por una norma sobre un subespacio suplementario m1 del conmutador\nsubálgebra, entonces se deriva de la definición misma de las métricas subFinsler (ver\nPárrafo 2.1) que el 1 de enero es 1-Lipschitz entre el grupo Lie y la abelianización\nde ella dotada de la norma, es decir, 1(x) ≤ d(e, x), con la igualdad si x m1.\nA partir de esto y considerando la definición de la norma límite en (33), concluimos\nque coincide con la norma límite de d. En particular el teorema 6.2 implica\nque d es asintótico a la métrica invariante ∗-izquierda subFinsler d\nla misma norma en el grupo de Lie calificado (No,*).\nAhora podemos probar el corolario 1.8. Por la observación anterior, el límite métrica d\nen la nilshadow graduada de S es asintótica a la métrica subFinsler d inducida\npor la misma norma, en el mismo (K-invariante) subespacio suplementario m1\ndel subalgebra conmutador de la nilshadow, y que se deja invariante para\nla estructura de nilshadow en S. Sin embargo, se deduce de Teorema 1.4 que d\ny la norma son K-invariantes. Esto implica que d también es invariante a la izquierda\ncon respecto a la estructura de grupo de Lie original de S. De hecho, por (1), podemos\nescribir d(gx, gy) = d(g* (T (g)x), g* (T (g)y)) = d(T (g)x, T (g)y) = d(x, y), donde *\ndenota esta vez la estructura del producto nilshadow. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba del corolario 1.7. Esto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ de-\nseñala el producto nilshadow clasificado. Si ∗ denota la estructura del grupo de nilshadow,\nentonces se desprende de Teorema 6.2 y la observación que acabamos de hacer en la prueba de\nCorollary 1.8 (véase también la Observación 2.1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7.1. Prueba de Teorema 1.2. Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio\ncrecimiento. Demostraremos que G tiene un subgrupo K normal compacto de tal manera que G/K\n40 EMMANUEL BREUILLARD\ncontiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que se puede realizar como una co-\nsubgrupo compacto de un grupo de tipo Solvable Lie conectado y simplemente conectado\n(R) (es decir, de crecimiento polinomio). La prueba seguirá en varios pasos.\n(a) Primero mostramos que hasta la modificación por un subgrupo compacto normal, podemos\nasumir que G es un grupo de mentiras cuyo componente conectado de la identidad no tiene\nsubgrupo normal compacto. De hecho, se deriva del refinamiento de Gromov por parte de Losert\nteorema ([24] Teorema 2) que existe un subgrupo compacto normal K de G\ntal que G/K es un grupo de mentiras. Así que ahora podemos asumir que G es un grupo de mentiras (no\nnecesariamente conectados) de crecimiento polinomio. El componente conectado G0 de G\nes un grupo de Lie conectado de crecimiento polinomio. Recordemos el siguiente hecho clásico:\nLemma 7.1. Cada grupo de Lie conectado tiene un compacto compacto único normal\nsubgrupo. Por singularidad debe ser un subgrupo de Lie característico.\nPrueba. Claramente si K1 y K2 son subgrupos normales compactos, entonces K1K2 es de nuevo\nun subgrupo compacto normal. Considerando G/K, donde K es una normal compacta\nsubgrupo de la dimensión máxima, podemos suponer que G no tiene compacta normal\nsubgrupo de dimensión positiva. Pero cada subgrupo normal finito de un\nEl grupo es central. Por lo tanto, el grupo cerrado generado por todos los subgrupos normales finitos es\ncontenido en el centro de G. El centro es un subgrupo abeliano de Lie, es decir. isomórfico\na un producto de un espacio vectorial Rn, un toro Rm/Zm, un grupo abeliano libre Zk y un\ngrupo abeliano finito. En tal grupo, claramente hay un compacto máximo único\nsubgrupo (a saber, el producto del grupo finito y el toro). También es normal,\ny máximo en G.\nEl subgrupo normal compacto máximo de G0 es un subgrupo de Lie característico\nde G0. Por lo tanto, es normal en G y podemos modificar por ella. Por lo tanto, tenemos\nmuestra que todos los grupos compactos locales (generados compactamente) con polinomios\ncrecimiento admite un cociente por un subgrupo normal compacto, que es un grupo de mentira G\ncuyo componente conectado de la identidad G0 tiene crecimiento polinomio y con-\nno contiene ningún subgrupo normal compacto. Ahora vamos a demostrar que un cierto co-compacto\nsubgrupo de G tiene la propiedad de inserción de Teorema 1.2.\nb) En segundo lugar, mostramos que, hasta pasar a un subgrupo de cocompacto, podemos\nasumir que el componente G0 conectado es solvable. Para este propósito, que Q sea\nel radical solvable de G0, es decir, el subgrupo máximo conectado normal de Lie\nde G0. Tenga en cuenta que es un subgrupo característico de G0 y, por lo tanto, normal en G.\nAdemás, G0/Q es un grupo de mentiras semisimple. Dado que G0 tiene crecimiento polinomio,\nDe ello se desprende que G0/Q debe ser compacto. Considerar la acción de G por conjugación en\nG0/Q, es decir, el mapa : G→ Aut(G0/Q). Puesto que G0/Q es compacto semisimple,\nsu grupo de automorfismos es también un grupo compacto de Lie. En particular, el núcleo\nes un subgrupo cocompacto de G.\nEl componente conectado de la identidad de Aut(G0/Q) es en sí mismo semisimple y\npor lo tanto tiene centro finito. Sin embargo, la imagen del componente conectado (ker فارسى)0\nde que en G0/Q módulo Q es central. Por lo tanto, debe ser trivial. Tenemos\nse muestra que (ker)0 está contenido en Q y por lo tanto es solvable. Por otra parte (ker )0\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 41\nno tiene un subgrupo normal compacto, porque de lo contrario su compacto normal máximo\nEl subgrupo, que es característico en (ker)0, sería normal en G (note que (ker)0\nes normal en G).\nCambio de G en el subgrupo de cocompacto kers, por lo tanto, podemos asumir que\nG0 es solvable, de crecimiento polinomio, y no tiene una sub-\ngrupo. El grupo G/G0 es discreto, generado finitamente, y tiene crecimiento polinomio.\nPor el teorema de Gromov, debe ser prácticamente nilpotente, en particular virtualmente poli-\ncíclico.\n(c) Finalmente demostramos la siguiente proposición.\nProposición 7.2. Dejar G ser un grupo de mentira tal que su componente conectado de la\nidentidad G0 es solvable, no admite subgrupo normal compacto, y con G/G0 virtu-\nAlly policíclico. Entonces G tiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que puede ser incrustado\ncomo un subgrupo de cocompacto cerrado de una mentira solvable conectada y simplemente conectada\ngrupo.\nLa prueba de esta proposición es principalmente una aplicación de un teorema de H.C.\nWang, que es una amplia generalización del teorema integrador de Malcev para la torsión\ngrupos nilpotentes generados finitamente libres. El teorema de Wang [36] declara que cualquier S-\ngrupo puede ser incrustado como un subgrupo de cocompacto cerrado de un real simplemente conectado\nGrupo de Lie Solvable lineal con sólo finitamente muchos componentes conectados. Wang\ndefine un grupo S como cualquier verdadero grupo de Lie G, que admite un subgrupo normal\nUn tal que G/A se genera finitamente abelian y A es un nilpotente libre de torsión\nGrupo de mentiras cuyo grupo de componentes conectados se genera finitamente. En particular\ncualquier grupo S tiene un índice finito (de ahí cocompacto) subgrupo que se incrusta como un\nsubgrupo de cocompacto en un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado.\nPara probar la Proposición 7.2, basta, por lo tanto, establecer que G tiene un\ncocompacto S-group.\nRecordamos en primer lugar el siguiente simple hecho:\nLemma 7.3. Cada subgrupo cerrado F de un grupo de Lie solvable conectado S es\ntopológicamente generado finitamente.\nPrueba. Argumentamos por inducción sobre la dimensión de S. Claramente hay una epi-\nmorfismo η : S → R. Por hipótesis de inducción F ker η es topológicamente finita\ngenerado. La imagen de F es un subgrupo de R. Sin embargo, cada subgrupo de R\ncontiene uno o dos elementos, cuyo subgrupo que generan tiene el mismo\ncierre como subgrupo original. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nA continuación mostramos la existencia de un nilradical.\nLemma 7.4. Que G sea como en la Proposición 7.2. Entonces G tiene un máximo único\nsubgrupo normal de nilpotente GN.\nPrueba. El subgrupo generado por cualquiera de los dos subgrupos normales de\ngrupo dado es en sí mismo nilpotente (lema de Fitting, ver, por ejemplo. [30][5.2.8]). Dejad en paz a GN.\nel cierre del subgrupo generado por todos los subgrupos nilpotent de G. Necesitamos\npara demostrar que la GN es nilpotente. Para esto es claramente suficiente para demostrar que es\n42 EMMANUEL BREUILLARD\ntopológicamente generado finitamente (porque cualquier subgrupo de GN generado finitamente es\nnilpotente por la observación que acabamos de hacer). Puesto que G/G0 es virtualmente policíclico, cada\nEl subgrupo se genera finitamente ([29][4.2]). Por lo tanto, es suficiente para demostrar que\nGN â € ¢ G0 se genera topológicamente finitamente. Esto sigue de Lemma 7.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nIncidentemente, observamos que el componente conectado de la identidad (GN )0\ncoincide con el nilradicalN de G0 (es el máximo normal nilpotente conectado\nsubgrupo de G0.\nAhora afirmamos lo siguiente:\nLemma 7.5. El grupo cociente G/GN es prácticamente abeliano.\nLa prueba de este lema se inspira en la prueba del hecho, debido a Malcev,\nque los grupos policíclicos tienen un subgrupo de índice finito con conmutador nilpotente\nsubgrupo (por ejemplo, Véase [30] [15,1.6]).\nPrueba. Demostraremos que G tiene un índice finito subgrupo normal cuyo conmutador\nEl subgrupo es nilpotente. Esto implica claramente el lema, para este subgrupo nilpotente\nserá normal, por lo tanto, contenido en GN.\nPrimero observamos que el grupo G admite una serie normal finita Gm ≤ Gm−1 ≤\n. .. ≤ G1 = G, donde cada Gi es un subgrupo normal cerrado de G tal que Gi/Gi+1\nes finito, o isomórfico a Zn, Rn o Rn/Zn. Esto lo ve elegir uno de los\nGi es el componente G0 conectado y luego tratar G/G0 y G0 por separado.\nEl primero sigue de la definición de un grupo policíclico (G/G0 tiene una\nsubgrupo policíclico de índice finito). Mientras que para G0, observe que su N nilradical es\nun grupo de nilpotent Lie conectado y simplemente conectado y admite tal serie\nde los subgrupos característicos (escoger la serie descendente central), y G0/N es un\nabeliano conectado grupo Lie, por lo tanto isomórfico al producto directo de un toro\nn/Zn y un grupo vectorial Rn. La parte del toro es característica en G0/N, de ahí su\nla preimagen en G0 es normal en G.\nEl grupo G actúa por conjugación en cada cociente parcial Qi := Gi/Gi+1. Esto\nda un mapa G → Aut(Qi). Ahora tenga en cuenta que para probar nuestro lema, es\nsuficiente para demostrar que para cada i, hay un subgrupo índice finito de G\nEl subgrupo de mutantes mapea a un subgrupo de nilpotente de Aut(Qi). De hecho, la toma de la\nintersección de esos subgrupos índice finito, obtenemos un índice finito subgrupos normales\ncuyo subgrupo conmutador actúa nilpotently en cada Qi, por lo tanto es en sí mismo nilpotent\n(suficientes conmutadores desaparecerán).\nAhora Aut(Qi) es finito (si Qi es finito), o isomórfico a GLn(Z) (en caso de que\nQi es o bien Z\nn o Rn/Zn) o a GLn(R) (cuando Qi R\nn). La imagen de G en\nAut(Qi) es un subgrupo solvable. Sin embargo, cada subgrupo solvable de GLn(R)\ncontiene un subgrupo índice finito, cuyo subgrupo conmutador es unipotenciante (de ahí que\nnilpotente). Esto sigue del teorema de Kolchin, por ejemplo, que un conectado\nsubgrupo algebraico solvable de GLn(C) es triangularizable. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEn la secuela asumimos que G/G0 es policíclico libre de torsión. Es legítimo.\npara hacerlo en la prueba de la Proposición 7.2, porque cada grupo virtualmente policíclico\ntiene un subgrupo policíclico libre de torsión de índice finito (véase, por ejemplo, [29][Lemma 4.6]).\nAhora afirmamos lo siguiente:\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 43\nLemma 7.6. GN está libre de torsión.\nPrueba. Dado que G/G0 está libre de torsión, es suficiente para probar que GN-G0 es torsión-\nlibre. Sin embargo, el conjunto de elementos de torsión en GN forma un subgrupo de GN (si x, y son\ntorsión, entonces xy es demasiado porque â € TM x, yâ € es nilpotente). Claramente es una característica\nsubgrupo de GN. Por lo tanto, su intersección con G0 es normal en G0. Tomando el\ncierre, obtenemos un nilpotente cerrado subgrupo normal T de G0 que contiene un\nDenso conjunto de elementos de torsión. Recordemos que G0 no tiene un subgrupo compacto normal.\nDe esto se deduce rápidamente que T es trivial, porque primero debe ser discreto (la\ncomponente conectado T0 es compacto y normal en G0), por lo tanto finitamente generado\n(por Lemma 7.3), por lo tanto hecho de elementos de torsión. Pero una torsión finitamente generada\nEl grupo nilpotente es finito. Una vez más, puesto que G0 no tiene un subgrupo normal compacto, T debe\nser trivial, y GN es libre de torsión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora observe que el grupo de componentes conectados de GN, a saber GN/(GN )0\nse genera finitamente. De hecho, puesto que G/G0 se genera finitamente (como cualquier policíclico\ngrupo), es suficiente para demostrar que (G0 GN )/(GN )0 se genera finitamente, pero esto\nse desprende del hecho de que G0-GN se genera topológicamente finitamente (Lemma 7.3).\nYa casi hemos terminado. Tenga en cuenta que G se genera topológicamente finitamente (Lemma\n7.3), por lo tanto, también lo es G/GN. Por Lemma 7.5 G/GN es prácticamente abeliano, por lo que ha\nun índice finito subgrupo normal isomórfico a Zn × Rm. De ello se deduce que G/GN\ntiene un subgrupo de cocompacto isomórfico a un grupo abeliano libre Zn+m. Por lo tanto, después\ncambiar G por un subgrupo de cocompacto, obtenemos que G es una extensión de GN (a\ngrupo de mentira sin torsión nilpotente con grupo finitamente generado de com-\nponents) por un grupo abeliano libre finitamente generado. Por lo tanto, es un grupo S en el\nterminología de Wang [36]. Aplicamos el teorema de Wang y esto termina la prueba de\nProposición 7.2.\n(d) Ahora podemos concluir la prueba del Teorema 1.2. Por a) y b)\nun cociente por un grupo compacto que admite un subgrupo de cocompacto satisfactorio\nlas suposiciones de la Proposición 7.2. Por lo tanto, para concluir la prueba sólo queda\npara verificar que el grupo simplemente conectado Solvable Lie en el que un co-compacto\nEl subgrupo de incrustaciones G/K tiene crecimiento polinomio (es decir, es de tipo (R)). Pero esto\nsigue del siguiente lema (véase [21][Thm. I.2]).\nLemma 7,7. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Entonces G tiene crecimiento polinomio si\ny sólo si algunos (resp. an) subgrupo cocompacto de la misma tiene crecimiento polinomio.\nPrueba. Primero se comprueba que G se genera compactamente si y sólo si algunos (resp.\nan) subgrupo de cocompacto es. Esto es por el mismo argumento que muestra que\nsubgrupos índice finitos de un grupo finito generado se generan finitamente. In\nen particular, si es un conjunto de generación simétrica compacta de G y H es un co-compacto\nsubgrupo, entonces no hay n0 â € N tal que â €\nn0H = G. Entonces H â ¬ 3n0 genera\nSi G tiene crecimiento polinomio y H es cualquier subgrupo cerrado de generación compacta,\nentonces H tiene crecimiento polinomio. En efecto (véase [21][Tm I.2]), si \npact generating set para H, y K un barrio compacto de la identidad en G,\n44 EMMANUEL BREUILLARD\nvolG(K)volH(\nH) ≤ volH(KK\n−1 H)volG(\nEsta desigualdad sigue integrando sobre una medida Haar izquierda de G la función\n(x) :=\n−1x)dh, donde dh es una medida Haar izquierda en H. Esta integral\nes igual al lado izquierdo de la ecuación mostrada arriba, mientras que es puntual\nlimitado por volH(xK\n−1 H) dentro de HK y por cero fuera de HK.\nEn la otra dirección, si H tiene crecimiento polinomio, entonces G también tiene, porque\nse puede escribir lán lán lán HK para un conjunto de generación compacta lán H de H y algunos\nbarrio compacto K de la identidad en G (ver Proposición 4.4). Entonces el\nresultado de la siguiente desigualdad:\nvolH(lH)volG(l\nHK) ≤ volH(\nH )volG(\nH K),\nque es una consecuencia directa del hecho de que la función\n(x) :=\n(h−1x)dh,\ndonde dh es una medida izquierda Haar onH, satisface\n(x)dx = volH(\nH )volG(\npor una parte y está limitada abajo por volH(\nHK en el\notra mano. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTenga en cuenta que la prueba anterior sería un poco más fácil si ya sabíamos que ambos\nG y H eran unimodulares, en cuyo caso G/H tiene una medida invariante. Pero\nsabemos esto sólo a posteriori, porque la condición de crecimiento polinomio implica\nunimodularidad ([21]).\nConsideraciones similares muestran que G tiene crecimiento polinomio si y sólo si G/K\ntiene crecimiento polinomio, dado cualquier subgrupo K compacto normal (p. ej. Véase [21].\nTerminamos este párrafo con una observación y un ejemplo, que mencionamos en\nla Introducción.\nObservación 7.8 (Los subgrupos discretos son prácticamente nilpotentes). Supongamos que..........................................................................................................................\nsubgrupo de un grupo de Lie solvable conectado de tipo (R) (es decir, de crecimiento polinomio).\nA continuación, es prácticamente nilpotente. De hecho, un argumento similar al de Lemma 7.3 muestra\nque cada subgrupo de... se genera finitamente. De ello se deduce que es policíclico. ¿Cómo...?\nnunca Wolf [37] demostró que los grupos policíclicos con crecimiento polinomio son virtualmente\nNilpotente.\nEjemplo 7.9 (Un grupo sin subgrupo de cocompacto nilpotente). Deja que G sea el\nGrupo de Lie Solvable conectado G = R (R2 × R2), donde R actúa como uno denso-\nsubgrupo de parámetros de SO(2,R) × SO(2,R). Entonces G es de tipo (R). No tiene\nsubgrupo compacto. Y no tiene ningún subgrupo de cocompacto nilpotente. De hecho, supongamos que H\nes un subgrupo cerrado de cocompacto nilpotente. Entonces tiene un centro no trivial. Por lo tanto\nhay un elemento de no identidad cuyo centralizador es co-compacto en G. Sin embargo un\nsimple examen de los posibles centralizadores de elementos de G muestra que ninguno\nde ellos es cocompacto.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 45\n7.2. Prueba del corolario 1.6 y el teorema 1.1. Deja que G sea una arbitraria a nivel local\ngrupo compacto de crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en G.\nReclamación 1: El corolario 1.6 se refiere a un subgrupo cocompacto H de G, si y únicamente\nsi se mantiene para G. Por Lemma 7.7, los grupos G y H son unimodulares, y por lo tanto\nG/H lleva un radón G-invariante medida volG/H, que es finito ya que H es co-\ncompacto. Ahora deja que F sea un dominio Borel fundamental limitado para H dentro de G. Y\nque se haga la pseudodistancia periódica en G inducida por la restricción de H, que\nes.(x, y) :=.(hx, hi) donde hx es el elemento único de H de tal manera que x • hxF. Por\n4.2 Los apartados 1 y 4, los apartados 1 y 4 y los apartados 1 y 2 se encuentran a una distancia limitada entre sí. En particular,\nBl(r-C) Bl(r) Bl(r) Bl(r+C). Por lo tanto, si el límite (3) se mantiene para......................................................................................................................................................................................................................................................... \n- Con el mismo límite. No obstante, en los casos en que se trate de Bl(r) = {x) G, {e, hx) ≤ r} = Bl(r) F\nPor lo tanto, volG(Bl(r)) = volH(Bl(r)) · volG/H(F).\nPor 4.2 (4), H es una pseudodistancia periódica en H. Así que el resultado se mantiene para (H, H)\nsi y sólo si se mantiene para (G, l). Por el contrario, si.................................................................................................................................................\nen H, entonces?0(x, y) :=?0(hx, hi) es una pseudodistancia periódica en G, por lo tanto de nuevo\nvolG(Bl0(r)) = volH(Bl0(r)) · volG(F) y el resultado se mantendrá para (H, °0) si y\nsólo si se mantiene para (G, 0).\nReclamación 2: Si el corolario 1.6 se mantiene para G/K, donde K es algo compacto normal\nsubgrupo, entonces se mantiene para G también. De hecho, si se trata de una pseudodistancia periódica en\nG, entonces el K-promedio K, tal como se define en (26), está a una distancia limitada de G\nsegún Lemma 4.7. Ahora K induce una pseudodistancia periódica K en G/K\nPor consiguiente, volG(BlK (r)) = volG/K(BlK (r)) · volK(K). Y\nsi el límite (3) se mantiene para KK, también se mantiene para KK, por lo tanto también para KK.\nAsí, la discusión anterior combinada con el Teorema 1.2 reduce el corolario 1.6 a\nel caso en el que G está simplemente conectada y solvable, que se trató en la sección 5;\ny 6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7.3. Prueba de la Proposición 1.3 y del corolario 1.9.\nPrueba de la Proposición 1.3. Decimos que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) son\na una distancia limitada si son (1, C)-cuasi-isométrico para algunos finitos C. Esto es\nuna relación de equivalencia. Ahora si es H-periódico con H co-compacto, entonces (G, \nestá a una distancia limitada de (H, H). Por lo tanto, podemos asumir que H = G, es decir.\nque se deja invariante en G.\nAhora Teorema 1.2 da la existencia de un subgrupo compacto normal K, un co-\nsubgrupo compacto H que contiene K y un grupo de Lie solvable simplemente conectado S\nde tal manera que el H/K sea isomórfico a un subgrupo cocompacto de S.\nLemma 4.7 muestra que (G, \nse define como en (26). Ahora K induce una métrica periódica invariante izquierda en G/K,\ny (G/K, K) está claramente a una distancia limitada de (G, K). Ahora por 4.2, su\nla restricción a H/K está a una distancia limitada y se deja invariante. Ahora nos ponemos\nS(s1, s2) =\nK(h1, h2), donde (dado un dominio fundamental limitado F para el\n46 EMMANUEL BREUILLARD\nacción izquierda de H/K en S) hola es el elemento único de H/K de tal manera que si hiF.\nEs evidente que entonces (S, S) está a una distancia limitada de (H/K,\nK). Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTomamos nota de que nuestra construcción de S aquí depende del estabilizador de la G.\nCiertamente no todas las opciones de Lie sombra se puede utilizar para todas las métricas periódicas (pensar\nque R3 es una sombra de mentira de la cobertura universal del grupo de movimientos del plano).\nTal vez se pueda elegir uno solo para todos, pero no lo hemos comprobado.\nPrueba del corolario 1.9. La Proposición 1.3 reduce la prueba a una métrica periódica\nen un grupo simplemente conectado de Lie Solvable S. Dejad la métrica subFinsler en S\n(invariante izquierda para la estructura de grupo de nilshadow graduada SN ) según lo indicado por Teorema\n1.4. Let t}t es el grupo de dilaciones en el nilshadow grado SN de S según se define\nen la sección 3. Por definición de la topología de Gromov-Hausdorff apuntada (véase [18]),\nes suficiente para probar el\nReclamación. La cantidad siguiente\n*(s1, s2)− *(l)\ns1), 1\n(s2))\nconverge a cero ya que n tiende a ser uniforme para todos los s1, s2 en una bola de radio O(n)\npara la métrica.\nAhora esto sigue en tres pasos. En primer lugar, se encuentra a una distancia limitada de su\nrestricción al estabilizador (cocompacto) H de 4.2 (1), 4.2 (4)). Entonces\npara h1, h2 â € ¢ H, podemos escribir ¬(h1, h2) = ¬(e, h\n1 h2). Sin embargo, la Proposición 5.1\nimplica la existencia de otra distancia periódica en S, que es invariante\ndebajo de las traducciones a la izquierda por elementos de H para la estructura original de Lie y\nla estructura de nilshadow Lie en S, de tal manera que\n(e,x)\nK(e,x)\ntiende a 1 como x tiende a\n- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, K(e, h\n1 h2) = K(h1, h2) = K(e, h\n1 h2), donde * es el nilshadow\nproducto en S. Por lo tanto 1\n(h1, h2)−\nK(e, h\n1 h2) tiende a cero uniformemente como h1\ny h2 varían en una bola de radio O(n) para \nFinalmente el teorema 6.2 implica que 1\nK(e, h\n1 h2) −\n(e, h)\n1 h2) tiende a\ncero y la reclamación sigue, como se comprueba de la fórmula Campbell Hausdorff\ncomparando (11) y (12) como lo hicimos en (35), que\n(l) (l)\n(h1), 1\nh2)) − de(e, 1\n(h11 h2)\nConverge a cero.\nEl hecho de que el grupo nilpotent Lie calificado no depende (hasta isomor-\nphismo) en la métrica periódica, pero sólo en el grupo localmente compacto G fol-\nlos mínimos del teorema de Pansu [28] que si dos grupos de Carnot (es decir, una calificación simplemente\ngrupo nilpotente Lie conectado dotado de métrica subRiemanniana izquierda-invariante\ninducido por una norma en un subespacio suplementario al subalgebra conmutador)\nson bi-Lipschitz, los grupos subyacentes de la Mentira deben ser isomórficos. Este hecho profundo\nse basa en el teorema generalizado de Rademacher de Pansu, véase [28]. De hecho, dos diferen-\nLas métricas periódicas de G1 y G2 son cuasi-isométricas (véase la Proposición 4.4),\ny por lo tanto sus conos asintóticos son bi-Lipschitz (y bi-Lipschitz a cualquier Carnot\nmétrica de grupo en el mismo grupo clasificado, por (13)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 47\n8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia\nBajo ninguna otra suposición sobre la pseudodistancia periódica, la velocidad de\nLa convergencia en el volumen asintótico puede hacerse arbitrariamente pequeña. Esto es\nfácilmente visto si consideramos ejemplos del siguiente tipo: definimos ♥(x, y) = x−y\nx− y en R donde α (0, 1). Es periódico y vol(Bl(t)) = t− t\nα + o(tα).\nSin embargo, muchos ejemplos naturales de métricas periódicas, tales como métricas de palabras o\nLas métricas riemannianas, son de hecho groseramente geodésicas. Se dice una pseudodistancia en G.\npara ser groseramente geodésico, si hay una constante C > 0 de tal manera que cualquier dos puntos puede\nestar conectado por un C-coarse geodésico, es decir, para cualquier x, y G hay un mapa\ng : [0, t] → G con t = x, y), g(0) = x y g(t) = y, de tal manera que\n(g(u), g(v)) − u− v ≤ C\npara todos u, v â € [0, t].\nEste es un requisito más fuerte que decir que es geodésico asintóticamente\n(véase 21). Esta noción es invariante bajo isometría gruesa. En el caso de G\nes abeliano, D. Burago [6] demostró el hermoso hecho de que cualquier groseramente geodésico\nmétrica periódica en G está a una distancia limitada de su norma asintótica. In\nvolG(Bl(t)) = c · t\nd+O(td−1) en este caso. En el notable artículo [32],\nM. Stoll demostró que tal término de error en O(td−1) se mantiene para cualquier finitamente generado\nGrupo nilpotente de 2 pasos. Si O(td−1) es el término de error correcto para cualquier finitamente\ngrupo nilpotente generado sigue siendo una pregunta abierta.\nEl ejemplo a continuación muestra por el contrario que en un grupo arbitrario de mentiras de\ncrecimiento polinomio no se puede esperar un término de error universal.\nTeorema 8.1. Que Łn > 0 sea una secuencia arbitraria de números positivos que tienden\na 0. Entonces existe un grupo G de crecimiento polinomio de grado 3 y un compacto\nSet de generación de energía en G y c > 0 de tal manera que\nvolG(\nc · n3\n≤ 1−\nse mantiene para infinitamente muchos n, aunque 1\nvolG(\nn) → 1 como n→.\nEl ejemplo que damos a continuación es un producto semi-directo de Z por R2 y la métrica\nes una palabra métrica. Sin embargo, muchos ejemplos similares se pueden construir tan pronto como\nel mapa T : G → K definido en el punto 5.1 en el que no está. Por ejemplo, uno puede\nconsiderar métricas riemannianas invariantes izquierdas en G = R · (R2 × R2) donde R actúa\npor medio de un subgrupo denso de un parámetro del S1 × S1 de 2torros. Incidentemente, esto\ngrupo G es conocido como el grupo Mautner y es un ejemplo de un grupo salvaje en\nteoría de la representación.\n8.1. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña. En este párrafo describimos\nel ejemplo de Teorema 8.1. Dejar Gα = Z · R\n2 donde la acción de Z es dada por\nla rotación Rα del ángulo â € ¬, α â € [0, 1). El grupo Gα es cuasi-isométrico a R\ny por lo tanto de crecimiento polinomio de orden 3 y es cocompacto en el análogo\ngrupo de mentiras definido G = R R\n2. Su nilshadow es isomórfico a R3. El punto es\n48 EMMANUEL BREUILLARD\nGráfico 2 La unión de los dos conos, con base en el disco de radio\n2, representa el límite de la forma de las bolas en el grupo Z R2,\ndonde Z actúa por una rotación irracional, con el conjunto de generación =\n{(±1, 0, 0)} {(0, x1, x2),\nx21 + x\n2 ≤ 1}.\nque si α es un número Liouville convenientemente elegido, entonces las bolas en Gα no será\nbien aproximado por las bolas de la norma límite.\nLos elementos de Gα se escriben (k, x) donde k â € Z y x â € R\n2. Dejemos que \"xá\"\nx21+x\nser una norma euclidiana en R2, y dejar que sea el conjunto de generación compacta simétrica\nIndicado por {(±1, 0)(0, x), â € x ≤ 1}. Induce una palabra métrica en G. Se sigue\nde Teorema 1.4 y la definición de la norma asintótica que (e, (k, x)) es\nasintótico a la norma en R3 dada por?0(e, (k, x)) := k + â € € ~ xâ € ~ 0 donde â € ~ xâ € es\nla norma invariante de rotación en R2 definida por â € € TM xâ €\n(x21 + x\n2). La bola de la unidad de\n0 es el casco convexo de la unión de todas las imágenes de la bola de unidad de bajo todo\nrotaciones Rkα, k â € Z.\nVamos a elegir α como un número de Liouville adecuado para que (36) se mantiene. Vamos.\nN = 4 ° n)\n1/3 y elegir α de modo que lo siguiente se mantiene para infinitamente muchos n’s:\n(37) d(kα,Z +\n) ≥ 2\npara todos k Z, k ≤ n. Esto se ve fácilmente ser posible si elegimos α de la forma\n1/3ni para algunas secuencias de aumento de vacío adecuadas de (ni)i.\nTenga en cuenta que, ya que â € € > x, tenemos â € € >. Que Sn sea la pieza de R\n2 definido\npor Sn = ≤ Łn} donde فارسى es el ángulo entre el punto x y el eje vertical\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 49\nRe2. Alegamos que si x â € ¬ Sn, ¬0(e, (k, x)) ≤ n y n satisface (37), entonces\n(e, (k, x)) ≥ k (1 +\n) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nDe la reclamación se desprende fácilmente que volG(l)\nn) ≤ (1− n) · volG(B0(n)). Además\nvolG(Bl0(n)) = c · n\n3 + O(n2), donde c = 4\nsi el volG es administrado por la Lebesgue\nmedida.\nPrueba de reclamación. Aquí está la idea de probar la reclamación. Para encontrar un camino corto entre\nla identidad y un punto en el eje vertical, tenemos que girar por un Rkα tal que\nkα está cerca de 1\n, por lo tanto subir de (0, 0) a (k, 0) en primer lugar, por lo que la vertical\ndirección más corta. Sin embargo, si (37) se mantiene, la dirección vertical no se puede hacer como\ncorto como podría después de la rotación por cualquiera de los Rkα con k ≤ n.\nNótese que si el valor de la letra (e), (k, x)) ≤ n, k ≤ n y (e, (k, x)) ≥ kinf\n# Rkiαxi #\ndonde el infimum se toma en todas las rutas x1,..., xN tal que x =\nxi y todos\nrotaciones Rkiα con ki ≤ n. Tenga en cuenta que si ♥n es lo suficientemente pequeño y (37) sostiene\nentonces por cada x â € ¢ Sn tenemos â € € ¢ Rkαxâ € ≥ (1 + € €.\nn) x0. Por otra parte\n* x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\nâ € € TM € € € TM € € € € TM € € € TM € € TM € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Por lo tanto\nRkiαxi® ≥\nin\nRkiαxi\nin\n# Rkiαxi #\n≥ (1 + 2n)\nin\n+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\ncos(ln)\nin\n0 cos(i)\n≥ (1 +)\n) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n8.2. Forma límite para métricas de palabras más generales en grupos Solvable Lie\nde crecimiento polinomio. La determinación de la forma límite de la palabra métrica\nen el párrafo 8.1 es posible debido a la naturaleza bastante simple de la\nListo. En general, utilizando la identidad (véase 1))\n38) 1 ·............................................................................................................................................................................................................................................................ . · m = • 1 * (T (1) • 2) ∗.................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... .......................................................................................\nes fácil comprobar que la bola de la unidad de la norma límite · induciendo el límite\nmétrica de subFinsler d.o.p. en el nilshadow asociado a una métrica de palabra dada con\nel conjunto de generación se contiene en el K-órbita del casco convexo de la proyección\na la nilshadow abelianizada, a saber, el casco convexo de K · \nEn el ejemplo del párrafo 8.1, incluso teníamos igualdad entre los dos. ¿Cómo...?\nEn general, esto no es así. Por ejemplo, la forma límite es siempre K-\ninvariante, pero claramente la forma límite asociada a un conjunto generador \ncon el asociado con un conjugado g-g-1 de él, mientras que el casco convexo de la\nLas órbitas K respectivas pueden no ser las mismas.\nPor supuesto, si el conjunto de generación es K-invariante para empezar, entonces ♥n = n\ny estamos de vuelta en el caso nilpotent, donde sabemos que la bola de unidad de la\nlímite norma es sólo el casco convexo de la proyección del conjunto generador a la\nabelianización. En general, sin embargo, es un problema difícil para determinar el\n50 EMMANUEL BREUILLARD\nforma asintótica precisa de una métrica de la palabra en un grupo de Lie solvable general con\ncrecimiento polinomio, y no parece haber una descripción simple análoga a lo que\nTenemos en el caso Nilpotent.\nIncluso en el ejemplo anterior Gα = ZR\n2, o en la cobertura universal del grupo\nde los movimientos del plano (en el que Gα incrusta co-compactamente), no es tan simple.\nEn general, la forma se determina resolviendo un problema de optimización en el que\nuno tiene que encontrar la ruta que maximiza las coordenadas del punto final. In\npara ilustrar esto, tratamos sin pruebas el siguiente ejemplo simple.\nSuponga que ♥ es un barrio compacto simétrico de la identidad en Gα = ZR\ndel formulario = (0,0,0,0) â € € (1,0,0) â € € (1,0,0) â € € € (1,0,0) â € € € €\n−1, en los que siguientes puntos:\n2. Entonces el\nlímite de la forma de la palabra métrica asociado a ♥ es el cuerpo sólido (rotacionalmente\nsimétrica alrededor del eje vertical como en la Figura 2) hecha de dos copias (superior y\ninferior) de un cono truncado con base de disco (0,R2) de radio max{r0, r1} y\nsuperior (resp. inferior) un disco en el plano (1,R2) (resp. (−1,R2)) de radio r2, donde\nlos radios son dados por\nr0 = máx. x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, },, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,\ndiam(1),\ndonde el diámetro de diam (1 y r2 es dado por la integral\n(39) r2 =\nmáx.\ndonde (el 1) es la proyección ortogonal en el eje x de la imagen de \n2 por a\nrotación del ángulo alrededor del origen. De hecho, es convexo (nota que r2 ≤ r1).\nPor ejemplo, si se hace de un solo punto, entonces la forma límite es la misma\ncomo en el párrafo anterior y como en la figura 2, a saber, dos copias de un cono.\nSin embargo, si se compone de dos puntos {a, b}, entonces la parte superior de la forma límite\nserá un cono truncado con un disco superior de radio r2 =\nA-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-b-a-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-.\n(que es el\nresultado del cálculo de la integral anterior).\nExpliquemos brevemente la fórmula (39). Un camino de longitud n alcanzar el más alto\nz-coordenada en Gα es una palabra de la forma (1, 1) ·. . · (1, n), con Í ·i â € € · 1. Por\n(38) esta palabra es igual a\nRi−1α Łi).\nAquí se puede tomar cualquier valor en el valor 1. Con el fin de maximizar la norma de la segunda\ncoordenada, o equivalente (por invarianza de rotación) su coordenada x, uno tiene que\nelegir en cada etapa de tal manera que la coordenada x de R\nα • i es\nmaximizado. Fórmula (39) se deriva ahora del hecho de que {Ri−1α }1≤i≤n se convierte en\nequidistribuido en SO(2,R) como n tiende a infinito.\nPara mostrar que max{r0, r1} es el radio del disco base y más\ngeneralmente que la forma límite no es más grande que este doble cono truncado, uno\nnecesita discutir más a fondo considerando todos los caminos posibles de la forma (-1, -1) ·. .....................................................\nEn los casos en que se trate de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A,\nSe prescribe.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 51\n8.3. Distancia limitada versus métricas asintóticas. En este párrafo nosotros y...\nRESPUESTA A UNA CUESTIÓN DE D. Burago y G. Margulis (véase [7]). Basado en el caso Abelian\ny el caso reductivo (Abels-Margulis [1]), Burago y Margulis habían conjeturado\nque cada dos métricas de palabras asintóticas deben estar a una distancia limitada. Damos\ndebajo de un contraejemplo a esto. Primero damos un ejemplo (A) de una mentira nilpotente\ngrupo dotado de dos métricas de subFinsler invariantes izquierdas\n# Que son... #\nasintótico el uno al otro, es decir. d-(e, x)/d\n• (e, x) → 1 como x → • pero de tal manera que\n(e, x)− d\n*(e, x) no está limitada uniformemente. Luego exhibimos (B) una palabra conocida...\nric que no está a una distancia limitada de cualquier cuasinorma homogénea. Finalmente\nestos ejemplos también producen (C) dos métricas de palabras........................................................................................................................................................................................................................................................ \ngrupo nilpotente generado que son asintóticos pero no a una distancia limitada.\nNótese que el grupo Gα con 0 y del último párrafo también proporciona\nun ejemplo de métricas asintóticas que no están a una distancia limitada (pero esto\ngrupo no fue discreto).\n(A) Dejar que N = R × H3(R) donde H3 es el grupo clásico de Heisenberg y\nZ ×H3(Z) una celosía en N. En el Lie álgebra n = RV h3 elegimos dos diferentes\nsubespacios suplementarios de [n, n] = RZ, es decir, m1 = span{V,X,Y} y m\nspan{V + Z,X,Y }, donde h3 es el álgebra de Lie de H3(R) a través de X,Y y\nZ = [X,Y ].Consideramos la L1-norm en m1 (resp. m\n1) correspondiente a la base\n(V,X,Y) (resp. (V + Z,X, Y )). Ambas normas inducen la misma norma en n/[n, n].\nDan lugar a la izquierda invariante Carnot-Carateodory Finsler métricas en N, decir\n(resp. d\n(+)). Utilizamos las coordenadas (v, x, y, z) = exp(vV + xX + yY + zZ).\nDe acuerdo con la Observación (2) después del Teorema 6.2, d.a. y d.a.\nSon asintóticos. Vamos.\nnos muestran que no están a una distancia limitada. En primer lugar observar que, desde V\n(v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z)) donde dH3 es el Carnot-\nmétrica de Carateodory Finsler en H3(R) definida por la norma L\n1-norm en la\nspan{X,Y}. Del mismo modo d(e, (v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z − v))). En caso de que se produzca un cambio en la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión, se considerará que la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión es la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión y, en su caso, la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión.\nd estaban a una distancia limitada, tendríamos un C > 0 tal que para todos t > 0\n(t; (0, 0, t)) − t ≤ C\nPor lo tanto dH3(e, (0, 0, t)) ≤ C, que es una contradicción.\n(B) Ahora deje ♥ = {(1; (0, 0, 1))±1, (1; (0, 0,−1))±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0)±1}\nser un conjunto generativo para la palabra métrica asociada a ella. Dejemos que \nuna cuasinorma homogénea sobre N que está a una distancia limitada de, es decir,\n(e, g) − g está limitado. Entonces · es asintótico a, por lo tanto es igual a la\nCarnot-Carateodory Finsler métrica d asintótica a y homogénea con\nrespeto al mismo grupo de parámetros de dilaciones t}t>0. Dejar m1 = {v • n,\n* t(v) = tv}. Entonces d es inducido por alguna norma 0 en m1, cuya bola unidad es\nsegún el teorema 1.4 por el casco convexo de las proyecciones a m1 de la\nGrupos electrógenos en A. Hay un vector único en m1 de la forma V +z0Z. Su 0-norm\nes 1 y d(e, (1; (0, 0, z0))) = 1. Sin embargo d(e, (v; (x, y, z))) = v dH3(e, (x, y, z −\nvz0)). Desde (e, (n; (0, 0, n)) = n, obtenemos\nd(e, (n; (0, 0, n)) − (e, (n; (0, 0, n)) = dH3(e, (0, 0, n(1 − z0)))\n52 EMMANUEL BREUILLARD\nSi esto está limitado, esto fuerza z0 = 1. Pero podemos repetir el mismo argumento con\n(n; (0, 0,-n)) que forzaría z0 = −1. Una contradicción.\n(C) Let ahora:= {(1; (0, 0, 0))\n±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0))±1} y 2\nmétrica de la palabra asociada en la palabra. Entonces otra vez y 2 son asintóticos por Teorema\n6.2 porque el casco convexo de su módulo de proyección coincide con la coordenada z.\nSin embargo 2 es una métrica de producto, a saber, tenemos 2(e, (v; (x, y, z))) = v +\n(e, (x, y, z)), en el que ♥ es la métrica de la palabra en el grupo discreto de Heisenberg H3(Z)\ncon generadores estándar {(1, 0, 0)±1, (0, 1, 0)±1}. En particular\n(e, (n; (0, 0, n))) − 2(e, (n; (0, 0, n)) = ♥(e, (0, 0, n))\nque no tiene límite.\nObservación 8.2 (Una geodésica anormal). Referimos al lector a [9] para más información sobre\nEstos ejemplos. En particular, mostramos allí que el 1 y el 2 supra no son (1, C)-\ncuasi-isométrico para cualquier C > 0. El fenómeno clave detrás de este ejemplo es\nla presencia de una geodésica anormal (véase [25]), es decir, el grupo de un parámetro;\n{t; (0, 0, 0))}t.\nObservación 8.3 (Velocidad de convergencia en el caso de los nilpotentes). La velocidad lenta phe-\nNomenon en Teorema 8.1 se basó fundamentalmente en la presencia de un semisim no trivial\nple parte en Gα ; esto no ocurre en grupos nilpotentes. En [9], mostramos que para\nmétricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados, la convergencia en Teorema\n6.2 tiene una velocidad de polinomio con un término de error al menos tan bueno como O(dŁ(e, x)\n3r ),\ndonde r es la clase de nilpotencia. Conjeturamos allí que el exponente óptimo es 1\nEsto implica afinar cuantitativamente las estimaciones de la prueba de Teorema antes mencionada\n9. Apéndice: los grupos Heisenberg\nAquí mostramos cómo calcular la forma asintótica de las bolas en el Heisenberg\nLos grupos H3(Z) y H5(Z) y su volumen, dando así otro enfoque a la\nel resultado principal de Stoll [33]. El término principal para el crecimiento de H3(Z) es racional\npara todos los grupos electrógenos (Prop. 9.1 infra), mientras que en H5(Z) con su norma\ngenerar conjunto, es trascendental. Esto explica cómo se hizo nuestra Figura 1\n(compare con el impar [22] Fig. 1).\n9.1. Grupo 3-dim Heisenberg. Consideremos en primer lugar el grupo Heisenberg\nH3(Z) = a, b[a, [a, b]] = [b, [a, b]] = 1.\nLo vemos como la celosía generada por a = exp(X) y b = exp(Y) en el real\nGrupo Heisenberg H3(R) con Lie álgebra h3 generada por X,Y y abarcada por\nX, Y, Z = [X, Y ]. Dejar ser la métrica de la palabra estándar en H3(Z) asociado a\nel conjunto generador = {a±1, b±1}. Según Teorema 1.4, la forma límite de\nla n-bola n en H3(Z) coincide con la unidad de bola C3 = {g H3(R), d(e, g) ≤\n1} para la métrica de Carnot-Carateodoría do inducida en H3(R) por la l\n1-norm\n* x X + yY 0 = x en m1 = span{X,Y } h3.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 53\nComputar esta bola de unidad es una tarea bastante simple. Cambiar los roles de X\ne Y, vemos que C3 es invariante bajo la reflexión z 7→ −z. Entonces claramente C3 es\nde la forma {xX + yY + zZ, con x y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}. Cambiar X a\n−X e Y a −Y, obtenemos las simetrías z(x, y) = z(−x, y) = z(x,−y) = z(y, x).\nPor lo tanto, al determinar z(x, y), podemos asumir 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x+ y ≤ 1.\nLa siguiente observación bien conocida es crucial para calcular z(x, y). Si el valor de\nruta horizontal en H3(R) a partir de id, a continuación, (t) = exp(x(t)X+y(t)Y +z(t)Z),\ndonde (t) = x(t)X + y(t)Y y z(t) es el área de “balayage” del\nruta {x(s)X + y(s)Y }0≤s≤t y el acorde que une 0 a x(t)X + y(t)Y.\nPor lo tanto, z(x, y) es dada por la solución al “problema isoperimétrico dido”\n(véase [25]: encontrar una ruta en el plano X,Y entre 0 y xX + yY de 0-longitud 1\nque maximiza el “área de albañilería”. Puesto que 0 es la l\n1-norm en el plano X, Y,\ncomo es bien conocido (véase [8]), tales curvas extremas son dadas por arcos de cuadrado con\nlados paralelos a los ejes X, Y. Por lo tanto, hay una dicotomía: el arco del cuadrado\ntiene 3 o 4 lados (puede tener 1 o 2 lados, pero estos están incluidos están limitando\ncasos de los anteriores).\nSi hay 3 lados, tienen longitud l, x e y + l con y + l ≤ x. Por lo tanto\n1 = l+ x+ y + l y z(x, y) = lx+ 1\nxy. Por lo tanto, esto ocurre cuando y ≤ 3x − 1\ny entonces tenemos z(x, y) =\nx(1−x)\nSi hay 4 lados, tienen longitud l, x+ u, y + l y u, con l+ y = x+ u.\nPor lo tanto 1 = 2l + 2u + x + y y z(x, y) = (l + y) (x + u) −\n. Esto ocurre cuando\ny ≥ 3x− 1 y luego tenemos z(x, y) =\n(1+x+y)2\nPor lo tanto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 y x+ y ≤ 1\n(40) z(x, y) = 1y≤3x−1\nx(1− x)\n+ 1y>3x−1\n(1 + x + y)2\nLa unidad de bola C3 dibujada en la Figura 1 es el cuerpo sólido C3 = {xX + yY + zZ, con\nx y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}.\nUn cálculo simple muestra que vol(C3) =\nen el Lebesgue medida dxdydz.\nPuesto que H3(Z) se ve fácilmente tener co-volumen 1 para esta medida de Haar en H3(R)\n(en realidad, {xX+yY +zZ, x â € [0, 1), y â € [0, 1), z â € [0, 1)} es un dominio fundamental),\nDe ello se deduce que\n#(ln)\n= vol(C3) =\nAsí recuperamos un resultado bien conocido (véase [4], [31] donde incluso la serie de crecimiento completa\nse calcula y se demuestra que es racional).\nTambién se puede determinar exactamente qué puntos de la esfera de C3 se unen a id\npor un camino geodésico horizontal único. El lector comprobará fácilmente esa singularidad\nfalla exactamente en los puntos (x, y,±z(x, y)) con x < 1\ny y = 0, o y < 1\nx = 0, o bien en los puntos (x, y, z) con x y = 1 y z < z(x, y).\nEl método anterior también da el siguiente resultado.\n54 EMMANUEL BREUILLARD\nProposición 9.1. Let ser cualquier conjunto de generación simétrica para H3(Z). Entonces el\ncoeficiente principal en #(ln) es racional, es decir.\n#(ln)\nes un número racional.\nPrueba. Sólo esbozamos la prueba aquí. Podemos aplicar el método anterior y com-\npute r como el volumen de la unidad CC-ball C(l) del límite CC-metric d-\nmultado en Teorema 1.4. Puesto que sabemos lo que es la norma en el (x, y)-plano\nm1 = espano X, Y â € que genera dâ € (es la norma poligonal dada por el con-\nvex casco de los puntos de ♥), podemos calcular C() explícitamente. Necesitamos saber.\nla solución al problema isoperimétrico de Dido para en m1, y como es bien conocido\n(véase [8]) se da por líneas poligonales del polígono dual rotado por 90o. Desde\nel polígono que define está hecho de líneas racionales (puntos en tienen entero coordi-\nnates), cualquier vector con coordenadas racionales tiene racional -longitud, y el dual\nEl polígono también es racional. Las ecuaciones que definen z(x, y) tendrán por lo tanto sólo\ncoeficientes racionales, y z(x, y) se dará por separado por una cuadrática racional\nforma en x e y, donde las piezas son triángulos racionales en el plano (x, y). Los\nPor lo tanto, el volumen total de C() será racional. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n9.2. Grupo de 5-dim Heisenberg. El grupo HeisenbergH5(Z) es el\natendido por a1, b1, a2, b2, c con relaciones c = [a1, b1] = [a2, b2], a1 y b1\na2 y b2 y c es central. Let = {a\ni, b\ni, i = 1, 2}. Describamos el límite.\nla forma de Łn. Una vez más, vemos H5(Z) como una celosía de co-volumen 1 en el grupo H5(R)\ncon Lie álgebra h5 extendida por X1, Y1X2, Y2 y Z = [Xi, Yi]. Por Teorema 1.4,\nla forma límite es la unidad de bola C5 para la métrica Carnot-Caratheodory en H5(R)\ninducidos por la l1-norm x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2+0 = x1 y1 x2 y2.\nDesde X1, Y1 conmutar con X2, Y2, en cualquier camino horizontal lineal en\nH5(R), podemos intercambiar las piezas tangentes a X1 o Y1 con las tangentes a X2 o\nY2 sin cambiar el punto final de la ruta. Por lo tanto, en caso de que la expresión «(t)» = exp(x1(t)X1 +\ny1(t)Y1 + x2(t)X2 + y2(t)Y2 + z(t)Z) es una ruta horizontal, luego z(t) = z1(t) +\nz2(t), donde zi(t), i = 1, 2, es el “área de balayage” de la curva plana {xi(s)Xi +\nyi(s)Yi}0≤s≤t.\nPuesto que, al igual que para H3(Z), conocemos la curva maximizando esta área, podemos\ncalcular la bola de unidad C5 explícitamente. En coordenadas exponenciales tomará la\nforma C5 = {exp(x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2 + zZ), x1 y1 x2 y2 ≤ 1 y\nz ≤ z(x1, y1, x2, y2)}. Luego z(x1, y1, x2, y2) = sup0≤t≤1{zt(x1, y1)+ z1−t(x2, y2)},\ndonde zt(x, y) es el “área de balayage” máximo de una trayectoria de longitud t entre 0\ny xX+yY. Es fácil ver que zt(x, y) = t\n2z(x/t, y/t) donde z es dada por (40).\nPor lo tanto zt es una función cuadrática a partes de t. De nuevo z(x1, y1, x2, y2) es invariante\nbajo cambiar los signos del xi,yi, y el intercambio de x e y, o bien el intercambio\n1 y 2. Así pues, podemos suponer que la mentira del xi,yi en D = {0 ≤ yi ≤ xi ≤ 1 y\nx1+y1+x2+y2 ≤ 1, y x2−y2 ≥ x1−y1}. Por lo tanto, podemos determinar explícitamente\nel supremamum z(x1, y1, x2, y2), que después de algunos cálculos sencillos toma\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 55\nEn D el siguiente formulario:\nz(x1, y1, x2, y2) = 1Amax{d1, d2 1B max{d1, c1 1C max{c1, c2}\ndonde d1 =\n(1−x1− y1−x2), c1 =\n(1+x1+ y1−x2− y2)\nx2y2−x1y1\ny d2 y c2 se obtienen de d1 y c1 mediante el intercambio de los índices 1 y 2. Los\nlos conjuntos A, B y C forman la siguiente partición de D: A = D • {m ≤ x1 − y1},\nB = D • {x1 − y1 < m < x2 − y2} y C = D • {x2 − y2 ≤ m}, donde m =\n(1 − x1 − x2 − y1 − y2)/2.\nPuesto que C5 tiene una forma tan explícita, es posible calcular su volumen. El hecho\nque z(x1, y1, x2, y2) es dada por el máximo de dos formas cuadráticas\nhace que el cálculo de la integral sea algo engorroso pero tratable. Nuestro\nLas ecuaciones coinciden (¡por desgracia!) con los de Stoll (apéndice de [33]), donde\nCalculó el término principal de la asintótica de #(ln) por un método diferente. Stoll\ncalculó que integral y obtenido\n#(ln)\n= vol(C5) =\n21870\nlog(2)\n32805\nque es trascendental. También es fácil ver por este método que si cambiamos\nel conjunto de generación a 0 = {a\n2 }, entonces obtenemos un volumen racional. Por lo tanto\nla racionalidad de la serie de crecimiento de H5(Z) depende de la elección de\nset, que es el teorema de Stoll.\nUna ventaja de nuestro método es que también puede aplicarse a la generación de\nSets. El caso de los grupos de Heisenberg de mayor dimensión con la gen-\nconjunto de borrado es análogo: la función z({xi}, {yi}) se define de nuevo por partes como\nel máximo de muchas formas cuadráticas explícitas finitas en una partición lineal de la\nBola de 1 unidad\nxi yi ≤ 1.\nAgradecimientos. Me gustaría agradecer a Amos Nevo por su hospitalidad en el\nTechnion de Haifa en diciembre de 2005, donde se llevó a cabo parte de este trabajo, y\npara desencadenar mi interés en este problema mostrándome las posibles implicaciones\nde Teorema 1.1 a Teoría Ergódica. Mi agradecimiento también se debe a V. Losert por\nseñalando una inexactitud en mi primera prueba de Teorema 1.2 y para su otro\ncomentarios sobre el manuscrito. Finalmente doy las gracias a Y. de Cornulier, M. Duchin, E. Le\nDonne, Y. Guivarc’h, A. Mohammadi, P. Pansu y R. Tessera para varios útiles\nconversaciones.\nBibliografía\n[1] H. Abels y G. Margulis. métricas muy geodésicas en grupos reductores. En la moderna dy-\nsistemas y aplicaciones namical, páginas 163–183. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004.\n[2] L. Auslander y L. W. Green, flujos inducidos por G, Amer. J. Matemáticas. 88 (1966), 43–60.\n[3] H. Bass, El grado de crecimiento polinomio de grupos nilpotentes finitamente generados, Proc. 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Wolf, Crecimiento de grupos de solución finitamente generados y curvatura de Riemanniann mani-\nse pliega, J. Geometría diferencial, 2 (1968), p. 421–446.\nDirección de correo electrónico: emmanuel.breuillard@math.u-psud.fr\nUniversité Paris-Sud 11, Laboratoire de Mathématiques, 91405 Orsay, Francia\n\t1. Introducción\n\t2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie\n\t3. El nilshadow\n\t4. métricas periódicas\n\t5. Reducción al caso de nilpotente\n\t6. El caso de los nilpotentes\n\t7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados\n\t8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia\n\t9. Apéndice: los grupos Heisenberg\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Obtenemos asintóticos para el volumen de grandes bolas en una arbitraria localmente\nGrupo compacto G con crecimiento polinomio. Esto se hace a través de un estudio de la\ngeometría de G y una generalización de la tesis de P. Pansu. En particular, mostramos\nque cualquier tal G es débilmente commensurable a algunos simplemente conectado Solvable Mentira\ngrupo S, la sombra de la mentira de G. También mostramos que las bolas grandes en G tienen un\nforma asintótica, es decir, después de una adecuada renormalización, convergen a una\nlimitar el conjunto compacto que puede ser interpretado geométricamente. Luego debatimos\nla velocidad de convergencia, tratar algunos ejemplos y dar una aplicación a\nTeoría ergódica. También respondemos a una pregunta de Burago sobre la izquierda invariante\nmétricas y recuperar algunos resultados de Stoll sobre la irracionalidad de las series de crecimiento\nde grupos nilpotentes.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\n1.1. Grupos con crecimiento polinomio. Dejar G ser un grupo localmente compacto con\nizquierda Haar medida volG. Asumiremos que G es generada por un sim-\nmétrica subconjunto. Clásicamente, G se dice que tiene crecimiento polinomio si existe\nC > 0 y k > 0 de tal manera que para cualquier entero n ≥ 1\nvolG(\nn) ≤ C · nk,\nFecha: abril de 2012.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0095v2\n2 EMMANUEL BREUILLARD\ndonde n = . · Es el conjunto de productos n-fold. Otra opción sólo sería\ncambiar la constante C, pero no la naturaleza polinómica del atado. Uno de los\nlas consecuencias del análisis realizado en este trabajo es el siguiente teorema:\nTeorema 1.1 (Volumen asintótico). Let G ser un grupo localmente compacto con poli-\ncrecimiento nominal y un subconjunto de generación simétrica compacta de G. Luego hay\nexiste c() > 0 y un entero d(G) ≥ 0 dependiendo de G solamente de tal manera que la\nen espera de lo siguiente:\nvolG(\nnd(G)\n= c(l)\nEsto extiende el resultado principal de Pansu [27]. El entero d(G) coincide con\nel exponente de crecimiento de un grupo de Lie nilpotente calificado naturalmente asociado, el\ncono asintótico de G, y se da por la fórmula Bass-Guivarc'h (4) a continuación.\nLa constante c(l) se interpretará como el volumen de la bola de unidad de un sub-\nmétrica de Riemannian Finsler en este grupo de mentiras nilpotentes. Teorema 1.1 es un by-\nproducto de nuestro estudio del comportamiento asintótico de pseudodistancias periódicas en G,\nque son pseudodistancias que son invariantes bajo un subgrupo cocompacto de G y\nsatisfacer un tipo débil de la existencia de axioma geodésico (véase la definición 4.1).\nNuestra primera tarea es obtener una mejor comprensión de la estructura de local compacto\ngrupos de crecimiento polinomio. Guivarc’h [21] demostró que los grupos compactos locales\nde crecimiento polinomio son amenizables y unimodular y que cada compactamente\nGenerado1 subgrupo cerrado también tiene crecimiento polinomio.\nGuivarc’h [21] y Jenkins [15] también caracterizaron grupos de Lie conectados con\ncrecimiento polinomio: un grupo de Lie conectado tiene crecimiento polinomio si y sólo si\nes de tipo (R), es decir, si para todos x • Lie(S), ad(x) sólo tiene puramente imaginario\nvalores propios. Estos grupos son solvable-por-compacto y cualquier nilpotente conectado\nEl grupo de mentiras es de tipo (R).\nEs mucho más difícil caracterizar grupos discretos con crecimiento polinomio,\ny esto se hizo en un célebre periódico de Gromov [17], demostrando que son\nPrácticamente nilpotente. Losert [24] generalizó el método de prueba de Gromov y mostró\nque se aplicó con poca modificación a los grupos arbitrarios localmente compactos con\ncrecimiento polinomio. En particular, mostró que contienen un compacto normal\nsubgrupo módulo que el cociente es un (no necesariamente conectado) grupo de mentira.\nDemostraremos el siguiente refinamiento.\nTeorema 1.2 (Sombra de mentira). Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio\ncrecimiento. Entonces existe un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado S\nde tipo (R), que es débilmente commensurable a G. Llamamos a tal grupo de la Mentira una Mentira\nsombra de G.\nSe dice que dos grupos compactos locales son débilmente comparables si, hasta\nmodificando por un núcleo compacto, tienen un subgrupo de cocompacto cerrado común.\nMás precisamente, demostraremos que, para algunos subgrupos compactos normalesK, G/K tiene\n1De hecho, de la teoría de la estructura Gromov-Losert se deduce que cada subgrupo cerrado es\ngenerado de forma compacta.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 3\nun subgrupo de cocompacto H/K que puede ser integrado como un cerrado y cocompacto\nsubgrupo de un grupo de Lie solvable S conectado y simplemente conectado de tipo (R).\nDebemos ser conscientes de que ser débilmente commensurable no es una equivalencia\nrelación entre grupos localmente compactos (a diferencia de los grupos finitos).\nAdemás, la sombra de Lie S no es única hasta el isomorfismo (e.g. Z3 es un\nco-compacto celosía en tanto R3 y la cubierta universal del grupo de movimientos de\nel avión).\nNo podemos sustituir la palabra solvable por la palabra nilpotente en el teo-\nrem. Referimos al lector al Ejemplo 7.9 para un ejemplo de un solvable conectado\nGrupo de mentiras de tipo (R) sin subgrupos normales compactos, que no admite co-\nsubgrupo compacto de nilpotente. De hecho, esto es típico de los grupos de Lie de tipo (R). Así que\nen el caso general localmente compacto (o sólo el caso de Lie) grupos de polinomio\ncrecimiento puede ser genuinamente no nilpotent, a diferencia de lo que sucede en el caso discreto.\nHay diferencias importantes entre el caso discreto y el caso general.\nPor ejemplo, demostraremos que no se puede esperar una tasa de convergencia en Teorema.\n1.1 cuando G es solvable no nilpotente, mientras que alguna tasa de polinomio siempre se mantiene en\nel caso discreto nilpotente [9].\nTeorema 1.2 nos permitirá reducir la mayoría de las preguntas geométricas sobre localmente\ngrupos compactos de crecimiento polinomio, y en particular la prueba de Teorema\n1.1, al caso de grupo Lie conectado. Observe también que Teorema 1.2 subsume\nTeorema de Gromov sobre el crecimiento polinomio, porque no es difícil ver que un\nretícula cocompacta en un grupo de Lie solvable de crecimiento polinomio debe ser virtualmente\nnilpotente (véase la Observación 7.8). Por supuesto, en la prueba que hacemos uso de Gromov’s\nteorema, en su forma generalizada para grupos localmente compactos debido a Losert. El resto\nde la prueba combina las ideas de Y. Guivarc’h, D. Mostow y una integración crucial\nTeorema de H.C. Wang. Se da en el párrafo 7.1 y es en gran medida independiente de\nel resto del periódico.\n1.2. Formas asintóticas. La parte principal del documento está dedicada al asymp-\ncomportamiento tótico de pseudodistancias periódicas en G. Referimos al lector a la definición\n4.1 para la definición precisa de este término, basta con decir ahora que es una clase de\npseudodistancias que contiene tanto métricas de palabra invariantes a la izquierda en G y geodésica\nmétricas en G que son invariantes a la izquierda en el subgrupo de cocompacto de G.\nTeorema 1.2 nos permite asumir que G es un subgrupo cocompacto de un simple\nel grupo S de Solvable Lie conectado, y en lugar de ver pseudodistancias en G,\nvamos a ver pseudodistancias en S que son invariantes de izquierda bajo un co-compacto\nSubgrupo H. Una consecuencia directa más precisa del Teorema 1.2 es la siguiente:\nProposición 1.3. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y \nuna métrica periódica sobre G. Entonces (G,?) es (1, C)-cuasi-isométrico a (S,?S) para algunos\nfinito C > 0, donde S es un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado de\ntipo (R) y ♥S alguna métrica periódica en S.\nRecuerde que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) se llaman (1, C)-cuasi-isométrico\nsi existe un mapa : X → Y de tal manera que cualquier y Y está a la distancia a lo sumo C\nde algún elemento en la imagen de ♥ y si dY (\n′)) − dX(x, x\n′) ≤ C para\ntodos x, x′ â € ¢ X.\n4 EMMANUEL BREUILLARD\nEn el caso cuando S es Rd y H es Zd, es un ejercicio simple para demostrar que cualquier\npseudodistancia periódica es asintótica a una norma en Rd, es decir. (e, x)/ (x) → 1\nx → #, donde # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(e, nx) es una norma bien definida en Rd. Burago en [6]\nmostró un resultado mucho más fino, a saber, que si \nestá limitado cuando x rangos sobre Rd.Cuando S es un grupo de mentira nilpotente y H una celosía\nen S, entonces Pansu demostró en su tesis [27], que un resultado similar sostiene, a saber:\n(e, x)/ x → 1 para algunos (único sólo después de la elección de un grupo de un parámetro de\ndilaciones) homogéneo cuasi-norma x en el grupo de la mentira nilpotente. Sin embargo, nosotros\nmostrar en la sección 8, que no es cierto en general que?(e, x) − x permanece limitada,\nincluso para grupos nilpotentes finitamente generados, respondiendo así a una pregunta de Burago\n(véase también Gromov [20]). Nuestro propósito principal aquí será extender el resultado de Pansu\na grupos de Lie solvables de crecimiento polinomio.\nComo fue notado por primera vez por Guivarc’h en su tesis [21], cuando se trata de geométrico\npropiedades de grupos de Lie solvable, es útil considerar la llamada nilshadow de\nel grupo, una construcción introducida por primera vez por Auslander y Green en [2]. Accord-\na esta construcción, es posible modificar el producto Lie sobre S en un\nmanera, por así decirlo quitando la parte semisimple de la acción en el nilradical,\ncon el fin de convertir S en un grupo nilpotent Lie, su nilshadow SN. Las dos mentiras\nlos grupos tienen el mismo colector subyacente, que es diffeomorphic a Rn, sólo un\ndiferente producto de mentira. También comparten la misma medida de Haar. Este “semisimple\nparte” es un subgrupo relativamente compacto conmutativo T (S) de automorfismos de S,\nimagen de S bajo un homomorfismo T : S → Aut(S). El nuevo producto g * h es\ndefinido de la siguiente manera retorciendo el antiguo g · h por medio de T (S),\n(1) g ∗ h := g · T (g−1)h\nLos dos grupos S y SN son fácilmente vistos como cuasi-isométricos, y es por eso que cualquier\ngrupo localmente compacto de crecimiento polinomio G es cuasi-isométrico a algunos nilpotente\nGrupo de mentiras. En particular, sus conos asintóticos son bi-Lipschitz. La asintótica\ncono de un grupo de mentira nilpotente es un cierto grupo de mentira nilpotente calificado asociado\ndotado de una distancia geodésica invariante izquierda (o grupo Carnot). Los clasificados\ngrupo asociado a SN se llamará el nilshadow grado de S. Sección 3 será\ndedicada a la construcción y las propiedades básicas de la nilshadow y su clasificación\ngrupo.\nEn este artículo, estamos tratando con una relación más fina que la cuasi-isometría. Lo haremos.\nestar interesado en cuando dos distancias invariantes izquierdas (o periódicas) son asintóticas2\n(en el sentido de que\nd1(e,g)\nd2(e,g)\n→ 1 cuando g → فارسى). En particular, por cada localidad\ngrupo compacto G con crecimiento polinomio, identificaremos su cono asintótico\nhasta isometría y no sólo hasta cuasi-isometría o equivalencia bi-Lipschitz (véase\nCorollary 1.9 infra). Uno de nuestros principales resultados es el siguiente:\n2Sin embargo, una relación de equivalencia más fina es (1, C)-cuasi-isometría, es decir. estar a una distancia limitada en\nmétrica Gromov-Hausdorff; clasificar métricas periódicas hasta este tipo de equivalencia es mucho\nMás fuerte.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 5\nTeorema 1.4 (Teorema principal). Deja que S sea un grupo de Lie solvable simplemente conectado\ncon crecimiento polinomio. Que se haga una pseudodistancia periódica en S, que está en...\nvariante bajo un subgrupo de cocompacto H de S (véase Def. 4.1). En el múltiple S,\nuno puede poner una nueva estructura de grupo de Lie, que convierte S en una mentira nilpotente estratificada\ngrupo, el nilshadow graduado de S, y un subFinsler métrica d(x, y) en S que es\nizquierda-invariante para esta nueva estructura de grupo tal que\n(e, g)\nd-(e, g)\ncomo g → en S. Por otra parte, cada automorfismo en T (H) es una isometría de d.\nEl lector que desee ver una simple ilustración de este teorema puede ir directamente\na la subsección 8.1, donde hemos tratado en detalle un ejemplo específico de\nmétrica sobre la cobertura universal de los grupos de movimientos del plano.\nLa nueva estructura estratificada de grupo de nilpotent Lie en S dada por el grado\nnilshadow viene con una familia de un parámetro de las llamadas dilaciones homogéneas\nt}t>0. También viene con un grupo adicional de automorfismos, a saber, la imagen\nde H bajo el homomorfismo T. Esto produce automorfismos de S para ambos el\nestructura de grupo original en S y la nueva estructura de grupo nilshadow graduada.\nPor otra parte las dilaciones t}t>0 son automorfismos de la nilshadow grado y\nse desplazan con T (H).\nUna métrica subFinsler es una distancia geodésica que se define exactamente como subRie-\nse definen las métricas de manian (o Carnot-Carateodory) en los grupos Carnot (véase, por ejemplo,\n[25]), excepto que la norma utilizada para calcular la longitud de las trayectorias horizontales no es\nnecesariamente una norma euclidiana. Remitimos al lector a la sección 2.1 para obtener información precisa.\ndefinición.\nEn Teorema 1.4, la métrica subFinsler de d.o.o. se deja invariante para la nueva Lie struc-\nen S y también es invariante bajo todos los automorfismos en T (H) (estos\nun grupo conmutativo relativamente compacto de automorfismos). Por otra parte satisface\nla siguiente ley de escala agradable:\nd-() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( > () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()\nLa prueba de Teorema 1.4 se divide en dos pasos importantes. La primera es una reducción.\nal caso de nilpotente y se realiza en la sección 5. Usando un doble promedio\nde la pseudodistancia sobre K := T (H) y S/H, construimos un asso-\nciated pseudodistancia, que es periódica para la estructura de nilshadow en S (es decir.\nizquierda-invariante por un subgrupo de cocompacto para esta estructura), y demostramos que\nes asintótico al original. Esto reduce el problema a grupos de mentiras nilpotentes.\nLa clave de esta reducción es la siguiente observación crucial:\ntomorfismos de S inducen sólo una distorsión sublineal, obligando a la métrica a ser\nasintóticamente invariante bajo T (H). El segundo paso de la prueba supone que\nS es nilpotente. Esta parte se trata en la sección 6 y es esencialmente una reforma.\nsión de los argumentos utilizados por Pansu en [27].\n6 EMMANUEL BREUILLARD\nIncidentemente, destacamos el hecho de que la generalidad en la que se trata la Sección 6\n(es decir, Para general geodésico groseramente, e incluso asintóticamente geodésico periódico met-\nrics) es necesario para demostrar incluso el caso más básico (es decir, métricas de palabras) de Teorema\n1.4 para grupos solvables no nilopotentes. Así que incluso si sólo estábamos interesados en el\nasintóticos de métricas de palabras invariantes izquierdas en un grupo de Lie solvable de polinomios\ncrecimiento S, todavía necesitaríamos entender las asintóticas de arbitraria groseramente\ngeodésico izquierda invariantes distancias (y no sólo métricas de la palabra!) sobre la mentira nilpotente\ngrupos. Esto se debe a que la nueva pseudodistancia obtenida por promedio, véase (30),\nya no es una palabra métrica.\nLa métrica subFinsler (e, x) en el teorema anterior es inducida por un cierto\nT (H)-invariante norma en el primer estrato m1 de la nilshadow grado (que\nes T (H)-invariante subespacio complementario del subalgebra conmutador de la\nnilshadow). Esta norma puede describirse de manera más bien explícita de la siguiente manera.\nRecordemos que tenemos3 un mapa canónico η1 : S → m1, que es un grupo homomor-\nphism para las estructuras nilshadow y nilshadow graduadas. Entonces:\n{v) m1, {v} ≤ 1} =\nCvxHull\nη1(h)\n(e, h)\n, h • H\\F\ndonde el lado derecho es la intersección sobre todos los subconjuntos compactos F de S de\nel casco convexo cerrado de los puntos \nLa Figura 1 da una ilustración de la forma límite correspondiente a la palabra\nmétrica en el grupo discreto de 3 dimensiones de Heisenberg con generadores estándar.\nExplicamos en el Apéndice cómo se puede calcular explícitamente la geodesia de la\nmétrica límite y la forma límite en este ejemplo.\nCuando S en sí mismo es nilpotente para empezar y es (en restricción a H) la\nmétrica de palabra asociada a un conjunto de generación compacta simétrica de H (es decir,\n(e, h) := inf{n(n) N;h(n)\nn}), la norma anterior adopta la siguiente forma sencilla:\n(2) {v · m1, ·v ≤ 1} = CvxHull ·1(), · · · · \nPor ejemplo, en el caso especial cuando H es un sin torsión finitamente generado nilpo-\ngrupo de tiendas con set de generación y S es su cierre Malcev, la bola de unidad\nEl poliedro de m1 es un poliedro de m1. Esta fue la descripción de Pansu en\n[27].\nSin embargo cuando S no es nilpotente, y está equipado con una palabra métrica sobre\nun subgrupo de cocompacto, a continuación, la determinación de la forma límite, es decir, el de-\nterminación de la norma límite · en el nilshadow abelianizado, es mucho más\nDifícil. Claramente · es K-invariante y es una simple observación de que la unidad\nla bola para · está siempre contenida en el casco convexo de la K-órbita de \n3El subespacio m1 se puede identificar con el nilshadow abelianizado (o abelianizado graduado\nnilshadow) identificando primero el nilshadow con su álgebra de Lie a través del mapa exponencial y\nentonces proyectando módulo el subalgebra conmutador. El mapa no depende de la elección\nimplicado en la construcción de la nilshadow. Véase también la Observación 3.7.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 7\nSin embargo, la bola de la unidad es típicamente más pequeña que eso (a menos que K-invariante\npara empezar).\nEn general, sería interesante determinar si existe una\ndescripción de la forma límite de una métrica de palabra arbitraria en un grupo de Lie solvable\ncon crecimiento polinomio. Remitimos al lector a la Sección 8 y al párrafo 8.2 para una\nejemplo de una clase de métricas de palabras en la cubierta universal del grupo de movimientos\ndel plano, para el cual fuimos capaces de calcular la forma límite.\nOtro subproducto del Teorema 1.4 es el siguiente resultado.\nCorollario 1.5 (forma asintótica). Deja que S sea una mentira solvable simplemente conectada\ngrupo con crecimiento polinomio y H un subgrupo cocompacto. Vamos a ser un H-\npseudodistancia periódica en S. Luego en la métrica de Hausdorff,\n(Bl(t)) = C,\ndonde C es un T (H)-invariante barrio compacto de la identidad en S, B\nla bola de radio t en S y t}t>0 es un grupo de un parámetro de dilaciones en S\n(equipado con la estructura de nilshadow graduada). Por otra parte, C = {g â € ¬ S, dâ € (e, g) ≤ 1}\nes la bola unitaria de la métrica límite subFinsler de Teorema 1.4.\nPrueba. Por el teorema 1.4, por cada > 0 tenemos Bd(tt) B\nsi t es lo suficientemente grande. Desde el 1 de enero de 1999\n(Bd.(t)) = C, para todos t > 0, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCombinando esto con Teorema 1.2, también obtenemos el siguiente corolario, de los cuales\nTeorema 1.1 es sólo un caso especial con la palabra métrica asociada a la gen-\nJuego de borraduras.\nCorolario 1.6 (Volumen asintótico). Supongamos que G es un grupo localmente compacto\ncon crecimiento polinomio y es una pseudodistancia periódica en G. Let Bl(t) be\nla bola de radio t en G, es decir, (t) = {x â € G, ¬(e, x) ≤ t}, entonces existe un\nconstante c(l) > 0 tal que exista el siguiente límite:\n3) lim\nvolG(Bl(t))\ntd(G)\n= c(l)\nAquí d(G) es el entero d(SN), la llamada dimensión homogénea de la\nNilshadow SN de una sombra de mentira S de G (obtenido por Teorema 1.2), y es dada por\nla fórmula Bass-Guivarc’h:\n(4) d(SN ) =\ndim(Ck(SN ))\ndonde {Ck(SN)}k es la serie central descendente de SN.\nEl límite c(l) es igual al volumen volS(C) de la forma límite C de Corollary\n1.5 una vez que hacemos la elección correcta de la medida de Haar en una sombra de mentira S de G.\nexplicamos esta elección. Recordemos que según Teorema 1.2, G/K admite una co-\nsubgrupo compacto H/K que incorpora cocompactamente en S. A partir de un Haar\nmedida volG en G, obtenemos una medida Haar en G/K después de fijar la medida Haar\nde K para ser de la masa total 1, y entonces podemos elegir una medida de Haar en H / K así\nque el cociente compacto G/H tiene volumen 1. Finalmente elegimos la medida Haar\n8 EMMANUEL BREUILLARD\nGráfico 1 La forma asintótica de las bolas grandes en el gráfico de Cayley\ndel grupo Heisenberg H(Z) = x, y[x, [x, y]] = [y, [x, y]] = 1\nvisto en coordenadas exponenciales.\nen S para que el otro cociente compacto S/(H/K) tenga volumen 1. Esto da la\nmedidas deseadas Haar volS tales que c(l) = volS(C).\nTenga en cuenta que la medida de Haar en S también es invariante en el grupo de automor-\nphisms T (S) y por lo tanto se deja invariante para la estructura de nilshadow en S. Es también\nizquierda invariante para la estructura de nilshadow graduada. En ambas coordenadas exponenciales\ndel primer tipo (en SN ) y del segundo tipo (como en Lemma 3.10), medida Haar\nes sólo la medida de Lebesgue.\nEn el caso del grupo discreto Heisenberg de dimensión 3 equipado con el\nmétrica de palabra dada por los generadores estándar, es posible computar el con-\nstant c(l) y el volumen de la forma límite como se muestra en la Figura 1. En este caso, el\nvolumen es 31\n(véase el apéndice). El grupo 5-dimensional de Heisenberg también puede ser\ntrabajado y el volumen de su forma límite (asociado a la palabra métrica dada\npor generadores estándar) es igual a 2009\n21870\nlog 2\n32805\n. El hecho de que este número es\ntrascendental implica que la serie de crecimiento de este grupo, es decir. el poder formal\nSerie\nn≥0 Bl(n)z\nn no es algebraico en el sentido de que no es una solución de un\necuación polinómica con funciones racionales en C(z) como coeficientes (véase [33, Prop.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 9\n3.3.]). Esto fue observado por Stoll en [33] por medios combinatorios más directos.\nStoll también muestra allí el hecho interesante de que la serie de crecimiento puede ser racional\npara algunas otras opciones de generar conjuntos en el grupo 5-dimensional Heisenberg.\nAsí que la racionalidad de la serie de crecimiento depende del conjunto generador.\nOtra característica interesante es la invarianza asintótica:\nCorollario 1.7 (invarianza asintótica). Deja que S sea un solvable simplemente conectado\nMentira de grupo con crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en S. Let * ser\nel nuevo producto Lie en S dado por la estructura del grupo nilshadow (o el grado\nestructura del grupo de nilshadow). A continuación,?(e, g ∗ x)/?(e, x) → 1 como x → • por cada\ng) S.\nEsto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ es el nilshadow calificado\nel producto, y del teorema 6.2 infra en el caso ∗ es el grupo nilshadow struc-\ntura.\nVale la pena observar que en general no podemos reemplazar ∗ por el ordinario\nproducto en S. De hecho, por ejemplo S = R R2 ser la cubierta universal de la\ngrupo de movimientos del plano euclidiano, entonces S, como su nilshadow R3, admite\nuna celosía Z3. El cociente S/e es diffeomórfico al 3-torus R3/Z3 y\nes fácil encontrar métricas Riemannianas en este toro para que su elevación a R3 no es\ninvariante en rotación alrededor del eje z. De ahí esta métrica, vista en la Mentira\ngrupo S no será asintóticamente invariante bajo la traducción izquierda por elementos de\nS. Sin embargo, si la métrica es izquierda-invariante y no sólo periódica, entonces tenemos\nel siguiente corolario de la prueba del Teorema 1.4.\nCorollario 1.8 (las pseudodistancias izquierdistas son asintóticas a subFinsler met-\nrics). Dejar S ser un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de crecimiento polinomio y \nser una pseudodistancia periódica en S que es invariante bajo todas las traducciones a la izquierda por\nelementos de S (por ejemplo: una métrica geodésica gruesamente invariante a la izquierda en S). Entonces, ahí está.\nes una métrica subFinsler izquierda-invariante d en S que es asintótica a \n(e,g)\nd(e,g)\n→ 1 como g → • •.\nYa hemos mencionado anteriormente que la determinación de la forma límite exacta de una palabra\nmétrica en S es una tarea difícil. En consecuencia, también lo es la tarea de decir cuándo dos\ndistintas métricas de palabras son asintóticas. La declaración anterior dice que en cualquier caso\nCada métrica de palabra en S es asintótica a alguna métrica subFinsler invariante izquierda. Así que\nel conjunto de posibles formas límite no es más rico para las métricas de palabras que para la variable izquierda\nmétricas subFinsler.\nObservamos que en el caso de grupos de mentiras nilpotentes (donde K es trivial), Teorema\n1.4 muestra que cada métrica periódica es asintótica a una métrica invariante izquierda. Lo es.\ntodavía un problema abierto para determinar si cada métrica periódica groseramente geodésica\nestá a una distancia limitada de una métrica invariante izquierda (este es el teorema de Burago en\nn, más sobre ello a continuación).\nLos teoremas 1.2 y 1.4 nos permiten describir el cono asintótico de (G, \npseudodistancia periódica en cualquier grupo localmente compacto con crecimiento polinomio.\n10 EMMANUEL BREUILLARD\nCorolario 1.9 (cono asintótico). Dejar G ser un grupo localmente compacto con polino-\ncrecimiento mial y una pseudodistancia periódica en G. A continuación, la secuencia de\nespacios métricos {(G, 1\nEn la topología de Gromov-Hausdorff converge n ≥ 1. Los\nlímite es el espacio métrico (N, d», e), donde N es un grado simplemente conectado nilpo-\ntienda Mentira de grupo y de una métrica invariante izquierda subFinsler en N. Por otra parte la Mentira\nEl grupo N es (hasta isomorfismo) independiente de El espacio (N, d.o.p.) es isométrico.\na “el cono asintótico” asociado a (G, Este cono asintótico es independiente\nde la elección del ultrafiltro utilizado para definirlo.\nEste corolario es una generalización del teorema de Pansu (10) en [27]. Nos referimos a\nel lector del libro [18] para las definiciones del cono asintótico y el\nConvergencia Gromov-Hausdorff. Debatimos en la sección 8 la velocidad de convergencia\n(en la métrica Gromov-Hausdorff) en este teorema y sus corolarios sobre volumen\ncrecimiento. En particular, hay una diferencia importante entre el caso discreto nilpotente\ny el caso Solvable no nilpotente. En el primero, se puede encontrar una tasa de polinomio\nde convergencia [9], mientras que en este último no existe tal tipo en general (véase Teorema\n8.1).\n1.3. Folner sets y teoría ergódica. Una consecuencia del corolario 1.6 es que\nsecuencias de bolas con el radio que va al infinito son secuencias Folner, a saber:\nCorolario 1.10. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y\nSeudodistancia periódica en G. Dejemos que Bl(t) sea la bola de radio t en G. Entonces\n{B/23370/(t)}t>0 forman una familia Folner de subconjuntos de G a saber, para cualquier conjunto compacto F\nen G, tenemos ( denota la diferencia simétrica)\n5) lim\nvolG(FB(t)B(t)\nvolG(Bl(t))\nPrueba. En efecto, para algunos c > dependiendo de F.\nPor lo tanto (5) sigue de (3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEsto resuelve el llamado “problema de localización” de Greenleaf para el local compacto\ngrupos de crecimiento polinomio (véase [16]), es decir, por la que se determina si las facultades de\nun conjunto generador compacto n}n forma una secuencia Folner. Al mismo tiempo,\nimplica que el teorema ergódico para G-acciones se mantiene a lo largo de cualquier secuencia de bolas\ncon el radio que va al infinito.\nTeorema 1.11. (Teorema Ergódico) Let se le da un grupo G localmente compacto con\ncrecimiento polinomio junto con un G-espacio X mensurable dotado de un G-\nmiden la probabilidad ergódica invariante m. Dejemos ser una pseudodistancia periódica en\nA continuación, para cualquier p, 1 ≤ p < \nfunción f • Lp(X,m) tenemos\nvolG(Bl(t))\nBl(t)\nf(gx)dg =\npara m-casi cada x X y también en Lp (X,m).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 11\nDe hecho, el corolario 1.10 arriba, era el “bloque perdido” en la prueba de la ergódica\nteorema en grupos de crecimiento polinomio. Hasta ahora y que yo sepa, Corollary\n1.10 y Teorema 1.11 sólo se conocían a lo largo de alguna secuencia de bolas {B(tn)}n\nelegido de modo que (5) se mantenga (véase, por ejemplo, [10] o [34]). Esta cuestión se planteó a continuación:\nmi atención por A. Nevo y fue mi motivación inicial para el presente trabajo. Nosotros\nremítase al lector al documento de la encuesta de A. Nevo [26] Sección 5.\nMás tarde resultó que el mero hecho de que las bolas son Folner en un polinomio dado\ncrecimiento local grupo compacto también se puede derivar del hecho de que estos grupos son\nduplicación de espacios métricos (que es un resultado más fácil que la asintótica precisa\nvol(ln) cn\nd(G) probado en este documento y sólo requiere límites inferiores y superiores\ndel formulario c1n\nd(G) ≤ vol(ln) ≤ c2n\nd(G)). Esto fue observado por R. Tessera\n[35] que redescubrió un lindo argumento de Colding y Minicozzi [11, Lemma 3.3.]\nmostrando que el volumen de las esferas ♥n+1 \\ ♥n es a lo sumo algunos O(n) veces el\nel volumen de la bola ln, donde ln > 0 es una constante positiva dependiendo solamente de la\ndoblando constante la métrica de la palabra inducida por en G.\nEn [9], damos un mejor límite superior (que depende sólo de la clase de nilpotencia\ny no en la constante de duplicación) para el volumen de esferas en el caso de finitamente\ngrupos de nilpotentes generados. Esto se hace mostrando el siguiente término de error en\nla asintótica del volumen de las bolas: tenemos vol(ln) = cln\nd(G)+O(nd(G)ár ),\ndonde αr > 0 depende sólo de la clase de nilpotency r de G. Referimos al lector a\nSección 8 y preimpresión [9] para más información al respecto. Sólo notamos aquí.\nque aunque el anterior enfriamiento-Minicozzi-Tessera límite superior en el volumen de\nesferas se sostiene generalmente para todos los grupos localmente compactos G con crecimiento polinomio,\na menos que G es nilpotente, no hay término de error en general en la asintótica de la\nvolumen de bolas. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña se da en §8.1.\n1.4. Una conjetura de Burago y Margulis. En [7] D. Burago y G. Margulis\nconjeturado que cualquier métrica de dos palabras en un grupo finitamente generado que son\nasintótico (en el sentido de que\n1(e,γ)\n2(e,γ)\ntiende a 1 en el infinito) debe estar en un límite\ndistancia unos de otros (en el sentido de que 1(e, γ) − γ2(e, γ) = O(1)). Esto\nse mantiene para los grupos abelianos. Un resultado análogo fue probado por Abels y Margulis\npara métricas de palabras en grupos reductivos [1]. S. Krat [23] estableció esta propiedad\npara métricas de palabras en el grupo Heisenberg H3(Z). Sin embargo, utilizando el Teorema 1.4\n(que en este caso particular de grupos nilpotentes finitamente generados es sólo de Pansu\nteorema [27]) mostraremos en la sección 8.3 que hay contraejemplos y\nmuestra dos métricas de palabras en H3(Z) × Z que son asintóticas y sin embargo no están en\nuna distancia limitada. Para más información sobre este contraejemplo, y cómo\nmodificar la conjetura de Burago y Margulis, nos referimos al lector interesado a\n1.5. Organización del documento. Las secciones 2 a 4 están dedicadas a los preliminares. In\nSección 2 presentamos la teoría básica nilpotente como se puede encontrar en Guivarc’h\ntesis [21]. En particular, una prueba completa de la fórmula Bass-Guivarc’h se da. In\nSección 3, recordamos la construcción de la nilshadow de un grupo Solvable Lie.\n12 EMMANUEL BREUILLARD\nEn la Sección 4 establecemos los axiomas y las propiedades básicas de la distancia (pseudo)\nfunciones que se estudian en este artículo.\nLas secciones 5-7 contienen el núcleo de la prueba de los principales teoremas. En la sección 5,\nasumir que G es un grupo simplemente conectado Solvable Lie y reducir el problema a\nel caso de los nilpotentes. En la Sección 6, suponemos que G es un simple nilpotente conectado.\nMentir grupo y probar Teorema 1.4 en este caso siguiendo la estrategia utilizada por Pansu\nen [27]. En la Sección 7, probamos el Teorema 1.2 para grupos generales localmente compactos\ny reducir la prueba de los resultados de la introducción al caso de la Mentira.\nEn la última sección hacemos más comentarios sobre la velocidad de convergencia.\nEn particular, damos ejemplos que responden negativamente a la pregunta antes mencionada\nde Burago y Margulis.\nEl Apéndice está dedicado a los grupos discretos de la dimensión 3 de Heisenberg y\n5. Calculamos sus bolas límite, explicamos la Figura 1, y recuperamos el resultado principal de\nStoll [33].\nEl lector que está principalmente interesado en el caso de grupo nilpotent puede leer directamente\nSección 6 mientras se mantiene un ojo en las secciones 2 y 4 para las anotaciones de antecedentes y\nhechos elementales.\nPor último, vamos a mencionar que los resultados y métodos de este documento fueron en gran medida\ninspirado en las obras de Y. Guivarc’h [21] y P. Pansu [27].\n1.6. Nota Bene. Una versión de este artículo distribuida desde 2007. El actual ver-\nsión contiene esencialmente el mismo material, sólo la exposición se ha mejorado\ny varios argumentos un tanto vagos han sido sustituidos por pruebas completas\n(en particular en las secciones 3 y 7). Este retraso se debe al hecho de que yo estaba planeando...\nning durante mucho tiempo para mejorar la sección 6 y mostrar un término de error en el volumen\nasintótica de las bolas en grupos nilpotentes. E. Le Donne y yo nos las arreglamos recientemente para\nlograr esto y ahora se ha convertido en un documento conjunto independiente [9].\n2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie\nEn esta sección, revisamos el material de antecedentes necesario sobre la mentira nilpotente\ngrupos. En el párrafo 2.4, damos algunas propiedades cruciales de la homogeneidad\nnormas y reproducir algunos lemas originalmente debido a Y. Guivarc’h que será\nutilizado en la secuela. Mientras tanto, probamos la fórmula Bass-Guivarc'h para el de-\ngrado de crecimiento polinomio de grupos de mentira nilpotente, siguiendo el original de Guivarc’h\nargumentación.\n2.1. métricas del Carno-Carateosorio. Deja que G sea un grupo de Lie conectado con Lie\nálgebra g y dejar m1 ser un subespacio vectorial de g. Denotamos por una norma en m1.\nAhora recordamos la definición de una métrica Carnot-Carathéodory invariante a la izquierda también\nllamada métrica subFinsler en G. Let x, y G. Consideramos todas las posibles piezas\nsenderos lisos : [0, 1] → G que va de â € (0) = x a â € (1) = y. Que (u) sea el\nvector tangente que es arrastrado de vuelta a la identidad por una traducción izquierda, es decir.\n= (u) · (u)\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 13\ndonde (u) g y la notación (u) · (u) significa la imagen de (u) bajo\nel diferencial en la identidad de la traducción izquierda por el elemento de grupo (u).\nDecimos que el camino es horizontal si el vector (u) pertenece a m1 para todos\nu â € [0, 1]. Denotamos por H el conjunto de caminos horizontales lisos por pieza. Los\nLa métrica Carnot-Carathéodory asociada a la norma se define por:\nd(x, y) = inf{\n(u)\ndu, â € H, â € (0) = x, â € (1) = y}\ndonde el infimum se toma sobre todos los senderos lisos a partes : [0, 1] → N con\n*(0) = x, *(1) = y que son horizontales en el sentido de que *(u) * m1 para todas las u. Si\nEs una norma euclidiana, la d(x, y) métrica también se llama subRiemanniano. En este\npapel, sin embargo, la norma normalmente no será euclidiana (puede ser poliedro\ncomo en el caso de las métricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados) y d(x, y)\nsólo será SubFinsler. Si m1 = g, y es un euclidiano (resp. Arbitraria) norma\nen g, entonces d es simplemente el habitual invariante de izquierda Riemannian (resp. métrica de Finsler)\nasociado a .\nTeorema de Chow (por ejemplo: [19] o [25]) nos dice que d(x, y) es finito para todos x y\ny en G si y sólo si el vector subespacio m1, junto con todos los paréntesis de elementos\nde m1, genera el álgebra completa de Lie g. Si esta condición se cumple, entonces d es un\ndistancia en G que induce la topología original de G.\nEn este artículo, sólo nos preocuparemos por las métricas Carnot-Caratheodory sobre\nuna simple conexión nilpotent Lie grupo N. En la secuela, cada vez que hablamos de un\nmétrica Carnot-Carathéodory en N, nos referimos a uno que está asociado a una norma \nen un subespacio m1 de tal manera que n = m1.» [n, n] donde n = Lie(N). Es fácil de comprobar\nque cualquiera de tales m1 genera el álgebra de Lie n.\nObservación 2.1. Vamos a observar aquí que para tal d métrica en N, tenemos el\ndespués de la descripción de la bola de unidad para \n{v) m1 {v} ≤ 1} =\nη1(x)\nd(e, x)\n, x â â € ¢ Nâ € e}\ndonde η1 es la proyección lineal de n (identificada con N via exp) a m1 con\nkernel [n, n]. De hecho, η1 da lugar a un homomorfismo de N al espacio vectorial\nm1. Y si es un camino horizontal de e a x, a continuación, la aplicación de η1 a (6) que\nget d\nη1((u)) = \n′(u), por lo tanto η1(x) =\n(u)du. Por lo tanto 1(x) ≤ d(e, x) con\nigualdad si x â € m1.\n2.2. Dilaciones en un grupo de mentira nilpotente y el grupo calificado asociado.\nAhora nos centramos en el caso de grupos de mentiras nilpotentes simplemente conectados. Dejad en paz a N.\ntal grupo con Lie álgebra n y clase de nilpotency r.\nanálisis de estos grupos, nos referimos al lector al libro [12]. El exponencial\nmapa es un difeomorfismo entre n y N. La mayoría de las veces, si x n, vamos a\nanotación de abuso y denotar el elemento de grupo exp(x) simplemente por x. Denotamos\npor {Cp(n)}p la serie descendente central para n, es decir, C\np+1(n) = [n, Cp(n)] con\nC0(n) = n y Cr(n) = {0}.\n14 EMMANUEL BREUILLARD\nDejar (mp)p≥1 ser una colección de subespacios vectoriales de n tal que para cada p ≥ 1,\n7) Cp−1(n) = Cp(n)®mp.\nEntonces n = p ≥ 1mp y en esta descomposición, cualquier elemento x en n (o N por abuso\nde notación) se escribirá en la forma\nηp(x)\ndonde γp(x) es la proyección lineal sobre mp.\nA tal descomposición se asocia un grupo de dilaciones de un parámetro (t)t>0.\nEstos son los endomorfismos lineales de n definidos por\nt(x) = t\npara cualquier mp x y para cada p. Por el contrario, el grupo de un parámetro (t)t≥0\ndetermina los (mp)p≥1’s ya que aparecen como espacios propios de cada uno, t 6= 1. Los\nlas dilaciones no conservan a priori el soporte de la mentira en n. Este es el caso si y\nsólo si\n(8) [mp,mq] mp+q\npara cada p y q (donde [mp,mq] es el subespacio extendido por todos los conmutadores de\nelementos de mp con elementos de mq). Si (8) se mantiene, decimos que el (mp)p≥1 forma un\nestratificación del álgebra de Lie n, y que n es una mentira estratificada (o homogénea)\nálgebra. Es un ejercicio para comprobar que (8) es equivalente a requerir [m1,mp] = mp+1\npara todos los p.\nSi (8) no se sostiene, sin embargo, podemos considerar una nueva estructura de álgebra de Lie en\nel espacio vectorial real n definiendo el nuevo soporte de Lie como [x, y]\nsi x â € TM y y â € mq. Este nuevo álgebra de Lie no es estratificado y tiene el mismo\nel espacio vectorial subyacente como n. Denotamos por N.O. el asociado simplemente conectado\nGrupo de mentiras. Por otra parte el (t)t>0 forman un grupo de un parámetro de los automorfismos de\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De hecho el soporte original de la Mentira [x, y] en n se puede deformar continuamente a\n[x, y]• a través de una familia continua de estructuras de álgebra de Lie mediante el ajuste\n(9) [x, y]t = 1\n([.tx,.tty])\ny dejando t → â € €. Tenga en cuenta que, a la inversa, si los Łt son automorfismos de n,\nentonces [x, y] = \nEl álgebra de Lie graduada asociada a n es por definición\ngr(n) =\nCp(n)/Cp+1(n)\ndotado con el soporte de Lie inducido a partir de la de n. El mapa de cociente mp →\nCp(n)/Cp+1(n) da lugar a un isomorfismo lineal entre n y gr(n), que es\na Isomorfismo de álgebra de mentira entre la nueva estructura de álgebra de Lie n.a. y gr.a.\nPor lo tanto estratificado Lie estructuras de álgebra inducidas por una elección de sub-\nlos espacios (mp)p≥1 como en (7) son todos isomórficos a gr(n).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 15\nEn N.O. las métricas sub-invariantes izquierdas de Finsler d.O. asociadas a una elección de norma\nen m1 son de especial interés. El grupo de un parámetro de dilaciones t}t es un\nautomorfismo de N.o y que\n(10) d..............................................................................................................................................................................................................................................................\npara cualquier x, y â € Nâ € TM. El espacio métrico (N, d) se llama grupo Carnot.\nSi, por otro lado, el simple nilpotent Lie groupN no está estratificado,\na continuación, el grupo de dilaciones asociado a una elección de vector suplementario\nsubespacios mi como en (7) no consistirá en automorfismos de N y la relación\n(10) no aguantará.\nTenga en cuenta también que si se nos dan dos opciones diferentes de subespacios suplementarios\nmi’s y m\ni es como en (7), a continuación, la izquierda-invariante Carnot-Carateosorio métricas en\nlos grupos de Lie estratificados correspondientes son isométricos si y sólo si (m1, ) y\n(m′1, \n) son isométricos (un isomorfismo lineal de m1 a m\n1 que envía a\nse extiende a una isometría de los dos grupos Carnot).\n2.3. La fórmula Campbell-Hausdorff. El mapa exponencial exp : n → N\nes un difeomorfismo. En la secuela, a menudo abusaremos de la notación e identificaremos a N\ny n sin previo aviso. En particular, para dos elementos x e y de n (o\nN equivalente) xy denotará su producto en N, mientras que x + y denota la suma\nen n. Dejar que sea un grupo de un parámetro de dilaciones asociadas a una elección de\nsubespacios suplementarios mi como en (7). Denotamos la estratificación correspondiente\nLie álgebra por n.o como arriba y el grupo de Lie por N.o. El producto en N.O. es:\ndenotado por x* y. Las dilaciones son automorfismos.\nLa fórmula Campbell-Hausdorff (véase [12]) permite dar una forma más precisa de\nel producto en N. Dejar que (ei)1≤i≤d sea una base de n adaptada a la descomposición en\nmi's, es decir, mi = span{ej, ej mi}. Dejar x = x1e1 +...+ xded el correspondiente\ndescomposición de un elemento x n. A continuación, definir el grado di = deg(ei) a ser el\nmás grande j tal que ei C\nj−1(n). Si α = (α1,..., αd) N\nd es un multi-índice, a continuación, dejar\ndα = deg(e1)α1 +...+ deg(ed)αd.\nLa fórmula Campbell-Hausdorff rinde\n(11) (xy)i = xi + yi +\nCα,βx\ndonde Cα,β son constantes reales y la suma es sobre todos los multi-índices α y β tales\nque dα + dβ ≤ deg(ei), dα ≥ 1 y dβ ≥ 1.\nA partir de (9), es fácil dar la forma de la ley de grupo de Lie estratificada asociada:\n(12) (x* y)i = xi + yi +\nCα,βx\ndonde la suma se limita a los α y β tales que dα + dβ = deg(ei),\ndα ≥ 1 y dβ ≥ 1.\n2.4. Casi-normas homogéneas y el teorema de Guivarc’h en polinomio\ncrecimiento. Dejar n ser un finito dimensión real nilpotente Lie álgebra y considerar un\ndescomposición\nn = m1\n16 EMMANUEL BREUILLARD\npor subespacios vectoriales suplementarios como en (7). Dejemos que el parámetro (t)t>0 sea el único parámetro\ngrupo de dilaciones asociadas a esta descomposición, es decir, t(x) = t\nix si x mi.\nAhora introducimos la siguiente definición.\nDefinición 2.2 (Homogénea cuasinorma). Una función continua · : n → R+\nse llama una cuasinorma homogénea asociada a las dilaciones (t)t, si satisface\nlas siguientes propiedades:\ni) x = 0 x = 0.\nii) t(x) = tx para todos los t > 0.\nEjemplo 2.3. (1) Quasi-norms del tipo supremamum, es decir: x = maxp p(x)\ndonde p son normas ordinarias en el espacio vectorial mp y πp es la proyección en\nmp como arriba.\n(2) x = d(e, x), donde d es una métrica Carnot-Carathéodory en una estratificación\ngrupo de mentira nilpotente (como muestra la relación (10).\nClaramente, una cuasi-norma está determinada por su esfera de radio 1 y dos cuasi-\nnormas (que son homogéneas con respecto al mismo grupo de dilaciones)\nsiempre equivalente en el sentido de que\n1 ≤ 2 ≤ c 1\npara alguna constante c > 0 (de hecho, por continuidad, · 2 admite un máximo en el\n“esfera” x1 = 1}). Si las dos cuasinormas son homogéneas con respecto a\ndos semi-grupos distintos de dilaciones, a continuación, las desigualdades (13) siguen manteniendo\nfuera de un barrio de 0, pero puede fallar cerca de 0.\nLas cuasinormas homogéneas satisfacen las siguientes propiedades:\nProposición 2.4. Que · sea una cuasi-norma homogénea en n, entonces hay\nconstantes C,C1, C2 > 0 tales que\na) xi ≤ C · x\ndeg(ei) si x = x1e1 +...+ xnen en una base adaptada (ei)i.\nb) x−1 ≤ C · x.\n(c) x+ y ≤ C · (x y)\n(d) xy ≤ C1(x y) + C2.\nLas propiedades (a), (b) y (c) son directas por el hecho de que x = maxp p(x)\nes una cuasinorma homogénea y de (13). d) Justifica el término “cuasi-\nnorma” y sigue de Lemma 2.5 abajo. Puede ser un problema que la constante\nC1 en (d) no puede ser igual a 1. De hecho, esta es la razón por la que usamos la palabra cuasi-norma\nen lugar de simplemente norma, porque no se requiere el triángulo desigualdad axioma a\nEspera. Sin embargo, el siguiente lema de Guivarc’h es a menudo un buen remedio\na esta situación. Que p sea una norma arbitraria en el espacio vectorial mp.\nLemma 2.5. (Guivarc’h, [21] lemme II.1) Let فارسى > 0. Hasta escalar cada p\nen una norma proporcional p p (p > 0) si es necesario, la cuasinorma x =\nmaxp p(x)\nSatisface\n(14) xy ≤ x \nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 17\nPara todas las x, y N. Si N es estratificado con respecto a (?t)t podemos tomar? = 0.\nEste lema es crucial también para la computación de la asintótica gruesa del volumen\ncrecimiento. Para la comodidad del lector, reproducimos aquí el argumento de Guivarc’h,\nque se basa en la fórmula Campbell-Hausdorff (11).\nPrueba. Arreglamos Ł1 = 1 y vamos a dar una condición en el Łi de modo que (14)\nEspera. Los Łi’s serán tomados para ser más y más pequeños a medida que yo aumente. Nos pusimos\nx = maxp p(x)\ny dejar que x = maxp p\npara cualquier r-tupla de Łi.\nQueremos que para cualquier índice p ≤ r,\n(15) p p p(xy)p ≤ (x + y + )\nPara (11) tenemos γp(xy) = γp(x) + γp(y) + Pp(x, y) donde Pp es un mapa polinomio\nen mp dependiendo únicamente de los ηi(x) y ηi(y) con i ≤ p− 1 de tal manera que\nPp(x, y) ≤ Cp\nl,m≥1,l+m≤p\nMp−1(x)\nlMp−1(y)\ndonde Mk(x) := maxi≤k i(x)\ni y Cp > 0 es una constante dependiendo de Pp y\nsobre las normas i. Desde 0, cuando se expande el lado derecho de (15) todos\ntérminos de la forma xly\n con l +m ≤ p aparecen con algún coeficiente positivo,\nDi: \"L,m\". Los términos x\ny y\naparecen con coeficiente 1 y no causan problemas\nya que siempre tenemos p p(x)p ≤ x\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, para\n(15) para sostener, es suficiente que\npCpMp−1(x)\nlMp−1(y)\nEl valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto\nPara todos los l y m restantes. Sin embargo, claramente Mk(x) ≤?k · x donde?k :=\nmaxi≤k{1/\ni } ≥ 1. Por lo tanto, una condición suficiente para (15) mantener es\nen la que = min l,m. Dado que el valor de p−1 depende únicamente de los primeros valores de p−1 de los\nes obvio que tal conjunto de condiciones puede ser cumplido por un r-tuple adecuado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 2.6. La constante C2 en Propiedad (d) anterior se puede tomar como 0 cuando N\nes estratificado con respecto a los mi (es decir. los automorfismos de los ts son), como es fácil\nvisto después de cambiar x e y en su imagen debajo de Y a la inversa, si C2 = 0\npara alguna casi-norma Homogénea en N, entonces N admite una estratificación. De hecho,\na partir de (11) y (12), vemos que si no son automorfismos, entonces uno puede\nencontrar x, y N tal que, cuando t es lo suficientemente pequeño, t(xy) −\n(r−1)/r\npara algunos c > 0. Sin embargo, combinando Propiedades (c) y Propiedad (d) con C2 = 0\narriba debemos tener t(xy)− Łt(x)/23370/t(y) = O(t) cerca de t = 0. Una contradicción.\nEl lema de Guivarc’h nos permite mostrar:\nTeorema 2.7. (Guivarc’h ibíd.) Vamos a ser un barrio compacto de la identidad\nen un grupo N y (x, y) = inf{n ≥ 1, x\n−1y ~ ~ ~ ~ n}.\n18 EMMANUEL BREUILLARD\nEntonces para cualquier cuasi-norma homogénea · en N, hay una constante C > 0 tal\nx ≤ (e, x) ≤ Cx C\nPrueba. Desde cualquier dos cuasi-normas homogéneas (w.r.t el mismo un-parámetro\ngrupo de dilaciones) son equivalentes, es suficiente para hacer la prueba de uno de ellos,\npor lo que consideramos la cuasi-norma obtenida en Lemma 2.5 con la propiedad adicional\n(14). El límite inferior en (16) es una consecuencia directa de (14) y se puede tomar\nallí C a ser maxx, x + فارسى. Para el límite superior, basta con mostrar\nque hay C # N tal que para todos n # N, si #x ≤ n entonces x #Cn. A\nlograr esto, procedemos por inducción de la longitud de nilpotencia de N. El resultado\nestá claro cuando N es abeliana. De lo contrario, por inducción obtenemos C0 N tal que\nx = 1 ·... · · C0n · z en los que • i • • y z • C\nr−1(N) siempre que x ≤ n. Por lo tanto\nz ≤ xC0n ·max \ni C0 · n ≤ C1n para alguna otra constante C1 · N. Así que\nhan reducido el problema a x = z mr = C\nr−1(N) que es central en N. Nosotros\ntener z = zn\n1 donde z1 = z/n ≤ C1. Puesto que ♥ es un barrio de la identidad\nen N, el conjunto U de todos los productos de al menos dim(mr) conmutadores simples de longitud\nr de elementos en ♥ es un barrio de la identidad en Cr−1(N) (e.g. Véase [19],\np113). De ello se deduce que hay una constante C2 N tal que z1 está en U\nC2, de ahí la\nproducto de como máximo C2 dim(mr) simples conmutadores. Entonces hemos terminado porque z\nserá igual al mismo producto de los conmutadores donde cada letra xi...................................................................................................................\nse sustituye por xni. Este último hecho se deriva del siguiente lema:\nLemma 2.8. Que G sea un grupo nilpotente de clase nilpotency r y n1,..., nr ser\nenteros positivos. A continuación, para cualquier x1,..., xr G\n1, [x\n2, [..., x\nr ]...] = [x1, [x2, [..., xr]...]\nn1·...·nr\nPara probar el lema basta con utilizar la inducción y el siguiente hecho obvio:\nsi [x, y] se desplaza a x e y entonces [xn, y] = [x, y]n.\nFinalmente, obtenemos:\nCorollary 2.9. Dejemos que ♥ sea un barrio compacto de la identidad en N. Entonces allí\nson constantes positivas C1 y C2 de tal manera que para todos los n+N,\nd ≤ volN ()\nn) ≤ C2n\ndonde d es dada por la fórmula Bass-Guivarc’h:\n(17) d =\ni · dimmi\nPrueba. Por Teorema 2.7, es suficiente estimar el volumen de la cuasi-norma\npelotas. Por homogeneidad de la cuasi-norma, tenemos volN{x, x ≤ t} = t\ndvolN{x, x ≤\n1}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 2.10. El uso del teorema de Malcev permite, como Guivarc'h ob-\nservido, para deducir inmediatamente que el resultado análogo tiene para prácticamente nilpotente\ngrupos finitos generados. Este hecho que también fue probado independientemente por H. Bass\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 19\n[3] por un argumento combinatorio directo. Véase también el apéndice de Tetas de Gromov\npor [17]. De hecho, el Teorema 2.7 de Guivarc’h parece haber sido redescubierto varios\nen los últimos 40 años, incluyendo por Pansu en su tesis [27], el último ejemplo\nde ese ser [22].\n3. El nilshadow\nEl objetivo de esta sección es introducir el nilshadow de un simplemente conectado\nSolvable Lie grupo G. Asumimos que G tiene crecimiento polinomio, aunque\nEsta última suposición no es necesaria para casi todo lo que hacemos en esta sección.\nLa única declaración que se utilizará después en el papel (en la sección 5) es:\nLemma 3.12 infra. El lector familiarizado con el nilshadow puede saltar directamente a\nla declaración de este lema y omitir la próxima discusión.\n3.1. Construcción del nilshadow. El nilshadow de G es un simple conectado\nnilpotent Lie grupo GN, que se asocia a G de una manera natural. Esta noción\nfue introducido por primera vez por Auslander y Green en [2] en su estudio de los flujos en\nSolvmanifolds. Lo definieron como el radical unipotente de una división semi-simple\nG. Sin embargo, vamos a seguir un enfoque diferente para su construcción por\ntrabajando primero en el nivel de álgebra de Lie. Referimos al lector al libro [13] donde\nEste enfoque ha sido adoptado.\nDejar g ser un álgebra de Lie real solucionable y n el nilradical de g.Tenemos [g, g] n.\nSi x g, escribimos ad(x) = ads(x) + adn(x) la descomposición jordana de ad(x) en\nGL(g). Desde ad(x) • Der(g), el espacio de derivaciones de g, y Der(g) es la Mentira\nálgebra del grupo algebraico Aut(g), los componentes jordanos ads(x) y adn(x)\ntambién pertenecen a Der(g). Por otra parte, para cada x g, ads(x) envía g en n (porque\nasí lo hace ad(x) y ads(x) es un polinomio en ad(x)). Que h sea una subalgebra de Cartan\nde g, a saber, un subalgebra autonormalizante nilpotente. Recordemos que la imagen de\na Cartan subalgebra por un sujetivo Lie homomorfismo álgebra es de nuevo un coche-\nTan subalgebra. Ahora como g/n es abeliano, se sigue que h mapas en g/n, es decir.\nh+ n = g. Por otra parte ads(x)h = 0 si x h, porque h es nilpotente.\nAhora elegir cualquier vector real subespacio v de h en suma directa con n. A continuación, el\nse mantienen dos condiciones:\ni) vâr n = g.\nii) ads(x)(y) = 0 para todas las x, y â € v.\nDe los incisos i) y ii), se desprende fácilmente que los anuncios (x) se desplazan con ad(y), ad(y) y\nadn(y), para todas las x, y en v. Tenemos:\nLemma 3.1. El mapa v → Der(g) definido por x 7→ ads(x) es un álgebra de Lie\nhomomorfismo.\nPrueba. Primero vamos a comprobar que este mapa es lineal. Vamos a x, y v. v. Por el anterior\nads(y) y ads(x) viajan entre sí (de ahí que su suma sea semi-simple) y\nviajar con adn(x)+adn(y). De la singularidad de la descomposición de Jordania\n20 EMMANUEL BREUILLARD\nQueda por comprobar que adn(x)+adn(y) es nilpotente si x, y en v. Para ver esto, aplicar\nla siguiente observación obvia dos veces a a = adn(x) y V = ad(n) primero y luego a\na = adn(y) y V = span{adn(x), ad(ad(y))\nnx), n ≥ 1} : Que V sea un nilpotente\nsubespacio de GL(g) y una GL(g) nilpotente, es decir, V n = 0 y am = 0 para algunos\nn,m N y asumir [a, V] V. Entonces (a+V )nm = 0.\nEl hecho de que este mapa es un homomorfismo Lie álgebra sigue fácilmente de la\nhecho de que todos los anuncios (x), x v v conmutarse entre sí y con [g, g] n.\nDefinimos un nuevo soporte de Lie en g estableciendo:\n(18) [x, y]N = [x, y]− ads(xv)(y) + ads(yv)(x)\ndonde xv es la proyección lineal de x en v de acuerdo con la suma directa vÃ3n = g.\nLa identidad de Jacobi es verificada por un cálculo directo donde lo siguiente:\nhecho es necesario: anuncios (ads(x)(y)) = 0 para todos x, y g. Esto se sostiene porque, como nosotros sólo\nvis, ads(x)(g) (n) para todos los x â € g, y ads(a) = 0 si un â € n.\nDefinición 3.2. Que gN sea el espacio vectorial g dotado con el nuevo álgebra de Lie\nestructura [·, ·]N dada por (18). El Nilshadow GN de G se define como el simple\ngrupo de mentira conectado con Lie álgebra gN.\nEs fácil comprobar que gN es un álgebra nilpotent Lie. Para ver esto, tenga en cuenta primero que\n[gN, gN ]N â n, y si x â gN e y â n, entonces [x, y]N = (adn(xv) + ad(xn)(y).\nSin embargo, adn(xv) + ad(xn) es un endomorfismo nilpotente de n como sigue de la\nla misma observación utilizada en la prueba de Lemma 3.1. Por lo tanto, gN es un nilpotente.\nEl producto nilshadow Lie en GN será denotado por * con el fin de distinguir\nlo del producto Lie original en G. En la secuela, identificaremos a menudo G (resp.\nGN ) con su Lie álgebra g (resp. gN) a través de su respectivo mapa exponencial. Desde\nel espacio subyacente de gN era g en sí mismo, esto da una identificación (aunque no\nun isomorfismo de grupo) entre G y GN. Entonces el producto Nilshadow Lie puede\nse expresarán en términos del producto original de la manera siguiente:\ng* h = g · (T (g−1)h)\nAquí T es el grupo Lie homomorfismo G → Aut(G) inducido por lo anterior\nelección del subespacio suplementario v como se indica a continuación.\n(19) T (ea)(eb) = exp(eads(av)b) \nEn otras palabras, T es el único homomorfismo grupo Lie cuyo diferencial\nen la identidad está el homomorfismo Lie álgebra deT : g → Der(g) dado por\ndeT (a)(b) = ads(av)b, es decir, la composición del mapa v → Der(g) de\nLemma 3.1 con la proyección lineal g → g/n v.\nEs fácil comprobar que esta definición del nuevo producto es compatible con\nla definición del nuevo soporte Lie.\nTambién se puede comprobar que dos opciones de espacios suplementarios v como por encima de rendimiento\nEstructuras isomórficas de la Mentira (véase [13, cap. III]). Por lo tanto, por el abuso del lenguaje, nosotros\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 21\nhablar de la nilshadow de g, cuando nos referimos a la estructura de la mentira en G inducido por un\nelección de v como anteriormente.\nEl siguiente ejemplo muestra varias de las características de una Lie solvable típica\ngrupo de crecimiento polinomio.\nEjemplo 3.3 (Nilshadow de un producto semidirecto). Let G = R R\nn donde\nGLn(R) es un subgrupo de un parámetro dado por GLn(R)\nA es alguna matriz en Mn(R) y A = Como +Au es su descomposición de Jordania, dando\nsubir a kt = exp(tAs) y ut = exp(tAu). El grupo G es diffeomórfico a R\npor lo tanto simplemente conectado. Si todos los valores propios de As son puramente imaginarios, entonces G tiene\ncrecimiento polinomio. Sin embargo G no es nilpotente a menos que As = 0. Así que vamos a asumir\nque ni As ni Au es cero. Entonces el Nilshadow GN es el producto semi-directo\nRu R\nn donde ut es la parte unipotente de Łt.\nEs fácil calcular la dimensión homogénea de G (o GN) en términos de\ndimensión de los bloques jordanos de Au. Si nk es el número de bloques de Jordania de Au\ndel tamaño k, entonces\nd(G) = 1 +\nk(k + 1)\n3.2. Propiedades básicas de la nilshadow. Ahora enumeramos en forma de unos pocos\nlemas algunas propiedades básicas de la nilshadow.\nLemma 3.4. La imagen de T : G → Aut(G) es abeliana y relativamente compacta.\nPor otra parte, T (g)h) = T (h) para cualquier g.\nPrueba. Dado que G tiene crecimiento polinomio es de tipo (R) por el teorema de Guivarc’h.\nPor lo tanto, todos los anuncios (x) tienen valores propios puramente imaginarios. De ello se deduce que K es compacto.\nPuesto que los factores T a través del nilradical, su imagen es abeliana. La última igualdad\nsigue a partir de (19) y el hecho de que \"x\", \"y\" g, ads(ads(x)(y)) = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 3.5. T (G) también pertenece a Aut (GN ) y T es un homomorfismo de grupo\nGN → Aut (GN ).\nPrueba. La primera afirmación se deriva de (19) y el hecho de que deT es una derivación\nde gN como se puede comprobar a partir de (18) y el hecho de que x, y g, ads(ads(x)(y)) = 0.\nLa segunda afirmación se deriva entonces de Lemma 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nDenotamos por K el cierre de T (G) en Aut (G) = Aut (g).\nLemma 3.6 (K-action on gN ). K conserva v y actúa trivialmente en ella. También\nconserva los ideales n y la serie descendente central {Ci(gN)}i de gN.\nPrueba. Basta comprobar que los anuncios (v) preservan n y C\ni(gN ). Conserva n\nporque ad(x) conserva n para todos los x â € g. Conserva Ci(gN ) porque actúa como un\nderivación de gN como ya hemos comprobado en la prueba de Lemma 3.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.7 (Bien definido de η1). También es fácil comprobar desde la definición\ndel soporte de nilshadow que el subálgebra conmutador [gN, gN] y, de hecho, cada uno\ntérmino de la serie descendente central Ci(gN ) es un ideal en g y no depende\nsobre la elección del subespacio suplementario v utilizado para definir el soporte de nilshadow.\n22 EMMANUEL BREUILLARD\nEn particular, el mapa de proyección η1 : gN → gN/[gN, gN ] es un lineal bien definido\nmapa en g = gN (es decir, independientemente de la elección implicada en la construcción de\nel soporte de la mentira de nilshadow).\nLemma 3.8 (Mapa Exponencial). Los respectivos mapas exponenciales exp : g → G\ny expN : gN → GN coinciden en n y en v.\nPrueba. Puesto que los dos productos de Lie coinciden en N = exp(n), también lo hacen sus exponenciales\nmapa. Para la segunda afirmación, tenga en cuenta que T (e-tv)v = v para cada v v porque\nads(x)(y) = 0 para todas las x, y. De ello se deduce que {e)\ntv}t es un subgrupo de un parámetro\npara ambas estructuras de Lie, por lo tanto es igual a {expN (tv)}t.\nObservación 3.9 (Surjetividad del mapa exponencial). El mapa exponencial no es\nsiempre un difeomorfismo, como el ejemplo de la cubierta universal del grupo E\nde movimientos del plano muestra (de hecho, cualquier subgrupo de 1 parámetro de E es\nsubgrupo de traducción o un subgrupo de rotación, pero el subgrupo de rotación es compacto\npor lo tanto un toro, por lo que su elevación contendrá el centro (discreto) de E, por lo tanto se perderá\ncada elevación de una traducción no trivial). De hecho, es fácil ver que si g es la mentira\nálgebra de un grupo solvable (no-nilpotente) Lie de crecimiento polinomio, luego g mapas\nSuryctively en el álgebra de la mentira de E. Por lo tanto, para un solvable simplemente conectado y\ngrupo de mentira no-nilpotente del crecimiento polinomio, el mapa exponencial nunca está en.\nSin embargo, su imagen es fácilmente vista como densa.\nSin embargo, las coordenadas exponenciales del segundo tipo se comportan bien. Tenga en cuenta que\n[gN, gN] N.\nLemma 3.10 (Coordenadas exponenciales del segundo tipo). Dejar {Ci(gN)}i≥0\nser la serie descendente central de gN (con C\n1 gN ) = [gN, gN ]) y pick lineal\nsubespacios mi en gN tal que C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1(gN ) para i ≥ 2. Deja que yo sea un\nsubespacio suplementario de C1(gN) en n. Definir coordenadas exponenciales de la\nsegundo tipo mediante el ajuste\nSr....m2 v → G\n(r,..., 1, v) 7→ expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v)\nEste mapa es un difeomorfismo. Por otra parte, expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v) =\nPara todas las opciones de v. v. y de mi.\nPrueba. Por Lemma 3.8 los mapas exponenciales de G y GN coinciden en n y en v.\nAdemás g* h = g · h cuando g pertenece a la exp(n) nilradical de G. Por lo tanto\nexpN (r)*...........................................................................................................................................................................................................................................................\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nLa restricción del mapa a n es un difeomorfismo en exp(n), porque este mapa\ny sus inversos son mapas polinomios explícitos (las coordenadas de los\ntipo, ver el libro [12]). Ahora el mapa n â € v → G enviar (n, v) a en · ev es un\ndifeomorfismo, porque G está simplemente conectado y por lo tanto el grupo cociente\nG/ exp(n) isomórfico a un espacio vectorial y por lo tanto a exp(v). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 3.11 (“Bi-invariante” métrica Riemanniana). Existe un Riemanniano\nmétrica en G que se deja invariante bajo ambas estructuras de Lie.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 23\nPrueba. De hecho, basta con recoger un producto escalar en g que es invariante bajo el\nsubgrupo compacto K = T (G) • Aut(g). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nIdentificamos K = {T (g), g {G} con su imagen en Aut(g) bajo el canónico\nisomorfismo entre Aut(G) y Aut(g). Recordemos que, según Lemma 3.6,\nla serie descendente central de gN es invariante en ads(x) para todos x â € v y\nconsiste en ideales de g. Lo mismo se sostiene para n. Se deduce que estos subespacios lineales\ntambién invariante bajo K. Sin embargo, como K es compacto, su acción en g es completamente\nReducible. Por lo tanto, hemos demostrado:\nLemma 3.12 (estratificación K-invariante de la nilshadow). Let g ser el álgebra de Lie\nde un simplemente conectado Lie grupo G con el crecimiento polinomio. Deja que gN sea el nilshadow\nálgebra de mentira obtenida a partir de una división g = nov como se indica anteriormente (es decir, n es el nilradical y\nv satisface ads(x)(y) = 0 para cada x, y â € v). Let K := {T (g), g â € € G} â € € TM Aut (G),\ndonde T se define por (19). Luego hay una elección de subespacios lineales mi y l\nde tal manera que\n(20) gN = Sr. .. m2............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde cada término es K-invariante, m1 := l+V y la serie descendente central de\ngN satisface C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1 (gN ). Por otra parte, la acción en K se puede leer\nsobre las coordenadas exponenciales de segundo tipo en esta descomposición, a saber:\n#... # # E # # # E # # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E #\n= k(eñr) ·... · k(eñ0) = ek(ñr) ·... · ek(ñ0)\n= expN (k(r)) ∗... ∗ expN (k(0))\n4. métricas periódicas\nEn esta sección, a menos que se indique lo contrario, G denotará una\nGrupo pactado.\n4.1. Definiciones. Por una pseudodistancia (o métrica) en un espacio topológico X, nosotros\nmedia de una función : X × X → R+ que satisface las siguientes condiciones :.(x, y) =.(y, x) y.(x, z) ≤\nPara cualquier trillizo de puntos de X. Sin embargo, el valor de x, y puede ser igual a 0\nincluso si x 6= y.\nRequeriremos que nuestras pseudodistancias se limiten localmente, lo que significa que la\nimagen debajo de ♥ de cualquier subconjunto compacto de G × G es un subconjunto limitado de R+. A\nevitar los casos irrelevantes (por ejemplo, en el caso de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los de los de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos\nel mapa y 7→ ♥(e, y) es un mapa adecuado, es decir, la preimagen de un conjunto limitado es\nlimitado (no pedimos que el mapa sea continuo). Cuando se delimita el límite local\nentonces es apropiado si y sólo si y 7→ ♥(x, y) es apropiado para cualquier x G.\nSe dice que una pseudodistancia en G es asintóticamente geodésica si por cada فارسى > 0\nexiste s > 0 de tal manera que para cualquier x, y G se puede encontrar una secuencia de puntos\nx1 = x, x2,..., xn = y en G de tal manera que\n(xi, xi+1) ≤ (1 + \ny ♥(xi, xi+1) ≤ s para todos los i = 1,..., n − 1.\n24 EMMANUEL BREUILLARD\nVamos a considerar exclusivamente pseudodistancias en un grupo G que son invariantes\ndebajo de las traducciones de la izquierda por todos los elementos de un subgrupo cerrado fijo y cocompacto\nH de G, lo que significa que para todas las x, y G y todas las h H, H (hx, hy) = x, y.\nCombinando todos los axiomas anteriores, establecemos la siguiente definición.\nDefinición 4.1. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Una pseudodistancia en G\nse dice que es una métrica periódica (o métrica periódica H) si satisface lo siguiente\npropiedades:\n(i) es invariante en las traducciones a la izquierda por un subgrupo cerrado de cocompactos H.\nii) sea localmente limitada y adecuada.\niii) Es geodésica asintóticamente.\nObservación 4.2. La suposición de que es simétrico, es decir. * (x, y) = * (y, x) está aquí.\nsólo por el bien de la simplicidad, y la mayoría de lo que se demuestra en este documento puede ser\nhecho sin esta hipótesis.\n4.2. Propiedades básicas. Vamos a ser una métrica periódica en G y H algunos co-compacto\nsubgrupo de G. Las siguientes propiedades son straighforward.\n1) Se encuentra a una distancia limitada de su restricción a H. Esto significa que si F\nes un dominio fundamental limitado para H en G y para una x arbitraria + G, si hx\ndenota el elemento de H tal que x hxF, entonces (x, y)− ♥(hx, hi) ≤ C para\nalguna constante C > 0.\n(2) Łt > 0 existe un subconjunto compacto Kt de G de tal manera que, \nx−1y Kt. Y a la inversa, si K es un subconjunto compacto de G, t(K) > 0 s.t.\nx−1y • K (x, y) ≤ t(K).\n(3) Si el valor de x, y) ≥ s, el valor de xi en (21) puede elegirse de tal manera que s ≤\n(xi, xi+1) ≤ 2s (se puede tomar un subconjunto adecuado del xi original).\n(4) La restricción de la letra H × H es una pseudodistancia periódica en la letra H.\nsignifica que el xi en (21) puede ser elegido en H.\n(5) Por el contrario, dada la pseudodistancia periódica H sobre H, es posible extender\na una pseudodistancia periódica en G mediante el ajuste de.(x, y) =.(hx, hi) donde x =\nhxF para algunos dominios fundamentales limitados F para H en G.\n4.3. Ejemplos. Demos algunos ejemplos de pseudodistancias periódicas.\n(1) Let ser un grupo de nilpotente sin torsión finitamente generado que está incrustado\ncomo subgrupo discreto cocompacto de un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado.\nTeniendo en cuenta un conjunto de generación simétrica finita S de........................................................................................................................................................................................................................................................\nmétrica de la palabra dS en فارسى que da lugar a una métrica periódica en N dada por ♥(x, y) =\ndS(γx, γy) donde x γxF y y γyF si F es algún dominio fundamental fijo para\nEn el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva.\n(2) Otro ejemplo, dado en [27], es el siguiente. Deja que N/ sea un nilmanifold con\nla cobertura universal N y el grupo fundamental N. Dejar g ser una métrica Riemanniana en\nN.O.B. Puede ser elevado a la cubierta universal y por lo tanto da lugar a un Riemannian\nmétrica g? en N. Esta métrica es invariante, apropiada y delimitada localmente. Ya que..................................................................................................................\ncocompacto en N, es fácil comprobar que también es geodésico asintóticamente por lo tanto\nperiódica.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 25\n(3) Cualquier métrica de la palabra en G. Es decir, si es una generación simétrica compacta\nsubconjunto de G, let (x) = inf{n ≥ 1, x\nn}. A continuación, define ♥(x, y) = (x\n−1y).\nClaramente es una pseudodistancia (aunque no una distancia) y es G-invariante en el\nizquierda, también es apropiada, localmente limitada y asintóticamente geodésica, por lo tanto periódica.\n(4) Si G es un grupo de Lie conectado, cualquier métrica de Riemanniana invariante izquierda en G.\nAquí de nuevo H = G y obtenemos una distancia periódica. Del mismo modo, cualquier invariante izquierda\nLa métrica Carnot-Carathéodory en G servirá.\nObservación 4.3 (el teorema de Berestovski). Según un resultado de Berestovski [5]\ncada distancia geodésica izquierda-invariante en un grupo de Lie conectado es un subFinsler\nmétrica tal como se define en el punto 2.1.\n4.4. Equivalencia absoluta entre pseudodistancias invariantes. Lo siguiente:\nla proposición es básica:\nProposición 4.4. Dejemos que el 1 y el 2 sean dos pseudodistancias periódicas en G.\nes una constante C > 0 de tal manera que para todos x, y G\nC ≤ 1(x, y) ≤ C2(x, y) ≤ C2(x, y) + C\nPrueba. Claramente es suficiente probar el límite superior. Let s > 0 ser el número cor-\nresponder a la elección = 1 en (21) para 2. A partir de 4.2 (2), existe un pacto\nsubconjunto Ks en G de tal manera que.a2(x, y) ≤ 2s.a x\n-1a - K2s, y hay una constante\nt = t(K2s) > 0 tales que x\n-1a -2 K2s -1(x, y) ≤ t. Let C = max{2t/s, t}, y\nque x, y â € € TM G. Si?2(x, y) ≤ s entonces?1(x, y) ≤ t por lo que el lado derecho de (22) sostiene.\nSi el valor de 2(x, y) ≥ s entonces, a partir de (21) y 4.2 (3), obtenemos una secuencia de xis en G de x\na y tales que s ≤ ♥2(xi, xi+1) ≤ 2s y\n2 (xi, xi+1) ≤ 2(x, y). De ello se desprende:\nque?1(xi, xi+1) ≤ t para todos los i. Por lo tanto, el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y)\n1(xi, xi+1) ≤ Nt ≤\ntÿ2(x, y)\ny el lado derecho de (22) sostiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEn el caso particular cuando G = N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado,\nla distancia al origen x 7→ (e, x) es también groseramente equivalente a cualquier homogeneidad\nneous cuasi-norm en N. Tenemos,\nProposición 4.5. Supongamos que N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Dejad en paz a la gente.\nuna pseudodistancia periódica sobre N y · ser una cuasi-norma homogénea, entonces allí\nexiste C > 0 de tal manera que para todos x â € N\nx−1y − C ≤ 1(x, y) ≤ Cx\n−1y C\nPor otra parte, si se trata de una pseudodistancia periódica en el grupo nilpotente estratificado N\nasociado a N, entonces de nuevo, hay una constante C > 0 tal que\nC ≤ 1(e, x)− C ≤ 1(e, x) ≤ 2(e, x) + C\nLa propuesta se deriva inmediatamente del teorema de Guivarc’h (véase el corolario 2.7.\narriba), la equivalencia de cuasinormas homogéneas, y el hecho de que invariante de izquierda\nLas métricas de Carnot-Carateodory en N.O. son normas cuasi homogéneas. Sin embargo,\nDado que las estructuras de grupo de N y N9 difieren, (24) en general no pueden ser sustituidas.\npor la relación más fuerte (22) como los ejemplos simples muestran.\n26 EMMANUEL BREUILLARD\nLa siguiente propuesta es de importancia fundamental para el estudio de las métricas sobre\nGrupos de mentiras de crecimiento polinomio:\nProposición 4.6. Deja que G sea un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de polinomio\ncrecimiento y GN su nilshadow. Seamos seudodistancias periódicas arbitrarias.\nsobre G y GN, respectivamente. Entonces hay una constante C > 0 tal que para todos\nx, y â € TM G\nN (x, y)− C ≤ (x, y) ≤ C/23370/N (x, y) + C\nPrueba. De acuerdo con la Proposición 4.4, es suficiente mostrar (25) para alguna elección de\nmétricas periódicas en G y GN. Pero en Lemma 3.11 construimos un Riemanniano\nmétrica en G que se deja invariante para G y GN. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n4.5. Invarianza derecha bajo un subgrupo compacto. Aquí verificamos que, dado\nun subgrupo compacto de G, cualquier métrica periódica se encuentra a una distancia limitada de otro\nmétrica periódica que es invariante a la derecha por este subgrupo compacto. Deja K\nser un subgrupo compacto de G y una pseudodistancia periódica en G.\ncon la ayuda de la medida Haar normalizada en K para obtener:\n(26) K(x, y) =\n(xk1, yk2)dk1dk2\nA continuación, se mantiene lo siguiente:\nLemma 4.7. Hay una constante C0 > 0 dependiendo sólo de ♥ y K de tal manera que\npara todos los k1, k2 K y todos los x, y G\n(27) (xk1, yk2)− ♥(x, y) ≤ C0\nPrueba. A partir de 4.2 (2), t = t(K) > 0 s.t. (x, xk) ≤ t. Aplicando la\nTriángulo de desigualdad, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPor lo tanto obtenemos:\nProposición 4.8. La pseudodistancia K es periódica y se encuentra en un\nDesde el 1 de enero de 1985. En particular, como x tiende a infinito en G el siguiente límite se mantiene\n(28) lim\nK(e, x)\n(e, x)\nPrueba. A partir de Lemma 4.7 y 4.2 (3), es fácil comprobar que\ntoticalmente geodésico, y periódico. La integración (27) nos da que K está en un límite\nLa distancia entre los países de la Comunidad y los países de la Europa central y oriental es evidente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nSi K es normal en G, obtenemos así una métrica periódica de K en G/K de tal manera que\nK(p(x), p(y)) se encuentra a una distancia limitada de x, y, donde p es el mapa de cocientes\nG→ G/K.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 27\n5. Reducción al caso de nilpotente\nEn esta sección, G denota un grupo de polinomios Solvable Lie simplemente conectado\ncrecimiento. Vamos a reducir la prueba de los teoremas de la introducción\nal caso de un G nilpotent. Esto se realiza mostrando que cualquier\npseudodistancia en G es asintótica a alguna pseudodistancia periódica asociada\nN en el Nilshadow GN. Lo declaramos en la Proposición 5.1 a continuación.\nEl paso clave en la prueba es la Proposición 5.2 a continuación, que muestra la asintótica\nla invarianza de.. bajo la \"parte semisimple\" de G. El hecho crucial allí es que el\ndesplazamiento de un punto distante bajo un automorfismo unipotente fijo es insignificante\nen comparación con la distancia de la identidad (véase Lemmas 5.4, 5.5), de modo que la\nacción de la parte semisimple de los elementos grandes puede ser simplemente aproximado por\nsu acción por la traducción izquierda.\n5.1. Invarianza asintótica bajo un grupo compacto de automorfismos\nde G. El resultado principal de esta sección es el siguiente. Deja que G sea un conectado y\nsimplemente conectado grupo Solvable Lie con crecimiento polinomio y GN su nilshadow\n(véase la sección 3).\nProposición 5.1. Que H sea un subgrupo cerrado de cocompacto de G y un H-\npseudodistancia periódica (véase la definición 4.1) en G. Existe un subconjunto cerrado HK\nque contiene H, que es un subgrupo de cocompacto para G y GN, y un HK-\nperiódica (para ambas estructuras de mentira) pseudodistancia\n(29) lim\nK(e, x)\n(e, x)\nEl subgrupo cerrado HK se considerará el cierre del grupo generado\npor todos los elementos de la forma k(h), donde h pertenece a H y k pertenece a la\ncierre K en el grupo Aut(G) de la imagen de H bajo el homomorfismo\nT : G → Aut(G) introducido en la sección 3. Es fácil comprobar desde la definición\ndel producto nilshadow (1) que se trata de un subgrupo tanto en G como en su\nNilshadow GN.\nLa nueva pseudodistancia K se define de la siguiente manera, utilizando un doble promedio\nprocedimiento:\n(30) K(x, y) :=\n(gk(x), gk(y))dkdμ(g)\nAquí la medida μ es la medida Haar normalizada en el espacio de coset H\\HK\ny dk es la medida Haar normalizada en el grupo compacto K. Recordemos que\ntodos los subgrupos cerrados de S son unimodulares (ya que tienen crecimiento polinomio por\n[21][Lemme I.3.]). De ahí la existencia de medidas invariantes en los espacios coset.\nUna parte esencial de la prueba de la Proposición 5.1 está incluida en la siguiente\ndeclaración:\n28 EMMANUEL BREUILLARD\nProposición 5.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en G que es invariante\nbajo un subgrupo de cocompacto H. Entonces ♥ es asintóticamente invariante bajo el\nacción de K = {T (h), h {H} Aut(G). Es decir, (uniforme) para todos los k ° K,\n(31) lim\n(e, k(x))\n(e, x)\nLa prueba de la Proposición 5.2 se divide en dos pasos. Primero mostramos que lo es.\nlo suficiente para demostrar (31) para un denso subconjunto de k’s. Esto es una consecuencia de lo siguiente:\ndeclaración de continuidad:\nLemma 5.3. Deja فارسى > 0, entonces hay un barrio U de la identidad en K tales\nque, para todos los k â € ¢ U,\nlimx\n(x, k(x))\n(e, x)\nEntonces mostramos que la acción de T (g) se puede aproximar por la conjugación\npor g, esencialmente porque la parte unipotente de esta conjugación no se mueve x\nmucho cuando x está lejos. Este es el contenido del siguiente lema:\nLemma 5.4. Que sea una pseudodistancia periódica en G que es invariante bajo\nun subgrupo de cocompacto H. A continuación, para cualquier فارسى > 0, y cualquier subconjunto compacto F en H\nhay s0 > 0 tal que\n(e, T (h)x) − (e, hx) ≤ (e, x)\npara cualquier h • F y tan pronto como •(e, x) > s0.\nPrueba de la Proposición 5.2 módulo Lemmas (5.3) y (5.4):\nser H-invariante, por cada h â € H, tenemos (e, h−1x)/?(e, x) → 1. La prueba de\nla proposición sigue inmediatamente de la combinación de los dos últimos\nLemas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n5.2. Prueba de Lemmas (5.3) y (5.4). Elegimos los subespacios K-invariantes mi’s\ny l del nilshadow gN de g como en Lemma 3.12 de la sección 3. En particular\ngN = Sr. ...............................................................................................................................................\ndonde cada término es K-invariante, n = [gN, gN ] l y C\ni(gN ) = mi (+ C)\ni−1 (gN ).\nPor otra parte, t(x) = t\nix si x â € mi (aquí m1 = lâ € v).\nTambién establecemos v(x) = maxi i\ni if x = expN (r) ∗. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ni > 0 y d0 = 1. Y dejamos que x := maxi-xi\n1/di si x = xr +. ...........................................................................................................\npor encima de la descomposición directa de la suma.\nNótese que · es una cuasi-norma de los t-homógenos. Además, es sencillo\nverificar (utilizando la fórmula Campbell-Hausdorff (12) y la Proposición 2.4) que\nv(x) ≤ CxC para alguna constante C > 0. En particular:\nde los restos delimitados\ncomo x se vuelve grande.\nPrueba de Lemma 5.3. Combinando las Proposiciones 4.5 y 4.6, hay una constante\nC > 0 De tal manera que para todos x, y â € € TM G,?(x, y) ≤ Cx1 * y + C. Por lo tanto tenemos\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 29\nreducido a probar la declaración para · en lugar de ♥, a saber, es suficiente para mostrar\nque x1 ∗ k(x) se vuelve insignificante comparado con x como x va al infinito y k\ntiende a 1.\nDe la fórmula Campbell-Baker-Hausdorff (11) y (12) se desprende que, si\nx, y GN y x, y son O(t), entonces 1\nx ∗ y) − 1\nx) * 1\n(y) = O(t−1/r), y\nSimilarmente 1\n(x1 *. * xm) − 1\nx1) ∗. ...............................................................................................\n(xm) = Om(t\n−1/r), para m elementos\nxi con xi = O(t). Por lo tanto, al escribir x = expN (r) ∗... ∗ expN (0), y el ajuste\nt = x, obtenemos así que la cantidad siguiente\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(x1* k(x)−\n0≤i≤r\nexpN (−t\n−di®i)*\n0≤i≤r\nexpN (t\n−dr−ik(r−i))\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nes un O(t−1/r). De hecho, recuerden de Lemma 3.12 que k(x) = expN (k(r))*...*\nexpN (k(+0)). A medida que x se hace más grande, cada t\n−diñái permanece en un subconjunto compacto de mi.\nPor lo tanto, como k tiende a la identidad en K, cada t-dik(i) se vuelve uniformemente cerca\na t-diÃ3ri independientemente de la elecciÃ3n de x Ã3 GN siempre y cuando t = xà es grande. Los\nEl resultado es el siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba de Lemma 5.4. Recordemos que hx = h* T (h)x para todas las x, h • G (véase (1).\nPor la desigualdad del triángulo es suficiente con atar Ł(y, h* y), donde y = T (h)x.\nDe las Proposiciones 4.5 y 4.6,...........................................................................................................................................................................................................................................................\nconstantes a la cuasi-norma homogénea ·. Por lo tanto, el Lemma sigue de la\nA continuación:\nLemma 5.5. Que N sea un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado y que · sea una\nnorma homogénea sobre N asociada a un grupo de dilaciones de 1 parámetro\nPara cualquiera de los dos subconjuntos compactos F de N, hay una constante s2 > 0\nde tal manera que\nx−1gx ≤ x\npara todos los g de F y tan pronto como x > s2.\nPrueba. Recordemos, como en la prueba del último lema, que para cualquier c1 > 0 hay\na c2 > 0 Tal que si t > 1 y x, y N son tales que x, y ≤ c1t, entonces\nxy)− 1\nx) * 1\n(y) ≤ c2t\n−1/r. En particular, si establecemos t = x, entonces\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(x−1gx)− 1\nx)–1 ∗ 1\ng) ∗ 1\n≤ c2t−1/r\nPor otro lado, como g permanece en el conjunto compacto F, 1\n(g) tiende uniformemente a\nla identidad cuando t = x va a la infinidad, y 1\n(x) permanece en un conjunto compacto.\nPor continuidad, vemos que 1\nx)–1 ∗ 1\ng) ∗ 1\n(x) se vuelve arbitrariamente pequeño como t\nincrementos. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n30 EMMANUEL BREUILLARD\n5.3. Prueba de la Proposición 5.1. Primero probamos el siguiente estado de continuidad:\nmento:\nLemma 5.6. Seamos una pseudodistancia periódica en G y فارسى > 0. Entonces, ahí está.\nexiste un barrio de la identidad U en G y s3 > 0 tal que\n1--(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(--)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(--(-)-(-)-(--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n(e, gx)\n(e, x)\n≤ 1 + \ntan pronto como g (U) y (e, x) > s3.\nPrueba. Deja que N sea una métrica de Riemanniano invariante a la izquierda en el GN de nilshadow.\n• (e, x)− • (e, gx) ≤ • (x, gx) ≤ • (x, g* x) + • (g* x, gx)\nSin embargo, en algunos casos C > 0, por la Proposición 4.6. Por otra parte, por\n(1) tenemos gx = g* T (g)x. Por lo tanto\n(e, x) − (e, gx) ≤ C/23370/N (x, g* x) + C/23370/N (x, T (g)x) + 2C\nPara completar la prueba, aplicamos Lemmas 5.5 y 5.3 en el lado derecho de arriba.\nProcedemos con la prueba de la Proposición 5.1. Let L ser el conjunto de todos g G\nDe tal manera que el punto (e, gx)/el punto (e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito en G. Claramente L es un\nEl subgrupo de G. Lemma 5.6 muestra que L está cerrada. La invarianza H de las garantías\nque L contiene H. Además, la Proposición 5.2 implica que L es invariante bajo K.\nEn consecuencia, L contiene HK, el subgrupo cerrado generado por todos los k(h), k+K,\nh. H. Esto, junto con la Proposición 5.2, concede una convergencia\nintegrand en (29). Convergencia de la integral sigue mediante la aplicación de Lebesgue\nTeorema de convergencia dominado.\nEl hecho de que K es invariante bajo la multiplicación izquierda por H e invariante bajo\nLa precomposición por automorfismos de K asegura que K es invariante bajo *-\nmultiplicación izquierda por cualquier elemento h H, donde * es la multiplicación en el\nNilshadow GN. Por otra parte, comprobamos que T (g) • K si g • HK, por lo tanto HK es un\nsubgrupo de GN. Es claramente cocompacto en GN también (si F es compacto y HF = G\nentonces H * FK = G donde FK es la unión de todos los k(F ), k • K).\nClaramente K es apropiado y localmente limitado, así que para terminar la prueba, nosotros\nSólo hay que comprobar que K es geodésico asintóticamente. Por la invarianza H de la letra K) y de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia,\nya que H es cocompacto en G, es suficiente para exhibir un pseudogeodésico entre e\ny un punto x â € H. Dejar x = z1 ·... ·zn con zi â € H y\n(e, zi) ≤ (1) (e, x).\nFijar un dominio fundamental compacto F para H en HK para que la integración en (29)\nsobre H\\HK se sustituye por la integración sobre F. Luego para algunos constante CF > 0\ntienen (g, gz) − ♥(e, gz) ≤ CF para g F y z H. Por otra parte, se deduce de\nProposición 5.2, Lemma 5.6 y el hecho de que HK\n(32) l(e, gk(z)) ≤ (1 + ♥) · l(e, z)\npara todos los g de F, k de K y tan pronto como z de G es lo suficientemente grande. Fijar s lo suficientemente grande\nde modo que CF ≤ فارسىs y que (32) se mantenga cuando (e, z) ≥ s. Como ya se ha observado en\nla discusión siguiente a la definición 4.1 (propiedad 4.2 (3)) podemos tomar la\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 31\nque s\n≤ (e, zi) ≤ s. A continuación, nCF ≤ nsl ≤ 3(e, x). Finalmente conseguimos para...................................................................................................................\nx lo suficientemente grande\nK(e, zi) ≤ CFn+ (1 + )\n2o(e, x)\n≤ CFn+ (1 + )\n3K(e, x)\n≤ 1 + 10 °) · K(e, x)\ndonde hemos utilizado la convergencia?K/ 1 que acabamos de probar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6. El caso de los nilpotentes\nEn esta sección, probamos el Teorema 1.4 y sus corolarios expresados en el Intro-\nla inducción para un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Básicamente seguimos a Pansu’s\nargumento de [27], aunque nuestro enfoque difiere algo en su presentación.\nA lo largo de la sección, el grupo Nilpotent Lie será denotado por N, y su Mentira\nálgebra por n.\nQue m1 sea cualquier subespacio vectorial de n de tal manera que n = m1 â € [n, n]. Dejemos que η1 el\nproyección lineal asociada de n a m1. Dejar que H sea un subgrupo de cocompacto cerrado\nde N. A cada pseudodistancia H-periódica en N asociamos una norma 0 en\nm1 que es la norma cuya bola unidad se define como el casco convexo cerrado de todos\nlos elementos η1(h)/l(e, h) para todos los elementos h(h)}. En otras palabras,\n(33) E := {x â € m1, â € € > 0 ≤ 1} = CvxHull\nη1(h)\n(e, h)\n, h â â € TM â TM â TM â TM â TM â TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nEl conjunto E es claramente un subconjunto convexo de m1 que es simétrico alrededor de 0 (desde \nes simétrico). Para comprobar que E es de hecho la bola unitaria de la norma sobre m1 permanece\npara ver que E está limitada y que 0 se encuentra en su interior. El primer hecho es el siguiente:\ninmediatamente desde (23) y Ejemplo 2.3. Si 0 no se encuentra en el interior de E,\nentonces E debe estar contenido en un subespacio adecuado de m1, contradiciendo el hecho de que\nH es cocompacto en N.\nTomando grandes poderes hn, vemos que podemos reemplazar el conjunto H e} en el anterior\ndefinición por cualquier barrio de infinito en H. Del mismo modo, es fácil ver que\nse mantiene lo siguiente:\nProposición 6.1. Para s > 0 dejar Es ser el casco convexo cerrado de todos η1(x)/l(e, x)\ncon x N y x > s. A continuación E =\ns>0Es.\nPrueba. Debido a que es H-periódico, tenemos ♥(e, hn) ≤ n/23370/(e, h) para todos los n+N y h+H.\nEsto muestra E â € TM\ns>0Es. La inclusión opuesta se deriva fácilmente del hecho de que\nSe encuentra a una distancia limitada de su restricción a H, es decir. a partir del punto 4.2 (1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora elegimos un conjunto de subespacios suplementarios (mi) comenzando con m1 como en\nPárrafo 2.2. Esto define un nuevo producto de la Mentira * en N de modo que N = (N, *) es\nestratificado. Entonces podemos considerar la métrica de Carnot-Carathéodory invariante *-izquierda\nasociado a la norma 0 tal como se define en el párrafo 2.1 sobre el nilpotente estratificado\nGrupo de mentiras N. En esta sección, probaremos el teorema 1.4 para grupos nilpotentes en\nel siguiente formulario:\n32 EMMANUEL BREUILLARD\nTeorema 6.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en N y d- el Carnot-\nmétrica de caratheodory definida arriba, entonces como x tiende a infinito en N\n(34) lim\n(e, x)\nd-(e, x)\nNótese que la variable de la izquierda es para el producto de la Mentira, pero no para la Mentira original.\nproducto en N.\nAntes de ir más lejos, vamos a sacar algunas consecuencias simples.\n(1) En el Teorema 6.2 podemos reemplazar a d(e, x) por d(e, x), donde d es la izquierda\nmétrica invariante del Carno-Carateosorio en N (en lugar de N\nnorma 0 (en contraposición a la norma d, que es ∗-invariante de izquierda). Por lo tanto, d y d son\nasintótico. Esto se desprende de la combinación de Teorema 6.2 y Observación 2.1.\n2) Observar que la elección de m1 fue arbitraria. Por lo tanto, dos Carnot-Carathéodory\nmétricas correspondientes a dos opciones diferentes de un subespacio suplementario m1\ncon la misma norma inducida en n/[n, n], son equivalentes asintóticamente (es decir, su\nla relación tiende a 1), y de hecho isométrica (véase la Observación 2.1). Por el contrario, si dos\nLas métricas Carnot-Carathéodory están asociadas al mismo subespacio suplementario\nm1 y son equivalentes asintóticamente, deben ser iguales. Esto muestra que el\nconjunto de todas las normas posibles sobre el espacio vectorial cociente n/[n, n] está en\nel conjunto de todas las clases de equivalencia asintótica de las métricas Carnot-Carathéodory en\n(3) Como otra consecuencia vemos que si un local limitado propio y asymp-\nseudodistancia izquierda invariante toticalmente geodésica en N también es homogénea con\npor lo que respecta al grupo de 1 parámetro (t)t (es decir, Entonces tiene que ser\nde la forma \"(x, y)\" = \"(e), \"(x)\"\n−1y) donde d.o. es una métrica Carnot-Carathéodory en\n6.1. Volumen asintótico. Teorema 6.2 también produce una fórmula para el asintótico\nvolumen de bolas de gran radio. Vamos a fijar una medida de Haar en N (por ejemplo\nLa medida Lebesgue sobre n da lugar a una medida Haar sobre N en virtud de la exp). Desde el día de la reunión.\nes homogéneo, es sencillo calcular el volumen de un d-ball:\nvol({x N, d(e, x) ≤ t}) = t\nd(N)vol({x â € N, dâ € (e, x) ≤ 1})\ndonde d(N) =\ni≥1 dim(C)\ni(n)) es la dimensión homogénea de N. Para un pseu-\ndodistancia como en la declaración de Teorema 6.2, podemos definir el vol asintótico\nel volumen de la bola de unidad para el Carnot-Carathéodory asociado\nmétricas d...................................................................................................................................................................\nAsV ol() = vol({x N, d(e, x) ≤ 1})\nEntonces obtenemos como corolario inmediato del Teorema 6.2:\nCorolario 6.3. Dejemos que sea pseudodistancia periódica en N. Entonces\ntd(N)\nvol({x N, (e, x) ≤ t}) = AsV ol() > 0\nPor último, si se trata de un grupo arbitrario nilpotente finitamente generado, tenemos que tomar\ncuidado de los elementos de torsión. Forman un subgrupo finito normal T y aplican\nTeorema 6.2 a /T, obtenemos:\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 33\nCorolario 6.4. Let S ser un conjunto de generación simétrica finita de la bola y Sn\nde radio n es la palabra métrica de S asociada a S, entonces\nnd(N)\n#Sn = #T ·\nAsV ol(lS)\nvol(N/)\ndonde N es el cierre de Malcev de • = •/T, el cociente libre de torsión de •, y dS\nes la palabra pseudodistancia asociada a S, la proyección de S en.\nPor otra parte, es posible ser un poco más preciso sobre AsV ol(lS). De hecho,\nla norma 0 sobre m1 utilizado para definir el límite Carnot-Carathéodory distance d\nasociado a S es una norma poliédrica simple definida por\nx ≤ 1} = CvxHull (γ1(s), s S)\nDe manera más general, las siguientes reservas. Dejar que H sea cualquier subgrupo cerrado, cocompacto\nde N. Elija una medida Haar en H para que volN (N/H) = 1. Rendimientos del teorema 6.2:\nCorolario 6.5. Vamos a ser un compacto simétrico (es decir. Barrio de\nla identidad, que genera H. Dejar 0 ser la norma en m1 cuya bola unidad es\nCvxHull1()} y dejar que dŁ sea la correspondiente métrica Carnot-Carathéodory en\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces tenemos el siguiente límite en la topología de Hausdorff\n(ln) = {g + N, d{e, g) ≤ 1}\nvolH(\nnd(N)\n= volN ({g N, d(e, g) ≤ 1})\n6.2. Esquema de la prueba. Primero diseñamos algunos lemas estándar sobre la pieza...\naproximaciones prudentes de las vías horizontales (Lemmas 6.6, 6.7, 6.10). Entonces se muestra\n(Lemma 6.11) que el producto original en N y el producto en el\ngrupo de la mentira calificada son asintóticos entre sí, es decir, si (?t)t es un 1-parámetro\ngrupo de dilaciones de N, luego después de la renormalización por 1\n, el producto de O(t)\nelementos que se encuentran en algún subconjunto limitado de N, está muy cerca de la renormalización\nproducto de los mismos elementos en el grupo de la Mentira graduada N. Esta es la razón por la que todos los com-\nlas aplicaciones debido al hecho de que N no puede ser calificado a priori y los\nno ser automorfismos desaparecen cuando se mira la geometría a gran escala de la\ngrupo. Por último, observamos (Lemma 6.13), como se desprende de la propia definición de\nla unidad de bola E para la norma límite 0, que cualquier vector en el límite de E,\nse puede aproximar, después de volver a normalizar por 1\npor algún elemento x â € TM N acostado en\nun anillo fijo s(1 − ) ≤ (e, x) ≤ s(1 + ). Esto nos permite afirmar que cualquier\nLa geodésica-cuasi da lugar, después de la renormalización, a una di-geodésica (esto da la\nlímite inferior en el teorema 6.2). Y viceversa, que cualquier d-geodésico puede ser ap-\nproximalmente uniformemente por algunos geodésicos renormalizados \nencuadernado en Teorema 6.2).\n34 EMMANUEL BREUILLARD\n6.3. Lemas preliminares.\nLemma 6.6. Que G sea un grupo de Mentira y que e sea una norma euclidiana sobre la Mentira\nálgebra de G y de(·, ·) la métrica izquierda invariante Riemanniana asociada en G.\nQue K sea un subconjunto compacto de G. Luego hay una constante C0 = C0(de,K) > 0\nDe modo que cuando de(e, u) ≤ 1 y x, y\nde(xu, yu)− de(x, y) ≤ C0de(x, y)de(e, u)\nPrueba. La prueba se reduce al caso cuando u y x-1y están en un barrio pequeño\nde e. Entonces la desigualdad se reduce a lo siguiente:\nalgunos c > 0 y cada X,Y en Lie(G). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nLemma 6.7. Dejar G ser un grupo de la mentira, dejar ser alguna norma en el álgebra de la mentira de\nG y dejar de(·, ·) ser una métrica riemanniana invariante izquierda en G. Entonces para cada\nL > 0 hay una constante C = C(de, , L) > 0 con la siguiente propiedad.\nSupóngase: [0, 1] → G son dos caminos lisos en el grupo de la Mentira G\ncon â € 1(0) = â € 2(0) = e. Let â €\ni • Lie(G) ser el vector tangente tirado hacia atrás en el\nidentidad por una traducción a la izquierda de G. Asumir que supta[0,1] \n1 t) ≤ L, y que\n1(t)−\n2 t) ° dt ≤ °. Entonces\n≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > > > > > 1 > 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > > > > > \nPrueba. La función f(t) = de(1(t), 2(t)) es lisa a trozos. Para el pequeño dt nosotros\npuede escribir, utilizando Lemma 6.6\nf(t+ dt)− f(t) ≤ de(1(t)\n1 t)dt, 1 t)\n2(t)dt) + de(1(t)\n2 t)dt, 2 t)\n2(t)dt)− f(t) + o(dt)\n1(t)− 2(t)\nDT+ C0f(t)\n2(t)dt\n+ o(dt)\n≤ (t)dt +C0Lf(t)dt+ o(dt)\nen los que Ł(t) = 1(t)−\n2 t)oe. En otras palabras,\nf ′(t) ≤ (t) + C0Lf(t)\nDado que f(0) = 0, el lema de Gronwall implica que f(1) ≤ eC0L\n(s)e−C0Lsds ≤ C.\nA partir de ahora, tomaremos a G como el estratificado grupo de Nilpotent Lie, y\nde(·, ·) denotará una métrica de Riemanniana invariante izquierda en N, mientras que d(·, ·) es una izquierda\nmétrica de Carnot-Carateodory Finsler invariante en N.o asociado a alguna norma \nen m1.\nObservación 6.8. Hay c0 > 0 tal que c\n0 de(e, x) ≤ d(e, x) ≤ c0de(e, x)\nr en a\nbarrio de e. Por lo tanto, en la situación del lema se obtiene dâ € (â € 1, â € 2(1)) ≤\nr para alguna otra constante C1 = C1(L, d.o., de).\nLemma 6.9. Let N â € N y dN (x, y) ser la función en Nâ € definido en el\nde la siguiente manera:\ndN (x, y) = inf{\n(u)\nHPL(N), (0) = x, ((1) = y}\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 35\ndonde HPL(N) es el conjunto de trayectorias horizontales que son lineales a trozos con en\nla mayoría de los N posibles valores para. A continuación, tenemos dN → de forma uniforme en compacto\nsubconjuntos de N.O.\nPrueba. Tenga en cuenta que se desprende del teorema de Chow (p. ej. Véase [25] o [19]) que allí\nexiste K0 â € N tal que A := supdâ(e,x)=1 dK0(e,x) <. Por otra parte, ya que pieza-\nlos caminos lineales sabios son densos en L1, sigue por ejemplo de Lemma 6.7 que para\ncada x fijo, dn(e, x) → d•(e, x). Tenemos que demostrar que dN (e, x) → d(e, x) uni-\nFormalmente en x satisfaciendo d.(e, x) = 1. Por contradicción, supongamos que hay una secuencia\n(xn)n de tal manera que, en algunos casos, se destinen a la categoría D(e, xn) = 1 y a la categoría dn(e, xn) ≥ 1 + 0. Podemos\nasumir que (xn)n converge para decir x. Dejar que yn = x\n−1 *xn y tn = d(e, yn). Entonces\ndK0(e, yn) = tndK0(e, 1\n(yn)) ≤ Atn. Así dn(e, xn) ≤ dn(e, x) + dn(e, yn) ≤\ndn(e, x) + Atn tan pronto como n ≥ K0. Como n tiende a........................................................................... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEste lema indica la siguiente notación. En el caso de los países de la Europa central y oriental, el número de países de la Europa central y oriental será el más elevado de los países de la Europa central y oriental.\nprimer número entero de tal manera que 1 ≤ dN(e, x) ≤ 1 + para todas las x con d(e, x) = 1. Entonces nosotros\ntener:\nLemma 6.10. Por cada x â € Nâ € con dâ € (e, x) = 1, y todos â € > 0 existe un\nruta : [0, 1] → N.O. en HPL(N.O.) con velocidad unitaria (es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n= 1) tales que (0) = e\n≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >\n′ tiene como máximo una discontinuidad en cualquier subintervalo de\n[0, 1] de longitud.\nPrueba. Sabemos que hay una ruta en HPL(NŁ) que conecta e a x con la longitud\nl ≤ 1 + فارسى. Reparar el camino para que tenga velocidad de unidad, obtenemos un camino\n•0 : [0, l] → N.O. en HPL(N.O.) con d.O.(x, +0(1)) = d.O.(+0(l), +0(1)) ≤. La deriva...\ntivo 0 es constante en a lo sumo N♥ diferentes intervalos dicen [ui, ui+1). Quitemos\ntodos estos intervalos de longitud ≤ r/N, fundiéndolos en un intervalo adyacente\ny vamos a cambiar el valor de 0 en estos intervalos al valor en el adja-\nIntervalo de céntimos (no importa si elegimos el intervalo a la izquierda o en el\na la derecha). Obtenemos una nueva ruta : [0, 1] → N\nTal que tiene a lo sumo una discontinuidad en cualquier subintervalo de [0, 1] de longitud\n........................................................................................................................................................................................... Además\n(t)− 0(t)\nr. Por Lemma 6.7 y Observación 6.3, nosotros\nque tengan, por lo tanto, ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >\n≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1)\nLemma 6.11 (Aproximación horizontal de senderos). Que x*y denote la\nproducto dentro del grupo estratificado Lie N y x · y el producto ordinario en N.\nDejar n • N y t ≥ n. A continuación, para cualquier subconjunto compacto K de N, y cualquier x1,..., xn\nelementos de K, tenemos\nde(l) 1\n(x1 ·... · xn),\n(x1 ∗... ∗ xn)) ≤ c1\nde(l) 1\n(x1 ∗... ∗ xn),\n(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c2\n36 EMMANUEL BREUILLARD\ndonde c1, c2 dependen de K y de solamente.\nPrueba. Dejar ser una norma en el álgebra de la mentira de N. Para k = 1,..., n dejar zk =\nx1 ·... ·xk−1 y yk = xk+1 *...*xn. Puesto que todos los xis pertenecen a K, se deriva de (24)\nque tan pronto como t ≥ n, todos los\nzk) y 1\n(yk) para k = 1,..., n permanecer en un conjunto limitado\ndependiendo sólo de K. Comparando (12) y (11), vemos que cuando y = O(1)\ny 1\n(x) = O(1), tenemos\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\nxy)− 1\nx ∗ y)\n= O(\nPor otra parte, a partir de (12) es fácil verificar ese derecho *-multiplicación por un\nelemento limitado es Lipschitz para y la constante Lipschitz se limita localmente.\nSe deduce que hay una constante C1 > 0 (dependiendo sólo de K y ) tales\nque para todos los k ≤ n\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(zk · xk) ∗ yk)− 1\n(zk * xk * yk)\n≤ C1\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(zk · xk)− 1\n(zk ∗ xk)\nAplicando n veces la relación (35) con x = x1 ·... · xk−1 e y = xk, finalmente\nobtener 1\n(x1 ·... · xn)− 1\n(x1 ∗... ∗ xn)\n= O(\n) = O(\ndonde O() depende sólo de K. Por otro lado, utilizando (11), es otro simple\nverificación para comprobar que si x, y se encuentran en un conjunto limitado, entonces 1\nde(x, y) ≤ â € ~ x− yâ €\n≤ c2de(x, y) para algunas constantes c2 > 0. La primera desigualdad sigue.\nPara la segunda desigualdad, aplicamos Lemma 6.7 a las rutas de salida\nen e y con derivado igual a [ k\n, k+1\n) a no 1\nxk) en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n».\nη1(xk)\npara 2 libras esterlinas.\nLo conseguimos.\nde(l) 1\n(x1 ∗... ∗ xn),\n(η1(x1)*...* η1(xn)) = O(\nObservación 6.12. De la Observación 6.3 vemos que si reemplazamos de por d\nLemma, obtenemos el mismo resultado con 1\nsustituida por t−\nLemma 6.13 (Aproximación en el grupo abelianizado). Recuerde que 0 es el\nnorma sobre m1 definida en (33). Para cualquier فارسى > 0, existe s0 > 0 tal que para cada\ns > s0 y cada v â € m1 de tal manera que â € € TM = 1, existe h â € H tal que\n(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -)\ny \nη1(h)\n(e, h)\nPrueba. Deja que se arregle فارسى > 0. Considerando una red finita en E, vemos que existe\nun subconjunto simétrico finito {g1,..., gp} de Häe} de tal manera que, si consideramos el cerrado\nconvex casco de F = {fi = η1(gi)/l(e, gi)i = 1,..., p} y la norma asociada\nen m1, entonces 0 ≤ ≤ (1 + 2) 0. Hasta la reducción de F si es necesario, podemos\nasumir que fi = 1 para todos i’s. También podemos suponer que el fi de generar m1 como\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 37\nun espacio vectorial. La esfera {x, x = 1} es un poliedro simétrico en m1 y a\ncada una de sus facetas corresponde d = vértices dim(m1) yace en F y forma un vector\nbase de m1. Let f1,..., fd, digamos, ser tales vértices para una faceta dada. Si x m1 es de la\nforma x =\ni=1 ♥ifi con ♥i ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ d entonces vemos que x =\ni=1 ♥i,\nporque el casco convexo de f1,..., fd es precisamente esa faceta, por lo tanto se encuentra en la esfera\n{x, x = 1}.\nAhora vamos a v m1, v0 = 1, y vamos a > 0. La televisión de media línea, t > 0, llega a la\nesfera {x, x = 1} en un punto. Este punto pertenece a alguna faceta y allí\nson d elementos linealmente independientes de F, digamos f1,..., fd, los vértices de esa faceta,\ntal que este punto pertenece al casco convexo de f1,..., fd. El punto sv entonces miente\nen el cono convexo generado por η1(g1),..., η1(gd). Por otra parte, hay una constante\nÍndices de las emisiones de gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero, según se indica en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]\nmax1≤i≤p l(e, gi)) de forma que\nsv −\nNinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\npara algunos enteros no negativos n1,..., nd dependiendo de s > 0. Por lo tanto\nn(e, gi) =\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nNinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(sv + CŁ)\n≤ 1 + 2\n≤ 1 + 3\ndonde la última desigualdad se mantiene tan pronto como s > C\nAhora vamos a h = g\n1 ·... · g\nd H. Tenemos η1(h) =\ni=1 niη1(gi)\n(e, h) ≥ 1(h)0 ≥ s−\nAdemás\n(e, h) ≤\nn(e, gi) ≤ s(1 + 3\nCambiando a \"decir\" a \"decir\"\ny, por ejemplo, el número de personas menores de 1 año\n, obtenemos el resultado deseado con s0() =\nmax1≤i≤p l(e, gi). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n6.4. Prueba de Teorema 6.2. Tenemos que mostrar que como x→ • en N\n1 ≤ lim\n(e, x)\nd-(e, x)\n≤ lim\n(e, x)\nd-(e, x)\nPrimera nota que es suficiente para probar los límites para x â € ¢ H. Esto sigue de\n(4.2) (1).\nComencemos con el límite inferior. Nos fijamos en la definición de 0 y s = s()\nde una métrica geodésica asintótica (véase el punto 21). Sabemos por 4.2 (3) y (4) que\ntan pronto como se encuentre x1,..., xn en H con s ≤ ♥(e, xi) ≤ 2s tales que\nxi y\n(e, xi) ≤ (1 + Let t = dŁ(e, x), entonces n ≤\n(e, x),\npor lo tanto n ≤ C\nt donde C es una constante que depende únicamente de C (véase el punto 23). Podemos\n38 EMMANUEL BREUILLARD\na continuación, aplicar Lemma 6.11 (y la observación siguiente) para obtener, como t ≥ n tan pronto como\ns() ≥ C,\nd-(l)-(l)-(l)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)\n(x), 1\n(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c\nPero para cada i tenemos 1(xi)+0 ≤ ♥(e, xi) por definición de la norma, por lo tanto\nt = d(e, x) ≤\n1(xi)+0(x, π1(x1) ∗... 1(xn)) ≤ (1+ \nPuesto que Ł fue arbitrario, dejando t→ ♥ obtenemos\n(e, x)\nd-(e, x)\nPasamos ahora al límite superior. Let t = dŁ(e, x) y فارسى > 0. De acuerdo con\nLemma 6.10, hay un camino lineal horizontal por partes (u)}u[0,1] con unidad\nvelocidad de tal modo que d() 1\n(x), • 1)) ≤ C2 y sin intervalo de longitud ≥\ncontiene\nmás de un cambio de dirección. Dejad que Lemma 6.13 dé s0() y asumid\nt > s0(\nr)N.O.\nr. Dividimos [0, 1] en n subintervalos de longitud u1,..., de tal manera que\nes constante igual a yi en la subintervalo i-th y s0(\nr) ≤ tui ≤ 2s0\nr). Nosotros\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lemma 6.13 produce puntos xi â € H tales que\nyi −\nη1(xi)\n≤ ♥\ny (e, xi) [(1 − \nr)tui, (1 + \nr)tui] (obsérvese que tui > s0(\nr)). Vamos a ser el\ntrazo lineal a partir de piezas [0, 1] → No con las mismas discontinuidades\nvalor yi se sustituye por\nη1(xi)\n. Luego, según Lemma 6.7, d...... (.................................................................................................................................................................................................................................................... \nDesde el punto de vista de la letra e) del punto xi) ≤ 4s0\nr) para cada i, podemos aplicar Lemma 6.11 (y la observación\ny ver que si y = x1 ·... · xn,\nd()(1), 1\n(y)) ≤ c′1()t\nPor lo tanto, d() 1\n(x), 1\n(y)) ≤ (C2+C)c\n1(l)t\nr y ♥(e, y) ≤\n(e, xi) ≤ 1\nSin embargo, el valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto\n(x−1y)) + C ′ ≤ t(Cd\n(x), 1\n(y)) + o............................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto\n(e, x) ≤ t+ o(t)\nObservación 6.14. En el último argumento usamos el hecho de que\n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\n(xu)− 1\n(x ∗ u)\n= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 \n) si 1\nx) y 1\n(u) están limitados, con el fin de obtener para y = xu,\nd-(e, 1-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)\n(u)) ≤ d\n(x), 1\n(xu)) + d\n(xu), 1\n(x ∗ u))\n≤ d.o.p.\n(x), 1\n(y)) + o(1).\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 39\n7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados\nEn esta sección, probamos el Teorema 1.2 y completamos la prueba del Teorema 1.4\ny sus corolarios. Comenzamos con lo último.\nPrueba de Teorema 1.4. Es la combinación de la Proposición 5.1, que reduce la\nproblema a los grupos nilpotent Lie, y Teorema 6.2, que trata el caso nilpotent.\nSólo queda por justificar la última afirmación de que el d- es invariante en virtud de la T (H).\nYa queK = T (H) estabilizam1 (véase Lemma 3.12 para la definición dem1) y actúa\npor automorfismos de la estructura nilpotente (nilshadow) (Lemma 3.5), dada la\nk K, la métrica dŁ(k(x), k(y)) no es otra cosa que el invariante izquierdo subFinsler\nmétrica en el nilshadow asociado a la norma â € € TM k(v)â € para v â € m1 (si â € € ~ € ~ € ~ ~ denota\nla norma asociada a d.o.p.).\nSin embargo, d.o. es asintóticamente invariante bajo K, debido a la Proposición 5.1.\nEs decir, dÃ3(e, k(x))/dÃ3(e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito. Por último, d(e, v) =\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Dos normas asintóticas en un vector\nEl espacio siempre es igual. De ello se deduce que las normas sobre m1 coinciden entre sí.\nPor lo tanto, de la letra e), k (x) = d(e, k (x)) para todas las x â € S, como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba del corolario 1.8. En primer lugar, algunas observaciones iniciales (véase también la Observación 2.1). Si d es\nuna métrica subFinlser invariante izquierda en un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado\ninducido por una norma sobre un subespacio suplementario m1 del conmutador\nsubálgebra, entonces se deriva de la definición misma de las métricas subFinsler (ver\nPárrafo 2.1) que el 1 de enero es 1-Lipschitz entre el grupo Lie y la abelianización\nde ella dotada de la norma, es decir, 1(x) ≤ d(e, x), con la igualdad si x m1.\nA partir de esto y considerando la definición de la norma límite en (33), concluimos\nque coincide con la norma límite de d. En particular el teorema 6.2 implica\nque d es asintótico a la métrica invariante ∗-izquierda subFinsler d\nla misma norma en el grupo de Lie calificado (No,*).\nAhora podemos probar el corolario 1.8. Por la observación anterior, el límite métrica d\nen la nilshadow graduada de S es asintótica a la métrica subFinsler d inducida\npor la misma norma, en el mismo (K-invariante) subespacio suplementario m1\ndel subalgebra conmutador de la nilshadow, y que se deja invariante para\nla estructura de nilshadow en S. Sin embargo, se deduce de Teorema 1.4 que d\ny la norma son K-invariantes. Esto implica que d también es invariante a la izquierda\ncon respecto a la estructura de grupo de Lie original de S. De hecho, por (1), podemos\nescribir d(gx, gy) = d(g* (T (g)x), g* (T (g)y)) = d(T (g)x, T (g)y) = d(x, y), donde *\ndenota esta vez la estructura del producto nilshadow. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nPrueba del corolario 1.7. Esto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ de-\nseñala el producto nilshadow clasificado. Si ∗ denota la estructura del grupo de nilshadow,\nentonces se desprende de Teorema 6.2 y la observación que acabamos de hacer en la prueba de\nCorollary 1.8 (véase también la Observación 2.1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7.1. Prueba de Teorema 1.2. Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio\ncrecimiento. Demostraremos que G tiene un subgrupo K normal compacto de tal manera que G/K\n40 EMMANUEL BREUILLARD\ncontiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que se puede realizar como una co-\nsubgrupo compacto de un grupo de tipo Solvable Lie conectado y simplemente conectado\n(R) (es decir, de crecimiento polinomio). La prueba seguirá en varios pasos.\n(a) Primero mostramos que hasta la modificación por un subgrupo compacto normal, podemos\nasumir que G es un grupo de mentiras cuyo componente conectado de la identidad no tiene\nsubgrupo normal compacto. De hecho, se deriva del refinamiento de Gromov por parte de Losert\nteorema ([24] Teorema 2) que existe un subgrupo compacto normal K de G\ntal que G/K es un grupo de mentiras. Así que ahora podemos asumir que G es un grupo de mentiras (no\nnecesariamente conectados) de crecimiento polinomio. El componente conectado G0 de G\nes un grupo de Lie conectado de crecimiento polinomio. Recordemos el siguiente hecho clásico:\nLemma 7.1. Cada grupo de Lie conectado tiene un compacto compacto único normal\nsubgrupo. Por singularidad debe ser un subgrupo de Lie característico.\nPrueba. Claramente si K1 y K2 son subgrupos normales compactos, entonces K1K2 es de nuevo\nun subgrupo compacto normal. Considerando G/K, donde K es una normal compacta\nsubgrupo de la dimensión máxima, podemos suponer que G no tiene compacta normal\nsubgrupo de dimensión positiva. Pero cada subgrupo normal finito de un\nEl grupo es central. Por lo tanto, el grupo cerrado generado por todos los subgrupos normales finitos es\ncontenido en el centro de G. El centro es un subgrupo abeliano de Lie, es decir. isomórfico\na un producto de un espacio vectorial Rn, un toro Rm/Zm, un grupo abeliano libre Zk y un\ngrupo abeliano finito. En tal grupo, claramente hay un compacto máximo único\nsubgrupo (a saber, el producto del grupo finito y el toro). También es normal,\ny máximo en G.\nEl subgrupo normal compacto máximo de G0 es un subgrupo de Lie característico\nde G0. Por lo tanto, es normal en G y podemos modificar por ella. Por lo tanto, tenemos\nmuestra que todos los grupos compactos locales (generados compactamente) con polinomios\ncrecimiento admite un cociente por un subgrupo normal compacto, que es un grupo de mentira G\ncuyo componente conectado de la identidad G0 tiene crecimiento polinomio y con-\nno contiene ningún subgrupo normal compacto. Ahora vamos a demostrar que un cierto co-compacto\nsubgrupo de G tiene la propiedad de inserción de Teorema 1.2.\nb) En segundo lugar, mostramos que, hasta pasar a un subgrupo de cocompacto, podemos\nasumir que el componente G0 conectado es solvable. Para este propósito, que Q sea\nel radical solvable de G0, es decir, el subgrupo máximo conectado normal de Lie\nde G0. Tenga en cuenta que es un subgrupo característico de G0 y, por lo tanto, normal en G.\nAdemás, G0/Q es un grupo de mentiras semisimple. Dado que G0 tiene crecimiento polinomio,\nDe ello se desprende que G0/Q debe ser compacto. Considerar la acción de G por conjugación en\nG0/Q, es decir, el mapa : G→ Aut(G0/Q). Puesto que G0/Q es compacto semisimple,\nsu grupo de automorfismos es también un grupo compacto de Lie. En particular, el núcleo\nes un subgrupo cocompacto de G.\nEl componente conectado de la identidad de Aut(G0/Q) es en sí mismo semisimple y\npor lo tanto tiene centro finito. Sin embargo, la imagen del componente conectado (ker فارسى)0\nde que en G0/Q módulo Q es central. Por lo tanto, debe ser trivial. Tenemos\nse muestra que (ker)0 está contenido en Q y por lo tanto es solvable. Por otra parte (ker )0\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 41\nno tiene un subgrupo normal compacto, porque de lo contrario su compacto normal máximo\nEl subgrupo, que es característico en (ker)0, sería normal en G (note que (ker)0\nes normal en G).\nCambio de G en el subgrupo de cocompacto kers, por lo tanto, podemos asumir que\nG0 es solvable, de crecimiento polinomio, y no tiene una sub-\ngrupo. El grupo G/G0 es discreto, generado finitamente, y tiene crecimiento polinomio.\nPor el teorema de Gromov, debe ser prácticamente nilpotente, en particular virtualmente poli-\ncíclico.\n(c) Finalmente demostramos la siguiente proposición.\nProposición 7.2. Dejar G ser un grupo de mentira tal que su componente conectado de la\nidentidad G0 es solvable, no admite subgrupo normal compacto, y con G/G0 virtu-\nAlly policíclico. Entonces G tiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que puede ser incrustado\ncomo un subgrupo de cocompacto cerrado de una mentira solvable conectada y simplemente conectada\ngrupo.\nLa prueba de esta proposición es principalmente una aplicación de un teorema de H.C.\nWang, que es una amplia generalización del teorema integrador de Malcev para la torsión\ngrupos nilpotentes generados finitamente libres. El teorema de Wang [36] declara que cualquier S-\ngrupo puede ser incrustado como un subgrupo de cocompacto cerrado de un real simplemente conectado\nGrupo de Lie Solvable lineal con sólo finitamente muchos componentes conectados. Wang\ndefine un grupo S como cualquier verdadero grupo de Lie G, que admite un subgrupo normal\nUn tal que G/A se genera finitamente abelian y A es un nilpotente libre de torsión\nGrupo de mentiras cuyo grupo de componentes conectados se genera finitamente. En particular\ncualquier grupo S tiene un índice finito (de ahí cocompacto) subgrupo que se incrusta como un\nsubgrupo de cocompacto en un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado.\nPara probar la Proposición 7.2, basta, por lo tanto, establecer que G tiene un\ncocompacto S-group.\nRecordamos en primer lugar el siguiente simple hecho:\nLemma 7.3. Cada subgrupo cerrado F de un grupo de Lie solvable conectado S es\ntopológicamente generado finitamente.\nPrueba. Argumentamos por inducción sobre la dimensión de S. Claramente hay una epi-\nmorfismo η : S → R. Por hipótesis de inducción F ker η es topológicamente finita\ngenerado. La imagen de F es un subgrupo de R. Sin embargo, cada subgrupo de R\ncontiene uno o dos elementos, cuyo subgrupo que generan tiene el mismo\ncierre como subgrupo original. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nA continuación mostramos la existencia de un nilradical.\nLemma 7.4. Que G sea como en la Proposición 7.2. Entonces G tiene un máximo único\nsubgrupo normal de nilpotente GN.\nPrueba. El subgrupo generado por cualquiera de los dos subgrupos normales de\ngrupo dado es en sí mismo nilpotente (lema de Fitting, ver, por ejemplo. [30][5.2.8]). Dejad en paz a GN.\nel cierre del subgrupo generado por todos los subgrupos nilpotent de G. Necesitamos\npara demostrar que la GN es nilpotente. Para esto es claramente suficiente para demostrar que es\n42 EMMANUEL BREUILLARD\ntopológicamente generado finitamente (porque cualquier subgrupo de GN generado finitamente es\nnilpotente por la observación que acabamos de hacer). Puesto que G/G0 es virtualmente policíclico, cada\nEl subgrupo se genera finitamente ([29][4.2]). Por lo tanto, es suficiente para demostrar que\nGN â € ¢ G0 se genera topológicamente finitamente. Esto sigue de Lemma 7.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nIncidentemente, observamos que el componente conectado de la identidad (GN )0\ncoincide con el nilradicalN de G0 (es el máximo normal nilpotente conectado\nsubgrupo de G0.\nAhora afirmamos lo siguiente:\nLemma 7.5. El grupo cociente G/GN es prácticamente abeliano.\nLa prueba de este lema se inspira en la prueba del hecho, debido a Malcev,\nque los grupos policíclicos tienen un subgrupo de índice finito con conmutador nilpotente\nsubgrupo (por ejemplo, Véase [30] [15,1.6]).\nPrueba. Demostraremos que G tiene un índice finito subgrupo normal cuyo conmutador\nEl subgrupo es nilpotente. Esto implica claramente el lema, para este subgrupo nilpotente\nserá normal, por lo tanto, contenido en GN.\nPrimero observamos que el grupo G admite una serie normal finita Gm ≤ Gm−1 ≤\n. .. ≤ G1 = G, donde cada Gi es un subgrupo normal cerrado de G tal que Gi/Gi+1\nes finito, o isomórfico a Zn, Rn o Rn/Zn. Esto lo ve elegir uno de los\nGi es el componente G0 conectado y luego tratar G/G0 y G0 por separado.\nEl primero sigue de la definición de un grupo policíclico (G/G0 tiene una\nsubgrupo policíclico de índice finito). Mientras que para G0, observe que su N nilradical es\nun grupo de nilpotent Lie conectado y simplemente conectado y admite tal serie\nde los subgrupos característicos (escoger la serie descendente central), y G0/N es un\nabeliano conectado grupo Lie, por lo tanto isomórfico al producto directo de un toro\nn/Zn y un grupo vectorial Rn. La parte del toro es característica en G0/N, de ahí su\nla preimagen en G0 es normal en G.\nEl grupo G actúa por conjugación en cada cociente parcial Qi := Gi/Gi+1. Esto\nda un mapa G → Aut(Qi). Ahora tenga en cuenta que para probar nuestro lema, es\nsuficiente para demostrar que para cada i, hay un subgrupo índice finito de G\nEl subgrupo de mutantes mapea a un subgrupo de nilpotente de Aut(Qi). De hecho, la toma de la\nintersección de esos subgrupos índice finito, obtenemos un índice finito subgrupos normales\ncuyo subgrupo conmutador actúa nilpotently en cada Qi, por lo tanto es en sí mismo nilpotent\n(suficientes conmutadores desaparecerán).\nAhora Aut(Qi) es finito (si Qi es finito), o isomórfico a GLn(Z) (en caso de que\nQi es o bien Z\nn o Rn/Zn) o a GLn(R) (cuando Qi R\nn). La imagen de G en\nAut(Qi) es un subgrupo solvable. Sin embargo, cada subgrupo solvable de GLn(R)\ncontiene un subgrupo índice finito, cuyo subgrupo conmutador es unipotenciante (de ahí que\nnilpotente). Esto sigue del teorema de Kolchin, por ejemplo, que un conectado\nsubgrupo algebraico solvable de GLn(C) es triangularizable. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEn la secuela asumimos que G/G0 es policíclico libre de torsión. Es legítimo.\npara hacerlo en la prueba de la Proposición 7.2, porque cada grupo virtualmente policíclico\ntiene un subgrupo policíclico libre de torsión de índice finito (véase, por ejemplo, [29][Lemma 4.6]).\nAhora afirmamos lo siguiente:\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 43\nLemma 7.6. GN está libre de torsión.\nPrueba. Dado que G/G0 está libre de torsión, es suficiente para probar que GN-G0 es torsión-\nlibre. Sin embargo, el conjunto de elementos de torsión en GN forma un subgrupo de GN (si x, y son\ntorsión, entonces xy es demasiado porque â € TM x, yâ € es nilpotente). Claramente es una característica\nsubgrupo de GN. Por lo tanto, su intersección con G0 es normal en G0. Tomando el\ncierre, obtenemos un nilpotente cerrado subgrupo normal T de G0 que contiene un\nDenso conjunto de elementos de torsión. Recordemos que G0 no tiene un subgrupo compacto normal.\nDe esto se deduce rápidamente que T es trivial, porque primero debe ser discreto (la\ncomponente conectado T0 es compacto y normal en G0), por lo tanto finitamente generado\n(por Lemma 7.3), por lo tanto hecho de elementos de torsión. Pero una torsión finitamente generada\nEl grupo nilpotente es finito. Una vez más, puesto que G0 no tiene un subgrupo normal compacto, T debe\nser trivial, y GN es libre de torsión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nAhora observe que el grupo de componentes conectados de GN, a saber GN/(GN )0\nse genera finitamente. De hecho, puesto que G/G0 se genera finitamente (como cualquier policíclico\ngrupo), es suficiente para demostrar que (G0 GN )/(GN )0 se genera finitamente, pero esto\nse desprende del hecho de que G0-GN se genera topológicamente finitamente (Lemma 7.3).\nYa casi hemos terminado. Tenga en cuenta que G se genera topológicamente finitamente (Lemma\n7.3), por lo tanto, también lo es G/GN. Por Lemma 7.5 G/GN es prácticamente abeliano, por lo que ha\nun índice finito subgrupo normal isomórfico a Zn × Rm. De ello se deduce que G/GN\ntiene un subgrupo de cocompacto isomórfico a un grupo abeliano libre Zn+m. Por lo tanto, después\ncambiar G por un subgrupo de cocompacto, obtenemos que G es una extensión de GN (a\ngrupo de mentira sin torsión nilpotente con grupo finitamente generado de com-\nponents) por un grupo abeliano libre finitamente generado. Por lo tanto, es un grupo S en el\nterminología de Wang [36]. Aplicamos el teorema de Wang y esto termina la prueba de\nProposición 7.2.\n(d) Ahora podemos concluir la prueba del Teorema 1.2. Por a) y b)\nun cociente por un grupo compacto que admite un subgrupo de cocompacto satisfactorio\nlas suposiciones de la Proposición 7.2. Por lo tanto, para concluir la prueba sólo queda\npara verificar que el grupo simplemente conectado Solvable Lie en el que un co-compacto\nEl subgrupo de incrustaciones G/K tiene crecimiento polinomio (es decir, es de tipo (R)). Pero esto\nsigue del siguiente lema (véase [21][Thm. I.2]).\nLemma 7,7. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Entonces G tiene crecimiento polinomio si\ny sólo si algunos (resp. an) subgrupo cocompacto de la misma tiene crecimiento polinomio.\nPrueba. Primero se comprueba que G se genera compactamente si y sólo si algunos (resp.\nan) subgrupo de cocompacto es. Esto es por el mismo argumento que muestra que\nsubgrupos índice finitos de un grupo finito generado se generan finitamente. In\nen particular, si es un conjunto de generación simétrica compacta de G y H es un co-compacto\nsubgrupo, entonces no hay n0 â € N tal que â €\nn0H = G. Entonces H â ¬ 3n0 genera\nSi G tiene crecimiento polinomio y H es cualquier subgrupo cerrado de generación compacta,\nentonces H tiene crecimiento polinomio. En efecto (véase [21][Tm I.2]), si \npact generating set para H, y K un barrio compacto de la identidad en G,\n44 EMMANUEL BREUILLARD\nvolG(K)volH(\nH) ≤ volH(KK\n−1 H)volG(\nEsta desigualdad sigue integrando sobre una medida Haar izquierda de G la función\n(x) :=\n−1x)dh, donde dh es una medida Haar izquierda en H. Esta integral\nes igual al lado izquierdo de la ecuación mostrada arriba, mientras que es puntual\nlimitado por volH(xK\n−1 H) dentro de HK y por cero fuera de HK.\nEn la otra dirección, si H tiene crecimiento polinomio, entonces G también tiene, porque\nse puede escribir lán lán lán HK para un conjunto de generación compacta lán H de H y algunos\nbarrio compacto K de la identidad en G (ver Proposición 4.4). Entonces el\nresultado de la siguiente desigualdad:\nvolH(lH)volG(l\nHK) ≤ volH(\nH )volG(\nH K),\nque es una consecuencia directa del hecho de que la función\n(x) :=\n(h−1x)dh,\ndonde dh es una medida izquierda Haar onH, satisface\n(x)dx = volH(\nH )volG(\npor una parte y está limitada abajo por volH(\nHK en el\notra mano. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTenga en cuenta que la prueba anterior sería un poco más fácil si ya sabíamos que ambos\nG y H eran unimodulares, en cuyo caso G/H tiene una medida invariante. Pero\nsabemos esto sólo a posteriori, porque la condición de crecimiento polinomio implica\nunimodularidad ([21]).\nConsideraciones similares muestran que G tiene crecimiento polinomio si y sólo si G/K\ntiene crecimiento polinomio, dado cualquier subgrupo K compacto normal (p. ej. Véase [21].\nTerminamos este párrafo con una observación y un ejemplo, que mencionamos en\nla Introducción.\nObservación 7.8 (Los subgrupos discretos son prácticamente nilpotentes). Supongamos que..........................................................................................................................\nsubgrupo de un grupo de Lie solvable conectado de tipo (R) (es decir, de crecimiento polinomio).\nA continuación, es prácticamente nilpotente. De hecho, un argumento similar al de Lemma 7.3 muestra\nque cada subgrupo de... se genera finitamente. De ello se deduce que es policíclico. ¿Cómo...?\nnunca Wolf [37] demostró que los grupos policíclicos con crecimiento polinomio son virtualmente\nNilpotente.\nEjemplo 7.9 (Un grupo sin subgrupo de cocompacto nilpotente). Deja que G sea el\nGrupo de Lie Solvable conectado G = R (R2 × R2), donde R actúa como uno denso-\nsubgrupo de parámetros de SO(2,R) × SO(2,R). Entonces G es de tipo (R). No tiene\nsubgrupo compacto. Y no tiene ningún subgrupo de cocompacto nilpotente. De hecho, supongamos que H\nes un subgrupo cerrado de cocompacto nilpotente. Entonces tiene un centro no trivial. Por lo tanto\nhay un elemento de no identidad cuyo centralizador es co-compacto en G. Sin embargo un\nsimple examen de los posibles centralizadores de elementos de G muestra que ninguno\nde ellos es cocompacto.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 45\n7.2. Prueba del corolario 1.6 y el teorema 1.1. Deja que G sea una arbitraria a nivel local\ngrupo compacto de crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en G.\nReclamación 1: El corolario 1.6 se refiere a un subgrupo cocompacto H de G, si y únicamente\nsi se mantiene para G. Por Lemma 7.7, los grupos G y H son unimodulares, y por lo tanto\nG/H lleva un radón G-invariante medida volG/H, que es finito ya que H es co-\ncompacto. Ahora deja que F sea un dominio Borel fundamental limitado para H dentro de G. Y\nque se haga la pseudodistancia periódica en G inducida por la restricción de H, que\nes.(x, y) :=.(hx, hi) donde hx es el elemento único de H de tal manera que x • hxF. Por\n4.2 Los apartados 1 y 4, los apartados 1 y 4 y los apartados 1 y 2 se encuentran a una distancia limitada entre sí. En particular,\nBl(r-C) Bl(r) Bl(r) Bl(r+C). Por lo tanto, si el límite (3) se mantiene para......................................................................................................................................................................................................................................................... \n- Con el mismo límite. No obstante, en los casos en que se trate de Bl(r) = {x) G, {e, hx) ≤ r} = Bl(r) F\nPor lo tanto, volG(Bl(r)) = volH(Bl(r)) · volG/H(F).\nPor 4.2 (4), H es una pseudodistancia periódica en H. Así que el resultado se mantiene para (H, H)\nsi y sólo si se mantiene para (G, l). Por el contrario, si.................................................................................................................................................\nen H, entonces?0(x, y) :=?0(hx, hi) es una pseudodistancia periódica en G, por lo tanto de nuevo\nvolG(Bl0(r)) = volH(Bl0(r)) · volG(F) y el resultado se mantendrá para (H, °0) si y\nsólo si se mantiene para (G, 0).\nReclamación 2: Si el corolario 1.6 se mantiene para G/K, donde K es algo compacto normal\nsubgrupo, entonces se mantiene para G también. De hecho, si se trata de una pseudodistancia periódica en\nG, entonces el K-promedio K, tal como se define en (26), está a una distancia limitada de G\nsegún Lemma 4.7. Ahora K induce una pseudodistancia periódica K en G/K\nPor consiguiente, volG(BlK (r)) = volG/K(BlK (r)) · volK(K). Y\nsi el límite (3) se mantiene para KK, también se mantiene para KK, por lo tanto también para KK.\nAsí, la discusión anterior combinada con el Teorema 1.2 reduce el corolario 1.6 a\nel caso en el que G está simplemente conectada y solvable, que se trató en la sección 5;\ny 6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n7.3. Prueba de la Proposición 1.3 y del corolario 1.9.\nPrueba de la Proposición 1.3. Decimos que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) son\na una distancia limitada si son (1, C)-cuasi-isométrico para algunos finitos C. Esto es\nuna relación de equivalencia. Ahora si es H-periódico con H co-compacto, entonces (G, \nestá a una distancia limitada de (H, H). Por lo tanto, podemos asumir que H = G, es decir.\nque se deja invariante en G.\nAhora Teorema 1.2 da la existencia de un subgrupo compacto normal K, un co-\nsubgrupo compacto H que contiene K y un grupo de Lie solvable simplemente conectado S\nde tal manera que el H/K sea isomórfico a un subgrupo cocompacto de S.\nLemma 4.7 muestra que (G, \nse define como en (26). Ahora K induce una métrica periódica invariante izquierda en G/K,\ny (G/K, K) está claramente a una distancia limitada de (G, K). Ahora por 4.2, su\nla restricción a H/K está a una distancia limitada y se deja invariante. Ahora nos ponemos\nS(s1, s2) =\nK(h1, h2), donde (dado un dominio fundamental limitado F para el\n46 EMMANUEL BREUILLARD\nacción izquierda de H/K en S) hola es el elemento único de H/K de tal manera que si hiF.\nEs evidente que entonces (S, S) está a una distancia limitada de (H/K,\nK). Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTomamos nota de que nuestra construcción de S aquí depende del estabilizador de la G.\nCiertamente no todas las opciones de Lie sombra se puede utilizar para todas las métricas periódicas (pensar\nque R3 es una sombra de mentira de la cobertura universal del grupo de movimientos del plano).\nTal vez se pueda elegir uno solo para todos, pero no lo hemos comprobado.\nPrueba del corolario 1.9. La Proposición 1.3 reduce la prueba a una métrica periódica\nen un grupo simplemente conectado de Lie Solvable S. Dejad la métrica subFinsler en S\n(invariante izquierda para la estructura de grupo de nilshadow graduada SN ) según lo indicado por Teorema\n1.4. Let t}t es el grupo de dilaciones en el nilshadow grado SN de S según se define\nen la sección 3. Por definición de la topología de Gromov-Hausdorff apuntada (véase [18]),\nes suficiente para probar el\nReclamación. La cantidad siguiente\n*(s1, s2)− *(l)\ns1), 1\n(s2))\nconverge a cero ya que n tiende a ser uniforme para todos los s1, s2 en una bola de radio O(n)\npara la métrica.\nAhora esto sigue en tres pasos. En primer lugar, se encuentra a una distancia limitada de su\nrestricción al estabilizador (cocompacto) H de 4.2 (1), 4.2 (4)). Entonces\npara h1, h2 â € ¢ H, podemos escribir ¬(h1, h2) = ¬(e, h\n1 h2). Sin embargo, la Proposición 5.1\nimplica la existencia de otra distancia periódica en S, que es invariante\ndebajo de las traducciones a la izquierda por elementos de H para la estructura original de Lie y\nla estructura de nilshadow Lie en S, de tal manera que\n(e,x)\nK(e,x)\ntiende a 1 como x tiende a\n- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, K(e, h\n1 h2) = K(h1, h2) = K(e, h\n1 h2), donde * es el nilshadow\nproducto en S. Por lo tanto 1\n(h1, h2)−\nK(e, h\n1 h2) tiende a cero uniformemente como h1\ny h2 varían en una bola de radio O(n) para \nFinalmente el teorema 6.2 implica que 1\nK(e, h\n1 h2) −\n(e, h)\n1 h2) tiende a\ncero y la reclamación sigue, como se comprueba de la fórmula Campbell Hausdorff\ncomparando (11) y (12) como lo hicimos en (35), que\n(l) (l)\n(h1), 1\nh2)) − de(e, 1\n(h11 h2)\nConverge a cero.\nEl hecho de que el grupo nilpotent Lie calificado no depende (hasta isomor-\nphismo) en la métrica periódica, pero sólo en el grupo localmente compacto G fol-\nlos mínimos del teorema de Pansu [28] que si dos grupos de Carnot (es decir, una calificación simplemente\ngrupo nilpotente Lie conectado dotado de métrica subRiemanniana izquierda-invariante\ninducido por una norma en un subespacio suplementario al subalgebra conmutador)\nson bi-Lipschitz, los grupos subyacentes de la Mentira deben ser isomórficos. Este hecho profundo\nse basa en el teorema generalizado de Rademacher de Pansu, véase [28]. De hecho, dos diferen-\nLas métricas periódicas de G1 y G2 son cuasi-isométricas (véase la Proposición 4.4),\ny por lo tanto sus conos asintóticos son bi-Lipschitz (y bi-Lipschitz a cualquier Carnot\nmétrica de grupo en el mismo grupo clasificado, por (13)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 47\n8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia\nBajo ninguna otra suposición sobre la pseudodistancia periódica, la velocidad de\nLa convergencia en el volumen asintótico puede hacerse arbitrariamente pequeña. Esto es\nfácilmente visto si consideramos ejemplos del siguiente tipo: definimos ♥(x, y) = x−y\nx− y en R donde α (0, 1). Es periódico y vol(Bl(t)) = t− t\nα + o(tα).\nSin embargo, muchos ejemplos naturales de métricas periódicas, tales como métricas de palabras o\nLas métricas riemannianas, son de hecho groseramente geodésicas. Se dice una pseudodistancia en G.\npara ser groseramente geodésico, si hay una constante C > 0 de tal manera que cualquier dos puntos puede\nestar conectado por un C-coarse geodésico, es decir, para cualquier x, y G hay un mapa\ng : [0, t] → G con t = x, y), g(0) = x y g(t) = y, de tal manera que\n(g(u), g(v)) − u− v ≤ C\npara todos u, v â € [0, t].\nEste es un requisito más fuerte que decir que es geodésico asintóticamente\n(véase 21). Esta noción es invariante bajo isometría gruesa. En el caso de G\nes abeliano, D. Burago [6] demostró el hermoso hecho de que cualquier groseramente geodésico\nmétrica periódica en G está a una distancia limitada de su norma asintótica. In\nvolG(Bl(t)) = c · t\nd+O(td−1) en este caso. En el notable artículo [32],\nM. Stoll demostró que tal término de error en O(td−1) se mantiene para cualquier finitamente generado\nGrupo nilpotente de 2 pasos. Si O(td−1) es el término de error correcto para cualquier finitamente\ngrupo nilpotente generado sigue siendo una pregunta abierta.\nEl ejemplo a continuación muestra por el contrario que en un grupo arbitrario de mentiras de\ncrecimiento polinomio no se puede esperar un término de error universal.\nTeorema 8.1. Que Łn > 0 sea una secuencia arbitraria de números positivos que tienden\na 0. Entonces existe un grupo G de crecimiento polinomio de grado 3 y un compacto\nSet de generación de energía en G y c > 0 de tal manera que\nvolG(\nc · n3\n≤ 1−\nse mantiene para infinitamente muchos n, aunque 1\nvolG(\nn) → 1 como n→.\nEl ejemplo que damos a continuación es un producto semi-directo de Z por R2 y la métrica\nes una palabra métrica. Sin embargo, muchos ejemplos similares se pueden construir tan pronto como\nel mapa T : G → K definido en el punto 5.1 en el que no está. Por ejemplo, uno puede\nconsiderar métricas riemannianas invariantes izquierdas en G = R · (R2 × R2) donde R actúa\npor medio de un subgrupo denso de un parámetro del S1 × S1 de 2torros. Incidentemente, esto\ngrupo G es conocido como el grupo Mautner y es un ejemplo de un grupo salvaje en\nteoría de la representación.\n8.1. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña. En este párrafo describimos\nel ejemplo de Teorema 8.1. Dejar Gα = Z · R\n2 donde la acción de Z es dada por\nla rotación Rα del ángulo â € ¬, α â € [0, 1). El grupo Gα es cuasi-isométrico a R\ny por lo tanto de crecimiento polinomio de orden 3 y es cocompacto en el análogo\ngrupo de mentiras definido G = R R\n2. Su nilshadow es isomórfico a R3. El punto es\n48 EMMANUEL BREUILLARD\nGráfico 2 La unión de los dos conos, con base en el disco de radio\n2, representa el límite de la forma de las bolas en el grupo Z R2,\ndonde Z actúa por una rotación irracional, con el conjunto de generación =\n{(±1, 0, 0)} {(0, x1, x2),\nx21 + x\n2 ≤ 1}.\nque si α es un número Liouville convenientemente elegido, entonces las bolas en Gα no será\nbien aproximado por las bolas de la norma límite.\nLos elementos de Gα se escriben (k, x) donde k â € Z y x â € R\n2. Dejemos que \"xá\"\nx21+x\nser una norma euclidiana en R2, y dejar que sea el conjunto de generación compacta simétrica\nIndicado por {(±1, 0)(0, x), â € x ≤ 1}. Induce una palabra métrica en G. Se sigue\nde Teorema 1.4 y la definición de la norma asintótica que (e, (k, x)) es\nasintótico a la norma en R3 dada por?0(e, (k, x)) := k + â € € ~ xâ € ~ 0 donde â € ~ xâ € es\nla norma invariante de rotación en R2 definida por â € € TM xâ €\n(x21 + x\n2). La bola de la unidad de\n0 es el casco convexo de la unión de todas las imágenes de la bola de unidad de bajo todo\nrotaciones Rkα, k â € Z.\nVamos a elegir α como un número de Liouville adecuado para que (36) se mantiene. Vamos.\nN = 4 ° n)\n1/3 y elegir α de modo que lo siguiente se mantiene para infinitamente muchos n’s:\n(37) d(kα,Z +\n) ≥ 2\npara todos k Z, k ≤ n. Esto se ve fácilmente ser posible si elegimos α de la forma\n1/3ni para algunas secuencias de aumento de vacío adecuadas de (ni)i.\nTenga en cuenta que, ya que â € € > x, tenemos â € € >. Que Sn sea la pieza de R\n2 definido\npor Sn = ≤ Łn} donde فارسى es el ángulo entre el punto x y el eje vertical\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 49\nRe2. Alegamos que si x â € ¬ Sn, ¬0(e, (k, x)) ≤ n y n satisface (37), entonces\n(e, (k, x)) ≥ k (1 +\n) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nDe la reclamación se desprende fácilmente que volG(l)\nn) ≤ (1− n) · volG(B0(n)). Además\nvolG(Bl0(n)) = c · n\n3 + O(n2), donde c = 4\nsi el volG es administrado por la Lebesgue\nmedida.\nPrueba de reclamación. Aquí está la idea de probar la reclamación. Para encontrar un camino corto entre\nla identidad y un punto en el eje vertical, tenemos que girar por un Rkα tal que\nkα está cerca de 1\n, por lo tanto subir de (0, 0) a (k, 0) en primer lugar, por lo que la vertical\ndirección más corta. Sin embargo, si (37) se mantiene, la dirección vertical no se puede hacer como\ncorto como podría después de la rotación por cualquiera de los Rkα con k ≤ n.\nNótese que si el valor de la letra (e), (k, x)) ≤ n, k ≤ n y (e, (k, x)) ≥ kinf\n# Rkiαxi #\ndonde el infimum se toma en todas las rutas x1,..., xN tal que x =\nxi y todos\nrotaciones Rkiα con ki ≤ n. Tenga en cuenta que si ♥n es lo suficientemente pequeño y (37) sostiene\nentonces por cada x â € ¢ Sn tenemos â € € ¢ Rkαxâ € ≥ (1 + € €.\nn) x0. Por otra parte\n* x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\nâ € € TM € € € TM € € € € TM € € € TM € € TM € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Por lo tanto\nRkiαxi® ≥\nin\nRkiαxi\nin\n# Rkiαxi #\n≥ (1 + 2n)\nin\n+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\ncos(ln)\nin\n0 cos(i)\n≥ (1 +)\n) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n8.2. Forma límite para métricas de palabras más generales en grupos Solvable Lie\nde crecimiento polinomio. La determinación de la forma límite de la palabra métrica\nen el párrafo 8.1 es posible debido a la naturaleza bastante simple de la\nListo. En general, utilizando la identidad (véase 1))\n38) 1 ·............................................................................................................................................................................................................................................................ . · m = • 1 * (T (1) • 2) ∗.................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... .......................................................................................\nes fácil comprobar que la bola de la unidad de la norma límite · induciendo el límite\nmétrica de subFinsler d.o.p. en el nilshadow asociado a una métrica de palabra dada con\nel conjunto de generación se contiene en el K-órbita del casco convexo de la proyección\na la nilshadow abelianizada, a saber, el casco convexo de K · \nEn el ejemplo del párrafo 8.1, incluso teníamos igualdad entre los dos. ¿Cómo...?\nEn general, esto no es así. Por ejemplo, la forma límite es siempre K-\ninvariante, pero claramente la forma límite asociada a un conjunto generador \ncon el asociado con un conjugado g-g-1 de él, mientras que el casco convexo de la\nLas órbitas K respectivas pueden no ser las mismas.\nPor supuesto, si el conjunto de generación es K-invariante para empezar, entonces ♥n = n\ny estamos de vuelta en el caso nilpotent, donde sabemos que la bola de unidad de la\nlímite norma es sólo el casco convexo de la proyección del conjunto generador a la\nabelianización. En general, sin embargo, es un problema difícil para determinar el\n50 EMMANUEL BREUILLARD\nforma asintótica precisa de una métrica de la palabra en un grupo de Lie solvable general con\ncrecimiento polinomio, y no parece haber una descripción simple análoga a lo que\nTenemos en el caso Nilpotent.\nIncluso en el ejemplo anterior Gα = ZR\n2, o en la cobertura universal del grupo\nde los movimientos del plano (en el que Gα incrusta co-compactamente), no es tan simple.\nEn general, la forma se determina resolviendo un problema de optimización en el que\nuno tiene que encontrar la ruta que maximiza las coordenadas del punto final. In\npara ilustrar esto, tratamos sin pruebas el siguiente ejemplo simple.\nSuponga que ♥ es un barrio compacto simétrico de la identidad en Gα = ZR\ndel formulario = (0,0,0,0) â € € (1,0,0) â € € (1,0,0) â € € € (1,0,0) â € € € €\n−1, en los que siguientes puntos:\n2. Entonces el\nlímite de la forma de la palabra métrica asociado a ♥ es el cuerpo sólido (rotacionalmente\nsimétrica alrededor del eje vertical como en la Figura 2) hecha de dos copias (superior y\ninferior) de un cono truncado con base de disco (0,R2) de radio max{r0, r1} y\nsuperior (resp. inferior) un disco en el plano (1,R2) (resp. (−1,R2)) de radio r2, donde\nlos radios son dados por\nr0 = máx. x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, },, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,\ndiam(1),\ndonde el diámetro de diam (1 y r2 es dado por la integral\n(39) r2 =\nmáx.\ndonde (el 1) es la proyección ortogonal en el eje x de la imagen de \n2 por a\nrotación del ángulo alrededor del origen. De hecho, es convexo (nota que r2 ≤ r1).\nPor ejemplo, si se hace de un solo punto, entonces la forma límite es la misma\ncomo en el párrafo anterior y como en la figura 2, a saber, dos copias de un cono.\nSin embargo, si se compone de dos puntos {a, b}, entonces la parte superior de la forma límite\nserá un cono truncado con un disco superior de radio r2 =\nA-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-b-a-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-.\n(que es el\nresultado del cálculo de la integral anterior).\nExpliquemos brevemente la fórmula (39). Un camino de longitud n alcanzar el más alto\nz-coordenada en Gα es una palabra de la forma (1, 1) ·. . · (1, n), con Í ·i â € € · 1. Por\n(38) esta palabra es igual a\nRi−1α Łi).\nAquí se puede tomar cualquier valor en el valor 1. Con el fin de maximizar la norma de la segunda\ncoordenada, o equivalente (por invarianza de rotación) su coordenada x, uno tiene que\nelegir en cada etapa de tal manera que la coordenada x de R\nα • i es\nmaximizado. Fórmula (39) se deriva ahora del hecho de que {Ri−1α }1≤i≤n se convierte en\nequidistribuido en SO(2,R) como n tiende a infinito.\nPara mostrar que max{r0, r1} es el radio del disco base y más\ngeneralmente que la forma límite no es más grande que este doble cono truncado, uno\nnecesita discutir más a fondo considerando todos los caminos posibles de la forma (-1, -1) ·. .....................................................\nEn los casos en que se trate de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A,\nSe prescribe.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 51\n8.3. Distancia limitada versus métricas asintóticas. En este párrafo nosotros y...\nRESPUESTA A UNA CUESTIÓN DE D. Burago y G. Margulis (véase [7]). Basado en el caso Abelian\ny el caso reductivo (Abels-Margulis [1]), Burago y Margulis habían conjeturado\nque cada dos métricas de palabras asintóticas deben estar a una distancia limitada. Damos\ndebajo de un contraejemplo a esto. Primero damos un ejemplo (A) de una mentira nilpotente\ngrupo dotado de dos métricas de subFinsler invariantes izquierdas\n# Que son... #\nasintótico el uno al otro, es decir. d-(e, x)/d\n• (e, x) → 1 como x → • pero de tal manera que\n(e, x)− d\n*(e, x) no está limitada uniformemente. Luego exhibimos (B) una palabra conocida...\nric que no está a una distancia limitada de cualquier cuasinorma homogénea. Finalmente\nestos ejemplos también producen (C) dos métricas de palabras........................................................................................................................................................................................................................................................ \ngrupo nilpotente generado que son asintóticos pero no a una distancia limitada.\nNótese que el grupo Gα con 0 y del último párrafo también proporciona\nun ejemplo de métricas asintóticas que no están a una distancia limitada (pero esto\ngrupo no fue discreto).\n(A) Dejar que N = R × H3(R) donde H3 es el grupo clásico de Heisenberg y\nZ ×H3(Z) una celosía en N. En el Lie álgebra n = RV h3 elegimos dos diferentes\nsubespacios suplementarios de [n, n] = RZ, es decir, m1 = span{V,X,Y} y m\nspan{V + Z,X,Y }, donde h3 es el álgebra de Lie de H3(R) a través de X,Y y\nZ = [X,Y ].Consideramos la L1-norm en m1 (resp. m\n1) correspondiente a la base\n(V,X,Y) (resp. (V + Z,X, Y )). Ambas normas inducen la misma norma en n/[n, n].\nDan lugar a la izquierda invariante Carnot-Carateodory Finsler métricas en N, decir\n(resp. d\n(+)). Utilizamos las coordenadas (v, x, y, z) = exp(vV + xX + yY + zZ).\nDe acuerdo con la Observación (2) después del Teorema 6.2, d.a. y d.a.\nSon asintóticos. Vamos.\nnos muestran que no están a una distancia limitada. En primer lugar observar que, desde V\n(v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z)) donde dH3 es el Carnot-\nmétrica de Carateodory Finsler en H3(R) definida por la norma L\n1-norm en la\nspan{X,Y}. Del mismo modo d(e, (v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z − v))). En caso de que se produzca un cambio en la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión, se considerará que la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión es la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión y, en su caso, la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión.\nd estaban a una distancia limitada, tendríamos un C > 0 tal que para todos t > 0\n(t; (0, 0, t)) − t ≤ C\nPor lo tanto dH3(e, (0, 0, t)) ≤ C, que es una contradicción.\n(B) Ahora deje ♥ = {(1; (0, 0, 1))±1, (1; (0, 0,−1))±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0)±1}\nser un conjunto generativo para la palabra métrica asociada a ella. Dejemos que \nuna cuasinorma homogénea sobre N que está a una distancia limitada de, es decir,\n(e, g) − g está limitado. Entonces · es asintótico a, por lo tanto es igual a la\nCarnot-Carateodory Finsler métrica d asintótica a y homogénea con\nrespeto al mismo grupo de parámetros de dilaciones t}t>0. Dejar m1 = {v • n,\n* t(v) = tv}. Entonces d es inducido por alguna norma 0 en m1, cuya bola unidad es\nsegún el teorema 1.4 por el casco convexo de las proyecciones a m1 de la\nGrupos electrógenos en A. Hay un vector único en m1 de la forma V +z0Z. Su 0-norm\nes 1 y d(e, (1; (0, 0, z0))) = 1. Sin embargo d(e, (v; (x, y, z))) = v dH3(e, (x, y, z −\nvz0)). Desde (e, (n; (0, 0, n)) = n, obtenemos\nd(e, (n; (0, 0, n)) − (e, (n; (0, 0, n)) = dH3(e, (0, 0, n(1 − z0)))\n52 EMMANUEL BREUILLARD\nSi esto está limitado, esto fuerza z0 = 1. Pero podemos repetir el mismo argumento con\n(n; (0, 0,-n)) que forzaría z0 = −1. Una contradicción.\n(C) Let ahora:= {(1; (0, 0, 0))\n±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0))±1} y 2\nmétrica de la palabra asociada en la palabra. Entonces otra vez y 2 son asintóticos por Teorema\n6.2 porque el casco convexo de su módulo de proyección coincide con la coordenada z.\nSin embargo 2 es una métrica de producto, a saber, tenemos 2(e, (v; (x, y, z))) = v +\n(e, (x, y, z)), en el que ♥ es la métrica de la palabra en el grupo discreto de Heisenberg H3(Z)\ncon generadores estándar {(1, 0, 0)±1, (0, 1, 0)±1}. En particular\n(e, (n; (0, 0, n))) − 2(e, (n; (0, 0, n)) = ♥(e, (0, 0, n))\nque no tiene límite.\nObservación 8.2 (Una geodésica anormal). Referimos al lector a [9] para más información sobre\nEstos ejemplos. En particular, mostramos allí que el 1 y el 2 supra no son (1, C)-\ncuasi-isométrico para cualquier C > 0. El fenómeno clave detrás de este ejemplo es\nla presencia de una geodésica anormal (véase [25]), es decir, el grupo de un parámetro;\n{t; (0, 0, 0))}t.\nObservación 8.3 (Velocidad de convergencia en el caso de los nilpotentes). La velocidad lenta phe-\nNomenon en Teorema 8.1 se basó fundamentalmente en la presencia de un semisim no trivial\nple parte en Gα ; esto no ocurre en grupos nilpotentes. En [9], mostramos que para\nmétricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados, la convergencia en Teorema\n6.2 tiene una velocidad de polinomio con un término de error al menos tan bueno como O(dŁ(e, x)\n3r ),\ndonde r es la clase de nilpotencia. Conjeturamos allí que el exponente óptimo es 1\nEsto implica afinar cuantitativamente las estimaciones de la prueba de Teorema antes mencionada\n9. Apéndice: los grupos Heisenberg\nAquí mostramos cómo calcular la forma asintótica de las bolas en el Heisenberg\nLos grupos H3(Z) y H5(Z) y su volumen, dando así otro enfoque a la\nel resultado principal de Stoll [33]. El término principal para el crecimiento de H3(Z) es racional\npara todos los grupos electrógenos (Prop. 9.1 infra), mientras que en H5(Z) con su norma\ngenerar conjunto, es trascendental. Esto explica cómo se hizo nuestra Figura 1\n(compare con el impar [22] Fig. 1).\n9.1. Grupo 3-dim Heisenberg. Consideremos en primer lugar el grupo Heisenberg\nH3(Z) = a, b[a, [a, b]] = [b, [a, b]] = 1.\nLo vemos como la celosía generada por a = exp(X) y b = exp(Y) en el real\nGrupo Heisenberg H3(R) con Lie álgebra h3 generada por X,Y y abarcada por\nX, Y, Z = [X, Y ]. Dejar ser la métrica de la palabra estándar en H3(Z) asociado a\nel conjunto generador = {a±1, b±1}. Según Teorema 1.4, la forma límite de\nla n-bola n en H3(Z) coincide con la unidad de bola C3 = {g H3(R), d(e, g) ≤\n1} para la métrica de Carnot-Carateodoría do inducida en H3(R) por la l\n1-norm\n* x X + yY 0 = x en m1 = span{X,Y } h3.\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 53\nComputar esta bola de unidad es una tarea bastante simple. Cambiar los roles de X\ne Y, vemos que C3 es invariante bajo la reflexión z 7→ −z. Entonces claramente C3 es\nde la forma {xX + yY + zZ, con x y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}. Cambiar X a\n−X e Y a −Y, obtenemos las simetrías z(x, y) = z(−x, y) = z(x,−y) = z(y, x).\nPor lo tanto, al determinar z(x, y), podemos asumir 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x+ y ≤ 1.\nLa siguiente observación bien conocida es crucial para calcular z(x, y). Si el valor de\nruta horizontal en H3(R) a partir de id, a continuación, (t) = exp(x(t)X+y(t)Y +z(t)Z),\ndonde (t) = x(t)X + y(t)Y y z(t) es el área de “balayage” del\nruta {x(s)X + y(s)Y }0≤s≤t y el acorde que une 0 a x(t)X + y(t)Y.\nPor lo tanto, z(x, y) es dada por la solución al “problema isoperimétrico dido”\n(véase [25]: encontrar una ruta en el plano X,Y entre 0 y xX + yY de 0-longitud 1\nque maximiza el “área de albañilería”. Puesto que 0 es la l\n1-norm en el plano X, Y,\ncomo es bien conocido (véase [8]), tales curvas extremas son dadas por arcos de cuadrado con\nlados paralelos a los ejes X, Y. Por lo tanto, hay una dicotomía: el arco del cuadrado\ntiene 3 o 4 lados (puede tener 1 o 2 lados, pero estos están incluidos están limitando\ncasos de los anteriores).\nSi hay 3 lados, tienen longitud l, x e y + l con y + l ≤ x. Por lo tanto\n1 = l+ x+ y + l y z(x, y) = lx+ 1\nxy. Por lo tanto, esto ocurre cuando y ≤ 3x − 1\ny entonces tenemos z(x, y) =\nx(1−x)\nSi hay 4 lados, tienen longitud l, x+ u, y + l y u, con l+ y = x+ u.\nPor lo tanto 1 = 2l + 2u + x + y y z(x, y) = (l + y) (x + u) −\n. Esto ocurre cuando\ny ≥ 3x− 1 y luego tenemos z(x, y) =\n(1+x+y)2\nPor lo tanto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 y x+ y ≤ 1\n(40) z(x, y) = 1y≤3x−1\nx(1− x)\n+ 1y>3x−1\n(1 + x + y)2\nLa unidad de bola C3 dibujada en la Figura 1 es el cuerpo sólido C3 = {xX + yY + zZ, con\nx y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}.\nUn cálculo simple muestra que vol(C3) =\nen el Lebesgue medida dxdydz.\nPuesto que H3(Z) se ve fácilmente tener co-volumen 1 para esta medida de Haar en H3(R)\n(en realidad, {xX+yY +zZ, x â € [0, 1), y â € [0, 1), z â € [0, 1)} es un dominio fundamental),\nDe ello se deduce que\n#(ln)\n= vol(C3) =\nAsí recuperamos un resultado bien conocido (véase [4], [31] donde incluso la serie de crecimiento completa\nse calcula y se demuestra que es racional).\nTambién se puede determinar exactamente qué puntos de la esfera de C3 se unen a id\npor un camino geodésico horizontal único. El lector comprobará fácilmente esa singularidad\nfalla exactamente en los puntos (x, y,±z(x, y)) con x < 1\ny y = 0, o y < 1\nx = 0, o bien en los puntos (x, y, z) con x y = 1 y z < z(x, y).\nEl método anterior también da el siguiente resultado.\n54 EMMANUEL BREUILLARD\nProposición 9.1. Let ser cualquier conjunto de generación simétrica para H3(Z). Entonces el\ncoeficiente principal en #(ln) es racional, es decir.\n#(ln)\nes un número racional.\nPrueba. Sólo esbozamos la prueba aquí. Podemos aplicar el método anterior y com-\npute r como el volumen de la unidad CC-ball C(l) del límite CC-metric d-\nmultado en Teorema 1.4. Puesto que sabemos lo que es la norma en el (x, y)-plano\nm1 = espano X, Y â € que genera dâ € (es la norma poligonal dada por el con-\nvex casco de los puntos de ♥), podemos calcular C() explícitamente. Necesitamos saber.\nla solución al problema isoperimétrico de Dido para en m1, y como es bien conocido\n(véase [8]) se da por líneas poligonales del polígono dual rotado por 90o. Desde\nel polígono que define está hecho de líneas racionales (puntos en tienen entero coordi-\nnates), cualquier vector con coordenadas racionales tiene racional -longitud, y el dual\nEl polígono también es racional. Las ecuaciones que definen z(x, y) tendrán por lo tanto sólo\ncoeficientes racionales, y z(x, y) se dará por separado por una cuadrática racional\nforma en x e y, donde las piezas son triángulos racionales en el plano (x, y). Los\nPor lo tanto, el volumen total de C() será racional. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n9.2. Grupo de 5-dim Heisenberg. El grupo HeisenbergH5(Z) es el\natendido por a1, b1, a2, b2, c con relaciones c = [a1, b1] = [a2, b2], a1 y b1\na2 y b2 y c es central. Let = {a\ni, b\ni, i = 1, 2}. Describamos el límite.\nla forma de Łn. Una vez más, vemos H5(Z) como una celosía de co-volumen 1 en el grupo H5(R)\ncon Lie álgebra h5 extendida por X1, Y1X2, Y2 y Z = [Xi, Yi]. Por Teorema 1.4,\nla forma límite es la unidad de bola C5 para la métrica Carnot-Caratheodory en H5(R)\ninducidos por la l1-norm x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2+0 = x1 y1 x2 y2.\nDesde X1, Y1 conmutar con X2, Y2, en cualquier camino horizontal lineal en\nH5(R), podemos intercambiar las piezas tangentes a X1 o Y1 con las tangentes a X2 o\nY2 sin cambiar el punto final de la ruta. Por lo tanto, en caso de que la expresión «(t)» = exp(x1(t)X1 +\ny1(t)Y1 + x2(t)X2 + y2(t)Y2 + z(t)Z) es una ruta horizontal, luego z(t) = z1(t) +\nz2(t), donde zi(t), i = 1, 2, es el “área de balayage” de la curva plana {xi(s)Xi +\nyi(s)Yi}0≤s≤t.\nPuesto que, al igual que para H3(Z), conocemos la curva maximizando esta área, podemos\ncalcular la bola de unidad C5 explícitamente. En coordenadas exponenciales tomará la\nforma C5 = {exp(x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2 + zZ), x1 y1 x2 y2 ≤ 1 y\nz ≤ z(x1, y1, x2, y2)}. Luego z(x1, y1, x2, y2) = sup0≤t≤1{zt(x1, y1)+ z1−t(x2, y2)},\ndonde zt(x, y) es el “área de balayage” máximo de una trayectoria de longitud t entre 0\ny xX+yY. Es fácil ver que zt(x, y) = t\n2z(x/t, y/t) donde z es dada por (40).\nPor lo tanto zt es una función cuadrática a partes de t. De nuevo z(x1, y1, x2, y2) es invariante\nbajo cambiar los signos del xi,yi, y el intercambio de x e y, o bien el intercambio\n1 y 2. Así pues, podemos suponer que la mentira del xi,yi en D = {0 ≤ yi ≤ xi ≤ 1 y\nx1+y1+x2+y2 ≤ 1, y x2−y2 ≥ x1−y1}. Por lo tanto, podemos determinar explícitamente\nel supremamum z(x1, y1, x2, y2), que después de algunos cálculos sencillos toma\nFORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 55\nEn D el siguiente formulario:\nz(x1, y1, x2, y2) = 1Amax{d1, d2 1B max{d1, c1 1C max{c1, c2}\ndonde d1 =\n(1−x1− y1−x2), c1 =\n(1+x1+ y1−x2− y2)\nx2y2−x1y1\ny d2 y c2 se obtienen de d1 y c1 mediante el intercambio de los índices 1 y 2. Los\nlos conjuntos A, B y C forman la siguiente partición de D: A = D • {m ≤ x1 − y1},\nB = D • {x1 − y1 < m < x2 − y2} y C = D • {x2 − y2 ≤ m}, donde m =\n(1 − x1 − x2 − y1 − y2)/2.\nPuesto que C5 tiene una forma tan explícita, es posible calcular su volumen. El hecho\nque z(x1, y1, x2, y2) es dada por el máximo de dos formas cuadráticas\nhace que el cálculo de la integral sea algo engorroso pero tratable. Nuestro\nLas ecuaciones coinciden (¡por desgracia!) con los de Stoll (apéndice de [33]), donde\nCalculó el término principal de la asintótica de #(ln) por un método diferente. Stoll\ncalculó que integral y obtenido\n#(ln)\n= vol(C5) =\n21870\nlog(2)\n32805\nque es trascendental. También es fácil ver por este método que si cambiamos\nel conjunto de generación a 0 = {a\n2 }, entonces obtenemos un volumen racional. Por lo tanto\nla racionalidad de la serie de crecimiento de H5(Z) depende de la elección de\nset, que es el teorema de Stoll.\nUna ventaja de nuestro método es que también puede aplicarse a la generación de\nSets. El caso de los grupos de Heisenberg de mayor dimensión con la gen-\nconjunto de borrado es análogo: la función z({xi}, {yi}) se define de nuevo por partes como\nel máximo de muchas formas cuadráticas explícitas finitas en una partición lineal de la\nBola de 1 unidad\nxi yi ≤ 1.\nAgradecimientos. Me gustaría agradecer a Amos Nevo por su hospitalidad en el\nTechnion de Haifa en diciembre de 2005, donde se llevó a cabo parte de este trabajo, y\npara desencadenar mi interés en este problema mostrándome las posibles implicaciones\nde Teorema 1.1 a Teoría Ergódica. Mi agradecimiento también se debe a V. Losert por\nseñalando una inexactitud en mi primera prueba de Teorema 1.2 y para su otro\ncomentarios sobre el manuscrito. Finalmente doy las gracias a Y. de Cornulier, M. Duchin, E. Le\nDonne, Y. Guivarc’h, A. Mohammadi, P. Pansu y R. Tessera para varios útiles\nconversaciones.\nBibliografía\n[1] H. Abels y G. Margulis. métricas muy geodésicas en grupos reductores. En la moderna dy-\nsistemas y aplicaciones namical, páginas 163–183. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004.\n[2] L. Auslander y L. W. Green, flujos inducidos por G, Amer. J. Matemáticas. 88 (1966), 43–60.\n[3] H. Bass, El grado de crecimiento polinomio de grupos nilpotentes finitamente generados, Proc. 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Wolf, Crecimiento de grupos de solución finitamente generados y curvatura de Riemanniann mani-\nse pliega, J. Geometría diferencial, 2 (1968), p. 421–446.\nDirección de correo electrónico: emmanuel.breuillard@math.u-psud.fr\nUniversité Paris-Sud 11, Laboratoire de Mathématiques, 91405 Orsay, Francia\n\t1. Introducción\n\t2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie\n\t3. El nilshadow\n\t4. métricas periódicas\n\t5. Reducción al caso de nilpotente\n\t6. El caso de los nilpotentes\n\t7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados\n\t8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia\n\t9. Apéndice: los grupos Heisenberg\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":89,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0096,"string":"704.0096"},"title":{"kind":"string","value":"Much ado about 248"},"full_text":{"kind":"string","value":"Mucho ado sobre 248\nM.C. Nucci y P.G.L. Leach*\nDipartimento di Matematica e Informatica, Università di Perugia,\n06123 Perugia, Italia\nResumen\nEn esta nota presentamos tres representaciones de una mentira de 248 dimensiones\nálgebra, a saber, el álgebra de las simetrías Lie punto admitido por un sistema\nde cinco ecuaciones diferenciales ordinarias triviales cada uno de orden cuarenta y cuatro, que\nadmitido por un sistema de siete ecuaciones diferenciales triviales ordinarias cada uno\nde la orden veintiocho y la admitida por una diferencia trivial ordinaria\necuación de orden doscientos cuarenta y cuatro.\n1 Introducción\nUn sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias cada uno de orden M > 1,\nk = fk(u\nj, t), j, k = 1, n, s = 0,M − 1, (1)\ntiene un número variable de simetrías de puntos de Lie dependiendo de la estructura de\nlas funciones fk. La dimensión máxima D del álgebra del punto de mentira admitido\nlas simetrías pueden ser obtenidas por el formulæ [9]\nD = n2 + 4n + 3 (2)\nD = n2 + Mn + 3. 3)\nAlgunos números explícitos se dan en la Tabla 1.\nRecientemente la elaboración de los elementos de la Lie álgebra, E8, de orden 248 ha\nse anunció de diversas maneras [3, 7, 13, 17, 16] en los serios medios de comunicación populares. El au-\nfuente toriativa es el Atlas de Grupos y Representaciones de Mentira [2] que se financia\npor la Fundación Nacional de Ciencia a través del Instituto Americano de Matemáticas\n[1]. Los resultados del cálculo E8 fueron anunciados en una charla en el MIT por David\nVogan el lunes 19 de marzo de 2007, y los detalles se pueden encontrar en [15]. El Atlas\nde Grupos de Mentira y Representaciones es un proyecto para poner a disposición\nrepresentaciones de grupos semisimples de Mentira sobre campos reales y p-ádicos. Particular\nimportancia es el problema de la dualidad unitaria, es decir, la clasificación de todos los\nrepresentaciones unitarias reducibles de un determinado grupo de Lie. El objetivo del Atlas de la Mentira\n* Discurso permanente: Facultad de Ciencias Matemáticas, Campus Westville, Universidad de\nKwaZulu-Natal, Durban 4000, República de Sudáfrica\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0096v1\nTabla 1: : La dimensión máxima del álgebra de las simetrías de puntos de Lie admitidas\npara sistemas de ecuaciones de orden variable (horizontal) y número (vertical).\nM 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n1 8 7 8 9 10 11 12 13 14\n2 15 13 15 17 19 21 23 25 27\n3 24 21 24 27 30 33 36 39 42\n4 35 31 35 39 43 47 51 55 59\n5 48 43 48 53 58 63 68 73 78\n6 63 57 63 69 75 81 87 93 99\n7 80 73 80 87 94 101 108 115 122\n8 99 91 99 107 115 123 131 139 147\n9 120 111 120 129 138 147 156 165 174\n10 143 133 143 153 163 173 183 193 203\nGrupos y Representaciones es clasificar el dual unitario de un verdadero grupo de Lie, G,\npor ordenador. Un paso en esta dirección es calcular las representaciones admisibles\nde G, incluidos sus polinomios Kazhdan-Lusztig-Vogan. El cálculo para E8\nfue una prueba importante de la tecnología. Mientras que el cálculo es un impresionante\nel logro, es sólo un pequeño paso hacia el dual unitario y no debe ser\nclasificado como tan importante como la obra original de Kazhdan, Lusztig, Vogan, Beilinson,\nBernstein et al. (Vea, por ejemplo, [4, 5, 6, 11, 12, 14, 18, 8].) Sin embargo, el resultado\nse consideró adecuado para una campaña concertada de publicidad para aumentar\nconciencia de las matemáticas en la comunidad en general:\n“Symmetrie ist möglicherweise das erfolgreichste Prinzip der Physik überhaupt” [7].\n“Un grupo de chercheurs américains et européens, parmi lesquels on trouve deux\nFrançais, est parvenu à décoder une des structures les plus vastes de l’histoire des\nmathématiques” [13].\n“Puede ser que algún día este cálculo pueda ayudar a los físicos a entender el\nuniverso” [17].\n“Dieciocho matemáticos pasaron cuatro años y 77 horas de supercomputadora compu-\nciones para describir esta estructura” [16].\nEn esta nota demostramos tres representaciones de un Lie álgebra de dimensión\n248. Los dos pasamos cuatro horas y 77 segundos de cálculo de bolsillo\npara describir estas tres estructuras.\n2 Tres sistemas simples\nPara D = 248 fórmula (2) no tiene soluciones integrales y por lo tanto no hay sistema\nde las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden de simetría máxima que poseen un\nálgebra dimensional de sus simetrías de punto de mentira1. Sobre la fórmula (3) los factores\nde 248-3=245 son 1, 5 y 7 (49 está fuera de duda porque 492 > 245). En consecuencia\n1¿Es éste otro ejemplo de la singularidad intrínseca de la Mecánica Clásica?\nlos posibles valores de n son 1, 5 y 7. Los valores correspondientes de M son 244, 44 y 28,\nrespectivamente. Los sistemas de simetría máxima se obtienen fácilmente como uno simplemente\nAsí, los sistemas que construimos son las representaciones más simples de\nla clase de equivalencia bajo la transformación puntual de sistemas de ecuaciones de máxima\nSimetría.\nEn primer lugar, consideramos el siguiente sistema:\nk = 0, k = 1, 5. 4)\nEs fácil demostrar que este sistema sencillo admite un álgebra de 248 dimensiones de su\nSimetrías de puntos de mentira desde 52 + 5 · 44 + 3 = 248. El álgebra es generada por el\noperadores\n•1 = t\n2t + 43t\ni=1 uiŁui,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n•i,k = kukui,k = 1, 5, i = 1, 5\n•i+5,s = t\ns/23370/ui, s = 0, 43, i = 1, 5.\nEn segundo lugar, consideramos el sistema\nu(28)r = 0, r = 1, 7. 6)\nEste sistema igualmente simple admite un álgebra de 248 dimensiones (72+7 · 28+ 3 = 248)\nde sus simetrías de puntos de Lie generadas por\n•1 = t\n2t + 27t\nj=1 uj?uj,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n• j,r = urlj, r = 1, 7, j = 1, 7\n*j+7,n = t\nnŁuj, n = 0, 27, j = 1, 7.\nEn tercer lugar y finalmente la ecuación escalar,\nu(244) = 0, (8)\nadmite un álgebra Lie de 248 dimensiones (12+1 ·244+3 = 248) de sus simetrías puntuales\ngenerado por los operadores\n•1 = t\n2T + 243tuu,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n4 °C = uüu,\nN+5 = t\nNo, n = 0, 243.\n3 Conclusión\nHemos demostrado tres representaciones de Lie álgebras de la dimensión 248 que\nes la dimensión de E8. Aunque los álgebras que presentamos no son simples, su\nmétodo de construcción es. La razón de esta simplicidad es que usamos represen-\ntas para sistemas de ecuaciones de simetría máxima. No negamos que sea más grande.\nsistemas, ya sea en orden o número, de menos de simetría máxima podría posiblemente\ntienen un álgebra de dimensión 248, pero incluso en el supuesto de que tales sistemas\nser lineal la complejidad del cálculo se vuelve inmensa [10] y derrota al\npropósito de la presente nota.\nTenga en cuenta que hemos utilizado las formas más simples para los generadores de los álgebras de\nlos tres sistemas, (4), (6) y (8), para nuestro interés principal es la demostración de\nla existencia de los álgebras. Normalmente uno usaría combinaciones que reflejan\nestructuras subalgebraicas. Por ejemplo en el caso de (8) para el cual el álgebra es\nobviamente sl(250, IR) se sustituiría 2 por 2 = 2tte +243uu para subrayar el\nestructura subalgebraica {sl(2, IR)} {A1} {sl(2, IR)} {s 244A1} {sl(2, IR)} {sl(2, IR) {s2A} {s1} {s244A1}, en la que {sl(2, IR) {s1} {s1} {s1} {s1} {s1} {s1 {s1} {s1} {s1(2, IR) {s1}\nla representación de sl(2, IR), •4 refleja la homogeneidad de la ecuación en el depen-\nvariable de abolladura y el subalgebra abeliana de 244 elementos se compone de la solución\nsimetrías, llamadas así porque las funciones del coeficiente son soluciones de (8).\nAgradecimientos\nPGLL agradece a la Universidad de Kwazulu-Natal su continuo apoyo.\nBibliografía\n[1] Instituto Americano de Matemáticas.\nhttp://aimath.org/E8/\n[2] Atlas de Grupos y Representaciones de Mentiras.\nhttp://www.liegroups.org/\n[3] BBC Lunes 19 de marzo de 2007, 12:28 GMT.\nhttp://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6466129.stm\n[4] Beilinson A (1983) Localización de representaciones de álgebras de Lie reductivas\nActas del Congreso Internacional de Matemáticos, Varsovia 699-710\n[5] Beilinson A & Bernstein J (1981) Localización de g-módulos Comptes Rendus\nde la Academia de Ciencias de París Séries I Mathématiques 292 15-18\n[6] Bernstein J (1986) Sobre las conjeturas de Kazhdan-Lusztig AMS Summer Research\nConferencia (Universidad de California, Santa Cruz, julio de 1986)\n[7] Der Spiegel, 19 März 2007.\nhttp://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,472569,00.html\nhttp://aimath.org/E8/\nhttp://www.liegroups.org/\nhttp://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6466129.stm\nhttp://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0\n[8] Gelfand S & MacPherson R (1982) Módulos Verma y células Schubert:\nen el Seminaire d’algebre Paul Dubriel y MP Malliavin (Notas de la\nMatemáticas 925, Springer Verlag, Berlín-Nueva York) 150\n[9] González-Gascón F & González-López A (1983)\nIV Revista de Física Matemática 24 2006-2021\n[10] Gorringe VM & Leach PGL (1988) Simetrías de puntos de mentira para sistemas de segundo\norden ecuaciones diferenciales ordinarias lineales Quæstiones Mathematicæ 11 95-117\n[11] Kazhdan D & Lusztig G (1979) Representaciones de los grupos Coxeter y Hecke\nálgebras Invenciones Mathematicæ 53 165184\n[12] Kazhdan D & Lusztig G (1980) variedades Schubert y dualidad Poincaré en\nGeometría del Operador de Laplace, (Procedimientos del Simposio sobre Matemática Pura)\nematics 36, American Mathematical Society) 185203\n[13] LEMONDE.FR avec AFP 19.03.07\nhttp://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-884723@51-\n884724,0.html\n[14] Lusztig G & Vogan D (1983)\ndoble Invenciones Mathematicæ 71 365370\n[15] http://www.liegroups.org/AIME8/technicaldetails.html\n[16] NUEVA YORK TIMES 2007/03/20.\nhttp://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F40613FE3C540C738EDDAA0894DF404482\n[17] The Times 19 de marzo de 2007.\nhttp://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece\n[18] Vogan D (1983) Caracteres irreducibles de grupos semisimples de Mentira III: Prueba de\nla conjetura Kazhdan-Lusztig en el caso integral Inventions Mathematicæ\n71 381417\nhttp://www.lemonde.fr/web/article/0\nhttp://www.liegroups.org/AIM$_$E8/technicaldetails.html\nhttp://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F40613FE3C540C738EDDAA0894DF404482\nhttp://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece\n\tIntroducción\n\tTres sistemas simples\n\tConclusión\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" En esta nota presentamos tres representaciones de una mentira de 248 dimensiones\nálgebra, a saber, el álgebra de las simetrías Lie punto admitido por un sistema de\ncinco ecuaciones diferenciales ordinarias triviales cada uno de orden cuarenta y cuatro, que\nadmitido por un sistema de siete ecuaciones diferenciales triviales ordinarias cada uno de\norden veintiocho y que admitido por una diferencia trivial ordinaria\necuación de orden doscientos cuarenta y cuatro.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nUn sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias cada uno de orden M > 1,\nk = fk(u\nj, t), j, k = 1, n, s = 0,M − 1, (1)\ntiene un número variable de simetrías de puntos de Lie dependiendo de la estructura de\nlas funciones fk. La dimensión máxima D del álgebra del punto de mentira admitido\nlas simetrías pueden ser obtenidas por el formulæ [9]\nD = n2 + 4n + 3 (2)\nD = n2 + Mn + 3. 3)\nAlgunos números explícitos se dan en la Tabla 1.\nRecientemente la elaboración de los elementos de la Lie álgebra, E8, de orden 248 ha\nse anunció de diversas maneras [3, 7, 13, 17, 16] en los serios medios de comunicación populares. El au-\nfuente toriativa es el Atlas de Grupos y Representaciones de Mentira [2] que se financia\npor la Fundación Nacional de Ciencia a través del Instituto Americano de Matemáticas\n[1]. Los resultados del cálculo E8 fueron anunciados en una charla en el MIT por David\nVogan el lunes 19 de marzo de 2007, y los detalles se pueden encontrar en [15]. El Atlas\nde Grupos de Mentira y Representaciones es un proyecto para poner a disposición\nrepresentaciones de grupos semisimples de Mentira sobre campos reales y p-ádicos. Particular\nimportancia es el problema de la dualidad unitaria, es decir, la clasificación de todos los\nrepresentaciones unitarias reducibles de un determinado grupo de Lie. El objetivo del Atlas de la Mentira\n* Discurso permanente: Facultad de Ciencias Matemáticas, Campus Westville, Universidad de\nKwaZulu-Natal, Durban 4000, República de Sudáfrica\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0096v1\nTabla 1: : La dimensión máxima del álgebra de las simetrías de puntos de Lie admitidas\npara sistemas de ecuaciones de orden variable (horizontal) y número (vertical).\nM 2 3 4 5 6 7 8 9 10\n1 8 7 8 9 10 11 12 13 14\n2 15 13 15 17 19 21 23 25 27\n3 24 21 24 27 30 33 36 39 42\n4 35 31 35 39 43 47 51 55 59\n5 48 43 48 53 58 63 68 73 78\n6 63 57 63 69 75 81 87 93 99\n7 80 73 80 87 94 101 108 115 122\n8 99 91 99 107 115 123 131 139 147\n9 120 111 120 129 138 147 156 165 174\n10 143 133 143 153 163 173 183 193 203\nGrupos y Representaciones es clasificar el dual unitario de un verdadero grupo de Lie, G,\npor ordenador. Un paso en esta dirección es calcular las representaciones admisibles\nde G, incluidos sus polinomios Kazhdan-Lusztig-Vogan. El cálculo para E8\nfue una prueba importante de la tecnología. Mientras que el cálculo es un impresionante\nel logro, es sólo un pequeño paso hacia el dual unitario y no debe ser\nclasificado como tan importante como la obra original de Kazhdan, Lusztig, Vogan, Beilinson,\nBernstein et al. (Vea, por ejemplo, [4, 5, 6, 11, 12, 14, 18, 8].) Sin embargo, el resultado\nse consideró adecuado para una campaña concertada de publicidad para aumentar\nconciencia de las matemáticas en la comunidad en general:\n“Symmetrie ist möglicherweise das erfolgreichste Prinzip der Physik überhaupt” [7].\n“Un grupo de chercheurs américains et européens, parmi lesquels on trouve deux\nFrançais, est parvenu à décoder une des structures les plus vastes de l’histoire des\nmathématiques” [13].\n“Puede ser que algún día este cálculo pueda ayudar a los físicos a entender el\nuniverso” [17].\n“Dieciocho matemáticos pasaron cuatro años y 77 horas de supercomputadora compu-\nciones para describir esta estructura” [16].\nEn esta nota demostramos tres representaciones de un Lie álgebra de dimensión\n248. Los dos pasamos cuatro horas y 77 segundos de cálculo de bolsillo\npara describir estas tres estructuras.\n2 Tres sistemas simples\nPara D = 248 fórmula (2) no tiene soluciones integrales y por lo tanto no hay sistema\nde las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden de simetría máxima que poseen un\nálgebra dimensional de sus simetrías de punto de mentira1. Sobre la fórmula (3) los factores\nde 248-3=245 son 1, 5 y 7 (49 está fuera de duda porque 492 > 245). En consecuencia\n1¿Es éste otro ejemplo de la singularidad intrínseca de la Mecánica Clásica?\nlos posibles valores de n son 1, 5 y 7. Los valores correspondientes de M son 244, 44 y 28,\nrespectivamente. Los sistemas de simetría máxima se obtienen fácilmente como uno simplemente\nAsí, los sistemas que construimos son las representaciones más simples de\nla clase de equivalencia bajo la transformación puntual de sistemas de ecuaciones de máxima\nSimetría.\nEn primer lugar, consideramos el siguiente sistema:\nk = 0, k = 1, 5. 4)\nEs fácil demostrar que este sistema sencillo admite un álgebra de 248 dimensiones de su\nSimetrías de puntos de mentira desde 52 + 5 · 44 + 3 = 248. El álgebra es generada por el\noperadores\n•1 = t\n2t + 43t\ni=1 uiŁui,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n•i,k = kukui,k = 1, 5, i = 1, 5\n•i+5,s = t\ns/23370/ui, s = 0, 43, i = 1, 5.\nEn segundo lugar, consideramos el sistema\nu(28)r = 0, r = 1, 7. 6)\nEste sistema igualmente simple admite un álgebra de 248 dimensiones (72+7 · 28+ 3 = 248)\nde sus simetrías de puntos de Lie generadas por\n•1 = t\n2t + 27t\nj=1 uj?uj,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n• j,r = urlj, r = 1, 7, j = 1, 7\n*j+7,n = t\nnŁuj, n = 0, 27, j = 1, 7.\nEn tercer lugar y finalmente la ecuación escalar,\nu(244) = 0, (8)\nadmite un álgebra Lie de 248 dimensiones (12+1 ·244+3 = 248) de sus simetrías puntuales\ngenerado por los operadores\n•1 = t\n2T + 243tuu,\n2 ° = t ° t,\n3 °C = 1 °C,\n4 °C = uüu,\nN+5 = t\nNo, n = 0, 243.\n3 Conclusión\nHemos demostrado tres representaciones de Lie álgebras de la dimensión 248 que\nes la dimensión de E8. Aunque los álgebras que presentamos no son simples, su\nmétodo de construcción es. La razón de esta simplicidad es que usamos represen-\ntas para sistemas de ecuaciones de simetría máxima. No negamos que sea más grande.\nsistemas, ya sea en orden o número, de menos de simetría máxima podría posiblemente\ntienen un álgebra de dimensión 248, pero incluso en el supuesto de que tales sistemas\nser lineal la complejidad del cálculo se vuelve inmensa [10] y derrota al\npropósito de la presente nota.\nTenga en cuenta que hemos utilizado las formas más simples para los generadores de los álgebras de\nlos tres sistemas, (4), (6) y (8), para nuestro interés principal es la demostración de\nla existencia de los álgebras. Normalmente uno usaría combinaciones que reflejan\nestructuras subalgebraicas. Por ejemplo en el caso de (8) para el cual el álgebra es\nobviamente sl(250, IR) se sustituiría 2 por 2 = 2tte +243uu para subrayar el\nestructura subalgebraica {sl(2, IR)} {A1} {sl(2, IR)} {s 244A1} {sl(2, IR)} {sl(2, IR) {s2A} {s1} {s244A1}, en la que {sl(2, IR) {s1} {s1} {s1} {s1} {s1} {s1 {s1} {s1} {s1(2, IR) {s1}\nla representación de sl(2, IR), •4 refleja la homogeneidad de la ecuación en el depen-\nvariable de abolladura y el subalgebra abeliana de 244 elementos se compone de la solución\nsimetrías, llamadas así porque las funciones del coeficiente son soluciones de (8).\nAgradecimientos\nPGLL agradece a la Universidad de Kwazulu-Natal su continuo apoyo.\nBibliografía\n[1] Instituto Americano de Matemáticas.\nhttp://aimath.org/E8/\n[2] Atlas de Grupos y Representaciones de Mentiras.\nhttp://www.liegroups.org/\n[3] BBC Lunes 19 de marzo de 2007, 12:28 GMT.\nhttp://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6466129.stm\n[4] Beilinson A (1983) Localización de representaciones de álgebras de Lie reductivas\nActas del Congreso Internacional de Matemáticos, Varsovia 699-710\n[5] Beilinson A & Bernstein J (1981) Localización de g-módulos Comptes Rendus\nde la Academia de Ciencias de París Séries I Mathématiques 292 15-18\n[6] Bernstein J (1986) Sobre las conjeturas de Kazhdan-Lusztig AMS Summer Research\nConferencia (Universidad de California, Santa Cruz, julio de 1986)\n[7] Der Spiegel, 19 März 2007.\nhttp://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,472569,00.html\nhttp://aimath.org/E8/\nhttp://www.liegroups.org/\nhttp://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/6466129.stm\nhttp://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0\n[8] Gelfand S & MacPherson R (1982) Módulos Verma y células Schubert:\nen el Seminaire d’algebre Paul Dubriel y MP Malliavin (Notas de la\nMatemáticas 925, Springer Verlag, Berlín-Nueva York) 150\n[9] González-Gascón F & González-López A (1983)\nIV Revista de Física Matemática 24 2006-2021\n[10] Gorringe VM & Leach PGL (1988) Simetrías de puntos de mentira para sistemas de segundo\norden ecuaciones diferenciales ordinarias lineales Quæstiones Mathematicæ 11 95-117\n[11] Kazhdan D & Lusztig G (1979) Representaciones de los grupos Coxeter y Hecke\nálgebras Invenciones Mathematicæ 53 165184\n[12] Kazhdan D & Lusztig G (1980) variedades Schubert y dualidad Poincaré en\nGeometría del Operador de Laplace, (Procedimientos del Simposio sobre Matemática Pura)\nematics 36, American Mathematical Society) 185203\n[13] LEMONDE.FR avec AFP 19.03.07\nhttp://www.lemonde.fr/web/article/0,1-0@2-3244,36-884723@51-\n884724,0.html\n[14] Lusztig G & Vogan D (1983)\ndoble Invenciones Mathematicæ 71 365370\n[15] http://www.liegroups.org/AIME8/technicaldetails.html\n[16] NUEVA YORK TIMES 2007/03/20.\nhttp://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F40613FE3C540C738EDDAA0894DF404482\n[17] The Times 19 de marzo de 2007.\nhttp://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece\n[18] Vogan D (1983) Caracteres irreducibles de grupos semisimples de Mentira III: Prueba de\nla conjetura Kazhdan-Lusztig en el caso integral Inventions Mathematicæ\n71 381417\nhttp://www.lemonde.fr/web/article/0\nhttp://www.liegroups.org/AIM$_$E8/technicaldetails.html\nhttp://select.nytimes.com/gst/abstract.html?res=F40613FE3C540C738EDDAA0894DF404482\nhttp://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece\n\tIntroducción\n\tTres sistemas simples\n\tConclusión\n"}}},{"rowIdx":90,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0097,"string":"704.0097"},"title":{"kind":"string","value":"Conformal Field Theory and Operator Algebras"},"full_text":{"kind":"string","value":"Teoría de campo formal\ny álgebras operadoras\nYasuyuki Kawahigashi\nDepartamento de Ciencias Matemáticas\nUniversidad de Tokio, Komaba, Tokio, 153-8914, Japón\nCorreo electrónico: yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp\nResumen\nExaminamos los recientes avances en el enfoque algebraico de los operadores\nteoría cuántica formal del campo. Nuestro énfasis está en el uso de la representación\nteoría en teoría de clasificación. Esto se basa en una serie de trabajos conjuntos\ncon R. Longo.\n1 Introducción\nUna aproximación matemáticamente rigurosa a la teoría cuántica del campo basada en\nálgebras erator se llama una teoría de campo cuántico algebraico. Tiene un largo\nhistoria desde obras pioneras de Araki, Haag, Kastker. (Véase [22]\ntratamiento eral de la teoría del campo cuántico algebraico.) Esta teoría funciona en\nEspacios Minkowski en cualquier dimensión espacio-tiempo, y ha habido algunos\nresultados recientes en tiempos de espacio curvos o incluso tiempos de espacio no conmutativos. In\nel caso del espacio Minkowski de 1+1-dimensional con simetría espacial superior-\nintentar, simetría conformal, tenemos teoría de campo conformal y allí tenemos\nhemos visto muchos nuevos acontecimientos en los últimos años, por lo que examinamos tales resultados\nAquí. Nuestro énfasis está en los aspectos teóricos de la representación de la teoría y\nhacemos varias comparaciones con otro matemáticamente riguroso y más\nenfoque reciente a la teoría de campo conformal, es decir, la teoría del operador de vértice\nálgebras.\n* Con el apoyo en parte de la JSPS.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0097v1\nEn términos aproximados, un estudio matemático de la teoría cuántica del campo es un\nestudio de los campos de Wightman, que son cierto tipo de operador valorado distri-\nbutiones en un espacio-tiempo con covarianza con respecto a un espacio-tiempo dado\ngrupo de simetría. Tenemos axiomas matemáticamente rigurosos para tal Wight-\ncampos humanos, pero involucran distribuciones y operadores sin límites, por lo que estos\ncausar varios tipos de dificultad técnica. En contraste, en el quan algebraico-\nteoría del campo de tum, nuestro objeto fundamental es una red de álgebras de von Neumann\nde operadores lineales limitados en un espacio de Hilbert. (Véase [46] para\nory de von Neumann álgebras.) Problemas técnicos en los ámbitos de definición\nLos operadores no vinculados no surgen en este enfoque.\nUna idea básica es la siguiente. Supongamos que tenemos un campo Wightman Φ en un\nespacio tiempo. Fijar una región limitada O en el tiempo espacial y considerar una prueba\nfunción con soporte contenido en O. Entonces el emparejamiento, produce\nun operador (sin límite). Tenemos muchos Φ y ♥ para una O fija y obtener\nmuchos operadores sin límite de tal emparejamiento. Entonces consideramos un von Neu-\nálgebra mann de operadores lineales limitados en este espacio Hilbert generado\npor parte de estos operadores sin límites. (Por ejemplo, si tenemos un auto-adjunto un-\noperadores limitados, consideramos sus proyecciones espectrales que son, obviamente,\ntodo delimitado. De esta manera, sólo tratamos con operadores limitados.) Esto es...\nconsiderado como un álgebra de von Neumann generada por observables en el espaciotiempo\nregión O. Un álgebra de von Neumann es un álgebra de operadores lineales delimitados\nque está cerrado bajo la operación contigua y el operador fuerte topol-\nOgy. De esta manera, tenemos una familia {A(O)} de von Neumann álgebras en el\nel mismo espacio de Hilbert parametrizado por las regiones del espacio-tiempo. Desde el espacio-tiempo\nlas regiones hacen una red con respecto a la orden de inclusión, llamamos a tal familia un\nred de álgebras de von Neumann. Ahora olvidamos los campos de Wightman y consideramos\nsólo una red de álgebras de von Neumann. Tenemos algunas propiedades esperadas para\ntales redes de von Neumann álgebras de una consideración física, y ahora\nusamos estas propiedades como axiomas. Así que nuestro objeto matemático es una red de\nvon Neumann álgebras sujetas a ciertos conjuntos de axiomas. Nuestra matemática\nobjetivo es estudiar tales redes de von Neumann álgebras.\n2 Teoría de Campo Cuántico Conformal\nPrimero explicamos la formulación de la teoría de campo cuántico conformal completa en el\n1 + 1-dimensional Minkowski espacio en teoría de campo cuántico algebraico. As a\nregión del espacio tiempo O arriba, es suficiente considerar sólo los rectángulos abiertos O\ncon bordes paralelos a t = ± x en el espacio de Minkowski (1 + 1)-dim. De esta manera,\nObtenemos una familia {A(O)} de álgebras de operador parametrizadas por espaciotiempo\nregiones O (rectángulos). Con el fin de realizar la simetría conformal, tenemos que\nhacer una compactación parcial del espacio Minkowski de 1+1-dimensional. Si\ndos rectángulos son espacios como separados, entonces no tenemos interacciones entre\nincluso a la velocidad de la luz, por lo que nuestro axioma requiere que el correspondiente\ndos álgebras de von Neumann se viajan entre sí. Esta es la localidad\naxioma. Dado que este no es nuestro objeto principal en este documento, omitimos los detalles de la\notros axiomas. Véase [29] para más detalles.\nA continuación explicamos brevemente que la teoría de campo conformal de la frontera puede ser han-\nse desplomó dentro del mismo marco. Ahora consideramos el medio-espacio {(x, t) \nx > 0} en el espacio 1+1-dimensional Minkowski y sólo rectángulos O con-\nen este medio-espacio. De esta manera, tenemos una red similar de von Neumann\nálgebras {A(O)} parametrizadas con rectángulos en el medio espacio. Véase [38]\npara los detalles completos de los axiomas.\nSi tenemos una red de álgebras de von Neumann sobre el 1 + 1-dimensional\nMinkowski espacio, podemos restringir la red de von Neumann álgebras a dos\nteorías de campo conformal quiral sobre los conos de luz {x = ±t}. De esta manera, nosotros\ntienen dos redes de von Neumann álgebras en el compactado S1 como descripción\nde dos teorías de campo conformal quiral. Puesto que esta red es nuestra principal matemática\nobjeto en este artículo, damos un conjunto completo de axiomas. (Véase [29] para más detalles sobre esto\nprocedimiento de “restricción”.)\nAhora nuestro “tiempo espacial” es S1 y una “región espacio-tiempo” es un intervalo I,\nlo que significa un subconjunto abierto no vacío y no denso de S1. Tenemos\nuna familia {A(I)} de von Neumann álgebras en un espacio fijo Hilbert H.\nvon Neumann álgebras son simples y tales álgebras de von Neumann se llaman\nfactores, por lo que la familia {A(I)} satisfacer los axiomas de abajo se llama una red de\nfactores (o una red conformal local irreductible de factores, estrictamente hablando).\nEn realidad, el conjunto de intervalos en S1 no está dirigido con respecto a inclusiones,\nPor lo tanto, la terminología neta no es matemáticamente apropiada, pero se utiliza ampliamente.\n1. (isotonía) Para los intervalos I1+I2, tenemos A(I1)+A(I2).\n2. (localidad) Para intervalos I1, I2 con I1+I2 = فارسى, tenemos [A(I1),A(I2)] = 0\n3. (Möbius covarianza) Existe un repre-\nSe envía U de PSL(2,R) sobre H que satisfaga U(g)A(I)U(g)* = A(gI) para\ncualquier g • PSL(2,R) y cualquier intervalo I.\n4. (positividad de la energía) El generador de la rotación de un parámetro sub-\ngrupo de U, llamado el conformal Hamiltoniano, es positivo.\n5. (existencia del vacío) Existe una unidad U -invariante vector\nH, llamado el vector de vacío, y el álgebra de von Neumann\nI+S1 A(I)\ngenerado por todos los A(I) es B(H).\n6. (covarianza formal) Existe una representación unitaria proyectiva\nU de Diff(S1) en H ampliando la representación unitaria de PSL(2,R)\nde tal manera que para todos los intervalos yo, tenemos\nU(g)A(I)U(g)* = A(gI), g • Diff(S1),\nU(g)AU(g)* = A, A (I), g (Diff(I ′),\ndonde Diff(S1) es el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación\nde S1 y Diff(I ′) es el grupo de difeomorfismos g de S1 con g(t) = t\npara todos los t â € I.\nEl axioma de isotonía es natural porque tenemos más funciones de prueba (o más\nobservables) para un intervalo mayor. El axioma de la localidad toma esta forma simple en\nS1. La elección de la simetría espacio-tiempo no es única, y podemos utilizar la\nSimetría de Poincaré en el espacio de Minkowski o la covarianza de Möbius en S1,\npor ejemplo, pero en la teoría de campo conformal, utilizamos la simetría conformal,\nlo que significa covarianza de difeomorfismo como arriba. Este conjunto de axiomas implican\nvarias condiciones agradables como la propiedad Reeh-Schlieder, el Bisognano-\nPropiedad Wichmann y la dualidad Haag. Véase [28] y las referencias correspondientes a\ndetalles.\nEn la situación habitual, todos los álgebras de von Neumann A(I) son isomórficos\nal denominado factor Araki-Woods tipo III1 para todas las redes A y todos los intervalos\nI. Así que cada álgebra de von Neumann no contiene ninguna información sobre\nla teoría de campo conformal, pero es la posición relativa del von Neumann\nálgebras en la familia que codifica la información física de la teoría.\n(Es similar a la teoría de los subfactores de Jones donde estudiamos una posición relativa\nde un factor en otro.)\nAl final de esta sección, comparamos nuestra formulación de conformal\nteoría cuántica de campo con otro enfoque matemáticamente riguroso, el-\nORY de álgebras de operador de vértice. Un álgebra operador de vértice es un algebraico\naxiomatización de los campos de Wightman en S1, llamados operadores de vértice. Si nosotros\ntener una distribución de operador valorada en S1, su expansión de Fourier debe dar\nContablemente muchos (posiblemente sin límite) operadores como los coeficientes de Fourier.\nBajo la llamada correspondencia estado-campo, cualquier vector en el espacio de\n“estados” debe dar una distribución valorada por el operador, un “campo” cuántico, y\nsu expansión de Fourier da cuenta de muchos operadores. De esta manera, un vector\ndebe dar considerablemente muchos operadores en el espacio de estos vectores. En los demás\npalabras, para dos vectores v, w tenemos considerablemente muchas operaciones binarias v(n)w,\nn-Z, la acción del n-ésimo operador dada por v en w. Una axiomatización\nde esta idea da una noción de álgebra operadora de vértice. (Véase [16] para más información\ndefinición. Hay una noción ligeramente más débil de un álgebra vértice. Véase [27]\npara su definición precisa y resultados conexos.) En teoría del operador de vértice\nálgebra, se considera un espacio vectorial de estados sin un producto interior y\nIncluso cuando tenemos un producto interno definido positivo, se considera que este vec-\nespacio sin completar. Aquí en comparación con las redes de factores, estamos\ninteresado en el caso en el que tenemos productos internos definitivos positivos en el\nespacios de estados. Decimos que tal álgebra operadora de vértice es unitaria.\nTanto de un álgebra (unitaria) operador de vértice y una red de factores\ndebe describir una teoría de campo conformal quiral. Así que operador vértice unitario\nálgebras y redes de factores deben estar en una correspondencia bijectiva, al menos\nbajo algunas “buenas” condiciones adicionales, pero ningún teorema general ha sido\nconocido por tal correspondencia, aunque hay un progreso reciente debido a S.\nCarpi y M. Weiner. Sin embargo, si tenemos una construcción o una idea en uno\nA menudo podemos “traducir” al otro lado, aunque puede ser altamente no-\ntrivial desde un punto de vista técnico. Fuentes fundamentales de las construcciones para\nálgebras operador de vértice son álgebras afín Kac-Moody y celosías integrales.\nLas construcciones correspondientes para redes de factores han sido realizadas por A.\nWassermann [47] y sus estudiantes, y Dong-Xu [12], respectivamente, después de la\nconstrucción inicial de Buchholz-Mack-Todorov [5]. Si tenemos ejemplos con\nalgunas propiedades agradables, a menudo podemos construir nuevos ejemplos de ellos, y\ncomo tales métodos de construcciones de álgebras operador de vértice, tenemos simples\nextensiones actuales, la construcción de coset, y la construcción de orbifold. Los\nsimples extensiones de corriente para redes de factores son simplemente productos cruzados por\nDHR-automorfismos y fácil de realizar. (Ver la siguiente sección para una noción\nde DHR-endomorfismos.) Las construcciones de coset y orbifold para redes de\nlos factores han sido estudiados en detalle por F. Xu [50, 51, 52].\nPara redes de factores, hemos introducido una nueva construcción de ejemplos\nen [28] basado en la noción de sistemas Q de Longo [36]. Otros ejemplos han sido:\nha sido construido por Xu [55] con este método. Esto se puede traducir a la\najuste de álgebras operador de vértice, como veremos en este artículo más adelante.\n3 Teoría de la representación\nUna herramienta importante para estudiar las redes de factores es una teoría de la representación. Por una\nneto de factores {A(I)}, todos los álgebras A(I) actúan en el espacio Hilbert inicial\nH desde el principio, pero también consideramos sus representaciones en otro\nHilbert espacio, es decir, una familia I} de representaciones γI : A(I) → B(K),\ndonde K es otro espacio de Hilbert, común para todos. Por lo que se refiere a I1 o I2, debemos\ntener que la restricción de ηI2 en A(I1) es igual a ηI1. La representación en\nel espacio inicial Hilbert se llama la representación de vacío y juega un papel de\nuna representación trivial. También tenemos que ocuparnos de la simetría espacial.\ngrupo cuando consideramos una representación, pero esta parte es a menudo automática\n(véase [20]), por lo que ahora lo ignoramos por simplicidad. Véase [20] para más detalles\ntratamiento. Nótese que una representación de una red de factores es una contraparte de\nun módulo sobre un álgebra de operador de vértice.\nLas nociones de irreductibilidad y una suma directa para tales representaciones son:\nfácil de formular. Las nociones no triviales son dimensiones y productos tensores.\nCada representación I} está en una correspondencia bijectiva a un cierto endo-\nmorfismo de un álgebra de operador dimensional infinito, llamado un Doblicher-\nEndomorfismo de Haag-Roberts (DHR) [13, 15], y podemos restringirlo a un solo\nfactor A(I) para un intervalo I arbitrariamente pero fijo. Entonces, A(I) (A(I)) A(I) es\nun subfactor y tenemos su índice Jones [26]. (Véanse [14, 41, 43] para información general\nteoría de los subfactores.) La raíz cuadrada de este índice Jones juega el papel de\nla dimensión de la representación [35]. En teoría cuántica algebraica del campo,\ntal dimensión fue llamada una dimensión estadística, y es análoga a\nuna dimensión cuántica en la teoría de los grupos cuánticos. Es un real positivo\nnúmeros en el intervalo [1,]. También podemos componer endomorfismos y\nesta composición da la noción correcta de productos tensores. Entonces conseguiremos un\ncategoría de tensor trenzado como en [15].\nEn teoría de representación de un operador de vértice álgebra (y también un cuántico\ngrupo), a veces sucede que tenemos sólo finitamente muchos irreductible rep-\nresentimientos. Tal finitud a menudo se llama racionalidad, posiblemente con algunos\nsuposiciones adicionales sobre alguna dimensión finita. Esto también juega un impor-\npapel en la teoría de los invariantes cuánticos en la topología de baja dimensión. En [32],\nhemos introducido una condición algebraica del operador para tal racionalidad para\nredes de factores como sigue y lo llamamos racionalidad completa. Dividimos el\ncírculo en cuatro intervalos I1, I2, I3, I4 en este orden, digamos, en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces\nla racionalidad completa es dada por la finitud del índice Jones para un subfac-\nA(I1)A(I3)A(I3)A(I2)A(I4))\n′ donde ′ significa el conmutante, juntos\ncon la propiedad dividida. Se sabe que la propiedad split se mantiene si el vacío\ncarácter,\nn=0(dimHn)q\nn, es convergente para q < 1 por [9], por lo que generalmente\nsostiene y es fácil de verificar. (Aquí H =\nn=0Hn es el eigenspace decompo-\nposición del espacio original de Hilbert para el generador positivo de la rotación\ngrupo. Así que esta propiedad de convergencia se puede verificar simplemente mirando\nel espacio Hilbert, no los álgebras de von Neumann.) En la definición original\nde completa racionalidad en [32], requerimos otra condición llamada fuerte\nAditividad, pero se demostró que era redundante por Longo-Xu [39]. Tenemos\nen [32] se demostró que esta completa racionalidad implica que tenemos un\ncategoría de tensor como categoría de representación de {A(I)}. Un tensor modular\ncategoría produce una teoría de campo cuántico topológico tridimensional. (Véase [45]\npara la teoría general de la teoría del campo cuántico topológico.) El SU(N)k-net de\nWassermann ha demostrado ser completamente racional por [49].\nAhora introducimos una noción importante de α-inducción. Para una inclusión\nde redes de factores, A(I) B(I), tenemos un procedimiento de inducción análogo\na la representación del grupo. Así que de una representación de la red más pequeña A,\nnos gustaría construir una representación de la red B más grande, pero lo que\nque realmente obtenemos no es una representación genuina de la red más grande B en\ngeneral, y es algo más débil llamado solitónico. Este procedimiento de inducción\nse llama la α-inducción y depende de una elección de trenzado, por lo que escribimos\ny. Esto fue definido por primera vez en Longo-Rehren [37] y estudiado en detalle\nen Xu [48]. Entonces Böckenhauer-Evans [1] hizo un nuevo estudio, y [2, 3]\nEste estudio se unificó con el método gráfico de Ocneanu [42]. La intersección\nde los endomorfismos irreductibles que aparecen en las imágenes de la inducción\ny -inducción da la categoría de representación verdadera de {B(I)} si A es\ncompletamente racional por [2, 32].\nEsta α-inducción abre una conexión importante y nueva con la teoría\nde invariantes modulares. Una categoría de tensores modulares produce una\nresensación de SL(2,Z) a través de su trenzado como en [44], y su dimensión\nes el número de objetos irreducibles. Así que una red completamente racional de fac-\nTors produce tal representación unitaria. (Obsérvese que nuestra representación\nde SL(2,Z) viene de la estructura de trenzado, no de la acción de este\ngrupo sobre los caracteres a través del cambio de variables 7→\na.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.\nc-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-\n, aunque en\ntodos los “buen” ejemplos conocidos, estas dos representaciones coinciden. Véase [30]\npara un debate sobre este asunto.)\nSe ha demostrado en [2] que la matriz (Zel,μ) definida por\nZ/23370/,μ = dimHom(α\n, α\nestá en el conmutante de la representación η, utilizando la gráfica de Ocneanu cal-\nculus [42]. Tal matriz Z se llama un invariante modular, y sólo tenemos\nfinitamente muchos tales Z para un dado η. Para cualquier red completamente racional {A(I)},\ncualquier extensión {B(I) {A(I)} produce tal Z. Matrices Z son ciertamente\nmucho más fácil de clasificar que las extensiones y esto es una fuente de clasificación\nteoría en la siguiente sección.\n4 Teoría de la Clasificación\nPara una red de factores, naturalmente podemos definir una carga central y está bien-\nse sabe que toman los valores discretos 1− 6/m(m+1), m = 3, 4, 5,...., por debajo de 1 y\ntodos los valores indicados en [1,]. por [17, 18]. Tenemos la red Virasoro {Virc(I)} para cada uno\ntal c y es la contraparte algebraica del operador del vértice Virasoro\nálgebra del operador con la misma c. Cualquier red de factores {A(I)} con central\nc es una extensión de la red Virasoro con la misma carga central y\nes automáticamente completamente racional si c < 1, como se muestra en [28]. Así que podemos\naplicar la teoría anterior y obtenemos la siguiente lista completa de clasificación\npara el caso c < 1 como en [28].\n1. Las redes Virasoro {Virc(I)} con c < 1.\n2. Las simples extensiones de corriente de las redes Virasoro con índice 2.\n3. Cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.\nLas representaciones unitarias de SL(2,Z) para las redes de Virasoro son el pozo-\nconocidos, y todos los invariantes modulares para estos han sido clasificados por\n[6]. Nuestro resultado muestra que cada uno de los llamados invariantes modulares tipo I en\nla lista de clasificación de [6] corresponde a una red de factores única. Ellos\nestán etiquetados con pares de diagramas de Dynkin A-D2n-E6,8 con números de Coxeter\ndiferenciándose por 1. Tres en (3) de la lista anterior se han identificado con coset\nmodelos, pero el resto no parece estar relacionado con ningún otro\nconstrucciones conocidas. Esto se construye con “extensión por sistema Q”.\nXu [55] aplicó recientemente esta construcción a muchos otros modelos de coset y\nobtener infinitamente muchos ejemplos nuevos basados en [54], llamado\nSions. La clasificación para el caso c = 1 también se ha hecho en algunos casos adicionales.\nsuposición [7, 53].\nEste teorema de clasificación también implica una clasificación de ciertos tipos de\nálgebras del operador de vértice como sigue.\nDejar V ser un (racional) álgebra operador de vértice y Wi ser su irreductible\nmódulos. Nos gustaría clasificar todos los álgebras de operador de vértice que surgen de\nponer una estructura de álgebra de operador de vértice en\ni niWi y usando el mismo\nVirasoro elemento como V, donde ni es multiplicidad y W0 = V, n0 = 1. Desde\nun punto de vista de la categoría tensor, este problema de clasificación de las ampliaciones de\nun operador de vértice álgebras es el “mismo” como el problema de clasificación de\nextensiones de una red de factores completamente racional, como se muestra en [24].\nAsí que el teorema de clasificación anterior de las redes conformales locales implica un clas-\nteorema de sificación de extensiones de los álgebras de operador de vértice Virasoro con\nc < 1 como el anterior, y obtenemos la misma lista de clasificación. Es decir, además\nel vértice Virasoro operario álgebras sí mismos, tenemos su simple cur-\nprórrogas de alquiler, y cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.\nCon la notación habitual de L(c, h) para un módulo con carga central c y\npeso conformal h de los álgebras del operador de vértice Virasoro con c < 1, el\nA continuación se enumeran cuatro casos excepcionales.\n1. L(21/22, 0)L(21/22, 8). Tiene 15 representaciones irreductibles y tiene\ndos realizaciones de coset, a partir de SU(9)2 (E8)2 y (E8)3 (E8)2 (E8)1.\n2. L(25/26, 0) L(25/26, 10). Tiene 18 representaciones irreductibles y\ntiene una realización de coset de SU(2)11 SO(5)1 SU(2)1.\n3. L(144/145, 0)L(144/145, 24)L(144/145, 78)L(144/145, 189). Lo siento.\ntiene 28 representaciones irreductibles y ninguna realización coset ha sido\nLo sé.\n4. L(154/155, 0)L(154/155, 26)L(154/155, 84)L(154/155, 203). Lo siento.\ntiene 30 representaciones irreductibles y tiene una realización coset de\nSU(2)29 (G2)1 SU(2)1.\nTenga en cuenta que no es obvio que la categoría de representación de la Virasoro\nnet Virc y la categoría de representación del operador Virasoro vértice\nálgebra L(c, 0) son isomórficos, pero siempre y cuando los dos son tensor trenzado\ncategoría y tienen las mismas matrices S y T, los argumentos en [28] trabajo,\npor lo que obtenemos el resultado de clasificación anterior para álgebras operador de vértice.\nUtilizando los resultados anteriores y más técnicas, también podemos completamente\nclasificar las teorías de campo conformal completo dentro del marco cuántico algebraico\nteoría de campo para el caso c < 1. Teorías de campo conformales completas se dan como\nciertas redes de factores en el espacio 1 + 1-dimensional Minkowski. Bajo natu...\nsimetría ral y condiciones de maximidad, aquellas con c < 1 son completamente\netiquetado con los pares de diagramas A-D-E Dynkin con la diferencia de\nsu número de Coxeter es igual a 1, como se muestra en [29]. Ahora, naturalmente, tenemos\nD2n+1, E7 como etiquetas, a diferencia del caso quiral. La principal dificultad en este sentido\ntrabajo consiste en demostrar la singularidad de la estructura para cada invariante modular\nen la lista Cappelli-Itzykson-Zuber [6]. Esto se hace a través de 2-cohomología\ndesapareciendo para ciertas categorías de tensores. en el espíritu de [25].\nAdemás, utilizando los resultados anteriores y más técnicas también podemos\nclasificar completamente las teorías de campo conformal límite para el caso c < 1.\nLas teorías de campo de la conformación de la frontera se dan como ciertas redes de factores en un 1+\n1-dimensional Minkowski semi-espacio. Bajo una condición de máxima natural,\nestos con c < 1 ahora están completamente etiquetados con los pares de A-D-E Dynkin\ndiagramas con vértices distinguidos que tienen la diferencia de su Coxeter\nnúmeros iguales a 1, como se muestra en [33] basado en una teoría general en [38]. Los\n“campos quiral” en la teoría de campo conformal de la frontera debe producir una red\nde factores en el límite (que se compacta a S1) como en el operador\nenfoque algebraico. Entonces una teoría de campo conformal de frontera general restringe\na este límite para producir una extensión no local de esta conformación quiral\nteoría de campo en la frontera.\n5 Conjetura de la luz de la luna\nLa conjetura Moonshine, formulada por Conway-Norton [8], se trata de mi-\nrelaciones entre grupos finitos simples y funciones modulares, ya que\nuna observación debida a McKay.\nHoy en día la clasificación de todos los grupos finitos simples es completa y el\nlista de clasificación contiene 26 grupos esporádicos, además de varios infinitos\nserie. El grupo más grande entre los 26 grupos esporádicos se llama el Monstruo\ngrupo y su orden es de aproximadamente 8× 1053\nPor una parte, la representación irreductible no trivial del Mon-\nster que tiene la dimensión más pequeña es 196883 dimensional. Por otro lado\nmano, la función siguiente, llamada j-función, ha sido clásicamente estudiado\nen álgebra.\nj() = q−1 + 744 + 196884q +\n21493760q2 + 864299970q3 + · · ·\nPara q = exp(2lürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürülürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürü\na.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.\nc-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-\nSL(2,Z), y esta es la única función, hasta\nel término constante, satisfaciendo esta propiedad y comenzando con q−1,\nMcKay notó 196884 = 196883 + 1, y relaciones simples similares para\notros coeficientes de la función j y dimensiones de represen irreductible\nlas taciones del grupo Monster resultaron ser ciertas. Luego Conway-Norton\n[8] formuló la conjetura Moonshine aproximadamente como sigue, que ha sido\nahora probado por Borcherds [4] en 1992.\n1. Tenemos un \"natural\" infinito dimensional grado vector espacio V =\nVn con alguna estructura algebraica que tiene una acción de Monster pre-\nservir a la clasificación y cada Vn es dimensional finita.\n2. Para cualquier elemento g en el monstruo, la serie de potencia\nn=0(Tr gVn)q\nes una función especial llamada Hauptmodul para algún subgrupo discreto\nde SL(2,R). Cuando g es el elemento de identidad, la serie es la función j\nmenos el término constante 744.\nPor la parte (1) de esta conjetura, Frenkel-Lepowsky-Meurman [16] dio\nuna definición precisa de “alguna estructura algebraica” como un álgebra operador vértice\ny construyó un ejemplo particular V, que ahora se llama la luz de la luna\nálgebras del operador del vértice y denotado por V ».\nLa construcción es aproximadamente la siguiente. En la dimensión 24, tenemos un\ncelosía excepcional llamada la celosía de sanguijuela. Entonces hay una estafa general...\nestructuración de un álgebra operador de vértice de una cierta celosía, y el uno para\nla celosía de sanguijuela da algo muy cerca de nuestro objeto final V. Entonces nosotros\ntomar un punto fijo álgebra bajo una acción natural de Z/2Z que surge de la\nsimetría de celosía, y luego hacer una simple extensión de corriente de orden 2. Los\nálgebra de operador de vértice resultante es el álgebra de operador de vértice Moonshine\nV â € TM. (El paso final se llama construcción retorcida o bifold). La serie\nn=0(dimV\nn−1 es de hecho la función j menos el término constante 744.\nMiyamoto [40] tiene una nueva realización de V ® como una extensión de un tensor\npotencia del álgebra del operador de vértice de Virasoro con c = 1/2, L(1/2, 0)48\n(basado en Dong-Mason-Zhu [11]. Este tipo de extensión de un tensor Virasoro\nla energía se llama álgebra de operador de vértice enmarcada como en [10].\nHemos dado un operador homólogo algebraico de tal construcción\nen [31].\nRealizamos una red de celosía de sanguijuela de factores en S1 como una extensión de Vir1/2\nusando cierto código Z4. Entonces podemos realizar la construcción retorcida o bifold\nen el sentido algebraico del operador para obtener una red de factores, la red Moonshine\n¡Aaaaaaaaaa! La teoría de la α-inducción se utiliza para obtener varias descomposicións. Nosotros\nluego obtener una descripción tipo Miyamoto de esta construcción, como un operador\nhomólogo algebraico del operador de vértice enmarcado álgebras. Entonces tenemos\nlas siguientes propiedades.\n1. c = 24.\n2. La teoría de la representación es trivial.\n3. El grupo del automorfismo es el Monstruo.\n4. La propiedad Hauptmodul (como anteriormente).\nEl esquema de la prueba de estas cuatro propiedades es el siguiente.\nEs inmediato obtener c = 24. Podemos mostrar pases de completa racionalidad.\na una extensión (y un orbifold) en general con control sobre el tamaño de la\ncategoría de representación, utilizando el índice Jones. Con esto, obtenemos (2) muy\nCon facilidad. Tal red se llama holomórfica. La propiedad (3) es la más difícil\nparte. Para el Virasoro VOA L(1/2, 0), el operador de vértice es de hecho un bien-\nEl campo Wightman y los campos manchados producen la red Virasoro Vir1/2.\nUsando esta propiedad y el hecho de que\ng g(L(1/2, 0)\n48) para todos los g de Aut(V)\ngenerar toda la luz de luna VOA V, podemos probar que el automorfismo\ngrupo como un álgebra operador de vértice y el grupo de automorfismo como una red\nDe hecho, los factores son los mismos. Entonces (4) es ahora un corolario trivial de la\nBorcherds teorema [4].\nObservamos que el monstruo bebé, el segundo más grande entre los 26 esporádicos\ngrupos finitos simples, se puede tratar de manera similar con la construcción de Höhn de la\nálgebra de operador de super vértice Moonshine más corta.\nSin embargo, estos ejemplos se tratan con varios trucos caso por caso. Nosotros\nespera una correspondencia bijetiva entre álgebras operadoras de vértice y redes\nde factores en S1 en algunas buenas condiciones. En el lado del operador de vértice\nálgebras, el candidato más natural para tal condición “agradable” es el C2-\ncondición de finitud de Zhu [56] (con unidad). En el operador algebraico\nlado, nuestra completa racionalidad en [32] parece ser una condición “buena”, pero\nlas relaciones reales entre las dos nociones no están claras en este momento.\nLa condición esencial para la racionalidad completa es la finitud de los Jones\níndice que surge de cuatro intervalos en el círculo, y esta finitud de alguna manera\ntiene similitud formal con la finitud que aparece en la definición de la C2-\nfinitud.\nAl final, enumeramos algunos problemas abiertos. El enfoque algebraico del operador\ntiene una ventaja en el control de la teoría de la representación, pero está detrás de la teoría\nde álgebras operador de vértice en la teoría de los caracteres.\nPara una red de factores, podemos naturalmente definir una noción de un carácter para\ncada representación. Pero incluso la convergencia de estos personajes no ha sido\nen general, y la propiedad de la invarianza modular, la contrapartida de\nEl resultado de Zhu [56], es desconocido, aunque ciertamente esperamos que sea cierto. Nosotros\ntambién se espera que la identidad Verlinde se mantiene, lo que se ha demostrado en el contexto\nde álgebras de operador de vértice recientemente por Huang [23]. Necesitaríamos un S-\nmatriz del teorema spin-statistics [21] para redes de factores.\nBibliografía\n[1] J. Böckenhauer, D. E. Evans, invariantes modulares, gráficos y α-\ninducción para redes de subfactores I, Commun. Matemáticas. Phys. 197 (1998)\n361–386. II 200 (1999) 57-103. III 205 (1999) 183–228.\n[2] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. Kawahigashi, Sobre la inducción alfa, quiral\nproyectores e invariantes modulares para subfactores, Commun. Matemáticas. Phys.\n208 (1999) 429–487.\n[3] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. 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Soc. 9 (1996) 237–302.\nhttp://arxiv.org/abs/math/0505367\n\tIntroducción\n\tTeoría Cuántica Conformal de Campo\n\tTeoría de la representación\n\tTeoría de la Clasificación\n\tConjetura de la luz de la luna\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Revisamos los avances recientes en el enfoque algebraico del operador a la conformación cuántica\nteoría de campo. Nuestro énfasis está en el uso de la teoría de la representación en la clasificación\nteoría. Esto se basa en una serie de trabajos conjuntos con R. Longo.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nUna aproximación matemáticamente rigurosa a la teoría cuántica del campo basada en\nálgebras erator se llama una teoría de campo cuántico algebraico. Tiene un largo\nhistoria desde obras pioneras de Araki, Haag, Kastker. (Véase [22]\ntratamiento eral de la teoría del campo cuántico algebraico.) Esta teoría funciona en\nEspacios Minkowski en cualquier dimensión espacio-tiempo, y ha habido algunos\nresultados recientes en tiempos de espacio curvos o incluso tiempos de espacio no conmutativos. In\nel caso del espacio Minkowski de 1+1-dimensional con simetría espacial superior-\nintentar, simetría conformal, tenemos teoría de campo conformal y allí tenemos\nhemos visto muchos nuevos acontecimientos en los últimos años, por lo que examinamos tales resultados\nAquí. Nuestro énfasis está en los aspectos teóricos de la representación de la teoría y\nhacemos varias comparaciones con otro matemáticamente riguroso y más\nenfoque reciente a la teoría de campo conformal, es decir, la teoría del operador de vértice\nálgebras.\n* Con el apoyo en parte de la JSPS.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0097v1\nEn términos aproximados, un estudio matemático de la teoría cuántica del campo es un\nestudio de los campos de Wightman, que son cierto tipo de operador valorado distri-\nbutiones en un espacio-tiempo con covarianza con respecto a un espacio-tiempo dado\ngrupo de simetría. Tenemos axiomas matemáticamente rigurosos para tal Wight-\ncampos humanos, pero involucran distribuciones y operadores sin límites, por lo que estos\ncausar varios tipos de dificultad técnica. En contraste, en el quan algebraico-\nteoría del campo de tum, nuestro objeto fundamental es una red de álgebras de von Neumann\nde operadores lineales limitados en un espacio de Hilbert. (Véase [46] para\nory de von Neumann álgebras.) Problemas técnicos en los ámbitos de definición\nLos operadores no vinculados no surgen en este enfoque.\nUna idea básica es la siguiente. Supongamos que tenemos un campo Wightman Φ en un\nespacio tiempo. Fijar una región limitada O en el tiempo espacial y considerar una prueba\nfunción con soporte contenido en O. Entonces el emparejamiento, produce\nun operador (sin límite). Tenemos muchos Φ y ♥ para una O fija y obtener\nmuchos operadores sin límite de tal emparejamiento. Entonces consideramos un von Neu-\nálgebra mann de operadores lineales limitados en este espacio Hilbert generado\npor parte de estos operadores sin límites. (Por ejemplo, si tenemos un auto-adjunto un-\noperadores limitados, consideramos sus proyecciones espectrales que son, obviamente,\ntodo delimitado. De esta manera, sólo tratamos con operadores limitados.) Esto es...\nconsiderado como un álgebra de von Neumann generada por observables en el espaciotiempo\nregión O. Un álgebra de von Neumann es un álgebra de operadores lineales delimitados\nque está cerrado bajo la operación contigua y el operador fuerte topol-\nOgy. De esta manera, tenemos una familia {A(O)} de von Neumann álgebras en el\nel mismo espacio de Hilbert parametrizado por las regiones del espacio-tiempo. Desde el espacio-tiempo\nlas regiones hacen una red con respecto a la orden de inclusión, llamamos a tal familia un\nred de álgebras de von Neumann. Ahora olvidamos los campos de Wightman y consideramos\nsólo una red de álgebras de von Neumann. Tenemos algunas propiedades esperadas para\ntales redes de von Neumann álgebras de una consideración física, y ahora\nusamos estas propiedades como axiomas. Así que nuestro objeto matemático es una red de\nvon Neumann álgebras sujetas a ciertos conjuntos de axiomas. Nuestra matemática\nobjetivo es estudiar tales redes de von Neumann álgebras.\n2 Teoría de Campo Cuántico Conformal\nPrimero explicamos la formulación de la teoría de campo cuántico conformal completa en el\n1 + 1-dimensional Minkowski espacio en teoría de campo cuántico algebraico. As a\nregión del espacio tiempo O arriba, es suficiente considerar sólo los rectángulos abiertos O\ncon bordes paralelos a t = ± x en el espacio de Minkowski (1 + 1)-dim. De esta manera,\nObtenemos una familia {A(O)} de álgebras de operador parametrizadas por espaciotiempo\nregiones O (rectángulos). Con el fin de realizar la simetría conformal, tenemos que\nhacer una compactación parcial del espacio Minkowski de 1+1-dimensional. Si\ndos rectángulos son espacios como separados, entonces no tenemos interacciones entre\nincluso a la velocidad de la luz, por lo que nuestro axioma requiere que el correspondiente\ndos álgebras de von Neumann se viajan entre sí. Esta es la localidad\naxioma. Dado que este no es nuestro objeto principal en este documento, omitimos los detalles de la\notros axiomas. Véase [29] para más detalles.\nA continuación explicamos brevemente que la teoría de campo conformal de la frontera puede ser han-\nse desplomó dentro del mismo marco. Ahora consideramos el medio-espacio {(x, t) \nx > 0} en el espacio 1+1-dimensional Minkowski y sólo rectángulos O con-\nen este medio-espacio. De esta manera, tenemos una red similar de von Neumann\nálgebras {A(O)} parametrizadas con rectángulos en el medio espacio. Véase [38]\npara los detalles completos de los axiomas.\nSi tenemos una red de álgebras de von Neumann sobre el 1 + 1-dimensional\nMinkowski espacio, podemos restringir la red de von Neumann álgebras a dos\nteorías de campo conformal quiral sobre los conos de luz {x = ±t}. De esta manera, nosotros\ntienen dos redes de von Neumann álgebras en el compactado S1 como descripción\nde dos teorías de campo conformal quiral. Puesto que esta red es nuestra principal matemática\nobjeto en este artículo, damos un conjunto completo de axiomas. (Véase [29] para más detalles sobre esto\nprocedimiento de “restricción”.)\nAhora nuestro “tiempo espacial” es S1 y una “región espacio-tiempo” es un intervalo I,\nlo que significa un subconjunto abierto no vacío y no denso de S1. Tenemos\nuna familia {A(I)} de von Neumann álgebras en un espacio fijo Hilbert H.\nvon Neumann álgebras son simples y tales álgebras de von Neumann se llaman\nfactores, por lo que la familia {A(I)} satisfacer los axiomas de abajo se llama una red de\nfactores (o una red conformal local irreductible de factores, estrictamente hablando).\nEn realidad, el conjunto de intervalos en S1 no está dirigido con respecto a inclusiones,\nPor lo tanto, la terminología neta no es matemáticamente apropiada, pero se utiliza ampliamente.\n1. (isotonía) Para los intervalos I1+I2, tenemos A(I1)+A(I2).\n2. (localidad) Para intervalos I1, I2 con I1+I2 = فارسى, tenemos [A(I1),A(I2)] = 0\n3. (Möbius covarianza) Existe un repre-\nSe envía U de PSL(2,R) sobre H que satisfaga U(g)A(I)U(g)* = A(gI) para\ncualquier g • PSL(2,R) y cualquier intervalo I.\n4. (positividad de la energía) El generador de la rotación de un parámetro sub-\ngrupo de U, llamado el conformal Hamiltoniano, es positivo.\n5. (existencia del vacío) Existe una unidad U -invariante vector\nH, llamado el vector de vacío, y el álgebra de von Neumann\nI+S1 A(I)\ngenerado por todos los A(I) es B(H).\n6. (covarianza formal) Existe una representación unitaria proyectiva\nU de Diff(S1) en H ampliando la representación unitaria de PSL(2,R)\nde tal manera que para todos los intervalos yo, tenemos\nU(g)A(I)U(g)* = A(gI), g • Diff(S1),\nU(g)AU(g)* = A, A (I), g (Diff(I ′),\ndonde Diff(S1) es el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación\nde S1 y Diff(I ′) es el grupo de difeomorfismos g de S1 con g(t) = t\npara todos los t â € I.\nEl axioma de isotonía es natural porque tenemos más funciones de prueba (o más\nobservables) para un intervalo mayor. El axioma de la localidad toma esta forma simple en\nS1. La elección de la simetría espacio-tiempo no es única, y podemos utilizar la\nSimetría de Poincaré en el espacio de Minkowski o la covarianza de Möbius en S1,\npor ejemplo, pero en la teoría de campo conformal, utilizamos la simetría conformal,\nlo que significa covarianza de difeomorfismo como arriba. Este conjunto de axiomas implican\nvarias condiciones agradables como la propiedad Reeh-Schlieder, el Bisognano-\nPropiedad Wichmann y la dualidad Haag. Véase [28] y las referencias correspondientes a\ndetalles.\nEn la situación habitual, todos los álgebras de von Neumann A(I) son isomórficos\nal denominado factor Araki-Woods tipo III1 para todas las redes A y todos los intervalos\nI. Así que cada álgebra de von Neumann no contiene ninguna información sobre\nla teoría de campo conformal, pero es la posición relativa del von Neumann\nálgebras en la familia que codifica la información física de la teoría.\n(Es similar a la teoría de los subfactores de Jones donde estudiamos una posición relativa\nde un factor en otro.)\nAl final de esta sección, comparamos nuestra formulación de conformal\nteoría cuántica de campo con otro enfoque matemáticamente riguroso, el-\nORY de álgebras de operador de vértice. Un álgebra operador de vértice es un algebraico\naxiomatización de los campos de Wightman en S1, llamados operadores de vértice. Si nosotros\ntener una distribución de operador valorada en S1, su expansión de Fourier debe dar\nContablemente muchos (posiblemente sin límite) operadores como los coeficientes de Fourier.\nBajo la llamada correspondencia estado-campo, cualquier vector en el espacio de\n“estados” debe dar una distribución valorada por el operador, un “campo” cuántico, y\nsu expansión de Fourier da cuenta de muchos operadores. De esta manera, un vector\ndebe dar considerablemente muchos operadores en el espacio de estos vectores. En los demás\npalabras, para dos vectores v, w tenemos considerablemente muchas operaciones binarias v(n)w,\nn-Z, la acción del n-ésimo operador dada por v en w. Una axiomatización\nde esta idea da una noción de álgebra operadora de vértice. (Véase [16] para más información\ndefinición. Hay una noción ligeramente más débil de un álgebra vértice. Véase [27]\npara su definición precisa y resultados conexos.) En teoría del operador de vértice\nálgebra, se considera un espacio vectorial de estados sin un producto interior y\nIncluso cuando tenemos un producto interno definido positivo, se considera que este vec-\nespacio sin completar. Aquí en comparación con las redes de factores, estamos\ninteresado en el caso en el que tenemos productos internos definitivos positivos en el\nespacios de estados. Decimos que tal álgebra operadora de vértice es unitaria.\nTanto de un álgebra (unitaria) operador de vértice y una red de factores\ndebe describir una teoría de campo conformal quiral. Así que operador vértice unitario\nálgebras y redes de factores deben estar en una correspondencia bijectiva, al menos\nbajo algunas “buenas” condiciones adicionales, pero ningún teorema general ha sido\nconocido por tal correspondencia, aunque hay un progreso reciente debido a S.\nCarpi y M. Weiner. Sin embargo, si tenemos una construcción o una idea en uno\nA menudo podemos “traducir” al otro lado, aunque puede ser altamente no-\ntrivial desde un punto de vista técnico. Fuentes fundamentales de las construcciones para\nálgebras operador de vértice son álgebras afín Kac-Moody y celosías integrales.\nLas construcciones correspondientes para redes de factores han sido realizadas por A.\nWassermann [47] y sus estudiantes, y Dong-Xu [12], respectivamente, después de la\nconstrucción inicial de Buchholz-Mack-Todorov [5]. Si tenemos ejemplos con\nalgunas propiedades agradables, a menudo podemos construir nuevos ejemplos de ellos, y\ncomo tales métodos de construcciones de álgebras operador de vértice, tenemos simples\nextensiones actuales, la construcción de coset, y la construcción de orbifold. Los\nsimples extensiones de corriente para redes de factores son simplemente productos cruzados por\nDHR-automorfismos y fácil de realizar. (Ver la siguiente sección para una noción\nde DHR-endomorfismos.) Las construcciones de coset y orbifold para redes de\nlos factores han sido estudiados en detalle por F. Xu [50, 51, 52].\nPara redes de factores, hemos introducido una nueva construcción de ejemplos\nen [28] basado en la noción de sistemas Q de Longo [36]. Otros ejemplos han sido:\nha sido construido por Xu [55] con este método. Esto se puede traducir a la\najuste de álgebras operador de vértice, como veremos en este artículo más adelante.\n3 Teoría de la representación\nUna herramienta importante para estudiar las redes de factores es una teoría de la representación. Por una\nneto de factores {A(I)}, todos los álgebras A(I) actúan en el espacio Hilbert inicial\nH desde el principio, pero también consideramos sus representaciones en otro\nHilbert espacio, es decir, una familia I} de representaciones γI : A(I) → B(K),\ndonde K es otro espacio de Hilbert, común para todos. Por lo que se refiere a I1 o I2, debemos\ntener que la restricción de ηI2 en A(I1) es igual a ηI1. La representación en\nel espacio inicial Hilbert se llama la representación de vacío y juega un papel de\nuna representación trivial. También tenemos que ocuparnos de la simetría espacial.\ngrupo cuando consideramos una representación, pero esta parte es a menudo automática\n(véase [20]), por lo que ahora lo ignoramos por simplicidad. Véase [20] para más detalles\ntratamiento. Nótese que una representación de una red de factores es una contraparte de\nun módulo sobre un álgebra de operador de vértice.\nLas nociones de irreductibilidad y una suma directa para tales representaciones son:\nfácil de formular. Las nociones no triviales son dimensiones y productos tensores.\nCada representación I} está en una correspondencia bijectiva a un cierto endo-\nmorfismo de un álgebra de operador dimensional infinito, llamado un Doblicher-\nEndomorfismo de Haag-Roberts (DHR) [13, 15], y podemos restringirlo a un solo\nfactor A(I) para un intervalo I arbitrariamente pero fijo. Entonces, A(I) (A(I)) A(I) es\nun subfactor y tenemos su índice Jones [26]. (Véanse [14, 41, 43] para información general\nteoría de los subfactores.) La raíz cuadrada de este índice Jones juega el papel de\nla dimensión de la representación [35]. En teoría cuántica algebraica del campo,\ntal dimensión fue llamada una dimensión estadística, y es análoga a\nuna dimensión cuántica en la teoría de los grupos cuánticos. Es un real positivo\nnúmeros en el intervalo [1,]. También podemos componer endomorfismos y\nesta composición da la noción correcta de productos tensores. Entonces conseguiremos un\ncategoría de tensor trenzado como en [15].\nEn teoría de representación de un operador de vértice álgebra (y también un cuántico\ngrupo), a veces sucede que tenemos sólo finitamente muchos irreductible rep-\nresentimientos. Tal finitud a menudo se llama racionalidad, posiblemente con algunos\nsuposiciones adicionales sobre alguna dimensión finita. Esto también juega un impor-\npapel en la teoría de los invariantes cuánticos en la topología de baja dimensión. En [32],\nhemos introducido una condición algebraica del operador para tal racionalidad para\nredes de factores como sigue y lo llamamos racionalidad completa. Dividimos el\ncírculo en cuatro intervalos I1, I2, I3, I4 en este orden, digamos, en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces\nla racionalidad completa es dada por la finitud del índice Jones para un subfac-\nA(I1)A(I3)A(I3)A(I2)A(I4))\n′ donde ′ significa el conmutante, juntos\ncon la propiedad dividida. Se sabe que la propiedad split se mantiene si el vacío\ncarácter,\nn=0(dimHn)q\nn, es convergente para q < 1 por [9], por lo que generalmente\nsostiene y es fácil de verificar. (Aquí H =\nn=0Hn es el eigenspace decompo-\nposición del espacio original de Hilbert para el generador positivo de la rotación\ngrupo. Así que esta propiedad de convergencia se puede verificar simplemente mirando\nel espacio Hilbert, no los álgebras de von Neumann.) En la definición original\nde completa racionalidad en [32], requerimos otra condición llamada fuerte\nAditividad, pero se demostró que era redundante por Longo-Xu [39]. Tenemos\nen [32] se demostró que esta completa racionalidad implica que tenemos un\ncategoría de tensor como categoría de representación de {A(I)}. Un tensor modular\ncategoría produce una teoría de campo cuántico topológico tridimensional. (Véase [45]\npara la teoría general de la teoría del campo cuántico topológico.) El SU(N)k-net de\nWassermann ha demostrado ser completamente racional por [49].\nAhora introducimos una noción importante de α-inducción. Para una inclusión\nde redes de factores, A(I) B(I), tenemos un procedimiento de inducción análogo\na la representación del grupo. Así que de una representación de la red más pequeña A,\nnos gustaría construir una representación de la red B más grande, pero lo que\nque realmente obtenemos no es una representación genuina de la red más grande B en\ngeneral, y es algo más débil llamado solitónico. Este procedimiento de inducción\nse llama la α-inducción y depende de una elección de trenzado, por lo que escribimos\ny. Esto fue definido por primera vez en Longo-Rehren [37] y estudiado en detalle\nen Xu [48]. Entonces Böckenhauer-Evans [1] hizo un nuevo estudio, y [2, 3]\nEste estudio se unificó con el método gráfico de Ocneanu [42]. La intersección\nde los endomorfismos irreductibles que aparecen en las imágenes de la inducción\ny -inducción da la categoría de representación verdadera de {B(I)} si A es\ncompletamente racional por [2, 32].\nEsta α-inducción abre una conexión importante y nueva con la teoría\nde invariantes modulares. Una categoría de tensores modulares produce una\nresensación de SL(2,Z) a través de su trenzado como en [44], y su dimensión\nes el número de objetos irreducibles. Así que una red completamente racional de fac-\nTors produce tal representación unitaria. (Obsérvese que nuestra representación\nde SL(2,Z) viene de la estructura de trenzado, no de la acción de este\ngrupo sobre los caracteres a través del cambio de variables 7→\na.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.\nc-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-\n, aunque en\ntodos los “buen” ejemplos conocidos, estas dos representaciones coinciden. Véase [30]\npara un debate sobre este asunto.)\nSe ha demostrado en [2] que la matriz (Zel,μ) definida por\nZ/23370/,μ = dimHom(α\n, α\nestá en el conmutante de la representación η, utilizando la gráfica de Ocneanu cal-\nculus [42]. Tal matriz Z se llama un invariante modular, y sólo tenemos\nfinitamente muchos tales Z para un dado η. Para cualquier red completamente racional {A(I)},\ncualquier extensión {B(I) {A(I)} produce tal Z. Matrices Z son ciertamente\nmucho más fácil de clasificar que las extensiones y esto es una fuente de clasificación\nteoría en la siguiente sección.\n4 Teoría de la Clasificación\nPara una red de factores, naturalmente podemos definir una carga central y está bien-\nse sabe que toman los valores discretos 1− 6/m(m+1), m = 3, 4, 5,...., por debajo de 1 y\ntodos los valores indicados en [1,]. por [17, 18]. Tenemos la red Virasoro {Virc(I)} para cada uno\ntal c y es la contraparte algebraica del operador del vértice Virasoro\nálgebra del operador con la misma c. Cualquier red de factores {A(I)} con central\nc es una extensión de la red Virasoro con la misma carga central y\nes automáticamente completamente racional si c < 1, como se muestra en [28]. Así que podemos\naplicar la teoría anterior y obtenemos la siguiente lista completa de clasificación\npara el caso c < 1 como en [28].\n1. Las redes Virasoro {Virc(I)} con c < 1.\n2. Las simples extensiones de corriente de las redes Virasoro con índice 2.\n3. Cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.\nLas representaciones unitarias de SL(2,Z) para las redes de Virasoro son el pozo-\nconocidos, y todos los invariantes modulares para estos han sido clasificados por\n[6]. Nuestro resultado muestra que cada uno de los llamados invariantes modulares tipo I en\nla lista de clasificación de [6] corresponde a una red de factores única. Ellos\nestán etiquetados con pares de diagramas de Dynkin A-D2n-E6,8 con números de Coxeter\ndiferenciándose por 1. Tres en (3) de la lista anterior se han identificado con coset\nmodelos, pero el resto no parece estar relacionado con ningún otro\nconstrucciones conocidas. Esto se construye con “extensión por sistema Q”.\nXu [55] aplicó recientemente esta construcción a muchos otros modelos de coset y\nobtener infinitamente muchos ejemplos nuevos basados en [54], llamado\nSions. La clasificación para el caso c = 1 también se ha hecho en algunos casos adicionales.\nsuposición [7, 53].\nEste teorema de clasificación también implica una clasificación de ciertos tipos de\nálgebras del operador de vértice como sigue.\nDejar V ser un (racional) álgebra operador de vértice y Wi ser su irreductible\nmódulos. Nos gustaría clasificar todos los álgebras de operador de vértice que surgen de\nponer una estructura de álgebra de operador de vértice en\ni niWi y usando el mismo\nVirasoro elemento como V, donde ni es multiplicidad y W0 = V, n0 = 1. Desde\nun punto de vista de la categoría tensor, este problema de clasificación de las ampliaciones de\nun operador de vértice álgebras es el “mismo” como el problema de clasificación de\nextensiones de una red de factores completamente racional, como se muestra en [24].\nAsí que el teorema de clasificación anterior de las redes conformales locales implica un clas-\nteorema de sificación de extensiones de los álgebras de operador de vértice Virasoro con\nc < 1 como el anterior, y obtenemos la misma lista de clasificación. Es decir, además\nel vértice Virasoro operario álgebras sí mismos, tenemos su simple cur-\nprórrogas de alquiler, y cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.\nCon la notación habitual de L(c, h) para un módulo con carga central c y\npeso conformal h de los álgebras del operador de vértice Virasoro con c < 1, el\nA continuación se enumeran cuatro casos excepcionales.\n1. L(21/22, 0)L(21/22, 8). Tiene 15 representaciones irreductibles y tiene\ndos realizaciones de coset, a partir de SU(9)2 (E8)2 y (E8)3 (E8)2 (E8)1.\n2. L(25/26, 0) L(25/26, 10). Tiene 18 representaciones irreductibles y\ntiene una realización de coset de SU(2)11 SO(5)1 SU(2)1.\n3. L(144/145, 0)L(144/145, 24)L(144/145, 78)L(144/145, 189). Lo siento.\ntiene 28 representaciones irreductibles y ninguna realización coset ha sido\nLo sé.\n4. L(154/155, 0)L(154/155, 26)L(154/155, 84)L(154/155, 203). Lo siento.\ntiene 30 representaciones irreductibles y tiene una realización coset de\nSU(2)29 (G2)1 SU(2)1.\nTenga en cuenta que no es obvio que la categoría de representación de la Virasoro\nnet Virc y la categoría de representación del operador Virasoro vértice\nálgebra L(c, 0) son isomórficos, pero siempre y cuando los dos son tensor trenzado\ncategoría y tienen las mismas matrices S y T, los argumentos en [28] trabajo,\npor lo que obtenemos el resultado de clasificación anterior para álgebras operador de vértice.\nUtilizando los resultados anteriores y más técnicas, también podemos completamente\nclasificar las teorías de campo conformal completo dentro del marco cuántico algebraico\nteoría de campo para el caso c < 1. Teorías de campo conformales completas se dan como\nciertas redes de factores en el espacio 1 + 1-dimensional Minkowski. Bajo natu...\nsimetría ral y condiciones de maximidad, aquellas con c < 1 son completamente\netiquetado con los pares de diagramas A-D-E Dynkin con la diferencia de\nsu número de Coxeter es igual a 1, como se muestra en [29]. Ahora, naturalmente, tenemos\nD2n+1, E7 como etiquetas, a diferencia del caso quiral. La principal dificultad en este sentido\ntrabajo consiste en demostrar la singularidad de la estructura para cada invariante modular\nen la lista Cappelli-Itzykson-Zuber [6]. Esto se hace a través de 2-cohomología\ndesapareciendo para ciertas categorías de tensores. en el espíritu de [25].\nAdemás, utilizando los resultados anteriores y más técnicas también podemos\nclasificar completamente las teorías de campo conformal límite para el caso c < 1.\nLas teorías de campo de la conformación de la frontera se dan como ciertas redes de factores en un 1+\n1-dimensional Minkowski semi-espacio. Bajo una condición de máxima natural,\nestos con c < 1 ahora están completamente etiquetados con los pares de A-D-E Dynkin\ndiagramas con vértices distinguidos que tienen la diferencia de su Coxeter\nnúmeros iguales a 1, como se muestra en [33] basado en una teoría general en [38]. Los\n“campos quiral” en la teoría de campo conformal de la frontera debe producir una red\nde factores en el límite (que se compacta a S1) como en el operador\nenfoque algebraico. Entonces una teoría de campo conformal de frontera general restringe\na este límite para producir una extensión no local de esta conformación quiral\nteoría de campo en la frontera.\n5 Conjetura de la luz de la luna\nLa conjetura Moonshine, formulada por Conway-Norton [8], se trata de mi-\nrelaciones entre grupos finitos simples y funciones modulares, ya que\nuna observación debida a McKay.\nHoy en día la clasificación de todos los grupos finitos simples es completa y el\nlista de clasificación contiene 26 grupos esporádicos, además de varios infinitos\nserie. El grupo más grande entre los 26 grupos esporádicos se llama el Monstruo\ngrupo y su orden es de aproximadamente 8× 1053\nPor una parte, la representación irreductible no trivial del Mon-\nster que tiene la dimensión más pequeña es 196883 dimensional. Por otro lado\nmano, la función siguiente, llamada j-función, ha sido clásicamente estudiado\nen álgebra.\nj() = q−1 + 744 + 196884q +\n21493760q2 + 864299970q3 + · · ·\nPara q = exp(2lürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürülürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürü\na.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.\nc-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-\nSL(2,Z), y esta es la única función, hasta\nel término constante, satisfaciendo esta propiedad y comenzando con q−1,\nMcKay notó 196884 = 196883 + 1, y relaciones simples similares para\notros coeficientes de la función j y dimensiones de represen irreductible\nlas taciones del grupo Monster resultaron ser ciertas. Luego Conway-Norton\n[8] formuló la conjetura Moonshine aproximadamente como sigue, que ha sido\nahora probado por Borcherds [4] en 1992.\n1. Tenemos un \"natural\" infinito dimensional grado vector espacio V =\nVn con alguna estructura algebraica que tiene una acción de Monster pre-\nservir a la clasificación y cada Vn es dimensional finita.\n2. Para cualquier elemento g en el monstruo, la serie de potencia\nn=0(Tr gVn)q\nes una función especial llamada Hauptmodul para algún subgrupo discreto\nde SL(2,R). Cuando g es el elemento de identidad, la serie es la función j\nmenos el término constante 744.\nPor la parte (1) de esta conjetura, Frenkel-Lepowsky-Meurman [16] dio\nuna definición precisa de “alguna estructura algebraica” como un álgebra operador vértice\ny construyó un ejemplo particular V, que ahora se llama la luz de la luna\nálgebras del operador del vértice y denotado por V ».\nLa construcción es aproximadamente la siguiente. En la dimensión 24, tenemos un\ncelosía excepcional llamada la celosía de sanguijuela. Entonces hay una estafa general...\nestructuración de un álgebra operador de vértice de una cierta celosía, y el uno para\nla celosía de sanguijuela da algo muy cerca de nuestro objeto final V. Entonces nosotros\ntomar un punto fijo álgebra bajo una acción natural de Z/2Z que surge de la\nsimetría de celosía, y luego hacer una simple extensión de corriente de orden 2. Los\nálgebra de operador de vértice resultante es el álgebra de operador de vértice Moonshine\nV â € TM. (El paso final se llama construcción retorcida o bifold). La serie\nn=0(dimV\nn−1 es de hecho la función j menos el término constante 744.\nMiyamoto [40] tiene una nueva realización de V ® como una extensión de un tensor\npotencia del álgebra del operador de vértice de Virasoro con c = 1/2, L(1/2, 0)48\n(basado en Dong-Mason-Zhu [11]. Este tipo de extensión de un tensor Virasoro\nla energía se llama álgebra de operador de vértice enmarcada como en [10].\nHemos dado un operador homólogo algebraico de tal construcción\nen [31].\nRealizamos una red de celosía de sanguijuela de factores en S1 como una extensión de Vir1/2\nusando cierto código Z4. Entonces podemos realizar la construcción retorcida o bifold\nen el sentido algebraico del operador para obtener una red de factores, la red Moonshine\n¡Aaaaaaaaaa! La teoría de la α-inducción se utiliza para obtener varias descomposicións. Nosotros\nluego obtener una descripción tipo Miyamoto de esta construcción, como un operador\nhomólogo algebraico del operador de vértice enmarcado álgebras. Entonces tenemos\nlas siguientes propiedades.\n1. c = 24.\n2. La teoría de la representación es trivial.\n3. El grupo del automorfismo es el Monstruo.\n4. La propiedad Hauptmodul (como anteriormente).\nEl esquema de la prueba de estas cuatro propiedades es el siguiente.\nEs inmediato obtener c = 24. Podemos mostrar pases de completa racionalidad.\na una extensión (y un orbifold) en general con control sobre el tamaño de la\ncategoría de representación, utilizando el índice Jones. Con esto, obtenemos (2) muy\nCon facilidad. Tal red se llama holomórfica. La propiedad (3) es la más difícil\nparte. Para el Virasoro VOA L(1/2, 0), el operador de vértice es de hecho un bien-\nEl campo Wightman y los campos manchados producen la red Virasoro Vir1/2.\nUsando esta propiedad y el hecho de que\ng g(L(1/2, 0)\n48) para todos los g de Aut(V)\ngenerar toda la luz de luna VOA V, podemos probar que el automorfismo\ngrupo como un álgebra operador de vértice y el grupo de automorfismo como una red\nDe hecho, los factores son los mismos. Entonces (4) es ahora un corolario trivial de la\nBorcherds teorema [4].\nObservamos que el monstruo bebé, el segundo más grande entre los 26 esporádicos\ngrupos finitos simples, se puede tratar de manera similar con la construcción de Höhn de la\nálgebra de operador de super vértice Moonshine más corta.\nSin embargo, estos ejemplos se tratan con varios trucos caso por caso. Nosotros\nespera una correspondencia bijetiva entre álgebras operadoras de vértice y redes\nde factores en S1 en algunas buenas condiciones. En el lado del operador de vértice\nálgebras, el candidato más natural para tal condición “agradable” es el C2-\ncondición de finitud de Zhu [56] (con unidad). En el operador algebraico\nlado, nuestra completa racionalidad en [32] parece ser una condición “buena”, pero\nlas relaciones reales entre las dos nociones no están claras en este momento.\nLa condición esencial para la racionalidad completa es la finitud de los Jones\níndice que surge de cuatro intervalos en el círculo, y esta finitud de alguna manera\ntiene similitud formal con la finitud que aparece en la definición de la C2-\nfinitud.\nAl final, enumeramos algunos problemas abiertos. El enfoque algebraico del operador\ntiene una ventaja en el control de la teoría de la representación, pero está detrás de la teoría\nde álgebras operador de vértice en la teoría de los caracteres.\nPara una red de factores, podemos naturalmente definir una noción de un carácter para\ncada representación. Pero incluso la convergencia de estos personajes no ha sido\nen general, y la propiedad de la invarianza modular, la contrapartida de\nEl resultado de Zhu [56], es desconocido, aunque ciertamente esperamos que sea cierto. Nosotros\ntambién se espera que la identidad Verlinde se mantiene, lo que se ha demostrado en el contexto\nde álgebras de operador de vértice recientemente por Huang [23]. Necesitaríamos un S-\nmatriz del teorema spin-statistics [21] para redes de factores.\nBibliografía\n[1] J. Böckenhauer, D. E. Evans, invariantes modulares, gráficos y α-\ninducción para redes de subfactores I, Commun. Matemáticas. Phys. 197 (1998)\n361–386. II 200 (1999) 57-103. III 205 (1999) 183–228.\n[2] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. Kawahigashi, Sobre la inducción alfa, quiral\nproyectores e invariantes modulares para subfactores, Commun. Matemáticas. Phys.\n208 (1999) 429–487.\n[3] J. Böckenhauer, D. E. Evans, Y. 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Los\nanálisis proporciona resultados sobre el rendimiento de la decodificación de máxima probabilidad para la escasa\nla difusión de códigos en el gran límite del sistema. Presentamos resultados para ambos casos de\ny matrices de propagación irregular para el aditivo binario blanco canal de ruido gaussiano\n(BIAWGN) con una comparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.\nNúmeros PACS: 64.60.Cn, 75.10.Nr, 84.40.Ua, 89.70.+c\nNúmeros del esquema de clasificación AMS: 68P30,82B44,94A12,94A14\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0098v5\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 2\n1. Antecedentes\nEl área de las comunicaciones multiusuario es de gran interés tanto teórico como\nperspectivas de ingeniería [1]. El acceso múltiple de la división de código (CDMA) es un particular\nmétodo para permitir que múltiples usuarios accedan a los recursos de canal en un entorno eficiente y robusto\ny desempeña un papel importante en las actuales normas preferidas para la asignación de\nrecursos de canales en comunicaciones inalámbricas. CDMA utiliza recursos de canal altamente\npermitiendo a muchos usuarios transmitir en gran parte del ancho de banda simultáneamente,\ncada transmisión está codificada con un código de firma específico del usuario. Desentrañando el\ninformación en el canal es posible mediante el uso de las propiedades de estos códigos y gran parte de\nla investigación de CDMA se centra en el desarrollo de códigos y métodos de decodificación eficientes.\nEn este trabajo se estudia una variante del método original, CDMA escasa, donde la\nmatriz de propagación contiene sólo un número relativamente pequeño de elementos distintos de cero como fue\noriginalmente estudiado y motivado en [2]. Mientras que la aplicación directa de la escasa\nLas técnicas CDMA para enlazar la comunicación de acceso múltiple son bastante limitadas, como lo es\ndifícil de sincronizar las escasas transmisiones de los distintos usuarios, el método puede ser\nmuy útil para la frecuencia y el salto del tiempo. En la división de código de frecuencia de salto múltiple\nacceso (FH-CDMA), uno cambia repetidamente frecuencias durante la transmisión de radio, a menudo\nreducir al mínimo la eficacia de la interceptación o interferencia de las telecomunicaciones. En\ncualquier paso dado del tiempo, cada usuario ocupa un pequeño (finito) número de la (infinito) M-ary\n(con la ganancia G, el número total de chip-\nlos pares de frecuencia es MG.) Los lúpulos entre las frecuencias disponibles pueden ser aleatorios o\npreplanificado y se produce después de la transmisión de datos en una banda de frecuencias estrechas. In\ntiempo (TH-)CDMA, una secuencia pseudo-ruido define el momento de transmisión para\nlos diversos usuarios, que pueden ser vistos como CDMA escaso cuando se utiliza en una banda ultraancha\nsistema de comunicación por impulso. En este caso las escasas secuencias de salto de tiempo reducen\ncolisiones entre transmisiones.\nEste estudio sigue el trabajo seminal de Tanaka [3], y otras extensiones recientes [4],\nen la utilización del análisis de réplicas para CDMA de distribución aleatoria con entradas discretas, que\nestableció muchas de las propiedades de CDMA aleatorias densamente difundidas con respecto a\nvarios detectores diferentes incluyendo Máximo A Posterori (MAP), Postero Marginal\nMaximizador (MPM) y mínimo promedio de error cuadrado (MMSE). CMDA escasamente difundida\nse diferencia de la CDMA convencional, basada en secuencias de propagación densa, en que cualquier\nusuario sólo transmite a un pequeño número de chips (en comparación con la transmisión en todos los chips\nen el caso de la CDMA densa). La escasa naturaleza de este modelo facilita el uso de métodos\nde la física estadística de los sistemas desordenados diluidos [5, 6] para el estudio de las propiedades de\ncasos típicos.\nLa viabilidad de la escasa CDMA para la transmisión de información fue recientemente\nse demuestra [2] para el caso de los símbolos de entrada reales (distribuidos por Gaussian) mediante el empleo de un\nAproximación media efectiva de Gaussian; varios resultados han sido reportados para el caso de\npatrones de transmisión aleatoria. En un estudio reciente separado, basado en la propagación de creencias\ninferencia algoritmo y una entrada binaria de distribución previa, escasa CDMA también ha sido\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 3\nconsiderada como una vía para demostrar los resultados de la CDMA densamente difundida [7]. Además, este\nestudio demostró la existencia de un fenómeno de cascada comparable al código denso\npara un subconjunto de conjuntos. El fenómeno de cascada se observa en técnicas de decodificación,\ndonde hay una transición dinámica entre dos soluciones estadísticamente distintas como la\nEl parámetro ruido es variado. Por último, tomamos nota de una serie de estudios pertinentes relativos a la\nla eficacia de la propagación de creencias como método de decodificación del MPM [8, 9, 10, 11], y en\ncombinar métodos de codificación escasa (LDPC) con CDMA [12]. Muchos de estos documentos\nSin embargo, considerar el régimen de dilución extrema - en el que el número de contribuciones de chips\nes grande pero no O(N).\nLa labor teórica relativa a la escasa difusión de la CDMA seguía careciendo de\nrespetos. Como se señaló en [2], la difusión de códigos con Poisson distribuido número de no-\nelementos cero, por chip y entre los usuarios, están fallando sistemáticamente en que cada usuario\ntiene alguna probabilidad de no contribuir a ningún chip (no transmitir información).\nIncluso en el código “parcialmente regular” [7] conjunto (donde cada usuario transmite en el mismo\nnúmero de chips) algunos chips no tienen contribuyentes debido a la distribución de Poisson en\nconectividad de chip, por lo tanto, el ancho de banda no se utiliza eficazmente. Eludimos.\nEste problema se debe a la introducción de limitaciones para impedirlo, a saber, la firma regular\ncódigos restringidos de tal manera que tanto el número de usuarios por chip y chips por usuario toman\nvalores enteros fijos. Además presentamos análisis analíticos y numéricos sin\nrecurrir a aproximaciones gaussianas de cualquier cantidad. Uso de nuevas herramientas de estadística\nmecánica somos capaces de arrojar mayor luz sobre la naturaleza de la transmisión binaria previa\nproceso. En particular, la naturaleza del espacio de decodificación del estado y el rendimiento relativo de la escasa\nensambles versus densos a través de una gama de niveles de ruido; y lo que es más importante, la pregunta\nde cómo la coexistencia de las soluciones encontradas por Tanaka [3] se extiende a los conjuntos escasos,\nespecialmente cerca de los puntos de transición determinados para el conjunto denso.\nEn este artículo demostramos la superioridad del código CDMA regular escasamente difundido\nsobre códigos densamente extendidos en ciertos aspectos, por ejemplo, la tasa de error de bits prevista\nla decodificación mejora en el régimen de ruido elevado y la coexistencia de la solución\nEl comportamiento es menos generalizado. Además, para utilizar la propagación de creencias para tal conjunto\nes seguro que será significativamente más rápido y menos computacionalmente exigente [13], esto también ha\nimplicaciones de consumo de energía que pueden ser importantes en algunas aplicaciones. Otros\ncuestiones prácticas de aplicación, siendo la más básica la no sincronización y el poder\ncontrol, requiere un estudio detallado y puede hacer que aprovechar plenamente estas ventajas más\ncomplejo y dependiente de la aplicación.\nEl documento está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 introduciremos el marco general\ny notación utilizada, mientras que la metodología utilizada para los diversos códigos se presentará en\nsección 3. Los principales resultados de los diversos códigos se presentarán en la sección 4 siguiente\npor las observaciones finales que figuran en la sección 5.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 4\ni b • j d\n1o de enero de 2002\n...........................................................................................................................................................\nyb yc yd yN\nGráfico 1 Un gráfico bipartito es útil para realizar visualmente un problema. Un nodo de usuario i en\nla parte inferior interactúa con otras variables a través de su conjunto de nodos de factor vecinos (\na la que se conecta. Los nodos de factor se determinan a través de un vecindario similar.\nLa interacción en cada factor (μ) está condicionada a factores de ganancia vecinos (la\ncomponentes no cero de s), y yμ (que es una función implícita del ruido, y\nbits de entrada vecinos bμ y factores de ganancia ), asumiendo un uniforme anterior en los bits.\nEl problema de reconstrucción de la mecánica estadística asocia variables dinámicas\nnodos de usuario que interactúan a través de los factores. El estado de equilibrio termodinámico de\nEste sistema describe el rendimiento teórico de los detectores óptimos.\n2. El modelo\nConsideramos un modelo estándar de CDMA consistente en usuarios K transmitiendo en un bit\nintervalo de chips N. Asumimos un modelo con perfecto control de potencia y sincronización,\ny considerar sólo el intervalo de un bit. En nuestro caso la señal recibida y es descrita por\n[skbk] + فارسى, (1)\ndonde los componentes del vector describen los valores para chips distintos: sk es la propagación\ncódigo para el usuario k, bk = ±1 es el bit enviado por el usuario k (símbolos de entrada binarios) y el ruido\nvector. La normalización adecuada de la potencia es a través de la definición de la firma\nmatriz (s). Es posible incluir una variación de amplitud específica del usuario o del chip, que puede\nser debido a la desaparición o el control imperfecto del poder. Consideramos un modelo sin estos efectos.\nLos códigos de propagación son escasos de modo que en la expectativa sólo C de los elementos en vector sk\nno son cero. Si, con el conocimiento de la matriz de firma en uso, asumimos que la señal tiene\nha sido objeto de ruido de canal gaussiano blanco aditivo de varianza \n0 es la\nvarianza del verdadero ruido del canal 2, podemos escribir el posterior para los bits transmitidos\n(desconocidos dada la instancia particular) usando el teorema de Bayes\nP ( y) =\n[sμk(bk − k)] + \nP ( ), (2)\ny a partir de esto definir tasa de error de bits, información mutua, y otras cantidades. Los\nMecánica estadística enfoque de aquí es definir un Hamiltoniano y la partición\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 5\nfunción a partir de la cual las diversas estadísticas relativas a esta distribución de probabilidad pueden\ndeterminar - y por lo tanto todas las medidas habituales de la teoría de la información. Una opción adecuada\npara el Hamiltoniano es\nH( ) =\n[sμk(bk − k)] + \nhklok. 3)\nAquí podemos identificar a las variables dinámicas en el problema de la inferencia (dependencia).\nse muestra explícitamente). Las otras variables apagadas (parámetros), describiendo la instancia de\nel trastorno, son la matriz de la firma (s), el ruido () y las entradas (b). Las variables\nhk describir nuestras creencias previas sobre las entradas (el sesgo específico del usuario), y podemos asumir\nalguna distribución simple para esto, como todos los usuarios que tienen el mismo sesgo hk = H. Máximo\ntransmisión de velocidad corresponde a bits no sesgados H = 0, y esto se considera a lo largo de\nel periódico. Las propiedades de tal sistema pueden reflejarse en un gráfico de factor (Tanner),\nun gráfico bipartito en el que los usuarios y los chips están representados por nodos (véase la figura 1).\nEl cálculo que realizamos es específico para el caso del límite termodinámico en\nque se fija el número de chips N → • mientras que la carga α = K/N. Tenga en cuenta que α es\nllamado β en muchos documentos CDMA, aquí reservamos β para significar la \"temperatura inversa\"\nen un sentido de mecánica estadística (que define nuestra creencia previa para el nivel de ruido y dar\nsubir al correspondiente detector MAP.)\nEn todos los conjuntos podemos identificar el parámetro L como el número medio de contribuciones\na cada chip, y C como el número medio de contribuciones por usuario. Como tal, lo siguiente:\ntambién mantiene\n. 4)\nEl caso en el que α es mayor que 1 se llamará sobresaturado, ya que más de uno\nbit se transmite por chip.\nLos cálculos presentados a partir de ahora son específicos para el caso del ruido sin memoria,\nextraídos de una distribución única de la media cero y la media cuadrada 20\n* () = P ( ). 5)\nDefinir códigos normalizados de propagación de forma que:\nsk.sk = N, podemos identificar el “poder\nDensidad espectral” (PSD) a lo largo de un intervalo de virutas como medida del ruido del sistema 1/(2\nel factor dos está relacionado con consideraciones físicas en la implementación del modelo.\n2.1. Conjuntos de código\nConsideramos varios conjuntos de código que llamamos irregulares, en parte regulares y regulares, que\ndifieren en las limitaciones impuestas al factor y al grado variable de las restricciones de la firma\nmatriz s. La distribución de probabilidad\nP (s) = N\n(sμk 6= 0)− L\nP (L)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 6\n(sμk 6= 0)− C\nP (C)\nP (sμk), (6)\ndonde N es una constante de normalización, P (L) es la distribución de probabilidad de grado factorial de\npromedio L, P (C) es la distribución de probabilidad de grado variable de la media C, y P (sμk) es la\ndistribución de probabilidad marginal que es común a todos los conjuntos\nP (sμk) =\n(sμk) +\n*(sμk − •). 7)..................................................................................................................................................\nLa forma de (6) es entonces suficiente para las distribuciones escasas que consideramos en el sistema grande\nlimitar, y hace explícitas las propiedades de conectividad del chip y del usuario de los conjuntos. Los\nfactor de ganancia, se extrae al azar de una sola distribución con la medida cero en = 0,\ny momentos finitos, en cualquier caso de un código\n(+) = P (sμk = sμk 6= 0). (8)\nA diferencia del caso denso, los detalles de esta distribución producirán resultados, pero sólo en un pequeño\nforma de tomar decisiones razonables [2]. Aquí investigamos el caso de la tecla de cambio de fase binaria\n(BPSK) que corresponde a una distribución uniforme en\n}, aunque el análisis\nlos resultados presentados son aplicables a cualquier distribución del cuadrado medio = 1/L. Tenga en cuenta que\ntrastorno en los factores de ganancia no es una necesidad, el caso • = 1/\nL también permite la decodificación en\nConjuntos escasos.\nEl caso en el que P (Lu) y P (Cu) se distribuyen Poissonian identifica la irregularidad\nconjunto - donde las conexiones entre chips y usuarios se distribuyen de forma independiente.\nLa segunda distribución llamada en parte regular tiene P (C\nconectividad es de nuevo Poisson distribuido con media L, pero cada usuario contribuye a exactamente\nPatatas C. Esto evita el fracaso sistemático inherente al conjunto irregular ya que\nallí un gran número de usuarios no transmiten en ningún chip. Si además de\nla restricción antes mencionada todos los chips reciben exactamente L contribuciones, P (L\nel conjunto se llama regular. La conectividad regular del chip entre otras cosas impide\nla ineficiencia sistemática debido a la falta de acceso de algunos chips por parte de cualquiera de los usuarios.\nEl caso de las distribuciones poissonianas es aquel en el que no hay control global. In\nmuchas aplicaciones de ingeniería que limitan a los usuarios individualmente (no Poissonian P (C\npráctica, mientras que la coordinación entre los usuarios (no Poissonian P (Lū)) es difícil. Los\nlos aspectos prácticos de la aplicación de los diferentes conjuntos que consideramos específicos de la aplicación:\nlas ventajas inherentes a la distribución más equitativa de los recursos de los canales entre los usuarios pueden\nse pierdan a causa de problemas prácticos de implentación.\n3. Metodología\n3.1. Eficiencia espectral Acoplamiento inferior\nLa inferioridad de los códigos con conectividad de usuario Poissonian se ha señalado previamente\n(por ejemplo, en [2]), sobre la base del entendimiento de que los códigos que dejan a una parte de los usuarios\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 7\ndesconectado no puede ser óptimo. Analógicamente argumentamos que los códigos con chip irregular\nconectividad también debe ser inferior en que dejan una fracción de los chips (ancho de banda)\nno se utiliza, lo que constituye una motivación para considerar códigos plenamente regulares.\nEn esta sección mostramos un caso particular en el que se esperan los códigos regulares\npara superar cualquier otro conjunto mediante el análisis de la cantidad de información que puede ser\nextraído en los bits enviados por consideración de sólo un chip en aislamiento de los otros chips.\nEsto corresponde a un detector que reconstruye bits basados sólo en el valor de un solo chip,\ny es independiente de la conectividad del usuario.\nLa eficiencia espectral se define como la información mutua entre el\nseñal y piezas reconstruidas por chip. Al considerar sólo un chip (μ) tenemos\nI( ; yμ) =\nP ( yμ)\nP ( )\nP0(,yμ)\n, (9)\ndonde el subíndice cero indica que el verdadero (generativo), en lugar del modelo (2),\ndistribución de probabilidad. Para la brevedad consideramos el caso más simple que el generativo\ny las distribuciones de probabilidad del modelo son las mismas con bits imparciales y un ruido gaussiano\ndistribución, en cuyo caso, después de algún reordenamiento\nI( ; yμ) = L\nexp(−Hμ( μ))\n μ exp(−Hμ( μ))\nP0( μ,yμ)\n, (10)\ndonde los bits conectados a los chips μ y el chip Hamiltonian es\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n, (11)\netiquetado de cada componente interactuante (no cero) en el chip por i, siendo L贸 el chip\nconectividad.\nTrabajando a partir de esta descripción queremos comparar el rendimiento de los conjuntos\ncon diferentes conexiones de chip. Para hacer esto consideramos el conjunto medio mutuo\ninformación promediando la información mutua sobre las connectividades (L), los factores de carga,\ny los bits transmitidos. Este promedio es complicado, sin embargo es posible calcular el\nlos términos dominantes en los límites bajos y altos de la PSD.\nEn el caso de bajo ruido (PSD → فارسى) encontramos los términos asintóticamente dominantes\nvienen primero del numerador\n•log2 exp−H(• μ) •\n/ log(2) =\n2 log(2)\n, (12)\nque es un promedio sobre la energía del estado del suelo, y también el logaritmo del denominador\nque es\nexp−H( μ)\n(bi) (bi) (i)\n, (13)\ndonde yμ se ha descompuesto en sus partes de bit ({bi}) y ruido (), y los promedios son:\nahora sobre los conjuntos, así como yμ. La primera parte de (13) aporta una contribución energética\ncancelación (12). Llamamos a la parte restante el promedio sobre la entropía del chip, por\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 8\ncomparación con (10) esto determina la cantidad de información perdida en la decodificación. Los\ntérmino de la entropía del chip contiene una función indicadora contando los estados del suelo - el promedio\nla entropía de los chips es cero cuando la única solución es μ = bμ. Sin embargo, para el caso de BPSK\npuede haber alguna degeneración en los estados de base con dos términos en la suma que no es cero\npero cancelándose el uno al otro. Esta degeneración depende de la distribución P (L\npara L dado. Average sobre los factores de carga y los bits transmitidos encontramos que en el cero\nlímite de ruido\nI(, yμ)\n(bi) (bi) (i)\nP (L)\n, (14)\nmin(p,Lp)\nL p\nP (L)\n. (15)\nPor evaluación numérica de esta función (ver resultados sección 4.2) encontramos que el óptimo\nconjunto es de hecho el conjunto regular. Esto se debe a la entropía de chip, cuando se promedia sobre\nfactores de carga y bits es una función cóncava en L\ncuando P (L\n. Esta dependencia de Lū puede ser una peculiaridad del detector considerado,\npero muchos otros aspectos del cálculo pueden generalizarse para dar un resultado similar.\nEs posible considerar el límite opuesto Encontramos que\nlos cuatro órdenes principales en 1/0 eran idénticos para todos los conjuntos de código del mismo chip medio\nconectividad. Anticiparíamos el comportamiento de la PSD no extrema para caer en alguna parte\nentre estos dos regímenes y, por lo tanto, para que el conjunto regular chip sea al menos tan bueno como\nlos conjuntos irregulares de chip.\nObservamos aquí que otra razón para considerar el código regular óptimo entre\npocos códigos aleatorios es considerar el término de campo cuando el Hamiltoniano (11) está escrito\nen forma canónica con un conjunto de acoplamientos ({Jójij) y campos externos específicos del usuario ({hi}).\nEn esta representación el conjunto de campos externos están en la expectativa alineados con el enviado\nsecuencia de bits, pero sujeto a fluctuaciones para cada instancia de código. La diferencia de estos factores\npuede demostrarse que las fluctuaciones son proporcionales al exceso de conectividad del chip sobre el\nconectividad verdadera del chip [14], que entre todos los conjuntos es minimizada por el chip regular\nEnsamblaje. La interferencia multiusuario es mayor en códigos irregulares y, por lo tanto, en información\nla recuperación es más débil como se predice en esta sección.†\n3.2. Esquema del método de réplica\nDeterminamos las propiedades estáticas de nuestro modelo definidas en la sección 2, incluyendo correlaciones\nDebido a la estructura de interacción completa, utilizamos el método de réplica. De la expresión de\nel Hamiltoniano (3) podemos identificar una función de energía libre y partición como:\nf = − 1\nlnZ Z = exp (H( ).\n† Este argumento se añade desde la versión publicada.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 9\nPara progresar hacemos uso de las propiedades de auto-aprovechamiento previstas del sistema.\nLa suposición es que en el sistema grande limitar cualquier dos instancias seleccionadas al azar\ntendrá, con alta probabilidad, propiedades estadísticas indistinguibles. Esta suposición\ntiene una base firme en varios problemas relacionados [15], y además es intuitivo después de\nUn poco de reflexión. Si esta suposición es verdadera, entonces los estatistas de cualquier instancia en particular pueden\nser descrito completamente por la energía libre promediada en todos los casos del trastorno. Nosotros\npor lo tanto, están interesados en la cantidad\nF = F = − lim\nlnZI, (16)\ndonde los corchetes en ángulo representan las medias ponderadas sobre I (las instancias). Los\nla densidad de entropía puede calcularse a partir de la densidad de energía libre mediante el uso de la relación\ns = β(e− f), (17)\ndonde e es la densidad de energía.\nPara determinar la energía libre debemos promedio sobre el desorden en (16), que es un difícil\nproblema, excepto en casos especiales. Esta es la razón por la que hacemos uso de la identidad de réplica\nlnZI = lim\n\"Zn'I\". (18)\nPodemos modelar el sistema ahora como uno de réplicas que interactúan, donde Zn está descompuesto como un\nproducto de un número entero de funciones de partición con condicionalmente independiente (dado\nla instancia del trastorno) variables dinámicas. La discreción de las réplicas es esencial\nen la primera parte del cálculo, pero se requiere una continuación de los números reales\nen la toma de n → 0+ – esta es una suposición notoria, que las matemáticas rigurosas no pueden\nSin embargo, justificar el caso general, a pesar de los progresos realizados en los últimos años [16, 17, 18].\nSin embargo, asumiremos la validez y ya que la metodología para las estructuras escasas es\nbien establecidos [19, 20, 15] omitimos nuestros detalles particulares. La forma funcional final para\nla energía libre se determina de\n# Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # # # Zn # # # # # # Z n # # # # # Zn # # # # Zn # # # # Z n # # # # # Z n # # # # # # # # Z n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \ndP (b)dP(b)\nexp{lnN +N(G1(n) +G2(n) +G3(n))} ; (19a)\nG1(n) = ln\n2α/2\nP (b)\n(b− )\nP (L)\n; (19b)\nG2(n) =\nP (b)(b)(f)(f)(c)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(c)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)()(f)()(f)()(f)(c)()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()()()())()))))()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()())()()()()))()()())))()()()()()))()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\nG3(n) = α ln\n(−L)C\n(b, )\nP (C)\nP0(b)\n; (19d)\ndonde N es una constante debido a la normalización de los conjuntos (6). Esta expresión puede ser\nevaluado en el punto de silla de montar para dar una expresión para la energía libre. En el término (19d)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 10\nse contabilizan los casos en que la distribución de probabilidad marginalizada P0(b) y\nLa distribución de probabilidad marginal supuesta (descrita por H) es asimétrica. En el caso\nde la tasa máxima que vamos a considerar, el promedio b es trivial y H = 0. Suministrado\nque además la distribución del factor de ganancia es simétrica entonces es posible eliminar\nla dependencia b en los parámetros de orden, ya que la simetría P (b,) = P (−b,) y\nLa energía libre deja invariante a la energía libre.\n3.3. Ecuaciones simétricas réplica\nLa forma concisa para nuestras ecuaciones se logra usando la suposición de réplica de simetría\n(RS). Esto equivale a la suposición de que las correlaciones entre réplicas son todas\nidéntico, y determinado por una distribución compartida única. La validez de esta suposición\npuede ser autoensayado consistentemente (sección 3.5). Esta hipótesis difiere de la utilizada\npor Yoshida y Tanaka [2] donde las correlaciones son descritas por sólo un puñado de\nparámetros en lugar de una distribución una vez que se asume RS - este enfoque puede, por lo tanto\nfalta algo de la estructura detallada, aunque es más fácil de manejar numéricamente. La orden\nparámetro en nuestro caso es dado por\nP (b, ) =\ndη(x)\n(1 + bx)\n; (20a)\n(b, ) = qâ °\nd(x)\n(1 + bx) ; (20b)\ndonde q es una constante de normalización variacional y γ, son distribuciones normalizadas en\nel intervalo [−1, 1]. A partir de aquí podemos considerar el caso en el que las variables de bits\nLos factores de ganancia y ganancia se miden a b ( > b → • • • • • b → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nUtilizando el método de Laplace, esto da la siguiente expresión para la (RS) energía libre\nen el punto de silla de montar\nFRS = −\nExtrη,bη\nG1,RS(L)(n) + G2,RS(n) + G3,RS(C)(n)\ndonde\nG1,RS(n)\n= − Ln 2\n[dl(xl)]\nln Trl=±1L\n* (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) () (l) () (l) () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()\nP (L)\n; (22a)\nχL(*;,, {x}) = exp\n(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)\n(1 + Łlxl) ; (22b)\nG2,RS(n) = − L\ndη(xc)d(xÃ3c) ln(1 + xxÃ3c) ; (22c)\nG3,RS(n) = α\n[d(xÃ3c)] ln\n(1 + x+c) +\n(1 a x + c)\nP (C)\n. (22d)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 11\ny se ha introducido el valor del punto de sillín para (= L). Los promedios son superiores a los de L° y C°\nencapsular las diferencias entre los conjuntos.\nEcuación (22b) describe la interacción en un solo chip en el gráfico de factores (figura 1)\nde conectividad L. Los factores de ganancia y reconstruidos son el parámetro â € € TM y la variable â € € TM\nbits respectivamente, ambos medidos en el bit transmitido, mientras que • es la instancia del chip\nruido.\nLas distribuciones variacionales del orden, son elegidas para extremizar (21). El yo\nLas ecuaciones consistentes alcanzadas por el método del punto de sillín son:\n(x) =\n[dl(xl)]\nTrl=±1}\nTrl=±1} L\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nP (L)\n(23a)\n{L} = exp = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\n(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)\n(1 + Łlxl) (23b)\nη(x) =\n[d(xc)]\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c) +\nc=1(1− x+c)\nP (C)\n. (23 c)\nLas variables P (Lū) y P (Cū) son aquí las distribuciones excesivas de los grados de la\nconjunto (6). Para conjuntos con restricciones regulares el chip y los excesos del usuario son L − 1\ny C − 1 respectivamente. Para las distribuciones de Poissonian la distribución de exceso de grado es la\ndistribución completa de los títulos.\nAparte de la entropía, las demás cantidades de interés podrán determinarse a partir del\ndistribución de probabilidad para el solapamiento de variables reconstruidas y enviadas mk = k,\nP (m) = lim\n*Mk,m*\n, (24)\n[d(xc)]\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c)+\nc=1(1− x+c)\nP (C)\n. (25)\nFinalmente observamos que expresiones equivalentes a estas encontradas con la suposición de RS\npuede obtenerse utilizando el método de cavidad [6] con la asunción de un único estado puro.\nEste enfoque es probabilístico y por lo tanto más intuitivo en algunos niveles.\n3.4. Dinámica de la población\nEl análisis de estas ecuaciones está limitado principalmente por la naturaleza de las ecuaciones (23a-\n23c). No hay soluciones exactas aparentes, y los regímenes perturbadores sobre el ferromagnético\nsolución (que es sólo una solución para el ruido cero) son difíciles de manejar. En consecuencia\nUtilizamos dinámica de población [21] – representando las distribuciones (x), (x)} por finito\npoblaciones (histogramas) e iterar esta distribución hasta la convergencia. Se espera,\ny observó, que cada histograma captura suficiente detalle para describir el continuo\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 12\nfunción y la dinámica (descrita a continuación) permiten la convergencia hacia una verdadera solución\ndistribución con sólo pequeñas correcciones debido a los efectos de tamaño finito.\nResolver las ecuaciones (23a,23c) con histogramas finitos de dinámica poblacional\nse utilizan magnetizaciones de cavidades no dirigidas M. Histogramas aproximándose\ncada función se forma\nη(x) → W = {x1,. .., xi,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nη(xá) → = {xá1,. ................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ncon M lo suficientemente grande como para proporcionar una buena resolución en las medidas de rendimiento deseadas.\nLa dinámica de minimización discreta de los histogramas se deriva de (23a-23c).\nLas actualizaciones del histograma se realizan alternativamente, con toda la magnetización en el histograma\nque se actualicen secuencialmente. En la actualización del campo xa los parámetros apagados {L.,..................................................................................................................\nse muestrean, siendo Ls el grado de exceso de chip, y las magnetizaciones de Ls se eligen al azar\ndesde W, definiendo hasta (23a) la actualización\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nTrl = ± 1 {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L}\nTrl=±1} L\n. (28)\nLa actualización del otro histograma sigue la dinámica en la que se muestra C\nel exceso de grado del usuario, junto con las magnetizaciones seleccionadas al azar de C\na través de (23c) la actualización\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c) +\nc=1(1− x+c)\n. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nExiste una fuerte analogía entre el algoritmo de dinámica poblacional y el de\nmensaje pasando en una instancia particular del gráfico. La iteración de los histogramas\nimplícito en (28-29) es análogo a la propagación de una población de magnetizaciones de cavidades\nentre los nodos del factor (a) y del usuario (i), que pueden escribirse como ecuaciones autosistentes:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nTrl=±1i exp\nlari\n(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)\nlari\n(1 + Łlxl→a) ; (30a)\nxi→a =\nCira\n(1 + x+c→i)−\nCira\n(1 - x-c→i)\n; (30b)\ndonde Nx,x® son las normalizaciones relevantes, y la abreviatura ♥y indica el conjunto\nde nodos conectados a y. En la dinámica de la población, la noción de un gráfico en particular\ncon bordes etiquetados está ausente sin embargo, y la única distribución de los dos tipos\nde magnetizaciones son relevantes.\n3.5. Análisis de estabilidad\nPara probar la estabilidad de las soluciones obtenidas consideramos tanto la aparición de\nEntropía no negativa, y un parámetro de estabilidad definido a través de una consideración de la\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 13\nfluctuación disipación teorema. El primer criterio para que la entropía no sea negativa es\n, basado en el hecho de que las soluciones físicamente viables en sistemas discretos deben tener no-\nEntropía negativa para que cualquier solución encontrada que no cumpla estos criterios se base en\nmalas premisas; réplica de simetría es una fuente probable.\nEl parámetro de estabilidad se define en relación con el método de la cavidad para el giro\ngafas [22] y prueba la estabilidad local de las soluciones. Es equivalente a la prueba de la local\nestabilidad de las ecuaciones de propagación de creencias como se propone en [23]. Una condición necesaria para\nla estabilidad de la solución de RS es que la sensibilidad correspondiente no diverge.\nEsta condición asegura que los campos no estén fuertemente correlacionados. La susceptibilidad del vidrio giratorio\ncuando se puede definir un promedio sobre las instancias\nOooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\n, (31)\ndonde d es la distancia entre dos nodos en el gráfico factorial, el promedio interno denota\nla función de correlación conectada entre estos nodos, Xd describe el número típico\nde variables a distancia d, y el promedio externo es sobre las instancias del trastorno (auto-\npromedio de la parte). Esta cantidad no es divergente a condición de que:\n* = ln. = ln................................................................................................................................\nOooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\nes negativo, ya que esto indica una disminución exponencial asympopticamente en los términos de (31)\ny, por lo tanto, la convergencia de la suma. En el límite termodinámico la correlación conectada\nfunción está dominada por un único camino directo que puede ser descompuesto como una cadena de local\nsusceptibilidades lineales\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\ni, j)\n♥xi→a\n* x • b → i\n* x • b → i\nxj→b\n, (33)\ndonde (i,j) indica el conjunto de variables en la ruta más corta entre los nodos 0 y d en una\nejemplo particular del gráfico (30a).\nEsta representación nos permite construir una estimación para basada numéricamente\nsobre principios similares a la dinámica de la población [24] – la dirección y la estructura fija\nimplícita en un problema particular se elimina con la suposición de auto-ahorrar dejando un\ndescripción funcional similar a (23a-23c), que puede ser iterada. Para aproximar\nel parámetro de estabilidad se introduce números positivos adicionales en la población\nhistogramas dinámicos (27b,27a), xi → {xi, vi} y xáa → {xáa, váa} respectivamente. Estos nuevos\nlos valores representan los tamaños relativos de las perturbaciones en cada magnetización, y se actualizan\nen paralelo a (28,29) como\n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = =\n, (34)\ny con asignaciones similares para la actualización de campo de W\n. (35)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 14\nLos derivados parciales se calculan a partir de (28-29) y se evalúan en el\nvalores en la población muestreada. Si el punto fijo final es estable contra pequeño\nlas perturbaciones en el campo inicial entonces estos valores {v, v deben decaer exponencialmente en\npromedio. Renormalización de {vi} y {va} de tal manera que la media es 1 después de cada actualización es\nnecesario. La constante de renormalización numérica para cada rendimiento de población (dependiente)\nlas estimaciones de , que se pueden muestrear en un tiempo de convergencia adecuado (final de la {W, \nproceso de minimización).\nAl igual que la dinámica de la población, esperamos que el comportamiento sea sensible a la inicialización\ncondiciones y efectos de tamaño finito en algunas circunstancias. Además, la estimación requiere\nbuena resolución en los histogramas W y .\n4. Resultados\nLos resultados se presentan aquí para el caso canónico del teclado de cambio de fase binario (BPSK)\ndonde {1,−1} {1,} con la misma probabilidad. Además, asumimos un modelo del GTEN para\nel verdadero ruido فارسى (de varianza 20). Para fines de evaluación asumimos el ruido del canal\nnivel se conoce con precisión, de modo que β = 1, empleando la temperatura de Nishimori [5]. Esto\ngarantiza que la solución RS es termodinámicamente dominante. Además, la energía\ntoma un valor constante a la temperatura de Nishimori y por lo tanto la entropía es afín a\nla energía libre. Donde de interés trazamos las estadísticas comparables para el Usuario Único\nCanal gaussiano (SUG), y el conjunto densamente extendido, cada uno con detectores MPM –\nequivalente a la máxima probabilidad para los bits individuales.\nPara la dinámica de la población se inicializan dos poblaciones paralelas (27a,27b)\nuniformemente al azar, o en estado ferromagnético. Estas dos poblaciones son conocidas\npara converger hacia la solución única, donde existe, desde direcciones opuestas, y\npor lo que podemos utilizar su convergencia como un criterio para detener el algoritmo y pruebas para el\naparición de múltiples soluciones. En el caso de que converjan en diferentes soluciones\nGeneralmente podemos identificar la solución convergente desde el estado inicial ferromagnético como\nuna buena solución - en el sentido de que reconstruye bien, y que llegó de azar\nestado inicial como una mala solución. En el algoritmo de propagación de creencias equivalente uno no puede\nelegir condiciones iniciales equivalentes a ferromagnética – sabiendo la solución exacta\nPor supuesto, hace que la decodificación sea redundante. Por lo tanto, esperamos las propiedades de los malos\nsolución para ser los realizables por la propagación de la creencia (aunque los algoritmos inteligentes pueden ser\ncapaz de escapar a la buena solución en algunas circunstancias). Las variables de estabilidad\n{v, v fueron inicializados independientemente cada uno como el cuadrado de un valor extraído de un gaussian\ndistribución – y las pruebas indicaron que otras distribuciones razonables produjeron resultados similares.\nLos recursos informáticos limitan los casos estudiados en detalle a una División del Sector Privado intermedia\nrégimen, y pequeño L. En particular, el problema en PSD bajo, es el ruido gaussiano\npromedio, que es poco estimado, mientras que en alta PSD la mayoría del histograma es\nconcentrados en magnetizaciones x, x+ 1 que no permitan una resolución suficiente en el resto de\nel histograma.\nVarias medidas diferentes se calculan a partir del parámetro orden convergente,\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 15\nque indique el rendimiento de la CDMA escasamente difundida. Usando los histogramas convergentes\npara los campos somos capaces de determinar las siguientes cantidades: energía libre, energía y\nhistograma para la distribución de probabilidad, a partir de discreciones de los previamente presentados\necuaciones (23a-23c). Usando la distribución de probabilidad también somos capaces de aproximar\nla tasa de error de bit de decodificación\ndP (m)\n1− signo(m)\n; (36)\nEficiencia de los usuarios múltiples\nMuE =\nerfc−1(Pb)\n; (37)\ne información mutua entre los bits enviados y reconstruidos por chip, I(b; )/N (tomando\nuna forma factorizada dada la hipótesis de RS)\nIM = α\ndP (m)\n1 + m\n1 + m\n. 38)\nLa eficiencia espectral es la capacidad I( ;y) por chip, que es afín a la entropía (y\nla energía libre a la temperatura de Nishimori)\n............................................................................... (39)\nSe puede identificar la entropía negativa cuando la eficiencia espectral medida supera la carga,\ny los puntos de transición termodinámica corresponden a puntos de eficiencia espectral coincidente.\nFigura 2‡ muestra algunas propiedades generales del conjunto regular en el que el\nLas conexiones de grado variable y factor son C : L = 3 : 3, respectivamente. Ecuaciones (23a-\n23c) fueron iterados utilizando la dinámica de la población y se calcularon las propiedades relevantes\nutilizando las soluciones obtenidas; los datos presentados se promedian en más de 100 ejecuciones y barras de error,\nque son típicamente pequeños, se omiten para la brevedad. La figura 2 a) muestra la tasa de error de bits\nen los códigos regular y Poissonian, el conjunto se centra en la gama donde la escasa-regular\ny casos densos cruzados. Los escasos códigos muestran tendencias similares al caso denso\nsalvo el código irregular, que presenta un rendimiento más débil en general y, en particular, en\nPSD alto. Las tendencias detalladas pueden verse en la figura 2(b) que muestra la eficiencia multiusuario.\nCódigos con conectividad de usuario regular muestran un rendimiento superior con respecto a la densa\ncaso en PSD bajo. En el gráfico 2 c) se observan tendencias similares en la eficiencia espectral y en la\ninformación (mostrada en el conjunto); el efecto del componente desconectado (usuario) es claro\nen el hecho de que el código irregular no alcanza la capacidad a niveles de ruido elevados. En general\nparece que la distribución de la conectividad del chip no es crítica para cambiar las tendencias presentes,\na diferencia de la distribución de conectividad del usuario. Se encontró en estos casos (y todos los casos con\nsoluciones únicas para el PSD dado), que el algoritmo convergía a la entropía no negativa\nvalores y a una medida de estabilidad fluctuando alrededor de un valor inferior a 0, como se muestra en\nFigura 2 d). Estos puntos indicarían la idoneidad de la hipótesis de la RS.\n‡ Esta cifra ha sido modificada de la versión publicada, la diferencia es que el chip Poissonian\nLos códigos de conectividad tienen en todas partes un rendimiento más débil que el conjunto de código regular denso y escaso.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 16\nEl rendimiento de códigos densos por conjuntos escasos con conectividad de usuario regular\nen el régimen PSD bajo es nuevo a nuestro conocimiento, aunque la conectividad de chip Poissonian\nes en todas partes inferior tanto a los códigos densos y regulares dispersos. La diferencia entre\nlos códigos desaparecen rápidamente con el aumento de la densidad (conexión) a α fijo (figura 3). Esto\nestá en línea con nuestra predicción de que el código regular es un conjunto de alto rendimiento en\nPreceding sections.\nLa figura 3 indica el efecto del aumento de la densidad a α fijo en el caso de la\nCódigo regular. A medida que aumenta la densidad las estadísticas de los códigos escasos enfoque que\ndel canal denso en todos los conjuntos probados. Para el funcionamiento irregular del conjunto\naumenta monótonamente con densidad en todos los PSD. La rápida convergencia a la densa\nEl rendimiento de los casos se observó en otros lugares para conjuntos parcialmente regulares, y conjuntos\nbasado en un insumo previo gaussiano [2, 7]. En todas las densidades para las que las soluciones únicas eran\nencontró que la suposición de RS apareció validada en el parámetro de estabilidad y entropía.\nLa Figura 4 indica el efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento. Primero explicamos los resultados\npara los códigos en los que sólo se encontró una solución única (no hay coexistencia de soluciones). Para pequeños\nvalores de la carga un aumento monotónico en la tasa de error de bits, y la capacidad se observan como α\nse incrementa con la constante C, como se muestra en las figuras 4(a) y 4(b), respectivamente. Esto coincide.\nla tendencia en el caso denso, el código denso se vuelve superior en el rendimiento a la escasa\ncódigos a medida que aumenta la PSD. Encontramos que para todos los conjuntos escasos existían regímenes con\nα > 1,49 para los que sólo existía una solución estable única, aunque el equivalente denso\nSe sabe que los sistemas tienen dos soluciones estables en algún rango de PSD [3]. En todos los solteros\nse observó una entropía positiva y un parámetro de estabilidad negativo. Sin embargo,\nen casos de grandes α muchas características se hicieron más pronunciadas cerca de la solución de caso denso\n• Régimen de coexistencia: en particular, la cúspide en el parámetro de estabilidad, la distancia entre el IMF y el\ny el gradiente en Pb.\n4.1. Regímenes de Coexistencia de Solución\nComo en el caso de la densa CDMA [3], también aquí observamos un régimen donde dos soluciones, de\nmuy diferente actuación, coexisten. Con el fin de investigar el régimen en el que dos soluciones\ncoexistimos investigamos los estados llegados desde el inicio aleatorio y ferromagnético\ncondiciones (dar soluciones malas y buenas, respectivamente). Convergencia heurística separada\ncriterios fueron encontrados para los histogramas, y estos parecían funcionar bien para el bien\nsolución. Para la mala solución simplemente presentamos resultados después de un número fijo de histograma\nactualizaciones (500) ya que todos los criterios de convergencia probados parecían demasiado estrictos, para exigir\nescalas temporales experimentalmente inaccesibles, o no capturaron los valores asintóticos para\ncantidades importantes como la entropía. Creemos que 500 actualizaciones son lo suficientemente conservadoras\npara captar las propiedades de estas soluciones, sin embargo.\nLa Figura 4(a) muestra la dependencia de la tasa de error de bits en la carga, que también es\nequivalente a L/C. Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con la carga y el\nla aparición y coexistencia de dos soluciones separadas por encima de un determinado punto; en el caso\nde los 6 : 3 código el punto por encima del cual coexisten las dos soluciones es PSD = 10.23dB como\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 17\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDense0 1 2 3 4 5 6 7 8\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDenso(b)\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDenso\n2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nReg. Tipo 1\nReg. Tipo 2\nGráfico 2 Desempeño de la escasa configuración CDMA de grado variable y factorial\nconnectividades C : L = 3 : 3, respectivamente; todos los datos presentados sobre la base de 100 ejecuciones, error\nlas barras se omiten y son típicamente pequeñas en las subfiguras (a)-(c) la suavidad de las curvas\nser característico de este nivel (precisión numérica fue excelente sólo en\nPSDs). (a) La tasa de error de bits está limitada por el componente desconectado en el caso de\ncódigos irregulares, de lo contrario las tendencias coinciden con el caso denso, más bajo limitado por el SUG. Inset\n- el rango donde los casos poco regulares y densos se cruzan.b) Eficiencia de los usuarios múltiples\nindica que los códigos de conectividad de usuario regulares superan el caso denso por debajo de algunos PSD.\nc) La eficiencia espectral [——] muestra tendencias similares, siendo positiva la entropía.\nLa brecha entre la información mutua [· · · · · ·] y la eficiencia espectral (mostrada en el\ninset) es en todas partes pequeño y especialmente en PSD pequeño y grande, lo que indica poco\npérdida de información en el proceso de decodificación. d) Los dos indicadores muestran los resultados medios\npara las dos estimaciones de estabilidad diferentes en el algoritmo para el código regular. Hay\nerrores sistemáticos en la PSD pequeña, y la convergencia es buena sólo en la PSD intermedia.\nLas líneas representan la media de estas cantidades para cada conjunto – todos los conjuntos muestran\nuna cúspide en algunos PSD, para 3 : 3 códigos los diversos conjuntos muestran tendencias muy similares,\nindicando la estabilidad local en todas partes.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 18\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nDenso\n0 1 2 3 4 5 6 7 8\nDensidad de potencia espectral [dB]\nDenso\nGráfico 3 El efecto de aumentar la densidad para el conjunto regular: (a) Multiusuario\neficiencia, b) eficiencia espectral [——] e información mutua [– – –]. Datos presentados sobre\nla base de 10 carreras, las barras de error se omiten pero de un tamaño comparable con la suavidad\nde las curvas. El rendimiento de códigos escasos se aproxima rápidamente al del código denso\nEn todas partes. El umbral PSD más allá del cual el denso código supera al escaso\nEl código es bastante estable.\nindicado por la línea punteada vertical.\nUtilizamos el código regular 6 : 3 para demostrar la coexistencia de la solución que se encuentra arriba\nalgunos PSD en varios códigos. El inicio de la distribución bimodal puede ser identificado por\nla divergencia en el tiempo de convergencia en el régimen de solución única (el tiempo para\nhistogramas ferromagnéticos y aleatorios para converger a una distribución común). La hora\npara que esto ocurra, en una estadística y precisión elegida heurísticamente, se representa en la figura 4(b).\nPor una regresión lineal ingenua a lo largo de 3 décadas encontramos un exponente de la ley de poder de 0,59 y\nun punto de transición de PSD = 10.23dB, pero no puede proporcionar una medida de la bondad de ajuste a\nestos datos. Esto representaría el punto en el que coexisten al menos dos soluciones estables.\nMás allá de PSD 12dB sólo una solución estable se encuentra de ambos al azar y\ncondiciones iniciales ferromagnéticas, correspondientes estadísticamente a la continuación del\nsolución. Una solución que se asemeja estadísticamente a una continuación de la mala solución es\na veces llegados de ambas condiciones iniciales, esta solución tuvo una estabilidad positiva\nparámetro y entropía negativa – así que no es una solución viable. Así predecimos un segundo\ntransición dinámica en la región de 12dB, como podría adivinarse en comparación con el\ncaso denso y observación de la tendencia en el parámetro de estabilidad [véase la figura 4, letra c)].\nLos resultados de estabilidad se presentan en la figura 4 c). Sólo se encontraron dos soluciones estables\nen la región más allá de este punto crítico y hasta 12dB, que inferimos que es viable RS\nsoluciones (donde la entropía es positiva). La mala solución hasta 12dB tiene un bien resuelto\nvalor negativo. La buena solución tiene un valor negativo en su media, pero como otros cerca\nsoluciones ferromagnéticas investigados resultados son muy ruidosos debido a cuestiones numéricas relacionadas\na resolución de histogramas.\nTanto la capacidad como la eficiencia espectral aumentan monótonamente con la carga como se muestra en\nFigura 4 d). Para el código 6 : 3 vemos una separación de las dos soluciones en PSD = 10.23dB\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 19\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n - División del Sector Privado\nMedia de datos\nAjuste lineal\nLímites\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n8 10 12 \nGráfico 4 El efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento para el conjunto regular. Datos\npresentado sobre la base de 10 tiradas, las barras de error omiten pero se caracterizan por la suavidad\nde curvas. Las líneas rotas indican los códigos analógicos densos. La línea punteada vertical\nindica el punto más allá del cual 6 : 3 condiciones iniciales aleatorias y ferromagnéticas fallaron\npara converger a la misma solución, ambas soluciones dinámicamente estables se muestran más allá de\nEste punto. (a) Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con el aumento de la carga.\n(b) La investigación del código 6 : 3 (α = 2) indica una divergencia en el tiempo de convergencia como\nPSD → 10,23dB con exponente 0,59 basado en una regresión lineal simple de 15 puntos (cada uno\npunto es la media de 10 carreras independientes). Más allá de este punto diferentes condiciones iniciales\ndar lugar a una de dos soluciones. c) Se determinó que el parámetro de estabilidad era negativo\npara todas las soluciones convergentes, indicando la idoneidad de la RS. Donde la solución está cerca\nferromagnético la medida de estabilidad se vuelve rápidamente muy ruidoso (como se muestra para el 5 : 3\ny 6 : 3 códigos). d) A medida que aumenta la carga α hay un aumento monotónico de la capacidad.\nLa eficiencia espectral de la solución ’malo’ supera 2 en un pequeño intervalo (equivalente a\nEntropía negativa), similar al comportamiento notificado para el caso denso.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 20\n(línea vertical punteada.) Las líneas discontinuas corresponden a un comportamiento similar observado en el\ncaso denso (el rango de interés se magnifica en el conjunto.) Una cruz en la entropía de la\ndos soluciones distintas, cerca de PSD 11dB, es indicativo de una transición de fase de segundo orden.\nComo en el caso denso, sólo la solución de menor eficiencia espectral es termodinámicamente\nrelevante en un determinado PSD, aunque es probable que el otro sea importante en la decodificación de la dinámica.\nLas tendencias en el caso escaso siguen el caso denso cualitativamente, con la buena solución\ntener un rendimiento ligeramente peor que la solución correspondiente en el caso denso\n(y viceversa para la mala solución).\nLa entropía de la mala solución se vuelve negativa en un pequeño intervalo (espectral\nla eficiencia supera el 2), aunque no se observa inestabilidad local. La estática y dinámica\nLas propiedades de los histogramas parecen estar bien resueltas en esta región. Sin embargo, el\nEntropía negativa indica inestabilidad hacia un tipo de solución no capturada\ndentro del supuesto RS, o hacia alguna configuración metaestable. No lo haremos.\nespecular aún más, la mala solución es en cualquier caso termodinámicamente subdominante en\nsu forma baja y negativa de entropía.\nNuestra hipótesis es, por lo tanto, que las tendencias en los conjuntos escasos coinciden con los de\nlos conjuntos densos dentro de la región de convivencia y RS siguen siendo válidos para cada\nde dos soluciones distintas de entropía positiva. La región de convivencia para los códigos escasos es\nSin embargo más pequeño que en los correspondientes conjuntos densos. Desde la actualización de nuestro histograma\nreflejar las propiedades de un algoritmo de propagación de creencias en un gráfico aleatorio que podemos sospechar\nque la mala solución puede tener implicaciones para la realización de la propagación de creencias\nla decodificación en la región de coexistencia, y que los problemas de convergencia aparecerán cerca de\nregión. En los códigos regulares del usuario se investigó la mala solución del conjunto escaso\nsupera la mala solución del conjunto denso, y viceversa para la buena solución.\nPor lo tanto, independientemente de si el bajo rendimiento de decodificación es bueno o malo, el dinámico\npunto de transición para el conjunto denso correspondería a un PSD más allá del cual denso\nCDMA supera a CDMA en una carga en particular.\n4.2. Eficiencia espectral Resultados numéricos más bajos\nFinalmente presentamos la figura 5, que muestra la información mutua entre una sola\nchip y bits transmitidos para conjuntos escasos de conectividad de chips diferentes en el infinito\nPSD (límite cero de ruido) (15). Esto muestra que en la expectativa de un chip extraído de la\nconjunto regular contiene más información sobre los bits transmitidos que un chip dibujado\nde cualquier otro conjunto (incluido el conjunto Poissonian). La diferencia entre la\nlos conjuntos regulares y poissonianos se vuelven relativamente más pequeños a medida que L aumenta. Esto parece\nconsistente con los resultados del método de réplica encontrado en alta PSD, aunque chip regular\nconectividad subrealizada en comparación con la conectividad de chip distribuida de Poisson\nen el régimen de baja PSD, que no estaba previsto por la aproximación de un solo chip.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 21\n0 5 10 15 20 25\nConectividad media del chip, L\nPoissonian\nGráfico 5 Un PSD → • límite a la información mutua esperada entre un solo chip,\ny los bits transmitidos. La información mutua es más alta para las conexiones regulares de chip,\ncon el resultado de conectividad de chip Poissonian también se muestra, la discrepancia se convierte en\nrelativamente pequeño a medida que L aumenta. El conjunto muestra la información mutua/bit decodificada\nEn el caso de las empresas de servicios de inversión, el importe de la ayuda se calcula sobre la base del importe total de la ayuda concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado, de conformidad con el artículo 107, apartado 1, del TFUE.\nmostrar más detalles en los casos de pequeño L.\n5. Observaciones finales\nNuestros resultados demuestran la viabilidad de códigos regulares escasos para su uso en CDMA. En\nPSD moderado parece que el rendimiento de códigos regulares escasos puede ser muy bueno. Con\nla suposición simétrica réplica aparentemente válida en PSD práctica es probable que rápido\nalgoritmos basados en la propagación de creencias pueden ser muy exitosos en el logro de la teoría\nresultados. Por otra parte, para los códigos de menor densidad escasa el problema del régimen de coexistencia,\nque limita el rendimiento de los métodos prácticos de decodificación, parece ser menos omnipresente\nque para conjuntos densos en el régimen sobre saturado.\nUna evaluación directa de las propiedades de la propagación de creencias puede demostrar resultados similares\na los que se muestran aquí. En ausencia de réplica de estados de rotura de la simetría es normalmente\nverdad que la propagación de la creencia funciona muy bien. Sin embargo, para hacer el mejor uso del canal\nlos recursos pueden ser preferibles para aplicar regímenes de alta carga en los casos de alta PSD, y\nsuperar los problemas algorítmicos que surgen de la convivencia de la solución es un reto\nde importancia práctica en este caso.\nSin duda, otras cuestiones prácticas en la aplicación son importantes. Similar al caso\ndenso CDMA hay problemas considerables relacionados con el multipath, el desvanecimiento y el poder\ncontrol, de hecho se sabe que estos efectos son más perturbadores para los códigos escasos,\nespecialmente códigos regulares. Sin embargo, ciertas situaciones como la radiodifusión (una a muchas)\ncanales y enlace descendente CDMA, donde se puede suponer la sincronización, puede ser práctico\npuntos para su futura aplicación. Hay ventajas prácticas del caso escaso sobre\ncódigos densos y ortogonales en algunos regímenes. Es probable que el escaso método CDMA sea\nespecialmente útil en el acceso múltiple a la división de código de frecuencia y tiempo de salto\nAplicaciones (FH y TH -CDMA) donde el efecto de estas limitaciones prácticas es menor\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 22\nEn este sentido, se ha hecho hincapié en la necesidad de mejorar la calidad de vida de los trabajadores.\nExtensiones basadas en nuestro método a casos sin control de potencia o sincronización\nhan sido intentados y son bastante difíciles. Examen de los antecedentes de las aportaciones, en\nparticular los efectos cuando la CDMA escasa se combina con algún método de codificación puede\nTambién ser interesante.\nAgradecimientos\nSoporte de EVERGROW, IP No. 1935 en el VIPM de la UE es agradecido.\nDS quisiera agradecer a Ido Kanter por sus útiles discusiones.\nBibliografía\n[1] S. Verdu. Detección multiusuario. 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Phys. Rev. E., 76(1):011101, 2007.\n\tAntecedentes\n\tEl modelo\n\tConjuntos de código\n\tMetodología\n\tEficiencia espectral Acoplamiento inferior\n\tEsquema del método de réplica\n\tEcuaciones simétricas réplica\n\tDinámica de la población\n\tAnálisis de estabilidad\n\tResultados\n\tRegímenes de Coexistencia de Solución\n\tEficiencia espectral Resultados numéricos más bajos\n\tObservaciones finales\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Acceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar\nmétodo en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo una relativamente\nel pequeño número de elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de\nfísica estadística. El análisis proporciona resultados sobre el desempeño de\ndecodificación de máxima probabilidad para códigos de propagación escasos en el sistema grande\nlímite. Presentamos resultados para ambos casos de propagación regular e irregular\nmatrices para el aditivo binario blanco Gaussian canal de ruido (BIAWGN) con un\ncomparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"CDMA escasamente difundida - una mecánica estadística\nAnálisis basado\nJack Raymond y David Saad\nGrupo de Investigación de Computación Neural, Universidad de Aston, Triángulo de Aston, Birmingham,\nB4 7EJ\nCorreo electrónico: jack.raymond@physics.org\nResumen.\nAcceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar\nmétodo en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo un número relativamente pequeño\nde elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de física estadística. Los\nanálisis proporciona resultados sobre el rendimiento de la decodificación de máxima probabilidad para la escasa\nla difusión de códigos en el gran límite del sistema. Presentamos resultados para ambos casos de\ny matrices de propagación irregular para el aditivo binario blanco canal de ruido gaussiano\n(BIAWGN) con una comparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.\nNúmeros PACS: 64.60.Cn, 75.10.Nr, 84.40.Ua, 89.70.+c\nNúmeros del esquema de clasificación AMS: 68P30,82B44,94A12,94A14\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0098v5\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 2\n1. Antecedentes\nEl área de las comunicaciones multiusuario es de gran interés tanto teórico como\nperspectivas de ingeniería [1]. El acceso múltiple de la división de código (CDMA) es un particular\nmétodo para permitir que múltiples usuarios accedan a los recursos de canal en un entorno eficiente y robusto\ny desempeña un papel importante en las actuales normas preferidas para la asignación de\nrecursos de canales en comunicaciones inalámbricas. CDMA utiliza recursos de canal altamente\npermitiendo a muchos usuarios transmitir en gran parte del ancho de banda simultáneamente,\ncada transmisión está codificada con un código de firma específico del usuario. Desentrañando el\ninformación en el canal es posible mediante el uso de las propiedades de estos códigos y gran parte de\nla investigación de CDMA se centra en el desarrollo de códigos y métodos de decodificación eficientes.\nEn este trabajo se estudia una variante del método original, CDMA escasa, donde la\nmatriz de propagación contiene sólo un número relativamente pequeño de elementos distintos de cero como fue\noriginalmente estudiado y motivado en [2]. Mientras que la aplicación directa de la escasa\nLas técnicas CDMA para enlazar la comunicación de acceso múltiple son bastante limitadas, como lo es\ndifícil de sincronizar las escasas transmisiones de los distintos usuarios, el método puede ser\nmuy útil para la frecuencia y el salto del tiempo. En la división de código de frecuencia de salto múltiple\nacceso (FH-CDMA), uno cambia repetidamente frecuencias durante la transmisión de radio, a menudo\nreducir al mínimo la eficacia de la interceptación o interferencia de las telecomunicaciones. En\ncualquier paso dado del tiempo, cada usuario ocupa un pequeño (finito) número de la (infinito) M-ary\n(con la ganancia G, el número total de chip-\nlos pares de frecuencia es MG.) Los lúpulos entre las frecuencias disponibles pueden ser aleatorios o\npreplanificado y se produce después de la transmisión de datos en una banda de frecuencias estrechas. In\ntiempo (TH-)CDMA, una secuencia pseudo-ruido define el momento de transmisión para\nlos diversos usuarios, que pueden ser vistos como CDMA escaso cuando se utiliza en una banda ultraancha\nsistema de comunicación por impulso. En este caso las escasas secuencias de salto de tiempo reducen\ncolisiones entre transmisiones.\nEste estudio sigue el trabajo seminal de Tanaka [3], y otras extensiones recientes [4],\nen la utilización del análisis de réplicas para CDMA de distribución aleatoria con entradas discretas, que\nestableció muchas de las propiedades de CDMA aleatorias densamente difundidas con respecto a\nvarios detectores diferentes incluyendo Máximo A Posterori (MAP), Postero Marginal\nMaximizador (MPM) y mínimo promedio de error cuadrado (MMSE). CMDA escasamente difundida\nse diferencia de la CDMA convencional, basada en secuencias de propagación densa, en que cualquier\nusuario sólo transmite a un pequeño número de chips (en comparación con la transmisión en todos los chips\nen el caso de la CDMA densa). La escasa naturaleza de este modelo facilita el uso de métodos\nde la física estadística de los sistemas desordenados diluidos [5, 6] para el estudio de las propiedades de\ncasos típicos.\nLa viabilidad de la escasa CDMA para la transmisión de información fue recientemente\nse demuestra [2] para el caso de los símbolos de entrada reales (distribuidos por Gaussian) mediante el empleo de un\nAproximación media efectiva de Gaussian; varios resultados han sido reportados para el caso de\npatrones de transmisión aleatoria. En un estudio reciente separado, basado en la propagación de creencias\ninferencia algoritmo y una entrada binaria de distribución previa, escasa CDMA también ha sido\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 3\nconsiderada como una vía para demostrar los resultados de la CDMA densamente difundida [7]. Además, este\nestudio demostró la existencia de un fenómeno de cascada comparable al código denso\npara un subconjunto de conjuntos. El fenómeno de cascada se observa en técnicas de decodificación,\ndonde hay una transición dinámica entre dos soluciones estadísticamente distintas como la\nEl parámetro ruido es variado. Por último, tomamos nota de una serie de estudios pertinentes relativos a la\nla eficacia de la propagación de creencias como método de decodificación del MPM [8, 9, 10, 11], y en\ncombinar métodos de codificación escasa (LDPC) con CDMA [12]. Muchos de estos documentos\nSin embargo, considerar el régimen de dilución extrema - en el que el número de contribuciones de chips\nes grande pero no O(N).\nLa labor teórica relativa a la escasa difusión de la CDMA seguía careciendo de\nrespetos. Como se señaló en [2], la difusión de códigos con Poisson distribuido número de no-\nelementos cero, por chip y entre los usuarios, están fallando sistemáticamente en que cada usuario\ntiene alguna probabilidad de no contribuir a ningún chip (no transmitir información).\nIncluso en el código “parcialmente regular” [7] conjunto (donde cada usuario transmite en el mismo\nnúmero de chips) algunos chips no tienen contribuyentes debido a la distribución de Poisson en\nconectividad de chip, por lo tanto, el ancho de banda no se utiliza eficazmente. Eludimos.\nEste problema se debe a la introducción de limitaciones para impedirlo, a saber, la firma regular\ncódigos restringidos de tal manera que tanto el número de usuarios por chip y chips por usuario toman\nvalores enteros fijos. Además presentamos análisis analíticos y numéricos sin\nrecurrir a aproximaciones gaussianas de cualquier cantidad. Uso de nuevas herramientas de estadística\nmecánica somos capaces de arrojar mayor luz sobre la naturaleza de la transmisión binaria previa\nproceso. En particular, la naturaleza del espacio de decodificación del estado y el rendimiento relativo de la escasa\nensambles versus densos a través de una gama de niveles de ruido; y lo que es más importante, la pregunta\nde cómo la coexistencia de las soluciones encontradas por Tanaka [3] se extiende a los conjuntos escasos,\nespecialmente cerca de los puntos de transición determinados para el conjunto denso.\nEn este artículo demostramos la superioridad del código CDMA regular escasamente difundido\nsobre códigos densamente extendidos en ciertos aspectos, por ejemplo, la tasa de error de bits prevista\nla decodificación mejora en el régimen de ruido elevado y la coexistencia de la solución\nEl comportamiento es menos generalizado. Además, para utilizar la propagación de creencias para tal conjunto\nes seguro que será significativamente más rápido y menos computacionalmente exigente [13], esto también ha\nimplicaciones de consumo de energía que pueden ser importantes en algunas aplicaciones. Otros\ncuestiones prácticas de aplicación, siendo la más básica la no sincronización y el poder\ncontrol, requiere un estudio detallado y puede hacer que aprovechar plenamente estas ventajas más\ncomplejo y dependiente de la aplicación.\nEl documento está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 introduciremos el marco general\ny notación utilizada, mientras que la metodología utilizada para los diversos códigos se presentará en\nsección 3. Los principales resultados de los diversos códigos se presentarán en la sección 4 siguiente\npor las observaciones finales que figuran en la sección 5.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 4\ni b • j d\n1o de enero de 2002\n...........................................................................................................................................................\nyb yc yd yN\nGráfico 1 Un gráfico bipartito es útil para realizar visualmente un problema. Un nodo de usuario i en\nla parte inferior interactúa con otras variables a través de su conjunto de nodos de factor vecinos (\na la que se conecta. Los nodos de factor se determinan a través de un vecindario similar.\nLa interacción en cada factor (μ) está condicionada a factores de ganancia vecinos (la\ncomponentes no cero de s), y yμ (que es una función implícita del ruido, y\nbits de entrada vecinos bμ y factores de ganancia ), asumiendo un uniforme anterior en los bits.\nEl problema de reconstrucción de la mecánica estadística asocia variables dinámicas\nnodos de usuario que interactúan a través de los factores. El estado de equilibrio termodinámico de\nEste sistema describe el rendimiento teórico de los detectores óptimos.\n2. El modelo\nConsideramos un modelo estándar de CDMA consistente en usuarios K transmitiendo en un bit\nintervalo de chips N. Asumimos un modelo con perfecto control de potencia y sincronización,\ny considerar sólo el intervalo de un bit. En nuestro caso la señal recibida y es descrita por\n[skbk] + فارسى, (1)\ndonde los componentes del vector describen los valores para chips distintos: sk es la propagación\ncódigo para el usuario k, bk = ±1 es el bit enviado por el usuario k (símbolos de entrada binarios) y el ruido\nvector. La normalización adecuada de la potencia es a través de la definición de la firma\nmatriz (s). Es posible incluir una variación de amplitud específica del usuario o del chip, que puede\nser debido a la desaparición o el control imperfecto del poder. Consideramos un modelo sin estos efectos.\nLos códigos de propagación son escasos de modo que en la expectativa sólo C de los elementos en vector sk\nno son cero. Si, con el conocimiento de la matriz de firma en uso, asumimos que la señal tiene\nha sido objeto de ruido de canal gaussiano blanco aditivo de varianza \n0 es la\nvarianza del verdadero ruido del canal 2, podemos escribir el posterior para los bits transmitidos\n(desconocidos dada la instancia particular) usando el teorema de Bayes\nP ( y) =\n[sμk(bk − k)] + \nP ( ), (2)\ny a partir de esto definir tasa de error de bits, información mutua, y otras cantidades. Los\nMecánica estadística enfoque de aquí es definir un Hamiltoniano y la partición\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 5\nfunción a partir de la cual las diversas estadísticas relativas a esta distribución de probabilidad pueden\ndeterminar - y por lo tanto todas las medidas habituales de la teoría de la información. Una opción adecuada\npara el Hamiltoniano es\nH( ) =\n[sμk(bk − k)] + \nhklok. 3)\nAquí podemos identificar a las variables dinámicas en el problema de la inferencia (dependencia).\nse muestra explícitamente). Las otras variables apagadas (parámetros), describiendo la instancia de\nel trastorno, son la matriz de la firma (s), el ruido () y las entradas (b). Las variables\nhk describir nuestras creencias previas sobre las entradas (el sesgo específico del usuario), y podemos asumir\nalguna distribución simple para esto, como todos los usuarios que tienen el mismo sesgo hk = H. Máximo\ntransmisión de velocidad corresponde a bits no sesgados H = 0, y esto se considera a lo largo de\nel periódico. Las propiedades de tal sistema pueden reflejarse en un gráfico de factor (Tanner),\nun gráfico bipartito en el que los usuarios y los chips están representados por nodos (véase la figura 1).\nEl cálculo que realizamos es específico para el caso del límite termodinámico en\nque se fija el número de chips N → • mientras que la carga α = K/N. Tenga en cuenta que α es\nllamado β en muchos documentos CDMA, aquí reservamos β para significar la \"temperatura inversa\"\nen un sentido de mecánica estadística (que define nuestra creencia previa para el nivel de ruido y dar\nsubir al correspondiente detector MAP.)\nEn todos los conjuntos podemos identificar el parámetro L como el número medio de contribuciones\na cada chip, y C como el número medio de contribuciones por usuario. Como tal, lo siguiente:\ntambién mantiene\n. 4)\nEl caso en el que α es mayor que 1 se llamará sobresaturado, ya que más de uno\nbit se transmite por chip.\nLos cálculos presentados a partir de ahora son específicos para el caso del ruido sin memoria,\nextraídos de una distribución única de la media cero y la media cuadrada 20\n* () = P ( ). 5)\nDefinir códigos normalizados de propagación de forma que:\nsk.sk = N, podemos identificar el “poder\nDensidad espectral” (PSD) a lo largo de un intervalo de virutas como medida del ruido del sistema 1/(2\nel factor dos está relacionado con consideraciones físicas en la implementación del modelo.\n2.1. Conjuntos de código\nConsideramos varios conjuntos de código que llamamos irregulares, en parte regulares y regulares, que\ndifieren en las limitaciones impuestas al factor y al grado variable de las restricciones de la firma\nmatriz s. La distribución de probabilidad\nP (s) = N\n(sμk 6= 0)− L\nP (L)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 6\n(sμk 6= 0)− C\nP (C)\nP (sμk), (6)\ndonde N es una constante de normalización, P (L) es la distribución de probabilidad de grado factorial de\npromedio L, P (C) es la distribución de probabilidad de grado variable de la media C, y P (sμk) es la\ndistribución de probabilidad marginal que es común a todos los conjuntos\nP (sμk) =\n(sμk) +\n*(sμk − •). 7)..................................................................................................................................................\nLa forma de (6) es entonces suficiente para las distribuciones escasas que consideramos en el sistema grande\nlimitar, y hace explícitas las propiedades de conectividad del chip y del usuario de los conjuntos. Los\nfactor de ganancia, se extrae al azar de una sola distribución con la medida cero en = 0,\ny momentos finitos, en cualquier caso de un código\n(+) = P (sμk = sμk 6= 0). (8)\nA diferencia del caso denso, los detalles de esta distribución producirán resultados, pero sólo en un pequeño\nforma de tomar decisiones razonables [2]. Aquí investigamos el caso de la tecla de cambio de fase binaria\n(BPSK) que corresponde a una distribución uniforme en\n}, aunque el análisis\nlos resultados presentados son aplicables a cualquier distribución del cuadrado medio = 1/L. Tenga en cuenta que\ntrastorno en los factores de ganancia no es una necesidad, el caso • = 1/\nL también permite la decodificación en\nConjuntos escasos.\nEl caso en el que P (Lu) y P (Cu) se distribuyen Poissonian identifica la irregularidad\nconjunto - donde las conexiones entre chips y usuarios se distribuyen de forma independiente.\nLa segunda distribución llamada en parte regular tiene P (C\nconectividad es de nuevo Poisson distribuido con media L, pero cada usuario contribuye a exactamente\nPatatas C. Esto evita el fracaso sistemático inherente al conjunto irregular ya que\nallí un gran número de usuarios no transmiten en ningún chip. Si además de\nla restricción antes mencionada todos los chips reciben exactamente L contribuciones, P (L\nel conjunto se llama regular. La conectividad regular del chip entre otras cosas impide\nla ineficiencia sistemática debido a la falta de acceso de algunos chips por parte de cualquiera de los usuarios.\nEl caso de las distribuciones poissonianas es aquel en el que no hay control global. In\nmuchas aplicaciones de ingeniería que limitan a los usuarios individualmente (no Poissonian P (C\npráctica, mientras que la coordinación entre los usuarios (no Poissonian P (Lū)) es difícil. Los\nlos aspectos prácticos de la aplicación de los diferentes conjuntos que consideramos específicos de la aplicación:\nlas ventajas inherentes a la distribución más equitativa de los recursos de los canales entre los usuarios pueden\nse pierdan a causa de problemas prácticos de implentación.\n3. Metodología\n3.1. Eficiencia espectral Acoplamiento inferior\nLa inferioridad de los códigos con conectividad de usuario Poissonian se ha señalado previamente\n(por ejemplo, en [2]), sobre la base del entendimiento de que los códigos que dejan a una parte de los usuarios\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 7\ndesconectado no puede ser óptimo. Analógicamente argumentamos que los códigos con chip irregular\nconectividad también debe ser inferior en que dejan una fracción de los chips (ancho de banda)\nno se utiliza, lo que constituye una motivación para considerar códigos plenamente regulares.\nEn esta sección mostramos un caso particular en el que se esperan los códigos regulares\npara superar cualquier otro conjunto mediante el análisis de la cantidad de información que puede ser\nextraído en los bits enviados por consideración de sólo un chip en aislamiento de los otros chips.\nEsto corresponde a un detector que reconstruye bits basados sólo en el valor de un solo chip,\ny es independiente de la conectividad del usuario.\nLa eficiencia espectral se define como la información mutua entre el\nseñal y piezas reconstruidas por chip. Al considerar sólo un chip (μ) tenemos\nI( ; yμ) =\nP ( yμ)\nP ( )\nP0(,yμ)\n, (9)\ndonde el subíndice cero indica que el verdadero (generativo), en lugar del modelo (2),\ndistribución de probabilidad. Para la brevedad consideramos el caso más simple que el generativo\ny las distribuciones de probabilidad del modelo son las mismas con bits imparciales y un ruido gaussiano\ndistribución, en cuyo caso, después de algún reordenamiento\nI( ; yμ) = L\nexp(−Hμ( μ))\n μ exp(−Hμ( μ))\nP0( μ,yμ)\n, (10)\ndonde los bits conectados a los chips μ y el chip Hamiltonian es\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n, (11)\netiquetado de cada componente interactuante (no cero) en el chip por i, siendo L贸 el chip\nconectividad.\nTrabajando a partir de esta descripción queremos comparar el rendimiento de los conjuntos\ncon diferentes conexiones de chip. Para hacer esto consideramos el conjunto medio mutuo\ninformación promediando la información mutua sobre las connectividades (L), los factores de carga,\ny los bits transmitidos. Este promedio es complicado, sin embargo es posible calcular el\nlos términos dominantes en los límites bajos y altos de la PSD.\nEn el caso de bajo ruido (PSD → فارسى) encontramos los términos asintóticamente dominantes\nvienen primero del numerador\n•log2 exp−H(• μ) •\n/ log(2) =\n2 log(2)\n, (12)\nque es un promedio sobre la energía del estado del suelo, y también el logaritmo del denominador\nque es\nexp−H( μ)\n(bi) (bi) (i)\n, (13)\ndonde yμ se ha descompuesto en sus partes de bit ({bi}) y ruido (), y los promedios son:\nahora sobre los conjuntos, así como yμ. La primera parte de (13) aporta una contribución energética\ncancelación (12). Llamamos a la parte restante el promedio sobre la entropía del chip, por\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 8\ncomparación con (10) esto determina la cantidad de información perdida en la decodificación. Los\ntérmino de la entropía del chip contiene una función indicadora contando los estados del suelo - el promedio\nla entropía de los chips es cero cuando la única solución es μ = bμ. Sin embargo, para el caso de BPSK\npuede haber alguna degeneración en los estados de base con dos términos en la suma que no es cero\npero cancelándose el uno al otro. Esta degeneración depende de la distribución P (L\npara L dado. Average sobre los factores de carga y los bits transmitidos encontramos que en el cero\nlímite de ruido\nI(, yμ)\n(bi) (bi) (i)\nP (L)\n, (14)\nmin(p,Lp)\nL p\nP (L)\n. (15)\nPor evaluación numérica de esta función (ver resultados sección 4.2) encontramos que el óptimo\nconjunto es de hecho el conjunto regular. Esto se debe a la entropía de chip, cuando se promedia sobre\nfactores de carga y bits es una función cóncava en L\ncuando P (L\n. Esta dependencia de Lū puede ser una peculiaridad del detector considerado,\npero muchos otros aspectos del cálculo pueden generalizarse para dar un resultado similar.\nEs posible considerar el límite opuesto Encontramos que\nlos cuatro órdenes principales en 1/0 eran idénticos para todos los conjuntos de código del mismo chip medio\nconectividad. Anticiparíamos el comportamiento de la PSD no extrema para caer en alguna parte\nentre estos dos regímenes y, por lo tanto, para que el conjunto regular chip sea al menos tan bueno como\nlos conjuntos irregulares de chip.\nObservamos aquí que otra razón para considerar el código regular óptimo entre\npocos códigos aleatorios es considerar el término de campo cuando el Hamiltoniano (11) está escrito\nen forma canónica con un conjunto de acoplamientos ({Jójij) y campos externos específicos del usuario ({hi}).\nEn esta representación el conjunto de campos externos están en la expectativa alineados con el enviado\nsecuencia de bits, pero sujeto a fluctuaciones para cada instancia de código. La diferencia de estos factores\npuede demostrarse que las fluctuaciones son proporcionales al exceso de conectividad del chip sobre el\nconectividad verdadera del chip [14], que entre todos los conjuntos es minimizada por el chip regular\nEnsamblaje. La interferencia multiusuario es mayor en códigos irregulares y, por lo tanto, en información\nla recuperación es más débil como se predice en esta sección.†\n3.2. Esquema del método de réplica\nDeterminamos las propiedades estáticas de nuestro modelo definidas en la sección 2, incluyendo correlaciones\nDebido a la estructura de interacción completa, utilizamos el método de réplica. De la expresión de\nel Hamiltoniano (3) podemos identificar una función de energía libre y partición como:\nf = − 1\nlnZ Z = exp (H( ).\n† Este argumento se añade desde la versión publicada.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 9\nPara progresar hacemos uso de las propiedades de auto-aprovechamiento previstas del sistema.\nLa suposición es que en el sistema grande limitar cualquier dos instancias seleccionadas al azar\ntendrá, con alta probabilidad, propiedades estadísticas indistinguibles. Esta suposición\ntiene una base firme en varios problemas relacionados [15], y además es intuitivo después de\nUn poco de reflexión. Si esta suposición es verdadera, entonces los estatistas de cualquier instancia en particular pueden\nser descrito completamente por la energía libre promediada en todos los casos del trastorno. Nosotros\npor lo tanto, están interesados en la cantidad\nF = F = − lim\nlnZI, (16)\ndonde los corchetes en ángulo representan las medias ponderadas sobre I (las instancias). Los\nla densidad de entropía puede calcularse a partir de la densidad de energía libre mediante el uso de la relación\ns = β(e− f), (17)\ndonde e es la densidad de energía.\nPara determinar la energía libre debemos promedio sobre el desorden en (16), que es un difícil\nproblema, excepto en casos especiales. Esta es la razón por la que hacemos uso de la identidad de réplica\nlnZI = lim\n\"Zn'I\". (18)\nPodemos modelar el sistema ahora como uno de réplicas que interactúan, donde Zn está descompuesto como un\nproducto de un número entero de funciones de partición con condicionalmente independiente (dado\nla instancia del trastorno) variables dinámicas. La discreción de las réplicas es esencial\nen la primera parte del cálculo, pero se requiere una continuación de los números reales\nen la toma de n → 0+ – esta es una suposición notoria, que las matemáticas rigurosas no pueden\nSin embargo, justificar el caso general, a pesar de los progresos realizados en los últimos años [16, 17, 18].\nSin embargo, asumiremos la validez y ya que la metodología para las estructuras escasas es\nbien establecidos [19, 20, 15] omitimos nuestros detalles particulares. La forma funcional final para\nla energía libre se determina de\n# Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # # # Zn # # # # # # Z n # # # # # Zn # # # # Zn # # # # Z n # # # # # Z n # # # # # # # # Z n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \ndP (b)dP(b)\nexp{lnN +N(G1(n) +G2(n) +G3(n))} ; (19a)\nG1(n) = ln\n2α/2\nP (b)\n(b− )\nP (L)\n; (19b)\nG2(n) =\nP (b)(b)(f)(f)(c)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(c)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)()(f)()(f)()(f)(c)()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()()()())()))))()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()())()()()()))()()())))()()()()()))()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\nG3(n) = α ln\n(−L)C\n(b, )\nP (C)\nP0(b)\n; (19d)\ndonde N es una constante debido a la normalización de los conjuntos (6). Esta expresión puede ser\nevaluado en el punto de silla de montar para dar una expresión para la energía libre. En el término (19d)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 10\nse contabilizan los casos en que la distribución de probabilidad marginalizada P0(b) y\nLa distribución de probabilidad marginal supuesta (descrita por H) es asimétrica. En el caso\nde la tasa máxima que vamos a considerar, el promedio b es trivial y H = 0. Suministrado\nque además la distribución del factor de ganancia es simétrica entonces es posible eliminar\nla dependencia b en los parámetros de orden, ya que la simetría P (b,) = P (−b,) y\nLa energía libre deja invariante a la energía libre.\n3.3. Ecuaciones simétricas réplica\nLa forma concisa para nuestras ecuaciones se logra usando la suposición de réplica de simetría\n(RS). Esto equivale a la suposición de que las correlaciones entre réplicas son todas\nidéntico, y determinado por una distribución compartida única. La validez de esta suposición\npuede ser autoensayado consistentemente (sección 3.5). Esta hipótesis difiere de la utilizada\npor Yoshida y Tanaka [2] donde las correlaciones son descritas por sólo un puñado de\nparámetros en lugar de una distribución una vez que se asume RS - este enfoque puede, por lo tanto\nfalta algo de la estructura detallada, aunque es más fácil de manejar numéricamente. La orden\nparámetro en nuestro caso es dado por\nP (b, ) =\ndη(x)\n(1 + bx)\n; (20a)\n(b, ) = qâ °\nd(x)\n(1 + bx) ; (20b)\ndonde q es una constante de normalización variacional y γ, son distribuciones normalizadas en\nel intervalo [−1, 1]. A partir de aquí podemos considerar el caso en el que las variables de bits\nLos factores de ganancia y ganancia se miden a b ( > b → • • • • • b → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nUtilizando el método de Laplace, esto da la siguiente expresión para la (RS) energía libre\nen el punto de silla de montar\nFRS = −\nExtrη,bη\nG1,RS(L)(n) + G2,RS(n) + G3,RS(C)(n)\ndonde\nG1,RS(n)\n= − Ln 2\n[dl(xl)]\nln Trl=±1L\n* (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) () (l) () (l) () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()\nP (L)\n; (22a)\nχL(*;,, {x}) = exp\n(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)\n(1 + Łlxl) ; (22b)\nG2,RS(n) = − L\ndη(xc)d(xÃ3c) ln(1 + xxÃ3c) ; (22c)\nG3,RS(n) = α\n[d(xÃ3c)] ln\n(1 + x+c) +\n(1 a x + c)\nP (C)\n. (22d)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 11\ny se ha introducido el valor del punto de sillín para (= L). Los promedios son superiores a los de L° y C°\nencapsular las diferencias entre los conjuntos.\nEcuación (22b) describe la interacción en un solo chip en el gráfico de factores (figura 1)\nde conectividad L. Los factores de ganancia y reconstruidos son el parámetro â € € TM y la variable â € € TM\nbits respectivamente, ambos medidos en el bit transmitido, mientras que • es la instancia del chip\nruido.\nLas distribuciones variacionales del orden, son elegidas para extremizar (21). El yo\nLas ecuaciones consistentes alcanzadas por el método del punto de sillín son:\n(x) =\n[dl(xl)]\nTrl=±1}\nTrl=±1} L\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nP (L)\n(23a)\n{L} = exp = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =\n(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)\n(1 + Łlxl) (23b)\nη(x) =\n[d(xc)]\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c) +\nc=1(1− x+c)\nP (C)\n. (23 c)\nLas variables P (Lū) y P (Cū) son aquí las distribuciones excesivas de los grados de la\nconjunto (6). Para conjuntos con restricciones regulares el chip y los excesos del usuario son L − 1\ny C − 1 respectivamente. Para las distribuciones de Poissonian la distribución de exceso de grado es la\ndistribución completa de los títulos.\nAparte de la entropía, las demás cantidades de interés podrán determinarse a partir del\ndistribución de probabilidad para el solapamiento de variables reconstruidas y enviadas mk = k,\nP (m) = lim\n*Mk,m*\n, (24)\n[d(xc)]\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c)+\nc=1(1− x+c)\nP (C)\n. (25)\nFinalmente observamos que expresiones equivalentes a estas encontradas con la suposición de RS\npuede obtenerse utilizando el método de cavidad [6] con la asunción de un único estado puro.\nEste enfoque es probabilístico y por lo tanto más intuitivo en algunos niveles.\n3.4. Dinámica de la población\nEl análisis de estas ecuaciones está limitado principalmente por la naturaleza de las ecuaciones (23a-\n23c). No hay soluciones exactas aparentes, y los regímenes perturbadores sobre el ferromagnético\nsolución (que es sólo una solución para el ruido cero) son difíciles de manejar. En consecuencia\nUtilizamos dinámica de población [21] – representando las distribuciones (x), (x)} por finito\npoblaciones (histogramas) e iterar esta distribución hasta la convergencia. Se espera,\ny observó, que cada histograma captura suficiente detalle para describir el continuo\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 12\nfunción y la dinámica (descrita a continuación) permiten la convergencia hacia una verdadera solución\ndistribución con sólo pequeñas correcciones debido a los efectos de tamaño finito.\nResolver las ecuaciones (23a,23c) con histogramas finitos de dinámica poblacional\nse utilizan magnetizaciones de cavidades no dirigidas M. Histogramas aproximándose\ncada función se forma\nη(x) → W = {x1,. .., xi,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nη(xá) → = {xá1,. ................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ncon M lo suficientemente grande como para proporcionar una buena resolución en las medidas de rendimiento deseadas.\nLa dinámica de minimización discreta de los histogramas se deriva de (23a-23c).\nLas actualizaciones del histograma se realizan alternativamente, con toda la magnetización en el histograma\nque se actualicen secuencialmente. En la actualización del campo xa los parámetros apagados {L.,..................................................................................................................\nse muestrean, siendo Ls el grado de exceso de chip, y las magnetizaciones de Ls se eligen al azar\ndesde W, definiendo hasta (23a) la actualización\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nTrl = ± 1 {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L}\nTrl=±1} L\n. (28)\nLa actualización del otro histograma sigue la dinámica en la que se muestra C\nel exceso de grado del usuario, junto con las magnetizaciones seleccionadas al azar de C\na través de (23c) la actualización\nc=1(1 + x+c)−\nc=1(1− x+c)\nc=1(1 + x+c) +\nc=1(1− x+c)\n. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nExiste una fuerte analogía entre el algoritmo de dinámica poblacional y el de\nmensaje pasando en una instancia particular del gráfico. La iteración de los histogramas\nimplícito en (28-29) es análogo a la propagación de una población de magnetizaciones de cavidades\nentre los nodos del factor (a) y del usuario (i), que pueden escribirse como ecuaciones autosistentes:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nTrl=±1i exp\nlari\n(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)\nlari\n(1 + Łlxl→a) ; (30a)\nxi→a =\nCira\n(1 + x+c→i)−\nCira\n(1 - x-c→i)\n; (30b)\ndonde Nx,x® son las normalizaciones relevantes, y la abreviatura ♥y indica el conjunto\nde nodos conectados a y. En la dinámica de la población, la noción de un gráfico en particular\ncon bordes etiquetados está ausente sin embargo, y la única distribución de los dos tipos\nde magnetizaciones son relevantes.\n3.5. Análisis de estabilidad\nPara probar la estabilidad de las soluciones obtenidas consideramos tanto la aparición de\nEntropía no negativa, y un parámetro de estabilidad definido a través de una consideración de la\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 13\nfluctuación disipación teorema. El primer criterio para que la entropía no sea negativa es\n, basado en el hecho de que las soluciones físicamente viables en sistemas discretos deben tener no-\nEntropía negativa para que cualquier solución encontrada que no cumpla estos criterios se base en\nmalas premisas; réplica de simetría es una fuente probable.\nEl parámetro de estabilidad se define en relación con el método de la cavidad para el giro\ngafas [22] y prueba la estabilidad local de las soluciones. Es equivalente a la prueba de la local\nestabilidad de las ecuaciones de propagación de creencias como se propone en [23]. Una condición necesaria para\nla estabilidad de la solución de RS es que la sensibilidad correspondiente no diverge.\nEsta condición asegura que los campos no estén fuertemente correlacionados. La susceptibilidad del vidrio giratorio\ncuando se puede definir un promedio sobre las instancias\nOooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\n, (31)\ndonde d es la distancia entre dos nodos en el gráfico factorial, el promedio interno denota\nla función de correlación conectada entre estos nodos, Xd describe el número típico\nde variables a distancia d, y el promedio externo es sobre las instancias del trastorno (auto-\npromedio de la parte). Esta cantidad no es divergente a condición de que:\n* = ln. = ln................................................................................................................................\nOooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\nes negativo, ya que esto indica una disminución exponencial asympopticamente en los términos de (31)\ny, por lo tanto, la convergencia de la suma. En el límite termodinámico la correlación conectada\nfunción está dominada por un único camino directo que puede ser descompuesto como una cadena de local\nsusceptibilidades lineales\n# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\ni, j)\n♥xi→a\n* x • b → i\n* x • b → i\nxj→b\n, (33)\ndonde (i,j) indica el conjunto de variables en la ruta más corta entre los nodos 0 y d en una\nejemplo particular del gráfico (30a).\nEsta representación nos permite construir una estimación para basada numéricamente\nsobre principios similares a la dinámica de la población [24] – la dirección y la estructura fija\nimplícita en un problema particular se elimina con la suposición de auto-ahorrar dejando un\ndescripción funcional similar a (23a-23c), que puede ser iterada. Para aproximar\nel parámetro de estabilidad se introduce números positivos adicionales en la población\nhistogramas dinámicos (27b,27a), xi → {xi, vi} y xáa → {xáa, váa} respectivamente. Estos nuevos\nlos valores representan los tamaños relativos de las perturbaciones en cada magnetización, y se actualizan\nen paralelo a (28,29) como\n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = =\n, (34)\ny con asignaciones similares para la actualización de campo de W\n. (35)\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 14\nLos derivados parciales se calculan a partir de (28-29) y se evalúan en el\nvalores en la población muestreada. Si el punto fijo final es estable contra pequeño\nlas perturbaciones en el campo inicial entonces estos valores {v, v deben decaer exponencialmente en\npromedio. Renormalización de {vi} y {va} de tal manera que la media es 1 después de cada actualización es\nnecesario. La constante de renormalización numérica para cada rendimiento de población (dependiente)\nlas estimaciones de , que se pueden muestrear en un tiempo de convergencia adecuado (final de la {W, \nproceso de minimización).\nAl igual que la dinámica de la población, esperamos que el comportamiento sea sensible a la inicialización\ncondiciones y efectos de tamaño finito en algunas circunstancias. Además, la estimación requiere\nbuena resolución en los histogramas W y .\n4. Resultados\nLos resultados se presentan aquí para el caso canónico del teclado de cambio de fase binario (BPSK)\ndonde {1,−1} {1,} con la misma probabilidad. Además, asumimos un modelo del GTEN para\nel verdadero ruido فارسى (de varianza 20). Para fines de evaluación asumimos el ruido del canal\nnivel se conoce con precisión, de modo que β = 1, empleando la temperatura de Nishimori [5]. Esto\ngarantiza que la solución RS es termodinámicamente dominante. Además, la energía\ntoma un valor constante a la temperatura de Nishimori y por lo tanto la entropía es afín a\nla energía libre. Donde de interés trazamos las estadísticas comparables para el Usuario Único\nCanal gaussiano (SUG), y el conjunto densamente extendido, cada uno con detectores MPM –\nequivalente a la máxima probabilidad para los bits individuales.\nPara la dinámica de la población se inicializan dos poblaciones paralelas (27a,27b)\nuniformemente al azar, o en estado ferromagnético. Estas dos poblaciones son conocidas\npara converger hacia la solución única, donde existe, desde direcciones opuestas, y\npor lo que podemos utilizar su convergencia como un criterio para detener el algoritmo y pruebas para el\naparición de múltiples soluciones. En el caso de que converjan en diferentes soluciones\nGeneralmente podemos identificar la solución convergente desde el estado inicial ferromagnético como\nuna buena solución - en el sentido de que reconstruye bien, y que llegó de azar\nestado inicial como una mala solución. En el algoritmo de propagación de creencias equivalente uno no puede\nelegir condiciones iniciales equivalentes a ferromagnética – sabiendo la solución exacta\nPor supuesto, hace que la decodificación sea redundante. Por lo tanto, esperamos las propiedades de los malos\nsolución para ser los realizables por la propagación de la creencia (aunque los algoritmos inteligentes pueden ser\ncapaz de escapar a la buena solución en algunas circunstancias). Las variables de estabilidad\n{v, v fueron inicializados independientemente cada uno como el cuadrado de un valor extraído de un gaussian\ndistribución – y las pruebas indicaron que otras distribuciones razonables produjeron resultados similares.\nLos recursos informáticos limitan los casos estudiados en detalle a una División del Sector Privado intermedia\nrégimen, y pequeño L. En particular, el problema en PSD bajo, es el ruido gaussiano\npromedio, que es poco estimado, mientras que en alta PSD la mayoría del histograma es\nconcentrados en magnetizaciones x, x+ 1 que no permitan una resolución suficiente en el resto de\nel histograma.\nVarias medidas diferentes se calculan a partir del parámetro orden convergente,\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 15\nque indique el rendimiento de la CDMA escasamente difundida. Usando los histogramas convergentes\npara los campos somos capaces de determinar las siguientes cantidades: energía libre, energía y\nhistograma para la distribución de probabilidad, a partir de discreciones de los previamente presentados\necuaciones (23a-23c). Usando la distribución de probabilidad también somos capaces de aproximar\nla tasa de error de bit de decodificación\ndP (m)\n1− signo(m)\n; (36)\nEficiencia de los usuarios múltiples\nMuE =\nerfc−1(Pb)\n; (37)\ne información mutua entre los bits enviados y reconstruidos por chip, I(b; )/N (tomando\nuna forma factorizada dada la hipótesis de RS)\nIM = α\ndP (m)\n1 + m\n1 + m\n. 38)\nLa eficiencia espectral es la capacidad I( ;y) por chip, que es afín a la entropía (y\nla energía libre a la temperatura de Nishimori)\n............................................................................... (39)\nSe puede identificar la entropía negativa cuando la eficiencia espectral medida supera la carga,\ny los puntos de transición termodinámica corresponden a puntos de eficiencia espectral coincidente.\nFigura 2‡ muestra algunas propiedades generales del conjunto regular en el que el\nLas conexiones de grado variable y factor son C : L = 3 : 3, respectivamente. Ecuaciones (23a-\n23c) fueron iterados utilizando la dinámica de la población y se calcularon las propiedades relevantes\nutilizando las soluciones obtenidas; los datos presentados se promedian en más de 100 ejecuciones y barras de error,\nque son típicamente pequeños, se omiten para la brevedad. La figura 2 a) muestra la tasa de error de bits\nen los códigos regular y Poissonian, el conjunto se centra en la gama donde la escasa-regular\ny casos densos cruzados. Los escasos códigos muestran tendencias similares al caso denso\nsalvo el código irregular, que presenta un rendimiento más débil en general y, en particular, en\nPSD alto. Las tendencias detalladas pueden verse en la figura 2(b) que muestra la eficiencia multiusuario.\nCódigos con conectividad de usuario regular muestran un rendimiento superior con respecto a la densa\ncaso en PSD bajo. En el gráfico 2 c) se observan tendencias similares en la eficiencia espectral y en la\ninformación (mostrada en el conjunto); el efecto del componente desconectado (usuario) es claro\nen el hecho de que el código irregular no alcanza la capacidad a niveles de ruido elevados. En general\nparece que la distribución de la conectividad del chip no es crítica para cambiar las tendencias presentes,\na diferencia de la distribución de conectividad del usuario. Se encontró en estos casos (y todos los casos con\nsoluciones únicas para el PSD dado), que el algoritmo convergía a la entropía no negativa\nvalores y a una medida de estabilidad fluctuando alrededor de un valor inferior a 0, como se muestra en\nFigura 2 d). Estos puntos indicarían la idoneidad de la hipótesis de la RS.\n‡ Esta cifra ha sido modificada de la versión publicada, la diferencia es que el chip Poissonian\nLos códigos de conectividad tienen en todas partes un rendimiento más débil que el conjunto de código regular denso y escaso.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 16\nEl rendimiento de códigos densos por conjuntos escasos con conectividad de usuario regular\nen el régimen PSD bajo es nuevo a nuestro conocimiento, aunque la conectividad de chip Poissonian\nes en todas partes inferior tanto a los códigos densos y regulares dispersos. La diferencia entre\nlos códigos desaparecen rápidamente con el aumento de la densidad (conexión) a α fijo (figura 3). Esto\nestá en línea con nuestra predicción de que el código regular es un conjunto de alto rendimiento en\nPreceding sections.\nLa figura 3 indica el efecto del aumento de la densidad a α fijo en el caso de la\nCódigo regular. A medida que aumenta la densidad las estadísticas de los códigos escasos enfoque que\ndel canal denso en todos los conjuntos probados. Para el funcionamiento irregular del conjunto\naumenta monótonamente con densidad en todos los PSD. La rápida convergencia a la densa\nEl rendimiento de los casos se observó en otros lugares para conjuntos parcialmente regulares, y conjuntos\nbasado en un insumo previo gaussiano [2, 7]. En todas las densidades para las que las soluciones únicas eran\nencontró que la suposición de RS apareció validada en el parámetro de estabilidad y entropía.\nLa Figura 4 indica el efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento. Primero explicamos los resultados\npara los códigos en los que sólo se encontró una solución única (no hay coexistencia de soluciones). Para pequeños\nvalores de la carga un aumento monotónico en la tasa de error de bits, y la capacidad se observan como α\nse incrementa con la constante C, como se muestra en las figuras 4(a) y 4(b), respectivamente. Esto coincide.\nla tendencia en el caso denso, el código denso se vuelve superior en el rendimiento a la escasa\ncódigos a medida que aumenta la PSD. Encontramos que para todos los conjuntos escasos existían regímenes con\nα > 1,49 para los que sólo existía una solución estable única, aunque el equivalente denso\nSe sabe que los sistemas tienen dos soluciones estables en algún rango de PSD [3]. En todos los solteros\nse observó una entropía positiva y un parámetro de estabilidad negativo. Sin embargo,\nen casos de grandes α muchas características se hicieron más pronunciadas cerca de la solución de caso denso\n• Régimen de coexistencia: en particular, la cúspide en el parámetro de estabilidad, la distancia entre el IMF y el\ny el gradiente en Pb.\n4.1. Regímenes de Coexistencia de Solución\nComo en el caso de la densa CDMA [3], también aquí observamos un régimen donde dos soluciones, de\nmuy diferente actuación, coexisten. Con el fin de investigar el régimen en el que dos soluciones\ncoexistimos investigamos los estados llegados desde el inicio aleatorio y ferromagnético\ncondiciones (dar soluciones malas y buenas, respectivamente). Convergencia heurística separada\ncriterios fueron encontrados para los histogramas, y estos parecían funcionar bien para el bien\nsolución. Para la mala solución simplemente presentamos resultados después de un número fijo de histograma\nactualizaciones (500) ya que todos los criterios de convergencia probados parecían demasiado estrictos, para exigir\nescalas temporales experimentalmente inaccesibles, o no capturaron los valores asintóticos para\ncantidades importantes como la entropía. Creemos que 500 actualizaciones son lo suficientemente conservadoras\npara captar las propiedades de estas soluciones, sin embargo.\nLa Figura 4(a) muestra la dependencia de la tasa de error de bits en la carga, que también es\nequivalente a L/C. Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con la carga y el\nla aparición y coexistencia de dos soluciones separadas por encima de un determinado punto; en el caso\nde los 6 : 3 código el punto por encima del cual coexisten las dos soluciones es PSD = 10.23dB como\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 17\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDense0 1 2 3 4 5 6 7 8\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDenso(b)\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nDenso\n2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nIrreg.\nP. Reg.\nReg. Tipo 1\nReg. Tipo 2\nGráfico 2 Desempeño de la escasa configuración CDMA de grado variable y factorial\nconnectividades C : L = 3 : 3, respectivamente; todos los datos presentados sobre la base de 100 ejecuciones, error\nlas barras se omiten y son típicamente pequeñas en las subfiguras (a)-(c) la suavidad de las curvas\nser característico de este nivel (precisión numérica fue excelente sólo en\nPSDs). (a) La tasa de error de bits está limitada por el componente desconectado en el caso de\ncódigos irregulares, de lo contrario las tendencias coinciden con el caso denso, más bajo limitado por el SUG. Inset\n- el rango donde los casos poco regulares y densos se cruzan.b) Eficiencia de los usuarios múltiples\nindica que los códigos de conectividad de usuario regulares superan el caso denso por debajo de algunos PSD.\nc) La eficiencia espectral [——] muestra tendencias similares, siendo positiva la entropía.\nLa brecha entre la información mutua [· · · · · ·] y la eficiencia espectral (mostrada en el\ninset) es en todas partes pequeño y especialmente en PSD pequeño y grande, lo que indica poco\npérdida de información en el proceso de decodificación. d) Los dos indicadores muestran los resultados medios\npara las dos estimaciones de estabilidad diferentes en el algoritmo para el código regular. Hay\nerrores sistemáticos en la PSD pequeña, y la convergencia es buena sólo en la PSD intermedia.\nLas líneas representan la media de estas cantidades para cada conjunto – todos los conjuntos muestran\nuna cúspide en algunos PSD, para 3 : 3 códigos los diversos conjuntos muestran tendencias muy similares,\nindicando la estabilidad local en todas partes.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 18\n−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10\nDensidad de potencia espectral [dB]\nDenso\n0 1 2 3 4 5 6 7 8\nDensidad de potencia espectral [dB]\nDenso\nGráfico 3 El efecto de aumentar la densidad para el conjunto regular: (a) Multiusuario\neficiencia, b) eficiencia espectral [——] e información mutua [– – –]. Datos presentados sobre\nla base de 10 carreras, las barras de error se omiten pero de un tamaño comparable con la suavidad\nde las curvas. El rendimiento de códigos escasos se aproxima rápidamente al del código denso\nEn todas partes. El umbral PSD más allá del cual el denso código supera al escaso\nEl código es bastante estable.\nindicado por la línea punteada vertical.\nUtilizamos el código regular 6 : 3 para demostrar la coexistencia de la solución que se encuentra arriba\nalgunos PSD en varios códigos. El inicio de la distribución bimodal puede ser identificado por\nla divergencia en el tiempo de convergencia en el régimen de solución única (el tiempo para\nhistogramas ferromagnéticos y aleatorios para converger a una distribución común). La hora\npara que esto ocurra, en una estadística y precisión elegida heurísticamente, se representa en la figura 4(b).\nPor una regresión lineal ingenua a lo largo de 3 décadas encontramos un exponente de la ley de poder de 0,59 y\nun punto de transición de PSD = 10.23dB, pero no puede proporcionar una medida de la bondad de ajuste a\nestos datos. Esto representaría el punto en el que coexisten al menos dos soluciones estables.\nMás allá de PSD 12dB sólo una solución estable se encuentra de ambos al azar y\ncondiciones iniciales ferromagnéticas, correspondientes estadísticamente a la continuación del\nsolución. Una solución que se asemeja estadísticamente a una continuación de la mala solución es\na veces llegados de ambas condiciones iniciales, esta solución tuvo una estabilidad positiva\nparámetro y entropía negativa – así que no es una solución viable. Así predecimos un segundo\ntransición dinámica en la región de 12dB, como podría adivinarse en comparación con el\ncaso denso y observación de la tendencia en el parámetro de estabilidad [véase la figura 4, letra c)].\nLos resultados de estabilidad se presentan en la figura 4 c). Sólo se encontraron dos soluciones estables\nen la región más allá de este punto crítico y hasta 12dB, que inferimos que es viable RS\nsoluciones (donde la entropía es positiva). La mala solución hasta 12dB tiene un bien resuelto\nvalor negativo. La buena solución tiene un valor negativo en su media, pero como otros cerca\nsoluciones ferromagnéticas investigados resultados son muy ruidosos debido a cuestiones numéricas relacionadas\na resolución de histogramas.\nTanto la capacidad como la eficiencia espectral aumentan monótonamente con la carga como se muestra en\nFigura 4 d). Para el código 6 : 3 vemos una separación de las dos soluciones en PSD = 10.23dB\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 19\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n - División del Sector Privado\nMedia de datos\nAjuste lineal\nLímites\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n−4 −2 0 2 4 6 8 10 12\nDensidad de potencia espectral [dB]\n6:3 (Bad)\n6:3 (Bien)\n8 10 12 \nGráfico 4 El efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento para el conjunto regular. Datos\npresentado sobre la base de 10 tiradas, las barras de error omiten pero se caracterizan por la suavidad\nde curvas. Las líneas rotas indican los códigos analógicos densos. La línea punteada vertical\nindica el punto más allá del cual 6 : 3 condiciones iniciales aleatorias y ferromagnéticas fallaron\npara converger a la misma solución, ambas soluciones dinámicamente estables se muestran más allá de\nEste punto. (a) Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con el aumento de la carga.\n(b) La investigación del código 6 : 3 (α = 2) indica una divergencia en el tiempo de convergencia como\nPSD → 10,23dB con exponente 0,59 basado en una regresión lineal simple de 15 puntos (cada uno\npunto es la media de 10 carreras independientes). Más allá de este punto diferentes condiciones iniciales\ndar lugar a una de dos soluciones. c) Se determinó que el parámetro de estabilidad era negativo\npara todas las soluciones convergentes, indicando la idoneidad de la RS. Donde la solución está cerca\nferromagnético la medida de estabilidad se vuelve rápidamente muy ruidoso (como se muestra para el 5 : 3\ny 6 : 3 códigos). d) A medida que aumenta la carga α hay un aumento monotónico de la capacidad.\nLa eficiencia espectral de la solución ’malo’ supera 2 en un pequeño intervalo (equivalente a\nEntropía negativa), similar al comportamiento notificado para el caso denso.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 20\n(línea vertical punteada.) Las líneas discontinuas corresponden a un comportamiento similar observado en el\ncaso denso (el rango de interés se magnifica en el conjunto.) Una cruz en la entropía de la\ndos soluciones distintas, cerca de PSD 11dB, es indicativo de una transición de fase de segundo orden.\nComo en el caso denso, sólo la solución de menor eficiencia espectral es termodinámicamente\nrelevante en un determinado PSD, aunque es probable que el otro sea importante en la decodificación de la dinámica.\nLas tendencias en el caso escaso siguen el caso denso cualitativamente, con la buena solución\ntener un rendimiento ligeramente peor que la solución correspondiente en el caso denso\n(y viceversa para la mala solución).\nLa entropía de la mala solución se vuelve negativa en un pequeño intervalo (espectral\nla eficiencia supera el 2), aunque no se observa inestabilidad local. La estática y dinámica\nLas propiedades de los histogramas parecen estar bien resueltas en esta región. Sin embargo, el\nEntropía negativa indica inestabilidad hacia un tipo de solución no capturada\ndentro del supuesto RS, o hacia alguna configuración metaestable. No lo haremos.\nespecular aún más, la mala solución es en cualquier caso termodinámicamente subdominante en\nsu forma baja y negativa de entropía.\nNuestra hipótesis es, por lo tanto, que las tendencias en los conjuntos escasos coinciden con los de\nlos conjuntos densos dentro de la región de convivencia y RS siguen siendo válidos para cada\nde dos soluciones distintas de entropía positiva. La región de convivencia para los códigos escasos es\nSin embargo más pequeño que en los correspondientes conjuntos densos. Desde la actualización de nuestro histograma\nreflejar las propiedades de un algoritmo de propagación de creencias en un gráfico aleatorio que podemos sospechar\nque la mala solución puede tener implicaciones para la realización de la propagación de creencias\nla decodificación en la región de coexistencia, y que los problemas de convergencia aparecerán cerca de\nregión. En los códigos regulares del usuario se investigó la mala solución del conjunto escaso\nsupera la mala solución del conjunto denso, y viceversa para la buena solución.\nPor lo tanto, independientemente de si el bajo rendimiento de decodificación es bueno o malo, el dinámico\npunto de transición para el conjunto denso correspondería a un PSD más allá del cual denso\nCDMA supera a CDMA en una carga en particular.\n4.2. Eficiencia espectral Resultados numéricos más bajos\nFinalmente presentamos la figura 5, que muestra la información mutua entre una sola\nchip y bits transmitidos para conjuntos escasos de conectividad de chips diferentes en el infinito\nPSD (límite cero de ruido) (15). Esto muestra que en la expectativa de un chip extraído de la\nconjunto regular contiene más información sobre los bits transmitidos que un chip dibujado\nde cualquier otro conjunto (incluido el conjunto Poissonian). La diferencia entre la\nlos conjuntos regulares y poissonianos se vuelven relativamente más pequeños a medida que L aumenta. Esto parece\nconsistente con los resultados del método de réplica encontrado en alta PSD, aunque chip regular\nconectividad subrealizada en comparación con la conectividad de chip distribuida de Poisson\nen el régimen de baja PSD, que no estaba previsto por la aproximación de un solo chip.\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 21\n0 5 10 15 20 25\nConectividad media del chip, L\nPoissonian\nGráfico 5 Un PSD → • límite a la información mutua esperada entre un solo chip,\ny los bits transmitidos. La información mutua es más alta para las conexiones regulares de chip,\ncon el resultado de conectividad de chip Poissonian también se muestra, la discrepancia se convierte en\nrelativamente pequeño a medida que L aumenta. El conjunto muestra la información mutua/bit decodificada\nEn el caso de las empresas de servicios de inversión, el importe de la ayuda se calcula sobre la base del importe total de la ayuda concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado, de conformidad con el artículo 107, apartado 1, del TFUE.\nmostrar más detalles en los casos de pequeño L.\n5. Observaciones finales\nNuestros resultados demuestran la viabilidad de códigos regulares escasos para su uso en CDMA. En\nPSD moderado parece que el rendimiento de códigos regulares escasos puede ser muy bueno. Con\nla suposición simétrica réplica aparentemente válida en PSD práctica es probable que rápido\nalgoritmos basados en la propagación de creencias pueden ser muy exitosos en el logro de la teoría\nresultados. Por otra parte, para los códigos de menor densidad escasa el problema del régimen de coexistencia,\nque limita el rendimiento de los métodos prácticos de decodificación, parece ser menos omnipresente\nque para conjuntos densos en el régimen sobre saturado.\nUna evaluación directa de las propiedades de la propagación de creencias puede demostrar resultados similares\na los que se muestran aquí. En ausencia de réplica de estados de rotura de la simetría es normalmente\nverdad que la propagación de la creencia funciona muy bien. Sin embargo, para hacer el mejor uso del canal\nlos recursos pueden ser preferibles para aplicar regímenes de alta carga en los casos de alta PSD, y\nsuperar los problemas algorítmicos que surgen de la convivencia de la solución es un reto\nde importancia práctica en este caso.\nSin duda, otras cuestiones prácticas en la aplicación son importantes. Similar al caso\ndenso CDMA hay problemas considerables relacionados con el multipath, el desvanecimiento y el poder\ncontrol, de hecho se sabe que estos efectos son más perturbadores para los códigos escasos,\nespecialmente códigos regulares. Sin embargo, ciertas situaciones como la radiodifusión (una a muchas)\ncanales y enlace descendente CDMA, donde se puede suponer la sincronización, puede ser práctico\npuntos para su futura aplicación. Hay ventajas prácticas del caso escaso sobre\ncódigos densos y ortogonales en algunos regímenes. Es probable que el escaso método CDMA sea\nespecialmente útil en el acceso múltiple a la división de código de frecuencia y tiempo de salto\nAplicaciones (FH y TH -CDMA) donde el efecto de estas limitaciones prácticas es menor\nCDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 22\nEn este sentido, se ha hecho hincapié en la necesidad de mejorar la calidad de vida de los trabajadores.\nExtensiones basadas en nuestro método a casos sin control de potencia o sincronización\nhan sido intentados y son bastante difíciles. Examen de los antecedentes de las aportaciones, en\nparticular los efectos cuando la CDMA escasa se combina con algún método de codificación puede\nTambién ser interesante.\nAgradecimientos\nSoporte de EVERGROW, IP No. 1935 en el VIPM de la UE es agradecido.\nDS quisiera agradecer a Ido Kanter por sus útiles discusiones.\nBibliografía\n[1] S. Verdu. Detección multiusuario. Cambridge University Press, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 1998.\n[2] M. Yoshida y T. Tanaka. Análisis de cdma escasamente difundido a través de la mecánica estadística. En las deliberaciones\n- Simposio internacional de la IEEE sobre teoría de la información, 2006, págs. 2378 a 2382, 2006.\n[3] T. Tanaka. Un enfoque estadístico-mecánico para el análisis de grandes sistemas de detectores multiusuario de cdma.\nTeoría de la Información, IEEE Transactions on, 48(11):2888–2910, Nov 2002.\n[4] D. Guo y S. Verdu. Comunicaciones, Información y Seguridad de Redes, capítulo Multiusuario\nDetection and Statistical Mechanics, págs. 229 a 277. Kluwer Academic Publishers, 2002.\n[5] H. Nishimori. Física Estadística de Gafas Giratorias y Procesamiento de la Información. Oxford Science\nPublicaciones, Oxford, Reino Unido, 2001.\n[6] M. Mezard, G. Parisi, y M.A Virasoro. Spin Glass Theory and Beyond. Científicos Mundiales,\nSingapur, 1987.\n[7] A. Montanari y D. Tse. 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Phys. Rev. E., 76(1):011101, 2007.\n\tAntecedentes\n\tEl modelo\n\tConjuntos de código\n\tMetodología\n\tEficiencia espectral Acoplamiento inferior\n\tEsquema del método de réplica\n\tEcuaciones simétricas réplica\n\tDinámica de la población\n\tAnálisis de estabilidad\n\tResultados\n\tRegímenes de Coexistencia de Solución\n\tEficiencia espectral Resultados numéricos más bajos\n\tObservaciones finales\n"}}},{"rowIdx":92,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0099,"string":"704.0099"},"title":{"kind":"string","value":"On Ando's inequalities for convex and concave functions"},"full_text":{"kind":"string","value":"Sobre las desigualdades de Ando para convexos y cóncavos\nfunciones\nKoenraad M.R. Audenaert\nInstituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,\n53 Prince’s Gate, Londres SW7 2PG, Reino Unido\nJaspal Singh Aujla\nDepartamento de Matemáticas Aplicadas, Instituto Nacional de Tecnología,\nJalandhar 144011, Punjab, India\nResumen\nPara matrices semidefinidas positivas A y B, Ando y Zhan demostraron las desigualdades\nf(A) + f(B) ≥ f(A + B) y g(A) + g(B) ≤ g(A + B), para cualquier\nnorma unitariamente invariante, y para cualquier monotono de operador no negativo f en [0,\ncon función inversa g. Estas desigualdades se han generalizado muy recientemente a\nfunciones cóncavas no negativas f y funciones convexas no negativas g, por Bourin\ny Uchiyama, y Kosem, respectivamente.\nEn este artículo consideramos la pregunta relacionada si las desigualdades f(A)−\nf(B) ≤ f(A−B), y g(A)− g(B) ≥ g(A−B), obtenido por Ando,\npara el operador monotona f con g inversa, también tienen una generalización similar a non-\nnegativo cóncavo f y convex g. Contestamos exactamente esta pregunta, en el negativo\npara matrices generales, y afirmativamente en el caso especial cuando A ≥ B.\nEn el curso de este trabajo, introducimos la noción novedosa de Y - majori dominado\nsation entre los espectros de dos matrices ermitañas, donde Y es en sí mismo un ermitaño\nmatriz, y demostrar una cierta propiedad de esta relación que permite fortalecer la\nlos resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem, mencionados anteriormente.\nPalabras clave: Desigualdad de las normas de la matriz, funciones convexas, majorización.\n1991 MSC: 15A60\nDirección de correo electrónico: k.audienaert@imperial.ac.uk (Koenraad M.R. Audenaert),\naujlajs@nitj.ac.in (Jaspal Singh Aujla).\nPreprint enviado a Elsevier el 1 de noviembre de 2018, 20:38\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0099v1\n1 Introducción\nEn [1], Ando demostró las siguientes desigualdades por semidefinido positivo (PSD)\nmatrices A, B, y cualquier norma unitariamente invariante (UI). Para cualquier no negativo\nfunción monotona del operador f(t) en [0,\nf(A)− f(B) ≤ f(A−B), (1)\ny, cuando f(0) = 0 y f() = , y g es la función inversa de f,\ng(A)− g(B) ≥ g(A−B). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nEn un artículo posterior [2], Ando y Zhan demostraron las desigualdades relacionadas (con el\nlas mismas condiciones en f y g)\nf(A) + f(B) ≥ f(A+B), (3)\ng(A) + g(B) ≤ g(A+B). 4)\nLas condiciones en f son satisfechas por cada función cóncava del operador f con\nf(0) = 0.\nLa desigualdad (4) fue generalizada por Kosem [7] a funciones convexas no negativas\ng en [0,l), con g(0) = 0. La desigualdad (3) se generalizó muy recientemente a\nfunción cóncava no negativa en [0,0]) por Bourin y Uchiyama [5], que\nTambién dio una prueba más simple del resultado de Kosem.\nEn el mismo espíritu, consideramos la cuestión de si las desigualdades (1) y (2)\nTambién se puede generalizar a f cóncavos no negativos y g convexos, respectivamente.\nDespués de introducir los prerrequisitos necesarios en la sección 2, presentamos nuestra\nlos resultados relativos a esta cuestión en la sección 3. Lamentablemente, la mayoría de nuestros resultados\nson respuestas negativas, y damos contraejemplos a esta generalización. Los\nrespuesta es incluso negativa para el caso especial A ≥ B, aunque la aparente\nla dureza de encontrar contraejemplos nos había llevado temporalmente a creer\nque en ese caso la generalización podría realmente sostener.\nSin embargo, no todo son malas noticias. En la Sección 4 respondemos afirmativamente a la pregunta\nen el caso especial cuando A ≥ B. En la sección 5, introducimos la noción novedosa\nde la mayoría dominada por Y entre los espectros de dos matrices ermitañas,\ndonde Y es en sí misma una matriz ermitaña. Demostramos cierta propiedad de esto.\nla relación, es decir, la Proposición 3, que posteriormente utilizamos, primero en un\nmoda destructiva. A decir verdad, la Proposición ha sido instrumental finalmente\ndescubrir un contraejemplo de la generalización de (1) para A ≥ B;\nse indicarán en la sección 6. En el lado más constructivo, la Proposición también\npermite fortalecer los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem mencionados\narriba. Este es el tema de la sección final, junto con algunas otras aplicaciones.\n2 Preliminares\nEn esta sección, introducimos las anotaciones y los prerrequisitos necesarios; más\nPuede encontrarse una exposición detallada, por ejemplo: en [4]. Usaremos las abreviaturas LHS\ny RHS para el lado izquierdo y derecho, respectivamente.\nDenotamos el vector de entradas diagonales de una matriz A por Diag(A).\nDenotamos el valor absoluto por ·, tanto para escalares como para matrices. Por\nmatrices esto se define como A := (A*A)1/2. Del mismo modo, denotamos el positivo\nparte de una matriz escalar real o ermitaña por (·)+, y definirlo por A+ :=\n(A+ A)/2.\nEn este documento, nos ocupamos principalmente del aumento monótono convexo\nfunciones cóncavas de R a R. Kosem señaló en [7] que tal función\npuede ser aproximado por una suma de funciones de ángulo x 7→ ax+ b(x−x0)\n+, donde\na ≥ 0, y b > 0 para una función de ángulo convexo (b < 0 para una cóncava).\nTambién nos preocupan las normas de matriz unitariamente invariantes (UI), que\ndenotamos por ·, y que se definen en términos de los valores singulares\nSólo de la matriz. Aprobamos la convención consuetudinaria de que el singular\nlos valores se ordenan en orden de no-aumento: 1 ≥ 2 ≥. . ≥ d. Casos especiales\nde estas normas son la norma del operador ·, que es justo igual a la más grande\nvalor singular 1(·), y las normas Ky Fan · (k), que se definen como la\nsuma de los k valores singulares más grandes:\nA(k) :=\nj(A).\nEl famoso teorema de dominio Ky Fan afirma que una matriz B domina\notra matriz A en todas las normas de UI si y sólo si lo hace en todas las normas de Ky Fan.\nEste último conjunto de relaciones puede ser escrito como una débil relación de mayorización\nentre los vectores de valores singulares de A y B:\n(A) (B) :\nj(A) ≤\nj(B), k.\nPara las matrices PSD, la relación de dominación anterior se traduce en un\nsación entre los vectores de los valores propios:\nEl teorema de la monotonicidad de Weyl ([4], corolario III.2.3) afirma que\nk(A) ≤ \nk(A + B), k,\npara el ermitaño A y el positivo semi-definido B. Aquí, (A) denota el (real)\nvector de valores propios de A ordenados en orden no creciente.\nFinalmente, remitimos al lector al Capítulo 2 de [6] para una exposición de un número\nde importantes propiedades analíticas funcionales de los valores propios y correspondientes\neigenspaces de una matriz ermitaña, que necesitaremos en la prueba de Propo-\nSituación 2.\n3 Principales resultados\nLa cuestión que nos ocupa es la de la generalización directa de las\nigualdad (2) a funciones convexas no negativas.\nPregunta 1 Para todas las normas A,B,≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario, y para las convexas no negativas\nfunciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(A) − g(B) ≥\ng(A− B) hold?\nLa respuesta a esta pregunta es negativa, como lo demuestra la siguiente\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se considera la función del ángulo convexo g(x) = x + (x − 1)+ y la\nnorma del operador. Para las matrices PSD 2×2\n0,9 0\n0 0,6\n, B =\n0,8 0,5\n0,5 0,4\n, (5)\nlos valores propios de g(A− B) son 0,65249 y 0,35249, mientras que los de g(A)−\ng(B) son 0,65010 y −0,48862. Así, g(A − B) = 0,65249, que es\nmayor que g(A)− g(B) = 0,65010. â € € TM TM\nBajo la restricción adicional A ≥ B, el valor absoluto en el argumento\nde g en el lado derecho desaparece, lo que conduce a una declaración simplificada, y un\nLa segunda pregunta, con mejores esperanzas de éxito. Introducción de la matriz • =\nA− B,\nPregunta 2 Para todas las normas B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para las convexas no negativas\nfunciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(B)−g(B) ≥\ng() hold?\nEste caso restringido también resulta tener una respuesta negativa. Contraexamen...\nSin embargo, los problemas eran mucho más difíciles de encontrar, y requerían una reducción de la prob-\nsión, que se basa en ciertos resultados sobre una nueva relación como la de la majorización, que\nLlamamos a la mayoría dominada por Y. Este será el tema de las secciones 5\ny 6, donde una serie de Proposiciones de interés independiente son probadas.\nTambién es muy razonable preguntar:\nPregunta 3 Para todos los B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para los cóncavos no negativos\nfunciones f en [0,), hace la desigualdad f(B + ) − f(B) ≤ f()\n¿Esperar?\nDe hecho, si esto fuera cierto, una respuesta positiva a la pregunta 2 vendría fácilmente después,\nutilizando el mismo razonamiento que se utilizó en [5] para derivar la generalización de\n(3) de la generalización de (4).\nDe nuevo, esta declaración es falsa, como muestra el siguiente contraejemplo. Considerar\nla función del ángulo cóncavo f(x) = min(x), 1) = x − (x − 1)+, y el 3 × 3\nMatrices PSD\n0,701816 0,317887 0.198910\n0,317887 1,014950 −0,093826\n0.198910 −0,093826 0,274236\n0,192713 0 0\n0 0,446505 0\n0 0 0,455416\nUno consigue\nf() = 0,455416\nmientras\nf(B )− f(B) = 0,455776.\nEn la sección 4, consideramos un caso especial aún más restringido, en el que el\nLas desigualdades (1) y (2) finalmente se mantienen. De hecho, probamos que un más fuerte\nen este caso especial:\nProposición 1 para la función no negativa, monótonamente creciente y cóncava\nciones g, y A,B ≥ 0 tales que A ≥ B, tenemos\n(g(A−B)) ≥ (g(A)− g(B)). 6)\nUn corolario fácil es la declaración correspondiente para el aumento monótono\nfunciones convexas.\nCorollary 1 Dejar que f sea una función convexa no negativa en [0,] con f(0) = 0.\nDejar A,B ≥ 0 Tal que A ≥ B. Entonces\n(f(A−B)) ≤ (f(A)−f(B)). 7)..................................................................................................................................................\nPrueba. Que f = g−1, con g satisfaciendo las condiciones de la Proposición 1. Reemplazar\nen (6) A por f(A) y B por f(B), produciendo\n(g(f(A)− f(B))) ≥ (A− B).\nAplicar la función f en ambos lados no cambia el orden, porque\nde la monotonicidad de f, y da validez a la desigualdad (7). â € € TM TM\nEstos dos resultados implican obviamente las correspondientes relaciones de mayorización,\ny por el dominio de Ky Fan, las relaciones en cualquier norma de la interfaz de usuario.\n4 Prueba de la Proposición 1\nQueremos demostrar la desigualdad (6):\n(g(A)− g(B)) ≤ (g(A−B)),\npara A,B ≥ 0,A ≥ B, y cóncavo, aumentando monótonamente y no-\ng negativo.\nW.l.o.g. asumiremos B = 1, ya que cualquier otro valor puede ser absorbido en\nla definición de g.\nEstá inmediatamente claro que si (6) mantiene para g que además satisfacen g(0) = 0,\nentonces también debe mantenerse sin esa restricción, es decir. para las funciones g(x)+c, con\nc ≥ 0. Esto se debe a que la constante adicional c cae en el LHS, mientras que\n(g(A−B) + c) ≥ (g(A−B)).\nAdemás, (6) sigue siendo válido al sustituir g(x) por ag(x), para un > 0.\nAsí, w.l.o.g. podemos asumir g(0) = 0 y g(1) = 1. Junto con la concavidad\nde g, esto implica que, para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x, mientras que para x ≥ 1, el derivado\ng′(x) ≤ 1.\nDesde 0 ≤ B ≤ 11, y para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x mantiene, tenemos g(B) ≥ B,\no −g(B) ≤ −B. Por monotonicidad Weyl, esto implica (g(A) − g(B)) ≤\n(g(A)-B). Por lo tanto, la declaración (6) estaría implícita en la declaración más fuerte\n(g(A)−B) ≤ (g(A−B)). (8)\nAhora tenga en cuenta que el argumento de g en el LHS, A, nunca está por debajo de 1. Por lo tanto, en\nprincipio, podríamos reemplazar g(x) en el LHS por otra función h(x) definida\nh(x) =\ng(x), si x ≥ 1\nx, de lo contrario.\nSi también lo hacemos en el RHS, obtenemos una declaración más fuerte que (8). De hecho,\nh(x) ≤ g(x) para x ≥ 0 y A − B ≥ 0, y por lo tanto h(A − B) ≤ g(A − B)\nEspera. Por la monotonicidad de Weyl de nuevo, vemos que (8) está implícito por\n(h(A)−B) ≤ (h(A−B)). (10)\nLa importancia de este movimiento es que h(x) sigue siendo un aumento monótono\ny función cóncava (porque g′(x) ≤ 1 para x ≥ 1), pero ahora tiene gradiente\nh′(x) ≤ 1 para x ≥ 0.\nDefinir C = A−B, que es semi-definido positivo, ahora tenemos que mostrar el\ndesigualdad\nk(h(C +B)− B) ≤ \nk(h(C)) = h(\nk(C)),\npor cada k. Fijación de k, e introducción de la taquigrafía x0 = \nk(C), podemos\nexplotar la concavidad de h a la unión superior como h(x) ≤ a(x − x0) + h(x0), donde\na = h′(x0) ≤ 1. De nuevo por la monotonicidad de Weyl, encontramos\nk(h(C +B)− B)\nk(a(C + B − x0) + h(x0)− B)\nk(aC + (a− 1)B − ax0 + h(x0))\nk(aC)− ax0 + h(x0) = h(x0),\ndonde en la segunda línea podríamos eliminar el término (a−1)B porque es nega-\ntivo. Esto es cierto para todos k, hemos demostrado (10) y todas las declaraciones anteriores\nque se desprenden de ella, incluida la declaración del Teorema. â € € TM TM\n5 En la mayoría dominada por Y\nPara responder a la pregunta 2, tenemos que considerar la propiedad que una función convexa\nf satisface\n(f) () (f) (f) (B) (f) (B) (11)\npara todos los PSD B y........................................................................................................................................................................................................................................................... \n(f(A−B)) (f(A)−f(B)) (12)\npara todos los A ≥ B ≥ 0.\nEl ángulo convexo monotono funciona x 7→ ax + (x − 1)+ (a ≥ 0) ya\nhan demostrado su valor como campo de ensayo para declaraciones similares, en la sección\n3. Los experimentos numéricos que utilizan funciones de ángulo para la desigualdad (11) no\ndirectamente conducen a cualquier contraejemplo, sin embargo. Esto aumentó temporalmente\nnuestra creencia de que la desigualdad podría sostenerse, y nos llevó a investigar,\ncomo primer paso hacia una \"prueba\", si la desigualdad\nj(aY +B) ≤\nj(aY + C)\npuede ser cierto para todos a ≥ 0, donde B = f(Y) y C = f(X + Y)− f(X), y\nf(x) = (x−1)+. La observación crucial es ahora que si esto se mantiene para todos a ≥ 0,\nentonces, en realidad, una relación mucho más fuerte que sólo la majorización debe sostener\nentre aY + B y aY + C.\nPara describir este fenómeno, vamos a considerar un entorno algo más amplio. Vamos.\nG y C sean matrices ermitañas, y dejen que f1 y f2 sean monótonamente crecientes\nfunciones reales en R. Supongamos que para todos a ≥ 0, lo siguiente sostiene:\nj(aA +B) ≤\nj(aA+ C), (13)\ncon A = f1(G) y B = f2(G).\nSe ve fácilmente que si (13) se mantiene para un cierto valor de a, también se mantiene para todos\nvalores positivos más pequeños. Let b ser un escalar tal que 0 ≤ b < a. Porque ambos\nA y B exhiben sus valores propios como elementos diagonales en la eigenbasis de G,\ny ambos en orden no creciente, obtenemos\nj(aA +B) =\nj (bA+B) + (a− b)\nj A).\nPor otro lado, para aA + C sólo tenemos la desigualdad de subadditividad\nj (aA+ C) ≤\nj(bA + C) + (a− b)\nj(A).\nComo consecuencia, obtenemos que, de hecho,\nj (bA+B) ≤\nj(bA + C)\nsigue de (13).\nPor lo tanto, nos llevan a considerar lo que sucede cuando una tiende a infinito, porque\nese valor domina a todos los demás. Sustracción\nj=1 \nj(aA) por ambos lados, y\nsustituyendo a = 1/t, obtenemos\nj(A + tB)− \nj(A)) ≤\nj(A+ tC)− \nj(A)).\nEn el límite de t va a 0, esto produce una comparación entre derivados:\nj(A + tB) ≤\nj(A+ tC). (14)\nDemostraremos a continuación que los derivados\nj (A + tC) son la diagonal\nelementos de C en una determinada base dependiendo de G y C. Vamos a introducir primero\nel vector (C;A) cuyas entradas satisfagan la siguiente relación:\n(C;A) :=\nj(A+ tC). (15)\nCon esta notación, la relación (14) se convierte en\nj(B;G) ≤\nj(C;G).\nEs decir, las entradas de B;G están “mayorizadas” por las de C;G. ¿Cómo...?\nen la mayoría de los casos, ya que la mayoría de los\nausencia de reordenación de las entradas en orden decreciente.\nIntroduciendo el símbolo \"dw\" para la débil mayorización con la falta de reordenación-\nmento:\na â € € TM € TM € TM TM € TM TM TM TM â € TM TM TM â TM TM TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nbj, (16)\nrelación (14) se expresa como\n(B;G) (C;G) (dw) (C;G). (17)\nPara justificar estas anotaciones, ahora mostramos:\nProposición 2 Que A y C sean matrices ermitañas. Con la definición del punto C;A) de la parte siguiente:\n(15), las entradas del vector ♥(C;A) son las entradas diagonales de C en un determinado\nbase en la que A es diagonal y sus entradas diagonales aparecen ordenados en non-\naumento del orden. Cuando todos los valores propios de A son simples (es decir, tener multiplicidad\n1), esta base es sólo la eigenbasis de A y no depende de C.\nPrueba. Hay tres casos que considerar, según que A no sea\ndegenerado, A + tC tiene una degeneración accidental en t = 0, o A + tC es\nDegenerado permanentemente.\n1. El caso más importante es cuando todos los valores propios de A son simples, es decir. cuando\ntienen multiplicidad 1. Luego mostramos que la derivada es dada por\nj(A+ tC) = Tr[Pk(A) C],\ndonde Pk(A) denota el proyector en el subespacio extendido por el k eigen-\nvectores de A correspondientes a sus valores propios más grandes k.\nPor la simplicidad de los valores propios de A, los valores propios de A + tC son también\nsimple para valores lo suficientemente pequeños de t. Esto sigue fácilmente de las desigualdades deWeyl:\nj(A) + \nn(tC) ≤ \nj (A+ tC) ≤ \nj(A) + \n1(tC);\npor lo tanto si tC es estrictamente menos de la mitad de la diferencia mínima entre\ntodos los pares de valores propios de A, la diferencia entre todos los pares de valores propios de\nA+tC está limitado a 0. Por lo tanto, para t lo suficientemente pequeño, cada valor propio\nde A+ tC tiene un eigenvector único, y como resultado Pk(A+ tC) está bien definido\ncomo la suma de los proyectores en los autovectores pertenecientes a la k más grande\nvalores propios.\nEs bien sabido que los valores propios de A+tC como funciones de la variable real\nt puede ordenarse de forma que sean funciones analíticas de t (véase [6], capítulo 2),\ny por lo tanto continua. Esto implica que el k-ésimo mayor valor propio de A+ tC\nes también una función continua de t, para cualquier k.\nSi, además, un valor propio (t) de A + tC es simple en un intervalo de t,\nentonces el proyector P (t) en el vector de origen x(t) asociado a él (con P (t) =\nx(t)x(t)*) también es analítica, y por lo tanto continua en t en este intervalo. Nosotros\nconcluir que Pk(A+ tC) es analítico en t, y por lo tanto diferenciable.\nPor la maximidad de Pk(A) en la caracterización variacional\nj(A) = máx.\nTr[AQk] = Tr[APk(A)],\ndonde Qk pasa por encima de todos los proyectores ranke-k, tenemos\nTr[APk(A + tC)] = 0,\nlo que implica\nj (A+ tC)\nTr[(A+ tC)Pk(A+ tC)]\nTr[APk(A+ tC)] +\nTr[(A+ tC)Pk(A)]\n=Tr[C Pk(A)].\nQue U sea el unitario que diagonaliza A, es decir. UAU* = (A). Entonces\nTr[C Pk(A)] =\n(UCU*)jj,\ny la declaración de la Proposición sigue.\n2. Cuando A ha degenerado valores propios, la situación se vuelve algo más\ncomplicado, pero no hay cambios realmente significativos. Ya no hay\nun eigenbasis único de A, por lo que Pk(A) no está bien definido para todos k.\nen primer lugar considerar el caso en el que C es tal que elimina la degeneración de la\neigenvalues de A en A+ tC para t lo suficientemente pequeño positivo. En ese caso Pk(A+ tC)\nse definirá de forma única para todo positivo t menos que algún valor t0, que es el\nt positivo más pequeño para el que A + tC tiene una degeneración accidental (que es\nlo que también sucede en t = 0).\nEsto ocurre, por ejemplo, cuando C tiene valores propios simples. De hecho, por analyt-\nicity de los valores propios de A + tC en t, la degeneración es accidental (para\nvalores aislados de t) o permanentes (para todos los valores de t). Puesto que todos los valores propios\nson simples para t lo suficientemente grande, tienen que permanecer simples para todos los valores de t\nexcepto posiblemente para algunos valores aislados, como t = 0, en este caso. Deje t0\nser el valor positivo más pequeño, entonces A + tC tiene valores propios simples para\n0 < t < t0.\nPor lo tanto, podemos definir Pk(A) de una manera única como el límite limt→0 Pk(A +\ntC). Esta es una opción permitida debido a la continuidad de los valores propios:\nj=0 \nk(A) = Tr[limt→0 Pk(A + tC) A]. Usando el mismo argumento que en el\nEn el caso anterior, se obtiene el valor de C;A := Tr[limt→0 Pk(A+ tC) C].\nQue Łl sean los valores propios de A (multiplicidad no contada), y Ql el projec-\nciones en los correspondientes espacios propios de A (con Q*l el correspondiente in-\nlos operadores de la conclusion); el rango de Ql es igual a la multiplicidad de Łl, que denotamos\npor ml. Para obtener los bloques diagonales Cl := QlCQ, primero construimos los bloques diagonales Cl := QlCQ\n(de tamaño ml), a continuación, tome los valores propios\n↓(Cl) en orden no creciente de cada\nbloque, y luego concatenar las secuencias obtenidas de valores propios:\n(C;A) := ((C1),. .............................................................\n↓(Cm)).\nSi todos los valores propios de A son distintos, esto se reduce al vector de diagonal\nelementos de C en la eigenbasis de A que encontramos en el caso 1.\nPor ejemplo, si (A) = (5, 5, 3, 1), entonces \n1(C1), \n2 (C1), C33, C44),\ndonde C1 =\nC11 C12\nC21 C22\ny todas las entradas de C se toman en la eigenbasis de A.\nQue U sea un unitario (que, en este caso, no es único) que diagonaliza A como\nUAU* =, y tomar los bloques diagonales Cl de UCU\n∗, como se indica más arriba. Cada bloque\nse puede diagonalizar usando una Vl unitaria. Junto con U obtenemos el total\nrotación en base W := U(\nl Vl). Por construcción,\nl Vl hojas invariantes, y\nresuelve la ambigüedad en U. Obtenemos que ♥(C;A) es el vector de diagonal\nlas entradas de C en la base obtenida mediante la aplicación de la W unitaria.\n3. Finalmente, nos fijamos en el caso cuando A + tC es permanentemente degenerado, es decir.\ncuando tiene valores propios degenerados para todos los valores de t. W.l.o.g. Sólo tenemos que hacerlo.\nver t en un intervalo [0, t0), donde t0 es el valor positivo más pequeño para el cual\nUn + tC tiene una degeneración accidental. Denotemos por los valores propios\nde A+ tC en orden no creciente, multiplicidad mj no contada, y por Pj(t)\nlos proyectores en los espacios propios correspondientes. En ese caso, Pk(A + tC) es\nsolo bien definido si hay un j′ tal que k = m1 +m2 +. .. +mj′; entonces nosotros\ntienen Pk(A + tC) = P1(t) + P2(t) +... + Pj′(t).\nSi no hay tal j′, que j′ sea el número entero más grande tal que k > m1 + m2 +\n... +mj′ =: k\n′. Así 0 < k − k′ < mj1. Entonces tenemos\nj (A+ tC)\nmiđi(t) + (k − k)\n′)j1(t)\n=Tr[(A + tC) (P1(t) +.. + Pj′(t) +\nk − k′\nmj1\nPj1(t))]\n=Tr[(A + tC) (\nk − k′\nmj1\nPkmj1(A+ tC) + (1−\nk − k′\nmj1\n)Pk′(A+ tC))].\nAsí, si definimos α := (k − k′)/mj1,\nj=1 \nj(A + tC) interpola linealmente\nentre\nj=1 \nj(A+ tC) y\n*Kmj1*\nj=1 \nj(A + tC) con parámetro α.\nProcediendo de la misma manera que en los dos casos anteriores, obtenemos para el\nderivado\nj (A+ tC) = Tr[C(αPkmj1(A) + (1− α)Pk′(A))],\ndonde el Pk(A) debe ser sustituido por los límites limt→0 Pk(A + tC) si en\nAdemás hay degeneraciones accidentales en t = 0. Consideremos las entradas\nde C otra vez como antes, en una eigenbasis de A en la que aparecen los valores propios de A\nen diagonal, en orden no creciente. Lo conseguimos.\n(C;A)k = (1− α)\nCii + α\nkmj1\nCii. (18)\nDebido a la degeneración permanente, una eigenbasis se determina hasta\nrotaciones cal” dentro de los diferentes espacios propios. Consideramos una partición de\nC en tal eigenbasis correspondiente a estos espacios propios. Es decir, en C nosotros\npuede seleccionar bloques diagonales, cada uno de los cuales corresponde al espacio propio de\neigenvalue ♥j. Podemos usar nuestra libertad para elegir las rotaciones locales para hacer\ntodos los elementos diagonales de C iguales dentro de cada bloque diagonal. Esto nos permite\ndeshacerse de la interpolación en (18), y finalmente obtenemos que, de nuevo,\n(C;A)k =\ncon las entradas de C tomadas en la eigenbasis que acabamos de elegir. â € € TM TM\nEl resultado de esta Proposición es que existe una U unitaria tal que\nUAU* = (A) y (C;A) = Diag(UCU*). En el caso genérico de que todos\n♥i(A) son distintos, U es único y no depende de C.\nUna serie de consecuencias fáciles siguen inmediatamente de esta Proposición:\nCorollary 2 Que G y C sean matrices ermitañas, f ser monótonamente\naumentar la función real en R, y g cualquier función real que aumenta estrictamente en\nR, entonces\ni) (f(G);G) = f((G)).\nii) El Teorema de la mayorización de Schur (C;G) obedece al Teorema de la mayorización de Schur: el Teorema de la mayorización de Schur (C;G) y el Teorema de la mayorización de Schur (C).\niii) (C;G) + a(f(G)) = (C + af(G);G), a ≥ 0.\niv) C; f A) = C; A).\nJunto con la equivalencia previamente demostrada de (13) con (17), el\nEl corolario conduce inmediatamente a la siguiente Proposición:\nProposición 3 Para Hermitan G,C, aumentando monótonamente las funciones reales\nf1, f2 en R, y A = f1(G), B = f2(G), los siguientes son equivalentes:\n(aA+B) (aA+C), (eA+C), (ea ≥ 0 (19))\n* (B;G) * (C;G) (20) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) (20)\n(aA+ B;G)(aA+ C;G)(aA+ C;G)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(A+ C;G), (a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)))(a)(a)(a)))(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)()(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)()(a)()()()()()()(a)()()(a)()()()(a)(a)()()()( (21)\nPrueba.\n(19) implica (20): Esto es sólo la Proposición 2.\n(20) implica (21): Añádase a(A) a ambas partes e invoque la declaración iii) de la\nCorollary.\n(21) implica (19): Por declaración (i) del corolario, el LHS de (21) es igual\na (aA+B), mientras que, por declaración (ii) del corolario, su RHS está mayorizada\npor (aA+C). â € € TM TM\n6 Contraejemplo de la pregunta 2\nSi la respuesta a la pregunta 2 es afirmativa, al menos debería ser válida para todos.\nfunciones de ángulo f(x) = ax+ b(x−x0)\n+. Por la Proposición 3 esto es equivalente a\nla declaración\n((Y − 11)+; Y ) ((X + Y − 11)\n+ − (X − 11)+; Y ).\nConsidere las matrices 3× 3\n0,35614 −0,053243 0,10116\n−0,053243 0,87456 0,40559\n0,10116 0,40559 0,82474\n0,53642 0 0\n0 0,42018 0\n0 0 0,094866\nLa eigenbasis de Y es, por lo tanto, la base estándar. A continuación, (Y − 11)+; Y ) =\n(0, 0, 0) y\n(X + Y − 11)+ − (X − 11)+ =\n−0,00018194 0,00052449 −0.0016345\n0,00052449 0,2573 0,12368\n−0,0016345 0,12368 0,04\nde modo que (X+Y −11)(X−11)+; Y ) = (−0,00018194, 0,2573, 0.04). La primera\nla entrada es negativa, violando la relación de los dw, y por lo tanto respondiendo a la pregunta\n2 en negativo. â € € TM TM\n7 Aplicaciones adicionales de la mayoría dominada por Y\nUna cuestión que tuvimos que abordar durante nuestros intentos de dar una respuesta positiva\na la pregunta 2 se refiere a la posibilidad de reducir la cuestión de la convexa\nfunciones de ángulo convexo. Una forma de hacerlo habría sido:\nposible si el conjunto de (aumentando monotonamente y convexo) funciones satisfactorias\n11) se cerraron por adición. Aunque no pudimos probar esto en particular\n(lo que es muy probable que sea falso, de todos modos), la Proposición 3 nos permite\ndemostrar la declaración correspondiente para la relación\n(f(Y); Y) (f(X + Y)− f(X); Y). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nProposición 4 Que todos los valores propios de Y sean distintos. Dejemos que F y G sean func-\nciones de R a R satisfactorias (22). Entonces f + g también satisface (22).\nPrueba. Por la suposición en los valores propios de Y, (A; Y ) es igual a Diag(A) en\nuna base sólo dependiendo de Y y por lo tanto es una función lineal de A. Podemos\npor lo tanto sumar las desigualdades (22) para f y g y obtener la correspondiente\nDesigualdades para f + g.\nUna segunda aplicación de la Proposición 3 es un fortalecimiento de la siguiente Propo-\nla situación, que también obtuvimos en el curso de nuestros intentos de\nen respuesta a la pregunta 2.\nProposición 5 para X, Y ≥ 0 y ga(x) = ax+\n, con un ≥ 0, el siguiente\nla declaración de especialización sostiene:\n(Ga(Y)) (Ga(X + Y)-ga(X)).\nPrueba. De la prueba de Lemma X.1.4 en [4], tenemos, para X, Y ≥ 0,\nj ((X + 11)\n−1 − (X + Y + 11)−1) ≤ \nj(11 − (Y + 11)\nDefinición de la función f(x) = x\n= 1− (x+ 1)−1, esto se convierte en:\nj(f(X + Y )− f(X)) ≤ \nj(f(Y)).\nEsto implica la declaración de la majorización\nj(f(X + Y )− f(X)) ≤\nj(f(Y)). 23)\nQueremos probar una declaración algo similar para la función ga(x). Desde\nambos f y ga están aumentando monótonamente sobre R\n+, y observando que ga(x) =\n(a+ 1)x− f(x), tenemos\nj(ga(Y ))= ga(\nj (Y )) = (a+1)\nj(Y )− f(\nj(Y))\nj(f(Y ))= f(\nj(Y)),\npara que\nj(ga(Y)) = (a+1)\nj(Y)− \nj(f(Y)).\nEsto implica, en particular,\nj (ga(Y)) = (a+1)\nj (Y)−\nj(f(Y))\n≤ (a+1)\nj (Y)−\nj(f(X + Y )− f(X)),\ndonde hemos insertado (23). Explotar la relación bien conocida ([4], Th.\nIII.4.1)\nj(A+B) ≤\nj (A) +\nj(B),\npara A = (a+ 1)Y − f(X + Y ) + f(X) y B = f(X + Y )− f(X)\nj (ga(Y))≤\nj(a+1)Y − f(X + Y) + f(X))\nj(ga(X + Y )− ga(X)).\nProposición 3, con A = G = Y, B = f(Y ), C = f(X + Y ) − f(X), donde\nf(x) = x2/(x+1), luego produce el siguiente fortalecimiento de la Proposición 5:\nProposición 6 para X, Y ≥ 0, y ga(x) = ax+\n, con un ≥ 0,\n* (ga(Y ); y ) * dw (ga(X + Y )− ga(X); y ).\nAquí observamos que ga(X + Y)− ga(X) = aY + f(X + Y)− f(X).\nPara terminar esta Sección, presentamos una tercera aplicación de la Proposición 3, a saber:\na los resultados de Kosem y Bourin-Uchiyama. Considerar la primera desigualdad (3),\nque contiene para todas las funciones cóncavas no negativas f(x). En particular, sostiene que\npara todas las funciones f = ax+ f0(x), donde f0 es cóncava no negativa, y a ≥ 0.\nInsertando esto en la forma de inequidad autovalor-mayorización (3), obtenemos el\nRelación de mayorización dominada por A+B\n(a(A+B) + f0(A+B)) (a(A +B) + f0(A) + f0(B)),\npara A,B ≥ 0. Proposición 3 entonces inmediatamente da la forma más fuerte\n(f(A+B);A+B) (dw) (f(A) + f(B);A+B), (24)\npara todas las funciones cóncavas no negativas f. El fortalecimiento de la desigualdad (4)\nse realiza de una manera completamente idéntica y produce la desigualdad inversa\nde (24) para funciones convexas no negativas g tales que g(0) = 0.\nAgradecimientos\nJSA agradece al profesor Moin Uddin, director de su instituto por\ny apoyando su visita para asistir a la conferencia en Nova Sureste\nUniversidad, Fort Lauderdale, Florida, EE.UU., que llevó a su introducción a\nKoenraad M.R. Audenaert y la finalización de este trabajo.\nKA agradece al Instituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,\npara el apoyo. Su trabajo es parte del QIP-IRC (www.qipirc.org) apoyado por\nEPSRC (GR/S82176/0).\nBibliografía\n[1] T. Ando, “Comparación de normas f(A)− f(B) y f(A−B)”, Matemáticas. Z.\n197, 403 a 409 (1988).\n[2] T. Ando y X. Zhan, “Desigualdades de las normas relacionadas con el monotono del operador\nfunciones”, Math. Ann. 315, 771 a 780 (1999).\n[3] J.S. Aujla y F.C. Silva, “Desigualdades de majorización débiles y funciones convexas”,\nLin. Alg. Appl. 369, 217–233 (2003).\n[4] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, Heidelberg (1997).\n[5] J.-C. Bourin y M. Uchiyama, “Desigualdad de subadditividad matricial para f(A+B)\ny f(A) + f(B),” Arxiv.org E-print math.FA/0702475 (2007).\n[6] T. Kato, Teoría de la Perturbación para los operadores lineales, Reimpresión de la edición de 1980,\nClásicos en Matemáticas, Springer-Verlag, Berlín (1995).\n[7] T. Kosem, “Desigualdades entre f(A + B) y f(A) + f(B)”, Lin. Alg.\nAppl. 418, 153–160 (2006).\nhttp://arxiv.org/abs/math/0702475\n\tIntroducción\n\tPreliminares\n\tPrincipales resultados\n\tPrueba de la Propuesta 1\n\tEn la mayoría dominada por Y\n\tContraejemplo de la pregunta 2\n\tOtras aplicaciones de la mayoría dominada por Y\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Para matrices semidefinidas positivas $A$ y $B$, Ando y Zhan demostraron la\nDesigualdades $ f(A)+f(B) \\ge f(A+B) y $ g(A)+g(B) \\le\ng(A+B), para cualquier norma unitariamente invariante, y para cualquier no negativo\noperador monotone $f$ en $[0,\\infty)$ con función inversa $g$. Estos\nlas desigualdades se han generalizado recientemente a cóncavas no negativas\nfunciones $f$ y funciones convexas no negativas $g$, por Bourin y Uchiyama,\ny Kosem, respectivamente.\n En este artículo consideramos la pregunta relacionada si las desigualdades $\nf(A)-f(B) \\le f(A-B), y $ g(A)-g(B) \\ge g(A-B)\n, obtenido por Ando, para el operador monotono $f$ con inversa $g$, también tienen un\ngeneralización similar a $f$ cóncavo no negativo y $g$ convex. Contestaremos.\nexactamente esta pregunta, en el negativo para las matrices generales, y afirmativamente\nen el caso especial cuando $A\\ge B$.\n En el curso de este trabajo, introducimos la noción novedosa de $Y$ dominado\nmayorización entre los espectros de dos matrices ermitañas, donde $Y$ es en sí mismo\nuna matriz ermitaña, y demostrar una cierta propiedad de esta relación que permite\nreforzar los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem, mencionados anteriormente.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEn [1], Ando demostró las siguientes desigualdades por semidefinido positivo (PSD)\nmatrices A, B, y cualquier norma unitariamente invariante (UI). Para cualquier no negativo\nfunción monotona del operador f(t) en [0,\nf(A)− f(B) ≤ f(A−B), (1)\ny, cuando f(0) = 0 y f() = , y g es la función inversa de f,\ng(A)− g(B) ≥ g(A−B). 2.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nEn un artículo posterior [2], Ando y Zhan demostraron las desigualdades relacionadas (con el\nlas mismas condiciones en f y g)\nf(A) + f(B) ≥ f(A+B), (3)\ng(A) + g(B) ≤ g(A+B). 4)\nLas condiciones en f son satisfechas por cada función cóncava del operador f con\nf(0) = 0.\nLa desigualdad (4) fue generalizada por Kosem [7] a funciones convexas no negativas\ng en [0,l), con g(0) = 0. La desigualdad (3) se generalizó muy recientemente a\nfunción cóncava no negativa en [0,0]) por Bourin y Uchiyama [5], que\nTambién dio una prueba más simple del resultado de Kosem.\nEn el mismo espíritu, consideramos la cuestión de si las desigualdades (1) y (2)\nTambién se puede generalizar a f cóncavos no negativos y g convexos, respectivamente.\nDespués de introducir los prerrequisitos necesarios en la sección 2, presentamos nuestra\nlos resultados relativos a esta cuestión en la sección 3. Lamentablemente, la mayoría de nuestros resultados\nson respuestas negativas, y damos contraejemplos a esta generalización. Los\nrespuesta es incluso negativa para el caso especial A ≥ B, aunque la aparente\nla dureza de encontrar contraejemplos nos había llevado temporalmente a creer\nque en ese caso la generalización podría realmente sostener.\nSin embargo, no todo son malas noticias. En la Sección 4 respondemos afirmativamente a la pregunta\nen el caso especial cuando A ≥ B. En la sección 5, introducimos la noción novedosa\nde la mayoría dominada por Y entre los espectros de dos matrices ermitañas,\ndonde Y es en sí misma una matriz ermitaña. Demostramos cierta propiedad de esto.\nla relación, es decir, la Proposición 3, que posteriormente utilizamos, primero en un\nmoda destructiva. A decir verdad, la Proposición ha sido instrumental finalmente\ndescubrir un contraejemplo de la generalización de (1) para A ≥ B;\nse indicarán en la sección 6. En el lado más constructivo, la Proposición también\npermite fortalecer los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem mencionados\narriba. Este es el tema de la sección final, junto con algunas otras aplicaciones.\n2 Preliminares\nEn esta sección, introducimos las anotaciones y los prerrequisitos necesarios; más\nPuede encontrarse una exposición detallada, por ejemplo: en [4]. Usaremos las abreviaturas LHS\ny RHS para el lado izquierdo y derecho, respectivamente.\nDenotamos el vector de entradas diagonales de una matriz A por Diag(A).\nDenotamos el valor absoluto por ·, tanto para escalares como para matrices. Por\nmatrices esto se define como A := (A*A)1/2. Del mismo modo, denotamos el positivo\nparte de una matriz escalar real o ermitaña por (·)+, y definirlo por A+ :=\n(A+ A)/2.\nEn este documento, nos ocupamos principalmente del aumento monótono convexo\nfunciones cóncavas de R a R. Kosem señaló en [7] que tal función\npuede ser aproximado por una suma de funciones de ángulo x 7→ ax+ b(x−x0)\n+, donde\na ≥ 0, y b > 0 para una función de ángulo convexo (b < 0 para una cóncava).\nTambién nos preocupan las normas de matriz unitariamente invariantes (UI), que\ndenotamos por ·, y que se definen en términos de los valores singulares\nSólo de la matriz. Aprobamos la convención consuetudinaria de que el singular\nlos valores se ordenan en orden de no-aumento: 1 ≥ 2 ≥. . ≥ d. Casos especiales\nde estas normas son la norma del operador ·, que es justo igual a la más grande\nvalor singular 1(·), y las normas Ky Fan · (k), que se definen como la\nsuma de los k valores singulares más grandes:\nA(k) :=\nj(A).\nEl famoso teorema de dominio Ky Fan afirma que una matriz B domina\notra matriz A en todas las normas de UI si y sólo si lo hace en todas las normas de Ky Fan.\nEste último conjunto de relaciones puede ser escrito como una débil relación de mayorización\nentre los vectores de valores singulares de A y B:\n(A) (B) :\nj(A) ≤\nj(B), k.\nPara las matrices PSD, la relación de dominación anterior se traduce en un\nsación entre los vectores de los valores propios:\nEl teorema de la monotonicidad de Weyl ([4], corolario III.2.3) afirma que\nk(A) ≤ \nk(A + B), k,\npara el ermitaño A y el positivo semi-definido B. Aquí, (A) denota el (real)\nvector de valores propios de A ordenados en orden no creciente.\nFinalmente, remitimos al lector al Capítulo 2 de [6] para una exposición de un número\nde importantes propiedades analíticas funcionales de los valores propios y correspondientes\neigenspaces de una matriz ermitaña, que necesitaremos en la prueba de Propo-\nSituación 2.\n3 Principales resultados\nLa cuestión que nos ocupa es la de la generalización directa de las\nigualdad (2) a funciones convexas no negativas.\nPregunta 1 Para todas las normas A,B,≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario, y para las convexas no negativas\nfunciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(A) − g(B) ≥\ng(A− B) hold?\nLa respuesta a esta pregunta es negativa, como lo demuestra la siguiente\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se considera la función del ángulo convexo g(x) = x + (x − 1)+ y la\nnorma del operador. Para las matrices PSD 2×2\n0,9 0\n0 0,6\n, B =\n0,8 0,5\n0,5 0,4\n, (5)\nlos valores propios de g(A− B) son 0,65249 y 0,35249, mientras que los de g(A)−\ng(B) son 0,65010 y −0,48862. Así, g(A − B) = 0,65249, que es\nmayor que g(A)− g(B) = 0,65010. â € € TM TM\nBajo la restricción adicional A ≥ B, el valor absoluto en el argumento\nde g en el lado derecho desaparece, lo que conduce a una declaración simplificada, y un\nLa segunda pregunta, con mejores esperanzas de éxito. Introducción de la matriz • =\nA− B,\nPregunta 2 Para todas las normas B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para las convexas no negativas\nfunciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(B)−g(B) ≥\ng() hold?\nEste caso restringido también resulta tener una respuesta negativa. Contraexamen...\nSin embargo, los problemas eran mucho más difíciles de encontrar, y requerían una reducción de la prob-\nsión, que se basa en ciertos resultados sobre una nueva relación como la de la majorización, que\nLlamamos a la mayoría dominada por Y. Este será el tema de las secciones 5\ny 6, donde una serie de Proposiciones de interés independiente son probadas.\nTambién es muy razonable preguntar:\nPregunta 3 Para todos los B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para los cóncavos no negativos\nfunciones f en [0,), hace la desigualdad f(B + ) − f(B) ≤ f()\n¿Esperar?\nDe hecho, si esto fuera cierto, una respuesta positiva a la pregunta 2 vendría fácilmente después,\nutilizando el mismo razonamiento que se utilizó en [5] para derivar la generalización de\n(3) de la generalización de (4).\nDe nuevo, esta declaración es falsa, como muestra el siguiente contraejemplo. Considerar\nla función del ángulo cóncavo f(x) = min(x), 1) = x − (x − 1)+, y el 3 × 3\nMatrices PSD\n0,701816 0,317887 0.198910\n0,317887 1,014950 −0,093826\n0.198910 −0,093826 0,274236\n0,192713 0 0\n0 0,446505 0\n0 0 0,455416\nUno consigue\nf() = 0,455416\nmientras\nf(B )− f(B) = 0,455776.\nEn la sección 4, consideramos un caso especial aún más restringido, en el que el\nLas desigualdades (1) y (2) finalmente se mantienen. De hecho, probamos que un más fuerte\nen este caso especial:\nProposición 1 para la función no negativa, monótonamente creciente y cóncava\nciones g, y A,B ≥ 0 tales que A ≥ B, tenemos\n(g(A−B)) ≥ (g(A)− g(B)). 6)\nUn corolario fácil es la declaración correspondiente para el aumento monótono\nfunciones convexas.\nCorollary 1 Dejar que f sea una función convexa no negativa en [0,] con f(0) = 0.\nDejar A,B ≥ 0 Tal que A ≥ B. Entonces\n(f(A−B)) ≤ (f(A)−f(B)). 7)..................................................................................................................................................\nPrueba. Que f = g−1, con g satisfaciendo las condiciones de la Proposición 1. Reemplazar\nen (6) A por f(A) y B por f(B), produciendo\n(g(f(A)− f(B))) ≥ (A− B).\nAplicar la función f en ambos lados no cambia el orden, porque\nde la monotonicidad de f, y da validez a la desigualdad (7). â € € TM TM\nEstos dos resultados implican obviamente las correspondientes relaciones de mayorización,\ny por el dominio de Ky Fan, las relaciones en cualquier norma de la interfaz de usuario.\n4 Prueba de la Proposición 1\nQueremos demostrar la desigualdad (6):\n(g(A)− g(B)) ≤ (g(A−B)),\npara A,B ≥ 0,A ≥ B, y cóncavo, aumentando monótonamente y no-\ng negativo.\nW.l.o.g. asumiremos B = 1, ya que cualquier otro valor puede ser absorbido en\nla definición de g.\nEstá inmediatamente claro que si (6) mantiene para g que además satisfacen g(0) = 0,\nentonces también debe mantenerse sin esa restricción, es decir. para las funciones g(x)+c, con\nc ≥ 0. Esto se debe a que la constante adicional c cae en el LHS, mientras que\n(g(A−B) + c) ≥ (g(A−B)).\nAdemás, (6) sigue siendo válido al sustituir g(x) por ag(x), para un > 0.\nAsí, w.l.o.g. podemos asumir g(0) = 0 y g(1) = 1. Junto con la concavidad\nde g, esto implica que, para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x, mientras que para x ≥ 1, el derivado\ng′(x) ≤ 1.\nDesde 0 ≤ B ≤ 11, y para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x mantiene, tenemos g(B) ≥ B,\no −g(B) ≤ −B. Por monotonicidad Weyl, esto implica (g(A) − g(B)) ≤\n(g(A)-B). Por lo tanto, la declaración (6) estaría implícita en la declaración más fuerte\n(g(A)−B) ≤ (g(A−B)). (8)\nAhora tenga en cuenta que el argumento de g en el LHS, A, nunca está por debajo de 1. Por lo tanto, en\nprincipio, podríamos reemplazar g(x) en el LHS por otra función h(x) definida\nh(x) =\ng(x), si x ≥ 1\nx, de lo contrario.\nSi también lo hacemos en el RHS, obtenemos una declaración más fuerte que (8). De hecho,\nh(x) ≤ g(x) para x ≥ 0 y A − B ≥ 0, y por lo tanto h(A − B) ≤ g(A − B)\nEspera. Por la monotonicidad de Weyl de nuevo, vemos que (8) está implícito por\n(h(A)−B) ≤ (h(A−B)). (10)\nLa importancia de este movimiento es que h(x) sigue siendo un aumento monótono\ny función cóncava (porque g′(x) ≤ 1 para x ≥ 1), pero ahora tiene gradiente\nh′(x) ≤ 1 para x ≥ 0.\nDefinir C = A−B, que es semi-definido positivo, ahora tenemos que mostrar el\ndesigualdad\nk(h(C +B)− B) ≤ \nk(h(C)) = h(\nk(C)),\npor cada k. Fijación de k, e introducción de la taquigrafía x0 = \nk(C), podemos\nexplotar la concavidad de h a la unión superior como h(x) ≤ a(x − x0) + h(x0), donde\na = h′(x0) ≤ 1. De nuevo por la monotonicidad de Weyl, encontramos\nk(h(C +B)− B)\nk(a(C + B − x0) + h(x0)− B)\nk(aC + (a− 1)B − ax0 + h(x0))\nk(aC)− ax0 + h(x0) = h(x0),\ndonde en la segunda línea podríamos eliminar el término (a−1)B porque es nega-\ntivo. Esto es cierto para todos k, hemos demostrado (10) y todas las declaraciones anteriores\nque se desprenden de ella, incluida la declaración del Teorema. â € € TM TM\n5 En la mayoría dominada por Y\nPara responder a la pregunta 2, tenemos que considerar la propiedad que una función convexa\nf satisface\n(f) () (f) (f) (B) (f) (B) (11)\npara todos los PSD B y........................................................................................................................................................................................................................................................... \n(f(A−B)) (f(A)−f(B)) (12)\npara todos los A ≥ B ≥ 0.\nEl ángulo convexo monotono funciona x 7→ ax + (x − 1)+ (a ≥ 0) ya\nhan demostrado su valor como campo de ensayo para declaraciones similares, en la sección\n3. Los experimentos numéricos que utilizan funciones de ángulo para la desigualdad (11) no\ndirectamente conducen a cualquier contraejemplo, sin embargo. Esto aumentó temporalmente\nnuestra creencia de que la desigualdad podría sostenerse, y nos llevó a investigar,\ncomo primer paso hacia una \"prueba\", si la desigualdad\nj(aY +B) ≤\nj(aY + C)\npuede ser cierto para todos a ≥ 0, donde B = f(Y) y C = f(X + Y)− f(X), y\nf(x) = (x−1)+. La observación crucial es ahora que si esto se mantiene para todos a ≥ 0,\nentonces, en realidad, una relación mucho más fuerte que sólo la majorización debe sostener\nentre aY + B y aY + C.\nPara describir este fenómeno, vamos a considerar un entorno algo más amplio. Vamos.\nG y C sean matrices ermitañas, y dejen que f1 y f2 sean monótonamente crecientes\nfunciones reales en R. Supongamos que para todos a ≥ 0, lo siguiente sostiene:\nj(aA +B) ≤\nj(aA+ C), (13)\ncon A = f1(G) y B = f2(G).\nSe ve fácilmente que si (13) se mantiene para un cierto valor de a, también se mantiene para todos\nvalores positivos más pequeños. Let b ser un escalar tal que 0 ≤ b < a. Porque ambos\nA y B exhiben sus valores propios como elementos diagonales en la eigenbasis de G,\ny ambos en orden no creciente, obtenemos\nj(aA +B) =\nj (bA+B) + (a− b)\nj A).\nPor otro lado, para aA + C sólo tenemos la desigualdad de subadditividad\nj (aA+ C) ≤\nj(bA + C) + (a− b)\nj(A).\nComo consecuencia, obtenemos que, de hecho,\nj (bA+B) ≤\nj(bA + C)\nsigue de (13).\nPor lo tanto, nos llevan a considerar lo que sucede cuando una tiende a infinito, porque\nese valor domina a todos los demás. Sustracción\nj=1 \nj(aA) por ambos lados, y\nsustituyendo a = 1/t, obtenemos\nj(A + tB)− \nj(A)) ≤\nj(A+ tC)− \nj(A)).\nEn el límite de t va a 0, esto produce una comparación entre derivados:\nj(A + tB) ≤\nj(A+ tC). (14)\nDemostraremos a continuación que los derivados\nj (A + tC) son la diagonal\nelementos de C en una determinada base dependiendo de G y C. Vamos a introducir primero\nel vector (C;A) cuyas entradas satisfagan la siguiente relación:\n(C;A) :=\nj(A+ tC). (15)\nCon esta notación, la relación (14) se convierte en\nj(B;G) ≤\nj(C;G).\nEs decir, las entradas de B;G están “mayorizadas” por las de C;G. ¿Cómo...?\nen la mayoría de los casos, ya que la mayoría de los\nausencia de reordenación de las entradas en orden decreciente.\nIntroduciendo el símbolo \"dw\" para la débil mayorización con la falta de reordenación-\nmento:\na â € € TM € TM € TM TM € TM TM TM TM â € TM TM TM â TM TM TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\nbj, (16)\nrelación (14) se expresa como\n(B;G) (C;G) (dw) (C;G). (17)\nPara justificar estas anotaciones, ahora mostramos:\nProposición 2 Que A y C sean matrices ermitañas. Con la definición del punto C;A) de la parte siguiente:\n(15), las entradas del vector ♥(C;A) son las entradas diagonales de C en un determinado\nbase en la que A es diagonal y sus entradas diagonales aparecen ordenados en non-\naumento del orden. Cuando todos los valores propios de A son simples (es decir, tener multiplicidad\n1), esta base es sólo la eigenbasis de A y no depende de C.\nPrueba. Hay tres casos que considerar, según que A no sea\ndegenerado, A + tC tiene una degeneración accidental en t = 0, o A + tC es\nDegenerado permanentemente.\n1. El caso más importante es cuando todos los valores propios de A son simples, es decir. cuando\ntienen multiplicidad 1. Luego mostramos que la derivada es dada por\nj(A+ tC) = Tr[Pk(A) C],\ndonde Pk(A) denota el proyector en el subespacio extendido por el k eigen-\nvectores de A correspondientes a sus valores propios más grandes k.\nPor la simplicidad de los valores propios de A, los valores propios de A + tC son también\nsimple para valores lo suficientemente pequeños de t. Esto sigue fácilmente de las desigualdades deWeyl:\nj(A) + \nn(tC) ≤ \nj (A+ tC) ≤ \nj(A) + \n1(tC);\npor lo tanto si tC es estrictamente menos de la mitad de la diferencia mínima entre\ntodos los pares de valores propios de A, la diferencia entre todos los pares de valores propios de\nA+tC está limitado a 0. Por lo tanto, para t lo suficientemente pequeño, cada valor propio\nde A+ tC tiene un eigenvector único, y como resultado Pk(A+ tC) está bien definido\ncomo la suma de los proyectores en los autovectores pertenecientes a la k más grande\nvalores propios.\nEs bien sabido que los valores propios de A+tC como funciones de la variable real\nt puede ordenarse de forma que sean funciones analíticas de t (véase [6], capítulo 2),\ny por lo tanto continua. Esto implica que el k-ésimo mayor valor propio de A+ tC\nes también una función continua de t, para cualquier k.\nSi, además, un valor propio (t) de A + tC es simple en un intervalo de t,\nentonces el proyector P (t) en el vector de origen x(t) asociado a él (con P (t) =\nx(t)x(t)*) también es analítica, y por lo tanto continua en t en este intervalo. Nosotros\nconcluir que Pk(A+ tC) es analítico en t, y por lo tanto diferenciable.\nPor la maximidad de Pk(A) en la caracterización variacional\nj(A) = máx.\nTr[AQk] = Tr[APk(A)],\ndonde Qk pasa por encima de todos los proyectores ranke-k, tenemos\nTr[APk(A + tC)] = 0,\nlo que implica\nj (A+ tC)\nTr[(A+ tC)Pk(A+ tC)]\nTr[APk(A+ tC)] +\nTr[(A+ tC)Pk(A)]\n=Tr[C Pk(A)].\nQue U sea el unitario que diagonaliza A, es decir. UAU* = (A). Entonces\nTr[C Pk(A)] =\n(UCU*)jj,\ny la declaración de la Proposición sigue.\n2. Cuando A ha degenerado valores propios, la situación se vuelve algo más\ncomplicado, pero no hay cambios realmente significativos. Ya no hay\nun eigenbasis único de A, por lo que Pk(A) no está bien definido para todos k.\nen primer lugar considerar el caso en el que C es tal que elimina la degeneración de la\neigenvalues de A en A+ tC para t lo suficientemente pequeño positivo. En ese caso Pk(A+ tC)\nse definirá de forma única para todo positivo t menos que algún valor t0, que es el\nt positivo más pequeño para el que A + tC tiene una degeneración accidental (que es\nlo que también sucede en t = 0).\nEsto ocurre, por ejemplo, cuando C tiene valores propios simples. De hecho, por analyt-\nicity de los valores propios de A + tC en t, la degeneración es accidental (para\nvalores aislados de t) o permanentes (para todos los valores de t). Puesto que todos los valores propios\nson simples para t lo suficientemente grande, tienen que permanecer simples para todos los valores de t\nexcepto posiblemente para algunos valores aislados, como t = 0, en este caso. Deje t0\nser el valor positivo más pequeño, entonces A + tC tiene valores propios simples para\n0 < t < t0.\nPor lo tanto, podemos definir Pk(A) de una manera única como el límite limt→0 Pk(A +\ntC). Esta es una opción permitida debido a la continuidad de los valores propios:\nj=0 \nk(A) = Tr[limt→0 Pk(A + tC) A]. Usando el mismo argumento que en el\nEn el caso anterior, se obtiene el valor de C;A := Tr[limt→0 Pk(A+ tC) C].\nQue Łl sean los valores propios de A (multiplicidad no contada), y Ql el projec-\nciones en los correspondientes espacios propios de A (con Q*l el correspondiente in-\nlos operadores de la conclusion); el rango de Ql es igual a la multiplicidad de Łl, que denotamos\npor ml. Para obtener los bloques diagonales Cl := QlCQ, primero construimos los bloques diagonales Cl := QlCQ\n(de tamaño ml), a continuación, tome los valores propios\n↓(Cl) en orden no creciente de cada\nbloque, y luego concatenar las secuencias obtenidas de valores propios:\n(C;A) := ((C1),. .............................................................\n↓(Cm)).\nSi todos los valores propios de A son distintos, esto se reduce al vector de diagonal\nelementos de C en la eigenbasis de A que encontramos en el caso 1.\nPor ejemplo, si (A) = (5, 5, 3, 1), entonces \n1(C1), \n2 (C1), C33, C44),\ndonde C1 =\nC11 C12\nC21 C22\ny todas las entradas de C se toman en la eigenbasis de A.\nQue U sea un unitario (que, en este caso, no es único) que diagonaliza A como\nUAU* =, y tomar los bloques diagonales Cl de UCU\n∗, como se indica más arriba. Cada bloque\nse puede diagonalizar usando una Vl unitaria. Junto con U obtenemos el total\nrotación en base W := U(\nl Vl). Por construcción,\nl Vl hojas invariantes, y\nresuelve la ambigüedad en U. Obtenemos que ♥(C;A) es el vector de diagonal\nlas entradas de C en la base obtenida mediante la aplicación de la W unitaria.\n3. Finalmente, nos fijamos en el caso cuando A + tC es permanentemente degenerado, es decir.\ncuando tiene valores propios degenerados para todos los valores de t. W.l.o.g. Sólo tenemos que hacerlo.\nver t en un intervalo [0, t0), donde t0 es el valor positivo más pequeño para el cual\nUn + tC tiene una degeneración accidental. Denotemos por los valores propios\nde A+ tC en orden no creciente, multiplicidad mj no contada, y por Pj(t)\nlos proyectores en los espacios propios correspondientes. En ese caso, Pk(A + tC) es\nsolo bien definido si hay un j′ tal que k = m1 +m2 +. .. +mj′; entonces nosotros\ntienen Pk(A + tC) = P1(t) + P2(t) +... + Pj′(t).\nSi no hay tal j′, que j′ sea el número entero más grande tal que k > m1 + m2 +\n... +mj′ =: k\n′. Así 0 < k − k′ < mj1. Entonces tenemos\nj (A+ tC)\nmiđi(t) + (k − k)\n′)j1(t)\n=Tr[(A + tC) (P1(t) +.. + Pj′(t) +\nk − k′\nmj1\nPj1(t))]\n=Tr[(A + tC) (\nk − k′\nmj1\nPkmj1(A+ tC) + (1−\nk − k′\nmj1\n)Pk′(A+ tC))].\nAsí, si definimos α := (k − k′)/mj1,\nj=1 \nj(A + tC) interpola linealmente\nentre\nj=1 \nj(A+ tC) y\n*Kmj1*\nj=1 \nj(A + tC) con parámetro α.\nProcediendo de la misma manera que en los dos casos anteriores, obtenemos para el\nderivado\nj (A+ tC) = Tr[C(αPkmj1(A) + (1− α)Pk′(A))],\ndonde el Pk(A) debe ser sustituido por los límites limt→0 Pk(A + tC) si en\nAdemás hay degeneraciones accidentales en t = 0. Consideremos las entradas\nde C otra vez como antes, en una eigenbasis de A en la que aparecen los valores propios de A\nen diagonal, en orden no creciente. Lo conseguimos.\n(C;A)k = (1− α)\nCii + α\nkmj1\nCii. (18)\nDebido a la degeneración permanente, una eigenbasis se determina hasta\nrotaciones cal” dentro de los diferentes espacios propios. Consideramos una partición de\nC en tal eigenbasis correspondiente a estos espacios propios. Es decir, en C nosotros\npuede seleccionar bloques diagonales, cada uno de los cuales corresponde al espacio propio de\neigenvalue ♥j. Podemos usar nuestra libertad para elegir las rotaciones locales para hacer\ntodos los elementos diagonales de C iguales dentro de cada bloque diagonal. Esto nos permite\ndeshacerse de la interpolación en (18), y finalmente obtenemos que, de nuevo,\n(C;A)k =\ncon las entradas de C tomadas en la eigenbasis que acabamos de elegir. â € € TM TM\nEl resultado de esta Proposición es que existe una U unitaria tal que\nUAU* = (A) y (C;A) = Diag(UCU*). En el caso genérico de que todos\n♥i(A) son distintos, U es único y no depende de C.\nUna serie de consecuencias fáciles siguen inmediatamente de esta Proposición:\nCorollary 2 Que G y C sean matrices ermitañas, f ser monótonamente\naumentar la función real en R, y g cualquier función real que aumenta estrictamente en\nR, entonces\ni) (f(G);G) = f((G)).\nii) El Teorema de la mayorización de Schur (C;G) obedece al Teorema de la mayorización de Schur: el Teorema de la mayorización de Schur (C;G) y el Teorema de la mayorización de Schur (C).\niii) (C;G) + a(f(G)) = (C + af(G);G), a ≥ 0.\niv) C; f A) = C; A).\nJunto con la equivalencia previamente demostrada de (13) con (17), el\nEl corolario conduce inmediatamente a la siguiente Proposición:\nProposición 3 Para Hermitan G,C, aumentando monótonamente las funciones reales\nf1, f2 en R, y A = f1(G), B = f2(G), los siguientes son equivalentes:\n(aA+B) (aA+C), (eA+C), (ea ≥ 0 (19))\n* (B;G) * (C;G) (20) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) (20)\n(aA+ B;G)(aA+ C;G)(aA+ C;G)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(A+ C;G), (a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)))(a)(a)(a)))(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)()(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)()(a)()()()()()()(a)()()(a)()()()(a)(a)()()()( (21)\nPrueba.\n(19) implica (20): Esto es sólo la Proposición 2.\n(20) implica (21): Añádase a(A) a ambas partes e invoque la declaración iii) de la\nCorollary.\n(21) implica (19): Por declaración (i) del corolario, el LHS de (21) es igual\na (aA+B), mientras que, por declaración (ii) del corolario, su RHS está mayorizada\npor (aA+C). â € € TM TM\n6 Contraejemplo de la pregunta 2\nSi la respuesta a la pregunta 2 es afirmativa, al menos debería ser válida para todos.\nfunciones de ángulo f(x) = ax+ b(x−x0)\n+. Por la Proposición 3 esto es equivalente a\nla declaración\n((Y − 11)+; Y ) ((X + Y − 11)\n+ − (X − 11)+; Y ).\nConsidere las matrices 3× 3\n0,35614 −0,053243 0,10116\n−0,053243 0,87456 0,40559\n0,10116 0,40559 0,82474\n0,53642 0 0\n0 0,42018 0\n0 0 0,094866\nLa eigenbasis de Y es, por lo tanto, la base estándar. A continuación, (Y − 11)+; Y ) =\n(0, 0, 0) y\n(X + Y − 11)+ − (X − 11)+ =\n−0,00018194 0,00052449 −0.0016345\n0,00052449 0,2573 0,12368\n−0,0016345 0,12368 0,04\nde modo que (X+Y −11)(X−11)+; Y ) = (−0,00018194, 0,2573, 0.04). La primera\nla entrada es negativa, violando la relación de los dw, y por lo tanto respondiendo a la pregunta\n2 en negativo. â € € TM TM\n7 Aplicaciones adicionales de la mayoría dominada por Y\nUna cuestión que tuvimos que abordar durante nuestros intentos de dar una respuesta positiva\na la pregunta 2 se refiere a la posibilidad de reducir la cuestión de la convexa\nfunciones de ángulo convexo. Una forma de hacerlo habría sido:\nposible si el conjunto de (aumentando monotonamente y convexo) funciones satisfactorias\n11) se cerraron por adición. Aunque no pudimos probar esto en particular\n(lo que es muy probable que sea falso, de todos modos), la Proposición 3 nos permite\ndemostrar la declaración correspondiente para la relación\n(f(Y); Y) (f(X + Y)− f(X); Y). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nProposición 4 Que todos los valores propios de Y sean distintos. Dejemos que F y G sean func-\nciones de R a R satisfactorias (22). Entonces f + g también satisface (22).\nPrueba. Por la suposición en los valores propios de Y, (A; Y ) es igual a Diag(A) en\nuna base sólo dependiendo de Y y por lo tanto es una función lineal de A. Podemos\npor lo tanto sumar las desigualdades (22) para f y g y obtener la correspondiente\nDesigualdades para f + g.\nUna segunda aplicación de la Proposición 3 es un fortalecimiento de la siguiente Propo-\nla situación, que también obtuvimos en el curso de nuestros intentos de\nen respuesta a la pregunta 2.\nProposición 5 para X, Y ≥ 0 y ga(x) = ax+\n, con un ≥ 0, el siguiente\nla declaración de especialización sostiene:\n(Ga(Y)) (Ga(X + Y)-ga(X)).\nPrueba. De la prueba de Lemma X.1.4 en [4], tenemos, para X, Y ≥ 0,\nj ((X + 11)\n−1 − (X + Y + 11)−1) ≤ \nj(11 − (Y + 11)\nDefinición de la función f(x) = x\n= 1− (x+ 1)−1, esto se convierte en:\nj(f(X + Y )− f(X)) ≤ \nj(f(Y)).\nEsto implica la declaración de la majorización\nj(f(X + Y )− f(X)) ≤\nj(f(Y)). 23)\nQueremos probar una declaración algo similar para la función ga(x). Desde\nambos f y ga están aumentando monótonamente sobre R\n+, y observando que ga(x) =\n(a+ 1)x− f(x), tenemos\nj(ga(Y ))= ga(\nj (Y )) = (a+1)\nj(Y )− f(\nj(Y))\nj(f(Y ))= f(\nj(Y)),\npara que\nj(ga(Y)) = (a+1)\nj(Y)− \nj(f(Y)).\nEsto implica, en particular,\nj (ga(Y)) = (a+1)\nj (Y)−\nj(f(Y))\n≤ (a+1)\nj (Y)−\nj(f(X + Y )− f(X)),\ndonde hemos insertado (23). Explotar la relación bien conocida ([4], Th.\nIII.4.1)\nj(A+B) ≤\nj (A) +\nj(B),\npara A = (a+ 1)Y − f(X + Y ) + f(X) y B = f(X + Y )− f(X)\nj (ga(Y))≤\nj(a+1)Y − f(X + Y) + f(X))\nj(ga(X + Y )− ga(X)).\nProposición 3, con A = G = Y, B = f(Y ), C = f(X + Y ) − f(X), donde\nf(x) = x2/(x+1), luego produce el siguiente fortalecimiento de la Proposición 5:\nProposición 6 para X, Y ≥ 0, y ga(x) = ax+\n, con un ≥ 0,\n* (ga(Y ); y ) * dw (ga(X + Y )− ga(X); y ).\nAquí observamos que ga(X + Y)− ga(X) = aY + f(X + Y)− f(X).\nPara terminar esta Sección, presentamos una tercera aplicación de la Proposición 3, a saber:\na los resultados de Kosem y Bourin-Uchiyama. Considerar la primera desigualdad (3),\nque contiene para todas las funciones cóncavas no negativas f(x). En particular, sostiene que\npara todas las funciones f = ax+ f0(x), donde f0 es cóncava no negativa, y a ≥ 0.\nInsertando esto en la forma de inequidad autovalor-mayorización (3), obtenemos el\nRelación de mayorización dominada por A+B\n(a(A+B) + f0(A+B)) (a(A +B) + f0(A) + f0(B)),\npara A,B ≥ 0. Proposición 3 entonces inmediatamente da la forma más fuerte\n(f(A+B);A+B) (dw) (f(A) + f(B);A+B), (24)\npara todas las funciones cóncavas no negativas f. El fortalecimiento de la desigualdad (4)\nse realiza de una manera completamente idéntica y produce la desigualdad inversa\nde (24) para funciones convexas no negativas g tales que g(0) = 0.\nAgradecimientos\nJSA agradece al profesor Moin Uddin, director de su instituto por\ny apoyando su visita para asistir a la conferencia en Nova Sureste\nUniversidad, Fort Lauderdale, Florida, EE.UU., que llevó a su introducción a\nKoenraad M.R. Audenaert y la finalización de este trabajo.\nKA agradece al Instituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,\npara el apoyo. Su trabajo es parte del QIP-IRC (www.qipirc.org) apoyado por\nEPSRC (GR/S82176/0).\nBibliografía\n[1] T. Ando, “Comparación de normas f(A)− f(B) y f(A−B)”, Matemáticas. Z.\n197, 403 a 409 (1988).\n[2] T. Ando y X. Zhan, “Desigualdades de las normas relacionadas con el monotono del operador\nfunciones”, Math. Ann. 315, 771 a 780 (1999).\n[3] J.S. Aujla y F.C. Silva, “Desigualdades de majorización débiles y funciones convexas”,\nLin. Alg. Appl. 369, 217–233 (2003).\n[4] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, Heidelberg (1997).\n[5] J.-C. Bourin y M. Uchiyama, “Desigualdad de subadditividad matricial para f(A+B)\ny f(A) + f(B),” Arxiv.org E-print math.FA/0702475 (2007).\n[6] T. Kato, Teoría de la Perturbación para los operadores lineales, Reimpresión de la edición de 1980,\nClásicos en Matemáticas, Springer-Verlag, Berlín (1995).\n[7] T. Kosem, “Desigualdades entre f(A + B) y f(A) + f(B)”, Lin. Alg.\nAppl. 418, 153–160 (2006).\nhttp://arxiv.org/abs/math/0702475\n\tIntroducción\n\tPreliminares\n\tPrincipales resultados\n\tPrueba de la Propuesta 1\n\tEn la mayoría dominada por Y\n\tContraejemplo de la pregunta 2\n\tOtras aplicaciones de la mayoría dominada por Y\n\tAgradecimientos\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":93,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.01,"string":"704.01"},"title":{"kind":"string","value":"Topology Change of Black Holes"},"full_text":{"kind":"string","value":"Cambio de topología de los agujeros negros\nDaisuke Ida\ny Masaru Siino\n1Departamento de Física, Universidad de Gakushuin, Tokio 171-8588, Japón.\n2Departamento de Física, Instituto de Tecnología de Tokio, Tokio 152-8550, Japón.\n(1o de abril de 2007)\nResumen.\nLa estructura topológica del horizonte de eventos ha sido investigada en términos de\nTeoría Morse. El proceso elemental de la evolución topológica se puede entender\ncomo un accesorio de manilla. Se ha comprobado que existen ciertas limitaciones a la\nla naturaleza de la evolución topológica del agujero negro: (i) Hay n tipos de mango\nattachments in (n+1)-dimensional black hole space-times. ii) Las manijas son más amplias\nclasificados como de tipo blanco o negro, y sólo los mangos negros aparecen en reales\nagujero negro espacio-tiempos. iii) La sección espacial de un exterior del agujero negro\nla región siempre está conectada. Como corolario, se demuestra que la formación de un\nagujero negro con un horizonte Sn−2 × S1 desde el que con un horizonte Sn−1 debe ser\nno aximmétrico en espacios-tiempos asintóticamente planos.\n1. Introducción\nLos agujeros negros en espacios-tiempos de mayor o igual a cinco dimensiones tienen ricos\nestructura topológica. Según los conocidos resultados de Hawking sobre\nla topología de los agujeros negros en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el horizonte aparente\no la sección espacial del horizonte de eventos estacionario es necesariamente difteromórfica\na una 2-esfera. [1, 2] Esto se deriva del hecho de que la curvatura total, que es\nla integral de la curvatura escalar intrínseca sobre el horizonte, es positiva bajo el\ncondición energética dominante y del teorema de Gauss-Bonnet. Alternativas y\nha mejorado las pruebas del teorema de Hawking han sido dadas por varios autores. [3, 4, 5, 6]\nSin embargo en el espacio-tiempos dimensionales superiores, un horizonte aparente o el espacio espacial\nsección del horizonte de eventos estacionario puede no ser una esfera topológica, [7, 8, 9, 10]\nporque el teorema de Gauss-Bonnet no se sostiene en tales casos. Sin embargo,\nla positividad de la curvatura total del horizonte todavía se mantiene. Esto pone seguro\nrestricciones topológicas en la topología del agujero negro, aunque son bastante débiles. Por\nejemplo, el horizonte aparente en el espacio-tiempo de cinco dimensiones puede consistir en finitamente\nmuchas sumas conectadas de copias de S3/». y copias de S2 × S1. De hecho, exacto\nsoluciones que representan un agujero negro espacio-tiempo que posee un horizonte no esférico\nLa topología se ha encontrado recientemente en la relatividad general de cinco dimensiones. Cuando tales\nagujeros negros con topologías no triviales se consideran como formadas en el curso\nde colapso gravitacional, cuestiones relativas a la evolución de la topología del negro\nlos agujeros surgen naturalmente. Nuestro propósito aquí es entender la evolución del tiempo de la\ntopología de horizontes de eventos en un entorno general. La relación entre el conjunto de pliegues,\ndonde el horizonte de eventos no es diferenciable, y la topología del horizonte de eventos\nestá estudiado en Refs. [11, 12, 13] para el espacio-tiempos de cuatro dimensiones. En el presente\ntrabajo, realizamos una investigación sistemática y encontramos reglas útiles para determinar\nprocesos admisibles de evolución topológica para el corte temporal de un agujero negro.\nNuestro enfoque es utilizar la teoría Morse [14, 15] en la topología diferencial. Los\nLa teoría de Morse es útil para el propósito de entender la topología de suave\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0100v3\nmultiples. La herramienta básica utilizada en este enfoque es una función fluida en un diferen-\nmultiples. El horizonte de acontecimientos, sin embargo, no es un múltiple diferenciable, pero\ntiene una estructura similar a cuña en los puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos\ndel horizonte. Por esta razón, primero suavizamos la cuña. Entonces, el suave\nfunción de tiempo que se supone que existe juega el papel de la función Morse en el\nalisó el horizonte de eventos. Según la teoría de Morse, la evolución topológica\nel horizonte del evento puede entonces ser descompuesto en procesos elementales llamados “han-\nEn tal proceso, comenzando con un horizonte esférico, se añade\nvarios mangos, cada uno caracterizado por el índice de los puntos críticos del Morse\nfunción, que es un entero que va de 0 a n (la dimensión de la\nhorizonte como un colector diferenciable).\nEl propósito del presente artículo es demostrar que hay varias limitaciones\nen los accesorios del mango para los espacios-tiempos del agujero negro reales.\n2. La teoría de Morse para horizontes de eventos\nQue M sea un espacio-tiempo asintóticamente plano (n+1)-dimensional. Requerimos el\nexistencia de una función global del tiempo t : M → R que es suave y tiene un en todas partes\ngradiente de apuntamiento temporal y futuro. El horizonte de eventos H se define como el\nlímite del pasado causal del futuro null infinity H = ♥J−(I +). [2] Tratamos\nel horizonte de evento definido con respecto a un único extremo asintótico, a menos que lo contrario\nindicado. En otras palabras, el futuro infinito nulo, I +, se supone que está conectado.\nLa región del agujero negro B se define como la región interior de H, específicamente, como B =\nM \\ J−(I +), y la región exterior E de la región del agujero negro es su complemento,\nE = int(J−(I +)). Nos referimos a la intersección de la región del agujero negro y el\ntime slice (t0) = {t = t0} como el agujero negro B(t0) = B (t0) en el momento t = t0.\nLa región exterior en el momento t = t0 está, en consecuencia, escrita E (t0) = E (t0).\nUna de las propiedades más básicas del horizonte de eventos es que se genera por null\ngeodésicos sin futuros puntos finales. En general, el horizonte de eventos no es fácil\nincrustado en el espacio-tiempo múltiple M, pero tiene una estructura similar a cuña en\nlos puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos, en los que\nLos generadores se cruzan. Llamamos al conjunto de puntos finales pasados de generadores geodésicos nulos\nde H, de la cual emanan dos o más generadores geodésicos nulos, el juego de pliegues\nS. [11, 12] Cuando no existe un conjunto de pliegues S entre las secciones de tiempo t = t1 y t = t2, la\nLos generadores geodésicos nulos de H definen naturalmente un difeomorfismo.\nPor lo tanto, la evolución topológica de un agujero negro sólo puede tener lugar cuando el tiempo\nS. Por supuesto, el horizonte de eventos en sí mismo es un indicador-\nobjeto independiente. Sin embargo, a menudo entendemos la dinámica del espacio-tiempo\nescaneando a lo largo de rebanadas de tiempo. Así, la evolución topológica de un agujero negro\ndepende de la función de tiempo.\nSe espera que la teoría de Morse [14] proporcione técnicas útiles para analizar\nun proceso de evolución topológica. Porque la teoría de Morse se ocupa de\nfunciones en los colectores lisos, primero regularizamos H alrededor del conjunto de pliegues S.\nhorizonte de eventos no es necesariamente suave, incluso en H \\ S, en el caso de que el futuro\nnull infinity I + tiene una estructura patológica. [16] Aquí se asume que H es\nsuave en H \\ S. Luego, pequeñas deformaciones de H cerca del conjunto de pliegue S hará\nH una hipersuperficie lisa H. en M, mientras que B.(t0) permanece deformada de tal manera\nque ♥Bś(t0) = Hś Ł(t0) mantiene y Bś(t0) sigue siendo homeomórfico al original\nagujero negro para todos los t0 o R. Esta deformación se supone que es tal que el tiempo\nGráfico 1 Un ejemplo en el que ningún procedimiento de suavizado hace\nt eH una función Morse en Hś. Aquí, la intersección del conjunto de pliegues\nS del horizonte de evento y t = t0 hipersuperficie tiene una acumulación\npunto.\nfunción t eH, que es la restricción de t en H\ntiene sólo puntos críticos no degenerados, donde el gradiente de t eH definido en H\nse convierte en cero y donde también la matriz de Hessian (?i?jt eH) de t eH no es degenerada.\nAunque esta suposición debe sostener para una amplia clase de sistemas, no siempre\nEspera. La figura 1 da un ejemplo para el cual ningún procedimiento de suavizado hace que la\nfunción de tiempo inducida t eH una función de Morse en H, porque la intersección de la\nSet de pliegue S del horizonte de evento y la hipersuperficie t = t0 tiene una acumulación\npunto. Es altamente no trivial determinar si este procedimiento de suavización es\ngenéricamente posible. Sin embargo, no es fácil ni el propósito principal de este artículo\npara afirmar en el ámbito de la validez de la suposición, y por lo tanto hacemos esto\nsuposición sin indagar sobre su validez.\nSegún el Morse Lemma, hay un sistema de coordenadas local {x1, · · ·, xn}\nsobre Hû en el barrio del punto crítico p Hû de tal manera que la restricción t eH\nde la función de tiempo t en Hś toma la forma\nt eH(x\n1, · · ·, xn) = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2.\nEl entero, que va de 0 a n, se llama el índice del punto crítico p.\nla topología del agujero negro B(t) cambia cuando (t) pasa por puntos críticos,\no equivalente, cuando la función de tiempo t toma valores críticos. Esto implica que\npuntos críticos aparecen sólo cerca del conjunto de pliegues S.\nEl campo vectorial similar al gradiente para t eH se define como el campo vectorial tangente X\nde tal manera que Xt eH > 0 se mantiene en Hū, a excepción de los puntos críticos, y tiene la forma\nX = −2x1\n− · · · − 2x\n+ 2x+1\n* x x 1 *\n+ · · 2xn\ncerca del punto crítico del índice , en términos del sistema de coordenadas estándar\naparece en el Morse Lemma. Elegimos un campo vectorial similar al gradiente X de tal manera que\ncoincide con el futuro-dirigido campo vectorial tangente de generadores geodésicos nulos\nde H, excepto en un pequeño barrio del conjunto de pliegues S (Fig. 2). El efecto de\nun punto crítico p del índice es equivalente a la fijación de un ♥-handle. [14, 15]\nEl manubrio es sólo un n-disco topológico Dn (I = [0, 1]), pero se considera\ncomo el espacio del producto Dn Dn Dn (Fig. 3). El accesorio de la mano de la mano a un n-\nel colector dimensional N con un límite consiste en el conjunto h. = (D. ×Dn, f),\ndonde el mapa adjunto f induce la incrustación de \nN (Fig. 4). El nuevo colector obtenido a través de la unión de la mano de N es\nGráfico 2 El procedimiento de suavizado del horizonte de eventos H.\nel campo vectorial similar al gradiente en H se puede construir a través de un ligero\ndeformación de los generadores geodésicos nulos de H. Aquí, el efecto\ndel conjunto de pliegues S ha sido sustituido por el de los puntos críticos\np1, p2 y p3.\nGráfico 3 La estructura local alrededor del punto crítico p del índice\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se puede ver que Hût(p) es homeomórfico a Hût(p) con una\nAtadura de mano.\ndado por\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\nVamos a denotar por la parte t ≤ t0 de H Entonces, Hût(p) ( > 0) justo por encima de la\nel punto crítico p del índice es homeomórfico (de hecho difeomórfico, teniendo en cuenta\ndel procedimiento de suavizado) a que justo debajo de p, H\nHt(p) Ht(p)\nsi no hay otros puntos críticos que satisfagan t(p) ≤ t ≤ t(p). El cuerpo de la manija\na sí mismo es denotado por hl también.\nConsideremos varios ejemplos. El accesorio 0-handle no necesita un\nadjuntando el mapa f. Simplemente corresponde a la emergencia de la (n − 1)-esfera\nSn−1 Ł ŁDn como horizonte de agujero negro ♥B(t). Un ejemplo típico es la creación de un\nagujero negro (fig. 5): Un agujero negro siempre emerge como un accesorio 0-handle. El otro\nGráfico 4 La fijación de un manguito y un 2 manguito a un\n3-manifold N crea un nuevo 3-manifold N â € h1 â € h2.\nGráfico 5 La aparición de un agujero negro a través de un accesorio 0-handle.\nGráfico 6 La aparición de una burbuja en la región del agujero negro por\nFijación 0-handle, que no ocurre en el agujero negro real\nespacio-tiempos.\nGráfico 7 La colisión de un par de agujeros negros, creando un solo\nagujero negro, se realiza a través de un accesorio de 1 mano.\npossiblity es la creación de una burbuja que es subconjunto de J−(I +) en una región de agujero negro\n(Fig. 6). Uno podría pensar que esto corresponde a la creación de agujeros de gusano entre el\nregiones internas y externas del horizonte de acontecimientos. Aunque en el marco de la\nteoría estándar de Morse en Hś, estos dos ejemplos son indistinguibles, que a continuación\nver que este último proceso es, de hecho, imposible.\nA continuación, consideramos un accesorio de 1 mano. Un ejemplo típico es la colisión de dos\nagujeros negros. Un 1-handle sirve como un puente que conecta los agujeros negros, o corresponde\na tomar la suma conectada de cada componente de múltiples agujeros negros (Fig. 7).\nGráfico 8 La bifurcación de un agujero negro en dos está representada\npor un accesorio (n − 1)-handle. Esto, sin embargo, nunca ocurre en\nverdadero agujero negro espacio-tiempos.\nGráfico 9 La estructura de la mano. El núcleo D. × {0} corre-\nsponds al submanifold estable con respecto al generador de flujo-\natendido por el campo vectorial similar al gradiente, y el co-núcleo {0} ×Dn\ncorresponde al submanifold inestable.\nLa inversión de tiempo de la colisión de agujeros negros consiste en la bifurcación de uno\nagujero negro en dos. Esto se realizaría a través de un accesorio (n - 1),\nsi tal proceso fuera posible (Fig. 8). Sin embargo, es bien sabido que tal\nel proceso está prohibido. [2] En general, la inversión de tiempo de la fijación de la mano\ncorresponde a la unión (n− )-manilla.\nAntes de discutir casos generales, consideremos la estructura de un manillar.\nRecordemos que una mano-de-revestimiento consiste en el espacio del producto D♥ × Dn. El subconjunto\nSe llama el núcleo del manillar, y {0} ×Dn \nDl ×Dn se llama el co-núcleo. El núcleo y el co-núcleo se cruzan transversalmente en un\npunto. Este punto puede ser considerado como un punto crítico p.\nVamos a referirnos al subconjunto Ws(p) de H\n(1) Ws(p) = {q M lim\nexpq tX = p}\nque consiste en puntos que convergen a p a lo largo del flujo generado por el gradiente-\ncomo campo vector X, como el colector estable con respecto al punto crítico p.\nEl colector estable Ws(p) es homeomórfico a R\nSi el índice de p es dado por ♥. [17]\nSimilarmente, vamos a referirnos al subconjunto Wu(p)\na p a lo largo del flujo generado por (-X) como el colector inestable con respecto a p.\nPara el colector inestable, Wu(p)\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no... Las porciones del establo y\nLos colectores inestables en el cuerpo de la manivela pueden ser considerados como correspondientes al núcleo\ny co-núcleo, respectivamente.\nEl efecto de suavizar el horizonte de eventosH a Hū es deformar el campo vectorial nulo\ngenerar H en un campo vectorial similar al gradiente X. La diferencia principal entre\nlos generadores geodésicos nulos y el flujo generado por X es que el primero hace\nno tienen futuros puntos finales, pero estos últimos pueden. Por lo tanto, son admisibles y\nprocedimientos inadmisibles para el fluido múltiple H Un procedimiento admisible es el siguiente:\n, que se obtiene a partir de un horizonte de acontecimientos realizable en principio, mientras que un\ninadmisible se construye a partir de un horizonte de acontecimientos espurios, es decir, uno que consiste en\nde la hipersuperficie nula que contiene generadores geodésicos nulos con un punto final futuro.\n3. La estructura de los puntos críticos\nLa topología espacial de un agujero negro cambia sólo cuando la función de tiempo toma un\nvalor crítico. La evolución del tiempo de la topología del agujero negro se puede entender por\nteniendo en cuenta su estructura local en torno a puntos críticos. Para determinar si un determinado\ncambio topológico es admisible o inadmisible, no es suficiente considerar sólo\nla estructura intrínseca del horizonte de eventos. Más bien, es necesario tener en cuenta\nde su estructura empotrada en relación con el espacio-tiempo.\nEn una rebanada de tiempo, cualquier punto separado de Hś pertenece a cualquiera de los dos agujeros negros\no el exterior de la región del agujero negro. Es útil considerar el comportamiento local\nde la región del agujero negro o la región exterior cerca del punto crítico p. Llamemos\nel exterior E de la región del agujero negro simplemente la región exterior, para la brevedad. Los\nla región exterior está ligeramente deformada por el procedimiento de suavizado. Los deformados\nregión exterior se denota por , y la región exterior deformada en el momento t por\n(t) = (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t).2.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nEl mango 0 se coloca en unas t ≥ t(p). Tal apego describe el emer-\nsión de la región del agujero negro en el punto crítico p y su expansión con el tiempo.\nLa aparición de una burbuja, que consiste en una parte de J−(I +), en el fondo\nde la región del agujero negro también sería descrito por un accesorio 0-handle. Esto,\nSin embargo, nunca ocurre, como se explica a continuación en detalle. Por lo tanto, un accesorio 0-handle\nsiempre describe la creación de un agujero negro homeomórfico al n-disco.\nUn accesorio n-handle corresponde a la inversión de tiempo de un agregado 0-handle-\nmento. Este proceso, sin embargo, nunca ocurre en el espacio-tiempo del agujero negro real. Un n-\nmanillar se define para t ≤ t(p), lo que significa que termina en el punto crítico\np. El conjunto de pliegues se aísla en puntos críticos durante el curso del suavizado\nprocedimiento. El campo vectorial similar al gradiente, que se puede considerar tangente\nal generador del horizonte del acontecimiento deformado H..., puede tener varios hacia adentro (con-\nen el punto crítico debido a este procedimiento de suavización, mientras que el\ngenerador nulo original del horizonte de evento no tiene una dirección interior en\nel juego de pliegues. En el caso del n-handle, todas las direcciones se vuelven hacia el interior en el\npunto crítico. Esto implica que los generadores nulos del horizonte de eventos H deben\ntener puntos finales futuros en el punto crítico, que es, por supuesto, imposible. Lo es.\nasí visto que un accesorio n-handle nunca ocurre en el espacio-tiempos del agujero negro real.\nEl resto de los casos son adjuntos con mango para 1 ≤ ≤ n − 1. En estos\nEn el futuro, el punto crítico se encuentra a ambos lados del punto crítico p.\n[t > t(p)] y en el pasado [t < t(p)]. Entonces, consideramos el caso en el que la manija\nexiste durante el intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño t • [t(p) − •, t(p) + \nentender el cambio topológico de la región del agujero negro en el punto crítico p.\nGráfico 10 El barrio U de p está separado por h\nregión futura, U+, y la región pasada, U−.\nPrimero, introducimos un sistema de coordenadas {t, xi} (i = 1, · ·, n) en el barrio\nU de p, donde t es una función dada del tiempo, y {xi} es la extensión sobre U de\nla coordenada canónica que aparece en el Morse Lemma de tal manera que cada curva\n(x1, · ·, xn) = [const] es temporal en U. Asumimos que U es el cilindro sólido\ndado por t [t(p), t(p)],\nxi)2 ≤ . En este sistema de coordenadas, el\nla superficie de la silla de montar es dada por la superficie de la silla de montar\nt = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2\nen U, que es un conjunto acausal si la constante \nes tangente a la hipersuperficie similar al espacio t = t(p) en p. Por lo tanto, h\nU en dos subconjuntos abiertos, el futuro y las regiones pasadas U+ y U− de U, donde\nU+ y U− son los subconjuntos de futuro cronológico y pasado, respectivamente, de\nn.c.o.p. Explícitamente, el futuro y las regiones pasadas U± son las regiones\nSatisfacción\nt t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2\nen U, respectivamente (fig. 10).\nDebido a que la mano es un subconjunto de la frontera del agujero negro H, uno de U± es\ncontenido en la región del agujero negro, Bû, y el otro en la región exterior, .\nSin embargo, la futura región U+ de U siempre está incluida en la región del agujero negro, es decir.\nU+ â € TM B¬, y por lo tanto tenemos U− â € TM, ya que el horizonte es el límite del pasado\nset, J−(I +). Por lo tanto, la región del agujero negro Bû(t(p) − ) U en U en el momento\nt = t(p)− justo antes de que el tiempo crítico sea dado por\n(x1)2 + · · (xl)2 > (xl)2 + · · (xn)2 +,\nla cual es homotópica a la esfera S1. (En el caso de = 1, S0 consiste simplemente en:\ndos puntos.) Similarmente, Bū(t(p) + ) U justo después de que el tiempo crítico es dado por\n(x1)2 + · · (xl)2 + > (xl)2 + · · (xn)2,\nque es homotópico para el n-disco. De esta manera, la región del agujero negro se restringió a\nel pequeño barrio del punto crítico p es inicialmente homotópico a una esfera.\nLuego, la región interna de la esfera se llena en el momento crítico t = t(p) y\neventualmente se vuelve homotópicamente trivial. La región exterior, (t) U, en U es\ninicialmente homotópico a un n-disco para t = t(p) −. Entonces, su (n − ♥)-dimensional\ndirección es penetrada por la región del agujero negro en t = t(p), y así se convierte en\nhomotópico a una (n− 1)-esfera Sn1 para t = t(p) +. Si el suceso espurio\nhorizonte también se tiene en cuenta, la futura región U+ podría ser un subconjunto de , y\nPor lo tanto, la región pasada U- podría ser un subconjunto de B Luego, la región del agujero negro en\nla mano de podría ser homotópica a un n-disco inicialmente y llegar a ser homotópica a un\n(n1)-esfera finalmente, y viceversa para la región exterior. Vamos a referirnos a tal\nun cambio topológico de la región del agujero negro B(t)U de una región homotópica a\nesfera a una región homotópica a un disco como un accesorio de mango negro, y que desde\nuna región homotópica a un disco a una región homotópica a la esfera como un mango blanco\nattachment. La observación anterior muestra que sólo un accesorio de mango negro\nocurre si se considera un barrio suficientemente pequeño del punto crítico. Por\npor ejemplo, una colisión de agujeros negros corresponde a un accesorio negro de 1 mano, mientras que\nla bifurcación de un agujero negro corresponde a un accesorio blanco (n − 1)-handle\nen el sentido de que el tipo de homotopía de la región exterior (t)\nla de Sn−2 a la de Dn. Este argumento local también elucida la razón de que\nchoque agujero negro es admisible mientras que una bifurcación agujero negro, que es su tiempo\ninversión, es inadmisible. También observamos que el efecto de la inversión de tiempo es convertir\nun accesorio negro de la mano en un accesorio blanco de la mano (n− ).\nEs conveniente hacer referencia a la fijación 0-handle correspondiente a la cre-\nsión de un agujero negro como un accesorio negro de 0 manos. Entonces, la proposición de arriba\ntambién se aplica a un accesorio 0-handle.\n4. Conectividad de la región exterior\nTambién existen procesos que son irrealizables debido a las condiciones mundiales. Vamos.\nnosotros, por un momento, considerar el horizonte de eventos en Schwarzschild al máximo extendido\nespacio-tiempo. Aunque estamos interesados en el horizonte de eventos definido con respecto a\nun extremo asintótico específico, para el propósito de la explicación, examinamos el evento\nhorizonte definido con respecto a un par de extremos asintóticos en el espacio Schwarzschild-\ntiempo (Fig. 11).\nDejar I + 1 y I\n2 ser el par de futuros infinitos nulos de la máxima extensión\nSchwarzschild espacio-tiempo. El horizonte de eventos aquí está definido por H = \n2 ), que no es diferenciable en el horizonte bifurcado F = J\n−(I +1 )J\n− (I + 2).\nQue no sea una función de tiempo global y χ ser una función de coordinación radial global tales\nque cada t de dos superficies, χ = [const] es invariante bajo la isometría SO(3). Estos\nLas coordenadas se eligen de forma que la superficie de bifurcación F se encuentre en t = χ = 0\ny el horizonte de eventos H está determinado por t = alrededor de F. El evento suavizado\nhorizonte también se considera que es invariante en virtud de la isometría SO(3). Debido a la\nsimetría de la configuración, la función de tiempo t tiene puntos críticos de degenerado\ntype. De hecho, cualquier punto en el horizonte bifurcado F es crítico. Aquí, no estamos interesados\nen una situación tan no genérica. En su lugar, consideramos un tiempo ligeramente diferente cortando\ndeterminado por la nueva función de tiempo\nt′ = t+ sin2\nen los casos en que ≤ > 0 sea una constante positiva suficientemente pequeña y , que satisfaga 0 ≤ ≤ η,\nes la coordenada polar habitual de la 2-esfera. Entonces, sólo aparece un par de\npuntos críticos aislados en el polo norte ( = 0) y el polo sur ( ) en\nel horizonte bifurcado F, y la función de tiempo t′ se convierte en la función Morse en\nHū. En el momento t′ = 0, el agujero negro aparece en el polo norte. Esta es la\nFijación 0-handle. El agujero negro formado allí crece en un espesor geométrico\ncaparazón esférica con un agujero en el polo sur, que es, sin embargo, un topológico\n3 discos. En el momento t′ =, la punción en el polo sur se llena, y el negro\nregión de agujero se convierte en topológica S2 × [0, 1]. El horizonte de acontecimientos deformado Hū se divide\nen una unión desarticulada de un par de 2 esferas. Este es el accesorio de dos manos.\nEste tipo de adjunto de 2 manos ocurre porque el horizonte de eventos está definido\ncon respecto a los dos extremos asintóticos, que en general es inadmisible si el\nfuturo infinito nulo está conectado, como suponemos a partir de este punto. Para entender el\nsupra, cabe señalar que no existe un proceso mediante el cual la\nvarios componentes conectados de la región exterior (t) = (t) en el momento t\nfusionarse en un momento posterior porque un accesorio de tal manija no es admisible.\nTambién se ve que ningún componente conectado de (t) desaparece, porque possi-\nble n-handle adjuntos son inadmisibles. Estos hechos implican que el número de\nlos componentes conectados de la región exterior (t) no pueden disminuir con el tiempo\nfunción t. Por otro lado, sólo hay un componente conectado de la exte-\nregión rior (t) para t suficientemente grande, debido a la conexión de I +. Esto\nla observación muestra que la región exterior (t) permanece conectada en cualquier proceso.\nEl único proceso posible a través del cual el número de componentes conectados\nde la región exterior (t) los cambios es un accesorio (n− 1)-handle, tal como está construido\narriba en el espacio-tiempo Schwarzschild. Esto se debe a que el subconjunto D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o.\nH2 H1\nt' = t' (p)\nB (t'(p))\nII 12\nGráfico 11 La figura de la izquierda es un diagrama conformal de la\nSchwarzschild alargado al máximo el espacio-tiempo. La estructura de\nel horizonte de evento definido con respecto a los dos extremos asintóticos\nse representa a la derecha, con una dimensión omitida. El sombreado\nregión representa la región del agujero negro en el momento crítico t = t(p).\nEsto corresponde al accesorio de 2 manos, donde el exterior\nla región se separa en un par de componentes conectados.\nel límite de la mano\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa deberán cumplir los requisitos del anexo II del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de junio de 2013, por el que se establecen las normas de homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se modifica el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).\na saber, la parte de la parte de la que se adjunta que es el complemento de la preimagen de la\nf :..................................................................................................................................................\nse desconecta sólo cuando = n − 1. En este caso, el tipo de homotopía de la\nregión exterior (t) cambia de la de un n-disco a la de S0, a saber, dos puntos.\nTenga en cuenta, sin embargo, que esto no implica que la región exterior (t) es siempre\nseparado en dos partes desconectadas a través de la unión (n− 1)-handle. Por\nejemplo, una transición desde el horizonte de anillo negro Sn−2 × S1 a la esférica\nhorizonte de agujero negro Sn−1 se realiza a través de un accesorio de mango negro (n−1),\nque pellizque la longitud {un puntoS1+Sn−2 ×S1 en un punto. El exterior\nregión (t) permanece conectado todo el tiempo. Por lo tanto, tanto son admisibles como admisibles.\nprocedimientos inadmisibles para los accesorios de mano (n−1). Un accesorio de mano (n−1)\nes inadmisible si separa la región exterior (t).\n5. Observaciones finales\nLos argumentos que se dan en este documento se veranizan con las siguientes reglas. Como...\nsume que (i) un (n+ 1)-dimensional espacio-tiempo M es asintóticamente plano y el\nfuturo null infinito I + está conectado, o el horizonte de eventos H = J−(I +) está definido\ncon respecto a un único extremo asintótico, ii) el espacio-tiempo M admite un suave\nfunción de tiempo global t, (iii) el horizonte de eventos H se puede deformar de modo que el negro\ndeformado en consecuencia en cada momento t es suave y homeomórfico a orig-\ninal uno B(t) en cada momento t y la función de tiempo t se convierte en la función Morse\nsobre el asunto H.O.M. Entonces, la evolución topológica del horizonte de eventos puede ser considerada como un\nAcoplamiento con mango (0 ≤ ≤ n) sujeto a las siguientes normas:\n1) El anexo n-handle es inadmisible.\n(2) Únicamente el accesorio negro con mango (0 ≤ ≤ n − 1), en el que el negro\nregión de hoyo en el barrio del punto crítico varía de la región\nhomotópico a la esfera S1 (considerado como el conjunto vacío para = 0) a la\nN-disk Dn, es admisible.\n(3) El accesorio (n − 1)-handle que separa la sección espacial de la\nregión exterior del agujero negro es inadmisible.\nLa primera regla simplemente establece que ningún componente conectado de un agujero negro disap-\nPeras. También implica que si una burbuja de la región exterior se forma dentro del negro\nregión del hoyo, no desaparece.\nLa segunda regla se refiere a la estructura incrustada del horizonte de eventos\nrelativa al colector espacio-tiempo. El barrio del punto crítico es sep-\nse divide en dos regiones por el horizonte de acontecimientos. Uno cambia homotópicamente de un\nesfera a un disco y el otro de un disco a una esfera. Lo llamamos un mango negro en...\ntacment cuando el primero corresponde a la región del agujero negro y un mango blanco\nPor otra parte, el apego. Entonces, la segunda regla dice que un mango blanco...\nNunca ocurre. El proceso inverso, en el que una región de agujero negro homotópicamente\nse descartan los cambios de un disco a una esfera. Un accesorio 0-mano blanco, que\nGráfico 12 Formación de anillo negro de un agujero negro esférico debe\nser no aximmétricos en el espacio-tiempo real del agujero negro.\ndescribe el surgimiento de la región exterior, también está prohibido. Esto da un...\notra razón para el resultado bien conocido que un agujero negro no puede bifurcar, porque\ncorresponde a un accesorio blanco (n− 1)-handle.\nLa segunda regla se aplica a situaciones más generales. Por ejemplo, consideremos\nla evolución topológica del horizonte de eventos de Sn−1 a Sn−2 × S1 en (n+1)-\nespacio-tiempo dimensional (n ≥ 3). Cuando se realiza con un solo punto crítico,\ncorresponde a un accesorio de 1 mano. Aquí, uno podría esperar dos posibilidades si\nno se considera la segunda regla. Una posibilidad es que el 1-handle se adjunta en\nla región exterior del agujero negro. Esto es localmente equivalente a la fusión de un\nun par de agujeros negros, donde estos dos agujeros negros están conectados a otro lugar irrelevante.\nLa otra posibilidad es que se une desde el interior de tal manera que el 1-handle\nperfora la región del agujero negro. En los espacios-tiempos asintóticamente planos, sólo los últimos\nincluye configuraciones aximétricas de tal manera que se pellizque un agujero negro esférico\na lo largo del eje simétrico; aquí la configuración aximétrica es tal que\nel espacio-tiempo posee la isometría SO(n − 1) y el corte del tiempo respeta\nEsta simetría. Sin embargo, esta última posibilidad corresponde a un manguito blanco\napego, que es imposible, y sólo el primero, que corresponde a un negro\nUn accesorio de 1 mano, es posible. En particular, una transición de un evento esférico\nhorizonte ( Sn−1) a un horizonte de anillo negro ( Sn−2×S1) en un espacio asintóticamente plano-\nveces no es siempre axisimmétrico en el sentido de que tal configuración no puede\nposee simetría SO(n− 1) (Fig. 12).\nMientras que el horizonte aparente debe ser difeomórfico a una dos-esfera en cuatro-\nespacio-tiempos dimensionales bajo la condición de energía dominante, un evento torus hori-\nzon puede aparecer, incluso bajo la condición energética dominante, a través de un mango negro\nfijación al horizonte esférico. Más generalmente, un horizonte de eventos con un\nEl número arbitrario de genura puede estar formado por varios accesorios negros de 1 mano.\nLa tercera regla no está directamente determinada por la estructura local de la\npunto. En él se afirma que la región exterior E (t) = E (t) en cada momento es siempre\nconectado bajo el supuesto de que I + está conectado. Por lo tanto, la posibilidad de que\nallí forma una burbuja de la región exterior dentro del horizonte del agujero negro se gobierna\nFuera. Sin embargo, hay que señalar que tal proceso es posible si I + consiste en\nde varios componentes conectados. Esto también puede estar relacionado con la topología\nteorema de censura. [19] El teorema de censura topológica afirma que todos los factores causales\nlas curvas de I − a I + son homotópicas bajo la condición de energía nula. Esto también\nprohíbe la formación de una burbuja de la región exterior dentro del agujero negro, porque\nde lo contrario habría dos curvas causales no homotópicas de I − a I +, una\npasando dentro del horizonte y el otro fuera. Nuestro argumento, sin embargo, no\ndependen de las condiciones energéticas.\nBibliografía\n[1] S. W. Hawking, Commun. Matemáticas. 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Milnor, Conferencias sobre el teorema del cobordismo h (Princeton, Princeton University Press, 1965).\n[15] I. Tamura, La topología diferencial (Tokio, Iwanami Shoten Publishers, 1978).\n[16] P. T. Chrusciel y G. J. Galloway, Commun. Matemáticas. Phys. 193 (1998), 449 gr-qc/9611032.\n[17] S. Smale, Ann. de Matemáticas. 74 (1961), 199.\n[18] R. Emparan y H. S. Reall, Phys. Rev. Lett. 88 (2002), 101101; hep-th/0110260.\n[19] J. L. Friedman, K. Schleich y D. M. Witt, Phys. Rev. Lett. 71 (1993), 1486 [Errata; 75\n(1995), 1872]; gr-qc/9305017.\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9410004\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9410023\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0102149\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0509013\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0509107\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0608118\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9701003\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0405056\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9611032\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0110260\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9305017\n\t1. Introducción\n\t2. La teoría de Morse para horizontes de eventos\n\t3. La estructura de los puntos críticos\n\t4. Conectividad de la región exterior\n\t5. Observaciones finales\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" La estructura topológica del horizonte de eventos ha sido investigada en términos\nde la teoría Morse. El proceso elemental de evolución topológica puede ser\nentendido como un accesorio de manija. Se ha encontrado que hay\nlimitaciones a la naturaleza de la evolución topológica del agujero negro: (i) Hay n\ntipos de accesorios de mango en (n+1) dimensiones de agujero negro espacio-tiempos. ii)\nLas manijas también se clasifican como de tipo blanco o negro, y sólo negro\nlos mangos aparecen en el espacio-tiempos del agujero negro real. iii) La sección espacial de un\nexterior de la región del agujero negro siempre está conectado. Como corolario, es\nmuestra que la formación de un agujero negro con un horizonte S**(n-2) x S**1 desde\nque con un horizonte S**(n-1) no debe ser aximétrico en asintóticamente plano\nespacio-tiempos.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nLos agujeros negros en espacios-tiempos de mayor o igual a cinco dimensiones tienen ricos\nestructura topológica. Según los conocidos resultados de Hawking sobre\nla topología de los agujeros negros en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el horizonte aparente\no la sección espacial del horizonte de eventos estacionario es necesariamente difteromórfica\na una 2-esfera. [1, 2] Esto se deriva del hecho de que la curvatura total, que es\nla integral de la curvatura escalar intrínseca sobre el horizonte, es positiva bajo el\ncondición energética dominante y del teorema de Gauss-Bonnet. Alternativas y\nha mejorado las pruebas del teorema de Hawking han sido dadas por varios autores. [3, 4, 5, 6]\nSin embargo en el espacio-tiempos dimensionales superiores, un horizonte aparente o el espacio espacial\nsección del horizonte de eventos estacionario puede no ser una esfera topológica, [7, 8, 9, 10]\nporque el teorema de Gauss-Bonnet no se sostiene en tales casos. Sin embargo,\nla positividad de la curvatura total del horizonte todavía se mantiene. Esto pone seguro\nrestricciones topológicas en la topología del agujero negro, aunque son bastante débiles. Por\nejemplo, el horizonte aparente en el espacio-tiempo de cinco dimensiones puede consistir en finitamente\nmuchas sumas conectadas de copias de S3/». y copias de S2 × S1. De hecho, exacto\nsoluciones que representan un agujero negro espacio-tiempo que posee un horizonte no esférico\nLa topología se ha encontrado recientemente en la relatividad general de cinco dimensiones. Cuando tales\nagujeros negros con topologías no triviales se consideran como formadas en el curso\nde colapso gravitacional, cuestiones relativas a la evolución de la topología del negro\nlos agujeros surgen naturalmente. Nuestro propósito aquí es entender la evolución del tiempo de la\ntopología de horizontes de eventos en un entorno general. La relación entre el conjunto de pliegues,\ndonde el horizonte de eventos no es diferenciable, y la topología del horizonte de eventos\nestá estudiado en Refs. [11, 12, 13] para el espacio-tiempos de cuatro dimensiones. En el presente\ntrabajo, realizamos una investigación sistemática y encontramos reglas útiles para determinar\nprocesos admisibles de evolución topológica para el corte temporal de un agujero negro.\nNuestro enfoque es utilizar la teoría Morse [14, 15] en la topología diferencial. Los\nLa teoría de Morse es útil para el propósito de entender la topología de suave\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0100v3\nmultiples. La herramienta básica utilizada en este enfoque es una función fluida en un diferen-\nmultiples. El horizonte de acontecimientos, sin embargo, no es un múltiple diferenciable, pero\ntiene una estructura similar a cuña en los puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos\ndel horizonte. Por esta razón, primero suavizamos la cuña. Entonces, el suave\nfunción de tiempo que se supone que existe juega el papel de la función Morse en el\nalisó el horizonte de eventos. Según la teoría de Morse, la evolución topológica\nel horizonte del evento puede entonces ser descompuesto en procesos elementales llamados “han-\nEn tal proceso, comenzando con un horizonte esférico, se añade\nvarios mangos, cada uno caracterizado por el índice de los puntos críticos del Morse\nfunción, que es un entero que va de 0 a n (la dimensión de la\nhorizonte como un colector diferenciable).\nEl propósito del presente artículo es demostrar que hay varias limitaciones\nen los accesorios del mango para los espacios-tiempos del agujero negro reales.\n2. La teoría de Morse para horizontes de eventos\nQue M sea un espacio-tiempo asintóticamente plano (n+1)-dimensional. Requerimos el\nexistencia de una función global del tiempo t : M → R que es suave y tiene un en todas partes\ngradiente de apuntamiento temporal y futuro. El horizonte de eventos H se define como el\nlímite del pasado causal del futuro null infinity H = ♥J−(I +). [2] Tratamos\nel horizonte de evento definido con respecto a un único extremo asintótico, a menos que lo contrario\nindicado. En otras palabras, el futuro infinito nulo, I +, se supone que está conectado.\nLa región del agujero negro B se define como la región interior de H, específicamente, como B =\nM \\ J−(I +), y la región exterior E de la región del agujero negro es su complemento,\nE = int(J−(I +)). Nos referimos a la intersección de la región del agujero negro y el\ntime slice (t0) = {t = t0} como el agujero negro B(t0) = B (t0) en el momento t = t0.\nLa región exterior en el momento t = t0 está, en consecuencia, escrita E (t0) = E (t0).\nUna de las propiedades más básicas del horizonte de eventos es que se genera por null\ngeodésicos sin futuros puntos finales. En general, el horizonte de eventos no es fácil\nincrustado en el espacio-tiempo múltiple M, pero tiene una estructura similar a cuña en\nlos puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos, en los que\nLos generadores se cruzan. Llamamos al conjunto de puntos finales pasados de generadores geodésicos nulos\nde H, de la cual emanan dos o más generadores geodésicos nulos, el juego de pliegues\nS. [11, 12] Cuando no existe un conjunto de pliegues S entre las secciones de tiempo t = t1 y t = t2, la\nLos generadores geodésicos nulos de H definen naturalmente un difeomorfismo.\nPor lo tanto, la evolución topológica de un agujero negro sólo puede tener lugar cuando el tiempo\nS. Por supuesto, el horizonte de eventos en sí mismo es un indicador-\nobjeto independiente. Sin embargo, a menudo entendemos la dinámica del espacio-tiempo\nescaneando a lo largo de rebanadas de tiempo. Así, la evolución topológica de un agujero negro\ndepende de la función de tiempo.\nSe espera que la teoría de Morse [14] proporcione técnicas útiles para analizar\nun proceso de evolución topológica. Porque la teoría de Morse se ocupa de\nfunciones en los colectores lisos, primero regularizamos H alrededor del conjunto de pliegues S.\nhorizonte de eventos no es necesariamente suave, incluso en H \\ S, en el caso de que el futuro\nnull infinity I + tiene una estructura patológica. [16] Aquí se asume que H es\nsuave en H \\ S. Luego, pequeñas deformaciones de H cerca del conjunto de pliegue S hará\nH una hipersuperficie lisa H. en M, mientras que B.(t0) permanece deformada de tal manera\nque ♥Bś(t0) = Hś Ł(t0) mantiene y Bś(t0) sigue siendo homeomórfico al original\nagujero negro para todos los t0 o R. Esta deformación se supone que es tal que el tiempo\nGráfico 1 Un ejemplo en el que ningún procedimiento de suavizado hace\nt eH una función Morse en Hś. Aquí, la intersección del conjunto de pliegues\nS del horizonte de evento y t = t0 hipersuperficie tiene una acumulación\npunto.\nfunción t eH, que es la restricción de t en H\ntiene sólo puntos críticos no degenerados, donde el gradiente de t eH definido en H\nse convierte en cero y donde también la matriz de Hessian (?i?jt eH) de t eH no es degenerada.\nAunque esta suposición debe sostener para una amplia clase de sistemas, no siempre\nEspera. La figura 1 da un ejemplo para el cual ningún procedimiento de suavizado hace que la\nfunción de tiempo inducida t eH una función de Morse en H, porque la intersección de la\nSet de pliegue S del horizonte de evento y la hipersuperficie t = t0 tiene una acumulación\npunto. Es altamente no trivial determinar si este procedimiento de suavización es\ngenéricamente posible. Sin embargo, no es fácil ni el propósito principal de este artículo\npara afirmar en el ámbito de la validez de la suposición, y por lo tanto hacemos esto\nsuposición sin indagar sobre su validez.\nSegún el Morse Lemma, hay un sistema de coordenadas local {x1, · · ·, xn}\nsobre Hû en el barrio del punto crítico p Hû de tal manera que la restricción t eH\nde la función de tiempo t en Hś toma la forma\nt eH(x\n1, · · ·, xn) = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2.\nEl entero, que va de 0 a n, se llama el índice del punto crítico p.\nla topología del agujero negro B(t) cambia cuando (t) pasa por puntos críticos,\no equivalente, cuando la función de tiempo t toma valores críticos. Esto implica que\npuntos críticos aparecen sólo cerca del conjunto de pliegues S.\nEl campo vectorial similar al gradiente para t eH se define como el campo vectorial tangente X\nde tal manera que Xt eH > 0 se mantiene en Hū, a excepción de los puntos críticos, y tiene la forma\nX = −2x1\n− · · · − 2x\n+ 2x+1\n* x x 1 *\n+ · · 2xn\ncerca del punto crítico del índice , en términos del sistema de coordenadas estándar\naparece en el Morse Lemma. Elegimos un campo vectorial similar al gradiente X de tal manera que\ncoincide con el futuro-dirigido campo vectorial tangente de generadores geodésicos nulos\nde H, excepto en un pequeño barrio del conjunto de pliegues S (Fig. 2). El efecto de\nun punto crítico p del índice es equivalente a la fijación de un ♥-handle. [14, 15]\nEl manubrio es sólo un n-disco topológico Dn (I = [0, 1]), pero se considera\ncomo el espacio del producto Dn Dn Dn (Fig. 3). El accesorio de la mano de la mano a un n-\nel colector dimensional N con un límite consiste en el conjunto h. = (D. ×Dn, f),\ndonde el mapa adjunto f induce la incrustación de \nN (Fig. 4). El nuevo colector obtenido a través de la unión de la mano de N es\nGráfico 2 El procedimiento de suavizado del horizonte de eventos H.\nel campo vectorial similar al gradiente en H se puede construir a través de un ligero\ndeformación de los generadores geodésicos nulos de H. Aquí, el efecto\ndel conjunto de pliegues S ha sido sustituido por el de los puntos críticos\np1, p2 y p3.\nGráfico 3 La estructura local alrededor del punto crítico p del índice\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se puede ver que Hût(p) es homeomórfico a Hût(p) con una\nAtadura de mano.\ndado por\nEn el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\nVamos a denotar por la parte t ≤ t0 de H Entonces, Hût(p) ( > 0) justo por encima de la\nel punto crítico p del índice es homeomórfico (de hecho difeomórfico, teniendo en cuenta\ndel procedimiento de suavizado) a que justo debajo de p, H\nHt(p) Ht(p)\nsi no hay otros puntos críticos que satisfagan t(p) ≤ t ≤ t(p). El cuerpo de la manija\na sí mismo es denotado por hl también.\nConsideremos varios ejemplos. El accesorio 0-handle no necesita un\nadjuntando el mapa f. Simplemente corresponde a la emergencia de la (n − 1)-esfera\nSn−1 Ł ŁDn como horizonte de agujero negro ♥B(t). Un ejemplo típico es la creación de un\nagujero negro (fig. 5): Un agujero negro siempre emerge como un accesorio 0-handle. El otro\nGráfico 4 La fijación de un manguito y un 2 manguito a un\n3-manifold N crea un nuevo 3-manifold N â € h1 â € h2.\nGráfico 5 La aparición de un agujero negro a través de un accesorio 0-handle.\nGráfico 6 La aparición de una burbuja en la región del agujero negro por\nFijación 0-handle, que no ocurre en el agujero negro real\nespacio-tiempos.\nGráfico 7 La colisión de un par de agujeros negros, creando un solo\nagujero negro, se realiza a través de un accesorio de 1 mano.\npossiblity es la creación de una burbuja que es subconjunto de J−(I +) en una región de agujero negro\n(Fig. 6). Uno podría pensar que esto corresponde a la creación de agujeros de gusano entre el\nregiones internas y externas del horizonte de acontecimientos. Aunque en el marco de la\nteoría estándar de Morse en Hś, estos dos ejemplos son indistinguibles, que a continuación\nver que este último proceso es, de hecho, imposible.\nA continuación, consideramos un accesorio de 1 mano. Un ejemplo típico es la colisión de dos\nagujeros negros. Un 1-handle sirve como un puente que conecta los agujeros negros, o corresponde\na tomar la suma conectada de cada componente de múltiples agujeros negros (Fig. 7).\nGráfico 8 La bifurcación de un agujero negro en dos está representada\npor un accesorio (n − 1)-handle. Esto, sin embargo, nunca ocurre en\nverdadero agujero negro espacio-tiempos.\nGráfico 9 La estructura de la mano. El núcleo D. × {0} corre-\nsponds al submanifold estable con respecto al generador de flujo-\natendido por el campo vectorial similar al gradiente, y el co-núcleo {0} ×Dn\ncorresponde al submanifold inestable.\nLa inversión de tiempo de la colisión de agujeros negros consiste en la bifurcación de uno\nagujero negro en dos. Esto se realizaría a través de un accesorio (n - 1),\nsi tal proceso fuera posible (Fig. 8). Sin embargo, es bien sabido que tal\nel proceso está prohibido. [2] En general, la inversión de tiempo de la fijación de la mano\ncorresponde a la unión (n− )-manilla.\nAntes de discutir casos generales, consideremos la estructura de un manillar.\nRecordemos que una mano-de-revestimiento consiste en el espacio del producto D♥ × Dn. El subconjunto\nSe llama el núcleo del manillar, y {0} ×Dn \nDl ×Dn se llama el co-núcleo. El núcleo y el co-núcleo se cruzan transversalmente en un\npunto. Este punto puede ser considerado como un punto crítico p.\nVamos a referirnos al subconjunto Ws(p) de H\n(1) Ws(p) = {q M lim\nexpq tX = p}\nque consiste en puntos que convergen a p a lo largo del flujo generado por el gradiente-\ncomo campo vector X, como el colector estable con respecto al punto crítico p.\nEl colector estable Ws(p) es homeomórfico a R\nSi el índice de p es dado por ♥. [17]\nSimilarmente, vamos a referirnos al subconjunto Wu(p)\na p a lo largo del flujo generado por (-X) como el colector inestable con respecto a p.\nPara el colector inestable, Wu(p)\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no... Las porciones del establo y\nLos colectores inestables en el cuerpo de la manivela pueden ser considerados como correspondientes al núcleo\ny co-núcleo, respectivamente.\nEl efecto de suavizar el horizonte de eventosH a Hū es deformar el campo vectorial nulo\ngenerar H en un campo vectorial similar al gradiente X. La diferencia principal entre\nlos generadores geodésicos nulos y el flujo generado por X es que el primero hace\nno tienen futuros puntos finales, pero estos últimos pueden. Por lo tanto, son admisibles y\nprocedimientos inadmisibles para el fluido múltiple H Un procedimiento admisible es el siguiente:\n, que se obtiene a partir de un horizonte de acontecimientos realizable en principio, mientras que un\ninadmisible se construye a partir de un horizonte de acontecimientos espurios, es decir, uno que consiste en\nde la hipersuperficie nula que contiene generadores geodésicos nulos con un punto final futuro.\n3. La estructura de los puntos críticos\nLa topología espacial de un agujero negro cambia sólo cuando la función de tiempo toma un\nvalor crítico. La evolución del tiempo de la topología del agujero negro se puede entender por\nteniendo en cuenta su estructura local en torno a puntos críticos. Para determinar si un determinado\ncambio topológico es admisible o inadmisible, no es suficiente considerar sólo\nla estructura intrínseca del horizonte de eventos. Más bien, es necesario tener en cuenta\nde su estructura empotrada en relación con el espacio-tiempo.\nEn una rebanada de tiempo, cualquier punto separado de Hś pertenece a cualquiera de los dos agujeros negros\no el exterior de la región del agujero negro. Es útil considerar el comportamiento local\nde la región del agujero negro o la región exterior cerca del punto crítico p. Llamemos\nel exterior E de la región del agujero negro simplemente la región exterior, para la brevedad. Los\nla región exterior está ligeramente deformada por el procedimiento de suavizado. Los deformados\nregión exterior se denota por , y la región exterior deformada en el momento t por\n(t) = (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t).2.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nEl mango 0 se coloca en unas t ≥ t(p). Tal apego describe el emer-\nsión de la región del agujero negro en el punto crítico p y su expansión con el tiempo.\nLa aparición de una burbuja, que consiste en una parte de J−(I +), en el fondo\nde la región del agujero negro también sería descrito por un accesorio 0-handle. Esto,\nSin embargo, nunca ocurre, como se explica a continuación en detalle. Por lo tanto, un accesorio 0-handle\nsiempre describe la creación de un agujero negro homeomórfico al n-disco.\nUn accesorio n-handle corresponde a la inversión de tiempo de un agregado 0-handle-\nmento. Este proceso, sin embargo, nunca ocurre en el espacio-tiempo del agujero negro real. Un n-\nmanillar se define para t ≤ t(p), lo que significa que termina en el punto crítico\np. El conjunto de pliegues se aísla en puntos críticos durante el curso del suavizado\nprocedimiento. El campo vectorial similar al gradiente, que se puede considerar tangente\nal generador del horizonte del acontecimiento deformado H..., puede tener varios hacia adentro (con-\nen el punto crítico debido a este procedimiento de suavización, mientras que el\ngenerador nulo original del horizonte de evento no tiene una dirección interior en\nel juego de pliegues. En el caso del n-handle, todas las direcciones se vuelven hacia el interior en el\npunto crítico. Esto implica que los generadores nulos del horizonte de eventos H deben\ntener puntos finales futuros en el punto crítico, que es, por supuesto, imposible. Lo es.\nasí visto que un accesorio n-handle nunca ocurre en el espacio-tiempos del agujero negro real.\nEl resto de los casos son adjuntos con mango para 1 ≤ ≤ n − 1. En estos\nEn el futuro, el punto crítico se encuentra a ambos lados del punto crítico p.\n[t > t(p)] y en el pasado [t < t(p)]. Entonces, consideramos el caso en el que la manija\nexiste durante el intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño t • [t(p) − •, t(p) + \nentender el cambio topológico de la región del agujero negro en el punto crítico p.\nGráfico 10 El barrio U de p está separado por h\nregión futura, U+, y la región pasada, U−.\nPrimero, introducimos un sistema de coordenadas {t, xi} (i = 1, · ·, n) en el barrio\nU de p, donde t es una función dada del tiempo, y {xi} es la extensión sobre U de\nla coordenada canónica que aparece en el Morse Lemma de tal manera que cada curva\n(x1, · ·, xn) = [const] es temporal en U. Asumimos que U es el cilindro sólido\ndado por t [t(p), t(p)],\nxi)2 ≤ . En este sistema de coordenadas, el\nla superficie de la silla de montar es dada por la superficie de la silla de montar\nt = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2\nen U, que es un conjunto acausal si la constante \nes tangente a la hipersuperficie similar al espacio t = t(p) en p. Por lo tanto, h\nU en dos subconjuntos abiertos, el futuro y las regiones pasadas U+ y U− de U, donde\nU+ y U− son los subconjuntos de futuro cronológico y pasado, respectivamente, de\nn.c.o.p. Explícitamente, el futuro y las regiones pasadas U± son las regiones\nSatisfacción\nt t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2\nen U, respectivamente (fig. 10).\nDebido a que la mano es un subconjunto de la frontera del agujero negro H, uno de U± es\ncontenido en la región del agujero negro, Bû, y el otro en la región exterior, .\nSin embargo, la futura región U+ de U siempre está incluida en la región del agujero negro, es decir.\nU+ â € TM B¬, y por lo tanto tenemos U− â € TM, ya que el horizonte es el límite del pasado\nset, J−(I +). Por lo tanto, la región del agujero negro Bû(t(p) − ) U en U en el momento\nt = t(p)− justo antes de que el tiempo crítico sea dado por\n(x1)2 + · · (xl)2 > (xl)2 + · · (xn)2 +,\nla cual es homotópica a la esfera S1. (En el caso de = 1, S0 consiste simplemente en:\ndos puntos.) Similarmente, Bū(t(p) + ) U justo después de que el tiempo crítico es dado por\n(x1)2 + · · (xl)2 + > (xl)2 + · · (xn)2,\nque es homotópico para el n-disco. De esta manera, la región del agujero negro se restringió a\nel pequeño barrio del punto crítico p es inicialmente homotópico a una esfera.\nLuego, la región interna de la esfera se llena en el momento crítico t = t(p) y\neventualmente se vuelve homotópicamente trivial. La región exterior, (t) U, en U es\ninicialmente homotópico a un n-disco para t = t(p) −. Entonces, su (n − ♥)-dimensional\ndirección es penetrada por la región del agujero negro en t = t(p), y así se convierte en\nhomotópico a una (n− 1)-esfera Sn1 para t = t(p) +. Si el suceso espurio\nhorizonte también se tiene en cuenta, la futura región U+ podría ser un subconjunto de , y\nPor lo tanto, la región pasada U- podría ser un subconjunto de B Luego, la región del agujero negro en\nla mano de podría ser homotópica a un n-disco inicialmente y llegar a ser homotópica a un\n(n1)-esfera finalmente, y viceversa para la región exterior. Vamos a referirnos a tal\nun cambio topológico de la región del agujero negro B(t)U de una región homotópica a\nesfera a una región homotópica a un disco como un accesorio de mango negro, y que desde\nuna región homotópica a un disco a una región homotópica a la esfera como un mango blanco\nattachment. La observación anterior muestra que sólo un accesorio de mango negro\nocurre si se considera un barrio suficientemente pequeño del punto crítico. Por\npor ejemplo, una colisión de agujeros negros corresponde a un accesorio negro de 1 mano, mientras que\nla bifurcación de un agujero negro corresponde a un accesorio blanco (n − 1)-handle\nen el sentido de que el tipo de homotopía de la región exterior (t)\nla de Sn−2 a la de Dn. Este argumento local también elucida la razón de que\nchoque agujero negro es admisible mientras que una bifurcación agujero negro, que es su tiempo\ninversión, es inadmisible. También observamos que el efecto de la inversión de tiempo es convertir\nun accesorio negro de la mano en un accesorio blanco de la mano (n− ).\nEs conveniente hacer referencia a la fijación 0-handle correspondiente a la cre-\nsión de un agujero negro como un accesorio negro de 0 manos. Entonces, la proposición de arriba\ntambién se aplica a un accesorio 0-handle.\n4. Conectividad de la región exterior\nTambién existen procesos que son irrealizables debido a las condiciones mundiales. Vamos.\nnosotros, por un momento, considerar el horizonte de eventos en Schwarzschild al máximo extendido\nespacio-tiempo. Aunque estamos interesados en el horizonte de eventos definido con respecto a\nun extremo asintótico específico, para el propósito de la explicación, examinamos el evento\nhorizonte definido con respecto a un par de extremos asintóticos en el espacio Schwarzschild-\ntiempo (Fig. 11).\nDejar I + 1 y I\n2 ser el par de futuros infinitos nulos de la máxima extensión\nSchwarzschild espacio-tiempo. El horizonte de eventos aquí está definido por H = \n2 ), que no es diferenciable en el horizonte bifurcado F = J\n−(I +1 )J\n− (I + 2).\nQue no sea una función de tiempo global y χ ser una función de coordinación radial global tales\nque cada t de dos superficies, χ = [const] es invariante bajo la isometría SO(3). Estos\nLas coordenadas se eligen de forma que la superficie de bifurcación F se encuentre en t = χ = 0\ny el horizonte de eventos H está determinado por t = alrededor de F. El evento suavizado\nhorizonte también se considera que es invariante en virtud de la isometría SO(3). Debido a la\nsimetría de la configuración, la función de tiempo t tiene puntos críticos de degenerado\ntype. De hecho, cualquier punto en el horizonte bifurcado F es crítico. Aquí, no estamos interesados\nen una situación tan no genérica. En su lugar, consideramos un tiempo ligeramente diferente cortando\ndeterminado por la nueva función de tiempo\nt′ = t+ sin2\nen los casos en que ≤ > 0 sea una constante positiva suficientemente pequeña y , que satisfaga 0 ≤ ≤ η,\nes la coordenada polar habitual de la 2-esfera. Entonces, sólo aparece un par de\npuntos críticos aislados en el polo norte ( = 0) y el polo sur ( ) en\nel horizonte bifurcado F, y la función de tiempo t′ se convierte en la función Morse en\nHū. En el momento t′ = 0, el agujero negro aparece en el polo norte. Esta es la\nFijación 0-handle. El agujero negro formado allí crece en un espesor geométrico\ncaparazón esférica con un agujero en el polo sur, que es, sin embargo, un topológico\n3 discos. En el momento t′ =, la punción en el polo sur se llena, y el negro\nregión de agujero se convierte en topológica S2 × [0, 1]. El horizonte de acontecimientos deformado Hū se divide\nen una unión desarticulada de un par de 2 esferas. Este es el accesorio de dos manos.\nEste tipo de adjunto de 2 manos ocurre porque el horizonte de eventos está definido\ncon respecto a los dos extremos asintóticos, que en general es inadmisible si el\nfuturo infinito nulo está conectado, como suponemos a partir de este punto. Para entender el\nsupra, cabe señalar que no existe un proceso mediante el cual la\nvarios componentes conectados de la región exterior (t) = (t) en el momento t\nfusionarse en un momento posterior porque un accesorio de tal manija no es admisible.\nTambién se ve que ningún componente conectado de (t) desaparece, porque possi-\nble n-handle adjuntos son inadmisibles. Estos hechos implican que el número de\nlos componentes conectados de la región exterior (t) no pueden disminuir con el tiempo\nfunción t. Por otro lado, sólo hay un componente conectado de la exte-\nregión rior (t) para t suficientemente grande, debido a la conexión de I +. Esto\nla observación muestra que la región exterior (t) permanece conectada en cualquier proceso.\nEl único proceso posible a través del cual el número de componentes conectados\nde la región exterior (t) los cambios es un accesorio (n− 1)-handle, tal como está construido\narriba en el espacio-tiempo Schwarzschild. Esto se debe a que el subconjunto D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o.\nH2 H1\nt' = t' (p)\nB (t'(p))\nII 12\nGráfico 11 La figura de la izquierda es un diagrama conformal de la\nSchwarzschild alargado al máximo el espacio-tiempo. La estructura de\nel horizonte de evento definido con respecto a los dos extremos asintóticos\nse representa a la derecha, con una dimensión omitida. El sombreado\nregión representa la región del agujero negro en el momento crítico t = t(p).\nEsto corresponde al accesorio de 2 manos, donde el exterior\nla región se separa en un par de componentes conectados.\nel límite de la mano\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa deberán cumplir los requisitos del anexo II del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de junio de 2013, por el que se establecen las normas de homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se modifica el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).\na saber, la parte de la parte de la que se adjunta que es el complemento de la preimagen de la\nf :..................................................................................................................................................\nse desconecta sólo cuando = n − 1. En este caso, el tipo de homotopía de la\nregión exterior (t) cambia de la de un n-disco a la de S0, a saber, dos puntos.\nTenga en cuenta, sin embargo, que esto no implica que la región exterior (t) es siempre\nseparado en dos partes desconectadas a través de la unión (n− 1)-handle. Por\nejemplo, una transición desde el horizonte de anillo negro Sn−2 × S1 a la esférica\nhorizonte de agujero negro Sn−1 se realiza a través de un accesorio de mango negro (n−1),\nque pellizque la longitud {un puntoS1+Sn−2 ×S1 en un punto. El exterior\nregión (t) permanece conectado todo el tiempo. Por lo tanto, tanto son admisibles como admisibles.\nprocedimientos inadmisibles para los accesorios de mano (n−1). Un accesorio de mano (n−1)\nes inadmisible si separa la región exterior (t).\n5. Observaciones finales\nLos argumentos que se dan en este documento se veranizan con las siguientes reglas. Como...\nsume que (i) un (n+ 1)-dimensional espacio-tiempo M es asintóticamente plano y el\nfuturo null infinito I + está conectado, o el horizonte de eventos H = J−(I +) está definido\ncon respecto a un único extremo asintótico, ii) el espacio-tiempo M admite un suave\nfunción de tiempo global t, (iii) el horizonte de eventos H se puede deformar de modo que el negro\ndeformado en consecuencia en cada momento t es suave y homeomórfico a orig-\ninal uno B(t) en cada momento t y la función de tiempo t se convierte en la función Morse\nsobre el asunto H.O.M. Entonces, la evolución topológica del horizonte de eventos puede ser considerada como un\nAcoplamiento con mango (0 ≤ ≤ n) sujeto a las siguientes normas:\n1) El anexo n-handle es inadmisible.\n(2) Únicamente el accesorio negro con mango (0 ≤ ≤ n − 1), en el que el negro\nregión de hoyo en el barrio del punto crítico varía de la región\nhomotópico a la esfera S1 (considerado como el conjunto vacío para = 0) a la\nN-disk Dn, es admisible.\n(3) El accesorio (n − 1)-handle que separa la sección espacial de la\nregión exterior del agujero negro es inadmisible.\nLa primera regla simplemente establece que ningún componente conectado de un agujero negro disap-\nPeras. También implica que si una burbuja de la región exterior se forma dentro del negro\nregión del hoyo, no desaparece.\nLa segunda regla se refiere a la estructura incrustada del horizonte de eventos\nrelativa al colector espacio-tiempo. El barrio del punto crítico es sep-\nse divide en dos regiones por el horizonte de acontecimientos. Uno cambia homotópicamente de un\nesfera a un disco y el otro de un disco a una esfera. Lo llamamos un mango negro en...\ntacment cuando el primero corresponde a la región del agujero negro y un mango blanco\nPor otra parte, el apego. Entonces, la segunda regla dice que un mango blanco...\nNunca ocurre. El proceso inverso, en el que una región de agujero negro homotópicamente\nse descartan los cambios de un disco a una esfera. Un accesorio 0-mano blanco, que\nGráfico 12 Formación de anillo negro de un agujero negro esférico debe\nser no aximmétricos en el espacio-tiempo real del agujero negro.\ndescribe el surgimiento de la región exterior, también está prohibido. Esto da un...\notra razón para el resultado bien conocido que un agujero negro no puede bifurcar, porque\ncorresponde a un accesorio blanco (n− 1)-handle.\nLa segunda regla se aplica a situaciones más generales. Por ejemplo, consideremos\nla evolución topológica del horizonte de eventos de Sn−1 a Sn−2 × S1 en (n+1)-\nespacio-tiempo dimensional (n ≥ 3). Cuando se realiza con un solo punto crítico,\ncorresponde a un accesorio de 1 mano. Aquí, uno podría esperar dos posibilidades si\nno se considera la segunda regla. Una posibilidad es que el 1-handle se adjunta en\nla región exterior del agujero negro. Esto es localmente equivalente a la fusión de un\nun par de agujeros negros, donde estos dos agujeros negros están conectados a otro lugar irrelevante.\nLa otra posibilidad es que se une desde el interior de tal manera que el 1-handle\nperfora la región del agujero negro. En los espacios-tiempos asintóticamente planos, sólo los últimos\nincluye configuraciones aximétricas de tal manera que se pellizque un agujero negro esférico\na lo largo del eje simétrico; aquí la configuración aximétrica es tal que\nel espacio-tiempo posee la isometría SO(n − 1) y el corte del tiempo respeta\nEsta simetría. Sin embargo, esta última posibilidad corresponde a un manguito blanco\napego, que es imposible, y sólo el primero, que corresponde a un negro\nUn accesorio de 1 mano, es posible. En particular, una transición de un evento esférico\nhorizonte ( Sn−1) a un horizonte de anillo negro ( Sn−2×S1) en un espacio asintóticamente plano-\nveces no es siempre axisimmétrico en el sentido de que tal configuración no puede\nposee simetría SO(n− 1) (Fig. 12).\nMientras que el horizonte aparente debe ser difeomórfico a una dos-esfera en cuatro-\nespacio-tiempos dimensionales bajo la condición de energía dominante, un evento torus hori-\nzon puede aparecer, incluso bajo la condición energética dominante, a través de un mango negro\nfijación al horizonte esférico. Más generalmente, un horizonte de eventos con un\nEl número arbitrario de genura puede estar formado por varios accesorios negros de 1 mano.\nLa tercera regla no está directamente determinada por la estructura local de la\npunto. En él se afirma que la región exterior E (t) = E (t) en cada momento es siempre\nconectado bajo el supuesto de que I + está conectado. Por lo tanto, la posibilidad de que\nallí forma una burbuja de la región exterior dentro del horizonte del agujero negro se gobierna\nFuera. Sin embargo, hay que señalar que tal proceso es posible si I + consiste en\nde varios componentes conectados. Esto también puede estar relacionado con la topología\nteorema de censura. [19] El teorema de censura topológica afirma que todos los factores causales\nlas curvas de I − a I + son homotópicas bajo la condición de energía nula. Esto también\nprohíbe la formación de una burbuja de la región exterior dentro del agujero negro, porque\nde lo contrario habría dos curvas causales no homotópicas de I − a I +, una\npasando dentro del horizonte y el otro fuera. Nuestro argumento, sin embargo, no\ndependen de las condiciones energéticas.\nBibliografía\n[1] S. W. Hawking, Commun. Matemáticas. Phys. 25 (1972), 152.\n[2] S. W. Hawking y G. F. R. Ellis, La estructura a gran escala de los espacios-tiempo (Londres, Cam-\nbridge University Press, 1973).\n[3] D. Gannon, Gen. Relate. Gravit. 7 (1974), 219.\n[4] P. T. Chrusciel y R. M. Wald, Class. Quantum Grav. 11 (1994), L147; gr-qc/9410004.\n[5] T. Jacobson y S. Venkataramani, Class. Quantum Grav. 12 (1995), 1055; gr-qc/9410023.\n[6] S. F. Browdy y G. J. Galloway, J. Matemáticas. Phys. 36 (1995), 4952.\n[7] M. l. Cai y G. J. Galloway, Class. Quantum Grav. 18 (2001), 2707; hep-th/0102149.\n[8] C. Helfgott, Y. Oz e Y. Yanay, JHEP 0602 (2006), 025; hep-th/0509013.\n[9] G. J. Galloway y R. Schoen, Commun. Matemáticas. Phys. 266 (2006), 571; gr-qc/0509107.\n[10] G. J. Galloway, gr-qc/0608118.\n[11] M. Siino, Phys. Rev. D 58 (1998), 104016; gr-qc/9701003.\n[12] M. Siino y T. Koike, arXiv:gr-qc/0405056.\n[13] S. L. Shapiro, S. A. Teukolsky y J. Winicour, Phys. Rev. D 52 (1995), 6982.\n[14] J. Milnor, Conferencias sobre el teorema del cobordismo h (Princeton, Princeton University Press, 1965).\n[15] I. Tamura, La topología diferencial (Tokio, Iwanami Shoten Publishers, 1978).\n[16] P. T. Chrusciel y G. J. Galloway, Commun. Matemáticas. Phys. 193 (1998), 449 gr-qc/9611032.\n[17] S. Smale, Ann. de Matemáticas. 74 (1961), 199.\n[18] R. Emparan y H. S. Reall, Phys. Rev. Lett. 88 (2002), 101101; hep-th/0110260.\n[19] J. L. Friedman, K. Schleich y D. M. Witt, Phys. Rev. Lett. 71 (1993), 1486 [Errata; 75\n(1995), 1872]; gr-qc/9305017.\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9410004\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9410023\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0102149\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0509013\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0509107\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0608118\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9701003\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/0405056\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9611032\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/0110260\nhttp://arxiv.org/abs/gr-qc/9305017\n\t1. Introducción\n\t2. La teoría de Morse para horizontes de eventos\n\t3. La estructura de los puntos críticos\n\t4. Conectividad de la región exterior\n\t5. Observaciones finales\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":94,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0101,"string":"704.0101"},"title":{"kind":"string","value":"The birth of string theory"},"full_text":{"kind":"string","value":"El nacimiento de la teoría de cuerdas\nPaolo Di Vecchia1\nNordita, Blegdamsvej 17, 2100 Copenhague Ø, Dinamarca divecchi@alf.nbi.dk\nResumen. En esta contribución pasamos por los desarrollos que en los años\nde 1968 a 1974 condujo del modelo Veneziano a la teoría de cuerdas bosónicas.\nIncluyen la construcción de la amplitud de punto N para las partículas escalares, su\nfactorización a través de la introducción de un número infinito de osciladores y el\nprueba de que el subespacio físico era un espacio definitivo de Hilbert positivo. También discutimos\nel límite de pendiente cero y el cálculo de diagramas de bucle. Por último, describimos cómo\nfinalmente se reconoció que una teoría cuántica de cuerdas relativistas era la teoría\nsubyacente al modelo Veneziano.\n1 Introducción\nLos años sesenta fueron un período en el que se estudiaron procesos de interacción fuertes\nen detalle utilizando los aceleradores de nueva construcción en Cern y otros lugares.\nSe encontraron muchos nuevos estados hadrónicos que aparecieron como picos resonantes en var-\nse midieron las secciones transversales y transversales hadrónicas con aumento\nprecisión. En general, los datos experimentales para procesos que interactúan fuertemente\nen términos de intercambios de resonancia en el\ncanal a baja energía y por el intercambio de polos Regge en el transversal\ncanal a mayor energía. Teoría de campo que había tenido mucho éxito en de-\nla inscripción de QED parecía inútil para las interacciones fuertes dado el gran número de\nHadrones para acomodarse en un lagrangiano y la fuerza del pion-nucleón\nconstante de acoplamiento que no permitió cálculos perturbadores. El único...\nprincipal en el que las técnicas teóricas de campo se utilizaron con éxito fue actual\nálgebra. Aquí, asumiendo que las interacciones fuertes fueron descritas por un casi\nquiral invariante Lagrangian, que la simetría quiral se rompió espontáneamente\ny que el pion era el bosón correspondiente Goldstone, campo teórico\nmétodos dieron bastante buenas predicciones para la dispersión de amplitudes que implican pi-\na muy baja energía. Sin embargo, ir a una energía más alta no era posible.\ncon estos métodos.\nDebido a esto, mucha gente comenzó a pensar que la teoría de campo era el uso-\nmenos para describir interacciones fuertes e intentó describir interacciones fuertes\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0101v1\n2 Paolo Di Vecchia\nprocesos con métodos alternativos y más fenomenológicos. Lo básico\nLos ingredientes para describir los datos experimentales fueron de baja energía.\ncambio de resonancias en el canal directo y a mayor energía el intercambio\nde los polos de Regge en el canal transversal. Reglas de suma para interactuar fuertemente\nlos procesos fueron saturados de esta manera y se encontró un buen acuerdo con el\ndatos experimentales provenientes de los aceleradores recién construidos. Sé...\ncausa de estos éxitos y de los problemas que la teoría de campo encontró para\ndescribir los datos, se propuso construir directamente la matriz S sin\npasando por un lagrangiano. La matriz S se suponía que se construiría\nde las propiedades que debía satisfacer, pero no había un procedimiento claro sobre\ncómo implementar esta construcción1. A menudo se utilizaba la palabra “bootstrap”\ncomo la forma de construir la matriz S, pero no ayudó mucho para obtener un\nMatriz S para los procesos que interactúan fuertemente.\nUna de las ideas básicas que condujeron a la construcción de una matriz S fue\nque debe incluir resonancias a baja energía y al mismo tiempo dar\nComportamiento de regge a alta energía. Pero las dos contribuciones de las resonancias\ny de los polos de Regge no deben ser añadidos porque esto implicaría doble\nContando. Esto se llamaba dualidad Dolen, Horn y Schmidt [2]. Otra idea\nque ayudó en la construcción de una matriz S fue la dualidad planar [3] que\nfue visualizado asociándose a un proceso determinado un diagrama de dualidad, mostrado en\nFig. (1), donde cada mesón fue descrito por dos líneas que representan el quark\ny el antiquark. Por último, también el requisito de cruzar la simetría jugado\nun papel muy importante.\nFig. 1. Diagrama de dualidad para la dispersión de cuatro mesones\nPartiendo de estas ideas Veneziano [4] fue capaz de construir una matriz S\npara la dispersión de cuatro mesones que, al mismo tiempo, tenía un número infinito\nde resonancias de ancho cero yace sobre trayectorias de Regge y Regge en ascenso lineal\ncomportamiento a alta energía. Veneziano construyó originalmente el modelo para el\n1 Para una discusión de la teoría de la matriz S véase Ref.s [1]\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 3\nproceso →, pero se extendió inmediatamente a la dispersión de cuatro\npartículas escalares.\nEn el caso de cuatro partículas escalares idénticas, el scat simétrico de cruce-\nla amplitud tering encontrado por Veneziano consiste en una suma de tres términos:\nA(s, t, u) = A(s, t) +A(s, u) +A(t, u) (1)\ndonde\nA(s, t) =\n* (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a)) (a)\n- α(t) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndxx®(s)−1(1− x)®(t)−1 (2)\ncon trayectorias de Regge en ascenso lineal\nα(s) = α0 + α\n′s (3)\nEsta era una propiedad muy importante para implementar en un modelo porque era\nde acuerdo con los datos experimentales en una amplia gama de energías. s, t y\nu son las variables Mandelstam:\ns = −(p1 + p2)2, t = −(p3 + p2)2, u = −(p1 + p3)2 (4)\nLos tres términos en Eq. (1) corresponden a los tres pedidos de las cuatro partes\nque no están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica 2 de la\npiernas. Corresponden, respectivamente, a las tres permutaciones: (1234), (1243)\ny (1324) de las cuatro patas externas. Sólo tienen singularidades de polo simples.\nEl primero sólo tiene polos en los canales s y t, el segundo sólo en el s\ny u canales y el tercero sólo en los canales t y u. Esta propiedad fol-\nbajos directamente del diagrama de dualidad que se asocia a cada inequivalente\npermutación de las piernas externas. De hecho, en ese momento uno solía asociar\na cada una de las tres permutaciones inequivalentes un diagrama de dualidad donde cada\nla partícula fue dibujada como consistente en dos líneas que rappresentaron el quark y\nAntiquark inventando un mesón. Además, se suponía que el diagrama debía\ntienen sólo polos singularidades en los canales planos que son los que implican\nlíneas externas adyacentes. Esto significa que, por ejemplo, el diagrama de dualidad\nque corresponde a la permutación (1234) sólo tiene polos en el s y t chan-\nnels como se puede ver deformando el diagrama en el plano en los dos posibles\nformas que se muestran en la figura (2).\nEsta era una propiedad muy importante del diagrama de dualidad que hace\ncualitativamente diferente de un diagrama de Feynman en teoría de campo donde cada uno\ndiagrama tiene sólo un polo en uno de los tres canales s, t y u y no\nsimultáneamente en dos de ellos. Si aceptamos la idea de que cada término de la\nsuma en Eq. (1) es descrito por un diagrama de dualidad, entonces está claro que nosotros\n2 Una permutación anticíclica correspondiente, por ejemplo, a la orden (1234) es\nobtenido tomando el reverso de la orden original (4321) y luego realizando\nuna permutación cíclica.\n4 Paolo Di Vecchia\nFig. 2. El diagrama de dualidad contiene ambos polos de canal s y t\nno es necesario añadir términos correspondientes a diagramas equivalentes porque el\ndiagrama de dualidad correspondiente es el mismo y tiene las mismas singularidades. Lo siento.\nAhora está claro que de alguna manera estaba implícito en este cuadro el hecho de que el\nEl modelo Veneziano corresponde a la dispersión de cuerdas relativistas. Pero a\nesa vez la conexión no era obvia en absoluto. La única propiedad de la matriz S\nque el modelo Veneziano no pudo satisfacer era la unitariedad de la matriz S.\nporque contenía sólo resonancias de ancho cero y no tenía las diversas\ncortes requeridos por la unidad. Veremos cómo se implementará esta propiedad.\nInmediatamente después de la formulación del modelo Veneziano, Virasoro [5]\npropuso otra amplitud simétrica de cuatro puntos para las partículas escalares\nque consistió en una pieza única dada por:\nA(s, t, u)\n• (u)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n• (1 +)\n• (1 +)\n• (1 +)\ndonde\nα(s) = α0 + α\n′s (6)\nEl modelo tenía polos en los tres canales s, t y u y no podía ser escrito\ncomo suma de tres términos que tienen polos sólo en diagramas planos. En conclusión,\nel modelo Veneziano satisface el principio de dualidad plana siendo un cruce\ncombinación simétrica de tres contribuciones cada uno con polos sólo en el\nCanales planos. Por otro lado, el modelo Virasoro consiste en un\ncruce de término simétrico con polos en canales planos y no planos.\nLos intentos de construir modelos consistentes que estaban de acuerdo\ncon la fenomenología de la interacción fuerte de los años sesenta impulsado enormemente\nla actividad en este campo de investigación. La generalización del modelo Veneziano para\nla dispersión de partículas escalares N fue construida, un formalismo de operador que consiste en\nde un número infinito de osciladores armónicos fue construido y el\nse determinó el espectro de mesons. Resultó que la degeneración de\nlos estados crecieron exponencialmente con la masa. También se encontró que la N\namplitud de punto tenía estados con norma negativa (fantasmas) a menos que la intercepción\nde la trayectoria de Regge fue α0 = 1 [6]. En este caso resultó que el\nmodelo estaba libre de fantasmas, pero el estado más bajo era un taquión. El modelo era\nllamó en la literatura el “modelo de resonancia dual”.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 5\nEl modelo no era unitario porque todos los estados eran de ancho cero reso-\nLas nances y los diversos cortes requeridos por la unidad estaban ausentes. La unidad\nse implementó de manera perturbadora añadiendo diagramas de bucle obtenidos por\ncosiendo algunas de las patas externas después de la inserción de un propagador.\nLas amplitudes multilazo mostraron una estructura de superficies de Riemann. Esto será...\nse hizo evidente sólo más tarde cuando el modelo de resonancia dual fue reconocido a\ncorresponden a la dispersión de cuerdas.\nPero el problema principal era que el modelo tenía un taquión si α0 = 1 o tenía\nfantasmas para otros valores de α0 y no estaba de acuerdo con el experimental\ndatos: α0 no fue igual a aproximadamente\nsegún lo requerido por los experimentos para el\nLa trayectoria del regge y las partículas escalares externas no se comportaron como piones\nsatisfacer los requisitos actuales de álgebra. Se hicieron muchos intentos de\nconstruir modelos de resonancia dual más realistas, pero el principal resultado de\nLos intentos fueron la construcción de los Neveu-Schwarz [7] y los Ramond [8]\nmodelos, respectivamente, para mesones y fermiones. Fueron construidos como dos\nmodelos independientes y sólo más tarde se reconoció que eran dos sectores de la\nEl mismo modelo. El modelo Neveu-Schwarz todavía contenía un taquión que sólo en\n1976 a través de la proyección GSO fue eliminado del espectro físico.\nAdemás, no estaba describiendo adecuadamente las propiedades de la\nPiones.\nEn realidad, un modelo que describe la dispersión de una manera bastante satisfactoria\nfue propuesto por Lovelace y Shapiro [9] 3. De acuerdo con este modelo el\nTres amplitudes isospinas para la dispersión pion-pion son dadas por:\n[A(s, t) +A(s, u)]− 1\nA(t, u)\nA1 = A(s, t)−A(s, u) A2 = A(t, u) (7)\ndonde\nA(s), t = β\n* (1- α(s))* (1 − α(t))\n• (1− α(t)− α(s)\n; α(s) = α0 + α\n′s (8)\nLas amplitudes en eq.(7) proporcionar un modelo para la dispersión con elevación lineal\nTrayectorias Regge que contienen tres parámetros: la interceptación del Regge\ntrayectoria α0, la pendiente Regge α\n′ y β. Los dos primeros pueden ser determinados por\nimponer la condición de auto-coherencia del Adler, que requiere la desaparición de\nla amplitud cuando s = t = u = m2η y uno de los piones es sin masa, y el\nhecho de que la trayectoria de Regge debe dar el giro del meson que es igual\na 1 cuando\ns es igual a la masa del mesón. Estas dos condiciones\ndeterminar que la trayectoria de Regge es:\nα(s) =\ns−m2\nm2π −mη2\n= 0,48 + 0,885s (9)\n3 Véase también Ref. [10].\n6 Paolo Di Vecchia\nDespués de haber fijado los parámetros de la trayectoria Regge el modelo predice la\nlas masas y los acoplamientos de las resonancias que decaen en\nparámetro único β. Los valores obtenidos están en acuerdo razonable con\nlos experimentos. Además, uno puede calcular las longitudes de dispersión:\na0 = 0,395β a2 = −0,103β (10)\ny uno encuentra que su relación está dentro del 10% de la actual relación de álgebra dada\npor a0/a2 = −7/2. La amplitud en eq.(8) tiene exactamente la misma forma que la\npara cuatro taquiones del modelo Neveu-Schwarz con el único aparentemente menor\ndiferencia que α0 = 1/2 (para mη = 0) en lugar de 1 como en el Neveu-Schwarz\nmodelo. Esta diferencia, sin embargo, implica que la dimensión crítica espacio-tiempo\nde este modelo es d = 4 4 y no d = 10 como en el modelo Neveu-Schwarz. In\nla conclusión de que este modelo parece ser un modelo perfectamente razonable para describir\ndispersión de baja energía. El problema es, sin embargo, que nadie ha sido capaz de\npara generalizar a la dispersión multipión y por lo tanto para obtener la completa\nespectro meson.\nComo hemos visto se construyó la matriz S del modelo de resonancia dual\nutilizando ideas y herramientas de fenomenología de hadrones de finales de los años sesenta.\nAunque no parecía posible escribir un modelo realista de resonancia dual\ndescribiendo los piones, era sin embargo tal fuente de fascinación para los\nque trabajó activamente en este campo en ese momento por su hermosa estructura interna\ny consistencia que mucha energía se utilizó para investigar sus propiedades y\npara comprender su estructura básica. Resultó con gran sorpresa que\nla estructura subyacente era la de una cadena relativista cuántica.\nEl objetivo de esta contribución es explicar la lógica del trabajo que fue\nhecho en los años de 1968 a 1974 5 con el fin de descubrir las propiedades profundas de\neste modelo que parecía desde el principio ser tan hermoso y coherente\npara merecer un estudio intensivo.\nEsto me parece una muy buena manera de celebrar el 65 aniversario de\nGabriele que es la persona que comenzó y también contribuyó a desarrollar el\ntodo con su profunda intuición física.\n2 Construcción de la amplitud del punto N\nHemos visto que la construcción de la amplitud de cuatro puntos no es suficiente\npara obtener información sobre todo el espectro hadrónico porque sólo contiene\nesos hadrones que pareja a dos mesons del estado de tierra y no los ve\nEstados intermedios que sólo pareja a tres o a un mayor número de\nMesons terrestres [12]. Por lo tanto, era muy importante construir el\nAmplitud N-punto que involucra partículas escalares idénticas. La construcción de\n4 Esto se puede comprobar computando el acoplamiento de la partícula sin spin en la\nnivel α(s) = 2 y ver que desaparece para d = 4.\n5 Reseñas de este periodo se pueden encontrar en Ref. [11]\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 7\nla amplitud del punto N se hizo en Ref. [13] (prolongación de la labor de Ref. [14])\npor exigir los mismos principios que han conducido a la construcción de la\nmodelo Veneziano, a saber, el hecho de que los axiomas de la teoría S-matriz ser\nsatisfecho por un número infinito de resonancias de ancho cero acostados linealmente\ncrecimiento de las trayectorias Regge y dualidad plana.\nLa amplitud de dispersión simétrica totalmente cruzada de N escalar idéntico\nlas partículas se dan por una suma de términos correspondientes a la permu-\ntas de las patas externas:\nUn (11)\nTambién en este caso dos permutaciones de las patas externas son inequivalentes si\nno están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica. Np es el número de\npermutaciones inequivalentes de las patas externas y es igual a Np =\n(N−1)!\ny cada término sólo tiene singularidades de polos simples en los canales planos. Cada uno\ncanal plano se describe por dos índices (i, j), lo que significa que incluye el\npiernas i, i+ 1, i+ 2... j − 1, j, por la variable Mandelstam\nsij = −(pi + pi+1 +.. + pj)2 (12)\ny por una variable adicional uij cuyo papel será claro pronto. Lo es.\nclaro que los canales (ij) y (j + 1, i− 1) 6 son idénticos y deben\nser contados sólo una vez. En el caso de N partículas escalares idénticas, el número\nde canales planos es igual a\nN(N−3)\n. Esto puede obtenerse de la siguiente manera. Los\nLos diagramas planos independientes que involucran la partícula 1 son del tipo (1, i)\ndonde i = 2...N − 2. Su número es N − 3. Este es también el número de\ndiagramas planos que involucran la partícula 2 y no la 1. Número de aviones\ndiagramas que implican la partícula 3 y no las partículas 1 y 2 es igual a\nN − 4. En general, el número de diagramas planos que implican la partícula i y\nno los anteriores de 1 a i-1 es igual a N − 1− i. Esto significa que la\nel número total de diagramas planos es igual a:\n2 (N − 3) +\n(N − 1− i) = 2 (N − 3) +\n= 2 (N − 3) +\n(N − 4) (N − 3)\nN(N−3)\nSi uno escribe el diagrama de dualidad correspondiente a un planar determinado\norden de las partículas externas, es fácil ver que el diagrama puede tener\nsingularidades de polo simultáneas sólo en N − 3 canales. Los canales que\npermitir singularidades de polo simultáneas se llaman canales compatibles, el otro\n6 Este canal incluye las partículas (j + 1,...., N, 1,... i− 1).\n8 Paolo Di Vecchia\nse llaman incompatibles. Dos canales (i,j) y (h,k) son incompatibles si\nse satisfacen las siguientes desigualdades:\ni ≤ h ≤ j; j + 1 ≤ k ≤ i− 1 (14)\nEl objetivo es construir la amplitud de dispersión para cada inequivalente por\nmutación de las piernas externas que sólo tiene singularidades de polo en el\nN(N−3)\nCanales planos. También tenemos que imponer que la amplitud tiene simultáneamente\npolos solamente en N − 3 canales compatibles. Con el fin de obtener la intuición sobre cómo\nprocederemos a reescribir la amplitud de cuatro puntos en Eq. 2) De la siguiente manera:\nA(s, t) =\ndu23 u\n•(s12)−1\n•(s23)−1\n23 (u12 + u23 − 1) (15)\ndonde u12 y u23 son las variables correspondientes a los dos planos\nnels (12) y (23) y la cancelación de polos simultáneos en\nlos canales son provistos por la función de ♥ que prohíbe u12 y u23 a desaparecer\nSimultáneamente.\nAhora extenderemos este procedimiento a la amplitud de los puntos N. Pero para el\nEn aras de la claridad, comencemos con el caso de N = 5 [14]. En este caso tenemos 5\ncanales planos descritos por u12, u13, u23, u24 y u34. Ya que sólo tenemos dos\ncanales compatibles sólo dos de las cinco variables anteriores son independientes.\nPodemos elegir que sean u12 y u13. Con el fin de determinar el depen-\ndence de las otras tres variables sobre las dos independientes, excluimos\npolos simultáneos en canales incompatibles. Esto se puede hacer mediante la imposición de\nrelaciones que impiden variables correspondientes a canales incompatibles con\nDesaparece simultáneamente. Una condición suficiente para excluir los polos simultáneos\nen canales incompatibles se impondrán las condiciones siguientes:\nuP = 1−\nuP̄ (16)\ndonde el producto está sobre las variables P̄ correspondientes a los canales que\nson incompatibles con P. En el caso de la amplitud de cinco puntos obtenemos el\nlas siguientes relaciones:\nu23 = 1− u34u12 ; u24 = 1− u13u12\nu13 = 1− u34u24 ; u34 = 1− u23u13 ; u12 = 1− u24u23 (17)\nResolviéndolos en términos de los dos independientes que obtenemos:\nu23 =\n1− u12\n1− u12u13\n; u34 =\n1− u13\n1− u12u13\n; u24 = 1− u12u13 (18)\nEn analogía con lo que hemos hecho por la amplitud de cuatro puntos en Eq. (15)\nescribimos la amplitud de cinco puntos como sigue:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 9\ndu34u\n•(s12)−1\n•(s13)−1\n×u®(s24)−124 u\n•(s23)−1\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n*(u23 + u12u34 − 1)*(u24 + u12u13 − 1)*(u34 + u13u23 − 1) (19)\nRealizando la integral sobre las variables u23, u24 y u34 obtenemos:\ndu13u\n•(s12)−1\n•(s13)−1\n× (1− u12)+(s23)−1(1− u13)+(s13)−1(1− u12u13)+(s24)(s23)(s34)(20)\nHemos asumido implícitamente que la trayectoria de Regge es la misma en todos los chan-\nnels y que las partículas escalares externas tengan la misma masa común m\ny son los estados de mentira más bajos en la trayectoria de Regge. Esto significa que su\nmasa viene dada por:\nα0 − •p2i = 0 ; p2i •m2 (21)\nUsando entonces la relación:\nα(s23) + α(s34)− α(s24) = 2+p2 · p4 (22)\nPodemos reescribir Eq. (20) según se indica:\n•(s2)−1\n•(s3)−1\n3 (1− u2)+(s23)−1×\n× (1 − u3)+(s34)−1\n(1− xij)2α\n′pi·pj (23)\ndonde\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. uj−1. (24)\nAhora estamos listos para construir la función de punto N [13]. En analogía con\nlo que se ha hecho para las amplitudes de cuatro y cinco puntos podemos escribir el\nAmplitud de los puntos N, según se indica:\n...\n•(sP)−1\n(uQ − 1 +\nuQ̄) (25)\n10 Paolo Di Vecchia\ndonde el primer producto ha terminado el\nN(N−3)\nvariables correspondientes a todos\ncanales planos, mientras que el segundo está sobre el\n(N−3)(N−2)\nindependiente\nFunciones. El producto en la función de se define en Eq. (16).\nLa solución de todas las relaciones lineales no independientes impuestas por el\nLas funciones son dadas por\nuij =\n(1 − xij)(1− xi−1,j+1)\n(1− xi−1,j)(1− xi,j+1)\ndonde las variables xij se dan en Eq. (24). Eliminación de la función de\nEq. (25) se obtiene:\n• (si)−1\ni (1 − ui)\n• (si,i+1)−1\nj=i+2\n(1- xij)ij(27)\ndonde\nγij = α(sij) + α(si+1;j−1)− α(si;j−1)− α(si+1;j) ; j ≥ i+ 2 (28)\nEs fácil ver que\nα(si,i+1) = +0 − 2+pi · pi+1 ; γij = −2+pi · pj ; j ≥ i+ 2 (29)\nInsertándolos en Eq. (27) Obtenemos:\n• (si)−1\ni (1− ui)\nj=i+1\n(1− xij)2α\n′pi·pj (30)\nEsta es la forma de la amplitud de punto N que fue construida originalmente.\nEntonces Koba y Nielsen [15] lo pusieron en la forma que es más conocida hoy en día.\nLo construyeron usando las siguientes reglas. Asoció una variable real\nZi a cada pierna i. Luego se asociaron a cada canal (i, j) una anarmónica\nrelación construida a partir de las variables zi, zi−1, zj, zj+1 de la siguiente manera\n(zi, zi+1, zj, zj+1)\n•(sij)−1 =\n(zi − zj) (zi − 1 − zj+1)\n(zi−1 − zj)(zi − zj+1)\n*(sij)−1\ny finalmente dieron la siguiente expresión para la amplitud de N -point:\ndV (z)\ni, j)\n(zi, zi+1, zj, zj+1)\n•(sij)−1 (32)\ndonde\ndV (z) =\n1 (zi − zi+1)dzi)\ni=1(zi − zi+2)dVabc\n; dVabc =\ndzadzbdzc\n(zb − za) (zc − zb) (za − zc)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 11\ny las variables zi se integran a lo largo del eje real en un orden cíclico\nforma: z1 ≥ z2. . ≥ zN con a, b, c elegido arbitrariamente.\nEl integrand de la amplitud de N -point es invariante bajo proyectiva\ntransformaciones que actúan sobre las variables de la pierna zi:\nαzi + β\nγzi + \n; i = 1... N ; − • = 1 (34)\nEsto se debe a que tanto la relación anarmónica en Eq. (31) y la medida dVabc\nson invariantes bajo una transformación proyectiva. Desde un proyector transfor-\nmiento depende de tres parámetros reales, a continuación, el integrand de la N -punto\nLa amplitud depende sólo de N − 3 variables zi. Con el fin de evitar infinitos, uno\ntiene entonces que dividir el volumen de integración con el factor dVabc que es también\ninvariante bajo las transformaciones proyectivas. El hecho de que el integrand\nsólo depende de N − 3 variables está de acuerdo con el hecho de que N − 3 es\ntambién el número máximo de polos simultáneos permitidos en la amplitud.\nEs conveniente escribir la amplitud de N - punto en una forma que implica la\nproducto escalar del momento externo en lugar de las trayectorias de Regge.\nDistinguimos tres tipos de canales. La primera es cuando las partículas\ni y j del canal (i, j) están separados por al menos dos partículas. En este\nlos canales que contribuyen al exponente del factor (zi − zj) son\nlos canales (i, j) con exponente igual a •(sij) − 1, (i + 1, j − 1) con\nexponente (si+1,j−1)− 1, (i+1,j) con exponente α(si+1,j)+1 y (i, j− 1)\ncon exponente α(si,j−1) + 1. Añadiendo estas cuatro contribuciones uno consigue para el\ncanales donde i y j están separados por al menos dos partículas\n− α(sij)− α(si+1,j−1) + α(si+1,j) + α(si,j−1) = 2pi · pj (35)\nEl segundo viene de los canales que están separados por sólo uno\npartícula. En este caso, sólo tres de los cuatro canales anteriores contribuyen. Por\ninstancia si j = i+2 el canal (i+1, j− 1) consiste en una sola partícula y\nPor lo tanto, no debe incluirse. Esto significa que tendríamos:\n− α(si;i+2)− 1 + α(s1+1;i+2) + 1 + α(si;i+1 + 1) = 1 + 2+pi · pi+2 (36)\nPor último, el tercero que viene de los canales cuyas partículas son adja-\ncent, sólo recibe la contribución de:\n− α(si;i+1)− 1 = α0 − 1 + 2+pi · pi+1 (37)\nPoner todos estos tres términos juntos en Eq. (32) y recordando el factor\nen el denominador en la primera ecuación de (33) obtenemos:\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zi+1)α0−1\n(zi − zj)2α\n′pi·pj(38)\nUna opción conveniente para que las tres variables se mantengan fijas es:\n12 Paolo Di Vecchia\nzc = zN = 0 (39); zb = z2 = 1; zc = zN = 0 (39)\nCon esta opción la ecuación anterior se convierte en:\n(zi − zi+1)\n(zi − zi+1)α0−1×\nj=i+1\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (40)\nAhora queremos mostrar que esta amplitud es idéntica a la dada en Eq.\n(30). Esto se puede hacer realizando el siguiente cambio de variables:\n; i = 2, 3...N − 2 (41)\nlo que implica\nzi = u2u3. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nTeniendo en cuenta que el jacobino es igual a:\nuN−2−ii (43)\nutilizando las dos relaciones siguientes:\n(zi − zi+1)α0−1 =\n(N−1−i)α0−1\n(1− ui)α0−1 (44)\nj=i+1\n(zj − zi)2α\n′pi·pj =\nj=i+1\n(1− xij)2α\n′pi·pj\n• (si)− (N−i−1)α0\ni (45)\ny la conservación del impulso\npi = 0 (46)\njunto con Eq. (21), se puede ver fácilmente que Eq.s (30) y (40) son iguales.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 13\nLa amplitud N -punto que hemos construido en esta sección corre-\nsponds a la dispersión de N partículas sin spinless sin grados internos de\nlibertad. Por otro lado, se sabía que los mesones eran clasificados\nsegún los múltiplos de una simetría del sabor SU(3). Esto se puso en práctica.\npor Chan y Patón [16] multiplicando la amplitud del punto N con un factor,\nllamado factor Chan-Paton, administrado por\nTr(a1a2..................................................................................................................................................... 47)..................................................................................................................................................\ndonde las matrices de los grupos unitarios en los representa-\ntion. Incluyendo los factores Chan-Paton se da la amplitud de dispersión total\nTr(a1a2..................................................................................................................................................... BN (p1, p2,. . pN ) (48)\ndonde la suma se extiende a la (N − 1)! permutaciones de las patas externas,\nque no están relacionados por una permutación cíclica. Originalmente cuando la resolución dual-\nmodelo nance se suponía que describiría fuertemente interactuando mesones, este factor\nse introdujo para representar su sabor grados de libertad. Hoy en día el\nla interpretación es diferente y el factor Chan-Paton representa el color\ngrados de libertad de los bosones de calibre y las otras partículas masivas de la\nespectro.\nLa amplitud N -punto BN que hemos construido en esta sección con-\nsólo tiene singularidades de polo simples en todos los canales planos posibles. Ellos cor-\nresponder a resonancias de ancho cero situadas a valores enteros no negativos n de\nla trayectoria de Regge α(M2) = n. El estado más bajo situado en α(m2) = 0 cor-\nresponde a las partículas en las patas externas de BN. El espectro de excitación\nlas partículas se pueden obtener factorizando la amplitud de N - punto en la mayoría\ncanal general con cualquier número de partículas. Esto se hizo en Ref.s [17] y\n[18] encontrar un espectro de estados que suben exponencialmente con la masa M.\nel modelo relativista invariante se encontró que muchos estados obtenidos por\nfactorizando la amplitud del punto N eran “fantasmas”, es decir, estados con\nnorma como se encuentra en QED cuando se cuantifica el campo electromagnético en un\ncalibrador covariante. La coherencia del modelo requiere la existencia de rela-\nciones satisfechas por las amplitudes de dispersión que son similares a las obtenidas\na través de la invarianza del calibrador en QED. Si el modelo es consistente deben decou-\nla norma negativa nos deja con un espectro físico de positivo\nlos estados de la norma. Con el fin de estudiar de una manera sencilla estos temas, discutimos en el\nsiguiente sección el formalismo del operador introducido ya en 1969 [19, 20, 21].\nAntes de concluir esta sección volvamos a los cuatro puntos no planos\namplitud en Eq. (5) y discutir su generalización a una amplitud de punto N.\nUtilizando la técnica del análogo electrostático en la esfera en lugar de en\nel disco Shapiro [22] fue capaz de obtener una amplitud de punto N que reduce\na la amplitud de cuatro puntos en Eq. (5) con intercepción α0 = 2. El punto N\nAmplitud encontrada en Ref. [22] es:\n14 Paolo Di Vecchia\ni=1 d\ndVabc\nzi − zj \n′pi·pj (49)\ndonde\ndVabc =\nd2zad\nza − zb2za − zc2zb − zc2\nLa integral en Eq. (49) se realiza en todo el plano complejo.\n3 Formalismo y factorización del operador\nLas propiedades de factorización del modelo de resonancia dual fueron estudiadas por primera vez por\nfactorizando por fuerza bruta la amplitud del punto N en los diversos polos [17, 18].\nEl número de términos que factorizan el residuo del polo en α(s) = n,\naumenta rápidamente con el valor de n. Con el fin de encontrar su degeneración se volvió\npara ser conveniente reescribir primero la amplitud del punto N en un operador\nformalismo. En esta sección introducimos el formalismo del operador y reescribimos\nla amplitud N-punto derivada en la sección anterior en este formalismo.\nLa idea clave [19, 20, 21] es introducir un conjunto infinito de oscil armónico\nLators y operadores de posición e impulso 7 que satisfacen los siguientes requisitos:\nrelaciones de conmutación:\n[anμ, a\nm/ ] = nm ; [q, p ] = i (51)\ndonde es la métrica plana de Minkowski que tomamos para ser = (−1, 1,... 1).\nUn estado con impulso p se construye en términos de un estado con cero mo-\nmentum de la manera siguiente:\n< < p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p = p > p > p = p > p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = 0 = 0 = 0 (52)\nnormalizado como 8\npp = (2η)dŁ(d)(p+ p′) (53)\nCon el fin de evitar menos signos utilizamos la convención que\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nUna base completa y ortonormal de vectores en el espacio del oscilador armónico\nes dada por\n1, 2,. • i; p =\n(an;n)\nn;μn\n¡N, μn!\neipq0, 0ó (55)\n7 En realidad, la posición y los operadores de impulso se introdujeron en Ref. [23].\n8 Aunque ahora usamos un arbitrario d queremos recordarte que todo original\nlos cálculos se hicieron para d = 4.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 15\ndonde el primer 0 corresponde al aniquilado por toda aniquilación op-\ny el segundo al estado de cero impulso:\naμn;n0, 0° = p0, 0° = 0 (56)\nNótese que la invarianza de Lorentz obliga a introducir también osciladores que crean\nestados con norma negativa debido al signo menos en la métrica plana de Minkowski.\nEsto implica que el espacio extendido por los estados en Eq. (55) no es positivo\nDefinido. Esto, sin embargo, no está permitido en una teoría cuántica y por lo tanto si\nel modelo de resonancia dual es una teoría cuántica-relavista consistente que esperamos\nla presencia de relaciones del tipo de las proporcionadas por la invarianza del calibrador en\nPresentemos al operador de Fubini-Veneziano [23]:\nQμ(z) = Q\nμ (z) +Q\nμ (z) +Q\nμ (z) (57)\ndonde\nQ(+) = i\nz−n ; Q(−) = −i\nQ(0) = qá − 2iÃ3pá r log z (58)\nEn términos de Q introducimos el operador de vértice correspondiente a la externa\npata con impulso p:\nV (z; p) =: eip·Q(z)\n(−)(z)eipq®e+2α\n′pp log zeip·Q\n(+)z) (59)\ny calcular el siguiente valor de expectativa de vacío:\n0, 0\nV (zi, pi)0, 0 (60)\nSe puede calcular fácilmente utilizando la relación Baker-Haussdorf\neAeB = eBeAe[A,B] (61)\nque es válido si el conmutador, como en nuestro caso, [A,B] es un número c. En nuestro\nen caso de que las relaciones de conmutación que deban utilizarse sean:\n[Q(+)(z), Q(−)(w)] = −2\ny el segundo en Eq. (51). Usandolos uno consigue:\nV (z; p)V (w; k) =: V (z; p)V (w; k) : (z − w)2α\n′p·k (63)\n16 Paolo Di Vecchia\n0, 0\nV (zi, pi)\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (2\npi) (64)\ncuando el pedido normal requiera que todos los operadores de creación se pongan en la\nizquierda de la aniquilación uno y el operador de impulso pÃ3 ser puesto a la derecha\ndel operador de posición q». Esto significa que\n(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\npi)BN =\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zi+1)α0−1\n× 0, 0\nV (zi, pi)0, 0 (65)\nAl elegir las tres variables za, zb y zc como en Eq. (39) podemos reescribir el\necuación anterior como sigue:\n(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\npi)BN =\n(zi − zi+1)×\n(zi − zi+1)α0−1\n0, p1\nV (zi; pi)0, pN (66)\ndonde hemos tomado z2 = 1 y hemos definido (α0 • p2i ; i = 1...N) :\nV (zN ; pN )0, 0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\nz2α01 V (z1; p1) = 0, p1 (67)\nAntes de proceder a factorizar la amplitud N -punto vamos a estudiar la prop-\nEn el marco del grupo proyectivo de los operadores que hemos introducido.\nYa hemos visto que el grupo proyectivo deja el integrand de la\nKoba-Nielsen representación de la amplitud de N -punto invariante. El projec-\nEl grupo tivo tiene tres generadores L0, L1 y L−1, respectivamente.\ndilataciones, inversiones y traducciones. Suponiendo que el Fubini-Veneziano\ncampos Q(z) se transforma como un campo con peso 0 (como escalar) podemos\nately escribir las relaciones de conmutación que Q(z) debe satisfacer. Esto significa en\nhecho de que, bajo una transformación proyectiva, Q(z) se transforma como sigue:\nQ(z) → QT (z) = Q\nαz + β\nγz + \n; − • = 1 (68)\nExpandiendo para valores pequeños de los parámetros que obtenemos:\nQT (z) = Q(z) + (+1 + 2z + 3z\ndQ(z)\n+ o(+2) (69)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 17\nEsto significa que los tres generadores del grupo proyectivo deben satisfacer\ndespués de las relaciones de conmutación con Q(z):\n[L0, Q(z)] = z\n; [L−1, Q(z)] =\n; [L1, Q(z)] = z\nSon dadas por las siguientes expresiones en términos de la oscila armónica-\ntors:\nL0 = α\n′p®2 +\nna†n · an ; L1 =\n2+p · a1 +\nn(n+ 1)an+1 · a†n (71)\nL−1 = L\n2+p· · a†1 +\nn(n+ 1)a\nn+1 · an (72)\nAniquilan el vacío.\nL0, 0 = L1 = 0, 0 = L−1 = 0, 0 = 0 (73)\nque por lo tanto se llama el vacío invariante proyectiva, y satisfacer el álgebra\nque se llama álgebra de Gliozzi [24]:\n[L0, L1] = −L1 ; [L0, L−1] = L−1 ; [L1, L−1] = 2L0 (74)\nEl operador de vértice con impulso p es un campo proyectivo con peso igual\na α0 = α\n′p2. De hecho, se transforma como sigue en el grupo proyectivo:\n[Ln, V (z, p)] = z\nn+1 dV (z, p)\n+ α0(n+ 1)z\nnV (z, p) ; n = 0,±1 (75)\no en forma finita como sigue:\nUV (z, p)U−1 =\n(γz + )2α0\nαz + β\nγz + \ndonde U es el generador de una transformación proyectiva finita arbitraria.\nDesde U deja el vacío invariante, mediante el uso de Eq. (76) es fácil de mostrar\nque:\n0, 0\nV (z′i, p)0, 0 =\n(γzi + )\n2α0-0, 0\nV (zi, p)0, 0 (77)\nque junto con la siguiente ecuación:\n(z′i − z′i+1)α0−1 =\n(zi − zi+1)α0−1\n(γzi + )\n−2α0(78)\n9 Véase también Ref. [25].\n18 Paolo Di Vecchia\nimplica que la integridad de la amplitud de punto N en Eq. (65) es invariante\nbajo transformaciones proyectivas.\nAhora estamos listos para factorizar la amplitud de N -punto y encontrar la especificación-\nTrum de mesons.\nDe los Eq.s (75) y (76) es fácil derivar la transformación de la\noperador de vértice bajo una dilatación finita:\nzL0V (1, p)z−L0 = V (z, p)zα0 (79)\nCambiar las variables de integración de la siguiente manera:\n; i = 2, 3...N − 2 ; det\n= z3z4. zN−2 (80)\ndonde el último término es el jacobio de la trasformación de zi a xi, obtenemos\nde Eq.(66) la expresión siguiente:\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndonde el propagador D es igual a:\ndxxL0−1+0(1− x)α0−1 = • (L0 − α0) • (α0)\n(L0)\nAN = (2η)\nd-(d)\nBN (83)\nLas propiedades de factorización de la amplitud se pueden estudiar insertando en\nel canal (1,M) o equivalente en el canal (M +1, N) descrito por el\nVariable Mandelstam\ns = −(p1 + p2 +. .. pM )2 = −(pM+1 + pM+2... + pN )2 • −P 2 (84)\nel conjunto completo de estados dados en Eq. (55):\nP(1,M), P, P D, P, P p(M+1,N) (85)\ndonde\nP(1,M) = 0, p1V (1, p2)DV (1, p3). V (1, pM ) (86)\np(M+1,N) = V (1, pM+1)D... V (1, pN−1)pN, 0 (87)\nIntroducción de la cantidad:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 19\nna†n · an (88)\nes posible reescribir\n, P D, P =\n, P \n(−1)m\nα0 − 1\nR+m− α(s)\n, P (89)\ndonde s es la variable definida en Eq. (84). Usando esta ecuación podemos reescribir\nEq. (85) del siguiente modo:\nP(1,M), P ®\n, P \n(−1)m\nα0 − 1\nR+m− α(s)\n, P, P p(M+1,N)(90)\nEsta expresión muestra que la amplitud AN tiene un polo en el canal (1,M)\ncuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y los estados que contribuyen a\nsus residuos son los que satisfacen la relación:\nR = (n−m) ; m = 0, 1.. n (91)\nEl número de estados independientes contribuir al residuo da el\ndegeneración de los estados para cada nivel n.\nDebido a la manifiesta invarianza relativista, el espacio se extiende por la com-\nsistema pleto de estados en Eq. (55) contiene estados con una norma negativa corre-\nsponding a esos estados que tienen un número impar de osciladores con tiempo similar\ninstrucciones (véase Eq. (51)). Esto no es consistente en una teoría cuántica donde\nlos estados de un sistema deben abarcar un espacio definitivo de Hilbert positivo. Esto significa\nque debe existir una serie de relaciones satisfechas por los Estados externos que\ndesacoplar un número de estados dejando con un espacio positivo definido Hilbert. In\npara encontrar estas relaciones reescribimos el estado en Eq. (87) volver a la\nVariables de Koba-Nielsen:\np(1,M) =\n(zi − zi+1)]\n(zi − zi+1)α0−1×\n× V (1, p1)V (z2, p2). ... V (zM−1, pM−1).......................................................................................................................................................................................................................................................\nConsideremos el operador U(α) que genera la transformación proyectiva\nque deja los puntos z = 0, 1 invariante:\n1− α(z − 1) = z + α(z)\n2 − z) + o(α2) (93)\nDe las propiedades de transformación de los operadores de vértice en Eq. (76)\nes fácil ver que la transformación anterior deja el estado en Eq. (92)\ninvariante:\n20 Paolo Di Vecchia\nU(α)p(1,M) = p(1,M) (94)\nEsto significa que el generador de la transformación previa aniquila el\nestado en Eq. (92):\nW1p(1,M) = 0; W1 = L1 − L0 (95)\nLa forma explícita de W1 se deriva de la forma infinitesimal de la transformación-\nciones en Eq. (93). Esta condición que es del mismo tipo de relaciones que\nsobre las amplitudes de caparazón con la emisión de fotones satisfacen como consecuencia de\nla invarianza del calibre, implica que el residuo en el polo en Eq. (90) puede ser fac-\nTorizado con un número menor de estados. Sin embargo, resulta que un\nEl análisis del espectro muestra que los estados de norma negativos todavía están presentes.\nEsto se puede entender cualitativamente de la siguiente manera. Debido a la métrica de Lorentz\ntenemos un componente de norma negativo para cada oscilador. Para poder\npara desacoplar todos los estados de la norma negativa necesitamos tener una condición de calibre de\nel tipo como en Eq. (95) para cada oscilador. Pero el número de osciladores es\ninfinito y, por lo tanto, necesitamos un número infinito de condiciones del tipo\ncomo en Eq. (95). Fue encontrado en Ref. [6] que, si tomamos α0 = 1, entonces uno puede\nconstruir fácilmente un número infinito de operadores que salen del estado en Eq.\n(92) invariante. En la siguiente sección nos concentraremos en este caso.\n4 El caso α0 = 1\nSi tomamos α0 = 1 muchas de las fórmulas dadas en la sección anterior simplificar.\nLa amplitud del punto N en Eq. 38) pasa a ser:\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (96)\nque pueden ser reescritos en el formalismo del operador como sigue:\n(2l)4l(\npi)BN =\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n0, 0\nV (zi, pi)\nAl elegir z1 = فارسى, z2 = 1 y zN = 0 se convierte en\n(2l)4l(\npi)BN =\n(zi − zi+1)0, p1\nV (zi; pi)0, pN (98)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 21\ndonde\nV (zN; pN ) 0, 0 0; pN ; 0; 0 lim\nz21V (z1; p1) = 0, p1 (99)\nEq. (81) es como antes, pero ahora el propagador se convierte en:\ndxxL0−2 =\nL0 − 1\n(100)\nEsto significa que Eq. (89) pasa a ser:\n, P D, P =, P 1\nL0 − 1\n, P (101)\ny Eq. (90) tiene la forma más sencilla:\nP(1,M), P, P \nR − α(s)\n, P, P p(M+1,N)® (102)\nBN tiene un polo en el canal (1,M) cuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y\nlos estados que contribuyen a su residuo son los que satisfacen la relación:\nR = n (103)\nSu número da la degeneración de los estados que contribuyen al polo en\nα(s) = n. La amplitud de N -point se puede escribir como:\nBN = P(1,M)Dp(M+1,N)® (104)\ndonde\np(1,M) =\n∫ M−1\n[dzil(zi − zi+1)]×\n× V (1, p1)V (z2, p2). .. V (zM−1, pM−10, pM • (105)\nUsando Eq. (79) y variables cambiantes de zi, i = 2... M−1 a xi = zi+1zi, i =\n1...M − 2 con z1 = 1 podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:\np(1,M) = V (1, p1)DV (1, p2)..DV (1, pM−1)0, pM (106)\ndonde el propagador D se define en Eq. (100).\nAhora queremos demostrar que el estado en Eq.s (105) y (106) no es sólo\naniquilado por el operador en Eq. (95), pero, si α0 = 1 [6], por un conjunto infinito\nde los operadores cuyo más bajo es el de Eq. (95). Vamos a derivar esto por\nutilizando el formalismo desarrollado en Ref. [26] y seguiremos de cerca sus\nderivación.\nA partir de Eq.s (70) Fubini y Veneziano se dieron cuenta de que los generadores\ndel grupo proyectivo que actúa en función de z están dadas por:\n22 Paolo Di Vecchia\nL0 = −z\n; L−1 = −\n; L1 = −z2\n(107)\nGeneralizaron los generadores anteriores a un transfor conformal arbitrario.\n• la introducción de los siguientes operadores, llamados operadores de Virasoro:\nLn = −zn+1\n(108)\nque satisfagan el álgebra:\n[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m (109)\nque no contiene el término con la carga central! También mostraron que\nlos operadores de Virasoro satisfacen las siguientes relaciones de conmutación con el\noperador de vértice:\n[Ln, V (z, p)] =\nzn+1V (z, p)\n(110)\nMás en general, en realidad definen un operador Lf que corresponde a un\nfunción arbitraria f(+) y Lf = Ln si elegimos f(+) =\nn. En este caso la\nrelación de conmutación en Eq. (110) se convierte en:\n[Lf, V (z, p)] =\n(zf(z)V (z, p)) (111)\nAl introducir la variable:\n* f.............................................................................................................................................................................................................................................................. \n(112)\ndonde A es una constante arbitraria, se puede reescribir Eq. (111) en lo siguiente:\nforma:\n[Lf, zf(z)V (z, p)] =\n(zf(z)V (z, p)) (113)\nEsto implica que, bajo una transformación conformal arbitraria z → f(z),\ngenerado por U = eαLf, el operador de vértice se transforma como:\neαLfV (z, p) zf(z) eLf = V (z′, p)z′f(z′) (114)\ndonde el parámetro α es dado por:\n* f.............................................................................................................................................................................................................................................................. \n(115)\nPor otro lado, esta ecuación implica:\nzf(z)\nz′f(z′)\n(116)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 23\nque, insertado en Eq. (114), implica que la cantidad V (z, p) dz se deja invariante\npor la transformación z → f(z):\neαLfV (z, p)dze®Lf = V (z′, p)dz′ (117)\nActuamos ahora con la anterior transformación conformal sobre el estado en\nEq. (105). Tenemos:\neαLf p(1,M) =\neαLfV (1, p1)eαLf×\n×eαLfV (z2, p2)e•Lf..... eαLfV (zM−1, pM−1)e•Lf eαLf 0, pM =\n*(zi − zi+1)× eαLfV (1, p1)e*Lf×\n× V (z′2, p2)dz′2. .. V (z′M−1, pM−1)dz′M−1eαLf 0, pM (118)\ndonde hemos usado Eq. (117). La transformación anterior deja el estado\ninvariante si z = 0 y z = 1 son puntos fijos de la transfor-\nMation. Esto sucede si el denominador en Eq. (115) desaparece cuando = 0, 1.\nEsto requiere las siguientes condiciones:\nf(1) = 0 ; lim\n(+) = 0 (119)\nExpandiendo cerca del poinr = 1 podemos determinar la relación entre z\ny z′ cerca de z = z′ = 1. Tenemos:\nzeóf\n1− z + zeáf ′(1)\n(120)\ny a partir de ella podemos determinar el factor de conformación:\n(1 − z + zeáf ′(1))2\n→ eαf\n′(1) (121)\nen el límite z → 1. Procediendo en la misma cerca del punto z = z′ = 0 obtenemos:\nzf(0)eαf(0)\nf(0) + zf ′(0)(1− eαf(0)\n→ zeαf(0) (122)\nen el límite z → 0. Esto significa que Eq. (118) se convierte en\neα(Lf−f\n′(1)−f(0))p(1,M)® = p(1,M)® (123)\nUna elección de f que satisface Eq.s (119) es la siguiente:\n24 Paolo Di Vecchia\nf() = n − 1 (124)\nque proporciona el siguiente operador de gálibo:\nWn = Ln − L0 − (n− 1) (125)\nque aniquila el estado en Eq. (105):\nWnp1...M = 0 ; n = 1.... (126)\nEstas son las condiciones de Virasoro que se encuentran en Ref. [6]. Hay una condición para\ncada oscilador de norma negativa y, por lo tanto, en este caso existe la posibilidad\nque el subespacio físico es positivo definido. Una alternativa más directa\nderivación de Eq. (126) se puede obtener actuando con Wn en el estado en Eq.\n(106) y utilizando las siguientes identidades:\nWnV (1, p) = V (1, p)(Wn + n) ; (Wn + n)D = [L0 + n− 1]−1Wn (127)\nLa segunda ecuación es una consecuencia de la siguiente ecuación:\nL0 = xL0+nLn (128)\nEq.s (127) implican\nWnV (1, p)D = V (1, p)[L0 + n− 1]−1Wn (129)\nEsto muestra que el operador Wn no cambia a través de todo el producto\nde los términos V D hasta que llega delante del término V (1, pM−1)0, pM. Me voy.\na través del operador de vértice se convierte en Ln − L0 + 1 que luego aniquila el\nestado\n(Ln − L0 + 1)pM, 0â = 0 (130)\nEsto prueba Eq. (126).\nUtilizando la representación de los operadores de Virasoro dada en Eq. (108) Fu-\nbini y Veneziano mostraron que satisfacen el álgebra dada en eq. (109)\nsin la carga central. Se reconoció la presencia de la carga central\npor Joe Weis10 en 1970 y nunca publicado. A diferencia de Fubini y Veneziano [26]\nUtilizó la expresión de los operadores Ln en términos de los osciladores armónicos:\n2 + np · an +\nm(n+m)an+m · am+\nm(n−m)am−n · am;n ≥ 0 Ln = L†n (131)\n10 Véase añadido como prueba en Ref. [26].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 25\nObtuvo el siguiente álgebra:\n[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m +\nn(n2 − 1)•n+m;0 (132)\ndonde d es la dimensión del espacio-tiempo de Minkowski. Escribimos aquí d para el\ndimensión del espacio de Minkowski, pero queremos recordarles que casi\nTodo el mundo trabajando en un modelo para mesons en ese momento dio por sentado que\nla dimensión del espacio-tiempo fue d = 4. Por lo que recuerdo, la primera\npapel donde se introdujo una dimensión d 6= 4 fue Ref. [27] donde estaba\nmuestra que la unidad violando cortes en el bucle no-planar se convierten en polos\nque fueran consistentes con la unitariedad si d = 26.\nEn la última parte de esta sección generalizaremos el procedimiento de factorización\nal modelo Shapiro-Virasoro cuya amplitud de punto N se da en Eq. (49).\nEn este caso debemos introducir dos conjuntos de osciladores armónicos que se desplazan\ncon el otro y sólo un conjunto de modos cero que satisfagan el álgebra [28]:\n[anμ, a\nmν ] = [ãnμ, ã\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nEn términos de ellos podemos presentar el operador Fubini-Veneziano\nQ(z, z̄) = qâ − 2â € € log(zz̄) + i\n− n − a†nzn\nãnz̄\n− n − nz̄n\n(134)\nA continuación, podemos introducir el operador de vértice:\nV (z, z̄; p) =: eip·Q(z,z̄) : (135)\ny escribir la amplitud de N -punto en Eq. (95) en la siguiente forma factorizada:\ni=1 d\ndVabc\nV (zi, z̄i, pi))\n0 =\n= (2l)4l(4)(\ni=1 d\ndVabc\nzi − zj\n′pi·pj (136)\ndonde el producto ordenado radial es dado por\nV (zi, z̄i, pi))\nV (zi, z̄i, pi))\n(zi − zi+1) +. (137)\n26 Paolo Di Vecchia\ny los puntos indican una suma sobre todas las permutaciones de los operadores de vértice.\nFijando z1 = فارسى, z2 = 1, zN = 0 podemos reescribir la expresión anterior\nde la siguiente manera:\n∫ N−1\nd2zi+0, p1R\nV (zi, z̄i, pi))\n0, pN® (138)\nPor el bien de la simplicidad consideremos el término correspondiente a la per-\nmutación 1, 2,... N. En este caso las variables Koba-Nielsen se ordenan en\ntal manera que zi ≥ zi+1 para i = 1,...N −1. Entonces podemos usar la fórmula:\nV (zi, z̄i, pi) = z\nL01\ni V (1, 1, pi)z\ni (139)\ny variables de cambio:\n; wi ≤ 1 (140)\npara reescribir Eq. (138) según se indica:\n0, p1V (1, 1, pi1)DV (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pN−1)0, pN (141)\ndonde\nwL0−1w̄Lœ0−1 =\nL0 + Lœ0 − 2\n· sinl(L0 − L0)\nL0 − Lœ0\n(142)\nAhora podemos seguir el mismo procedimiento para todas las permutaciones que llegan a la\nexpresión siguiente:\n•0, p1P [V (1, 1, p2)DV (1, 1, p3)D.... V (1, 1, pN−1)]0, pN® (143)\ndonde P significa una suma de todas las permutaciones de las partículas.\nSi queremos considerar la factorización de la amplitud en el polo en\ns = −(p1 +. .. pM )2 sólo obtenemos la siguiente contribución:\nP(1...M)Dp(M+1...N) (144)\ndonde\np(M+1...N) = P [V (1, 1, pM+1)D.... V (1, 1, pN−1]0, pN (145)\n[V (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pM)] (146]\nLa amplitud se factoriza mediante la introducción de un conjunto completo de estados y\ning Eq. (141) según se indica:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 27\n# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #\n2, L0, Lœ0, \nL0 + Lœ0 − 2\n, p(M+1,...N) (147)\nPor escrito\np+2 +R; L0 =\npâ € 2 + Rс (148)\nna†n · an ; R =\nnn · ãn (149)\nPodemos reescribir Eq. (147) de la siguiente manera:\n# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #\n2, R, R, \nR + R α(s)\n, p(M+1,...N)® (150)\nVemos que la amplitud para el modelo Shapiro-Virasoro tiene polos simples\nsólo para valores enteros pares de αSV (s) = 2 +\ns = 2n ≥ 0 y el residuo en\nlos polos factorizan en una suma con un número finito de términos. Nótese que el\nTrayectoria Regge del modelo Shapiro-Virasoro tiene doble intercepción y mitad\npendiente de la del modelo Veneziano generalizado.\n5 Estados físicos y sus operadores de vértice\nEn la sección anterior, hemos visto que el residuo en los polos de la N -\nlas amplitudes de punto factorizan en una suma de un número finito de términos. También lo hemos hecho.\nvisto que algunos de estos términos, debido a la métrica de Lorentz, corresponden a los estados\ncon norma negativa. También hemos derivado una serie de “identidades Ward” dadas\nen Eq. (126) que implican que algunos de los términos del residuo se disocian. Los\npregunta a ser respondida ahora es: ¿Es el espacio extendido por los estados físicos\n¿Una norma positiva, el espacio de Hilbert? Para responder a esta pregunta necesitamos primero\npara encontrar las condiciones que caracterizan a los estados físicos de la concha en, P \ny luego determinar cuáles son los estados que contribuyen al residuo\ndel polo en α(s = −P 2) = n. En otras palabras, tenemos que encontrar una manera de\nla caracterización de los estados físicos y la eliminación de los estados espurios que\ndesacoplamiento en Eq. (102) como consecuencia de Eq.s (126). Un estado.P contribuye\nen el residuo del polo en Eq.(102) para α(s = −P 2) = n si está en la cáscara,\na saber, si satisface las siguientes ecuaciones:\nR, P® = n, P® ; α(−P2) = 1− P2 = n (151)\nque se puede escribir en una ecuación única:\n28 Paolo Di Vecchia\n(L0 − 1), P = 0 (152)\nPor Eq. (126) también sabemos que un estado del tipo:\ns, P = W †m, P (153)\nno va a contribuir al residuo del polo. Lo llamamos espurio o\nunphysical state. Empezamos a construir el subespacio de estados espurios que\nestán en la cáscara en el nivel n. Consideremos el conjunto de estados ortogonales, P \nde tal manera que\nR, P® = n, P® ; L0, P® = (1-m), P® ; 1− P2 = n (154)\ndonde\nm = n+ nμ (155)\nEn términos de estos estados podemos construir el estado espurio más general que\nestá en caparazón en el nivel n. Es dado por\ns, = W †m, ; (L0 − 1)s, = 0 (156)\npor cualquier entero positivo m. Usando Eq. (154), eq. (156) se convierte en:\ns, P â € = L†m, P â € (157)\ndonde, P es un estado arbitrario que satisface Eq.s (154).\nUn estado físico, P se define como el que es ortogonal a todos los espui-\nEstados que aparecen en un cierto nivel n. Esto significa que debe satisfacer la\necuación siguiente:\n.P L†l, P = 0 (158)\npara cualquier estado, P satisfacer Eq.s (154). En conclusión, la\nlos estados en el nivel n se caracterizan por el hecho de que satisfacen lo siguiente\ncondiciones:\nP = (L0 − 1), P = 0; 1− P 2 = n (159)\nEstas condiciones que caracterizan el subespacio físico fueron encontradas por primera vez por Del\nGiudice y Di Vecchia [28] donde se realizó el análisis descrito aquí.\nPara encontrar el subespacio físico uno comienza a escribir el más general\nen estado de caparazón que contribuye al residuo del polo en el nivel n en Eq. (154).\nLuego se impone Eq.s (159) y determina los estados que abarcan el\nsubespacial. En realidad, entre estos estados se encuentra también un conjunto de estados de cero normas\nque son físicos y espurios al mismo tiempo. Esos estados son de la forma\nse administra en Eq. (157), pero también satisfacer Eq.s (159). Es fácil ver que son\nno realmente físico porque no están contribuyendo al residuo del polo\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 29\nen el nivel n. Esto se deriva de la forma del operador de la unidad que figura en el\nespacio de los estados físicos por:\nnorma 6=0\n, P, P \n[0, P 0, P 0, P 0, P ] (160)\ndonde 0, P ® es una norma cero estado físico y espurio y 0, P ® su con-\nEstado de la jugata. Un estado conjugado de un estado de norma cero se obtiene cambiando\nel signo de los osciladores con dirección temporal. Desde 0, P es un espurio\nindicar cuando insertamos el operador de la unidad, dado en Eq. (160), en Eq. (102)\nver que los estados de la norma cero nunca contribuyen al residuo porque su\nla contribución es aniquilada ya sea del estado p(1,M) o del estado\np(M+1,N). En conclusión, el subespacio físico contiene sólo los estados en\nel primer término en el r.h.s. de Eq. (160).\nAnalicemos los dos primeros niveles excitados. El primer nivel excitado corre...\nsponds a un campo de medición sin masa. Se extiende por los estados a\n10, P. In\nEn este caso, la única condición que debemos imponer es:\n10, P = 0 = P · = 0 (161)\nElegir un marco de referencia donde el impulso del fotón es dado por\n(P, 0...0, P ), Eq. (161) implica que los únicos estados físicos son:\n1i 0, P (a)\n1;0 − a\n1;d−1)0, P ® ; i = 1... d− 2 (162)\nen los que los términos «í» y «í» son parámetros arbitrarios. El estado en Eq. (162) es el más\nEstado general del nivel N = 1 que cumple las condiciones de Eq. (159). Los\nprimer estado en eq. (162) tiene norma positiva, mientras que la segunda tiene norma cero\nque es ortogonal a todos los demás estados físicos, ya que puede ser escrito como sigue:\n1;0 − a\n1;D−1)0, P = L\n10, P® (163)\nen el marco de referencia en el que Pμ Ł (P,...0, P ). Debido a la anterior\npropiedad se desvincula de los estados físicos junto con su conjugado:\n1,0 + a\n1,d−1)0, P â € (164)\nEn conclusión, sólo nos quedamos con los estados transversales d− 2 correspondientes\na los grados físicos de libertad de un estado de spin 1 sin masa. En el siguiente nivel\nn = 2 el estado más general es dado por:\n[a\n1 / + β\n2,μ]0, P (165)\nSi trabajamos en el centro del marco de masa donde Pμ = (M,0) obtenemos lo siguiente\nestado físico más general:\nPhys > = αij [a†1,ia\n1,j −\nd - 1)\n1,k]0, P \n30 Paolo Di Vecchia\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2,i + a\n1,i]0, P \n1,i +\n1,0 − 2a\n0, P (166)\ndonde los índices i, j corren sobre los componentes de d− 1 espacio. El primer término en\n(166) corresponde a un giro 2 en (d− 1) espacio dimensional y tiene un positivo\nnorma hecha con índices espaciales. El segundo término tiene cero norma y es\nortogonal a los otros estados físicos ya que se puede escribir como L+1 a\n1,i0, P.\nPor lo tanto, debe ser eliminado del espectro físico junto con su\nconjugado, como se ha explicado anteriormente. Finalmente, el último estado en (166) es spinless y\ntiene una norma dada por:\n2 d - 1 (26 - d) (167)\nSi d < 26 corresponde a una partícula física de giro cero con norma positiva. Si\nd > 26 es un fantasma. Finalmente, si d = 26 tiene una norma cero y también es ortogonal\na los otros estados físicos ya que puede ser escrito en la forma:\n2 + 3L\n1 )0 > (168)\nNo pertenece, por lo tanto, al espectro físico. El análisis de esto\nnivel se hizo en Ref. [29] con d = 4. Esto no permitió a los autores de\nRef. [29] para ver que había una dimensión crítica.\nEl análisis de los estados físicos se puede extender fácilmente [28] a la\nModelo Shapiro-Virasoro. En este caso, las condiciones físicas dadas en Eq. (159)\npara la cadena abierta, conviértase en [28]:\nLm, = Lm, = (L0 − 1), = (Lū0 − 1), = 0 (169)\npara cualquier entero positivo m. Se puede ver fácilmente de las ecuaciones anteriores\nque el estado más bajo del modelo Shapiro-Virasoro es el vacío\ncorrespondiente a un taquión con masa p2 = 4, mientras que el siguiente nivel descrito\npor el Estado a\n1 / 0a, 0ã, p® contiene los estados sin masa correspondientes a la\ngravitón, un dilaton y un tensor antisimétrico de dos índices.\nHabiendo caracterizado el subespacio físico uno puede seguir adelante y construir\na Amplitud de dispersión N - punto que implica estados físicos arbitrarios. Esto fue\nhecho por Campagna, Fubini, Napolitano y Sciuto [30] donde el vértice oper-\nator para un estado físico arbitrario fue construido en analogía con lo que ha\nhecho para el estado taquiónico del suelo. Se asociaron a cada físico\nun operador de vértice Vα(z, P ) que es un campo conformal con conformal\ndimensión igual a 1:\n[Ln, Vα(z, p)] =\nzn+1Vα(z, p)\n(170)\ny reproduce el estado correspondiente actuando sobre el vacío como sigue:\nVα(z; p)0, 0 ; ; 0; 0 lim\nz2Vα(z; p) =, p (171)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 31\nSatisface, además, la relación de hermiticidad:\nV (z, P ) = Vα(\n,−P )−1)α(−P\n2) (172)\nUn vértice emocionado que jugará un papel importante en la siguiente sección es el\nuno asociado al campo de gálibo sin masa. Está dada por:\n(z, k) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () ()) () () () () () ()) () () () ()) () () () () ()) () () ()) () () ()) ()) () ()) () ()) () ()) ()) ()) ()) () () () ()) () () ()) () () ()) () () () () ) () () () () () () () ) () () () () () ) () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () () () ) () () () () () ) ) () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) ) ) () ) ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) ) ) ) )\ndQ(z)\neik·Q(z) ; k · = k2 = 0 (173)\nDebido a las dos últimas condiciones en Eq. (173) el orden normal no es necesario\nSary. Es conveniente dar la expresión de\ndQ(z)\nen términos del armónico\nosciladores:\nP z) dQ z)\n−n−1 (174)\nEs un campo conformal con dimensión conformal igual a 1. Reescalado\nLos osciladores αn son dados por:\nnan ; n =\nna†n ; n > 0; α0 =\n2\"p\" (175)\nEn términos de los operadores de vértice introducidos anteriormente el más general\nLa amplitud que implica estados físicos arbitrarios está dada por [30]:\n(2l)4l(\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n0, 0\nVαi(zi, pi)0, 0(176)\nEn el caso del modelo Shapiro-Virasoro, el operador de vértice taquión es\nse administra en Eq. (135). Reescribiendo Eq. (134) según se indica:\nQ(z, z̄) = Q(z) + Q(z̄) (177)\ndonde\nQ(z) =\n+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n− n − a†nzn\n(178)\nQ?(z̄) =\nqâ − 2â € € log(z̄) + i\nãnz̄\n− n − nz̄n\n(179)\nPodemos escribir el operador de vértice taquión de la siguiente manera:\nV (z, z̄, p) =: eip·Q(z)eip·Qû(z̄) : (180)\n32 Paolo Di Vecchia\nEsto muestra que el operador de vértice correspondiente al taquión de la\nShapiro-Virasoro modelo se puede escribir como el producto de dos oper de vértice-\nators correspondientes cada uno al taquión del modelo Veneziano generalizado.\nAnalógicamente el operador del vértice correspondiente a un físico arbitrario\nel estado del modelo Shapiro-Virasoro se puede escribir siempre como un producto de\ndos operadores vértices del modelo Veneziano generalizado:\nVα,β(z, z̄, p) = Vα(z,\n)Vβ(z̄,\n) (181)\nEl primero contiene sólo los osciladores αn, mientras que el segundo sólo el\nosciladores n. Ambos contienen sólo la mitad del impulso total p y\nlos mismos modos cero pÃ3r y qÃ3r. Los dos operadores vértices de la\nEl modelo Veneziano son ambos campos conformales con dimensión conformal igual\na 1. Si corresponden a estados físicos en el nivel 2n, satisfacen la\nsiguiente relación (n = ñ):\n+ n = 1 (182)\nSe encuentran en la siguiente trayectoria de Regge:\nαSV (−p2) = 2n (183)\ncomo ya hemos visto al factorizar la amplitud en Eq. (150).\n6 Los estados del DDF y la ausencia de fantasmas\nEn la sección anterior hemos derivado las ecuaciones que caracterizan la\nlos estados físicos y sus correspondientes operadores vértices. En esta sección\nconstruirá explícitamente un número infinito de estados físicos ortonormales con\nnorma positiva.\nEl punto de partida es el operador DDF introducido por Del Giudice, Di Vec-\nchía y Fubini [31] y definido en términos del operador vértice correspondiente\nal campo de gálibo sin masa introducido en eq. (173):\nAi,n =\ni Pμ(z)e\nik·Q(z) (184)\ndonde el índice i corre sobre las direcciones transversales d−2, que son ortogonales\nal impulso k. También hemos tomado\n= 1. Debido al término de registro z\naparece en el modo cero parte de la exponencial, la integral en Eq. (184),\nque se realiza alrededor del origen z = 0, está bien definido sólo si limitamos\nel impulso del Estado, sobre el cual Ai,n actúa, para satisfacer la relación:\n2°p · k = n (185)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 33\ndonde n es un entero que no desaparece.\nEl operador en Eq. (184) generará estados físicos porque com-\nmutes con los operadores del gálibo Lm:\n[Lm, An;i] = 0 (186)\nya que el operador de vértice se transforma como un campo primario con dimensiones conforma-\nsión igual a 1 como sigue de Eq. (170).\nPor otro lado también satisface el álgebra del oscilador armónico\ncomo vamos a mostrar ahora. De Eq. (184) obtenemos:\n[An,i, Am,j] = −\nP (z)eik·Q(l)j · P (l)eik\n′ ·Q() (187)\ndonde\n2°p · k = n ; 2°p · k′ = m (188)\ny k y k′ se supone que están en la misma dirección, a saber:\nkμ = nk ; k\nμ = mk (189)\n2o p · k = 1 (190)\nFinalmente las polarizaciones se normalizan como:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nDado que una singularidad para z = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nla contracción de los dos términos P () y P () que es dada por:\n0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, = −\n2ij\n(z − فارسى)2\n(192)\nInsertándolo en Eq. (187) obtenemos:\n[An,i, Am,j] =\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n= inl-j-j-n+m;0\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndonde hemos utilizado el hecho de que el integrand es una derivada total y\nPor lo tanto, se obtiene una contribución de desaparición a menos que n + m = 0. Si n + m = 0\nde Eq.s (174) y (190) obtenemos:\n[An,i, Am,j] = njejn+m;0; i, j = 1... d2 (194)\n34 Paolo Di Vecchia\nEq. (194) muestra que los operadores DDF satisfacen el oscilador armónico alge-\nEn términos de este conjunto infinito de osciladores transversales podemos construir un\nConjunto ortonormal de estados:\ni1, N1; i2, N2;. .. im, Nm® =\nAik,-Nk\n0, p (195)\nen el que h es la multiplicidad del operador Aih,−Nh en el producto en Eq.\n(195) y el impulso del estado en Eq. (195) es dada por\nP = p+\nkâ € ni (196)\nSe construyeron en cuatro dimensiones donde no eran una completa\nsistema de los Estados 11 y tomó algún tiempo para darse cuenta de que en realidad eran un\nsistema completo de estados si d = 26 [32, 33] 12. Brower [32] y Goddard y\nThorn [33] mostró también que el modelo de resonancia dual era libre de fantasmas para cualquier\ndimensión d ≤ 26. En d = 26, esto se debe al hecho de que los operadores de DDF\nobviamente abarcan un espacio positivo definido Hilbert (Vea Eq. (194)). Para d < 26\nhay estados adicionales llamados estados Brower [32]. El primero de estos estados es\nel último estado en Eq. (166) que se convierte en un estado de norma cero para d = 26. Pero\nTambién para d < 26 no hay estado de norma negativo entre los estados físicos.\nLa prueba del teorema sin fantasma en el caso α0 = 1 es muy importante\npaso porque muestra que el modelo de resonancia dual construido generalizando\nla fórmula Veneziano de cuatro puntos, es un cuántico-relativista plenamente consistente\n¡Teoría! Esto no es del todo cierto porque, cuando la intercepción α0 = 1, el más bajo\nestado del espectro correspondiente al polo en la amplitud de punto N para\nα(s) = 0, es un taquión con masa m2 = − 1\n. Entonces se hizo mucho esfuerzo.\nconstruir un modelo sin taquión y con un espectro meson consistente\ncon los datos experimentales. Los únicos modelos razonablemente consistentes que vinieron\nfuera de estos intentos, fueron los Neveu-Schwarz [7] para los mesones y el\nModelo Ramond [8] para los fermiones que sólo más tarde fueron reconocidos como parte de un\nmodelo único que hoy en día se llama el modelo Neveu-Schwarz-Ramond. Pero\neste modelo no era realmente más consistente que la resonancia dual original\n11 Debido a esto Fubini no quería publicar nuestro resultado, pero luego fue a un\nReunión en Israel en la primavera de 1971 dando un discurso sobre nuestro trabajo donde encontró que\nel público estaba muy interesado en nuestro resultado y cuando volvió al MIT nosotros\ndecidió publicar nuestro resultado.\n12 Todavía recuerdo a Charles Thorn, que vino a mi oficina en Cern y me dijo:\nPaolo, ¿sabes que tus estados de DDF están completos si d = 26? Rápidamente reedito.\nel análisis realizado en Ref. [29] con un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo\nobtener Eq.s (166) y (167) que muestran que el estado sin spin a nivel\nα(s) = 2 se desacopla si d = 26. Lamenté mucho no haber utilizado un método arbitrario.\ndimensión espacio-tiempo d en el análisis de Ref. [29].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 35\nmodelo porque todavía tenía un taquión con masa m2 = − 1\n. El taquión\nfue eliminado del espectro sólo en 1976 a través de la proyección GSO\npropuesta por Gliozzi, Scherk y Olive [34].\nHabiendo comprendido que, al menos por el valor crítico de la dimensión espacio-tiempo,\nsión d = 26, los estados físicos son descritos por los estados DDF que tienen solamente\nd− 2 = 24 componentes independientes, abrir el camino a Brink y Nielsen [35]\ncalcular el valor α0 = 1 de la trayectoria Regge con un ar muy físico\nGument. Relacionaron la interceptación de la trayectoria de Regge con el punto cero\nenergía de un sistema con un número infinito de osciladores que sólo d − 2\ncomponentes independientes:\nα0 = −\nn (197)\nEsta cantidad es obviamente infinita y, para darle sentido,\nun corte en las frecuencias de los osciladores armónicos que obtienen un\ntérmino infinito que eliminaron al renormalizar la velocidad de la luz y un\ntérmino constante universal finito que dio la intercepción de la trayectoria Regge.\nEn lugar de seguir su enfoque original discutimos aquí una alternativa ap-\nproach debido a Gliozzi [36] que utiliza la regularización de la función de. Él reescribe\nEq. (197) como sigue:\nα0 = −\nn = −\nn−s = −\nR(−1) = 1 (198)\ndonde en la última ecuación que hemos utilizado la identidad R(−1) = − 112 y nosotros\nhan puesto d = 26. Desde el modelo Shapiro-Virasoro tiene dos conjuntos de trans-\nosciladores armónicos verso es obvio que su interceptación es el doble de la de la\nModelo Veneziano generalizado.\nUsando las reglas discutidas en la sección anterior podemos construir el\noperador de vértice correspondiente al estado en Eq. (195). Está dada por:\nV(i;Ni)(z, P ) =\nP (zi)eiNikQ(zi) : eip·Q(z) : (199)\ndonde la integral en la variable zi se evalúa a lo largo de una curva del complejo\nplano zi que contiene el punto z. La singularidad del integrand para zi = z es\nun poste siempre que se cumpla la siguiente condición.\n2o p · k = 1 (200)\nEl último vértice en Eq. (199) es el operador de vértice correspondiente al suelo\nestado taquiónico dado en Eq. (59) con â € p2 = 1.\nUsando la forma general del vértice uno puede calcular los tres puntos\namplitud que involucra a tres operadores vértices DDF arbitrarios. Este cálculo\n36 Paolo Di Vecchia\nse ha realizado en Ref. [37] y dado que los operadores del vértice son conformes\ncampos con dimensión igual a 1 uno obtiene:\n0, 0V\n(z1, P1)V(i(2)\n(z2, P2)V(i(3)\n(z3, P3)0, 0 =\n(z1 − z2)(z1 − z3)(z2 − z3)\n(201)\ncuando la forma explícita del coeficiente C123 esté dada por:\nC123 = 1 + 0, 0 + 2 + 0, 0 + 3 + 0 e\nr.s=1\nn,m=1\n−n;iN\n−m;i+\n−n;i×\n× e..................................................................................\n(2r−1)N (1)k1, i\n1 N (2)k2, i\nâ € ¢ 2N (3)k3, i\n•3 (202)\ndonde\nN rsnm = −N rnNsm\nnmα1α2α3\nnαs +mαr\n; N rn =\n(−nαr+1\nαrn!• (1− nαr+1αr − n)\n(203)\nΠ = Pr+1αr − Prαr+1 ; r = 1, 2, 3 (204)\nΠ es independiente del valor de r elegido como consecuencia de las ecuaciones:\nPr = 0 (205)\n7 El límite de pendiente cero\nEn la introducción hemos visto que el modelo de resonancia dual ha sido\nconstruido utilizando reglas que son diferentes de las utilizadas en la teoría de campo.\nPor ejemplo, hemos visto que la dualidad planar implica que la amplitud\ncorrespondiente a un determinado diagrama de dualidad, contiene polos tanto en s como en t\ncanales, mientras que la amplitud correspondiente a un diagrama de Feynman en el campo\nLa teoría contiene sólo un polo en uno de los dos canales. Por otra parte, el\nla amplitud de dispersión en el modelo de resonancia dual contiene un número infinito\nde resonancia afirma que, a alta energía, promedio hacia fuera para dar Regge comportamiento.\nTambién esta propiedad no se observa en la teoría de campo. La cuestión que se plantea es la siguiente:\nnatural para preguntar, era entonces: ¿hay alguna relación entre la resonancia dual\n¿modelo y teoría de campo? Resultó, para sorpresa de muchos, que el doble\nmodelo de resonancia no estaba en contradicción con la teoría de campo, sino que fue\nuna extensión de un cierto número de teorías de campo. Veremos que el límite en\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 37\nque una teoría de campo se obtiene del modelo de resonancia dual corresponde\na tomar la pendiente de la trayectoria de Regge a cero.\nConsideremos la amplitud de dispersión de cuatro partículas del estado del suelo en\nEq. (1) que reescribimos aquí con el factor de normalización correcto:\nA(s, t, u) = C0N\n0 (A(s, t) +A(s, u) +A(t, u)) (206)\ndonde\n2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n4 (207)\nes el factor de normalización correcto para cada pierna externa, g es el dimensional\nconstante de acoplamiento de cadena abierta que hemos ignorado constantemente en el anterior\nlas secciones C0 y C0 están determinadas por la siguiente relación:\n′ = 1 (208)\nque se obtiene requiriendo la factorización de la amplitud en el polo\ncorrespondiente a la partícula del estado del suelo cuya masa se da en Eq. (21).\nUsando Eq. (21) con el fin de reescribir la interceptación de la trayectoria Regge en\ntérminos de la masa de la partícula del estado del suelo m2 y la siguiente relación\nsatisfecho por la función de:\n* (1 + z) = z (z) (209)\npodemos realizar fácilmente el límite para > → 0 de A(s, t) obteniendo:\nA(s, t) =\nm2 − s\nm2 − s\n(210)\nRealizando el mismo límite en las otras dos amplitudes planas obtenemos el\ndespués de la expresión para la amplitud total en Eq. (206):\nA(s, t, u) =\n2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n()2\nm2 − s\nm2 − s\nm2 − u\n(211)\nIntroduciendo la constante de acoplamiento:\ng3 = 4g(2α\n4 (212)\nEq. (211) pasa a ser\nA(s, t, u) = g23\nm2 − s\nm2 − s\nm2 − u\n(213)\nque es igual a la suma de los diagramas del árbol para la dispersión de cuatro partículas\ncon masa m de la teoría Φ3 con constante de acoplamiento igual a g3. Hemos mostrado\nque, manteniendo g3 fijado en el límite α\n′ → 0, la amplitud de dispersión de cuatro\n38 Paolo Di Vecchia\npartículas del estado del suelo del modelo de resonancia dual es igual a los diagramas del árbol\nde la teoría Φ3. Esta prueba se puede extender a la dispersión de N estado del suelo\npartículas que se recuperan también en este caso los diagramas arbóreos de la teoría Φ3. También lo es.\nválida para diagramas de bucles que discutiremos en la siguiente sección. En conclusión,\nel modelo de resonancia dual se reduce en el límite de pendiente cero a la teoría Φ3. Los\nprueba de que hemos presentado aquí se debe a J. Scherk [38] 13\nUn caso más interesante para estudiar es el que tiene intercepción α0 = 1. Lo haremos.\nver que, en este caso, se obtendrán los diagramas de los árboles de Yang-Mills teoría,\ncomo lo muestran Neveu y Scherk [40] 14.\nConsideremos la amplitud de tres puntos que involucra tres medidores sin masa\npartículas descritas por el operador de vértice en Eq. (173). Se da por la suma\nde dos diagramas planos. El primero que corresponde a la orden (123) es\ndado por:\n3Tr (a1a2a3)\n0, 0, 0, 1(z1, p1)V2(z2, p2)V3(z3, p3)0, 0\n[(z1 − z2)(z2 − z3)(z1 − z3)]−1\n(214)\nUsando la conservación del impulso p1+ p2+ p3 = 0 y las condiciones de la carcasa de masa\np2i = pi · i = 0 se puede reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:\n0Tr(l\na1oa2oa3)\n× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (215)\nLa segunda contribución proviene del pedido 132 que se puede obtener\nde la anterior por la sustitución\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nResumiendo las dos contribuciones que se obtiene\noTr(l)\na1 [.a2,.a3 ])\n× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (217)\nEl factor\nN0 = 2g(2α\n′(d−2)/4 (218)\nes el factor de normalización correcto para cada operador de vértice si normalizamos\nlos generadores del grupo Chan-Paton, según se indica:\nŁij (219)\n13 Véase también Ref. [39].\n14 Véase también Ref. [41].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 39\nSe relaciona con C0 a través de la relación\n′ = 2 (220)\ng es la constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional. Nótese que Eq.s (218)\ny (220) difieren de Eq.s (207) y (208) debido a la presencia de la\nChan-Paton factores que no incluimos en el caso de la teoría Φ3.\nUsando las relaciones de conmutación:\n[e, eb] = ifabclc (221)\ny los factores de normalización anteriores que obtenemos para la amplitud de tres gluones:\nigYMf\na1a2a3 [(+1 · +2)(+p1 − p2) · +3 +\n(p3 − p1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nque es igual al vértice de 3 gluones que se obtiene de la acción Yang-Mills\nLYM = −\nF a ° F\na, F\n= A\nβ − Aaα + gYMfabcAbαAcβ (223)\ndonde\ngYM = 2g(2α\n4 (224)\nEl procedimiento anterior se puede extender a la dispersión del hallazgo de gluones N\nel mismo resultado que uno obtiene de los diagramas de los árboles de la teoría de Yang-Mills.\nEn la siguiente sección, vamos a discutir los diagramas de bucle. También, en este caso uno\nencuentra que los diagramas de h-loop que implican N gluones externos se reproducen en el\nla pendiente cero limita la suma de los diagramas de h-loop con N gluones externos de\nLa teoría de Yang-Mills.\nConcluimos esta sección mencionando que también se puede tomar la pendiente cero\nlímite de una amplitud de dispersión que implica la obtención de tres y cuatro gravitones\nacuerdo con lo que se obtiene del Einstein Lagrangian de la rela general-\ntividad. Esto ha sido demostrado por Yoneya [43].\n8 Diagramas de bucle\nLa amplitud N -punto construido previamente satisface todos los axiomas de S-\nteoría de la matriz excepto unitariedad porque sus únicas singularidades son polos simples\ncorrespondientes a resonancias de ancho cero yace en el eje real del Mandel-\nvariables estam y no contiene los diversos cortes requeridos por la unitariedad [1].\n15 La determinación de los factores de normalización anteriores se puede encontrar en el\nApéndice de Ref. [42].\n40 Paolo Di Vecchia\nCon el fin de eliminar este problema ya se propuso en los primeros días de\nla dualidad de teorías a asumir, en analogía con lo que sucede, por ejemplo, en la pertur-\nla teoría de campo bative, que la amplitud de N -punto era sólo el orden más bajo (la\ndiagrama de árbol) de una expansión perturbadora y, con el fin de implementar unitar-\nity, era necesario incluir diagramas de bucle. Luego, los diagramas de un bucle\nfueron construidos a partir del propagador y los vértices que hemos introducido\nen las secciones anteriores [44]. La amplitud de un bucle plano con M externa\nlas partículas se calcularon a partir de una amplitud del árbol (M + 2) y\na continuación, cosiendo dos patas externas después de la inserción de un propagador\nD dado en Eq. (100). De esta manera uno consigue:\n(+)d/2(+)d\nP, V (1, p1) DV (1, p2). V (1, pN)DP, (225)\ndonde la suma sobre corresponde a la traza en el espacio de la armónico os-\ncillators y la integral en ddP corresponde a integrar sobre el impulso\ncirculando en el bucle. La expresión anterior para la amplitud de un bucle\nno puede ser del todo correcto porque todos los estados del espacio generados por el oscil-\nLators en Eq. (51) están circulando en el bucle, mientras que sabemos que debemos\nincluir sólo los físicos. Esto se logró primero cancelando a mano\nel tiempo y uno de los componentes espaciales de los osciladores armónicos reduciendo\nlos grados de libertad de cada oscilador de d a d − 2 como sugiere el\nOperadores de DDF al menos para d = 26. A continuación, se demostró que este procedimiento era el siguiente:\nrect by Brink and Olive [45]. Construyeron el operador que proyecta sobre\nlos estados físicos y, al insertarlo en el bucle, mostró que la reducción\nDe hecho, los grados de libertad de los osciladores de d a d-2 eran correctos.\nEste era, en ese momento, el único procedimiento disponible para dejar sólo el\nlos estados circulan en el bucle porque el procedimiento BRST fue descubierto un poco\nmás tarde también en el marco de las teorías de campo de calibrador!\nPara ser más explícito vamos a calcular el rastro en Eq. (225) añadir también el\nFactor Chan-Paton. Tenemos:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\nNTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\nd/2+1\n[f1(k)]\n12 (2η)M×\nd/M−1................................................................................................................................................\nd v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r\neG( vji)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n; k e(226)\ndonde /JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ\nG( v) = log\nie\n1(i )\nf31 (k)\n; f1(k) = k\n(1 a k2n) (227)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 41\n*1(i♥) = −2k1/4 sin.\n1− e2ik2n\n1− e−2ik2n\n(1– k2n)(228)\nFinalmente el factor de normalización N0 se da en Eq. (218). Hemos actuado\nel cálculo de un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo d. Sin embargo,\nde esta manera se obtiene también el factor adicional de k\n12 que aparecen en la primera línea\nde Eq. (226) que implica que nuestro cálculo es en realidad sólo coherente si\nd = 26. De hecho, la presencia de este factor no permite reescribir el\namplitud, obtenida originalmente en el sector Reggeon, en el sector Pomeron\ncomo se explica a continuación. En lo siguiente descuidamos este factor adicional, implícitamente\nsuponiendo que d = 26, pero, por otro lado, todavía manteniendo una d arbitraria.\nUsando las relaciones:\nf1(k) =\ntf1(q) ; 1(i iŁ) = i1(it)t1/2e\n2/t (229)\ndonde t = 1\ny q et, podemos reescribir el diagrama plano de un bucle en el\nCanal Pomeron. Tenemos:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\nNTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt[f1(q)]\n2−d(2η)M×\nd/M−1................................................................................................................................................\n1( /jiit)\nf31 (q)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n(230)\nNótese que, al factorizar el bucle planar en el canal de Pomeron, un\nstructed por primera vez lo que ahora llamamos el estado de frontera [46] 16. Esto\nSe puede ver fácilmente en la forma que ahora vamos a describir. En primer lugar,\nnote que la última cantidad en Eq. (230) puede escribirse como sigue:\n•1(s)(s))(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(()(s)(()(s)(s)(()(s)(s)((s)(()(()(s)(s)(s()(()(s)(s)(()(s)()(()(s)()()()()()(s()()()()()()(s()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()((()()()()()()()()()()()(()()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()((((((((((((((((((((()()()()()()()()()((((()()()()()()()(\nf31 (q)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n−2 sin(ji)\n1 - q2ne2üi/ji\n1 - q2ne - 2\n(1– q2n)2\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n(231)\nEsta ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera:\nP = 0q2R\ni=1 : e\nipi·Q(e2ii ) : p = 0\nTr (p = 0q2N p = 0)\n; R =\nna†n · an (232)\n16 Véase también el primer artículo en Ref. [47].\n42 Paolo Di Vecchia\ndonde el rastro se toma sólo sobre los modos distintos de cero y el impulso con-\nSe ha utilizado la servación. También hay que subrayar que el orden normal de\nlos operadores de vértice en la ecuación anterior es tal que los modos cero son\nse toman para ser ambos en el mismo exponencial en lugar de ser ordenado como en Eq.\n(59). Trayendo a todos los operadores de aniquilación a la izquierda de los de la creación,\nde la expresión en Eq. (232) se obtiene (zi Ł e2πiνi):\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\nn=1 Tr\nn·ane\n2° pj ·\nznj e\n2«pi· anl\nTr (p = 0q2N p = 0)\n233)\nEl rastro puede calcularse utilizando la relación de integridad que implica co-\nestados herentes f = efa† 0:\nEf \nff = 1 (234)\nInsertar el operador de identidad anterior en Eq. (233) uno consigue después de un poco de cal-\nculación:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\ni.j=1\n-2p·pje2inji q\nn(1−q2n) (235)\nExpandiendo el denominador en el último exponente y realizando la suma sobre\nn uno consigue:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\n2+pi·pj\nlog(1−e2πi vji q2(m+1)) (236)\nque es igual a la última línea de Eq. (231) aparte de la función de\nconservación del mentum. En conclusión, hemos demostrado que Eq.s (231) y (232)\nson iguales.\nUsando Eq. (231) podemos reescribir Eq. (230) según se indica:\nNNM0 Tr(\na1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt[f1(q)]\n2-d(2πi)M\nd/M−1................................................................................................................................................\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 43\n...\np = 0, q2R\ni=1 : e\nipi·Q(e2ii) : p = 0, \np = 0, q2N p = 0, \n(237)\ndonde la suma sobre cualquier estado corresponde a tomar el rastro sobre el\nmodos distintos de cero. Si d = 26 podemos reescribir Eq. (237) de forma más sencilla:\nNNM0 Tr(\na1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt (2ηi)M\nd/M−1................................................................................................................................................\nP = 0, q2R−2\n: eipi·Q(e)\n2ii ) : p = 0, (238)\nLa ecuación anterior contiene el factor\ndtq2R−2 que es como el propa-\nGator del modelo Shapiro-Virasoro, pero con un solo conjunto de osciladores como\nen el modelo Veneziano generalizado. En lo siguiente lo reescribiremos com-\nCompletamente con el formalismo del modelo Shapiro-Virasoro. Esto se puede hacer\nmediante la introducción del propagador Pomeron:\ndt q2N−2 =\nDâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °\nzL0−1z̄Lœ0−1; z q = et(239)\ny reescribir el bucle plano en la siguiente forma compacta:\n# B0DBM # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # B0BO # #\nn p = 0, 0a, 0 (240)\ndonde B0 es el estado de frontera sin ningún Reggeon en él,\nTd−1 =\n2 d-10)/4\n•)−d/2−1 (241)\ny BM es en su lugar el que tiene M Reggeons dado por:\nBM = NM0 Tr(♥a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nd/M−1................................................................................................................................................\n: eipi·Q(e)\n2ii ) : B0® (242)\nQueremos recalcar una vez más que el orden normal en el anterior equa-\nión se define tomando los modos cero en la misma exponencial. Las dos cosas\nlos estados límite y el propagador son ahora los estados del Shapiro-Virasoro\nmodelo. Esto significa que hemos reescrito el diagrama plano de un bucle, donde\nlos estados del modelo Veneziano generalizado circulan en el bucle, como árbol\n44 Paolo Di Vecchia\ndiagrama del modelo Shapiro-Virasoro que incluye dos estados de frontera y un\nPropagador. Esto es lo que hoy en día se llama dualidad de cadena abierta/cerrada.\nAdemás del diagrama plano de un bucle en Eq. (225), que hoy en día se llama\nel diagrama anular, también los diagramas no planos y no orientables\nfueron construidos y estudiados. En particular, el no-planar, que es ob-\ncomo el planar en Eq. (225) pero con dos propagadores multiplicados\ncon el operador de giro\n = eL−1(−1)R, (243)\ntenía unitariedad violando los recortes que desaparecieron [27] si la dimensión de la\nespacio-tiempo d = 26, dejando detrás singularidades de polo adicionales. El explicitado\nforma del bucle no plano se puede obtener siguiendo los mismos pasos\npara el bucle plano. Uno obtiene para el bucle no-planar la siguiente amplitud:\nBM (244)\ndonde ahora ambos estados de frontera contienen, respectivamente, R y M Reggeon\nestados. Los polos adicionales encontrados en el bucle no-planar se llamaban Pomerons\nporque ocurren en el sector de Pomeron, que hoy se llama la cadena cerrada\ncanal, para distinguirlos de los Reggeons que en su lugar ocurren en el\nsector Reggeon, que hoy se llama el sector de cuerdas abiertas del planar y\ndiagramas de bucle no planos. En ese momento, de hecho, los estados de la generalización\nLos modelos Veneziano se llamaban Reggeons, mientras que los adicionales aparecen\nen el bucle no-planar se llamaban Pomerons. Los Reggeons corresponden ahoraa-\ndías para abrir estados de cadena, mientras que los Pomerons a estados de cadena cerrados. Estos\nlas cosas son obvias ahora, pero en ese momento tomó un tiempo para demostrar que el\notros estados que aparecen en el sector de Pomeron deben ser identificados con\nlos del modelo Shapiro-Virasoro. La prueba de que el espectro era el\nLo mismo ocurrió bastante temprano. Esto se obtuvo factorizando el dia no-planar\ngramo en el canal de Pomeron [46] como lo hemos hecho en Eq. (244). Fue encontrado.\nque los estados del canal de Pomeron se encuentran en una trayectoria Regge lineal que\ntiene doble intercepción y media pendiente de la de los Reggeons. Esto es lo siguiente:\ninmediatamente desde el propagador DÃ3 en Eq. (239) que tiene polos para valores de\nel impulso del Pomeron intercambiado por:\np2 = 2n (245)\nque son exactamente los valores de las masas de los estados del Shapiro-Virasoro\nmodelo [48], mientras que el propagador Reggeon en Eq. (100) tiene polos para valores de\nimpulso igual a:\n1− p2 = n (246)\nSin embargo, todavía no estaba claro que los estados de Pomeron interactuasen entre ellos.\ncomo los estados del modelo Shapiro-Virasoro. Para mostrar esto fue primero\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 45\nnecesario para construir amplitudes arbóreas que contienen ambos estados de la general-\nmodelo Veneziano y del modelo Shapiro-Virasoro [49]. Disminuyeron\na las amplitudes del modelo generalizado Veneziano (Shapiro-Virasoro) si\nsólo tenemos estados externos del Veneziano generalizado (Shapiro-Virasoro)\nmodelo. Esas amplitudes se llaman hoy en día amplitudes de disco que contienen ambos\nestados de cadena abiertos y cerrados. Se construyeron [49] utilizando para\nReggeon dice que los operadores de vértice que hemos discutido en la Sección. 5) In-\ngirando un conjunto de osciladores armónicos y para el Pomeron estados el vértice\nlos operadores indicados en Eq. (181) que reescribimos aquí:\nVα,β(z, z̄, p) = Vα(z,\n)Vβ(z̄,\n) (247)\nporque ahora ambos vértices componentes contienen el mismo conjunto de os armónicos\nciladores como en el modelo generalizado Veneziano. Además, cada uno de los dos\nvértices es por separado normal ordenado, pero su producto no es normal ordenado.\nLa amplitud que involucra a ambos tipos de estados se construye entonces tomando\nel producto de todos los vértices entre el vacío invariante proyectivo e inte-\nla rejilla de los Reggeons en el eje real de una manera ordenada y los Pomerons en\nel plano de la mitad superior, como se hace para una amplitud de disco.\nHemos mencionado anteriormente que los dos vértices son por separado normales\npedido, pero su producto no es normal pedido. Cuando ordenemos normalmente\nlos tenemos, por ejemplo para el taquión del sector de Pomeron, un factor\n(z − z̄)+p2/2 que describe la transición Reggeon-Pomeron. Esto implica un\nEnganche directo [51] entre la parte U(1) del campo de gálibo y el dosíndice\ncampo antisimétrico B., denominado campo Kalb-Ramond [50], del sector Pomeron,\nque hace que el campo de medición masiva [51].\nSe demostró entonces que, al factorizar el bucle no plano en el Pomeron\ncanal, uno reprodujo la amplitud de dispersión que contiene un estado de\nel Shapiro-Virasoro y una serie de estados del Veneziano generalizado\nmodelo [52]. Si tenemos también estados externos que pertenecen a la generalización\nShapiro-Virasoro modelo, a continuación, factorizando el no-planar un bucle amplificar-\ntude en el canal Pomeron puro, se obtendrían las amplitudes del árbol de\nel modelo Shapiro-Virasoro [52].\nTodo esto implica que el modelo generalizado Veneziano y el Shapiro-\nVirasoro modelo no son dos modelos independientes, pero son parte de la\nmismo y único modelo. De hecho, si uno comenzó con el Veneziano generalizado\nmodelo y diagramas de bucle añadidos para implementar unitariedad, se encontró el ap-\nperencia en el bucle no plano de estados adicionales que tenían la misma masa\ne interacción de los del modelo Shapiro-Virasoro.\nEl diagrama plano, escrito en Eq. (230) en el canal de cadena cerrado, es\ndivergente para los grandes valores de t. Esta divergencia se reconoció que se debe a\nintercambio, en el canal de Pomeron, del taquión del Shapiro-Virasoro\nmodelo y del dilaton [47]. Corresponden, respectivamente, a los dos primeros\ntérminos de la ampliación:\n[f1(q)]\n−24 = e2ηt + 24 + O\ne−2ηt\n(248)\n46 Paolo Di Vecchia\nEl primero podría ser cancelado por una continuación analítica, mientras que el segundo\nuno podría ser eliminado a través de una renormalización de la pendiente del Regge\nTrayectoria â € [47].\nConcluimos la discusión de los diagramas de un solo bucle mencionando\nque el diagrama de un bucle para el modelo Shapiro-Virasoro fue calculado por\nShapiro [53] que también encontró que el integrand era modular invariante.\nEl cálculo de diagramas multilazo requiere una tecnología más avanzada-\nnología que también se desarrolló en los primeros días del modelo de resonancia dual\npocos años antes del descubrimiento de su conexión con la teoría de cuerdas. Con el fin de\ncalcular diagramas multiloop primero se necesita construir un objeto que era\nllamado N -Reggeon vértice y que tiene las propiedades de contener conjuntos N\nde osciladores armónicos, uno para cada pierna externa, y es tal que, cuando\nsaturarlo con N estados físicos, obtenemos el correspondiente N -punto ampli-\nTude. A continuación vamos a discutir cómo determinar el vértice N-Reggeon.\nEl primer paso hacia el N -Reggeon vértice es el Sciuto-Della Selva-\nSaito [54] vértice que incluye dos conjuntos de osciladores armónicos que denotamos\ncon los índices 1 y 2. Es igual a:\nVSDS = 2° x = 0, 0 : exp\ndzX ′2(z) ·X1(1− z)\n: (249)\ndonde X es la cantidad que hemos llamado Q en Eq. (57) y el prime\ndenota un derivado con respecto a z. Satisface la propiedad importante\nde dar el operador de vértice Vα(z = 1) de un estado arbitrario cuando nos\nsaturarlo con el estado correspondiente:\nVSDS 2 = Vα(z = 1) (250)\nUna deficiencia de este vértice es que no es invariante bajo una permu-\ndad de las tres piernas. Un vértice simétrico cíclico ha sido construido por\nCaneschi, Schwimmer y Veneziano [55] insertando el operador de giro en\nEq. (243). Pero el vértice 3-Reggeon no es suficiente si queremos calcular un\nAmplitud multiloop arbitraria. Debemos generalizarlo a un número arbitrario.\nde piernas externas. Tal vértice, que se puede obtener de la de Eq. (249)\ncon un procedimiento muy directo, o que también puede obtenerse cosiendo juntos\ntres vértices reggeon, ha sido escrito en su forma final por Lovelace [56] 17.\nAquí no lo derivamos, pero damos directamente su expresión escrita en Ref. [56]:\nVN,0 =\ni=1 dzi\ndVabc\ni=1[V\ni (0)]\n[i 0\n2 μ pμ si n = 0 μ\nnan si n < 0\n(278)\nSon cero como consecuencia de Eq.s (270) que en el gálibo conformal\nconvertirse en Eq.s (271). En el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:\nL?n =\ndzzn+1\n= 0 (279)\ndz̄z̄n+1\n= 0 (280)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 53\nEn términos de los osciladores armónicos introducidos en eq. (276) obtenemos\nαm · αn−m = 0 ; Ln =\nm · n−m = 0 (281)\ndonde para los modos no cero hemos utilizado la convención en (278), mientras que el\nel modo cero viene dado por:\n0 = \n(282)\nEn conclusión, el hecho de que tengamos invarianza de reparametrización implica que\nlos generadores Virasoro son clásicamente idénticos a cero. Cuando cuantizamos el\nteoría uno no puede y tampoco tiene que imponer que están desapareciendo en\nel nivel del operador. Se imponen como condiciones que caracterizan lo físico\nestados.\nPhysLn Phys = Phys(L0 − 1) Phys = 0; n 6= 0 (283)\nEstas ecuaciones están satisfechas si requerimos:\nLn Phys > = (L0 − 1)\nEl factor adicional −1 en las ecuaciones anteriores proviene del orden normal\ncomo se explica en Eq. (198).\nLos autores de Ref. [71] especificó además el calibrador fijándolo completamente.\nSe introdujo el calibrador de cono-luz especificado mediante la imposición de la condición:\nX+ = 2p (285)\ndonde\nX0 ±Xd−1\nX0 ±Xd−1\n(286)\nEn este indicador los únicos grados físicos de libertad son los transversales.\nDe hecho, los componentes a lo largo de las direcciones 0 y d − 1 se pueden expresar en\ntérminos de los transversales insertando Eq. (285) en las limitaciones de Eq.\n(271) y obtener:\n= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 \n4o p+\n(2i +X)\ni ) X\n2+p+\ni ·X ′i (287)\nque hasta una constante de integración determinan completamente X− como función\nde X i. En términos de osciladores obtenemos\nn = 0;\n2n =\nαin−mα\nm n 6= 0 (288)\n54 Paolo Di Vecchia\npara una cadena abierta y\nn = \nn = 0 n 6 = 0 (289)\njunto con\n2n =\nαin−mα\n2n =\nin−m\nm (290)\nen el caso de una cuerda cerrada.\nEsto muestra que los estados físicos son descritos sólo por el transverso\nosciladores que tengan sólo d − 2 componentes. Esos osciladores transversales corre...\nspond a los operadores de DDF transversales que hemos discutido en la Sección 6.\nLos autores de Ref. [71] también construyeron los generadores Lorentz sólo en términos\nde los osciladores transversales y mostraron que satisfacen el correcto\nálgebra de Lorentz sólo si la dimensión espacio-tiempo es d = 26. De esta manera el\nespectro del modelo de resonancia dual se reprodujo completamente a partir de\nde la acción Nambu-Goto si d = 26! Por otra parte, la elección de\nd = 26 es una necesidad si queremos mantener la invarianza de Lorentz!\nInmediatamente después de esto, la interacción también se incluyó, ya sea añadiendo\nun término que describe la interacción de la cadena con un campo de ancho externo [73]\no mediante un formalismo funcional [74, 75].\nEn lo siguiente sólo daremos algunos detalles del primer enfoque para el\ncaja de una cuerda abierta. Una forma de describir la interacción de cadena es añadiendo\na la acción de cadena libre un término adicional que describe la interacción de\nla cadena con un campo externo.\nSINT =\ndDyΦL(y)JL(y)(291)\ndonde ΦL(y) es el campo externo y JL es la corriente generada por la cadena.\nEl índice L representa los posibles índices de Lorentz que están saturados con el fin de\ntienen una acción invariante de Lorentz.\nEn el caso de una partícula de punto, tal término de interacción no dará ninguna\ninformación sobre la auto-interacción de una partícula.\nEn el caso de una cadena, en su lugar, veremos que SINT describirá la\ninteracción entre cadenas porque los campos externos que pueden\ninteractuar con una cadena son sólo los que corresponden a los diversos estados de\nla cadena, como quedará claro en la discusión de abajo.\nSe trata de una consecuencia del hecho de que, en aras de la coherencia, debemos\nponer las siguientes restricciones a SINT :\n• Debe ser un operador bien definido en el espacio que abarca la cadena\nosciladores.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 55\n• Debe preservar las invarianzas de la teoría de cuerdas libres. En particular, en\nel “calibre conformal” debe ser invariante conformal.\n• En el caso de una cadena abierta, la interacción ocurre en el punto final de\nuna cadena (digamos que está en = 0). Esto se deriva del hecho de que dos cuerdas abiertas\ninteractúe uniéndose entre sí en los puntos finales.\nSe puede escribir la corriente escalar más simple generada por el movimiento de una cadena\ndel siguiente modo:\nJ(y) =\nd(e)(e)[yμ − xμ(e)(e)] (292)\nen la que se ha introducido el método de interacción, ya que la interacción se produce al final de la\nla cuerda. En aras de la simplicidad omitimos escribir una constante de acoplamiento g\nen (292).\nInsertando (292) en (291) y utilizando para el campo exterior escalar Φ(y) = eik·y\nuna onda de plano, obtenemos la siguiente interacción:\nSINT =\neik·X(,0) : (293)\ndonde se ha introducido el pedido normal para tener un bien definido\nOperadora. La invarianza de (293) bajo una transformación conformal \nrequiere la siguiente identidad:\nSINT =\n;: eik·X(l,0) : =\ndw : eik·X(w,0) : (294)\no, en otras palabras, que\n: eik·X(l,0) :=l w′(l) : eik·X(l,0) : (295)\nEsto significa que el integrand en Eq. (294) debe ser un campo conforme con\ndimensión conformal igual a uno y esto sucede sólo si k2 = 1. Los\ncampo externo corresponde entonces al estado más bajo taquiónico de la cadena abierta.\nOtra corriente simple generada por la cadena es dada por:\nJμ(y) =\nd(e)(e, e)\nd) y −X(l, )) (296)\nInsertando (296) en (291) obtenemos\nSINT =\nd(l, 0)\nμeik·X(,0) (297)\nsi usamos una onda plana para (y) = e\nik·y. El operador de vértice en eq. (297)\nes invariante conforme solamente si\nk2 = · k = 0 (298)\n56 Paolo Di Vecchia\ny, por lo tanto, el vector externo debe ser el estado fotónico sin masa de la\ncuerda. Podemos generalizar este procedimiento a un campo externo arbitrario y\nel resultado es que sólo podemos utilizar campos externos que corresponden a en shell\nestados físicos de la cuerda.\nEste procedimiento se ha ampliado en Ref. [73] en el caso de\ngravitones mediante la introducción en la acción Nambu-Goto de una métrica espacial objetivo y\nobtener el operador de vértice para el gravitón que es un estado sin masa en el\nteoría de cuerdas cerradas. Recuerde que, en ese momento, esto podría haberse hecho\nsólo con la acción Nambu-Goto porque la acción modelo se introdujo\nsolo en 1976 primero para la partícula de punto [76] y luego para la cadena [77]. As\nen el caso del fotón resultó que el campo externo correspondiente\nal gravitón estaba obligado a estar en caparazón. Esta condición es el precursor de\nlas ecuaciones de movimiento que se obtiene de la acción de modelo \nla desaparición de la función β [78].\nUno puede entonces calcular la amplitud de probabilidad para la emisión de un\nnúmero de estados de cadena correspondientes a los diversos campos externos, de un\nestado inicial de la cadena a uno final. Esta amplitud da precisamente el punto N\namplitud que discutimos en las secciones anteriores [73]. En particular, uno\naprende que, en el caso de la cadena abierta, el campo Fubini-Veneziano es justo\nla coordenada de cadena computada en = 0:\nQμ(z) Xμ(z, = 0) ; z = ei/23370/ (299)\nEn el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:\nQμ(z, z̄) Xμ(z, z̄) ; z = e2i(), z̄ = e2i() (300)\nFinalmente, permítanme mencionar que con el enfoque funcional Mandelstam [74]\nCremmer y Gervais [79] calcularon la interacción entre tres arbi-\ny reproducido de esta manera el acoplamiento de tres\nDDF estados dados en Eq. (202) y obtenido en Ref. [37] utilizando el operador\nformalismo. En este punto estaba completamente claro que la estructura subyacente\nel modelo generalizado Veneziano era el de una cuerda relativista abierta, mientras que\nque subyacente al modelo Shapiro-Virasoro era el de un relativista cerrado\ncuerda. Además, estas dos teorías no son independientes porque, si uno\ncomienza desde una teoría de cuerdas abiertas, uno se cierra automáticamente cadenas por\nCorrecciones de bucle.\n10 Conclusiones\nEn esta contribución, hemos pasado por los acontecimientos que llevaron a\nla construcción del modelo de resonancia dual a la teoría de cuerdas bosónicas\nTratando en la medida de lo posible de incluir todos los detalles técnicos necesarios. Esto\nes porque creemos que no sólo son importantes desde un punto de vista histórico\nde punto de vista, pero también son parte del formalismo que se utiliza hoy en día en muchos\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 57\ncálculos de cadena. Hemos tratado de ser lo más completos y objetivos posible,\npero muy bien podría ser que algunos de los que participaron en la investigación\nde estos años, no estarán de acuerdo con algunas o incluso muchas de las declaraciones que\nHecho. Nos disculpamos con aquellos que hemos olvidado mencionar o no lo hemos hecho\nmencionado como les hubiera gustado.\nFinalmente, después de haber pasado por los desarrollos de estos años, mi\npensamientos van a Sergio Fubini que compartió conmigo y Gabriele muchos de los\nideas descritas aquí y que se extraña profundamente, y a mis amigos de Flo-\nrence, Nápoles y Turín para una agradable colaboración en muchos documentos discutidos\nAquí.\nAgradecimientos\nAgradezco a R. Marotta y a I. Pesando por una lectura crítica del manuscrito.\nBibliografía\n1. G.F. Chew, La matriz analítica S, W.A.Benjamin, Inc. (1966).\nR.J. Eden, P.V. Landshoff, D.I. Olive y J.C. Polkinghorne, el analítico S\nMatriz, Cambridge University Press (1966).\n2. R. Dolen, D. 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Satz, Plenum Publishing Corporation, 1978, pág. 493.\n37. M. Ademollo, E. Del Giudice, P. Di Vecchia y S. Fubini, Nuovo Cimento A\n19, 181 (1974).\n38. J. Scherk, Nucl. Phys. B 31, 222 (1971).\n39. N. Nakanishi, Prog. Teor. Phys. 48, 355 (1972).\nP.H. Frampton y K.C. Wali, Phys. Rev. D 8, 1879 (1973).\n40. A. Neveu y J. Scherk, Nucl. Phys.B 36, 155 (1973).\n41. A. Neveu y J.L. Gervais, Nucl. Phys. B 46, 381 (1972).\n42. P. Di Vecchia, A. Lerda, L. Magnea, R. Marotta y R. Russo, Nucl. Phys. B\n469, 235 (1996)\n43. T. Yoneya, Prog. de Teor. Phys. 51, 1907 (1974).\n44. K. Kikkawa, B. Sakita y M. Virasoro, Phys. Rev. 184, 1701 (1969).\nK. Bardakçi, M.B. Halpern y J. Shapiro, Phys. Rev. 185, 1910 (1969).\nD. Amati, C. Bouchiat y J.L. Gervais, Lett. al Nuovo Cimento 2, 399 (1969).\nA. Neveu y J. Scherk, Phys. Rev. D 1, 2355 (1970).\nG. Frye y L. Susskind, Phys. Lett. B 31, 537 (1970).\nD.J. Gross, A. Neveu, J. Scherk y J.H. Schwarz, Phys. Rev. D 2, 697 (1970).\n45. L. Brink y D. Olive, Nucl. Phys. B 56, 253 (1973) y Nucl. Phys. B 58, 237\n(1973).\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 59\n46. E. Cremmer y J. Scherk, Nucl. Phys. B 50, 222 (1972).\nL. Clavelli y J. Shapiro, Nucl. Phys. B 57, 490 (1973).\nL. Brink, D.I. Olive y J. Scherk, Nucl. Phys. B 61, 173 (1973).\n47. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, F. Gliozzi, E. Napolitano, S. Sciuto y\nP. Di Vecchia, Nucl. Phys. B 94, 221 (1975).\nJ. Shapiro, Phys. Rev. D 11, 2937 (1975).\n48. D.I.Olive y J. Scherk, Phys. Lett. B 44, 296 (1973).\n49. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, E. Napolitano, P. Di Vecchia, F. Gliozzi\ny S. Sciuto, Nucl. Phys. B 77, 189 (1974).\n50. M. Kalb y P. Ramond, Phys. Rev. D 9, 2273 (1974).\n51. E, Cremmer y J. Scherk, Nucl. Phys. B 72, 117 (1974).\n52. A. D’Adda, R. D’Auria, E. Napolitano, P. Di Vecchia, F. Gliozzi y S. Sciuto,\nPhys. Lett. B 68, 81 (1977).\n53. J. Shapiro, Phys. Rev. D 5, 1945 (1975).\n54. S. Sciuto, Lettere al Nuovo Cimento 2, 411 (1969).\nA. Della Selva y S. 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Phys. 76, 209 (1974).\n\tEl nacimiento de la teoría de cuerdas\n\tPaolo Di Vecchia\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" En esta contribución vamos a través de los acontecimientos que en los años 1968 a\n1974 llevó del modelo Veneziano a la cuerda bosónica.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nLos años sesenta fueron un período en el que se estudiaron procesos de interacción fuertes\nen detalle utilizando los aceleradores de nueva construcción en Cern y otros lugares.\nSe encontraron muchos nuevos estados hadrónicos que aparecieron como picos resonantes en var-\nse midieron las secciones transversales y transversales hadrónicas con aumento\nprecisión. En general, los datos experimentales para procesos que interactúan fuertemente\nen términos de intercambios de resonancia en el\ncanal a baja energía y por el intercambio de polos Regge en el transversal\ncanal a mayor energía. Teoría de campo que había tenido mucho éxito en de-\nla inscripción de QED parecía inútil para las interacciones fuertes dado el gran número de\nHadrones para acomodarse en un lagrangiano y la fuerza del pion-nucleón\nconstante de acoplamiento que no permitió cálculos perturbadores. El único...\nprincipal en el que las técnicas teóricas de campo se utilizaron con éxito fue actual\nálgebra. Aquí, asumiendo que las interacciones fuertes fueron descritas por un casi\nquiral invariante Lagrangian, que la simetría quiral se rompió espontáneamente\ny que el pion era el bosón correspondiente Goldstone, campo teórico\nmétodos dieron bastante buenas predicciones para la dispersión de amplitudes que implican pi-\na muy baja energía. Sin embargo, ir a una energía más alta no era posible.\ncon estos métodos.\nDebido a esto, mucha gente comenzó a pensar que la teoría de campo era el uso-\nmenos para describir interacciones fuertes e intentó describir interacciones fuertes\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0101v1\n2 Paolo Di Vecchia\nprocesos con métodos alternativos y más fenomenológicos. Lo básico\nLos ingredientes para describir los datos experimentales fueron de baja energía.\ncambio de resonancias en el canal directo y a mayor energía el intercambio\nde los polos de Regge en el canal transversal. Reglas de suma para interactuar fuertemente\nlos procesos fueron saturados de esta manera y se encontró un buen acuerdo con el\ndatos experimentales provenientes de los aceleradores recién construidos. Sé...\ncausa de estos éxitos y de los problemas que la teoría de campo encontró para\ndescribir los datos, se propuso construir directamente la matriz S sin\npasando por un lagrangiano. La matriz S se suponía que se construiría\nde las propiedades que debía satisfacer, pero no había un procedimiento claro sobre\ncómo implementar esta construcción1. A menudo se utilizaba la palabra “bootstrap”\ncomo la forma de construir la matriz S, pero no ayudó mucho para obtener un\nMatriz S para los procesos que interactúan fuertemente.\nUna de las ideas básicas que condujeron a la construcción de una matriz S fue\nque debe incluir resonancias a baja energía y al mismo tiempo dar\nComportamiento de regge a alta energía. Pero las dos contribuciones de las resonancias\ny de los polos de Regge no deben ser añadidos porque esto implicaría doble\nContando. Esto se llamaba dualidad Dolen, Horn y Schmidt [2]. Otra idea\nque ayudó en la construcción de una matriz S fue la dualidad planar [3] que\nfue visualizado asociándose a un proceso determinado un diagrama de dualidad, mostrado en\nFig. (1), donde cada mesón fue descrito por dos líneas que representan el quark\ny el antiquark. Por último, también el requisito de cruzar la simetría jugado\nun papel muy importante.\nFig. 1. Diagrama de dualidad para la dispersión de cuatro mesones\nPartiendo de estas ideas Veneziano [4] fue capaz de construir una matriz S\npara la dispersión de cuatro mesones que, al mismo tiempo, tenía un número infinito\nde resonancias de ancho cero yace sobre trayectorias de Regge y Regge en ascenso lineal\ncomportamiento a alta energía. Veneziano construyó originalmente el modelo para el\n1 Para una discusión de la teoría de la matriz S véase Ref.s [1]\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 3\nproceso →, pero se extendió inmediatamente a la dispersión de cuatro\npartículas escalares.\nEn el caso de cuatro partículas escalares idénticas, el scat simétrico de cruce-\nla amplitud tering encontrado por Veneziano consiste en una suma de tres términos:\nA(s, t, u) = A(s, t) +A(s, u) +A(t, u) (1)\ndonde\nA(s, t) =\n* (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a)) (a)\n- α(t) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndxx®(s)−1(1− x)®(t)−1 (2)\ncon trayectorias de Regge en ascenso lineal\nα(s) = α0 + α\n′s (3)\nEsta era una propiedad muy importante para implementar en un modelo porque era\nde acuerdo con los datos experimentales en una amplia gama de energías. s, t y\nu son las variables Mandelstam:\ns = −(p1 + p2)2, t = −(p3 + p2)2, u = −(p1 + p3)2 (4)\nLos tres términos en Eq. (1) corresponden a los tres pedidos de las cuatro partes\nque no están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica 2 de la\npiernas. Corresponden, respectivamente, a las tres permutaciones: (1234), (1243)\ny (1324) de las cuatro patas externas. Sólo tienen singularidades de polo simples.\nEl primero sólo tiene polos en los canales s y t, el segundo sólo en el s\ny u canales y el tercero sólo en los canales t y u. Esta propiedad fol-\nbajos directamente del diagrama de dualidad que se asocia a cada inequivalente\npermutación de las piernas externas. De hecho, en ese momento uno solía asociar\na cada una de las tres permutaciones inequivalentes un diagrama de dualidad donde cada\nla partícula fue dibujada como consistente en dos líneas que rappresentaron el quark y\nAntiquark inventando un mesón. Además, se suponía que el diagrama debía\ntienen sólo polos singularidades en los canales planos que son los que implican\nlíneas externas adyacentes. Esto significa que, por ejemplo, el diagrama de dualidad\nque corresponde a la permutación (1234) sólo tiene polos en el s y t chan-\nnels como se puede ver deformando el diagrama en el plano en los dos posibles\nformas que se muestran en la figura (2).\nEsta era una propiedad muy importante del diagrama de dualidad que hace\ncualitativamente diferente de un diagrama de Feynman en teoría de campo donde cada uno\ndiagrama tiene sólo un polo en uno de los tres canales s, t y u y no\nsimultáneamente en dos de ellos. Si aceptamos la idea de que cada término de la\nsuma en Eq. (1) es descrito por un diagrama de dualidad, entonces está claro que nosotros\n2 Una permutación anticíclica correspondiente, por ejemplo, a la orden (1234) es\nobtenido tomando el reverso de la orden original (4321) y luego realizando\nuna permutación cíclica.\n4 Paolo Di Vecchia\nFig. 2. El diagrama de dualidad contiene ambos polos de canal s y t\nno es necesario añadir términos correspondientes a diagramas equivalentes porque el\ndiagrama de dualidad correspondiente es el mismo y tiene las mismas singularidades. Lo siento.\nAhora está claro que de alguna manera estaba implícito en este cuadro el hecho de que el\nEl modelo Veneziano corresponde a la dispersión de cuerdas relativistas. Pero a\nesa vez la conexión no era obvia en absoluto. La única propiedad de la matriz S\nque el modelo Veneziano no pudo satisfacer era la unitariedad de la matriz S.\nporque contenía sólo resonancias de ancho cero y no tenía las diversas\ncortes requeridos por la unidad. Veremos cómo se implementará esta propiedad.\nInmediatamente después de la formulación del modelo Veneziano, Virasoro [5]\npropuso otra amplitud simétrica de cuatro puntos para las partículas escalares\nque consistió en una pieza única dada por:\nA(s, t, u)\n• (u)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n• (1 +)\n• (1 +)\n• (1 +)\ndonde\nα(s) = α0 + α\n′s (6)\nEl modelo tenía polos en los tres canales s, t y u y no podía ser escrito\ncomo suma de tres términos que tienen polos sólo en diagramas planos. En conclusión,\nel modelo Veneziano satisface el principio de dualidad plana siendo un cruce\ncombinación simétrica de tres contribuciones cada uno con polos sólo en el\nCanales planos. Por otro lado, el modelo Virasoro consiste en un\ncruce de término simétrico con polos en canales planos y no planos.\nLos intentos de construir modelos consistentes que estaban de acuerdo\ncon la fenomenología de la interacción fuerte de los años sesenta impulsado enormemente\nla actividad en este campo de investigación. La generalización del modelo Veneziano para\nla dispersión de partículas escalares N fue construida, un formalismo de operador que consiste en\nde un número infinito de osciladores armónicos fue construido y el\nse determinó el espectro de mesons. Resultó que la degeneración de\nlos estados crecieron exponencialmente con la masa. También se encontró que la N\namplitud de punto tenía estados con norma negativa (fantasmas) a menos que la intercepción\nde la trayectoria de Regge fue α0 = 1 [6]. En este caso resultó que el\nmodelo estaba libre de fantasmas, pero el estado más bajo era un taquión. El modelo era\nllamó en la literatura el “modelo de resonancia dual”.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 5\nEl modelo no era unitario porque todos los estados eran de ancho cero reso-\nLas nances y los diversos cortes requeridos por la unidad estaban ausentes. La unidad\nse implementó de manera perturbadora añadiendo diagramas de bucle obtenidos por\ncosiendo algunas de las patas externas después de la inserción de un propagador.\nLas amplitudes multilazo mostraron una estructura de superficies de Riemann. Esto será...\nse hizo evidente sólo más tarde cuando el modelo de resonancia dual fue reconocido a\ncorresponden a la dispersión de cuerdas.\nPero el problema principal era que el modelo tenía un taquión si α0 = 1 o tenía\nfantasmas para otros valores de α0 y no estaba de acuerdo con el experimental\ndatos: α0 no fue igual a aproximadamente\nsegún lo requerido por los experimentos para el\nLa trayectoria del regge y las partículas escalares externas no se comportaron como piones\nsatisfacer los requisitos actuales de álgebra. Se hicieron muchos intentos de\nconstruir modelos de resonancia dual más realistas, pero el principal resultado de\nLos intentos fueron la construcción de los Neveu-Schwarz [7] y los Ramond [8]\nmodelos, respectivamente, para mesones y fermiones. Fueron construidos como dos\nmodelos independientes y sólo más tarde se reconoció que eran dos sectores de la\nEl mismo modelo. El modelo Neveu-Schwarz todavía contenía un taquión que sólo en\n1976 a través de la proyección GSO fue eliminado del espectro físico.\nAdemás, no estaba describiendo adecuadamente las propiedades de la\nPiones.\nEn realidad, un modelo que describe la dispersión de una manera bastante satisfactoria\nfue propuesto por Lovelace y Shapiro [9] 3. De acuerdo con este modelo el\nTres amplitudes isospinas para la dispersión pion-pion son dadas por:\n[A(s, t) +A(s, u)]− 1\nA(t, u)\nA1 = A(s, t)−A(s, u) A2 = A(t, u) (7)\ndonde\nA(s), t = β\n* (1- α(s))* (1 − α(t))\n• (1− α(t)− α(s)\n; α(s) = α0 + α\n′s (8)\nLas amplitudes en eq.(7) proporcionar un modelo para la dispersión con elevación lineal\nTrayectorias Regge que contienen tres parámetros: la interceptación del Regge\ntrayectoria α0, la pendiente Regge α\n′ y β. Los dos primeros pueden ser determinados por\nimponer la condición de auto-coherencia del Adler, que requiere la desaparición de\nla amplitud cuando s = t = u = m2η y uno de los piones es sin masa, y el\nhecho de que la trayectoria de Regge debe dar el giro del meson que es igual\na 1 cuando\ns es igual a la masa del mesón. Estas dos condiciones\ndeterminar que la trayectoria de Regge es:\nα(s) =\ns−m2\nm2π −mη2\n= 0,48 + 0,885s (9)\n3 Véase también Ref. [10].\n6 Paolo Di Vecchia\nDespués de haber fijado los parámetros de la trayectoria Regge el modelo predice la\nlas masas y los acoplamientos de las resonancias que decaen en\nparámetro único β. Los valores obtenidos están en acuerdo razonable con\nlos experimentos. Además, uno puede calcular las longitudes de dispersión:\na0 = 0,395β a2 = −0,103β (10)\ny uno encuentra que su relación está dentro del 10% de la actual relación de álgebra dada\npor a0/a2 = −7/2. La amplitud en eq.(8) tiene exactamente la misma forma que la\npara cuatro taquiones del modelo Neveu-Schwarz con el único aparentemente menor\ndiferencia que α0 = 1/2 (para mη = 0) en lugar de 1 como en el Neveu-Schwarz\nmodelo. Esta diferencia, sin embargo, implica que la dimensión crítica espacio-tiempo\nde este modelo es d = 4 4 y no d = 10 como en el modelo Neveu-Schwarz. In\nla conclusión de que este modelo parece ser un modelo perfectamente razonable para describir\ndispersión de baja energía. El problema es, sin embargo, que nadie ha sido capaz de\npara generalizar a la dispersión multipión y por lo tanto para obtener la completa\nespectro meson.\nComo hemos visto se construyó la matriz S del modelo de resonancia dual\nutilizando ideas y herramientas de fenomenología de hadrones de finales de los años sesenta.\nAunque no parecía posible escribir un modelo realista de resonancia dual\ndescribiendo los piones, era sin embargo tal fuente de fascinación para los\nque trabajó activamente en este campo en ese momento por su hermosa estructura interna\ny consistencia que mucha energía se utilizó para investigar sus propiedades y\npara comprender su estructura básica. Resultó con gran sorpresa que\nla estructura subyacente era la de una cadena relativista cuántica.\nEl objetivo de esta contribución es explicar la lógica del trabajo que fue\nhecho en los años de 1968 a 1974 5 con el fin de descubrir las propiedades profundas de\neste modelo que parecía desde el principio ser tan hermoso y coherente\npara merecer un estudio intensivo.\nEsto me parece una muy buena manera de celebrar el 65 aniversario de\nGabriele que es la persona que comenzó y también contribuyó a desarrollar el\ntodo con su profunda intuición física.\n2 Construcción de la amplitud del punto N\nHemos visto que la construcción de la amplitud de cuatro puntos no es suficiente\npara obtener información sobre todo el espectro hadrónico porque sólo contiene\nesos hadrones que pareja a dos mesons del estado de tierra y no los ve\nEstados intermedios que sólo pareja a tres o a un mayor número de\nMesons terrestres [12]. Por lo tanto, era muy importante construir el\nAmplitud N-punto que involucra partículas escalares idénticas. La construcción de\n4 Esto se puede comprobar computando el acoplamiento de la partícula sin spin en la\nnivel α(s) = 2 y ver que desaparece para d = 4.\n5 Reseñas de este periodo se pueden encontrar en Ref. [11]\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 7\nla amplitud del punto N se hizo en Ref. [13] (prolongación de la labor de Ref. [14])\npor exigir los mismos principios que han conducido a la construcción de la\nmodelo Veneziano, a saber, el hecho de que los axiomas de la teoría S-matriz ser\nsatisfecho por un número infinito de resonancias de ancho cero acostados linealmente\ncrecimiento de las trayectorias Regge y dualidad plana.\nLa amplitud de dispersión simétrica totalmente cruzada de N escalar idéntico\nlas partículas se dan por una suma de términos correspondientes a la permu-\ntas de las patas externas:\nUn (11)\nTambién en este caso dos permutaciones de las patas externas son inequivalentes si\nno están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica. Np es el número de\npermutaciones inequivalentes de las patas externas y es igual a Np =\n(N−1)!\ny cada término sólo tiene singularidades de polos simples en los canales planos. Cada uno\ncanal plano se describe por dos índices (i, j), lo que significa que incluye el\npiernas i, i+ 1, i+ 2... j − 1, j, por la variable Mandelstam\nsij = −(pi + pi+1 +.. + pj)2 (12)\ny por una variable adicional uij cuyo papel será claro pronto. Lo es.\nclaro que los canales (ij) y (j + 1, i− 1) 6 son idénticos y deben\nser contados sólo una vez. En el caso de N partículas escalares idénticas, el número\nde canales planos es igual a\nN(N−3)\n. Esto puede obtenerse de la siguiente manera. Los\nLos diagramas planos independientes que involucran la partícula 1 son del tipo (1, i)\ndonde i = 2...N − 2. Su número es N − 3. Este es también el número de\ndiagramas planos que involucran la partícula 2 y no la 1. Número de aviones\ndiagramas que implican la partícula 3 y no las partículas 1 y 2 es igual a\nN − 4. En general, el número de diagramas planos que implican la partícula i y\nno los anteriores de 1 a i-1 es igual a N − 1− i. Esto significa que la\nel número total de diagramas planos es igual a:\n2 (N − 3) +\n(N − 1− i) = 2 (N − 3) +\n= 2 (N − 3) +\n(N − 4) (N − 3)\nN(N−3)\nSi uno escribe el diagrama de dualidad correspondiente a un planar determinado\norden de las partículas externas, es fácil ver que el diagrama puede tener\nsingularidades de polo simultáneas sólo en N − 3 canales. Los canales que\npermitir singularidades de polo simultáneas se llaman canales compatibles, el otro\n6 Este canal incluye las partículas (j + 1,...., N, 1,... i− 1).\n8 Paolo Di Vecchia\nse llaman incompatibles. Dos canales (i,j) y (h,k) son incompatibles si\nse satisfacen las siguientes desigualdades:\ni ≤ h ≤ j; j + 1 ≤ k ≤ i− 1 (14)\nEl objetivo es construir la amplitud de dispersión para cada inequivalente por\nmutación de las piernas externas que sólo tiene singularidades de polo en el\nN(N−3)\nCanales planos. También tenemos que imponer que la amplitud tiene simultáneamente\npolos solamente en N − 3 canales compatibles. Con el fin de obtener la intuición sobre cómo\nprocederemos a reescribir la amplitud de cuatro puntos en Eq. 2) De la siguiente manera:\nA(s, t) =\ndu23 u\n•(s12)−1\n•(s23)−1\n23 (u12 + u23 − 1) (15)\ndonde u12 y u23 son las variables correspondientes a los dos planos\nnels (12) y (23) y la cancelación de polos simultáneos en\nlos canales son provistos por la función de ♥ que prohíbe u12 y u23 a desaparecer\nSimultáneamente.\nAhora extenderemos este procedimiento a la amplitud de los puntos N. Pero para el\nEn aras de la claridad, comencemos con el caso de N = 5 [14]. En este caso tenemos 5\ncanales planos descritos por u12, u13, u23, u24 y u34. Ya que sólo tenemos dos\ncanales compatibles sólo dos de las cinco variables anteriores son independientes.\nPodemos elegir que sean u12 y u13. Con el fin de determinar el depen-\ndence de las otras tres variables sobre las dos independientes, excluimos\npolos simultáneos en canales incompatibles. Esto se puede hacer mediante la imposición de\nrelaciones que impiden variables correspondientes a canales incompatibles con\nDesaparece simultáneamente. Una condición suficiente para excluir los polos simultáneos\nen canales incompatibles se impondrán las condiciones siguientes:\nuP = 1−\nuP̄ (16)\ndonde el producto está sobre las variables P̄ correspondientes a los canales que\nson incompatibles con P. En el caso de la amplitud de cinco puntos obtenemos el\nlas siguientes relaciones:\nu23 = 1− u34u12 ; u24 = 1− u13u12\nu13 = 1− u34u24 ; u34 = 1− u23u13 ; u12 = 1− u24u23 (17)\nResolviéndolos en términos de los dos independientes que obtenemos:\nu23 =\n1− u12\n1− u12u13\n; u34 =\n1− u13\n1− u12u13\n; u24 = 1− u12u13 (18)\nEn analogía con lo que hemos hecho por la amplitud de cuatro puntos en Eq. (15)\nescribimos la amplitud de cinco puntos como sigue:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 9\ndu34u\n•(s12)−1\n•(s13)−1\n×u®(s24)−124 u\n•(s23)−1\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n*(u23 + u12u34 − 1)*(u24 + u12u13 − 1)*(u34 + u13u23 − 1) (19)\nRealizando la integral sobre las variables u23, u24 y u34 obtenemos:\ndu13u\n•(s12)−1\n•(s13)−1\n× (1− u12)+(s23)−1(1− u13)+(s13)−1(1− u12u13)+(s24)(s23)(s34)(20)\nHemos asumido implícitamente que la trayectoria de Regge es la misma en todos los chan-\nnels y que las partículas escalares externas tengan la misma masa común m\ny son los estados de mentira más bajos en la trayectoria de Regge. Esto significa que su\nmasa viene dada por:\nα0 − •p2i = 0 ; p2i •m2 (21)\nUsando entonces la relación:\nα(s23) + α(s34)− α(s24) = 2+p2 · p4 (22)\nPodemos reescribir Eq. (20) según se indica:\n•(s2)−1\n•(s3)−1\n3 (1− u2)+(s23)−1×\n× (1 − u3)+(s34)−1\n(1− xij)2α\n′pi·pj (23)\ndonde\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. uj−1. (24)\nAhora estamos listos para construir la función de punto N [13]. En analogía con\nlo que se ha hecho para las amplitudes de cuatro y cinco puntos podemos escribir el\nAmplitud de los puntos N, según se indica:\n...\n•(sP)−1\n(uQ − 1 +\nuQ̄) (25)\n10 Paolo Di Vecchia\ndonde el primer producto ha terminado el\nN(N−3)\nvariables correspondientes a todos\ncanales planos, mientras que el segundo está sobre el\n(N−3)(N−2)\nindependiente\nFunciones. El producto en la función de se define en Eq. (16).\nLa solución de todas las relaciones lineales no independientes impuestas por el\nLas funciones son dadas por\nuij =\n(1 − xij)(1− xi−1,j+1)\n(1− xi−1,j)(1− xi,j+1)\ndonde las variables xij se dan en Eq. (24). Eliminación de la función de\nEq. (25) se obtiene:\n• (si)−1\ni (1 − ui)\n• (si,i+1)−1\nj=i+2\n(1- xij)ij(27)\ndonde\nγij = α(sij) + α(si+1;j−1)− α(si;j−1)− α(si+1;j) ; j ≥ i+ 2 (28)\nEs fácil ver que\nα(si,i+1) = +0 − 2+pi · pi+1 ; γij = −2+pi · pj ; j ≥ i+ 2 (29)\nInsertándolos en Eq. (27) Obtenemos:\n• (si)−1\ni (1− ui)\nj=i+1\n(1− xij)2α\n′pi·pj (30)\nEsta es la forma de la amplitud de punto N que fue construida originalmente.\nEntonces Koba y Nielsen [15] lo pusieron en la forma que es más conocida hoy en día.\nLo construyeron usando las siguientes reglas. Asoció una variable real\nZi a cada pierna i. Luego se asociaron a cada canal (i, j) una anarmónica\nrelación construida a partir de las variables zi, zi−1, zj, zj+1 de la siguiente manera\n(zi, zi+1, zj, zj+1)\n•(sij)−1 =\n(zi − zj) (zi − 1 − zj+1)\n(zi−1 − zj)(zi − zj+1)\n*(sij)−1\ny finalmente dieron la siguiente expresión para la amplitud de N -point:\ndV (z)\ni, j)\n(zi, zi+1, zj, zj+1)\n•(sij)−1 (32)\ndonde\ndV (z) =\n1 (zi − zi+1)dzi)\ni=1(zi − zi+2)dVabc\n; dVabc =\ndzadzbdzc\n(zb − za) (zc − zb) (za − zc)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 11\ny las variables zi se integran a lo largo del eje real en un orden cíclico\nforma: z1 ≥ z2. . ≥ zN con a, b, c elegido arbitrariamente.\nEl integrand de la amplitud de N -point es invariante bajo proyectiva\ntransformaciones que actúan sobre las variables de la pierna zi:\nαzi + β\nγzi + \n; i = 1... N ; − • = 1 (34)\nEsto se debe a que tanto la relación anarmónica en Eq. (31) y la medida dVabc\nson invariantes bajo una transformación proyectiva. Desde un proyector transfor-\nmiento depende de tres parámetros reales, a continuación, el integrand de la N -punto\nLa amplitud depende sólo de N − 3 variables zi. Con el fin de evitar infinitos, uno\ntiene entonces que dividir el volumen de integración con el factor dVabc que es también\ninvariante bajo las transformaciones proyectivas. El hecho de que el integrand\nsólo depende de N − 3 variables está de acuerdo con el hecho de que N − 3 es\ntambién el número máximo de polos simultáneos permitidos en la amplitud.\nEs conveniente escribir la amplitud de N - punto en una forma que implica la\nproducto escalar del momento externo en lugar de las trayectorias de Regge.\nDistinguimos tres tipos de canales. La primera es cuando las partículas\ni y j del canal (i, j) están separados por al menos dos partículas. En este\nlos canales que contribuyen al exponente del factor (zi − zj) son\nlos canales (i, j) con exponente igual a •(sij) − 1, (i + 1, j − 1) con\nexponente (si+1,j−1)− 1, (i+1,j) con exponente α(si+1,j)+1 y (i, j− 1)\ncon exponente α(si,j−1) + 1. Añadiendo estas cuatro contribuciones uno consigue para el\ncanales donde i y j están separados por al menos dos partículas\n− α(sij)− α(si+1,j−1) + α(si+1,j) + α(si,j−1) = 2pi · pj (35)\nEl segundo viene de los canales que están separados por sólo uno\npartícula. En este caso, sólo tres de los cuatro canales anteriores contribuyen. Por\ninstancia si j = i+2 el canal (i+1, j− 1) consiste en una sola partícula y\nPor lo tanto, no debe incluirse. Esto significa que tendríamos:\n− α(si;i+2)− 1 + α(s1+1;i+2) + 1 + α(si;i+1 + 1) = 1 + 2+pi · pi+2 (36)\nPor último, el tercero que viene de los canales cuyas partículas son adja-\ncent, sólo recibe la contribución de:\n− α(si;i+1)− 1 = α0 − 1 + 2+pi · pi+1 (37)\nPoner todos estos tres términos juntos en Eq. (32) y recordando el factor\nen el denominador en la primera ecuación de (33) obtenemos:\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zi+1)α0−1\n(zi − zj)2α\n′pi·pj(38)\nUna opción conveniente para que las tres variables se mantengan fijas es:\n12 Paolo Di Vecchia\nzc = zN = 0 (39); zb = z2 = 1; zc = zN = 0 (39)\nCon esta opción la ecuación anterior se convierte en:\n(zi − zi+1)\n(zi − zi+1)α0−1×\nj=i+1\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (40)\nAhora queremos mostrar que esta amplitud es idéntica a la dada en Eq.\n(30). Esto se puede hacer realizando el siguiente cambio de variables:\n; i = 2, 3...N − 2 (41)\nlo que implica\nzi = u2u3. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\nTeniendo en cuenta que el jacobino es igual a:\nuN−2−ii (43)\nutilizando las dos relaciones siguientes:\n(zi − zi+1)α0−1 =\n(N−1−i)α0−1\n(1− ui)α0−1 (44)\nj=i+1\n(zj − zi)2α\n′pi·pj =\nj=i+1\n(1− xij)2α\n′pi·pj\n• (si)− (N−i−1)α0\ni (45)\ny la conservación del impulso\npi = 0 (46)\njunto con Eq. (21), se puede ver fácilmente que Eq.s (30) y (40) son iguales.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 13\nLa amplitud N -punto que hemos construido en esta sección corre-\nsponds a la dispersión de N partículas sin spinless sin grados internos de\nlibertad. Por otro lado, se sabía que los mesones eran clasificados\nsegún los múltiplos de una simetría del sabor SU(3). Esto se puso en práctica.\npor Chan y Patón [16] multiplicando la amplitud del punto N con un factor,\nllamado factor Chan-Paton, administrado por\nTr(a1a2..................................................................................................................................................... 47)..................................................................................................................................................\ndonde las matrices de los grupos unitarios en los representa-\ntion. Incluyendo los factores Chan-Paton se da la amplitud de dispersión total\nTr(a1a2..................................................................................................................................................... BN (p1, p2,. . pN ) (48)\ndonde la suma se extiende a la (N − 1)! permutaciones de las patas externas,\nque no están relacionados por una permutación cíclica. Originalmente cuando la resolución dual-\nmodelo nance se suponía que describiría fuertemente interactuando mesones, este factor\nse introdujo para representar su sabor grados de libertad. Hoy en día el\nla interpretación es diferente y el factor Chan-Paton representa el color\ngrados de libertad de los bosones de calibre y las otras partículas masivas de la\nespectro.\nLa amplitud N -punto BN que hemos construido en esta sección con-\nsólo tiene singularidades de polo simples en todos los canales planos posibles. Ellos cor-\nresponder a resonancias de ancho cero situadas a valores enteros no negativos n de\nla trayectoria de Regge α(M2) = n. El estado más bajo situado en α(m2) = 0 cor-\nresponde a las partículas en las patas externas de BN. El espectro de excitación\nlas partículas se pueden obtener factorizando la amplitud de N - punto en la mayoría\ncanal general con cualquier número de partículas. Esto se hizo en Ref.s [17] y\n[18] encontrar un espectro de estados que suben exponencialmente con la masa M.\nel modelo relativista invariante se encontró que muchos estados obtenidos por\nfactorizando la amplitud del punto N eran “fantasmas”, es decir, estados con\nnorma como se encuentra en QED cuando se cuantifica el campo electromagnético en un\ncalibrador covariante. La coherencia del modelo requiere la existencia de rela-\nciones satisfechas por las amplitudes de dispersión que son similares a las obtenidas\na través de la invarianza del calibrador en QED. Si el modelo es consistente deben decou-\nla norma negativa nos deja con un espectro físico de positivo\nlos estados de la norma. Con el fin de estudiar de una manera sencilla estos temas, discutimos en el\nsiguiente sección el formalismo del operador introducido ya en 1969 [19, 20, 21].\nAntes de concluir esta sección volvamos a los cuatro puntos no planos\namplitud en Eq. (5) y discutir su generalización a una amplitud de punto N.\nUtilizando la técnica del análogo electrostático en la esfera en lugar de en\nel disco Shapiro [22] fue capaz de obtener una amplitud de punto N que reduce\na la amplitud de cuatro puntos en Eq. (5) con intercepción α0 = 2. El punto N\nAmplitud encontrada en Ref. [22] es:\n14 Paolo Di Vecchia\ni=1 d\ndVabc\nzi − zj \n′pi·pj (49)\ndonde\ndVabc =\nd2zad\nza − zb2za − zc2zb − zc2\nLa integral en Eq. (49) se realiza en todo el plano complejo.\n3 Formalismo y factorización del operador\nLas propiedades de factorización del modelo de resonancia dual fueron estudiadas por primera vez por\nfactorizando por fuerza bruta la amplitud del punto N en los diversos polos [17, 18].\nEl número de términos que factorizan el residuo del polo en α(s) = n,\naumenta rápidamente con el valor de n. Con el fin de encontrar su degeneración se volvió\npara ser conveniente reescribir primero la amplitud del punto N en un operador\nformalismo. En esta sección introducimos el formalismo del operador y reescribimos\nla amplitud N-punto derivada en la sección anterior en este formalismo.\nLa idea clave [19, 20, 21] es introducir un conjunto infinito de oscil armónico\nLators y operadores de posición e impulso 7 que satisfacen los siguientes requisitos:\nrelaciones de conmutación:\n[anμ, a\nm/ ] = nm ; [q, p ] = i (51)\ndonde es la métrica plana de Minkowski que tomamos para ser = (−1, 1,... 1).\nUn estado con impulso p se construye en términos de un estado con cero mo-\nmentum de la manera siguiente:\n< < p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p = p > p > p = p > p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = 0 = 0 = 0 (52)\nnormalizado como 8\npp = (2η)dŁ(d)(p+ p′) (53)\nCon el fin de evitar menos signos utilizamos la convención que\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nUna base completa y ortonormal de vectores en el espacio del oscilador armónico\nes dada por\n1, 2,. • i; p =\n(an;n)\nn;μn\n¡N, μn!\neipq0, 0ó (55)\n7 En realidad, la posición y los operadores de impulso se introdujeron en Ref. [23].\n8 Aunque ahora usamos un arbitrario d queremos recordarte que todo original\nlos cálculos se hicieron para d = 4.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 15\ndonde el primer 0 corresponde al aniquilado por toda aniquilación op-\ny el segundo al estado de cero impulso:\naμn;n0, 0° = p0, 0° = 0 (56)\nNótese que la invarianza de Lorentz obliga a introducir también osciladores que crean\nestados con norma negativa debido al signo menos en la métrica plana de Minkowski.\nEsto implica que el espacio extendido por los estados en Eq. (55) no es positivo\nDefinido. Esto, sin embargo, no está permitido en una teoría cuántica y por lo tanto si\nel modelo de resonancia dual es una teoría cuántica-relavista consistente que esperamos\nla presencia de relaciones del tipo de las proporcionadas por la invarianza del calibrador en\nPresentemos al operador de Fubini-Veneziano [23]:\nQμ(z) = Q\nμ (z) +Q\nμ (z) +Q\nμ (z) (57)\ndonde\nQ(+) = i\nz−n ; Q(−) = −i\nQ(0) = qá − 2iÃ3pá r log z (58)\nEn términos de Q introducimos el operador de vértice correspondiente a la externa\npata con impulso p:\nV (z; p) =: eip·Q(z)\n(−)(z)eipq®e+2α\n′pp log zeip·Q\n(+)z) (59)\ny calcular el siguiente valor de expectativa de vacío:\n0, 0\nV (zi, pi)0, 0 (60)\nSe puede calcular fácilmente utilizando la relación Baker-Haussdorf\neAeB = eBeAe[A,B] (61)\nque es válido si el conmutador, como en nuestro caso, [A,B] es un número c. En nuestro\nen caso de que las relaciones de conmutación que deban utilizarse sean:\n[Q(+)(z), Q(−)(w)] = −2\ny el segundo en Eq. (51). Usandolos uno consigue:\nV (z; p)V (w; k) =: V (z; p)V (w; k) : (z − w)2α\n′p·k (63)\n16 Paolo Di Vecchia\n0, 0\nV (zi, pi)\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (2\npi) (64)\ncuando el pedido normal requiera que todos los operadores de creación se pongan en la\nizquierda de la aniquilación uno y el operador de impulso pÃ3 ser puesto a la derecha\ndel operador de posición q». Esto significa que\n(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\npi)BN =\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zi+1)α0−1\n× 0, 0\nV (zi, pi)0, 0 (65)\nAl elegir las tres variables za, zb y zc como en Eq. (39) podemos reescribir el\necuación anterior como sigue:\n(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()\npi)BN =\n(zi − zi+1)×\n(zi − zi+1)α0−1\n0, p1\nV (zi; pi)0, pN (66)\ndonde hemos tomado z2 = 1 y hemos definido (α0 • p2i ; i = 1...N) :\nV (zN ; pN )0, 0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo\nz2α01 V (z1; p1) = 0, p1 (67)\nAntes de proceder a factorizar la amplitud N -punto vamos a estudiar la prop-\nEn el marco del grupo proyectivo de los operadores que hemos introducido.\nYa hemos visto que el grupo proyectivo deja el integrand de la\nKoba-Nielsen representación de la amplitud de N -punto invariante. El projec-\nEl grupo tivo tiene tres generadores L0, L1 y L−1, respectivamente.\ndilataciones, inversiones y traducciones. Suponiendo que el Fubini-Veneziano\ncampos Q(z) se transforma como un campo con peso 0 (como escalar) podemos\nately escribir las relaciones de conmutación que Q(z) debe satisfacer. Esto significa en\nhecho de que, bajo una transformación proyectiva, Q(z) se transforma como sigue:\nQ(z) → QT (z) = Q\nαz + β\nγz + \n; − • = 1 (68)\nExpandiendo para valores pequeños de los parámetros que obtenemos:\nQT (z) = Q(z) + (+1 + 2z + 3z\ndQ(z)\n+ o(+2) (69)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 17\nEsto significa que los tres generadores del grupo proyectivo deben satisfacer\ndespués de las relaciones de conmutación con Q(z):\n[L0, Q(z)] = z\n; [L−1, Q(z)] =\n; [L1, Q(z)] = z\nSon dadas por las siguientes expresiones en términos de la oscila armónica-\ntors:\nL0 = α\n′p®2 +\nna†n · an ; L1 =\n2+p · a1 +\nn(n+ 1)an+1 · a†n (71)\nL−1 = L\n2+p· · a†1 +\nn(n+ 1)a\nn+1 · an (72)\nAniquilan el vacío.\nL0, 0 = L1 = 0, 0 = L−1 = 0, 0 = 0 (73)\nque por lo tanto se llama el vacío invariante proyectiva, y satisfacer el álgebra\nque se llama álgebra de Gliozzi [24]:\n[L0, L1] = −L1 ; [L0, L−1] = L−1 ; [L1, L−1] = 2L0 (74)\nEl operador de vértice con impulso p es un campo proyectivo con peso igual\na α0 = α\n′p2. De hecho, se transforma como sigue en el grupo proyectivo:\n[Ln, V (z, p)] = z\nn+1 dV (z, p)\n+ α0(n+ 1)z\nnV (z, p) ; n = 0,±1 (75)\no en forma finita como sigue:\nUV (z, p)U−1 =\n(γz + )2α0\nαz + β\nγz + \ndonde U es el generador de una transformación proyectiva finita arbitraria.\nDesde U deja el vacío invariante, mediante el uso de Eq. (76) es fácil de mostrar\nque:\n0, 0\nV (z′i, p)0, 0 =\n(γzi + )\n2α0-0, 0\nV (zi, p)0, 0 (77)\nque junto con la siguiente ecuación:\n(z′i − z′i+1)α0−1 =\n(zi − zi+1)α0−1\n(γzi + )\n−2α0(78)\n9 Véase también Ref. [25].\n18 Paolo Di Vecchia\nimplica que la integridad de la amplitud de punto N en Eq. (65) es invariante\nbajo transformaciones proyectivas.\nAhora estamos listos para factorizar la amplitud de N -punto y encontrar la especificación-\nTrum de mesons.\nDe los Eq.s (75) y (76) es fácil derivar la transformación de la\noperador de vértice bajo una dilatación finita:\nzL0V (1, p)z−L0 = V (z, p)zα0 (79)\nCambiar las variables de integración de la siguiente manera:\n; i = 2, 3...N − 2 ; det\n= z3z4. zN−2 (80)\ndonde el último término es el jacobio de la trasformación de zi a xi, obtenemos\nde Eq.(66) la expresión siguiente:\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndonde el propagador D es igual a:\ndxxL0−1+0(1− x)α0−1 = • (L0 − α0) • (α0)\n(L0)\nAN = (2η)\nd-(d)\nBN (83)\nLas propiedades de factorización de la amplitud se pueden estudiar insertando en\nel canal (1,M) o equivalente en el canal (M +1, N) descrito por el\nVariable Mandelstam\ns = −(p1 + p2 +. .. pM )2 = −(pM+1 + pM+2... + pN )2 • −P 2 (84)\nel conjunto completo de estados dados en Eq. (55):\nP(1,M), P, P D, P, P p(M+1,N) (85)\ndonde\nP(1,M) = 0, p1V (1, p2)DV (1, p3). V (1, pM ) (86)\np(M+1,N) = V (1, pM+1)D... V (1, pN−1)pN, 0 (87)\nIntroducción de la cantidad:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 19\nna†n · an (88)\nes posible reescribir\n, P D, P =\n, P \n(−1)m\nα0 − 1\nR+m− α(s)\n, P (89)\ndonde s es la variable definida en Eq. (84). Usando esta ecuación podemos reescribir\nEq. (85) del siguiente modo:\nP(1,M), P ®\n, P \n(−1)m\nα0 − 1\nR+m− α(s)\n, P, P p(M+1,N)(90)\nEsta expresión muestra que la amplitud AN tiene un polo en el canal (1,M)\ncuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y los estados que contribuyen a\nsus residuos son los que satisfacen la relación:\nR = (n−m) ; m = 0, 1.. n (91)\nEl número de estados independientes contribuir al residuo da el\ndegeneración de los estados para cada nivel n.\nDebido a la manifiesta invarianza relativista, el espacio se extiende por la com-\nsistema pleto de estados en Eq. (55) contiene estados con una norma negativa corre-\nsponding a esos estados que tienen un número impar de osciladores con tiempo similar\ninstrucciones (véase Eq. (51)). Esto no es consistente en una teoría cuántica donde\nlos estados de un sistema deben abarcar un espacio definitivo de Hilbert positivo. Esto significa\nque debe existir una serie de relaciones satisfechas por los Estados externos que\ndesacoplar un número de estados dejando con un espacio positivo definido Hilbert. In\npara encontrar estas relaciones reescribimos el estado en Eq. (87) volver a la\nVariables de Koba-Nielsen:\np(1,M) =\n(zi − zi+1)]\n(zi − zi+1)α0−1×\n× V (1, p1)V (z2, p2). ... V (zM−1, pM−1).......................................................................................................................................................................................................................................................\nConsideremos el operador U(α) que genera la transformación proyectiva\nque deja los puntos z = 0, 1 invariante:\n1− α(z − 1) = z + α(z)\n2 − z) + o(α2) (93)\nDe las propiedades de transformación de los operadores de vértice en Eq. (76)\nes fácil ver que la transformación anterior deja el estado en Eq. (92)\ninvariante:\n20 Paolo Di Vecchia\nU(α)p(1,M) = p(1,M) (94)\nEsto significa que el generador de la transformación previa aniquila el\nestado en Eq. (92):\nW1p(1,M) = 0; W1 = L1 − L0 (95)\nLa forma explícita de W1 se deriva de la forma infinitesimal de la transformación-\nciones en Eq. (93). Esta condición que es del mismo tipo de relaciones que\nsobre las amplitudes de caparazón con la emisión de fotones satisfacen como consecuencia de\nla invarianza del calibre, implica que el residuo en el polo en Eq. (90) puede ser fac-\nTorizado con un número menor de estados. Sin embargo, resulta que un\nEl análisis del espectro muestra que los estados de norma negativos todavía están presentes.\nEsto se puede entender cualitativamente de la siguiente manera. Debido a la métrica de Lorentz\ntenemos un componente de norma negativo para cada oscilador. Para poder\npara desacoplar todos los estados de la norma negativa necesitamos tener una condición de calibre de\nel tipo como en Eq. (95) para cada oscilador. Pero el número de osciladores es\ninfinito y, por lo tanto, necesitamos un número infinito de condiciones del tipo\ncomo en Eq. (95). Fue encontrado en Ref. [6] que, si tomamos α0 = 1, entonces uno puede\nconstruir fácilmente un número infinito de operadores que salen del estado en Eq.\n(92) invariante. En la siguiente sección nos concentraremos en este caso.\n4 El caso α0 = 1\nSi tomamos α0 = 1 muchas de las fórmulas dadas en la sección anterior simplificar.\nLa amplitud del punto N en Eq. 38) pasa a ser:\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n(zi − zj)2α\n′pi·pj (96)\nque pueden ser reescritos en el formalismo del operador como sigue:\n(2l)4l(\npi)BN =\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n0, 0\nV (zi, pi)\nAl elegir z1 = فارسى, z2 = 1 y zN = 0 se convierte en\n(2l)4l(\npi)BN =\n(zi − zi+1)0, p1\nV (zi; pi)0, pN (98)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 21\ndonde\nV (zN; pN ) 0, 0 0; pN ; 0; 0 lim\nz21V (z1; p1) = 0, p1 (99)\nEq. (81) es como antes, pero ahora el propagador se convierte en:\ndxxL0−2 =\nL0 − 1\n(100)\nEsto significa que Eq. (89) pasa a ser:\n, P D, P =, P 1\nL0 − 1\n, P (101)\ny Eq. (90) tiene la forma más sencilla:\nP(1,M), P, P \nR − α(s)\n, P, P p(M+1,N)® (102)\nBN tiene un polo en el canal (1,M) cuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y\nlos estados que contribuyen a su residuo son los que satisfacen la relación:\nR = n (103)\nSu número da la degeneración de los estados que contribuyen al polo en\nα(s) = n. La amplitud de N -point se puede escribir como:\nBN = P(1,M)Dp(M+1,N)® (104)\ndonde\np(1,M) =\n∫ M−1\n[dzil(zi − zi+1)]×\n× V (1, p1)V (z2, p2). .. V (zM−1, pM−10, pM • (105)\nUsando Eq. (79) y variables cambiantes de zi, i = 2... M−1 a xi = zi+1zi, i =\n1...M − 2 con z1 = 1 podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:\np(1,M) = V (1, p1)DV (1, p2)..DV (1, pM−1)0, pM (106)\ndonde el propagador D se define en Eq. (100).\nAhora queremos demostrar que el estado en Eq.s (105) y (106) no es sólo\naniquilado por el operador en Eq. (95), pero, si α0 = 1 [6], por un conjunto infinito\nde los operadores cuyo más bajo es el de Eq. (95). Vamos a derivar esto por\nutilizando el formalismo desarrollado en Ref. [26] y seguiremos de cerca sus\nderivación.\nA partir de Eq.s (70) Fubini y Veneziano se dieron cuenta de que los generadores\ndel grupo proyectivo que actúa en función de z están dadas por:\n22 Paolo Di Vecchia\nL0 = −z\n; L−1 = −\n; L1 = −z2\n(107)\nGeneralizaron los generadores anteriores a un transfor conformal arbitrario.\n• la introducción de los siguientes operadores, llamados operadores de Virasoro:\nLn = −zn+1\n(108)\nque satisfagan el álgebra:\n[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m (109)\nque no contiene el término con la carga central! También mostraron que\nlos operadores de Virasoro satisfacen las siguientes relaciones de conmutación con el\noperador de vértice:\n[Ln, V (z, p)] =\nzn+1V (z, p)\n(110)\nMás en general, en realidad definen un operador Lf que corresponde a un\nfunción arbitraria f(+) y Lf = Ln si elegimos f(+) =\nn. En este caso la\nrelación de conmutación en Eq. (110) se convierte en:\n[Lf, V (z, p)] =\n(zf(z)V (z, p)) (111)\nAl introducir la variable:\n* f.............................................................................................................................................................................................................................................................. \n(112)\ndonde A es una constante arbitraria, se puede reescribir Eq. (111) en lo siguiente:\nforma:\n[Lf, zf(z)V (z, p)] =\n(zf(z)V (z, p)) (113)\nEsto implica que, bajo una transformación conformal arbitraria z → f(z),\ngenerado por U = eαLf, el operador de vértice se transforma como:\neαLfV (z, p) zf(z) eLf = V (z′, p)z′f(z′) (114)\ndonde el parámetro α es dado por:\n* f.............................................................................................................................................................................................................................................................. \n(115)\nPor otro lado, esta ecuación implica:\nzf(z)\nz′f(z′)\n(116)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 23\nque, insertado en Eq. (114), implica que la cantidad V (z, p) dz se deja invariante\npor la transformación z → f(z):\neαLfV (z, p)dze®Lf = V (z′, p)dz′ (117)\nActuamos ahora con la anterior transformación conformal sobre el estado en\nEq. (105). Tenemos:\neαLf p(1,M) =\neαLfV (1, p1)eαLf×\n×eαLfV (z2, p2)e•Lf..... eαLfV (zM−1, pM−1)e•Lf eαLf 0, pM =\n*(zi − zi+1)× eαLfV (1, p1)e*Lf×\n× V (z′2, p2)dz′2. .. V (z′M−1, pM−1)dz′M−1eαLf 0, pM (118)\ndonde hemos usado Eq. (117). La transformación anterior deja el estado\ninvariante si z = 0 y z = 1 son puntos fijos de la transfor-\nMation. Esto sucede si el denominador en Eq. (115) desaparece cuando = 0, 1.\nEsto requiere las siguientes condiciones:\nf(1) = 0 ; lim\n(+) = 0 (119)\nExpandiendo cerca del poinr = 1 podemos determinar la relación entre z\ny z′ cerca de z = z′ = 1. Tenemos:\nzeóf\n1− z + zeáf ′(1)\n(120)\ny a partir de ella podemos determinar el factor de conformación:\n(1 − z + zeáf ′(1))2\n→ eαf\n′(1) (121)\nen el límite z → 1. Procediendo en la misma cerca del punto z = z′ = 0 obtenemos:\nzf(0)eαf(0)\nf(0) + zf ′(0)(1− eαf(0)\n→ zeαf(0) (122)\nen el límite z → 0. Esto significa que Eq. (118) se convierte en\neα(Lf−f\n′(1)−f(0))p(1,M)® = p(1,M)® (123)\nUna elección de f que satisface Eq.s (119) es la siguiente:\n24 Paolo Di Vecchia\nf() = n − 1 (124)\nque proporciona el siguiente operador de gálibo:\nWn = Ln − L0 − (n− 1) (125)\nque aniquila el estado en Eq. (105):\nWnp1...M = 0 ; n = 1.... (126)\nEstas son las condiciones de Virasoro que se encuentran en Ref. [6]. Hay una condición para\ncada oscilador de norma negativa y, por lo tanto, en este caso existe la posibilidad\nque el subespacio físico es positivo definido. Una alternativa más directa\nderivación de Eq. (126) se puede obtener actuando con Wn en el estado en Eq.\n(106) y utilizando las siguientes identidades:\nWnV (1, p) = V (1, p)(Wn + n) ; (Wn + n)D = [L0 + n− 1]−1Wn (127)\nLa segunda ecuación es una consecuencia de la siguiente ecuación:\nL0 = xL0+nLn (128)\nEq.s (127) implican\nWnV (1, p)D = V (1, p)[L0 + n− 1]−1Wn (129)\nEsto muestra que el operador Wn no cambia a través de todo el producto\nde los términos V D hasta que llega delante del término V (1, pM−1)0, pM. Me voy.\na través del operador de vértice se convierte en Ln − L0 + 1 que luego aniquila el\nestado\n(Ln − L0 + 1)pM, 0â = 0 (130)\nEsto prueba Eq. (126).\nUtilizando la representación de los operadores de Virasoro dada en Eq. (108) Fu-\nbini y Veneziano mostraron que satisfacen el álgebra dada en eq. (109)\nsin la carga central. Se reconoció la presencia de la carga central\npor Joe Weis10 en 1970 y nunca publicado. A diferencia de Fubini y Veneziano [26]\nUtilizó la expresión de los operadores Ln en términos de los osciladores armónicos:\n2 + np · an +\nm(n+m)an+m · am+\nm(n−m)am−n · am;n ≥ 0 Ln = L†n (131)\n10 Véase añadido como prueba en Ref. [26].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 25\nObtuvo el siguiente álgebra:\n[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m +\nn(n2 − 1)•n+m;0 (132)\ndonde d es la dimensión del espacio-tiempo de Minkowski. Escribimos aquí d para el\ndimensión del espacio de Minkowski, pero queremos recordarles que casi\nTodo el mundo trabajando en un modelo para mesons en ese momento dio por sentado que\nla dimensión del espacio-tiempo fue d = 4. Por lo que recuerdo, la primera\npapel donde se introdujo una dimensión d 6= 4 fue Ref. [27] donde estaba\nmuestra que la unidad violando cortes en el bucle no-planar se convierten en polos\nque fueran consistentes con la unitariedad si d = 26.\nEn la última parte de esta sección generalizaremos el procedimiento de factorización\nal modelo Shapiro-Virasoro cuya amplitud de punto N se da en Eq. (49).\nEn este caso debemos introducir dos conjuntos de osciladores armónicos que se desplazan\ncon el otro y sólo un conjunto de modos cero que satisfagan el álgebra [28]:\n[anμ, a\nmν ] = [ãnμ, ã\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nEn términos de ellos podemos presentar el operador Fubini-Veneziano\nQ(z, z̄) = qâ − 2â € € log(zz̄) + i\n− n − a†nzn\nãnz̄\n− n − nz̄n\n(134)\nA continuación, podemos introducir el operador de vértice:\nV (z, z̄; p) =: eip·Q(z,z̄) : (135)\ny escribir la amplitud de N -punto en Eq. (95) en la siguiente forma factorizada:\ni=1 d\ndVabc\nV (zi, z̄i, pi))\n0 =\n= (2l)4l(4)(\ni=1 d\ndVabc\nzi − zj\n′pi·pj (136)\ndonde el producto ordenado radial es dado por\nV (zi, z̄i, pi))\nV (zi, z̄i, pi))\n(zi − zi+1) +. (137)\n26 Paolo Di Vecchia\ny los puntos indican una suma sobre todas las permutaciones de los operadores de vértice.\nFijando z1 = فارسى, z2 = 1, zN = 0 podemos reescribir la expresión anterior\nde la siguiente manera:\n∫ N−1\nd2zi+0, p1R\nV (zi, z̄i, pi))\n0, pN® (138)\nPor el bien de la simplicidad consideremos el término correspondiente a la per-\nmutación 1, 2,... N. En este caso las variables Koba-Nielsen se ordenan en\ntal manera que zi ≥ zi+1 para i = 1,...N −1. Entonces podemos usar la fórmula:\nV (zi, z̄i, pi) = z\nL01\ni V (1, 1, pi)z\ni (139)\ny variables de cambio:\n; wi ≤ 1 (140)\npara reescribir Eq. (138) según se indica:\n0, p1V (1, 1, pi1)DV (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pN−1)0, pN (141)\ndonde\nwL0−1w̄Lœ0−1 =\nL0 + Lœ0 − 2\n· sinl(L0 − L0)\nL0 − Lœ0\n(142)\nAhora podemos seguir el mismo procedimiento para todas las permutaciones que llegan a la\nexpresión siguiente:\n•0, p1P [V (1, 1, p2)DV (1, 1, p3)D.... V (1, 1, pN−1)]0, pN® (143)\ndonde P significa una suma de todas las permutaciones de las partículas.\nSi queremos considerar la factorización de la amplitud en el polo en\ns = −(p1 +. .. pM )2 sólo obtenemos la siguiente contribución:\nP(1...M)Dp(M+1...N) (144)\ndonde\np(M+1...N) = P [V (1, 1, pM+1)D.... V (1, 1, pN−1]0, pN (145)\n[V (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pM)] (146]\nLa amplitud se factoriza mediante la introducción de un conjunto completo de estados y\ning Eq. (141) según se indica:\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 27\n# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #\n2, L0, Lœ0, \nL0 + Lœ0 − 2\n, p(M+1,...N) (147)\nPor escrito\np+2 +R; L0 =\npâ € 2 + Rс (148)\nna†n · an ; R =\nnn · ãn (149)\nPodemos reescribir Eq. (147) de la siguiente manera:\n# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #\n2, R, R, \nR + R α(s)\n, p(M+1,...N)® (150)\nVemos que la amplitud para el modelo Shapiro-Virasoro tiene polos simples\nsólo para valores enteros pares de αSV (s) = 2 +\ns = 2n ≥ 0 y el residuo en\nlos polos factorizan en una suma con un número finito de términos. Nótese que el\nTrayectoria Regge del modelo Shapiro-Virasoro tiene doble intercepción y mitad\npendiente de la del modelo Veneziano generalizado.\n5 Estados físicos y sus operadores de vértice\nEn la sección anterior, hemos visto que el residuo en los polos de la N -\nlas amplitudes de punto factorizan en una suma de un número finito de términos. También lo hemos hecho.\nvisto que algunos de estos términos, debido a la métrica de Lorentz, corresponden a los estados\ncon norma negativa. También hemos derivado una serie de “identidades Ward” dadas\nen Eq. (126) que implican que algunos de los términos del residuo se disocian. Los\npregunta a ser respondida ahora es: ¿Es el espacio extendido por los estados físicos\n¿Una norma positiva, el espacio de Hilbert? Para responder a esta pregunta necesitamos primero\npara encontrar las condiciones que caracterizan a los estados físicos de la concha en, P \ny luego determinar cuáles son los estados que contribuyen al residuo\ndel polo en α(s = −P 2) = n. En otras palabras, tenemos que encontrar una manera de\nla caracterización de los estados físicos y la eliminación de los estados espurios que\ndesacoplamiento en Eq. (102) como consecuencia de Eq.s (126). Un estado.P contribuye\nen el residuo del polo en Eq.(102) para α(s = −P 2) = n si está en la cáscara,\na saber, si satisface las siguientes ecuaciones:\nR, P® = n, P® ; α(−P2) = 1− P2 = n (151)\nque se puede escribir en una ecuación única:\n28 Paolo Di Vecchia\n(L0 − 1), P = 0 (152)\nPor Eq. (126) también sabemos que un estado del tipo:\ns, P = W †m, P (153)\nno va a contribuir al residuo del polo. Lo llamamos espurio o\nunphysical state. Empezamos a construir el subespacio de estados espurios que\nestán en la cáscara en el nivel n. Consideremos el conjunto de estados ortogonales, P \nde tal manera que\nR, P® = n, P® ; L0, P® = (1-m), P® ; 1− P2 = n (154)\ndonde\nm = n+ nμ (155)\nEn términos de estos estados podemos construir el estado espurio más general que\nestá en caparazón en el nivel n. Es dado por\ns, = W †m, ; (L0 − 1)s, = 0 (156)\npor cualquier entero positivo m. Usando Eq. (154), eq. (156) se convierte en:\ns, P â € = L†m, P â € (157)\ndonde, P es un estado arbitrario que satisface Eq.s (154).\nUn estado físico, P se define como el que es ortogonal a todos los espui-\nEstados que aparecen en un cierto nivel n. Esto significa que debe satisfacer la\necuación siguiente:\n.P L†l, P = 0 (158)\npara cualquier estado, P satisfacer Eq.s (154). En conclusión, la\nlos estados en el nivel n se caracterizan por el hecho de que satisfacen lo siguiente\ncondiciones:\nP = (L0 − 1), P = 0; 1− P 2 = n (159)\nEstas condiciones que caracterizan el subespacio físico fueron encontradas por primera vez por Del\nGiudice y Di Vecchia [28] donde se realizó el análisis descrito aquí.\nPara encontrar el subespacio físico uno comienza a escribir el más general\nen estado de caparazón que contribuye al residuo del polo en el nivel n en Eq. (154).\nLuego se impone Eq.s (159) y determina los estados que abarcan el\nsubespacial. En realidad, entre estos estados se encuentra también un conjunto de estados de cero normas\nque son físicos y espurios al mismo tiempo. Esos estados son de la forma\nse administra en Eq. (157), pero también satisfacer Eq.s (159). Es fácil ver que son\nno realmente físico porque no están contribuyendo al residuo del polo\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 29\nen el nivel n. Esto se deriva de la forma del operador de la unidad que figura en el\nespacio de los estados físicos por:\nnorma 6=0\n, P, P \n[0, P 0, P 0, P 0, P ] (160)\ndonde 0, P ® es una norma cero estado físico y espurio y 0, P ® su con-\nEstado de la jugata. Un estado conjugado de un estado de norma cero se obtiene cambiando\nel signo de los osciladores con dirección temporal. Desde 0, P es un espurio\nindicar cuando insertamos el operador de la unidad, dado en Eq. (160), en Eq. (102)\nver que los estados de la norma cero nunca contribuyen al residuo porque su\nla contribución es aniquilada ya sea del estado p(1,M) o del estado\np(M+1,N). En conclusión, el subespacio físico contiene sólo los estados en\nel primer término en el r.h.s. de Eq. (160).\nAnalicemos los dos primeros niveles excitados. El primer nivel excitado corre...\nsponds a un campo de medición sin masa. Se extiende por los estados a\n10, P. In\nEn este caso, la única condición que debemos imponer es:\n10, P = 0 = P · = 0 (161)\nElegir un marco de referencia donde el impulso del fotón es dado por\n(P, 0...0, P ), Eq. (161) implica que los únicos estados físicos son:\n1i 0, P (a)\n1;0 − a\n1;d−1)0, P ® ; i = 1... d− 2 (162)\nen los que los términos «í» y «í» son parámetros arbitrarios. El estado en Eq. (162) es el más\nEstado general del nivel N = 1 que cumple las condiciones de Eq. (159). Los\nprimer estado en eq. (162) tiene norma positiva, mientras que la segunda tiene norma cero\nque es ortogonal a todos los demás estados físicos, ya que puede ser escrito como sigue:\n1;0 − a\n1;D−1)0, P = L\n10, P® (163)\nen el marco de referencia en el que Pμ Ł (P,...0, P ). Debido a la anterior\npropiedad se desvincula de los estados físicos junto con su conjugado:\n1,0 + a\n1,d−1)0, P â € (164)\nEn conclusión, sólo nos quedamos con los estados transversales d− 2 correspondientes\na los grados físicos de libertad de un estado de spin 1 sin masa. En el siguiente nivel\nn = 2 el estado más general es dado por:\n[a\n1 / + β\n2,μ]0, P (165)\nSi trabajamos en el centro del marco de masa donde Pμ = (M,0) obtenemos lo siguiente\nestado físico más general:\nPhys > = αij [a†1,ia\n1,j −\nd - 1)\n1,k]0, P \n30 Paolo Di Vecchia\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2,i + a\n1,i]0, P \n1,i +\n1,0 − 2a\n0, P (166)\ndonde los índices i, j corren sobre los componentes de d− 1 espacio. El primer término en\n(166) corresponde a un giro 2 en (d− 1) espacio dimensional y tiene un positivo\nnorma hecha con índices espaciales. El segundo término tiene cero norma y es\nortogonal a los otros estados físicos ya que se puede escribir como L+1 a\n1,i0, P.\nPor lo tanto, debe ser eliminado del espectro físico junto con su\nconjugado, como se ha explicado anteriormente. Finalmente, el último estado en (166) es spinless y\ntiene una norma dada por:\n2 d - 1 (26 - d) (167)\nSi d < 26 corresponde a una partícula física de giro cero con norma positiva. Si\nd > 26 es un fantasma. Finalmente, si d = 26 tiene una norma cero y también es ortogonal\na los otros estados físicos ya que puede ser escrito en la forma:\n2 + 3L\n1 )0 > (168)\nNo pertenece, por lo tanto, al espectro físico. El análisis de esto\nnivel se hizo en Ref. [29] con d = 4. Esto no permitió a los autores de\nRef. [29] para ver que había una dimensión crítica.\nEl análisis de los estados físicos se puede extender fácilmente [28] a la\nModelo Shapiro-Virasoro. En este caso, las condiciones físicas dadas en Eq. (159)\npara la cadena abierta, conviértase en [28]:\nLm, = Lm, = (L0 − 1), = (Lū0 − 1), = 0 (169)\npara cualquier entero positivo m. Se puede ver fácilmente de las ecuaciones anteriores\nque el estado más bajo del modelo Shapiro-Virasoro es el vacío\ncorrespondiente a un taquión con masa p2 = 4, mientras que el siguiente nivel descrito\npor el Estado a\n1 / 0a, 0ã, p® contiene los estados sin masa correspondientes a la\ngravitón, un dilaton y un tensor antisimétrico de dos índices.\nHabiendo caracterizado el subespacio físico uno puede seguir adelante y construir\na Amplitud de dispersión N - punto que implica estados físicos arbitrarios. Esto fue\nhecho por Campagna, Fubini, Napolitano y Sciuto [30] donde el vértice oper-\nator para un estado físico arbitrario fue construido en analogía con lo que ha\nhecho para el estado taquiónico del suelo. Se asociaron a cada físico\nun operador de vértice Vα(z, P ) que es un campo conformal con conformal\ndimensión igual a 1:\n[Ln, Vα(z, p)] =\nzn+1Vα(z, p)\n(170)\ny reproduce el estado correspondiente actuando sobre el vacío como sigue:\nVα(z; p)0, 0 ; ; 0; 0 lim\nz2Vα(z; p) =, p (171)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 31\nSatisface, además, la relación de hermiticidad:\nV (z, P ) = Vα(\n,−P )−1)α(−P\n2) (172)\nUn vértice emocionado que jugará un papel importante en la siguiente sección es el\nuno asociado al campo de gálibo sin masa. Está dada por:\n(z, k) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () ()) () () () () () ()) () () () ()) () () () () ()) () () ()) () () ()) ()) () ()) () ()) () ()) ()) ()) ()) () () () ()) () () ()) () () ()) () () () () ) () () () () () () () ) () () () () () ) () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () () () ) () () () () () ) ) () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) ) ) () ) ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) ) ) ) )\ndQ(z)\neik·Q(z) ; k · = k2 = 0 (173)\nDebido a las dos últimas condiciones en Eq. (173) el orden normal no es necesario\nSary. Es conveniente dar la expresión de\ndQ(z)\nen términos del armónico\nosciladores:\nP z) dQ z)\n−n−1 (174)\nEs un campo conformal con dimensión conformal igual a 1. Reescalado\nLos osciladores αn son dados por:\nnan ; n =\nna†n ; n > 0; α0 =\n2\"p\" (175)\nEn términos de los operadores de vértice introducidos anteriormente el más general\nLa amplitud que implica estados físicos arbitrarios está dada por [30]:\n(2l)4l(\n1 dzio (zi − zi+1)\ndVabc\n0, 0\nVαi(zi, pi)0, 0(176)\nEn el caso del modelo Shapiro-Virasoro, el operador de vértice taquión es\nse administra en Eq. (135). Reescribiendo Eq. (134) según se indica:\nQ(z, z̄) = Q(z) + Q(z̄) (177)\ndonde\nQ(z) =\n+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n− n − a†nzn\n(178)\nQ?(z̄) =\nqâ − 2â € € log(z̄) + i\nãnz̄\n− n − nz̄n\n(179)\nPodemos escribir el operador de vértice taquión de la siguiente manera:\nV (z, z̄, p) =: eip·Q(z)eip·Qû(z̄) : (180)\n32 Paolo Di Vecchia\nEsto muestra que el operador de vértice correspondiente al taquión de la\nShapiro-Virasoro modelo se puede escribir como el producto de dos oper de vértice-\nators correspondientes cada uno al taquión del modelo Veneziano generalizado.\nAnalógicamente el operador del vértice correspondiente a un físico arbitrario\nel estado del modelo Shapiro-Virasoro se puede escribir siempre como un producto de\ndos operadores vértices del modelo Veneziano generalizado:\nVα,β(z, z̄, p) = Vα(z,\n)Vβ(z̄,\n) (181)\nEl primero contiene sólo los osciladores αn, mientras que el segundo sólo el\nosciladores n. Ambos contienen sólo la mitad del impulso total p y\nlos mismos modos cero pÃ3r y qÃ3r. Los dos operadores vértices de la\nEl modelo Veneziano son ambos campos conformales con dimensión conformal igual\na 1. Si corresponden a estados físicos en el nivel 2n, satisfacen la\nsiguiente relación (n = ñ):\n+ n = 1 (182)\nSe encuentran en la siguiente trayectoria de Regge:\nαSV (−p2) = 2n (183)\ncomo ya hemos visto al factorizar la amplitud en Eq. (150).\n6 Los estados del DDF y la ausencia de fantasmas\nEn la sección anterior hemos derivado las ecuaciones que caracterizan la\nlos estados físicos y sus correspondientes operadores vértices. En esta sección\nconstruirá explícitamente un número infinito de estados físicos ortonormales con\nnorma positiva.\nEl punto de partida es el operador DDF introducido por Del Giudice, Di Vec-\nchía y Fubini [31] y definido en términos del operador vértice correspondiente\nal campo de gálibo sin masa introducido en eq. (173):\nAi,n =\ni Pμ(z)e\nik·Q(z) (184)\ndonde el índice i corre sobre las direcciones transversales d−2, que son ortogonales\nal impulso k. También hemos tomado\n= 1. Debido al término de registro z\naparece en el modo cero parte de la exponencial, la integral en Eq. (184),\nque se realiza alrededor del origen z = 0, está bien definido sólo si limitamos\nel impulso del Estado, sobre el cual Ai,n actúa, para satisfacer la relación:\n2°p · k = n (185)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 33\ndonde n es un entero que no desaparece.\nEl operador en Eq. (184) generará estados físicos porque com-\nmutes con los operadores del gálibo Lm:\n[Lm, An;i] = 0 (186)\nya que el operador de vértice se transforma como un campo primario con dimensiones conforma-\nsión igual a 1 como sigue de Eq. (170).\nPor otro lado también satisface el álgebra del oscilador armónico\ncomo vamos a mostrar ahora. De Eq. (184) obtenemos:\n[An,i, Am,j] = −\nP (z)eik·Q(l)j · P (l)eik\n′ ·Q() (187)\ndonde\n2°p · k = n ; 2°p · k′ = m (188)\ny k y k′ se supone que están en la misma dirección, a saber:\nkμ = nk ; k\nμ = mk (189)\n2o p · k = 1 (190)\nFinalmente las polarizaciones se normalizan como:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nDado que una singularidad para z = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nla contracción de los dos términos P () y P () que es dada por:\n0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, = −\n2ij\n(z − فارسى)2\n(192)\nInsertándolo en Eq. (187) obtenemos:\n[An,i, Am,j] =\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n= inl-j-j-n+m;0\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ndonde hemos utilizado el hecho de que el integrand es una derivada total y\nPor lo tanto, se obtiene una contribución de desaparición a menos que n + m = 0. Si n + m = 0\nde Eq.s (174) y (190) obtenemos:\n[An,i, Am,j] = njejn+m;0; i, j = 1... d2 (194)\n34 Paolo Di Vecchia\nEq. (194) muestra que los operadores DDF satisfacen el oscilador armónico alge-\nEn términos de este conjunto infinito de osciladores transversales podemos construir un\nConjunto ortonormal de estados:\ni1, N1; i2, N2;. .. im, Nm® =\nAik,-Nk\n0, p (195)\nen el que h es la multiplicidad del operador Aih,−Nh en el producto en Eq.\n(195) y el impulso del estado en Eq. (195) es dada por\nP = p+\nkâ € ni (196)\nSe construyeron en cuatro dimensiones donde no eran una completa\nsistema de los Estados 11 y tomó algún tiempo para darse cuenta de que en realidad eran un\nsistema completo de estados si d = 26 [32, 33] 12. Brower [32] y Goddard y\nThorn [33] mostró también que el modelo de resonancia dual era libre de fantasmas para cualquier\ndimensión d ≤ 26. En d = 26, esto se debe al hecho de que los operadores de DDF\nobviamente abarcan un espacio positivo definido Hilbert (Vea Eq. (194)). Para d < 26\nhay estados adicionales llamados estados Brower [32]. El primero de estos estados es\nel último estado en Eq. (166) que se convierte en un estado de norma cero para d = 26. Pero\nTambién para d < 26 no hay estado de norma negativo entre los estados físicos.\nLa prueba del teorema sin fantasma en el caso α0 = 1 es muy importante\npaso porque muestra que el modelo de resonancia dual construido generalizando\nla fórmula Veneziano de cuatro puntos, es un cuántico-relativista plenamente consistente\n¡Teoría! Esto no es del todo cierto porque, cuando la intercepción α0 = 1, el más bajo\nestado del espectro correspondiente al polo en la amplitud de punto N para\nα(s) = 0, es un taquión con masa m2 = − 1\n. Entonces se hizo mucho esfuerzo.\nconstruir un modelo sin taquión y con un espectro meson consistente\ncon los datos experimentales. Los únicos modelos razonablemente consistentes que vinieron\nfuera de estos intentos, fueron los Neveu-Schwarz [7] para los mesones y el\nModelo Ramond [8] para los fermiones que sólo más tarde fueron reconocidos como parte de un\nmodelo único que hoy en día se llama el modelo Neveu-Schwarz-Ramond. Pero\neste modelo no era realmente más consistente que la resonancia dual original\n11 Debido a esto Fubini no quería publicar nuestro resultado, pero luego fue a un\nReunión en Israel en la primavera de 1971 dando un discurso sobre nuestro trabajo donde encontró que\nel público estaba muy interesado en nuestro resultado y cuando volvió al MIT nosotros\ndecidió publicar nuestro resultado.\n12 Todavía recuerdo a Charles Thorn, que vino a mi oficina en Cern y me dijo:\nPaolo, ¿sabes que tus estados de DDF están completos si d = 26? Rápidamente reedito.\nel análisis realizado en Ref. [29] con un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo\nobtener Eq.s (166) y (167) que muestran que el estado sin spin a nivel\nα(s) = 2 se desacopla si d = 26. Lamenté mucho no haber utilizado un método arbitrario.\ndimensión espacio-tiempo d en el análisis de Ref. [29].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 35\nmodelo porque todavía tenía un taquión con masa m2 = − 1\n. El taquión\nfue eliminado del espectro sólo en 1976 a través de la proyección GSO\npropuesta por Gliozzi, Scherk y Olive [34].\nHabiendo comprendido que, al menos por el valor crítico de la dimensión espacio-tiempo,\nsión d = 26, los estados físicos son descritos por los estados DDF que tienen solamente\nd− 2 = 24 componentes independientes, abrir el camino a Brink y Nielsen [35]\ncalcular el valor α0 = 1 de la trayectoria Regge con un ar muy físico\nGument. Relacionaron la interceptación de la trayectoria de Regge con el punto cero\nenergía de un sistema con un número infinito de osciladores que sólo d − 2\ncomponentes independientes:\nα0 = −\nn (197)\nEsta cantidad es obviamente infinita y, para darle sentido,\nun corte en las frecuencias de los osciladores armónicos que obtienen un\ntérmino infinito que eliminaron al renormalizar la velocidad de la luz y un\ntérmino constante universal finito que dio la intercepción de la trayectoria Regge.\nEn lugar de seguir su enfoque original discutimos aquí una alternativa ap-\nproach debido a Gliozzi [36] que utiliza la regularización de la función de. Él reescribe\nEq. (197) como sigue:\nα0 = −\nn = −\nn−s = −\nR(−1) = 1 (198)\ndonde en la última ecuación que hemos utilizado la identidad R(−1) = − 112 y nosotros\nhan puesto d = 26. Desde el modelo Shapiro-Virasoro tiene dos conjuntos de trans-\nosciladores armónicos verso es obvio que su interceptación es el doble de la de la\nModelo Veneziano generalizado.\nUsando las reglas discutidas en la sección anterior podemos construir el\noperador de vértice correspondiente al estado en Eq. (195). Está dada por:\nV(i;Ni)(z, P ) =\nP (zi)eiNikQ(zi) : eip·Q(z) : (199)\ndonde la integral en la variable zi se evalúa a lo largo de una curva del complejo\nplano zi que contiene el punto z. La singularidad del integrand para zi = z es\nun poste siempre que se cumpla la siguiente condición.\n2o p · k = 1 (200)\nEl último vértice en Eq. (199) es el operador de vértice correspondiente al suelo\nestado taquiónico dado en Eq. (59) con â € p2 = 1.\nUsando la forma general del vértice uno puede calcular los tres puntos\namplitud que involucra a tres operadores vértices DDF arbitrarios. Este cálculo\n36 Paolo Di Vecchia\nse ha realizado en Ref. [37] y dado que los operadores del vértice son conformes\ncampos con dimensión igual a 1 uno obtiene:\n0, 0V\n(z1, P1)V(i(2)\n(z2, P2)V(i(3)\n(z3, P3)0, 0 =\n(z1 − z2)(z1 − z3)(z2 − z3)\n(201)\ncuando la forma explícita del coeficiente C123 esté dada por:\nC123 = 1 + 0, 0 + 2 + 0, 0 + 3 + 0 e\nr.s=1\nn,m=1\n−n;iN\n−m;i+\n−n;i×\n× e..................................................................................\n(2r−1)N (1)k1, i\n1 N (2)k2, i\nâ € ¢ 2N (3)k3, i\n•3 (202)\ndonde\nN rsnm = −N rnNsm\nnmα1α2α3\nnαs +mαr\n; N rn =\n(−nαr+1\nαrn!• (1− nαr+1αr − n)\n(203)\nΠ = Pr+1αr − Prαr+1 ; r = 1, 2, 3 (204)\nΠ es independiente del valor de r elegido como consecuencia de las ecuaciones:\nPr = 0 (205)\n7 El límite de pendiente cero\nEn la introducción hemos visto que el modelo de resonancia dual ha sido\nconstruido utilizando reglas que son diferentes de las utilizadas en la teoría de campo.\nPor ejemplo, hemos visto que la dualidad planar implica que la amplitud\ncorrespondiente a un determinado diagrama de dualidad, contiene polos tanto en s como en t\ncanales, mientras que la amplitud correspondiente a un diagrama de Feynman en el campo\nLa teoría contiene sólo un polo en uno de los dos canales. Por otra parte, el\nla amplitud de dispersión en el modelo de resonancia dual contiene un número infinito\nde resonancia afirma que, a alta energía, promedio hacia fuera para dar Regge comportamiento.\nTambién esta propiedad no se observa en la teoría de campo. La cuestión que se plantea es la siguiente:\nnatural para preguntar, era entonces: ¿hay alguna relación entre la resonancia dual\n¿modelo y teoría de campo? Resultó, para sorpresa de muchos, que el doble\nmodelo de resonancia no estaba en contradicción con la teoría de campo, sino que fue\nuna extensión de un cierto número de teorías de campo. Veremos que el límite en\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 37\nque una teoría de campo se obtiene del modelo de resonancia dual corresponde\na tomar la pendiente de la trayectoria de Regge a cero.\nConsideremos la amplitud de dispersión de cuatro partículas del estado del suelo en\nEq. (1) que reescribimos aquí con el factor de normalización correcto:\nA(s, t, u) = C0N\n0 (A(s, t) +A(s, u) +A(t, u)) (206)\ndonde\n2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n4 (207)\nes el factor de normalización correcto para cada pierna externa, g es el dimensional\nconstante de acoplamiento de cadena abierta que hemos ignorado constantemente en el anterior\nlas secciones C0 y C0 están determinadas por la siguiente relación:\n′ = 1 (208)\nque se obtiene requiriendo la factorización de la amplitud en el polo\ncorrespondiente a la partícula del estado del suelo cuya masa se da en Eq. (21).\nUsando Eq. (21) con el fin de reescribir la interceptación de la trayectoria Regge en\ntérminos de la masa de la partícula del estado del suelo m2 y la siguiente relación\nsatisfecho por la función de:\n* (1 + z) = z (z) (209)\npodemos realizar fácilmente el límite para > → 0 de A(s, t) obteniendo:\nA(s, t) =\nm2 − s\nm2 − s\n(210)\nRealizando el mismo límite en las otras dos amplitudes planas obtenemos el\ndespués de la expresión para la amplitud total en Eq. (206):\nA(s, t, u) =\n2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n()2\nm2 − s\nm2 − s\nm2 − u\n(211)\nIntroduciendo la constante de acoplamiento:\ng3 = 4g(2α\n4 (212)\nEq. (211) pasa a ser\nA(s, t, u) = g23\nm2 − s\nm2 − s\nm2 − u\n(213)\nque es igual a la suma de los diagramas del árbol para la dispersión de cuatro partículas\ncon masa m de la teoría Φ3 con constante de acoplamiento igual a g3. Hemos mostrado\nque, manteniendo g3 fijado en el límite α\n′ → 0, la amplitud de dispersión de cuatro\n38 Paolo Di Vecchia\npartículas del estado del suelo del modelo de resonancia dual es igual a los diagramas del árbol\nde la teoría Φ3. Esta prueba se puede extender a la dispersión de N estado del suelo\npartículas que se recuperan también en este caso los diagramas arbóreos de la teoría Φ3. También lo es.\nválida para diagramas de bucles que discutiremos en la siguiente sección. En conclusión,\nel modelo de resonancia dual se reduce en el límite de pendiente cero a la teoría Φ3. Los\nprueba de que hemos presentado aquí se debe a J. Scherk [38] 13\nUn caso más interesante para estudiar es el que tiene intercepción α0 = 1. Lo haremos.\nver que, en este caso, se obtendrán los diagramas de los árboles de Yang-Mills teoría,\ncomo lo muestran Neveu y Scherk [40] 14.\nConsideremos la amplitud de tres puntos que involucra tres medidores sin masa\npartículas descritas por el operador de vértice en Eq. (173). Se da por la suma\nde dos diagramas planos. El primero que corresponde a la orden (123) es\ndado por:\n3Tr (a1a2a3)\n0, 0, 0, 1(z1, p1)V2(z2, p2)V3(z3, p3)0, 0\n[(z1 − z2)(z2 − z3)(z1 − z3)]−1\n(214)\nUsando la conservación del impulso p1+ p2+ p3 = 0 y las condiciones de la carcasa de masa\np2i = pi · i = 0 se puede reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:\n0Tr(l\na1oa2oa3)\n× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (215)\nLa segunda contribución proviene del pedido 132 que se puede obtener\nde la anterior por la sustitución\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nResumiendo las dos contribuciones que se obtiene\noTr(l)\na1 [.a2,.a3 ])\n× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (217)\nEl factor\nN0 = 2g(2α\n′(d−2)/4 (218)\nes el factor de normalización correcto para cada operador de vértice si normalizamos\nlos generadores del grupo Chan-Paton, según se indica:\nŁij (219)\n13 Véase también Ref. [39].\n14 Véase también Ref. [41].\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 39\nSe relaciona con C0 a través de la relación\n′ = 2 (220)\ng es la constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional. Nótese que Eq.s (218)\ny (220) difieren de Eq.s (207) y (208) debido a la presencia de la\nChan-Paton factores que no incluimos en el caso de la teoría Φ3.\nUsando las relaciones de conmutación:\n[e, eb] = ifabclc (221)\ny los factores de normalización anteriores que obtenemos para la amplitud de tres gluones:\nigYMf\na1a2a3 [(+1 · +2)(+p1 − p2) · +3 +\n(p3 − p1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \nque es igual al vértice de 3 gluones que se obtiene de la acción Yang-Mills\nLYM = −\nF a ° F\na, F\n= A\nβ − Aaα + gYMfabcAbαAcβ (223)\ndonde\ngYM = 2g(2α\n4 (224)\nEl procedimiento anterior se puede extender a la dispersión del hallazgo de gluones N\nel mismo resultado que uno obtiene de los diagramas de los árboles de la teoría de Yang-Mills.\nEn la siguiente sección, vamos a discutir los diagramas de bucle. También, en este caso uno\nencuentra que los diagramas de h-loop que implican N gluones externos se reproducen en el\nla pendiente cero limita la suma de los diagramas de h-loop con N gluones externos de\nLa teoría de Yang-Mills.\nConcluimos esta sección mencionando que también se puede tomar la pendiente cero\nlímite de una amplitud de dispersión que implica la obtención de tres y cuatro gravitones\nacuerdo con lo que se obtiene del Einstein Lagrangian de la rela general-\ntividad. Esto ha sido demostrado por Yoneya [43].\n8 Diagramas de bucle\nLa amplitud N -punto construido previamente satisface todos los axiomas de S-\nteoría de la matriz excepto unitariedad porque sus únicas singularidades son polos simples\ncorrespondientes a resonancias de ancho cero yace en el eje real del Mandel-\nvariables estam y no contiene los diversos cortes requeridos por la unitariedad [1].\n15 La determinación de los factores de normalización anteriores se puede encontrar en el\nApéndice de Ref. [42].\n40 Paolo Di Vecchia\nCon el fin de eliminar este problema ya se propuso en los primeros días de\nla dualidad de teorías a asumir, en analogía con lo que sucede, por ejemplo, en la pertur-\nla teoría de campo bative, que la amplitud de N -punto era sólo el orden más bajo (la\ndiagrama de árbol) de una expansión perturbadora y, con el fin de implementar unitar-\nity, era necesario incluir diagramas de bucle. Luego, los diagramas de un bucle\nfueron construidos a partir del propagador y los vértices que hemos introducido\nen las secciones anteriores [44]. La amplitud de un bucle plano con M externa\nlas partículas se calcularon a partir de una amplitud del árbol (M + 2) y\na continuación, cosiendo dos patas externas después de la inserción de un propagador\nD dado en Eq. (100). De esta manera uno consigue:\n(+)d/2(+)d\nP, V (1, p1) DV (1, p2). V (1, pN)DP, (225)\ndonde la suma sobre corresponde a la traza en el espacio de la armónico os-\ncillators y la integral en ddP corresponde a integrar sobre el impulso\ncirculando en el bucle. La expresión anterior para la amplitud de un bucle\nno puede ser del todo correcto porque todos los estados del espacio generados por el oscil-\nLators en Eq. (51) están circulando en el bucle, mientras que sabemos que debemos\nincluir sólo los físicos. Esto se logró primero cancelando a mano\nel tiempo y uno de los componentes espaciales de los osciladores armónicos reduciendo\nlos grados de libertad de cada oscilador de d a d − 2 como sugiere el\nOperadores de DDF al menos para d = 26. A continuación, se demostró que este procedimiento era el siguiente:\nrect by Brink and Olive [45]. Construyeron el operador que proyecta sobre\nlos estados físicos y, al insertarlo en el bucle, mostró que la reducción\nDe hecho, los grados de libertad de los osciladores de d a d-2 eran correctos.\nEste era, en ese momento, el único procedimiento disponible para dejar sólo el\nlos estados circulan en el bucle porque el procedimiento BRST fue descubierto un poco\nmás tarde también en el marco de las teorías de campo de calibrador!\nPara ser más explícito vamos a calcular el rastro en Eq. (225) añadir también el\nFactor Chan-Paton. Tenemos:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\nNTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\nd/2+1\n[f1(k)]\n12 (2η)M×\nd/M−1................................................................................................................................................\nd v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r\neG( vji)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n; k e(226)\ndonde /JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ\nG( v) = log\nie\n1(i )\nf31 (k)\n; f1(k) = k\n(1 a k2n) (227)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 41\n*1(i♥) = −2k1/4 sin.\n1− e2ik2n\n1− e−2ik2n\n(1– k2n)(228)\nFinalmente el factor de normalización N0 se da en Eq. (218). Hemos actuado\nel cálculo de un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo d. Sin embargo,\nde esta manera se obtiene también el factor adicional de k\n12 que aparecen en la primera línea\nde Eq. (226) que implica que nuestro cálculo es en realidad sólo coherente si\nd = 26. De hecho, la presencia de este factor no permite reescribir el\namplitud, obtenida originalmente en el sector Reggeon, en el sector Pomeron\ncomo se explica a continuación. En lo siguiente descuidamos este factor adicional, implícitamente\nsuponiendo que d = 26, pero, por otro lado, todavía manteniendo una d arbitraria.\nUsando las relaciones:\nf1(k) =\ntf1(q) ; 1(i iŁ) = i1(it)t1/2e\n2/t (229)\ndonde t = 1\ny q et, podemos reescribir el diagrama plano de un bucle en el\nCanal Pomeron. Tenemos:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\nNTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt[f1(q)]\n2−d(2η)M×\nd/M−1................................................................................................................................................\n1( /jiit)\nf31 (q)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n(230)\nNótese que, al factorizar el bucle planar en el canal de Pomeron, un\nstructed por primera vez lo que ahora llamamos el estado de frontera [46] 16. Esto\nSe puede ver fácilmente en la forma que ahora vamos a describir. En primer lugar,\nnote que la última cantidad en Eq. (230) puede escribirse como sigue:\n•1(s)(s))(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(()(s)(()(s)(s)(()(s)(s)((s)(()(()(s)(s)(s()(()(s)(s)(()(s)()(()(s)()()()()()(s()()()()()()(s()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()((()()()()()()()()()()()(()()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()((((((((((((((((((((()()()()()()()()()((((()()()()()()()(\nf31 (q)\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n−2 sin(ji)\n1 - q2ne2üi/ji\n1 - q2ne - 2\n(1– q2n)2\n■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■\n(231)\nEsta ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera:\nP = 0q2R\ni=1 : e\nipi·Q(e2ii ) : p = 0\nTr (p = 0q2N p = 0)\n; R =\nna†n · an (232)\n16 Véase también el primer artículo en Ref. [47].\n42 Paolo Di Vecchia\ndonde el rastro se toma sólo sobre los modos distintos de cero y el impulso con-\nSe ha utilizado la servación. También hay que subrayar que el orden normal de\nlos operadores de vértice en la ecuación anterior es tal que los modos cero son\nse toman para ser ambos en el mismo exponencial en lugar de ser ordenado como en Eq.\n(59). Trayendo a todos los operadores de aniquilación a la izquierda de los de la creación,\nde la expresión en Eq. (232) se obtiene (zi Ł e2πiνi):\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\nn=1 Tr\nn·ane\n2° pj ·\nznj e\n2«pi· anl\nTr (p = 0q2N p = 0)\n233)\nEl rastro puede calcularse utilizando la relación de integridad que implica co-\nestados herentes f = efa† 0:\nEf \nff = 1 (234)\nInsertar el operador de identidad anterior en Eq. (233) uno consigue después de un poco de cal-\nculación:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\ni.j=1\n-2p·pje2inji q\nn(1−q2n) (235)\nExpandiendo el denominador en el último exponente y realizando la suma sobre\nn uno consigue:\n(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)\n(−2 sinji)2α\n′pi·pj×\n2+pi·pj\nlog(1−e2πi vji q2(m+1)) (236)\nque es igual a la última línea de Eq. (231) aparte de la función de\nconservación del mentum. En conclusión, hemos demostrado que Eq.s (231) y (232)\nson iguales.\nUsando Eq. (231) podemos reescribir Eq. (230) según se indica:\nNNM0 Tr(\na1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt[f1(q)]\n2-d(2πi)M\nd/M−1................................................................................................................................................\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 43\n...\np = 0, q2R\ni=1 : e\nipi·Q(e2ii) : p = 0, \np = 0, q2N p = 0, \n(237)\ndonde la suma sobre cualquier estado corresponde a tomar el rastro sobre el\nmodos distintos de cero. Si d = 26 podemos reescribir Eq. (237) de forma más sencilla:\nNNM0 Tr(\na1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o\ndt (2ηi)M\nd/M−1................................................................................................................................................\nP = 0, q2R−2\n: eipi·Q(e)\n2ii ) : p = 0, (238)\nLa ecuación anterior contiene el factor\ndtq2R−2 que es como el propa-\nGator del modelo Shapiro-Virasoro, pero con un solo conjunto de osciladores como\nen el modelo Veneziano generalizado. En lo siguiente lo reescribiremos com-\nCompletamente con el formalismo del modelo Shapiro-Virasoro. Esto se puede hacer\nmediante la introducción del propagador Pomeron:\ndt q2N−2 =\nDâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °\nzL0−1z̄Lœ0−1; z q = et(239)\ny reescribir el bucle plano en la siguiente forma compacta:\n# B0DBM # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # B0BO # #\nn p = 0, 0a, 0 (240)\ndonde B0 es el estado de frontera sin ningún Reggeon en él,\nTd−1 =\n2 d-10)/4\n•)−d/2−1 (241)\ny BM es en su lugar el que tiene M Reggeons dado por:\nBM = NM0 Tr(♥a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nd/M−1................................................................................................................................................\n: eipi·Q(e)\n2ii ) : B0® (242)\nQueremos recalcar una vez más que el orden normal en el anterior equa-\nión se define tomando los modos cero en la misma exponencial. Las dos cosas\nlos estados límite y el propagador son ahora los estados del Shapiro-Virasoro\nmodelo. Esto significa que hemos reescrito el diagrama plano de un bucle, donde\nlos estados del modelo Veneziano generalizado circulan en el bucle, como árbol\n44 Paolo Di Vecchia\ndiagrama del modelo Shapiro-Virasoro que incluye dos estados de frontera y un\nPropagador. Esto es lo que hoy en día se llama dualidad de cadena abierta/cerrada.\nAdemás del diagrama plano de un bucle en Eq. (225), que hoy en día se llama\nel diagrama anular, también los diagramas no planos y no orientables\nfueron construidos y estudiados. En particular, el no-planar, que es ob-\ncomo el planar en Eq. (225) pero con dos propagadores multiplicados\ncon el operador de giro\n = eL−1(−1)R, (243)\ntenía unitariedad violando los recortes que desaparecieron [27] si la dimensión de la\nespacio-tiempo d = 26, dejando detrás singularidades de polo adicionales. El explicitado\nforma del bucle no plano se puede obtener siguiendo los mismos pasos\npara el bucle plano. Uno obtiene para el bucle no-planar la siguiente amplitud:\nBM (244)\ndonde ahora ambos estados de frontera contienen, respectivamente, R y M Reggeon\nestados. Los polos adicionales encontrados en el bucle no-planar se llamaban Pomerons\nporque ocurren en el sector de Pomeron, que hoy se llama la cadena cerrada\ncanal, para distinguirlos de los Reggeons que en su lugar ocurren en el\nsector Reggeon, que hoy se llama el sector de cuerdas abiertas del planar y\ndiagramas de bucle no planos. En ese momento, de hecho, los estados de la generalización\nLos modelos Veneziano se llamaban Reggeons, mientras que los adicionales aparecen\nen el bucle no-planar se llamaban Pomerons. Los Reggeons corresponden ahoraa-\ndías para abrir estados de cadena, mientras que los Pomerons a estados de cadena cerrados. Estos\nlas cosas son obvias ahora, pero en ese momento tomó un tiempo para demostrar que el\notros estados que aparecen en el sector de Pomeron deben ser identificados con\nlos del modelo Shapiro-Virasoro. La prueba de que el espectro era el\nLo mismo ocurrió bastante temprano. Esto se obtuvo factorizando el dia no-planar\ngramo en el canal de Pomeron [46] como lo hemos hecho en Eq. (244). Fue encontrado.\nque los estados del canal de Pomeron se encuentran en una trayectoria Regge lineal que\ntiene doble intercepción y media pendiente de la de los Reggeons. Esto es lo siguiente:\ninmediatamente desde el propagador DÃ3 en Eq. (239) que tiene polos para valores de\nel impulso del Pomeron intercambiado por:\np2 = 2n (245)\nque son exactamente los valores de las masas de los estados del Shapiro-Virasoro\nmodelo [48], mientras que el propagador Reggeon en Eq. (100) tiene polos para valores de\nimpulso igual a:\n1− p2 = n (246)\nSin embargo, todavía no estaba claro que los estados de Pomeron interactuasen entre ellos.\ncomo los estados del modelo Shapiro-Virasoro. Para mostrar esto fue primero\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 45\nnecesario para construir amplitudes arbóreas que contienen ambos estados de la general-\nmodelo Veneziano y del modelo Shapiro-Virasoro [49]. Disminuyeron\na las amplitudes del modelo generalizado Veneziano (Shapiro-Virasoro) si\nsólo tenemos estados externos del Veneziano generalizado (Shapiro-Virasoro)\nmodelo. Esas amplitudes se llaman hoy en día amplitudes de disco que contienen ambos\nestados de cadena abiertos y cerrados. Se construyeron [49] utilizando para\nReggeon dice que los operadores de vértice que hemos discutido en la Sección. 5) In-\ngirando un conjunto de osciladores armónicos y para el Pomeron estados el vértice\nlos operadores indicados en Eq. (181) que reescribimos aquí:\nVα,β(z, z̄, p) = Vα(z,\n)Vβ(z̄,\n) (247)\nporque ahora ambos vértices componentes contienen el mismo conjunto de os armónicos\nciladores como en el modelo generalizado Veneziano. Además, cada uno de los dos\nvértices es por separado normal ordenado, pero su producto no es normal ordenado.\nLa amplitud que involucra a ambos tipos de estados se construye entonces tomando\nel producto de todos los vértices entre el vacío invariante proyectivo e inte-\nla rejilla de los Reggeons en el eje real de una manera ordenada y los Pomerons en\nel plano de la mitad superior, como se hace para una amplitud de disco.\nHemos mencionado anteriormente que los dos vértices son por separado normales\npedido, pero su producto no es normal pedido. Cuando ordenemos normalmente\nlos tenemos, por ejemplo para el taquión del sector de Pomeron, un factor\n(z − z̄)+p2/2 que describe la transición Reggeon-Pomeron. Esto implica un\nEnganche directo [51] entre la parte U(1) del campo de gálibo y el dosíndice\ncampo antisimétrico B., denominado campo Kalb-Ramond [50], del sector Pomeron,\nque hace que el campo de medición masiva [51].\nSe demostró entonces que, al factorizar el bucle no plano en el Pomeron\ncanal, uno reprodujo la amplitud de dispersión que contiene un estado de\nel Shapiro-Virasoro y una serie de estados del Veneziano generalizado\nmodelo [52]. Si tenemos también estados externos que pertenecen a la generalización\nShapiro-Virasoro modelo, a continuación, factorizando el no-planar un bucle amplificar-\ntude en el canal Pomeron puro, se obtendrían las amplitudes del árbol de\nel modelo Shapiro-Virasoro [52].\nTodo esto implica que el modelo generalizado Veneziano y el Shapiro-\nVirasoro modelo no son dos modelos independientes, pero son parte de la\nmismo y único modelo. De hecho, si uno comenzó con el Veneziano generalizado\nmodelo y diagramas de bucle añadidos para implementar unitariedad, se encontró el ap-\nperencia en el bucle no plano de estados adicionales que tenían la misma masa\ne interacción de los del modelo Shapiro-Virasoro.\nEl diagrama plano, escrito en Eq. (230) en el canal de cadena cerrado, es\ndivergente para los grandes valores de t. Esta divergencia se reconoció que se debe a\nintercambio, en el canal de Pomeron, del taquión del Shapiro-Virasoro\nmodelo y del dilaton [47]. Corresponden, respectivamente, a los dos primeros\ntérminos de la ampliación:\n[f1(q)]\n−24 = e2ηt + 24 + O\ne−2ηt\n(248)\n46 Paolo Di Vecchia\nEl primero podría ser cancelado por una continuación analítica, mientras que el segundo\nuno podría ser eliminado a través de una renormalización de la pendiente del Regge\nTrayectoria â € [47].\nConcluimos la discusión de los diagramas de un solo bucle mencionando\nque el diagrama de un bucle para el modelo Shapiro-Virasoro fue calculado por\nShapiro [53] que también encontró que el integrand era modular invariante.\nEl cálculo de diagramas multilazo requiere una tecnología más avanzada-\nnología que también se desarrolló en los primeros días del modelo de resonancia dual\npocos años antes del descubrimiento de su conexión con la teoría de cuerdas. Con el fin de\ncalcular diagramas multiloop primero se necesita construir un objeto que era\nllamado N -Reggeon vértice y que tiene las propiedades de contener conjuntos N\nde osciladores armónicos, uno para cada pierna externa, y es tal que, cuando\nsaturarlo con N estados físicos, obtenemos el correspondiente N -punto ampli-\nTude. A continuación vamos a discutir cómo determinar el vértice N-Reggeon.\nEl primer paso hacia el N -Reggeon vértice es el Sciuto-Della Selva-\nSaito [54] vértice que incluye dos conjuntos de osciladores armónicos que denotamos\ncon los índices 1 y 2. Es igual a:\nVSDS = 2° x = 0, 0 : exp\ndzX ′2(z) ·X1(1− z)\n: (249)\ndonde X es la cantidad que hemos llamado Q en Eq. (57) y el prime\ndenota un derivado con respecto a z. Satisface la propiedad importante\nde dar el operador de vértice Vα(z = 1) de un estado arbitrario cuando nos\nsaturarlo con el estado correspondiente:\nVSDS 2 = Vα(z = 1) (250)\nUna deficiencia de este vértice es que no es invariante bajo una permu-\ndad de las tres piernas. Un vértice simétrico cíclico ha sido construido por\nCaneschi, Schwimmer y Veneziano [55] insertando el operador de giro en\nEq. (243). Pero el vértice 3-Reggeon no es suficiente si queremos calcular un\nAmplitud multiloop arbitraria. Debemos generalizarlo a un número arbitrario.\nde piernas externas. Tal vértice, que se puede obtener de la de Eq. (249)\ncon un procedimiento muy directo, o que también puede obtenerse cosiendo juntos\ntres vértices reggeon, ha sido escrito en su forma final por Lovelace [56] 17.\nAquí no lo derivamos, pero damos directamente su expresión escrita en Ref. [56]:\nVN,0 =\ni=1 dzi\ndVabc\ni=1[V\ni (0)]\n[i 0\n2 μ pμ si n = 0 μ\nnan si n < 0\n(278)\nSon cero como consecuencia de Eq.s (270) que en el gálibo conformal\nconvertirse en Eq.s (271). En el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:\nL?n =\ndzzn+1\n= 0 (279)\ndz̄z̄n+1\n= 0 (280)\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 53\nEn términos de los osciladores armónicos introducidos en eq. (276) obtenemos\nαm · αn−m = 0 ; Ln =\nm · n−m = 0 (281)\ndonde para los modos no cero hemos utilizado la convención en (278), mientras que el\nel modo cero viene dado por:\n0 = \n(282)\nEn conclusión, el hecho de que tengamos invarianza de reparametrización implica que\nlos generadores Virasoro son clásicamente idénticos a cero. Cuando cuantizamos el\nteoría uno no puede y tampoco tiene que imponer que están desapareciendo en\nel nivel del operador. Se imponen como condiciones que caracterizan lo físico\nestados.\nPhysLn Phys = Phys(L0 − 1) Phys = 0; n 6= 0 (283)\nEstas ecuaciones están satisfechas si requerimos:\nLn Phys > = (L0 − 1)\nEl factor adicional −1 en las ecuaciones anteriores proviene del orden normal\ncomo se explica en Eq. (198).\nLos autores de Ref. [71] especificó además el calibrador fijándolo completamente.\nSe introdujo el calibrador de cono-luz especificado mediante la imposición de la condición:\nX+ = 2p (285)\ndonde\nX0 ±Xd−1\nX0 ±Xd−1\n(286)\nEn este indicador los únicos grados físicos de libertad son los transversales.\nDe hecho, los componentes a lo largo de las direcciones 0 y d − 1 se pueden expresar en\ntérminos de los transversales insertando Eq. (285) en las limitaciones de Eq.\n(271) y obtener:\n= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 \n4o p+\n(2i +X)\ni ) X\n2+p+\ni ·X ′i (287)\nque hasta una constante de integración determinan completamente X− como función\nde X i. En términos de osciladores obtenemos\nn = 0;\n2n =\nαin−mα\nm n 6= 0 (288)\n54 Paolo Di Vecchia\npara una cadena abierta y\nn = \nn = 0 n 6 = 0 (289)\njunto con\n2n =\nαin−mα\n2n =\nin−m\nm (290)\nen el caso de una cuerda cerrada.\nEsto muestra que los estados físicos son descritos sólo por el transverso\nosciladores que tengan sólo d − 2 componentes. Esos osciladores transversales corre...\nspond a los operadores de DDF transversales que hemos discutido en la Sección 6.\nLos autores de Ref. [71] también construyeron los generadores Lorentz sólo en términos\nde los osciladores transversales y mostraron que satisfacen el correcto\nálgebra de Lorentz sólo si la dimensión espacio-tiempo es d = 26. De esta manera el\nespectro del modelo de resonancia dual se reprodujo completamente a partir de\nde la acción Nambu-Goto si d = 26! Por otra parte, la elección de\nd = 26 es una necesidad si queremos mantener la invarianza de Lorentz!\nInmediatamente después de esto, la interacción también se incluyó, ya sea añadiendo\nun término que describe la interacción de la cadena con un campo de ancho externo [73]\no mediante un formalismo funcional [74, 75].\nEn lo siguiente sólo daremos algunos detalles del primer enfoque para el\ncaja de una cuerda abierta. Una forma de describir la interacción de cadena es añadiendo\na la acción de cadena libre un término adicional que describe la interacción de\nla cadena con un campo externo.\nSINT =\ndDyΦL(y)JL(y)(291)\ndonde ΦL(y) es el campo externo y JL es la corriente generada por la cadena.\nEl índice L representa los posibles índices de Lorentz que están saturados con el fin de\ntienen una acción invariante de Lorentz.\nEn el caso de una partícula de punto, tal término de interacción no dará ninguna\ninformación sobre la auto-interacción de una partícula.\nEn el caso de una cadena, en su lugar, veremos que SINT describirá la\ninteracción entre cadenas porque los campos externos que pueden\ninteractuar con una cadena son sólo los que corresponden a los diversos estados de\nla cadena, como quedará claro en la discusión de abajo.\nSe trata de una consecuencia del hecho de que, en aras de la coherencia, debemos\nponer las siguientes restricciones a SINT :\n• Debe ser un operador bien definido en el espacio que abarca la cadena\nosciladores.\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 55\n• Debe preservar las invarianzas de la teoría de cuerdas libres. En particular, en\nel “calibre conformal” debe ser invariante conformal.\n• En el caso de una cadena abierta, la interacción ocurre en el punto final de\nuna cadena (digamos que está en = 0). Esto se deriva del hecho de que dos cuerdas abiertas\ninteractúe uniéndose entre sí en los puntos finales.\nSe puede escribir la corriente escalar más simple generada por el movimiento de una cadena\ndel siguiente modo:\nJ(y) =\nd(e)(e)[yμ − xμ(e)(e)] (292)\nen la que se ha introducido el método de interacción, ya que la interacción se produce al final de la\nla cuerda. En aras de la simplicidad omitimos escribir una constante de acoplamiento g\nen (292).\nInsertando (292) en (291) y utilizando para el campo exterior escalar Φ(y) = eik·y\nuna onda de plano, obtenemos la siguiente interacción:\nSINT =\neik·X(,0) : (293)\ndonde se ha introducido el pedido normal para tener un bien definido\nOperadora. La invarianza de (293) bajo una transformación conformal \nrequiere la siguiente identidad:\nSINT =\n;: eik·X(l,0) : =\ndw : eik·X(w,0) : (294)\no, en otras palabras, que\n: eik·X(l,0) :=l w′(l) : eik·X(l,0) : (295)\nEsto significa que el integrand en Eq. (294) debe ser un campo conforme con\ndimensión conformal igual a uno y esto sucede sólo si k2 = 1. Los\ncampo externo corresponde entonces al estado más bajo taquiónico de la cadena abierta.\nOtra corriente simple generada por la cadena es dada por:\nJμ(y) =\nd(e)(e, e)\nd) y −X(l, )) (296)\nInsertando (296) en (291) obtenemos\nSINT =\nd(l, 0)\nμeik·X(,0) (297)\nsi usamos una onda plana para (y) = e\nik·y. El operador de vértice en eq. (297)\nes invariante conforme solamente si\nk2 = · k = 0 (298)\n56 Paolo Di Vecchia\ny, por lo tanto, el vector externo debe ser el estado fotónico sin masa de la\ncuerda. Podemos generalizar este procedimiento a un campo externo arbitrario y\nel resultado es que sólo podemos utilizar campos externos que corresponden a en shell\nestados físicos de la cuerda.\nEste procedimiento se ha ampliado en Ref. [73] en el caso de\ngravitones mediante la introducción en la acción Nambu-Goto de una métrica espacial objetivo y\nobtener el operador de vértice para el gravitón que es un estado sin masa en el\nteoría de cuerdas cerradas. Recuerde que, en ese momento, esto podría haberse hecho\nsólo con la acción Nambu-Goto porque la acción modelo se introdujo\nsolo en 1976 primero para la partícula de punto [76] y luego para la cadena [77]. As\nen el caso del fotón resultó que el campo externo correspondiente\nal gravitón estaba obligado a estar en caparazón. Esta condición es el precursor de\nlas ecuaciones de movimiento que se obtiene de la acción de modelo \nla desaparición de la función β [78].\nUno puede entonces calcular la amplitud de probabilidad para la emisión de un\nnúmero de estados de cadena correspondientes a los diversos campos externos, de un\nestado inicial de la cadena a uno final. Esta amplitud da precisamente el punto N\namplitud que discutimos en las secciones anteriores [73]. En particular, uno\naprende que, en el caso de la cadena abierta, el campo Fubini-Veneziano es justo\nla coordenada de cadena computada en = 0:\nQμ(z) Xμ(z, = 0) ; z = ei/23370/ (299)\nEn el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:\nQμ(z, z̄) Xμ(z, z̄) ; z = e2i(), z̄ = e2i() (300)\nFinalmente, permítanme mencionar que con el enfoque funcional Mandelstam [74]\nCremmer y Gervais [79] calcularon la interacción entre tres arbi-\ny reproducido de esta manera el acoplamiento de tres\nDDF estados dados en Eq. (202) y obtenido en Ref. [37] utilizando el operador\nformalismo. En este punto estaba completamente claro que la estructura subyacente\nel modelo generalizado Veneziano era el de una cuerda relativista abierta, mientras que\nque subyacente al modelo Shapiro-Virasoro era el de un relativista cerrado\ncuerda. Además, estas dos teorías no son independientes porque, si uno\ncomienza desde una teoría de cuerdas abiertas, uno se cierra automáticamente cadenas por\nCorrecciones de bucle.\n10 Conclusiones\nEn esta contribución, hemos pasado por los acontecimientos que llevaron a\nla construcción del modelo de resonancia dual a la teoría de cuerdas bosónicas\nTratando en la medida de lo posible de incluir todos los detalles técnicos necesarios. Esto\nes porque creemos que no sólo son importantes desde un punto de vista histórico\nde punto de vista, pero también son parte del formalismo que se utiliza hoy en día en muchos\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 57\ncálculos de cadena. Hemos tratado de ser lo más completos y objetivos posible,\npero muy bien podría ser que algunos de los que participaron en la investigación\nde estos años, no estarán de acuerdo con algunas o incluso muchas de las declaraciones que\nHecho. Nos disculpamos con aquellos que hemos olvidado mencionar o no lo hemos hecho\nmencionado como les hubiera gustado.\nFinalmente, después de haber pasado por los desarrollos de estos años, mi\npensamientos van a Sergio Fubini que compartió conmigo y Gabriele muchos de los\nideas descritas aquí y que se extraña profundamente, y a mis amigos de Flo-\nrence, Nápoles y Turín para una agradable colaboración en muchos documentos discutidos\nAquí.\nAgradecimientos\nAgradezco a R. Marotta y a I. Pesando por una lectura crítica del manuscrito.\nBibliografía\n1. G.F. Chew, La matriz analítica S, W.A.Benjamin, Inc. (1966).\nR.J. Eden, P.V. Landshoff, D.I. Olive y J.C. Polkinghorne, el analítico S\nMatriz, Cambridge University Press (1966).\n2. R. Dolen, D. 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Sakita, Phys. Rev. Cartas 22, 257 (1969).\nChan Hong-Mo y T.S. Tsun, Phys. Lett. B 28, 485 (1969).\nZ. Koba y H.B.Nielsen, Nucl. Phys. B 10, 633 (1969).\n14. K. Bardakçi y H. Ruegg, Phys. Lett.B 28, 671 (1969).\nM.A. Virasoro, Phys. Rev. Lett. 22, 37 (1969).\n58 Paolo Di Vecchia\n15. Z. Koba y H.B.Nielsen, Nucl. Phys. B 12, 517 (1969).\n16. H. M. Chan y J. E. Patón, Nucl. Phys. B 10, 516 (1969).\n17. S. Fubini y G. Veneziano, Nuovo Cimento A 64, 811 (1969).\n18. Bardakçi y S. Mandelstam, Phys. Rev. 184, 1640 (1969).\n19. S. Fubini, D. Gordon y G. Veneziano, Phys. Lett. B 29, 679 (1969)\n20. Y. Nambu, Proc. Int. Conf. sobre Symmetries y modelos de Quark, estado de Wayne\nUniversidad 1969 (Gordon and Breach, 1970), pág.\n21. L. Susskind, Nuovo Cimento A 69, 457 (1970) y Phys. Rev. Carta 23, 545\n(1969).\n22. J. Shapiro, Phys. Lett. B 33, 361 (1970).\n23. S. Fubini y G. Veneziano, Nuovo Cimento A 67, 29 (1970).\n24. F. Gliozzi, Lettere al Nuovo Cimento 2, 846 (1969).\n25. C.B. Chiu, S. Matsuda y C. Rebbi, Phys. Rev. Lett. 23, 1526 (1969).\nC.B. Thorn, Phys. Rev. D 1, 1963 (1970).\n26. S. Fubini y G. Veneziano, Anales de Física 63, 12 (1971).\n27. C. Lovelace, Phys. Lett. B 34, 500 (1971).\n28. E. Del Giudice y P. Di Vecchia, Nuovo Cimento A 5, 90 (1971).\nM. Yoshimura, Phys. Lett. B 34, 79 (1971).\n29. E. Del Giudice y P. Di Vecchia, Nuovo Cimento A 70, 579 (1970).\n30. P. Campagna, S. Fubini, E Napolitano y S. Sciuto, Nuovo Cimento A 2, 911\n(1971).\n31. E. Del Giudice, P. Di Vecchia y S. Fubini, Anales de Física, 70, 378 (1972).\n32. R.C. Brower, Phys. Rev. D 6, 1655 (1972).\n33. P. Goddard y C.B. Thorn, Phys. Lett. B 40, 235 (1972).\n34. F. Gliozzi, J. Scherk y D. Olive, Phys. Lett. B 65, 282 (1976) ; Nucl. Phys.\nB 122, 253 (1977).\n35. L. Brink y H.B. Nielsen, Phys. Lett. B 45, 332 (1973).\n36. F. Gliozzi, sin publicar.\nVer también P. Di Vecchia en muchos grados de libertad en física de partículas, editado\npor H. Satz, Plenum Publishing Corporation, 1978, pág. 493.\n37. M. Ademollo, E. Del Giudice, P. Di Vecchia y S. Fubini, Nuovo Cimento A\n19, 181 (1974).\n38. J. Scherk, Nucl. Phys. B 31, 222 (1971).\n39. N. Nakanishi, Prog. Teor. Phys. 48, 355 (1972).\nP.H. Frampton y K.C. Wali, Phys. Rev. D 8, 1879 (1973).\n40. A. Neveu y J. Scherk, Nucl. Phys.B 36, 155 (1973).\n41. A. Neveu y J.L. Gervais, Nucl. Phys. B 46, 381 (1972).\n42. P. Di Vecchia, A. Lerda, L. Magnea, R. Marotta y R. Russo, Nucl. Phys. B\n469, 235 (1996)\n43. T. Yoneya, Prog. de Teor. Phys. 51, 1907 (1974).\n44. K. Kikkawa, B. Sakita y M. Virasoro, Phys. Rev. 184, 1701 (1969).\nK. Bardakçi, M.B. Halpern y J. Shapiro, Phys. Rev. 185, 1910 (1969).\nD. Amati, C. Bouchiat y J.L. Gervais, Lett. al Nuovo Cimento 2, 399 (1969).\nA. Neveu y J. Scherk, Phys. Rev. D 1, 2355 (1970).\nG. Frye y L. Susskind, Phys. Lett. B 31, 537 (1970).\nD.J. Gross, A. Neveu, J. Scherk y J.H. Schwarz, Phys. Rev. D 2, 697 (1970).\n45. L. Brink y D. Olive, Nucl. Phys. B 56, 253 (1973) y Nucl. Phys. B 58, 237\n(1973).\nEl nacimiento de la teoría de cuerdas 59\n46. E. Cremmer y J. Scherk, Nucl. Phys. B 50, 222 (1972).\nL. Clavelli y J. Shapiro, Nucl. Phys. B 57, 490 (1973).\nL. Brink, D.I. Olive y J. Scherk, Nucl. Phys. B 61, 173 (1973).\n47. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, F. Gliozzi, E. Napolitano, S. Sciuto y\nP. Di Vecchia, Nucl. Phys. B 94, 221 (1975).\nJ. Shapiro, Phys. Rev. D 11, 2937 (1975).\n48. D.I.Olive y J. Scherk, Phys. Lett. B 44, 296 (1973).\n49. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, E. Napolitano, P. Di Vecchia, F. Gliozzi\ny S. Sciuto, Nucl. Phys. B 77, 189 (1974).\n50. M. Kalb y P. Ramond, Phys. Rev. D 9, 2273 (1974).\n51. E, Cremmer y J. Scherk, Nucl. Phys. B 72, 117 (1974).\n52. A. D’Adda, R. D’Auria, E. Napolitano, P. Di Vecchia, F. Gliozzi y S. Sciuto,\nPhys. Lett. B 68, 81 (1977).\n53. J. Shapiro, Phys. Rev. D 5, 1945 (1975).\n54. S. Sciuto, Lettere al Nuovo Cimento 2, 411 (1969).\nA. Della Selva y S. 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B 56, 109\n(1973).\n60 Paolo Di Vecchia\n72. E.F. Corrigan y D.B. Fairlie, Nucl. Phys. B 91, 527 (1975).\n73. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, P. Di Vecchia, F. Gliozzi, R. Musto, E.\nNapolitano, F. Nicodemi y S. Sciuto, Nuovo Cimento A 21, 77 (1974).\n74. S. Mandelstam, Nucl. Phys. B 64, 205 (1973).\n75. J.L. Gervais y B. Sakita, Phys. Rev. Lett. 30, 716 (1973).\n76. L. Brink, P. Di Vecchia, P. Howe, S. Deser y B. Zumino, Phys. Lett. B 64,\n435 (1976).\n77. L. Brink, P. Di Vecchia y P. Howe, Phys. Lett. B 65, 471 (1976).\nS. Deser y B. Zumino, Phys. Lett. B 65, 369 (1976).\n78. C. Lovelace, Phys. Lett. B 136, 75 (1984).\nC.G. Callan, E.J.Martinec, M.J. Perry y D. Friedan, Nucl. Phys. B 262, 593\n(1985).\n79. E. Cremmer y J.L. Gervais, Nucl. Phys. 76, 209 (1974).\n\tEl nacimiento de la teoría de cuerdas\n\tPaolo Di Vecchia\n"}}},{"rowIdx":95,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0102,"string":"704.0102"},"title":{"kind":"string","value":"Duality and Tameness"},"full_text":{"kind":"string","value":"arXiv:0704.0102v1 [math.AC] 1 Apr 2007\nDUALIDAD Y TAMENESS\nMARC CHARDIN, STEVEN DALE CUTKOSKY, JÜRGEN HERZOG Y HEMA SRINIVASAN\nResumen. Demostramos un teorema de dualidad para ciertos álgebras graduadas y mostrar por varios\nejemplos de diferentes tipos de fracaso de la domesticación de la cohomología local.\nIntroducción\nEl propósito de este trabajo es construir ejemplos de comportamiento extraño de coho local.\nMoology. En estas construcciones seguimos una estrategia que ya se utilizó en [CH] y\nque se refiere, a través de una secuencia espectral introducida en [HR], la cohomología local para el\ndos distinguidos ideales primos bigraded en un álgebra bigraded estándar.\nEn la primera parte consideramos álgebras con clasificaciones más bien generales y deducir un similar\nsecuencia espectral en esta situación más general. Un ejemplo típico de tal álgebra\nes el álgebra de Rees de un ideal calificado. La prueba de la secuencia espectral dada aquí es\nmás simple que la de la secuencia espectral correspondiente en [HR].\nEn la segunda parte de este artículo construimos ejemplos de los anillos de clasificación estándar A,\nque son álgebras sobre un campo K, de tal manera que la función\n(1) j 7→ dimK(H iA+(A)−j)\nes una función interesante para j â € 0. En nuestros ejemplos, esta dimensión será finita para todos\nSupongamos que A0 es un anillo local de Noetherian, A =\nj≥0Aj es un anillo graduado estándar y\nconjunto A+ :=\nj>0Aj. Que M sea un modulo A finitamente generado y F := M\ndivisión de M en Y = Proj(A). Luego hemos clasificado los isomorfismos del módulo A\nH i+1A+ (M)\nH i(Y,F(n))\npara i ≥ 1, y una expresión similar para i = 0 y 1.\nPor desaparición de Serre, H iA+(M)j = 0 para todos los i y j 0. Sin embargo, la asintótica\nel comportamiento de H iA+(M)−j para j â € 0 es mucho más misterioso.\nEn el caso cuando A0 = K es un campo, la función (1) es de hecho un polinomio para grandes\nSuficiente j. La prueba es una consecuencia de la dualidad local calificada ([BS, 13.4.6] o [BH, 3.6.19])\no sigue de la dualidad Serre en una variedad proyectiva.\nPara los módulos A0 más generales, HA+(M)−j son finitamente generados, pero no necesitan tener\nlongitud finita.\nEl siguiente problema fue propuesto por Brodmann y Hellus [BrHe].\nEl segundo autor fue parcialmente apoyado por NSF.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0102v1\nProblema de domesticación: ¿Son los módulos de cohomología locales H iA+(M) domesticados? Es decir, ¿es eso?\ncierto que o bien\n{H iA+(M)j 6= 0, \n¿A+(M)j = 0?\nEl problema tiene una solución positiva para A0 de pequeña dimensión (algunas de las referencias\nson Brodmann [Br], Brodmann y Hellus [BrHe], Lim [L], Rotthaus y Sega [RS]).\nTeorema 0.1 ([BrHe]). Si dim(A0) ≤ 2, entonces M es domesta.\nSin embargo, dos de los autores han demostrado recientemente que la domesticación puede fallar si\ndim(A0) = 3.\nTeorema 0,2 ([CH]). Hay ejemplos con dim(A0) = 3 donde M no es domesta.\nLa declaración de este ejemplo se reproduce en el Teorema 3.1 de este artículo. La función\n(1) es periódico para j grande. Específicamente, la función (1) es 2 para grande incluso j y es 0 para\ngran j impar.\nEn Teorema 3.3 construimos un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local\nque no es periódico, y ni siquiera es un cuasi polinomio (en −j) para j grande. Específicamente,\ntenemos para j > 0,\ndimK(H\n(A)-j) =\n1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde la característica de K es p. Tenemos pt • −1 (mod) (p + 1) para todos los impares t ≥ 0.\nTambién damos un ejemplo (Teorema 3.5) de fracaso de la domesticación donde (1) es un cuasi\npolinomio con crecimiento lineal en grado par y es 0 en grado impar.\nEn Teorema 3.6, damos un ejemplo dócil, pero tenemos\ndimK(H\nA) a j)\nasí que (1) está lejos de ser un cuasi polinomio en −j para j grande.\nMientras que el ejemplo de [CH] es para M = A, donde A es el módulo canónico de A, el\nejemplos del papel son todos para M = A. Esto nos permite reinterpretar fácilmente nuestros ejemplos\ncomo álgebras Rees en la Sección 4, y por lo tanto tenemos ejemplos de álgebras Rees sobre anillos locales\npara lo cual el fracaso de la mansedumbre antedicho sostiene.\nEn la sección final, sección 5, damos un análisis del papel explícito e implícito de\nbigraded duality en la construcción de los ejemplos, y algunos comentarios sobre cómo afecta\nla geometría de las construcciones.\n1. Dualidad para anillos polinomios en dos conjuntos de variables\nDeja que K sea cualquier anillo conmutativo (con unidad). En aplicaciones posteriores K será en su mayoría\nun campo. Además dejar S = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn], P = (x1,. .., xm) y Q =\n(y1,. ., yn).\nLa homología del complejo Čech CP ( ) (resp. CQ( )) será denotado por HP ( ) (resp.\nHQ( )). Note que para cualquier anillo conmutativo K, esta homología es la cohomología local\nsoportado en P (resp. Q), como P y Q son generados por una secuencia regular.\nAsumir que S está clasificado para algún grupo abeliano, y que deg(a) = 0 para un K.\nSi xsyp R, deg(xsyp) = l(s) + l′(p) con l(s) :=\ni si deg(xi) y l\n′(p) :=\nj pj deg(yj).\nDefinición 1.1. Deja que yo sea un ideal de grado. La clasificación de S es I-afilada si H iI(S)γ\nes un K-módulo finitamente generado, para cada i y γ.\nLemma 1.2. Las condiciones siguientes son equivalentes:\n(i) la clasificación de S es P -afilada.\nii) la clasificación de S es Q-sharp.\niii) para todos los γ, (α, β): α ≥ 0, β ≥ 0, l(α) = γ + l′(β) < \nNótese que si K es Noetherian, M es un módulo S de grado S de generación finita, y el\nEl grado de S es I-afilado, entonces H iI(M)γ es un K-módulo finito, para cada i y γ. Esto\nsigue de la secuencia espectral convergente Hp−q (H)\nI (F) H\nI (M), donde F\nes una resolución S libre de grado de M con Fi finito para cada i.\nA partir de ahora asumiremos que la clasificación de S es P -afilada (equivalentemente Q-\nafilada). Set = deg(x1 · · · xmy1 · · · · yn), y si N es un módulo graduado, a continuación, dejar que N =\nHomS(N,S()) y N* = *HomK(N,K) donde la clasificación de N* es dada por (N*)γ =\nHomK(N,K). Más generalmente, siempre denotamos el K-dual calificado de un mod-\nule N (por encima de lo que calificaba de K-álgebra en cualquier caso) por N*. Finalmente denotamos por el mapa\nS(−a) → S(−b) inducido por la multiplicación por xαyβ donde a = deg xα y b = − deg yβ.\nLemma 1.3. HmP ()γ\n* HnQ()*.\nPrueba. El K-moduleHmP libre (S)γ es generado por los elementos x\n− s− 1yp con s, p ≥ 0 y\n−l(s)− l(1) + l′(p) = γ, y HnQ(S) se genera por los elementos xty−q−1 con t, q ≥ 0\ny l(t)− l′(q)− l′(1) =.\nLet dγ : H\nP (S)γ → (HnQ(S):*)γ = HnQ(S) ser el mapa K-lineal definido por\n−s−1yp(xty−q−1) =\n1, si s = t y p = q,\n0, si no.\nEntonces dγ es un isomorfismo (porque el grado de R es Q-afilado) y hay un com-\ndiagrama mutatis mutandis\nHmpP (S)a\n() HmP (S)b\n\n(HnQ(S)a)\n(HnQ(S)b)*.\nLa afirmación es la siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nComo consecuencia inmediata obtenemos\nCorollary 1.4. (a) Que f • S sea un elemento homogéneo de grado a–b, y • S(−a) →\nS(−b) el mapa grado cero inducido por la multiplicación con f.\nHmP () HnQ()*.\n(b) Que F sea un complejo de S-módulos libres finitamente generados. Entonces\ni) H iP (F) = 0 para i 6= m y H\nQ(F) = 0 para j 6= n,\nii) HmP (F) HnQ(F)*.\nComo resultado principal de esta sección tenemos\nTeorema 1.5. Suponga que K es Noetheriano, el grado-de-S es P -afilado (equivalentemente\nQ-sharp) y M es un modulo S de grado finitamente generado. Set S/K := S(). Dejad en paz a F.\nuna resolución S mínima de M. Entonces,\n(a) Para todos i, hay un isomorfismo functorial\nHiP (M) Hm−i(HmP (F)).\n(b) Hay una secuencia espectral convergente de la categoría.\nH iQ(Ext\nS(M,S/K)) H\ni+j−n(HmP (F)\nEn particular, si K es un campo, hay una secuencia espectral convergente de grado.\nH iQ(Ext\nS(M,.............................................................................................................................................................................................................................................................\ndimS−(i+j)\nP (M)\nPrueba. La reclamación a) es una consecuencia inmediata del corolario 1.4 a través de las especificaciones de la categoría...................................................................................................................................................\nsecuencia tral Hp−i(H\nP (F)) H iP (M). Para (b), las dos secuencias espectrales que surgen de\nel CQF+ doble complejo tiene como segundo términos respectivamente ′Eij2 = H iQ(Ext\nS(M,S/K)),\n2 = 0 para i 6 = n y ′′E\n2 = H\nj(HnQ(F)\n*) Hj(HmP (F)*). Si K más es un campo,\nHj(HmP (F)\n*) (Hj(HmP (F))* H\nP (F)\nCorollary 1.6. Bajo las hipótesis del teorema, si K es un campo, entonces para cualquier γ\nhay secuencias espectrales convergentes de espacios K-vector de dimensión finita\nH iQ(Ext\nS(M,R)\ndimS−(i+j)\nP (M),\nH iP (Ext\nS(M,R)\ndimS−(i+j)\nQ (M).\nAhora consideramos el caso especial de que = Z2, S := K[x1,. .., xm, y1,. .., yn] con\ndeg(xi) = (1, 0) y deg(yj) = (dj, 1) con dj ≥ 0. Set T := K[x1,. .., xm] y dejar M ser\na Módulo S de categoría S. Vemos a M como un módulo de grado Z definiendo Mk =\nj M(j,k).\nObserve que cada Mk en sí es un modulo T graduado con (Mk)j = M(j,k) para todos j. Nosotros también.\nnote que HiP (M)k\n• = H iP0(Mk), como se puede ver en la definición de la cohomología local\nutilizando el complejo Čech. Aquí P0 = (x1,. .., xm) es el ideal máximo clasificado de T.\nCorollary 1.7. Con la notación introducida, s := dimS = m + n y d := dimM.\na) H0P (Ext\nS (M,.............................................................................................................................................................................................................................................................\n• = HdQ(M)* para cualquier k,\n(b) hay una secuencia exacta\n0→H1P (Exts−dS (M,S))→H\nQ (M)\nH0P (Exts-d+1S (M,S)).\nc) Dejar i ≥ 2. Si ExtjS(M,?S) es aniquilado por un poder de P para todos s-d < j < s-d+i,\nentonces hay una secuencia exacta\nExts−d+i−1S (M,S)→H\nP (Ext\nS (M,S))→H\nQ (M)\nH0P (Exts-d+iS (M,S)).\nEn particular, si Ext\nS(M) tiene longitud finita para todos los s − d < j ≤ s − d+ i0, para algunos\nentero i0, entonces\nH iP0(Ext\nS (M,S)k)\n= (Hd-iQ (M)−k)\n* para todos los i ≤ i0 y k ≤ 0.\nEn consecuencia, si M es un módulo generalizado Cohen-Macaulay (es decir, Exts-iS (M,\nlongitud finita para todos los i 6=d), y si establecemos N = Exts−dS (M,\nH iP0 (Nk)\n= (Hd-iQ (M)−k)\n* para todos los i y todos los k â € 0.\nPrueba. a), b) y c) son consecuencias directas del corolario 1.6. Para la solicitud, notificación\nque si γ = (l, k) • • con k • 0 uno tiene ExtjS(M,•S)γ = 0 para todos los s− d < j ≤ s− d+ i0.\nPor lo tanto, para tal γ, la conclusión deseada sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nUn ejemplo típico al que se aplica esta situación es el álgebra de Rees de un ideal calificado\nI en el anillo polinomio estándar T = K[x1,. .., xm]. Digamos, yo soy generado ser el\npolinomios homogéneos f1,. ..., fn con deg fj = dj para j = 1,..., n. Entonces el Rees\nálgebra R(I) T [t] se genera los elementos fjt. Si establecemos deg fjt = (dj, 1) para todos j\ny deg xi = (1, 0) para todos los i, entonces R(I) se convierte en un modulo S de grado S a través de la álgebra-K\nhomomorfismo S → R(I) con xi 7→ xi y yj 7→ fjt.\nDe acuerdo con esta definición tenemos R(I)k = Ik para todos k.\nPuesto que dimR(I) = m+1, el módulo R(I) = Extn−1S (R(I), فارسىS) es el módulo canónico\nde R(I) (en el sentido de [HK, 5. Vortrag]. Recordemos que si un anillo R es un módulo S finito\nde la dimensión m + 1, el mapa finito natural R→Hom(R, R) = Extn−1S (R, S) es un\nisomorfismo si y sólo si R es S2. Así, en combinación con el corolario 1.7 obtenemos\nCorollary 1.8. Let R := R(I). Supongamos que Rp es Cohen-Macaulay para todos p 6= (m, R+)\ndonde m = (x1,. .., xm) y R+ =\nk>0 I\nktk. Entonces\nH im(I)\nk) (Hm+1−iR+ (R)−k)\n* para todos los i y todos los k â € 0.\nPrueba. Puesto que la R se localiza, las condiciones implican que (R)p es Cohen-Macaulay para todos p 6=\n(m, R+). Por lo tanto lo natural en el mapa R→R′ := Extn−1S (R, S) tiene un cokernel de finito\nlongitud. En particular, R′k = Rk = I\nk para k + 0. Así pues, el corolario 1,7 se aplicó a M = R\nda la conclusión deseada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 1.9. Let R := R(I). Si el cokernel de R→Hom(?R,?R) es aniquilado por un\npotencia de R+ (en otras palabras, la explosión es S2, como un esquema proyectivo sobre Spec(T)),\nentonces R′k = I\nk para k 0 y por lo tanto uno tiene una secuencia exacta\n0→H0m(T/Ik)→(HmR+(R)−k)\nH0m(ExtnS(R,S)k)→H1m(T/Ik)→(Hm−1R+ (R)k)\npara tal k.\n2. Un método de construcción de ejemplos\nSupongamos que R =\ni,j≥0Rij es un álgebra bigrada estándar sobre un anillo K = R00.\nDefinir Ri =\nj≥0Rij y Rj =\ni≥0Rij. Definir ideales P =\ni y Q =\nj>0Rj\nen R. Supongamos que M =\nijÃ3zMij es un modulo R de generación finita, bigraded. Definir\nM i =\njáZMij y Mj =\niZMij. M\ni es un R0-módulo graduado y Mj es un graduado\nR0-módulo. Dejar Q0 = R01R\n0, por lo que Q = Q0R. Dejar P0 = R10R0 para que P = R10R. Nosotros\ntienen isomorfismos del módulo K\nH lQ(M)m,n\n• = H lQ0(M\npara m,n â € Z. Dejemos que Mìm sea la sheafificación del módulo R0-Mm graduado en Proj(R0).\nTenemos isomorfismos del módulo K\nH lQ0(M\nm)n = H l−1(Proj(R0), Mśm(n))\npara l ≥ 2 y secuencias exactas\n0 → H0Q0(M\nm)n → (Rm)n = Rm,n → H0(Proj(R0), Mśm(n)) → H1Q0(M\nm)n → 0.\nTenemos fórmulas similares para el cálculo de H lP (M).\nAhora supongamos que X es un esquema proyectivo sobre K y F1 y F2 son una línea muy amplia\npaquetes en X. Vamos.\nRm,n=(X,Fm1 F\nRequerimos que R =\nm,n≥0Rm,n ser una álgebra K bigranada estándar. Tenemos\nX = Proj(R0) = Proj(R0).\nLa sheafification del R0-módulo grado Rm en X es Rśm = Fm1, y la sheafification\ndel módulo R0-Rn clasificado en X es Rn = Fn2 (Ejercicio II.5.9 [Ha]).\nPara l ≥ 2 tenemos isomorfismos bigrado\nH lQ(R)\nH lQ0(R\nm)n â € =\nm≥0,nÃ3rZ\nH l−1(X,Fm1 F\nViendo R como un álgebra R0 graduada, por lo tanto hemos clasificado isomorfismos\n(2) H lQ(R)n\nH l−1(X,Fm1 F\npara l ≥ 2 y n ≤ Z. Let d = dim(R) = dim(X) + 2.\nAhora suponemos además que K es un campo cerrado algebraicamente y X es un nonsingular\nVariedad K. Vamos.\nV = P(F1+F2),\nun paquete de espacio proyectivo sobre X con proyección η : V → X. Dado que F1+F2 es un amplio\npaquete en X, OV (1) es amplio en V. Desde\n(V,OV (t))\n• (V,OV (t)) • (X,St (F1) • (F2)) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ni+j=t\ny R se genera en grado 1 con respecto a esta clasificación, OV (1) es muy amplio en V y\nR es el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad proyectiva no singular V, de modo que R\nes generalizado Cohen Macaulay (todos los módulos de cohomología local H iR+(R) de R con respeto\na la máxima bitraded ideal R+ de R tienen longitud finita para i < d). Además, tenemos que\nV es proyectivamente normal por esta incrustación (Ejercicio II.5.14 [Ha]) de modo que R es normal.\n3. Comportamiento extraño de la cohomología local\nEn [CH], construimos el siguiente ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local.\nEn el ejemplo, R0 tiene la dimensión 3, que es la más baja posible para el fracaso de la domesticación\n[Br].\nTeorema 3.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j â € 0,\ndimK(H\nQ(R)j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde R es el módulo canónico de R, Q =\nn>0Rn.\nPrimero mostramos que el teorema anterior también es cierto para la cohomología local de R.\nTeorema 3.2. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Calculamos esto directamente para la R del Teorema 3.1 a partir de (2) y los cálculos de\n[CH]. Traduciendo de la notación de este artículo a la notación de [CH], tenemos X = S\nes una superficie abeliana, F1 = OS(r2laH) y F2 = OS(r2(D + alH)).\nPor (2) de este documento, para n â € N, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\nm≥0 h\n1 (X,Fm1 F)\nm≥0 h\n1 (S,OS((m+ n)r2alH + nr2D)).\nLa fórmula (1) de [CH] nos dice que para m,n-n-Z,\n(3) h1(S,OS(mH + nD)) =\n2 si m = 0 y n es par,\nDe lo contrario.\nAsí para n < 0, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\n2 si n es par,\n0 si n es impar,\ndando las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl siguiente ejemplo muestra un fallo no periódico de domesticación.\nTeorema 3.3. Supongamos que p es un número primo tal que p • 2 (mod) 3 y p ≥ 11.\nEntonces existe un estándar normal de K-álgebra R0 sobre un campo K de características\np con dim(R0) = 4, y un R0-álgebra R normal graduado con dim(R) = 5 tales\nque para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde Q =\nn>0Rn. Tenemos p\nt • −1(mod)(p + 1) para todos los t impares ≥ 0.\nPara establecer esto, necesitamos el siguiente simple lema.\nLemma 3.4. Supongamos que C es una curva no singular del género g sobre un algebraicamente cerrado\ncampo K, y M, N son paquetes de línea en C. Si deg(M) ≥ 2(2g+1) y deg(N) ≥ 2(2g+1),\nluego el mapa natural\n(C,M) (C,N) (C,N) → (C,MN)\nes una suposición.\nPrueba. Si L es un paquete de línea en C, entonces H1(C,L) = 0 si deg(L) > 2g − 2 y L es muy\namplio si deg(L) ≥ 2 g + 1 (capítulo IV, sección 3 [Ha]).\nSupongamos que L es muy amplia y G es otro paquete de línea en C. Si deg(G) > 2g − 2−\ndeg(L), entonces G es 2-regular para L (Lectura 14, [M1]. Así, si deg(G) > 2g − 2 + deg(L),\n(C,G) (C,L) (C,L) → (C,G L)\nes una suposición de la Proposición de Castelnuovo, Conferencia 14, página 99 [M1].\nAhora aplicamos lo anterior para probar el lema. Escribe M = Aq B donde A es una\nconjunto de líneas de modo que deg(A) = 2g + 1, y 2g + 1 ≤ deg(B) < 2,2g + 1). deg(N) >\n2g − 2 + deg(A). Por lo tanto, existe una superposición\n* (C,N ) * (C,A) * (C,A) * (C,AN ).\nHacemos iteraciones para conseguir surjecciones\n(C,Ai N ) (C,A) → (C,A(i+1) N )\npara i ≤ q, y una superficie\n(C,Aq N ) (C,B) → (C,MN ).\nAhora probamos el Teorema 3.3. Para la construcción, comenzamos con un ejemplo de\nSección 6 de [CS]. Existe un campo cerrado algebraicamente K de p característica, una curva\nC del género 2 sobre K, un punto q ° C y un haz de líneas M sobre C de grado 0, de tal manera que para\nn ≥ 0,\nH1(C,OC (q)Mn) =\n1 si n = pt para algunos t ≥ 0,\nDe lo contrario.\nAdemás, H1(C,OC (2q)Mn) = 0 para todos los n > 0.\nDejar a = p+ 1. Dejar E ser una curva elíptica sobre K, y dejar T = E × E, con proyecciones\nηi : T → E. Let b E be a point and let A = 1(OE(b)) 2(OE(b)). Dejar X = T × C,\ncon proyecciones de 1°: X → T, 2°: X → C. Let L = OC(q). Vamos.\nF1 = 1(A)a 2(L)a,\nF2 = 1(A)(1+a) 2(L(1+a) M−1).\nPara m,n ≥ 0, tenemos\n(X,Fm1 F)\n2 ) = (T,A(ma+n(1+a))) (C,L(ma+n(1+a)) Mn)\n= (T,Aa) m (T,A(1+a))n (C,La)m (C,L(1+a) M−1)n\n= (X,F1)m (X,F2)n\npor la fórmula Künneth (IV de la Conferencia 11 [M1]) y Lemma 3.4.\nLet Rm,n = (X,Fm1 F)\n2 ). R =\nm,n≥0Rm,n es una álgebra K bigranada estándar por\n4). Por lo tanto (2) se mantiene.\nPor el teorema de Roch Riemann, calculamos,\n(5) h0(C,Lr Ms) = h1(C,Lr Ms) + r − 1,\ny para s < 0,\n(6) h1(C,Lr Ms) =\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n1− r r < 0,\n1 r = 0, s < 0,\n1 r = 1, s = −pt, para algunos t • N,\n0 r = 1, s 6 = −pt para algunos t â € N,\n0 r = 2, s < 0,\n0 r ≥ 3.\nMás adelante tenemos\n(7) h1(T,Ar) =\n0 r 6= 0,\n2 r = 0,\n(8) h0(T,Ar) =\n0 r < 0,\n1 r = 0,\nr2 r > 0.\nPor (2), para n â € Z, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\nh1(X,Fm1 F\nPor la fórmula Künneth,\nH1(X,Fm1 F\n= H0(T,A(ma+n(1+a)))H1(C,L(ma+n(1+a)) Mn)\n•H1(T,A(ma+n(1+a)))H0(C,L(ma+n(1+a)) Mn).\nAsí por (5) - (8), tenemos para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n1 j 0 (mod) a,\n1 j = pt para algunos t impar â € N,\nDe lo contrario.\ny tenemos las conclusiones del Teorema 3.3.\nTeorema 3.5 da un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local con mayor\ncrecimiento.\nTeorema 3.5. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 de grado estándar sobre K con dim(R0) = 4, y un estándar normal graduado\nR0-álgebra R con dim(R) = 5 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n6j si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Deja que E sea una curva elíptica sobre K, y deja que q E sea un punto. Let L = OE(3q). Por\nProposición IV.4.6 [Ha], L es muy amplia en E, y\n(9) N ≥ 0(E,Ln)\nse genera en grado 1 como álgebra-K. En el caso de n° N,\n(10) h0(C,Ln) =\n0 n < 0,\n1 n = 0,\n3n n > 0.\n(11) h1(C,Ln) =\n−3n n < 0,\n1 n = 0,\n0 n > 0.\nLet X = E3, con las tres proyecciones canónicas πi : X → E. Definir\nF1 = 1(L2) 2(L2) 3(L2)\nF2 = 1(L) 2(L) 3(L2).\nRm,n=(X,Fm1 F\nm,n≥0\nRm, n.\nPor (9) y la fórmula Künneth, R es bigraded estándar. Por (2), el hecho de que X = OX\ny la dualidad Serre,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\nh2(X,Fm1 F\n2 ) =\nh1(X,Fm1 F\npara j â € Z.\nAhora por (10), (11) y la fórmula Künneth, tenemos que para n > 0,\nh1(X,Fm1 F\n2 ) =\n0 si 2m+ n 6= 0,\n2h0(X,Ln) si 2m+ n = 0.\nAsí, las conclusiones de Teorema 3.5 sostienen. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl siguiente teorema da un ejemplo de domesticación, pero aún así bastante extraño cohomol local-\nOgy. Que [x] sea el número entero más grande en un número real x.\nTeorema 3.6. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) = 162\ndimK(H\nQ(R)-j)\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Utilizamos el método del Ejemplo 1.6 [Cu]. Dejar E ser una curva elíptica sobre un\ncampo algebraicamente cerrado K, y dejar que p â € E ser un punto. Let X = E × E con proyecciones\nηi : X → E. Let C1 = 1(p), C2 = 2(p) y\n* = {(q, q) * q * E}\nser la diagonal de X. Calculamos (como en [Cu]) que\n(12) (C21 ) = (C\n2 ) = ( )\n2) = 0\n(13) (• · C1) = (• · C2) = (• C1 · C2) = 1.\nSi N es un paquete de líneas amplias en X, entonces\n(14) H i(X,N ) = 0 para i > 0\npor el teorema de desaparición de la Sección 16 [M2].\nSupongamos que L es un paquete de línea muy amplio en X, y M es un efectivo numérico (nef)\nUn paquete de líneas. Entonces M es 3 regular para L, por lo que\n(X,MLn) (X,L) → (X,ML(n+1))\nes una sobreyección si n ≥ 3. C1 + 2C2 es un divisor amplio por el criterio Moishezon Nakai\n(Teorema V.1.10 [Ha]), de modo que 3(C1+2C2) es muy amplio por el teorema de Lefschetz (Teorema,\nSección 17 [M2]). Vamos.\nF1 = OX(9(C1 + 2C2)).\nEntonces OX es 3 regular para OX(3(C1 + 2C2)), por lo que tenemos suposiciones\n* (X,Fn1 ) * (X,F1) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F)\n(n+1)\npara todos los n ≥ 1.\nC2 es amplio por el criterio de Moishezon Nakai. Dejar D = 3(C2). D es muy amplio\npor el teorema de Lefschetz, y por lo tanto OX(D)F1 es muy amplio. Vamos.\nF2 = OX(3D)F31.\nOX es 3 regular para OX(D)F1, por lo que tenemos suposiciones\n(X,F2n) (X,F2) → (X,F(n+1)2 )\npara todos los n ≥ 1.\npara n > 0 y m ≥ 0, tenemos\nFm1 F\n= OX(3nD)F(m+3n)1.\nDado que D es nef, es 3 regular para F1, y tenemos una superficie para todos m ≥ 0, n > 0,\n(X,Fm1 F)\n2 ) •(X,F1) → •(X,F\n(m+1)\nRm,n=(X,Fm1 F\nHemos demostrado que m,n≥0Rm,n es un estándar bigrad K-álgebra. Por lo tanto (2) se mantiene.\nPara m,n Z, let G = Fm1 F\n2. Como en el ejemplo 1.6 [Cu], y por (14) y Serre\nDualidad (X=OX ya que X es una variedad abeliana), deducimos que\n1. (G2) > 0 y (G · F1) > 0 implican que G es amplio y h1(X,G) = h2(X,G) = 0.\n2. (G2) < 0 implica h0(X,G) = h2(X,G) = 0.\n3. (G2) > 0 y (G · F1) < 0 implican que G−1 es amplio y h0(X,G) = h1(X,G) = 0.\nDejemos que el valor de 2 ° = −4−\ny فارسى1 = −4 +\nUsando (12) y (13), computamos\n(F21 ) = 2 · 162, (F2)2 = 31 · 162, (F1 · F2) = 8 · 162.\nTenemos\n(G2) = 324(m2 + 8mn+ 31\n= 324(m− Ł1n)(m− Ł2n).\n(G · F1) = 324(m + 4n).\nA partir de 2 °C < 4 < 1 °C < 0, para n < 0 y m °C, tenemos\n1. m > Ł2n si y sólo si G2 > 0 y G · F1 > 0\n2............................................................................................................................................................................................................................................................... \n3. m < Ł1n si y sólo si (G2) > 0 y (G · F1) < 0.\nPor el Teorema de Roch de Riemann para una superficie Abeliana (Sección 16 [M2]),\nχ(G) = 1\n(G2).\nPor lo tanto, para m+ Z y n < 0,\nh1(X,G) =\n(G2) = −162(m2 + 8mn+ 31\nn2), si Ł1n < m < Ł2n,\nDe lo contrario.\nEn el caso de n+Z, déjese (n) = dimK(H2Q(Rn)). Por (2),\n(n) =\nh1(X,Fm1 F\nPara n < 0, tenemos\n(n) = −162(\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(m2 + 8mn+\nn2)).\nAjuste r = m+ 4n, tenemos\n(n) = −162(\nn 0\nTal que (X,Fl1 F\n2 ) 6= 0. Así tenemos una incrustación F2 F\n1 • OX. Vamos.\nA = F2 F−l1, que hemos incrustado como una vaina ideal de X. Para j ≥ 0 e i ≥ jl,\nTij = (X,Fi1 Aj) = Ri−jl,j.\nPara j ≥ 0, Tj =\ni≥jl Tij y T =\nj≥0 Tj. Let B =\nj>0 Tj. R\n= T como anillos clasificados\nsobre R0 T0, aunque tienen diferentes estructuras bigraded. Así que para todos i, j tenemos\n(15) H iB(T)j\n= H iQ(R)j.\nT1 es un ideal homogéneo de T0, y T es el álgebra de Rees de T1. Así que todo el examen...\nples de la sección 3 se puede interpretar como álgebras Rees sobre anillos normales T0 con aislados\nsingularidades.\nAsí obtenemos los siguientes teoremas de los teoremas 3.2 - 3.6. Teoremas 4.1, 4.2 y\n4.3 dar ejemplos de álgebras Rees con cohomología local no domestica.\nTeorema 4.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,\nálgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3 y un ideal graduado A T0 tal que el\nRees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar.\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nTeorema 4.2. Supongamos que p es un número primo de tal manera que p 2 (mod)3 y p ≥ 11.\nLuego existe un estándar normal de K-álgebra T0 sobre un campo K de características\np con dim(T0) = 4, y un ideal calificado A â € T0 tal que el álgebra de Rees T = T0[En] de\nA es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nQ(T)−j) =\n1 en el caso de j Ł 0(mod)(p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde B es el AtT ideal clasificado de T. Tenemos pt • −1(mod)(p + 1) para todos los impares t ≥ 0.\nTeorema 4.3. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,\nT0 K-álgebra grado estándar con dim(T0) = 4 y un ideal grado A â € T0 tal que el\nRees álgebra T = R0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) =\n6j si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nTeorema 4.4. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3, y un ideal de clasificación A T0 tal que el\nRees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) = 162\ndimK(H\nB(T)-j)\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nAl localizar en el ideal máximo graduado de T0, obtenemos ejemplos de álgebras de Rees\nde anillos locales con extraña cohomología local.\nEn todos estos ejemplos, T0 es generalizado Cohen Macaulay, pero no es Cohen Macaulay.\nEsto sigue desde que en todos estos ejemplos,\nH2P0(R0)0\n= H1(X,OX) 6= 0.\n5. La dualidad local en los ejemplos\nEl ejemplo de [CH], dando el fracaso de la domesticación de la cohomología local, se indica en el\norem 3.1 de este documento. La prueba de [CH] utiliza el teorema de dualidad local bigraded de\n[HR], que ahora sigue del teorema de dualidad local mucho más general, The-\norem 1.5 y el corolario 1.7 de este documento, para concluir que en nuestra situación, donde R es\ngeneralizado Cohen Macaulay,\n16) (Hd-iQ (R)j)\n* = H.i.P. (R)j\npara j â € 0.\nEn [CH], la fórmula\nH iP (R)j\n= H iP0(Rj)\ni−1(X, Rśj(m))\ni−1(X,Fm1 F\npara i ≥ 2 y j ≥ 0 se utiliza entonces con la fórmula (1) de [CH] ((3) de este documento) para demostrar\nTeorema 3.1.\nEn la sección 2 derivamos (2) de la cual calculamos directamente la cohomología local en el\nejemplos de este documento. Hacemos uso esencial de la dualidad Serre en X en la computación\nejemplos.\nEn esta sección, mostramos cómo (16) se puede obtener directamente a partir de la geometría de X y\nV, y cómo esta fórmula puede ser interpretada directamente como dualidad Serre en X.\nQue la notación sea como en la sección 2, de modo que K es un campo algebraicamente cerrado, F1 y F2\nson paquetes de línea muy amplios en la variedad nonsingular X.\nDeja que R sea el módulo de dualización de R, y deja que X sea el paquete canónico de X (que\nes una vaina dualizante en X). Para un módulo K W, deje W ′ = HomK(W,K).\nLemma 5.1. Tenemos eso.\n(R)ij =\n(X,Fi1 F)\n2 X) si i ≥ 1 y j ≥ 1\nDe lo contrario.\nConjunto (R)\n(R)i, j, una calificación R\nMódulo 0. La esquilación de (R)\ni en X es\n(18) (R)i =\nFi1 X si i ≥ 1\n0 si i ≤ 0.\nConjunto (R)j =\nEl módulo R0 es un módulo de R0 graduado. La esquilación de (R)j en X es\n(19) (R)j =\nFj2 X si j ≥ 1\n0 si j ≤ 0.\nPrueba. Dar R la clasificación donde los elementos de grado e en R son [R]e =\ni+j=eRij.\nNos hemos dado cuenta de R (con esta clasificación) como el anillo de coordinación de la incrustación proyectiva-\nding de V = P(F1+F2) por el divisor muy amplio OV (1), con proyección η : V → X.\nVamos a V ser el paquete de línea canónica en V. Primero calculamos V. Deja que f sea una fibra de\nel mapa : V → X. Por adjunción, tenemos que (f · • V ) = − 2. Desde\nPic(V) = ZOV (1) (Pic(X)),\nvemos que existe un paquete de línea G en X de tal manera que\nV = OV (−2) (G).\nLa secuencia exacta de división natural\n(20) 0 → F2 → F1+F2 → F1 → 0\ndetermina una sección X0 de X, tal que de la secuencia exacta\n0 → OV (1)OV (−X0) → OV (1) → OV (1) OX0 → 0\nes (20) (Proposición II.7.12 [Ha]). Por lo tanto\nOV (1) OV (−X0) = (F2)\nOV (1)OX0 = F1.\nPor adición, tenemos que el paquete de línea canónica de X0 es\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nJuntando lo anterior, vemos que\nG F1 F2 X.\nV = OV (−2) (F1 F2 X).\nNos damos cuenta de R como un cociente bigraded de un anillo polinomio bigraded\nS = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn],\ncon deg(xi) = (1, 0) para todos los i y deg(yj) = (0, 1) para todos los j. Viendo a S como un K-\nálgebra con la clasificación determinada por d(xi) = d(yj) = 1 para todos i, j, tenemos un proyectivo\nincrustado V-P = Proj(S). Puesto que V es no-singular, vemos en la Sección III.7 de [Ha]\nV = ExtrP(OV,Op(−e))\ndonde e = m+ n es la dimensión de S, y r = e− dim(R). Se define como:\nR = *Ext\nS(R,S(−e))\nExtrP(OV,OP(m− e)).\nEn el caso de m â € 0,\n(P, ExtrP(OV,Op(m− e))) = ExtrP(OV,OP(m− e))\n(Proposición III.6.9 [Ha]). Por lo tanto, R y\n(V ) =\n(V, V (m))\nson isomórficos en alto grado. Dado que ambos módulos tienen una profundidad ≥ 2 en el bigrad máximo\nideal de R, vemos que\n* R = (V ).\nmâ € € (V, â € € (m))\n(V,OV (m-2) (F1 F2 -X)).\nPuesto que una fibra f de η satisface (f ·OV (m− 2)(F1F2)) < 0 si m < 2, vemos que (con\nEsta clasificación) [R]m = 0 si m < 2 y para m ≥ 2, tenemos\n[R]m = (X,S\nm−2(F1 F2)F1 F2)\ni+j=m−2 فارسى(X,F\n(i+1)\n(j+1)\n2 X).\nA continuación figuran las conclusiones del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nSupongamos que 2 ≤ i ≤ d − 2. Dado que F1 y F2 son amplias, y d − (i + 1) > 0, hay\nexiste un número natural n0 tal que\n(21) Hd−(i+1)(X,Fm1 Fn2 X) = 0\npara n ≥ n0 y todos los m ≥ 0.\nPara (18), hemos clasificado los isomorfismos\n(22) H iQ(R)n\nH i−1(X,Fm1 F\n2 X)\npara n.o Z.o.p.\nPor la dualidad Serre,\n(23) H iQ(R)n\n(Hd−i−1(X,Fm1 F)\nPor (21), no existe tal que\n(24) H iQ(R)−n\n(Hd−i−1(X,Fm1 F)\npara n ≥ n0.\nAhora aplique el functor L* = HomK(L,K) en módulos R0 clasificados, con la clasificación\n(L*)i = HomK(L-i,K)\na (24), y comparar con (17), para obtener\n(25) Hd−iP (R)n\n= (H iQ(R)−n)*\npara n ≥ n0, del que (16) sigue inmediatamente.\nAhora podemos verificar que el teorema 3.1 es de hecho cierto para todos j > 0, usando (22) y (3).\nFinalmente comentamos que se obtiene una prueba alternativa de Teorema 3.2 para j â € 0\nde Teorema 3.1, Fórmulas (2) y (22), el hecho de que X es una variedad abeliana para que\nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x\nh1(X,Fn2 ) = h\n1 (X,Fn2 ) = 0\npara n > 0.\nBibliografía\n[A] Aoyama, Sobre la profundidad y la dimensión proyectiva del módulo canónico, Japan J. Matemáticas.\n6 (1980), 61–69.\nBrodmann, M. y Hellus, M., Patrones cohomológicos de gavillas coherentes sobre proyectivas\nplanes, J. Puro y Appl. Alg. 172 (2002), 165–182.\n[Br] Brodmann, M., Comportamiento asintótico de la cohomología: mansedumbre, soportes y primos asociados,\nReunión Internacional Conjunta de la American Mathematical Society y la India Mathematical\nSociedad de Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica, Bangalore/India, 17 y 20 de diciembre,\n2003, Matemáticas contemporáneas 390 (2005), 31-61.\nBrodmann, M. y Sharp, R., Cohomología local, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (1998).\n[BH] Bruns, W. y Herzog, J., anillos Cohen-Macaulay (edición revisada), Cambridge Studies in Ad-\nMatemática avanzada 39, Cambridge University Press, 1998.\nCutkosky, S.D., Zariski descomposición de divisores en variedades algebraicas, Duke Math. 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En estas construcciones seguimos una estrategia que ya se utilizó en [CH] y\nque se refiere, a través de una secuencia espectral introducida en [HR], la cohomología local para el\ndos distinguidos ideales primos bigraded en un álgebra bigraded estándar.\nEn la primera parte consideramos álgebras con clasificaciones más bien generales y deducir un similar\nsecuencia espectral en esta situación más general. Un ejemplo típico de tal álgebra\nes el álgebra de Rees de un ideal calificado. La prueba de la secuencia espectral dada aquí es\nmás simple que la de la secuencia espectral correspondiente en [HR].\nEn la segunda parte de este artículo construimos ejemplos de los anillos de clasificación estándar A,\nque son álgebras sobre un campo K, de tal manera que la función\n(1) j 7→ dimK(H iA+(A)−j)\nes una función interesante para j â € 0. En nuestros ejemplos, esta dimensión será finita para todos\nSupongamos que A0 es un anillo local de Noetherian, A =\nj≥0Aj es un anillo graduado estándar y\nconjunto A+ :=\nj>0Aj. Que M sea un modulo A finitamente generado y F := M\ndivisión de M en Y = Proj(A). Luego hemos clasificado los isomorfismos del módulo A\nH i+1A+ (M)\nH i(Y,F(n))\npara i ≥ 1, y una expresión similar para i = 0 y 1.\nPor desaparición de Serre, H iA+(M)j = 0 para todos los i y j 0. Sin embargo, la asintótica\nel comportamiento de H iA+(M)−j para j â € 0 es mucho más misterioso.\nEn el caso cuando A0 = K es un campo, la función (1) es de hecho un polinomio para grandes\nSuficiente j. La prueba es una consecuencia de la dualidad local calificada ([BS, 13.4.6] o [BH, 3.6.19])\no sigue de la dualidad Serre en una variedad proyectiva.\nPara los módulos A0 más generales, HA+(M)−j son finitamente generados, pero no necesitan tener\nlongitud finita.\nEl siguiente problema fue propuesto por Brodmann y Hellus [BrHe].\nEl segundo autor fue parcialmente apoyado por NSF.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0102v1\nProblema de domesticación: ¿Son los módulos de cohomología locales H iA+(M) domesticados? Es decir, ¿es eso?\ncierto que o bien\n{H iA+(M)j 6= 0, \n¿A+(M)j = 0?\nEl problema tiene una solución positiva para A0 de pequeña dimensión (algunas de las referencias\nson Brodmann [Br], Brodmann y Hellus [BrHe], Lim [L], Rotthaus y Sega [RS]).\nTeorema 0.1 ([BrHe]). Si dim(A0) ≤ 2, entonces M es domesta.\nSin embargo, dos de los autores han demostrado recientemente que la domesticación puede fallar si\ndim(A0) = 3.\nTeorema 0,2 ([CH]). Hay ejemplos con dim(A0) = 3 donde M no es domesta.\nLa declaración de este ejemplo se reproduce en el Teorema 3.1 de este artículo. La función\n(1) es periódico para j grande. Específicamente, la función (1) es 2 para grande incluso j y es 0 para\ngran j impar.\nEn Teorema 3.3 construimos un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local\nque no es periódico, y ni siquiera es un cuasi polinomio (en −j) para j grande. Específicamente,\ntenemos para j > 0,\ndimK(H\n(A)-j) =\n1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde la característica de K es p. Tenemos pt • −1 (mod) (p + 1) para todos los impares t ≥ 0.\nTambién damos un ejemplo (Teorema 3.5) de fracaso de la domesticación donde (1) es un cuasi\npolinomio con crecimiento lineal en grado par y es 0 en grado impar.\nEn Teorema 3.6, damos un ejemplo dócil, pero tenemos\ndimK(H\nA) a j)\nasí que (1) está lejos de ser un cuasi polinomio en −j para j grande.\nMientras que el ejemplo de [CH] es para M = A, donde A es el módulo canónico de A, el\nejemplos del papel son todos para M = A. Esto nos permite reinterpretar fácilmente nuestros ejemplos\ncomo álgebras Rees en la Sección 4, y por lo tanto tenemos ejemplos de álgebras Rees sobre anillos locales\npara lo cual el fracaso de la mansedumbre antedicho sostiene.\nEn la sección final, sección 5, damos un análisis del papel explícito e implícito de\nbigraded duality en la construcción de los ejemplos, y algunos comentarios sobre cómo afecta\nla geometría de las construcciones.\n1. Dualidad para anillos polinomios en dos conjuntos de variables\nDeja que K sea cualquier anillo conmutativo (con unidad). En aplicaciones posteriores K será en su mayoría\nun campo. Además dejar S = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn], P = (x1,. .., xm) y Q =\n(y1,. ., yn).\nLa homología del complejo Čech CP ( ) (resp. CQ( )) será denotado por HP ( ) (resp.\nHQ( )). Note que para cualquier anillo conmutativo K, esta homología es la cohomología local\nsoportado en P (resp. Q), como P y Q son generados por una secuencia regular.\nAsumir que S está clasificado para algún grupo abeliano, y que deg(a) = 0 para un K.\nSi xsyp R, deg(xsyp) = l(s) + l′(p) con l(s) :=\ni si deg(xi) y l\n′(p) :=\nj pj deg(yj).\nDefinición 1.1. Deja que yo sea un ideal de grado. La clasificación de S es I-afilada si H iI(S)γ\nes un K-módulo finitamente generado, para cada i y γ.\nLemma 1.2. Las condiciones siguientes son equivalentes:\n(i) la clasificación de S es P -afilada.\nii) la clasificación de S es Q-sharp.\niii) para todos los γ, (α, β): α ≥ 0, β ≥ 0, l(α) = γ + l′(β) < \nNótese que si K es Noetherian, M es un módulo S de grado S de generación finita, y el\nEl grado de S es I-afilado, entonces H iI(M)γ es un K-módulo finito, para cada i y γ. Esto\nsigue de la secuencia espectral convergente Hp−q (H)\nI (F) H\nI (M), donde F\nes una resolución S libre de grado de M con Fi finito para cada i.\nA partir de ahora asumiremos que la clasificación de S es P -afilada (equivalentemente Q-\nafilada). Set = deg(x1 · · · xmy1 · · · · yn), y si N es un módulo graduado, a continuación, dejar que N =\nHomS(N,S()) y N* = *HomK(N,K) donde la clasificación de N* es dada por (N*)γ =\nHomK(N,K). Más generalmente, siempre denotamos el K-dual calificado de un mod-\nule N (por encima de lo que calificaba de K-álgebra en cualquier caso) por N*. Finalmente denotamos por el mapa\nS(−a) → S(−b) inducido por la multiplicación por xαyβ donde a = deg xα y b = − deg yβ.\nLemma 1.3. HmP ()γ\n* HnQ()*.\nPrueba. El K-moduleHmP libre (S)γ es generado por los elementos x\n− s− 1yp con s, p ≥ 0 y\n−l(s)− l(1) + l′(p) = γ, y HnQ(S) se genera por los elementos xty−q−1 con t, q ≥ 0\ny l(t)− l′(q)− l′(1) =.\nLet dγ : H\nP (S)γ → (HnQ(S):*)γ = HnQ(S) ser el mapa K-lineal definido por\n−s−1yp(xty−q−1) =\n1, si s = t y p = q,\n0, si no.\nEntonces dγ es un isomorfismo (porque el grado de R es Q-afilado) y hay un com-\ndiagrama mutatis mutandis\nHmpP (S)a\n() HmP (S)b\n\n(HnQ(S)a)\n(HnQ(S)b)*.\nLa afirmación es la siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nComo consecuencia inmediata obtenemos\nCorollary 1.4. (a) Que f • S sea un elemento homogéneo de grado a–b, y • S(−a) →\nS(−b) el mapa grado cero inducido por la multiplicación con f.\nHmP () HnQ()*.\n(b) Que F sea un complejo de S-módulos libres finitamente generados. Entonces\ni) H iP (F) = 0 para i 6= m y H\nQ(F) = 0 para j 6= n,\nii) HmP (F) HnQ(F)*.\nComo resultado principal de esta sección tenemos\nTeorema 1.5. Suponga que K es Noetheriano, el grado-de-S es P -afilado (equivalentemente\nQ-sharp) y M es un modulo S de grado finitamente generado. Set S/K := S(). Dejad en paz a F.\nuna resolución S mínima de M. Entonces,\n(a) Para todos i, hay un isomorfismo functorial\nHiP (M) Hm−i(HmP (F)).\n(b) Hay una secuencia espectral convergente de la categoría.\nH iQ(Ext\nS(M,S/K)) H\ni+j−n(HmP (F)\nEn particular, si K es un campo, hay una secuencia espectral convergente de grado.\nH iQ(Ext\nS(M,.............................................................................................................................................................................................................................................................\ndimS−(i+j)\nP (M)\nPrueba. La reclamación a) es una consecuencia inmediata del corolario 1.4 a través de las especificaciones de la categoría...................................................................................................................................................\nsecuencia tral Hp−i(H\nP (F)) H iP (M). Para (b), las dos secuencias espectrales que surgen de\nel CQF+ doble complejo tiene como segundo términos respectivamente ′Eij2 = H iQ(Ext\nS(M,S/K)),\n2 = 0 para i 6 = n y ′′E\n2 = H\nj(HnQ(F)\n*) Hj(HmP (F)*). Si K más es un campo,\nHj(HmP (F)\n*) (Hj(HmP (F))* H\nP (F)\nCorollary 1.6. Bajo las hipótesis del teorema, si K es un campo, entonces para cualquier γ\nhay secuencias espectrales convergentes de espacios K-vector de dimensión finita\nH iQ(Ext\nS(M,R)\ndimS−(i+j)\nP (M),\nH iP (Ext\nS(M,R)\ndimS−(i+j)\nQ (M).\nAhora consideramos el caso especial de que = Z2, S := K[x1,. .., xm, y1,. .., yn] con\ndeg(xi) = (1, 0) y deg(yj) = (dj, 1) con dj ≥ 0. Set T := K[x1,. .., xm] y dejar M ser\na Módulo S de categoría S. Vemos a M como un módulo de grado Z definiendo Mk =\nj M(j,k).\nObserve que cada Mk en sí es un modulo T graduado con (Mk)j = M(j,k) para todos j. Nosotros también.\nnote que HiP (M)k\n• = H iP0(Mk), como se puede ver en la definición de la cohomología local\nutilizando el complejo Čech. Aquí P0 = (x1,. .., xm) es el ideal máximo clasificado de T.\nCorollary 1.7. Con la notación introducida, s := dimS = m + n y d := dimM.\na) H0P (Ext\nS (M,.............................................................................................................................................................................................................................................................\n• = HdQ(M)* para cualquier k,\n(b) hay una secuencia exacta\n0→H1P (Exts−dS (M,S))→H\nQ (M)\nH0P (Exts-d+1S (M,S)).\nc) Dejar i ≥ 2. Si ExtjS(M,?S) es aniquilado por un poder de P para todos s-d < j < s-d+i,\nentonces hay una secuencia exacta\nExts−d+i−1S (M,S)→H\nP (Ext\nS (M,S))→H\nQ (M)\nH0P (Exts-d+iS (M,S)).\nEn particular, si Ext\nS(M) tiene longitud finita para todos los s − d < j ≤ s − d+ i0, para algunos\nentero i0, entonces\nH iP0(Ext\nS (M,S)k)\n= (Hd-iQ (M)−k)\n* para todos los i ≤ i0 y k ≤ 0.\nEn consecuencia, si M es un módulo generalizado Cohen-Macaulay (es decir, Exts-iS (M,\nlongitud finita para todos los i 6=d), y si establecemos N = Exts−dS (M,\nH iP0 (Nk)\n= (Hd-iQ (M)−k)\n* para todos los i y todos los k â € 0.\nPrueba. a), b) y c) son consecuencias directas del corolario 1.6. Para la solicitud, notificación\nque si γ = (l, k) • • con k • 0 uno tiene ExtjS(M,•S)γ = 0 para todos los s− d < j ≤ s− d+ i0.\nPor lo tanto, para tal γ, la conclusión deseada sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nUn ejemplo típico al que se aplica esta situación es el álgebra de Rees de un ideal calificado\nI en el anillo polinomio estándar T = K[x1,. .., xm]. Digamos, yo soy generado ser el\npolinomios homogéneos f1,. ..., fn con deg fj = dj para j = 1,..., n. Entonces el Rees\nálgebra R(I) T [t] se genera los elementos fjt. Si establecemos deg fjt = (dj, 1) para todos j\ny deg xi = (1, 0) para todos los i, entonces R(I) se convierte en un modulo S de grado S a través de la álgebra-K\nhomomorfismo S → R(I) con xi 7→ xi y yj 7→ fjt.\nDe acuerdo con esta definición tenemos R(I)k = Ik para todos k.\nPuesto que dimR(I) = m+1, el módulo R(I) = Extn−1S (R(I), فارسىS) es el módulo canónico\nde R(I) (en el sentido de [HK, 5. Vortrag]. Recordemos que si un anillo R es un módulo S finito\nde la dimensión m + 1, el mapa finito natural R→Hom(R, R) = Extn−1S (R, S) es un\nisomorfismo si y sólo si R es S2. Así, en combinación con el corolario 1.7 obtenemos\nCorollary 1.8. Let R := R(I). Supongamos que Rp es Cohen-Macaulay para todos p 6= (m, R+)\ndonde m = (x1,. .., xm) y R+ =\nk>0 I\nktk. Entonces\nH im(I)\nk) (Hm+1−iR+ (R)−k)\n* para todos los i y todos los k â € 0.\nPrueba. Puesto que la R se localiza, las condiciones implican que (R)p es Cohen-Macaulay para todos p 6=\n(m, R+). Por lo tanto lo natural en el mapa R→R′ := Extn−1S (R, S) tiene un cokernel de finito\nlongitud. En particular, R′k = Rk = I\nk para k + 0. Así pues, el corolario 1,7 se aplicó a M = R\nda la conclusión deseada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 1.9. Let R := R(I). Si el cokernel de R→Hom(?R,?R) es aniquilado por un\npotencia de R+ (en otras palabras, la explosión es S2, como un esquema proyectivo sobre Spec(T)),\nentonces R′k = I\nk para k 0 y por lo tanto uno tiene una secuencia exacta\n0→H0m(T/Ik)→(HmR+(R)−k)\nH0m(ExtnS(R,S)k)→H1m(T/Ik)→(Hm−1R+ (R)k)\npara tal k.\n2. Un método de construcción de ejemplos\nSupongamos que R =\ni,j≥0Rij es un álgebra bigrada estándar sobre un anillo K = R00.\nDefinir Ri =\nj≥0Rij y Rj =\ni≥0Rij. Definir ideales P =\ni y Q =\nj>0Rj\nen R. Supongamos que M =\nijÃ3zMij es un modulo R de generación finita, bigraded. Definir\nM i =\njáZMij y Mj =\niZMij. M\ni es un R0-módulo graduado y Mj es un graduado\nR0-módulo. Dejar Q0 = R01R\n0, por lo que Q = Q0R. Dejar P0 = R10R0 para que P = R10R. Nosotros\ntienen isomorfismos del módulo K\nH lQ(M)m,n\n• = H lQ0(M\npara m,n â € Z. Dejemos que Mìm sea la sheafificación del módulo R0-Mm graduado en Proj(R0).\nTenemos isomorfismos del módulo K\nH lQ0(M\nm)n = H l−1(Proj(R0), Mśm(n))\npara l ≥ 2 y secuencias exactas\n0 → H0Q0(M\nm)n → (Rm)n = Rm,n → H0(Proj(R0), Mśm(n)) → H1Q0(M\nm)n → 0.\nTenemos fórmulas similares para el cálculo de H lP (M).\nAhora supongamos que X es un esquema proyectivo sobre K y F1 y F2 son una línea muy amplia\npaquetes en X. Vamos.\nRm,n=(X,Fm1 F\nRequerimos que R =\nm,n≥0Rm,n ser una álgebra K bigranada estándar. Tenemos\nX = Proj(R0) = Proj(R0).\nLa sheafification del R0-módulo grado Rm en X es Rśm = Fm1, y la sheafification\ndel módulo R0-Rn clasificado en X es Rn = Fn2 (Ejercicio II.5.9 [Ha]).\nPara l ≥ 2 tenemos isomorfismos bigrado\nH lQ(R)\nH lQ0(R\nm)n â € =\nm≥0,nÃ3rZ\nH l−1(X,Fm1 F\nViendo R como un álgebra R0 graduada, por lo tanto hemos clasificado isomorfismos\n(2) H lQ(R)n\nH l−1(X,Fm1 F\npara l ≥ 2 y n ≤ Z. Let d = dim(R) = dim(X) + 2.\nAhora suponemos además que K es un campo cerrado algebraicamente y X es un nonsingular\nVariedad K. Vamos.\nV = P(F1+F2),\nun paquete de espacio proyectivo sobre X con proyección η : V → X. Dado que F1+F2 es un amplio\npaquete en X, OV (1) es amplio en V. Desde\n(V,OV (t))\n• (V,OV (t)) • (X,St (F1) • (F2)) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ni+j=t\ny R se genera en grado 1 con respecto a esta clasificación, OV (1) es muy amplio en V y\nR es el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad proyectiva no singular V, de modo que R\nes generalizado Cohen Macaulay (todos los módulos de cohomología local H iR+(R) de R con respeto\na la máxima bitraded ideal R+ de R tienen longitud finita para i < d). Además, tenemos que\nV es proyectivamente normal por esta incrustación (Ejercicio II.5.14 [Ha]) de modo que R es normal.\n3. Comportamiento extraño de la cohomología local\nEn [CH], construimos el siguiente ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local.\nEn el ejemplo, R0 tiene la dimensión 3, que es la más baja posible para el fracaso de la domesticación\n[Br].\nTeorema 3.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j â € 0,\ndimK(H\nQ(R)j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde R es el módulo canónico de R, Q =\nn>0Rn.\nPrimero mostramos que el teorema anterior también es cierto para la cohomología local de R.\nTeorema 3.2. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Calculamos esto directamente para la R del Teorema 3.1 a partir de (2) y los cálculos de\n[CH]. Traduciendo de la notación de este artículo a la notación de [CH], tenemos X = S\nes una superficie abeliana, F1 = OS(r2laH) y F2 = OS(r2(D + alH)).\nPor (2) de este documento, para n â € N, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\nm≥0 h\n1 (X,Fm1 F)\nm≥0 h\n1 (S,OS((m+ n)r2alH + nr2D)).\nLa fórmula (1) de [CH] nos dice que para m,n-n-Z,\n(3) h1(S,OS(mH + nD)) =\n2 si m = 0 y n es par,\nDe lo contrario.\nAsí para n < 0, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\n2 si n es par,\n0 si n es impar,\ndando las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl siguiente ejemplo muestra un fallo no periódico de domesticación.\nTeorema 3.3. Supongamos que p es un número primo tal que p • 2 (mod) 3 y p ≥ 11.\nEntonces existe un estándar normal de K-álgebra R0 sobre un campo K de características\np con dim(R0) = 4, y un R0-álgebra R normal graduado con dim(R) = 5 tales\nque para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde Q =\nn>0Rn. Tenemos p\nt • −1(mod)(p + 1) para todos los t impares ≥ 0.\nPara establecer esto, necesitamos el siguiente simple lema.\nLemma 3.4. Supongamos que C es una curva no singular del género g sobre un algebraicamente cerrado\ncampo K, y M, N son paquetes de línea en C. Si deg(M) ≥ 2(2g+1) y deg(N) ≥ 2(2g+1),\nluego el mapa natural\n(C,M) (C,N) (C,N) → (C,MN)\nes una suposición.\nPrueba. Si L es un paquete de línea en C, entonces H1(C,L) = 0 si deg(L) > 2g − 2 y L es muy\namplio si deg(L) ≥ 2 g + 1 (capítulo IV, sección 3 [Ha]).\nSupongamos que L es muy amplia y G es otro paquete de línea en C. Si deg(G) > 2g − 2−\ndeg(L), entonces G es 2-regular para L (Lectura 14, [M1]. Así, si deg(G) > 2g − 2 + deg(L),\n(C,G) (C,L) (C,L) → (C,G L)\nes una suposición de la Proposición de Castelnuovo, Conferencia 14, página 99 [M1].\nAhora aplicamos lo anterior para probar el lema. Escribe M = Aq B donde A es una\nconjunto de líneas de modo que deg(A) = 2g + 1, y 2g + 1 ≤ deg(B) < 2,2g + 1). deg(N) >\n2g − 2 + deg(A). Por lo tanto, existe una superposición\n* (C,N ) * (C,A) * (C,A) * (C,AN ).\nHacemos iteraciones para conseguir surjecciones\n(C,Ai N ) (C,A) → (C,A(i+1) N )\npara i ≤ q, y una superficie\n(C,Aq N ) (C,B) → (C,MN ).\nAhora probamos el Teorema 3.3. Para la construcción, comenzamos con un ejemplo de\nSección 6 de [CS]. Existe un campo cerrado algebraicamente K de p característica, una curva\nC del género 2 sobre K, un punto q ° C y un haz de líneas M sobre C de grado 0, de tal manera que para\nn ≥ 0,\nH1(C,OC (q)Mn) =\n1 si n = pt para algunos t ≥ 0,\nDe lo contrario.\nAdemás, H1(C,OC (2q)Mn) = 0 para todos los n > 0.\nDejar a = p+ 1. Dejar E ser una curva elíptica sobre K, y dejar T = E × E, con proyecciones\nηi : T → E. Let b E be a point and let A = 1(OE(b)) 2(OE(b)). Dejar X = T × C,\ncon proyecciones de 1°: X → T, 2°: X → C. Let L = OC(q). Vamos.\nF1 = 1(A)a 2(L)a,\nF2 = 1(A)(1+a) 2(L(1+a) M−1).\nPara m,n ≥ 0, tenemos\n(X,Fm1 F)\n2 ) = (T,A(ma+n(1+a))) (C,L(ma+n(1+a)) Mn)\n= (T,Aa) m (T,A(1+a))n (C,La)m (C,L(1+a) M−1)n\n= (X,F1)m (X,F2)n\npor la fórmula Künneth (IV de la Conferencia 11 [M1]) y Lemma 3.4.\nLet Rm,n = (X,Fm1 F)\n2 ). R =\nm,n≥0Rm,n es una álgebra K bigranada estándar por\n4). Por lo tanto (2) se mantiene.\nPor el teorema de Roch Riemann, calculamos,\n(5) h0(C,Lr Ms) = h1(C,Lr Ms) + r − 1,\ny para s < 0,\n(6) h1(C,Lr Ms) =\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n1− r r < 0,\n1 r = 0, s < 0,\n1 r = 1, s = −pt, para algunos t • N,\n0 r = 1, s 6 = −pt para algunos t â € N,\n0 r = 2, s < 0,\n0 r ≥ 3.\nMás adelante tenemos\n(7) h1(T,Ar) =\n0 r 6= 0,\n2 r = 0,\n(8) h0(T,Ar) =\n0 r < 0,\n1 r = 0,\nr2 r > 0.\nPor (2), para n â € Z, tenemos\ndimK(H\nQ(R)n) =\nh1(X,Fm1 F\nPor la fórmula Künneth,\nH1(X,Fm1 F\n= H0(T,A(ma+n(1+a)))H1(C,L(ma+n(1+a)) Mn)\n•H1(T,A(ma+n(1+a)))H0(C,L(ma+n(1+a)) Mn).\nAsí por (5) - (8), tenemos para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n1 j 0 (mod) a,\n1 j = pt para algunos t impar â € N,\nDe lo contrario.\ny tenemos las conclusiones del Teorema 3.3.\nTeorema 3.5 da un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local con mayor\ncrecimiento.\nTeorema 3.5. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 de grado estándar sobre K con dim(R0) = 4, y un estándar normal graduado\nR0-álgebra R con dim(R) = 5 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\n6j si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Deja que E sea una curva elíptica sobre K, y deja que q E sea un punto. Let L = OE(3q). Por\nProposición IV.4.6 [Ha], L es muy amplia en E, y\n(9) N ≥ 0(E,Ln)\nse genera en grado 1 como álgebra-K. En el caso de n° N,\n(10) h0(C,Ln) =\n0 n < 0,\n1 n = 0,\n3n n > 0.\n(11) h1(C,Ln) =\n−3n n < 0,\n1 n = 0,\n0 n > 0.\nLet X = E3, con las tres proyecciones canónicas πi : X → E. Definir\nF1 = 1(L2) 2(L2) 3(L2)\nF2 = 1(L) 2(L) 3(L2).\nRm,n=(X,Fm1 F\nm,n≥0\nRm, n.\nPor (9) y la fórmula Künneth, R es bigraded estándar. Por (2), el hecho de que X = OX\ny la dualidad Serre,\ndimK(H\nQ(R)−j) =\nh2(X,Fm1 F\n2 ) =\nh1(X,Fm1 F\npara j â € Z.\nAhora por (10), (11) y la fórmula Künneth, tenemos que para n > 0,\nh1(X,Fm1 F\n2 ) =\n0 si 2m+ n 6= 0,\n2h0(X,Ln) si 2m+ n = 0.\nAsí, las conclusiones de Teorema 3.5 sostienen. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEl siguiente teorema da un ejemplo de domesticación, pero aún así bastante extraño cohomol local-\nOgy. Que [x] sea el número entero más grande en un número real x.\nTeorema 3.6. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal\nR con dim(R) = 4 tales que para j > 0,\ndimK(H\nQ(R)−j) = 162\ndimK(H\nQ(R)-j)\ndonde Q =\nn>0Rn.\nPrueba. Utilizamos el método del Ejemplo 1.6 [Cu]. Dejar E ser una curva elíptica sobre un\ncampo algebraicamente cerrado K, y dejar que p â € E ser un punto. Let X = E × E con proyecciones\nηi : X → E. Let C1 = 1(p), C2 = 2(p) y\n* = {(q, q) * q * E}\nser la diagonal de X. Calculamos (como en [Cu]) que\n(12) (C21 ) = (C\n2 ) = ( )\n2) = 0\n(13) (• · C1) = (• · C2) = (• C1 · C2) = 1.\nSi N es un paquete de líneas amplias en X, entonces\n(14) H i(X,N ) = 0 para i > 0\npor el teorema de desaparición de la Sección 16 [M2].\nSupongamos que L es un paquete de línea muy amplio en X, y M es un efectivo numérico (nef)\nUn paquete de líneas. Entonces M es 3 regular para L, por lo que\n(X,MLn) (X,L) → (X,ML(n+1))\nes una sobreyección si n ≥ 3. C1 + 2C2 es un divisor amplio por el criterio Moishezon Nakai\n(Teorema V.1.10 [Ha]), de modo que 3(C1+2C2) es muy amplio por el teorema de Lefschetz (Teorema,\nSección 17 [M2]). Vamos.\nF1 = OX(9(C1 + 2C2)).\nEntonces OX es 3 regular para OX(3(C1 + 2C2)), por lo que tenemos suposiciones\n* (X,Fn1 ) * (X,F1) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F)\n(n+1)\npara todos los n ≥ 1.\nC2 es amplio por el criterio de Moishezon Nakai. Dejar D = 3(C2). D es muy amplio\npor el teorema de Lefschetz, y por lo tanto OX(D)F1 es muy amplio. Vamos.\nF2 = OX(3D)F31.\nOX es 3 regular para OX(D)F1, por lo que tenemos suposiciones\n(X,F2n) (X,F2) → (X,F(n+1)2 )\npara todos los n ≥ 1.\npara n > 0 y m ≥ 0, tenemos\nFm1 F\n= OX(3nD)F(m+3n)1.\nDado que D es nef, es 3 regular para F1, y tenemos una superficie para todos m ≥ 0, n > 0,\n(X,Fm1 F)\n2 ) •(X,F1) → •(X,F\n(m+1)\nRm,n=(X,Fm1 F\nHemos demostrado que m,n≥0Rm,n es un estándar bigrad K-álgebra. Por lo tanto (2) se mantiene.\nPara m,n Z, let G = Fm1 F\n2. Como en el ejemplo 1.6 [Cu], y por (14) y Serre\nDualidad (X=OX ya que X es una variedad abeliana), deducimos que\n1. (G2) > 0 y (G · F1) > 0 implican que G es amplio y h1(X,G) = h2(X,G) = 0.\n2. (G2) < 0 implica h0(X,G) = h2(X,G) = 0.\n3. (G2) > 0 y (G · F1) < 0 implican que G−1 es amplio y h0(X,G) = h1(X,G) = 0.\nDejemos que el valor de 2 ° = −4−\ny فارسى1 = −4 +\nUsando (12) y (13), computamos\n(F21 ) = 2 · 162, (F2)2 = 31 · 162, (F1 · F2) = 8 · 162.\nTenemos\n(G2) = 324(m2 + 8mn+ 31\n= 324(m− Ł1n)(m− Ł2n).\n(G · F1) = 324(m + 4n).\nA partir de 2 °C < 4 < 1 °C < 0, para n < 0 y m °C, tenemos\n1. m > Ł2n si y sólo si G2 > 0 y G · F1 > 0\n2............................................................................................................................................................................................................................................................... \n3. m < Ł1n si y sólo si (G2) > 0 y (G · F1) < 0.\nPor el Teorema de Roch de Riemann para una superficie Abeliana (Sección 16 [M2]),\nχ(G) = 1\n(G2).\nPor lo tanto, para m+ Z y n < 0,\nh1(X,G) =\n(G2) = −162(m2 + 8mn+ 31\nn2), si Ł1n < m < Ł2n,\nDe lo contrario.\nEn el caso de n+Z, déjese (n) = dimK(H2Q(Rn)). Por (2),\n(n) =\nh1(X,Fm1 F\nPara n < 0, tenemos\n(n) = −162(\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(m2 + 8mn+\nn2)).\nAjuste r = m+ 4n, tenemos\n(n) = −162(\nn 0\nTal que (X,Fl1 F\n2 ) 6= 0. Así tenemos una incrustación F2 F\n1 • OX. Vamos.\nA = F2 F−l1, que hemos incrustado como una vaina ideal de X. Para j ≥ 0 e i ≥ jl,\nTij = (X,Fi1 Aj) = Ri−jl,j.\nPara j ≥ 0, Tj =\ni≥jl Tij y T =\nj≥0 Tj. Let B =\nj>0 Tj. R\n= T como anillos clasificados\nsobre R0 T0, aunque tienen diferentes estructuras bigraded. Así que para todos i, j tenemos\n(15) H iB(T)j\n= H iQ(R)j.\nT1 es un ideal homogéneo de T0, y T es el álgebra de Rees de T1. Así que todo el examen...\nples de la sección 3 se puede interpretar como álgebras Rees sobre anillos normales T0 con aislados\nsingularidades.\nAsí obtenemos los siguientes teoremas de los teoremas 3.2 - 3.6. Teoremas 4.1, 4.2 y\n4.3 dar ejemplos de álgebras Rees con cohomología local no domestica.\nTeorema 4.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,\nálgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3 y un ideal graduado A T0 tal que el\nRees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) =\n2 si j es par,\n0 si j es impar.\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nTeorema 4.2. Supongamos que p es un número primo de tal manera que p 2 (mod)3 y p ≥ 11.\nLuego existe un estándar normal de K-álgebra T0 sobre un campo K de características\np con dim(T0) = 4, y un ideal calificado A â € T0 tal que el álgebra de Rees T = T0[En] de\nA es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nQ(T)−j) =\n1 en el caso de j Ł 0(mod)(p + 1),\n1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,\n0 en caso contrario,\ndonde B es el AtT ideal clasificado de T. Tenemos pt • −1(mod)(p + 1) para todos los impares t ≥ 0.\nTeorema 4.3. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,\nT0 K-álgebra grado estándar con dim(T0) = 4 y un ideal grado A â € T0 tal que el\nRees álgebra T = R0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) =\n6j si j es par,\n0 si j es impar,\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nTeorema 4.4. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.\nálgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3, y un ideal de clasificación A T0 tal que el\nRees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,\ndimK(H\nB(T)-j) = 162\ndimK(H\nB(T)-j)\ndonde B es el ideal clasificado AtT de T.\nAl localizar en el ideal máximo graduado de T0, obtenemos ejemplos de álgebras de Rees\nde anillos locales con extraña cohomología local.\nEn todos estos ejemplos, T0 es generalizado Cohen Macaulay, pero no es Cohen Macaulay.\nEsto sigue desde que en todos estos ejemplos,\nH2P0(R0)0\n= H1(X,OX) 6= 0.\n5. La dualidad local en los ejemplos\nEl ejemplo de [CH], dando el fracaso de la domesticación de la cohomología local, se indica en el\norem 3.1 de este documento. La prueba de [CH] utiliza el teorema de dualidad local bigraded de\n[HR], que ahora sigue del teorema de dualidad local mucho más general, The-\norem 1.5 y el corolario 1.7 de este documento, para concluir que en nuestra situación, donde R es\ngeneralizado Cohen Macaulay,\n16) (Hd-iQ (R)j)\n* = H.i.P. (R)j\npara j â € 0.\nEn [CH], la fórmula\nH iP (R)j\n= H iP0(Rj)\ni−1(X, Rśj(m))\ni−1(X,Fm1 F\npara i ≥ 2 y j ≥ 0 se utiliza entonces con la fórmula (1) de [CH] ((3) de este documento) para demostrar\nTeorema 3.1.\nEn la sección 2 derivamos (2) de la cual calculamos directamente la cohomología local en el\nejemplos de este documento. Hacemos uso esencial de la dualidad Serre en X en la computación\nejemplos.\nEn esta sección, mostramos cómo (16) se puede obtener directamente a partir de la geometría de X y\nV, y cómo esta fórmula puede ser interpretada directamente como dualidad Serre en X.\nQue la notación sea como en la sección 2, de modo que K es un campo algebraicamente cerrado, F1 y F2\nson paquetes de línea muy amplios en la variedad nonsingular X.\nDeja que R sea el módulo de dualización de R, y deja que X sea el paquete canónico de X (que\nes una vaina dualizante en X). Para un módulo K W, deje W ′ = HomK(W,K).\nLemma 5.1. Tenemos eso.\n(R)ij =\n(X,Fi1 F)\n2 X) si i ≥ 1 y j ≥ 1\nDe lo contrario.\nConjunto (R)\n(R)i, j, una calificación R\nMódulo 0. La esquilación de (R)\ni en X es\n(18) (R)i =\nFi1 X si i ≥ 1\n0 si i ≤ 0.\nConjunto (R)j =\nEl módulo R0 es un módulo de R0 graduado. La esquilación de (R)j en X es\n(19) (R)j =\nFj2 X si j ≥ 1\n0 si j ≤ 0.\nPrueba. Dar R la clasificación donde los elementos de grado e en R son [R]e =\ni+j=eRij.\nNos hemos dado cuenta de R (con esta clasificación) como el anillo de coordinación de la incrustación proyectiva-\nding de V = P(F1+F2) por el divisor muy amplio OV (1), con proyección η : V → X.\nVamos a V ser el paquete de línea canónica en V. Primero calculamos V. Deja que f sea una fibra de\nel mapa : V → X. Por adjunción, tenemos que (f · • V ) = − 2. Desde\nPic(V) = ZOV (1) (Pic(X)),\nvemos que existe un paquete de línea G en X de tal manera que\nV = OV (−2) (G).\nLa secuencia exacta de división natural\n(20) 0 → F2 → F1+F2 → F1 → 0\ndetermina una sección X0 de X, tal que de la secuencia exacta\n0 → OV (1)OV (−X0) → OV (1) → OV (1) OX0 → 0\nes (20) (Proposición II.7.12 [Ha]). Por lo tanto\nOV (1) OV (−X0) = (F2)\nOV (1)OX0 = F1.\nPor adición, tenemos que el paquete de línea canónica de X0 es\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nJuntando lo anterior, vemos que\nG F1 F2 X.\nV = OV (−2) (F1 F2 X).\nNos damos cuenta de R como un cociente bigraded de un anillo polinomio bigraded\nS = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn],\ncon deg(xi) = (1, 0) para todos los i y deg(yj) = (0, 1) para todos los j. Viendo a S como un K-\nálgebra con la clasificación determinada por d(xi) = d(yj) = 1 para todos i, j, tenemos un proyectivo\nincrustado V-P = Proj(S). Puesto que V es no-singular, vemos en la Sección III.7 de [Ha]\nV = ExtrP(OV,Op(−e))\ndonde e = m+ n es la dimensión de S, y r = e− dim(R). Se define como:\nR = *Ext\nS(R,S(−e))\nExtrP(OV,OP(m− e)).\nEn el caso de m â € 0,\n(P, ExtrP(OV,Op(m− e))) = ExtrP(OV,OP(m− e))\n(Proposición III.6.9 [Ha]). Por lo tanto, R y\n(V ) =\n(V, V (m))\nson isomórficos en alto grado. Dado que ambos módulos tienen una profundidad ≥ 2 en el bigrad máximo\nideal de R, vemos que\n* R = (V ).\nmâ € € (V, â € € (m))\n(V,OV (m-2) (F1 F2 -X)).\nPuesto que una fibra f de η satisface (f ·OV (m− 2)(F1F2)) < 0 si m < 2, vemos que (con\nEsta clasificación) [R]m = 0 si m < 2 y para m ≥ 2, tenemos\n[R]m = (X,S\nm−2(F1 F2)F1 F2)\ni+j=m−2 فارسى(X,F\n(i+1)\n(j+1)\n2 X).\nA continuación figuran las conclusiones del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nSupongamos que 2 ≤ i ≤ d − 2. Dado que F1 y F2 son amplias, y d − (i + 1) > 0, hay\nexiste un número natural n0 tal que\n(21) Hd−(i+1)(X,Fm1 Fn2 X) = 0\npara n ≥ n0 y todos los m ≥ 0.\nPara (18), hemos clasificado los isomorfismos\n(22) H iQ(R)n\nH i−1(X,Fm1 F\n2 X)\npara n.o Z.o.p.\nPor la dualidad Serre,\n(23) H iQ(R)n\n(Hd−i−1(X,Fm1 F)\nPor (21), no existe tal que\n(24) H iQ(R)−n\n(Hd−i−1(X,Fm1 F)\npara n ≥ n0.\nAhora aplique el functor L* = HomK(L,K) en módulos R0 clasificados, con la clasificación\n(L*)i = HomK(L-i,K)\na (24), y comparar con (17), para obtener\n(25) Hd−iP (R)n\n= (H iQ(R)−n)*\npara n ≥ n0, del que (16) sigue inmediatamente.\nAhora podemos verificar que el teorema 3.1 es de hecho cierto para todos j > 0, usando (22) y (3).\nFinalmente comentamos que se obtiene una prueba alternativa de Teorema 3.2 para j â € 0\nde Teorema 3.1, Fórmulas (2) y (22), el hecho de que X es una variedad abeliana para que\nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x\nh1(X,Fn2 ) = h\n1 (X,Fn2 ) = 0\npara n > 0.\nBibliografía\n[A] Aoyama, Sobre la profundidad y la dimensión proyectiva del módulo canónico, Japan J. 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B. Pascal, V. P. Nenni 48, Pomezia (Roma), Italia.\nCorreo electrónico: gianluca.gemelli@poste.it\nResumen\nLa consistencia física de la coincidencia de las métricas tipo C0 es\nDebatida. La teoría matemática de la discontinuidad gravitacional hy-\npersuperficies se generaliza para cubrir el partido de regular discontinua\nmétricas. El marco de geometría diferencial de valor medio en un hy-\nse introduce persuperficie, y las condiciones de compatibilidad correspondientes\nse deducen. Ejemplos de capas de contorno generalizadas, gravitacional\nSe estudian las ondas de choque y las conchas delgadas.\nPresentado a Int. J. Theor. Phys.\n1 Introducción\n¿Es posible definir soluciones débiles de las ecuaciones Einstein de clase\nC0 a trozos, es decir, generalizar las condiciones de compatibilidad que sustituyen\nlas ecuaciones de campo en una hipersuperficie singular al caso cuando la métrica es\n¿Con regularidad discontinua?\nAlcanzar este objetivo significaría probablemente definir la clase más general\nde soluciones débiles regularmente discontinuas de las ecuaciones de Einstein. Parece\nque este problema nunca había sido estudiado antes en la literatura. Pero, antes de que nosotros\nProcede, tenemos que discutir si estamos hablando de algo mathemat-\ncial y físicamente consistente o no.\nUn concepto fundamental de la geometría Riemanniana es que en cualquier punto de\nun submanifold hay opciones de coordenadas para las que la métrica se reduce a\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0103v1\nla métrica plana de Minkowski. Evidentemente, si esta elección se hace en ambos lados de la\nla superficie de discontinuidad, cualquier “salto” en la métrica desaparece. Por lo tanto, la\ndiscontinuidad métrica aparece como un concepto dependiente de coordenadas, que es\nni geométricamente (ni físicamente) aceptable en el contexto de\nRelatividad.\nPero también tenemos que considerar que la regularidad de las coordenadas globales juega\nun papel importante en nuestro enfoque, que es el de [1] y de la literatura\ncitado en el mismo. En particular, ya que aquí el espacio tiempo es sólo C0, nos llevan a\nconsiderando las transformaciones de coordenadas (C0, C1) a trozos. Si la métrica es\ndiscontinuo en algún gráfico global de C0, es en general imposible obtener\nla desaparición del salto métrico a ambos lados de una hipersuperficie con un C0\ntransformación de coordenadas (ver sección 2). Moeover en el siguiente somos\nllevó de una manera natural a considerar las transformaciones de coordenadas C1; la métrica\n¡La discontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas!\nEn otras palabras, el salto de la métrica tiene una media matemática precisa-\ning, si lo consideramos en relación con las coordenadas regulares globales.\nEn un procedimiento bien consolidado, el supuesto de continuidad para el\nmétrica a través de una interfaz gravitacional generalmente se da por sentado; sin embargo\nse deriva del proceso de limitación de la modelización sándwich fino, en\nconsecuencia de la hipótesis de que los derivados externos de la métrica\nse delimitan [2]. Sin embargo, en este documento vamos a ver que, incluso la eliminación\nla suposición de continuidad, todavía es posible definir un interior generalizado\ngeometría de la hipersuperficie de discontinuidad; uno así puede encontrar consistentemente\nun conjunto generalizado correspondiente de condiciones de compatibilidad, que, evidentemente,\nse reduce a los habituales cuando se restablece la hipótesis de continuidad.\nSin embargo, ¿cuáles son las motivaciones físicas para pasar a tal generalización?\nEn realidad las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas son generalmente definidas por el\npresencia de curvatura singular con un componente “delta” concentrado en una\nhipersuperficie, situación que está bien moldeada dentro del clásico C0 piecewise-C1\nCoincidencia de las métricas [1, 3].\nOriginalmente fuimos llevados a considerar soluciones de clase-C0, como pos-\ngeneralizaciones de ondas de choque y conchas delgadas, por el bien de la mathe-\nmatical completo, con la idea de que la interpretación física seguiría.\nEn realidad encontramos un marco de alcance más que el habitual, con algunos en-\nnuevas características teresantes (e incluso algunas más bien indeseables), que nosotros\nexhibido en este papel.\nHay dos teorías principales en la literatura para las soluciones de la clase C0\nC1, es decir, que en términos de la segunda forma fundamental (heurística\nla teoría, véase, por ejemplo, [4, 5]) y que en términos de la curvatura tensor-distribución\n(Teoría axiomática, véase, por ejemplo, [6, 1]); son equivalentes por medio de la asignación\nextensiones (para una visión general autónoma véase, por ejemplo, [1]).\nLa teoría axiomática parece no ser apropiada para el estudio de\nlas soluciones izadas, ya que la teoría de las distribuciones es básicamente lineal. Incluso si nosotros\nEn principio, podría sustituir la métrica discontinua por sus distri-\nbution gD, entonces sería imposible definir, por ejemplo, los reemplazos\npara los símbolos Christoffel, ya que esto implicaría producto de distribuciones,\nque, como se cree en general, es imposible de definir. De hecho, se demostró que\nSchwarz [7] que, bajo hipótesis razonables, no puede haber una definición\nde funcionamiento conmutativo y asociativo en distribuciones que se reducen a\nmultiplicación ordinaria en distribuciones integrables (por ejemplo, en funciones regulares);\nPor lo tanto, en una palabra es imposible definir el producto de las distribuciones.\n¿O lo es? Colombeau [8, 9, 10] desarrolló una teoría que aparentemente\nTradice el resultado de Schwarz. Introdujo un espacio muy amplio de\nfunciones, que extiende el espacio habitual de distribuciones, un subespacio de las cuales\ncorresponde, en cierto sentido (la correspondencia no es 1 a 1), a lo habitual\ndistribuciones. El formalismo de Colombeau permite la multiplicación de\nfunciones; pero la contradicción con el teorema de imposibilidad es sólo ap-\npadre, de hecho la hipótesis de Schwarz se violan, ya que la operación hace\nno coinciden con la multiplicación ordinaria en funciones regulares ni con mul-\ntiplicación de una función regular veces una distribución (aunque hace al menos\npara las funciones de C.O.C.).\nEsta teoría, sin embargo, no encaja de una manera natural en la relatividad general,\nya que es imposible definir objetos geométricos covariantemente invariantes; en\nEl espacio de Colombeau no es invariable para la transformación de coordenadas fluidas.\nciones, a menos que sean lineales. Sin embargo, tal dificultad parece haber sido\nsuperado en posteriores ajustes de la teoría, con la introducción de\nun marco matemático más rico [11, 12], de modo que las funciones generalizadas\naparatos actuales se pueden utilizar en la relatividad general, y de hecho ha sido\nse aplica al menos al cálculo de las curvaturas singulares de los espacios-tiempo\nde Kerr [13], Reissner-Nordstrom [14], y el llamado espacio-tiempo de cuerdas cósmicas\n[15]. En esta literatura la teoría de Colombeau se adapta al manejo de\ncurvatura cuando la métrica tiene una singularidad en el sentido de funciones, es decir. la\nla curvatura ordinaria explotaría, en un punto de acontecimiento singular o en un singular\nworldline. No parece haber ninguna razón en particular para prohibir a Colombeau\nmétodo también para definir la coincidencia de la pieza-C0 regularmente discontinuo\nmétricas en una hipersuperficie singular; sin embargo, por lo que el autor sabe, no\nSe ha intentado aún utilizarlo en este marco.\nEl método directo que vamos a introducir en las siguientes secciones, sin embargo,\nes tan conceptualmente simple que preferimos no experimentar con Colombeau\nfunciones generalizadas, lo que significaría, en cambio, la introducción de un\naparato matemático complicado y desconocido.\nEn este artículo proponemos de hecho una nueva teoría generalizada para regularmente\nsoluciones discontinuas, que cubren también la combinación de métricas tipo C0. Nuestro\nla teoría es heurística, ya que se construye de una manera similar a la heurística el-\nory de C0, las soluciones por pieza-C1 se originaron de los estudios de Israel, pero\nevitamos completamente el marco tradicional o proyectual Gauss-Codazzi\n(que no incluye el caso liviano [4, 5], o necesita un adap-\ne introducir lo que llamamos “diferencia de valor medio”\nEn cambio, el marco de geometría” (véase la sección 3). Esto es conceptualmente muy sim-\ny permite construir de una manera natural una teoría generalizada, donde\nel papel principal (que solía ser el del salto del secund fundamental\nforma) se juega aquí por el salto de los símbolos de Christoffel. La teoría es un\nextensión de la teoría de hipersuperficies de discontinuidad gravitacional que tenemos\nestudiado en [1], al que se reduce cuando la métrica es C0. Incluso si deberíamos\nlimitar a la solución C0, añadiendo el supuesto tradicional de continuidad para\nla métrica, nuestra teoría sin duda tendría al menos las buenas cualidades de\nno necesita el tiempo y el caso de luz para ser distinguido (diferente\nde la teoría heurística habitual), y de sólo requerir la continuidad C0 para la co-\nordenadas (diferentes de la teoría axiomática). Por otra parte, es completamente\nen el marco de las coordenadas generales del espacio ambiente (encolado)-\ntiempo, sin uso de ecuaciones paramétricas de la hipersuperficie, ni de\ncoordenadas y 3 bases holonómicas, que podrían considerarse una buena calidad\nen algunas aplicaciones también.\nSoluciones débiles Pickwise-C0 de las ecuaciones de Einstein, hasta el au-\nthor es consciente, nunca se han considerado previamente en la literatura. Ellos\ngeneralizar las soluciones C0 correspondientes, como muestran los ejemplos de este artículo;\nSin embargo, hay más. Aparentemente de hecho la teoría permite la propagación\nde discontinuidad gravitacional libre a una velocidad inferior a la velocidad de la luz (seg-\nEn el caso de que se trate de un problema de salud pública, la Comisión no está de acuerdo con lo que ha dicho el Sr. Van den Broek.\nla energía concentrada en el tiempo debería implicar necesariamente la\ndegeneración de la solución generalizada a la capa de contorno, aunque lo hace\nal menos para una amplia clase de emparejamientos esféricos (véase la sección 6). Por otra parte, no\nse permite la energía de estrés simétrica en la hipersuperficie (sección 9), como, por ejemplo, en\nDinámica Einstein-Cartán. Este posible vínculo con las teorías clásicas de unificación\nEs sorprendente, ya que en nuestro marco no tenemos nada similar a Einstein.\nTorsión cartánica. Por lo tanto, vemos mucho espacio para futuras investigaciones.\n2 métricas discontinuas\nSupongamos que V4 un multiple orientado diferenciable de la dimensión 4, de clase\n(C0, C2), provisto de una métrica de firma estrictamente hiperbólica\n- Y clase a destajo-C0. Deja que V4 sea un subconjunto abierto conectado con\ncierre compacto. Dejar que las unidades se elijan para tener la velocidad de la luz en\nespacio vacío c • 1. Los índices griegos van de 0 a 3.\nVamos a ser una hipersuperfaz regular de la ecuación f(x) = 0; vamos a y\ndenotan los subdominios distinguidos por el signo de f.\nmétrica y sus derivados parciales primero y segundo que se discontinuarán regularmente.\nen todos los gráficos de la clase C0(). Let f C0(♥) C2(), and let\nlos derivados segundo y tercero de f deben ser discontinuas regularmente en Por último,\nlet lα f denotar el gradiente de f.\nQue la métrica sea una solución de las ecuaciones ordinarias de Einstein en cada uno de\nlos dos dominios y. En esta situación es la interfaz entre dos\ngeneral relativista espaciotiempos y se llama un (generalizado) gravitacional\nhipersuperficie de discontinuidad.\nEn lo siguiente vamos a desarrollar una teoría para justificar la introducción de\ncondiciones adecuadas de compatibilidad generalizada para sustituir el equa- de Einstein\n(sección 5); si dichas condiciones se cumplen en el\ngeneralización de la hipersuperficie gravitacional\nsolución discontinua de las ecuaciones de Einstein.\nAhora vamos a recordar brevemente algunas nociones básicas sobre regularmente discontinuo\ncampos, que utilizaremos como herramientas. En cualquier caso, para notación y terminología\nnos referimos a [1].\nUn campo se dice que es regularmente discontinuo en si sus restricciones a\nlos dos subdominios y ambos tienen un límite finito para f 0; nosotros\ndenotar tales límites por y, respectivamente.\nEn este caso, el salto a través de la línea y su valor medio aritmético son:\nbien definido en la hipersuperficie:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* = (1/2)( + )\nSi es continuo a lo largo de la línea, obviamente tenemos: [] = 0, = . También tenemos\nlas fórmulas inversas:\n= (1/2)[l]\n= (1/2).\nEn cuanto al producto de dos funciones, tenemos:\n[] = [] + []\n= + (1/4)[\nSi un campo es regularmente discontinuo en el campo, su salto se llama a veces\nsu discontinuidad del orden 0.\nEl salto de una función regularmente discontinuo tiene soporte en....................................................................................................................\ngeneral, la derivada parcial del salto está bien definido como el salto de la\nderivado de la función (véase [17, 18]). En particular, el derivado de la\nsalto de un campo continuo no es nulo, a menos que el campo sea también C1.\nDel mismo modo, definimos la derivada parcial del valor medio como la media\nvalor del derivado parcial. También podemos utilizar prolongaciones regulares a\nextender, en cierto sentido, la definición de.a y [.a] a todo el dominio.a. Por lo tanto\npueden ser considerados como campos regulares y derivables en , pero sus valores\n(y los de sus derivados) están bien definidos sólo en.........................................................................................................................................................................................................................................................\ndependen de la elección de la prolongación. Para más detalles sobre el método de\nlas prórrogas regulares, véase, por ejemplo, [17, 18].\nDefinimos por otro lado la derivada covariante de un campo con soporte sobre \npor medio del valor medio \n de los símbolos Christoffel. Para el salto de un\nvector discontinuo regularmente, por ejemplo, con esta definición uno tiene que\nel salto del derivado covariante es diferente al derivado covariante\ndel salto. Así, por definición, tenemos:\nβ] = [V\nβ] + \nβ[V ] (4)\ny como consecuencia de (3):\nβ] = [V\nβ]− [\n, (5)\ny de manera similar para el salto de cualquier tensor regularmente discontinuo.\nPuesto que el espacio-tiempo es sólo C0, nos llevan a considerar (C0,\nC1) coordinar las transformaciones, con regular discontinua primera deriva-\nla discontinuidad métrica [g®] no es un tensor con respecto a tales\ncambios de coordenadas. De hecho tenemos:\n[g] = [g]\n+ q\n+ q\ndonde:\nq =\n[G]\n+ \nPor lo tanto, podemos simular todos los cambios de coordenadas (C0, C1)\nEnlazar cambios C1 con cambios en el gálibo métrico:\n[gá] [gá] + qá\n+ q\nque generalizan los cambios usuales del calibre gravitacional de la teoría de (C0, pieza-\nsoluciones prudentes C1) [1].\n¿Es siempre posible hacer [gá] desaparecer con un C apropiado\n0 trans-\n¿Formación? Claramente la respuesta es negativa. De hecho, basta con considerar la\ncaso cuando [g] y son ambos definitivamente positivos en un gráfico dado para ver que\nla ecuación obtenida de (6) sustituyendo el lado de primera mano por 0 no tiene\nsolución para [lxα\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí. Por lo tanto, el conjunto de eficacia generalizada\nLas hipersuperficies de discontinuidad gravitacional no están vacías.\nPor otra parte se producirá en muchas aplicaciones para tener lα C\n0. Por lo tanto\na menudo será deseable trabajar en el marco de (C1, C2 a partes)\ncoordinar las transformaciones, que conservan tal condición. La métrica des-\ncontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas, pero el\nsalto de los símbolos de Christoffel, que parecen jugar un papel principal en el\na continuación, no lo es; de hecho tenemos:\n[] = []\nxxβ\nSi las coordenadas son C0 y así es la forma lα podemos escribir:\nxxβ\n= lαl\nen la que el punto 2 denota la débil discontinuidad del orden 2 (véase, por ejemplo, [17, 18]). Por lo tanto, en\nPodemos generar todas las transformaciones (C1, C2) a medida para combinar\nTransformaciones de C2 (con respecto a las cuales • es un tensor) y Christoffel\ntransformaciones de calibres, es decir, del tipo:\n]↔ [\n] + lαlβQ\n(11)\ncon alguna analogía con el caso de las métricas C0 (donde se juega el papel principal\npor la discontinuidad métrica de primer orden (g), véase [1] sección 3).\nEn cualquier caso, ni el valor medio de la g métrica ni su salto [g] ahora\ntienen derivados covariantes nulos. Considerar de hecho la identidad g = 0 en\nel dominio ; a partir del límite f 0+, en tenemos:\n− (\nü)+g − ()\nv)+g = 0 (12)\nAquí, con el significado obvio de los símbolos, denotamos: g = (g)\n+, g =\ng, etc. En consecuencia, a partir de (2)1 tenemos:\ng + (1/2)[g]− \n~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n−(1/2)([\n/ ]g + \n/ [g] + []\n/ ]g + \n/ [g ])+\n−(1/4)([\n/ [g] + []\n/ [g ]) = 0\nDel mismo modo, desde el límite f 0− y a partir de (2)2 también tenemos en فارسى:\ng − (1/2)[g]− \n~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n+(1/2)([\n/ ]g + \n/ [g] + []\n/ ]g + \n/ [g ])+\n−(1/4)([\n/ [g] + []\n/ [g ]) = 0\nDe la suma de expresiones (13) y (14) tenemos así:\ng = (1/4)[\n/ [g] + []\n/ [g ]) (15)\ny, a partir de la diferencia:\n[g] = [] + [ ] (16)\nA partir de (16), (3), y de la definición de derivado covariante sobre \na continuación:\n[g] = []\n& / ]g + [\n/ ]g (17)............................................................................................................................................................................................................................................................\nEn cuanto al salto y el valor medio de los símbolos Christoffel que tenemos, de\nEl Tribunal de Primera Instancia decidió:\n+(1/4)[g]([g] + [g]− [g ])}\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n+[g](g + g − g)\no, de (15) y (17):\nEl Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior.\nNo obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia no puede pronunciarse sobre la compatibilidad de la medida con el mercado común.\n3 Geometría de valor medio en una hipersuperficie\nConsideremos un V α 4-vector, regularmente discontinuo en Ł, el salto y el\nel valor medio de los cuales funcionará como prototipo de vectores con el valor de soporte.\nTenemos, por definición:\n[V\n] = [V\n[]− []\n- ¿Qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué?\nAsunto C-212/90 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos\ndonde [V\n] = [V\n]+ [\ny donde, de nuevo por definición, tenemos:\nV =\n(V)\n+) + ()\n(V +) + (V)\n-)-()-()-()-()-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(......)-(.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................\n(V −) (22)\nAsí, a partir de (2) tenemos:\nV ♥ = V + (1/4)[\n[V], (23)\nque, por cierto, es el mismo resultado que podríamos obtener de la aplicación formal\nsión de (3), que puede aplicarse realmente a los derivados covariantes, siempre y cuando\nuno interpreta â € = â € TM. Por lo tanto, tenemos:\n[V\n] = [V\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n+ [\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n−[]\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n− (1/4)[][\n][V ]+\n+[\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n+ (1/4)[\n][\n[V]] [V]\ny por lo tanto, por antisimetría:\n[[]V\n] = [][V\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n[β[β]\n][]\nv. [V.] (25)\nAhora, de la identidad de Ricci tenemos: [[]V\n] = [R\ny, a continuación, por\n[[]V\n] = [R\n+R\n[V], (26)\ny, por lo tanto, de una identidad bien conocida que se deriva de (3) como consecuencia\nnuestra definición (5) para el derivado covariante en فارسى, es decir. (véase [1]):\n[R\n] = [\n¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n] (27)\ntenemos que el conmutador de los derivados covariantes del salto de un\nvector genérico discontinua regularmente obedece a la siguiente fórmula tipo Ricci:\n[[][V]\n(1/2)R\n − (1/4)[β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n[V.]. (28)\nNo es de extrañar, trabajar de una manera similar a partir de V y anti-\nSimetrizando, encontramos de nuevo:\n[]V\n(1/2)R\n − (1/4)[β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n; (29)\nde hecho, cualquier campo dado con el apoyo en el • puede ser considerado, con la ayuda de\nprolongaciones adecuadas, como el salto (o como el valor medio de) algunos regularmente\ncampo discontinuo. Por lo tanto, para cualquier vector V con el apoyo en.......................................................................................................................................................\nintroducir la siguiente fórmula de Ricci similar a la geometría de valor medio en el punto de referencia:\n([])V\n = (R)\nV l; (30)\ndonde hemos introducido la curvatura de la geometría del valor medio (R), definida\npor la siguiente geometría de valor medio primera identidad Gauss-Codazzi:\n(R)\n = R\n − (1/4)[\n][\n- [] - []\n][\n/ ]) (31)\nNótese que, en aras de la simplicidad, hemos introducido un ligero abuso\nde notación, ya que en [1] y [16] el mismo símbolo R\ncurvatura interior definida con la ayuda de proyecciones. En realidad, todo vale.\ncomo en [1] sección 4 con el marco Gauss-Codazzi, con la diferencia\nque aquí no tenemos que hacer proyecciones, lo que implicaría producto\nveces una métrica tangente discontinua. Por otra parte, aquí ni siquiera tenemos\npara distinguir entre los casos de tiempo o luz. En otras palabras:\nnuestra geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie es muy simple, en\ntérminos conceptuales, análogo del aparato Gauss-Codazzi.\nAsí, con la teoría heurística de [1] sección 6 (véase también [4] para el tiempo\nen mente como un prototipo, esperamos el salto de los símbolos de Christoffel a\ndesempeñar el papel principal, en lugar de la forma fundamental secundaria, en la definición\nde las condiciones de compatibilidad para soluciones muy débiles de las ecuaciones de Einstein.\nDe hecho, esto sucede, como se mostrará en el siguiente.\n4 Formalismo complejo de valor medio\nLa métrica es dicontinuous en..............................................................................................................................................\naumentar y bajar los índices, y construir la curvatura de la manera tradicional.\nEsta es la razón por la que a veces uno se siente tentado a introducir algún híbrido\nobjeto métrico en para reemplazar la métrica, incluso en el caso (C0, tipo C1)\n(véase, por ejemplo, [5]). Es tranquilizador descubrir que el marco de la preselección\nla sección puede ser confirmada por este tipo de enfoque.\nSería deseable simplemente reemplazar g con g en Ł, pero es fácil de\ncomprobar que g no tiene los requisitos algebraicos necesarios; en particular tenemos\n# 6 = # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 #\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Considere en su lugar:\ng = gÃ3 + i(1/2)[gÃ3], g\n• = g − i(1/2)[g} (32)\ndonde i es la unidad imaginaria (i.e. tenemos i2 = −1). Es fácil de comprobar,\ncon la ayuda de (3), que tenemos:\n¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n• (33)\nEs decir, en particular:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En aras de la brevedad en lo siguiente:\nvamos a denotar A B la relación R(A) = R(B). Así el par g y\ng es un buen candidato para la sustitución de la métrica en, a los efectos de\nÍndices ascendentes y decrecientes. Ahora, similar a (32) vamos a presentar:\n= + i(1/2)[ ], \n = \n − i(1/2)[\n] (34)\npara que tengamos: \nEn el caso de los animales de la especie bovina, el número de animales de la especie bovina se determinará de conformidad con el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la carne de porcino y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).\nY a la inversa:\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Déjanos\nahora introducir el operador diferencial en, que hace uso de en\nlugar de la ciudad. Como podríamos esperar, tenemos:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n0 (35)\nque es el reemplazo en Ł para la conservación covariante de la métrica\nTensor.\nAhora vamos a construir sobre el tensor de curvatura complejo R\nmanera, pero con en lugar de los símbolos Christoffel ordinario (que son\nundefined on Ł):\nR\n = \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n + \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nμ − \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nμ (36)\nNos enteramos de eso de manera poco escrupulosa.\nR\n = (R)\n + i(1/2)[R\n] (37)\ni.e. en particular tenemos: R\n (R)\n, en el que R es dado por (31).\nEsta es sólo otra razón para identificar a R.o como el reemplazo de la\nel tensor de curvatura de, que es el primer paso de nuestro camino a la generalización\ncondiciones de compatibilidad.\n5 Condiciones de compatibilidad generalizadas\nConsideremos ahora el límite f → 0+ del tensor de curvatura del subdominio\n; por (2) tenemos:\n(R\n)+ = R\n + (1/2)[R\n] (38)\ny, por (27):\n(R\n)+ = R\n [β[]\n] (39)\nTambién tenemos, por (31):\n(R\n)+ = (Rl)\n [β[]\n] + [β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(40)\nVemos que R y R. sólo difieren por términos proporcionales a [. ], y no\nque impliquen derivados de la misma. Por lo tanto, en vista de descuidar estos tems, en el\na continuación vamos a considerar R en lugar de R. Esto simplemente evita la introducción\ndel símbolo “ ” con el significado de igualdad pero para términos que no impliquen\n(que aquí sustituye a la segunda forma fundamental K) como en\n[1] sección 6. Entonces para el tensor Ricci R = R\nα tenemos:\n(R)\n+ = R + (1/2)\nμ[\n- [] - []\ny para la curvatura escalar R = Rα\nR+ = R + (1/2)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nAhora, para construir el tensor de Einstein G+ tenemos que recordar que, desde\nla métrica también es discontinua:\ng)\n+ = g + (1/2)[g] (43)\npara que tengamos:\n(G)\n+ = G + (1/2)\nμ − (1/8)[g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ndonde hemos denotado, por razones de brevedad:\nμ[\n- [] - []\nμ]− (1/2)g\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nVamos a fijar un gráfico de coordenadas y considerar un genérico (por el momento) regular\nprolongación para G, de modo que su valor medio se defina en el conjunto de . Ahora\nconsiderar la integral de 4 volúmenes de Riemann de G+ sobre el dominio ; de\nel teorema verde que obtenemos (para la definición general de integral en un\nhipersuperficie ver [6] p. 6):\nG =\nG + (1/2)\nlH\nμ − (1/8)\nl [g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nLa fórmula análoga para implica −l− como el vector normal saliente\ny la métrica g = gÃ3 − (1/2)[gÃ3], por lo que tenemos:\nG =\nG + (1/2)\nlH\nμ + (1/8)\nl [g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ny, por consiguiente, tenemos:\nG =\nG +\nlμH\nμ (48)\nPor lo tanto, razones similares a las de la teoría heurística (véase [4] y [1] sección\n6) llevar a la hipótesis razonable de que G permanece limitado en el\n, para cualquier prolongación admisible, de modo que del volumen\nintegral de las ecuaciones de Einstein, con la presencia de una fuente eventual\nTérmino concentrado en la letra........................................................................................................................................................................................................................................................... \nGó = \n- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -\nT (49)\ndonde χ denota la constante gravitacional, concluimos que\nlμH\nμ = \nT (50)\nque es nuestra razón heurística para considerar el siguiente conjunto de\nlas condiciones de compatibilidad con el sistema para mantener el sistema Einstein como reemplazo del sistema Einstein;\necuaciones:\nlμH\nμ = T (51)\nAquí TÃ3 representa el contenido stress-energy de la hipersuperficie.\nEn el caso más sencillo lα C\n0, es muy fácil comprobar que el objeto lμH\nes calibrado-invariante en el sentido de (11), como podríamos esperar.\nPasando ahora a la comparación con el caso C0, vemos en eq.s (71)\ny (85) de [1] que nuestras condiciones generalizadas (51) son formalmente idénticas a\ncondiciones ordinarias de compatibilidad [eq. (110) del mismo documento], si se expresa\n(que en el caso general es una función del salto de la\nmétrica [g], así como de su débil discontinuidad. Por lo tanto, está claro\nque las condiciones generalizadas de compatibilidad se reducen a las normales en caso de\nmétrica es continua, es decir. en el caso de [g] = 0.\nEn particular, supongamos que g (C0, a medida C1) y f (C0, a medida);\nnosotros por otra parte supongamos (l · l) > 0, es decir. # Como en el tiempo. # Por definición de Christoffel\nsímbolos, y a partir de (11) de [1], tenemos:\n] = (l · l)-1/2(NβG\n +N/23370/Gβ\n(l · l)............................................................................................................................................................................................................................................................\n1/2NβNlQ\n (52)\nQ es un vector que se puede establecer en cero con una elección de calibre adecuada; se reproduce\nNingún papel en (51), como cabría esperar, de hecho tenemos:\nlμ[\nμ] = −G + (l · l)N(Q ·N)\nlβ[\nAsunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Federal de Alemania\n/ + (l · l)NβN/23370/(Q ·N)\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nv. + (l · l) (Q ·N)\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n] = −G/\nv. + (l · l) (Q ·N)\ny, puesto que g = g = h(N) +N N, tenemos de (45):\nlμH\nμ = G − h(N)G/\n/ (54)\nEs decir, según (88) de [1]:\nlμH\nμ = H (55)\ncomo se esperaba. Ahora supongamos (l · l) = 0, es decir. - Sí, claro. Vamos.\nu C0() ser un marco de referencia auxiliar dado. De eq.s (21) y (16) de\n[1] Tenemos:\n(u ·l)−1(−LβF(u)\nL/23370/F(u)β\nLÔF(u))+(u ·l)\n2LβLQ\n (56)\ny, por consiguiente, de (18) y (19) del mismo documento:\nlμ[\nμ] = LβB(u, n)\n3LβL(Q · L)\nlβ[\nAsunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Helénica y República Helénica\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n(+) = lμ[+)\n] = 0\nPor lo tanto, tenemos:\nlμH\nμ = G(u, n) v\n- LβB(u, n)\ni.e. una vez más, según (83) de [1], tenemos: lμH\nμ = H, como se esperaba.\nPor lo tanto, el conjunto (51) de condiciones de compatibilidad, junto con\nEcuaciones Einstein para sostener a cada lado de la hipersuperficie de discontinuidad,\ndefine la clase de soluciones generalizadas regularmente discontinuas de la Ein-\nEcuaciones de stein. Y en caso [g] = 0, es decir. para la medición continua, a partir de\ncondiciones que recuperamos las condiciones normales de compatibilidad para regular des-\nsoluciones continuas y débiles.\nSin embargo, en el caso genérico tenemos algunas diferencias, como vamos a\nmostrar en el siguiente.\n6 Una clase de capas esféricas de contorno\nConsideremos el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinua spher-\nsoluciones icales de las ecuaciones de Einstein al vacío, de la forma\nds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + r2d\na través de una desgravación gravitacional admisible esférica\ncontinuidad hipersuperficie de la ecuación r = Por lo tanto\nla forma lα = \nr − \nt es continuo (mientras que lβ = glα en general no lo es).\nSuponemos globalmente coordenadas C0, la misma forma de la métrica en ambos\ndominios y, y la identificación t+ = t−, r+ = r−, =,\nLeta, b > 0 y dejar que a, b • piecewise-C0 sea regularmente dis-\ncontinua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Déjanos\ndenotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que\ncon respecto a r. Dejar por otra parte condición a− b > 0, es decir, (l · l) > 0, espera\nA ambos lados en la parte superior.\nTenemos:\n= −[a]\nt + [b]\nr (60)\nAhora definamos la coincidencia como una solución generalizada regularmente discontinua\npor (51), con Tó = 0, es decir, en ausencia de energía-estrés concentrada en..........................................................................................................................................................................................................................................................\nEn este caso, nuestras condiciones de compatibilidad se reducen a:\nlβ[\nμ]− lμ[\nμ] = 0 (61)\nque, para un emparejamiento de métricas del tipo (59), son equivalentes a las siguientes:\nsistema:\n[b−1] + [a′b−1] = 0\n[a−1] + [a′a−1] = 0\n[a′a−1] + [a−1] = 0\n[b′b−1] + [b−1] = 0\n[b-1] = 0\ni.e. tenemos [b] = 0 y, en consecuencia:\n[] + [a′] = 0\n[a−1] + [a′a−1] = 0\n[a′a−1] + [a−1] = 0\n[b′] + [] = 0\ny a partir de (3):\n[] + [a′] = 0\n( a′)[a−1] = 0\n( a′ + )[a−1] + ([a′] + [])a−1 = 0\n[b′] + [] = 0\nAhora si tuviéramos ambos [] + [a′] = 0 y + a′ = 0, por (2) tendríamos\n+ a′ = 0 a ambos lados de la hipersuperficie. Descartamos por el momento.\nesta situación singular, y de (64)2 llegamos a la conclusión de que [a\n−1) = 0.\nAsí, en este caso, nuestras condiciones de compatibilidad generalizada implican [a] =\n[b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0, a pie-C1.\nEn [1] ya hemos estudiado algunos ejemplos de coincidencias C0, tipo-C1\nde métricas del tipo (59) en una hipersuperficie de radio constante r = rb, con\nlα = \nr. Es decir, hemos considerado: Schwarzschild externo - interno\nSchwarzschild; Schwarzschild externo - Tolman VI; Schwarzschild externo -\nTolman V. Tales coincidencias obviamente tienen lα C\n0; además condición a′ 6=\n0 reducir en este caso a a′ 6= 0, que está obviamente satisfecho. En cada caso nosotros\nhan verificado que la condición [a] = [b] = 0 implica \norden discontinuidad), que luego define la coincidencia como una capa límite [1] (es\nEn realidad, también implica b = 0, como se puede verificar). Semejante es un resultado general, ya que\npara una métrica del tipo (59) los componentes totalmente temporales y radiales\ndel tensor Einstein son independientes de los segundos derivados de la\nmétrica:\nGtt = −a(b)\n′r + b2 − b)/r2b2\nGrr = −(a)\n′r − ab+a)/ar2\nde modo que las ecuaciones de Einstein correspondientes al vacío se reduzcan a:\nb′r + b2 − b = 0,\na′r − ab+ a = 0.\nAhora, ya que en la coincidencia de (59) soluciones de vacío ecuaciones (66) se satisfacen\nen cada lado de la interfaz فارسى, su salto es en particular nulo, y a partir de (3)\ntenemos:\n′] + (2b− 1)[b] = 0\n′]− a[b]− (b+1)[a] = 0\nde la cual se desprende claramente que las condiciones [a] = [b] = 0 implican [a′] = [b′] = 0,\ni.e. A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A\nResumiendo, para el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinuo\nsoluciones esféricas, en la hipótesis anterior, la compatibilidad generalizada con\ndicciones (51) implican [a] = [b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0. Activar\nlas condiciones de la otra mano [a] = [b] = 0 implican que فارسى es una capa límite.\nPor lo tanto, para tales compatibilidades esféricas condiciones de compatibilidad generalizada (51)\nson necesarios y suficientes para que el partido sea una capa límite.\n7 Ondas de choque gravitacional generalizadas\nConsideremos la coincidencia de dos métricas de onda plana de la forma\nds2 = −2ddη + F ()2dx2 + G()2dy2 (68)\na través de una hipersuperficie de la ecuación de 0 = 0. Aquí y η son los dos nulos\ncoordenadas. Suponemos que coinciden continuamente coordenadas y F,G reg-\nulularmente discontinuos, junto con sus derivados primero y segundo. Los\nvector de gradiente de فارسى es la característica continua (a cada lado de فارسى) vector\nlα = \nCondiciones de compatibilidad generalizadas (51) en el caso T. = 0 (es decir, Sin estrés...\nenergía concentrada en la hipersuperficie) reducir a la siguiente escalar\necuación:\n[F-1F ′ +G-1G′] = 0 (69)\nque caracterizan la onda de choque gravitacional generalizada. Vamos ahora.\nestudio de compatibilidad de (69) con las ecuaciones de Einstein. El vacío de Einstein\nlas ecuaciones también reducen a una sola ecuación escalar:\nF−1F ′′ +G−1G′′ = 0 (70)\nque se supone que sostengamos a cada lado de la hipersuperficie; reemplazando así\nF+ y G+ por sus expresiones en términos de F, [F ], G y [G] según\n(2) da lugar a las siguientes condiciones escalares de pareja:\n(2F ′′ + [F ′′])(2G+ [G]) + (2G′′ + [G′′])(2F + [F ]) = 0 (71)\n(2F ′′ − [F ′′])(2G− [G]) + (2G′′ − [G′′])(2F − [F ]) = 0 (72)\nLas ecuaciones (71) a (72) son compatibles con (69), es decir: las tres ecuaciones establecidas\nse puede resolver algebraicamente con respecto a F, [G] y a cualquier miembro de la\npar (F, G), y la solución no es necesariamente trivial.\nFinalmente vamos a notar que, si la condición adicional [F ] = [G] = 0 mantiene,\ni.e. si la solución es C0, la condición (69) se reduce a F−1[F ′]+G−1[G′] = 0 es decir.:\nF - 1-F + G - 1-G = 0 (73)\nque es la condición análoga para la onda de choque ordinaria, de acuerdo con\n[1] sección 10.5.\n8 Ondas gravitacionales generalizadas lentas\nComencemos a intentar combinar dos soluciones de vacío del tipo (68) a través\nla hipersuperficie temporal (en ambos lados) de la ecuación • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Otra vez nosotros.\nSuponga que las coordenadas coinciden continuamente, F, G regularmente discontinua a-\ngether con sus derivados primero y segundo, y Tâ = 0. Esta vez, gener...\nlas condiciones de compatibilidad alizadas incluyen (69) y las dos siguientes:\ncondiciones escalares:\n[FF ′] = 0, [GG′] = 0 (74)\nEs decir, en términos de F, [F ], G y [G], de acuerdo con (3):\nF [F ′] + [F]F ′ = 0 (75)\nG[G′] + [G]G′ = 0 (76)\nEs fácil comprobar que el sistema (75)-(76) no es compatible con (71)-(72),\nen el sentido de que todo el sistema no admite soluciones no triviales para\nF, [F], G y [G].\nPor otra parte, hemos demostrado en la sección 6 que una amplia clase de\nCoinciden esféricas borradas en una hipersuperficie de radio constante necesariamente\nDegenerado a una coincidencia de C0.\nOtros ejemplos de degeneración no se han incluido en el documento para\nel bien de la brevedad, pero al menos parece ser una tarea difícil de construir un no-\ncoincidencia generalizada trivial a través de un tiempo (en cada lado) hipersuperficie, con\nsin contenido de energía-estrés. Tal dificultad no es ciertamente una prueba de que esto sea\nuna tarea imposible, pero nos hace preguntarnos si tal solución debería\nnecesariamente degeneran en una capa de frontera, al igual que sucede para el ordinario\nSoluciones C0 (véase, por ejemplo, [1]). Esto prohibiría la existencia de\nsoluciones que se propagan a una velocidad más lenta que la luz. Tal sería un\nprohibiciones indeseables bajo cierto respeto, ya que se podía esperar que\nlas interacciones gravitacionales en el vacío deben necesariamente propagarse a la velocidad\nde la luz también en una teoría generalizada.\nEn términos generales, ya que para soluciones generalizadas la métrica es discontinua\nous, una hipersuperficie puede en principio tener diferentes firmas en los diferentes\nlados; por esta razón no podemos simplemente distinguir entre el tiempo y\nel caso claro, como para las soluciones habituales C0. Más bien deberíamos distinguir\nentre tres casos: timelike-timelike, timelike-lightlike (o por el contrario) y\nLuz-luz-luz.\nEn cualquier caso, es legítimo esperar que, al menos en el tiempo-como\ncaso, similar al caso temporal de soluciones (C0, a medida C1), ausencia de\nla energía de estrés concentrada en la energía debería implicar la solución para degenerar a\nuna capa límite [1].\nDesafortunadamente para las soluciones generalizadas todavía no tenemos pruebas de que la ausencia\nde la energía de estrés concentrada en • implica necesariamente la degeneración de\nla solución a una capa de contorno.\nPor lo tanto, aunque los ejemplos considerados en este documento parecen\nque tal propiedad podría ser válida también en el caso generalizado, para el\nen el momento en que tal resultado sigue siendo una conjetura; por lo tanto, tenemos que admitir que la\nen principio permite la propagación de ondas de choque gravitacional generalizadas\na menor velocidad que la velocidad de la luz. Llamaríamos a tales ondas “la gen-\nondas de choque gravitacional borradas”. Sería razonable prohibir esto.\nla situación como antifísica, pero por ahora esto sólo se puede hacer ad hoc, por medio de\nde una hipótesis adicional correspondiente.\n9 Energía de estrés no simétrica\nNote que lμH\nμ no es necesariamente simétrico; a partir de la identidad:\n/ = (1/2)g−1g (77)\ndonde g denota el determinante de la métrica contravariante, tenemos:\nlμH[]\nμ = (1/4)(lβ[g\n− 1 g]− l[g\n−1g]) (78)\nPor lo tanto, el esquema generalizado permite en principio la presencia de\ntensión métrica-energía en la hipersuperficie de discontinuidad. Vamos a mostrar no-\nejemplos triviales de no simetría en la siguiente sección. Nótese que el\nLa parte derecha de (78) es idénticamente nula en el caso de g-C0 y lα-C\n0, desde\nen este caso tenemos [g−1g] = lβg\n−1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og.\nUn tensor Einstein no simétrico es una característica de la teoría Einstein-Cartán de\ngravedad (véase [19], véase también [3] sección 7.2), donde se debe a la presencia\nde torsión en la conexión no simétrica utilizada para construir generalizada\ncurvatura. Por lo tanto, la teoría generalizada se puede interpretar, al menos a algunos\nextensión, como la introducción de una herramienta equivalente a la torsión en el shell solamente, incluso si hay\nno son objetos geométricos en nuestra teoría que pueden ser interpretados directamente\ncomo torsión. Sin embargo, la teoría Einstein-Cartán también tiene un giro - angular mo-\necuación de campo mentum, además de las ecuaciones de Einstein, que aquí es\nFalta.\nEn la literatura, condiciones de compatibilidad para soluciones C0 de límite\ncapas [20], y recientemente de ondas de choque y conchas delgadas [21], se han estudiado\ntambién en el marco de la teoría Einstein-Cartán; en realidad, esto puede conducir a\nenergía de estrés no simétrica en el caparazón. Pero en esa teoría esta característica\nse hereda del espacio-tiempo ambiente, que no está aquí: no-simétrico\nstress-energy surge sólo en la cáscara, en consecuencia de la teoría. Esto\nEs probable que valga la pena investigar una feauture interesante.\n10 Conchas delgadas generalizadas\nAhora consideremos una forma más general de la métrica esférica:\nds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + c(r, t)d\nConsideremos una coincidencia de dos soluciones esféricas de las ecuaciones de Einstein\na través de una hipersuperficie temporal (en cada lado) de la ecuación r = (t). Otra vez nosotros.\nSupóngase C1 (t) y por lo tanto lα = \nr − \nt â € C0. Deje que las coordenadas\nser C0 globalmente, y dejar que la métrica tenga la misma forma (79) en ambos dominios\ny, con la identificación t+ = t−, r+ = r−, =, = on\nQue por otra parte a, b, c > 0 y dejar que a, b, c • piecewise-C0 sea regularmente dis-\ncontinua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Otra vez nosotros.\ndenotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que\ncon respecto a r.\nEn este caso para el lado izquierdo de la condición de compatibilidad generalizada\nciones lμH\nμ obtenemos:\nlμH\nμ = −\n[a′b−1/2] + [b−1/2 + c−1]\n+([a′a−1/2 + c′c−1] + [a−1/2]\n+([a−1/2 + c−1] + [a′a−1/2]\n−([b−1/2] + [b′b−1/2 + c′c−1)]\n+([c′b−1/2] + [a−1/2])\n* + sin2 *\n[b−1(a′a−1/2 + c′c−1)] + [a−1(b−1/2 + c−1)]\ndonde, obviamente:\ng = −a®\nt + b+\nr + c(+)\n* + sin2 *\n(81)\nAhora queremos interpretar (80) como la materia-energía de un caparazón delgado. Vamos.\nnosotros primero volver al caso particular = 0 (concha estática) y = =\n• = 0, para simplificar la interpretación eliminando el no-simétrico\ncomponente; reorganizar algunos términos que de hecho obtenemos:\nlμH\nμ = (−[a′b−1/2] + ac−1[c′b−1/2]\n+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]\nc−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]\nEsto se puede interpretar como una perfecta capa delgada de magneto-fluido isotrópico con\nConductividad infinita, es decir. podemos resolver las condiciones de compatibilidad mediante\nsidering la siguiente energía de estrés como el lado derecho:\nT = (0 + p+ μh\n2)UαUβ + (p+ (1/2)μh\n2)g® − μhαhβ (83)\ndonde 0 es la densidad adecuada, h el campo magnético y μ el magnético\npermeabilidad [22, 23, 24, 25, 6]; aquí definimos h2 = hαhβg\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De hecho, sí.\nbasta para definir el siguiente vector de 4 velocidades:\na– (1/4)[a2]a−1\nt = (a−1)1/2\nt (84)\nque, por construcción, es unitaria en el sentido siguiente: UαUβg\n• = −1,\ny las siguientes variables magnetohidrodinámicas:\n0 = χ\n−1a−1[a′b−1]/2 + 1c−1(b b−1/2− aa−1 + 1)[c′b−1]/2+\n1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)− (3/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1)\np = 1c−1(bb−1/2− 1)[c′b−1/2] + (1/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1]+\n1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)\nhα = ±\nb−11([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2])\npara emparejar (82) y (83) a través de lμH\nμ = T. Si [a] = [b] = [c] = 0\nConcha generalizada (85) degenera en la capa magnetohidrodinámica C0\nconsiderado en [1] sección 10.1, en el caso particular = 0.\nEl caso ligeramente más general de = = 0, pero 6= 0, muestra\nen términos no simétricos (80); sin embargo, no es difícil ver que la\nla interpretación del magnetofluido todavía se mantiene, siempre y cuando no\ntérminos simétricos son interpretados, o descuidados. De hecho, en este caso tenemos:\nlμH\nμ = (−[a′b−1/2] + c−1[c′b−1/2]\n+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]\n+(1/2)[a′a−1/2− b′b−1/2− c′c−1](\nt + â €\n+(1/2)[a′a−1/2 + b′b−1/2 + c′c−1]\nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nc−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]\nConsideremos ahora, en aras de la brevedad, las siguientes cantidades:\n2[ a\n2b−1 − (a)\n− [a]\n))2a−1\n− [a]\n− [a]\ny supongamos que la desigualdad α < 0 sostiene, que es necesario para el\ninterpretación física. De hecho, en este caso el siguiente vector:\n− [a]\nt + 1\n[ a]\n− [a]\nes un vector tipo tiempo de unidad en el sentido de que UαUβg\n• = −1. Reordenar\ntérminos, (86) ahora dice:\nlμH\nμ = αUβU/23370/ + \nr + 1\n[ a]\nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nc−1[ c\n− [b−1(a)\nque se puede igualar a través de lμH\nμ = T con un tensor de tensión-energía de\nel tipo siguiente:\nT = (0 + p+ μh\n2)UαUβ + (p+ (1/2)μh\n2)g® − μhαhβ + A® (91)\ndonde A denota el término anti-simétrico. Tenemos:\n0 = \n−1α + 1 1\n− 1[b−1( a)\n)]− 1\np = 1 1\n] + 1[b−1( a\n)]− 1\nμh2 = 1βb−1\nmientras que el término anti-simétrico A dice:\nA = \nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nr) (93)\nLa interpretación de este término aún no se ha hecho; por el contrario, podría ser\nnegándose añadiendo la hipótesis adicional:\n= 0 (94)\nque es equivalente a [g−1g′] = 0, como podríamos esperar de (78).\nBibliografía\n[1] G. Gemelli Gen. Rel. Grav. 34 1491-1540 (2002).\n[2] S.O’Brien, J.L.Synge Comm. Dublin Inst. Adv. Stud. Ser. A 9 1-20\n(1952).\n[3] C. Barrabes, P.A. Hipersuperficies nulas de Hogan Singular en relatividad general\nWorld Scientific, Singapur (2003).\n[4] W. Israel, Nuovo Cimento B 44 1 (1966); correcciones en 48, 463.\n[5] C. Barrabes, W. Israel Phys. Rev. D 43 1129 (1991).\n[6] A. Lichnerowicz, Magnetohidrodinámica: ondas y ondas de choque en\nespacio-tiempo curvo, estudios de física matemática vol. 14, Kluwer académico\neditoriales, Dordrecht, 1994.\n[7] L. Schwarz, C. R. Acad. Sci. París 239 847 (1954).\n[8] J.F. Colombeau J. de Matemáticas. Anal. y appl. 94 96 (1983).\n[9] J.F. Colombeau Nuevas funciones generalizadas y multiplicación de distribu-\nciones Norte-Holanda (1984).\n[10] J.F. Colombeau Multiplicación de distribuciones Notas de conferencia en Mathe-\nmatics 1532, Springer (1992).\n[11] J.F. Colombeau, A. Meril J. Matemáticas. Anal. Appl. 186 (1984).\n[12] J.A. Vickers, clase J.P. Wilson. Quantum Grav. 16 579-588 (1999).\n[13] H. Balasin, Class. Quantum Grav. 14 (1997).\n[14] R. Steinbauer J. Matemáticas. Phys. 38 1614 (1997).\n[15] C.J.S. Clarke, J.A. Vickers, clase J.P. Wilson. Quantum Grav. 13 2485\n(1986).\n[16] G. Gemelli, J. Geom. Phys. 43/4 371-383 (2002).\n[17] C. Cattaneo Istit. Lombardo Accade. Sci. Lett. Rend. A 112 139 (1978).\n[18] G. Gemelli J. Geom. Phys. 20 233 (1996).\n[19] E. Cartan C. R. Acad. Sci. Paris 174 593-595 (1922).\n[20] W. Arkuszewsky, W Kopczynski, V.N. Ponomariev Commun. Matemáticas.\nPhys. 45 183-190 (1985).\n[21] Clase G.F. Bressange. Quantum Grav. 17 2509-2523 (2000). bibitem-\nlich67\n[22] A. Lichnerowicz, Ann. Inst. H.Poincaré 7 271 (1967).\n[23] A. Lichnerowicz, Comm. Matemáticas. Phys. 12 145 (1969).\n[24] A. Lichnerowicz, en “Centr. Int. Mat. Est. 1970\", Cremonese, Roma,\n(1971).\n[25] A. M. Anile Fluidos relativistas y magneto - fluidos Cambridge Univer-\nsity Press, Cambridge (1989).\n\tIntroducción\n\tmétricas discontinuas\n\tGeometría de valor medio en una hipersuperficie\n\tFormalismo complejo de valor medio\n\tCondiciones de compatibilidad generalizada\n\tUna clase de capas esféricas de contorno\n\tOndas de choque gravitacional generalizadas\n\tOndas gravitacionales generalizadas lentas\n\tEnergía de estrés no simétrica\n\tConchas delgadas generalizadas\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" La consistencia física de la combinación de las métricas por pieza-$C^0$ es\nDebatida. La teoría matemática de las hipersuperficies de discontinuidad gravitacional\nse generaliza para cubrir la coincidencia de métricas regularmente discontinuas. Los\nSe introduce un marco de geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie, y\nse deducen las condiciones de compatibilidad correspondientes. Ejemplos de\nSe estudian las capas límite, las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\n¿Es posible definir soluciones débiles de las ecuaciones Einstein de clase\nC0 a trozos, es decir, generalizar las condiciones de compatibilidad que sustituyen\nlas ecuaciones de campo en una hipersuperficie singular al caso cuando la métrica es\n¿Con regularidad discontinua?\nAlcanzar este objetivo significaría probablemente definir la clase más general\nde soluciones débiles regularmente discontinuas de las ecuaciones de Einstein. Parece\nque este problema nunca había sido estudiado antes en la literatura. Pero, antes de que nosotros\nProcede, tenemos que discutir si estamos hablando de algo mathemat-\ncial y físicamente consistente o no.\nUn concepto fundamental de la geometría Riemanniana es que en cualquier punto de\nun submanifold hay opciones de coordenadas para las que la métrica se reduce a\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0103v1\nla métrica plana de Minkowski. Evidentemente, si esta elección se hace en ambos lados de la\nla superficie de discontinuidad, cualquier “salto” en la métrica desaparece. Por lo tanto, la\ndiscontinuidad métrica aparece como un concepto dependiente de coordenadas, que es\nni geométricamente (ni físicamente) aceptable en el contexto de\nRelatividad.\nPero también tenemos que considerar que la regularidad de las coordenadas globales juega\nun papel importante en nuestro enfoque, que es el de [1] y de la literatura\ncitado en el mismo. En particular, ya que aquí el espacio tiempo es sólo C0, nos llevan a\nconsiderando las transformaciones de coordenadas (C0, C1) a trozos. Si la métrica es\ndiscontinuo en algún gráfico global de C0, es en general imposible obtener\nla desaparición del salto métrico a ambos lados de una hipersuperficie con un C0\ntransformación de coordenadas (ver sección 2). Moeover en el siguiente somos\nllevó de una manera natural a considerar las transformaciones de coordenadas C1; la métrica\n¡La discontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas!\nEn otras palabras, el salto de la métrica tiene una media matemática precisa-\ning, si lo consideramos en relación con las coordenadas regulares globales.\nEn un procedimiento bien consolidado, el supuesto de continuidad para el\nmétrica a través de una interfaz gravitacional generalmente se da por sentado; sin embargo\nse deriva del proceso de limitación de la modelización sándwich fino, en\nconsecuencia de la hipótesis de que los derivados externos de la métrica\nse delimitan [2]. Sin embargo, en este documento vamos a ver que, incluso la eliminación\nla suposición de continuidad, todavía es posible definir un interior generalizado\ngeometría de la hipersuperficie de discontinuidad; uno así puede encontrar consistentemente\nun conjunto generalizado correspondiente de condiciones de compatibilidad, que, evidentemente,\nse reduce a los habituales cuando se restablece la hipótesis de continuidad.\nSin embargo, ¿cuáles son las motivaciones físicas para pasar a tal generalización?\nEn realidad las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas son generalmente definidas por el\npresencia de curvatura singular con un componente “delta” concentrado en una\nhipersuperficie, situación que está bien moldeada dentro del clásico C0 piecewise-C1\nCoincidencia de las métricas [1, 3].\nOriginalmente fuimos llevados a considerar soluciones de clase-C0, como pos-\ngeneralizaciones de ondas de choque y conchas delgadas, por el bien de la mathe-\nmatical completo, con la idea de que la interpretación física seguiría.\nEn realidad encontramos un marco de alcance más que el habitual, con algunos en-\nnuevas características teresantes (e incluso algunas más bien indeseables), que nosotros\nexhibido en este papel.\nHay dos teorías principales en la literatura para las soluciones de la clase C0\nC1, es decir, que en términos de la segunda forma fundamental (heurística\nla teoría, véase, por ejemplo, [4, 5]) y que en términos de la curvatura tensor-distribución\n(Teoría axiomática, véase, por ejemplo, [6, 1]); son equivalentes por medio de la asignación\nextensiones (para una visión general autónoma véase, por ejemplo, [1]).\nLa teoría axiomática parece no ser apropiada para el estudio de\nlas soluciones izadas, ya que la teoría de las distribuciones es básicamente lineal. Incluso si nosotros\nEn principio, podría sustituir la métrica discontinua por sus distri-\nbution gD, entonces sería imposible definir, por ejemplo, los reemplazos\npara los símbolos Christoffel, ya que esto implicaría producto de distribuciones,\nque, como se cree en general, es imposible de definir. De hecho, se demostró que\nSchwarz [7] que, bajo hipótesis razonables, no puede haber una definición\nde funcionamiento conmutativo y asociativo en distribuciones que se reducen a\nmultiplicación ordinaria en distribuciones integrables (por ejemplo, en funciones regulares);\nPor lo tanto, en una palabra es imposible definir el producto de las distribuciones.\n¿O lo es? Colombeau [8, 9, 10] desarrolló una teoría que aparentemente\nTradice el resultado de Schwarz. Introdujo un espacio muy amplio de\nfunciones, que extiende el espacio habitual de distribuciones, un subespacio de las cuales\ncorresponde, en cierto sentido (la correspondencia no es 1 a 1), a lo habitual\ndistribuciones. El formalismo de Colombeau permite la multiplicación de\nfunciones; pero la contradicción con el teorema de imposibilidad es sólo ap-\npadre, de hecho la hipótesis de Schwarz se violan, ya que la operación hace\nno coinciden con la multiplicación ordinaria en funciones regulares ni con mul-\ntiplicación de una función regular veces una distribución (aunque hace al menos\npara las funciones de C.O.C.).\nEsta teoría, sin embargo, no encaja de una manera natural en la relatividad general,\nya que es imposible definir objetos geométricos covariantemente invariantes; en\nEl espacio de Colombeau no es invariable para la transformación de coordenadas fluidas.\nciones, a menos que sean lineales. Sin embargo, tal dificultad parece haber sido\nsuperado en posteriores ajustes de la teoría, con la introducción de\nun marco matemático más rico [11, 12], de modo que las funciones generalizadas\naparatos actuales se pueden utilizar en la relatividad general, y de hecho ha sido\nse aplica al menos al cálculo de las curvaturas singulares de los espacios-tiempo\nde Kerr [13], Reissner-Nordstrom [14], y el llamado espacio-tiempo de cuerdas cósmicas\n[15]. En esta literatura la teoría de Colombeau se adapta al manejo de\ncurvatura cuando la métrica tiene una singularidad en el sentido de funciones, es decir. la\nla curvatura ordinaria explotaría, en un punto de acontecimiento singular o en un singular\nworldline. No parece haber ninguna razón en particular para prohibir a Colombeau\nmétodo también para definir la coincidencia de la pieza-C0 regularmente discontinuo\nmétricas en una hipersuperficie singular; sin embargo, por lo que el autor sabe, no\nSe ha intentado aún utilizarlo en este marco.\nEl método directo que vamos a introducir en las siguientes secciones, sin embargo,\nes tan conceptualmente simple que preferimos no experimentar con Colombeau\nfunciones generalizadas, lo que significaría, en cambio, la introducción de un\naparato matemático complicado y desconocido.\nEn este artículo proponemos de hecho una nueva teoría generalizada para regularmente\nsoluciones discontinuas, que cubren también la combinación de métricas tipo C0. Nuestro\nla teoría es heurística, ya que se construye de una manera similar a la heurística el-\nory de C0, las soluciones por pieza-C1 se originaron de los estudios de Israel, pero\nevitamos completamente el marco tradicional o proyectual Gauss-Codazzi\n(que no incluye el caso liviano [4, 5], o necesita un adap-\ne introducir lo que llamamos “diferencia de valor medio”\nEn cambio, el marco de geometría” (véase la sección 3). Esto es conceptualmente muy sim-\ny permite construir de una manera natural una teoría generalizada, donde\nel papel principal (que solía ser el del salto del secund fundamental\nforma) se juega aquí por el salto de los símbolos de Christoffel. La teoría es un\nextensión de la teoría de hipersuperficies de discontinuidad gravitacional que tenemos\nestudiado en [1], al que se reduce cuando la métrica es C0. Incluso si deberíamos\nlimitar a la solución C0, añadiendo el supuesto tradicional de continuidad para\nla métrica, nuestra teoría sin duda tendría al menos las buenas cualidades de\nno necesita el tiempo y el caso de luz para ser distinguido (diferente\nde la teoría heurística habitual), y de sólo requerir la continuidad C0 para la co-\nordenadas (diferentes de la teoría axiomática). Por otra parte, es completamente\nen el marco de las coordenadas generales del espacio ambiente (encolado)-\ntiempo, sin uso de ecuaciones paramétricas de la hipersuperficie, ni de\ncoordenadas y 3 bases holonómicas, que podrían considerarse una buena calidad\nen algunas aplicaciones también.\nSoluciones débiles Pickwise-C0 de las ecuaciones de Einstein, hasta el au-\nthor es consciente, nunca se han considerado previamente en la literatura. Ellos\ngeneralizar las soluciones C0 correspondientes, como muestran los ejemplos de este artículo;\nSin embargo, hay más. Aparentemente de hecho la teoría permite la propagación\nde discontinuidad gravitacional libre a una velocidad inferior a la velocidad de la luz (seg-\nEn el caso de que se trate de un problema de salud pública, la Comisión no está de acuerdo con lo que ha dicho el Sr. Van den Broek.\nla energía concentrada en el tiempo debería implicar necesariamente la\ndegeneración de la solución generalizada a la capa de contorno, aunque lo hace\nal menos para una amplia clase de emparejamientos esféricos (véase la sección 6). Por otra parte, no\nse permite la energía de estrés simétrica en la hipersuperficie (sección 9), como, por ejemplo, en\nDinámica Einstein-Cartán. Este posible vínculo con las teorías clásicas de unificación\nEs sorprendente, ya que en nuestro marco no tenemos nada similar a Einstein.\nTorsión cartánica. Por lo tanto, vemos mucho espacio para futuras investigaciones.\n2 métricas discontinuas\nSupongamos que V4 un multiple orientado diferenciable de la dimensión 4, de clase\n(C0, C2), provisto de una métrica de firma estrictamente hiperbólica\n- Y clase a destajo-C0. Deja que V4 sea un subconjunto abierto conectado con\ncierre compacto. Dejar que las unidades se elijan para tener la velocidad de la luz en\nespacio vacío c • 1. Los índices griegos van de 0 a 3.\nVamos a ser una hipersuperfaz regular de la ecuación f(x) = 0; vamos a y\ndenotan los subdominios distinguidos por el signo de f.\nmétrica y sus derivados parciales primero y segundo que se discontinuarán regularmente.\nen todos los gráficos de la clase C0(). Let f C0(♥) C2(), and let\nlos derivados segundo y tercero de f deben ser discontinuas regularmente en Por último,\nlet lα f denotar el gradiente de f.\nQue la métrica sea una solución de las ecuaciones ordinarias de Einstein en cada uno de\nlos dos dominios y. En esta situación es la interfaz entre dos\ngeneral relativista espaciotiempos y se llama un (generalizado) gravitacional\nhipersuperficie de discontinuidad.\nEn lo siguiente vamos a desarrollar una teoría para justificar la introducción de\ncondiciones adecuadas de compatibilidad generalizada para sustituir el equa- de Einstein\n(sección 5); si dichas condiciones se cumplen en el\ngeneralización de la hipersuperficie gravitacional\nsolución discontinua de las ecuaciones de Einstein.\nAhora vamos a recordar brevemente algunas nociones básicas sobre regularmente discontinuo\ncampos, que utilizaremos como herramientas. En cualquier caso, para notación y terminología\nnos referimos a [1].\nUn campo se dice que es regularmente discontinuo en si sus restricciones a\nlos dos subdominios y ambos tienen un límite finito para f 0; nosotros\ndenotar tales límites por y, respectivamente.\nEn este caso, el salto a través de la línea y su valor medio aritmético son:\nbien definido en la hipersuperficie:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* = (1/2)( + )\nSi es continuo a lo largo de la línea, obviamente tenemos: [] = 0, = . También tenemos\nlas fórmulas inversas:\n= (1/2)[l]\n= (1/2).\nEn cuanto al producto de dos funciones, tenemos:\n[] = [] + []\n= + (1/4)[\nSi un campo es regularmente discontinuo en el campo, su salto se llama a veces\nsu discontinuidad del orden 0.\nEl salto de una función regularmente discontinuo tiene soporte en....................................................................................................................\ngeneral, la derivada parcial del salto está bien definido como el salto de la\nderivado de la función (véase [17, 18]). En particular, el derivado de la\nsalto de un campo continuo no es nulo, a menos que el campo sea también C1.\nDel mismo modo, definimos la derivada parcial del valor medio como la media\nvalor del derivado parcial. También podemos utilizar prolongaciones regulares a\nextender, en cierto sentido, la definición de.a y [.a] a todo el dominio.a. Por lo tanto\npueden ser considerados como campos regulares y derivables en , pero sus valores\n(y los de sus derivados) están bien definidos sólo en.........................................................................................................................................................................................................................................................\ndependen de la elección de la prolongación. Para más detalles sobre el método de\nlas prórrogas regulares, véase, por ejemplo, [17, 18].\nDefinimos por otro lado la derivada covariante de un campo con soporte sobre \npor medio del valor medio \n de los símbolos Christoffel. Para el salto de un\nvector discontinuo regularmente, por ejemplo, con esta definición uno tiene que\nel salto del derivado covariante es diferente al derivado covariante\ndel salto. Así, por definición, tenemos:\nβ] = [V\nβ] + \nβ[V ] (4)\ny como consecuencia de (3):\nβ] = [V\nβ]− [\n, (5)\ny de manera similar para el salto de cualquier tensor regularmente discontinuo.\nPuesto que el espacio-tiempo es sólo C0, nos llevan a considerar (C0,\nC1) coordinar las transformaciones, con regular discontinua primera deriva-\nla discontinuidad métrica [g®] no es un tensor con respecto a tales\ncambios de coordenadas. De hecho tenemos:\n[g] = [g]\n+ q\n+ q\ndonde:\nq =\n[G]\n+ \nPor lo tanto, podemos simular todos los cambios de coordenadas (C0, C1)\nEnlazar cambios C1 con cambios en el gálibo métrico:\n[gá] [gá] + qá\n+ q\nque generalizan los cambios usuales del calibre gravitacional de la teoría de (C0, pieza-\nsoluciones prudentes C1) [1].\n¿Es siempre posible hacer [gá] desaparecer con un C apropiado\n0 trans-\n¿Formación? Claramente la respuesta es negativa. De hecho, basta con considerar la\ncaso cuando [g] y son ambos definitivamente positivos en un gráfico dado para ver que\nla ecuación obtenida de (6) sustituyendo el lado de primera mano por 0 no tiene\nsolución para [lxα\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí. Por lo tanto, el conjunto de eficacia generalizada\nLas hipersuperficies de discontinuidad gravitacional no están vacías.\nPor otra parte se producirá en muchas aplicaciones para tener lα C\n0. Por lo tanto\na menudo será deseable trabajar en el marco de (C1, C2 a partes)\ncoordinar las transformaciones, que conservan tal condición. La métrica des-\ncontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas, pero el\nsalto de los símbolos de Christoffel, que parecen jugar un papel principal en el\na continuación, no lo es; de hecho tenemos:\n[] = []\nxxβ\nSi las coordenadas son C0 y así es la forma lα podemos escribir:\nxxβ\n= lαl\nen la que el punto 2 denota la débil discontinuidad del orden 2 (véase, por ejemplo, [17, 18]). Por lo tanto, en\nPodemos generar todas las transformaciones (C1, C2) a medida para combinar\nTransformaciones de C2 (con respecto a las cuales • es un tensor) y Christoffel\ntransformaciones de calibres, es decir, del tipo:\n]↔ [\n] + lαlβQ\n(11)\ncon alguna analogía con el caso de las métricas C0 (donde se juega el papel principal\npor la discontinuidad métrica de primer orden (g), véase [1] sección 3).\nEn cualquier caso, ni el valor medio de la g métrica ni su salto [g] ahora\ntienen derivados covariantes nulos. Considerar de hecho la identidad g = 0 en\nel dominio ; a partir del límite f 0+, en tenemos:\n− (\nü)+g − ()\nv)+g = 0 (12)\nAquí, con el significado obvio de los símbolos, denotamos: g = (g)\n+, g =\ng, etc. En consecuencia, a partir de (2)1 tenemos:\ng + (1/2)[g]− \n~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n−(1/2)([\n/ ]g + \n/ [g] + []\n/ ]g + \n/ [g ])+\n−(1/4)([\n/ [g] + []\n/ [g ]) = 0\nDel mismo modo, desde el límite f 0− y a partir de (2)2 también tenemos en فارسى:\ng − (1/2)[g]− \n~ ~ ~ ~ ~ ~ ~\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n+(1/2)([\n/ ]g + \n/ [g] + []\n/ ]g + \n/ [g ])+\n−(1/4)([\n/ [g] + []\n/ [g ]) = 0\nDe la suma de expresiones (13) y (14) tenemos así:\ng = (1/4)[\n/ [g] + []\n/ [g ]) (15)\ny, a partir de la diferencia:\n[g] = [] + [ ] (16)\nA partir de (16), (3), y de la definición de derivado covariante sobre \na continuación:\n[g] = []\n& / ]g + [\n/ ]g (17)............................................................................................................................................................................................................................................................\nEn cuanto al salto y el valor medio de los símbolos Christoffel que tenemos, de\nEl Tribunal de Primera Instancia decidió:\n+(1/4)[g]([g] + [g]− [g ])}\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n+[g](g + g − g)\no, de (15) y (17):\nEl Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior.\nNo obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia no puede pronunciarse sobre la compatibilidad de la medida con el mercado común.\n3 Geometría de valor medio en una hipersuperficie\nConsideremos un V α 4-vector, regularmente discontinuo en Ł, el salto y el\nel valor medio de los cuales funcionará como prototipo de vectores con el valor de soporte.\nTenemos, por definición:\n[V\n] = [V\n[]− []\n- ¿Qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué?\nAsunto C-212/90 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos\ndonde [V\n] = [V\n]+ [\ny donde, de nuevo por definición, tenemos:\nV =\n(V)\n+) + ()\n(V +) + (V)\n-)-()-()-()-()-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(......)-(.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................\n(V −) (22)\nAsí, a partir de (2) tenemos:\nV ♥ = V + (1/4)[\n[V], (23)\nque, por cierto, es el mismo resultado que podríamos obtener de la aplicación formal\nsión de (3), que puede aplicarse realmente a los derivados covariantes, siempre y cuando\nuno interpreta â € = â € TM. Por lo tanto, tenemos:\n[V\n] = [V\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n+ [\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n−[]\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n− (1/4)[][\n][V ]+\n+[\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\n+ (1/4)[\n][\n[V]] [V]\ny por lo tanto, por antisimetría:\n[[]V\n] = [][V\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n[β[β]\n][]\nv. [V.] (25)\nAhora, de la identidad de Ricci tenemos: [[]V\n] = [R\ny, a continuación, por\n[[]V\n] = [R\n+R\n[V], (26)\ny, por lo tanto, de una identidad bien conocida que se deriva de (3) como consecuencia\nnuestra definición (5) para el derivado covariante en فارسى, es decir. (véase [1]):\n[R\n] = [\n¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\n] (27)\ntenemos que el conmutador de los derivados covariantes del salto de un\nvector genérico discontinua regularmente obedece a la siguiente fórmula tipo Ricci:\n[[][V]\n(1/2)R\n − (1/4)[β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n[V.]. (28)\nNo es de extrañar, trabajar de una manera similar a partir de V y anti-\nSimetrizando, encontramos de nuevo:\n[]V\n(1/2)R\n − (1/4)[β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n; (29)\nde hecho, cualquier campo dado con el apoyo en el • puede ser considerado, con la ayuda de\nprolongaciones adecuadas, como el salto (o como el valor medio de) algunos regularmente\ncampo discontinuo. Por lo tanto, para cualquier vector V con el apoyo en.......................................................................................................................................................\nintroducir la siguiente fórmula de Ricci similar a la geometría de valor medio en el punto de referencia:\n([])V\n = (R)\nV l; (30)\ndonde hemos introducido la curvatura de la geometría del valor medio (R), definida\npor la siguiente geometría de valor medio primera identidad Gauss-Codazzi:\n(R)\n = R\n − (1/4)[\n][\n- [] - []\n][\n/ ]) (31)\nNótese que, en aras de la simplicidad, hemos introducido un ligero abuso\nde notación, ya que en [1] y [16] el mismo símbolo R\ncurvatura interior definida con la ayuda de proyecciones. En realidad, todo vale.\ncomo en [1] sección 4 con el marco Gauss-Codazzi, con la diferencia\nque aquí no tenemos que hacer proyecciones, lo que implicaría producto\nveces una métrica tangente discontinua. Por otra parte, aquí ni siquiera tenemos\npara distinguir entre los casos de tiempo o luz. En otras palabras:\nnuestra geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie es muy simple, en\ntérminos conceptuales, análogo del aparato Gauss-Codazzi.\nAsí, con la teoría heurística de [1] sección 6 (véase también [4] para el tiempo\nen mente como un prototipo, esperamos el salto de los símbolos de Christoffel a\ndesempeñar el papel principal, en lugar de la forma fundamental secundaria, en la definición\nde las condiciones de compatibilidad para soluciones muy débiles de las ecuaciones de Einstein.\nDe hecho, esto sucede, como se mostrará en el siguiente.\n4 Formalismo complejo de valor medio\nLa métrica es dicontinuous en..............................................................................................................................................\naumentar y bajar los índices, y construir la curvatura de la manera tradicional.\nEsta es la razón por la que a veces uno se siente tentado a introducir algún híbrido\nobjeto métrico en para reemplazar la métrica, incluso en el caso (C0, tipo C1)\n(véase, por ejemplo, [5]). Es tranquilizador descubrir que el marco de la preselección\nla sección puede ser confirmada por este tipo de enfoque.\nSería deseable simplemente reemplazar g con g en Ł, pero es fácil de\ncomprobar que g no tiene los requisitos algebraicos necesarios; en particular tenemos\n# 6 = # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 #\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Considere en su lugar:\ng = gÃ3 + i(1/2)[gÃ3], g\n• = g − i(1/2)[g} (32)\ndonde i es la unidad imaginaria (i.e. tenemos i2 = −1). Es fácil de comprobar,\ncon la ayuda de (3), que tenemos:\n¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n(+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n• (33)\nEs decir, en particular:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En aras de la brevedad en lo siguiente:\nvamos a denotar A B la relación R(A) = R(B). Así el par g y\ng es un buen candidato para la sustitución de la métrica en, a los efectos de\nÍndices ascendentes y decrecientes. Ahora, similar a (32) vamos a presentar:\n= + i(1/2)[ ], \n = \n − i(1/2)[\n] (34)\npara que tengamos: \nEn el caso de los animales de la especie bovina, el número de animales de la especie bovina se determinará de conformidad con el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la carne de porcino y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).\nY a la inversa:\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Déjanos\nahora introducir el operador diferencial en, que hace uso de en\nlugar de la ciudad. Como podríamos esperar, tenemos:\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n0 (35)\nque es el reemplazo en Ł para la conservación covariante de la métrica\nTensor.\nAhora vamos a construir sobre el tensor de curvatura complejo R\nmanera, pero con en lugar de los símbolos Christoffel ordinario (que son\nundefined on Ł):\nR\n = \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n + \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nμ − \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nμ (36)\nNos enteramos de eso de manera poco escrupulosa.\nR\n = (R)\n + i(1/2)[R\n] (37)\ni.e. en particular tenemos: R\n (R)\n, en el que R es dado por (31).\nEsta es sólo otra razón para identificar a R.o como el reemplazo de la\nel tensor de curvatura de, que es el primer paso de nuestro camino a la generalización\ncondiciones de compatibilidad.\n5 Condiciones de compatibilidad generalizadas\nConsideremos ahora el límite f → 0+ del tensor de curvatura del subdominio\n; por (2) tenemos:\n(R\n)+ = R\n + (1/2)[R\n] (38)\ny, por (27):\n(R\n)+ = R\n [β[]\n] (39)\nTambién tenemos, por (31):\n(R\n)+ = (Rl)\n [β[]\n] + [β\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n(40)\nVemos que R y R. sólo difieren por términos proporcionales a [. ], y no\nque impliquen derivados de la misma. Por lo tanto, en vista de descuidar estos tems, en el\na continuación vamos a considerar R en lugar de R. Esto simplemente evita la introducción\ndel símbolo “ ” con el significado de igualdad pero para términos que no impliquen\n(que aquí sustituye a la segunda forma fundamental K) como en\n[1] sección 6. Entonces para el tensor Ricci R = R\nα tenemos:\n(R)\n+ = R + (1/2)\nμ[\n- [] - []\ny para la curvatura escalar R = Rα\nR+ = R + (1/2)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nAhora, para construir el tensor de Einstein G+ tenemos que recordar que, desde\nla métrica también es discontinua:\ng)\n+ = g + (1/2)[g] (43)\npara que tengamos:\n(G)\n+ = G + (1/2)\nμ − (1/8)[g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ndonde hemos denotado, por razones de brevedad:\nμ[\n- [] - []\nμ]− (1/2)g\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nVamos a fijar un gráfico de coordenadas y considerar un genérico (por el momento) regular\nprolongación para G, de modo que su valor medio se defina en el conjunto de . Ahora\nconsiderar la integral de 4 volúmenes de Riemann de G+ sobre el dominio ; de\nel teorema verde que obtenemos (para la definición general de integral en un\nhipersuperficie ver [6] p. 6):\nG =\nG + (1/2)\nlH\nμ − (1/8)\nl [g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nLa fórmula análoga para implica −l− como el vector normal saliente\ny la métrica g = gÃ3 − (1/2)[gÃ3], por lo que tenemos:\nG =\nG + (1/2)\nlH\nμ + (1/8)\nl [g]\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\ny, por consiguiente, tenemos:\nG =\nG +\nlμH\nμ (48)\nPor lo tanto, razones similares a las de la teoría heurística (véase [4] y [1] sección\n6) llevar a la hipótesis razonable de que G permanece limitado en el\n, para cualquier prolongación admisible, de modo que del volumen\nintegral de las ecuaciones de Einstein, con la presencia de una fuente eventual\nTérmino concentrado en la letra........................................................................................................................................................................................................................................................... \nGó = \n- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -\nT (49)\ndonde χ denota la constante gravitacional, concluimos que\nlμH\nμ = \nT (50)\nque es nuestra razón heurística para considerar el siguiente conjunto de\nlas condiciones de compatibilidad con el sistema para mantener el sistema Einstein como reemplazo del sistema Einstein;\necuaciones:\nlμH\nμ = T (51)\nAquí TÃ3 representa el contenido stress-energy de la hipersuperficie.\nEn el caso más sencillo lα C\n0, es muy fácil comprobar que el objeto lμH\nes calibrado-invariante en el sentido de (11), como podríamos esperar.\nPasando ahora a la comparación con el caso C0, vemos en eq.s (71)\ny (85) de [1] que nuestras condiciones generalizadas (51) son formalmente idénticas a\ncondiciones ordinarias de compatibilidad [eq. (110) del mismo documento], si se expresa\n(que en el caso general es una función del salto de la\nmétrica [g], así como de su débil discontinuidad. Por lo tanto, está claro\nque las condiciones generalizadas de compatibilidad se reducen a las normales en caso de\nmétrica es continua, es decir. en el caso de [g] = 0.\nEn particular, supongamos que g (C0, a medida C1) y f (C0, a medida);\nnosotros por otra parte supongamos (l · l) > 0, es decir. # Como en el tiempo. # Por definición de Christoffel\nsímbolos, y a partir de (11) de [1], tenemos:\n] = (l · l)-1/2(NβG\n +N/23370/Gβ\n(l · l)............................................................................................................................................................................................................................................................\n1/2NβNlQ\n (52)\nQ es un vector que se puede establecer en cero con una elección de calibre adecuada; se reproduce\nNingún papel en (51), como cabría esperar, de hecho tenemos:\nlμ[\nμ] = −G + (l · l)N(Q ·N)\nlβ[\nAsunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Federal de Alemania\n/ + (l · l)NβN/23370/(Q ·N)\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nv. + (l · l) (Q ·N)\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n] = −G/\nv. + (l · l) (Q ·N)\ny, puesto que g = g = h(N) +N N, tenemos de (45):\nlμH\nμ = G − h(N)G/\n/ (54)\nEs decir, según (88) de [1]:\nlμH\nμ = H (55)\ncomo se esperaba. Ahora supongamos (l · l) = 0, es decir. - Sí, claro. Vamos.\nu C0() ser un marco de referencia auxiliar dado. De eq.s (21) y (16) de\n[1] Tenemos:\n(u ·l)−1(−LβF(u)\nL/23370/F(u)β\nLÔF(u))+(u ·l)\n2LβLQ\n (56)\ny, por consiguiente, de (18) y (19) del mismo documento:\nlμ[\nμ] = LβB(u, n)\n3LβL(Q · L)\nlβ[\nAsunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Helénica y República Helénica\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nlμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n(+) = lμ[+)\n] = 0\nPor lo tanto, tenemos:\nlμH\nμ = G(u, n) v\n- LβB(u, n)\ni.e. una vez más, según (83) de [1], tenemos: lμH\nμ = H, como se esperaba.\nPor lo tanto, el conjunto (51) de condiciones de compatibilidad, junto con\nEcuaciones Einstein para sostener a cada lado de la hipersuperficie de discontinuidad,\ndefine la clase de soluciones generalizadas regularmente discontinuas de la Ein-\nEcuaciones de stein. Y en caso [g] = 0, es decir. para la medición continua, a partir de\ncondiciones que recuperamos las condiciones normales de compatibilidad para regular des-\nsoluciones continuas y débiles.\nSin embargo, en el caso genérico tenemos algunas diferencias, como vamos a\nmostrar en el siguiente.\n6 Una clase de capas esféricas de contorno\nConsideremos el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinua spher-\nsoluciones icales de las ecuaciones de Einstein al vacío, de la forma\nds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + r2d\na través de una desgravación gravitacional admisible esférica\ncontinuidad hipersuperficie de la ecuación r = Por lo tanto\nla forma lα = \nr − \nt es continuo (mientras que lβ = glα en general no lo es).\nSuponemos globalmente coordenadas C0, la misma forma de la métrica en ambos\ndominios y, y la identificación t+ = t−, r+ = r−, =,\nLeta, b > 0 y dejar que a, b • piecewise-C0 sea regularmente dis-\ncontinua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Déjanos\ndenotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que\ncon respecto a r. Dejar por otra parte condición a− b > 0, es decir, (l · l) > 0, espera\nA ambos lados en la parte superior.\nTenemos:\n= −[a]\nt + [b]\nr (60)\nAhora definamos la coincidencia como una solución generalizada regularmente discontinua\npor (51), con Tó = 0, es decir, en ausencia de energía-estrés concentrada en..........................................................................................................................................................................................................................................................\nEn este caso, nuestras condiciones de compatibilidad se reducen a:\nlβ[\nμ]− lμ[\nμ] = 0 (61)\nque, para un emparejamiento de métricas del tipo (59), son equivalentes a las siguientes:\nsistema:\n[b−1] + [a′b−1] = 0\n[a−1] + [a′a−1] = 0\n[a′a−1] + [a−1] = 0\n[b′b−1] + [b−1] = 0\n[b-1] = 0\ni.e. tenemos [b] = 0 y, en consecuencia:\n[] + [a′] = 0\n[a−1] + [a′a−1] = 0\n[a′a−1] + [a−1] = 0\n[b′] + [] = 0\ny a partir de (3):\n[] + [a′] = 0\n( a′)[a−1] = 0\n( a′ + )[a−1] + ([a′] + [])a−1 = 0\n[b′] + [] = 0\nAhora si tuviéramos ambos [] + [a′] = 0 y + a′ = 0, por (2) tendríamos\n+ a′ = 0 a ambos lados de la hipersuperficie. Descartamos por el momento.\nesta situación singular, y de (64)2 llegamos a la conclusión de que [a\n−1) = 0.\nAsí, en este caso, nuestras condiciones de compatibilidad generalizada implican [a] =\n[b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0, a pie-C1.\nEn [1] ya hemos estudiado algunos ejemplos de coincidencias C0, tipo-C1\nde métricas del tipo (59) en una hipersuperficie de radio constante r = rb, con\nlα = \nr. Es decir, hemos considerado: Schwarzschild externo - interno\nSchwarzschild; Schwarzschild externo - Tolman VI; Schwarzschild externo -\nTolman V. Tales coincidencias obviamente tienen lα C\n0; además condición a′ 6=\n0 reducir en este caso a a′ 6= 0, que está obviamente satisfecho. En cada caso nosotros\nhan verificado que la condición [a] = [b] = 0 implica \norden discontinuidad), que luego define la coincidencia como una capa límite [1] (es\nEn realidad, también implica b = 0, como se puede verificar). Semejante es un resultado general, ya que\npara una métrica del tipo (59) los componentes totalmente temporales y radiales\ndel tensor Einstein son independientes de los segundos derivados de la\nmétrica:\nGtt = −a(b)\n′r + b2 − b)/r2b2\nGrr = −(a)\n′r − ab+a)/ar2\nde modo que las ecuaciones de Einstein correspondientes al vacío se reduzcan a:\nb′r + b2 − b = 0,\na′r − ab+ a = 0.\nAhora, ya que en la coincidencia de (59) soluciones de vacío ecuaciones (66) se satisfacen\nen cada lado de la interfaz فارسى, su salto es en particular nulo, y a partir de (3)\ntenemos:\n′] + (2b− 1)[b] = 0\n′]− a[b]− (b+1)[a] = 0\nde la cual se desprende claramente que las condiciones [a] = [b] = 0 implican [a′] = [b′] = 0,\ni.e. A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A\nResumiendo, para el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinuo\nsoluciones esféricas, en la hipótesis anterior, la compatibilidad generalizada con\ndicciones (51) implican [a] = [b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0. Activar\nlas condiciones de la otra mano [a] = [b] = 0 implican que فارسى es una capa límite.\nPor lo tanto, para tales compatibilidades esféricas condiciones de compatibilidad generalizada (51)\nson necesarios y suficientes para que el partido sea una capa límite.\n7 Ondas de choque gravitacional generalizadas\nConsideremos la coincidencia de dos métricas de onda plana de la forma\nds2 = −2ddη + F ()2dx2 + G()2dy2 (68)\na través de una hipersuperficie de la ecuación de 0 = 0. Aquí y η son los dos nulos\ncoordenadas. Suponemos que coinciden continuamente coordenadas y F,G reg-\nulularmente discontinuos, junto con sus derivados primero y segundo. Los\nvector de gradiente de فارسى es la característica continua (a cada lado de فارسى) vector\nlα = \nCondiciones de compatibilidad generalizadas (51) en el caso T. = 0 (es decir, Sin estrés...\nenergía concentrada en la hipersuperficie) reducir a la siguiente escalar\necuación:\n[F-1F ′ +G-1G′] = 0 (69)\nque caracterizan la onda de choque gravitacional generalizada. Vamos ahora.\nestudio de compatibilidad de (69) con las ecuaciones de Einstein. El vacío de Einstein\nlas ecuaciones también reducen a una sola ecuación escalar:\nF−1F ′′ +G−1G′′ = 0 (70)\nque se supone que sostengamos a cada lado de la hipersuperficie; reemplazando así\nF+ y G+ por sus expresiones en términos de F, [F ], G y [G] según\n(2) da lugar a las siguientes condiciones escalares de pareja:\n(2F ′′ + [F ′′])(2G+ [G]) + (2G′′ + [G′′])(2F + [F ]) = 0 (71)\n(2F ′′ − [F ′′])(2G− [G]) + (2G′′ − [G′′])(2F − [F ]) = 0 (72)\nLas ecuaciones (71) a (72) son compatibles con (69), es decir: las tres ecuaciones establecidas\nse puede resolver algebraicamente con respecto a F, [G] y a cualquier miembro de la\npar (F, G), y la solución no es necesariamente trivial.\nFinalmente vamos a notar que, si la condición adicional [F ] = [G] = 0 mantiene,\ni.e. si la solución es C0, la condición (69) se reduce a F−1[F ′]+G−1[G′] = 0 es decir.:\nF - 1-F + G - 1-G = 0 (73)\nque es la condición análoga para la onda de choque ordinaria, de acuerdo con\n[1] sección 10.5.\n8 Ondas gravitacionales generalizadas lentas\nComencemos a intentar combinar dos soluciones de vacío del tipo (68) a través\nla hipersuperficie temporal (en ambos lados) de la ecuación • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Otra vez nosotros.\nSuponga que las coordenadas coinciden continuamente, F, G regularmente discontinua a-\ngether con sus derivados primero y segundo, y Tâ = 0. Esta vez, gener...\nlas condiciones de compatibilidad alizadas incluyen (69) y las dos siguientes:\ncondiciones escalares:\n[FF ′] = 0, [GG′] = 0 (74)\nEs decir, en términos de F, [F ], G y [G], de acuerdo con (3):\nF [F ′] + [F]F ′ = 0 (75)\nG[G′] + [G]G′ = 0 (76)\nEs fácil comprobar que el sistema (75)-(76) no es compatible con (71)-(72),\nen el sentido de que todo el sistema no admite soluciones no triviales para\nF, [F], G y [G].\nPor otra parte, hemos demostrado en la sección 6 que una amplia clase de\nCoinciden esféricas borradas en una hipersuperficie de radio constante necesariamente\nDegenerado a una coincidencia de C0.\nOtros ejemplos de degeneración no se han incluido en el documento para\nel bien de la brevedad, pero al menos parece ser una tarea difícil de construir un no-\ncoincidencia generalizada trivial a través de un tiempo (en cada lado) hipersuperficie, con\nsin contenido de energía-estrés. Tal dificultad no es ciertamente una prueba de que esto sea\nuna tarea imposible, pero nos hace preguntarnos si tal solución debería\nnecesariamente degeneran en una capa de frontera, al igual que sucede para el ordinario\nSoluciones C0 (véase, por ejemplo, [1]). Esto prohibiría la existencia de\nsoluciones que se propagan a una velocidad más lenta que la luz. Tal sería un\nprohibiciones indeseables bajo cierto respeto, ya que se podía esperar que\nlas interacciones gravitacionales en el vacío deben necesariamente propagarse a la velocidad\nde la luz también en una teoría generalizada.\nEn términos generales, ya que para soluciones generalizadas la métrica es discontinua\nous, una hipersuperficie puede en principio tener diferentes firmas en los diferentes\nlados; por esta razón no podemos simplemente distinguir entre el tiempo y\nel caso claro, como para las soluciones habituales C0. Más bien deberíamos distinguir\nentre tres casos: timelike-timelike, timelike-lightlike (o por el contrario) y\nLuz-luz-luz.\nEn cualquier caso, es legítimo esperar que, al menos en el tiempo-como\ncaso, similar al caso temporal de soluciones (C0, a medida C1), ausencia de\nla energía de estrés concentrada en la energía debería implicar la solución para degenerar a\nuna capa límite [1].\nDesafortunadamente para las soluciones generalizadas todavía no tenemos pruebas de que la ausencia\nde la energía de estrés concentrada en • implica necesariamente la degeneración de\nla solución a una capa de contorno.\nPor lo tanto, aunque los ejemplos considerados en este documento parecen\nque tal propiedad podría ser válida también en el caso generalizado, para el\nen el momento en que tal resultado sigue siendo una conjetura; por lo tanto, tenemos que admitir que la\nen principio permite la propagación de ondas de choque gravitacional generalizadas\na menor velocidad que la velocidad de la luz. Llamaríamos a tales ondas “la gen-\nondas de choque gravitacional borradas”. Sería razonable prohibir esto.\nla situación como antifísica, pero por ahora esto sólo se puede hacer ad hoc, por medio de\nde una hipótesis adicional correspondiente.\n9 Energía de estrés no simétrica\nNote que lμH\nμ no es necesariamente simétrico; a partir de la identidad:\n/ = (1/2)g−1g (77)\ndonde g denota el determinante de la métrica contravariante, tenemos:\nlμH[]\nμ = (1/4)(lβ[g\n− 1 g]− l[g\n−1g]) (78)\nPor lo tanto, el esquema generalizado permite en principio la presencia de\ntensión métrica-energía en la hipersuperficie de discontinuidad. Vamos a mostrar no-\nejemplos triviales de no simetría en la siguiente sección. Nótese que el\nLa parte derecha de (78) es idénticamente nula en el caso de g-C0 y lα-C\n0, desde\nen este caso tenemos [g−1g] = lβg\n−1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og.\nUn tensor Einstein no simétrico es una característica de la teoría Einstein-Cartán de\ngravedad (véase [19], véase también [3] sección 7.2), donde se debe a la presencia\nde torsión en la conexión no simétrica utilizada para construir generalizada\ncurvatura. Por lo tanto, la teoría generalizada se puede interpretar, al menos a algunos\nextensión, como la introducción de una herramienta equivalente a la torsión en el shell solamente, incluso si hay\nno son objetos geométricos en nuestra teoría que pueden ser interpretados directamente\ncomo torsión. Sin embargo, la teoría Einstein-Cartán también tiene un giro - angular mo-\necuación de campo mentum, además de las ecuaciones de Einstein, que aquí es\nFalta.\nEn la literatura, condiciones de compatibilidad para soluciones C0 de límite\ncapas [20], y recientemente de ondas de choque y conchas delgadas [21], se han estudiado\ntambién en el marco de la teoría Einstein-Cartán; en realidad, esto puede conducir a\nenergía de estrés no simétrica en el caparazón. Pero en esa teoría esta característica\nse hereda del espacio-tiempo ambiente, que no está aquí: no-simétrico\nstress-energy surge sólo en la cáscara, en consecuencia de la teoría. Esto\nEs probable que valga la pena investigar una feauture interesante.\n10 Conchas delgadas generalizadas\nAhora consideremos una forma más general de la métrica esférica:\nds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + c(r, t)d\nConsideremos una coincidencia de dos soluciones esféricas de las ecuaciones de Einstein\na través de una hipersuperficie temporal (en cada lado) de la ecuación r = (t). Otra vez nosotros.\nSupóngase C1 (t) y por lo tanto lα = \nr − \nt â € C0. Deje que las coordenadas\nser C0 globalmente, y dejar que la métrica tenga la misma forma (79) en ambos dominios\ny, con la identificación t+ = t−, r+ = r−, =, = on\nQue por otra parte a, b, c > 0 y dejar que a, b, c • piecewise-C0 sea regularmente dis-\ncontinua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Otra vez nosotros.\ndenotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que\ncon respecto a r.\nEn este caso para el lado izquierdo de la condición de compatibilidad generalizada\nciones lμH\nμ obtenemos:\nlμH\nμ = −\n[a′b−1/2] + [b−1/2 + c−1]\n+([a′a−1/2 + c′c−1] + [a−1/2]\n+([a−1/2 + c−1] + [a′a−1/2]\n−([b−1/2] + [b′b−1/2 + c′c−1)]\n+([c′b−1/2] + [a−1/2])\n* + sin2 *\n[b−1(a′a−1/2 + c′c−1)] + [a−1(b−1/2 + c−1)]\ndonde, obviamente:\ng = −a®\nt + b+\nr + c(+)\n* + sin2 *\n(81)\nAhora queremos interpretar (80) como la materia-energía de un caparazón delgado. Vamos.\nnosotros primero volver al caso particular = 0 (concha estática) y = =\n• = 0, para simplificar la interpretación eliminando el no-simétrico\ncomponente; reorganizar algunos términos que de hecho obtenemos:\nlμH\nμ = (−[a′b−1/2] + ac−1[c′b−1/2]\n+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]\nc−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]\nEsto se puede interpretar como una perfecta capa delgada de magneto-fluido isotrópico con\nConductividad infinita, es decir. podemos resolver las condiciones de compatibilidad mediante\nsidering la siguiente energía de estrés como el lado derecho:\nT = (0 + p+ μh\n2)UαUβ + (p+ (1/2)μh\n2)g® − μhαhβ (83)\ndonde 0 es la densidad adecuada, h el campo magnético y μ el magnético\npermeabilidad [22, 23, 24, 25, 6]; aquí definimos h2 = hαhβg\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De hecho, sí.\nbasta para definir el siguiente vector de 4 velocidades:\na– (1/4)[a2]a−1\nt = (a−1)1/2\nt (84)\nque, por construcción, es unitaria en el sentido siguiente: UαUβg\n• = −1,\ny las siguientes variables magnetohidrodinámicas:\n0 = χ\n−1a−1[a′b−1]/2 + 1c−1(b b−1/2− aa−1 + 1)[c′b−1]/2+\n1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)− (3/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1)\np = 1c−1(bb−1/2− 1)[c′b−1/2] + (1/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1]+\n1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)\nhα = ±\nb−11([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2])\npara emparejar (82) y (83) a través de lμH\nμ = T. Si [a] = [b] = [c] = 0\nConcha generalizada (85) degenera en la capa magnetohidrodinámica C0\nconsiderado en [1] sección 10.1, en el caso particular = 0.\nEl caso ligeramente más general de = = 0, pero 6= 0, muestra\nen términos no simétricos (80); sin embargo, no es difícil ver que la\nla interpretación del magnetofluido todavía se mantiene, siempre y cuando no\ntérminos simétricos son interpretados, o descuidados. De hecho, en este caso tenemos:\nlμH\nμ = (−[a′b−1/2] + c−1[c′b−1/2]\n+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]\n+(1/2)[a′a−1/2− b′b−1/2− c′c−1](\nt + â €\n+(1/2)[a′a−1/2 + b′b−1/2 + c′c−1]\nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nc−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]\nConsideremos ahora, en aras de la brevedad, las siguientes cantidades:\n2[ a\n2b−1 − (a)\n− [a]\n))2a−1\n− [a]\n− [a]\ny supongamos que la desigualdad α < 0 sostiene, que es necesario para el\ninterpretación física. De hecho, en este caso el siguiente vector:\n− [a]\nt + 1\n[ a]\n− [a]\nes un vector tipo tiempo de unidad en el sentido de que UαUβg\n• = −1. Reordenar\ntérminos, (86) ahora dice:\nlμH\nμ = αUβU/23370/ + \nr + 1\n[ a]\nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nc−1[ c\n− [b−1(a)\nque se puede igualar a través de lμH\nμ = T con un tensor de tensión-energía de\nel tipo siguiente:\nT = (0 + p+ μh\n2)UαUβ + (p+ (1/2)μh\n2)g® − μhαhβ + A® (91)\ndonde A denota el término anti-simétrico. Tenemos:\n0 = \n−1α + 1 1\n− 1[b−1( a)\n)]− 1\np = 1 1\n] + 1[b−1( a\n)]− 1\nμh2 = 1βb−1\nmientras que el término anti-simétrico A dice:\nA = \nt − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nr) (93)\nLa interpretación de este término aún no se ha hecho; por el contrario, podría ser\nnegándose añadiendo la hipótesis adicional:\n= 0 (94)\nque es equivalente a [g−1g′] = 0, como podríamos esperar de (78).\nBibliografía\n[1] G. Gemelli Gen. Rel. Grav. 34 1491-1540 (2002).\n[2] S.O’Brien, J.L.Synge Comm. Dublin Inst. Adv. Stud. Ser. A 9 1-20\n(1952).\n[3] C. Barrabes, P.A. 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Anile Fluidos relativistas y magneto - fluidos Cambridge Univer-\nsity Press, Cambridge (1989).\n\tIntroducción\n\tmétricas discontinuas\n\tGeometría de valor medio en una hipersuperficie\n\tFormalismo complejo de valor medio\n\tCondiciones de compatibilidad generalizada\n\tUna clase de capas esféricas de contorno\n\tOndas de choque gravitacional generalizadas\n\tOndas gravitacionales generalizadas lentas\n\tEnergía de estrés no simétrica\n\tConchas delgadas generalizadas\n"}}},{"rowIdx":97,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0104,"string":"704.0104"},"title":{"kind":"string","value":"A geometric realization of sl(6,C)"},"full_text":{"kind":"string","value":"UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C)\nGIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nResumen. Dada una débilmente orientable auto-dual multiple X de rango dos, nosotros\nconstruir una realización geométrica del álgebra Lie sl(6,C) como una definición natural\nálgebra LC de endomorfismos del espacio de formas diferenciales de X. Nosotros pro-\nvide una descripción explícita de los generadores Serre en términos de generadores naturales\nde LC. Esta construcción da un paquete en X que está relacionado con la búsqueda\npara una teoría del medidor natural en X. Consideramos este documento como un primer paso en la\nestudio de una estructura algebraica rica e interesante.\n1. Introducción\nEste trabajo es un paso en un programa más amplio, que tiene como objetivo encontrar un geomet-\nric homólogo a la simetría espejo faenomenon, y posiblemente una geométrica\nlenguaje en el que formular una teoría física interpolando entre diferentes\nModelos. Mientras dirigimos al lector a [G2],[G3] para más detalles, enumeramos aquí\nsólo algunos aspectos de esta teoría para poner el presente trabajo en contexto.\nEn la aproximación Strominger-Yau-Zaslow a la simetría espejo tienes que dos\nespejo doble Calabi-Yaus debe poseer (en cierto sentido limitante) semi-plano especial\nFibraciones de toro lagrangiano f : M → B, fâ € : Mâ → B que tienen como fibras toris planas\nque son duales en el sentido métrico (véase [SYZ], y [G2] para la terminología y el\ndefiniciones). Como es ampliamente conocido, el principal inconveniente de este enfoque es que\nes muy difícil construir fibras tori lagrangianas especiales. Usualmente esta construcción\nsólo se puede llevar a cabo cuando los colectores de Calabi-Yau duales son en realidad hiper-\nkahler, y el tori lagrangian especial se puede ver como complejos submanifolds (con\nrespeto a una estructura compleja rotada), de modo que los métodos de complejo algebraico\nLa geometría se puede poner a trabajar.\nCuando usted tiene las fibras, entonces la idea es construir el mapa del espejo como\nuna especie de transformación de Fourier-Mukai (véase, por ejemplo, [BMP]). Este Fourier-Mukai\ntransformar es una correspondencia inducida por el retroceso y empujar hacia adelante de la\nespacio X = M × B Mâ. En el caso de hiperkähler este espacio es un complejo colector,\nmientras que en el caso general (por ejemplo, para Mirror Symmetry para Calabi-Yau tres-\npliegues) es sólo un verdadero múltiple de dimensión (real) 3 · dimC(M).\nAntecedentes. La noción de (débilmente) auto-doble múltiple (cf. [G2]) fue con-\nrecibido en primer lugar para aislar los aspectos geométricos de la X arriba que son\nnecesaria para obtener la Simetría Espejo entre M y Mâ. Aquí reproducimos el def-\ninición para el lector, mientras se refiere a [G2] y [G3] para todas las observaciones, ejemplos\ny observaciones:\nDefinición 1.1. Se da un colector débilmente auto-dual (multiplicador de WSD para la brevedad)\npor un suave colector X, junto con dos lisos de 2 formas........................................................................................................................................................................................................................................................\nmétrica y un tercero liso de 2 formas • D (la forma dualizante) en él, que satisfacen la\nlas siguientes condiciones:\n1 ° d ° 1 = d ° 2 = d ° D = 0 y la distribución °\n1 + فارسى\n2 es integrable.\n2) Para todos los p • X existe una base ortogonal dx1,.., dxm, dy\n1,..., dy\nm, dy\n1,..., dy\nFecha: 24 de octubre de 2006.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0104v1\n2 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\ndz1,..., dzc, dw1,..., dwc de T\npX tal que el dx1,.., dxm, dy\n1,..., dy\nm, dy\n1,..., dy\nson ortonormales y\n(1)p =\ndxi Ł dy\ni, (+2)p =\ndxi Ł dy\ni, (D)p =\ndy1i\ndzi Ł dwi\nCualquier base ortogonal de TpX dual a una base de 1- formas como se dice anteriormente\nadaptado a la estructura, o estándar. El número m es el rango de la estructura.\nPara una definición más intrínseca de múltiples WSD el lector debe referirse a [G2].\nAquí hemos elegido la forma más rápida de presentarlos.\nCuando las formas #1, #2, #D son constantes covariantes con respecto a la Levi-Civita\nconexión, hablamos de 2-Kähler colectores. Un ejemplo de esto viene del espejo\nsimetría para las variedades abelianas.\nObservación 1.2. La forma D es simpléctica, una vez restringida a\n1 + فارسى\n2. Tenemos\npor lo tanto, que\ndim(X)−m\n6= 0.\nDefinición 1.3. 1) Un colector de la WSD no es degenerado si dim( +01 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n2) p = 0 en absoluto\npuntos (equivalente si su dimensión es 3 veces el rango).\n2) Un colector de WSD es auto-dual (diverso de SD para la brevedad) si todas las hojas de la\nDistribución de los productos 01 + \n2 tienen volumen uno (con respecto a la forma de volumen inducida por\nla métrica)\nUsando Auto colectores duales, usted puede dar una primera definición geométrica nóve de Mir-\nror Simetría según se indica:\nDos colectores Calabi-Yau con campo B (M, BM ) y (Más, BMâs ) son espejo dual\nsi hay una auto-doble multiple X junto con las conjeturas η : X → M y\n: X → Más tales que:\na) (M) = 1, \n) = 2.\nb) Las hojas de 1 son las fibras de \nc) Las hojas de 2 son las fibras de \nd) Los campos B inducidos en M y Mâ € son los que se dan.\nAquí hacen su primera aparición el B-campos BM y BM®, que son unitarias planas\ngerbes sobre M y M, respectivamente, y que no son pertinentes para los debates de\nEste periódico. En [G2] se demostró que esta imagen funciona bien en el caso de la elíptica\ncurvas, y para algunas otras situaciones planas.\nMotivación física. Sin embargo, una de las razones para introducir múltiples SD\nse deshizo de las fibraciones lagrangianas especiales, que son tan difíciles de construir,\ny ser capaz de atacar el problema de la simetría espejo también cuando estos fibra-\nNo se espera que existan. En este contexto más general se espera que el\nEspejo de simetría faenomenon no se obtendrá directamente de las fibras de\nun colector SD para el doble Calabi-Yaus, pero a través de un procedimiento más sofisticado,\nque implica un tipo de límite Gromov-Hausdorff. En [G3] se demostró que para\nla familia de divisores anticanónicos en espacio proyectivo complejo se puede construir un\n(real) familia bidimensional de los múltiples de la CMD, que degeneran en una normalización\nGromov-Hausdorff siente los límites correctos del espejo doble Calabi-Yaus. Los\nla imagen es la siguiente:\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 3\nMB MAS\ndonde MA y MB son los grandes Kähler y grandes límites de estructura compleja de M\ny Mós, respectivamente. Para ser precisos, los colectores que salen de la co-\nciones de [G3] son 11 dimensionales (degeneradas) Debilmente auto-duales múltiples o rango 3.\nDimensión 11 es muy atractivo en este contexto desde un punto de vista físico, y\nnos lleva a la motivación del presente trabajo.\nEl punto de vista de [G3] es muy diferente del actual en el litro principal-\nature on matemática Mirror Symmetry: en lugar de considerar el producto de fibra\nM×B MÃ3 (cuando exista) como dispositivo para probar la Simetría de Espejos para Calabi-Yaus,\nla limitación Calabi-Yaus de Simetría Espejo son vistos como límites muy especiales de una\nfamilia de colectores Self-Dual, que son los principales objetos de estudio. Esto es en realidad\nmás en línea con lo que se puede encontrar en la literatura física, donde los modelos\ndefinir las teorías de cuerdas de las que se origina la simetría espejo se ven como\nsólo “fases” de una teoría única, que no está necesariamente en la forma de un modelo\npero muy probablemente podría ser similar a una teoría de calibre cuantificado en un 11-dimensional\nmultiple. Para hacer este círculo de ideas más concreto (y por lo tanto más verificable) en\nel final de [G3] se sugiere que uno debe tratar de construir una teoría de calibre natural\nLa esperanza es que una vez cuantificado esta teoría de la medición podría en-\nterpolado entre los modelos asociados a los Calabi-Yau, y como subproducto\nprueban la simetría del espejo para ellos. Por supuesto, uno siempre puede poner un paquete de calibre en\nlos colectores auto-duales \"artificialmente\", pero un haz natural que depende sólo de\nla estructura geométrica sería mucho más atractiva. Ignoramos aquí la cuestión.\nde los cuales la acción para poner en la teoría, pero también debe ser una geométrica natural.\nFinalmente, en [GG] analizamos la situación para el rango tres de múltiples de la WSD, y nosotros\nencontrado que en este caso el paquete natural correspondiente está formado por complejo Lie\nsuperálgebras. Fuimos capaces de encontrar una forma geométricamente motivada real, y para\ndividirlo en factores simples. Los resultados de [GG] confirman la sospecha de que en un WSD\nmúltiple de rango lo suficientemente alto podría haber suficientes paquetes algebraicos naturales de\noperadores para construir teorías de medición interesantes.\nLa construcción de LC. Desde el punto de vista físico, el caso de Calabi-\nYau tres veces (es decir, clasificar tres colectores WSD) o cuádruples (es decir, clasificación de cuatro WSD\ncúltiples) sería el más interesante para empezar. Sin embargo, su\nla dificultad nos convenció de que partiéramos más modestamente del caso de Calabi-Yau dos-\npliegues (es decir, K3 superficies) que corresponden al rango de dos colectores Self-dual. Nosotros también.\nno degenerado, por lo tanto, de los múltiples auto-duales de rango dos, por lo que\ndimensión 6. Esto podría considerarse una prueba de concepto desde el punto de vista físico\nde vista, sin embargo Mirror Symmetry para K3 es en sí mismo muy interesante mathemati-\nCally, así que esperamos que nuestros resultados puedan tener algunas consecuencias geométricas útiles.\nEl caso de rango tres se trata en nuestro siguiente [GG], como se mencionó en el anterior\nsección de la presente introducción. El principal resultado del presente documento es el siguiente:\n4 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\n(que es una reafirmación geométrica del Teorema 5.11):\nLa Lie álgebra sl(6,C) actúa a través de operadores canónicos (dependiendo sólo de la geo-\nestructura métrica) en las formas diferenciales lisas de cualquier no degenerado orientable\nWSD multiple de rango 2.\nEsta acción generaliza naturalmente la acción de sl(2,C) sobre diferencial suave\nformas de cualquier colector casi Kähler, y es inducido por una acción de paquete en el\npotencia exterior del haz de cotangente.\nRecordemos que un colector débilmente auto-dual es un colector Riemanniano con tres\nFormas diferenciales “compatibles” cerradas. Construiremos un álgebra de Lie de punto\noperadores en formas diferenciales complejas en X, como secciones lisas de un paquete de Lie\nálgebras de los operadores en el complejo paquete cotangente de X. Para empezar, uno puede\ndefinir los siguientes operadores:\nDefinición 1.4. Por lo que se refiere a la letra a) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013\nL0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1 \nUno puede notar inmediatamente el fuerte parecido de los operadores de arriba con\nel operador Lefschetz de la geometría Kähler. De hecho, se puede profundizar en esta simi-\nlarity, y utilice la métrica para definir los contiguos Łj = L\nj (utilizando un procedimiento\ncomo en el caso casi Kähler).\nSimplemente usando el Lj y el Łj, uno puede mostrar que el álgebra generada es iso-\nmorfo a SL(4,C) ([G2]). Sin embargo, hay otras formas diferenciales naturales en\nun colector de la CMD (que no tiene una contraparte en el caso Kähler), a saber:\nformas de volumen de las distribuciones 1, \n1, 2.................................................................................................\nD de vectores que se contraen a cero\ncon los formularios +1, +2 y +D, respectivamente. Si uno llama V0, V1, V2 el correspondiente\nlos operadores de cuña, y A0, A1, A2 sus colindantes, la complejidad de los cálculos\npara describir el álgebra de Lie generada crece mucho. Llamamos L el álgebra generada\npor el Lj, Vj y sus colindantes, y LC su complejidad. Para estudiar LC introducimos...\nun operador J, que es una estructura compleja en cada una de las dos dimensiones\ndistribuciones mencionadas anteriormente y genera un grupo isomórfico a SO(2,R) (recordar\nque estamos en el caso \"hiperkahler\", correspondiente a la simetría de espejo para K3,\npor lo que una estructura “extra” compleja no debería sorprender; además, la holonomía de\nun colector de la WSD en el que todos los â € € TM € TM, â € € TM ; D son invariantes en realidad siempre se incluye en\nel grupo generado por J). Un control de que todos los operadores introducidos conmutan\ncon él:\n[Jj, J] = [Jj, J] = [Vj, J] = [Aj, J] = 0\ny por lo tanto uno puede tratar de descomponer T*\nX con respecto a J y luego utilizar\nLemma de Shur para reducir al estudio de los operadores sobre los componentes isotípicos.\nCabe mencionar que en los casos (muy) buenos (por ejemplo, los colectores 2-Kähler)\nlos operadores anteriores son todos constante covariante con respecto a la connec-\ny definir una acción sobre la cohomología de X mucho de la misma manera que en el\nKähler fijando los operadores L y Ł do (debido a las identidades del tipo Hodge). Nosotros no\nexplorar este aspecto aquí, aunque puede ser relevante para el espejo (homológico)\nconstrucción de mapas.\nVolviendo a la construcción, señalamos la inclusión de la Lie álgebra LC\ndentro de una copia del álgebra de Clifford Cl6,6.\nUtilizando este álgebra de Clifford se puede identificar a los operadores de “grado dos” o “cuadratic”\n(de una manera similar a los involucrados en las representaciones de Espinor en el estándar\nSpin multiples) y entre estos los SO(2,R)-invariantes. A posteriori, gira.\nde que los operadores de LC® < J > son todos los operadores J-invariantes de ”grado\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 5\ndos”, y esto refuerza la razón de ser en nuestra selección de operadores naturales.\nComo último paso uno encuentra que dentro de T ∗X hay un SO(2,R)-isotípico compo-\nnent de la dimensión 6, y por el cálculo directo demostramos que de hecho los operadores\nrestringido a esta sub-representación determinar una copia de sl(6,C) (con la defin-\n■ representación). Utilizando el límite de la dimensión de la computación obtenida por LC\n“cuadratica” invariantes, se muestra entonces que la representación en este isotípico\ncomponente es fiel. Esto proporciona como subproducto un método para dar presenta-\nde los generadores estándar Serre de LC, expresamente escritos en términos de\ngeneradores geométricos.\n2. Operadores básicos\nEn esta sección fijamos un punto p en el múltiple X de la WSD. La estructura de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible\ndivide el espacio cotangente como T *pX = W0â € € TM W1â € TM W2 donde el Wj son tres mutuamente\ndistribuciones canónicas ortogonales definidas como:\nW0 = T\npX \n2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n2 = 0}\nW1 = T\npX \n2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \nD = 0}\nW2 = T\npX \n1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1\nD = 0}\nLa estructura WSD también determina identificaciones lineales canónicas de par\nentre W0, W1 y W2, por lo que también se puede escribir T\npX = W0 R R\n3 o más\nsimplemente\nT ∗pX =W R R\ndonde W = W0 = W1 = W2.\nVolvamos ahora a los operadores canónicos Lj mencionados en la introducción:\nDefinición 1.4\nL0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1 \nAhora elegimos una base ortonormal (no canónica) γ1, γ2 para W0, y esto juntos\ncon las identificaciones estándar del Wj determina una base ortonormal para\nT *pX, que escribimos como {vij = γi ej i = 1, 2, j = 0, 1, 2}. Observamos que\nel vij son un coframe adaptado para la estructura de la WSD, y por lo tanto tenemos el\nexpresiones explícitas:\n• 1 = v10 • v11 + v20 • v21\n2 ° = v10 ° v12 + v20 ° v22\nD = v11 v12 + v21 v22\nUna elección diferente de la γ1, γ2 estaría relacionada con la anterior por un elemento en\nO(2,R) o, teniendo en cuenta la orientabilidad de X mencionada en la introducción,\nun elemento de SO(2,R). El álgebra de Lie del grupo SO(2,R) expresando la\ncambio de una base adaptada orientada a otra se genera (punto por punto) por\nel operador global J :\nDefinición 2.1. El operador J. EndR.\n∗(X)) es inducida por su acción puntual\nen el T ∗pX para variar p X, definido en términos de la base estándar vij como\nJ(v1j) = v2j, J(v2j) = −v1j para j {0, 1, 2}\ny J(v) W = J(v) W + v) J(w) para v, w T ∗pX\nObservación 2.2. A medida que J se desplaza consigo mismo, está bien definido, independientemente de la\nelección de una base adaptada orientada.\nUtilizando la base escogida (ortonormal), se puede definir la correspondiente (no canon-\nlos operadores de cuñas y contracciones:\n6 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nDefinición 2.3. Vamos a {1, 2} y j {0, 1, 2}. Los operadores Eij y Iij son\nrespectivamente la cuña y el operador de contracción con la forma vij en\n(definido utilizando la base dada); utilizamos la notación \npara indicar el elemento de\nTpX dual a vij T\nEij() = vij (), Iij () =\nProposición 2.4. Los operadores Eij, Iij satisfacen las siguientes relaciones:\nI, j, k, l EijEkl = −EklEij, IijIkl = −IklIij\nEijIij + IijEij = Id\n(i, j) 6= (k, l) EijIkl = −IklEij\ni, j E*ij = Iij, I\nij = Eij\ndonde ∗ es adjunción con respecto a la métrica.\nPrueba La prueba es una simple verificación directa, que omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEs entonces inmediato verificar que:\nProposición 2.5. J puede expresarse como\n(E2jI1j − E1jI2j)\nen su conjunto\nT ∗pX. De esta expresión y de la proposición anterior uno ob-\nque J* = −J, es decir, para cada p el álgebra Lie generada por J es un subalgebra\nde o(\nT ∗pX) isomórfico a so(2,R)\nPor otra parte, las imágenes exponenciales en-\nlado AutR(\n*(X)) de los operadores del tipo tJ para t â € R forman un grupo isomórfico a\nSO(2,R) = S1, ya que este isomorfismo sostiene la restricción (fiel) del grupo\nacción a T ∗pX.\nUtilizando los operadores (no canónicos) Eij podemos obtener expresiones simples para el\nacción puntual de los demás operadores canónicos, el volumen forma Vj :\nDefinición 2.6. En nombre de la República Popular Democrática de Corea\nT ∗pX,\nV0(l) = E10E20(l), V1(l) = E11E21(l), V2(l) = E12E22(l)\nRecuerde, sin embargo, que los operadores Vj no dependen de la elección de una base,\ncomo son simplemente multiplicación por las formas de volumen de los espacios Wj.\nUtilizamos el vij también como una base ortonormal para el espacio complejo T\np R C\n(con respecto al producto interno del ermitaño inducido). Indicamos con la misma\nsímbolos Vj los operadores complejos que actúan sobre los espacios\nT ∗pX.\nLa métrica riemanniana induce una métrica riemanniana en T*pX y en el espacio\nT ∗pX.\nDefinición 2.7. Para j {0, 1, 2}\n•j = L\nj, Aj = V\nPor la construcción de los operadores canónicos Lj, Vj,\nT *pX son el punto-\nrestricciones prudentes de los operadores mundiales correspondientes sobre formas diferenciales fluidas,\nque indicamos con los mismos símbolos: para j {0, 1, 2},\nLj, Vj,\n*(X) → (X)\nResumiendo:\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 7\nDefinición 2.8. El ∗-Lie álgebra L es el ∗-Lie subalgebra de EndR (\n∗ (X)\npor parte de los operadores\n{Lj, Vj,j, Aj para j = 0, 1, 2}\nEl operador ∗ en L es inducido por el contiguo con respecto al Riemannian\nmétrica. El *-Lie álgebra LC es L C, y es de una manera natural un ∗-Lie subalgebra\nde fin de período de sesiones de la Comisión de las Naciones Unidas para la Eliminación de la Discriminación Racial\n(X)). El operador ∗ en LC es inducido por el contiguo con respecto a\nla métrica de Hermitia inducida.\nLa división canónica T *pX = W0 â € € TM W1 â € TM W2 junto con la canónica\nlas identificaciones W0 = W1 = W2 inducen una acción del grupo simétrico S3, que\nse propaga a\nT * X y sus secciones C. En cada momento, la acción puede ser\nescrito explícitamente en términos de la base como\n(vij) = vi(j)\nLa acción inducida sobre los endomorfismos vía conjugación, \nLC. De hecho, uno puede comprobar directamente utilizando la base vij en cada punto que para \n(Vj) = V(j), (Lj) = \nPuesto que S3 actúa sobre LC por conjugación con operadores unitarios, su acción conmuta\ncon la adjunción (el operador ∗), y por lo tanto\n(Aj) = A\nPor otra parte, también se tiene que (J) = J lo que significa que la acción de S3 conmuta\ncon el de so(2,R).\n3. La acción de so(2,R)\nCuando se trata de la simetría del espejo para los colectores de 2-Kähler (ver el Introduc-\n), los múltiples WSD que surgen tienen la propiedad de que las formas....................................................................................................................................................................................................................................................... \nD son constantes covariantes con respecto a la métrica. En este caso, el máximo\nla posible holonomía del colector X de la WSD se incluye en el so(2,R) generado\npor el operador J. Demostraremos ahora que J viaja con LC. Nuestra prueba lo hará.\nser estrictamente algebraico, por lo que la computatividad entre so(2,R) y LC se mantendrá\nTambién en los colectores de la CMD para los cuales la holonomía es más general.\nDefinición 3.1. Dado n â € Z, indicamos con Vn el complejo unidimensional\nrepresentación de SO(2,R) < S1 > = R/Z dada por el carácter:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nProposición 3.2. Bajo la representación SO(2,R) inducida por el operador J,\npara cualquier p â € X :\n1) El espacio\nXp) escisiones como\nV â € 31\n8 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\n2) Todo el espacio\nXp) se divide de acuerdo con la siguiente imagen:\nXp) = V0\nXp) = V\nV â € 31\nXp) = V\nV â € 90\nV â € 32\nXp) = V−3\nV â € 91\nXp) = V\nV â € 90\nV â € 32\nXp) = V\nV â € 31\nXp) = V0\nPrueba 1) El espacio T *\nXp es una suma directa de los tres Wj, y cada uno de estos\nes la representación real bidimensional estándar de so(2,R). Por lo tanto, diag-\nonalize la representación introduciendo una nueva base para cada Wj =< v1j, v2j >:\nwj = v1j + ı v2j, wj = v1j − ıv2j\nA partir de la definición de J, uno tiene entonces para cada j {0, 1, 2}\nJ(wj) = wj, J(wj) = ıwj\nPor lo tanto, uno tiene para cada j. {0, 1, 2}\n< wj = V−1, < wj = V1\n2) Para probar el caso general, utilizamos el hecho de que el operador J determina un\nestructura casi compleja en el colector X, compatible con la métrica. Desde\nesto, siguiendo los argumentos estándar, las formas diferenciales complejas y también el\nelementos de\nXy para cualquier y • Y se puede dividir de acuerdo a su tipo:\np+q=n\nEn la notación adoptada en la prueba de la primera declaración,\nXy = < wi1 · · · • wip wj1 · · · · • wjq i1,..., jq • {0, 1, 2} >\nDe la definición de la acción de J se tiene por lo tanto que para cualquier p, q\nXy â € = V\ncon k =\na partir de la cual la segunda declaración de la proposición puede ser\nDeducido. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTeorema 3.3. Los operadores Lj, Vj para j {0, 1, 2} viajan con el generador\nJ de so(2,R).\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 9\nPrueba Demostramos las declaraciones mediante un cálculo directo utilizando la base vij ;\npor otra parte, utilizando la acción de S3 (que permuta el Lj, Vj y corrige J), es\nsuficiente para probar la computatividad para L0 y V0. Es útil volver a escribir 0 (y\nPor lo tanto, L0 que es cuña con 0) en términos de la base generada por el wj :\n• 0 = v11 • v12 + v21 • v22 =\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\ny luego:\n[J, L0](wi1 • · · · • wip • wj1 • · · • wjq ) =\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\n(w1 • w2 • w2 • • • J(wi1 • · · • • wip • wj1 • · · • • wjq )\nPor lo tanto, el resultado se deriva del hecho de que\n(w1 •w2 − w2 • w1) = 0\ncomo wj y wk tienen peso opuesto con respecto a J para cualquier j, k.\nDel mismo modo, [J, V0] = 0 se deriva del hecho de que para cualquier α\nV0(α) = v10 • v20 • α =\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nDesde el teorema anterior se obtiene el siguiente corolario, que se mantiene sobre cualquier\nMultiplex WSD (no necesariamente 2-Kähler ):\nCorolario 3.4. El álgebra LC se desplaza con la acción de so(2,R) inducido por\nPrueba Ya sabemos que [J, Lj] = [J, Vj ] = 0 para j {0, 1, 2}. El corre...\nsponding relaciones de conmutación para los grupos electrógenos contiguos...................................................................................................................................................................................................................................................... \nel hecho de que J* = −J, como se observa en la Proposición 2.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.5. Del lema de Schurs se desprende que las columnas del diagrama de\nLa Proposición 3.2 está preservada por la acción de LC.\n4. Una representación irreductible de LC\nMirando la tabla de la Proposición 3.2 notamos que la segunda columna de\nla izquierda es una representación de LC (por Observación 3.5) de la dimensión 6:\nV = V\n−2 = < w0 • w1, w0 • w2, w1 • w2, w0 • w1 • w2 • w0,\nW0 W1 W2 W2 W1 W1 W2 W2 W2\nEn esta sección computaremos explícitamente esta representación.\nUtilizando la base descrita anteriormente, no es difícil calcular las matrices por\nmano:\nProposición 4.1. Indicando con β la base ordenada para V indicada anteriormente, la\nlas matrices para los (restricciones a V de) generadores de LC son las siguientes:\nMβ(L0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n, Mβ(0) =\n0 0 0 0 −2 0\n0 0 0 0 0 −2\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n10 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nMβ(L1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 −\n0 0 0\n, Mβ(1) =\n0 0 0 2 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 −2\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(L2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 2 0 0\n0 0 0 0 2 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(A0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 −2ı 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(A1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 2ı 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n, Mβ(A2) =\n0 0 0 0 0 −2ı\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nPrueba Cálculo directo utilizando la base generada por el wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorolario 4.2. El álgebra generada por la restricción de LC a V es isomórfica\na sl(6,C), con V su representación natural.\nUno puede resumir los cálculos anteriores en el siguiente teorema:\nTeorema 4.3. Hay una secuencia exacta de álgebras de Lie\n0 → K → LC → sl(6,C) → 0\ndada por la restricción a V.\nEn la siguiente sección probaremos que K = {0}, y por lo tanto la representación\nV es fiel y LC = sl(6,C).\n5. Invariantes cuadráticas\nComenzamos por mostrar que la acción de Lie álgebra LC es inducida por un (no-\nCanónico) representación de álgebra de Clifford. Utilizamos para la simplicidad el canónico\nidentificación T Xp = T Xp sin más comentarios, de modo que si {vij} es una base\npara T ∗pX, entonces {\n} es la base dual correspondiente para TpX.\nDefinición 5.1. Para p X, el álgebra de Clifford Cp es\nCp = Cl(TpX + T\npX, q)\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 11\ncon la forma cuadrática q inducida por la métrica\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\n*, j, h, k <...............................................................................................................\n6 = (h, k) < vij,\ni, j < vij,\n> = − 1\nObservación 5.2. El Clifford álgebras Cp para variar p definir un paquete de Clifford C\nsobre X, ya que la definición de Cp es independiente en la elección de una base. De hecho, la\nLa forma cuadrática utilizada para definirla es simplemente inducida por − 1\nveces el bilineal natural\nemparejamiento TpX T\npX → R.\nProposición 5.3. El álgebra Clifford Cp tiene una representación canónica\nT ∗pX, inducido por los operadores Eij y Iij a través del mapa\nP(vij) = Eij, P\n= Iij\nPrueba de las relaciones de Clifford\n+ = −2 < \nson precisamente el contenido de la Proposición 2.4. La representación es canónica, aunque\nlos operadores Eij y Iij no son, porque puede definirse en una base independiente\nmanera como\nlp(v)(α) = v l, lp\nAbusando ligeramente de la notación, identificaremos a Cp con su imagen (fiel) dentro\nT ∗pX\n, y omitiremos cualquier referencia al mapa. En realidad, como la\nrepresentación arriba es un análogo real de la representación de Spinor, es fácil de\nverifique que el mapa p es un isomorfismo de álgebras asociativas. Uno entonces tiene:\nDefinición 5.4. El subespacio lineal C2p de Cp es la imagen del mapa natural\n(TpX-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T\npX) → Cp. El subespacio lineal C\np de Cp es el subespacio generado por\nRecuerde que C2p es un subalgebra de Lie de Cp (con el soporte del conmutador).\nProposición 5.5. El Lie álgebra Lp y el operador J se sientan dentro de C\np para todos\nÍNDICE (continuación)\nPrueba Los operadores Lj, el?j, el Vj y el Aj mienten dentro de C\np por Propo-\nSituación 2.4 y el hecho de que â € 1, â € TM TM y D mienten en\nT ∗pX. El operador J se encuentra dentro\nC2p â € C\np por Proposición 2.5. Por definición, los elementos C\np son conmutadores, y\nPor lo tanto, tienen traza cero en cualquier representación, y por lo tanto también en la p. Además,\nde nuevo por inspección todos los generadores de Lp tienen traza cero una vez representado a través de\n(son nilpotentes), y por lo tanto deben estar dentro de C\np. El operador J es\nen el álgebra de Lie del grupo de isometría, y por lo tanto también tiene traza cero y\npor lo tanto se sienta dentro de C2p. As C\np se cierra bajo el soporte del conmutador de Cp, y\neste conmutador coincide con el soporte de composición de los operadores, tenemos el\nconclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 5.6. Dar el grado 1 a los operadores Eij y el grado −1 a la ópera-\nTors Iij, inducimos un grado Z en Cp. Este grado coincide con el grado de la\noperadores inducidos por la clasificación en los formularios a partir de\nT ∗X.\n12 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nObservación 5.7. Para cualquier p • X, el álgebra Clifford Cp es isomórfico a Cl6,6, como\nla métrica utilizada para definirla tiene firma (6, 6). Por consiguiente, la propuesta anterior\nmuestra que Lp es una mentira subalgebra de Cl\n= spin(6, 6) = so(6, 6), generado por\nsecciones globales suaves del paquete C de Clifford.\nEl operador J actúa sobre toda la Cp mediante la adición con respecto al conmutador\ny envía su parte cuadrática C2p a sí misma desde la Proposición 5.5.\nMostraremos que el espacio de J-invariantes dentro de C2p (los \"cuadraticos\" J-invariantes)\ncoincide con LC. Para describirlo explícitamente, vamos a introducir la siguiente notación:\nDefinición 5.8.\nEwj = E1j + ıE2j, Ewj = E1j − ıE2j\nIwj = I1j − ıI2j, Iwj = I1j + ıI2j\nLemma 5.9. La acción adjunta del operador J en Ewj, Iwj, Ewj, Iwj es:\n[J, Ewj] = Ewj, [J, Iwj] = ıIwj\n[J, Ewj ] = ıEwj, [J, Iwj ] = Iwj\nPrueba Es suficiente considerar los pesos J correspondientes del wj, wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nProposición 5.10. Los 36 operadores siguientes proporcionan una base lineal para la\ndratic J-invariantes:\n(1) [Ew0, Ew1 ], [Ew0, Ew2 ], [Ew1, Ew2 ], [Ew1, Ew0 ], [Ew2, Ew0 ], [Ew2, Ew1 ]\n(2) [Iw0, Iw1 ], [Iw0, Iw2 ], [Iw1, Iw2 ], [Iw1, Iw0 ], [Iw2, Iw0 ], [Iw2, Iw1 ]\n(3) [Ew0, Ew0 ], [Ew1, Ew1 ], [Ew2, Ew2 ]\n(4) [Iw0, Iw0 ], [Iw1, Iw1 ], [Iw2, Iw2 ]\n(5) [Ew0, Iw1], [Ew0, Iw2], [Ew1, Iw0], [Ew1, Iw2], [Ew2, Iw0], [Ew2, Iw1]\n(6) [Ew0, Iw1 ], [Ew0, Iw2 ], [Ew1, Iw0 ], [Ew1, Iw2 ], [Ew2, Iw0 ], [Ew2, Iw1 ]\n(7) [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ], [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ]\nPrueba El peso J de un grupo de operadores J-homógenos es la suma de\nlos pesos respectivos. Los “monomios” cuadráticos (con respecto al soporte)\nen el Ewj, Iwj, Ewj, Iwj son todos J-homogéneos, y por lo tanto para encontrar una base de\nJ-invariante operadores cuadráticos es suficiente para identificar el J-invariante cuadrático\nmonomios. Ser J-invariante significa simplemente tener peso cero, y el compu-\nde los mononios cuadráticos sigue inmediatamente de los\nde Ewj, Iwj, Ewj, Iwj, que son respectivamente, ı, ı,. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTerminamos esta sección con lo siguiente:\nTeorema 5.11. En la secuencia exacta del Teorema 4.3 el núcleo K es igual a {0}.\nEl álgebra LC es por lo tanto isomórfico a sl(6,C).\nPrueba Dado que LC está incluido en el álgebra de Lie de invariantes cuadráticas, es\nsuficiente para demostrar que J 6o LC, a partir de esta y la proposición anterior que sigue\nque dimC(LC) ≤ 35. Como los mapas de LC surjetivamente a sl(6,C) que tiene dimensión 35,\nel núcleo debe ser cero. Cuando se limita a la subrepresentación V, los generadores\nde LC tienen todos rastro cero por inspección de sus matrices. Sin embargo, por definición\nde V, J restringido a él es la multiplicación por −2ı, y por lo tanto tiene traza igual a\n−12ı. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorollary 5.12. El álgebra de Lie LCâ < J > es igual al álgebra de Lie de cuadrática\ninvariantes dentro de C2p.\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 13\n6. Una presentación geométrica de los generadores Serre\nEn esta sección, para obtener una mejor comprensión geométrica de la representación\nLC de sl(6,C), exploramos con mayor detalle su relación con la estructura geométrica de\na Multiples de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible. En particular, ofrecemos una presentación de una elección natural de Cartan\ngeneradores de subalgebra y Serre en términos de los generadores geométricos Lj,?j, Vj, Aj.\nLos operadores LJ son similares en naturaleza a los operadores Lefschetz de un Kähler\nmultiple. Esta analogía es lo que proporcionó el interés inicial en la estructura algebraica\ntura de LC. Del mismo modo que la construcción estándar correspondiente de una representación\nde sl(2,C), definimos\nDefinición 6.1. Para j {0, 1, 2}\nHj = [Lj,lj]\nEstos operadores son autoadjuntos, como L*j = Łj por definición. Al igual que en el contexto de\nLa geometría kähleriana, para cada j el álgebra < Lj,j, Hj > resulta ser una copia\nde sl(2,C). Por otra parte, la propuesta siguiente muestra que los operadores Hj son\nsemisimple en el conjunto de álgebra LC, y por lo tanto generar un subalgebra toral de\nProposición 6.2. Los operadores geométricos Hj generan una subalgebra toral de LC,\ny mantener las siguientes relaciones: para j 6= k {0, 1, 2}\n(1) [Hj, Lj] = 2Lj, [Hj,\n(2) [Hj, Lk] = Lk, [Hj,lk] = k\n(3) [Hj, Vj ] = 0, [Hj, Aj ] = 0\n(4) [Hj, Vk] = 2Vk, [Hj, Ak] = −2Ak\nPrueba En vista de Teorema 5.11, en este punto el método más rápido de prueba de\nesta proposición es referirse a las matrices explícitas de la restricción (fiel) de LC\na V.\nTodo el álgebra LC se divide en una suma directa de espacios de peso con respecto a\n< H0, H1, H2 >, ya que este subalgebra es toral. El peso de L0 con respecto a la\nbase dual a H0, H1, H2 es:\nαL0 = (αL0(H0), αL0(H1), αL0(H2)) = (2, 1, 1)\nLa lista completa es:\nαL0 = (2, 1, 1), 0 = L0\nαL1 = (1, 2, 1), 1 = L1\nαL2 = (1, 1, 2), 2 = L2\nαV0 = (0, 2, 2), αA0 = V0\nαV1 = (2, 0, 2), αA1 = V1\nαV2 = (2, 2, 0), αA2 = V2\nPara encontrar una expresión geométrica natural para dos elementos ad-semisimple que com-\nplete < H0, H1, H2 > a una subalgebra cartán miramos los generadores Vj y Aj.\nSin embargo, resulta que los candidatos naturales [Vj, Aj ] ya se encuentran en el álgebra\n< H0, H1, H2 > En cambio, construimos los nuevos operadores por “sustracción” de la Vj\nsu peso αVj :\nDefinición 6.3. Definimos\nS0 = ı[[[V0,1],2], L0]\nS1 = ı[[[V1,2],0], L1]\nS2 = ı[[[V2,0],1], L2]\n14 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\ny denotar por H el álgebra de Lie (sobre C):\nH = < H0, H1, H2, S0, S1, S2 >\nLos coeficientes ı que aparecen en las fórmulas anteriores son dictados por el hecho\nque con esta opción las matrices (diagonales) del Sj restringido a V tienen entero\nentradas.\nProposición 6.4. El álgebra H es un subálgebra cartán de LC. Más precisamente,\nlas siguientes son las diagonales de los operadores H0,..., S2 una vez restringidos a V\n, H1 :\n, H2 :\n, S0 :\n, S1 :\n, S2 :\nPrueba El cálculo de las matrices anteriores muestra que, una vez restringido a\nV, el álgebra H abarca el espacio de matrices diagonales de traza cero en el dado\nbase. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 6.5. El cálculo anterior muestra también que los operadores S0, S1, S2 safisfy\nla relación\nS0 + S1 + S2 = 0\nIncluso si de la proposición anterior sabemos que H es máxima toral dentro de LC,\nlos generadores geométricos naturales Lj,j no son autovectores para la acción contigua\ndel Sk. En este punto, sin embargo, es posible distinguir en geométrico natural\ntérminos operadores de LC que tienen peso “puro” con respecto al álgebra H y\nque contienen en su margen lineal el Lj,\nDefinición 6.6. Para j {0, 1, 2}\nL1j = −2Lj + [Sj, Lj], L2j = 2Lj + [Sj, Lj]\n* 1j = − 2j − [Sj,?j], * 2j = 2j − [Sj,?j]\nProposición 6.7. Indicando con ehk la matriz 6×6 con 1 en posición k (fila)\ny h (columna) y cero de otro modo, las matrices de los operadores Lij y \nLas restricciones impuestas en V son las siguientes:\nL10 = 2e\n6 L11 = −2e\n4 L12 = −2e\nL20 = −2e\n5 L21 = −2e\n6 L22 = 2e\n10 ° = 8 e\n2 °11 = −8e\n1 °12 = −8e\n•20 = −8e\n1 °21 = −8e\n3 °22 = 8e\nCorollary 6.8. Tenemos las siguientes relaciones para los operadores de LC restringidos\na V:\n[Hk, Lij] = (1 + Łkj)Lij, [Hk,\n[Sk, Lij] = (−1)\ni+1(1− 3kj)Lij, [Sk,ğij] = (−1)\ni(1− 3kj)\n[Sk, Vj] = 0, [Sk, Aj] = 0\nGuiado por todos los cálculos explícitos de la acción sobre el componente isotípico\nV = V â € 6\n−2 compuesto hasta este punto, ahora definimos en términos de la geométrica natural\noperadores un conjunto de generadores Serre para el álgebra LC.\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 15\nDefinición 6.9.\n[L20, A1] f1 =\n[V1;20]\n[L22, A0] f2 =\n[V0,~22]\ne3 = V0 f3 = A0\n[L12, A0] f4 =\n[V0,?12]\n[L10, A1] f5 =\n[V1; 10]\nAdemás, para todos los i {1,.., 5} definimos hi = [ei, fi].\nComo los ei tienen por construcción matriz asociada e\ni+1 una vez restringido a V y\nlos fi son sus respectivos contiguos, uno obtiene:\nProposición 6.10. Los operadores ei, fj,hk satisfacen las relaciones Serre para sl(6,C)\ny el hi span el cartán subalgebra H:\n(H1 − H2 − S1 − S2)\n(H0 −H1 + S2)\n(−H0 +H1 +H2)\n(H0 − H1 − S2)\n(H1 −H2 + S1 + S2)\nSería interesante como última observación identificar en la lista de cuadráticas in-\nVariantes de los operadores geométricos Lij,JJ,Vj,Aj, el álgebra H y el so(2,R)\ngenerador J. Para hacer esto uno podría por supuesto utilizar las matrices explícitas para el qua-\ndratic invariants una vez restringido a V, que no son difíciles de calcular. Uno puede\nSin embargo, obtener muy rápidamente un cuadro cualitativo mediante el uso de la noción de multigrado\nque ahora presentamos.\nLa descomposición T *X = W0 â € € TM W1 â € TM W2 induce naturalmente un multi-grado en\nX con valores en Z3, que indicamos con mdeg. Esto es lo que se desprende de la\necuación\np+q+r=n\n(W0 C)\n(W1 C)\n(W2 C)\nObservamos además que la descomposición (complejada) anterior se conserva por\nel operador J, y por lo tanto mdeg se desplaza con la acción de so(2,R).\nProposición 6.11. Los operadores Lj, Vj,J, Aj, Hj, Sj son mdeg-homogéneos,\ncon múltiples grados:\nmdeg(L0) = (0, 1, 1) mdeg(L1) = (1, 0,1) mdeg(L2) = (1, 1, 0)\nmdeg(0) = (0,1,1) mdeg(1) = (1,0,1) mdeg(2) = (1,1,0)\nmdeg(V0) = (2, 0, 0) mdeg(V1) = (0, 2, 0) mdeg(V2) = (0, 0, 2)\nmdeg(A0) = (−2, 0, 0) mdeg(A1) = (0,−2, 0) mdeg(A2) = (0, 0,−2)\nmdeg(H0) = (0, 0, 0) mdeg(H1) = (0, 0, 0) mdeg(H2) = (0, 0, 0)\nmdeg(S0) = (0, 0, 0) mdeg(S1) = (0, 0, 0) mdeg(S2) = (0, 0, 0)\nPrueba Los valores de mdeg para el Lj y el Vj siguen inmediatamente desde mdeg\nde las formas correspondientes y de los operadores duales (contracción) tienen un valor opuesto\n16 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nde mdeg. Los valores restantes se pueden calcular utilizando la aditividad de mdeg con\ncon respecto al soporte. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nProposición 6.12. Let {j, k, l} = {0, 1, 2}. Entonces\nSpan (L1j, L2j) = Span ([Ewk, Ewl], [Ewl, Ewk])\nEspadín (1j 2j) = Espadín ([Iwk, Iwl ], [Iwl, Iwk ])\nSpan (Vj) = Span\n[Ewj, Ewj]\nSpan (Aj) = Span\n[Iwj, Iwj]\nSpan (J) =\nSpan ([Ewm, Iwm], [Ewm, Iwm])\nPrueba El mdeg del Lij es el mismo de la Lj correspondiente, y sim-\nIlaramente por sus contiguos. Los mdegs de los monomios cuadráticos son immedi-\ncomtely calculado como son la suma de los de sus componentes. Por ejemplo,\nmdeg(Ew0) = mdeg(Ew0) = (1, 0, 0), mdeg(Ew1) = mdeg(Ew1) = (0, 1, 0) y\nPor lo tanto mdeg([Ew0, Ew1 ] = (1, 1, 0), igual a la de L12 y L22. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[B] V. Batyrev, Poliedros duales y simetría de espejos para hipersuperficies Calabi-Yau\nvariedades, J. Alg. Geom. 3 (1994), 493-535\n[BMP] U. Bruzzo, G. Marelli, F. Pioli Una transformación de Fourier para gavillas en tori real Parte II.\nTeoría relativa J. de Geometría y Phy. 41 (2002) 312-329\n[CDGP] P. Candelas, X.C. De la Ossa, P.S. Green, L. Parkes, Un par de colectores Calabi-Yau\ncomo una teoría superconformal exactamente soluble, Nucl. Phys. B359 (1991), p. 21-74\nG. Gaiffi, M. Grassi, un paquete de superálgebra de Lie natural en el rango tres colectores de la WSD,\npreprint (2007)\n[G1] M. 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Kontsevich, Y. Soibelman, Simetría del espejo homológico y fibras de toro,\nmatemáticas.SG/0011041 (2001)\nA. Strominger, S.T. Yau, E. Zaslow, Mirror Symmetry es T-Dualidad, Nucl. Phys. B479\n(1996) 243-259; hep-th/9606040\nhttp://arxiv.org/abs/math/0006154\nhttp://arxiv.org/abs/math/0202016\nhttp://arxiv.org/abs/math/0008018\nhttp://arxiv.org/abs/math/0011041\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/9606040\n\t1. Introducción\n\t2. Operadores básicos\n\t3. La acción de so(2,R)\n\t4. Una representación irreductible de LC\n\t5. Invariantes cuadráticas\n\t6. Una presentación geométrica de los generadores Serre\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Dada una débilmente orientable auto-dual multiple X de rango dos, construimos un\nrealización geométrica de la Lie álgebra sl(6,C) como un álgebra definida naturalmente\nL de endomorfismos del espacio de formas diferenciales de X. Nosotros proporcionamos un\ndescripción explícita de los generadores Serre en términos de generadores naturales de L.\nEsta construcción da un paquete en X que está relacionado con la búsqueda de un\nteoría del medidor natural en X. Consideramos este trabajo como un primer paso en el estudio\nde una estructura algebraica rica e interesante.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nEste trabajo es un paso en un programa más amplio, que tiene como objetivo encontrar un geomet-\nric homólogo a la simetría espejo faenomenon, y posiblemente una geométrica\nlenguaje en el que formular una teoría física interpolando entre diferentes\nModelos. Mientras dirigimos al lector a [G2],[G3] para más detalles, enumeramos aquí\nsólo algunos aspectos de esta teoría para poner el presente trabajo en contexto.\nEn la aproximación Strominger-Yau-Zaslow a la simetría espejo tienes que dos\nespejo doble Calabi-Yaus debe poseer (en cierto sentido limitante) semi-plano especial\nFibraciones de toro lagrangiano f : M → B, fâ € : Mâ → B que tienen como fibras toris planas\nque son duales en el sentido métrico (véase [SYZ], y [G2] para la terminología y el\ndefiniciones). Como es ampliamente conocido, el principal inconveniente de este enfoque es que\nes muy difícil construir fibras tori lagrangianas especiales. Usualmente esta construcción\nsólo se puede llevar a cabo cuando los colectores de Calabi-Yau duales son en realidad hiper-\nkahler, y el tori lagrangian especial se puede ver como complejos submanifolds (con\nrespeto a una estructura compleja rotada), de modo que los métodos de complejo algebraico\nLa geometría se puede poner a trabajar.\nCuando usted tiene las fibras, entonces la idea es construir el mapa del espejo como\nuna especie de transformación de Fourier-Mukai (véase, por ejemplo, [BMP]). Este Fourier-Mukai\ntransformar es una correspondencia inducida por el retroceso y empujar hacia adelante de la\nespacio X = M × B Mâ. En el caso de hiperkähler este espacio es un complejo colector,\nmientras que en el caso general (por ejemplo, para Mirror Symmetry para Calabi-Yau tres-\npliegues) es sólo un verdadero múltiple de dimensión (real) 3 · dimC(M).\nAntecedentes. La noción de (débilmente) auto-doble múltiple (cf. [G2]) fue con-\nrecibido en primer lugar para aislar los aspectos geométricos de la X arriba que son\nnecesaria para obtener la Simetría Espejo entre M y Mâ. Aquí reproducimos el def-\ninición para el lector, mientras se refiere a [G2] y [G3] para todas las observaciones, ejemplos\ny observaciones:\nDefinición 1.1. Se da un colector débilmente auto-dual (multiplicador de WSD para la brevedad)\npor un suave colector X, junto con dos lisos de 2 formas........................................................................................................................................................................................................................................................\nmétrica y un tercero liso de 2 formas • D (la forma dualizante) en él, que satisfacen la\nlas siguientes condiciones:\n1 ° d ° 1 = d ° 2 = d ° D = 0 y la distribución °\n1 + فارسى\n2 es integrable.\n2) Para todos los p • X existe una base ortogonal dx1,.., dxm, dy\n1,..., dy\nm, dy\n1,..., dy\nFecha: 24 de octubre de 2006.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0104v1\n2 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\ndz1,..., dzc, dw1,..., dwc de T\npX tal que el dx1,.., dxm, dy\n1,..., dy\nm, dy\n1,..., dy\nson ortonormales y\n(1)p =\ndxi Ł dy\ni, (+2)p =\ndxi Ł dy\ni, (D)p =\ndy1i\ndzi Ł dwi\nCualquier base ortogonal de TpX dual a una base de 1- formas como se dice anteriormente\nadaptado a la estructura, o estándar. El número m es el rango de la estructura.\nPara una definición más intrínseca de múltiples WSD el lector debe referirse a [G2].\nAquí hemos elegido la forma más rápida de presentarlos.\nCuando las formas #1, #2, #D son constantes covariantes con respecto a la Levi-Civita\nconexión, hablamos de 2-Kähler colectores. Un ejemplo de esto viene del espejo\nsimetría para las variedades abelianas.\nObservación 1.2. La forma D es simpléctica, una vez restringida a\n1 + فارسى\n2. Tenemos\npor lo tanto, que\ndim(X)−m\n6= 0.\nDefinición 1.3. 1) Un colector de la WSD no es degenerado si dim( +01 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +\n2) p = 0 en absoluto\npuntos (equivalente si su dimensión es 3 veces el rango).\n2) Un colector de WSD es auto-dual (diverso de SD para la brevedad) si todas las hojas de la\nDistribución de los productos 01 + \n2 tienen volumen uno (con respecto a la forma de volumen inducida por\nla métrica)\nUsando Auto colectores duales, usted puede dar una primera definición geométrica nóve de Mir-\nror Simetría según se indica:\nDos colectores Calabi-Yau con campo B (M, BM ) y (Más, BMâs ) son espejo dual\nsi hay una auto-doble multiple X junto con las conjeturas η : X → M y\n: X → Más tales que:\na) (M) = 1, \n) = 2.\nb) Las hojas de 1 son las fibras de \nc) Las hojas de 2 son las fibras de \nd) Los campos B inducidos en M y Mâ € son los que se dan.\nAquí hacen su primera aparición el B-campos BM y BM®, que son unitarias planas\ngerbes sobre M y M, respectivamente, y que no son pertinentes para los debates de\nEste periódico. En [G2] se demostró que esta imagen funciona bien en el caso de la elíptica\ncurvas, y para algunas otras situaciones planas.\nMotivación física. Sin embargo, una de las razones para introducir múltiples SD\nse deshizo de las fibraciones lagrangianas especiales, que son tan difíciles de construir,\ny ser capaz de atacar el problema de la simetría espejo también cuando estos fibra-\nNo se espera que existan. En este contexto más general se espera que el\nEspejo de simetría faenomenon no se obtendrá directamente de las fibras de\nun colector SD para el doble Calabi-Yaus, pero a través de un procedimiento más sofisticado,\nque implica un tipo de límite Gromov-Hausdorff. En [G3] se demostró que para\nla familia de divisores anticanónicos en espacio proyectivo complejo se puede construir un\n(real) familia bidimensional de los múltiples de la CMD, que degeneran en una normalización\nGromov-Hausdorff siente los límites correctos del espejo doble Calabi-Yaus. Los\nla imagen es la siguiente:\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 3\nMB MAS\ndonde MA y MB son los grandes Kähler y grandes límites de estructura compleja de M\ny Mós, respectivamente. Para ser precisos, los colectores que salen de la co-\nciones de [G3] son 11 dimensionales (degeneradas) Debilmente auto-duales múltiples o rango 3.\nDimensión 11 es muy atractivo en este contexto desde un punto de vista físico, y\nnos lleva a la motivación del presente trabajo.\nEl punto de vista de [G3] es muy diferente del actual en el litro principal-\nature on matemática Mirror Symmetry: en lugar de considerar el producto de fibra\nM×B MÃ3 (cuando exista) como dispositivo para probar la Simetría de Espejos para Calabi-Yaus,\nla limitación Calabi-Yaus de Simetría Espejo son vistos como límites muy especiales de una\nfamilia de colectores Self-Dual, que son los principales objetos de estudio. Esto es en realidad\nmás en línea con lo que se puede encontrar en la literatura física, donde los modelos\ndefinir las teorías de cuerdas de las que se origina la simetría espejo se ven como\nsólo “fases” de una teoría única, que no está necesariamente en la forma de un modelo\npero muy probablemente podría ser similar a una teoría de calibre cuantificado en un 11-dimensional\nmultiple. Para hacer este círculo de ideas más concreto (y por lo tanto más verificable) en\nel final de [G3] se sugiere que uno debe tratar de construir una teoría de calibre natural\nLa esperanza es que una vez cuantificado esta teoría de la medición podría en-\nterpolado entre los modelos asociados a los Calabi-Yau, y como subproducto\nprueban la simetría del espejo para ellos. Por supuesto, uno siempre puede poner un paquete de calibre en\nlos colectores auto-duales \"artificialmente\", pero un haz natural que depende sólo de\nla estructura geométrica sería mucho más atractiva. Ignoramos aquí la cuestión.\nde los cuales la acción para poner en la teoría, pero también debe ser una geométrica natural.\nFinalmente, en [GG] analizamos la situación para el rango tres de múltiples de la WSD, y nosotros\nencontrado que en este caso el paquete natural correspondiente está formado por complejo Lie\nsuperálgebras. Fuimos capaces de encontrar una forma geométricamente motivada real, y para\ndividirlo en factores simples. Los resultados de [GG] confirman la sospecha de que en un WSD\nmúltiple de rango lo suficientemente alto podría haber suficientes paquetes algebraicos naturales de\noperadores para construir teorías de medición interesantes.\nLa construcción de LC. Desde el punto de vista físico, el caso de Calabi-\nYau tres veces (es decir, clasificar tres colectores WSD) o cuádruples (es decir, clasificación de cuatro WSD\ncúltiples) sería el más interesante para empezar. Sin embargo, su\nla dificultad nos convenció de que partiéramos más modestamente del caso de Calabi-Yau dos-\npliegues (es decir, K3 superficies) que corresponden al rango de dos colectores Self-dual. Nosotros también.\nno degenerado, por lo tanto, de los múltiples auto-duales de rango dos, por lo que\ndimensión 6. Esto podría considerarse una prueba de concepto desde el punto de vista físico\nde vista, sin embargo Mirror Symmetry para K3 es en sí mismo muy interesante mathemati-\nCally, así que esperamos que nuestros resultados puedan tener algunas consecuencias geométricas útiles.\nEl caso de rango tres se trata en nuestro siguiente [GG], como se mencionó en el anterior\nsección de la presente introducción. El principal resultado del presente documento es el siguiente:\n4 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\n(que es una reafirmación geométrica del Teorema 5.11):\nLa Lie álgebra sl(6,C) actúa a través de operadores canónicos (dependiendo sólo de la geo-\nestructura métrica) en las formas diferenciales lisas de cualquier no degenerado orientable\nWSD multiple de rango 2.\nEsta acción generaliza naturalmente la acción de sl(2,C) sobre diferencial suave\nformas de cualquier colector casi Kähler, y es inducido por una acción de paquete en el\npotencia exterior del haz de cotangente.\nRecordemos que un colector débilmente auto-dual es un colector Riemanniano con tres\nFormas diferenciales “compatibles” cerradas. Construiremos un álgebra de Lie de punto\noperadores en formas diferenciales complejas en X, como secciones lisas de un paquete de Lie\nálgebras de los operadores en el complejo paquete cotangente de X. Para empezar, uno puede\ndefinir los siguientes operadores:\nDefinición 1.4. Por lo que se refiere a la letra a) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013\nL0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1 \nUno puede notar inmediatamente el fuerte parecido de los operadores de arriba con\nel operador Lefschetz de la geometría Kähler. De hecho, se puede profundizar en esta simi-\nlarity, y utilice la métrica para definir los contiguos Łj = L\nj (utilizando un procedimiento\ncomo en el caso casi Kähler).\nSimplemente usando el Lj y el Łj, uno puede mostrar que el álgebra generada es iso-\nmorfo a SL(4,C) ([G2]). Sin embargo, hay otras formas diferenciales naturales en\nun colector de la CMD (que no tiene una contraparte en el caso Kähler), a saber:\nformas de volumen de las distribuciones 1, \n1, 2.................................................................................................\nD de vectores que se contraen a cero\ncon los formularios +1, +2 y +D, respectivamente. Si uno llama V0, V1, V2 el correspondiente\nlos operadores de cuña, y A0, A1, A2 sus colindantes, la complejidad de los cálculos\npara describir el álgebra de Lie generada crece mucho. Llamamos L el álgebra generada\npor el Lj, Vj y sus colindantes, y LC su complejidad. Para estudiar LC introducimos...\nun operador J, que es una estructura compleja en cada una de las dos dimensiones\ndistribuciones mencionadas anteriormente y genera un grupo isomórfico a SO(2,R) (recordar\nque estamos en el caso \"hiperkahler\", correspondiente a la simetría de espejo para K3,\npor lo que una estructura “extra” compleja no debería sorprender; además, la holonomía de\nun colector de la WSD en el que todos los â € € TM € TM, â € € TM ; D son invariantes en realidad siempre se incluye en\nel grupo generado por J). Un control de que todos los operadores introducidos conmutan\ncon él:\n[Jj, J] = [Jj, J] = [Vj, J] = [Aj, J] = 0\ny por lo tanto uno puede tratar de descomponer T*\nX con respecto a J y luego utilizar\nLemma de Shur para reducir al estudio de los operadores sobre los componentes isotípicos.\nCabe mencionar que en los casos (muy) buenos (por ejemplo, los colectores 2-Kähler)\nlos operadores anteriores son todos constante covariante con respecto a la connec-\ny definir una acción sobre la cohomología de X mucho de la misma manera que en el\nKähler fijando los operadores L y Ł do (debido a las identidades del tipo Hodge). Nosotros no\nexplorar este aspecto aquí, aunque puede ser relevante para el espejo (homológico)\nconstrucción de mapas.\nVolviendo a la construcción, señalamos la inclusión de la Lie álgebra LC\ndentro de una copia del álgebra de Clifford Cl6,6.\nUtilizando este álgebra de Clifford se puede identificar a los operadores de “grado dos” o “cuadratic”\n(de una manera similar a los involucrados en las representaciones de Espinor en el estándar\nSpin multiples) y entre estos los SO(2,R)-invariantes. A posteriori, gira.\nde que los operadores de LC® < J > son todos los operadores J-invariantes de ”grado\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 5\ndos”, y esto refuerza la razón de ser en nuestra selección de operadores naturales.\nComo último paso uno encuentra que dentro de T ∗X hay un SO(2,R)-isotípico compo-\nnent de la dimensión 6, y por el cálculo directo demostramos que de hecho los operadores\nrestringido a esta sub-representación determinar una copia de sl(6,C) (con la defin-\n■ representación). Utilizando el límite de la dimensión de la computación obtenida por LC\n“cuadratica” invariantes, se muestra entonces que la representación en este isotípico\ncomponente es fiel. Esto proporciona como subproducto un método para dar presenta-\nde los generadores estándar Serre de LC, expresamente escritos en términos de\ngeneradores geométricos.\n2. Operadores básicos\nEn esta sección fijamos un punto p en el múltiple X de la WSD. La estructura de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible\ndivide el espacio cotangente como T *pX = W0â € € TM W1â € TM W2 donde el Wj son tres mutuamente\ndistribuciones canónicas ortogonales definidas como:\nW0 = T\npX \n2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n2 = 0}\nW1 = T\npX \n2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \nD = 0}\nW2 = T\npX \n1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1\nD = 0}\nLa estructura WSD también determina identificaciones lineales canónicas de par\nentre W0, W1 y W2, por lo que también se puede escribir T\npX = W0 R R\n3 o más\nsimplemente\nT ∗pX =W R R\ndonde W = W0 = W1 = W2.\nVolvamos ahora a los operadores canónicos Lj mencionados en la introducción:\nDefinición 1.4\nL0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1 \nAhora elegimos una base ortonormal (no canónica) γ1, γ2 para W0, y esto juntos\ncon las identificaciones estándar del Wj determina una base ortonormal para\nT *pX, que escribimos como {vij = γi ej i = 1, 2, j = 0, 1, 2}. Observamos que\nel vij son un coframe adaptado para la estructura de la WSD, y por lo tanto tenemos el\nexpresiones explícitas:\n• 1 = v10 • v11 + v20 • v21\n2 ° = v10 ° v12 + v20 ° v22\nD = v11 v12 + v21 v22\nUna elección diferente de la γ1, γ2 estaría relacionada con la anterior por un elemento en\nO(2,R) o, teniendo en cuenta la orientabilidad de X mencionada en la introducción,\nun elemento de SO(2,R). El álgebra de Lie del grupo SO(2,R) expresando la\ncambio de una base adaptada orientada a otra se genera (punto por punto) por\nel operador global J :\nDefinición 2.1. El operador J. EndR.\n∗(X)) es inducida por su acción puntual\nen el T ∗pX para variar p X, definido en términos de la base estándar vij como\nJ(v1j) = v2j, J(v2j) = −v1j para j {0, 1, 2}\ny J(v) W = J(v) W + v) J(w) para v, w T ∗pX\nObservación 2.2. A medida que J se desplaza consigo mismo, está bien definido, independientemente de la\nelección de una base adaptada orientada.\nUtilizando la base escogida (ortonormal), se puede definir la correspondiente (no canon-\nlos operadores de cuñas y contracciones:\n6 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nDefinición 2.3. Vamos a {1, 2} y j {0, 1, 2}. Los operadores Eij y Iij son\nrespectivamente la cuña y el operador de contracción con la forma vij en\n(definido utilizando la base dada); utilizamos la notación \npara indicar el elemento de\nTpX dual a vij T\nEij() = vij (), Iij () =\nProposición 2.4. Los operadores Eij, Iij satisfacen las siguientes relaciones:\nI, j, k, l EijEkl = −EklEij, IijIkl = −IklIij\nEijIij + IijEij = Id\n(i, j) 6= (k, l) EijIkl = −IklEij\ni, j E*ij = Iij, I\nij = Eij\ndonde ∗ es adjunción con respecto a la métrica.\nPrueba La prueba es una simple verificación directa, que omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nEs entonces inmediato verificar que:\nProposición 2.5. J puede expresarse como\n(E2jI1j − E1jI2j)\nen su conjunto\nT ∗pX. De esta expresión y de la proposición anterior uno ob-\nque J* = −J, es decir, para cada p el álgebra Lie generada por J es un subalgebra\nde o(\nT ∗pX) isomórfico a so(2,R)\nPor otra parte, las imágenes exponenciales en-\nlado AutR(\n*(X)) de los operadores del tipo tJ para t â € R forman un grupo isomórfico a\nSO(2,R) = S1, ya que este isomorfismo sostiene la restricción (fiel) del grupo\nacción a T ∗pX.\nUtilizando los operadores (no canónicos) Eij podemos obtener expresiones simples para el\nacción puntual de los demás operadores canónicos, el volumen forma Vj :\nDefinición 2.6. En nombre de la República Popular Democrática de Corea\nT ∗pX,\nV0(l) = E10E20(l), V1(l) = E11E21(l), V2(l) = E12E22(l)\nRecuerde, sin embargo, que los operadores Vj no dependen de la elección de una base,\ncomo son simplemente multiplicación por las formas de volumen de los espacios Wj.\nUtilizamos el vij también como una base ortonormal para el espacio complejo T\np R C\n(con respecto al producto interno del ermitaño inducido). Indicamos con la misma\nsímbolos Vj los operadores complejos que actúan sobre los espacios\nT ∗pX.\nLa métrica riemanniana induce una métrica riemanniana en T*pX y en el espacio\nT ∗pX.\nDefinición 2.7. Para j {0, 1, 2}\n•j = L\nj, Aj = V\nPor la construcción de los operadores canónicos Lj, Vj,\nT *pX son el punto-\nrestricciones prudentes de los operadores mundiales correspondientes sobre formas diferenciales fluidas,\nque indicamos con los mismos símbolos: para j {0, 1, 2},\nLj, Vj,\n*(X) → (X)\nResumiendo:\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 7\nDefinición 2.8. El ∗-Lie álgebra L es el ∗-Lie subalgebra de EndR (\n∗ (X)\npor parte de los operadores\n{Lj, Vj,j, Aj para j = 0, 1, 2}\nEl operador ∗ en L es inducido por el contiguo con respecto al Riemannian\nmétrica. El *-Lie álgebra LC es L C, y es de una manera natural un ∗-Lie subalgebra\nde fin de período de sesiones de la Comisión de las Naciones Unidas para la Eliminación de la Discriminación Racial\n(X)). El operador ∗ en LC es inducido por el contiguo con respecto a\nla métrica de Hermitia inducida.\nLa división canónica T *pX = W0 â € € TM W1 â € TM W2 junto con la canónica\nlas identificaciones W0 = W1 = W2 inducen una acción del grupo simétrico S3, que\nse propaga a\nT * X y sus secciones C. En cada momento, la acción puede ser\nescrito explícitamente en términos de la base como\n(vij) = vi(j)\nLa acción inducida sobre los endomorfismos vía conjugación, \nLC. De hecho, uno puede comprobar directamente utilizando la base vij en cada punto que para \n(Vj) = V(j), (Lj) = \nPuesto que S3 actúa sobre LC por conjugación con operadores unitarios, su acción conmuta\ncon la adjunción (el operador ∗), y por lo tanto\n(Aj) = A\nPor otra parte, también se tiene que (J) = J lo que significa que la acción de S3 conmuta\ncon el de so(2,R).\n3. La acción de so(2,R)\nCuando se trata de la simetría del espejo para los colectores de 2-Kähler (ver el Introduc-\n), los múltiples WSD que surgen tienen la propiedad de que las formas....................................................................................................................................................................................................................................................... \nD son constantes covariantes con respecto a la métrica. En este caso, el máximo\nla posible holonomía del colector X de la WSD se incluye en el so(2,R) generado\npor el operador J. Demostraremos ahora que J viaja con LC. Nuestra prueba lo hará.\nser estrictamente algebraico, por lo que la computatividad entre so(2,R) y LC se mantendrá\nTambién en los colectores de la CMD para los cuales la holonomía es más general.\nDefinición 3.1. Dado n â € Z, indicamos con Vn el complejo unidimensional\nrepresentación de SO(2,R) < S1 > = R/Z dada por el carácter:\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nProposición 3.2. Bajo la representación SO(2,R) inducida por el operador J,\npara cualquier p â € X :\n1) El espacio\nXp) escisiones como\nV â € 31\n8 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\n2) Todo el espacio\nXp) se divide de acuerdo con la siguiente imagen:\nXp) = V0\nXp) = V\nV â € 31\nXp) = V\nV â € 90\nV â € 32\nXp) = V−3\nV â € 91\nXp) = V\nV â € 90\nV â € 32\nXp) = V\nV â € 31\nXp) = V0\nPrueba 1) El espacio T *\nXp es una suma directa de los tres Wj, y cada uno de estos\nes la representación real bidimensional estándar de so(2,R). Por lo tanto, diag-\nonalize la representación introduciendo una nueva base para cada Wj =< v1j, v2j >:\nwj = v1j + ı v2j, wj = v1j − ıv2j\nA partir de la definición de J, uno tiene entonces para cada j {0, 1, 2}\nJ(wj) = wj, J(wj) = ıwj\nPor lo tanto, uno tiene para cada j. {0, 1, 2}\n< wj = V−1, < wj = V1\n2) Para probar el caso general, utilizamos el hecho de que el operador J determina un\nestructura casi compleja en el colector X, compatible con la métrica. Desde\nesto, siguiendo los argumentos estándar, las formas diferenciales complejas y también el\nelementos de\nXy para cualquier y • Y se puede dividir de acuerdo a su tipo:\np+q=n\nEn la notación adoptada en la prueba de la primera declaración,\nXy = < wi1 · · · • wip wj1 · · · · • wjq i1,..., jq • {0, 1, 2} >\nDe la definición de la acción de J se tiene por lo tanto que para cualquier p, q\nXy â € = V\ncon k =\na partir de la cual la segunda declaración de la proposición puede ser\nDeducido. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTeorema 3.3. Los operadores Lj, Vj para j {0, 1, 2} viajan con el generador\nJ de so(2,R).\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 9\nPrueba Demostramos las declaraciones mediante un cálculo directo utilizando la base vij ;\npor otra parte, utilizando la acción de S3 (que permuta el Lj, Vj y corrige J), es\nsuficiente para probar la computatividad para L0 y V0. Es útil volver a escribir 0 (y\nPor lo tanto, L0 que es cuña con 0) en términos de la base generada por el wj :\n• 0 = v11 • v12 + v21 • v22 =\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\ny luego:\n[J, L0](wi1 • · · · • wip • wj1 • · · • wjq ) =\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\n(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #\n(w1 • w2 • w2 • • • J(wi1 • · · • • wip • wj1 • · · • • wjq )\nPor lo tanto, el resultado se deriva del hecho de que\n(w1 •w2 − w2 • w1) = 0\ncomo wj y wk tienen peso opuesto con respecto a J para cualquier j, k.\nDel mismo modo, [J, V0] = 0 se deriva del hecho de que para cualquier α\nV0(α) = v10 • v20 • α =\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nDesde el teorema anterior se obtiene el siguiente corolario, que se mantiene sobre cualquier\nMultiplex WSD (no necesariamente 2-Kähler ):\nCorolario 3.4. El álgebra LC se desplaza con la acción de so(2,R) inducido por\nPrueba Ya sabemos que [J, Lj] = [J, Vj ] = 0 para j {0, 1, 2}. El corre...\nsponding relaciones de conmutación para los grupos electrógenos contiguos...................................................................................................................................................................................................................................................... \nel hecho de que J* = −J, como se observa en la Proposición 2.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 3.5. Del lema de Schurs se desprende que las columnas del diagrama de\nLa Proposición 3.2 está preservada por la acción de LC.\n4. Una representación irreductible de LC\nMirando la tabla de la Proposición 3.2 notamos que la segunda columna de\nla izquierda es una representación de LC (por Observación 3.5) de la dimensión 6:\nV = V\n−2 = < w0 • w1, w0 • w2, w1 • w2, w0 • w1 • w2 • w0,\nW0 W1 W2 W2 W1 W1 W2 W2 W2\nEn esta sección computaremos explícitamente esta representación.\nUtilizando la base descrita anteriormente, no es difícil calcular las matrices por\nmano:\nProposición 4.1. Indicando con β la base ordenada para V indicada anteriormente, la\nlas matrices para los (restricciones a V de) generadores de LC son las siguientes:\nMβ(L0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n, Mβ(0) =\n0 0 0 0 −2 0\n0 0 0 0 0 −2\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n10 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nMβ(L1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 −\n0 0 0\n, Mβ(1) =\n0 0 0 2 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 −2\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(L2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 2 0 0\n0 0 0 0 2 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(A0) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 −2ı 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n, Mβ(A1) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 2ı 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nMβ(V2) =\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0\n, Mβ(A2) =\n0 0 0 0 0 −2ı\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\n0 0 0 0 0 0\nPrueba Cálculo directo utilizando la base generada por el wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorolario 4.2. El álgebra generada por la restricción de LC a V es isomórfica\na sl(6,C), con V su representación natural.\nUno puede resumir los cálculos anteriores en el siguiente teorema:\nTeorema 4.3. Hay una secuencia exacta de álgebras de Lie\n0 → K → LC → sl(6,C) → 0\ndada por la restricción a V.\nEn la siguiente sección probaremos que K = {0}, y por lo tanto la representación\nV es fiel y LC = sl(6,C).\n5. Invariantes cuadráticas\nComenzamos por mostrar que la acción de Lie álgebra LC es inducida por un (no-\nCanónico) representación de álgebra de Clifford. Utilizamos para la simplicidad el canónico\nidentificación T Xp = T Xp sin más comentarios, de modo que si {vij} es una base\npara T ∗pX, entonces {\n} es la base dual correspondiente para TpX.\nDefinición 5.1. Para p X, el álgebra de Clifford Cp es\nCp = Cl(TpX + T\npX, q)\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 11\ncon la forma cuadrática q inducida por la métrica\nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.\n*, j, h, k <...............................................................................................................\n6 = (h, k) < vij,\ni, j < vij,\n> = − 1\nObservación 5.2. El Clifford álgebras Cp para variar p definir un paquete de Clifford C\nsobre X, ya que la definición de Cp es independiente en la elección de una base. De hecho, la\nLa forma cuadrática utilizada para definirla es simplemente inducida por − 1\nveces el bilineal natural\nemparejamiento TpX T\npX → R.\nProposición 5.3. El álgebra Clifford Cp tiene una representación canónica\nT ∗pX, inducido por los operadores Eij y Iij a través del mapa\nP(vij) = Eij, P\n= Iij\nPrueba de las relaciones de Clifford\n+ = −2 < \nson precisamente el contenido de la Proposición 2.4. La representación es canónica, aunque\nlos operadores Eij y Iij no son, porque puede definirse en una base independiente\nmanera como\nlp(v)(α) = v l, lp\nAbusando ligeramente de la notación, identificaremos a Cp con su imagen (fiel) dentro\nT ∗pX\n, y omitiremos cualquier referencia al mapa. En realidad, como la\nrepresentación arriba es un análogo real de la representación de Spinor, es fácil de\nverifique que el mapa p es un isomorfismo de álgebras asociativas. Uno entonces tiene:\nDefinición 5.4. El subespacio lineal C2p de Cp es la imagen del mapa natural\n(TpX-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T\npX) → Cp. El subespacio lineal C\np de Cp es el subespacio generado por\nRecuerde que C2p es un subalgebra de Lie de Cp (con el soporte del conmutador).\nProposición 5.5. El Lie álgebra Lp y el operador J se sientan dentro de C\np para todos\nÍNDICE (continuación)\nPrueba Los operadores Lj, el?j, el Vj y el Aj mienten dentro de C\np por Propo-\nSituación 2.4 y el hecho de que â € 1, â € TM TM y D mienten en\nT ∗pX. El operador J se encuentra dentro\nC2p â € C\np por Proposición 2.5. Por definición, los elementos C\np son conmutadores, y\nPor lo tanto, tienen traza cero en cualquier representación, y por lo tanto también en la p. Además,\nde nuevo por inspección todos los generadores de Lp tienen traza cero una vez representado a través de\n(son nilpotentes), y por lo tanto deben estar dentro de C\np. El operador J es\nen el álgebra de Lie del grupo de isometría, y por lo tanto también tiene traza cero y\npor lo tanto se sienta dentro de C2p. As C\np se cierra bajo el soporte del conmutador de Cp, y\neste conmutador coincide con el soporte de composición de los operadores, tenemos el\nconclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 5.6. Dar el grado 1 a los operadores Eij y el grado −1 a la ópera-\nTors Iij, inducimos un grado Z en Cp. Este grado coincide con el grado de la\noperadores inducidos por la clasificación en los formularios a partir de\nT ∗X.\n12 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nObservación 5.7. Para cualquier p • X, el álgebra Clifford Cp es isomórfico a Cl6,6, como\nla métrica utilizada para definirla tiene firma (6, 6). Por consiguiente, la propuesta anterior\nmuestra que Lp es una mentira subalgebra de Cl\n= spin(6, 6) = so(6, 6), generado por\nsecciones globales suaves del paquete C de Clifford.\nEl operador J actúa sobre toda la Cp mediante la adición con respecto al conmutador\ny envía su parte cuadrática C2p a sí misma desde la Proposición 5.5.\nMostraremos que el espacio de J-invariantes dentro de C2p (los \"cuadraticos\" J-invariantes)\ncoincide con LC. Para describirlo explícitamente, vamos a introducir la siguiente notación:\nDefinición 5.8.\nEwj = E1j + ıE2j, Ewj = E1j − ıE2j\nIwj = I1j − ıI2j, Iwj = I1j + ıI2j\nLemma 5.9. La acción adjunta del operador J en Ewj, Iwj, Ewj, Iwj es:\n[J, Ewj] = Ewj, [J, Iwj] = ıIwj\n[J, Ewj ] = ıEwj, [J, Iwj ] = Iwj\nPrueba Es suficiente considerar los pesos J correspondientes del wj, wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nProposición 5.10. Los 36 operadores siguientes proporcionan una base lineal para la\ndratic J-invariantes:\n(1) [Ew0, Ew1 ], [Ew0, Ew2 ], [Ew1, Ew2 ], [Ew1, Ew0 ], [Ew2, Ew0 ], [Ew2, Ew1 ]\n(2) [Iw0, Iw1 ], [Iw0, Iw2 ], [Iw1, Iw2 ], [Iw1, Iw0 ], [Iw2, Iw0 ], [Iw2, Iw1 ]\n(3) [Ew0, Ew0 ], [Ew1, Ew1 ], [Ew2, Ew2 ]\n(4) [Iw0, Iw0 ], [Iw1, Iw1 ], [Iw2, Iw2 ]\n(5) [Ew0, Iw1], [Ew0, Iw2], [Ew1, Iw0], [Ew1, Iw2], [Ew2, Iw0], [Ew2, Iw1]\n(6) [Ew0, Iw1 ], [Ew0, Iw2 ], [Ew1, Iw0 ], [Ew1, Iw2 ], [Ew2, Iw0 ], [Ew2, Iw1 ]\n(7) [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ], [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ]\nPrueba El peso J de un grupo de operadores J-homógenos es la suma de\nlos pesos respectivos. Los “monomios” cuadráticos (con respecto al soporte)\nen el Ewj, Iwj, Ewj, Iwj son todos J-homogéneos, y por lo tanto para encontrar una base de\nJ-invariante operadores cuadráticos es suficiente para identificar el J-invariante cuadrático\nmonomios. Ser J-invariante significa simplemente tener peso cero, y el compu-\nde los mononios cuadráticos sigue inmediatamente de los\nde Ewj, Iwj, Ewj, Iwj, que son respectivamente, ı, ı,. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nTerminamos esta sección con lo siguiente:\nTeorema 5.11. En la secuencia exacta del Teorema 4.3 el núcleo K es igual a {0}.\nEl álgebra LC es por lo tanto isomórfico a sl(6,C).\nPrueba Dado que LC está incluido en el álgebra de Lie de invariantes cuadráticas, es\nsuficiente para demostrar que J 6o LC, a partir de esta y la proposición anterior que sigue\nque dimC(LC) ≤ 35. Como los mapas de LC surjetivamente a sl(6,C) que tiene dimensión 35,\nel núcleo debe ser cero. Cuando se limita a la subrepresentación V, los generadores\nde LC tienen todos rastro cero por inspección de sus matrices. Sin embargo, por definición\nde V, J restringido a él es la multiplicación por −2ı, y por lo tanto tiene traza igual a\n−12ı. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nCorollary 5.12. El álgebra de Lie LCâ < J > es igual al álgebra de Lie de cuadrática\ninvariantes dentro de C2p.\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 13\n6. Una presentación geométrica de los generadores Serre\nEn esta sección, para obtener una mejor comprensión geométrica de la representación\nLC de sl(6,C), exploramos con mayor detalle su relación con la estructura geométrica de\na Multiples de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible. En particular, ofrecemos una presentación de una elección natural de Cartan\ngeneradores de subalgebra y Serre en términos de los generadores geométricos Lj,?j, Vj, Aj.\nLos operadores LJ son similares en naturaleza a los operadores Lefschetz de un Kähler\nmultiple. Esta analogía es lo que proporcionó el interés inicial en la estructura algebraica\ntura de LC. Del mismo modo que la construcción estándar correspondiente de una representación\nde sl(2,C), definimos\nDefinición 6.1. Para j {0, 1, 2}\nHj = [Lj,lj]\nEstos operadores son autoadjuntos, como L*j = Łj por definición. Al igual que en el contexto de\nLa geometría kähleriana, para cada j el álgebra < Lj,j, Hj > resulta ser una copia\nde sl(2,C). Por otra parte, la propuesta siguiente muestra que los operadores Hj son\nsemisimple en el conjunto de álgebra LC, y por lo tanto generar un subalgebra toral de\nProposición 6.2. Los operadores geométricos Hj generan una subalgebra toral de LC,\ny mantener las siguientes relaciones: para j 6= k {0, 1, 2}\n(1) [Hj, Lj] = 2Lj, [Hj,\n(2) [Hj, Lk] = Lk, [Hj,lk] = k\n(3) [Hj, Vj ] = 0, [Hj, Aj ] = 0\n(4) [Hj, Vk] = 2Vk, [Hj, Ak] = −2Ak\nPrueba En vista de Teorema 5.11, en este punto el método más rápido de prueba de\nesta proposición es referirse a las matrices explícitas de la restricción (fiel) de LC\na V.\nTodo el álgebra LC se divide en una suma directa de espacios de peso con respecto a\n< H0, H1, H2 >, ya que este subalgebra es toral. El peso de L0 con respecto a la\nbase dual a H0, H1, H2 es:\nαL0 = (αL0(H0), αL0(H1), αL0(H2)) = (2, 1, 1)\nLa lista completa es:\nαL0 = (2, 1, 1), 0 = L0\nαL1 = (1, 2, 1), 1 = L1\nαL2 = (1, 1, 2), 2 = L2\nαV0 = (0, 2, 2), αA0 = V0\nαV1 = (2, 0, 2), αA1 = V1\nαV2 = (2, 2, 0), αA2 = V2\nPara encontrar una expresión geométrica natural para dos elementos ad-semisimple que com-\nplete < H0, H1, H2 > a una subalgebra cartán miramos los generadores Vj y Aj.\nSin embargo, resulta que los candidatos naturales [Vj, Aj ] ya se encuentran en el álgebra\n< H0, H1, H2 > En cambio, construimos los nuevos operadores por “sustracción” de la Vj\nsu peso αVj :\nDefinición 6.3. Definimos\nS0 = ı[[[V0,1],2], L0]\nS1 = ı[[[V1,2],0], L1]\nS2 = ı[[[V2,0],1], L2]\n14 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\ny denotar por H el álgebra de Lie (sobre C):\nH = < H0, H1, H2, S0, S1, S2 >\nLos coeficientes ı que aparecen en las fórmulas anteriores son dictados por el hecho\nque con esta opción las matrices (diagonales) del Sj restringido a V tienen entero\nentradas.\nProposición 6.4. El álgebra H es un subálgebra cartán de LC. Más precisamente,\nlas siguientes son las diagonales de los operadores H0,..., S2 una vez restringidos a V\n, H1 :\n, H2 :\n, S0 :\n, S1 :\n, S2 :\nPrueba El cálculo de las matrices anteriores muestra que, una vez restringido a\nV, el álgebra H abarca el espacio de matrices diagonales de traza cero en el dado\nbase. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nObservación 6.5. El cálculo anterior muestra también que los operadores S0, S1, S2 safisfy\nla relación\nS0 + S1 + S2 = 0\nIncluso si de la proposición anterior sabemos que H es máxima toral dentro de LC,\nlos generadores geométricos naturales Lj,j no son autovectores para la acción contigua\ndel Sk. En este punto, sin embargo, es posible distinguir en geométrico natural\ntérminos operadores de LC que tienen peso “puro” con respecto al álgebra H y\nque contienen en su margen lineal el Lj,\nDefinición 6.6. Para j {0, 1, 2}\nL1j = −2Lj + [Sj, Lj], L2j = 2Lj + [Sj, Lj]\n* 1j = − 2j − [Sj,?j], * 2j = 2j − [Sj,?j]\nProposición 6.7. Indicando con ehk la matriz 6×6 con 1 en posición k (fila)\ny h (columna) y cero de otro modo, las matrices de los operadores Lij y \nLas restricciones impuestas en V son las siguientes:\nL10 = 2e\n6 L11 = −2e\n4 L12 = −2e\nL20 = −2e\n5 L21 = −2e\n6 L22 = 2e\n10 ° = 8 e\n2 °11 = −8e\n1 °12 = −8e\n•20 = −8e\n1 °21 = −8e\n3 °22 = 8e\nCorollary 6.8. Tenemos las siguientes relaciones para los operadores de LC restringidos\na V:\n[Hk, Lij] = (1 + Łkj)Lij, [Hk,\n[Sk, Lij] = (−1)\ni+1(1− 3kj)Lij, [Sk,ğij] = (−1)\ni(1− 3kj)\n[Sk, Vj] = 0, [Sk, Aj] = 0\nGuiado por todos los cálculos explícitos de la acción sobre el componente isotípico\nV = V â € 6\n−2 compuesto hasta este punto, ahora definimos en términos de la geométrica natural\noperadores un conjunto de generadores Serre para el álgebra LC.\nUNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 15\nDefinición 6.9.\n[L20, A1] f1 =\n[V1;20]\n[L22, A0] f2 =\n[V0,~22]\ne3 = V0 f3 = A0\n[L12, A0] f4 =\n[V0,?12]\n[L10, A1] f5 =\n[V1; 10]\nAdemás, para todos los i {1,.., 5} definimos hi = [ei, fi].\nComo los ei tienen por construcción matriz asociada e\ni+1 una vez restringido a V y\nlos fi son sus respectivos contiguos, uno obtiene:\nProposición 6.10. Los operadores ei, fj,hk satisfacen las relaciones Serre para sl(6,C)\ny el hi span el cartán subalgebra H:\n(H1 − H2 − S1 − S2)\n(H0 −H1 + S2)\n(−H0 +H1 +H2)\n(H0 − H1 − S2)\n(H1 −H2 + S1 + S2)\nSería interesante como última observación identificar en la lista de cuadráticas in-\nVariantes de los operadores geométricos Lij,JJ,Vj,Aj, el álgebra H y el so(2,R)\ngenerador J. Para hacer esto uno podría por supuesto utilizar las matrices explícitas para el qua-\ndratic invariants una vez restringido a V, que no son difíciles de calcular. Uno puede\nSin embargo, obtener muy rápidamente un cuadro cualitativo mediante el uso de la noción de multigrado\nque ahora presentamos.\nLa descomposición T *X = W0 â € € TM W1 â € TM W2 induce naturalmente un multi-grado en\nX con valores en Z3, que indicamos con mdeg. Esto es lo que se desprende de la\necuación\np+q+r=n\n(W0 C)\n(W1 C)\n(W2 C)\nObservamos además que la descomposición (complejada) anterior se conserva por\nel operador J, y por lo tanto mdeg se desplaza con la acción de so(2,R).\nProposición 6.11. Los operadores Lj, Vj,J, Aj, Hj, Sj son mdeg-homogéneos,\ncon múltiples grados:\nmdeg(L0) = (0, 1, 1) mdeg(L1) = (1, 0,1) mdeg(L2) = (1, 1, 0)\nmdeg(0) = (0,1,1) mdeg(1) = (1,0,1) mdeg(2) = (1,1,0)\nmdeg(V0) = (2, 0, 0) mdeg(V1) = (0, 2, 0) mdeg(V2) = (0, 0, 2)\nmdeg(A0) = (−2, 0, 0) mdeg(A1) = (0,−2, 0) mdeg(A2) = (0, 0,−2)\nmdeg(H0) = (0, 0, 0) mdeg(H1) = (0, 0, 0) mdeg(H2) = (0, 0, 0)\nmdeg(S0) = (0, 0, 0) mdeg(S1) = (0, 0, 0) mdeg(S2) = (0, 0, 0)\nPrueba Los valores de mdeg para el Lj y el Vj siguen inmediatamente desde mdeg\nde las formas correspondientes y de los operadores duales (contracción) tienen un valor opuesto\n16 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI\nde mdeg. Los valores restantes se pueden calcular utilizando la aditividad de mdeg con\ncon respecto al soporte. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nProposición 6.12. Let {j, k, l} = {0, 1, 2}. Entonces\nSpan (L1j, L2j) = Span ([Ewk, Ewl], [Ewl, Ewk])\nEspadín (1j 2j) = Espadín ([Iwk, Iwl ], [Iwl, Iwk ])\nSpan (Vj) = Span\n[Ewj, Ewj]\nSpan (Aj) = Span\n[Iwj, Iwj]\nSpan (J) =\nSpan ([Ewm, Iwm], [Ewm, Iwm])\nPrueba El mdeg del Lij es el mismo de la Lj correspondiente, y sim-\nIlaramente por sus contiguos. Los mdegs de los monomios cuadráticos son immedi-\ncomtely calculado como son la suma de los de sus componentes. Por ejemplo,\nmdeg(Ew0) = mdeg(Ew0) = (1, 0, 0), mdeg(Ew1) = mdeg(Ew1) = (0, 1, 0) y\nPor lo tanto mdeg([Ew0, Ew1 ] = (1, 1, 0), igual a la de L12 y L22. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nBibliografía\n[B] V. Batyrev, Poliedros duales y simetría de espejos para hipersuperficies Calabi-Yau\nvariedades, J. Alg. Geom. 3 (1994), 493-535\n[BMP] U. Bruzzo, G. Marelli, F. Pioli Una transformación de Fourier para gavillas en tori real Parte II.\nTeoría relativa J. de Geometría y Phy. 41 (2002) 312-329\n[CDGP] P. Candelas, X.C. De la Ossa, P.S. Green, L. Parkes, Un par de colectores Calabi-Yau\ncomo una teoría superconformal exactamente soluble, Nucl. Phys. B359 (1991), p. 21-74\nG. Gaiffi, M. Grassi, un paquete de superálgebra de Lie natural en el rango tres colectores de la WSD,\npreprint (2007)\n[G1] M. 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Kontsevich, Y. Soibelman, Simetría del espejo homológico y fibras de toro,\nmatemáticas.SG/0011041 (2001)\nA. Strominger, S.T. Yau, E. Zaslow, Mirror Symmetry es T-Dualidad, Nucl. Phys. B479\n(1996) 243-259; hep-th/9606040\nhttp://arxiv.org/abs/math/0006154\nhttp://arxiv.org/abs/math/0202016\nhttp://arxiv.org/abs/math/0008018\nhttp://arxiv.org/abs/math/0011041\nhttp://arxiv.org/abs/hep-th/9606040\n\t1. Introducción\n\t2. Operadores básicos\n\t3. La acción de so(2,R)\n\t4. Una representación irreductible de LC\n\t5. Invariantes cuadráticas\n\t6. Una presentación geométrica de los generadores Serre\n\tBibliografía\n"}}},{"rowIdx":98,"cells":{"id":{"kind":"number","value":704.0105,"string":"704.0105"},"title":{"kind":"string","value":"Rigid subsets of symplectic manifolds"},"full_text":{"kind":"string","value":"8 Subconjuntos rígidos de colectores simpléticos\nMichael Entova y Leonid Polterovichb\n31 de agosto de 2018\nResumen\nDemostramos que hay una jerarquía de la rigidez de la intersección apropiada-\nataduras de conjuntos en un colector simplético cerrado: algunos conjuntos no pueden ser dis-\ncolocados por simplictomorfismos de más conjuntos que los otros. Nosotros\nTambién encontrar nuevos ejemplos de rigidez de las intersecciones que implican, en par-\nticular, fibras específicas de los mapas momentáneos de las acciones del toro Hamiltoniano,\nmonotona Lagrangian submanifolds (siguiendo las obras de P.Albers\ny P.Biran-O.Cornea), así como ciertos, posiblemente singulares, conjuntos de-\nmultada en términos de subálgebras conmutativas Poisson de func-\nciones. Además, tenemos algunas obstrucciones geométricas a semi-simpli-\nciudad de la homología cuántica de los colectores simpléticos. Las pruebas son\nbasado en la maquinaria teórica de Floer de cuasi-simple práctica parcial\nestados.\naCon el apoyo parcial de E. y J. Bishop Research Fund y del Instituto de Ciencias de Israel\nSubvención de la Fundación # 881/06.\nbCon el apoyo parcial de la subvención de la Fundación Científica Israelí # 11/03.\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0105v2\nSumario\nIntroducción y principales resultados 3\n1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad...........................................................................................................................................................................................................................................................\n1.2 Preliminares sobre la homología cuántica. .................................................................................. 8\n1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer. ......................................................................................................................................................................\n1.4 Acciones de toros de Hamilton........................................................................................................................................................................................................................................................... \n1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos. ...................................................................................................................\n1.6 Efecto de la semisimplicidad...........................................................................................................................................................................................................................................................\n1.7 Debate y preguntas abiertas 27...................................................................................................................................................................\n1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer? .....................................................................................................................................\n1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson 28\n2 Detectar la desplazabilidad estable 32\n3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer 33\n3.1 Valoración de QH*(M).......................................................................................................................................................................................................................................................... \n3.2 Teoría de Hamilton Floer........................................................................................................................................................................................................................................................... \n3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov. ........... 36\n3.4 Números espectrales. ................... 42\n3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales..........................................................................................................................................................................................................................................................\n4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados 45\n5 Productos de juegos (super) pesados 48\n5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales. ................................................................ 48\n5.2 Complejos Z2 decorados. .................................................................... 49\n5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida. ....................................................................\n5.4 Prueba del teorema 5.1................... 51\n5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2.............. 52\n6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados 57\n7 Análisis de los tallos estables 59\n8 Submanifolds Lagrangiano Monotone 61\n9 Rigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas 66\n9.1 Calabi y acción mixta - Maslov. ............ 76\n1 Introducción y principales resultados\n1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad\nUna propiedad bien estudiada y fácil de visualizar la rigidez de los subconjuntos de un simplec-\nla rigidez de las intersecciones: un subconjunto X\nser desplazado del cierre de un subconjunto Y â € M por un soporte compacto\nIsotopía Hamiltoniana:\n* (X) * Y 6= * * Ham(M) *\nDecimos en tal caso que X no puede ser desplazado de Y. Si X no puede ser\nDesplazado de sí mismo lo llamamos no desplazable. Estas propiedades se convierten en\nespecialmente interesante y puramente simplético cuando X puede ser desplazado de\no de Y por una isotopía suave (compactamente soportada).\nUno de los temas principales del presente documento es que “algunos\nconjuntos capaces son más rígidos que otros.” Para explicar esto, necesitamos lo siguiente\nramificaciones de la noción de conjunto no desplazable:\nFuerte no-desplazabilidad: Un subconjunto X-M se llama fuertemente no-\ndesplazable si uno no puede desplazarlo por ninguno (no necesariamente Hamiltoniano)\nel simplectomorfismo de (M.\nNo desplazabilidad estable: Considere T ∗S1 = R × S1 con el coordi-\nlos nates (r, Ł) y la forma simpléctica dr. Decimos que X-M es estable.\nno desplazable si X × {r = 0} no es desplazable en M × T ∗S1 equipado\ncon la forma simpléctica de la división = (dr dŁ). Mencionemos que de-\ntecting subconjuntos estable no desplazables es útil para el estudio de la geometría y\ndinámica de los flujos Hamiltonianos (véase, por ejemplo, [50] por su papel en Hofer\ngeometría y [51] por su apariencia en el contexto de la estabilidad de la patada en\nDinámica hamiltoniana).\nFormalmente hablando, las propiedades de la no-desplazabilidad fuerte y estable\nson mutuamente independientes y ambos son estrictamente más fuertes que la desplazabilidad.\nEn el presente trabajo refinamos la maquinaria de parcial simplético cuasi-\nlos estados introducidos en [23] y obtener nuevos ejemplos de\nconjuntos, incluyendo ciertas fibras de mapas momentáneos de acciones de toros Hamiltonianos\nasí como monotones Lagrangian submanifolds discutidos por Albers [2] y\nBiran-Cornea [15]. Además, abordamos la siguiente pregunta: dada la clase\nde conjuntos estable no desplazables, se puede distinguir aquellos de ellos que son\ntambién fuertemente no-desplazable por medio de la teoría de Floer? O, de otra manera\nalrededor, ¿cuáles son las características Homológicas de Floer estable no desplazable\npero sets fuertemente desplazables? Ejemplos de juguetes son dados por el ecuador de la\nDos esferas simpléticas y por el meridiano en un dos torso simplés. Ambas cosas.\nson establemente no-desplazables ya que sus homologías Lagrangian Floer son no-\ntrivial. Por otro lado, el ecuador es fuertemente no desplazable, mientras que\nel meridiano es fuertemente desplazable por un cambio no hamiltoniano. Más tarde\nexplicará la diferencia entre estos dos ejemplos desde el punto de vista\nde la homología hamiltoniana Floer y presentar diversas generalizaciones.\nLa pregunta sobre la caracterización homológica de Floer de (fuertemente)\nlos conjuntos que se pueden desplazar pero que se pueden desplazar de forma estable están totalmente abiertos, véase la sección 1.7.1 infra para\nun ejemplo que involucra el teorema de embalaje de Gromov y la discusión.\nDejando consideraciones teóricas de Floer para la siguiente sección, vamos a esbozar\n(en parte, informalmente) el esquema general de nuestros resultados: Dado un simplético\nmultiple (M,), definiremos (en el lenguaje de la teoría de Floer) dos\ncolecciones de subconjuntos cerrados de M, subconjuntos pesados y subconjuntos superpesados.\nCada subconjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa. Formalmente\nhablando, la jerarquía pesada-superpesada depende de una manera delicada de la\nelección de un idempotente en el anillo de homología cuántica de M. Esto y otros\nlos matices serán ignorados en este esquema. Las propiedades clave de estas colecciones\nson los siguientes (véanse los teoremas 1.2 y 1.5 infra):\nInvarianza: Ambas colecciones son invariantes bajo el grupo de todos los symplec-\ntomorfismos de M.\nNo-desplazabilidad estable: Cada subconjunto pesado es estable no-desplazamiento-\nCapaz.\nIntersecciones: Cada subconjunto superpesado intersecta cada subconjunto pesado. In\nEn particular, los subconjuntos superpesados son fuertemente no desplazables. En contraste con\nEsto, subconjuntos pesados pueden ser mutuamente desconectados y fuertemente desplazables.\nProductos: El producto de dos subconjuntos (super)pesados es (super)pesado.\n¿Qué hay dentro de las colecciones? Las colecciones de pesados y superpesados\nse incluyen los siguientes ejemplos:\nTallos estables: Dejemos que A C(M) sea un Poisson-commuta de dimensión finita.\ntivo subespacio (es decir, cualquiera de las dos funciones de un viaje con respecto a la\nPoisson brackets). Let Φ :M → A* ser el mapa del momento: (x), F = F (x).\nUna fibra no vacía 1(p), p A*, se llama un tallo de A (véase [23]).\nfibras no vacías 1(q) con q 6= p son desplazables y un tallo estable si\nson establemente desplazables. Si un subconjunto de M es un tallo (estable) de un finito-\nsubespacio dimensional de Poisson-commutativo de C(M), se llamará justo\na Tallo (estable). Claramente, cualquier tallo es un tallo estable. La colección de\nLos subconjuntos superpesados incluyen todos los tallos estables (ver Teorema 1.6 abajo).\nUno muestra fácilmente que un producto directo de tallos estables es un tallo estable y\nque la imagen de un tallo estable bajo cualquier simplectomorfismo es de nuevo un\nvástago estable.\nEl siguiente ejemplo de un tallo estable se toma prestado (con un mod-\n) de [23]: Que X â € M sea un subconjunto cerrado cuyo complemento es\nuna unión finita disyuntiva de conjuntos estable desplazables. Entonces X es un tallo estable.\nPor ejemplo, el esqueleto de la codimensión-1 de una triangulación suficientemente fina de\ncualquier colector simplético cerrado es un tallo estable. Otro ejemplo es dado por\nel ecuador de S2: divide la esfera en dos discos abiertos desplazables y\npor lo tanto es un tallo estable. Al tomar productos, uno puede llegar a ser más sofisticado\nejemplos de tallos estables. Ya el producto de los ecuadors de las dos esferas\nda lugar a un Lagrangian Clifford toro en S2×...×S2. Para demostrar su rigidez\npropiedades (como no desplazabilidad estable) uno tiene que usar sim-\nHerramientas plécticas como la homología Lagrangian Floer, véase, por ejemplo. [44]. Productos de\nlos 1-esqueletos de las triangulaciones finas de las dos esferas pueden ser considerados como\nsingular Lagrangian submanifolds, un objeto que actualmente está fuera de alcance\nde la teoría Lagrangian Floer.\nOtro ejemplo de los tallos estables proviene de las acciones de toros de Hamilton.\nConsiderar una acción Hamiltoniana eficaz : Tk → Ham(M) con el mo-\nΦ = (Φ1,............................................................................................ ...............................................................................................\nk. Supongamos que Φi es un\nHamiltonian, eso es\nΦi = 0 para todos los i = 1,...., k. Una acción de toro se llama\ncomprimible si la imagen del homomorfismo : η1(T\nk) → η1(Ham(M)),\ninducido por la acción............................................................................................................................................................................................................................................................. Uno puede demostrar que por compresible\nacciones la fibra 1(0) es un tallo estable (ver Teorema 1.7 abajo).\nFibras especiales de las acciones de toros Hamiltonianos: Considere un eficaz\nHamiltonian torus action (acción de toros) sobre un colector simplético esféricamente monótono.\nLet I : η1(Ham(M)) → R ser la acción mixta-Homomorfismo Maslov intro-\nEn el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, el importe de las importaciones objeto de dumping procedentes de la República Popular China se estima en [...] millones EUR. Puesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ es naturalmente\nidentificado con Hom(η1(T)\nk), R), la pull back pspec := \nI de la mezcla\nacción-Homomorfismo Maslov con el signo inverso puede ser considerado como un\npunto de Rk. La preimagen 1(pspec) se llama la fibra especial de la acción.\nVeremos abajo que la fibra especial siempre no está vacía. Para monotona\nlos colectores toricos simpléticos (es decir, cuando 2k = dimM) la fibra especial es un\nMonotone Lagrangian Torus. Tenga en cuenta que cuando la acción es comprimible\ntienen pspec = 0 y por lo tanto la fibra especial es un tallo estable según el\nejemplo anterior. Se desconoce si estos últimos bienes persisten para\nacciones no comprimibles. Así en lo que sigue tratamos los tallos estables\ny fibras especiales como ejemplos separados. La colección de superpesados\nLos subconjuntos incluyen todas las fibras especiales (ver Teorema 1.9 abajo).\nPor ejemplo, considere el CP 2 y el Torus Lagrangian Clifford en él (i.e.\nel toro {[z0 : z1 : z2] • CP\n2 Toma el estándar\nAcción Hamiltoniana T2 sobre el CP 2 preservando el toro Clifford. Tiene tres.\npuntos fijos globales lejos del toro de Clifford. Hacer un sym equivariante...\nblow-up pléctico, M, de CP 2 a k de estos puntos fijos, 0 ≤ k ≤ 3, de modo que\nel colector simplético obtenido es esféricamente monotono. La acción de los toros\nse eleva a una acción Hamiltoniana en M. Uno puede demostrar que su fibra especial es\nla transformación adecuada del toro de Clifford.\nMonotone Lagrangian submanifolds: Let (M2n, Ł) ser una esférica\nmonotone simplectic multiple, y dejar L â € M ser un monótono cerrado La-\nSubmanifold grangiano con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Nosotros decimos\nque L satisface la condición de Albers [2] si la imagen del morfismo natural\nH*(L;Z2) → H*(M;Z2) contiene un elemento S no cero con\ndeg S > dimL+ 1−NL.\nLa colección de juegos pesados incluye todos los monótonos cerrados Lagran-\nSubmanifolds gian que satisfacen la condición de Albers (véase Teorema 1.15\ninfra).\nEjemplos específicos incluyen el meridiano en T2, RP n • CP n y todos los La-\nEsferas grangianas en hipersuperficies proyectivas complejas de grado d en CP n+1\ncon n > 2d − 3. En el caso de que la clase fundamental [L] de L se divida\nun idempotente no trivial en el álgebra homológica cuántica de M, L es, en\nhecho, superpesado (ver Teorema 1.18 más abajo). Por ejemplo, este es el caso\npara RP n • CP n. Además, una versión de superpeso se mantiene para cualquier\nEsfera lagrangiana en el complejo cuadrático de dimensión par (compleja).\nSin embargo, existen ejemplos de pesado, pero no superpesado, Lagrangian\nsubmanifolds: Por ejemplo, el meridiano del 2-torus es\nceable por un (no-Hamiltoniano!) cambio y por lo tanto no es superpesado. Otro\nejemplo de pesado pero no superpesado submanifold Lagrangian es la esfera\nsurgida como la parte real de la hipersuperficie de Fermat\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\ncon d ≥ 4 y n > 2d− 3. Nos remitimos a la sección 1.5 para más detalles sobre\n(super) monótono pesado submanifolds Lagrangian.\nMotivación: Nuestra motivación para la selección de ejemplos que aparecen en el\nLa lista anterior es la siguiente. Tallos estables proporcionan un patio de recreo para estudiar\nrigidez simpléctica de subconjuntos singulares. En particular, ningún análogo visible de\nla técnica convencional de homología Lagrangian Floer es aplicable a ellos.\nDetectar (estable) la no-desplazabilidad de los submanifolds Lagrangian vía La-\nLa homología grangiana Floer es uno de los temas centrales de la topología simpléctica.\nEn contraste con esto, la detección de una fuerte no-desplazabilidad tiene en el momento la\ncondición del arte en lugar de la ciencia. Por eso nos intrigaba Albers’\nobservación de que la monotona Lagrangian submanifolds satisfacer su condición\nse encuentran en algunas situaciones fuertemente no desplazables. En el presente trabajo lo intentamos\ndigerir los resultados de Albers [2] y mirarlos desde el punto de vista teórico\nde cuasiestados simpléticos parciales desarrollados en [23]. Además, nuestro resultado\nsobre la superpeso del antidiagonal lagrangiano en S2 × S2 nos permite\ndetectar un toro Lagrangiano “exótico” en este colector simplético:\neste toro no se interseca el antidiagonal, y por lo tanto no es pesado en\ncontraste con el toro estándar Clifford, véase el ejemplo 1.20 a continuación.\nEn [23] probamos un teorema que dice que cada\nLa foliación coisotrópica tiene al menos una fibra no desplazable. ¿Cómo...?\nsiempre, nuestra prueba es no-constructiva y no nos dice qué fibras específicas\nno se pueden desplazar. La noción de la fibra especial surgió como un intento de\nresolver este problema para las acciones del círculo hamiltoniano.\nMencionemos también que la propiedad del producto nos permite producir\nmás ejemplos de subconjuntos (super)pesados tomando productos de los subconjuntos\nque aparecen en la lista.\nAlgunos comentarios sobre los métodos involucrados en nuestro estudio de la pesada y su-\nlos subconjuntos perheavy están en orden. Estas colecciones se definen en términos de:\ncuasiestados simpléticos parciales introducidos en [23]. Estos son...\ncon propiedades algebraicas ricas que\nse construyen por medio de la teoría de Hamiltonian Floer y que conve-\nCodificar una parte de la información contenida en esta teoría. En general,\nla definición de un cuasiestado simplético parcial implica la elección de un\nelemento idempotente en la parte conmutativa QH•(M)\nálgebra de mología de M. Aunque la opción por defecto es sólo la unidad de la\nálgebra, existen algunas otras opciones significativas, en particular en el caso\ncuando QH•(M) es semisimple. Esto da lugar a otro tema discutido en\nEste artículo: obstrucciones topológicas “visibles” a la semisimplicidad (ver Corol-\nlary 1,24 y Teorema 1,25 infra). Por ejemplo, demostraremos que si\nmonotone simplectic multiple M contiene “demasiado” disjoint monotone\nEsferas lagrangianas cuyos números mínimos de Maslov superan n+1, el quan-\nQH•(M) no puede ser semi-simple.\nPasemos a la configuración precisa. Para la comodidad del lector, la\nterial presentado en este breve esquema se repetirá en partes en el siguiente\nsecciones en una forma menos comprimida.\n1.2 Preliminares sobre la homología cuántica\nEl Anillo Novikov: Deja que F denote un campo base que en nuestro caso será\no bien C o Z2, y dejar que R sea un subgrupo contable (con respecto a la\nadded). Let s, q ser variables formales. Definir un campo K® cuyos elementos son\nSerie Laurent generalizada en s de la forma siguiente:\nK. :=\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nDefinir un anillo := K[q, q\n−1) como anillo de polinomios en q, q−1 con\nCoeficiente de K............................................................................................................................................... Convertimos en un anillo clasificado estableciendo el grado de s\nser 0 y el grado de q ser 2.\nEl anillo sirve como un modelo abstracto del anillo Novikov asociado a\nun colector simplés. Vamos a ser (M,) un colector simplético conectado cerrado.\nDenotar por HS2 (M) el subgrupo de clases de homología esférica en la integral\ngrupo homológico H2(M ;Z). Abusando de la notación escribiremos فارسى(A), c1(A)\npara los resultados de la evaluación de las clases de cohomología y c1(M)\nA H2(M ;Z). Establecer\n2(M) := H\n2 (M)/\ndonde, por definición,\nB iff (A) = (B) y c1 (A) = c1 (B).\nDenotar por el subgrupo de períodos de la\nforma simpléctica en M en las clases de homología esférica. Por definición, el\nEl anillo de Novikov de un colector simplés (M.) es (M.). En lo que sigue,\ncuando se fija (M,), abreviamos y escribimos, K y en lugar de (M,),\n(M.) y (M.) (M.) respectivamente.\nHomología cuántica: Conjunto 2n = dimM. La homología cuántica QH*(M)\nse define como sigue. En primer lugar, se trata de un módulo graduado sobre.............................................................................................................................................\nQH*(M) := H*(M;F)F\ncon la clasificación definida por las clasificaciones en H*(M;F) y \ndeg (a zsŁqk) := deg (a) + 2k.\nEn segundo lugar, y lo más importante, QH*(M) está equipado con una pro-\nect: si a • Hk(M ;F), b • Hl(M ;F), su producto cuántico es una clase\na* b • QHk+l−2n(M), definido por\na * b =\nA2(M)\na ∗ b) A s\n(A)q−c1(A),\ndonde (a ∗ b) A Hk+l−2n+2c1(A)(M) se define por el requisito\na ∗ b) A c = GW\nA (a, b, c)\nAquí significa el índice de intersección y GWFA (a, b, c)\nGromov-Witten invariante que, en términos generales, cuenta el número de\nesferas pseudo-holomórficas en M en la clase A que cumplen los ciclos que representan\na), b), c) H*(M;F) (véase [55], [56], [41] para la definición precisa).\nExtender esta definición por linealidad a todo el QH*(M) que se obtiene\nuna operación de producto asociativo clasificada y conmutativa correctamente definida* en\nQH*(M) que es una deformación del producto clásico en singular\nEn el caso de las empresas de seguros de vida, el importe de las primas de seguro de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de vida de seguros de vida de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de vida de vida de vida de vida de vida de vida. El álgebra cuántica de homología QH*(M)\nes un anillo cuya unidad es la clase fundamental [M] y que es un módulo\nde rango finito por encima de. Si a, b • QH*(M) han graduado grados grados grados de g (a), deg (b)\ndeg (a ∗ b) = deg (a) + deg (b)− 2n. 1)..........................................................................................................................................................\nEstaremos principalmente interesados en la parte conmutativa del cuántico\nanillo de homología (que en el caso F = Z2 es, por supuesto, todo el cuántico\nanillo de homología). Para ello se introduce la siguiente notación:\nDenotamos por QH•(M) toda la homología cuántica QH*(M) si\nF = Z2 y la parte de grado par de QH*(M) si F = C.\nEn general, dado un espacio topológico X, denotamos por H•(X ;F) la\ngrupo H*(X;F) si F = Z2 y el par-\ngrado parte de H*(X;F) si F = C.\nPor lo tanto, en nuestra notación el anillo QH•(M) = H•(M ;F)F\nmutatisticve subring con la unidad de QH*(M) y un módulo de rango finito por encima de.\nNos identificaremos con un suburbio de QH•(M) por 7→ [M ] ♥.\n1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer\nFijar un idempotente distinto de cero a QH2n(M) (por obvia clasificación considera-\nciones el grado de cada idempotente es igual a 2n). Nos ocuparemos de los espectrales.\ninvariantes c(a,H), donde H = Ht : M → R, t â € R, es un tiempo suave-\ndependiente y 1-periódico en el tiempo Hamiltoniano función en M, o c(a, H),\ndonde H es un elemento de la cobertura universal Hśam (M) de Ham(M) rep.\nresentida por un camino basado en la identidad dado por el flujo Hamiltoniano del tiempo-1\ngenerado por H. Si H se normaliza, lo que significa que\ndimM/2 = 0 para todos\nt, entonces c(a,H) = c(a, H). Estos invariantes, que hoy en día son estándar\nobjetos de la teoría de Floer, fueron introducidos en [45] (cf. [59] en la asférica\ncaso; véase también [42], [43] para una versión anterior de la construcción y [22] para un\nresumen de las definiciones y resultados en el caso monotono).\nDescargo de responsabilidad: A lo largo de todo el documento suponemos tácitamente que (M,.......................................................................................................................................................\ncomo (M ×T2, ), cuando hablamos de desplazabilidad estable) pertenece a la clase\nS de colectores simpléticos cerrados para los que los invariantes espectrales están bien\ndefinir y disfrutar de la lista estándar de propiedades (véase, por ejemplo, [41, Teorema\n12.4.4]). Por ejemplo, S contiene todo asférica y esféricamente\ncolectores monotónicos. Además, S contiene todos los colectores simpléticos M2n\npara los cuales, por un lado, c1 = 0 o el número mínimo de Chern (en\nHS2 (M)) es al menos n − 1 y, por otra parte,\n2 (M)) es un\nsubgrupo de R (cf. [64]). La creencia general es que la clase S incluye a todos\ncolectores simpléticos.\nDefinir un funcional : C(M) → R por\n(H) := lim\nc(a, lH)\nSe muestra en [23] que el funcional tiene algún algebraico muy especial\npropiedades (véase Teorema 3.6) que forman los axiomas de un simplés parcial\nel cuasi-estado introducido en [23]. La siguiente definición está motivada en parte por\nla obra de Albers [2].\nDefinición 1.1. Un subconjunto cerrado X â € M se llama pesado (con respecto a â €\no con respecto a un utilizado para definir\n(H) ≥ inf\nH. H. C. M., (3)\ny se llama superpesado (con respecto a o a) si\n(H) ≤ sup\nH. H. C. M....................................................................................................................................... 4)\nLa elección por defecto de un idempotente a es la unidad [M ] QH*(M). En este\ncaso, como veremos a continuación, las colecciones de conjuntos pesados y superpesados\nsatisfacer las propiedades enumeradas en la sección 1.1 e incluir los ejemplos en ella.\nTeniendo en cuenta las posibles aplicaciones (incluidas las obstrucciones geométricas a\nla simplicidad de la homología cuántica), trabajaremos, siempre que sea posible, con\nÍdempotentes generales.\nLa asimetría entre supX H e infX H está relacionada con el hecho de que\nlos números espectrales satisfacen una desigualdad triangular c(a ∗ b, \nc(b, ŁG), mientras que puede no haber una desigualdad adecuada “en la dirección opuesta-\ntion”. En el caso de que exista tal desigualdad “opuesta” (por ejemplo: cuando a = b\nes un idempotente y • definido por él es un verdadero cuasi-estado simplético – ver\nSección 1.6 a continuación) la simetría entre supX H e infX H se restaura\ny las clases de conjuntos pesados y superpesados coinciden.\nEnfaticemos que la noción de (super)peso depende de la\nelección de un anillo de coeficiente para la teoría de Floer. En este artículo los coeficientes\npara la teoría Floer será Z2 o C dependiendo de la situación. A menos que\nde lo contrario, nuestros resultados en subconjuntos (super)pesados son válidos para cualquier elección\nlos coeficientes.\nEl grupo Symp (M) de todos los simplectomorfismos de M actúa naturalmente sobre\nH*(M;F) y, por lo tanto, en QH*(M) = H*(M;F) F. Claramente, la identidad\ncomponente Symp0(M) de Symp (M) actúa trivialmente sobre QH*(M) y por lo tanto para\ncualquier idempotente a • QH*(M) el correspondiente • es invariante Symp0(M).\nAsí, la imagen de un (super)pesado conjunto bajo un elemento de Symp0(M) es de nuevo\na (super)conjunto pesado con respecto al mismo idempotente a. Si a es invariante\nbajo la acción de todo el Symp (M) (por ejemplo, si a = [M ]) las clases\nde conjuntos pesados y superpesados con respecto a a son invariantes bajo la acción\nde todo el Symp (M) de acuerdo con la propiedad de la invarianza presentada\nen la sección 1.1 supra.\nMencionemos también que las colecciones de (super) sets pesados disfrutan de un\npropiedad de estabilidad en inclusiones: Si X, Y, X â € ¢ Y, son subconjuntos cerrados de M\ny X es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a un idempotente a\nentonces Y también es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a la misma a.\nAhora estamos dispuestos a formular los principales resultados de la presente sección.\nTeorema 1.2. Suponga que una y la otra son fijas. Entonces\n(i) Cada conjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa.\nii) Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.\niii) Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado. En particular, un super-\nun conjunto pesado no puede ser desplazado por un simplético (no necesariamente Hamil-\ntoniano) isotopía y si el idempotente a es invariante bajo el symplec-\ngrupo de tomorfismo de (M.o) (p.e. si a = [M ]), cada conjunto superpesado es\nfuertemente no desplazable.\nEl siguiente teorema discute la relación entre pesadez/super-\npropiedades de pesadez con respecto a diferentes idempotentes. En particular,\nmuestra que [M] juega un papel especial entre todos los otros idempotentes no cero\nen QH*(M).\nTeorema 1.3. Supongamos que a es un idempotente no cero en la homología cuántica.\n(i) Cada conjunto que es superpesado con respecto a [M] también es superpesado con\nrespeto a a.\n(ii) Cada conjunto que es pesado con respecto a a es también pesado con respecto a\n[M]\niii) Suponga que el idempotente a es una suma de idempotentes distintos de cero\ne1,. ..., el y asumir que un subconjunto cerrado X • M es pesado con re-\nspect a a. Entonces X es pesado con respecto a ei para al menos una i.\nLa siguiente propuesta muestra que, en general, la pesadez de un conjunto\ndepende de la elección de un idempotente en la homología cuántica.\nProposición 1.4. Considere el toro T2n equipado con el sim-\nestructura pléctica • = dpÃ3dq. Que M2n = T2n+CP n sea una explosión simpléctica de\nT2n en un punto (la explosión se realiza en una pequeña bola alrededor del punto).\nAsumir que el toro lagrangiano L • T2n dado por q = 0 no se intersecta\nla bola en T2n, donde se realizó la explosión.\nEntonces la transformación apropiada de L (identificado con L) es un sub-\nmúltiple de M, que no es pesado con respecto a algunos no cero idempotente\na QH*(M) pero pesado con respecto a [M]. (Aquí trabajamos con F = Z2).\nA continuación, considere los productos directos de (super) sets pesados. Comenzamos con el fol-\nconvención de reducción en los productos tensores. Vamos a i, i = 1, 2, ser dos contables\nSubgrupos de R. Dejemos que Ei sea un módulo sobre K.i. Pusimos\nE1KE2 =\nE1 K1 K1 K1 K2\nK12\nE2 KÃ32 KÃ12\n. 5)\nSi E1, E2 son también anillos automáticamente suponemos que el tensor medio prod-\nuct es el producto tensor de los anillos. En palabras simples, ampliamos ambos módulos\na los módulos K. 1 ó 2 y considerar el producto tensor habitual sobre K. 1 ó 2.\nHabida cuenta de dos colectores simpléticos (M1, M1,.......................................................................................................................................................................................................................................................\nsubgrupos de períodos de las formas simpléticas satisfacen\n*(M1 ×M2, *(M1 ×M2) =*(M1, *1) +*(M2, *2).\nAdemás, debido a la fórmula Künneth para la homología cuántica (véase, por ejemplo,\n[41, Ejercicio 11.1.15] para la declaración en el caso monotono; el\ncaso en nuestra configuración algebraica se puede tratar de manera similar) existe un\nmonomorfismo de anillo lineal sobre K. 1 2\nQH2n1(M1)KQH2n2(M2) QH2n1+2n2(M1 ×M2),\nFijaremos un par de idempotentes ai QH*(Mi), i = 1, 2. Las nociones\nde (super)peso en M1, M2 y M1 ×M2 se entienden en el sentido de\nidempotents a1, a2 y a1 a2 respectivamente.\nTeorema 1.5. Supongamos que Xi es un pesado (resp. superpesados) subconjunto de Mi\ncon respecto a algunos idempotent ai, i = 1, 2. Entonces el producto X1 × X2\nes un pesado (resp. superpesados) subconjunto de M con respecto al idempotente\na1 a2 QH•(M1 ×M2).\nUna clase importante de conjuntos superpesados es dada por tallos estables introducidos\ne ilustrado en la sección 1.1.\nTeorema 1.6. Cada tallo estable es un subconjunto superpesado con respecto a cualquier\nÍdempotente no cero a QH*(M). En particular, es fuerte y estable\nno desplazable.\nEn la siguiente sección presentamos un ejemplo de tallos estables provenientes de Hamil-\nacciones de toro toniano.\n1.4 Acciones de toros hamiltonianos\nFibras del momento mapas de acciones de toros Hamiltonianos forman un interesante\nparque infantil para probar las diversas nociones de desplazabilidad y pesadez\nIntroducción anterior. A lo largo del documento nos ocupamos de acciones eficaces solamente,\nque es suponemos que el mapa : Tk → Ham(M) definir la acción\nes un monomorfismo. Además, suponemos que el mapa del momento Φ =\n(Φ1,. ...............................................................................................\nk de la acción se normaliza: Φi es un normalizado\nHamiltonian para todos i = 1,..... por el teorema de Atiyah-Guillemin-Sternberg\n[6], [30], la imagen = Φ(M) de Φ es un politopo convexo k-dimensional,\nllamó al momento politopo. Los subconjuntos 1(p), p, se llaman fibras de\nel mapa del momento. Una acción de toro se llama comprimible si la imagen de la\nhomomorfismo : η1(T\nk) → η1(Ham(M)), inducido por la acción\ngrupo finito.\nTeorema 1.7. Supongamos que está equipado con un Hamilto comprimible.\nnian Tk-action con mapa del momento Φ y politopo del momento. Dejad que Y # # # sea #\ncualquier subconjunto convexo cerrado que no contenga 0. Entonces el subconjunto 1(Y)\nes establemente desplazable. En particular, la fibra 1(0) es un tallo estable.\nTenga en cuenta que para los colectores tóricos simpléticos, es decir, cuando 2k = dimM, el punto\n0 es el baricentro del politopo del momento con respecto a la Lebesgue\nmedida. Esto se deriva de nuestra suposición sobre la normalización de la\nmapa del momento.\nLos teoremas 1.6 y 1.7 implican que la fibra 1(0) del toro comprimible\nacción es estable no desplazable, y así obtenemos la descripción completa\nde fibras establemente desplazables para tales acciones.\nEn el caso de que la acción no sea comprimible, la cuestión de la\nLa descripción completa de las fibras estable no desplazables permanece abierta. Hacemos un\nprogreso parcial en esta dirección mediante la presentación de al menos una de esas fibras, llamado\nla fibra especial, explícitamente en el caso de que (M,•) sea esféricamente monotona:\nHS2 (M)\n= c1(TM)HS2 (M)\n.......................................................................\nLa fibra especial se puede describir a través de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism introducido en [49]: Dejar (M2n, ) ser una esférica monotona simplectic\nmúltiple, y que {ft}, t [0, 1], sea cualquier bucle de difeomorfismos hamiltonianos,\ncon f0 = f1 = 1, generado por un func de Hamilton normalizado 1-periódico-\ntion F (x, t). Las órbitas de cualquier bucle hamiltoniano son contractibles debido a la\nteoría estándar de Floer1. Elija cualquier punto x â € M y cualquier disco u : D2 → M\nabarcando la órbita γ = {ftx}. Definir la acción\n2 de la órbita por\nAF (γ, u) :=\nF (γ(t), t)dt−\nu.\nTrivialize el paquete de vectores simplés u*(TM) sobre D2 y denote por\nmF (γ, u) el índice Maslov del bucle de matrices simpléticas correspondientes\na {ft con respecto a la trivialización elegida. Uno comprueba fácilmente que,\nen vista de la monotonicidad esférica, la cantidad\nI(F) := −AF (γ, u)−\nmF (γ, u)\nno depende de la elección del punto x y el disco u, y es invariante\nbajo los homotopies del bucle Hamiltoniano {ft}. De hecho, yo soy un bien definido\nhomomorfismo de η1(Ham(M)) a R (véase [49], [68]).\nSupóngase de nuevo que : Tk → Ham(M,) es un torus hamiltoniano ac-\ntion. Escriba para el homomorfismo inducido de los grupos fundamentales.\nPuesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ se identifica naturalmente con\nHom(π1(T)\nk), R), la retirada I de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism con el signo inverso puede ser considerado como un punto de Rk. Llamamos\nes un punto especial y denota por pspec. La preimagen Φ\n−1(pspec) se llama\nfibra especial del mapa del momento. En el caso k = 1, cuando Φ es un valor real\nfunción en M, llamaremos pspec el valor especial de Φ.\n1La teoría de Floer garantiza la existencia de al menos una órbita periódica contractible –\nEsto no es obvio a priori si {ft} no es un flujo autónomo. Desde todas las órbitas de {ft}\nson homotópicos, todos son contráctiles.\n2Tenga en cuenta que nuestra acción funcional y la de [49] son de signos opuestos.\nSi k = n y M es un colector torico simplético, entonces pspec se puede definir\nen términos puramente combinatorios que implican sólo el politopo. Es decir, elegir\nun vértice x de Ł. Puesto que en este caso es un politopo Delzant [20], hay un\núnica (hasta una permutación) elección de vectores v1,. .................................................\n• oriundo de x;\n• abarcan los rayos n que contienen los bordes de • adyacentes a x;\n• formar una base de Zn sobre Z.\nProposición 1.8.\npspec = x+ \nvi. 6)\nPrueba. Los vértices del momento politopo están en correspondencia uno-a-uno\ncon los puntos fijos de la acción. Que x â € ¢ M sea el punto fijo corre-\nsponding al vértice x = (x1,. ..,xn). Entonces los vectores vj = (v\nj,. v..............................................................\nj = 1,..., n, son simplemente los pesos de la isotropía Tn-acción en TxM. Desde\nla definición de la acción mixta-Maslov invariante de un círculo hamiltoniano\nla acción no depende de la elección de una órbita 1-periódica y\nning, vamos a calcular todos los II, l = 1,..., n, utilizando la órbita periódica constante\nconcentrado en el punto fijo x y el disco constante u que lo abarca. Claramente,\nAΦi(x, u) = Φi(x) = xi y mΦi(x, u) = 2\nvij Łi = 1,..., n,\nque produce fácilmente la fórmula (6).\nE.Shelukhin nos señaló que al resumir las ecuaciones (6) sobre todo el\nvértices x(1). ..,x(m) • Rn del politopo del momento, uno consigue fácilmente que\npspec =\nTeorema 1.9. Suponga que M2n es un colector simplético esféricamente monótono\nequipado con un Hamiltonian Tk-action. Entonces la fibra especial del momento\nmapa es superpesado con respecto a cualquier (no-cero) idempotente a QH2n(M).\nEn particular, es estable y no desplazable.\nMencionemos que, en particular, la fibra especial no está vacía y así\npspec â â € € TM. Por otra parte pspec es un punto interior de • – de lo contrario Φ\n−1(pspec) es\nisotrópico de dimensión < n y, por lo tanto, desplazable (véase, por ejemplo, [9]).\nObservación 1.10. Si dimM = 2dimTk (es decir, nos ocupamos de un\nmúltiple), la fibra especial, dicen L, es un toro lagrangiano. De hecho, este toro\nes monotona: por cada D • η2(M,L) que tenemos\n* = * mL(D),\ndonde mL representa la clase Maslov de L. Esto es una consecuencia inmediata\nde las definiciones.\nObservación 1.11. Tenga en cuenta que cuando M es esféricamente monotona y la acción es\nLos teoremas comprimibles 1.7 y 1.9 coinciden entre sí: en este caso pspec = 0\ny por lo tanto la fibra especial es un tallo estable por Teorema 1.7. Se desconoce\nsi esta propiedad persiste para las fibras especiales de ac-\nciones.\nEjemplo 1.12. Dejar que M sea el monótono simplético explosión de CP 2 en k\npuntos (0 ≤ k ≤ 3) que sean equivariantes con respecto a la norma T2-\nacción y que se realiza lejos del toro de Clifford en CP 2. Desde\nla explosión es equivariante, M viene equipado con una acción Hamiltonian T2-\nampliación de la acción T2 sobre CP 2. El toro Clifford es una fibra del momento\nmapa de la acción T2 sobre CP 2. Que L M sea el toro lagrangiano que es\nla transformación adecuada del toro de Clifford bajo la explosión – es una fibra de\nel mapa del momento de la T2-acción en M. Usando la Proposición 1.8 es fácil\nver que L es la fibra especial de M. De acuerdo con Teorema 1.9, es estable\ny fuertemente no desplazable. De hecho, es un tallo: la desplazabilidad de\ntodas las demás fibras se comprobaron para k = 0 en [10], para k = 1 en [23] y para\nk = 2, 3 in [40].\nNos remitimos a la sección 1.7.2 para seguir examinando los problemas conexos y muy\navances recientes.\nDigresión: Calabi vs. acción-Maslov. El método utilizado para demostrar\nTeorema 1.9 también permite probar el siguiente resultado que implica la mezcla\nacción-Homomorfismo Maslov. Denotar por vol (M) el volumen simplético de\nM. Considere la función μ : Hśam (M) → R definido por\nμ(H) := −vol (M) lim\nc(a, ŁlH)/l.\nEn el caso cuando a es la unidad en un campo que es un resumen directo en el\nla descomposición de la K-álgebra QH2n(M), como álgebra, en un directo\nsuma de subalgebras, μ es un cuasimorfismo homogéneo en H\nCalabi cuasi-morfismo [22],[24],[46]; en el caso general tiene utilería más débil\nerties [23]. Con este lenguaje, la función de • (en funciones normalizadas) es\ninducido (hasta un factor constante) por el retroceso de μ a la Lie álgebra de\nHśam (M).\nDespués de P.Seidel describimos en [22] la restricción de μ (de hecho, para cualquier\nM esféricamente monótono) en el η1(Ham(M))\nhomomorfismo η1(Ham(M)) → QH\n* (M), donde QH\n* (M) denota:\ngrupo de elementos invertibles en el anillo QH*(M). Aquí damos una alternativa\ndescripción de 1(Ham(M)) en términos de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism I que, a su vez, también proporciona cierta información sobre el Seidel\nhomomorfismo.\nTeorema 1.13. Asumir que M es esféricamente monotona y dejar que μ se defina como\narriba para algunos idempotentes distintos de cero a QH*(M). Entonces\n1(Ham(M)) = vol (M) · I.\nNótese que, en particular, 1(Ham(M)) no depende de un utilizado para de-\nBien μ. El teorema también implica que μ desciende a un cuasi-morfismo en\nHam(M) si y sólo si I : η1(Ham(M)) → R desaparece idénticamente (desde μ\ndesciende a un cuasi-morfismo en Ham(M) si y sólo si 1(Ham(M)) 0 –\nVéase, por ejemplo, [22], Prop. 3.4). La prueba del teorema figura en la sección 9.1.\nMencionemos también que, curiosamente, el homomorfismo I\ncoincide con la restricción a η1(Ham(M)) de otro cuasimorfismo\nsobre la Hśam (M) construida por P.Py (véanse [52, 53]).\nDigresión: Acción-Homomorfismo Maslov y Futaki invari-\nhormiga. Esta observación surgió de una observación que nos señaló Chris\nWoodward – le estamos agradecidos por ello. Asume que nuestro simplés\nmultipleM es complejo Kähler (es decir. se induce la estructura simpléctica sobre M\npor el Kähler uno) y Fano (con esto queremos decir aquí que [] = c1). Asumir\ntambién que una acción Hamiltoniana S1 {ft} preserva la métrica de Kähler y el\nestructura compleja. Por ejemplo, si M2n es un colector torico simplético puede\nestar equipados canónicamente con una estructura compleja y una métrica de Kähler invari-\nen el marco de la acción Tn sobre M, por lo tanto, en el marco de la acción de cualquier subgrupo S1-\n{ft} de T\nQue V sea el campo vectorial Hamiltoniano que genera el flujo Hamiltoniano\n{ft}. Puesto que {ft} preserva la estructura compleja, uno puede asociar a V su\nFutaki invariante F (V ) C [29]. Ha sido comprobado por E.Shelukhin [63]\nque, hasta un factor constante universal, este invariante Futaki es igual a la\nvalor del homomorfismo de acción mixta-Maslov en el bucle {ft}:\nF(V) = const · I({ft}).\nTenga en cuenta que si tal M admite una métrica de Kähler-Einstein entonces el Futaki\ninvariante tiene que desaparecer [29] – así si I({ft}) 6= 0 el colector no admite\na métrica de Kähler-Einstein. Por otra parte, si M2n es toric lo contrario también es cierto:\nsi el invariante Futaki desaparece para cualquier V generando un subgrupo del toro\nActuando en M entonces M admite una métrica de Kähler-Einstein – esto sigue de una\nteorema de Wang y Zhu [67], combinado con un resultado previo de Mabuchi\n[38]. En términos del politopo del momento, la desaparición de la invariante Futaki,\ny, en consecuencia, la existencia de una métrica de Kähler-Einstein, en un Fano de Kähler\nmúltiplo tórico significa precisamente que el punto especial del politopo coincide\ncon el baricentro.\n1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos\nQue (M2n, ) sea un colector simplético cerrado esféricamente monótono con [] =\n• c1(TM) en el punto η2(M), • • > 0. Deja que L-M sea un monótono cerrado Lagrangiano\nsubmanifold con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Como de costumbre, ponemos\nNL = + + η2(M,L) = 0. Como antes, trabajamos con el campo básico F que\nes Z2 o C. En el caso F = C, suponemos que L es relativamente vuelta, que\nes L es orientable y la 2a clase Stiefel-Whitney de L es la restricción de\nalguna clase de cohomología integral de M.\nDescargo de responsabilidad: En el caso F = C los resultados de esta sección son condicionales:\nDamos por sentado que la Proposición 8.1 a continuación, que fue probada por Biran\ny Cornea [15] para las homologías con coeficiente Z2, se extiende a las homologías\ncon C-coeficiente. En cada uno de los ejemplos específicos a continuación vamos a explícitamente\nindicar qué F estamos utilizando y cada vez que usamos F = C suponemos que L\nes relativamente girar.\nDenotar por j el morfismo natural j : H•(L;F) → H•(M ;F). Nosotros decimos que\nL cumple la condición de Albers [2] si existe un elemento S • H•(L;F) así\nque j(S) 6= 0 y\ndeg S > dimL+ 1−NL.\nNos referiremos a S como a un elemento de Albers de L.\nEjemplo 1.14. Suponga que [L] H•(L;F) y j([L]) H•(M;F) no es cero.\nEsto significa precisamente que [L] es un elemento de Albers de L.\nUn monótono cerrado Lagrangian submanifold L que satisface esta\n(y cuyo número mínimo de Maslov es mayor que 1) se llamará\nhomológicamente no trivial en M.\nTeorema 1.15. Que L sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold satisfacer-\nEn el estado de Albers. Entonces L es pesado con respecto a [M ]. En particular,\ncualquier submanifold Lagrangiano homológicamente no trivial es pesado con respeto\na [M].\nEjemplo 1.16. Asumir que η2(M,L) = 0. Entonces la clase de homología de un\npunto es un elemento Albers de L, y por lo tanto L es pesado. Tenga en cuenta que en este\nla pesadez del caso no se puede mejorar a la pesadez super: el meridiano en el\nDos torso es pesado pero no superpesado. Aquí tomamos F = Z2.\nEjemplo 1.17 (Esferas lagrangianas en las hipersuperficies de Fermat). Más examen...\n(pero no necesariamente superpesada) monotona Lagrangian sub-\nLos colectores pueden ser construidos de la siguiente manera3.\nDejar que M • CP n+1 sea una hipersuperficie compleja suave de grado d. La\nel retroceso de la estructura simpléctica estándar de CP n+1 convierte M en una\ncolectores simpléticos (de dimensión real 2n). Si d ≥ 2, entonces, como se explica,\npor ejemplo, en [12],M contiene una esfera lagrangiana: M se puede incluir en\nuna familia de hipersuperficies algebraicas de CP n+1 con degeneraciones cuadráticas en\npuntos aislados y el ciclo de desaparición de tal degeneración se pueden realizar\npor una esfera lagrangiana que sigue [5], [21], [60], [61], [62].\nDejemos que M • CP n+1 sea una hipersuperficie proyectiva de grado d, 2 ≤ d < n+ 2.\nEl número mínimo de Chern de M es igual a N := n+2− d > 0. Let Ln â € M2n\nser un simple submanifold Lagrangian conectado (por ejemplo, un Lagrangian\nesfera).\nEn primer lugar, considerar el caso cuando n es par, L es relativamente vuelta y el Euler\nlas características de L no desaparecen (este es el caso de una esfera). Entonces el\n3Agradecemos a P.Biran su ayuda indispensable con estos ejemplos.\nclase de homología j([L]) Hn(M;Z) no es cero: su número de auto-intersección\nen M hasta el signo es igual a la característica de Euler. Así [L] es un Albers\nelemento. (Aquí usamos F = C). En vista de Teorema 1.15, L es pesado con\ncon respecto a [M].\nSegundo, supongamos que n es de paridad arbitraria pero n > 2d − 3, y no\nya se asume la restricción de las características de Euler de L. Esto da resultados\nNL = 2N > n+ 1 y por lo tanto L satisface la condición de Albers con la clase de\nun punto P como elemento de Albers. Así L es pesado con respecto a [M ] – aquí\nUtilizamos F = Z2.\nFinalmente, fijar n ≥ 3 y un número par d tal que 4 ≤ d < n+2. Considerar\na Fermat hipersuperficie de grado d\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\nn+1.\nSu parte real L := M • RP n+1 se encuentra en el gráfico afín z0 6= 0 y está dada por\nla ecuación\nxd1 +.. + x\nn+1 = 1,\ndonde xj := Re(zj/z0). Dado que d es par, L es una esfera n-dimensional. As\nse explicó anteriormente, L es pesado con respecto a [M ] si n es uniforme\n(y F = C) o n > 2d − 3 (y F = Z2). Sin embargo, en cualquiera de los dos casos L no es\nsuperpesados con respecto a [M]. De hecho, vamos a hacer que Zd sea el grupo de complejos\nraíces de la unidad. Dado un vector α = (α1,. ..................................................................................................\nn+1, denotar por fα la\nsimplectomorfismo de M dado por\nfα(z0 : z1 :. .. : zn+1) = (z0 : α1z1 :. .. : αn+1zn+1). 7)..................................................................................................................................................\nSi todos los αj â ¬ C\\R, entonces αjx /â € R siempre que x â € Râ € €, y por lo tanto fα(L)â € L = â €.\nPor lo tanto, L es muy desplazable y la reclamación se deriva de la parte iii)\nde Teorema 1.2.\nEl siguiente resultado da una condición suficiente de superpeso fácil de usar.\nTeorema 1.18. Suponga que L es homológicamente no trivial en M y asuma\na QH2n(M) es un idempotente divisible distinto de cero por j([L]) en QH•(M), que\nes un j([L])*QH•(M). Entonces L es superpesada con respecto a a.\nLa no trivialidad homológica de L en la hipótesis del teorema significa\nsólo que [L] es un elemento Albers de L (véase el ejemplo 1.14). De hecho, la\nteorema se puede generalizar a los casos cuando L tiene otros elementos Albers -\nVéase la Observación 8.3 ii).\nEjemplo 1.19 (Esferas lagrangianas en cuadriciclos). Aquí trabajamos con F = C.\nQue M sea la parte real del Fermat cuadrático M = z20 +\nj=1 z\nj = 0}.\nSupongamos que n es par y L es un simple submanifold Lagrangian conectado\ncon una característica Euler no discontinua (por ejemplo: a Esfera lagrangiana). Bajo\nEsta suposición, [L] H•(L) y j([L]) 6= 0, ya que L tiene autodesvanecimiento\nintersección. Denotar por p • H*(M ;F) la clase de un punto. El cuántico\nEl anillo de homología de M fue descrito por Beauville en [8]. En particular, p * p =\nw−2[M], donde w = snqn. Por lo tanto\na± :=\n[M]± pw\nson idempotentes. Uno puede mostrar que j([L]) divide a− y por lo tanto L es a−-\nsuperpesado. Puesto que a- es invariante bajo la acción de Symp(M), el\nL es fuertemente no desplazable.\nPara simplificar, presentamos el cálculo en el caso n = 2 – el general\nEl caso es absolutamente análogo. El cuadrical de 2 dimensiones es simplectomórfico\na (S2 × S2, â € € ¬). Denotar por A y B las clases de [S2] × [punto] y\n[punto] × [S2], respectivamente. Puesto que la forma simpléctica desaparece en j([L]) nosotros\nobtener que j([L]) = l(B − A) con l 6= 0. Se sabe que A * B = p y\nB*B = w−1[M ]. Por lo tanto j([L]) ∗ 1\nwB = a−, es decir j([L]) divide a−.\nEn particular, el antidiagonal lagrangiano\nS2 × S2 : x = −y},\nque es difeomórfico a la 2-esfera, es superpesado con respecto a a-. Lo es.\nno se sabe si es superpesada con respecto a a+. Información adicional\nen superpesados submanifolds Lagrangian en los cuadriculos se puede extraer\na partir de [15].\nEjemplo 1.20 (Un toro Lagrangiano no pesado en S2 × S2). Con-\nsider el cuadro M = S2 × S2 del ejemplo anterior. Pensaremos en\nS2 a partir de la esfera de unidad en R3 cuya forma simpléctica es la forma de área dividida\npor 4η. Vamos a trabajar de nuevo con F = C. Curiosamente, tal M\ncontiene un toro Lagrangiano monotona que no es pesado con respecto a a−.\nEs decir, considere un submanifold K dado por ecuaciones4\nK = (x, y) S2 × S2 : x1y1 + x2y2 + x3y3 = −\n, x3 + y3 = 0}.\n4Agradecemos a Frol Zapolsky su ayuda con los cálculos en este ejemplo.\nUno comprueba fácilmente que K es un toro monótono Lagrangiano con NK = 2\nque representa un elemento cero en H2(M ;F) (ambos con F = C y F = Z2).\nAsí H•(K;F) no contiene ningún elemento de Albers. Además, K es\ndisjunto del antidiagonal lagrangiano y por lo tanto no es pesado con\na) ya que, como se ha demostrado anteriormente, • es superpesada con respecto a\na−. En particular, K es un toro monótono exótico: no es simplectomórfico\nal toro de Clifford que es un tallo y por lo tanto un--superpesado. Otro\nestudio de los toros exóticos en productos de esferas se está llevando a cabo actualmente por\nY.Chekanov y F.Schlenk.\nEs un problema interesante para entender si K es superpesada con\nrespecto a a+, o al menos no desplazable. Identificar M \\ {la diagonal} con\nel paquete de co-bola de la unidad de la 2-esfera. Después de tal identificación, corre...\nsponds a la sección cero, mientras que K corresponde a un Lagrangiano monotone\nTorus, di K ′. Curiosamente, la homología Lagrangia Floer de K ′\nen T ∗S2 (con F = Z2) no desaparece como lo demostraron Albers y Frauen-\nfelder en [3], y por lo tanto K no es desplazable en M \\ {la diagonal}. Por lo tanto\nla cuestión de la (no)-desplazabilidad de K está relacionada con la comprensión de la\nefecto de la compactación del conjunto de co-bolas de la unidad a S2 × S2.\nLas pruebas de los teoremas anteriores se basan en estimaciones espectrales debido a\nAlbers [2] y Biran-Cornea [15]. Además, los resultados anteriores admiten\nvarias generalizaciones en el marco de la teoría de Biran-Cornea de la cuántica\ninvariantes para los submanifolds monotónicos lagrangianos, véase [15] y la discusión\nen la sección 8 infra.\n1.6 Efecto de la semisimplicidad\nRecuerde que un álgebra conmutativa (finito-dimensional) Q sobre un campo A es\nllamado semi-simple si se divide en una suma directa de campos como sigue: Q =\nQ1 â € TM..â € Qd, donde\n• cada Qi Q es un subespacio lineal de dimensión finita sobre A;\n• cada Qi es un campo con respecto a la estructura de anillo inducida;\n• la multiplicación en Q respeta la división:\n(a1,. .., ad) · (b1,......................................................... .., bd) = (a1b1,. ., adbd).\nUn teorema clásico de Wedderburn (véase, por ejemplo, [66], §96) implica que la\nsimplicidad es equivalente a la ausencia de nilpotents en el álgebra.\nObservación 1.21. Asumir que el K-álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra,\nen una suma directa de dos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y dejar e\nser la unidad en ese campo. En particular, este es el caso cuando QH2n(M,\nQ1â €...â € Qd es semi-simple y e es la unidad en uno de los campos Qi. Un poco.\ngeneralización del argumento en [23, 46] (véase [24], la observación en pp. 56 a 57)\nmuestra que el cuasi-estado parcial asociado a e es R-homógeno\n(y no sólo R+-homógeno como en el caso general).\nEsto inmediatamente produce que cada conjunto que es pesado con respecto a e es\nautomáticamente superpesados con respecto a e.\nDe hecho, en esta situación es un verdadero cuasi-estado simplético en el sentido de\n[23] y, en particular, un cuasiestado topológico en el sentido de Aarnes [1] (véase\n[23] para más detalles). En [1] Aarnes demostró ser un análogo de la representación Riesz\nteorema para cuasiestados topológicos que generalizan la correspondencia\nentre los estados genuinos (es decir, las funciones lineales positivas en C(M)) y\nmedidas. El objeto que corresponde a un cuasi-estado se llama un cuasi-\nmedida (o una medida topológica). Con este lenguaje en su lugar, los conjuntos que\nson (super)pesados con respecto a no son nada más que los conjuntos cerrados de la\nCuasi-medida completa . Cualquiera de estos dos conjuntos tiene que intersecar para el siguiente\nrazón básica: cualquier cuasi-medida es finitamente aditivo en subconjuntos cerrados disjuntos\ny, por tanto, si dos subconjuntos cerrados de M de la cuasimedida completa no\nintersecta, la cuasi-medida de su unión debe ser mayor que el total\ncasi-medida de M, lo cual es imposible.\nEjemplo 1.22. En este ejemplo volvemos a asumir que F = Z2. Dejar M =\nEl CP n estará equipado con la estructura simpléctica Fubini-Study, normalizada.\nde modo que la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M) sea la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M)\navión. Uno verifica fácilmente el siguiente isomorfismo K-álgebra\nQH2n(M) ≤ K[X ]/+X\nn+1 − u−1®,\ndonde\nK = Z2[[u] = {zku\nk + zk−1u\nk−1 +. .............................................\nes el campo de la serie tipo Laurent en u := sn+1 con coeficientes en Z2 y\nX = qA. Puesto que ninguna raíz de grado 2 o más de u−1 está contenida en K, la\nel polinomio P es irreductible sobre K para cualquier n (véase, por ejemplo, [34], Teorema 9.1) y\npor lo tanto QH2n(M) es un campo. De ahí las colecciones de pesados y superpesados\nlos conjuntos con respecto a la clase fundamental coinciden.\nAlegamos que L := RP n + CP n es superpesada. El caso n = 1 cor-\nresponde al ecuador de la esfera, que se sabe que es un tallo estable.\nPara n ≥ 2, tenga en cuenta que NL = n + 1 y S = [RP]\n2] es un elemento de Albers de L.\nPor lo tanto, L es [M]-pesada por Teorema 1.15, y por lo tanto superpesada.\nEl siguiente resultado sigue directamente de Teorema 1.3 iii) y Observación 1.21:\nTeorema 1.23. Supongamos que QH2n(M) es semi-simple y se divide en un\nsuma directa de los campos d cuyas unidades serán denotadas por e1,. ., ed. Asumir que\nun subconjunto cerrado X â € M es pesado con respecto a un idempotente no cero a – como\nuno puede ver fácilmente, tal idempotente tiene que ser de la forma a = ej1+...+ejl\npara unos 1 ≤ j1 <. .. < jl ≤ d. Entonces X es superpesada con respecto a algunos\neji, 1 ≤ i ≤ l.\nEl teorema produce la siguiente caracterización geométrica de no-semi-\nsimplicidad de QH2n(M). Es decir, definir el grupo Torelli simplés como el\ngrupo de todos los simplectomorfismos de M que inducen el mapa de identidad en\nH•(M;F). Por ejemplo, este grupo contiene Symp0(M). Tenga en cuenta que cualquier ele-\ndel simplés grupo Torelli actúa trivialmente sobre la homología cuántica\nde M y, por lo tanto, los mapas conjuntos (super)pesados con respecto a un idempotente a a\nsets (super)pesados con respecto a a.\nAhora Teorema 1.23 implica fácilmente lo siguiente\nCorolario 1.24. Supóngase que (M,) contiene un subconjunto cerrado X que es\npesado con respecto a un idempotente no cero y desplazable por un simplec-\ntomorfismo del simplético grupo Torelli. Entonces QH2n(M) no es semi-\nSimple.\nLos ejemplos más simples son proporcionados por conjuntos de la forma Xa meridian}\nen M × T2 con una X pesada.\nOtro resultado en la misma vena es el siguiente5. Dado un conjunto Y de positivo\nenteros, poner βY (M) =\ni-Y βi(M), donde βi(M) significa el i-th Betti\nnúmero de M sobre F.\n5En el caso F = C, el teorema 1.25 es condicional, ver la descargo de responsabilidad en el anterior\nsección.\nTeorema 1.25. Asumir que cualquiera de los siguientes (sin excluirse mutuamente)\nlas condiciones son las siguientes:\na) M contiene m > βY (M) + 1 monotono cerrado disjunto por pares La-\nSubmanifolds grangianos cuyos números mínimos de Maslov son mayores que n+1\ny pertenecen a un conjunto Y de enteros positivos.\n(b) M contiene un par de par desjuntos homológicamente no trivial Lagrangian sub-\nsus clases fundamentales, consideradas como elementos (no nulos) de\nH•(M ;F), son linealmente dependientes sobre F.\n(En el caso F = C asumir que todos los submanifolds Lagrangian arriba son\ntambién girar relativamente.)\nEntonces QH2n(M) no es semi-simple.\nLa prueba se presenta en la sección 8.\nEjemplo 1.26. Por ejemplo, si todos los submanifolds Lagrangian de parte\n(a) del teorema están simplemente conectados, sus números mínimos de Maslov son\nigual a 2N, de modo que el conjunto Y consta de un elemento: Y = {2N}. Por lo tanto\nsi 2N > n + 1 y QH2n(M) es semisimple, M no puede contener más de\nβ2N(M)+ 1 par-desjunto simplemente-conectados Lagrangians (proporcionó todo de\nson relativamente girar si trabajamos con F = C).\nEjemplo 1.27. Set F = C. Fix n ≥ 11 y un número par d de tal manera que\n6 ≤ d < (n + 3)/2. Considerar una hipersuperficie de Fermat de grado d\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\nComo ya vimos en el ejemplo 1.17, el colector L := M • RP n+1 es un\nEsfera n-dimensional lagrangiana. Considere las imágenes fα(L), donde sim-\nlos plectomorfismos fα se definen por (7). Tenga en cuenta que, siempre y cuando αj/βj 6= ±1\nPara todas las j, las esferas lagrangianas fα(L) y fβ(L) son discontinuos. Usando esto\nobservación, es fácil encontrar d/2 esferas Lagrangian disjuntas en M.\nEl número mínimo de Chern N deM es igual a n+2-d, y así 2N se encuentra en la\nintervalo [n+2, 2n−4]. En este caso β2N(M) = 1 (véase, por ejemplo, [31]). Desde d/2 > 2,\nConcluimos del ejemplo anterior que QH2n(M) no es semi-simple.\nEsta conclusión concuerda con el cálculo de QH*(M) por Beauville [8].\n6Vea el ejemplo 1.14 para la definición. Como en ese ejemplo volvemos a asumir que todos nuestros\nLos submanifolds lagrangianos están cerrados, monotonas y tienen un número mínimo de Maslov mayor\nque 1.\nSería interesante encontrar ejemplos de colectores simpléticos donde el\nhomología cuántica no se conoce a priori y donde los teoremas anteriores son\naplicable. Mencionemos que las diferentes obstrucciones a la semi-simplicidad\nde QH•(M) procedentes de submanifolds lagrangianos fueron encontrados recientemente por\nBiran y Cornea [14].\n1.7 Debate y preguntas abiertas\n1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer?\nClaramente, la deslocalización implica una deslocalización estable. Lo contrario no es\ntrue, como muestra el siguiente ejemplo:\nEjemplo 1.28. Considerar el complejo espacio proyectivo CP n equipado con\nla forma simpléctica Fubini-Study (en nuestra normalización el área de una línea\nes igual a 1). Identificar la CP n con el corte simplético de la bola euclidiana B(1)\nCn (que es el límite de B(1) se colapsa a CP n−1 a lo largo de las fibras de\nla fibración Hopf, véase [36], donde B(r) := z2 ≤ r}. Entonces B(r) â € ¢ CP n\ni) Desplazables para r < 1/2;\nii) muy no desplazable, pero establemente desplazable, para r • [1/2, n/n+1];\niii) fuerte y estable no desplazable para r ≥ n/n+ 1.\nEs instructivo analizar las técnicas involucradas en las pruebas:\nel resultado de no desplazabilidad ii) es una consecuencia inmediata de Gromov\nteorema de embalaje por dos bolas, que se prueba a través de la variante J-holomorphic\ndel teorema que afirma que existe una línea J-holomorphic en CP n\npasando por cualquier dos puntos. En el caso iii) la bola B(r) contiene la\nClifford Torus, que es establemente no desplazable. Esto es lo que se desprende de la\nel hecho de que el toro de Clifford es un tallo (véase [10]), o de la no desaparición de su\nHomología Lagrangian Floer [16].\nLa deslocalización de B(r) en i) se deriva de la construcción explícita\ndel embalaje de las dos bolas (véase [33]). La dislocabilidad estable en (ii) es un\nconsecuencia directa del teorema 1.7 anterior: En efecto, considerar la norma Tn-\nacción sobre el CP n. El politopo del momento normalizado............................................................................................................................................\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nI ≤ 1 } en\nRn, donde (1,. .., ln) denotan las coordenadas en R\nn, y w = − 1\n(1,.., 1).\nNótese que la bola B(r) es igual a 1(r) donde r := r stand + w. Nota\nque no contiene el origen exactamente cuando r ≤\nque da lugar a la\nDesplazabilidad estable en el inciso ii) supra.\nUna característica misteriosa del Ejemplo 1.28 es la siguiente. Por un lado, nosotros\ncreen en el siguiente principio empírico general: cada vez que se puede establecer\nla no-desplazabilidad de un subconjunto por medio de la teoría de la homología Floer,\nse obtiene de forma gratuita la estabilidad de no-desplazabilidad. Por otro lado, nosotros...\n, siguiendo una explicación filosófica proporcionada por Biran, que Gromov\nEl teorema de empaquetado de dos bolas puede extraerse de algunas “operaciones” en\nHomología Floer. Ejemplo 1.28 muestra que al menos una de estas creencias es\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Sería interesante aclarar esta cuestión.\n1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson\nSe demostró en [23] que para cualquier Poisson-commutativo de dimensión finita\nal menos una de las fibras de su mapa de momento Φ tiene que\nser no-desplazable.\nPregunta. ¿Es cierto que al menos una fibra de Φ tiene que ser pesada (con respeto\na algún idempotente que no sea cero un QH*(M)?\nEs fácil construir un ejemplo de A cuyo mapa de momento Φ no tiene\nfibras superpesadas: tomar T2 con las coordenadas p, q mod 1 en él y tomar A\nser el conjunto de todas las funciones lisas dependiendo solamente de p – el correspondiente\nΦ define la fibración de T2 por meridianos, ninguno de los cuales es superpesado.\nEsta es otra pregunta que se refiere a las fibras del hombre torico simplés.\nifolds, es decir. fibras de un mapa de momento Φ de una eficaz acción Hamiltoniana Tn\nel (M2n, فارسى). Suponga que M es (esféricamente) monotona. Teorema 1.9 muestra que\nen tal caso la fibra especial de M es superpesada, por lo tanto estable y fuerte\nno desplazable. En todos los ejemplos donde se ha comprobado este turno\npara ser la única fibra no desplazable de M.\nPregunta. Es la fibra especial para un monótono tórico simplético M siempre\n¿Un tallo? En particular, es la única fibra no desplazable del momento\nEn el caso del monótono la fibra especial es claramente la única fibra pesada de\nel mapa del momento, porque es superpesada y cualquier otra fibra pesada\nhan tenido que intersecarlo. Por otro lado, si consideramos un Hamiltonian Tk-\nacción sobre M2n con k < n puede haber más de una fibra no desplazable\ndel mapa del momento – por ejemplo, debido a obstrucciones puramente topológicas:\nla más simple acción Hamiltoniana T1-en CP 2 proporciona tal ejemplo. In\nel caso de los colectores tóricos simpléticos monotónicos de dimensión superior a 4\nLa pregunta anterior está absolutamente abierta.\nDespués de la aparición del primer borrador de este documento, un progreso notable en este\nla dirección se ha logrado en las obras de Cho [17] y Fukaya, Oh, Ohta\ny Ono [28]: En particular, resulta que un simplés no monótono\ncolector torico puede tener más de una fibra no desplazable – esto sucede\nya para ciertas explosiones equivariantes de CP 2.\nOrganización del documento:\nEn la sección 2 probamos el teorema 1.7 que, en particular, declara que el\nfibra especial de un toro comprimible acción es un tallo estable.\nEn la Sección 3 se resumen varios preliminares de la teoría de Floer, incluyendo\npropiedades básicas de invariantes espectrales y cuasiestados simpléticos parciales. In\nadicional deletreamos una propiedad útil del índice de Conley-Zehnder: es un\ncasi-morfismo en la cobertura universal del grupo simplés (ver Propo-\nSituación 3.5). Para la integridad extraemos una prueba de esta propiedad de [54];\nAlternativamente, se pueden utilizar los resultados de [19].\nEn la sección 4 demostramos las partes i) y iii) del Teorema 1.2 y el Teorema 1.3\nsobre las propiedades básicas de los conjuntos (super)pesados.\nEn la sección 5 probamos Teorema 1.5 en productos de (super) sets pesados. Nuestro\nenfoque se basa en una fórmula de producto bastante general para invariantes espectrales\n(Teorema 5.1), que se demuestra por un argumento algebraico bastante largo.\nEn la sección 6 demostramos el teorema 1.2 ii) sobre la no-desplazabilidad estable de\nsubconjuntos pesados. El argumento implica una “versión de bebé” de los hombres arriba mencionados.\nla fórmula del producto tionado.\nEn la Sección 7 demostramos sobrepeso de tallos estables.\nEn la Sección 8 reunimos las pruebas de varios resultados relacionados con\n(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monotona satisfaciendo los Albers\ncondición, incluidos los teoremas 1.15, 1.18, 1.25 y la Proposición 1.4.\nEn la Sección 9 probamos Teorema 1.9 sobre la superpeso de las fibras especiales de\nAcciones de toros Hamiltonianos sobre colectores simpléticos monotónicos. La prueba es\nbastante involucrado. De hecho, dos trucos nos permitieron acortar nuestro\nEn primer lugar, utilizamos la transformación de Fourier en el espacio de rápida decadencia\nfunciones sobre la Lie coargebra del toro para reducir el problema\nal caso de las acciones del círculo Hamiltoniano. En segundo lugar, utilizamos sistemáticamente el\ncasi-morfismo propiedad del índice de Conley-Zehnder para el calcu asintótico-\nLaciones con invariantes espectrales Hamiltonianos. Finalmente, en la Sección 9.1 probamos\nTeorema 1.13.\nEn la figura 1 se resume la jerarquía de las propiedades no desplazables\nmaldecidos arriba.\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nMHierarchy de las propiedades de no-desplazabilidad de un subconjunto cerrado de \nPesado\naidempotente \nSuperpesado\nidempotente a\ncon un no-cero con un no-cero\n3) 4) 5) (6)\nacción sobre una esféricamente\nacción de los toros sobre un (no\nun hamiltoniano comprimible\nnecesariamente monotona)\nFibra especial de\nmonotona M\nSiempre es verdad.\nVerdadero bajo ciertas condiciones (ver abajo)\n♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Pregunta (bajo ciertas condiciones − ver más abajo)\nMonotona\nLagrangian\nsubmanifold L\n(14) (15)\n(17) (18)\n21) (22)\n(16 b)\nProducto de la codimensión-1\nesqueletos de multa\ntriangulaciones\nFuertemente.\nno desplazables\nun toro hamiltoniano\nNo desplazables\nuna isotopía simpléctica\nNo desplazable por\nwrt [M]\nPesado\n(16a)\nSuperpesado\nwrt [M]\nTallo estable\nEstable\nno desplazables\nCero fibra de\nFigura 1: Jerarquía de las propiedades no desplazables\n(1),(2),(6),(19) - Trivial.\n(3) Verdadero si a es invariante bajo la acción de todo el grupo Symp (M) –\nTeorema 1.2, parte iii).\n4), 9) Teorema 1.2, parte iii).\n(5) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – ver corolario 1.24.\n(7a) Verdadero si el álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra, en una suma directa de\ndos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y a es el elemento de unidad en\nese campo – véase la Observación 1.21.\n(7b), (16b) Teorema 1.2, parte i).\n8) Teorema 1.2, parte ii).\n(10) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L).\n(11) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – vea el corolario 1.24.\n(12) Teorema 1.3, parte i).\n13) Teorema 1.3, parte ii).\n(14) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L) con a = [M ] – es decir: j(L)\nes invertible en QH•(M).\n(15) L cumple la condición de Albers – ver Teorema 1.15.\n(16a) Verdadero si QH2n(M) es un campo – ver Observación 1.21.\n(17) Teorema 1.6.\n(18) Teorema 1.9.\n(20) Teorema 1.7.\n(21) ¿Es siempre un tallo la fibra especial para un átrico simplético monótono M?\nVéase la sección 1.7.2.\n(22) Verdadero si M es esféricamente monotona y la acción del toro es comprimible\n– Véase la Observación 1.11.\n(23) Véase [23].\n2 Detectar la desplazabilidad estable\nPara detectar la desplazabilidad estable de un subconjunto de un colector simplético nosotros\nusará el siguiente resultado (cf. [48, cap. 6]).\nTeorema 2.1. Que X sea un subconjunto cerrado de un colector simplético cerrado\n(M.A.). Supongamos que existe un bucle contráctil de diffeo hamiltoniano.\nmorfismos de (M.o) generados por un hamiltoniano regularizado del tiempo-periódico\nHt(x) de manera que Ht(x) 6= 0 para todos los t â € [0, 1] y x â € X. Entonces X es estable.\nDesplazable.\nPrueba. Denotar por ht el bucle Hamiltoniano generado por H. Let h\nno es su\nhomotopía al bucle constante: h\nt = ht y h\nt = 1. Escribir H\ns)x, t) para\nlos correspondientes Hamiltonianos normalizados. Consideremos la familia de los dif-\nmorfismos de M × T\n∗S1 dada por\n(x, r, ) = (h)\nx, r −H\ns)h\n* x, *), *)......................................................................................................................................................\nUno comprueba fácilmente que el \"s\", s [0, 1], es una isotopía Hamiltoniana (no com-\nen el marco de un pacto de apoyo). Alegamos que el 1 desplaza Y := X × {r = 0}. De hecho,\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nsuposición del teorema. Esto completa la prueba.\nPrueba de Teorema 1.7: Elija un funcional lineal F : Rk → R con\ncoeficientes racionales que es estrictamente positivo en Y. Entonces para un poco de suffi...\nel número entero positivo N el Hamiltoniano H:= NF genera un\nacción contráctil círculo Hamiltoniano en M y H es estrictamente positivo en\nX := 1(Y ). Por lo tanto, X es establemente desplazable en vista de la teo-\n3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer\n3.1 Valoración de QH*(M)\nDefinir una función ν : K →\n(+) = máx{ + + + z + 6 = 0}. = máx{ + z + 6 = 0 = 0 }.\nLa convención es la siguiente: En términos algebraicos, exp / es un non-\nValor absoluto arquimedeano en K.\nLa función / admite una extensión natural a la letra a) y, a continuación, a la letra a) del apartado M) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) del apartado 1 de la letra b) del apartado 1 de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra\nabusar de la notación que vamos a denotar todos ellos por. Es decir, cualquier elemento\npuede ser representado de forma única como........................................................................................................................................................................................................................................................... \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nA donde pertenece cada uno de ellos.\na F [q, q−1], y cualquier no-cero a QH*(M) puede ser representado como\ni Łibi, 0 6= Łi, 0 6= bi H*(M;F). Definir\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n6 = 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n/(a) := máx.\nEl Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.\n3.2 Teoría de Hamilton Floer\nRecordamos brevemente la notación y las convenciones para el establecimiento de la Hamilto-\nNian Floer teoría que se utilizará en las pruebas.\nQue L sea el espacio de todos los bucles contractibles suaves γ : S1 = R/Z → M.\nVamos a ver tal γ como un mapa 1-periódico γ : R → M. Dejar D2 ser el\nunidad de disco estándar en R2. Considerar una cubierta de L de L cuyos elementos son\nclases de equivalencia de pares (γ, u), donde γ L, u : D2 → M, uD2 = γ (i.e.\nu(e2π)\n−1t) = γ(t)), es un disco (por pieza liso) que abarca γ en M y el\nla relación de equivalencia se define de la siguiente manera: (γ1, u1) (γ2, u2) si y sólo si γ1 =\nγ2 y la 2-esfera u1#(−u2) desaparece en H\n2 (M). La clase de equivalencia de\nun par (γ, u) será denotado por [γ, u]. El grupo de transformaciones de cubierta de\nla cubierta L → L puede identificarse naturalmente con HS2 (M). Un elemento\nA HS2 (M) actúa por la transformación\nA([γ, u]) = [γ, u#(−A)]. (8)\nLet F :M× [0, 1] → R ser una función Hamiltoniana (que es temporal-periódico\ncomo siempre asumimos). Set Ft := F (·, t). Denotaremos por pies el Hamiltoniano\nflujo generado por F, es decir, el flujo del Hamiltoniano dependiente del tiempo\ncampo vector Xt definido por la fórmula\n•(·, Xt) = dFt(·) •t.\n(¡Tenga en cuenta nuestra convención de la firma!)\nQue el PF sea el conjunto de todas las órbitas contráctiles 1-periódicas del Hamilto-\nflujo nian generado por F, es decir, el conjunto de todos los γ • L tales que γ(t) = ft(γ(0)).\nDenote por la F.P. el ascensor completo de PF a L.P.\nDenotar por Fix (F ) el conjunto de los puntos fijos de f que son puntos finales de\nórbitas periódicas contráctiles del flujo:\nFix (F ) := {x M PF, x = γ(0)}.\nDecimos que F es regular si para cualquier x - Fix (F) el mapa dxf : TxM → TxM\nno tiene valor propio 1.\nRecordemos que la acción funcional se define en Lс por la fórmula:\nAF ([γ, u]) =\nF (γ(t), t)dt−\nTenga en cuenta que\nAF (Ay) = AF (y) + A(A) (9)\npara todos los y â € € € € TM y A â € HS2 (M).\nPara un regular Hamiltonian F definir un espacio vectorial C(F) sobre F como el\nconjunto de todas las sumas formales\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nmodulo las relaciones\nAy = s(A)q−c1(A)y,\npara todos y â € € TM, A â € TM H\n2 (M). La clasificación en........................................................................................................................................\nEl índice de Zehnder sobre los elementos de la PF (véase la sección 3.3) define un grado Z en\nC(F). Denotaremos el componente de grado i-th por Ci(F ).\nDado un bucle {Jt},\n1, de las estructuras casi complejas compatibles con los requisitos de la letra a),\ndefinir una métrica Riemanniana en L por\n(+1, +2) =\n(l) (t), (t) (t) (t) (t) (t), (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)\nen la que se citan los puntos 1, 2 y 3 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo y se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. Elevar esta métrica a Lś y considerar el gradiente negativo\nflujo de la acción funcional AF. Para una elección genérica del Hamiltoniano\nF y el bucle {Jt} (como un par (F, J) se llama regular) el con-\nlated gradiente trayectorias que conectan puntos críticos de AF da lugar en el\nmétodo estándar [26], [32], [58] a un diferencial de tipo Morse\nd : C(F ) → C(F ), d2 = 0. (10)\nEl diferencial d es lineal y tiene el grado graduado −1. Estrictamente de-\nRedobla la acción. La homología, definida por d, se llama la homología Floer\ny será denotado por HF* (F, J). Es un modulo. Diferentes opciones de una\npar regular (F, J) conducen a isomorfismos naturales entre la homología de Floer\ngrupos.\nLa siguiente propuesta resume algunas propiedades algebraicas básicas de\nComplejos Floer y homología Floer que serán importantes para nosotros más adelante.\nLa prueba es directa y la omitimos.\nProposición 3.1.\n1) Cada Ci(F) y cada HFi(F, J), i + Z, es un vector finito-dimensional\nespacio sobre K.\n2) Multiplicación por q define los isomorfismos Ci(F) → Ci+2(F) y\nHFi(F, J) → HFi+2(F, J) de espacios K-vector.\n3) Para cada i â € Z existe una base de Ci(F) sobre K que consiste en la\nlos elementos de la forma ql[γ, u], con [γ, u] \n4) Una colección finita de los elementos de la forma ql[γ, u], [γ, u]\nEn C0(F ) C1(F ) es una base del espacio vectorial C0(F ) C1(F ) sobre el campo\nK si y sólo si se trata de una base del módulo C(F) sobre el anillo.\n3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov\nEn esta sección esbozamos brevemente la definición y recordamos la\nlos vínculos del índice de Conley-Zehnder que se refieren a [54, 58, 57] para más detalles. En par-\nticular, mostramos que el índice de Conley-Zehnder es un cuasi-morfismo en el\ncubierta universal S‡p (2k) del grupo simplés Sp(2k) (véase la Proposición 3.5)\nabajo), un hecho que será útil para los cálculos asintóticos con Floer\nhomología en las siguientes secciones. Hay varias rutas que conducen a este hecho,\nque es bastante natural, ya que todos los cuasimorfismos homogéneos en Sœp (2k) son\nproporcional, y por lo tanto el mismo cuasi-morfismo admite bastante diferente\ndefiniciones [7]. Extraemos la propiedad cuasi-morfismo del papel de\nRobbin y Salamon [54] al reunir varias declaraciones contenidas\nEn ella7.\nEl índice Conley-Zehnder asigna un número a cada uno [γ, u]. Orig...\ninally el índice Conley-Zehnder fue definido sólo para los Hamiltonianos regulares\n[18] – en este caso es valorado en número entero y da lugar a una clasificación de la ho-\ngrupos de teología en la teoría de Floer. Más tarde, la definición se amplió en diferentes\nformas de diferentes autores a los hamiltonianos arbitrarios. Usaremos un ex-\ntensión introducida en [54] (véase también [57, 58]). En este caso, el Conley-Zehnder\níndice puede tomar también los valores de medio entero.\nQue k sea un número natural. Considere el espacio vectorial simplés R2k\ncon una forma simpléctica de 2k en él. Denota por p = (p1,. .., pk), q = (q1,. .., qk)\nlas coordenadas correspondientes de Darboux en el espacio vectorial R2k.\n7Agradecemos a V.L. Ginzburg para estimular discusiones sobre el material de esta sección.\nÍndice de Robbin-Salamon de rutas lagrangianas: Let V R2k ser un\nSubespacio lagrangiano. Considere el Lagr (k) de Grassmann de todos los lagrangianos\nsubespacios en R2k y considerar la hipersuperficie Lagr (k) formado por todos\nlos subespacios lagrangianos que no son transversales a V. A tal V y\na cualquier trayectoria lisa {Lt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Lagr (k) Robbin y Salamón [54]\nasociar un índice, que puede tomar valores enteros o medios enteros y que\ndenotaremos por RS({Lt}, V ). La definición del índice puede ser esbozada\ndel siguiente modo.\nUn número t [0, 1] se llama un cruce si el Tte. A cada cruce t uno\nasocia una determinada forma cuadrática Qt en el espacio L(t) V – véase [54] para\nla definición precisa. El cruce t se llama regular si la forma cuadrática\nQt no es degenerado. El índice de tal cruce regular t se define como el\nfirma de Qt si 0 < t < 1 y como la mitad de la firma de Qt si t = 0, 1.\nUno puede demostrar que los cruces regulares están aislados. Para una ruta {Lt} con sólo\ncruces regulares el índice RS({Lt}, V ) se define como la suma de los índices\nde sus cruces. Una ruta arbitraria puede ser perturbada, manteniendo los puntos finales\nfija, en un camino con sólo cruces regulares y el índice de la perturbada\ncamino no depende de la perturbación – de hecho, depende sólo de la\nendpoints fijos clase homotopy de la ruta. Además, es aditivo con\nrespeto a la concatenación de caminos y satisface la propiedad de la naturalidad:\nRS({ALt}, AV ) = RS({Lt}, V ) para cualquier matriz simpléctica A.\nÍndices de caminos en Sp (2k): Considere el grupo Sp (2k) de simplés\n2k × 2k-Matrices. Denotar por Sûp (2k) su cubierta universal. Uno puede usar el\níndice RS con el fin de definir dos índices sobre el espacio de rutas lisas en\nSp (2k).\nEl primer índice, denotado por Ind2k, se define como sigue. Arreglar un lagrangiano\nsubespacio V+R2k. Para cada trayectoria lisa {A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir\nInd2k ({a}, V ) como\nInd2k ({En}, V ) := RS({EnV}, V ).\nLa naturalidad del índice RS implica que\nRS({BAtB\n−1(BV )}, BV ) = RS({BAtV )}, BV ) =\n= RS({AtV )}, V ) para cualquier B • Sp (2k)\ny así obtenemos la siguiente condición de naturalidad para Ind2k:\nInd2k ({BAtB)\n−1}, BV ) = Ind2k ({A}, V ) para cualquier B • Sp (2k). (11)\nEl segundo índice, que llamaremos el índice Conley-Zehnder de una matriz\nruta y que será denotado por CZmatr, se define como sigue. Para cada una de ellas\nA Sp (2k) denotar por GrA la gráfica de A que es un subespacio lagrangiano\ndel espacio vectorial simplés R4k = R2k×R2k equipado con el espacio vectorial simplés\nEstructura: 4k=2k=2k=2k. Denotar por la diagonal en R\n4k = R2k × R2k\n– es un subespacio lagrangiano con respecto a 4k. Ahora para cualquier camino suave\n{A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir CZmatr como\nCZmatr({A}):= RS({GrAt},\nEquivalentemente, se puede definir CZmatr({At}) similar al índice RS por look-\nen las intersecciones de {A(t)} con la hipersuperficie • • Sp (2k) formada\npor todas las matrices simpléticas de 2k×2k con valor propio 1 y traduciendo el\nnociones de un cruce regular y la forma cuadrática correspondiente a este\nPrepárate.\nAmbos índices Ind2k ({A}, V ) y CZmatr({A}) dependen sólo de la\nendpoints homotopy class of the path {At} y son aditivos con respecto a\nla concatenación de las sendas en Sp (2k). La relación entre los dos índices\nes el siguiente. Denotar por I2k la matriz de identidad 2k × 2k. Dado un suave\nruta {At}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), set Ât := I2k â € A â € Sp (4k). Entonces\nCZmatr({A}) = Ind4k(t}, (12)\nObservación 3.2. Tenga en cuenta que cerca de cada W â € ¢ V existe una coordenada local\ngráfico (en Lagr (k)) en el que ŁV se puede definir por una ecuación algebraica de\ngrado limitado desde arriba por una constante C dependiendo sólo de k y W.\nPor otra parte, puesto que para cualquier V, V ′ Lagr (k) existe un difeomorfismo de\nLagr (k) mapeo de V en V ′ podemos asumir que C = C(k) es independiente\nde W y depende sólo de k. Por lo tanto para cualquier V, para cualquier punto W\ny para cualquier barrio suficientemente pequeño abierto UW de W en Lagr (k) la\nnúmero de componentes conectados de UW \\(UW V ) está limitado por una constante\ndependiendo sólo de k.\nUsando estas observaciones y el hecho de que los cruces regulares están aislados\nes fácil demostrar que existe una constante C(k), dependiendo sólo de k, tales\nque para cualquier subespacio Lagrangiano V â R2k y cualquier camino {A} â Sp (2k),\n0 ≤ t ≤ 1, existe un > 0 tal que para cualquier trayectoria lisa {A′t} • Sp (2k),\n0 ≤ t ≤ 1, que es -cerca de {En} en la C\n0-métrico, uno tiene\nInd2k({En}, V)−Ind2k({A)\nt}, V < C(k),\nCZmatr({En})− CZmatr({A)\nt < C(k).\nTeorema de leray en el índice Ind2k: El siguiente resultado es\nTeorema 5.1 en [54] que Robbin y Salamon acreditan a Leray [35], p.52.\nNota de L el lagrangiano (q1,. .., qk)-plano de coordenadas en R\n2k. Cualquier sim...\nmatriz pléctica S • Sp (2k) se puede descomponer en k × k bloques como\ncuando los bloques satisfagan, en particular, la condición de que:\nEF T − FET = 0. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nEn caso de que SL • L = 0, la k × k-matrix F sea invertible y se multiplique (13)\npor F−1 a la izquierda y (F T )−1 = (F−1)T a la derecha, obtenemos ese F−1E −\nET (F−1)T = 0. Por lo tanto la matriz QS := F\n−1E es simétrico.\nTeorema 3.3 ([54], Teorema 5.1; [35], p.52). Asumir {a}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1,\nson dos caminos lisos en Sp (2k), de tal manera que A0 = B0 = I2k y A1L + L = 0,\nB1L • L = 0, A1B1L • L = 0. Entonces\nInd2k({AtBt}, L) = Ind2k({At}, L) + Ind2k({Bt}, L) +\nsigno (QA1 + QB1),\ndonde el signo (QA1 + QB1) es la firma del formulario cuadrático definido por el\nk × k-matriz QA1 + QB1.\nCorolario 3.4. Que V sea cualquier subespacio Lagrangiano de R2k. Entonces existe\nuna constante positiva C, dependiendo sólo de k, de tal manera que para cualquier camino liso\n{Xt}, {Yt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), de manera que X0 = Y0 = I2k (no hay\nsuposiciones en X1, Y1!),\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C.\nPrueba. Escribiremos C1, C2,. .. para las constantes positivas (posiblemente diferentes) de-\npendiente sólo en k.\nEscoja un mapa • • Sp (2k) de tal manera que • V = L. Denote At = • Xt\nBt =\n−1. Tenga en cuenta que las rutas {A}, {Bt} se basan en la identidad.\nUsando la propiedad de la naturalidad (11) de Ind2k obtenemos\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =\n= Ind2k(XtYt\n− 1},~ V )− Ind2k(Xt\n− 1},~V)−\n−Ind2k(Yt\n- 1},~ V ) =\n= Ind2k({(\n−1)(•Yt•\n− 1)}, L)− Ind2k(Xt\n− 1}, L)−\n−Ind2k(Yt\n−1}, L) =\n= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L).\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =\n= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L). (14)\nMás adelante, la Observación 3.2 implica que podemos encontrar una identidad suficientemente cercana a C0.\nperturbaciones basadas {A′t}, {B\nt} de {A}, {B} tales que\nA′1L • L = 0, B\n1L • L = 0, A\n1L • L = 0. (15)\nInd2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L)\nInd2k({A)\nt}, L)− Ind2k({A)\nt}, L)− Ind2k({B\nt}, L) < C1, (16)\npara un poco de C1. Por otra parte, desde los tres caminos basados en la identidad {A\n{B′t}, {A\nt}, satisfacer las condiciones (15), podemos aplicar a ellos Teorema 3.3.\nPor lo tanto existe C2 tal que\nInd2k({A)\nt}, L)− Ind2k({A)\nt}, L)− Ind2k({B\nt}, L) < C2.\nCombinando con (14) y (16) obtenemos que existe C3 tal que\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C3,\nque termina la prueba.\nÍndice de Conley-Zehnder como cuasimorfismo: Recordar que 2n = dimM.\nRestringiendo CZmatr a las rutas basadas en la identidad en Sp (2n) se obtiene una función\nen la página (2n) que todavía será denotado por CZmatr.\nProposición 3.5 (cf. [19]). La función CZmatr : Sśp (2n) → R es un cuasi-\nMorfismo. Significa que existe una constante C > 0 tal que\nCZmatr(ab)− CZmatr(a)− CZmatr(b) ≤ C \nPrueba. Representar a y b por rutas basadas en la identidad {En}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1, en\nSp (2n). A continuación, utilice (12) y aplique el corolario 3.4 para k = 2n, V = a t},\n{B}t} en Sp (4n).\nÍndice Maslov de bucles simpléticos: El índice Conley-Zehnder para\nLos bucles basados en identidad en Sp (2n) se llaman el índice Maslov de un bucle. Su\ndefinición original, volviendo a [4], es la siguiente: es la intersección\nnúmero de un bucle basado en la identidad con la hipersuperficie estratificada\nEl estrato principal está equipado con una cierta coorientación. Tenga en cuenta que lo hacemos\nno dividir el número de intersección por 2 y por lo tanto en nuestro caso el índice de Maslov\ntoma sólo valores pares; por ejemplo, el índice de Maslov de un sentido contrario a las agujas del reloj\n2η-twist de la R2 simpléctica estándar es 2. Denotamos el índice Maslov de\nun bucle {B(t)} de Maslov ({B(t)}).\nÍndices de órbitas periódicas de Conley-Zehnder y Maslov:\nÍndice de ley-Zehnder para órbitas periódicas se define por medio de la Conley-\nÍndice de Zehnder para rutas de matriz de la siguiente manera. Teniendo en cuenta [γ, u]\nruta basada en la identidad {A(t)} en Sp (2n)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nflujo linealizado dγ(0)ft, 0 ≤ t ≤ 1, junto con γ con una matriz simpléctica\n{A(t)}. Entonces el índice de Conley-Zehnder CZF ([γ, u]) se define como\nCZF ([γ, u]) := n− CZmatr ({A(t)}). (17)\nCon tal normalización de CZF para cualquier C\n2-pequeño autónomo\nMorse Hamiltonian F, el índice de Conley-Zehnder de un elemento de P\nresentida por un par [x, u] que consiste en un punto crítico x de F (visto como un\nruta constante en M) y el disco trivial u, es igual al índice de Morse de\nx. Tenga en cuenta que con tal normalización CZF (Sy) = CZF (y)+2\nc1(M) para\ntodos los y â € € € TM € € € TM € TM € TM € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\n2 (M).\nDel mismo modo, si el flujo de tiempo-1 generado por F define un bucle en Ham(M) entonces\na cada uno [γ, u] â € € ¢ F se puede asociar su índice de Maslov. Es decir, trivializar el\npaquete u*(TM) sobre D2 e identificar el flujo linealizado {dxft} a lo largo de γ con\nun bucle basado en la identidad de matrices simpléticas 2n × 2n. Definir el Maslov\níndice mF ([γ, u]) como el índice Maslov para el bucle de matrices simplécticas.\nEn el marco de la acción HS2 (M) sobre la PF, el índice de Maslov cambia de la siguiente manera:\nmF (S · [γ, u]) = mF ([γ, u])− 2\nc1(M), S-H\n2 (M).\nHagamos la siguiente observación. Asumir γ PF y asumir que un\nbanalización simpléctica del haz (TM) sobre S1 identifica {dγ(0)ft}\ncon una trayectoria basada en la identidad {A(t)} de matrices simpléticas. Supón que está ahí.\nes otra trivialización simpléctica del mismo paquete, coincidiendo con el\nel primero en γ(0), y denotar por {B(t)} el bucle de transición basado en la identidad\nmatrices desde la primera trivialización simpléctica hasta la segunda. Usar la\nsegunda trivialización para identificar {dγ(0)ft} con una ruta basada en la identidad {A\n′(t)}.\nCZmatr ({A)\n′(t)}) = CZmatr ({A(t)}) +Maslov ({B(t)}), (18)\ny si {A(t)} es un bucle entonces es {A′(t)} y\nMaslov ({A′(t)} = Maslov ({A(t)}) + Maslov ({B(t)}). (19)\n3.4 Números espectrales\nDada la configuración algebraica como arriba, la construcción del Piunikhin-Sala-\nEl isomorfismo mon-Schwarz (PSS) [47] produce un isomorfismo lineal (PSS-\nIsomorfismo) M : QH*(M) → HF*(F, J) que preserva la clasificación y\nque es en realidad un anillo isomorfismo (el producto par de pantalones define un anillo\nestructura sobre HF* (F, J)).\nUsando el PSS-isomorfismo se definen los números espectrales c(a, F),\ndonde 0 6 = un QH*(M), de la manera habitual [45]. Es decir, la acción funcional\nAF define una filtración en C(F) que induce una filtración HF\n* (F, J),\nHF*(F, J), con HF\n* (F, J) • HF\n* (F, J) siempre que α < β. Entonces\nc(a, F ) := inf â € € € € M(a) â € € € €\n* (F, J)}.\nTal número espectral es finito y bien definido (no depende de J). Toma.\nes una breve descripción de las propiedades relevantes de los números espectrales – para más detalles\nVéase [45] (véase también [65, 42, 59, 43] para versiones anteriores de esta teoría).\n(Espectralidad) c(a,H) • spec (H), donde la especificación del espectro (H) de H es\ndefinido como el conjunto de valores críticos de la acción funcional AH, es decir,\nspec (H):= AH(P\n(Propiedad de desplazamiento de la homología de quantum) c(l,H) = c(l,H) + (l) para todos\nEn el caso de que se trate de una tasación definida en la sección 3.1.\n(propiedad de desplazamiento hamiltoniano) c(a,H + (t)) = c(a,H) +\n(t) dt para\ncualquier Hamiltonian H y función : S1 → R.\n(Monotonicidad) Si H1 ≤ H2, entonces c(a,H1) ≤ c(a,H2).\n(Propiedad Lipschitz) El mapa H 7→ c(a,H) es Lipschitz en el espacio de\n(dependiendo del tiempo) Hamiltonians H : M × S1 → R con respecto a la\nC0-norm.\n(invarianza simpléctica) c(a, H) = c(a, H) por cada \nH (M); más generalmente, Symp (M) actúa sobre H* (M ;F), y por lo tanto\nsobre QH*(M), y c(a, \n∗H) = c(a,H) para cualquier síntoma (M). • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \n(Normalización) c(a, 0) = ν(a) por cada • QH*(M).\n(Invarianza de Homotopy) c(a,H1) = c(a,H2) para cualquier H1, H2 normalizado\nla generación de la misma Hśam (M). Por lo tanto, se puede definir c(a, ♥) para cualquier\nPara cualquier generación normalizada de H, H (M) como c(a, H).\n(Desigualdad triángulo) c(a ∗ b, ) ≤ c(a, \nEl anillo conmutativo QH•(M) admite una forma K-bilineal y K-valuada \nsobre QH•(M) que se asocia a un par de clases de homología cuántica a, b\nQH•(M) el coeficiente (perteneciente a K) en la clase [punto] = [punto] · q\na punto en su producto cuántico a * b • QH•(M) (la estructura Frobenius).\nLet : K → F ser el mapa que envía cada serie\n\n* * * * *, * * * * *, * * *, * * * * F, * *, * * a su libre, * *, * * a su libre, * *, *\nTérmino z0. Definir un emparejamiento no degenerado F -valuado F -lineal en QH•(M) por\nΠ(a, b) := (a, b) = (a ∗ b, [M ]). (20)\nNótese que Π es simétrico y\nΠ(a ∗ b, c) = Π(a, b ∗ c) (21)\nCon esta noción a la mano, podemos presentar otra propiedad importante de\nNúmeros espectrales:\n(Poincaré duality) c(b, ) = − infa(b) c(a, \n−1) para todos los b • QH•(M) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \ny.................................................................................................. Aquí (b) denota el conjunto de todo un QH•(M) con Π(a, b) 6= 0.\nLa dualidad de Poincaré se puede extraer de [47] (cf. [22]) – Para una prueba véase\n[46].\nLa siguiente propiedad es una consecuencia inmediata de las definiciones (véase [22]\npara una discusión en el caso monotono:\n(Propiedad exponente característica) Dado 0 6= \na, b, a + b 6= 0, y a (dependiendo del tiempo) Hamiltonian H, uno tiene\nc( · a,H) = c(a,H) y c(a+ b,H) ≤ max(c(a,H), c(b,H)).\n3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales\nTeniendo en cuenta un idempotente distinto de cero un QH2n(M) y un Hamil-\ntoniano H :M → R, definir\n(a,H) := lim\nc(a, lH)\n. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nCuando una es fija, a menudo abreviaremos •(H) en lugar de •(a,H). El límite\nen la fórmula (22) siempre existe y, por lo tanto, el funcional....................................................................................................................................................................................................................................................... \nbien definido. El funcional de la \"C\" es Lipschitz con respecto a la C0-\nnorma H = maxM H y por lo tanto se extiende a un funcional : C(M) → R,\ndonde C(M) es el espacio de todas las funciones continuas en M. Estos hechos fueron\nprobado en [23] en el caso a = [M ] pero las pruebas realmente pasan por cualquier\nÍdempotente no cero a QH2n(M).\nAquí vamos a enumerar las propiedades de • para tal M. De nuevo, estos proprie-\nse probaron en [23] en el caso a = [M ] pero la prueba pasa por\ncualquier idempotente distinto de cero a QH2n(M). La aditividad con respecto a la\npropiedad de stants no estaba explícitamente enumerado en [23], pero sigue inmediatamente de\nla definición de la propiedad de los números espectrales y el cambio Hamiltoniano.\nLa desigualdad del triángulo se deriva fácilmente de la definición de\ndesigualdad triangular para los números espectrales.\nTeorema 3.6. El funcional : C(M) → R satisface los siguientes prop-\nerties:\nSemi-homogeneidad: (αF ) = (F ) para cualquier F y cualquier α-R≥0.\nDesigualdad del triángulo: Si F1, F2 o C\n(M), {F1, F2} = 0 a continuación (F1 + F2) ≤\n(F1) + (F2).\nAditividad parcial y desaparición: Si F1, F2 + C\n(M), {F1, F2} = 0 y la\nsoporte de F2 es desplazable, a continuación, •(F1 + F2) = •(F1); en particular, si el\nel soporte de F • C(M) es desplazable, • (F) = 0.\nAditividad con respecto a las constantes y normalización: (F ) = (F )\npara cualquier F y cualquier α â € R. En particular, â € (1) = 1.\nMonotonicidad: ≤ (F ) ≤ (G) para F ≤ G.\nInvarianza simpléctica: •(F) = •(F) •(f) para cada difeomorfismo simpléctico\nf) Symp0 (M).\nCaracterística de la propiedad exponente: (a1+a2, F ) ≤ max(a1, F ), (a2, F ) para\ncada par de idempotentes no cero a1, a2 con a1 ∗ a2 = 0, a1+ a2 6= 0 (en este\nel caso a1 + a2 es también un idempotente distinto de cero), y para todos los F + C(M).\nLlamaremos al funcional : C(M) → R satisfaciendo todas las propiedades\nenumerado en Teorema 3.6 un cuasi estado simplético parcial.\n4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados\nEn esta sección demostramos las partes (i) y (iii) del Teorema 1.2, así como la\norem 1.3. Usaremos que un cuasi-estado simplético parcial se extiende por\ncontinuidad en la norma uniforme a un monótono funcional en el espacio de\nfunciones continuas C(M), véase la sección 3.5 supra. En particular, se puede\nutilizar funciones continuas en lugar de las suaves en la definición de (su-\npor)peso en las fórmulas (3) y (4).\nSuponga que se fija un cuasiestado parcial definido por un idempotente distinto de cero\ny consideramos pesadez y superpeso con respecto a................................................................................................................. Comenzamos\ncon la siguiente elemental\nProposición 4.1. Un subconjunto cerrado X • M es pesado si y sólo si por cada\nH (M) con H(X) = 0, H (H) ≤ 0 Un subconjunto cerrado\nX M es superpesada si y sólo si por cada H C • M con H = 0,\nH ≥ 0 una persona presenta un intervalo de tiempo de 0 a 0.\nPrueba. Las partes “solo si” siguen fácilmente de la propiedad de la monotonicidad de\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Demostremos la parte “si” en el “caso pesado” – el caso “superpesado” es\nsimilar. Tomar una función H en M y poner\nF = min(H − inf\nH, 0).\nNótese que F X = 0 y F ≤ 0. Por lo tanto (F ) = 0 por la suposición de la\nProposición. Por lo tanto\n0 = (F ) ≤ (H − inf\nH) = فارسى(H)− inf\nque produce pesadez de X.\nLa siguiente proposición prueba la parte i) del Teorema 1.2.\nProposición 4.2. Cada juego superpesado es pesado.\nPrueba. Let X â € ¢ M ser un subconjunto superpesado. Supongamos que HX = 0, H ≤ 0.\nPor la desigualdad del triángulo para.... tenemos...................................................................................... Tenga en cuenta que\n−HX = 0, −H ≥ 0. Los rendimientos de la superpeso (−H) ≤ 0, así que ≤(H) ≥ 0. Pero\npor monotoniicidad (H) ≤ 0. Por lo tanto, el valor de la reclamación es 0 y la reclamación se deriva de:\nProposición 4.1.\nLos juegos superpesados tienen la siguiente propiedad fácil de usar.\nProposición 4.3. Deja que X-M sea un juego superpesado. Entonces por cada α â € TM TM R\ny H °C(M) con HX • α uno tiene •(H) = α.\nPrueba. Dado que el término «H» + «α» = «H» + «α», basta con demostrar la\nα = 0. Tome cualquier función H con HX = 0. Dado que X es superpesada y, por\nProposición 4.2, también pesado, tenemos\n0 = (H) ≤ (H) ≤ (H) = 0,\nque produce •(H) = 0.\nComo consecuencia inmediata obtenemos parte (iii) del Teorema 1.2.\nProposición 4.4. Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado.\nPrueba. Deja que X sea un conjunto superpesado y Y sea un conjunto pesado. Asumir en el\nAl contrario que X â € Y = â € €. Tomar una función H ≤ 0 con HY فارسى 0 y\nHX-−1. A continuación, en la Proposición 4.3, el punto H = −1. Por otra parte,\n(H) = 0 ya que Y es pesado, y obtenemos una contradicción.\nTenga en cuenta que dos conjuntos pesados no necesariamente se cruzan entre sí: un meridiano\nde T2 es pesado (véase el corolario 6.4 más abajo), mientras que dos meridianos pueden ser desarticulados.\nPrueba del teorema 1.3 i) y ii): la desigualdad triangular produce\nc(a,H) = c(a ∗ [M], 0 +H) ≤ c(a, 0) + c([M ], H) = v(a) + c([M ], H).\nPasando a los cuasi-estados parciales (a,H) y ([M ], H) obtenemos:\n•(a,H) = lim\nc(a, kH)/k ≤\n≤ lim\n( v.a) + c([M ], kH))/k = lim\nc([M], kH)/k = فارسى([M], H).\nEl resultado ahora se deriva de la definición de conjuntos pesados y superpesados (véase\nDefinición 1.1).\nPrueba de Teorema 1.3 (iii): Por la característica propiedad exponente de\ninvariantes espectrales,\n(a, F ) ≤ máx.\ni=1,...,l\n* (ei, F ) * (F ) * (C )\n* (M). 23)\nElija una secuencia de funciones Gj â € C\n• (M), j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\npropiedades de descenso: Gk ≤ Gj para k > j, Gj = 0 en X, Gj ≤ 0 y para\ncada función F ≤ 0 que desaparece en un barrio abierto de X allí\nexiste j para que Gj ≤ F (la existencia de tal secuencia se puede comprobar fácilmente).\nEn vista de la desigualdad (23), tenemos que para cada j existe i para que\n• (a,Gj) ≤ (ei, Gj). Pasando, si es necesario, a una subsecuencia Gjk, jk →.\npodemos asumir sin pérdida de generalidad que yo es el mismo para todos j. A la vista\nde pesadez de X con respecto a a, tenemos que •(a,Gj) = 0. Por lo tanto\n• (ei, Gj) ≥ 0.\nElija cualquier función F ≤ 0 onM que desaparezca en un barrio abierto\nde X. Entonces existe j lo suficientemente grande como para que F ≥ Gj. Por monotonicidad\ncombinado con la estimación anterior que tenemos\n0 ≥ (ei, F ) ≥ (ei, Gj) ≥ 0,\nque produce (ei, F ) = 0.\nAhora que F sea cualquier función continua en M que desaparece en X. Toma\nuna secuencia de funciones continuas Fj, convergiendo a F en la C\n0-norm, así que\nque cada FJ desaparece en un barrio abierto de X. Entonces, (ei, Fj) =\nlimj (ei, Fj) = 0, porque (ei, ·) es Lipschitz con respecto a la C\nnorma. La pesadez de X con respecto a ei se deriva ahora de la Proposición 4.1.\nEsto termina la prueba del teorema.\n5 Productos de conjuntos (super) pesados\nEn esta sección probamos Teorema 1.5 en productos de subconjuntos (super) pesados.\n5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales\nLa prueba de Teorema 1.5 se basa en el siguiente resultado general.\nTeorema 5.1. Por cada par de Hamiltonianos dependientes del tiempo G1, G2 onM1\ny M2, y todos los no-cero a1 QHi1(M1), a2 QHi2(M2) tenemos\nc(a1 a2, G1(z1, t) + G2(z2, t)) = c(a1, G1) + c(a1, G2).\nAquí G1(z1, t) +G2(z2, t) es un Hamiltoniano dependiente del tiempo en M1 ×M2.\nDeduzcamos el Teorema 1.5 del Teorema 5.1.\nPrueba de Teorema 1.5: Demostramos que el producto de los juegos superpesados es\nsuperpesados (la prueba para conjuntos pesados va sin ningún cambio). Denotamos\npor.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nsociated a los idempotentes a1, a2 y a1 a2 respectivamente. Deja que Xi Mi,\ni = 1, 2, ser un conjunto superpesado. Por la Proposición 4.1 basta con demostrar que si un\nLa función no negativa G-C-(M) desaparece en algún barrio, dicen U,\nde X := X1 × X2 a continuación (G) = 0. (Puesto que es Lipschitz con respecto a la\nC0-norm esto implicaría que •(G) = 0 para cualquier G • C(M) no negativo\nque desaparece en X). Put K := maxM G. Elegir barrios Ui de Xi así\nque U1 × U2 + U. Elegir funciones no negativas Gi on Mi que desaparecen en\nXi y tal que Gi(z) > K para todos z â € Mi \\Ui. Observe que G ≤ G1 + G2.\nPero, en vista del Teorema 5.1 y la superpeso de Xi, tenemos\n*(G1 +G2) = *1(G1) + *2(G2) = 0.\nPor monotonicidad\n0 ≤ G ≤ G1 + G2 = 0,\ny, por lo tanto, (G) = 0.\nQueda por probar el Teorema 5.1. Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la igualdad\nen el teorema no excede del lado derecho: se trata de un imme-\ndiate consecuencia de la desigualdad triangular para invariantes espectrales. Sin embargo,\nNo pudimos usar esta observación para probar el teorema. Nuestro ap-\nproach se basa en un análisis algebraico bastante largo que nos permite\ncalcular por separado los lados izquierdo y derecho “en el nivel de la cadena”. A\nLa simple inspección de los resultados de este cálculo da lugar a la igualdad deseada.\n5.2 Complejos degradados de grado Z2\nUn complejo Z2 es un espacio vectorial de dimensiones finitas V de grado Z2 sobre un campo\nK equipado con un diferencial K-lineal \ncambiar la clasificación. Un complejo decorado sobre K = K.o. incluye lo siguiente:\ndatos:\n• un subgrupo contable\n• un complejo de grado Z2 (V, d) sobre K\n• una base preferida x1,. ...........................................................\n• una función F : {x1,. .., xn} → R (llamado el filtro) que se extiende a V\njxj) = max(lj) + F (xj)\n6 = 0},\ny satisface F (dv) < F (v) para todos v < V \\ {0}. La convención es que\nF (0) =. Aquí está la valoración definida en la sección 3.1 anterior.\nUsaremos la notación.\nV := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\npara un complejo decorado.\nEl producto K-tensor V = V1KV2 de complejos decorados\nVi = (Vi, {x)\nj }j = 1,...,ni, Fi, di,Í), i = 1, 2\nse define como sigue. Considerar el espacio V = V1KV2 (véase la fórmula (5) anterior)\ncon el grado natural Z2. Definir el diferencial d en V por\nd(x y) = d1x y + (−1)\nxx d2y.\nLa base preferida en V es dada por {xpq := x\np x\nq } y el filtro F es\ndefinido por\nF (xpq) = F1(x)\np ) + F2(x\nFinalmente, pusimos V := (V, {xpq}, F, d,\nLa homología (de grado Z2) de los complejos decorados está denotada por H*(V)\n– son espacios K-vector. Por la fórmula Künneth, H(V1KV2) =\nH(V1)KH(V2).\nA continuación definimos invariantes espectrales asociados a un complejo decorado V :=\n(V, {xpq}, F, d). Es decir, para un â ¬ H(V) puesto\nc(a) := inf{F (v) a = [v], v Ker d}.\nVeremos más abajo que c(a) > â € para cada 6= 0.\nEl propósito de esta digresión algebraica es declarar el siguiente resultado:\nTeorema 5.2. Para cualquier dos complejos decorados V1,V2\nc(a1 a2) = c(a1) + c(a2) \n5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida\nLa 2-periodicidad del complejo Floer y la homología Floer definida por el\nla multiplicación por q (véase la Proposición 3.1 anterior) permite codificar su\nestructura gebraica en un complejo Z2 decorado. Considerar un par regular (G, J)\nque consiste en una función Hamiltoniana y una estructura casi compleja compatible\nEn general, ambos dependen del tiempo. Let (C*(G), dG,J) be the\nel correspondiente complejo Floer. Asociémoslo a un complejo Z2-: un Z2-\nVG de espacio vectorial graduado sobre K.o., definido como\nVG := C0(G)+ C1(G),\ncon el grado de Z2 obvio, y un diferencial ŁG,J : VG → VG, definido como\nla suma directa de dG,J : C1(G) → C0(G) y qdG,J : C0(G) → C1(G). Uno\ncomprueba fácilmente que se trata de un complejo Z2 porque dG,J : C(G) → C(G)\nes -lineal. Llamaremos (VG, G, J) al complejo Z2 asociado a (G, J).\nTenga en cuenta que los ciclos y los límites de (VG, G) que tienen Z2-grado\ni {0, 1} en VG coinciden, respectivamente, con los ciclos y los límites\nque tengan un grado Z i de (C(G), dG,J). Por lo tanto la homología Floer HFi (G, J)\nes isomórfico, como un espacio vectorial sobre K.O., al componente i-ésimo grado de la\nla homología del complejo (VG, G, J).\nEl Z2-complejo (VG, G, J) lleva una estructura del complejo decorado\nVG,J como sigue. Que γi(t), i = 1,.., m, sea la colección de todos los contractibles\nÓrbitas 1-periódicas del flujo Hamiltoniano generadas por G. Elija el disco ui\nen M que abarca γi. Para cada i existe un entero único, decir ri, de modo que\nel índice Conley-Zehnder del elemento xi := q\nri · [γi, ui] se encuentra en el conjunto\n{0, 1}. Claramente, la colección {xi} forma una base de VG sobre K. Lo haremos.\nconsiderarlo como una base preferida. Tenga en cuenta que la base preferida es única hasta\nmultiplicación de xis por elementos de la forma s\nαi, αi â € â € €. Por último, la acción\nfuncional asociado a G define una filtración en VG.\nLa homología de (VG, G, J) se puede identificar canónicamente a través de la PSS-\nisomorfismo con el objeto que llamamos homología cuántica reducida:\nQHred(M):= QH0(M)+QH1(M).\nLlamamos a esto isomorfismo el reducido PSS-isomorfismo y lo denotamos por G,J.\nTenga en cuenta que tenemos una proyección natural p : QH*(M) → QHred(M) que\nenvía cualquier elemento homogéneo de grado a aqr con deg a + 2r {0, 1}.\nCon esta notación, el habitual Floer-homológico invariante espectral c(a,G)\ncoincide con el invariante espectral c(p(a)) del complejo decorado VG,J.\n5.4 Prueba del teorema 5.1\nPor la propiedad Lipschitz de los números espectrales es suficiente considerar la\ncaso cuando G1 y G2 pertenecen a pares regulares (Gi, Ji), i = 1, 2. Establecer\nG(z1, z2, t) := G1(z1, t) +G(z2, t)\ny J := J1 × J2. Entonces (G, J) es también un par regular. Puso \"i\" = \"(Mi\", \"i\"). Lo siento.\nes sencillo ver que el complejo decorado VG,J es el K-tensor\nproducto de los complejos decorados VGi,Ji para i = 1, 2.\nPut (M,) = (M1×M2, 12). Una modificación obvia de los Künneth\nfórmula para la homología cuántica (véase, por ejemplo, [41, Ejercicio 11.1.15] para el Estado\nEn el caso de los monótonos, se produce un monomorfismo natural.\nı : QHi1(M1, #1)KQHi2(M1, #1) → QHi1+i2(M,#).\nPuesto que en nuestro entorno las homologías cuánticas son 2-periódicas, la colección de estos\nisomorfismos para todos los pares (i1, i2) del conjunto {0, 1} induce un isomorfismo\nj : QHred(M1)KQHred(M2) → QHred(M).\nTiene las siguientes propiedades: En primer lugar, dados dos elementos a1 â € QHi1(M1, â € TM 1)\ny a2 QHi2(M2, 2) tenemos que\np(a1) p(a2) = p(a1 a2).\nEn segundo lugar, el siguiente diagrama se desplaza:\nH(VG1, ŁG1,J1)KH(VG2, ŁG2,J2)\nG1,J1G2,J2\nH (VG, G, J)\nQHred(M1)KQHred(M2)\n// QHred(M)\nAquí k es el isomorfismo que viene de la fórmula Künneth para Z2-comple-\nxes, y Gi, Ji, G, J representan el reducido PSS-isomorfismos. De ello se deduce que\nla definición de c(ai, Gi), c(a1a2, G) coincide con la definición de c(pai) y\nc(p(a1) p(a2)). Por Teorema 5.2 obtenemos eso\nc(a1a2, G) = c(p(a1)p(a2)) = c(p(a1))+ c(p(a2)) = c(a1, G1)+ c(a2, G2).\nEsto demuestra Teorema 5.1 módulo Teorema 5.2.\n5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2\nUn complejo decorado se llama genérico si F (xi) − F (xj) / para todos i 6= j\n(recordemos que bajo nuestras suposiciones, el grupo de períodos del simplés\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Comenzamos desde algunos\nhechos auxiliares del álgebra lineal. Let V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\ncomplejo decorado genérico. Recordamos una vez más que por brevedad escribimos K\nen lugar de \"K\" donde sea que esté claro lo que se toma.\nUn elemento x • V se llama normalizado si\nx = xp +\ni 6=p\n(xp) > máx.\ni 6=p\nF (lxixi).\nUsaremos la notación x = xp+o(xp). En los complejos genéricos, cada elemento\nx 6= 0 se puede escribir de forma única como x = ♥(xp+o(xp)) para algunos p = 1,..., n y\nK. Un sistema de vectores e1,. ..., em en V se llama normal si cada ei tiene\nla forma ei = xji +o(xji) para ji {1,...., n} y los números ji son pares\nDistinto.\nLemma 5.3. Let e1,. ............................................................................... Entonces\n(+) = máx.\nF ()...................................................................................................................................................................\nPrueba. Demostramos el resultado utilizando la inducción en m. Para m = 1 la declaración es\nEs obvio. Vamos a comprobar el paso de inducción m− 1 → m. Observe que es suficiente\npara comprobar que\nF (e1 +\n(e1), ≥ F (e1). (24)\nEntonces, obviamente.\n(+) ≥ máx.\nF (l'iei),\nmientras que la desigualdad inversa es una consecuencia inmediata de las definiciones.\nPor el paso de inducción,\n(+) = máx.\ni=2,...,n\nF ()...................................................................................................................................................................\nEn vista de la genericidad, el máximo en el lado derecho puede ser único\nescrito con la letra F (0xi0). Sin pérdida de generalidad asumiremos que ei =\nxi + o(xi) e i0 = 2.\n12 ♥iei = x2 + o(x2).\nEscribir\ne1 = x1 + αx2 +X, v = x2 + βx1 + Y,\ndonde α, β-K y X, Y-SpanK(x3,. ., xn). Tenga en cuenta que F (x1) > F (αx2),\nF (x2) > F (βx1), que rinde\n/(α) < F (x1)− F (x2) < (β) = /(β)\n−1). (25)\nEn particular, /(α) < /(1). Tenga en cuenta que\ne1 + 2v = (1 + 2β)x1 + (α + 2)x2 + Z, Z • SpanK(x3,. .., xn).\nF (e1 + 2v) ≥ max( v(1 + 2β) + F (x1), ν(α + 2) + F (x2)).\nSi ν(1 + ♥2β) ≥ 0 tenemos F (e1 + ♥2v) ≥ F (x1) = F (e1) y desigualdad (24)\nsigue. Asumir que < 0 = 1 / 1. A continuación, el apartado 2 del artículo 2 del Reglamento n° 1408/71 se sustituye por el texto siguiente:\ny, por lo tanto, /(l) 2 = /(l)\n-1) 6 = /(α). Por lo tanto\n≥ < = (β)......................................................................................................................................................................................................................................................... \nCombinando esta desigualdad con (25) obtenemos eso\nF (e1 + 2v) ≥ ν(α + 2) + F (x1) + (F (x2)− F (x1))\n≥ F (x1) + ( v(α + 2) + ν(β)) ≥ F (x1) = F (e1).\nEsto completa la prueba de la desigualdad (24), y por lo tanto del lema.\nSe deduce fácilmente del lema que cada sistema normal es linealmente inde-\nPendent.\nLemma 5.4. Todos los subespacios L+V tienen una base normal.\nPrueba. Utilizamos inducción sobre m = dimK L. El caso m = 1 es obvio,\nasí que vamos a manejar el paso de inducción m − 1 → m. Basta con mostrar el\nsiguiente: Let e1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\n′, y let v / L′\nser cualquier vector. Poner L = SpanK(L\n′ {v}). Entonces existe em â € L para que\ne1,. ........................................................................ De hecho, asumir sin pérdida de generalidad que\npara todos los i = 1,..., m−1 uno tiene ei = xi+ o(xi). Poner W = SpanK(xm,. ., xn).\nAlegamos que L′ W = {0}. De hecho, de lo contrario\n1e1 +... •m−1em−1 = mxm +... + nxn\ndonde las combinaciones lineales en los lados derecho e izquierdo son no-\ntrivial. Aplicar F a ambos lados de esta igualdad. Por Lemma 5.3\nF (1e1 +.... + m1em1) = F (xp) mod •, donde 1 ≤ p ≤ m− 1,\nmientras\nF (........nxn) = F (xq) mod................................................................................................................................................................................................................................................ \nEsto contradice la genericidad de nuestro complejo decorado, y la afirmación fol-\nBajas. Desde dimLdimW = dimV, tenemos que V = LW. Descomponer v\ncomo u+w con u â L′, w â W, y tenga en cuenta que w â L. Tenga en cuenta que e1,. .., em−1, w\nson linealmente independientes. Además, w = (xp + o(xp)) para algunos p ≥ m.\nPut em = \n−1w. Los vectores e1,. ...............................................................\nLa misma prueba muestra que si L1 + L2 son subespacios de V, cada base normal\nen L1 se extiende a una base normal en L2.\nAhora nos dirigimos al análisis del diferencial d. Elija una base normal\ng1,. .., gq en Im d, y extenderlo a una base normal g1,. .., gq, h1,. ...........................................................\nKer d. Tenga en cuenta que cada uno de estos vectores p + q tiene la forma xj + o(xj) con\ndistinto j. Asumamos sin pérdida de generalidad que el n−p−q restante\nlos elementos de la base preferida en V son x1,. .., xq, y\ngi = xi+q + o(xi+q), hj = xj+2q + o(xj+2q).\nAquí usamos eso, por el teorema de la dimensión, n = p+ 2q. Tenga en cuenta que\nx1,. .., xq, g1,. .., gq, h1,. .., hp\nes un sistema normal, y por lo tanto una base en V. Llamamos a tal base un espectral\nbase del complejo decorado V.\nTenga en cuenta que [h1],. .., [hp] es una base en la homología H (V). Considerar cualquier\nhomología clase a =\n[hola]. Cada elemento v V con a = [v] puede ser\nescrito como v =\n♥ihi +\nαjgj. Por lo tanto, por Lemma 5.3, F (v) ≥ maxi F (đihi)\ny, por lo tanto,\nc(a) = máx.\nF (l'ihi). 26)\nEsto demuestra en particular que los invariantes espectrales son finitos siempre que un 6= 0.\nPara conjuntos finitos A = {v1,. .., vs} y B = {w1,. ..........................................................\nconjunto finito {vi wj}.\nSupongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados genéricamente. Nosotros decimos que ellos\nestán en posición general si su producto tensor V = V1KV2 es genérico. Vamos.\nBi = {x\n1,. .., x\n1,. .., g\n1,. .., h\n}, i = 1, 2\nser una base espectral en Vi. Obviamente, B1 B2 es una base normal en V1KV2.\nDenotaremos por d1, d2, d los diferenciales y por F1, F2, F los filtros en\nV1, V2 y V respectivamente. Ponga Gi = {g\n1,. .., g\nqi }, Hi = {h\n1,. .., h\ny K = G1 B2 B1 G2. Observar que\nIm d â € ¢ W := Span(K).\nTomar cualquier dos clases\nj ] H(Vi), i = 1, 2.\nSupongamos que a1 a2 = [v]. Entonces v es de la forma\n(1)m \nm h\nl + w\ndonde w debe estar en W. Observar que (H1 H2) Por Lemma 5.3,\nF v) ≥ máx.\nF (de 1 m)\nm h\nl ),\ny, por lo tanto,\nc(a1 a2) = máx.\nF (de 1 m)\nm h\n= máx.\nm ) + F2(\n= máx.\nm ) + máx.\nl ) = c(a1) + c(a2).\nEn la última igualdad usamos (26). Esto completa la prueba del Teorema 5.2\npara complejos decorados en posición general.\nQueda por eliminar el supuesto de posición general. Esto se hará.\ncon la ayuda del siguiente lema. Trabajaremos con una familia de...\nComplejos clasificados\nV := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\nque tienen exactamente los mismos datos (base preferida, clasificación, diferencia y\nCon la excepción del filtro F, que podrá variar en la clase\nde filtros. Los invariantes espectrales correspondientes serán denotados por c(a, F ).\nLemma 5.5.\ni) Si los filtros F, F ′ satisfacen F (xi) ≤ F\n′(xi) para todos los i = 1,..............................................................................................................................................\nc(a, F ′) para todas las clases distintas de cero a H(V).\n(ii) Si F es un filtro y R, entonces F + es de nuevo un filtro y c(a, F + R) =\nc(a, F ) + para todas las clases distintas de cero a • H(V).\nLa prueba es obvia y la omitimos. De ello se deduce que para los dos filtros F, F ′\nc(a, F )− c(a, F ′) ≤ F − F C0 \nSupongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados. Denota por F1, F2 sus\nfiltros. Arreglar â € > 0. Por una pequeña perturbación de los filtros obtenemos nuevos filtros,\nF ′1 y F\n2, en nuestros complejos para que los complejos se conviertan en genéricos y en\nposición general y, además,\nF1 − F\n1C0 ≤ , F2 − F\n2C0 ≤ .\nTeniendo en cuenta las clases de homología ai H(Vi) tenemos\nc(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) ≤\nc(a1, F\n1) + c(a2, F\n2) - c(a1 a2, F\n1 + F\n2 = 4 = 4 = 2 = 4 = 2 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4.\nAquí hemos utilizado que el teorema 5.2 ya está probado para los complejos genéricos en\nposición general. Puesto que â € > 0 es arbitrario, obtenemos que\nc(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) = 0,\nque completa la prueba de Teorema 5.2 en toda generalidad.\n6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados\nEn esta sección demostramos la parte (ii) del Teorema 1.2.\nProposición 6.1. Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.\nPara la prueba necesitaremos la siguiente declaración auxiliar. Dado R > 0,\nconsiderar el toro T2R obtenido como cociente del cilindro T\n∗S1 = R(r)×\nS1 ( mod 1) por el cambio (r, ) 7→ (r + R, ). Para α > 0 definir la función\nFα(r, ) := αf(r) en T\nR, donde f(r) es cualquier función R-periódica que\ndos puntos críticos no degenerados en [0, R]: un punto máximo en r = 0 con\nf(0) = 1, y un punto mínimo en r = R/2, f(R/2) =: < 0. Denotamos\npor [T] la clase fundamental de T2R. Trabajamos con la forma simpléctica dr.d.\nen T2R.\nLemma 6.2. c([T ], Fα) = α.\nPrueba. Tenga en cuenta que las órbitas cerradas contractibles del período 1 del Hamiltonian\nflujo generado por Fα son puntos fijos formando círculos S+ = {r = 0} y\nS− = {r = R/2}. Las acciones de los puntos fijos en S± igual, respectivamente, a\nα y, y por lo tanto los invariantes espectrales de Fα se encuentran en el conjunto,.\nRecordemos de [59] que c([T ], Fα) > c([punto], Fα). Así c([T ], Fα) = α.\nLemma 6.3. Dejemos que H (C) (M) sea desplazable para que H-1 (maxH). Entonces\n(H) < maxH.\nPrueba. Elija â € > 0 para que el conjunto\nH−1((máx.\nes desplazable. Elija una función de corte de valor real : R → [0, 1] que\nes igual a 1 cerca de maxH y que se apoya en (maxH,maxH). Por lo tanto\nEn H−1((maxH − •; maxH ]) y en 0, se admite el uso de H−1(H) (maxH − •; maxH ]. Desde H\ny (H) Poisson-computar, la desaparición y la monotonicidad axiomas rendimiento\n(H) ≤ máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máxH.\nPrueba de la Proposición 6.1: Basta con demostrar que por cada R > 0 el conjunto\nY := X × {r = 0} M ′ := M × T2R\nno es desplazable. Supongamos por el contrario que Y es desplazable. Elegir\na función H en M con H ≤ 0, H−1(0) = X. Poner\nH ′ = H + F1 = H + f(r) :M\n′ → R.\nAsumir que el cuasi-estado parcial en M está asociado a algunos no-cero\nidempotente a QH*(M) por medio de (2). Denotación de.................................................................................................\n′ el cuasiestado en\nM ′ asociado a a T. Tenga en cuenta que\nY = (H ′)−1(maxH ′), donde maxH ′ = 1,\nmientras que el teorema 5.1 y Lemma 6.2 implican que\nفارسى ′(H ′) = فارسى(H) + 1.\nPor Lemma 6.3 ≤ ′(H ′) < 1 y por Lemma (H) < 0. En vista de la Proposición 4.1,\nobtener una contradicción con la pesadez de X.\nLemma 6.2 también da una simple prueba del siguiente resultado, que también sigue\ndel corolario 1.15:\nCorolario 6.4. Cualquier meridiano de T2 es pesado (con respecto a la fundamental\nclase [T]).\nPrueba. En la notación anterior identificar T2 con T21 para R = 1. Desde cualquier\ndos meridianos de T2 pueden ser mapeados entre sí por una isotopía simpléctica\ny puesto que tal isotopía preserva la pesadez, basta probar que la\nel meridiano S := S+ = {r = 0} (ver la prueba de Lemma 6.2) es pesado.\nLet H : T2 → R ser un hamiltoniano y vamos a mostrar que •(H) ≥ infSH,\ndonde se defina el valor de los valores de referencia utilizando [T ]. Cambiando H, si es necesario, por una constante, podemos\nasumir sin pérdida de generalidad que infSH = 1. Pick f = f(r) : T\n2 → R\ncomo en la definición de Fα para que F1 = f ≤ H en T\n2 (nota que f es igual a 1 en\nS). Entonces Lemma 6,2 rendimientos\n• (H) ≥ (F1) = 1 = inf\n7 Analizar tallos estables\nPrueba de Teorema 1.6: Supongamos que A es un subespacio Commutativo Poisson\nΦ : M → A* su mapa del momento con la imagen, y let X =\n1(p) ser un tallo estable de A.\nTome cualquier funciónH • C•(A*) con H ≥ 0 y H(p) = 0. Nosotros afirmamos que\n*(H) = 0. Por una arbitrariamente pequeña C0-perturbación de H podemos asumir\nque H = 0 en un barrio pequeño, digamos U, de p. Elija una cubierta abierta\nU0, U1,. ...................................................................................................................................................\n− 1 (Ui) son establemente desplazables\npara i ≥ 1 (existe por la definición de tallo). Let.......................................................................................................................................................................................\nser una partición de unidad subordinada a la cubierta {Ui}.\nTome el T2R de dos torsión como en la Sección 6. Elija R > 0 lo suficientemente grande para que\n1(Ui)× {r = const} es desplazable en M × T\nR para todos los i ≥ 1. Elija ahora\nuna cobertura suficientemente fina Vj, j = 1,..., K, del toro T.\nR por lo suficiente\ndelgada anular r − rj < de modo que los conjuntos Φ\n−1(Ui) × Vj son desplazables en\nM × T2R para todos los i ≥ 1 y todos los j. Let â € ~ j = â € ~ j(r), j = 1,..., K, ser una partición\nde unidad subordinada a la cubierta {Vj}.\nDenotar por el estado cuasi parcial correspondiente a aT. Puso F (r, ) =\ncos(2γr/R). Escribir\nH + F =\n(H + F )\n(H0) + F · Φ\n0 +\n(H + F ) · i · j.\nNótese que H0 = 0 y F · Φ\n0 ≤ 1. Aplicación de la cuasiadditividad parcial\ny la monotonicidad tenemos eso\n′(H + F ) = ′(F · 0) ≤ 1.\nPor Lemma 6.2 y la fórmula del producto (Teorema 5.1 arriba) tenemos\n(H + F ) = (H + F ) = (H ) + 1 ≤ 1\ny, por lo tanto, «(H)» ≤ 0. Por otra parte, el valor de H ≥ 0 (H) ≥ 0 desde el punto de vista de H ≥ 0. Por lo tanto\nA continuación figura una reclamación de 0 (H) = 0.\nAdemás, dada cualquier función G en M con G ≥ 0 y GX = 0, se puede\nencontrar una función H en A* con H(p) = 0 para que G ≤ H. Por monotonicidad\ny la reclamación supra\n0 ≤ G ≤ H = 0,\ny, por lo tanto, el punto G = 0. Así X es superpesada.\n8 Submanifolds monotónicos lagrangianos\nLa principal herramienta de prueba (super)peso de la monotona Lagrangian subman-\nilolds que satisfacen la condición de Albers es la estimación espectral en Proposi-\nsión 8.1(iii) a continuación, que se originó en la obra de Albers [2]. Más tarde.\nBiran y Cornea señalaron un error en [2], y sugirieron una corrección\njunto con una generalización de largo alcance en [15]. Mencionemos que el\nLa estimación original de Albers se utilizó en la primera versión del presente documento. Nosotros\ngracias Biran y Cornea por informarnos sobre el error, explicando a\nnos su enfoque y nos ayuda a corregir una serie de nuestros resultados afectados\npor este error.\nEl ingrediente principal de las técnicas de Biran-Cornea que se necesita para nuestro\nla finalidad es el siguiente resultado. Vamos a ser un simplético monótono cerrado\nCélulas de hierro o acero sin alear, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso EscribeN para el número mínimo de Chern\nde (M. Deja que Ln M2n sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold con\nel número mínimo de Maslov NL ≥ 2.\nTrataremos de manera ligeramente diferente los casos en que NL es paritario y extraño. Vamos.\nMencionamos que para L orientable, NL es automáticamente uniforme. Por lo tanto, debido a\nnuestra convención, cuando NL es raro trabajamos con el campo básico F = Z2. Vamos.\nN · Z sea el grupo de períodos de M. Recuerde que el anillo cuántico tiene\nla forma QH*(M) = H*(M;F) F \ncomo = [q, q\n−1]. Put = (N/2) · Z. Considere un anillo Novikov extendido\n:= K [q\n2, q−\n2 ]. Definir ahora QH (M) como QH*(M) si NL es par, y como\nH*(M,Z2)Z2 \n′ si NL es raro. En este último caso, QH\n∗(M) es una extensión de\nQH*(M), y lo consideraremos sin mencionar de manera especial QH*(M),\ncomo subrenglones de QH (M),\n′, K. La clasificación de QH\n* La letra M) está determinada por:\nla condición deg q\n2 = 1. Como antes, utilizaremos la notación QH (M), donde\n• = “equivalente” cuando F = C y • = * cuando F = Z2.\nTenga en cuenta que los invariantes espectrales (y por lo tanto parcial simplés cuasi-\nlos estados) están bien definidos sobre el anillo extendido, y además, sus valores\ny las propiedades, por razones tautológicas, no se alteran bajo tal extensión\n(cf. una discusión en [15], sección 5.4. Put w := sNL/2qNL/2. Recordemos que j\nrepresenta el morfismo natural H•(L;F) → H•(M;F).\nProposición 8.1. Supongamos que k > n+1−NL. Si F = C asumen además\nQue k está a mano. Entonces existe un homomorfismo canónico jq : Hk(L;F) →\nQH ′k(M) con las siguientes propiedades\n8La letra “q” en jq significa cuántica.\ni) jq(x) = j(x) + w−1y, donde y es un polinomio en w−1 con coeficientes\nen H•(M ;F);\nii) jq([L]) = j([L]);\niii) Si jq(x) 6= 0 entonces c(jq(x), H) ≤ supLH por cada H + C\n(M).\nEn particular, si S es un elemento Albers de L, tenemos jq(S) = j(S)+O(w−1) 6=\nEsta proposición fue probada por Biran y Cornea en [15] en el caso\nF = Z2: El mapa j\nq es esencialmente el mapa iL que aparece en Teorema A(iii)\nen [15]. La Proposición 8.1 i) es una combinación de Teorema A iii) y\nProposición 4.5.1 i) en [15]. Nuestra variable w corresponde a la variable t−1 en\n[15], mientras que nuestro sNŁqN corresponde a la variable s−1 en la Sección 2.1.2 de [15].\nDespués de tal ajuste de la notación, la fórmula w := sNL/2qNL/2 arriba\npuede extraerse de la sección 2.1.2 de [15]. Para la propuesta 8.1 ii) supra\nVéase la Observación 5.3.2.a en [15]. La Proposición 8.1 iii) se deriva de Lemma\n5.3.1 ii) en [15]. Por último, vamos a repetir el descargo de responsabilidad hecho en la sección 1.5: nosotros\ndar por sentado que la Proposición 8.1 sigue siendo válida para el caso F = C.\nPasemos a las pruebas de nuestros resultados sobre (super)-peso del monotono\nSubmanifolds lagrangianos. Comenzamos con la siguiente observación. Deja que S sea un\nAlbers elemento de L. La propiedad de dualidad Poincaré de invariantes espectrales\n(véase la sección 3.4 supra) se extiende literalmente al caso del anillo QH ′(M)\ncon la siguiente modificación: Cuando NL es impar, el emparejamiento Π introducido\nen la sección 3.4 se extiende de manera obvia a un valor F no degenerado\nemparejamiento en QH (M) que todavía denotamos por Π. Aplicación de la dualidad de Poincaré\ny sustituyendo H := −F en la Proposición 8.1 iii) arriba obtenemos eso para\ntodas las funciones F + C+(M)\nc(T, F ) ≥ inf\nF T T QH (M) con Π(T, j\nq(S) 6= 0.\nEn particular, dado un idempotente distinto de cero a • QH (M) y una clase b •\nQH (M), de modo que Π(a*b, j\nq(S) 6= 0, obtenemos, usando la propiedad de normalización\nde invariantes espectrales, que\nc(a, F ) + (b) ≥ c(a ∗ b, F ) ≥ inf\nF. F. C. M........................................................................................................... (27)\nPor lo tanto, aplicando (27) a kF para k â € N, dividiendo por k y pasando a la\nlímite como k → #, obtenemos que para el cuasi-estado parcial #, definido por a,\n(F ) ≥ inf\nF. F. C. M.\nlo que significa que L es pesado con respecto a a.\nPrueba de Teorema 1.15: Que S sea un elemento Albers de L. Let T\nH•(M;F) ser cualquier clase de homología singular tal que T • j(S) 6= 0. Por lo tanto,\naplicando la Proposición 8.1 i) vemos que Π([M]*T, jq(S)) = Π(T, jq(S)) 6= 0,\ny por lo tanto desigualdad (27), aplicado a a = [M ], b = T, rendimientos que L es pesado\ncon respecto a [M].\nPasemos a la prueba del Teorema 1.25 sobre el efecto de la semi-simplicidad\nde la homología cuántica. Se sigue fácilmente de la siguiente más general\ndeclaración. Let L1,. ...............................................................................\ncondición. Que Si sea cualquier elemento Albers de Li. Nota de Zi = j\nq(Si)\nQH (M) su imagen bajo el morfismo de inclusión de la Proposición 8.1 anterior.\nTeorema 8.2. Teniendo en cuenta tal L1,. ............................................. .., Zm, asumir, además,\nque QH2n(M) es semi-simple y los submanifolds lagrangianos L1,. ..............................................................\nson desarticulados en el sentido del par. Luego las clases Z1,. .., Zm son linealmente independientes\nsobre K.\nPrueba. Argumentando por contradicción, asumir que\nZ1 = α2Z2 +... + αmZm (28)\npara algunos α2,. ............................................................... Puesto que QH2n(M) es semi-simple, se descompone\nen una suma directa de campos con unidades e1,. ., ed. Desde el apareamiento Π (en\nQH (M;F)) no es degenerado, existe T QH\n•(M;F) de tal manera que\nΠ(T, Z1) 6= 0. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nEscribamos T como\nT = [M ] * T =\n* T. (30)\nEcuaciones (29), (30) implican que existe l â € [1, d] de tal manera que\nΠ(el ∗ T, Z1) 6= 0. 31)\nEntonces (28) implica que existe r [2, m] de tal manera que\nΠ(el ∗ T, αrZr) 6= 0.\nUsando (21) (para Π en QH (M;F)) podemos reescribir la última ecuación como\nΠ(el ∗ αrT, Zr) 6= 0. (32)\nAplicando ahora la fórmula (27) para S = Z1 H•(L1;F), a = el, b = T, y también\npara S = Zr H•(Lr;F), a = el, b = αrT, concluimos que tanto L1 como Lr\nson pesados con respecto a El. Por lo tanto son superpesados con respecto a el,\nporque el es la unidad en un factor de campo de QH2n(M) (ver Sección 1.6). Por lo tanto\ndeben intersecarse, en contradicción con la suposición del teorema. Esto\ntermina la prueba de la primera parte del teorema.\nPrueba de Teorema 1.25(a): Supongamos que L1,. ...............................................................\nSubmanifolds lagrangianos que satisfacen la condición (a) de la formulación\ndel teorema. Denotar por Ni el número mínimo Maslov de Li. Desde\nNi > n + 1, la clase de un punto de H0(Li;F) es un elemento de Albers para Li.\nDejemos que Zi QH\n0(M) ser su imagen bajo el morfismo de inclusión de Biran-Cornea\nasociado a Li. Note que por la Proposición 8.1(i) Zi = p + aiw\ni, donde\nwi = s\nNi/2qNi/2, ai, HNi(M;F) y p, H0(M;F) es la clase de homología de\nun punto. Observar que degwi = Ni > n + 1, y por lo tanto la expresión para Zi\nno puede contener términos en w−1i de orden dos y superior, ya que HkNi(M ;F) = 0\npara k ≥ 2.\nRecordar ahora que toda la mentira de Ni en algún conjunto Y de enteros positivos. Dejad que W...\nQH ′0(M) ser el lapso sobre K de\nH0(M;F)\nsE/2q−E/2 ·HE(M;F).\nTenga en cuenta que\ndimK W = βY (M) + 1 < m.\nAsí los elementos Zi, i = 1,..., m, son linealmente dependientes sobre K. Por\nEl teorema 8.2, QH2n(M) no es semisimple.\nPrueba de Teorema 1.25(b): Supongamos que L1,. ...............................................................\nSubmanifolds Lagrangianos homológicamente no triviales. Por la Proposición 8.1 ii)\njq([Li]) = j([Li]) para cada i = 1,..., m. Dado que las clases j([Li]) son linealmente\ndependiente, Teorema 8.2 implica que QH2n(M) no es semi-simple.\nPrueba del Teorema 1.18: Combinando la Proposición 8.1 ii) y iii) obtenemos\nque para cualquier H â € TM Câ TM (M)\nc(j([L]), H) ≤ sup\nH. H. C. M.......................................................................................................................................\nPor la hipótesis del teorema, podemos escribir j([L]) * b = a para algunos b.\nc(a,H) = c(j([L]) ∗ b,H) ≤ c(j([L]), H) + c(b, 0).\nc(a,H) ≤ sup\nH + c(b, 0).\nAplicando esta desigualdad a E · H con E > 0, dividiendo por E y pasando\nhasta el límite como E → â € € TM € ~ (H) ≤ supLH para todos los H. Por lo tanto L es\nsuperpesado.\nObservación 8.3. Los resultados anteriores admiten las siguientes generalizaciones en el\nmarco de la teoría de Biran-Cornea. El principal objeto de esta teoría es la\nanillo de homología cuántica QH*(L) de un submanifold Lagrangiano monotono,\nque es isomórfico a la homología Lagrangia Floer HF*(L, L) de L hasta\nun cambio en la clasificación.\ni) Si QH*(L) no desaparece, L es pesada (véase la Observación 1.2.9b en [15]).\nDe hecho, de [15] se deduce que si L cumple la condición de Albers,\nQH*(L) no desaparece.\n(ii) El mapa jq de la Proposición 8.1 anterior es una huella de la\nMapa de inclusión de tum iL : QH*(L) → QH\n*(M) construido en [15]. Los\nla estimación de la acción en el inciso iii) de la propuesta es\nque figuran en [15] para las clases iL(x) para los elementos x • QH*(L) de una determinada\nforma especial, dando la siguiente generalización del Teorema 1.18: para\nestas clases especiales x • QH*(L) la condición de que la clase iL(x)\nno desaparece y divide un idempotente no trivial a implica que L\nes superpesado con respecto a a. Esto permite, por ejemplo,\nize Ejemplo 1.19 sobre las esferas lagrangianas en los cuadros anteriores al caso\ncuando dimL es raro.\n(iii) En [15] uno puede encontrar otra estimación de acción que viene de la\nEstructura del módulo QH*(M) en QH*(L), que da más resultados sobre\n(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monótono.\nPrueba de la Proposición 1.4: La homología cuántica QH2n(M) se divide como una\nálgebra sobre K en una suma directa de dos álgebras uno de los cuales es un campo. Esto\nfue probado por McDuff para el campo F = C (véase [39] y [24, sección 7]), pero\nla prueba pasa por el caso F = Z2 también. Denotar la unidad de la\ncampo por a. Es un idempotente no cero en QH2n(M). Como ya hemos señalado\nhacia fuera en la Observación 1.21, tal idempotente a define un verdadero simplés cuasi-\ny por lo tanto las clases de conjuntos pesados y superpesados con respecto a\nCoincidencia.\nPor el teorema 1.2, el toro lagrangiano L-M no puede ser superpesado\ncon respecto a un, ya que puede ser desplazado de sí mismo por un simplético (no-\nHamiltonian) isotopía. De hecho, tome una isotopía simpléctica obvia............................................................................................................................................\nque desplaza L (un cambio paralelo) y lo compone con una isotopía Hamiltoniana\nPara que por cada t que tenemos que es constante en t (L) y t (t) es la identidad\nen la bola donde se realizó la explosión de T2n. Sin lugar a dudas, el resultado\nla isotopía simpléctica se extiende a una isotopía simpléctica de M que desplaza\nPor otro lado, NL ≥ 2 porque en este caso NL = 2N, donde N ≥ 1\nes el número mínimo Chern de M. Por último, tenga en cuenta que L representa un no-\nclase de homología trivial en Hn(M ;Z2). Por lo tanto podemos aplicar Teorema 1.15\ny conseguir que L es pesado con respecto a [M ].\n9 Rigidez de fibras especiales de ac-\nciones\nEn esta sección probamos Teorema 1.9. Denotar la fibra especial de Φ por\nL := 1(pspec).\nReducción al caso de las acciones T1: En primer lugar, afirmamos que es suficiente\npara probar el teorema de las acciones Hamiltonian T1- y el caso general\nSígueme de ahí. De hecho, supongamos que esto está probado. La superpeso de la\nfibra especial inmediatamente produce que para cualquier función H̄ : R → R\n*(H̄) = H̄(pspec), (33)\ndonde Φ :M → R es el mapa del momento de la acción T1.\nVolvamos a la situación multidimensional y vamos a Φ : M → Rk\nser el mapa del momento normalizado de un Hamiltonian Tk-action en M. Para un\nv Rk denotar por Φv(x) = Φv,Φ(x), donde, es el estándar euclidiano\nproducto interior en Rk. Tenga en cuenta que si v • Zk la función Φv es el normalizado\nmapa del momento de una acción del círculo Hamiltoniano y su valor especial es v, pspeñá.\nAsí por (33)\nK) = K(v, pspeñá)\n*(R). (34)\nPor la homogeneidad de la igualdad (34) se mantiene para todos v. Qk, y por la continuidad\npara todos los v â € Rk.\nObsérvese que para cada par de funciones lisas P,Q,C,C,(R) y para cada\npar de vectores v,w Rk las funciones \nP y \nQ Poisson-computar en\nM. Así la desigualdad triangular para los números espectrales (ver Sección 3.4)\nrendimientos\nP + \nQ) ≤ ()\nP ) + ()\nP). (35)\nPuesto que M es compacto, basta con asumir que la función H̄ â € TM TM Câ TM (Rk) en\nRk es compatible de forma compacta. Por la inversa transformación de Fourier podemos escribir\nH̄(p) =\n(v) + cosáv, páv) · F (v) + cosáv, páv) ·G(v)\npara algunos rápidamente (digamos, más rápido que (p + 1)-N para cualquier N N) decayendo\nfunciones F y G en Rk. Para cada v â € TM Rk definir una función Kv â € C\nKv(s) := sin s · F (v) + cos ·G(v).\nObservar que\nH̄ =\nKv dv.\nDenotar por B(R) la bola euclidiana de radio R en Rk con el centro en el\norigen. Poner\nH̄R(p) =\nKv(v, ) dv, p R\nDado que las funciones F y G están decayendo rápidamente, tenemos que\nH̄R − HC0(Rk) → 0 como R → فارسى. (36)\nAfirmamos que por cada R\n*(H̄R) ≤ H̄R(pspec). (37)\nDe hecho, para â > 0 introducir la suma integral\nH̄R (p) =\nvÃ3r ZkÃ3B(R)\nKv (v, p)...........................................................................................................................................\nH̄R, =\nvÃ3r ZkÃ3B(R)\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\nAplicando repetidamente (35) y (34) obtenemos eso\n*(H̄R,♥) ≤ H̄R,/23370/(pspec).\nTenga en cuenta ahora que para R fijo la familia H̄R, fue convergente a H̄R como فارسى → 0 en\nla norma uniforme sobre C0(Rk). El uso de que es Lipschitz con respecto a la\nnorma uniforme en C0(M) obtenemos fácilmente la desigualdad (37).\nCombinando el hecho de que es Lipschitz con (36) y (37) obtenemos que\n(H̄) = lim\n(H̄R) ≤ lim\nH̄R(pspec) = H̄(pspec).\nAhora, asuma que H̄ ≥ 0 y H̄(pspec) = 0. Acabamos de demostrar que\n•(H̄) ≤ 0, y por lo tanto •(H) = 0, que inmediatamente produce el su- deseado\nla permeabilidad de la fibra especial. Esto completa la reducción de la\ncaso al caso 1-dimensional.\nA partir de ahora consideraremos sólo el caso de un Hamil efectivo...\ntoniano T1-acción en M con un mapa de momento Φ :M → R. Su momento\nEl politopo es un intervalo cerrado en R y pspec = −I(Φ) R.\nReducción al caso de una función estrictamente convexa: Nosotros reclamamos\nque es suficiente para mostrar la siguiente proposición:\nProposición 9.1. Suponga H̄ : R → R es una función lisa estrictamente convexa\nalcanzar su mínimo en pspec. Conjunto H := Φ\n*H̄. A continuación, Ł(H) = H̄(pspec).\nAplazando la prueba de la proposición por un momento vamos a demostrar que\nimplica el teorema. De hecho, let F : M → R ser un hamiltoniano en M. En\norden para mostrar la superpeso de L = 1(pspec) tenemos que mostrar que\n•(F ) ≤ supL F. Elija una función muy pronunciada estrictamente convexa H̄ : R → R con\nel valor mínimo de supL F alcanzado en pspec y tal que Φ\n*H̄ =: H ≥ F\nen todas partes en M. Entonces utilizando la Proposición 9.1 y la monotonicidad de\n•(F) ≤ (H) = H̄(pspec) = sup\npor lo que se refiere a la presentación de la reclamación.\nPreparativos para la prueba de la Proposición 9.1: Dado un (tiempo-\ndependiente, no necesariamente regular) Hamiltonian G, nos asociamos a cada\npar [γ, u] â € € € TM TM un número\nDG([γ, u]) := AG([γ, u])−\n· CZG([γ, u]).\n(Recuerde que definimos el índice Conley-Zehnder para todos los Hamiltonianos y\nno sólo los regulares – ver sección 3.3). El número DG([γ, u]) está in-\nvariante bajo un cambio del disco de extensión u – una adición de una esfera\njS HS2 (M) en el disco u cambia tanto AG([γ, u]) como CZG([γ, u]) por\nel mismo número. Así podemos escribir DG([γ, u]) = DG(γ).\nTeniendo en cuenta lo siguiente:\n(l) y u(l) como las composiciones\nde γ y u con el mapa z → zl en la unidad de disco D2 o C (aquí z es un\nCoordenada compleja sobre C). Denotar por t 7→ gt el flujo de tiempo de G y por\nG(l) :M × R → R el Hamiltoniano cuyo flujo temporal es t 7→ (gt)\nl y qué\nes definido por\nG(l) := G®. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde GÃ3K(x, t) := G(x, t) +K(g−1t x, t) para cualquier K :M × R → R.\nProposición 9.2. Existe una constante C > 0, dependiendo sólo de n, con\nla siguiente propiedad. Teniendo en cuenta una órbita 1-periódica γ PG del flujo t 7→ gt\ngenerado por G, asumir que γ(l) es una órbita 1-periódica del flujo t 7→ glt\ngenerado por G(l), y por lo tanto para cualquier u tal que [γ, u]\n[γ(l), u(l)].......................................................................................................................................................................................................................................................... Entonces\nDG(l)([γ\n(l), u(l)]— LDG([γ, u]) ≤ l · C.\nPrueba. El término de acción en DG se multiplica por l a medida que pasamos de G a G\nEn cuanto al término Conley-Zehnder, la propiedad cuasimorfista del Conley-\nEl índice de Zehnder (véase la Proposición 3.5) implica que existe una constante C > 0\n(dependiendo solamente de n) tal que\nlCZG[γ, u]− CZG(l)([γ\n(l), u(l)]) ≤ C.\nEsto prueba inmediatamente la proposición.\nProposición 9.3. Let G :M × [0, 1] → R ser un hamiltoniano como arriba. Entonces\nse puede elegir > 0, dependiendo de G, y una constante Cn > 0, dependiendo de\nsólo en n = dimM/2, de modo que cualquier función F : M × [0, 1] → R que es\ncerca de G, en una medida métrica-C. sobre C.(M×[0, 1]) cumple la condición siguiente:\npor cada γ0 • PF existe γ • • PG de tal manera que la diferencia entre DF (γ0)\ny la DG(γ) está limitada por Cn.\nPrueba. Denote el flujo de G por gt (como antes) y el flujo de F por ft.\nverá las trayectorias periódicas de tiempo-1 de estos flujos tanto como mapas de [0, 1] a\nM que tengan el mismo valor en 0 y 1 y como mapas de S1 a M.\nPrimero, considere la fibración D2×M →M y, abusando ligeramente de la notación,\ndenotar la retirada natural de............................................................................................................ Segundo, mira la fibración.\npr : D2 ×M → D2. Denotar por V ert el haz vertical sobre D2 × M formado\npor los espacios tangentes a las fibras de pr. Para cada bucle : S1 →M define por\n: S1 → D2 ×M el mapa (t) := (t, γ(t)). Los paquetes TM y V ert\nsobre S1 coinciden. Similarmente para cada w : D2 →M denotar por : D2 → D2×M\nel mapa (z) := (z, w(z)).\nExiste > 0, dependiendo de G, de tal manera que para cada γ PG un tubular\nEl término «vecindario» de la imagen de en S1 ×M D2 ×M, denotado por Ubγ, tiene\nlas siguientes propiedades:\n• existe un 1-formo en Ubγ que satisface d\n• V ert admite una trivialización sobre Ubγ.\nDado un â € > 0, podemos elegir F lo suficientemente cerca de G para que el\nrutas t 7→ pies y t 7→ gt en Ham(M) son arbitrariamente C\n- Muy cerca y, por lo tanto,\n• por cada x • Fix (F) existe y • Fix (G) que está cerca de x\n(pensar en los puntos fijos como puntos de intersección de la gráfica de un\ndifeomorfismo con la diagonal;\n• la distancia entre los mapas γ0 : t 7→ ft(x) y γ : t 7→ gt(y)\nde [0, 1] a M está limitada por y la imagen de 0 se encuentra en Ubγ.\nElija un mapa u0 : D\n2 → M, uD2 = γ0. Dado que γ0 y γ son C\n- ¡Cerca! - ¡Cerca!\npuede agrandar D2 a un disco más grande D21 D\n2 y encontrar un mapa suave u : D21 →M\npara que\n• uD21\n= u0;\n• u(D21 \\ D\n2) Ubγ.\nRescatar D21 podemos asumir sin pérdida de generalidad que [γ, u] PG.\nTrivializar los paquetes de vectores 0TM y γ\n* TM para que las trivializaciones\nse extienden a una trivialización de u*TM sobre D21 (y por lo tanto de u\n0TM sobre D\nUtilizando las trivializaciones podemos identificar las rutas t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt\ncon algunos caminos basados en la identidad de matrices simpléticas A(t), B(t). Fijación de un\npequeño como el anterior, también podemos asumir que F es elegido para C-cerca de G que,\nademás de todo lo anterior, la distancia C-entre los caminos t 7→ A(t)\ny t 7→ B(t) en Sp (2n) está limitado por (por ejemplo, asegúrese primero de que\nlas trayectorias de matriz obtenidas escribiendo las trayectorias t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt\nusando alguna trivialización de V ert sobre Ubγ son lo suficientemente cerca – entonces la matriz\nrutas t 7→ A(t) y t 7→ B(t) también estarán lo suficientemente cerca).\nNosotros afirmamos que al elegir lo suficientemente pequeño en la construcción de arriba nosotros\npuede vincular la diferencia entre DF ([γ0, u0]) y DG([γ, u]) en una cantidad\ndependiendo sólo de dimM.\nDe hecho, la diferencia \nF (γ0(t), t)dt −\nG(γ(t))dt está limitado por una\ncantidad dependiendo sólo de algunas constantes universales y, porque γ0 es\nCerca de γ y F se encuentra cerca de G con respecto a la medida. Puede ser\nhecho arbitrariamente pequeño al elegir un lo suficientemente pequeño. La diferencia\n* −\nu = \n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nestá limitado por la diferencia \n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nOh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Desde entonces, γ0 y γ son\nla diferencia posterior se puede hacer menos de 1 si elegimos\na lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, hemos demostrado que al elegir un suficientemente\npequeño podemos unir AF ([γ0, u0])-AG([γ, u]) por 1.\nAhora, en lo que respecta a los índices de Conley-Zehnder, nuestra elección\nde las trivializaciones significa que la diferencia entre CZF ([γ0, u0]) y\nCZG([γ, u]) es sólo la diferencia entre los índices de Conley-Zehnder para el\nvías de matriz t 7→ A(t) y t 7→ B(t). Pero los últimos caminos en Sp (2n) son\nPor lo tanto, representan los elementos cercanos de Sœp (2n) y si\nse eligió suficientemente pequeño, entonces, como mencionamos en la sección 3.3, su\nLos índices de Conley-Zehnder difieren a lo sumo por una constante dependiendo solamente de n.\nEsto termina la prueba de la reclamación y la proposición.\nPlan de la prueba de la Proposición 9.1: Asumimos ahora que H̄ es\nuna función fija estrictamente convexa en R. Nuestros cálculos contarán con E como un\nparámetro grande. Para las cantidades α, β dependiendo de E escribiremos α β si\nα ≤ const se mantiene para E lo suficientemente grande, donde el const depende solamente de (M,\nΦ y H̄, y en particular no depende de E. Vamos a escribir α • β si\nα β y β α. Usando este lenguaje la proposición puede ser reafirmada como\nc(a, EH) EH̄(pspec). 38)\nEn general, las órbitas 1-periódicas del flujo de EH no están aisladas y allí-\nEl Hamiltoniano no es regular. Dejar F ser un regular (tiempo-periódico)\nperturbación de EH.\nPor el axioma de espectralidad, el número espectral c(a, F) para un QH2n(M)\nes igual a AF ([γ0, u0]) para algunos pares [γ0, u0] â € € con CZF ([γ0, u0]) = 2n. Por lo tanto\nc(a, F ) • DF (γ0). Combinando esto con la Proposición 9.3 obtenemos eso para algunos\nγ • PEH\nEH̄(pspec) c(a, EH) فارسى c(a, F ) ♥ DF (γ0) DEH(γ). (39)\nPor lo tanto, sería suficiente para demostrar que\nDEH(γ) EH̄(pspec) para todos los γ PEH, (40)\nque junto con (39) implicaría (38).\nLa desigualdad (40) se demostrará de la siguiente manera. Nótese que cada uno de ellos\nPEH se encuentra en Φ\n−1(p) para algunos p • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vamos a demostrar que\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p). 41)\nTenga en cuenta que (41) implica (40). De hecho, ya que H̄ es estrictamente convexo y alcanza\nsu mínimo en pspec, se deduce de (41) que\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p) ≤ EH̄(pspec),\nlo que es cierto para cualquier γ â € ¢ PEH por lo tanto rindiendo (40).\nPrueba de (41): Que la acción T1 sobre M sea dada por un bucle de sim-\nplectomorfismos t}, t R, t = t+1. El flujo de EH tiene la forma\nhtx = ♥EH(Φ(x))tx.\nVemos γ como un mapa γ : [0, 1] → M satisfaciendo γ(0) = γ(1). Denotar\nx := γ(0). La curva γ se encuentra en 1(p).\nNota N := γ([0, 1]). Este es el T1-órbita de x y es o bien un punto o\nun círculo.\nEn el primer caso γ es una trayectoria constante concentrada en un punto fijo\nN.M. de la acción. Usando esta curva constante γ junto con la constante\ndisco u que abarca las definiciones de I(Φ) y DEH(γ) se obtiene\npspec − p = mΦ(γ, u)\nDEH(γ) = EH̄(p)− فارسى/2 · CZEH([γ, u]).\nAsí pues, la prueba (41) reduce en este caso a la prueba\n-CZEH([γ, u])\n′(p) ·mΦ(γ, u).\nVamos a fijar una base simpléctica de TNM y ver cada diferencial dN\nmatriz simpléctica A(t), de modo que {A(t)} es un bucle basado en la identidad en Sp (2n).\n-CZEH([γ, u]) -CZmatr({A(EH̄)\n′(p)t)},\nmientras\nEH̄ ′(p) ·mΦ(γ, u) \n′(p)Maslov({A(t)}).\nPor lo tanto, tenemos que demostrar\nCZmatr({A(EH̄)\n′(p)t)}) فارسى EH̄ ′(p)Maslov({A(t)},\nque se sigue fácilmente de las definiciones del índice de Conley-Zehnder y\nla clase Maslov.\nAsí que a partir de ahora asumiremos que N es un círculo. Toma cualquier punto.\nx N. El estabilizador de x bajo la acción T1 es un grupo cíclico finito de\norden k N. Así la órbita de la T1-acción gira k veces a lo largo de N. Desde γ\nes una órbita cerrada no constante del flujo hamiltoniano generado por EH̄,\ngira r veces a lo largo de N con r Z \\ {0}. Esto implica que EH̄ ′(p) = r/k.\nAlegamos que sin pérdida de generalidad podemos asumir que l := r/k es un\nentero.\nDe hecho, siempre podemos pasar a γ(k) PkEH, de modo que (kEH̄)\n′(p)+Z, y\nsi podemos probar la proposición para γ(k), entonces\nDkEH(γ\nk) kEH̄(p) + kEH̄ ′(p)(pspec − p).\nAplicando la Proposición 9.2 obtenemos\nkDEH(γ) kEH̄(p) + kEH̄\n′(p)(pspec − p) + k · const,\ny, por lo tanto,\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p),\nla prueba de la reclamación de la γ original.\nA partir de ahora suponemos que l := EH̄ ′(p) â € € € € € TM y que [γ, u] â € € € € TM.\nConsidere el campo vectorial de Hamilton X := sgradΦ en un punto x â € N. Desde\nN es una órbita no constante obtenemos X 6= 0. Entonces V = Tx(Φ\n−1(p)) es el sesgo\nComplemento ortogonal a X. Elija un T1-invariante casi compatible con\nestructura compleja J en un barrio de N. Juntos Ł y J definen un T1-\nmétrica de Riemannia invariante g. Descomponga el haz tangente TM a lo largo\nN como se indica a continuación. Poner Z = Span(JX,X) y establecer W para ser el g-ortogonal\ncomplemento a X en V. Así tenemos una descomposición invariante T1-\nTxM = W â € Z, x â € N. (42)\nAdemás, W y Z llevan formas canónicas simplécticas. Por lo tanto W y Z\ndefinir subbundles simpléticos (y por lo tanto triviales) de TM sobre N. Inducen\nsubbundles triviales del paquete TM sobre S1.\nCalculamos\ndht(x) = dŁEH′(Φ(x))t(x) + EH\n′′(Φ(x)) · dΦ() ·X. (43)\nConsideramos dos trivializaciones del paquete TM sobre S1. El primer trivi-\nla alización se define por medio de secciones invariantes bajo la acción T1. Los\nsegundo se elige de tal manera que se extiende a una trivialización de u*TM\nsobre D2. Usando estas trivializaciones podemos identificar dht(x), respectivamente, con\ndos rutas basadas en la identidad {Ct}, {C\nDe matrices simpléticas. El decompo-\nSituación (42) induce una división\nCt = 1° Bt.\nAfirmamos que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E.\nDe hecho, observar que en la base (X, JX) de Z\n1 b12(t)\nDenote por L la línea que abarca X = (1, 0). Perturb {Bt} a una ruta {B]\nRtBt}, donde Rt es la rotación por el ángulo t, y > 0 es lo suficientemente pequeño.\nObsérvese queB′(t)LÃ3L = {0} para t > 0. Se desprende fácilmente de las definiciones\nque CZmatr(B\nt) y CZmatr(RŁt) no excedan de 2. Por lo tanto, por la cuasi-\npropiedad del morfismo del índice de Conley-Zehnder (ver Proposición 3.5)\ntienen que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E, que\nda lugar a la reclamación. Por lo tanto\nCZmatr ({Ct}) 0.\nPor otra parte, por fórmula (18)\nCZmatr ({C)\nt}) = CZmatr ({Ct}) +mlΦ([γ, u]).\nCZEH([γ, u]) := n− CZmatr ({C)\nt}) -mlΦ([γ, u]). (44)\nPuesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), obtenemos\nAEH([γ, u]) =\nEH(γ(t))dt−\nu = EH̄(p)−\nu. (45)\nUsando (45) y (44) la igualdad precisa\nDEH([γ, u]) = AEH([γ, u])−\n· CZEH([γ, u])\npuede convertirse en una desigualdad asintótica\nDEH([γ, u]) فارسى EH̄(p)−\nu +\nmlΦ([γ, u]). (46)\nPuesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), tenemos\nAlΦ([γ, u]) =\nlΦ(γ(t))dt−\nu = lp−\nu. (47)\nSumando y restando lp del lado derecho de (46) y utilizando (47)\n¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.\nDEH(γ) = DEH([γ, u])\nEH̄(p)− lp)\nmlΦ([γ, u])\nEH̄(p)−\nAlΦ([γ, u])+\nmlΦ([γ, u])\nEH̄(p)−\n− I(lΦ) =\n= EH̄(p) + l(−I(Φ)− p) = EH̄(p) + l(pspec − p).\nRecordando que l = EH ′(p), finalmente obtenemos que\nDEH(γ) = EH̄(p) + EH\n′(p)(pspec − p),\nque es precisamente la ecuación (41) que queríamos obtener. Esto termina el\nprueba de la Proposición 9.1 y del Teorema 1.9.\n9.1 Calabi y acción mixta-Maslov\nPrueba de Teorema 1.13.\nSuponga H :M × [0, 1] → R es un Hamiltoniano normalizado que genera\nun bucle en Ham(M) que representa una clase α • η1(Ham(M)) • Hśam (M). Entonces\nH(l) también se normaliza y genera un bucle que representa αl. Vamos a calcular\nμ(α) = −vol (M) · liml c(a,H\n(l))/l.\nArgumentando como en la prueba de (39) obtenemos que existe una constante C >\n0 De tal manera que para cada l N existe γ • PH(l) para el cual c(a,H\nl) −\nDH(l)(γ) ≤ C. Pero, como se desprende de las definiciones y del hecho de que\nI es un homomorfismo, DH(l)(γ) no depende de γ y es igual a −I(α\n− lI(α). Esto implica inmediatamente que μ(α) = vol (M) · I(α).\nAgradecimientos. Los orígenes de este documento se encuentran en nuestro trabajo conjunto con\nP.Biran en el papel [10] – le agradecemos por su fructífera colaboración en un\netapa inicial de este proyecto, así como por su ayuda crucial con el ejemplo 1.17\nsobre las esferas lagrangianas en hipersuperficies proyectivas. También le damos las gracias y\nO.Cornea por señalarnos un error en la versión original de este artículo\ny ayudándonos con la corrección (ver Sección 8). Damos las gracias a F. Zapolsky\npor su ayuda con el \"exótico\" monótono Lagrangiano toro en S2 × S2 dis-\ntachado en el ejemplo 1.20. Agradecemos a C. Woodward por señalarnos el\nenlace entre el punto especial en el momento politopo de un áurico simplés\nmúltiples y la invariante Futaki, y E. Shelukhin para discusiones útiles\nsobre esta cuestión. También estamos agradecidos a V.L. Ginzburg, Y. Karshon, Y. Largo.\nD. McDuff, M. Pinsonnault, D. Salamon y M. Sodin para debates útiles\ny las comunicaciones. Damos las gracias a K. Fukaya, H. Ohta y K. Ono, la...\nlos nizers de la Conferencia sobre topología simplética de Kioto (febrero de 2006),\nM. Harada, Y. Karshon, M. Masuda y T. Panov, los organizadores de\nference on Toric Topology in Osaka (mayo de 2006), O. Cornea, V.L. Ginzburg,\nE. Kerman y F. Lalonde, los organizadores del Taller de Teoría Floer\n(Banff, 2007), y A. Fathi, Y.-G. Oh y C. Viterbo, los organizadores de\nConferencia de verano de la AMS sobre topología simplética y conservación de medidas\nSistemas Dinámicos (Snowbird, julio de 2007), por darnos la oportunidad de\npresentar una versión preliminar de este trabajo y por el excelente trabajo que hicieron\nen la organización de estas conferencias. Finalmente, agradecemos a un árbitro anónimo por\ncomentarios útiles y correcciones.\nBibliografía\n[1] Aarnes, J.F., Quasi-estados y cuasi-medidas, Adv. Matemáticas. 86:1 (1991),\n41-67.\n[2] Albers, P., Sobre la topología extrínseca de los submanifolds lagrangianos, Int.\nMatemáticas. Res. 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También encontramos nuevos ejemplos de\nrigidez de las intersecciones que implican, en particular, fibras específicas del momento\nmapas de acciones de toros Hamiltonianos, monotones Lagrangian submanifolds (siguiendo\nlas obras de P.Albers y P.Biran-O.Cornea), así como ciertas, posiblemente\nsingular, conjuntos definidos en términos de Poisson-commutativo subalgebras de suave\nfunciones. Además, obtenemos algunas obstrucciones geométricas a la semi-simplicidad\nde la homología cuántica de los colectores simpléticos. Las pruebas se basan en el\nMaquinaria teórica flotante de cuasi-estados simpléticos parciales.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción y principales resultados 3\n1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad...........................................................................................................................................................................................................................................................\n1.2 Preliminares sobre la homología cuántica. .................................................................................. 8\n1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer. ......................................................................................................................................................................\n1.4 Acciones de toros de Hamilton........................................................................................................................................................................................................................................................... \n1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos. ...................................................................................................................\n1.6 Efecto de la semisimplicidad...........................................................................................................................................................................................................................................................\n1.7 Debate y preguntas abiertas 27...................................................................................................................................................................\n1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer? .....................................................................................................................................\n1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson 28\n2 Detectar la desplazabilidad estable 32\n3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer 33\n3.1 Valoración de QH*(M).......................................................................................................................................................................................................................................................... \n3.2 Teoría de Hamilton Floer........................................................................................................................................................................................................................................................... \n3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov. ........... 36\n3.4 Números espectrales. ................... 42\n3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales..........................................................................................................................................................................................................................................................\n4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados 45\n5 Productos de juegos (super) pesados 48\n5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales. ................................................................ 48\n5.2 Complejos Z2 decorados. .................................................................... 49\n5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida. ....................................................................\n5.4 Prueba del teorema 5.1................... 51\n5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2.............. 52\n6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados 57\n7 Análisis de los tallos estables 59\n8 Submanifolds Lagrangiano Monotone 61\n9 Rigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas 66\n9.1 Calabi y acción mixta - Maslov. ............ 76\n1 Introducción y principales resultados\n1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad\nUna propiedad bien estudiada y fácil de visualizar la rigidez de los subconjuntos de un simplec-\nla rigidez de las intersecciones: un subconjunto X\nser desplazado del cierre de un subconjunto Y â € M por un soporte compacto\nIsotopía Hamiltoniana:\n* (X) * Y 6= * * Ham(M) *\nDecimos en tal caso que X no puede ser desplazado de Y. Si X no puede ser\nDesplazado de sí mismo lo llamamos no desplazable. Estas propiedades se convierten en\nespecialmente interesante y puramente simplético cuando X puede ser desplazado de\no de Y por una isotopía suave (compactamente soportada).\nUno de los temas principales del presente documento es que “algunos\nconjuntos capaces son más rígidos que otros.” Para explicar esto, necesitamos lo siguiente\nramificaciones de la noción de conjunto no desplazable:\nFuerte no-desplazabilidad: Un subconjunto X-M se llama fuertemente no-\ndesplazable si uno no puede desplazarlo por ninguno (no necesariamente Hamiltoniano)\nel simplectomorfismo de (M.\nNo desplazabilidad estable: Considere T ∗S1 = R × S1 con el coordi-\nlos nates (r, Ł) y la forma simpléctica dr. Decimos que X-M es estable.\nno desplazable si X × {r = 0} no es desplazable en M × T ∗S1 equipado\ncon la forma simpléctica de la división = (dr dŁ). Mencionemos que de-\ntecting subconjuntos estable no desplazables es útil para el estudio de la geometría y\ndinámica de los flujos Hamiltonianos (véase, por ejemplo, [50] por su papel en Hofer\ngeometría y [51] por su apariencia en el contexto de la estabilidad de la patada en\nDinámica hamiltoniana).\nFormalmente hablando, las propiedades de la no-desplazabilidad fuerte y estable\nson mutuamente independientes y ambos son estrictamente más fuertes que la desplazabilidad.\nEn el presente trabajo refinamos la maquinaria de parcial simplético cuasi-\nlos estados introducidos en [23] y obtener nuevos ejemplos de\nconjuntos, incluyendo ciertas fibras de mapas momentáneos de acciones de toros Hamiltonianos\nasí como monotones Lagrangian submanifolds discutidos por Albers [2] y\nBiran-Cornea [15]. Además, abordamos la siguiente pregunta: dada la clase\nde conjuntos estable no desplazables, se puede distinguir aquellos de ellos que son\ntambién fuertemente no-desplazable por medio de la teoría de Floer? O, de otra manera\nalrededor, ¿cuáles son las características Homológicas de Floer estable no desplazable\npero sets fuertemente desplazables? Ejemplos de juguetes son dados por el ecuador de la\nDos esferas simpléticas y por el meridiano en un dos torso simplés. Ambas cosas.\nson establemente no-desplazables ya que sus homologías Lagrangian Floer son no-\ntrivial. Por otro lado, el ecuador es fuertemente no desplazable, mientras que\nel meridiano es fuertemente desplazable por un cambio no hamiltoniano. Más tarde\nexplicará la diferencia entre estos dos ejemplos desde el punto de vista\nde la homología hamiltoniana Floer y presentar diversas generalizaciones.\nLa pregunta sobre la caracterización homológica de Floer de (fuertemente)\nlos conjuntos que se pueden desplazar pero que se pueden desplazar de forma estable están totalmente abiertos, véase la sección 1.7.1 infra para\nun ejemplo que involucra el teorema de embalaje de Gromov y la discusión.\nDejando consideraciones teóricas de Floer para la siguiente sección, vamos a esbozar\n(en parte, informalmente) el esquema general de nuestros resultados: Dado un simplético\nmultiple (M,), definiremos (en el lenguaje de la teoría de Floer) dos\ncolecciones de subconjuntos cerrados de M, subconjuntos pesados y subconjuntos superpesados.\nCada subconjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa. Formalmente\nhablando, la jerarquía pesada-superpesada depende de una manera delicada de la\nelección de un idempotente en el anillo de homología cuántica de M. Esto y otros\nlos matices serán ignorados en este esquema. Las propiedades clave de estas colecciones\nson los siguientes (véanse los teoremas 1.2 y 1.5 infra):\nInvarianza: Ambas colecciones son invariantes bajo el grupo de todos los symplec-\ntomorfismos de M.\nNo-desplazabilidad estable: Cada subconjunto pesado es estable no-desplazamiento-\nCapaz.\nIntersecciones: Cada subconjunto superpesado intersecta cada subconjunto pesado. In\nEn particular, los subconjuntos superpesados son fuertemente no desplazables. En contraste con\nEsto, subconjuntos pesados pueden ser mutuamente desconectados y fuertemente desplazables.\nProductos: El producto de dos subconjuntos (super)pesados es (super)pesado.\n¿Qué hay dentro de las colecciones? Las colecciones de pesados y superpesados\nse incluyen los siguientes ejemplos:\nTallos estables: Dejemos que A C(M) sea un Poisson-commuta de dimensión finita.\ntivo subespacio (es decir, cualquiera de las dos funciones de un viaje con respecto a la\nPoisson brackets). Let Φ :M → A* ser el mapa del momento: (x), F = F (x).\nUna fibra no vacía 1(p), p A*, se llama un tallo de A (véase [23]).\nfibras no vacías 1(q) con q 6= p son desplazables y un tallo estable si\nson establemente desplazables. Si un subconjunto de M es un tallo (estable) de un finito-\nsubespacio dimensional de Poisson-commutativo de C(M), se llamará justo\na Tallo (estable). Claramente, cualquier tallo es un tallo estable. La colección de\nLos subconjuntos superpesados incluyen todos los tallos estables (ver Teorema 1.6 abajo).\nUno muestra fácilmente que un producto directo de tallos estables es un tallo estable y\nque la imagen de un tallo estable bajo cualquier simplectomorfismo es de nuevo un\nvástago estable.\nEl siguiente ejemplo de un tallo estable se toma prestado (con un mod-\n) de [23]: Que X â € M sea un subconjunto cerrado cuyo complemento es\nuna unión finita disyuntiva de conjuntos estable desplazables. Entonces X es un tallo estable.\nPor ejemplo, el esqueleto de la codimensión-1 de una triangulación suficientemente fina de\ncualquier colector simplético cerrado es un tallo estable. Otro ejemplo es dado por\nel ecuador de S2: divide la esfera en dos discos abiertos desplazables y\npor lo tanto es un tallo estable. Al tomar productos, uno puede llegar a ser más sofisticado\nejemplos de tallos estables. Ya el producto de los ecuadors de las dos esferas\nda lugar a un Lagrangian Clifford toro en S2×...×S2. Para demostrar su rigidez\npropiedades (como no desplazabilidad estable) uno tiene que usar sim-\nHerramientas plécticas como la homología Lagrangian Floer, véase, por ejemplo. [44]. Productos de\nlos 1-esqueletos de las triangulaciones finas de las dos esferas pueden ser considerados como\nsingular Lagrangian submanifolds, un objeto que actualmente está fuera de alcance\nde la teoría Lagrangian Floer.\nOtro ejemplo de los tallos estables proviene de las acciones de toros de Hamilton.\nConsiderar una acción Hamiltoniana eficaz : Tk → Ham(M) con el mo-\nΦ = (Φ1,............................................................................................ ...............................................................................................\nk. Supongamos que Φi es un\nHamiltonian, eso es\nΦi = 0 para todos los i = 1,...., k. Una acción de toro se llama\ncomprimible si la imagen del homomorfismo : η1(T\nk) → η1(Ham(M)),\ninducido por la acción............................................................................................................................................................................................................................................................. Uno puede demostrar que por compresible\nacciones la fibra 1(0) es un tallo estable (ver Teorema 1.7 abajo).\nFibras especiales de las acciones de toros Hamiltonianos: Considere un eficaz\nHamiltonian torus action (acción de toros) sobre un colector simplético esféricamente monótono.\nLet I : η1(Ham(M)) → R ser la acción mixta-Homomorfismo Maslov intro-\nEn el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, el importe de las importaciones objeto de dumping procedentes de la República Popular China se estima en [...] millones EUR. Puesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ es naturalmente\nidentificado con Hom(η1(T)\nk), R), la pull back pspec := \nI de la mezcla\nacción-Homomorfismo Maslov con el signo inverso puede ser considerado como un\npunto de Rk. La preimagen 1(pspec) se llama la fibra especial de la acción.\nVeremos abajo que la fibra especial siempre no está vacía. Para monotona\nlos colectores toricos simpléticos (es decir, cuando 2k = dimM) la fibra especial es un\nMonotone Lagrangian Torus. Tenga en cuenta que cuando la acción es comprimible\ntienen pspec = 0 y por lo tanto la fibra especial es un tallo estable según el\nejemplo anterior. Se desconoce si estos últimos bienes persisten para\nacciones no comprimibles. Así en lo que sigue tratamos los tallos estables\ny fibras especiales como ejemplos separados. La colección de superpesados\nLos subconjuntos incluyen todas las fibras especiales (ver Teorema 1.9 abajo).\nPor ejemplo, considere el CP 2 y el Torus Lagrangian Clifford en él (i.e.\nel toro {[z0 : z1 : z2] • CP\n2 Toma el estándar\nAcción Hamiltoniana T2 sobre el CP 2 preservando el toro Clifford. Tiene tres.\npuntos fijos globales lejos del toro de Clifford. Hacer un sym equivariante...\nblow-up pléctico, M, de CP 2 a k de estos puntos fijos, 0 ≤ k ≤ 3, de modo que\nel colector simplético obtenido es esféricamente monotono. La acción de los toros\nse eleva a una acción Hamiltoniana en M. Uno puede demostrar que su fibra especial es\nla transformación adecuada del toro de Clifford.\nMonotone Lagrangian submanifolds: Let (M2n, Ł) ser una esférica\nmonotone simplectic multiple, y dejar L â € M ser un monótono cerrado La-\nSubmanifold grangiano con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Nosotros decimos\nque L satisface la condición de Albers [2] si la imagen del morfismo natural\nH*(L;Z2) → H*(M;Z2) contiene un elemento S no cero con\ndeg S > dimL+ 1−NL.\nLa colección de juegos pesados incluye todos los monótonos cerrados Lagran-\nSubmanifolds gian que satisfacen la condición de Albers (véase Teorema 1.15\ninfra).\nEjemplos específicos incluyen el meridiano en T2, RP n • CP n y todos los La-\nEsferas grangianas en hipersuperficies proyectivas complejas de grado d en CP n+1\ncon n > 2d − 3. En el caso de que la clase fundamental [L] de L se divida\nun idempotente no trivial en el álgebra homológica cuántica de M, L es, en\nhecho, superpesado (ver Teorema 1.18 más abajo). Por ejemplo, este es el caso\npara RP n • CP n. Además, una versión de superpeso se mantiene para cualquier\nEsfera lagrangiana en el complejo cuadrático de dimensión par (compleja).\nSin embargo, existen ejemplos de pesado, pero no superpesado, Lagrangian\nsubmanifolds: Por ejemplo, el meridiano del 2-torus es\nceable por un (no-Hamiltoniano!) cambio y por lo tanto no es superpesado. Otro\nejemplo de pesado pero no superpesado submanifold Lagrangian es la esfera\nsurgida como la parte real de la hipersuperficie de Fermat\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\ncon d ≥ 4 y n > 2d− 3. Nos remitimos a la sección 1.5 para más detalles sobre\n(super) monótono pesado submanifolds Lagrangian.\nMotivación: Nuestra motivación para la selección de ejemplos que aparecen en el\nLa lista anterior es la siguiente. Tallos estables proporcionan un patio de recreo para estudiar\nrigidez simpléctica de subconjuntos singulares. En particular, ningún análogo visible de\nla técnica convencional de homología Lagrangian Floer es aplicable a ellos.\nDetectar (estable) la no-desplazabilidad de los submanifolds Lagrangian vía La-\nLa homología grangiana Floer es uno de los temas centrales de la topología simpléctica.\nEn contraste con esto, la detección de una fuerte no-desplazabilidad tiene en el momento la\ncondición del arte en lugar de la ciencia. Por eso nos intrigaba Albers’\nobservación de que la monotona Lagrangian submanifolds satisfacer su condición\nse encuentran en algunas situaciones fuertemente no desplazables. En el presente trabajo lo intentamos\ndigerir los resultados de Albers [2] y mirarlos desde el punto de vista teórico\nde cuasiestados simpléticos parciales desarrollados en [23]. Además, nuestro resultado\nsobre la superpeso del antidiagonal lagrangiano en S2 × S2 nos permite\ndetectar un toro Lagrangiano “exótico” en este colector simplético:\neste toro no se interseca el antidiagonal, y por lo tanto no es pesado en\ncontraste con el toro estándar Clifford, véase el ejemplo 1.20 a continuación.\nEn [23] probamos un teorema que dice que cada\nLa foliación coisotrópica tiene al menos una fibra no desplazable. ¿Cómo...?\nsiempre, nuestra prueba es no-constructiva y no nos dice qué fibras específicas\nno se pueden desplazar. La noción de la fibra especial surgió como un intento de\nresolver este problema para las acciones del círculo hamiltoniano.\nMencionemos también que la propiedad del producto nos permite producir\nmás ejemplos de subconjuntos (super)pesados tomando productos de los subconjuntos\nque aparecen en la lista.\nAlgunos comentarios sobre los métodos involucrados en nuestro estudio de la pesada y su-\nlos subconjuntos perheavy están en orden. Estas colecciones se definen en términos de:\ncuasiestados simpléticos parciales introducidos en [23]. Estos son...\ncon propiedades algebraicas ricas que\nse construyen por medio de la teoría de Hamiltonian Floer y que conve-\nCodificar una parte de la información contenida en esta teoría. En general,\nla definición de un cuasiestado simplético parcial implica la elección de un\nelemento idempotente en la parte conmutativa QH•(M)\nálgebra de mología de M. Aunque la opción por defecto es sólo la unidad de la\nálgebra, existen algunas otras opciones significativas, en particular en el caso\ncuando QH•(M) es semisimple. Esto da lugar a otro tema discutido en\nEste artículo: obstrucciones topológicas “visibles” a la semisimplicidad (ver Corol-\nlary 1,24 y Teorema 1,25 infra). Por ejemplo, demostraremos que si\nmonotone simplectic multiple M contiene “demasiado” disjoint monotone\nEsferas lagrangianas cuyos números mínimos de Maslov superan n+1, el quan-\nQH•(M) no puede ser semi-simple.\nPasemos a la configuración precisa. Para la comodidad del lector, la\nterial presentado en este breve esquema se repetirá en partes en el siguiente\nsecciones en una forma menos comprimida.\n1.2 Preliminares sobre la homología cuántica\nEl Anillo Novikov: Deja que F denote un campo base que en nuestro caso será\no bien C o Z2, y dejar que R sea un subgrupo contable (con respecto a la\nadded). Let s, q ser variables formales. Definir un campo K® cuyos elementos son\nSerie Laurent generalizada en s de la forma siguiente:\nK. :=\n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nEn el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nDefinir un anillo := K[q, q\n−1) como anillo de polinomios en q, q−1 con\nCoeficiente de K............................................................................................................................................... Convertimos en un anillo clasificado estableciendo el grado de s\nser 0 y el grado de q ser 2.\nEl anillo sirve como un modelo abstracto del anillo Novikov asociado a\nun colector simplés. Vamos a ser (M,) un colector simplético conectado cerrado.\nDenotar por HS2 (M) el subgrupo de clases de homología esférica en la integral\ngrupo homológico H2(M ;Z). Abusando de la notación escribiremos فارسى(A), c1(A)\npara los resultados de la evaluación de las clases de cohomología y c1(M)\nA H2(M ;Z). Establecer\n2(M) := H\n2 (M)/\ndonde, por definición,\nB iff (A) = (B) y c1 (A) = c1 (B).\nDenotar por el subgrupo de períodos de la\nforma simpléctica en M en las clases de homología esférica. Por definición, el\nEl anillo de Novikov de un colector simplés (M.) es (M.). En lo que sigue,\ncuando se fija (M,), abreviamos y escribimos, K y en lugar de (M,),\n(M.) y (M.) (M.) respectivamente.\nHomología cuántica: Conjunto 2n = dimM. La homología cuántica QH*(M)\nse define como sigue. En primer lugar, se trata de un módulo graduado sobre.............................................................................................................................................\nQH*(M) := H*(M;F)F\ncon la clasificación definida por las clasificaciones en H*(M;F) y \ndeg (a zsŁqk) := deg (a) + 2k.\nEn segundo lugar, y lo más importante, QH*(M) está equipado con una pro-\nect: si a • Hk(M ;F), b • Hl(M ;F), su producto cuántico es una clase\na* b • QHk+l−2n(M), definido por\na * b =\nA2(M)\na ∗ b) A s\n(A)q−c1(A),\ndonde (a ∗ b) A Hk+l−2n+2c1(A)(M) se define por el requisito\na ∗ b) A c = GW\nA (a, b, c)\nAquí significa el índice de intersección y GWFA (a, b, c)\nGromov-Witten invariante que, en términos generales, cuenta el número de\nesferas pseudo-holomórficas en M en la clase A que cumplen los ciclos que representan\na), b), c) H*(M;F) (véase [55], [56], [41] para la definición precisa).\nExtender esta definición por linealidad a todo el QH*(M) que se obtiene\nuna operación de producto asociativo clasificada y conmutativa correctamente definida* en\nQH*(M) que es una deformación del producto clásico en singular\nEn el caso de las empresas de seguros de vida, el importe de las primas de seguro de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de vida de seguros de vida de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de vida de vida de vida de vida de vida de vida. El álgebra cuántica de homología QH*(M)\nes un anillo cuya unidad es la clase fundamental [M] y que es un módulo\nde rango finito por encima de. Si a, b • QH*(M) han graduado grados grados grados de g (a), deg (b)\ndeg (a ∗ b) = deg (a) + deg (b)− 2n. 1)..........................................................................................................................................................\nEstaremos principalmente interesados en la parte conmutativa del cuántico\nanillo de homología (que en el caso F = Z2 es, por supuesto, todo el cuántico\nanillo de homología). Para ello se introduce la siguiente notación:\nDenotamos por QH•(M) toda la homología cuántica QH*(M) si\nF = Z2 y la parte de grado par de QH*(M) si F = C.\nEn general, dado un espacio topológico X, denotamos por H•(X ;F) la\ngrupo H*(X;F) si F = Z2 y el par-\ngrado parte de H*(X;F) si F = C.\nPor lo tanto, en nuestra notación el anillo QH•(M) = H•(M ;F)F\nmutatisticve subring con la unidad de QH*(M) y un módulo de rango finito por encima de.\nNos identificaremos con un suburbio de QH•(M) por 7→ [M ] ♥.\n1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer\nFijar un idempotente distinto de cero a QH2n(M) (por obvia clasificación considera-\nciones el grado de cada idempotente es igual a 2n). Nos ocuparemos de los espectrales.\ninvariantes c(a,H), donde H = Ht : M → R, t â € R, es un tiempo suave-\ndependiente y 1-periódico en el tiempo Hamiltoniano función en M, o c(a, H),\ndonde H es un elemento de la cobertura universal Hśam (M) de Ham(M) rep.\nresentida por un camino basado en la identidad dado por el flujo Hamiltoniano del tiempo-1\ngenerado por H. Si H se normaliza, lo que significa que\ndimM/2 = 0 para todos\nt, entonces c(a,H) = c(a, H). Estos invariantes, que hoy en día son estándar\nobjetos de la teoría de Floer, fueron introducidos en [45] (cf. [59] en la asférica\ncaso; véase también [42], [43] para una versión anterior de la construcción y [22] para un\nresumen de las definiciones y resultados en el caso monotono).\nDescargo de responsabilidad: A lo largo de todo el documento suponemos tácitamente que (M,.......................................................................................................................................................\ncomo (M ×T2, ), cuando hablamos de desplazabilidad estable) pertenece a la clase\nS de colectores simpléticos cerrados para los que los invariantes espectrales están bien\ndefinir y disfrutar de la lista estándar de propiedades (véase, por ejemplo, [41, Teorema\n12.4.4]). Por ejemplo, S contiene todo asférica y esféricamente\ncolectores monotónicos. Además, S contiene todos los colectores simpléticos M2n\npara los cuales, por un lado, c1 = 0 o el número mínimo de Chern (en\nHS2 (M)) es al menos n − 1 y, por otra parte,\n2 (M)) es un\nsubgrupo de R (cf. [64]). La creencia general es que la clase S incluye a todos\ncolectores simpléticos.\nDefinir un funcional : C(M) → R por\n(H) := lim\nc(a, lH)\nSe muestra en [23] que el funcional tiene algún algebraico muy especial\npropiedades (véase Teorema 3.6) que forman los axiomas de un simplés parcial\nel cuasi-estado introducido en [23]. La siguiente definición está motivada en parte por\nla obra de Albers [2].\nDefinición 1.1. Un subconjunto cerrado X â € M se llama pesado (con respecto a â €\no con respecto a un utilizado para definir\n(H) ≥ inf\nH. H. C. M., (3)\ny se llama superpesado (con respecto a o a) si\n(H) ≤ sup\nH. H. C. M....................................................................................................................................... 4)\nLa elección por defecto de un idempotente a es la unidad [M ] QH*(M). En este\ncaso, como veremos a continuación, las colecciones de conjuntos pesados y superpesados\nsatisfacer las propiedades enumeradas en la sección 1.1 e incluir los ejemplos en ella.\nTeniendo en cuenta las posibles aplicaciones (incluidas las obstrucciones geométricas a\nla simplicidad de la homología cuántica), trabajaremos, siempre que sea posible, con\nÍdempotentes generales.\nLa asimetría entre supX H e infX H está relacionada con el hecho de que\nlos números espectrales satisfacen una desigualdad triangular c(a ∗ b, \nc(b, ŁG), mientras que puede no haber una desigualdad adecuada “en la dirección opuesta-\ntion”. En el caso de que exista tal desigualdad “opuesta” (por ejemplo: cuando a = b\nes un idempotente y • definido por él es un verdadero cuasi-estado simplético – ver\nSección 1.6 a continuación) la simetría entre supX H e infX H se restaura\ny las clases de conjuntos pesados y superpesados coinciden.\nEnfaticemos que la noción de (super)peso depende de la\nelección de un anillo de coeficiente para la teoría de Floer. En este artículo los coeficientes\npara la teoría Floer será Z2 o C dependiendo de la situación. A menos que\nde lo contrario, nuestros resultados en subconjuntos (super)pesados son válidos para cualquier elección\nlos coeficientes.\nEl grupo Symp (M) de todos los simplectomorfismos de M actúa naturalmente sobre\nH*(M;F) y, por lo tanto, en QH*(M) = H*(M;F) F. Claramente, la identidad\ncomponente Symp0(M) de Symp (M) actúa trivialmente sobre QH*(M) y por lo tanto para\ncualquier idempotente a • QH*(M) el correspondiente • es invariante Symp0(M).\nAsí, la imagen de un (super)pesado conjunto bajo un elemento de Symp0(M) es de nuevo\na (super)conjunto pesado con respecto al mismo idempotente a. Si a es invariante\nbajo la acción de todo el Symp (M) (por ejemplo, si a = [M ]) las clases\nde conjuntos pesados y superpesados con respecto a a son invariantes bajo la acción\nde todo el Symp (M) de acuerdo con la propiedad de la invarianza presentada\nen la sección 1.1 supra.\nMencionemos también que las colecciones de (super) sets pesados disfrutan de un\npropiedad de estabilidad en inclusiones: Si X, Y, X â € ¢ Y, son subconjuntos cerrados de M\ny X es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a un idempotente a\nentonces Y también es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a la misma a.\nAhora estamos dispuestos a formular los principales resultados de la presente sección.\nTeorema 1.2. Suponga que una y la otra son fijas. Entonces\n(i) Cada conjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa.\nii) Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.\niii) Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado. En particular, un super-\nun conjunto pesado no puede ser desplazado por un simplético (no necesariamente Hamil-\ntoniano) isotopía y si el idempotente a es invariante bajo el symplec-\ngrupo de tomorfismo de (M.o) (p.e. si a = [M ]), cada conjunto superpesado es\nfuertemente no desplazable.\nEl siguiente teorema discute la relación entre pesadez/super-\npropiedades de pesadez con respecto a diferentes idempotentes. En particular,\nmuestra que [M] juega un papel especial entre todos los otros idempotentes no cero\nen QH*(M).\nTeorema 1.3. Supongamos que a es un idempotente no cero en la homología cuántica.\n(i) Cada conjunto que es superpesado con respecto a [M] también es superpesado con\nrespeto a a.\n(ii) Cada conjunto que es pesado con respecto a a es también pesado con respecto a\n[M]\niii) Suponga que el idempotente a es una suma de idempotentes distintos de cero\ne1,. ..., el y asumir que un subconjunto cerrado X • M es pesado con re-\nspect a a. Entonces X es pesado con respecto a ei para al menos una i.\nLa siguiente propuesta muestra que, en general, la pesadez de un conjunto\ndepende de la elección de un idempotente en la homología cuántica.\nProposición 1.4. Considere el toro T2n equipado con el sim-\nestructura pléctica • = dpÃ3dq. Que M2n = T2n+CP n sea una explosión simpléctica de\nT2n en un punto (la explosión se realiza en una pequeña bola alrededor del punto).\nAsumir que el toro lagrangiano L • T2n dado por q = 0 no se intersecta\nla bola en T2n, donde se realizó la explosión.\nEntonces la transformación apropiada de L (identificado con L) es un sub-\nmúltiple de M, que no es pesado con respecto a algunos no cero idempotente\na QH*(M) pero pesado con respecto a [M]. (Aquí trabajamos con F = Z2).\nA continuación, considere los productos directos de (super) sets pesados. Comenzamos con el fol-\nconvención de reducción en los productos tensores. Vamos a i, i = 1, 2, ser dos contables\nSubgrupos de R. Dejemos que Ei sea un módulo sobre K.i. Pusimos\nE1KE2 =\nE1 K1 K1 K1 K2\nK12\nE2 KÃ32 KÃ12\n. 5)\nSi E1, E2 son también anillos automáticamente suponemos que el tensor medio prod-\nuct es el producto tensor de los anillos. En palabras simples, ampliamos ambos módulos\na los módulos K. 1 ó 2 y considerar el producto tensor habitual sobre K. 1 ó 2.\nHabida cuenta de dos colectores simpléticos (M1, M1,.......................................................................................................................................................................................................................................................\nsubgrupos de períodos de las formas simpléticas satisfacen\n*(M1 ×M2, *(M1 ×M2) =*(M1, *1) +*(M2, *2).\nAdemás, debido a la fórmula Künneth para la homología cuántica (véase, por ejemplo,\n[41, Ejercicio 11.1.15] para la declaración en el caso monotono; el\ncaso en nuestra configuración algebraica se puede tratar de manera similar) existe un\nmonomorfismo de anillo lineal sobre K. 1 2\nQH2n1(M1)KQH2n2(M2) QH2n1+2n2(M1 ×M2),\nFijaremos un par de idempotentes ai QH*(Mi), i = 1, 2. Las nociones\nde (super)peso en M1, M2 y M1 ×M2 se entienden en el sentido de\nidempotents a1, a2 y a1 a2 respectivamente.\nTeorema 1.5. Supongamos que Xi es un pesado (resp. superpesados) subconjunto de Mi\ncon respecto a algunos idempotent ai, i = 1, 2. Entonces el producto X1 × X2\nes un pesado (resp. superpesados) subconjunto de M con respecto al idempotente\na1 a2 QH•(M1 ×M2).\nUna clase importante de conjuntos superpesados es dada por tallos estables introducidos\ne ilustrado en la sección 1.1.\nTeorema 1.6. Cada tallo estable es un subconjunto superpesado con respecto a cualquier\nÍdempotente no cero a QH*(M). En particular, es fuerte y estable\nno desplazable.\nEn la siguiente sección presentamos un ejemplo de tallos estables provenientes de Hamil-\nacciones de toro toniano.\n1.4 Acciones de toros hamiltonianos\nFibras del momento mapas de acciones de toros Hamiltonianos forman un interesante\nparque infantil para probar las diversas nociones de desplazabilidad y pesadez\nIntroducción anterior. A lo largo del documento nos ocupamos de acciones eficaces solamente,\nque es suponemos que el mapa : Tk → Ham(M) definir la acción\nes un monomorfismo. Además, suponemos que el mapa del momento Φ =\n(Φ1,. ...............................................................................................\nk de la acción se normaliza: Φi es un normalizado\nHamiltonian para todos i = 1,..... por el teorema de Atiyah-Guillemin-Sternberg\n[6], [30], la imagen = Φ(M) de Φ es un politopo convexo k-dimensional,\nllamó al momento politopo. Los subconjuntos 1(p), p, se llaman fibras de\nel mapa del momento. Una acción de toro se llama comprimible si la imagen de la\nhomomorfismo : η1(T\nk) → η1(Ham(M)), inducido por la acción\ngrupo finito.\nTeorema 1.7. Supongamos que está equipado con un Hamilto comprimible.\nnian Tk-action con mapa del momento Φ y politopo del momento. Dejad que Y # # # sea #\ncualquier subconjunto convexo cerrado que no contenga 0. Entonces el subconjunto 1(Y)\nes establemente desplazable. En particular, la fibra 1(0) es un tallo estable.\nTenga en cuenta que para los colectores tóricos simpléticos, es decir, cuando 2k = dimM, el punto\n0 es el baricentro del politopo del momento con respecto a la Lebesgue\nmedida. Esto se deriva de nuestra suposición sobre la normalización de la\nmapa del momento.\nLos teoremas 1.6 y 1.7 implican que la fibra 1(0) del toro comprimible\nacción es estable no desplazable, y así obtenemos la descripción completa\nde fibras establemente desplazables para tales acciones.\nEn el caso de que la acción no sea comprimible, la cuestión de la\nLa descripción completa de las fibras estable no desplazables permanece abierta. Hacemos un\nprogreso parcial en esta dirección mediante la presentación de al menos una de esas fibras, llamado\nla fibra especial, explícitamente en el caso de que (M,•) sea esféricamente monotona:\nHS2 (M)\n= c1(TM)HS2 (M)\n.......................................................................\nLa fibra especial se puede describir a través de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism introducido en [49]: Dejar (M2n, ) ser una esférica monotona simplectic\nmúltiple, y que {ft}, t [0, 1], sea cualquier bucle de difeomorfismos hamiltonianos,\ncon f0 = f1 = 1, generado por un func de Hamilton normalizado 1-periódico-\ntion F (x, t). Las órbitas de cualquier bucle hamiltoniano son contractibles debido a la\nteoría estándar de Floer1. Elija cualquier punto x â € M y cualquier disco u : D2 → M\nabarcando la órbita γ = {ftx}. Definir la acción\n2 de la órbita por\nAF (γ, u) :=\nF (γ(t), t)dt−\nu.\nTrivialize el paquete de vectores simplés u*(TM) sobre D2 y denote por\nmF (γ, u) el índice Maslov del bucle de matrices simpléticas correspondientes\na {ft con respecto a la trivialización elegida. Uno comprueba fácilmente que,\nen vista de la monotonicidad esférica, la cantidad\nI(F) := −AF (γ, u)−\nmF (γ, u)\nno depende de la elección del punto x y el disco u, y es invariante\nbajo los homotopies del bucle Hamiltoniano {ft}. De hecho, yo soy un bien definido\nhomomorfismo de η1(Ham(M)) a R (véase [49], [68]).\nSupóngase de nuevo que : Tk → Ham(M,) es un torus hamiltoniano ac-\ntion. Escriba para el homomorfismo inducido de los grupos fundamentales.\nPuesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ se identifica naturalmente con\nHom(π1(T)\nk), R), la retirada I de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism con el signo inverso puede ser considerado como un punto de Rk. Llamamos\nes un punto especial y denota por pspec. La preimagen Φ\n−1(pspec) se llama\nfibra especial del mapa del momento. En el caso k = 1, cuando Φ es un valor real\nfunción en M, llamaremos pspec el valor especial de Φ.\n1La teoría de Floer garantiza la existencia de al menos una órbita periódica contractible –\nEsto no es obvio a priori si {ft} no es un flujo autónomo. Desde todas las órbitas de {ft}\nson homotópicos, todos son contráctiles.\n2Tenga en cuenta que nuestra acción funcional y la de [49] son de signos opuestos.\nSi k = n y M es un colector torico simplético, entonces pspec se puede definir\nen términos puramente combinatorios que implican sólo el politopo. Es decir, elegir\nun vértice x de Ł. Puesto que en este caso es un politopo Delzant [20], hay un\núnica (hasta una permutación) elección de vectores v1,. .................................................\n• oriundo de x;\n• abarcan los rayos n que contienen los bordes de • adyacentes a x;\n• formar una base de Zn sobre Z.\nProposición 1.8.\npspec = x+ \nvi. 6)\nPrueba. Los vértices del momento politopo están en correspondencia uno-a-uno\ncon los puntos fijos de la acción. Que x â € ¢ M sea el punto fijo corre-\nsponding al vértice x = (x1,. ..,xn). Entonces los vectores vj = (v\nj,. v..............................................................\nj = 1,..., n, son simplemente los pesos de la isotropía Tn-acción en TxM. Desde\nla definición de la acción mixta-Maslov invariante de un círculo hamiltoniano\nla acción no depende de la elección de una órbita 1-periódica y\nning, vamos a calcular todos los II, l = 1,..., n, utilizando la órbita periódica constante\nconcentrado en el punto fijo x y el disco constante u que lo abarca. Claramente,\nAΦi(x, u) = Φi(x) = xi y mΦi(x, u) = 2\nvij Łi = 1,..., n,\nque produce fácilmente la fórmula (6).\nE.Shelukhin nos señaló que al resumir las ecuaciones (6) sobre todo el\nvértices x(1). ..,x(m) • Rn del politopo del momento, uno consigue fácilmente que\npspec =\nTeorema 1.9. Suponga que M2n es un colector simplético esféricamente monótono\nequipado con un Hamiltonian Tk-action. Entonces la fibra especial del momento\nmapa es superpesado con respecto a cualquier (no-cero) idempotente a QH2n(M).\nEn particular, es estable y no desplazable.\nMencionemos que, en particular, la fibra especial no está vacía y así\npspec â â € € TM. Por otra parte pspec es un punto interior de • – de lo contrario Φ\n−1(pspec) es\nisotrópico de dimensión < n y, por lo tanto, desplazable (véase, por ejemplo, [9]).\nObservación 1.10. Si dimM = 2dimTk (es decir, nos ocupamos de un\nmúltiple), la fibra especial, dicen L, es un toro lagrangiano. De hecho, este toro\nes monotona: por cada D • η2(M,L) que tenemos\n* = * mL(D),\ndonde mL representa la clase Maslov de L. Esto es una consecuencia inmediata\nde las definiciones.\nObservación 1.11. Tenga en cuenta que cuando M es esféricamente monotona y la acción es\nLos teoremas comprimibles 1.7 y 1.9 coinciden entre sí: en este caso pspec = 0\ny por lo tanto la fibra especial es un tallo estable por Teorema 1.7. Se desconoce\nsi esta propiedad persiste para las fibras especiales de ac-\nciones.\nEjemplo 1.12. Dejar que M sea el monótono simplético explosión de CP 2 en k\npuntos (0 ≤ k ≤ 3) que sean equivariantes con respecto a la norma T2-\nacción y que se realiza lejos del toro de Clifford en CP 2. Desde\nla explosión es equivariante, M viene equipado con una acción Hamiltonian T2-\nampliación de la acción T2 sobre CP 2. El toro Clifford es una fibra del momento\nmapa de la acción T2 sobre CP 2. Que L M sea el toro lagrangiano que es\nla transformación adecuada del toro de Clifford bajo la explosión – es una fibra de\nel mapa del momento de la T2-acción en M. Usando la Proposición 1.8 es fácil\nver que L es la fibra especial de M. De acuerdo con Teorema 1.9, es estable\ny fuertemente no desplazable. De hecho, es un tallo: la desplazabilidad de\ntodas las demás fibras se comprobaron para k = 0 en [10], para k = 1 en [23] y para\nk = 2, 3 in [40].\nNos remitimos a la sección 1.7.2 para seguir examinando los problemas conexos y muy\navances recientes.\nDigresión: Calabi vs. acción-Maslov. El método utilizado para demostrar\nTeorema 1.9 también permite probar el siguiente resultado que implica la mezcla\nacción-Homomorfismo Maslov. Denotar por vol (M) el volumen simplético de\nM. Considere la función μ : Hśam (M) → R definido por\nμ(H) := −vol (M) lim\nc(a, ŁlH)/l.\nEn el caso cuando a es la unidad en un campo que es un resumen directo en el\nla descomposición de la K-álgebra QH2n(M), como álgebra, en un directo\nsuma de subalgebras, μ es un cuasimorfismo homogéneo en H\nCalabi cuasi-morfismo [22],[24],[46]; en el caso general tiene utilería más débil\nerties [23]. Con este lenguaje, la función de • (en funciones normalizadas) es\ninducido (hasta un factor constante) por el retroceso de μ a la Lie álgebra de\nHśam (M).\nDespués de P.Seidel describimos en [22] la restricción de μ (de hecho, para cualquier\nM esféricamente monótono) en el η1(Ham(M))\nhomomorfismo η1(Ham(M)) → QH\n* (M), donde QH\n* (M) denota:\ngrupo de elementos invertibles en el anillo QH*(M). Aquí damos una alternativa\ndescripción de 1(Ham(M)) en términos de la acción mixta-Homomor Maslov-\nphism I que, a su vez, también proporciona cierta información sobre el Seidel\nhomomorfismo.\nTeorema 1.13. Asumir que M es esféricamente monotona y dejar que μ se defina como\narriba para algunos idempotentes distintos de cero a QH*(M). Entonces\n1(Ham(M)) = vol (M) · I.\nNótese que, en particular, 1(Ham(M)) no depende de un utilizado para de-\nBien μ. El teorema también implica que μ desciende a un cuasi-morfismo en\nHam(M) si y sólo si I : η1(Ham(M)) → R desaparece idénticamente (desde μ\ndesciende a un cuasi-morfismo en Ham(M) si y sólo si 1(Ham(M)) 0 –\nVéase, por ejemplo, [22], Prop. 3.4). La prueba del teorema figura en la sección 9.1.\nMencionemos también que, curiosamente, el homomorfismo I\ncoincide con la restricción a η1(Ham(M)) de otro cuasimorfismo\nsobre la Hśam (M) construida por P.Py (véanse [52, 53]).\nDigresión: Acción-Homomorfismo Maslov y Futaki invari-\nhormiga. Esta observación surgió de una observación que nos señaló Chris\nWoodward – le estamos agradecidos por ello. Asume que nuestro simplés\nmultipleM es complejo Kähler (es decir. se induce la estructura simpléctica sobre M\npor el Kähler uno) y Fano (con esto queremos decir aquí que [] = c1). Asumir\ntambién que una acción Hamiltoniana S1 {ft} preserva la métrica de Kähler y el\nestructura compleja. Por ejemplo, si M2n es un colector torico simplético puede\nestar equipados canónicamente con una estructura compleja y una métrica de Kähler invari-\nen el marco de la acción Tn sobre M, por lo tanto, en el marco de la acción de cualquier subgrupo S1-\n{ft} de T\nQue V sea el campo vectorial Hamiltoniano que genera el flujo Hamiltoniano\n{ft}. Puesto que {ft} preserva la estructura compleja, uno puede asociar a V su\nFutaki invariante F (V ) C [29]. Ha sido comprobado por E.Shelukhin [63]\nque, hasta un factor constante universal, este invariante Futaki es igual a la\nvalor del homomorfismo de acción mixta-Maslov en el bucle {ft}:\nF(V) = const · I({ft}).\nTenga en cuenta que si tal M admite una métrica de Kähler-Einstein entonces el Futaki\ninvariante tiene que desaparecer [29] – así si I({ft}) 6= 0 el colector no admite\na métrica de Kähler-Einstein. Por otra parte, si M2n es toric lo contrario también es cierto:\nsi el invariante Futaki desaparece para cualquier V generando un subgrupo del toro\nActuando en M entonces M admite una métrica de Kähler-Einstein – esto sigue de una\nteorema de Wang y Zhu [67], combinado con un resultado previo de Mabuchi\n[38]. En términos del politopo del momento, la desaparición de la invariante Futaki,\ny, en consecuencia, la existencia de una métrica de Kähler-Einstein, en un Fano de Kähler\nmúltiplo tórico significa precisamente que el punto especial del politopo coincide\ncon el baricentro.\n1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos\nQue (M2n, ) sea un colector simplético cerrado esféricamente monótono con [] =\n• c1(TM) en el punto η2(M), • • > 0. Deja que L-M sea un monótono cerrado Lagrangiano\nsubmanifold con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Como de costumbre, ponemos\nNL = + + η2(M,L) = 0. Como antes, trabajamos con el campo básico F que\nes Z2 o C. En el caso F = C, suponemos que L es relativamente vuelta, que\nes L es orientable y la 2a clase Stiefel-Whitney de L es la restricción de\nalguna clase de cohomología integral de M.\nDescargo de responsabilidad: En el caso F = C los resultados de esta sección son condicionales:\nDamos por sentado que la Proposición 8.1 a continuación, que fue probada por Biran\ny Cornea [15] para las homologías con coeficiente Z2, se extiende a las homologías\ncon C-coeficiente. En cada uno de los ejemplos específicos a continuación vamos a explícitamente\nindicar qué F estamos utilizando y cada vez que usamos F = C suponemos que L\nes relativamente girar.\nDenotar por j el morfismo natural j : H•(L;F) → H•(M ;F). Nosotros decimos que\nL cumple la condición de Albers [2] si existe un elemento S • H•(L;F) así\nque j(S) 6= 0 y\ndeg S > dimL+ 1−NL.\nNos referiremos a S como a un elemento de Albers de L.\nEjemplo 1.14. Suponga que [L] H•(L;F) y j([L]) H•(M;F) no es cero.\nEsto significa precisamente que [L] es un elemento de Albers de L.\nUn monótono cerrado Lagrangian submanifold L que satisface esta\n(y cuyo número mínimo de Maslov es mayor que 1) se llamará\nhomológicamente no trivial en M.\nTeorema 1.15. Que L sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold satisfacer-\nEn el estado de Albers. Entonces L es pesado con respecto a [M ]. En particular,\ncualquier submanifold Lagrangiano homológicamente no trivial es pesado con respeto\na [M].\nEjemplo 1.16. Asumir que η2(M,L) = 0. Entonces la clase de homología de un\npunto es un elemento Albers de L, y por lo tanto L es pesado. Tenga en cuenta que en este\nla pesadez del caso no se puede mejorar a la pesadez super: el meridiano en el\nDos torso es pesado pero no superpesado. Aquí tomamos F = Z2.\nEjemplo 1.17 (Esferas lagrangianas en las hipersuperficies de Fermat). Más examen...\n(pero no necesariamente superpesada) monotona Lagrangian sub-\nLos colectores pueden ser construidos de la siguiente manera3.\nDejar que M • CP n+1 sea una hipersuperficie compleja suave de grado d. La\nel retroceso de la estructura simpléctica estándar de CP n+1 convierte M en una\ncolectores simpléticos (de dimensión real 2n). Si d ≥ 2, entonces, como se explica,\npor ejemplo, en [12],M contiene una esfera lagrangiana: M se puede incluir en\nuna familia de hipersuperficies algebraicas de CP n+1 con degeneraciones cuadráticas en\npuntos aislados y el ciclo de desaparición de tal degeneración se pueden realizar\npor una esfera lagrangiana que sigue [5], [21], [60], [61], [62].\nDejemos que M • CP n+1 sea una hipersuperficie proyectiva de grado d, 2 ≤ d < n+ 2.\nEl número mínimo de Chern de M es igual a N := n+2− d > 0. Let Ln â € M2n\nser un simple submanifold Lagrangian conectado (por ejemplo, un Lagrangian\nesfera).\nEn primer lugar, considerar el caso cuando n es par, L es relativamente vuelta y el Euler\nlas características de L no desaparecen (este es el caso de una esfera). Entonces el\n3Agradecemos a P.Biran su ayuda indispensable con estos ejemplos.\nclase de homología j([L]) Hn(M;Z) no es cero: su número de auto-intersección\nen M hasta el signo es igual a la característica de Euler. Así [L] es un Albers\nelemento. (Aquí usamos F = C). En vista de Teorema 1.15, L es pesado con\ncon respecto a [M].\nSegundo, supongamos que n es de paridad arbitraria pero n > 2d − 3, y no\nya se asume la restricción de las características de Euler de L. Esto da resultados\nNL = 2N > n+ 1 y por lo tanto L satisface la condición de Albers con la clase de\nun punto P como elemento de Albers. Así L es pesado con respecto a [M ] – aquí\nUtilizamos F = Z2.\nFinalmente, fijar n ≥ 3 y un número par d tal que 4 ≤ d < n+2. Considerar\na Fermat hipersuperficie de grado d\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\nn+1.\nSu parte real L := M • RP n+1 se encuentra en el gráfico afín z0 6= 0 y está dada por\nla ecuación\nxd1 +.. + x\nn+1 = 1,\ndonde xj := Re(zj/z0). Dado que d es par, L es una esfera n-dimensional. As\nse explicó anteriormente, L es pesado con respecto a [M ] si n es uniforme\n(y F = C) o n > 2d − 3 (y F = Z2). Sin embargo, en cualquiera de los dos casos L no es\nsuperpesados con respecto a [M]. De hecho, vamos a hacer que Zd sea el grupo de complejos\nraíces de la unidad. Dado un vector α = (α1,. ..................................................................................................\nn+1, denotar por fα la\nsimplectomorfismo de M dado por\nfα(z0 : z1 :. .. : zn+1) = (z0 : α1z1 :. .. : αn+1zn+1). 7)..................................................................................................................................................\nSi todos los αj â ¬ C\\R, entonces αjx /â € R siempre que x â € Râ € €, y por lo tanto fα(L)â € L = â €.\nPor lo tanto, L es muy desplazable y la reclamación se deriva de la parte iii)\nde Teorema 1.2.\nEl siguiente resultado da una condición suficiente de superpeso fácil de usar.\nTeorema 1.18. Suponga que L es homológicamente no trivial en M y asuma\na QH2n(M) es un idempotente divisible distinto de cero por j([L]) en QH•(M), que\nes un j([L])*QH•(M). Entonces L es superpesada con respecto a a.\nLa no trivialidad homológica de L en la hipótesis del teorema significa\nsólo que [L] es un elemento Albers de L (véase el ejemplo 1.14). De hecho, la\nteorema se puede generalizar a los casos cuando L tiene otros elementos Albers -\nVéase la Observación 8.3 ii).\nEjemplo 1.19 (Esferas lagrangianas en cuadriciclos). Aquí trabajamos con F = C.\nQue M sea la parte real del Fermat cuadrático M = z20 +\nj=1 z\nj = 0}.\nSupongamos que n es par y L es un simple submanifold Lagrangian conectado\ncon una característica Euler no discontinua (por ejemplo: a Esfera lagrangiana). Bajo\nEsta suposición, [L] H•(L) y j([L]) 6= 0, ya que L tiene autodesvanecimiento\nintersección. Denotar por p • H*(M ;F) la clase de un punto. El cuántico\nEl anillo de homología de M fue descrito por Beauville en [8]. En particular, p * p =\nw−2[M], donde w = snqn. Por lo tanto\na± :=\n[M]± pw\nson idempotentes. Uno puede mostrar que j([L]) divide a− y por lo tanto L es a−-\nsuperpesado. Puesto que a- es invariante bajo la acción de Symp(M), el\nL es fuertemente no desplazable.\nPara simplificar, presentamos el cálculo en el caso n = 2 – el general\nEl caso es absolutamente análogo. El cuadrical de 2 dimensiones es simplectomórfico\na (S2 × S2, â € € ¬). Denotar por A y B las clases de [S2] × [punto] y\n[punto] × [S2], respectivamente. Puesto que la forma simpléctica desaparece en j([L]) nosotros\nobtener que j([L]) = l(B − A) con l 6= 0. Se sabe que A * B = p y\nB*B = w−1[M ]. Por lo tanto j([L]) ∗ 1\nwB = a−, es decir j([L]) divide a−.\nEn particular, el antidiagonal lagrangiano\nS2 × S2 : x = −y},\nque es difeomórfico a la 2-esfera, es superpesado con respecto a a-. Lo es.\nno se sabe si es superpesada con respecto a a+. Información adicional\nen superpesados submanifolds Lagrangian en los cuadriculos se puede extraer\na partir de [15].\nEjemplo 1.20 (Un toro Lagrangiano no pesado en S2 × S2). Con-\nsider el cuadro M = S2 × S2 del ejemplo anterior. Pensaremos en\nS2 a partir de la esfera de unidad en R3 cuya forma simpléctica es la forma de área dividida\npor 4η. Vamos a trabajar de nuevo con F = C. Curiosamente, tal M\ncontiene un toro Lagrangiano monotona que no es pesado con respecto a a−.\nEs decir, considere un submanifold K dado por ecuaciones4\nK = (x, y) S2 × S2 : x1y1 + x2y2 + x3y3 = −\n, x3 + y3 = 0}.\n4Agradecemos a Frol Zapolsky su ayuda con los cálculos en este ejemplo.\nUno comprueba fácilmente que K es un toro monótono Lagrangiano con NK = 2\nque representa un elemento cero en H2(M ;F) (ambos con F = C y F = Z2).\nAsí H•(K;F) no contiene ningún elemento de Albers. Además, K es\ndisjunto del antidiagonal lagrangiano y por lo tanto no es pesado con\na) ya que, como se ha demostrado anteriormente, • es superpesada con respecto a\na−. En particular, K es un toro monótono exótico: no es simplectomórfico\nal toro de Clifford que es un tallo y por lo tanto un--superpesado. Otro\nestudio de los toros exóticos en productos de esferas se está llevando a cabo actualmente por\nY.Chekanov y F.Schlenk.\nEs un problema interesante para entender si K es superpesada con\nrespecto a a+, o al menos no desplazable. Identificar M \\ {la diagonal} con\nel paquete de co-bola de la unidad de la 2-esfera. Después de tal identificación, corre...\nsponds a la sección cero, mientras que K corresponde a un Lagrangiano monotone\nTorus, di K ′. Curiosamente, la homología Lagrangia Floer de K ′\nen T ∗S2 (con F = Z2) no desaparece como lo demostraron Albers y Frauen-\nfelder en [3], y por lo tanto K no es desplazable en M \\ {la diagonal}. Por lo tanto\nla cuestión de la (no)-desplazabilidad de K está relacionada con la comprensión de la\nefecto de la compactación del conjunto de co-bolas de la unidad a S2 × S2.\nLas pruebas de los teoremas anteriores se basan en estimaciones espectrales debido a\nAlbers [2] y Biran-Cornea [15]. Además, los resultados anteriores admiten\nvarias generalizaciones en el marco de la teoría de Biran-Cornea de la cuántica\ninvariantes para los submanifolds monotónicos lagrangianos, véase [15] y la discusión\nen la sección 8 infra.\n1.6 Efecto de la semisimplicidad\nRecuerde que un álgebra conmutativa (finito-dimensional) Q sobre un campo A es\nllamado semi-simple si se divide en una suma directa de campos como sigue: Q =\nQ1 â € TM..â € Qd, donde\n• cada Qi Q es un subespacio lineal de dimensión finita sobre A;\n• cada Qi es un campo con respecto a la estructura de anillo inducida;\n• la multiplicación en Q respeta la división:\n(a1,. .., ad) · (b1,......................................................... .., bd) = (a1b1,. ., adbd).\nUn teorema clásico de Wedderburn (véase, por ejemplo, [66], §96) implica que la\nsimplicidad es equivalente a la ausencia de nilpotents en el álgebra.\nObservación 1.21. Asumir que el K-álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra,\nen una suma directa de dos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y dejar e\nser la unidad en ese campo. En particular, este es el caso cuando QH2n(M,\nQ1â €...â € Qd es semi-simple y e es la unidad en uno de los campos Qi. Un poco.\ngeneralización del argumento en [23, 46] (véase [24], la observación en pp. 56 a 57)\nmuestra que el cuasi-estado parcial asociado a e es R-homógeno\n(y no sólo R+-homógeno como en el caso general).\nEsto inmediatamente produce que cada conjunto que es pesado con respecto a e es\nautomáticamente superpesados con respecto a e.\nDe hecho, en esta situación es un verdadero cuasi-estado simplético en el sentido de\n[23] y, en particular, un cuasiestado topológico en el sentido de Aarnes [1] (véase\n[23] para más detalles). En [1] Aarnes demostró ser un análogo de la representación Riesz\nteorema para cuasiestados topológicos que generalizan la correspondencia\nentre los estados genuinos (es decir, las funciones lineales positivas en C(M)) y\nmedidas. El objeto que corresponde a un cuasi-estado se llama un cuasi-\nmedida (o una medida topológica). Con este lenguaje en su lugar, los conjuntos que\nson (super)pesados con respecto a no son nada más que los conjuntos cerrados de la\nCuasi-medida completa . Cualquiera de estos dos conjuntos tiene que intersecar para el siguiente\nrazón básica: cualquier cuasi-medida es finitamente aditivo en subconjuntos cerrados disjuntos\ny, por tanto, si dos subconjuntos cerrados de M de la cuasimedida completa no\nintersecta, la cuasi-medida de su unión debe ser mayor que el total\ncasi-medida de M, lo cual es imposible.\nEjemplo 1.22. En este ejemplo volvemos a asumir que F = Z2. Dejar M =\nEl CP n estará equipado con la estructura simpléctica Fubini-Study, normalizada.\nde modo que la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M) sea la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M)\navión. Uno verifica fácilmente el siguiente isomorfismo K-álgebra\nQH2n(M) ≤ K[X ]/+X\nn+1 − u−1®,\ndonde\nK = Z2[[u] = {zku\nk + zk−1u\nk−1 +. .............................................\nes el campo de la serie tipo Laurent en u := sn+1 con coeficientes en Z2 y\nX = qA. Puesto que ninguna raíz de grado 2 o más de u−1 está contenida en K, la\nel polinomio P es irreductible sobre K para cualquier n (véase, por ejemplo, [34], Teorema 9.1) y\npor lo tanto QH2n(M) es un campo. De ahí las colecciones de pesados y superpesados\nlos conjuntos con respecto a la clase fundamental coinciden.\nAlegamos que L := RP n + CP n es superpesada. El caso n = 1 cor-\nresponde al ecuador de la esfera, que se sabe que es un tallo estable.\nPara n ≥ 2, tenga en cuenta que NL = n + 1 y S = [RP]\n2] es un elemento de Albers de L.\nPor lo tanto, L es [M]-pesada por Teorema 1.15, y por lo tanto superpesada.\nEl siguiente resultado sigue directamente de Teorema 1.3 iii) y Observación 1.21:\nTeorema 1.23. Supongamos que QH2n(M) es semi-simple y se divide en un\nsuma directa de los campos d cuyas unidades serán denotadas por e1,. ., ed. Asumir que\nun subconjunto cerrado X â € M es pesado con respecto a un idempotente no cero a – como\nuno puede ver fácilmente, tal idempotente tiene que ser de la forma a = ej1+...+ejl\npara unos 1 ≤ j1 <. .. < jl ≤ d. Entonces X es superpesada con respecto a algunos\neji, 1 ≤ i ≤ l.\nEl teorema produce la siguiente caracterización geométrica de no-semi-\nsimplicidad de QH2n(M). Es decir, definir el grupo Torelli simplés como el\ngrupo de todos los simplectomorfismos de M que inducen el mapa de identidad en\nH•(M;F). Por ejemplo, este grupo contiene Symp0(M). Tenga en cuenta que cualquier ele-\ndel simplés grupo Torelli actúa trivialmente sobre la homología cuántica\nde M y, por lo tanto, los mapas conjuntos (super)pesados con respecto a un idempotente a a\nsets (super)pesados con respecto a a.\nAhora Teorema 1.23 implica fácilmente lo siguiente\nCorolario 1.24. Supóngase que (M,) contiene un subconjunto cerrado X que es\npesado con respecto a un idempotente no cero y desplazable por un simplec-\ntomorfismo del simplético grupo Torelli. Entonces QH2n(M) no es semi-\nSimple.\nLos ejemplos más simples son proporcionados por conjuntos de la forma Xa meridian}\nen M × T2 con una X pesada.\nOtro resultado en la misma vena es el siguiente5. Dado un conjunto Y de positivo\nenteros, poner βY (M) =\ni-Y βi(M), donde βi(M) significa el i-th Betti\nnúmero de M sobre F.\n5En el caso F = C, el teorema 1.25 es condicional, ver la descargo de responsabilidad en el anterior\nsección.\nTeorema 1.25. Asumir que cualquiera de los siguientes (sin excluirse mutuamente)\nlas condiciones son las siguientes:\na) M contiene m > βY (M) + 1 monotono cerrado disjunto por pares La-\nSubmanifolds grangianos cuyos números mínimos de Maslov son mayores que n+1\ny pertenecen a un conjunto Y de enteros positivos.\n(b) M contiene un par de par desjuntos homológicamente no trivial Lagrangian sub-\nsus clases fundamentales, consideradas como elementos (no nulos) de\nH•(M ;F), son linealmente dependientes sobre F.\n(En el caso F = C asumir que todos los submanifolds Lagrangian arriba son\ntambién girar relativamente.)\nEntonces QH2n(M) no es semi-simple.\nLa prueba se presenta en la sección 8.\nEjemplo 1.26. Por ejemplo, si todos los submanifolds Lagrangian de parte\n(a) del teorema están simplemente conectados, sus números mínimos de Maslov son\nigual a 2N, de modo que el conjunto Y consta de un elemento: Y = {2N}. Por lo tanto\nsi 2N > n + 1 y QH2n(M) es semisimple, M no puede contener más de\nβ2N(M)+ 1 par-desjunto simplemente-conectados Lagrangians (proporcionó todo de\nson relativamente girar si trabajamos con F = C).\nEjemplo 1.27. Set F = C. Fix n ≥ 11 y un número par d de tal manera que\n6 ≤ d < (n + 3)/2. Considerar una hipersuperficie de Fermat de grado d\nM = zd0 + z\n1 +... + z\nn+1 = 0}\nComo ya vimos en el ejemplo 1.17, el colector L := M • RP n+1 es un\nEsfera n-dimensional lagrangiana. Considere las imágenes fα(L), donde sim-\nlos plectomorfismos fα se definen por (7). Tenga en cuenta que, siempre y cuando αj/βj 6= ±1\nPara todas las j, las esferas lagrangianas fα(L) y fβ(L) son discontinuos. Usando esto\nobservación, es fácil encontrar d/2 esferas Lagrangian disjuntas en M.\nEl número mínimo de Chern N deM es igual a n+2-d, y así 2N se encuentra en la\nintervalo [n+2, 2n−4]. En este caso β2N(M) = 1 (véase, por ejemplo, [31]). Desde d/2 > 2,\nConcluimos del ejemplo anterior que QH2n(M) no es semi-simple.\nEsta conclusión concuerda con el cálculo de QH*(M) por Beauville [8].\n6Vea el ejemplo 1.14 para la definición. Como en ese ejemplo volvemos a asumir que todos nuestros\nLos submanifolds lagrangianos están cerrados, monotonas y tienen un número mínimo de Maslov mayor\nque 1.\nSería interesante encontrar ejemplos de colectores simpléticos donde el\nhomología cuántica no se conoce a priori y donde los teoremas anteriores son\naplicable. Mencionemos que las diferentes obstrucciones a la semi-simplicidad\nde QH•(M) procedentes de submanifolds lagrangianos fueron encontrados recientemente por\nBiran y Cornea [14].\n1.7 Debate y preguntas abiertas\n1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer?\nClaramente, la deslocalización implica una deslocalización estable. Lo contrario no es\ntrue, como muestra el siguiente ejemplo:\nEjemplo 1.28. Considerar el complejo espacio proyectivo CP n equipado con\nla forma simpléctica Fubini-Study (en nuestra normalización el área de una línea\nes igual a 1). Identificar la CP n con el corte simplético de la bola euclidiana B(1)\nCn (que es el límite de B(1) se colapsa a CP n−1 a lo largo de las fibras de\nla fibración Hopf, véase [36], donde B(r) := z2 ≤ r}. Entonces B(r) â € ¢ CP n\ni) Desplazables para r < 1/2;\nii) muy no desplazable, pero establemente desplazable, para r • [1/2, n/n+1];\niii) fuerte y estable no desplazable para r ≥ n/n+ 1.\nEs instructivo analizar las técnicas involucradas en las pruebas:\nel resultado de no desplazabilidad ii) es una consecuencia inmediata de Gromov\nteorema de embalaje por dos bolas, que se prueba a través de la variante J-holomorphic\ndel teorema que afirma que existe una línea J-holomorphic en CP n\npasando por cualquier dos puntos. En el caso iii) la bola B(r) contiene la\nClifford Torus, que es establemente no desplazable. Esto es lo que se desprende de la\nel hecho de que el toro de Clifford es un tallo (véase [10]), o de la no desaparición de su\nHomología Lagrangian Floer [16].\nLa deslocalización de B(r) en i) se deriva de la construcción explícita\ndel embalaje de las dos bolas (véase [33]). La dislocabilidad estable en (ii) es un\nconsecuencia directa del teorema 1.7 anterior: En efecto, considerar la norma Tn-\nacción sobre el CP n. El politopo del momento normalizado............................................................................................................................................\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nI ≤ 1 } en\nRn, donde (1,. .., ln) denotan las coordenadas en R\nn, y w = − 1\n(1,.., 1).\nNótese que la bola B(r) es igual a 1(r) donde r := r stand + w. Nota\nque no contiene el origen exactamente cuando r ≤\nque da lugar a la\nDesplazabilidad estable en el inciso ii) supra.\nUna característica misteriosa del Ejemplo 1.28 es la siguiente. Por un lado, nosotros\ncreen en el siguiente principio empírico general: cada vez que se puede establecer\nla no-desplazabilidad de un subconjunto por medio de la teoría de la homología Floer,\nse obtiene de forma gratuita la estabilidad de no-desplazabilidad. Por otro lado, nosotros...\n, siguiendo una explicación filosófica proporcionada por Biran, que Gromov\nEl teorema de empaquetado de dos bolas puede extraerse de algunas “operaciones” en\nHomología Floer. Ejemplo 1.28 muestra que al menos una de estas creencias es\nNo, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Sería interesante aclarar esta cuestión.\n1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson\nSe demostró en [23] que para cualquier Poisson-commutativo de dimensión finita\nal menos una de las fibras de su mapa de momento Φ tiene que\nser no-desplazable.\nPregunta. ¿Es cierto que al menos una fibra de Φ tiene que ser pesada (con respeto\na algún idempotente que no sea cero un QH*(M)?\nEs fácil construir un ejemplo de A cuyo mapa de momento Φ no tiene\nfibras superpesadas: tomar T2 con las coordenadas p, q mod 1 en él y tomar A\nser el conjunto de todas las funciones lisas dependiendo solamente de p – el correspondiente\nΦ define la fibración de T2 por meridianos, ninguno de los cuales es superpesado.\nEsta es otra pregunta que se refiere a las fibras del hombre torico simplés.\nifolds, es decir. fibras de un mapa de momento Φ de una eficaz acción Hamiltoniana Tn\nel (M2n, فارسى). Suponga que M es (esféricamente) monotona. Teorema 1.9 muestra que\nen tal caso la fibra especial de M es superpesada, por lo tanto estable y fuerte\nno desplazable. En todos los ejemplos donde se ha comprobado este turno\npara ser la única fibra no desplazable de M.\nPregunta. Es la fibra especial para un monótono tórico simplético M siempre\n¿Un tallo? En particular, es la única fibra no desplazable del momento\nEn el caso del monótono la fibra especial es claramente la única fibra pesada de\nel mapa del momento, porque es superpesada y cualquier otra fibra pesada\nhan tenido que intersecarlo. Por otro lado, si consideramos un Hamiltonian Tk-\nacción sobre M2n con k < n puede haber más de una fibra no desplazable\ndel mapa del momento – por ejemplo, debido a obstrucciones puramente topológicas:\nla más simple acción Hamiltoniana T1-en CP 2 proporciona tal ejemplo. In\nel caso de los colectores tóricos simpléticos monotónicos de dimensión superior a 4\nLa pregunta anterior está absolutamente abierta.\nDespués de la aparición del primer borrador de este documento, un progreso notable en este\nla dirección se ha logrado en las obras de Cho [17] y Fukaya, Oh, Ohta\ny Ono [28]: En particular, resulta que un simplés no monótono\ncolector torico puede tener más de una fibra no desplazable – esto sucede\nya para ciertas explosiones equivariantes de CP 2.\nOrganización del documento:\nEn la sección 2 probamos el teorema 1.7 que, en particular, declara que el\nfibra especial de un toro comprimible acción es un tallo estable.\nEn la Sección 3 se resumen varios preliminares de la teoría de Floer, incluyendo\npropiedades básicas de invariantes espectrales y cuasiestados simpléticos parciales. In\nadicional deletreamos una propiedad útil del índice de Conley-Zehnder: es un\ncasi-morfismo en la cobertura universal del grupo simplés (ver Propo-\nSituación 3.5). Para la integridad extraemos una prueba de esta propiedad de [54];\nAlternativamente, se pueden utilizar los resultados de [19].\nEn la sección 4 demostramos las partes i) y iii) del Teorema 1.2 y el Teorema 1.3\nsobre las propiedades básicas de los conjuntos (super)pesados.\nEn la sección 5 probamos Teorema 1.5 en productos de (super) sets pesados. Nuestro\nenfoque se basa en una fórmula de producto bastante general para invariantes espectrales\n(Teorema 5.1), que se demuestra por un argumento algebraico bastante largo.\nEn la sección 6 demostramos el teorema 1.2 ii) sobre la no-desplazabilidad estable de\nsubconjuntos pesados. El argumento implica una “versión de bebé” de los hombres arriba mencionados.\nla fórmula del producto tionado.\nEn la Sección 7 demostramos sobrepeso de tallos estables.\nEn la Sección 8 reunimos las pruebas de varios resultados relacionados con\n(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monotona satisfaciendo los Albers\ncondición, incluidos los teoremas 1.15, 1.18, 1.25 y la Proposición 1.4.\nEn la Sección 9 probamos Teorema 1.9 sobre la superpeso de las fibras especiales de\nAcciones de toros Hamiltonianos sobre colectores simpléticos monotónicos. La prueba es\nbastante involucrado. De hecho, dos trucos nos permitieron acortar nuestro\nEn primer lugar, utilizamos la transformación de Fourier en el espacio de rápida decadencia\nfunciones sobre la Lie coargebra del toro para reducir el problema\nal caso de las acciones del círculo Hamiltoniano. En segundo lugar, utilizamos sistemáticamente el\ncasi-morfismo propiedad del índice de Conley-Zehnder para el calcu asintótico-\nLaciones con invariantes espectrales Hamiltonianos. Finalmente, en la Sección 9.1 probamos\nTeorema 1.13.\nEn la figura 1 se resume la jerarquía de las propiedades no desplazables\nmaldecidos arriba.\n- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.\nMHierarchy de las propiedades de no-desplazabilidad de un subconjunto cerrado de \nPesado\naidempotente \nSuperpesado\nidempotente a\ncon un no-cero con un no-cero\n3) 4) 5) (6)\nacción sobre una esféricamente\nacción de los toros sobre un (no\nun hamiltoniano comprimible\nnecesariamente monotona)\nFibra especial de\nmonotona M\nSiempre es verdad.\nVerdadero bajo ciertas condiciones (ver abajo)\n♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Pregunta (bajo ciertas condiciones − ver más abajo)\nMonotona\nLagrangian\nsubmanifold L\n(14) (15)\n(17) (18)\n21) (22)\n(16 b)\nProducto de la codimensión-1\nesqueletos de multa\ntriangulaciones\nFuertemente.\nno desplazables\nun toro hamiltoniano\nNo desplazables\nuna isotopía simpléctica\nNo desplazable por\nwrt [M]\nPesado\n(16a)\nSuperpesado\nwrt [M]\nTallo estable\nEstable\nno desplazables\nCero fibra de\nFigura 1: Jerarquía de las propiedades no desplazables\n(1),(2),(6),(19) - Trivial.\n(3) Verdadero si a es invariante bajo la acción de todo el grupo Symp (M) –\nTeorema 1.2, parte iii).\n4), 9) Teorema 1.2, parte iii).\n(5) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – ver corolario 1.24.\n(7a) Verdadero si el álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra, en una suma directa de\ndos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y a es el elemento de unidad en\nese campo – véase la Observación 1.21.\n(7b), (16b) Teorema 1.2, parte i).\n8) Teorema 1.2, parte ii).\n(10) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L).\n(11) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – vea el corolario 1.24.\n(12) Teorema 1.3, parte i).\n13) Teorema 1.3, parte ii).\n(14) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L) con a = [M ] – es decir: j(L)\nes invertible en QH•(M).\n(15) L cumple la condición de Albers – ver Teorema 1.15.\n(16a) Verdadero si QH2n(M) es un campo – ver Observación 1.21.\n(17) Teorema 1.6.\n(18) Teorema 1.9.\n(20) Teorema 1.7.\n(21) ¿Es siempre un tallo la fibra especial para un átrico simplético monótono M?\nVéase la sección 1.7.2.\n(22) Verdadero si M es esféricamente monotona y la acción del toro es comprimible\n– Véase la Observación 1.11.\n(23) Véase [23].\n2 Detectar la desplazabilidad estable\nPara detectar la desplazabilidad estable de un subconjunto de un colector simplético nosotros\nusará el siguiente resultado (cf. [48, cap. 6]).\nTeorema 2.1. Que X sea un subconjunto cerrado de un colector simplético cerrado\n(M.A.). Supongamos que existe un bucle contráctil de diffeo hamiltoniano.\nmorfismos de (M.o) generados por un hamiltoniano regularizado del tiempo-periódico\nHt(x) de manera que Ht(x) 6= 0 para todos los t â € [0, 1] y x â € X. Entonces X es estable.\nDesplazable.\nPrueba. Denotar por ht el bucle Hamiltoniano generado por H. Let h\nno es su\nhomotopía al bucle constante: h\nt = ht y h\nt = 1. Escribir H\ns)x, t) para\nlos correspondientes Hamiltonianos normalizados. Consideremos la familia de los dif-\nmorfismos de M × T\n∗S1 dada por\n(x, r, ) = (h)\nx, r −H\ns)h\n* x, *), *)......................................................................................................................................................\nUno comprueba fácilmente que el \"s\", s [0, 1], es una isotopía Hamiltoniana (no com-\nen el marco de un pacto de apoyo). Alegamos que el 1 desplaza Y := X × {r = 0}. De hecho,\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nsuposición del teorema. Esto completa la prueba.\nPrueba de Teorema 1.7: Elija un funcional lineal F : Rk → R con\ncoeficientes racionales que es estrictamente positivo en Y. Entonces para un poco de suffi...\nel número entero positivo N el Hamiltoniano H:= NF genera un\nacción contráctil círculo Hamiltoniano en M y H es estrictamente positivo en\nX := 1(Y ). Por lo tanto, X es establemente desplazable en vista de la teo-\n3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer\n3.1 Valoración de QH*(M)\nDefinir una función ν : K →\n(+) = máx{ + + + z + 6 = 0}. = máx{ + z + 6 = 0 = 0 }.\nLa convención es la siguiente: En términos algebraicos, exp / es un non-\nValor absoluto arquimedeano en K.\nLa función / admite una extensión natural a la letra a) y, a continuación, a la letra a) del apartado M) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) del apartado 1 de la letra b) del apartado 1 de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra\nabusar de la notación que vamos a denotar todos ellos por. Es decir, cualquier elemento\npuede ser representado de forma única como........................................................................................................................................................................................................................................................... \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nA donde pertenece cada uno de ellos.\na F [q, q−1], y cualquier no-cero a QH*(M) puede ser representado como\ni Łibi, 0 6= Łi, 0 6= bi H*(M;F). Definir\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n6 = 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \n/(a) := máx.\nEl Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.\n3.2 Teoría de Hamilton Floer\nRecordamos brevemente la notación y las convenciones para el establecimiento de la Hamilto-\nNian Floer teoría que se utilizará en las pruebas.\nQue L sea el espacio de todos los bucles contractibles suaves γ : S1 = R/Z → M.\nVamos a ver tal γ como un mapa 1-periódico γ : R → M. Dejar D2 ser el\nunidad de disco estándar en R2. Considerar una cubierta de L de L cuyos elementos son\nclases de equivalencia de pares (γ, u), donde γ L, u : D2 → M, uD2 = γ (i.e.\nu(e2π)\n−1t) = γ(t)), es un disco (por pieza liso) que abarca γ en M y el\nla relación de equivalencia se define de la siguiente manera: (γ1, u1) (γ2, u2) si y sólo si γ1 =\nγ2 y la 2-esfera u1#(−u2) desaparece en H\n2 (M). La clase de equivalencia de\nun par (γ, u) será denotado por [γ, u]. El grupo de transformaciones de cubierta de\nla cubierta L → L puede identificarse naturalmente con HS2 (M). Un elemento\nA HS2 (M) actúa por la transformación\nA([γ, u]) = [γ, u#(−A)]. (8)\nLet F :M× [0, 1] → R ser una función Hamiltoniana (que es temporal-periódico\ncomo siempre asumimos). Set Ft := F (·, t). Denotaremos por pies el Hamiltoniano\nflujo generado por F, es decir, el flujo del Hamiltoniano dependiente del tiempo\ncampo vector Xt definido por la fórmula\n•(·, Xt) = dFt(·) •t.\n(¡Tenga en cuenta nuestra convención de la firma!)\nQue el PF sea el conjunto de todas las órbitas contráctiles 1-periódicas del Hamilto-\nflujo nian generado por F, es decir, el conjunto de todos los γ • L tales que γ(t) = ft(γ(0)).\nDenote por la F.P. el ascensor completo de PF a L.P.\nDenotar por Fix (F ) el conjunto de los puntos fijos de f que son puntos finales de\nórbitas periódicas contráctiles del flujo:\nFix (F ) := {x M PF, x = γ(0)}.\nDecimos que F es regular si para cualquier x - Fix (F) el mapa dxf : TxM → TxM\nno tiene valor propio 1.\nRecordemos que la acción funcional se define en Lс por la fórmula:\nAF ([γ, u]) =\nF (γ(t), t)dt−\nTenga en cuenta que\nAF (Ay) = AF (y) + A(A) (9)\npara todos los y â € € € € TM y A â € HS2 (M).\nPara un regular Hamiltonian F definir un espacio vectorial C(F) sobre F como el\nconjunto de todas las sumas formales\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nmodulo las relaciones\nAy = s(A)q−c1(A)y,\npara todos y â € € TM, A â € TM H\n2 (M). La clasificación en........................................................................................................................................\nEl índice de Zehnder sobre los elementos de la PF (véase la sección 3.3) define un grado Z en\nC(F). Denotaremos el componente de grado i-th por Ci(F ).\nDado un bucle {Jt},\n1, de las estructuras casi complejas compatibles con los requisitos de la letra a),\ndefinir una métrica Riemanniana en L por\n(+1, +2) =\n(l) (t), (t) (t) (t) (t) (t), (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)\nen la que se citan los puntos 1, 2 y 3 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo y se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. Elevar esta métrica a Lś y considerar el gradiente negativo\nflujo de la acción funcional AF. Para una elección genérica del Hamiltoniano\nF y el bucle {Jt} (como un par (F, J) se llama regular) el con-\nlated gradiente trayectorias que conectan puntos críticos de AF da lugar en el\nmétodo estándar [26], [32], [58] a un diferencial de tipo Morse\nd : C(F ) → C(F ), d2 = 0. (10)\nEl diferencial d es lineal y tiene el grado graduado −1. Estrictamente de-\nRedobla la acción. La homología, definida por d, se llama la homología Floer\ny será denotado por HF* (F, J). Es un modulo. Diferentes opciones de una\npar regular (F, J) conducen a isomorfismos naturales entre la homología de Floer\ngrupos.\nLa siguiente propuesta resume algunas propiedades algebraicas básicas de\nComplejos Floer y homología Floer que serán importantes para nosotros más adelante.\nLa prueba es directa y la omitimos.\nProposición 3.1.\n1) Cada Ci(F) y cada HFi(F, J), i + Z, es un vector finito-dimensional\nespacio sobre K.\n2) Multiplicación por q define los isomorfismos Ci(F) → Ci+2(F) y\nHFi(F, J) → HFi+2(F, J) de espacios K-vector.\n3) Para cada i â € Z existe una base de Ci(F) sobre K que consiste en la\nlos elementos de la forma ql[γ, u], con [γ, u] \n4) Una colección finita de los elementos de la forma ql[γ, u], [γ, u]\nEn C0(F ) C1(F ) es una base del espacio vectorial C0(F ) C1(F ) sobre el campo\nK si y sólo si se trata de una base del módulo C(F) sobre el anillo.\n3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov\nEn esta sección esbozamos brevemente la definición y recordamos la\nlos vínculos del índice de Conley-Zehnder que se refieren a [54, 58, 57] para más detalles. En par-\nticular, mostramos que el índice de Conley-Zehnder es un cuasi-morfismo en el\ncubierta universal S‡p (2k) del grupo simplés Sp(2k) (véase la Proposición 3.5)\nabajo), un hecho que será útil para los cálculos asintóticos con Floer\nhomología en las siguientes secciones. Hay varias rutas que conducen a este hecho,\nque es bastante natural, ya que todos los cuasimorfismos homogéneos en Sœp (2k) son\nproporcional, y por lo tanto el mismo cuasi-morfismo admite bastante diferente\ndefiniciones [7]. Extraemos la propiedad cuasi-morfismo del papel de\nRobbin y Salamon [54] al reunir varias declaraciones contenidas\nEn ella7.\nEl índice Conley-Zehnder asigna un número a cada uno [γ, u]. Orig...\ninally el índice Conley-Zehnder fue definido sólo para los Hamiltonianos regulares\n[18] – en este caso es valorado en número entero y da lugar a una clasificación de la ho-\ngrupos de teología en la teoría de Floer. Más tarde, la definición se amplió en diferentes\nformas de diferentes autores a los hamiltonianos arbitrarios. Usaremos un ex-\ntensión introducida en [54] (véase también [57, 58]). En este caso, el Conley-Zehnder\níndice puede tomar también los valores de medio entero.\nQue k sea un número natural. Considere el espacio vectorial simplés R2k\ncon una forma simpléctica de 2k en él. Denota por p = (p1,. .., pk), q = (q1,. .., qk)\nlas coordenadas correspondientes de Darboux en el espacio vectorial R2k.\n7Agradecemos a V.L. Ginzburg para estimular discusiones sobre el material de esta sección.\nÍndice de Robbin-Salamon de rutas lagrangianas: Let V R2k ser un\nSubespacio lagrangiano. Considere el Lagr (k) de Grassmann de todos los lagrangianos\nsubespacios en R2k y considerar la hipersuperficie Lagr (k) formado por todos\nlos subespacios lagrangianos que no son transversales a V. A tal V y\na cualquier trayectoria lisa {Lt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Lagr (k) Robbin y Salamón [54]\nasociar un índice, que puede tomar valores enteros o medios enteros y que\ndenotaremos por RS({Lt}, V ). La definición del índice puede ser esbozada\ndel siguiente modo.\nUn número t [0, 1] se llama un cruce si el Tte. A cada cruce t uno\nasocia una determinada forma cuadrática Qt en el espacio L(t) V – véase [54] para\nla definición precisa. El cruce t se llama regular si la forma cuadrática\nQt no es degenerado. El índice de tal cruce regular t se define como el\nfirma de Qt si 0 < t < 1 y como la mitad de la firma de Qt si t = 0, 1.\nUno puede demostrar que los cruces regulares están aislados. Para una ruta {Lt} con sólo\ncruces regulares el índice RS({Lt}, V ) se define como la suma de los índices\nde sus cruces. Una ruta arbitraria puede ser perturbada, manteniendo los puntos finales\nfija, en un camino con sólo cruces regulares y el índice de la perturbada\ncamino no depende de la perturbación – de hecho, depende sólo de la\nendpoints fijos clase homotopy de la ruta. Además, es aditivo con\nrespeto a la concatenación de caminos y satisface la propiedad de la naturalidad:\nRS({ALt}, AV ) = RS({Lt}, V ) para cualquier matriz simpléctica A.\nÍndices de caminos en Sp (2k): Considere el grupo Sp (2k) de simplés\n2k × 2k-Matrices. Denotar por Sûp (2k) su cubierta universal. Uno puede usar el\níndice RS con el fin de definir dos índices sobre el espacio de rutas lisas en\nSp (2k).\nEl primer índice, denotado por Ind2k, se define como sigue. Arreglar un lagrangiano\nsubespacio V+R2k. Para cada trayectoria lisa {A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir\nInd2k ({a}, V ) como\nInd2k ({En}, V ) := RS({EnV}, V ).\nLa naturalidad del índice RS implica que\nRS({BAtB\n−1(BV )}, BV ) = RS({BAtV )}, BV ) =\n= RS({AtV )}, V ) para cualquier B • Sp (2k)\ny así obtenemos la siguiente condición de naturalidad para Ind2k:\nInd2k ({BAtB)\n−1}, BV ) = Ind2k ({A}, V ) para cualquier B • Sp (2k). (11)\nEl segundo índice, que llamaremos el índice Conley-Zehnder de una matriz\nruta y que será denotado por CZmatr, se define como sigue. Para cada una de ellas\nA Sp (2k) denotar por GrA la gráfica de A que es un subespacio lagrangiano\ndel espacio vectorial simplés R4k = R2k×R2k equipado con el espacio vectorial simplés\nEstructura: 4k=2k=2k=2k. Denotar por la diagonal en R\n4k = R2k × R2k\n– es un subespacio lagrangiano con respecto a 4k. Ahora para cualquier camino suave\n{A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir CZmatr como\nCZmatr({A}):= RS({GrAt},\nEquivalentemente, se puede definir CZmatr({At}) similar al índice RS por look-\nen las intersecciones de {A(t)} con la hipersuperficie • • Sp (2k) formada\npor todas las matrices simpléticas de 2k×2k con valor propio 1 y traduciendo el\nnociones de un cruce regular y la forma cuadrática correspondiente a este\nPrepárate.\nAmbos índices Ind2k ({A}, V ) y CZmatr({A}) dependen sólo de la\nendpoints homotopy class of the path {At} y son aditivos con respecto a\nla concatenación de las sendas en Sp (2k). La relación entre los dos índices\nes el siguiente. Denotar por I2k la matriz de identidad 2k × 2k. Dado un suave\nruta {At}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), set Ât := I2k â € A â € Sp (4k). Entonces\nCZmatr({A}) = Ind4k(t}, (12)\nObservación 3.2. Tenga en cuenta que cerca de cada W â € ¢ V existe una coordenada local\ngráfico (en Lagr (k)) en el que ŁV se puede definir por una ecuación algebraica de\ngrado limitado desde arriba por una constante C dependiendo sólo de k y W.\nPor otra parte, puesto que para cualquier V, V ′ Lagr (k) existe un difeomorfismo de\nLagr (k) mapeo de V en V ′ podemos asumir que C = C(k) es independiente\nde W y depende sólo de k. Por lo tanto para cualquier V, para cualquier punto W\ny para cualquier barrio suficientemente pequeño abierto UW de W en Lagr (k) la\nnúmero de componentes conectados de UW \\(UW V ) está limitado por una constante\ndependiendo sólo de k.\nUsando estas observaciones y el hecho de que los cruces regulares están aislados\nes fácil demostrar que existe una constante C(k), dependiendo sólo de k, tales\nque para cualquier subespacio Lagrangiano V â R2k y cualquier camino {A} â Sp (2k),\n0 ≤ t ≤ 1, existe un > 0 tal que para cualquier trayectoria lisa {A′t} • Sp (2k),\n0 ≤ t ≤ 1, que es -cerca de {En} en la C\n0-métrico, uno tiene\nInd2k({En}, V)−Ind2k({A)\nt}, V < C(k),\nCZmatr({En})− CZmatr({A)\nt < C(k).\nTeorema de leray en el índice Ind2k: El siguiente resultado es\nTeorema 5.1 en [54] que Robbin y Salamon acreditan a Leray [35], p.52.\nNota de L el lagrangiano (q1,. .., qk)-plano de coordenadas en R\n2k. Cualquier sim...\nmatriz pléctica S • Sp (2k) se puede descomponer en k × k bloques como\ncuando los bloques satisfagan, en particular, la condición de que:\nEF T − FET = 0. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nEn caso de que SL • L = 0, la k × k-matrix F sea invertible y se multiplique (13)\npor F−1 a la izquierda y (F T )−1 = (F−1)T a la derecha, obtenemos ese F−1E −\nET (F−1)T = 0. Por lo tanto la matriz QS := F\n−1E es simétrico.\nTeorema 3.3 ([54], Teorema 5.1; [35], p.52). Asumir {a}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1,\nson dos caminos lisos en Sp (2k), de tal manera que A0 = B0 = I2k y A1L + L = 0,\nB1L • L = 0, A1B1L • L = 0. Entonces\nInd2k({AtBt}, L) = Ind2k({At}, L) + Ind2k({Bt}, L) +\nsigno (QA1 + QB1),\ndonde el signo (QA1 + QB1) es la firma del formulario cuadrático definido por el\nk × k-matriz QA1 + QB1.\nCorolario 3.4. Que V sea cualquier subespacio Lagrangiano de R2k. Entonces existe\nuna constante positiva C, dependiendo sólo de k, de tal manera que para cualquier camino liso\n{Xt}, {Yt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), de manera que X0 = Y0 = I2k (no hay\nsuposiciones en X1, Y1!),\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C.\nPrueba. Escribiremos C1, C2,. .. para las constantes positivas (posiblemente diferentes) de-\npendiente sólo en k.\nEscoja un mapa • • Sp (2k) de tal manera que • V = L. Denote At = • Xt\nBt =\n−1. Tenga en cuenta que las rutas {A}, {Bt} se basan en la identidad.\nUsando la propiedad de la naturalidad (11) de Ind2k obtenemos\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =\n= Ind2k(XtYt\n− 1},~ V )− Ind2k(Xt\n− 1},~V)−\n−Ind2k(Yt\n- 1},~ V ) =\n= Ind2k({(\n−1)(•Yt•\n− 1)}, L)− Ind2k(Xt\n− 1}, L)−\n−Ind2k(Yt\n−1}, L) =\n= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L).\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =\n= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L). (14)\nMás adelante, la Observación 3.2 implica que podemos encontrar una identidad suficientemente cercana a C0.\nperturbaciones basadas {A′t}, {B\nt} de {A}, {B} tales que\nA′1L • L = 0, B\n1L • L = 0, A\n1L • L = 0. (15)\nInd2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L)\nInd2k({A)\nt}, L)− Ind2k({A)\nt}, L)− Ind2k({B\nt}, L) < C1, (16)\npara un poco de C1. Por otra parte, desde los tres caminos basados en la identidad {A\n{B′t}, {A\nt}, satisfacer las condiciones (15), podemos aplicar a ellos Teorema 3.3.\nPor lo tanto existe C2 tal que\nInd2k({A)\nt}, L)− Ind2k({A)\nt}, L)− Ind2k({B\nt}, L) < C2.\nCombinando con (14) y (16) obtenemos que existe C3 tal que\nInd2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C3,\nque termina la prueba.\nÍndice de Conley-Zehnder como cuasimorfismo: Recordar que 2n = dimM.\nRestringiendo CZmatr a las rutas basadas en la identidad en Sp (2n) se obtiene una función\nen la página (2n) que todavía será denotado por CZmatr.\nProposición 3.5 (cf. [19]). La función CZmatr : Sśp (2n) → R es un cuasi-\nMorfismo. Significa que existe una constante C > 0 tal que\nCZmatr(ab)− CZmatr(a)− CZmatr(b) ≤ C \nPrueba. Representar a y b por rutas basadas en la identidad {En}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1, en\nSp (2n). A continuación, utilice (12) y aplique el corolario 3.4 para k = 2n, V = a t},\n{B}t} en Sp (4n).\nÍndice Maslov de bucles simpléticos: El índice Conley-Zehnder para\nLos bucles basados en identidad en Sp (2n) se llaman el índice Maslov de un bucle. Su\ndefinición original, volviendo a [4], es la siguiente: es la intersección\nnúmero de un bucle basado en la identidad con la hipersuperficie estratificada\nEl estrato principal está equipado con una cierta coorientación. Tenga en cuenta que lo hacemos\nno dividir el número de intersección por 2 y por lo tanto en nuestro caso el índice de Maslov\ntoma sólo valores pares; por ejemplo, el índice de Maslov de un sentido contrario a las agujas del reloj\n2η-twist de la R2 simpléctica estándar es 2. Denotamos el índice Maslov de\nun bucle {B(t)} de Maslov ({B(t)}).\nÍndices de órbitas periódicas de Conley-Zehnder y Maslov:\nÍndice de ley-Zehnder para órbitas periódicas se define por medio de la Conley-\nÍndice de Zehnder para rutas de matriz de la siguiente manera. Teniendo en cuenta [γ, u]\nruta basada en la identidad {A(t)} en Sp (2n)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\nflujo linealizado dγ(0)ft, 0 ≤ t ≤ 1, junto con γ con una matriz simpléctica\n{A(t)}. Entonces el índice de Conley-Zehnder CZF ([γ, u]) se define como\nCZF ([γ, u]) := n− CZmatr ({A(t)}). (17)\nCon tal normalización de CZF para cualquier C\n2-pequeño autónomo\nMorse Hamiltonian F, el índice de Conley-Zehnder de un elemento de P\nresentida por un par [x, u] que consiste en un punto crítico x de F (visto como un\nruta constante en M) y el disco trivial u, es igual al índice de Morse de\nx. Tenga en cuenta que con tal normalización CZF (Sy) = CZF (y)+2\nc1(M) para\ntodos los y â € € € TM € € € TM € TM € TM € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM\n2 (M).\nDel mismo modo, si el flujo de tiempo-1 generado por F define un bucle en Ham(M) entonces\na cada uno [γ, u] â € € ¢ F se puede asociar su índice de Maslov. Es decir, trivializar el\npaquete u*(TM) sobre D2 e identificar el flujo linealizado {dxft} a lo largo de γ con\nun bucle basado en la identidad de matrices simpléticas 2n × 2n. Definir el Maslov\níndice mF ([γ, u]) como el índice Maslov para el bucle de matrices simplécticas.\nEn el marco de la acción HS2 (M) sobre la PF, el índice de Maslov cambia de la siguiente manera:\nmF (S · [γ, u]) = mF ([γ, u])− 2\nc1(M), S-H\n2 (M).\nHagamos la siguiente observación. Asumir γ PF y asumir que un\nbanalización simpléctica del haz (TM) sobre S1 identifica {dγ(0)ft}\ncon una trayectoria basada en la identidad {A(t)} de matrices simpléticas. Supón que está ahí.\nes otra trivialización simpléctica del mismo paquete, coincidiendo con el\nel primero en γ(0), y denotar por {B(t)} el bucle de transición basado en la identidad\nmatrices desde la primera trivialización simpléctica hasta la segunda. Usar la\nsegunda trivialización para identificar {dγ(0)ft} con una ruta basada en la identidad {A\n′(t)}.\nCZmatr ({A)\n′(t)}) = CZmatr ({A(t)}) +Maslov ({B(t)}), (18)\ny si {A(t)} es un bucle entonces es {A′(t)} y\nMaslov ({A′(t)} = Maslov ({A(t)}) + Maslov ({B(t)}). (19)\n3.4 Números espectrales\nDada la configuración algebraica como arriba, la construcción del Piunikhin-Sala-\nEl isomorfismo mon-Schwarz (PSS) [47] produce un isomorfismo lineal (PSS-\nIsomorfismo) M : QH*(M) → HF*(F, J) que preserva la clasificación y\nque es en realidad un anillo isomorfismo (el producto par de pantalones define un anillo\nestructura sobre HF* (F, J)).\nUsando el PSS-isomorfismo se definen los números espectrales c(a, F),\ndonde 0 6 = un QH*(M), de la manera habitual [45]. Es decir, la acción funcional\nAF define una filtración en C(F) que induce una filtración HF\n* (F, J),\nHF*(F, J), con HF\n* (F, J) • HF\n* (F, J) siempre que α < β. Entonces\nc(a, F ) := inf â € € € € M(a) â € € € €\n* (F, J)}.\nTal número espectral es finito y bien definido (no depende de J). Toma.\nes una breve descripción de las propiedades relevantes de los números espectrales – para más detalles\nVéase [45] (véase también [65, 42, 59, 43] para versiones anteriores de esta teoría).\n(Espectralidad) c(a,H) • spec (H), donde la especificación del espectro (H) de H es\ndefinido como el conjunto de valores críticos de la acción funcional AH, es decir,\nspec (H):= AH(P\n(Propiedad de desplazamiento de la homología de quantum) c(l,H) = c(l,H) + (l) para todos\nEn el caso de que se trate de una tasación definida en la sección 3.1.\n(propiedad de desplazamiento hamiltoniano) c(a,H + (t)) = c(a,H) +\n(t) dt para\ncualquier Hamiltonian H y función : S1 → R.\n(Monotonicidad) Si H1 ≤ H2, entonces c(a,H1) ≤ c(a,H2).\n(Propiedad Lipschitz) El mapa H 7→ c(a,H) es Lipschitz en el espacio de\n(dependiendo del tiempo) Hamiltonians H : M × S1 → R con respecto a la\nC0-norm.\n(invarianza simpléctica) c(a, H) = c(a, H) por cada \nH (M); más generalmente, Symp (M) actúa sobre H* (M ;F), y por lo tanto\nsobre QH*(M), y c(a, \n∗H) = c(a,H) para cualquier síntoma (M). • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \n(Normalización) c(a, 0) = ν(a) por cada • QH*(M).\n(Invarianza de Homotopy) c(a,H1) = c(a,H2) para cualquier H1, H2 normalizado\nla generación de la misma Hśam (M). Por lo tanto, se puede definir c(a, ♥) para cualquier\nPara cualquier generación normalizada de H, H (M) como c(a, H).\n(Desigualdad triángulo) c(a ∗ b, ) ≤ c(a, \nEl anillo conmutativo QH•(M) admite una forma K-bilineal y K-valuada \nsobre QH•(M) que se asocia a un par de clases de homología cuántica a, b\nQH•(M) el coeficiente (perteneciente a K) en la clase [punto] = [punto] · q\na punto en su producto cuántico a * b • QH•(M) (la estructura Frobenius).\nLet : K → F ser el mapa que envía cada serie\n\n* * * * *, * * * * *, * * *, * * * * F, * *, * * a su libre, * *, * * a su libre, * *, *\nTérmino z0. Definir un emparejamiento no degenerado F -valuado F -lineal en QH•(M) por\nΠ(a, b) := (a, b) = (a ∗ b, [M ]). (20)\nNótese que Π es simétrico y\nΠ(a ∗ b, c) = Π(a, b ∗ c) (21)\nCon esta noción a la mano, podemos presentar otra propiedad importante de\nNúmeros espectrales:\n(Poincaré duality) c(b, ) = − infa(b) c(a, \n−1) para todos los b • QH•(M) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • \ny.................................................................................................. Aquí (b) denota el conjunto de todo un QH•(M) con Π(a, b) 6= 0.\nLa dualidad de Poincaré se puede extraer de [47] (cf. [22]) – Para una prueba véase\n[46].\nLa siguiente propiedad es una consecuencia inmediata de las definiciones (véase [22]\npara una discusión en el caso monotono:\n(Propiedad exponente característica) Dado 0 6= \na, b, a + b 6= 0, y a (dependiendo del tiempo) Hamiltonian H, uno tiene\nc( · a,H) = c(a,H) y c(a+ b,H) ≤ max(c(a,H), c(b,H)).\n3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales\nTeniendo en cuenta un idempotente distinto de cero un QH2n(M) y un Hamil-\ntoniano H :M → R, definir\n(a,H) := lim\nc(a, lH)\n. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nCuando una es fija, a menudo abreviaremos •(H) en lugar de •(a,H). El límite\nen la fórmula (22) siempre existe y, por lo tanto, el funcional....................................................................................................................................................................................................................................................... \nbien definido. El funcional de la \"C\" es Lipschitz con respecto a la C0-\nnorma H = maxM H y por lo tanto se extiende a un funcional : C(M) → R,\ndonde C(M) es el espacio de todas las funciones continuas en M. Estos hechos fueron\nprobado en [23] en el caso a = [M ] pero las pruebas realmente pasan por cualquier\nÍdempotente no cero a QH2n(M).\nAquí vamos a enumerar las propiedades de • para tal M. De nuevo, estos proprie-\nse probaron en [23] en el caso a = [M ] pero la prueba pasa por\ncualquier idempotente distinto de cero a QH2n(M). La aditividad con respecto a la\npropiedad de stants no estaba explícitamente enumerado en [23], pero sigue inmediatamente de\nla definición de la propiedad de los números espectrales y el cambio Hamiltoniano.\nLa desigualdad del triángulo se deriva fácilmente de la definición de\ndesigualdad triangular para los números espectrales.\nTeorema 3.6. El funcional : C(M) → R satisface los siguientes prop-\nerties:\nSemi-homogeneidad: (αF ) = (F ) para cualquier F y cualquier α-R≥0.\nDesigualdad del triángulo: Si F1, F2 o C\n(M), {F1, F2} = 0 a continuación (F1 + F2) ≤\n(F1) + (F2).\nAditividad parcial y desaparición: Si F1, F2 + C\n(M), {F1, F2} = 0 y la\nsoporte de F2 es desplazable, a continuación, •(F1 + F2) = •(F1); en particular, si el\nel soporte de F • C(M) es desplazable, • (F) = 0.\nAditividad con respecto a las constantes y normalización: (F ) = (F )\npara cualquier F y cualquier α â € R. En particular, â € (1) = 1.\nMonotonicidad: ≤ (F ) ≤ (G) para F ≤ G.\nInvarianza simpléctica: •(F) = •(F) •(f) para cada difeomorfismo simpléctico\nf) Symp0 (M).\nCaracterística de la propiedad exponente: (a1+a2, F ) ≤ max(a1, F ), (a2, F ) para\ncada par de idempotentes no cero a1, a2 con a1 ∗ a2 = 0, a1+ a2 6= 0 (en este\nel caso a1 + a2 es también un idempotente distinto de cero), y para todos los F + C(M).\nLlamaremos al funcional : C(M) → R satisfaciendo todas las propiedades\nenumerado en Teorema 3.6 un cuasi estado simplético parcial.\n4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados\nEn esta sección demostramos las partes (i) y (iii) del Teorema 1.2, así como la\norem 1.3. Usaremos que un cuasi-estado simplético parcial se extiende por\ncontinuidad en la norma uniforme a un monótono funcional en el espacio de\nfunciones continuas C(M), véase la sección 3.5 supra. En particular, se puede\nutilizar funciones continuas en lugar de las suaves en la definición de (su-\npor)peso en las fórmulas (3) y (4).\nSuponga que se fija un cuasiestado parcial definido por un idempotente distinto de cero\ny consideramos pesadez y superpeso con respecto a................................................................................................................. Comenzamos\ncon la siguiente elemental\nProposición 4.1. Un subconjunto cerrado X • M es pesado si y sólo si por cada\nH (M) con H(X) = 0, H (H) ≤ 0 Un subconjunto cerrado\nX M es superpesada si y sólo si por cada H C • M con H = 0,\nH ≥ 0 una persona presenta un intervalo de tiempo de 0 a 0.\nPrueba. Las partes “solo si” siguen fácilmente de la propiedad de la monotonicidad de\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Demostremos la parte “si” en el “caso pesado” – el caso “superpesado” es\nsimilar. Tomar una función H en M y poner\nF = min(H − inf\nH, 0).\nNótese que F X = 0 y F ≤ 0. Por lo tanto (F ) = 0 por la suposición de la\nProposición. Por lo tanto\n0 = (F ) ≤ (H − inf\nH) = فارسى(H)− inf\nque produce pesadez de X.\nLa siguiente proposición prueba la parte i) del Teorema 1.2.\nProposición 4.2. Cada juego superpesado es pesado.\nPrueba. Let X â € ¢ M ser un subconjunto superpesado. Supongamos que HX = 0, H ≤ 0.\nPor la desigualdad del triángulo para.... tenemos...................................................................................... Tenga en cuenta que\n−HX = 0, −H ≥ 0. Los rendimientos de la superpeso (−H) ≤ 0, así que ≤(H) ≥ 0. Pero\npor monotoniicidad (H) ≤ 0. Por lo tanto, el valor de la reclamación es 0 y la reclamación se deriva de:\nProposición 4.1.\nLos juegos superpesados tienen la siguiente propiedad fácil de usar.\nProposición 4.3. Deja que X-M sea un juego superpesado. Entonces por cada α â € TM TM R\ny H °C(M) con HX • α uno tiene •(H) = α.\nPrueba. Dado que el término «H» + «α» = «H» + «α», basta con demostrar la\nα = 0. Tome cualquier función H con HX = 0. Dado que X es superpesada y, por\nProposición 4.2, también pesado, tenemos\n0 = (H) ≤ (H) ≤ (H) = 0,\nque produce •(H) = 0.\nComo consecuencia inmediata obtenemos parte (iii) del Teorema 1.2.\nProposición 4.4. Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado.\nPrueba. Deja que X sea un conjunto superpesado y Y sea un conjunto pesado. Asumir en el\nAl contrario que X â € Y = â € €. Tomar una función H ≤ 0 con HY فارسى 0 y\nHX-−1. A continuación, en la Proposición 4.3, el punto H = −1. Por otra parte,\n(H) = 0 ya que Y es pesado, y obtenemos una contradicción.\nTenga en cuenta que dos conjuntos pesados no necesariamente se cruzan entre sí: un meridiano\nde T2 es pesado (véase el corolario 6.4 más abajo), mientras que dos meridianos pueden ser desarticulados.\nPrueba del teorema 1.3 i) y ii): la desigualdad triangular produce\nc(a,H) = c(a ∗ [M], 0 +H) ≤ c(a, 0) + c([M ], H) = v(a) + c([M ], H).\nPasando a los cuasi-estados parciales (a,H) y ([M ], H) obtenemos:\n•(a,H) = lim\nc(a, kH)/k ≤\n≤ lim\n( v.a) + c([M ], kH))/k = lim\nc([M], kH)/k = فارسى([M], H).\nEl resultado ahora se deriva de la definición de conjuntos pesados y superpesados (véase\nDefinición 1.1).\nPrueba de Teorema 1.3 (iii): Por la característica propiedad exponente de\ninvariantes espectrales,\n(a, F ) ≤ máx.\ni=1,...,l\n* (ei, F ) * (F ) * (C )\n* (M). 23)\nElija una secuencia de funciones Gj â € C\n• (M), j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\npropiedades de descenso: Gk ≤ Gj para k > j, Gj = 0 en X, Gj ≤ 0 y para\ncada función F ≤ 0 que desaparece en un barrio abierto de X allí\nexiste j para que Gj ≤ F (la existencia de tal secuencia se puede comprobar fácilmente).\nEn vista de la desigualdad (23), tenemos que para cada j existe i para que\n• (a,Gj) ≤ (ei, Gj). Pasando, si es necesario, a una subsecuencia Gjk, jk →.\npodemos asumir sin pérdida de generalidad que yo es el mismo para todos j. A la vista\nde pesadez de X con respecto a a, tenemos que •(a,Gj) = 0. Por lo tanto\n• (ei, Gj) ≥ 0.\nElija cualquier función F ≤ 0 onM que desaparezca en un barrio abierto\nde X. Entonces existe j lo suficientemente grande como para que F ≥ Gj. Por monotonicidad\ncombinado con la estimación anterior que tenemos\n0 ≥ (ei, F ) ≥ (ei, Gj) ≥ 0,\nque produce (ei, F ) = 0.\nAhora que F sea cualquier función continua en M que desaparece en X. Toma\nuna secuencia de funciones continuas Fj, convergiendo a F en la C\n0-norm, así que\nque cada FJ desaparece en un barrio abierto de X. Entonces, (ei, Fj) =\nlimj (ei, Fj) = 0, porque (ei, ·) es Lipschitz con respecto a la C\nnorma. La pesadez de X con respecto a ei se deriva ahora de la Proposición 4.1.\nEsto termina la prueba del teorema.\n5 Productos de conjuntos (super) pesados\nEn esta sección probamos Teorema 1.5 en productos de subconjuntos (super) pesados.\n5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales\nLa prueba de Teorema 1.5 se basa en el siguiente resultado general.\nTeorema 5.1. Por cada par de Hamiltonianos dependientes del tiempo G1, G2 onM1\ny M2, y todos los no-cero a1 QHi1(M1), a2 QHi2(M2) tenemos\nc(a1 a2, G1(z1, t) + G2(z2, t)) = c(a1, G1) + c(a1, G2).\nAquí G1(z1, t) +G2(z2, t) es un Hamiltoniano dependiente del tiempo en M1 ×M2.\nDeduzcamos el Teorema 1.5 del Teorema 5.1.\nPrueba de Teorema 1.5: Demostramos que el producto de los juegos superpesados es\nsuperpesados (la prueba para conjuntos pesados va sin ningún cambio). Denotamos\npor.............................................................................................................................................................................................................................................................. \nsociated a los idempotentes a1, a2 y a1 a2 respectivamente. Deja que Xi Mi,\ni = 1, 2, ser un conjunto superpesado. Por la Proposición 4.1 basta con demostrar que si un\nLa función no negativa G-C-(M) desaparece en algún barrio, dicen U,\nde X := X1 × X2 a continuación (G) = 0. (Puesto que es Lipschitz con respecto a la\nC0-norm esto implicaría que •(G) = 0 para cualquier G • C(M) no negativo\nque desaparece en X). Put K := maxM G. Elegir barrios Ui de Xi así\nque U1 × U2 + U. Elegir funciones no negativas Gi on Mi que desaparecen en\nXi y tal que Gi(z) > K para todos z â € Mi \\Ui. Observe que G ≤ G1 + G2.\nPero, en vista del Teorema 5.1 y la superpeso de Xi, tenemos\n*(G1 +G2) = *1(G1) + *2(G2) = 0.\nPor monotonicidad\n0 ≤ G ≤ G1 + G2 = 0,\ny, por lo tanto, (G) = 0.\nQueda por probar el Teorema 5.1. Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la igualdad\nen el teorema no excede del lado derecho: se trata de un imme-\ndiate consecuencia de la desigualdad triangular para invariantes espectrales. Sin embargo,\nNo pudimos usar esta observación para probar el teorema. Nuestro ap-\nproach se basa en un análisis algebraico bastante largo que nos permite\ncalcular por separado los lados izquierdo y derecho “en el nivel de la cadena”. A\nLa simple inspección de los resultados de este cálculo da lugar a la igualdad deseada.\n5.2 Complejos degradados de grado Z2\nUn complejo Z2 es un espacio vectorial de dimensiones finitas V de grado Z2 sobre un campo\nK equipado con un diferencial K-lineal \ncambiar la clasificación. Un complejo decorado sobre K = K.o. incluye lo siguiente:\ndatos:\n• un subgrupo contable\n• un complejo de grado Z2 (V, d) sobre K\n• una base preferida x1,. ...........................................................\n• una función F : {x1,. .., xn} → R (llamado el filtro) que se extiende a V\njxj) = max(lj) + F (xj)\n6 = 0},\ny satisface F (dv) < F (v) para todos v < V \\ {0}. La convención es que\nF (0) =. Aquí está la valoración definida en la sección 3.1 anterior.\nUsaremos la notación.\nV := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\npara un complejo decorado.\nEl producto K-tensor V = V1KV2 de complejos decorados\nVi = (Vi, {x)\nj }j = 1,...,ni, Fi, di,Í), i = 1, 2\nse define como sigue. Considerar el espacio V = V1KV2 (véase la fórmula (5) anterior)\ncon el grado natural Z2. Definir el diferencial d en V por\nd(x y) = d1x y + (−1)\nxx d2y.\nLa base preferida en V es dada por {xpq := x\np x\nq } y el filtro F es\ndefinido por\nF (xpq) = F1(x)\np ) + F2(x\nFinalmente, pusimos V := (V, {xpq}, F, d,\nLa homología (de grado Z2) de los complejos decorados está denotada por H*(V)\n– son espacios K-vector. Por la fórmula Künneth, H(V1KV2) =\nH(V1)KH(V2).\nA continuación definimos invariantes espectrales asociados a un complejo decorado V :=\n(V, {xpq}, F, d). Es decir, para un â ¬ H(V) puesto\nc(a) := inf{F (v) a = [v], v Ker d}.\nVeremos más abajo que c(a) > â € para cada 6= 0.\nEl propósito de esta digresión algebraica es declarar el siguiente resultado:\nTeorema 5.2. Para cualquier dos complejos decorados V1,V2\nc(a1 a2) = c(a1) + c(a2) \n5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida\nLa 2-periodicidad del complejo Floer y la homología Floer definida por el\nla multiplicación por q (véase la Proposición 3.1 anterior) permite codificar su\nestructura gebraica en un complejo Z2 decorado. Considerar un par regular (G, J)\nque consiste en una función Hamiltoniana y una estructura casi compleja compatible\nEn general, ambos dependen del tiempo. Let (C*(G), dG,J) be the\nel correspondiente complejo Floer. Asociémoslo a un complejo Z2-: un Z2-\nVG de espacio vectorial graduado sobre K.o., definido como\nVG := C0(G)+ C1(G),\ncon el grado de Z2 obvio, y un diferencial ŁG,J : VG → VG, definido como\nla suma directa de dG,J : C1(G) → C0(G) y qdG,J : C0(G) → C1(G). Uno\ncomprueba fácilmente que se trata de un complejo Z2 porque dG,J : C(G) → C(G)\nes -lineal. Llamaremos (VG, G, J) al complejo Z2 asociado a (G, J).\nTenga en cuenta que los ciclos y los límites de (VG, G) que tienen Z2-grado\ni {0, 1} en VG coinciden, respectivamente, con los ciclos y los límites\nque tengan un grado Z i de (C(G), dG,J). Por lo tanto la homología Floer HFi (G, J)\nes isomórfico, como un espacio vectorial sobre K.O., al componente i-ésimo grado de la\nla homología del complejo (VG, G, J).\nEl Z2-complejo (VG, G, J) lleva una estructura del complejo decorado\nVG,J como sigue. Que γi(t), i = 1,.., m, sea la colección de todos los contractibles\nÓrbitas 1-periódicas del flujo Hamiltoniano generadas por G. Elija el disco ui\nen M que abarca γi. Para cada i existe un entero único, decir ri, de modo que\nel índice Conley-Zehnder del elemento xi := q\nri · [γi, ui] se encuentra en el conjunto\n{0, 1}. Claramente, la colección {xi} forma una base de VG sobre K. Lo haremos.\nconsiderarlo como una base preferida. Tenga en cuenta que la base preferida es única hasta\nmultiplicación de xis por elementos de la forma s\nαi, αi â € â € €. Por último, la acción\nfuncional asociado a G define una filtración en VG.\nLa homología de (VG, G, J) se puede identificar canónicamente a través de la PSS-\nisomorfismo con el objeto que llamamos homología cuántica reducida:\nQHred(M):= QH0(M)+QH1(M).\nLlamamos a esto isomorfismo el reducido PSS-isomorfismo y lo denotamos por G,J.\nTenga en cuenta que tenemos una proyección natural p : QH*(M) → QHred(M) que\nenvía cualquier elemento homogéneo de grado a aqr con deg a + 2r {0, 1}.\nCon esta notación, el habitual Floer-homológico invariante espectral c(a,G)\ncoincide con el invariante espectral c(p(a)) del complejo decorado VG,J.\n5.4 Prueba del teorema 5.1\nPor la propiedad Lipschitz de los números espectrales es suficiente considerar la\ncaso cuando G1 y G2 pertenecen a pares regulares (Gi, Ji), i = 1, 2. Establecer\nG(z1, z2, t) := G1(z1, t) +G(z2, t)\ny J := J1 × J2. Entonces (G, J) es también un par regular. Puso \"i\" = \"(Mi\", \"i\"). Lo siento.\nes sencillo ver que el complejo decorado VG,J es el K-tensor\nproducto de los complejos decorados VGi,Ji para i = 1, 2.\nPut (M,) = (M1×M2, 12). Una modificación obvia de los Künneth\nfórmula para la homología cuántica (véase, por ejemplo, [41, Ejercicio 11.1.15] para el Estado\nEn el caso de los monótonos, se produce un monomorfismo natural.\nı : QHi1(M1, #1)KQHi2(M1, #1) → QHi1+i2(M,#).\nPuesto que en nuestro entorno las homologías cuánticas son 2-periódicas, la colección de estos\nisomorfismos para todos los pares (i1, i2) del conjunto {0, 1} induce un isomorfismo\nj : QHred(M1)KQHred(M2) → QHred(M).\nTiene las siguientes propiedades: En primer lugar, dados dos elementos a1 â € QHi1(M1, â € TM 1)\ny a2 QHi2(M2, 2) tenemos que\np(a1) p(a2) = p(a1 a2).\nEn segundo lugar, el siguiente diagrama se desplaza:\nH(VG1, ŁG1,J1)KH(VG2, ŁG2,J2)\nG1,J1G2,J2\nH (VG, G, J)\nQHred(M1)KQHred(M2)\n// QHred(M)\nAquí k es el isomorfismo que viene de la fórmula Künneth para Z2-comple-\nxes, y Gi, Ji, G, J representan el reducido PSS-isomorfismos. De ello se deduce que\nla definición de c(ai, Gi), c(a1a2, G) coincide con la definición de c(pai) y\nc(p(a1) p(a2)). Por Teorema 5.2 obtenemos eso\nc(a1a2, G) = c(p(a1)p(a2)) = c(p(a1))+ c(p(a2)) = c(a1, G1)+ c(a2, G2).\nEsto demuestra Teorema 5.1 módulo Teorema 5.2.\n5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2\nUn complejo decorado se llama genérico si F (xi) − F (xj) / para todos i 6= j\n(recordemos que bajo nuestras suposiciones, el grupo de períodos del simplés\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Comenzamos desde algunos\nhechos auxiliares del álgebra lineal. Let V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\ncomplejo decorado genérico. Recordamos una vez más que por brevedad escribimos K\nen lugar de \"K\" donde sea que esté claro lo que se toma.\nUn elemento x • V se llama normalizado si\nx = xp +\ni 6=p\n(xp) > máx.\ni 6=p\nF (lxixi).\nUsaremos la notación x = xp+o(xp). En los complejos genéricos, cada elemento\nx 6= 0 se puede escribir de forma única como x = ♥(xp+o(xp)) para algunos p = 1,..., n y\nK. Un sistema de vectores e1,. ..., em en V se llama normal si cada ei tiene\nla forma ei = xji +o(xji) para ji {1,...., n} y los números ji son pares\nDistinto.\nLemma 5.3. Let e1,. ............................................................................... Entonces\n(+) = máx.\nF ()...................................................................................................................................................................\nPrueba. Demostramos el resultado utilizando la inducción en m. Para m = 1 la declaración es\nEs obvio. Vamos a comprobar el paso de inducción m− 1 → m. Observe que es suficiente\npara comprobar que\nF (e1 +\n(e1), ≥ F (e1). (24)\nEntonces, obviamente.\n(+) ≥ máx.\nF (l'iei),\nmientras que la desigualdad inversa es una consecuencia inmediata de las definiciones.\nPor el paso de inducción,\n(+) = máx.\ni=2,...,n\nF ()...................................................................................................................................................................\nEn vista de la genericidad, el máximo en el lado derecho puede ser único\nescrito con la letra F (0xi0). Sin pérdida de generalidad asumiremos que ei =\nxi + o(xi) e i0 = 2.\n12 ♥iei = x2 + o(x2).\nEscribir\ne1 = x1 + αx2 +X, v = x2 + βx1 + Y,\ndonde α, β-K y X, Y-SpanK(x3,. ., xn). Tenga en cuenta que F (x1) > F (αx2),\nF (x2) > F (βx1), que rinde\n/(α) < F (x1)− F (x2) < (β) = /(β)\n−1). (25)\nEn particular, /(α) < /(1). Tenga en cuenta que\ne1 + 2v = (1 + 2β)x1 + (α + 2)x2 + Z, Z • SpanK(x3,. .., xn).\nF (e1 + 2v) ≥ max( v(1 + 2β) + F (x1), ν(α + 2) + F (x2)).\nSi ν(1 + ♥2β) ≥ 0 tenemos F (e1 + ♥2v) ≥ F (x1) = F (e1) y desigualdad (24)\nsigue. Asumir que < 0 = 1 / 1. A continuación, el apartado 2 del artículo 2 del Reglamento n° 1408/71 se sustituye por el texto siguiente:\ny, por lo tanto, /(l) 2 = /(l)\n-1) 6 = /(α). Por lo tanto\n≥ < = (β)......................................................................................................................................................................................................................................................... \nCombinando esta desigualdad con (25) obtenemos eso\nF (e1 + 2v) ≥ ν(α + 2) + F (x1) + (F (x2)− F (x1))\n≥ F (x1) + ( v(α + 2) + ν(β)) ≥ F (x1) = F (e1).\nEsto completa la prueba de la desigualdad (24), y por lo tanto del lema.\nSe deduce fácilmente del lema que cada sistema normal es linealmente inde-\nPendent.\nLemma 5.4. Todos los subespacios L+V tienen una base normal.\nPrueba. Utilizamos inducción sobre m = dimK L. El caso m = 1 es obvio,\nasí que vamos a manejar el paso de inducción m − 1 → m. Basta con mostrar el\nsiguiente: Let e1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\n′, y let v / L′\nser cualquier vector. Poner L = SpanK(L\n′ {v}). Entonces existe em â € L para que\ne1,. ........................................................................ De hecho, asumir sin pérdida de generalidad que\npara todos los i = 1,..., m−1 uno tiene ei = xi+ o(xi). Poner W = SpanK(xm,. ., xn).\nAlegamos que L′ W = {0}. De hecho, de lo contrario\n1e1 +... •m−1em−1 = mxm +... + nxn\ndonde las combinaciones lineales en los lados derecho e izquierdo son no-\ntrivial. Aplicar F a ambos lados de esta igualdad. Por Lemma 5.3\nF (1e1 +.... + m1em1) = F (xp) mod •, donde 1 ≤ p ≤ m− 1,\nmientras\nF (........nxn) = F (xq) mod................................................................................................................................................................................................................................................ \nEsto contradice la genericidad de nuestro complejo decorado, y la afirmación fol-\nBajas. Desde dimLdimW = dimV, tenemos que V = LW. Descomponer v\ncomo u+w con u â L′, w â W, y tenga en cuenta que w â L. Tenga en cuenta que e1,. .., em−1, w\nson linealmente independientes. Además, w = (xp + o(xp)) para algunos p ≥ m.\nPut em = \n−1w. Los vectores e1,. ...............................................................\nLa misma prueba muestra que si L1 + L2 son subespacios de V, cada base normal\nen L1 se extiende a una base normal en L2.\nAhora nos dirigimos al análisis del diferencial d. Elija una base normal\ng1,. .., gq en Im d, y extenderlo a una base normal g1,. .., gq, h1,. ...........................................................\nKer d. Tenga en cuenta que cada uno de estos vectores p + q tiene la forma xj + o(xj) con\ndistinto j. Asumamos sin pérdida de generalidad que el n−p−q restante\nlos elementos de la base preferida en V son x1,. .., xq, y\ngi = xi+q + o(xi+q), hj = xj+2q + o(xj+2q).\nAquí usamos eso, por el teorema de la dimensión, n = p+ 2q. Tenga en cuenta que\nx1,. .., xq, g1,. .., gq, h1,. .., hp\nes un sistema normal, y por lo tanto una base en V. Llamamos a tal base un espectral\nbase del complejo decorado V.\nTenga en cuenta que [h1],. .., [hp] es una base en la homología H (V). Considerar cualquier\nhomología clase a =\n[hola]. Cada elemento v V con a = [v] puede ser\nescrito como v =\n♥ihi +\nαjgj. Por lo tanto, por Lemma 5.3, F (v) ≥ maxi F (đihi)\ny, por lo tanto,\nc(a) = máx.\nF (l'ihi). 26)\nEsto demuestra en particular que los invariantes espectrales son finitos siempre que un 6= 0.\nPara conjuntos finitos A = {v1,. .., vs} y B = {w1,. ..........................................................\nconjunto finito {vi wj}.\nSupongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados genéricamente. Nosotros decimos que ellos\nestán en posición general si su producto tensor V = V1KV2 es genérico. Vamos.\nBi = {x\n1,. .., x\n1,. .., g\n1,. .., h\n}, i = 1, 2\nser una base espectral en Vi. Obviamente, B1 B2 es una base normal en V1KV2.\nDenotaremos por d1, d2, d los diferenciales y por F1, F2, F los filtros en\nV1, V2 y V respectivamente. Ponga Gi = {g\n1,. .., g\nqi }, Hi = {h\n1,. .., h\ny K = G1 B2 B1 G2. Observar que\nIm d â € ¢ W := Span(K).\nTomar cualquier dos clases\nj ] H(Vi), i = 1, 2.\nSupongamos que a1 a2 = [v]. Entonces v es de la forma\n(1)m \nm h\nl + w\ndonde w debe estar en W. Observar que (H1 H2) Por Lemma 5.3,\nF v) ≥ máx.\nF (de 1 m)\nm h\nl ),\ny, por lo tanto,\nc(a1 a2) = máx.\nF (de 1 m)\nm h\n= máx.\nm ) + F2(\n= máx.\nm ) + máx.\nl ) = c(a1) + c(a2).\nEn la última igualdad usamos (26). Esto completa la prueba del Teorema 5.2\npara complejos decorados en posición general.\nQueda por eliminar el supuesto de posición general. Esto se hará.\ncon la ayuda del siguiente lema. Trabajaremos con una familia de...\nComplejos clasificados\nV := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,\nque tienen exactamente los mismos datos (base preferida, clasificación, diferencia y\nCon la excepción del filtro F, que podrá variar en la clase\nde filtros. Los invariantes espectrales correspondientes serán denotados por c(a, F ).\nLemma 5.5.\ni) Si los filtros F, F ′ satisfacen F (xi) ≤ F\n′(xi) para todos los i = 1,..............................................................................................................................................\nc(a, F ′) para todas las clases distintas de cero a H(V).\n(ii) Si F es un filtro y R, entonces F + es de nuevo un filtro y c(a, F + R) =\nc(a, F ) + para todas las clases distintas de cero a • H(V).\nLa prueba es obvia y la omitimos. De ello se deduce que para los dos filtros F, F ′\nc(a, F )− c(a, F ′) ≤ F − F C0 \nSupongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados. Denota por F1, F2 sus\nfiltros. Arreglar â € > 0. Por una pequeña perturbación de los filtros obtenemos nuevos filtros,\nF ′1 y F\n2, en nuestros complejos para que los complejos se conviertan en genéricos y en\nposición general y, además,\nF1 − F\n1C0 ≤ , F2 − F\n2C0 ≤ .\nTeniendo en cuenta las clases de homología ai H(Vi) tenemos\nc(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) ≤\nc(a1, F\n1) + c(a2, F\n2) - c(a1 a2, F\n1 + F\n2 = 4 = 4 = 2 = 4 = 2 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4.\nAquí hemos utilizado que el teorema 5.2 ya está probado para los complejos genéricos en\nposición general. Puesto que â € > 0 es arbitrario, obtenemos que\nc(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) = 0,\nque completa la prueba de Teorema 5.2 en toda generalidad.\n6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados\nEn esta sección demostramos la parte (ii) del Teorema 1.2.\nProposición 6.1. Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.\nPara la prueba necesitaremos la siguiente declaración auxiliar. Dado R > 0,\nconsiderar el toro T2R obtenido como cociente del cilindro T\n∗S1 = R(r)×\nS1 ( mod 1) por el cambio (r, ) 7→ (r + R, ). Para α > 0 definir la función\nFα(r, ) := αf(r) en T\nR, donde f(r) es cualquier función R-periódica que\ndos puntos críticos no degenerados en [0, R]: un punto máximo en r = 0 con\nf(0) = 1, y un punto mínimo en r = R/2, f(R/2) =: < 0. Denotamos\npor [T] la clase fundamental de T2R. Trabajamos con la forma simpléctica dr.d.\nen T2R.\nLemma 6.2. c([T ], Fα) = α.\nPrueba. Tenga en cuenta que las órbitas cerradas contractibles del período 1 del Hamiltonian\nflujo generado por Fα son puntos fijos formando círculos S+ = {r = 0} y\nS− = {r = R/2}. Las acciones de los puntos fijos en S± igual, respectivamente, a\nα y, y por lo tanto los invariantes espectrales de Fα se encuentran en el conjunto,.\nRecordemos de [59] que c([T ], Fα) > c([punto], Fα). Así c([T ], Fα) = α.\nLemma 6.3. Dejemos que H (C) (M) sea desplazable para que H-1 (maxH). Entonces\n(H) < maxH.\nPrueba. Elija â € > 0 para que el conjunto\nH−1((máx.\nes desplazable. Elija una función de corte de valor real : R → [0, 1] que\nes igual a 1 cerca de maxH y que se apoya en (maxH,maxH). Por lo tanto\nEn H−1((maxH − •; maxH ]) y en 0, se admite el uso de H−1(H) (maxH − •; maxH ]. Desde H\ny (H) Poisson-computar, la desaparición y la monotonicidad axiomas rendimiento\n(H) ≤ máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máxH.\nPrueba de la Proposición 6.1: Basta con demostrar que por cada R > 0 el conjunto\nY := X × {r = 0} M ′ := M × T2R\nno es desplazable. Supongamos por el contrario que Y es desplazable. Elegir\na función H en M con H ≤ 0, H−1(0) = X. Poner\nH ′ = H + F1 = H + f(r) :M\n′ → R.\nAsumir que el cuasi-estado parcial en M está asociado a algunos no-cero\nidempotente a QH*(M) por medio de (2). Denotación de.................................................................................................\n′ el cuasiestado en\nM ′ asociado a a T. Tenga en cuenta que\nY = (H ′)−1(maxH ′), donde maxH ′ = 1,\nmientras que el teorema 5.1 y Lemma 6.2 implican que\nفارسى ′(H ′) = فارسى(H) + 1.\nPor Lemma 6.3 ≤ ′(H ′) < 1 y por Lemma (H) < 0. En vista de la Proposición 4.1,\nobtener una contradicción con la pesadez de X.\nLemma 6.2 también da una simple prueba del siguiente resultado, que también sigue\ndel corolario 1.15:\nCorolario 6.4. Cualquier meridiano de T2 es pesado (con respecto a la fundamental\nclase [T]).\nPrueba. En la notación anterior identificar T2 con T21 para R = 1. Desde cualquier\ndos meridianos de T2 pueden ser mapeados entre sí por una isotopía simpléctica\ny puesto que tal isotopía preserva la pesadez, basta probar que la\nel meridiano S := S+ = {r = 0} (ver la prueba de Lemma 6.2) es pesado.\nLet H : T2 → R ser un hamiltoniano y vamos a mostrar que •(H) ≥ infSH,\ndonde se defina el valor de los valores de referencia utilizando [T ]. Cambiando H, si es necesario, por una constante, podemos\nasumir sin pérdida de generalidad que infSH = 1. Pick f = f(r) : T\n2 → R\ncomo en la definición de Fα para que F1 = f ≤ H en T\n2 (nota que f es igual a 1 en\nS). Entonces Lemma 6,2 rendimientos\n• (H) ≥ (F1) = 1 = inf\n7 Analizar tallos estables\nPrueba de Teorema 1.6: Supongamos que A es un subespacio Commutativo Poisson\nΦ : M → A* su mapa del momento con la imagen, y let X =\n1(p) ser un tallo estable de A.\nTome cualquier funciónH • C•(A*) con H ≥ 0 y H(p) = 0. Nosotros afirmamos que\n*(H) = 0. Por una arbitrariamente pequeña C0-perturbación de H podemos asumir\nque H = 0 en un barrio pequeño, digamos U, de p. Elija una cubierta abierta\nU0, U1,. ...................................................................................................................................................\n− 1 (Ui) son establemente desplazables\npara i ≥ 1 (existe por la definición de tallo). Let.......................................................................................................................................................................................\nser una partición de unidad subordinada a la cubierta {Ui}.\nTome el T2R de dos torsión como en la Sección 6. Elija R > 0 lo suficientemente grande para que\n1(Ui)× {r = const} es desplazable en M × T\nR para todos los i ≥ 1. Elija ahora\nuna cobertura suficientemente fina Vj, j = 1,..., K, del toro T.\nR por lo suficiente\ndelgada anular r − rj < de modo que los conjuntos Φ\n−1(Ui) × Vj son desplazables en\nM × T2R para todos los i ≥ 1 y todos los j. Let â € ~ j = â € ~ j(r), j = 1,..., K, ser una partición\nde unidad subordinada a la cubierta {Vj}.\nDenotar por el estado cuasi parcial correspondiente a aT. Puso F (r, ) =\ncos(2γr/R). Escribir\nH + F =\n(H + F )\n(H0) + F · Φ\n0 +\n(H + F ) · i · j.\nNótese que H0 = 0 y F · Φ\n0 ≤ 1. Aplicación de la cuasiadditividad parcial\ny la monotonicidad tenemos eso\n′(H + F ) = ′(F · 0) ≤ 1.\nPor Lemma 6.2 y la fórmula del producto (Teorema 5.1 arriba) tenemos\n(H + F ) = (H + F ) = (H ) + 1 ≤ 1\ny, por lo tanto, «(H)» ≤ 0. Por otra parte, el valor de H ≥ 0 (H) ≥ 0 desde el punto de vista de H ≥ 0. Por lo tanto\nA continuación figura una reclamación de 0 (H) = 0.\nAdemás, dada cualquier función G en M con G ≥ 0 y GX = 0, se puede\nencontrar una función H en A* con H(p) = 0 para que G ≤ H. Por monotonicidad\ny la reclamación supra\n0 ≤ G ≤ H = 0,\ny, por lo tanto, el punto G = 0. Así X es superpesada.\n8 Submanifolds monotónicos lagrangianos\nLa principal herramienta de prueba (super)peso de la monotona Lagrangian subman-\nilolds que satisfacen la condición de Albers es la estimación espectral en Proposi-\nsión 8.1(iii) a continuación, que se originó en la obra de Albers [2]. Más tarde.\nBiran y Cornea señalaron un error en [2], y sugirieron una corrección\njunto con una generalización de largo alcance en [15]. Mencionemos que el\nLa estimación original de Albers se utilizó en la primera versión del presente documento. Nosotros\ngracias Biran y Cornea por informarnos sobre el error, explicando a\nnos su enfoque y nos ayuda a corregir una serie de nuestros resultados afectados\npor este error.\nEl ingrediente principal de las técnicas de Biran-Cornea que se necesita para nuestro\nla finalidad es el siguiente resultado. Vamos a ser un simplético monótono cerrado\nCélulas de hierro o acero sin alear, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso EscribeN para el número mínimo de Chern\nde (M. Deja que Ln M2n sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold con\nel número mínimo de Maslov NL ≥ 2.\nTrataremos de manera ligeramente diferente los casos en que NL es paritario y extraño. Vamos.\nMencionamos que para L orientable, NL es automáticamente uniforme. Por lo tanto, debido a\nnuestra convención, cuando NL es raro trabajamos con el campo básico F = Z2. Vamos.\nN · Z sea el grupo de períodos de M. Recuerde que el anillo cuántico tiene\nla forma QH*(M) = H*(M;F) F \ncomo = [q, q\n−1]. Put = (N/2) · Z. Considere un anillo Novikov extendido\n:= K [q\n2, q−\n2 ]. Definir ahora QH (M) como QH*(M) si NL es par, y como\nH*(M,Z2)Z2 \n′ si NL es raro. En este último caso, QH\n∗(M) es una extensión de\nQH*(M), y lo consideraremos sin mencionar de manera especial QH*(M),\ncomo subrenglones de QH (M),\n′, K. La clasificación de QH\n* La letra M) está determinada por:\nla condición deg q\n2 = 1. Como antes, utilizaremos la notación QH (M), donde\n• = “equivalente” cuando F = C y • = * cuando F = Z2.\nTenga en cuenta que los invariantes espectrales (y por lo tanto parcial simplés cuasi-\nlos estados) están bien definidos sobre el anillo extendido, y además, sus valores\ny las propiedades, por razones tautológicas, no se alteran bajo tal extensión\n(cf. una discusión en [15], sección 5.4. Put w := sNL/2qNL/2. Recordemos que j\nrepresenta el morfismo natural H•(L;F) → H•(M;F).\nProposición 8.1. Supongamos que k > n+1−NL. Si F = C asumen además\nQue k está a mano. Entonces existe un homomorfismo canónico jq : Hk(L;F) →\nQH ′k(M) con las siguientes propiedades\n8La letra “q” en jq significa cuántica.\ni) jq(x) = j(x) + w−1y, donde y es un polinomio en w−1 con coeficientes\nen H•(M ;F);\nii) jq([L]) = j([L]);\niii) Si jq(x) 6= 0 entonces c(jq(x), H) ≤ supLH por cada H + C\n(M).\nEn particular, si S es un elemento Albers de L, tenemos jq(S) = j(S)+O(w−1) 6=\nEsta proposición fue probada por Biran y Cornea en [15] en el caso\nF = Z2: El mapa j\nq es esencialmente el mapa iL que aparece en Teorema A(iii)\nen [15]. La Proposición 8.1 i) es una combinación de Teorema A iii) y\nProposición 4.5.1 i) en [15]. Nuestra variable w corresponde a la variable t−1 en\n[15], mientras que nuestro sNŁqN corresponde a la variable s−1 en la Sección 2.1.2 de [15].\nDespués de tal ajuste de la notación, la fórmula w := sNL/2qNL/2 arriba\npuede extraerse de la sección 2.1.2 de [15]. Para la propuesta 8.1 ii) supra\nVéase la Observación 5.3.2.a en [15]. La Proposición 8.1 iii) se deriva de Lemma\n5.3.1 ii) en [15]. Por último, vamos a repetir el descargo de responsabilidad hecho en la sección 1.5: nosotros\ndar por sentado que la Proposición 8.1 sigue siendo válida para el caso F = C.\nPasemos a las pruebas de nuestros resultados sobre (super)-peso del monotono\nSubmanifolds lagrangianos. Comenzamos con la siguiente observación. Deja que S sea un\nAlbers elemento de L. La propiedad de dualidad Poincaré de invariantes espectrales\n(véase la sección 3.4 supra) se extiende literalmente al caso del anillo QH ′(M)\ncon la siguiente modificación: Cuando NL es impar, el emparejamiento Π introducido\nen la sección 3.4 se extiende de manera obvia a un valor F no degenerado\nemparejamiento en QH (M) que todavía denotamos por Π. Aplicación de la dualidad de Poincaré\ny sustituyendo H := −F en la Proposición 8.1 iii) arriba obtenemos eso para\ntodas las funciones F + C+(M)\nc(T, F ) ≥ inf\nF T T QH (M) con Π(T, j\nq(S) 6= 0.\nEn particular, dado un idempotente distinto de cero a • QH (M) y una clase b •\nQH (M), de modo que Π(a*b, j\nq(S) 6= 0, obtenemos, usando la propiedad de normalización\nde invariantes espectrales, que\nc(a, F ) + (b) ≥ c(a ∗ b, F ) ≥ inf\nF. F. C. M........................................................................................................... (27)\nPor lo tanto, aplicando (27) a kF para k â € N, dividiendo por k y pasando a la\nlímite como k → #, obtenemos que para el cuasi-estado parcial #, definido por a,\n(F ) ≥ inf\nF. F. C. M.\nlo que significa que L es pesado con respecto a a.\nPrueba de Teorema 1.15: Que S sea un elemento Albers de L. Let T\nH•(M;F) ser cualquier clase de homología singular tal que T • j(S) 6= 0. Por lo tanto,\naplicando la Proposición 8.1 i) vemos que Π([M]*T, jq(S)) = Π(T, jq(S)) 6= 0,\ny por lo tanto desigualdad (27), aplicado a a = [M ], b = T, rendimientos que L es pesado\ncon respecto a [M].\nPasemos a la prueba del Teorema 1.25 sobre el efecto de la semi-simplicidad\nde la homología cuántica. Se sigue fácilmente de la siguiente más general\ndeclaración. Let L1,. ...............................................................................\ncondición. Que Si sea cualquier elemento Albers de Li. Nota de Zi = j\nq(Si)\nQH (M) su imagen bajo el morfismo de inclusión de la Proposición 8.1 anterior.\nTeorema 8.2. Teniendo en cuenta tal L1,. ............................................. .., Zm, asumir, además,\nque QH2n(M) es semi-simple y los submanifolds lagrangianos L1,. ..............................................................\nson desarticulados en el sentido del par. Luego las clases Z1,. .., Zm son linealmente independientes\nsobre K.\nPrueba. Argumentando por contradicción, asumir que\nZ1 = α2Z2 +... + αmZm (28)\npara algunos α2,. ............................................................... Puesto que QH2n(M) es semi-simple, se descompone\nen una suma directa de campos con unidades e1,. ., ed. Desde el apareamiento Π (en\nQH (M;F)) no es degenerado, existe T QH\n•(M;F) de tal manera que\nΠ(T, Z1) 6= 0. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nEscribamos T como\nT = [M ] * T =\n* T. (30)\nEcuaciones (29), (30) implican que existe l â € [1, d] de tal manera que\nΠ(el ∗ T, Z1) 6= 0. 31)\nEntonces (28) implica que existe r [2, m] de tal manera que\nΠ(el ∗ T, αrZr) 6= 0.\nUsando (21) (para Π en QH (M;F)) podemos reescribir la última ecuación como\nΠ(el ∗ αrT, Zr) 6= 0. (32)\nAplicando ahora la fórmula (27) para S = Z1 H•(L1;F), a = el, b = T, y también\npara S = Zr H•(Lr;F), a = el, b = αrT, concluimos que tanto L1 como Lr\nson pesados con respecto a El. Por lo tanto son superpesados con respecto a el,\nporque el es la unidad en un factor de campo de QH2n(M) (ver Sección 1.6). Por lo tanto\ndeben intersecarse, en contradicción con la suposición del teorema. Esto\ntermina la prueba de la primera parte del teorema.\nPrueba de Teorema 1.25(a): Supongamos que L1,. ...............................................................\nSubmanifolds lagrangianos que satisfacen la condición (a) de la formulación\ndel teorema. Denotar por Ni el número mínimo Maslov de Li. Desde\nNi > n + 1, la clase de un punto de H0(Li;F) es un elemento de Albers para Li.\nDejemos que Zi QH\n0(M) ser su imagen bajo el morfismo de inclusión de Biran-Cornea\nasociado a Li. Note que por la Proposición 8.1(i) Zi = p + aiw\ni, donde\nwi = s\nNi/2qNi/2, ai, HNi(M;F) y p, H0(M;F) es la clase de homología de\nun punto. Observar que degwi = Ni > n + 1, y por lo tanto la expresión para Zi\nno puede contener términos en w−1i de orden dos y superior, ya que HkNi(M ;F) = 0\npara k ≥ 2.\nRecordar ahora que toda la mentira de Ni en algún conjunto Y de enteros positivos. Dejad que W...\nQH ′0(M) ser el lapso sobre K de\nH0(M;F)\nsE/2q−E/2 ·HE(M;F).\nTenga en cuenta que\ndimK W = βY (M) + 1 < m.\nAsí los elementos Zi, i = 1,..., m, son linealmente dependientes sobre K. Por\nEl teorema 8.2, QH2n(M) no es semisimple.\nPrueba de Teorema 1.25(b): Supongamos que L1,. ...............................................................\nSubmanifolds Lagrangianos homológicamente no triviales. Por la Proposición 8.1 ii)\njq([Li]) = j([Li]) para cada i = 1,..., m. Dado que las clases j([Li]) son linealmente\ndependiente, Teorema 8.2 implica que QH2n(M) no es semi-simple.\nPrueba del Teorema 1.18: Combinando la Proposición 8.1 ii) y iii) obtenemos\nque para cualquier H â € TM Câ TM (M)\nc(j([L]), H) ≤ sup\nH. H. C. M.......................................................................................................................................\nPor la hipótesis del teorema, podemos escribir j([L]) * b = a para algunos b.\nc(a,H) = c(j([L]) ∗ b,H) ≤ c(j([L]), H) + c(b, 0).\nc(a,H) ≤ sup\nH + c(b, 0).\nAplicando esta desigualdad a E · H con E > 0, dividiendo por E y pasando\nhasta el límite como E → â € € TM € ~ (H) ≤ supLH para todos los H. Por lo tanto L es\nsuperpesado.\nObservación 8.3. Los resultados anteriores admiten las siguientes generalizaciones en el\nmarco de la teoría de Biran-Cornea. El principal objeto de esta teoría es la\nanillo de homología cuántica QH*(L) de un submanifold Lagrangiano monotono,\nque es isomórfico a la homología Lagrangia Floer HF*(L, L) de L hasta\nun cambio en la clasificación.\ni) Si QH*(L) no desaparece, L es pesada (véase la Observación 1.2.9b en [15]).\nDe hecho, de [15] se deduce que si L cumple la condición de Albers,\nQH*(L) no desaparece.\n(ii) El mapa jq de la Proposición 8.1 anterior es una huella de la\nMapa de inclusión de tum iL : QH*(L) → QH\n*(M) construido en [15]. Los\nla estimación de la acción en el inciso iii) de la propuesta es\nque figuran en [15] para las clases iL(x) para los elementos x • QH*(L) de una determinada\nforma especial, dando la siguiente generalización del Teorema 1.18: para\nestas clases especiales x • QH*(L) la condición de que la clase iL(x)\nno desaparece y divide un idempotente no trivial a implica que L\nes superpesado con respecto a a. Esto permite, por ejemplo,\nize Ejemplo 1.19 sobre las esferas lagrangianas en los cuadros anteriores al caso\ncuando dimL es raro.\n(iii) En [15] uno puede encontrar otra estimación de acción que viene de la\nEstructura del módulo QH*(M) en QH*(L), que da más resultados sobre\n(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monótono.\nPrueba de la Proposición 1.4: La homología cuántica QH2n(M) se divide como una\nálgebra sobre K en una suma directa de dos álgebras uno de los cuales es un campo. Esto\nfue probado por McDuff para el campo F = C (véase [39] y [24, sección 7]), pero\nla prueba pasa por el caso F = Z2 también. Denotar la unidad de la\ncampo por a. Es un idempotente no cero en QH2n(M). Como ya hemos señalado\nhacia fuera en la Observación 1.21, tal idempotente a define un verdadero simplés cuasi-\ny por lo tanto las clases de conjuntos pesados y superpesados con respecto a\nCoincidencia.\nPor el teorema 1.2, el toro lagrangiano L-M no puede ser superpesado\ncon respecto a un, ya que puede ser desplazado de sí mismo por un simplético (no-\nHamiltonian) isotopía. De hecho, tome una isotopía simpléctica obvia............................................................................................................................................\nque desplaza L (un cambio paralelo) y lo compone con una isotopía Hamiltoniana\nPara que por cada t que tenemos que es constante en t (L) y t (t) es la identidad\nen la bola donde se realizó la explosión de T2n. Sin lugar a dudas, el resultado\nla isotopía simpléctica se extiende a una isotopía simpléctica de M que desplaza\nPor otro lado, NL ≥ 2 porque en este caso NL = 2N, donde N ≥ 1\nes el número mínimo Chern de M. Por último, tenga en cuenta que L representa un no-\nclase de homología trivial en Hn(M ;Z2). Por lo tanto podemos aplicar Teorema 1.15\ny conseguir que L es pesado con respecto a [M ].\n9 Rigidez de fibras especiales de ac-\nciones\nEn esta sección probamos Teorema 1.9. Denotar la fibra especial de Φ por\nL := 1(pspec).\nReducción al caso de las acciones T1: En primer lugar, afirmamos que es suficiente\npara probar el teorema de las acciones Hamiltonian T1- y el caso general\nSígueme de ahí. De hecho, supongamos que esto está probado. La superpeso de la\nfibra especial inmediatamente produce que para cualquier función H̄ : R → R\n*(H̄) = H̄(pspec), (33)\ndonde Φ :M → R es el mapa del momento de la acción T1.\nVolvamos a la situación multidimensional y vamos a Φ : M → Rk\nser el mapa del momento normalizado de un Hamiltonian Tk-action en M. Para un\nv Rk denotar por Φv(x) = Φv,Φ(x), donde, es el estándar euclidiano\nproducto interior en Rk. Tenga en cuenta que si v • Zk la función Φv es el normalizado\nmapa del momento de una acción del círculo Hamiltoniano y su valor especial es v, pspeñá.\nAsí por (33)\nK) = K(v, pspeñá)\n*(R). (34)\nPor la homogeneidad de la igualdad (34) se mantiene para todos v. Qk, y por la continuidad\npara todos los v â € Rk.\nObsérvese que para cada par de funciones lisas P,Q,C,C,(R) y para cada\npar de vectores v,w Rk las funciones \nP y \nQ Poisson-computar en\nM. Así la desigualdad triangular para los números espectrales (ver Sección 3.4)\nrendimientos\nP + \nQ) ≤ ()\nP ) + ()\nP). (35)\nPuesto que M es compacto, basta con asumir que la función H̄ â € TM TM Câ TM (Rk) en\nRk es compatible de forma compacta. Por la inversa transformación de Fourier podemos escribir\nH̄(p) =\n(v) + cosáv, páv) · F (v) + cosáv, páv) ·G(v)\npara algunos rápidamente (digamos, más rápido que (p + 1)-N para cualquier N N) decayendo\nfunciones F y G en Rk. Para cada v â € TM Rk definir una función Kv â € C\nKv(s) := sin s · F (v) + cos ·G(v).\nObservar que\nH̄ =\nKv dv.\nDenotar por B(R) la bola euclidiana de radio R en Rk con el centro en el\norigen. Poner\nH̄R(p) =\nKv(v, ) dv, p R\nDado que las funciones F y G están decayendo rápidamente, tenemos que\nH̄R − HC0(Rk) → 0 como R → فارسى. (36)\nAfirmamos que por cada R\n*(H̄R) ≤ H̄R(pspec). (37)\nDe hecho, para â > 0 introducir la suma integral\nH̄R (p) =\nvÃ3r ZkÃ3B(R)\nKv (v, p)...........................................................................................................................................\nH̄R, =\nvÃ3r ZkÃ3B(R)\n- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!\nAplicando repetidamente (35) y (34) obtenemos eso\n*(H̄R,♥) ≤ H̄R,/23370/(pspec).\nTenga en cuenta ahora que para R fijo la familia H̄R, fue convergente a H̄R como فارسى → 0 en\nla norma uniforme sobre C0(Rk). El uso de que es Lipschitz con respecto a la\nnorma uniforme en C0(M) obtenemos fácilmente la desigualdad (37).\nCombinando el hecho de que es Lipschitz con (36) y (37) obtenemos que\n(H̄) = lim\n(H̄R) ≤ lim\nH̄R(pspec) = H̄(pspec).\nAhora, asuma que H̄ ≥ 0 y H̄(pspec) = 0. Acabamos de demostrar que\n•(H̄) ≤ 0, y por lo tanto •(H) = 0, que inmediatamente produce el su- deseado\nla permeabilidad de la fibra especial. Esto completa la reducción de la\ncaso al caso 1-dimensional.\nA partir de ahora consideraremos sólo el caso de un Hamil efectivo...\ntoniano T1-acción en M con un mapa de momento Φ :M → R. Su momento\nEl politopo es un intervalo cerrado en R y pspec = −I(Φ) R.\nReducción al caso de una función estrictamente convexa: Nosotros reclamamos\nque es suficiente para mostrar la siguiente proposición:\nProposición 9.1. Suponga H̄ : R → R es una función lisa estrictamente convexa\nalcanzar su mínimo en pspec. Conjunto H := Φ\n*H̄. A continuación, Ł(H) = H̄(pspec).\nAplazando la prueba de la proposición por un momento vamos a demostrar que\nimplica el teorema. De hecho, let F : M → R ser un hamiltoniano en M. En\norden para mostrar la superpeso de L = 1(pspec) tenemos que mostrar que\n•(F ) ≤ supL F. Elija una función muy pronunciada estrictamente convexa H̄ : R → R con\nel valor mínimo de supL F alcanzado en pspec y tal que Φ\n*H̄ =: H ≥ F\nen todas partes en M. Entonces utilizando la Proposición 9.1 y la monotonicidad de\n•(F) ≤ (H) = H̄(pspec) = sup\npor lo que se refiere a la presentación de la reclamación.\nPreparativos para la prueba de la Proposición 9.1: Dado un (tiempo-\ndependiente, no necesariamente regular) Hamiltonian G, nos asociamos a cada\npar [γ, u] â € € € TM TM un número\nDG([γ, u]) := AG([γ, u])−\n· CZG([γ, u]).\n(Recuerde que definimos el índice Conley-Zehnder para todos los Hamiltonianos y\nno sólo los regulares – ver sección 3.3). El número DG([γ, u]) está in-\nvariante bajo un cambio del disco de extensión u – una adición de una esfera\njS HS2 (M) en el disco u cambia tanto AG([γ, u]) como CZG([γ, u]) por\nel mismo número. Así podemos escribir DG([γ, u]) = DG(γ).\nTeniendo en cuenta lo siguiente:\n(l) y u(l) como las composiciones\nde γ y u con el mapa z → zl en la unidad de disco D2 o C (aquí z es un\nCoordenada compleja sobre C). Denotar por t 7→ gt el flujo de tiempo de G y por\nG(l) :M × R → R el Hamiltoniano cuyo flujo temporal es t 7→ (gt)\nl y qué\nes definido por\nG(l) := G®. ...............................................................................................................................................................................................................................................................\ndonde GÃ3K(x, t) := G(x, t) +K(g−1t x, t) para cualquier K :M × R → R.\nProposición 9.2. Existe una constante C > 0, dependiendo sólo de n, con\nla siguiente propiedad. Teniendo en cuenta una órbita 1-periódica γ PG del flujo t 7→ gt\ngenerado por G, asumir que γ(l) es una órbita 1-periódica del flujo t 7→ glt\ngenerado por G(l), y por lo tanto para cualquier u tal que [γ, u]\n[γ(l), u(l)].......................................................................................................................................................................................................................................................... Entonces\nDG(l)([γ\n(l), u(l)]— LDG([γ, u]) ≤ l · C.\nPrueba. El término de acción en DG se multiplica por l a medida que pasamos de G a G\nEn cuanto al término Conley-Zehnder, la propiedad cuasimorfista del Conley-\nEl índice de Zehnder (véase la Proposición 3.5) implica que existe una constante C > 0\n(dependiendo solamente de n) tal que\nlCZG[γ, u]− CZG(l)([γ\n(l), u(l)]) ≤ C.\nEsto prueba inmediatamente la proposición.\nProposición 9.3. Let G :M × [0, 1] → R ser un hamiltoniano como arriba. Entonces\nse puede elegir > 0, dependiendo de G, y una constante Cn > 0, dependiendo de\nsólo en n = dimM/2, de modo que cualquier función F : M × [0, 1] → R que es\ncerca de G, en una medida métrica-C. sobre C.(M×[0, 1]) cumple la condición siguiente:\npor cada γ0 • PF existe γ • • PG de tal manera que la diferencia entre DF (γ0)\ny la DG(γ) está limitada por Cn.\nPrueba. Denote el flujo de G por gt (como antes) y el flujo de F por ft.\nverá las trayectorias periódicas de tiempo-1 de estos flujos tanto como mapas de [0, 1] a\nM que tengan el mismo valor en 0 y 1 y como mapas de S1 a M.\nPrimero, considere la fibración D2×M →M y, abusando ligeramente de la notación,\ndenotar la retirada natural de............................................................................................................ Segundo, mira la fibración.\npr : D2 ×M → D2. Denotar por V ert el haz vertical sobre D2 × M formado\npor los espacios tangentes a las fibras de pr. Para cada bucle : S1 →M define por\n: S1 → D2 ×M el mapa (t) := (t, γ(t)). Los paquetes TM y V ert\nsobre S1 coinciden. Similarmente para cada w : D2 →M denotar por : D2 → D2×M\nel mapa (z) := (z, w(z)).\nExiste > 0, dependiendo de G, de tal manera que para cada γ PG un tubular\nEl término «vecindario» de la imagen de en S1 ×M D2 ×M, denotado por Ubγ, tiene\nlas siguientes propiedades:\n• existe un 1-formo en Ubγ que satisface d\n• V ert admite una trivialización sobre Ubγ.\nDado un â € > 0, podemos elegir F lo suficientemente cerca de G para que el\nrutas t 7→ pies y t 7→ gt en Ham(M) son arbitrariamente C\n- Muy cerca y, por lo tanto,\n• por cada x • Fix (F) existe y • Fix (G) que está cerca de x\n(pensar en los puntos fijos como puntos de intersección de la gráfica de un\ndifeomorfismo con la diagonal;\n• la distancia entre los mapas γ0 : t 7→ ft(x) y γ : t 7→ gt(y)\nde [0, 1] a M está limitada por y la imagen de 0 se encuentra en Ubγ.\nElija un mapa u0 : D\n2 → M, uD2 = γ0. Dado que γ0 y γ son C\n- ¡Cerca! - ¡Cerca!\npuede agrandar D2 a un disco más grande D21 D\n2 y encontrar un mapa suave u : D21 →M\npara que\n• uD21\n= u0;\n• u(D21 \\ D\n2) Ubγ.\nRescatar D21 podemos asumir sin pérdida de generalidad que [γ, u] PG.\nTrivializar los paquetes de vectores 0TM y γ\n* TM para que las trivializaciones\nse extienden a una trivialización de u*TM sobre D21 (y por lo tanto de u\n0TM sobre D\nUtilizando las trivializaciones podemos identificar las rutas t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt\ncon algunos caminos basados en la identidad de matrices simpléticas A(t), B(t). Fijación de un\npequeño como el anterior, también podemos asumir que F es elegido para C-cerca de G que,\nademás de todo lo anterior, la distancia C-entre los caminos t 7→ A(t)\ny t 7→ B(t) en Sp (2n) está limitado por (por ejemplo, asegúrese primero de que\nlas trayectorias de matriz obtenidas escribiendo las trayectorias t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt\nusando alguna trivialización de V ert sobre Ubγ son lo suficientemente cerca – entonces la matriz\nrutas t 7→ A(t) y t 7→ B(t) también estarán lo suficientemente cerca).\nNosotros afirmamos que al elegir lo suficientemente pequeño en la construcción de arriba nosotros\npuede vincular la diferencia entre DF ([γ0, u0]) y DG([γ, u]) en una cantidad\ndependiendo sólo de dimM.\nDe hecho, la diferencia \nF (γ0(t), t)dt −\nG(γ(t))dt está limitado por una\ncantidad dependiendo sólo de algunas constantes universales y, porque γ0 es\nCerca de γ y F se encuentra cerca de G con respecto a la medida. Puede ser\nhecho arbitrariamente pequeño al elegir un lo suficientemente pequeño. La diferencia\n* −\nu = \n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nestá limitado por la diferencia \n# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # \nOh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Desde entonces, γ0 y γ son\nla diferencia posterior se puede hacer menos de 1 si elegimos\na lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, hemos demostrado que al elegir un suficientemente\npequeño podemos unir AF ([γ0, u0])-AG([γ, u]) por 1.\nAhora, en lo que respecta a los índices de Conley-Zehnder, nuestra elección\nde las trivializaciones significa que la diferencia entre CZF ([γ0, u0]) y\nCZG([γ, u]) es sólo la diferencia entre los índices de Conley-Zehnder para el\nvías de matriz t 7→ A(t) y t 7→ B(t). Pero los últimos caminos en Sp (2n) son\nPor lo tanto, representan los elementos cercanos de Sœp (2n) y si\nse eligió suficientemente pequeño, entonces, como mencionamos en la sección 3.3, su\nLos índices de Conley-Zehnder difieren a lo sumo por una constante dependiendo solamente de n.\nEsto termina la prueba de la reclamación y la proposición.\nPlan de la prueba de la Proposición 9.1: Asumimos ahora que H̄ es\nuna función fija estrictamente convexa en R. Nuestros cálculos contarán con E como un\nparámetro grande. Para las cantidades α, β dependiendo de E escribiremos α β si\nα ≤ const se mantiene para E lo suficientemente grande, donde el const depende solamente de (M,\nΦ y H̄, y en particular no depende de E. Vamos a escribir α • β si\nα β y β α. Usando este lenguaje la proposición puede ser reafirmada como\nc(a, EH) EH̄(pspec). 38)\nEn general, las órbitas 1-periódicas del flujo de EH no están aisladas y allí-\nEl Hamiltoniano no es regular. Dejar F ser un regular (tiempo-periódico)\nperturbación de EH.\nPor el axioma de espectralidad, el número espectral c(a, F) para un QH2n(M)\nes igual a AF ([γ0, u0]) para algunos pares [γ0, u0] â € € con CZF ([γ0, u0]) = 2n. Por lo tanto\nc(a, F ) • DF (γ0). Combinando esto con la Proposición 9.3 obtenemos eso para algunos\nγ • PEH\nEH̄(pspec) c(a, EH) فارسى c(a, F ) ♥ DF (γ0) DEH(γ). (39)\nPor lo tanto, sería suficiente para demostrar que\nDEH(γ) EH̄(pspec) para todos los γ PEH, (40)\nque junto con (39) implicaría (38).\nLa desigualdad (40) se demostrará de la siguiente manera. Nótese que cada uno de ellos\nPEH se encuentra en Φ\n−1(p) para algunos p • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vamos a demostrar que\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p). 41)\nTenga en cuenta que (41) implica (40). De hecho, ya que H̄ es estrictamente convexo y alcanza\nsu mínimo en pspec, se deduce de (41) que\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p) ≤ EH̄(pspec),\nlo que es cierto para cualquier γ â € ¢ PEH por lo tanto rindiendo (40).\nPrueba de (41): Que la acción T1 sobre M sea dada por un bucle de sim-\nplectomorfismos t}, t R, t = t+1. El flujo de EH tiene la forma\nhtx = ♥EH(Φ(x))tx.\nVemos γ como un mapa γ : [0, 1] → M satisfaciendo γ(0) = γ(1). Denotar\nx := γ(0). La curva γ se encuentra en 1(p).\nNota N := γ([0, 1]). Este es el T1-órbita de x y es o bien un punto o\nun círculo.\nEn el primer caso γ es una trayectoria constante concentrada en un punto fijo\nN.M. de la acción. Usando esta curva constante γ junto con la constante\ndisco u que abarca las definiciones de I(Φ) y DEH(γ) se obtiene\npspec − p = mΦ(γ, u)\nDEH(γ) = EH̄(p)− فارسى/2 · CZEH([γ, u]).\nAsí pues, la prueba (41) reduce en este caso a la prueba\n-CZEH([γ, u])\n′(p) ·mΦ(γ, u).\nVamos a fijar una base simpléctica de TNM y ver cada diferencial dN\nmatriz simpléctica A(t), de modo que {A(t)} es un bucle basado en la identidad en Sp (2n).\n-CZEH([γ, u]) -CZmatr({A(EH̄)\n′(p)t)},\nmientras\nEH̄ ′(p) ·mΦ(γ, u) \n′(p)Maslov({A(t)}).\nPor lo tanto, tenemos que demostrar\nCZmatr({A(EH̄)\n′(p)t)}) فارسى EH̄ ′(p)Maslov({A(t)},\nque se sigue fácilmente de las definiciones del índice de Conley-Zehnder y\nla clase Maslov.\nAsí que a partir de ahora asumiremos que N es un círculo. Toma cualquier punto.\nx N. El estabilizador de x bajo la acción T1 es un grupo cíclico finito de\norden k N. Así la órbita de la T1-acción gira k veces a lo largo de N. Desde γ\nes una órbita cerrada no constante del flujo hamiltoniano generado por EH̄,\ngira r veces a lo largo de N con r Z \\ {0}. Esto implica que EH̄ ′(p) = r/k.\nAlegamos que sin pérdida de generalidad podemos asumir que l := r/k es un\nentero.\nDe hecho, siempre podemos pasar a γ(k) PkEH, de modo que (kEH̄)\n′(p)+Z, y\nsi podemos probar la proposición para γ(k), entonces\nDkEH(γ\nk) kEH̄(p) + kEH̄ ′(p)(pspec − p).\nAplicando la Proposición 9.2 obtenemos\nkDEH(γ) kEH̄(p) + kEH̄\n′(p)(pspec − p) + k · const,\ny, por lo tanto,\nDEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄\n′(p)(pspec − p),\nla prueba de la reclamación de la γ original.\nA partir de ahora suponemos que l := EH̄ ′(p) â € € € € € TM y que [γ, u] â € € € € TM.\nConsidere el campo vectorial de Hamilton X := sgradΦ en un punto x â € N. Desde\nN es una órbita no constante obtenemos X 6= 0. Entonces V = Tx(Φ\n−1(p)) es el sesgo\nComplemento ortogonal a X. Elija un T1-invariante casi compatible con\nestructura compleja J en un barrio de N. Juntos Ł y J definen un T1-\nmétrica de Riemannia invariante g. Descomponga el haz tangente TM a lo largo\nN como se indica a continuación. Poner Z = Span(JX,X) y establecer W para ser el g-ortogonal\ncomplemento a X en V. Así tenemos una descomposición invariante T1-\nTxM = W â € Z, x â € N. (42)\nAdemás, W y Z llevan formas canónicas simplécticas. Por lo tanto W y Z\ndefinir subbundles simpléticos (y por lo tanto triviales) de TM sobre N. Inducen\nsubbundles triviales del paquete TM sobre S1.\nCalculamos\ndht(x) = dŁEH′(Φ(x))t(x) + EH\n′′(Φ(x)) · dΦ() ·X. (43)\nConsideramos dos trivializaciones del paquete TM sobre S1. El primer trivi-\nla alización se define por medio de secciones invariantes bajo la acción T1. Los\nsegundo se elige de tal manera que se extiende a una trivialización de u*TM\nsobre D2. Usando estas trivializaciones podemos identificar dht(x), respectivamente, con\ndos rutas basadas en la identidad {Ct}, {C\nDe matrices simpléticas. El decompo-\nSituación (42) induce una división\nCt = 1° Bt.\nAfirmamos que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E.\nDe hecho, observar que en la base (X, JX) de Z\n1 b12(t)\nDenote por L la línea que abarca X = (1, 0). Perturb {Bt} a una ruta {B]\nRtBt}, donde Rt es la rotación por el ángulo t, y > 0 es lo suficientemente pequeño.\nObsérvese queB′(t)LÃ3L = {0} para t > 0. Se desprende fácilmente de las definiciones\nque CZmatr(B\nt) y CZmatr(RŁt) no excedan de 2. Por lo tanto, por la cuasi-\npropiedad del morfismo del índice de Conley-Zehnder (ver Proposición 3.5)\ntienen que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E, que\nda lugar a la reclamación. Por lo tanto\nCZmatr ({Ct}) 0.\nPor otra parte, por fórmula (18)\nCZmatr ({C)\nt}) = CZmatr ({Ct}) +mlΦ([γ, u]).\nCZEH([γ, u]) := n− CZmatr ({C)\nt}) -mlΦ([γ, u]). (44)\nPuesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), obtenemos\nAEH([γ, u]) =\nEH(γ(t))dt−\nu = EH̄(p)−\nu. (45)\nUsando (45) y (44) la igualdad precisa\nDEH([γ, u]) = AEH([γ, u])−\n· CZEH([γ, u])\npuede convertirse en una desigualdad asintótica\nDEH([γ, u]) فارسى EH̄(p)−\nu +\nmlΦ([γ, u]). (46)\nPuesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), tenemos\nAlΦ([γ, u]) =\nlΦ(γ(t))dt−\nu = lp−\nu. (47)\nSumando y restando lp del lado derecho de (46) y utilizando (47)\n¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.\nDEH(γ) = DEH([γ, u])\nEH̄(p)− lp)\nmlΦ([γ, u])\nEH̄(p)−\nAlΦ([γ, u])+\nmlΦ([γ, u])\nEH̄(p)−\n− I(lΦ) =\n= EH̄(p) + l(−I(Φ)− p) = EH̄(p) + l(pspec − p).\nRecordando que l = EH ′(p), finalmente obtenemos que\nDEH(γ) = EH̄(p) + EH\n′(p)(pspec − p),\nque es precisamente la ecuación (41) que queríamos obtener. Esto termina el\nprueba de la Proposición 9.1 y del Teorema 1.9.\n9.1 Calabi y acción mixta-Maslov\nPrueba de Teorema 1.13.\nSuponga H :M × [0, 1] → R es un Hamiltoniano normalizado que genera\nun bucle en Ham(M) que representa una clase α • η1(Ham(M)) • Hśam (M). Entonces\nH(l) también se normaliza y genera un bucle que representa αl. Vamos a calcular\nμ(α) = −vol (M) · liml c(a,H\n(l))/l.\nArgumentando como en la prueba de (39) obtenemos que existe una constante C >\n0 De tal manera que para cada l N existe γ • PH(l) para el cual c(a,H\nl) −\nDH(l)(γ) ≤ C. Pero, como se desprende de las definiciones y del hecho de que\nI es un homomorfismo, DH(l)(γ) no depende de γ y es igual a −I(α\n− lI(α). Esto implica inmediatamente que μ(α) = vol (M) · I(α).\nAgradecimientos. Los orígenes de este documento se encuentran en nuestro trabajo conjunto con\nP.Biran en el papel [10] – le agradecemos por su fructífera colaboración en un\netapa inicial de este proyecto, así como por su ayuda crucial con el ejemplo 1.17\nsobre las esferas lagrangianas en hipersuperficies proyectivas. También le damos las gracias y\nO.Cornea por señalarnos un error en la versión original de este artículo\ny ayudándonos con la corrección (ver Sección 8). Damos las gracias a F. Zapolsky\npor su ayuda con el \"exótico\" monótono Lagrangiano toro en S2 × S2 dis-\ntachado en el ejemplo 1.20. Agradecemos a C. Woodward por señalarnos el\nenlace entre el punto especial en el momento politopo de un áurico simplés\nmúltiples y la invariante Futaki, y E. Shelukhin para discusiones útiles\nsobre esta cuestión. También estamos agradecidos a V.L. Ginzburg, Y. Karshon, Y. Largo.\nD. McDuff, M. Pinsonnault, D. Salamon y M. Sodin para debates útiles\ny las comunicaciones. Damos las gracias a K. Fukaya, H. Ohta y K. Ono, la...\nlos nizers de la Conferencia sobre topología simplética de Kioto (febrero de 2006),\nM. Harada, Y. Karshon, M. Masuda y T. Panov, los organizadores de\nference on Toric Topology in Osaka (mayo de 2006), O. Cornea, V.L. Ginzburg,\nE. Kerman y F. Lalonde, los organizadores del Taller de Teoría Floer\n(Banff, 2007), y A. Fathi, Y.-G. Oh y C. Viterbo, los organizadores de\nConferencia de verano de la AMS sobre topología simplética y conservación de medidas\nSistemas Dinámicos (Snowbird, julio de 2007), por darnos la oportunidad de\npresentar una versión preliminar de este trabajo y por el excelente trabajo que hicieron\nen la organización de estas conferencias. Finalmente, agradecemos a un árbitro anónimo por\ncomentarios útiles y correcciones.\nBibliografía\n[1] Aarnes, J.F., Quasi-estados y cuasi-medidas, Adv. Matemáticas. 86:1 (1991),\n41-67.\n[2] Albers, P., Sobre la topología extrínseca de los submanifolds lagrangianos, Int.\nMatemáticas. Res. 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En el orden\nO(α2s), twist-cuatro contribuciones de quark-quark (antiquark) rescattering también ex-\nprohibir la característica de interferencia Landau-Pomeranchuck-Midgal (LPM) similar al gluón\nbremsstrahlung inducido por la dispersión de múltiples parten. Comparado con quark-gluon\nscattering, la modificación, que está dominada por el quark-quark del canal t (anti-\n) dispersión, es sólo menor por un factor de CF /CA = 4/9 veces la relación de\ndistribuciones de quark y gluon en el medio. Tal modificación no es negli-\ngible para cinemática realista y tamaño mediano finito. Las modificaciones al quark\n(antiquark) funciones de fragmentación de los procesos de aniquilación quark-antiquark\nse muestran determinados por la densidad de distribución del anticuarco (cuarco) en el\nMedio. La asimetría en las distribuciones quark y antiquark en los núcleos conducirá\na diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark en el interior\nun núcleo, que cualitativamente explica el sabor observado experimentalmente depen-\nDence de la represión de hadron líder en el DIS semi-inclusive fuera de objetivos nucleares.\nLos procesos de aniquilación quark-antiquark también mezclan la fragmentación quark y gluon\nfunciones en la región de gran impulso fraccionario, lo que conduce a una dependencia del sabor\nde un chorro que se apaga en colisiones de iones pesados.\nPalabras clave: Atenuación de chorros, fragmentación modificada, pérdida de energía de parten.\nPACS: 24.85.+p, 12.38.Bx, 13.87.Ce, 13.60.-r\nPreimpresión enviada a Elsevier el 30 de octubre de 2018\nhttp://arxiv.org/abs/0704.0106v2\n1 Introducción\nLa dispersión de múltiples partes en un medio denso se puede utilizar como una herramienta útil para estudiar\npropiedades de la materia nuclear caliente y fría. El éxito de este enfoque ha sido\ndemostrado por el descubrimiento de fuertes fenómenos de apagado de chorro en el centro de Au + Au\ncolisiones en el colisionador de iones pesados relativistas (RHIC) [1,2,3] y sus implicaciones\nsobre la formación de un plasma de quark-gluón fuertemente acoplado en RHIC [4,5]. Sin embargo,\npara un estudio fenomenológico convincente de los datos experimentales existentes y futuros,\nuna descripción unificada de todos los efectos medios en procesos duros en los que participan núcleos, tales como\ncolisiones electrón-núcleo (e + A), hadrón-núcleo (h + A) y núcleo-núcleo (A +\nA) tiene que ser desarrollado [6,7]. Esto debe incluir la física del impulso transversal\nampliación [8], fuerte mejora nuclear en la producción de DIS [9] y Drell-Yan [10,11],\nla sombra nuclear [12], y la pérdida de energía de parten debido a la radiación de gluón inducida por múltiples\ndispersión [13,14,15,16,17,18,19].\nExisten muchos marcos diferentes en la literatura para describir la dispersión múltiple\nen un medio nuclear [20,21,22]. Entre ellos, el enfoque de expansión de giro se basa en\nla factorización generalizada en QCD perturbante como desarrollado inicialmente por Luo, Qiu\ny Sterman (LQS) [23]. En el formalismo LQS, los procesos de dispersión múltiple generalmente\nEn el caso de la distribución de la parten, las correlaciones de múltiples partes de alta torsión son similares a las de la distribución de la parten.\nen los procesos de torsión líderes. Aunque las correcciones correspondientes de giro superior son\nSuprimidas por poderes de 1/Q2, son reforzadas al menos por un factor de A1/3 debido a\ndispersión múltiple en un núcleo grande. Este marco se ha aplicado recientemente al estudio\nmodificación media de las funciones de fragmentación como parten principal se propaga\na través del medio [18,19]. Debido al Landau-Pomeranchuck-Midgal no abeliano\ninterferencia en el gluon bremsstrahlung inducida por la dispersión de múltiples partes en los núcleos,\nlas modificaciones nucleares de mayor torsión a las funciones de fragmentación se mejoran de hecho\npor A2/3, cuadrático en el tamaño nuclear [18,19]. Estudio fenomenológico de la energía Parton\npérdida y modificación nuclear de las funciones de fragmentación en materia nuclear fría [24]\nda una buena descripción de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones en semi-\nInclusive diseminación profundamente inelástica del leptón-núcleo observado por el experimento HRMES\n[25,26]. El mismo marco también da una explicación convincente para la supresión de\ngrandes hadrones de impulso transversal descubiertos en RHIC [27].\nEl énfasis de los estudios recientes de la modificación media de las funciones de fragmentación tiene\nha estado en la pérdida de energía radiativa parten inducida por la dispersión múltiple con gluones. Semejante\nprocesos de hecho son dominantes en relación con la dispersión múltiple con quarks debido a la\nabundancia de gluones blandos en núcleos fríos o materia caliente densa producida en iones pesados\ncolisiones. Dado que gluon bremsstrahlung inducido por la dispersión con gluones medios es el\nigual para quarks y anti-quarks, también se espera la pérdida de energía y la fragmentación\nmodificación para ser idéntica para quarks y anti-quarks. Sin embargo, en un medio con fi-\nla densidad de los bariones, como los núcleos fríos y la región delantera de las colisiones de iones pesados,\nla diferencia entre las distribuciones de quark y antiquark en el medio debe dar lugar a\nent pérdida de energía y funciones de fragmentación modificadas para quarks y antiquarks a través de\nProcesos de aniquilación quark-antiquark. Para estudiar tal asimetría, uno debe considerar\nsistemáticamente todos los posibles procesos de dispersión quark-quark y quark-antiquark, que\nserá el centro de atención de este documento.\nEn este estudio vamos a calcular las modificaciones de la fragmentación quark y antiquark\nfunciones (FF) debidas a la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en un medio nuclear,\ntrabajar dentro del marco LQS para la factorización generalizada en QCD perturbador.\nPara una descripción completa de la modificación nuclear de la especificación de hadron\ntra, todavía hay que considerar la modificación media de las funciones de fragmentación del gluón en\nAdemás de la función de fragmentación de quark modificada debido a la dispersión de quark-gluón [18].\nLos resultados teóricos presentados en este trabajo serán un segundo paso hacia una completa\ndescripción de las funciones de fragmentación de mediana modificación. Sin embargo, ya se puede encontrar\nque quark-quark (antiquark) doble dispersión dará diferentes correcciones a quark\ny antiquark FF, dependiendo de la densidad antiquark y quark del medio, respec-\nTily. Esta diferencia entre quark modificado y antiquark FF puede arrojar luz sobre el\ninteresante observación por el experimento HERMES [25,26] de una gran diferencia entre\nsupresión nuclear de los principales espectros de protones y antiprotones en el DIS semi-inclusivo\nde grandes núcleos. Tal imagen de quark-quark (antiquark) dispersión puede proporcionar un com-\nmecanismo de contacto para el fenómeno observado experimentalmente, además de posible\nabsorción de hadrones de estado final dentro de la materia nuclear [28,29].\nEl documento se organiza de la siguiente manera. En la próxima sección vamos a presentar la general para\nmalismo de nuestro cálculo incluyendo la factorización generalizada de los procesos twist-4.\nEn la Sección III ilustraremos el procedimiento de cálculo de las partes\nQuark-quark doble dispersión en núcleos. En la Sección IV discutiremos las modificaciones\na funciones de fragmentación quark y antiquark debido a quark-quark (antiquark) dou-\nble dispersión en los núcleos. En la Sección V, nos centraremos en la parte dependiente del sabor de la\nmediana modificación al quark FF debido a la aniquilación quark-antiquark y lo haremos\ndiscutir las implicaciones para la dependencia del sabor de los principales espectros de hadrones en ambos\nDIS de un núcleo y colisiones de iones pesados. Resumiremos nuestra labor en la Sección VI. In\nel Apéndice A-1, recogemos los resultados completos para las partes duras de\ndiagramas cortados de quark-quark (antiquark) rescattering doble en núcleos. También proporcionamos\nun cálculo alternativo de las partes duras de los diagramas de corte central del apéndice A-3\na través de la dispersión elástica quark-quark o aniquilación quark-antiquark como un control cruzado.\n2 Formalismo general\nCon el fin de estudiar quark y antiquark FF en semi-inclusive profundamente inelástico leptón-\ndispersión del núcleo, consideramos los siguientes procesos,\ne(L1) + A(p) e(L2) + h(lh) +X,\nAp Ap\nFig. 1. El orden más bajo y la contribución líder-twist al DIS semi-inclusive.\ndonde L1 y L2 son los cuatro momentos de los leptones entrantes y salientes, y lh\nes el impulso de hadron observado. La sección transversal diferencial para el semi-inclusivo\nproceso puede expresarse como\nEL2Elh\ndđhDIS\nd3L2d3lh\nLŁElh\ndW فارسى\n, (1)\ndonde p = [p+, 0, 0] es el momento por nucleón en el núcleo, q = L2 − L1 =\n[−Q2/2q−, q−, 0] la transferencia de impulso transportada por el fotón virtual, s = (p + L1)2\nel centro de energía de masa leptón-nucleón y αEM es el acoplamiento electromagnético (EM)\nconstante. El tensor leptonico es dado por L = 1/2Tr (γ · L1 · L2) mientras que el semi-\nel tensor hadrónico inclusivo se define como,\n«AJμ(0)X, hX, hJ/(0)A24(q + p- pX- lh) (2)\ndonde\nX recorre todos los estados finales posibles y Jμ =\nq eqqq es el EM hadronic\nactual.\nAsumiendo la factorización colineal en el modelo de parten, la contribución\nla sección transversal semi-inclusive se puede factorizar en un producto de distribuciones de partón,\nfunciones de fragmentación de parten y la sección transversal de parten. Incluyendo todos los registros principales\ncorrecciones radiativas, la contribución de orden más bajo [O(α0s)] de un solo duro + q\nesparciendo, como se ilustra en la Fig. 1, se puede escribir como\ndW S..............................................................................................................................................................................................................................................................\ndxfAq (x, μ\n(x, p, q)Dq→h(zh, μ\n2) ; (3)\nH(0)-(x, p, q) =\nTr(γ · p · (q + xp))\n2p · q\n(x– xB), (4)\ndonde la fracción de impulso transportada por el hadrón se define como zh = l\n−, xB =\nQ2/2p+q− es la variable de escala de Bjorken, μ2I y μ\n2 son las escalas de factorización para\nlas distribuciones de quark iniciales fAq (x, μ\nI) en un núcleo y las funciones de fragmentación\nen vacío Dq→h(zh, μ\n2), respectivamente. Función de fragmentación de quarks renormalizada\nDq→h(zh, μ\n2) cumple las ecuaciones de evolución del QCD DGLAP [30]:\nDq→h(zh, μ\n lnμ2\nγq→qg(z)Dq→h(zh/z, μ\n+ γq→gq(z)Dg→h(zh/z, μ\n; (5)\nDg→h(zh, μ\n lnμ2\nγg→qq̄(z)Dq→h(zh/z, μ\n+ γg→gg(z)Dg→h(zh/z, μ\n, (6)\ndonde γa→bc(z) denota las funciones de división de los procesos radiativos correspondientes\n[31,32].\nEn DIS fuera de un objetivo nuclear, el quark de propagación experimentará scatterings adicionales\ncon otras partes del núcleo. Los rescatterings pueden inducir parten adicional\n(cuark o gluon) radiación y hacer que el quark principal pierda energía. Tal inducido\nLa radiación dará lugar efectivamente a términos adicionales en la ecuación de evolución de la DGLAP\ndando lugar a una modificación de las funciones de fragmentación en un medio. Estos son el poder...\nSuprimió las correcciones de la twist superior e involucran elementos de la matriz de la parten de la twist superior.\nSólo vamos a considerar aquellas contribuciones que implican correlaciones de dos partes de dos\ndiferentes nucleones dentro del núcleo. Son proporcionales al espesor del núcleo\n[18,23,33] y, por lo tanto, se ven reforzadas por un factor nuclear A1/3 en comparación con dos partes\ncorrelaciones en un nucleón. Al igual que en estudios anteriores [18,19], limitaremos nuestro estudio a\nprocesos de dispersión doble en un medio nuclear. Estos son torsión-cuatro procesos y dar\nlas principales contribuciones a los efectos nucleares. Las contribuciones de procesos de torsión superior o\nPor el momento no se tendrán en cuenta las contribuciones no mejoradas por el medio nuclear.\nAl considerar la doble dispersión con la mejora nuclear, un proceso muy importante\nes doble dispersión quark-gluon como se ilustra en la Fig. 2. Tales procesos dan a la dominante\ncontribución a la principal pérdida de energía quark y han sido estudiados en detalle en Refs.\n[18,19]. La modificación a la función de fragmentación quark vacío de quark-gluon\nla dispersión es,\nqg→qg\nq→h (zh)=\nα2sCA\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)+\nTAqg(x, xL)\nfAq (x)\n+ (z − 1)\nTTAqg(x, l\nfAq (x)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nTAqg(x, xL)\nfAq (x)\n, (7)\nFig. 2. Un diagrama típico para la dispersión doble quark-gluon con tres posibles cortes [central(C),\nizquierda (L) y derecha (R)].\ndonde la función + se define como\nF (z)\n(1 − z)+\nF (z)− F (1)\npara cualquier F (z) suficientemente suave a z = 1 y la torsión-cuatro quark-gluon correla-\nfunción de tion,\nTAqg(x, xL) =\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\nAq(0)\nF (y\n(y−1)q(y\n−)A(−y−2 )فارسى(y− − y−1 ), (9)\ntiene interferencia explícita incluida. El elemento matricial en la corrección virtual [el término\nse define de la siguiente manera:\nTTAqg(x, l\nT )\n2TAqg(x, xL)z=1 − (1 + z2)TAqg(x, xL)\n. (10)\nDesde TAqg(x, xL)/f\nq (x) es proporcional a la distribución del gluón e independiente del sabor\ndel quark principal, la supresión del espectro de hadrones causada por el quark-gluón o\nla dispersión antiquárk-gluón debe ser proporcional a la densidad de gluón del medio\ny es idéntico para la fragmentación de quark y antiquark. Fue mostrado en Ref. [24] que\ntal modificación de las funciones de fragmentación de Parton por doble dispersión quark-gluon\ny gluon bremsstrahlung en un medio nuclear describe muy bien el reciente HERMES\ndatos [25] sobre el DIS semi-inclusivo fuera de los objetivos nucleares.\nFig. 3. Diagrama para la orden principal de aniquilación quark-antiquark con tres posibles cortes [cen-\ntral(C), izquierda(L) y derecha(R)].\nFig. 4. Un diagrama típico para la corrección de orden siguiente a líder a la aniquilación quark-antiquark\ncon tres posibles cortes [central(C), izquierda(L) y derecha(R)].\nEn este artículo, vamos a considerar quark-quark (antiquark) doble dispersión como el\nproceso mostrado en la Fig. 3 y sus correcciones radiativas en orden O(α2s) en la Fig. 4. Los\ncontribuciones de quark-quark doble dispersión es proporcional a la densidad de quark en\nun nucleón, mientras que la contribución de doble dispersión quark-gluón es proporcional a\nla densidad de gluón en un nucleón; y la densidad de gluón es generalmente mayor que el quark\ndensidad en un nucleón a pequeña fracción de impulso. Sin embargo, como se ha señalado en trabajos anteriores\n[18], quark-quark mezcla de dispersión doble quark y funciones de fragmentación de gluón y\nPor lo tanto, da lugar a nuevos efectos nucleares. Los procesos de aniquilación como se muestra en las Figs. 3\ny 4 conducirá a diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark\nen un medio con densidad de bariones finitos (o quarks de valencia). Estas diferencias se producirán en los Estados miembros y en los Estados miembros de la Unión Europea.\nvuelta conducen a la dependencia del sabor de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones como\nobservado en el experimento HERMES [25,26].\nQuark-cuark doble dispersión, así como quark-gluon doble dispersión son twist-4 pro-\ncestos. Aplicaremos el mismo procedimiento de factorización generalizada para los procesos twist-4\nsegún lo desarrollado por LQS [23] para procesos semi-inclusivos en DIS. En general, el giro-cuatro\ncontribuciones se pueden expresar como la convolución de partes duras partónicas y dos partes\nlos elementos de la matriz de correlación. En este marco, las contribuciones de doble quark-quark\ndispersión en cualquier orden de αs, por ejemplo, el proceso de aniquilación quark-antiquark como se ilustra\nen Fig. 4, puede ser escrito en la forma siguiente,\ndWD\np+dy−\ndy−1 dy\n−, y−1, y\n2, p, q, zh)\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A. (11)\nAquí hemos descuidado el momento transverso de todos los quarks en la parte dura de la parte partónica.\nLas contribuciones dependientes del impulso transversal son giros más altos y son suprimidas por\nPor lo tanto, todos los quarks’ momentaa se asumen colineales, k2 = x2p y k3 = x3p.\n−, y−1, y\n2, p, q, zh ) es la transformación de Fourier de la parte dura partónica H (x, x 1, x 2, p, q, zh )\nen el espacio de impulso,\n−, y−1, y\n2, p, q, zh) =\neix1p\n+yix2p\n+i(x−x1−x2)p\n(x, x1, x2, p, q, zh)\ndxH(0)-(x, p, q)H\n(y−, y−1, y\n2, x, p, q, zh), (12)\ndonde, en aproximación colineal, la parte dura de la parte partónica H(0) (x, p, q) [Eq. 4)] en el\ngiro principal sin dispersión múltiple parten se puede factorizar fuera de la alta torsión\nparte dura HûD(x, x1, x2, p, q, zh). Las fracciones de impulso x, x1 y x2 se fijan por\nLas funciones de las condiciones generales de los Estados miembros y de los polos de los Estados miembros de que se trate.\nagators en la parte dura partónica. Los factores de fase en H\n−, y−1, y\n2, p, q, zh ) puede entonces\nse tendrá en cuenta, que a su vez se combinará con los campos partónicos en Eq. (11)\npara dar twist-cuatro elementos de matriz partónica o correlaciones de dos partes. El quark-quark\ncorrección de dispersión doble en Eq. (11) puede entonces ser factorizado como la convolución de\nfunciones de fragmentación, torsión-cuatro elementos de la matriz partónica y el scat duro partónico-\nsecciones transversales de tering. Para dispersar (contra la aniquilación) con quarks (antiquarks),\nuna suma sobre el sabor de los quarks secundarios (antiquarks) debe ser incluido\nen elementos de matriz de correlación de dos cuartetos y ambos canales t, u y sus interferencias\ndebe considerarse para la dispersión de quarks idénticos en las partes duras del partónico.\nDespués de la factorización, definimos la corrección twist-cuatro al quark de giro principal\nfunción de fragmentación en la misma forma [Eq. 3)],\ndWD\ndxfAq (x)H\n* (x, p, q)* Dq→h(zh). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\n3 procesos de dispersión doble Quark-quark\nEn esta sección vamos a discutir el cálculo de la parte dura de quark-quark doble\ndispersando en detalle. El proceso de orden más bajo de quark-quark (antiquark) doble dispersión\nen los núcleos es aniquilación quark-antiquark (o conversión quark-gluon) como se muestra en la Fig. 3.\nLas partes duras de los tres diagramas de corte de esta figura son [18]:\n0,C(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dg→h(zh)\n(−y−2)•(y− − y−1), (14)\n0,L(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)\n(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (15)\n0,R(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)\n(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 16)\nEl tema principal de este documento es sobre las contribuciones de la siguiente orden de dirección correc-\nciones al proceso de orden más bajo anterior. Hay un total de 12 diagramas para correcciones reales\na nivel de un bucle, como se ilustra en la Fig. 5 a Fig. 16 en el Apéndice A-1, cada uno teniendo\na tres cortes diferentes. En esta sección, demostramos el cálculo de las piezas duras\nde la aniquilación quark-antiquark en la Fig. 4 en detalle como ejemplo. Vamos a listar la\nresultados completos de todos los diagramas del Apéndice A.\nUno puede escribir la parte dura del diagrama de corte central de la Fig. 4 (Fig. 5\nen el apéndice A-1), de conformidad con la norma convencional Feynman,\nC (y)\n−, y−1, y\n2, p, q, zh)=\nDg→h(\neix1p\n+yix2p\n×ei(x−x1−x2)p+y\n(2η)4\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2(l)\n2) 2(l)\ng) (1− z −\nγ · (q + x1p)\n(q + x1p)2\nγ · (q + x1p− l)\n(q + x1p− l)2 − i\nγ · (q + xp− l)\n(q + xp− l)2 + i.........................................................................................................................................................................................................................................................\nγ · (q + xp)\n(q + xp)2 + i..........................................................................................................................................................................................................................................................\n(l) (lg), (17)\ndonde es una función delta de Dirac con sólo la solución positiva en su variable funcional,\n(l) = −gÃ3 + (nαlс + nlα)/n · l es el tensor de polarización de un propagador de gluon en\nun medidor axial (n · A = 0) con n = [1, 0−,~0], l y lg = q + (x1 + x2)p − l son los\n4-momenta llevado por los dos gluones finales respectivamente. El gluón fragmentante lleva\na fracción, z = l−g /q\n−, del impulso longitudinal del quark inicial (el\ncomponente).\nPara simplificar el cálculo en el caso de un pequeño impulso transversal lT q−, p+, nosotros\npuede aplicar la aproximación colineal para completar el rastro del producto de las matrices γ,\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nγ · lq\n. (18)\nDe acuerdo con la convención en Eqs. (11) y (12), las contribuciones de quark-quark doble\ndispersión en el medio nuclear al tensor semi-inclusivo hadrónico en DIS de un núcleo\npuede expresarse en la forma factorizada general:\ndWDqq̄,\ndxH(0)-(x, p, q)\np+dy−\ndy−1 dy\n(y−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)\n× Aq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)q(y\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2 )A. (19)\nDespués de llevar a cabo la integración de impulso en x, x1, x2 y l\n± en Eq. (17) con la\nayuda de la integración del contorno y de las funciones de......................................................................................................................................................................................................................................................... \nel reescattering para el diagrama de corte central en la Fig. 4 (Fig. 5) como\n5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh) =\nα2sxB\nDg→h(zh/z)\n× 2,1 + z\nz(1− z)\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p), (20)\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) = e\ni(x+xL)p\n+y(−y−2)•(y− − y−1)\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (21)\ndonde las fracciones de impulso xL se definen como\n2p+q−z(1− z)\n. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nTenga en cuenta que la función I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) contiene sólo factores de fase. Uno puede\ncombinar estos factores de fase con los elementos de matriz de los campos de quark para definir un\nfunción especial de correlación de dos cuartetos\nA(5,C)\nqq̄ (x, xL) =\np+dy−\ndy−1 dy\n2 Aq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)q(y\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2 )A\n× I5,C(y−, y−1, y−2, x, xL, p). 23)\nLa contribución de la aniquilación quark-antiquark en el diagrama de corte central en la Fig. 4\nal tensor hadrónico se puede entonces expresar como\ndWDqq̄,\ndxH(0)-(x, p, q)\nα2sxB\nDg→h(\n2 (1 + z2)\nz(1 − z)\nA(5,C)\nqq̄ (x, xL). (24)\nLas contribuciones de todos los procesos de dispersión doble quark-quark (antiquark) se pueden fundir\nen la forma factorizada anterior.\nLa estructura de los factores de fase en I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) es exactamente lo mismo que para\ngluon bremsstrahlung inducido por la dispersión de quark-gluon, como se ha estudiado en Ref. [18,19]. Lo siento.\nse asemeja a la sección transversal de dispersión del dipolo y representa las contribuciones de dos\ndiferentes procesos y sus interferencias. Contiene esencialmente cuatro términos,\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×[1 + e−ixLp+(yy\n) − e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n)]. (25)\nEl primer término corresponde a los llamados procesos hard-soft donde la emisión de gluon\nes inducido por la dispersión dura entre el fotón virtual y el quark inicial\ncon el impulso (x + xL)p. El quark entonces se convierte en capa antes de aniquilar con\nun suave antiquark del núcleo que lleva cero impulso y se convierte en un real\nGluon en el estado final. El segundo término corresponde a un proceso en el que el\nquark con el impulso xp es on-shell después de la primera dispersión dura -cuark. Entonces.\naniquila con otro antiquark y produce dos gluones finales en el estado final. In\neste proceso, el antiquark lleva un momento finito (duro) xLp. Por lo tanto, uno a menudo se refiere\na este proceso como dispersión doble-duro en comparación con el primer proceso en el que el\nel antiquark lleva un impulso cero. Deja a un lado el cambio de sabores en la inicial y final\nlos estados, la dispersión doble-duro corresponde esencialmente a la dispersión elástica de dos partes\ncon impulso finito y transferencia de energía. Esto es en contraste con el scattering duro-blando\nque es esencialmente la radiación del estado final de la dispersión de -cuark y el total\nla energía y el impulso de los dos gluones del estado final vienen todos del quark inicial. Los\nlos elementos de matriz correspondientes de las funciones de correlación de dos cuartetos de estos dos primeros\nlos términos se llaman elementos ‘diagonales’.\nLos términos tercero y cuarto con signos negativos en I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) son interfer-\nentre procesos duros y procesos duros dobles. Los elementos de matriz correspondientes\nse denominan «off-diagonales». La cancelación entre las dos diagonales y off-diagonal\nlos términos esencialmente da lugar a la interferencia destructiva que es muy similar a la\nLandau-Pomeranchuk-Migdal (LPM) interferencia en gluon bremsstrahlung inducido por\nDoble dispersión quark-gluon [18,19]. Uno puede definir de manera similar el tiempo de formación de la\nemisión de partón (cuarto o gluón) como\n. 26)\nEn el límite de emisión colineal (xL → 0) o cuando el tiempo de formación de la parten\nla emisión, f, es mucho más grande que el tamaño nuclear, el elemento de matriz eficaz desaparece\nporque\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p)xL=0 → 0, (27)\ncuando los procesos duros y duros dobles tienen interferencia destructiva completa.\nHay que tener en cuenta que en el diagrama de corte central de la Fig. 4, las partes del estado final son dos\ngluones. Por lo tanto, en Eq. (20) la función de fragmentación del gluón en el vacío Dg→h(zh/z)\nEntra. Si el otro gluon (cerca de la interacción -cuark) fragmentos, la contribución\nal tensor semi-inclusivo hadrónico es similar, excepto que el\n“función de división” debe sustituirse por “función de división”\n1 + z2\nz(1 − z)\n→ 1 + (1− z)\nz(1 − z)\n. (28)\nComo veremos en el Apéndice A-1, los dos gluones en la aniquilación quark-antiquark\nlos procesos (diagramas de corte central) son simétricos cuando las contribuciones de todas las\nLos procesos de nihilación y sus interferencias se resumen. Por lo tanto, uno puede simplemente mul-\nlos resultados finales por un factor de 2 para tener en cuenta la hadronización de la segunda\ngluon del estado final.\nAdemás del diagrama de corte central, también se debería tener en cuenta la\ndiagramas cortados en la Fig. 4, que representan la interferencia entre la emisión de gluón de una sola\ny triple dispersión. Las partes duras son principalmente las mismas que para el corte central.\ndiagrama. Las únicas diferencias son los factores de fase y las funciones de fragmentación\nya que el fragmento parten puede ser el quark o gluon del estado final. Estas partes duras pueden\nse calculan siguiendo un procedimiento similar y se obtiene,\n5,L(R)(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh) =\nα2sxB\nDq→h(\n2 (1 + z2)\nz(1 − z)\n× I5,L(R)(y−, y−1, y−2, x, xL, p), (29)\nI5,L(y)\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (30)\nI5,R(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 31)\nEn los diagramas asimétricos de corte, las contribuciones anteriores provienen de la fragmentación\ndel quark del estado final. Por lo tanto, la función de fragmentación de quark Dq→h(zh/z) entra en esta\ncontribución. Para la fragmentación del gluón en el hadron observado en este corte asimétrico\ndiagramas, la contribución puede obtenerse simplemente sustituyendo la fragmentación quark\nfunción por la función de fragmentación de gluón Dg→h(zh/z) y sustituir z por 1 − z.\nResumiendo las contribuciones de tres diagramas de corte diferentes de la Fig. 4, podemos observar\notros ejemplos de mezcla (o conversión) de funciones de fragmentación de quark y gluon.\nEsta mezcla inducida por el medio fue observada por primera vez por Wang y Guo [18] y es una mezcla única.\ncaracterística de quark-quark (antiquark) dispersión doble entre todos los múltiples scattering parten\nprocesos.\nCon el mismo procedimiento podemos calcular las contribuciones de todos los otros diagramas de corte\nde quark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s), que se enumeran en Ap-\npendix A-1. Hay tres tipos de procesos: dos procesos de aniquilación, qq̄ → gg\n(Diágramas de corte central en Figs. 5, 6, 7, 8 y 9), qq̄ → qiq̄i (diagrama de corte central en la Fig. 10)\ny la dispersión de quark-quark (antiquark), qqi(q̄i) → qqi(q̄i) ( diagrama de corte central en la Fig. 11).\nTambién hay que considerar la interferencia de la amplitud del canal s y t para la aniquilación\nen un par de quark idéntico, qq̄ → qq̄ (diagramas de corte central en Figs. 12 y 13) y la\ninterferencia entre los canales t y u de cuark idéntico scattering qq → qq (corte central)\ndiagrama en la Fig. 14).\nLas contribuciones de los diagramas de corte izquierdo y derecho corresponden a la interferencia entre el\nAmplitud de la radiación gluon de dispersión de un solo -cuark y dispersión de quark triple.\nLas amplitudes de la radiación gluon a través de la dispersión de quark triple esencialmente provienen de ra-\nCorrecciones diativas a los diagramas de corte izquierdo y derecho del quark-antiquark de orden más bajo\naniquilación en la Fig. 3 (como se muestra en los diagramas de corte izquierdo y derecho en las Figs. 5, 6, 8, 9, 12,\n13, 15 y 16). Otros dos triples quark dispersión con la radiación gluon, se muestra como el\nDiagramas de corte izquierdo y derecho en Figs. 11 y 14, corresponden al caso en que uno de los\nlos quarks del estado final, después de la dispersión de quark-quark, aniquilan con otro antiquark y\nse convierte en un gluon de estado final.\n4 Funciones de fragmentación modificadas\nCon el fin de simplificar las contribuciones de quark-quark (antiquark) dispersión (annhi-\n), primero se pueden organizar los resultados de las partes duras en términos de contribuciones de\ndiagramas de corte central, izquierdo o derecho, que están asociados por integrales de contorno con específicos\nlos productos de las funciones de la letra Β,\n= HDC (−y−2 )•(y− − y−1 )•HDL (y−1 − y−2 )•(y− − y−1 )\n- HDR (−y−2 )-(y−2 − y−1 ).................................................................................................................................................................................................................................................... (32)\nEstas funciones proporcionan un orden espacio-tiempo de la correlación de parten y restringirán\nel rango de integración a lo largo del cono-luz. Para las contribuciones de la central, izquierda y derecha-\ndiagramas de corte que tienen las mismas partes duras, H\nC = H\nL = H\nR, lo harán\ntienen una combinación común de funciones de ♥ que produce una integral ordenada por trayectoria,\ndy−2 =−\ndy−1 dy\n(- y - 2 ) • (- y - 1 ) • ( - y - 2 ) • ( - 2 − y - 1 ) • ( - 2 − y - 1 )\n(y− − y−1 •(y−1 − y−2 )\nque está limitado sólo por la extensión espacial y- de la primera parteon a lo largo del cono de luz\ncoord. Para un partón de alta energía que transporta fracción de impulso xp+, y− 1/xp+\ndebe ser muy pequeño. Las contribuciones que son proporcionales a la ruta arriba ordenada\nintegral se denominan contribuciones de contacto (o interacciones de contacto).\nDel mismo modo, y-1 − y−2 es la propagación espacial de la segunda parte y sólo puede ser limitada\npor el tamaño espacial de su nucleón huésped, incluso para un pequeño valor de fracción de impulso. Los\nposición espacial de su nucleón huésped, y−1 + y\n2, sin embargo, puede estar en cualquier lugar dentro de la nu-\ncleus. Por lo tanto, cualquier contribución de la dispersión de doble parten que tienen sin restricciones\nintegración sobre y-1 y y\n2 debe ser proporcional al tamaño nuclear del objetivo A\ny por lo tanto son potenciados nuclearmente. En este documento, sólo vamos a mantener la energía nuclear mejorada\ncontribuciones y descuidar las contribuciones de contacto. Esto simplificará en gran medida la\nresultados para la dispersión de doble parten.\n4.1 qq̄ → g aniquilación\nPara el orden más bajo de aniquilación quark-antiquark en Eqs. (14)-(16), las partes duras\nde los tres diagramas de corte son casi los mismos, excepto por la fragmentación del partón\nfunciones. El diagrama de corte central es proporcional a la función de fragmentación del gluón\nmientras que los diagramas de corte izquierdo y derecho son proporcionales a las funciones de fragmentación de quark.\nReorganizando las contribuciones de los tres diagramas de corte y descuidando el contacto\ntérmino que es proporcional a la integral ordenada como en Eq. 33), la contribución total\npuede ser escrito como\ndWD(0)\nqq̄ (x, 0)\nH(0)-(x, p, q)\n× [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]. (34)\nSegún nuestra definición en Eq. (13) de la corrección twist-cuatro al fragmen quark-\nfunciones de la estación, la modificación de la función de fragmentación quark desde la más baja\norden de aniquilación quark-antiquark es entonces,\n(qqg)\nq→h (zh) =\n[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]\nqq̄ (x, 0)\nfAq (x)\n. (35)\nAquí la efectiva correlación quark-antiquark T\nqq̄ (x, 0) se define como,\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n• (−y−2 ) •(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A, (36)\ncon el antiquark q̄i cargando fracción de impulso xL. Esta función de correlación de dos partes...\nsión se asocia siempre con procesos de redispersión de doble duro. De igual manera, definimos\notros tres elementos de matriz de correlación quark-antiquark\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y(y− − y−1)\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (37)\nA(I−L)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+yixLp\n+(yy)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A, (38)\nA(I−R)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+yixLp\n2 (y− − y−1 )\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (39)\nque se asocian con rescattering suave duro y la interferencia entre doble duro\ny rescattering suave y duro. En la primera parten correlación T\nqq̄i (x, xL), el antiquark q̄i\nlleva fracción de impulso xL mientras que el quark inicial tiene la fracción de impulso x. Los\ncorrelación de dos partes T\nqq̄i (x, xL) corresponde al caso cuando el quark líder tiene\nx+ xL pero el antiquark lleva cero impulso. Los dos elementos de la matriz de interferencia\nson aproximadamente el mismo para el pequeño valor de xL y se denotará como T\nqq̄i (x, xL).\n4.2 qq̄ → aniquilación qiq̄i\nContribuciones de la orden siguiente a la primera aniquilación quark-antiquark o quark-\nla dispersión de quark (antiquark) son más complicados ya que involucran a muchos reales y vir-\nCorrecciones de tual. La corrección real más simple viene de qq̄ → aniquilación qiq̄i (qi 6= q)\n[Fig. 10 y Eqs. (A-25) y (A-26)] que sólo tiene un diagrama de corte central,\n(qqqiq̄i)\nq→h (zh) =\nα2sxB\n[z2 + (1− z)2]\nqi 6=q\n[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]\nqq̄ (x, xL)\nfAq (x)\n. (40)\nEste tipo de aniquilación qq̄ es realmente un proceso duro y por lo tanto requiere la segunda y-\ntiquark para llevar fracción de impulso inicial finita xL. Además, no hay otros\nprocesos de interferencia.\n4.3 qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión\nContribuciones de quark-quark no idéntico dispersión qq̄i → qq̄i (qi 6= q) son un poco\ncomplicados porque involucran los tres diagramas de corte (central, izquierdo y derecho) [Eqs. (A-\n28)-(A-32)]. Uno puede tener en cuenta las funciones de las partes duras de acuerdo con Eq. (32)\ny reorganizar los factores de fase en cada diagrama de corte,\nI11,C = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n+(yy)\nI11,L = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n2 ] ;\nI11,R = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n+(yy)\n)], (41)\nde tal manera que los tres primeros términos en cada amplitud son los mismos. Estas tres fases comunes\nfactores darán lugar a una contribución de contacto para todas las partes duras similares de los tres\nlos diagramas cortados, que vamos a descuidar ya que no son potenciados nuclearmente. El resto\nparte tendrá los siguientes factores de fase,\nI11=e\ni(x+xL)p\n+y−[(−y−2 )•(y− − y−1 )e−ixLp\n+(yy)\n(y−1 − y−2 )(y− − y−1 )e−ixLp\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n+(yy)\n)]. (42)\nTenga en cuenta que los factores de fase de los dos últimos términos en la ecuación anterior dan identi-\ncontribución a los elementos de la matriz cuando intergated sobre y-1 y y\n2 como dif-\nsólo por la sustitución y−2 ↔ y−1 − y−. Por lo tanto, se puede combinar con\n*(−y−2 )*(y− − y−1 )e−ixLp\n+(yy)\n) para formar otra contribución de contacto (path-ordened)\nque se puede descuidar. El factor final de la fase efectiva es entonces\nI11 = e\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\n2 ). (43)\nUtilizando el factor de fase eficaz anterior, se puede obtener la modificación efectiva a la\nfunción de fragmentación quark debido a la dispersión quark-antiquark, qq̄i → qq̄i,\n(qq̄i→qq̄i)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nq̄i 6=q̄\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dq̄i→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nA(HS)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\nα2sxB\nq̄i 6=q̄\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dq̄i→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dq̄i→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n, (44)\ndonde se definen tres tipos de correlaciones de dos partes:\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nqq̄i (x, xL)− T\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (45)\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nqq̄i (x, xL)− T\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (46)\nA(HS)\nqq̄i (x, xL)\nA(HI)\nqq̄i (x, xL) + T\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n× (1− e−ixLp+(yy)\n))•(−y−2 )•(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A. (47)\nDe manera similar, se puede obtener la modificación de la fragmentación de quark a partir de no idénticos\nscattering quark-quark reemplazando q̄i → qi en Eq. (44),\n(qqi→qqi)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nqi 6=q\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dqi→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nTA(HI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dqi→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nTA(SI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n. (48)\nLas correlaciones de dos cuartetos, TA(HI)qqi (x, xL) y T\nA(SI)\n(x, xL) puede obtenerse en T\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\ny T\nA(SI)\nqq̄i (x, xL), respectivamente, al hacer los reemplazos qi(y2) → qi(y2) y qi(y1) →\n(y1) en Eqs. (45) y (46),\nTA(HI)qqi (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (49)\nTA(SI)qqi (x, xL) =\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (50)\ny TA(HS)qqi (x, xL) = T\nA(HI)\n(x, xL) + T\nA(SI)\n(x, xL).\nTenga en cuenta que la contribución de la fragmentación de quark qi o antiquark q̄i sólo proviene de\nel diagrama de corte central. Esta contribución es positiva y es proporcional a T\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)+\nA(SI)\nqq̄i (x, xL), que contiene los cuatro términos: hard-soft, doble-hard y ambas interferencias\ntérminos. La fragmentación del gluón proviene sólo de las interferencias de un triple (izquierda y\ndiagramas de corte derecho). Por lo tanto, su contribución es negativa y anula parcialmente el\nla inducción de qi(q̄i) del rescattering duro-blando. La cancelación no está completa desde\nlas funciones de fragmentación de gluón y quark son diferentes. La estructura de este hard-soft\nrescattering (quark plus gluon) es muy similar al resultado de orden más bajo de qq̄ → g en\nEq. (35). Contribuye a la modificación de la función de fragmentación efectiva, pero\nno contribuye a la pérdida de energía. La pérdida de energía del quark líder viene sólo\nde rescattering doble-duro, ya que la principal fragmentación quark viene tanto de\nlas interferencias de corte central y de triple único, y los términos de interferencia de triple único pueden-\ncel el efecto de la dispersión suave duro para la fragmentación principal. Su contribución neta es la siguiente:\npor lo tanto proporcional a T\nA(HI)\nqq̄i(q̄i)\n. Puesto que el redispersión de doble duro equivale a elástico\nqqi(q̄i) dispersión, la pérdida de energía efectiva es esencialmente la pérdida de energía elástica como se muestra en\nRef. [34]. Hay, sin embargo, supresión de LPM debido a la cancelación parcial por un solo triple\ncontribuciones de interferencia. Durante un largo período de formación, 1/xLp\n+ RA, la cancelación es\nCompletado. Por lo tanto, la interferencia LPM impone efectivamente el límite inferior xL ≥ 1/p+RA\nsobre el impulso fraccional llevado por el segundo quark (antiquark).\n4.4 qq → dispersión qq\nPara la dispersión de quark-quark idéntico, qq → qq, uno tiene que incluir los canales t y u,\nsus interferencias, y las correspondientes contribuciones de interferencia de un solo trilo. Usando el mismo\ntécnica para identificar y descuidar las contribuciones de contacto, se puede encontrar la correspondencia\nmodificación de la función de fragmentación de quark a partir de Eqs. (48) y (A45)-(A49),\n(qq→qq)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nTA(HS)qq (x, xL)\nfAq (x)\n× [Dq→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nTA(HI)qq (x, xL)\nfAq (x)\nα2sxB\nTA(SI)qq (x, xL)\nfAq (x)\nP (s)qq→qq(z)[Dq→h(zh/z)\n−Dg→h(zh/z)] +Dq→h(zh/z)Pqq→qq(z)\nTA(HI)qq (x, xL)\nfAq (x)\n, (51)\ndonde las funciones de división efectivas se definen como\nP (s)qq→qq(z) =\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (52)\nPqq→qq(z) =\n1 + (1− z)2\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1− z)\n. (53)\n4.5 qq̄ → qq̄, aniquilación gg\nLos cuatro procesos más complicados que involucran a cuatro operadores de campo de quark son quark-\nAniquilación antiquark en dos gluones o un par de quark-antiquark idéntico. Tenemos que hacerlo.\nconsiderarlos juntos ya que tienen procesos de interferencia de un solo trilo similares y\ninvolucran el mismo tipo de elementos de matriz de correlación quark-antiquark, T\nqq̄ (x, xL),\n(i = HI, SI, HS).\nPara el propósito de la notación, primero tenemos en cuenta el factor común (CF/Nc)α\nsxB/Q\n2/fAq (x) y\nla integración sobre lT y z y definir\n(qqgg,qq̄)\nq→h (zh)\nα2sxB\nQ2fAq (x)\n(qqgg,qq̄)\nq→h (zh, z, x, xL). (54)\nDespués de reorganizar los factores de fase e identificar (combinando central, izquierda y derecha)\nlos diagramas de corte) y descuidando las contribuciones de contacto que podemos enumerar en el siguiente giro-\ncuatro correcciones a la fragmentación quark de las partes duras de cada corte\ndiagrama (véase el apéndice A):\nFig. 5 (t-canal qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(5) =Dg→h(zh/z)2CF\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n1 + z2\nz(1− z)\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)] 2CF\n1 + z2\nz(1− z)\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (55)\nFig. 6 (interferencia entre u y t-canal de qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(6) =Dg→h(zh/z)\n−4(CF − CA/2)\nz(1 − z)\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)]\n−2(CF − CA/2)\nz(1 − z)\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (56)\nFig. 7 (s-canal de qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(7) = Dg→h(zh/z)4CA\n(1− z + z2)2\nz(1 − z)\nqq̄ (x, xL) ; (57)\nHigos. 8 y 9 (interferencia de s y t-canal qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(8+9) =Dg→h(zh/z)(−2CA)\n1 + z3\nz(1− z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n×TA(HI)qq̄ (x, xL) + CA\nDq→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T\nqq̄ (x, xL)] ; (58)\nFig. 10 (s-canal de qq̄ → qq̄),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(10) = [Dq→h(zh/z) +Dqh(zh/z)] [z\n2 + (1− z)2]\n×TA(H)qq̄ (x, xL), (59)\nFig. 11 (t-canal de qq̄ → qq̄), similar a Eq. (44),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(11) =Dq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1 − z)2\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+Dqh(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HS)\nqq̄ (x, xL)\n−Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (60)\nHigos. 12 y 13 (interferencia entre s y t-canal qq̄ → qq̄),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(12+13) =−4(CF − CA/2)\nDq→h(zh/z)\n1 − z\n+ Dqh(zh/z)\n(1- z)2\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+2(CF − CA/2)\nDq→h(zh/z)\n+Dg→h(zh/z)\n(1- z)2\n× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T\nqq̄ (x, xL)] ; (61)\nHigos. 15 y 16 (dos diagramas adicionales de interferencia de un triple),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(15+16) =−2CF\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n+ Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(I2)\nqq̄ (x, xL). (62)\nLa mayoría de los procesos implican tanto TA(HI)(x, xL) para la redispersión de doble duro con interferencia\ny TA(SI)(x, xL) para la redispersión suave con interferencia. Todos los canales S (Figs. 7\ny 10) los procesos implican una dispersión de doble dureza solamente. Por lo tanto, dependen sólo de la\nqq̄ (x, xL) = T\nA(HI)\nqq̄ (x, xL) + T\nqq̄ (x, xL). Para interferencias entre uno y tres\ndispersión (diagramas cortados a la izquierda y a la derecha en las Figs. 8, 9, 12 13, 15 y 16), donde un\nrescattering con el segundo quark (antiquark) sigue un suave rescattering con el tercero\nanticuarco (cuarco), solo elementos de la matriz de interferencia, T\nqq̄ (x, xL) y T\nA(I2)\nqq̄ (x, xL), son\nEnvuelto. Aquí,\nA(I2)\nqq̄ (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 )\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n+(yy)\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (63)\nes un nuevo tipo de elementos de la matriz de interferencia que sólo está asociado con este tipo de\nprocesos de interferencia de triple único. Uno puede categorizar las contribuciones anteriores de acuerdo a\na los elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos asociados y reescriba el contribu-\nciones como,\nqqqq̄,gg\nq→h(HI) = T\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)[Dg→h(zh/z)Pqqgg(z) +Dq→h(zh/z)Pqqq̄(z)\n+Dqh(zh/z)Pqqqq̄(1− z)] (64)\nqqqq̄,gg\nq→h(SI) = T\nA(SI)\nqq̄ (x, xL)\nz(1 − z)\n+ 2CF\n1 + (1− z)2\n×Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)\nz(1− z)\n+ 2CF\n+ Dqh(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄ (x, xL)\n[Dq→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\nP (s)qq→qq(z)\n− 2CF\n1 + z2\nz(1− z)\n+ [Dqh(zh/z)−Dq→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nqqqq̄,gg\nq→h(I) = T\nqq̄ (x, xL)\n4(1− z + z2)2 − 1\nz(1 − z)\n− 2CF\n(1- z)2\n×Dg→h(zh/z) + [z2 + (1− z)2]Dqh(zh/z)]\n+ Dq→h(zh/z)\nz2 + (1− z)2 −\nz(1 − z)\n− 2CF\nA(I2)\nqq̄ (x, xL)\nDq→h(zh/z)\nz(1 − z)\n− 2CF\n+ Dg→h(zh/z)\nz(1 − z)\n− 2CF\n, (66)\ndonde P (s)qq→qq(z) se indica en Eq. (52) y las funciones de división efectivas para qq̄ → gg y\nqq̄ → qq̄ se definen como\nPqqgg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2] ; (67)\nPqqqq̄(z) = z\n2 + (1− z)2 +\n1 + z2\n(1- z)2\n, (68)\nque vienen de los elementos de la matriz completa de qq̄ → gg y qq̄ → qq̄ dispersión (ver\nApéndice A-3). Una vez más, el rescattering doble-duro corresponde a la dispersión elástica de\nel quark líder con otro antiquark en el medio y la interferencia contribu-\nciones. La estructura de la contribución hard-soft rescattering que identificamos arriba muestra\nel mismo tipo de mezcla gluon-cuark (o quark-antiquark) en las funciones de fragmentación\ny no contribuye a la pérdida de energía del quark líder. Las contribuciones únicas\nen el qq̄ → qq̄, los procesos gg son las contribuciones de sólo interferencia. Vienen principalmente\nde procesos de interferencia de un solo trilo en la dispersión de múltiples partones.\n5 Modificación debida a la mezcla quark-gluon\nHasta ahora hemos lanzado la modificación de la función de fragmentación quark debido a quark-\nQuark (antiquark) dispersión (o aniquilación) en una forma similar a la evolución de la DGLAP\necuación en vacío. De hecho, también se puede ver la evolución de las funciones de fragmentación en\nvacío como modificación debido a la radiación gluon del estado final. En ambos casos, la modificación\nen zh grande es determinado principalmente por el comportamiento singular de las funciones de división para\nz → 1, mientras que las modificaciones en el centro comercial zh está dominado por el comportamiento singular de la\nfunción de división para z → 0.\nCentrémonos primero en la modificación en general zh. Un examen cuidadoso de la contribución\nciones de todos los procesos posibles muestran que la modificación dominante a la eficacia\nLa función de fragmentación de quark proviene del canal t de doble capa dura de quark-quark scat-\nlos procesos de tering,\n* Dq→h(zh)*\nα2sxB\nDq→h(\nTA(HI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n× 1 + z\n(1 − z)2+\n(1 - z)qi(l2T)\nDq→h(\nA(HI)\n(x, xL)\nfAq (x)\n×z(1 + z\n(1 − z)+\n+ 1- z)qi(l2T )\n, (69)\ndonde la suma es sobre todos los posibles sabores quark y antiquark incluyendo qi = q, q̄\nI y I (l)\nT ) representa la contribución de las correcciones virtuales. Hemos expresado la\nmodificación en una forma que es proporcional a los elementos de la matriz xLT\nA(HI)\n(x, xL)/f\nq (x)\nA1/3xLf\n(xL) en comparación con la modificación de la dispersión de quark-gluon\nelemento matricial correspondiente [Eq. 9)] es TA(HI)qg (x, xL)/f\nq (x) • A1/3xLGN(xL). Aquí,\nfNqi (x) y G\nN(x) son distribuciones de quark y gluon, respectivamente, en un nucleón. Esto\nla contribución principal a la modificación de la dispersión quark-quark es muy similar en\nforma a la de la dispersión quark-gluon [véase Eq. 7)]. Sin embargo, es más pequeño debido a la\ndiferentes factores de color CF/CA = 4/9 y las diferentes distribuciones de quark y gluon,\nfNqi (xL) y G\nN(xL) en un nucleón. Debido a la intereferencia LPM, dispersión de ángulo pequeño\ncon un largo tiempo de formación f = 1/xLp\n+ se suprime, dando lugar a un valor mínimo de\nxL ≥ xA = 1/mNRA = 0,043 para un objetivo Kr. Para este valor de xL, la relación\nfNqi (xL, Q\nGN(xL, Q2)\n≥ 1,40/1,85 + 0,75, (70)\na Q2 = 2 GeV2 según la parametrización CTEG4HJ [35]. Por lo tanto, uno tiene que\nincluir el efecto de dispersión quark-quark para un cálculo completo del quark total\npérdida de energía y modificación media de las funciones de fragmentación de quark.\nEn un plasma de quark-gluón débilmente acoplado y totalmente equilibrado, quark a gluón número\nLa relación de densidad es de lq/lg = nf (3/2)Nc/(N)\nc - 1) = 9nf/16. Una energía asintótica\nchorro en un medio infinitamente grande realmente sondea el pequeño x = q2T /2ET régimen, donde\nLos pares quark-antiquark y gluones son predominantemente generados por gluones térmicos a través de\nEvolución del PCQD. En este escenario ideal se espera Nq/Ng â € 1/4CA = 1/12 y por lo tanto\npuede descuidar la dispersión de quark-quark. La modificación de la función de fragmentación de quark será\nser dominado por quark-gluon rescattering. Sin embargo, para la energía de chorro moderada E 20 GeV\ny un medio finito L + 5 fm, las distribuciones de parten en un quark-gluon plamsa están cerca de\nla distribución térmica. En particular, si la producción de quark y gluon está dominada por\nproducción de pares no-perturbativos de campos de color fuertes en la etapa inicial de iones pesados\ncolisiones [36], la relación entre quark y gluon es comparable al valor de equilibrio. En este\ncaso, debemos tener en cuenta la modificación media de la fragmentación quark\nfunciones por dispersión quark-quark.\nUn proceso duro doble importante en la dispersión quark-quark (antiquark) es qq̄ → gg\n[Eq. (64)]. En este proceso, la aniquilación convierte el quark inicial en dos gluones finales\nque posteriormente se fragmentan en hadrones. Esto llevará a la supresión de los líderes\nhadrones no sólo debido a la pérdida de energía (energía transportada por el otro gluón), pero\ntambién debido al comportamiento más suave de las funciones de fragmentación de gluón en zh grande. A pesar de que\nel comportamiento principal de la función de división efectiva [Eq. (67)]\nPqqgg(z) 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\nno es tan dominante como el de la dispersión quark quark-quark de canal en t, es realzado por un color\nfactor 2CF = 8/3. Se espera que esto contribuya de manera significativa al medio ambiente.\nmodificación en zh intermedio.\nEn las colisiones de iones pesados de alta energía, las proporciones de las tasas iniciales de producción de valencia\nLos quarks, gluones y antiquarks varían con el impulso transversal pT. Producción de gluon\nla velocidad domina en pT bajo mientras que la fracción de chorros de quark de valencia aumenta en pT grande.\nLos quarks tienen más probabilidades de fragmentarse en protones que los antiprotones, mientras que los gluones se fragmentan\nen protones y antiprotones con iguales probabilidades. Por lo tanto, la relación de pT grande\nel rendimiento del antiprotón y del protón en las colisiones de p + p es menor que 1 y disminuye con pT\na medida que aumenta la fracción de los chorros de valencia quark. Dado que se espera que los gluones pierdan más\nenergía que los chorros de quark, uno ingenuamente esperaría ver la relación antiprotón a protón\np̄/p se vuelve más pequeño debido a la extinción del chorro. Sin embargo, si la conversión quark-gluon debido\na qq̄ → gg se vuelve importante, uno esperaría que las fracciones de quark y gluon\nlos chorros se modifican hacia sus valores de equilibrio. La relación final p̄/p podría ser mayor que\no comparable a la de las colisiones p+ p. Tal escenario de conversión quark-gluon fue\nconsiderado recientemente en Ref. [37] a través de una ecuación de tasa maestra.\nLa mezcla entre los chorros de quark y gluon también ocurre en el orden más bajo de quark-\naniquilación anticuarto como se muestra en la Fig. 3. En NLO, todos los quark-quark blandos (antiquark)\nLos procesos de dispersión tienen este tipo de mezcla entre la fragmentación de quark y gluon\nfunciones. Sus contribuciones generalmente tienen la forma,\nα2sxB\nDqi→h(\n)−Dg→h(\n×Pqqi→qqi(z)\nTA(SI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n, (72)\ndonde de nuevo la suma sobre el sabor quark incluye qi = q, q̄. Esta mezcla hace\nno se producen en la probabilidad, sino más bien en el nivel de amplitud, ya que implica en\nterferencias entre dispersión simple y triple. Por lo tanto, esta contribución depende de\nla diferencia entre las funciones de fragmentación de gluón y quark [Eq. (35)] y puede ser\npositivo o negativo en diferentes regiones de zh. Sin embargo, contribuyen a la mod-\nificación de la función eficaz de fragmentación de quark y la dependencia del sabor de la\nLos espectros finales de Hadron.\n6 La dependencia del sabor de la fragmentación media modificada\nResumiendo todas las contribuciones a quark-quark (antiquark) scattering doble como\ntion 4, podemos expresar la corrección total twist-cuatro hasta O(α2s) a los fragmen quark-\nfunción de tentaciùn como\nDq→h(zh)=\n2 [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]\nqq̄ (x, 0)\nfAq (x)\na,b,i\nDb→h(zh/z)P\nqa→b(z)\nTA(i)qa (x, xL)\nfAq (x)\n, (73)\ndonde la sumación es sobre todos los procesos posibles q+a→ b+X y todas las matrices diferentes\nelementos TA(i)qa (x, xL) (i = HI, SI, I, I2), que serán cuatro elementos básicos de la matriz que vamos a\nuso. Las funciones de división efectivas P\nqa→b(z) se enumeran en el apéndice A-2. Uno también debería\nincluir correcciones virtuales que se pueden construir a partir de las correcciones reales a través de\nLimitaciones de unitariedad [18].\nDel mismo modo, también podemos escribir las cuatro correcciones a la fragmentación anticuarto\nen un medio nuclear,\nDqh(zh)=\n2 [Dg→h(zh)−Dqh(zh)]\nq̄q (x, 0)\nfAq̄ (x)\na,b,i\nDb→h(zh/z)P\nq̄a→b(z)\nq̄a (x, xL)\nfAq̄ (x)\n, (74)\ndonde los elementos de la matriz T\nq̄a (x, xL) y las funciones de división efectivas P\nq̄a→b(z) can\nse obtendrán de los correspondientes para quarks. Dado un modelo para el dos-cuarco\nfunciones de correlación, uno será capaz de utilizar las expresiones anteriores para evaluar numéricamente\ntwist-cuatro correcciones a las funciones de fragmentación de quark (antiquark). En este artículo,\nvamos a dar una estimación cualitativa de la dependencia del sabor de la corrección en\nDIS de un gran núcleo.\nA los efectos de una estimación cualitativa, se puede suponer que todos los twist-cuatro dos-cuarto\nfunciones de correlación se pueden factorizar, como se ha hecho en Refs. [18,19,23,33],\np+dy−\ndy−1 dy\n+yix2p\n• (−y−2 ) •(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A\nfAq (x1) f\n(x2), (75)\np+dy−\ndy−1 dy\n+yix2p\n) ±ixLp\n2 (−y−2 )(y− − y−1 )\nAq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A\nfAq (x1) f\n(x2)e\nA, (76)\ndonde xA = 1/mNRA, mN es la masa de nucleón, RA el tamaño del núcleo, f\n(x2) es la\ndistribución antiquark en un nucleón y C se supone que es una constante, parametrizante\nla fuerza de las correlaciones de dos partes dentro de un núcleo. La integración sobre la posición\ndel anticuarco (y−1 +y\n2 )/2 en el twist-cuatro elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos da\naumento del factor de mejora nuclear 1/xA = mNRA = 0,21A\nDebemos tener en cuenta que establecemos kT = 0 para la expansión colineal. Como consecuencia de ello, el\ncampo quark secundario en los elementos de matriz twist-cuatro parten llevará cero impulso\nen el proceso suave-duro. El impulso transversal intrínseco finito lleva a un cor-\nlas recciones. Si un subconjunto de los términos más altos en la expansión colineal se puede volver a resumir\npara restaurar los factores de fase como eixT p\n+y−, en el que xT • • k2T •/2p+q−z(1 − z), el\nLos campos de quark en los elementos de matriz de Parton llevarán un momento fraccionario finito xT.\nBajo tal suposición de factorización, uno puede obtener toda la correlación de dos cuartetos\nelementos de matriz:\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x) f\n(xL + xT )[1− e−x\nA], (77)\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x+ xL) f\n(xT )[1− e−x\nA], (78)\nqq̄i (x, xL)\nA(I2)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x+ xL) f\n(xT )e\nfAq (x) f\n(xL + xT )e\nA. (79)\nEn la última aproximación, hemos asumido xL xT x. Del mismo modo, uno puede obtener\nTA(i)qqi (x, xL), T\nq̄qi (x, xL) y T\nq̄q̄i (x, xL). Con estas formas de correlación de dos quarks\nelementos de matriz, podemos estimar la dependencia del sabor de la modificación nuclear a\nel quark (antiquark) funciones de fragmentación.\nLas correcciones de orden más bajas [O(αs)] son muy simples\nq→h (zh) CA1/3[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]fNq̄ (xT ), (80)\nqh̄\n(zh) CA1/3[Dg→h̄(zh)−Dqh̄(zh)]fNq (xT ). (81)\nConsideramos la contribución dominante de la fragmentación de un quark (antiquark)\nque es uno de los quarks de valencia (antiquarks) de la partícula final h (antipartícula h̄).\nLas funciones de fragmentación del gluón en h y h̄ son las mismas. Para el zh grande, el gluon\nLa función de fragmentación es siempre más suave que la valencia quark (antiquark) fragmenta-\nión [38]. Por lo tanto, las correcciones de giro-cuatro ordenes más bajas son siempre negativas para grandes\nzh, llevando a una supresión de la función de fragmentación de quark de valencia (antiquark),\nDqv→h(zh) [Dq̄v→h̄(zh)]. Considere aquellos quarks que también son quarks de valencia de un nucleón:\nn = udd\np = uud, p̄ = d̄, (82)\nK+ = us̄,K− = ūs. (83)\n, η0, = ud̄, (uū − dd̄ )/\n2, dū. (84)\nUno puede encontrar la siguiente dependencia del sabor de la orden más baja torsión cuatro correcciones\na las funciones de fragmentación quark (antiquark),\nq̄v→h̄\nD(LO)\nq̄v→h̄\n(zh)\nD(LO)qv→h(zh)\nfNqv (xT )\nfq̄v(xT )\n> 1, (85)\nq̄v→h̄\n1 + D\nq̄v→h̄\n(zh)/Dqh̄(zh)\n1 + D\n(zh)/Dq→h(zh)\n< 1, (86)\ndonde R\nes la correspondiente orden de supresión de la función de fragmentación\nen zh grande para el protón (antiprotón) y K\n+ (K−). Dado que los piones contienen ambos valencia\nquark y antiquark, los factores de supresión deben ser similares para todos los piones. Para xT ≥\n0,043, u(x)/ū(x) ≥ 3 y d(x)/d̄(x) ≥ 2 [35]. Por lo tanto, la modificación de antiquark\nfunciones de fragmentación debido a la aniquilación quark-antiquark es significativamente mayor que\nel de un quark.\nLa dependencia del sabor de los resultados NLO son más complicados ya que implican dispersión-\ning con quarks y antiquarks en el medio. Uno puede observar primero que efectivo\nfunciones de división (o sección transversal de dispersión quark-quark) son las mismas para el canal en t\nqq′ → qq′ y qq → qq (q′ 6= q) scatterings,\nqq.»b(z) = P\nq̄q.»b(z) = P\nqqb(z) = P\nq̄qb(z). (87)\nPara la dispersión de quark-quark idéntico o aniquilación de quark-antiquark, uno puede separar\nla aniquilación qq̄ funciones de división (o secciones transversales) en singlet y no-singlet\ncontribuciones mediante la selección de las contribuciones en t-canal,\nqqb(z)\nqq→b(z) + P\nqqb(z), (88)\nq̄q→b(z)\nq̄qb(z) + P\nq̄q→b(z). (89)\nEstas contribuciones individuales a las funciones de fragmentación modificadas son,\nS(NLO)\nq→h (zh)\nb,q′,i\nDb→h P (i)qqÃ3b(zh)\n×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (90)\nS(NLO)\nqh̄\n(zh)\nb,q′,i\nDbh̄ P\nq̄qb̄\n×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (91)\ndonde la suma sobre q′ ahora incluye q′=q y C(i)(xL) son independientes del sabor\nfunciones determinadas a partir de Eqs. 77)-(79),\nC(HI) =C(SI) = C(xL)(1− e−x\nC(I) =C(I2) = C(xL)e\nA, (92)\ny C(xL) es un coeficiente común que es una función de xL. Uso de P\nq̄qb̄\n(z) = P\nqq→b(z)\n, se puede concluir que las contribuciones singlet al quark modificado y antiquark\nlas funciones de fragmentación son las mismas,\nS(NLO)\nq→h (zh) = D\nS(NLO)\nqh̄\n(zh).\nLas contribuciones no individuales, principalmente de interferencias s-canal y s-t, son,\nN(NLO)\nq→h (zh)\nDb→h PN(i)qqb(zh)fNq̄ (xT )C(i), (93)\nN(NLO)\nqh̄\n(zh)\nDbh̄ P\nq̄q→b̄\n(zh)f\nq (xT )C\ni), (94)\ndonde otra vez\nqqb(z) = P\nq̄q→b̄\n(z) debido a la simetría de cruce. Hemos enumerado todos los no-\nDesvanecimiento de las funciones de división singlet\nqqb(z) del apéndice A-2.\nDe nuevo consideramos el límite zh → 1. En esta región la convolución en el\nfunción de fragmentación está dominada por el gran z → 1 comportamiento de la división efectiva-\nfunciones de ting. De la lista P\nqqb(z) en el Apéndice A-2, podemos obtener el\ncontribuciones,\nC(i)P\nqqq(z)4CF\nC(xL)\nC(i)P\nqqg(z)\n2CF + CF (1− e−x\nA) + CAe\nC(xL)\n, (95)\ndonde también hemos descuidado términos proporcionales a 1/Nc. Todos los P\nqqq̄(z) no son líderes\nen el límite z → 1 y por lo tanto puede ser descuidado. Con estas importantes contribuciones,\nla modificación no-singlet a las funciones de fragmentación quark y antiquark puede ser\nestimado como\nN(NLO)\nq→h (zh)\nC(xL)\n(1- z)+\nCF (1− e−x\nA) + CAe\n+ (1− z)(lT)\n−Dq→h\nC(xL)\n(1- z)+\n+ (1− z)(lT)\nfNq̄ (xT ), (96)\nN(NLO)\nqh̄\n(zh)\nDg→h̄\nC(xL)\n(1- z)+\nCF (1− e−x\nA) + CAe\n+ (1− z)(lT)\nDg→h̄\n−Dqh̄\nC(xL)\n(1- z)+\n+ (1− z)(lT)\nfNq (xT ), (97)\ndonde el punto 1(IT ) y el punto 2(IT ) proceden de correcciones virtuales,\n1(lT )=\nCFC(xL)z=1 − [CF (1− e−x\n+ CAe\nA]C(xL)\n, (98)\n2(lT )=\n2CF [C(xL)z=1 − C(xL)]. (99)\nDebido a la conservación del impulso, C(xL) = 0 cuando xL → • para z = 1. Por lo tanto,\nlas correcciones virtuales anteriores siempre son negativas. En general zh, estas correcciones virtuales\ndominar sobre los reales.\nHay dos tipos de contribuciones no individuales en las expresiones dadas anteriormente. Uno que\nes proporcional a las funciones de fragmentación de gluón se debe a la aniquilación quark-antiquark\nen gluones que luego se fragmentan. El gluón fragmentante no sólo transporta menos energía que\nel quark inicial pero también tiene una función de fragmentación más suave, lo que conduce a la supresión de\nlos hadrones líderes finales. El segundo tipo de contribuciones es proporcional a Dg→h(zh)−\nDq→h(zh) y por lo tanto mezcla funciones de fragmentación quark y gluon, del mismo modo que el\nlos procesos de aniquilación quark-antiquark de orden más bajo [véase Eqs. (80) y (81)]. Desde un gluon\nfunción de fragmentación es más suave que un quark uno, las correcciones reales de este tipo de\nlos procesos son positivos para los pequeños zh y negativos para los grandes zh. Las correcciones virtuales\ntienen exactamente el comportamiento opuesto. Por lo tanto, el segundo tipo de contribuciones reducirá\nla modificación neta total. Para los valores intermedios de zh donde 2Dg→h(zh) > Dq→h(zh),\nel efecto neto sigue siendo la supresión de las funciones de fragmentación eficaces para\nHadrons.\nDesde fNq (xT ) > f\nq̄ (xT ), podemos concluir que la LO y la NLO combinados no-singlet\nLa supresión de la fragmentación anticuarto en hadrones de valencia es más grande que la de quark.\nfragmentación en hadrones de valencia. Esto explica cualitativamente la dependencia del sabor de\nla supresión nuclear de los principales hadrones del DIS frente a objetivos nucleares pesados medidos por\nel experimento HERMES [25,26]. La relación de las secciones transversales semi-inclusivas diferenciales\npara los objetivos de núcleo y deuterón se utilizaron para estudiar la supresión nuclear de la\nfunciones de mentation. Se observó que la supresión de los principales antiprotones es más fuerte\nque para el protón líder y la supresión de K− es más fuerte que K+. En el quark de Valence\nimagen de fragmentación, el protón principal (K+) se produce principalmente a partir de u, d (u) quark\nfragmentación mientras que los antiprotones provienen principalmente de la fragmentación ū, d̄ (ū). Por lo tanto,\nLos datos de HERMES son consistentes con una mayor supresión de la fragmentación anticuarto.\nDesde gluon bremsstrahlung y el singlet qqi(q̄i) dispersión también suprimir quark y\nantiquark fragmentación, pero independientemente del sabor quark, uno tiene que incluir todos los\nprocesos con el fin de tener una evaluación numérica completa y cuantitativa del sabor\ndependencia de la modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark. Además...\nmás, las contribuciones de la ONL son proporcionales a αs ln(Q)\n2)/2ň. Son tan importantes.\ncomo la corrección de orden más baja para grandes valores de Q2. En principio, hay que volver a resumir estos\ncorrección de orden superior mediante la resolución de un conjunto de ecuaciones de evolución acopladas DGLAP, in-\nmodificación del medio para las funciones de fragmentación del gluón. Las contribuciones de\nquark-quark (antiquark) la dispersión derivada en este documento será una parte importante de la\nDscripción completa. Estudio numérico detallado del efecto del quark-quark (antiquark)\nla dispersión será posible sólo después de la terminación de esta descripción completa en el\nfuturo.\n7 Resumen\nUtilizando el marco de factorización generalizada para twist-cuatro procesos tenemos\nla modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark y antiquark (FF) debida\na quark-quark (antiquark) doble dispersión en materia nuclear densa hasta el orden O(α2s).\nCalculamos y analizamos el conjunto completo de todos los diagramas de corte posibles. Resultados\nse pueden clasificar en contribuciones de procesos de doble-duro, duro-suave y su\ninterferencias. Los rescatterings de doble dureza corresponden a la dispersión elástica del plomo-\ning quark con otro quark medio. Requiere el segundo quark para llevar un finito\nmomento fraccionario xL. Por lo tanto, la pérdida de energía del quark líder a través de tales\nprocesos pueden ser identificados como pérdida de energía elástica en el orden O(α2s). La pérdida de energía quark\ny la modificación de las funciones de fragmentación quark están dominadas por el canal t de\nla dispersión de quark-quark (antiquark) y se demuestra que es similar a la causada por quark-\nGluon esparciendo. La contribución de la dispersión quark-quark es más pequeña que la de\nDispersión del quark-gluon por un factor de CF/CA multiplicado por la relación de distribución del quark y del gluon-\nciones en el medio. Hemos demostrado que esas contribuciones no son insignificantes.\npara cinemática realista y tamaño mediano finito. Los rescatterings blandos y duros mezclan gluon y\nscattering quark, de la misma manera que el orden más bajo qq̄ → g procesos. Tales procesos\nmodifica los espectros de hadrones finales o las funciones de fragmentación eficaces, pero no\ntributo a la pérdida de energía del quark líder. Para qq̄ → qq̄, gg procesos, también existen\ncontribuciones de interferencia puras procedentes principalmente de interferencias de dispersión de un solo triple.\nCon un modelo simple de funciones factorizadas de correlación de dos cuartetos, investi-\nla dependencia del sabor del medio modificado funciones de fragmentación de quark en una\nnúcleo grande. Identificamos la parte dependiente del sabor de la modificación y encontramos que\nla modificación nuclear para una fragmentación antiquark en un hadron de valencia es más grande\nque el de un quark. Esto ofrece una explicación cualitativa para la dependencia del sabor de\nla principal supresión de hadrones en el DIS semi-inclusivo frente a objetivos nucleares, como se observa en\nel experimento HERMES [25,26].\nAgradecimientos\nLos autores agradecen a Jian-Wei Qiu y Enke Wang por su útil discusión. Este trabajo\nfue apoyado por NSFC en el marco del proyecto No. 10405011, por el Ministerio de Educación de China en el marco del proyecto\nIRT0624, por Alexander von Humboldt Foundation, por BMBF, por el Director de la Oficina\nde Investigación Energética, Oficina de Energía Alta y Física Nuclear, Divisiones de Energía Nuclear\nFísica, del Departamento de Energía de los Estados Unidos bajo el Contrato No. DE-AC02-05CH11231,\ny por el US NSF bajo Grant No. PHY-0457265, la Fundación Welch en virtud de la subvención\nNo. A-1358.\nA-1 Partes duras para doble dispersión quark-quark\nEn la Sección 3 hemos discutido el cálculo de la parte dura de un ejemplo de corte-diagrama\n(Fig. 5) en detalle. En este apéndice enumeramos los resultados de todas las posibles correcciones reales a\nquark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s). Hay\nun total de 12 diagramas como se ilustra en las Figs. 5-16. Para el propósito de abreviar, nosotros\nsuprimirá las variables en las anotaciones de las partes duras partonicas\nD HD(y−, y−1, y−2, x, p, q, zh), (A-1)\ny funciones de los factores de fase\nI (y−, y−1, y−2, x,, xL, p). (A-2)\nPrimero consideramos todos los diagramas de aniquilación qq̄ → gg con diferentes cortes posibles. Los\ncontribuciones de la Fig. 5 son:\n5,C =\nα2sxB\nI5,CDg→h(zh/z)\n1 + z2\nz(1 − z)\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (A-3)\nFig. 5. El canal t de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con tres posibles cortes, central(C),\nizquierda (L) y derecha (R).\nFig. 6. La interferencia entre t y u-canal de qq̄ → aniquilación gg.\nI5,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-4)\n5,L(R) =\nα2sxB\nI5,L(R)\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (A-5)\nI5,L =(y−1 − y−2 )♥(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-6)\nI5,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-7)\nAquí hemos incluido la fragmentación de ambas partes del estado final.\nLas contribuciones de la Fig. 6 son:\nFig. 7. El canal s de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con sólo un corte central.\n6,C =\nα2sxB\nI6,C 2Dg→h(zh/z)\n(1- z)z\nCF (CF − CA/2)\n, (A-8)\n6,L(R) =\nα2sxB\nI6,L(R) [Dg→h(zh/z) +Dq→h(zh/z)]\n(1- z)z\nCF (CF − CA/2)\n, (A-9)\nI6,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-10)\nI6,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n) ). (A-11)\nI6,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ), (A-12)\nTenga en cuenta que el diagrama de corte central en la Fig. 6 corresponde a la interferencia entre t y\nu-canal de los procesos de aniquilación qq̄ → gg en la Fig. 5. Puesto que la función de división es\nsimétrico en z y 1 − z, un factor de 2 proviene de la fragmentación de ambos gluones en\nel diagrama de corte central.\nEl canal s de qq̄ → gg se muestra en la Fig. 7 que sólo tiene un corte central. Su contri-\nbution a la parte dura partónica es,\n7,C =\nα2sxB\nI7,C 2Dg→h(zh/z)\n2-z2 − z + 1)2\nz(1 − z)\n, (A-13)\nI7,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy−\n)e-ixLp\n2. (A-14)\nTenga en cuenta que la función de división 2(z2 − z + 1)2/z(1 − z) = 2[1 − z(1 − z)]2/z(1 − z) es\nsimétrico en z y 1− z. Por lo tanto, la fragmentación de los dos gluones finales da lugar a\nel factor de 2 frente a la función de fragmentación del gluón.\nFig. 8. La interferencia entre el canal t y s de qq̄ → aniquilación gg.\nFig. 9. El conjugado complejo de la Fig. 8.\nLas interferencias entre t y s-canal de qq̄ → gg procesos se muestran en Figs. 8 y\n9. Hay sólo dos cortes posibles en estos diagramas. Las contribuciones de la Fig. 8 son:\n8,C =\nα2sxB\nI8,C Dg→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-15)\nα2sxB\nDq→h(zh/z)2\n1 + z3\nz(1− z)\n+ Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-16)\nI8,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )e−ixLp\n+(yy−\n), (A-17)\nI8,L = (y\n1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+(yy)\n) − e−ixLp+(yy\n) ). (A-18)\nContribuciones de la Fig. 9, que son sólo el complejo conjugado de la Fig. 8, son:\n9,C =\nα2sxB\nI9,C Dg→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-19)\n9,R =\nα2sxB\nDq→h(zh/z)2\n1 + z3\nz(1 − z)\n+ Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-20)\nI9,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(yy\n))e-ixLp\n2, (A-21)\nI9,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(y\n))e-ixLp\n1. (A-22)\nUno puede recoger todas las contribuciones del doble duro qq̄ → gg procesos de la central-\ndiagramas de corte, que deben tener el factor de fase común\n* C = (−y−2 ) * (y− − y−1 ) eixp\n+y−e−ixLp\n), (A-23)\ny obtener la función de división efectiva total en la parte dura,\nPqqgg(z) =\nz(1 − z)\n{C2F [1 + z2 + 1 + (1− z)2]− 2CF (CF − CA/2)\n+2CFCCA(1− z + z2)2 − CFCA[1 + z3 + 1 + (1− z)3]}\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2]\n. (A-24)\nMás adelante, en el Apéndice A-3, veremos que el resultado anterior también puede obtenerse del\nelementos de matriz total al cuadrado para qq̄ → aniquilación gg.\nAhora consideramos los procesos de aniquilación qq̄ → qiq̄i con qi 6= q. Sólo está el\nproceso de canal s con un diagrama de corte central como se muestra en la Fig. 10. Su contribución a\nla parte difícil es\n10,C =\nα2sxB\nI10,C\nqi 6=q\n[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]\nFig. 10. s-canal qq̄ → aniquilación qiq̄i.\nFig. 11. t-canal qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión.\n×[z2 + (1− z)2]\n, (A-25)\nI10,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy)\n)e-ixLp\n2. (A-26)\nAquí definimos la función de división efectiva para qq̄ → aniquilación qiq̄i como,\nPqqqiq̄i(z) =\n[z2 + (1− z)2]. (A-27)\nDel mismo modo, para qq̄i → qq̄i dispersión con qi 6= q, sólo hay el canal t como se muestra en\nFig. 11. Hay, sin embargo, tres diagramas de corte. Sus contribuciones a la dura particónica\nparte son:\n11,C =\nα2sxB\nI11,C\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+Dq̄i→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\n, (A-28)\n11,L(R) =\nα2sxB\nI11,L(R)\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\n, (A-29)\nI11,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-30)\nI11,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-31)\nI11,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-32)\nEl elemento de matriz de correlación twist-cuatro dos-parten asociado con el quark anterior-\nla dispersión antiquark es el correlator quark-antiquark,\nTAqq̄i(x, xL)\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (A-33)\ny uno debe sumar sobre todos los posibles sabores qi 6= q. Tenga en cuenta que en el elemento de matriz anterior,\nel flujo de impulso para el antiquark (q̄i) es opuesto al de los campos quark (q).\nPara la dispersión quark-quark, qqi → qqi, la parte dura es esencialmente la misma. El único\ndiferencia es el elemento de matriz asociado para el correlator quark-quark que es ob-\nproveniente de la del correlator quark-antiquark a través del intercambio qi(y2) → qi(y2)\ny qi(y1) → qi(y1),\nTAqqi(x, xL)\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A. (A-34)\nTenga en cuenta que los flujos de impulso de los dos quarks (q y qi) apuntan en la misma dirección.\nLa función de división efectiva de este proceso de dispersión se define a través de los fragmen-\nla puesta del quark en el diagrama de corte central,\nPqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-35)\nPara aniquilación qq̄ → qq̄ en pares de quark y antiquark idénticos, además de la\ns-canal (Fig. 10 para qi = q) y t-canal (Fig. 11 para qi = q̄), uno también tiene que considerar\nla interferencia entre las amplitudes s y t-canal como se muestra en las Figs. 12 y 13, cada uno\ntener dos cortes. Sus contribuciones a las partes duras son, respectivamente:\nFig. 12. Interferencia entre s y t-canal de qq̄ → qq̄ dispersión\nFig. 13. El conjugado complejo de la Fig. 12.\n12,C =\nα2sxB\nI12,C\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dqh(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-36)\n12,L =\nα2sxB\nI12,L\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dg→h(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-37)\nI12,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )e−ixLp\n+(yy−\n), (A-38)\nI12,L = (y\n1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+(yy)\n) − e−ixLp+(yy\n) ; (A-39)\nFig. 14. La interferencia entre t y u-canal de cuark-cuark idéntico dispersión qq → qq.\n13,C =\nα2sxB\nI13,C\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dqh(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-40)\n13,R =\nα2sxB\nI13,R\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dg→h(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-41)\nI13,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(yy\n))e-ixLp\n2, (A-42)\nI13,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+y\n1 − e−ixLp+y\n2 ). (A-43)\nUna vez más se pueden recoger contribuciones de los diagramas de corte central de la dispersión doble\nprocesos en Figs. 10, 11 12 y 13 y obtener la función de división efectiva total para\nqq̄ → qq̄,\nPqqqq̄(z) =\n[z2 + (1− z)2] +\n1 + z2\n(1- z)2\nCF (CF − CA/2)\nz2 + (1− z)2 +\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-44)\nAquí hemos usado CF − CA/2 = −1/2Nc. Para la fragmentación anticuarto, Pqqq̄q(z) =\nPqqqq̄(1 − z). Uno también puede obtener el resultado anterior de qq̄ → qq̄ matriz de dispersión\nal cuadrado como se muestra en el apéndice A-3.\nDel mismo modo, para la dispersión de quarks idénticos qq → qq, uno debe establecer qi = q en Fig. 11[en\nEq. (A-28)]. Además, también debería incluirse la interferencia entre t y u-canal\nde la dispersión como se muestra en la Fig. 14. Las contribuciones de este diagrama de interferencia\n14,C =\nα2sxB\nI14,C\n× 2Dq→h(zh/z)\nz(1 − z)\nCF (CF − CA/2)\n, (A-45)\n14,L(R) =\nα2sxB\nI14,L(R)\n× [Dq→h(zh/z) +Dg→h(zh/z)]\nz(1− z)\nCF (CF − CA/2)\n, (A-46)\nI14,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-47)\nI14,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-48)\nI14,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-49)\nNótese de nuevo que la fragmentación de ambos quarks contribuye al factor 2 en Eq. (A-\n45) ya que la función de división es simétrica en z y 1 − z. El giro-cuatro dos-cuarto\nelemento de matriz de correlación asociado con qq → dispersión qq es TAqq(x, xL) en comparación\na TAqq̄(x, xL) para procesos de aniquilación quark-antiquark.\nPodemos sumar las contribuciones de la dispersión dura doble en todos los diagramas de corte central\nen Figs. 11 y 14 y obtener la función de división efectiva total para procesos qq → qq,\nPqq→qq(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nCF (CF − CA/2)\nz(1 − z)\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n. (A-50)\nHay dos diagramas de corte restantes que contribuyen a la aniquilación quark-antiquark\nal orden de O(α2s) como se muestra en las Figs. 15 y 16. Sus contribuciones son las siguientes:\n15,L =\nα2sxB\nI15,L\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\n, (A-51)\nI15,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy)\n), (A-52)\nFig. 15. Interferencia entre la radiación gluon del estado final de dispersión de un solo y triple cuarteto.\nFig. 16. El conjugado complejo de la Fig. 15.\n16,R =\nα2sxB\nI16,R\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\n, (A-53)\nI16,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n1. (A-54)\nA-2 Funciones efectivas de división\nEn este Apéndice, enumeramos las funciones de división efectivas asociadas a cada proceso\nqa→ b y el doble duro (HI), hard-soft (SI) o sus interferencias (I, I2) según\na Eq. (73).\nqqi(q̄i)→qi(q̄i)\nz) =\n1 + (1− z)2\nqqi(q̄i)→q\nz) =\n1 + z2\n(1- z)2\nqqi(q̄i)→qi(q̄i)\nz) =\n1 + (1− z)2\nqqi(q̄i)→g\n(z) = −1 + (1− z)\n(A-55)\nqqqi(z) =P\nqqq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2,\nqqqi(z) =P\nqqq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2, (A-56)\nP (HI)qq→q(z) =\n1 + (1− z)2\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1 − z)\nP (SI)qq→g(z) =−P (SI)qq→q(z), (A-57)\nP (SI)qq→q(z) =\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nqqq(z) = z\n2 + (1− z)2 + 1 + z\n(1- z)2\nqqq̄(z) =P\nqqq(1− z),\nqqg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1 − z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2], (A-58)\nqqq(z) =−\nz(1 − z)\n+ 2CF\nqqq̄(z) =\n1 + (1− z)2\nqqg(z) =\nz(1 − z)\n+ 2CF\n− 1 + (1− z)\n(A-59)\nqqq(z) = z\n2 + (1− z)2 −\nz(1 − z)\n− 2CF\nqqq̄(z) = z\n2 + (1− z)2,\nqqg(z) =CA\n4(1− z + z2)2 − 1\nz(1 − z)\n− 2CF\n(1- z)2\n, (A-60)\nqqq(z) =\nz(1 − z)\n− 2CF\nqqg(z) =\nz(1 − z)\n− 2CF\n. (A-61)\nLas funciones de división no-singlet para qq̄ → b, definido como\nqqb(z) P\nqqb(z)− P\nqq→b(z), (A-62)\nse enumeran a continuación:\nN(HI)\nqqqi(q̄i)\n(z) =P\nqqqi(q̄i)\n(z), (P)\nqqqi(q̄i)\n(z) = P\nqqqi(q̄i)\nz), (A-63)\nN(HI)\nqqq (z) =−\n(1− z2)(1 + z2 + (1− z)2)\n1 + z3\nz(1− z)\nN(HI)\nqqq̄ (z) =P\nqqq̄(z), ŁP\nN(HI)\nqqg (z) = P\nqqg(z), (A-64)\nN(SI)\nqqq (z) =−\n1 + z2\n1 + (1− z)2\nN(SI)\nqqq̄ (z) =P\nqqq̄(z)\nN(SI)\nqqg (z) = 2CF\n1 + z2\nz(1 − z)\n1 + (1− z)2\n(A-65)\nqqb(z) =P\nqqb(z), ŁP\nN(I2)\nqqb (z) = P\nqqb(z) (b = q, q̄, g) (A-66)\nA-3 Cálculos alternativos de diagramas de corte central\nComo control cruzado de las partes duras de la parte partónica calculadas a partir de diferentes diagramas de corte en\nApéndice A-1, proporcionamos un cálculo alternativo de todos los diagramas de corte central,\nque corresponden a la dispersión quark-quark (antiquark).\nConsiderando una parten (a) con impulso q dispersando con otra parten (b) que\nlleva un momento fraccionario xp, a(q) + b(xp) → c(l) + d(p′), la sección transversal puede ser\npor escrito como\ndđab =\nM 2ab→cd(t/, û/)\n(2l)32l0\n2[(p+ q − l)2]\n(4η)2\nM 2ab→cd(t/, û/)\nz(1− z)\ndl2T\n, (A-67)\ndonde q = [0, q−, 0] y p = [xp+, 0, 0] son momentáneas de las partes iniciales y\n, zq−, ~lT\n(A-68)\nes el impulso de una de las partes finales. Con la cinemática dada, el on-shell\ncondición en la sección transversal se puede refundir como\n(xp + q − l)2 = 2(1− z)xp+q−\n1 - xL\n, xL =\n2z(1− z)p+q−\n. (A-69)\nLas variables Mandelstam de la colisión son,\n=(q + xp)2 = 2xp+q− =\nz(1 − z)\n, û = (l− xp)2 = −z\nt=(l− q)2 = −(1 − z)\n• = −(1− z), (A-70)\ndonde hemos utilizado la condición en la cáscara x = xL.\nCon Eq. (A-67) y funciones de distribución de parten fNb (x), se puede obtener la parten-\nsección transversal de nucleón,\ndaN =\ndđabf\nb (x)dx\nfNb (xL)xLM 2ab→cd(tÃ3rÃ, û/)\nz(1− z)\nfNb (xL)\nC0Pab→cd(z)dz\n, (A-71)\ndonde s = 2p+q− es la energía del centro de la masa para la colisión aN, C0 es algún color común\nfactor en los elementos de la matriz de dispersión y\nPab→cd(z) = (1/C0)M 2ab→cd(tÃ3rá/, û/) (A-72)\nes lo que hemos definido como la función de división efectiva para los procesos correspondientes.\nPor lo tanto, se puede obtener fácilmente estas funciones de división efectiva de la correspondiente\nelementos de matriz para la dispersión elemental de parten-parten [39]. Los enumeraremos en el fol-\nLoading. Un factor de color común para toda dispersión quark-quark(antiquark) es C0 = CF/Nc.\nqq̄ → aniquilación qiq̄i:\nM 2qqqiq̄i =\ntâ € 2 + û2\nPqqqiq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2. (A-73)\nqq̄ → aniquilación qq̄:\nM 2qqqq̄ =\nû2 + â € 2\nû2 + tâ € 2\nPqqqq̄(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n+ z2 + (1− z)2 +\n. (A-74)\nqq̄ → aniquilación gg:\nM 2qqgg =\n− 2CA\nû2 + tâ € 2\nPqqgg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA(z2 + (1− z)2). (A-75)\nqqi(q̄i) → qqi(q̄i) scattering:\nM 2qqi(q̄i)→qqi(q̄i)=\nû2 + â € 2\nPqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-76)\nqq → dispersión qq:\nM 2qq→qq =\nû2 + â € 2\n2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +\nPqq→qq(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nz(1− z)\n. (A-77)\nPara la dispersión de quark-gluon Compton, la función de distribución de gluon relevante es xLGN (xL).\nPor lo tanto, se puede reescribir la contribución de qg → qg a Eq. (A-71) como,\ndqN = xLGN(xL)\nsz(1 − z)M 2qg→qg(tÃ3rá, û/Ã)dz\nxLGN(xL)+2s\nPqg→qg(z)dz\n. (A-78)\nTenemos entonces para qg → qg dispersión,\nM 2qg→qg =\n•2 + û2\nû2 + â € 2\nPqg→qg(z) = z(1 − z)\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + z2\n. (A-79)\nComparando este resultado con el de Ref. [18] para el rescatado quark-gluon, podemos ver\nque están de acuerdo en el límite 1 − z → 0. Esto es una consecuencia de la aproximación colineal\nmación empleada en Ref. [18] en el cálculo de la parte dura del quark-gluón\nRescatando.\nTambién podemos extender este cálculo al caso de dispersión gluon-nucleón. Uno puede usar\nEq. (A-71) para definir la función de división para la dispersión de gq → gq,\nM 2gq→gq =\n2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +\nt+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + 2 + 2 + 2 + + + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + 2 + + + 2 + 2 \nPgq→gq(z) = z(1 − z)\n1 + (1− z)2\n1 + (1− z)2\n(1 a z)\n. (A-80)\nAquí para la dispersión gluon-partón, no hay factor de color común.\ngg → aniquilación qq̄,\nM 2gg→qq̄ =\ntâ € 2 + û2\ntâ € 2 + û2\nPgg→qq̄(z) = z(1 − z)\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n[z2 + (1− z)2]\n. (A-81)\ngg → gg scattering\nM 2gg→gg=2\n3 - t\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n− t\nPgg→gg(z) = 2\n(1− z + z2)3\nz(1− z)\n. (A-82)\nSe puede utilizar esta técnica para extender el estudio de funciones de fragmentación modificadas a\nGluones de propagación. Dado que la modificación está dominada por quark-gluon y gluon-gluon\nscattering, comparando las funciones de división efectivas,\nPqg→qg(z)\n, (A-83)\nPgg→gg(z)\n, (A-84)\nen el límite z → 1, se puede concluir que la pérdida de energía radiativa de un gluón es mayor que\na quark por un factor de Nc/CF = CA/CF = 9/4. Dejaremos la derivación completa de\nmodificación media de las fragmentaciones de gluón a una publicación futura.\nBibliografía\n[1] K. Adcox et al., [PHENIX Collaboration], Phys. Rev. Lett. 88, 022301 (2002).\n[2] C. Adler et al., [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 89 202301 (2002).\n[3] C. Adler et al., [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 90, 082302 (2003).\n[4] M. Gyulassy y L. McLerran, Nucl. Phys. A 750, 30 (2005).\n[5] P. Jacobs y X. N. Wang, Prog. Parte. Nucl. Phys. 54, 443 (2005).\n[6] J. W. Qiu, [arXiv:hep-ph/0507268].\n[7] J. W. Qiu y G. Sterman, Int. J. Mod. Phys. E 12 (2003) 149.\n[8] X. F. Guo, Phys. Rev. D58 (1998) 114033.\n[9] X. F. Guo, J. W. 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D 17, 196 (1978).\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ex/0307023\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0305010\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0406023\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0311220\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0204046\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0604040\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9903282\nhttp://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/5508229\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0607047\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9503464\n\tIntroducción\n\tFormalismo general\n\tProcesos de dispersión doble Quark-quark\n\tFunciones de fragmentación modificadas\n\t q\"7016q g aniquilación\n\tq\"7016q qi\"7016qi aniquilación\n\tqqi(\"7016qi) qqi(\"7016qi) scattering\n\tdispersión qqqqq\n\tq\"7016q q\"7016q, gg aniquilation\n\tModificación debida a la mezcla quark-gluon\n\tLa dependencia del sabor del medio modificado fragmentación\n\tResumen\n\tPartes duras para doble scattering quark-quark\n\tFunciones de división eficaces\n\tCálculos alternativos de diagramas de corte central\n\tBibliografía\n"},"abstract":{"kind":"string","value":" Modificaciones de las funciones de fragmentación de quark y antiquark debido a\nse estudia la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en medio nuclear\nsistemáticamente hasta el orden \\cal{O}(\\alpha_{s2)$ en profundamente inelástico\ndispersión (DIS) de objetivos nucleares. En el orden $\\cal{O}(\\alpha_s^2)$,\ntwist-cuatro contribuciones de quark-quark (antiquark) rescattering también exhiben\nla característica de interferencia Landau-Pomeranchuck-Midgal (LPM) similar al gluón\nbremsstrahlung inducido por la dispersión de múltiples parten. Comparado con quark-gluon\ndispersión, la modificación, que está dominada por $t$-canal quark-cuark\n(antiquark) dispersión, es sólo más pequeño por un factor de $C_F/C_A=4/9$ veces el\nrelación de las distribuciones de quark y gluon en el medio. Esa modificación es la siguiente:\nno es insignificante para la cinemática realista y el tamaño mediano finito. Los\nmodificaciones de las funciones de fragmentación quark (antiquark) desde quark-antiquark\nlos procesos de aniquilación se muestran determinados por el anticuarco (cuarco)\ndensidad de distribución en el medio. La asimetría en quark y antiquark\nlas distribuciones en los núcleos conducirán a diferentes modificaciones de quark y\nfragmentación antiquark funciona dentro de un núcleo, que cualitativamente\nexplica la dependencia del sabor observada experimentalmente del hadrón principal\nsupresión en el DIS semi-inclusivo de objetivos nucleares. El quark-antiquark\nprocesos de aniquilación también mezclan funciones de fragmentación de quark y gluon en el\ngran región de impulso fraccionario, lo que conduce a una dependencia del sabor de jet\namortiguación en colisiones de iones pesados.\n"},"text_no_abstract":{"kind":"string","value":"Introducción\nLa dispersión de múltiples partes en un medio denso se puede utilizar como una herramienta útil para estudiar\npropiedades de la materia nuclear caliente y fría. El éxito de este enfoque ha sido\ndemostrado por el descubrimiento de fuertes fenómenos de apagado de chorro en el centro de Au + Au\ncolisiones en el colisionador de iones pesados relativistas (RHIC) [1,2,3] y sus implicaciones\nsobre la formación de un plasma de quark-gluón fuertemente acoplado en RHIC [4,5]. Sin embargo,\npara un estudio fenomenológico convincente de los datos experimentales existentes y futuros,\nuna descripción unificada de todos los efectos medios en procesos duros en los que participan núcleos, tales como\ncolisiones electrón-núcleo (e + A), hadrón-núcleo (h + A) y núcleo-núcleo (A +\nA) tiene que ser desarrollado [6,7]. Esto debe incluir la física del impulso transversal\nampliación [8], fuerte mejora nuclear en la producción de DIS [9] y Drell-Yan [10,11],\nla sombra nuclear [12], y la pérdida de energía de parten debido a la radiación de gluón inducida por múltiples\ndispersión [13,14,15,16,17,18,19].\nExisten muchos marcos diferentes en la literatura para describir la dispersión múltiple\nen un medio nuclear [20,21,22]. Entre ellos, el enfoque de expansión de giro se basa en\nla factorización generalizada en QCD perturbante como desarrollado inicialmente por Luo, Qiu\ny Sterman (LQS) [23]. En el formalismo LQS, los procesos de dispersión múltiple generalmente\nEn el caso de la distribución de la parten, las correlaciones de múltiples partes de alta torsión son similares a las de la distribución de la parten.\nen los procesos de torsión líderes. Aunque las correcciones correspondientes de giro superior son\nSuprimidas por poderes de 1/Q2, son reforzadas al menos por un factor de A1/3 debido a\ndispersión múltiple en un núcleo grande. Este marco se ha aplicado recientemente al estudio\nmodificación media de las funciones de fragmentación como parten principal se propaga\na través del medio [18,19]. Debido al Landau-Pomeranchuck-Midgal no abeliano\ninterferencia en el gluon bremsstrahlung inducida por la dispersión de múltiples partes en los núcleos,\nlas modificaciones nucleares de mayor torsión a las funciones de fragmentación se mejoran de hecho\npor A2/3, cuadrático en el tamaño nuclear [18,19]. Estudio fenomenológico de la energía Parton\npérdida y modificación nuclear de las funciones de fragmentación en materia nuclear fría [24]\nda una buena descripción de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones en semi-\nInclusive diseminación profundamente inelástica del leptón-núcleo observado por el experimento HRMES\n[25,26]. El mismo marco también da una explicación convincente para la supresión de\ngrandes hadrones de impulso transversal descubiertos en RHIC [27].\nEl énfasis de los estudios recientes de la modificación media de las funciones de fragmentación tiene\nha estado en la pérdida de energía radiativa parten inducida por la dispersión múltiple con gluones. Semejante\nprocesos de hecho son dominantes en relación con la dispersión múltiple con quarks debido a la\nabundancia de gluones blandos en núcleos fríos o materia caliente densa producida en iones pesados\ncolisiones. Dado que gluon bremsstrahlung inducido por la dispersión con gluones medios es el\nigual para quarks y anti-quarks, también se espera la pérdida de energía y la fragmentación\nmodificación para ser idéntica para quarks y anti-quarks. Sin embargo, en un medio con fi-\nla densidad de los bariones, como los núcleos fríos y la región delantera de las colisiones de iones pesados,\nla diferencia entre las distribuciones de quark y antiquark en el medio debe dar lugar a\nent pérdida de energía y funciones de fragmentación modificadas para quarks y antiquarks a través de\nProcesos de aniquilación quark-antiquark. Para estudiar tal asimetría, uno debe considerar\nsistemáticamente todos los posibles procesos de dispersión quark-quark y quark-antiquark, que\nserá el centro de atención de este documento.\nEn este estudio vamos a calcular las modificaciones de la fragmentación quark y antiquark\nfunciones (FF) debidas a la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en un medio nuclear,\ntrabajar dentro del marco LQS para la factorización generalizada en QCD perturbador.\nPara una descripción completa de la modificación nuclear de la especificación de hadron\ntra, todavía hay que considerar la modificación media de las funciones de fragmentación del gluón en\nAdemás de la función de fragmentación de quark modificada debido a la dispersión de quark-gluón [18].\nLos resultados teóricos presentados en este trabajo serán un segundo paso hacia una completa\ndescripción de las funciones de fragmentación de mediana modificación. Sin embargo, ya se puede encontrar\nque quark-quark (antiquark) doble dispersión dará diferentes correcciones a quark\ny antiquark FF, dependiendo de la densidad antiquark y quark del medio, respec-\nTily. Esta diferencia entre quark modificado y antiquark FF puede arrojar luz sobre el\ninteresante observación por el experimento HERMES [25,26] de una gran diferencia entre\nsupresión nuclear de los principales espectros de protones y antiprotones en el DIS semi-inclusivo\nde grandes núcleos. Tal imagen de quark-quark (antiquark) dispersión puede proporcionar un com-\nmecanismo de contacto para el fenómeno observado experimentalmente, además de posible\nabsorción de hadrones de estado final dentro de la materia nuclear [28,29].\nEl documento se organiza de la siguiente manera. En la próxima sección vamos a presentar la general para\nmalismo de nuestro cálculo incluyendo la factorización generalizada de los procesos twist-4.\nEn la Sección III ilustraremos el procedimiento de cálculo de las partes\nQuark-quark doble dispersión en núcleos. En la Sección IV discutiremos las modificaciones\na funciones de fragmentación quark y antiquark debido a quark-quark (antiquark) dou-\nble dispersión en los núcleos. En la Sección V, nos centraremos en la parte dependiente del sabor de la\nmediana modificación al quark FF debido a la aniquilación quark-antiquark y lo haremos\ndiscutir las implicaciones para la dependencia del sabor de los principales espectros de hadrones en ambos\nDIS de un núcleo y colisiones de iones pesados. Resumiremos nuestra labor en la Sección VI. In\nel Apéndice A-1, recogemos los resultados completos para las partes duras de\ndiagramas cortados de quark-quark (antiquark) rescattering doble en núcleos. También proporcionamos\nun cálculo alternativo de las partes duras de los diagramas de corte central del apéndice A-3\na través de la dispersión elástica quark-quark o aniquilación quark-antiquark como un control cruzado.\n2 Formalismo general\nCon el fin de estudiar quark y antiquark FF en semi-inclusive profundamente inelástico leptón-\ndispersión del núcleo, consideramos los siguientes procesos,\ne(L1) + A(p) e(L2) + h(lh) +X,\nAp Ap\nFig. 1. El orden más bajo y la contribución líder-twist al DIS semi-inclusive.\ndonde L1 y L2 son los cuatro momentos de los leptones entrantes y salientes, y lh\nes el impulso de hadron observado. La sección transversal diferencial para el semi-inclusivo\nproceso puede expresarse como\nEL2Elh\ndđhDIS\nd3L2d3lh\nLŁElh\ndW فارسى\n, (1)\ndonde p = [p+, 0, 0] es el momento por nucleón en el núcleo, q = L2 − L1 =\n[−Q2/2q−, q−, 0] la transferencia de impulso transportada por el fotón virtual, s = (p + L1)2\nel centro de energía de masa leptón-nucleón y αEM es el acoplamiento electromagnético (EM)\nconstante. El tensor leptonico es dado por L = 1/2Tr (γ · L1 · L2) mientras que el semi-\nel tensor hadrónico inclusivo se define como,\n«AJμ(0)X, hX, hJ/(0)A24(q + p- pX- lh) (2)\ndonde\nX recorre todos los estados finales posibles y Jμ =\nq eqqq es el EM hadronic\nactual.\nAsumiendo la factorización colineal en el modelo de parten, la contribución\nla sección transversal semi-inclusive se puede factorizar en un producto de distribuciones de partón,\nfunciones de fragmentación de parten y la sección transversal de parten. Incluyendo todos los registros principales\ncorrecciones radiativas, la contribución de orden más bajo [O(α0s)] de un solo duro + q\nesparciendo, como se ilustra en la Fig. 1, se puede escribir como\ndW S..............................................................................................................................................................................................................................................................\ndxfAq (x, μ\n(x, p, q)Dq→h(zh, μ\n2) ; (3)\nH(0)-(x, p, q) =\nTr(γ · p · (q + xp))\n2p · q\n(x– xB), (4)\ndonde la fracción de impulso transportada por el hadrón se define como zh = l\n−, xB =\nQ2/2p+q− es la variable de escala de Bjorken, μ2I y μ\n2 son las escalas de factorización para\nlas distribuciones de quark iniciales fAq (x, μ\nI) en un núcleo y las funciones de fragmentación\nen vacío Dq→h(zh, μ\n2), respectivamente. Función de fragmentación de quarks renormalizada\nDq→h(zh, μ\n2) cumple las ecuaciones de evolución del QCD DGLAP [30]:\nDq→h(zh, μ\n lnμ2\nγq→qg(z)Dq→h(zh/z, μ\n+ γq→gq(z)Dg→h(zh/z, μ\n; (5)\nDg→h(zh, μ\n lnμ2\nγg→qq̄(z)Dq→h(zh/z, μ\n+ γg→gg(z)Dg→h(zh/z, μ\n, (6)\ndonde γa→bc(z) denota las funciones de división de los procesos radiativos correspondientes\n[31,32].\nEn DIS fuera de un objetivo nuclear, el quark de propagación experimentará scatterings adicionales\ncon otras partes del núcleo. Los rescatterings pueden inducir parten adicional\n(cuark o gluon) radiación y hacer que el quark principal pierda energía. Tal inducido\nLa radiación dará lugar efectivamente a términos adicionales en la ecuación de evolución de la DGLAP\ndando lugar a una modificación de las funciones de fragmentación en un medio. Estos son el poder...\nSuprimió las correcciones de la twist superior e involucran elementos de la matriz de la parten de la twist superior.\nSólo vamos a considerar aquellas contribuciones que implican correlaciones de dos partes de dos\ndiferentes nucleones dentro del núcleo. Son proporcionales al espesor del núcleo\n[18,23,33] y, por lo tanto, se ven reforzadas por un factor nuclear A1/3 en comparación con dos partes\ncorrelaciones en un nucleón. Al igual que en estudios anteriores [18,19], limitaremos nuestro estudio a\nprocesos de dispersión doble en un medio nuclear. Estos son torsión-cuatro procesos y dar\nlas principales contribuciones a los efectos nucleares. Las contribuciones de procesos de torsión superior o\nPor el momento no se tendrán en cuenta las contribuciones no mejoradas por el medio nuclear.\nAl considerar la doble dispersión con la mejora nuclear, un proceso muy importante\nes doble dispersión quark-gluon como se ilustra en la Fig. 2. Tales procesos dan a la dominante\ncontribución a la principal pérdida de energía quark y han sido estudiados en detalle en Refs.\n[18,19]. La modificación a la función de fragmentación quark vacío de quark-gluon\nla dispersión es,\nqg→qg\nq→h (zh)=\nα2sCA\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)+\nTAqg(x, xL)\nfAq (x)\n+ (z − 1)\nTTAqg(x, l\nfAq (x)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nTAqg(x, xL)\nfAq (x)\n, (7)\nFig. 2. Un diagrama típico para la dispersión doble quark-gluon con tres posibles cortes [central(C),\nizquierda (L) y derecha (R)].\ndonde la función + se define como\nF (z)\n(1 − z)+\nF (z)− F (1)\npara cualquier F (z) suficientemente suave a z = 1 y la torsión-cuatro quark-gluon correla-\nfunción de tion,\nTAqg(x, xL) =\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\nAq(0)\nF (y\n(y−1)q(y\n−)A(−y−2 )فارسى(y− − y−1 ), (9)\ntiene interferencia explícita incluida. El elemento matricial en la corrección virtual [el término\nse define de la siguiente manera:\nTTAqg(x, l\nT )\n2TAqg(x, xL)z=1 − (1 + z2)TAqg(x, xL)\n. (10)\nDesde TAqg(x, xL)/f\nq (x) es proporcional a la distribución del gluón e independiente del sabor\ndel quark principal, la supresión del espectro de hadrones causada por el quark-gluón o\nla dispersión antiquárk-gluón debe ser proporcional a la densidad de gluón del medio\ny es idéntico para la fragmentación de quark y antiquark. Fue mostrado en Ref. [24] que\ntal modificación de las funciones de fragmentación de Parton por doble dispersión quark-gluon\ny gluon bremsstrahlung en un medio nuclear describe muy bien el reciente HERMES\ndatos [25] sobre el DIS semi-inclusivo fuera de los objetivos nucleares.\nFig. 3. Diagrama para la orden principal de aniquilación quark-antiquark con tres posibles cortes [cen-\ntral(C), izquierda(L) y derecha(R)].\nFig. 4. Un diagrama típico para la corrección de orden siguiente a líder a la aniquilación quark-antiquark\ncon tres posibles cortes [central(C), izquierda(L) y derecha(R)].\nEn este artículo, vamos a considerar quark-quark (antiquark) doble dispersión como el\nproceso mostrado en la Fig. 3 y sus correcciones radiativas en orden O(α2s) en la Fig. 4. Los\ncontribuciones de quark-quark doble dispersión es proporcional a la densidad de quark en\nun nucleón, mientras que la contribución de doble dispersión quark-gluón es proporcional a\nla densidad de gluón en un nucleón; y la densidad de gluón es generalmente mayor que el quark\ndensidad en un nucleón a pequeña fracción de impulso. Sin embargo, como se ha señalado en trabajos anteriores\n[18], quark-quark mezcla de dispersión doble quark y funciones de fragmentación de gluón y\nPor lo tanto, da lugar a nuevos efectos nucleares. Los procesos de aniquilación como se muestra en las Figs. 3\ny 4 conducirá a diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark\nen un medio con densidad de bariones finitos (o quarks de valencia). Estas diferencias se producirán en los Estados miembros y en los Estados miembros de la Unión Europea.\nvuelta conducen a la dependencia del sabor de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones como\nobservado en el experimento HERMES [25,26].\nQuark-cuark doble dispersión, así como quark-gluon doble dispersión son twist-4 pro-\ncestos. Aplicaremos el mismo procedimiento de factorización generalizada para los procesos twist-4\nsegún lo desarrollado por LQS [23] para procesos semi-inclusivos en DIS. En general, el giro-cuatro\ncontribuciones se pueden expresar como la convolución de partes duras partónicas y dos partes\nlos elementos de la matriz de correlación. En este marco, las contribuciones de doble quark-quark\ndispersión en cualquier orden de αs, por ejemplo, el proceso de aniquilación quark-antiquark como se ilustra\nen Fig. 4, puede ser escrito en la forma siguiente,\ndWD\np+dy−\ndy−1 dy\n−, y−1, y\n2, p, q, zh)\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A. (11)\nAquí hemos descuidado el momento transverso de todos los quarks en la parte dura de la parte partónica.\nLas contribuciones dependientes del impulso transversal son giros más altos y son suprimidas por\nPor lo tanto, todos los quarks’ momentaa se asumen colineales, k2 = x2p y k3 = x3p.\n−, y−1, y\n2, p, q, zh ) es la transformación de Fourier de la parte dura partónica H (x, x 1, x 2, p, q, zh )\nen el espacio de impulso,\n−, y−1, y\n2, p, q, zh) =\neix1p\n+yix2p\n+i(x−x1−x2)p\n(x, x1, x2, p, q, zh)\ndxH(0)-(x, p, q)H\n(y−, y−1, y\n2, x, p, q, zh), (12)\ndonde, en aproximación colineal, la parte dura de la parte partónica H(0) (x, p, q) [Eq. 4)] en el\ngiro principal sin dispersión múltiple parten se puede factorizar fuera de la alta torsión\nparte dura HûD(x, x1, x2, p, q, zh). Las fracciones de impulso x, x1 y x2 se fijan por\nLas funciones de las condiciones generales de los Estados miembros y de los polos de los Estados miembros de que se trate.\nagators en la parte dura partónica. Los factores de fase en H\n−, y−1, y\n2, p, q, zh ) puede entonces\nse tendrá en cuenta, que a su vez se combinará con los campos partónicos en Eq. (11)\npara dar twist-cuatro elementos de matriz partónica o correlaciones de dos partes. El quark-quark\ncorrección de dispersión doble en Eq. (11) puede entonces ser factorizado como la convolución de\nfunciones de fragmentación, torsión-cuatro elementos de la matriz partónica y el scat duro partónico-\nsecciones transversales de tering. Para dispersar (contra la aniquilación) con quarks (antiquarks),\nuna suma sobre el sabor de los quarks secundarios (antiquarks) debe ser incluido\nen elementos de matriz de correlación de dos cuartetos y ambos canales t, u y sus interferencias\ndebe considerarse para la dispersión de quarks idénticos en las partes duras del partónico.\nDespués de la factorización, definimos la corrección twist-cuatro al quark de giro principal\nfunción de fragmentación en la misma forma [Eq. 3)],\ndWD\ndxfAq (x)H\n* (x, p, q)* Dq→h(zh). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................\n3 procesos de dispersión doble Quark-quark\nEn esta sección vamos a discutir el cálculo de la parte dura de quark-quark doble\ndispersando en detalle. El proceso de orden más bajo de quark-quark (antiquark) doble dispersión\nen los núcleos es aniquilación quark-antiquark (o conversión quark-gluon) como se muestra en la Fig. 3.\nLas partes duras de los tres diagramas de corte de esta figura son [18]:\n0,C(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dg→h(zh)\n(−y−2)•(y− − y−1), (14)\n0,L(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)\n(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (15)\n0,R(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)\n(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 16)\nEl tema principal de este documento es sobre las contribuciones de la siguiente orden de dirección correc-\nciones al proceso de orden más bajo anterior. Hay un total de 12 diagramas para correcciones reales\na nivel de un bucle, como se ilustra en la Fig. 5 a Fig. 16 en el Apéndice A-1, cada uno teniendo\na tres cortes diferentes. En esta sección, demostramos el cálculo de las piezas duras\nde la aniquilación quark-antiquark en la Fig. 4 en detalle como ejemplo. Vamos a listar la\nresultados completos de todos los diagramas del Apéndice A.\nUno puede escribir la parte dura del diagrama de corte central de la Fig. 4 (Fig. 5\nen el apéndice A-1), de conformidad con la norma convencional Feynman,\nC (y)\n−, y−1, y\n2, p, q, zh)=\nDg→h(\neix1p\n+yix2p\n×ei(x−x1−x2)p+y\n(2η)4\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2(l)\n2) 2(l)\ng) (1− z −\nγ · (q + x1p)\n(q + x1p)2\nγ · (q + x1p− l)\n(q + x1p− l)2 − i\nγ · (q + xp− l)\n(q + xp− l)2 + i.........................................................................................................................................................................................................................................................\nγ · (q + xp)\n(q + xp)2 + i..........................................................................................................................................................................................................................................................\n(l) (lg), (17)\ndonde es una función delta de Dirac con sólo la solución positiva en su variable funcional,\n(l) = −gÃ3 + (nαlс + nlα)/n · l es el tensor de polarización de un propagador de gluon en\nun medidor axial (n · A = 0) con n = [1, 0−,~0], l y lg = q + (x1 + x2)p − l son los\n4-momenta llevado por los dos gluones finales respectivamente. El gluón fragmentante lleva\na fracción, z = l−g /q\n−, del impulso longitudinal del quark inicial (el\ncomponente).\nPara simplificar el cálculo en el caso de un pequeño impulso transversal lT q−, p+, nosotros\npuede aplicar la aproximación colineal para completar el rastro del producto de las matrices γ,\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\nγ · lq\n. (18)\nDe acuerdo con la convención en Eqs. (11) y (12), las contribuciones de quark-quark doble\ndispersión en el medio nuclear al tensor semi-inclusivo hadrónico en DIS de un núcleo\npuede expresarse en la forma factorizada general:\ndWDqq̄,\ndxH(0)-(x, p, q)\np+dy−\ndy−1 dy\n(y−, y−1, y\n2, x, p, q, zh)\n× Aq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)q(y\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2 )A. (19)\nDespués de llevar a cabo la integración de impulso en x, x1, x2 y l\n± en Eq. (17) con la\nayuda de la integración del contorno y de las funciones de......................................................................................................................................................................................................................................................... \nel reescattering para el diagrama de corte central en la Fig. 4 (Fig. 5) como\n5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh) =\nα2sxB\nDg→h(zh/z)\n× 2,1 + z\nz(1− z)\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p), (20)\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) = e\ni(x+xL)p\n+y(−y−2)•(y− − y−1)\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (21)\ndonde las fracciones de impulso xL se definen como\n2p+q−z(1− z)\n. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................\nTenga en cuenta que la función I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) contiene sólo factores de fase. Uno puede\ncombinar estos factores de fase con los elementos de matriz de los campos de quark para definir un\nfunción especial de correlación de dos cuartetos\nA(5,C)\nqq̄ (x, xL) =\np+dy−\ndy−1 dy\n2 Aq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)q(y\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n2 )A\n× I5,C(y−, y−1, y−2, x, xL, p). 23)\nLa contribución de la aniquilación quark-antiquark en el diagrama de corte central en la Fig. 4\nal tensor hadrónico se puede entonces expresar como\ndWDqq̄,\ndxH(0)-(x, p, q)\nα2sxB\nDg→h(\n2 (1 + z2)\nz(1 − z)\nA(5,C)\nqq̄ (x, xL). (24)\nLas contribuciones de todos los procesos de dispersión doble quark-quark (antiquark) se pueden fundir\nen la forma factorizada anterior.\nLa estructura de los factores de fase en I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) es exactamente lo mismo que para\ngluon bremsstrahlung inducido por la dispersión de quark-gluon, como se ha estudiado en Ref. [18,19]. Lo siento.\nse asemeja a la sección transversal de dispersión del dipolo y representa las contribuciones de dos\ndiferentes procesos y sus interferencias. Contiene esencialmente cuatro términos,\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×[1 + e−ixLp+(yy\n) − e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n)]. (25)\nEl primer término corresponde a los llamados procesos hard-soft donde la emisión de gluon\nes inducido por la dispersión dura entre el fotón virtual y el quark inicial\ncon el impulso (x + xL)p. El quark entonces se convierte en capa antes de aniquilar con\nun suave antiquark del núcleo que lleva cero impulso y se convierte en un real\nGluon en el estado final. El segundo término corresponde a un proceso en el que el\nquark con el impulso xp es on-shell después de la primera dispersión dura -cuark. Entonces.\naniquila con otro antiquark y produce dos gluones finales en el estado final. In\neste proceso, el antiquark lleva un momento finito (duro) xLp. Por lo tanto, uno a menudo se refiere\na este proceso como dispersión doble-duro en comparación con el primer proceso en el que el\nel antiquark lleva un impulso cero. Deja a un lado el cambio de sabores en la inicial y final\nlos estados, la dispersión doble-duro corresponde esencialmente a la dispersión elástica de dos partes\ncon impulso finito y transferencia de energía. Esto es en contraste con el scattering duro-blando\nque es esencialmente la radiación del estado final de la dispersión de -cuark y el total\nla energía y el impulso de los dos gluones del estado final vienen todos del quark inicial. Los\nlos elementos de matriz correspondientes de las funciones de correlación de dos cuartetos de estos dos primeros\nlos términos se llaman elementos ‘diagonales’.\nLos términos tercero y cuarto con signos negativos en I5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) son interfer-\nentre procesos duros y procesos duros dobles. Los elementos de matriz correspondientes\nse denominan «off-diagonales». La cancelación entre las dos diagonales y off-diagonal\nlos términos esencialmente da lugar a la interferencia destructiva que es muy similar a la\nLandau-Pomeranchuk-Migdal (LPM) interferencia en gluon bremsstrahlung inducido por\nDoble dispersión quark-gluon [18,19]. Uno puede definir de manera similar el tiempo de formación de la\nemisión de partón (cuarto o gluón) como\n. 26)\nEn el límite de emisión colineal (xL → 0) o cuando el tiempo de formación de la parten\nla emisión, f, es mucho más grande que el tamaño nuclear, el elemento de matriz eficaz desaparece\nporque\nI5,C(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p)xL=0 → 0, (27)\ncuando los procesos duros y duros dobles tienen interferencia destructiva completa.\nHay que tener en cuenta que en el diagrama de corte central de la Fig. 4, las partes del estado final son dos\ngluones. Por lo tanto, en Eq. (20) la función de fragmentación del gluón en el vacío Dg→h(zh/z)\nEntra. Si el otro gluon (cerca de la interacción -cuark) fragmentos, la contribución\nal tensor semi-inclusivo hadrónico es similar, excepto que el\n“función de división” debe sustituirse por “función de división”\n1 + z2\nz(1 − z)\n→ 1 + (1− z)\nz(1 − z)\n. (28)\nComo veremos en el Apéndice A-1, los dos gluones en la aniquilación quark-antiquark\nlos procesos (diagramas de corte central) son simétricos cuando las contribuciones de todas las\nLos procesos de nihilación y sus interferencias se resumen. Por lo tanto, uno puede simplemente mul-\nlos resultados finales por un factor de 2 para tener en cuenta la hadronización de la segunda\ngluon del estado final.\nAdemás del diagrama de corte central, también se debería tener en cuenta la\ndiagramas cortados en la Fig. 4, que representan la interferencia entre la emisión de gluón de una sola\ny triple dispersión. Las partes duras son principalmente las mismas que para el corte central.\ndiagrama. Las únicas diferencias son los factores de fase y las funciones de fragmentación\nya que el fragmento parten puede ser el quark o gluon del estado final. Estas partes duras pueden\nse calculan siguiendo un procedimiento similar y se obtiene,\n5,L(R)(y)\n−, y−1, y\n2, x, p, q, zh) =\nα2sxB\nDq→h(\n2 (1 + z2)\nz(1 − z)\n× I5,L(R)(y−, y−1, y−2, x, xL, p), (29)\nI5,L(y)\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (30)\nI5,R(y\n−, y−1, y\n2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 31)\nEn los diagramas asimétricos de corte, las contribuciones anteriores provienen de la fragmentación\ndel quark del estado final. Por lo tanto, la función de fragmentación de quark Dq→h(zh/z) entra en esta\ncontribución. Para la fragmentación del gluón en el hadron observado en este corte asimétrico\ndiagramas, la contribución puede obtenerse simplemente sustituyendo la fragmentación quark\nfunción por la función de fragmentación de gluón Dg→h(zh/z) y sustituir z por 1 − z.\nResumiendo las contribuciones de tres diagramas de corte diferentes de la Fig. 4, podemos observar\notros ejemplos de mezcla (o conversión) de funciones de fragmentación de quark y gluon.\nEsta mezcla inducida por el medio fue observada por primera vez por Wang y Guo [18] y es una mezcla única.\ncaracterística de quark-quark (antiquark) dispersión doble entre todos los múltiples scattering parten\nprocesos.\nCon el mismo procedimiento podemos calcular las contribuciones de todos los otros diagramas de corte\nde quark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s), que se enumeran en Ap-\npendix A-1. Hay tres tipos de procesos: dos procesos de aniquilación, qq̄ → gg\n(Diágramas de corte central en Figs. 5, 6, 7, 8 y 9), qq̄ → qiq̄i (diagrama de corte central en la Fig. 10)\ny la dispersión de quark-quark (antiquark), qqi(q̄i) → qqi(q̄i) ( diagrama de corte central en la Fig. 11).\nTambién hay que considerar la interferencia de la amplitud del canal s y t para la aniquilación\nen un par de quark idéntico, qq̄ → qq̄ (diagramas de corte central en Figs. 12 y 13) y la\ninterferencia entre los canales t y u de cuark idéntico scattering qq → qq (corte central)\ndiagrama en la Fig. 14).\nLas contribuciones de los diagramas de corte izquierdo y derecho corresponden a la interferencia entre el\nAmplitud de la radiación gluon de dispersión de un solo -cuark y dispersión de quark triple.\nLas amplitudes de la radiación gluon a través de la dispersión de quark triple esencialmente provienen de ra-\nCorrecciones diativas a los diagramas de corte izquierdo y derecho del quark-antiquark de orden más bajo\naniquilación en la Fig. 3 (como se muestra en los diagramas de corte izquierdo y derecho en las Figs. 5, 6, 8, 9, 12,\n13, 15 y 16). Otros dos triples quark dispersión con la radiación gluon, se muestra como el\nDiagramas de corte izquierdo y derecho en Figs. 11 y 14, corresponden al caso en que uno de los\nlos quarks del estado final, después de la dispersión de quark-quark, aniquilan con otro antiquark y\nse convierte en un gluon de estado final.\n4 Funciones de fragmentación modificadas\nCon el fin de simplificar las contribuciones de quark-quark (antiquark) dispersión (annhi-\n), primero se pueden organizar los resultados de las partes duras en términos de contribuciones de\ndiagramas de corte central, izquierdo o derecho, que están asociados por integrales de contorno con específicos\nlos productos de las funciones de la letra Β,\n= HDC (−y−2 )•(y− − y−1 )•HDL (y−1 − y−2 )•(y− − y−1 )\n- HDR (−y−2 )-(y−2 − y−1 ).................................................................................................................................................................................................................................................... (32)\nEstas funciones proporcionan un orden espacio-tiempo de la correlación de parten y restringirán\nel rango de integración a lo largo del cono-luz. Para las contribuciones de la central, izquierda y derecha-\ndiagramas de corte que tienen las mismas partes duras, H\nC = H\nL = H\nR, lo harán\ntienen una combinación común de funciones de ♥ que produce una integral ordenada por trayectoria,\ndy−2 =−\ndy−1 dy\n(- y - 2 ) • (- y - 1 ) • ( - y - 2 ) • ( - 2 − y - 1 ) • ( - 2 − y - 1 )\n(y− − y−1 •(y−1 − y−2 )\nque está limitado sólo por la extensión espacial y- de la primera parteon a lo largo del cono de luz\ncoord. Para un partón de alta energía que transporta fracción de impulso xp+, y− 1/xp+\ndebe ser muy pequeño. Las contribuciones que son proporcionales a la ruta arriba ordenada\nintegral se denominan contribuciones de contacto (o interacciones de contacto).\nDel mismo modo, y-1 − y−2 es la propagación espacial de la segunda parte y sólo puede ser limitada\npor el tamaño espacial de su nucleón huésped, incluso para un pequeño valor de fracción de impulso. Los\nposición espacial de su nucleón huésped, y−1 + y\n2, sin embargo, puede estar en cualquier lugar dentro de la nu-\ncleus. Por lo tanto, cualquier contribución de la dispersión de doble parten que tienen sin restricciones\nintegración sobre y-1 y y\n2 debe ser proporcional al tamaño nuclear del objetivo A\ny por lo tanto son potenciados nuclearmente. En este documento, sólo vamos a mantener la energía nuclear mejorada\ncontribuciones y descuidar las contribuciones de contacto. Esto simplificará en gran medida la\nresultados para la dispersión de doble parten.\n4.1 qq̄ → g aniquilación\nPara el orden más bajo de aniquilación quark-antiquark en Eqs. (14)-(16), las partes duras\nde los tres diagramas de corte son casi los mismos, excepto por la fragmentación del partón\nfunciones. El diagrama de corte central es proporcional a la función de fragmentación del gluón\nmientras que los diagramas de corte izquierdo y derecho son proporcionales a las funciones de fragmentación de quark.\nReorganizando las contribuciones de los tres diagramas de corte y descuidando el contacto\ntérmino que es proporcional a la integral ordenada como en Eq. 33), la contribución total\npuede ser escrito como\ndWD(0)\nqq̄ (x, 0)\nH(0)-(x, p, q)\n× [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]. (34)\nSegún nuestra definición en Eq. (13) de la corrección twist-cuatro al fragmen quark-\nfunciones de la estación, la modificación de la función de fragmentación quark desde la más baja\norden de aniquilación quark-antiquark es entonces,\n(qqg)\nq→h (zh) =\n[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]\nqq̄ (x, 0)\nfAq (x)\n. (35)\nAquí la efectiva correlación quark-antiquark T\nqq̄ (x, 0) se define como,\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n• (−y−2 ) •(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A, (36)\ncon el antiquark q̄i cargando fracción de impulso xL. Esta función de correlación de dos partes...\nsión se asocia siempre con procesos de redispersión de doble duro. De igual manera, definimos\notros tres elementos de matriz de correlación quark-antiquark\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y(y− − y−1)\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (37)\nA(I−L)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+yixLp\n+(yy)\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A, (38)\nA(I−R)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+yixLp\n2 (y− − y−1 )\n× (−y−2 )â € Aq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (39)\nque se asocian con rescattering suave duro y la interferencia entre doble duro\ny rescattering suave y duro. En la primera parten correlación T\nqq̄i (x, xL), el antiquark q̄i\nlleva fracción de impulso xL mientras que el quark inicial tiene la fracción de impulso x. Los\ncorrelación de dos partes T\nqq̄i (x, xL) corresponde al caso cuando el quark líder tiene\nx+ xL pero el antiquark lleva cero impulso. Los dos elementos de la matriz de interferencia\nson aproximadamente el mismo para el pequeño valor de xL y se denotará como T\nqq̄i (x, xL).\n4.2 qq̄ → aniquilación qiq̄i\nContribuciones de la orden siguiente a la primera aniquilación quark-antiquark o quark-\nla dispersión de quark (antiquark) son más complicados ya que involucran a muchos reales y vir-\nCorrecciones de tual. La corrección real más simple viene de qq̄ → aniquilación qiq̄i (qi 6= q)\n[Fig. 10 y Eqs. (A-25) y (A-26)] que sólo tiene un diagrama de corte central,\n(qqqiq̄i)\nq→h (zh) =\nα2sxB\n[z2 + (1− z)2]\nqi 6=q\n[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]\nqq̄ (x, xL)\nfAq (x)\n. (40)\nEste tipo de aniquilación qq̄ es realmente un proceso duro y por lo tanto requiere la segunda y-\ntiquark para llevar fracción de impulso inicial finita xL. Además, no hay otros\nprocesos de interferencia.\n4.3 qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión\nContribuciones de quark-quark no idéntico dispersión qq̄i → qq̄i (qi 6= q) son un poco\ncomplicados porque involucran los tres diagramas de corte (central, izquierdo y derecho) [Eqs. (A-\n28)-(A-32)]. Uno puede tener en cuenta las funciones de las partes duras de acuerdo con Eq. (32)\ny reorganizar los factores de fase en cada diagrama de corte,\nI11,C = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n+(yy)\nI11,L = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n2 ] ;\nI11,R = e\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n= ei(x+xL)p\n+y−[1− e−ixLp+y\n2 − e−ixLp+(yy\n) + e-ixLp\n+(yy)\n)], (41)\nde tal manera que los tres primeros términos en cada amplitud son los mismos. Estas tres fases comunes\nfactores darán lugar a una contribución de contacto para todas las partes duras similares de los tres\nlos diagramas cortados, que vamos a descuidar ya que no son potenciados nuclearmente. El resto\nparte tendrá los siguientes factores de fase,\nI11=e\ni(x+xL)p\n+y−[(−y−2 )•(y− − y−1 )e−ixLp\n+(yy)\n(y−1 − y−2 )(y− − y−1 )e−ixLp\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n+(yy)\n)]. (42)\nTenga en cuenta que los factores de fase de los dos últimos términos en la ecuación anterior dan identi-\ncontribución a los elementos de la matriz cuando intergated sobre y-1 y y\n2 como dif-\nsólo por la sustitución y−2 ↔ y−1 − y−. Por lo tanto, se puede combinar con\n*(−y−2 )*(y− − y−1 )e−ixLp\n+(yy)\n) para formar otra contribución de contacto (path-ordened)\nque se puede descuidar. El factor final de la fase efectiva es entonces\nI11 = e\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\n2 ). (43)\nUtilizando el factor de fase eficaz anterior, se puede obtener la modificación efectiva a la\nfunción de fragmentación quark debido a la dispersión quark-antiquark, qq̄i → qq̄i,\n(qq̄i→qq̄i)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nq̄i 6=q̄\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dq̄i→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nA(HS)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\nα2sxB\nq̄i 6=q̄\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dq̄i→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dq̄i→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x)\n, (44)\ndonde se definen tres tipos de correlaciones de dos partes:\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nqq̄i (x, xL)− T\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (45)\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nqq̄i (x, xL)− T\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (46)\nA(HS)\nqq̄i (x, xL)\nA(HI)\nqq̄i (x, xL) + T\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n× (1− e−ixLp+(yy)\n))•(−y−2 )•(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A. (47)\nDe manera similar, se puede obtener la modificación de la fragmentación de quark a partir de no idénticos\nscattering quark-quark reemplazando q̄i → qi en Eq. (44),\n(qqi→qqi)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nqi 6=q\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+ Dqi→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nTA(HI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n+ [Dqi→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nTA(SI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n. (48)\nLas correlaciones de dos cuartetos, TA(HI)qqi (x, xL) y T\nA(SI)\n(x, xL) puede obtenerse en T\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\ny T\nA(SI)\nqq̄i (x, xL), respectivamente, al hacer los reemplazos qi(y2) → qi(y2) y qi(y1) →\n(y1) en Eqs. (45) y (46),\nTA(HI)qqi (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n)1− eixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (49)\nTA(SI)qqi (x, xL) =\np+dy−\ndy−1 dy\ni(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (50)\ny TA(HS)qqi (x, xL) = T\nA(HI)\n(x, xL) + T\nA(SI)\n(x, xL).\nTenga en cuenta que la contribución de la fragmentación de quark qi o antiquark q̄i sólo proviene de\nel diagrama de corte central. Esta contribución es positiva y es proporcional a T\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)+\nA(SI)\nqq̄i (x, xL), que contiene los cuatro términos: hard-soft, doble-hard y ambas interferencias\ntérminos. La fragmentación del gluón proviene sólo de las interferencias de un triple (izquierda y\ndiagramas de corte derecho). Por lo tanto, su contribución es negativa y anula parcialmente el\nla inducción de qi(q̄i) del rescattering duro-blando. La cancelación no está completa desde\nlas funciones de fragmentación de gluón y quark son diferentes. La estructura de este hard-soft\nrescattering (quark plus gluon) es muy similar al resultado de orden más bajo de qq̄ → g en\nEq. (35). Contribuye a la modificación de la función de fragmentación efectiva, pero\nno contribuye a la pérdida de energía. La pérdida de energía del quark líder viene sólo\nde rescattering doble-duro, ya que la principal fragmentación quark viene tanto de\nlas interferencias de corte central y de triple único, y los términos de interferencia de triple único pueden-\ncel el efecto de la dispersión suave duro para la fragmentación principal. Su contribución neta es la siguiente:\npor lo tanto proporcional a T\nA(HI)\nqq̄i(q̄i)\n. Puesto que el redispersión de doble duro equivale a elástico\nqqi(q̄i) dispersión, la pérdida de energía efectiva es esencialmente la pérdida de energía elástica como se muestra en\nRef. [34]. Hay, sin embargo, supresión de LPM debido a la cancelación parcial por un solo triple\ncontribuciones de interferencia. Durante un largo período de formación, 1/xLp\n+ RA, la cancelación es\nCompletado. Por lo tanto, la interferencia LPM impone efectivamente el límite inferior xL ≥ 1/p+RA\nsobre el impulso fraccional llevado por el segundo quark (antiquark).\n4.4 qq → dispersión qq\nPara la dispersión de quark-quark idéntico, qq → qq, uno tiene que incluir los canales t y u,\nsus interferencias, y las correspondientes contribuciones de interferencia de un solo trilo. Usando el mismo\ntécnica para identificar y descuidar las contribuciones de contacto, se puede encontrar la correspondencia\nmodificación de la función de fragmentación de quark a partir de Eqs. (48) y (A45)-(A49),\n(qq→qq)\nq→h (zh) =\nα2sxB\nTA(HS)qq (x, xL)\nfAq (x)\n× [Dq→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nTA(HI)qq (x, xL)\nfAq (x)\nα2sxB\nTA(SI)qq (x, xL)\nfAq (x)\nP (s)qq→qq(z)[Dq→h(zh/z)\n−Dg→h(zh/z)] +Dq→h(zh/z)Pqq→qq(z)\nTA(HI)qq (x, xL)\nfAq (x)\n, (51)\ndonde las funciones de división efectivas se definen como\nP (s)qq→qq(z) =\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (52)\nPqq→qq(z) =\n1 + (1− z)2\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1− z)\n. (53)\n4.5 qq̄ → qq̄, aniquilación gg\nLos cuatro procesos más complicados que involucran a cuatro operadores de campo de quark son quark-\nAniquilación antiquark en dos gluones o un par de quark-antiquark idéntico. Tenemos que hacerlo.\nconsiderarlos juntos ya que tienen procesos de interferencia de un solo trilo similares y\ninvolucran el mismo tipo de elementos de matriz de correlación quark-antiquark, T\nqq̄ (x, xL),\n(i = HI, SI, HS).\nPara el propósito de la notación, primero tenemos en cuenta el factor común (CF/Nc)α\nsxB/Q\n2/fAq (x) y\nla integración sobre lT y z y definir\n(qqgg,qq̄)\nq→h (zh)\nα2sxB\nQ2fAq (x)\n(qqgg,qq̄)\nq→h (zh, z, x, xL). (54)\nDespués de reorganizar los factores de fase e identificar (combinando central, izquierda y derecha)\nlos diagramas de corte) y descuidando las contribuciones de contacto que podemos enumerar en el siguiente giro-\ncuatro correcciones a la fragmentación quark de las partes duras de cada corte\ndiagrama (véase el apéndice A):\nFig. 5 (t-canal qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(5) =Dg→h(zh/z)2CF\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n1 + z2\nz(1− z)\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)] 2CF\n1 + z2\nz(1− z)\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (55)\nFig. 6 (interferencia entre u y t-canal de qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(6) =Dg→h(zh/z)\n−4(CF − CA/2)\nz(1 − z)\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)]\n−2(CF − CA/2)\nz(1 − z)\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (56)\nFig. 7 (s-canal de qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(7) = Dg→h(zh/z)4CA\n(1− z + z2)2\nz(1 − z)\nqq̄ (x, xL) ; (57)\nHigos. 8 y 9 (interferencia de s y t-canal qq̄ → gg),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(8+9) =Dg→h(zh/z)(−2CA)\n1 + z3\nz(1− z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n×TA(HI)qq̄ (x, xL) + CA\nDq→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T\nqq̄ (x, xL)] ; (58)\nFig. 10 (s-canal de qq̄ → qq̄),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(10) = [Dq→h(zh/z) +Dqh(zh/z)] [z\n2 + (1− z)2]\n×TA(H)qq̄ (x, xL), (59)\nFig. 11 (t-canal de qq̄ → qq̄), similar a Eq. (44),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(11) =Dq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1 − z)2\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+Dqh(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(HS)\nqq̄ (x, xL)\n−Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄ (x, xL) ; (60)\nHigos. 12 y 13 (interferencia entre s y t-canal qq̄ → qq̄),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(12+13) =−4(CF − CA/2)\nDq→h(zh/z)\n1 − z\n+ Dqh(zh/z)\n(1- z)2\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)\n+2(CF − CA/2)\nDq→h(zh/z)\n+Dg→h(zh/z)\n(1- z)2\n× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T\nqq̄ (x, xL)] ; (61)\nHigos. 15 y 16 (dos diagramas adicionales de interferencia de un triple),\n(qqgg,qq̄)\nq→h(15+16) =−2CF\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n+ Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(I2)\nqq̄ (x, xL). (62)\nLa mayoría de los procesos implican tanto TA(HI)(x, xL) para la redispersión de doble duro con interferencia\ny TA(SI)(x, xL) para la redispersión suave con interferencia. Todos los canales S (Figs. 7\ny 10) los procesos implican una dispersión de doble dureza solamente. Por lo tanto, dependen sólo de la\nqq̄ (x, xL) = T\nA(HI)\nqq̄ (x, xL) + T\nqq̄ (x, xL). Para interferencias entre uno y tres\ndispersión (diagramas cortados a la izquierda y a la derecha en las Figs. 8, 9, 12 13, 15 y 16), donde un\nrescattering con el segundo quark (antiquark) sigue un suave rescattering con el tercero\nanticuarco (cuarco), solo elementos de la matriz de interferencia, T\nqq̄ (x, xL) y T\nA(I2)\nqq̄ (x, xL), son\nEnvuelto. Aquí,\nA(I2)\nqq̄ (x, xL)\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 )\np+dy−\ndy−1 dy\nixp+yixLp\n+(yy)\nAq(0)\n−)q(y\n2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (63)\nes un nuevo tipo de elementos de la matriz de interferencia que sólo está asociado con este tipo de\nprocesos de interferencia de triple único. Uno puede categorizar las contribuciones anteriores de acuerdo a\na los elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos asociados y reescriba el contribu-\nciones como,\nqqqq̄,gg\nq→h(HI) = T\nA(HI)\nqq̄ (x, xL)[Dg→h(zh/z)Pqqgg(z) +Dq→h(zh/z)Pqqq̄(z)\n+Dqh(zh/z)Pqqqq̄(1− z)] (64)\nqqqq̄,gg\nq→h(SI) = T\nA(SI)\nqq̄ (x, xL)\nz(1 − z)\n+ 2CF\n1 + (1− z)2\n×Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)\nz(1− z)\n+ 2CF\n+ Dqh(zh/z)\n1 + (1− z)2\nA(SI)\nqq̄ (x, xL)\n[Dq→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]\nP (s)qq→qq(z)\n− 2CF\n1 + z2\nz(1− z)\n+ [Dqh(zh/z)−Dq→h(zh/z)]\n1 + (1− z)2\nqqqq̄,gg\nq→h(I) = T\nqq̄ (x, xL)\n4(1− z + z2)2 − 1\nz(1 − z)\n− 2CF\n(1- z)2\n×Dg→h(zh/z) + [z2 + (1− z)2]Dqh(zh/z)]\n+ Dq→h(zh/z)\nz2 + (1− z)2 −\nz(1 − z)\n− 2CF\nA(I2)\nqq̄ (x, xL)\nDq→h(zh/z)\nz(1 − z)\n− 2CF\n+ Dg→h(zh/z)\nz(1 − z)\n− 2CF\n, (66)\ndonde P (s)qq→qq(z) se indica en Eq. (52) y las funciones de división efectivas para qq̄ → gg y\nqq̄ → qq̄ se definen como\nPqqgg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2] ; (67)\nPqqqq̄(z) = z\n2 + (1− z)2 +\n1 + z2\n(1- z)2\n, (68)\nque vienen de los elementos de la matriz completa de qq̄ → gg y qq̄ → qq̄ dispersión (ver\nApéndice A-3). Una vez más, el rescattering doble-duro corresponde a la dispersión elástica de\nel quark líder con otro antiquark en el medio y la interferencia contribu-\nciones. La estructura de la contribución hard-soft rescattering que identificamos arriba muestra\nel mismo tipo de mezcla gluon-cuark (o quark-antiquark) en las funciones de fragmentación\ny no contribuye a la pérdida de energía del quark líder. Las contribuciones únicas\nen el qq̄ → qq̄, los procesos gg son las contribuciones de sólo interferencia. Vienen principalmente\nde procesos de interferencia de un solo trilo en la dispersión de múltiples partones.\n5 Modificación debida a la mezcla quark-gluon\nHasta ahora hemos lanzado la modificación de la función de fragmentación quark debido a quark-\nQuark (antiquark) dispersión (o aniquilación) en una forma similar a la evolución de la DGLAP\necuación en vacío. De hecho, también se puede ver la evolución de las funciones de fragmentación en\nvacío como modificación debido a la radiación gluon del estado final. En ambos casos, la modificación\nen zh grande es determinado principalmente por el comportamiento singular de las funciones de división para\nz → 1, mientras que las modificaciones en el centro comercial zh está dominado por el comportamiento singular de la\nfunción de división para z → 0.\nCentrémonos primero en la modificación en general zh. Un examen cuidadoso de la contribución\nciones de todos los procesos posibles muestran que la modificación dominante a la eficacia\nLa función de fragmentación de quark proviene del canal t de doble capa dura de quark-quark scat-\nlos procesos de tering,\n* Dq→h(zh)*\nα2sxB\nDq→h(\nTA(HI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n× 1 + z\n(1 − z)2+\n(1 - z)qi(l2T)\nDq→h(\nA(HI)\n(x, xL)\nfAq (x)\n×z(1 + z\n(1 − z)+\n+ 1- z)qi(l2T )\n, (69)\ndonde la suma es sobre todos los posibles sabores quark y antiquark incluyendo qi = q, q̄\nI y I (l)\nT ) representa la contribución de las correcciones virtuales. Hemos expresado la\nmodificación en una forma que es proporcional a los elementos de la matriz xLT\nA(HI)\n(x, xL)/f\nq (x)\nA1/3xLf\n(xL) en comparación con la modificación de la dispersión de quark-gluon\nelemento matricial correspondiente [Eq. 9)] es TA(HI)qg (x, xL)/f\nq (x) • A1/3xLGN(xL). Aquí,\nfNqi (x) y G\nN(x) son distribuciones de quark y gluon, respectivamente, en un nucleón. Esto\nla contribución principal a la modificación de la dispersión quark-quark es muy similar en\nforma a la de la dispersión quark-gluon [véase Eq. 7)]. Sin embargo, es más pequeño debido a la\ndiferentes factores de color CF/CA = 4/9 y las diferentes distribuciones de quark y gluon,\nfNqi (xL) y G\nN(xL) en un nucleón. Debido a la intereferencia LPM, dispersión de ángulo pequeño\ncon un largo tiempo de formación f = 1/xLp\n+ se suprime, dando lugar a un valor mínimo de\nxL ≥ xA = 1/mNRA = 0,043 para un objetivo Kr. Para este valor de xL, la relación\nfNqi (xL, Q\nGN(xL, Q2)\n≥ 1,40/1,85 + 0,75, (70)\na Q2 = 2 GeV2 según la parametrización CTEG4HJ [35]. Por lo tanto, uno tiene que\nincluir el efecto de dispersión quark-quark para un cálculo completo del quark total\npérdida de energía y modificación media de las funciones de fragmentación de quark.\nEn un plasma de quark-gluón débilmente acoplado y totalmente equilibrado, quark a gluón número\nLa relación de densidad es de lq/lg = nf (3/2)Nc/(N)\nc - 1) = 9nf/16. Una energía asintótica\nchorro en un medio infinitamente grande realmente sondea el pequeño x = q2T /2ET régimen, donde\nLos pares quark-antiquark y gluones son predominantemente generados por gluones térmicos a través de\nEvolución del PCQD. En este escenario ideal se espera Nq/Ng â € 1/4CA = 1/12 y por lo tanto\npuede descuidar la dispersión de quark-quark. La modificación de la función de fragmentación de quark será\nser dominado por quark-gluon rescattering. Sin embargo, para la energía de chorro moderada E 20 GeV\ny un medio finito L + 5 fm, las distribuciones de parten en un quark-gluon plamsa están cerca de\nla distribución térmica. En particular, si la producción de quark y gluon está dominada por\nproducción de pares no-perturbativos de campos de color fuertes en la etapa inicial de iones pesados\ncolisiones [36], la relación entre quark y gluon es comparable al valor de equilibrio. En este\ncaso, debemos tener en cuenta la modificación media de la fragmentación quark\nfunciones por dispersión quark-quark.\nUn proceso duro doble importante en la dispersión quark-quark (antiquark) es qq̄ → gg\n[Eq. (64)]. En este proceso, la aniquilación convierte el quark inicial en dos gluones finales\nque posteriormente se fragmentan en hadrones. Esto llevará a la supresión de los líderes\nhadrones no sólo debido a la pérdida de energía (energía transportada por el otro gluón), pero\ntambién debido al comportamiento más suave de las funciones de fragmentación de gluón en zh grande. A pesar de que\nel comportamiento principal de la función de división efectiva [Eq. (67)]\nPqqgg(z) 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\nno es tan dominante como el de la dispersión quark quark-quark de canal en t, es realzado por un color\nfactor 2CF = 8/3. Se espera que esto contribuya de manera significativa al medio ambiente.\nmodificación en zh intermedio.\nEn las colisiones de iones pesados de alta energía, las proporciones de las tasas iniciales de producción de valencia\nLos quarks, gluones y antiquarks varían con el impulso transversal pT. Producción de gluon\nla velocidad domina en pT bajo mientras que la fracción de chorros de quark de valencia aumenta en pT grande.\nLos quarks tienen más probabilidades de fragmentarse en protones que los antiprotones, mientras que los gluones se fragmentan\nen protones y antiprotones con iguales probabilidades. Por lo tanto, la relación de pT grande\nel rendimiento del antiprotón y del protón en las colisiones de p + p es menor que 1 y disminuye con pT\na medida que aumenta la fracción de los chorros de valencia quark. Dado que se espera que los gluones pierdan más\nenergía que los chorros de quark, uno ingenuamente esperaría ver la relación antiprotón a protón\np̄/p se vuelve más pequeño debido a la extinción del chorro. Sin embargo, si la conversión quark-gluon debido\na qq̄ → gg se vuelve importante, uno esperaría que las fracciones de quark y gluon\nlos chorros se modifican hacia sus valores de equilibrio. La relación final p̄/p podría ser mayor que\no comparable a la de las colisiones p+ p. Tal escenario de conversión quark-gluon fue\nconsiderado recientemente en Ref. [37] a través de una ecuación de tasa maestra.\nLa mezcla entre los chorros de quark y gluon también ocurre en el orden más bajo de quark-\naniquilación anticuarto como se muestra en la Fig. 3. En NLO, todos los quark-quark blandos (antiquark)\nLos procesos de dispersión tienen este tipo de mezcla entre la fragmentación de quark y gluon\nfunciones. Sus contribuciones generalmente tienen la forma,\nα2sxB\nDqi→h(\n)−Dg→h(\n×Pqqi→qqi(z)\nTA(SI)qqi (x, xL)\nfAq (x)\n, (72)\ndonde de nuevo la suma sobre el sabor quark incluye qi = q, q̄. Esta mezcla hace\nno se producen en la probabilidad, sino más bien en el nivel de amplitud, ya que implica en\nterferencias entre dispersión simple y triple. Por lo tanto, esta contribución depende de\nla diferencia entre las funciones de fragmentación de gluón y quark [Eq. (35)] y puede ser\npositivo o negativo en diferentes regiones de zh. Sin embargo, contribuyen a la mod-\nificación de la función eficaz de fragmentación de quark y la dependencia del sabor de la\nLos espectros finales de Hadron.\n6 La dependencia del sabor de la fragmentación media modificada\nResumiendo todas las contribuciones a quark-quark (antiquark) scattering doble como\ntion 4, podemos expresar la corrección total twist-cuatro hasta O(α2s) a los fragmen quark-\nfunción de tentaciùn como\nDq→h(zh)=\n2 [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]\nqq̄ (x, 0)\nfAq (x)\na,b,i\nDb→h(zh/z)P\nqa→b(z)\nTA(i)qa (x, xL)\nfAq (x)\n, (73)\ndonde la sumación es sobre todos los procesos posibles q+a→ b+X y todas las matrices diferentes\nelementos TA(i)qa (x, xL) (i = HI, SI, I, I2), que serán cuatro elementos básicos de la matriz que vamos a\nuso. Las funciones de división efectivas P\nqa→b(z) se enumeran en el apéndice A-2. Uno también debería\nincluir correcciones virtuales que se pueden construir a partir de las correcciones reales a través de\nLimitaciones de unitariedad [18].\nDel mismo modo, también podemos escribir las cuatro correcciones a la fragmentación anticuarto\nen un medio nuclear,\nDqh(zh)=\n2 [Dg→h(zh)−Dqh(zh)]\nq̄q (x, 0)\nfAq̄ (x)\na,b,i\nDb→h(zh/z)P\nq̄a→b(z)\nq̄a (x, xL)\nfAq̄ (x)\n, (74)\ndonde los elementos de la matriz T\nq̄a (x, xL) y las funciones de división efectivas P\nq̄a→b(z) can\nse obtendrán de los correspondientes para quarks. Dado un modelo para el dos-cuarco\nfunciones de correlación, uno será capaz de utilizar las expresiones anteriores para evaluar numéricamente\ntwist-cuatro correcciones a las funciones de fragmentación de quark (antiquark). En este artículo,\nvamos a dar una estimación cualitativa de la dependencia del sabor de la corrección en\nDIS de un gran núcleo.\nA los efectos de una estimación cualitativa, se puede suponer que todos los twist-cuatro dos-cuarto\nfunciones de correlación se pueden factorizar, como se ha hecho en Refs. [18,19,23,33],\np+dy−\ndy−1 dy\n+yix2p\n• (−y−2 ) •(y− − y−1 )\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A\nfAq (x1) f\n(x2), (75)\np+dy−\ndy−1 dy\n+yix2p\n) ±ixLp\n2 (−y−2 )(y− − y−1 )\nAq(0)\n* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 )A\nfAq (x1) f\n(x2)e\nA, (76)\ndonde xA = 1/mNRA, mN es la masa de nucleón, RA el tamaño del núcleo, f\n(x2) es la\ndistribución antiquark en un nucleón y C se supone que es una constante, parametrizante\nla fuerza de las correlaciones de dos partes dentro de un núcleo. La integración sobre la posición\ndel anticuarco (y−1 +y\n2 )/2 en el twist-cuatro elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos da\naumento del factor de mejora nuclear 1/xA = mNRA = 0,21A\nDebemos tener en cuenta que establecemos kT = 0 para la expansión colineal. Como consecuencia de ello, el\ncampo quark secundario en los elementos de matriz twist-cuatro parten llevará cero impulso\nen el proceso suave-duro. El impulso transversal intrínseco finito lleva a un cor-\nlas recciones. Si un subconjunto de los términos más altos en la expansión colineal se puede volver a resumir\npara restaurar los factores de fase como eixT p\n+y−, en el que xT • • k2T •/2p+q−z(1 − z), el\nLos campos de quark en los elementos de matriz de Parton llevarán un momento fraccionario finito xT.\nBajo tal suposición de factorización, uno puede obtener toda la correlación de dos cuartetos\nelementos de matriz:\nA(HI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x) f\n(xL + xT )[1− e−x\nA], (77)\nA(SI)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x+ xL) f\n(xT )[1− e−x\nA], (78)\nqq̄i (x, xL)\nA(I2)\nqq̄i (x, xL)\nfAq (x+ xL) f\n(xT )e\nfAq (x) f\n(xL + xT )e\nA. (79)\nEn la última aproximación, hemos asumido xL xT x. Del mismo modo, uno puede obtener\nTA(i)qqi (x, xL), T\nq̄qi (x, xL) y T\nq̄q̄i (x, xL). Con estas formas de correlación de dos quarks\nelementos de matriz, podemos estimar la dependencia del sabor de la modificación nuclear a\nel quark (antiquark) funciones de fragmentación.\nLas correcciones de orden más bajas [O(αs)] son muy simples\nq→h (zh) CA1/3[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]fNq̄ (xT ), (80)\nqh̄\n(zh) CA1/3[Dg→h̄(zh)−Dqh̄(zh)]fNq (xT ). (81)\nConsideramos la contribución dominante de la fragmentación de un quark (antiquark)\nque es uno de los quarks de valencia (antiquarks) de la partícula final h (antipartícula h̄).\nLas funciones de fragmentación del gluón en h y h̄ son las mismas. Para el zh grande, el gluon\nLa función de fragmentación es siempre más suave que la valencia quark (antiquark) fragmenta-\nión [38]. Por lo tanto, las correcciones de giro-cuatro ordenes más bajas son siempre negativas para grandes\nzh, llevando a una supresión de la función de fragmentación de quark de valencia (antiquark),\nDqv→h(zh) [Dq̄v→h̄(zh)]. Considere aquellos quarks que también son quarks de valencia de un nucleón:\nn = udd\np = uud, p̄ = d̄, (82)\nK+ = us̄,K− = ūs. (83)\n, η0, = ud̄, (uū − dd̄ )/\n2, dū. (84)\nUno puede encontrar la siguiente dependencia del sabor de la orden más baja torsión cuatro correcciones\na las funciones de fragmentación quark (antiquark),\nq̄v→h̄\nD(LO)\nq̄v→h̄\n(zh)\nD(LO)qv→h(zh)\nfNqv (xT )\nfq̄v(xT )\n> 1, (85)\nq̄v→h̄\n1 + D\nq̄v→h̄\n(zh)/Dqh̄(zh)\n1 + D\n(zh)/Dq→h(zh)\n< 1, (86)\ndonde R\nes la correspondiente orden de supresión de la función de fragmentación\nen zh grande para el protón (antiprotón) y K\n+ (K−). Dado que los piones contienen ambos valencia\nquark y antiquark, los factores de supresión deben ser similares para todos los piones. Para xT ≥\n0,043, u(x)/ū(x) ≥ 3 y d(x)/d̄(x) ≥ 2 [35]. Por lo tanto, la modificación de antiquark\nfunciones de fragmentación debido a la aniquilación quark-antiquark es significativamente mayor que\nel de un quark.\nLa dependencia del sabor de los resultados NLO son más complicados ya que implican dispersión-\ning con quarks y antiquarks en el medio. Uno puede observar primero que efectivo\nfunciones de división (o sección transversal de dispersión quark-quark) son las mismas para el canal en t\nqq′ → qq′ y qq → qq (q′ 6= q) scatterings,\nqq.»b(z) = P\nq̄q.»b(z) = P\nqqb(z) = P\nq̄qb(z). (87)\nPara la dispersión de quark-quark idéntico o aniquilación de quark-antiquark, uno puede separar\nla aniquilación qq̄ funciones de división (o secciones transversales) en singlet y no-singlet\ncontribuciones mediante la selección de las contribuciones en t-canal,\nqqb(z)\nqq→b(z) + P\nqqb(z), (88)\nq̄q→b(z)\nq̄qb(z) + P\nq̄q→b(z). (89)\nEstas contribuciones individuales a las funciones de fragmentación modificadas son,\nS(NLO)\nq→h (zh)\nb,q′,i\nDb→h P (i)qqÃ3b(zh)\n×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (90)\nS(NLO)\nqh̄\n(zh)\nb,q′,i\nDbh̄ P\nq̄qb̄\n×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (91)\ndonde la suma sobre q′ ahora incluye q′=q y C(i)(xL) son independientes del sabor\nfunciones determinadas a partir de Eqs. 77)-(79),\nC(HI) =C(SI) = C(xL)(1− e−x\nC(I) =C(I2) = C(xL)e\nA, (92)\ny C(xL) es un coeficiente común que es una función de xL. Uso de P\nq̄qb̄\n(z) = P\nqq→b(z)\n, se puede concluir que las contribuciones singlet al quark modificado y antiquark\nlas funciones de fragmentación son las mismas,\nS(NLO)\nq→h (zh) = D\nS(NLO)\nqh̄\n(zh).\nLas contribuciones no individuales, principalmente de interferencias s-canal y s-t, son,\nN(NLO)\nq→h (zh)\nDb→h PN(i)qqb(zh)fNq̄ (xT )C(i), (93)\nN(NLO)\nqh̄\n(zh)\nDbh̄ P\nq̄q→b̄\n(zh)f\nq (xT )C\ni), (94)\ndonde otra vez\nqqb(z) = P\nq̄q→b̄\n(z) debido a la simetría de cruce. Hemos enumerado todos los no-\nDesvanecimiento de las funciones de división singlet\nqqb(z) del apéndice A-2.\nDe nuevo consideramos el límite zh → 1. En esta región la convolución en el\nfunción de fragmentación está dominada por el gran z → 1 comportamiento de la división efectiva-\nfunciones de ting. De la lista P\nqqb(z) en el Apéndice A-2, podemos obtener el\ncontribuciones,\nC(i)P\nqqq(z)4CF\nC(xL)\nC(i)P\nqqg(z)\n2CF + CF (1− e−x\nA) + CAe\nC(xL)\n, (95)\ndonde también hemos descuidado términos proporcionales a 1/Nc. Todos los P\nqqq̄(z) no son líderes\nen el límite z → 1 y por lo tanto puede ser descuidado. Con estas importantes contribuciones,\nla modificación no-singlet a las funciones de fragmentación quark y antiquark puede ser\nestimado como\nN(NLO)\nq→h (zh)\nC(xL)\n(1- z)+\nCF (1− e−x\nA) + CAe\n+ (1− z)(lT)\n−Dq→h\nC(xL)\n(1- z)+\n+ (1− z)(lT)\nfNq̄ (xT ), (96)\nN(NLO)\nqh̄\n(zh)\nDg→h̄\nC(xL)\n(1- z)+\nCF (1− e−x\nA) + CAe\n+ (1− z)(lT)\nDg→h̄\n−Dqh̄\nC(xL)\n(1- z)+\n+ (1− z)(lT)\nfNq (xT ), (97)\ndonde el punto 1(IT ) y el punto 2(IT ) proceden de correcciones virtuales,\n1(lT )=\nCFC(xL)z=1 − [CF (1− e−x\n+ CAe\nA]C(xL)\n, (98)\n2(lT )=\n2CF [C(xL)z=1 − C(xL)]. (99)\nDebido a la conservación del impulso, C(xL) = 0 cuando xL → • para z = 1. Por lo tanto,\nlas correcciones virtuales anteriores siempre son negativas. En general zh, estas correcciones virtuales\ndominar sobre los reales.\nHay dos tipos de contribuciones no individuales en las expresiones dadas anteriormente. Uno que\nes proporcional a las funciones de fragmentación de gluón se debe a la aniquilación quark-antiquark\nen gluones que luego se fragmentan. El gluón fragmentante no sólo transporta menos energía que\nel quark inicial pero también tiene una función de fragmentación más suave, lo que conduce a la supresión de\nlos hadrones líderes finales. El segundo tipo de contribuciones es proporcional a Dg→h(zh)−\nDq→h(zh) y por lo tanto mezcla funciones de fragmentación quark y gluon, del mismo modo que el\nlos procesos de aniquilación quark-antiquark de orden más bajo [véase Eqs. (80) y (81)]. Desde un gluon\nfunción de fragmentación es más suave que un quark uno, las correcciones reales de este tipo de\nlos procesos son positivos para los pequeños zh y negativos para los grandes zh. Las correcciones virtuales\ntienen exactamente el comportamiento opuesto. Por lo tanto, el segundo tipo de contribuciones reducirá\nla modificación neta total. Para los valores intermedios de zh donde 2Dg→h(zh) > Dq→h(zh),\nel efecto neto sigue siendo la supresión de las funciones de fragmentación eficaces para\nHadrons.\nDesde fNq (xT ) > f\nq̄ (xT ), podemos concluir que la LO y la NLO combinados no-singlet\nLa supresión de la fragmentación anticuarto en hadrones de valencia es más grande que la de quark.\nfragmentación en hadrones de valencia. Esto explica cualitativamente la dependencia del sabor de\nla supresión nuclear de los principales hadrones del DIS frente a objetivos nucleares pesados medidos por\nel experimento HERMES [25,26]. La relación de las secciones transversales semi-inclusivas diferenciales\npara los objetivos de núcleo y deuterón se utilizaron para estudiar la supresión nuclear de la\nfunciones de mentation. Se observó que la supresión de los principales antiprotones es más fuerte\nque para el protón líder y la supresión de K− es más fuerte que K+. En el quark de Valence\nimagen de fragmentación, el protón principal (K+) se produce principalmente a partir de u, d (u) quark\nfragmentación mientras que los antiprotones provienen principalmente de la fragmentación ū, d̄ (ū). Por lo tanto,\nLos datos de HERMES son consistentes con una mayor supresión de la fragmentación anticuarto.\nDesde gluon bremsstrahlung y el singlet qqi(q̄i) dispersión también suprimir quark y\nantiquark fragmentación, pero independientemente del sabor quark, uno tiene que incluir todos los\nprocesos con el fin de tener una evaluación numérica completa y cuantitativa del sabor\ndependencia de la modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark. Además...\nmás, las contribuciones de la ONL son proporcionales a αs ln(Q)\n2)/2ň. Son tan importantes.\ncomo la corrección de orden más baja para grandes valores de Q2. En principio, hay que volver a resumir estos\ncorrección de orden superior mediante la resolución de un conjunto de ecuaciones de evolución acopladas DGLAP, in-\nmodificación del medio para las funciones de fragmentación del gluón. Las contribuciones de\nquark-quark (antiquark) la dispersión derivada en este documento será una parte importante de la\nDscripción completa. Estudio numérico detallado del efecto del quark-quark (antiquark)\nla dispersión será posible sólo después de la terminación de esta descripción completa en el\nfuturo.\n7 Resumen\nUtilizando el marco de factorización generalizada para twist-cuatro procesos tenemos\nla modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark y antiquark (FF) debida\na quark-quark (antiquark) doble dispersión en materia nuclear densa hasta el orden O(α2s).\nCalculamos y analizamos el conjunto completo de todos los diagramas de corte posibles. Resultados\nse pueden clasificar en contribuciones de procesos de doble-duro, duro-suave y su\ninterferencias. Los rescatterings de doble dureza corresponden a la dispersión elástica del plomo-\ning quark con otro quark medio. Requiere el segundo quark para llevar un finito\nmomento fraccionario xL. Por lo tanto, la pérdida de energía del quark líder a través de tales\nprocesos pueden ser identificados como pérdida de energía elástica en el orden O(α2s). La pérdida de energía quark\ny la modificación de las funciones de fragmentación quark están dominadas por el canal t de\nla dispersión de quark-quark (antiquark) y se demuestra que es similar a la causada por quark-\nGluon esparciendo. La contribución de la dispersión quark-quark es más pequeña que la de\nDispersión del quark-gluon por un factor de CF/CA multiplicado por la relación de distribución del quark y del gluon-\nciones en el medio. Hemos demostrado que esas contribuciones no son insignificantes.\npara cinemática realista y tamaño mediano finito. Los rescatterings blandos y duros mezclan gluon y\nscattering quark, de la misma manera que el orden más bajo qq̄ → g procesos. Tales procesos\nmodifica los espectros de hadrones finales o las funciones de fragmentación eficaces, pero no\ntributo a la pérdida de energía del quark líder. Para qq̄ → qq̄, gg procesos, también existen\ncontribuciones de interferencia puras procedentes principalmente de interferencias de dispersión de un solo triple.\nCon un modelo simple de funciones factorizadas de correlación de dos cuartetos, investi-\nla dependencia del sabor del medio modificado funciones de fragmentación de quark en una\nnúcleo grande. Identificamos la parte dependiente del sabor de la modificación y encontramos que\nla modificación nuclear para una fragmentación antiquark en un hadron de valencia es más grande\nque el de un quark. Esto ofrece una explicación cualitativa para la dependencia del sabor de\nla principal supresión de hadrones en el DIS semi-inclusivo frente a objetivos nucleares, como se observa en\nel experimento HERMES [25,26].\nAgradecimientos\nLos autores agradecen a Jian-Wei Qiu y Enke Wang por su útil discusión. Este trabajo\nfue apoyado por NSFC en el marco del proyecto No. 10405011, por el Ministerio de Educación de China en el marco del proyecto\nIRT0624, por Alexander von Humboldt Foundation, por BMBF, por el Director de la Oficina\nde Investigación Energética, Oficina de Energía Alta y Física Nuclear, Divisiones de Energía Nuclear\nFísica, del Departamento de Energía de los Estados Unidos bajo el Contrato No. DE-AC02-05CH11231,\ny por el US NSF bajo Grant No. PHY-0457265, la Fundación Welch en virtud de la subvención\nNo. A-1358.\nA-1 Partes duras para doble dispersión quark-quark\nEn la Sección 3 hemos discutido el cálculo de la parte dura de un ejemplo de corte-diagrama\n(Fig. 5) en detalle. En este apéndice enumeramos los resultados de todas las posibles correcciones reales a\nquark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s). Hay\nun total de 12 diagramas como se ilustra en las Figs. 5-16. Para el propósito de abreviar, nosotros\nsuprimirá las variables en las anotaciones de las partes duras partonicas\nD HD(y−, y−1, y−2, x, p, q, zh), (A-1)\ny funciones de los factores de fase\nI (y−, y−1, y−2, x,, xL, p). (A-2)\nPrimero consideramos todos los diagramas de aniquilación qq̄ → gg con diferentes cortes posibles. Los\ncontribuciones de la Fig. 5 son:\n5,C =\nα2sxB\nI5,CDg→h(zh/z)\n1 + z2\nz(1 − z)\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (A-3)\nFig. 5. El canal t de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con tres posibles cortes, central(C),\nizquierda (L) y derecha (R).\nFig. 6. La interferencia entre t y u-canal de qq̄ → aniquilación gg.\nI5,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-4)\n5,L(R) =\nα2sxB\nI5,L(R)\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\nz(1 − z)\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n, (A-5)\nI5,L =(y−1 − y−2 )♥(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-6)\nI5,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-7)\nAquí hemos incluido la fragmentación de ambas partes del estado final.\nLas contribuciones de la Fig. 6 son:\nFig. 7. El canal s de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con sólo un corte central.\n6,C =\nα2sxB\nI6,C 2Dg→h(zh/z)\n(1- z)z\nCF (CF − CA/2)\n, (A-8)\n6,L(R) =\nα2sxB\nI6,L(R) [Dg→h(zh/z) +Dq→h(zh/z)]\n(1- z)z\nCF (CF − CA/2)\n, (A-9)\nI6,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-10)\nI6,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n) ). (A-11)\nI6,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ), (A-12)\nTenga en cuenta que el diagrama de corte central en la Fig. 6 corresponde a la interferencia entre t y\nu-canal de los procesos de aniquilación qq̄ → gg en la Fig. 5. Puesto que la función de división es\nsimétrico en z y 1 − z, un factor de 2 proviene de la fragmentación de ambos gluones en\nel diagrama de corte central.\nEl canal s de qq̄ → gg se muestra en la Fig. 7 que sólo tiene un corte central. Su contri-\nbution a la parte dura partónica es,\n7,C =\nα2sxB\nI7,C 2Dg→h(zh/z)\n2-z2 − z + 1)2\nz(1 − z)\n, (A-13)\nI7,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy−\n)e-ixLp\n2. (A-14)\nTenga en cuenta que la función de división 2(z2 − z + 1)2/z(1 − z) = 2[1 − z(1 − z)]2/z(1 − z) es\nsimétrico en z y 1− z. Por lo tanto, la fragmentación de los dos gluones finales da lugar a\nel factor de 2 frente a la función de fragmentación del gluón.\nFig. 8. La interferencia entre el canal t y s de qq̄ → aniquilación gg.\nFig. 9. El conjugado complejo de la Fig. 8.\nLas interferencias entre t y s-canal de qq̄ → gg procesos se muestran en Figs. 8 y\n9. Hay sólo dos cortes posibles en estos diagramas. Las contribuciones de la Fig. 8 son:\n8,C =\nα2sxB\nI8,C Dg→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-15)\nα2sxB\nDq→h(zh/z)2\n1 + z3\nz(1− z)\n+ Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-16)\nI8,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )e−ixLp\n+(yy−\n), (A-17)\nI8,L = (y\n1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+(yy)\n) − e−ixLp+(yy\n) ). (A-18)\nContribuciones de la Fig. 9, que son sólo el complejo conjugado de la Fig. 8, son:\n9,C =\nα2sxB\nI9,C Dg→h(zh/z)\n1 + z3\nz(1 − z)\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-19)\n9,R =\nα2sxB\nDq→h(zh/z)2\n1 + z3\nz(1 − z)\n+ Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)3\nz(1 − z)\n, (A-20)\nI9,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(yy\n))e-ixLp\n2, (A-21)\nI9,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(y\n))e-ixLp\n1. (A-22)\nUno puede recoger todas las contribuciones del doble duro qq̄ → gg procesos de la central-\ndiagramas de corte, que deben tener el factor de fase común\n* C = (−y−2 ) * (y− − y−1 ) eixp\n+y−e−ixLp\n), (A-23)\ny obtener la función de división efectiva total en la parte dura,\nPqqgg(z) =\nz(1 − z)\n{C2F [1 + z2 + 1 + (1− z)2]− 2CF (CF − CA/2)\n+2CFCCA(1− z + z2)2 − CFCA[1 + z3 + 1 + (1− z)3]}\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2]\n. (A-24)\nMás adelante, en el Apéndice A-3, veremos que el resultado anterior también puede obtenerse del\nelementos de matriz total al cuadrado para qq̄ → aniquilación gg.\nAhora consideramos los procesos de aniquilación qq̄ → qiq̄i con qi 6= q. Sólo está el\nproceso de canal s con un diagrama de corte central como se muestra en la Fig. 10. Su contribución a\nla parte difícil es\n10,C =\nα2sxB\nI10,C\nqi 6=q\n[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]\nFig. 10. s-canal qq̄ → aniquilación qiq̄i.\nFig. 11. t-canal qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión.\n×[z2 + (1− z)2]\n, (A-25)\nI10,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy)\n)e-ixLp\n2. (A-26)\nAquí definimos la función de división efectiva para qq̄ → aniquilación qiq̄i como,\nPqqqiq̄i(z) =\n[z2 + (1− z)2]. (A-27)\nDel mismo modo, para qq̄i → qq̄i dispersión con qi 6= q, sólo hay el canal t como se muestra en\nFig. 11. Hay, sin embargo, tres diagramas de corte. Sus contribuciones a la dura particónica\nparte son:\n11,C =\nα2sxB\nI11,C\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+Dq̄i→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\n, (A-28)\n11,L(R) =\nα2sxB\nI11,L(R)\nDq→h(zh/z)\n1 + z2\n(1- z)2\n+Dg→h(zh/z)\n1 + (1− z)2\n, (A-29)\nI11,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-30)\nI11,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-31)\nI11,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-32)\nEl elemento de matriz de correlación twist-cuatro dos-parten asociado con el quark anterior-\nla dispersión antiquark es el correlator quark-antiquark,\nTAqq̄i(x, xL)\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n2 ) A, (A-33)\ny uno debe sumar sobre todos los posibles sabores qi 6= q. Tenga en cuenta que en el elemento de matriz anterior,\nel flujo de impulso para el antiquark (q̄i) es opuesto al de los campos quark (q).\nPara la dispersión quark-quark, qqi → qqi, la parte dura es esencialmente la misma. El único\ndiferencia es el elemento de matriz asociado para el correlator quark-quark que es ob-\nproveniente de la del correlator quark-antiquark a través del intercambio qi(y2) → qi(y2)\ny qi(y1) → qi(y1),\nTAqqi(x, xL)\nixp+yixLp\nAq(0)\n−)qi(y\n•qi(y)\n1 )A. (A-34)\nTenga en cuenta que los flujos de impulso de los dos quarks (q y qi) apuntan en la misma dirección.\nLa función de división efectiva de este proceso de dispersión se define a través de los fragmen-\nla puesta del quark en el diagrama de corte central,\nPqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-35)\nPara aniquilación qq̄ → qq̄ en pares de quark y antiquark idénticos, además de la\ns-canal (Fig. 10 para qi = q) y t-canal (Fig. 11 para qi = q̄), uno también tiene que considerar\nla interferencia entre las amplitudes s y t-canal como se muestra en las Figs. 12 y 13, cada uno\ntener dos cortes. Sus contribuciones a las partes duras son, respectivamente:\nFig. 12. Interferencia entre s y t-canal de qq̄ → qq̄ dispersión\nFig. 13. El conjugado complejo de la Fig. 12.\n12,C =\nα2sxB\nI12,C\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dqh(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-36)\n12,L =\nα2sxB\nI12,L\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dg→h(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-37)\nI12,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+y\n2 )e−ixLp\n+(yy−\n), (A-38)\nI12,L = (y\n1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+(yy)\n) − e−ixLp+(yy\n) ; (A-39)\nFig. 14. La interferencia entre t y u-canal de cuark-cuark idéntico dispersión qq → qq.\n13,C =\nα2sxB\nI13,C\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dqh(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-40)\n13,R =\nα2sxB\nI13,R\nDq→h(zh/z)\n(1 a z)\n+Dg→h(zh/z)\n2(1− z)2\nCF (CF − CA/2)\n, (A-41)\nI13,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n×(1− e−ixLp+(yy\n))e-ixLp\n2, (A-42)\nI13,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n×(e−ixLp+y\n1 − e−ixLp+y\n2 ). (A-43)\nUna vez más se pueden recoger contribuciones de los diagramas de corte central de la dispersión doble\nprocesos en Figs. 10, 11 12 y 13 y obtener la función de división efectiva total para\nqq̄ → qq̄,\nPqqqq̄(z) =\n[z2 + (1− z)2] +\n1 + z2\n(1- z)2\nCF (CF − CA/2)\nz2 + (1− z)2 +\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-44)\nAquí hemos usado CF − CA/2 = −1/2Nc. Para la fragmentación anticuarto, Pqqq̄q(z) =\nPqqqq̄(1 − z). Uno también puede obtener el resultado anterior de qq̄ → qq̄ matriz de dispersión\nal cuadrado como se muestra en el apéndice A-3.\nDel mismo modo, para la dispersión de quarks idénticos qq → qq, uno debe establecer qi = q en Fig. 11[en\nEq. (A-28)]. Además, también debería incluirse la interferencia entre t y u-canal\nde la dispersión como se muestra en la Fig. 14. Las contribuciones de este diagrama de interferencia\n14,C =\nα2sxB\nI14,C\n× 2Dq→h(zh/z)\nz(1 − z)\nCF (CF − CA/2)\n, (A-45)\n14,L(R) =\nα2sxB\nI14,L(R)\n× [Dq→h(zh/z) +Dg→h(zh/z)]\nz(1− z)\nCF (CF − CA/2)\n, (A-46)\nI14,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n× (1− e−ixLp+y\n2 )(1− e−ixLp+(yy\n), (A-47)\nI14,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+(yy\n), (A-48)\nI14,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−(1− e−ixLp+y\n2 ). (A-49)\nNótese de nuevo que la fragmentación de ambos quarks contribuye al factor 2 en Eq. (A-\n45) ya que la función de división es simétrica en z y 1 − z. El giro-cuatro dos-cuarto\nelemento de matriz de correlación asociado con qq → dispersión qq es TAqq(x, xL) en comparación\na TAqq̄(x, xL) para procesos de aniquilación quark-antiquark.\nPodemos sumar las contribuciones de la dispersión dura doble en todos los diagramas de corte central\nen Figs. 11 y 14 y obtener la función de división efectiva total para procesos qq → qq,\nPqq→qq(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nCF (CF − CA/2)\nz(1 − z)\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\n. (A-50)\nHay dos diagramas de corte restantes que contribuyen a la aniquilación quark-antiquark\nal orden de O(α2s) como se muestra en las Figs. 15 y 16. Sus contribuciones son las siguientes:\n15,L =\nα2sxB\nI15,L\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\n, (A-51)\nI15,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n+(yy)\n), (A-52)\nFig. 15. Interferencia entre la radiación gluon del estado final de dispersión de un solo y triple cuarteto.\nFig. 16. El conjugado complejo de la Fig. 15.\n16,R =\nα2sxB\nI16,R\nDq→h(zh/z)2\n1 + z2\n+Dg→h(zh/z)2\n1 + (1− z)2\n, (A-53)\nI16,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p\n+y−e−ixLp\n1. (A-54)\nA-2 Funciones efectivas de división\nEn este Apéndice, enumeramos las funciones de división efectivas asociadas a cada proceso\nqa→ b y el doble duro (HI), hard-soft (SI) o sus interferencias (I, I2) según\na Eq. (73).\nqqi(q̄i)→qi(q̄i)\nz) =\n1 + (1− z)2\nqqi(q̄i)→q\nz) =\n1 + z2\n(1- z)2\nqqi(q̄i)→qi(q̄i)\nz) =\n1 + (1− z)2\nqqi(q̄i)→g\n(z) = −1 + (1− z)\n(A-55)\nqqqi(z) =P\nqqq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2,\nqqqi(z) =P\nqqq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2, (A-56)\nP (HI)qq→q(z) =\n1 + (1− z)2\n1 + z2\n(1- z)2\nz(1 − z)\nP (SI)qq→g(z) =−P (SI)qq→q(z), (A-57)\nP (SI)qq→q(z) =\n1 + (1− z)2\nz(1 − z)\nqqq(z) = z\n2 + (1− z)2 + 1 + z\n(1- z)2\nqqq̄(z) =P\nqqq(1− z),\nqqg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1 − z)\n− 2CA[z2 + (1− z)2], (A-58)\nqqq(z) =−\nz(1 − z)\n+ 2CF\nqqq̄(z) =\n1 + (1− z)2\nqqg(z) =\nz(1 − z)\n+ 2CF\n− 1 + (1− z)\n(A-59)\nqqq(z) = z\n2 + (1− z)2 −\nz(1 − z)\n− 2CF\nqqq̄(z) = z\n2 + (1− z)2,\nqqg(z) =CA\n4(1− z + z2)2 − 1\nz(1 − z)\n− 2CF\n(1- z)2\n, (A-60)\nqqq(z) =\nz(1 − z)\n− 2CF\nqqg(z) =\nz(1 − z)\n− 2CF\n. (A-61)\nLas funciones de división no-singlet para qq̄ → b, definido como\nqqb(z) P\nqqb(z)− P\nqq→b(z), (A-62)\nse enumeran a continuación:\nN(HI)\nqqqi(q̄i)\n(z) =P\nqqqi(q̄i)\n(z), (P)\nqqqi(q̄i)\n(z) = P\nqqqi(q̄i)\nz), (A-63)\nN(HI)\nqqq (z) =−\n(1− z2)(1 + z2 + (1− z)2)\n1 + z3\nz(1− z)\nN(HI)\nqqq̄ (z) =P\nqqq̄(z), ŁP\nN(HI)\nqqg (z) = P\nqqg(z), (A-64)\nN(SI)\nqqq (z) =−\n1 + z2\n1 + (1− z)2\nN(SI)\nqqq̄ (z) =P\nqqq̄(z)\nN(SI)\nqqg (z) = 2CF\n1 + z2\nz(1 − z)\n1 + (1− z)2\n(A-65)\nqqb(z) =P\nqqb(z), ŁP\nN(I2)\nqqb (z) = P\nqqb(z) (b = q, q̄, g) (A-66)\nA-3 Cálculos alternativos de diagramas de corte central\nComo control cruzado de las partes duras de la parte partónica calculadas a partir de diferentes diagramas de corte en\nApéndice A-1, proporcionamos un cálculo alternativo de todos los diagramas de corte central,\nque corresponden a la dispersión quark-quark (antiquark).\nConsiderando una parten (a) con impulso q dispersando con otra parten (b) que\nlleva un momento fraccionario xp, a(q) + b(xp) → c(l) + d(p′), la sección transversal puede ser\npor escrito como\ndđab =\nM 2ab→cd(t/, û/)\n(2l)32l0\n2[(p+ q − l)2]\n(4η)2\nM 2ab→cd(t/, û/)\nz(1− z)\ndl2T\n, (A-67)\ndonde q = [0, q−, 0] y p = [xp+, 0, 0] son momentáneas de las partes iniciales y\n, zq−, ~lT\n(A-68)\nes el impulso de una de las partes finales. Con la cinemática dada, el on-shell\ncondición en la sección transversal se puede refundir como\n(xp + q − l)2 = 2(1− z)xp+q−\n1 - xL\n, xL =\n2z(1− z)p+q−\n. (A-69)\nLas variables Mandelstam de la colisión son,\n=(q + xp)2 = 2xp+q− =\nz(1 − z)\n, û = (l− xp)2 = −z\nt=(l− q)2 = −(1 − z)\n• = −(1− z), (A-70)\ndonde hemos utilizado la condición en la cáscara x = xL.\nCon Eq. (A-67) y funciones de distribución de parten fNb (x), se puede obtener la parten-\nsección transversal de nucleón,\ndaN =\ndđabf\nb (x)dx\nfNb (xL)xLM 2ab→cd(tÃ3rÃ, û/)\nz(1− z)\nfNb (xL)\nC0Pab→cd(z)dz\n, (A-71)\ndonde s = 2p+q− es la energía del centro de la masa para la colisión aN, C0 es algún color común\nfactor en los elementos de la matriz de dispersión y\nPab→cd(z) = (1/C0)M 2ab→cd(tÃ3rá/, û/) (A-72)\nes lo que hemos definido como la función de división efectiva para los procesos correspondientes.\nPor lo tanto, se puede obtener fácilmente estas funciones de división efectiva de la correspondiente\nelementos de matriz para la dispersión elemental de parten-parten [39]. Los enumeraremos en el fol-\nLoading. Un factor de color común para toda dispersión quark-quark(antiquark) es C0 = CF/Nc.\nqq̄ → aniquilación qiq̄i:\nM 2qqqiq̄i =\ntâ € 2 + û2\nPqqqiq̄i(z) = z\n2 + (1− z)2. (A-73)\nqq̄ → aniquilación qq̄:\nM 2qqqq̄ =\nû2 + â € 2\nû2 + tâ € 2\nPqqqq̄(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n+ z2 + (1− z)2 +\n. (A-74)\nqq̄ → aniquilación gg:\nM 2qqgg =\n− 2CA\nû2 + tâ € 2\nPqqgg(z) = 2CF\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n− 2CA(z2 + (1− z)2). (A-75)\nqqi(q̄i) → qqi(q̄i) scattering:\nM 2qqi(q̄i)→qqi(q̄i)=\nû2 + â € 2\nPqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n. (A-76)\nqq → dispersión qq:\nM 2qq→qq =\nû2 + â € 2\n2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +\nPqq→qq(z) =\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + (1− z)2\nz(1− z)\n. (A-77)\nPara la dispersión de quark-gluon Compton, la función de distribución de gluon relevante es xLGN (xL).\nPor lo tanto, se puede reescribir la contribución de qg → qg a Eq. (A-71) como,\ndqN = xLGN(xL)\nsz(1 − z)M 2qg→qg(tÃ3rá, û/Ã)dz\nxLGN(xL)+2s\nPqg→qg(z)dz\n. (A-78)\nTenemos entonces para qg → qg dispersión,\nM 2qg→qg =\n•2 + û2\nû2 + â € 2\nPqg→qg(z) = z(1 − z)\n1 + z2\n(1- z)2\n1 + z2\n. (A-79)\nComparando este resultado con el de Ref. [18] para el rescatado quark-gluon, podemos ver\nque están de acuerdo en el límite 1 − z → 0. Esto es una consecuencia de la aproximación colineal\nmación empleada en Ref. [18] en el cálculo de la parte dura del quark-gluón\nRescatando.\nTambién podemos extender este cálculo al caso de dispersión gluon-nucleón. Uno puede usar\nEq. (A-71) para definir la función de división para la dispersión de gq → gq,\nM 2gq→gq =\n2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +\nt+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + 2 + 2 + 2 + + + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + 2 + + + 2 + 2 \nPgq→gq(z) = z(1 − z)\n1 + (1− z)2\n1 + (1− z)2\n(1 a z)\n. (A-80)\nAquí para la dispersión gluon-partón, no hay factor de color común.\ngg → aniquilación qq̄,\nM 2gg→qq̄ =\ntâ € 2 + û2\ntâ € 2 + û2\nPgg→qq̄(z) = z(1 − z)\nz2 + (1− z)2\nz(1− z)\n[z2 + (1− z)2]\n. (A-81)\ngg → gg scattering\nM 2gg→gg=2\n3 - t\n• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\n− t\nPgg→gg(z) = 2\n(1− z + z2)3\nz(1− z)\n. (A-82)\nSe puede utilizar esta técnica para extender el estudio de funciones de fragmentación modificadas a\nGluones de propagación. Dado que la modificación está dominada por quark-gluon y gluon-gluon\nscattering, comparando las funciones de división efectivas,\nPqg→qg(z)\n, (A-83)\nPgg→gg(z)\n, (A-84)\nen el límite z → 1, se puede concluir que la pérdida de energía radiativa de un gluón es mayor que\na quark por un factor de Nc/CF = CA/CF = 9/4. Dejaremos la derivación completa de\nmodificación media de las fragmentaciones de gluón a una publicación futura.\nBibliografía\n[1] K. Adcox et al., [PHENIX Collaboration], Phys. Rev. Lett. 88, 022301 (2002).\n[2] C. Adler et al., [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 89 202301 (2002).\n[3] C. Adler et al., [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 90, 082302 (2003).\n[4] M. Gyulassy y L. McLerran, Nucl. Phys. A 750, 30 (2005).\n[5] P. Jacobs y X. N. Wang, Prog. Parte. Nucl. Phys. 54, 443 (2005).\n[6] J. W. Qiu, [arXiv:hep-ph/0507268].\n[7] J. W. Qiu y G. Sterman, Int. J. Mod. Phys. E 12 (2003) 149.\n[8] X. F. Guo, Phys. Rev. D58 (1998) 114033.\n[9] X. F. Guo, J. W. Qiu y W. Zhu, Phys. Lett. B 523 (2001) 88.\n[10] R. J. Fries, A. Schäfer, E. Stein y B. Muller, Nucl. Phys. B 582, 537 (2000).\n[11] J. W. Qiu y X. Zhang, Phys. Lett. B 525 (2002) 265.\n[12] J. W. Qiu e I. Vitev, Phys. Rev. Lett. 93, 262301 (2004), J. W. Qiu e I. Vitev, Phys.\nLett. B 587, 52 (2004).\n[13] M. Gyulassy y X.-N. Wang, Nucl. Phys. B 420, 583 (1994); X.-N. Wang, M. Gyulassy\ny M. Plümer, Phys. Rev. D 51, 3436 (1995).\n[14] R. Baier y otros, Nucl. Phys. B 483, 291 (1997). Nucl. Phys. B 484, 265 (1997); Phys. Rev.\nC 58, 1706 (1998).\n[15] B. G. Zakharov, JETP Lett. 63, 952 (1996).\n[16] M. Gyulassy, P. Lévai e I. Vitev, Nucl. Phys. B594, 371 (2001); Phys. Rev. Lett. 85,\n5535 (2000).\n[17] U. Wiedemann, Nucl. Phys. B588, 303 (2000); C. A. Salgado y U. A. Wiedemann, Phys.\nRev. Lett. 89, 092303 (2002).\n[18] X. F. Guo y X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 85, 3591 (2000);\nX.-N. Wang y X. F. Guo, Nucl. Phys. A 696, 788 (2001).\n[19] B. W. Zhang y X.-N. Wang, Nucl. Phys. A 720, 429 (2003); B. W. Zhang, E. Wang\ny X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 93, 072301 (2004); B. W. Zhang, E. K. Wang y\nX.-N. Wang, Nucl. Phys. A 757, 493 (2005).\n[20] B. Z. Kopeliovich, A. Schäfer y A. V. Tarasov, Phys. Rev. C 59 (1999) 1609\n[arXiv:hep-ph/9808378].\n[21] M. Gyulassy, I. Vitev, X. N. Wang y B. W. Zhang, Quark-Gluon Plasma 3, R. C. Hwa y\nX.-N Wang, Eds. (World Scientific, Singapur, 2003), p123-191 [arXiv:nucl-th/0302077].\n[22] A. Kovner y U. A. Wiedemann, arXiv:hep-ph/0304151.\n[23] M. Luo, J. W. Qiu y G. Sterman, Phys. Lett. B 279 (1992) 377; Phys. Rev. D 50 (1994)\n1951;\nPhys. Rev. D 49, 4493 (1994).\n[24] E. Wang y X.-N. Wang, Phys. Rev. Lett. 89, 162301 (2002) [arXiv:hep-ph/0202105].\n[25] A. Airapetian et al. [HERMES Colaboración], Eur. Phys. J. C 20, 479 (2001)\n[arXiv:hep-ex/0012049].\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0507268\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/9808378\nhttp://arxiv.org/abs/nucl-th/0302077\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0304151\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ph/0202105\nhttp://arxiv.org/abs/hep-ex/0012049\n[26] A. Airapetian et al. [HERMES Colaboración], Phys. Lett. B 577, 37 (2003)\n[arXiv:hep-ex/0307023].\n[27] X. N. Wang, Phys. Lett. B 595, 165 (2004) [arXiv:nucl-th/0305010].\n[28] T. Falter, W. Cassing, K. Gallmeister y U. Mosel, Phys. Rev. C 70, 054609 (2004)\n[arXiv:nucl-th/0406023].\n[29] B. Z. Kopeliovich, J. Nemchik, E. Predazzi y A. Hayashigaki, Nucl. Phys. A 740, 211\n(2004) [arXiv:hep-ph/0311220].\n[30] V. N. Gribov y L. N. Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 15, 438 (1972); Yu. L. Dokshitzer,\nSov. Phys. JETP 46, 641 (1977); G. Altarelli y G. Parisi, Nucl. Phys. B126, 298 (1977);\n[31] R. D. Field, Aplicaciones del QCD Perturbativo, Frontiers in Physics Lecture, Vol. 77, Ch.\n5.6 (Addison Wesley, 1989).\n[32] M. E. 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|---|---|---|---|---|
704.0002 | Sparsity-certifying Graph Decompositions | Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity
Ileana Streinu1*, Louis Theran2
1 Departamento de Ciencias de la Computación, Smith College, Northampton, MA. Correo electrónico: streinu@cs.smith.edu
2 Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Massachusetts Amherst. Correo electrónico: theran@cs.umass.edu
Resumen. Describimos un nuevo algoritmo, el (k, `)-pebble juego con colores, y usarlo para obtener un charac-
la terización de la familia de gráficos (k, `)-sparse y soluciones algorítmicas a una familia de problemas
ing árbol descomposicións de gráficos. Casos especiales de gráficos escasos aparecen en la teoría de la rigidez y tienen
ha recibido una mayor atención en los últimos años. En particular, nuestros guijarros de colores generalizan y fortalecen
los resultados anteriores de Lee y Streinu [12] y dar una nueva prueba de la Tutte-Nash-Williams carácteri-
Zación de arboricidad. También presentamos una nueva descomposición que certifica la esparcidad basada en la (k, `)-pebble
juego con colores. Nuestro trabajo también expone conexiones entre los algoritmos de juego de guijarros y anteriores
algoritmos gráficos escasos de Gabow [5], Gabow y Westermann [6] y Hendrickson [9].
1. Introducción y preliminares
El foco de este documento son las descomposicións de (k, `)-sparse gráficos en bordes-disjunto subgraphs
que certifique la escasez. Usamos el gráfico para significar un múltiplo, posiblemente con bucles. Nosotros decimos que un
grafo es (k, `)-sparse si ningún subconjunto de n′ vértices abarca más de kn ` bordes en el gráfico; a
(k, `)-sparse gráfico con kn ` bordes es (k, `)-estrechado. Llamamos al rango k ≤ 2k−1 el superior
rango de gráficos escasos y 0≤ k el rango inferior.
En este artículo, presentamos algoritmos eficientes para encontrar descomposicións que certifiquen la escasez
en el rango superior de `. Nuestros algoritmos también se aplican en el rango inferior, que ya era ad-
vestido por [3, 4, 5, 6, 19]. Una descomposición certifica la escasez de un gráfico si los gráficos dispersos
y los gráficos que admiten la descomposición coinciden.
Nuestros algoritmos se basan en una nueva caracterización de gráficos escasos, que llamamos el
juego de guijarros con colores. El juego de guijarros con colores es una regla de construcción de gráficos simples que
produce un gráfico escaso junto con una descomposición certificadora de la escasez.
Definimos y estudiamos una clase canónica de construcciones de juego de guijarros, que corresponden a
previamente estudiado las descomposiciones de los gráficos escasos en los árboles disjuntos del borde. Nuestros resultados proporcionan
un marco unificador para todos los casos especiales conocidos anteriormente, incluidos Nash-Williams-
Tutte y [7, 24]. De hecho, en el rango inferior, las construcciones canónicas de juego de guijarros capturan la
propiedades de las rutas de aumento utilizadas en los algoritmos de unión de matroides y de intersección[5, 6].
Dado que los gráficos escasos en el rango superior no se sabe que son uniones o intersecciones de la
matroides para los que hay algoritmos de ruta de aumento eficiente, estos no se aplican fácilmente en
* Investigación de ambos autores financiada por la NSF bajo subvenciones NSF CCF-0430990 y NSF-DARPA CARGO
CCR-0310661 al primer autor.
2 Ileana Streinu, Louis Theran
Significado del término
Gráfico escaso G Cada subgrafo no vacío en n′ vértices tiene ≤ kn ` bordes
El gráfico ajustado G G = (V,E) es escaso y V = n, E= kn− `
El bloque H en G G es escaso, y H es un subgrafo apretado
El componente H de G G es escaso y H es un bloqueo máximo
Gráfico cartográfico que admite una orientación de grado-exactamente-uno
(k, `)-maps-and-trees Edge-disjunt union de ` árboles y (k- `) map-grpahs
`Tk Unión de ` árboles, cada vértice está exactamente en k de ellos
Conjunto de piezas arbóreas de un `Tk inducido en V ′ ́V Piezas de árboles en el `Tk extendido por E(V ′)
`Tk Apropiado Cada V ′ V contiene ≥ ` pedazos de árboles de la `Tk
Cuadro 1 Gráfico escaso y terminología de descomposición utilizada en este artículo.
el rango superior. Pebble juego con construcciones de colores por lo tanto puede ser considerado un fortalecimiento
de caminos de aumento a la gama superior de gráficos de la escasez matroidal.
1.1. Gráficos escasos
Un gráfico es (k, `)-sparse si para cualquier subgrafo no vacío con bordes m′ y n′ vértices, m′ ≤
kn `. Observamos que esta condición implica que 0 ≤ ` ≤ 2k− 1, y a partir de ahora en este
Haremos esta suposición. Un gráfico escaso que tiene n vértices y exactamente bordes kn
se llama apretado.
Para un gráfico G = (V,E), y V ′ V, utilizamos el intervalo de notación (V ′) para el número de bordes
en el subgráfico inducido por V ′. En un gráfico dirigido, out(V ′) es el número de bordes con la cola
en V ′ y la cabeza en V −V ′; para un subgráfico inducido por V ′, llamamos a tal borde un borde superior.
Hay dos tipos importantes de subgrafías de gráficos escasos. Un bloque es un subgrafo apretado de
un gráfico escaso. Un componente es un bloque máximo.
La Tabla 1 resume la escasa terminología gráfica utilizada en este artículo.
1.2. Descomposiciónes de certificación de la sparsidad
Un k-arborescencia es un gráfico que admite una descomposición en k borde-desjunto que abarca los árboles.
La Figura 1(a) muestra un ejemplo de una 3-arborescencia. Se describen los gráficos k-arborescentes
por los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] como exactamente el (k,k) apretado
gráficos.
Un map-graph es un gráfico que admite una orientación tal que el grado de cada vértice es
Exactamente uno. Un k-map-graph es un gráfico que admite una descomposición en k borde-disjunto mapa-
gráficos. La Figura 1(b) muestra un ejemplo de un 2-map-graphs; los bordes están orientados en uno posible
configuración que certifica que cada color forma un mapa gráfico. Los mapas pueden ser equivalentes
definido (véase, por ejemplo, [18]) como tener exactamente un ciclo por componente conectado.1
A (k, `)-maps-and-trees es un gráfico que admite una descomposición en k− ` borde-disjunta
- mapas y árboles que se extienden por los árboles.
Otra caracterización de los mapas, que utilizaremos ampliamente en este artículo, es la siguiente:
los gráficos (1,0) ajustados [8, 24]. Los k-map-graphs son evidentemente (k,0)-stight, y [8, 24] muestran que
lo contrario se sostiene también.
1 Nuestra terminología sigue a Lovász en [16]. En la literatura matroide los mapas a veces se conocen como bases
del matroide de la bicicleta o pseudobosques que se extienden.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 3
Fig. 1. Ejemplos de descomposiciones certificadoras de la escasez: a) una 3-arborescencia; b) una 2-map-graph; c) una
(2,1)-maps-y-árboles. Los bordes con el mismo estilo de línea pertenecen al mismo subgrafo. El 2-map-graph es
se muestra con una orientación certificadora.
Un `Tk es una descomposición en `árboles disjuntos de borde (que no necesariamente abarcan) de tal manera que cada uno
vértice está en exactamente k de ellos. La figura 2 a) muestra un ejemplo de un 3T2.
Dado un subgrafo G′ de un gráfico `Tk G, el conjunto de piezas arbóreas en G′ es la colección del
componentes de los árboles en G inducidos por G′ (dado que G′ es un subgrafo cada árbol puede contribuir
piezas múltiples en el conjunto de piezas de árbol en G′). Observamos que estas piezas de árboles pueden venir
del mismo árbol o ser un solo vertex “árboles vacíos.” También es útil tener en cuenta que la definición
de un árbol-pieza es relativo a un subgrafo específico. Una descomposición `Tk es apropiada si el conjunto de
las piezas arbóreas de cualquier subpárrafo G′ tienen un tamaño mínimo `.
La Figura 2(a) muestra un gráfico con una descomposición 3T2; observamos que uno de los árboles es un
vértice aislado en la esquina inferior derecha. El subgrafo de la Figura 2(b) tiene tres árboles negros-
piezas y un árbol-pieza gris: un vértice aislado en la esquina superior derecha, y dos bordes individuales.
Estos cuentan como tres árboles-piezas, a pesar de que vienen del mismo árbol trasero cuando el
Gráfico completo considerado. La figura 2 c) muestra otro subgráfico; en este caso hay tres
piezas de árboles grises y una negra.
En el cuadro 1 figura la terminología de descomposición utilizada en este documento.
El problema de descomposición. Definimos el problema de descomposición para gráficos escasos como tak-
• un gráfico como su entrada y producción como salida, una descomposición que se puede utilizar para certificar
sity. En el presente documento se estudiarán tres tipos de productos: mapas y árboles; descomposiciones adecuadas de `Tk;
y la descomposición de guijarros-juego-con-colores, que se define en la siguiente sección.
2. Antecedentes históricos
Los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] relacionan los gráficos (k,k) ajustados a
la existencia de descomposicións en los árboles que se extienden por los bordes. Tomando un punto de vista matroidal,
4 Ileana Streinu, Louis Theran
Fig. 2. (a) Un gráfico con una descomposición 3T2; uno de los tres árboles es un único vértice en la parte inferior derecha
esquina. (b) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol negro y una gris
pieza de árbol. (c) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol grises (uno es un
solo vértice) y una pieza de árbol negro.
Edmonds [3, 4] dio otra prueba de este resultado usando uniones de matroide. La equivalencia de los mapas-
los gráficos y árboles y los gráficos ajustados en el rango inferior se muestran utilizando uniones de los matroides en [24], y
rutas de aumento matroide son la base de los algoritmos para el rango inferior de [5, 6, 19].
En la teoría de la rigidez un teorema fundacional de Laman [11] muestra que (2,3)-ajustado (Laman)
los gráficos corresponden a marcos de barras y conjuntos genéricamente mínimamente rígidos en el plano. Tay
[21] ha demostrado ser un resultado análogo para los marcos de la barra del cuerpo en cualquier dimensión utilizando (k,k)
gráficos. Rigidez por conteos de interés motivado en el rango superior, y Crapo [2] probó la
equivalencia de gráficos Laman y gráficos 3T2 apropiados. Tay [22] utilizó esta condición para dar un
prueba directa del teorema de Laman y generalizada la condición 3T2 a todos `Tk para k≤ 2k−1.
Haas [7] estudió detalladamente las descomposicións de `Tk y demostró la equivalencia de gráficos ajustados y
gráficos `Tk apropiados para el rango superior general. Observamos que aparte de nuestro nuevo guijarro...
game-with-colors descomposición, todas las caracterizaciones combinatoria de la gama superior de
Los gráficos escasos, incluidos los conteos, tienen una interpretación geométrica [11, 21, 22, 24].
Un algoritmo de juego de guijarros fue propuesto por primera vez en [10] como una alternativa elegante a Hendrick-
algoritmos de gráfico Laman de hijo [9]. Berg y Jordania [1], facilitaron el análisis formal de la
juego de guijarros de [10] e introdujo la idea de jugar el juego en un gráfico dirigido. Lee y
Streinu [12] generalizó el juego de guijarros a toda la gama de parámetros 0≤ 2k−1, y
izquierda como un problema abierto utilizando el juego de guijarros para encontrar la escasez certificando las descomposicións.
3. El juego de guijarros con colores
Nuestro juego de guijarros con colores es un conjunto de reglas para la construcción de gráficos indexados por no negativos
enteros k y `. Usaremos el juego de guijarros con colores como la base de un algoritmo eficiente
para el problema de descomposición más adelante en este documento. Puesto que la frase “con colores” es necesaria
Sólo en comparación con [12], lo omitiremos en el resto del documento cuando el contexto sea claro.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 5
Ahora presentamos el juego de guijarros con colores. El juego es jugado por un solo jugador en un
conjunto finito fijo de vértices. El jugador hace una secuencia finita de movimientos; un movimiento consiste en el
adición y/o orientación de un borde. En cualquier momento, el estado del juego es capturado
por un gráfico dirigido H, con guijarros de colores sobre vértices y bordes. Los bordes de H son de color
por los guijarros en ellos. Mientras que jugando el juego de guijarros todos los bordes están dirigidos, y utilizamos el
notación vw para indicar un borde dirigido de v a w.
Describimos el juego de guijarros con colores en términos de su configuración inicial y el permitido
se mueve.
Fig. 3. Ejemplos de juego de guijarros con movimientos de colores: (a) add-edge. b) Deslizamiento de guijarros. Guijarros sobre vértices
se muestran como puntos negros o grises. Los bordes están coloreados con el color de la rocalla en ellos.
Inicialización: Al principio del juego de guijarros, H tiene n vértices y no tiene bordes. Comenzamos
colocando k guijarros en cada vértice de H, uno de cada color ci, para i = 1,2,...,k.
Add-edge-with-colors: Dejar v y w ser vértices con al menos â € 1 guijarros en ellos. Asumir
(w.l.o.g.) que v tiene al menos un guijarro en él. Recoger un guijarro de v, añadir el borde orientado vw
a E(H) y poner el guijarro recogido de v en el nuevo borde.
La Figura 3(a) muestra ejemplos del movimiento de add-edge.
Pebble-slide: Dejar w ser un vértice con un guijarro p en él, y dejar vw ser un borde en H. Reemplazar
vw con wv en E(H); poner el guijarro que estaba en vw en v; y poner p en wv.
Tenga en cuenta que el color de un borde puede cambiar con un movimiento de guijarros. La figura 3 b) muestra
ejemplos. La convención en estas figuras, y a lo largo de este documento, es que los guijarros sobre los vértices
se representan como puntos de color, y que los bordes se muestran en el color de la rocalla en ellos.
A partir de la definición del movimiento de guijarros-deslizamiento, es fácil ver que un guijarro en particular es
siempre en el vértice donde empezó o en un borde que tiene este vértice como la cola. Sin embargo,
al hacer una secuencia de movimientos de guijarros que invierten la orientación de un camino en H, es
a veces es conveniente pensar en esta secuencia de inversión del camino como trayendo un guijarro desde el final
del camino al principio.
La salida de jugar el juego de guijarros es su configuración completa.
Salida: Al final del juego, obtenemos el gráfico dirigido H, junto con la ubicación
y los colores de los guijarros. Observe que ya que cada borde tiene exactamente un guijarro en él, el guijarro
la configuración del juego colorea los bordes.
Decimos que el gráfico G de H subyacente no dirigido es construido por el juego (k, `)-pebble
o que H es un gráfico de juego de guijarros.
Puesto que cada borde de H tiene exactamente un guijarro, las particiones de configuración del juego de guijarro
los bordes de H, y así G, en k diferentes colores. Llamamos a esta descomposición de H un guijarro...
juego-con-colores descomposición. La Figura 4(a) muestra un ejemplo de un gráfico ajustado (2,2) con un
Descomposición de juego de guijarros.
Que G = (V,E) sea gráfico de juego de guijarros con la coloración inducida por los guijarros en los bordes,
y dejar que G′ sea un subgrafo de G. Entonces la coloración de G induce un conjunto de con-
6 Ileana Streinu, Louis Theran
a) b) c)
Fig. 4. A (2,2)-término gráfico con una posible descomposición del juego de guijarros. Los bordes están orientados a
mostrar (1,0)-esparsidad para cada color. a) El gráfico K4 con una descomposición del juego de guijarros. Hay un
árbol negro vacío en el vértice central y un árbol gris que se extiende. b) El subgráfico resaltado consta de dos:
árboles negros y un árbol gris; los bordes negros son parte de un ciclo más grande pero aportan un árbol al subgrafo.
c) El subgrafo resaltado (con fondo gris claro) tiene tres árboles grises vacíos; los bordes negros
contienen un ciclo y no aportan un pedazo de árbol al subgrafo.
Significado de la notación
longitud (V ′) Número de bordes que se extienden en H por V ′ V ; es decir, EH(V ′)
Peb(V ′) Número de guijarros en V ′ ́V
fuera (V ′) Número de bordes vw en H con v ́V ′ y w ́V −V ′
pebi(v) Número de guijarros de color ci en v • V
outi(v) Número de bordes vw coloreados ci para v â € € TM V
Cuadro 2 Pebble notación de juego utilizado en este papel.
Subgrafías de G′ (puede haber más de uno del mismo color). Tan monocromático
subgraph se llama un mapa-foto-pieza de G′ si contiene un ciclo (en G′) y un árbol-pieza de G′
De lo contrario. El conjunto de piezas arbóreas de G′ es la colección de piezas arbóreas inducidas por G′. Al igual que con
la definición correspondiente para `Tk s, el conjunto de piezas arbóreas se define en relación con un sub-
grafo; en particular, una pieza de árbol puede formar parte de un ciclo más grande que incluye bordes que no se extienden
por G′.
Las propiedades de las descomposicións del juego de guijarros se estudian en la Sección 6 y en el Teorema 2
muestra que cada color debe ser (1,0)-sparse. La orientación de los bordes en la Figura 4(a) muestra
Esto.
Por ejemplo, la Figura 4(a) muestra un gráfico ajustado (2,2) con un posible decom de juego de guijarro-
posición. El gráfico completo contiene una pieza de árbol gris y una pieza de árbol negro que es un aislado
vértice. El subgrafo de la Figura 4(b) tiene un árbol negro y un árbol gris, con los bordes del negro
árbol procedente de un ciclo en el gráfico más grande. En la Figura 4(c), sin embargo, el ciclo negro no
contribuir con una pieza de árbol. Las tres piezas de árbol en este subgrafo son árboles grises de un solo vértex.
En la siguiente discusión, utilizamos la notación peb(v) para el número de guijarros en v y
pebi(v) para indicar el número de guijarros de colores i en v.
La Tabla 2 enumera la notación de juego de guijarros utilizada en este artículo.
4. Nuestros resultados
Describimos nuestros resultados en esta sección. El resto del periódico proporciona las pruebas.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 7
Nuestro primer resultado es un fortalecimiento de los juegos de guijarros de [12] para incluir los colores. Dice
que los gráficos escasos son exactamente gráficos de juego de guijarros. Recuerde que a partir de ahora, todos los juegos de guijarros
discutidos en este artículo son nuestro juego de guijarros con colores a menos que se anote explícitamente.
Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse
con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros.
A continuación consideramos las descomposiciones de juego de guijarros, mostrando que son una generalización de
las descomposiciones adecuadas de `Tk que se extienden a toda la gama matroidal de gráficos dispersos.
Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros
gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno
es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse
gráficos en la descomposición.
Las subgrafías de (1,0)-parse en la declaración de Teorema 2 son los colores de los guijarros; por lo tanto
Teorema 2 da una caracterización de las descomposicións de guijarros-juego-con-colores obtenidos
jugando el juego de guijarros definido en la sección anterior. Nótese la similitud entre el
requisito de que el conjunto de piezas arbóreas tenga por lo menos un tamaño ` en el Teorema 2 y la definición de un
propiamente dicho `Tk.
Nuestros siguientes resultados muestran que para cualquier gráfico de juego de guijarros, podemos especializar su juego de guijarros
construcción para generar una descomposición que es un mapa-y-árboles o `Tk. Nosotros llamamos a estos
especializada construcción de juegos de guijarros canónicos, y el uso canónico juego de guijarros construc-
ciones, obtenemos nuevas pruebas directas de los resultados de arboricidad existentes.
Observamos Teorema 2 que los mapas-y-árboles son casos especiales del juego de guijarros decompo-
Situación: tanto los árboles que se extienden y los mapas que se extienden son (1.0)-parse, y cada uno de la extensión
los árboles aportan al menos un pedazo de árbol a cada subgrafo.
El caso de los gráficos `Tk apropiados es más sutil; si cada color en una descomposición del juego de guijarros
es un bosque, entonces hemos encontrado un adecuado `Tk, pero esta clase es un subconjunto de todos los posibles apropiados
`Tk descomposiciones de un gráfico apretado. Demostramos que esta clase de descomposiciones apropiadas `Tk es
suficiente para certificar la escasez.
Ahora declaramos el teorema principal para el rango superior e inferior.
Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros
grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)-
mapas y árboles.
Teorema 4 (Teorema principal): Los gráficos `Tk adecuados coinciden con el juego de guijarros
grafos). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarros apretado si y sólo si es un adecuado
`Tk con kn− ` bordes.
Como corolarios, obtenemos los resultados de descomposición existentes para gráficos escasos.
Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico
G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees.
Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un
propiamente dicho `Tk.
Encontrar eficientemente construcciones canónicas de juego de guijarros. Las pruebas de Teorema 3 y Theo-
rem 4 conduce a un algoritmo obvio con O(n3) tiempo de ejecución para el problema de descomposición.
Nuestro último resultado mejora en esto, mostrando que una construcción canónica juego de guijarros, y por lo tanto
8 Ileana Streinu, Louis Theran
un mapa-y-árboles o `Tk descomposición apropiada se puede encontrar usando un algoritmo de juego de guijarros en
O(n2) tiempo y espacio.
Estos límites de tiempo y espacio significan que nuestro algoritmo puede combinarse con los de [12]
sin ningún cambio en la complejidad.
5. Gráficos de juego de pebble
En esta sección demostramos Teorema 1, un fortalecimiento de los resultados de [12] al juego de guijarros
con colores. Dado que muchas de las propiedades relevantes del juego de guijarros con colores
directamente de los juegos de guijarros de [12], nos referimos al lector allí para las pruebas.
Comenzamos estableciendo algunas invariantes que se mantienen durante la ejecución del juego de guijarros.
Lemma 7 (invariantes de juego de pebble). Durante la ejecución del juego de guijarros, lo siguiente
los invariantes se mantienen en H:
(I1) Hay por lo menos ` guijarros en V. [12]
(I2) Para cada vértice v, span(v)+out(v)+peb(v) = k. [12]
(I3) Para cada V ′ ́V, span(V ′)+out(V ′)+peb(V ′) = kn′. [12]
(I4) Por cada vértice v V, outi(v)+pebi(v) = 1.
(I5) Cada ruta máxima que consiste sólo de bordes con ci de color termina en el primer vértice con
un guijarro de color ci o un ciclo.
Prueba. (I1), (I2), y (I3) vienen directamente de [12].
(I4) Este invariante se mantiene claramente en la fase de inicialización del juego de guijarros con colores.
Esa reserva de movimientos de bordes añadidos y guijarros (I4) está clara de la inspección.
(I5) Por (I4), un camino monocromático de los bordes se ve obligado a terminar sólo en un vértice con un guijarro de
el mismo color en ella. Si no hay guijarros de ese color alcanzable, entonces el camino debe eventualmente
Visita un vértice dos veces.
De estos invariantes, podemos mostrar que los gráficos constructibles del juego de guijarros son escasos.
Lemma 8 (Los gráficos de los juegos de pelota son escasos [12]). Dejar H ser un gráfico construido con el
Juego de guijarros. Entonces H es escasa. Si hay exactamente ` guijarros en V (H), entonces H es apretado.
El paso principal para probar que cada gráfico escaso es un gráfico de juego de guijarros es el siguiente.
Recordemos que al traer un guijarro a v nos referimos a reorientar H con movimientos de guijarro-deslizamiento para reducir
el grado de v por uno.
Lemma 9 (La condición de guijarro â € 1 [12]). Dejar vw ser un borde tal que H + vw es escaso. Si
peb({v,w}) < â € 1, entonces un guijarro no en {v,w} se puede llevar a v o w.
Se deduce que cualquier gráfico escaso tiene una construcción de juego de guijarros.
Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse
con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros.
6. La descomposición de guijarros-juego-con-colores
En esta sección demostramos Teorema 2, que caracteriza todas las descomposicións de juego de guijarros. Nosotros
empezar con los siguientes lemas sobre la estructura de los componentes monocromáticos conectados
en H, el gráfico dirigido mantenido durante el juego de guijarros.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 9
Lemma 10 (los subgrafos monocromáticos del juego de guijarros son (1,0)-sparse). Deja que Hi sea el sub-
gráfico de H inducido por los bordes con guijarros de color ci en ellos. Entonces Hi es (1,0)-parso, para
i = 1,...,k.
Prueba. Por (I4) Hi es un conjunto de bordes con grado a lo sumo uno para cada vértice.
Lemma 11 (Piezas de árbol en un gráfico de juego de guijarros). Cada subgrafo del gráfico dirigido H
en una construcción de juego de guijarros contiene por lo menos ` piezas monocromáticas de árboles, y cada uno de estos
tiene sus raíces en un vértice con un guijarro en él o un vértice que es la cola de un borde.
Recordemos que un borde superior a un subpárrafo H ′ = (V ′,E ′) es un borde vw con v′ V y vw /′ E.
Prueba. Dejar que H ′ = (V ′,E ′) sea un subgrafo no vacío de H, y asumir sin pérdida de generalidad
que H ′ es inducida por V ′. Por (I3), fuera (V ′)+ peb(V ′) ≥ `. Mostraremos que cada guijarro y
cola de borde es la raíz de una pieza de árbol.
Considerar un vértice v V ′ y un color ci. Por (I4) hay un único monocromático dirigido
ruta de color ci a partir de v. Por (I5), si este camino termina en una rocalla, no tiene un ciclo.
Del mismo modo, si este camino alcanza un vértice que es la cola de un borde también en color ci (es decir, si el
trayectoria monocromática desde v hojas V ′), entonces la trayectoria no puede tener un ciclo en H ′.
Dado que este argumento funciona para cualquier vértice en cualquier color, para cada color hay una partición
de los vértices en aquellos que pueden alcanzar cada guijarro, cola de borde superior, o ciclo. De ello se deduce que cada uno de
guijarros y cola de borde superior es la raíz de un árbol monocromático, como se desee.
Aplicado a todo el gráfico Lemma 11 nos da lo siguiente.
Lemma 12 (Los pebbles son las raíces de los árboles). En cualquier configuración de juego de guijarros, cada guijarros de
color ci es la raíz de un (posiblemente vacío) monocromático árbol-pieza de color ci.
Nota: Haas mostró en [7] que en un `Tk, un subgráfico inducido por n′ ≥ 2 vértices con m′
los bordes tienen exactamente piezas de árbol knm′ en él. Lemma 11 refuerza el resultado de Haas al ampliarlo
a la gama inferior y dando una construcción que encuentra las piezas de árbol, mostrando la conexión
entre la condición de guijarro â € 1 y la condición hereditaria en la adecuada `Tk.
Concluimos nuestra investigación de construcciones arbitrarias de juego de guijarros con una descripción de
la descomposición inducida por el juego de guijarros con colores.
Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros
gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno
es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse
gráficos en la descomposición.
Prueba. Deja que G sea un gráfico de juego de guijarros. La existencia de la k borde-disjunta (1,0)-sparse sub-
Los gráficos fueron mostrados en Lemma 10, y Lemma 11 prueba la condición en subgrafías.
Para la otra dirección, observamos que un ci de color con piezas de árbol ti en un subgrafo dado puede
espacio a lo sumo n- ti bordes; sumando sobre todos los colores muestra que un gráfico con un guijarro-juego
la descomposición debe ser escasa. Aplique el Teorema 1 para completar la prueba.
Observación: Observamos que una descomposición del juego de guijarros para un gráfico de Laman puede ser leída
de la coincidencia bipartita utilizada en el algoritmo de extracción de gráficos Laman de Hendrickson [9]. De hecho,
las orientaciones de juego de guijarros tienen una correspondencia natural con los emparejamientos bipartitos utilizados en
10 Ileana Streinu, Louis Theran
Mapas y árboles son un caso especial de descomposición de juegos de guijarros para gráficos apretados: si hay
no son ciclos en ` de los colores, entonces los árboles enraizados en los ` guijarros correspondientes deben ser
que se extienden, ya que tienen n - 1 bordes. Además, si cada color forma un bosque en un rango superior
la descomposición del juego de guijarros, entonces la condición de piezas de árbol asegura que el juego de guijarros de-
la composición es un `Tk.
En la siguiente sección, mostramos que el juego de guijarros puede ser especializado para corresponder a los mapas-
y árboles y las correspondientes descomposicións `Tk.
7. Construcciones Canónicas de Juego de Pebble
En esta sección demostramos los principales teoremas (Teorema 3 y Teorema 4), continuando las inves-
de las descomposiciones inducidas por las construcciones de juego de guijarros mediante el estudio del caso en el que un
Se crea un número mínimo de ciclos monocromáticos. La idea principal, capturada en Lemma 15
e ilustrado en la Figura 6, es evitar la creación de ciclos al recoger piedras. Demostramos que
esto es siempre posible, lo que implica que los mapas monocromáticos se crean sólo cuando
añadir más de k(n1) bordes a algún conjunto de n′ vértices. Para el rango inferior, esto implica que
Cada color es un bosque. Cada caracterización de descomposición de gráficos ajustados discutidos arriba
sigue inmediatamente del teorema principal, dando nuevas pruebas de los resultados anteriores en un
un marco unificado.
En la prueba, vamos a utilizar dos especializaciones de los movimientos de juego de guijarros. El primero es un modi-
ficación del movimiento de add-edge.
Add-edge canónico: Al realizar un movimiento de add-edge, cubra el nuevo borde con un color
que está en ambos vértices si es posible. Si no, entonces tome el color numerado más alto presente.
La segunda es una restricción en la que los movimientos de guijarros-deslizamiento que permitimos.
Deslizamiento canónico de guijarros: Un movimiento de guijarros se permite sólo cuando no crea un
ciclo monocromático.
Llamamos a una construcción de juego de guijarros que utiliza sólo estos movimientos canónicos. En esta sección
vamos a mostrar que cada gráfico de juego de guijarros tiene una construcción canónica de juego de guijarros (Lemma
14 y Lemma 15) y que las construcciones canónicas de juego de guijarros corresponden a `Tk y
las descomposicións de mapas y árboles (Teorema 3 y Teorema 4).
Comenzamos con un lema técnico que motiva la definición de juego canónico de guijarros
construcciones. Muestra que las situaciones desaprobadas por los movimientos canónicos son todas las maneras
para que los ciclos se formen en los colores más bajos.
Lemma 13 (creación del ciclo monocromático). Let v â € ¢ V tener un guijarro p de color ci en él y
dejar w ser un vértice en el mismo árbol de color ci como v. Un ciclo monocromático de color ci se crea
exactamente de una de las siguientes maneras:
(M1) El borde vw se añade con un movimiento de add-edge.
(M2) El borde wv es invertido por un movimiento de guijarro-deslizamiento y el guijarro p se utiliza para cubrir el reverso
edge vw.
Prueba. Observe que las condiciones previas en la declaración del lema están implícitas en Lemma 7.
Por Lemma 12 ciclos monocromáticos se forman cuando el último guijarro de color ci se elimina de un
Subgrafía monocromática conectada. (M1) y (M2) son las únicas maneras de hacer esto en un guijarro
construcción del juego, ya que el color de un borde sólo cambia cuando se inserta la primera vez o
un guijarro nuevo es puesto en él por un movimiento de guijarro-deslizamiento.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 11
vw vw
Fig. 5. Crear ciclos monocromáticos en un juego (2.0)-pebble. a) Un movimiento de tipo (M1) crea un ciclo por
añadir un borde negro. (b) Un movimiento de tipo (M2) crea un ciclo con un movimiento de guijarros-deslizamiento. Los vértices son
etiquetado de acuerdo a su papel en la definición de los movimientos.
La figura 5 a) y la figura 5 b) muestran ejemplos de movimientos de creación de mapas (M1) y (M2),
respectivamente, en una construcción de juego (2.0)-pebble.
A continuación mostramos que si un gráfico tiene una construcción de juego de guijarros, entonces tiene un peb canónico-
ble construcción de juegos. Esto se hace en dos pasos, considerando los casos (M1) y (M2) sepa-
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La prueba da dos construcciones que implementan el add-edge canónico y canónico
movimiento de guijarros-deslizamiento.
Lemma 14 (El movimiento canónico de add-edge). Let G ser un gráfico con un juego de guijarros construc-
tion. Los pasos de creación de ciclo de tipo (M1) se pueden eliminar en colores ci para 1 ≤ i ≤, donde
= min{k,.
Prueba. Para los movimientos de add-edge, cubra el borde con un color presente en v y w si es posible. Si
esto no es posible, entonces hay â € 1 colores distintos presentes. Usar el color numerado más alto
para cubrir el nuevo borde.
Observación: Observamos que en el rango superior, siempre hay un color repetido, por lo que no canónico
los movimientos de add-edge crean ciclos en el rango superior.
El movimiento canónico de guijarros se define por una condición global. Para demostrar que obtenemos
la misma clase de gráficos usando sólo movimientos canónicos de rocalla-deslizamiento, tenemos que extender Lemma
9 a sólo movimientos canónicos. El paso principal es mostrar que si hay alguna secuencia de movimientos que
reorienta un camino de v a w, entonces hay una secuencia de movimientos canónicos que hace lo mismo
Cosa.
Lemma 15 (El movimiento canónico de guijarros). Cualquier secuencia de deslizamiento de guijarros se mueve llevando
a un movimiento de add-edge se puede reemplazar por uno que no tiene pasos (M2) y permite el mismo
add-edge move.
En otras palabras, si es posible recoger 1 guijarros en los extremos de un borde a añadir,
entonces es posible hacer esto sin crear ningún ciclo monocromático.
12 Ileana Streinu, Louis Theran
La Figura 7 y la Figura 8 ilustran la construcción utilizada en la prueba de Lemma 15. Nosotros llamamos a esto
la construcción de atajos por analogía a la unión matroide y caminos de aumento de intersección utilizados
en trabajos anteriores en el rango inferior.
La Figura 6 muestra la estructura de la prueba. La construcción de acceso directo elimina un paso (M2)
al principio de una secuencia que reorienta un camino de v a w con deslizamientos de guijarros. Desde uno
la aplicación de la construcción abreviada reorienta un camino simple de un vértice w′ a w, y un
ruta de v a w′ se conserva, la construcción de acceso directo se puede aplicar inductivamente para encontrar la
secuencia de movimientos que queremos.
Fig. 6. Esquema de la construcción del atajo: (a) Un camino sencillo arbitrario de v a w con líneas curvas
indicando caminos simples. b) Una etapa (M2). El borde negro, a punto de ser volteado, crearía un ciclo,
se muestra en gris rayado y sólido, del (único) árbol gris enraizado en w. Los bordes grises sólidos eran parte
de la ruta original de (a). (c) El camino acortado a la rocalla gris; el nuevo camino sigue el gris
árbol todo el camino desde la primera vez que el camino original tocó el árbol gris en w′. La ruta de v a w′ es
simple, y la construcción del atajo se puede aplicar inductivamente a él.
Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que nuestra secuencia de movimientos reorienta un simple
camino en H, y que el primer movimiento (el final del camino) es (M2). El paso (M2) mueve un guijarro
de color ci de un vértice w en el borde vw, que se invierte. Porque el movimiento es (M2), v
y w están contenidos en un árbol monocromático máximo de color ci. Llame a este árbol H ′i, y observar
que está arraigado en w.
Ahora considere los bordes invertidos en nuestra secuencia de movimientos. Como se ha señalado anteriormente, antes de hacer
cualquiera de los movimientos, estos bosquejan un camino simple en H que termina en w. Que z sea el primer vértice en
este camino en H ′i. Modificamos nuestra secuencia de movimientos de la siguiente manera: eliminar, desde el principio, cada
mover antes de la que invierte algunos yz borde; prepend en lo que queda una secuencia de movimientos
que mueve el guijarro en w a z en H ′i.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 13
Fig. 7. Eliminando movimientos (M2): (a) un movimiento (M2); (b) evitando el (M2) moviéndose por otro camino.
El camino donde se mueven los guijarros está indicado por líneas duplicadas.
Fig. 8. Eliminación (M2) movimientos: (a) el primer paso para mover el guijarro negro a lo largo del camino doble es
(M2); (b) evitando el (M2) y simplificando el camino.
Puesto que ningún borde cambia de color en el comienzo de la nueva secuencia, hemos eliminado
el movimiento (M2). Porque nuestra construcción no cambia ninguno de los bordes involucrados en el
cola restante de la secuencia original, la parte de la ruta original que queda en el nuevo
secuencia seguirá siendo un camino simple en H, cumpliendo con nuestra hipótesis inicial.
El resto del lema sigue por inducción.
Juntos Lemma 14 y Lemma 15 prueban lo siguiente.
Lemma 16. Si G es un gráfico de juego de guijarros, entonces G tiene una construcción canónica de juego de guijarros.
Usando construcciones canónicas de juego de guijarros, podemos identificar los gráficos apretados de juego de guijarros
con mapas y árboles y gráficos `Tk.
14 Ileana Streinu, Louis Theran
Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros
grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)-
mapas y árboles.
Prueba. Como se observó anteriormente, una descomposición de mapas y árboles es un caso especial del juego de guijarros
descomposición. Aplicando el Teorema 2, vemos que cualquier mapa y árbol debe ser un juego de guijarros
gráfico.
Para la dirección inversa, considere la construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado.
Desde Lemma 8, vemos que quedan piedras en G al final de la construcción. Los
definición del movimiento canónico de add-edge implica que debe haber al menos un guijarro de
cada ci para i = 1,2,........................................................................................................... Se deduce que hay exactamente uno de cada uno de estos colores. Por Lemma
12, cada uno de estos guijarros es la raíz de una pieza arbórea monocromática con n - 1 bordes, dando
los árboles de separación de bordes necesarios.
Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico
G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees.
A continuación consideramos las descomposicións inducidas por las construcciones canónicas de juego de guijarros cuando
k +1.
Teorema 4 (Teorema Principal): Árboles y árboles adecuados coinciden con el
ble-game graphs). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si
es un `Tk con bordes kn− ` adecuado.
Prueba. Como se ha señalado anteriormente, una descomposición adecuada de `Tk debe ser escasa. Lo que tenemos que mostrar
es que una construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado produce una adecuada `Tk.
Por Teorema 2 y Lemma 16, ya tenemos la condición en los árboles-piezas y el decom-
posición en `árboles de borde-desconectado. Por último, una aplicación de (I4), muestra que cada vértice debe
en exactamente k de los árboles, según sea necesario.
Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un
propiamente dicho `Tk.
8. Algoritmos de juego de pebble para encontrar descomposicións
Una ejecución naïve de las construcciones en la sección anterior conduce a un algoritmo re-
tiempo para recoger cada guijarro en una construcción canónica: en el peor de los casos
aplicaciones de la construcción en Lemma 15 requiriendo tiempo cada uno, dando un total de ejecución
tiempo de فارسى(n3) para el problema de descomposición.
En esta sección, describimos algoritmos para el problema de descomposición que se ejecutan en el tiempo
O(n2). Comenzamos con la estructura general del algoritmo.
Algoritmo 17 (El juego canónico de guijarros con colores).
Entrada: Un gráfico G.
Salida: Un gráfico de juego de guijarros H.
Método:
– Conjunto V (H) = V (G) y colocar un guijarro de cada color en los vértices de H.
– Para cada borde vw E(G) tratar de recoger al menos 1 guijarros en v y w utilizando guijarros deslizante
movimientos según lo descrito por Lemma 15.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 15
– Si al menos 1 guijarros se puede recoger, añadir vw a H utilizando un movimiento de borde añadido como en Lemma
14, por lo demás descarte vw.
– Finalmente, devolver H, y las ubicaciones de los guijarros.
Correcto. Teorema 1 y el resultado de [24] que los gráficos escasos son los independientes
conjuntos de un matroide muestran que H es un subgrafo de tamaño máximo escaso de G. Desde la construcción
encontrado es canónico, el teorema principal muestra que el color de los bordes en H da un mapa-
y-árboles o descomposición adecuada `Tk.
Complejidad. Comenzamos observando que el tiempo de ejecución del Algoritmo 17 es el tiempo necesario para
proceso O(n) bordes añadidos a H y O(m) bordes no añadidos a H. Primero consideramos el costo de un
borde de G que se añade a H.
Cada uno de los movimientos de juego de guijarros se puede implementar en tiempo constante. Lo que queda es a
describir una manera eficiente de encontrar y mover los guijarros. Utilizamos el siguiente algoritmo como un
Subrutina de Algoritmo 17 para hacer esto.
Algoritmo 18 (Encontrar un camino canónico a una rocalla.).
Entrada: Vertices v y w, y una configuración de juego de guijarros en un gráfico dirigido H.
Salida: Si se encontró un guijarro, ‘sí’ y ‘no’ de otra manera. Se actualiza la configuración de H.
Método:
– Comience por hacer una búsqueda de profundidad desde v en H. Si no se encuentra ningún guijarro en w, detener y
devolver «no.»
– De lo contrario se encontró un guijarro. Ahora tenemos una ruta v = v1,e1,. ..,ep−1,vp = u, donde el vi
son vértices y ei es el borde vivi+1. Que c[ei] sea el color del guijarro en ei. Usaremos
la matriz c[] para hacer un seguimiento de los colores de los guijarros en los vértices y los bordes después de moverlos
y el array s[] para dibujar un camino canónico de v a u encontrando un sucesor para cada uno
borde.
– Establecer s[u] = «end′ y establecer c[u] al color de una piedra arbitraria en u. Caminamos en el camino en
orden inverso: vp,ep−1,ep−2,. ..,e1,v1. Para cada i, verifique si c[vi] está configurado; si es así, vaya a
la siguiente i. De lo contrario, compruebe si c[vi+1] = c[ei].
– Si lo es, establece s[vi] = ei y establece c[vi] = c[ei], y pasa al siguiente borde.
– De lo contrario c[vi+1] 6= c[ei], tratar de encontrar un camino monocromático en color c[vi+1] de vi a vi+1. Si
un vértice x se encuentra para el cual c[x] se establece, tenemos una ruta vi = x1, f1,x2,. .., fq−1,xq = x
que es monocromático en el color de los bordes; establecer c[xi] = c[fi] y s[xi] = fi para i =
1,2,...,q−1. Si c[x] = c[ fq−1], pare. De lo contrario, comprobar recursivamente que no hay un monocro-
c[x] ruta mática de xq−1 a x usando este mismo procedimiento.
– Finalmente, deslizar guijarros a lo largo del camino desde los puntos finales originales v a u especificado por el
array sucesor s[v], s[s[v],...
La corrección de Algoritmo 18 viene del hecho de que está implementando el atajo
construcción. La eficiencia viene del hecho de que en lugar de potencialmente mover el guijarro hacia atrás
y adelante, Algoritmo 18 pre-computa un camino canónico que cruza cada borde de H a lo sumo tres
times: una vez en la primera búsqueda de profundidad inicial, y dos veces al convertir la ruta inicial a una
Canónico. De ello se deduce que cada borde aceptado toma O(n) tiempo, para un total de O(n2) tiempo
los bordes de procesamiento gastados en H.
Aunque no hemos discutido esta explicitación, para que el algoritmo sea eficiente necesitamos
mantener los componentes como en [12]. Después de cada borde aceptado, los componentes de H se pueden actualizar
en el tiempo O(n). Por último, los resultados de [12, 13] muestran que los bordes rechazados toman un O(1) amortizado
tiempo cada uno.
16 Ileana Streinu, Louis Theran
Resumiendo, hemos demostrado que el juego canónico de guijarros con colores resuelve la decom-
problema de posición en el tiempo O(n2).
9. Un caso especial importante: Rigidez en la dimensión 2 y slider-pinning
En esta breve sección presentamos una nueva solicitud para el caso especial de importancia práctica,
k = 2, ` = 3. Como se explica en la introducción, el teorema de Laman [11] caracteriza mínimamente
gráficos rígidos como los gráficos ajustados (2,3). En el trabajo reciente sobre el slider pinning, desarrollado después de la
El documento actual fue presentado, introdujimos el modelo de slider-pinning de rigidez [15, 20]. Com-
binatoriamente, modelamos los marcos bar-slider como gráficos simples junto con algunos bucles
colocados en sus vértices de tal manera que no haya más de 2 bucles por vértice, uno de cada uno
color.
Caracterizamos los gráficos de deslizadores de barras mínimamente rígidos [20] como gráficos que son:
1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles.
2. (2,0)-ajustado cuando se incluyen los bucles.
Llamamos a estos gráficos (2,0,3)-clasificados-ajustados, y son un caso especial de la clasificación-parse
gráficos estudiados en nuestro artículo [14].
La conexión con los juegos de guijarros en este artículo es la siguiente.
Corollary 19 (juegos de pebble y slider-pinning). En cualquier gráfico de juego (2,3)-pebble, si
Reemplazar los guijarros por los bucles, obtenemos un gráfico ajustado (2.0,3)-calificado.
Prueba. Seguidos de invariantes (I3) de Lemma 7.
En [15], estudiamos un caso especial de slider pinning donde cada slider es vertical o
horizontal. Modelamos los deslizadores como bucles precoloreados, con el color que indica la dirección x o y.
Para este caso de deslizador paralelo eje, los gráficos mínimamente rígidos se caracterizan por:
1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles.
2. Admitir un 2-coloración de los bordes para que cada color sea un bosque (es decir, no tiene ciclos), y cada uno
árbol monocromático abarca exactamente un bucle de su color.
Esto también tiene una interpretación en términos de juegos de guijarros de colores.
Corollary 20 (El juego de guijarros con colores y slider-pinning). En cualquier canónico (2,3)-
Guijarro-juego-con-colores gráfico, si reemplazamos los guijarros por bucles del mismo color, obtenemos el
gráfico de un marco de eje-paralelo de barra-slider mínimamente fijado.
Prueba. Sigue desde el Teorema 4, y Lemma 12.
10. Conclusiones y problemas pendientes
Presentamos una nueva caracterización de (k, `)-sparse gráficos, el juego de guijarros con colores, y
lo utilizó para dar un algoritmo eficiente para encontrar descomposicións de gráficos escasos en el borde-
árboles desarticulados. Nuestro algoritmo encuentra tales descomposiciones certificadoras de esparcimiento en el rango superior
y se ejecuta en el tiempo O(n2), que es tan rápido como los algoritmos para reconocer gráficos escasos en el
rango superior a partir de [12].
También usamos el juego de guijarros con colores para describir una nueva descomposición de la sparsity-certificating-
ciones que se aplican a toda la gama matroidal de gráficos dispersos.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 17
Definimos y estudiamos una clase de construcciones canónicas de juego de guijarros que corresponden a
o bien una descomposición de mapas y árboles o bien una descomposición adecuada de `Tk. Esto da una nueva prueba de la Tutte-Nash-
Teorema de arboricidad Williams y una prueba unificada de la descomposición previamente estudiada cer-
tificates de la esparzidad. Las construcciones canónicas de juego de guijarros también muestran la relación entre
la condición de guijarro â 1, que se aplica a la gama superior de â, para aumentar la unión de los matroides
rutas, que no se aplican en el rango superior.
Consecuencias algorítmicas y problemas abiertos. En [6], Gabow y Westermann dan un O(n3/2)
algoritmo para reconocer gráficos escasos en el rango inferior y extraer subtítulos escasos de
Densos. Su técnica se basa en la búsqueda eficiente de caminos de aumento de unión de matroides,
que extienden una descomposición de mapas y árboles. El algoritmo O(n3/2) utiliza dos subrutinas para
encontrar rutas de aumento: exploración cíclica, que encuentra rutas de aumento uno a la vez, y lote
escaneado, que encuentra grupos de caminos de aumento disjuntos.
Observamos que Algoritmo 17 se puede utilizar para reemplazar el escaneo cíclico en Gabow y Wester-
algoritmo de mann sin cambiar el tiempo de ejecución. Las estructuras de datos utilizadas en la aplicación
de guijarros, detallado en [12, 13] son más simples y más fáciles de implementar que los
utilizado para apoyar el escaneo cíclico.
Los dos principales problemas algorítmicos abiertos relacionados con el juego de guijarros son entonces:
Problema 1. Desarrollar un algoritmo de juego de guijarros con las propiedades de escaneado por lotes y obtener
un algoritmo O(n3/2) implementable para el rango inferior.
Problema 2. Extender la exploración por lotes a la condición de guijarro â € 1 y derivar un guijarro O(n3/2)
algoritmo de juego para el rango superior.
En particular, sería de importancia práctica encontrar un algoritmo O(n3/2) implementable
para las descomposiciones en los árboles que se extienden por los bordes.
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http://cccg.cs.uwindsor.ca/papers/72.pdf
Introducción y preliminares
Antecedentes históricos
El juego de guijarros con colores
Nuestros resultados
Gráficos de juego de pebble
La descomposición de guijarros-juego-con-colores
Construcciones Canónicas de Juego de Pebble
Algoritmos de juego de pebble para encontrar descomposicións
Un caso especial importante: Rigidez en la dimensión 2 y slider-pinning
Conclusiones y problemas pendientes
| Describimos un nuevo algoritmo, el juego de $(k,\ell)$-pebble con colores, y el uso
obtener una caracterización de la familia de $(k,\ell)$-sparse gráficos y
soluciones algorítmicas a una familia de problemas relativos a las descomposiciones arbóreas de
gráficos. Casos especiales de gráficos escasos aparecen en la teoría de la rigidez y tienen
ha recibido una mayor atención en los últimos años. En particular, nuestro color
los guijarros generalizan y fortalecen los resultados anteriores de Lee y Streinu y
dar una nueva prueba de la caracterización Tutte-Nash-Williams de la arboricidad. Nosotros
también presentar una nueva descomposición que certifica la esparcidad basada en el
$(k,\ell)$-pebble juego con colores. Nuestro trabajo también expone conexiones entre
Algoritmos de juego de guijarros y algoritmos de gráficos anteriores por Gabow, Gabow y
Westermann y Hendrickson.
| Introducción y preliminares
El foco de este documento son las descomposicións de (k, `)-sparse gráficos en bordes-disjunto subgraphs
que certifique la escasez. Usamos el gráfico para significar un múltiplo, posiblemente con bucles. Nosotros decimos que un
grafo es (k, `)-sparse si ningún subconjunto de n′ vértices abarca más de kn ` bordes en el gráfico; a
(k, `)-sparse gráfico con kn ` bordes es (k, `)-estrechado. Llamamos al rango k ≤ 2k−1 el superior
rango de gráficos escasos y 0≤ k el rango inferior.
En este artículo, presentamos algoritmos eficientes para encontrar descomposicións que certifiquen la escasez
en el rango superior de `. Nuestros algoritmos también se aplican en el rango inferior, que ya era ad-
vestido por [3, 4, 5, 6, 19]. Una descomposición certifica la escasez de un gráfico si los gráficos dispersos
y los gráficos que admiten la descomposición coinciden.
Nuestros algoritmos se basan en una nueva caracterización de gráficos escasos, que llamamos el
juego de guijarros con colores. El juego de guijarros con colores es una regla de construcción de gráficos simples que
produce un gráfico escaso junto con una descomposición certificadora de la escasez.
Definimos y estudiamos una clase canónica de construcciones de juego de guijarros, que corresponden a
previamente estudiado las descomposiciones de los gráficos escasos en los árboles disjuntos del borde. Nuestros resultados proporcionan
un marco unificador para todos los casos especiales conocidos anteriormente, incluidos Nash-Williams-
Tutte y [7, 24]. De hecho, en el rango inferior, las construcciones canónicas de juego de guijarros capturan la
propiedades de las rutas de aumento utilizadas en los algoritmos de unión de matroides y de intersección[5, 6].
Dado que los gráficos escasos en el rango superior no se sabe que son uniones o intersecciones de la
matroides para los que hay algoritmos de ruta de aumento eficiente, estos no se aplican fácilmente en
* Investigación de ambos autores financiada por la NSF bajo subvenciones NSF CCF-0430990 y NSF-DARPA CARGO
CCR-0310661 al primer autor.
2 Ileana Streinu, Louis Theran
Significado del término
Gráfico escaso G Cada subgrafo no vacío en n′ vértices tiene ≤ kn ` bordes
El gráfico ajustado G G = (V,E) es escaso y V = n, E= kn− `
El bloque H en G G es escaso, y H es un subgrafo apretado
El componente H de G G es escaso y H es un bloqueo máximo
Gráfico cartográfico que admite una orientación de grado-exactamente-uno
(k, `)-maps-and-trees Edge-disjunt union de ` árboles y (k- `) map-grpahs
`Tk Unión de ` árboles, cada vértice está exactamente en k de ellos
Conjunto de piezas arbóreas de un `Tk inducido en V ′ ́V Piezas de árboles en el `Tk extendido por E(V ′)
`Tk Apropiado Cada V ′ V contiene ≥ ` pedazos de árboles de la `Tk
Cuadro 1 Gráfico escaso y terminología de descomposición utilizada en este artículo.
el rango superior. Pebble juego con construcciones de colores por lo tanto puede ser considerado un fortalecimiento
de caminos de aumento a la gama superior de gráficos de la escasez matroidal.
1.1. Gráficos escasos
Un gráfico es (k, `)-sparse si para cualquier subgrafo no vacío con bordes m′ y n′ vértices, m′ ≤
kn `. Observamos que esta condición implica que 0 ≤ ` ≤ 2k− 1, y a partir de ahora en este
Haremos esta suposición. Un gráfico escaso que tiene n vértices y exactamente bordes kn
se llama apretado.
Para un gráfico G = (V,E), y V ′ V, utilizamos el intervalo de notación (V ′) para el número de bordes
en el subgráfico inducido por V ′. En un gráfico dirigido, out(V ′) es el número de bordes con la cola
en V ′ y la cabeza en V −V ′; para un subgráfico inducido por V ′, llamamos a tal borde un borde superior.
Hay dos tipos importantes de subgrafías de gráficos escasos. Un bloque es un subgrafo apretado de
un gráfico escaso. Un componente es un bloque máximo.
La Tabla 1 resume la escasa terminología gráfica utilizada en este artículo.
1.2. Descomposiciónes de certificación de la sparsidad
Un k-arborescencia es un gráfico que admite una descomposición en k borde-desjunto que abarca los árboles.
La Figura 1(a) muestra un ejemplo de una 3-arborescencia. Se describen los gráficos k-arborescentes
por los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] como exactamente el (k,k) apretado
gráficos.
Un map-graph es un gráfico que admite una orientación tal que el grado de cada vértice es
Exactamente uno. Un k-map-graph es un gráfico que admite una descomposición en k borde-disjunto mapa-
gráficos. La Figura 1(b) muestra un ejemplo de un 2-map-graphs; los bordes están orientados en uno posible
configuración que certifica que cada color forma un mapa gráfico. Los mapas pueden ser equivalentes
definido (véase, por ejemplo, [18]) como tener exactamente un ciclo por componente conectado.1
A (k, `)-maps-and-trees es un gráfico que admite una descomposición en k− ` borde-disjunta
- mapas y árboles que se extienden por los árboles.
Otra caracterización de los mapas, que utilizaremos ampliamente en este artículo, es la siguiente:
los gráficos (1,0) ajustados [8, 24]. Los k-map-graphs son evidentemente (k,0)-stight, y [8, 24] muestran que
lo contrario se sostiene también.
1 Nuestra terminología sigue a Lovász en [16]. En la literatura matroide los mapas a veces se conocen como bases
del matroide de la bicicleta o pseudobosques que se extienden.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 3
Fig. 1. Ejemplos de descomposiciones certificadoras de la escasez: a) una 3-arborescencia; b) una 2-map-graph; c) una
(2,1)-maps-y-árboles. Los bordes con el mismo estilo de línea pertenecen al mismo subgrafo. El 2-map-graph es
se muestra con una orientación certificadora.
Un `Tk es una descomposición en `árboles disjuntos de borde (que no necesariamente abarcan) de tal manera que cada uno
vértice está en exactamente k de ellos. La figura 2 a) muestra un ejemplo de un 3T2.
Dado un subgrafo G′ de un gráfico `Tk G, el conjunto de piezas arbóreas en G′ es la colección del
componentes de los árboles en G inducidos por G′ (dado que G′ es un subgrafo cada árbol puede contribuir
piezas múltiples en el conjunto de piezas de árbol en G′). Observamos que estas piezas de árboles pueden venir
del mismo árbol o ser un solo vertex “árboles vacíos.” También es útil tener en cuenta que la definición
de un árbol-pieza es relativo a un subgrafo específico. Una descomposición `Tk es apropiada si el conjunto de
las piezas arbóreas de cualquier subpárrafo G′ tienen un tamaño mínimo `.
La Figura 2(a) muestra un gráfico con una descomposición 3T2; observamos que uno de los árboles es un
vértice aislado en la esquina inferior derecha. El subgrafo de la Figura 2(b) tiene tres árboles negros-
piezas y un árbol-pieza gris: un vértice aislado en la esquina superior derecha, y dos bordes individuales.
Estos cuentan como tres árboles-piezas, a pesar de que vienen del mismo árbol trasero cuando el
Gráfico completo considerado. La figura 2 c) muestra otro subgráfico; en este caso hay tres
piezas de árboles grises y una negra.
En el cuadro 1 figura la terminología de descomposición utilizada en este documento.
El problema de descomposición. Definimos el problema de descomposición para gráficos escasos como tak-
• un gráfico como su entrada y producción como salida, una descomposición que se puede utilizar para certificar
sity. En el presente documento se estudiarán tres tipos de productos: mapas y árboles; descomposiciones adecuadas de `Tk;
y la descomposición de guijarros-juego-con-colores, que se define en la siguiente sección.
2. Antecedentes históricos
Los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] relacionan los gráficos (k,k) ajustados a
la existencia de descomposicións en los árboles que se extienden por los bordes. Tomando un punto de vista matroidal,
4 Ileana Streinu, Louis Theran
Fig. 2. (a) Un gráfico con una descomposición 3T2; uno de los tres árboles es un único vértice en la parte inferior derecha
esquina. (b) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol negro y una gris
pieza de árbol. (c) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol grises (uno es un
solo vértice) y una pieza de árbol negro.
Edmonds [3, 4] dio otra prueba de este resultado usando uniones de matroide. La equivalencia de los mapas-
los gráficos y árboles y los gráficos ajustados en el rango inferior se muestran utilizando uniones de los matroides en [24], y
rutas de aumento matroide son la base de los algoritmos para el rango inferior de [5, 6, 19].
En la teoría de la rigidez un teorema fundacional de Laman [11] muestra que (2,3)-ajustado (Laman)
los gráficos corresponden a marcos de barras y conjuntos genéricamente mínimamente rígidos en el plano. Tay
[21] ha demostrado ser un resultado análogo para los marcos de la barra del cuerpo en cualquier dimensión utilizando (k,k)
gráficos. Rigidez por conteos de interés motivado en el rango superior, y Crapo [2] probó la
equivalencia de gráficos Laman y gráficos 3T2 apropiados. Tay [22] utilizó esta condición para dar un
prueba directa del teorema de Laman y generalizada la condición 3T2 a todos `Tk para k≤ 2k−1.
Haas [7] estudió detalladamente las descomposicións de `Tk y demostró la equivalencia de gráficos ajustados y
gráficos `Tk apropiados para el rango superior general. Observamos que aparte de nuestro nuevo guijarro...
game-with-colors descomposición, todas las caracterizaciones combinatoria de la gama superior de
Los gráficos escasos, incluidos los conteos, tienen una interpretación geométrica [11, 21, 22, 24].
Un algoritmo de juego de guijarros fue propuesto por primera vez en [10] como una alternativa elegante a Hendrick-
algoritmos de gráfico Laman de hijo [9]. Berg y Jordania [1], facilitaron el análisis formal de la
juego de guijarros de [10] e introdujo la idea de jugar el juego en un gráfico dirigido. Lee y
Streinu [12] generalizó el juego de guijarros a toda la gama de parámetros 0≤ 2k−1, y
izquierda como un problema abierto utilizando el juego de guijarros para encontrar la escasez certificando las descomposicións.
3. El juego de guijarros con colores
Nuestro juego de guijarros con colores es un conjunto de reglas para la construcción de gráficos indexados por no negativos
enteros k y `. Usaremos el juego de guijarros con colores como la base de un algoritmo eficiente
para el problema de descomposición más adelante en este documento. Puesto que la frase “con colores” es necesaria
Sólo en comparación con [12], lo omitiremos en el resto del documento cuando el contexto sea claro.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 5
Ahora presentamos el juego de guijarros con colores. El juego es jugado por un solo jugador en un
conjunto finito fijo de vértices. El jugador hace una secuencia finita de movimientos; un movimiento consiste en el
adición y/o orientación de un borde. En cualquier momento, el estado del juego es capturado
por un gráfico dirigido H, con guijarros de colores sobre vértices y bordes. Los bordes de H son de color
por los guijarros en ellos. Mientras que jugando el juego de guijarros todos los bordes están dirigidos, y utilizamos el
notación vw para indicar un borde dirigido de v a w.
Describimos el juego de guijarros con colores en términos de su configuración inicial y el permitido
se mueve.
Fig. 3. Ejemplos de juego de guijarros con movimientos de colores: (a) add-edge. b) Deslizamiento de guijarros. Guijarros sobre vértices
se muestran como puntos negros o grises. Los bordes están coloreados con el color de la rocalla en ellos.
Inicialización: Al principio del juego de guijarros, H tiene n vértices y no tiene bordes. Comenzamos
colocando k guijarros en cada vértice de H, uno de cada color ci, para i = 1,2,...,k.
Add-edge-with-colors: Dejar v y w ser vértices con al menos â € 1 guijarros en ellos. Asumir
(w.l.o.g.) que v tiene al menos un guijarro en él. Recoger un guijarro de v, añadir el borde orientado vw
a E(H) y poner el guijarro recogido de v en el nuevo borde.
La Figura 3(a) muestra ejemplos del movimiento de add-edge.
Pebble-slide: Dejar w ser un vértice con un guijarro p en él, y dejar vw ser un borde en H. Reemplazar
vw con wv en E(H); poner el guijarro que estaba en vw en v; y poner p en wv.
Tenga en cuenta que el color de un borde puede cambiar con un movimiento de guijarros. La figura 3 b) muestra
ejemplos. La convención en estas figuras, y a lo largo de este documento, es que los guijarros sobre los vértices
se representan como puntos de color, y que los bordes se muestran en el color de la rocalla en ellos.
A partir de la definición del movimiento de guijarros-deslizamiento, es fácil ver que un guijarro en particular es
siempre en el vértice donde empezó o en un borde que tiene este vértice como la cola. Sin embargo,
al hacer una secuencia de movimientos de guijarros que invierten la orientación de un camino en H, es
a veces es conveniente pensar en esta secuencia de inversión del camino como trayendo un guijarro desde el final
del camino al principio.
La salida de jugar el juego de guijarros es su configuración completa.
Salida: Al final del juego, obtenemos el gráfico dirigido H, junto con la ubicación
y los colores de los guijarros. Observe que ya que cada borde tiene exactamente un guijarro en él, el guijarro
la configuración del juego colorea los bordes.
Decimos que el gráfico G de H subyacente no dirigido es construido por el juego (k, `)-pebble
o que H es un gráfico de juego de guijarros.
Puesto que cada borde de H tiene exactamente un guijarro, las particiones de configuración del juego de guijarro
los bordes de H, y así G, en k diferentes colores. Llamamos a esta descomposición de H un guijarro...
juego-con-colores descomposición. La Figura 4(a) muestra un ejemplo de un gráfico ajustado (2,2) con un
Descomposición de juego de guijarros.
Que G = (V,E) sea gráfico de juego de guijarros con la coloración inducida por los guijarros en los bordes,
y dejar que G′ sea un subgrafo de G. Entonces la coloración de G induce un conjunto de con-
6 Ileana Streinu, Louis Theran
a) b) c)
Fig. 4. A (2,2)-término gráfico con una posible descomposición del juego de guijarros. Los bordes están orientados a
mostrar (1,0)-esparsidad para cada color. a) El gráfico K4 con una descomposición del juego de guijarros. Hay un
árbol negro vacío en el vértice central y un árbol gris que se extiende. b) El subgráfico resaltado consta de dos:
árboles negros y un árbol gris; los bordes negros son parte de un ciclo más grande pero aportan un árbol al subgrafo.
c) El subgrafo resaltado (con fondo gris claro) tiene tres árboles grises vacíos; los bordes negros
contienen un ciclo y no aportan un pedazo de árbol al subgrafo.
Significado de la notación
longitud (V ′) Número de bordes que se extienden en H por V ′ V ; es decir, EH(V ′)
Peb(V ′) Número de guijarros en V ′ ́V
fuera (V ′) Número de bordes vw en H con v ́V ′ y w ́V −V ′
pebi(v) Número de guijarros de color ci en v • V
outi(v) Número de bordes vw coloreados ci para v â € € TM V
Cuadro 2 Pebble notación de juego utilizado en este papel.
Subgrafías de G′ (puede haber más de uno del mismo color). Tan monocromático
subgraph se llama un mapa-foto-pieza de G′ si contiene un ciclo (en G′) y un árbol-pieza de G′
De lo contrario. El conjunto de piezas arbóreas de G′ es la colección de piezas arbóreas inducidas por G′. Al igual que con
la definición correspondiente para `Tk s, el conjunto de piezas arbóreas se define en relación con un sub-
grafo; en particular, una pieza de árbol puede formar parte de un ciclo más grande que incluye bordes que no se extienden
por G′.
Las propiedades de las descomposicións del juego de guijarros se estudian en la Sección 6 y en el Teorema 2
muestra que cada color debe ser (1,0)-sparse. La orientación de los bordes en la Figura 4(a) muestra
Esto.
Por ejemplo, la Figura 4(a) muestra un gráfico ajustado (2,2) con un posible decom de juego de guijarro-
posición. El gráfico completo contiene una pieza de árbol gris y una pieza de árbol negro que es un aislado
vértice. El subgrafo de la Figura 4(b) tiene un árbol negro y un árbol gris, con los bordes del negro
árbol procedente de un ciclo en el gráfico más grande. En la Figura 4(c), sin embargo, el ciclo negro no
contribuir con una pieza de árbol. Las tres piezas de árbol en este subgrafo son árboles grises de un solo vértex.
En la siguiente discusión, utilizamos la notación peb(v) para el número de guijarros en v y
pebi(v) para indicar el número de guijarros de colores i en v.
La Tabla 2 enumera la notación de juego de guijarros utilizada en este artículo.
4. Nuestros resultados
Describimos nuestros resultados en esta sección. El resto del periódico proporciona las pruebas.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 7
Nuestro primer resultado es un fortalecimiento de los juegos de guijarros de [12] para incluir los colores. Dice
que los gráficos escasos son exactamente gráficos de juego de guijarros. Recuerde que a partir de ahora, todos los juegos de guijarros
discutidos en este artículo son nuestro juego de guijarros con colores a menos que se anote explícitamente.
Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse
con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros.
A continuación consideramos las descomposiciones de juego de guijarros, mostrando que son una generalización de
las descomposiciones adecuadas de `Tk que se extienden a toda la gama matroidal de gráficos dispersos.
Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros
gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno
es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse
gráficos en la descomposición.
Las subgrafías de (1,0)-parse en la declaración de Teorema 2 son los colores de los guijarros; por lo tanto
Teorema 2 da una caracterización de las descomposicións de guijarros-juego-con-colores obtenidos
jugando el juego de guijarros definido en la sección anterior. Nótese la similitud entre el
requisito de que el conjunto de piezas arbóreas tenga por lo menos un tamaño ` en el Teorema 2 y la definición de un
propiamente dicho `Tk.
Nuestros siguientes resultados muestran que para cualquier gráfico de juego de guijarros, podemos especializar su juego de guijarros
construcción para generar una descomposición que es un mapa-y-árboles o `Tk. Nosotros llamamos a estos
especializada construcción de juegos de guijarros canónicos, y el uso canónico juego de guijarros construc-
ciones, obtenemos nuevas pruebas directas de los resultados de arboricidad existentes.
Observamos Teorema 2 que los mapas-y-árboles son casos especiales del juego de guijarros decompo-
Situación: tanto los árboles que se extienden y los mapas que se extienden son (1.0)-parse, y cada uno de la extensión
los árboles aportan al menos un pedazo de árbol a cada subgrafo.
El caso de los gráficos `Tk apropiados es más sutil; si cada color en una descomposición del juego de guijarros
es un bosque, entonces hemos encontrado un adecuado `Tk, pero esta clase es un subconjunto de todos los posibles apropiados
`Tk descomposiciones de un gráfico apretado. Demostramos que esta clase de descomposiciones apropiadas `Tk es
suficiente para certificar la escasez.
Ahora declaramos el teorema principal para el rango superior e inferior.
Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros
grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)-
mapas y árboles.
Teorema 4 (Teorema principal): Los gráficos `Tk adecuados coinciden con el juego de guijarros
grafos). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarros apretado si y sólo si es un adecuado
`Tk con kn− ` bordes.
Como corolarios, obtenemos los resultados de descomposición existentes para gráficos escasos.
Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico
G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees.
Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un
propiamente dicho `Tk.
Encontrar eficientemente construcciones canónicas de juego de guijarros. Las pruebas de Teorema 3 y Theo-
rem 4 conduce a un algoritmo obvio con O(n3) tiempo de ejecución para el problema de descomposición.
Nuestro último resultado mejora en esto, mostrando que una construcción canónica juego de guijarros, y por lo tanto
8 Ileana Streinu, Louis Theran
un mapa-y-árboles o `Tk descomposición apropiada se puede encontrar usando un algoritmo de juego de guijarros en
O(n2) tiempo y espacio.
Estos límites de tiempo y espacio significan que nuestro algoritmo puede combinarse con los de [12]
sin ningún cambio en la complejidad.
5. Gráficos de juego de pebble
En esta sección demostramos Teorema 1, un fortalecimiento de los resultados de [12] al juego de guijarros
con colores. Dado que muchas de las propiedades relevantes del juego de guijarros con colores
directamente de los juegos de guijarros de [12], nos referimos al lector allí para las pruebas.
Comenzamos estableciendo algunas invariantes que se mantienen durante la ejecución del juego de guijarros.
Lemma 7 (invariantes de juego de pebble). Durante la ejecución del juego de guijarros, lo siguiente
los invariantes se mantienen en H:
(I1) Hay por lo menos ` guijarros en V. [12]
(I2) Para cada vértice v, span(v)+out(v)+peb(v) = k. [12]
(I3) Para cada V ′ ́V, span(V ′)+out(V ′)+peb(V ′) = kn′. [12]
(I4) Por cada vértice v V, outi(v)+pebi(v) = 1.
(I5) Cada ruta máxima que consiste sólo de bordes con ci de color termina en el primer vértice con
un guijarro de color ci o un ciclo.
Prueba. (I1), (I2), y (I3) vienen directamente de [12].
(I4) Este invariante se mantiene claramente en la fase de inicialización del juego de guijarros con colores.
Esa reserva de movimientos de bordes añadidos y guijarros (I4) está clara de la inspección.
(I5) Por (I4), un camino monocromático de los bordes se ve obligado a terminar sólo en un vértice con un guijarro de
el mismo color en ella. Si no hay guijarros de ese color alcanzable, entonces el camino debe eventualmente
Visita un vértice dos veces.
De estos invariantes, podemos mostrar que los gráficos constructibles del juego de guijarros son escasos.
Lemma 8 (Los gráficos de los juegos de pelota son escasos [12]). Dejar H ser un gráfico construido con el
Juego de guijarros. Entonces H es escasa. Si hay exactamente ` guijarros en V (H), entonces H es apretado.
El paso principal para probar que cada gráfico escaso es un gráfico de juego de guijarros es el siguiente.
Recordemos que al traer un guijarro a v nos referimos a reorientar H con movimientos de guijarro-deslizamiento para reducir
el grado de v por uno.
Lemma 9 (La condición de guijarro â € 1 [12]). Dejar vw ser un borde tal que H + vw es escaso. Si
peb({v,w}) < â € 1, entonces un guijarro no en {v,w} se puede llevar a v o w.
Se deduce que cualquier gráfico escaso tiene una construcción de juego de guijarros.
Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse
con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros.
6. La descomposición de guijarros-juego-con-colores
En esta sección demostramos Teorema 2, que caracteriza todas las descomposicións de juego de guijarros. Nosotros
empezar con los siguientes lemas sobre la estructura de los componentes monocromáticos conectados
en H, el gráfico dirigido mantenido durante el juego de guijarros.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 9
Lemma 10 (los subgrafos monocromáticos del juego de guijarros son (1,0)-sparse). Deja que Hi sea el sub-
gráfico de H inducido por los bordes con guijarros de color ci en ellos. Entonces Hi es (1,0)-parso, para
i = 1,...,k.
Prueba. Por (I4) Hi es un conjunto de bordes con grado a lo sumo uno para cada vértice.
Lemma 11 (Piezas de árbol en un gráfico de juego de guijarros). Cada subgrafo del gráfico dirigido H
en una construcción de juego de guijarros contiene por lo menos ` piezas monocromáticas de árboles, y cada uno de estos
tiene sus raíces en un vértice con un guijarro en él o un vértice que es la cola de un borde.
Recordemos que un borde superior a un subpárrafo H ′ = (V ′,E ′) es un borde vw con v′ V y vw /′ E.
Prueba. Dejar que H ′ = (V ′,E ′) sea un subgrafo no vacío de H, y asumir sin pérdida de generalidad
que H ′ es inducida por V ′. Por (I3), fuera (V ′)+ peb(V ′) ≥ `. Mostraremos que cada guijarro y
cola de borde es la raíz de una pieza de árbol.
Considerar un vértice v V ′ y un color ci. Por (I4) hay un único monocromático dirigido
ruta de color ci a partir de v. Por (I5), si este camino termina en una rocalla, no tiene un ciclo.
Del mismo modo, si este camino alcanza un vértice que es la cola de un borde también en color ci (es decir, si el
trayectoria monocromática desde v hojas V ′), entonces la trayectoria no puede tener un ciclo en H ′.
Dado que este argumento funciona para cualquier vértice en cualquier color, para cada color hay una partición
de los vértices en aquellos que pueden alcanzar cada guijarro, cola de borde superior, o ciclo. De ello se deduce que cada uno de
guijarros y cola de borde superior es la raíz de un árbol monocromático, como se desee.
Aplicado a todo el gráfico Lemma 11 nos da lo siguiente.
Lemma 12 (Los pebbles son las raíces de los árboles). En cualquier configuración de juego de guijarros, cada guijarros de
color ci es la raíz de un (posiblemente vacío) monocromático árbol-pieza de color ci.
Nota: Haas mostró en [7] que en un `Tk, un subgráfico inducido por n′ ≥ 2 vértices con m′
los bordes tienen exactamente piezas de árbol knm′ en él. Lemma 11 refuerza el resultado de Haas al ampliarlo
a la gama inferior y dando una construcción que encuentra las piezas de árbol, mostrando la conexión
entre la condición de guijarro â € 1 y la condición hereditaria en la adecuada `Tk.
Concluimos nuestra investigación de construcciones arbitrarias de juego de guijarros con una descripción de
la descomposición inducida por el juego de guijarros con colores.
Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros
gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno
es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse
gráficos en la descomposición.
Prueba. Deja que G sea un gráfico de juego de guijarros. La existencia de la k borde-disjunta (1,0)-sparse sub-
Los gráficos fueron mostrados en Lemma 10, y Lemma 11 prueba la condición en subgrafías.
Para la otra dirección, observamos que un ci de color con piezas de árbol ti en un subgrafo dado puede
espacio a lo sumo n- ti bordes; sumando sobre todos los colores muestra que un gráfico con un guijarro-juego
la descomposición debe ser escasa. Aplique el Teorema 1 para completar la prueba.
Observación: Observamos que una descomposición del juego de guijarros para un gráfico de Laman puede ser leída
de la coincidencia bipartita utilizada en el algoritmo de extracción de gráficos Laman de Hendrickson [9]. De hecho,
las orientaciones de juego de guijarros tienen una correspondencia natural con los emparejamientos bipartitos utilizados en
10 Ileana Streinu, Louis Theran
Mapas y árboles son un caso especial de descomposición de juegos de guijarros para gráficos apretados: si hay
no son ciclos en ` de los colores, entonces los árboles enraizados en los ` guijarros correspondientes deben ser
que se extienden, ya que tienen n - 1 bordes. Además, si cada color forma un bosque en un rango superior
la descomposición del juego de guijarros, entonces la condición de piezas de árbol asegura que el juego de guijarros de-
la composición es un `Tk.
En la siguiente sección, mostramos que el juego de guijarros puede ser especializado para corresponder a los mapas-
y árboles y las correspondientes descomposicións `Tk.
7. Construcciones Canónicas de Juego de Pebble
En esta sección demostramos los principales teoremas (Teorema 3 y Teorema 4), continuando las inves-
de las descomposiciones inducidas por las construcciones de juego de guijarros mediante el estudio del caso en el que un
Se crea un número mínimo de ciclos monocromáticos. La idea principal, capturada en Lemma 15
e ilustrado en la Figura 6, es evitar la creación de ciclos al recoger piedras. Demostramos que
esto es siempre posible, lo que implica que los mapas monocromáticos se crean sólo cuando
añadir más de k(n1) bordes a algún conjunto de n′ vértices. Para el rango inferior, esto implica que
Cada color es un bosque. Cada caracterización de descomposición de gráficos ajustados discutidos arriba
sigue inmediatamente del teorema principal, dando nuevas pruebas de los resultados anteriores en un
un marco unificado.
En la prueba, vamos a utilizar dos especializaciones de los movimientos de juego de guijarros. El primero es un modi-
ficación del movimiento de add-edge.
Add-edge canónico: Al realizar un movimiento de add-edge, cubra el nuevo borde con un color
que está en ambos vértices si es posible. Si no, entonces tome el color numerado más alto presente.
La segunda es una restricción en la que los movimientos de guijarros-deslizamiento que permitimos.
Deslizamiento canónico de guijarros: Un movimiento de guijarros se permite sólo cuando no crea un
ciclo monocromático.
Llamamos a una construcción de juego de guijarros que utiliza sólo estos movimientos canónicos. En esta sección
vamos a mostrar que cada gráfico de juego de guijarros tiene una construcción canónica de juego de guijarros (Lemma
14 y Lemma 15) y que las construcciones canónicas de juego de guijarros corresponden a `Tk y
las descomposicións de mapas y árboles (Teorema 3 y Teorema 4).
Comenzamos con un lema técnico que motiva la definición de juego canónico de guijarros
construcciones. Muestra que las situaciones desaprobadas por los movimientos canónicos son todas las maneras
para que los ciclos se formen en los colores más bajos.
Lemma 13 (creación del ciclo monocromático). Let v â € ¢ V tener un guijarro p de color ci en él y
dejar w ser un vértice en el mismo árbol de color ci como v. Un ciclo monocromático de color ci se crea
exactamente de una de las siguientes maneras:
(M1) El borde vw se añade con un movimiento de add-edge.
(M2) El borde wv es invertido por un movimiento de guijarro-deslizamiento y el guijarro p se utiliza para cubrir el reverso
edge vw.
Prueba. Observe que las condiciones previas en la declaración del lema están implícitas en Lemma 7.
Por Lemma 12 ciclos monocromáticos se forman cuando el último guijarro de color ci se elimina de un
Subgrafía monocromática conectada. (M1) y (M2) son las únicas maneras de hacer esto en un guijarro
construcción del juego, ya que el color de un borde sólo cambia cuando se inserta la primera vez o
un guijarro nuevo es puesto en él por un movimiento de guijarro-deslizamiento.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 11
vw vw
Fig. 5. Crear ciclos monocromáticos en un juego (2.0)-pebble. a) Un movimiento de tipo (M1) crea un ciclo por
añadir un borde negro. (b) Un movimiento de tipo (M2) crea un ciclo con un movimiento de guijarros-deslizamiento. Los vértices son
etiquetado de acuerdo a su papel en la definición de los movimientos.
La figura 5 a) y la figura 5 b) muestran ejemplos de movimientos de creación de mapas (M1) y (M2),
respectivamente, en una construcción de juego (2.0)-pebble.
A continuación mostramos que si un gráfico tiene una construcción de juego de guijarros, entonces tiene un peb canónico-
ble construcción de juegos. Esto se hace en dos pasos, considerando los casos (M1) y (M2) sepa-
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La prueba da dos construcciones que implementan el add-edge canónico y canónico
movimiento de guijarros-deslizamiento.
Lemma 14 (El movimiento canónico de add-edge). Let G ser un gráfico con un juego de guijarros construc-
tion. Los pasos de creación de ciclo de tipo (M1) se pueden eliminar en colores ci para 1 ≤ i ≤, donde
= min{k,.
Prueba. Para los movimientos de add-edge, cubra el borde con un color presente en v y w si es posible. Si
esto no es posible, entonces hay â € 1 colores distintos presentes. Usar el color numerado más alto
para cubrir el nuevo borde.
Observación: Observamos que en el rango superior, siempre hay un color repetido, por lo que no canónico
los movimientos de add-edge crean ciclos en el rango superior.
El movimiento canónico de guijarros se define por una condición global. Para demostrar que obtenemos
la misma clase de gráficos usando sólo movimientos canónicos de rocalla-deslizamiento, tenemos que extender Lemma
9 a sólo movimientos canónicos. El paso principal es mostrar que si hay alguna secuencia de movimientos que
reorienta un camino de v a w, entonces hay una secuencia de movimientos canónicos que hace lo mismo
Cosa.
Lemma 15 (El movimiento canónico de guijarros). Cualquier secuencia de deslizamiento de guijarros se mueve llevando
a un movimiento de add-edge se puede reemplazar por uno que no tiene pasos (M2) y permite el mismo
add-edge move.
En otras palabras, si es posible recoger 1 guijarros en los extremos de un borde a añadir,
entonces es posible hacer esto sin crear ningún ciclo monocromático.
12 Ileana Streinu, Louis Theran
La Figura 7 y la Figura 8 ilustran la construcción utilizada en la prueba de Lemma 15. Nosotros llamamos a esto
la construcción de atajos por analogía a la unión matroide y caminos de aumento de intersección utilizados
en trabajos anteriores en el rango inferior.
La Figura 6 muestra la estructura de la prueba. La construcción de acceso directo elimina un paso (M2)
al principio de una secuencia que reorienta un camino de v a w con deslizamientos de guijarros. Desde uno
la aplicación de la construcción abreviada reorienta un camino simple de un vértice w′ a w, y un
ruta de v a w′ se conserva, la construcción de acceso directo se puede aplicar inductivamente para encontrar la
secuencia de movimientos que queremos.
Fig. 6. Esquema de la construcción del atajo: (a) Un camino sencillo arbitrario de v a w con líneas curvas
indicando caminos simples. b) Una etapa (M2). El borde negro, a punto de ser volteado, crearía un ciclo,
se muestra en gris rayado y sólido, del (único) árbol gris enraizado en w. Los bordes grises sólidos eran parte
de la ruta original de (a). (c) El camino acortado a la rocalla gris; el nuevo camino sigue el gris
árbol todo el camino desde la primera vez que el camino original tocó el árbol gris en w′. La ruta de v a w′ es
simple, y la construcción del atajo se puede aplicar inductivamente a él.
Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que nuestra secuencia de movimientos reorienta un simple
camino en H, y que el primer movimiento (el final del camino) es (M2). El paso (M2) mueve un guijarro
de color ci de un vértice w en el borde vw, que se invierte. Porque el movimiento es (M2), v
y w están contenidos en un árbol monocromático máximo de color ci. Llame a este árbol H ′i, y observar
que está arraigado en w.
Ahora considere los bordes invertidos en nuestra secuencia de movimientos. Como se ha señalado anteriormente, antes de hacer
cualquiera de los movimientos, estos bosquejan un camino simple en H que termina en w. Que z sea el primer vértice en
este camino en H ′i. Modificamos nuestra secuencia de movimientos de la siguiente manera: eliminar, desde el principio, cada
mover antes de la que invierte algunos yz borde; prepend en lo que queda una secuencia de movimientos
que mueve el guijarro en w a z en H ′i.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 13
Fig. 7. Eliminando movimientos (M2): (a) un movimiento (M2); (b) evitando el (M2) moviéndose por otro camino.
El camino donde se mueven los guijarros está indicado por líneas duplicadas.
Fig. 8. Eliminación (M2) movimientos: (a) el primer paso para mover el guijarro negro a lo largo del camino doble es
(M2); (b) evitando el (M2) y simplificando el camino.
Puesto que ningún borde cambia de color en el comienzo de la nueva secuencia, hemos eliminado
el movimiento (M2). Porque nuestra construcción no cambia ninguno de los bordes involucrados en el
cola restante de la secuencia original, la parte de la ruta original que queda en el nuevo
secuencia seguirá siendo un camino simple en H, cumpliendo con nuestra hipótesis inicial.
El resto del lema sigue por inducción.
Juntos Lemma 14 y Lemma 15 prueban lo siguiente.
Lemma 16. Si G es un gráfico de juego de guijarros, entonces G tiene una construcción canónica de juego de guijarros.
Usando construcciones canónicas de juego de guijarros, podemos identificar los gráficos apretados de juego de guijarros
con mapas y árboles y gráficos `Tk.
14 Ileana Streinu, Louis Theran
Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros
grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)-
mapas y árboles.
Prueba. Como se observó anteriormente, una descomposición de mapas y árboles es un caso especial del juego de guijarros
descomposición. Aplicando el Teorema 2, vemos que cualquier mapa y árbol debe ser un juego de guijarros
gráfico.
Para la dirección inversa, considere la construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado.
Desde Lemma 8, vemos que quedan piedras en G al final de la construcción. Los
definición del movimiento canónico de add-edge implica que debe haber al menos un guijarro de
cada ci para i = 1,2,........................................................................................................... Se deduce que hay exactamente uno de cada uno de estos colores. Por Lemma
12, cada uno de estos guijarros es la raíz de una pieza arbórea monocromática con n - 1 bordes, dando
los árboles de separación de bordes necesarios.
Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico
G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees.
A continuación consideramos las descomposicións inducidas por las construcciones canónicas de juego de guijarros cuando
k +1.
Teorema 4 (Teorema Principal): Árboles y árboles adecuados coinciden con el
ble-game graphs). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si
es un `Tk con bordes kn− ` adecuado.
Prueba. Como se ha señalado anteriormente, una descomposición adecuada de `Tk debe ser escasa. Lo que tenemos que mostrar
es que una construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado produce una adecuada `Tk.
Por Teorema 2 y Lemma 16, ya tenemos la condición en los árboles-piezas y el decom-
posición en `árboles de borde-desconectado. Por último, una aplicación de (I4), muestra que cada vértice debe
en exactamente k de los árboles, según sea necesario.
Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un
propiamente dicho `Tk.
8. Algoritmos de juego de pebble para encontrar descomposicións
Una ejecución naïve de las construcciones en la sección anterior conduce a un algoritmo re-
tiempo para recoger cada guijarro en una construcción canónica: en el peor de los casos
aplicaciones de la construcción en Lemma 15 requiriendo tiempo cada uno, dando un total de ejecución
tiempo de فارسى(n3) para el problema de descomposición.
En esta sección, describimos algoritmos para el problema de descomposición que se ejecutan en el tiempo
O(n2). Comenzamos con la estructura general del algoritmo.
Algoritmo 17 (El juego canónico de guijarros con colores).
Entrada: Un gráfico G.
Salida: Un gráfico de juego de guijarros H.
Método:
– Conjunto V (H) = V (G) y colocar un guijarro de cada color en los vértices de H.
– Para cada borde vw E(G) tratar de recoger al menos 1 guijarros en v y w utilizando guijarros deslizante
movimientos según lo descrito por Lemma 15.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 15
– Si al menos 1 guijarros se puede recoger, añadir vw a H utilizando un movimiento de borde añadido como en Lemma
14, por lo demás descarte vw.
– Finalmente, devolver H, y las ubicaciones de los guijarros.
Correcto. Teorema 1 y el resultado de [24] que los gráficos escasos son los independientes
conjuntos de un matroide muestran que H es un subgrafo de tamaño máximo escaso de G. Desde la construcción
encontrado es canónico, el teorema principal muestra que el color de los bordes en H da un mapa-
y-árboles o descomposición adecuada `Tk.
Complejidad. Comenzamos observando que el tiempo de ejecución del Algoritmo 17 es el tiempo necesario para
proceso O(n) bordes añadidos a H y O(m) bordes no añadidos a H. Primero consideramos el costo de un
borde de G que se añade a H.
Cada uno de los movimientos de juego de guijarros se puede implementar en tiempo constante. Lo que queda es a
describir una manera eficiente de encontrar y mover los guijarros. Utilizamos el siguiente algoritmo como un
Subrutina de Algoritmo 17 para hacer esto.
Algoritmo 18 (Encontrar un camino canónico a una rocalla.).
Entrada: Vertices v y w, y una configuración de juego de guijarros en un gráfico dirigido H.
Salida: Si se encontró un guijarro, ‘sí’ y ‘no’ de otra manera. Se actualiza la configuración de H.
Método:
– Comience por hacer una búsqueda de profundidad desde v en H. Si no se encuentra ningún guijarro en w, detener y
devolver «no.»
– De lo contrario se encontró un guijarro. Ahora tenemos una ruta v = v1,e1,. ..,ep−1,vp = u, donde el vi
son vértices y ei es el borde vivi+1. Que c[ei] sea el color del guijarro en ei. Usaremos
la matriz c[] para hacer un seguimiento de los colores de los guijarros en los vértices y los bordes después de moverlos
y el array s[] para dibujar un camino canónico de v a u encontrando un sucesor para cada uno
borde.
– Establecer s[u] = «end′ y establecer c[u] al color de una piedra arbitraria en u. Caminamos en el camino en
orden inverso: vp,ep−1,ep−2,. ..,e1,v1. Para cada i, verifique si c[vi] está configurado; si es así, vaya a
la siguiente i. De lo contrario, compruebe si c[vi+1] = c[ei].
– Si lo es, establece s[vi] = ei y establece c[vi] = c[ei], y pasa al siguiente borde.
– De lo contrario c[vi+1] 6= c[ei], tratar de encontrar un camino monocromático en color c[vi+1] de vi a vi+1. Si
un vértice x se encuentra para el cual c[x] se establece, tenemos una ruta vi = x1, f1,x2,. .., fq−1,xq = x
que es monocromático en el color de los bordes; establecer c[xi] = c[fi] y s[xi] = fi para i =
1,2,...,q−1. Si c[x] = c[ fq−1], pare. De lo contrario, comprobar recursivamente que no hay un monocro-
c[x] ruta mática de xq−1 a x usando este mismo procedimiento.
– Finalmente, deslizar guijarros a lo largo del camino desde los puntos finales originales v a u especificado por el
array sucesor s[v], s[s[v],...
La corrección de Algoritmo 18 viene del hecho de que está implementando el atajo
construcción. La eficiencia viene del hecho de que en lugar de potencialmente mover el guijarro hacia atrás
y adelante, Algoritmo 18 pre-computa un camino canónico que cruza cada borde de H a lo sumo tres
times: una vez en la primera búsqueda de profundidad inicial, y dos veces al convertir la ruta inicial a una
Canónico. De ello se deduce que cada borde aceptado toma O(n) tiempo, para un total de O(n2) tiempo
los bordes de procesamiento gastados en H.
Aunque no hemos discutido esta explicitación, para que el algoritmo sea eficiente necesitamos
mantener los componentes como en [12]. Después de cada borde aceptado, los componentes de H se pueden actualizar
en el tiempo O(n). Por último, los resultados de [12, 13] muestran que los bordes rechazados toman un O(1) amortizado
tiempo cada uno.
16 Ileana Streinu, Louis Theran
Resumiendo, hemos demostrado que el juego canónico de guijarros con colores resuelve la decom-
problema de posición en el tiempo O(n2).
9. Un caso especial importante: Rigidez en la dimensión 2 y slider-pinning
En esta breve sección presentamos una nueva solicitud para el caso especial de importancia práctica,
k = 2, ` = 3. Como se explica en la introducción, el teorema de Laman [11] caracteriza mínimamente
gráficos rígidos como los gráficos ajustados (2,3). En el trabajo reciente sobre el slider pinning, desarrollado después de la
El documento actual fue presentado, introdujimos el modelo de slider-pinning de rigidez [15, 20]. Com-
binatoriamente, modelamos los marcos bar-slider como gráficos simples junto con algunos bucles
colocados en sus vértices de tal manera que no haya más de 2 bucles por vértice, uno de cada uno
color.
Caracterizamos los gráficos de deslizadores de barras mínimamente rígidos [20] como gráficos que son:
1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles.
2. (2,0)-ajustado cuando se incluyen los bucles.
Llamamos a estos gráficos (2,0,3)-clasificados-ajustados, y son un caso especial de la clasificación-parse
gráficos estudiados en nuestro artículo [14].
La conexión con los juegos de guijarros en este artículo es la siguiente.
Corollary 19 (juegos de pebble y slider-pinning). En cualquier gráfico de juego (2,3)-pebble, si
Reemplazar los guijarros por los bucles, obtenemos un gráfico ajustado (2.0,3)-calificado.
Prueba. Seguidos de invariantes (I3) de Lemma 7.
En [15], estudiamos un caso especial de slider pinning donde cada slider es vertical o
horizontal. Modelamos los deslizadores como bucles precoloreados, con el color que indica la dirección x o y.
Para este caso de deslizador paralelo eje, los gráficos mínimamente rígidos se caracterizan por:
1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles.
2. Admitir un 2-coloración de los bordes para que cada color sea un bosque (es decir, no tiene ciclos), y cada uno
árbol monocromático abarca exactamente un bucle de su color.
Esto también tiene una interpretación en términos de juegos de guijarros de colores.
Corollary 20 (El juego de guijarros con colores y slider-pinning). En cualquier canónico (2,3)-
Guijarro-juego-con-colores gráfico, si reemplazamos los guijarros por bucles del mismo color, obtenemos el
gráfico de un marco de eje-paralelo de barra-slider mínimamente fijado.
Prueba. Sigue desde el Teorema 4, y Lemma 12.
10. Conclusiones y problemas pendientes
Presentamos una nueva caracterización de (k, `)-sparse gráficos, el juego de guijarros con colores, y
lo utilizó para dar un algoritmo eficiente para encontrar descomposicións de gráficos escasos en el borde-
árboles desarticulados. Nuestro algoritmo encuentra tales descomposiciones certificadoras de esparcimiento en el rango superior
y se ejecuta en el tiempo O(n2), que es tan rápido como los algoritmos para reconocer gráficos escasos en el
rango superior a partir de [12].
También usamos el juego de guijarros con colores para describir una nueva descomposición de la sparsity-certificating-
ciones que se aplican a toda la gama matroidal de gráficos dispersos.
Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 17
Definimos y estudiamos una clase de construcciones canónicas de juego de guijarros que corresponden a
o bien una descomposición de mapas y árboles o bien una descomposición adecuada de `Tk. Esto da una nueva prueba de la Tutte-Nash-
Teorema de arboricidad Williams y una prueba unificada de la descomposición previamente estudiada cer-
tificates de la esparzidad. Las construcciones canónicas de juego de guijarros también muestran la relación entre
la condición de guijarro â 1, que se aplica a la gama superior de â, para aumentar la unión de los matroides
rutas, que no se aplican en el rango superior.
Consecuencias algorítmicas y problemas abiertos. En [6], Gabow y Westermann dan un O(n3/2)
algoritmo para reconocer gráficos escasos en el rango inferior y extraer subtítulos escasos de
Densos. Su técnica se basa en la búsqueda eficiente de caminos de aumento de unión de matroides,
que extienden una descomposición de mapas y árboles. El algoritmo O(n3/2) utiliza dos subrutinas para
encontrar rutas de aumento: exploración cíclica, que encuentra rutas de aumento uno a la vez, y lote
escaneado, que encuentra grupos de caminos de aumento disjuntos.
Observamos que Algoritmo 17 se puede utilizar para reemplazar el escaneo cíclico en Gabow y Wester-
algoritmo de mann sin cambiar el tiempo de ejecución. Las estructuras de datos utilizadas en la aplicación
de guijarros, detallado en [12, 13] son más simples y más fáciles de implementar que los
utilizado para apoyar el escaneo cíclico.
Los dos principales problemas algorítmicos abiertos relacionados con el juego de guijarros son entonces:
Problema 1. Desarrollar un algoritmo de juego de guijarros con las propiedades de escaneado por lotes y obtener
un algoritmo O(n3/2) implementable para el rango inferior.
Problema 2. Extender la exploración por lotes a la condición de guijarro â € 1 y derivar un guijarro O(n3/2)
algoritmo de juego para el rango superior.
En particular, sería de importancia práctica encontrar un algoritmo O(n3/2) implementable
para las descomposiciones en los árboles que se extienden por los bordes.
Bibliografía
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http://cccg.cs.uwindsor.ca/papers/72.pdf
http://cccg.cs.uwindsor.ca/papers/72.pdf
Introducción y preliminares
Antecedentes históricos
El juego de guijarros con colores
Nuestros resultados
Gráficos de juego de pebble
La descomposición de guijarros-juego-con-colores
Construcciones Canónicas de Juego de Pebble
Algoritmos de juego de pebble para encontrar descomposicións
Un caso especial importante: Rigidez en la dimensión 2 y slider-pinning
Conclusiones y problemas pendientes
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704.0003 | The evolution of the Earth-Moon system based on the dark matter field
fluid model | La evolución del sistema Tierra-Luna basado en el modelo de fluido oscuro
La evolución del sistema Tierra-Luna basado en
el modelo de fluido de campo de materia oscura
Hongjun Pan
Departamento de Química
Universidad del Norte de Texas, Denton, Texas 76203, U.S. A.
Resumen
La evolución del sistema Tierra-Luna es descrita por el fluido del campo de materia oscura
modelo con un enfoque no newtoniano propuesto en la Reunión de la División de Partículas
y Field 2004, American Physical Society. El comportamiento actual de la Luna-Tierra
sistema está de acuerdo con este modelo muy bien y el patrón general de la evolución de la
El sistema Luna-Tierra descrito por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil.
La distancia más cercana de la Luna a la Tierra era de unos 259000 km en 4.500 millones de años atrás,
que está mucho más allá del límite del Roche. El resultado sugiere que la fricción de marea puede no
ser la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La oscuridad media
La constante de fluido de campo de materia derivada de los datos del sistema Tierra-Luna es 4,39 × 10-22 s-1m-1.
Este modelo predice que la rotación de Marte también se está desacelerando con la aceleración angular
tasa alrededor de -4.38 × 10-22 rad s-2.
Palabras clave. materia oscura, fluido, evolución, Tierra, Luna, Marte
1. Introducción
La teoría aceptada popularmente para la formación del sistema Tierra-Luna es que
la Luna se formó a partir de escombros de un fuerte impacto por un gigante planetesimal con el
La Tierra al final del período de formación del planeta (Hartmann y Davis 1975). Desde el
formación del sistema Tierra-Luna, que ha estado evolucionando en toda escala de tiempo. Está bien.
sabe que la Luna se está alejando de nosotros y de la rotación de la Tierra y de la Luna
La rotación se está desacelerando. La teoría popular es que la fricción de mareas causa todos esos cambios.
basado en la conservación del impulso angular del sistema Tierra-Luna. Los
la situación se complica al describir la evolución pasada de la Luna-Tierra
sistema. Debido a que la Luna se está alejando de nosotros y la rotación de la Tierra se está desacelerando, esto
significa que la Luna estaba más cerca y la rotación de la Tierra era más rápida en el pasado. Creacionistas
argumentan que sobre la base de la teoría de la fricción de mareas, la fricción de mareas debe ser más fuerte y la
la tasa de recesión de la Luna debe ser mayor en el pasado, la distancia de la Luna
caería rápidamente dentro del límite de Roche (para la tierra, 15500 km) en el que la Luna
sería desgarrado por la gravedad en 1 a 2 mil millones de años atrás. Sin embargo, las pruebas geológicas
indica que la recesión de la Luna en el pasado fue más lenta que la tasa actual, es decir,
la recesión se ha acelerado con el tiempo. Por lo tanto, debe concluirse que las mareas
la fricción fue mucho menos en el pasado remoto de lo que deduciríamos sobre la base de
Observaciones actuales (Stacey 1977). Esto se llamó “escala de tiempo geológica
dificultad” o “crisis lunar” y es uno de los principales argumentos de los creacionistas contra el
teoría de la fricción de mareas (Brush 1983).
Pero tenemos que considerar el caso cuidadosamente en varios aspectos. Una posible
escenario es que la Tierra ha estado experimentando una evolución dinámica en toda escala de tiempo desde
su creación, las condiciones geológicas y físicas (como las posiciones del continente y
a la deriva, la corteza, fluctuación de la temperatura superficial como el efecto glacial/snowball, etc.)
pasado remoto podría ser sustancialmente diferente de la actual, en la que la fricción de mareas
podría ser mucho menos; por lo tanto, la tasa de descenso de la Luna podría ser más lenta. Varios
En el pasado se propusieron modelos de fricción de mareas para describir la evolución de la Tierra-
Sistema lunar para evitar tal dificultad o crisis y poner a la Luna en un lugar bastante cómodo
distancia de la Tierra hace 4.500 millones de años (Hansen 1982, Kagan y Maslova 1994, Ray
et al. 1999, Finch 1981, Slichter 1963). Las teorías de la fricción de marea explican que el presente
la tasa de disipación de las mareas es anomalosamente alta porque la fuerza de las mareas está cerca de una resonancia
en la función de respuesta del océano (Brush 1983). Kagan dio una revisión detallada sobre los
modelos de fricción de mareas (Kagan 1997). Estos modelos se basan en muchos supuestos sobre
condiciones geológicas (posición continental y deriva) y físicas en el pasado, y
muchos parámetros (como el ángulo de retardo de fase, la aproximación multimodo con el tiempo
frecuencias dependientes de los modos de resonancia, etc.) tienen que ser introducidos y cuidadosamente
ajustados para hacer sus predicciones cerca de la evidencia geológica. Sin embargo, los
los supuestos y parámetros siguen siendo cuestionados, en cierta medida, como brebaje.
El segundo escenario posible es que otro mecanismo podría dominar el
la evolución del sistema Tierra-Luna y el papel de la fricción de mareas no es significativo. In
la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004, American Physical Society,
Universidad de California en Riverside, el autor propuso un modelo de fluido de campo de materia oscura
(Pan 2005) con un enfoque no newtoniano, los datos actuales de la Luna y la Tierra están de acuerdo con
este modelo muy bien. Este documento demostrará que la evolución pasada de la Luna-Tierra
sistema puede ser descrito por el modelo de fluido de campo de materia oscura sin ninguna suposición
sobre las condiciones geológicas y físicas del pasado. Aunque el tema de la evolución de
el sistema Tierra-Luna ha sido ampliamente estudiado analítica o numéricamente, a la
conocimiento del autor, no hay teorías similares o equivalentes a este modelo.
2. Materia invisible
En la cosmología moderna, se propuso que la materia visible en el universo es
aproximadamente el 2 ~ 10 % de la materia total y alrededor del 90 ~ 98% de la materia total es actualmente
invisible que se llama materia oscura y energía oscura, tal materia invisible tiene un anti-
propiedad de gravedad para hacer que el universo se expanda más y más rápido.
Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis,
entonces, la evolución del universo debe ser dominada por el mecanismo físico de
tal materia invisible, tal mecanismo físico podría estar mucho más allá de la corriente
La física newtoniana y la física Einsteiniana, y la física Newtoniana y la Einsteiniana
la física podría reflejar sólo un rincón del iceberg de la física mayor.
Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis,
entonces, debería ser más razonable pensar que tal materia invisible dominante se propaga en
en todas partes del universo (la densidad de la materia invisible puede variar de un lugar a otro
lugar); en otras palabras, todos los objetos de materia visible deben estar rodeados por tales invisibles
materia y el movimiento de la materia visible objetos deben ser afectados por el invisible
materia si hay interacciones entre la materia visible y la materia invisible.
Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis,
entonces, el tamaño de las partículas de la materia invisible debe ser muy pequeño y por debajo de la
límite de detección de la tecnología actual; de lo contrario, se detectaría hace mucho tiempo
con tal cantidad dominante.
Con esta materia invisible en mente, nos movemos a la siguiente sección para desarrollar la
Modelo de fluido de campo de materia oscura con enfoque no newtoniano. Para la simplicidad, todos invisibles
materia (materia oscura, energía oscura y otros términos posibles) se llama materia oscura aquí.
3. El modelo de fluido de campo de materia oscura
En este modelo propuesto, se supone que:
1. Un cuerpo celeste gira y se mueve en el espacio, que, para la simplicidad, es uniforme
lleno de la materia oscura que está en estado de quiescencia relativa al movimiento del
cuerpo celeste. La materia oscura posee una propiedad de campo y una propiedad fluida; puede
interactúe con el cuerpo celeste con sus propiedades de fluido y campo; por lo tanto, puede tener
intercambio de energía con el cuerpo celeste, y afectan el movimiento del cuerpo celeste.
2. La propiedad del fluido sigue el principio general de la mecánica del fluido. La materia oscura
partículas de líquido de campo pueden ser tan pequeñas que fácilmente pueden impregnarse en ordinario
materia “barionica”; es decir, los objetos de materia ordinaria podrían estar saturados con tal materia oscura
fluido de campo. Por lo tanto, todo el cuerpo celestial interactúa con el fluido del campo de materia oscura, en el
forma de una esponja que se mueve a través del agua. La naturaleza de la propiedad de campo de la materia oscura
se desconoce el líquido del campo. Se asume aquí que la interacción del campo asociado con
el fluido del campo de materia oscura con el cuerpo celestial es proporcional a la masa del
cuerpo celeste. El fluido del campo de materia oscura se supone que tiene una fuerza repulsiva contra el
fuerza gravitatoria hacia la materia bariónica. La naturaleza y el mecanismo de tal repulsivo
La fuerza es desconocida.
Con las suposiciones anteriores, uno puede estudiar cómo el fluido del campo de materia oscura puede
influir en el movimiento de un cuerpo celeste y comparar los resultados con las observaciones. Los
la forma común de los cuerpos celestes es esférica. Según la ley de Stokes, un rígido no-
esfera permeable que se mueve a través de un líquido quiescente con un Reynolds suficientemente bajo
número experimenta una fuerza de resistencia F
rvF 6−= (1)
donde v es la velocidad de movimiento, r es el radio de la esfera, y μ es la viscosidad del fluido
constante. La dirección de la fuerza de resistencia F en Eq. 1 es opuesto a la dirección de la
velocidad v. Para una esfera rígida que se mueve a través del fluido del campo de materia oscura, debido al doble
propiedades del fluido del campo de materia oscura y su permeación en la esfera, la fuerza F
puede no ser proporcional al radio de la esfera. Además, F puede ser proporcional a la
masa de la esfera debido a la interacción de campo. Por lo tanto, con los efectos combinados de
fluido y campo, la fuerza ejercida en la esfera por el fluido del campo de materia oscura es
se supone que es de la forma escalonada
(2) mvrF n= 16
donde n es un parámetro derivado de la saturación por el fluido de campo de materia oscura, el r1-n puede ser
visto como el radio efectivo con la misma unidad que r, m es la masa de la esfera, y η
es la constante del fluido del campo de materia oscura, que es equivalente a μ. La dirección de la
Fuerza de resistencia F en Eq. 2 es opuesto a la dirección de la velocidad v. La fuerza
descrita por Eq. 2 es dependiente de la velocidad y causa una aceleración negativa. De acuerdo con
Segunda ley del movimiento de Newton, la ecuación del movimiento para la esfera es
mvr
m n= 16 (3)
Entonces
(4) )6exp( 10 vtrv
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
donde v0 es la velocidad inicial (t = 0) de la esfera. Si la esfera gira alrededor de un
centro gravitacional masivo, hay tres fuerzas en la línea entre la esfera y el
centro gravitacional: (1) la fuerza gravitatoria, (2) la fuerza de aceleración centrípeta; y
(3) la fuerza repulsiva del fluido del campo de materia oscura. La fuerza de arrastre en Eq. 3 reduce la
velocidad orbital y hace que la esfera se mueva hacia el centro gravitacional.
Sin embargo, si la suma de la fuerza de aceleración centrípeta y la fuerza repulsiva es
más fuerte que la fuerza gravitacional, entonces, la esfera se moverá hacia afuera y se retirará de
el centro gravitacional. Este es el caso del interés aquí. Si la velocidad cambia en Eq. 3 es
suficientemente lento y la fuerza repulsiva es pequeña en comparación con la fuerza gravitacional y
fuerza de aceleración centrípeta, entonces la tasa de retroceso será en consecuencia relativamente
Lentamente. Por lo tanto, la fuerza gravitacional y la fuerza de aceleración centrípeta puede ser
aproximadamente tratados en equilibrio en cualquier momento. La ecuación pseudo equilibrio es
GMm 2
2 = (5)
donde G es la constante gravitacional, M es la masa del centro gravitacional, y R es
el radio de la órbita. Insertar v de Eq. 4 en Eq. 5 rendimientos
)12exp( 1
R n−= (6)
(7) )12exp( 10 trRR
n−=
donde
R = (8)
R0 es la distancia inicial al centro gravitacional. Tenga en cuenta que R aumenta exponencialmente
con el tiempo. El aumento de la energía orbital con el retroceso proviene del repulsivo
fuerza del fluido de campo de materia oscura. La tasa de recesión de la esfera es
dR n−= 112 (9)
La aceleración de la recesión es
( Rr
Rd n 21
12 − = ). (10)
La aceleración recesiva es positiva y proporcional a su distancia a la
centro gravitacional, así que la recesión es cada vez más rápida.
Según la mecánica de los fluidos, para una esfera rígida no permeable giratoria
alrededor de su eje central en el fluido quiescente, el par T ejercido por el fluido en la esfera
38 rT − = (11)
donde • es la velocidad angular de la esfera. La dirección del par en Eq. 11 es
opuesta a la dirección de la rotación. En el caso de una esfera que gira en el quiescente
Líquido de campo de materia oscura con velocidad angular, similar a Eq. 2, la T propuesta ejerció
en la esfera es
( ) mrT n 318 = (12)
La dirección del par en Eq. 12 es opuesto a la dirección de la rotación. Los
el par causa la aceleración angular negativa
= (13)
donde estoy el momento de inercia de la esfera en el fluido del campo de materia oscura
( )21
2 nrmI = (14)
Por lo tanto, la ecuación de rotación para la esfera en el fluido del campo de materia oscura es
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
d = 120 (15)
Resolver esta ecuación produce
(16) )20exp( 10 tr
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
donde 0 es la velocidad angular inicial. Uno puede ver que la velocidad angular de la
esfera disminuye exponencialmente con el tiempo y la desaceleración angular es proporcional a
su velocidad angular.
Para la misma esfera celestial, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos
(17)
El significado de Eq. 17 es que sólo contiene datos observados sin suposiciones y
parámetros indeterminados; por lo tanto, es una prueba crítica para este modelo.
Para dos esferas celestes diferentes en el mismo sistema, combinando Eq. 9 y Eq.
15 rendimientos
67,1
1 −=−=
(18)
Esta es otra prueba crítica para este modelo.
4. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna concuerda con el modelo
El sistema Luna-Tierra es el sistema gravitacional más simple. El sistema solar es
complejo, la Tierra y la Luna experimentan no sólo la interacción del Sol, sino también
interacciones de otros planetas. Consideremos el sistema gravitacional Tierra-Luna local como
un sistema gravitacional local aislado, es decir, la influencia del Sol y otros planetas
sobre la rotación y el movimiento orbital de la Luna y sobre la rotación de la Tierra
asumido insignificante en comparación con las fuerzas ejercidas por la luna y la tierra en el otro.
Además, la excentricidad de la órbita de la Luna es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada. Los datos
sobre la Luna y la Tierra a partir de referencias (Dickey et.al., 1994, y Lang, 1992)
listado a continuación para la conveniencia de los lectores para verificar el cálculo porque los datos pueden
varían ligeramente con diferentes fuentes de datos.
Luna:
Radio medio: r = 1738,0 km
Masa: m = 7,3483 × 1025 gramos
Período de rotación = 27,321661 días
Velocidad angular de la Luna = 2,6617 × 10-6 rad s-1
Distancia media a la Tierra Rm= 384400 km
Velocidad orbital media v = 1.023 km s-1
Excentricidad de la órbita e = 0,0549
Velocidad de aceleración de rotación angular = -25,88 ± 0,5 arcoseg siglo-2
= (-1,255 ± 0,024) × siglo rad 10-4-2
= (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2
Tasa de retroceso de la Tierra = 3,82 ± 0,07 cm año-1 = (1,21 ± 0,02) × 10-9 m s-1
Tierra:
Radio medio: r = 6371,0 km
Masa: m = 5,9742 × 1027 gramos
Período de rotación = 23 h 56m 04.098904s = 86164.098904s
Velocidad angular de rotación = 7,292115 × 10-5 rad s-1
Distancia media al Sol Rm= 149.597.870,61 km
Velocidad orbital media v = 29,78 km s-1
Aceleración angular de la Tierra = (-5,5 ± 0,5) × 10-22 rad s-2
Velocidad angular de rotación de la Luna y aumento de la distancia media a la Tierra
(tasa de descenso) se obtuvieron de la gama de láser lunar del Programa Apollo (Dickey
et.al., 1994). Insertando los datos de la rotación y recesión de la Luna en Eq. 17, el
resultado es
039.054,1
10662,2121,1
1092509.31026.1
(19)
La distancia R en Eq. 19 es desde el centro de la Luna hasta el centro de la Tierra y el número
384400 km se supone que es la distancia de la superficie de la Luna a la superficie de la Tierra.
Eq. 19 está en buen acuerdo con el valor teórico de -1.67. El resultado está de acuerdo
con el modelo utilizado aquí. La diferencia (alrededor del 7,8%) entre los valores de -1,54 y -
1.67 pueden provenir de varias fuentes:
1. El orbital de la Luna no es un círculo perfecto
2. La Luna no es una esfera rígida perfecta.
3. El efecto del Sol y otros planetas.
4. Errores en los datos.
5. Posibles otras razones desconocidas.
Los dos parámetros n y η en Eq. 9 y Eq. 15 se puede determinar con dos datos
Sets. El tercer conjunto de datos se puede utilizar para seguir probando el modelo. Si este modelo es correcto
describe la situación actual, debe dar resultados coherentes para diferentes movimientos. Los
los valores de n y η calculados a partir de tres conjuntos de datos diferentes se enumeran a continuación (Nota:
la distancia media de la Luna a la Tierra y los radios medios de la Luna y la Tierra son
utilizado en el cálculo).
El valor de n: n = 0,64
De la rotación de la Luna: η = 4,27 × 10-22 s-1 m-1
De la rotación de la Tierra: η = 4,26 × 10-22 s-1 m-1
De la recesión de la Luna: η = 4,64 × 10-22 s-1 m-1
Se puede ver que los tres valores de η son consistentes dentro del rango de error en los datos.
El valor medio de η: η = (4,39 ± 0,22) × 10-22 s-1 m-1
Al insertar los datos de la rotación de la Tierra, la recesión de la Luna y el valor de n en
Eq. 18, el resultado es
14.053.1
6371000
1738000
1021.11029.7
1092509,3105.5
)64.01(
(20)
Esto también está de acuerdo con el modelo utilizado aquí.
La fuerza de arrastre ejercida sobre el movimiento orbital de la Luna por el campo de materia oscura
fluido es -1.11 × 108 N, esto es insignificantemente pequeño en comparación con la fuerza gravitacional entre
la Luna y la Tierra ~ 1,90 × 1020 N; y el torque ejercido por el campo de materia oscura
fluido en las rotaciones de la Tierra y la Luna es T = -5,49 × 1016 Nm y -1,15 × 1012 Nm,
respectivamente.
5. La evolución del sistema Tierra-Luna
Sonett et al. encontró que la longitud del día terrestre hace 900 millones de años fue
alrededor de 19,2 horas sobre la base de los sedimentos de marea laminadas en la Tierra (Sonett y otros,
1996). De acuerdo con el modelo presentado aquí, en ese tiempo, la duración del día
fue alrededor de 19,2 horas, esto concuerda muy bien con Sonett et al.El resultado.
Otro aspecto crítico de modelar la evolución del sistema Tierra-Luna es:
dar una estimación razonable de la distancia más cercana de la Luna a la Tierra cuando la
El sistema se estableció hace 4.500 millones de años. Basado en el fluido del campo de materia oscura
modelo, y el resultado anterior, la distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue
259000 km (centro a centro) o 250900 km (superficie a superficie) en 4.500 millones de años atrás,
Esto está mucho más allá del límite del Roche. En el moderno libro de texto de astronomía de Chaisson y
McMillan (Chaisson y McMillan, 1993, p.173), la distancia estimada en 4.500 millones
hace 250000 km, este es probablemente el número más razonable que
Los astrónomos creen y concuerdan excelentemente con el resultado de este modelo. El más cercano
distancia de la Luna a la Tierra por los modelos de Hansen era de unos 38 radios de la Tierra o
242000 km (Hansen, 1982).
De acuerdo con este modelo, la longitud del día de la Tierra fue de aproximadamente 8 horas a 4.5
Hace miles de millones de años. Fig. 1 muestra la evolución de la distancia de la Luna a la Tierra y el
longitud del día de la Tierra con la edad del sistema Tierra-Luna descrito por este modelo
junto con datos de Kvale et al. (1999), Sonett y otros (1996) y Scrutton (1978). Uno
puede ver que esos datos encajan muy bien en este modelo en su rango de tiempo.
Fig. 2 muestra los datos geológicos de los días solares año-1 de Wells (1963) y de
Sonett et al. (1996) y la descripción (línea sólida) de este modelo de fluido de campo de materia oscura
desde hace 900 millones de años. Se puede ver que el modelo está de acuerdo con el
datos fósiles maravillosamente.
La diferencia importante de este modelo con los modelos tempranos en la descripción de la
la evolución del sistema Tierra-Luna es que este modelo se basa sólo en los datos actuales de la
Sistema Luna-Tierra y no hay suposiciones sobre las condiciones de la Tierra anterior
rotación y deriva continental. Basado en este modelo, el sistema Tierra-Luna ha sido
evolución a la situación actual desde que se estableció y la tasa de recesión
de la Luna ha ido aumentando gradualmente, sin embargo, esta descripción no lo toma en
cuenta que podría haber acontecimientos especiales sucedidos en el pasado para causar el repentino
cambios significativos en los movimientos de la Tierra y la Luna, tales como fuertes impactos por
asteroides y cometas gigantes, etc., porque esos impactos son muy comunes en el universo.
El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrito por este modelo
está de acuerdo con las pruebas geológicas. Basado en Eq. 9, la tasa de recesión exponencialmente
aumenta con el tiempo. Se puede imaginar entonces que la tasa de recesión se convertirá rápidamente
Muy grande. De hecho, el aumento es extremadamente lento. La tasa de recesión de la Luna será
3,04 × 10-9 m s-1 después de 10 mil millones de años y 7,64 × 10-9 m s-1 después de 20 mil millones de años.
Sin embargo, si la recesión de la Luna continuará o en algún momento más tarde otro
No se sabe si el mecanismo asumirá el control. Se debe entender que la fricción de mareas
afecta a la evolución de la propia Tierra, como la estructura de la corteza superficial, continental
la deriva y la evolución del biosistema, etc; también puede jugar un papel en la desaceleración de la Tierra
la rotación, sin embargo, ese papel no es un mecanismo dominante.
Desafortunadamente, no hay datos disponibles sobre los cambios en la órbita de la Tierra.
movimiento y todos los demás miembros del sistema solar. De acuerdo con este modelo y los resultados anteriores,
la tasa de recesión de la Tierra debe ser de 6,86 × 10-7 m s-1 = 21,6 m año-1 = 2,16 km
siglo-1, la longitud de un año aumenta alrededor de 6,8 ms y el cambio de la temperatura es
-1.8 × 10-8 K año-1 con constante nivel de radiación del Sol y el entorno estable en
la Tierra. La duración de un año, hace mil millones de años, sería el 80% de la duración actual.
del año. Sin embargo, muchas pruebas (bandas de crecimiento de corales y mariscos, así como
de otras pruebas) sugieren que no ha habido ningún cambio aparente en la duración de la
año sobre los mil millones de años y el movimiento orbital de la Tierra es más estable que su rotación.
Esto sugiere que el líquido del campo de materia oscura está circulando alrededor del Sol con el mismo
dirección y velocidad similar de la Tierra (al menos en el rango orbital de la Tierra). Por lo tanto, el
El movimiento orbital de la Tierra experimenta muy poca o ninguna fuerza de arrastre de la materia oscura
fluido de campo. Sin embargo, se trata de una conjetura, hay que llevar a cabo una amplia investigación para verificar
Si este es el caso.
6. Descripción escéptica de la evolución del Marte
La Luna no tiene líquido líquido en su superficie, incluso no hay aire, por lo tanto,
no hay una fuerza de fricción mareomotriz similar al océano para ralentizar su rotación; sin embargo, la rotación de la
La Luna todavía se está desacelerando a un ritmo significativo de (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2, lo que está de acuerdo
con el modelo muy bien. En base a esto, uno puede pensar razonablemente que los
la rotación también debería ser más lenta.
El Marte es nuestro vecino más cercano que ha atraído la gran atención de los humanos
Desde la antigüedad. La exploración de Marte se ha estado calentando en las últimas décadas.
NASA, Agencia Espacial Rusa y Europa enviaron muchas naves espaciales a Marte para recolectar
datos y estudiar este misterioso planeta. Hasta ahora todavía no hay suficientes datos sobre el
historia de este planeta para describir su evolución. Igual que la Tierra, el Marte gira alrededor
su eje central y gira alrededor del Sol, sin embargo, el Marte no tiene una masa
(Marte tiene dos pequeños satélites: Fobos y Deimos) y no hay
líquido líquido en su superficie, por lo tanto, no hay aparente fuerza de fricción mareo-como el océano a
ralentizar su rotación por teorías de fricción de mareas. Sobre la base del resultado anterior y actual
Los datos de Marte, este modelo predice que la aceleración angular del Marte debería ser alrededor de
-4.38 × 10-22 rad s-2. La figura 3 describe la posible evolución de la duración del día y la
días solares / año de Marte, la línea vertical marca la edad actual del Marte con
asumir que el Marte se formó en un período de tiempo similar de la formación de la Tierra.
Tal descripción no fue dada antes de acuerdo con el conocimiento del autor y es
completamente escéptico debido a la falta de datos confiables. Sin embargo, con una mayor expansión de la
investigación y exploración en Marte, nos sentiremos seguros de que los datos confiables sobre
la aceleración angular de rotación del Marte estará disponible en el futuro próximo que
proporcionará una prueba vital para la predicción de este modelo. También hay otros factores
que puede afectar a la tasa de rotación de Marte, como la redistribución de masa debido a la temporada
cambio, vientos, posibles erupciones volcánicas y terremotos de Marte. Por lo tanto, los datos deben ser
cuidadosamente analizados.
7. Discusión sobre el modelo
De los resultados anteriores, se puede ver que los datos actuales Tierra-Luna y el
datos geológicos y fósiles están de acuerdo con el modelo muy bien y la evolución pasada de la
Sistema Tierra-Luna puede ser descrito por el modelo sin introducir ningún adicional
parámetros; este modelo revela la interesante relación entre la rotación y
Retirada (Eq. 17 y Eq. 18) del mismo cuerpo celestial o diferentes cuerpos celestes en
el mismo sistema gravitacional, tal relación no se conoce antes. Tal éxito puede
no debe explicarse por “coincidencia” o “suerte” debido a la gran cantidad de datos
Los datos de la Tierra y la Luna y los datos geológicos y fósiles) si uno piensa que esto es sólo un
“ad hoc” o un modelo equivocado, aunque la posibilidad de que
“coincidencia” o “suerte” podría ser mayor que ganar un premio mayor de la lotería; el futuro de Marte
los datos aclararán esto; de lo contrario, se puede desarrollar una nueva teoría a partir de un enfoque diferente
dar la misma o mejor descripción como lo hace este modelo. Es cierto que este modelo es
no perfecto y puede tener defectos, se puede llevar a cabo un mayor desarrollo.
James Clark Maxwell dijo en el 1873 “El vasto interplanetario e interestelar
regiones ya no serán considerados como lugares de desecho en el universo, que el Creador tiene
no se considera apto para llenar con los símbolos de la orden múltiple de Su reino. Encontraremos
estar ya llenos de este maravilloso medio; tan lleno, que ningún poder humano puede
quitarlo de la porción más pequeña del espacio, o producir el más mínimo defecto en su infinito
continuidad. Se extiende ininterrumpidamente de estrella a estrella...”. El medio que habló Maxwell
alrededor es el éter que fue propuesto como portador de la propagación de la onda de luz. Los
El experimento Michelson-Morley sólo demostró que la propagación de la onda de luz no
depende de tal medio y no rechaza la existencia del medio en el interestelar
espacio. De hecho, el concepto de medio interestelar se ha desarrollado dramáticamente
recientemente como la materia oscura, la energía oscura, el fluido cósmico, etc. El campo de la materia oscura
fluido es sólo una parte de tan maravilloso medio y “precisamente” descrito por Maxwell.
7. Conclusión
La evolución del sistema Tierra-Luna puede ser descrita por el campo de materia oscura
modelo fluido con enfoque no newtoniano y los datos actuales de la Tierra y la Luna
Se adapta muy bien a este modelo. Hace 4.500 millones de años, la distancia más cercana de la Luna
La Tierra podría estar a unos 259000 km, que está muy por encima del límite de Roche y de la longitud de
El día era alrededor de 8 horas. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra
descrita por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil. La fricción de mareas puede
no sea la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La rotación de Marte
también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular alrededor de -4,38 × 10-22 rad s-2.
Bibliografía
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J. W. Wells, 1963. Naturaleza, 197, 948.
Título
Figura 1, la evolución de la distancia de la Luna y la longitud del día de la tierra con
la era del sistema Tierra-Luna. Las líneas sólidas se calculan según la materia oscura
modelo de fluido de campo. Fuentes de datos: las distancias de la Luna son de Kvale y et al. y para el
longitud del día: (a y b) son de Scrutton (página 186, fig. 8), c es de Sonett y et al.
La línea marca la edad actual del sistema Tierra-Luna.
Figura 2, la evolución de los días solares del año con la edad de la Luna-Tierra
sistema. La línea sólida se calcula según el modelo de fluido de campo de materia oscura. Los datos
son de Wells (3.9 ~ 4.435 millones de años de rango), Sonett (3.600 millones de años) y actual
edad (4.500 millones de años).
Figura 3, la descripción escéptica de la evolución de la longitud del día de Marte y el
días solares/año de Marte con la edad de Marte (suponiendo que la edad de Marte es de aproximadamente 4.5
miles de millones de años). La línea vertical marca la edad actual de Marte.
Figura 1, distancia de la Luna y la longitud del día de la Tierra
cambio con la era del sistema Tierra-Luna
La edad del sistema Tierra-Luna (109 años)
0 1 2 3 4 5
Distancia
Duración del día
Límite de Roche
Resultado de Hansen
Figura 2, los días solares / año vs. la edad de la Tierra
La edad de la Tierra (109 años)
3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
| La evolución del sistema Tierra-Luna es descrita por el campo de materia oscura
modelo fluido propuesto en la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004,
Sociedad Física Americana. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna está de acuerdo
con este modelo muy bien y el patrón general de la evolución de la
Sistema Luna-Tierra descrito por este modelo está de acuerdo con geológico y fósil
pruebas. La distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue de unos 259000 km a 4,5
hace miles de millones de años, que está mucho más allá del límite de Roche. El resultado sugiere
que la fricción de mareas puede no ser la causa principal de la evolución de la
Sistema Tierra-Luna. La constante media del fluido del campo de materia oscura derivada de
Los datos del sistema Tierra-Luna son 4,39 x 10^(-22) s^(-1)m^(-1). Este modelo predice
que la rotación del Marte también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular
alrededor de -4,38 x 10^(-22) rad s^(-2).
| Introducción
La teoría aceptada popularmente para la formación del sistema Tierra-Luna es que
la Luna se formó a partir de escombros de un fuerte impacto por un gigante planetesimal con el
La Tierra al final del período de formación del planeta (Hartmann y Davis 1975). Desde el
formación del sistema Tierra-Luna, que ha estado evolucionando en toda escala de tiempo. Está bien.
sabe que la Luna se está alejando de nosotros y de la rotación de la Tierra y de la Luna
La rotación se está desacelerando. La teoría popular es que la fricción de mareas causa todos esos cambios.
basado en la conservación del impulso angular del sistema Tierra-Luna. Los
la situación se complica al describir la evolución pasada de la Luna-Tierra
sistema. Debido a que la Luna se está alejando de nosotros y la rotación de la Tierra se está desacelerando, esto
significa que la Luna estaba más cerca y la rotación de la Tierra era más rápida en el pasado. Creacionistas
argumentan que sobre la base de la teoría de la fricción de mareas, la fricción de mareas debe ser más fuerte y la
la tasa de recesión de la Luna debe ser mayor en el pasado, la distancia de la Luna
caería rápidamente dentro del límite de Roche (para la tierra, 15500 km) en el que la Luna
sería desgarrado por la gravedad en 1 a 2 mil millones de años atrás. Sin embargo, las pruebas geológicas
indica que la recesión de la Luna en el pasado fue más lenta que la tasa actual, es decir,
la recesión se ha acelerado con el tiempo. Por lo tanto, debe concluirse que las mareas
la fricción fue mucho menos en el pasado remoto de lo que deduciríamos sobre la base de
Observaciones actuales (Stacey 1977). Esto se llamó “escala de tiempo geológica
dificultad” o “crisis lunar” y es uno de los principales argumentos de los creacionistas contra el
teoría de la fricción de mareas (Brush 1983).
Pero tenemos que considerar el caso cuidadosamente en varios aspectos. Una posible
escenario es que la Tierra ha estado experimentando una evolución dinámica en toda escala de tiempo desde
su creación, las condiciones geológicas y físicas (como las posiciones del continente y
a la deriva, la corteza, fluctuación de la temperatura superficial como el efecto glacial/snowball, etc.)
pasado remoto podría ser sustancialmente diferente de la actual, en la que la fricción de mareas
podría ser mucho menos; por lo tanto, la tasa de descenso de la Luna podría ser más lenta. Varios
En el pasado se propusieron modelos de fricción de mareas para describir la evolución de la Tierra-
Sistema lunar para evitar tal dificultad o crisis y poner a la Luna en un lugar bastante cómodo
distancia de la Tierra hace 4.500 millones de años (Hansen 1982, Kagan y Maslova 1994, Ray
et al. 1999, Finch 1981, Slichter 1963). Las teorías de la fricción de marea explican que el presente
la tasa de disipación de las mareas es anomalosamente alta porque la fuerza de las mareas está cerca de una resonancia
en la función de respuesta del océano (Brush 1983). Kagan dio una revisión detallada sobre los
modelos de fricción de mareas (Kagan 1997). Estos modelos se basan en muchos supuestos sobre
condiciones geológicas (posición continental y deriva) y físicas en el pasado, y
muchos parámetros (como el ángulo de retardo de fase, la aproximación multimodo con el tiempo
frecuencias dependientes de los modos de resonancia, etc.) tienen que ser introducidos y cuidadosamente
ajustados para hacer sus predicciones cerca de la evidencia geológica. Sin embargo, los
los supuestos y parámetros siguen siendo cuestionados, en cierta medida, como brebaje.
El segundo escenario posible es que otro mecanismo podría dominar el
la evolución del sistema Tierra-Luna y el papel de la fricción de mareas no es significativo. In
la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004, American Physical Society,
Universidad de California en Riverside, el autor propuso un modelo de fluido de campo de materia oscura
(Pan 2005) con un enfoque no newtoniano, los datos actuales de la Luna y la Tierra están de acuerdo con
este modelo muy bien. Este documento demostrará que la evolución pasada de la Luna-Tierra
sistema puede ser descrito por el modelo de fluido de campo de materia oscura sin ninguna suposición
sobre las condiciones geológicas y físicas del pasado. Aunque el tema de la evolución de
el sistema Tierra-Luna ha sido ampliamente estudiado analítica o numéricamente, a la
conocimiento del autor, no hay teorías similares o equivalentes a este modelo.
2. Materia invisible
En la cosmología moderna, se propuso que la materia visible en el universo es
aproximadamente el 2 ~ 10 % de la materia total y alrededor del 90 ~ 98% de la materia total es actualmente
invisible que se llama materia oscura y energía oscura, tal materia invisible tiene un anti-
propiedad de gravedad para hacer que el universo se expanda más y más rápido.
Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis,
entonces, la evolución del universo debe ser dominada por el mecanismo físico de
tal materia invisible, tal mecanismo físico podría estar mucho más allá de la corriente
La física newtoniana y la física Einsteiniana, y la física Newtoniana y la Einsteiniana
la física podría reflejar sólo un rincón del iceberg de la física mayor.
Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis,
entonces, debería ser más razonable pensar que tal materia invisible dominante se propaga en
en todas partes del universo (la densidad de la materia invisible puede variar de un lugar a otro
lugar); en otras palabras, todos los objetos de materia visible deben estar rodeados por tales invisibles
materia y el movimiento de la materia visible objetos deben ser afectados por el invisible
materia si hay interacciones entre la materia visible y la materia invisible.
Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis,
entonces, el tamaño de las partículas de la materia invisible debe ser muy pequeño y por debajo de la
límite de detección de la tecnología actual; de lo contrario, se detectaría hace mucho tiempo
con tal cantidad dominante.
Con esta materia invisible en mente, nos movemos a la siguiente sección para desarrollar la
Modelo de fluido de campo de materia oscura con enfoque no newtoniano. Para la simplicidad, todos invisibles
materia (materia oscura, energía oscura y otros términos posibles) se llama materia oscura aquí.
3. El modelo de fluido de campo de materia oscura
En este modelo propuesto, se supone que:
1. Un cuerpo celeste gira y se mueve en el espacio, que, para la simplicidad, es uniforme
lleno de la materia oscura que está en estado de quiescencia relativa al movimiento del
cuerpo celeste. La materia oscura posee una propiedad de campo y una propiedad fluida; puede
interactúe con el cuerpo celeste con sus propiedades de fluido y campo; por lo tanto, puede tener
intercambio de energía con el cuerpo celeste, y afectan el movimiento del cuerpo celeste.
2. La propiedad del fluido sigue el principio general de la mecánica del fluido. La materia oscura
partículas de líquido de campo pueden ser tan pequeñas que fácilmente pueden impregnarse en ordinario
materia “barionica”; es decir, los objetos de materia ordinaria podrían estar saturados con tal materia oscura
fluido de campo. Por lo tanto, todo el cuerpo celestial interactúa con el fluido del campo de materia oscura, en el
forma de una esponja que se mueve a través del agua. La naturaleza de la propiedad de campo de la materia oscura
se desconoce el líquido del campo. Se asume aquí que la interacción del campo asociado con
el fluido del campo de materia oscura con el cuerpo celestial es proporcional a la masa del
cuerpo celeste. El fluido del campo de materia oscura se supone que tiene una fuerza repulsiva contra el
fuerza gravitatoria hacia la materia bariónica. La naturaleza y el mecanismo de tal repulsivo
La fuerza es desconocida.
Con las suposiciones anteriores, uno puede estudiar cómo el fluido del campo de materia oscura puede
influir en el movimiento de un cuerpo celeste y comparar los resultados con las observaciones. Los
la forma común de los cuerpos celestes es esférica. Según la ley de Stokes, un rígido no-
esfera permeable que se mueve a través de un líquido quiescente con un Reynolds suficientemente bajo
número experimenta una fuerza de resistencia F
rvF 6−= (1)
donde v es la velocidad de movimiento, r es el radio de la esfera, y μ es la viscosidad del fluido
constante. La dirección de la fuerza de resistencia F en Eq. 1 es opuesto a la dirección de la
velocidad v. Para una esfera rígida que se mueve a través del fluido del campo de materia oscura, debido al doble
propiedades del fluido del campo de materia oscura y su permeación en la esfera, la fuerza F
puede no ser proporcional al radio de la esfera. Además, F puede ser proporcional a la
masa de la esfera debido a la interacción de campo. Por lo tanto, con los efectos combinados de
fluido y campo, la fuerza ejercida en la esfera por el fluido del campo de materia oscura es
se supone que es de la forma escalonada
(2) mvrF n= 16
donde n es un parámetro derivado de la saturación por el fluido de campo de materia oscura, el r1-n puede ser
visto como el radio efectivo con la misma unidad que r, m es la masa de la esfera, y η
es la constante del fluido del campo de materia oscura, que es equivalente a μ. La dirección de la
Fuerza de resistencia F en Eq. 2 es opuesto a la dirección de la velocidad v. La fuerza
descrita por Eq. 2 es dependiente de la velocidad y causa una aceleración negativa. De acuerdo con
Segunda ley del movimiento de Newton, la ecuación del movimiento para la esfera es
mvr
m n= 16 (3)
Entonces
(4) )6exp( 10 vtrv
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
donde v0 es la velocidad inicial (t = 0) de la esfera. Si la esfera gira alrededor de un
centro gravitacional masivo, hay tres fuerzas en la línea entre la esfera y el
centro gravitacional: (1) la fuerza gravitatoria, (2) la fuerza de aceleración centrípeta; y
(3) la fuerza repulsiva del fluido del campo de materia oscura. La fuerza de arrastre en Eq. 3 reduce la
velocidad orbital y hace que la esfera se mueva hacia el centro gravitacional.
Sin embargo, si la suma de la fuerza de aceleración centrípeta y la fuerza repulsiva es
más fuerte que la fuerza gravitacional, entonces, la esfera se moverá hacia afuera y se retirará de
el centro gravitacional. Este es el caso del interés aquí. Si la velocidad cambia en Eq. 3 es
suficientemente lento y la fuerza repulsiva es pequeña en comparación con la fuerza gravitacional y
fuerza de aceleración centrípeta, entonces la tasa de retroceso será en consecuencia relativamente
Lentamente. Por lo tanto, la fuerza gravitacional y la fuerza de aceleración centrípeta puede ser
aproximadamente tratados en equilibrio en cualquier momento. La ecuación pseudo equilibrio es
GMm 2
2 = (5)
donde G es la constante gravitacional, M es la masa del centro gravitacional, y R es
el radio de la órbita. Insertar v de Eq. 4 en Eq. 5 rendimientos
)12exp( 1
R n−= (6)
(7) )12exp( 10 trRR
n−=
donde
R = (8)
R0 es la distancia inicial al centro gravitacional. Tenga en cuenta que R aumenta exponencialmente
con el tiempo. El aumento de la energía orbital con el retroceso proviene del repulsivo
fuerza del fluido de campo de materia oscura. La tasa de recesión de la esfera es
dR n−= 112 (9)
La aceleración de la recesión es
( Rr
Rd n 21
12 − = ). (10)
La aceleración recesiva es positiva y proporcional a su distancia a la
centro gravitacional, así que la recesión es cada vez más rápida.
Según la mecánica de los fluidos, para una esfera rígida no permeable giratoria
alrededor de su eje central en el fluido quiescente, el par T ejercido por el fluido en la esfera
38 rT − = (11)
donde • es la velocidad angular de la esfera. La dirección del par en Eq. 11 es
opuesta a la dirección de la rotación. En el caso de una esfera que gira en el quiescente
Líquido de campo de materia oscura con velocidad angular, similar a Eq. 2, la T propuesta ejerció
en la esfera es
( ) mrT n 318 = (12)
La dirección del par en Eq. 12 es opuesto a la dirección de la rotación. Los
el par causa la aceleración angular negativa
= (13)
donde estoy el momento de inercia de la esfera en el fluido del campo de materia oscura
( )21
2 nrmI = (14)
Por lo tanto, la ecuación de rotación para la esfera en el fluido del campo de materia oscura es
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
d = 120 (15)
Resolver esta ecuación produce
(16) )20exp( 10 tr
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
donde 0 es la velocidad angular inicial. Uno puede ver que la velocidad angular de la
esfera disminuye exponencialmente con el tiempo y la desaceleración angular es proporcional a
su velocidad angular.
Para la misma esfera celestial, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos
(17)
El significado de Eq. 17 es que sólo contiene datos observados sin suposiciones y
parámetros indeterminados; por lo tanto, es una prueba crítica para este modelo.
Para dos esferas celestes diferentes en el mismo sistema, combinando Eq. 9 y Eq.
15 rendimientos
67,1
1 −=−=
(18)
Esta es otra prueba crítica para este modelo.
4. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna concuerda con el modelo
El sistema Luna-Tierra es el sistema gravitacional más simple. El sistema solar es
complejo, la Tierra y la Luna experimentan no sólo la interacción del Sol, sino también
interacciones de otros planetas. Consideremos el sistema gravitacional Tierra-Luna local como
un sistema gravitacional local aislado, es decir, la influencia del Sol y otros planetas
sobre la rotación y el movimiento orbital de la Luna y sobre la rotación de la Tierra
asumido insignificante en comparación con las fuerzas ejercidas por la luna y la tierra en el otro.
Además, la excentricidad de la órbita de la Luna es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada. Los datos
sobre la Luna y la Tierra a partir de referencias (Dickey et.al., 1994, y Lang, 1992)
listado a continuación para la conveniencia de los lectores para verificar el cálculo porque los datos pueden
varían ligeramente con diferentes fuentes de datos.
Luna:
Radio medio: r = 1738,0 km
Masa: m = 7,3483 × 1025 gramos
Período de rotación = 27,321661 días
Velocidad angular de la Luna = 2,6617 × 10-6 rad s-1
Distancia media a la Tierra Rm= 384400 km
Velocidad orbital media v = 1.023 km s-1
Excentricidad de la órbita e = 0,0549
Velocidad de aceleración de rotación angular = -25,88 ± 0,5 arcoseg siglo-2
= (-1,255 ± 0,024) × siglo rad 10-4-2
= (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2
Tasa de retroceso de la Tierra = 3,82 ± 0,07 cm año-1 = (1,21 ± 0,02) × 10-9 m s-1
Tierra:
Radio medio: r = 6371,0 km
Masa: m = 5,9742 × 1027 gramos
Período de rotación = 23 h 56m 04.098904s = 86164.098904s
Velocidad angular de rotación = 7,292115 × 10-5 rad s-1
Distancia media al Sol Rm= 149.597.870,61 km
Velocidad orbital media v = 29,78 km s-1
Aceleración angular de la Tierra = (-5,5 ± 0,5) × 10-22 rad s-2
Velocidad angular de rotación de la Luna y aumento de la distancia media a la Tierra
(tasa de descenso) se obtuvieron de la gama de láser lunar del Programa Apollo (Dickey
et.al., 1994). Insertando los datos de la rotación y recesión de la Luna en Eq. 17, el
resultado es
039.054,1
10662,2121,1
1092509.31026.1
(19)
La distancia R en Eq. 19 es desde el centro de la Luna hasta el centro de la Tierra y el número
384400 km se supone que es la distancia de la superficie de la Luna a la superficie de la Tierra.
Eq. 19 está en buen acuerdo con el valor teórico de -1.67. El resultado está de acuerdo
con el modelo utilizado aquí. La diferencia (alrededor del 7,8%) entre los valores de -1,54 y -
1.67 pueden provenir de varias fuentes:
1. El orbital de la Luna no es un círculo perfecto
2. La Luna no es una esfera rígida perfecta.
3. El efecto del Sol y otros planetas.
4. Errores en los datos.
5. Posibles otras razones desconocidas.
Los dos parámetros n y η en Eq. 9 y Eq. 15 se puede determinar con dos datos
Sets. El tercer conjunto de datos se puede utilizar para seguir probando el modelo. Si este modelo es correcto
describe la situación actual, debe dar resultados coherentes para diferentes movimientos. Los
los valores de n y η calculados a partir de tres conjuntos de datos diferentes se enumeran a continuación (Nota:
la distancia media de la Luna a la Tierra y los radios medios de la Luna y la Tierra son
utilizado en el cálculo).
El valor de n: n = 0,64
De la rotación de la Luna: η = 4,27 × 10-22 s-1 m-1
De la rotación de la Tierra: η = 4,26 × 10-22 s-1 m-1
De la recesión de la Luna: η = 4,64 × 10-22 s-1 m-1
Se puede ver que los tres valores de η son consistentes dentro del rango de error en los datos.
El valor medio de η: η = (4,39 ± 0,22) × 10-22 s-1 m-1
Al insertar los datos de la rotación de la Tierra, la recesión de la Luna y el valor de n en
Eq. 18, el resultado es
14.053.1
6371000
1738000
1021.11029.7
1092509,3105.5
)64.01(
(20)
Esto también está de acuerdo con el modelo utilizado aquí.
La fuerza de arrastre ejercida sobre el movimiento orbital de la Luna por el campo de materia oscura
fluido es -1.11 × 108 N, esto es insignificantemente pequeño en comparación con la fuerza gravitacional entre
la Luna y la Tierra ~ 1,90 × 1020 N; y el torque ejercido por el campo de materia oscura
fluido en las rotaciones de la Tierra y la Luna es T = -5,49 × 1016 Nm y -1,15 × 1012 Nm,
respectivamente.
5. La evolución del sistema Tierra-Luna
Sonett et al. encontró que la longitud del día terrestre hace 900 millones de años fue
alrededor de 19,2 horas sobre la base de los sedimentos de marea laminadas en la Tierra (Sonett y otros,
1996). De acuerdo con el modelo presentado aquí, en ese tiempo, la duración del día
fue alrededor de 19,2 horas, esto concuerda muy bien con Sonett et al.El resultado.
Otro aspecto crítico de modelar la evolución del sistema Tierra-Luna es:
dar una estimación razonable de la distancia más cercana de la Luna a la Tierra cuando la
El sistema se estableció hace 4.500 millones de años. Basado en el fluido del campo de materia oscura
modelo, y el resultado anterior, la distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue
259000 km (centro a centro) o 250900 km (superficie a superficie) en 4.500 millones de años atrás,
Esto está mucho más allá del límite del Roche. En el moderno libro de texto de astronomía de Chaisson y
McMillan (Chaisson y McMillan, 1993, p.173), la distancia estimada en 4.500 millones
hace 250000 km, este es probablemente el número más razonable que
Los astrónomos creen y concuerdan excelentemente con el resultado de este modelo. El más cercano
distancia de la Luna a la Tierra por los modelos de Hansen era de unos 38 radios de la Tierra o
242000 km (Hansen, 1982).
De acuerdo con este modelo, la longitud del día de la Tierra fue de aproximadamente 8 horas a 4.5
Hace miles de millones de años. Fig. 1 muestra la evolución de la distancia de la Luna a la Tierra y el
longitud del día de la Tierra con la edad del sistema Tierra-Luna descrito por este modelo
junto con datos de Kvale et al. (1999), Sonett y otros (1996) y Scrutton (1978). Uno
puede ver que esos datos encajan muy bien en este modelo en su rango de tiempo.
Fig. 2 muestra los datos geológicos de los días solares año-1 de Wells (1963) y de
Sonett et al. (1996) y la descripción (línea sólida) de este modelo de fluido de campo de materia oscura
desde hace 900 millones de años. Se puede ver que el modelo está de acuerdo con el
datos fósiles maravillosamente.
La diferencia importante de este modelo con los modelos tempranos en la descripción de la
la evolución del sistema Tierra-Luna es que este modelo se basa sólo en los datos actuales de la
Sistema Luna-Tierra y no hay suposiciones sobre las condiciones de la Tierra anterior
rotación y deriva continental. Basado en este modelo, el sistema Tierra-Luna ha sido
evolución a la situación actual desde que se estableció y la tasa de recesión
de la Luna ha ido aumentando gradualmente, sin embargo, esta descripción no lo toma en
cuenta que podría haber acontecimientos especiales sucedidos en el pasado para causar el repentino
cambios significativos en los movimientos de la Tierra y la Luna, tales como fuertes impactos por
asteroides y cometas gigantes, etc., porque esos impactos son muy comunes en el universo.
El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrito por este modelo
está de acuerdo con las pruebas geológicas. Basado en Eq. 9, la tasa de recesión exponencialmente
aumenta con el tiempo. Se puede imaginar entonces que la tasa de recesión se convertirá rápidamente
Muy grande. De hecho, el aumento es extremadamente lento. La tasa de recesión de la Luna será
3,04 × 10-9 m s-1 después de 10 mil millones de años y 7,64 × 10-9 m s-1 después de 20 mil millones de años.
Sin embargo, si la recesión de la Luna continuará o en algún momento más tarde otro
No se sabe si el mecanismo asumirá el control. Se debe entender que la fricción de mareas
afecta a la evolución de la propia Tierra, como la estructura de la corteza superficial, continental
la deriva y la evolución del biosistema, etc; también puede jugar un papel en la desaceleración de la Tierra
la rotación, sin embargo, ese papel no es un mecanismo dominante.
Desafortunadamente, no hay datos disponibles sobre los cambios en la órbita de la Tierra.
movimiento y todos los demás miembros del sistema solar. De acuerdo con este modelo y los resultados anteriores,
la tasa de recesión de la Tierra debe ser de 6,86 × 10-7 m s-1 = 21,6 m año-1 = 2,16 km
siglo-1, la longitud de un año aumenta alrededor de 6,8 ms y el cambio de la temperatura es
-1.8 × 10-8 K año-1 con constante nivel de radiación del Sol y el entorno estable en
la Tierra. La duración de un año, hace mil millones de años, sería el 80% de la duración actual.
del año. Sin embargo, muchas pruebas (bandas de crecimiento de corales y mariscos, así como
de otras pruebas) sugieren que no ha habido ningún cambio aparente en la duración de la
año sobre los mil millones de años y el movimiento orbital de la Tierra es más estable que su rotación.
Esto sugiere que el líquido del campo de materia oscura está circulando alrededor del Sol con el mismo
dirección y velocidad similar de la Tierra (al menos en el rango orbital de la Tierra). Por lo tanto, el
El movimiento orbital de la Tierra experimenta muy poca o ninguna fuerza de arrastre de la materia oscura
fluido de campo. Sin embargo, se trata de una conjetura, hay que llevar a cabo una amplia investigación para verificar
Si este es el caso.
6. Descripción escéptica de la evolución del Marte
La Luna no tiene líquido líquido en su superficie, incluso no hay aire, por lo tanto,
no hay una fuerza de fricción mareomotriz similar al océano para ralentizar su rotación; sin embargo, la rotación de la
La Luna todavía se está desacelerando a un ritmo significativo de (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2, lo que está de acuerdo
con el modelo muy bien. En base a esto, uno puede pensar razonablemente que los
la rotación también debería ser más lenta.
El Marte es nuestro vecino más cercano que ha atraído la gran atención de los humanos
Desde la antigüedad. La exploración de Marte se ha estado calentando en las últimas décadas.
NASA, Agencia Espacial Rusa y Europa enviaron muchas naves espaciales a Marte para recolectar
datos y estudiar este misterioso planeta. Hasta ahora todavía no hay suficientes datos sobre el
historia de este planeta para describir su evolución. Igual que la Tierra, el Marte gira alrededor
su eje central y gira alrededor del Sol, sin embargo, el Marte no tiene una masa
(Marte tiene dos pequeños satélites: Fobos y Deimos) y no hay
líquido líquido en su superficie, por lo tanto, no hay aparente fuerza de fricción mareo-como el océano a
ralentizar su rotación por teorías de fricción de mareas. Sobre la base del resultado anterior y actual
Los datos de Marte, este modelo predice que la aceleración angular del Marte debería ser alrededor de
-4.38 × 10-22 rad s-2. La figura 3 describe la posible evolución de la duración del día y la
días solares / año de Marte, la línea vertical marca la edad actual del Marte con
asumir que el Marte se formó en un período de tiempo similar de la formación de la Tierra.
Tal descripción no fue dada antes de acuerdo con el conocimiento del autor y es
completamente escéptico debido a la falta de datos confiables. Sin embargo, con una mayor expansión de la
investigación y exploración en Marte, nos sentiremos seguros de que los datos confiables sobre
la aceleración angular de rotación del Marte estará disponible en el futuro próximo que
proporcionará una prueba vital para la predicción de este modelo. También hay otros factores
que puede afectar a la tasa de rotación de Marte, como la redistribución de masa debido a la temporada
cambio, vientos, posibles erupciones volcánicas y terremotos de Marte. Por lo tanto, los datos deben ser
cuidadosamente analizados.
7. Discusión sobre el modelo
De los resultados anteriores, se puede ver que los datos actuales Tierra-Luna y el
datos geológicos y fósiles están de acuerdo con el modelo muy bien y la evolución pasada de la
Sistema Tierra-Luna puede ser descrito por el modelo sin introducir ningún adicional
parámetros; este modelo revela la interesante relación entre la rotación y
Retirada (Eq. 17 y Eq. 18) del mismo cuerpo celestial o diferentes cuerpos celestes en
el mismo sistema gravitacional, tal relación no se conoce antes. Tal éxito puede
no debe explicarse por “coincidencia” o “suerte” debido a la gran cantidad de datos
Los datos de la Tierra y la Luna y los datos geológicos y fósiles) si uno piensa que esto es sólo un
“ad hoc” o un modelo equivocado, aunque la posibilidad de que
“coincidencia” o “suerte” podría ser mayor que ganar un premio mayor de la lotería; el futuro de Marte
los datos aclararán esto; de lo contrario, se puede desarrollar una nueva teoría a partir de un enfoque diferente
dar la misma o mejor descripción como lo hace este modelo. Es cierto que este modelo es
no perfecto y puede tener defectos, se puede llevar a cabo un mayor desarrollo.
James Clark Maxwell dijo en el 1873 “El vasto interplanetario e interestelar
regiones ya no serán considerados como lugares de desecho en el universo, que el Creador tiene
no se considera apto para llenar con los símbolos de la orden múltiple de Su reino. Encontraremos
estar ya llenos de este maravilloso medio; tan lleno, que ningún poder humano puede
quitarlo de la porción más pequeña del espacio, o producir el más mínimo defecto en su infinito
continuidad. Se extiende ininterrumpidamente de estrella a estrella...”. El medio que habló Maxwell
alrededor es el éter que fue propuesto como portador de la propagación de la onda de luz. Los
El experimento Michelson-Morley sólo demostró que la propagación de la onda de luz no
depende de tal medio y no rechaza la existencia del medio en el interestelar
espacio. De hecho, el concepto de medio interestelar se ha desarrollado dramáticamente
recientemente como la materia oscura, la energía oscura, el fluido cósmico, etc. El campo de la materia oscura
fluido es sólo una parte de tan maravilloso medio y “precisamente” descrito por Maxwell.
7. Conclusión
La evolución del sistema Tierra-Luna puede ser descrita por el campo de materia oscura
modelo fluido con enfoque no newtoniano y los datos actuales de la Tierra y la Luna
Se adapta muy bien a este modelo. Hace 4.500 millones de años, la distancia más cercana de la Luna
La Tierra podría estar a unos 259000 km, que está muy por encima del límite de Roche y de la longitud de
El día era alrededor de 8 horas. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra
descrita por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil. La fricción de mareas puede
no sea la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La rotación de Marte
también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular alrededor de -4,38 × 10-22 rad s-2.
Bibliografía
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Título
Figura 1, la evolución de la distancia de la Luna y la longitud del día de la tierra con
la era del sistema Tierra-Luna. Las líneas sólidas se calculan según la materia oscura
modelo de fluido de campo. Fuentes de datos: las distancias de la Luna son de Kvale y et al. y para el
longitud del día: (a y b) son de Scrutton (página 186, fig. 8), c es de Sonett y et al.
La línea marca la edad actual del sistema Tierra-Luna.
Figura 2, la evolución de los días solares del año con la edad de la Luna-Tierra
sistema. La línea sólida se calcula según el modelo de fluido de campo de materia oscura. Los datos
son de Wells (3.9 ~ 4.435 millones de años de rango), Sonett (3.600 millones de años) y actual
edad (4.500 millones de años).
Figura 3, la descripción escéptica de la evolución de la longitud del día de Marte y el
días solares/año de Marte con la edad de Marte (suponiendo que la edad de Marte es de aproximadamente 4.5
miles de millones de años). La línea vertical marca la edad actual de Marte.
Figura 1, distancia de la Luna y la longitud del día de la Tierra
cambio con la era del sistema Tierra-Luna
La edad del sistema Tierra-Luna (109 años)
0 1 2 3 4 5
Distancia
Duración del día
Límite de Roche
Resultado de Hansen
Figura 2, los días solares / año vs. la edad de la Tierra
La edad de la Tierra (109 años)
3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
|
704.0004 | A determinant of Stirling cycle numbers counts unlabeled acyclic
single-source automata | Un determinante de los números de ciclo de Stirling cuenta sin etiqueta
Automata de una sola fuente acíclica
DAVID CALLAN
Departamento de Estadística
Universidad de Wisconsin-Madison
1300 University Ave
Madison, WI 53706-1532
callen@stat.wisc.edu
30 de marzo de 2007
Resumen
Demostramos que un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta sin etiqueta acíclica
autómatas de una sola fuente. La prueba implica una bijección de estos autómatas a
algunos caminos de celosía marcados y una involución de inversión de signos para evaluar la disuasión
Minant.
1 Introducción El propósito principal de este artículo es mostrar bijectamente que
un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta autómatas acíclicos de una sola fuente sin etiqueta.
Específicamente, deje que Ak(n) denote la matriz kn × kn con (i, j) entrada
[ i−1
i−1
1+i−j
, donde
es el número del ciclo de Stirling, el número de permutaciones en [i] con ciclos j. Por
ejemplo,
A2(5) =
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 3 2 0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 2 0 0 0 0 0
0 0 0 1 6 11 6 0 0 0
0 0 0 0 1 6 11 6 0 0
0 0 0 0 0 1 10 35 50 24
0 0 0 0 0 1 10 35 50
0 0 0 0 0 0 1 15 85
0 0 0 0 0 0 0 1 15
http://arxiv.org/abs/0704.004v1
Como es evidente en el ejemplo, Ak(n) se forma a partir de k copias de cada una de las filas 2 a n+1
del triángulo del ciclo de Stirling, dispuesto de modo que la primera entrada no cero en cada fila es un 1
y, después de la primera fila, este 1 ocurre justo antes de la diagonal principal; en otras palabras, Ak(n)
es una matriz de Hessenberg con 1s en la infradiagonal. Vamos a mostrar
Teorema Principal. El determinante de Ak(n) es el número de mono-
autómatas de origen con n estados transitorios en un alfabeto de entrada (k + 1) letras.
En la sección 2 se examina la terminología básica para contar las relaciones automatizadas y recurrentes
autómatas acíclicos finitos. En la sección 3 se introducen las vías subdiagonales marcadas con columnas, que
jugar un papel intermedio, y una manera de codificarlos. En la sección 4 se presenta una
estos caminos subdiagonales marcados con columnas a autómatas acíclicos sin etiquetar de una sola fuente. Fi-
nally, la sección 5 evalúa detAk(n) usando una involución de inversión de signos y muestra que la
determinante cuenta los códigos para las rutas subdiagonales con marca de columna.
2 Automatas
Un autómata (completa, determinista) consiste en un conjunto de estados y un alfabeto de entrada
cuyas letras transforman los estados entre sí: una carta y un estado producen otro
Estado (posiblemente el mismo). Un autómata finito (conjunto finito de estados, alfabeto de entrada finito
de, digamos, k letras) se puede representar como un multógrafo dirigido k-regular con bordes ordenados:
los vértices representan los estados y el primero, segundo,. .. borde de un vértice dan el efecto
del primero, segundo,. .. letra del alfabeto en ese estado. Un autómata finito no puede ser acíclico
en el sentido habitual de no ciclos: elegir un vértice y seguir cualquier camino de él. Este camino debe
finalmente golpeó un vértice previamente encontrado, creando así un ciclo. Así que el término
acíclico se utiliza en el sentido más suelto que sólo un vértice, llamado el fregadero, está involucrado en
ciclos. Esto significa que todos los bordes del lazo del fregadero de nuevo a sí mismo (y puede ser
omitida) y todos los otros caminos se alimentan en el fregadero.
Un estado no-sumidero se llama transitorio. El tamaño de un autómata acíclico es el número de
estados transitorios. Un autómata acíclico de tamaño n por lo tanto tiene estados transitorios que etiquetamos
1, 2,........................................................................................................................................................................................... Liskovets [1] utiliza el principio de inclusión-exclusión
(más sobre esto a continuación) para obtener la siguiente relación de recurrencia para el número ak(n)
de autómatas acíclicos del tamaño n en un alfabeto de entrada de letra k (k ≥ 1):
ak(0) = 1; ak(n) =
(−1)n−j−1
(j + 1)k(n−j)ak(j), n ≥ 1.
Una fuente es un vértice sin bordes entrantes. Un autómata acíclico finito tiene al menos
una fuente porque un camino atravesó hacia atrás v1 ← v2 ← v3 ←. .. debe tener distinto
vértices y así no pueden continuar indefinidamente. Un autómata es de una sola fuente (o inicialmente
conectado) si sólo tiene una fuente. Deje que Bk(n) denote el conjunto de una fuente acíclica
autómatas finitos (SAF) en un alfabeto de entrada de letra k con vértices 1, 2,...., n + 1 donde 1
es la fuente y n + 1 es el fregadero, y set bk(n) = Bk(n). La representación en dos líneas
de un autómata en Bk(n) es la matriz de 2×kn cuyas columnas listan los bordes en orden. Por
ejemplo,
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5
2 4 6 6 6 6 6 6 3 5 3 2 2 6
está en B3(5) y las rutas de origen a fregadero en B incluyen 1
→ 6, 1
→ 6, 1
→ 6, donde el alfabeto es {a, b, c}.
Proposición 1. El número bk(n) de SAF autómata del tamaño n en un alfabeto de entrada de letra k
(n, k ≥ 1)
bk(n) =
(−1)n−i
(i+1)k(n-i)ak(i)
Nota Esta fórmula es un poco más sucinta que la recurrencia en [1, Teorema
3.2].
Prueba Considere el conjuntoA de autómatas acíclicos con vértices transitorios [n] = {1, 2,..., n}
en la que 1 es una fuente. Llamar 2, 3,..., n los vértices interiores. Para X [2, n], vamos
f(X) = # autómatas en A cuyo conjunto de vértices interiores incluye X,
g(X) = # autómata en A cuyo conjunto de vértices interiores es precisamente X.
Entonces f(X) =
Y:XY[2,n] g(Y) y por Möbius inversión [2] en la celosía de subconjuntos de
[2, n], g(X) =
Y:XY[2,n] μ(X, Y)f(Y) donde μ(X, Y) es la función Möbius para esto
Enrejado. Desde μ(X, Y) = (−1)Y X si X Y, tenemos en particular que
g() =
Y[2,n]
(−1) Y f(Y ). 1)..........................................................................................................................................................
Dejar Y = n − i de modo que 1 ≤ i ≤ n. Cuando Y consiste enteramente de fuentes, los vértices
en [n+1]\Y y sus bordes de incidente forman un subautomatón con i estados transitorios; allí
son ak(i) tales. También, todos los bordes de los n − i vértices que componen Y ir directamente en
[n + 1]\Y : (i + 1)k(n-i) opciones. Así f(Y) = (i + 1)k(n-i)ak(i). Por definición, g() es
el número de autómatas en A para los cuales 1 es la única fuente, es decir, g() = bk(n) y la
La propuesta se deriva ahora de (1).
Un autómata SAF sin etiquetar es una clase de equivalencia de autómatas SAF bajo reetiquetado
de los vértices interiores. Liskovets nota [1] (y demostramos a continuación) que Bk(n) no tiene
automorfismos no triviales, es decir, cada uno de los (n− 1)! reetiquetados de los vértices interiores
de B-Bk(n) produce un autómata diferente. Así que autómatas SAF sin etiqueta de tamaño n en
un alfabeto de letra-k se cuenta por 1
(n−1)!
bk(n). El siguiente resultado establece un canon
representante en cada clase de reetiquetado.
Proposición 2. Cada clase de equivalencia en Bk(n) bajo reetiquetado de vértices interiores tiene
¡Tamaño (n− 1)! y contiene exactamente un autómata SAF con las “últimas ocurrencias
ing” propiedad: las últimas ocurrencias de los vértices interiores—2, 3,..., n—en la fila inferior
de su representación de dos líneas se producen en ese orden.
Prueba La primera afirmación se deriva del hecho de que los vértices interiores de un au-
bk(n) se puede distinguir intrínsecamente, es decir, independientemente de su etiquetado.
Para ver esto, primero marque la fuente, a saber, 1, con una marca (nueva etiqueta) v1 y observe que
existe al menos un vértice interior cuyo único borde(s) entrante(s) son de la fuente
(el único vértice actualmente marcado) para de lo contrario un ciclo estaría presente. Para cada uno de ellos
vértice interior v, elija el último borde del vértice marcado a v utilizando el incorporado
orden de estos bordes. Esto determina un orden en estos vértices; marquelos en orden
v2, v3,. .., vj (j ≥ 2). Si aún quedan vértices interiores sin marcar, al menos uno de ellos
tiene bordes entrantes sólo de un vértice marcado o de nuevo un ciclo estaría presente. Por
cada tal vértice, utilizar el último borde entrante de un vértice marcado, donde ahora los bordes son
arreglados en orden de vértice inicial vi con los lazos de ruptura incorporados en orden, a orden y
marca estos vértices vj+1, vj+2,.... Proceda de manera similar hasta que todos los vértices interiores estén marcados.
Por ejemplo, para
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5
2 4 6 6 6 6 6 6 3 5 3 2 2 6
v1 = 1 y sólo hay un vértice interior, a saber, 4, cuyo único borde entrante es de
la fuente, y así v2 = 4 y 4 se convierte en un vértice marcado. Ahora todos los bordes entrantes a
3 y 5 son de vértices marcados y los últimos tales bordes (construido en orden entra en
jugar) son 4
→ 5 y 4
→ 3 poner vértices 3, 5 en el orden 5, 3. Así v3 = 5 y v4 = 3.
Finalmente, v5 = 2. Esto demuestra la primera afirmación. Por la construcción de la vs, reetiquetando cada uno
vértice interior i con el subíndice de su correspondiente v produce un autómata en Bk(n)
con la propiedad “últimas ocurrencias aumentando” y es el único reetiquetado que lo hace.
El ejemplo da resultados
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5
5 2 6 4 3 4 5 5 6 6 6 6 6 6
Ahora deje que Ck(n) denote el conjunto de autómatas canónicos SAF en Bk(n) que representan un-
etiquetada autómata; así Ck(n) =
(n−1)!
bk(n). De ahora en adelante, identificamos un au-
tomate con su representante canónico.
3 Rutas subdiagonales marcadas por columnas
Un camino subdiagonal (k, n, p) es una trayectoria de celosía de los pasos E = (1, 0) y N = (0, 1), E para
Este y N para el norte, de (0, 0) a (kn, p) que nunca se elevan por encima de la línea y = 1
x. Vamos.
Ck(n, p) indica el conjunto de tales rutas.Para k ≥ 1, está claro que Ck(n, p) es no vacío solamente
para 0 ≤ p ≤ n y se conoce (teorema de votación generalizada) que
Ck(n, p) =
kn− kp+ 1
kn+ p+ 1
kn+ p + 1
Una ruta P en Ck(n, n) puede ser codificada por las alturas de sus pasos de E por encima de la línea y = −1;
esto da una secuencia (bi)
i=1 sujeto a las restricciones 1 ≤ b1 ≤ b2 ≤. ≤ bkn y
b ≤ i/k para todos los i.
Un camino subdiagonal marcado por la columna (k, n, p) es uno en el que, para cada i+ [1, kn], uno de
se marcan los cuadrados de celosía por debajo del paso ith E y por encima de la línea horizontal y = −1,
decir con un ‘ * ’. Let C
k(n, p) denota el conjunto de estas rutas marcadas.
b b b
b b b b
b b b b
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(0,0)
(8,4)
y = −1
y = 1
Un camino en C
2, 4, 3)
Una trayectoria marcada P* en C
k(n, n) se puede codificar por una secuencia de pares
(ai, bi)
donde
i=1 es el código para la ruta subyacente P y ai â € [1, bi] da la posición de la â € en la
ith columna. El ejemplo está codificado por (1, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 2), (3, 3), (1, 3), (2, 3).
Una suma explícita para C
k(n, n) es
k(n, n) =
1≤b1≤b2≤...≤bkn,
b ≤ i/k para todos los i
b1b2. .. bkn,
porque la suma b1b2. .. bkn es el número de maneras de insertar los ‘ * ’ en el subyacente
ruta codificada por (bi)
También es posible obtener una recurrencia para C
k(n, p), y luego, usando Prop. 1, a
mostrar analíticamente que C
k(n, n) = Ck+1(n). Sin embargo, es mucho más agradable a
dar una bijección y en la siguiente sección lo haremos. En particular, el número de FAS
autómatas en un alfabeto de 2 letras es
C2(n) = C
1 n, n) =
1≤b1≤b2≤...≤bn
b ≤ i para todos los i
b1b2. .. bn = (1, 3, 16, 127, 1363,..........................................................................................................................................
secuencia A082161 en [3].
4 Biyección de Rutas a Automata
En esta sección exhibimos una bijección de C
k(n, n) a Ck+1(n). Usando la ilustración
ruta como ejemplo de trabajo con k = 2 y n = 4,
b b b
b b b b
b b b b
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(0,0)
(8,4)
y = −1
y = 1
primero construir la fila superior de una representación de dos líneas que consta de k + 1 cada 1s, 2s,
. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
El último paso en el camino es necesariamente un paso N. Para el segundo último, tercer último,...N pasos
en el camino, cuente el número de pasos que lo siguen. Esto da una secuencia i1, i2,. ............................................................................
que cumplan 1 ≤ i1 < i2 <. .. < in−1 e ij ≤ (k + 1)j para todos j. Círculo de las posiciones
i1, i2,. ............................................
la segunda fila en las posiciones en círculo:
2 3 4
Estas serán las últimas ocurrencias de 2, 3,...., n en la segunda fila. Trabajando desde el último
columna en la ruta de vuelta a la primera, rellenar los espacios en blanco en la segunda fila de izquierda a derecha como
sigue. Contar el número de cuadrados desde el * hasta el camino (incluyendo el * cuadrado)
http://www.research.att.com:80/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A082161
y añadir este número al número negrita más cercano a la izquierda de la entrada en blanco actual
(si no hay números en negrita a la izquierda, añada este número a 1) e inserte el resultado
en el cuadrado en blanco actual. En el ejemplo los números de cuadrados son 2,3,1,2,1,2,1,1
rendimiento
2 4 5 3 3 5 4 5 4 5 5
Esto llenará todas las entradas en blanco excepto la última. Tenga en cuenta que * s en la fila inferior corresponden
para hundir (es decir, n+1) etiquetas en la segunda fila. Por último, insertar n+1 en el último resto
espacio en blanco para dar el autómata de la imagen:
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4
2 4 5 3 3 5 4 5 4 5 5 5
Este proceso es completamente reversible y el mapa es una bijección.
5 Evaluación de detAk(n)
Para simplificar, tratamos el caso k = 1, dejando la generalización a arbitrario k
como un ejercicio no demasiado difícil para el lector interesado. Escriba A(n) para A1(n). Por lo tanto
A(n) =
1≤i,j≤n
. A partir de la definición de detA(n) como una suma de productos firmados, nosotros
mostrar que detA(n) es el peso total de ciertas listas de permutaciones, cada lista que lleva
peso ±1. Entonces una involución que invierte el peso cancela todos los −1 pesos y reduce el
problema para contar las listas de sobrevivientes. Estas listas supervivientes son esencialmente los códigos para
rutas en C
1 (n, p), y el Teorema Principal sigue del § 4.
Para describir las permutaciones dando una contribución no cero a detA(n) =
sgn
i=1 ai,(i), definir el código de una permutación en [n] para ser la lista c = (ci)
i=1 con
ci = (i)−(i−1). Desde la entrada (i, j) de A(n),
, es 0 a menos que j ≥ i−1, debemos tener
(i) ≥ i−1 para todos los i. Es bien sabido que hay 2n−1 tales permutaciones, correspondientes
a las composiciones de n, con códigos caracterizados por las cuatro condiciones siguientes: i) ci ≥ 0
para todos los i, ii) c1 ≥ 1, iii) cada ci ≥ 1 es inmediatamente seguido de ci − 1 ceros en la lista,
i=1 ci = n. Llamemos a tal lista una composición acolchada de n: borrar los ceros
es una bijección a composiciones ordinarias de n. Por ejemplo, (3, 0, 0, 1, 2, 0) es un acolchado
composición de 6. Para una permutación con código de composición acolchado c, el no cero
las entradas en c dan las longitudes del ciclo de . Por lo tanto sgnđ, que es la paridad de “nciclos
(−1)#0s in c.
Tenemos detA(n) =
sgn
i=1 ai,(i) =
sgn
2i(i)
, y así
detA(n) =
(−1)#0s in c
i+ 1− ci
cuando la suma se limite a composiciones acolchadas c de n con ci ≤ i para todos i (A002083)
porque
i+1−ci
= 0 a menos que ci ≤ i.
A partir de ahora, escribamos todas las permutaciones en forma de ciclo estándar por el cual el más pequeño
la entrada se produce primero en cada ciclo y estas entradas más pequeñas aumentan de izquierda a derecha. Por lo tanto,
con los ciclos de separación de guiones, 154-2-36 es la forma estándar del ciclo de la permutación
( 1 2 3 4 5 65 2 6 1 4 3 ). Definimos una entrada no primera para ser una que no comienza un ciclo. Por lo tanto, la
la permutación anterior tiene 3 entradas no primeras: 5,4,6. Tenga en cuenta que el número de nonfirst
entradas es 0 sólo para la permutación de identidad. Denotamos una permutación de identidad (de cualquier
(tamaño) por.
Por definición del número de ciclo de Stirling, el producto en (2) listas de recuentos (
i=1 de permu-
En los casos en que se trate de una permutación en [i+1] con ciclos i+1− ci, equivalentemente, con ci ≤ i
nonfirst entrys. Definir Ln para ser el conjunto de todas las listas de permutaciones
i=1 donde πi
es una permutación en [i + 1], #nonfirst en
cada permutación de no identidad πi es seguida inmediatamente por ci − 1 • s donde ci ≥ 1 es la
número de entradas que no son las primeras (por lo que el número total de entradas que no son las primeras es n). Asignar a
peso en peso a η ° Ln por wt(η) = (−1)
# Está en π. Entonces
detA(n) =
wt(l).
Ahora definimos una involución de inversión de peso en (la mayoría de) Ln. Teniendo en cuenta el número de Ln, escanee el
lista de sus permutaciones de componentes η1 = (1, 2), η2, η3,. .. de izquierda a derecha. Detente al principio.
una que: i) tenga más de una entrada que no sea la primera, o ii) tenga sólo una entrada que no sea la primera, b
decir, y b > máximo nonfirst entrada m de la siguiente permutación en la lista. Digamos que lk es el
Permutación donde nos detenemos.
http://www.research.att.com:80/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A002083
En el caso i) decremento (es decir, Disminuir en 1) el número de personas que figuran en la lista dividiendo la cantidad de personas que figuran en la lista
en dos permutaciones de no identidad como sigue. Deje m ser la entrada más grande nonfirst de ηk
Y que yo sea su predecesor. Sustitúyase ηk y su sucesor en la lista (necesariamente un ) por
las dos permutaciones siguientes: primero la transposición (l,m) y segundo la permutación
obtenido de ηk borrando m de su ciclo y convirtiéndola en un singleton. Aquí están.
dos ejemplos de este caso (recordar las permutaciones están en forma de ciclo estándar y, para mayor claridad,
ciclos singleton no se muestran).
i 1 2 3 4 5 6
12 13 23 14-253 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
i 1 2 3 4 5 6
12 13 23 25 14-23
i 1 2 3 4 5 6
12 23 14 13-24 23
i 1 2 3 4 5 6
12 23 14 24 13 23
El lector puede comprobar fácilmente que esto envía el caso (i) al caso (ii).
En el caso ii), ηk es una transposición (a, b) con b > máximo nonfirst entry m de ηk+1. In
en este caso, aumentar el número de los de la lista mediante la combinación de ηk y ηk+1 en un solo
permutación seguida de un : en ηk+1, b es un singleton; borrar este singleton e insertar b
inmediatamente después de una in ηk+1 (en el mismo ciclo). El lector puede comprobar que esto invierte
el resultado en los dos ejemplos anteriores y, en general, envía el caso ii) al caso i). Desde el
mapa altera el número de los de la lista por 1, que es claramente el peso-reversing. El mapa falla
sólo para las listas que consisten en su totalidad de transposiciones y tienen la forma
(a1, b1), (a2, b2),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ≤ bn.
Tales listas tienen peso 1. Por lo tanto detA(n) es el número de listas
(ai, bi)
Satisfacción
1 ≤ ai < bi ≤ i+ 1 para 1 ≤ i ≤ n, y b1 ≤ b2 ≤. ≤ bn. Después de restar 1 de cada uno
bi, estas listas codifican las rutas en C
1 (n, n) y utilizando §4, detA(n) = C
1 n, n) = C2(n).
Bibliografía
[1] Valery A. Liskovets, enumeración exacta
Tomata, Disc. Appl. Math., en la prensa, 2006. Versión anterior disponible en
http://www.i3s.unice.fr/fpsac/FPSAC03/articles.html
http://www.i3s.unice.fr/fpsac/FPSAC03/articles.html
[2] J. H. van Lint y R. M. Wilson, A Course in Combinatorics, 2nd ed., Cambridge
University Press, NY, 2001.
[3] Neil J. Sloane (fundador y encargado), La Enciclopedia en Línea de Integer Se-
quences http://www.research.att.com:80/njas/sequences/index.html?blank=1
http://www.research.att.com:80/~njas/sequences/index.html?blank=1
| Demostramos que un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta sin etiqueta acíclica
autómatas de una sola fuente. La prueba implica una bijección de estos autómatas a
algunos caminos de celosía marcados y una involución de inversión de signos para evaluar el
determinante.
| Introducción El propósito principal de este artículo es mostrar bijectamente que
un determinante de los números de ciclo Stirling cuenta autómatas acíclicos de una sola fuente sin etiqueta.
Específicamente, deje que Ak(n) denote la matriz kn × kn con (i, j) entrada
[ i−1
i−1
1+i−j
, donde
es el número del ciclo de Stirling, el número de permutaciones en [i] con ciclos j. Por
ejemplo,
A2(5) =
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 3 2 0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 2 0 0 0 0 0
0 0 0 1 6 11 6 0 0 0
0 0 0 0 1 6 11 6 0 0
0 0 0 0 0 1 10 35 50 24
0 0 0 0 0 1 10 35 50
0 0 0 0 0 0 1 15 85
0 0 0 0 0 0 0 1 15
http://arxiv.org/abs/0704.004v1
Como es evidente en el ejemplo, Ak(n) se forma a partir de k copias de cada una de las filas 2 a n+1
del triángulo del ciclo de Stirling, dispuesto de modo que la primera entrada no cero en cada fila es un 1
y, después de la primera fila, este 1 ocurre justo antes de la diagonal principal; en otras palabras, Ak(n)
es una matriz de Hessenberg con 1s en la infradiagonal. Vamos a mostrar
Teorema Principal. El determinante de Ak(n) es el número de mono-
autómatas de origen con n estados transitorios en un alfabeto de entrada (k + 1) letras.
En la sección 2 se examina la terminología básica para contar las relaciones automatizadas y recurrentes
autómatas acíclicos finitos. En la sección 3 se introducen las vías subdiagonales marcadas con columnas, que
jugar un papel intermedio, y una manera de codificarlos. En la sección 4 se presenta una
estos caminos subdiagonales marcados con columnas a autómatas acíclicos sin etiquetar de una sola fuente. Fi-
nally, la sección 5 evalúa detAk(n) usando una involución de inversión de signos y muestra que la
determinante cuenta los códigos para las rutas subdiagonales con marca de columna.
2 Automatas
Un autómata (completa, determinista) consiste en un conjunto de estados y un alfabeto de entrada
cuyas letras transforman los estados entre sí: una carta y un estado producen otro
Estado (posiblemente el mismo). Un autómata finito (conjunto finito de estados, alfabeto de entrada finito
de, digamos, k letras) se puede representar como un multógrafo dirigido k-regular con bordes ordenados:
los vértices representan los estados y el primero, segundo,. .. borde de un vértice dan el efecto
del primero, segundo,. .. letra del alfabeto en ese estado. Un autómata finito no puede ser acíclico
en el sentido habitual de no ciclos: elegir un vértice y seguir cualquier camino de él. Este camino debe
finalmente golpeó un vértice previamente encontrado, creando así un ciclo. Así que el término
acíclico se utiliza en el sentido más suelto que sólo un vértice, llamado el fregadero, está involucrado en
ciclos. Esto significa que todos los bordes del lazo del fregadero de nuevo a sí mismo (y puede ser
omitida) y todos los otros caminos se alimentan en el fregadero.
Un estado no-sumidero se llama transitorio. El tamaño de un autómata acíclico es el número de
estados transitorios. Un autómata acíclico de tamaño n por lo tanto tiene estados transitorios que etiquetamos
1, 2,........................................................................................................................................................................................... Liskovets [1] utiliza el principio de inclusión-exclusión
(más sobre esto a continuación) para obtener la siguiente relación de recurrencia para el número ak(n)
de autómatas acíclicos del tamaño n en un alfabeto de entrada de letra k (k ≥ 1):
ak(0) = 1; ak(n) =
(−1)n−j−1
(j + 1)k(n−j)ak(j), n ≥ 1.
Una fuente es un vértice sin bordes entrantes. Un autómata acíclico finito tiene al menos
una fuente porque un camino atravesó hacia atrás v1 ← v2 ← v3 ←. .. debe tener distinto
vértices y así no pueden continuar indefinidamente. Un autómata es de una sola fuente (o inicialmente
conectado) si sólo tiene una fuente. Deje que Bk(n) denote el conjunto de una fuente acíclica
autómatas finitos (SAF) en un alfabeto de entrada de letra k con vértices 1, 2,...., n + 1 donde 1
es la fuente y n + 1 es el fregadero, y set bk(n) = Bk(n). La representación en dos líneas
de un autómata en Bk(n) es la matriz de 2×kn cuyas columnas listan los bordes en orden. Por
ejemplo,
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5
2 4 6 6 6 6 6 6 3 5 3 2 2 6
está en B3(5) y las rutas de origen a fregadero en B incluyen 1
→ 6, 1
→ 6, 1
→ 6, donde el alfabeto es {a, b, c}.
Proposición 1. El número bk(n) de SAF autómata del tamaño n en un alfabeto de entrada de letra k
(n, k ≥ 1)
bk(n) =
(−1)n−i
(i+1)k(n-i)ak(i)
Nota Esta fórmula es un poco más sucinta que la recurrencia en [1, Teorema
3.2].
Prueba Considere el conjuntoA de autómatas acíclicos con vértices transitorios [n] = {1, 2,..., n}
en la que 1 es una fuente. Llamar 2, 3,..., n los vértices interiores. Para X [2, n], vamos
f(X) = # autómatas en A cuyo conjunto de vértices interiores incluye X,
g(X) = # autómata en A cuyo conjunto de vértices interiores es precisamente X.
Entonces f(X) =
Y:XY[2,n] g(Y) y por Möbius inversión [2] en la celosía de subconjuntos de
[2, n], g(X) =
Y:XY[2,n] μ(X, Y)f(Y) donde μ(X, Y) es la función Möbius para esto
Enrejado. Desde μ(X, Y) = (−1)Y X si X Y, tenemos en particular que
g() =
Y[2,n]
(−1) Y f(Y ). 1)..........................................................................................................................................................
Dejar Y = n − i de modo que 1 ≤ i ≤ n. Cuando Y consiste enteramente de fuentes, los vértices
en [n+1]\Y y sus bordes de incidente forman un subautomatón con i estados transitorios; allí
son ak(i) tales. También, todos los bordes de los n − i vértices que componen Y ir directamente en
[n + 1]\Y : (i + 1)k(n-i) opciones. Así f(Y) = (i + 1)k(n-i)ak(i). Por definición, g() es
el número de autómatas en A para los cuales 1 es la única fuente, es decir, g() = bk(n) y la
La propuesta se deriva ahora de (1).
Un autómata SAF sin etiquetar es una clase de equivalencia de autómatas SAF bajo reetiquetado
de los vértices interiores. Liskovets nota [1] (y demostramos a continuación) que Bk(n) no tiene
automorfismos no triviales, es decir, cada uno de los (n− 1)! reetiquetados de los vértices interiores
de B-Bk(n) produce un autómata diferente. Así que autómatas SAF sin etiqueta de tamaño n en
un alfabeto de letra-k se cuenta por 1
(n−1)!
bk(n). El siguiente resultado establece un canon
representante en cada clase de reetiquetado.
Proposición 2. Cada clase de equivalencia en Bk(n) bajo reetiquetado de vértices interiores tiene
¡Tamaño (n− 1)! y contiene exactamente un autómata SAF con las “últimas ocurrencias
ing” propiedad: las últimas ocurrencias de los vértices interiores—2, 3,..., n—en la fila inferior
de su representación de dos líneas se producen en ese orden.
Prueba La primera afirmación se deriva del hecho de que los vértices interiores de un au-
bk(n) se puede distinguir intrínsecamente, es decir, independientemente de su etiquetado.
Para ver esto, primero marque la fuente, a saber, 1, con una marca (nueva etiqueta) v1 y observe que
existe al menos un vértice interior cuyo único borde(s) entrante(s) son de la fuente
(el único vértice actualmente marcado) para de lo contrario un ciclo estaría presente. Para cada uno de ellos
vértice interior v, elija el último borde del vértice marcado a v utilizando el incorporado
orden de estos bordes. Esto determina un orden en estos vértices; marquelos en orden
v2, v3,. .., vj (j ≥ 2). Si aún quedan vértices interiores sin marcar, al menos uno de ellos
tiene bordes entrantes sólo de un vértice marcado o de nuevo un ciclo estaría presente. Por
cada tal vértice, utilizar el último borde entrante de un vértice marcado, donde ahora los bordes son
arreglados en orden de vértice inicial vi con los lazos de ruptura incorporados en orden, a orden y
marca estos vértices vj+1, vj+2,.... Proceda de manera similar hasta que todos los vértices interiores estén marcados.
Por ejemplo, para
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5
2 4 6 6 6 6 6 6 3 5 3 2 2 6
v1 = 1 y sólo hay un vértice interior, a saber, 4, cuyo único borde entrante es de
la fuente, y así v2 = 4 y 4 se convierte en un vértice marcado. Ahora todos los bordes entrantes a
3 y 5 son de vértices marcados y los últimos tales bordes (construido en orden entra en
jugar) son 4
→ 5 y 4
→ 3 poner vértices 3, 5 en el orden 5, 3. Así v3 = 5 y v4 = 3.
Finalmente, v5 = 2. Esto demuestra la primera afirmación. Por la construcción de la vs, reetiquetando cada uno
vértice interior i con el subíndice de su correspondiente v produce un autómata en Bk(n)
con la propiedad “últimas ocurrencias aumentando” y es el único reetiquetado que lo hace.
El ejemplo da resultados
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5
5 2 6 4 3 4 5 5 6 6 6 6 6 6
Ahora deje que Ck(n) denote el conjunto de autómatas canónicos SAF en Bk(n) que representan un-
etiquetada autómata; así Ck(n) =
(n−1)!
bk(n). De ahora en adelante, identificamos un au-
tomate con su representante canónico.
3 Rutas subdiagonales marcadas por columnas
Un camino subdiagonal (k, n, p) es una trayectoria de celosía de los pasos E = (1, 0) y N = (0, 1), E para
Este y N para el norte, de (0, 0) a (kn, p) que nunca se elevan por encima de la línea y = 1
x. Vamos.
Ck(n, p) indica el conjunto de tales rutas.Para k ≥ 1, está claro que Ck(n, p) es no vacío solamente
para 0 ≤ p ≤ n y se conoce (teorema de votación generalizada) que
Ck(n, p) =
kn− kp+ 1
kn+ p+ 1
kn+ p + 1
Una ruta P en Ck(n, n) puede ser codificada por las alturas de sus pasos de E por encima de la línea y = −1;
esto da una secuencia (bi)
i=1 sujeto a las restricciones 1 ≤ b1 ≤ b2 ≤. ≤ bkn y
b ≤ i/k para todos los i.
Un camino subdiagonal marcado por la columna (k, n, p) es uno en el que, para cada i+ [1, kn], uno de
se marcan los cuadrados de celosía por debajo del paso ith E y por encima de la línea horizontal y = −1,
decir con un ‘ * ’. Let C
k(n, p) denota el conjunto de estas rutas marcadas.
b b b
b b b b
b b b b
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(0,0)
(8,4)
y = −1
y = 1
Un camino en C
2, 4, 3)
Una trayectoria marcada P* en C
k(n, n) se puede codificar por una secuencia de pares
(ai, bi)
donde
i=1 es el código para la ruta subyacente P y ai â € [1, bi] da la posición de la â € en la
ith columna. El ejemplo está codificado por (1, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 2), (3, 3), (1, 3), (2, 3).
Una suma explícita para C
k(n, n) es
k(n, n) =
1≤b1≤b2≤...≤bkn,
b ≤ i/k para todos los i
b1b2. .. bkn,
porque la suma b1b2. .. bkn es el número de maneras de insertar los ‘ * ’ en el subyacente
ruta codificada por (bi)
También es posible obtener una recurrencia para C
k(n, p), y luego, usando Prop. 1, a
mostrar analíticamente que C
k(n, n) = Ck+1(n). Sin embargo, es mucho más agradable a
dar una bijección y en la siguiente sección lo haremos. En particular, el número de FAS
autómatas en un alfabeto de 2 letras es
C2(n) = C
1 n, n) =
1≤b1≤b2≤...≤bn
b ≤ i para todos los i
b1b2. .. bn = (1, 3, 16, 127, 1363,..........................................................................................................................................
secuencia A082161 en [3].
4 Biyección de Rutas a Automata
En esta sección exhibimos una bijección de C
k(n, n) a Ck+1(n). Usando la ilustración
ruta como ejemplo de trabajo con k = 2 y n = 4,
b b b
b b b b
b b b b
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(0,0)
(8,4)
y = −1
y = 1
primero construir la fila superior de una representación de dos líneas que consta de k + 1 cada 1s, 2s,
. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
El último paso en el camino es necesariamente un paso N. Para el segundo último, tercer último,...N pasos
en el camino, cuente el número de pasos que lo siguen. Esto da una secuencia i1, i2,. ............................................................................
que cumplan 1 ≤ i1 < i2 <. .. < in−1 e ij ≤ (k + 1)j para todos j. Círculo de las posiciones
i1, i2,. ............................................
la segunda fila en las posiciones en círculo:
2 3 4
Estas serán las últimas ocurrencias de 2, 3,...., n en la segunda fila. Trabajando desde el último
columna en la ruta de vuelta a la primera, rellenar los espacios en blanco en la segunda fila de izquierda a derecha como
sigue. Contar el número de cuadrados desde el * hasta el camino (incluyendo el * cuadrado)
http://www.research.att.com:80/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A082161
y añadir este número al número negrita más cercano a la izquierda de la entrada en blanco actual
(si no hay números en negrita a la izquierda, añada este número a 1) e inserte el resultado
en el cuadrado en blanco actual. En el ejemplo los números de cuadrados son 2,3,1,2,1,2,1,1
rendimiento
2 4 5 3 3 5 4 5 4 5 5
Esto llenará todas las entradas en blanco excepto la última. Tenga en cuenta que * s en la fila inferior corresponden
para hundir (es decir, n+1) etiquetas en la segunda fila. Por último, insertar n+1 en el último resto
espacio en blanco para dar el autómata de la imagen:
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4
2 4 5 3 3 5 4 5 4 5 5 5
Este proceso es completamente reversible y el mapa es una bijección.
5 Evaluación de detAk(n)
Para simplificar, tratamos el caso k = 1, dejando la generalización a arbitrario k
como un ejercicio no demasiado difícil para el lector interesado. Escriba A(n) para A1(n). Por lo tanto
A(n) =
1≤i,j≤n
. A partir de la definición de detA(n) como una suma de productos firmados, nosotros
mostrar que detA(n) es el peso total de ciertas listas de permutaciones, cada lista que lleva
peso ±1. Entonces una involución que invierte el peso cancela todos los −1 pesos y reduce el
problema para contar las listas de sobrevivientes. Estas listas supervivientes son esencialmente los códigos para
rutas en C
1 (n, p), y el Teorema Principal sigue del § 4.
Para describir las permutaciones dando una contribución no cero a detA(n) =
sgn
i=1 ai,(i), definir el código de una permutación en [n] para ser la lista c = (ci)
i=1 con
ci = (i)−(i−1). Desde la entrada (i, j) de A(n),
, es 0 a menos que j ≥ i−1, debemos tener
(i) ≥ i−1 para todos los i. Es bien sabido que hay 2n−1 tales permutaciones, correspondientes
a las composiciones de n, con códigos caracterizados por las cuatro condiciones siguientes: i) ci ≥ 0
para todos los i, ii) c1 ≥ 1, iii) cada ci ≥ 1 es inmediatamente seguido de ci − 1 ceros en la lista,
i=1 ci = n. Llamemos a tal lista una composición acolchada de n: borrar los ceros
es una bijección a composiciones ordinarias de n. Por ejemplo, (3, 0, 0, 1, 2, 0) es un acolchado
composición de 6. Para una permutación con código de composición acolchado c, el no cero
las entradas en c dan las longitudes del ciclo de . Por lo tanto sgnđ, que es la paridad de “nciclos
(−1)#0s in c.
Tenemos detA(n) =
sgn
i=1 ai,(i) =
sgn
2i(i)
, y así
detA(n) =
(−1)#0s in c
i+ 1− ci
cuando la suma se limite a composiciones acolchadas c de n con ci ≤ i para todos i (A002083)
porque
i+1−ci
= 0 a menos que ci ≤ i.
A partir de ahora, escribamos todas las permutaciones en forma de ciclo estándar por el cual el más pequeño
la entrada se produce primero en cada ciclo y estas entradas más pequeñas aumentan de izquierda a derecha. Por lo tanto,
con los ciclos de separación de guiones, 154-2-36 es la forma estándar del ciclo de la permutación
( 1 2 3 4 5 65 2 6 1 4 3 ). Definimos una entrada no primera para ser una que no comienza un ciclo. Por lo tanto, la
la permutación anterior tiene 3 entradas no primeras: 5,4,6. Tenga en cuenta que el número de nonfirst
entradas es 0 sólo para la permutación de identidad. Denotamos una permutación de identidad (de cualquier
(tamaño) por.
Por definición del número de ciclo de Stirling, el producto en (2) listas de recuentos (
i=1 de permu-
En los casos en que se trate de una permutación en [i+1] con ciclos i+1− ci, equivalentemente, con ci ≤ i
nonfirst entrys. Definir Ln para ser el conjunto de todas las listas de permutaciones
i=1 donde πi
es una permutación en [i + 1], #nonfirst en
cada permutación de no identidad πi es seguida inmediatamente por ci − 1 • s donde ci ≥ 1 es la
número de entradas que no son las primeras (por lo que el número total de entradas que no son las primeras es n). Asignar a
peso en peso a η ° Ln por wt(η) = (−1)
# Está en π. Entonces
detA(n) =
wt(l).
Ahora definimos una involución de inversión de peso en (la mayoría de) Ln. Teniendo en cuenta el número de Ln, escanee el
lista de sus permutaciones de componentes η1 = (1, 2), η2, η3,. .. de izquierda a derecha. Detente al principio.
una que: i) tenga más de una entrada que no sea la primera, o ii) tenga sólo una entrada que no sea la primera, b
decir, y b > máximo nonfirst entrada m de la siguiente permutación en la lista. Digamos que lk es el
Permutación donde nos detenemos.
http://www.research.att.com:80/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A002083
En el caso i) decremento (es decir, Disminuir en 1) el número de personas que figuran en la lista dividiendo la cantidad de personas que figuran en la lista
en dos permutaciones de no identidad como sigue. Deje m ser la entrada más grande nonfirst de ηk
Y que yo sea su predecesor. Sustitúyase ηk y su sucesor en la lista (necesariamente un ) por
las dos permutaciones siguientes: primero la transposición (l,m) y segundo la permutación
obtenido de ηk borrando m de su ciclo y convirtiéndola en un singleton. Aquí están.
dos ejemplos de este caso (recordar las permutaciones están en forma de ciclo estándar y, para mayor claridad,
ciclos singleton no se muestran).
i 1 2 3 4 5 6
12 13 23 14-253 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
i 1 2 3 4 5 6
12 13 23 25 14-23
i 1 2 3 4 5 6
12 23 14 13-24 23
i 1 2 3 4 5 6
12 23 14 24 13 23
El lector puede comprobar fácilmente que esto envía el caso (i) al caso (ii).
En el caso ii), ηk es una transposición (a, b) con b > máximo nonfirst entry m de ηk+1. In
en este caso, aumentar el número de los de la lista mediante la combinación de ηk y ηk+1 en un solo
permutación seguida de un : en ηk+1, b es un singleton; borrar este singleton e insertar b
inmediatamente después de una in ηk+1 (en el mismo ciclo). El lector puede comprobar que esto invierte
el resultado en los dos ejemplos anteriores y, en general, envía el caso ii) al caso i). Desde el
mapa altera el número de los de la lista por 1, que es claramente el peso-reversing. El mapa falla
sólo para las listas que consisten en su totalidad de transposiciones y tienen la forma
(a1, b1), (a2, b2),. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ≤ bn.
Tales listas tienen peso 1. Por lo tanto detA(n) es el número de listas
(ai, bi)
Satisfacción
1 ≤ ai < bi ≤ i+ 1 para 1 ≤ i ≤ n, y b1 ≤ b2 ≤. ≤ bn. Después de restar 1 de cada uno
bi, estas listas codifican las rutas en C
1 (n, n) y utilizando §4, detA(n) = C
1 n, n) = C2(n).
Bibliografía
[1] Valery A. Liskovets, enumeración exacta
Tomata, Disc. Appl. Math., en la prensa, 2006. Versión anterior disponible en
http://www.i3s.unice.fr/fpsac/FPSAC03/articles.html
http://www.i3s.unice.fr/fpsac/FPSAC03/articles.html
[2] J. H. van Lint y R. M. Wilson, A Course in Combinatorics, 2nd ed., Cambridge
University Press, NY, 2001.
[3] Neil J. Sloane (fundador y encargado), La Enciclopedia en Línea de Integer Se-
quences http://www.research.att.com:80/njas/sequences/index.html?blank=1
http://www.research.att.com:80/~njas/sequences/index.html?blank=1
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704.0005 | From dyadic $\Lambda_{\alpha}$ to $\Lambda_{\alpha}$ | DE DÍA A DÍA
WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
Resumen. En este artículo mostramos cómo calcular la norma â € ¢, α ≥ 0,
usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de
el Hardy espacios Hp(RN) en términos de átomos dyadic y especiales.
Recientemente, varios métodos novedosos para calcular la norma BMO de una función
f en dos dimensiones fueron discutidos en [9]. Dada su importancia, es también de
interés por explorar la posibilidad de calcular la norma de una función de OMG,
o más generalmente una función en la clase Lipschitz, usando la cuadrícula dyádica
en RN. Resulta que la cuestión de los OMG está estrechamente relacionada con la de los OMG.
funciones de aproximación en el espacio Hardy H1(RN) por el sistema Haar.
La aproximación en H1(RN ) por los sistemas afín se demostró en [2], pero este
el resultado no se aplica al sistema Haar. Ahora, si HA(R) denota el cierre
del sistema Haar en H1(R), no es difícil ver que la distancia d(f,HA)
de f-H1(R) a HA
f(x) dx
•, véase [1]. Por lo tanto, ni los átomos dyádicos
suficiente para describir los espacios Hardy, ni la evaluación de la norma en BMO
puede reducirse a un cálculo sencillo utilizando los intervalos dyádicos.
En este documento abordamos ambas cuestiones. Primero, damos una caracterización
de los espacios Hardy Hp(RN ) en términos de átomos dyadic y especiales, y luego,
por un argumento de dualidad, mostramos cómo calcular la norma en â € (R
N ), α ≥ 0,
usando la cuadrícula dyádica.
Comenzamos por introducir algunas anotaciones. Deja que J denote una familia de cubos
Q en RN, y Pd la colección de polinomios en R
N de grado inferior o igual a
igual a d. Dado α ≥ 0, Q â € J, y una función localmente integrable g, dejar pQ(g)
denotar el polinomio único en P[α] de tal manera que [g − pQ(g)]χQ ha desaparecido
momentos hasta el orden [α].
Para una función localmente integrable cuadrado g, consideramos la función máxima
α,J g(x) dado por
α,J g(x) = sup
X-Q-Q-J.
Q/N
g(y)− pQ(g(y)
1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. 42B30,42B35.
http://arxiv.org/abs/0704.0005v1
2 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
El espacio Lipschitz,J consiste en esas funciones g tal que M
α,J g es
en L, g,J = M
α,J g; cuando la familia en cuestión contiene todos los cubos
en RN, simplemente omitimos el subíndice J. Por supuesto, 0 = BMO.
Otras dos familias, de naturaleza dyádica, son de interés para nosotros. Intervalos en R de
la forma In,k = [ (k−1)2
n, k2n], donde k y n son enteros arbitrarios, positivos,
negativo o 0, se dice que es dyádico. En RN, cubos que son el producto de
intervalos dyádicos de la misma longitud, es decir, de la forma Qn,k = In,k1 · In,kN,
se llaman dyádicos, y la colección de todos estos cubos se denota D.
También está la familia D0. Deja que yo...
n,k = [(k− 1)2
n, (k+ 1)2n], donde k y
n son enteros arbitrarios. Claramente ′n,k es dyadic si k es impar, pero no si k es par.
Ahora, la colección {I ′n,k : n, k enteros} contiene todos los intervalos dyádicos también
como los cambios [(k − 1)2n + 2n−1, k 2n + 2n−1] de los intervalos dyádicos por su
La mitad de largo. En RN, poner D0 = {Q
n,k : Q
n,k = I
× · · × I ′n,kN }; Q
n,k es
llamado cubo especial. Tenga en cuenta que D0 contiene D correctamente.
Por último, dado I ′n,k, dejar que yo
n,k = [(k − 1)2
n, k2n], y I
n,k = [k2
n, (k + 1)2n].
Los subcubos 2N de Q′n,k = I
× · · · × I ′n,kN del formulario I
× · · · × I
Sj = L o R, 1 ≤ j ≤ N, se llaman subcubes dyádicos de Q
Que Q0 denote el cubo especial [−1, 1]
N. Dado α ≥ 0, construimos un
familia Sα de splines polinomios a trozos en L
2 (Q0) que será útil en
caracterizando a â € â € TM. Dejar A ser el subespacio de L
2-Q0) que consiste en todas las funciones
con momentos de desaparición hasta el orden [α] que coinciden con un polinomio
en P[α] sobre cada uno de los 2
N subcubes dyádicos de Q0. A es una dimensión finita
subespacio de L2(Q0), y, por lo tanto, por la ortogonalización Graham-Schmidt
proceso, digamos, A tiene una base ortonormal en L2(Q0) que consiste en funciones
p1,. ..., pM con momentos de desaparición hasta el orden [α], que coinciden con un
polinomio en P[α] en cada subintervalo diádico de Q0. Junto con cada p
también consideramos todas las dilaciones dyádicas y traducciones enteras dadas por
pLn,k,α(x) = 2
n(N)pL(2nx1 + k1,. 2...........................................................
nxN + kN ), 1 ≤ L ≤ M,
y dejar que
Sα = {p
n,k,α : n, k enteros, 1 ≤ L ≤ M}.
Nuestro primer resultado muestra cómo se puede utilizar la cuadrícula dyadic para calcular la
norma en la letra a).
Teorema A. Dejar g ser una función localmente integrable cuadrado y α ≥ 0. Entonces,
g + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
g, p
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Además,
D + Aα(g).
Además, también es cierto, y la prueba se da en la Proposición 2.1 ser-
bajo, que â â € â € â € â € â € â € â € â â € â € â â € â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â, D0. Sin embargo, en esta formulación más simple, el árbol
la estructura de los cubos en D se ha perdido.
DE DÍA A DÍA 3
La prueba de Teorema A se basa en una investigación a fondo de la predual de
â € ¢, a saber, el espacio Hardy H
p(RN) con 0 < p = (α + N)/N ≤ 1. En el
proceso que caracterizamos Hp en términos de subespacios más simples: H
, o Hp dyádico,
y H
, el espacio generado por los átomos especiales en Sα. Específicamente, nosotros
Teorema B. Let 0 < p ≤ 1, y α = N(1/p− 1). Entonces tenemos
Hp = H
donde la suma se entiende en el sentido de espacios Banach cuasinormed.
El documento se organiza de la siguiente manera. En la Sección 1 mostramos que el individuo
Los átomos de Hp pueden ser escritos como una superposición de átomos dyádicos y especiales;
este hecho puede ser considerado como una extensión del resultado unidimensional de
Fridli relativo a los átomos L- 1, véase [5] y [1]. Entonces, probamos Teorema B.
En la sección 2 se discute cómo pasar de â € € TM, D, y â €, D0, a la Lipschitz
espacio.
1. Caracterización de los espacios Hardy Hp
Adoptamos la definición atómica de los espacios Hardy Hp, 0 < p ≤ 1, ver
[6] y [10]. Recuerde que una función de soporte compacto a con [N(1/p− 1)]
momentos de desaparición es un L2 p -átomo con el cubo definitorio Q si supp(a) Q, y
Q1/p
a(x) 2dx
≤ 1.
El espacio Hardy Hp(RN) = Hp consiste en las distribuciones f que pueden ser
escrito como f =
♥jaj, donde los aj’s son H
p átomos,
j
p < فارسى, y la
convergencia es en el sentido de distribuciones, así como en Hp. Además,
# FHp # # Inf #
j
donde el infimum es tomado sobre todas las posibles descomposiciones atómicas de f.
última expresión se ha llamado tradicionalmente la norma atómica Hp de f.
Las colecciones de átomos con propiedades especiales se pueden utilizar para obtener un mejor
comprensión de los espacios Hardy. Formalmente, dejar A ser un subconjunto no vacío
de L2 p -átomos en la bola de unidad de Hp. El espacio atómico H
Ampliado por A
consiste en los ♥ en Hp de la forma
*Jaj, aj* *A*
j
p < فارسى.
Se ve fácilmente que, dotado de la norma atómica
Hp
= inf
j
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A,
se convierte en un espacio cuasinombrado completo. Claramente, H
Hp, y, para
f • H
, + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
4 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
Dos familias son de especial interés para nosotros. Cuando A es la colección
de todos los L2 p -átomos cuyo cubo definidor es dyádico, el espacio resultante es H
o Hp dyádico. Ahora, aunque "f"Hp ≤ "f"Hp
, las dos cuasinormas no son
equivalente en H
. De hecho, para p = 1 y N = 1, las funciones
fn(x) = 2
n[χ[1−2−n,1](x) − χ[1,1+2−n](x)],
satisfacer «fn»H1 = 1, pero «fn»H1
n tiende a la infinidad con n.
A continuación, cuando Sα es la familia de splines polinomios a trozos construidos
arriba con α = N(1/p − 1), en analogía con los resultados unidimensionales en
[4] y [1], H
se conoce como el espacio generado por átomos especiales.
Ahora estamos listos para describir los átomos de Hp como una superposición de dyádico y
átomos especiales.
Lemma 1.1. Dejar ser un L2 p -átomo con el cubo definitorio Q, 0 < p ≤ 1,
y α = N(1/p − 1). A continuación, una se puede escribir como una combinación lineal de 2N
átomos dyádicos ai, cada uno apoyado en uno de los subcubes dyádicos de los más pequeños
cubo especial Qn,k que contiene Q, y un átomo especial b en Sα. Más precisamente,
a(x) =
i=1 di ai(x) +
L=1 cL p
−n,−k,α(x), con di, cL ≤ c.
Prueba. Supongamos primero que el cubo definitorio de a es Q0, y dejar Q1,. .., Q2N
denotan los subcubos dyádicos de Q0. Además, {e)
i,. .., e
i } denotar un
base ortonormal del Ai subespacial de L
2-Qi) compuesto de polinomios en
P[α], 1 ≤ i ≤ 2
N. Pon
αi(x) = a(x)χQi (x)−
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
j(x), 1 ≤ i ≤ 2
y observar que i, e
i = 0 para 1 ≤ j ≤ M. Por lo tanto, αi ha desaparecido [α]
momentos, se apoya en Qi, y
2 ≤ 1 × 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (Qi+2) ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M)
ai(x) =
2N(1/2−1/p)
M + 1
αi(x), 1 ≤ i ≤ N,
es un átomo L2 p - dyádico. Por último, poner
b(x) = a(x) −
M + 1
2N(1/2−1/p)
ai(x).
DE DÍA A 5
Claramente b tiene [α] momentos de desaparición, se apoya en Q0, coincide con un
polinomio en P[α] en cada subcubo diádico de Q0, y
â € TM bâ € 22 ≤
aχQi, e
2 ≤ M â € a € 22.
Por lo tanto, b A, y, en consecuencia, b (x) =
L=1 cL p
L(x), donde
cL = b, p
L ≤ c, 1 ≤ L ≤ M.
En el caso general, que Q sea el cubo definitorio de a, la longitud lateral Q = l, y
dejar n y k = (k1,. .., kN ) ser elegido de modo que 2
n−1 ≤ l < 2n, y
Q â € [(k1 − 1)2
n, (k1 + 1)2
n]× ·· · × [(kN − 1)2
n, (kN + 1)2
Entonces, (1/2)N ≤ Q/2nN < 1.
Ahora, dado x â € ¢ Q0, dejar un
′ ser la traducción y la dilatación de un dado por
a′(x) = 2nN/pa(2nx1 − k1,. 2...........................................................
nxN − kN ).
Claramente, [α] los momentos de un ′ desaparecen, y
2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
nN/p 2−nN/2+a+2 ≤ c Q
1/pQ1/2â > 2 ≤ c.
Por lo tanto, a′ es un múltiplo de un átomo con el cubo que define Q0. Por la primera parte de
la prueba,
a′(x) =
i(x) +
L(x), x(+) Q0.
El soporte de cada a′i está contenido en uno de los subcubos dyadic de Q0, y,
En consecuencia, hay una k tal que
ai(x) = 2
−nN/pa′i(2
− nx1 − k1,. 2...........................................................
− nxN − kN )
ai es una L
2p -átomo apoyado en uno de los subcubos dyadic de Q. Del mismo modo
para los pL. Por lo tanto,
a(x) =
di ai(x) +
− n,− k,N(1/p−1)(x),
y hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema B sigue fácilmente de Lemma 1.1. Claramente, H
Hp.
Por el contrario, dejar f =
j j aj ser en H
p. Por Lemma 1.1 cada aj se puede escribir
como una suma de átomos dyádicos y especiales, y, al distribuir la suma, podemos
escribir f = fd + fs, con fd en H
, fs en H
, y
â € € TM TM fdâ € TM Hp
, â € ¢fsâ € ¢Hp
j
Tomando el infimum sobre las descomposiciones de f obtenemos â € â € â € TM TM Hp
c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
p H
. Esto completa la prueba.
6 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
El significado de esta descomposición es el siguiente. Los cubos en D son con-
contenido en uno de los cuadrantes 2N no superpuestos de RN. Para permitir la
información transportada por un cubo dyádico para ser transmitida a un dyádico adyacente
cubo, deben estar conectados. El pLn,k,α canal de información a través de anuncios
cubos dyádicos jacent que de otro modo permanecerían desconectados. El lector
no tendrá dificultad alguna para demostrar la versión cuantitativa de esta observación:
Que T sea una asignación lineal definida en Hp, 0 < p ≤ 1, que asume valores en
un espacio de Banach cuasinombrado X. Entonces, T es continua si, y sólo si, la
restricciones de T a H
y H
son continuas.
2. Caracterizaciones de
Teorema A describe cómo pasar de â € ¢, D a â € TM, y lo probamos a continuación.
Desde (Hp)* = y (H)
)* =,D, del Teorema B se sigue fácilmente que
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
)*, por lo que sólo queda por demostrar que (H
)* se caracteriza por
por la condición Aα(g) < فارسى.
Primera nota que si g es una función localmente integrable cuadrado con Aα(g) <
y f =
j,L cj,L p
nj,kj,α
, desde 0 < p ≤ 1,
g, f ≤
cj,L g, p
nj,kj,α
≤ Aα(g)
cj,L
y, en consecuencia, tomar el ínfimo sobre todas las descomposiciones atómicas de f en
, obtenemos g # (H
)* (Hp)* (Hp)******************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
)* ≤ Aα(g).
Para probar lo contrario procedemos como en [3]. Que Qn = [−2
N, 2n]N. Comenzamos
observando que las funciones f en L2(Qn) que han desaparecido momentos hasta
orden [α] y coinciden con polinomios de grado [α] en los subcubos dyadic
de Qn pertenecen a H
â € â € TM € TM TM TM TM Hp
≤ Qn
1/p-1/2°f+2.
Teniendo en cuenta la letra h) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos
)*, para un n fijo consideremos la restricción de l al espacio
funciones de L2 f con [α] momentos de desaparición que se soportan en Qn. Desde
l(f) ≤ â â € â € â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
≤ Qn
1/p-1/2°f+2,
esta restricción es continua con respecto a la norma en L2 y, en consecuencia,
se puede extender a una función lineal continua en L2 y se representa como
l(f) =
f(x) gn(x) dx,
DE DÍA A DÍA 7
donde gn â € L
2(Qn) y satisface las condiciones siguientes:
1/p−1/2. Claramente, gn es
determinado exclusivamente en Qn hasta un pn polinomio en P[α]. Por lo tanto,
gn(x) − pn(x) = gm(x)− pm(x), a.e. x Qmin(n,m).
En consecuencia, si
g(x) = gn(x)− pn(x), x • Qn,
g(x) está bien definido a.e. y, si f L2 tiene [α] momentos de desaparición y es
apoyado en Qn, tenemos
l(f) =
f(x) gn(x) dx
f(x) [gn(x)− pn(x)] dx
f(x) g(x) dx.
Además, dado que cada 2nN/ppL(2n k) es un L2 p-átomo, 1 ≤ L ≤ M, fácilmente
De ello se desprende que:
Aα(g) = sup
1≤L≤M
n,kÃ3z
g, 2−n/ppL(2n k)
≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
«pL», «Hp» ≤ «l»,
y, en consecuencia, Aα(g) ≤ , y (H)
)* es el espacio deseado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El lector no tendrá ninguna dificultad en demostrar que este resultado implica la
siguiente: Dejar que T sea un operador lineal limitado de un espacio cuasinombrado X
en â € TM a â € TM a â € TM a â TM a â TM a â TM a â TM a â TM a, D. Entonces, T se limita de X a si, y sólo si, Aα(Tx) ≤
c x x x por cada x x x.
El proceso de promedio de las traducciones de funciones de BMO dyadic conduce a
BMO, y es una herramienta importante para obtener resultados en BMO una vez que son
Se sabe que es cierto en su homólogo dyádico, BMOd, véase [7]. También se conoce
que BMO se puede obtener como la intersección de BMOd y uno de sus desplazados
homólogas, véase [8]. Estos resultados motivan nuestra próxima propuesta, que
esencialmente dice que g â € ¬ si, y sólo si, g â € €, D y g está en el Lipschitz
clase obtenida de la cuadrícula dyádica desplazada. Tenga en cuenta que los cambios involucrados en
esta clase están en todas las direcciones paralelas al eje de coordenadas y dependen de
la longitud lateral del cubo.
Proposición 2.1. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Prueba. Es obvio que "g", D0 ≤ "g". Para mostrar la otra desigualdad nosotros
Invoque el Teorema A. Dado que D • D0, basta con estimar Aα(g), o equiva-
lenty, g, p para p Sα, α = N(1/p − 1). Por lo tanto, pick p = p
n,k,α en Sα. Los
definir cubo Q de pLn,k,α está en D0, y, desde p
n,k,α tiene [α] momentos de desaparición,
8 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
PLn,k,α, pQ(g) = 0. Por lo tanto,
g, pLn,k, = g − pQ(g), p
n,k,
≤ pLn,k,2 °g − pQ(g)°L2(Q)
≤ Q/N Q1/2pLn,k,2 g,D0.
Ahora, un simple cambio de variables da Q/N Q1/2pLn,k,2 ≤ 1, y, con-
Secuencialmente, también Aα(g) ≤ g,D0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Bibliografía
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espacio H1 y BMO, preimpresión.
[2] H.-Q. Bui y R. S. Laugesen, Aproximación y extensión en el espacio Hardy, por
sistemas de afina, Constr. Aprox., para aparecer.
[3] A. P. Calderón y A. Torchinsky, Funciones máximas parabólicas asociadas a un
distibución, II, Avances en matemáticas., 24 (1977), 101–171.
[4] G. S. de Souza, Espacios formados por átomos especiales, I, Rocky Mountain J. Matemáticas. 14 (1984),
No. 2, 423-431.
[5] S. Fridli, Transición del diádico al verdadero espacio Hardy no periódico, Acta Math.
Acad. Pedagogo. Niházi (N.S.) 16 (2000), 1–8, (electrónica).
[6] J. Gara-Cuerva y J. L. Rubio de Francia, Desigualdades de normas ponderadas y relacionadas
temas, Notas de Matemáticas 116, Holanda del Norte, Amsterdam, 1985.
[7] J. Garnett y P. Jones, BMO de dyadic BMO, Pacific J. Matemáticas. 99 (1982), No. 2,
351–371.
[8] T. Mei, BMO es la intersección de dos traducciones de BMO dyádico, C. R. Math. Acad.
Sci. Paris 336 (2003), no. 12, 1003–1006.
[9] T. M. Le y L. A. Vese, descomposición de la imagen utilizando variación total y div( BMO)*,
Modelo multiescala. Simul. 4, (2005), no. 2, 390-423.
[10] A. Torchinsky, Métodos reales variables en el análisis armónico, Dover Publications, Inc.,
Mineola, NY, 2004.
Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Bloomington IN 47405
Dirección de correo electrónico: wabusham@indiana.edu
Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Bloomington IN 47405
Dirección de correo electrónico: torchins@indiana.edu
1. Caracterización de los espacios Hardy Hp
2. Caracterizaciones de
Bibliografía
| En este artículo mostramos cómo calcular la norma $\Lambda_{\alpha}$, $\alpha\ge
0$, usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de
los espacios Hardy $H^p(R^N)$ en términos de átomos dyádicos y especiales.
| DE DÍA A DÍA
WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
Resumen. En este artículo mostramos cómo calcular la norma â € ¢, α ≥ 0,
usando la cuadrícula dyádica. Este resultado es una consecuencia de la descripción de
el Hardy espacios Hp(RN) en términos de átomos dyadic y especiales.
Recientemente, varios métodos novedosos para calcular la norma BMO de una función
f en dos dimensiones fueron discutidos en [9]. Dada su importancia, es también de
interés por explorar la posibilidad de calcular la norma de una función de OMG,
o más generalmente una función en la clase Lipschitz, usando la cuadrícula dyádica
en RN. Resulta que la cuestión de los OMG está estrechamente relacionada con la de los OMG.
funciones de aproximación en el espacio Hardy H1(RN) por el sistema Haar.
La aproximación en H1(RN ) por los sistemas afín se demostró en [2], pero este
el resultado no se aplica al sistema Haar. Ahora, si HA(R) denota el cierre
del sistema Haar en H1(R), no es difícil ver que la distancia d(f,HA)
de f-H1(R) a HA
f(x) dx
•, véase [1]. Por lo tanto, ni los átomos dyádicos
suficiente para describir los espacios Hardy, ni la evaluación de la norma en BMO
puede reducirse a un cálculo sencillo utilizando los intervalos dyádicos.
En este documento abordamos ambas cuestiones. Primero, damos una caracterización
de los espacios Hardy Hp(RN ) en términos de átomos dyadic y especiales, y luego,
por un argumento de dualidad, mostramos cómo calcular la norma en â € (R
N ), α ≥ 0,
usando la cuadrícula dyádica.
Comenzamos por introducir algunas anotaciones. Deja que J denote una familia de cubos
Q en RN, y Pd la colección de polinomios en R
N de grado inferior o igual a
igual a d. Dado α ≥ 0, Q â € J, y una función localmente integrable g, dejar pQ(g)
denotar el polinomio único en P[α] de tal manera que [g − pQ(g)]χQ ha desaparecido
momentos hasta el orden [α].
Para una función localmente integrable cuadrado g, consideramos la función máxima
α,J g(x) dado por
α,J g(x) = sup
X-Q-Q-J.
Q/N
g(y)− pQ(g(y)
1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. 42B30,42B35.
http://arxiv.org/abs/0704.0005v1
2 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
El espacio Lipschitz,J consiste en esas funciones g tal que M
α,J g es
en L, g,J = M
α,J g; cuando la familia en cuestión contiene todos los cubos
en RN, simplemente omitimos el subíndice J. Por supuesto, 0 = BMO.
Otras dos familias, de naturaleza dyádica, son de interés para nosotros. Intervalos en R de
la forma In,k = [ (k−1)2
n, k2n], donde k y n son enteros arbitrarios, positivos,
negativo o 0, se dice que es dyádico. En RN, cubos que son el producto de
intervalos dyádicos de la misma longitud, es decir, de la forma Qn,k = In,k1 · In,kN,
se llaman dyádicos, y la colección de todos estos cubos se denota D.
También está la familia D0. Deja que yo...
n,k = [(k− 1)2
n, (k+ 1)2n], donde k y
n son enteros arbitrarios. Claramente ′n,k es dyadic si k es impar, pero no si k es par.
Ahora, la colección {I ′n,k : n, k enteros} contiene todos los intervalos dyádicos también
como los cambios [(k − 1)2n + 2n−1, k 2n + 2n−1] de los intervalos dyádicos por su
La mitad de largo. En RN, poner D0 = {Q
n,k : Q
n,k = I
× · · × I ′n,kN }; Q
n,k es
llamado cubo especial. Tenga en cuenta que D0 contiene D correctamente.
Por último, dado I ′n,k, dejar que yo
n,k = [(k − 1)2
n, k2n], y I
n,k = [k2
n, (k + 1)2n].
Los subcubos 2N de Q′n,k = I
× · · · × I ′n,kN del formulario I
× · · · × I
Sj = L o R, 1 ≤ j ≤ N, se llaman subcubes dyádicos de Q
Que Q0 denote el cubo especial [−1, 1]
N. Dado α ≥ 0, construimos un
familia Sα de splines polinomios a trozos en L
2 (Q0) que será útil en
caracterizando a â € â € TM. Dejar A ser el subespacio de L
2-Q0) que consiste en todas las funciones
con momentos de desaparición hasta el orden [α] que coinciden con un polinomio
en P[α] sobre cada uno de los 2
N subcubes dyádicos de Q0. A es una dimensión finita
subespacio de L2(Q0), y, por lo tanto, por la ortogonalización Graham-Schmidt
proceso, digamos, A tiene una base ortonormal en L2(Q0) que consiste en funciones
p1,. ..., pM con momentos de desaparición hasta el orden [α], que coinciden con un
polinomio en P[α] en cada subintervalo diádico de Q0. Junto con cada p
también consideramos todas las dilaciones dyádicas y traducciones enteras dadas por
pLn,k,α(x) = 2
n(N)pL(2nx1 + k1,. 2...........................................................
nxN + kN ), 1 ≤ L ≤ M,
y dejar que
Sα = {p
n,k,α : n, k enteros, 1 ≤ L ≤ M}.
Nuestro primer resultado muestra cómo se puede utilizar la cuadrícula dyadic para calcular la
norma en la letra a).
Teorema A. Dejar g ser una función localmente integrable cuadrado y α ≥ 0. Entonces,
g + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
g, p
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Además,
D + Aα(g).
Además, también es cierto, y la prueba se da en la Proposición 2.1 ser-
bajo, que â â € â € â € â € â € â € â € â â € â € â â € â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â â, D0. Sin embargo, en esta formulación más simple, el árbol
la estructura de los cubos en D se ha perdido.
DE DÍA A DÍA 3
La prueba de Teorema A se basa en una investigación a fondo de la predual de
â € ¢, a saber, el espacio Hardy H
p(RN) con 0 < p = (α + N)/N ≤ 1. En el
proceso que caracterizamos Hp en términos de subespacios más simples: H
, o Hp dyádico,
y H
, el espacio generado por los átomos especiales en Sα. Específicamente, nosotros
Teorema B. Let 0 < p ≤ 1, y α = N(1/p− 1). Entonces tenemos
Hp = H
donde la suma se entiende en el sentido de espacios Banach cuasinormed.
El documento se organiza de la siguiente manera. En la Sección 1 mostramos que el individuo
Los átomos de Hp pueden ser escritos como una superposición de átomos dyádicos y especiales;
este hecho puede ser considerado como una extensión del resultado unidimensional de
Fridli relativo a los átomos L- 1, véase [5] y [1]. Entonces, probamos Teorema B.
En la sección 2 se discute cómo pasar de â € € TM, D, y â €, D0, a la Lipschitz
espacio.
1. Caracterización de los espacios Hardy Hp
Adoptamos la definición atómica de los espacios Hardy Hp, 0 < p ≤ 1, ver
[6] y [10]. Recuerde que una función de soporte compacto a con [N(1/p− 1)]
momentos de desaparición es un L2 p -átomo con el cubo definitorio Q si supp(a) Q, y
Q1/p
a(x) 2dx
≤ 1.
El espacio Hardy Hp(RN) = Hp consiste en las distribuciones f que pueden ser
escrito como f =
♥jaj, donde los aj’s son H
p átomos,
j
p < فارسى, y la
convergencia es en el sentido de distribuciones, así como en Hp. Además,
# FHp # # Inf #
j
donde el infimum es tomado sobre todas las posibles descomposiciones atómicas de f.
última expresión se ha llamado tradicionalmente la norma atómica Hp de f.
Las colecciones de átomos con propiedades especiales se pueden utilizar para obtener un mejor
comprensión de los espacios Hardy. Formalmente, dejar A ser un subconjunto no vacío
de L2 p -átomos en la bola de unidad de Hp. El espacio atómico H
Ampliado por A
consiste en los ♥ en Hp de la forma
*Jaj, aj* *A*
j
p < فارسى.
Se ve fácilmente que, dotado de la norma atómica
Hp
= inf
j
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A,
se convierte en un espacio cuasinombrado completo. Claramente, H
Hp, y, para
f • H
, + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
4 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
Dos familias son de especial interés para nosotros. Cuando A es la colección
de todos los L2 p -átomos cuyo cubo definidor es dyádico, el espacio resultante es H
o Hp dyádico. Ahora, aunque "f"Hp ≤ "f"Hp
, las dos cuasinormas no son
equivalente en H
. De hecho, para p = 1 y N = 1, las funciones
fn(x) = 2
n[χ[1−2−n,1](x) − χ[1,1+2−n](x)],
satisfacer «fn»H1 = 1, pero «fn»H1
n tiende a la infinidad con n.
A continuación, cuando Sα es la familia de splines polinomios a trozos construidos
arriba con α = N(1/p − 1), en analogía con los resultados unidimensionales en
[4] y [1], H
se conoce como el espacio generado por átomos especiales.
Ahora estamos listos para describir los átomos de Hp como una superposición de dyádico y
átomos especiales.
Lemma 1.1. Dejar ser un L2 p -átomo con el cubo definitorio Q, 0 < p ≤ 1,
y α = N(1/p − 1). A continuación, una se puede escribir como una combinación lineal de 2N
átomos dyádicos ai, cada uno apoyado en uno de los subcubes dyádicos de los más pequeños
cubo especial Qn,k que contiene Q, y un átomo especial b en Sα. Más precisamente,
a(x) =
i=1 di ai(x) +
L=1 cL p
−n,−k,α(x), con di, cL ≤ c.
Prueba. Supongamos primero que el cubo definitorio de a es Q0, y dejar Q1,. .., Q2N
denotan los subcubos dyádicos de Q0. Además, {e)
i,. .., e
i } denotar un
base ortonormal del Ai subespacial de L
2-Qi) compuesto de polinomios en
P[α], 1 ≤ i ≤ 2
N. Pon
αi(x) = a(x)χQi (x)−
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
j(x), 1 ≤ i ≤ 2
y observar que i, e
i = 0 para 1 ≤ j ≤ M. Por lo tanto, αi ha desaparecido [α]
momentos, se apoya en Qi, y
2 ≤ 1 × 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (Qi+2) ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (M + 1) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M) ≤ (M)
ai(x) =
2N(1/2−1/p)
M + 1
αi(x), 1 ≤ i ≤ N,
es un átomo L2 p - dyádico. Por último, poner
b(x) = a(x) −
M + 1
2N(1/2−1/p)
ai(x).
DE DÍA A 5
Claramente b tiene [α] momentos de desaparición, se apoya en Q0, coincide con un
polinomio en P[α] en cada subcubo diádico de Q0, y
â € TM bâ € 22 ≤
aχQi, e
2 ≤ M â € a € 22.
Por lo tanto, b A, y, en consecuencia, b (x) =
L=1 cL p
L(x), donde
cL = b, p
L ≤ c, 1 ≤ L ≤ M.
En el caso general, que Q sea el cubo definitorio de a, la longitud lateral Q = l, y
dejar n y k = (k1,. .., kN ) ser elegido de modo que 2
n−1 ≤ l < 2n, y
Q â € [(k1 − 1)2
n, (k1 + 1)2
n]× ·· · × [(kN − 1)2
n, (kN + 1)2
Entonces, (1/2)N ≤ Q/2nN < 1.
Ahora, dado x â € ¢ Q0, dejar un
′ ser la traducción y la dilatación de un dado por
a′(x) = 2nN/pa(2nx1 − k1,. 2...........................................................
nxN − kN ).
Claramente, [α] los momentos de un ′ desaparecen, y
2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
nN/p 2−nN/2+a+2 ≤ c Q
1/pQ1/2â > 2 ≤ c.
Por lo tanto, a′ es un múltiplo de un átomo con el cubo que define Q0. Por la primera parte de
la prueba,
a′(x) =
i(x) +
L(x), x(+) Q0.
El soporte de cada a′i está contenido en uno de los subcubos dyadic de Q0, y,
En consecuencia, hay una k tal que
ai(x) = 2
−nN/pa′i(2
− nx1 − k1,. 2...........................................................
− nxN − kN )
ai es una L
2p -átomo apoyado en uno de los subcubos dyadic de Q. Del mismo modo
para los pL. Por lo tanto,
a(x) =
di ai(x) +
− n,− k,N(1/p−1)(x),
y hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema B sigue fácilmente de Lemma 1.1. Claramente, H
Hp.
Por el contrario, dejar f =
j j aj ser en H
p. Por Lemma 1.1 cada aj se puede escribir
como una suma de átomos dyádicos y especiales, y, al distribuir la suma, podemos
escribir f = fd + fs, con fd en H
, fs en H
, y
â € € TM TM fdâ € TM Hp
, â € ¢fsâ € ¢Hp
j
Tomando el infimum sobre las descomposiciones de f obtenemos â € â € â € TM TM Hp
c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
p H
. Esto completa la prueba.
6 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
El significado de esta descomposición es el siguiente. Los cubos en D son con-
contenido en uno de los cuadrantes 2N no superpuestos de RN. Para permitir la
información transportada por un cubo dyádico para ser transmitida a un dyádico adyacente
cubo, deben estar conectados. El pLn,k,α canal de información a través de anuncios
cubos dyádicos jacent que de otro modo permanecerían desconectados. El lector
no tendrá dificultad alguna para demostrar la versión cuantitativa de esta observación:
Que T sea una asignación lineal definida en Hp, 0 < p ≤ 1, que asume valores en
un espacio de Banach cuasinombrado X. Entonces, T es continua si, y sólo si, la
restricciones de T a H
y H
son continuas.
2. Caracterizaciones de
Teorema A describe cómo pasar de â € ¢, D a â € TM, y lo probamos a continuación.
Desde (Hp)* = y (H)
)* =,D, del Teorema B se sigue fácilmente que
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
)*, por lo que sólo queda por demostrar que (H
)* se caracteriza por
por la condición Aα(g) < فارسى.
Primera nota que si g es una función localmente integrable cuadrado con Aα(g) <
y f =
j,L cj,L p
nj,kj,α
, desde 0 < p ≤ 1,
g, f ≤
cj,L g, p
nj,kj,α
≤ Aα(g)
cj,L
y, en consecuencia, tomar el ínfimo sobre todas las descomposiciones atómicas de f en
, obtenemos g # (H
)* (Hp)* (Hp)******************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
)* ≤ Aα(g).
Para probar lo contrario procedemos como en [3]. Que Qn = [−2
N, 2n]N. Comenzamos
observando que las funciones f en L2(Qn) que han desaparecido momentos hasta
orden [α] y coinciden con polinomios de grado [α] en los subcubos dyadic
de Qn pertenecen a H
â € â € TM € TM TM TM TM Hp
≤ Qn
1/p-1/2°f+2.
Teniendo en cuenta la letra h) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos y por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la leche y de los productos lácteos
)*, para un n fijo consideremos la restricción de l al espacio
funciones de L2 f con [α] momentos de desaparición que se soportan en Qn. Desde
l(f) ≤ â â € â € â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
≤ Qn
1/p-1/2°f+2,
esta restricción es continua con respecto a la norma en L2 y, en consecuencia,
se puede extender a una función lineal continua en L2 y se representa como
l(f) =
f(x) gn(x) dx,
DE DÍA A DÍA 7
donde gn â € L
2(Qn) y satisface las condiciones siguientes:
1/p−1/2. Claramente, gn es
determinado exclusivamente en Qn hasta un pn polinomio en P[α]. Por lo tanto,
gn(x) − pn(x) = gm(x)− pm(x), a.e. x Qmin(n,m).
En consecuencia, si
g(x) = gn(x)− pn(x), x • Qn,
g(x) está bien definido a.e. y, si f L2 tiene [α] momentos de desaparición y es
apoyado en Qn, tenemos
l(f) =
f(x) gn(x) dx
f(x) [gn(x)− pn(x)] dx
f(x) g(x) dx.
Además, dado que cada 2nN/ppL(2n k) es un L2 p-átomo, 1 ≤ L ≤ M, fácilmente
De ello se desprende que:
Aα(g) = sup
1≤L≤M
n,kÃ3z
g, 2−n/ppL(2n k)
≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
«pL», «Hp» ≤ «l»,
y, en consecuencia, Aα(g) ≤ , y (H)
)* es el espacio deseado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El lector no tendrá ninguna dificultad en demostrar que este resultado implica la
siguiente: Dejar que T sea un operador lineal limitado de un espacio cuasinombrado X
en â € TM a â € TM a â € TM a â TM a â TM a â TM a â TM a â TM a, D. Entonces, T se limita de X a si, y sólo si, Aα(Tx) ≤
c x x x por cada x x x.
El proceso de promedio de las traducciones de funciones de BMO dyadic conduce a
BMO, y es una herramienta importante para obtener resultados en BMO una vez que son
Se sabe que es cierto en su homólogo dyádico, BMOd, véase [7]. También se conoce
que BMO se puede obtener como la intersección de BMOd y uno de sus desplazados
homólogas, véase [8]. Estos resultados motivan nuestra próxima propuesta, que
esencialmente dice que g â € ¬ si, y sólo si, g â € €, D y g está en el Lipschitz
clase obtenida de la cuadrícula dyádica desplazada. Tenga en cuenta que los cambios involucrados en
esta clase están en todas las direcciones paralelas al eje de coordenadas y dependen de
la longitud lateral del cubo.
Proposición 2.1. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Prueba. Es obvio que "g", D0 ≤ "g". Para mostrar la otra desigualdad nosotros
Invoque el Teorema A. Dado que D • D0, basta con estimar Aα(g), o equiva-
lenty, g, p para p Sα, α = N(1/p − 1). Por lo tanto, pick p = p
n,k,α en Sα. Los
definir cubo Q de pLn,k,α está en D0, y, desde p
n,k,α tiene [α] momentos de desaparición,
8 WAEL ABU-SHAMMALA Y ALBERTO TORCHINSKY
PLn,k,α, pQ(g) = 0. Por lo tanto,
g, pLn,k, = g − pQ(g), p
n,k,
≤ pLn,k,2 °g − pQ(g)°L2(Q)
≤ Q/N Q1/2pLn,k,2 g,D0.
Ahora, un simple cambio de variables da Q/N Q1/2pLn,k,2 ≤ 1, y, con-
Secuencialmente, también Aα(g) ≤ g,D0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Bloomington IN 47405
Dirección de correo electrónico: wabusham@indiana.edu
Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Bloomington IN 47405
Dirección de correo electrónico: torchins@indiana.edu
1. Caracterización de los espacios Hardy Hp
2. Caracterizaciones de
Bibliografía
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704.0007 | Polymer Quantum Mechanics and its Continuum Limit | La mecánica cuántica de polímeros y su límite de continuidad
Alejandro Corichi,1, 2, 3, ∗ Tatjana Vukašinac,4, † y José A. Zapata1, ‡
Instituto de Matemáticas, Unidad Morelia, Universidad Nacional Autónoma de México,
UNAM-Campus Morelia, A. Postal 61-3, Morelia, Michoacán 58090, México
Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autónoma de México,
A. Postal 70-543, México D.F. 04510, México
Instituto de Física Gravitacional y Geometría, Departamento de Física,
Pennsylvania State University, University Park PA 16802, EE.UU.
Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo,
Morelia, Michoacán 58000, México
Una representación cuántica bastante no estándar de las relaciones canónicas de conmutación de
sistemas mecánicos de tom, conocidos como la representación del polímero ha ganado cierta atención en los últimos
años, debido a su posible relación con la física a escala de Planck. En particular, este enfoque ha sido el siguiente:
seguido en un sector simétrico de la gravedad cuántica del bucle conocido como cosmología cuántica del bucle. Aquí vamos.
explorar diferentes aspectos de la relación entre la teoría ordinaria de Schrödinger y el polímero
descripción. El periódico tiene dos partes. En el primero, derivamos la mecánica cuántica del polímero
a partir de la teoría ordinaria de Schrödinger y mostrar que la descripción del polímero surge como un
límite adecuado. En la segunda parte consideramos el límite continuo de esta teoría, a saber, el
proceso inverso en el que se parte de la teoría discreta e intenta recuperar de nuevo lo ordinario
Schrödinger mecánica cuántica. Consideramos varios ejemplos de interés, incluyendo el armónico
oscilador, la partícula libre y un modelo cosmológico simple.
Números PACS: 04.60.Pp, 04.60.Ds, 04.60.Nc 11.10.Gh.
I. INTRODUCCIÓN
La llamada mecánica cuántica polimérica, una no-
representación regular y algo «exótica» de la
las relaciones canónicas de conmutación (CCR) [1],
utilizado para explorar tanto las cuestiones matemáticas y físicas en
teorías independientes de fondo tales como la grav cuántica-
ity [2, 3]. Un ejemplo notable de este tipo de cuantificación,
cuando se aplica a modelos minisuperespacio ha dado paso a
lo que se conoce como cosmología cuántica de bucle [4, 5]. Al igual que en
cualquier situación modelo de juguete, uno espera aprender sobre el
sutiles cuestiones técnicas y conceptuales que están presentes
en la gravedad cuántica completa por medio de di- simple, finito
Ejemplos mensionales. Este formalismo no es una excepción
a este respecto. Aparte de esta motivación que viene de
física en la escala de Planck, uno puede preguntar independientemente
para la relación entre la representación continua estándar
las sentaciones y sus primos poliméricos a nivel de matemáticas...
Física emática. Una comprensión más profunda de esta relación
se vuelve importante por sí solo.
La cuantificación del polímero está hecha de varios pasos.
El primero es construir una representación de la
álgebra Heisenberg-Weyl en un espacio Kinematical Hilbert
que es “independiente en el fondo”, y que a veces es
conocido como el poliespacial polimérico Hilbert Hpoly. Los
la segunda y más importante parte, la aplicación de
dinámica, se ocupa de la definición de un Hamiltonian (o
Constreñimiento hamiltoniano) en este espacio. En los ejemplos
* Dirección electrónica: corichi@matmor.unam.mx
†Dirección electrónica: tatjana@shi.matmor.unam.mx
‡Dirección electrónica: zapata@matmor.unam.mx
estudiado hasta ahora, la primera parte es bastante bien entendido,
dando el espacio cinemático Hilbert Hpoly es decir, cómo-
Nunca, no-separable. Para el segundo paso, un im natural
la aplicación de la dinámica ha demostrado ser un poco más
difícil, dado que una definición directa de la Hamiltonian
de, digamos, una partícula en un potencial en el espacio Hpoly es
no es posible ya que una de las principales características de esta representación
sentation es que los operadores qâ € y pâ € no pueden ser a la vez
definido simultáneamente (ni sus análogos en las teorías
con variables más elaboradas). Por lo tanto, cualquier operador
que implica (poderes de) la variable no definida tiene que
estar regulados por un operador bien definido que normalmente
implica la introducción de una estructura adicional en la configuración
ración (o impulso) espacio, es decir, una celosía. Sin embargo,
esta nueva estructura que juega el papel de un regulador puede
no se retira cuando se trabaja en Hpoly y se deja uno
con la ambigüedad que está presente en cualquier regularización.
La libertad a la hora de elegirla puede ser asociada a veces
con una escala de longitud (el espaciado de celosía). En el caso de las personas de edad ordinaria
sistemas cuánticos tales como un oscilador armónico simple,
que se ha estudiado en detalle desde el punto de vista del polímero
punto, se ha argumentado que si se toma esta escala de longitud
para ser «suficientemente pequeño», se puede aproximar arbitrariamente
Mecánica cuántica estándar de Schrödinger [2, 3]. En el
caso de cosmología cuántica de bucle, la brecha de área mínima
A0 de la teoría de la gravedad cuántica completa impone tal
escala, que entonces se considera fundamental [4].
Una pregunta natural es preguntar qué sucede cuando nosotros
cambiar esta escala e ir a ‘distancias’ aún más pequeñas, que
es, cuando refinamos la celosía en la que la dinámica de
la teoría está definida. ¿Podemos definir la consistencia con-
¿diciones entre estas escalas? O incluso mejor, ¿podemos
tomar el límite y encontrar así un límite continuo? Como ella.
http://arxiv.org/abs/0704.0007v2
mailto:corichi@matmor.unam.mx
mailto:tatjana@shi.matmor.unam.mx
mailto:zapata@matmor.unam.mx
se ha mostrado recientemente en detalle, la respuesta a ambos
las preguntas son afirmativas [6]. En este caso, una
la noción de escala se definía de tal manera que se podía
definir los refinamientos de la teoría y posar en un preciso
forma la cuestión del límite continuo de la teoría.
Estos resultados también podrían ser vistos como la entrega de un procedimiento
para eliminar el regulador cuando se trabaja en el apro-
se comió el espacio. El propósito de este documento es explorar más a fondo
diferentes aspectos de la relación entre el continuum
y la representación del polímero. En particular, en la primera
parte planteamos una nueva manera de derivar el polímero
representación del ordinario Schrödinger represen-
sión como límite adecuado. In Sec. II derivamos dos
versiones de la representación del polímero como diferente lim-
es de la teoría de Schrödinger. In Sec. III mostramos que
estas dos versiones pueden ser vistas como diferentes polarizaciones
de la representación «abstracta» del polímero. Estos resultados,
a lo mejor de nuestro conocimiento, son nuevos y no han sido
notificada en otro lugar. In Sec. IV planteamos el problema de
la aplicación de la dinámica en el polímero representa-
tion. In Sec. V motivamos aún más la cuestión de la
límite continuo (es decir, la eliminación adecuada del regulador)
y recordar las construcciones básicas de [6]. Varios exámenes...
ples se consideran en Sec. VI. En particular, un simple
oscilador armónico, la partícula libre de polímero y un sim-
Se considera el modelo cuántico de cosmología. El libre
la partícula y el modelo cosmológico representan un
lización de los resultados obtenidos en [6], en los que sólo los sistemas
con un espectro discreto y no degenerado,
Sidered. Terminamos el trabajo con una discusión en Sec. VII.
Con el fin de hacer el papel autónomo, vamos a mantener
el nivel de rigor en la presentación a la que se encuentra en el
literatura física teórica estándar.
II. CUANTIZACIÓN Y POLÍMER
REPRESENTACIÓN
En esta sección derivamos el llamado repre-
envío de la mecánica cuántica a partir de un
reformulación de la representación ordinaria de Schrödinger.
Nuestro punto de partida será el más simple de todos los posibles
espacios de fase, a saber, • = R2 correspondientes a una partícula
viviendo en la línea real R. Elijamos las coordenadas (q, p)
sobre el mismo. Como primer paso consideraremos la cuantificación
de este sistema que conduce a la teoría cuántica estándar
en la descripción de Schrödinger. Una ruta conveniente es a
introducir la estructura necesaria para definir el Fock rep-
el resentimiento de tal sistema. Desde esta perspectiva, el
el paso al caso polimérico se vuelve más claro. Aproximadamente
hablando por una cuantificación uno significa un pasaje del
soporte algebraico clásico, el soporte Poisson,
{q, p} = 1 (1)
a un soporte cuántico dado por el conmutador de la
los operadores correspondientes,
[ qâ, pâ €] = i~ 1â € (2)
Estas relaciones, conocidas como la conmutación canónica re-
ración (CCR) se convierten en la piedra más común de la esquina de
la (kinemática de la) teoría cuántica; deben ser
satisfecho por el sistema cuántico, cuando se representa en un
Hilbert Space H.
Hay puntos de partida alternativos para el cuántico
cinemática. Aquí consideramos el álgebra generada por
las versiones exponenteadas de qâ € y pâ € que se denotan
U(α) = ei(α q)/~ ; V (β) = ei(β p)/~
donde α y β tienen dimensiones de impulso y longitud,
respectivamente. El CCR ahora se convierte en
U(α) · V (β) = e(−iα β)/~V (β) · U(α) (3)
y el resto del producto es
U(α1)·U(α2) = U(α12) ; V (β1)·V (β2) = V (β1+2)
El álgebra W de Weyl se genera tomando lineal finito
combinaciones de los generadores U(αi) y V (βi) donde
el producto (3) se amplía por linealidad,
(Ai U(αi) +Bi V (βi))
Desde esta perspectiva, la cuantificación significa encontrar un
representación unitaria del álgebra W de Weyl en una
Hilbert espacio H′ (que podría ser diferente de los ordi-
nary Schrödinger representación). Al principio podría parecer
raro para intentar este enfoque dado que sabemos cómo
para cuantificar un sistema tan sencillo; ¿qué necesitamos?
¿Un objeto complicado como W? Es infinitamente dimensional,
mientras que el conjunto S = {1», q», p, el punto de partida de la
la cuantificación ordinaria de Dirac, es bastante simple. Está en
la cuantificación de sistemas de campo que las ventajas de
el enfoque de Weyl se puede apreciar plenamente, pero es
también útil para la introducción de la cuantificación del polímero y
comparándolo con la cuantificación estándar. Esta es la
estrategia que seguimos.
Una pregunta que uno puede hacer es si hay alguna
libertad en la cuantificación del sistema para obtener lo ordinario
Representación de Schrödinger. A primera vista podría parecer
que no hay ninguno dado el único Stone-Von Neumann-
Teorema de ness. Repasemos cuál sería el argumento.
para la construcción estándar. Pidamos que el representante...
El envío que queremos construir es del tipo Schrödinger,
a saber, donde los estados son funciones de onda de configuración
espacio (q). Hay dos ingredientes en la construcción
de la representación, a saber, la especificación de cómo la
los operadores básicos (qá, pá) actuarán, y la naturaleza del espacio
de las funciones a las que • pertenece, que normalmente se fija por
la elección del producto interior en H, o la medida μ en R.
La opción estándar es seleccionar el espacio Hilbert a ser,
H = L2(R, dq)
el espacio de funciones integrables cuadradas con respecto a
la medida de Lebesgue dq (invariante bajo constante trans-
lations) en R. Los operadores se representan entonces como,
qâ · â € (q) = (q â €)(q) y pâ · â € (q) = −i ~
•(q) (4)
¿Es posible encontrar otras representaciones? Con el fin de
apreciar esta libertad vamos al álgebra de Weyl y
construir la teoría cuántica al respecto. La representación
del álgebra de Weyl que se puede llamar del ‘tipo Fock’
implica la definición de una estructura adicional en la fase
espacio: una estructura compleja J. Es decir, un mapa lineal.
Ping de a sí mismo de tal manera que J2 = −1. En dos dimensiones.
sions, toda la libertad en la elección de J está contenida en
la elección de un parámetro d con dimensiones de longitud. Lo siento.
También es conveniente definir: k = p/~ que tiene dimensiones
de 1/L. Tenemos entonces,
Jd : (q, k) 7→ (−d2 k, q/d2)
Este objeto junto con la estructura simpléctica:
(q′, p′)) = q p′ − p q′ define un producto interior en
* por la fórmula gd(· ; ·) = (· ; Jd ·) de tal manera que:
gd(q, p); (q
′, p′)) =
q q′ +
que es sin dimensión y positiva definida. Tenga en cuenta que
con estas cantidades se puede definir coordenadas complejas
(, ) como de costumbre:
q + i
p ; =
q − i d
a partir de la cual se puede construir el estándar Fock representa-
tion. Por lo tanto, se puede ver alternativamente la introducción
del parámetro de longitud d como la cantidad necesaria para de-
Coordenadas complejas finas (sin dimensión) en la fase
espacio. Pero ¿cuál es la relevancia de este objeto (J o
d)? La definición de coordenadas complejas es útil para
la construcción del espacio Fock ya que de ellos uno
puede definir, de una manera natural, la creación y la aniquilación
operadores. Pero para la representación de Schrödinger somos
Interesado aquí, es un poco más sutil. La sutileza es
que dentro de este enfoque se utiliza la prop algebraica
erties de W para construir el espacio Hilbert a través de lo que es
conocido como el Gel’fand-Naimark-Segal (GNS)
tion. Esto implica que la medida en el asunto Schrödinger
representación se convierte en no trivial y por lo tanto la momen-
el operador adquiere un término adicional con el fin de renderizar
el operador autoadjunto. La representación del Weyl
álgebra es entonces, cuando se actúa sobre las funciones فارسى(q) [7]:
*(α) ·*(q) := (eiα q/~ ♥)(q)
(β) · (q) := e
(q/2)
(q − β)
La estructura espacial de Hilbert es introducida por el defini-
ión de un estado algebraico (un funcional lineal positivo)
D : W → C, que debe coincidir con la expectativa
valor en el espacio Hilbert tomado en un estado especial ref-
ered a como el vacío: d(a) = vac, para todos un W.
En nuestro caso, esta especificación de J induce a un único
de que los rendimientos,
(α)vac = e−
d2 α2
~2 (5)
Vócalo (β)Vócalo = e−
d2 (6)
Tenga en cuenta que los exponentes en la expectativa de vacío
los valores corresponden a la métrica construida a partir de J :
d2 α2
= gd(0, α); (0, α)) y
= gd(β, 0); (β, 0).
Las funciones de onda pertenecen al espacio L2(R, dμd), donde
la medida que dicta el producto interior en este rep-
la resensión es dada por,
dμd =
d2 dq
En esta representación, el vacío es dado por el iden-
función de la tity Ł0(q) = 1 es decir, al igual que cualquier onda de plano,
normalizado. Tenga en cuenta que para cada valor de d > 0, el rep-
la resención es bien definida y continua en α y β.
Tenga en cuenta también que hay una equivalencia entre la q-
representación definida por d y la k-representación de-
multado por 1/d.
¿Cómo podemos recuperar entonces la representación estándar
en la que la medida es dada por la medida Lebesgue
y los operadores están representados como en (4)? Es fácil de
ver que hay un isomorfismo isométrico K que mapea
la d-representación en Hd a la norma Schrödinger
representación en Hschr por:
(q) = K · (q) = e
d1/2η1/4
Hschr = L2(R, dq)
Así vemos que todas las representaciones d son unitariamente equiv-
Alent. Esto era de esperar en vista de la Stone-Von
Resultado de la singularidad de Neumann. Tenga en cuenta también que el vacío
ahora se convierte en
0(q) =
d1/2η1/4
2 d2,
Así que incluso cuando no hay información sobre el param-
eter d en la representación en sí, está contenida en el
estado de vacío. Este procedimiento para la construcción del GNS-
Schrödinger representación para la mecánica cuántica ha
también se generalizó a los campos escalares sobre curvas arbitrarias
espacio en [8]. Nótese, sin embargo, que hasta ahora el tratamiento ha
todos fueron cinemáticos, sin ningún conocimiento de un Hamil-
Tonian. Para el Oscilador Armónico Simple de masa m
y la frecuencia, hay una opción natural compatible
con la dinámica dada por d =
, en el que algunos
los cálculos se simplifican (por ejemplo, para los estados coherentes),
pero en principio se puede utilizar cualquier valor de d.
Nuestro estudio se simplificará concentrándose en la
las entidades mentales en el Hilbert Space Hd, a saber, los
los estados generados por la acción con فارسى(α) en el vacío
0(q) = 1. Vamos a denotar esos estados por,
(q) = (α) · 0(q) = ei
El producto interno entre dos de estos estados es dado por
, d =
dμd e
~ = e−
()2 d2
4 ~2 (7)
Note, por cierto, que, contrariamente a alguna creencia común,
las ‘ondas del avión’ en este espacio GNS Hilbert son de hecho
normalizable.
Consideremos ahora la representación del polímero. Por
que, es importante tener en cuenta que hay dos posibles
casos límite para el parámetro d: i) El límite 1/d 7→ 0
y ii) El caso d 7→ 0. En ambos casos, tenemos ex-
presiones que se definan mal en la representación o
medida, por lo que uno necesita tener cuidado.
A. El caso 1/d 7→ 0.
La primera observación es que de las expresiones (5) y
(6) para el estado algebraico...........................................................................................................................................................................................................................................................
En efecto, los casos están bien definidos. En nuestro caso obtenemos, A :=
lim1/d→0
A (α) =,0 y A (β) = 1 (8)
A partir de esto, de hecho podemos construir la representación
mediante la construcción del GNS. Con el fin de hacer eso
y para mostrar cómo se obtiene esto vamos a considerar varios
expresiones. Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que el límite
tiene que ser tomado con cuidado. Consideremos la medida
sobre la representación que se comporta como:
dμd =
d2 dq 7→ 1
por lo que las medidas tienden a una medida homogénea, pero
cuya ‘normalización constante’ va a cero, por lo que el límite
se vuelve algo sutil. Volveremos a este punto.
Más tarde.
Veamos ahora qué pasa con el producto interior.
entre las entidades fundamentales en el Hilbert Space Hd
dado por (7). Es inmediato ver que en el 1/d 7→ 0
limitar el producto interior se convierte,
, d 7→,
con Kronecker como el delta de Kronecker. Vemos entonces que el
ondas planas (q) se convierten en una base ortonormal para el
nuevo espacio Hilbert. Por lo tanto, hay una interacción delicada
entre los dos términos que contribuyen a la medida en
mantener la normalidad de estas funciones;
Necesitamos que la medida se humedezca (por 1/d) en orden
evitar que las ondas planas adquieran una norma infinita
(como sucede con la medida estándar de Lebesgue), pero
por otro lado la medida, que para cualquier valor finito
de d es un gaussiano, se vuelve cada vez más extendido.
Es importante señalar que, en este límite, los operadores
• (α) llegar a ser discontinuo con respecto a α, dado que
para cualquier α1 y α2 (diferente), su acción en un determinado
vector base (q) produce vectores ortogonales. Desde el
continuidad de estos operadores es uno de los hipotesis de
el teorema de Stone-Von Neumann, el resultado de la singularidad
no se aplica aquí. La representación es inequivalente
al estándar.
Analicemos ahora el otro operador, a saber, el
acción del operador Vó (β) sobre la base de (q):
(β) · (q) = e−
~ e(β/d
2+iα/~)q
que en el límite 1/d 7→ 0 va a,
(β) · (q) 7→ ei
~ (q)
que es continuo en β. Por lo tanto, en el límite, el operador
= −iq está bien definido. Además, tenga en cuenta que en este límite
el operador tiene (q) como su propio estado con valor propio
dado por α:
· (q) 7→ (q)
Para resumir, la teoría resultante obtenida por
el límite 1/d 7→ 0 de la descripción ordinaria de Schrödinger
sión, que llamaremos la «representación de polímeros de
tipo A», tiene las siguientes características: los operadores U(α)
están bien definidos pero no continuos en α, por lo que no hay
generador (sin operador asociado a q). La base vec-
tors son ortonormales (para α tomando valores en un contin-
y son autovectores del operador que es
bien definido. El espacio resultante Hilbert HA será el
(A-versión de la) representación del polímero. Vamos ahora.
considerar el otro caso, a saber, el límite cuando d 7→ 0.
B. El caso d 7→ 0
Exploremos ahora el otro caso limitante de la
representaciones de Schrödinger/Fock etiquetadas por el
eter d. Al igual que en el caso anterior, la limitación algebraica
el estado se convierte, B := limd→0 •d de tal manera que,
B(α) = 1 y B(V® (β)) = 0 (10)
A partir de esta función lineal positiva, uno puede de hecho con-
structe la representación usando la construcción GNS.
Primero tomemos nota de que la medida, incluso cuando el límite
debe ser tomado con el debido cuidado, se comporta como:
dμd =
d2 dq 7→ (q) dq
Es decir, como distribución delta de Dirac. Es inmediato a
ver que, en el límite d 7→ 0, el producto interior entre
los estados fundamentales (q) se convierte,
, d 7→ 1 (11)
Esto de hecho significa que el vector = − pertenece
al Kernel del producto interior limitante, por lo que uno tiene que
mod hacia fuera por estos (y todos) estados de la norma cero con el fin de
Conseguir el espacio de Hilbert.
Analicemos ahora el otro operador, a saber, el
acción del operador Vâr (β) sobre el vacío Ø0(q) = 1,
que para arbitrario d tiene la forma,
:= Vó (β) · 0(q) = e
(q/2)
El producto interno entre dos de estos estados es dado por
, d = e−
()2
En el límite d → 0,, d →,β. Podemos ver entonces.
que son estas funciones las que se vuelven ortonormales,
‘bases discretas’ en la teoría. Sin embargo, la función (q)
en este límite se vuelve mal definido. Por ejemplo, para β > 0,
crece sin límite para q > β/2, es igual a uno si
q = β/2 y cero de lo contrario. Con el fin de superar estos
las dificultades y hacer más transparente el resultado de
ory, vamos a considerar la otra forma de la representación
en la que la medida se incorpora a los Estados (y
el espacio resultante de Hilbert es L2(R, dq). Por lo tanto, la nueva
estado
(q) := K · (Vâ ° (β) · Ø0(q)) =
(q)2
Ahora podemos tomar el límite y lo que obtenemos es
d 7→0
(q) := ♥
1/2(q, β)
donde por Ł1/2(q, β) nos referimos a algo como ‘el cuadrado
raíz de la distribución de Dirac». Lo que realmente queremos decir es
un objeto que satisface la siguiente propiedad:
1/2(q, β) · 1/2(q, α) = 1/2(q, β)
Es decir, si α = β entonces es sólo el delta ordinario, otro-
sabiamente es cero. En cierto sentido, este objeto puede ser considerado como
medias densidades que no pueden integrarse por sí mismas,
pero cuyo producto puede. Concluimos entonces que el interior
el producto es,
, =
dq (q)(q) =
dq (q, α), α = α,α
que es justo lo que esperábamos. Nótese que en esta repre-
sentation, el estado de vacío se convierte en 0(q) :=
1/2(q, 0),
a saber, la mitad delta con apoyo en el origen. Lo es.
importante tener en cuenta que estamos llegando de una manera natural a
estados como medias densidades, cuyos cuadrados se pueden integrar
sin necesidad de una medida no trivial en la configuración
espacio de racionamiento. La invarianza del difeomorfismo surge entonces en un
natural pero sutil.
Tenga en cuenta que como resultado final recuperamos el Kronecker
producto interior delta para los nuevos estados fundamentales:
(q) := ♥
1/2(q, β).
Así, en esta nueva representación de B-polímero, el Hilbert
espacio HB es la terminación con respecto al interior
producto (13) de los estados generados por la toma (finito)
combinaciones lineales de elementos de base de la forma :
(q) =
bi i(q) (14)
Ahora vamos a introducir una descripción equivalente de esto
Espacio Hilbert. En lugar de tener los elementos de base ser
medio-deltas como elementos del espacio Hilbert donde el
producto interior es dado por la medida ordinaria de Lebesgue
dq, redefinimos tanto la base como la medida. Nosotros
podría considerar, en lugar de una media-delta con soporte β, una
Kronecker delta o función característica con soporte
sobre β:
(q) := ♥q,β
Estas funciones tienen un comportamiento similar con respecto a
el producto como media delta, a saber: (q) · (q) =
# # # # #, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La principal diferencia es que ninguna de las dos χ
′ ni sus
Los cuadrados son integrables con respecto al Lebesgue mea-
seguro (tiene cero norma). Con el fin de solucionar ese problema nosotros
tiene que cambiar la medida para que recuperemos la base
producto interior (13) con nuestra nueva base. La mea necesaria...
seguro resulta ser la medida de conteo discreto en R.
Por lo tanto, cualquier estado en la «base de la media densidad» se puede escribir
(utilizando la misma expresión) en términos de «Kronecker
base». Para más detalles y más motivación vea el
siguiente sección.
Nótese que en esta representación de polímero B, ambos
sus roles intercambiados con el de la
Representación de A-polímero: mientras que U(α) es discontinuo
y, por lo tanto, qâ € no se define en la representación-A, nosotros
tener que es V (β) en la representación B que tiene este
propiedad. En este caso, es el operador el que no puede
se definan. Vemos entonces que dado un sistema físico para
que el espacio de configuración tiene un fisico bien definido
en la posible representación en la que
funciones de onda son funciones de la variable de configuración
q, las representaciones de polímeros A y B son radicalmente dif-
Ferent e inequivalente.
Dicho esto, también es cierto que la A y B
representaciones son equivalentes en un sentido diferente, por
medios de la dualidad entre q y p representaciones
y la dualidad d↔ 1/d: La representación de A-polímero
en la “representación q” es equivalente al polímero B
representación en la "p-representación", e inversamente.
Cuando se estudia un problema, es importante decidir desde
el comienzo de la representación del polímero (en su caso)
debe ser utilizado (por ejemplo en la q-polarización). Esto
tiene como consecuencia una implicación sobre qué variable es
naturalmente “cuantificada” (incluso si continua): p para A y q
para B. Podría haber, por ejemplo, un criterio físico para
esta elección. Por ejemplo, una simetría fundamental podría
Sugiere que una representación es más natural que una...
otro. Esto ha sido observado recientemente por Chiou.
en [10], donde se investiga el grupo Galileo y
se demuestra que la representación B se comporta mejor.
En la otra polarización, es decir, para las funciones de onda
de p, la imagen se invierte: q es discreto para el A-
representación, mientras que p es para el caso B. Terminemos con esto.
, señalando que el procedimiento de obtención de la
cuantificación del polímero mediante un límite adecuado
de las representaciones Fock-Schrödinger podrían resultar útiles en
ajustes más generales en teoría de campo o gravedad cuántica.
III. MECANISMOS DE CUANTO POLÍMICO:
KINEMÁTICAS
En secciones anteriores hemos derivado lo que tenemos
las llamadas representaciones poliméricas A y B (en
la polarización) como casos limitantes de la representación ordinaria de Fock
Enviaciones. En esta sección, describiremos, sin
cualquier referencia a la representación de Schrödinger, la «ab-
representación de polímero de estrazo y luego hacer contacto
con sus dos posibles realizaciones, estrechamente relacionadas con la A
y B casos estudiados anteriormente. Lo que vamos a ver es que uno
de ellos (el caso A) corresponderá a la p-polarización
mientras que el otro corresponde a la representación q,
cuando se toma una decisión sobre el significado físico de
las variables.
Podemos empezar por definir kets abstractos etiquetados por
un número real μ. Estos pertenecerán al espacio de Hilbert.
Hpoly. A partir de estos estados, definimos un 'cilindro genérico
estados’ que corresponden a una elección de una colección finita de
Números μi-R con i = 1, 2,...., N. Asociados a esto
elección, hay N vectores i, por lo que podemos tomar un lineal
combinación de ellos
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
ai i (15)
El producto interior del polímero entre los kets fundamentales
es administrado por,
=,μ (16)
Es decir, los kets son ortogonales entre sí (cuando ν 6=
μ) y se normalizan ( = 1). Inmediatamente,
esto implica que, dado que cualquier dos vectores =
j=1 bj j
y =
i=1 ai i, el producto interior entre ellos
es administrado por,
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
b̄k ak
donde la suma es sobre k que etiqueta los puntos de intersección
entre el conjunto de etiquetas j} y i}. El Hilbert
espacio Hpoly es la terminación Cauchy de finito lineal com-
de la forma (15) con respecto al pro blema interno
uct (16). Hpoly no es separable. Hay dos básicos
operadores en este espacio Hilbert: el «operador de etiquetas» :
:= μ
y el operador de desplazamiento.. (..........................................................................................................................................................................................................................................................
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
El operador es simétrico y el(los) operador(es)
define una familia de un parámetro de operadores unitarios en
Hpoly, donde su contiguo es dado por () = (). Esto
la acción es, sin embargo, discontinuo con respecto a
que y + son siempre ortogonales, no importa
que tan pequeño es. Por lo tanto, no hay operador (hermitano)
que podría generar... (..........................................................................................................................................................................................................................................................
Hasta ahora hemos dado la caracterización abstracta de
el espacio Hilbert, pero uno quisiera hacer contacto
con realizaciones concretas como funciones de onda, o por iden-
• la adaptación de los operadores abstractos a las condiciones físicas de trabajo;
Erators.
Supongamos que tenemos un sistema con un espacio de configuración
con coordenada dada por q, y p denota su canónico
conjugate momenta. Supongamos también que para la física rea-
hijos decidimos que la configuración coordin q will
tienen algún “carácter discreto” (por ejemplo, si se trata de
se identifican con la posición, se podría decir que hay
una posición discreta subyacente en pequeña escala).
¿Cómo podemos aplicar estos requisitos por medio de
¿La representación del polímero? Hay dos posibilidades,
dependiendo de la elección de las ‘polarizaciones’ para la ola-
funciones, a saber, si serán funciones de
Figuración q o momenta p. Vamos a dividir el disco-
sión en dos partes.
A. Polarización momentánea
En esta polarización, los estados serán denotados por,
(p) = (p)
donde
(p) = p = ei
¿Cómo están representados entonces los operadores y? Nota
que si asociamos el operador multiplicativo
Vá r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
~ = ei
()
p = ()(p)
Vemos entonces que el operador VÃ3r () corresponde exactamente
para el operador de turnos. Por lo tanto, también podemos concluir
que el operador no existe. Ahora es fácil
identificar al operador qÃ3r con:
q · (p) = −i~
(p) = μ e
~ = (p)
a saber, con el operador abstracto. La razón por la que
decir que qâ € es discreto es porque este operador tiene como su
eigenvalue la etiqueta μ del estado elemental (p), y
esta etiqueta, incluso cuando puede tomar valor en un continuum
de los posibles valores, debe entenderse como un conjunto discreto,
dado que los estados son ortonormales para todos los valores de
μ. Dado que los estados son ahora funciones de p, el interior
el producto (16) debe definirse mediante una medida μ en la
espacio en el que se definen las funciones de onda. En orden
saber cuáles son estos dos objetos, a saber, el quan-
el espacio "configuración" C y la medida correspondiente1,
tenemos que hacer uso de las herramientas disponibles para nosotros desde
la teoría de C*-álgebras. Si consideramos a los operadores
Vócalo, junto con su producto natural y su relación con
dado por Váš ∗() = Váš (), que tienen la estructura de
a Abelian C*-álgebra (con unidad) A. Sabemos por
la teoría de la representación de tales objetos que A es iso-
mórfico al espacio de las funciones continuas C0() en una
espacio compacto, el espectro de A. Cualquier representación
de A en un espacio Hilbert como operador de multiplicación será
sobre los espacios de la forma L2(, dμ). Es decir, nuestro cuántico
espacio de configuración es el espectro del álgebra, que
en nuestro caso corresponde a la compactación de Bohr Rb
de la línea real [11]. Este espacio es un grupo compacto y
hay una medida de probabilidad natural definida en ella, el
Medida Haar μH. Por lo tanto, nuestro Hilbert espacio Hpoly será
isomórfico al espacio,
Hpoly,p = L2(Rb, dμH) (17)
En términos de «funciones periódicas cuasi» generadas por (p),
el producto interior toma la forma
:=
dμH (p)(p) :=
= lim
L 7° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
dp(p)(p) =,
nota que en la p-polarización, esta caracterización cor-
responde a la «versión A» de la representación del polímero
de Sec. II (donde se intercambian p y q).
B. Q-polarización
Consideremos ahora la otra polarización en la que la ola
las funciones dependerán de la coordenada de configuración q:
(q) = (q) + (q) + (q) + (q) = (q) + (q) + (q) = (q) + (q) = (q) + (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q)
Las funciones básicas, que ahora se llamará (q), debe
ser, en cierto sentido, el dual de las funciones (p) de la
subsección anterior. Podemos tratar de definirlos a través de un
«Fourier transform»:
(q) := q = q
dμHpp
que es dada por
(q) :=
dμHqp(p) =
dμH e
−i p q
~ = q,μ (19)
1 aquí utilizamos la terminología estándar de ‘espacio de configuración’ para
denotar el dominio de la función de onda incluso cuando, en este caso,
corresponde al momento físicoa p.
Es decir, los objetos básicos en esta representación son Kro-
cuello deltas. Esto es precisamente lo que habíamos encontrado en
Sec. II para la representación del tipo B. ¿Cómo está ahora el
los operadores básicos representados y cuál es la forma de la
¿Producto interior? En cuanto a los operadores, esperamos que
están representados de la manera opuesta como en el
p-polarización anterior, pero que preservan el
las mismas características: p® no existe (la derivada de la Kro-
cuello delta está mal definido), pero su versión exponencial
En el caso de Vázquez, se entiende por:
VÃ3r () · () = () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
y el operador qâ € que ahora actúa como multiplicación ha
como sus propios estados, las funciones (q) =,q:
q · (q) := μ (q)
¿Cuál es ahora la naturaleza de las configuraciones cuánticas
espacio Q? ¿Y cuál es la medida sobre dμq? que
define el producto interior que deberíamos tener:
(q), (q) =,
La respuesta viene de una de las caracterizaciones de
la compactación de Bohr: sabemos que es, en un preciso
sentido, dual a la línea real, pero cuando está equipado con el
topología discreta Rd. Además, la medida relativa a Rd
será la «medida de contabilidad». De esta manera recuperamos el
las mismas propiedades que teníamos para la caracterización anterior
del espacio del polímero Hilbert. Así podemos escribir:
Hpoly,x := L2(Rd, dμc) (20)
Esto completa una construcción precisa del poli-tipo B
representación mer bosquejada en la sección anterior. Nota
que si hubiéramos elegido la situación física opuesta,
a saber q, la configuración observable, ser el quan-
dad que no tiene un operador correspondiente, entonces
habríamos tenido la realización opuesta: en el q-
polarización habríamos tenido el polímero tipo A rep-
resentimiento y el tipo-B para la p-polarización. As
veremos que ambos escenarios han sido considerados en el
literatura.
Hasta ahora sólo hemos centrado nuestra discusión en el
Aspectos cinemáticos del proceso de cuantificación. Déjanos
Ahora considere en la siguiente sección la cuestión de la dinam-
y recordar el enfoque que se había adoptado en el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial.
literatura, antes de la cuestión de la eliminación del regulador
fue reexaminado en [6].
IV. MECANISMOS DE CUANTO POLÍMICO:
DINÁMICA
Como hemos visto la construcción del polímero
la representación es bastante natural y conduce a un
teoría de tum con diferentes propiedades que la habitual
Schrödinger homólogo como su no separabilidad, la
no existencia de determinados operadores y la existencia de
eigen-vectores normalizados que dan un valor preciso para
una de las coordenadas espaciales de fase. Esto se ha hecho.
sin tener en cuenta a un Hamiltoniano que dota a la
sistema con una dinámica, energía y así sucesivamente.
Primero consideremos el caso más simple de una partícula de
masa m en un potencial V (q), en el que el Hamiltonian H
adopta la forma,
p2 + V (q)
Supongamos además que el potencial es dado por un no-
función periódica, como un polinomio o una función racional
tion. Podemos ver inmediatamente que una implementación directa-
de los Hamiltonianos está fuera de nuestro alcance, para el simple
la razón de que, como hemos visto, en el polímero representa-
¡Podemos representar q o p, pero no los dos! ¿Qué?
¿Se ha hecho hasta ahora en la literatura? La más simple.
cosa posible: aproximar el término no existente por un
bien definida función que se puede cuantificar y la esperanza de
el mejor. Como veremos en las próximas secciones, hay
más de lo que uno puede hacer.
En este punto también hay una decisión importante que debe ser
hecho: que la variable q o p debe ser considerada como “des-
¿Cerveza? Una vez que se hace esta elección, entonces implica que
la otra variable no existirá: si q se considera como dis-
ocre, entonces p no existirá y tenemos que aproximarnos
el término cinético p2/2m por otra cosa; si p va a ser
la cantidad discreta, entonces q no se definirá y luego
tenemos que aproximar el potencial V (q). ¿Qué hap-
¿lápices con potencial periódico? En este caso uno podría
ser modelar, por ejemplo, una partícula en una celosía regular
como un fonón que vive en un cristal, y luego el natural
elección es tener q no bien definido. Por otra parte, la po-
tential estará bien definido y no hay aproximación
necesario.
En la literatura se han considerado ambos escenarios.
Por ejemplo, cuando se considera un mecánico cuántico
sistema en [2], la posición fue elegida para ser discreta,
así que p no existe, y uno está entonces en el tipo A para
la polarización del momento (o el tipo B para el q-
polarización). Con esta elección, es el término cinético el
uno que tiene que ser aproximado, así que una vez que se ha hecho
esto, entonces es inmediato considerar cualquier potencial que
Por lo tanto, se definirá bien. Por otro lado, cuando con-
cosmología cuántica del bucle lateral (LQC), el estándar
elección es que la variable de configuración no está definida
[4]. Esta elección se hace teniendo en cuenta que LQC se considera como
el sector simétrico de la gravedad cuántica del bucle completo donde
la conexión (que se considera como la configuración vari-
no puede ser promovido a un operador y se puede
sólo definir su versión exponencial, a saber, el holón-
Omy. En ese caso, la variable canónicamente conjugada,
estrechamente relacionado con el volumen, se convierte en «discreto», al igual que
en la teoría completa. Este caso es, sin embargo, diferente de la
partícula en un ejemplo potencial. Primero podríamos mencionar
que la forma funcional de la restricción hamiltoniana
que implementa dinámica tiene una estructura diferente, pero
la diferencia más importante radica en que el sistema es
constreñido.
Volvamos al caso de la partícula en una po-
tential y para la definición, comencemos con el aux-
Marco iliar cinemático en el que: q es discreto, p
no pueden ser promovidos y por lo tanto tenemos que aproximarnos
el término cinético pÃ3s/2/2m. ¿Cómo se hace esto? El Stan...
prescripción dard es definir, en el espacio de configuración
C, un «gráfico» regular 0. Esto consiste en un numerable
conjunto de puntos, equidistante, y caracterizado por un pa-
rameter μ0 que es la separación (constante) entre
puntos. El ejemplo más sencillo sería considerar la
set 0 = {q R q = nμ0,
Esto significa que los kets básicos que se considerarán
Se corresponderá precisamente con las etiquetas μn pertenecientes a
el gráfico 0, es decir, μn = nμ0. Por lo tanto, sólo
considerar los estados de la forma,
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
bn n. (21)
Este espacio ‘pequeño’ Hilbert H0, el espacio gráfico Hilbert,
es un subespacio del polímero ‘grande’ Hilbert Space Hpoly
pero es separable. La condición para un estado de la forma
(21) pertenecer al espacio Hilbert H0 es que el co-
efficients bn satisfacer:
n bn2.
Consideremos ahora el término cinético pÃ2/2m. Tenemos
para aproximarlo mediante funciones trigonométricas,
que se puede construir a partir de las funciones de la forma ei. p/~.
Como hemos visto en secciones anteriores, estas funciones pueden
ser promovidos a los operadores y actuar como traducción
operadores en los kets. Si queremos permanecer en el
γ, y no crear ‘nuevos puntos’, entonces uno es
a considerar a los operadores que desplazan los kets
por la cantidad justa. Es decir, queremos lo básico
el operador de turno Vâ ° ° ° ° ° sea tal que mapee el ket con
etiqueta nÃ3 al siguiente ket, es decir n+1Ã3. Esto puede...
acción realizada mediante la fijación, de una vez por todas, del valor de la
se permite que el parámetro sea = μ0. Tenemos entonces,
Vóz (μ0) · nó = n + μ0ó = n+1ó
que es lo que queríamos. Este «operador de turnos» básico
ser el bloque de construcción para aproximar cualquier (polinomio)
función de p. Con el fin de hacer eso nos damos cuenta de que la
función p se puede aproximar por,
* * * ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
(μ0 p
~ − e−i
donde la aproximación es buena para p • ~/μ0. Por lo tanto,
se puede definir un operador regulado p0 que depende de
la «escala» μ0 como:
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
[V (μ0) − V (0)]
(n+1â − n−1â > ) (22)
Para regular el operador, hay (al menos)
dos posibilidades, a saber, componer el operador p0
con sí mismo o para definir una nueva aproximación. La operación...
ator p0 · p0 tiene la característica que cambia los estados dos
pasos en el gráfico a ambos lados. Sin embargo, hay un...
otro operador que sólo implica el cambio una vez:
2μ0 · n :=
[2 − Vâr (μ0) − Vâr (0)] · nâr =
(23)
lo que corresponde a la aproximación p2 2~
cos(μ0 p/~)), válido también en el régimen p • ~/μ0. Con
estas consideraciones, uno puede definir el operador 0,
el Hamiltoniano a escala μ0, que en la práctica «vive» en
el espacio H0 como,
0 :=
p+2μ0 + V+ (q), (24)
que es un operador bien definido, simétrico en H0. No...
que el operador también se define en Hpoly, pero hay
su interpretación física es problemática. Por ejemplo,
resulta que el valor de expectativa del término cinético
calculados en la mayoría de los estados (estados que no están adaptados a
al valor exacto del parámetro μ0) es cero. Incluso
si uno toma un estado que da expectativas “razonables”
valores del término μ0-cinético y lo utiliza para calcular el
valor de expectativa del término cinético correspondiente a
una ligera perturbación del parámetro μ0 se obtendría
cero. Este problema, y otros que surgen cuando se trabaja
sobre Hpoly, obliga a uno a asignar una interpretación física
a los hamiltonianos 0 sólo cuando su acción está restringida
al subespacio H0.
Ahora exploremos la forma que toma el Hamiltoniano
en las dos posibles polarizaciones. En la q-polarización,
la base, etiquetada por n viene dada por las funciones χn(q) =
*q,μn. Es decir, las funciones de onda sólo tendrán sup-
puerto en el conjunto 0. Alternativamente, se puede pensar en un
como completamente caracterizado por el ‘Fourier coeffi-
an: فارسى(q) ↔ an, que es el valor que la ola
función •(q) toma en el punto q = μn = nμ0. Por lo tanto,
el Hamiltoniano toma la forma de una ecuación de diferencia
cuando actúa sobre un estado general............................................................................................................................................................................................................................................................ Resolver el tiempo
Ecuación independiente de Schrödinger ·
para resolver la ecuación de diferencia para los coeficientes a.
La polarización del impulso tiene una estructura diferente.
En este caso, el operador pâ € 2μ0 actúa como una multiplicación
operador,
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
1 − cos
(μ0 p
•(p) (25)
El operador correspondiente a q se representará como un
operador derivado
p): = i~ Łp (p).
Para un potencial genérico V (q), tiene que ser definido por
medios de teoría espectral definidos ahora en un círculo. ¿Por qué?
¿En un círculo? Por la sencilla razón de que al restringir
nosotros mismos a un gráfico regular 0, las funciones de p que
preservarlo (cuando actúa como operador de turnos) son de la
forma e(i m μ0 p/~) para m entero. Es decir, lo que tenemos
son modos Fourier, etiquetados por m, del período 2η ~/μ0 en p.
¿Podemos pretender entonces que la variable de espacio de fase p es
¿Ahora compactado? La respuesta es afirmativa. Los
producto interno en las funciones periódicas 0(p) de p que viene
del espacio completo Hilbert Hpoly y dado por
(p)(p)polio = lim
L 7° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
dp (p) (p) (p)
es exactamente equivalente al producto interior en el círculo
dado por la medida uniforme
(p)(p)0 =
∫ /μ0
/μ0
dp (p) (p) (p)
con p (/μ0, /μ0). Mientras uno restrinja a...
la atención a la gráfica 0, uno puede trabajar en este separable
Hilbert espacio H0 de funciones integrables cuadradas en S
Inmediatamente, se pueden ver las limitaciones de este descrip-
tion. Si el sistema mecánico a cuantificar es tal
que sus órbitas tienen valores de los momenta p que son
no pequeño en comparación con /μ0 entonces la aproximación
tomado será muy pobre, y no esperamos ni el
descripción clásica eficaz ni su cuantificación para ser
cerca de la estándar. Si, por otro lado, uno es al-
en la región en la que la aproximación puede ser
Considerado como fiable, entonces tanto clásico como cuántico de-
las inscripciones deben aproximarse a la descripción estándar.
¿Qué hace «cerca de la descripción estándar» exactamente
necesidades medias, por supuesto, algunas aclaraciones adicionales. In
particular está asumiendo la existencia de la habitual
Schrödinger representación en la que el sistema tiene un be-
havior que también es coherente con las observaciones. Si esto es
el caso, la pregunta natural es: ¿cómo podemos
¿Aparear tal descripción de la foto del polímero? ¿Está ahí?
un gráfico bastante fino 0 que se aproximará al sistema
¿De tal manera que todas las observaciones sean indistinguibles?
O mejor aún, ¿podemos definir un procedimiento, que implica
un refinamiento del gráfico 0 tal que uno recupera el
¿Un cuadro estándar?
También podría ocurrir que un límite continuo puede ser de-
multada, pero no coincide con la «esperada». Pero
también podría haber sistemas físicos para los que hay
ninguna descripción estándar, o simplemente no tiene sentido.
Puede en esos casos la representación del polímero, si ex-
ists, proporcionar la descripción física correcta de la sys-
¿Tem en consideración? Por ejemplo, si existe un
limitación física de la escala mínima fijada en μ0, como
podría ser el caso de una teoría cuántica de la gravedad, entonces
la descripción del polímero proporcionaría un verdadero
por el valor de determinadas cantidades, como p en
nuestro ejemplo. Este podría ser el caso para el lazo cuántico
cosmología, cuando exista un valor mínimo para la
volumen (proviene de la teoría completa), y el espacio de fase
puntos cerca de la “singularidad” se encuentran en la región donde el
la aproximación inducida por la escala μ0 se aparta de la
descripción clásica estándar. Si en ese caso el poli-
sistema cuántico mer se considera más fundamental
que el sistema clásico (o su estándar Wheeler-De
Witt cuantización), entonces uno interpretaría este dis-
crepancias en el comportamiento como señal de la avería
de descripción clásica (o su cuantificación ‘naive’).
En la siguiente sección presentamos un método para eliminar
el regulador μ0 que se introdujo como
comieron el paso para construir la dinámica. Más precisamente, nosotros
considerará la construcción de un límite continuo de
la descripción del polímero mediante una renormalización
procedimiento.
V. LÍMITE CONTINUO
Esta sección consta de dos partes. En el primero motivamos
la necesidad de una noción precisa del límite continuo de
la representación polimérica, explicando por qué más
El enfoque directo e ingenuo no funciona. En la segunda fase:
en parte, presentaremos las principales ideas y resultados de
el papel [6], donde el hamiltoniano y el físico
El espacio de Hilbert en la mecánica cuántica polimérica es...
como un continuum límite de teorías eficaces, seguir-
Las ideas del grupo de renormalización de Wilson. El resultado
El espacio físico Hilbert resulta ser unitariamente isomor-
phic a las Hs ordinarias = L2(R, dq) del Schrödinger
teoría.
Antes de describir los resultados de [6] debemos discutir
el significado preciso de llegar a una teoría en el contin-
uum. Consideremos, para mayor concreción, la representación del tipo B.
sentacion en la q-polarizacion. Es decir, los estados son func...
ciones de q y la base ortonormal (q) es dada por
funciones características con soporte en q = μ. Déjanos
Ahora supongamos que tenemos un estado de Schrödinger
L2(R, dq). ¿Cuál es la relación entre Ł(q) y un estado?
¿En Hpoly, X? También estamos interesados en las preguntas opuestas.
sión, es decir, nos gustaría saber si hay una preferencia
estado en Hs que es aproximado por un estado arbitrario
(q) en Hpoly,x. La primera observación obvia es que un
Estado Schödinger (q) no pertenece a Hpoly,x ya que
tendría una norma infinita. Para ver esa nota que incluso
cuando el Estado aspirante puede ser formalmente ampliado en el
base como,
(q) =
(μ) (q)
donde la suma es sobre el parámetro μ â € R. Su associ-
ated norma en Hpoly,x sería:
(q)2polio =
(μ)2 →
que explota. Tenga en cuenta que para definir una asignación
P : Hs → Hpoly, x, hay una gran ambigüedad desde el
se necesitan los valores de la función فارسى(q) con el fin de ampliar
la función de la onda polimérica. Por lo tanto, sólo podemos definir un
mapping en un denso subconjunto D de Hs donde los valores de la
funciones están bien definidas (recordemos que en Hs el valor de
funciones en un punto dado no tiene significado ya que los estados son
clases de equivalencia de funciones). Podríamos, por ejemplo,
pedir que la asignación se defina para los representantes de la
clases de equivalencia en Hs que son continua por partes.
A partir de ahora, cuando nos referimos a un elemento del espacio
Nos referiremos a uno de esos representantes.
Observe entonces que un elemento de Hs define un elemento
de Cyl, el dual al espacio Cylγ, es decir, el espacio
de funciones de cilindro con soporte en la celosía (finita)
γ = 1, μ2,. .., μN}, de la siguiente manera:
(q) : Cylγ C
de tal manera que
*(q)[(q)] = ( :=
(μ)
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
• (μi) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Nótese que este mapeo podría ser visto como consistente en dos
partes: Primero, una proyección Pγ : Cyl
∗ → Cylγ de tal manera que
Pγ() = (q) :=
i-(μi)i(q)-Cylγ. El Estado
se refiere a veces como la «sombra de Ł(q) en
la celosía γ». El segundo paso es entonces tomar el interior
producto entre la sombra (q) y el estado (q)
con respecto al producto interno del polímero poliγ.
Ahora este producto interior está bien definido. Note que para
cualquier celosía dada γ el proyector correspondiente Pγ puede ser
intuitivamente interpretado como una especie de ‘granulación gruesa
mapa’ del continuum a la celosía γ. En términos de
funciones de q la proyección está reemplazando un continuo
función definida en R con una función sobre la celosía
γ R, que es un conjunto discreto simplemente restringiendo a
γ. Cuanto más fina sea la celosía, más puntos tendremos.
en la curva. Como veremos en la segunda parte de este
sección, hay de hecho una noción precisa de grano grueso
que implementa esta idea intuitiva de una manera concreta.
En particular, tendremos que sustituir la celosía γ por
una descomposición de la línea real en intervalos
puntos de celosía como puntos finales).
Consideremos ahora un sistema en el polímero represen-
en la que se eligió una celosía particular γ0, por ejemplo
con puntos de la forma {qk â R qk = ka0, â k â Z},
es decir, una celosía uniforme con espaciamiento igual a a0. En este
caso, cualquier función de onda Schrödinger (del tipo que
considerar) tendrá una sombra única en la celosía γ0. Si
refinamos la celosía γ 7→ γn dividiendo cada intervalo en
2n nuevos intervalos de longitud a = a0/2
Tenemos una nueva sombra...
ows que tienen más y más puntos en la curva. Intu-
itativamente, refinando infinitamente el gráfico nos recuperaríamos
la función original فارسى(q). Incluso cuando en cada paso finito
la sombra correspondiente tiene una norma finita en el poli-
mer Hilbert espacio, la norma crece ilimitadamente y el
el límite no se puede tomar, precisamente porque no podemos em-
cama Hs en Hpoly. Supongamos ahora que estamos interesados
en el proceso inverso, es decir, a partir de un polímero
teoría sobre una celosía y pidiendo la "onda continua
función’ que se aproxima mejor por una función de onda
sobre un gráfico. Supongamos, además, que queremos con-
sider el límite de la gráfica cada vez más fino. En orden
para dar respuestas precisas a estas (y otras) preguntas
necesidad de introducir algunas nuevas tecnologías que nos permitirán
para superar estas aparentes dificultades. En el resto
de esta sección recordaremos estas construcciones para el
beneficio del lector. Los detalles se pueden encontrar en [6] (que
es una aplicación del formalismo general discutido en
[9]).
El punto de partida de esta construcción es el concepto
de una escala C, que nos permite definir la eficacia de
y el concepto de límite continuo. En nuestro caso, un
escala es una descomposición de la línea real en la unión de
intervalos cerrados-abiertos, que cubren toda la línea y hacen
no se intersectan. Intuitivamente, estamos cambiando el énfasis
desde los puntos de celosía a los intervalos definidos por el
los mismos puntos con el objetivo de aproximar
funciones tinuas definidas en R con funciones que son
constante en los intervalos definidos por la celosía. Ser
precisa, definimos una incrustación, para cada escala Cn de
Hpoly a Hs por medio de una función escalonada:
•(hombre) χman(q) →
*(hombre) m(q)* Hs
con n(q) una función característica en el intervalo
αm = [hombre, (m + 1)an). Por lo tanto, las sombras (viviendo en
la celosía) eran sólo un paso intermedio en el con-
estructuración de la función de aproximación; esta función es
constante por pieza y se puede escribir como un com- lineal
bination de funciones de escalón con los coeficientes proporcionados
por las sombras.
El desafío ahora es definir en un sentido apropiado
cómo se pueden aproximar todos los aspectos de la teoría
por medio de esta constante por piezas funciones. Entonces el
estrategia es que, para cualquier escala dada, se puede definir un
teoría eficaz mediante la aproximación del operador cinético
por una combinación de los operadores de traducción que cambian
entre los vértices de la descomposición dada, en otros
palabras por una función periódica en p. Como resultado uno tiene un
conjunto de teorías eficaces a escalas determinadas que son mutuamente
relacionados con mapas de granulación gruesa. Este marco era el siguiente:
desarrollado en [6]. Para la comodidad del lector nosotros
Recordemos brevemente parte de ese marco.
Vamos a denotar el espacio cinemático polímero Hilbert en
la escala Cn como HCn, y sus elementos de base como eαi,Cn,
donde αi = [ian, (i + 1)an) • Cn. Por la construcción de este
la base es ortonormal. Los elementos de base en la dualidad
Hilbert espacio H*Cn se denotan por i,Cn; también son
Ortonormal. Los estados i, Cn tienen una acción simple en
Cyl, i,Cn(lx0,q) = i,Cn(lx0). Es decir, si x0 está en el
intervalo αi de Cn el resultado es uno y es cero si es
No está ahí.
Dado cualquier m ≤ n, definimos d*m,n : H*Cn → H
como el mapa de ‘granulación gruesa’ entre el doble Hilbert
espacios, que envía la parte de los elementos del dual
base a cero manteniendo la información del resto:
d*m,n(i,Cn) = j,Cm si i = j2
n-m, en el caso contrario
d*m,n(i,Cn) = 0.
En cada escala la teoría efectiva correspondiente es
dado por el hamiltoniano Hn. Estos Hamiltonianos lo harán.
ser tratados como formas cuadráticas, hn : HCn → R, dado por
hn() =
(,Hn), (27)
en la que 2Cn es un factor de normalización. Veremos más tarde.
que este reescalamiento del producto interior es necesario en
para garantizar la convergencia de los renormalizados
teoría. La teoría completamente renormalizada a esta escala
se obtiene como
hrenm := lim
- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí., sí., sí, sí., sí. (28)
y los Hamiltonianos renormalizados son compatibles con
el uno al otro, en el sentido de que
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
n = h
Con el fin de analizar las condiciones para la convergencia
en (28) vamos a expresar el hamiltoniano en términos de su
eigen-covectores fin eigenvalues. Trabajaremos con...
tiva Hamiltonianos que tienen un espectro puramente discreto
(marcado por: · Hn ·, Cn = E/, Cn, Cn. También lo haremos.
introducir, como paso intermedio, un corte en la energía
niveles. El origen de este corte está en la aproximación
del Hamiltoniano de nuestro sistema en una escala dada con
a Hamiltoniano de un sistema periódico en un régimen de pequeño
energías, como explicamos antes. Por lo tanto, podemos escribir
h vcut-offm =
vcut-off
E/,Cm,Cm ,Cm,(29)
donde los covectores eígenos,Cm se normalizan de acuerdo-
al producto interior redistribuido por 1
, y el corte...
off puede variar hasta una escala dependiente unida, νcut−off ≤
vmax(Cm). El espacio Hilbert de los covectores junto con
tal producto interno se llamará H.renCm.
En presencia de un corte, la convergencia de la
Hamiltonianos microscópicamente corregidos, ecuación (28) es
equivalente a la existencia de los dos límites siguientes.
El primero es la convergencia de los niveles de energía,
E/Cn = E
/. (30)
Segundo es la existencia de la completamente renormalizada
covectores autóctonos,
m,n,Cn =
- ¿Qué es esto? - ¿Qué es esto?
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 31)
Aclaramos que la existencia del límite anterior significa
que la letra c) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, No...
que esta convergencia punto a punto, si se puede llevar a cabo
en absoluto, requerirá la afinación de los factores de normalización
2Cn.
Pasamos ahora a la cuestión del límite del continuum
de los covectores renormalizados. En primer lugar podemos pedir por el
existencia del límite
El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 1994 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada»), que, en el caso de autos, debía interpretarse en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 1994 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Primera Instancia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Justicia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Justicia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada»).
para cualquier فارسىx0,q Cyl. Cuando estos límites existen hay
una acción natural de los covectores autóctonos en el continuum
límite. A continuación consideramos otra noción del continuum
límite de los covectores autóctonos renormalizados.
Cuando los covectores autóctonos completamente renormalizados
existen, forman una colección que es compatible,
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
= Ren/,Cm. Una secuencia de d
- Compatibles ni compatibles.
Los covectores maleables definen un elemento de
, que es
el límite proyectivo de los espacios renormalizados de covec-
HerenCn. 33)
El producto interior en este espacio está definido por
(Cn}, Cn})R := lim
(Cn,ΦCn)
La inclusión natural de C0 en
es por un antilineal
mapa que asigna a cualquier â € â € € â € TM Câ € TM el dâ €-compatible
colección shadCn :=
i(L(αi))
Se le llamará a ShadCn la sombra de # a escala Cn y actúa
en Cyl como una función constante a trozos. Claramente otro
tipos de funciones de prueba como las funciones de Schwartz son también
naturalmente incluidos en
. En este contexto una sombra es
un estado de la teoría efectiva que se aproxima a un estado
en la teoría del continuum.
Desde el producto interior en
es degenerado, el
espacio físico Hilbert se define como
Höphys :=
/ ker(·, ·)ren
Hphys := Hóphys
La naturaleza del espacio físico Hilbert, si es
isomórfico al espacio de Schrödinger Hilber, Hs, o no, es
determinado por los factores de normalización
se obtiene de las condiciones que exigen la compatibil-
ity de la dinámica de las teorías eficaces en diferentes
básculas. La dinámica del sistema que se examina
selecciona el límite del continuum.
Volvamos ahora a la definición de la Hamilto-
nian en el límite del continuum. En primer lugar considerar la continuación de
uum límite del Hamiltoniano (con corte) en el sentido
de su convergencia puntual como forma cuadrática. Lo siento.
resulta que si el límite de la ecuación (32) existe para
todos los covectores autóctonos permitidos por el corte, tenemos
vcut-off ren
: Hpoly,x → R definido por
vcut-off ren
(x0,q) := lim
h/cut−off Renn ([lx0,q]Cn). (34)
Esta forma cuadrática hamiltoniana en el continuum puede
ser de grano grueso a cualquier escala y, como puede ser ex-
, produce el Hamilto completamente renormalizado-
Nian forma cuadrática a esa escala. Sin embargo, esto no es
un límite de continuum completamente satisfactorio porque podemos
no retirar el corte auxiliar νcut−off. Si lo intentamos, como
incluimos más y más covectores propios en el Hamilto-
nian los cálculos hechos a una escala dada divergerían
y hacerlos en el continuum es igual de divergente.
A continuación exploramos un camino más exitoso.
Podemos utilizar el producto interno renormalizado para inducir
una acción de los hamiltonianos de corte en
vcut-off ren
(Cn} := lim
h/cutoff renn (()Cn, ·)renCn ),
donde hemos utilizado el hecho de que (Cn, ·)renCn • HCn. Los
la existencia de este límite es trivial porque el renormalizado
Hamiltonianos son sumas finitas y el límite existe término por
término.
Estos hamiltonianos de corte descienden a lo físico
Espacio Hilbert
vcut-off ren
([Cn}]):= h
vcut-off ren
(Cn}
para cualquier representante Cn} [Cn}] Hóphys.
Por último, podemos abordar la cuestión de la eliminación de la
Fuera. El hamiltoniano hren
→ R se define por la
límite
:= lim
& cct−off & cclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclcl
vcut-off ren
cuando el límite existe. Su correspondiente forma ermitaña
en Hphys se define siempre que exista el límite anterior. Esto
concluye nuestra presentación de los principales resultados de [6]. Vamos.
ahora consideremos varios ejemplos de sistemas para los que
el límite del continuum puede ser investigado.
VI. EJEMPLOS
En esta sección vamos a desarrollar varios ejemplos de
sistemas que han sido tratados con el polímero cuanti-
Zation. Estos ejemplos son simples mecánicos cuánticos
sistemas, como el oscilador armónico simple y el
partículas libres, así como un modelo cosmológico cuántico
conocido como cosmología cuántica del bucle.
A. El Oscilador Armónico Simple
En esta parte, vamos a considerar el ejemplo de un simple Har-
Oscilador mónico (SHO) con parámetros m y
sicamente descrito por el siguiente Hamiltonian
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Recuerde que a partir de estos parámetros se puede definir una longitud
escala D =
- Sí. En el tratamiento estándar se utiliza
esta escala para definir una estructura compleja JD (y un
r producto de la misma), como hemos descrito en detalle que
Selecciona de forma única la representación estándar de Schrödinger.
A escala Cn tenemos un Hamiltoniano eficaz para el
Oscilador Armónico Simple (SHO) dado por
HCn =
1 − como anp
má2x2. (35)
Si intercambiamos posición e impulso, este Hamilto...
nian es exactamente el de un péndulo de masa m, longitud l
y sujeto a un campo gravitatorio constante g:
Cn = −
+mgl(1 − cos )
cuando esas cantidades estén relacionadas con nuestro sistema,
m-a-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-d-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-
, g =
...............................................................
Es decir, estamos aproximando, para cada escala Cn el
SHO por un péndulo. Hay, sin embargo, un importante
diferencia. De nuestro conocimiento del sistema del péndulo,
Sabemos que el sistema cuántico tendrá un espectro
para la energía que tiene dos behav asintóticos diferentes -
iors, el SHO para bajas energías y el rotor planar en
el extremo superior, correspondiente a oscilación y rotación
soluciones, respectivamente2. A medida que refinamos nuestra escala y ambos
la longitud del péndulo y la altura del periódico
aumento potencial, esperamos tener un aumento de num-
br de estados oscilantes (para un sistema de péndulo dado,
sólo hay un número finito de tales estados). Por lo tanto,
se justifica considerar el corte en el eigenval de la energía
Como se ha dicho en la última sección, dado que sólo
esperar un número finito de estados del péndulo a ap-
Eigenstatos de SHO próximos. Con estas consideraciones en
mente, la pregunta relevante es si las condiciones para
el continuum límite a existir está satisfecho. Esta pregunta
se ha respondido afirmativamente en [6]. ¿Qué fue?
se demostró que los valores propios y eigen func-
ciones de los sistemas discretos, que representan un
y no degenerados, aproximándose a los de los contin-
uum, es decir, del oscilador armónico estándar cuando
el producto interior se vuelve a normalizar por un factor 2Cn = 1/2
Esta convergencia implica que existe el límite continuo
como lo entendemos. Consideremos ahora la más simple
sistema posible, una partícula libre, que tiene sin embargo la
particular característica de que el espectro de la energía es
Tinuous.
2 Tenga en cuenta que ambos tipos de soluciones están, en el espacio de fase, cerrados.
Esta es la razón detrás del espectro puramente discreto. Los
la distinción que estamos haciendo es entre esas soluciones dentro de la
separatrix, que llamamos oscilante, y aquellos que están por encima de ella
que llamamos rotación.
B. Partícula libre de polímero
En el límite فارسى → 0, el Hamiltoniano de lo Simple
El oscilador armónico (35) va al Hamiltoniano de un
partícula libre y el tiempo correspondiente independiente
La ecuación de Schrödinger, en la p-polarización, está dada por
(1 − cos anp
) − CEn
(p) = 0
donde ahora tenemos que p â € S1, con p â € (
Por lo tanto, tenemos
ECn =
1 − cos
≤ CEn,max. 2
. (36)
A cada escala podemos describir la energía de la partícula.
está limitado desde arriba y el límite depende de la
escala. Nótese que en este caso el espectro es continuo
ous, lo que implica que las funciones propias ordinarias de
El Hilbert no es normal. Esto impone una
limitada en el valor que la energía de la partícula puede
tienen, además de los límites en el impulso debido a
su “compactación”.
Busquemos en primer lugar soluciones eigen a la hora inde-
péndulo Schrödinger ecuación, es decir, para la energía eigen-
estados. En el caso de la partícula libre ordinaria, estos
corresponden a ondas planas de impulso constante de la
forma e±(
) y de tal manera que la dispersión ordinaria re-
ión p2/2m = E está satisfecho. Estas ondas planas son
no cuadrado integrable y no pertenecen a lo ordinario
Hilbert espacio de la teoría Schrödinger, pero todavía son
útil para extraer información sobre el sistema. Por
la partícula libre de polímero que tenemos,
Cn(p) = c1♥(p− PCn) + c2/23370/(p+ PCn)
donde PCn es una solución de la ecuación anterior consid-
, con un valor fijo de ECn. Es decir,
PCn = P (ECn) =
arccos
− 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 −
El inverso Fourier transforma los rendimientos, en el ‘x represen-
dad»,
Cn(xj) =
∫ /un
/un
(p) e
p j dp =
ixjPCn /~ + c2e
- ixjPCn /~
.(37)
con xj = un j para j â € Z. Tenga en cuenta que las funciones propias
son todavía funciones delta (en la representación p) y por lo tanto
no (cuadrado) normalizable con respecto al polímero
producto interno, que en la polarización p se acaba de dar
por la medida ordinaria de Haar en S1, y no hay
la cuantificación del impulso (su espectro sigue siendo verdaderamente
continuum).
Consideremos ahora el tiempo dependiente Schrödinger
ecuación,
(p, t) = · (p, t).
Que ahora toma la forma,
(p, t) =
(1 − cos (un p/~)) (p, t)
que tiene como solución,
(p, t) = e−
(1−cos (un p/~)) t (p) = e(−iECn /~) t (p)
para cualquier función inicial (p), donde la CEn satisface la
relación de persión (36). La función de onda (xj, t), la
xj-representación de la función de onda, se puede obtener
para cualquier tiempo dado t por Fourier transformando con (37)
la función de onda (p, t).
Con el fin de comprobar la convergencia de la micro-
scopicamente corregido Hamiltonians debemos analizar el
la convergencia de los niveles de energía y de la
ectors. En el límite n → فارسى, ECn → E = p2/2m tan
podemos estar seguros de que los valores propios para la energía
convergen (al fijar el valor de p). Vamos a escribir el
el covector adecuado como Cn = (Cn, ·)ren Cn • H
. Entonces nosotros
puede traer correcciones microscópicas a escala Cm y mirar
para la convergencia de dichas correcciones
*RenCm*
= lim
cn..........................................................................................................................
Es fácil ver que dado cualquier vector de base eαi HCm
el límite siguiente:
renCm(eαi,Cm) = limCn
Cn(dn,m(eαi,Cm))
existe y es igual a
(eαi,Cm) = [d
Schr](eαi,Cm) =
Schr(iam)
donde se calcula el valor de la sustancia problema utilizando la partícula libre Hamilto-
Nian en la representación de Schrödinger. Esta expresión
define el covector adecuado completamente renormalizado en
la escala Cm.
C. Cosmología cuántica de polímeros
En esta sección vamos a presentar una versión de cuántica
cosmología que llamamos cosmología cuántica polimérica. Los
La idea detrás de este nombre es que la entrada principal en el quan-
tización del modelo mini-superespacio correspondiente es
el uso de una representación de polímero tal como se entiende aquí.
Otra aportación importante es la elección de los elementos fundamentales
variables a utilizar y la definición del Hamiltoniano
restricción. Distintos grupos de investigación han diferen-
ent opciones. Vamos a tomar aquí un modelo simple que tiene
recibió mucha atención recientemente, a saber, un isotrópico,
cosmología homogénea del FRW con k = 0 y acoplada
a un campo escalar sin masa. Como veremos, un
el tratamiento del límite continuo de este sistema requiere
nuevos instrumentos en desarrollo que están más allá del ámbito de aplicación
de este trabajo. Por lo tanto, nos limitaremos a la introducción
miento del sistema y de los problemas que deben
Resuelto.
El sistema a cuantificar corresponde a la fase
espacio de espacios cosmológicos que son homogéneos
e isotrópico y para los cuales la homogeneidad espacial
las rebanadas tienen una geometría intrínseca plana (k = condición 0).
El único contenido de materia es un campo escalar sin masa. In
este caso la geometría espacio-tiempo es dada por las métricas de
el formulario:
ds2 = −dt2 + a2(t) (dx2 + dy2 + dz2)
donde la función a(t) lleva toda la información y
grados de libertad de la parte gravitatoria. En términos de la
Coordenadas (a, pa, , p) para el espacio de fase de la
Ory, todas las dinámicas son capturadas en el con-
strantest
C := −3
+ 8ηG
2a3
El primer paso es definir la restricción sobre la kine-
matical Hilbert espacio para encontrar estados físicos y luego un
producto interior físico para construir el Hilbert físico
espacio. Primero note que se puede reescribir la ecuación como:
p2a a
2 = 8ηG
Si, como se hace normalmente, se opta por actuar como un in-
tiempo, el lado derecho sería promovido, en
la teoría cuántica, a una segunda derivada. La izquierda
lado de la mano es, además, simétrico en a y pa. En
este punto tenemos la libertad en la elección de la variable
que será cuantificado y la variable que no será
bien definido en la representación del polímero. El estándar
elección es que pa no está bien definido y por lo tanto, a y cualquier
cantidad geométrica derivada de ella, se cuantifica. Piel...
termorre, tenemos la opción de polarización en la onda
función. A este respecto, la elección estándar es seleccionar
la a-polarización, en la que una actúa como multiplicación y
la aproximación de pa, a saber, sin(
diferencia operador en las funciones de onda de a. Para más detalles:
esta elección particular véase [5]. En este contexto, adoptaremos la op-
posite polarización, es decir, tendremos funciones de onda
(pa, فارسى).
Al igual que hicimos en los casos anteriores, con el fin de ganar
intuición sobre el comportamiento del polímero cuantificado
la teoría, es conveniente mirar el prob equivalente-
en la teoría clásica, a saber, el sistema clásico
Estaríamos aproximándonos a lo no bien definido.
servible (pa en nuestro caso actual) por un objeto bien definido
(hecho de funciones trigonométricas). Vamos a la simplicidad
opte por reemplazar pa 7→ sin( Con esta opción
Obtenemos una restricción clásica Hamiltoniana eficaz que
depende de :
C. := −
sin(l pa)
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
+ 8ηG
2a3
Ahora podemos calcular ecuaciones efectivas de movimiento por
medios de las ecuaciones: := {F, C, para cualquier observable
F. C. C. C. C. C., y donde estamos utilizando la eficacia (primero
orden) acción:
*(pa N C
con la opción N = 1. Lo primero que hay que notar es que
la cantidad de p.o.p. es una constante de la moción, dado que
la variable فارسى es cíclica. La segunda observación es que
= 8ηG
tiene la misma señal que pÃ3 y nunca desaparece.
Por lo tanto, puede ser utilizado como una variable de tiempo (n interna). Los
siguiente observación es que la ecuación para
, a saber:
la ecuación efectiva de Friedman, tendrá un cero para un
valor no cero de un dado por
2p2o.
Este es el valor en el que se rebotará si el
la trayectoria comenzó con un gran valor de a y fue
Tracciones. Note que el ‘tamaño’ del universo cuando el
rebote se produce depende tanto de la constante
dicta la densidad de la materia) y el valor de la celosía
tamaño ♥. Aquí es importante subrayar que para cualquier valor
(que fija de manera única la trayectoria en el (a, pa)
avión), habrá un rebote. En la descripción original
en términos de las ecuaciones de Einstein (sin la
No hay tal rebote. Si
< 0 inicialmente, permanecerá negativo y el universo
colapsa, alcanzando la singularidad en un tiempo finito apropiado.
¿Qué sucede dentro de la descripción efectiva si re-
afinar la celosía y pasar de
¿N? El único
que cambia, para la misma órbita clásica etiquetada
por pŁ, es que el rebote se produce en un ‘tiempo posterior’ y para
un valor menor de un* pero el cuadro cualitativo sigue siendo
Lo mismo.
Esta es la principal diferencia con los sistemas considerados
antes. En esos casos, uno podría tener trayectoria clásica...
rs que quedaron, para una determinada elección de parámetro
dentro de la región donde el pecado es una buena
Por supuesto, también había trayectorias clásicas.
que estaban fuera de esta región, pero entonces podríamos refinar el
retícula y encontrar un nuevo valor para el cual el nuevo clas-
La trayectoria sical está bien aproximada. En el caso de la
cosmología polimérica, este nunca es el caso: Cada clásico
la trayectoria pasará de una región donde la
sión es buena para una región en la que no lo es; esto es precisamente
donde las ‘correcciones cuánticas’ entran en juego y los universos
rebotes.
Dado que en la descripción clásica, el «original»
y las descripciones ‘corregidas’ son tan diferentes que esperamos
que, tras la cuantificación, el cuántico correspondiente el-
ories, a saber, el polimérico y el Wheeler-DeWitt
estar relacionado de manera no trivial (si es que existe).
En este caso, con la elección de la polarización y para una
particular el orden de los factores que tenemos,
sin(lpa)
· (pa, ) = 0
como la ecuación Polymer Wheeler-DeWitt.
A fin de abordar el problema del continuo
límite de esta teoría cuántica, tenemos que darnos cuenta de que la
la tarea es ahora algo diferente que antes. Esto es así.
dado que el sistema es ahora un sistema limitado con
un operador de restricción en lugar de un no-singular regular
sistema con una evolución Hamiltoniana ordinaria. Fortu...
nalmente para el sistema que se examina, el hecho de que
puede ser considerado como un tiempo interno permite
para interpretar la restricción cuántica como una
Klein-Gordon ecuación de la forma
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
cuando el operador sea «independiente en el tiempo». Esta al-
nos reduce a dividir el espacio de soluciones en ‘positivos y
frecuencia negativa», introducir un producto interior físico
sobre las soluciones de frecuencia positiva de esta ecuación y
un conjunto de observables físicos en función de los cuales de-
escriba el sistema. Es decir, se reduce en la práctica la
sistema a uno muy similar al caso Schrödinger por
tomando la raíz cuadrada positiva de la ecuación anterior:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La pregunta que nos interesa es:
si el continuum límite de estas teorías (marcado
y si se corresponde con el Wheeler-
La teoría de DeWitt. Un tratamiento completo de este problema
Desgraciadamente, está fuera del ámbito de este trabajo y
se informará en otro lugar [12].
VII. DEBATE
Resumamos nuestros resultados. En la primera parte de la
artículo mostramos que la representación del polímero de la
las relaciones canónicas de conmutación se pueden obtener como la
el caso limitador de la Fock-Schrödinger ordinario represen-
en términos del estado algebraico que define el
representación. Estos casos limitantes también pueden ser inter-
pretendidos en términos de los estados coherentes definidos naturalmente
asociado a cada representación etiquetada por el
eter d, cuando se vuelven infinitamente ‘estrujados’. Los dos
posibles límites de compresión conducen a dos polímeros diferentes
descripciones que, sin embargo, se pueden identificar, como nosotros
también han demostrado, con las dos posibles polarizaciones para
una representación polímero abstracta. El resultado fue el siguiente:
ory tiene, sin embargo, un comportamiento muy diferente como el estándar
Uno: El espacio Hilbert no es separable, el representa-
es inequivalente unitariamente a la de Schrödinger, y
los operadores naturales como pÃ3n ya no están bien definidos.
Esta construcción limitante particular del polímero el-
Ory puede arrojar algo de luz para sistemas más complicados
como las teorías de campo y la gravedad.
En los tratamientos regulares de la dinámica dentro de la poli-
representación mer, uno necesita introducir algunos extra
estructura, como una celosía en el espacio de configuración, a con-
construir un Hamiltoniano e implementar la dinámica para el
sistema mediante un procedimiento de regularización. ¿Cómo es que esto re-
teoría sulting comparar con la teoría del continuum original
uno tenía desde el principio? ¿Puede uno esperar eliminar
el regulador en la descripción del polímero? Tal como están.
no hay relación directa o mapeo del polímero
a una teoría de continuum (en caso de que haya una definida). As
hemos demostrado, uno puede construir de hecho en un sistema
dad, por medio de alguna enmienda apropiada que no se refiera a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos y a las libertades fundamentales, y a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos y a las libertades fundamentales,
ciones relacionadas con la definición de una escala,
a la celosía uno tenía que introducir en la regularización.
Con este importante cambio en la perspectiva, y una
renormalización priato del producto interior del polímero en
cada escala uno puede, sujeto a alguna condición de consistencia-
ciones, definir un procedimiento para eliminar el regulador, y
llegar a un Hamiltoniano y un espacio Hilbert.
Como hemos visto, para algunos ejemplos simples como
una partícula libre y el oscilador armónico uno de hecho
recupera la descripción de Schrödinger. Para otros sistemas:
tems, como los modelos cosmológicos cuánticos, la respuesta
no es tan claro, ya que la estructura del espacio de classi-
Las soluciones de cal son tales que la «descripción eficaz»
producido por la regularización del polímero a diferentes escalas
es cualitativamente diferente de la dinámica original. A
el tratamiento adecuado de esta clase de sistemas está en marcha
y se informará de ello en otro lugar [12].
Tal vez la lección más importante que tenemos
En este sentido, se ha aprendido que existe en efecto una riqueza intergubemamental.
juego entre la descripción del polímero y el ordinario
Representación de Schrödinger. La estructura completa de esta re-
dad de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea, así como de los Estados miembros de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea. Sólo podemos esperar que
una comprensión completa de estas cuestiones arrojará algo de luz
en el objetivo final de tratar la dinámica cuántica
de los sistemas sobre el terreno independientes de antecedentes, como
relatividad.
Agradecimientos
Agradecemos a A. Ashtekar, G. Hossain, T. Pawlowski y P.
Singh para discutir. Este trabajo fue apoyado en parte
por subvenciones CONACyT U47857-F y 40035-F, por NSF
PHY04-56913, por los Fondos de Investigación Eberly de Penn
Estado, por el programa de intercambio AMC-FUMEC y por
fondos del CIC-Universidad Michoacana de San Nicolás
de Hidalgo.
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http://arxiv.org/abs/gr-qc/0207106
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606090
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0601085
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0304074
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0607039
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0607097
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0312094
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0610072
http://arxiv.org/abs/hep-th/0202070
http://arxiv.org/abs/hep-th/051122
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0612155
| Una representación cuántica no estándar de la conmutación canónica
relaciones de los sistemas mecánicos cuánticos, conocidos como la representación del polímero
recibió cierta atención en los últimos años, debido a su posible relación con Planck
física a escala. En particular, este enfoque se ha seguido de forma simétrica.
sector de la gravedad cuántica del bucle conocido como cosmología cuántica del bucle. Aquí vamos a explorar
diferentes aspectos de la relación entre la teoría ordinaria de Schroedinger y
la descripción del polímero. El periódico tiene dos partes. En el primero, derivamos
la mecánica cuántica del polímero a partir de la teoría ordinaria de Schroedinger
y demostrar que la descripción del polímero se presenta como un límite adecuado. En el
segunda parte consideramos el límite continuo de esta teoría, a saber, lo contrario
proceso en el que se parte de la teoría discreta e intenta recuperar
la mecánica cuántica ordinaria de Schroedinger. Consideramos varios ejemplos de
interés, incluyendo el oscilador armónico, la partícula libre y un simple
modelo cosmológico.
| La mecánica cuántica de polímeros y su límite de continuidad
Alejandro Corichi,1, 2, 3, ∗ Tatjana Vukašinac,4, † y José A. Zapata1, ‡
Instituto de Matemáticas, Unidad Morelia, Universidad Nacional Autónoma de México,
UNAM-Campus Morelia, A. Postal 61-3, Morelia, Michoacán 58090, México
Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autónoma de México,
A. Postal 70-543, México D.F. 04510, México
Instituto de Física Gravitacional y Geometría, Departamento de Física,
Pennsylvania State University, University Park PA 16802, EE.UU.
Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo,
Morelia, Michoacán 58000, México
Una representación cuántica bastante no estándar de las relaciones canónicas de conmutación de
sistemas mecánicos de tom, conocidos como la representación del polímero ha ganado cierta atención en los últimos
años, debido a su posible relación con la física a escala de Planck. En particular, este enfoque ha sido el siguiente:
seguido en un sector simétrico de la gravedad cuántica del bucle conocido como cosmología cuántica del bucle. Aquí vamos.
explorar diferentes aspectos de la relación entre la teoría ordinaria de Schrödinger y el polímero
descripción. El periódico tiene dos partes. En el primero, derivamos la mecánica cuántica del polímero
a partir de la teoría ordinaria de Schrödinger y mostrar que la descripción del polímero surge como un
límite adecuado. En la segunda parte consideramos el límite continuo de esta teoría, a saber, el
proceso inverso en el que se parte de la teoría discreta e intenta recuperar de nuevo lo ordinario
Schrödinger mecánica cuántica. Consideramos varios ejemplos de interés, incluyendo el armónico
oscilador, la partícula libre y un modelo cosmológico simple.
Números PACS: 04.60.Pp, 04.60.Ds, 04.60.Nc 11.10.Gh.
I. INTRODUCCIÓN
La llamada mecánica cuántica polimérica, una no-
representación regular y algo «exótica» de la
las relaciones canónicas de conmutación (CCR) [1],
utilizado para explorar tanto las cuestiones matemáticas y físicas en
teorías independientes de fondo tales como la grav cuántica-
ity [2, 3]. Un ejemplo notable de este tipo de cuantificación,
cuando se aplica a modelos minisuperespacio ha dado paso a
lo que se conoce como cosmología cuántica de bucle [4, 5]. Al igual que en
cualquier situación modelo de juguete, uno espera aprender sobre el
sutiles cuestiones técnicas y conceptuales que están presentes
en la gravedad cuántica completa por medio de di- simple, finito
Ejemplos mensionales. Este formalismo no es una excepción
a este respecto. Aparte de esta motivación que viene de
física en la escala de Planck, uno puede preguntar independientemente
para la relación entre la representación continua estándar
las sentaciones y sus primos poliméricos a nivel de matemáticas...
Física emática. Una comprensión más profunda de esta relación
se vuelve importante por sí solo.
La cuantificación del polímero está hecha de varios pasos.
El primero es construir una representación de la
álgebra Heisenberg-Weyl en un espacio Kinematical Hilbert
que es “independiente en el fondo”, y que a veces es
conocido como el poliespacial polimérico Hilbert Hpoly. Los
la segunda y más importante parte, la aplicación de
dinámica, se ocupa de la definición de un Hamiltonian (o
Constreñimiento hamiltoniano) en este espacio. En los ejemplos
* Dirección electrónica: corichi@matmor.unam.mx
†Dirección electrónica: tatjana@shi.matmor.unam.mx
‡Dirección electrónica: zapata@matmor.unam.mx
estudiado hasta ahora, la primera parte es bastante bien entendido,
dando el espacio cinemático Hilbert Hpoly es decir, cómo-
Nunca, no-separable. Para el segundo paso, un im natural
la aplicación de la dinámica ha demostrado ser un poco más
difícil, dado que una definición directa de la Hamiltonian
de, digamos, una partícula en un potencial en el espacio Hpoly es
no es posible ya que una de las principales características de esta representación
sentation es que los operadores qâ € y pâ € no pueden ser a la vez
definido simultáneamente (ni sus análogos en las teorías
con variables más elaboradas). Por lo tanto, cualquier operador
que implica (poderes de) la variable no definida tiene que
estar regulados por un operador bien definido que normalmente
implica la introducción de una estructura adicional en la configuración
ración (o impulso) espacio, es decir, una celosía. Sin embargo,
esta nueva estructura que juega el papel de un regulador puede
no se retira cuando se trabaja en Hpoly y se deja uno
con la ambigüedad que está presente en cualquier regularización.
La libertad a la hora de elegirla puede ser asociada a veces
con una escala de longitud (el espaciado de celosía). En el caso de las personas de edad ordinaria
sistemas cuánticos tales como un oscilador armónico simple,
que se ha estudiado en detalle desde el punto de vista del polímero
punto, se ha argumentado que si se toma esta escala de longitud
para ser «suficientemente pequeño», se puede aproximar arbitrariamente
Mecánica cuántica estándar de Schrödinger [2, 3]. En el
caso de cosmología cuántica de bucle, la brecha de área mínima
A0 de la teoría de la gravedad cuántica completa impone tal
escala, que entonces se considera fundamental [4].
Una pregunta natural es preguntar qué sucede cuando nosotros
cambiar esta escala e ir a ‘distancias’ aún más pequeñas, que
es, cuando refinamos la celosía en la que la dinámica de
la teoría está definida. ¿Podemos definir la consistencia con-
¿diciones entre estas escalas? O incluso mejor, ¿podemos
tomar el límite y encontrar así un límite continuo? Como ella.
http://arxiv.org/abs/0704.0007v2
mailto:corichi@matmor.unam.mx
mailto:tatjana@shi.matmor.unam.mx
mailto:zapata@matmor.unam.mx
se ha mostrado recientemente en detalle, la respuesta a ambos
las preguntas son afirmativas [6]. En este caso, una
la noción de escala se definía de tal manera que se podía
definir los refinamientos de la teoría y posar en un preciso
forma la cuestión del límite continuo de la teoría.
Estos resultados también podrían ser vistos como la entrega de un procedimiento
para eliminar el regulador cuando se trabaja en el apro-
se comió el espacio. El propósito de este documento es explorar más a fondo
diferentes aspectos de la relación entre el continuum
y la representación del polímero. En particular, en la primera
parte planteamos una nueva manera de derivar el polímero
representación del ordinario Schrödinger represen-
sión como límite adecuado. In Sec. II derivamos dos
versiones de la representación del polímero como diferente lim-
es de la teoría de Schrödinger. In Sec. III mostramos que
estas dos versiones pueden ser vistas como diferentes polarizaciones
de la representación «abstracta» del polímero. Estos resultados,
a lo mejor de nuestro conocimiento, son nuevos y no han sido
notificada en otro lugar. In Sec. IV planteamos el problema de
la aplicación de la dinámica en el polímero representa-
tion. In Sec. V motivamos aún más la cuestión de la
límite continuo (es decir, la eliminación adecuada del regulador)
y recordar las construcciones básicas de [6]. Varios exámenes...
ples se consideran en Sec. VI. En particular, un simple
oscilador armónico, la partícula libre de polímero y un sim-
Se considera el modelo cuántico de cosmología. El libre
la partícula y el modelo cosmológico representan un
lización de los resultados obtenidos en [6], en los que sólo los sistemas
con un espectro discreto y no degenerado,
Sidered. Terminamos el trabajo con una discusión en Sec. VII.
Con el fin de hacer el papel autónomo, vamos a mantener
el nivel de rigor en la presentación a la que se encuentra en el
literatura física teórica estándar.
II. CUANTIZACIÓN Y POLÍMER
REPRESENTACIÓN
En esta sección derivamos el llamado repre-
envío de la mecánica cuántica a partir de un
reformulación de la representación ordinaria de Schrödinger.
Nuestro punto de partida será el más simple de todos los posibles
espacios de fase, a saber, • = R2 correspondientes a una partícula
viviendo en la línea real R. Elijamos las coordenadas (q, p)
sobre el mismo. Como primer paso consideraremos la cuantificación
de este sistema que conduce a la teoría cuántica estándar
en la descripción de Schrödinger. Una ruta conveniente es a
introducir la estructura necesaria para definir el Fock rep-
el resentimiento de tal sistema. Desde esta perspectiva, el
el paso al caso polimérico se vuelve más claro. Aproximadamente
hablando por una cuantificación uno significa un pasaje del
soporte algebraico clásico, el soporte Poisson,
{q, p} = 1 (1)
a un soporte cuántico dado por el conmutador de la
los operadores correspondientes,
[ qâ, pâ €] = i~ 1â € (2)
Estas relaciones, conocidas como la conmutación canónica re-
ración (CCR) se convierten en la piedra más común de la esquina de
la (kinemática de la) teoría cuántica; deben ser
satisfecho por el sistema cuántico, cuando se representa en un
Hilbert Space H.
Hay puntos de partida alternativos para el cuántico
cinemática. Aquí consideramos el álgebra generada por
las versiones exponenteadas de qâ € y pâ € que se denotan
U(α) = ei(α q)/~ ; V (β) = ei(β p)/~
donde α y β tienen dimensiones de impulso y longitud,
respectivamente. El CCR ahora se convierte en
U(α) · V (β) = e(−iα β)/~V (β) · U(α) (3)
y el resto del producto es
U(α1)·U(α2) = U(α12) ; V (β1)·V (β2) = V (β1+2)
El álgebra W de Weyl se genera tomando lineal finito
combinaciones de los generadores U(αi) y V (βi) donde
el producto (3) se amplía por linealidad,
(Ai U(αi) +Bi V (βi))
Desde esta perspectiva, la cuantificación significa encontrar un
representación unitaria del álgebra W de Weyl en una
Hilbert espacio H′ (que podría ser diferente de los ordi-
nary Schrödinger representación). Al principio podría parecer
raro para intentar este enfoque dado que sabemos cómo
para cuantificar un sistema tan sencillo; ¿qué necesitamos?
¿Un objeto complicado como W? Es infinitamente dimensional,
mientras que el conjunto S = {1», q», p, el punto de partida de la
la cuantificación ordinaria de Dirac, es bastante simple. Está en
la cuantificación de sistemas de campo que las ventajas de
el enfoque de Weyl se puede apreciar plenamente, pero es
también útil para la introducción de la cuantificación del polímero y
comparándolo con la cuantificación estándar. Esta es la
estrategia que seguimos.
Una pregunta que uno puede hacer es si hay alguna
libertad en la cuantificación del sistema para obtener lo ordinario
Representación de Schrödinger. A primera vista podría parecer
que no hay ninguno dado el único Stone-Von Neumann-
Teorema de ness. Repasemos cuál sería el argumento.
para la construcción estándar. Pidamos que el representante...
El envío que queremos construir es del tipo Schrödinger,
a saber, donde los estados son funciones de onda de configuración
espacio (q). Hay dos ingredientes en la construcción
de la representación, a saber, la especificación de cómo la
los operadores básicos (qá, pá) actuarán, y la naturaleza del espacio
de las funciones a las que • pertenece, que normalmente se fija por
la elección del producto interior en H, o la medida μ en R.
La opción estándar es seleccionar el espacio Hilbert a ser,
H = L2(R, dq)
el espacio de funciones integrables cuadradas con respecto a
la medida de Lebesgue dq (invariante bajo constante trans-
lations) en R. Los operadores se representan entonces como,
qâ · â € (q) = (q â €)(q) y pâ · â € (q) = −i ~
•(q) (4)
¿Es posible encontrar otras representaciones? Con el fin de
apreciar esta libertad vamos al álgebra de Weyl y
construir la teoría cuántica al respecto. La representación
del álgebra de Weyl que se puede llamar del ‘tipo Fock’
implica la definición de una estructura adicional en la fase
espacio: una estructura compleja J. Es decir, un mapa lineal.
Ping de a sí mismo de tal manera que J2 = −1. En dos dimensiones.
sions, toda la libertad en la elección de J está contenida en
la elección de un parámetro d con dimensiones de longitud. Lo siento.
También es conveniente definir: k = p/~ que tiene dimensiones
de 1/L. Tenemos entonces,
Jd : (q, k) 7→ (−d2 k, q/d2)
Este objeto junto con la estructura simpléctica:
(q′, p′)) = q p′ − p q′ define un producto interior en
* por la fórmula gd(· ; ·) = (· ; Jd ·) de tal manera que:
gd(q, p); (q
′, p′)) =
q q′ +
que es sin dimensión y positiva definida. Tenga en cuenta que
con estas cantidades se puede definir coordenadas complejas
(, ) como de costumbre:
q + i
p ; =
q − i d
a partir de la cual se puede construir el estándar Fock representa-
tion. Por lo tanto, se puede ver alternativamente la introducción
del parámetro de longitud d como la cantidad necesaria para de-
Coordenadas complejas finas (sin dimensión) en la fase
espacio. Pero ¿cuál es la relevancia de este objeto (J o
d)? La definición de coordenadas complejas es útil para
la construcción del espacio Fock ya que de ellos uno
puede definir, de una manera natural, la creación y la aniquilación
operadores. Pero para la representación de Schrödinger somos
Interesado aquí, es un poco más sutil. La sutileza es
que dentro de este enfoque se utiliza la prop algebraica
erties de W para construir el espacio Hilbert a través de lo que es
conocido como el Gel’fand-Naimark-Segal (GNS)
tion. Esto implica que la medida en el asunto Schrödinger
representación se convierte en no trivial y por lo tanto la momen-
el operador adquiere un término adicional con el fin de renderizar
el operador autoadjunto. La representación del Weyl
álgebra es entonces, cuando se actúa sobre las funciones فارسى(q) [7]:
*(α) ·*(q) := (eiα q/~ ♥)(q)
(β) · (q) := e
(q/2)
(q − β)
La estructura espacial de Hilbert es introducida por el defini-
ión de un estado algebraico (un funcional lineal positivo)
D : W → C, que debe coincidir con la expectativa
valor en el espacio Hilbert tomado en un estado especial ref-
ered a como el vacío: d(a) = vac, para todos un W.
En nuestro caso, esta especificación de J induce a un único
de que los rendimientos,
(α)vac = e−
d2 α2
~2 (5)
Vócalo (β)Vócalo = e−
d2 (6)
Tenga en cuenta que los exponentes en la expectativa de vacío
los valores corresponden a la métrica construida a partir de J :
d2 α2
= gd(0, α); (0, α)) y
= gd(β, 0); (β, 0).
Las funciones de onda pertenecen al espacio L2(R, dμd), donde
la medida que dicta el producto interior en este rep-
la resensión es dada por,
dμd =
d2 dq
En esta representación, el vacío es dado por el iden-
función de la tity Ł0(q) = 1 es decir, al igual que cualquier onda de plano,
normalizado. Tenga en cuenta que para cada valor de d > 0, el rep-
la resención es bien definida y continua en α y β.
Tenga en cuenta también que hay una equivalencia entre la q-
representación definida por d y la k-representación de-
multado por 1/d.
¿Cómo podemos recuperar entonces la representación estándar
en la que la medida es dada por la medida Lebesgue
y los operadores están representados como en (4)? Es fácil de
ver que hay un isomorfismo isométrico K que mapea
la d-representación en Hd a la norma Schrödinger
representación en Hschr por:
(q) = K · (q) = e
d1/2η1/4
Hschr = L2(R, dq)
Así vemos que todas las representaciones d son unitariamente equiv-
Alent. Esto era de esperar en vista de la Stone-Von
Resultado de la singularidad de Neumann. Tenga en cuenta también que el vacío
ahora se convierte en
0(q) =
d1/2η1/4
2 d2,
Así que incluso cuando no hay información sobre el param-
eter d en la representación en sí, está contenida en el
estado de vacío. Este procedimiento para la construcción del GNS-
Schrödinger representación para la mecánica cuántica ha
también se generalizó a los campos escalares sobre curvas arbitrarias
espacio en [8]. Nótese, sin embargo, que hasta ahora el tratamiento ha
todos fueron cinemáticos, sin ningún conocimiento de un Hamil-
Tonian. Para el Oscilador Armónico Simple de masa m
y la frecuencia, hay una opción natural compatible
con la dinámica dada por d =
, en el que algunos
los cálculos se simplifican (por ejemplo, para los estados coherentes),
pero en principio se puede utilizar cualquier valor de d.
Nuestro estudio se simplificará concentrándose en la
las entidades mentales en el Hilbert Space Hd, a saber, los
los estados generados por la acción con فارسى(α) en el vacío
0(q) = 1. Vamos a denotar esos estados por,
(q) = (α) · 0(q) = ei
El producto interno entre dos de estos estados es dado por
, d =
dμd e
~ = e−
()2 d2
4 ~2 (7)
Note, por cierto, que, contrariamente a alguna creencia común,
las ‘ondas del avión’ en este espacio GNS Hilbert son de hecho
normalizable.
Consideremos ahora la representación del polímero. Por
que, es importante tener en cuenta que hay dos posibles
casos límite para el parámetro d: i) El límite 1/d 7→ 0
y ii) El caso d 7→ 0. En ambos casos, tenemos ex-
presiones que se definan mal en la representación o
medida, por lo que uno necesita tener cuidado.
A. El caso 1/d 7→ 0.
La primera observación es que de las expresiones (5) y
(6) para el estado algebraico...........................................................................................................................................................................................................................................................
En efecto, los casos están bien definidos. En nuestro caso obtenemos, A :=
lim1/d→0
A (α) =,0 y A (β) = 1 (8)
A partir de esto, de hecho podemos construir la representación
mediante la construcción del GNS. Con el fin de hacer eso
y para mostrar cómo se obtiene esto vamos a considerar varios
expresiones. Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que el límite
tiene que ser tomado con cuidado. Consideremos la medida
sobre la representación que se comporta como:
dμd =
d2 dq 7→ 1
por lo que las medidas tienden a una medida homogénea, pero
cuya ‘normalización constante’ va a cero, por lo que el límite
se vuelve algo sutil. Volveremos a este punto.
Más tarde.
Veamos ahora qué pasa con el producto interior.
entre las entidades fundamentales en el Hilbert Space Hd
dado por (7). Es inmediato ver que en el 1/d 7→ 0
limitar el producto interior se convierte,
, d 7→,
con Kronecker como el delta de Kronecker. Vemos entonces que el
ondas planas (q) se convierten en una base ortonormal para el
nuevo espacio Hilbert. Por lo tanto, hay una interacción delicada
entre los dos términos que contribuyen a la medida en
mantener la normalidad de estas funciones;
Necesitamos que la medida se humedezca (por 1/d) en orden
evitar que las ondas planas adquieran una norma infinita
(como sucede con la medida estándar de Lebesgue), pero
por otro lado la medida, que para cualquier valor finito
de d es un gaussiano, se vuelve cada vez más extendido.
Es importante señalar que, en este límite, los operadores
• (α) llegar a ser discontinuo con respecto a α, dado que
para cualquier α1 y α2 (diferente), su acción en un determinado
vector base (q) produce vectores ortogonales. Desde el
continuidad de estos operadores es uno de los hipotesis de
el teorema de Stone-Von Neumann, el resultado de la singularidad
no se aplica aquí. La representación es inequivalente
al estándar.
Analicemos ahora el otro operador, a saber, el
acción del operador Vó (β) sobre la base de (q):
(β) · (q) = e−
~ e(β/d
2+iα/~)q
que en el límite 1/d 7→ 0 va a,
(β) · (q) 7→ ei
~ (q)
que es continuo en β. Por lo tanto, en el límite, el operador
= −iq está bien definido. Además, tenga en cuenta que en este límite
el operador tiene (q) como su propio estado con valor propio
dado por α:
· (q) 7→ (q)
Para resumir, la teoría resultante obtenida por
el límite 1/d 7→ 0 de la descripción ordinaria de Schrödinger
sión, que llamaremos la «representación de polímeros de
tipo A», tiene las siguientes características: los operadores U(α)
están bien definidos pero no continuos en α, por lo que no hay
generador (sin operador asociado a q). La base vec-
tors son ortonormales (para α tomando valores en un contin-
y son autovectores del operador que es
bien definido. El espacio resultante Hilbert HA será el
(A-versión de la) representación del polímero. Vamos ahora.
considerar el otro caso, a saber, el límite cuando d 7→ 0.
B. El caso d 7→ 0
Exploremos ahora el otro caso limitante de la
representaciones de Schrödinger/Fock etiquetadas por el
eter d. Al igual que en el caso anterior, la limitación algebraica
el estado se convierte, B := limd→0 •d de tal manera que,
B(α) = 1 y B(V® (β)) = 0 (10)
A partir de esta función lineal positiva, uno puede de hecho con-
structe la representación usando la construcción GNS.
Primero tomemos nota de que la medida, incluso cuando el límite
debe ser tomado con el debido cuidado, se comporta como:
dμd =
d2 dq 7→ (q) dq
Es decir, como distribución delta de Dirac. Es inmediato a
ver que, en el límite d 7→ 0, el producto interior entre
los estados fundamentales (q) se convierte,
, d 7→ 1 (11)
Esto de hecho significa que el vector = − pertenece
al Kernel del producto interior limitante, por lo que uno tiene que
mod hacia fuera por estos (y todos) estados de la norma cero con el fin de
Conseguir el espacio de Hilbert.
Analicemos ahora el otro operador, a saber, el
acción del operador Vâr (β) sobre el vacío Ø0(q) = 1,
que para arbitrario d tiene la forma,
:= Vó (β) · 0(q) = e
(q/2)
El producto interno entre dos de estos estados es dado por
, d = e−
()2
En el límite d → 0,, d →,β. Podemos ver entonces.
que son estas funciones las que se vuelven ortonormales,
‘bases discretas’ en la teoría. Sin embargo, la función (q)
en este límite se vuelve mal definido. Por ejemplo, para β > 0,
crece sin límite para q > β/2, es igual a uno si
q = β/2 y cero de lo contrario. Con el fin de superar estos
las dificultades y hacer más transparente el resultado de
ory, vamos a considerar la otra forma de la representación
en la que la medida se incorpora a los Estados (y
el espacio resultante de Hilbert es L2(R, dq). Por lo tanto, la nueva
estado
(q) := K · (Vâ ° (β) · Ø0(q)) =
(q)2
Ahora podemos tomar el límite y lo que obtenemos es
d 7→0
(q) := ♥
1/2(q, β)
donde por Ł1/2(q, β) nos referimos a algo como ‘el cuadrado
raíz de la distribución de Dirac». Lo que realmente queremos decir es
un objeto que satisface la siguiente propiedad:
1/2(q, β) · 1/2(q, α) = 1/2(q, β)
Es decir, si α = β entonces es sólo el delta ordinario, otro-
sabiamente es cero. En cierto sentido, este objeto puede ser considerado como
medias densidades que no pueden integrarse por sí mismas,
pero cuyo producto puede. Concluimos entonces que el interior
el producto es,
, =
dq (q)(q) =
dq (q, α), α = α,α
que es justo lo que esperábamos. Nótese que en esta repre-
sentation, el estado de vacío se convierte en 0(q) :=
1/2(q, 0),
a saber, la mitad delta con apoyo en el origen. Lo es.
importante tener en cuenta que estamos llegando de una manera natural a
estados como medias densidades, cuyos cuadrados se pueden integrar
sin necesidad de una medida no trivial en la configuración
espacio de racionamiento. La invarianza del difeomorfismo surge entonces en un
natural pero sutil.
Tenga en cuenta que como resultado final recuperamos el Kronecker
producto interior delta para los nuevos estados fundamentales:
(q) := ♥
1/2(q, β).
Así, en esta nueva representación de B-polímero, el Hilbert
espacio HB es la terminación con respecto al interior
producto (13) de los estados generados por la toma (finito)
combinaciones lineales de elementos de base de la forma :
(q) =
bi i(q) (14)
Ahora vamos a introducir una descripción equivalente de esto
Espacio Hilbert. En lugar de tener los elementos de base ser
medio-deltas como elementos del espacio Hilbert donde el
producto interior es dado por la medida ordinaria de Lebesgue
dq, redefinimos tanto la base como la medida. Nosotros
podría considerar, en lugar de una media-delta con soporte β, una
Kronecker delta o función característica con soporte
sobre β:
(q) := ♥q,β
Estas funciones tienen un comportamiento similar con respecto a
el producto como media delta, a saber: (q) · (q) =
# # # # #, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # La principal diferencia es que ninguna de las dos χ
′ ni sus
Los cuadrados son integrables con respecto al Lebesgue mea-
seguro (tiene cero norma). Con el fin de solucionar ese problema nosotros
tiene que cambiar la medida para que recuperemos la base
producto interior (13) con nuestra nueva base. La mea necesaria...
seguro resulta ser la medida de conteo discreto en R.
Por lo tanto, cualquier estado en la «base de la media densidad» se puede escribir
(utilizando la misma expresión) en términos de «Kronecker
base». Para más detalles y más motivación vea el
siguiente sección.
Nótese que en esta representación de polímero B, ambos
sus roles intercambiados con el de la
Representación de A-polímero: mientras que U(α) es discontinuo
y, por lo tanto, qâ € no se define en la representación-A, nosotros
tener que es V (β) en la representación B que tiene este
propiedad. En este caso, es el operador el que no puede
se definan. Vemos entonces que dado un sistema físico para
que el espacio de configuración tiene un fisico bien definido
en la posible representación en la que
funciones de onda son funciones de la variable de configuración
q, las representaciones de polímeros A y B son radicalmente dif-
Ferent e inequivalente.
Dicho esto, también es cierto que la A y B
representaciones son equivalentes en un sentido diferente, por
medios de la dualidad entre q y p representaciones
y la dualidad d↔ 1/d: La representación de A-polímero
en la “representación q” es equivalente al polímero B
representación en la "p-representación", e inversamente.
Cuando se estudia un problema, es importante decidir desde
el comienzo de la representación del polímero (en su caso)
debe ser utilizado (por ejemplo en la q-polarización). Esto
tiene como consecuencia una implicación sobre qué variable es
naturalmente “cuantificada” (incluso si continua): p para A y q
para B. Podría haber, por ejemplo, un criterio físico para
esta elección. Por ejemplo, una simetría fundamental podría
Sugiere que una representación es más natural que una...
otro. Esto ha sido observado recientemente por Chiou.
en [10], donde se investiga el grupo Galileo y
se demuestra que la representación B se comporta mejor.
En la otra polarización, es decir, para las funciones de onda
de p, la imagen se invierte: q es discreto para el A-
representación, mientras que p es para el caso B. Terminemos con esto.
, señalando que el procedimiento de obtención de la
cuantificación del polímero mediante un límite adecuado
de las representaciones Fock-Schrödinger podrían resultar útiles en
ajustes más generales en teoría de campo o gravedad cuántica.
III. MECANISMOS DE CUANTO POLÍMICO:
KINEMÁTICAS
En secciones anteriores hemos derivado lo que tenemos
las llamadas representaciones poliméricas A y B (en
la polarización) como casos limitantes de la representación ordinaria de Fock
Enviaciones. En esta sección, describiremos, sin
cualquier referencia a la representación de Schrödinger, la «ab-
representación de polímero de estrazo y luego hacer contacto
con sus dos posibles realizaciones, estrechamente relacionadas con la A
y B casos estudiados anteriormente. Lo que vamos a ver es que uno
de ellos (el caso A) corresponderá a la p-polarización
mientras que el otro corresponde a la representación q,
cuando se toma una decisión sobre el significado físico de
las variables.
Podemos empezar por definir kets abstractos etiquetados por
un número real μ. Estos pertenecerán al espacio de Hilbert.
Hpoly. A partir de estos estados, definimos un 'cilindro genérico
estados’ que corresponden a una elección de una colección finita de
Números μi-R con i = 1, 2,...., N. Asociados a esto
elección, hay N vectores i, por lo que podemos tomar un lineal
combinación de ellos
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
ai i (15)
El producto interior del polímero entre los kets fundamentales
es administrado por,
=,μ (16)
Es decir, los kets son ortogonales entre sí (cuando ν 6=
μ) y se normalizan ( = 1). Inmediatamente,
esto implica que, dado que cualquier dos vectores =
j=1 bj j
y =
i=1 ai i, el producto interior entre ellos
es administrado por,
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
b̄k ak
donde la suma es sobre k que etiqueta los puntos de intersección
entre el conjunto de etiquetas j} y i}. El Hilbert
espacio Hpoly es la terminación Cauchy de finito lineal com-
de la forma (15) con respecto al pro blema interno
uct (16). Hpoly no es separable. Hay dos básicos
operadores en este espacio Hilbert: el «operador de etiquetas» :
:= μ
y el operador de desplazamiento.. (..........................................................................................................................................................................................................................................................
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
El operador es simétrico y el(los) operador(es)
define una familia de un parámetro de operadores unitarios en
Hpoly, donde su contiguo es dado por () = (). Esto
la acción es, sin embargo, discontinuo con respecto a
que y + son siempre ortogonales, no importa
que tan pequeño es. Por lo tanto, no hay operador (hermitano)
que podría generar... (..........................................................................................................................................................................................................................................................
Hasta ahora hemos dado la caracterización abstracta de
el espacio Hilbert, pero uno quisiera hacer contacto
con realizaciones concretas como funciones de onda, o por iden-
• la adaptación de los operadores abstractos a las condiciones físicas de trabajo;
Erators.
Supongamos que tenemos un sistema con un espacio de configuración
con coordenada dada por q, y p denota su canónico
conjugate momenta. Supongamos también que para la física rea-
hijos decidimos que la configuración coordin q will
tienen algún “carácter discreto” (por ejemplo, si se trata de
se identifican con la posición, se podría decir que hay
una posición discreta subyacente en pequeña escala).
¿Cómo podemos aplicar estos requisitos por medio de
¿La representación del polímero? Hay dos posibilidades,
dependiendo de la elección de las ‘polarizaciones’ para la ola-
funciones, a saber, si serán funciones de
Figuración q o momenta p. Vamos a dividir el disco-
sión en dos partes.
A. Polarización momentánea
En esta polarización, los estados serán denotados por,
(p) = (p)
donde
(p) = p = ei
¿Cómo están representados entonces los operadores y? Nota
que si asociamos el operador multiplicativo
Vá r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r s r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
~ = ei
()
p = ()(p)
Vemos entonces que el operador VÃ3r () corresponde exactamente
para el operador de turnos. Por lo tanto, también podemos concluir
que el operador no existe. Ahora es fácil
identificar al operador qÃ3r con:
q · (p) = −i~
(p) = μ e
~ = (p)
a saber, con el operador abstracto. La razón por la que
decir que qâ € es discreto es porque este operador tiene como su
eigenvalue la etiqueta μ del estado elemental (p), y
esta etiqueta, incluso cuando puede tomar valor en un continuum
de los posibles valores, debe entenderse como un conjunto discreto,
dado que los estados son ortonormales para todos los valores de
μ. Dado que los estados son ahora funciones de p, el interior
el producto (16) debe definirse mediante una medida μ en la
espacio en el que se definen las funciones de onda. En orden
saber cuáles son estos dos objetos, a saber, el quan-
el espacio "configuración" C y la medida correspondiente1,
tenemos que hacer uso de las herramientas disponibles para nosotros desde
la teoría de C*-álgebras. Si consideramos a los operadores
Vócalo, junto con su producto natural y su relación con
dado por Váš ∗() = Váš (), que tienen la estructura de
a Abelian C*-álgebra (con unidad) A. Sabemos por
la teoría de la representación de tales objetos que A es iso-
mórfico al espacio de las funciones continuas C0() en una
espacio compacto, el espectro de A. Cualquier representación
de A en un espacio Hilbert como operador de multiplicación será
sobre los espacios de la forma L2(, dμ). Es decir, nuestro cuántico
espacio de configuración es el espectro del álgebra, que
en nuestro caso corresponde a la compactación de Bohr Rb
de la línea real [11]. Este espacio es un grupo compacto y
hay una medida de probabilidad natural definida en ella, el
Medida Haar μH. Por lo tanto, nuestro Hilbert espacio Hpoly será
isomórfico al espacio,
Hpoly,p = L2(Rb, dμH) (17)
En términos de «funciones periódicas cuasi» generadas por (p),
el producto interior toma la forma
:=
dμH (p)(p) :=
= lim
L 7° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
dp(p)(p) =,
nota que en la p-polarización, esta caracterización cor-
responde a la «versión A» de la representación del polímero
de Sec. II (donde se intercambian p y q).
B. Q-polarización
Consideremos ahora la otra polarización en la que la ola
las funciones dependerán de la coordenada de configuración q:
(q) = (q) + (q) + (q) + (q) = (q) + (q) + (q) = (q) + (q) = (q) + (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q) = (q)
Las funciones básicas, que ahora se llamará (q), debe
ser, en cierto sentido, el dual de las funciones (p) de la
subsección anterior. Podemos tratar de definirlos a través de un
«Fourier transform»:
(q) := q = q
dμHpp
que es dada por
(q) :=
dμHqp(p) =
dμH e
−i p q
~ = q,μ (19)
1 aquí utilizamos la terminología estándar de ‘espacio de configuración’ para
denotar el dominio de la función de onda incluso cuando, en este caso,
corresponde al momento físicoa p.
Es decir, los objetos básicos en esta representación son Kro-
cuello deltas. Esto es precisamente lo que habíamos encontrado en
Sec. II para la representación del tipo B. ¿Cómo está ahora el
los operadores básicos representados y cuál es la forma de la
¿Producto interior? En cuanto a los operadores, esperamos que
están representados de la manera opuesta como en el
p-polarización anterior, pero que preservan el
las mismas características: p® no existe (la derivada de la Kro-
cuello delta está mal definido), pero su versión exponencial
En el caso de Vázquez, se entiende por:
VÃ3r () · () = () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
y el operador qâ € que ahora actúa como multiplicación ha
como sus propios estados, las funciones (q) =,q:
q · (q) := μ (q)
¿Cuál es ahora la naturaleza de las configuraciones cuánticas
espacio Q? ¿Y cuál es la medida sobre dμq? que
define el producto interior que deberíamos tener:
(q), (q) =,
La respuesta viene de una de las caracterizaciones de
la compactación de Bohr: sabemos que es, en un preciso
sentido, dual a la línea real, pero cuando está equipado con el
topología discreta Rd. Además, la medida relativa a Rd
será la «medida de contabilidad». De esta manera recuperamos el
las mismas propiedades que teníamos para la caracterización anterior
del espacio del polímero Hilbert. Así podemos escribir:
Hpoly,x := L2(Rd, dμc) (20)
Esto completa una construcción precisa del poli-tipo B
representación mer bosquejada en la sección anterior. Nota
que si hubiéramos elegido la situación física opuesta,
a saber q, la configuración observable, ser el quan-
dad que no tiene un operador correspondiente, entonces
habríamos tenido la realización opuesta: en el q-
polarización habríamos tenido el polímero tipo A rep-
resentimiento y el tipo-B para la p-polarización. As
veremos que ambos escenarios han sido considerados en el
literatura.
Hasta ahora sólo hemos centrado nuestra discusión en el
Aspectos cinemáticos del proceso de cuantificación. Déjanos
Ahora considere en la siguiente sección la cuestión de la dinam-
y recordar el enfoque que se había adoptado en el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial.
literatura, antes de la cuestión de la eliminación del regulador
fue reexaminado en [6].
IV. MECANISMOS DE CUANTO POLÍMICO:
DINÁMICA
Como hemos visto la construcción del polímero
la representación es bastante natural y conduce a un
teoría de tum con diferentes propiedades que la habitual
Schrödinger homólogo como su no separabilidad, la
no existencia de determinados operadores y la existencia de
eigen-vectores normalizados que dan un valor preciso para
una de las coordenadas espaciales de fase. Esto se ha hecho.
sin tener en cuenta a un Hamiltoniano que dota a la
sistema con una dinámica, energía y así sucesivamente.
Primero consideremos el caso más simple de una partícula de
masa m en un potencial V (q), en el que el Hamiltonian H
adopta la forma,
p2 + V (q)
Supongamos además que el potencial es dado por un no-
función periódica, como un polinomio o una función racional
tion. Podemos ver inmediatamente que una implementación directa-
de los Hamiltonianos está fuera de nuestro alcance, para el simple
la razón de que, como hemos visto, en el polímero representa-
¡Podemos representar q o p, pero no los dos! ¿Qué?
¿Se ha hecho hasta ahora en la literatura? La más simple.
cosa posible: aproximar el término no existente por un
bien definida función que se puede cuantificar y la esperanza de
el mejor. Como veremos en las próximas secciones, hay
más de lo que uno puede hacer.
En este punto también hay una decisión importante que debe ser
hecho: que la variable q o p debe ser considerada como “des-
¿Cerveza? Una vez que se hace esta elección, entonces implica que
la otra variable no existirá: si q se considera como dis-
ocre, entonces p no existirá y tenemos que aproximarnos
el término cinético p2/2m por otra cosa; si p va a ser
la cantidad discreta, entonces q no se definirá y luego
tenemos que aproximar el potencial V (q). ¿Qué hap-
¿lápices con potencial periódico? En este caso uno podría
ser modelar, por ejemplo, una partícula en una celosía regular
como un fonón que vive en un cristal, y luego el natural
elección es tener q no bien definido. Por otra parte, la po-
tential estará bien definido y no hay aproximación
necesario.
En la literatura se han considerado ambos escenarios.
Por ejemplo, cuando se considera un mecánico cuántico
sistema en [2], la posición fue elegida para ser discreta,
así que p no existe, y uno está entonces en el tipo A para
la polarización del momento (o el tipo B para el q-
polarización). Con esta elección, es el término cinético el
uno que tiene que ser aproximado, así que una vez que se ha hecho
esto, entonces es inmediato considerar cualquier potencial que
Por lo tanto, se definirá bien. Por otro lado, cuando con-
cosmología cuántica del bucle lateral (LQC), el estándar
elección es que la variable de configuración no está definida
[4]. Esta elección se hace teniendo en cuenta que LQC se considera como
el sector simétrico de la gravedad cuántica del bucle completo donde
la conexión (que se considera como la configuración vari-
no puede ser promovido a un operador y se puede
sólo definir su versión exponencial, a saber, el holón-
Omy. En ese caso, la variable canónicamente conjugada,
estrechamente relacionado con el volumen, se convierte en «discreto», al igual que
en la teoría completa. Este caso es, sin embargo, diferente de la
partícula en un ejemplo potencial. Primero podríamos mencionar
que la forma funcional de la restricción hamiltoniana
que implementa dinámica tiene una estructura diferente, pero
la diferencia más importante radica en que el sistema es
constreñido.
Volvamos al caso de la partícula en una po-
tential y para la definición, comencemos con el aux-
Marco iliar cinemático en el que: q es discreto, p
no pueden ser promovidos y por lo tanto tenemos que aproximarnos
el término cinético pÃ3s/2/2m. ¿Cómo se hace esto? El Stan...
prescripción dard es definir, en el espacio de configuración
C, un «gráfico» regular 0. Esto consiste en un numerable
conjunto de puntos, equidistante, y caracterizado por un pa-
rameter μ0 que es la separación (constante) entre
puntos. El ejemplo más sencillo sería considerar la
set 0 = {q R q = nμ0,
Esto significa que los kets básicos que se considerarán
Se corresponderá precisamente con las etiquetas μn pertenecientes a
el gráfico 0, es decir, μn = nμ0. Por lo tanto, sólo
considerar los estados de la forma,
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
bn n. (21)
Este espacio ‘pequeño’ Hilbert H0, el espacio gráfico Hilbert,
es un subespacio del polímero ‘grande’ Hilbert Space Hpoly
pero es separable. La condición para un estado de la forma
(21) pertenecer al espacio Hilbert H0 es que el co-
efficients bn satisfacer:
n bn2.
Consideremos ahora el término cinético pÃ2/2m. Tenemos
para aproximarlo mediante funciones trigonométricas,
que se puede construir a partir de las funciones de la forma ei. p/~.
Como hemos visto en secciones anteriores, estas funciones pueden
ser promovidos a los operadores y actuar como traducción
operadores en los kets. Si queremos permanecer en el
γ, y no crear ‘nuevos puntos’, entonces uno es
a considerar a los operadores que desplazan los kets
por la cantidad justa. Es decir, queremos lo básico
el operador de turno Vâ ° ° ° ° ° sea tal que mapee el ket con
etiqueta nÃ3 al siguiente ket, es decir n+1Ã3. Esto puede...
acción realizada mediante la fijación, de una vez por todas, del valor de la
se permite que el parámetro sea = μ0. Tenemos entonces,
Vóz (μ0) · nó = n + μ0ó = n+1ó
que es lo que queríamos. Este «operador de turnos» básico
ser el bloque de construcción para aproximar cualquier (polinomio)
función de p. Con el fin de hacer eso nos damos cuenta de que la
función p se puede aproximar por,
* * * ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
(μ0 p
~ − e−i
donde la aproximación es buena para p • ~/μ0. Por lo tanto,
se puede definir un operador regulado p0 que depende de
la «escala» μ0 como:
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
[V (μ0) − V (0)]
(n+1â − n−1â > ) (22)
Para regular el operador, hay (al menos)
dos posibilidades, a saber, componer el operador p0
con sí mismo o para definir una nueva aproximación. La operación...
ator p0 · p0 tiene la característica que cambia los estados dos
pasos en el gráfico a ambos lados. Sin embargo, hay un...
otro operador que sólo implica el cambio una vez:
2μ0 · n :=
[2 − Vâr (μ0) − Vâr (0)] · nâr =
(23)
lo que corresponde a la aproximación p2 2~
cos(μ0 p/~)), válido también en el régimen p • ~/μ0. Con
estas consideraciones, uno puede definir el operador 0,
el Hamiltoniano a escala μ0, que en la práctica «vive» en
el espacio H0 como,
0 :=
p+2μ0 + V+ (q), (24)
que es un operador bien definido, simétrico en H0. No...
que el operador también se define en Hpoly, pero hay
su interpretación física es problemática. Por ejemplo,
resulta que el valor de expectativa del término cinético
calculados en la mayoría de los estados (estados que no están adaptados a
al valor exacto del parámetro μ0) es cero. Incluso
si uno toma un estado que da expectativas “razonables”
valores del término μ0-cinético y lo utiliza para calcular el
valor de expectativa del término cinético correspondiente a
una ligera perturbación del parámetro μ0 se obtendría
cero. Este problema, y otros que surgen cuando se trabaja
sobre Hpoly, obliga a uno a asignar una interpretación física
a los hamiltonianos 0 sólo cuando su acción está restringida
al subespacio H0.
Ahora exploremos la forma que toma el Hamiltoniano
en las dos posibles polarizaciones. En la q-polarización,
la base, etiquetada por n viene dada por las funciones χn(q) =
*q,μn. Es decir, las funciones de onda sólo tendrán sup-
puerto en el conjunto 0. Alternativamente, se puede pensar en un
como completamente caracterizado por el ‘Fourier coeffi-
an: فارسى(q) ↔ an, que es el valor que la ola
función •(q) toma en el punto q = μn = nμ0. Por lo tanto,
el Hamiltoniano toma la forma de una ecuación de diferencia
cuando actúa sobre un estado general............................................................................................................................................................................................................................................................ Resolver el tiempo
Ecuación independiente de Schrödinger ·
para resolver la ecuación de diferencia para los coeficientes a.
La polarización del impulso tiene una estructura diferente.
En este caso, el operador pâ € 2μ0 actúa como una multiplicación
operador,
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
1 − cos
(μ0 p
•(p) (25)
El operador correspondiente a q se representará como un
operador derivado
p): = i~ Łp (p).
Para un potencial genérico V (q), tiene que ser definido por
medios de teoría espectral definidos ahora en un círculo. ¿Por qué?
¿En un círculo? Por la sencilla razón de que al restringir
nosotros mismos a un gráfico regular 0, las funciones de p que
preservarlo (cuando actúa como operador de turnos) son de la
forma e(i m μ0 p/~) para m entero. Es decir, lo que tenemos
son modos Fourier, etiquetados por m, del período 2η ~/μ0 en p.
¿Podemos pretender entonces que la variable de espacio de fase p es
¿Ahora compactado? La respuesta es afirmativa. Los
producto interno en las funciones periódicas 0(p) de p que viene
del espacio completo Hilbert Hpoly y dado por
(p)(p)polio = lim
L 7° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
dp (p) (p) (p)
es exactamente equivalente al producto interior en el círculo
dado por la medida uniforme
(p)(p)0 =
∫ /μ0
/μ0
dp (p) (p) (p)
con p (/μ0, /μ0). Mientras uno restrinja a...
la atención a la gráfica 0, uno puede trabajar en este separable
Hilbert espacio H0 de funciones integrables cuadradas en S
Inmediatamente, se pueden ver las limitaciones de este descrip-
tion. Si el sistema mecánico a cuantificar es tal
que sus órbitas tienen valores de los momenta p que son
no pequeño en comparación con /μ0 entonces la aproximación
tomado será muy pobre, y no esperamos ni el
descripción clásica eficaz ni su cuantificación para ser
cerca de la estándar. Si, por otro lado, uno es al-
en la región en la que la aproximación puede ser
Considerado como fiable, entonces tanto clásico como cuántico de-
las inscripciones deben aproximarse a la descripción estándar.
¿Qué hace «cerca de la descripción estándar» exactamente
necesidades medias, por supuesto, algunas aclaraciones adicionales. In
particular está asumiendo la existencia de la habitual
Schrödinger representación en la que el sistema tiene un be-
havior que también es coherente con las observaciones. Si esto es
el caso, la pregunta natural es: ¿cómo podemos
¿Aparear tal descripción de la foto del polímero? ¿Está ahí?
un gráfico bastante fino 0 que se aproximará al sistema
¿De tal manera que todas las observaciones sean indistinguibles?
O mejor aún, ¿podemos definir un procedimiento, que implica
un refinamiento del gráfico 0 tal que uno recupera el
¿Un cuadro estándar?
También podría ocurrir que un límite continuo puede ser de-
multada, pero no coincide con la «esperada». Pero
también podría haber sistemas físicos para los que hay
ninguna descripción estándar, o simplemente no tiene sentido.
Puede en esos casos la representación del polímero, si ex-
ists, proporcionar la descripción física correcta de la sys-
¿Tem en consideración? Por ejemplo, si existe un
limitación física de la escala mínima fijada en μ0, como
podría ser el caso de una teoría cuántica de la gravedad, entonces
la descripción del polímero proporcionaría un verdadero
por el valor de determinadas cantidades, como p en
nuestro ejemplo. Este podría ser el caso para el lazo cuántico
cosmología, cuando exista un valor mínimo para la
volumen (proviene de la teoría completa), y el espacio de fase
puntos cerca de la “singularidad” se encuentran en la región donde el
la aproximación inducida por la escala μ0 se aparta de la
descripción clásica estándar. Si en ese caso el poli-
sistema cuántico mer se considera más fundamental
que el sistema clásico (o su estándar Wheeler-De
Witt cuantización), entonces uno interpretaría este dis-
crepancias en el comportamiento como señal de la avería
de descripción clásica (o su cuantificación ‘naive’).
En la siguiente sección presentamos un método para eliminar
el regulador μ0 que se introdujo como
comieron el paso para construir la dinámica. Más precisamente, nosotros
considerará la construcción de un límite continuo de
la descripción del polímero mediante una renormalización
procedimiento.
V. LÍMITE CONTINUO
Esta sección consta de dos partes. En el primero motivamos
la necesidad de una noción precisa del límite continuo de
la representación polimérica, explicando por qué más
El enfoque directo e ingenuo no funciona. En la segunda fase:
en parte, presentaremos las principales ideas y resultados de
el papel [6], donde el hamiltoniano y el físico
El espacio de Hilbert en la mecánica cuántica polimérica es...
como un continuum límite de teorías eficaces, seguir-
Las ideas del grupo de renormalización de Wilson. El resultado
El espacio físico Hilbert resulta ser unitariamente isomor-
phic a las Hs ordinarias = L2(R, dq) del Schrödinger
teoría.
Antes de describir los resultados de [6] debemos discutir
el significado preciso de llegar a una teoría en el contin-
uum. Consideremos, para mayor concreción, la representación del tipo B.
sentacion en la q-polarizacion. Es decir, los estados son func...
ciones de q y la base ortonormal (q) es dada por
funciones características con soporte en q = μ. Déjanos
Ahora supongamos que tenemos un estado de Schrödinger
L2(R, dq). ¿Cuál es la relación entre Ł(q) y un estado?
¿En Hpoly, X? También estamos interesados en las preguntas opuestas.
sión, es decir, nos gustaría saber si hay una preferencia
estado en Hs que es aproximado por un estado arbitrario
(q) en Hpoly,x. La primera observación obvia es que un
Estado Schödinger (q) no pertenece a Hpoly,x ya que
tendría una norma infinita. Para ver esa nota que incluso
cuando el Estado aspirante puede ser formalmente ampliado en el
base como,
(q) =
(μ) (q)
donde la suma es sobre el parámetro μ â € R. Su associ-
ated norma en Hpoly,x sería:
(q)2polio =
(μ)2 →
que explota. Tenga en cuenta que para definir una asignación
P : Hs → Hpoly, x, hay una gran ambigüedad desde el
se necesitan los valores de la función فارسى(q) con el fin de ampliar
la función de la onda polimérica. Por lo tanto, sólo podemos definir un
mapping en un denso subconjunto D de Hs donde los valores de la
funciones están bien definidas (recordemos que en Hs el valor de
funciones en un punto dado no tiene significado ya que los estados son
clases de equivalencia de funciones). Podríamos, por ejemplo,
pedir que la asignación se defina para los representantes de la
clases de equivalencia en Hs que son continua por partes.
A partir de ahora, cuando nos referimos a un elemento del espacio
Nos referiremos a uno de esos representantes.
Observe entonces que un elemento de Hs define un elemento
de Cyl, el dual al espacio Cylγ, es decir, el espacio
de funciones de cilindro con soporte en la celosía (finita)
γ = 1, μ2,. .., μN}, de la siguiente manera:
(q) : Cylγ C
de tal manera que
*(q)[(q)] = ( :=
(μ)
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
• (μi) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Nótese que este mapeo podría ser visto como consistente en dos
partes: Primero, una proyección Pγ : Cyl
∗ → Cylγ de tal manera que
Pγ() = (q) :=
i-(μi)i(q)-Cylγ. El Estado
se refiere a veces como la «sombra de Ł(q) en
la celosía γ». El segundo paso es entonces tomar el interior
producto entre la sombra (q) y el estado (q)
con respecto al producto interno del polímero poliγ.
Ahora este producto interior está bien definido. Note que para
cualquier celosía dada γ el proyector correspondiente Pγ puede ser
intuitivamente interpretado como una especie de ‘granulación gruesa
mapa’ del continuum a la celosía γ. En términos de
funciones de q la proyección está reemplazando un continuo
función definida en R con una función sobre la celosía
γ R, que es un conjunto discreto simplemente restringiendo a
γ. Cuanto más fina sea la celosía, más puntos tendremos.
en la curva. Como veremos en la segunda parte de este
sección, hay de hecho una noción precisa de grano grueso
que implementa esta idea intuitiva de una manera concreta.
En particular, tendremos que sustituir la celosía γ por
una descomposición de la línea real en intervalos
puntos de celosía como puntos finales).
Consideremos ahora un sistema en el polímero represen-
en la que se eligió una celosía particular γ0, por ejemplo
con puntos de la forma {qk â R qk = ka0, â k â Z},
es decir, una celosía uniforme con espaciamiento igual a a0. En este
caso, cualquier función de onda Schrödinger (del tipo que
considerar) tendrá una sombra única en la celosía γ0. Si
refinamos la celosía γ 7→ γn dividiendo cada intervalo en
2n nuevos intervalos de longitud a = a0/2
Tenemos una nueva sombra...
ows que tienen más y más puntos en la curva. Intu-
itativamente, refinando infinitamente el gráfico nos recuperaríamos
la función original فارسى(q). Incluso cuando en cada paso finito
la sombra correspondiente tiene una norma finita en el poli-
mer Hilbert espacio, la norma crece ilimitadamente y el
el límite no se puede tomar, precisamente porque no podemos em-
cama Hs en Hpoly. Supongamos ahora que estamos interesados
en el proceso inverso, es decir, a partir de un polímero
teoría sobre una celosía y pidiendo la "onda continua
función’ que se aproxima mejor por una función de onda
sobre un gráfico. Supongamos, además, que queremos con-
sider el límite de la gráfica cada vez más fino. En orden
para dar respuestas precisas a estas (y otras) preguntas
necesidad de introducir algunas nuevas tecnologías que nos permitirán
para superar estas aparentes dificultades. En el resto
de esta sección recordaremos estas construcciones para el
beneficio del lector. Los detalles se pueden encontrar en [6] (que
es una aplicación del formalismo general discutido en
[9]).
El punto de partida de esta construcción es el concepto
de una escala C, que nos permite definir la eficacia de
y el concepto de límite continuo. En nuestro caso, un
escala es una descomposición de la línea real en la unión de
intervalos cerrados-abiertos, que cubren toda la línea y hacen
no se intersectan. Intuitivamente, estamos cambiando el énfasis
desde los puntos de celosía a los intervalos definidos por el
los mismos puntos con el objetivo de aproximar
funciones tinuas definidas en R con funciones que son
constante en los intervalos definidos por la celosía. Ser
precisa, definimos una incrustación, para cada escala Cn de
Hpoly a Hs por medio de una función escalonada:
•(hombre) χman(q) →
*(hombre) m(q)* Hs
con n(q) una función característica en el intervalo
αm = [hombre, (m + 1)an). Por lo tanto, las sombras (viviendo en
la celosía) eran sólo un paso intermedio en el con-
estructuración de la función de aproximación; esta función es
constante por pieza y se puede escribir como un com- lineal
bination de funciones de escalón con los coeficientes proporcionados
por las sombras.
El desafío ahora es definir en un sentido apropiado
cómo se pueden aproximar todos los aspectos de la teoría
por medio de esta constante por piezas funciones. Entonces el
estrategia es que, para cualquier escala dada, se puede definir un
teoría eficaz mediante la aproximación del operador cinético
por una combinación de los operadores de traducción que cambian
entre los vértices de la descomposición dada, en otros
palabras por una función periódica en p. Como resultado uno tiene un
conjunto de teorías eficaces a escalas determinadas que son mutuamente
relacionados con mapas de granulación gruesa. Este marco era el siguiente:
desarrollado en [6]. Para la comodidad del lector nosotros
Recordemos brevemente parte de ese marco.
Vamos a denotar el espacio cinemático polímero Hilbert en
la escala Cn como HCn, y sus elementos de base como eαi,Cn,
donde αi = [ian, (i + 1)an) • Cn. Por la construcción de este
la base es ortonormal. Los elementos de base en la dualidad
Hilbert espacio H*Cn se denotan por i,Cn; también son
Ortonormal. Los estados i, Cn tienen una acción simple en
Cyl, i,Cn(lx0,q) = i,Cn(lx0). Es decir, si x0 está en el
intervalo αi de Cn el resultado es uno y es cero si es
No está ahí.
Dado cualquier m ≤ n, definimos d*m,n : H*Cn → H
como el mapa de ‘granulación gruesa’ entre el doble Hilbert
espacios, que envía la parte de los elementos del dual
base a cero manteniendo la información del resto:
d*m,n(i,Cn) = j,Cm si i = j2
n-m, en el caso contrario
d*m,n(i,Cn) = 0.
En cada escala la teoría efectiva correspondiente es
dado por el hamiltoniano Hn. Estos Hamiltonianos lo harán.
ser tratados como formas cuadráticas, hn : HCn → R, dado por
hn() =
(,Hn), (27)
en la que 2Cn es un factor de normalización. Veremos más tarde.
que este reescalamiento del producto interior es necesario en
para garantizar la convergencia de los renormalizados
teoría. La teoría completamente renormalizada a esta escala
se obtiene como
hrenm := lim
- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí, sí., sí, sí., sí., sí, sí., sí. (28)
y los Hamiltonianos renormalizados son compatibles con
el uno al otro, en el sentido de que
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
n = h
Con el fin de analizar las condiciones para la convergencia
en (28) vamos a expresar el hamiltoniano en términos de su
eigen-covectores fin eigenvalues. Trabajaremos con...
tiva Hamiltonianos que tienen un espectro puramente discreto
(marcado por: · Hn ·, Cn = E/, Cn, Cn. También lo haremos.
introducir, como paso intermedio, un corte en la energía
niveles. El origen de este corte está en la aproximación
del Hamiltoniano de nuestro sistema en una escala dada con
a Hamiltoniano de un sistema periódico en un régimen de pequeño
energías, como explicamos antes. Por lo tanto, podemos escribir
h vcut-offm =
vcut-off
E/,Cm,Cm ,Cm,(29)
donde los covectores eígenos,Cm se normalizan de acuerdo-
al producto interior redistribuido por 1
, y el corte...
off puede variar hasta una escala dependiente unida, νcut−off ≤
vmax(Cm). El espacio Hilbert de los covectores junto con
tal producto interno se llamará H.renCm.
En presencia de un corte, la convergencia de la
Hamiltonianos microscópicamente corregidos, ecuación (28) es
equivalente a la existencia de los dos límites siguientes.
El primero es la convergencia de los niveles de energía,
E/Cn = E
/. (30)
Segundo es la existencia de la completamente renormalizada
covectores autóctonos,
m,n,Cn =
- ¿Qué es esto? - ¿Qué es esto?
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 31)
Aclaramos que la existencia del límite anterior significa
que la letra c) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, No...
que esta convergencia punto a punto, si se puede llevar a cabo
en absoluto, requerirá la afinación de los factores de normalización
2Cn.
Pasamos ahora a la cuestión del límite del continuum
de los covectores renormalizados. En primer lugar podemos pedir por el
existencia del límite
El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 1994 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada»), que, en el caso de autos, debía interpretarse en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 17 de diciembre de 1994 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Primera Instancia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Justicia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada») no había sido adoptada por el Tribunal de Justicia en el sentido de que la Decisión de la Comisión de 21 de diciembre de 1995 (en lo sucesivo, «Decisión impugnada»).
para cualquier فارسىx0,q Cyl. Cuando estos límites existen hay
una acción natural de los covectores autóctonos en el continuum
límite. A continuación consideramos otra noción del continuum
límite de los covectores autóctonos renormalizados.
Cuando los covectores autóctonos completamente renormalizados
existen, forman una colección que es compatible,
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
= Ren/,Cm. Una secuencia de d
- Compatibles ni compatibles.
Los covectores maleables definen un elemento de
, que es
el límite proyectivo de los espacios renormalizados de covec-
HerenCn. 33)
El producto interior en este espacio está definido por
(Cn}, Cn})R := lim
(Cn,ΦCn)
La inclusión natural de C0 en
es por un antilineal
mapa que asigna a cualquier â € â € € â € TM Câ € TM el dâ €-compatible
colección shadCn :=
i(L(αi))
Se le llamará a ShadCn la sombra de # a escala Cn y actúa
en Cyl como una función constante a trozos. Claramente otro
tipos de funciones de prueba como las funciones de Schwartz son también
naturalmente incluidos en
. En este contexto una sombra es
un estado de la teoría efectiva que se aproxima a un estado
en la teoría del continuum.
Desde el producto interior en
es degenerado, el
espacio físico Hilbert se define como
Höphys :=
/ ker(·, ·)ren
Hphys := Hóphys
La naturaleza del espacio físico Hilbert, si es
isomórfico al espacio de Schrödinger Hilber, Hs, o no, es
determinado por los factores de normalización
se obtiene de las condiciones que exigen la compatibil-
ity de la dinámica de las teorías eficaces en diferentes
básculas. La dinámica del sistema que se examina
selecciona el límite del continuum.
Volvamos ahora a la definición de la Hamilto-
nian en el límite del continuum. En primer lugar considerar la continuación de
uum límite del Hamiltoniano (con corte) en el sentido
de su convergencia puntual como forma cuadrática. Lo siento.
resulta que si el límite de la ecuación (32) existe para
todos los covectores autóctonos permitidos por el corte, tenemos
vcut-off ren
: Hpoly,x → R definido por
vcut-off ren
(x0,q) := lim
h/cut−off Renn ([lx0,q]Cn). (34)
Esta forma cuadrática hamiltoniana en el continuum puede
ser de grano grueso a cualquier escala y, como puede ser ex-
, produce el Hamilto completamente renormalizado-
Nian forma cuadrática a esa escala. Sin embargo, esto no es
un límite de continuum completamente satisfactorio porque podemos
no retirar el corte auxiliar νcut−off. Si lo intentamos, como
incluimos más y más covectores propios en el Hamilto-
nian los cálculos hechos a una escala dada divergerían
y hacerlos en el continuum es igual de divergente.
A continuación exploramos un camino más exitoso.
Podemos utilizar el producto interno renormalizado para inducir
una acción de los hamiltonianos de corte en
vcut-off ren
(Cn} := lim
h/cutoff renn (()Cn, ·)renCn ),
donde hemos utilizado el hecho de que (Cn, ·)renCn • HCn. Los
la existencia de este límite es trivial porque el renormalizado
Hamiltonianos son sumas finitas y el límite existe término por
término.
Estos hamiltonianos de corte descienden a lo físico
Espacio Hilbert
vcut-off ren
([Cn}]):= h
vcut-off ren
(Cn}
para cualquier representante Cn} [Cn}] Hóphys.
Por último, podemos abordar la cuestión de la eliminación de la
Fuera. El hamiltoniano hren
→ R se define por la
límite
:= lim
& cct−off & cclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclclcl
vcut-off ren
cuando el límite existe. Su correspondiente forma ermitaña
en Hphys se define siempre que exista el límite anterior. Esto
concluye nuestra presentación de los principales resultados de [6]. Vamos.
ahora consideremos varios ejemplos de sistemas para los que
el límite del continuum puede ser investigado.
VI. EJEMPLOS
En esta sección vamos a desarrollar varios ejemplos de
sistemas que han sido tratados con el polímero cuanti-
Zation. Estos ejemplos son simples mecánicos cuánticos
sistemas, como el oscilador armónico simple y el
partículas libres, así como un modelo cosmológico cuántico
conocido como cosmología cuántica del bucle.
A. El Oscilador Armónico Simple
En esta parte, vamos a considerar el ejemplo de un simple Har-
Oscilador mónico (SHO) con parámetros m y
sicamente descrito por el siguiente Hamiltonian
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Recuerde que a partir de estos parámetros se puede definir una longitud
escala D =
- Sí. En el tratamiento estándar se utiliza
esta escala para definir una estructura compleja JD (y un
r producto de la misma), como hemos descrito en detalle que
Selecciona de forma única la representación estándar de Schrödinger.
A escala Cn tenemos un Hamiltoniano eficaz para el
Oscilador Armónico Simple (SHO) dado por
HCn =
1 − como anp
má2x2. (35)
Si intercambiamos posición e impulso, este Hamilto...
nian es exactamente el de un péndulo de masa m, longitud l
y sujeto a un campo gravitatorio constante g:
Cn = −
+mgl(1 − cos )
cuando esas cantidades estén relacionadas con nuestro sistema,
m-a-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-d-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-
, g =
...............................................................
Es decir, estamos aproximando, para cada escala Cn el
SHO por un péndulo. Hay, sin embargo, un importante
diferencia. De nuestro conocimiento del sistema del péndulo,
Sabemos que el sistema cuántico tendrá un espectro
para la energía que tiene dos behav asintóticos diferentes -
iors, el SHO para bajas energías y el rotor planar en
el extremo superior, correspondiente a oscilación y rotación
soluciones, respectivamente2. A medida que refinamos nuestra escala y ambos
la longitud del péndulo y la altura del periódico
aumento potencial, esperamos tener un aumento de num-
br de estados oscilantes (para un sistema de péndulo dado,
sólo hay un número finito de tales estados). Por lo tanto,
se justifica considerar el corte en el eigenval de la energía
Como se ha dicho en la última sección, dado que sólo
esperar un número finito de estados del péndulo a ap-
Eigenstatos de SHO próximos. Con estas consideraciones en
mente, la pregunta relevante es si las condiciones para
el continuum límite a existir está satisfecho. Esta pregunta
se ha respondido afirmativamente en [6]. ¿Qué fue?
se demostró que los valores propios y eigen func-
ciones de los sistemas discretos, que representan un
y no degenerados, aproximándose a los de los contin-
uum, es decir, del oscilador armónico estándar cuando
el producto interior se vuelve a normalizar por un factor 2Cn = 1/2
Esta convergencia implica que existe el límite continuo
como lo entendemos. Consideremos ahora la más simple
sistema posible, una partícula libre, que tiene sin embargo la
particular característica de que el espectro de la energía es
Tinuous.
2 Tenga en cuenta que ambos tipos de soluciones están, en el espacio de fase, cerrados.
Esta es la razón detrás del espectro puramente discreto. Los
la distinción que estamos haciendo es entre esas soluciones dentro de la
separatrix, que llamamos oscilante, y aquellos que están por encima de ella
que llamamos rotación.
B. Partícula libre de polímero
En el límite فارسى → 0, el Hamiltoniano de lo Simple
El oscilador armónico (35) va al Hamiltoniano de un
partícula libre y el tiempo correspondiente independiente
La ecuación de Schrödinger, en la p-polarización, está dada por
(1 − cos anp
) − CEn
(p) = 0
donde ahora tenemos que p â € S1, con p â € (
Por lo tanto, tenemos
ECn =
1 − cos
≤ CEn,max. 2
. (36)
A cada escala podemos describir la energía de la partícula.
está limitado desde arriba y el límite depende de la
escala. Nótese que en este caso el espectro es continuo
ous, lo que implica que las funciones propias ordinarias de
El Hilbert no es normal. Esto impone una
limitada en el valor que la energía de la partícula puede
tienen, además de los límites en el impulso debido a
su “compactación”.
Busquemos en primer lugar soluciones eigen a la hora inde-
péndulo Schrödinger ecuación, es decir, para la energía eigen-
estados. En el caso de la partícula libre ordinaria, estos
corresponden a ondas planas de impulso constante de la
forma e±(
) y de tal manera que la dispersión ordinaria re-
ión p2/2m = E está satisfecho. Estas ondas planas son
no cuadrado integrable y no pertenecen a lo ordinario
Hilbert espacio de la teoría Schrödinger, pero todavía son
útil para extraer información sobre el sistema. Por
la partícula libre de polímero que tenemos,
Cn(p) = c1♥(p− PCn) + c2/23370/(p+ PCn)
donde PCn es una solución de la ecuación anterior consid-
, con un valor fijo de ECn. Es decir,
PCn = P (ECn) =
arccos
− 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 −
El inverso Fourier transforma los rendimientos, en el ‘x represen-
dad»,
Cn(xj) =
∫ /un
/un
(p) e
p j dp =
ixjPCn /~ + c2e
- ixjPCn /~
.(37)
con xj = un j para j â € Z. Tenga en cuenta que las funciones propias
son todavía funciones delta (en la representación p) y por lo tanto
no (cuadrado) normalizable con respecto al polímero
producto interno, que en la polarización p se acaba de dar
por la medida ordinaria de Haar en S1, y no hay
la cuantificación del impulso (su espectro sigue siendo verdaderamente
continuum).
Consideremos ahora el tiempo dependiente Schrödinger
ecuación,
(p, t) = · (p, t).
Que ahora toma la forma,
(p, t) =
(1 − cos (un p/~)) (p, t)
que tiene como solución,
(p, t) = e−
(1−cos (un p/~)) t (p) = e(−iECn /~) t (p)
para cualquier función inicial (p), donde la CEn satisface la
relación de persión (36). La función de onda (xj, t), la
xj-representación de la función de onda, se puede obtener
para cualquier tiempo dado t por Fourier transformando con (37)
la función de onda (p, t).
Con el fin de comprobar la convergencia de la micro-
scopicamente corregido Hamiltonians debemos analizar el
la convergencia de los niveles de energía y de la
ectors. En el límite n → فارسى, ECn → E = p2/2m tan
podemos estar seguros de que los valores propios para la energía
convergen (al fijar el valor de p). Vamos a escribir el
el covector adecuado como Cn = (Cn, ·)ren Cn • H
. Entonces nosotros
puede traer correcciones microscópicas a escala Cm y mirar
para la convergencia de dichas correcciones
*RenCm*
= lim
cn..........................................................................................................................
Es fácil ver que dado cualquier vector de base eαi HCm
el límite siguiente:
renCm(eαi,Cm) = limCn
Cn(dn,m(eαi,Cm))
existe y es igual a
(eαi,Cm) = [d
Schr](eαi,Cm) =
Schr(iam)
donde se calcula el valor de la sustancia problema utilizando la partícula libre Hamilto-
Nian en la representación de Schrödinger. Esta expresión
define el covector adecuado completamente renormalizado en
la escala Cm.
C. Cosmología cuántica de polímeros
En esta sección vamos a presentar una versión de cuántica
cosmología que llamamos cosmología cuántica polimérica. Los
La idea detrás de este nombre es que la entrada principal en el quan-
tización del modelo mini-superespacio correspondiente es
el uso de una representación de polímero tal como se entiende aquí.
Otra aportación importante es la elección de los elementos fundamentales
variables a utilizar y la definición del Hamiltoniano
restricción. Distintos grupos de investigación han diferen-
ent opciones. Vamos a tomar aquí un modelo simple que tiene
recibió mucha atención recientemente, a saber, un isotrópico,
cosmología homogénea del FRW con k = 0 y acoplada
a un campo escalar sin masa. Como veremos, un
el tratamiento del límite continuo de este sistema requiere
nuevos instrumentos en desarrollo que están más allá del ámbito de aplicación
de este trabajo. Por lo tanto, nos limitaremos a la introducción
miento del sistema y de los problemas que deben
Resuelto.
El sistema a cuantificar corresponde a la fase
espacio de espacios cosmológicos que son homogéneos
e isotrópico y para los cuales la homogeneidad espacial
las rebanadas tienen una geometría intrínseca plana (k = condición 0).
El único contenido de materia es un campo escalar sin masa. In
este caso la geometría espacio-tiempo es dada por las métricas de
el formulario:
ds2 = −dt2 + a2(t) (dx2 + dy2 + dz2)
donde la función a(t) lleva toda la información y
grados de libertad de la parte gravitatoria. En términos de la
Coordenadas (a, pa, , p) para el espacio de fase de la
Ory, todas las dinámicas son capturadas en el con-
strantest
C := −3
+ 8ηG
2a3
El primer paso es definir la restricción sobre la kine-
matical Hilbert espacio para encontrar estados físicos y luego un
producto interior físico para construir el Hilbert físico
espacio. Primero note que se puede reescribir la ecuación como:
p2a a
2 = 8ηG
Si, como se hace normalmente, se opta por actuar como un in-
tiempo, el lado derecho sería promovido, en
la teoría cuántica, a una segunda derivada. La izquierda
lado de la mano es, además, simétrico en a y pa. En
este punto tenemos la libertad en la elección de la variable
que será cuantificado y la variable que no será
bien definido en la representación del polímero. El estándar
elección es que pa no está bien definido y por lo tanto, a y cualquier
cantidad geométrica derivada de ella, se cuantifica. Piel...
termorre, tenemos la opción de polarización en la onda
función. A este respecto, la elección estándar es seleccionar
la a-polarización, en la que una actúa como multiplicación y
la aproximación de pa, a saber, sin(
diferencia operador en las funciones de onda de a. Para más detalles:
esta elección particular véase [5]. En este contexto, adoptaremos la op-
posite polarización, es decir, tendremos funciones de onda
(pa, فارسى).
Al igual que hicimos en los casos anteriores, con el fin de ganar
intuición sobre el comportamiento del polímero cuantificado
la teoría, es conveniente mirar el prob equivalente-
en la teoría clásica, a saber, el sistema clásico
Estaríamos aproximándonos a lo no bien definido.
servible (pa en nuestro caso actual) por un objeto bien definido
(hecho de funciones trigonométricas). Vamos a la simplicidad
opte por reemplazar pa 7→ sin( Con esta opción
Obtenemos una restricción clásica Hamiltoniana eficaz que
depende de :
C. := −
sin(l pa)
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
+ 8ηG
2a3
Ahora podemos calcular ecuaciones efectivas de movimiento por
medios de las ecuaciones: := {F, C, para cualquier observable
F. C. C. C. C. C., y donde estamos utilizando la eficacia (primero
orden) acción:
*(pa N C
con la opción N = 1. Lo primero que hay que notar es que
la cantidad de p.o.p. es una constante de la moción, dado que
la variable فارسى es cíclica. La segunda observación es que
= 8ηG
tiene la misma señal que pÃ3 y nunca desaparece.
Por lo tanto, puede ser utilizado como una variable de tiempo (n interna). Los
siguiente observación es que la ecuación para
, a saber:
la ecuación efectiva de Friedman, tendrá un cero para un
valor no cero de un dado por
2p2o.
Este es el valor en el que se rebotará si el
la trayectoria comenzó con un gran valor de a y fue
Tracciones. Note que el ‘tamaño’ del universo cuando el
rebote se produce depende tanto de la constante
dicta la densidad de la materia) y el valor de la celosía
tamaño ♥. Aquí es importante subrayar que para cualquier valor
(que fija de manera única la trayectoria en el (a, pa)
avión), habrá un rebote. En la descripción original
en términos de las ecuaciones de Einstein (sin la
No hay tal rebote. Si
< 0 inicialmente, permanecerá negativo y el universo
colapsa, alcanzando la singularidad en un tiempo finito apropiado.
¿Qué sucede dentro de la descripción efectiva si re-
afinar la celosía y pasar de
¿N? El único
que cambia, para la misma órbita clásica etiquetada
por pŁ, es que el rebote se produce en un ‘tiempo posterior’ y para
un valor menor de un* pero el cuadro cualitativo sigue siendo
Lo mismo.
Esta es la principal diferencia con los sistemas considerados
antes. En esos casos, uno podría tener trayectoria clásica...
rs que quedaron, para una determinada elección de parámetro
dentro de la región donde el pecado es una buena
Por supuesto, también había trayectorias clásicas.
que estaban fuera de esta región, pero entonces podríamos refinar el
retícula y encontrar un nuevo valor para el cual el nuevo clas-
La trayectoria sical está bien aproximada. En el caso de la
cosmología polimérica, este nunca es el caso: Cada clásico
la trayectoria pasará de una región donde la
sión es buena para una región en la que no lo es; esto es precisamente
donde las ‘correcciones cuánticas’ entran en juego y los universos
rebotes.
Dado que en la descripción clásica, el «original»
y las descripciones ‘corregidas’ son tan diferentes que esperamos
que, tras la cuantificación, el cuántico correspondiente el-
ories, a saber, el polimérico y el Wheeler-DeWitt
estar relacionado de manera no trivial (si es que existe).
En este caso, con la elección de la polarización y para una
particular el orden de los factores que tenemos,
sin(lpa)
· (pa, ) = 0
como la ecuación Polymer Wheeler-DeWitt.
A fin de abordar el problema del continuo
límite de esta teoría cuántica, tenemos que darnos cuenta de que la
la tarea es ahora algo diferente que antes. Esto es así.
dado que el sistema es ahora un sistema limitado con
un operador de restricción en lugar de un no-singular regular
sistema con una evolución Hamiltoniana ordinaria. Fortu...
nalmente para el sistema que se examina, el hecho de que
puede ser considerado como un tiempo interno permite
para interpretar la restricción cuántica como una
Klein-Gordon ecuación de la forma
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cuando el operador sea «independiente en el tiempo». Esta al-
nos reduce a dividir el espacio de soluciones en ‘positivos y
frecuencia negativa», introducir un producto interior físico
sobre las soluciones de frecuencia positiva de esta ecuación y
un conjunto de observables físicos en función de los cuales de-
escriba el sistema. Es decir, se reduce en la práctica la
sistema a uno muy similar al caso Schrödinger por
tomando la raíz cuadrada positiva de la ecuación anterior:
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si el continuum límite de estas teorías (marcado
y si se corresponde con el Wheeler-
La teoría de DeWitt. Un tratamiento completo de este problema
Desgraciadamente, está fuera del ámbito de este trabajo y
se informará en otro lugar [12].
VII. DEBATE
Resumamos nuestros resultados. En la primera parte de la
artículo mostramos que la representación del polímero de la
las relaciones canónicas de conmutación se pueden obtener como la
el caso limitador de la Fock-Schrödinger ordinario represen-
en términos del estado algebraico que define el
representación. Estos casos limitantes también pueden ser inter-
pretendidos en términos de los estados coherentes definidos naturalmente
asociado a cada representación etiquetada por el
eter d, cuando se vuelven infinitamente ‘estrujados’. Los dos
posibles límites de compresión conducen a dos polímeros diferentes
descripciones que, sin embargo, se pueden identificar, como nosotros
también han demostrado, con las dos posibles polarizaciones para
una representación polímero abstracta. El resultado fue el siguiente:
ory tiene, sin embargo, un comportamiento muy diferente como el estándar
Uno: El espacio Hilbert no es separable, el representa-
es inequivalente unitariamente a la de Schrödinger, y
los operadores naturales como pÃ3n ya no están bien definidos.
Esta construcción limitante particular del polímero el-
Ory puede arrojar algo de luz para sistemas más complicados
como las teorías de campo y la gravedad.
En los tratamientos regulares de la dinámica dentro de la poli-
representación mer, uno necesita introducir algunos extra
estructura, como una celosía en el espacio de configuración, a con-
construir un Hamiltoniano e implementar la dinámica para el
sistema mediante un procedimiento de regularización. ¿Cómo es que esto re-
teoría sulting comparar con la teoría del continuum original
uno tenía desde el principio? ¿Puede uno esperar eliminar
el regulador en la descripción del polímero? Tal como están.
no hay relación directa o mapeo del polímero
a una teoría de continuum (en caso de que haya una definida). As
hemos demostrado, uno puede construir de hecho en un sistema
dad, por medio de alguna enmienda apropiada que no se refiera a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos y a las libertades fundamentales, y a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos, a los derechos humanos y a las libertades fundamentales,
ciones relacionadas con la definición de una escala,
a la celosía uno tenía que introducir en la regularización.
Con este importante cambio en la perspectiva, y una
renormalización priato del producto interior del polímero en
cada escala uno puede, sujeto a alguna condición de consistencia-
ciones, definir un procedimiento para eliminar el regulador, y
llegar a un Hamiltoniano y un espacio Hilbert.
Como hemos visto, para algunos ejemplos simples como
una partícula libre y el oscilador armónico uno de hecho
recupera la descripción de Schrödinger. Para otros sistemas:
tems, como los modelos cosmológicos cuánticos, la respuesta
no es tan claro, ya que la estructura del espacio de classi-
Las soluciones de cal son tales que la «descripción eficaz»
producido por la regularización del polímero a diferentes escalas
es cualitativamente diferente de la dinámica original. A
el tratamiento adecuado de esta clase de sistemas está en marcha
y se informará de ello en otro lugar [12].
Tal vez la lección más importante que tenemos
En este sentido, se ha aprendido que existe en efecto una riqueza intergubemamental.
juego entre la descripción del polímero y el ordinario
Representación de Schrödinger. La estructura completa de esta re-
dad de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea, así como de los Estados miembros de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea. Sólo podemos esperar que
una comprensión completa de estas cuestiones arrojará algo de luz
en el objetivo final de tratar la dinámica cuántica
de los sistemas sobre el terreno independientes de antecedentes, como
relatividad.
Agradecimientos
Agradecemos a A. Ashtekar, G. Hossain, T. Pawlowski y P.
Singh para discutir. Este trabajo fue apoyado en parte
por subvenciones CONACyT U47857-F y 40035-F, por NSF
PHY04-56913, por los Fondos de Investigación Eberly de Penn
Estado, por el programa de intercambio AMC-FUMEC y por
fondos del CIC-Universidad Michoacana de San Nicolás
de Hidalgo.
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http://arxiv.org/abs/gr-qc/0207106
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606090
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0601085
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0304074
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0607039
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0607097
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0312094
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0610072
http://arxiv.org/abs/hep-th/0202070
http://arxiv.org/abs/hep-th/051122
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0612155
|
704.0008 | Numerical solution of shock and ramp compression for general material
properties | Solución numérica de choque y compresión de rampa
para propiedades materiales generales
Damian C. Swift*
División de Ciencia y Tecnología de Materiales,
Laboratorio Nacional Lawrence Livermore,
7000, East Avenue, Livermore, CA 94550, U.S.A.
(Fecha: 7 de marzo de 2007; versión revisada el 8 de abril de 2008 y el 1 de julio de 2008 – LA-UR-07-2051)
Resumen
Se elaboró una formulación general para representar modelos de materiales para aplicaciones en dinámica
cargando. Se diseñaron métodos numéricos para calcular la respuesta a la compresión de golpes y rampas, y
descompresión de rampa, generalizando soluciones previas para ecuaciones escalares de estado. El número
se encontró que los métodos eran flexibles y robustos, y que los resultados analíticos se ajustaban a una alta precisión.
Los métodos básicos de la rampa y la solución de choque se acoplaron para resolver la deformación compuesta
rutas, tales como impactos inducidos por choque, e interacciones de choque con una interfaz planar entre
diferentes materiales. Estos cálculos captan gran parte de la física de las dinámicas materiales típicas
experimentos, sin requerir simulaciones de resolución espacial. Se hicieron cálculos de ejemplo de
historia de la carga en metales, ilustrando los efectos del trabajo plástico en las temperaturas inducidas en
experimentos cuasi-isentrópicos y de liberación de choque, y el efecto de una transición de fase.
Números PACS: 62.50.+p, 47.40.-x, 62.20.-x, 46.35.+z
Palabras clave: dinámica material, choque, isentropo, adiabat, solución numérica, comportamiento constitutivo
* Dirección electrónica: damian.swift@physics.org
http://arxiv.org/abs/0704.0008v3
mailto:damian.swift@physics.org
I. INTRODUCCIÓN
La representación continua de la materia se utiliza ampliamente para la dinámica material de la ciencia y la tecnología.
Ence e ingeniería. Las simulaciones de dinámica de continuum espacialmente resueltas son las más
generalizado y familiar, resolviendo el problema de valor inicial discretizando el dominio espacial
e integrar las ecuaciones dinámicas hacia adelante en el tiempo para predecir el movimiento y defor-
nes de los componentes del sistema. Este tipo de simulación se utiliza, por ejemplo, para estudiar
problemas de impacto hipervelocidad tales como la vulnerabilidad de la armadura a los proyectiles [1, 2], el
rendimiento de los escudos de desechos de satélites [3], y el impacto de los meteoritos con los planetas, en particular
la formación de la luna [4]. El problema se puede dividir en las ecuaciones dinámicas
del continuum, el campo de estado de los componentes s(~r), y las propiedades inherentes de
los materiales. Teniendo en cuenta el estado material local s, las propiedades materiales permiten el estrés
por determinar. Teniendo en cuenta el campo de tensión (~r) y el campo de densidad de masa (~r), la dinámica
ecuaciones describen los campos de aceleración, compresión y trabajo termodinámico realizado
sobre los materiales.
Las ecuaciones de la dinámica del continuum describen el comportamiento de una deformación dinámica
sistema de complejidad arbitraria. Trayectorias de deformación particulares y más simples se pueden describir más
compactamente por diferentes conjuntos de ecuaciones, y resuelto por diferentes técnicas que las utilizadas
para la dinámica del continuum en general. Caminos de deformación más simples ocurren a menudo en experimentos
diseñado para desarrollar y calibrar modelos de propiedades del material. Estos caminos pueden ser considerados
como diferentes formas de interrogar las propiedades materiales. Los principales ejemplos en material
la dinámica son la compresión de choque y rampa [5, 6]. Los experimentos típicos están diseñados para inducir
tales historias de carga y medir o inferir las propiedades del material en estos estados
antes de ser destruidos por liberación de los bordes o por ondas reflejadas.
El desarrollo del campo de la dinámica material fue impulsado por aplicaciones en el
física de los impactos a hipervelocidad y de los sistemas de explosivos elevados, incluidas las armas nucleares [7].
En los regímenes de interés, por lo general los componentes con dimensiones que van desde
ters a metros y presiones de 1GPa a 1TPa, el comportamiento material está dominado por el
Ecuación escalar del estado (EOS): la relación entre presión, compresión (o masa)
densidad), y la energía interna. Otros componentes del estrés (específicamente esfuerzos de corte) son:
mucho más pequeño, y los explosivos químicos reaccionan rápidamente por lo que puede ser tratado por
Els de detonación completa. EOS se desarrollaron como ajuste a los datos experimentales, en particular
a series de estados de choque y a mediciones de compresión isotérmica [8]. Es relativamente
directo para construir estados de compresión de choque y rampa de un EOS algebraicamente
o numéricamente dependiendo del EOS, y para ajustar un EOS a estas mediciones. Más
recientemente, las aplicaciones y el interés científico han crecido para incluir una gama más amplia de presiones
y escalas de tiempo, tales como la fusión inercial de confinamiento impulsado por láser [9], y los experimentos son
El objetivo de este estudio es medir otros aspectos distintos de la EOS, tales como la cinética de los cambios de fase,
Comportamiento estetutivo que describe tensiones de corte, reacciones químicas incompletas y los efectos de
microestructura, incluyendo orientación de grano y porosidad. Las técnicas teóricas también tienen
evolucionó para predecir el EOS con una precisión de +1% [10] y contribuciones elásticas al estrés por cizallamiento
con una precisión ligeramente inferior [11].
Se describe una convención general para representar estados materiales, y métodos numéricos
se informan para calcular los estados de compresión de choque y rampa de las representaciones generales
de propiedades materiales.
II. ESTRUCTURA CONCEPTUAL PARA PROPIEDADES MATERIALES
La estructura deseada para la descripción del estado del material y las propiedades bajo dy-
la carga namic se desarrolló para ser lo más general posible con respecto a los tipos de material
o modelos que deben estar representados en el mismo marco, y diseñados para dar la mayor cantidad
de similitud entre simulaciones espacialmente resueltas y cálculos de choque y rampa
compresiones.
En la materia condensada en escalas de tiempo sub-microsegundo, la conducción de calor es a menudo demasiado lenta para
tienen un efecto significativo en la respuesta del material, y es ignorado aquí. Las ecuaciones
de la dinámica del continuum no relativista son, en forma lagrangiana, es decir. a lo largo de las características
movimiento con la velocidad de material local ~u(~r),
(~r, t)
= (~r, t)div~u(~r, t) (1)
D~u(~r, t)
(~r, t)
(~r, t) (2)
De(~r, t)
= (~r, t)grad~u(~r, t) (3)
donde la densidad de masa y la energía interna específica. Los cambios en e pueden estar relacionados
a los cambios en la temperatura T a través de la capacidad de calor. Las propiedades inherentes de
cada material en el problema se describen por su relación constitutiva o ecuación de estado
(s). Además de experimentar la compresión y el trabajo de la deformación mecánica, el local
El estado del material s(~r, t) puede evolucionar a través de procesos internos como el flujo de plástico. En general,
Ds(~r, t)
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que también puede incluir las ecuaciones para /t y e/t. Por lo tanto, las propiedades del material deben
Describa como mínimo los siguientes elementos para cada material: Si también describen T (s),
la conductividad, y ė(ė), entonces la conducción del calor puede ser tratada. Otras funciones pueden ser:
necesarios para determinados métodos numéricos en la dinámica del continuum, como la necesidad de
velocidades (por ejemplo, la velocidad de sonido longitudinal), que se necesitan para el control del paso del tiempo en forma explícita
integración del tiempo. Internamente, dentro de los modelos de propiedades materiales, es deseable reutilizar
software tanto como sea posible, y otras funciones del estado son por lo tanto deseables para permitir
modelos que se construirán de forma modular y jerárquica. Las manipulaciones aritméticas deben
se realiza en el estado durante la integración numérica, y estos se pueden codificar cuidadosamente
utilizando sobrecarga del operador, por lo que el operador del tipo apropiado se invoca automáticamente
sin tener que incluir estructuras «si-entonces-else» para cada operador, como es el caso en
lenguajes de programación orientados a objetos como Fortran-77. Por ejemplo, si se calcula
en un método numérico de tiempo de avance entonces los cambios de estado se calculan utilizando numérico
ecuaciones de evolución tales como
s(t+ t) = s(t) + t». 5)
Por lo tanto, para un estado general s y su derivado de tiempo, que tiene un conjunto equivalente de compo-
nents, es necesario multiplicar un estado por un número real y agregar dos estados juntos.
Para una implementación de software específica, pueden ser necesarias otras operaciones, por ejemplo:
crear, copiar o destruir una nueva instancia de un estado.
La atracción de este enfoque es que, al elegir una forma razonablemente general para el
relación constitutiva y operaciones asociadas, es posible separar el continuum
dinámica parte del problema del comportamiento inherente del material. Relaciones
describiendo las propiedades de diferentes tipos de material se puede encapsular en una forma de biblioteca
donde el programa de dinámica continua no necesita saber nada sobre las relaciones para
tipo cífico de material, y viceversa. Los programas de dinámica continua y el material
las relaciones de propiedades pueden ser desarrolladas y mantenidas independientemente unas de otras, siempre y cuando
que la interfaz sigue siendo la misma (cuadro I). Esta es una manera eficiente de complicar
modelos de materiales disponibles para simulaciones de diferentes tipos, incluyendo Lagrangian y Eule-
rios que funcionan en diferentes números de dimensiones, y cálculos de
historial de carga o calefacción, como el choque y la carga en rampa que se examina a continuación. Programas informáticos en-
terfaces se han desarrollado en el pasado para escalar EOS con una sola estructura para el estado
[12], pero las técnicas orientadas a objetos hacen práctico extender el concepto a mucho más
estados complicados, a combinaciones de modelos, y a tipos alternativos de modelos seleccionados
cuando se ejecuta el programa, sin tener que encontrar un solo estado super-set que abarque todo
posibles estados como casos especiales.
Una gama muy amplia de tipos de comportamiento material se puede representar con este formalismo.
En el nivel más alto, diferentes tipos de comportamiento se caracterizan por diferentes estructuras para
el estado s (cuadro II). Para cada tipo de estado, se pueden definir diferentes modelos específicos, tales como:
como gas perfecto, politrópico y Grüneisen EOS. Para cada modelo específico, diferentes materiales
se representan eligiendo diferentes valores para los parámetros en el modelo, y diferentes
los estados materiales locales se representan a través de diferentes valores para los componentes de s.
jerga de programación orientada a objetos, la capacidad de definir un objeto cuyo tipo preciso
no está determinado hasta que el programa se ejecuta se conoce como polimorfismo. Para nuestra aplicación,
polimorfismo se utiliza en varios niveles en la jerarquía de objetos, desde el tipo general de un
material (como «uno representado por un EOS de presión-densidad-energía» o «uno representado por
un modelo de estrés desviatorio») a través del tipo de relación utilizado para describir las propiedades de
tipo de material (como gas perfecto, politrópico, o Grüneisen para una densidad de presión-energía
EOS, o Steinberg-Guinan [13] o Preston-Tonks-Wallace [14] para un modelo de estrés desviatorio,
al tipo de función matemática general utilizada para representar algunas de estas relaciones (como
como polinomio o representación tabular de γ(l) en un EOS politrópico) (Tabla III). Estados
o modelos pueden definirse extendiendo o combinando otros estados o modelos - esto puede ser
se aplica utilizando el concepto de herencia basado en la programación orientada a los objetos. Así desviatoria
modelos de estrés pueden definirse como una extensión a cualquier presión-densidad-energía EOS (que son
Por lo general escrito asumiendo un tipo específico, como la forma cúbica Grüneisen de Steinberg), homo-
las mezclas genéticas pueden definirse como combinaciones de cualquier EOS a presión-densidad-temperatura,
y mezclas heterogéneas pueden definirse como combinaciones de materiales representados cada uno
por cualquier tipo de modelo de material.
Las implementaciones de prueba se han hecho como bibliotecas en la programación C++ y Java
idiomas [15]. La interfaz externa con las propiedades del material era general a nivel
de representar un tipo y estado de material genérico. El tipo de estado y modelo eran entonces
seleccionado cuando los programas que utilizan la biblioteca de propiedades de material se ejecutaron. En C++, objetos
que eran polimórficos en el tiempo de ejecución tuvo que ser representado como punteros, lo que requiere adicional
construcciones de software para asignar y liberar la memoria física asociada con cada objeto.
Era posible incluir funciones reutilizables generales como objetos polimórficos al definir
modelos: funciones reales de un parámetro real podrían ser polinomios, trascendentales, tabular
con diferentes sistemas de interpolación, definiciones por partes en diferentes regiones de la
línea dimensional, sumas, productos, etc; otra vez definido específicamente en el tiempo de ejecución. Orientado a los objetos
El polimorfismo y la herencia eran por lo tanto técnicas muy poderosas para aumentar el software
reutilizar, haciendo el software más compacto y más fiable a través de un mayor uso de
funciones que ya se habían puesto a prueba.
Dadas las estructuras conceptuales y de software diseñadas para representar
lazos adecuados para su uso en simulaciones de dinámica de continuum espacialmente resueltos, ahora consideramos
el uso de estos modelos genéricos de material para calcular las rutas de carga idealizadas.
III. CARGA DE UN DIMENSIONAL IDEALIZADA
Experimentos para investigar la respuesta de los materiales a la carga dinámica, y para calibrar
los parámetros en los modelos de su comportamiento, son generalmente diseñados para aplicar como simple una carga
la historia como es consistente con el estado transitorio de interés. Los tipos canónicos más simples de
el historial de carga son el choque y la rampa [5, 6]. Los métodos de solución se presentan para el cálculo
el resultado del choque y la carga en rampa para los materiales descritos por los modelos de materiales generalizados
se examina en la sección anterior. Tal solución directa elimina la necesidad de utilizar un tiempo-
y simulación de la dinámica del continuum resuelta desde el espacio, que permite calcular los estados con
mucho mayor eficiencia y sin la necesidad de tener en cuenta y tener en cuenta los atributos de
simulaciones resueltas como la resolución numérica finita y el efecto de la resolución numérica y
viscosidades artificiales.
A. Compresión de rampas
La compresión de la rampa se toma aquí para significar compresión o descompresión. Si el material
está representado por un EOS escalar invisible, es decir. ignorando procesos disipativos y no escalares
efectos de la tensión elástica, la compresión de la rampa sigue un isentrope. Esto ya no es cierto.
cuando se producen procesos disipativos como el calentamiento de plástico. El término «cuasi-isentrópico» es
a veces utilizados en este contexto, especialmente para la compresión sin golpes; aquí preferimos
se refieren a las trayectorias termodinámicas como adiabats, ya que se trata de un término más adecuado:
ningún calor se intercambia con el entorno en las escalas de tiempo de interés.
Para la compresión adiabática, el estado evoluciona de acuerdo con la segunda ley de termo-
los namics,
de = T dS − p dv (6)
donde T es la temperatura y S la entropía específica. Por lo tanto
ė = T − p v = T −
pdiv~u
, (7)
o para un material más general cuyo tensor de tensión sea más complicado que una presión escalar,
de = T dS + n dv ė = T +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
en la que el componente del estrés es normal a la dirección de la deformación. La velocidad
El gradiente se expresó a través de un factor de compresión η ° ° ° ° ° ° y una tasa de deformación. En total
experimentos en rampa utilizados en el desarrollo y calibración de modelos de materiales precisos,
la cepa se ha aplicado uniaxialmente. Vías de deformación más generales, por ejemplo isotrópicas o
incluyendo un componente de corte, puede ser tratado por el mismo formalismo, y que el trabajo
tasa es entonces un producto interno completo de los tensores de tensión y tensión.
La aceleración o desaceleración del material normal a la onda a medida que se comprime
o expandido adiabáticamente es
, (9)
de la cual puede deducirse que
donde cl es la velocidad de onda longitudinal.
Como con la dinámica del continuum, la evolución interna del estado material se puede calcular
simultáneamente con las ecuaciones de continuum, o operador dividido y calculado periódicamente
a compresión constante [16]. Los resultados son iguales al segundo orden en la compresión
incremento. El fraccionamiento del operador permite realizar los cálculos sin un explici-
tropy, si las ecuaciones del continuum están integradas isentrópicamente y los procesos disipativos son
capturado por la evolución interna en constante compresión.
La división del operador es deseable cuando la evolución interna puede producir altamente no lineal
cambios, como la reacción del sólido al gas: cambios rápidos en el estado y las propiedades pueden
que los esquemas numéricos sean inestables. El reparto de operadores también es deseable cuando la integración
el paso del tiempo para la evolución interna es mucho más corto que el paso del tiempo de la dinámica continua.
Ninguna de estas consideraciones es muy importante para la compresión de rampas sin res-
olución, pero el operador-splitting se utilizó como una opción en los cálculos de compresión de rampa
para la coherencia con las simulaciones de dinámica continuum.
Las ecuaciones de compresión de rampa se integraron usando Runge-Kutta nu-
esquemas mericos de segundo orden. El esquema del cuarto orden es una extensión trivial. Los
la secuencia de operaciones para calcular un incremento de compresión de rampa es la siguiente:
1. Incremento de tiempo:
T = −
ln
2. Predictor:
s(t + t/2) = s(t) +
(m(s)(t), ) (12)
3. Corrector:
s(t+ t) = s(t) + tóm(s(t+ t/2), ) (13)
4. Evolución interna:
s(t+ t) → s(t+ t) +
∫ tÃ3 °t
•i(s)(t)
′), ) dt′ (14)
donde m es la evolución del estado dependiente del modelo a partir de la cepa aplicada, y i es interna
evolución en constante compresión.
La variable independiente para la integración es volumen específico v o densidad de masa
los pasos finitos de integración numérica son tomados en ♥ y v. El tamaño del paso se puede controlar así
que el error numérico durante la integración permanece dentro de los límites elegidos. Un adiabat tabular
se puede calcular mediante la integración en un rango de v o ♥, pero al simular experimental
escenarios el límite superior para la integración suele ser que uno de los otros termodinámicos
las cantidades alcanzan un valor determinado, por ejemplo, que el componente normal del estrés alcanza
cero, que es el caso en la liberación de un estado de alta presión en una superficie libre. Específico
condiciones finales se encontraron mediante el seguimiento de la cantidad de interés hasta que entre corchetes por un finito
paso de integración, a continuación, biseccionar hasta que la condición de parada se satisfizo a una precisión elegida.
Durante la bisección, cada cálculo de ensayo se realizó como una integración desde el primer lado
del soporte por la compresión del ensayo.
B. Compresión por choque
La compresión de choque es la solución de un problema de Riemann para la dinámica de un salto
en compresión moviéndose con velocidad constante y con un espesor constante. El Rankine...
Las ecuaciones de Hugoniot (RH) [5] que describen la compresión de choque de la materia se derivan en
la aproximación del continuum, donde el choque es una discontinuidad formal en el continuum
campos. En realidad, la materia está compuesta de átomos, y los choques tienen un ancho finito gobernado por
la cinética de los procesos disipativos – a un nivel fundamental, la materia no distingue
entre compresión de choque y compresión de rampa con una alta tasa de deformación, pero el RH
las ecuaciones se aplican siempre y cuando la anchura de la región de la materia donde los procesos no resueltos
ocurren es constante. En comparación con los estados isentrópicos inducidos por la compresión de rampa en
un material representado por un EOS, un choque siempre aumenta la entropía y por lo tanto la
temperatura. Con procesos disipativos incluidos, la distinción entre una rampa y una
El shock se puede desdibujar.
Las ecuaciones RH expresan la conservación de la masa, el impulso y la energía a través de un
la discontinuidad en movimiento en estado. Por lo general se expresan en términos de la presión, pero son
fácilmente generalizado para materiales que soportan tensiones de cizallamiento mediante el uso del componente de estrés
normal al choque (es decir, paralelo con la dirección de propagación del choque),
u2s = −v
N-N-N-N-O-N-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O-O
v0 − v
, (15)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
— (ln) — (l) — (l) — (l) — (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
e = e0 −
(ln + ln0)(v0 − v), (17)
donde nosotros es la velocidad de la onda de choque con respecto al material, arriba es el cambio en
velocidad del material normal a la onda de choque (es decir, paralela a su dirección de propagación), y
El subíndice 0 se refiere al estado inicial.
Las relaciones RH se pueden aplicar a los modelos de material general si una escala de tiempo o velocidad de deformación
se impone, y una orientación elegida para el material con respecto al choque. Shock
la compresión en la dinámica del continuum es casi siempre uniaxial.
Las ecuaciones RH implican sólo los estados inicial y final en el material. Si un material
tiene propiedades que dependen de la trayectoria de deformación – tales como flujo de plástico o viscosidad –
entonces físicamente la estructura de choque detallada puede hacer una diferencia [17]. Esto es una limitación.
de choques discontinuos en la dinámica del continuum: puede abordarse como se ha señalado anteriormente
mediante la inclusión de procesos disipativos y la consideración de la compresión en rampa, si la
Los procesos pueden representarse adecuadamente en la aproximación del continuum. Resuelto desde el punto de vista espacial
simulaciones con diferenciación numérica para obtener derivados espaciales y tiempo de avance
las diferencias no suelen ser capaces de representar las discontinuidades de choque directamente, y un
la viscosidad artificial se utiliza para la compresión de choque de frotis en unas pocas células espaciales [18]. Los
trayectoria seguida por el material en el espacio termodinámico es un adiabat suave con dissi-
calefacción pative suministrada por la viscosidad artificial. Si el trabajo de plástico también se incluye durante este
compresión adiabática, el calentamiento total para una compresión dada es mayor que desde el
Ecuaciones RH. Para ser consistente, el flujo de plástico debe ser descuidado mientras la viscosidad artificial
no es cero. Esta desactivación localizada de los procesos físicos, en particular los que dependen del tiempo,
durante el paso de la conmoción no físicamente manchada se encontró previamente necesario para
simulaciones numéricamente estables de ondas de detonación por flujo reactivo [19].
Las ondas de detonación son ondas de choque reactivas. Detonación plana constante (el Chapman-
Estado de Jouguet [20]) puede calcularse utilizando las relaciones RH, mediante la imposición de la condición
que el estado material detrás del shock es totalmente reaccionado.
Varios métodos numéricos se han utilizado para resolver las ecuaciones RH para los materiales repré-
enviado por un EOS únicamente [21, 22]. Las ecuaciones generales de RH pueden ser resueltas numéricamente para un
compresión de choque dada variando la energía interna específica e hasta el estrés normal
del modelo material es igual a la de la ecuación de energía RH, Eq. 17. El shock y
Las velocidades de partículas se calculan a partir de Eqs 15 y 16. Este método numérico es particu-
larly conveniente para EOS de la forma p(l, e), ya que e puede variar directamente. Las soluciones todavía pueden
se encuentran para los modelos de material general que utilizan (ė), por lo que la energía puede ser variada hasta
se encuentra la solución.
Numéricamente, la solución se encontró por soporte y bisección:
1. Para la compresión dada, tomar el extremo de baja energía para el soporte como un estado cercano
s− (por ejemplo: el estado anterior, de compresión inferior, en el Hugoniot), adia comprimida
baticamente (estado s"), y se enfría por lo que la energía interna específica es e(s-).
2. Bracket el estado deseado: aplicar incrementos de calefacción sucesivamente más grandes
en cada estado de ensayo internamente, hasta que el (los) n(s) del modelo de material supere el (e − e0)
de Eq. 17.
3. Bisecte en la e, evolucionando cada estado de prueba internamente, hasta que el n(s) es igual al n(e − e0) a la
precisión deseada.
Al igual que con la compresión en rampa, la variable independiente para la solución fue la densidad de masa
y pasos finitos fueron tomados. Cada estado de shock fue calculado independientemente del resto,
así que los errores numéricos no se acumularon a lo largo del shock Hugoniot. La exactitud de la
la solución era independiente de. Un Hugoniot tabular se puede calcular resolviendo sobre un
rango de............................................................................................................................
calcular el estado de choque en el que una de las otras cantidades termodinámicas alcanza una determinada
valor, a menudo que hasta y Łn coinciden con los valores de otro, cálculo de choque simultáneo
para otro material – la situación en los problemas de transmisión de impactos y choques, discutido
abajo. Las condiciones específicas de parada se comprobaron mediante el control de la cantidad de interés hasta
entre corchetes por un paso de solución finita, luego bisecar hasta que la condición de parada se satisfizo a un
Precisión elegida. Durante la bisección, cada cálculo de ensayo se realizó como un shock de la
condiciones iniciales para la compresión de choque del ensayo.
C. Precisión: aplicación al aire
La precisión de estos esquemas numéricos fue probada comparando con el choque y la rampa
compresión de un material representado por un EOS de gas perfecto,
p = (γ − 1) (18)
La solución numérica requiere que se elija un valor para cada parámetro del material
modelo, aquí γ. El aire fue elegido como material de ejemplo, con γ = 1.4. Aire en el tem-
la peratura y la presión tienen unas dimensiones aproximadas de 10 a 3 g/cm3 y de 0,25 MJ/kg. Isentropos
para el gas perfecto EOS tienen la forma
p = constante, (19)
y el shock Hugoniots tienen la forma
p = (γ − 1)
2e0-0 p0( 0)
(γ + 1)}0 − (γ − 1)
. (20)
Las soluciones numéricas reprodujeron el isentrope principal y Hugoniot al 10-3% y al 0,1%
respectivamente, para un incremento de compresión del 1% a lo largo del isentrope y una tolerancia a la solución
de 10-6GPa por cada estado de shock (fig. 1). Sobre la mayor parte del rango, el error en el Hugoniot
fue igual o inferior al 0,02%, aproximándose sólo al 0,1% cerca de la compresión máxima de choque.
IV. COMPLEJO COMPATIBILIDAD DE LA IMPORTACIÓN CONDENADA
La capacidad de calcular choque y loci rampa en el espacio de estado, es decir. en función de la diversidad de
las condiciones de carga, es particularmente conveniente para investigar aspectos complejos de la
respuesta de la materia condensada a la carga dinámica. Cada locus puede ser obtenido por un solo
serie de soluciones de choque o rampa, en lugar de tener que realizar una serie de tiempo y espacio-
simulaciones de dinámica continua resueltas, variando las condiciones iniciales o de frontera, y
reducir la solución. Consideramos el cálculo de la temperatura en el escalar EOS, el
efecto de la fuerza material y el efecto de los cambios de fase.
A. Temperatura
Las ecuaciones de dinámica continua se pueden cerrar usando un EOS mecánico relacionado con el estrés
a la densidad de masa, la tensión y la energía interna. Para un EOS escalar, la forma ideal para cerrar el
ecuaciones continuum es p(l, e), con s =, e} la elección natural para el estado primitivo
campos. Sin embargo, la temperatura es necesaria como parámetro en las descripciones físicas de muchos
contribuciones a la respuesta constitutiva, incluidos el flujo de plástico, las transiciones de fase, y
reacciones químicas. Aquí, discutimos el cálculo de la temperatura en diferentes formas de la
escalar EOS.
1. Ecuaciones de densidad-temperatura del estado
Si el EOS escalar se construye a partir de sus contribuciones físicas subyacentes para el continuum
la dinámica, puede tomar la forma e(l, T ), a partir de la cual p(l, T ) se puede calcular utilizando la
segunda ley de la termodinámica [10]. Un ejemplo es la forma ‘SESAME’ de EOS, basada en
relaciones tabulares interpoladas para {p, e}(l, T ) [23]. Un par de relaciones {p, e}(l, T ) puede ser
utilizado como un EOS mecánico mediante la eliminación de T, que es equivalente a invertir e(l, T ) para encontrar
T (l, e), sustituyéndolo en p(l, T ). Para una relación general e(l, T ), por ejemplo para la
SESAME EOS, el inverso se puede calcular numéricamente según sea necesario, a lo largo de un isochore. In
de esta manera, un {p, e}(l, T ) puede ser utilizado como un p(l, e) EOS.
Alternativamente, la misma relación p(l, T ) se puede utilizar directamente con un campo de estado primitivo
incluyendo la temperatura en lugar de la energía: s =, T}. La evolución del estado bajo
El trabajo mecánico implica entonces el cálculo de (ė), es decir. el recíproco del calor específico
capacidad, que es un derivado de e(l, T ). Dado que este cálculo no requiere que e(l, T ) sea
invertido, es computacionalmente más eficiente para utilizar {p, e}(l, T ) EOS con una temperatura-
Estado basado, en lugar de basado en la energía. La principal desventaja es que es más difícil
para garantizar la conservación exacta de la energía a medida que las ecuaciones de dinámica continua se integran en
tiempo, pero cualquier desviación de la conservación exacta está en el nivel de precisión del algoritmo
utilizado para integrar la capacidad de calor.
Ambas estructuras de EOS han sido implementadas para cálculos de propiedades materiales. Tomando
a SESAME tipo EOS, los loci termodinámicos fueron calculados con, e} o, T} primitivos
los estados, para la comparación (Fig. 2). Para un EOS monotónico, los resultados fueron indistinguibles
dentro de las diferencias de interpolación hacia adelante o hacia atrás de las relaciones tabulares. Cuándo
el EOS, o la superficie efectiva utilizando un orden dado de función de interpolación, no fue
monotónicos, los resultados variaron mucho debido a la no-unidad al eliminar T para el
, e} estado primitivo.
2. Modelo de temperatura para ecuaciones mecánicas de estado
EOS mecánicos a menudo están disponibles como empíricas, algebraicas relaciones p(l, e), derivadas de
Datos de choque. La temperatura se puede calcular sin alterar el EOS mecánico añadiendo
a relación T (l, e). Si bien esta relación podría adoptar cualquier forma en principio, también se puede seguir
la lógica del Grüneisen EOS, en la que la presión se define en términos de su desviación
(p, e-er) de una curva de referencia {pr, er}(l). Por lo tanto, las temperaturas se pueden calcular por
referencia a una curva de compresión a lo largo de la cual la temperatura y la energía interna específica
son conocidos, {Tr, er}(l), y una capacidad calorífica específica definida como función de la densidad cv(l).
En los cálculos, esta EOS aumentada se representó como una forma «mecánica-térmica»
que comprende cualquier p(e), e) EOS más las curvas de referencia – un ejemplo de herencia de software
y polimorfismo.
Una curva de referencia natural para la temperatura es la curva de frío, Tr = 0K. La curva de frío
puede estimarse a partir del isentrope principal e(l)s0 utilizando la variación de densidad estimada
del parámetro Grüneisen:
er(l) = e(l)s0 − T0cpe
a(10/l)
)γ0−a
[24]. En este trabajo, el isentropo principal se calculó en forma tabular a partir de la mecánica
EOS, usando el algoritmo de compresión de rampa descrito anteriormente.
El EOS empírico se calibra con datos experimentales. Amortiguación y compresión adiabática
medidas en materiales fuertes inevitablemente incluyen contribuciones elásticas-plásticas, así como
el EOS escalar en sí mismo. Si las contribuciones elásticas-plásticas no se tienen en cuenta
sistemáticamente, la EOS puede incluir implícitamente contribuciones de la fuerza. Un único
EOS escalar se puede construir para reproducir el estrés normal en función de la compresión
para cualquier trayectoria de carga única: choque o adiabat, para una tensión constante o que varíe suavemente
tasa. Tal EOS generalmente no predeciría la respuesta a otras historias de carga. Los
EOS y propiedades constitutivas de los materiales considerados aquí fueron construidos auto-
consistentemente a partir de datos de choque – esto no significa que los modelos son precisos para otras cargas
caminos, ya que ni el EOS ni el modelo de fuerza incluye todos los términos físicos que real
exposición de materiales. Esto no importa en ningún caso a los efectos de demostrar
propiedades de los esquemas numéricos.
Este procedimiento mecánico-térmico se aplicó a Al utilizando un Grüneisen EOS instalado en el
los mismos datos de choque utilizados para calcular el {p, e}(l, T ) EOS analizado anteriormente [24]. Temperaturas
estaban de acuerdo (Fig. 2). Los cálculos mecánicos-térmicos requirieron un similar
esfuerzo computacional para el tabular {p, e}(l, T ) EOS con un, T} estados primitivos (y
eran por lo tanto mucho más eficiente que el EOS tabular con, e} estados), y describió el
EOS mucho más compacto.
B. Dosis
Para compresiones dinámicas a o(10GPa) y superiores, en escalas de tiempo de microsegundo, el flujo
El estrés de los sólidos a menudo se trata como una corrección o una pequeña perturbación del EOS escalar.
Sin embargo, se ha observado que el estrés de flujo es mucho mayor en las escalas de tiempo de nanosegundos
[25], y las interacciones entre ondas elásticas y plásticas pueden tener un efecto significativo sobre
la compresión y la propagación de ondas. Las ecuaciones de Rankine-Hugoniot deben ser resueltas
auto-consistente con la fuerza incluida.
1. Representación preferida de la fuerza isotrópica
Existe una inconsistencia en el tratamiento de la dinámica continua estándar de escalar (pres-
respuesta del tensor (estrés). El EOS escalar expresa la presión p(l, e) como la
cantidad dependiente, que es la forma más conveniente para su uso en las ecuaciones de continuum.
La práctica habitual consiste en utilizar la elasticidad subhookea (forma hipoelástica) [16] (cuadro II), en
que los parámetros de estado incluyen el desviador de estrés
= G(s) (22)
donde G es el módulo de corte y el desviador de la tasa de deformación. Por lo tanto, el isotrópico y el devia-
las contribuciones técnicas al estrés no se tratan de manera equivalente: la presión se calcula
de un estado local que implica un parámetro similar a la deformación (densidad de masa), mientras que el estrés de-
viator evoluciona con el tiempo-derivado de la cepa. Esta inconsistencia causa problemas a lo largo de
rutas de carga complicadas porque G varía fuertemente con la compresión: si un material es sub-
se inyecta a una cepa de cizallamiento, a continuación, compresión isotrópica (aumento del módulo de cizallamiento de
G a G′, dejando sin cambios ), después la descarga de cizallamiento a la tensión isotrópica, la descarga verdadera
la cepa es, mientras que el cálculo hipoelástico requeriría una cepa de G/G′. Uso
Ser y el modelo de fuerza Steinberg-Guinan como ejemplo de la diferencia entre
cálculos poelásticos e hiperelásticos, considerar una cepa inicial a un esfuerzo de flujo de 0.3GPa
seguido de compresión isotrópica isotrópica a 100GPa,. la cepa a descargar a un estado
de estrés isotrópico es 0,20% (hiperelástico) y 0,09% (hipoelástico). La discrepancia surge
porque el modelo hipoelástico no aumenta el estrés desviatorio en la compresión en
tensión desviatoria constante.
El estrés puede ser considerado como una respuesta directa del material al estado instantáneo
de cepa elástica: (, T ). Esta relación puede predecirse directamente con la estructura electrónica
cálculos del tensor de tensión en un sólido para un determinado estado de compresión y tensión elástica [11],
y es una generalización directa de la ecuación escalar del estado. Una representación más coherente
de los parámetros de estado es utilizar el desviador de la deformación más bien que el desviador de la deformación, y calcular a partir de
rascar cuando sea necesario utilizando
= G(s)® (23)
– una formulación hiperelástica. Los parámetros de estado son entonces, e,, p}.
Las diferentes formulaciones dan diferentes respuestas cuando se acumula tensión desviatoria
a diferentes compresiones, en cuyo caso la formulación hiperelástica es correcta. Si la cizalla
El módulo varía con el desviador de deformación – es decir, para la elasticidad no lineal – a continuación, la definición de
G() debe ajustarse para dar el mismo estrés para una determinada cepa.
Muchos modelos de resistencia isotrópica utilizan medidas escalares de la tensión y el estrés para
terilizar el trabajo endurecimiento y aplicar un modelo de rendimiento de tensión de flujo:
F2, =
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (24)
Los diferentes trabajadores han utilizado convenios inconsistentes para medidas escalares equivalentes.
En el presente trabajo, se utilizó la convención de física de choque común que el estrés de flujo
componente de la
Y donde Y es el estrés de flujo. Por coherencia con las velocidades publicadas
y amplitudes para ondas elásticas,
, en contraste con otros valores utilizados anteriormente
para una deformación de menor velocidad [26]. En principio, los valores de las letras f) y f) no importan mientras
los parámetros de resistencia fueron calibrados utilizando los mismos valores utilizados en cualquier simulación.
2. Berilio
La tensión de flujo medida a partir de los experimentos de choque impulsados por láser en los cristales de Be unas pocas decenas
de micrómetros de espesor es, en torno a 5-9GPa [25], mucho mayor que el
seguro en escalas de tiempo de microsegundos. Un modelo de plasticidad cristalina dependiente del tiempo para Be está siendo
desarrollado, y el comportamiento bajo carga dinámica depende del tiempo detallado depen-
Dence de la plasticidad. Los cálculos se realizaron con el modelo de resistencia Steinberg-Guinan
desarrollados para datos a escala de microsegundos [24], y, a efectos de comparación aproximada, con
respuesta elástica-perfectamente plástica con un esfuerzo de flujo de 10GPa. El plástico elástico perfectamente
modelo descuidado presión- y trabajo- endurecimiento.
Se hicieron cálculos del principal adiabat y el shock Hugoniot, y de una liberación
adiabat de un estado en el principal Hugoniot. Los cálculos se hicieron con y sin
fuerza. Teniendo en cuenta las trayectorias del estado en el espacio de volumen de estrés, es interesante notar
que el calentamiento del flujo de plástico puede empujar el adiabat por encima del Hugoniot, debido a la
mayor calentamiento obtenido mediante la integración a lo largo del adiabat en comparación con el salto de
el estado inicial al final en el Hugoniot (Fig. 3). Incluso con un plástico elástico perfecto
modelo de fuerza, las curvas con fuerza no mienten exactamente 2
Y por encima de las curvas sin fuerza,
porque la calefacción a partir del flujo de plástico contribuye a aumentar la cantidad de energía interna a la
EOS a medida que aumenta la compresión.
Una característica importante para la siembra de inestabilidades por variaciones microestructurales
en respuesta de choque es el estrés de choque en el que una onda elástica no se ejecuta por delante de la
Choque. En Be con el alto estrés de flujo de la respuesta nanosegundo, la relación entre el choque
y la velocidad de las partículas es significativamente diferente de la relación para el bajo esfuerzo de flujo (Fig. 4). Por
bajo esfuerzo de flujo, la onda elástica viaja a 13,2 km/s. Un choque de plástico viaja más rápido que esto
para presiones superiores a 110GPa, independientemente del modelo constitutivo. La velocidad de un
choque de plástico después de la onda elástica inicial es similar a la caja de baja resistencia, porque el
el material ya está en su tensión de flujo, pero la velocidad de un solo choque de plástico es sensiblemente
Más alto.
Para la compresión a una tensión normal dada, la temperatura es significativamente más alta con
flujo de plástico incluido. La calefacción adicional es particularmente llama-
abat: la temperatura se aparta significativamente del isentropo principal. Así la onda de la rampa
la compresión de materiales fuertes puede conducir a niveles significativos de calefacción, contrariamente a
la hipótesis de pequeñas subidas de temperatura [27]. El flujo de plástico es en gran parte irreversible, así que
la calefacción se produce tanto en la descarga como en la carga. Por lo tanto, en la liberación adiabática de un shock-
estado comprimido, se produce calefacción adicional en comparación con el caso sin resistencia. Estos
los niveles de calentamiento son importantes ya que el choque o el derretimiento de la liberación pueden ocurrir a una
presión de choque de lo que cabría esperar ignorando el efecto de la fuerza. (Fig. 5.)
C. Cambios de fase
Una propiedad importante de la materia condensada son los cambios de fase, incluyendo polisólidos sólidos
Morfismo y líquido sólido. Un diagrama de fase de equilibrio se puede representar como un solo
superficie total de EOS como antes. Múltiples fases competidoras con cinética para cada fase trans-
formación se puede representar convenientemente utilizando la estructura descrita anteriormente para general
propiedades materiales, por ejemplo, al describir el estado local como un conjunto de fracciones de volumen
fi de cada posible fase de EOS simple, con tasas de transición y equilibrio entre ellas.
Este modelo se describe con más detalle en otras partes [19]. Sin embargo, es interesante investigar
puerta la robustez del esquema numérico para calcular el choque Hugoniots cuando el EOS
tiene las discontinuidades en valor y gradiente asociadas con los cambios de fase.
El EOS de metal fundido, y la transición de fase sólido-líquido, se puede representar a un
aproximación razonable como ajuste a la EOS del sólido:
pdosfase(l, e) = psólido(l, ) (25)
donde
e : T (l, e) < Tm(l)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ehm : de lo contrario
es el calor específico latente de la fusión. Tomando el EOS y un Lindemann modificado
la curva de fusión para Al [24], y utilizando el algoritmo de choque Hugoniot fue
se encontró que funciona de forma estable a lo largo de la transición de fase (Fig. 6).
V. PATOS COMPUESTOS DE CARGO
Dados los métodos para calcular el choque y las rutas de carga adiabáticas desde el inicial arbitrario
los estados, una variedad considerable de escenarios experimentales se pueden tratar a partir de la interacción
de ondas de carga o descarga con interfaces entre diferentes materiales, en geometría plana
para la compresión uniaxial. La restricción física clave es que, si dos materiales diferentes son
para permanecer en contacto después de una interacción como un impacto o el paso de un shock, el
la velocidad normal de la tensión y la velocidad de las partículas en ambos materiales deben ser iguales a ambos lados de la
interfaz. El cambio en la velocidad de las partículas y el estrés normal a las ondas fueron calculados arriba
para ondas de compresión que corren en la dirección de aumentar la ordenación espacial (de izquierda a derecha).
A través de una interfaz, el sentido se invierte para el material a la izquierda. Por lo tanto, un proyectil
impacto en un objetivo estacionario a la derecha se desacelera a partir de su velocidad inicial por el choque
inducidos por el impacto.
El problema general en una interfaz se puede analizar considerando los estados en el
instantánea del primer contacto – en el impacto, o cuando un shock viaja a través de un sandwich de ma-
terials primero llega a la interfaz. Los estados iniciales son {ul, sl; ur, sr}. Los estados finales son
{uj, s
l; uj, r
r} donde uj es la velocidad de la partícula de la junta, n(s)
l) = n(s)
r), y s
i está conectado a si
por un shock o un adiabat, comenzando con la velocidad inicial y el estrés adecuados, y
con la orientación dada por el lado del sistema cada material se produce en. Cada tipo de onda
se considera a su vez, en busca de una intersección en el plano ascendente. Ejemplos de ello
Las interacciones de ondas son el impacto de un proyectil con un objetivo estacionario (Fig. 7), liberación de un
estado de choque en una superficie libre o un material (por ejemplo, a ventana) de menor impedancia de choque (de ahí
reflejando una onda de liberación en el material conmocionado – Fig. 8), que chocan en una superficie con una
material de mayor impedancia al choque (fig. 8), o tensión inducida como materiales tratar de separar
en direcciones opuestas cuando se une una interfaz enlazada (Fig. 9). Cada uno de estos escenarios
puede ocurrir a su vez después del impacto de un proyectil con un objetivo: si el objetivo está en capas
entonces un choque se transmite a través de cada interfaz con una liberación o una réplica reflejada en la espalda,
dependiendo de los materiales; la liberación se produce en última instancia en la parte trasera del proyectil y el
el extremo lejano del objetivo, y las ondas de liberación que se mueven opuestamente sujetan el proyectil y
objetivo a tensiones de tracción cuando interactúan (Fig. 10).
Como ilustración de la combinación de cálculos de choque y carga en rampa, considere el problema
de un proyectil Al, viajando inicialmente a 3,6 km/s, impactando en un objetivo compuesto estacionario
que comprende una muestra de Mo y una ventana de liberación de LiF [28, 29]. Los estados de shock y liberación fueron
calculados utilizando propiedades de materiales publicados [24]. El estado de shock inicial se calculó para
tiene un estrés normal de 63.9GPa. Al llegar a la LiF, el shock fue calculado para transmitir
a 27.1GPa, reflejándose como un lanzamiento en el Mo. Estos esfuerzos coinciden con la dinámica del continuum
simulación a dentro de 0,1GPa en el Mo y 0,3GPa en el LiF, utilizando el mismo material
propiedades (Fig. 11). Las velocidades de onda y partícula asociadas coinciden con una precisión similar;
Las velocidades de onda son mucho más difíciles de extraer de la simulación de la dinámica de continuum.
Una extensión de este análisis se puede utilizar para calcular la interacción de choques oblicuos
con una interfaz [30].
VI. CONCLUSIONES
Se elaboró una formulación general para representar modelos de materiales para aplicaciones en
carga dinámica, adecuada para la implementación de software en la programación orientada a objetos lan-
¡Guages! Se diseñaron métodos numéricos para calcular la respuesta de la materia representada
por los modelos de material general para la compresión de golpes y rampas, y la descompresión de rampas,
mediante la evaluación directa de las vías termodinámicas para estas compresiones en lugar de
simulaciones espacialmente resueltas. Este enfoque es una generalización de la labor anterior sobre soluciones
para los materiales representados por una ecuación escalar de estado. Los métodos numéricos fueron encontrados
ser flexible y robusto: capaz de aplicarse a materiales con propiedades muy diferentes.
Las soluciones numéricas combinaban los resultados analíticos con una alta precisión.
Se necesita atención con la interpretación de algunos tipos de respuesta física, como por ejemplo:
flujo tic, cuando se aplica a la deformación a altas tasas de deformación. La dependencia temporal subyacente
deben tenerse en cuenta los procesos que se produzcan durante la deformación. La historia real
la carga y el calentamiento experimentados por el material durante el paso de un choque puede influir
el estado final – esta historia no se captura en la aproximación continuum al material
dinámica, donde los choques se tratan como discontinuidades. Por lo tanto, la atención también es necesaria en el spa.
simulaciones resueltas cuando los choques se modelan utilizando la viscosidad artificial para untarlos
unphysically sobre un espesor finito.
Se demostró que los cálculos demuestran el funcionamiento de los algoritmos de choque y
compresión de rampa con modelos de material representativos de sólidos complejos, incluida la resistencia
y las transformaciones de fase.
Los métodos básicos de la rampa y la solución de choque se acoplaron para resolver
Vías de comunicación, tales como impactos inducidos por choque, e interacciones de choque con una interfaz planar
entre diferentes materiales. Tales cálculos captan gran parte de la física de la
experimentos de dinámica terial, sin requerir simulaciones de resolución espacial. Resultados
de la solución directa de las condiciones de choque y de carga en rampa pertinentes se compararon con
simulaciones de hidrocódigo, mostrando consistencia completa.
Agradecimientos
Ian Gray presentó al autor el concepto de propiedades materiales multimodelo
ware. Lee Markland desarrolló un prototipo de programa informático de cálculo de Hugoniot para
ecuaciones de estado mientras trabaja para el autor como estudiante de verano de pregrado.
El trabajo evolutivo sobre las bibliotecas de propiedades materiales fue apoyado por el U.K. Atomic
Establecimiento de Armas, Fluid Gravity Engineering Ltd, y Wessex Científico y Técnico
Services Ltd. Los refinamientos de la técnica y las aplicaciones a los problemas descritos fueron:
realizado en el Laboratorio Nacional de Los Alamos (LANL) y Lawrence Livermore National
Laboratorio (LLNL).
El trabajo se llevó a cabo parcialmente en apoyo de, y financiado por,
programa de fusión de confinamiento inercial de la Agencia de curidad en LANL (gestionado por Steven Batha),
Proyecto de Investigación y Desarrollo Dirigido a Laboratorios y LLNL 06-SI-004 (Principal
Investigador: Héctor Lorenzana). El trabajo se llevó a cabo bajo los auspicios de los Estados Unidos.
Departamento de Energía en virtud de los contratos W-7405-ENG-36, DE-AC52-06NA25396 y DE-
AC52-07NA27344.
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[5] Para una revisión e introducción recientes, véase, por ejemplo: M.R. Boslough y J.R. Asay, en J.R. Asay,
M. Shahinpoor (Eds), “Compresión de choque de alta presión de sólidos” (Springer-Verlag, New
York, 1992).
[6] Por ejemplo, C.A. Hall, J.R. Asay, M.D. Knudson, W.A. Stygar, R.B. Spielman, T.D. Pointon,
D.B. Reisman, A. Toor y R.C. Cauble, Rev. Sci. Instrum. 72, 3587 (2001).
[7] M.A. Meyers, “Comportamiento dinámico de los materiales” (Wiley, Nueva York, 1994).
[8] G. McQueen, S.P. Marzo, J.W. Taylor, J.N. Fritz, W.J. Carter, en R. Kinslow (Ed), “High-
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[13] D.J. Steinberg, S.G. Cochran, M.W. Guinan, J. Appl. Phys. 51, 1498 (1980).
[14] D.L. Preston, D.L. Tonks, y D.C. Wallace, J. Appl. Phys. 93, 211 (2003).
[15] Una versión del software, incluyendo partes representativas de la biblioteca de modelos de material y la
Los algoritmos para calcular el adiabat rampa y el choque Hugoniot, está disponible como un supplemen-
archivo tary proporcionado con la preimpresión de este manuscrito, arXiv:0704.008. Apoyo a programas informáticos,
y versiones con modelos adicionales, están disponibles comercialmente de Wessex Scientific y
Technical Services Ltd (http://wxres.com).
[16] D. Benson, Métodos informáticos en Appl. Mecánica e Ing. 99, 235 (1992).
http://arxiv.org/abs/0704.0008
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Informe del Laboratorio Nacional Livermore UCRL-MA-106439 cambio 1 (1996).
[25] D.C. Swift, T.E. Tierney, S.-N. Luo, D.L. Paisley, G.A. Kyrala, A. Hauer, S.R. Greenfield,
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E. Loomis, Phys.Plasmas 12, 056308 (2005).
[26] R. Hill, “La teoría matemática de la plasticidad” (Clarendon Press, Oxford, 1950).
[27] C.A. Hall, Phys. Plasmas 7, 5, pp 2069-2075 (2000).
[28] D.C. Swift, A. Seifter, D.B. Holtkamp, y D.A. Clark, Phys. Rev. B 76, 054122 (2007).
[29] A. Seifter y D.C. Swift, Phys. Rev. B 77, 134104 (2008).
[30] E. Loomis, D.C. Swift, J. Appl. Phys. 103, 023518 (2008).
CUADRO I: Interfaz con los modelos materiales necesarios para una dinámica de continuidad explícita en el futuro
simulaciones.
llamadas de interfaz de propósito
configuración del programa lectura/escritura de datos de material
continuo dinámica ecuaciones estrés (estado)
tiempo paso control de la velocidad del sonido (estado)
evolución del estado (deformación) d(estado)/dt(estado,grado ~u)
Evolución del estado (calentamiento) d(estado)/dt(estado,ė)
evolución interna del estado d(estado)/dt
manipulación de estados crear y eliminar
añadir estados
multiplicar el estado por un escalar
comprobar la autocoherencia
Los paréntesis en las llamadas de la interfaz denotan funciones, por ejemplo. “estrés (estado)” para “estrés en función de
las funciones de evolución se muestran en la estructura de operador-dividido.
que es más robusto para soluciones numéricas explícitas de tiempo de avance y también se puede utilizar para
cálculos del choque Hugoniot y compresión de rampa. Los cheques de auto-coherencia incluyen
que la densidad de masa es positiva, el volumen o las fracciones de masa de los componentes de una mezcla se suman a una,
CUADRO II: Ejemplos de tipos de modelo material, distinguidos por diferentes estructuras en el estado
vector.
modelo de estado efecto vectorial de la tensión mecánica
s(s), gradú
Ecuación mecánica del estado, e div~u,-pdiv~u/
Ecuación térmica del estado, T div~u,-pdiv~u/lcv
mezcla heterogénea, e, fv}i div~u,−pdiv~u/l, 0}i
mezcla homogénea, T, {fm}i div~u,−pdiv~u/Ćcv, 0i
la fuerza desviatoria tradicional, e, , p div~u,
−pdiv~u+fpp
, Ge,
F
Los símbolos son: densidad de masa; e: energía interna específica, T: temperatura, fv: fracción de volumen,
fm: fracción de masa, : desviador de tensión, fp: fracción de trabajo de plástico convertido al calor, gradup:
Parte plástica del gradiente de velocidad, G: módulo de corte, e,p: partes elásticas y plásticas de la tasa de deformación
desviador, p: cepa plástica equivalente escalar, f: factor en la magnitud efectiva de la cepa. Reaccionando
Los explosivos sólidos pueden representarse como mezclas heterogéneas, siendo un componente la reacción
productos; reacción, un proceso de evolución interna, transfiere material de no reaccionado a reaccionado
componentes. La reacción en fase gaseosa puede representarse como una mezcla homogénea, reacciones
transferencia de masa entre componentes que representan diferentes tipos de molécula. Simétrico
tensores como el desviador de tensión se representan más compactamente por su 6 superior único
componentes triangulares, por ejemplo: utilizando la notación Voigt.
CUADRO III: Esquema de la jerarquía de los modelos materiales, que ilustra el uso del polimorfismo (en el
sentido de programación orientado a objetos).
Tipo de modelo de material (o estado)
ecuación mecánica del estado politrópico, Grüneisen, basado en energía
Jones-Wilkins-Lee, (, T ) mesa, etc.
ecuación térmica del estado basado en la temperatura Jones-Wilkins-
Lee, mesa cuasiarmoníaca,
ecuación reactiva de estado politrópico modificado, reactivo Jones-
Wilkins-Lee
spall Cochran-Banner
estrés desviatorio elástico-plástico, Steinberg-Guinan,
Steinberg-Lund, Preston-Tonks...
Wallace, etc.
modelos homogéneos de mezcla y reacción
modelos heterogéneos de equilibrio y reacción de la mezcla
Los programas de dinámica continua pueden referirse a las propiedades materiales como un ‘tipo material’ abstracto
con un estado material abstracto. El tipo real de un material (e.g. ecuación mecánica de
state), el tipo de modelo específico (por ejemplo, politrópico), y el estado del material de ese tipo son todos
manejado transparentemente por la estructura de software orientada a objetos.
La ecuación reactiva de estado tiene un parámetro de estado adicional ♥, y las operaciones de software
se definen extendiendo los de la ecuación mecánica de estado. Los materiales de espaciado pueden ser
representado por un estado sólido más una fracción de vacío fv, con operaciones definidas mediante la extensión de las de
el material sólido. Las mezclas homogéneas se definen como un conjunto de ecuaciones térmicas de estado, y
el estado es el conjunto de estados y fracciones de masa para cada uno. Las mezclas heterogéneas se definen como
conjunto de propiedades de material puro de cualquier tipo, y el estado es el conjunto de estados para cada componente
más su fracción de volumen.
0,0001
0,001
0,01
0,001 0,01
densidad de masa (g/cm3)
isentrope
Hugoniot
0,0001
0,001
0,01
0,001 0,01
densidad de masa (g/cm3)
isentrope
Hugoniot
FIG. 1: Principal isentrope y choque Hugoniot para el aire (gas perfecto): cálculos numéricos para
modelos de materiales generales, en comparación con soluciones analíticas.
0 1000 2000 3000 4000 5000
temperatura (K)
Sólido: Grueneisen
chasquido: SESAME 3716
FIG. 2: Shock Hugoniot para Al en el espacio a presión-temperatura, para las diferentes representaciones de la
ecuación de estado.
0,7 0,75 0,80,85 0,90,95 1
compresión de volumen
cada par de líneas:
la parte superior es Hugoniot,
inferior es adiabat
FIG. 3: Principal adiabat y choque Hugoniot para Estar en el espacio normal de la compresión del estrés, descuidando
resistencia (dashed), para la resistencia Steinberg-Guinan (sólida), y para el plástico elástico-perfectamente con
Y = 10GPa (punto).
0 20 40 60 80 100 120 140
estrés normal (GPa)
onda elástica
choque de plástico
FIG. 4: principal adiabat y choque Hugoniot para Estar en choque velocidad-espacio de estrés normal, descuidando
resistencia (dashed), para la resistencia Steinberg-Guinan (sólida), y para el plástico elástico-perfectamente con
Y = 10GPa (punto).
0 1000 2000 3000 4000 5000
temperatura (K)
principal
adiabat
principal
Hugoniot
liberación
adiabat
FIG. 5: principal adiabat, choque Hugoniot, y lanzamiento de adiabat para Be en la temperatura de estrés normal
espacio, despreocupando la fuerza (dashed), para Steinberg-Guinan fuerza (sólida), y para el elástico-perfectamente
plástico con Y = 10GPa (punto).
0 1000 2000 3000 4000 5000
temperatura (K)
locus de fusión
Hugoniot sólido
FIG. 6: Demostración de la solución de choque Hugoniot a través de un límite de fase: la fusión de choque de Al,
para diferentes porosidades iniciales.
estado inicial
velocidad de las partículas
estado inicial
de proyectil
director Hugoniot
del objetivo
principal
Hugoniot
de proyectil
Estado de shock:
intersección
del objetivo
FIG. 7: Interacciones de onda para el impacto de un proyectil plano que se mueve de izquierda a derecha con una
objetivo estacionario. Las flechas estrujadas son una guía de la secuencia de estados. Para un proyectil en movimiento
de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el eje de tensión normal.
estados
velocidad de las partículas
secundaria
Hugoniot
del objetivo
estado de choque inicial
en el objetivo
Director Hugoniot:
ventana de alta impedancia
baja impedancia
ventana
isentrope de liberación objetivo
liberación objetivo en superficie libre
ventana
liberación
FIG. 8: Interacciones de onda para la liberación de un estado de choque (choque que se mueve de izquierda a derecha) en
un material estacionario de «ventana» a su derecha. El estado de liberación depende de si la ventana tiene
una impedancia de choque mayor o menor que el material conmocionado. Las flechas estrujadas son una guía para el
secuencia de estados. Para un choque que se mueve de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo
reflejado en el eje de tensión normal.
Liberación de proyectil
en proyectil y objetivo
Estado de tracción final
en proyectil y objetivo
velocidad de las partículas
liberación de objetivo
liberación de objetivo
Liberación de proyectil
estado de choque inicial
FIG. 9: Interacciones de ondas para la liberación de un estado escandalizado por la tensión inducida por los materiales
para separarse en direcciones opuestas cuando se une una interfaz enlazada. Daños materiales, escalofríos y
la separación se descuidan: la construcción muestra el esfuerzo de tracción máximo posible. Por cuestiones generales
propiedades del material, por ejemplo: si se incluye el flujo de plástico, el estado de tensión máxima no es sólo
el negativo del estado de choque inicial. Las flechas estrujadas son una guía de la secuencia de estados. Los
el gráfico muestra el estado inicial después de un impacto por un proyectil que se mueve de derecha a izquierda; para un choque
moviéndose de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el eje de tensión normal.
tensión
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
objetivo
choques de impacto
choque transmitido;
onda reflejada
superficie libre
liberación
interacciones de liberación:
FIG. 10: Esquema de las interacciones de ondas uniaxiales inducidas por el impacto de un proyectil plano con una
objetivo compuesto.
0 5 10 15 20
posición (mm)
LiFAl Mo
reflejados
transmitidos
liberación
shock
original
estado de shock
FIG. 11: Simulación de hidrocódigo del proyectil Al a 3,6 km/s impactando un objetivo Mo con un LiF
ventana de liberación, 1,1μs después del impacto. Las estructuras en las ondas son precursores elásticos.
Lista de cifras
1. Principal isentrope y choque Hugoniot para el aire (gas perfecto): cálculos numéricos
para modelos de material general, en comparación con soluciones analíticas.
2. Shock Hugoniot para Al en el espacio a presión-temperatura, para diferentes representaciones de
la ecuación del estado.
3. Principal adiabat y choque Hugoniot para estar en el espacio normal de la compresión del estrés,
Abandonar la fuerza (dashed), para la resistencia Steinberg-Guinan (sólida), y para el elástico-
perfectamente plástico con Y = 10GPa (punto).
4. Principal adiabat y choque Hugoniot para estar en choque velocidad-espacio de estrés normal,
Abandonar la fuerza (dashed), para la resistencia Steinberg-Guinan (sólida), y para el elástico-
perfectamente plástico con Y = 10GPa (punto).
5. Principal adiabat, choque Hugoniot, y liberar a adiabat para estar en el estrés normal-
espacio de temperatura, resistencia despreocupante (dashed), para la fuerza Steinberg-Guinan
(sólido), y para plástico elástico-perfectamente con Y = 10GPa (punto).
6. Demostración de la solución de choque Hugoniot a través de un límite de fase:
Al, para diferentes porosidades iniciales.
7. Interacciones de onda para el impacto de un proyectil plano que se mueve de izquierda a derecha con una
objetivo estacionario. Las flechas estrujadas son una guía de la secuencia de estados. Para un proyectil
moviéndose de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el normal
eje de esfuerzo.
8. Interacciones de onda para la liberación de un estado de choque (choque que se mueve de izquierda a derecha)
en un material estacionario de «ventana» a su derecha. El estado de liberación depende de si
la ventana tiene una impedancia de choque mayor o menor que el material conmocionado. Dashed
Las flechas son una guía para la secuencia de estados. Para un choque que se mueve de derecha a izquierda,
la construcción es la imagen del espejo reflejada en el eje de tensión normal.
9. Interacciones de ondas para la liberación de un estado de choque por la tensión inducida como materiales
tratar de separarse en direcciones opuestas cuando se une con una interfaz enlazada. Material
se descuidan los daños, la caída y la separación: la construcción muestra el máximo
Es posible el estrés por tracción. En el caso de las propiedades materiales generales, por ejemplo: si se incluye el flujo de plástico,
el estado de tensión de tracción máxima no es sólo el negativo del estado de choque inicial.
Las flechas estrujadas son una guía de la secuencia de estados. El gráfico muestra el estado inicial
después de un impacto por un proyectil que se mueve de derecha a izquierda; para un choque que se mueve de
de derecha a izquierda, la construcción es la imagen del espejo reflejada en el eje de tensión normal.
10. Esquema de interacciones de ondas uniaxiales inducidas por el impacto de un proyectil plano con
un objetivo compuesto.
11. Simulación de hidrocódigo del proyectil Al a 3,6 km/s impactando un objetivo Mo con un LiF
ventana de liberación, 1,1μs después del impacto. Las estructuras en las ondas son precursores elásticos.
Introducción
Estructura conceptual para propiedades del material
Carga unidimensional idealizada
Compresión de rampas
Compresión por choque
Precisión: aplicación al aire
Comportamiento complejo de la materia condensada
Temperatura
Ecuaciones de densidad-temperatura del estado
Modelo de temperatura para ecuaciones mecánicas de estado
Dosis
Representación preferida de la fuerza isotrópica
Berilio
Cambios de fase
Vías de carga compuestas
Conclusiones
Agradecimientos
Bibliografía
Bibliografía
Lista de cifras
| Se elaboró una formulación general para representar modelos materiales para
aplicaciones en carga dinámica. Se diseñaron métodos numéricos para calcular
respuesta a la compresión de golpes y rampas, y descompresión de rampas, generalizando
soluciones previas para ecuaciones escalares de estado. Los métodos numéricos fueron:
se encontró flexible y robusto, y se emparejaron los resultados analíticos a un alto
precisión. La rampa básica y los métodos de solución de choque se acoplaron para resolver
vías de deformación compuesta, tales como impactos inducidos por choque, y choque
interacciones con una interfaz plana entre diferentes materiales. Estos
los cálculos captan gran parte de la física de la dinámica material típica
experimentos, sin requerir simulaciones de resolución espacial. Ejemplo
los cálculos se hicieron de los historiales de carga en metales, ilustrando los efectos
de trabajos de plástico sobre las temperaturas inducidas en cuasi-isentrópicas y
experimentos de liberación de choque, y el efecto de una transición de fase.
| Introducción
Estructura conceptual para propiedades del material
Carga unidimensional idealizada
Compresión de rampas
Compresión por choque
Precisión: aplicación al aire
Comportamiento complejo de la materia condensada
Temperatura
Ecuaciones de densidad-temperatura del estado
Modelo de temperatura para ecuaciones mecánicas de estado
Dosis
Representación preferida de la fuerza isotrópica
Berilio
Cambios de fase
Vías de carga compuestas
Conclusiones
Agradecimientos
Bibliografía
Bibliografía
Lista de cifras
|
704.001 | Partial cubes: structures, characterizations, and constructions | Cubos parciales: estructuras, caracterizaciones, y
construcciones
Sergei Ovchinnikov
Departamento de Matemáticas
Universidad Estatal de San Francisco
San Francisco, CA 94132
sergei@sfsu.edu
8 de mayo de 2006
Resumen
Los cubos parciales son subgrafías isométricas de hipercubes. Estructuras en un
grafo definido por medio de semicubos, y la rela de Djoković y Winkler
ciones desempeñan un papel importante en la teoría de los cubos parciales. Estos struc-
se emplean en el papel para caracterizar gráficos bipartitos y par-
cubos de dimensión arbitraria. Se establecen nuevas caracterizaciones
y se dan nuevas pruebas de algunos resultados conocidos.
Las operaciones del producto cartesiano y el pegado, y la expansión y
procesos de contracción se utilizan en el papel para construir nuevo parcial
cubos de los viejos. En particular, las dimensiones isométricas y retícula de
se calculan los cubos parciales finitos obtenidos por medio de estas operaciones.
Palabras clave: hipercubo, cubo parcial, semicubo
1 Introducción
Un hipercubo H(X) en un conjunto X es un gráfico que los vértices son los subconjuntos finitos
de X ; dos vértices se unen por un borde si difieren por un singleton. Un parcial
cubo es un gráfico que puede ser isométricamente incrustado en un hipercubo.
Hay tres estructuras generales grafo-teóricas que juegan un papel destacado
papel en la teoría de los cubos parciales, a saber, semicubos, la relación de Djoković, y
La relación de Winkler. Utilizamos estas estructuras, en particular, para caracterizar
gráficos de partite y cubos parciales. El problema de caracterización para cubos parciales
fue considerado como uno importante y se conocen muchas caracterizaciones.
Enumeramos las contribuciones en el orden cronológico: Djoković [9] (1973), Avis [2]
(1981), Winkler [20] (1984), Roth y Winkler [18] (1986), Chepoi [6, 7] (1988)
y 1994). En el artículo, presentamos nuevas pruebas para los resultados de Djoković [9],
Winkler [20], y Chepoi [6], y obtener dos caracterizaciones más de
cubos.
http://arxiv.org/abs/0704.0010v1
El documento también se ocupa de algunas formas de construir nuevas
cubos de los viejos. Propiedades de las subcubas, el producto cartesiano de
se investigan los cubos y la expansión y contracción de un cubo parcial. Nosotros
introducir una construcción basada en pegar dos gráficos juntos y mostrar cómo
nuevos cubos parciales se pueden obtener de los antiguos pegando juntos.
El documento se organiza de la siguiente manera.
Hipercubes y cubos parciales se introducen en la sección 2 junto con
dos ejemplos básicos de cubos parciales infinitos. Los conjuntos vértices de cubos parciales son
descrito en términos de familias bien calificadas de conjuntos finitos.
En la Sección 3 se introducen los conceptos de un semicubo, Djoković y Win-
las relaciones de kler, y establecer algunas de sus propiedades. Gráficos bipartitos y
cubos parciales se caracterizan por medio de estas estructuras. Un charac más...
la terización de cubos parciales se obtiene en la sección 4, donde se llama fundamental
se introducen conjuntos en un gráfico.
El resto del papel está dedicado a las construcciones: subcubes y la Carta-
producto sian (Sección 6), pegado (Sección 7), y expansiones y contracciones
(Sección 8). Demostramos que estas construcciones producen nuevos cubos parciales a partir de
Los viejos. Se calculan las dimensiones isométricas y de celosía de los nuevos cubos parciales.
Estas dimensiones se introducen en la Sección 5.
Pocas palabras sobre las convenciones utilizadas en el periódico están en orden. La suma
A+B de dos conjuntos A y B es la unión
({1} ×A) ({2} ×B).
Todos los gráficos en el papel son simples gráficos no dirigidos. En la notación G =
(V,E), el símbolo V representa el conjunto de vértices del gráfico G y E.
por su conjunto de bordes. Por abuso del lenguaje, a menudo escribimos ab para un borde en un
grafo; si este es el caso, ab es un par no ordenado de vértices distintos. Denotamos
El gráfico inducido por el conjunto de vértices U V. Si G es un gráfico conectado,
entonces dG(a, b) representa la distancia entre dos vértices a y b del gráfico
G. Dondequiera que sea claro desde el contexto que el gráfico está siendo considerado, nosotros
soltar el subíndice G en dG(a, b). Un subgrafo H G es un subgrafo isométrico
si dH(a, b) = dG(a, b) para todos los vértices a y b de H ; es convexo si es más corto
camino en G entre los vértices de H pertenece a H.
2 Hipercubos y cubos parciales
Deja que X sea un set. Denotamos Pf (X) el conjunto de todos los subconjuntos finitos de X.
Definición 2.1. Un gráfico H(X) tiene el conjunto Pf (X) como el conjunto de sus vértices; a
un par de vértices PQ es un borde de H(X) si la diferencia simétrica
Singleton. El gráfico H(X) se llama hipercubo en X [9]. Si X es un finito
conjunto de cardinalidad n, entonces el gráfico H(X) es el n-cubo Qn. La dimensión de
el hipercubo H(X) es la cardinalidad del conjunto X.
La distancia de ruta más corta d(P,Q) en el hipercubo H(X) es el Hamming
distancia entre los conjuntos P y Q:
d(P,Q) = PÃ3Q para P,Q â € Pf. (2.1)
El conjunto Pf (X) es un espacio métrico con la d métrica.
Definición 2.2. Un gráfico G es un cubo parcial si puede ser isométricamente incrustado
en un hipercubo H(X) para algunos conjuntos X. A menudo identificamos a G con su isometría
imagen en el hipercubo H(X), y decir que G es un cubo parcial en el conjunto X.
Figura 2.1: Un gráfico y su incrustación isométrica en Q3.
Un ejemplo de un cubo parcial y su inserción isométrica en el cubo Q3
se muestra en la Figura 2.1.
Claramente, una familia F de subconjuntos finitos de X induce un cubo parcial en X si y
sólo si para cualquier dos subconjuntos distintos P,Q + F hay una secuencia
R0 = P,R1,. .., Rn = Q
de conjuntos en F de tal manera que
d(Ri, Ri+1) = 1 para todos los 0 ≤ i < n, y d(P,Q) = n. (2.2)
Las familias de conjuntos de condiciones satisfactorias (2.2) se conocen como bien calificados fam-
ilies de conjuntos [10]. Tenga en cuenta que una secuencia (Ri) satisfactoria (2.2) es un camino más corto
de P a Q en H(X) (y en el subgráfico inducido por F).
Definición 2.3. Una familia F de subconjuntos arbitrarios de X es una familia wg (bien calificado
familia de conjuntos) si, para cualquiera de los dos subconjuntos distintos P,Q-F, el conjunto P-Q- es finito
y hay una secuencia
R0 = P,R1,. .., Rn = Q
de conjuntos en F tales que RiRi+1 = 1 para todos los 0 ≤ i < n y PQ = n.
Ejemplo 2.1. El gráfico inducido puede ser un cubo parcial en un conjunto diferente si
La familia F no está bien calificada. Considere, por ejemplo, la familia
F =, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {b, c}
de subconjuntos de X = {a, b, c}. El gráfico inducido por esta familia es un camino de longitud
4 en el cubo Q3 (cf. Figura 2.2). Claramente, F no está bien calificado. Por otro lado
mano, como se puede ver fácilmente, cualquier camino es un cubo parcial.
Figura 2.2: Una trayectoria no isométrica en el cubo Q3.
Cualquier familia F de subconjuntos de X define un gráfico GF = (F, EF), donde
EF = P,Q} F : P,Q = 1}.
Teorema 2.1. El gráfico GF definido por una familia F de subconjuntos de un conjunto X es
isomórfico a un cubo parcial en X si y sólo si la familia F está bien calificado.
Prueba. Sólo tenemos que demostrar la suficiencia. Deja que S sea un conjunto fijo en F. Definimos
a mapeo f : F → Pf (X) por f(R) = RS para R • F. Entonces
d(f(R), f(T)) = (RÍOS)(TÍOS) = RÍOT.
Así f es una incrustación isométrica de F en Pf (X). Dejar (Ri) ser una secuencia de
conjuntos en F tales que R0 = P, Rn = Q, PQ = n, y RiRi+1 = 1 para todos
0 ≤ i < n. A continuación, la secuencia (f(Ri)) cumple las condiciones (2.2). El resultado
sigue.
Se dice que un conjunto R • Pf (X) es retícula entre los conjuntos P, Q • Pf (X) si
P # Q # R # P # Q.
Es métricamente entre P y Q si
d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q).
El siguiente teorema es un resultado bien conocido acerca de estas dos
las laciones en Pf (X) (véase, por ejemplo, [3]).
Teorema 2.2. Las relaciones entre celosías y métricas coinciden con Pf (X).
Dejar F ser una familia de subconjuntos finitos de X. El conjunto de todos los R â € TM a F que son
entre P,Q-F es el intervalo I(P,Q) entre P y Q en F. Por lo tanto,
I(P,Q) = F (+) [P +)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)
donde [P • Q, P • Q] es el intervalo habitual en la retícula Pf.
Dos conjuntos distintos de P,Q,F son adyacentes en F si J(P,Q) = {P,Q}. Si pone P
y Q forman un borde en el gráfico inducido por F, entonces P y Q son adyacentes en
F, pero, en general, no viceversa. Por ejemplo, en el ejemplo 2.1, la
vértices y {b, c} son adyacentes en F, pero no definen un borde en el inducido
gráfico (cf. Figura 2.2).
El siguiente teorema es una caracterización ‘local’ de las familias de conjuntos.
Teorema 2.3. Una familia F Pf (X) está bien calificado si y sólo si d(P,Q) = 1
para cualquier dos conjuntos P y Q que estén adyacentes en F.
Prueba. (Necesidad.) Que F sea una familia de conjuntos. Supongamos que P y Q son
adyacente en F. Hay una secuencia R0 = P,R1,. .., Rn = Q que satisface
condiciones (2.2). Dado que la secuencia (Ri) es un camino más corto en F, tenemos
d(P, Pi) + d(Pi, Q) = d(P,Q) para todos los 0 ≤ i ≤ n.
Por lo tanto, Pi I(P,Q) = {P,Q}. De ello se desprende que d(P,Q) = n = 1.
(Suficiencia.) Que P y Q sean dos conjuntos distintos en F. Demostramos por inducción
En n = d(P,Q) que hay una secuencia (Ri) F que cumple las condiciones (2.2).
La declaración es trivial para n = 1. Supongamos que n > 1 y que el
la instrucción es verdadera para todos k < n. Dejar que P y Q sean dos conjuntos en F de tal manera que
d(P,Q) = n. Desde d(P,Q) > 1, los conjuntos P y Q no son adyacentes en F.
Por lo tanto existe R â € F que se encuentra entre P y Q y es diferente de
Estos dos juegos. Entonces d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q) y ambas distancias d(P,R)
y d(R,Q) son menos de n. Por la hipótesis de inducción, hay una secuencia
(Ri)
P = R0, R = Rj, Q = Rn para unos 0 < j < n,
que cumplan las condiciones (2.2) para 0 ≤ i < j y j ≤ i < n. De ello se deduce que F es una
Wg-familia de conjuntos.
Concluimos esta sección con dos ejemplos de cubos parciales infinitos (más
los ejemplos se encuentran en [17]).
Ejemplo 2.2. Dejar Z ser el gráfico en el conjunto Z de enteros con los bordes definidos
por pares de enteros consecutivos. Este gráfico es un cubo parcial desde su conjunto vértice
es isométrico a la familia wg de intervalos {(,m) : m Z} en Z.
Ejemplo 2.3. Consideremos Zn como un espacio métrico con respecto a la l1-
métrica. El gráfico Zn tiene Zn como el conjunto vértice; dos vértices en Zn están conectados
si están a la distancia de la unidad entre sí. Vamos a mostrar en la Sección 6
(Corollary 6.1) que Zn es un cubo parcial.
3 Caracterizaciones
Sólo se consideran gráficos conectados en esta sección.
Definición 3.1. Let G = (V,E) ser un gráfico y d ser su función de distancia. Por
cualquier dos vértices adyacentes a, b V dejar Wab ser el conjunto de vértices que están más cerca
a a b:
Wab = {w • V : d(w, a) < d(w, b)}.
A continuación [11], llamamos a los conjuntos Wab y subgrafos inducidos
el gráfico G. Las semicuebas Wab y Wba se llaman semicuebas opuestas.
Observación 3.1. El subíndice ab en Wab representa un par ordenado de vértices,
no para un borde de G. En su artículo original [9], Djoković utiliza la notación G(a, b)
(cf. [8]). Utilizamos la notación de [15].
Claramente, dos semicuebas opuestas están desarticuladas. Pueden ser utilizados para...
terize los gráficos bipartitos de la siguiente manera.
Teorema 3.1. Un gráfico G = (V,E) es bipartito si y sólo si el Wab semicubos
y Wba forman una partición de V para cualquier borde ab E.
Prueba. Recordemos que un gráfico G conectado es bipartito si y sólo si por cada
vértice x no hay borde ab con d(x, a) = d(x, b) (véase, por ejemplo, [1]). Por
cualquier borde ab E y vértice x V claramente tenemos
d(x, a) = d(x, b) â € x /â € Wab â € € Wba.
El resultado es el siguiente.
El siguiente lema es instrumental y se utilizará con frecuencia en el resto
del periódico.
Lemma 3.1. Let G = (V,E) ser un gráfico y w â € Wab para algún borde ab â € E.
d(w, b) = d(w, a) + 1.
En consecuencia,
Wab = {w + V : d(w, b) = d(w, a) + 1}.
Prueba. Por la desigualdad del triángulo, tenemos
d(w, a) < d(w, b) ≤ d(w, a) + d(a, b) = d(w, a) + 1.
El resultado sigue, ya que d toma valores en N.
Hay dos relaciones binarias en el conjunto de bordes de un gráfico que juegan un
papel central en la caracterización de cubos parciales.
Definición 3.2. Dejar G = (V,E) ser un gráfico y e = xy y f = uv ser dos
bordes de G.
i) (Djoković [9])
e. f. f. se une a un vértice en Wxy con un vértice en Wyx.
La notación puede ser elegida de tal manera que u â € € ¢ Wxy y v â € € TM Wyx.
ii) (Winkler [20])
d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u).
Está claro que las dos relaciones son reflexivas y simétricas.
Lemma 3.2. La relación es una relación simétrica en E.
Prueba. Suponga que xy uv con u â € € TM Wxy y v â € TM Wyx. Por Lemma 3.1 y
la desigualdad del triángulo, tenemos
d(u, x) = d(u, y)− 1 ≤ d(u, v) + d(v, y)− 1 = d(v, y) =
= d(v, x)− 1 ≤ d(v, u) + d(u, x) − 1 = d(u, x).
Por lo tanto, d(u, x) = d(v, x) − 1 y d(v, y) = d(u, y)− 1. Por lo tanto, x • Wuv y
y â € ¢ Wvu. De ello se deduce que uv Ł xy.
Lemma 3.3........................................................... Lemma 3.3.............................. Lemma 3.3........................... Lemma...................................................
Prueba. Suponga que xy uv con u â € € ¢ Wxy, v â € € TM Wyx. Por Lemma 3.1,
d(x, u) + d(y, v) = d(x, v) − 1 + d(y, u)− 1 6 = d(x, v) + d(y, u).
Por lo tanto, xy-Uv.
Ejemplo 3.1. Es fácil verificar que la relación de identidad en el conjunto de
bordes del ciclo C3. Por otro lado, cualquier dos bordes de C3 están en el
la relación entre el hombre y la mujer. Por lo tanto, en este caso, 6 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Los gráficos bipartitos se pueden caracterizar en términos de relaciones de la siguiente manera.
Teorema 3.2. Un gráfico G = (V,E) es bipartito si y sólo si
Prueba. (Necesidad.) Supongamos que G es un gráfico bipartito, dos bordes xy y uv
se encuentran en la relación................................................................................................................................................
d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u),
y que los bordes xy y uv no se paran en la relación. Por el teorema 3.1, nosotros
puede suponer que u, v â € ¢ Wxy. Por Lemma 3.1, tenemos
d(x, u) + d(y, v) = d(y, u)− 1 + d(x, v) + 1 = d(x, v) + d(y, u),
una contradicción. De ello se deduce que, en el caso de autos, se trata de un asunto que se refiere a un litigio entre la Comisión y el Estado miembro de que se trate. Por Lemma 3.3, .
(Suficiencia.) Supongamos que G no es bipartito. Por Teorema 3.1, hay un
borde xy de tal manera que Wxy Wyx es un subconjunto adecuado de V. Dado que G está conectado,
hay un edge uv con u /â € Wxy â € Wyx y v â € Wxy â € Wyx. Claramente, uv lo hace.
no estar de pie en la relación de........................................................................................................................................................................................................................................................... Por otra parte,
d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u),
ya que u /â € € Wxy â € Wyx y v â € € Wxy â € € Wyx. Por lo tanto, xy-uv, una contradicción, ya que
Supusimos que "" = "".
En el Teorema 3.2, las relaciones entre las dos partes coinciden en gráficos bipartitos. Por
Esta es la razón por la que usamos la relación.... en el resto del papel.
Lemma 3.4. Let G = (V,E) ser un gráfico bipartito tal que todos sus semicubes son
Conjuntos convexos. A continuación, dos bordes xy y uv se paran en la relación de si y sólo si el
pares correspondientes de semicubos mutuamente opuestos forman particiones iguales de V :
xy Uv {Wxy,Wyx} = {Wuv,Wvu}.
Prueba. (Necesidad) Asumimos que la notación es elegida de tal manera que u • Wxy
y contra Wyx. Vamos a z â € Wxy â € TM Wvu. Por Lemma 3.1, d(z, u) = d(z, v) + d(v, u).
Puesto que z, u, Wxy y Wxy es convexo, tenemos v, Wxy, una contradicción con el
Asumir que v. Wyx. Por lo tanto, Wxy Wvu =. Desde dos semicubos opuestos
en un gráfico bipartito formar una partición de V, tenemos Wuv = Wxy y Wvu = Wyx.
Un argumento similar muestra que Wuv = Wyx y Wvu = Wxy, si u Wyx
y contra Wxy.
(Suficiencia.) Sigue de la definición de la relación.
Necesitamos otra propiedad general de la relación (cf. Lemma 2.2 in [15]).
Lemma 3.5. Dejar P ser un camino más corto en un gráfico G. Entonces no hay dos bordes distintos
de P se sitúan en la relación.
Prueba. Dejar i < j y xixi+1 y xjxj+1 ser dos bordes en un camino más corto P de
x0 a xn. Entonces
d(xi, xj) < d(xi, xj+1) y d(xi+1, xj) < d(xi+1, xj+1),
por lo que xi, xi+1 • Wxjxj+1. De ello se deduce que los bordes xixi+1 y xjxj+1 no están
la relación...................................................................................................................................................................
La declaración inversa es verdad para los gráficos bipartitos (omitimos la prueba); un
contraejemplo es el ciclo C5 que no es bipartito.
Lemma 3.6. Que G = (V,E) sea un gráfico bipartito. Las declaraciones que figuran a continuación son las siguientes:
equivalente
i) Todos los semicubos de G son convexos.
(ii) La relación فارسى es una relación de equivalencia sobre E.
Prueba. i) ii). Sigue desde Lemma 3.4.
ii) El inciso i) de la parte dispositiva. Supongan que es transitivo y que hay un semicubo no convexo
Wab. A continuación, hay dos vértices u, v Wab y un camino más corto P de u a
V que intersecta Wba. Esta ruta contiene dos bordes distintos e y f uniendo
vértices de semicubos Wab y Wba. Los bordes e y f se sitúan en la relación
hasta el borde ab. Por la transitividad de la palabra, tenemos e........................................................................................... Esto contradice el resultado
de Lemma 3.5. Así todos los semicubos de G son convexos.
Ahora establecemos algunas propiedades básicas de cubos parciales.
Teorema 3.3. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Entonces
i) G es un gráfico bipartito.
(ii) Cada par de semicubos opuestos forman una partición de V.
iii) Todos los semicubos son subconjuntos convexos de V.
iv) Es una relación de equivalencia sobre E.
Prueba. Podemos suponer que G es un subgrafo isométrico de algún hipercubo
H(X), es decir, G = (F, EF) para una familia de wg F de subconjuntos finitos de X.
(i) Basta con señalar que si dos conjuntos en H(X) están conectados por un borde entonces
tienen una paridad diferente. Por lo tanto, H(X) es un gráfico bipartito y así es G.
ii) Sigue el inciso i) y el teorema 3.1.
(iii) LetWAB ser un semicubo de G. Por Lemma 3.1 y Teorema 2.2, tenemos
WAB = {S + F : S + B + A S + B}.
Que Q,R,WAB y P sean un vértice de G de tal manera que
d(Q,P ) + d(P,R) = d(Q,R).
Por Teorema 2.2,
Q R P Q R.
Desde Q,R,WAB, tenemos
Q B A A Q B y R B A R B,
lo que implica
(Q) B (Q) B (A) B (Q) B (S) B (B) B (B)
Por lo tanto, P • WAB, y el resultado sigue.
iv) Seguimientos de iii) y Lemma 3.6.
Observación 3.2. Puesto que los semicúbitos de un cubo parcial G = (V,E) son subconjuntos convexos
del espacio métrico V, son semiespacios en V [19]. Esta terminología se utiliza
en [6, 7].
El siguiente teorema presenta cuatro caracterizaciones de cubos parciales. Los
Los dos primeros se deben a Djoković [9] y Winkler [20] (cf. Teorema 2.10 en [15]).
Teorema 3.4. Que G = (V,E) sea un gráfico conectado. Las siguientes declaraciones:
son equivalentes:
i) G es un cubo parcial.
ii) La G es bipartita y todas las semicubas de la G son convexas.
(iii) La G es bipartita y la G es una relación de equivalencia.
iv) G es bipartito y, para todos los xy, uv e,
xy, uv, {Wxy,Wyx} = {Wuv,Wvu}. (3.1)
(v) G es bipartito y, para cualquier par de vértices adyacentes de G, hay un único
par de semicubos opuestos que separan estos dos vértices.
Prueba. Por Lemma 3.6, las declaraciones ii) y iii) son equivalentes y, por
orem 3.3, i) implica tanto ii) como iii).
iii) El inciso i) del párrafo 1 de la parte dispositiva. Por Teorema 3.1, cada par {Wab,Wba} de semicubos opuestos de
G forma una partición de V. Orientamos estas particiones llamando, en un arbitrario
way, uno de los dos semicubos opuestos en cada partición un semicubo positivo.
Asignemos a cada x V el conjunto W+(x) de todos los semicubos positivos que contienen
x. En el siguiente párrafo demostramos que la familia F = {W+(x)}xÃ3v está bien
graduado y que la asignación x 7→ W+(x) es una isometría entre V y F.
Que x e y sean dos vértices distintos de G. Decimos que un semicubo positivo
Wab separa x e y si x â € ¢ Wab, y â € TM Wba o x â € TM Wba, y â € Wab. Lo es.
claro que Wab se separa x e Y si y sólo si Wab W
+(x)•W+(y). Let P
ser un camino más corto x0 = x, x1,. .., xn = y de x a y. Por Lemma 3.5, no dos
los bordes distintos de P se sitúan en la relación فارسى. Por Lemma 3.4, bordes distintos de P
definir distintos semicubos positivos; claramente, estos semicubos separan x e y. Vamos.
Wab ser un semicubo positivo separando x e y, y, por ejemplo, x â € € € TM € TM € TM Wba.
Hay un borde f P que une los vértices en Wab y Wba. Por lo tanto, f se encuentra en
la relación de Ab y, por Lemma 3.4, Wab se define por f. De ello se deduce que cualquier
semicubo inW+(x)•W+(y) se define por un borde único en P y cualquier borde en P
define un semicubo en W+(x)•W+(y). Por lo tanto, d(W+(x),W+(y)) = d(x, y),
que es x 7→W+(x) es una isometría. Claramente, F es una familia de conjuntos.
Por Teorema 2.1, la familia F es isométrica a una familia wg de conjuntos finitos.
Por lo tanto, G es un cubo parcial.
iv) El inciso ii) del párrafo 4 de la parte dispositiva. Supongamos que existe un borde ab tal que semicube Wba es
no convexo. Dejar p y q ser dos vértices en Wba tal que hay un más corto
ruta P de p a q que intersecta Wab. Hay dos bordes distintos xy y uv
en P tal que x, u â € Wab e y, v â € € Wba. Desde que ab-xy y ab-uv, tenemos,
por (3.1),
Wab = Wxy = Wuv.
Por lo tanto, u â € Wxy y v â € Wyx. Por Lemma 3.1,
d(x, u) = d(x, v) − 1 = 1 + d(v, y)− 1 = d(v, y),
una contradicción, ya que P es un camino más corto de p a q.
ii) iv). Sigue desde Lemma 3.4.
Está claro que los incisos iv) y v) son equivalentes.
4 Conjuntos fundamentales en cubos parciales
Las semicubes desempeñaron un papel importante en la sección anterior. En esta sección
introducir tres clases más de subconjuntos útiles de gráficos. También establecemos uno.
más caracterización de cubos parciales.
Que G = (V,E) sea un gráfico conectado. Para un borde dado e = ab E, nosotros
definir los siguientes conjuntos (cf. [15, 16]:
Fab = (f) E : e (f) = (uv) E : u (Wab), v (Wba),
Uab = {w Wab : w es adyacente a un vértice en Wba},
Uba = {w Wba : w es adyacente a un vértice en Wab}.
Los cinco conjuntos se muestran esquemáticamente en la Figura 4.1.
Figura 4.1: Conjuntos fundamentales en un cubo parcial.
Observación 4.1. En el caso de un cubo parcial G = (V,E), las semicubas Wab y
Wba son semiespacios complementarios en el espacio métrico V (cf. Observación 3.2).
Entonces el set Fab puede ser considerado como un ‘hiperplano’ que separa estos semi-espacios
(véase [17] donde esta analogía se formaliza en el contexto de la organización del hiperplano-
ciones).
El siguiente teorema generaliza el resultado obtenido en [16] para la mediana
gráficos (véase también [15]).
Teorema 4.1. Dejar ab ser un borde de un gráfico bipartito conectado G. Si el
semicubos Wab y Wba son convexos, luego el set Fab es un emparejamiento e induce
un isomorfismo entre los gráficos de Uabá y Ubaá.
Prueba. Supongamos que Fab no es una coincidencia. Luego hay bordes distintos xu
y xv con, por ejemplo, x Uab y u, v Uba. Por la desigualdad del triángulo, d(u, v) ≤ 2.
Dado que G no tiene triángulos, d(u, v) 6= 1. Por lo tanto, d(u, v) = 2, lo que implica
que x se encuentra entre u y v. Esto contradice la convexidad de Wba, ya que x • Wab.
Por lo tanto Fab es una coincidencia.
Para demostrar que Fab induce un isomorfismo, deja que xy, uv Fab y xu E,
donde x, u, Uab y y, v, Uba. Dado que G no tiene ciclos impares, d(v, y) 6= 2.
Por la desigualdad del triángulo,
d(v, y) ≤ d(v, u) + d(u, x) + d(x, y) = 3.
Dado que Wba es convexo, d(v, y) 6= 3. Así d(v, y) = 1, es decir, vy es un borde. Los
resultado seguido por la simetría.
Por Teorema 3.4(ii), tenemos el siguiente corolario.
Corolario 4.1. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Para cualquier borde ab el conjunto Fab
es un emparejamiento e induce un isomorfismo entre gráficos inducidos
# Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # # Uba # # # # # Uba # # # # # # # # # # # # # # Uba # # # # # # # # # Uba # # # # Uba # # # # # # Uba # # # # # # # # # # # Uba # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Figura 4.2: Gráfico G.
Ejemplo 4.1. Que G sea el gráfico representado en la Figura 4.2. El conjunto
Fab = {ab, xu, yv}
es una coincidencia y define un isomorfismo entre los gráficos inducidos por subconjuntos
Uab = {a, x, y} y Uba = {b, u, v}. El conjunto Wba no es convexo, por lo que G no es un
cubo parcial. Por lo tanto, el contrario del corolario 4.1 no se sostiene.
Ahora establecemos otra caracterización de cubos parciales que utiliza un
propiedad geométrica de las familias Fab.
Teorema 4.2. Para un gráfico G conectado, las siguientes instrucciones son equivalentes:
i) G es un cubo parcial.
ii) La G es bipartita y
d(x, u) = d(y, v) y d(x, v) = d(y, u), (4.1)
para cualquier ab E y xy, uv Fab.
Prueba. i)el inciso ii) del apartado b) del párrafo 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. Podemos asumir que x, u â € Wab y y, v â € Wba. Puesto que Ł es un
la relación de equivalencia, tenemos xy uv Łab. Por Lemma 3.4, Wuv = Wxy = Wab.
Por Lemma 3.1,
d(x, u) = d(x, v) − 1 = d(v, y) + 1− 1 = d(y, v).
También tenemos
d(x, v) = d(y, v) + 1 = d(y, u),
por el mismo lema.
ii)el inciso i) de la parte dispositiva. Supongamos que G no es un cubo parcial. Luego, por Teorema 3.4, allí
existe un borde ab tal que, por ejemplo, Wba semicubo no es convexo. Que p y q sean dos
vértices en Wba de tal manera que hay un camino más corto P de p a q que se intersecta
Wab. Que uv sea el primer borde en P que pertenece a Fab y xy sea el último borde
en P con la misma propiedad (ver Figura 4.3).
Figura 4.3: Una ilustración de la prueba del teorema 4.2.
Puesto que P es un camino más corto, tenemos
d(v, y) = d(v, u) + d(u, x) + d(x, y) 6= d(x, u),
que contradice la condición (4.1). Así todos los semicubos de G son convexos. Por
Teorema 3.4, G es un cubo parcial.
Observación 4.2. Uno puede decir que cuatro vértices que satisfacen las condiciones (4.1) definen
un rectángulo en G. Entonces el teorema 4.2 indica que un gráfico conectado es un parcial
cubo si y sólo si es bipartito y para cualquier borde ab pares de bordes en Fab definir
rectángulos en G.
5 Dimensiones de cubos parciales
Hay muchas maneras diferentes en que un cubo parcial dado puede ser isométricamente
Incrustado en un hipercubo. Por ejemplo, el gráfico K2 puede ser isométricamente
incrustado de diferentes maneras en cualquier hipercubo H(X) con X > 2.
Siguiendo Djoković [9] (véase también [8]), definimos la dimensión isométrica,
dimI(G), de un cubo parcial G como dimensión mínima posible de un hipercubo
H(X) en la que G es isométricamente incrustable. Recordar (véase la sección 2) que la
dimensión de H(X) es la cardinalidad del conjunto X.
Teorema 5.1. (Teorema 2 en [9].) Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Entonces
dimI(G) = E/, (5.1)
donde Djoković es la relación de equivalencia en E y E/
clases de alence (el cociente-set).
El conjunto de cocientes E / / puede ser identificado con la familia de todos los conjuntos distintos Fab
(véase la sección 4). Si G es un cubo parcial finito, podemos considerarlo como un isométrico
Subgrafía de un hipercubo Qn. Entonces los bordes en cada familia Fab son paralelos
bordes en Qn (cf. Teorema 4.2). Esta observación prueba esencialmente (5.1) en el
Caso finito.
Dejar G ser un cubo parcial en un conjunto X. El vértice conjunto de G es un wg-familia F de
subconjuntos finitos de X (véase la sección 2). Definimos la retracción de F como una familia F′
de subconjuntos de X ′ = â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €.
Está claro que F′ cumple las condiciones
F′ = F′ y F′ = X ′. (5.2)
Proposición 5.1. Los cubos parciales inducidos por un wg-familia F y su retracción
F′ son isomórficos.
Prueba. Basta probar que los espacios métricos F y F′ son isométricos. Claramente,
α : P 7→ P X ′ es una cartografía de F a F′. Para P, Q, F, tenemos
(P-X)-(Q-X) = (P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(F-F)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q).
Así, d(α(P), α(Q)) = d(P,Q). En consecuencia, α es una isometría.
Deja que G sea un cubo parcial en algún conjunto X inducido por un wg-familia F satisfactorio
condiciones (5.2), y dejar que PQ sea un borde de G. Por definición, hay x X tal
que P.Q. = {x}. Los dos lemas siguientes son instrumentales.
Lemma 5.1. Dejar que PQ sea un borde de un cubo parcial G en X y dejar que PQ = {x}.
Los dos conjuntos
{R] {F} {x} {R} {R} {F} {x} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {F} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {F} : x {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R}
forman la misma bipartición de la familia F como semicubes WPQ y WQP.
Prueba. Podemos asumir que Q = P + {x}. Entonces, para cualquier R-F,
(P + {x}) =
(RP) + {x}, si x R,
Râ € P, si x / â € R.
Por lo tanto, RP < RQ si y sólo si x R. Se deduce que
WPQ = {R + F : x + R}.
Un argumento similar muestra que WQP = {R • F : x / • R}.
Lemma 5.2. Si F es una familia de conjuntos de condiciones satisfactorias (5.2), entonces para
cualquier x x x hay sets P,Q F de tal manera que P.Q = {x}.
Prueba. Por condiciones 5.2, para un x dado â € ¢ X hay conjuntos S y T en F tales
Que x S y x /+ T. Let R0 = S,R1,. .., Rn = T ser una secuencia de conjuntos en
F que cumplen las condiciones (2.2). Es claro que hay i tal que x â € ~ Ri y
+1 +1 +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Por lo tanto, Rio Ri + 1 = {x}, por lo que podemos elegir P = Ri y Q = Ri + 1.
Por Lemmas 5.1 y 5.2, hay correspondencia uno-a-uno entre el conjunto
X y el conjunto de cocientes E/ De Teorema 5.1 obtenemos el siguiente resultado.
Teorema 5.2. Dejar F ser una familia wg de subconjuntos finitos de un conjunto X tal que
"F = "F" y "F" = "X" y dejar que G sea un cubo parcial en "X" inducido por "F".
dimI(G) = X.
Claramente, un gráfico que es isométricamente incrustable en un cubo parcial es un
cubo parcial en sí mismo. Mostraremos en la Sección 6 (Corollary 6.1) que el entero
celosía Zn es un cubo parcial. Por lo tanto, un gráfico que es isométricamente incrustable
en una celosía entera es un cubo parcial. Se deduce que un gráfico finito es un parcial
cubo si y sólo si es incrustable en algún entero celosía. Ejemplos de infinito
cubos parciales isométricamente incrustables en una celosía entera dimensional finita
se encuentran en [17].
Llamamos a la dimensión mínima posible n de un entero celosía Zn, en la que
un gráfico G dado es isométricamente incrustable, su dimensión de celosía y denota
it dimZ(G). La dimensión de celosía de un cubo parcial se puede expresar en términos
de los emparejamientos máximos en los llamados gráficos semicubos [11].
Definición 5.1. El gráfico semicubo Sc(G) tiene todos los semicubos en G como el conjunto
de sus vértices. Dos vértices Wab y Wcd están conectados en Sc(G) si
Wab • Wcd = V y Wab • Wcd 6 = • •. (5.3)
Si G es un cubo parcial, entonces condición (5.3) es equivalente a cada uno de los dos
condiciones equivalentes:
Wba-Wcd-Wdc-Wab, (5.4)
donde se refiere a la inclusión adecuada.
Teorema 5.3. (Teorema 1 en [11].) Que G sea un cubo parcial finito. Entonces
dimZ(G) = dimI(G) − M,
donde M es un emparejamiento máximo en el gráfico semicubo Sc(G).
Ejemplo 5.1. Que G sea el gráfico que se muestra en la Figura 2.1. Es fácil ver que
dimI(G) = 3 y dimZ(G) = 2.
Ejemplo 5.2. Dejar T ser un árbol con n bordes y m hojas. Entonces
dimI(T ) = n y dimZ(T ) = m/2
(cf. [8] y [14], respectivamente).
Ejemplo 5.3. Para el ciclo C6 tenemos (ver Figura 8.2).
dimI(C6) = dimZ(C6) = 3.
6 Subcubes y productos cartesianos
Deja que G sea un cubo parcial. Decimos que G′ es un subcubo de G si es un isométrico
subgrafo de G.
Claramente, un subcubo es en sí mismo un cubo parcial. Lo contrario no se sostiene; a
subgrafo de un gráfico G puede ser un cubo parcial pero no un subgrafo isométrico de
G (cf. Ejemplo 2.1).
Si G′ es un subcubo de un cubo parcial G, entonces dimI(G)
′) ≤ dimI(G) y
dimZ(G
′) ≤ dimZ(G). En general, las dos desigualdades no son estrictas. Por
Por ejemplo, el ciclo C6 es un subgrafo isométrico del cubo Q3 (ver Figura 8.2).
dimI(C6) = dimZ(C6) = dimI(Q3) = dimZ(Q3) = 3.
Los semicúbitos de un cubo parcial son ejemplos de subcubos. De hecho, por Theo-
rem 3.4, las semicúbicas son subgrafías convexas y por lo tanto isométricas. En general,
lo contrario no es cierto; un camino que conecta dos vértices opuestos en C6 es un
Subgrafía isométrica pero no convexa.
Otra forma común de construir nuevos cubos parciales a partir de los antiguos es por
que forman sus productos cartesianos (véase [15] para más detalles y pruebas).
Definición 6.1. Dados dos gráficos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2),
Producto cartesiano
G = G1 G2
tiene vértice conjunto V = V1 × V2; un vértice u = (u1, u2) es adyacente a un vértice
v = (v1, v2) si y sólo si u1v1 â ¬ E1 y u2 = v2, o u1 = v1 y u2v2 â ¬ E2.
La operación es asociativa, así que podemos escribir
G = G1 · · · Gn =
para el producto cartesiano de los gráficos G1,. .., Gn. Un producto cartesiano
i=1Gi
está conectado si y sólo si los factores están conectados. Entonces tenemos
dG(u, v) =
dGi(ui, vi). (6.1)
Ejemplo 6.1. Deja {Xi}
i=1 ser una familia de conjuntos e Y =
i=1 sea su suma.
Entonces el producto cartesiano de la hipercubes H(Xi) es isomórfico a la hi-
percubo H(Y ). El isomorfismo es establecido por el mapeo
f : (P1,. .., Pn) 7→
La fórmula (6.1) arroja inmediatamente los siguientes resultados.
Proposición 6.1. Let Hi ser subgrafías isométricas de gráficos Gi para todos 1 ≤ i ≤ n.
Luego el producto cartesiano
i=1Hi es un subgrafo isométrico del cartesiano
producto
i=1Gi.
Corolario 6.1. El producto cartesiano de una familia finita de cubos parciales es un
cubo parcial. En particular, el entero enrejado Zn (cf. Ejemplos 2.2 y 2.3)
un cubo parcial.
Los resultados de los siguientes dos teoremas se pueden extender fácilmente a arbitrarios
productos finitos de cubos parciales finitos.
Teorema 6.1. Que G = G1 G2 sea el producto cartesiano de dos parciales finitos
cubos. Entonces
dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2).
Prueba. Podemos asumir que G1 (resp. G2) es inducido por una familia de wg F1 (resp.
F2) de subconjuntos de un conjunto finito X1 (resp. X2) de tal manera que â € TM = â € TM y â € TM F1 = X1
(resp. •F2 = • y •F2 = X1) (véase la sección 5). Por Teorema 5.2,
dimI(G1) = X1 y dimI(G2) = X2.
Está claro que el gráfico G es inducido por el wg-familia F = F1 + F2 de subconjuntos
del conjunto X = X1 + X2 (cf. Ejemplo 6.1) con "F" = "F" = "F" = "X". Por
Teorema 5.2,
dimI(G) = X = X1 X2 = dimI(G1) + dimI(G2).
Teorema 6.2. Que G = (V,E) sea el producto cartesiano de dos parciales finitos
cubos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Entonces
dimZ(G) = dimZ(G1) + dimZ(G2).
Prueba. Que W(a,b)(c,d) sea un semicubo del gráfico G. Hay dos posibles
casos:
i) c = a, bd • E2. Que (x, y) sea un vértice de G. Entonces, por (6.1),
dG(x, y), (a, b)) = dG1(x, a) + dG2(y, b)
dG(x, y), (c, d)) = dG1(x, c) + dG2(y, d).
Por lo tanto,
dG(x, y), (a, b)) < dG(x, y), (c, d)) dG2(y, b) < dG2(y, d).
De ello se deduce que
W(a,b)(c,d) = V1 ×Wbd. (6.2)
ii) d = b, ac E1. Como en (i), tenemos
W(a,b)(c,d) =Wac × V2. (6.3)
Claramente, dos semicubos dados por (6.2) forman un borde en el gráfico semicubo
Sc(G) si y sólo si sus segundos factores forman un borde en el gráfico semicubo
Sc(G2). Lo mismo es cierto para las semicuebas en la forma (6.3) con respecto a su
los primeros factores. También está claro que las semicuebas en la forma (6.2) y en la forma (6.3)
no están conectados por un borde en Sc(G). Por lo tanto, el gráfico semicubo Sc(G) es
isomórfico a la unión disjunta de los gráficos semicubo Sc(G1) y Sc(G2). Si M1
es un emparejamiento máximo en Sc(G1) y M2 es un emparejamiento máximo en Sc(G2),
entonces M = M1 M2 es una coincidencia máxima en Sc(G). El resultado es el siguiente:
teoremas 5.3 y 6.1.
Observación 6.1. El resultado del corolario 6.1 no es válido para el Cartesiano infinito
productos de cubos parciales, ya que estos productos están desconectados. Por otro lado
la mano, se puede demostrar que los productos cartesianos débiles arbitrarios (com-
los ponentes de los productos cartesianos [15]) de los cubos parciales son cubos parciales.
7 Encolar cubos parciales
En esta sección utilizamos la técnica de pegado de conjuntos [5, cap. I, §2.5] para construir una nueva parcial
cubos de los viejos.
Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficos, H1 = (U1, F1) y
H2 = (U2, F2) ser dos subgrafías isomórficas de G1 y G2, respectivamente, y
• : U1 → U2 ser una bijección que define un isomorfismo entre H1 y H2. Los
bijection define una relación de equivalencia R sobre la suma V1+V2 de la siguiente manera: cualquier
elemento en (V1 \U1) (V2 \U2) es equivalente a sí mismo sólo y elementos u1 U1
y u2 • U2 son equivalentes si y sólo si u2 = • (u1). Decimos que el cociente
set V = (V1 + V2)/R se obtiene uniendo los conjuntos V1 y V2 a lo largo
los subconjuntos U1 y U2. Dado que los gráficos H1 y H2 son isomórficos, el pegado
de los conjuntos V1 y V2 se puede extender naturalmente a un encolado de conjuntos de bordes
E1 y E2 resultando en el conjunto E de bordes que unen vértices en V. Decimos que
el gráfico G = (E, V ) se obtiene pegando los gráficos G1 y G2
a lo largo de los subgráficos isomórficos H1 y H2. La construcción encolada permite
para identificar de forma natural los gráficos G1 y G2 con los subtítulos de G, y
los gráficos isomórficos H1 y H2 con un subgrafo H común de ambos gráficos
G1 y G2. A menudo seguimos esta convención a continuación.
Observación 7.1. Tenga en cuenta que en la construcción anterior el gráfico resultante G de-
no sólo en los gráficos G1 y G2 y sus subgráficos isomórficos H1 y
H2 pero también en la biyección • definir un isomorfismo de H1 a H2 (ver
los dibujos de las figuras 7.1 y 7.2).
Figura 7.1: Pegado de dos árboles.
Figura 7.2: Otro pegado de los mismos árboles.
En general, pegado de dos cubos parciales G1 y G2 a lo largo de dos isomórficos
los subgrafos H1 y H2 no producen un cubo parcial incluso bajo fuerte como
Supuestos acerca de estos subgrafías como el siguiente ejemplo ilustra.
Figura 7.3: Pegar cubos parciales G1 y G2.
Ejemplo 7.1. Pegado de dos cubos parciales G1 = C6 y G2 = C6 a lo largo
Los subpárrafos H1 y H2 se muestran en la Figura 7.3. El gráfico G resultante no es un
cubo parcial. De hecho, el semicuboWab no es un conjunto convexo. Tenga en cuenta que las subgrafías
H1 y H2 son subgrafías convexas de los respectivos cubos parciales.
En esta sección estudiamos dos simples pegaduras de gráficos conectados juntos,
el vértice-pegadura y el borde-pegadura, y mostrar que estos pegados producen
cubos parciales de cubos parciales. También calculamos la isometría y la celosía
dimensiones de los gráficos resultantes.
Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficos conectados, a1 • V1,
a2 • V2 y H1 = ({a1}, • H2 = ({a2}, •). Dejar G ser el gráfico obtenido
pegando G1 y G2 a lo largo de los subpárrafos H1 y H2. En este caso decimos que
el gráfico G se obtiene de los gráficos G1 y G2 mediante pegado de vértice. También decimos
que G se obtiene de G1 y G2 identificando los vértices a1 y a2. Gráfico 7.4
ilustra esta construcción. Tenga en cuenta que el vértice a = {a1, a2} es un vértice cortado
de G, puesto que G1 G2 = G y G1 G2 = {a}. (Seguimos nuestra convención y
identificar los gráficos G1 y G2 con los subtítulos de G.)
Figura 7.4: Un ejemplo de pegar vértice.
En lo que sigue usamos superíndices para distinguir los subgrafos de los gráficos
G1 y G2. Por ejemplo, W
representa el semicubo de G2 definido por dos
vértices adyacentes a, b â € V2.
Teorema 7.1. Gráfico G = (V,E) obtenido por pegado de vértice a partir de
cubos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) es un cubo parcial.
Prueba. Denotamos a = {a1, a2} el vértice de G obtenido mediante la identificación de vértices
a1 V1 y a2 V2. Claramente, G es un gráfico bipartito. Que xy sea un borde de G.
Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que xy E1 y un Wxy. Nota
que cualquier camino entre los vértices en V1 y V2 debe pasar por una. Desde un Wxy,
tenemos, para cualquier v • V2,
d(v, x) = d(v, a) + d(a, x) < d(v, a) + d(a, y) = d(v, y),
que implica V2 Wxy y Wyx V1. De ello se deduce que Wxy = W
xy V2 y
Wyx = W
yx. Los conjuntos W
xy, W
yx y V2 son subconjuntos convexos de V. Desde
xy V2 = {a}, el conjunto Wxy = W
xy V2 también es convexo. Por el teorema 3.4 ii),
el gráfico G es un cubo parcial.
La construcción de vértice-pegadura introducida arriba puede ser generalizada como
sigue. Let G = {Gi = (Vi, Ei)}iJ ser una familia de gráficos conectados y
A = {ai Gi}iJ ser una familia de vértices distinguidos de estos gráficos. Let G
ser el gráfico obtenido de los gráficos Gi identificando vértices en el conjunto A.
Decimos que G se obtiene por vértice-pegar juntos los gráficos Gi (a lo largo de la
set A).
Ejemplo 7.2. Dejar J = {1,...., n} con n ≥ 2,
G = {Gi = ({ai, bi}, {aibi})}iJ, y A = {ai}iJ.
Claramente, cada Gi es K2. Al pegar vértice estos gráficos a lo largo de A, obtenemos el
Gráfica de n-estrella K1,n.
Puesto que la estrella K1,n es un árbol, también se puede obtener de K1 por sucesivos
vértice-pegadura como en el ejemplo 7.3.
Ejemplo 7.3. Dejar G1 ser un árbol y G2 = K2. Al pegar vértice estos gráficos
Obtenemos un nuevo árbol. Por el contrario, dejar G ser un árbol y v ser su hoja. Dejar G1 ser
un árbol obtenido de G mediante la eliminación de la hoja v. Claramente, G se puede obtener por
vértice-pegadura G1 y K2. De ello se deduce que cualquier árbol puede obtenerse de la gráfica
K1 por sucesivo vértice-pegadura de copias de K2 (cf. Teorema 2.3 e) en [12]).
Cualquier gráfico G conectado puede ser construido por vértice sucesivo-pegadura de
sus bloques utilizando su estructura de bloques cortados-vertex [4]. Dejar G1 ser un bloque final de
G con un vértice de corte v y G2 ser la unión de los bloques restantes de G. Entonces
G se puede obtener de G1 y G2 por vértice-pegadura a lo largo del vértice v.
sigue que cualquier gráfico conectado puede ser obtenido de sus bloques por sucesivos
Pegaduras de vértice.
Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Recordamos que la dimensión isométrica
dimI(G) de G es la cardinalidad del cociente conjunto E/.....................................................................................................................................................................................................................................................
relación de equivalencia en el conjunto E (cf. fórmula (5.1)).
Teorema 7.2. Que G = (V,E) sea un cubo parcial obtenido por pegar vértice
juntos cubos parciales G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Entonces
dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2).
Prueba. Basta con probar que no hay bordes xy E1 y uv E2 que
están en la relación de Djoković entre sí. Supongamos que G1 y G2 son
vértice pegado a lo largo de los vértices a1 E1 y a2 E2 y dejar a = {a1, a2} E. Let
xy E1 y uv E2 son dos aristas en E. Podemos suponer que u Wxy. Desde
a es un corte-vertex de G y u Wxy, tenemos
d(u, a) + d(a, x) = d(u, x) < d(u, y) = d(u, a) + d(a, y).
Por lo tanto, d(a, x) < d(a, y), lo que implica
d(v, x) = d(v, a) + d(a, x) < d(v, a) + d(a, y) = d(v, y).
De ello se deduce que v. Wxy. Por lo tanto, el borde xy no se mantiene en la relación
al vértice uv.
El siguiente resultado sigue inmediatamente del teorema anterior. Tenga en cuenta que
bloques de un cubo parcial son cubos parciales ellos mismos.
Corolario 7.1. Dejar G ser un cubo parcial y {G1,. ...............................................................
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces
dimI(G) =
dimI(Gi).
En el caso de la dimensión de celosía de un cubo parcial podemos reclamar sólo mucho
resultado más débil que uno indicado en el Teorema 7.2 para la dimensión isométrica. Nosotros
omitir la prueba.
Teorema 7.3. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por vértice-pegadura juntos parcial
cubos G1 y G2. Entonces
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) ≤ dimZ(G1) + dimZ(G2).
El siguiente ejemplo ilustra posibles casos de desigualdades en la
rem 7.3. Recordemos que la dimensión de celosía de un árbol con m hojas es
m/2 (cf. [14]).
Ejemplo 7.4. La estrella K1,6 se puede obtener de las estrellas K1,2 y K1,4 por
vértice pegando estas dos estrellas a lo largo de sus centros. Claramente,
max{dimZ(K1,2), dimZ(K1,4)} < dimZ(K1,6) = dimZ(K1,2) + dimZ(K1,4).
La misma estrella K1,6 se obtiene de dos copias de la estrella K1,3 por vértice-
pegando a lo largo de sus centros. Tenemos dimZ(K1,3) = 2, dimZ(K1,6) = 3, así que
max{dimZ(K1,3), dimZ(K1,3)} < dimZ(K1,6) < dimZ(K1,3) + dimZ(K1,3).
Vamos a pegar vértice dos estrellas K1,3 a lo largo de sus dos hojas. El resultado
El gráfico T es un árbol con cuatro vértices. Por lo tanto,
max{dimZ(K1,3), dimZ(K1,3)} = dimZ(T) < dimZ(K1,3) + dimZ(K1,3).
Ahora consideramos otra manera simple de pegar dos gráficos juntos.
Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficas conectadas, a1b1 E1,
a2b2 E2 y H1 = ({a1, b1}, {a1b1}), H2 = ({a2, b2}, {a2b2}). Deja que G sea el
Gráfica obtenida pegando G1 y G2 a lo largo de los subgráficos H1 y H2. En este caso
decimos que el gráfico G se obtiene de los gráficos G1 y G2 por borde-pegadura.
Las figuras 7.1, 7.2 y 7.5 ilustran esta construcción.
Figura 7.5: Un ejemplo de encolado de bordes.
Como antes, identificamos los gráficos G1 y G2 con subgrafías del gráfico
G y denotar a = {a1, a2}, b = {b1, b2} los dos vértices obtenidos por pegado
juntos vértices a1 y a2 y, respectivamente, b1 y b2. El borde ab E es
obtenido pegando los bordes a1b1 E1 y a2b2 E2 (cf. Figura 7.5).
A continuación G = G1°G2, V1°V2 = {a, b} y E1°E2 = {ab}. Usamos estas anotaciones.
en el resto de esta sección.
Proposición 7.1. Un gráfico G obtenido por encolado de bordes gráficos bipartitos
G1 y G2 es bipartito.
Prueba. Que C sea un ciclo en G. Si C G1 o C G2, entonces la longitud de C es
incluso, ya que los gráficos G1 y G2 son bipartitos. De lo contrario, los vértices a y
b separar C en dos caminos cada uno de longitud impar. Por lo tanto C es un ciclo de par
longitud. El resultado es el siguiente.
El siguiente lema es instrumental; describe los semicubos del gráfico
G en términos de semicubos de los gráficos G1 y G2.
Lemma 7.1. Deja que Uv sea un borde de G. Entonces
i) En el caso de Uv E1, a, b, Wuv Wuv Wuv = W
V2, Wvu = W
ii) En el caso de Uv E2, a, b, Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv
V1, Wvu = W
iii) a Wuv, b Wuv, wvu, wav = wab.
Figura 7.6: Pegadura de bordes de los gráficos G1 y G2.
Prueba. Demostramos las partes i) y iii) (véase la figura 7.6).
(i) Puesto que cualquier camino de w â € V2 a u o v contiene a o b y a, b â € € TM
Tengo a WWuv. Por lo tanto, Wuv = W
V2 y Wvu = W
(iii) Desde el ab auv en G1, tenemos W
uv = W
, por Teorema 3.4 iv). Let w
ser un vértice en W
Uv. Entonces, por la desigualdad del triángulo,
d(w, u) < d(w, v) ≤ d(w, b) + d(b, v) < d(w, b) + d(b, u).
Puesto que cualquier camino más corto de w a u contiene a o b, tenemos
d(w, a) + d(a, u) = d(w, u).
Por lo tanto,
d(w, a) + d(a, u) < d(w, b) + d(b, u).
Desde ab Uv en G1, tenemos d(a, u) = d(b, v), por Teorema 4.2. De ello se deduce que
d(w, a) < d(w, b), es decir, w • W
. Demostramos que W
uv W
simetría, W
vu W
. Puesto que dos semicubos opuestos forman una partición de V2,
Tenemos a W.
uv = W
. El resultado es el siguiente.
Teorema 7.4. Un gráfico G obtenido por encolado de bordes juntos cubos parciales G1
y G2 es un cubo parcial.
Prueba. Por Teorema 3.4(ii) y Proposición 7.1, tenemos que demostrar que para cualquier
borde uv de G el semicubo Wuv es un subconjunto convexo de V. Hay dos posibles
casos.
i) uv = ab. El semicubo Wab es la unión de semicubos W
y W
que son subconjuntos convexos de V1 y V2, respectivamente. Está claro que cualquier más corto
ruta que conecta un vértice en W
con un vértice en W
contiene vértice a y
por lo tanto, está contenido en Wab. Por lo tanto, Wab es un conjunto convexo. Un argumento similar
prueba que el conjunto Wba es convexo.
ii) uv 6= ab. Podemos asumir que uv â € E1. Para demostrar que el semicubo
Wuv es un conjunto convexo, consideramos dos casos.
a) a, b) Wuv. (El caso en que se trata de manera similar a, b • Wvu.) Por
Lemma 7.1(i), el semicubo Wuv es la unión del semicubo W
uv y el
conjunto V2 que son ambos conjuntos convexos. Cualquier camino más corto P de un vértice en V2 a
un vértice en W
uv contiene a o b. De ello se deduce que P W
uv V2 = Wuv.
Por lo tanto, el semicubo Wuv es convexo.
b) a • Wuv, b • Wvu. (El caso cuando b • Wuv, un • Wvu se trata
similarmente.) Por Lemma 7.1 (ii), Wuv = Wab. El resultado es el resultado de la parte i) de
la prueba.
Teorema 7.5. Dejar G ser un gráfico obtenido por borde-pegar juntos parcial finito
cubos G1 y G2. Entonces
dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2)− 1.
Prueba. Las relaciones de Djoković en E, E1 y E2, respectivamente.
Por Lemma 7.1, para uv, xy E1 (resp. Uv, xy E2) tenemos
uv Ł xy Ł uv Ł1xy (resp. uv xy uv Ł2xy).
Let uv E1, xy E2 y uv Ł xy. Supón que (uv, ab) /ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Podemos
Asumir que a, b-Wuv. Por Lemma 7.1(i), V2 (Wuv), una contradicción, ya que
xy E2. Por lo tanto, uv xy ab. De ello se deduce que cada clase de equivalencia de la
o bien una clase de equivalencia de 1o, una clase de equivalencia de 2o o bien
clase que contiene el borde ab. Por lo tanto
E/ = E1/1 E2/2 − 1.
El resultado sigue, ya que la dimensión isométrica de un cubo parcial es igual a la
cardinalidad del conjunto de clases de equivalencia de la relación de Djoković (formula (5.1)).
Necesitamos algunos resultados sobre gráficos semicubo con el fin de probar un análogo de
Teorema 7.3 para un cubo parcial obtenido por encolado de borde de dos cubos parciales.
Lemma 7.2. Dejar G ser un cubo parcial y WpqWuv, WqpWxy ser dos bordes en
el gráfico Sc(G). Entonces WxyWuv es un borde en Sc(G).
Prueba. Por condición (5.4), Wqp Wuv y Wyx Wqp. Por lo tanto, Wyx-Wuv.
Por la misma condición, WxyWuv Sc(G).
Como antes, identificamos los cubos parciales G1 y G2 con subgrafías de lo parcial
cubo G. Entonces G1 G2 = G y G1 G2 = ({a, b}, {ab}) = K2 (cf. Gráfico 7.6).
Lemma 7.3. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por borde-pegadura juntos parcial
cubos G1 y G2. Dejad que W
xy (resp. W
xy ) ser un borde en el semicubo
Sc(G1) (resp. Sc(G2)). Entonces WuvWxy es un borde en Sc(G).
Figura 7.7: Semicubes formando un borde en Sc(G1).
Prueba. Basta considerar el caso de Sc(G1) (véase la figura 7.7). Por condiciones...
ión (5.4),W
vu â € â € TM TM
xy y W
Yx â € € TM TM
Uv. Suponga que un â € TM a W
vu y b â € € TM TM
(en el caso de b • O
vu y a W
yx se trata de manera similar). A continuación, ab 1xy y
ab 1uv. Por transitividad de 1o, tenemos uv 1xy, una contradicción, desde semicubos
uv y W
xy son distintos. Por lo tanto, podemos asumir que, por ejemplo, a, b
Luego, por Lemma 7.1, Wvu = W
vu â € ¢ V1. Desde W
vu â € € TM W
xy Wxy, tenemos
Wvu, Wxy. Por condición (5.4), WuvWxy es un borde en Sc(G).
Lemma 7.4. LetM1 y M2 son coincidencias en los gráficos Sc(G1) y Sc(G2). Ahí está.
es una M correspondiente en Sc(G) de tal manera que
M ≥ M1 M2 − 1.
Prueba. Por Lemma 7.3, M1 y M2 inducen coincidencias en Sc(G) que denotamos
por los mismos símbolos. La intersección M1 M2 está vacía o es un subgrafo
del gráfico vacío con vértices Wab y Wba.
Si M1 M2 está vacío, entonces M = M1 M2 es una coincidencia en Sc(G) y la
El resultado es el siguiente.
Si M1 M2 es un gráfico vacío con un solo vértice, digamos, en M1, eliminamos
desde M1 el borde que tiene este vértice como su vértice final, resultando en la coincidencia
M ′1. Claramente, M = M
1 M2 es una coincidencia en Sc(G) y M = M1 M2 − 1.
Supongamos ahora que M1 M2 es el gráfico vacío con vértices Wab y Wba.
Deja WabWuv, WbaWpq (resp. WabWxy, WbaWrs) ser bordes en M1 (resp. M2).
Por Lemma 7.2, WxyWrs es un borde en Sc(G2). Vamos a reemplazar los bordesWabWxy y
WbaWrs en M2 por un solo borde WxyWrs, resultando en la M
2. Entonces
M = M1 â € M
2 es una coincidencia en Sc(G) y M = M1 M2 − 1.
Corolario 7.2. Dejar que M1 y M2 sean coincidencias máximas en Sc(G1) y Sc(G2),
respectivamente, y M sea una coincidencia máxima en Sc(G). Entonces
M ≥ M1 M2 − 1. (7.1)
Por Teorema 5.3, tenemos
dimI(G1) = dimZ(G1) + M1, dimI(G2) = dimZ(G2) + M2,
dimI(G) = dimZ(G) + M,
donde M1 y M2 son los máximos emparejamientos en Sc(G1) y Sc(G2), respectivamente,
y M es una coincidencia máxima en Sc(G). Por lo tanto, por Teorema 7.5 y (7.1),
tenemos el siguiente resultado (cf. Teorema 7.3).
Teorema 7.6. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por borde-pegadura de parcial
cubos G1 y G2. Entonces
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) ≤ dimZ(G1) + dimZ(G2).
Ejemplo 7.5. Consideremos dos bordes-pegaduras de las estrellas G1 = K1,3 y
G2 = K1,3 de la dimensión de celosía 2 que se muestra en las figuras 7.1 y 7.2. En el primer caso
el gráfico resultante es la estrella G = K1,5 de la dimensión de celosía 3. Entonces tenemos
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} < dimZ(G) < dimZ(G1) + dimZ(G2).
En el segundo caso el gráfico resultante es un árbol con 4 hojas. Por lo tanto,
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} = dimZ(G) < dimZ(G1) + dimZ(G2).
Dejar c1a1 y c2a2 ser bordes de las estrellas G1 = K1,4 y G2 = K1,4 (cada uno de los
que tiene la dimensión de celosía 2), donde c1 y c2 son centros de los respectivos
estrellas. Vamos a borde-pegar estos dos gráficos identificando c1 con c2 y a1 con
a2, respectivamente. El gráfico G resultante es la estrella K1,7 de la dimensión de celosía 4.
Por lo tanto,
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) = dimZ(G1) + dimZ(G2).
8 Expansiones y contracciones de cubos parciales
El procedimiento de expansión del gráfico fue introducido por Mulder en [16], donde es
muestra que un gráfico es un gráfico mediano si y sólo si se puede obtener de
K1 por una secuencia de expansiones convexas (véase también [15]). Un resultado similar para
cubos parciales se estableció en [6] (véase también [7]) como un corolario a un más general
resultado relativo a la incrustabilidad isométrica en los gráficos de Hamming; también fue
establecido en [13] en el marco de la teoría de los matroides orientados.
En esta sección se investigan las propiedades de la expansión (isométrica) y con-
operaciones de tracción y, en particular, demostrar de dos maneras diferentes que un gráfico es
un cubo parcial si y sólo si se puede obtener del gráfico K1 por una secuencia
de expansiones.
Una observación sobre las anotaciones está en orden. En el producto {1, 2} × (V1+V2), nosotros
denotar V ′i = {i} × Vi y x
i = (i, x) para x • Vi, donde i, j = 1, 2.
Definición 8.1. Dejar G = (V,E) ser un gráfico conectado, y dejar G1 = (V1, E1)
y G2 = (V2, E2) ser dos subgrafías isométricas de G de tal manera que G = G1 + G2.
La expansión de G con respecto a G1 y G2 es el gráfico G
′ = (V ′, E′)
construido de la siguiente manera a partir de G (véase la figura 8.1):
i) V ′ = V1 + V2 = V
1 V
ii) E′ = E1 + E2 + M, donde M es el equivalente
X+V1+V2
{x1x2}.
En este caso, también decimos que G es una contracción de G′.
Figura 8.1: Procesos de expansión/contracción.
Está claro que los gráficos G1 y â € ~ V
1° son isomórficos, así como los gráficos
G2 y V
Definimos una proyección p : V ′ → V por p(xi) = x para x • V. Claramente, la
la restricción de p a V ′1 es una biyección p1 : V
1 → V1 y su restricción a V
2 es un
biyección p2 : V
2 → V2. Estos bijectos definen los isomorfismos V
1 → G1 y
• V ′2° → G2.
Dejar P ′ ser un camino en G′. Los vértices de G obtenidos de los vértices de P ′
bajo la proyección p definir una caminata P en G; llamamos a esta caminata P la proyección
de la trayectoria P ′. Está claro que
l(P ) = l(P ′), si P ′
′ V ′2°. (8.1)
En este caso, P es una ruta en G y P = p1(P
′) o P = p2(P
′). En el
la otra mano,
l(P ) < l(P ′), si P ′ â € € € € € € € € € 6= € € y P
′ ° ° ° V ′ 2 ° ° 6 ° ° °, (8.2)
y P no es necesariamente un camino.
Utilizaremos con frecuencia los resultados del siguiente lema en esta sección.
Lemma 8.1. i) En el caso de u1, v1+V ′1, cualquier trayectoria más corta Pu1v1 en G
′ pertenece a ′V ′1 ′
y su proyección Puv = p1(Pu1v1) es un camino más corto en G. En consecuencia,
dG′(u
1, v1) = dG(u, v)
es un subpárrafo convexo de G
′. Una declaración similar se mantiene para u2, v2 â V ′2.
ii) En el caso de u1 • V ′1 y v
2 ° V ′2,
dG′(u
1, v2) = dG(u, v) + 1.
Deje Pu1v2 ser un camino más corto en G
′. Hay un borde único x1x2 M tal que
x1, x2 Pu1v2 y las secciones Pu1x1 y Px2v2 de la ruta Pu1v2 son más cortas
rutas en V ′1 y V
2 °, respectivamente. La proyección Puv de Pu1v2 en G
′ es una
sendero más corto en G.
Prueba. (i) Que Pu1v1 sea un camino en G
′ que intersecta V ′2. Ya que V1 es un isométrico
subgrafo de G, hay un camino Puv en G que pertenece a â € ¢ V1â € TM. Entonces p
1 (Puv) es
una trayectoria en V ′1 de la misma longitud que Puv. Por (8.1) y (8.2),
l(p−11 (Puv)) < l(Pu1v1).
Por lo tanto, cualquier camino más corto Pu1v1 en G
′ pertenece a ́V ′1 ́. El resultado es el siguiente.
(ii) Deje Pu1v2 ser un camino más corto en G
′ y Puv sea su proyección a V.
Por (8.2),
dG′(u
1, v2) = l(Pu1v2) > l(Puv) ≥ dG(u, v).
Puesto que no hay borde de G uniendo vértices en V1 \ V2 y V2 \ V1, un más corto
ruta en G de u a v debe contener un vértice x • V1 • V2. Desde G1 y G2
son subgrafías isométricas, hay rutas más cortas Pux en G1 y Pxv en G2 tales
que su unión es un camino más corto de u a v. Entonces, por la desigualdad del triángulo
y parte (i) de la prueba, tenemos (cf. Gráfico 8.1)
dG′(u
1, v2) ≤ dG′(u
1, x1) + dG′(x
1, x2) + dG′(x
2, v2) = dG(u, v) + 1.
Las dos últimas fórmulas mostradas implican dG′(u
1, v2) = dG(u, v) + 1.
Desde u1 • V ′1 y v
2 V ′2 el camino Pu1v2 debe contener un borde, digamos x
1x2, en
M. Dado que este camino es un camino más corto en G′, este borde es único. Luego el segundo...
ciones Pu1x1 y Px2v2 de Pu1v2 son los caminos más cortos en V
1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
2o, respectivamente.
Claramente, Puv es un camino más corto en G.
Dejar a1a2 ser un borde en el emparejamientoM = xV1~V2{x
1x2}. Este borde define
cinco conjuntos fundamentales (cf. Sección 4: los semicubos Wa1a2 y Wa2a1, los conjuntos
de vértices Ua1a2 y Ua2a1, y el conjunto de bordes Fa1a2. El siguiente teorema
sigue inmediatamente desde Lemma 8.1. Da una pista a una conexión entre
el proceso de expansión y cubos parciales.
Teorema 8.1. Que G′ sea una expansión de un gráfico G conectado y anotaciones
se elijan como se ha indicado anteriormente. Entonces
i) Wa1a2 = V
1 y Wa2a1 = V
2 son semicubos convexos de G
(ii) Fa1a2 =M define un isomorfismo entre subgrafías inducidas
"Ua2a1", que son isomórficos para el subgrafo G1 "G2".
El resultado del Teorema 8.1 justifica la siguiente definición constructiva de
el proceso de contracción.
Definición 8.2. Dejar ab ser un borde de un gráfico G′ conectado = (V ′, E′) tal
i) Semicubos Wab y Wba son convexos y forman una partición de V
(ii) el conjunto Fab es un emparejamiento y define un isomorfismo entre subgrafías
"Uab" y "Uba".
Un gráfico G obtenido de los gráficos Wabá y Wabá por pegarlos a lo largo de
Se dice que las subgrafías Uab y Uba son una contracción del gráfico G
Observación 8.1. Si G′ es bipartito, entonces semicubesWab y Wba forman una partición de
su vértice. Entonces, por Teorema 4.1, la condición (i) implica la condición (ii). Por lo tanto
cualquier par de semicubos convexos opuestos en un gráfico bipartito conectado define un
contracción de este gráfico.
Por Teorema 8.1, un gráfico es una contracción de su expansión. No es difícil.
para ver que cualquier gráfico conectado es también una expansión de su contracción.
Los siguientes tres ejemplos dan ilustraciones geométricas para la expansión
y procedimientos de contracción.
Ejemplo 8.1. Que a y b sean dos vértices opuestos en el gráfico G = C4.
Claramente, los dos caminos distintos P1 y P2 de a a b son subgrafías isométricas
de G que define una expansión G′ = C6 de G (véase la figura 8.2). Tenga en cuenta que P1 y P2
no son subconjuntos convexos de V.
Ejemplo 8.2. Se muestra otra expansión isométrica del gráfico G = C4
En la figura 8.3. Aquí, el camino P1 es el mismo que en el ejemplo anterior y
G2 = G.
Ejemplo 8.3. Lemma 8.1 afirma, en particular, que la proyección de un
ruta en una extensión G′ de un grafG es un camino más corto en G. En términos generales,
Figura 8.2: Expansión del ciclo C4.
Figura 8.3: Otra expansión isométrica del ciclo C4.
lo contrario no es cierto. Considere el gráfico G que se muestra en la Figura 8.4 y dos
rutas en G:
V1 = abcef y V2 = bde.
El gráfico G′ de la figura 8.4 es la expansión convexa de G con respecto a V1 y
V2. El camino abdef es un camino más corto en G; no es una proyección de un más corto
ruta en G′.
Figura 8.4: Un camino más corto que no es una proyección de un camino más corto.
Se puede decir que, en el caso de los cubos parciales finitos, el procedimiento de contracción
se define por una proyección ortogonal de un hipercubo sobre una de sus facetas.
Por el teorema 8.1, los conjuntos V ′1 y V
2 son semicubos opuestos del gráfico G
definido por los bordes en M. Sus proyecciones son los conjuntos V1 y V2 que no son
necesariamente semicubos de G. Para otros semicubos en G′ tenemos lo siguiente
resultado.
Lemma 8.2. Para dos vértices adyacentes u, v â € V,
Wuivi = p
−1(Wuv) para u, v • Vi e i = 1, 2.
Prueba. Por Lemma 8.1,
dG′(x
j, ui) < dG′(x
j, vi) dG(x, u) < dG(x, v)
para x V e i, j = 1, 2. El resultado es el siguiente.
Corolario 8.1. Si uv es un borde de G1 â ¬ G2, entonces Wu1v1 = Wu2v2.
El siguiente lema es una consecuencia inmediata de Lemma 8.1. Lo haremos.
usarlo implícitamente en nuestros argumentos más tarde.
Lemma 8.3. Let u, v • V1 y x • V1 • V2. Entonces
x1 â € ¢Wu1v1 â € ~ x
2 â € ¢Wu1v1.
El mismo resultado se mantiene para semicubos en la forma Wu2v2.
En términos generales, la proyección de un subgráfico convexo de G′ no es una
vex subgraph de G. Por ejemplo, la proyección de la ruta convexa b2d2e2 en
Figura 8.4 es la ruta bde que no es un subgrafo convexo de G. En el otro
mano, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 8.2. Que G′ = (V ′, E′) sea una expansión de un gráfico G = (V,E) con
respecto a los subpárrafos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). La proyección de un
semicubo convexo de G′ diferente de â € ¢V ′1â € y â € € TM V
2 es un semicubo convexo de G.
Prueba. Basta con considerar el caso cuando Wuv = p(Wu1v1) para u, v.
Teorema 8.2). Let x, y â € ¢Wuv y z â € € TM V ser un vértice tal que
dG(x, z) + dG(z, y) = dG(x, y).
Tenemos que demostrar que z â € ¢Wuv.
Figura 8.5: Un camino más corto de x a y.
(i) x, y V1 (el caso en que x, y V2 es tratado de manera similar). Supón que
z â € ¢ V1. Entonces x
1, y1, z1 + V ′1 y, por Lemma 8.1,
dG′(x
1, z1) + dG′(z
1, y1) = dG′(z
1, y1).
Desde x1, y1 â € ¢ Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, z
1 Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv.
Supongamos ahora que z â ¬ V2 \ V1. Considere un camino más corto Pxy en G de x
a y que contiene z. Esta ruta contiene vértices x′, y′ â € ¢ V1 â € TM V2 tales que (ver
Gráfico 8.5)
dG(x, x
′) + dG(x
′, z) = dG(x, z) y dG(y, y
′) + dG(y
′, z) = dG(y, z).
Puesto que Pxy es un camino más corto en G, tenemos
dG(x, x
′) + dG(x
′, y) = dG(x, y), dG(x, y
′) + dG(y
′, y) = dG(x, y),
′, z) + dG(z, y
′) = dG(x
′, y′).
Desde x, x′, y V1, tenemos x
1, x′1, y1 V ′1. Porque x
1, y1 Wu1v1 y Wu1v1
es convexo, x′1 • Wu1v1. Por lo tanto, x
′ Wuv y, de manera similar, y
′ Wuv. Desde
x′2, y′2, z2 V ′2 y Wu1v1 es convexo, z
2 â € ¢Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv.
ii) x V1 \V2 y y V2 \V1. Podemos suponer que z â € V1. Por Lemma 8.1,
dG′(x
1, y2) = dG(x, y) + 1 = dG(x, z) + dG(z, y) + 1
= dG′(x
1, z1) + dG′(z
1, y2).
Ya que x1, y2 Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, z
1 Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv.
Al utilizar los resultados de Lemma 8.1, no es difícil demostrar que la clase
de los gráficos bipartitos conectados se cierra bajo la expansión y la contracción
operaciones. El siguiente teorema establece este resultado para la clase de parcial
cubos.
Teorema 8.3. (i) Una expansión G′ de un cubo parcial G es un cubo parcial.
ii) Una contracción G de un cubo parcial G′ es un cubo parcial.
Prueba. i) Que G = (V,E) sea un cubo parcial y que G′ = (V ′, E′) sea su expansión
con respecto a los subgráficos isométricos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Por
Teorema 3.4 ii), basta con demostrar que las semicubas de G′ son convexas.
Por Lemma 8.1, las semicúbicas "V" y "V"
2° son convexos, por lo que consideramos un
semicubo en la formaWu1v1 donde uv E1 (el otro caso se trata de manera similar).
Que Px′y′ sea un camino más corto que conecta dos vértices en Wu1v1 y Pxy sea su
Proyección a G. Por Teorema 8.2, x, y Wuv y, por Lemma 8.1, Pxy es un
sendero más corto en G. Puesto que Wuv es convexo, Pxy pertenece a Wuv. Dejad z
′ ser a
vértice en Px′y′ y z = p(z)
′) • Pxy. Por Lemma 8.1,
dG(z, u) < dG(z, v) dG′(z)
′, u1) ≤ dG′(z
′, v1).
Dado que G′ es un gráfico bipartito, dG′(z
′, u1) < dG′(z
′, v1). Por lo tanto, Px′y′ Wu1v1,
Wu1v1 es convexo.
ii) Que G = (V,E) sea una contracción de un cubo parcial G′ = (V ′, E′). Por
Teorema 3.4, tenemos que demostrar que las semicubas de G son convexas. Por...
orem 8.2, todos los semicúbitos de G son proyecciones de semicúbitos de G′ distintas de
V ′1° y V
2o.............................................................................................................................................. Por Teorema 8.2, las semicubas de G son convexas.
Corolario 8.2. (i) Un gráfico conectado finito es un cubo parcial si y sólo si
se puede obtener de K1 por una secuencia de expansiones.
ii) El número de expansiones necesarias para producir un cubo parcial G a partir de K1
es dimI(G).
Prueba. i) Sigue inmediatamente desde el Teorema 8.3.
ii) Seguimientos de los teoremas 8.2 y 5.1 (véase el análisis de la sección 5
antes del teorema 5.2 ).
Los procesos de expansión y contracción admiten descripciones útiles en el
caja de cubos parciales en un set. Let G = (V,E) ser un cubo parcial en un conjunto X,
es un subgrafo isométrico del hipercubo H(X). Entonces es inducido por
algunos wg-familia F de subconjuntos finitos de X (cf. Teorema 2.1). Podemos asumir (ver
En la sección 5 ) se indica que « F » = » y « F » = « X ».
En lo que sigue presentamos pruebas de los resultados de Teorema 8.3 y Corol-
8.2 dado en términos de wg-familias de conjuntos.
El proceso de expansión de un cubo parcial G en X se puede describir de la siguiente manera:
Que F1 y F2 sean wg-familias de subconjuntos finitos de X de tal manera que F1 â € TM F2 6= â € TM,
F1°F2 = F, y la distancia entre cualquiera de los dos conjuntos P °F1 \F2 y Q °F2 \F1
es mayor que uno. Nótese que F1 y F2 son cubos parciales, F1 y F2
y F1oF2oF2oF = F2oF = G. Let X
′ = X + {p}, donde p /+ X, y
2 = {Q+ {p} : Q {F2], F
′ = F1 + F
Es bastante claro que los gráficos â € ¢ F′2â € TM y â € TM F2â € TM son isomórficos y el gráfico
G′ = F es una expansión isométrica del gráfico G.
Teorema 8.4. Una expansión de un cubo parcial es un cubo parcial.
Prueba. Tenemos que verificar que F′ es una familia wg de subconjuntos finitos de X ′. Por
Teorema 2.3, basta con demostrar que la distancia entre cualquiera de dos adyacentes
conjuntos en F′ es 1. Es obvio si cada uno de estos dos conjuntos pertenecen a una de las familias
F1 o F
2. Supongamos que P â € F1 y Q+ {p} â € F
2 son adyacentes, es decir, para cualquier
S, F, tenemos
P (Q+ {p}) S P (Q+ {p}) S = P o S = Q+ {p}. (8.3)
Si Q â € ¢ F1, entonces
P • (Q + {p}) • • Q P • (Q+ {p}),
Desde p/ P. Por (8.3), Q = P implica d(P,Q + {p}) = 1.
Si Q â € F2 \ F1, hay R â € F1 â € F2 tales que
d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q),
ya que F está bien calificado. Por Teorema 2.2,
P #Q # R # P # Q #
lo que implica
P (Q + {p}) R+ {p} P (Q+ {p}).
Por (8.3), R + {p} = Q+ {p}, una contradicción.
Es fácil reconocer los conjuntos fundamentales (cf. Sección 4) en un isométrico
expansion G′ de un cubo parcial G = â € € ¢ Fâ € € TM. Let P-F1-F2 y Q = P-P-P-F
ser dos vértices que definan un borde en G′ de acuerdo con la definición 8.1 ii). Claramente,
las familias F1 y F
2 son los semicubos WPQ y WQP del gráfico G
′ (cf.
Lemma 5.1) y por lo tanto son subconjuntos convexos de F′. El set FPQ es el set
de bordes definidos por p como en Lemma 5.1. Además, UPQ = F1 + F2 y
UQP = {R+ {p} : R • F1 • F2}.
Dejar G ser un cubo parcial inducido por un wg-familia F de subconjuntos finitos de un conjunto
X. Al igual que antes, suponemos que "F" = "F" y "F" = "X". Que PQ sea un borde de G.
Se puede suponer que Q = P + {p} para algunos p / P. Entonces (ver Lemma 5.1)
WPQ = {R + F : p /+ R} y WQP = {R + F : p + R}.
Let X ′ = X \ {p} y F′ = {R \ {p} : R {F}. Está claro que el gráfico G′
inducido por la familia F′ es isomórfica a la contracción de G definida por el
Edge PQ. Geométricamente, el gráfico G′ es la proyección ortogonal del gráfico
G a lo largo del borde PQ (cf. Figuras 8.2 y 8.3).
Teorema 8.5. i) Una contracción G′ de un cubo parcial G es un cubo parcial.
ii) Si G es finito, entonces dimI(G
′) = dimI(G)− 1.
Prueba. (i) En el caso de las palabras " X " definimos " F1 = " R " ; " F2 " ; " R " ; " F2 " ; " R " ; " F2 " ; " F2 " ; " P " ; " R " ;
y F′2 = {R \ {p} {F}: p {R}. Tenga en cuenta que F1 y F2 son semicubos de G
y F′2 es isométrica a F2. Por lo tanto, F1 y F
2 son wg-familias de subconjuntos finitos
de X ′. Tenemos que demostrar que F′ = F1 + F
2 es una familia wg. Por Teorema 2.3,
basta con demostrar que d(P,Q) = 1 para cualquiera de los dos conjuntos adyacentes P,Q • F′. Esto
es cierto si P,Q + F1 o P,Q + F
2, ya que estas dos familias están bien calificadas. Por
F1 \ F
2 y Q-F
2 \ F1, los conjuntos P y Q + {p} no son adyacentes en F,
ya que F está bien calificado y Q /+ F. Por lo tanto hay R + F1 tal que
P (Q+ {p}) R P (Q + {p})
y R 6= P. Desde p /+ R, tenemos
P # Q # R # P # Q.
Puesto que R 6= P y R 6= Q, los conjuntos P y Q no son adyacentes en F′. El resultado
sigue.
(ii) Si G es un cubo parcial finito, entonces, por Teorema 5.2,
dimI(G)
′) = X = X − 1 = dimI(G)− 1.
9 Conclusión
El documento se centra en dos temas de carácter matemático bastante general.
1. El problema de la caracterización. Es una práctica común en matemáticas
caracterizar una clase particular de objeto en términos diferentes. Presentamos nuevo
caracterizaciones de las clases de gráficos bipartitos y cubos parciales, y dar
nuevas pruebas de resultados de caracterización conocidos.
2. Construcciones. El problema de construir nuevos objetos a partir de objetos antiguos
es un tema estándar en muchas ramas de las matemáticas. Para la clase de parcial
cubos, discutimos las operaciones de la formación del producto cartesiano, la expansión y
la contracción, y pegar. Se muestra que la clase de cubos parciales está cerrada
en el marco de estas operaciones.
Debido a que los cubos parciales se definen como gráficos isométricamente incrustables en
hipercubes, la teoría de cubos parciales tiene un sabor geométrico distintivo. Los
tres estructuras principales en un gráfico—semicubes y Djoković’s y Winkler’s
relaciones—se definen en términos de la estructura métrica en un gráfico. Uno puede decir
que esta teoría es una rama de la geometría métrica discreta. No es de extrañar, geo-
estructuras métricas juegan un papel importante en nuestro tratamiento de la caracterización
y problemas de construcción.
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http://arxiv.org/abs/math.CO/0512282
Introducción
Hipercubos y cubos parciales
Caracterizaciones
Conjuntos fundamentales en cubos parciales
Dimensiones de cubos parciales
Subcubes y productos cartesianos
Pegar cubos parciales
Expansiones y contracciones de cubos parciales
Conclusión
| Los cubos parciales son subgrafías isométricas de hipercubes. Estructuras en un gráfico
definida por medio de semicubos, y el juego de relaciones de Djokovi\'{c} y Winkler
un papel importante en la teoría de los cubos parciales. Estas estructuras están empleadas
en el papel para caracterizar gráficos bipartitos y cubos parciales de arbitrarios
dimensión. Nuevas caracterizaciones se establecen y nuevas pruebas de algunos conocidos
se dan los resultados.
Las operaciones del producto cartesiano y el pegado, y la expansión y
procesos de contracción se utilizan en el papel para construir nuevos cubos parciales
de los viejos. En particular, las dimensiones isométrica y celosía de finito
se calculan los cubos parciales obtenidos mediante estas operaciones.
| Introducción
Un hipercubo H(X) en un conjunto X es un gráfico que los vértices son los subconjuntos finitos
de X ; dos vértices se unen por un borde si difieren por un singleton. Un parcial
cubo es un gráfico que puede ser isométricamente incrustado en un hipercubo.
Hay tres estructuras generales grafo-teóricas que juegan un papel destacado
papel en la teoría de los cubos parciales, a saber, semicubos, la relación de Djoković, y
La relación de Winkler. Utilizamos estas estructuras, en particular, para caracterizar
gráficos de partite y cubos parciales. El problema de caracterización para cubos parciales
fue considerado como uno importante y se conocen muchas caracterizaciones.
Enumeramos las contribuciones en el orden cronológico: Djoković [9] (1973), Avis [2]
(1981), Winkler [20] (1984), Roth y Winkler [18] (1986), Chepoi [6, 7] (1988)
y 1994). En el artículo, presentamos nuevas pruebas para los resultados de Djoković [9],
Winkler [20], y Chepoi [6], y obtener dos caracterizaciones más de
cubos.
http://arxiv.org/abs/0704.0010v1
El documento también se ocupa de algunas formas de construir nuevas
cubos de los viejos. Propiedades de las subcubas, el producto cartesiano de
se investigan los cubos y la expansión y contracción de un cubo parcial. Nosotros
introducir una construcción basada en pegar dos gráficos juntos y mostrar cómo
nuevos cubos parciales se pueden obtener de los antiguos pegando juntos.
El documento se organiza de la siguiente manera.
Hipercubes y cubos parciales se introducen en la sección 2 junto con
dos ejemplos básicos de cubos parciales infinitos. Los conjuntos vértices de cubos parciales son
descrito en términos de familias bien calificadas de conjuntos finitos.
En la Sección 3 se introducen los conceptos de un semicubo, Djoković y Win-
las relaciones de kler, y establecer algunas de sus propiedades. Gráficos bipartitos y
cubos parciales se caracterizan por medio de estas estructuras. Un charac más...
la terización de cubos parciales se obtiene en la sección 4, donde se llama fundamental
se introducen conjuntos en un gráfico.
El resto del papel está dedicado a las construcciones: subcubes y la Carta-
producto sian (Sección 6), pegado (Sección 7), y expansiones y contracciones
(Sección 8). Demostramos que estas construcciones producen nuevos cubos parciales a partir de
Los viejos. Se calculan las dimensiones isométricas y de celosía de los nuevos cubos parciales.
Estas dimensiones se introducen en la Sección 5.
Pocas palabras sobre las convenciones utilizadas en el periódico están en orden. La suma
A+B de dos conjuntos A y B es la unión
({1} ×A) ({2} ×B).
Todos los gráficos en el papel son simples gráficos no dirigidos. En la notación G =
(V,E), el símbolo V representa el conjunto de vértices del gráfico G y E.
por su conjunto de bordes. Por abuso del lenguaje, a menudo escribimos ab para un borde en un
grafo; si este es el caso, ab es un par no ordenado de vértices distintos. Denotamos
El gráfico inducido por el conjunto de vértices U V. Si G es un gráfico conectado,
entonces dG(a, b) representa la distancia entre dos vértices a y b del gráfico
G. Dondequiera que sea claro desde el contexto que el gráfico está siendo considerado, nosotros
soltar el subíndice G en dG(a, b). Un subgrafo H G es un subgrafo isométrico
si dH(a, b) = dG(a, b) para todos los vértices a y b de H ; es convexo si es más corto
camino en G entre los vértices de H pertenece a H.
2 Hipercubos y cubos parciales
Deja que X sea un set. Denotamos Pf (X) el conjunto de todos los subconjuntos finitos de X.
Definición 2.1. Un gráfico H(X) tiene el conjunto Pf (X) como el conjunto de sus vértices; a
un par de vértices PQ es un borde de H(X) si la diferencia simétrica
Singleton. El gráfico H(X) se llama hipercubo en X [9]. Si X es un finito
conjunto de cardinalidad n, entonces el gráfico H(X) es el n-cubo Qn. La dimensión de
el hipercubo H(X) es la cardinalidad del conjunto X.
La distancia de ruta más corta d(P,Q) en el hipercubo H(X) es el Hamming
distancia entre los conjuntos P y Q:
d(P,Q) = PÃ3Q para P,Q â € Pf. (2.1)
El conjunto Pf (X) es un espacio métrico con la d métrica.
Definición 2.2. Un gráfico G es un cubo parcial si puede ser isométricamente incrustado
en un hipercubo H(X) para algunos conjuntos X. A menudo identificamos a G con su isometría
imagen en el hipercubo H(X), y decir que G es un cubo parcial en el conjunto X.
Figura 2.1: Un gráfico y su incrustación isométrica en Q3.
Un ejemplo de un cubo parcial y su inserción isométrica en el cubo Q3
se muestra en la Figura 2.1.
Claramente, una familia F de subconjuntos finitos de X induce un cubo parcial en X si y
sólo si para cualquier dos subconjuntos distintos P,Q + F hay una secuencia
R0 = P,R1,. .., Rn = Q
de conjuntos en F de tal manera que
d(Ri, Ri+1) = 1 para todos los 0 ≤ i < n, y d(P,Q) = n. (2.2)
Las familias de conjuntos de condiciones satisfactorias (2.2) se conocen como bien calificados fam-
ilies de conjuntos [10]. Tenga en cuenta que una secuencia (Ri) satisfactoria (2.2) es un camino más corto
de P a Q en H(X) (y en el subgráfico inducido por F).
Definición 2.3. Una familia F de subconjuntos arbitrarios de X es una familia wg (bien calificado
familia de conjuntos) si, para cualquiera de los dos subconjuntos distintos P,Q-F, el conjunto P-Q- es finito
y hay una secuencia
R0 = P,R1,. .., Rn = Q
de conjuntos en F tales que RiRi+1 = 1 para todos los 0 ≤ i < n y PQ = n.
Ejemplo 2.1. El gráfico inducido puede ser un cubo parcial en un conjunto diferente si
La familia F no está bien calificada. Considere, por ejemplo, la familia
F =, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {b, c}
de subconjuntos de X = {a, b, c}. El gráfico inducido por esta familia es un camino de longitud
4 en el cubo Q3 (cf. Figura 2.2). Claramente, F no está bien calificado. Por otro lado
mano, como se puede ver fácilmente, cualquier camino es un cubo parcial.
Figura 2.2: Una trayectoria no isométrica en el cubo Q3.
Cualquier familia F de subconjuntos de X define un gráfico GF = (F, EF), donde
EF = P,Q} F : P,Q = 1}.
Teorema 2.1. El gráfico GF definido por una familia F de subconjuntos de un conjunto X es
isomórfico a un cubo parcial en X si y sólo si la familia F está bien calificado.
Prueba. Sólo tenemos que demostrar la suficiencia. Deja que S sea un conjunto fijo en F. Definimos
a mapeo f : F → Pf (X) por f(R) = RS para R • F. Entonces
d(f(R), f(T)) = (RÍOS)(TÍOS) = RÍOT.
Así f es una incrustación isométrica de F en Pf (X). Dejar (Ri) ser una secuencia de
conjuntos en F tales que R0 = P, Rn = Q, PQ = n, y RiRi+1 = 1 para todos
0 ≤ i < n. A continuación, la secuencia (f(Ri)) cumple las condiciones (2.2). El resultado
sigue.
Se dice que un conjunto R • Pf (X) es retícula entre los conjuntos P, Q • Pf (X) si
P # Q # R # P # Q.
Es métricamente entre P y Q si
d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q).
El siguiente teorema es un resultado bien conocido acerca de estas dos
las laciones en Pf (X) (véase, por ejemplo, [3]).
Teorema 2.2. Las relaciones entre celosías y métricas coinciden con Pf (X).
Dejar F ser una familia de subconjuntos finitos de X. El conjunto de todos los R â € TM a F que son
entre P,Q-F es el intervalo I(P,Q) entre P y Q en F. Por lo tanto,
I(P,Q) = F (+) [P +)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)Q (+)
donde [P • Q, P • Q] es el intervalo habitual en la retícula Pf.
Dos conjuntos distintos de P,Q,F son adyacentes en F si J(P,Q) = {P,Q}. Si pone P
y Q forman un borde en el gráfico inducido por F, entonces P y Q son adyacentes en
F, pero, en general, no viceversa. Por ejemplo, en el ejemplo 2.1, la
vértices y {b, c} son adyacentes en F, pero no definen un borde en el inducido
gráfico (cf. Figura 2.2).
El siguiente teorema es una caracterización ‘local’ de las familias de conjuntos.
Teorema 2.3. Una familia F Pf (X) está bien calificado si y sólo si d(P,Q) = 1
para cualquier dos conjuntos P y Q que estén adyacentes en F.
Prueba. (Necesidad.) Que F sea una familia de conjuntos. Supongamos que P y Q son
adyacente en F. Hay una secuencia R0 = P,R1,. .., Rn = Q que satisface
condiciones (2.2). Dado que la secuencia (Ri) es un camino más corto en F, tenemos
d(P, Pi) + d(Pi, Q) = d(P,Q) para todos los 0 ≤ i ≤ n.
Por lo tanto, Pi I(P,Q) = {P,Q}. De ello se desprende que d(P,Q) = n = 1.
(Suficiencia.) Que P y Q sean dos conjuntos distintos en F. Demostramos por inducción
En n = d(P,Q) que hay una secuencia (Ri) F que cumple las condiciones (2.2).
La declaración es trivial para n = 1. Supongamos que n > 1 y que el
la instrucción es verdadera para todos k < n. Dejar que P y Q sean dos conjuntos en F de tal manera que
d(P,Q) = n. Desde d(P,Q) > 1, los conjuntos P y Q no son adyacentes en F.
Por lo tanto existe R â € F que se encuentra entre P y Q y es diferente de
Estos dos juegos. Entonces d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q) y ambas distancias d(P,R)
y d(R,Q) son menos de n. Por la hipótesis de inducción, hay una secuencia
(Ri)
P = R0, R = Rj, Q = Rn para unos 0 < j < n,
que cumplan las condiciones (2.2) para 0 ≤ i < j y j ≤ i < n. De ello se deduce que F es una
Wg-familia de conjuntos.
Concluimos esta sección con dos ejemplos de cubos parciales infinitos (más
los ejemplos se encuentran en [17]).
Ejemplo 2.2. Dejar Z ser el gráfico en el conjunto Z de enteros con los bordes definidos
por pares de enteros consecutivos. Este gráfico es un cubo parcial desde su conjunto vértice
es isométrico a la familia wg de intervalos {(,m) : m Z} en Z.
Ejemplo 2.3. Consideremos Zn como un espacio métrico con respecto a la l1-
métrica. El gráfico Zn tiene Zn como el conjunto vértice; dos vértices en Zn están conectados
si están a la distancia de la unidad entre sí. Vamos a mostrar en la Sección 6
(Corollary 6.1) que Zn es un cubo parcial.
3 Caracterizaciones
Sólo se consideran gráficos conectados en esta sección.
Definición 3.1. Let G = (V,E) ser un gráfico y d ser su función de distancia. Por
cualquier dos vértices adyacentes a, b V dejar Wab ser el conjunto de vértices que están más cerca
a a b:
Wab = {w • V : d(w, a) < d(w, b)}.
A continuación [11], llamamos a los conjuntos Wab y subgrafos inducidos
el gráfico G. Las semicuebas Wab y Wba se llaman semicuebas opuestas.
Observación 3.1. El subíndice ab en Wab representa un par ordenado de vértices,
no para un borde de G. En su artículo original [9], Djoković utiliza la notación G(a, b)
(cf. [8]). Utilizamos la notación de [15].
Claramente, dos semicuebas opuestas están desarticuladas. Pueden ser utilizados para...
terize los gráficos bipartitos de la siguiente manera.
Teorema 3.1. Un gráfico G = (V,E) es bipartito si y sólo si el Wab semicubos
y Wba forman una partición de V para cualquier borde ab E.
Prueba. Recordemos que un gráfico G conectado es bipartito si y sólo si por cada
vértice x no hay borde ab con d(x, a) = d(x, b) (véase, por ejemplo, [1]). Por
cualquier borde ab E y vértice x V claramente tenemos
d(x, a) = d(x, b) â € x /â € Wab â € € Wba.
El resultado es el siguiente.
El siguiente lema es instrumental y se utilizará con frecuencia en el resto
del periódico.
Lemma 3.1. Let G = (V,E) ser un gráfico y w â € Wab para algún borde ab â € E.
d(w, b) = d(w, a) + 1.
En consecuencia,
Wab = {w + V : d(w, b) = d(w, a) + 1}.
Prueba. Por la desigualdad del triángulo, tenemos
d(w, a) < d(w, b) ≤ d(w, a) + d(a, b) = d(w, a) + 1.
El resultado sigue, ya que d toma valores en N.
Hay dos relaciones binarias en el conjunto de bordes de un gráfico que juegan un
papel central en la caracterización de cubos parciales.
Definición 3.2. Dejar G = (V,E) ser un gráfico y e = xy y f = uv ser dos
bordes de G.
i) (Djoković [9])
e. f. f. se une a un vértice en Wxy con un vértice en Wyx.
La notación puede ser elegida de tal manera que u â € € ¢ Wxy y v â € € TM Wyx.
ii) (Winkler [20])
d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u).
Está claro que las dos relaciones son reflexivas y simétricas.
Lemma 3.2. La relación es una relación simétrica en E.
Prueba. Suponga que xy uv con u â € € TM Wxy y v â € TM Wyx. Por Lemma 3.1 y
la desigualdad del triángulo, tenemos
d(u, x) = d(u, y)− 1 ≤ d(u, v) + d(v, y)− 1 = d(v, y) =
= d(v, x)− 1 ≤ d(v, u) + d(u, x) − 1 = d(u, x).
Por lo tanto, d(u, x) = d(v, x) − 1 y d(v, y) = d(u, y)− 1. Por lo tanto, x • Wuv y
y â € ¢ Wvu. De ello se deduce que uv Ł xy.
Lemma 3.3........................................................... Lemma 3.3.............................. Lemma 3.3........................... Lemma...................................................
Prueba. Suponga que xy uv con u â € € ¢ Wxy, v â € € TM Wyx. Por Lemma 3.1,
d(x, u) + d(y, v) = d(x, v) − 1 + d(y, u)− 1 6 = d(x, v) + d(y, u).
Por lo tanto, xy-Uv.
Ejemplo 3.1. Es fácil verificar que la relación de identidad en el conjunto de
bordes del ciclo C3. Por otro lado, cualquier dos bordes de C3 están en el
la relación entre el hombre y la mujer. Por lo tanto, en este caso, 6 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Los gráficos bipartitos se pueden caracterizar en términos de relaciones de la siguiente manera.
Teorema 3.2. Un gráfico G = (V,E) es bipartito si y sólo si
Prueba. (Necesidad.) Supongamos que G es un gráfico bipartito, dos bordes xy y uv
se encuentran en la relación................................................................................................................................................
d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u),
y que los bordes xy y uv no se paran en la relación. Por el teorema 3.1, nosotros
puede suponer que u, v â € ¢ Wxy. Por Lemma 3.1, tenemos
d(x, u) + d(y, v) = d(y, u)− 1 + d(x, v) + 1 = d(x, v) + d(y, u),
una contradicción. De ello se deduce que, en el caso de autos, se trata de un asunto que se refiere a un litigio entre la Comisión y el Estado miembro de que se trate. Por Lemma 3.3, .
(Suficiencia.) Supongamos que G no es bipartito. Por Teorema 3.1, hay un
borde xy de tal manera que Wxy Wyx es un subconjunto adecuado de V. Dado que G está conectado,
hay un edge uv con u /â € Wxy â € Wyx y v â € Wxy â € Wyx. Claramente, uv lo hace.
no estar de pie en la relación de........................................................................................................................................................................................................................................................... Por otra parte,
d(x, u) + d(y, v) 6= d(x, v) + d(y, u),
ya que u /â € € Wxy â € Wyx y v â € € Wxy â € € Wyx. Por lo tanto, xy-uv, una contradicción, ya que
Supusimos que "" = "".
En el Teorema 3.2, las relaciones entre las dos partes coinciden en gráficos bipartitos. Por
Esta es la razón por la que usamos la relación.... en el resto del papel.
Lemma 3.4. Let G = (V,E) ser un gráfico bipartito tal que todos sus semicubes son
Conjuntos convexos. A continuación, dos bordes xy y uv se paran en la relación de si y sólo si el
pares correspondientes de semicubos mutuamente opuestos forman particiones iguales de V :
xy Uv {Wxy,Wyx} = {Wuv,Wvu}.
Prueba. (Necesidad) Asumimos que la notación es elegida de tal manera que u • Wxy
y contra Wyx. Vamos a z â € Wxy â € TM Wvu. Por Lemma 3.1, d(z, u) = d(z, v) + d(v, u).
Puesto que z, u, Wxy y Wxy es convexo, tenemos v, Wxy, una contradicción con el
Asumir que v. Wyx. Por lo tanto, Wxy Wvu =. Desde dos semicubos opuestos
en un gráfico bipartito formar una partición de V, tenemos Wuv = Wxy y Wvu = Wyx.
Un argumento similar muestra que Wuv = Wyx y Wvu = Wxy, si u Wyx
y contra Wxy.
(Suficiencia.) Sigue de la definición de la relación.
Necesitamos otra propiedad general de la relación (cf. Lemma 2.2 in [15]).
Lemma 3.5. Dejar P ser un camino más corto en un gráfico G. Entonces no hay dos bordes distintos
de P se sitúan en la relación.
Prueba. Dejar i < j y xixi+1 y xjxj+1 ser dos bordes en un camino más corto P de
x0 a xn. Entonces
d(xi, xj) < d(xi, xj+1) y d(xi+1, xj) < d(xi+1, xj+1),
por lo que xi, xi+1 • Wxjxj+1. De ello se deduce que los bordes xixi+1 y xjxj+1 no están
la relación...................................................................................................................................................................
La declaración inversa es verdad para los gráficos bipartitos (omitimos la prueba); un
contraejemplo es el ciclo C5 que no es bipartito.
Lemma 3.6. Que G = (V,E) sea un gráfico bipartito. Las declaraciones que figuran a continuación son las siguientes:
equivalente
i) Todos los semicubos de G son convexos.
(ii) La relación فارسى es una relación de equivalencia sobre E.
Prueba. i) ii). Sigue desde Lemma 3.4.
ii) El inciso i) de la parte dispositiva. Supongan que es transitivo y que hay un semicubo no convexo
Wab. A continuación, hay dos vértices u, v Wab y un camino más corto P de u a
V que intersecta Wba. Esta ruta contiene dos bordes distintos e y f uniendo
vértices de semicubos Wab y Wba. Los bordes e y f se sitúan en la relación
hasta el borde ab. Por la transitividad de la palabra, tenemos e........................................................................................... Esto contradice el resultado
de Lemma 3.5. Así todos los semicubos de G son convexos.
Ahora establecemos algunas propiedades básicas de cubos parciales.
Teorema 3.3. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Entonces
i) G es un gráfico bipartito.
(ii) Cada par de semicubos opuestos forman una partición de V.
iii) Todos los semicubos son subconjuntos convexos de V.
iv) Es una relación de equivalencia sobre E.
Prueba. Podemos suponer que G es un subgrafo isométrico de algún hipercubo
H(X), es decir, G = (F, EF) para una familia de wg F de subconjuntos finitos de X.
(i) Basta con señalar que si dos conjuntos en H(X) están conectados por un borde entonces
tienen una paridad diferente. Por lo tanto, H(X) es un gráfico bipartito y así es G.
ii) Sigue el inciso i) y el teorema 3.1.
(iii) LetWAB ser un semicubo de G. Por Lemma 3.1 y Teorema 2.2, tenemos
WAB = {S + F : S + B + A S + B}.
Que Q,R,WAB y P sean un vértice de G de tal manera que
d(Q,P ) + d(P,R) = d(Q,R).
Por Teorema 2.2,
Q R P Q R.
Desde Q,R,WAB, tenemos
Q B A A Q B y R B A R B,
lo que implica
(Q) B (Q) B (A) B (Q) B (S) B (B) B (B)
Por lo tanto, P • WAB, y el resultado sigue.
iv) Seguimientos de iii) y Lemma 3.6.
Observación 3.2. Puesto que los semicúbitos de un cubo parcial G = (V,E) son subconjuntos convexos
del espacio métrico V, son semiespacios en V [19]. Esta terminología se utiliza
en [6, 7].
El siguiente teorema presenta cuatro caracterizaciones de cubos parciales. Los
Los dos primeros se deben a Djoković [9] y Winkler [20] (cf. Teorema 2.10 en [15]).
Teorema 3.4. Que G = (V,E) sea un gráfico conectado. Las siguientes declaraciones:
son equivalentes:
i) G es un cubo parcial.
ii) La G es bipartita y todas las semicubas de la G son convexas.
(iii) La G es bipartita y la G es una relación de equivalencia.
iv) G es bipartito y, para todos los xy, uv e,
xy, uv, {Wxy,Wyx} = {Wuv,Wvu}. (3.1)
(v) G es bipartito y, para cualquier par de vértices adyacentes de G, hay un único
par de semicubos opuestos que separan estos dos vértices.
Prueba. Por Lemma 3.6, las declaraciones ii) y iii) son equivalentes y, por
orem 3.3, i) implica tanto ii) como iii).
iii) El inciso i) del párrafo 1 de la parte dispositiva. Por Teorema 3.1, cada par {Wab,Wba} de semicubos opuestos de
G forma una partición de V. Orientamos estas particiones llamando, en un arbitrario
way, uno de los dos semicubos opuestos en cada partición un semicubo positivo.
Asignemos a cada x V el conjunto W+(x) de todos los semicubos positivos que contienen
x. En el siguiente párrafo demostramos que la familia F = {W+(x)}xÃ3v está bien
graduado y que la asignación x 7→ W+(x) es una isometría entre V y F.
Que x e y sean dos vértices distintos de G. Decimos que un semicubo positivo
Wab separa x e y si x â € ¢ Wab, y â € TM Wba o x â € TM Wba, y â € Wab. Lo es.
claro que Wab se separa x e Y si y sólo si Wab W
+(x)•W+(y). Let P
ser un camino más corto x0 = x, x1,. .., xn = y de x a y. Por Lemma 3.5, no dos
los bordes distintos de P se sitúan en la relación فارسى. Por Lemma 3.4, bordes distintos de P
definir distintos semicubos positivos; claramente, estos semicubos separan x e y. Vamos.
Wab ser un semicubo positivo separando x e y, y, por ejemplo, x â € € € TM € TM € TM Wba.
Hay un borde f P que une los vértices en Wab y Wba. Por lo tanto, f se encuentra en
la relación de Ab y, por Lemma 3.4, Wab se define por f. De ello se deduce que cualquier
semicubo inW+(x)•W+(y) se define por un borde único en P y cualquier borde en P
define un semicubo en W+(x)•W+(y). Por lo tanto, d(W+(x),W+(y)) = d(x, y),
que es x 7→W+(x) es una isometría. Claramente, F es una familia de conjuntos.
Por Teorema 2.1, la familia F es isométrica a una familia wg de conjuntos finitos.
Por lo tanto, G es un cubo parcial.
iv) El inciso ii) del párrafo 4 de la parte dispositiva. Supongamos que existe un borde ab tal que semicube Wba es
no convexo. Dejar p y q ser dos vértices en Wba tal que hay un más corto
ruta P de p a q que intersecta Wab. Hay dos bordes distintos xy y uv
en P tal que x, u â € Wab e y, v â € € Wba. Desde que ab-xy y ab-uv, tenemos,
por (3.1),
Wab = Wxy = Wuv.
Por lo tanto, u â € Wxy y v â € Wyx. Por Lemma 3.1,
d(x, u) = d(x, v) − 1 = 1 + d(v, y)− 1 = d(v, y),
una contradicción, ya que P es un camino más corto de p a q.
ii) iv). Sigue desde Lemma 3.4.
Está claro que los incisos iv) y v) son equivalentes.
4 Conjuntos fundamentales en cubos parciales
Las semicubes desempeñaron un papel importante en la sección anterior. En esta sección
introducir tres clases más de subconjuntos útiles de gráficos. También establecemos uno.
más caracterización de cubos parciales.
Que G = (V,E) sea un gráfico conectado. Para un borde dado e = ab E, nosotros
definir los siguientes conjuntos (cf. [15, 16]:
Fab = (f) E : e (f) = (uv) E : u (Wab), v (Wba),
Uab = {w Wab : w es adyacente a un vértice en Wba},
Uba = {w Wba : w es adyacente a un vértice en Wab}.
Los cinco conjuntos se muestran esquemáticamente en la Figura 4.1.
Figura 4.1: Conjuntos fundamentales en un cubo parcial.
Observación 4.1. En el caso de un cubo parcial G = (V,E), las semicubas Wab y
Wba son semiespacios complementarios en el espacio métrico V (cf. Observación 3.2).
Entonces el set Fab puede ser considerado como un ‘hiperplano’ que separa estos semi-espacios
(véase [17] donde esta analogía se formaliza en el contexto de la organización del hiperplano-
ciones).
El siguiente teorema generaliza el resultado obtenido en [16] para la mediana
gráficos (véase también [15]).
Teorema 4.1. Dejar ab ser un borde de un gráfico bipartito conectado G. Si el
semicubos Wab y Wba son convexos, luego el set Fab es un emparejamiento e induce
un isomorfismo entre los gráficos de Uabá y Ubaá.
Prueba. Supongamos que Fab no es una coincidencia. Luego hay bordes distintos xu
y xv con, por ejemplo, x Uab y u, v Uba. Por la desigualdad del triángulo, d(u, v) ≤ 2.
Dado que G no tiene triángulos, d(u, v) 6= 1. Por lo tanto, d(u, v) = 2, lo que implica
que x se encuentra entre u y v. Esto contradice la convexidad de Wba, ya que x • Wab.
Por lo tanto Fab es una coincidencia.
Para demostrar que Fab induce un isomorfismo, deja que xy, uv Fab y xu E,
donde x, u, Uab y y, v, Uba. Dado que G no tiene ciclos impares, d(v, y) 6= 2.
Por la desigualdad del triángulo,
d(v, y) ≤ d(v, u) + d(u, x) + d(x, y) = 3.
Dado que Wba es convexo, d(v, y) 6= 3. Así d(v, y) = 1, es decir, vy es un borde. Los
resultado seguido por la simetría.
Por Teorema 3.4(ii), tenemos el siguiente corolario.
Corolario 4.1. Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Para cualquier borde ab el conjunto Fab
es un emparejamiento e induce un isomorfismo entre gráficos inducidos
# Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # Uba # # # # # Uba # # # # # Uba # # # # # # # # # # # # # # Uba # # # # # # # # # Uba # # # # Uba # # # # # # Uba # # # # # # # # # # # Uba # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Figura 4.2: Gráfico G.
Ejemplo 4.1. Que G sea el gráfico representado en la Figura 4.2. El conjunto
Fab = {ab, xu, yv}
es una coincidencia y define un isomorfismo entre los gráficos inducidos por subconjuntos
Uab = {a, x, y} y Uba = {b, u, v}. El conjunto Wba no es convexo, por lo que G no es un
cubo parcial. Por lo tanto, el contrario del corolario 4.1 no se sostiene.
Ahora establecemos otra caracterización de cubos parciales que utiliza un
propiedad geométrica de las familias Fab.
Teorema 4.2. Para un gráfico G conectado, las siguientes instrucciones son equivalentes:
i) G es un cubo parcial.
ii) La G es bipartita y
d(x, u) = d(y, v) y d(x, v) = d(y, u), (4.1)
para cualquier ab E y xy, uv Fab.
Prueba. i)el inciso ii) del apartado b) del párrafo 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. Podemos asumir que x, u â € Wab y y, v â € Wba. Puesto que Ł es un
la relación de equivalencia, tenemos xy uv Łab. Por Lemma 3.4, Wuv = Wxy = Wab.
Por Lemma 3.1,
d(x, u) = d(x, v) − 1 = d(v, y) + 1− 1 = d(y, v).
También tenemos
d(x, v) = d(y, v) + 1 = d(y, u),
por el mismo lema.
ii)el inciso i) de la parte dispositiva. Supongamos que G no es un cubo parcial. Luego, por Teorema 3.4, allí
existe un borde ab tal que, por ejemplo, Wba semicubo no es convexo. Que p y q sean dos
vértices en Wba de tal manera que hay un camino más corto P de p a q que se intersecta
Wab. Que uv sea el primer borde en P que pertenece a Fab y xy sea el último borde
en P con la misma propiedad (ver Figura 4.3).
Figura 4.3: Una ilustración de la prueba del teorema 4.2.
Puesto que P es un camino más corto, tenemos
d(v, y) = d(v, u) + d(u, x) + d(x, y) 6= d(x, u),
que contradice la condición (4.1). Así todos los semicubos de G son convexos. Por
Teorema 3.4, G es un cubo parcial.
Observación 4.2. Uno puede decir que cuatro vértices que satisfacen las condiciones (4.1) definen
un rectángulo en G. Entonces el teorema 4.2 indica que un gráfico conectado es un parcial
cubo si y sólo si es bipartito y para cualquier borde ab pares de bordes en Fab definir
rectángulos en G.
5 Dimensiones de cubos parciales
Hay muchas maneras diferentes en que un cubo parcial dado puede ser isométricamente
Incrustado en un hipercubo. Por ejemplo, el gráfico K2 puede ser isométricamente
incrustado de diferentes maneras en cualquier hipercubo H(X) con X > 2.
Siguiendo Djoković [9] (véase también [8]), definimos la dimensión isométrica,
dimI(G), de un cubo parcial G como dimensión mínima posible de un hipercubo
H(X) en la que G es isométricamente incrustable. Recordar (véase la sección 2) que la
dimensión de H(X) es la cardinalidad del conjunto X.
Teorema 5.1. (Teorema 2 en [9].) Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Entonces
dimI(G) = E/, (5.1)
donde Djoković es la relación de equivalencia en E y E/
clases de alence (el cociente-set).
El conjunto de cocientes E / / puede ser identificado con la familia de todos los conjuntos distintos Fab
(véase la sección 4). Si G es un cubo parcial finito, podemos considerarlo como un isométrico
Subgrafía de un hipercubo Qn. Entonces los bordes en cada familia Fab son paralelos
bordes en Qn (cf. Teorema 4.2). Esta observación prueba esencialmente (5.1) en el
Caso finito.
Dejar G ser un cubo parcial en un conjunto X. El vértice conjunto de G es un wg-familia F de
subconjuntos finitos de X (véase la sección 2). Definimos la retracción de F como una familia F′
de subconjuntos de X ′ = â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €.
Está claro que F′ cumple las condiciones
F′ = F′ y F′ = X ′. (5.2)
Proposición 5.1. Los cubos parciales inducidos por un wg-familia F y su retracción
F′ son isomórficos.
Prueba. Basta probar que los espacios métricos F y F′ son isométricos. Claramente,
α : P 7→ P X ′ es una cartografía de F a F′. Para P, Q, F, tenemos
(P-X)-(Q-X) = (P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(F-F)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q)-(P-Q).
Así, d(α(P), α(Q)) = d(P,Q). En consecuencia, α es una isometría.
Deja que G sea un cubo parcial en algún conjunto X inducido por un wg-familia F satisfactorio
condiciones (5.2), y dejar que PQ sea un borde de G. Por definición, hay x X tal
que P.Q. = {x}. Los dos lemas siguientes son instrumentales.
Lemma 5.1. Dejar que PQ sea un borde de un cubo parcial G en X y dejar que PQ = {x}.
Los dos conjuntos
{R] {F} {x} {R} {R} {F} {x} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {F} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {F} : x {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R}
forman la misma bipartición de la familia F como semicubes WPQ y WQP.
Prueba. Podemos asumir que Q = P + {x}. Entonces, para cualquier R-F,
(P + {x}) =
(RP) + {x}, si x R,
Râ € P, si x / â € R.
Por lo tanto, RP < RQ si y sólo si x R. Se deduce que
WPQ = {R + F : x + R}.
Un argumento similar muestra que WQP = {R • F : x / • R}.
Lemma 5.2. Si F es una familia de conjuntos de condiciones satisfactorias (5.2), entonces para
cualquier x x x hay sets P,Q F de tal manera que P.Q = {x}.
Prueba. Por condiciones 5.2, para un x dado â € ¢ X hay conjuntos S y T en F tales
Que x S y x /+ T. Let R0 = S,R1,. .., Rn = T ser una secuencia de conjuntos en
F que cumplen las condiciones (2.2). Es claro que hay i tal que x â € ~ Ri y
+1 +1 +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Por lo tanto, Rio Ri + 1 = {x}, por lo que podemos elegir P = Ri y Q = Ri + 1.
Por Lemmas 5.1 y 5.2, hay correspondencia uno-a-uno entre el conjunto
X y el conjunto de cocientes E/ De Teorema 5.1 obtenemos el siguiente resultado.
Teorema 5.2. Dejar F ser una familia wg de subconjuntos finitos de un conjunto X tal que
"F = "F" y "F" = "X" y dejar que G sea un cubo parcial en "X" inducido por "F".
dimI(G) = X.
Claramente, un gráfico que es isométricamente incrustable en un cubo parcial es un
cubo parcial en sí mismo. Mostraremos en la Sección 6 (Corollary 6.1) que el entero
celosía Zn es un cubo parcial. Por lo tanto, un gráfico que es isométricamente incrustable
en una celosía entera es un cubo parcial. Se deduce que un gráfico finito es un parcial
cubo si y sólo si es incrustable en algún entero celosía. Ejemplos de infinito
cubos parciales isométricamente incrustables en una celosía entera dimensional finita
se encuentran en [17].
Llamamos a la dimensión mínima posible n de un entero celosía Zn, en la que
un gráfico G dado es isométricamente incrustable, su dimensión de celosía y denota
it dimZ(G). La dimensión de celosía de un cubo parcial se puede expresar en términos
de los emparejamientos máximos en los llamados gráficos semicubos [11].
Definición 5.1. El gráfico semicubo Sc(G) tiene todos los semicubos en G como el conjunto
de sus vértices. Dos vértices Wab y Wcd están conectados en Sc(G) si
Wab • Wcd = V y Wab • Wcd 6 = • •. (5.3)
Si G es un cubo parcial, entonces condición (5.3) es equivalente a cada uno de los dos
condiciones equivalentes:
Wba-Wcd-Wdc-Wab, (5.4)
donde se refiere a la inclusión adecuada.
Teorema 5.3. (Teorema 1 en [11].) Que G sea un cubo parcial finito. Entonces
dimZ(G) = dimI(G) − M,
donde M es un emparejamiento máximo en el gráfico semicubo Sc(G).
Ejemplo 5.1. Que G sea el gráfico que se muestra en la Figura 2.1. Es fácil ver que
dimI(G) = 3 y dimZ(G) = 2.
Ejemplo 5.2. Dejar T ser un árbol con n bordes y m hojas. Entonces
dimI(T ) = n y dimZ(T ) = m/2
(cf. [8] y [14], respectivamente).
Ejemplo 5.3. Para el ciclo C6 tenemos (ver Figura 8.2).
dimI(C6) = dimZ(C6) = 3.
6 Subcubes y productos cartesianos
Deja que G sea un cubo parcial. Decimos que G′ es un subcubo de G si es un isométrico
subgrafo de G.
Claramente, un subcubo es en sí mismo un cubo parcial. Lo contrario no se sostiene; a
subgrafo de un gráfico G puede ser un cubo parcial pero no un subgrafo isométrico de
G (cf. Ejemplo 2.1).
Si G′ es un subcubo de un cubo parcial G, entonces dimI(G)
′) ≤ dimI(G) y
dimZ(G
′) ≤ dimZ(G). En general, las dos desigualdades no son estrictas. Por
Por ejemplo, el ciclo C6 es un subgrafo isométrico del cubo Q3 (ver Figura 8.2).
dimI(C6) = dimZ(C6) = dimI(Q3) = dimZ(Q3) = 3.
Los semicúbitos de un cubo parcial son ejemplos de subcubos. De hecho, por Theo-
rem 3.4, las semicúbicas son subgrafías convexas y por lo tanto isométricas. En general,
lo contrario no es cierto; un camino que conecta dos vértices opuestos en C6 es un
Subgrafía isométrica pero no convexa.
Otra forma común de construir nuevos cubos parciales a partir de los antiguos es por
que forman sus productos cartesianos (véase [15] para más detalles y pruebas).
Definición 6.1. Dados dos gráficos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2),
Producto cartesiano
G = G1 G2
tiene vértice conjunto V = V1 × V2; un vértice u = (u1, u2) es adyacente a un vértice
v = (v1, v2) si y sólo si u1v1 â ¬ E1 y u2 = v2, o u1 = v1 y u2v2 â ¬ E2.
La operación es asociativa, así que podemos escribir
G = G1 · · · Gn =
para el producto cartesiano de los gráficos G1,. .., Gn. Un producto cartesiano
i=1Gi
está conectado si y sólo si los factores están conectados. Entonces tenemos
dG(u, v) =
dGi(ui, vi). (6.1)
Ejemplo 6.1. Deja {Xi}
i=1 ser una familia de conjuntos e Y =
i=1 sea su suma.
Entonces el producto cartesiano de la hipercubes H(Xi) es isomórfico a la hi-
percubo H(Y ). El isomorfismo es establecido por el mapeo
f : (P1,. .., Pn) 7→
La fórmula (6.1) arroja inmediatamente los siguientes resultados.
Proposición 6.1. Let Hi ser subgrafías isométricas de gráficos Gi para todos 1 ≤ i ≤ n.
Luego el producto cartesiano
i=1Hi es un subgrafo isométrico del cartesiano
producto
i=1Gi.
Corolario 6.1. El producto cartesiano de una familia finita de cubos parciales es un
cubo parcial. En particular, el entero enrejado Zn (cf. Ejemplos 2.2 y 2.3)
un cubo parcial.
Los resultados de los siguientes dos teoremas se pueden extender fácilmente a arbitrarios
productos finitos de cubos parciales finitos.
Teorema 6.1. Que G = G1 G2 sea el producto cartesiano de dos parciales finitos
cubos. Entonces
dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2).
Prueba. Podemos asumir que G1 (resp. G2) es inducido por una familia de wg F1 (resp.
F2) de subconjuntos de un conjunto finito X1 (resp. X2) de tal manera que â € TM = â € TM y â € TM F1 = X1
(resp. •F2 = • y •F2 = X1) (véase la sección 5). Por Teorema 5.2,
dimI(G1) = X1 y dimI(G2) = X2.
Está claro que el gráfico G es inducido por el wg-familia F = F1 + F2 de subconjuntos
del conjunto X = X1 + X2 (cf. Ejemplo 6.1) con "F" = "F" = "F" = "X". Por
Teorema 5.2,
dimI(G) = X = X1 X2 = dimI(G1) + dimI(G2).
Teorema 6.2. Que G = (V,E) sea el producto cartesiano de dos parciales finitos
cubos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Entonces
dimZ(G) = dimZ(G1) + dimZ(G2).
Prueba. Que W(a,b)(c,d) sea un semicubo del gráfico G. Hay dos posibles
casos:
i) c = a, bd • E2. Que (x, y) sea un vértice de G. Entonces, por (6.1),
dG(x, y), (a, b)) = dG1(x, a) + dG2(y, b)
dG(x, y), (c, d)) = dG1(x, c) + dG2(y, d).
Por lo tanto,
dG(x, y), (a, b)) < dG(x, y), (c, d)) dG2(y, b) < dG2(y, d).
De ello se deduce que
W(a,b)(c,d) = V1 ×Wbd. (6.2)
ii) d = b, ac E1. Como en (i), tenemos
W(a,b)(c,d) =Wac × V2. (6.3)
Claramente, dos semicubos dados por (6.2) forman un borde en el gráfico semicubo
Sc(G) si y sólo si sus segundos factores forman un borde en el gráfico semicubo
Sc(G2). Lo mismo es cierto para las semicuebas en la forma (6.3) con respecto a su
los primeros factores. También está claro que las semicuebas en la forma (6.2) y en la forma (6.3)
no están conectados por un borde en Sc(G). Por lo tanto, el gráfico semicubo Sc(G) es
isomórfico a la unión disjunta de los gráficos semicubo Sc(G1) y Sc(G2). Si M1
es un emparejamiento máximo en Sc(G1) y M2 es un emparejamiento máximo en Sc(G2),
entonces M = M1 M2 es una coincidencia máxima en Sc(G). El resultado es el siguiente:
teoremas 5.3 y 6.1.
Observación 6.1. El resultado del corolario 6.1 no es válido para el Cartesiano infinito
productos de cubos parciales, ya que estos productos están desconectados. Por otro lado
la mano, se puede demostrar que los productos cartesianos débiles arbitrarios (com-
los ponentes de los productos cartesianos [15]) de los cubos parciales son cubos parciales.
7 Encolar cubos parciales
En esta sección utilizamos la técnica de pegado de conjuntos [5, cap. I, §2.5] para construir una nueva parcial
cubos de los viejos.
Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficos, H1 = (U1, F1) y
H2 = (U2, F2) ser dos subgrafías isomórficas de G1 y G2, respectivamente, y
• : U1 → U2 ser una bijección que define un isomorfismo entre H1 y H2. Los
bijection define una relación de equivalencia R sobre la suma V1+V2 de la siguiente manera: cualquier
elemento en (V1 \U1) (V2 \U2) es equivalente a sí mismo sólo y elementos u1 U1
y u2 • U2 son equivalentes si y sólo si u2 = • (u1). Decimos que el cociente
set V = (V1 + V2)/R se obtiene uniendo los conjuntos V1 y V2 a lo largo
los subconjuntos U1 y U2. Dado que los gráficos H1 y H2 son isomórficos, el pegado
de los conjuntos V1 y V2 se puede extender naturalmente a un encolado de conjuntos de bordes
E1 y E2 resultando en el conjunto E de bordes que unen vértices en V. Decimos que
el gráfico G = (E, V ) se obtiene pegando los gráficos G1 y G2
a lo largo de los subgráficos isomórficos H1 y H2. La construcción encolada permite
para identificar de forma natural los gráficos G1 y G2 con los subtítulos de G, y
los gráficos isomórficos H1 y H2 con un subgrafo H común de ambos gráficos
G1 y G2. A menudo seguimos esta convención a continuación.
Observación 7.1. Tenga en cuenta que en la construcción anterior el gráfico resultante G de-
no sólo en los gráficos G1 y G2 y sus subgráficos isomórficos H1 y
H2 pero también en la biyección • definir un isomorfismo de H1 a H2 (ver
los dibujos de las figuras 7.1 y 7.2).
Figura 7.1: Pegado de dos árboles.
Figura 7.2: Otro pegado de los mismos árboles.
En general, pegado de dos cubos parciales G1 y G2 a lo largo de dos isomórficos
los subgrafos H1 y H2 no producen un cubo parcial incluso bajo fuerte como
Supuestos acerca de estos subgrafías como el siguiente ejemplo ilustra.
Figura 7.3: Pegar cubos parciales G1 y G2.
Ejemplo 7.1. Pegado de dos cubos parciales G1 = C6 y G2 = C6 a lo largo
Los subpárrafos H1 y H2 se muestran en la Figura 7.3. El gráfico G resultante no es un
cubo parcial. De hecho, el semicuboWab no es un conjunto convexo. Tenga en cuenta que las subgrafías
H1 y H2 son subgrafías convexas de los respectivos cubos parciales.
En esta sección estudiamos dos simples pegaduras de gráficos conectados juntos,
el vértice-pegadura y el borde-pegadura, y mostrar que estos pegados producen
cubos parciales de cubos parciales. También calculamos la isometría y la celosía
dimensiones de los gráficos resultantes.
Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficos conectados, a1 • V1,
a2 • V2 y H1 = ({a1}, • H2 = ({a2}, •). Dejar G ser el gráfico obtenido
pegando G1 y G2 a lo largo de los subpárrafos H1 y H2. En este caso decimos que
el gráfico G se obtiene de los gráficos G1 y G2 mediante pegado de vértice. También decimos
que G se obtiene de G1 y G2 identificando los vértices a1 y a2. Gráfico 7.4
ilustra esta construcción. Tenga en cuenta que el vértice a = {a1, a2} es un vértice cortado
de G, puesto que G1 G2 = G y G1 G2 = {a}. (Seguimos nuestra convención y
identificar los gráficos G1 y G2 con los subtítulos de G.)
Figura 7.4: Un ejemplo de pegar vértice.
En lo que sigue usamos superíndices para distinguir los subgrafos de los gráficos
G1 y G2. Por ejemplo, W
representa el semicubo de G2 definido por dos
vértices adyacentes a, b â € V2.
Teorema 7.1. Gráfico G = (V,E) obtenido por pegado de vértice a partir de
cubos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) es un cubo parcial.
Prueba. Denotamos a = {a1, a2} el vértice de G obtenido mediante la identificación de vértices
a1 V1 y a2 V2. Claramente, G es un gráfico bipartito. Que xy sea un borde de G.
Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que xy E1 y un Wxy. Nota
que cualquier camino entre los vértices en V1 y V2 debe pasar por una. Desde un Wxy,
tenemos, para cualquier v • V2,
d(v, x) = d(v, a) + d(a, x) < d(v, a) + d(a, y) = d(v, y),
que implica V2 Wxy y Wyx V1. De ello se deduce que Wxy = W
xy V2 y
Wyx = W
yx. Los conjuntos W
xy, W
yx y V2 son subconjuntos convexos de V. Desde
xy V2 = {a}, el conjunto Wxy = W
xy V2 también es convexo. Por el teorema 3.4 ii),
el gráfico G es un cubo parcial.
La construcción de vértice-pegadura introducida arriba puede ser generalizada como
sigue. Let G = {Gi = (Vi, Ei)}iJ ser una familia de gráficos conectados y
A = {ai Gi}iJ ser una familia de vértices distinguidos de estos gráficos. Let G
ser el gráfico obtenido de los gráficos Gi identificando vértices en el conjunto A.
Decimos que G se obtiene por vértice-pegar juntos los gráficos Gi (a lo largo de la
set A).
Ejemplo 7.2. Dejar J = {1,...., n} con n ≥ 2,
G = {Gi = ({ai, bi}, {aibi})}iJ, y A = {ai}iJ.
Claramente, cada Gi es K2. Al pegar vértice estos gráficos a lo largo de A, obtenemos el
Gráfica de n-estrella K1,n.
Puesto que la estrella K1,n es un árbol, también se puede obtener de K1 por sucesivos
vértice-pegadura como en el ejemplo 7.3.
Ejemplo 7.3. Dejar G1 ser un árbol y G2 = K2. Al pegar vértice estos gráficos
Obtenemos un nuevo árbol. Por el contrario, dejar G ser un árbol y v ser su hoja. Dejar G1 ser
un árbol obtenido de G mediante la eliminación de la hoja v. Claramente, G se puede obtener por
vértice-pegadura G1 y K2. De ello se deduce que cualquier árbol puede obtenerse de la gráfica
K1 por sucesivo vértice-pegadura de copias de K2 (cf. Teorema 2.3 e) en [12]).
Cualquier gráfico G conectado puede ser construido por vértice sucesivo-pegadura de
sus bloques utilizando su estructura de bloques cortados-vertex [4]. Dejar G1 ser un bloque final de
G con un vértice de corte v y G2 ser la unión de los bloques restantes de G. Entonces
G se puede obtener de G1 y G2 por vértice-pegadura a lo largo del vértice v.
sigue que cualquier gráfico conectado puede ser obtenido de sus bloques por sucesivos
Pegaduras de vértice.
Que G = (V,E) sea un cubo parcial. Recordamos que la dimensión isométrica
dimI(G) de G es la cardinalidad del cociente conjunto E/.....................................................................................................................................................................................................................................................
relación de equivalencia en el conjunto E (cf. fórmula (5.1)).
Teorema 7.2. Que G = (V,E) sea un cubo parcial obtenido por pegar vértice
juntos cubos parciales G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Entonces
dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2).
Prueba. Basta con probar que no hay bordes xy E1 y uv E2 que
están en la relación de Djoković entre sí. Supongamos que G1 y G2 son
vértice pegado a lo largo de los vértices a1 E1 y a2 E2 y dejar a = {a1, a2} E. Let
xy E1 y uv E2 son dos aristas en E. Podemos suponer que u Wxy. Desde
a es un corte-vertex de G y u Wxy, tenemos
d(u, a) + d(a, x) = d(u, x) < d(u, y) = d(u, a) + d(a, y).
Por lo tanto, d(a, x) < d(a, y), lo que implica
d(v, x) = d(v, a) + d(a, x) < d(v, a) + d(a, y) = d(v, y).
De ello se deduce que v. Wxy. Por lo tanto, el borde xy no se mantiene en la relación
al vértice uv.
El siguiente resultado sigue inmediatamente del teorema anterior. Tenga en cuenta que
bloques de un cubo parcial son cubos parciales ellos mismos.
Corolario 7.1. Dejar G ser un cubo parcial y {G1,. ...............................................................
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces
dimI(G) =
dimI(Gi).
En el caso de la dimensión de celosía de un cubo parcial podemos reclamar sólo mucho
resultado más débil que uno indicado en el Teorema 7.2 para la dimensión isométrica. Nosotros
omitir la prueba.
Teorema 7.3. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por vértice-pegadura juntos parcial
cubos G1 y G2. Entonces
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) ≤ dimZ(G1) + dimZ(G2).
El siguiente ejemplo ilustra posibles casos de desigualdades en la
rem 7.3. Recordemos que la dimensión de celosía de un árbol con m hojas es
m/2 (cf. [14]).
Ejemplo 7.4. La estrella K1,6 se puede obtener de las estrellas K1,2 y K1,4 por
vértice pegando estas dos estrellas a lo largo de sus centros. Claramente,
max{dimZ(K1,2), dimZ(K1,4)} < dimZ(K1,6) = dimZ(K1,2) + dimZ(K1,4).
La misma estrella K1,6 se obtiene de dos copias de la estrella K1,3 por vértice-
pegando a lo largo de sus centros. Tenemos dimZ(K1,3) = 2, dimZ(K1,6) = 3, así que
max{dimZ(K1,3), dimZ(K1,3)} < dimZ(K1,6) < dimZ(K1,3) + dimZ(K1,3).
Vamos a pegar vértice dos estrellas K1,3 a lo largo de sus dos hojas. El resultado
El gráfico T es un árbol con cuatro vértices. Por lo tanto,
max{dimZ(K1,3), dimZ(K1,3)} = dimZ(T) < dimZ(K1,3) + dimZ(K1,3).
Ahora consideramos otra manera simple de pegar dos gráficos juntos.
Que G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) sean dos gráficas conectadas, a1b1 E1,
a2b2 E2 y H1 = ({a1, b1}, {a1b1}), H2 = ({a2, b2}, {a2b2}). Deja que G sea el
Gráfica obtenida pegando G1 y G2 a lo largo de los subgráficos H1 y H2. En este caso
decimos que el gráfico G se obtiene de los gráficos G1 y G2 por borde-pegadura.
Las figuras 7.1, 7.2 y 7.5 ilustran esta construcción.
Figura 7.5: Un ejemplo de encolado de bordes.
Como antes, identificamos los gráficos G1 y G2 con subgrafías del gráfico
G y denotar a = {a1, a2}, b = {b1, b2} los dos vértices obtenidos por pegado
juntos vértices a1 y a2 y, respectivamente, b1 y b2. El borde ab E es
obtenido pegando los bordes a1b1 E1 y a2b2 E2 (cf. Figura 7.5).
A continuación G = G1°G2, V1°V2 = {a, b} y E1°E2 = {ab}. Usamos estas anotaciones.
en el resto de esta sección.
Proposición 7.1. Un gráfico G obtenido por encolado de bordes gráficos bipartitos
G1 y G2 es bipartito.
Prueba. Que C sea un ciclo en G. Si C G1 o C G2, entonces la longitud de C es
incluso, ya que los gráficos G1 y G2 son bipartitos. De lo contrario, los vértices a y
b separar C en dos caminos cada uno de longitud impar. Por lo tanto C es un ciclo de par
longitud. El resultado es el siguiente.
El siguiente lema es instrumental; describe los semicubos del gráfico
G en términos de semicubos de los gráficos G1 y G2.
Lemma 7.1. Deja que Uv sea un borde de G. Entonces
i) En el caso de Uv E1, a, b, Wuv Wuv Wuv = W
V2, Wvu = W
ii) En el caso de Uv E2, a, b, Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv Wuv
V1, Wvu = W
iii) a Wuv, b Wuv, wvu, wav = wab.
Figura 7.6: Pegadura de bordes de los gráficos G1 y G2.
Prueba. Demostramos las partes i) y iii) (véase la figura 7.6).
(i) Puesto que cualquier camino de w â € V2 a u o v contiene a o b y a, b â € € TM
Tengo a WWuv. Por lo tanto, Wuv = W
V2 y Wvu = W
(iii) Desde el ab auv en G1, tenemos W
uv = W
, por Teorema 3.4 iv). Let w
ser un vértice en W
Uv. Entonces, por la desigualdad del triángulo,
d(w, u) < d(w, v) ≤ d(w, b) + d(b, v) < d(w, b) + d(b, u).
Puesto que cualquier camino más corto de w a u contiene a o b, tenemos
d(w, a) + d(a, u) = d(w, u).
Por lo tanto,
d(w, a) + d(a, u) < d(w, b) + d(b, u).
Desde ab Uv en G1, tenemos d(a, u) = d(b, v), por Teorema 4.2. De ello se deduce que
d(w, a) < d(w, b), es decir, w • W
. Demostramos que W
uv W
simetría, W
vu W
. Puesto que dos semicubos opuestos forman una partición de V2,
Tenemos a W.
uv = W
. El resultado es el siguiente.
Teorema 7.4. Un gráfico G obtenido por encolado de bordes juntos cubos parciales G1
y G2 es un cubo parcial.
Prueba. Por Teorema 3.4(ii) y Proposición 7.1, tenemos que demostrar que para cualquier
borde uv de G el semicubo Wuv es un subconjunto convexo de V. Hay dos posibles
casos.
i) uv = ab. El semicubo Wab es la unión de semicubos W
y W
que son subconjuntos convexos de V1 y V2, respectivamente. Está claro que cualquier más corto
ruta que conecta un vértice en W
con un vértice en W
contiene vértice a y
por lo tanto, está contenido en Wab. Por lo tanto, Wab es un conjunto convexo. Un argumento similar
prueba que el conjunto Wba es convexo.
ii) uv 6= ab. Podemos asumir que uv â € E1. Para demostrar que el semicubo
Wuv es un conjunto convexo, consideramos dos casos.
a) a, b) Wuv. (El caso en que se trata de manera similar a, b • Wvu.) Por
Lemma 7.1(i), el semicubo Wuv es la unión del semicubo W
uv y el
conjunto V2 que son ambos conjuntos convexos. Cualquier camino más corto P de un vértice en V2 a
un vértice en W
uv contiene a o b. De ello se deduce que P W
uv V2 = Wuv.
Por lo tanto, el semicubo Wuv es convexo.
b) a • Wuv, b • Wvu. (El caso cuando b • Wuv, un • Wvu se trata
similarmente.) Por Lemma 7.1 (ii), Wuv = Wab. El resultado es el resultado de la parte i) de
la prueba.
Teorema 7.5. Dejar G ser un gráfico obtenido por borde-pegar juntos parcial finito
cubos G1 y G2. Entonces
dimI(G) = dimI(G1) + dimI(G2)− 1.
Prueba. Las relaciones de Djoković en E, E1 y E2, respectivamente.
Por Lemma 7.1, para uv, xy E1 (resp. Uv, xy E2) tenemos
uv Ł xy Ł uv Ł1xy (resp. uv xy uv Ł2xy).
Let uv E1, xy E2 y uv Ł xy. Supón que (uv, ab) /ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Podemos
Asumir que a, b-Wuv. Por Lemma 7.1(i), V2 (Wuv), una contradicción, ya que
xy E2. Por lo tanto, uv xy ab. De ello se deduce que cada clase de equivalencia de la
o bien una clase de equivalencia de 1o, una clase de equivalencia de 2o o bien
clase que contiene el borde ab. Por lo tanto
E/ = E1/1 E2/2 − 1.
El resultado sigue, ya que la dimensión isométrica de un cubo parcial es igual a la
cardinalidad del conjunto de clases de equivalencia de la relación de Djoković (formula (5.1)).
Necesitamos algunos resultados sobre gráficos semicubo con el fin de probar un análogo de
Teorema 7.3 para un cubo parcial obtenido por encolado de borde de dos cubos parciales.
Lemma 7.2. Dejar G ser un cubo parcial y WpqWuv, WqpWxy ser dos bordes en
el gráfico Sc(G). Entonces WxyWuv es un borde en Sc(G).
Prueba. Por condición (5.4), Wqp Wuv y Wyx Wqp. Por lo tanto, Wyx-Wuv.
Por la misma condición, WxyWuv Sc(G).
Como antes, identificamos los cubos parciales G1 y G2 con subgrafías de lo parcial
cubo G. Entonces G1 G2 = G y G1 G2 = ({a, b}, {ab}) = K2 (cf. Gráfico 7.6).
Lemma 7.3. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por borde-pegadura juntos parcial
cubos G1 y G2. Dejad que W
xy (resp. W
xy ) ser un borde en el semicubo
Sc(G1) (resp. Sc(G2)). Entonces WuvWxy es un borde en Sc(G).
Figura 7.7: Semicubes formando un borde en Sc(G1).
Prueba. Basta considerar el caso de Sc(G1) (véase la figura 7.7). Por condiciones...
ión (5.4),W
vu â € â € TM TM
xy y W
Yx â € € TM TM
Uv. Suponga que un â € TM a W
vu y b â € € TM TM
(en el caso de b • O
vu y a W
yx se trata de manera similar). A continuación, ab 1xy y
ab 1uv. Por transitividad de 1o, tenemos uv 1xy, una contradicción, desde semicubos
uv y W
xy son distintos. Por lo tanto, podemos asumir que, por ejemplo, a, b
Luego, por Lemma 7.1, Wvu = W
vu â € ¢ V1. Desde W
vu â € € TM W
xy Wxy, tenemos
Wvu, Wxy. Por condición (5.4), WuvWxy es un borde en Sc(G).
Lemma 7.4. LetM1 y M2 son coincidencias en los gráficos Sc(G1) y Sc(G2). Ahí está.
es una M correspondiente en Sc(G) de tal manera que
M ≥ M1 M2 − 1.
Prueba. Por Lemma 7.3, M1 y M2 inducen coincidencias en Sc(G) que denotamos
por los mismos símbolos. La intersección M1 M2 está vacía o es un subgrafo
del gráfico vacío con vértices Wab y Wba.
Si M1 M2 está vacío, entonces M = M1 M2 es una coincidencia en Sc(G) y la
El resultado es el siguiente.
Si M1 M2 es un gráfico vacío con un solo vértice, digamos, en M1, eliminamos
desde M1 el borde que tiene este vértice como su vértice final, resultando en la coincidencia
M ′1. Claramente, M = M
1 M2 es una coincidencia en Sc(G) y M = M1 M2 − 1.
Supongamos ahora que M1 M2 es el gráfico vacío con vértices Wab y Wba.
Deja WabWuv, WbaWpq (resp. WabWxy, WbaWrs) ser bordes en M1 (resp. M2).
Por Lemma 7.2, WxyWrs es un borde en Sc(G2). Vamos a reemplazar los bordesWabWxy y
WbaWrs en M2 por un solo borde WxyWrs, resultando en la M
2. Entonces
M = M1 â € M
2 es una coincidencia en Sc(G) y M = M1 M2 − 1.
Corolario 7.2. Dejar que M1 y M2 sean coincidencias máximas en Sc(G1) y Sc(G2),
respectivamente, y M sea una coincidencia máxima en Sc(G). Entonces
M ≥ M1 M2 − 1. (7.1)
Por Teorema 5.3, tenemos
dimI(G1) = dimZ(G1) + M1, dimI(G2) = dimZ(G2) + M2,
dimI(G) = dimZ(G) + M,
donde M1 y M2 son los máximos emparejamientos en Sc(G1) y Sc(G2), respectivamente,
y M es una coincidencia máxima en Sc(G). Por lo tanto, por Teorema 7.5 y (7.1),
tenemos el siguiente resultado (cf. Teorema 7.3).
Teorema 7.6. Dejar G ser un cubo parcial obtenido por borde-pegadura de parcial
cubos G1 y G2. Entonces
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) ≤ dimZ(G1) + dimZ(G2).
Ejemplo 7.5. Consideremos dos bordes-pegaduras de las estrellas G1 = K1,3 y
G2 = K1,3 de la dimensión de celosía 2 que se muestra en las figuras 7.1 y 7.2. En el primer caso
el gráfico resultante es la estrella G = K1,5 de la dimensión de celosía 3. Entonces tenemos
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} < dimZ(G) < dimZ(G1) + dimZ(G2).
En el segundo caso el gráfico resultante es un árbol con 4 hojas. Por lo tanto,
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} = dimZ(G) < dimZ(G1) + dimZ(G2).
Dejar c1a1 y c2a2 ser bordes de las estrellas G1 = K1,4 y G2 = K1,4 (cada uno de los
que tiene la dimensión de celosía 2), donde c1 y c2 son centros de los respectivos
estrellas. Vamos a borde-pegar estos dos gráficos identificando c1 con c2 y a1 con
a2, respectivamente. El gráfico G resultante es la estrella K1,7 de la dimensión de celosía 4.
Por lo tanto,
max{dimZ(G1), dimZ(G2)} ≤ dimZ(G) = dimZ(G1) + dimZ(G2).
8 Expansiones y contracciones de cubos parciales
El procedimiento de expansión del gráfico fue introducido por Mulder en [16], donde es
muestra que un gráfico es un gráfico mediano si y sólo si se puede obtener de
K1 por una secuencia de expansiones convexas (véase también [15]). Un resultado similar para
cubos parciales se estableció en [6] (véase también [7]) como un corolario a un más general
resultado relativo a la incrustabilidad isométrica en los gráficos de Hamming; también fue
establecido en [13] en el marco de la teoría de los matroides orientados.
En esta sección se investigan las propiedades de la expansión (isométrica) y con-
operaciones de tracción y, en particular, demostrar de dos maneras diferentes que un gráfico es
un cubo parcial si y sólo si se puede obtener del gráfico K1 por una secuencia
de expansiones.
Una observación sobre las anotaciones está en orden. En el producto {1, 2} × (V1+V2), nosotros
denotar V ′i = {i} × Vi y x
i = (i, x) para x • Vi, donde i, j = 1, 2.
Definición 8.1. Dejar G = (V,E) ser un gráfico conectado, y dejar G1 = (V1, E1)
y G2 = (V2, E2) ser dos subgrafías isométricas de G de tal manera que G = G1 + G2.
La expansión de G con respecto a G1 y G2 es el gráfico G
′ = (V ′, E′)
construido de la siguiente manera a partir de G (véase la figura 8.1):
i) V ′ = V1 + V2 = V
1 V
ii) E′ = E1 + E2 + M, donde M es el equivalente
X+V1+V2
{x1x2}.
En este caso, también decimos que G es una contracción de G′.
Figura 8.1: Procesos de expansión/contracción.
Está claro que los gráficos G1 y â € ~ V
1° son isomórficos, así como los gráficos
G2 y V
Definimos una proyección p : V ′ → V por p(xi) = x para x • V. Claramente, la
la restricción de p a V ′1 es una biyección p1 : V
1 → V1 y su restricción a V
2 es un
biyección p2 : V
2 → V2. Estos bijectos definen los isomorfismos V
1 → G1 y
• V ′2° → G2.
Dejar P ′ ser un camino en G′. Los vértices de G obtenidos de los vértices de P ′
bajo la proyección p definir una caminata P en G; llamamos a esta caminata P la proyección
de la trayectoria P ′. Está claro que
l(P ) = l(P ′), si P ′
′ V ′2°. (8.1)
En este caso, P es una ruta en G y P = p1(P
′) o P = p2(P
′). En el
la otra mano,
l(P ) < l(P ′), si P ′ â € € € € € € € € € 6= € € y P
′ ° ° ° V ′ 2 ° ° 6 ° ° °, (8.2)
y P no es necesariamente un camino.
Utilizaremos con frecuencia los resultados del siguiente lema en esta sección.
Lemma 8.1. i) En el caso de u1, v1+V ′1, cualquier trayectoria más corta Pu1v1 en G
′ pertenece a ′V ′1 ′
y su proyección Puv = p1(Pu1v1) es un camino más corto en G. En consecuencia,
dG′(u
1, v1) = dG(u, v)
es un subpárrafo convexo de G
′. Una declaración similar se mantiene para u2, v2 â V ′2.
ii) En el caso de u1 • V ′1 y v
2 ° V ′2,
dG′(u
1, v2) = dG(u, v) + 1.
Deje Pu1v2 ser un camino más corto en G
′. Hay un borde único x1x2 M tal que
x1, x2 Pu1v2 y las secciones Pu1x1 y Px2v2 de la ruta Pu1v2 son más cortas
rutas en V ′1 y V
2 °, respectivamente. La proyección Puv de Pu1v2 en G
′ es una
sendero más corto en G.
Prueba. (i) Que Pu1v1 sea un camino en G
′ que intersecta V ′2. Ya que V1 es un isométrico
subgrafo de G, hay un camino Puv en G que pertenece a â € ¢ V1â € TM. Entonces p
1 (Puv) es
una trayectoria en V ′1 de la misma longitud que Puv. Por (8.1) y (8.2),
l(p−11 (Puv)) < l(Pu1v1).
Por lo tanto, cualquier camino más corto Pu1v1 en G
′ pertenece a ́V ′1 ́. El resultado es el siguiente.
(ii) Deje Pu1v2 ser un camino más corto en G
′ y Puv sea su proyección a V.
Por (8.2),
dG′(u
1, v2) = l(Pu1v2) > l(Puv) ≥ dG(u, v).
Puesto que no hay borde de G uniendo vértices en V1 \ V2 y V2 \ V1, un más corto
ruta en G de u a v debe contener un vértice x • V1 • V2. Desde G1 y G2
son subgrafías isométricas, hay rutas más cortas Pux en G1 y Pxv en G2 tales
que su unión es un camino más corto de u a v. Entonces, por la desigualdad del triángulo
y parte (i) de la prueba, tenemos (cf. Gráfico 8.1)
dG′(u
1, v2) ≤ dG′(u
1, x1) + dG′(x
1, x2) + dG′(x
2, v2) = dG(u, v) + 1.
Las dos últimas fórmulas mostradas implican dG′(u
1, v2) = dG(u, v) + 1.
Desde u1 • V ′1 y v
2 V ′2 el camino Pu1v2 debe contener un borde, digamos x
1x2, en
M. Dado que este camino es un camino más corto en G′, este borde es único. Luego el segundo...
ciones Pu1x1 y Px2v2 de Pu1v2 son los caminos más cortos en V
1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
2o, respectivamente.
Claramente, Puv es un camino más corto en G.
Dejar a1a2 ser un borde en el emparejamientoM = xV1~V2{x
1x2}. Este borde define
cinco conjuntos fundamentales (cf. Sección 4: los semicubos Wa1a2 y Wa2a1, los conjuntos
de vértices Ua1a2 y Ua2a1, y el conjunto de bordes Fa1a2. El siguiente teorema
sigue inmediatamente desde Lemma 8.1. Da una pista a una conexión entre
el proceso de expansión y cubos parciales.
Teorema 8.1. Que G′ sea una expansión de un gráfico G conectado y anotaciones
se elijan como se ha indicado anteriormente. Entonces
i) Wa1a2 = V
1 y Wa2a1 = V
2 son semicubos convexos de G
(ii) Fa1a2 =M define un isomorfismo entre subgrafías inducidas
"Ua2a1", que son isomórficos para el subgrafo G1 "G2".
El resultado del Teorema 8.1 justifica la siguiente definición constructiva de
el proceso de contracción.
Definición 8.2. Dejar ab ser un borde de un gráfico G′ conectado = (V ′, E′) tal
i) Semicubos Wab y Wba son convexos y forman una partición de V
(ii) el conjunto Fab es un emparejamiento y define un isomorfismo entre subgrafías
"Uab" y "Uba".
Un gráfico G obtenido de los gráficos Wabá y Wabá por pegarlos a lo largo de
Se dice que las subgrafías Uab y Uba son una contracción del gráfico G
Observación 8.1. Si G′ es bipartito, entonces semicubesWab y Wba forman una partición de
su vértice. Entonces, por Teorema 4.1, la condición (i) implica la condición (ii). Por lo tanto
cualquier par de semicubos convexos opuestos en un gráfico bipartito conectado define un
contracción de este gráfico.
Por Teorema 8.1, un gráfico es una contracción de su expansión. No es difícil.
para ver que cualquier gráfico conectado es también una expansión de su contracción.
Los siguientes tres ejemplos dan ilustraciones geométricas para la expansión
y procedimientos de contracción.
Ejemplo 8.1. Que a y b sean dos vértices opuestos en el gráfico G = C4.
Claramente, los dos caminos distintos P1 y P2 de a a b son subgrafías isométricas
de G que define una expansión G′ = C6 de G (véase la figura 8.2). Tenga en cuenta que P1 y P2
no son subconjuntos convexos de V.
Ejemplo 8.2. Se muestra otra expansión isométrica del gráfico G = C4
En la figura 8.3. Aquí, el camino P1 es el mismo que en el ejemplo anterior y
G2 = G.
Ejemplo 8.3. Lemma 8.1 afirma, en particular, que la proyección de un
ruta en una extensión G′ de un grafG es un camino más corto en G. En términos generales,
Figura 8.2: Expansión del ciclo C4.
Figura 8.3: Otra expansión isométrica del ciclo C4.
lo contrario no es cierto. Considere el gráfico G que se muestra en la Figura 8.4 y dos
rutas en G:
V1 = abcef y V2 = bde.
El gráfico G′ de la figura 8.4 es la expansión convexa de G con respecto a V1 y
V2. El camino abdef es un camino más corto en G; no es una proyección de un más corto
ruta en G′.
Figura 8.4: Un camino más corto que no es una proyección de un camino más corto.
Se puede decir que, en el caso de los cubos parciales finitos, el procedimiento de contracción
se define por una proyección ortogonal de un hipercubo sobre una de sus facetas.
Por el teorema 8.1, los conjuntos V ′1 y V
2 son semicubos opuestos del gráfico G
definido por los bordes en M. Sus proyecciones son los conjuntos V1 y V2 que no son
necesariamente semicubos de G. Para otros semicubos en G′ tenemos lo siguiente
resultado.
Lemma 8.2. Para dos vértices adyacentes u, v â € V,
Wuivi = p
−1(Wuv) para u, v • Vi e i = 1, 2.
Prueba. Por Lemma 8.1,
dG′(x
j, ui) < dG′(x
j, vi) dG(x, u) < dG(x, v)
para x V e i, j = 1, 2. El resultado es el siguiente.
Corolario 8.1. Si uv es un borde de G1 â ¬ G2, entonces Wu1v1 = Wu2v2.
El siguiente lema es una consecuencia inmediata de Lemma 8.1. Lo haremos.
usarlo implícitamente en nuestros argumentos más tarde.
Lemma 8.3. Let u, v • V1 y x • V1 • V2. Entonces
x1 â € ¢Wu1v1 â € ~ x
2 â € ¢Wu1v1.
El mismo resultado se mantiene para semicubos en la forma Wu2v2.
En términos generales, la proyección de un subgráfico convexo de G′ no es una
vex subgraph de G. Por ejemplo, la proyección de la ruta convexa b2d2e2 en
Figura 8.4 es la ruta bde que no es un subgrafo convexo de G. En el otro
mano, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 8.2. Que G′ = (V ′, E′) sea una expansión de un gráfico G = (V,E) con
respecto a los subpárrafos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). La proyección de un
semicubo convexo de G′ diferente de â € ¢V ′1â € y â € € TM V
2 es un semicubo convexo de G.
Prueba. Basta con considerar el caso cuando Wuv = p(Wu1v1) para u, v.
Teorema 8.2). Let x, y â € ¢Wuv y z â € € TM V ser un vértice tal que
dG(x, z) + dG(z, y) = dG(x, y).
Tenemos que demostrar que z â € ¢Wuv.
Figura 8.5: Un camino más corto de x a y.
(i) x, y V1 (el caso en que x, y V2 es tratado de manera similar). Supón que
z â € ¢ V1. Entonces x
1, y1, z1 + V ′1 y, por Lemma 8.1,
dG′(x
1, z1) + dG′(z
1, y1) = dG′(z
1, y1).
Desde x1, y1 â € ¢ Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, z
1 Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv.
Supongamos ahora que z â ¬ V2 \ V1. Considere un camino más corto Pxy en G de x
a y que contiene z. Esta ruta contiene vértices x′, y′ â € ¢ V1 â € TM V2 tales que (ver
Gráfico 8.5)
dG(x, x
′) + dG(x
′, z) = dG(x, z) y dG(y, y
′) + dG(y
′, z) = dG(y, z).
Puesto que Pxy es un camino más corto en G, tenemos
dG(x, x
′) + dG(x
′, y) = dG(x, y), dG(x, y
′) + dG(y
′, y) = dG(x, y),
′, z) + dG(z, y
′) = dG(x
′, y′).
Desde x, x′, y V1, tenemos x
1, x′1, y1 V ′1. Porque x
1, y1 Wu1v1 y Wu1v1
es convexo, x′1 • Wu1v1. Por lo tanto, x
′ Wuv y, de manera similar, y
′ Wuv. Desde
x′2, y′2, z2 V ′2 y Wu1v1 es convexo, z
2 â € ¢Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv.
ii) x V1 \V2 y y V2 \V1. Podemos suponer que z â € V1. Por Lemma 8.1,
dG′(x
1, y2) = dG(x, y) + 1 = dG(x, z) + dG(z, y) + 1
= dG′(x
1, z1) + dG′(z
1, y2).
Ya que x1, y2 Wu1v1 y Wu1v1 es convexo, z
1 Wu1v1. Por lo tanto, z ́Wuv.
Al utilizar los resultados de Lemma 8.1, no es difícil demostrar que la clase
de los gráficos bipartitos conectados se cierra bajo la expansión y la contracción
operaciones. El siguiente teorema establece este resultado para la clase de parcial
cubos.
Teorema 8.3. (i) Una expansión G′ de un cubo parcial G es un cubo parcial.
ii) Una contracción G de un cubo parcial G′ es un cubo parcial.
Prueba. i) Que G = (V,E) sea un cubo parcial y que G′ = (V ′, E′) sea su expansión
con respecto a los subgráficos isométricos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2). Por
Teorema 3.4 ii), basta con demostrar que las semicubas de G′ son convexas.
Por Lemma 8.1, las semicúbicas "V" y "V"
2° son convexos, por lo que consideramos un
semicubo en la formaWu1v1 donde uv E1 (el otro caso se trata de manera similar).
Que Px′y′ sea un camino más corto que conecta dos vértices en Wu1v1 y Pxy sea su
Proyección a G. Por Teorema 8.2, x, y Wuv y, por Lemma 8.1, Pxy es un
sendero más corto en G. Puesto que Wuv es convexo, Pxy pertenece a Wuv. Dejad z
′ ser a
vértice en Px′y′ y z = p(z)
′) • Pxy. Por Lemma 8.1,
dG(z, u) < dG(z, v) dG′(z)
′, u1) ≤ dG′(z
′, v1).
Dado que G′ es un gráfico bipartito, dG′(z
′, u1) < dG′(z
′, v1). Por lo tanto, Px′y′ Wu1v1,
Wu1v1 es convexo.
ii) Que G = (V,E) sea una contracción de un cubo parcial G′ = (V ′, E′). Por
Teorema 3.4, tenemos que demostrar que las semicubas de G son convexas. Por...
orem 8.2, todos los semicúbitos de G son proyecciones de semicúbitos de G′ distintas de
V ′1° y V
2o.............................................................................................................................................. Por Teorema 8.2, las semicubas de G son convexas.
Corolario 8.2. (i) Un gráfico conectado finito es un cubo parcial si y sólo si
se puede obtener de K1 por una secuencia de expansiones.
ii) El número de expansiones necesarias para producir un cubo parcial G a partir de K1
es dimI(G).
Prueba. i) Sigue inmediatamente desde el Teorema 8.3.
ii) Seguimientos de los teoremas 8.2 y 5.1 (véase el análisis de la sección 5
antes del teorema 5.2 ).
Los procesos de expansión y contracción admiten descripciones útiles en el
caja de cubos parciales en un set. Let G = (V,E) ser un cubo parcial en un conjunto X,
es un subgrafo isométrico del hipercubo H(X). Entonces es inducido por
algunos wg-familia F de subconjuntos finitos de X (cf. Teorema 2.1). Podemos asumir (ver
En la sección 5 ) se indica que « F » = » y « F » = « X ».
En lo que sigue presentamos pruebas de los resultados de Teorema 8.3 y Corol-
8.2 dado en términos de wg-familias de conjuntos.
El proceso de expansión de un cubo parcial G en X se puede describir de la siguiente manera:
Que F1 y F2 sean wg-familias de subconjuntos finitos de X de tal manera que F1 â € TM F2 6= â € TM,
F1°F2 = F, y la distancia entre cualquiera de los dos conjuntos P °F1 \F2 y Q °F2 \F1
es mayor que uno. Nótese que F1 y F2 son cubos parciales, F1 y F2
y F1oF2oF2oF = F2oF = G. Let X
′ = X + {p}, donde p /+ X, y
2 = {Q+ {p} : Q {F2], F
′ = F1 + F
Es bastante claro que los gráficos â € ¢ F′2â € TM y â € TM F2â € TM son isomórficos y el gráfico
G′ = F es una expansión isométrica del gráfico G.
Teorema 8.4. Una expansión de un cubo parcial es un cubo parcial.
Prueba. Tenemos que verificar que F′ es una familia wg de subconjuntos finitos de X ′. Por
Teorema 2.3, basta con demostrar que la distancia entre cualquiera de dos adyacentes
conjuntos en F′ es 1. Es obvio si cada uno de estos dos conjuntos pertenecen a una de las familias
F1 o F
2. Supongamos que P â € F1 y Q+ {p} â € F
2 son adyacentes, es decir, para cualquier
S, F, tenemos
P (Q+ {p}) S P (Q+ {p}) S = P o S = Q+ {p}. (8.3)
Si Q â € ¢ F1, entonces
P • (Q + {p}) • • Q P • (Q+ {p}),
Desde p/ P. Por (8.3), Q = P implica d(P,Q + {p}) = 1.
Si Q â € F2 \ F1, hay R â € F1 â € F2 tales que
d(P,R) + d(R,Q) = d(P,Q),
ya que F está bien calificado. Por Teorema 2.2,
P #Q # R # P # Q #
lo que implica
P (Q + {p}) R+ {p} P (Q+ {p}).
Por (8.3), R + {p} = Q+ {p}, una contradicción.
Es fácil reconocer los conjuntos fundamentales (cf. Sección 4) en un isométrico
expansion G′ de un cubo parcial G = â € € ¢ Fâ € € TM. Let P-F1-F2 y Q = P-P-P-F
ser dos vértices que definan un borde en G′ de acuerdo con la definición 8.1 ii). Claramente,
las familias F1 y F
2 son los semicubos WPQ y WQP del gráfico G
′ (cf.
Lemma 5.1) y por lo tanto son subconjuntos convexos de F′. El set FPQ es el set
de bordes definidos por p como en Lemma 5.1. Además, UPQ = F1 + F2 y
UQP = {R+ {p} : R • F1 • F2}.
Dejar G ser un cubo parcial inducido por un wg-familia F de subconjuntos finitos de un conjunto
X. Al igual que antes, suponemos que "F" = "F" y "F" = "X". Que PQ sea un borde de G.
Se puede suponer que Q = P + {p} para algunos p / P. Entonces (ver Lemma 5.1)
WPQ = {R + F : p /+ R} y WQP = {R + F : p + R}.
Let X ′ = X \ {p} y F′ = {R \ {p} : R {F}. Está claro que el gráfico G′
inducido por la familia F′ es isomórfica a la contracción de G definida por el
Edge PQ. Geométricamente, el gráfico G′ es la proyección ortogonal del gráfico
G a lo largo del borde PQ (cf. Figuras 8.2 y 8.3).
Teorema 8.5. i) Una contracción G′ de un cubo parcial G es un cubo parcial.
ii) Si G es finito, entonces dimI(G
′) = dimI(G)− 1.
Prueba. (i) En el caso de las palabras " X " definimos " F1 = " R " ; " F2 " ; " R " ; " F2 " ; " R " ; " F2 " ; " F2 " ; " P " ; " R " ;
y F′2 = {R \ {p} {F}: p {R}. Tenga en cuenta que F1 y F2 son semicubos de G
y F′2 es isométrica a F2. Por lo tanto, F1 y F
2 son wg-familias de subconjuntos finitos
de X ′. Tenemos que demostrar que F′ = F1 + F
2 es una familia wg. Por Teorema 2.3,
basta con demostrar que d(P,Q) = 1 para cualquiera de los dos conjuntos adyacentes P,Q • F′. Esto
es cierto si P,Q + F1 o P,Q + F
2, ya que estas dos familias están bien calificadas. Por
F1 \ F
2 y Q-F
2 \ F1, los conjuntos P y Q + {p} no son adyacentes en F,
ya que F está bien calificado y Q /+ F. Por lo tanto hay R + F1 tal que
P (Q+ {p}) R P (Q + {p})
y R 6= P. Desde p /+ R, tenemos
P # Q # R # P # Q.
Puesto que R 6= P y R 6= Q, los conjuntos P y Q no son adyacentes en F′. El resultado
sigue.
(ii) Si G es un cubo parcial finito, entonces, por Teorema 5.2,
dimI(G)
′) = X = X − 1 = dimI(G)− 1.
9 Conclusión
El documento se centra en dos temas de carácter matemático bastante general.
1. El problema de la caracterización. Es una práctica común en matemáticas
caracterizar una clase particular de objeto en términos diferentes. Presentamos nuevo
caracterizaciones de las clases de gráficos bipartitos y cubos parciales, y dar
nuevas pruebas de resultados de caracterización conocidos.
2. Construcciones. El problema de construir nuevos objetos a partir de objetos antiguos
es un tema estándar en muchas ramas de las matemáticas. Para la clase de parcial
cubos, discutimos las operaciones de la formación del producto cartesiano, la expansión y
la contracción, y pegar. Se muestra que la clase de cubos parciales está cerrada
en el marco de estas operaciones.
Debido a que los cubos parciales se definen como gráficos isométricamente incrustables en
hipercubes, la teoría de cubos parciales tiene un sabor geométrico distintivo. Los
tres estructuras principales en un gráfico—semicubes y Djoković’s y Winkler’s
relaciones—se definen en términos de la estructura métrica en un gráfico. Uno puede decir
que esta teoría es una rama de la geometría métrica discreta. No es de extrañar, geo-
estructuras métricas juegan un papel importante en nuestro tratamiento de la caracterización
y problemas de construcción.
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http://arxiv.org/abs/math.CO/0512282
Introducción
Hipercubos y cubos parciales
Caracterizaciones
Conjuntos fundamentales en cubos parciales
Dimensiones de cubos parciales
Subcubes y productos cartesianos
Pegar cubos parciales
Expansiones y contracciones de cubos parciales
Conclusión
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704.0011 | Computing genus 2 Hilbert-Siegel modular forms over $\Q(\sqrt{5})$ via
the Jacquet-Langlands correspondence | COMPUTANDO GENUS 2 HILBERT-SIEGEL MODULAR
FORMULARIOS SOBRE Q(
5) VIA LAS JACQUETAS-LANGLANDAS
CORRESPONDENCIA
CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
Resumen. En este artículo presentamos un algoritmo para la computación de Hecke
eigensystems de Hilbert-Siegel formas cúspide sobre los campos cuadráticos reales de
clase estrecha número uno. Damos algunos ejemplos ilustrativos usando el
Campo cuadrático Q(
5). En esos ejemplos, identificamos a Hilbert-Siegel
eigenforms que son posibles levantamientos de Hilbert eigenforms.
Introducción
Dejar F ser un campo cuadrático real de clase estrecha número uno y dejar B ser el
singular (hasta isomorfismo) quaternion álgebra sobre F que se ramifica en
ambos lugares arquimedienses de F y no ramificados en todas partes. Dejar GU2(B)
ser el grupo de similitudes unitarias de B+2. Este es el conjunto de puntos Q-racionales
de un grupo algebraico GB definido sobre Q. El grupo GB es una forma interna de
G := ResF/Q(GSp4) de tal manera que G
B(R) es un módulo compacto de su centro. (Estos
las nociones se revisan al principio de la sección 1.)
En este artículo desarrollamos un algoritmo que calcula las formas automórficas
sobre GB en el siguiente sentido: dado un idealN inOF y un entero k mayor
que 2, el algoritmo devuelve los sistemas Hecke eigen de todos los automórficos
formas f del nivel N y el peso paralelo k. Más precisamente, dado un p primo en
OF, el algoritmo devuelve los valores propios Hecke de f en p, y por lo tanto el
Euler factor Lp(f, s), para cada eigenform f del nivel N y peso paralelo k.
El algoritmo es una generalización del desarrollado en [D1 2005] a la
Caso del género 2. Aunque sólo hemos descrito el algoritmo en el caso de
un campo cuadrático real en este documento, debe quedar claro de nuestra presentación
que se puede adaptar a cualquier campo de número totalmente real de clase estrecha
Número uno.
La correspondencia Jacquet-Langlands del título se refiere a la conjec-
mapa turístico JL : Π(GB) → Π(G) de las representaciones automórficas de GB a
representaciones automórficas de G, que es inyectora, coincide con las funciones L
y disfruta de otras propiedades compatibles con el principio de funcionamiento;
Fecha: 29 de octubre de 2018.
1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. Primaria: 11F41 (Hilbert e Hilbert-Siegel)
formas modulares).
Palabras y frases clave. Hilbert-Siegel formas modulares, Jacquet-Langlands Correspon-
Dence, matrices de Brandt, parámetros de Satake.
http://arxiv.org/abs/0704.001v3
2 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
en particular, la imagen de la correspondencia Jacquet-Langlands debe ser
contenido en el espacio de representaciones automórficas holomórficas. Si nosotros
admitir esta conjetura, a continuación, el algoritmo anterior proporciona una manera de producir
ejemplos de formas modulares cúspides Hilbert-Siegel del género 2 sobre F y
nos permite calcular los factores L de la réplica automórfica correspondiente-
sentaciones para los primos finitos arbitrarios p de F.
De hecho, también somos capaces de utilizar estos cálculos para proporcionar pruebas para
la Correspondencia de Jacquet-Langlands comparando los factores de Euler
encontramos con las de formas modulares conocidas Hilbert-Siegel obtenidas por elevación.
Esto lo hacemos en la sección final del documento donde observamos que algunos de
los factores Euler que calculamos coinciden con los de los ascensores de Hilbert formas modulares,
para los primos que calculamos. A pesar de que esto no establece definitivamente
que estas formas modulares Hilbert-Siegel son de hecho ascensores, en principio uno puede
establecer la igualdad de esta manera, utilizando un análogo de la unión Sturm.
El primer enfoque sistemático de las formas modulares de Siegel a partir de un computa-
El punto de vista nacional se debe a Skoruppa [Sk 1992] que utilizó Jacobi símbolos para
generar espacios de tales formas. Su algoritmo, que ha sido extensamente
explotado por Ryan [R 2006], se aplica sólo al caso de la estructura de nivel completo.
Más recientemente, Faber y van der Geer [FvdG1 2004] y [FvdG2 2004]
También produjo ejemplos de formas modulares de Siegel contando puntos en hy-
curvas perelípticas del género 2; de nuevo sus resultados sólo están disponibles en el
Caso de estructura de nivel completo. El progreso más sustancial hacia la com-
la colocación de formas modulares Siegel para la estructura de nivel adecuada es por Gunnells
[Gu 2000] que extendió la teoría de los símbolos modulares al simplés
grupo Sp4/Q. Sin embargo, este trabajo no ve la cohomología cúspida,
que es la única parte de la cohomología que es relevante para la aritmética
aplicaciones geométricas. Hasta donde sabemos, no hay numerador...
ejemplos de formas modulares Hilbert-Siegel para la estructura de nivel adecuada en
la literatura, con la excepción de los producidos a partir de levantamientos de Hilbert
formas modulares.
El esbozo del documento es el siguiente. En la Sección 1 recordamos lo básico
propiedades de Hilbert-Siegel formas modulares y formas automórficas algebraicas
junto con la correspondencia Jacquet-Langlands. En la Sección 2 damos
una descripción detallada de nuestro algoritmo. Finalmente, en la Sección 3 presentamos
resultados numéricos para el campo cuadrático Q(
Agradecimientos. Durante la preparación del presente documento,
el segundo autor tuvo intercambios de correo electrónico útiles con varias personas includ-
ing Alexandru Ghitza, David Helm, Marc-Hubert Nicole, David Pollack,
Jacques Tilouine y Eric Urban. Los autores desean darles las gracias a todos.
Además, nos gustaría agradecer a William Stein por permitirnos usar el SAGE
clúster de computadoras en la Universidad de Washington. Y finalmente, el segundo...
ond autor quisiera dar las gracias al Instituto PIMS por su postdoctoral
apoyo de becas, y la Universidad de Calgary por su hospitalidad.
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 3
1. Hilbert-Siegel formas modulares y Jacquet-Langlands
correspondencia
A lo largo de este artículo, F denota un campo cuadrático real de clase estrecha
Número uno. Los dos lugares arquimedienses de F y las incrustaciones reales de
F será denotado v0 y v1. Por cada â € ¢ F, escribimos a0 (resp. a1)
para la imagen de un sub v0 (resp. v1). El anillo de números enteros de F se denota
por OF. Para cada ideal principal p en OF, la terminación de F y OF en p
será denotado por Fp y OFP, respectivamente.
Que B sea el único (hasta el isomorfismo) totalmente definido quaternion al-
gebra sobre F que no se ramified en todos los primos finitos de F. Fijamos un máximo
Orden OB de B. Además, elegimos un campo de división K/F de B que es Ga-
lois sobre Q y tal que existe un isomorfismo j : OB Z OK
M2(OK)+M2(OK), donde M2(A) denota el anillo de 2× 2 matrices con
entradas de un anillo A. Por cada p primo finito en F, arreglamos un isomorfismo
Bp = M2(Fp) que se restringe a un isomorfismo del OB, p a M2(OFP ).
El grupo algebraico G = ResF/Q(GSp4) se define como sigue. Para cualquier
Q-álgebra A, el conjunto de puntos A-racionales de G es dado por
G(A) =
γ GL4 (AQ F )
t = /G(γ)J2
/G(γ) (AQ F )×
donde
−12 0
Este grupo admite un modelo integral con puntos A-racionales para cada Z-
álgebra A dado por
GZ(A) =
γ GL4(AZ DE )
t = /G(γ)J2
/G(γ) (AZ de )×
Para cualquier Q-álgebra A, la conjugación en B se extiende de una manera natural a la
matriz álgebra M2(B Q A).
El grupo algebraico GB/Q se define como sigue. Para cualquier Q-álgebra A,
el conjunto de puntos A-racionales de GB es dado por
GB(A) =
γ M2(B Q A)
t = /GB(γ)12
/GB (γ) (AQ F )×
Este grupo también admite un modelo integral con puntos A-racionales para cada
Álgebra-Z dada por
GBZ (A) =
γ M2(OB Z A)
t = /GB(γ)12
/GB (γ) (AZ de )×
El grupo GB/Q es una forma interna de G/Q tal que GB(R) es compacto
modulo su centro. Combinación del isomorfismo j (véase más arriba) con con-
por una matriz de permutación, se obtiene un isomorfismo GBZ (OK) =
4 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
GZ(OK), que arreglamos a partir de ahora. Para cada p ideal primo en F, el split-
el valor de GB en p equivale a la división del álgebra cuaternión B en p;
nos remitimos a [D1 2005] para más detalles.
Por la elección del álgebra cuaternión B, tenemos GB(Q+) = G(Q+). (Nosotros
denota los adèles finitos de Q (resp. Z) de Qáš (resp. )).
1.1. Hilbert-Siegel formas modulares. Fijamos un entero k ≥ 3 y, para
simplicidad, nos limitamos a Hilbert-Siegel formas modulares de paralelo
peso k. Las incrustaciones reales v0 y v1 de F se extienden a G(Q) = GSp4(F)
de una manera natural. Denotamos por GSp+4 (F) el subgrupo de elementos γ con
factor de similitud totalmente positivo /G(γ). Recordamos que la mitad superior de Siegel
el plano del género 2 está definido por
H2 = GL2(C)
γt = γ e Im(γ) es positivo definido }.
También recordamos que GSp+4 (F) actúa en H
(0, 1) :=
(a0-0 + b0)(c0-0 + d0)
−1, (a11,1 + b1)(c1,1 + d1)
Esto induce una acción en el espacio de funciones f : H22 → C por
, f kγ() =
/G(γi)
det(ciđi + di)k
f(l).
Deja que N sea un ideal en OF y set
0(N) =
GSp+4 (OF)
* c * 0 (N)
Una forma modular Hilbert-Siegel de nivel N y peso paralelo k es un
función holomórfica f : H22 → C tal que
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
El espacio de Hilbert-Siegel formas modulares de peso paralelo k y nivel N
es Mk(N). Cada f-Mk(N) admite una expansión de Fourier, que por
el principio Koecher toma la forma
H22, f(l) =
{Q0}
2ηiTr(Ql),
donde Q â € M2(F ) pasa por encima de todo simétrico totalmente positivo y semi-definido
matrices. A Hilbert-Siegel formas modulares f es una forma cúspide si, para todos γ
4 (F), el término constante en la expansión de Fourier de f kγ es cero. Los
espacio de Hilbert-Siegel formas cúspide se denota Sk(N).
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES DE HILBERT-SIEGEL 5
1.2. El álgebra de Hecke. El espacio Sk(N) viene equipado con un Hecke
acción, que ahora recordamos. Tómese u • GSp+4 (F ) • M4(OF ), y escriba el
unión finita desarticulada
0(N)u0(N) =
0(N)ui.
A continuación, el operador Hecke en Sk(N) es dado por
[0(N)u0(N)]f =
f kui.
Dejar p ser un ideal principal en OF y dejar πp ser un generador totalmente positivo de
p; dejar que T1(p) y T2(p) sean los operadores Hecke correspondientes al doble
Cosetes de las matrices de similitudes simplécticas
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 ηp 0
0 0 0 ηp
1 0 0 0
0 γp 0 0
0 0 γ2p 0
0 0 0 ηp
respectivamente. (Recordamos al lector de la forma simpléctica J2 fijado en
el comienzo de la sección 1.) El álgebra Hecke Tk(N) es la álgebra Z
generado por los operadores T1(p) y T2(p), donde p se ejecuta sobre todos los primos
no dividiendo N.
1.3. Algebraico Hilbert-Siegel formas autormórficas. Sólo consideramos
estructura de nivel del tipo Siegel. Es decir, definimos el subgrupo abierto compacto
U0(N) de G(Q®) por
U0(N) =
GSp4(OFP)×
ep ),
donde N =
pN p
ep y
ep ) :=
GSp4(OFP)
# C # 0 mod pep #
La representación del peso se define de la siguiente manera. Que Lk sea el representante...
envío de GSp4(C) de mayor peso (k− 3, k− 3). Dejamos que Vk = Lk Lk
y definir la representación compleja (lk, Vk) por
lk : G
B(R) GL(Vk),
donde la acción sobre el primer factor es a través de v0, y la acción sobre el segundo
uno es a través de v1.
El espacio de las formas modulares algebraicas Hilbert-Siegel de peso k y
nivel N viene dado por
MBk (N) :=
f : GB(Q+)/U0(N) → Vk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
6 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
donde f kγ(x) = f(γx)γ, para todos los x GB(Q)/U0(N). Cuando k = 3, dejamos
IBk (N) :=
f : GB(Q)\GB(Q)/U0(N) → C
# F es constante #
Entonces, el espacio algebraico Hilbert-Siegel cúsp formas de peso k y
nivel N está definido por
SBk (N) :=
MBk (N) si k > 3,
MBk (N)/I
k (N) si k = 3.
La acción del álgebra de Hecke en SBk (N) se da como sigue. Para cualquier
u G(Q®), escriba la unión finita disjunta
U0(N)uU0(N) =
uiU0(N),
y definir
[U0(N)uU0(N)] : S
k (N) → SBk (N)
f 7→ f k[U0(N)uU0(N)],
f k[U0(N)uU0(N)](x) =
f(xui), x (+) G(+).
Para cualquier primo p N, que p sea un uniformizador local en p. El local Hecke alge-
bra en p es generado por los operadores Hecke T1(p) y T2(p) correspondientes
al doble U0(N)-cosetes 1(p) y 2(p) de las matrices
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p
1 0 0 0
0 p 0 0
0 0 2
0 0 0 p
respectivamente. Dejamos que TBk (N) sea el álgebra Hecke generada por T1(p) y
T2(p) para todos los primos p N.
1.4. La Correspondencia Jacquet-Langlands. Los módulos Hecke Sk(N)
y SBk (N) están relacionados por la siguiente conjetura conocida como el Jacquet-
Correspondencia de Langlands para grupos de similitud simpléctica.
Conjetura 1. Los álgebras Hecke Tk(N) y T
k (N) son isomórficos y
hay un isomorfismo compatible de los módulos de Hecke
SK(N)
SBk (N).
Es común, pero tal vez no del todo exacto, atribuir esta
Yeso a Jacquet-Langlands. Por lo que sabemos, el correspon-
dence en esta forma fue discutido por primera vez por Ihara [Ih 1964] en el caso F = Q. In
[Ib 1984], Ibukiyama proporcionó algunas pruebas numéricas. Por otra parte,
es apropiado referirse a la conjetura 1 como el Jacquet-Langlands Corre-
spondence (para GSp(4)) ya que es un análogo de los Jacquet-Langlands
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 7
Correspondencia (para GL(2)) que relaciona representaciones automórficas de
el grupo multiplicativo de un álgebra cuaternión con cierto automórfico
representaciones de GL(2) (véase [JL 1970]). Ambas correspondencias son, a su vez,
las consecuencias especiales del principio de funtorialidad, tal como lo expone Lang-
tierras. Por último, parece que la conjetura 1 puede ser pronto un teorema debido a
el trabajo de [So 2008] y el próximo libro de James Arthur sobre auto-
Representaciones mórficas de grupos clásicos.
2. El Algoritmo
En esta sección, presentamos el algoritmo que usamos para calcular
el módulo Hecke de formas modulares (algebraicas) Hilbert-Siegel. El principal
suposición en esta sección es que el número de clase del género principal
de GB es 1. (Nos referimos a [D3 2007] para ver cómo se puede relajar esta condición
en el número de clase.) Recordamos que como B es totalmente definitiva, GB satis-
fies Proposición 1.4 en Gross [Gr 1999]. Por lo tanto, el grupo GB(R) es compacto
modulo su centro, y = GB(Z)/O×F es finito.
Para cualquier p primo en F, dejar Fp = OF /p ser el campo de residuos en p y definir
el mapa de reducción
M2(OB, p) → M4(Fp)
g 7→ g
donde utilizamos la división de OB,p que se fijó al principio de la Sec-
1o período de sesiones de la Conferencia de las Partes en calidad de reunión de las Partes en el Protocolo de Kyoto. Ahora, elegir un generador totalmente positivo πp de p y poner
*1(p) :=*
u M2(OB)
• uūt = ηp12 y rango(gū) = 2
*2(p) :=*
u M2(OB)
• uūt = η2
12 y rango(gΦ) = 1
Dejamos H20(N) = G()/U0(N). A continuación, el grupo actúa en H20(N), por lo tanto, en
el espacio de funciones f : H20(N) → Vk por
*x* H20(N),*, f kγ(x) := f(γx)γ.
Teorema 2. Hay un isomorfismo de los módulos de Hecke
MBk (N)
f : H20(N) → Vk
f kγ = f, γ
donde la acción Hecke en el lado derecho es dada por
f kT1(p) =
u1(p)
f ku,
f kT2(p) =
u2(p)
f ku.
Prueba. El mapa canónico
*: GB(Z)\GB()/U0(N) → GB(Q)\GB(Q)/U0(N)
es una inyección. Haciendo uso del hecho de que el número de clase en el principal
género de GB es uno (GB(Q+) = GB(Q)GBZ ()), vemos que
8 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
Biyección. Dado que cada elemento f • MBk (N) está determinado por sus valores en una
conjunto de representantes coset de GB(Q)\GB(Q)/U0(N), el mapa
isomorfismo de espacios vectoriales complejos
MBk (N)
f : H20(N) → Vk
f kγ = f, γ
f 7 f â â € ¬.
Convertimos esto en un isomorfismo del módulo Hecke definiendo la acción Hecke
en el lado derecho, como se indica en la declaración del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En el resto de esta sección, explicamos los pasos principales del algoritmo
proporcionado por el Teorema 2.
2.1. El cociente H20(N). Mantener las anotaciones de la sección anterior,
Recordamos que N =
pN p
ep. Let p ser una primera división N y considerar la
rango 4 libre
OFp/pep
-módulo L =
OFp/pep
dotado con el simplés
emparejamiento, dado por la matriz
−12 0
donde 12 es la matriz de identidad en M2(OFP/pep ). Deja que M sea un rango 2
OFp/pep
-submódulo que es un factor directo en L. Decimos que M es
isótropo si, v = 0 para todos u, v + M. Recordamos que GSp4(OFP ) actúa
transicionalmente en el conjunto de rango 2, isotrópico
OFp/pep
-submódulos de L y
que el estabilizador del submódulo generado por e1 = (1, 0, 0, 0)
T y
e2 = (0, 1, 0, 0)
T es U0(p
ep ). El cociente H20(pep ) = GSp4(OFP )/U0(pep )
es el conjunto de rango 2, isotrópico
OFp/pep
-submódulos de L. A través de la reducción
mapa ÔF → OF /N, el cociente GZ()/U0(N) se puede identificar con el
producto
H20(N) =
H20(pep ).
La cardinalidad de H20(N) es extremadamente útil y se determina utilizando el
siguiendo el lema.
Lemma 1. Dejar p ser un primo en F y ep ≥ 1 un entero. Entonces, el cardi...
nalidad del conjunto H20(pep ) es dada por
#H20(pep) = N(p)3(ep−1)(N(p) + 1)(N(p)2 + 1).
Prueba. Para ep = 1, la cardinalidad de la variedad Lagrange sobre lo finito
campo Fp = OF /p se da por (N(p) + 1)(N(p)2 + 1). Proceder por inducción
en ep. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Tenemos más que decir sobre los elementos de H20(pep) en la subsección 2.5.
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 9
2.2. Matrices de Brandt. Let F = {x1,. .., xh} ser un dominio fundamental
para la acción de Ł sobre H20(N) y, para cada i, dejar que Łi sea el estabilizador de xi.
Entonces, cada elemento en MBk (N) está completamente determinado por sus valores en
F. Por lo tanto, hay un isomorfismo de espacios complejos
MBk (N) →
f 7→ (f(xi)),
donde V
es el subespacio de los invariantes en Vk.
Para cualquier x, y H20(N), permitimos
1(x, y, p) :=
u â € â € 1(p)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
2(x, y, p) :=
u â € â € 2(p)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Proposición 3. Las acciones de los operadores de Hecke Ts(p), s = 1, 2, son:
dado por las matrices de Brandt Bs(p) = (bsij(p)), donde
bsji(p) : V
k → V
v 7→ v ·
us(xi, xj,p)
1u u
Prueba. La prueba de la Proposición 3 sigue las líneas de [D1 2005, §3]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
2.3. Cálculo del grupo GB(Z). Es suficiente para calcular el subgrupo
• que consiste en los elementos en GB(Z) con el factor de similitud 1. Pero es fácil.
para ver eso.
u, v â € ¢ O1B
u, v â € ¢ O1B
donde O1B es el grupo de elementos de la norma 1.
2.4. Cálculo de los sets 1(p) y 2(p). Consideremos la cuadrática
forma en el espacio vector V = B2 dado por
V → F
a, b) 7→ (a, b) := nr(a) + nr(b),
donde nr es la norma reducida en B. Esto determina una forma interior
V × V → F
(u, v) 7→ «U», «Vá», «Vá».
Un elemento de 1(p) (resp. M2(OB) es una matriz unitaria
respeto a esta forma interior de tal manera que la norma de cada fila es p (resp. η
y el rango de la matriz reducida es 1). Así que primero empezamos por la computación
todos los vectores u = (a, b) O2B tales que u = p (resp. u = γ2p). Y
Para cada vector u tal, calculamos los vectores v = (c, d) O2B de la misma
10 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
norma de tal manera que â € ¬u, vâ € = 0. La matriz correspondiente γ =
pertenece
a 1 p) (resp. 2(p)) cuando su reducción mod p tenga el rango apropiado.
Listamos todas estas matrices hasta la equivalencia y nos detenemos cuando llegamos a la
Cardinalidad derecha.
2.5. La implementación del algoritmo. La aplicación de la
El algoritmo es similar al de [D1 2005]. Sin embargo, es importante tener en cuenta
cómo representamos los elementos en H20(N) para que podamos recuperarlos fácilmente
una vez almacenado. Al igual que en [D1 2005] elegimos trabajar con el producto
H20(N) =
H20(pep ).
Usando las coordenadas de Plucker, podemos ver H20(pep) como un subespacio cerrado de
P5(OFp/pep ). A continuación, representamos cada elemento en H20(pep ) mediante la elección de un
punto x = (a0 : · · · : a5) = [u
M generada por u y v es un submódulo Lagrange, y el primer invertible
Coordenada es escalado a 1.
Observación 1. En [LP 2002], Lansky y Pollack describen un algoritmo que
calcula formas modulares algebraicas en la misma forma interna de GSp4/Q que
Usamos. Nos gustaría señalar que hay algunas diferencias entre el
Dos algoritmos. Aunque [LP 2002] también utiliza la variedad de bandera H20(N) en
para determinar el espacio de doble coset GB(Q)\GB(Q+)/U0(N), más tarde
vuelve a la configuración de adelia con el fin de calcular las matrices de Brandt. In
contraste, Teorema 2 y Proposición 3 nos permiten evitar que innecesario
paso al describir la acción Hecke sobre la variedad de bandera H20(N) directamente. As
un resultado, obtenemos un algoritmo que es más eficiente.
3. Ejemplos numéricos: F = Q(
5) y B =
−1,−1
En esta sección, proporcionamos algunos ejemplos numéricos usando el cuadrático
campo F = Q(
5). Está probado en K. Hashimoto y T. Ibukiyama [HI 1980]
que, para el Hamilton quaternion álgebra B sobre F, el número de clase de
el género principal de GB es uno. Utilizamos nuestro algoritmo para calcular todo el
sistemas de Hecke autovalores de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso 3 y
nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, donde N se ejecuta sobre todos
ideales principales de norma menos de 50. A continuación, determinamos cuál de las formas
hemos obtenido son posibles levantamientos de Hilbert formas cúspide comparando el Hecke
eigenvalues para esos primos.
3.1. Tablas de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso paralelo 3. In
Tabla 1 listamos todos los sistemas de valores propios de Hilbert-Siegel formas cúspide de
peso 3 y nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, donde N
tiene sobre todos los ideales principales en F de la norma menos de 50. Aquí están las convenciones
Usamos en las mesas.
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES DE HILBERT-SIEGEL 11
(1) Para un campo cuadrático K del discriminante D, dejamos que D sea un generador
del anillo de enteros OK de K.
(2) La primera fila contiene el nivel N, dado en el formato (Norm(N), α)
para algún generador α â € F de N, y las dimensiones de la
espacios.
(3) La segunda fila enumera los operadores Hecke que han sido calculados.
(4) Para cada eigenform f, los valores propios de Hecke se dan en una fila, y
la última entrada de esa fila indica si el formulario f es un ascensor probable.
(5) Los niveles y los eigenforms se enumeran hasta Galois conjuga-
tion.
Para un eigenform f y un primo dado p N, dejar a1(p, f) y a2(p, f) ser el
valores propios de los operadores Hecke T1(p) y T2(p), respectivamente. Entonces el
Euler factor Lp(f, s) se indica (por ejemplo, en [AS 2001, §3.4]) por
Lp(f, s) = Qp(q
− s)−1,
donde
Qp(x) = 1− a1(p, f)x+ b1(p, f)x2 − a1(p, f)q2k−3x3 + q4k−6x4,
b1(p, f) = a1(p, f)
2 − a2(p, f)− q2k−4,
q = N(p).
3.2. Tablas de Hilbert formas de cúspide de peso parellel 4. En la Tabla 2,
lista todas las formas de cúspide Hilbert de peso paralelo 4 y nivel N que se definen
sobre campos cuadráticos reales, con N corriendo sobre todos los ideales principales de la norma menos
más de 50. (Se calculan utilizando el algoritmo en [D1 2005]). Usamos
estos datos con el fin de determinar los formularios de la tabla 1 que son posibles elevaciones
de GL2.
3.3. Elevadores. Hay dos tipos de ascensores de GL2 a GSp4. El primero.
corresponde al homomorfismo de los grupos L determinado por la raíz larga
incrustado en GSp4, y el segundo por la inserción de raíz corta.
(Véase [LP 2002] para más detalles). Que f sea una forma de cúspide de Hilbert paralelo
peso k y nivel N con Hecke eigenvalues a(p, f), donde p es un primo no
Dividir N. Dejar ser el ascensor de f a GSp4 a través de la raíz larga, y • el uno
a través de la raíz corta. A continuación, los valores propios Hecke de.........................................................................................
a1(p, ) = a(p, f) N(p)
2 +N(p)2 +N(p)
a2(p, ) = a(p, f) N(p)
2 (N(p) + 1) +N(p)2 − 1,
y los valores propios Hecke de..........................................................................................................................
a1(p, ) = a(p, f)
2 − 2 a(p, f) N(p)
a2(p, ) = a(p, f)
N(p)4−2k − 3 a(p, f)2 N(p)3−k +N(p)2 − 1.
La segunda elevación es la llamada elevación de cubos simétricos.
12 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
N = (4, 2) : dimMB
(N) = 2, dimSB
(N) = 1
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 −4 0 20 −36 140 580 sí
N = (5, 2 + 5) : dimM
(N) = 2, dimSB
(N) = 1
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 20 15 -5 0 40 -420 sí
N = (9, 3) : dimMB
(N) = 3, dimSB
(N) = 2
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 25- 3- 41 40- 15- 41 30 + 6- 41 24 + 36- 41 - 9 0 sí
N = (11, 3 + 5) : dimM
(N) = 3, dimSB
(N) = 2
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 24 35 34 48 88 60 sí
f2 −20 35 −10 4 0 60 n
N = (19, 4 + 5) : dimM
(N) = 5, dimSB
(N) = 4
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 4 11 −20 28 6 76 n
f2 7 −50 15 −66 73 −90 sí
f3 24 + 161 35 + 5161 36− 161 60− 6161 98− 3161 160− 30161 sí
N = (29, 5 + 5) : dimM
(N) = 9, dimSB
(N) = 8
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 −4 11 10 20 30 60 n
f2 8 −45 30 24 50 −320 sí
f3 17 0 9 - 102 86 40 sí
N = (31, 5 + 25) : dimM
(N) = 12, dimSB
(N) = 11
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 13 −20 20 −36 76 −60 sí
N = (41, 6 + 5) : dimM
(N) = 19, dimSB
(N) = 18
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 10 20 −10 29 30 −20 n
f2 −1 1 5 14 −2 −56
f3 27 50 40 84 124 420 sí
f4 −12 19 30 65 0 0 n
f5 16 - 2 - 21 - 5 - 10 - 21 21 + 4 - 21 + 30 + 24 - 21 72 - 2 - 21 - 100 - 20 - 21 sí
f6 2− 65 11 25 8 + 45 11 45 − 12 + 545 160 + 405 no
N = (49, 7) : dimMB
(N) = 26, dimSB
(N) = 25
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 5 - 60 46 120 40 - 420 sí
f2 4 + 465 32 + 365 12 465 44 465 −6 1265 145 + 865 no
Cuadro 1 Hilbert-Siegel eigenforms del peso 3
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 13
N (4, 2) (5, 2 + 5) (9, 3) (11, 3 + 5)
N(p) p a(p, f1) a(p, f1) a(p, f1) a(p, f1)
4 2 - 4 0 5 - 3 - 41 4
5 2 + 5 − 10 − 5 6 − 41 4
9 3 50 −50 −9 −2
11 3 + 2o 5 −28 32 −18− 6o 41 −10
11 3 + 5 − 28 32 − 18 − 6 − 41 − 11
19 4 + 35 60 100 −40 + 2441 −94
19 4 + 5 60 100 − 40 + 24 41 28
N (19, 4 + 5) (29, 5 + 5)
N(p) p a(p, f1) a(p, f2) a(p, f1) a(p, f2)
4 2 −13 5− −161 −12 −3
5 2 + 5 − 15 5 + 161 0 − 21
9 3 -17 5 + 3 -161 -40 -4
11 3 + 2+5 −6 2 + 8+161 −68 37
11 3 + 5 33 7 - 7 161 30 − 66
19 4 + 3+5 −139 −15− 9+161 −28 −40
19 4 + 5 19 − 19 84 − 9
N (31, 5 + 25) (41, 6 + 5)
N(p) p a(p, f1) a(p, f1) a(p, f2)
4 2 - 7 7 - 4 - 2 - 21
5 2 + • 5 − 10 10 − 9 + 4 • 21
9 3 - 14 34 - 18 - 2 - 21
11 3 + 2o 5 −20 −60 −19
11 3 + • 5 • 28 • 2 • 24 • 4 • 21
19 4 + 3o 5 − 12 74 4− 50o 21
19 4 + 5 28 16 −29 + 4421
N (49, 7)
N(p) p a(p, f1) a(p, f2)
4 2 −15 −2
5 2 + 5 16 − 10
9 3 −50 −11
11 3 + 2o 5 −8 −7− 28o 13
11 3 + 5 - 8 - 35 + 28 - 13
19 4 + 35 −110 −26 + 1413
19 4 + • 5 • 110 − 12 • 14 • 13
Cuadro 2 Hilbert eigenforms de peso 4
Observación 2. Hasta ahora, nuestro algoritmo ha sido implementado sólo para la congruencia
subgrupos de tipo Siegel. Tenemos la intención de mejorar la aplicación en la
en un futuro próximo a fin de incluir más estructuras de nivel adicional, como la
Tipo klingen. De hecho, Ramakrishnan y Shahidi [RS 2007] mostraron recientemente
la existencia de elevadores de cubo simétricos para curvas elípticas no CM E/Q a
GSp4/Q. Y su resultado debería ser para otros campos de números totalmente reales,
con las estructuras de nivel de los ascensores de tipo Klingen. Desafortunadamente,
14 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
esos ascensores no se pueden ver en nuestras mesas actuales. Por ejemplo, hay
curvas elípticas modulares sobre Q(
5) cuyos conductores tienen las normas 31, 41 y
49, pero los ascensores cúbicos simétricos correspondientes no aparecen en la Tabla 1.
Quisiéramos remediarlo en nuestra próxima aplicación.
Bibliografía
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Departamento de Matemáticas, Universidad de Calgary
Dirección de correo electrónico: astic@math.ucalgary.ca
Institut für Experimentelle Mathematik, Universität Duisburg-Essen
Dirección de correo electrónico: lassina.dembele@uni-duisburg-essen.de
Introducción
1. Hilbert-Siegel formas modulares y la correspondencia Jacquet-Langlands
1.1. Formas modulares Hilbert-Siegel
1.2. El álgebra de Hecke
1.3. Algebraico Hilbert-Siegel formas autormórficas
1.4. La correspondencia Jacquet-Langlands
2. El Algoritmo
2.1. El cociente H02(N)
2.2. Matrices de marca
2.3. Cálculo del grupo GB(Z)
2.4. Cálculo de los conjuntos 1 p) y 2 p)
2.5. La implementación del algoritmo
3. Ejemplos numéricos: F=Q(5) y B=(-1,-1F)
3.1. Tablas de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso paralelo 3
3.2. Tablas de Hilbert formas de cúspide de peso parellel 4
3.3. Elevadores
Bibliografía
| En este artículo presentamos un algoritmo para la computación Hecke eigensystems de
Hilbert-Siegel forma cúspide sobre campos cuadráticos reales de número de clase estrecho
Uno. Damos algunos ejemplos ilustrativos usando el campo cuadrático
$\Q(\sqrt{5})$. En esos ejemplos, identificamos a Hilbert-Siegel eigenforms que
son posibles ascensores de Hilbert eigenforms.
| Introducción
Dejar F ser un campo cuadrático real de clase estrecha número uno y dejar B ser el
singular (hasta isomorfismo) quaternion álgebra sobre F que se ramifica en
ambos lugares arquimedienses de F y no ramificados en todas partes. Dejar GU2(B)
ser el grupo de similitudes unitarias de B+2. Este es el conjunto de puntos Q-racionales
de un grupo algebraico GB definido sobre Q. El grupo GB es una forma interna de
G := ResF/Q(GSp4) de tal manera que G
B(R) es un módulo compacto de su centro. (Estos
las nociones se revisan al principio de la sección 1.)
En este artículo desarrollamos un algoritmo que calcula las formas automórficas
sobre GB en el siguiente sentido: dado un idealN inOF y un entero k mayor
que 2, el algoritmo devuelve los sistemas Hecke eigen de todos los automórficos
formas f del nivel N y el peso paralelo k. Más precisamente, dado un p primo en
OF, el algoritmo devuelve los valores propios Hecke de f en p, y por lo tanto el
Euler factor Lp(f, s), para cada eigenform f del nivel N y peso paralelo k.
El algoritmo es una generalización del desarrollado en [D1 2005] a la
Caso del género 2. Aunque sólo hemos descrito el algoritmo en el caso de
un campo cuadrático real en este documento, debe quedar claro de nuestra presentación
que se puede adaptar a cualquier campo de número totalmente real de clase estrecha
Número uno.
La correspondencia Jacquet-Langlands del título se refiere a la conjec-
mapa turístico JL : Π(GB) → Π(G) de las representaciones automórficas de GB a
representaciones automórficas de G, que es inyectora, coincide con las funciones L
y disfruta de otras propiedades compatibles con el principio de funcionamiento;
Fecha: 29 de octubre de 2018.
1991 Clasificación del sujeto de las matemáticas. Primaria: 11F41 (Hilbert e Hilbert-Siegel)
formas modulares).
Palabras y frases clave. Hilbert-Siegel formas modulares, Jacquet-Langlands Correspon-
Dence, matrices de Brandt, parámetros de Satake.
http://arxiv.org/abs/0704.001v3
2 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
en particular, la imagen de la correspondencia Jacquet-Langlands debe ser
contenido en el espacio de representaciones automórficas holomórficas. Si nosotros
admitir esta conjetura, a continuación, el algoritmo anterior proporciona una manera de producir
ejemplos de formas modulares cúspides Hilbert-Siegel del género 2 sobre F y
nos permite calcular los factores L de la réplica automórfica correspondiente-
sentaciones para los primos finitos arbitrarios p de F.
De hecho, también somos capaces de utilizar estos cálculos para proporcionar pruebas para
la Correspondencia de Jacquet-Langlands comparando los factores de Euler
encontramos con las de formas modulares conocidas Hilbert-Siegel obtenidas por elevación.
Esto lo hacemos en la sección final del documento donde observamos que algunos de
los factores Euler que calculamos coinciden con los de los ascensores de Hilbert formas modulares,
para los primos que calculamos. A pesar de que esto no establece definitivamente
que estas formas modulares Hilbert-Siegel son de hecho ascensores, en principio uno puede
establecer la igualdad de esta manera, utilizando un análogo de la unión Sturm.
El primer enfoque sistemático de las formas modulares de Siegel a partir de un computa-
El punto de vista nacional se debe a Skoruppa [Sk 1992] que utilizó Jacobi símbolos para
generar espacios de tales formas. Su algoritmo, que ha sido extensamente
explotado por Ryan [R 2006], se aplica sólo al caso de la estructura de nivel completo.
Más recientemente, Faber y van der Geer [FvdG1 2004] y [FvdG2 2004]
También produjo ejemplos de formas modulares de Siegel contando puntos en hy-
curvas perelípticas del género 2; de nuevo sus resultados sólo están disponibles en el
Caso de estructura de nivel completo. El progreso más sustancial hacia la com-
la colocación de formas modulares Siegel para la estructura de nivel adecuada es por Gunnells
[Gu 2000] que extendió la teoría de los símbolos modulares al simplés
grupo Sp4/Q. Sin embargo, este trabajo no ve la cohomología cúspida,
que es la única parte de la cohomología que es relevante para la aritmética
aplicaciones geométricas. Hasta donde sabemos, no hay numerador...
ejemplos de formas modulares Hilbert-Siegel para la estructura de nivel adecuada en
la literatura, con la excepción de los producidos a partir de levantamientos de Hilbert
formas modulares.
El esbozo del documento es el siguiente. En la Sección 1 recordamos lo básico
propiedades de Hilbert-Siegel formas modulares y formas automórficas algebraicas
junto con la correspondencia Jacquet-Langlands. En la Sección 2 damos
una descripción detallada de nuestro algoritmo. Finalmente, en la Sección 3 presentamos
resultados numéricos para el campo cuadrático Q(
Agradecimientos. Durante la preparación del presente documento,
el segundo autor tuvo intercambios de correo electrónico útiles con varias personas includ-
ing Alexandru Ghitza, David Helm, Marc-Hubert Nicole, David Pollack,
Jacques Tilouine y Eric Urban. Los autores desean darles las gracias a todos.
Además, nos gustaría agradecer a William Stein por permitirnos usar el SAGE
clúster de computadoras en la Universidad de Washington. Y finalmente, el segundo...
ond autor quisiera dar las gracias al Instituto PIMS por su postdoctoral
apoyo de becas, y la Universidad de Calgary por su hospitalidad.
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 3
1. Hilbert-Siegel formas modulares y Jacquet-Langlands
correspondencia
A lo largo de este artículo, F denota un campo cuadrático real de clase estrecha
Número uno. Los dos lugares arquimedienses de F y las incrustaciones reales de
F será denotado v0 y v1. Por cada â € ¢ F, escribimos a0 (resp. a1)
para la imagen de un sub v0 (resp. v1). El anillo de números enteros de F se denota
por OF. Para cada ideal principal p en OF, la terminación de F y OF en p
será denotado por Fp y OFP, respectivamente.
Que B sea el único (hasta el isomorfismo) totalmente definido quaternion al-
gebra sobre F que no se ramified en todos los primos finitos de F. Fijamos un máximo
Orden OB de B. Además, elegimos un campo de división K/F de B que es Ga-
lois sobre Q y tal que existe un isomorfismo j : OB Z OK
M2(OK)+M2(OK), donde M2(A) denota el anillo de 2× 2 matrices con
entradas de un anillo A. Por cada p primo finito en F, arreglamos un isomorfismo
Bp = M2(Fp) que se restringe a un isomorfismo del OB, p a M2(OFP ).
El grupo algebraico G = ResF/Q(GSp4) se define como sigue. Para cualquier
Q-álgebra A, el conjunto de puntos A-racionales de G es dado por
G(A) =
γ GL4 (AQ F )
t = /G(γ)J2
/G(γ) (AQ F )×
donde
−12 0
Este grupo admite un modelo integral con puntos A-racionales para cada Z-
álgebra A dado por
GZ(A) =
γ GL4(AZ DE )
t = /G(γ)J2
/G(γ) (AZ de )×
Para cualquier Q-álgebra A, la conjugación en B se extiende de una manera natural a la
matriz álgebra M2(B Q A).
El grupo algebraico GB/Q se define como sigue. Para cualquier Q-álgebra A,
el conjunto de puntos A-racionales de GB es dado por
GB(A) =
γ M2(B Q A)
t = /GB(γ)12
/GB (γ) (AQ F )×
Este grupo también admite un modelo integral con puntos A-racionales para cada
Álgebra-Z dada por
GBZ (A) =
γ M2(OB Z A)
t = /GB(γ)12
/GB (γ) (AZ de )×
El grupo GB/Q es una forma interna de G/Q tal que GB(R) es compacto
modulo su centro. Combinación del isomorfismo j (véase más arriba) con con-
por una matriz de permutación, se obtiene un isomorfismo GBZ (OK) =
4 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
GZ(OK), que arreglamos a partir de ahora. Para cada p ideal primo en F, el split-
el valor de GB en p equivale a la división del álgebra cuaternión B en p;
nos remitimos a [D1 2005] para más detalles.
Por la elección del álgebra cuaternión B, tenemos GB(Q+) = G(Q+). (Nosotros
denota los adèles finitos de Q (resp. Z) de Qáš (resp. )).
1.1. Hilbert-Siegel formas modulares. Fijamos un entero k ≥ 3 y, para
simplicidad, nos limitamos a Hilbert-Siegel formas modulares de paralelo
peso k. Las incrustaciones reales v0 y v1 de F se extienden a G(Q) = GSp4(F)
de una manera natural. Denotamos por GSp+4 (F) el subgrupo de elementos γ con
factor de similitud totalmente positivo /G(γ). Recordamos que la mitad superior de Siegel
el plano del género 2 está definido por
H2 = GL2(C)
γt = γ e Im(γ) es positivo definido }.
También recordamos que GSp+4 (F) actúa en H
(0, 1) :=
(a0-0 + b0)(c0-0 + d0)
−1, (a11,1 + b1)(c1,1 + d1)
Esto induce una acción en el espacio de funciones f : H22 → C por
, f kγ() =
/G(γi)
det(ciđi + di)k
f(l).
Deja que N sea un ideal en OF y set
0(N) =
GSp+4 (OF)
* c * 0 (N)
Una forma modular Hilbert-Siegel de nivel N y peso paralelo k es un
función holomórfica f : H22 → C tal que
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
El espacio de Hilbert-Siegel formas modulares de peso paralelo k y nivel N
es Mk(N). Cada f-Mk(N) admite una expansión de Fourier, que por
el principio Koecher toma la forma
H22, f(l) =
{Q0}
2ηiTr(Ql),
donde Q â € M2(F ) pasa por encima de todo simétrico totalmente positivo y semi-definido
matrices. A Hilbert-Siegel formas modulares f es una forma cúspide si, para todos γ
4 (F), el término constante en la expansión de Fourier de f kγ es cero. Los
espacio de Hilbert-Siegel formas cúspide se denota Sk(N).
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES DE HILBERT-SIEGEL 5
1.2. El álgebra de Hecke. El espacio Sk(N) viene equipado con un Hecke
acción, que ahora recordamos. Tómese u • GSp+4 (F ) • M4(OF ), y escriba el
unión finita desarticulada
0(N)u0(N) =
0(N)ui.
A continuación, el operador Hecke en Sk(N) es dado por
[0(N)u0(N)]f =
f kui.
Dejar p ser un ideal principal en OF y dejar πp ser un generador totalmente positivo de
p; dejar que T1(p) y T2(p) sean los operadores Hecke correspondientes al doble
Cosetes de las matrices de similitudes simplécticas
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 ηp 0
0 0 0 ηp
1 0 0 0
0 γp 0 0
0 0 γ2p 0
0 0 0 ηp
respectivamente. (Recordamos al lector de la forma simpléctica J2 fijado en
el comienzo de la sección 1.) El álgebra Hecke Tk(N) es la álgebra Z
generado por los operadores T1(p) y T2(p), donde p se ejecuta sobre todos los primos
no dividiendo N.
1.3. Algebraico Hilbert-Siegel formas autormórficas. Sólo consideramos
estructura de nivel del tipo Siegel. Es decir, definimos el subgrupo abierto compacto
U0(N) de G(Q®) por
U0(N) =
GSp4(OFP)×
ep ),
donde N =
pN p
ep y
ep ) :=
GSp4(OFP)
# C # 0 mod pep #
La representación del peso se define de la siguiente manera. Que Lk sea el representante...
envío de GSp4(C) de mayor peso (k− 3, k− 3). Dejamos que Vk = Lk Lk
y definir la representación compleja (lk, Vk) por
lk : G
B(R) GL(Vk),
donde la acción sobre el primer factor es a través de v0, y la acción sobre el segundo
uno es a través de v1.
El espacio de las formas modulares algebraicas Hilbert-Siegel de peso k y
nivel N viene dado por
MBk (N) :=
f : GB(Q+)/U0(N) → Vk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
6 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
donde f kγ(x) = f(γx)γ, para todos los x GB(Q)/U0(N). Cuando k = 3, dejamos
IBk (N) :=
f : GB(Q)\GB(Q)/U0(N) → C
# F es constante #
Entonces, el espacio algebraico Hilbert-Siegel cúsp formas de peso k y
nivel N está definido por
SBk (N) :=
MBk (N) si k > 3,
MBk (N)/I
k (N) si k = 3.
La acción del álgebra de Hecke en SBk (N) se da como sigue. Para cualquier
u G(Q®), escriba la unión finita disjunta
U0(N)uU0(N) =
uiU0(N),
y definir
[U0(N)uU0(N)] : S
k (N) → SBk (N)
f 7→ f k[U0(N)uU0(N)],
f k[U0(N)uU0(N)](x) =
f(xui), x (+) G(+).
Para cualquier primo p N, que p sea un uniformizador local en p. El local Hecke alge-
bra en p es generado por los operadores Hecke T1(p) y T2(p) correspondientes
al doble U0(N)-cosetes 1(p) y 2(p) de las matrices
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p
1 0 0 0
0 p 0 0
0 0 2
0 0 0 p
respectivamente. Dejamos que TBk (N) sea el álgebra Hecke generada por T1(p) y
T2(p) para todos los primos p N.
1.4. La Correspondencia Jacquet-Langlands. Los módulos Hecke Sk(N)
y SBk (N) están relacionados por la siguiente conjetura conocida como el Jacquet-
Correspondencia de Langlands para grupos de similitud simpléctica.
Conjetura 1. Los álgebras Hecke Tk(N) y T
k (N) son isomórficos y
hay un isomorfismo compatible de los módulos de Hecke
SK(N)
SBk (N).
Es común, pero tal vez no del todo exacto, atribuir esta
Yeso a Jacquet-Langlands. Por lo que sabemos, el correspon-
dence en esta forma fue discutido por primera vez por Ihara [Ih 1964] en el caso F = Q. In
[Ib 1984], Ibukiyama proporcionó algunas pruebas numéricas. Por otra parte,
es apropiado referirse a la conjetura 1 como el Jacquet-Langlands Corre-
spondence (para GSp(4)) ya que es un análogo de los Jacquet-Langlands
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 7
Correspondencia (para GL(2)) que relaciona representaciones automórficas de
el grupo multiplicativo de un álgebra cuaternión con cierto automórfico
representaciones de GL(2) (véase [JL 1970]). Ambas correspondencias son, a su vez,
las consecuencias especiales del principio de funtorialidad, tal como lo expone Lang-
tierras. Por último, parece que la conjetura 1 puede ser pronto un teorema debido a
el trabajo de [So 2008] y el próximo libro de James Arthur sobre auto-
Representaciones mórficas de grupos clásicos.
2. El Algoritmo
En esta sección, presentamos el algoritmo que usamos para calcular
el módulo Hecke de formas modulares (algebraicas) Hilbert-Siegel. El principal
suposición en esta sección es que el número de clase del género principal
de GB es 1. (Nos referimos a [D3 2007] para ver cómo se puede relajar esta condición
en el número de clase.) Recordamos que como B es totalmente definitiva, GB satis-
fies Proposición 1.4 en Gross [Gr 1999]. Por lo tanto, el grupo GB(R) es compacto
modulo su centro, y = GB(Z)/O×F es finito.
Para cualquier p primo en F, dejar Fp = OF /p ser el campo de residuos en p y definir
el mapa de reducción
M2(OB, p) → M4(Fp)
g 7→ g
donde utilizamos la división de OB,p que se fijó al principio de la Sec-
1o período de sesiones de la Conferencia de las Partes en calidad de reunión de las Partes en el Protocolo de Kyoto. Ahora, elegir un generador totalmente positivo πp de p y poner
*1(p) :=*
u M2(OB)
• uūt = ηp12 y rango(gū) = 2
*2(p) :=*
u M2(OB)
• uūt = η2
12 y rango(gΦ) = 1
Dejamos H20(N) = G()/U0(N). A continuación, el grupo actúa en H20(N), por lo tanto, en
el espacio de funciones f : H20(N) → Vk por
*x* H20(N),*, f kγ(x) := f(γx)γ.
Teorema 2. Hay un isomorfismo de los módulos de Hecke
MBk (N)
f : H20(N) → Vk
f kγ = f, γ
donde la acción Hecke en el lado derecho es dada por
f kT1(p) =
u1(p)
f ku,
f kT2(p) =
u2(p)
f ku.
Prueba. El mapa canónico
*: GB(Z)\GB()/U0(N) → GB(Q)\GB(Q)/U0(N)
es una inyección. Haciendo uso del hecho de que el número de clase en el principal
género de GB es uno (GB(Q+) = GB(Q)GBZ ()), vemos que
8 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
Biyección. Dado que cada elemento f • MBk (N) está determinado por sus valores en una
conjunto de representantes coset de GB(Q)\GB(Q)/U0(N), el mapa
isomorfismo de espacios vectoriales complejos
MBk (N)
f : H20(N) → Vk
f kγ = f, γ
f 7 f â â € ¬.
Convertimos esto en un isomorfismo del módulo Hecke definiendo la acción Hecke
en el lado derecho, como se indica en la declaración del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En el resto de esta sección, explicamos los pasos principales del algoritmo
proporcionado por el Teorema 2.
2.1. El cociente H20(N). Mantener las anotaciones de la sección anterior,
Recordamos que N =
pN p
ep. Let p ser una primera división N y considerar la
rango 4 libre
OFp/pep
-módulo L =
OFp/pep
dotado con el simplés
emparejamiento, dado por la matriz
−12 0
donde 12 es la matriz de identidad en M2(OFP/pep ). Deja que M sea un rango 2
OFp/pep
-submódulo que es un factor directo en L. Decimos que M es
isótropo si, v = 0 para todos u, v + M. Recordamos que GSp4(OFP ) actúa
transicionalmente en el conjunto de rango 2, isotrópico
OFp/pep
-submódulos de L y
que el estabilizador del submódulo generado por e1 = (1, 0, 0, 0)
T y
e2 = (0, 1, 0, 0)
T es U0(p
ep ). El cociente H20(pep ) = GSp4(OFP )/U0(pep )
es el conjunto de rango 2, isotrópico
OFp/pep
-submódulos de L. A través de la reducción
mapa ÔF → OF /N, el cociente GZ()/U0(N) se puede identificar con el
producto
H20(N) =
H20(pep ).
La cardinalidad de H20(N) es extremadamente útil y se determina utilizando el
siguiendo el lema.
Lemma 1. Dejar p ser un primo en F y ep ≥ 1 un entero. Entonces, el cardi...
nalidad del conjunto H20(pep ) es dada por
#H20(pep) = N(p)3(ep−1)(N(p) + 1)(N(p)2 + 1).
Prueba. Para ep = 1, la cardinalidad de la variedad Lagrange sobre lo finito
campo Fp = OF /p se da por (N(p) + 1)(N(p)2 + 1). Proceder por inducción
en ep. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Tenemos más que decir sobre los elementos de H20(pep) en la subsección 2.5.
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 9
2.2. Matrices de Brandt. Let F = {x1,. .., xh} ser un dominio fundamental
para la acción de Ł sobre H20(N) y, para cada i, dejar que Łi sea el estabilizador de xi.
Entonces, cada elemento en MBk (N) está completamente determinado por sus valores en
F. Por lo tanto, hay un isomorfismo de espacios complejos
MBk (N) →
f 7→ (f(xi)),
donde V
es el subespacio de los invariantes en Vk.
Para cualquier x, y H20(N), permitimos
1(x, y, p) :=
u â € â € 1(p)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
2(x, y, p) :=
u â € â € 2(p)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Proposición 3. Las acciones de los operadores de Hecke Ts(p), s = 1, 2, son:
dado por las matrices de Brandt Bs(p) = (bsij(p)), donde
bsji(p) : V
k → V
v 7→ v ·
us(xi, xj,p)
1u u
Prueba. La prueba de la Proposición 3 sigue las líneas de [D1 2005, §3]. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
2.3. Cálculo del grupo GB(Z). Es suficiente para calcular el subgrupo
• que consiste en los elementos en GB(Z) con el factor de similitud 1. Pero es fácil.
para ver eso.
u, v â € ¢ O1B
u, v â € ¢ O1B
donde O1B es el grupo de elementos de la norma 1.
2.4. Cálculo de los sets 1(p) y 2(p). Consideremos la cuadrática
forma en el espacio vector V = B2 dado por
V → F
a, b) 7→ (a, b) := nr(a) + nr(b),
donde nr es la norma reducida en B. Esto determina una forma interior
V × V → F
(u, v) 7→ «U», «Vá», «Vá».
Un elemento de 1(p) (resp. M2(OB) es una matriz unitaria
respeto a esta forma interior de tal manera que la norma de cada fila es p (resp. η
y el rango de la matriz reducida es 1). Así que primero empezamos por la computación
todos los vectores u = (a, b) O2B tales que u = p (resp. u = γ2p). Y
Para cada vector u tal, calculamos los vectores v = (c, d) O2B de la misma
10 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
norma de tal manera que â € ¬u, vâ € = 0. La matriz correspondiente γ =
pertenece
a 1 p) (resp. 2(p)) cuando su reducción mod p tenga el rango apropiado.
Listamos todas estas matrices hasta la equivalencia y nos detenemos cuando llegamos a la
Cardinalidad derecha.
2.5. La implementación del algoritmo. La aplicación de la
El algoritmo es similar al de [D1 2005]. Sin embargo, es importante tener en cuenta
cómo representamos los elementos en H20(N) para que podamos recuperarlos fácilmente
una vez almacenado. Al igual que en [D1 2005] elegimos trabajar con el producto
H20(N) =
H20(pep ).
Usando las coordenadas de Plucker, podemos ver H20(pep) como un subespacio cerrado de
P5(OFp/pep ). A continuación, representamos cada elemento en H20(pep ) mediante la elección de un
punto x = (a0 : · · · : a5) = [u
M generada por u y v es un submódulo Lagrange, y el primer invertible
Coordenada es escalado a 1.
Observación 1. En [LP 2002], Lansky y Pollack describen un algoritmo que
calcula formas modulares algebraicas en la misma forma interna de GSp4/Q que
Usamos. Nos gustaría señalar que hay algunas diferencias entre el
Dos algoritmos. Aunque [LP 2002] también utiliza la variedad de bandera H20(N) en
para determinar el espacio de doble coset GB(Q)\GB(Q+)/U0(N), más tarde
vuelve a la configuración de adelia con el fin de calcular las matrices de Brandt. In
contraste, Teorema 2 y Proposición 3 nos permiten evitar que innecesario
paso al describir la acción Hecke sobre la variedad de bandera H20(N) directamente. As
un resultado, obtenemos un algoritmo que es más eficiente.
3. Ejemplos numéricos: F = Q(
5) y B =
−1,−1
En esta sección, proporcionamos algunos ejemplos numéricos usando el cuadrático
campo F = Q(
5). Está probado en K. Hashimoto y T. Ibukiyama [HI 1980]
que, para el Hamilton quaternion álgebra B sobre F, el número de clase de
el género principal de GB es uno. Utilizamos nuestro algoritmo para calcular todo el
sistemas de Hecke autovalores de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso 3 y
nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, donde N se ejecuta sobre todos
ideales principales de norma menos de 50. A continuación, determinamos cuál de las formas
hemos obtenido son posibles levantamientos de Hilbert formas cúspide comparando el Hecke
eigenvalues para esos primos.
3.1. Tablas de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso paralelo 3. In
Tabla 1 listamos todos los sistemas de valores propios de Hilbert-Siegel formas cúspide de
peso 3 y nivel N que se definen sobre campos cuadráticos reales, donde N
tiene sobre todos los ideales principales en F de la norma menos de 50. Aquí están las convenciones
Usamos en las mesas.
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES DE HILBERT-SIEGEL 11
(1) Para un campo cuadrático K del discriminante D, dejamos que D sea un generador
del anillo de enteros OK de K.
(2) La primera fila contiene el nivel N, dado en el formato (Norm(N), α)
para algún generador α â € F de N, y las dimensiones de la
espacios.
(3) La segunda fila enumera los operadores Hecke que han sido calculados.
(4) Para cada eigenform f, los valores propios de Hecke se dan en una fila, y
la última entrada de esa fila indica si el formulario f es un ascensor probable.
(5) Los niveles y los eigenforms se enumeran hasta Galois conjuga-
tion.
Para un eigenform f y un primo dado p N, dejar a1(p, f) y a2(p, f) ser el
valores propios de los operadores Hecke T1(p) y T2(p), respectivamente. Entonces el
Euler factor Lp(f, s) se indica (por ejemplo, en [AS 2001, §3.4]) por
Lp(f, s) = Qp(q
− s)−1,
donde
Qp(x) = 1− a1(p, f)x+ b1(p, f)x2 − a1(p, f)q2k−3x3 + q4k−6x4,
b1(p, f) = a1(p, f)
2 − a2(p, f)− q2k−4,
q = N(p).
3.2. Tablas de Hilbert formas de cúspide de peso parellel 4. En la Tabla 2,
lista todas las formas de cúspide Hilbert de peso paralelo 4 y nivel N que se definen
sobre campos cuadráticos reales, con N corriendo sobre todos los ideales principales de la norma menos
más de 50. (Se calculan utilizando el algoritmo en [D1 2005]). Usamos
estos datos con el fin de determinar los formularios de la tabla 1 que son posibles elevaciones
de GL2.
3.3. Elevadores. Hay dos tipos de ascensores de GL2 a GSp4. El primero.
corresponde al homomorfismo de los grupos L determinado por la raíz larga
incrustado en GSp4, y el segundo por la inserción de raíz corta.
(Véase [LP 2002] para más detalles). Que f sea una forma de cúspide de Hilbert paralelo
peso k y nivel N con Hecke eigenvalues a(p, f), donde p es un primo no
Dividir N. Dejar ser el ascensor de f a GSp4 a través de la raíz larga, y • el uno
a través de la raíz corta. A continuación, los valores propios Hecke de.........................................................................................
a1(p, ) = a(p, f) N(p)
2 +N(p)2 +N(p)
a2(p, ) = a(p, f) N(p)
2 (N(p) + 1) +N(p)2 − 1,
y los valores propios Hecke de..........................................................................................................................
a1(p, ) = a(p, f)
2 − 2 a(p, f) N(p)
a2(p, ) = a(p, f)
N(p)4−2k − 3 a(p, f)2 N(p)3−k +N(p)2 − 1.
La segunda elevación es la llamada elevación de cubos simétricos.
12 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
N = (4, 2) : dimMB
(N) = 2, dimSB
(N) = 1
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 −4 0 20 −36 140 580 sí
N = (5, 2 + 5) : dimM
(N) = 2, dimSB
(N) = 1
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 20 15 -5 0 40 -420 sí
N = (9, 3) : dimMB
(N) = 3, dimSB
(N) = 2
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 25- 3- 41 40- 15- 41 30 + 6- 41 24 + 36- 41 - 9 0 sí
N = (11, 3 + 5) : dimM
(N) = 3, dimSB
(N) = 2
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 24 35 34 48 88 60 sí
f2 −20 35 −10 4 0 60 n
N = (19, 4 + 5) : dimM
(N) = 5, dimSB
(N) = 4
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 4 11 −20 28 6 76 n
f2 7 −50 15 −66 73 −90 sí
f3 24 + 161 35 + 5161 36− 161 60− 6161 98− 3161 160− 30161 sí
N = (29, 5 + 5) : dimM
(N) = 9, dimSB
(N) = 8
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 −4 11 10 20 30 60 n
f2 8 −45 30 24 50 −320 sí
f3 17 0 9 - 102 86 40 sí
N = (31, 5 + 25) : dimM
(N) = 12, dimSB
(N) = 11
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 13 −20 20 −36 76 −60 sí
N = (41, 6 + 5) : dimM
(N) = 19, dimSB
(N) = 18
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 10 20 −10 29 30 −20 n
f2 −1 1 5 14 −2 −56
f3 27 50 40 84 124 420 sí
f4 −12 19 30 65 0 0 n
f5 16 - 2 - 21 - 5 - 10 - 21 21 + 4 - 21 + 30 + 24 - 21 72 - 2 - 21 - 100 - 20 - 21 sí
f6 2− 65 11 25 8 + 45 11 45 − 12 + 545 160 + 405 no
N = (49, 7) : dimMB
(N) = 26, dimSB
(N) = 25
T1(2) T2(2) T1(
5) T2(
5) T1(3) T2(3) ¿Elevación?
f1 5 - 60 46 120 40 - 420 sí
f2 4 + 465 32 + 365 12 465 44 465 −6 1265 145 + 865 no
Cuadro 1 Hilbert-Siegel eigenforms del peso 3
COMPETENCIA DE FORMAS MODULARES HILBERT-SIEGEL 13
N (4, 2) (5, 2 + 5) (9, 3) (11, 3 + 5)
N(p) p a(p, f1) a(p, f1) a(p, f1) a(p, f1)
4 2 - 4 0 5 - 3 - 41 4
5 2 + 5 − 10 − 5 6 − 41 4
9 3 50 −50 −9 −2
11 3 + 2o 5 −28 32 −18− 6o 41 −10
11 3 + 5 − 28 32 − 18 − 6 − 41 − 11
19 4 + 35 60 100 −40 + 2441 −94
19 4 + 5 60 100 − 40 + 24 41 28
N (19, 4 + 5) (29, 5 + 5)
N(p) p a(p, f1) a(p, f2) a(p, f1) a(p, f2)
4 2 −13 5− −161 −12 −3
5 2 + 5 − 15 5 + 161 0 − 21
9 3 -17 5 + 3 -161 -40 -4
11 3 + 2+5 −6 2 + 8+161 −68 37
11 3 + 5 33 7 - 7 161 30 − 66
19 4 + 3+5 −139 −15− 9+161 −28 −40
19 4 + 5 19 − 19 84 − 9
N (31, 5 + 25) (41, 6 + 5)
N(p) p a(p, f1) a(p, f1) a(p, f2)
4 2 - 7 7 - 4 - 2 - 21
5 2 + • 5 − 10 10 − 9 + 4 • 21
9 3 - 14 34 - 18 - 2 - 21
11 3 + 2o 5 −20 −60 −19
11 3 + • 5 • 28 • 2 • 24 • 4 • 21
19 4 + 3o 5 − 12 74 4− 50o 21
19 4 + 5 28 16 −29 + 4421
N (49, 7)
N(p) p a(p, f1) a(p, f2)
4 2 −15 −2
5 2 + 5 16 − 10
9 3 −50 −11
11 3 + 2o 5 −8 −7− 28o 13
11 3 + 5 - 8 - 35 + 28 - 13
19 4 + 35 −110 −26 + 1413
19 4 + • 5 • 110 − 12 • 14 • 13
Cuadro 2 Hilbert eigenforms de peso 4
Observación 2. Hasta ahora, nuestro algoritmo ha sido implementado sólo para la congruencia
subgrupos de tipo Siegel. Tenemos la intención de mejorar la aplicación en la
en un futuro próximo a fin de incluir más estructuras de nivel adicional, como la
Tipo klingen. De hecho, Ramakrishnan y Shahidi [RS 2007] mostraron recientemente
la existencia de elevadores de cubo simétricos para curvas elípticas no CM E/Q a
GSp4/Q. Y su resultado debería ser para otros campos de números totalmente reales,
con las estructuras de nivel de los ascensores de tipo Klingen. Desafortunadamente,
14 CLIFTON CUNNINGHAM Y LASSINA DEMBÉLÉ
esos ascensores no se pueden ver en nuestras mesas actuales. Por ejemplo, hay
curvas elípticas modulares sobre Q(
5) cuyos conductores tienen las normas 31, 41 y
49, pero los ascensores cúbicos simétricos correspondientes no aparecen en la Tabla 1.
Quisiéramos remediarlo en nuestra próxima aplicación.
Bibliografía
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Departamento de Matemáticas, Universidad de Calgary
Dirección de correo electrónico: astic@math.ucalgary.ca
Institut für Experimentelle Mathematik, Universität Duisburg-Essen
Dirección de correo electrónico: lassina.dembele@uni-duisburg-essen.de
Introducción
1. Hilbert-Siegel formas modulares y la correspondencia Jacquet-Langlands
1.1. Formas modulares Hilbert-Siegel
1.2. El álgebra de Hecke
1.3. Algebraico Hilbert-Siegel formas autormórficas
1.4. La correspondencia Jacquet-Langlands
2. El Algoritmo
2.1. El cociente H02(N)
2.2. Matrices de marca
2.3. Cálculo del grupo GB(Z)
2.4. Cálculo de los conjuntos 1 p) y 2 p)
2.5. La implementación del algoritmo
3. Ejemplos numéricos: F=Q(5) y B=(-1,-1F)
3.1. Tablas de Hilbert-Siegel formas de cúspide de peso paralelo 3
3.2. Tablas de Hilbert formas de cúspide de peso parellel 4
3.3. Elevadores
Bibliografía
|
704.0012 | Distribution of integral Fourier Coefficients of a Modular Form of Half
Integral Weight Modulo Primes | DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALES DE UNA
FORMA MODULAR DE MÓDULO DE PESO INTEGRAL
PRIMES
D. CHOI
Resumen. Recientemente, Bruinier y Ono clasificaron las formas cúspides f(z) :=
af n)q
Sâ € 1
• Z[[q] que no satisface una determinada propiedad de distribución para el módulo
p impares primos. En este artículo, utilizando Rankin-Cohen Bracket, ampliamos este resultado a
formas modulares de medio peso integral para primos p ≥ 5. Como aplicaciones de nuestro principal
teorema derivamos propiedades de distribución, para módulo primos p ≥ 5, de trazas de singular
moduli y Hurwitz número de clase. También estudiamos un análogo de la conjetura de Newman
para sobreparticiones.
1. Introducción y resultados
Dejemos que Mâ € 1
(0(N), χ) y S1
(0(N), χ) ser los espacios, respectivamente, de las formas modulares
y formas de cúspide de peso + 1
en el punto 0(N) con un carácter Dirichlet χ cuyo conductor
divide N. Si f(z) â € Mâ € 1
(0(N), χ), entonces f(z) tiene el formulario
f(z) =
a(n)qn,
donde q := e2điz. Es bien sabido que los coeficientes de f están relacionados con interesante
objetos en teoría de números tales como los valores especiales de la función L, número de clase, rastros de
módulo singular y así sucesivamente. En este artículo, estudiamos las propiedades de congruencia del Fourier
Coeficiente de f(z) â € Mâ € 1
(+0(N), χ) • Z[[q] y sus aplicaciones.
Hace poco, Bruinier y Ono probaron en [3] que g(z)
(+0(N), χ) • Z[[q] tiene un
forma especial (véase (2.1)) por módulo p cuando p es un primo impar y los coeficientes de f(z)
no satisfacer la siguiente propiedad para p:
Propiedad A. IfM es un entero positivo, decimos que una secuencia α(n) Z satisface la propiedad
A para M si para cada entero r
1 ≤ n ≤ X α(n) r (mod M) y gcd(M,n) = 1}
en caso de que r 6-0 (mod M),
X if r 0 (mod M).
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 11F11,11F33.
Palabras y frases clave. Formas modulares, Congruencias.
http://arxiv.org/abs/0704.0012v1
2 D. CHOI
(f(z)):=
f(z) =
n · a(n)qn.
Usando Rankin-Cohen Bracket (véase (2.3), demostramos que existe
f?(z) â € € € € TM p+1+ 1
(+0(4N), χ) + Z[[q]
de manera que la letra f) del apartado z) del presente artículo sea la misma que la letra f) del apartado z) del presente artículo (mod p). Extendemos los resultados en [3] a formas modulares de la mitad
peso integral.
Teorema 1. Let ♥ ser un entero no negativo. Asumimos que f(z) =
n=0 a(n)q
Mâ € 1
(0(4N), χ) Z[q], donde χ es un verdadero carácter Dirichlet. Si p ≥ 5 es un primo y
existe un entero positivo n para el cual gcd(a(n), p) = 1 y gcd(n, p) = 1, entonces al menos
uno de los siguientes es cierto:
(1) Los coeficientes de p−1(f(z)) satisfacen la propiedad A para p.
(2) Hay finitamente muchos enteros cuadrados libres n1, n2, · · ·, nt para los cuales
(1.1) p−1(f(z))
a(nim)
2)qnim
(mod p).
Además, si gcd(4N, p) = 1 y un primo impar l divide algunos ni, entonces
p(l− 1)l(l+ 1)N o l N.
Observación 1.1. Tenga en cuenta que para cada primo impar p ≥ 5,
P−1(f(z))
a(n)qn (mod p).
Como aplicaciones del Teorema 1, estudiamos la distribución de trazas de módulo singular
módulo primos p ≥ 5. Que j(z) sea la función j-invariante habitual. Denotamos por Fd el
conjunto de formas binarias cuadráticas definidas positivas
F (x, y) = ax2 + bxy + cy2 = [a, b, c]
con discriminante −d = b2−4ac. Para cada F (x, y), dejar que αF sea el número complejo único
en el plano medio superior complejo, que es una raíz de F (x, 1). Definimos "F" {1, 2, 3} como
* F :=
2 si F [a, 0, a],
3 si F [a, a, a],
1 en caso contrario,
donde := SL2(Z). Aquí, F [a, b, c] denota que F (x, y) es equivalente a [a, b, c].
A partir de estas anotaciones, definimos el rastro Hecke de módulo singular.
DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES DE COEFICIENCIA INTEGRAL MODULO PRIMES 3
Definición 1.2. Si m ≥ 1, entonces definimos el rastro mth Hecke del módulo singular de
discriminante −d como
tm(d) :=
F.F.D./
jm(αF )
donde Fd/l denota un conjunto de clases de equivalencia de Fd y
jm(z) := j(z)T0(m) =
az + b
Aquí, T0(m) denota el peso mth normalizado del operador Hecke cero.
Nótese que t1(d) = t(d), donde
t(d) :=
F.F.D./
j(αF)− 744
es el rastro habitual de módulo singular. Vamos.
h(z) :=
η(z)2
η(2z)
· E4(4z)
η(4z)6
y Bm(1, d) denotan el coeficiente de q
d en h(z)T (m2, 1, χ0), donde
E4(z) := 1 + 240
d3qn, η(z) := q
(1- qn),
Y χ0 es un carácter trivial. Aquí, T (m
2,....................................................................................................................................................
+ 1
con un dirichlet chracter χ (ver VI. § 3. en [5] o (2,5)). Zagier demostró en [11] que
para todos los m y d
(1.2) tm(d) = −Bm(1, d).
Utilizando estas funciones generadoras, Ahlgren y Ono estudiaron las propiedades de divisibilidad
de rastros y Hecke rastros de módulo singular en términos de la factorización de primos en
campos cuadráticos imaginarios (véase [2]). Por ejemplo, demostraron que una proporción positiva
de los primos l tiene la propiedad que tm(l
3n) 0 (mod ps) por cada entero positivo n
coprime a l tal que p es inerte o ramificado en Q
. Aquí, p es un primo impar, y
s y m son enteros con p m. En el siguiente teorema, damos la distribución de
rastros y Hecke rastros de singular modulo modulo primos p.
4 D. CHOI
Teorema 2. Supongamos que p ≥ 5 es un primo tal que p • 2 (mod 3).
(1) Entonces, para cada entero r, p r,
1 ≤ n ≤ X t1(n) Ł r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p)
X if r 0 (mod p).
(2) Entonces, una proporción positiva de los primos l tiene la propiedad que
1 ≤ n ≤ X tl(n) r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p)
X if r 0 (mod p).
para cada entero r, p r.
Como otra aplicación estudiamos la distribución de Hurwitz clase número modulo
primos p ≥ 5. La clase Hurwitz número H(−N) se define de la siguiente manera: el número de clase
de formas cuadráticas del discriminante −N donde cada clase C se cuenta con multiplicidad
Aut(C)
. El siguiente teorema da la distribución de Hurwitz clase número modulo
primos p ≥ 5.
Teorema 3. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. Entonces, para cada entero r
1 ≤ n ≤ X H(n) Ł r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p),
X if r 0 (mod p).
También utilizamos el teorema principal para estudiar un análogo de la conjetura de Newman para
titions. La conjetura de Newman se refiere a la distribución de la función de partición ordinaria
módulo primos p.
Conjetura de Newman. Que P (n) sea una función de partición ordinaria. Si M es un positivo
entero, entonces para cada entero r hay infinitamente muchos entero no negativo n para el cual
P n) Ł r (mod M).
Esta conjetura ya fue estudiada por muchos matemáticos (véase el capítulo 5. en [8]).
La sobrepartición de un número natural n es una partición de n en la que la primera ocurrencia
de un número puede ser overlined. Que P̄ (n) sea el número de la sobrepartición de un entero
n. Como análogo de la conjetura de Newman, el siguiente teorema da una distribución
propiedad de P̄ (n) módulo impar primos p.
Teorema 4. Supongamos que p ≥ 5 es un primo tal que p • 2 (mod 3). Entonces, por cada
entero r,
1 ≤ n ≤ X P̄ (n) r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p),
X if r 0 (mod p).
Observación 1.3. Cuando se probaron r 0 (mod p), el teorema 2, 3 y 4 en [2] y [10].
DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES INTEGRALES DE COEFICIENCIAS MODULO PRIMES 5
Las siguientes secciones son pruebas detalladas de los teoremas: La sección 2 da una prueba de Teorema 1. In
Sección 3, damos las pruebas del Teorema 2, 3 y 4.
2. Prueba de Teorema 1
Comenzamos declarando el siguiente teorema probado en [3].
Teorema 2.1 ([3]). Let ♥ ser un entero no negativo. Supongamos que g(z) =
n=0 ag(n)q
Sâ € 1
(0(4N), χ) Z[q], donde χ es un verdadero carácter Dirichlet. Si p es un primo impar y
un entero positivo n existe para el cual gcd(ag(n), p) = 1, entonces al menos uno de los siguientes
es cierto:
(1) Si 0 ≤ r < p, entonces
1 ≤ n ≤ X ag(n) Ł r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p),
X if r 0 (mod p).
(2) Hay finitamente muchos enteros cuadrados libres n1, n2, · · ·, nt para los cuales
(2.1) g(z)
ag(nim)
2)qnim
(mod p).
Por otra parte, si gcd(p, 4N) = 1, 1}, y l 4Np es un primo con
{0,
para 1 ≤ i ≤ t, entonces (l−1)g(z) es un módulo eigenformo p del peso semiintegral
Hecke operator T (l2, , χ). En particular, tenemos
(2.2) (l - 1)g(z)T (l2, , χ) (p)
(−1)
1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
(l-1)g(z) (mod p).
Recuerde que f(z) =
a(n)qn â € Mâ € 1
(+0(4N), χ) • Z[[q]]. Por lo tanto, para aplicar Teorema
2.1, demostramos que existe una forma cúspide f
a p primo ≥ 5.
Lemma 2.2. Supongamos que p ≥ 5 es un primo y
f(z) =
a(n)qn â € Mâ € 1
(0(N), χ) Z[[q]].
A continuación, existe una forma de cúspide fû(z) â € € € € TM (p+1)(p−1)+ 1
(0(N), χ) Z[q] de forma que:
f. z..............................................................................................................................................................................................................................................................
Prueba de Lemma 2.2. En el caso de F (z) â € Mk1
(0(N), χ1) y G(z) Mk2
(0(N), χ2), let
2.3) [F (z), G (z)]1 :=
(F (z)) ·G(z)−
F (z) · (G(z)).
Este operador se conoce como un 1-bracket Rankin-Cohen, y se demostró en [4] que
[F (z), G (z)]1 + S k1+k2
(+0(N), χ1χ2χ
6 D. CHOI
donde = 1 si k1
y k2
Z, (d) =
2 si ki
Z y k3-i
+ Z, y
(d) =
) k1+k2
2 si k1
y k2
Para incluso k ≥ 4, dejar
Ek(z) := 1−
dk−1qn
ser la serie normalizada habitual Eisenstein de peso k. Aquí, el número Bk denota la
Número Kth Bernoulli. La función Ek(z) es una forma modular de peso k en SL2(Z), y
(2.4) Ep−1(z) 1 (mod p)
(véase [6]). De (2.3) y (2.4), tenemos
[Ep−1(z), f(z)]1(z)(f(z)) (mod p)
y [Ep−1(z), f(z)]1 â € € Sâ € p+1+ 1
(0(N), χ). Repitiendo este método p− 1 veces, com-
Aproveche la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Usando el siguiente lema, podemos lidiar con la divisibilidad de ag(n) para números enteros positivos
n, p n, donde g(z) =
n=1 ag(n)q
n.o S.o 1
(0(N), χ) Z[[q]].
Lemma 2.3 (véase el capítulo 3 en [8]). Supongamos que g(z) =
n=1 ag(n)q
n.o S.o 1
(0(N), χ)
tiene coeficientes en OK, los enteros algebraicos de algún número campo K. Además,
supongamos que ♥ ≥ 1 y que m • OK es una norma ideal M.
(1) Entonces, una proporción positiva de los primos Q -1 (mod 4MN) tiene la propiedad
g(z)T (Q2), , χ) 0 (mod m).
(2) Entonces una proporción positiva de los primos Q 1 (mod 4MN) tiene la propiedad que
g(z)T (Q2), , χ) 2g(z) (mod m).
Ahora podemos probar el Teorema 1.
Prueba de Teorema 1. De Lemma 2.2, existe una forma cúspide
f(z) (p+1)(p−1)+ 1
(0(N), χ) Z[[q]]
de tal manera que
f. z..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenga en cuenta que, para F (z) =
n=0 aF (n)q
n+ Mk+ 1
(0(N), χ) y cada Q N primo, la
peso semiintegral Hecke operator T (Q2, , χ) se define como
(2.5)
F (z)T (Q2, k, χ)
aF (Q)
2n) + (Q)
Qk−1aF (n) + χ
*(Q2)Q2k−1aF (n/Q
DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALOS MODULO PRIMES 7
donde (n) := (n)
(−1)k
y aF (n/Q)
2) = 0 si Q2 n. Si F (z) T (Q2, k, χ)
(mod p) para un Q N primo, entonces tenemos
aF (Q)
2 ·Qn) + (Q)
Qk−1aF (Qn) + χ
*(Q2)Q2k−1aF
Qn/Q2
AF (Q3n) 0 (mod p)
para cada entero positivo n tal que gcd(Q, n) = 1. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:
Lemma 2.3-(1):
1 ≤ n ≤ X a(n) 0 (mod p) y gcd(p, n) = 1} X.
Aplicamos el Teorema 2.1 con la letra (z). Entonces el propósito de la parte restante de la prueba
es mostrar lo siguiente: si gcd(p, 4N) = 1, un primo impar l divide algo de ni, y
(2.6) P−1(f(z))
a(nim)
2)qnim
(mod p),
entonces p(l− 1) l(l+ 1) N o l N. Asumimos que existe un l1 primario tal que l1n1,
p (l1 − 1) l1(l1 + 1) N y l N. También suponemos que nt = 1 y que ni n1 para cada
i, 2 ≤ i ≤ t − 1. Entonces, podemos tomar un li prime para cada i, 2 ≤ i ≤ t − 1, tal que lini
y li n1. Para la convención, definimos
(−1)(n−1)2/8 si n es impar,
0 en caso contrario,
y χQ(d) :=
para un Q principal. Let â € (d) :=
i=2 χli(d). Tomamos un primo β tal que
(n1)(n1) = −1. Si denotamos el -twist de fû(z) por f(z) y el -twist de fû(z)
por f(z), entonces
F2
z) − f(z) 2
gcd(m,β
lj)=1
a(n1m
2)qn1m
(mod p)
y f(z) â € (p+1)(p−1)+ 1
(0(Nα)
2β2), χ) Z[[q] (véase el capítulo 3 en [8]). Tenga en cuenta que
gcd(Nα2β2, p) = gcd(Nα2β2, l1) = 1.
Por lo tanto, (f(z)− f(z))T (l21, (p+ 1)(p− 1), χ) satisface la fórmula (2.2) del teorema
2.1 para los dos tipos de â € = 1 y â € = -1. Esto resulta en una contradicción ya que
(f(z)− f(z))T (l
1 (p + 1) (p - 1), χ) 6 ° 0 (mod p)
y p ≥ 5. Por lo tanto, completamos la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
8 D. CHOI
3. Pruebas del Teorema 2, 3 y 4
3.1. Prueba de Teorema 2. Tenga en cuenta que h(z) =
η(z)2
η(2z)
·E4(4z)
η(4z)6
es una forma modular meromórfica.
En [2] se obtuvo una forma modular holomórfica en 0°(4p
2) cuyos coeficientes de Fourier
generar trazas de módulo módulo singular p (véase la fórmula (3.1) y (3.2)). Desde el
nivel de esta forma modular no es relativamente primo a p, necesitamos la siguiente propuesta.
Proposición 3.1 ([1]. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. También, supongamos que p N, j ≥ 1 es
un número entero, y
g(z) =
a(n)qn â € Sâ € 1
(0(Np)
j)) Z[q].
Entonces, existe una forma de cúspide G(z) S 1
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
G(z) g(z) (mod p),
donde + 1
= (+ 1
)pj + pe(p− 1) para una e • N suficientemente grande.
Utilizando el Teorema 1 y la Proposición 3.1, damos la prueba del Teorema 2.
Prueba de Teorema 2. Vamos.
(3.1) h1,p(z) := h(z)−
hχp(z),
donde hχp(z) es el χp-twist de h(z). A partir de (1.2), tenemos
h1,p(z) := −2 −
0 <d03,3 (mod 4)
t1(d)q
d − 2
0 <d03,3 (mod 4)
(−dp )=−1
t1(d)q
hm,p(z) := h1,p(z)T (m2, 1, χ0)
= −2 −
0 <d03,3 (mod 4)
tm(d)q
d − 2
0 <d03,3 (mod 4)
(−dp )=−1
tm(d)q
para cada entero positivo m. Let
Fp(z) :=
η(4z)p
η(4pz)
Se demostró en [2] que si α es un número entero positivo suficientemente grande, entonces h1,p(z)Fp(z)
(+0(4p)
2)) y
(3.2) h1,p(z)Fp(z)
α h1,p(z) (mod p),
DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES DE COEFICIENCIA INTEGRAL MODULO PRIMES 9
donde k0 = α · p
. Lemma 2.2 y la Proposición 3.1 implican que existe f1,p(z)
S 1
(0(4)) Z[q] de forma que:
f1,p(z) • −2
0 <d03,3 (mod 4)
(−dp )=−1
tm(d)q
d (mod p),
donde = (k0 + 1 + (p− 1)(p+ 1) + 12)p
2 + pe(p− 1) para un e â € N suficientemente grande.
Asumimos que los coeficientes de f1,p(z) no satisfacen la propiedad A para un primo impar
p. 2 (mod 3). Tenga en cuenta que
= −1 y que p (3−1)3(3+1). Por lo tanto, el teorema 1 implica
2t1(3) 0 (mod p).
Esto resulta en una contradicción desde 2t1(3) = 2
4 ·31. Así, obtenemos una prueba cuando m = 1.
Por cada primo l impar, tenemos
F1, p(z) T (l2,, χ0) P−1(h1, p(z)) T (l2,, χ0)
(l2, 1, χ0)) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)
Por otra parte, Lemma 2.3 implica que una proporción positiva de los primos l satisface la
propiedad
f1,p(z)T (l2,, χ0) 2f1,p (mod p).
Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3.2. Pruebas de Teorema 3. El siguiente teorema da la fórmula para el Hurwitz
número de clase en términos de los coeficientes de Fourier de una forma modular de medio peso integral.
Teorema 3.2. Dejar T (z) := 1 + 2
n=1 q
n2. Si los enteros r3(n) se definen como
r3(n)q
n := T (z)3,
r(n) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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12H(−4n) si no se cumplen las condiciones siguientes: 1, 2 (mod 4),
24H(−n) si n ≤ 3 (mod. 8),
r(n/4) si n+ 0 (mod 4),
0 si n° 7 (mod. 8).
Tenga en cuenta que T (z) es una forma modular de peso de medio peso integral 1
sobre el punto 0(4). Combinación
Teorema 1 y Teorema 3.2, derivamos la prueba de Teorema 3.
Prueba de Teorema 3. Deja que G(z) sea el
-Twist de T (z)3. Entonces, desde Teorema 3.2, nosotros
G(z) = 1 +
No1 (mod 4)
12H(−4n)qn +
No3 (mod 8)
24H(−n)qn
10 D. CHOI
y G(z) M3
(I0(16)). Note que 24H(−3) = 8. Esto da la prueba completa por
Teorema 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3.3. Pruebas de Teorema 4. A continuación, probamos el Teorema 4.
Prueba de Teorema 4. Vamos.
W (z) :=
η(2z)
η(z)2
Se sabe que
W (z) =
P̄ (n)qn
y que W (z) es una forma modular débilmente holomórfica en el artículo 0(16). Vamos.
G(z) :=
W (z)−
Wχp(z)
Fp(z)
donde Fp(z) =
η(4z)p
η(4p2z)
y β son enteros positivos. Entonces tenemos
G(z) 2
(−np )=−1
P̄ (n)qn +
P̄ (n)qn (mod p).
Afirmamos que existe un entero positivo β tal que G(z) es un holomorphic modular
forma de la mitad del peso integral en £0(16p)
2). Para demostrar nuestra afirmación, seguimos los argumentos
de Ahlgren y Ono ([1], Lemma 4.2). Tenga en cuenta que, por un criterio bien conocido, Fp(z) es un
forma modular holomórfica en 0°(4p)
2) que desaparece en cada cúspide
Q para los cuales p2 c
(véase [7]). Esto implica que G(z) es una forma modular débilmente holomórfica en Ł0(16p
2). Si β
es suficientemente grande, entonces G(z) es holomórfico excepto en cada cúspide
para los cuales p2c′.
Por lo tanto, demostramos que G(z) es holomórfico en 1
para 0 ≤ m ≤ 3. Let, para impar d,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1 si d • 1 (mod 4),
i si d • 3 (mod 4).
Si f(z) es una función en el plano de la mitad superior compleja,
definimos el operador de slash usual por
f(z) 1
)2+1
1−2ld (cz + d)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
az + b
cz + d
Let g :=
e2πiv/p sea la suma habitual de Gauss. Tenga en cuenta que
Wχp(z) =
W (z) 1
1 −v/p
Elija un kv entero satisfactorio
16kv 15v (mod p).
DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALOS MODULO PRIMES 11
Entonces, tenemos
(3.3)
2mp2 1
= γv,m
2mp2 1
1 −16v
+ 16kv
donde
γv,m =
1− 2m+4p(v + kv + 2mv2p− 2mvkvp) 1p(15v − 16kv − 2
m+4(v2p+ vkvp))
22mp2(−16vp+ 16kvp) 2m+4vp− 2m+4kvp+ 1
Tenga en cuenta que W (z) tiene su único polo en z â € 0 hasta â € 0(16). Desde γv,m 0(16), el
fórmula (3.3) implica que Wχp(z) es holomórfico en 2
mp2 para 1 ≤ m ≤ 3. Por lo tanto, G(z) es
holomorphic a 2mp2 para 1 ≤ m ≤ 3.
Si m = 0, entonces tenemos
W (z) 1
γv,0 =
−16vp3 + 16kvp3
16vp− 16kvp+ 1
W (z) =
p2(−vp+ kvp)
16vp− 16kvp + 1
W (z) = W (z).
Tenga en cuenta que
(3.4) W (z) 1
= α · q−
16 + O(1)
donde α es un número complejo no cero. La expansión q de Wχp(z) en
es dada por
(3,5) Wχp(z) 1
Usando (3.3) y (3.4), el único término en (3.5) con un exponente negativo en q es el término
(v-kv).
Si N se define por 16N • 1 (mod p), entonces tenemos
(v-kv) =
Por lo tanto, tenemos que
(W (z)-Wχp(z)) 1
= O(1).
Esto implica que G(z) es una forma modular holomórfica de la mitad de peso integral en 0(16p
Observando que
P̄ (3) = 8,
la parte restante de la prueba es similar a la del Teorema 3. Por lo tanto, se omite. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
12 D. CHOI
Bibliografía
[1] S. Ahlgren y M. Boylan, Valores críticos centrales de funciones modulares en L y Coeffients de la mitad
Formas modulares integrales de peso Modulo l, para aparecer en Amer. J. Matemáticas.
[2] S. Ahlgren y K. Ono, Aritmético de módulo singular y polinomios de clase, Compos. Matemáticas. 141
(2005), no. 2, 293-312.
[3] J. H. Bruinier y K. Ono, Coeficiente de formas modulares de peso semiintegral, J. Teoría Número 99
(2003), no. 1, 164–179.
[4] H. Cohen, Sumas que implican los valores en números enteros negativos de las funciones L de caracteres cuadráticos,
Matemáticas. Ann. 217 (1975), No. 3, 271–285.
[5] N. Koblitz, Introducción a curvas elípticas y formas modulares, Springer-Verlag New York, GTM 97,
1993.
[6] S. Lang, Introducción a los formularios modulares, Grundl. d. Matemáticas. Wiss. No. 222, Springer: Berlin Heidelberg
Nueva York, 1976 Berlín, 1995.
[7] B. Gordon y K. Hughes, Propiedades multiplicativas del eta-producto, Cont. Matemáticas. 143 (1993), 415-430.
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[9] J.-P. Serre, Divisibilite de ciertos fonctions arithmetiques, Enseignement Math. 2) 22 (1976), No.
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[10] S. Treneer, Congruencias para los Coeficientes de Formas Modulares Debilitadas Holomórficas, para aparecer en
las Actas de la Sociedad Matemática de Londres.
[11] D. Zagier, Trazas de módulo singular, Motivos, polilogaritmos y teoría de Hodge, Parte I, Int. Prensa
Lect. Ser., 3, I, Int. Press, Somerville, MA, 2002, pp.211-244.
Escuela de Matemáticas, KIAS, 207-43 Cheongnyangni 2-dong 130-722, Corea
Dirección de correo electrónico: choija@postech.ac.kr
1. Introducción y resultados
2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
3. Pruebas de Teorema♪ ♪ ♪ ♪ y ♪♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
3.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
3.2. ¿Pruebas de Teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
3.3. ¿Pruebas de Teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
Bibliografía
| Recientemente, Bruinier y Ono clasificados cúspide formas $f(z) := \sum_{n=0infty}
a_f(n)q ^n \in S_{\lambda+1/2}(\Gamma_0(N),\chi)\cap \mathbb{Z}[[q]$ que hace
no satisfacer una cierta propiedad de distribución para modulo impar primos $p$. En este
de papel, utilizando Rankin-Cohen Bracket, ampliamos este resultado a formas modulares de
medio peso integral para primos $p \geq 5$. Como aplicaciones de nuestro principal teorema
derivamos propiedades de distribución, para módulo primos $p\geq5$, de trazas de
módulo singular y Hurwitz número de clase. También estudiamos un análogo de Newman's
conjetura de sobreparticiones.
| Introducción y resultados
Dejemos que Mâ € 1
(0(N), χ) y S1
(0(N), χ) ser los espacios, respectivamente, de las formas modulares
y formas de cúspide de peso + 1
en el punto 0(N) con un carácter Dirichlet χ cuyo conductor
divide N. Si f(z) â € Mâ € 1
(0(N), χ), entonces f(z) tiene el formulario
f(z) =
a(n)qn,
donde q := e2điz. Es bien sabido que los coeficientes de f están relacionados con interesante
objetos en teoría de números tales como los valores especiales de la función L, número de clase, rastros de
módulo singular y así sucesivamente. En este artículo, estudiamos las propiedades de congruencia del Fourier
Coeficiente de f(z) â € Mâ € 1
(+0(N), χ) • Z[[q] y sus aplicaciones.
Hace poco, Bruinier y Ono probaron en [3] que g(z)
(+0(N), χ) • Z[[q] tiene un
forma especial (véase (2.1)) por módulo p cuando p es un primo impar y los coeficientes de f(z)
no satisfacer la siguiente propiedad para p:
Propiedad A. IfM es un entero positivo, decimos que una secuencia α(n) Z satisface la propiedad
A para M si para cada entero r
1 ≤ n ≤ X α(n) r (mod M) y gcd(M,n) = 1}
en caso de que r 6-0 (mod M),
X if r 0 (mod M).
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 11F11,11F33.
Palabras y frases clave. Formas modulares, Congruencias.
http://arxiv.org/abs/0704.0012v1
2 D. CHOI
(f(z)):=
f(z) =
n · a(n)qn.
Usando Rankin-Cohen Bracket (véase (2.3), demostramos que existe
f?(z) â € € € € TM p+1+ 1
(+0(4N), χ) + Z[[q]
de manera que la letra f) del apartado z) del presente artículo sea la misma que la letra f) del apartado z) del presente artículo (mod p). Extendemos los resultados en [3] a formas modulares de la mitad
peso integral.
Teorema 1. Let ♥ ser un entero no negativo. Asumimos que f(z) =
n=0 a(n)q
Mâ € 1
(0(4N), χ) Z[q], donde χ es un verdadero carácter Dirichlet. Si p ≥ 5 es un primo y
existe un entero positivo n para el cual gcd(a(n), p) = 1 y gcd(n, p) = 1, entonces al menos
uno de los siguientes es cierto:
(1) Los coeficientes de p−1(f(z)) satisfacen la propiedad A para p.
(2) Hay finitamente muchos enteros cuadrados libres n1, n2, · · ·, nt para los cuales
(1.1) p−1(f(z))
a(nim)
2)qnim
(mod p).
Además, si gcd(4N, p) = 1 y un primo impar l divide algunos ni, entonces
p(l− 1)l(l+ 1)N o l N.
Observación 1.1. Tenga en cuenta que para cada primo impar p ≥ 5,
P−1(f(z))
a(n)qn (mod p).
Como aplicaciones del Teorema 1, estudiamos la distribución de trazas de módulo singular
módulo primos p ≥ 5. Que j(z) sea la función j-invariante habitual. Denotamos por Fd el
conjunto de formas binarias cuadráticas definidas positivas
F (x, y) = ax2 + bxy + cy2 = [a, b, c]
con discriminante −d = b2−4ac. Para cada F (x, y), dejar que αF sea el número complejo único
en el plano medio superior complejo, que es una raíz de F (x, 1). Definimos "F" {1, 2, 3} como
* F :=
2 si F [a, 0, a],
3 si F [a, a, a],
1 en caso contrario,
donde := SL2(Z). Aquí, F [a, b, c] denota que F (x, y) es equivalente a [a, b, c].
A partir de estas anotaciones, definimos el rastro Hecke de módulo singular.
DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES DE COEFICIENCIA INTEGRAL MODULO PRIMES 3
Definición 1.2. Si m ≥ 1, entonces definimos el rastro mth Hecke del módulo singular de
discriminante −d como
tm(d) :=
F.F.D./
jm(αF )
donde Fd/l denota un conjunto de clases de equivalencia de Fd y
jm(z) := j(z)T0(m) =
az + b
Aquí, T0(m) denota el peso mth normalizado del operador Hecke cero.
Nótese que t1(d) = t(d), donde
t(d) :=
F.F.D./
j(αF)− 744
es el rastro habitual de módulo singular. Vamos.
h(z) :=
η(z)2
η(2z)
· E4(4z)
η(4z)6
y Bm(1, d) denotan el coeficiente de q
d en h(z)T (m2, 1, χ0), donde
E4(z) := 1 + 240
d3qn, η(z) := q
(1- qn),
Y χ0 es un carácter trivial. Aquí, T (m
2,....................................................................................................................................................
+ 1
con un dirichlet chracter χ (ver VI. § 3. en [5] o (2,5)). Zagier demostró en [11] que
para todos los m y d
(1.2) tm(d) = −Bm(1, d).
Utilizando estas funciones generadoras, Ahlgren y Ono estudiaron las propiedades de divisibilidad
de rastros y Hecke rastros de módulo singular en términos de la factorización de primos en
campos cuadráticos imaginarios (véase [2]). Por ejemplo, demostraron que una proporción positiva
de los primos l tiene la propiedad que tm(l
3n) 0 (mod ps) por cada entero positivo n
coprime a l tal que p es inerte o ramificado en Q
. Aquí, p es un primo impar, y
s y m son enteros con p m. En el siguiente teorema, damos la distribución de
rastros y Hecke rastros de singular modulo modulo primos p.
4 D. CHOI
Teorema 2. Supongamos que p ≥ 5 es un primo tal que p • 2 (mod 3).
(1) Entonces, para cada entero r, p r,
1 ≤ n ≤ X t1(n) Ł r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p)
X if r 0 (mod p).
(2) Entonces, una proporción positiva de los primos l tiene la propiedad que
1 ≤ n ≤ X tl(n) r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p)
X if r 0 (mod p).
para cada entero r, p r.
Como otra aplicación estudiamos la distribución de Hurwitz clase número modulo
primos p ≥ 5. La clase Hurwitz número H(−N) se define de la siguiente manera: el número de clase
de formas cuadráticas del discriminante −N donde cada clase C se cuenta con multiplicidad
Aut(C)
. El siguiente teorema da la distribución de Hurwitz clase número modulo
primos p ≥ 5.
Teorema 3. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. Entonces, para cada entero r
1 ≤ n ≤ X H(n) Ł r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p),
X if r 0 (mod p).
También utilizamos el teorema principal para estudiar un análogo de la conjetura de Newman para
titions. La conjetura de Newman se refiere a la distribución de la función de partición ordinaria
módulo primos p.
Conjetura de Newman. Que P (n) sea una función de partición ordinaria. Si M es un positivo
entero, entonces para cada entero r hay infinitamente muchos entero no negativo n para el cual
P n) Ł r (mod M).
Esta conjetura ya fue estudiada por muchos matemáticos (véase el capítulo 5. en [8]).
La sobrepartición de un número natural n es una partición de n en la que la primera ocurrencia
de un número puede ser overlined. Que P̄ (n) sea el número de la sobrepartición de un entero
n. Como análogo de la conjetura de Newman, el siguiente teorema da una distribución
propiedad de P̄ (n) módulo impar primos p.
Teorema 4. Supongamos que p ≥ 5 es un primo tal que p • 2 (mod 3). Entonces, por cada
entero r,
1 ≤ n ≤ X P̄ (n) r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p),
X if r 0 (mod p).
Observación 1.3. Cuando se probaron r 0 (mod p), el teorema 2, 3 y 4 en [2] y [10].
DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES INTEGRALES DE COEFICIENCIAS MODULO PRIMES 5
Las siguientes secciones son pruebas detalladas de los teoremas: La sección 2 da una prueba de Teorema 1. In
Sección 3, damos las pruebas del Teorema 2, 3 y 4.
2. Prueba de Teorema 1
Comenzamos declarando el siguiente teorema probado en [3].
Teorema 2.1 ([3]). Let ♥ ser un entero no negativo. Supongamos que g(z) =
n=0 ag(n)q
Sâ € 1
(0(4N), χ) Z[q], donde χ es un verdadero carácter Dirichlet. Si p es un primo impar y
un entero positivo n existe para el cual gcd(ag(n), p) = 1, entonces al menos uno de los siguientes
es cierto:
(1) Si 0 ≤ r < p, entonces
1 ≤ n ≤ X ag(n) Ł r (mod p)}
en caso de que r 6-0 (mod p),
X if r 0 (mod p).
(2) Hay finitamente muchos enteros cuadrados libres n1, n2, · · ·, nt para los cuales
(2.1) g(z)
ag(nim)
2)qnim
(mod p).
Por otra parte, si gcd(p, 4N) = 1, 1}, y l 4Np es un primo con
{0,
para 1 ≤ i ≤ t, entonces (l−1)g(z) es un módulo eigenformo p del peso semiintegral
Hecke operator T (l2, , χ). En particular, tenemos
(2.2) (l - 1)g(z)T (l2, , χ) (p)
(−1)
1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
(l-1)g(z) (mod p).
Recuerde que f(z) =
a(n)qn â € Mâ € 1
(+0(4N), χ) • Z[[q]]. Por lo tanto, para aplicar Teorema
2.1, demostramos que existe una forma cúspide f
a p primo ≥ 5.
Lemma 2.2. Supongamos que p ≥ 5 es un primo y
f(z) =
a(n)qn â € Mâ € 1
(0(N), χ) Z[[q]].
A continuación, existe una forma de cúspide fû(z) â € € € € TM (p+1)(p−1)+ 1
(0(N), χ) Z[q] de forma que:
f. z..............................................................................................................................................................................................................................................................
Prueba de Lemma 2.2. En el caso de F (z) â € Mk1
(0(N), χ1) y G(z) Mk2
(0(N), χ2), let
2.3) [F (z), G (z)]1 :=
(F (z)) ·G(z)−
F (z) · (G(z)).
Este operador se conoce como un 1-bracket Rankin-Cohen, y se demostró en [4] que
[F (z), G (z)]1 + S k1+k2
(+0(N), χ1χ2χ
6 D. CHOI
donde = 1 si k1
y k2
Z, (d) =
2 si ki
Z y k3-i
+ Z, y
(d) =
) k1+k2
2 si k1
y k2
Para incluso k ≥ 4, dejar
Ek(z) := 1−
dk−1qn
ser la serie normalizada habitual Eisenstein de peso k. Aquí, el número Bk denota la
Número Kth Bernoulli. La función Ek(z) es una forma modular de peso k en SL2(Z), y
(2.4) Ep−1(z) 1 (mod p)
(véase [6]). De (2.3) y (2.4), tenemos
[Ep−1(z), f(z)]1(z)(f(z)) (mod p)
y [Ep−1(z), f(z)]1 â € € Sâ € p+1+ 1
(0(N), χ). Repitiendo este método p− 1 veces, com-
Aproveche la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Usando el siguiente lema, podemos lidiar con la divisibilidad de ag(n) para números enteros positivos
n, p n, donde g(z) =
n=1 ag(n)q
n.o S.o 1
(0(N), χ) Z[[q]].
Lemma 2.3 (véase el capítulo 3 en [8]). Supongamos que g(z) =
n=1 ag(n)q
n.o S.o 1
(0(N), χ)
tiene coeficientes en OK, los enteros algebraicos de algún número campo K. Además,
supongamos que ♥ ≥ 1 y que m • OK es una norma ideal M.
(1) Entonces, una proporción positiva de los primos Q -1 (mod 4MN) tiene la propiedad
g(z)T (Q2), , χ) 0 (mod m).
(2) Entonces una proporción positiva de los primos Q 1 (mod 4MN) tiene la propiedad que
g(z)T (Q2), , χ) 2g(z) (mod m).
Ahora podemos probar el Teorema 1.
Prueba de Teorema 1. De Lemma 2.2, existe una forma cúspide
f(z) (p+1)(p−1)+ 1
(0(N), χ) Z[[q]]
de tal manera que
f. z..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenga en cuenta que, para F (z) =
n=0 aF (n)q
n+ Mk+ 1
(0(N), χ) y cada Q N primo, la
peso semiintegral Hecke operator T (Q2, , χ) se define como
(2.5)
F (z)T (Q2, k, χ)
aF (Q)
2n) + (Q)
Qk−1aF (n) + χ
*(Q2)Q2k−1aF (n/Q
DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALOS MODULO PRIMES 7
donde (n) := (n)
(−1)k
y aF (n/Q)
2) = 0 si Q2 n. Si F (z) T (Q2, k, χ)
(mod p) para un Q N primo, entonces tenemos
aF (Q)
2 ·Qn) + (Q)
Qk−1aF (Qn) + χ
*(Q2)Q2k−1aF
Qn/Q2
AF (Q3n) 0 (mod p)
para cada entero positivo n tal que gcd(Q, n) = 1. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:
Lemma 2.3-(1):
1 ≤ n ≤ X a(n) 0 (mod p) y gcd(p, n) = 1} X.
Aplicamos el Teorema 2.1 con la letra (z). Entonces el propósito de la parte restante de la prueba
es mostrar lo siguiente: si gcd(p, 4N) = 1, un primo impar l divide algo de ni, y
(2.6) P−1(f(z))
a(nim)
2)qnim
(mod p),
entonces p(l− 1) l(l+ 1) N o l N. Asumimos que existe un l1 primario tal que l1n1,
p (l1 − 1) l1(l1 + 1) N y l N. También suponemos que nt = 1 y que ni n1 para cada
i, 2 ≤ i ≤ t − 1. Entonces, podemos tomar un li prime para cada i, 2 ≤ i ≤ t − 1, tal que lini
y li n1. Para la convención, definimos
(−1)(n−1)2/8 si n es impar,
0 en caso contrario,
y χQ(d) :=
para un Q principal. Let â € (d) :=
i=2 χli(d). Tomamos un primo β tal que
(n1)(n1) = −1. Si denotamos el -twist de fû(z) por f(z) y el -twist de fû(z)
por f(z), entonces
F2
z) − f(z) 2
gcd(m,β
lj)=1
a(n1m
2)qn1m
(mod p)
y f(z) â € (p+1)(p−1)+ 1
(0(Nα)
2β2), χ) Z[[q] (véase el capítulo 3 en [8]). Tenga en cuenta que
gcd(Nα2β2, p) = gcd(Nα2β2, l1) = 1.
Por lo tanto, (f(z)− f(z))T (l21, (p+ 1)(p− 1), χ) satisface la fórmula (2.2) del teorema
2.1 para los dos tipos de â € = 1 y â € = -1. Esto resulta en una contradicción ya que
(f(z)− f(z))T (l
1 (p + 1) (p - 1), χ) 6 ° 0 (mod p)
y p ≥ 5. Por lo tanto, completamos la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
8 D. CHOI
3. Pruebas del Teorema 2, 3 y 4
3.1. Prueba de Teorema 2. Tenga en cuenta que h(z) =
η(z)2
η(2z)
·E4(4z)
η(4z)6
es una forma modular meromórfica.
En [2] se obtuvo una forma modular holomórfica en 0°(4p
2) cuyos coeficientes de Fourier
generar trazas de módulo módulo singular p (véase la fórmula (3.1) y (3.2)). Desde el
nivel de esta forma modular no es relativamente primo a p, necesitamos la siguiente propuesta.
Proposición 3.1 ([1]. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. También, supongamos que p N, j ≥ 1 es
un número entero, y
g(z) =
a(n)qn â € Sâ € 1
(0(Np)
j)) Z[q].
Entonces, existe una forma de cúspide G(z) S 1
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
G(z) g(z) (mod p),
donde + 1
= (+ 1
)pj + pe(p− 1) para una e • N suficientemente grande.
Utilizando el Teorema 1 y la Proposición 3.1, damos la prueba del Teorema 2.
Prueba de Teorema 2. Vamos.
(3.1) h1,p(z) := h(z)−
hχp(z),
donde hχp(z) es el χp-twist de h(z). A partir de (1.2), tenemos
h1,p(z) := −2 −
0 <d03,3 (mod 4)
t1(d)q
d − 2
0 <d03,3 (mod 4)
(−dp )=−1
t1(d)q
hm,p(z) := h1,p(z)T (m2, 1, χ0)
= −2 −
0 <d03,3 (mod 4)
tm(d)q
d − 2
0 <d03,3 (mod 4)
(−dp )=−1
tm(d)q
para cada entero positivo m. Let
Fp(z) :=
η(4z)p
η(4pz)
Se demostró en [2] que si α es un número entero positivo suficientemente grande, entonces h1,p(z)Fp(z)
(+0(4p)
2)) y
(3.2) h1,p(z)Fp(z)
α h1,p(z) (mod p),
DISTRIBUCIÓN DE LOS FUENTES DE COEFICIENCIA INTEGRAL MODULO PRIMES 9
donde k0 = α · p
. Lemma 2.2 y la Proposición 3.1 implican que existe f1,p(z)
S 1
(0(4)) Z[q] de forma que:
f1,p(z) • −2
0 <d03,3 (mod 4)
(−dp )=−1
tm(d)q
d (mod p),
donde = (k0 + 1 + (p− 1)(p+ 1) + 12)p
2 + pe(p− 1) para un e â € N suficientemente grande.
Asumimos que los coeficientes de f1,p(z) no satisfacen la propiedad A para un primo impar
p. 2 (mod 3). Tenga en cuenta que
= −1 y que p (3−1)3(3+1). Por lo tanto, el teorema 1 implica
2t1(3) 0 (mod p).
Esto resulta en una contradicción desde 2t1(3) = 2
4 ·31. Así, obtenemos una prueba cuando m = 1.
Por cada primo l impar, tenemos
F1, p(z) T (l2,, χ0) P−1(h1, p(z)) T (l2,, χ0)
(l2, 1, χ0)) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)
Por otra parte, Lemma 2.3 implica que una proporción positiva de los primos l satisface la
propiedad
f1,p(z)T (l2,, χ0) 2f1,p (mod p).
Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3.2. Pruebas de Teorema 3. El siguiente teorema da la fórmula para el Hurwitz
número de clase en términos de los coeficientes de Fourier de una forma modular de medio peso integral.
Teorema 3.2. Dejar T (z) := 1 + 2
n=1 q
n2. Si los enteros r3(n) se definen como
r3(n)q
n := T (z)3,
r(n) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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12H(−4n) si no se cumplen las condiciones siguientes: 1, 2 (mod 4),
24H(−n) si n ≤ 3 (mod. 8),
r(n/4) si n+ 0 (mod 4),
0 si n° 7 (mod. 8).
Tenga en cuenta que T (z) es una forma modular de peso de medio peso integral 1
sobre el punto 0(4). Combinación
Teorema 1 y Teorema 3.2, derivamos la prueba de Teorema 3.
Prueba de Teorema 3. Deja que G(z) sea el
-Twist de T (z)3. Entonces, desde Teorema 3.2, nosotros
G(z) = 1 +
No1 (mod 4)
12H(−4n)qn +
No3 (mod 8)
24H(−n)qn
10 D. CHOI
y G(z) M3
(I0(16)). Note que 24H(−3) = 8. Esto da la prueba completa por
Teorema 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3.3. Pruebas de Teorema 4. A continuación, probamos el Teorema 4.
Prueba de Teorema 4. Vamos.
W (z) :=
η(2z)
η(z)2
Se sabe que
W (z) =
P̄ (n)qn
y que W (z) es una forma modular débilmente holomórfica en el artículo 0(16). Vamos.
G(z) :=
W (z)−
Wχp(z)
Fp(z)
donde Fp(z) =
η(4z)p
η(4p2z)
y β son enteros positivos. Entonces tenemos
G(z) 2
(−np )=−1
P̄ (n)qn +
P̄ (n)qn (mod p).
Afirmamos que existe un entero positivo β tal que G(z) es un holomorphic modular
forma de la mitad del peso integral en £0(16p)
2). Para demostrar nuestra afirmación, seguimos los argumentos
de Ahlgren y Ono ([1], Lemma 4.2). Tenga en cuenta que, por un criterio bien conocido, Fp(z) es un
forma modular holomórfica en 0°(4p)
2) que desaparece en cada cúspide
Q para los cuales p2 c
(véase [7]). Esto implica que G(z) es una forma modular débilmente holomórfica en Ł0(16p
2). Si β
es suficientemente grande, entonces G(z) es holomórfico excepto en cada cúspide
para los cuales p2c′.
Por lo tanto, demostramos que G(z) es holomórfico en 1
para 0 ≤ m ≤ 3. Let, para impar d,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1 si d • 1 (mod 4),
i si d • 3 (mod 4).
Si f(z) es una función en el plano de la mitad superior compleja,
definimos el operador de slash usual por
f(z) 1
)2+1
1−2ld (cz + d)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
az + b
cz + d
Let g :=
e2πiv/p sea la suma habitual de Gauss. Tenga en cuenta que
Wχp(z) =
W (z) 1
1 −v/p
Elija un kv entero satisfactorio
16kv 15v (mod p).
DISTRIBUCIÓN DE CUARTOS COEFICIENTES INTEGRALOS MODULO PRIMES 11
Entonces, tenemos
(3.3)
2mp2 1
= γv,m
2mp2 1
1 −16v
+ 16kv
donde
γv,m =
1− 2m+4p(v + kv + 2mv2p− 2mvkvp) 1p(15v − 16kv − 2
m+4(v2p+ vkvp))
22mp2(−16vp+ 16kvp) 2m+4vp− 2m+4kvp+ 1
Tenga en cuenta que W (z) tiene su único polo en z â € 0 hasta â € 0(16). Desde γv,m 0(16), el
fórmula (3.3) implica que Wχp(z) es holomórfico en 2
mp2 para 1 ≤ m ≤ 3. Por lo tanto, G(z) es
holomorphic a 2mp2 para 1 ≤ m ≤ 3.
Si m = 0, entonces tenemos
W (z) 1
γv,0 =
−16vp3 + 16kvp3
16vp− 16kvp+ 1
W (z) =
p2(−vp+ kvp)
16vp− 16kvp + 1
W (z) = W (z).
Tenga en cuenta que
(3.4) W (z) 1
= α · q−
16 + O(1)
donde α es un número complejo no cero. La expansión q de Wχp(z) en
es dada por
(3,5) Wχp(z) 1
Usando (3.3) y (3.4), el único término en (3.5) con un exponente negativo en q es el término
(v-kv).
Si N se define por 16N • 1 (mod p), entonces tenemos
(v-kv) =
Por lo tanto, tenemos que
(W (z)-Wχp(z)) 1
= O(1).
Esto implica que G(z) es una forma modular holomórfica de la mitad de peso integral en 0(16p
Observando que
P̄ (3) = 8,
la parte restante de la prueba es similar a la del Teorema 3. Por lo tanto, se omite. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
12 D. CHOI
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Lect. Ser., 3, I, Int. Press, Somerville, MA, 2002, pp.211-244.
Escuela de Matemáticas, KIAS, 207-43 Cheongnyangni 2-dong 130-722, Corea
Dirección de correo electrónico: choija@postech.ac.kr
1. Introducción y resultados
2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
3. Pruebas de Teorema♪ ♪ ♪ ♪ y ♪♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
3.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
3.2. ¿Pruebas de Teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
3.3. ¿Pruebas de Teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
Bibliografía
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704.0013 | $p$-adic Limit of Weakly Holomorphic Modular Forms of Half Integral
Weight | LÍMITE PÁDICO DE LOS CUARTOS COEFICIENCIAS DE LA DEBILIDAD
FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DE PESO INTEGRAL
D. Choi e Y. Choie
Resumen. Serre obtuvo el límite p-ádico de los coeficientes integrales de Fourier de los módulos
formularios en SL2(Z) para p = 2, 3, 5, 7. En este documento, extendemos el resultado de Serre a débilmente
formas modulares holomórficas de la mitad del peso integral en 0-0(4N) para N = 1, 2, 4. La prueba
se basa en relaciones lineales entre coeficientes de Fourier de formas modulares de la mitad integral
peso. Como aplicaciones de nuestro resultado principal, obtenemos congruencias en varios módulos
objetos, como los para los exponentes de Borcherds, para los coeficientes de Fourier de cocientes de
Serie Eisentein y para coeficientes Fourier de formas modulares Siegel en el espacio Maass.
4 de noviembre de 2018
1. Introducción y declaración de los principales resultados
Serre obtuvo los límites p-ádicos de los coeficientes integrales de Fourier de las formas modulares en
SL2(Z) para p = 2, 3, 5, 7 (véase Théorème 7 y Lemma 8 en [20]). En este documento, extendemos
el resultado de Serre a formas modulares débilmente holomórficas de mitad de peso integral sobre el valor 0(4N)
forN = 1, 2, 4. La prueba se basa en las relaciones lineales entre coeficientes de Fourier modulares
formas de medio peso integral. Como aplicaciones de nuestro resultado principal, obtenemos congruencias
para varios objetos modulares, como los de los exponentes de Borcherds, para coeficientes de Fourier
de cocientes de la serie Eisentein y para coeficientes Fourier de formas modulares Siegel sobre el
Espacio Maass.
Para impar d, vamos
:= γtÃ30(4N)tγ
donde γt = (
c ) • • (1) y γt(t) = •. Denotamos la expansión q de una forma modular
f. M. 1
(l0(4N)) a cada cúspide t de °0(4N) por
(1.1) (f 1
γt(z) = (cz + d)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
az + b
cz + d
atf (n)q
t, qt := q
donde
(1.2) r(t) •
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 11F11,11F33.
Palabras y frases clave. formas modulares, límite p-ádico, Borcherds exponentes, espacio Maass.
Este trabajo contó con el apoyo parcial de KOSEF R01-2003-00011596-0, ITRC y BRSI-POSTECH.
http://arxiv.org/abs/0704.0013v2
2 D. Choi e Y. Choie
Cuando t â € ¬, denotamos atf (n) por af (n). Tenga en cuenta que el número r(t) es independiente de la
elección de f â € Mâ € 1
(l0(4N)) y l. Llamamos a t una cúspide regular si r(t) = 0 (véase el capítulo IV.
§ 1. de [15] para una definición más general de una
Observación 1.1. Nuestra definición de una cúspide regular es diferente de la habitual.
Que U4N := {t1, · · ·, t v(4N)} sea el conjunto de todos los cúspides regulares inequivalentes de 0(4N). Nota
que el género de la categoría 0(4N) es cero si y sólo si 1 ≤ N ≤ 4. LetMâ € 1
(0(4N)) ser el espacio
de formas modulares débilmente holomórficas de peso + 1
sobre el punto 0(4N) y dejar que el punto 1 de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I.
(0(N))
denotar el conjunto de f(z) â € Mâ € 1
(0(N)) tal que el término constante de su expansión q en
cada cúspide es cero. Let Up es el operador definido por
(f Up(z) :=
af(pn)q
Dejar que OL sea el anillo de números enteros de un número campo L con un ideal primo p • OL. Por
f(z) :=
af(n)q
n y g(z) :=
ag(n)q
n * L[[q−1, q]] escribimos
f(z) فارسى g(z) (mod p)
si y solo si af (n)− ag(n) • p por cada número entero n.
Con estas anotaciones indicamos el siguiente teorema.
Teorema 1. Para N = 1, 2, 4 considerar
f(z) :=
af n)q
n.o M.o.p.
(l0(4N)) L[[q−1, q]].
Suponga que p OL es cualquier ideal primario tal que pp, p prime, y que af(n) es p-integral
para cada número entero n ≥ n0.
(1) Si p = 2 y af (0) = 0, entonces existe un entero positivo b tal que
(f (Up)b(z) 0 (mod pj) por cada j N.
(2) Si p ≥ 3 y f(z) • M0
0(4N)) con 2 o 2+
(mod p−1
), a continuación, allí
existe un entero positivo b tal que
(f (Up)b(z) 0 (mod pj) por cada j N.
Observación 1.2. El límite p-ádico de una suma de coeficientes de Fourier de f â € M 3
En el caso de autos, el importe total de la ayuda fue de €0(4N)
estudiado en [13].
Nuestro método sólo permite probar un resultado más débil si f(z) 6o M0
(0(4N)).
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 3
Teorema 2. Para N = 1, 2 o 4, dejar
f(z) :=
af n)q
n â € Mâ € 1
(l0(4N)) L[[q−1, q]].
Supongamos que p OL es cualquier ideal primo con pp, p prime, p ≥ 5, y que af (n) es
p-integral para cada entero n ≥ n0. En caso de que el valor de la sustancia activa sea superior al valor de la sustancia activa, el valor de la sustancia activa deberá ser igual o superior al valor de la sustancia activa de conformidad con el artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013.
(mod p−1
), entonces existe un
entero positivo b0 tal que
p2b−m(p:
tâ € € € TM ~ U4N
•4N,3 •(p:l)(z)
R4N (z)
e®(4N)
(0)atf (0) (mod p)
para cada entero positivo b > b0 (véase la sección 3 para la notación detallada ).
Ejemplo 1.3. Recordemos que la función generadora de la sobrepartición P̄ (n) de n (véase [11])
P̄ (n)qn =
η(2z)
η(z)2
está en M− 1
(0(16)), donde η(z) := q
n=1(1− qn). Por lo tanto, el teorema 2 implica que
P̄ (52b) 1 (mod 5), N.
2. Aplicaciones: Más Congruencias
En esta sección se estudian las congruencias para diversos objetos modulares como los
Borcherds exponentes y para cocientes de la serie Eisenstein.
2.1. Límites pádicos de los expositores de Borcherds. Deja que MH denote el conjunto de meromorphic
formas modulares de peso integral en SL2(Z) con divisor Heegner, coeficientes enteros y
Coeficiente 1. Vamos.
{0(4)) := {f(z) =
af(n)q
n â € M 1
(0(4)) a(n) = 0 para n+2,3 (mod 4)}.
Si f(z) =
af(n)q
n° M+1
(l0(4)), a continuación, definir la letra (f(z)) por
(f(z)):= q−h
(1- qn)af (n2),
donde h = − 1
af(0) +
(mod 4) af (−n)H(−n). Aquí H(−n) denota lo usual
Hurwitz clase número de discriminante − n. Lo siguiente fue probado por Borcherds.
Teorema 2.1 ([4]). El mapa es un isomorfismo de M+1
(0(4)) a MH, y el
El peso de la sustancia (f(z)) es af (0).
4 D. Choi e Y. Choie
Que j(z) sea la función j-invariante habitual con la expansión del producto
j(z) = q−1
(1- qn)A(n).
Let F (z) := q−h
n=1(1 − qn)c(n) ser una forma modular meromórfica de peso k en HM.
El límite p-ádico de
dn d · c(d) se estudió en [5] para p = 2, 3, 5, 7. Aquí obtenemos el
límite p-ádico de c(d) para p = 2, 3, 5, 7.
Teorema 3. Let F (z) := q−h
n=1(1− qn)c(n) ser una forma modular meromórfica de peso
k en MH.
(1) Si p = 2, entonces para cada j • N existe un entero positivo b tal que
c(mpb) 2k (mod pj)
por cada entero positivo m.
(2) Si p {3, 5, 7}, entonces, para cada j N existe un entero positivo b tal que
5c(mpb)(F)A(mpb) 10k (mod pj)
para cada entero positivo m. Aquí, (F) es una constante determinada por la constante
término de la expansión q de 1(F) en 0.
2.2. Sumas de n-Squares. Para u â € Z>0, vamos
rn(u) := (s1, · · ·, sn) Zn : s21 + · · s2n = u}.
Teorema 4. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. En caso de que el valor de la sustancia activa sea inferior o igual a 2 o 3 (mod. p−1)
), entonces existe
un entero positivo C0 tal que
r2â € 1
p2b−m(p:
• − (14− 4α (p : ♥)) + 16
)[ lp−1 ](p:l)m(p:l)
(mod p),
por cada b > C0.
Observación 2.2. Como para un ejemplo, si ♥ فارسى 2 (mod p− 1) y p es un primo impar, entonces allí
existe un entero positivo C0 tal que
r2â € 1
10 (mod p), b > C0
2.3. Cocientes de la Serie Eisenstein. Congruencias para los coeficientes de cocientes de
La serie elíptica Eisenstein se ha estudiado en [3]. Consideremos el Cohen Eisenstein
Serie Hr+ 1
z) :=
N=0H(r,N)q
n de peso r+ 1
, r ≥ 2 (véase [7]). Obtenemos congruencias.
para los coeficientes de cocientes de Hr+ 1
(z) y la serie Eisenstein.
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 5
Teorema 5. Vamos.
F (z) :=
E4(z)
aF (n)q
G(z) :=
E6(z)
aG(n)q
W (z) :=
E6(z)
aW (n)q
Entonces existe un entero positivo C0 tal que
aF (11
2b+1) 1 (mod. 11),
aG(11)
2b+1) 6 (mod. 11),
aW (11)
2b+1) 2 (mod. 11)
para cada entero b > C0.
2.4. El espacio Maass. A continuación nos ocupamos de las congruencias para los coeficientes de Fourier de
una forma modular de Siegel en el espacio Maass. Para definir el espacio Maass, vamos a introducir
notación dada en [17]: que T • M2g(Q) sea un racional, semiintegral, simétrico, no-
matriz degenerada de tamaño 2g con discriminante
DT := (−1)g det(2T ).
Dejar DT = DT,0f
T, donde DT,0 es el discriminante fundamental correspondiente. Además...
más, vamos
G8 :=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2 0 −1 0 0 0 0 0
0 2 0 −1 0 0 0 0
−1 0 2 −1 0 0 0 0
0 −1 −1 2 −1 0 0 0
0 0 0 −1 2 −1 0 0
0 0 0 0 −1 2 −1 0
0 0 0 0 0 −1 2 −1
0 0 0 0 0 0 −1 2
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
y G7 sea la submatriz superior (7, 7) de G8. Definir
Sg :=
(g−1)/8
2, si g • 1 (mod 8),
(g–7)/8
G7, si g • − 1 (mod 8).
6 D. Choi e Y. Choie
Para cada m N tal que (−1)gm 0, 1 (mod 4), definir un racional, semi-integral, sim-
métrica, matriz definida positiva Tm de tamaño 2g por
Tm :=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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0 m/4
, si se trata de m 0 (mod 4),
e2g−1
e′2g−1 [m+ 2 + (−1)n]/4
, si me (−1) g (mod 4)
Aquí e2g−1 Z(2n−1,1) es el vector de columna estándar y e′2g−1 es su transpuesta.
Definición 2.3. (El espacio de Maass) Tomar g, k, N tal que g, 0, 1 (mod 4) y
g k (mod 2). Vamos.
SMaassk+g (2g)
F (Z) =
A(T )qtr(TZ)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
A(T) =
ak-1-1-(a;T )A(TDT /a2)
(véase (6.2) para más detalles). Este espacio se llama el espacio Maass del género 2g y peso g + k.
En [17] se demostró que el espacio Maass es el mismo que la imagen de la elevación de Ikeda
cuando g 0, 1 (mod 4). Usando este hecho junto con el Teorema 1, derivamos lo siguiente
Congruencias para los coeficientes de Fourier de F (Z) en SMaassk+g (2g).
Teorema 6. En el caso de g 0, 1 (mod 4),
F (Z) :=
A(T )qtr(TZ)
con coeficientes integrales A(T ), T > 0. Si k • 2 o 3 (mod p−1
) para algunos p primo, entonces,
para cada j N, existe un entero positivo b para el cual
A(T ) 0 (mod pj)
por cada T > 0, det(2T ) 0 (mod pb).
El presente documento está organizado de la siguiente manera. La sección 3 da una relación lineal entre Fourier
coeficientes de formas modulares de medio peso integral. Las secciones restantes contienen:
pruebas detalladas de los principales teoremas.
3. Relación lineal entre Coeficiente de Fourier de formas modulares de la mitad
Peso integral
Let V (N; k, n) ser el subespacio de Cn generado por los primeros coeficientes n de la q-
Expansión de f en el caso de f en el caso de f en el caso de Sk(0(N)), donde Sk(0(N) denota el espacio de las formas de cúspide
del peso k â € ¢ Z en â € € ¢ 0 (N). Que L(N; k, n) sea el complemento ortogonal de V (N; k, n)
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 7
en Cn con el producto interno habitual de Cn. El espacio vectorial L(1; k, d(k) + 1), d(k) =
dim(Sk((1))), fue estudiado por Siegel para evaluar el valor de la función zeta Dedekind
en cierto momento. El espacio vectorial L(1; k, n) se describe explícitamente en términos de la
parte principal de las formas modulares de peso negativo en [9]. Estos resultados se ampliaron en [8]
a los grupos 0(N) del género cero. Para 1 ≤ N ≤ 4,
4N, â € ¢
at1f (0), · · ·, a
t/(4N)
f (0), af(1), · · ·, af(n)
Cn(4n)
f # Mâ € 1
(0(4N))
donde U4N := {t1, · · ·, t v(4N)} es el conjunto de todos los cúspides regulares inequivalentes de 0(4N). Nosotros
definir EL(4N, â € 1
;n) ser el complemento ortogonal de EV (4N, + 1
;n) en Cn(4N).
Let â € € TM € TM = q
(4N)+O(q(4N)+1) estar en MÃ1
(0(4N) con el orden máximo en ,
es decir, su orden en es mayor que la de cualquier otra forma modular del mismo nivel
y peso. Además, vamos a
R4(z) :=
η(4z)8
η(2z)4
, R8(z) :=
η(8z)8
η(4z)4
R12(z) :=
η(12z)12η(2z)2
η(6z)6η(4z)4
y R16(z) :=
η(16z)8
η(8z)4
Para l, n° N, definir
m(l : n) :=
0 (mod 2)
1 (mod 2)
α(l : n) := n− l− 1
Let •(4N) ser el orden de cero de R4N (z) en •. Tenga en cuenta que R4N (z)
su único cero en................................................................................................................................... Por lo tanto, utilizando la definición de η(z) = q 124
n=1(1− qn), encontramos que
(3.1) •(4) = 1, •(8) = 2, •(12) = 4, •(16) = 4.
Para cada g •Mr+ 1
(0(4N)) y e • N, let
(3.2)
R4N (z)e
e+(4N)+
b(4N, e, g; ν)q +O(1) at.
Con estas nociones indicamos el siguiente teorema:
Teorema 3.1. Supóngase que el número entero y 1 ≤ N ≤ 4. Para cada e-N
De tal manera que e ≥
− 1, tomar r = 2e − + 1. El mapa lineal Φr,e(4N): Mr+1
(0(4N)) →
8 D. Choi e Y. Choie
EL(4N, â € 1
; e · •(4N)), definido por
Φr,e(4N)(g)
R4N (z)
(0), · · ·, ht/(4N)a
t/(4N)
R4N (z)
(0), b(4N, e, g; 1), · · ·, b(4N, e, g; e · (4N))
es un isomorfismo.
Prueba de Teorema 3.1. Supongamos que G(z) es una forma modular meromórfica de peso 2 en
0(4N). Para el caso de la letra H+C4N, déjenos ser la imagen de la letra D® bajo el mapa canónico de la letra H®C4N.
a una superficie compacta de Riemann X0(4N). Aquí H es el habitual complejo plano de la mitad superior,
y C4N denota el conjunto de todos los cúspides inequivalentes de 0(4N). El residuo ResDGdz de
G(z) en D.o D.o X0(4N) está bien definido, ya que tenemos una correspondencia canónica entre un
forma modular meromórfica de peso 2 en Ø0(4N) y una forma meromórfica de 1 de X0(4N).
Si Rescata G denota el residuo de G en el punto H, entonces
ResDGdz =
Resläg.
Aquí es el orden del grupo de la isotropía en. El residuo de G en cada cúspide de C4N es
(3.3) ResDtGdz = ht ·
atG(0)
Ahora damos una prueba de Teorema 3.1.
Para probar el teorema 3.1, tome
G(z) =
R4N (z)e
f(z),
donde g •Mr+ 1
(0(4N)) y f(z) =
n=1 af(n)q
n â € Mâ € 1
(0(4N)). Tenga en cuenta que G(z) es
holomorphic en H. Desde g(z), R4N (z) y f(z) son holomorphic y R4N (z) no tiene cero
En H, basta con calcular los residuos de G(z) sólo en absoluto cúspides inequivalentes para aplicar
el teorema de residuos. La expansión q de
R4N (z)
ef(z) en
R4N(z)e
f(z) =
e+(4N)+
b(4N, e, g; /)q + a g(z)
R4N (z)
(0) +O(q)
af(n)q
Puesto que R4N (z) no tiene cero en t
R4N (z)e
γt = a
R4N (z)
(0)af(0) +O(qt).
Nótese además que, para una cúspide irregular,
at g(z)
R4N (z)
(0)af(0) = 0.
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 9
Así que el teorema de residuos y (3.3) implican que
(3.4)
tâ € € € TM ~ U4N
e®(4N)
(0)atf(0) +
e+(4N)+
b(4N, e, g; v)af( v) = 0.
Esto muestra que Φr,e(4N) está bien definido. La linealidad del mapa Φr,e(4N) es clara.
Queda por comprobar que Φr,e(4N) es un isomorfismo. Puesto que no existe holomórfico
forma modular de peso negativo excepto la función cero, obtenemos la inyectividad de
Φr,e(4N). Tenga en cuenta que para e ≥ 12,
4N ;+
, e • •(4N)
= e · (4N) + ν (4N)− dimC
Mâ € 1
(0(4N))
No obstante, el conjunto C4N, 1 ≤ N ≤ 4, de todos los cúspides inequivalentes de
0, 1
0, 1
C12 =
0, 1
C16 =
0, 1
y se puede comprobar que
(3.5) /(4) = 2, /(8) = 3, /(12) = 4, /(16) = 6
(véase el punto 1 del capítulo 4. en [15] para más detalles). La fórmula de la dimensión de Mâ € 1
(I0(4N)) (véase
La tabla 1) junto con los resultados en (3.1) y (3.5), implica que
4N, â € ¢
; e · • (N)
= dimC(Mr+ 1
(0(4N))
desde r = 2e− â € 1.
Cuadro 1 Fórmula de dimensión para Mk(0(4N))
N k = 2n + 1
k = 2n+ 3
k = 2n
N = 1 n + 1 n + 1 n + 1
N = 2 2n+ 1 2n+ 2 2n+ 1
N = 3 4n+ 1 4n+ 3 4n+ 1
N = 4 4n+ 2 4n+ 4 4n+ 1
Así que Φr,e(4N) es sujetivo ya que el mapa Φr,e(4N) es inyector. Esto completa nuestra reclamación.
D. Choi e Y. Choie
4. Pruebas del Teorema 1 y 2
4.1. Prueba de Teorema 1. Primero, obtenemos relaciones lineales entre los coeficientes de Fourier
de formas modulares de medio peso integral modulo p. Let
Op := L α es p-integral}.
M 1
, p(0(4N)):= {H(z) =
aH(n)q
n • Op/pOp[[q−1, q]]
H • h (mod p) para algunos h • Op[[q−1, q]] • M • 1
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
S 1
, p(0(4N)):= {H(z) =
aH(n)q
n • Op/pOp[[q−1, q]]
H • h (mod p) para algunos h • Op[[q−1, q]] • S • 1
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente lema da la dimensión de M 1
, p(0(4N)).
Lemma 4.1. Táchese lo que no proceda.
p ≥ 3 si N = 1, 2, 4,
p ≥ 5 si N = 3.
Ahora tomar cualquier ideal primo p OL, pp. Entonces
dim M 1
, p(0(4N)) = dimM1
(0(4N))
dim S 1
, p(0(4N)) = dimS1
(0(4N)).
Prueba. Vamos.
j4N (z) = q
−1 +O(q)
ser una función modular meromórfica con un polo sólo a la altura de la altura. Explícitamente, estas funciones
j4(z) =
η(z)8
η(4z)8
+ 8, j8(z) =
η(4z)12
η(2z)4η(8z)8
j12(z) =
η(4z)4η(6z)2
η(2z)2η(12z)4
, j16(z) =
η2(z)η(8z)
η(2z)η2(16z)
Desde los coeficientes de Fourier de η(z) y 1
son integrales, la expansión q de j4N (z) tiene
coeficientes integrales.
Recordemos que el valor de 4N = q = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N , = 4 N = 4 N, 4 N, 4 N, 4 N, 4 N, 4 N = 4 N , = 4 N, = 4 N
(4N) + O(q(4N)+1) es la forma modular de peso + 1
De tal manera que el orden de su cero en es más alto que el de cualquier otra forma modular
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 11
del mismo nivel y peso. Denote el orden de cero de 4N, en 4N por 4N. Entonces
la base de Mâ € 1
(0(4N)) puede ser elegido como
(4.1) 4N,♥(z)j4N (z)e 0 ≤ e ≤ (4N)}.
Si el término «4N», el término «z» es p-integral, entonces el término «4N», el término «j4N» (z)e «0» ≤ «e» ≤ «4N»} también forma una base de
M 1
,p(0(4N)). Nótese que (4N) = dimM® 1
0(4N)− 1. Así que de la Tabla 1 tenemos
(4.2) 4N,(z) = 4N,j(z)R4N (z)
en los que Ł j (mod 2), j {0, 1}. Más precisamente, se puede elegir 4N,j(z) como sigue:
• 4,0(z) = • (z), • 4,1(z) • (z)
+8,0(z) = •(z), •8,1(z) =
(l) (z)3 − (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) ) (l) (l) (l) (l) () () () () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () ) () ) ) ) ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
*12,0(z) = *(z), *12,1(z) =
x,y,zÃ3zq
3x2+2(y2+z2+yz) −
x,y,zÃ3zq
3x2+4y2+4z2+4yz
*16,0(z) =
(l) (z)- (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
3 − 3o(z)2o(4z) + 3o(z)o(4z)2o(4z)3)..............................................................................................................................................................................................................................................
Desde el punto de vista de la letra z) = 1+ 2
n=1 q
n, los coeficientes de la expansión q de los valores de «4N,j(z), j» {0, 1}, son:
P-integral. Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 4.2. La prueba de Lemma 4.1 implica que los espacios de Mâ € 1
(0(4N)) para
N = 1, 2, 4 son generados por eta-quotients ya que فارسى(z) =
η(2z)5
η(z)2η(4z)2
Para 1 ≤ N ≤ 4 conjuntos
4N, â € ¢
(f(1), · · · ·, af(n) • Fnp f • S 1
(0(4N))
,Fp := Op/pOp.
Definimos LûS(4N, +
;n) ser el complemento ortogonal de S(4N, +
;n) en Fn
Utilizando Lemma 4.1, obtenemos la siguiente proposición.
Proposición 4.3. Suponga que el número entero es positivo y 1 ≤ N ≤ 4. Para cada e-N,
e ≥
- 1, tomar r = 2e1. El mapa lineal r,e(4N) : Mśr+ 1
,p(0(4N)) → LS(4N,
; e · •(4N)), definido por
r,e(4N)(g) = (b(4N, e, g; 1), · · ·, b(N, e, g; e · (4N)),
es un isomorfismo. Aquí b(4N, e, g; v) se define en (3.2).
Prueba. Tenga en cuenta que dimS 3
(4N) = 0 y que
dimSâ € 1
(4N) +N + 1 +
= dimMâ 1
(véase [10]). Por lo tanto, a partir de Lemma 4.1 y Tabla 1, es suficiente para mostrar que r,e(4N) es inyector.
Si g está en el núcleo de Łr,e(4N), entonces
R4N (z)
e · R4N (z)e 0 (mod p) por la fórmula de Sturm
(véase [21]). Así que tenemos g(z) 0 (mod p) desde R4N(z)e 6 siguientes (mod p). Esto completa el
prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
12 D. Choi e Y. Choie
Teorema 4.4. Toma un p,N = 1, 2, 4 y
f(z) :=
af(n)q
n.o S.o 1
(0(4N)) L[[q]].
Suponga que p OL es cualquier ideal primo con pp y que af (n) es p-integral para cada
número entero n ≥ n0. En caso de que el valor de la sustancia activa sea superior al valor de la sustancia activa, el valor de la sustancia activa deberá ser igual o superior al valor de la sustancia activa de conformidad con el artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013.
(mod p−1
) o p = 2, entonces existe un positivo
entero b tal que
0 (mod p), N.
Prueba de Teorema 4.4. i) Primero, supongamos que p ≥ 3: Tome los enteros positivos l y b tales
(4.3)
3− 2α(p : )
p2b +
p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2.
Tenga en cuenta que si b es lo suficientemente grande, es decir, b > logp
3−2α(p:
p.m.(p.o.p.) − 2
, entonces allí
existe un entero l positivo satisfactorio (4.3). También tenga en cuenta que atf(0) = 0 para cada cúspide t de
*0(4N) ya que f(z) es una forma cúspide. Por lo tanto, si r = 2e− α(p : ♥) + 1, entonces el teorema 3.1 implica
que, en el caso de g(z) ⠀ Mñr+ 1
(0(4N)),
e+(4N)+
b(4N, e, g; ν) af(/p)
2b-m(p:)) 0 (mod p),
desde
R4N (z)e
f(z)p
m(p:)
Elp−1(z)
e+(4N)+
b(4N, e, g; ν)qp
+ a g(z)
R4N (z)
(0) +
a g(z)
R4N (z)
n)qnp
af(n)q
npm(p:
(mod p).
Así que la Proposición 4.3 implica que
p2b−m(p:
2p2b−m(p:
, · · ·, a
e • (4N)p2b−m(p:
â â € TM TM â TM TM â TM TM S
4N,α(p : ) + 1
Si α(p : ) = 2 o 2 +
, entonces
dimSα(p:)+ 1
(0(4N)) = dim S
4N,α(p : ) +
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 13
ii) p = 2: Tenga en cuenta que
4N,1(z)
R4N (z)
= q−1+O(1) para N = 1, 2, 4. Por lo tanto, existe un polinomio
F (X) • Z[X] de tal manera que
F (j4N(z))
4N,1(z)
R4N (z)
= q−n +O(1).
Para un entero b, 22
> â € ¢ 2, vamos
G(z) :=
F (j4N(z))
4N,1(z)
R4N(z)
f (z)(z)2
1+2b−2+3.
Desde el punto de vista de la letra z) del punto 1 (mod 2), el teorema 3.1 implica que af(2b · n) del punto 0 (mod p). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Para aplicar el Teorema 4.4, necesitamos las dos proposiciones siguientes.
Proposición 4.5 (Proposición 3.2 en [22]). Supongamos que p es un primo impar, k y N son
enteros con (N, p) = 1. Vamos.
f(z) =
a(n)qn â € Mâ € 1
(0(4N)).
Supongamos que:=
cp2 d
, con ac > 0. Entonces existe n0, h0 N con h0N, una secuencia
{a0(n)}n≥n0 y r0 {0, 1, 2, 3} de forma que:
(f Upm 1
(z) =
4n+r00 (mod p
a0(n)q
4n+r0
m, m ≥ 1.
Proposición 4.6 (Proposición 5.1 en [1]). Supongamos que p es un primo impar tal que p N
y tener en cuenta
g(z) =
a(n)qn â € Sâ € 1
(0(4Np)
j)) L[[q], por cada j N.
Supóngase además que p OL es cualquier ideal primo con pp y que a(n) es p-integral para
cada entero n ≥ 1. Entonces existe G(z) S 1
(0(4N)) «OL[[q]] de forma que:
G(z) g(z) (mod p),
donde + 1
= (+ 1
)pj + pe(p− 1) con eN grande.
Observación 4.7. La propuesta 4.6 se demostró para p ≥ 5 in [1]. Uno puede comprobar que esto se mantiene
También para p = 3.
Ahora probamos el Teorema 1.
Prueba de Teorema 1. Toma
Gp(z) :=
η(8z)48
η(16z)24
Si p = 2, M12(0(16))
η(z)27
η(9z)3
M12(0(9)) si p = 3,
η(4z)p
η(4p2z)
•M p2−1
(+0(p)
2)) si p ≥ 5.
14 D. Choi e Y. Choie
Usando las propiedades de eta-quotients (véase [12]), tenga en cuenta que Gp(z) desaparece en cada cúspide de
•0(16) excepto • si p = 2, y desaparece a cada cúspide ac de •0(4Np
2) con p2 N si p ≥ 3.
Así, la Proposición 4.5 implica que existen enteros positivos l,m,k tales que
(f Upm(z)Gp(z)l • Sk+ 1
(0(16)) si p = 2,
(f Upm(z)Gp(z)l • Sk+ 1
(+0(4p)
2N)) si p ≥ 3.
Nótese que k (mod p− 1). Usando la Proposición 4.6, podemos encontrar
F (z) Sk 1
(0(4N))
tal que F (z) (z) (f(z)Upm) Gp(z)l (f Upm) (z) (mod p) y k′ (k) (mod p − 1).
Teorema 4.4 implica que existe un número entero positivo b tal que (F Up2b)(z)
(mod p). Por lo tanto, hemos demostrado hasta ahora que si?? p \ p2, todos los coeficientes de Fourier de
· F (z)Upm+2b son p-integral. Repite este argumento para completar nuestra afirmación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4.2. Prueba de Teorema 2. El teorema 2 puede derivarse del teorema 3.1 tomando un
forma modular especial.
Prueba de Teorema 2. Tome un entero positivo l y un entero positivo incluso u tales que
3− 2α(p : )
p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2.
Let F (z) :=
•4N,3 •(p:l)(z)
R4N (z)
y G(z) := Ep−1(z)
lf(z)p
m(p:)
. Desde Ep−1(z)
(mod p), tenemos
F (z)G(z)
a) 4N,3 °(p:l)(z)
R4N (z)
n)qnp
af(n)q
nm(p:)
(mod p).
Si los coeficientes de Fourier de f(z) en cada cúspide son p-integrales, entonces
((F ·G)2γt) (z)
atF (n)q
atG(n)q
atf (n)q
En la página 4N, en la página 3(p:l)(z)
R4N (z)
(mod p)
para t . Desde
aF (z)G (z)(0)(0)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c(c)(c)(c)(c)(c(c)(c)()()(c)(c()(c()()()()()(c()()()()()(c()()(c()()()(c)()()()()()()()()(c)()()()()()(c()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(c()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
R4N (z)
(0)af (0) + af (p
u-m(p:)) (mod p),
F (z) G (z)
(0) En la página 4N, 3(p:l)(z)
R4N (z)
(0) atf (0) (mod p) para t ,
para u grande, el teorema de residuos implica teorema 2 dejando u = 2b. Por lo tanto,
es suficiente para comprobar una propiedad p-integral de los coeficientes de Fourier de f(z) en cada cúspide:
tomar un entero positivo e de tal manera que فارسى(z)ef(z) es una forma modular holomórfica, donde
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 15
(z) := q
n=1(1− qn)24. Obsérvese que las extensiones q de j4N (z) y 4N,12e(z) en cada una de ellas.
cúspide son p-integral. Así (4.1) implica que
(z)ef(z) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cnj4N (z)
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Por otra parte, cn es p-integral desde
j4N (z)
(z) = q
*12e(4N)−n +O
qŁ12e(4N)−n+1
y f(z) • OL[[q, q−1]]. Nótese que p 4N desde 1 ≤ N ≤ 4 y p ≥ 5 es un primo.
Así Coeficientes de Fourier de j4N (z), N,12e(z) y
a cada cúspide son p-integral. Esto
completa nuestra reclamación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5. Prueba de Teorema 3
El teorema 3 sigue del teorema 1 y del teorema 2.1.
Prueba de Teorema 3. Tenga en cuenta que j(z) • MH. Vamos.
g(z) := 1(j(z)) y f(z) := 1(F (z)) =
af n)q
Se sabe (véase §14 en [4]) que
g(z) =
E10(4z)
4l(4z)
* z) d)
(E10(4z))
80.i.(4z)
فارسى(z).
Puesto que los términos constantes de las extensiones q en de f(z), (z) y g(z) son 0, a0
(0) =
y a0g(0) =
· 456
, respectivamente, tenemos
f(z)− kŁ(z)−
a0f(0) + k(1− i)/2
a0g(0)
g(z) â € M01
(0(4)).
Aplicando el Teorema 1, se obtiene el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. Pruebas de Teorema 4 y 5
Comenzamos con la siguiente propuesta.
Proposición 6.1. Dejar p ser un primo impar y
f(z) :=
af n)q
n â € Mâ € 1
(0(4)) Zp[[q]].
En caso de que el valor de la sustancia activa sea inferior o igual a 2 o 3 (mod. p−1)
), entonces
p2b−m(p:
-(14 − 4α(p : ♥))af(0) + 28
2−1 − 2−1i
)pb(7−2α(p:
a0f (0) (mod p)
16 D. Choi e Y. Choie
para cada entero b > logp
2α(p:♥)−3
p.m.(p.o.p.) + 2
Prueba de la Proposición 6.1. En el caso de Z≥0,
p.m.(p.o.p.) := ν · (p.o. 1) + α(p.o.:) + 1
Para un entero b con
3− 2α(p : )
p.m.(p.o.p.) − 2
existe un l â € N tal que
3− 2α(p : )
p2b +
p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2,
desde
3− 2α(p : )
p2b +
p.m.(p.o.p.) − 2 = 3− 2α(p.o.:
(p2b − 1) + (p− 1).
Tenemos
F (z) فارسى
n=0 af (n)q
npm(p:) (mod p),
G(z) فارسى q−pb + 14− 4α(p : ) + aG(1)q + · · · (mod p).
Tenga en cuenta que aG(n) es p-integral para cada entero n. Además, obtenemos
F (z) G (z) 2 ( 0 −11 0 )
a0f (0) + · · ·
−26pb
)pb(7−2α(p:
+ · · ·
(mod p),
donde a0f (0) se indica en (1.1). Tenga en cuenta que
0, 1
es el conjunto de cúspides de 0(4), por lo que Teorema
2 implica que
af (p
2b−m(p:n)) + (14− 4α(p: ))af(0)− 28a0f (0)
)pb(7−2α(p:
0 (mod p).
Esto prueba la Proposición 6.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6.1. Prueba de Teorema 4. Ahora probamos el Teorema 4.
Prueba de Teorema 4. Toma
f(z) := 21z) = 1 +
r2â € 1(l)q
af(n)q
Nótese que f(z) â € Mâ € 1
(0(4)). Desde ( 1
( 0 −11 0 )(z) =
, obtenemos
af(0) = 1 y a
f (0) =
)2+1
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 17
Desde el punto de vista de los datos siguientes: 2, 3 (mod. p−1)
) y
, tenemos
)p2u(7−2α(p:
a0f (0)
p.m.(p.e.)
)p2u(7−2α(p:
)pm(p:l)(2α(p:l)+(p−1)(2[ l)p−1 ]+m(p:l))+1)
)(7−2α(p:))(p2u−1)(
)8+2(p−1)[
)8+2[ ♥p−1 ](p−1)+2α(p:
)[ lp−1 ](p:l)m(p:l)
(mod p),
Para algunos u â € N. Aplicando la Proposición 6.1, obtenemos el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6.2. Prueba de Teorema 5. Considere la serie Cohen EisensteinHr+ 1
z) :=
N=0H(r,N)q
de peso r + 1
, donde r ≥ 2 es un entero. Si (−1)rN 0, 1 (mod 4), entonces H(r,N) = 0.
Si N = 0, entonces H(r, 0) = −B2r
. Si N es un entero positivo y Df 2 = (−1)rN, donde D es
un discriminante fundamental, entonces
(6.1) H(r,N) = L(1− r, χD)
μ(d)χD(d)d
r−12r−1(f/d).
Aquí μ(d) es la función Möbius. El siguiente teorema implica que los coefi-
Científicos de Hr+ 1
(z) son p-integral si p−1
Teorema 6.2 ([6]). Que D sea un discriminante fundamental. Si D es divisible por al menos dos
diferentes primos, entonces L(1−n, χD) es un entero para cada entero positivo n. Si D = p, p >
2, entonces L(1−n, χD) es un entero para cada entero positivo n a menos que gcd(p, 1D(g)gn) 6= 1,
donde g es una raíz primitiva (mod p).
Prueba de Teorema 5. Tenga en cuenta que E10(z) = E4(z)E6(z). Por lo tanto, E10(z)F (z), E10(z)G(z) y
E10(z)W (z) son formas modulares de pesos, 8 · 12, 7 ·
y 8 · 1
respectivamente. Por otra parte, el
Los coeficientes de Fourier de estas formas modulares son 11-integrales, ya que los coeficientes de Fourier
de H 5
z), H 7
z) y H 9
(z) son 11-integrales por Teorema 6.2. Tenemos
E10(z)F (z) =
+O(q),
E10(z)F (z) 17
( 0 −11 0 ) =
(1 + i)(2i)−5 +O
E10(z)G(z) =
+O(q),
E10(z)G(z) 15
( 0 −11 0 ) =
(1− i)(2i)−7 +O
E10(z)W (z) =
+O(q),
E10(z)W (z) 17
( 0 −11 0 ) =
(1 + i)(2i)−9 +O
18 D. Choi e Y. Choie
donde B2r es el número 2r Bernoulli. La conclusión ahora viene de la Proposición
6.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6.3. Prueba de Teorema 6. Comenzamos por introducir algunas anotaciones (ver [17]). Vamos.
V := (F2np, Q) ser el espacio cuadrático sobre Fp, donde Q es la forma cuadrática obtenida
a partir de una forma cuadrática x 7→ T [x](x • Z2np ) mediante la reducción del módulo p. Denotamos por < x, y >:=
Q(x, y)−Q(x)−Q(y), x, y • F2np, la forma bilineal asociada y let
R(V ) := {x • F2np : < x, y = 0, •y • F2np, Q(x) = 0}
ser el radical de R(V ). Después de [14], definir un polinomio
Hn,p(T;X) :=
1 si sp = 0,[(sp−1)/2]
j=1 (1− p2j−1X2) si sp > 0, sp impar,
(1 + p(T)p
(sp−1)/2X)
[(sp−1)/2]
j=1 (1− p2j−1X2) si sp > 0, sp par,
donde para incluso sp denotamos
P(T ) :=
1 si W es un espacio hiperbólico o sp = 2n,
− 1 en caso contrario.
Después de [16], para un entero no negativo μ, definir
μ) por
T (p
μ)Xμ :=
(1−X2)Hn,p(T;X), si pfT,
1 de lo contrario.
Extendemos las funciones de la T multiplicativamente a los números naturales N mediante la definición
T (p
μ)X :=
((1−X2)Hn,p(T;X)).
D(T ) := GL2n(Z) \ {G •M2n(Z) •GL2n(Q): T [G−1] semiintegral},
donde GL2n(Z) opera por multiplicación izquierda y T [G]
−1) = T ′G−1T. Entonces D(T) es
finito. Para un N con afT, vamos
(6.2) ♥(a;T ) :=
GÓD(T),det(G)d
T [G−1](a/d
Nótese que "(a;T )" (Z) para todos los a. Con estas nociones indicamos el siguiente teorema:
Teorema 6.3 ([17]). Suponga que g 0, 1 (mod 4) y dejar k N con g K (mod 2).
Una forma modular de Siegel F es en SMaassk+n (2g) si y sólo si existe una forma modular
f(z) =
c(n)qn • Sk+ 1
(0(4))
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 19
Tal que A(T ) =
ak−1♥(a;T )c
DT
para todos los T. Aquí,
DT := (−1)g · det(2T )
y DT = DT,0f
T con DT,0 el discriminante fundamental correspondiente y fT N.
Observación 6.4. Una prueba del Teorema 6.3 dada en [17] implica que si A(T )-Z para todos los T,
entonces c(m) â € Z para todos los m â € N.
Prueba de Teorema 6. Del teorema 6.3 podemos tomar
f(z) =
c(n)qn • Sk+ 1
(0(4)) Zp[[q]
de tal manera que
F (Z) =
A(T)qtr(TZ) =
ak−1♥(a;T )c
DT
qtr(TZ).
Por el teorema 1, existe un entero positivo b tal que, para cada entero positivo m,
c(pbm) 0 (mod pj),
desde k • 2 ó 3 (mod p−1
). Supongamos que pb+2j DT. Si pja y afT, entonces
ak−1♥(a;T )c
DT
0 (mod pj).
Si pj a y afT, entonces pb
DT a2 y a
k-1-0(a;T )c
DT
0 (mod pj). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Agradecimientos
Agradecemos al árbitro por muchos comentarios útiles que han mejorado nuestra exposición.
Bibliografía
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20 D. Choi e Y. Choie
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Lect. Ser., 3, I, Int. Press, Somerville, MA, 2002, pp.211–244.
Escuela de Artes y Ciencias Liberales, Universidad Aeroespacial de Corea, 200-1, Hwajeon-
dong, Goyang, Gyeonggi, 412-791, Corea
Dirección de correo electrónico: choija@postech.ac.kr
Departamento de Matemáticas e Instituto Matemático Pohang, POSTECH, Pohang,
790–784, Corea
Dirección de correo electrónico: yjc@postech.ac.kr
1. Introducción y declaración de los principales resultados
2. Aplicaciones: Más Congruencias
2.1. Límites pádicos de los exponentes de Borcherds
2.2. Sumas de n-cuadras
2.3. Cocientes de la serie Eisenstein
2.4. El espacio Maass
3. Relación lineal entre Coeficiente de Fourier de formas modulares de medio peso integral
4. ¿Pruebas de Teorema? ¿Y?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
4.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
4.2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
5. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
6. ¿Pruebas de Teorema? ¿Y?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
6.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
6.2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
6.3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
Agradecimientos
Bibliografía
| Serre obtuvo el límite p-ádico del coeficiente integral de Fourier de
formularios modulares en $SL_2(\mathbb{Z})$ por $p=2,3,5,7$. En este documento, extendemos
el resultado de Serre a formas modulares débilmente holomórficas de medio peso integral
en $\Gamma_{0}(4N)$ por $N=1,2,4$. Una prueba se basa en relaciones lineales entre
Coeficientes de Fourier de formas modulares de medio peso integral. Como aplicaciones
obtenemos congruencias de los exponentes de Borcherds, congruencias de cociente de
Serie de eisenteína y congruencias de valores de $L$-funciones en un determinado punto
También se estudian. Además, las congruencias de los coeficientes de Fourier de
Las formas modulares de Siegel en Maass Space se obtienen mediante la elevación Ikeda.
| Introducción y declaración de los principales resultados
Serre obtuvo los límites p-ádicos de los coeficientes integrales de Fourier de las formas modulares en
SL2(Z) para p = 2, 3, 5, 7 (véase Théorème 7 y Lemma 8 en [20]). En este documento, extendemos
el resultado de Serre a formas modulares débilmente holomórficas de mitad de peso integral sobre el valor 0(4N)
forN = 1, 2, 4. La prueba se basa en las relaciones lineales entre coeficientes de Fourier modulares
formas de medio peso integral. Como aplicaciones de nuestro resultado principal, obtenemos congruencias
para varios objetos modulares, como los de los exponentes de Borcherds, para coeficientes de Fourier
de cocientes de la serie Eisentein y para coeficientes Fourier de formas modulares Siegel sobre el
Espacio Maass.
Para impar d, vamos
:= γtÃ30(4N)tγ
donde γt = (
c ) • • (1) y γt(t) = •. Denotamos la expansión q de una forma modular
f. M. 1
(l0(4N)) a cada cúspide t de °0(4N) por
(1.1) (f 1
γt(z) = (cz + d)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
az + b
cz + d
atf (n)q
t, qt := q
donde
(1.2) r(t) •
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 11F11,11F33.
Palabras y frases clave. formas modulares, límite p-ádico, Borcherds exponentes, espacio Maass.
Este trabajo contó con el apoyo parcial de KOSEF R01-2003-00011596-0, ITRC y BRSI-POSTECH.
http://arxiv.org/abs/0704.0013v2
2 D. Choi e Y. Choie
Cuando t â € ¬, denotamos atf (n) por af (n). Tenga en cuenta que el número r(t) es independiente de la
elección de f â € Mâ € 1
(l0(4N)) y l. Llamamos a t una cúspide regular si r(t) = 0 (véase el capítulo IV.
§ 1. de [15] para una definición más general de una
Observación 1.1. Nuestra definición de una cúspide regular es diferente de la habitual.
Que U4N := {t1, · · ·, t v(4N)} sea el conjunto de todos los cúspides regulares inequivalentes de 0(4N). Nota
que el género de la categoría 0(4N) es cero si y sólo si 1 ≤ N ≤ 4. LetMâ € 1
(0(4N)) ser el espacio
de formas modulares débilmente holomórficas de peso + 1
sobre el punto 0(4N) y dejar que el punto 1 de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I de la parte I.
(0(N))
denotar el conjunto de f(z) â € Mâ € 1
(0(N)) tal que el término constante de su expansión q en
cada cúspide es cero. Let Up es el operador definido por
(f Up(z) :=
af(pn)q
Dejar que OL sea el anillo de números enteros de un número campo L con un ideal primo p • OL. Por
f(z) :=
af(n)q
n y g(z) :=
ag(n)q
n * L[[q−1, q]] escribimos
f(z) فارسى g(z) (mod p)
si y solo si af (n)− ag(n) • p por cada número entero n.
Con estas anotaciones indicamos el siguiente teorema.
Teorema 1. Para N = 1, 2, 4 considerar
f(z) :=
af n)q
n.o M.o.p.
(l0(4N)) L[[q−1, q]].
Suponga que p OL es cualquier ideal primario tal que pp, p prime, y que af(n) es p-integral
para cada número entero n ≥ n0.
(1) Si p = 2 y af (0) = 0, entonces existe un entero positivo b tal que
(f (Up)b(z) 0 (mod pj) por cada j N.
(2) Si p ≥ 3 y f(z) • M0
0(4N)) con 2 o 2+
(mod p−1
), a continuación, allí
existe un entero positivo b tal que
(f (Up)b(z) 0 (mod pj) por cada j N.
Observación 1.2. El límite p-ádico de una suma de coeficientes de Fourier de f â € M 3
En el caso de autos, el importe total de la ayuda fue de €0(4N)
estudiado en [13].
Nuestro método sólo permite probar un resultado más débil si f(z) 6o M0
(0(4N)).
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 3
Teorema 2. Para N = 1, 2 o 4, dejar
f(z) :=
af n)q
n â € Mâ € 1
(l0(4N)) L[[q−1, q]].
Supongamos que p OL es cualquier ideal primo con pp, p prime, p ≥ 5, y que af (n) es
p-integral para cada entero n ≥ n0. En caso de que el valor de la sustancia activa sea superior al valor de la sustancia activa, el valor de la sustancia activa deberá ser igual o superior al valor de la sustancia activa de conformidad con el artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013.
(mod p−1
), entonces existe un
entero positivo b0 tal que
p2b−m(p:
tâ € € € TM ~ U4N
•4N,3 •(p:l)(z)
R4N (z)
e®(4N)
(0)atf (0) (mod p)
para cada entero positivo b > b0 (véase la sección 3 para la notación detallada ).
Ejemplo 1.3. Recordemos que la función generadora de la sobrepartición P̄ (n) de n (véase [11])
P̄ (n)qn =
η(2z)
η(z)2
está en M− 1
(0(16)), donde η(z) := q
n=1(1− qn). Por lo tanto, el teorema 2 implica que
P̄ (52b) 1 (mod 5), N.
2. Aplicaciones: Más Congruencias
En esta sección se estudian las congruencias para diversos objetos modulares como los
Borcherds exponentes y para cocientes de la serie Eisenstein.
2.1. Límites pádicos de los expositores de Borcherds. Deja que MH denote el conjunto de meromorphic
formas modulares de peso integral en SL2(Z) con divisor Heegner, coeficientes enteros y
Coeficiente 1. Vamos.
{0(4)) := {f(z) =
af(n)q
n â € M 1
(0(4)) a(n) = 0 para n+2,3 (mod 4)}.
Si f(z) =
af(n)q
n° M+1
(l0(4)), a continuación, definir la letra (f(z)) por
(f(z)):= q−h
(1- qn)af (n2),
donde h = − 1
af(0) +
(mod 4) af (−n)H(−n). Aquí H(−n) denota lo usual
Hurwitz clase número de discriminante − n. Lo siguiente fue probado por Borcherds.
Teorema 2.1 ([4]). El mapa es un isomorfismo de M+1
(0(4)) a MH, y el
El peso de la sustancia (f(z)) es af (0).
4 D. Choi e Y. Choie
Que j(z) sea la función j-invariante habitual con la expansión del producto
j(z) = q−1
(1- qn)A(n).
Let F (z) := q−h
n=1(1 − qn)c(n) ser una forma modular meromórfica de peso k en HM.
El límite p-ádico de
dn d · c(d) se estudió en [5] para p = 2, 3, 5, 7. Aquí obtenemos el
límite p-ádico de c(d) para p = 2, 3, 5, 7.
Teorema 3. Let F (z) := q−h
n=1(1− qn)c(n) ser una forma modular meromórfica de peso
k en MH.
(1) Si p = 2, entonces para cada j • N existe un entero positivo b tal que
c(mpb) 2k (mod pj)
por cada entero positivo m.
(2) Si p {3, 5, 7}, entonces, para cada j N existe un entero positivo b tal que
5c(mpb)(F)A(mpb) 10k (mod pj)
para cada entero positivo m. Aquí, (F) es una constante determinada por la constante
término de la expansión q de 1(F) en 0.
2.2. Sumas de n-Squares. Para u â € Z>0, vamos
rn(u) := (s1, · · ·, sn) Zn : s21 + · · s2n = u}.
Teorema 4. Supongamos que p ≥ 5 es un primo. En caso de que el valor de la sustancia activa sea inferior o igual a 2 o 3 (mod. p−1)
), entonces existe
un entero positivo C0 tal que
r2â € 1
p2b−m(p:
• − (14− 4α (p : ♥)) + 16
)[ lp−1 ](p:l)m(p:l)
(mod p),
por cada b > C0.
Observación 2.2. Como para un ejemplo, si ♥ فارسى 2 (mod p− 1) y p es un primo impar, entonces allí
existe un entero positivo C0 tal que
r2â € 1
10 (mod p), b > C0
2.3. Cocientes de la Serie Eisenstein. Congruencias para los coeficientes de cocientes de
La serie elíptica Eisenstein se ha estudiado en [3]. Consideremos el Cohen Eisenstein
Serie Hr+ 1
z) :=
N=0H(r,N)q
n de peso r+ 1
, r ≥ 2 (véase [7]). Obtenemos congruencias.
para los coeficientes de cocientes de Hr+ 1
(z) y la serie Eisenstein.
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 5
Teorema 5. Vamos.
F (z) :=
E4(z)
aF (n)q
G(z) :=
E6(z)
aG(n)q
W (z) :=
E6(z)
aW (n)q
Entonces existe un entero positivo C0 tal que
aF (11
2b+1) 1 (mod. 11),
aG(11)
2b+1) 6 (mod. 11),
aW (11)
2b+1) 2 (mod. 11)
para cada entero b > C0.
2.4. El espacio Maass. A continuación nos ocupamos de las congruencias para los coeficientes de Fourier de
una forma modular de Siegel en el espacio Maass. Para definir el espacio Maass, vamos a introducir
notación dada en [17]: que T • M2g(Q) sea un racional, semiintegral, simétrico, no-
matriz degenerada de tamaño 2g con discriminante
DT := (−1)g det(2T ).
Dejar DT = DT,0f
T, donde DT,0 es el discriminante fundamental correspondiente. Además...
más, vamos
G8 :=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2 0 −1 0 0 0 0 0
0 2 0 −1 0 0 0 0
−1 0 2 −1 0 0 0 0
0 −1 −1 2 −1 0 0 0
0 0 0 −1 2 −1 0 0
0 0 0 0 −1 2 −1 0
0 0 0 0 0 −1 2 −1
0 0 0 0 0 0 −1 2
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
y G7 sea la submatriz superior (7, 7) de G8. Definir
Sg :=
(g−1)/8
2, si g • 1 (mod 8),
(g–7)/8
G7, si g • − 1 (mod 8).
6 D. Choi e Y. Choie
Para cada m N tal que (−1)gm 0, 1 (mod 4), definir un racional, semi-integral, sim-
métrica, matriz definida positiva Tm de tamaño 2g por
Tm :=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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0 m/4
, si se trata de m 0 (mod 4),
e2g−1
e′2g−1 [m+ 2 + (−1)n]/4
, si me (−1) g (mod 4)
Aquí e2g−1 Z(2n−1,1) es el vector de columna estándar y e′2g−1 es su transpuesta.
Definición 2.3. (El espacio de Maass) Tomar g, k, N tal que g, 0, 1 (mod 4) y
g k (mod 2). Vamos.
SMaassk+g (2g)
F (Z) =
A(T )qtr(TZ)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
A(T) =
ak-1-1-(a;T )A(TDT /a2)
(véase (6.2) para más detalles). Este espacio se llama el espacio Maass del género 2g y peso g + k.
En [17] se demostró que el espacio Maass es el mismo que la imagen de la elevación de Ikeda
cuando g 0, 1 (mod 4). Usando este hecho junto con el Teorema 1, derivamos lo siguiente
Congruencias para los coeficientes de Fourier de F (Z) en SMaassk+g (2g).
Teorema 6. En el caso de g 0, 1 (mod 4),
F (Z) :=
A(T )qtr(TZ)
con coeficientes integrales A(T ), T > 0. Si k • 2 o 3 (mod p−1
) para algunos p primo, entonces,
para cada j N, existe un entero positivo b para el cual
A(T ) 0 (mod pj)
por cada T > 0, det(2T ) 0 (mod pb).
El presente documento está organizado de la siguiente manera. La sección 3 da una relación lineal entre Fourier
coeficientes de formas modulares de medio peso integral. Las secciones restantes contienen:
pruebas detalladas de los principales teoremas.
3. Relación lineal entre Coeficiente de Fourier de formas modulares de la mitad
Peso integral
Let V (N; k, n) ser el subespacio de Cn generado por los primeros coeficientes n de la q-
Expansión de f en el caso de f en el caso de f en el caso de Sk(0(N)), donde Sk(0(N) denota el espacio de las formas de cúspide
del peso k â € ¢ Z en â € € ¢ 0 (N). Que L(N; k, n) sea el complemento ortogonal de V (N; k, n)
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 7
en Cn con el producto interno habitual de Cn. El espacio vectorial L(1; k, d(k) + 1), d(k) =
dim(Sk((1))), fue estudiado por Siegel para evaluar el valor de la función zeta Dedekind
en cierto momento. El espacio vectorial L(1; k, n) se describe explícitamente en términos de la
parte principal de las formas modulares de peso negativo en [9]. Estos resultados se ampliaron en [8]
a los grupos 0(N) del género cero. Para 1 ≤ N ≤ 4,
4N, â € ¢
at1f (0), · · ·, a
t/(4N)
f (0), af(1), · · ·, af(n)
Cn(4n)
f # Mâ € 1
(0(4N))
donde U4N := {t1, · · ·, t v(4N)} es el conjunto de todos los cúspides regulares inequivalentes de 0(4N). Nosotros
definir EL(4N, â € 1
;n) ser el complemento ortogonal de EV (4N, + 1
;n) en Cn(4N).
Let â € € TM € TM = q
(4N)+O(q(4N)+1) estar en MÃ1
(0(4N) con el orden máximo en ,
es decir, su orden en es mayor que la de cualquier otra forma modular del mismo nivel
y peso. Además, vamos a
R4(z) :=
η(4z)8
η(2z)4
, R8(z) :=
η(8z)8
η(4z)4
R12(z) :=
η(12z)12η(2z)2
η(6z)6η(4z)4
y R16(z) :=
η(16z)8
η(8z)4
Para l, n° N, definir
m(l : n) :=
0 (mod 2)
1 (mod 2)
α(l : n) := n− l− 1
Let •(4N) ser el orden de cero de R4N (z) en •. Tenga en cuenta que R4N (z)
su único cero en................................................................................................................................... Por lo tanto, utilizando la definición de η(z) = q 124
n=1(1− qn), encontramos que
(3.1) •(4) = 1, •(8) = 2, •(12) = 4, •(16) = 4.
Para cada g •Mr+ 1
(0(4N)) y e • N, let
(3.2)
R4N (z)e
e+(4N)+
b(4N, e, g; ν)q +O(1) at.
Con estas nociones indicamos el siguiente teorema:
Teorema 3.1. Supóngase que el número entero y 1 ≤ N ≤ 4. Para cada e-N
De tal manera que e ≥
− 1, tomar r = 2e − + 1. El mapa lineal Φr,e(4N): Mr+1
(0(4N)) →
8 D. Choi e Y. Choie
EL(4N, â € 1
; e · •(4N)), definido por
Φr,e(4N)(g)
R4N (z)
(0), · · ·, ht/(4N)a
t/(4N)
R4N (z)
(0), b(4N, e, g; 1), · · ·, b(4N, e, g; e · (4N))
es un isomorfismo.
Prueba de Teorema 3.1. Supongamos que G(z) es una forma modular meromórfica de peso 2 en
0(4N). Para el caso de la letra H+C4N, déjenos ser la imagen de la letra D® bajo el mapa canónico de la letra H®C4N.
a una superficie compacta de Riemann X0(4N). Aquí H es el habitual complejo plano de la mitad superior,
y C4N denota el conjunto de todos los cúspides inequivalentes de 0(4N). El residuo ResDGdz de
G(z) en D.o D.o X0(4N) está bien definido, ya que tenemos una correspondencia canónica entre un
forma modular meromórfica de peso 2 en Ø0(4N) y una forma meromórfica de 1 de X0(4N).
Si Rescata G denota el residuo de G en el punto H, entonces
ResDGdz =
Resläg.
Aquí es el orden del grupo de la isotropía en. El residuo de G en cada cúspide de C4N es
(3.3) ResDtGdz = ht ·
atG(0)
Ahora damos una prueba de Teorema 3.1.
Para probar el teorema 3.1, tome
G(z) =
R4N (z)e
f(z),
donde g •Mr+ 1
(0(4N)) y f(z) =
n=1 af(n)q
n â € Mâ € 1
(0(4N)). Tenga en cuenta que G(z) es
holomorphic en H. Desde g(z), R4N (z) y f(z) son holomorphic y R4N (z) no tiene cero
En H, basta con calcular los residuos de G(z) sólo en absoluto cúspides inequivalentes para aplicar
el teorema de residuos. La expansión q de
R4N (z)
ef(z) en
R4N(z)e
f(z) =
e+(4N)+
b(4N, e, g; /)q + a g(z)
R4N (z)
(0) +O(q)
af(n)q
Puesto que R4N (z) no tiene cero en t
R4N (z)e
γt = a
R4N (z)
(0)af(0) +O(qt).
Nótese además que, para una cúspide irregular,
at g(z)
R4N (z)
(0)af(0) = 0.
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 9
Así que el teorema de residuos y (3.3) implican que
(3.4)
tâ € € € TM ~ U4N
e®(4N)
(0)atf(0) +
e+(4N)+
b(4N, e, g; v)af( v) = 0.
Esto muestra que Φr,e(4N) está bien definido. La linealidad del mapa Φr,e(4N) es clara.
Queda por comprobar que Φr,e(4N) es un isomorfismo. Puesto que no existe holomórfico
forma modular de peso negativo excepto la función cero, obtenemos la inyectividad de
Φr,e(4N). Tenga en cuenta que para e ≥ 12,
4N ;+
, e • •(4N)
= e · (4N) + ν (4N)− dimC
Mâ € 1
(0(4N))
No obstante, el conjunto C4N, 1 ≤ N ≤ 4, de todos los cúspides inequivalentes de
0, 1
0, 1
C12 =
0, 1
C16 =
0, 1
y se puede comprobar que
(3.5) /(4) = 2, /(8) = 3, /(12) = 4, /(16) = 6
(véase el punto 1 del capítulo 4. en [15] para más detalles). La fórmula de la dimensión de Mâ € 1
(I0(4N)) (véase
La tabla 1) junto con los resultados en (3.1) y (3.5), implica que
4N, â € ¢
; e · • (N)
= dimC(Mr+ 1
(0(4N))
desde r = 2e− â € 1.
Cuadro 1 Fórmula de dimensión para Mk(0(4N))
N k = 2n + 1
k = 2n+ 3
k = 2n
N = 1 n + 1 n + 1 n + 1
N = 2 2n+ 1 2n+ 2 2n+ 1
N = 3 4n+ 1 4n+ 3 4n+ 1
N = 4 4n+ 2 4n+ 4 4n+ 1
Así que Φr,e(4N) es sujetivo ya que el mapa Φr,e(4N) es inyector. Esto completa nuestra reclamación.
D. Choi e Y. Choie
4. Pruebas del Teorema 1 y 2
4.1. Prueba de Teorema 1. Primero, obtenemos relaciones lineales entre los coeficientes de Fourier
de formas modulares de medio peso integral modulo p. Let
Op := L α es p-integral}.
M 1
, p(0(4N)):= {H(z) =
aH(n)q
n • Op/pOp[[q−1, q]]
H • h (mod p) para algunos h • Op[[q−1, q]] • M • 1
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
S 1
, p(0(4N)):= {H(z) =
aH(n)q
n • Op/pOp[[q−1, q]]
H • h (mod p) para algunos h • Op[[q−1, q]] • S • 1
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente lema da la dimensión de M 1
, p(0(4N)).
Lemma 4.1. Táchese lo que no proceda.
p ≥ 3 si N = 1, 2, 4,
p ≥ 5 si N = 3.
Ahora tomar cualquier ideal primo p OL, pp. Entonces
dim M 1
, p(0(4N)) = dimM1
(0(4N))
dim S 1
, p(0(4N)) = dimS1
(0(4N)).
Prueba. Vamos.
j4N (z) = q
−1 +O(q)
ser una función modular meromórfica con un polo sólo a la altura de la altura. Explícitamente, estas funciones
j4(z) =
η(z)8
η(4z)8
+ 8, j8(z) =
η(4z)12
η(2z)4η(8z)8
j12(z) =
η(4z)4η(6z)2
η(2z)2η(12z)4
, j16(z) =
η2(z)η(8z)
η(2z)η2(16z)
Desde los coeficientes de Fourier de η(z) y 1
son integrales, la expansión q de j4N (z) tiene
coeficientes integrales.
Recordemos que el valor de 4N = q = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N = 4 N , = 4 N = 4 N, 4 N, 4 N, 4 N, 4 N, 4 N = 4 N , = 4 N, = 4 N
(4N) + O(q(4N)+1) es la forma modular de peso + 1
De tal manera que el orden de su cero en es más alto que el de cualquier otra forma modular
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 11
del mismo nivel y peso. Denote el orden de cero de 4N, en 4N por 4N. Entonces
la base de Mâ € 1
(0(4N)) puede ser elegido como
(4.1) 4N,♥(z)j4N (z)e 0 ≤ e ≤ (4N)}.
Si el término «4N», el término «z» es p-integral, entonces el término «4N», el término «j4N» (z)e «0» ≤ «e» ≤ «4N»} también forma una base de
M 1
,p(0(4N)). Nótese que (4N) = dimM® 1
0(4N)− 1. Así que de la Tabla 1 tenemos
(4.2) 4N,(z) = 4N,j(z)R4N (z)
en los que Ł j (mod 2), j {0, 1}. Más precisamente, se puede elegir 4N,j(z) como sigue:
• 4,0(z) = • (z), • 4,1(z) • (z)
+8,0(z) = •(z), •8,1(z) =
(l) (z)3 − (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) ) (l) (l) (l) (l) () () () () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () ) () ) ) ) ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
*12,0(z) = *(z), *12,1(z) =
x,y,zÃ3zq
3x2+2(y2+z2+yz) −
x,y,zÃ3zq
3x2+4y2+4z2+4yz
*16,0(z) =
(l) (z)- (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
3 − 3o(z)2o(4z) + 3o(z)o(4z)2o(4z)3)..............................................................................................................................................................................................................................................
Desde el punto de vista de la letra z) = 1+ 2
n=1 q
n, los coeficientes de la expansión q de los valores de «4N,j(z), j» {0, 1}, son:
P-integral. Esto completa la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 4.2. La prueba de Lemma 4.1 implica que los espacios de Mâ € 1
(0(4N)) para
N = 1, 2, 4 son generados por eta-quotients ya que فارسى(z) =
η(2z)5
η(z)2η(4z)2
Para 1 ≤ N ≤ 4 conjuntos
4N, â € ¢
(f(1), · · · ·, af(n) • Fnp f • S 1
(0(4N))
,Fp := Op/pOp.
Definimos LûS(4N, +
;n) ser el complemento ortogonal de S(4N, +
;n) en Fn
Utilizando Lemma 4.1, obtenemos la siguiente proposición.
Proposición 4.3. Suponga que el número entero es positivo y 1 ≤ N ≤ 4. Para cada e-N,
e ≥
- 1, tomar r = 2e1. El mapa lineal r,e(4N) : Mśr+ 1
,p(0(4N)) → LS(4N,
; e · •(4N)), definido por
r,e(4N)(g) = (b(4N, e, g; 1), · · ·, b(N, e, g; e · (4N)),
es un isomorfismo. Aquí b(4N, e, g; v) se define en (3.2).
Prueba. Tenga en cuenta que dimS 3
(4N) = 0 y que
dimSâ € 1
(4N) +N + 1 +
= dimMâ 1
(véase [10]). Por lo tanto, a partir de Lemma 4.1 y Tabla 1, es suficiente para mostrar que r,e(4N) es inyector.
Si g está en el núcleo de Łr,e(4N), entonces
R4N (z)
e · R4N (z)e 0 (mod p) por la fórmula de Sturm
(véase [21]). Así que tenemos g(z) 0 (mod p) desde R4N(z)e 6 siguientes (mod p). Esto completa el
prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
12 D. Choi e Y. Choie
Teorema 4.4. Toma un p,N = 1, 2, 4 y
f(z) :=
af(n)q
n.o S.o 1
(0(4N)) L[[q]].
Suponga que p OL es cualquier ideal primo con pp y que af (n) es p-integral para cada
número entero n ≥ n0. En caso de que el valor de la sustancia activa sea superior al valor de la sustancia activa, el valor de la sustancia activa deberá ser igual o superior al valor de la sustancia activa de conformidad con el artículo 4, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 575/2013.
(mod p−1
) o p = 2, entonces existe un positivo
entero b tal que
0 (mod p), N.
Prueba de Teorema 4.4. i) Primero, supongamos que p ≥ 3: Tome los enteros positivos l y b tales
(4.3)
3− 2α(p : )
p2b +
p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2.
Tenga en cuenta que si b es lo suficientemente grande, es decir, b > logp
3−2α(p:
p.m.(p.o.p.) − 2
, entonces allí
existe un entero l positivo satisfactorio (4.3). También tenga en cuenta que atf(0) = 0 para cada cúspide t de
*0(4N) ya que f(z) es una forma cúspide. Por lo tanto, si r = 2e− α(p : ♥) + 1, entonces el teorema 3.1 implica
que, en el caso de g(z) ⠀ Mñr+ 1
(0(4N)),
e+(4N)+
b(4N, e, g; ν) af(/p)
2b-m(p:)) 0 (mod p),
desde
R4N (z)e
f(z)p
m(p:)
Elp−1(z)
e+(4N)+
b(4N, e, g; ν)qp
+ a g(z)
R4N (z)
(0) +
a g(z)
R4N (z)
n)qnp
af(n)q
npm(p:
(mod p).
Así que la Proposición 4.3 implica que
p2b−m(p:
2p2b−m(p:
, · · ·, a
e • (4N)p2b−m(p:
â â € TM TM â TM TM â TM TM S
4N,α(p : ) + 1
Si α(p : ) = 2 o 2 +
, entonces
dimSα(p:)+ 1
(0(4N)) = dim S
4N,α(p : ) +
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 13
ii) p = 2: Tenga en cuenta que
4N,1(z)
R4N (z)
= q−1+O(1) para N = 1, 2, 4. Por lo tanto, existe un polinomio
F (X) • Z[X] de tal manera que
F (j4N(z))
4N,1(z)
R4N (z)
= q−n +O(1).
Para un entero b, 22
> â € ¢ 2, vamos
G(z) :=
F (j4N(z))
4N,1(z)
R4N(z)
f (z)(z)2
1+2b−2+3.
Desde el punto de vista de la letra z) del punto 1 (mod 2), el teorema 3.1 implica que af(2b · n) del punto 0 (mod p). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Para aplicar el Teorema 4.4, necesitamos las dos proposiciones siguientes.
Proposición 4.5 (Proposición 3.2 en [22]). Supongamos que p es un primo impar, k y N son
enteros con (N, p) = 1. Vamos.
f(z) =
a(n)qn â € Mâ € 1
(0(4N)).
Supongamos que:=
cp2 d
, con ac > 0. Entonces existe n0, h0 N con h0N, una secuencia
{a0(n)}n≥n0 y r0 {0, 1, 2, 3} de forma que:
(f Upm 1
(z) =
4n+r00 (mod p
a0(n)q
4n+r0
m, m ≥ 1.
Proposición 4.6 (Proposición 5.1 en [1]). Supongamos que p es un primo impar tal que p N
y tener en cuenta
g(z) =
a(n)qn â € Sâ € 1
(0(4Np)
j)) L[[q], por cada j N.
Supóngase además que p OL es cualquier ideal primo con pp y que a(n) es p-integral para
cada entero n ≥ 1. Entonces existe G(z) S 1
(0(4N)) «OL[[q]] de forma que:
G(z) g(z) (mod p),
donde + 1
= (+ 1
)pj + pe(p− 1) con eN grande.
Observación 4.7. La propuesta 4.6 se demostró para p ≥ 5 in [1]. Uno puede comprobar que esto se mantiene
También para p = 3.
Ahora probamos el Teorema 1.
Prueba de Teorema 1. Toma
Gp(z) :=
η(8z)48
η(16z)24
Si p = 2, M12(0(16))
η(z)27
η(9z)3
M12(0(9)) si p = 3,
η(4z)p
η(4p2z)
•M p2−1
(+0(p)
2)) si p ≥ 5.
14 D. Choi e Y. Choie
Usando las propiedades de eta-quotients (véase [12]), tenga en cuenta que Gp(z) desaparece en cada cúspide de
•0(16) excepto • si p = 2, y desaparece a cada cúspide ac de •0(4Np
2) con p2 N si p ≥ 3.
Así, la Proposición 4.5 implica que existen enteros positivos l,m,k tales que
(f Upm(z)Gp(z)l • Sk+ 1
(0(16)) si p = 2,
(f Upm(z)Gp(z)l • Sk+ 1
(+0(4p)
2N)) si p ≥ 3.
Nótese que k (mod p− 1). Usando la Proposición 4.6, podemos encontrar
F (z) Sk 1
(0(4N))
tal que F (z) (z) (f(z)Upm) Gp(z)l (f Upm) (z) (mod p) y k′ (k) (mod p − 1).
Teorema 4.4 implica que existe un número entero positivo b tal que (F Up2b)(z)
(mod p). Por lo tanto, hemos demostrado hasta ahora que si?? p \ p2, todos los coeficientes de Fourier de
· F (z)Upm+2b son p-integral. Repite este argumento para completar nuestra afirmación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4.2. Prueba de Teorema 2. El teorema 2 puede derivarse del teorema 3.1 tomando un
forma modular especial.
Prueba de Teorema 2. Tome un entero positivo l y un entero positivo incluso u tales que
3− 2α(p : )
p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2.
Let F (z) :=
•4N,3 •(p:l)(z)
R4N (z)
y G(z) := Ep−1(z)
lf(z)p
m(p:)
. Desde Ep−1(z)
(mod p), tenemos
F (z)G(z)
a) 4N,3 °(p:l)(z)
R4N (z)
n)qnp
af(n)q
nm(p:)
(mod p).
Si los coeficientes de Fourier de f(z) en cada cúspide son p-integrales, entonces
((F ·G)2γt) (z)
atF (n)q
atG(n)q
atf (n)q
En la página 4N, en la página 3(p:l)(z)
R4N (z)
(mod p)
para t . Desde
aF (z)G (z)(0)(0)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c)(c)(c(c)(c)(c(c)(c(c)(c)(c)(c)(c(c)(c)()()(c)(c()(c()()()()()(c()()()()()(c()()(c()()()(c)()()()()()()()()(c)()()()()()(c()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(c()()())()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
R4N (z)
(0)af (0) + af (p
u-m(p:)) (mod p),
F (z) G (z)
(0) En la página 4N, 3(p:l)(z)
R4N (z)
(0) atf (0) (mod p) para t ,
para u grande, el teorema de residuos implica teorema 2 dejando u = 2b. Por lo tanto,
es suficiente para comprobar una propiedad p-integral de los coeficientes de Fourier de f(z) en cada cúspide:
tomar un entero positivo e de tal manera que فارسى(z)ef(z) es una forma modular holomórfica, donde
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 15
(z) := q
n=1(1− qn)24. Obsérvese que las extensiones q de j4N (z) y 4N,12e(z) en cada una de ellas.
cúspide son p-integral. Así (4.1) implica que
(z)ef(z) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cnj4N (z)
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Por otra parte, cn es p-integral desde
j4N (z)
(z) = q
*12e(4N)−n +O
qŁ12e(4N)−n+1
y f(z) • OL[[q, q−1]]. Nótese que p 4N desde 1 ≤ N ≤ 4 y p ≥ 5 es un primo.
Así Coeficientes de Fourier de j4N (z), N,12e(z) y
a cada cúspide son p-integral. Esto
completa nuestra reclamación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5. Prueba de Teorema 3
El teorema 3 sigue del teorema 1 y del teorema 2.1.
Prueba de Teorema 3. Tenga en cuenta que j(z) • MH. Vamos.
g(z) := 1(j(z)) y f(z) := 1(F (z)) =
af n)q
Se sabe (véase §14 en [4]) que
g(z) =
E10(4z)
4l(4z)
* z) d)
(E10(4z))
80.i.(4z)
فارسى(z).
Puesto que los términos constantes de las extensiones q en de f(z), (z) y g(z) son 0, a0
(0) =
y a0g(0) =
· 456
, respectivamente, tenemos
f(z)− kŁ(z)−
a0f(0) + k(1− i)/2
a0g(0)
g(z) â € M01
(0(4)).
Aplicando el Teorema 1, se obtiene el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. Pruebas de Teorema 4 y 5
Comenzamos con la siguiente propuesta.
Proposición 6.1. Dejar p ser un primo impar y
f(z) :=
af n)q
n â € Mâ € 1
(0(4)) Zp[[q]].
En caso de que el valor de la sustancia activa sea inferior o igual a 2 o 3 (mod. p−1)
), entonces
p2b−m(p:
-(14 − 4α(p : ♥))af(0) + 28
2−1 − 2−1i
)pb(7−2α(p:
a0f (0) (mod p)
16 D. Choi e Y. Choie
para cada entero b > logp
2α(p:♥)−3
p.m.(p.o.p.) + 2
Prueba de la Proposición 6.1. En el caso de Z≥0,
p.m.(p.o.p.) := ν · (p.o. 1) + α(p.o.:) + 1
Para un entero b con
3− 2α(p : )
p.m.(p.o.p.) − 2
existe un l â € N tal que
3− 2α(p : )
p2b +
p.m.(p.o.p.) + l(p.o. 1) = 2,
desde
3− 2α(p : )
p2b +
p.m.(p.o.p.) − 2 = 3− 2α(p.o.:
(p2b − 1) + (p− 1).
Tenemos
F (z) فارسى
n=0 af (n)q
npm(p:) (mod p),
G(z) فارسى q−pb + 14− 4α(p : ) + aG(1)q + · · · (mod p).
Tenga en cuenta que aG(n) es p-integral para cada entero n. Además, obtenemos
F (z) G (z) 2 ( 0 −11 0 )
a0f (0) + · · ·
−26pb
)pb(7−2α(p:
+ · · ·
(mod p),
donde a0f (0) se indica en (1.1). Tenga en cuenta que
0, 1
es el conjunto de cúspides de 0(4), por lo que Teorema
2 implica que
af (p
2b−m(p:n)) + (14− 4α(p: ))af(0)− 28a0f (0)
)pb(7−2α(p:
0 (mod p).
Esto prueba la Proposición 6.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6.1. Prueba de Teorema 4. Ahora probamos el Teorema 4.
Prueba de Teorema 4. Toma
f(z) := 21z) = 1 +
r2â € 1(l)q
af(n)q
Nótese que f(z) â € Mâ € 1
(0(4)). Desde ( 1
( 0 −11 0 )(z) =
, obtenemos
af(0) = 1 y a
f (0) =
)2+1
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 17
Desde el punto de vista de los datos siguientes: 2, 3 (mod. p−1)
) y
, tenemos
)p2u(7−2α(p:
a0f (0)
p.m.(p.e.)
)p2u(7−2α(p:
)pm(p:l)(2α(p:l)+(p−1)(2[ l)p−1 ]+m(p:l))+1)
)(7−2α(p:))(p2u−1)(
)8+2(p−1)[
)8+2[ ♥p−1 ](p−1)+2α(p:
)[ lp−1 ](p:l)m(p:l)
(mod p),
Para algunos u â € N. Aplicando la Proposición 6.1, obtenemos el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6.2. Prueba de Teorema 5. Considere la serie Cohen EisensteinHr+ 1
z) :=
N=0H(r,N)q
de peso r + 1
, donde r ≥ 2 es un entero. Si (−1)rN 0, 1 (mod 4), entonces H(r,N) = 0.
Si N = 0, entonces H(r, 0) = −B2r
. Si N es un entero positivo y Df 2 = (−1)rN, donde D es
un discriminante fundamental, entonces
(6.1) H(r,N) = L(1− r, χD)
μ(d)χD(d)d
r−12r−1(f/d).
Aquí μ(d) es la función Möbius. El siguiente teorema implica que los coefi-
Científicos de Hr+ 1
(z) son p-integral si p−1
Teorema 6.2 ([6]). Que D sea un discriminante fundamental. Si D es divisible por al menos dos
diferentes primos, entonces L(1−n, χD) es un entero para cada entero positivo n. Si D = p, p >
2, entonces L(1−n, χD) es un entero para cada entero positivo n a menos que gcd(p, 1D(g)gn) 6= 1,
donde g es una raíz primitiva (mod p).
Prueba de Teorema 5. Tenga en cuenta que E10(z) = E4(z)E6(z). Por lo tanto, E10(z)F (z), E10(z)G(z) y
E10(z)W (z) son formas modulares de pesos, 8 · 12, 7 ·
y 8 · 1
respectivamente. Por otra parte, el
Los coeficientes de Fourier de estas formas modulares son 11-integrales, ya que los coeficientes de Fourier
de H 5
z), H 7
z) y H 9
(z) son 11-integrales por Teorema 6.2. Tenemos
E10(z)F (z) =
+O(q),
E10(z)F (z) 17
( 0 −11 0 ) =
(1 + i)(2i)−5 +O
E10(z)G(z) =
+O(q),
E10(z)G(z) 15
( 0 −11 0 ) =
(1− i)(2i)−7 +O
E10(z)W (z) =
+O(q),
E10(z)W (z) 17
( 0 −11 0 ) =
(1 + i)(2i)−9 +O
18 D. Choi e Y. Choie
donde B2r es el número 2r Bernoulli. La conclusión ahora viene de la Proposición
6.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6.3. Prueba de Teorema 6. Comenzamos por introducir algunas anotaciones (ver [17]). Vamos.
V := (F2np, Q) ser el espacio cuadrático sobre Fp, donde Q es la forma cuadrática obtenida
a partir de una forma cuadrática x 7→ T [x](x • Z2np ) mediante la reducción del módulo p. Denotamos por < x, y >:=
Q(x, y)−Q(x)−Q(y), x, y • F2np, la forma bilineal asociada y let
R(V ) := {x • F2np : < x, y = 0, •y • F2np, Q(x) = 0}
ser el radical de R(V ). Después de [14], definir un polinomio
Hn,p(T;X) :=
1 si sp = 0,[(sp−1)/2]
j=1 (1− p2j−1X2) si sp > 0, sp impar,
(1 + p(T)p
(sp−1)/2X)
[(sp−1)/2]
j=1 (1− p2j−1X2) si sp > 0, sp par,
donde para incluso sp denotamos
P(T ) :=
1 si W es un espacio hiperbólico o sp = 2n,
− 1 en caso contrario.
Después de [16], para un entero no negativo μ, definir
μ) por
T (p
μ)Xμ :=
(1−X2)Hn,p(T;X), si pfT,
1 de lo contrario.
Extendemos las funciones de la T multiplicativamente a los números naturales N mediante la definición
T (p
μ)X :=
((1−X2)Hn,p(T;X)).
D(T ) := GL2n(Z) \ {G •M2n(Z) •GL2n(Q): T [G−1] semiintegral},
donde GL2n(Z) opera por multiplicación izquierda y T [G]
−1) = T ′G−1T. Entonces D(T) es
finito. Para un N con afT, vamos
(6.2) ♥(a;T ) :=
GÓD(T),det(G)d
T [G−1](a/d
Nótese que "(a;T )" (Z) para todos los a. Con estas nociones indicamos el siguiente teorema:
Teorema 6.3 ([17]). Suponga que g 0, 1 (mod 4) y dejar k N con g K (mod 2).
Una forma modular de Siegel F es en SMaassk+n (2g) si y sólo si existe una forma modular
f(z) =
c(n)qn • Sk+ 1
(0(4))
EL LÍMITE PÁDICO DE LAS FORMAS MODULARES HOLOMÓRFICAS DEFICIOSAS 19
Tal que A(T ) =
ak−1♥(a;T )c
DT
para todos los T. Aquí,
DT := (−1)g · det(2T )
y DT = DT,0f
T con DT,0 el discriminante fundamental correspondiente y fT N.
Observación 6.4. Una prueba del Teorema 6.3 dada en [17] implica que si A(T )-Z para todos los T,
entonces c(m) â € Z para todos los m â € N.
Prueba de Teorema 6. Del teorema 6.3 podemos tomar
f(z) =
c(n)qn • Sk+ 1
(0(4)) Zp[[q]
de tal manera que
F (Z) =
A(T)qtr(TZ) =
ak−1♥(a;T )c
DT
qtr(TZ).
Por el teorema 1, existe un entero positivo b tal que, para cada entero positivo m,
c(pbm) 0 (mod pj),
desde k • 2 ó 3 (mod p−1
). Supongamos que pb+2j DT. Si pja y afT, entonces
ak−1♥(a;T )c
DT
0 (mod pj).
Si pj a y afT, entonces pb
DT a2 y a
k-1-0(a;T )c
DT
0 (mod pj). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Agradecimientos
Agradecemos al árbitro por muchos comentarios útiles que han mejorado nuestra exposición.
Bibliografía
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Escuela de Artes y Ciencias Liberales, Universidad Aeroespacial de Corea, 200-1, Hwajeon-
dong, Goyang, Gyeonggi, 412-791, Corea
Dirección de correo electrónico: choija@postech.ac.kr
Departamento de Matemáticas e Instituto Matemático Pohang, POSTECH, Pohang,
790–784, Corea
Dirección de correo electrónico: yjc@postech.ac.kr
1. Introducción y declaración de los principales resultados
2. Aplicaciones: Más Congruencias
2.1. Límites pádicos de los exponentes de Borcherds
2.2. Sumas de n-cuadras
2.3. Cocientes de la serie Eisenstein
2.4. El espacio Maass
3. Relación lineal entre Coeficiente de Fourier de formas modulares de medio peso integral
4. ¿Pruebas de Teorema? ¿Y?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
4.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
4.2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
5. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
6. ¿Pruebas de Teorema? ¿Y?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
6.1. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
6.2. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
6.3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
Agradecimientos
Bibliografía
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704.0014 | Iterated integral and the loop product | Las integrales iteradas y el producto del bucle
Koichi Fujii
1 Introducción
El propósito de este artículo es describir la topología de cuerdas desde el punto de vista de
Las integrales iteradas de Chen. Dejar que M sea un d-manifold cerrado compacto orientado y
LM ser el espacio de bucle libre de M, el conjunto de mapas lisos sin base de S1 a M.
Que H* (LM) sea la homología del espacio de bucle libre desplazado por la dimensión de
el múltiple, es decir, H*(LM) = Hd(LM). Chas y Sullivan encontraron el producto
sobre H*(LM) a la que llamaron producto de bucle [1]:
Hp(LM)Hq(LM)→ Hp+q(LM).
Demostraron que este producto hace H*(LM) un asociado, conmutativo
álgebra.
Merkulov construyó un modelo para este producto basado en la teoría de iter-
ated integrales, especialmente de la conexión formal de la serie de potencia [10]. Apareció.
que hay un isomorfismo de álgebras
H* (LM) = H* (M R
donde M es el álgebra diferencial graduada de Rham de M y R
la terminación formal del álgebra asociativa graduada gratuita generada por algunos
no commutativos indeterminados.
Por otro lado, Chen mostró que la cohomología del espacio de bucle libre
del colector simplemente conectado es isomórfico a la cohomología del ciclo
complejo de barras de formas diferenciales a través de las integrales iteradas de Chen (véase [5] o [8]):
H*(LM) = H
∗(C(OM)).
En este artículo, construimos un modelo para el producto de bucle basado en el
ory del complejo de barras cíclicas. Definimos un complejo Hom(B(M),M) y
su subcomplejo Hom(B(M),M) para que la dualidad Poincaré induzca la
isomorfismo de los espacios vectoriales
H*(Hom(C(M),R)) = Hd(Hom(M,M)).
Podemos definir un producto en Hom(B(M),M) que realiza el producto del bucle.
http://arxiv.org/abs/0704.0014v1
Teorema 1.1. Deje que M sea un colector cerrado compacto orientado simplemente conectado.
Supongamos que H*(M) es de tipo finito. Dejado A ser un diferencial de subaltela graduada-
Sujetador de tal manera que H*(A) = H*(?M) por la inclusión. Entonces hay un
isomorfismo de álgebras asociativas, conmutativas
H*(LM) = H*(Hom(B(A), A)).
El producto definido en H*(Hom(B(A), A)) corresponde al producto de bucle un-
der el isomorfismo.
El periódico se organiza de la siguiente manera. En la sección 2, repasamos brevemente
Las integrales iteradas de Chen. En la sección 3, damos una construcción de un complejo
Hom(B(A), A), y discutir sus propiedades. En la sección 4, damos una prueba de
teorema 1.1. En la sección 5, se estudian las integrales iteradas en el espacio de bucle libre
de los colectores no simplemente conectados. En la sección 6, describimos una relación
entre el producto en Hom(B(A), A) y el soporte Goldman. En este artículo,
todas las homologías tienen sus coeficientes en el campo de los números reales.
Agradecimiento: El autor agradece al profesor Toshitake Kohno
mucho para comentarios útiles y apoyo suave.
2 integrales iteradas de Chen
Repasamos brevemente las integrales iteradas de Chen (véase [5], o [8]). Deja que M sea un finito
dimensional suave colector y dejar que LM sea el espacio de bucle libre de M, es decir
el espacio de todos los mapas lisos de S1 a M. Dejemos que el k-simplex
{t1, ·· ·, tk) • R
k 0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk ≤ 1}.
Tenemos un mapa de evaluación
Φk : Łk × LM →M
definido por
Φk(t1, · · ·, tk; γ) = (γ(t1), · ·, γ(tk)).
A continuación, definir Pk para ser la composición
(M)k → Mk
→ (k × LM)
→ kLM
donde p* es la integración a lo largo de la fibra de la proyección p : k×LM → LM.
Teniendo en cuenta lo siguiente:
*M, la integral iterada
*1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
es una forma diferencial sobre LM del grado total 1 + · · · k − k, definida por el
fórmula
• 1 · · · k = (−1)
(k−1)1(k−2)2k−1k(k−1)/2Pk(1, · · · · · ·).
3 Preliminares
En esta sección, damos una construcción de algunos complejos. Que A sea una arbitrariedad
álgebra graduada diferencial en esta sección. Dejemos que A® denote el dual de A. Los
complejo de barras de A, (B(A), dB), está definido por
B(A) = r≥0
r sA,
dB(+1, · · ·, • r) = −(−1)
(1, · · · ·, i−1, dÃi, Ãi+1, · · ·, ár)
−(−1)
(1, · · · ·, i1, i·i+1, i+2, · · ·, ·r).
Aquí (sA)q = Aq+1 o Aq de acuerdo con 0 ≤ q o 0 < q, y
Denotamos la totalidad de los elementos de grado n por B(A)n. El coproductoH
∗(B(A))
→ H*(B(A)) H*(B(A)) está definido por
(1, · · ·, n) 7→
(1, · · · · · · · · · i ) ( · i + 1, · · · · · · · · n).
Chen probó el siguiente teorema.
Teorema 3.1 (Chen [5]). Dejar que M sea un colector simplemente conectado y H*(M)
ser de tipo finito. Dejado A ser un álgebra graduada diferencial de tal manera que A0 =
R y H*(A) = H*(M) por la inclusión. Entonces hay un isomorfismo de
carbongebras
H*(B(A)) = H
∗(M)
dado por
(1, · · ·, n) 7→
• 1 · · · n.
Que F pB(A) sea una filtración de B(A) de tal manera que
F pB(A) = ≤0≤r≤p
r sA.
Que Hom(B(A), A(A)n =
p+q=n Hom(B(A)p, A
q®) y Hom(B(A), A®) =
n Hom(B(A), A
Su límite está definido por:
(1, · · · ·, r)()
= (1, · · · ·, () () + (1)
(dB(1, · · · · ·, r))))
− (−1)(2, · · · ·, r) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (·) (·) (·) (· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
+(−1)r−1(r1)
Definimos el subcomplejo de Hom(B(A), A®), Hom(B(A), A®), de acuerdo
a la normalización por Chen del complejo de barras cíclicas (véase [4] o [8]). Definimos
Hom(B(A), A®) debe ser el conjunto de elementos en Hom(B(A), A®) que satisfacen el
después de las ecuaciones para cualquier................................................................................................................................................................................
>0 y f • A0:
(· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · = 0, 1 ≤ i ≤ r − 1,
(1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(1, · · · ·, fwr)() + (1, · · · ·, r)() + (1, · · · ·, r, df)() = 0.
Se puede ver fácilmente que es isomórfico al dual del ciclo normalizado
complejo de barras de A:
Hom(B(A), A®) = C(A)
Del mismo modo, que Hom(B(A), A)n =
p–q=n Hom(B(A)p, A
q) y Hom(B(A), A)
n Hom(B(A), A)n. Su límite está definido por
(1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
= (−1)rdlä(1, · · · ·, r)− (−1)
(dB(1, · · · · · · · · ))
+(−1)rÃ3lÃ3lÃ3lÃ3lÃ3lálálálálálálálálálálálálálálálálálálálál
−(−1)(r1)(1)•(1 · · · ·,?r−1) • r. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Definimos Hom(B(A), A) como el conjunto de elementos en Hom(B(A), A) que
satisfacer las siguientes ecuaciones para cualquier..........................................................................................................................................
>0 y f • A0:
(· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(· · · ·, i−1, df, i, · · · ) = 0, 1 ≤ i ≤ r − 1,
-f -(-), -(-), -(-), -(-), -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-, -(-), -(-, -(-), -(-, -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-, -(-), -(-, -(-), -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-), -(-), -(-), -(-), -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -,
(1, ·· · ·, fwr) + (1, · · · ·, ° r) f + (1, · · ·, r, df) = 0.
El producto de la taza en Hom(B(A), A) está definido por
-1 -2 (-1, · · · · · · · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
0≤i≤r
(−1)1(2ri)
Desde el 1 de enero de 2002 = 1 de enero de 2002 + (−1)
11 2, H*(Hom(B(A), A)) se convierte en
un álgebra. Este producto puede inducirse en H*(Hom(B(A), A)).
El término E1 de sus secuencias espectrales asociadas con la filtración F
pB(A)
se puede calcular a partir de la cohomología de A.
Proposición 3.2. Hay un isomorfismo de los espacios vectoriales
H*(Hom(F)
pB(A)/F p−1B(A), A®) = Hom(
psH(A), H(A)®)
Prueba. Que A sea un subálgebra graduada diferencial de A tal que A
= Ap para p
> 1, A
= R y
A1 = dA0
Hay un isomorfismo de los espacios vectoriales
Hom(F qB(A)/F q−1B(A), A®) = Hom(F
qB(A)/F q−1B(A), A
Desde A
= R, hay un isomorfismo
H0(Hom(F)
qB(A)/F q−1B(A), A
) = Hom(sH(A), H(A)
Por lo tanto obtenemos la proposición.
4 Prueba de Teorema 1.1
Damos la prueba del teorema 1.1 en esta sección. Hay una clasificación diferencial
subalgebra de A, A, tal que A
= R y H(A) = H(A) por la inclusión. Entonces
obtenemos el isomorfismo de álgebras
H*(Hom(B(A), A)) = H*(Hom(B(A), A))
por la propuesta 3.2. Por lo tanto, basta con verificar el teorema en el caso A0 = R.
El siguiente resultado se debe a Chen.
Teorema 4.1 (Chen [5]). H*(LM) = H*(Hom(B(A), A
Prueba. Definimos : C*(LM)→ Hom(B(A), A
•) por
• (ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(l)(l)(ln)(ln(l)(l)(l)(ln)(ln(n)(l)(n(ln)(n)(l)(n)(n)(n)(n)(l)(l) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
• 1 · · · n.
Que FpC*(LM) sea una filtración de C*(LM) de tal manera que
FpCr(LM) = {
r → LM
q ≤ p, : r → q }.
Que {Erp,q} sea la secuencia espectral asociada. Definir una filtración de Hom(B(A), A
FpHom(B(A), A) = {f) Hom(B(A), A
≥p+1}.
Se puede demostrar fácilmente que • preserva las filtraciones de C*(LM) y Hom(B(A), A
En el nivel E2, el mapa
Hp(M)Hq(OM)→ Hp(A)
Hq(B(A)
es dada por
*1 *2 *2 *7 *1 *2 *2 *2*2 *2*2 *2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2**2*2**2*2*2*2*2*7*7*7*7**7**7**************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
(1, · · ·, n 7→
• 1 · · · n)
Teorema 3.1 afirma que se trata de un isomorfismo. Por lo tanto, obtenemos el
teorema.
Lemma 4.2. H* (Hom(B(A), A)) = Hd(Hom(B(A), A)
Prueba. Definimos un mapa de cadena P : Hom(B(A), A)→ Hom(B(A), A®) por
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(l · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·.
Definir una filtración de Hom(B(A), A) por
FpHom(B(A), A) = -Hom(B(A), A) -(l), · · · · · · • A
≥d−p}.
El mapa P conserva esas filtraciones. En el nivel E2, el mapa
P: Hd−p(A)Hq(B(A)
Hp(A)→ Hp(A)
Hq(B(A)
es dada por
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # #
Esto es isomórfico y obtenemos el lema.
Prueba del teorema 1.1. Podemos verificar que H*(LM) es isomórfico a
H*(Hom(B(A), A)) como espacios vectoriales componiendo los mapas en el teorema 4.1 y
lemma 4.2. También podemos verificar que hay un isomorfismo de asociativo,
álgebras conmutativas. De hecho, el producto de copa de Hom(B(A), A) en el nivel E2
Hd−p(A)Hq(B(A)
Hd-s(A)Ht(B(A)
H2d−p−s(A)Hq+t(B(A)
es dada por
a g b h 7→ (−1)(d−p+q)(d−s)a فارسى b g · h,
donde g · h satisface
g · h(1, · · · ·, n) =
g(1, · · · ·, i)h(i+1, · · ·, n).
Entonces el siguiente teorema afirma que el producto de lazo y el producto de la taza
coinciden en el nivel E2.
Teorema 4.3 (Cohen-Jones-Yan [6]). Que M sea un colector simplemente conectado.
Entonces {Erp,q} se convierte en un álgebra y converge a H*(LM) como álgebras. Activar
Nivel E2, el producto
μ : Hp(M;Hq(LM))Hs(M;Ht(LM))→ Hp+q−d(M;Hs+t(LM))
es dada por
μ(a g) (b h)) = (−1)(d−s)(p+q−d)(a · b) (gh)
en los que a) Hp(M), b) Hs(M), g) Hq(M), h) Ht(M), a) b) es el intersec.
producto y gh es el producto Pontryagin.
Por lo tanto obtenemos el teorema.
5 Las clases de conjugación de los grupos fundamentales
Denotar un grupo fundamental de un sinuoso múltiple M y J denotar un
Ampliación ideal del anillo de grupo de η, Rη. Chen mostró que la finalización
del grupo fundamental con respecto a los poderes de su ideal de ampliación es
isomórfico al dual de la cohomología 0-th del complejo de barras de diferencial
formas a través de integrales iteradas [3]:
Rl/Jp = H
0 (B(A) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
donde A es un subálgebra graduada diferencial de ØM de tal manera que A0 = R y
H*(A)=H*(M).
Sobre la base de este trabajo, estudiamos integrales iteradas en el espacio de bucle libre de la
colectores no simplemente conectados. Que denote el conjunto de clases de conjugación de
y Jūp denotan pr(Jp) donde pr es la proyección de Rη en R.
Teorema 5.1. Deja que M sea un colector suave y H*(M) es de tipo finito. Let A
ser un subálgebra graduada diferencial de ØM de tal manera que el mapa Hq(A)→ Hq(?M)
inducido por la inclusión es isomórfico si q = 0, 1 e inyector si q = 2. Entonces
hay un isomorfismo de los espacios vectoriales
H0(Hom(B(A), A)
Damos la prueba de este teorema en esta sección. Que ∗ sea un punto fijo
en S1. En esta sección, dejar que LM sea un conjunto de mapas lisos de S1 a M que
son mapas constantes cerca de ∗. Que xM sea un subespacio de LM cuyos elementos
enviar * a x â € M. Dejar Diff(S1, * ) denotan difeomorfismos de S1 que coinciden
con mapa de identidad cerca de ∗. Definimos α, β : q → LM para ser equivalente por un
reparameterización iff hay un mapa liso : Łq → Diff(S1, ∗) de tal manera que
β(+)(t) = α(+)(+)(t, +)),
Que C*(LM) sea un complejo de cadena que tenga como base la totalidad de equiva-
clases de lince de simplexes lisos de LM. Dejemos que C*(lxM) sea un complejo de cadena
que tengan como base la totalidad de las clases de equivalencia de simples lisos de xM.
C*(lxM) se convierte en un álgebra asociativa no conmutativa de la siguiente manera. El prod-
se define como el producto de ruta o 0 de acuerdo con
igual o superior a 1 °C. La aumentación : C*(♥xM) → R es dada por
= 1 o 0 según deg
Dejar ser una simplex suave de M. Definir para cada
Cq(LM)() = {
i Cq(LM) i =.
Cq(LM)() se convierte en un álgebra asociativa no conmutativa. Denotar la palabra «denominado»
la ampliación de Cq(LM)(), dada por
7→..........................................................................................................................
Ni. Definir una filtración
de Cq(LM)(
FpCq(LM) = (kerel)
(:q→M)
Proposición 5.2. El mapa : FpCq(LM) → Hom(F)
p -1B(A), A-) dada por
(1, · · ·, p) 7→
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
*1 · · · · p
está bien definido, el mapa de la cadena y FpCq(LM)
Prueba. La precisión puede ser verificada por el siguiente lema:
se verifiquen como en la propuesta 1.5, la propuesta 4.1.1 [2], y en la propuesta 1.5.3
Lemma 5.3 (Chen). 1) Si α y β C*(LM) son equivalentes por un
terización, entonces
• 1 · · n = β
• 1 · · · n.
2) Si se trata de la letra c) del apartado 1 del artículo 1, la letra c) del apartado 2 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, la letra c) del apartado 2 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 se aplicará a partir de la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento.
(l+1 · 2)
• 1 · · · n =
# 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* i + 1 · · · n.
3) En caso de que se trate de una suma de 0 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 1 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de una suma de 2 000 millones de euros.
-1 -1 -1 -1 -n +
-1 · · · · · · · · · n +
-1 · -1df -1df -1 · n = 0.
Para verificar FpCq(LM) â € € TM TM TM TM TM, basta con mostrar ( â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
p â â € € € TM p. Vamos.
s denotar la sección de η, que envía puntos de M al mapa constante. Toma
(O1 − s) · (O2 − s) · · · · · · (Op − s)
p, en el que Cq(M) y
Cq(LM)(). Entonces
(O1 − s) · (O2 − s/23370/) · · · · · · (Op − s)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
-1 · · -1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
*1 · · · · (k − s)
* 1 · · · · • (p − s)
Por lo tanto obtenemos la proposición.
Que C*(M,x) denote un conjunto de simplexes suaves de M barrio de los cuales
vértices están en x en M. Definimos
C sCp = C*(M,x) sC*(M,x)
Aquí (sC*(M,x))q = Cq+1(M,x) o 0 según q > 0 o q ≤ 0. Su límite
es dada por la suma de la frontera en cada complejo. Construyamos una cadena
mapa Φ : C sCp → FpC∗(LM)/Fp+1C∗(LM) considerando los tres siguientes
casos:
Caso 1: Si (?1, · · ·,?p)
sC(M,x)p
, entonces
Φ: (O1, · · ·, p) 7 (O1 − x) · (O2 − x) · · · · · (Op − x)
donde x es considerado como un mapa constante.
Caso 2: Si (?1, · · ·,?p)
sC(M,x)p
, entonces
Φ: (1, · · · ·, p) 7 (1 − x) · (2 − x) · · i · · · (p − x)
en los que:
7→ (t) (t) (xM)
(t)
((1 −)(1 −)(1 − t)v0 + tv2) + (1 − 2t)v0 + 2°tv1), si 0 ≤ t ≤ 1/2
((1 −)(1 − t)v0 + tv2) + (2 − 2t)v1 + (2t− 1)v2), si 1/2 ≤ t ≤ 1
Aquí v0, v1, v2 son los vértices de la simplex estándar
Caso 3: Si (γ, 1, · · ·, p) C1(M,x)
sC(M,x)p
, entonces
Φ: (γ, 1, · · ·, p) 7 γ
t (Δ1 − x)γt · · · γ
t (Δp − x)γt
donde γt : [0, 1] s 7→ γ(st) M, t
Lemma 5.4. El siguiente diagrama se desplaza:
C sCp
FpC1(LM)/Fp+1C1(LM)
C sCp
FpC0(LM)/Fp+1C0(LM)
Prueba. En el caso 2
(?1, · · ·,?p)− (?1, · · ·,?p)
= (de 1 - x) · · · (de 1 - x) · ·
i ·
i −
i −
i +
i −
i + x) · · · (p − x)
= (de 1 - x) · · · (de 1 - x) · ·
i − x) ·
i − x) · · (p − x) • Fp+1C0(LM)
donde
i,
i,
Yo soy las caras de...................................................................................................................................
Para el caso 3,
(γ, 1, · · · ·, p)−
′(γ, 1, · · ·, p)
= 1 · (1 − x) · γ · · · γ
−1 · (p − x) · γ − (1 − x) · · · (p − x)
• Fp+1C0(LM).
Por lo tanto obtenemos el lema.
La Proposición 5.2 da el mapa
Hq(FpC(LM)/Fp−1C(LM))→ Hq(Hom(F)
pB(A)/F p−1B(A), A®).
Lemma 5.5. Para q = 0, el siguiente mapa es isomórfico:
H0(FpC(LM)/Fp+1C(LM)) = H0(Hom(F)
pB(A)/F p−1B(A), A®).
Prueba. Obtenemos la siguiente superficie por el lema 5.4.
Φ : H0(C sC
p) H0(FpC(LM)/Fp+1C(LM)).
Componiendo con el isomorfismo pH1(M) = H0(C sC
p), el mapa
pH1(M) H0(FpC(LM)/Fp+1C(LM))→ Hom()
pH1(A),R)
es dada por
(O1, · · ·, n) 7→
(1, · · ·, p) 7→
• 1 · · · ·
Esto es isomórfico y obtenemos el lema.
Lemma 5.6. Para q = 1, el siguiente subjetivo del mapa:
H1(FpC(LM)/Fp+1C(LM)) H1(Hom(F)
pB(A)/F p−1B(A), A®).
Prueba. Basta con demostrar que el siguiente mapa obtenido por el lema 5.4 es
Sujetivo.
ker/23370/ → H1(FpC(LM)/Fp+1C(LM))→ Hom(
psH(A), H(A)®1
Si (γ, 1, · · ·,
C0(M,x)
sC(M,x)p
, entonces
(γ, 1, · · ·, p) 7→
(1, · · ·, p) 7→
• 1 · · · ·
P, si deg • = 0
0, de lo contrario
a través del mapa anterior.
Si (γ, 1, · · ·,
C1(M,x)
sC(M,x)p
, entonces
(γ, 1, · · ·, p) 7→
(1, · · ·, p) 7→
• 1 · · · ·
cuando la deg • = 1. Entonces podemos verificar la subjetividad y obtener el lema.
Prueba del teorema 1.1. Considerar las secuencias espectrales de C(LM)/FpC(LM) y
Hom(F p−1B(A), A®) asociado con FqC(LM) y Hom(F)
qB(A), A®), re-
Desde el punto de vista de las perspectivas. Lemma 5.5 afirma que la p es isomórfica en el nivel E1 en el grado 0:
H0(FqC(LM)/Fq+1C(LM)) = H0(Hom(F)
qB(A)/F q−1B(A), A®)).
Lemma 5.6 afirma que la p es sustitutiva en el nivel E1 en el grado 1:
H1(FqC(LM)/Fq+1C(LM)) H1(Hom(F)
qB(A)/F q−1B(A), A®)).
Luego hay un isomorfismo en Er-nivel en grado 0 para r ≥ 1. Tenemos
= H0(C(LM)/FpC(LM)) = H0(Hom(F)
pB(A), A®).
Por lo tanto obtenemos el teorema.
6 El soporte Goldman
Esta sección está dedicada a la prueba del siguiente teorema.
Teorema 6.1. Dejar M ser una superficie compacta cerrada orientada con el género g. Entonces
el soporte Goldman induce una estructura de álgebra de Lie en lim
R/Jśpand hay
un isomorfismo de álgebras de Lie
R/Jp = H0(Hom(B(H)
∗(M)), H*(M)•).
Goldman mostró que el espacio vectorial se extiende por las clases libres de homotopía
de curvas cerradas en una superficie cerrada orientada tiene una estructura de álgebra de Lie [9]. Esto
El trabajo llevó a Chas y Sullivan a la topología de cuerdas. Comprobaríamos que esto
estructura hace lim
R/Jūp a Lie álgebra. Por otro lado, podemos construir
un soporte en H0(Hom(B(H)
∗(M)), H*(M)®) por el producto de la taza definido en
la sección 3 y el operador de Connes. Aquí consideramos H*(M) como un diferencial
álgebra graduada con un diferencial trivial. Teorema 6.1 afirma que esos dos
Los álgebras de mentiras son isomórficos.
Primero describimos una relación entre este soporte y el ideal de aumento
del anillo de grupo del grupo de superficie para inducir una estructura de álgebra de Lie sobre
R/Jśp. Luego construimos un soporte en H0(Hom(B(A), A)
•)) y verificar
el isomorfismo de los álgebras de Lie
H0(Hom(B(A), A)
Finalmente verificamos el isomorfismo
H0(Hom(B(A), A)
•) = H0(Hom(B(H)
* M), H* M).
La siguiente proposición hace lim
R/Jūp a Lie álgebra.
Proposición 6.2. (1) Si p ≥ 1 y q ≥ 2, entonces [J
(2) Si p ≥ 2, entonces [J
Prueba. Damos una prueba de (1). Toma (1x) · · · (px) · Jp, (1y) · · (qy)
• Jśq, donde Supongamos que todas las curvas son inmersiones
y se intersectan transversalmente para cualquier i, j. Que ij} denote el conjunto de
los puntos de intersección de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruces de los puntos de cruce de los puntos de cruces de los puntos de cruces de los puntos de cruce de los puntos de los puntos de cruces de los puntos de cruces de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de cruces de los puntos de los puntos de cruces puntos de los puntos de cruces puntos de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de cruce de los puntos de los puntos de los puntos de cruce de puntos de los puntos de puntos de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de puntos de los puntos de los puntos de puntos de los puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de los puntos de puntos de cruce de puntos de puntos de puntos de cruce y de los puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de los puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de los puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de También asumir que todos los puntos de intersección son
distintos, es decir, Si i 6= k o j 6= l. Entonces,
[..,... ] =
sij
(s;l,j)γs,x · (l-x) · · · · (l-x)(l-x)(l-x) · · ·
·(?i−1 − x) · γ
s,x · s,y · (j − y) · · · · (q − y)(1 − y) · · (j1 − y) · γ
s,x · (i+1 − x) · · · °p − x)(1 − x) · · · °i−1 − x) · γ
s,x ·
s,y · (lj+1 − y) · · · (lq − y) (lj+1 − y) · · (lj−1 − y) · γ
• Jūp+q−2.
Aquí γs, x es un camino de s a x a lo largo de
La prueba de (2) puede ser verificada de la misma manera.
Que A sea un subálgebra graduada diferencial de M tal que H*(A) = H*(M)
por la inclusión.
Proposición 6.3. Hay un isomorfismo de los espacios vectoriales
H*(Hom(F)
pB(A), A) = H2(Hom(F)
pB(A), A®).
Prueba. Definimos P : H2(Hom(F)
pB(A), A))→ H*(Hom(F)
pB(A), A®)) por
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Este mapa conserva las filtraciones. En el nivel E1, el mapa
Hom(qH(A), H(A))→ Hom(qH(A), H(A)
es isomórfico. Por lo tanto obtenemos la proposición.
Ahora construimos un soporte en H0(Hom(B(A), A)
•)). Primero, definimos la
Operador B de Connes: H*(Hom(F)
pB(A), A®) → H1(Hom(F)
p–1B(A), A–))
B()(1), · · · · · · · • p−1)()
0≤k≤p−1
(−1)(?k+1)(?p−1k)?(?k+1, · · ·,?p−1,?,?1, · · · ·k)(1).
Componiendo estos mapas y el producto de la copa, podemos definir un soporte en
H0(Hom(F)
pB(A), A®)) por
= −P (P)
-1B-l-P -1B-l-P -1B-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-
−1B2 • H0(Hom(F)
p -1B(A), A-)).
Tome 2g 1-formas cerradas en M, α1, · · ·, αg, β1, · · g, de tal manera que
αi βj =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Let {E
p.q} denota la secuencia espectral de Hom(B(A), A
•) asociado con
F pB(A). Note que el grupo cíclico Z/pZ actúa sobre E
Hom(pH1(A),R)
(1, · · · ·, p) = (2, · · ·, p, 1)
donde ι es un generador de Z/pZ. El paréntesis [, ] : E
p, −pE
q,−q → E
p+q−2,−p−q+2
[1, 2](1, · · · ·, p+q−2)
i,m,n
1(αi, 1 · · · · ·, p−1)
No 2(βi, p, · · ·, p+q−2)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
No 2(αi, p, · · ·, p+q−2)
donde los grupos electrógenos son Z/pZ y Z/qZ, respectivamente.
Proposición 6.4. El siguiente diagrama se desplaza para p, q ≥ 1:
Jp/ Jp+1 Jq/ Jq+1 E
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[,]
[,]
Jp+q2/Jp+q1
p+q−2,−p−q+2
Prueba. Tómese Δ = (1 − x) · · · (p − x) • FpC0(LM), • = (1 − y) · · · (q − y)
FqC0(LM). Tomar curvas de 2g en M, ai, bi, como en la Figura 1. Asumir que..i y.ij,
ak, o bk, se intersecta transversalmente para cualquier i, j, k. También asumir que Łj y ak, o
bk, intersecar transversalmente para cualquier j, k.
Supongamos que todos los puntos de intersección son distintos. Entonces para cualquier i, j, k, nosotros
puede tomar cada barrio tubular de ai y bi para que no incluya algunos
barrios de puntos de intersección de Arreglamos esos vecindarios.
de puntos de intersección y denotarlos por arriba para cada p. También podemos tomar
un barrio tubular del mapa diagonal de M a M×M fuera de los
barrios de puntos de intersección de ♥i y ♥j para cualquier i, j i.e.
S1 \ { } { } { } { { } { }
i (Arriba)
S1 \ { } { } { } { } { { } { }
j (Arriba)
= , i, j.
Aquí NÃo denota el barrio tubular del mapa diagonal. Clase Thom Φ
de este barrio tubular satisface
Φ = (p;
donde el número de intersección de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los códigos de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los
Fig. 1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Definir eâ : C0(LM) → C1(LM) por e()(t) = γ( + t). Let Łk, 1 ≤
k ≤ n, ser formas diferenciales sobre M que tenga su soporte dentro del tubular
barrios de ai y bi. Entonces
[lbi,j]
# 1 # # n # # n # # # n # # n # # n # # n # # n # # n # # n # # n # n # # n # n # n # # n # n # n # n # # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # # n # # n # n # # n # # n # # n # n # # n # # n # n # # n # n # # n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
pij,k
(p;i, j)
(i)p
*1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(lj)p
*k+1 · · · n
pij,k
j
(i)p
*1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(lj)p
*k+1 · · · n
ei×ej
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* k+1 · · n.
Aquí p1, p2 : LM×LM → LM son las proyecciones. La última igualdad se obtiene
por el siguiente lema.
Lemma 6.5. En caso de que se trate de una empresa de servicios de inversión, se considerará que la empresa de servicios de inversión no cumple las condiciones establecidas en el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013.
[0, 1]), a continuación:
(i)p
• 1 · · · n =
(i)p′
• 1 · · · n.
Prueba. F Dejar γ ser la curva de p a p′ a lo largo de Si γ y están en
la misma dirección, entonces
(i)p′
• 1 · · · n =
(Ôi)p′
• 1 · · · n =
()p
# 1 # # n # # n # # # n # # n # # n # # n # # n # # n # # n # # n # n # # n # n # n # # n # n # n # n # # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # # n # # n # n # # n # # n # # n # n # # n # # n # n # # n # n # # n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
• 1 · · · n.
También podemos verificar el caso en el que γ está en la dirección opuesta a en el mismo
Tenemos la igualdad.
Ee
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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k+1 · · p+q−2
Ee
− p*1(α1 • β1)− p
2-α1-β1) + p
1αj p
2βj − p
1βj p
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k+1 · · p+q−2
De hecho, si η • • (M ×M) entonces
(−1)1
Ee
dη Ł p*1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k+1 · · p+q−2
Ee
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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k+1 · · p+q−2
+(e)
*1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(e)
* k+1 · · * j · * j + 1 · * p + q − 2
La última igualdad se obtiene por el siguiente lema.
Lemma 6.6. En caso de que se trate de un FpC0(LM), entonces
(e)
•1 · · •p−2 = 0.
Prueba. Basta con mostrar el caso = (1 − x) · · · (p − x) donde x • M y • i
# # # xM # Definimos por
i(t) =
(p), si (i − 1)/p ≤ t ≤ i/p
0, de lo contrario.
Dejar denotar (1 − x) · · · (p − x). Se puede demostrar que e restringido en [(i −
1)/p, i/p] está contenido en Fp−1C1(LM) para cualquier i. Por lo tanto
(e)
• 1 · · p−2 = (e)
•1 · · •p−2 = 0.
Jones, Geztler y Petrack describen el mapa en términos de inte-
grals por el siguiente teorema.
Teorema 6.7 (Geztler-Jones-Petrack [8]). En caso de que el importe de la ayuda sea inferior o igual al importe de la ayuda, el importe de la ayuda se calculará de conformidad con el artículo 107, apartado 1, letra b), del TFUE.
1 ≤ i ≤ p, entonces
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
• 1 · · · p =
* k · · p · 1 · · · k − 1.
Este teorema afirma la igualdad
Ee
− p*1(α1 • β1)− p
2-α1-β1) + p
1αj p
2βj − p
1βj p
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
*k+1 · · · n
j,k,l
* k+1 · · p−1αj+1 · · · k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
* k+1 · · p−1βjÃ1 · · · k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Finalmente obtenemos la igualdad
[..,..]
-1 · · -p+q−2
j,k,l
* k+1 · · p−1αj+1 · · · k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
* k+1 · · p−1βjÃ1 · · · k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Ya que podemos tomar
1(M), 1 ≤ i ≤ p + q − 2, de modo que su soporte sea
dentro de los barrios tubulares de aj y bj, obtenemos la proposición.
Prueba del teorema 6.1. Obtenemos el siguiente isomorfismo de Lie álgebras por
propuesta 6.4.
H0(Hom(B(A), A)
Para obtener el isomorfismo de Lie álgebras
H0(Hom(B(A), A)
* = H0(Hom(B(H)
*(M), H*(M),
introducimos el siguiente lema, que afirma la formalidad del pacto
Los colectores de Kähler.
Lemma 6,8 (ddcLemma, Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan [7]). Deja que X sea un
Múltiplo compacto de Kähler y dc = J−1dJ donde J da la estructura compleja
en el paquete de cotangente. Si α es una forma diferencial en X tal que dα = 0 y
dcα = 0, y tal que α = dγ, luego α = ddcβ para algunos β.
Cor. Hay cuasi-isomorfismos de álgebras graduadas diferenciales
(X, d)← (kerdc, d)→ (H*dc(X), 0).
Nótese que una superficie cerrada orientada dotada de una estructura compleja se convierte en
a Los colectores de Kähler por la razón dimensional. Por lo tanto, el siguiente lema:
completa la prueba del teorema.
Lemma 6.9. Si f : A1 → A2 es un cuasi-isomorfismo de grado diferencial
álgebras, luego el mapa inducido por f
H0(Hom(B(A1), A)
1 )→ H0(Hom(B(A2), A
es un isomorfismo.
Prueba. Basta con verificar que el mapa inducido por f
f : H0(Hom(F)
pB(A1), A
1 )→ H0(Hom(F)
pB(A2), A
es un isomorfismo para cualquier p. En el nivel E1, el mapa inducido por f
Hom(sH(A1), H(A1)
)→ Hom(sH(A2), H(A2)
es un isomorfismo porque f es cuasi-isomorfismo. Por lo tanto, obtenemos el
Lemma.
Por lo tanto obtenemos el teorema.
Bibliografía
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[10] S.A. Merkulov, De Rham Model for String Topology, International Mathe-
matics Research Notices 55 (2004), 2955-2981.
Introducción
Las integrales iteradas de Chen
Preliminares
Prueba del teorema 1.1
Las clases de conjugación de los grupos fundamentales
El soporte Goldman
| En este artículo discutimos una relación entre la topología de cuerdas y
formas diferenciales basadas en la teoría de las integrales iteradas de Chen y el
Complejo de barras cíclicas.
| Introducción
El propósito de este artículo es describir la topología de cuerdas desde el punto de vista de
Las integrales iteradas de Chen. Dejar que M sea un d-manifold cerrado compacto orientado y
LM ser el espacio de bucle libre de M, el conjunto de mapas lisos sin base de S1 a M.
Que H* (LM) sea la homología del espacio de bucle libre desplazado por la dimensión de
el múltiple, es decir, H*(LM) = Hd(LM). Chas y Sullivan encontraron el producto
sobre H*(LM) a la que llamaron producto de bucle [1]:
Hp(LM)Hq(LM)→ Hp+q(LM).
Demostraron que este producto hace H*(LM) un asociado, conmutativo
álgebra.
Merkulov construyó un modelo para este producto basado en la teoría de iter-
ated integrales, especialmente de la conexión formal de la serie de potencia [10]. Apareció.
que hay un isomorfismo de álgebras
H* (LM) = H* (M R
donde M es el álgebra diferencial graduada de Rham de M y R
la terminación formal del álgebra asociativa graduada gratuita generada por algunos
no commutativos indeterminados.
Por otro lado, Chen mostró que la cohomología del espacio de bucle libre
del colector simplemente conectado es isomórfico a la cohomología del ciclo
complejo de barras de formas diferenciales a través de las integrales iteradas de Chen (véase [5] o [8]):
H*(LM) = H
∗(C(OM)).
En este artículo, construimos un modelo para el producto de bucle basado en el
ory del complejo de barras cíclicas. Definimos un complejo Hom(B(M),M) y
su subcomplejo Hom(B(M),M) para que la dualidad Poincaré induzca la
isomorfismo de los espacios vectoriales
H*(Hom(C(M),R)) = Hd(Hom(M,M)).
Podemos definir un producto en Hom(B(M),M) que realiza el producto del bucle.
http://arxiv.org/abs/0704.0014v1
Teorema 1.1. Deje que M sea un colector cerrado compacto orientado simplemente conectado.
Supongamos que H*(M) es de tipo finito. Dejado A ser un diferencial de subaltela graduada-
Sujetador de tal manera que H*(A) = H*(?M) por la inclusión. Entonces hay un
isomorfismo de álgebras asociativas, conmutativas
H*(LM) = H*(Hom(B(A), A)).
El producto definido en H*(Hom(B(A), A)) corresponde al producto de bucle un-
der el isomorfismo.
El periódico se organiza de la siguiente manera. En la sección 2, repasamos brevemente
Las integrales iteradas de Chen. En la sección 3, damos una construcción de un complejo
Hom(B(A), A), y discutir sus propiedades. En la sección 4, damos una prueba de
teorema 1.1. En la sección 5, se estudian las integrales iteradas en el espacio de bucle libre
de los colectores no simplemente conectados. En la sección 6, describimos una relación
entre el producto en Hom(B(A), A) y el soporte Goldman. En este artículo,
todas las homologías tienen sus coeficientes en el campo de los números reales.
Agradecimiento: El autor agradece al profesor Toshitake Kohno
mucho para comentarios útiles y apoyo suave.
2 integrales iteradas de Chen
Repasamos brevemente las integrales iteradas de Chen (véase [5], o [8]). Deja que M sea un finito
dimensional suave colector y dejar que LM sea el espacio de bucle libre de M, es decir
el espacio de todos los mapas lisos de S1 a M. Dejemos que el k-simplex
{t1, ·· ·, tk) • R
k 0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk ≤ 1}.
Tenemos un mapa de evaluación
Φk : Łk × LM →M
definido por
Φk(t1, · · ·, tk; γ) = (γ(t1), · ·, γ(tk)).
A continuación, definir Pk para ser la composición
(M)k → Mk
→ (k × LM)
→ kLM
donde p* es la integración a lo largo de la fibra de la proyección p : k×LM → LM.
Teniendo en cuenta lo siguiente:
*M, la integral iterada
*1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
es una forma diferencial sobre LM del grado total 1 + · · · k − k, definida por el
fórmula
• 1 · · · k = (−1)
(k−1)1(k−2)2k−1k(k−1)/2Pk(1, · · · · · ·).
3 Preliminares
En esta sección, damos una construcción de algunos complejos. Que A sea una arbitrariedad
álgebra graduada diferencial en esta sección. Dejemos que A® denote el dual de A. Los
complejo de barras de A, (B(A), dB), está definido por
B(A) = r≥0
r sA,
dB(+1, · · ·, • r) = −(−1)
(1, · · · ·, i−1, dÃi, Ãi+1, · · ·, ár)
−(−1)
(1, · · · ·, i1, i·i+1, i+2, · · ·, ·r).
Aquí (sA)q = Aq+1 o Aq de acuerdo con 0 ≤ q o 0 < q, y
Denotamos la totalidad de los elementos de grado n por B(A)n. El coproductoH
∗(B(A))
→ H*(B(A)) H*(B(A)) está definido por
(1, · · ·, n) 7→
(1, · · · · · · · · · i ) ( · i + 1, · · · · · · · · n).
Chen probó el siguiente teorema.
Teorema 3.1 (Chen [5]). Dejar que M sea un colector simplemente conectado y H*(M)
ser de tipo finito. Dejado A ser un álgebra graduada diferencial de tal manera que A0 =
R y H*(A) = H*(M) por la inclusión. Entonces hay un isomorfismo de
carbongebras
H*(B(A)) = H
∗(M)
dado por
(1, · · ·, n) 7→
• 1 · · · n.
Que F pB(A) sea una filtración de B(A) de tal manera que
F pB(A) = ≤0≤r≤p
r sA.
Que Hom(B(A), A(A)n =
p+q=n Hom(B(A)p, A
q®) y Hom(B(A), A®) =
n Hom(B(A), A
Su límite está definido por:
(1, · · · ·, r)()
= (1, · · · ·, () () + (1)
(dB(1, · · · · ·, r))))
− (−1)(2, · · · ·, r) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (·) (·) (·) (· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
+(−1)r−1(r1)
Definimos el subcomplejo de Hom(B(A), A®), Hom(B(A), A®), de acuerdo
a la normalización por Chen del complejo de barras cíclicas (véase [4] o [8]). Definimos
Hom(B(A), A®) debe ser el conjunto de elementos en Hom(B(A), A®) que satisfacen el
después de las ecuaciones para cualquier................................................................................................................................................................................
>0 y f • A0:
(· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · = 0, 1 ≤ i ≤ r − 1,
(1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(1, · · · ·, fwr)() + (1, · · · ·, r)() + (1, · · · ·, r, df)() = 0.
Se puede ver fácilmente que es isomórfico al dual del ciclo normalizado
complejo de barras de A:
Hom(B(A), A®) = C(A)
Del mismo modo, que Hom(B(A), A)n =
p–q=n Hom(B(A)p, A
q) y Hom(B(A), A)
n Hom(B(A), A)n. Su límite está definido por
(1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
= (−1)rdlä(1, · · · ·, r)− (−1)
(dB(1, · · · · · · · · ))
+(−1)rÃ3lÃ3lÃ3lÃ3lÃ3lálálálálálálálálálálálálálálálálálálálál
−(−1)(r1)(1)•(1 · · · ·,?r−1) • r. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Definimos Hom(B(A), A) como el conjunto de elementos en Hom(B(A), A) que
satisfacer las siguientes ecuaciones para cualquier..........................................................................................................................................
>0 y f • A0:
(· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(· · · ·, i−1, df, i, · · · ) = 0, 1 ≤ i ≤ r − 1,
-f -(-), -(-), -(-), -(-), -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-, -(-), -(-, -(-), -(-, -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-, -(-), -(-, -(-), -(-), -(-), -(-, -(-), -(-), -(-), -(-), -(-), -(-), -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -,
(1, ·· · ·, fwr) + (1, · · · ·, ° r) f + (1, · · ·, r, df) = 0.
El producto de la taza en Hom(B(A), A) está definido por
-1 -2 (-1, · · · · · · · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
0≤i≤r
(−1)1(2ri)
Desde el 1 de enero de 2002 = 1 de enero de 2002 + (−1)
11 2, H*(Hom(B(A), A)) se convierte en
un álgebra. Este producto puede inducirse en H*(Hom(B(A), A)).
El término E1 de sus secuencias espectrales asociadas con la filtración F
pB(A)
se puede calcular a partir de la cohomología de A.
Proposición 3.2. Hay un isomorfismo de los espacios vectoriales
H*(Hom(F)
pB(A)/F p−1B(A), A®) = Hom(
psH(A), H(A)®)
Prueba. Que A sea un subálgebra graduada diferencial de A tal que A
= Ap para p
> 1, A
= R y
A1 = dA0
Hay un isomorfismo de los espacios vectoriales
Hom(F qB(A)/F q−1B(A), A®) = Hom(F
qB(A)/F q−1B(A), A
Desde A
= R, hay un isomorfismo
H0(Hom(F)
qB(A)/F q−1B(A), A
) = Hom(sH(A), H(A)
Por lo tanto obtenemos la proposición.
4 Prueba de Teorema 1.1
Damos la prueba del teorema 1.1 en esta sección. Hay una clasificación diferencial
subalgebra de A, A, tal que A
= R y H(A) = H(A) por la inclusión. Entonces
obtenemos el isomorfismo de álgebras
H*(Hom(B(A), A)) = H*(Hom(B(A), A))
por la propuesta 3.2. Por lo tanto, basta con verificar el teorema en el caso A0 = R.
El siguiente resultado se debe a Chen.
Teorema 4.1 (Chen [5]). H*(LM) = H*(Hom(B(A), A
Prueba. Definimos : C*(LM)→ Hom(B(A), A
•) por
• (ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(l)(l)(ln)(ln(l)(l)(l)(ln)(ln(n)(l)(n(ln)(n)(l)(n)(n)(n)(n)(l)(l) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
• 1 · · · n.
Que FpC*(LM) sea una filtración de C*(LM) de tal manera que
FpCr(LM) = {
r → LM
q ≤ p, : r → q }.
Que {Erp,q} sea la secuencia espectral asociada. Definir una filtración de Hom(B(A), A
FpHom(B(A), A) = {f) Hom(B(A), A
≥p+1}.
Se puede demostrar fácilmente que • preserva las filtraciones de C*(LM) y Hom(B(A), A
En el nivel E2, el mapa
Hp(M)Hq(OM)→ Hp(A)
Hq(B(A)
es dada por
*1 *2 *2 *7 *1 *2 *2 *2*2 *2*2 *2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2**2*2**2*2*2*2*2*7*7*7*7**7**7**************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
(1, · · ·, n 7→
• 1 · · · n)
Teorema 3.1 afirma que se trata de un isomorfismo. Por lo tanto, obtenemos el
teorema.
Lemma 4.2. H* (Hom(B(A), A)) = Hd(Hom(B(A), A)
Prueba. Definimos un mapa de cadena P : Hom(B(A), A)→ Hom(B(A), A®) por
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(l · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·.
Definir una filtración de Hom(B(A), A) por
FpHom(B(A), A) = -Hom(B(A), A) -(l), · · · · · · • A
≥d−p}.
El mapa P conserva esas filtraciones. En el nivel E2, el mapa
P: Hd−p(A)Hq(B(A)
Hp(A)→ Hp(A)
Hq(B(A)
es dada por
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # #
Esto es isomórfico y obtenemos el lema.
Prueba del teorema 1.1. Podemos verificar que H*(LM) es isomórfico a
H*(Hom(B(A), A)) como espacios vectoriales componiendo los mapas en el teorema 4.1 y
lemma 4.2. También podemos verificar que hay un isomorfismo de asociativo,
álgebras conmutativas. De hecho, el producto de copa de Hom(B(A), A) en el nivel E2
Hd−p(A)Hq(B(A)
Hd-s(A)Ht(B(A)
H2d−p−s(A)Hq+t(B(A)
es dada por
a g b h 7→ (−1)(d−p+q)(d−s)a فارسى b g · h,
donde g · h satisface
g · h(1, · · · ·, n) =
g(1, · · · ·, i)h(i+1, · · ·, n).
Entonces el siguiente teorema afirma que el producto de lazo y el producto de la taza
coinciden en el nivel E2.
Teorema 4.3 (Cohen-Jones-Yan [6]). Que M sea un colector simplemente conectado.
Entonces {Erp,q} se convierte en un álgebra y converge a H*(LM) como álgebras. Activar
Nivel E2, el producto
μ : Hp(M;Hq(LM))Hs(M;Ht(LM))→ Hp+q−d(M;Hs+t(LM))
es dada por
μ(a g) (b h)) = (−1)(d−s)(p+q−d)(a · b) (gh)
en los que a) Hp(M), b) Hs(M), g) Hq(M), h) Ht(M), a) b) es el intersec.
producto y gh es el producto Pontryagin.
Por lo tanto obtenemos el teorema.
5 Las clases de conjugación de los grupos fundamentales
Denotar un grupo fundamental de un sinuoso múltiple M y J denotar un
Ampliación ideal del anillo de grupo de η, Rη. Chen mostró que la finalización
del grupo fundamental con respecto a los poderes de su ideal de ampliación es
isomórfico al dual de la cohomología 0-th del complejo de barras de diferencial
formas a través de integrales iteradas [3]:
Rl/Jp = H
0 (B(A) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
donde A es un subálgebra graduada diferencial de ØM de tal manera que A0 = R y
H*(A)=H*(M).
Sobre la base de este trabajo, estudiamos integrales iteradas en el espacio de bucle libre de la
colectores no simplemente conectados. Que denote el conjunto de clases de conjugación de
y Jūp denotan pr(Jp) donde pr es la proyección de Rη en R.
Teorema 5.1. Deja que M sea un colector suave y H*(M) es de tipo finito. Let A
ser un subálgebra graduada diferencial de ØM de tal manera que el mapa Hq(A)→ Hq(?M)
inducido por la inclusión es isomórfico si q = 0, 1 e inyector si q = 2. Entonces
hay un isomorfismo de los espacios vectoriales
H0(Hom(B(A), A)
Damos la prueba de este teorema en esta sección. Que ∗ sea un punto fijo
en S1. En esta sección, dejar que LM sea un conjunto de mapas lisos de S1 a M que
son mapas constantes cerca de ∗. Que xM sea un subespacio de LM cuyos elementos
enviar * a x â € M. Dejar Diff(S1, * ) denotan difeomorfismos de S1 que coinciden
con mapa de identidad cerca de ∗. Definimos α, β : q → LM para ser equivalente por un
reparameterización iff hay un mapa liso : Łq → Diff(S1, ∗) de tal manera que
β(+)(t) = α(+)(+)(t, +)),
Que C*(LM) sea un complejo de cadena que tenga como base la totalidad de equiva-
clases de lince de simplexes lisos de LM. Dejemos que C*(lxM) sea un complejo de cadena
que tengan como base la totalidad de las clases de equivalencia de simples lisos de xM.
C*(lxM) se convierte en un álgebra asociativa no conmutativa de la siguiente manera. El prod-
se define como el producto de ruta o 0 de acuerdo con
igual o superior a 1 °C. La aumentación : C*(♥xM) → R es dada por
= 1 o 0 según deg
Dejar ser una simplex suave de M. Definir para cada
Cq(LM)() = {
i Cq(LM) i =.
Cq(LM)() se convierte en un álgebra asociativa no conmutativa. Denotar la palabra «denominado»
la ampliación de Cq(LM)(), dada por
7→..........................................................................................................................
Ni. Definir una filtración
de Cq(LM)(
FpCq(LM) = (kerel)
(:q→M)
Proposición 5.2. El mapa : FpCq(LM) → Hom(F)
p -1B(A), A-) dada por
(1, · · ·, p) 7→
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
*1 · · · · p
está bien definido, el mapa de la cadena y FpCq(LM)
Prueba. La precisión puede ser verificada por el siguiente lema:
se verifiquen como en la propuesta 1.5, la propuesta 4.1.1 [2], y en la propuesta 1.5.3
Lemma 5.3 (Chen). 1) Si α y β C*(LM) son equivalentes por un
terización, entonces
• 1 · · n = β
• 1 · · · n.
2) Si se trata de la letra c) del apartado 1 del artículo 1, la letra c) del apartado 2 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, la letra c) del apartado 2 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 se aplicará a partir de la fecha de entrada en vigor del presente Reglamento.
(l+1 · 2)
• 1 · · · n =
# 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* i + 1 · · · n.
3) En caso de que se trate de una suma de 0 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 1 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de que se trate de una suma de 2 000 millones de euros, en caso de una suma de 2 000 millones de euros.
-1 -1 -1 -1 -n +
-1 · · · · · · · · · n +
-1 · -1df -1df -1 · n = 0.
Para verificar FpCq(LM) â € € TM TM TM TM TM, basta con mostrar ( â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
p â â € € € TM p. Vamos.
s denotar la sección de η, que envía puntos de M al mapa constante. Toma
(O1 − s) · (O2 − s) · · · · · · (Op − s)
p, en el que Cq(M) y
Cq(LM)(). Entonces
(O1 − s) · (O2 − s/23370/) · · · · · · (Op − s)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
-1 · · -1
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*1 · · · · (k − s)
* 1 · · · · • (p − s)
Por lo tanto obtenemos la proposición.
Que C*(M,x) denote un conjunto de simplexes suaves de M barrio de los cuales
vértices están en x en M. Definimos
C sCp = C*(M,x) sC*(M,x)
Aquí (sC*(M,x))q = Cq+1(M,x) o 0 según q > 0 o q ≤ 0. Su límite
es dada por la suma de la frontera en cada complejo. Construyamos una cadena
mapa Φ : C sCp → FpC∗(LM)/Fp+1C∗(LM) considerando los tres siguientes
casos:
Caso 1: Si (?1, · · ·,?p)
sC(M,x)p
, entonces
Φ: (O1, · · ·, p) 7 (O1 − x) · (O2 − x) · · · · · (Op − x)
donde x es considerado como un mapa constante.
Caso 2: Si (?1, · · ·,?p)
sC(M,x)p
, entonces
Φ: (1, · · · ·, p) 7 (1 − x) · (2 − x) · · i · · · (p − x)
en los que:
7→ (t) (t) (xM)
(t)
((1 −)(1 −)(1 − t)v0 + tv2) + (1 − 2t)v0 + 2°tv1), si 0 ≤ t ≤ 1/2
((1 −)(1 − t)v0 + tv2) + (2 − 2t)v1 + (2t− 1)v2), si 1/2 ≤ t ≤ 1
Aquí v0, v1, v2 son los vértices de la simplex estándar
Caso 3: Si (γ, 1, · · ·, p) C1(M,x)
sC(M,x)p
, entonces
Φ: (γ, 1, · · ·, p) 7 γ
t (Δ1 − x)γt · · · γ
t (Δp − x)γt
donde γt : [0, 1] s 7→ γ(st) M, t
Lemma 5.4. El siguiente diagrama se desplaza:
C sCp
FpC1(LM)/Fp+1C1(LM)
C sCp
FpC0(LM)/Fp+1C0(LM)
Prueba. En el caso 2
(?1, · · ·,?p)− (?1, · · ·,?p)
= (de 1 - x) · · · (de 1 - x) · ·
i ·
i −
i −
i +
i −
i + x) · · · (p − x)
= (de 1 - x) · · · (de 1 - x) · ·
i − x) ·
i − x) · · (p − x) • Fp+1C0(LM)
donde
i,
i,
Yo soy las caras de...................................................................................................................................
Para el caso 3,
(γ, 1, · · · ·, p)−
′(γ, 1, · · ·, p)
= 1 · (1 − x) · γ · · · γ
−1 · (p − x) · γ − (1 − x) · · · (p − x)
• Fp+1C0(LM).
Por lo tanto obtenemos el lema.
La Proposición 5.2 da el mapa
Hq(FpC(LM)/Fp−1C(LM))→ Hq(Hom(F)
pB(A)/F p−1B(A), A®).
Lemma 5.5. Para q = 0, el siguiente mapa es isomórfico:
H0(FpC(LM)/Fp+1C(LM)) = H0(Hom(F)
pB(A)/F p−1B(A), A®).
Prueba. Obtenemos la siguiente superficie por el lema 5.4.
Φ : H0(C sC
p) H0(FpC(LM)/Fp+1C(LM)).
Componiendo con el isomorfismo pH1(M) = H0(C sC
p), el mapa
pH1(M) H0(FpC(LM)/Fp+1C(LM))→ Hom()
pH1(A),R)
es dada por
(O1, · · ·, n) 7→
(1, · · ·, p) 7→
• 1 · · · ·
Esto es isomórfico y obtenemos el lema.
Lemma 5.6. Para q = 1, el siguiente subjetivo del mapa:
H1(FpC(LM)/Fp+1C(LM)) H1(Hom(F)
pB(A)/F p−1B(A), A®).
Prueba. Basta con demostrar que el siguiente mapa obtenido por el lema 5.4 es
Sujetivo.
ker/23370/ → H1(FpC(LM)/Fp+1C(LM))→ Hom(
psH(A), H(A)®1
Si (γ, 1, · · ·,
C0(M,x)
sC(M,x)p
, entonces
(γ, 1, · · ·, p) 7→
(1, · · ·, p) 7→
• 1 · · · ·
P, si deg • = 0
0, de lo contrario
a través del mapa anterior.
Si (γ, 1, · · ·,
C1(M,x)
sC(M,x)p
, entonces
(γ, 1, · · ·, p) 7→
(1, · · ·, p) 7→
• 1 · · · ·
cuando la deg • = 1. Entonces podemos verificar la subjetividad y obtener el lema.
Prueba del teorema 1.1. Considerar las secuencias espectrales de C(LM)/FpC(LM) y
Hom(F p−1B(A), A®) asociado con FqC(LM) y Hom(F)
qB(A), A®), re-
Desde el punto de vista de las perspectivas. Lemma 5.5 afirma que la p es isomórfica en el nivel E1 en el grado 0:
H0(FqC(LM)/Fq+1C(LM)) = H0(Hom(F)
qB(A)/F q−1B(A), A®)).
Lemma 5.6 afirma que la p es sustitutiva en el nivel E1 en el grado 1:
H1(FqC(LM)/Fq+1C(LM)) H1(Hom(F)
qB(A)/F q−1B(A), A®)).
Luego hay un isomorfismo en Er-nivel en grado 0 para r ≥ 1. Tenemos
= H0(C(LM)/FpC(LM)) = H0(Hom(F)
pB(A), A®).
Por lo tanto obtenemos el teorema.
6 El soporte Goldman
Esta sección está dedicada a la prueba del siguiente teorema.
Teorema 6.1. Dejar M ser una superficie compacta cerrada orientada con el género g. Entonces
el soporte Goldman induce una estructura de álgebra de Lie en lim
R/Jśpand hay
un isomorfismo de álgebras de Lie
R/Jp = H0(Hom(B(H)
∗(M)), H*(M)•).
Goldman mostró que el espacio vectorial se extiende por las clases libres de homotopía
de curvas cerradas en una superficie cerrada orientada tiene una estructura de álgebra de Lie [9]. Esto
El trabajo llevó a Chas y Sullivan a la topología de cuerdas. Comprobaríamos que esto
estructura hace lim
R/Jūp a Lie álgebra. Por otro lado, podemos construir
un soporte en H0(Hom(B(H)
∗(M)), H*(M)®) por el producto de la taza definido en
la sección 3 y el operador de Connes. Aquí consideramos H*(M) como un diferencial
álgebra graduada con un diferencial trivial. Teorema 6.1 afirma que esos dos
Los álgebras de mentiras son isomórficos.
Primero describimos una relación entre este soporte y el ideal de aumento
del anillo de grupo del grupo de superficie para inducir una estructura de álgebra de Lie sobre
R/Jśp. Luego construimos un soporte en H0(Hom(B(A), A)
•)) y verificar
el isomorfismo de los álgebras de Lie
H0(Hom(B(A), A)
Finalmente verificamos el isomorfismo
H0(Hom(B(A), A)
•) = H0(Hom(B(H)
* M), H* M).
La siguiente proposición hace lim
R/Jūp a Lie álgebra.
Proposición 6.2. (1) Si p ≥ 1 y q ≥ 2, entonces [J
(2) Si p ≥ 2, entonces [J
Prueba. Damos una prueba de (1). Toma (1x) · · · (px) · Jp, (1y) · · (qy)
• Jśq, donde Supongamos que todas las curvas son inmersiones
y se intersectan transversalmente para cualquier i, j. Que ij} denote el conjunto de
los puntos de intersección de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruce de los puntos de cruces de los puntos de cruce de los puntos de cruces de los puntos de cruces de los puntos de cruce de los puntos de los puntos de cruces de los puntos de cruces de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de cruces de los puntos de los puntos de cruces puntos de los puntos de cruces puntos de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de cruce de los puntos de los puntos de los puntos de cruce de puntos de los puntos de puntos de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de los puntos de puntos de los puntos de los puntos de puntos de los puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de los puntos de puntos de cruce de puntos de puntos de puntos de cruce y de los puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de los puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de los puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de puntos de También asumir que todos los puntos de intersección son
distintos, es decir, Si i 6= k o j 6= l. Entonces,
[..,... ] =
sij
(s;l,j)γs,x · (l-x) · · · · (l-x)(l-x)(l-x) · · ·
·(?i−1 − x) · γ
s,x · s,y · (j − y) · · · · (q − y)(1 − y) · · (j1 − y) · γ
s,x · (i+1 − x) · · · °p − x)(1 − x) · · · °i−1 − x) · γ
s,x ·
s,y · (lj+1 − y) · · · (lq − y) (lj+1 − y) · · (lj−1 − y) · γ
• Jūp+q−2.
Aquí γs, x es un camino de s a x a lo largo de
La prueba de (2) puede ser verificada de la misma manera.
Que A sea un subálgebra graduada diferencial de M tal que H*(A) = H*(M)
por la inclusión.
Proposición 6.3. Hay un isomorfismo de los espacios vectoriales
H*(Hom(F)
pB(A), A) = H2(Hom(F)
pB(A), A®).
Prueba. Definimos P : H2(Hom(F)
pB(A), A))→ H*(Hom(F)
pB(A), A®)) por
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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Este mapa conserva las filtraciones. En el nivel E1, el mapa
Hom(qH(A), H(A))→ Hom(qH(A), H(A)
es isomórfico. Por lo tanto obtenemos la proposición.
Ahora construimos un soporte en H0(Hom(B(A), A)
•)). Primero, definimos la
Operador B de Connes: H*(Hom(F)
pB(A), A®) → H1(Hom(F)
p–1B(A), A–))
B()(1), · · · · · · · • p−1)()
0≤k≤p−1
(−1)(?k+1)(?p−1k)?(?k+1, · · ·,?p−1,?,?1, · · · ·k)(1).
Componiendo estos mapas y el producto de la copa, podemos definir un soporte en
H0(Hom(F)
pB(A), A®)) por
= −P (P)
-1B-l-P -1B-l-P -1B-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-P-
−1B2 • H0(Hom(F)
p -1B(A), A-)).
Tome 2g 1-formas cerradas en M, α1, · · ·, αg, β1, · · g, de tal manera que
αi βj =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Let {E
p.q} denota la secuencia espectral de Hom(B(A), A
•) asociado con
F pB(A). Note que el grupo cíclico Z/pZ actúa sobre E
Hom(pH1(A),R)
(1, · · · ·, p) = (2, · · ·, p, 1)
donde ι es un generador de Z/pZ. El paréntesis [, ] : E
p, −pE
q,−q → E
p+q−2,−p−q+2
[1, 2](1, · · · ·, p+q−2)
i,m,n
1(αi, 1 · · · · ·, p−1)
No 2(βi, p, · · ·, p+q−2)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
No 2(αi, p, · · ·, p+q−2)
donde los grupos electrógenos son Z/pZ y Z/qZ, respectivamente.
Proposición 6.4. El siguiente diagrama se desplaza para p, q ≥ 1:
Jp/ Jp+1 Jq/ Jq+1 E
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[,]
[,]
Jp+q2/Jp+q1
p+q−2,−p−q+2
Prueba. Tómese Δ = (1 − x) · · · (p − x) • FpC0(LM), • = (1 − y) · · · (q − y)
FqC0(LM). Tomar curvas de 2g en M, ai, bi, como en la Figura 1. Asumir que..i y.ij,
ak, o bk, se intersecta transversalmente para cualquier i, j, k. También asumir que Łj y ak, o
bk, intersecar transversalmente para cualquier j, k.
Supongamos que todos los puntos de intersección son distintos. Entonces para cualquier i, j, k, nosotros
puede tomar cada barrio tubular de ai y bi para que no incluya algunos
barrios de puntos de intersección de Arreglamos esos vecindarios.
de puntos de intersección y denotarlos por arriba para cada p. También podemos tomar
un barrio tubular del mapa diagonal de M a M×M fuera de los
barrios de puntos de intersección de ♥i y ♥j para cualquier i, j i.e.
S1 \ { } { } { } { { } { }
i (Arriba)
S1 \ { } { } { } { } { { } { }
j (Arriba)
= , i, j.
Aquí NÃo denota el barrio tubular del mapa diagonal. Clase Thom Φ
de este barrio tubular satisface
Φ = (p;
donde el número de intersección de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los códigos de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los
Fig. 1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Definir eâ : C0(LM) → C1(LM) por e()(t) = γ( + t). Let Łk, 1 ≤
k ≤ n, ser formas diferenciales sobre M que tenga su soporte dentro del tubular
barrios de ai y bi. Entonces
[lbi,j]
# 1 # # n # # n # # # n # # n # # n # # n # # n # # n # # n # # n # n # # n # n # n # # n # n # n # n # # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # # n # # n # n # # n # # n # # n # n # # n # # n # n # # n # n # # n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
pij,k
(p;i, j)
(i)p
*1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(lj)p
*k+1 · · · n
pij,k
j
(i)p
*1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(lj)p
*k+1 · · · n
ei×ej
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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* k+1 · · n.
Aquí p1, p2 : LM×LM → LM son las proyecciones. La última igualdad se obtiene
por el siguiente lema.
Lemma 6.5. En caso de que se trate de una empresa de servicios de inversión, se considerará que la empresa de servicios de inversión no cumple las condiciones establecidas en el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013.
[0, 1]), a continuación:
(i)p
• 1 · · · n =
(i)p′
• 1 · · · n.
Prueba. F Dejar γ ser la curva de p a p′ a lo largo de Si γ y están en
la misma dirección, entonces
(i)p′
• 1 · · · n =
(Ôi)p′
• 1 · · · n =
()p
# 1 # # n # # n # # # n # # n # # n # # n # # n # # n # # n # # n # n # # n # n # n # # n # n # n # n # # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # n # # n # # n # n # # n # # n # # n # n # # n # # n # n # # n # n # # n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
• 1 · · · n.
También podemos verificar el caso en el que γ está en la dirección opuesta a en el mismo
Tenemos la igualdad.
Ee
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k+1 · · p+q−2
Ee
− p*1(α1 • β1)− p
2-α1-β1) + p
1αj p
2βj − p
1βj p
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k+1 · · p+q−2
De hecho, si η • • (M ×M) entonces
(−1)1
Ee
dη Ł p*1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k+1 · · p+q−2
Ee
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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k+1 · · p+q−2
+(e)
*1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(e)
* k+1 · · * j · * j + 1 · * p + q − 2
La última igualdad se obtiene por el siguiente lema.
Lemma 6.6. En caso de que se trate de un FpC0(LM), entonces
(e)
•1 · · •p−2 = 0.
Prueba. Basta con mostrar el caso = (1 − x) · · · (p − x) donde x • M y • i
# # # xM # Definimos por
i(t) =
(p), si (i − 1)/p ≤ t ≤ i/p
0, de lo contrario.
Dejar denotar (1 − x) · · · (p − x). Se puede demostrar que e restringido en [(i −
1)/p, i/p] está contenido en Fp−1C1(LM) para cualquier i. Por lo tanto
(e)
• 1 · · p−2 = (e)
•1 · · •p−2 = 0.
Jones, Geztler y Petrack describen el mapa en términos de inte-
grals por el siguiente teorema.
Teorema 6.7 (Geztler-Jones-Petrack [8]). En caso de que el importe de la ayuda sea inferior o igual al importe de la ayuda, el importe de la ayuda se calculará de conformidad con el artículo 107, apartado 1, letra b), del TFUE.
1 ≤ i ≤ p, entonces
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
• 1 · · · p =
* k · · p · 1 · · · k − 1.
Este teorema afirma la igualdad
Ee
− p*1(α1 • β1)− p
2-α1-β1) + p
1αj p
2βj − p
1βj p
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
*k+1 · · · n
j,k,l
* k+1 · · p−1αj+1 · · · k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
* k+1 · · p−1βjÃ1 · · · k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Finalmente obtenemos la igualdad
[..,..]
-1 · · -p+q−2
j,k,l
* k+1 · · p−1αj+1 · · · k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
* k+1 · · p−1βjÃ1 · · · k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Ya que podemos tomar
1(M), 1 ≤ i ≤ p + q − 2, de modo que su soporte sea
dentro de los barrios tubulares de aj y bj, obtenemos la proposición.
Prueba del teorema 6.1. Obtenemos el siguiente isomorfismo de Lie álgebras por
propuesta 6.4.
H0(Hom(B(A), A)
Para obtener el isomorfismo de Lie álgebras
H0(Hom(B(A), A)
* = H0(Hom(B(H)
*(M), H*(M),
introducimos el siguiente lema, que afirma la formalidad del pacto
Los colectores de Kähler.
Lemma 6,8 (ddcLemma, Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan [7]). Deja que X sea un
Múltiplo compacto de Kähler y dc = J−1dJ donde J da la estructura compleja
en el paquete de cotangente. Si α es una forma diferencial en X tal que dα = 0 y
dcα = 0, y tal que α = dγ, luego α = ddcβ para algunos β.
Cor. Hay cuasi-isomorfismos de álgebras graduadas diferenciales
(X, d)← (kerdc, d)→ (H*dc(X), 0).
Nótese que una superficie cerrada orientada dotada de una estructura compleja se convierte en
a Los colectores de Kähler por la razón dimensional. Por lo tanto, el siguiente lema:
completa la prueba del teorema.
Lemma 6.9. Si f : A1 → A2 es un cuasi-isomorfismo de grado diferencial
álgebras, luego el mapa inducido por f
H0(Hom(B(A1), A)
1 )→ H0(Hom(B(A2), A
es un isomorfismo.
Prueba. Basta con verificar que el mapa inducido por f
f : H0(Hom(F)
pB(A1), A
1 )→ H0(Hom(F)
pB(A2), A
es un isomorfismo para cualquier p. En el nivel E1, el mapa inducido por f
Hom(sH(A1), H(A1)
)→ Hom(sH(A2), H(A2)
es un isomorfismo porque f es cuasi-isomorfismo. Por lo tanto, obtenemos el
Lemma.
Por lo tanto obtenemos el teorema.
Bibliografía
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matics Research Notices 55 (2004), 2955-2981.
Introducción
Las integrales iteradas de Chen
Preliminares
Prueba del teorema 1.1
Las clases de conjugación de los grupos fundamentales
El soporte Goldman
|
704.0015 | Fermionic superstring loop amplitudes in the pure spinor formalism | arXiv:0704.0015v2 [hep-th] 10 Mar 2008
Preimpresión tipográfica en estilo JHEP - HYPER VERSION
Amplitudes fermónicas del lazo de la supercadena en el
pura formalismo espinoso
Christian Stahn
Departamento de Física, Universidad de Carolina del Norte
Chapel Hill, NC 27599–3255, EE.UU.
Correo electrónico: stahn@physics.unc.edu
Resumen: La formulación espinosa pura de la supercadena de diez dimensiones lleva a
Amplitudes de bucle manifiestamente supersimétricas, expresadas como integrales en espinos puros super-
espacio. Este artículo explora diferentes métodos para evaluar estas integrales y luego utiliza
para calcular los factores cinemáticos de un bucle y dos bucles sin masa de cuatro puntos
Amplitudes que involucran dos y cuatro estados de Ramond.
Palabras clave: Superstrings, Pure Spinors.
http://arxiv.org/abs/0704.0015v2
mailto:stahn@physics.unc.edu
http://jhep.sissa.it/stdsearch
Sumario
1. INTRODUCCIÓN 1
2. Integración en modo cero 2
2.1 Consideraciones de simetría y fórmulas tensoriase 3
2.2 Una fórmula espinorial 5
2.3 Enfoque basado en componentes 7
3. Amplitudes de un bucle 7
3.1 Revisión: cuatro bosones 8
3.2 Cuatro fermiones 10
3.3 Dos bosones, dos fermiones 10
4. Amplitudes de dos lados 12
4.1 Revisión: cuatro bosones 13
4.2 Cuatro fermiones 14
4.3 Dos bosones, dos fermiones 15
5. Discusión 16
A. Reducción a bases cinemáticas 17
A.1 Cuatro bosones 17
A.2 Cuatro fermiones 18
A.3 Dos bosones, dos fermiones 20
B. Una representación de matriz gamma 21
1. Introducción
La cuantificación de la supercadena de diez dimensiones usando espinores puros como hoja del mundo
los fantasmas [1] han superado muchas dificultades encontradas en el Green-Schwarz (GS) y
Ramond-Neveu-Schwarz (RNS) formalismos. En particular, manteniendo el espacio manifiesto
supersimetría de tiempo, el puro formalismo espinoso ha producido covariante super-Poincaré multi-
Amplitudes de bucle, lo que conduce a nuevas percepciones sobre la finitud perturbadora de la teoría de supercadenas
[2, 3].
Contar los modos fermiónicos cero es una técnica poderosa en el cálculo del bucle
amplitudes en el formalismo espinoso puro y se ha utilizado, por ejemplo, para demostrar que
se necesitan al menos cuatro estados externos para una amplitud del bucle sin masas no desvanecida [2].
Además, la estructura de las amplitudes de cuatro puntos sin masa es relativamente simple porque todos
– 1 –
Las variables worldsheet fermiónicas contribuyen sólo a través de sus modos cero. En las expresiones
derivados para las amplitudes de un bucle [2] y de dos bucles [4], la supersimetría se mantuvo manifiesta
mediante la expresión de los factores cinemáticos como integrales sobre el superespacio espinoso puro [5]
tres espinos puros ♥ y cinco coordenadas superespaciales fermónicas ,
K1-loop =
(lA)(mW)(nW)Fmn
K2-loop =
(mnpqrđ)(sW)FmnFpqFrs
(1.1)
donde la integración pura del superespacio del spinor es denotada por. .......................................................................................
y Fmn(x, ♥) son los supercampos de la teoría de Yang-Mills de diez dimensiones.
Los factores cinemáticos en (1.1) se han evaluado explícitamente para los estados de Neveu-Schwarz
en dos bucles [6] y un bucle [7], y se encontró que coincide con las amplitudes derivadas en
el formalismo RNS [8]. Esto proporcionó importantes controles de la coherencia en el establecimiento de la
validez de las prescripciones de amplitud pura espinosa. (Los cálculos de un bucle relacionados habían
se notificaron en [9].)
En este artículo, se mostrará cómo calcular los factores cinemáticos en (1.1) cuando
los supercampos están autorizados a contribuir a los campos fermiónicos, como es relevante para la dispersión
de estados de cuerdas cerradas fermiónicas, así como bosones Ramond/Ramond. Resulta que
el cálculo de las amplitudes fermónicas no presenta dificultades adicionales, por lo que (1.1)
un buen punto de partida práctico para el cálculo de las amplitudes de bucle de cuatro puntos en un
moda unificada. Este aspecto práctico de las amplitudes de espinos puras supersimétricas fue
también enfatizado en [10], donde las amplitudes a nivel de árbol se utilizaron para construir el fermión
y Ramond/Ramond forman contribuciones a la acción efectiva de cuatro puntos del tipo II
teorías.
El presente documento está organizado de la siguiente manera. En la sección 2, diferentes métodos para calcular pura
Se exploran las integrales de superespacio de spinor. Estos métodos se aplican a continuación a la explícita
evaluación de los factores cinemáticos de las amplitudes de cuatro puntos sin masa a nivel de un bucle
en la sección 3, y en el nivel de dos bucles en la sección 4. En ambas secciones, el calcu bosónico
las laciones se revisan brevemente antes de considerar por separado los casos de dos y cuatro Ramond
estados. Se prestará especial atención a las limitaciones impuestas por el simple intercambio
Simetrías. Un apéndice contiene algoritmos que se utilizaron para reducir el nivel intermedio
expresiones encontradas en los cálculos de amplitud a una forma canónica.
2. Integración en modo cero
El cálculo de las amplitudes de dispersión en el formalismo puro espinor lleva a integrales sobre
modos cero de las variables worldsheet fermónicas. Ambos son de 16 componentes.
Los espinores de Weyl, los que se desplazan y los anticonmutadores de Ł, y los que están sujetos a la pureza
restricción de spinor (mŁ) = 0. Las prescripciones de amplitud [1, 2] requieren tres modos cero
para estar presente, y un objeto covariante de Lorentz
# # # # # # 1... # 5 # # # # # 5 # # 5 # # 5 # # 5 # # 5 # # 5 #
1. ..............................................................
= T̄ (),[1...5] (2.1)
fue construido de tal manera que el operador de vértice antighost Yang-Mills
V = (m))(n)(p)(mnp) ha
= 1. (2.2)
– 2 –
En esta sección, los diferentes métodos de cálculo tales “formales superespacio puros” son ex-
Adorado. Como ejemplo, un correlator típico se encontró en los cálculos de dos bucles de
la sección 4 se considera:
F (ki, ui) = k
(mnpq[rđ)(s]u1)(n)
(bu2)(qu3)(su4)
2.3)
Aquí, ki y ui son las funciones momenta y de onda espinosa de las cuatro partículas externas.
2.1 Consideraciones de simetría y fórmulas tensorias
Un enfoque sistemático para evaluar las integrales de modo cero es encontrar expresiones para todos
tensores que se pueden formar a partir de (2.1). Por las transformaciones de Fierz, uno siempre puede escribir el
producto de dos espinos de tipo ([3]), donde γ[k] denota el producto antisimmetrado de k
matrices gamma. Debido a la restricción del espinor puro, el único bilineal en ♥ es ([5]), y
Por lo tanto, basta con examinar los tres casos.
([5]♥)([1] o γ[3] o γ[5])([3]
. (2.4)
La invarianza de Lorentz implica entonces que debe ser posible expresar estos tensores como sumas de
productos adecuadamente simetizados de tensores métricos, resultando en una expresión par-equivalente, más
una parte paritaria compuesta de términos que, además, contienen un tensor epsilon. Los
partes par incluso pueden ser construidas [6] a partir de la más general compatible con ansatz
con las simetrías del correlator y luego usando identidades espinoras junto con el
normalización (2.2) para determinar todos los coeficientes en el ansatz. Propiedades de la dualidad de la
Los spinor bilineales se pueden utilizar para determinar la parte imparable [7]. Un extenso (y casi
la lista exhaustiva de correlatores se encuentra en [11], incluyendo los casos ([1]
la lista anterior:
(mnpqr
= − 4
mnpqr
msnspsqsrs +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(l'r'l'r'l'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'.
u + ♥
u-?r?u?hl )
[fgh] [jkl]
(2.5)
(mnpqr
= −24
mnpqr
msnspsqsrs +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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u − Łkhl?r?u)
[fgh][jkl](fgh↔jkl)
(2.6)
(Aquí, los corchetes (fgh↔ jkl) denotan la simetría bajo el intercambio simultáneo de
fgh con ijk, con peso uno.) El correlator restante con el factor ([5]) puede ser
Derivado de la misma manera, utilizando un ansatz que consiste en seis estructuras paritarias. Tomando
una traza entre los dos factores γ[5] y señalando que
....................................................................................................................
..........................................................................................................................
se encuentra una relación con (2.6). Esto es suficiente para determinar todos los coeficientes en el ansatz,
y el resultado es
(mnpqr
mnpqr
msnspsqsrs +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
M̄n̄p̄
(ehđr̄l + 2đel /23370/r̄h) +
(declaración de motivos)
l − 3
[abcde][fgh][jkl](fgh↔jkl)
(2.7)
– 3 –
Uno puede encontrar sorprendente que la derivación de estas expresiones tensoriales sólo hizo
uso de propiedades de espinos (puros) y de la condición de normalización (2.2). Sin embargo,
se puede ver en la teoría de la representación que el correlacionador (2.1) se caracteriza de manera única,
hasta la normalización, por su simetría. Para ver esto, tenga en cuenta que [12] los productos espinosos 3
y la transformación de 5 en
() : Sym3 S+ = [00003] [10001]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * .. 5] : Alt5 S+ = [00030] • [11010]........................................................................................................................................................
(2.8)
(En este caso, se considera que el nombre y el nombre de la marca son S+ irrep de SO(1,9), con la etiqueta Dynkin [00001].) Los
producto tensor de estos contiene sólo una copia de la representación trivial. Esto es aplicable.
a cualquier spinors, lo que significa que la propiedad de spinor puro no puede ser esencial para el
derivación de las identidades tensoriales. El uso de la restricción espinora pura simplemente permite
para derivaciones más simples de las mismas identidades.
Como ilustración de este enfoque, considere el correlator de eq. (2.3). Dejando el
momenta a un lado por el momento al establecer F = k2ak
r Fś, la tarea es calcular
(mnpq[rđ)(s]u1)(n)
(bu2)(qu3)(su4)
Después de aplicar dos transformaciones de Fierz,
(mnpq[r)(cŁ)(n)
(
s]γcγbu2)
3!·16
(mnpq[r)(cde♥)(n)
(
s]γcdeγbu2)
2·5!·16
(mnpq[r)(cdefg)(n)
(
s]γcdefgγbu2)
3!·16(u3γqγjklγsu4),
se obtiene una combinación de los correlatores fundamentales enumerados en (2,5), (2.6) y (2.7).
Una evaluación fiable de las numerosas simetrías de los índices es posible gracias al uso de
un programa de álgebra computacional. Al hacer estos cálculos con Mathematica, un
herramienta es el paquete GAMMA [13], ampliando los productos de matrices gamma en una base γ[k].
El resultado se compone de dos partes, F
F() = 1
mpru2)(u3γ
au4) +
r (u1γ
iu2)(u3γiu4) +...
ai1i2u2)(u3γ
i1i2u4) (92 términos) (2.9)
F () = − 1
1209600
1...i7
mpr(u1γ
i1...i7u2)(u3γ
+..............................................................................................................................................................................................................................................................
604800
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
i3...i9u2)(u3γ
i7i8i9u4) (34 términos) (2.10)
Los tensores epsilon en la segunda parte se pueden eliminar utilizando el hecho de que los
espinores quiral: Si todos los índices en γ[k]ui se contraen en un tensor epsilon, se utiliza
*i1...ik′j1...jkγ*
j1...jkγ11 = (−)
k(k+1)
¡K! γi1...ik′, (2.11)
donde γ11 = 1
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
i0...i9. En términos más generales, si se contraen todos los índices de γ[k]ui excepto r,
*i1...ik′ j1...jkγ
p1...prj1...jkγ11 = (−)
k(k+1)
(k′ − r)!
pr...p1
[i1...ir
γir+1...i′k]
. (2.12)
– 4 –
El resultado de estas manipulaciones es
F () = − 1
mpru2)(u3γ
au4)− 1280
r (u1γ
amiu2)(u3γiu4) +...
11200
i1i2i3u2)(u3γ
i1i2i3u4) (53 términos) (2.13)
(Tenga en cuenta que mientras que los términos epsilon en las fórmulas de correlación básica se obtuvieron fácilmente de
los términos delta mediante el uso de la dualidad Poincaré, esto no se puede hacer aquí de ninguna manera obvia.)
El último paso en la evaluación de (2.3) es contraer con el momentoa, F = k2ak
r Fс,
y para simplificar las expresiones utilizando las identidades on-shell
i ki = 0, k
i = 0, /kiui = 0. Lo siento.
se muestra en el apéndice A.2 que sólo hay diez escalares independientes, denotados por B1. .. B10,
que se puede formar a partir de cuatro momenta y los cuatro espinos u1. .. u4. Con respecto a esto
base, el resultado es
F () = 1
48·10080
695s12(u1/k3u2)(u3/k1u4) + · · · 233s213(u1γau2)(u3γau4)
(7 términos)
48·10080 (695, 775, 0,−80, 356, 356, 0, 233, 233, 0)B1...B10,
F () = 1
48·10080 (−23,−7, 0,−16, 28, 28, 0, 7, 7, 0)B1...B10,
F = 1
10080
(14, 16, 0,−2, 8, 8, 0, 5, 0)B1...B10, (2.14)
donde sij = ki · kj.
2.2 Una fórmula espinorial
Mientras que la derivación de las identidades tensoriales para los correlacionadores de la forma (2.4) es relativamente
sencillo y elegante, puede ser una tarea tediosa para transformar las expresiones en la
en los cálculos de amplitud para que coincida con este patrón. Como se ve en el ejemplo calculado
Por lo que se refiere a los productos de la industria de la Unión, la Comisión considera que, en el caso de los productos de la industria de la Unión y de la industria de la Unión, los precios de los productos de la industria de la Unión no son los mismos que los de la industria de la Unión, sino los precios de los productos de la industria de la Unión.
transformaciones de ply Fierz. Por lo tanto, es conveniente utilizar una expresión correlativa covariante
con índices de espinos abiertos. Tal expresión fue dada en [1, 2]:
T,1...5 = N−1
(γm)1(γn)2(γp)3(γmnp)
()[1...5]
, (2.15)
donde N es una constante de normalización y los corchetes ()[] denotan (anti-)simetría
con peso uno. (Tenga en cuenta que el lado derecho es automáticamente gamma-matriz sin trazas:
cualquier gamma-traza
(γr) × (γm)α[1(γn)2(γp)3(γmnp)
desaparece debido a la identidad de la doble raza (γab
α(abcŁ) = 0, que sigue de la
hecho de que el producto tensor (Alt3 S+) S− no contiene una representación vectorial y
Por lo tanto, el vector (abl)(
abcl) tiene que desaparecer para todos los espinos, y también se puede mostrar
aplicando una transformación de Fierz.) Esta prescripción fue motivada originalmente [2] por el
expansión fermónica del operador V de vértice antighost Yang-Mills,
V = Tán á á á Ã.
1. ..........................................................................................................................
Tán, à n1... à n5 =
(γm)1(γ
n)2(γ)
p)3(γmnp)
()[1...5]
– 5 –
donde T está relacionado con T̄ por una transformación de paridad, hasta la constante global N. (Desde
T̄ se determina de manera única por sus simetrías, cualquier expresión covariante será proporcional
a T̄, después de la simetría de los índices de spinor, y esta es simplemente la opción más simple.)
Ecuación (2.15) inmediatamente produce un algoritmo para convertir cualquier correlacionador en trazas
de matrices gamma o, si están involucrados espinores adicionales, bilineales en esos espinores. Lo siento.
es, sin embargo, ya muy cansado para determinar la constante de normalización N a mano.
La principal ventaja de este enfoque es que se presta claramente a la aplicación de la Convención sobre la eliminación de todas las formas de discriminación contra la mujer.
un sistema informático de álgebra, que puede llevar a cabo fácilmente las simetrías del índice de espinos,
simplificar los productos gamma (de nuevo utilizando el paquete GAMMA), y calcular los rastros.
Por ejemplo,
Núcleo V =
(γm)1(γn)2(γp)3(γmnp)
()[1...5]
(γx)1(γy)2(γz)3(γ)
xyz)445
= − 1
Tr(γxγ
m)Tr(γyγ
n)Tr(γzγ
p)Tr(γxyzγpnm) +...
Tr(γzγpnmγ
zyxγnγxγ
p) (60 términos)
= 5160960.
Por lo tanto, la normalización correcta se obtiene mediante el ajuste N = 5160960.
Volviendo al correlator de ejemplo (2.3), se encuentra que el cálculo es de lejos
más simple que con el método anterior. Después de llevar a cabo las simetrías
uno obtiene
NF = 1
Tr(γxγ
mnpq[r)(u3γqγ
xyzγsu4)(u1γ
s]γzγbu2) +...
(u2γbγ
xyzγqu3)(u1γsγyγ
mnpq[rγzγ
s]u4), (24 términos)
donde la reordenación elemental del índice ha reducido el número de términos de 60 a 24. Ex-
jadeo de los productos gamma conduce a
NF = 476
pr (u1γ
mu4)(u2γ
au3) + · · 815(u1γ
ai1i2i3i4u2)(u3γ
i1i2i3i4u4), (294 términos)
que, a diferencia de (2.10), no contiene términos epsilon ya que no hay suficientes índices libres
presente. Tenga en cuenta que este resultado intermedio contiene términos con u1 emparejado con u3
o u4, por lo que no es posible comparar directamente con eqs. (2.9) y (2.13). Sin embargo, después de
contratación con el momenta k2ak
r y la descomposición del resultado en la base B1. .. B10,
una vez más obtiene
F = 1
10080
(14, 16, 0,−2, 8, 8, 0, 5, 0)B1...B10, (2.17)
de acuerdo con (2.14).
El algoritmo que se acaba de esbozar será el método de elección para todos los cálculos de correlator
en las últimas secciones de este documento y se puede aplicar fácilmente a una gama más amplia de problemas.
La única limitación es que cuanto mayor sea el número de matrices gamma e índices abiertos
de la correlación, cuanto más lenta sea la evaluación de la computadora. Por ejemplo, el correlator
considerado en eq. (5.2) de [11],
mnm1n1...m4n4
(pγm1n1)(qγm2n2)(rγm3n3)(mγnγpqrγ)(mγpqrγ
m4n4
= − 2
m1n1...m4n4
*mnm1n1...m4n4*
, (2.18)
todavía se puede verificar con este método, pero esto ya requiere un tiempo de ejecución sustancial.
– 6 –
2.3 Enfoque basado en componentes
Un tercer método para evaluar las integrales de modo cero consiste en elegir una matriz gamma
representación, expandiendo el integrand como un polinomio en componentes espinores, y luego
aplicación (2.15) a los monomios individuales. Este procedimiento parece especialmente atractivo
si en alguna etapa del cálculo se trabaja con una representación de matriz, en
para reducir los resultados a una forma canónica (p. ej. como se indica en el apéndice A). Un
algoritmo de descomposición eficiente (de k4u1u2u3u4 escalares, digamos) sólo necesita unos pocos no cero
componentes de momentum y función de onda espinosa para distinguir todas las escalares independientes, y
por lo tanto k y u pueden ser reemplazados por vectores escasos. Además, una observación trivial
permite una evaluación numérica mucho más rápida de los componentes del correlacionador que un uso ingenuo
de (2.15): En vista de (2.16), se puede calcular de forma equivalente los componentes de la paridad-
expresión transformada V̄ = (m)(n)(p)(mnp), donde y son espinores de
quiralidad opuesta a la de. En la representación dada en el apéndice B, V̄ coincide
con V,, y
V = 1929999999999192039499 + · · · · 4809992939999101315 +. (100352 términos)
Los monomios en la expansión fermiónica de V̄ entonces corresponden a los argumentos de
no cero correlatores, y los coeficientes de estos monomios son, hasta la normalización y
factores de simetría, los valores del correlacionador.
Desafortunadamente, resulta que la complejidad de los correlatores típicos (e.g. el uno
da en (2.3) hace difícil llevar a cabo la expansión de los componentes fermónicos en
cualquier forma sencilla y limita este método a aplicaciones especiales. Por ejemplo, la
los coeficientes en (2.18) pueden comprobarse con relativa facilidad mediante la elección de determinados valores de índice,
como por ejemplo
(pγ12♥)(qγ21)(rγ34)(0γ0γpqrγ)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(En el caso de los valores fijos de pqr, no se obtiene más de 105 monomios de la forma
Por lo tanto, este enfoque puede seguir siendo útil en situaciones en las que el resultado se ha reducido
hasta un simple ansatz.
3. Amplitudes de un bucle
La amplitud para la dispersión de cuatro estados sin masa del tipo IIB supercadena fue
calculado [2] en el formalismo espinoso puro como
A = KK̄
(Im)5
G(zi, zj)
ki·kj, (3.1)
donde G(zi, zj) es la función del verde escalar, y el factor cinemático es dado por el
producto KK̄ de expresiones de supercadenas abiertas que se mueven a la izquierda y a la derecha,
K1-loop =
(A1)(
mW2)(
nW3)F4,mn
cicl(234)
. (3.2)
– 7 –
Aquí los índices 1... 4 etiquetan los estados externos y “· ·
cicl(234)
” denota la adición
de otros dos términos obtenidos por permutación cíclica de los índices 234. El spinor super-
campo Aα y sus derivados supercovariantes, el vector calibrador superfield Am =
m DαAβ
así como el spinor y las fortalezas del campo vectorial Wα = 1
(γm)®(DβAm − mAβ) y
Fmn = 18(γmn)
β = 2[mAn], describir la teoría de super-Yang-Mills de diez dimensiones.
Los campos físicos de esta teoría, un bosón de calibre y un gaugino, se encuentran en la
componentes Am = m y W = y corresponden a la Neveu-Schwarz y Ramond
estados de supercadenas.
Los supercampos Aα y W
α así como el campo gaugino son anticonmutación.1 A
facilitar los cálculos por ordenador de los polinomios en los componentes de los espinos, y para
comparación más fácil con la literatura, será más conveniente trabajar con los desplazamientos
funciones de onda de fermión uα. Afortunadamente, como los factores cinemáticos con fermiónica externa
los estados son funciones multilineales de los espinores claramente etiquetados ûi, es fácil de
traducir entre las dos convenciones: Cualquier expresión monomial en û1. . û4 (y posiblemente
coordenadas fermiónicas ) corresponden a la misma expresión en u1. .. u4, multiplicado por el
firma de la permutación que clasifica el ûi (y cualquier variable ) en algún orden fijo,
tales como ( · · · )11 û
La elección de un indicador donde Aα = 0, las identidades on-shell
2D(αAβ) = γ
# Am, DαW #
β = 1
(γmn)α
se han utilizado para derivar relaciones recursivas [10, 14, 15] para la expansión fermónica
A(n)α =
(γmŁ)αA
(n−1)
m, A
(mW
(n−1)), Wα(n) = − 1
(γmn)mA
(n−1)
donde f (n) = 1
n · · · 1(Dα1 · · · Dαnf). Estas relaciones de recursión se resolvieron explícitamente
en [10], reduciendo la expansión fermónica a una simple aplicación repetida del derivado
operador Omq = 12 (m
qp. ) ) °p:
A(2k)m =
(2k)!
[Ok]mqÃ3q,
A(2k+1)m =
(2k+1)!
[Ok]mq(qû).
(3.3)
Con esta solución a la mano, uno tiene todos los ingredientes para evaluar el factor cinemático (3.2)
para los tres casos de cero, dos, o cuatro estados fermónicos.
3.1 Revisión: cuatro bosones
El factor cinemático que involucra cuatro bosones fue considerado en [7] y este cálculo
ahora se revisen brevemente. En primer lugar, tenga en cuenta que el resultado no se fija por simetría: El resultado
debe ser invariante de calibre [2] y por lo tanto expresable en términos de las fortalezas de campo F1. F4.
La simetría cíclica en (3.2) produce expresiones simétricas en F2, F3, F4 y actuando
en escalares construidos únicamente a partir del Fi, la simetría (234) es equivalente a
simetría en todas las etiquetas (1234). Por lo tanto, el resultado debe ser una combinación lineal de la
1Gracias a Carlos Mafra por señalar esto.
– 8 –
dos escalares simétricos F 4 invariantes de ancho de banda, a saber, la traza única Tr(F(1F2F3F4)) y
Tr(F(1F2)Tr(F3F4)), dejando un coeficiente relativo por determinar.
Puesto que los cuatro estados son del mismo tipo, uno puede primero evaluar el correlacionador para uno
etiquetado y, a continuación, llevar a cabo la simetría cíclica:
1-loop =
(A1)(
mW2)(
nW3)F4,mn
cicl (234)
Las diferentes maneras de saturar 5 libras resultan en una suma de términos de la forma
XABCD =
1 )
2 )
(3.4)
con A+B +C +D = 5 y A, B, C impar, D par:
(A1)(
mW2)(
nW3)F4,mn
= X3110 +X1310 +X1130 +X1112.
Tenga en cuenta que X1310 y X1130 están relacionados por el intercambio de las etiquetas 2 y 3. Este intercambio
puede llevarse a cabo después de computar el correlator, una operación que se llevará a cabo en la siguiente
deberá denotarse por η23. Usando (3.3) para las expansiones de supercampos y reemplazando a
obtiene
X3110 = − 1512F
tuX3110, X3110 =
([tpqŁ)(u]γrsŁ)(a)()()
amn.mn.mn.m.)
X1112 = − 1128 ik
tuX1112, X1112 =
([mpqŁ)(a]γrs/23370/)(nŁ)(a) (a) (a) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (a) () () () ()) () () () (a) (a)
X1310 = − 1384 ik
tuX1310, X1310 =
([tmaŁ)(u]γrsl)(nl)(a)(a)
El método descrito en la sección 2.2 es fácilmente aplicable a estos correlatores. Por ejemplo,
para X3111, los resultados de la evaluación de trazas
X3110 = N
Tr(γaγ
z)Tr(γxyzγ
anm)Tr(γxγqpγ
[t)Tr(γyγsrγ
u]) + · · ·
· · 1
Tr(γ[ursγzyxγqpγ
t]γxγaγ
yγmnaγz)
(60 términos)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
tu − 1315
rs − 145
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[mn][pq][rs][tu](pq↔rs)
Al contraer con el campo fortalezas, momenta y polarizaciones, y simetría
sobre las permutaciones cíclicas (234) (con peso 3), se encuentra que las tres contribuciones
son invariantes de gálibo por separado:
X3110 +
cicl(234)
= − 11
13440
Tr(F(1F2F3F4)) +
Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
X1112 +
cicl(234)
= − 19
53760
Tr(F(1F2F3F4)) +
215040
Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
(1 + η23)X1310 +
cicl(234)
= − 1
10240
4Tr(F(1F2F3F4))− Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
La suma X3110 +X1112 tiene la relación correcta de términos de una sola y doble trayectoria para ser propor-
al conocido resultado t8F
4, y la última línea muestra la relación correcta por sí misma. Los
Por lo tanto, el factor cinemático general es
K4B1-loop = − 12560
4Tr(F(1F2F3F4))− Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
= − 1
15360
4, (3.5)
de acuerdo con las expresiones derivadas en el RNS [16] y Green-Schwarz [17] para:
Malismos.
– 9 –
3.2 Cuatro fermiones
El factor cinemático del cuatro-fermión podría ser evaluado de la misma manera que en el cuatro-bosón
caso sumando todos los términos XABCD, A + B + C + D = 5, ahora con A, B, C even
Y D impar. Tenga en cuenta sin embargo que esta vez, el resultado se fija por simetría: El cíclico
la simetría en (3.2) conduce a una dependencia completamente simétrica de û2, û3, û4, y
por lo tanto a una dependencia completamente antisimétrica de u2, u3, u4. Actuando sobre escalares de
la forma k2u1u2u3u4, antisimmersing sobre [234] es equivalente a antisimmersing sobre
[1234], y sólo hay un escalar completamente antisimétrico k2u1u2u3u4. Sin más
cálculo, se puede inferir que el factor cinemático es proporcional a ese escalar,
K4F1-loop = const ·
(u1/k3u2)(u3/k1u4)− (u1/k2u3)(u2/k1u4) + (u1/k2u4)(u2/k1u3)
que, por supuesto, está de acuerdo con la amplitud RNS (véase, por ejemplo, [16], eq. (3.67)).
3.3 Dos bosones, dos fermiones
En la evaluación (3.2) para dos bosones y dos fermiones, las simetrías cíclicas afectan
si los supercampos W y F aportan bosones o fermiones. Sólo la etiqueta del Aα
superfield no se ve afectado, y uno tiene que elegir si debe contribuir con un bosón
o un fermión. Desde su expansión fermónica comienza con el vector de polarización bosónica,
El cálculo puede simplificarse mediante la elección de un etiquetado en el que la partícula 1 sea
un fermión. (Por supuesto, el resultado final debe ser independiente de esta elección.) La asignación
de las otras tres etiquetas es entonces irrelevante y se elegirá como f1f2b3b4. Escribiendo
las permutaciones cíclicas, dos de los tres términos son esencialmente los mismos porque son
relacionado por el intercambio de las etiquetas 3 y 4. El factor cinemático es entonces
K2B2F1-loop(f1f2b3b4) = (1 +
(incluso)
1 )
(incluso)
2 )
(odd)
(incluso)
(incluso)
1 )
(odd)
3 )
(odd)
(odd)
A diferencia del cálculo de cuatro fermiones, el resultado no se fija por simetría. Hay cinco.
escalares independientes ku1u2F3F4 (véase el apéndice A, eq. (A.6)), denotado por C1. .. C5, y allí
son dos combinaciones independientes de estas escalares con la simetría requerida [12](34).
Expandiendo los supercampos y recolectando términos con 5 libras, la primera línea produce una combinación
de términos XABCD con A, B, D impar y C par. Sólo hay uno.
5 combinación que viene
de la segunda línea, que será denotada por X ′2111 فارسى (24)X2111:
K2B2F1-loop = (1 + η34) (X4010 +X2210 +X2030 +X2012) +X
2111,
con los correlatores
X4010 =
3c k
nX4010, X4010 =
(a)(a)
()(pu1)()
[mu2)(
n]γbcŁ)
X2210 = − i12k
nX.2210, X.2210 =
(a)(au1)()
[mbcŁ)(cu2)(]
n]γdeŁ)
X2030 = − i36k
nX‡2030, X‡2030 =
(a)(au1)()
[mu2)(
n]γbcŁ)(c
X2012 = − i12k
3c k
4e X.2012, X.2012 =
(a)(au1)()
[mu2)(
n]γbcŁ)(n
X ′2111 =
3c k
2111, X
2111 =
(a)(au1)()
[mbcŁ)(n]γdeŁ)(nu2)
– 10 –
(El coeficiente numérico en X ′2111 incluye un signo que viene de la orden de , û: allí
es un número impar de Łs entre u1 y u2.) Evaluación de estas expresiones como se describe en
sección 2.2, las funciones de la onda espinosa no presentan ninguna complicación. La última parte toma la
forma más simple: Uno encuentra
(a)(au1)()
()()()()()
= − 1
(2/bcm[d(u1γe]u2) +
m(u1γ
c]deu2))
y, por lo tanto,
X ′2111 = − 1480
[bm(u1γ]
c]γdeu2) +
m(u1γ
e]γbcu2)
El resultado para X4010 es
X4010 =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cu2)− 190
mq(u1γ
nu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
qu2)− 12520
q (u1γ
bcnu2)
bq(u1γ
cmnu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cnqu2) +
bcmnqu2)
[bc][mn]
Para la evaluación de Xû2210, es útil considerar el correlator más general
(a)(au1)()
[mbcŁ)(n]γdeŁ)(xu2)
mn(u1γ
cu2) +...
201600
mx (u1γ
bcdenu2) + · · · − 11403200 (u1γ
bcdemnxu2)
[mn][bc][de]
(27 términos)
9676800
Bccdemni1i2i3i4(u1γ
i1i2i3i4xu2) 12419200bcdemnxi1i2i3(u1γ
i1i2i3u2).
Esta vez, incluso utilizando el método de la sección 2.2, hay suficientes índices abiertos
y suficientes rastros para que aparezcan los tensores de epsilon. Usando eqs. (2.11) y (2.12),
puede ser reescrita en términos γ[5,7]:
(a)(au1)()
[mbcŁ)(n]γdeŁ)(xu2)
mn(u1γ
cu2) +...
16800
mx (u1γ
bcdenu2) + · · · − 133600 (u1γ
bcdemnxu2)
[mn][bc][de]
(27 términos)
Un buen chequeo en el signo de las contribuciones de epsilon es que X
la contratación con ηnx, que implica la cancelación de todas las
[5] términos. Para obtener Xû2210, uno
multiplica por cx:
Xû2210 =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
eu2) +
bmde (u1γ
nu2) +
20160
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
benu2)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
denu2) +
20160
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
emnu2) +
bdemnu2)
[de][mn]
Para el cálculo de X2030 y X2012, primero se puede evaluar un correlator más general
(a)(au1)([mu2)(n]γbc)(xγde) y, a continuación, contrato con ηcx y ηnx, respec-
Tily. Los resultados son:
Xû2030 =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
eu2)− 11440
de (u1γ
nu2)− 1710080
m(u1γ
benu2)
10080
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
denu2)− 11440
d(u1γ
emnu2) +
bdemnu2)
[mn][de]
Xû2012 =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
eu2)− 11440
de(u1γ
mu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bceu2)
10080
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cdeu2) +
10080
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cemu2)− 13360 (u1γ
bcdemu2)
[bc][de]
– 11 –
Después de la multiplicación con los momentos y polarizaciones, todas las contribuciones individuales son
calibrado invariante y se puede ampliar en la base C1. C5 enumerado en (A.6):
(1 + η34)X4010 =
483840
(−6,−16,−40, 6, 0)C1...C5
(1 + η34)X2210 =
483840
(−18,−104,−176, 18, 0)C1...C5
(1 + η34)X2030 =
483840
(−21, 42,−42, 21, 0)C1...C5
(1 + η34)X2012 =
483840
(−39, 78,−78, 39, 0)C1...C5
X ′2111 = − i11520 (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5
La suma se puede escribir como
K2B2F1-loop = X
2111 = − i3840 (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5
= − i
s13(u2/3(/k2 + /k3)/^4u1) + s23(u2/4(/k2 + /k4)/^3u1)
(3.6)
y de nuevo está de acuerdo con la amplitud calculada en el resultado RNS, véase [16] eq. 3.37).
4. Amplitudes de dos lados
El formalismo puro de espinor se utilizó en [4, 2] para calcular la amplitud de dos bucles tipo IIB
involucrando a cuatro estados sin masa,
d211d
2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 12o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o
i,j ki · kj G(zi, zj)
(det. Imel)5
K2-loop(ki, zi),
donde es la matriz del período género-dos, y la integración sobre los modos cero fermiónicos es
encapsulado en
K2-loop = 12-34
(mnpqr/23370/)(sW1)F2,mnF3,pqF4,rs
perm(1234)
(4.1)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (4.2)
Los factores cinemáticos K12, K13, K14 están acompañados por el biholo antisimétrico básico.
1-forma mórfica, que está relacionada con una base canónica de diferenciales holomórficos
a través de la siguiente dirección: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Los supercampos Wαi y Fi, mn son los
fuerza de campo espinor y vector del estado externo i-th, como en la sección 3. Un encuentro
integrales superespaciales de la forma
Y (abcd) =
(mnpqr/23370/)(sWa)Fb,mnFc,pqFd,rs
. (4.3)
Entre las simetrías de la combinación ♥3 [4] en este correlacionador se incluye la simetría obvia
bajo mn↔ pq, y también ([mnpqr/23370/)(s])α = 0 (esto se sostiene para las espineras puras ♥ y puede ser
visto por la dualización, y se sostiene para las espineras no restringidas
desde el contenido de representación (2.8) y permitir que se barajen los factores F:
Y (abcd) = Y (acbd), Y (abcd) + Y (acdb) + Y (adbc) = 0. (4.4)
– 12 –
4.1 Revisión: cuatro bosones
El caso de cuatro estados de Neveu-Schwarz fue considerado en [6] y será revisado brevemente
Aquí. Como los tres factores cinemáticos K12, K13 y K14 son equivalentes, basta con
considerar K12 en detalle. Con todos los estados externos siendo idénticos, las simetrías de
(4.1) puede llevarse a cabo al final del cálculo:
K4B12 = 4
W[1F2]F[3F4]
W[3F4]F[1F2]
= (1− η12)(1− η34)(1 + η13η24)
W1F2F3F4
Ampliación de los supercampos y adopción de la notación
YABCD(abcd) =
(mnpqr/23370/)(sW (A)a)F
F (C)c,pqF
los estados Neveu-Schwarz provienen de los términos de la forma YABCD YABCD(1234) con A impar
y B, C, D incluso. Usando las identidades barajas (4.4) para simplificar, se obtiene
W1F2F3F4
= Y5000 + Y1400 + Y1040 + Y1004 + Y3200 + Y3020 + Y3002 + Y1220 + Y1202 + Y1022
= (1 + η23)(1− η24)
Y5000 + Y1400 + Y3200 + Y1022
y por lo tanto K4B12 puede escribirse como imagen de un operador de simetría S4B:
K4B12 = S4B
Y5000 + Y1400 + Y3200 + Y1022
S4B = (1− η12)(1− η34)(1 + η13η24)(1 + η23)(1− η24)
Vale la pena señalar en este punto que, en el espacio de dieciséis dimensiones de los escalares de Lorentz
construido a partir de las cuatro fortalezas de campo Fi y dos momenta, el simetría S4B tiene rango cuatro.
Los correlatores se calcularon en [6], utilizando el método descrito en la sección 2.1. Dos son
cero, Y5000 = Y1400 = 0, y los restantes son
Y3200 =
(mnpqr
cdl)(n
Y1022 =
F 1abF
(mnpq[r♥)(s]γabl)(q)
cdl)(s
Al reducir esas dos contribuciones a un conjunto de escalares independientes, uno encuentra que
ambos no son sólo sumas de (k · k)F 4 términos, sino que también contienen términos de la forma k · F términos.
Estos últimos son proyectados por el simmetriser S4B, y el resultado es
K4B12 = S4B(Y3200 + Y1022) = 1120 (s13 − s23)
4Tr(F(1F2F3F4))− Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
(s13 − s23)t8F 4.
Por intercambio de índice trivial, se obtiene K13 y K14, y el total es
K4B2-loop =
(s13 − s23)â € € € € € € € € (s12 − s23)â € € € € € € € € € € € > (s13 − s23)â € € 12 € € € + (s12 − s13) € € € 14 € 23
4, (4.5)
un producto del factor cinemático de un bucle completamente simétrico t8F
4 y un completo
combinación simétrica de la momenta y la Íñij.
– 13 –
4.2 Cuatro fermiones
El cálculo de cuatro estados Ramond es muy similar al del bosónico. Centrarse
en la parte K12, las simetrías en (4.1) pueden ser reescritas de nuevo como acción de sim-
Operadores de metrotización en el correlator de supercampos con un etiquetado particular:
K4F12 (ûi) = (1−
W1F2F3F4
û1û2û3û4
= 4(1− η12)
W1F2F3F4
û1û2û3û4
El último paso se deriva del hecho de que todas las escalares de la forma k4u4 (véase el apéndice A.2),
y por lo tanto todos los escalares k4û4, son invariantes por debajo de Esta vez,
en la expansión de los supercampos, se recoge los términos YABCD con A par y B, C, D impar.
Después de usar (4.4) para simplificar,
W1F2F3F4
û1û2û3û4
= Y2111 + Y0311 + Y0131 + Y0113
= (1 + η23)(1− η24)
Y2111 + Y0311
y después de traducir a la conmutación de funciones de onda ui, que multiplica cada permutación
operador con su firma, se obtiene
K4F12 (ui) = S4F
Y2111(ui) + Y0311(ui)
, S4F = 4(1 +
Este simetría tiene rango tres, y el resultado de nuevo no está determinado por la simetría.
Hay que calcular dos correlatores:
Y2111(ui) = (−2)k1ak2mk3pk4r
(mnpq[r/23370/)(s]γabŁ)(bu1)(nu2)(qu3)(su4)
Y0311(ui) = (−23)k
(mnpq[rđ)(s]u1)(n)
(bu2)(qu3)(su4)
Con cuatro fermiones presentes, se prefiere el método de la sección 2.2, ya que no implica re-
organizar los fermiones usando las identidades de Fierz. El primer correlator fue cubierto como un ejemplo
en esa sección, y la segunda se puede evaluar de la misma manera. Expresado en el
base enumerada en (A.5), los resultados son:
Y2111(ui) =
(−19,−21, 21, 19,−17,−17, 0, 0, 0, 0)B1...B10,
Y0311(ui) =
15120
(−14,−16, 0, 2,−8,−8, 0,−5,−5, 0)B1...B10.
Después de actuar con el simetría S4F, se obtiene el mismo escalar u4 encontrado en el
Amplitud de un bucle,
K4F12 (ui) = S4F(13Y2111(ui) + Y0311(ui)) =
(−1,−2, 1, 2,−1,−2, 0, 0, 0, 0)B1...B10
(s23 − s13)
(u1/k3u2)(u3/k1u4)− (u1/k2u3)(u2/k1u4) + (u1/k2u4)(u2/k1u3)
Las partes K13 y K14 de nuevo siguen por intercambio de índices, y el resultado total
K4F2-loop(ui) =
(s23 − s13)+12+34 + (s23 − s12)+13+24 + (s13 − s12)+14+23
(u1/k3u2)(u3/k1u4)− (u1/k2u3)(u2/k1u4) + (u1/k2u4)(u2/k1u3)
(4.6)
es de nuevo un producto simple del factor cinemático de un solo bucle y una combinación de la
y momenta.
– 14 –
4.3 Dos bosones, dos fermiones
Al igual que en el cálculo de un bucle de la sección 3.3, en el caso mixto hay que prestar cierta atención
a las permutaciones en (4.1) ya que afectan a los supercampos que aportan campos fermónicos.
La simetría completa hace que sea irrelevante qué etiquetas se asignan a las dos
fermiones, y la convención f1f2b3b4 se utilizará aquí. El factor cinemático K
12 es entonces
distinguido de los otros dos, K2B2F13 y K
14. Llevar a cabo las simetrías en
(4.1) y utilizando las identidades (4.4), uno encuentra
K12(û1, û2, 3, 4) = (1− η12)(1− η34)K,
K13(û1, û2, 3, 4) = (2 · 1+ η12 + η34 + 2
K14(û1, û2, 3, 4) = (1+ 212 + 234 + η1234)K
donde, esquemáticamente,
(incluso)
(odd)
(incluso)
(incluso)
(odd)
(incluso)
(odd)
(odd)
. (4.7)
Al traducir a las variables de conmutación u1 y u2, el operador de permutación η12 cambia
signo, y por lo tanto2
K12(u1, u2, 3, 4) = (1+ η12)(1− η34)K,
K13(u1, u2, 3, 4) = (2 · 1−
K14(u1, u2, 3, 4) = (1− 212 + 234 − η1234)K.
Ampliando los supercampos, las contribuciones a K‡ son:
Y4100 = − i48k
(mnpqrđ)(sγabl)(bγ)(bγ)
(cu1)(nu2)
Y0500 =
(mnpqrđ)(su1)(n)
()(b)
(du2)
Y0140 =
(mnpqr/23370/)(su1)(nu2)(q
()(b)
Y0104 =
(mnpqrđ)(su1)(nu2)(s)
()(b)
Y2300 =
(mnpqr♥)(sγabl)(bu1)(n)
(eu2)
Y2120 =
(mnpqrđ)(sγabŁ)(bu1)(nu2)(q
Y2102 =
(mnpqrđ)(sγabŁ)(bu1)(nu2)(s)
Y0320 =
(mnpqrđ)(su1)(n)
(bu2)(q
Y0302 =
(mnpqrđ)(su1)(n)
(bu2)(s]
Y0122 =
(mnpqr/23370/)(su1)(nu2)(q
(s)
Y3011 =
(mnpqr
(cu1)(nu2)
Y1211 =
F 3abk
(mnpqr
(qu1)(s]u2)
Y1031 =
F 3abF
(mnpqr
(en inglés)(du1)(s]u2)
Y1013 =
F 3abF
(mnpqrđ)(sγabŁ)(qu1)(s)
(du2)
2Este cambio de signo es crucial para evitar la conclusión errónea de que el dos-bosón, dos-fermión cinemática
factor no puede ser de la misma forma de producto que en los casos de cuatro-bosón o cuatro-fermión, que sería en
la contradicción con las identidades supersimétricas derivadas de [18].
– 15 –
Estos correlatores pueden evaluarse exactamente como se describe en la sección 3.3. Uno encuentra que
Y0500 = Y0140 = Y0104 = 0, y la suma de los términos restantes se reduce a
Kû = Y4100 + Y2300 + Y2120 + Y2102 + Y0320 + Y0302 + Y0122 + Y3011 + Y1211 + Y1031 + Y1013
(s12 + s13)× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5.
Después de aplicar los operadores de simetría,
(1+ η12)(1− η34)K = i180 (s12 + 2s13)× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5,
(2 · 1− η12 + η34 − 2η12η34)K = i180 (2s12 + s13)× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5,
1- 2η12 + 2η34 − η12η34)K = i180 (s12 − s13)× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5,
el factor cinemático total se ve como
K2-loop(u1, u2, •3, •4) = − i180
(s23−s13)+(s23−s12)+(s13−s12)+(s13−s12)+(s23−s13)+(s23−s12)+(s23−s12)+(s23−s12)+(s13−s)+(s13−s12)+(s13−s12)+(s23−s13)
× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5 (4.8)
y muestra la misma forma de producto simple que en el caso de cuatro bosones y cuatro fermiones.
5. Discusión
En este trabajo, se discutieron diferentes métodos para evaluar eficientemente la inte-
grales que aparecen en amplitudes multiloop derivadas en el formalismo puro espinor. Extender
cálculos anteriores [6, 7] restringidos a los estados Neveu-Schwarz, se mostró entonces cómo el
el tratamiento de los estados de Ramond no plantea dificultades adicionales.
Mientras que los cálculos bosónicos de [6, 7] tienen, en conjunción con la supersimetría,
ya ha establecido la equivalencia de las amplitudes de cuatro puntos sin masa derivadas en el
puro espinor y formalismos RNS, sería interesante hacer contacto entre el
resultados de las ampliaciones de las secciones 4.2 / 4.3 y de dos bucles que involucran a los estados de Ramond, calculados
en el formalismo RNS (véase, por ejemplo, [19]).
La asistencia de un sistema de álgebra computacional parece indispensable en explícitamente evalua-
ing puras integrales de superespacio spinor. Para evitar el uso excesivo de algoritmos hechos a medida,
sería conveniente aplicar estos cálculos en un marco computacional más amplio
particular adaptado a los cálculos teóricos de campo [20].
Los métodos descritos en el presente documento deberían ser fácilmente aplicables a los futuros ciclos superiores.
expresiones de amplitud derivadas del formalismo espinoso puro, y, se espera, a otros
integrales de superespacio.
Agradecimientos
El autor desea agradecer a Louise Dolan por las discusiones, y Carlos Mafra por su valiosa
correspondencia. Este trabajo es apoyado por el Departamento de Energía de EE.UU., no de subvención. DE-
FG01-06ER06-01, Tarea A.
– 16 –
A. Reducción a bases cinemáticas
Al calcular las amplitudes de dispersión se encuentran factores cinemáticos que son Lorentz
polinomios invariantes en los momentos, polarizaciones y/o funciones de onda espinosa de la
partículas dispersas. Puede ser una tarea no trivial simplificar tales expresiones, teniendo en cuenta
cuenta las identidades en shell
i ki = 0, k
i = 0, ki · i = 0, /kiui = 0, y, en el caso de
fermiones, re-arreglos derivados de las identidades de Fierz.
En términos más generales, nos gustaría saber cuántas combinaciones independientes de algunos
campos dados (sujetos a identititas on-shell) existen, y cómo reducir una expres arbitraria-
sión con respecto a alguna base elegida. En el presente apéndice se esbozan los métodos para abordar estos problemas.
problemas, con énfasis en algoritmos que se pueden transferir fácilmente a un ordenador
Sistema de álgebra. Estos métodos no se limitan a tratar con cálculos de espinos puros
pero el alcance se restringirá a las amplitudes de cuatro vectores sin masa o partículas espinoras en
diez dimensiones.
A.1 Cuatro bosones
No es difícil reducir los polinomios en el momento y las polarizaciones a un canon
forma. La limitación de la conservación del impulso
i ki = 0 se resuelve eliminando uno
impulso (por ejemplo k4), todos k
i se establece en cero, y uno de los dos cuadráticos restantes
se eliminan las combinaciones de momenta (por ejemplo s23 → −s12− s13, donde sij فارسى ki ·kj).
A continuación, todos los productos ki · • i se establecen en cero, y un producto k · • adicional se sustituye (cuando
eliminar k4, la sustitución es k3 · •4 → (−k1 − k2) · •4). Los monomios restantes son:
entonces independiente. (Este es al menos el caso con los poderes bajos de momentánea encontrado
en los cálculos de las secciones 3 y 4, donde hay suficientes direcciones espaciales para todos
momenta/polarizaciones para ser linealmente independientes.)
La aplicación de estas normas de reducción en una computadora es sencilla. Los
forma más fácil de obtener escalares que también son invariantes bajo la simetría del calibrador ki →
es comenzar con expresiones construidas a partir de las fortalezas de campo F abi = 2
i. Por la Comisión
Cálculos de un bucle de la sección 3.1, la base pertinente consiste en escalares invariantes de gálibo
conteniendo sólo las cuatro fortalezas de campo F1. F4. Uno encuentra seis combinaciones independientes,
Tr(F1F2F3F4)
Tr(F1F2F4F3)
Tr(F1F3F2F4)
Tr(F1F2)Tr(F3F4)
Tr(F1F3)Tr(F2F4)
Tr(F1F4)Tr(F2F3)
En los cálculos de dos lados de la sección 4.1, todos los monomios tienen dos momentos más. Ahí está.
son dieciséis escalares independientes de calibre invariante de la forma kkF1F2F3F4, y doce de
podrán construirse a partir de la base anterior mediante multiplicación con s12 y s13:
A1 = s12 Tr(F1F2F3F4), A2 = s13 Tr(F1F2F3F4), etc. Una opción para los cuatro adicionales es
A13 = k3 · F1 · F2 · k3 Tr(F3F4) A15 = k3 · F1 · F4 · k2 Tr(F2F3)
A14 = k4 · F1 · F3 · k2 Tr(F2F4) A16 = k4 · F2 · F3 · k4 Tr(F1F4).
– 17 –
Como ejemplo de aplicación de los algoritmos de la computadora, se puede comprobar que el simmetrí-
operador de sacionamiento de la sección 4.1,
S4B = (1− η12)(1− η34)(1 + η13η24)(1 + η23)(1− η24),
actúa como
S4BA1 = 8A1 + 4A2 − 4A3 + 4A4 + 8A5 + 16A6
...
S4BA16 = −6A1 + 6A3 − 6A5 − 12A6 + 32A7 + 3A8 +
A9 + 3A10 +
A11 + 3A12
y tiene rango cuatro.
A.2 Cuatro fermiones
Al tratar con las funciones de onda espinosa ui uno tiene que enfrentar dos problemas: las identidades de Fierz, y
la ecuación de Dirac. Las identidades de Fierz no solo permiten cambiar el orden de los spinors
pero también dan lugar a relaciones entre diferentes expresiones en un orden espinoso. El Dirac
ecuación a menudo simplifica los términos con momentánea contraída en (uiγ
[n]uj) bilineales.
En esta sección se muestra cómo construir bases para los términos de la forma (k2 o k4) ×
u1u2u3u4. Una simplificación significativa viene de señalar que la ecuación de Dirac permite
uno para reescribir (uiγ
[n]uj) bilineales en términos con n inferior si más de un momento es
contraída en el γ[n]. Un buen primer paso es, por lo tanto, ignorar el momento temporal
y encontrar todos los escalares independientes y tensores de dos índices construidos a partir de u1,. .., u4. Del
Contenido de representación SO(10),
(S+)4 = 2 · 1+ 6 · + 3 · (tensores con rango > 2),
uno espera dos escalares y nueve 2-tensors. Las escalares se encuentran fácilmente por considerar, como
en [21],
T1(1234) = (u1γ
au2)(u3γau4),
T3(1234) = (u1γ
abcu2)(u3γabcu4).
y de manera similar para los otros dos órdenes inequivalentes de los cuatro espinos. (Nota: no hay T5
debido a la auto-dualidad de la γ[5].) De las transformaciones de Fierz, uno aprende que todos los términos T3
puede reducirse a T1 por T3(1234) = −12T1(1234)− 24T1(1324) y permutaciones, y la
identidad (γa)(γ)
a)γ)e = 0 implica que T1(1234) + T1(1324) + T1(1423) = 0, dejando para
ejemplo T1(1234) y T1(1324) como escalares independientes.
Al generalizar este enfoque de los tensores de dos índices, resulta que basta con
empezar con
T11(1234) = (u1γ
mu2)(u3γ
nu4),
T31(1234) = (u1γ
aγmγnu2)(u3γau4),
T33(1234) = (u1γ
abγmu2)(u3γabγ
nu4),
– 18 –
y permutaciones de las etiquetas espinosas. Sería muy fastidioso aplicar sistemáticamente
una variedad de transformaciones de Fierz a mano y para encontrar un conjunto independiente. Afortunadamente,
eligiendo una representación de la matriz gamma (como la que figura en el apéndice B) y
reducir todas las expresiones a polinomios en los componentes espinores independientes u1i,. .., u
este problema se puede resolver con ayuda de la computadora. Como era de esperar, se encuentra que el Tij(abcd)
un espacio de nueve dimensiones, y una base se puede elegir como
T11(1234), T11(1324), T11(1423), T11(3412), T11(2413), T11(2314),
T31(1234), T31(1324), T31(2314). (A.1)
Una relación típica que reduce el otro Tij(abcd) a esta base es
T31(3412) = 2T11(1234) − 2T11(3412) + T31(1324) + T31(2314) + 2ηmnT1(1234). (A.2)
Después de haber resuelto el primer paso, ahora es fácil incluir los dos o cuatro momentánea, tomando
la ecuación de Dirac en cuenta. Consideremos primero el caso de dos momentáneas. A partir de
los dos tensores en (A.1), uno obtiene los tres escalares independientes
(u1/k3u2)(u3/k1u4), (u1/k2u3)(u2/k1u4), (u1/k2u4)(u2/k1u3).
Además, hay cuatro productos de las dos escalares independientes T1(1234) y T1(1324)
con los dos impulsos independientes invariantes s12 y s13. Contratando (A.2) con
momenta, se puede demostrar que
s12T1(1324) − s13T1(1234)
= −(u1/k3u2)(u3/k1u4) + (u1/k2u3)(u2/k1u4)− (u1/k2u4)(u2/k1u3), (A.3)
y esta relación se puede utilizar para eliminar s12T1(1324). (Se hará claro más tarde que
no hay otras relaciones independientes como esta.) Por lo tanto, hay seis independientes
k2u1 · · · u4 escalares:
(u1/k3u2)(u3/k1u4) s12 T1(1234)
(u1/k2u3)(u2/k1u4) s13 T1(1234) (A.4)
(u1/k2u4)(u2/k1u3) s13 T1(1324)
Tenga en cuenta que sólo hay una combinación completamente antisimétrica de los, dado por el
lado derecho de (A.3). Del mismo modo, en el caso de cuatro momentáneas, se encuentran diez independientes
k4u1 · · · u4 escalares:
B1 = s12 (u1/k3u2)(u3/k1u4) B2 = s13 (u1/k3u2)(u3/k1u4)
B3 = s12 (u1/k2u3)(u2/k1u4) B4 = s13 (u1/k2u3)(u2/k1u4)
B5 = s12 (u1/k2u4) (u2/k1u3) B6 = s13 (u1/k2u4) (u2/k1u3) (A.5)
B7 = s
12 T1(1234) B8 = s12s13 T1(1234)
B9 = s
13 T1(1234) B10 = s
13 T1(1324)
– 19 –
Trabajando en una representación de matriz gamma, es de nuevo sencillo construir una computadora
algoritmo que reduce cualquier k2u1 dado · · · u4 o k4u1 · · · u4 escalar en polinomios de la
componentes de spinor y momentum. La ecuación de Dirac puede entonces ser resuelta rompiendo
hasta los spinors de dieciséis componentes u en los spinors quirales de ocho dimensiones u
i y u
i, como en
eq. (B.1). Uno obtiene polinomios en los componentes de impulso kai y el independiente
Componentes de espinos (uci)
1...8. Sin embargo, una gran desventaja de este procedimiento es que
Se rompe la invarianza de Lorentz. Por ejemplo, uno encuentra expresiones que contienen
subconjuntos de términos proporcionales al cuadrado de un solo momento y por lo tanto son iguales
a cero, pero es difícil reconocer esto con un algoritmo simple. La solución más fácil
es elegir varios conjuntos de vectores particulares ki satisfaciendo k
i = 0 y
i ki = 0 y a
evaluar todas las expresiones en estos vectores. (Al elegir el número entero de aritmética, uno evita fácilmente
cuestiones de exactitud numérica.) Sustitución de estos conjuntos de vectores de impulso en las bases
(A.4) y (A.5) da el rango completo seis y diez respectivamente, mostrando que son de hecho linealmente
independiente.
Equipado con un algoritmo informático para estas descomposicións de base, se encuentra, para
ejemplo, que el simetría S4F de la sección 4.2,
S4F = 4(1 +
actúa sobre el B1. B10 como base
S4FB1 = −12B4 + 12B5 + 12B6,
...
S4FB10 = 8B1 + 16B2 − 8B3 − 16B4 + 8B5 + 16B6 − 24B7 − 24B8 − 24B9
y tiene el rango tres.
A.3 Dos bosones, dos fermiones
Los métodos combinados de las dos últimas secciones pueden ampliarse fácilmente al caso mixto
de dos bosones y dos fermiones. En el cálculo de un bucle de la sección 3.3, uno se encuentra
escalares de la forma ku1u2F3F4. Una base de tales objetos es dada por
C1 = (u1γ
au2)k
C2 = (u1γ
au2)F
C3 = (u1γ
au2)F
c (A.6)
C4 = (u1γ
abcu2)F
C5 = (u1γ
abcu2)F
Hay dos combinaciones antisimétricas en [12] y simétricas en (34):
−C1 + 4C2 +C4 y C2 + C3.
Por último, hay diez escalares independientes de la forma k3u1u2F3F4 (relevante para el dos lazo
el cálculo de la sección 4.3), y todos pueden obtenerse mediante la multiplicación de C1. .. C5 con.........................................................................
los dos impulsos invariantes s12 y s13.
– 20 –
B. Una representación de matriz gamma
Una representación conveniente de las matrices gamma SO(1,9) es dada por las matrices 32×32
0 (γa)
(γa) 0
donde
(γ0)+ = 116 = (γ)
0) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(γ9)
−18 0
= -(γ9)-,
y (γa)-= −(γa)-, a = 1.... 8, es una representación real, simétrica 16×16 para el SO(8)
álgebra de Clifford,
(γa) =
(a)T 0
, a = 1..................................................................................................................
como se indica en el apéndice 5.B de [21]. Las matrices de satisfacer el SO(1,9) Clifford álgebra
relaciones,
= 2ηab132, ηab = ( · · · · − ),
y bilineales de espinores quirales (con, por ejemplo, quiralidad positiva) se construyen como
= (uγ[a1...ak]v) = (uγ[a1...ak ]v) = uα(γ[a1)
a2)®. .... (γak ].........................................................................................................................................................................................................................................................
Esta representación es particularmente adecuada para los cálculos descritos en el apéndice A
porque permite una simple descomposición de SO(1,9) spinors en SO(8) spinors debido a su
estructura de bloques:
# 0 # # # # 9 # # # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # # 9 # # # 9 # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # 9 # 9 # # 9 # 9 # # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # # # # # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 #
116 0
0 a 116
, 1 · · 8 =
18 0 0 0
0 −18 0 0
0 0 18 0
0 0 0 −18
Por lo tanto, la ecuación de Dirac para un chiral espinor de 16 componentes u,
(γa)au
α = 0,
se puede resolver dividiendo u en dos espinores quiral de ocho componentes de SO(8),
con γ1...8
Uno obtiene las ecuaciones acopladas
(0 + 9)u
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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(con productos de punto de ocho dimensiones). Estos se pueden resolver para nosotros en términos de uc:
( · ♥)uc =
( · k)uc, (B.1)
donde k+ = −i = −i
(0 + 9).
– 21 –
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http://www-spires.slac.stanford.edu/spires/find/hep/www?j=NUPHA%2CB327%2C744
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0701238
| La formulación espinosa pura de la supercadena de diez dimensiones conduce a
amplitudes de bucle manifiestamente supersimétricas, expresadas como integrales en puro
spinor superespacio. Este trabajo explora diferentes métodos para evaluar estos
integrales y luego los utiliza para calcular los factores cinemáticos del bucle único
Amplitudes de cuatro puntos sin masa de dos y cuatro vueltas que involucran a Ramond
estados.
| Introducción
La cuantificación de la supercadena de diez dimensiones usando espinores puros como hoja del mundo
los fantasmas [1] han superado muchas dificultades encontradas en el Green-Schwarz (GS) y
Ramond-Neveu-Schwarz (RNS) formalismos. En particular, manteniendo el espacio manifiesto
supersimetría de tiempo, el puro formalismo espinoso ha producido covariante super-Poincaré multi-
Amplitudes de bucle, lo que conduce a nuevas percepciones sobre la finitud perturbadora de la teoría de supercadenas
[2, 3].
Contar los modos fermiónicos cero es una técnica poderosa en el cálculo del bucle
amplitudes en el formalismo espinoso puro y se ha utilizado, por ejemplo, para demostrar que
se necesitan al menos cuatro estados externos para una amplitud del bucle sin masas no desvanecida [2].
Además, la estructura de las amplitudes de cuatro puntos sin masa es relativamente simple porque todos
– 1 –
Las variables worldsheet fermiónicas contribuyen sólo a través de sus modos cero. En las expresiones
derivados para las amplitudes de un bucle [2] y de dos bucles [4], la supersimetría se mantuvo manifiesta
mediante la expresión de los factores cinemáticos como integrales sobre el superespacio espinoso puro [5]
tres espinos puros ♥ y cinco coordenadas superespaciales fermónicas ,
K1-loop =
(lA)(mW)(nW)Fmn
K2-loop =
(mnpqrđ)(sW)FmnFpqFrs
(1.1)
donde la integración pura del superespacio del spinor es denotada por. .......................................................................................
y Fmn(x, ♥) son los supercampos de la teoría de Yang-Mills de diez dimensiones.
Los factores cinemáticos en (1.1) se han evaluado explícitamente para los estados de Neveu-Schwarz
en dos bucles [6] y un bucle [7], y se encontró que coincide con las amplitudes derivadas en
el formalismo RNS [8]. Esto proporcionó importantes controles de la coherencia en el establecimiento de la
validez de las prescripciones de amplitud pura espinosa. (Los cálculos de un bucle relacionados habían
se notificaron en [9].)
En este artículo, se mostrará cómo calcular los factores cinemáticos en (1.1) cuando
los supercampos están autorizados a contribuir a los campos fermiónicos, como es relevante para la dispersión
de estados de cuerdas cerradas fermiónicas, así como bosones Ramond/Ramond. Resulta que
el cálculo de las amplitudes fermónicas no presenta dificultades adicionales, por lo que (1.1)
un buen punto de partida práctico para el cálculo de las amplitudes de bucle de cuatro puntos en un
moda unificada. Este aspecto práctico de las amplitudes de espinos puras supersimétricas fue
también enfatizado en [10], donde las amplitudes a nivel de árbol se utilizaron para construir el fermión
y Ramond/Ramond forman contribuciones a la acción efectiva de cuatro puntos del tipo II
teorías.
El presente documento está organizado de la siguiente manera. En la sección 2, diferentes métodos para calcular pura
Se exploran las integrales de superespacio de spinor. Estos métodos se aplican a continuación a la explícita
evaluación de los factores cinemáticos de las amplitudes de cuatro puntos sin masa a nivel de un bucle
en la sección 3, y en el nivel de dos bucles en la sección 4. En ambas secciones, el calcu bosónico
las laciones se revisan brevemente antes de considerar por separado los casos de dos y cuatro Ramond
estados. Se prestará especial atención a las limitaciones impuestas por el simple intercambio
Simetrías. Un apéndice contiene algoritmos que se utilizaron para reducir el nivel intermedio
expresiones encontradas en los cálculos de amplitud a una forma canónica.
2. Integración en modo cero
El cálculo de las amplitudes de dispersión en el formalismo puro espinor lleva a integrales sobre
modos cero de las variables worldsheet fermónicas. Ambos son de 16 componentes.
Los espinores de Weyl, los que se desplazan y los anticonmutadores de Ł, y los que están sujetos a la pureza
restricción de spinor (mŁ) = 0. Las prescripciones de amplitud [1, 2] requieren tres modos cero
para estar presente, y un objeto covariante de Lorentz
# # # # # # 1... # 5 # # # # # 5 # # 5 # # 5 # # 5 # # 5 # # 5 #
1. ..............................................................
= T̄ (),[1...5] (2.1)
fue construido de tal manera que el operador de vértice antighost Yang-Mills
V = (m))(n)(p)(mnp) ha
= 1. (2.2)
– 2 –
En esta sección, los diferentes métodos de cálculo tales “formales superespacio puros” son ex-
Adorado. Como ejemplo, un correlator típico se encontró en los cálculos de dos bucles de
la sección 4 se considera:
F (ki, ui) = k
(mnpq[rđ)(s]u1)(n)
(bu2)(qu3)(su4)
2.3)
Aquí, ki y ui son las funciones momenta y de onda espinosa de las cuatro partículas externas.
2.1 Consideraciones de simetría y fórmulas tensorias
Un enfoque sistemático para evaluar las integrales de modo cero es encontrar expresiones para todos
tensores que se pueden formar a partir de (2.1). Por las transformaciones de Fierz, uno siempre puede escribir el
producto de dos espinos de tipo ([3]), donde γ[k] denota el producto antisimmetrado de k
matrices gamma. Debido a la restricción del espinor puro, el único bilineal en ♥ es ([5]), y
Por lo tanto, basta con examinar los tres casos.
([5]♥)([1] o γ[3] o γ[5])([3]
. (2.4)
La invarianza de Lorentz implica entonces que debe ser posible expresar estos tensores como sumas de
productos adecuadamente simetizados de tensores métricos, resultando en una expresión par-equivalente, más
una parte paritaria compuesta de términos que, además, contienen un tensor epsilon. Los
partes par incluso pueden ser construidas [6] a partir de la más general compatible con ansatz
con las simetrías del correlator y luego usando identidades espinoras junto con el
normalización (2.2) para determinar todos los coeficientes en el ansatz. Propiedades de la dualidad de la
Los spinor bilineales se pueden utilizar para determinar la parte imparable [7]. Un extenso (y casi
la lista exhaustiva de correlatores se encuentra en [11], incluyendo los casos ([1]
la lista anterior:
(mnpqr
= − 4
mnpqr
msnspsqsrs +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(l'r'l'r'l'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'r'.
u + ♥
u-?r?u?hl )
[fgh] [jkl]
(2.5)
(mnpqr
= −24
mnpqr
msnspsqsrs +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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u − Łkhl?r?u)
[fgh][jkl](fgh↔jkl)
(2.6)
(Aquí, los corchetes (fgh↔ jkl) denotan la simetría bajo el intercambio simultáneo de
fgh con ijk, con peso uno.) El correlator restante con el factor ([5]) puede ser
Derivado de la misma manera, utilizando un ansatz que consiste en seis estructuras paritarias. Tomando
una traza entre los dos factores γ[5] y señalando que
....................................................................................................................
..........................................................................................................................
se encuentra una relación con (2.6). Esto es suficiente para determinar todos los coeficientes en el ansatz,
y el resultado es
(mnpqr
mnpqr
msnspsqsrs +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
M̄n̄p̄
(ehđr̄l + 2đel /23370/r̄h) +
(declaración de motivos)
l − 3
[abcde][fgh][jkl](fgh↔jkl)
(2.7)
– 3 –
Uno puede encontrar sorprendente que la derivación de estas expresiones tensoriales sólo hizo
uso de propiedades de espinos (puros) y de la condición de normalización (2.2). Sin embargo,
se puede ver en la teoría de la representación que el correlacionador (2.1) se caracteriza de manera única,
hasta la normalización, por su simetría. Para ver esto, tenga en cuenta que [12] los productos espinosos 3
y la transformación de 5 en
() : Sym3 S+ = [00003] [10001]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * .. 5] : Alt5 S+ = [00030] • [11010]........................................................................................................................................................
(2.8)
(En este caso, se considera que el nombre y el nombre de la marca son S+ irrep de SO(1,9), con la etiqueta Dynkin [00001].) Los
producto tensor de estos contiene sólo una copia de la representación trivial. Esto es aplicable.
a cualquier spinors, lo que significa que la propiedad de spinor puro no puede ser esencial para el
derivación de las identidades tensoriales. El uso de la restricción espinora pura simplemente permite
para derivaciones más simples de las mismas identidades.
Como ilustración de este enfoque, considere el correlator de eq. (2.3). Dejando el
momenta a un lado por el momento al establecer F = k2ak
r Fś, la tarea es calcular
(mnpq[rđ)(s]u1)(n)
(bu2)(qu3)(su4)
Después de aplicar dos transformaciones de Fierz,
(mnpq[r)(cŁ)(n)
(
s]γcγbu2)
3!·16
(mnpq[r)(cde♥)(n)
(
s]γcdeγbu2)
2·5!·16
(mnpq[r)(cdefg)(n)
(
s]γcdefgγbu2)
3!·16(u3γqγjklγsu4),
se obtiene una combinación de los correlatores fundamentales enumerados en (2,5), (2.6) y (2.7).
Una evaluación fiable de las numerosas simetrías de los índices es posible gracias al uso de
un programa de álgebra computacional. Al hacer estos cálculos con Mathematica, un
herramienta es el paquete GAMMA [13], ampliando los productos de matrices gamma en una base γ[k].
El resultado se compone de dos partes, F
F() = 1
mpru2)(u3γ
au4) +
r (u1γ
iu2)(u3γiu4) +...
ai1i2u2)(u3γ
i1i2u4) (92 términos) (2.9)
F () = − 1
1209600
1...i7
mpr(u1γ
i1...i7u2)(u3γ
+..............................................................................................................................................................................................................................................................
604800
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
i3...i9u2)(u3γ
i7i8i9u4) (34 términos) (2.10)
Los tensores epsilon en la segunda parte se pueden eliminar utilizando el hecho de que los
espinores quiral: Si todos los índices en γ[k]ui se contraen en un tensor epsilon, se utiliza
*i1...ik′j1...jkγ*
j1...jkγ11 = (−)
k(k+1)
¡K! γi1...ik′, (2.11)
donde γ11 = 1
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
i0...i9. En términos más generales, si se contraen todos los índices de γ[k]ui excepto r,
*i1...ik′ j1...jkγ
p1...prj1...jkγ11 = (−)
k(k+1)
(k′ − r)!
pr...p1
[i1...ir
γir+1...i′k]
. (2.12)
– 4 –
El resultado de estas manipulaciones es
F () = − 1
mpru2)(u3γ
au4)− 1280
r (u1γ
amiu2)(u3γiu4) +...
11200
i1i2i3u2)(u3γ
i1i2i3u4) (53 términos) (2.13)
(Tenga en cuenta que mientras que los términos epsilon en las fórmulas de correlación básica se obtuvieron fácilmente de
los términos delta mediante el uso de la dualidad Poincaré, esto no se puede hacer aquí de ninguna manera obvia.)
El último paso en la evaluación de (2.3) es contraer con el momentoa, F = k2ak
r Fс,
y para simplificar las expresiones utilizando las identidades on-shell
i ki = 0, k
i = 0, /kiui = 0. Lo siento.
se muestra en el apéndice A.2 que sólo hay diez escalares independientes, denotados por B1. .. B10,
que se puede formar a partir de cuatro momenta y los cuatro espinos u1. .. u4. Con respecto a esto
base, el resultado es
F () = 1
48·10080
695s12(u1/k3u2)(u3/k1u4) + · · · 233s213(u1γau2)(u3γau4)
(7 términos)
48·10080 (695, 775, 0,−80, 356, 356, 0, 233, 233, 0)B1...B10,
F () = 1
48·10080 (−23,−7, 0,−16, 28, 28, 0, 7, 7, 0)B1...B10,
F = 1
10080
(14, 16, 0,−2, 8, 8, 0, 5, 0)B1...B10, (2.14)
donde sij = ki · kj.
2.2 Una fórmula espinorial
Mientras que la derivación de las identidades tensoriales para los correlacionadores de la forma (2.4) es relativamente
sencillo y elegante, puede ser una tarea tediosa para transformar las expresiones en la
en los cálculos de amplitud para que coincida con este patrón. Como se ve en el ejemplo calculado
Por lo que se refiere a los productos de la industria de la Unión, la Comisión considera que, en el caso de los productos de la industria de la Unión y de la industria de la Unión, los precios de los productos de la industria de la Unión no son los mismos que los de la industria de la Unión, sino los precios de los productos de la industria de la Unión.
transformaciones de ply Fierz. Por lo tanto, es conveniente utilizar una expresión correlativa covariante
con índices de espinos abiertos. Tal expresión fue dada en [1, 2]:
T,1...5 = N−1
(γm)1(γn)2(γp)3(γmnp)
()[1...5]
, (2.15)
donde N es una constante de normalización y los corchetes ()[] denotan (anti-)simetría
con peso uno. (Tenga en cuenta que el lado derecho es automáticamente gamma-matriz sin trazas:
cualquier gamma-traza
(γr) × (γm)α[1(γn)2(γp)3(γmnp)
desaparece debido a la identidad de la doble raza (γab
α(abcŁ) = 0, que sigue de la
hecho de que el producto tensor (Alt3 S+) S− no contiene una representación vectorial y
Por lo tanto, el vector (abl)(
abcl) tiene que desaparecer para todos los espinos, y también se puede mostrar
aplicando una transformación de Fierz.) Esta prescripción fue motivada originalmente [2] por el
expansión fermónica del operador V de vértice antighost Yang-Mills,
V = Tán á á á Ã.
1. ..........................................................................................................................
Tán, à n1... à n5 =
(γm)1(γ
n)2(γ)
p)3(γmnp)
()[1...5]
– 5 –
donde T está relacionado con T̄ por una transformación de paridad, hasta la constante global N. (Desde
T̄ se determina de manera única por sus simetrías, cualquier expresión covariante será proporcional
a T̄, después de la simetría de los índices de spinor, y esta es simplemente la opción más simple.)
Ecuación (2.15) inmediatamente produce un algoritmo para convertir cualquier correlacionador en trazas
de matrices gamma o, si están involucrados espinores adicionales, bilineales en esos espinores. Lo siento.
es, sin embargo, ya muy cansado para determinar la constante de normalización N a mano.
La principal ventaja de este enfoque es que se presta claramente a la aplicación de la Convención sobre la eliminación de todas las formas de discriminación contra la mujer.
un sistema informático de álgebra, que puede llevar a cabo fácilmente las simetrías del índice de espinos,
simplificar los productos gamma (de nuevo utilizando el paquete GAMMA), y calcular los rastros.
Por ejemplo,
Núcleo V =
(γm)1(γn)2(γp)3(γmnp)
()[1...5]
(γx)1(γy)2(γz)3(γ)
xyz)445
= − 1
Tr(γxγ
m)Tr(γyγ
n)Tr(γzγ
p)Tr(γxyzγpnm) +...
Tr(γzγpnmγ
zyxγnγxγ
p) (60 términos)
= 5160960.
Por lo tanto, la normalización correcta se obtiene mediante el ajuste N = 5160960.
Volviendo al correlator de ejemplo (2.3), se encuentra que el cálculo es de lejos
más simple que con el método anterior. Después de llevar a cabo las simetrías
uno obtiene
NF = 1
Tr(γxγ
mnpq[r)(u3γqγ
xyzγsu4)(u1γ
s]γzγbu2) +...
(u2γbγ
xyzγqu3)(u1γsγyγ
mnpq[rγzγ
s]u4), (24 términos)
donde la reordenación elemental del índice ha reducido el número de términos de 60 a 24. Ex-
jadeo de los productos gamma conduce a
NF = 476
pr (u1γ
mu4)(u2γ
au3) + · · 815(u1γ
ai1i2i3i4u2)(u3γ
i1i2i3i4u4), (294 términos)
que, a diferencia de (2.10), no contiene términos epsilon ya que no hay suficientes índices libres
presente. Tenga en cuenta que este resultado intermedio contiene términos con u1 emparejado con u3
o u4, por lo que no es posible comparar directamente con eqs. (2.9) y (2.13). Sin embargo, después de
contratación con el momenta k2ak
r y la descomposición del resultado en la base B1. .. B10,
una vez más obtiene
F = 1
10080
(14, 16, 0,−2, 8, 8, 0, 5, 0)B1...B10, (2.17)
de acuerdo con (2.14).
El algoritmo que se acaba de esbozar será el método de elección para todos los cálculos de correlator
en las últimas secciones de este documento y se puede aplicar fácilmente a una gama más amplia de problemas.
La única limitación es que cuanto mayor sea el número de matrices gamma e índices abiertos
de la correlación, cuanto más lenta sea la evaluación de la computadora. Por ejemplo, el correlator
considerado en eq. (5.2) de [11],
mnm1n1...m4n4
(pγm1n1)(qγm2n2)(rγm3n3)(mγnγpqrγ)(mγpqrγ
m4n4
= − 2
m1n1...m4n4
*mnm1n1...m4n4*
, (2.18)
todavía se puede verificar con este método, pero esto ya requiere un tiempo de ejecución sustancial.
– 6 –
2.3 Enfoque basado en componentes
Un tercer método para evaluar las integrales de modo cero consiste en elegir una matriz gamma
representación, expandiendo el integrand como un polinomio en componentes espinores, y luego
aplicación (2.15) a los monomios individuales. Este procedimiento parece especialmente atractivo
si en alguna etapa del cálculo se trabaja con una representación de matriz, en
para reducir los resultados a una forma canónica (p. ej. como se indica en el apéndice A). Un
algoritmo de descomposición eficiente (de k4u1u2u3u4 escalares, digamos) sólo necesita unos pocos no cero
componentes de momentum y función de onda espinosa para distinguir todas las escalares independientes, y
por lo tanto k y u pueden ser reemplazados por vectores escasos. Además, una observación trivial
permite una evaluación numérica mucho más rápida de los componentes del correlacionador que un uso ingenuo
de (2.15): En vista de (2.16), se puede calcular de forma equivalente los componentes de la paridad-
expresión transformada V̄ = (m)(n)(p)(mnp), donde y son espinores de
quiralidad opuesta a la de. En la representación dada en el apéndice B, V̄ coincide
con V,, y
V = 1929999999999192039499 + · · · · 4809992939999101315 +. (100352 términos)
Los monomios en la expansión fermiónica de V̄ entonces corresponden a los argumentos de
no cero correlatores, y los coeficientes de estos monomios son, hasta la normalización y
factores de simetría, los valores del correlacionador.
Desafortunadamente, resulta que la complejidad de los correlatores típicos (e.g. el uno
da en (2.3) hace difícil llevar a cabo la expansión de los componentes fermónicos en
cualquier forma sencilla y limita este método a aplicaciones especiales. Por ejemplo, la
los coeficientes en (2.18) pueden comprobarse con relativa facilidad mediante la elección de determinados valores de índice,
como por ejemplo
(pγ12♥)(qγ21)(rγ34)(0γ0γpqrγ)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(En el caso de los valores fijos de pqr, no se obtiene más de 105 monomios de la forma
Por lo tanto, este enfoque puede seguir siendo útil en situaciones en las que el resultado se ha reducido
hasta un simple ansatz.
3. Amplitudes de un bucle
La amplitud para la dispersión de cuatro estados sin masa del tipo IIB supercadena fue
calculado [2] en el formalismo espinoso puro como
A = KK̄
(Im)5
G(zi, zj)
ki·kj, (3.1)
donde G(zi, zj) es la función del verde escalar, y el factor cinemático es dado por el
producto KK̄ de expresiones de supercadenas abiertas que se mueven a la izquierda y a la derecha,
K1-loop =
(A1)(
mW2)(
nW3)F4,mn
cicl(234)
. (3.2)
– 7 –
Aquí los índices 1... 4 etiquetan los estados externos y “· ·
cicl(234)
” denota la adición
de otros dos términos obtenidos por permutación cíclica de los índices 234. El spinor super-
campo Aα y sus derivados supercovariantes, el vector calibrador superfield Am =
m DαAβ
así como el spinor y las fortalezas del campo vectorial Wα = 1
(γm)®(DβAm − mAβ) y
Fmn = 18(γmn)
β = 2[mAn], describir la teoría de super-Yang-Mills de diez dimensiones.
Los campos físicos de esta teoría, un bosón de calibre y un gaugino, se encuentran en la
componentes Am = m y W = y corresponden a la Neveu-Schwarz y Ramond
estados de supercadenas.
Los supercampos Aα y W
α así como el campo gaugino son anticonmutación.1 A
facilitar los cálculos por ordenador de los polinomios en los componentes de los espinos, y para
comparación más fácil con la literatura, será más conveniente trabajar con los desplazamientos
funciones de onda de fermión uα. Afortunadamente, como los factores cinemáticos con fermiónica externa
los estados son funciones multilineales de los espinores claramente etiquetados ûi, es fácil de
traducir entre las dos convenciones: Cualquier expresión monomial en û1. . û4 (y posiblemente
coordenadas fermiónicas ) corresponden a la misma expresión en u1. .. u4, multiplicado por el
firma de la permutación que clasifica el ûi (y cualquier variable ) en algún orden fijo,
tales como ( · · · )11 û
La elección de un indicador donde Aα = 0, las identidades on-shell
2D(αAβ) = γ
# Am, DαW #
β = 1
(γmn)α
se han utilizado para derivar relaciones recursivas [10, 14, 15] para la expansión fermónica
A(n)α =
(γmŁ)αA
(n−1)
m, A
(mW
(n−1)), Wα(n) = − 1
(γmn)mA
(n−1)
donde f (n) = 1
n · · · 1(Dα1 · · · Dαnf). Estas relaciones de recursión se resolvieron explícitamente
en [10], reduciendo la expansión fermónica a una simple aplicación repetida del derivado
operador Omq = 12 (m
qp. ) ) °p:
A(2k)m =
(2k)!
[Ok]mqÃ3q,
A(2k+1)m =
(2k+1)!
[Ok]mq(qû).
(3.3)
Con esta solución a la mano, uno tiene todos los ingredientes para evaluar el factor cinemático (3.2)
para los tres casos de cero, dos, o cuatro estados fermónicos.
3.1 Revisión: cuatro bosones
El factor cinemático que involucra cuatro bosones fue considerado en [7] y este cálculo
ahora se revisen brevemente. En primer lugar, tenga en cuenta que el resultado no se fija por simetría: El resultado
debe ser invariante de calibre [2] y por lo tanto expresable en términos de las fortalezas de campo F1. F4.
La simetría cíclica en (3.2) produce expresiones simétricas en F2, F3, F4 y actuando
en escalares construidos únicamente a partir del Fi, la simetría (234) es equivalente a
simetría en todas las etiquetas (1234). Por lo tanto, el resultado debe ser una combinación lineal de la
1Gracias a Carlos Mafra por señalar esto.
– 8 –
dos escalares simétricos F 4 invariantes de ancho de banda, a saber, la traza única Tr(F(1F2F3F4)) y
Tr(F(1F2)Tr(F3F4)), dejando un coeficiente relativo por determinar.
Puesto que los cuatro estados son del mismo tipo, uno puede primero evaluar el correlacionador para uno
etiquetado y, a continuación, llevar a cabo la simetría cíclica:
1-loop =
(A1)(
mW2)(
nW3)F4,mn
cicl (234)
Las diferentes maneras de saturar 5 libras resultan en una suma de términos de la forma
XABCD =
1 )
2 )
(3.4)
con A+B +C +D = 5 y A, B, C impar, D par:
(A1)(
mW2)(
nW3)F4,mn
= X3110 +X1310 +X1130 +X1112.
Tenga en cuenta que X1310 y X1130 están relacionados por el intercambio de las etiquetas 2 y 3. Este intercambio
puede llevarse a cabo después de computar el correlator, una operación que se llevará a cabo en la siguiente
deberá denotarse por η23. Usando (3.3) para las expansiones de supercampos y reemplazando a
obtiene
X3110 = − 1512F
tuX3110, X3110 =
([tpqŁ)(u]γrsŁ)(a)()()
amn.mn.mn.m.)
X1112 = − 1128 ik
tuX1112, X1112 =
([mpqŁ)(a]γrs/23370/)(nŁ)(a) (a) (a) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (a) () () () ()) () () () (a) (a)
X1310 = − 1384 ik
tuX1310, X1310 =
([tmaŁ)(u]γrsl)(nl)(a)(a)
El método descrito en la sección 2.2 es fácilmente aplicable a estos correlatores. Por ejemplo,
para X3111, los resultados de la evaluación de trazas
X3110 = N
Tr(γaγ
z)Tr(γxyzγ
anm)Tr(γxγqpγ
[t)Tr(γyγsrγ
u]) + · · ·
· · 1
Tr(γ[ursγzyxγqpγ
t]γxγaγ
yγmnaγz)
(60 términos)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
tu − 1315
rs − 145
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[mn][pq][rs][tu](pq↔rs)
Al contraer con el campo fortalezas, momenta y polarizaciones, y simetría
sobre las permutaciones cíclicas (234) (con peso 3), se encuentra que las tres contribuciones
son invariantes de gálibo por separado:
X3110 +
cicl(234)
= − 11
13440
Tr(F(1F2F3F4)) +
Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
X1112 +
cicl(234)
= − 19
53760
Tr(F(1F2F3F4)) +
215040
Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
(1 + η23)X1310 +
cicl(234)
= − 1
10240
4Tr(F(1F2F3F4))− Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
La suma X3110 +X1112 tiene la relación correcta de términos de una sola y doble trayectoria para ser propor-
al conocido resultado t8F
4, y la última línea muestra la relación correcta por sí misma. Los
Por lo tanto, el factor cinemático general es
K4B1-loop = − 12560
4Tr(F(1F2F3F4))− Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
= − 1
15360
4, (3.5)
de acuerdo con las expresiones derivadas en el RNS [16] y Green-Schwarz [17] para:
Malismos.
– 9 –
3.2 Cuatro fermiones
El factor cinemático del cuatro-fermión podría ser evaluado de la misma manera que en el cuatro-bosón
caso sumando todos los términos XABCD, A + B + C + D = 5, ahora con A, B, C even
Y D impar. Tenga en cuenta sin embargo que esta vez, el resultado se fija por simetría: El cíclico
la simetría en (3.2) conduce a una dependencia completamente simétrica de û2, û3, û4, y
por lo tanto a una dependencia completamente antisimétrica de u2, u3, u4. Actuando sobre escalares de
la forma k2u1u2u3u4, antisimmersing sobre [234] es equivalente a antisimmersing sobre
[1234], y sólo hay un escalar completamente antisimétrico k2u1u2u3u4. Sin más
cálculo, se puede inferir que el factor cinemático es proporcional a ese escalar,
K4F1-loop = const ·
(u1/k3u2)(u3/k1u4)− (u1/k2u3)(u2/k1u4) + (u1/k2u4)(u2/k1u3)
que, por supuesto, está de acuerdo con la amplitud RNS (véase, por ejemplo, [16], eq. (3.67)).
3.3 Dos bosones, dos fermiones
En la evaluación (3.2) para dos bosones y dos fermiones, las simetrías cíclicas afectan
si los supercampos W y F aportan bosones o fermiones. Sólo la etiqueta del Aα
superfield no se ve afectado, y uno tiene que elegir si debe contribuir con un bosón
o un fermión. Desde su expansión fermónica comienza con el vector de polarización bosónica,
El cálculo puede simplificarse mediante la elección de un etiquetado en el que la partícula 1 sea
un fermión. (Por supuesto, el resultado final debe ser independiente de esta elección.) La asignación
de las otras tres etiquetas es entonces irrelevante y se elegirá como f1f2b3b4. Escribiendo
las permutaciones cíclicas, dos de los tres términos son esencialmente los mismos porque son
relacionado por el intercambio de las etiquetas 3 y 4. El factor cinemático es entonces
K2B2F1-loop(f1f2b3b4) = (1 +
(incluso)
1 )
(incluso)
2 )
(odd)
(incluso)
(incluso)
1 )
(odd)
3 )
(odd)
(odd)
A diferencia del cálculo de cuatro fermiones, el resultado no se fija por simetría. Hay cinco.
escalares independientes ku1u2F3F4 (véase el apéndice A, eq. (A.6)), denotado por C1. .. C5, y allí
son dos combinaciones independientes de estas escalares con la simetría requerida [12](34).
Expandiendo los supercampos y recolectando términos con 5 libras, la primera línea produce una combinación
de términos XABCD con A, B, D impar y C par. Sólo hay uno.
5 combinación que viene
de la segunda línea, que será denotada por X ′2111 فارسى (24)X2111:
K2B2F1-loop = (1 + η34) (X4010 +X2210 +X2030 +X2012) +X
2111,
con los correlatores
X4010 =
3c k
nX4010, X4010 =
(a)(a)
()(pu1)()
[mu2)(
n]γbcŁ)
X2210 = − i12k
nX.2210, X.2210 =
(a)(au1)()
[mbcŁ)(cu2)(]
n]γdeŁ)
X2030 = − i36k
nX‡2030, X‡2030 =
(a)(au1)()
[mu2)(
n]γbcŁ)(c
X2012 = − i12k
3c k
4e X.2012, X.2012 =
(a)(au1)()
[mu2)(
n]γbcŁ)(n
X ′2111 =
3c k
2111, X
2111 =
(a)(au1)()
[mbcŁ)(n]γdeŁ)(nu2)
– 10 –
(El coeficiente numérico en X ′2111 incluye un signo que viene de la orden de , û: allí
es un número impar de Łs entre u1 y u2.) Evaluación de estas expresiones como se describe en
sección 2.2, las funciones de la onda espinosa no presentan ninguna complicación. La última parte toma la
forma más simple: Uno encuentra
(a)(au1)()
()()()()()
= − 1
(2/bcm[d(u1γe]u2) +
m(u1γ
c]deu2))
y, por lo tanto,
X ′2111 = − 1480
[bm(u1γ]
c]γdeu2) +
m(u1γ
e]γbcu2)
El resultado para X4010 es
X4010 =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cu2)− 190
mq(u1γ
nu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
qu2)− 12520
q (u1γ
bcnu2)
bq(u1γ
cmnu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cnqu2) +
bcmnqu2)
[bc][mn]
Para la evaluación de Xû2210, es útil considerar el correlator más general
(a)(au1)()
[mbcŁ)(n]γdeŁ)(xu2)
mn(u1γ
cu2) +...
201600
mx (u1γ
bcdenu2) + · · · − 11403200 (u1γ
bcdemnxu2)
[mn][bc][de]
(27 términos)
9676800
Bccdemni1i2i3i4(u1γ
i1i2i3i4xu2) 12419200bcdemnxi1i2i3(u1γ
i1i2i3u2).
Esta vez, incluso utilizando el método de la sección 2.2, hay suficientes índices abiertos
y suficientes rastros para que aparezcan los tensores de epsilon. Usando eqs. (2.11) y (2.12),
puede ser reescrita en términos γ[5,7]:
(a)(au1)()
[mbcŁ)(n]γdeŁ)(xu2)
mn(u1γ
cu2) +...
16800
mx (u1γ
bcdenu2) + · · · − 133600 (u1γ
bcdemnxu2)
[mn][bc][de]
(27 términos)
Un buen chequeo en el signo de las contribuciones de epsilon es que X
la contratación con ηnx, que implica la cancelación de todas las
[5] términos. Para obtener Xû2210, uno
multiplica por cx:
Xû2210 =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
eu2) +
bmde (u1γ
nu2) +
20160
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
benu2)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
denu2) +
20160
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
emnu2) +
bdemnu2)
[de][mn]
Para el cálculo de X2030 y X2012, primero se puede evaluar un correlator más general
(a)(au1)([mu2)(n]γbc)(xγde) y, a continuación, contrato con ηcx y ηnx, respec-
Tily. Los resultados son:
Xû2030 =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
eu2)− 11440
de (u1γ
nu2)− 1710080
m(u1γ
benu2)
10080
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
denu2)− 11440
d(u1γ
emnu2) +
bdemnu2)
[mn][de]
Xû2012 =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
eu2)− 11440
de(u1γ
mu2) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bceu2)
10080
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cdeu2) +
10080
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
cemu2)− 13360 (u1γ
bcdemu2)
[bc][de]
– 11 –
Después de la multiplicación con los momentos y polarizaciones, todas las contribuciones individuales son
calibrado invariante y se puede ampliar en la base C1. C5 enumerado en (A.6):
(1 + η34)X4010 =
483840
(−6,−16,−40, 6, 0)C1...C5
(1 + η34)X2210 =
483840
(−18,−104,−176, 18, 0)C1...C5
(1 + η34)X2030 =
483840
(−21, 42,−42, 21, 0)C1...C5
(1 + η34)X2012 =
483840
(−39, 78,−78, 39, 0)C1...C5
X ′2111 = − i11520 (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5
La suma se puede escribir como
K2B2F1-loop = X
2111 = − i3840 (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5
= − i
s13(u2/3(/k2 + /k3)/^4u1) + s23(u2/4(/k2 + /k4)/^3u1)
(3.6)
y de nuevo está de acuerdo con la amplitud calculada en el resultado RNS, véase [16] eq. 3.37).
4. Amplitudes de dos lados
El formalismo puro de espinor se utilizó en [4, 2] para calcular la amplitud de dos bucles tipo IIB
involucrando a cuatro estados sin masa,
d211d
2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 12o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 12o 12o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o 2o
i,j ki · kj G(zi, zj)
(det. Imel)5
K2-loop(ki, zi),
donde es la matriz del período género-dos, y la integración sobre los modos cero fermiónicos es
encapsulado en
K2-loop = 12-34
(mnpqr/23370/)(sW1)F2,mnF3,pqF4,rs
perm(1234)
(4.1)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (4.2)
Los factores cinemáticos K12, K13, K14 están acompañados por el biholo antisimétrico básico.
1-forma mórfica, que está relacionada con una base canónica de diferenciales holomórficos
a través de la siguiente dirección: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Los supercampos Wαi y Fi, mn son los
fuerza de campo espinor y vector del estado externo i-th, como en la sección 3. Un encuentro
integrales superespaciales de la forma
Y (abcd) =
(mnpqr/23370/)(sWa)Fb,mnFc,pqFd,rs
. (4.3)
Entre las simetrías de la combinación ♥3 [4] en este correlacionador se incluye la simetría obvia
bajo mn↔ pq, y también ([mnpqr/23370/)(s])α = 0 (esto se sostiene para las espineras puras ♥ y puede ser
visto por la dualización, y se sostiene para las espineras no restringidas
desde el contenido de representación (2.8) y permitir que se barajen los factores F:
Y (abcd) = Y (acbd), Y (abcd) + Y (acdb) + Y (adbc) = 0. (4.4)
– 12 –
4.1 Revisión: cuatro bosones
El caso de cuatro estados de Neveu-Schwarz fue considerado en [6] y será revisado brevemente
Aquí. Como los tres factores cinemáticos K12, K13 y K14 son equivalentes, basta con
considerar K12 en detalle. Con todos los estados externos siendo idénticos, las simetrías de
(4.1) puede llevarse a cabo al final del cálculo:
K4B12 = 4
W[1F2]F[3F4]
W[3F4]F[1F2]
= (1− η12)(1− η34)(1 + η13η24)
W1F2F3F4
Ampliación de los supercampos y adopción de la notación
YABCD(abcd) =
(mnpqr/23370/)(sW (A)a)F
F (C)c,pqF
los estados Neveu-Schwarz provienen de los términos de la forma YABCD YABCD(1234) con A impar
y B, C, D incluso. Usando las identidades barajas (4.4) para simplificar, se obtiene
W1F2F3F4
= Y5000 + Y1400 + Y1040 + Y1004 + Y3200 + Y3020 + Y3002 + Y1220 + Y1202 + Y1022
= (1 + η23)(1− η24)
Y5000 + Y1400 + Y3200 + Y1022
y por lo tanto K4B12 puede escribirse como imagen de un operador de simetría S4B:
K4B12 = S4B
Y5000 + Y1400 + Y3200 + Y1022
S4B = (1− η12)(1− η34)(1 + η13η24)(1 + η23)(1− η24)
Vale la pena señalar en este punto que, en el espacio de dieciséis dimensiones de los escalares de Lorentz
construido a partir de las cuatro fortalezas de campo Fi y dos momenta, el simetría S4B tiene rango cuatro.
Los correlatores se calcularon en [6], utilizando el método descrito en la sección 2.1. Dos son
cero, Y5000 = Y1400 = 0, y los restantes son
Y3200 =
(mnpqr
cdl)(n
Y1022 =
F 1abF
(mnpq[r♥)(s]γabl)(q)
cdl)(s
Al reducir esas dos contribuciones a un conjunto de escalares independientes, uno encuentra que
ambos no son sólo sumas de (k · k)F 4 términos, sino que también contienen términos de la forma k · F términos.
Estos últimos son proyectados por el simmetriser S4B, y el resultado es
K4B12 = S4B(Y3200 + Y1022) = 1120 (s13 − s23)
4Tr(F(1F2F3F4))− Tr(F(1F2)Tr(F3F4))
(s13 − s23)t8F 4.
Por intercambio de índice trivial, se obtiene K13 y K14, y el total es
K4B2-loop =
(s13 − s23)â € € € € € € € € (s12 − s23)â € € € € € € € € € € € > (s13 − s23)â € € 12 € € € + (s12 − s13) € € € 14 € 23
4, (4.5)
un producto del factor cinemático de un bucle completamente simétrico t8F
4 y un completo
combinación simétrica de la momenta y la Íñij.
– 13 –
4.2 Cuatro fermiones
El cálculo de cuatro estados Ramond es muy similar al del bosónico. Centrarse
en la parte K12, las simetrías en (4.1) pueden ser reescritas de nuevo como acción de sim-
Operadores de metrotización en el correlator de supercampos con un etiquetado particular:
K4F12 (ûi) = (1−
W1F2F3F4
û1û2û3û4
= 4(1− η12)
W1F2F3F4
û1û2û3û4
El último paso se deriva del hecho de que todas las escalares de la forma k4u4 (véase el apéndice A.2),
y por lo tanto todos los escalares k4û4, son invariantes por debajo de Esta vez,
en la expansión de los supercampos, se recoge los términos YABCD con A par y B, C, D impar.
Después de usar (4.4) para simplificar,
W1F2F3F4
û1û2û3û4
= Y2111 + Y0311 + Y0131 + Y0113
= (1 + η23)(1− η24)
Y2111 + Y0311
y después de traducir a la conmutación de funciones de onda ui, que multiplica cada permutación
operador con su firma, se obtiene
K4F12 (ui) = S4F
Y2111(ui) + Y0311(ui)
, S4F = 4(1 +
Este simetría tiene rango tres, y el resultado de nuevo no está determinado por la simetría.
Hay que calcular dos correlatores:
Y2111(ui) = (−2)k1ak2mk3pk4r
(mnpq[r/23370/)(s]γabŁ)(bu1)(nu2)(qu3)(su4)
Y0311(ui) = (−23)k
(mnpq[rđ)(s]u1)(n)
(bu2)(qu3)(su4)
Con cuatro fermiones presentes, se prefiere el método de la sección 2.2, ya que no implica re-
organizar los fermiones usando las identidades de Fierz. El primer correlator fue cubierto como un ejemplo
en esa sección, y la segunda se puede evaluar de la misma manera. Expresado en el
base enumerada en (A.5), los resultados son:
Y2111(ui) =
(−19,−21, 21, 19,−17,−17, 0, 0, 0, 0)B1...B10,
Y0311(ui) =
15120
(−14,−16, 0, 2,−8,−8, 0,−5,−5, 0)B1...B10.
Después de actuar con el simetría S4F, se obtiene el mismo escalar u4 encontrado en el
Amplitud de un bucle,
K4F12 (ui) = S4F(13Y2111(ui) + Y0311(ui)) =
(−1,−2, 1, 2,−1,−2, 0, 0, 0, 0)B1...B10
(s23 − s13)
(u1/k3u2)(u3/k1u4)− (u1/k2u3)(u2/k1u4) + (u1/k2u4)(u2/k1u3)
Las partes K13 y K14 de nuevo siguen por intercambio de índices, y el resultado total
K4F2-loop(ui) =
(s23 − s13)+12+34 + (s23 − s12)+13+24 + (s13 − s12)+14+23
(u1/k3u2)(u3/k1u4)− (u1/k2u3)(u2/k1u4) + (u1/k2u4)(u2/k1u3)
(4.6)
es de nuevo un producto simple del factor cinemático de un solo bucle y una combinación de la
y momenta.
– 14 –
4.3 Dos bosones, dos fermiones
Al igual que en el cálculo de un bucle de la sección 3.3, en el caso mixto hay que prestar cierta atención
a las permutaciones en (4.1) ya que afectan a los supercampos que aportan campos fermónicos.
La simetría completa hace que sea irrelevante qué etiquetas se asignan a las dos
fermiones, y la convención f1f2b3b4 se utilizará aquí. El factor cinemático K
12 es entonces
distinguido de los otros dos, K2B2F13 y K
14. Llevar a cabo las simetrías en
(4.1) y utilizando las identidades (4.4), uno encuentra
K12(û1, û2, 3, 4) = (1− η12)(1− η34)K,
K13(û1, û2, 3, 4) = (2 · 1+ η12 + η34 + 2
K14(û1, û2, 3, 4) = (1+ 212 + 234 + η1234)K
donde, esquemáticamente,
(incluso)
(odd)
(incluso)
(incluso)
(odd)
(incluso)
(odd)
(odd)
. (4.7)
Al traducir a las variables de conmutación u1 y u2, el operador de permutación η12 cambia
signo, y por lo tanto2
K12(u1, u2, 3, 4) = (1+ η12)(1− η34)K,
K13(u1, u2, 3, 4) = (2 · 1−
K14(u1, u2, 3, 4) = (1− 212 + 234 − η1234)K.
Ampliando los supercampos, las contribuciones a K‡ son:
Y4100 = − i48k
(mnpqrđ)(sγabl)(bγ)(bγ)
(cu1)(nu2)
Y0500 =
(mnpqrđ)(su1)(n)
()(b)
(du2)
Y0140 =
(mnpqr/23370/)(su1)(nu2)(q
()(b)
Y0104 =
(mnpqrđ)(su1)(nu2)(s)
()(b)
Y2300 =
(mnpqr♥)(sγabl)(bu1)(n)
(eu2)
Y2120 =
(mnpqrđ)(sγabŁ)(bu1)(nu2)(q
Y2102 =
(mnpqrđ)(sγabŁ)(bu1)(nu2)(s)
Y0320 =
(mnpqrđ)(su1)(n)
(bu2)(q
Y0302 =
(mnpqrđ)(su1)(n)
(bu2)(s]
Y0122 =
(mnpqr/23370/)(su1)(nu2)(q
(s)
Y3011 =
(mnpqr
(cu1)(nu2)
Y1211 =
F 3abk
(mnpqr
(qu1)(s]u2)
Y1031 =
F 3abF
(mnpqr
(en inglés)(du1)(s]u2)
Y1013 =
F 3abF
(mnpqrđ)(sγabŁ)(qu1)(s)
(du2)
2Este cambio de signo es crucial para evitar la conclusión errónea de que el dos-bosón, dos-fermión cinemática
factor no puede ser de la misma forma de producto que en los casos de cuatro-bosón o cuatro-fermión, que sería en
la contradicción con las identidades supersimétricas derivadas de [18].
– 15 –
Estos correlatores pueden evaluarse exactamente como se describe en la sección 3.3. Uno encuentra que
Y0500 = Y0140 = Y0104 = 0, y la suma de los términos restantes se reduce a
Kû = Y4100 + Y2300 + Y2120 + Y2102 + Y0320 + Y0302 + Y0122 + Y3011 + Y1211 + Y1031 + Y1013
(s12 + s13)× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5.
Después de aplicar los operadores de simetría,
(1+ η12)(1− η34)K = i180 (s12 + 2s13)× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5,
(2 · 1− η12 + η34 − 2η12η34)K = i180 (2s12 + s13)× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5,
1- 2η12 + 2η34 − η12η34)K = i180 (s12 − s13)× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5,
el factor cinemático total se ve como
K2-loop(u1, u2, •3, •4) = − i180
(s23−s13)+(s23−s12)+(s13−s12)+(s13−s12)+(s23−s13)+(s23−s12)+(s23−s12)+(s23−s12)+(s13−s)+(s13−s12)+(s13−s12)+(s23−s13)
× (1, 0, 4,−1, 0)C1...C5 (4.8)
y muestra la misma forma de producto simple que en el caso de cuatro bosones y cuatro fermiones.
5. Discusión
En este trabajo, se discutieron diferentes métodos para evaluar eficientemente la inte-
grales que aparecen en amplitudes multiloop derivadas en el formalismo puro espinor. Extender
cálculos anteriores [6, 7] restringidos a los estados Neveu-Schwarz, se mostró entonces cómo el
el tratamiento de los estados de Ramond no plantea dificultades adicionales.
Mientras que los cálculos bosónicos de [6, 7] tienen, en conjunción con la supersimetría,
ya ha establecido la equivalencia de las amplitudes de cuatro puntos sin masa derivadas en el
puro espinor y formalismos RNS, sería interesante hacer contacto entre el
resultados de las ampliaciones de las secciones 4.2 / 4.3 y de dos bucles que involucran a los estados de Ramond, calculados
en el formalismo RNS (véase, por ejemplo, [19]).
La asistencia de un sistema de álgebra computacional parece indispensable en explícitamente evalua-
ing puras integrales de superespacio spinor. Para evitar el uso excesivo de algoritmos hechos a medida,
sería conveniente aplicar estos cálculos en un marco computacional más amplio
particular adaptado a los cálculos teóricos de campo [20].
Los métodos descritos en el presente documento deberían ser fácilmente aplicables a los futuros ciclos superiores.
expresiones de amplitud derivadas del formalismo espinoso puro, y, se espera, a otros
integrales de superespacio.
Agradecimientos
El autor desea agradecer a Louise Dolan por las discusiones, y Carlos Mafra por su valiosa
correspondencia. Este trabajo es apoyado por el Departamento de Energía de EE.UU., no de subvención. DE-
FG01-06ER06-01, Tarea A.
– 16 –
A. Reducción a bases cinemáticas
Al calcular las amplitudes de dispersión se encuentran factores cinemáticos que son Lorentz
polinomios invariantes en los momentos, polarizaciones y/o funciones de onda espinosa de la
partículas dispersas. Puede ser una tarea no trivial simplificar tales expresiones, teniendo en cuenta
cuenta las identidades en shell
i ki = 0, k
i = 0, ki · i = 0, /kiui = 0, y, en el caso de
fermiones, re-arreglos derivados de las identidades de Fierz.
En términos más generales, nos gustaría saber cuántas combinaciones independientes de algunos
campos dados (sujetos a identititas on-shell) existen, y cómo reducir una expres arbitraria-
sión con respecto a alguna base elegida. En el presente apéndice se esbozan los métodos para abordar estos problemas.
problemas, con énfasis en algoritmos que se pueden transferir fácilmente a un ordenador
Sistema de álgebra. Estos métodos no se limitan a tratar con cálculos de espinos puros
pero el alcance se restringirá a las amplitudes de cuatro vectores sin masa o partículas espinoras en
diez dimensiones.
A.1 Cuatro bosones
No es difícil reducir los polinomios en el momento y las polarizaciones a un canon
forma. La limitación de la conservación del impulso
i ki = 0 se resuelve eliminando uno
impulso (por ejemplo k4), todos k
i se establece en cero, y uno de los dos cuadráticos restantes
se eliminan las combinaciones de momenta (por ejemplo s23 → −s12− s13, donde sij فارسى ki ·kj).
A continuación, todos los productos ki · • i se establecen en cero, y un producto k · • adicional se sustituye (cuando
eliminar k4, la sustitución es k3 · •4 → (−k1 − k2) · •4). Los monomios restantes son:
entonces independiente. (Este es al menos el caso con los poderes bajos de momentánea encontrado
en los cálculos de las secciones 3 y 4, donde hay suficientes direcciones espaciales para todos
momenta/polarizaciones para ser linealmente independientes.)
La aplicación de estas normas de reducción en una computadora es sencilla. Los
forma más fácil de obtener escalares que también son invariantes bajo la simetría del calibrador ki →
es comenzar con expresiones construidas a partir de las fortalezas de campo F abi = 2
i. Por la Comisión
Cálculos de un bucle de la sección 3.1, la base pertinente consiste en escalares invariantes de gálibo
conteniendo sólo las cuatro fortalezas de campo F1. F4. Uno encuentra seis combinaciones independientes,
Tr(F1F2F3F4)
Tr(F1F2F4F3)
Tr(F1F3F2F4)
Tr(F1F2)Tr(F3F4)
Tr(F1F3)Tr(F2F4)
Tr(F1F4)Tr(F2F3)
En los cálculos de dos lados de la sección 4.1, todos los monomios tienen dos momentos más. Ahí está.
son dieciséis escalares independientes de calibre invariante de la forma kkF1F2F3F4, y doce de
podrán construirse a partir de la base anterior mediante multiplicación con s12 y s13:
A1 = s12 Tr(F1F2F3F4), A2 = s13 Tr(F1F2F3F4), etc. Una opción para los cuatro adicionales es
A13 = k3 · F1 · F2 · k3 Tr(F3F4) A15 = k3 · F1 · F4 · k2 Tr(F2F3)
A14 = k4 · F1 · F3 · k2 Tr(F2F4) A16 = k4 · F2 · F3 · k4 Tr(F1F4).
– 17 –
Como ejemplo de aplicación de los algoritmos de la computadora, se puede comprobar que el simmetrí-
operador de sacionamiento de la sección 4.1,
S4B = (1− η12)(1− η34)(1 + η13η24)(1 + η23)(1− η24),
actúa como
S4BA1 = 8A1 + 4A2 − 4A3 + 4A4 + 8A5 + 16A6
...
S4BA16 = −6A1 + 6A3 − 6A5 − 12A6 + 32A7 + 3A8 +
A9 + 3A10 +
A11 + 3A12
y tiene rango cuatro.
A.2 Cuatro fermiones
Al tratar con las funciones de onda espinosa ui uno tiene que enfrentar dos problemas: las identidades de Fierz, y
la ecuación de Dirac. Las identidades de Fierz no solo permiten cambiar el orden de los spinors
pero también dan lugar a relaciones entre diferentes expresiones en un orden espinoso. El Dirac
ecuación a menudo simplifica los términos con momentánea contraída en (uiγ
[n]uj) bilineales.
En esta sección se muestra cómo construir bases para los términos de la forma (k2 o k4) ×
u1u2u3u4. Una simplificación significativa viene de señalar que la ecuación de Dirac permite
uno para reescribir (uiγ
[n]uj) bilineales en términos con n inferior si más de un momento es
contraída en el γ[n]. Un buen primer paso es, por lo tanto, ignorar el momento temporal
y encontrar todos los escalares independientes y tensores de dos índices construidos a partir de u1,. .., u4. Del
Contenido de representación SO(10),
(S+)4 = 2 · 1+ 6 · + 3 · (tensores con rango > 2),
uno espera dos escalares y nueve 2-tensors. Las escalares se encuentran fácilmente por considerar, como
en [21],
T1(1234) = (u1γ
au2)(u3γau4),
T3(1234) = (u1γ
abcu2)(u3γabcu4).
y de manera similar para los otros dos órdenes inequivalentes de los cuatro espinos. (Nota: no hay T5
debido a la auto-dualidad de la γ[5].) De las transformaciones de Fierz, uno aprende que todos los términos T3
puede reducirse a T1 por T3(1234) = −12T1(1234)− 24T1(1324) y permutaciones, y la
identidad (γa)(γ)
a)γ)e = 0 implica que T1(1234) + T1(1324) + T1(1423) = 0, dejando para
ejemplo T1(1234) y T1(1324) como escalares independientes.
Al generalizar este enfoque de los tensores de dos índices, resulta que basta con
empezar con
T11(1234) = (u1γ
mu2)(u3γ
nu4),
T31(1234) = (u1γ
aγmγnu2)(u3γau4),
T33(1234) = (u1γ
abγmu2)(u3γabγ
nu4),
– 18 –
y permutaciones de las etiquetas espinosas. Sería muy fastidioso aplicar sistemáticamente
una variedad de transformaciones de Fierz a mano y para encontrar un conjunto independiente. Afortunadamente,
eligiendo una representación de la matriz gamma (como la que figura en el apéndice B) y
reducir todas las expresiones a polinomios en los componentes espinores independientes u1i,. .., u
este problema se puede resolver con ayuda de la computadora. Como era de esperar, se encuentra que el Tij(abcd)
un espacio de nueve dimensiones, y una base se puede elegir como
T11(1234), T11(1324), T11(1423), T11(3412), T11(2413), T11(2314),
T31(1234), T31(1324), T31(2314). (A.1)
Una relación típica que reduce el otro Tij(abcd) a esta base es
T31(3412) = 2T11(1234) − 2T11(3412) + T31(1324) + T31(2314) + 2ηmnT1(1234). (A.2)
Después de haber resuelto el primer paso, ahora es fácil incluir los dos o cuatro momentánea, tomando
la ecuación de Dirac en cuenta. Consideremos primero el caso de dos momentáneas. A partir de
los dos tensores en (A.1), uno obtiene los tres escalares independientes
(u1/k3u2)(u3/k1u4), (u1/k2u3)(u2/k1u4), (u1/k2u4)(u2/k1u3).
Además, hay cuatro productos de las dos escalares independientes T1(1234) y T1(1324)
con los dos impulsos independientes invariantes s12 y s13. Contratando (A.2) con
momenta, se puede demostrar que
s12T1(1324) − s13T1(1234)
= −(u1/k3u2)(u3/k1u4) + (u1/k2u3)(u2/k1u4)− (u1/k2u4)(u2/k1u3), (A.3)
y esta relación se puede utilizar para eliminar s12T1(1324). (Se hará claro más tarde que
no hay otras relaciones independientes como esta.) Por lo tanto, hay seis independientes
k2u1 · · · u4 escalares:
(u1/k3u2)(u3/k1u4) s12 T1(1234)
(u1/k2u3)(u2/k1u4) s13 T1(1234) (A.4)
(u1/k2u4)(u2/k1u3) s13 T1(1324)
Tenga en cuenta que sólo hay una combinación completamente antisimétrica de los, dado por el
lado derecho de (A.3). Del mismo modo, en el caso de cuatro momentáneas, se encuentran diez independientes
k4u1 · · · u4 escalares:
B1 = s12 (u1/k3u2)(u3/k1u4) B2 = s13 (u1/k3u2)(u3/k1u4)
B3 = s12 (u1/k2u3)(u2/k1u4) B4 = s13 (u1/k2u3)(u2/k1u4)
B5 = s12 (u1/k2u4) (u2/k1u3) B6 = s13 (u1/k2u4) (u2/k1u3) (A.5)
B7 = s
12 T1(1234) B8 = s12s13 T1(1234)
B9 = s
13 T1(1234) B10 = s
13 T1(1324)
– 19 –
Trabajando en una representación de matriz gamma, es de nuevo sencillo construir una computadora
algoritmo que reduce cualquier k2u1 dado · · · u4 o k4u1 · · · u4 escalar en polinomios de la
componentes de spinor y momentum. La ecuación de Dirac puede entonces ser resuelta rompiendo
hasta los spinors de dieciséis componentes u en los spinors quirales de ocho dimensiones u
i y u
i, como en
eq. (B.1). Uno obtiene polinomios en los componentes de impulso kai y el independiente
Componentes de espinos (uci)
1...8. Sin embargo, una gran desventaja de este procedimiento es que
Se rompe la invarianza de Lorentz. Por ejemplo, uno encuentra expresiones que contienen
subconjuntos de términos proporcionales al cuadrado de un solo momento y por lo tanto son iguales
a cero, pero es difícil reconocer esto con un algoritmo simple. La solución más fácil
es elegir varios conjuntos de vectores particulares ki satisfaciendo k
i = 0 y
i ki = 0 y a
evaluar todas las expresiones en estos vectores. (Al elegir el número entero de aritmética, uno evita fácilmente
cuestiones de exactitud numérica.) Sustitución de estos conjuntos de vectores de impulso en las bases
(A.4) y (A.5) da el rango completo seis y diez respectivamente, mostrando que son de hecho linealmente
independiente.
Equipado con un algoritmo informático para estas descomposicións de base, se encuentra, para
ejemplo, que el simetría S4F de la sección 4.2,
S4F = 4(1 +
actúa sobre el B1. B10 como base
S4FB1 = −12B4 + 12B5 + 12B6,
...
S4FB10 = 8B1 + 16B2 − 8B3 − 16B4 + 8B5 + 16B6 − 24B7 − 24B8 − 24B9
y tiene el rango tres.
A.3 Dos bosones, dos fermiones
Los métodos combinados de las dos últimas secciones pueden ampliarse fácilmente al caso mixto
de dos bosones y dos fermiones. En el cálculo de un bucle de la sección 3.3, uno se encuentra
escalares de la forma ku1u2F3F4. Una base de tales objetos es dada por
C1 = (u1γ
au2)k
C2 = (u1γ
au2)F
C3 = (u1γ
au2)F
c (A.6)
C4 = (u1γ
abcu2)F
C5 = (u1γ
abcu2)F
Hay dos combinaciones antisimétricas en [12] y simétricas en (34):
−C1 + 4C2 +C4 y C2 + C3.
Por último, hay diez escalares independientes de la forma k3u1u2F3F4 (relevante para el dos lazo
el cálculo de la sección 4.3), y todos pueden obtenerse mediante la multiplicación de C1. .. C5 con.........................................................................
los dos impulsos invariantes s12 y s13.
– 20 –
B. Una representación de matriz gamma
Una representación conveniente de las matrices gamma SO(1,9) es dada por las matrices 32×32
0 (γa)
(γa) 0
donde
(γ0)+ = 116 = (γ)
0) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(γ9)
−18 0
= -(γ9)-,
y (γa)-= −(γa)-, a = 1.... 8, es una representación real, simétrica 16×16 para el SO(8)
álgebra de Clifford,
(γa) =
(a)T 0
, a = 1..................................................................................................................
como se indica en el apéndice 5.B de [21]. Las matrices de satisfacer el SO(1,9) Clifford álgebra
relaciones,
= 2ηab132, ηab = ( · · · · − ),
y bilineales de espinores quirales (con, por ejemplo, quiralidad positiva) se construyen como
= (uγ[a1...ak]v) = (uγ[a1...ak ]v) = uα(γ[a1)
a2)®. .... (γak ].........................................................................................................................................................................................................................................................
Esta representación es particularmente adecuada para los cálculos descritos en el apéndice A
porque permite una simple descomposición de SO(1,9) spinors en SO(8) spinors debido a su
estructura de bloques:
# 0 # # # # 9 # # # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # 9 # # # 9 # # # 9 # # 9 # # # 9 # # 9 # # 9 # 9 # 9 # # 9 # 9 # # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # # # # # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 # 9 #
116 0
0 a 116
, 1 · · 8 =
18 0 0 0
0 −18 0 0
0 0 18 0
0 0 0 −18
Por lo tanto, la ecuación de Dirac para un chiral espinor de 16 componentes u,
(γa)au
α = 0,
se puede resolver dividiendo u en dos espinores quiral de ocho componentes de SO(8),
con γ1...8
Uno obtiene las ecuaciones acopladas
(0 + 9)u
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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(con productos de punto de ocho dimensiones). Estos se pueden resolver para nosotros en términos de uc:
( · ♥)uc =
( · k)uc, (B.1)
donde k+ = −i = −i
(0 + 9).
– 21 –
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http://www-spires.slac.stanford.edu/spires/find/hep/www?j=NUPHA%2CB327%2C744
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0701238
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704.0016 | Lifetime of doubly charmed baryons | La vida de los bariones doblemente encantados
Chao-Hsi Chang1,2*, Tong Li3†, Xue-Qian Li3‡ y Yu-Ming Wang4§
1CCAST (World Laboratory), P.O.Box 8730, Beijing 100080, P.R. China
2Instituto de Física Teórica, Academia China de Ciencias,
P.O.Box 2735, Beijing 100080, P.R. China
3 Departamento de Física, Universidad de Nankai, Tianjin, 300071, P.R. China
4Instituto de Física de Alta Energía, Academia China de Ciencias,
P.O.Box 918, Beijing 100049, P.R. China
Resumen
En este trabajo, evaluamos las vidas de los bariones doblemente encantados
cc y
cc. Nos importa...
calcular plenamente las contribuciones de los no-espectadores en el nivel de quark en el que el
agrams también están incluidos. Los elementos de matriz hadronic se evalúan en el simple no relativista
Modelo oscilador armónico. Nuestros resultados numéricos son generalmente consistentes con los obtenidos por
otros autores que utilizaron el modelo de diquark. Sin embargo, todas las predicciones teóricas sobre las vidas
son un orden más grande que el límite superior establecido por la medición reciente de SELEX. Esta discrepancia
sería aclarado por el experimento futuro, si un experimento más preciso aún confirma el valor
de la colaboración de SELEX, debe haber algún mecanismo desconocido por explorar.
* Correo electrónico: zhangzx@itp.ac.cn
† correo electrónico: allongde@mail.nankai.edu.cn
‡ Correo electrónico: lixq@nankai.edu.cn
§ Correo electrónico: wangym@mail.ihep.ac.cn
http://arxiv.org/abs/0704.0016v1
I. INTRODUCCIÓN
La diferencia bastante grande de las vidas entre D± y D0 y las vidas se cierran
el uno al otro para B± y B0 se explican bien teniendo en cuenta el no-espectador
efectos[1]. Este éxito implica que el mecanismo que rige las reacciones en quark
nivel es bien entendido. Cuando aplicamos el mecanismo al caso de baryon pesado, algunos
Surgen problemas. El famoso rompecabezas en el campo de sabor pesado que la vida de...............................................................................................................................
notablemente más corto que el de B mesón se alivia mucho recientemente cuando los operadores
se tienen en cuenta las dimensiones superiores[2, 3]. El valor experimental más reciente de
la relación (lb)/l(B)
0) = 1,041± 0,057[4] está cerca de la evaluación teórica[3]. Sin embargo,
en los trabajos teóricos, se puede notar que la evaluación de los elementos de matriz hadronic es
todavía muy áspero y basado en algunas aproximaciones. Los posibles errores planteados por el
Las incertidumbres en los elementos de la matriz hadrónica siguen siendo incontrolables. En nuestro trabajo reciente[5],
nos encontramos con que las contribuciones de corta distancia a la relación de ramificación de......................................................................................................................................................
evaluados en el enfoque PQCD, son mucho más pequeños que los efectos de larga distancia.
Por lo tanto, a pesar de que uno tiene una razón completa para creer que el QCD de baja energía debe
resolver la discrepancia si existe, debe encontrar una manera adecuada de tratar con la matriz hadrónica
elementos.
La observación del doblemente encantado baryon cc por la colaboración SELEX en
FERMILAB[6] ofrece la oportunidad de investigar los problemas ocultos. Espero que el
estudio puede arrojar algunas luces sobre los efectos no perturbativos no conocidos QCD que resultan en
Hay una diferencia obvia entre bariones y mesones. Porque cc contiene dos quarks pesados,
por la teoría eficaz del quark pesado (HQET) la situación puede llegar a ser relativamente simple
y claro en comparación con el caso de B o C que posee sólo un quark pesado. Por lo tanto, a
estudio cuidadoso sobre el cc es necesario e interesante. Varios grupos ya investigados
los dos bariones de sabor pesado hace mucho tiempo[7, 8]. En su trabajo, la evaluación de la
elementos de matriz hadronic se basa en la estructura quark-diquark de los bariones. Esto es
sin duda razonable, se cree que dos quarks pesados pueden constituir una más estable y
diquark compacto de color-anti-triplet[9]. Sin embargo, ya que el encanto quark, incluso b-quark, no es así
pesado que el grado de libertad del sabor ligero puede ser ignorado, el escenario diquárk
puede traer consigo ciertos errores, especialmente cuando se evalúa la vida de los bariones, porque sólo
Se trata de procesos inclusivos. En este trabajo, no usamos la imagen del diquark, pero
en su lugar, adoptar un modelo no relativista más simple para el baryon y re-evaluar el hadronic
elementos de matriz. Como subproducto, se pueden comparar los resultados por la imagen del diquark con
que por la imagen de tres valencia-cuarco. Puede ayudarnos a entender mejor el diquark
imagen y su rango de aplicación.
La ventaja es evidente, que sólo nos ocupamos de los procesos inclusivos en términos de
Teorema óptico al calcular la vida útil. Por lo tanto, no es necesario que nos ocupemos de
la hadronización a la luz hadrons. Los únicos efectos no perturbativos provienen de la onda
función del baryon pesado. Además, ya que hay dos quarks pesados en el barión,
los efectos relativistas no son tan significativos y el marco de armónico no relativista
El modelo oscilador podría dar lugar a un resultado razonable.
Por otra parte, en el nivel quark, realizamos cálculos similares a los de la literatura,
pero mantenemos algunos nuevos operadores que son CKM suprimidos y contribuyen a la vida útil.
Aparecen en la dispersión no-espectador en orden de 1
en fuerte expansión de quark (HQE).
Más tarde, nuestros resultados numéricos muestran que sus contribuciones son realmente muy pequeñas para hacer cualquier
contribuciones sustanciales.
Todos los parámetros en cuestión en el modelo se obtienen mediante el ajuste de datos, por lo tanto nosotros
evitar algunas incertidumbres teóricas y obtener resultados razonables. Comparación de estos resultados
con datos, podemos obtener información sobre todo el cuadro.
Nuestro documento está organizado de la siguiente manera. En Sección.II derivamos la formulación para las vidas
de cc,
cc y
cc que incluyen los efectos no-espectadores. En la Sección III, utilizamos un sencillo
modelo, es decir, el oscilador armónico, para estimar los elementos de la matriz hadrónica. En la sección IV
Presentamos nuestros resultados numéricos junto con los valores de todos los parámetros de entrada. El último
La sección está dedicada a nuestra conclusión y discusión.
II. FORMULACIÓN PARA LOS VIDAMENTOS DE
cc,
A. Contribución del Espectador a los Tiempos de Vida de cc
cc,
La vida está determinada por las decaimientos inclusivos. Así se puede utilizar el teorema óptico
para obtener la anchura total (tiempo de vida) del hadron pesado mediante el cálculo de la parte absorbente
de la amplitud de dispersión hacia adelante.
El ancho total se escribe entonces como
(HQ → X) =
D4xHQT HQ =
HQQHQ, (1)
donde
= T{iLeff(x),Leff(0)} (2)
y Leff es el Lagrangian efectivo relevante. 1/mQ es el parámetro de expansión, y el
el operador no local TÃ3 es ampliado como una suma de operadores locales y el correspondiente Wilson
Los coeficientes incluyen términos con poderes crecientes de 1/mQ. Definitivamente, la más baja dimensión...
Término scional domina en el límite mQ → y es la dimensión-tres operador c̄c.
La anchura total del hadrón encantado Hc es determinada por ImÃ3HcTÃ3 HcÃ3[10] con el apropiado
normalización[11].
(Hc → f) =
192/93
VCKM 2{c3(f)Hcc̄cHc
+c5(f)
# Hcc̄iGcHc #
6 f)
Hc(ciq)(qic)Hc
)}, (3)
donde los coeficientes ci(f) dependen de las masas de los quarks internos en el bucle. Los
el coeficiente c3(f) se ha calculado en orden de una sola vuelta[12, 13, 14], mientras que el coeficiente
c5(f) se evalúa a nivel del árbol[15, 16]. VCKM es la mezcla Cabibbo-Kabayashi-Maskawa
elementos de matriz y G es el tensor de fuerza de campo gluónico. Puesto que el tercer término implica
quarks ligeros, puede ser diferente para hadrones encantados con varios sabores de luz. Por lo tanto, la
diferencia aparece en el orden 1/m3c y en los elementos de matriz hadrónica de cuatro cuartetos
operadores. Las contribuciones a pedidos superiores a 1/m3c se descuidan.
Al orden más bajo, la contribución principal viene del quark pesado (charm quark)
decae, mientras que los sabores ligeros son tratados como espectadores. Las contribuciones se deben a la
semileptónica y las desintegraciones no leptónicas, según se indica:
(c→ s) =
l=e,μ
*c→sl +
q(q′)=u,d,s
*c→sq̄q′ (4)
Las tasas de desintegración semileptónicas y no leptónicas del quark c hasta el orden 1/m2c han sido
evaluado por muchos autores[17], y aquí utilizaríamos directamente sus resultados.
B. Contribuciones de los no-espectadores a Decaimientos Inclusivos de cc
cc,
La anchura total de los hadrones que implican al menos un quark encanto c se puede descomponer
en dos partes
*(HQ → f) = *espectador + *no-espectador. 5)
Para el escenario del espectador, la contribución a la anchura total del suelo (ccd)-baryon
Estado cc, el (ccu)-baryon estado del suelo
cc y el estado del suelo (ccs)-baryon
cc debe
ser una suma de las tasas de decaídas de dos c-quarks individualmentea saber
* Especcq 2* Especc, q = u, d, s. (6)
Para derivar las contribuciones de los no-espectadores para decaimientos de cc,
cc y
cc, necesitamos el
relevante Lagrangian efectivo:[18]
L(c=1)eff (μ = mc) = −
{VcsV*ud[C1(μ)sLcLd+C2(μ)LcsLd]
+VcdV
ud[C1(μ)d
μLcLd+ C2(μ)
μLcdLd]
+VcsV
nosotros[C1(μ)s
μLcLs+ C2(μ)
μLcsLs]
l=e,μ
sLclγ
μLl h.c. (7)
donde L denota 15
i) Las desintegraciones inclusivas de cc:
Hay cuatro diagramas que contribuyen a la anchura de cc, como se muestra en la Fig.1. Toma.
También incluimos los diagramas de Feynman que son CKM suprimidos. Fig.a), c) son las
Diagramas de intercambio W (WE), mientras que la figura 1.b), d) son los diagramas de interferencia pauli (PI).
Aquí la figura 1.(d) surge de la decadencia semi-leptónica de los quarks encanto con el d-quark
en cc. Para los diagramas de tipo WE, derivamos la contribución a la anchura como
(Vcs2Vud2C(zs+, zu+) + Vcd2Vud2C(zu+, zd+))P 2+
{[C21 (μ) + C22 (μ)]cLcdLd+ 2C1(μ)C2(μ)cLddLc}, (8)
donde P+ = pc + pd, zq+ =
(q = u, d, s). La definición de la función C(z1, z2) es
C(z1, z2) = −[−2(x32 − x31)− (x22 − x21)(3 + 2z1 − 2z2) + 4z1(x2 − x1)], (9)
donde x1,2 =
(1+z1−z2)
(1+z1−z2)2−4z1
. En las expresiones q y q̄ son opearotors de campo libre de
quark y antiquark, y mostraremos en la siguiente sección que todos los QCD no perturbativos
los efectos se incluyen en las funciones de onda. Sus expresiones explícitas se dan como
(2η)3
α=1,2
bqα(k)u
q (k)e
−ikx + d+qα(k)OU
q (k)e
(2η)3
α=1,2
b+qα(k)ū
q (k)e
ikx + dqα(k)
q (k)e
. (11)
Para cc, q=c, u.
Las contribuciones de los diagramas de Pauli-interferencia (PI) no-espectador a la anchura
de cc son:
IP = −
Vud2Vcd2F(zu−, zd−)[NC21 (μ)cLddLc+ C22 (μ)c̄iLdj d̄jLci
+2C1(μ)C2(μ)c
μLddLc] + 2Vcd2F(0, zl−)cLddLc}, (12)
donde zq− =
(q = u, d, e, μ) y P− = pc−pd. La definición de la función F.(z1, z2) es
F-(z1, z2) = −[2(x32 − x31)−
(2 + z1 − z2)(x22 − x21) + 3(x2 − x1)]P 2−g
+[2(x32 − x31)− 3(x22 − x21)]PP, (13)
donde las definiciones de z1 y z2 son las mismas que antes.
ii) Las desintegraciones inclusivas de cc:
La contribución del no-espectador a la anchura de cc proviene de los diagramas mostrados en la Fig.2.
Eso es causado por una interferencia del u-quark producido de la decadencia de uno de los encantos
quarks con el u-quark en cc. Aquí también incluimos el CKM suprimido Feynman
diagramas. La contribución es
IP = −
Vcs2Vud2F(zs−, zd−) + Vcs2Vus2F(zs−, zs−)
Vcd2Vud2F(zd−, zd−)}
{C21(μ)c̄iLuj ūjLci +NC22 (μ)LccLu+ 2C1(μ)C2(μ)Lcc̄Lu},
donde z− =
(q = s, d), P− = pc − pu.
iii) Para las desintegraciones inclusivas de cc:
Las contribuciones no-espectadores para cc no sólo vienen de la interferencia Pauli de la
s- quark producido en el no-leptónico, pero también a partir de la decadencia semi-leptónica del encanto
quarks con el s-quark en cc, el último es sugerido por Voloshin et al.[19]. Como se ha indicado anteriormente,
aquí incluimos los diagramas de no-espectadores suprimidos por CKM WE. El no-espectador WE
contribución a la anchura cc es
Vus2Vcs2C(zu+, zs+)P 2+
{[C21 (μ) + C22 (μ)]cLcsLs+ 2C1(μ)C2(μ)cLssLc},
donde zq+ =
, q = u, s y P+ = pc + ps.
La contribución PI no-espectador a la anchura de cc es
IP = −
Vcs2Vud2F®(zu−, zd−) + Vcs2Vus2F®(zu−, zs−)}
{NC21(μ)cLssLc + C22(μ)c̄iLsj s̄jLci + 2C1(μ)C2(μ)cLssLc}
Vcs2F(0, zl−)cLssLc, (16)
donde zq− =
, q = u, d, s, e, μ y P− = pc − ps. Sandwiching de los operadores entre
inicial y final cc,
cc,
cc states, obtenemos los elementos de la matriz hadrónica:
WE/PI
= cc(P = 0, s)
WE/PI
cc(P = 0, s)
PI =
cc (P = 0, s)
PI
cc (P = 0, s)
WE/PI
= cc(P = 0, s)
WE/PI
cc(P = 0, s). (17)
III. LOS ELEMENTOS HADRÓNICOS DE LA MATRIZ
Debido a que los elementos de la matriz hadrónica están totalmente determinados por el no-perturbativo
Los efectos QCD que no pueden ser evaluados de manera fiable en la actualidad, tenemos que invocar
modelos fenomenológicos para realizar los cálculos. En este trabajo, adoptamos un simple
modelo no relativista, es decir, el oscilador armónico[20]. Este modelo ha sido ampliamente
en investigaciones similares[21, 22, 23, 24, 25, 26]. De hecho, una ventaja de los cálculos
de las vidas de los hadrones pesados es que uno no tiene que lidiar con la hadronización
proceso de productos más ligeros (cuarcos o incluso gluones) y los hadrones pesados pueden estar bien
y los resultados son relativamente confiables que
porque la luz hadron decae.
i) Las desintegraciones inclusivas de cc:
En el modelo oscilador armónico, la función de onda de cc se expresa como cc® y
cc(P, s) = AB
color, spin
χspin,color
d3pld
3pcc(p.,p.)ci(pq1, sq1), cj(pq2, sq2), dk(pq3, sq3).
La condición de normalización para cc(P, s) es
cc(P, s)cc(P′, s′) = (2η)3
3 (P-P′), s′, (19)
donde χspin, el sabor y el color son las funciones de spin-flavor y color respectivamente. Su explicitación
expresiones son
χs= 1
,flavor =
(2c↑c↑d − c↑c↓d − c↓c↑d) (20)
♥color =
Aijk. (21)
AB es la constante de normalización. La función de onda espacial cc es un armónico de tres cuerpos
función de onda oscilante y expresada como
cc = exp(−
). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
En este caso, los parámetros a. y a. reflejan los efectos no perturbativos. En las expresiones anteriores,
las transformaciones Jacobi de p1, p2, p3 que son el momento de los tres quarks de valencia
ccd, y las variables p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p., p.
p1 − p2
,p♥ =
p1 + p2 − 2mcmd p3
22mc+md
,P = p1 + p2 + p3. 23)
Elegimos el marco del centro de la masa de cc, es decir. (P=0) para calcular la matriz hadrónica
elementos. Sustitución de los operadores de cuatro cuartetos en las expresiones, obtenemos la no-
espectadores NOSOTROS contribuciones a la anchura de cc como
WE = 64η
2G2FP
+(Vcs2Vud2C(zs+, zu+) + Vcd2Vud2C(zu+, zd+))(C1(μ)− C2(μ))2
AB2[2(1 +
)]3/2
d3pld
exp[−
exp[−
(p +
1 + 2mc
(p. − p. ))2
]ūcLucūdγ
μLud,
y la contribución de PI es
IP = −
η2G2FVcd2Vud2F(zu−, zd−)[−NC21 (μ) + C22 (μ)− 2C1(μ)C2(μ)]
−2Vcd2F(0, zl−)AB2[2(1 +
)]3/2
d3pld
exp[−
exp[−
(p +
1 + 2mc
(p. − p. ))2
ūcγ
μLud ūdγ
/Luc,
donde la suma sobre el giro significa una suma sobre las polarizaciones de los tres quarks de valencia de
cc con sus correspondientes coeficientes C-G en la función de onda de spin-flavor. uq, ūq denotar
los espinores Dirac de quarks libres q y la expresión es
Eq +mq
Eq+mq
(26)
ūq =
Eq +mq
1 − p
Eq+mq
en nuestro caso q denota c y d quarks.
(ii) Las desintegraciones inclusivas de cc:
La contribución de los diagramas PI no-espectador a la anchura de cc es
cc
IP = −
η2G2FVcs2Vud2F(zs−, zd−) + Vcs2Vus2F(zs−, zs−)
Vcd2Vud2F(zd−, zd−)}(C21(μ)−NC22 (μ)− 2C1(μ)C2(μ)AB2[2(1 +
)]3/2
d3pld
♥exp[−
exp[−
(p +
1 + 2mc
(p. − p. ))2
μLuu ūuγ
-Luc. (28)
Similar al caso de cc, la suma sobre el giro significa una suma de las polarizaciones de los tres
valencia quarks de cc con sus coeficientes C-G. Sólo hay que reemplazar u por d en p
p♥ y otras expresiones son similares a las de
iii) Las desintegraciones inclusivas de cc:
La contribución de los diagramas de intercambio W-boson (WE) no-espectadores a la anchura de
cc es
WE = 64η
2G2FP
Vus2Vcs2C(zu+, zs+)(C1(μ)− C2(μ))2
AB2[2(1 +
)]3/2
d3pld
exp[−
exp[−
(p +
1 + 2mc
(p. − p. ))2
ūcLucūsγ...........................................................................................................................................................................................................................................................
μLus,
mientras que de los diagramas de Pauli-interferencia (PI) no-espectador es
IP = −
η2G2F{[Vcs2Vud2F{(zu−, zd−) + Vcs2Vus2F{zu−, zs−)]
[−NC21 (μ) + C22 (μ)− 2C1(μ)C2(μ)]− 2Vcs2F(0, zl−)AB2[2(1 +
)]3/2
d3pld
♥exp[−
exp[−
(p +
1 + 2mc
(p. − p. ))2
μLusūsγ
-Luc. (30)
La suma sobre las polarizaciones es similar a la de cc y
IV. PARAMETROS INPORTADOS Y RESULTADOS NUMÉRICAS
Para obtener las amplitudes de desintegración, adoptamos los parámetros de entrada como sigue[7, 27]: GF =
1.166×10−5GeV−2, Vcs = 0,9737, Vud = 0,9745, C1(mc) = 1,3, C2(mc) = −0,57,mc = 1,60
GeV, ms = 0,45 GeV, mu = md = 0,3 GeV, m
s = 0,2GeV, m
u = m
d = 0, Mcc = Mcc =
3.519 GeV, Mcc = 3.578 GeV, Mcc −Mcc = Mcc −Mcc = Mcc −Mcc = 0,132
GeV. Aquí mq* denota la masa actual de quark de sabor q.
Los parámetros no-perturbativos a., a. en las funciones de onda oscilante armónicas son:
seleccionado de la siguiente manera: para J/, en ref.[20], a2 = 0,33GeV
2, para D-mesons, a2 = 0,25GeV2. Por
CUADRO I: Resultados numéricos sobre las contribuciones de los diferentes componentes y
evaluó la vida para los bariones doblemente encantados. Para una comparación, en el siguiente cuadro,
lista las vidas correspondientes predichas por los autores de ref.[7] donde estaba el dibujo del diquark
empleados. Se observa que en ref.[7], los autores utilizaron varios parámetros de entrada y obtenidos
resultados ligeramente diversos, tomamos valores medios de los números en la tabla. Sólo hay uno.
datum para toda la vida en
dado por la colaboración de SELEX, que también se enumeran en la tabla.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− 12GeV) • WENON (10
−13GeV) •PInon(10
−15GeV)
(ps) ♥
(ps) en ref.[7] exp(ps)
2,01 6,43 -3,36 0,25 0,19 0,033
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− 12GeV) Pinon(10
- 12GeV)
(ps) ♥
(ps) en ref.[7]
2,01-1,02 0,67 0,52 −
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− 12GeV) • WENON (10
−14GeV) •PInon(10
- 12GeV)
(ps) ♥
(ps) en ref.[7]
2,01 4,25 1,10 0,21 0,22 −
los bariones doblemente encantados, porque a.k. refleja el acoplamiento entre dos quarks de encanto,
lo establecemos para ser lo mismo que para J. a refleja el acoplamiento del quark de la luz con
estos dos quark encanto, por lo tanto, podemos razonablemente establecer que es lo mismo que a? en D-mesons.
Con estos parámetros como entrada, las vidas de los bariones doblemente encantados pueden ser
evaluado (véase CUADRO I), si se tienen en cuenta los efectos no-espectadores.
V. CONCLUSIÓN Y DEBATE
En este trabajo, evaluamos las vidas de bariones doblemente encantados con el no-espectador
tener debidamente en cuenta los efectos. Como se argumenta en la introducción, evaluar la
vida útil (las anchuras totales), sólo se trata de los procesos inclusivos y, a continuación, la no-
Los efectos perturbadores son todos de las funciones de onda de los bariones doblemente encantados. Sumas adeudadas
a la existencia de los dos quarks de encanto pesado, el modelo oscilador armónico no relativista
debe aplicarse en este caso. Principalmente, calculamos cuidadosamente la contribución de la no-perturbación
efectos en las vidas en el modelo, que están estrechamente relacionados con los estados consolidados de la
Bariones.
Nuestros resultados numéricos indican que las contribuciones no-espectadores a las vidas de
cc,
cc y
Los cc son sustanciales. Las contribuciones de los no-espectadores a la anchura de
cc son
principalmente de los diagramas WE (los diagramas PI que contribuyen son CKM suprimidos),
puesto que la contribución de NOSOTROS es constructiva, por lo tanto la vida de cc está muy suprimida.
Por contrariedades, para c y
cc, las contribuciones no-espectadores son principalmente de la PI
diagramas y el efecto neto es destructivo. Se observa que para cc todavía hay Cabibbo-
Suprimió los diagramas WE, pero para cc sólo hay diagramas PI. Por lo tanto, el predicho
vida de cc es más grande que la de otros dos bariones. También empleamos otros valores para
y encontrar que los valores resultantes pueden variar dentro de un 20% de incertidumbre.
Nuestros resultados son
(cc) = 0,25 ps
cc ) = 0,67 ps y
cc) = 0,21 ps.
Estos son generalmente consistentes con los resultados obtenidos por Kiselev et al.[7] y Guberina
et al.[8], a pesar de que utilizaron diferentes modelos para calcular los elementos de la matriz hadrónica.
En concreto, utilizaron la imagen del diquark y atribuyeron los efectos no-perturbativos en
la función de onda del diaquark en su origen. Kiselev et al. 0.16 − 0.22 ps
0.40 - 0.65 ps y 0.24 - 0.28.
Aunque todas las predicciones teóricas basadas en diferentes modelos concuerdan entre sí,
son obviamente un orden más grande que el límite superior del valor medido en el
vida útil de cc (0,033 ps) por la colaboración SELEX[6]. Esta desviación, como sugiere el
algunos autores, pueden provenir de experimentos[28]. Hasta ahora la diferencia entre teórica
predicciones y datos experimentales pueden implicar algunos mecanismos físicos desconocidos que
cambiar drásticamente el valor, si el experimento futuro, digamos en LHCb, confirma la medida-
de la SELEX. Recientemente, varios grupos han estudiado la posibilidad de
producción de baryon en el colisionador de hadron LHC y el futuro colisionador lineal ILC[29, 30] y el
También se investigan más las teorías de campo eficaces para dos sistemas de quarks pesados[31]. Lo somos.
esperando los nuevos datos de experimentos más precisos en LHC e ILC para mejorar nuestra
marco teórico y determinar si hay contribuciones de la nueva física más allá
el modelo estándar.
Agradecimiento: Este trabajo cuenta con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencias Naturales
China.
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http://arxiv.org/abs/hep-ph/0610205
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0701212
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0609237
FIG. 1: contribución de los efectos no-espectadores a la vida útil de
FIG. 2: contribución de los efectos no-espectadores a la vida útil de ccu
FIG. 3: la contribución de los efectos no-espectadores a la vida útil de ♥ccs
Introducción
Formulación para toda la vida de cc+, cc++, cc+
Contribución del Espectador a la vida útil de cc+, cc++, cc+
Contribuciones de no-espectador a Decaimientos Inclusivos de cc+, cc++, cc+
Los elementos de la matriz hadrónica
Parámetros de entrada y resultados numéricos
Conclusión y debate
Bibliografía
| En este trabajo, evaluamos las vidas de los bariones doblemente encantados
$\Xi_{cc$, $\Xi_{cc$ y $\Omega_{cc$. Calculamos cuidadosamente
las contribuciones de los no-espectadores en el nivel quark donde el Cabibbo-suprimió
También se incluyen diagramas. Los elementos de la matriz hadrónica se evalúan en el
modelo simple oscilador armónico no relativista. Nuestros resultados numéricos son
generalmente consistente con la obtenida por otros autores que usaron el diquark
modelo. Sin embargo, todas las predicciones teóricas sobre las vidas son un orden
mayor que el límite superior establecido por la medición reciente de SELEX. Esto
la discrepancia se aclararía por el experimento futuro, si fuera más exacto
experiencia aún confirma el valor de la colaboración SELEX, debe haber
algún mecanismo desconocido por explorar.
| Introducción
Formulación para toda la vida de cc+, cc++, cc+
Contribución del Espectador a la vida útil de cc+, cc++, cc+
Contribuciones de no-espectador a Decaimientos Inclusivos de cc+, cc++, cc+
Los elementos de la matriz hadrónica
Parámetros de entrada y resultados numéricos
Conclusión y debate
Bibliografía
|
704.0017 | Spectroscopic Observations of the Intermediate Polar EX Hydrae in
Quiescence | Mon. No, no. R. Astron. Soc. 000, 000–000 (0000) Impreso el 30 de octubre de 2018 (archivo de estilo MN LATEX v2.2)
Observaciones espectroscópicas de la hidra polar intermedia en
Quisescencia
N. Mhlahlo1,2, D.A.H. Buckley2, V.S. Dhillon3, S.B. Potter2, B. Warner1 y
P.A. Woudt1
1 Departamento de Astronomía, Universidad de Ciudad del Cabo, Rondebosch 7700, Ciudad del Cabo, Sudáfrica
2Observatorio Astronómico Sudafricano, Observatorio 7935, Ciudad del Cabo, Sudáfrica
3Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Sheffield, Sheffield, S3 7RH, Reino Unido
30 de octubre de 2018
RESUMEN
Resultados de observaciones espectroscópicas del Polar Intermedio (IP) EX Hya en quiescencia
durante 1991 y 2001 se presentan. Velocidades radiales moduladas por giro consistentes con un exterior
El origen del disco se detectó por primera vez en una IP. La pulsación de giro fue modulada con
velocidades cercanas a 500–600 km s−1. Estas velocidades son consistentes con las del material
circulando en el borde exterior del disco de acreción, lo que sugiere la
con material cerca del radio del lóbulo de Roche. Además, los tomogramas Doppler de giro tienen
evidencia de la emisión de cortina de acreción que se extiende a partir de velocidades de 500 km
s−1 a • 1000 km s−1. Estos hallazgos han confirmado las predicciones del modelo teórico de
King & Wynn (1999), Belle et al. (2002) y Norton y otros (2004) para EX Hya, que predice
grandes cortinas de acreción que se extienden a una distancia cercana al radio del lóbulo de Roche en este sistema.
Se observaron pruebas de un flujo de desbordamiento de material que caía sobre la magnetosfera,
confirmando el resultado de Belle et al. (2005) que el desbordamiento de disco en EX Hya está presente durante
quiescencia y arrebato.
Parece que las velocidades radiales de Hβ y Hγ spin se originaron de la rotación de la
embudo en el borde exterior del disco, mientras que los de Hα se produjeron debido al flujo de material
a lo largo de las líneas de campo lejos de la enana blanca (componente estrecho) y cerca de la enana blanca
(componente amplio-base), de acuerdo con el modelo de cortina de acreción.
Palabras clave: discos de acreción, binarios - estrellas: variables cataclísmicas.
1 INTRODUCCIÓN
EX Hya es un Polar Intermedio (IP), una sub-clase de Cat-
Estrellas Variables aclísmicas (mCV) donde una secuencia principal de tipo tardío
estrella transfiere material a la estrella magnética enana blanca como los dos
las estrellas orbitan entre sí bajo la influencia de sus grav-
itación. A diferencia de Polars, otra subclase de mCVs, donde el
la enana blanca está en rotación sincrónica con la rotación binaria
(Pspin = Porb), la enana blanca en una IP está en rotación asíncrona
con el movimiento orbital del sistema. EX Hya, sin embargo, está más cerca
sincronismo que la mayoría de los IPs, ya que tiene un período de giro (+67.03
min), que es aproximadamente 2/3 su período orbital (98,26 min) (Mumford
1967; Hellier et al. 1987), y es uno de los seis de los treinta y nueve
IP confirmadas con su período orbital por debajo del intervalo de 2-3 h CV
(Norton et al. 2004). Tiene una inclinación i = 781.
Estudios recientes han demostrado que EX Hya no se ajusta
al modelo tradicional de PI (King & Wynn 1999; Wynn 2000;
Belle et al. 2002; Norton et al. 2004; Belle et al. 2005). Este sistema...
Correo electrónico: nceba@circinus.ast.uct.ac.za
Tem tiene una gran proporción de Pspin/Porb (0.68) lo que implica que puede-
no estar en la rotación de equilibrio de giro habitual desde la mayoría de IPs
han demostrado alcanzar el equilibrio de giro cerca de Pspin/Porb
0,1 (King & Wynn 1999; Wynn 2000). Esto implica además que
el radio de rotación es mucho mayor que el radio de circularización
Y que EX Hya no puede poseer un disco Keplerian.
Se espera que los sistemas con discos Keplerian tengan Rco < Rcir y
Por lo tanto, un Pspin/Porb más pequeño. Estos factores han llevado a los teóricos a
Sugiere que se determine el estado de equilibrio de giro en EX Hya
por Rco B, donde b es la distancia al punto interior de Lagrangian,
L1 (King & Wynn 1999; Wynn 2000; Norton et al. 2004). En este
modelar las cortinas de acreción se extienden hasta cerca del punto L1, y EX
Hya se parece a un Polar asíncrono donde la mayor parte del material
acres a través de la corriente (King & Wynn 1999; Wynn 2000) y a través de
ambos el anillo del material cerca del radio del lóbulo de Roche de la primaria
y el arroyo (Norton et al. 2004), en función de la órbita y
períodos de rotación del sistema, y la fuerza del campo magnético. En el
publicación posterior se mostró que el material en EX Hya se alimenta de
un anillo de material en el borde exterior del lóbulo de Roche, y para
c© 0000 RAS
http://arxiv.org/abs/0704.0017v1
2 N. Mhlahlo, D.A.H. Buckley, V.S. Dhillon, S.B. Potter, B. Warner y P.A. Woudt
Fecha HJD (start) Time Spectra
24-04-91 2448371.3884097 3,28 90
25-04-91 2448372,3603850 2,93 72
29-04-91 2448376,2402973 7,00 100
24-03-01 2451993.5427099 2,79 42
25-03-01 2451994.3581177 3,77 56
25-03-01 2451994.5147196 3,96 66
26-03-01 2451995.4360089 1,94 48
26-03-01 2451995.5412087 2,92 50
Cuadro 1 Cuadro de observaciones espectroscópicas durante la quiescencia en 1991 y
2001. La columna Fecha denota la fecha al comienzo de la observación
noche (antes de medianoche), la columna Tiempo denota el número de observación
horas y Spectra el número de espectros obtenidos.
el Pspin/Porb de EX Hya, este modo de acreción se prefiere sobre
Acreción alimentada por arroyos.
En este trabajo presentamos datos espectroscópicos de EX Hya en qui-
de la SAAO en 1991 (justo antes de que EX Hya fuera
en explosión, y un día o dos después de explosión) y en 2001. Explosión
los datos de 1991 se examinarán en una publicación posterior.
2 OBSERVACIONES Y REDUCCIÓN DE DATOS
2.1 1991 Observaciones
EX Hya fue observado en abril de 1991 por Buckley et al. (1991)
utilizando el telescopio SAAO 1.9-m con el conteo de fotones Reticon
detector de sistema (RPCS) en el espectrógrafo de Cassegrain. Una rejilla
con una resolución de 1200 mm-1 y un rango de longitud de onda
de 4000 a 5080 Å fue cubierto en una resolución espectral de 1,2
Å y a la vez resolución de 100 - 120 s. El espectrógrafo rajado
El ancho era de 250 μm (+1,5 arcsecs). Exposición de calibración de longitud de onda
seguro que fueron tomadas usando una lámpara de arco CuAr. Tres noches de observación...
ciones (24, 25 y 29 de abril de 1991) fueron cubiertas en quiescencia y,
En total, se obtuvieron 262 espectros. El registro de observación se da en
Cuadro 1 junto con los tiempos de inicio de las observaciones.
Después de la calibración de longitud de onda y la sustracción del cielo, el
los datos fueron calibrados con los espectros de la estrella estándar
LTT3864.
2.2 Observaciones de 2001
Las observaciones de 2001 se obtuvieron utilizando el detector SITe CCD
(266× 1798 píxeles) en el espectrógrafo Cassegrain de la SAAO
Telescopio de 1,9 m. Una rejilla con una resolución de 1200 mm−1 fue
utilizado sobre el rango de longitud de onda 4200 - 5100 Å en las noches de
los días 25 y 26 de abril. Otra rejilla con una resolución de 1200
mm−1 fue utilizado los días 24, 25 y 26 de abril sobre el rango
6300 - 7050 Å. La resolución espectral fue de 1,0 Å y 1×2
se empleó un sistema de encuadernación (es decir, encuadernación por 2× en el espacio
dirección). Los tiempos de exposición durante las observaciones fueron de 60 s.
observaciones relativas al período comprendido entre el 24 de abril y el 26 de abril de 2001 y, en
Se obtuvieron 262 espectros (tabla 1). La extracción y re-
de los datos se realizaron de la manera estándar utilizando el
Sistema de reducción y análisis de imágenes (IRAF)1 y el
1 IRAF es un paquete de software para la reducción y el análisis de
Datos icos distribuidos por el Observatorio Nacional de Astronomía Óptica (NOAO)
Gráfico 1 Espectros de amplitud de Fourier de la com-
se muestran datos de α = 3000 km s−1 y 900 km s−1 para la línea Hβ
(panel superior izquierdo y segundo panel izquierdo desde la parte superior) y durante 3000 km s−1 y
1200 km s−1 para la línea Hγ (panel superior derecho y segundo panel derecho desde el
superior). Denota la frecuencia orbital del sistema, su primer armónico
y la banda orbital superior de la parte lateral donde es la frecuencia de giro. Los
los datos fueron previamente blanqueados por la frecuencia orbital y se muestran en el
tercer panel desde arriba. Los espectros de la ventana están trazados por debajo de la amplitud
espectros (paneles inferiores).
los espectros fueron calibrados mediante observaciones de la estrella estándar
LTT3218.
3 LAS VELOCIDADES RADIALES
Es ampliamente aceptado que en un CV canónico, el emis de alta velocidad
las alas de la línea de la sión se forman en las partes interiores del disco de la acreción
orbitando cerca de la enana blanca y por lo tanto debe reflejar su orbital
motion (Tras 1983; Shafter & Szkody 1984; Shafter 1985).
En IPs, sin embargo, las alas de alta velocidad de la línea de emisión se forman
en el flujo de gas hacia la enana blanca a altas velocidades
(Hellier et al. 1987; Ferrario & Wickramasinghe 1993). El ra-
Las velocidades de dial se determinaron midiendo las alas del Hβ
las líneas de emisión Hγ de los datos de 1991 (24 y 25/04/91 - la
no se añadieron los datos obtenidos el 29, ya que EX Hya no
totalmente recuperados del estallido); y las alas de Hα, Hβ y Hγ
líneas de emisión de los datos de 2001 utilizando la Convolución Gaussiana
que es operado por la Asociación de Universidades para la Investigación en
tronomia (AURA)
c© 0000 RAS, MNRAS 000, 000–000
Estudio Espectroscópico de la Hidrata IP EX en Quiescencia 3
Gráfico 2 Espectros de amplitud de velocidad radial mostrados para la línea Hα de
2001, para α = 3500 km s−1 y 1200 km s−1. La línea vertical discontinua
muestra la posición esperada de los picos orbitales y del período de rotación. Los datos
fueron preblanqueados por y se muestran en el tercer panel desde la parte superior. A
espectro de ventanas se muestra en la parte inferior.
Esquema (GCS, Schneider & Young 1980; Shafter & Szkody 1984;
Shafter 1985). El método GCS convoca cada espectro con dos
Gaussian idéntico, uno en el ala roja y uno en el ala azul.
La separación entre los dos gaussianos es 2α. Se han tomado precauciones.
no incluir regiones muy alejadas en las alas donde el continuum sea
ginebras para dominar mediante la elección de valores razonables de la anchura (
los gaussianos y α. Doce pasa-banda estándar gaussiano fueron
se utiliza con valores α que van desde 3500 hasta 100 km s−1 y corre-
valores de ancho de sponding de 1200 a 100 km s−1.
3.1 Búsquedas de períodos
Las velocidades radiales fueron transformadas por Fourier usando el Discreto
Algoritmo de Fourier Transform (DFT) para buscar cualquier periodo en
los datos (Deeming 1975; Kurtz 1985). Amplitud Hβ y Hγ
Los espectros de 1991 (24 y 25 de abril) se muestran en la figura 1 y en el cuadro siguiente:
Los espectros de amplitud Hα de 2001 se muestran en la Figura 2.
Un pico prominente a una frecuencia correspondiente al 98-
la frecuencia orbital de minuto, , se observa en todas las líneas de emisión.
Segundo en fuerza a la frecuencia orbital es la frecuencia de giro,
El subartículo 6A001.b no somete a control los vehículos de motor de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M2, de la categoría M1, de la categoría M2, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M2, de la categoría M1, de la categoría M1, de vehículos 2, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la de la categoría M1, de la de la de la de la de la categoría M1, de la de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la de la de la de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la categoría M1, de la de la de la
s−1) (figuras 1 y 2). Los terceros paneles de la parte superior en las Figuras 1
y 2 muestran los datos después de la preblanqueación por . El poder en..............................................................................
presente.
La frecuencia de giro no fue detectada con valores altos de α
(α = 3000.3500 km s−1) donde se espera más (ya que en
velocidades el material está bastante cerca de la enana blanca y su emis-
ión se espera que se modula en el período de rotación de la enana blanca).
Tampoco estaba presente en las velocidades radiales Hβ y Hγ de 2001. Los
Se observó que la amplitud de la concentración de Hβ en relación con la concentración de Hβ era del 81%, del 64%.
para Hγ y +18% para Hα.
4 VARIACIONES Orbitales DE LAS LÍNEAS DE EMISIÓN
Los datos fueron encuadernados en fase en la efeméris orbital de Hellier &
Sprouts (1992),
Teclipse = 2437699.94179+0,068233846(4)E, (1)
donde E es el número de ciclos orbitales y T es el tiempo de
eclipse. Esta efeméris se define por el punto cero de la eclipsa media,
cuando la intensidad mínima se encuentre en la fase 0.0. Esto significa que para el
velocidades radiales, el desplazamiento máximo de color azul es perpendicular a la línea de
en la fase 0.75, lo que significa que la fase espectroscópica cero oc-
en el cruce de azul a rojo de la velocidad radial de la línea de emisión
curva. Se utilizaron 40 cubos de fase para producir las velocidades radiales.
4.1 Tomogramas orbitales y espectros rastreados
Los tomogramas de Hα, Hβ y Hγ Doppler se computaron utilizando
el método de proyección posterior (BPM) con la aplicación de un fil-
ter, y el método de Entropía Máxima (MEM) (Marsh & Horne)
1988; Marsh 1988; Horne 1991; Spruit 1998). El Doppler BPM
los mapas se muestran en la figura 3 y los construidos utilizando MEM son
se muestra en la figura 4. Error en efemérides (tanto orbital como de giro) es
suficientemente pequeño para la fase de todos nuestros datos con precisión en el orbital
y los ciclos de giro.
Amplitud de velocidad del primario, K1 = 74 ± 2 km s
de nuestras mediciones de velocidad radial y la de la secundaria,
K2 = 360± 35 kms
−1, tomada de Vande Putte et al. (2003) y
Beuermann et al. (2003), se utilizaron para fijar las posiciones de la Roche
lóbulo y las trayectorias de flujo en los tomogramas. A secundaria
masa, M2 = 0,10±0,01 M® para EX Hya se derivó de la
hasta la fecha, relación entre el período de masa secundario de Smith & Dhillon (1998).
La masa de la primaria, M1, se determinó a partir de lo anterior
valores utilizando K1K2 =
, y se encontró que era de 0,50±0,05 millones de libras esterlinas.
Tomografías Doppler Hβ, Hγ y HeI
y 4) mostrar una fuerte emisión en el punto brillante, algunos en el Roche
lóbulo y la corriente, y algunos del disco. Los de Hα también
mostrar una fuerte emisión de manchas brillantes pero menos o ninguna emisión de la
stream. La emisión de disco se reduce en Hα en comparación con otros
líneas de emisión, especialmente a velocidades más altas. Esto es más obvio.
en el tomograma BPM. El punto brillante de emisión cae cerca de la re-
gion (-100, 350) km s−1. Espectros substraídos por término medio (Fig.
ure 4) muestran el NSC correspondiente. 1× 10−11ergs cm−2 s−1
(+60-70%) de los flujos de línea originales se contiene en la media
Perfiles restados de Hβ y Hγ, y de 1× 10−12ergs cm−2 s−1
(+80-90%) está contenido en Hα y HeI 4471. Este flujo es principalmente
debido al punto brillante y la corriente. Los espectros rastreados han sido
Repetido a lo largo de 2 ciclos para mayor claridad.
Los espectros de 2001 han revelado dos fea-
ciones. La primera es la asimetría en la intensidad de la onda s
(Figura 4). En Hα, el ala roja de la NSC es más brillante en...........................................................................
0,1-0,3 y parece alcanzar el máximo brillo cerca de 98 0,25,
mientras que el ala azul está diminuta en el rango de 0.7-0.9 y
parece alcanzar un brillo mínimo cerca de........................................................................................................................................................................................................................................................... Un ef similar...
el efecto se ve en las líneas Hβ y Hγ, y en menor medida en HeI
* 4471. La segunda característica es la emisión en rojo que se extiende desde
el NSC a velocidades altas (+ 1000 km s−1) en fases binarias tempranas
(0,0-0,2).
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4 N. Mhlahlo, D.A.H. Buckley, V.S. Dhillon, S.B. Potter, B. Warner y P.A. Woudt
Gráfico 3 Los paneles muestran los mapas orbitales de Doppler Hα, Hβ, Hγ y HeI 4471 de 2001, y los tomogramas Hβ de 1991, construidos utilizando la proyección posterior
Método con la aplicación de un filtro (paneles superiores) y después de restar la media del perfil de línea (paneles inferiores). Las posiciones del lóbulo de Roche y
Se muestran trayectorias de flujo (amplitudes de velocidad de K1 = 74 km s
−1 y K2 = 360 kms
−1 para las estrellas primarias y secundarias, respectivamente). Los
dos curvas con intervalos marcados representan la velocidad de flujo de gas (curva superior) y la velocidad de Keplerian a lo largo de la corriente (curva inferior). Los círculos en todos
los tomogramas representan 0.1 de la distancia entre el punto L1 y el primario. Las tres cruces son centros de masa de la secundaria, sistema y primaria, de
De arriba a abajo. El asterisco representa la velocidad de aproximación más cercana. Todos los mapas están trazados en la misma escala de velocidad. La tabla de búsqueda de esta figura es
de tal manera que las características de emisión más brillantes aparezcan con intensidad decreciente de amarillo/verde a azul claro en la edición en línea, o de blanco a gris en la impresión
edición.
Los espectros reconstruidos sugieren que esta última fea-
tura es otra onda s, a la que nos referiremos como la alta velocidad
componente (HVC), que cruza el NSC cerca de........................................................................................................................................................................................................................................................ Los
Tomografías Doppler muestran emisión que se extiende desde el punto brillante
posición, pasando a lo largo de la ruta del arroyo, al cuadrante inferior izquierdo
a altas velocidades cerca de 1000 km s−1, que es responsable de la
HVC; la mayor parte de esta emisión no cae dentro del disco ni del gas
velocidades de flujo en el mapa, lo que sugiere que había poco o ningún
solapamiento del componente de flujo con el disco.
Los tomogramas de 1991 mostraron resultados similares. Vale la pena señalarlo.
que la mayor parte de la emisión de disco en 1991 provino del disco exterior que
en 2001.
Aunque el MEM y BPM elijan las mismas características,
en los tomogramas de presión algunas características son más prominentes que en
los tomogramas MEM mientras que la reconstrucción obtenida utilizando el
El MEM reproduce bien los datos observados.
La ventaja de BPM sobre MEM es que es más rápido y
es más fácil obtener un conjunto consistente de mapas de diferentes líneas de emisión
(en términos del ruido aparente en las imágenes). Por esta razón, ambos
se han utilizado métodos.
5 VARIACIONES DE ESPÍRITU DE LAS LÍNEAS DE EMISIÓN
5.1 La curva radial de velocidad de giro
Las velocidades radiales fueron plegadas en fase utilizando 30 cubos en la
efemérides cuadráticas de giro de Hellier & Sproats (1992), donde giran
El máximo se definió como el valor de 67 °C = 0. La Figura 5 muestra la variación de
los componentes estrechos Hβ, Hγ y Hα con Máximo desplazamiento azul
se observa en 67 = 0,79 para Hβ y en 67 = 0,77 para Hγ. Considerando lo siguiente:
Hα, el cambio máximo de color azul se ve en Ł67 = 0,90. Debe tenerse en cuenta
que Hα y Hβ / Hγ no se han observado simultáneamente y así
ambos conjuntos de datos probablemente muestren las fases de giro en diferentes orbitales
fases.
La figura 6 muestra el componente estrecho Hα (α = 1200 km s−1)
y el componente de base ancha (α=3500 km s−1) sobreexplotado. Los
dos componentes están en fase. La variación radial de la velocidad con el
período de rotación del componente de base ancha Hβ y Hγ no puede ser
detectada, posiblemente debido a la cancelación de velocidad Discutimos esto en
Sección 6.
5.2 Tomogramas de giro y espectros rastreados
Los tomogramas de Spin de EX Hya fueron construidos por Hellier (1999)
pero reveló poca información. Además, Belle et al. (2005) observados
no hay sitio/s de emisión coherentes en sus tomogramas plegados en el giro
fase.
El Hβ y el Hγ BPM y MEM spin tomogramas de
2001, sin embargo, han revelado un lugar de emisión coherente entre
Vx 500 kms
−1 y −1000 km s−1 que es evidencia de emis-
sión de las cortinas de acreción (figuras 7 y 8). Pero es un pozo
hecho conocido que desde el período de giro es de â ¬ 23 del período orbital en
EX Hya, las variaciones del ciclo orbital no se manchan cuando se doblan
la fase de giro, pero repetir cada 3 ciclos de giro (Hellier et al. 1987).
Se cree que este es el origen de la mayor parte de la estructura en el emis-
Líneas de sión a velocidades < 1000 km s−1 (Hellier 1999). A la dirección
Este problema, la sustracción invariante de fase se realiza donde emis-
sión que no varía con el ciclo de giro se resta de la
datos. Esto se logra midiendo el flujo mínimo en cada onda.
longitud y restando este valor. Los resultados se muestran en el sec-
paneles ond desde la parte superior de la Figura 8. Sin embargo, hay que mencionarlo,
que incluso restando la parte invariante de los perfiles de línea no
garantía de que la influencia de las variaciones del período orbital ha sido
Retirada por completo.
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Estudio Espectroscópico de la Hidrata IP EX en Quiescencia 5
Gráfico 4 2001 Hα, Hβ, Hγ y HeI
els) y MEM orbital Doppler mapas (segunda fila de paneles desde la parte superior)
así como los espectros arrastrados substraídos medios (tercera fila de paneles) son
se muestra trazado en la misma escala, excepto para los paneles Hα. El HVC y el
Se indican los NSC. La cuarta fila muestra el Doppler substraído medio
los mapas y los modelos trazados para q = 0,21, i = 78 y M1 = 0,50 millones de euros. Los
los paneles inferiores son la reconstrucción de los datos medios sustraídos. Los
los paneles cuarto y inferior también están trazados en la misma escala excepto para Hα
paneles. La tabla de búsqueda de esta cifra es tal que la emisión más brillante
las características aparecen con intensidad decreciente de negro a gris claro.
Una onda giratoria (para diferenciarla de la onda s que no es ni-
mal causada por la mancha brillante) en los espectros seguidos de Hα (Figura 8)
se detectó a partir de los datos después de que la sustracción invariante de fase fue
realizado. Esta es la primera detección de modulación sobre el giro
ciclo en los datos de la línea de emisión óptica de EX Hya. Esta onda giratoria
se puede ver en los espectros arrastrados antes (pero difícil de ver) y af-
ter resta del perfil de línea invariante de fase. El pico estrecho
componente es responsable de este spin-wave que se muestra ex-
= 1200
α = 900
α = 1200
FASE DE ESPÍRITU
Gráfico 5 El Hβ (panel superior), Hγ (panel medio) y Hα (panel inferior)
spin velocidades radiales del componente estrecho a partir de los datos combinados de 1991
(Hβ y Hγ) y datos de 2001 (Hα). Las velocidades radiales fueron preblancadas por
frecuencia orbital y plegado en fase en la frecuencia de giro utilizando 30 cubos
y se muestran trazados en función de la fase de giro.
Gráfico 6 Las curvas de velocidad radial de giro del estrecho de Hα (cruces) y
componentes amplios (puntos) de 2001 (30 cubos)
fase de giro. La línea sólida representa un ajuste a los datos.
en la segunda columna de los paneles de la figura 8 (el pico estrecho
componente fue seleccionado a mano sobre un rango de velocidad de ±500 km
s−1). La onda de giro muestra el máximo desplazamiento azul cerca de la fase 1.0 y
corrimiento al rojo máximo cerca de la fase 0.5, y tiene una amplitud de 500
Km s−1. El tomograma Hα muestra la emisión correspondiente cerca de la
posición “3 en punto” (bloque de emisión justo en el borde del mapa),
alrededor de 500 km s−1. Las DFT muestran una amplitud inferior (+ 40 km s−1
para Hα y + 130-140 km s−1 para Hβ y Hγ) probablemente debido a
la contaminación por material estacionario. Además, el tomograma Hα MEM muestra
emisión más fuerte que alcanza los picos en una estructura amplia a velocidades más bajas
(Vx â € -200 kms
−1 – +200 km s−1 – alrededor de las “5-6 horas”
posición). El movimiento circular da lugar a velocidades radiales bajas o nulas
cuando el movimiento es perpendicular a la línea de visión, y el emis-
sión vista alrededor de la posición “5-6 en punto” no podría ser de tal
velocidades ya que muestra un máximo de cambio de color azul a 0.2-0.25.
Emisión similar se observó en un Polar y se pensó que era
debido al material que acaba de ser desacelerado después de haber conectado
a las líneas de campo magnético (Schwarz et al. 2005) (debatimos un
explicación alternativa en la sección 6. La emisión cerca del borde
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6 N. Mhlahlo, D.A.H. Buckley, V.S. Dhillon, S.B. Potter, B. Warner y P.A. Woudt
Gráfico 7 El Hα, Hβ, Hγ y HeI 4471 siguieron espectros de 2001 plegados
en el período de rotación se muestran en los paneles superiores y el promedio sustraído
los espectros se muestran en los segundos paneles. Mapas Doppler construidos a partir de
los espectros restados invariantes de fase se muestran en los paneles inferiores. Los
Los mapas Doppler fueron construidos usando el BPM y se muestran en el mismo
escala de velocidad con los espectros arrastrados. La tabla de búsqueda es como en la Figura 3.
del tomograma (a 500 km s−1) muestra el desplazamiento máximo de
1 y, por lo tanto, no puede deberse a un movimiento perpendicular a
la línea de visión tampoco.
Los espectros rastreados Hα también muestran la emisión acoplada a la rotación-
ola cerca de 67 0.1 − 0,6 que se extiende a altas velocidades en el
rojo, una situación similar a la vista en los tomogramas orbitales debido
a la CVH (sección 4.1). La emisión correspondiente en el Hα
tomogramas que se extienden a velocidades más altas en la región espectral roja
No está claro.
Tanto el Hβ y Hγ fase-invariante sustraído espectros arrastrados
mostrar tres ondas de giro de intensidad débil. El más claramente visible de
los tres se escalonan con el máximo corrimiento al rojo cerca de......................................................................................................................................................................................................................................................
con una amplitud de velocidad estimada de 900 km s−1 y corre-
sponds a la emisión cerca de la posición “3 en punto” en la toma-
gramo (Figura 8). Los espectros rastreados reconstruidos reproducen el
datos observados.
Los espectros seguidos por Hβ y Hγ en la Figura 7 parecen apoyar
estos resultados. La emisión observada cerca de la “posición 3 en punto”
en los tomogramas también se ha visto en otras IPs como AO Psc
FO Aqr (Hellier 1999) y fue interpretado como emanante de
la cortina de acreción superior.
Sin embargo, las ondas de giro son débiles en intensidad, y más datos
son necesarios para apoyar estos resultados.
6 DEBATE DE LOS DATOS ORBITALES Y DE ESPÍRITU
El modelo generalmente aceptado de EX Hya tiene el material dejando
la estrella secundaria a través del punto L1, pasando a través de una corriente de
material que orbita alrededor de la enana blanca, para formar una acreción
Gráfico 8 Hα, Hβ y Hγ siguieron espectros de 2001 plegados en el período de giro
se muestran en los paneles superiores y los espectros sustraídos invariantes de fase
se muestran en los segundos paneles desde la parte superior. Tomografías Doppler de giro MEM
a partir de los espectros sustraídos invariantes de fase se muestran en la
terceros paneles con los espectros reconstruidos en los paneles inferiores. El giro
onda observada en los espectros invariantes de fase Hα, que
fue causado por el componente estrecho Hα, se muestra expandido en un más pequeño
Escala de velocidad. La primera columna de paneles se traza entre -1500 km s−1
y 1500 km s−1 y las dos últimas columnas se trazan entre -2000 km
s−1 y +2000 km s−1. La tabla de búsqueda es como en la Figura 4.
disco. Las líneas de campo magnético de la enana blanca que forman acre-
por encima y por debajo del plano orbital canalizan el material
desde el disco, a partir del radio de co-rotación (Rco) donde
disco es truncado por las líneas de campo, a la superficie de la enana blanca
(Hellier et al. 1987; Rosen et al. 1991).
King & Wynn (1999) desafió este modelo argumentando que
sistemas con Pspin/Porb > 0.1 no pueden poseer discos Keplerian ya que
Esto implica a Rco-Rcir. Demostraron que el estado de equilibrio de giro
en EX Hya está determinado por Rco b, donde b es la distancia a la
Punto L1. En este modelo las cortinas de acreción se extienden hasta cerca de la L1
punto, y EX Hya se asemeja a un polar asíncrono donde la mayor parte de
el material acreta a través de la corriente (Rey & Wynn 1999; Wynn
2000).
Belle et al. (2002) revisaron el modelo de EX Hya después de
muestra que sus datos EUV apoyan el modelo de King & Wynn
c© 0000 RAS, MNRAS 000, 000–000
Estudio Espectroscópico de la Hidrata IP EX en Quiescencia 7
(1999). Su modelo revisado sugiere que el campo magnético en
EX Hya forma una gran cortina de acreción que se extiende hasta el borde exterior
del lóbulo de Roche causando:
• parte o la totalidad del disco no keplérico (en lo sucesivo, el anillo de
terial o el anillo) para girar con la enana blanca,
• una protuberancia prolongada (más tarde, Belle et al. (2005) mostró que allí
fue el Material Extendido Verticalmente (VEM) que oscurecía la onda s
Emisiones durante el período de emisión de 0.57 a 0.87 y pruebas de desbordamiento
acreción de flujo en EX Hya), y
• el anillo de material para sentir la fuerza magnética en las regiones del
anillo cerca de los polos, causando el material de anillo en estos lugares
para ser controlado por el campo magnético, formando dos trozos a lo largo
el anillo de acreción que gira con la enana blanca.
Recientemente, Norton et al. (2004, 2004a) han demostrado que para
Tems con Pspin/Porb 0,72, cuando la relación de masa es menor en
q = 0,2, el material forma un anillo cerca del borde de la primaria
Lobo de Roche, desde donde las cortinas de acreción embudo hasta el blanco
superficie enana, de acuerdo con King & Wynn (1999) y Belle
et al. (2002). El material se alimenta del anillo (acreción alimentada con anillo)
y canalizados a lo largo de las líneas de campo magnético (cuando el ángulo sea
entre el eje de giro de la enana blanca y el eje dipolo magnético es pequeño
Es decir, < 30o, lo que es cierto para EX Hya).
El debate de Eisenbart y otros. (2002) sobre el flujo IR-UV
distribución en EX Hya implica un disco (isobárico e isotérmico) con
un radio exterior de 1,6×1010 cm y un espesor de 2×108 cm, y
un agujero central supuesto de 6×109 cm, pero Eisenbart et al. (2002)
La estructura también podría ser un anillo con un
radio ner, en línea con la sugerencia de King & Wynn (1999);
Belle et al. (2002) y Norton y otros (2004). Encontraron que la
componente de disco contiene aproximadamente 1/6 del flujo total que es un poco
más de lo esperado por la liberación de energía gravitacional en el interior
radio, Rin > 6×10
9 cm.
Nuestros datos espectroscópicos apoyan tanto el modelo de Belle et al.
(2002) y Norton y otros (2004) en el que el material de un anillo, cir-
aferrarse a la enana blanca y co-rotar con las líneas de campo magnético
en el borde exterior del lóbulo de Roche, es acretado por la enana blanca.
La presencia de la mancha brillante revelada por los espectros arrastrados,
las DFT de las velocidades radiales y los mapas Doppler (Figuras 3
y 4) sugieren la presencia de un disco o anillo de material que se extiende
cerca del radio del lóbulo de Roche, alrededor de la enana blanca. Cuando com-
los tomogramas de 1991 y 2001 para el Hβ parecen ser
en el mismo estado o similar, dado que son diez años
aparte. Es tranquilizador que el hecho de que los dos grupos de líneas tengan
no se midió simultáneamente no es un problema significativo en
el análisis.
Más importante aún, un pulso de giro modulado a velocidades con-
persistente con los del material que circula en el borde exterior de
se detectó el disco (+ 500-600 km s−1) (figuras 1 y 2) y
proporciona pruebas de la co-rotación de las cortinas de acreción extendidas
con el material del anillo. Como se explica en la sección 5.2, estos
Las velocidades mencionadas anteriormente no fueron causadas por el movimiento perpendic-
ular a la línea de visión cerca de la enana blanca, tampoco eran
causado por la cancelación de velocidad como se mostrará más adelante.
Se detectó una onda de giro en los espectros seguidos
de Hα (figura 8) con una semiamplitud de velocidad de 500 a 600
Km s−1. La onda de giro muestra el máximo cambio de azul cerca de la fase
1,0 (cuando el polo magnético superior está apuntado lejos de
el observador) y el corrimiento al rojo máximo cerca de la fase 0.5. El Hα
Las anchuras equivalentes muestran un flujo máximo cercano a............................................................................................................................................. Esta foto
es consistente con el modelo de cortina de acreción de IPs y es posible
si la acreción se produce a través de un disco/anillo. Los tomogramas de giro (Figuras 7
y 8) muestran evidencia de la extensión de la emisión de la cortina de acreción
de 500 km s−1 a velocidades elevadas (+ 1000 km s−1), lo que sugiere
que el material se canaliza a lo largo de las líneas de campo desde el anillo exterior.
Los componentes de base angostos y amplios de Hα muestran una fase similar
variación, sugiriendo la misma posición de velocidad radial máxima que
se muestra en las figuras 6 y 9 (línea OA). Esto indica que el material es
canalizado desde el anillo (a baja velocidad) a altas velocidades a lo largo
las líneas de campo.
A partir de nuestros datos se midió una relación de masa de q + 0,2.
la relación de periodo Pspin/Porb 0,68 es consistente con el anillo accre-
modelo de norton et al. (2004).
Disminución de la prominencia del componente estrecho de onda s
Se observó alrededor de Ł98 = 0,57-0,87 (figuras 3 y 4) y se
gesta la presencia de VEM en el borde exterior del anillo de
terial oscurecimiento de la emisión en estas fases. La presencia de la
El flujo de desbordamiento se puede inferir de esta observación (Belle et al.
2005). Pero la evidencia directa viene de los tomogramas Doppler orbitales
que muestran una asimetría en la emisión, donde más emisiones
se observa desde el lóbulo secundario de Roche hasta el cuádruple inferior izquierdo
despotricar que desde el lado opuesto. Tomo orbital substraído medio
los gramos muestran esta emisión a velocidades más altas (+900-1000 km s−1)
(Figuras 3 y 4), y corresponde a la CVH observada en el
espectros arrastrados, que se modulan con una semiamplitud de velocidad
de 1000 km s−1. Este HVC es una reminiscencia de lo detectado por
Rosen et al. (1987) en los espectros arrastrados del sistema AM Her
V834 Cen. Su CVV fue desplazado por el azul con una velocidad de 900 km
s−1 y se dice que se produce en la corriente cerca del blanco
Enano. La única diferencia es que no había evidencia de la
Emisión de HVC cuando se esperaba que se viera en rojo de otro
componente (componente de velocidad media) en sus datos,
EX Hya falta la evidencia de la emisión de HVC entre
- 0,3 - 0,85. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • La emisión de HVC se cambia al máximo de color azul en
•98 •0,3-0,4. Esta fase es coherente con la fase prevista
de impacto de una corriente de material del secundario con el disco
o del material de flujo de desbordamiento que cae libremente sobre el magneto-
esfera de la primaria (Hellier et al. 1989).
El soporte para el flujo de desbordamiento también es proporcionado por spin tomo-
gramos en los que se observa la emisión en la cortina de acreción superior
con velocidades consistentes con velocidades de flujo. Esto sugiere que:
este sitio de emisión también puede haber resultado debido al impacto del desbordamiento
corriente con la magnetosfera. La emisión resultante está retrocediendo
del observador en el corrimiento al rojo máximo cerca de.........................................................................................................................................................................................................................................................
de acuerdo con el modelo de cortina de acreción.
El modelo de King & Wynn (1999) no está totalmente apoyado por
nuestras observaciones ya que predice la acreción directa a través de una corriente. Nuestro
observaciones, sin embargo, se ajustan a los modelos de Norton et al. (2004) y
Belle et al. (2002, 2005). Hay evidencia de fuerte Hα emis-
sión del componente estrecho de onda s en los tomogramas de giro, cén-
alrededor de 100 km s−1 (figura 8), que no está representado por
Estos modelos. Esta emisión muestra el máximo cambio de color en fase
• 67 • 0,2, lo que sugiere que se trata de velocidades de rotación (o una
binación de velocidades de transmisión y rotación) de los antifaseados
movimiento de una fuente cerrada a la enana blanca. Una posible explicación...
nación es que esta emisión viene del polo opuesto de la
Enana blanca, a una distancia radial de 6×109 cm (+8Rwd). Siegel
(1989) encontró que la fuente óptica eclipsada en EX Hya está centrada
a una distancia radial de 1,5×109 cm (+2Rwd), que es de unos cuatro
tiempos más cercanos a la enana blanca comparados con nuestro resultado. Esto podría
ser la misma región de emisión, pero en nuestras observaciones la emisión es
dad, posiblemente debido a la calidad de los datos, y esto podría
contar para la diferencia en los valores de distancia radial citados anteriormente.
Pero no podemos imaginar una geometría donde tan baja rotación ve-
c© 0000 RAS, MNRAS 000, 000–000
8 N. Mhlahlo, D.A.H. Buckley, V.S. Dhillon, S.B. Potter, B. Warner y P.A. Woudt
Observador
anillo de material
a través del polo superior
eje magnético
fases de desplazamiento máximo azul de la
fase de desplazamiento máximo azul
fases de desplazamiento máximo al rojo
trozo de material
Corriente desbordante
de la onda s
onda s-angosta
pedazo de
material
con campo
corrotación
fase de máximo
Desplazamiento azul de la CVH
Observador
0,75 0,7
disco exterior
Corotación con campo
parte del disco
corrimiento máximo de color azul
BBC
fase de
intensidad máxima
fase de
eje magnético
a través de
polo superior
fase de
intensidad mínima
BBC
corrimiento máximo al rojo
fase de
Gráfico 10 Un modelo de EX Hya en quiescencia. Las figuras se dibujan sobre el ciclo orbital (izquierda) y el ciclo de giro (derecha) y muestran la magnetosfera extendiéndose
hasta el borde exterior del anillo, y el trozo de material que corroe con las líneas de campo. Un material extendido verticalmente (VEM) es irradiado por la enana blanca en
sus regiones interiores (izquierda).
Observador
Gráfico 9 Una representación de las regiones donde se formó Hα. Tanto el nar-
los componentes de fila y base ancha caen a lo largo de la misma dirección radial, OA,
resultando en una variación de fase similar.
las velocidades pueden dominar sobre las velocidades de streaming a lo largo de las líneas de campo
cerca de la enana blanca. Por lo tanto, sugerimos que esto es una prueba para
material que se desvía del plano orbital. Desde uno de los
suposiciones de la tomografía Doppler es que todo yace en el
plano, no es posible localizar la posición exacta de esta emisión
relativa a la enana blanca.
6.1 Enana blanca y masas secundarias
Hellier et al. (1987) mostró que las anchuras máximas de línea de ±3500
Km s−1 limitan la masa de la enana blanca, y una caída libre
velocidad de esta magnitud se podría lograr para la enana blanca
masas superiores a 0.48 millones de libras esterlinas. Se encontró M1 = 0,50 ± 0,05M®,
en buena concordancia con los resultados obtenidos de
es de Hoogerwerf et al. (2004); Beuermann y otros (2003) y
Vande Putte et al. (2003).
Para el secundario, derivamos M2 = 0,10 ± 0,01 M® de
la relación entre el período de masa secundario de Smith & Dhillon (1988), y
este valor coincide con el obtenido por Vande Putte et al. (2003).
Beuermann et al. (2003) y Hoogerwerf et al. (2004) encontrar más bajo
valores de M2 consistentes con 0,09 millones de euros. Eisenbart et al. (2002) ar-
gues que para una masa secundaria tan baja como 0.1 Mâ el secundario
tendría que ampliarse sustancialmente en un 10%.
6.2 El modelo revisado de EX Hya
Proponemos un modelo donde uno de los dos trozos aludidos por
Belle et al. (2002), que están formados por el tirón magnético a lo largo
el anillo de acreción, co-rota con las cortinas de acreción en el exterior
borde del lóbulo de Roche a 500-600 km s−1, dando lugar a la pul-
sación de la emisión en el período de rotación que observamos en nuestros datos,
mientras que el otro está escondido por la cortina de acreción debajo del anillo
de material. La emisión resultante está maximizadamente desplazada por el color azul cerca de
0.8 (Figura 5). En el modelo de cortina de acreción, en 0.5
en el ciclo de giro, se observa un flujo mínimo (debido a una mayor opacidad)
cuando el polo superior de acreción de la enana blanca es apuntado a-
protege al observador (Hellier et al. 1987), y por lo tanto los hombres en fase de
es compatible con el movimiento de una acreción giratoria
embudo. Esto se ilustra en la Figura 10, donde la posición de la
el observador al máximo del pulso está indicado, y el eje de la
se muestra el polo nectic. La interrupción del disco por el magnético
campo en el disco exterior se ilustra y parte de la co-rotación del disco
con la magnetosfera se muestra. En un radio de coronación, Rc
b = a(0,500 − 0,227log M2M1 ) (+ 3× 10
10 cm), el material es ro-
a una velocidad de v2 = GMb 500 km s
−1, de acuerdo
con las observaciones. Además, una velocidad de rotación de 600 km s−1
se midió a partir de los espectros y la distancia radial de la estrella
se encontró que el anillo de material era de 3× 1010 cm, que es
similar a b, para una masa de enana blanca de 0,5 M° (movimiento kepleriano)
sobre la enana blanca tuvo que ser asumido en estos cálculos).
En este radio, la cortina de acreción también está girando a una velocidad de
2ηRco/Pspin 500 km s−1.
6× 10−12 ergs cm−2 s−1 (64% - integrado en una vuelta
ciclo) de los flujos de línea originales que se contiene en la media-
c© 0000 RAS, MNRAS 000, 000–000
Estudio Espectroscópico de la Hidrata IP EX en Quiescencia 9
perfil restado de Hα muestra variaciones de velocidad radial con el
Punto de giro. Suponiendo que Hβ y Hγ también muestran un flujo similar
variación (Hβ y Hγ spin tomogramas también muestran una baja-velocidad s-
ola pero este resultado no está asegurado debido a la mala calidad de los datos),
los flujos totales de línea que muestran variaciones de velocidad radiales con el
El período de rotación puede estimarse en +2 × 10-11 ergs cm−2 s−1
para las tres líneas de emisión. Se trata de +2/10 del flujo total de disco
(Eisenbart y otros 2002), sugiriendo que sólo una parte del
con la enana blanca mientras que el resto del material puede estar en-
participa en un movimiento cerca de Keplerian (esta es una comparación áspera desde
el flujo se integra a lo largo de un ciclo de giro para Hα, Hβ y Hγ en nuestro
datos, mientras que Eisenbart et al. (2002) derivaron sus valores de flujo total
a partir de un espectro sobre el rango de longitud de onda = 912-24000 Å).
Mientras que parte del material del anillo co-rota con el acre-
las cortinas de tion (es decir, permanece en el disco en lugar de ser inmedi-
ately canalizado a lo largo de las líneas de campo), algunos se canaliza a lo largo de la
líneas de campo a 500 km s−1 hacia la enana blanca. También hay
algún material que desborda el anillo y se une a la mag-
líneas de campo netic. La corriente de desbordamiento golpea la magnetosfera, prob-
blemente causando un segundo punto brillante en el magneto de rotación lenta-
esfera (figura 10). El flujo de desbordamiento es irradiado por el blanco
enano en sus regiones interiores cerca de la enana blanca (las regiones fac-
la enana blanca). Esto da lugar a que la emisión de HVC sea ob-
scured at 0.4-0.9, que son fases en las que se encuentra la corriente
visto desde atrás-frente al lado frente a la enana blanca, escondido-
Las regiones interiores irradiadas. Emisión de HVC de la corriente es
Desplazamiento azul cuando se muestra desde el componente estrecho de la onda s
corrimiento máximo al rojo. Cerca de 0.25 las dos ondas s se cruzan, ex-
Planteando la asimetría en el brillo de la onda s vista cerca
0.25 (Figura 4). La corriente de desbordamiento se enrosca casi detrás de la
enana blanca y es truncada por el campo cuando la parte superior magnética
polo está frente a la corriente.
Ferrario & Wickramasinghe (1993) y Ferrario, Wickramas-
inghe & King (1993) mostró que en IPs la cortina de acreción debajo
el plano orbital puede contribuir en las velocidades radiales de un sistema
si se puede ver a través del agujero central de la
disco, o desde debajo del disco, o ambos. Este efecto se traducirá en
locity cancelation debido a cantidades casi iguales de material que
son de color azul y de color rojo en las cortinas de acreción (Ferrario,
Wickramasinghe & King 1993).
En EX Hya donde la inclinación es alta (78°) y el disrup-
El radio de ión es grande (+ 40 RW D, para una masa enana blanca de 0,5 M®)
Como se propone en la Figura 10, está claro que vemos emis-
sión de dos polos magnéticos opuestos, produciendo un
ric estructura en los perfiles de la línea doblada (Hellier et al. 1987;
Rosen et al. 1991). Si la emisión de estos polos opuestos es
entonces la suma tendrá una velocidad mucho más baja. Esto podría
explicar la amplitud casi cero y baja de la velocidad radial vari-
en el período de rotación de la Hβ y Hγ, y Hα (6 40 km s−1)
componente de base amplia, respectivamente (véase también Hellier et al. (1987)
y Ferrario, Wickramasinghe & King (1993)).
Uno podría llevar este argumento más lejos sugiriendo que el
modulación de giros que observamos en nuestros datos a velocidades cercanas a 500
km s−1 (Figuras 1 y 2) es sólo las pequeñas asimetrías entre
los dos polos. La velocidad resultante podría ser sólo una medida de
el grado en que los polos cancelan sus velocidades cercanas a ±3500
Km s−1(Coel Hellier; comunicación privada). Esto, sin embargo, puede-
no es el caso de Hβ y Hγ ya que estas dos líneas de emisión muestran
movimiento que es consistente con el de un objeto giratorio, sugiriendo
que los perfiles de línea no están dominados por las velocidades de caída en
los dos polos de acreción opuestos. Si se producen cerca de
la enana blanca entonces velocidad de rotación máxima cerca de ±3500 km
s−1 sería de 2ηR/Pspin de 30 km s−1, que es mucho más pequeño que
500 km s−1. Sin embargo, las velocidades rotacionales cercanas al anillo son
500 km s−1. Para Hα, sin embargo, observamos máximo cambio de color azul
a la velocidad de 1,0, y por lo tanto debido a la cancelación en cualquier lugar entre
Se esperan 0 y ±3500 km s−1, dependiendo de la cantidad
dos polos cancelan. Si ambas cortinas de acreción son todavía visibles y
simétrica en radios grandes (lo que es posible como sugiere Fer-
rario, Wickramasinghe & King (1993) y nuestro modelo), velocidad
cancelación seguirá dando lugar a amplitudes más pequeñas que las de
500 km s−1observado en nuestros datos. Esto entonces contaría contra
el argumento anterior. Además, tomogramas de Doppler orbital Hα
mostrar una fuerte emisión en el punto brillante. Si nuestro modelo es correcto, el
líneas de campo también debe atraer este material dominado Hα, que es
chanelled a lo largo de las líneas de campo, como ya se muestra anteriormente. El veloc-
ity de este material debido al movimiento de transmisión cerca del anillo exterior es
menos que la del componente Hα de base ancha cerca del blanco
Enano, como se esperaba. Una fuerte limitación a nuestro modelo es que
se ha demostrado que el radio de alteración de EX Hya es de 5-9×109 cm
(Hellier et al. 1987; Beuermann y otros 2003) que implica un blanco
momento magnético enano de μ + 7× 1031 G cm3. Para nuestro modelo
esto implicaría que las cortinas de acreción no se extienden a cerca
el radio del lóbulo de Roche. El análisis teórico de King & Wynn
Sin embargo, (1999) y Wynn (2000) han demostrado que el equilibrio
dad es posible si el momento magnético en EX Hya cae dentro de la
rango de 1033 6 μ6 1034 G cm3. Estos son comparables a los más débiles
campo AM de ella por debajo de la brecha de período, y que EX Hya podría pos-
sess tales momentos magnéticos es apoyado en cierta medida por el
espectros substraídos promedio de EX Hya que son reminiscentes
de las líneas de emisión vistas en algunos polares, por ejemplo. V834 Cen (tal como se
anteriormente), EF Eri (Crampton et al. 1981; Cowley et al. 1982), QS Tel.
(Romero-Colmenero et al. 2003) y VV Pup (Diaz 1994). Piel...
termo, Cumming (2002) planteó la posibilidad de que el
campos en IPs son enterrados por el material debido a las altas tasas de acreción
y así no son realmente tan bajos como parecen. La estructura del anillo en EX
Hya podría implicar tasas de acreción más altas en EX Hya que antes
pensamiento desde la capacidad del anillo de material para almacenar materia
puede ser baja en comparación con la de un disco clásico, resultando en
la acreción de más material que en una caja de disco clásica.
Resumen
Observaciones ópticas de EX Hya y el análisis han sugerido
que grandes cortinas de acreción que se extienden a una distancia cerca de la
El punto L1 existe en este sistema. Los DFTs y los tomogramas de giro tienen
por primera vez proporcionó pruebas de la coronación de las líneas de campo
con el material de anillo cerca del lóbulo de Roche. Además, la tomografía y
la fase de las ondas de giro han sugerido que la alimentación por el
Cortinas de acreción del material del anillo (acreción alimentada con anillo)
tiene lugar. Estos hallazgos apoyan los modelos de Belle et al. (2002)
y Norton et al. (2004) para EX Hya y las simulaciones realizadas por
Norton et al. (2004a) que han demostrado que para los sistemas con
parámetros de EX Hya, el material de acreción forma un anillo en el
borde exterior del lóbulo primario de Roche, de donde la
Mantiene embudo hacia abajo a la superficie de la enana blanca.
Se han observado pruebas de la acreción del desbordamiento de la corriente.
El HVC causado por el desbordamiento de la corriente desapareció en.............................................................................................................
0,4-0,9 debido al oscurecimiento por la corriente. Obscuración del NSC
En el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial, publicado en el Diario Oficial de las Comunidades Europeas en el Diario Oficial de las Comunidades Europeas,
irradiada por la enana blanca en sus regiones interiores.
El componente Hα de base ancha muestra una velocidad radial varia-
en el período de rotación, mientras que el de Hβ y Hγ no podía ser
c© 0000 RAS, MNRAS 000, 000–000
10 N. Mhlahlo, D.A.H. Buckley, V.S. Dhillon, S.B. Potter, B. Warner y P.A. Woudt
detectada. Las variaciones de velocidad de baja amplitud moduladas en el
período de rotación para Hα y para Hβ y Hγ se explica en términos de ve-
efectos de cancelación de la locidad.
Hemos proporcionado una explicación para la asimetría en el
intensidad del componente estrecho de onda s visto en EX Hya seguido
espectros en la óptica. El componente estrecho de onda s y el HVC
cruz en.98.025, resultando en la asimetría en el brillo que
Observamos en estas fases.
Los espectros de trailed doblados no son de buena calidad y
Se necesitan más datos para confirmar estos resultados.
AGRADECIMIENTOS
NM desea agradecer el apoyo financiero de los Sains-
Enterrar/Linsbury Fellowship Trust y la Universidad de Ciudad del Cabo.
Nos gustaría dar las gracias a Kunegunda Belle, Coel Hellier y Andrew
Norton para debates invaluables y para su comunicación constructiva
ciones. Reconocemos el uso de D. O’Donoghue y de Tom Marsh
programas Eagle y Molly, respectivamente.
REFERENCIAS
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c© 0000 RAS, MNRAS 000, 000–000
http://arxiv.org/abs/astro-ph/9806141
Introducción
Observaciones y reducción de datos
1991 Observaciones
2001 Observaciones
Las velocidades radiales
Búsquedas de periodos
Variaciones orbitales de las líneas de emisión
Tomografías orbitales y espectros rastreados
Girar Variaciones de las líneas de emisión
La curva radial de velocidad de giro
Tomografías giratorias y espectros rastreados
Discusión de los datos orbitales y de giro
Enana blanca y masas secundarias
El modelo revisado de EX Hya
Resumen
Bibliografía
| Resultados de observaciones espectroscópicas del Polar Intermedio (IP) EX Hya
En los años 1991 y 2001 se presenta el estado de quiescencia. Radial modulado por giro
se detectaron velocidades consistentes con un origen disco exterior para el primer
tiempo en una IP. La pulsación de giro fue modulada con velocidades cercanas a ~500-600
Km/s. Estas velocidades son consistentes con las del material que circula en el
borde exterior del disco de acreción, lo que sugiere la coronación de la acreción
cortina con material cerca del radio del lóbulo de Roche. Además, spin Doppler
los tomogramas han revelado evidencia de la extensión de la emisión de la cortina de acreción
de velocidades de ~500 km/s a ~1000 km/s. Estos resultados han confirmado la
predicciones teóricas de modelos de King & Wynn (1999), Belle et al. (2002) y
Norton et al. (2004) para EX Hya, que predicen grandes cortinas de acreción que
se extienden a una distancia cercana al radio del lóbulo de Roche en este sistema. Pruebas
para el desbordamiento de la corriente de material que cae sobre la magnetosfera,
confirmando el resultado de Belle et al. (2005) que el desbordamiento de disco en EX Hya es
presente durante la quiescencia, así como el estallido. Parece que la hbeta y
Las velocidades radiales de giro hgamma se originaron de la rotación del embudo en el
borde del disco exterior, mientras que los de halfa se produjeron debido al flujo de
material a lo largo de las líneas de campo lejos de la enana blanca (componente estrecho) y
cerca de la enana blanca (componente amplio-base), de acuerdo con el
Modelo de cortina de acreción.
| Introducción
Observaciones y reducción de datos
1991 Observaciones
2001 Observaciones
Las velocidades radiales
Búsquedas de periodos
Variaciones orbitales de las líneas de emisión
Tomografías orbitales y espectros rastreados
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La curva radial de velocidad de giro
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Discusión de los datos orbitales y de giro
Enana blanca y masas secundarias
El modelo revisado de EX Hya
Resumen
Bibliografía
|
704.0018 | In quest of a generalized Callias index theorem | arXiv:0704.0018v2 [hep-th] 21 Abr 2007
En busca de un teorema generalizado de índice Callias
Andreas Gustavsson1
Förstamajgatan 24,
S-415 10 Göteborg, Suecia
Resumen
Le damos una receta para calcular el índice de Callias, utilizando como regulador un
función exponencial. Encontramos acuerdo con los resultados antiguos en todas las dimensiones impares. Nosotros
mostrar que el problema de la computación de la dimensión del espacio moduleli de auto-doble
las cadenas se pueden formular como un problema de índice en el espacio par-dimensional (loop-). Nosotros
pensar que el regulador utilizado en esta carta se puede aplicar a este problema índice.
1a.r.gustavsson@swipnet.se
http://arxiv.org/abs/0704.0018v2
1 Introducción
No sabemos lo que es realmente la teoría de seis dimensiones (2, 0). Se cree
que puede sostener cuerdas solitónicas auto-duales [1], aunque nadie hoy en día sabe
lo que realmente es una cuerda auto-dual (no-abeliana). Pero si rompemos el grupo de medición
máxima a U(1)r, entonces deberíamos ser capaces de definir las cargas de estos
cuerdas misteriosas auto-duales por el comportamiento asintótico del calibre U(1)
campos. Uno debe esperar que estos campos asintóticos U(1) sean (al menos isomórficos)
con) una copia de los conocidos potenciales de dos formas de calibre abeliano (con auto-dual
puntos fuertes del campo).
Ahora parece tener sentido hacer una pregunta como, ¿cuál es la dimensión de
el espacio modulo de las cuerdas auto-duales de una carga determinada?
Si el grupo de medidores es SU(2) y está roto en U(1) por el vacío de Higgs
valor de expectativa (que también debe determinar la tensión de la cadena), a continuación, el
respuesta intuitiva a esta pregunta es 4N donde N es la carga U(1) en un adecuado
normalización, tal que N = 1 corresponde a una cadena auto-doble. Uno puede
argumenta que la mitad de la supersimetría está rota por la cuerda. Por lo tanto, una cadena
debe sostener 4 modos cero fermiónicos. Desde alguna (mitad) de la supersimetría
debe haber también 4 modos bosónicos cero correspondientes. Estos
se identifican naturalmente con los modos cero traslacional asociados con el
cuatro direcciones transversales a la cuerda. Además, las cuerdas siendo BPS,
debe ser posible separar sin costo de energía (por lo tanto, permanecer en el modulo
aproximación espacial). Si los llevamos lejos el uno del otro, uno puede sospechar
que sólo podemos añadir 4 modos bosónicos cero de cada cadena, para obtener 4N bosónico
modos cero en total en una configuración de cadenas N [2].
Por supuesto, sería bueno tener una prueba de esta conjetura. ¿Podría ser?
probado si uno tenía algún teorema índice? No proporcionaremos una solución completa para
este problema en esta Carta. Pero haremos verosímil que el problema pueda
de hecho se resolverá computando el índice de un determinado operador de Dirac en bucle
espacio.
Para abordar nuestro problema de índice, creemos que se puede prestar los métodos
que Callias [3] utilizó para probar su teorema índice en espacios impares-dimensionales. In
nuestro caso tenemos un número par de dimensiones (a saber, los cuatro transversales
dirección) por lo que es evidente que tendríamos que construir un nuevo tipo de
índice. Esto lo hacemos en la sección 3.
En la sección 2 recordamos el método Callias [3] para abordar problemas de índice
en espacios abiertos, aunque modificaremos la regularización de Callias, utilizando más
función exponencial convergente para obtener el índice, como el límite
γe−sD
, (1)
(en D2 > 0 y γ =diag (1,−1)) en lugar de
D2 +M2
, (2)
que es la regularización que Callias usó. Creemos que el uso de más
regularización convergente de una función exponencial es interesante en sí mismo, como
posiblemente podría extender el teorema de índice Callias a una clase más amplia de índice
problemas. Por lo tanto, dedicaremos la primera parte de esta Carta a este tema.
Pero digamos inmediatamente que nuestro regulador probablemente no tiene ventajas cuando
atacando estos viejos problemas. No nos proporciona una solución para cómo
contar el número de modos cero en una configuración multimonopolio con un no-
grupo de ancho máximo roto, donde el índice no puede ser fiable computar
debido a una contribución de la porción continua del espectro. ¿Qué vamos a hacer?
la esperanza, sin embargo, es que nuestra regulatización puede ser útil al atacar nuestro nuevo
problema de índice asociado con el espacio moduli de las cadenas auto-duales.
En la sección 2 obtenemos el índice en una y tres dimensiones. En tres
dimensiones aplicamos esto en el espacio modulo multimonopolio y re-derive el
el resultado en [4]. Un artículo de revisión reciente sobre monopolos y supersimetría es [5].
Los problemas de índice unidimensional y tridimensional también se han estudiado en [6].
A continuación, indicamos cómo nuestro método se las arregla para reproducir los resultados correctos en
cualquier dimensión extraña. En la sección 3 mostramos cómo uno, al menos en principio, debería
ser capaz de calcular la dimensión del espacio modulo de N auto-dual cadenas por
computando un cierto índice.
2 Cálculo del índice Callias en impar-dimensional
espacios
Para los operadores de Dirac en el espacio abierto n− 1-dimensional donde n− 1 es impar, hay
es un teorema índice de Callias [3]. Esto se aplica a las ecuaciones Dirac de la forma
D = 0 (3)
donde el operador de Dirac D es del formulario
D = γiiDi + γn 4)
Aquí i = 1,..., n− 1 y Ł (γi, γn) denotan las matrices dirac gamma,
, = 2. 5)
Definimos la derivada covariante del calibrador como iDis = iŁis +Ais y todos nuestros campos
son ermitaños. Si n− 1 es impar, las matrices gamma se pueden representar como
Se puede utilizar la notación n-dimesional Aμ = (Ai, ), D = iDμ, pero se debe
Entonces recuerde que el espacio es realmente n - 1 dimensional.
Si n − 1 es incluso no hay representación de Weyl de las matrices gamma
(debido a la inclusión del «gamma-cinco»), y no hay un teorema de índice de
la forma existe.
Definimos el ‘gamma-cinco’ para incluso n como
γ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2 γ1°n (7)
que entonces es ermitaño, y definimos los proyectores
(1 γ). (8)
En dimensiones impares n− 1, el operador de Dirac se divide en dos operadores de Weyl
D • P+DP−
D† P−DP+ (9)
Debido a que P± y D son todos ermitaños, se deduce que D† es el conjugado ermitaño
de D. También, porque D ya es de una forma diagonal fuera de bloque, es suficiente para
incluir sólo uno de los proyectores, por lo que podemos tan bien escribir esto como
D = P+D = DP−
D† = P−D = DP+ (10)
El índice puede definirse ahora como
dimkerD − dimkerD† (11)
Desde kerD = ker
y kerD† = ker
podemos expresar esto como2
dimker
− dimker
= dimker
. (12)
donde hemos observado que γ = P− − P+.
Callias, Weinberg y otros usaron el regulador
I(M2) = Tr
D2 +M2
para obtener el índice como límite M2 → 0. En esta Carta seremos un poco más
Generalidades. Definimos
Ji(x, y) x if(D) y, (14)
para cualquier función f (y por supuesto D no es adimensional, por lo que D tiene que ser accom-
panied por M de una manera adecuada). Entonces notamos que
W (x, y) (iγioxi + Aμ(x) +M)
= x f (D) y
−iγiđyi + Aμ(y) +M
donde (manifiestamente)
W (x, y) = x (D +M)f (D) y. 16)
De esto, obtenemos la siguiente identidad:
En el caso de los vehículos de motor con motor de encendido por chispa de encendido por chispa con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa)
Ji(x, y) = 2tr
+tr (Aμ(y)−Aμ(x))
En dimensiones impares, el segundo término en el lado derecho desaparece como x ap-
proaches y. Esto puede ser visto como equivalente a la afirmación de que hay
no hay anomalía quiral en dimensiones impares (usando un divisor de puntos e insertando un
Línea Wilson). Así que tenemos
iJi(x, x) = 2tr x Df(D)x (18)
2Para ver esto que kerD = kerD†D aplicamos la definición de conjugado hermitano
por lo que se refiere al producto interior (, χ) =
dx y la propiedad de la norma, a
0 = (-,D†-D) = (-,D,D).
Si deseamos calcular el índice como en Eq (13), entonces podemos tomar
f(D) =
D2 +M2
(sin embargo no hay una elección única de Ji). Entonces nos vamos.
Ji(x, y) = tr
D2 +M2
−D2 +D2 +M2
D2 +M2
= −tr
D2 +M2
. (20)
siempre y cuando
= 0 (21)
Veremos en los próximos párrafos cómo se puede lograr esto mediante el uso de un
receta de valor principal.
La virtud de expresar Eq (13) como una divergencia total, es que entonces podemos
calcular el índice como una integral de límite sobre una (n− 2)-esfera en el infinito como
I(M2) =
d-D-N-2r
n−2xiJi(x, x). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
donde r es el radio de la esfera y dln−2 denota el elemento de volumen de
la esfera de la unidad.
Si en su lugar deseamos calcular el índice como el límite de
I(s) = Tr
γe−sD
. 23)
como s→ فارسى, entonces obtenemos
Ji(x, y) = tr
. (24)
Puede parecer confuso que podamos tener un signo más aquí, cuando tenemos un
menos signo en Eq (20). Sin embargo, estos signos peculiares parecen ser correctos. ¿Por qué nosotros
puede tener signos opuestos debe ser un reflejo del hecho de que estas expresiones
no pueden estar continuamente conectados entre sí, al menos no en ninguna obvia
manera (como tomar M a cero y s a cero. De hecho s debe ser llevado a plus
infinito como M va a cero). Ahora vamos a ilustrar cómo se puede utilizar este Ji para
calcular el índice en dimensiones impares.
Una dimensión
Elegimos nuestras matrices gamma como
, γ2 =
y tenemos
γ = iγ1γ2 =
. 26)
El operador de Dirac lee
D = iγ1 + γ2 (27)
Necesitamos el cuadrado del operador Dirac,
D2 = 2 + Ł2 +. (28)
Tomamos la decisión.
J1(x, y) = −tr
D2 +M2
Suponemos que el valor de x(x) converge hacia algunos valores constantes en x =
x = â € ¬. Eso significa que podemos ignorar (x) para lo suficientemente grande x, donde
entonces conseguiremos
J1(x, x) = −tr (1γ2)
k2 + 2 +M2
2 °M2 +M2
El índice ahora está dado por
(J1()− J1()) = ±1 (31)
Si el signo da la vuelta un número impar de veces cuando va de # a #, y 0
De lo contrario.
Si en su lugar elegimos
J(x, y) = tr
Entonces tenemos
J(x, x) = tr (1γ2)
k2 + 2
e−s(k)
22) (33)
Si calculamos la integral sobre k de la manera más natural, entonces obtenemos un resultado
que desaparece en el límite s →. ¿Podría haber otra forma de definir esto?
integral, de tal manera que no obtenemos cero como resultado? Notamos que la integral
A(s)
e−s(k)
k2 + 1
para s > 0 es convergente sólo si integramos k a lo largo de una línea en el plano complejo
que es tal que asintóticamente es tal que
< < η
donde k = keiŁ.
Integración a lo largo de cualquier línea en el plano complejo, obtenemos el mismo valor de
Esta integral. Si por otro lado nos integramos sobre una línea que asintóticamente
se encuentra fuera de este cono, entonces obtenemos una integral divergente para s > 0. Pero tenemos
una integral convergente para s < 0. Entonces definimos el valor de la integral para
s > 0 como la continuación analítica de la misma integral para s < 0. # Queda por hacer #
calcular esta integral convergente. Reemplazando k por ik y s por −s, obtenemos el
integral
A(−s) = −i
e−s(k)
k2 − 1 (35)
Podemos calcular su derivada
′(−s) = −i
−s(k2−1) = −i
s (36)
El lado derecho puede, obviamente, ser seguido analíticamente a −s, y eso es
cómo definiremos A(s) donde la representación integral no converge.
A continuación, podemos integrar A′(s),
A() = A(0)−
e−s = A(0)−
= A(0)− η (37)
y entonces tenemos que calcular
A(0) = i
k2 − 1
Definimos esto como el valor principal. Esto es ad hoc – no tenemos ningún argumento
por qué uno debería definirlo así. Pero si aceptamos esto, entonces obtenemos A(0) = 0.
Concluimos que también podríamos definir la integral que teníamos, como
e−s(k)
k2 + 1
=. (39)
Pero esto requiere que realicemos la integración de k en el cono donde diverge
para s > 0, y luego definir esta integral por continuación analítica. Esto parece
ser más bien ad hoc. Tenemos tres argumentos más bien semana por qué uno debe Wick
rotar. Primero, si mantenemos x − y como un número pequeño, entonces obtenemos el factor
eik(x−y) y esto puede actuar como un factor de convergencia sólo si Wick rota. (Nosotros
ilustramos esto en el Apéndice donde computamos la integral correspondiente en
cualquier número complejo de dimensiones.) En segundo lugar, parece ser la única manera de que
podríamos producir una respuesta no trivial. En tercer lugar, con esta receta vamos a
lograr reproducir la respuesta correcta en cualquier número impar de dimensiones, donde
podemos comprobar nuestro resultado contra la regularización más segura usada por Callias.
Si calculamos la integral por esta prescripción, entonces obtenemos
J(x, x) = tr (1γ2) lim
k2 + 2
e−s(k)
22) = i
y vemos que de hecho tenemos la respuesta correcta.
Tres dimensiones y monopolos magnéticos
El problema de la física que vamos a considerar en tres dimensiones, es calcular
número de modos cero de la ecuación de Bogomolnyi
Fij = «ijkDkl» (41)
Elegimos la convención de que nuestros campos son ermitaños. Es conveniente agrupar
los campos en el «potencial de calibre»
Aμ = (Ai, ) (42)
Definimos Dμ = (Di, ♥) de tal manera que iDμ = i + Aμ y dejamos que Gفارسى = i[Dμ, Dν ]
ser la «fuerza de campo» asociada. Entonces la ecuación de Bogomolnyi lee
G. = G..................................................................................................................
G. (43)
Linealizando esto, tenemos
DA v =
DAÔ (44)
Contratando con, obtenemos
(1 + γ)DA/ = 0 (45)
y si imponemos la condición del calibrador de fondo
DAμ = 0 (46)
que es decir que los modos cero son ortogonales para medir las variaciones con respeto
a la métrica de espacio modulo, entonces podemos escribir esta ecuación linealizada como un Dirac
ecuación
Dóleo Dóleo = 0 (47)
donde
:= (1 + γ)Aμ. (48)
Calculamos
D2 = −D2i + 2 +
(49)
Insertando la configuración de Bogomolnyi podemos escribir esto, así usando el hecho
que GÃ3 es selfdual,
2 = −D2i + 2 +
(1 + γ)iG. (50)
y conseguir un teorema de desaparición. Es decir, dimkerDD† = 0 como DD† > 0 es estrictamente
Postive. Por lo tanto, podemos calcular la dimensión del módulo espacio tenue kerD
dimkerD†D sólo computando el índice de D. Para calcular el índice, ahora
deseo de calcular
Ji(x, x) = tr
iγkDk
Asumimos que asintóticamente se acerca un valor constante en el infinito. Esto
corresponde a una elección de calibre donde tenemos una singularidad de cadena Dirac. Algunos
examen posterior revela que obtenemos una contribución no despreciable a Ji, para
una suficientemente grande de dos esferas, sólo a partir del término
Ji(x, x) = tr
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(2η)3
k2 + Ł2 + 1
¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!
−s(k22+ 1
iG)
Por lo tanto, necesitamos realizar una integral de la forma
A(s) =
k2 + 1
e−s(k)
2+1) (53)
Si elegimos la misma receta que hicimos en una dimensión, entonces obtenemos la
resultado
A() = η. (54)
Para los detalles de tal cálculo nos remitimos al apéndice A.
Si aplicamos este resultado a la integral que teníamos, obtenemos
Ji(x, x) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!
expandimos la raíz cuadrada,
=
iG +... (56)
En la distancia, en una configuración de monopolo de carga Q, encontramos que
G = 2γkγ4(1− γ)
Q (57)
y así cuando rastreamos las matrices gamma, obtenemos
Ji(x, x) =
. (58)
Si ahora, por ejemplo, suponemos SU(2) grupo de calibre, roto a U(1), entonces si nos
integrar i
Ji over S
2, obtenemos el índice 2Q. El número de modos bosónicos cero
es el doble del índice, es decir. −4Q en nuestras convenciones [4, 5].
(2m+1) dimensiones
En 2m + 1 dimensiones obtenemos la integral
A(μ) فارسى lim
k2 + μ2
e−s(k)
22) (59)
si usamos nuestro regulador. Toma.
μ2 v2 +G (60)
(y G es una abreviatura para 1
iG.) Esto debería compararse con el
integral
B(μ) • − lim
(−1)m
(k2 + v2 + M2)
Gm (61)
que obtenemos usando el regulador Callias. 3 Para comparar estas integrales,
los reescribimos como
A(μ) = μ2m−1a
B(μ) = v−1bGm (63)
donde
a = lim
2 + 1
− s(2+1)
b = − lim
(−1)m
2 + 1 + M
Calculamos una de acuerdo a la prescripción introducida anteriormente en uno y tres
dimensiones, es decir, por Wick rotando y continuar analíticamente en s. (Detalles
figuran en el apéndice A.) Podemos calcular b usando el cálculo de residuo (introduciendo un
regulador para que podamos cerrar el contorno en un semi-círculo en el infinito). Los
resultado es
a = −(−1)m
b = (−1)m 1
) (65)
A continuación expandimos
vA(μ) = v
v2 +G
)m− 1
= v2ma+...+
m +...
vB(μ) = bGm (66)
y encontramos que el coeficiente de Gm se convierte en igual a
−(−1)m
) η (67)
si se utiliza nuestra regularización, e igual a
(−1)m 1
) η (68)
3Esta integral viene de la expansión
k2 + v2 +G+M2
k2 + v2 + M2
+... (62)
en potencias de G como serie geométrica [4].
si se utiliza la regularización Callias. Vemos que las dos expresiones coinciden
para todos los m.
Ahora hemos demostrado que si usamos nuestra receta de Wick girando k a
calcular las integrales sobre la exponencial, entonces obtenemos la respuesta correcta para todos
casos que pueden calcularse de forma segura utilizando un regulador menos convergente. Nosotros
están inclinados a pensar que nuestra prescripción para cómo calcular la integral,
también trabajan para problemas de índice donde el regulador Callias diverge. Pero tenemos
No hay pruebas. Tal vez no sea tan obvio que los problemas más generales del índice puedan ser
formulado. En la siguiente sección vamos a dar un ejemplo de un tipo más general
del problema del índice.
3 Cuatro dimensiones y cuerdas auto-duales
Para introducir la notación, primero consideramos el multiplete del tensor Abeliano libre
teoría en 1 + 5 dimensiones. El contenido de campo en shell es un indicador de dos formas
potencial, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares,
A y los fermiones correspondientes de Weyl. Los
La fuerza del campo H = B + B + B es autodual. La supersimetría
variación de los fermiones de Weyl es
# # H + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
A
• (69)
donde utilizamos matrices gamma de once dimensiones divididas en SO(1, 5)×SO(5),
de modo que, en particular,
,A} = 0. (70)
En una configuración de campo estática y independiente x5, en la que sólo se
no-cero, encontramos la variación SUSY
•0i5H0i5 + •
# A= 5 # i # i # i # A= 5 # i # i # A= 5 # i # i # i # i # i # A= 5 # i # i # i # A # 5 # i # A # 5 # i # i # A # 5 # i # i # i # A # 5 # A # 5 # i # i # A # 5 # i # i # i # i # A # 5 # i # A # 5 # i # i # i # i #
• (71)
Si asumimos que la configuración de campo bosónico clásico es tal que
* = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72)
entonces la variación SUSY se reduce a
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
005 + 0A=5
• (73)
y encontramos la condición para SUSY ininterrumpida como
1 + â € ¢05â € A=5
• = 0 (74)
Si usamos la condición de Weyl
= (75)
del parámetro de supersimetría (2, 0), entonces también podemos escribir esto como
1 + 1234 A = 5
• = 0. (76)
Podemos representar las matrices gamma como
= (0,i,5) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
* A = 1 iÔ2 A (77)
donde γ1,2,3 son las matrices de sigma Pauli, γ = γ1234. Entonces la condición para
SUSY es inalterable.
(1 + γ ) = 0 (78)
donde = 1234 = A=5.
Hemos encontrado que si
Hijk = (79)
Entonces la mitad de SUSY es ininterrumpida. Esta ecuación es la ecuación de Bogomolnyi para auto-
cadenas duales [1]. Estamos interesados en encontrar el número de parámetros necesarios
para describir las soluciones de esta ecuación. Podemos linealizarlo y obtener la ecuación
χ = 0 (80)
para los modos bosónicos cero, que hemos reunido en una matriz
χ γijBij +. (81)
Para que esto funcione también debemos asumir la condición del medidor de fondo
* iBij = 0. (82)
Ahora bien, esta ecuación linealizada Eq (80) no hace ninguna referencia al calibrador
campo. Así que no hay manera de que podamos contar el número de parámetros de un
configuración multi-cadena sólo usando esta ecuación. Por supuesto, esto no debería ser
Una sorpresa. Las cuerdas que tenemos en la teoría Abeliana no son soluciones de
las ecuaciones de campo. Tienen que ser insertados a mano, es decir, tenemos que insertar
delta funciones fuentes a mano, en el mismo espíritu que para los monopolos Dirac.
Para poder contar el número de modos cero, debemos considerar algunos
teoría de interacción que (en el nivel clásico) tiene soluciones de cuerda solitónica.
Para pasar a la teoría no abeliana empezamos por reescribir la teoría abeliana
en el espacio de bucle. El espacio de bucle consiste en bucles parametrizados C: s 7→ Cμ(s). Nosotros
introducir los «campos de bucles» de Abeliano [7]
Aμs = B-(C)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)
/ s)
(C(s))(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((es)(es)(s)(s)((es)(s)(s)(s)((s)(es)(s)(s)(s)(s)(s)(s)()(s)(s)()(s)(s)()()()(s)()()()(s)()(s)()()(s)()()()()()(s)(s)()(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()(
μs = (C(s))(s) (83)
Con estas definiciones, un cálculo corto revela que Aμs se transforma como un vec-
tor y s un vector contravariante bajo difeomorfismos en el espacio de bucle inducido
por difeomorfismos en el espacio-tiempo. Uno puede entonces extender estas transformaciones.
propiedades de cualquier difeomorfismo en el espacio de bucle. Difeomorfismo espacio-tiempo y
reparametrizaciones de los bucles se unifican y son ambos difemorfismos
en el espacio de bucle. Lo único que hay que recordar es lo que se mantiene fijo bajo el
variación. Si es el parámetro del bucle, o el bucle en sí.
La fuerza del campo se convierte en
Fμs, vt = H(s)(s)
(c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c)
En términos de estos campos, la ecuación de Bogomolnyi leerá4
Fis,jt = ijklk(slt). (85)
Pasamos a la teoría no-Abeliana dejando que estos campos de bucle se conviertan en no-
Abelian, en el sentido de que Aμs = A
a(s) en los que Ła(s) son generadores de un bucle
álgebra asociada al grupo calibrador [7]. Presentamos un derivado covariante
Dμs = s +Aμs. (86)
Las transformaciones del gálibo local actúan como
Aμs = Dμs
μs = [s,]. (87)
Dado un bucle C, obtenemos automáticamente un vector tangente (s) que hace que no
referencia al espacio-tiempo. Por lo tanto, podemos imponer las limitaciones de espacio de bucle
(s)Aμs = 0 (88)
para cada s, y también
s = (s)(s);C) (89)
para algunos campos sutiles, C en el espacio de bucle. Como consecuencia, encontramos que
μs = 0. (90)
Estas limitaciones son covariantes bajo los difeomorfismos del espacio-tiempo y reparametriza-
ciones de bucles. Son invariantes también bajo transformaciones de calibre local, pro-
Vided que el parámetro calibrador está sujeto a la condición
μ(s)(s) = 0 (91)
que es la condición de la invarianza de reparametrización. Con la suposición
hecho que el (s) a(s) son generadores de un álgebra de bucle, encontramos que la restricción
También se puede escribir como
[Aμs,
μt] = 0 (92)
Una variación de ancho local de esta restricción es
[Dμs
μt] + [Aμs, [
μt,]] = [s,
μt] + [[Aμs,
μt] + [Aμs, [
μt,]]
= [s
μt] + [, [t, Aμs]] (93)
El último término desaparece por la restricción. El primer término nos da la restricción
Eq (92) que debemos imponer al parámetro calibrador
(s)(s),(s).(s).(s).(s)(s).(s).(s)(s).(s)(s).(s).(s)(s).(s)(s).(s)(s).(s)(s).(s)(s).(s).(s)(s).(s).(s)(s).(s).(s).(s)(s).(s).(s)(s)(s). (94)
4Denominamos por "Es el derivado funcional habitual con respecto a C
μ(s)
Ahora hemos introducido campos no-locales no-Abelianos con infinitamente muchos
componentes. También es probable que el consistenio de la teoría requiere un infinito
un conjunto de limitaciones en estos campos. Tal vez entonces, podría ser que podamos en el
fin de descender a un grado finito de libertad. Pero esto es sólo una especulación. Los
problema parece ser difícil y mal definido – ¿Cómo se debe definir un grado
¿De la libertad en una teoría no local fuertemente acoplada?
La generalización no abeliana de la ecuación de Bogomolnyi debe ser dada
antes de [7]
Fis,jt = ijklDk(sŁlt). (95)
Esta ecuación es calibrado invariante e invariante bajo el SO residual(4) Lorentz
grupo que se conserva por las cuerdas. No podemos pensar en ninguna razonable
modificación de esta ecuación que preservaría estas simetrías, por lo que en este
sólo se podría sospechar que esta ecuación es correcta. Por supuesto que no.
el único requisito que impone la condición BPS. También tenemos condiciones.
en los componentes 0s y 5s. Pero estas ecuaciones BPS no serán de ningún interés
a nosotros ahora mismo.
Mostraremos abajo que la ecuación linealizada de Bogomolnyi se puede escribir
Di(s + i(s)
χt) = 0 (96)
También veremos a continuación que nosotros (presumiblemente) podemos realmente dejar caer la simetría-
tion en s y t en esta ecuación. Los campos se transforman en la represen-
• el álgebra del bucle, por lo que nos referimos a que es xxt = [ es, xxt]. Definimos
el operador de Dirac
Ds = γi (Dis + is) (97)
y los proyectores
(1 ), (98)
Ahora podemos formular un problema de índice, en un espacio par-dimensional (loop-).
El espacio par-dimensional en este caso es dado por el transverso 4-dimensional
espacio a las cadenas, y el índice es dado por
dimkerDs − dimkerDs†s (99)
donde
Ds = P+Ds = DsP−
D†s = P−Ds = DsP+. (100)
Dado que Ds y P± son ermitaños, es manifiesto que D†s definidos de esta manera será
el conjugado ermitaño de Ds, justificando así la notación.
El cálculo del índice por sí solo no es suficiente para obtener la dimensión
del espacio moduli de las cuerdas auto-duales. También necesitamos un teorema de desaparición que
dice que dimkerD†s = 0.
Linealizando la ecuación de Bogomolnyi, obtenemos
2D[isđAjt] = ijkl (Dkslt +
Contratando por γij, tenemos
γijDśisχjt = 0 (102)
donde hemos definido
# Es # # Dis # # Es # # Es #
χis Ais es (103)
Para ver que la ecuación linealizada BPS se puede escribir así, uno debe usar
la restricción
γijŁisjt = 0. (104)
Podemos evitar tener signos explícitos ± introduciendo la otra matriz quiraly
a nuestra disposición, es decir, que vive en un espacio vectorial diferente a γ. Podemos
a continuación, ocultar los signos ± en el producto tensor
γ = ±1 (105)
que asciende a
Dis Dis + is
χis Ais + is (106)
sin ningún ±.5 Si definimos
χs γiχis (108)
entonces podemos escribir la ecuación de modo cero como
γiDxxt + D
sχit = 0. (109)
Analicemos el segundo término en esta ecuación. Es dada por
Desl'Ait + l'
sit
Ait +D
sit
(110)
No debemos contar variaciones que son variaciones de medida como modos bosónicos cero.
Podemos asegurar esto exigiendo que los modos cero sean ortogonales para medir
variaciones, con respecto a la métrica del espacio modulo,
(Ais, Ait) + (es, jt) = 0 (111)
Esto conduce a la condición del medidor de fondo
s.Ait +.
sit = 0. (112)
5Para entender realmente lo que está pasando, uno debe aplicar (1± ) en todo, en s
y en Ds. Entonces uno nota que
(1 ) = (1 ). (107)
Es decir, podemos cambiar por , una vez que aplicamos (1± ) en todo. Esto es lo que realmente
debe hacer, pero para mantener la notación simple, no lo deletreamos.
Esta condición implica que la variación del calibre de los modos cero desaparece,
Ais = 0 = es (113)
Para ver esto, hacemos una variación del calibrador Ais = Dis
preguntar qué parámetros del calibrador respetará la condición del calibrador de fondo.
Insertando esta variación del medidor en la condición del medidor de fondo, obtenemos
sDit +
• = 0. (114)
Para que esto funcione bien, parece que debemos limitar la no-localidad de nuestra
campo de bucle de tal manera que Łi
• • • • • • • • • • • • • • • • < 0. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Entonces la única solución a esta ecuación es = 0.
En otras palabras, todas las variaciones de calibre de los modos cero tienen que desaparecer.
Además queremos que la variación preserve la ortogonalidad entre
Ais y Ais,
(Ais, it) + (Ais, it) = 0 (115)
Si hacemos una variación de calibre de esto, entonces obtenemos la condición
(Ais, it) + (Ais, it) = 0 (116)
que asciende a
Ait +D
sit = 0. (117)
Concluimos que la ecuación de modo cero se puede escribir como
Dsχt = 0 (118)
donde
Ds = γi (Dis + is) (119)
Estamos interesados en contar el número de tales modos en un fondo de k
Cadenas BPS. Calculamos
D2 = (Dis)
2 + ()
γij (Fis,js + lDksls) (120)
(Aquí D2 DsDs...........................................................................................................................................................................................................................................................
DsDs, y análogamente para los otros campos u ópera-
tors.) En una configuración BPS, obtenemos es
2 = (Dis)
2 + ()
ij (1 + )Fis,js (121)
Además, en el subespacio donde 1 + = 0, encontramos que
D2 = (Dis)
2 + ()
2 (122)
es un operador estrictamente negativo, por lo tanto no tiene modos cero. Esto significa que nosotros
tienen un teorema que desaparece, dimkerD† = 0.
Un pequeño comentario
La ecuación de modo cero era realmente
D(sχt) = 0 (123)
donde debemos simmetrizar en s y t. Eso significa que deberíamos
considerar
DsD(sχt) =
(DsDsχt +DsDtxs)
(DsDsχt +DtDsχs + [Ds, Dt]χs). (124)
Si ahora D[sDt] = 0 y Dsχs = 0, entonces obtenemos
DsDsχt = 0 (125)
Esta última condición, Dsχs = 0 es, por supuesto, una consecuencia de D(sχt) = 0 con
s = t. La condición anterior dice
0 = D[sDt]
= Di[sDit] +
que nos gustaría imponer como una restricción. Restricción al caso Abelian
esta es la condición es, por supuesto, verdadero como 0 i[sit]. Si podemos imponer esto como un
restricción en los campos no-abelianos, entonces ahora hemos visto que el modo cero
ecuación Eq (123) implica que
dsD†sDsχt = 0 (127)
porque Ds es anti-auto-adjunta con respecto al producto interior
(s, χt) =
s(C)χt(C)
(128)
en el espacio de bucle. También podemos ir en la dirección opuesta. Suponiendo que Eq
(127) espera, tenemos
χt, D
sDsχt
= (Dsχt, Dsχt) (129)
y concluimos que (123) implica
Dsχt = 0 (130)
sin simetría en s, t.
Cómo calcular el índice
Ahora deberíamos ser capaces de calcular un índice asociado a cadenas auto-duales, como
el límite
I(s) = Tr
(131)
cuando s→ فارسى. Definimos la cantidad
Jis(C,C)
′) = tr
iγk (Dks + ks)
(132)
(debe quedar claro que los dos s involucrados en esta fórmula no están totalmente relacionados)
y encontrar que
I(s) =
D.C.isJ. es(C,C) (133)
Podemos separar la integral funcional sobre los bucles parametrizados C en varios
piezas. Podemos mantener un punto en los bucles C(s) = x fijo, y separarlo como
DxC (134)
Entonces podemos escribir I(s) como una integral sobre una gran tres-esfera en la infinidad espacial,
♥Jis(C)
* Ci(s) Ci(s)
d-D-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x
DxCJis(C,C) (135)
donde x = C(s).
Si suponemos que el grupo de calibrador se rompe al máximo a un producto de
U(1) por los valores de expectativa de vacío de Higgs, entonces deberíamos tener U(1) bucle
campos en el infinito espacial.
Si suponemos que el grupo de calibrador es SU(2) y que está roto a U(1),
Entonces sólo necesitamos la forma asintótica de los campos U(1) en el infinito espacial,
Fis,jt = Hijl(x)
l (s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)((s)(s)((es)(es)((s)(s)((s)(s)((s)(s)(((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)((()(s)()()(s)()(s)(s)()()()()()(s)()()()(s)()()(s)()(s)(()()()((()(()()(()()()()()()()()()(s)()()(()()(()()()()()()()()()()(()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()()()(((((()()((()()()()()()()()()()(((()()()()()()()(
* ks = vk(s) (136)
Sin hacer ningún cálculo, podemos adivinar lo que el resultado de la
El cálculo del índice debe ser. Un término como
ijkl
DxCtr [Fis,jt(C)Fks,jt(C)] (137)
Sin duda podría surgir en alguna parte (en dimensiones impares un término correspondiente van-
ished ya que no hay anomalía quiral en dimensiones impares). En nuestro caso, este término
desaparece idénticamente por la ecuación de Bogomolnyi y la restricción6
Fis,jtDis.jt = 0. (139)
Entonces puede haber un término
ijkl
DxCtr
Fis,jtđks
140)
6 Para los campos U(1) esto diría:
Fis,jtösläjtä Hijk(C(s))läilä(C(s)
k(s)j(s)(s)t(s)20. (138)
que debería surgir de una manera muy similar como el término correspondiente surgió para
monopolos. Si insertamos los campos U(1) asintóticos, este término se convierte en propor-
cio ́n de la Comisio ́n y de la Comisio ́n.
HijklHijk(x) (141)
Eso significa que el índice debe ser dado por alguna constante numérica, tiempos
la carga magnética
H. (142)
A Integrales sobre el exponencial
La integral que analizaremos aquí es
a(s) =
k2 + 1
−s(k2+1)ei®k (143)
para cualquier número complejo. (El â > 0, por ejemplo, se llevará hacia cero. Lo siento.
surgió de = x− y lo mantenemos aquí como un factor de convergencia.) Nosotros primero.
calcular
a(0) =
k2 + 1
eičák (144)
Con el fin de hacer que esta integral converjan para cualquier, debemos Wick rotar k a
ik, y de ahora en adelante siempre vamos a significar por i la rama eiň/2, y por −1 nosotros
¡Menudo! ¡Menudo! ¡Menudo! ¡Menudo! ¡Menudo! ¡Menudo! Entonces nos pondremos
a(0) = −i21
k2 − 1
ek (145)
y esta integral se evalúa como un valor principal. Eso significa evaluar la
residuos a lo largo del eje real y multiplicarlos no por 2ηi, sino por la mitad de él, que
lo es, por πi. Lo conseguimos.
a(0) = (−1) 1− (−1)
. (146)
A continuación nos dirigimos a nuestra(s) a(s) integral(es). Es más fácil calcular primero la derivada.
Todavía deberíamos trabajar con la integral rotada de Wick. Hacer la sustitución
• = k2 podemos ponerlo en la forma de dos funciones gamma. El resultado es que
′(−s) = −eiπ(
1 + (−1)2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
s (147)
que trivialmente podemos continuar analíticamente a +s, y luego integrar. Los
resultado es
a() = 1 + (−1)
cos()
+ (−1)+ 1− (−1)
. (148)
Bibliografía
[1] P. S. Howe, N. D. Lambert y P. C. West, “El soliton de cuerda auto-dual,”
Nucl. Phys. B 515, 203 (1998) [arXiv:hep-th/9709014].
[2] D. S. Berman y J. A. Harvey, “La cuerda auto-dual y las anomalías en
el M5-brano”, JHEP 0411, 015 (2004) [arXiv:hep-th/0408198].
[3] C. Callias, “Teoremas de índice en espacios abiertos”, Commun. Matemáticas. Phys.
62, 213 (1978).
[4] E. J. Weinberg, “Conteo de parámetros para soluciones multi-monópolos”,
Phys. Rev. D 20, 936 (1979).
[5] E. J. Weinberg y P. Yi, “Dinámica magnética monopolo, supersimetría,
y la dualidad,” Phys. Rept. 43, 65 (2007) [arXiv:hep-th/0609055].
[6] M. Hirayama, “Mecánica cuántica supersimétrica e Índice Theo-
rem,” Prog. Teor. Phys. 70, 1444 (1983).
[7] A. Gustavsson, “Un pedido de superficie invariante de reparametrización”, JHEP
0511, 035 (2005) [arXiv:hep-th/0508243].
A. Gustavsson, “El múltiple tensor no abeliano en el espacio de bucle,” JHEP
0601, 165 (2006) [arXiv:hep-th/0512341].
| Le damos una receta para calcular el índice de Callias, usando como
regulador de una función exponencial. Encontramos acuerdo con los resultados antiguos en todos
dimensiones extrañas. Demostramos que el problema de la computación de la dimensión de la
espacio moduli de las cadenas auto-duales se puede formular como un problema de índice en
espacio par-dimensional (loop-). Creemos que el regulador utilizado en esta Carta
se puede aplicar a este problema índice.
| Introducción
No sabemos lo que es realmente la teoría de seis dimensiones (2, 0). Se cree
que puede sostener cuerdas solitónicas auto-duales [1], aunque nadie hoy en día sabe
lo que realmente es una cuerda auto-dual (no-abeliana). Pero si rompemos el grupo de medición
máxima a U(1)r, entonces deberíamos ser capaces de definir las cargas de estos
cuerdas misteriosas auto-duales por el comportamiento asintótico del calibre U(1)
campos. Uno debe esperar que estos campos asintóticos U(1) sean (al menos isomórficos)
con) una copia de los conocidos potenciales de dos formas de calibre abeliano (con auto-dual
puntos fuertes del campo).
Ahora parece tener sentido hacer una pregunta como, ¿cuál es la dimensión de
el espacio modulo de las cuerdas auto-duales de una carga determinada?
Si el grupo de medidores es SU(2) y está roto en U(1) por el vacío de Higgs
valor de expectativa (que también debe determinar la tensión de la cadena), a continuación, el
respuesta intuitiva a esta pregunta es 4N donde N es la carga U(1) en un adecuado
normalización, tal que N = 1 corresponde a una cadena auto-doble. Uno puede
argumenta que la mitad de la supersimetría está rota por la cuerda. Por lo tanto, una cadena
debe sostener 4 modos cero fermiónicos. Desde alguna (mitad) de la supersimetría
debe haber también 4 modos bosónicos cero correspondientes. Estos
se identifican naturalmente con los modos cero traslacional asociados con el
cuatro direcciones transversales a la cuerda. Además, las cuerdas siendo BPS,
debe ser posible separar sin costo de energía (por lo tanto, permanecer en el modulo
aproximación espacial). Si los llevamos lejos el uno del otro, uno puede sospechar
que sólo podemos añadir 4 modos bosónicos cero de cada cadena, para obtener 4N bosónico
modos cero en total en una configuración de cadenas N [2].
Por supuesto, sería bueno tener una prueba de esta conjetura. ¿Podría ser?
probado si uno tenía algún teorema índice? No proporcionaremos una solución completa para
este problema en esta Carta. Pero haremos verosímil que el problema pueda
de hecho se resolverá computando el índice de un determinado operador de Dirac en bucle
espacio.
Para abordar nuestro problema de índice, creemos que se puede prestar los métodos
que Callias [3] utilizó para probar su teorema índice en espacios impares-dimensionales. In
nuestro caso tenemos un número par de dimensiones (a saber, los cuatro transversales
dirección) por lo que es evidente que tendríamos que construir un nuevo tipo de
índice. Esto lo hacemos en la sección 3.
En la sección 2 recordamos el método Callias [3] para abordar problemas de índice
en espacios abiertos, aunque modificaremos la regularización de Callias, utilizando más
función exponencial convergente para obtener el índice, como el límite
γe−sD
, (1)
(en D2 > 0 y γ =diag (1,−1)) en lugar de
D2 +M2
, (2)
que es la regularización que Callias usó. Creemos que el uso de más
regularización convergente de una función exponencial es interesante en sí mismo, como
posiblemente podría extender el teorema de índice Callias a una clase más amplia de índice
problemas. Por lo tanto, dedicaremos la primera parte de esta Carta a este tema.
Pero digamos inmediatamente que nuestro regulador probablemente no tiene ventajas cuando
atacando estos viejos problemas. No nos proporciona una solución para cómo
contar el número de modos cero en una configuración multimonopolio con un no-
grupo de ancho máximo roto, donde el índice no puede ser fiable computar
debido a una contribución de la porción continua del espectro. ¿Qué vamos a hacer?
la esperanza, sin embargo, es que nuestra regulatización puede ser útil al atacar nuestro nuevo
problema de índice asociado con el espacio moduli de las cadenas auto-duales.
En la sección 2 obtenemos el índice en una y tres dimensiones. En tres
dimensiones aplicamos esto en el espacio modulo multimonopolio y re-derive el
el resultado en [4]. Un artículo de revisión reciente sobre monopolos y supersimetría es [5].
Los problemas de índice unidimensional y tridimensional también se han estudiado en [6].
A continuación, indicamos cómo nuestro método se las arregla para reproducir los resultados correctos en
cualquier dimensión extraña. En la sección 3 mostramos cómo uno, al menos en principio, debería
ser capaz de calcular la dimensión del espacio modulo de N auto-dual cadenas por
computando un cierto índice.
2 Cálculo del índice Callias en impar-dimensional
espacios
Para los operadores de Dirac en el espacio abierto n− 1-dimensional donde n− 1 es impar, hay
es un teorema índice de Callias [3]. Esto se aplica a las ecuaciones Dirac de la forma
D = 0 (3)
donde el operador de Dirac D es del formulario
D = γiiDi + γn 4)
Aquí i = 1,..., n− 1 y Ł (γi, γn) denotan las matrices dirac gamma,
, = 2. 5)
Definimos la derivada covariante del calibrador como iDis = iŁis +Ais y todos nuestros campos
son ermitaños. Si n− 1 es impar, las matrices gamma se pueden representar como
Se puede utilizar la notación n-dimesional Aμ = (Ai, ), D = iDμ, pero se debe
Entonces recuerde que el espacio es realmente n - 1 dimensional.
Si n − 1 es incluso no hay representación de Weyl de las matrices gamma
(debido a la inclusión del «gamma-cinco»), y no hay un teorema de índice de
la forma existe.
Definimos el ‘gamma-cinco’ para incluso n como
γ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2 γ1°n (7)
que entonces es ermitaño, y definimos los proyectores
(1 γ). (8)
En dimensiones impares n− 1, el operador de Dirac se divide en dos operadores de Weyl
D • P+DP−
D† P−DP+ (9)
Debido a que P± y D son todos ermitaños, se deduce que D† es el conjugado ermitaño
de D. También, porque D ya es de una forma diagonal fuera de bloque, es suficiente para
incluir sólo uno de los proyectores, por lo que podemos tan bien escribir esto como
D = P+D = DP−
D† = P−D = DP+ (10)
El índice puede definirse ahora como
dimkerD − dimkerD† (11)
Desde kerD = ker
y kerD† = ker
podemos expresar esto como2
dimker
− dimker
= dimker
. (12)
donde hemos observado que γ = P− − P+.
Callias, Weinberg y otros usaron el regulador
I(M2) = Tr
D2 +M2
para obtener el índice como límite M2 → 0. En esta Carta seremos un poco más
Generalidades. Definimos
Ji(x, y) x if(D) y, (14)
para cualquier función f (y por supuesto D no es adimensional, por lo que D tiene que ser accom-
panied por M de una manera adecuada). Entonces notamos que
W (x, y) (iγioxi + Aμ(x) +M)
= x f (D) y
−iγiđyi + Aμ(y) +M
donde (manifiestamente)
W (x, y) = x (D +M)f (D) y. 16)
De esto, obtenemos la siguiente identidad:
En el caso de los vehículos de motor con motor de encendido por chispa de encendido por chispa con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa, con motor de émbolo (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa (pistón) de encendido por chispa)
Ji(x, y) = 2tr
+tr (Aμ(y)−Aμ(x))
En dimensiones impares, el segundo término en el lado derecho desaparece como x ap-
proaches y. Esto puede ser visto como equivalente a la afirmación de que hay
no hay anomalía quiral en dimensiones impares (usando un divisor de puntos e insertando un
Línea Wilson). Así que tenemos
iJi(x, x) = 2tr x Df(D)x (18)
2Para ver esto que kerD = kerD†D aplicamos la definición de conjugado hermitano
por lo que se refiere al producto interior (, χ) =
dx y la propiedad de la norma, a
0 = (-,D†-D) = (-,D,D).
Si deseamos calcular el índice como en Eq (13), entonces podemos tomar
f(D) =
D2 +M2
(sin embargo no hay una elección única de Ji). Entonces nos vamos.
Ji(x, y) = tr
D2 +M2
−D2 +D2 +M2
D2 +M2
= −tr
D2 +M2
. (20)
siempre y cuando
= 0 (21)
Veremos en los próximos párrafos cómo se puede lograr esto mediante el uso de un
receta de valor principal.
La virtud de expresar Eq (13) como una divergencia total, es que entonces podemos
calcular el índice como una integral de límite sobre una (n− 2)-esfera en el infinito como
I(M2) =
d-D-N-2r
n−2xiJi(x, x). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
donde r es el radio de la esfera y dln−2 denota el elemento de volumen de
la esfera de la unidad.
Si en su lugar deseamos calcular el índice como el límite de
I(s) = Tr
γe−sD
. 23)
como s→ فارسى, entonces obtenemos
Ji(x, y) = tr
. (24)
Puede parecer confuso que podamos tener un signo más aquí, cuando tenemos un
menos signo en Eq (20). Sin embargo, estos signos peculiares parecen ser correctos. ¿Por qué nosotros
puede tener signos opuestos debe ser un reflejo del hecho de que estas expresiones
no pueden estar continuamente conectados entre sí, al menos no en ninguna obvia
manera (como tomar M a cero y s a cero. De hecho s debe ser llevado a plus
infinito como M va a cero). Ahora vamos a ilustrar cómo se puede utilizar este Ji para
calcular el índice en dimensiones impares.
Una dimensión
Elegimos nuestras matrices gamma como
, γ2 =
y tenemos
γ = iγ1γ2 =
. 26)
El operador de Dirac lee
D = iγ1 + γ2 (27)
Necesitamos el cuadrado del operador Dirac,
D2 = 2 + Ł2 +. (28)
Tomamos la decisión.
J1(x, y) = −tr
D2 +M2
Suponemos que el valor de x(x) converge hacia algunos valores constantes en x =
x = â € ¬. Eso significa que podemos ignorar (x) para lo suficientemente grande x, donde
entonces conseguiremos
J1(x, x) = −tr (1γ2)
k2 + 2 +M2
2 °M2 +M2
El índice ahora está dado por
(J1()− J1()) = ±1 (31)
Si el signo da la vuelta un número impar de veces cuando va de # a #, y 0
De lo contrario.
Si en su lugar elegimos
J(x, y) = tr
Entonces tenemos
J(x, x) = tr (1γ2)
k2 + 2
e−s(k)
22) (33)
Si calculamos la integral sobre k de la manera más natural, entonces obtenemos un resultado
que desaparece en el límite s →. ¿Podría haber otra forma de definir esto?
integral, de tal manera que no obtenemos cero como resultado? Notamos que la integral
A(s)
e−s(k)
k2 + 1
para s > 0 es convergente sólo si integramos k a lo largo de una línea en el plano complejo
que es tal que asintóticamente es tal que
< < η
donde k = keiŁ.
Integración a lo largo de cualquier línea en el plano complejo, obtenemos el mismo valor de
Esta integral. Si por otro lado nos integramos sobre una línea que asintóticamente
se encuentra fuera de este cono, entonces obtenemos una integral divergente para s > 0. Pero tenemos
una integral convergente para s < 0. Entonces definimos el valor de la integral para
s > 0 como la continuación analítica de la misma integral para s < 0. # Queda por hacer #
calcular esta integral convergente. Reemplazando k por ik y s por −s, obtenemos el
integral
A(−s) = −i
e−s(k)
k2 − 1 (35)
Podemos calcular su derivada
′(−s) = −i
−s(k2−1) = −i
s (36)
El lado derecho puede, obviamente, ser seguido analíticamente a −s, y eso es
cómo definiremos A(s) donde la representación integral no converge.
A continuación, podemos integrar A′(s),
A() = A(0)−
e−s = A(0)−
= A(0)− η (37)
y entonces tenemos que calcular
A(0) = i
k2 − 1
Definimos esto como el valor principal. Esto es ad hoc – no tenemos ningún argumento
por qué uno debería definirlo así. Pero si aceptamos esto, entonces obtenemos A(0) = 0.
Concluimos que también podríamos definir la integral que teníamos, como
e−s(k)
k2 + 1
=. (39)
Pero esto requiere que realicemos la integración de k en el cono donde diverge
para s > 0, y luego definir esta integral por continuación analítica. Esto parece
ser más bien ad hoc. Tenemos tres argumentos más bien semana por qué uno debe Wick
rotar. Primero, si mantenemos x − y como un número pequeño, entonces obtenemos el factor
eik(x−y) y esto puede actuar como un factor de convergencia sólo si Wick rota. (Nosotros
ilustramos esto en el Apéndice donde computamos la integral correspondiente en
cualquier número complejo de dimensiones.) En segundo lugar, parece ser la única manera de que
podríamos producir una respuesta no trivial. En tercer lugar, con esta receta vamos a
lograr reproducir la respuesta correcta en cualquier número impar de dimensiones, donde
podemos comprobar nuestro resultado contra la regularización más segura usada por Callias.
Si calculamos la integral por esta prescripción, entonces obtenemos
J(x, x) = tr (1γ2) lim
k2 + 2
e−s(k)
22) = i
y vemos que de hecho tenemos la respuesta correcta.
Tres dimensiones y monopolos magnéticos
El problema de la física que vamos a considerar en tres dimensiones, es calcular
número de modos cero de la ecuación de Bogomolnyi
Fij = «ijkDkl» (41)
Elegimos la convención de que nuestros campos son ermitaños. Es conveniente agrupar
los campos en el «potencial de calibre»
Aμ = (Ai, ) (42)
Definimos Dμ = (Di, ♥) de tal manera que iDμ = i + Aμ y dejamos que Gفارسى = i[Dμ, Dν ]
ser la «fuerza de campo» asociada. Entonces la ecuación de Bogomolnyi lee
G. = G..................................................................................................................
G. (43)
Linealizando esto, tenemos
DA v =
DAÔ (44)
Contratando con, obtenemos
(1 + γ)DA/ = 0 (45)
y si imponemos la condición del calibrador de fondo
DAμ = 0 (46)
que es decir que los modos cero son ortogonales para medir las variaciones con respeto
a la métrica de espacio modulo, entonces podemos escribir esta ecuación linealizada como un Dirac
ecuación
Dóleo Dóleo = 0 (47)
donde
:= (1 + γ)Aμ. (48)
Calculamos
D2 = −D2i + 2 +
(49)
Insertando la configuración de Bogomolnyi podemos escribir esto, así usando el hecho
que GÃ3 es selfdual,
2 = −D2i + 2 +
(1 + γ)iG. (50)
y conseguir un teorema de desaparición. Es decir, dimkerDD† = 0 como DD† > 0 es estrictamente
Postive. Por lo tanto, podemos calcular la dimensión del módulo espacio tenue kerD
dimkerD†D sólo computando el índice de D. Para calcular el índice, ahora
deseo de calcular
Ji(x, x) = tr
iγkDk
Asumimos que asintóticamente se acerca un valor constante en el infinito. Esto
corresponde a una elección de calibre donde tenemos una singularidad de cadena Dirac. Algunos
examen posterior revela que obtenemos una contribución no despreciable a Ji, para
una suficientemente grande de dos esferas, sólo a partir del término
Ji(x, x) = tr
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(2η)3
k2 + Ł2 + 1
¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!
−s(k22+ 1
iG)
Por lo tanto, necesitamos realizar una integral de la forma
A(s) =
k2 + 1
e−s(k)
2+1) (53)
Si elegimos la misma receta que hicimos en una dimensión, entonces obtenemos la
resultado
A() = η. (54)
Para los detalles de tal cálculo nos remitimos al apéndice A.
Si aplicamos este resultado a la integral que teníamos, obtenemos
Ji(x, x) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!
expandimos la raíz cuadrada,
=
iG +... (56)
En la distancia, en una configuración de monopolo de carga Q, encontramos que
G = 2γkγ4(1− γ)
Q (57)
y así cuando rastreamos las matrices gamma, obtenemos
Ji(x, x) =
. (58)
Si ahora, por ejemplo, suponemos SU(2) grupo de calibre, roto a U(1), entonces si nos
integrar i
Ji over S
2, obtenemos el índice 2Q. El número de modos bosónicos cero
es el doble del índice, es decir. −4Q en nuestras convenciones [4, 5].
(2m+1) dimensiones
En 2m + 1 dimensiones obtenemos la integral
A(μ) فارسى lim
k2 + μ2
e−s(k)
22) (59)
si usamos nuestro regulador. Toma.
μ2 v2 +G (60)
(y G es una abreviatura para 1
iG.) Esto debería compararse con el
integral
B(μ) • − lim
(−1)m
(k2 + v2 + M2)
Gm (61)
que obtenemos usando el regulador Callias. 3 Para comparar estas integrales,
los reescribimos como
A(μ) = μ2m−1a
B(μ) = v−1bGm (63)
donde
a = lim
2 + 1
− s(2+1)
b = − lim
(−1)m
2 + 1 + M
Calculamos una de acuerdo a la prescripción introducida anteriormente en uno y tres
dimensiones, es decir, por Wick rotando y continuar analíticamente en s. (Detalles
figuran en el apéndice A.) Podemos calcular b usando el cálculo de residuo (introduciendo un
regulador para que podamos cerrar el contorno en un semi-círculo en el infinito). Los
resultado es
a = −(−1)m
b = (−1)m 1
) (65)
A continuación expandimos
vA(μ) = v
v2 +G
)m− 1
= v2ma+...+
m +...
vB(μ) = bGm (66)
y encontramos que el coeficiente de Gm se convierte en igual a
−(−1)m
) η (67)
si se utiliza nuestra regularización, e igual a
(−1)m 1
) η (68)
3Esta integral viene de la expansión
k2 + v2 +G+M2
k2 + v2 + M2
+... (62)
en potencias de G como serie geométrica [4].
si se utiliza la regularización Callias. Vemos que las dos expresiones coinciden
para todos los m.
Ahora hemos demostrado que si usamos nuestra receta de Wick girando k a
calcular las integrales sobre la exponencial, entonces obtenemos la respuesta correcta para todos
casos que pueden calcularse de forma segura utilizando un regulador menos convergente. Nosotros
están inclinados a pensar que nuestra prescripción para cómo calcular la integral,
también trabajan para problemas de índice donde el regulador Callias diverge. Pero tenemos
No hay pruebas. Tal vez no sea tan obvio que los problemas más generales del índice puedan ser
formulado. En la siguiente sección vamos a dar un ejemplo de un tipo más general
del problema del índice.
3 Cuatro dimensiones y cuerdas auto-duales
Para introducir la notación, primero consideramos el multiplete del tensor Abeliano libre
teoría en 1 + 5 dimensiones. El contenido de campo en shell es un indicador de dos formas
potencial, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares, cinco campos escalares,
A y los fermiones correspondientes de Weyl. Los
La fuerza del campo H = B + B + B es autodual. La supersimetría
variación de los fermiones de Weyl es
# # H + # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
A
• (69)
donde utilizamos matrices gamma de once dimensiones divididas en SO(1, 5)×SO(5),
de modo que, en particular,
,A} = 0. (70)
En una configuración de campo estática y independiente x5, en la que sólo se
no-cero, encontramos la variación SUSY
•0i5H0i5 + •
# A= 5 # i # i # i # A= 5 # i # i # A= 5 # i # i # i # i # i # A= 5 # i # i # i # A # 5 # i # A # 5 # i # i # A # 5 # i # i # i # A # 5 # A # 5 # i # i # A # 5 # i # i # i # i # A # 5 # i # A # 5 # i # i # i # i #
• (71)
Si asumimos que la configuración de campo bosónico clásico es tal que
* = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72) = H0i5 (72)
entonces la variación SUSY se reduce a
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
005 + 0A=5
• (73)
y encontramos la condición para SUSY ininterrumpida como
1 + â € ¢05â € A=5
• = 0 (74)
Si usamos la condición de Weyl
= (75)
del parámetro de supersimetría (2, 0), entonces también podemos escribir esto como
1 + 1234 A = 5
• = 0. (76)
Podemos representar las matrices gamma como
= (0,i,5) =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
* A = 1 iÔ2 A (77)
donde γ1,2,3 son las matrices de sigma Pauli, γ = γ1234. Entonces la condición para
SUSY es inalterable.
(1 + γ ) = 0 (78)
donde = 1234 = A=5.
Hemos encontrado que si
Hijk = (79)
Entonces la mitad de SUSY es ininterrumpida. Esta ecuación es la ecuación de Bogomolnyi para auto-
cadenas duales [1]. Estamos interesados en encontrar el número de parámetros necesarios
para describir las soluciones de esta ecuación. Podemos linealizarlo y obtener la ecuación
χ = 0 (80)
para los modos bosónicos cero, que hemos reunido en una matriz
χ γijBij +. (81)
Para que esto funcione también debemos asumir la condición del medidor de fondo
* iBij = 0. (82)
Ahora bien, esta ecuación linealizada Eq (80) no hace ninguna referencia al calibrador
campo. Así que no hay manera de que podamos contar el número de parámetros de un
configuración multi-cadena sólo usando esta ecuación. Por supuesto, esto no debería ser
Una sorpresa. Las cuerdas que tenemos en la teoría Abeliana no son soluciones de
las ecuaciones de campo. Tienen que ser insertados a mano, es decir, tenemos que insertar
delta funciones fuentes a mano, en el mismo espíritu que para los monopolos Dirac.
Para poder contar el número de modos cero, debemos considerar algunos
teoría de interacción que (en el nivel clásico) tiene soluciones de cuerda solitónica.
Para pasar a la teoría no abeliana empezamos por reescribir la teoría abeliana
en el espacio de bucle. El espacio de bucle consiste en bucles parametrizados C: s 7→ Cμ(s). Nosotros
introducir los «campos de bucles» de Abeliano [7]
Aμs = B-(C)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)
/ s)
(C(s))(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((es)(es)(s)(s)((es)(s)(s)(s)((s)(es)(s)(s)(s)(s)(s)(s)()(s)(s)()(s)(s)()()()(s)()()()(s)()(s)()()(s)()()()()()(s)(s)()(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()(
μs = (C(s))(s) (83)
Con estas definiciones, un cálculo corto revela que Aμs se transforma como un vec-
tor y s un vector contravariante bajo difeomorfismos en el espacio de bucle inducido
por difeomorfismos en el espacio-tiempo. Uno puede entonces extender estas transformaciones.
propiedades de cualquier difeomorfismo en el espacio de bucle. Difeomorfismo espacio-tiempo y
reparametrizaciones de los bucles se unifican y son ambos difemorfismos
en el espacio de bucle. Lo único que hay que recordar es lo que se mantiene fijo bajo el
variación. Si es el parámetro del bucle, o el bucle en sí.
La fuerza del campo se convierte en
Fμs, vt = H(s)(s)
(c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c)
En términos de estos campos, la ecuación de Bogomolnyi leerá4
Fis,jt = ijklk(slt). (85)
Pasamos a la teoría no-Abeliana dejando que estos campos de bucle se conviertan en no-
Abelian, en el sentido de que Aμs = A
a(s) en los que Ła(s) son generadores de un bucle
álgebra asociada al grupo calibrador [7]. Presentamos un derivado covariante
Dμs = s +Aμs. (86)
Las transformaciones del gálibo local actúan como
Aμs = Dμs
μs = [s,]. (87)
Dado un bucle C, obtenemos automáticamente un vector tangente (s) que hace que no
referencia al espacio-tiempo. Por lo tanto, podemos imponer las limitaciones de espacio de bucle
(s)Aμs = 0 (88)
para cada s, y también
s = (s)(s);C) (89)
para algunos campos sutiles, C en el espacio de bucle. Como consecuencia, encontramos que
μs = 0. (90)
Estas limitaciones son covariantes bajo los difeomorfismos del espacio-tiempo y reparametriza-
ciones de bucles. Son invariantes también bajo transformaciones de calibre local, pro-
Vided que el parámetro calibrador está sujeto a la condición
μ(s)(s) = 0 (91)
que es la condición de la invarianza de reparametrización. Con la suposición
hecho que el (s) a(s) son generadores de un álgebra de bucle, encontramos que la restricción
También se puede escribir como
[Aμs,
μt] = 0 (92)
Una variación de ancho local de esta restricción es
[Dμs
μt] + [Aμs, [
μt,]] = [s,
μt] + [[Aμs,
μt] + [Aμs, [
μt,]]
= [s
μt] + [, [t, Aμs]] (93)
El último término desaparece por la restricción. El primer término nos da la restricción
Eq (92) que debemos imponer al parámetro calibrador
(s)(s),(s).(s).(s).(s)(s).(s).(s)(s).(s)(s).(s).(s)(s).(s)(s).(s)(s).(s)(s).(s)(s).(s).(s)(s).(s).(s)(s).(s).(s).(s)(s).(s).(s)(s)(s). (94)
4Denominamos por "Es el derivado funcional habitual con respecto a C
μ(s)
Ahora hemos introducido campos no-locales no-Abelianos con infinitamente muchos
componentes. También es probable que el consistenio de la teoría requiere un infinito
un conjunto de limitaciones en estos campos. Tal vez entonces, podría ser que podamos en el
fin de descender a un grado finito de libertad. Pero esto es sólo una especulación. Los
problema parece ser difícil y mal definido – ¿Cómo se debe definir un grado
¿De la libertad en una teoría no local fuertemente acoplada?
La generalización no abeliana de la ecuación de Bogomolnyi debe ser dada
antes de [7]
Fis,jt = ijklDk(sŁlt). (95)
Esta ecuación es calibrado invariante e invariante bajo el SO residual(4) Lorentz
grupo que se conserva por las cuerdas. No podemos pensar en ninguna razonable
modificación de esta ecuación que preservaría estas simetrías, por lo que en este
sólo se podría sospechar que esta ecuación es correcta. Por supuesto que no.
el único requisito que impone la condición BPS. También tenemos condiciones.
en los componentes 0s y 5s. Pero estas ecuaciones BPS no serán de ningún interés
a nosotros ahora mismo.
Mostraremos abajo que la ecuación linealizada de Bogomolnyi se puede escribir
Di(s + i(s)
χt) = 0 (96)
También veremos a continuación que nosotros (presumiblemente) podemos realmente dejar caer la simetría-
tion en s y t en esta ecuación. Los campos se transforman en la represen-
• el álgebra del bucle, por lo que nos referimos a que es xxt = [ es, xxt]. Definimos
el operador de Dirac
Ds = γi (Dis + is) (97)
y los proyectores
(1 ), (98)
Ahora podemos formular un problema de índice, en un espacio par-dimensional (loop-).
El espacio par-dimensional en este caso es dado por el transverso 4-dimensional
espacio a las cadenas, y el índice es dado por
dimkerDs − dimkerDs†s (99)
donde
Ds = P+Ds = DsP−
D†s = P−Ds = DsP+. (100)
Dado que Ds y P± son ermitaños, es manifiesto que D†s definidos de esta manera será
el conjugado ermitaño de Ds, justificando así la notación.
El cálculo del índice por sí solo no es suficiente para obtener la dimensión
del espacio moduli de las cuerdas auto-duales. También necesitamos un teorema de desaparición que
dice que dimkerD†s = 0.
Linealizando la ecuación de Bogomolnyi, obtenemos
2D[isđAjt] = ijkl (Dkslt +
Contratando por γij, tenemos
γijDśisχjt = 0 (102)
donde hemos definido
# Es # # Dis # # Es # # Es #
χis Ais es (103)
Para ver que la ecuación linealizada BPS se puede escribir así, uno debe usar
la restricción
γijŁisjt = 0. (104)
Podemos evitar tener signos explícitos ± introduciendo la otra matriz quiraly
a nuestra disposición, es decir, que vive en un espacio vectorial diferente a γ. Podemos
a continuación, ocultar los signos ± en el producto tensor
γ = ±1 (105)
que asciende a
Dis Dis + is
χis Ais + is (106)
sin ningún ±.5 Si definimos
χs γiχis (108)
entonces podemos escribir la ecuación de modo cero como
γiDxxt + D
sχit = 0. (109)
Analicemos el segundo término en esta ecuación. Es dada por
Desl'Ait + l'
sit
Ait +D
sit
(110)
No debemos contar variaciones que son variaciones de medida como modos bosónicos cero.
Podemos asegurar esto exigiendo que los modos cero sean ortogonales para medir
variaciones, con respecto a la métrica del espacio modulo,
(Ais, Ait) + (es, jt) = 0 (111)
Esto conduce a la condición del medidor de fondo
s.Ait +.
sit = 0. (112)
5Para entender realmente lo que está pasando, uno debe aplicar (1± ) en todo, en s
y en Ds. Entonces uno nota que
(1 ) = (1 ). (107)
Es decir, podemos cambiar por , una vez que aplicamos (1± ) en todo. Esto es lo que realmente
debe hacer, pero para mantener la notación simple, no lo deletreamos.
Esta condición implica que la variación del calibre de los modos cero desaparece,
Ais = 0 = es (113)
Para ver esto, hacemos una variación del calibrador Ais = Dis
preguntar qué parámetros del calibrador respetará la condición del calibrador de fondo.
Insertando esta variación del medidor en la condición del medidor de fondo, obtenemos
sDit +
• = 0. (114)
Para que esto funcione bien, parece que debemos limitar la no-localidad de nuestra
campo de bucle de tal manera que Łi
• • • • • • • • • • • • • • • • < 0. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Entonces la única solución a esta ecuación es = 0.
En otras palabras, todas las variaciones de calibre de los modos cero tienen que desaparecer.
Además queremos que la variación preserve la ortogonalidad entre
Ais y Ais,
(Ais, it) + (Ais, it) = 0 (115)
Si hacemos una variación de calibre de esto, entonces obtenemos la condición
(Ais, it) + (Ais, it) = 0 (116)
que asciende a
Ait +D
sit = 0. (117)
Concluimos que la ecuación de modo cero se puede escribir como
Dsχt = 0 (118)
donde
Ds = γi (Dis + is) (119)
Estamos interesados en contar el número de tales modos en un fondo de k
Cadenas BPS. Calculamos
D2 = (Dis)
2 + ()
γij (Fis,js + lDksls) (120)
(Aquí D2 DsDs...........................................................................................................................................................................................................................................................
DsDs, y análogamente para los otros campos u ópera-
tors.) En una configuración BPS, obtenemos es
2 = (Dis)
2 + ()
ij (1 + )Fis,js (121)
Además, en el subespacio donde 1 + = 0, encontramos que
D2 = (Dis)
2 + ()
2 (122)
es un operador estrictamente negativo, por lo tanto no tiene modos cero. Esto significa que nosotros
tienen un teorema que desaparece, dimkerD† = 0.
Un pequeño comentario
La ecuación de modo cero era realmente
D(sχt) = 0 (123)
donde debemos simmetrizar en s y t. Eso significa que deberíamos
considerar
DsD(sχt) =
(DsDsχt +DsDtxs)
(DsDsχt +DtDsχs + [Ds, Dt]χs). (124)
Si ahora D[sDt] = 0 y Dsχs = 0, entonces obtenemos
DsDsχt = 0 (125)
Esta última condición, Dsχs = 0 es, por supuesto, una consecuencia de D(sχt) = 0 con
s = t. La condición anterior dice
0 = D[sDt]
= Di[sDit] +
que nos gustaría imponer como una restricción. Restricción al caso Abelian
esta es la condición es, por supuesto, verdadero como 0 i[sit]. Si podemos imponer esto como un
restricción en los campos no-abelianos, entonces ahora hemos visto que el modo cero
ecuación Eq (123) implica que
dsD†sDsχt = 0 (127)
porque Ds es anti-auto-adjunta con respecto al producto interior
(s, χt) =
s(C)χt(C)
(128)
en el espacio de bucle. También podemos ir en la dirección opuesta. Suponiendo que Eq
(127) espera, tenemos
χt, D
sDsχt
= (Dsχt, Dsχt) (129)
y concluimos que (123) implica
Dsχt = 0 (130)
sin simetría en s, t.
Cómo calcular el índice
Ahora deberíamos ser capaces de calcular un índice asociado a cadenas auto-duales, como
el límite
I(s) = Tr
(131)
cuando s→ فارسى. Definimos la cantidad
Jis(C,C)
′) = tr
iγk (Dks + ks)
(132)
(debe quedar claro que los dos s involucrados en esta fórmula no están totalmente relacionados)
y encontrar que
I(s) =
D.C.isJ. es(C,C) (133)
Podemos separar la integral funcional sobre los bucles parametrizados C en varios
piezas. Podemos mantener un punto en los bucles C(s) = x fijo, y separarlo como
DxC (134)
Entonces podemos escribir I(s) como una integral sobre una gran tres-esfera en la infinidad espacial,
♥Jis(C)
* Ci(s) Ci(s)
d-D-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x-D3x
DxCJis(C,C) (135)
donde x = C(s).
Si suponemos que el grupo de calibrador se rompe al máximo a un producto de
U(1) por los valores de expectativa de vacío de Higgs, entonces deberíamos tener U(1) bucle
campos en el infinito espacial.
Si suponemos que el grupo de calibrador es SU(2) y que está roto a U(1),
Entonces sólo necesitamos la forma asintótica de los campos U(1) en el infinito espacial,
Fis,jt = Hijl(x)
l (s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)((s)(s)((es)(es)((s)(s)((s)(s)((s)(s)(((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)((()(s)()()(s)()(s)(s)()()()()()(s)()()()(s)()()(s)()(s)(()()()((()(()()(()()()()()()()()()(s)()()(()()(()()()()()()()()()()(()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()()()(((((()()((()()()()()()()()()()(((()()()()()()()(
* ks = vk(s) (136)
Sin hacer ningún cálculo, podemos adivinar lo que el resultado de la
El cálculo del índice debe ser. Un término como
ijkl
DxCtr [Fis,jt(C)Fks,jt(C)] (137)
Sin duda podría surgir en alguna parte (en dimensiones impares un término correspondiente van-
ished ya que no hay anomalía quiral en dimensiones impares). En nuestro caso, este término
desaparece idénticamente por la ecuación de Bogomolnyi y la restricción6
Fis,jtDis.jt = 0. (139)
Entonces puede haber un término
ijkl
DxCtr
Fis,jtđks
140)
6 Para los campos U(1) esto diría:
Fis,jtösläjtä Hijk(C(s))läilä(C(s)
k(s)j(s)(s)t(s)20. (138)
que debería surgir de una manera muy similar como el término correspondiente surgió para
monopolos. Si insertamos los campos U(1) asintóticos, este término se convierte en propor-
cio ́n de la Comisio ́n y de la Comisio ́n.
HijklHijk(x) (141)
Eso significa que el índice debe ser dado por alguna constante numérica, tiempos
la carga magnética
H. (142)
A Integrales sobre el exponencial
La integral que analizaremos aquí es
a(s) =
k2 + 1
−s(k2+1)ei®k (143)
para cualquier número complejo. (El â > 0, por ejemplo, se llevará hacia cero. Lo siento.
surgió de = x− y lo mantenemos aquí como un factor de convergencia.) Nosotros primero.
calcular
a(0) =
k2 + 1
eičák (144)
Con el fin de hacer que esta integral converjan para cualquier, debemos Wick rotar k a
ik, y de ahora en adelante siempre vamos a significar por i la rama eiň/2, y por −1 nosotros
¡Menudo! ¡Menudo! ¡Menudo! ¡Menudo! ¡Menudo! ¡Menudo! Entonces nos pondremos
a(0) = −i21
k2 − 1
ek (145)
y esta integral se evalúa como un valor principal. Eso significa evaluar la
residuos a lo largo del eje real y multiplicarlos no por 2ηi, sino por la mitad de él, que
lo es, por πi. Lo conseguimos.
a(0) = (−1) 1− (−1)
. (146)
A continuación nos dirigimos a nuestra(s) a(s) integral(es). Es más fácil calcular primero la derivada.
Todavía deberíamos trabajar con la integral rotada de Wick. Hacer la sustitución
• = k2 podemos ponerlo en la forma de dos funciones gamma. El resultado es que
′(−s) = −eiπ(
1 + (−1)2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
s (147)
que trivialmente podemos continuar analíticamente a +s, y luego integrar. Los
resultado es
a() = 1 + (−1)
cos()
+ (−1)+ 1− (−1)
. (148)
Bibliografía
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el M5-brano”, JHEP 0411, 015 (2004) [arXiv:hep-th/0408198].
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0511, 035 (2005) [arXiv:hep-th/0508243].
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0601, 165 (2006) [arXiv:hep-th/0512341].
|
704.0019 | Approximation for extinction probability of the contact process based on
the Gr\"obner basis | Aproximación para la probabilidad de extinción
el proceso de contacto basado en la base de Gröbner
Norio Konno
Departamento de Matemáticas Aplicadas
Universidad Nacional de Yokohama
Resumen. En esta nota damos un nuevo método para obtener una serie de aproxi-
para la probabilidad de extinción del proceso de contacto unidimensional por
utilizando la base de Gröbner.
1 Introducción
Let X = {0, 1}Zd denota un espacio de configuración, donde Zd es el d-dimensional
Enrejados enteros. El proceso de contacto t : t ≥ 0} es un X-valorado continuo-
el proceso de Markov. El modelo fue introducido por Harris en 1974 [1] y
se considera como un modelo simple para la propagación de una enfermedad con la infección
tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio. En esta configuración, un individuo en x â € ¢ Zd para una configuración η â € TM X es
infectados si η(x) = 1 y sanos si η(x) = 0. El generador formal se da
f(η) =
c(x, η)[f(ηx)− f(η)],
donde ηx X se define por ηx(y) = η(y) (y 6=x), y ηx(x) = 1(x). Toma.
para cada x • Zd y η • X, la tasa de transición es
c(x, η) = (1− η(x))×
y:y−x=1
η(y) + η(x),
http://arxiv.org/abs/0704.0019v2
con x = x1 · · xd. En particular, el proceso de contacto unidimensional
001 → 011 al tipo de cambio
100 → 110 al tipo de cambio
101 → 111 a razón de 2
1 → 0 a la tasa 1.
Que Y = {A Zd : A <, donde A es el número de elementos en A.
Let At ( Zd) denotar el estado en el momento t del proceso de contacto con A0 = A.
Hay una correspondencia uno-a-uno entre "At" ( Zd) y "Nt" X tales
que x • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Para cualquier "Y", definimos la extinción
probabilidad de A por limtá P
t = فارسى). Definir (A) = : η(x) = 0
para cualquier x A}, donde es una medida invariante del proceso de inicio
desde una configuración: η(x) = 1 (x • Zd) y se llama invariante superior
medida. En otras palabras, deje que la medida de probabilidad (t) denote la medida de probabilidad en el tiempo (t)
en el caso de la medida de probabilidad inicial, i), que es la masa de punto η, i(i = 0,1). Entonces
= limtÃ3 Ã1S(t). Entonces la auto-dualidad del proceso implica que (A) =
limtÃ3 P (â € € TM
t = فارسى). Las identidades de correlación para (A) se pueden obtener como
A continuación:
Teorema 1.1 Para cualquier A â € Y,
y:y−x=1
(A {y})− (A)
(A \ {x})− (A)
A partir de ahora consideramos el caso unidimensional. Presentamos el fol-
notación de bajada:
() = ({0}), () = ({0, 1}), ( × ) = ({0, 2}),. ...
Por Teorema 1.1, obtenemos
Corolario 1.2
2()− (2 1)() + 1 = 0,(1)
()− ( 1)() + () = 0,(2)
2( ) + ( × )− (2 3)( ) + 2() = 0,(3)
(+) + (+) + (+) = 0. + (+) + (+) + (+) = 0. + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) = 0.4)
La discusión detallada sobre los resultados en esta sección se puede ver en
Konno [2, 3]. Si nos fijamos en los siguientes puntos de vista: Ł, (), ( ),. .. como variables, entonces
los lados izquierdos de las identidades de correlación por Teorema 1.1 son polino-
Mials de grado a lo sumo dos. En la siguiente sección, damos un nuevo procedimiento
para obtener una serie de aproximaciones para las probabilidades de extinción basadas en
la base de Gröbner utilizando el corolario 1.2. En cuanto a la base de Gröbner, véase [4],
Por ejemplo.
2 Nuestros resultados
Puso x = (), y = (), z = ( ), w = ( × ), s = ( )
), u = ( ). Denominen el orden lexicográfico con "x"
Para m = 1, 2, 3, vamos a ser los ideales de un polinomio
anillo R[x1, x2,. .., xn(m)] sobre R según se define a continuación. Aquí x1 = ♥, x2 = x, x3 =
y, x4 = z, x5 = w, x6 = s, x7 = u y n(1) = 3, n(2) = 4, n(3) = 7.
2.1 Primera aproximación
Consideramos el siguiente ideal basado en el corolario 1.2 (1):
I1 = + 2°y − 2°x− x+ 1, y − x2° + R[, x, y].5)
En este caso, y-x2 corresponde a la primera aproximación (o al campo medio):
() =
* ()) 2. Entonces
G1 = {(x− 1)(2♥x− 1), y − x2}(6)
es la base reducida de Gröbner para I1 en lo que respecta a. Por lo tanto, la solución
excepto uno trivial x(= y) = 1 es x = ν
() = 1/(2). Observar que el
la solución trivial significa que la medida invariante es Ł0. De esto, obtenemos
la primera aproximación de la densidad de la partícula, = E(η(x)), como
A continuación:
= 1 - 1 / 1
() = 2 1
para cualquiera de los dos tipos siguientes: ≥ 1/2. Este resultado da el primer límite inferior de la crítica
El valor de C del proceso de contacto unidimensional, es decir,
c = 1/2 ≤ c.
Sin embargo, cabe señalar que la desigualdad no está demostrada en nuestro enfoque.
El valor estimado es de aproximadamente 1.649 dólares de los EE.UU.
2.2 Segunda aproximación
Considere el siguiente ideal basado en el corolario 1.2 (1) y (2):
I2 = â € € € € € €. € €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €.......................................................................................................................................................................................
Aquí xz−y2 corresponde a la segunda aproximación (o par): ν(2)
Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / República Federal de Alemania
•) = (sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada: Entonces
G2 = {(x− 1)(2 1)x− 1), 1 + 2(y − x)− x,
−y − yx+ 2x2,−z − y(2 + y) + 4x2}
es la base reducida de Gröbner para I2 en lo que respecta a. Por lo tanto, la solución
excepto uno trivial x(= y = z) = 1 es x = ν
() = 1/(2-1). Como en un
manera similar de la primera aproximación, obtenemos la segunda aproximación de
la densidad de la partícula:
2 ( 1)
2 1,
para cualquier ≥ 1. Este resultado implica el segundo límite inferior (2)c = 1. Nosotros
debe señalar que si tomamos
I ′2 = Ã Ã Â2°y − 2Ã3x− x+ 1, Ã3z − ♥y − y + x, y − x2, z − x3 â Â Â Â Â R[, x, y, z],
Entonces tenemos
G′2 = {z − 1, y − 1, x− 1}
es la base reducida de Gröbner para I ′2 con respecto a. Aquí y-x2 y z−x3
que corresponden a una aproximación:
() = (/(2)
•)2 y /(2
(+ + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
())3, respectivamente. Entonces sólo tenemos una solución trivial: x = y = z = 1.
2.3 Tercera aproximación
Considere el siguiente ideal basado en el corolario 1.2 (1)–(4):
I3 = • 2°y − 2°x− x+ 1, •z − •y • y + x,
3 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 3 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 3 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C °C + 2 °C + 2 °C °C °C
ys− z2, xu− yw â € € € € € € TM € € TM € € TM € € TM € TM € € TM € TM TM € TM TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM z 2, x, x TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Aquí ys-z2 y xu-yw corresponden a la tercera aproximación:
()/(3)
) = (sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 3)
Asunto C-372/90 Comisión de las Comunidades Europeas / República Italiana
Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos
Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos
()/(3)
( ), respectivamente.
G3 = {(x− 1)((123 − 5 1)x2 − 2(23)x1),. ..}
es la base reducida de Gröbner para I3 en lo que respecta a. Por lo tanto, la solución
excepto uno trivial x = 1 es x = ν
En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
D)/(123551),
donde D = 1694 + 492 + 4 1. Entonces obtenemos la tercera aproximación de
la densidad de la partícula:
(de 3o a 3o de 3o de 3o de 3o de 3o de 2o de 3o de 3o de 2o de 3o de 2o de 3o de 3o de 2o de 3o de 2o de 3o de 3o de 2o de 3o de 3o de 2o de 3o de 3o de 3o de 3o de 1o de 3o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o en 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
para cualquiera de los dos tipos de ≥ (1 +)
37)/6. Este resultado corresponde al tercer límite inferior
c = (1 +)
37)/6 • 1.180.
3 Resumen
Obtenemos la primera, segunda y tercera aproximaciones para la extinción
probabilidad, la densidad de la partícula, y el límite inferior del uno-
proceso de contacto dimensional utilizando la base de Gröbner con respecto a un
orden de término adecuada. Estos resultados coinciden con los resultados dados por el Harris
lemma (más precisamente, el método Katori-Konno, véase [3]) o el BFKL
desigualdad [5] (véase también [3]). Como vimos, los generadores de Im en la Sección 2
tener grado como máximo dos en x1, x2,.. ., tales como 2oy − 2ox− x+ 1, ys− z2 in
el caso de I3. Esperamos que esta propiedad lleve a obtener el orden más alto
aproximaciones del proceso (y otros sistemas de partículas interactuantes que
una propiedad similar) efectivamente.
Agradecimiento. El autor agradece a Takeshi Kajiwara por su valiosa labor.
debates y comentarios.
Bibliografía
[1] T. E. Harris, Interacciones de contacto en una celosía, Ann. Probando. 2: 969-988
(1974).
[2] N. Konno, Transiciones de Fase sobre Sistemas de Partículas Interactuantes, Mundo
Scientific, Singapur (1994).
[3] N. Konno, notas de conferencia sobre sistemas de partículas de interacción,
Rokko Lectures in Mathematics, Universidad de Kobe, No 3 (1997),
http://www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm03.pdf.
[4] D. A. Cox, J. B. Poco, y D. O'Shea, Ideales, Variedades, y Al-
gorithms: Una Introducción a la Geometría Algebraica Computacional Y
Álgebra Conmutativa, 3a edición, Textos de Pregrado en Matemat-
ics, Springer Verlag (2007).
[5] V. Belitsky, P. A. Ferrari, N. Konno, y T. M. Liggett, A strong corre-
La desigualdad de la relación para los procesos de contacto y la percolación orientada, Stochas-
tic. Proceso. Appl. 67: 213–225 (1997).
http://www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm03.pdf
Introducción
Nuestros resultados
Primera aproximación
Segunda aproximación
Tercera aproximación
Resumen
| En esta nota damos un nuevo método para obtener una serie de aproximaciones para
la probabilidad de extinción del proceso de contacto unidimensional utilizando la
Gr\"obner base.
| Introducción
Let X = {0, 1}Zd denota un espacio de configuración, donde Zd es el d-dimensional
Enrejados enteros. El proceso de contacto t : t ≥ 0} es un X-valorado continuo-
el proceso de Markov. El modelo fue introducido por Harris en 1974 [1] y
se considera como un modelo simple para la propagación de una enfermedad con la infección
tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la tasa de cambio. En esta configuración, un individuo en x â € ¢ Zd para una configuración η â € TM X es
infectados si η(x) = 1 y sanos si η(x) = 0. El generador formal se da
f(η) =
c(x, η)[f(ηx)− f(η)],
donde ηx X se define por ηx(y) = η(y) (y 6=x), y ηx(x) = 1(x). Toma.
para cada x • Zd y η • X, la tasa de transición es
c(x, η) = (1− η(x))×
y:y−x=1
η(y) + η(x),
http://arxiv.org/abs/0704.0019v2
con x = x1 · · xd. En particular, el proceso de contacto unidimensional
001 → 011 al tipo de cambio
100 → 110 al tipo de cambio
101 → 111 a razón de 2
1 → 0 a la tasa 1.
Que Y = {A Zd : A <, donde A es el número de elementos en A.
Let At ( Zd) denotar el estado en el momento t del proceso de contacto con A0 = A.
Hay una correspondencia uno-a-uno entre "At" ( Zd) y "Nt" X tales
que x • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Para cualquier "Y", definimos la extinción
probabilidad de A por limtá P
t = فارسى). Definir (A) = : η(x) = 0
para cualquier x A}, donde es una medida invariante del proceso de inicio
desde una configuración: η(x) = 1 (x • Zd) y se llama invariante superior
medida. En otras palabras, deje que la medida de probabilidad (t) denote la medida de probabilidad en el tiempo (t)
en el caso de la medida de probabilidad inicial, i), que es la masa de punto η, i(i = 0,1). Entonces
= limtÃ3 Ã1S(t). Entonces la auto-dualidad del proceso implica que (A) =
limtÃ3 P (â € € TM
t = فارسى). Las identidades de correlación para (A) se pueden obtener como
A continuación:
Teorema 1.1 Para cualquier A â € Y,
y:y−x=1
(A {y})− (A)
(A \ {x})− (A)
A partir de ahora consideramos el caso unidimensional. Presentamos el fol-
notación de bajada:
() = ({0}), () = ({0, 1}), ( × ) = ({0, 2}),. ...
Por Teorema 1.1, obtenemos
Corolario 1.2
2()− (2 1)() + 1 = 0,(1)
()− ( 1)() + () = 0,(2)
2( ) + ( × )− (2 3)( ) + 2() = 0,(3)
(+) + (+) + (+) = 0. + (+) + (+) + (+) = 0. + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) + (+) = 0.4)
La discusión detallada sobre los resultados en esta sección se puede ver en
Konno [2, 3]. Si nos fijamos en los siguientes puntos de vista: Ł, (), ( ),. .. como variables, entonces
los lados izquierdos de las identidades de correlación por Teorema 1.1 son polino-
Mials de grado a lo sumo dos. En la siguiente sección, damos un nuevo procedimiento
para obtener una serie de aproximaciones para las probabilidades de extinción basadas en
la base de Gröbner utilizando el corolario 1.2. En cuanto a la base de Gröbner, véase [4],
Por ejemplo.
2 Nuestros resultados
Puso x = (), y = (), z = ( ), w = ( × ), s = ( )
), u = ( ). Denominen el orden lexicográfico con "x"
Para m = 1, 2, 3, vamos a ser los ideales de un polinomio
anillo R[x1, x2,. .., xn(m)] sobre R según se define a continuación. Aquí x1 = ♥, x2 = x, x3 =
y, x4 = z, x5 = w, x6 = s, x7 = u y n(1) = 3, n(2) = 4, n(3) = 7.
2.1 Primera aproximación
Consideramos el siguiente ideal basado en el corolario 1.2 (1):
I1 = + 2°y − 2°x− x+ 1, y − x2° + R[, x, y].5)
En este caso, y-x2 corresponde a la primera aproximación (o al campo medio):
() =
* ()) 2. Entonces
G1 = {(x− 1)(2♥x− 1), y − x2}(6)
es la base reducida de Gröbner para I1 en lo que respecta a. Por lo tanto, la solución
excepto uno trivial x(= y) = 1 es x = ν
() = 1/(2). Observar que el
la solución trivial significa que la medida invariante es Ł0. De esto, obtenemos
la primera aproximación de la densidad de la partícula, = E(η(x)), como
A continuación:
= 1 - 1 / 1
() = 2 1
para cualquiera de los dos tipos siguientes: ≥ 1/2. Este resultado da el primer límite inferior de la crítica
El valor de C del proceso de contacto unidimensional, es decir,
c = 1/2 ≤ c.
Sin embargo, cabe señalar que la desigualdad no está demostrada en nuestro enfoque.
El valor estimado es de aproximadamente 1.649 dólares de los EE.UU.
2.2 Segunda aproximación
Considere el siguiente ideal basado en el corolario 1.2 (1) y (2):
I2 = â € € € € € €. € €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €. €.......................................................................................................................................................................................
Aquí xz−y2 corresponde a la segunda aproximación (o par): ν(2)
Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / República Federal de Alemania
•) = (sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 2; sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada: Entonces
G2 = {(x− 1)(2 1)x− 1), 1 + 2(y − x)− x,
−y − yx+ 2x2,−z − y(2 + y) + 4x2}
es la base reducida de Gröbner para I2 en lo que respecta a. Por lo tanto, la solución
excepto uno trivial x(= y = z) = 1 es x = ν
() = 1/(2-1). Como en un
manera similar de la primera aproximación, obtenemos la segunda aproximación de
la densidad de la partícula:
2 ( 1)
2 1,
para cualquier ≥ 1. Este resultado implica el segundo límite inferior (2)c = 1. Nosotros
debe señalar que si tomamos
I ′2 = Ã Ã Â2°y − 2Ã3x− x+ 1, Ã3z − ♥y − y + x, y − x2, z − x3 â Â Â Â Â R[, x, y, z],
Entonces tenemos
G′2 = {z − 1, y − 1, x− 1}
es la base reducida de Gröbner para I ′2 con respecto a. Aquí y-x2 y z−x3
que corresponden a una aproximación:
() = (/(2)
•)2 y /(2
(+ + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
())3, respectivamente. Entonces sólo tenemos una solución trivial: x = y = z = 1.
2.3 Tercera aproximación
Considere el siguiente ideal basado en el corolario 1.2 (1)–(4):
I3 = • 2°y − 2°x− x+ 1, •z − •y • y + x,
3 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 3 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 3 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C + 2 °C °C + 2 °C + 2 °C °C °C
ys− z2, xu− yw â € € € € € € TM € € TM € € TM € € TM € TM € € TM € TM TM € TM TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM z 2, x, x TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Aquí ys-z2 y xu-yw corresponden a la tercera aproximación:
()/(3)
) = (sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, antes citada, apartado 3)
Asunto C-372/90 Comisión de las Comunidades Europeas / República Italiana
Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos
Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos
()/(3)
( ), respectivamente.
G3 = {(x− 1)((123 − 5 1)x2 − 2(23)x1),. ..}
es la base reducida de Gröbner para I3 en lo que respecta a. Por lo tanto, la solución
excepto uno trivial x = 1 es x = ν
En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
D)/(123551),
donde D = 1694 + 492 + 4 1. Entonces obtenemos la tercera aproximación de
la densidad de la partícula:
(de 3o a 3o de 3o de 3o de 3o de 3o de 2o de 3o de 3o de 2o de 3o de 2o de 3o de 3o de 2o de 3o de 2o de 3o de 3o de 2o de 3o de 3o de 2o de 3o de 3o de 3o de 3o de 1o de 3o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o en 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1o de 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
para cualquiera de los dos tipos de ≥ (1 +)
37)/6. Este resultado corresponde al tercer límite inferior
c = (1 +)
37)/6 • 1.180.
3 Resumen
Obtenemos la primera, segunda y tercera aproximaciones para la extinción
probabilidad, la densidad de la partícula, y el límite inferior del uno-
proceso de contacto dimensional utilizando la base de Gröbner con respecto a un
orden de término adecuada. Estos resultados coinciden con los resultados dados por el Harris
lemma (más precisamente, el método Katori-Konno, véase [3]) o el BFKL
desigualdad [5] (véase también [3]). Como vimos, los generadores de Im en la Sección 2
tener grado como máximo dos en x1, x2,.. ., tales como 2oy − 2ox− x+ 1, ys− z2 in
el caso de I3. Esperamos que esta propiedad lleve a obtener el orden más alto
aproximaciones del proceso (y otros sistemas de partículas interactuantes que
una propiedad similar) efectivamente.
Agradecimiento. El autor agradece a Takeshi Kajiwara por su valiosa labor.
debates y comentarios.
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Introducción
Nuestros resultados
Primera aproximación
Segunda aproximación
Tercera aproximación
Resumen
|
704.002 | Measurement of the Hadronic Form Factor in D0 --> K- e+ nue Decays | BABAR-PUB-07/015
SLAC-PUB-12417
Medición del factor de forma hadrónica en D0 → K−ee Decays.
B. Aubert, M. Bona, D. Boutigny, Y. Karyotakis, J. P. Lees, V. Poireau, X. Prudente, V. Tisserand, y A. Zghiche
Laboratoire de Physique des Particules, IN2P3/CNRS et Université de Savoie, F-74941 Annecy-Le-Vieux, Francia
J. Garra Tico y E. Grauges
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L. López y A. Palano
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G. Eigen, B. Stugu y L. Sun
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P. del Amo Sánchez, C. M. Hawkes, y A. T. Watson
Universidad de Birmingham, Birmingham, B15 2TT, Reino Unido
T. Held, H. Koch, B. Lewandowski, M. Pelizaeus, T. Schroeder y M. Steinke
Ruhr Universität Bochum, Institut für Experimentalphysik 1, D-44780 Bochum, Alemania
D. Walker
Universidad de Bristol, Bristol BS8 1TL, Reino Unido
D. J. Asgeirsson, T. Cuhadar-Donszelmann, B. G. Fulsom,
C. Hearty, N. S. Knecht, T. S. Mattison y J. A. McKenna
Universidad de Columbia Británica, Vancouver, Columbia Británica, Canadá V6T 1Z1
A. Khan, M. Saleem y L. Teodorescu
Universidad Brunel, Uxbridge, Middlesex UB8 3PH, Reino Unido
V. E. Blinov, A. D. Bukin, V. P. Druzhinin, V. B. Golubev, A. P. Onuchin,
S. I. Serednyakov, Yu. I. Skovpen, E. P. Solodov, y K. Yu Todyshev
Budker Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk 630090, Rusia
M. Bondioli, S. Curry, I. Eschrich, D. Kirkby, A. J. Lankford, P. Lund, M. Mandelkern, E. C. Martin, y D. P. Stoker
Universidad de California en Irvine, Irvine, California 92697, EE.UU.
S. Abachi y C. Buchanan
Universidad de California en Los Ángeles, Los Ángeles, California 90024, EE.UU.
S. D. Foulkes, J. W. Gary, F. Liu, O. Long, B. C. Shen, y L. Zhang
Universidad de California en Riverside, Riverside, California 92521, EE.UU.
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A. J. Bevan, K. A. George, F. Di Lodovico, W. Menges y R. Sacco
Reina María, Universidad de Londres, E1 4NS, Reino Unido
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Universidad de Londres, Royal Holloway y Bedford New College, Egham, Surrey TW20 0EX, Reino Unido
D. N. Brown y C. L. Davis
Universidad de Louisville, Louisville, Kentucky 40292, EE.UU.
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Universidad de Manchester, Manchester M13 9PL, Reino Unido
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Universidad de Maryland, College Park, Maryland 20742, EE.UU.
G. Blaylock, C. Dallapiccola, S. S. Hertzbach, X. Li, T. B. Moore, E. Salvati y S. Saremi
Universidad de Massachusetts, Amherst, Massachusetts 01003, EE.UU.
R. Cowan, P. H. Fisher, G. Sciolla, S. J. Sekula, M. Spitznagel, F. Taylor y R. K. Yamamoto
Instituto de Tecnología de Massachusetts, Laboratorio de Ciencias Nucleares, Cambridge, Massachusetts 02139, EE.UU.
S. E. Mclachlin, P. M. Patel y S. H. Robertson
Universidad McGill, Montreal, Quebec, Canadá H3A 2T8
A. Lazzaro y F. Palombo
Università di Milano, Dipartimento di Fisica e INFN, I-20133 Milano, Italia
J. M. Bauer, L. Cremaldi, V. Eschenburg, R. Godang, R. Kroeger, D. A. Sanders, D. J. Summers y H. W. Zhao
Universidad de Mississippi, Universidad de Mississippi 38677, EE.UU.
S. Brunet, D. Côté, M. Simard, P. Taras y F. B. Viaud
Universidad de Montreal, Física de las Partículas, Montreal, Quebec, Canadá H3C 3J7
H. Nicholson
Mount Holyoke College, South Hadley, Massachusetts 01075, EE.UU.
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Università di Napoli Federico II, Dipartimento di Scienze Fisiche e INFN, I-80126, Napoli, Italia
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NIKHEF, Instituto Nacional de Física Nuclear y Física de Alta Energía, NL-1009 DB Amsterdam, Países Bajos
C. P. Jessop y J. M. LoSecco
Universidad de Notre Dame, Notre Dame, Indiana 46556, EE.UU.
G. Benelli, L. A. Corwin, K. K. Gan, K. Honscheid, D. Hufnagel, H. Kagan, R. Kass,
J. P. Morris, A. M. Rahimi, J. J. Regensburger, R. Ter-Antonyan y Q. K. Wong
Ohio State University, Columbus, Ohio 43210, EE.UU.
N. L. Blount, J. Brau, R. Frey, O. Igonkina, J. A. Kolb, M. Lu,
R. Rahmat, N. B. Sinev, D. Strom, J. Strube y E. Torrence
Universidad de Oregon, Eugene, Oregon 97403, EE.UU.
N. Gagliardi, A. Gaz, M. Margoni, M. Morandin, A. Pompili,
M. Posocco, M. Rotondo, F. Simonetto, R. Stroili y C. Voci
Università di Padova, Dipartimento di Fisica e INFN, I-35131 Padova, Italia
E. Ben-Haim, H. Briand, G. Calderini, J. Chauveau, P. David, L. Del Buono,
Ch. de la Vaissière, O. Hamon, Ph. Lerust, J. Malclès, J. Ocariz y A. Perez
Laboratoire de Physique Nucléaire et de Hautes Energies,
IN2P3/CNRS, Université Pierre et Marie Curie-Paris6,
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Università di Perugia, Dipartimento di Fisica e INFN, I-06100 Perugia, Italia
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M. Haire
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Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey 08544, EE.UU.
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M. Gaspero, P. D. Jackson, L. Li Gioi, M. A. Mazzoni, S. Morganti, G. Piredda, F. Polci, F. Renga y C. Voena
Università di Roma La Sapienza, Dipartimento di Fisica e INFN, I-00185 Roma, Italia
M. Ebert, H. Schröder y R. Waldi
Universität Rostock, D-18051 Rostock, Alemania
T. Adye, G. Castelli, B. Franek, E. O. Olaiya, S. Ricciardi, W. Roethel y F. F. Wilson
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R. Aleksan, S. Emery, M. Escalier, A. Gaidot, S. F. Ganzhur, G. Hamel de Monchenault,
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F. Bianchi, F. Gallo, D. Gamba y M. Pelliccioni
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M. Bomben, L. Bosisio, C. Cartaro, F. Cossutti, G. Della Ricca, L. Lanceri y L. Vitale
Università di Trieste, Dipartimento di Fisica e INFN, I-34127 Trieste, Italia
V. Azzolini, N. López-March, F. Martínez-Vidal, D. A. Milanes, y A. Oyanguren
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J. Albert, Sw. Banerjee, B. Bhuyan, K. Hamano, R. Kowalewski, I. M. Nugent, J. M. Roney y R. J. Sobie
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J. J. Back, P. F. Harrison, T. E. Latham, G. B. Mohanty, y M. Pappagallo§
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H. R. Band, X. Chen, S. Dasu, K. T. Flood, J. J. Hollar,
P. E. Kutter, Y. Pan, M. Pierini, R. Prepost, S. L. Wu, y Z. Yu
Universidad de Wisconsin, Madison, Wisconsin 53706, EE.UU.
H. Neal
Universidad de Yale, New Haven, Connecticut 06511, EE.UU.
(Fecha: 25 de octubre de 2018)
La forma del factor de forma hadrónica f+(q)
2) en la descomposición D0 → K−ee se ha medido
en un modelo de análisis independiente y comparado con cálculos teóricos. Utilizamos 75 fb−1 de
datos registrados por el detector BABAR en el colisionador de positrones electrónicos PEPII. Los correspondientes
Fracción de ramificación de desintegración, relativa a la descomposición D0 → K, también se ha medido para ser RD =
BR(D0 → K−ee)/BR(D
→ K) = 0,927± 0,007± 0,012. A partir de estos resultados, y utilizando el
valor medio mundial actual para BR(D0 → K), la normalización del factor de forma en q2 = 0
se determina que es f+(0) = 0,727 ± 0,007 ± 0,005 ± 0,007 cuando las incertidumbres son estadísticas,
sistemática, y de los insumos externos, respectivamente.
Números PACS: 13.25.Hw, 12.15.Hh, 11.30.Er
* Fallecido † También con Università di Perugia, Dipartimento di Fisica, Perugia,
I. INTRODUCCIÓN
Medidas de decaimientos exclusivos semileptónicos D pro-
vide una determinación precisa de la forma hadrónica fac-
Tors entrando en estas decaimientos. Suponiendo que la CKM
matriz es unitaria, los elementos Vcs y Vcd pueden ser de-
Terminado:
Vcs = Vud −
Vcb2
+O(6) = 0,9729± 0,0003, (1)
utilizando los valores medidos [1] de Vud y Vcb, y el
seno del ángulo de Cabibbo ♥ = sin(lc) 0.227. Theo...
las predicciones reticales dan estimaciones de los factores de forma en
exclusiva semileptónica B y D meson decae. Preciso
mediciones de los factores de forma hadrónica en decaimientos D
puede ayudar a validar predicciones de cálculos de QCD en
tanto D como B decaen. Mejor comprensión de la forma
factores en decaimientos B son necesarios para mejorar la precisión
sobre la determinación de Vcb y Vub.
En D0 → K−ee decae [2], con un pseudoescalar
hadron emitido en el estado final, y descuidando el elec-
tron masa, la tasa de decaimiento diferencial depende sólo de una
factor de forma f+(q)
Vcs2
pK(q
•f+(q)
, (2)
donde GF es la constante de Fermi, q
2 es la masa invariante
cuadrado de los dos leptones, e+ y vye, y ~pK(q
2) es
el kaon tres-momentum en el marco de reposo D0 [3]. In
en este artículo se presentan las mediciones de la variación q2
y valor absoluto del factor de forma hadrónico en q2 = 0
para la descomposición D0 → K−ee(γ). Los datos consisten en:
D mesons producidos en e+e− → cc̄ continuum at
un centro de energía de masa cerca de la masa de 4S, y fueron
grabado por el detector BABAR en el Stanford Linear
El colisionador PEP-II del Centro Accelerator. Un semi-inclusivo
técnica de reconstrucción se utiliza para seleccionar encanto semilep-
el tónico decae con alta eficiencia. Como resultado de este ap-
proach, eventos con un fotón irradiado durante el D0 de-
Cay están incluidos en la señal. La incertidumbre sistemática...
los lazos se mantienen lo más bajos posible mediante el uso de muestras de control
se extraigan de los datos cuando sea posible.
Medición de D → Kll, basada en una señal más pequeña
muestras de eventos, publicadas por el CLEO [4],
Colaboraciones FOCUS [5] y Belle [6].
El presente documento está organizado de la siguiente manera. Una descripción general
ión del factor de forma hadrónica, f+(q)
2), se da en Sec-
II, donde se consideraron las diferentes parametrizaciones
Italia
‡También con Università della Basilicata, Potenza, Italia
§ También con IPPP, Departamento de Física, Universidad de Durham,
Durham DH1 3LE, Reino Unido
en este análisis se explican. En la sección III, una breve de-
la inscripción de los componentes del detector que son importantes
a esta medición se da. Selección de la señal
los acontecimientos y el rechazo de los antecedentes se consideran en
Sección IV. En la sección V, la variación medida q2 de
se discute el factor de forma hadronica y se compara con
medidas anteriores. En la sección VI, los valores medidos de-
se indica la tasa de cay y en la sección VII estas mediciones
se combinan para obtener el valor de f+(0).
II. EL F+(Q)
2) FACTOR DE FORMA HADRÓNICA
La amplitud para la descomposición D0 → K−ll depende
sobre dos factores de forma hadrónica:
< K(p′)VD(p) > =
pμ + p
μ − qμ
m2D −m2K
m2D −m2K
qμf0(q
2) (3)
donde Vμ = sc. La restricción f+(0) = f0(0) en-
asegura que no hay singularidad en q2 = 0. Cuando el
leptón cargado es un electrón, la contribución de f0
es proporcional a m2e y puede ser descuidado en la tasa de desintegración
medidas.
Las parametrizaciones de f+(q)
2) que han sido com-
con las mediciones actuales y algunos ejemplos de
enfoques teóricos, propuestos para determinar la
los parámetros correspondientes, se tienen en cuenta en el
siguiente.
A. Parametrizaciones del factor de forma
Las expresiones más generales del factor de forma f+(q)
son funciones analíticas que satisfacen la relación de dispersión:
Res(f+)q2=m2
If+(t)
t− q2 − i
. 4)
Las únicas singularidades en el complejo t
inate de la interacción del encanto y de lo extraño
quarks en estados vectoriales. Son un poste, situado en el
D*s masa cuadrada y un corte, a lo largo del eje real positivo,
a partir del umbral (t+ = (mD+mK)
2) para D0K− pro-
En el caso de las importaciones procedentes de terceros países, el valor de las importaciones procedentes de la Unión procedentes de la República Popular China es el valor de las importaciones procedentes de la Unión procedentes de la República Popular China.
1. Expansión de Taylor
Este t-plano de corte se puede asignar a la unidad abierta
disco con centro en t = t0 usando la variable:
z(t, t0) =
t+ − t−
t+ − t0
t+ − t+
t+ − t0
. 5)
En esta variable, la región física para el semileptónico
decaimiento (0 < t < t = q
max = (mD−mK)2) corresponde a
un segmento real que se extiende entre ±zmax = ±0,051. Esto
se obtiene el valor de zmax para t0 = t+
1− t−/t+
Por lo tanto, se espera que la expansión z de f+ converja
Rápido. La parametrización más general [7], consis-
tienda con restricciones de QCD,
f+(t) =
P (t)Φ(t, t0)
ak(t0) z
k(t, t0), (6)
se basa en consideraciones anteriores [8]. La función
P (t) = z(t,m2D*
) tiene un cero en la masa del polo D*s y
P = 1 a lo largo del círculo unitario; Φ es dado por:
Φ(t, t0) =
24o V
t+ − t
t+ − t0
t+ − t+
t+ − t+
t+ − t0
t+ − t+
t+ − t−
(t+ − t)
donde se puede obtener χV a partir de relaciones de dispersión utilizando
QCD perturbativo y depende de u = ms/mc [9]. En
orden principal, con u = 0 [10],
32η2m2c
. (8)
La elección de P y Φ es tal que:
a2k(t0) ≤ 1. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Habiendo medido los primeros coeficientes de esta expansión,
Eq. (9) puede limitar a los demás. Esta restricción, que
depende de la χV, puede tener que ser abandonado en el caso de
encanto decae como la masa de encanto-cuarco puede no ser grande
suficiente para evitar la evaluación previa de la χV de
recibir correcciones grandes de 1/mc y QCD. Sin embargo, la
parametrización dada en Eq. 6) sigue siendo válida y
se ha comparado [7] con las mediciones disponibles. Los
los dos primeros términos de la ampliación fueron suficientes para describir
los datos.
2. Parametrizaciones dependientes de modelos
Un enfoque menos general supone que la variación q2
de f+(q
2) se rige principalmente por el polo D* y que
las demás contribuciones pueden contabilizarse añadiendo
otro polo efectivo a una masa más alta [11]:
f+(0)
1− αpolo
1− q2
αpolo
1− q2
γpolem
= f+(0)
1− ♥pole q
1− q2
1− βpolo q
) (10)
con ♥pole = (1/γpolo − αpolo)/(1 − αpolo) y βpolo =
1/γpole.
Si además, los factores de forma f+ y f0 deben obedecer un
relación, válida en gran retroceso y en el límite de quark pesado,
entonces αpolo = 1/γpolo [11] (βpolo = αpolo y ♥polo = 0 en
en este caso). La ecuación (10) se convierte en:
f+(0)
1− q2
1− αpolo q
), (11)
conocido como el polo modificado ansatz. Inicialmente un par
expresión más simple, el simple polo ansatz, se propuso
, que sólo consideró la contribución del polo D*.
En lo siguiente, la masa de polos entrando en
f+(0)
1− q2
está equipado. Tenga en cuenta que un valor de masa de polo tan eficaz tiene
no hay una interpretación física clara y que el q2 propuesto
La variación no cumple con las restricciones de QCD.
No obstante, el valor obtenido puede ser útil para
parison con los resultados de diferentes experimentos.
B. Expectativas cuantitativas
Valores de los parámetros que determinan f+(q)
2) eran
obtenido inicialmente a partir de modelos de quarks constituyentes, y
de las reglas de suma de QCD. Estos dos enfoques tienen un carácter in-
Precisión trínsecamente limitada. A este respecto, los resultados de
computos QCD de celosía son más prometedores porque
su precisión está limitada principalmente por la computación disponible
recursos.
1. Modelos Quark
Los cálculos del modelo de Quark estiman la función de onda meson...
ciones y utilizarlas para calcular los elementos de la matriz que
aparecen en la corriente hadrónica. Hay una gran variedad
de cálculos teóricos [12]. Entre estos modelos nosotros
han seleccionado el modelo ISGW [13], simplemente porque es
ampliamente utilizado para simular hadron pesado semileptónico de-
Cays. Se esperaba que este modelo fuera válido en los alrededores
de q2max, una región de máximo solapamiento entre los ini-
funciones de onda meson final y tial. En ISGW2 [14]
dependencia exponencial q2 del factor forma ha sido
reemplazado por otra parametrización, con un dipolo ser-
havior, se espera que sea válido en un rango q2 mayor:
f ISGW2+ (q
(1 + αI(q2max − q2))
, αI =
r2. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Los valores predichos de los parámetros son f+(q)
máx.) =
1,23 y r = 1,12 GeV−1 [14].
CUADRO I: Parámetros de f+(q)
valores esperados de los parámetros de modelado
z expansion[8] a0, rk = ak/a0 sin predicción
2 polos generales [11] f+(0), βpolo, polo sin predicción
polo modificado [11] f+(0), αpolo polo = 0
polo simple f+(0), mpole mpole = mD*
ISGW2[14] f+(t−), αI f+(t−) = 1,23
αI = 0,104 GeV
2. Reglas de suma QCD
Reglas de suma QCD [15] y su extensión en la luz
cono [16], se espera que sea válido a baja q2. Uso de una
valor de 150 MeV para la extraña masa quark, se obtiene
[16]:
f+(0) = 0,78± 0,11 y αpole = −0,07+0,15−0,07, (14)
utilizando el poste modificado ansatz. La incertidumbre de f+(0)
se estima que es de orden 15%, y la dependencia q2
se espera que esté dominado por un solo polo en los D*s
masa porque el valor de αpole es compatible con cero.
3. QCD de celosía
Cálculo QCD de celosía es el único enfoque capaz
para calcular f+(q)
2) de los primeros principios. Resultados actuales
debe extrapolarse a los valores físicos de quark de la luz
masa y corregido para el tamaño de celosía finita y discriti-
efectos de la zación. Se han realizado varias evaluaciones de
2) para los diferentes valores de la transferencia de impulso en
la aproximación apagada [17, 18]. Estos resultados
se ha combinado [17], dando f+(0) = 0,73 ± 0,07. Los
el primer cálculo sin cerrar se ha publicado recientemente
[19]: f+(0) = 0,73± 0,03± 0,07 y αpole = 0,50± 0,04,
usando el polo modificado ansatz para parametrizar el q2
dependencia del factor de forma.
C. Parametrizaciones analizadas
Las diferentes parametrizaciones de f+(q)
2) considerado en
Este análisis se resume en la Tabla I, junto con su
parámetros y valores esperados correspondientes, donde
disponible.
III. EL DETECTOR Y LA INFORMACIÓN DEL BABAR
Descripción detallada del detector BABAR y del
algoritmos utilizados para el reconocimiento de partículas cargadas y neutras
la estructuración y la identificación se proporcionan en otros lugares [20, 21].
Las partículas cargadas se reconstruyen emparejando los golpes
en el rastreador de vértice de silicio de doble cara de 5 capas (SVT)
con elementos de vía en la cámara de deriva de 40 capas (DCH),
que se llena con una mezcla de gas de helio e isobu-
Tane. Partículas lentas que no dejan suficientes golpes en el
DCH debido a la flexión en el campo magnético 1.5-T, son
reconstruida en el SVT. Identificación de hadrones cargada
se realiza combinando las mediciones de la energía
deposición en el SVT y en el DCH con la información
ión del detector Cherenkov (DIRC). Los fotones son
detectada y medida en el electromagnético CsI(Tl)
calorímetro (EMC). Los electrones son identificados por el ra-
tio del impulso de la pista a la energía asociada de-
postulado en el EMC, el perfil transversal de la ducha,
la pérdida de energía en el DCH, y el ángulo de Cherenkov en
el DIRC. Los muones se identifican en el flujo instrumentado
retorno, compuesto de cámaras de placa resistiva entrelazadas
con capas de acero y latón.
Los resultados que se presentan aquí se obtienen utilizando
luminosidad integrada de 75 fb-1 registrada por la
Detector BABAR durante los años 2000-2002. Monte Carlo
(MC) muestras de simulación de decaimientos, encanto y
otros pares de quarks ligeros del equivalente de continuum, re-
a 2.8, 1.2 y 0.7 veces las estadísticas de datos,
respectivamente, se han generado utilizando GEANT4 [22].
Estos se utilizan principalmente para evaluar la composición de los antecedentes
nents. La fragmentación de Quark, en eventos continuos, es de-
signado utilizando el paquete JETSET [23]. El MC distri-
se han vuelto a escalar las butiones a la luminosidad de la muestra de datos,
utilizando las secciones transversales esperadas de las diferentes compo-
nents (1,3nb para cc, 0,525 nb para B+B− y B0B̄0, 2,09nb
para eventos de quark de luz uū, dd̄ y ss̄). Dedicado sam-
ples de eventos de señal pura, equivalente a siete veces el
estadísticas de datos, se utilizan para corregir las mediciones de efi-
la ciencia y los efectos finitos de la resolución. Han sido gen-
aireado utilizando la parametrización de polos modificada ansatz
para f+(q)
2) con αpole = 0,50. Decadencias radiantes (D
K−eeγ) son modelados por FOTOS [24]. Para dar cuenta de
una de las fuentes más importantes de antecedentes, un spe-
muestra de evento cial con, en cada caso, al menos una cascada
decaimiento D → D0, D0 → K0ee (o su carga
conjugado) se ha generado con una parametrización
de los factores de forma de acuerdo con las mediciones de
la colaboración de FOCUS [25]. Acontecimientos con un D y
a D0 decayendo en K o K0 han sido recon-
structed en datos y simulación. Estas muestras de control
se han utilizado para ajustar la fragmentación de c-cuarco
Atribución y características cinemáticas de las partículas
acompañando al mesón D con el fin de igualar mejor el
datos. Se han utilizado también para medir la recon-
precisión de la estructura en el impulso de neutrino que falta.
IV. RECONSTRUCCIÓN DE LA SEÑAL
Se reconstruye D0 → K−ee(γ) decaídas en e+e− →
cc̄ eventos donde el D0 se origina del D → D0.
Las principales fuentes de antecedentes surgen de los acontecimientos con
un candidato de kaon y electrones. Tales eventos vienen de
• Decaimientos (4S) y la producción continua de encantos
Hadrons. Su contribución se reduce utilizando variables
sensible a las características de producción de partículas que
son diferentes para los eventos de señal y de fondo.
A. Selección de señales
Las partículas cargadas y neutras se elevan a
ter del sistema de masa (c.m.) y el eje de empuje del evento es
determinado. La dirección de este eje debe ser
en el intervalo cos()thust < 0.6 para minimizar la pérdida de
partículas en regiones cercanas al eje del haz. Un avión por...
pendicular al eje de empuje se utiliza para definir dos hemi-
esferas, equivalentes a los dos chorros producidos por quark
fragmentación. En cada hemisferio, buscamos pares
de leptons y kaons cargados opuestamente. Por los cargos
candidatos leptón que consideramos sólo electrones o positrones
con c.m. impulso superior a 0,5 GeV/c.
Puesto que el impulso no se mide, un cinemático
ajuste se realiza, limitando la masa invariante de la
candidato e+Ke sistema a la D
0 masa. En este ajuste,
El impulso D0 y la energía de neutrino se estiman
a partir de las otras partículas medidas en el evento. El D0
dirección se toma como la dirección opuesta a la suma de
el momento de todas las partículas reconstruidas en el evento,
excepto el kaon y el positron asociados con el
Candidato a la señal. La energía del chorro está determinada
desde el total de C.M. energía y de las masas medidas
de los dos jets. La energía de neutrino se estima como la
diferencia entre la energía total del chorro y la
suma de las energías de todas las partículas reconstruidas en el
Hemisferio. Una corrección, que depende del valor
de la energía que falta medida en el chorro opuesto, es
aplicado para dar cuenta de la presencia de la energía faltante debida
a las partículas que escapan a la detección, incluso en ausencia de un
neutrino del decaimiento D0.
El candidato D0 se mantiene si la probabilidad χ2 de
el ajuste cinemático supera los 10−3. Desempeño del detector para
la reconstrucción de la dirección D0 y para los desaparecidos
la energía se mide utilizando eventos en los que el D0 decae
en K. Las correcciones se aplican para contabilizar
diferencias atendidas entre los datos y la simulación. Cada uno
D0 candidato se combina con un pion cargado, con el
la misma carga que el leptón, y situado en el mismo hemi-
esfera. La diferencia de masa (m) = m(D0)−m(D0)
se evalúa y se muestra en la Fig. 1. Esta distribución con-
los acontecimientos que, además, transmiten los requisitos a
el Fisher discriminante FBB̄ suprimiendo el fondo de BBB̄
y también dar un ajuste cinemático satisfactorio que limita la
masa invariante. Este último requisito es la razón de
la disminución lenta de la distribución de la letra m). En libertad (m)
valores, un pequeño exceso de fondo se mide en los datos
y la simulación se redimensiona en consecuencia. Únicamente eventos
se utilizan en el análisis con un valor de GeV/c2 inferior a 0,16.
10000
15000
20000
0,15 0,2 0,25 0,3
Señal
Peaking cc bkg
Sin hablar cc bkg
0,15 0,2 0,25 0,3
(m) (GeV/c2)
FIG. 1: Comparación de las distribuciones de los datos y
eventos simulados. Los eventos de MC se han normalizado a la
luminosidad de la muestra según las diferentes secciones transversales.
Se observa un exceso de eventos de fondo del orden del 5%
para los grandes valores de (m). La flecha indica el adicional
selección solicitada para la medición de distribución q2.
B. Rechazo de antecedentes
Acontecimientos de fondo surgen de las decaimientos y
eventos hadrónicos del continuum. Tres variables
se utilizan para reducir la contribución de los eventos de BB̄:
R2 (la relación entre el segundo y cero orden Fox-
Wolfram moments [26]), el total cargado y neutral
la multiplicidad y el impulso del pion blando (ls) de
el D. Estas variables explotan la diferencia topológica-
ences entre eventos con decaimientos B y eventos con cc̄
fragmentación. La distribución de partículas en el decaimiento de • (4S)
los eventos tienden a ser isotrópicos ya que los mesons B son pro-
se redujo cerca del umbral, mientras que la distribución en cc̄ eventos
es como un jet como el C.M. la energía está muy por encima del encanto
umbral. Esto también resulta en un impulso D más suave
espectro en decaimientos de 4S en comparación con los eventos de cc̄.
Distribución correspondiente de estas variables para sig-
nal y los acontecimientos de fondo se dan en la Fig. 2. Estos
las variables se han combinado linealmente en un
Criminante. El requisito FBB̄ > 0,5 retiene el 65% de
señal y 6% de los eventos de BB̄-background.
0 0,5 1
B. Acontecimientos
c) Acontecimientos
Cargado + multiplicidad neutra
0,25 0,5
pηs (GeV/c)
-5 0 5
FIG. 2: simulaciones MC de distribuciones de las variables utilizadas
en el análisis discriminante de Fisher para reducir el evento BB̄
fondo: a) el segundo momento normalizado Fox-Wolfram
(R2), b) la multiplicidad de partículas del evento, c) el
distribución del mentum, en la C.M. marco, d) la variable Fisher
para BB̄ y para eventos de la señal del encanto.
Los acontecimientos de fondo del continuum surgen principalmente
de partículas de encanto como requiere un electrón y un kaon
reduce la contribución de los sabores de claro-cuarco a un bajo
nivel. Porque los hadrones del encanto toman una gran fracción de la
encanto quark energía encanto productos de desintegración tienen más alto
energía media y diferentes distribuciones angulares (rel-
ativo al eje de empuje o a la dirección D) comparado
con otras partículas en el hemisferio emitidas desde el
hadronización de los quarks c y c. Estas otras partes...
se denominan “espectadores” en lo siguiente:
La partícula “liderazgo” es la que tiene el mayor impulso.
Para reducir el fondo de los eventos cc¢, los siguientes vari-
se utilizan:
• el impulso D0;
• la masa del sistema del espectador, msp., que tiene más baja
valores para los eventos de señal;
• la dirección del impulso del sistema de espectadores
en relación con el eje de empuje cos.-sp.-throst;
• el impulso de la pista principal del espectador;
• la dirección de la pista principal del espectador relativa
a la dirección D0;
0 2,5 5
0 2,5
msp. (GeV/c)
c bkg.
señal
cos-sp.-thust
-1 0 1
cosđe
FIG. 3: Simulación MC de algunas de las variables utilizadas en
el análisis discriminante Fisher para reducir el cc̄-evento de vuelta-
tierra: a) el impulso D0 después del ajuste cinemático, b) el
masa del sistema de espectadores (habla, a valores de masa bajos cor-
responder a los eventos con un solo pión cargado o fotones recon-
structed en el sistema de espectadores), c) el coseno del ángulo
entre el impulso del sistema de espectadores y el empuje di-
rección, d) el coseno del ángulo de la dirección positrón,
relativa a la dirección kaon, en la E.M. marco.
• la dirección de la pista principal del espectador relativa
al eje de empuje;
• la dirección del leptón relativa al kaon di-
la rección, en el marco de reposo del dilepton, porque
• el impulso de leptón cargado, pe, en el c.m.
marco.
Las seis primeras variables dependen de las propiedades de c-quark
hadronización mientras que los dos últimos están relacionados con de-
características cay de la señal. Distribuciones para cuatro
de las variables más discriminatorias se dan en la Fig. 3.
D0 → Los eventos de K se han utilizado para afinar el simu-
parámetros de la ración para que las distribuciones de las variables
utilizado para rechazar el acuerdo de fondo con los medidos
con eventos de datos. Estas ocho variables han sido com-
Enlazado linealmente en una variable discriminante Fisher (Fcc)
y los eventos se han mantenido para valores superiores a 0. Este selec...
El 77% de los eventos de señal que fueron mantenidos por el
anterior requisito de selección y rechazar el 66% de la
fondo (Fig. 4).
El fondo restante de cc̄-eventos puede ser di-
En la mayoría de los casos, se ha producido un aumento de los niveles de concentración (60 %) y un aumento de los niveles de concentración (40 %) en los niveles más altos (60 %) y en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (60 %) en los niveles más bajos (60 %) y en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (60 %) y en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %) y en los niveles más bajos (40 %) en los niveles más bajos (40 %).
-1 0 1 2 3
señal
c bkg.
B+ bkg.
B0 bkg.
uds bkg.
-1 0 1 2 3
FIG. 4: Distribución de los valores de la variable Fisher en
la región de la señal (en la letra m) < 0,16 GeV/c2 en la letra a), y para las masas;
por encima de la región de la señal (l(m) > 0,16 GeV/c2 en b).
Fechas. Los eventos de pico son aquellos eventos de fondo que
la distribución es máxima alrededor de la región de la señal. Estos
son principalmente los acontecimientos con un D real en el cual el lento
se incluye en la combinación de pistas candidatas. Atrás...
bases de e+e− aniquilaciones en luz uū, dd̄, ss̄
Los quarks y los eventos de BB̄ no hablan. Estos compo...
Las nents, de la simulación, se muestran en la Fig. 1.
C. Medición q2
Para mejorar la precisión de la D0 reconstruida mo-
mentum, la masa nominal de D se añade como una restricción
en el ajuste anterior y sólo los acontecimientos con un probabil χ2
se mantienen por encima del 1% (fig. 1 se obtiene requiriendo
sólo que el ajuste ha convergido). El ditri- q2r medido
butión, donde q2r = (pD − pK)
, se da en Fig. 5. Ahí está.
son 85260 candidatos seleccionados D0 que contienen una estimación
número de 11280 eventos de fondo. El no hablar
El componente comprende el 54% de los antecedentes.
Para obtener la verdadera distribución q2, la medida
tiene que ser corregido para la eficiencia de selección y detector
efectos de resolución. Esto se hace usando un algo-
ritmo basado en la simulación MC de estos efectos.
La variación de la eficiencia de selección como func-
ión de q2 se da en la Fig. 6. La resolución de la Conferencia de las Naciones Unidas sobre Comercio y Desarrollo
Medición q2 para eventos de señal se obtiene de MC
10000
15000
0 0,5 1 1,5 2
Señal
Antecedentes
q2r (GeV
FIG. 5: La distribución medida de q2r (puntos de datos) comparada
a la suma del fondo estimado y de la dotación
componentes de señal.
simulación. La función de resolución se puede ajustar por el
suma de dos funciones gaussianas, con desviaciones estándar
1 = 0,066 GeV
2 y 2 = 0,219 GeV
2, respectivamente.
El componente estrecho corresponde al 40% de los eventos.
Para obtener la distribución q2 desplegada para eventos de señal,
corregidos para efectos de resolución y aceptación, el
la descomposición del valor (SVD) [27] de la resolución
se ha utilizado trix. Este método utiliza un bidimensional
matriz que relaciona la distribución q2 generada con la
distribución detectada, q2r, como entrada. Después de restar el
estimación de la contribución de antecedentes, el contenedor medido
distribución q2r se transforma linealmente en el desdoblado
distribución q2. Este enfoque proporciona el covari-
matriz de ance para el contenido de la papelera de la distri distri desple-
bution. Los valores singulares (SV) se ordenan disminuyendo
valores. Estos valores contienen la información necesaria para
transformar la distribución medida en el desdoblado
espectro, junto con las incertidumbres estadísticas de la fluc-
teations. No todos los SV son relevantes; valores no significativos
tienen media cero y desviación estándar igual a unidad
[27]. Usando simulaciones de juguete, encontramos que siete SV tienen
se mantendrá con eventos distribuidos en más de diez contenedores. Porque
la medición de los parámetros del factor de forma se basa en
la distribución medida de q2r, no requiere despliegue-
ing, y es independiente de esta elección particular.
0 0,5 1 1,5 2
(GeV
FIG. 6: La eficiencia en función de q2, medida con
eventos de señal simulados, después de todos los criterios de selección aplicados.
V. RESULTADOS SOBRE LA DEPENDENCIA
EL FACTOR DE FORMAS HADRÓNICAS
La distribución desplegada q2, normalizada a la unidad, es
presentado en la Fig. 7 y en el cuadro II. También se da en este
Cuadro de las incertidumbres estadísticas y totales y
correlaciones de los datos en los diez contenedores. El gráfico 7 muestra
el resultado de se ajusta a los datos para dos parametrizaciones de
el factor de forma con un único parámetro libre, el simple
polo y el poste modificado ansatz. Las dos distribu-
ciones están bien de acuerdo con los datos.
Un resumen de estos y otros factores de forma parame-
Las terizaciones se presentan en el cuadro III. Estos resultados serán los siguientes:
se examina en detalle en la sección VB.
El ajuste a un modelo se hace comparando el número
de los acontecimientos medidos en un recipiente dado de q2 con el expecta-
a partir de la integración analítica exacta de la expresión
pK(q
•f+(q)
en el rango de contenedores, con el total
normalización dejada libre. El resultado del ajuste corresponde-
ing a la parametrización del factor de forma utilizando dos
parámetros (véase Eq. 10) se encuentra en la Fig. 8.
A. Incertidumbres sistemáticas
Incertidumbres sistemáticas del factor de forma
En la mayoría de los Estados miembros, las emisiones de gases de efecto invernadero procedentes de la combustión de gases de efecto invernadero procedentes de la combustión de gases de efecto invernadero procedentes de la combustión de gases de efecto invernadero pueden originarse en una simulación imperfecta de gases de efecto invernadero.
fragmentación de c-cuarco y la respuesta del detector, a partir de
incertidumbres en la composición de los antecedentes y en
contribuciones divididas para la muestra de señal seleccionada, el
0 0,5 1 1,5 2
Datos desplegados
2 ) Masa de polo
Modif. masa de los polos
-0,01
0 0,5 1 1,5 2
(GeV
FIG. 7: Comparación entre el desdoblado normalizado q2 des-
Atribución obtenida de este análisis, y los correspondientes
a dos modelos montados. La trama inferior da la diferencia entre
distribuciones medidas y ajustadas. Las barras de error representan
Únicamente errores estadísticos.
0 0,5 1 1,5
βpolo
FIG. 8: Contornos a 70% y 90% CL resultantes del ajuste de
la parametrización de la dependencia del factor de forma q2 con
dos parámetros según se indica en Eq. (10). El valor pole = 0
corresponde al polo modificado ansatz.
incertidumbre en el modelado de la decaimiento de la señal y el
CUADRO II: Matrices estadísticas y de incertidumbre total para la distribución normalizada de la desintegración (corregidas para su aceptación y finitas)
efectos de resolución) en diez contenedores de q2 de 0 a 2 GeV2, y para la relación RD (véase la sección VI). Distribución total de la desintegración
se ha normalizado a la unidad para q2 variando sobre diez intervalos de 0,2 GeV2. Las matrices de incertidumbre están previstas para ambas
incertidumbres estadísticas (por encima de la mitad) y totales (por debajo de la mitad). La incertidumbre sobre cada valor medido se da a lo largo de la diagonal.
Los términos no diagonales corresponden a los coeficientes de correlación.
q2 bin (GeV2) [0, 0,2] [0, 2,4] [0,4, 0,6] [0,6, 0,8] [0,8, 1,0] [1,0, 1,2] [1.2, 1.4] [1.4, 1.6] [1.6, 1.8] [1.8, 2.0]
RD y 0,9269
fracciones 0.2008 0,1840 0,1632 0,1402 0,1122 0,0874 0,0602 0,0367 0,0146 0,0007
estadística 0,0072 0,166 0,122 0,111 0,107 0,107 0,102 0,101 0,116 0,081 0,060
incertidumbres 0,0031 -0,451 -0.155 0,117 0,005 0,023 0,002 0,002 -0,002 -0,002
y 0,0037 -0,225 -0,304 0,095 0,041 -0,025 -0,005 0,005 -0,005
correlaciones 0,0033 -0,155 -0,345 0,079 0,058 -0,018 -0,010 -0,006
0,0029 - 0,113 0,352 0,058 0,066 -0,013 -0,024
0,0025 0,073 -0,345 0,018 0,075 0,067
0,0020 -0,029 -0,329 -0,004 0,060
0,0016 0,110 -0,339 -0,347
0,0011 0,217 0,012
0,00075 0,965
0,000057
Total 0,0139 - 0,154 0,072 0,034 0,093 0,046 0,084 0,231 0,278 0,210 0,184
incertidumbres 0,0041 -0,462 -0,257 0,022 0,099 0,089 -0,232 -0,092 -0,056 -0,048
y 0,0040 -0,102 -0,247 0,005 0,010 0,015 -0,035 -0,055 -0,048
correlaciones 0,0035 -0,122 -0,377 0,050 0,074 -0,043 -0,033 -0,027
0,0030 - 0,127 0,320 0,092 0,056 -0,038 -0,048
0,0026 0,041 - 0,331 0,033 0,089 0,079
0,0022 0,084 -0,264 0,010 0,057
0,0018 0,159 -0,235 -0,254
0,0012 0,369 0,194
0,0009 0,973
0,000065
CUADRO III: Valores ajustados de los parámetros correspondientes a diferentes parametrizaciones de f+(q)
2). La última columna da la
χ2/NDF del ajuste cuando se utiliza el valor esperado para el parámetro.
Parámetros de unidades teóricas χ2/NDF
ansatz [χ2/NDF]
Expansión z r1 = −2,5± 0,2 ± 0,2 5.9/7
r2 = 0,6± 6,± 5.
Polo modificado αpole = 0,377 ± 0,023 ± 0,029 6,0/8
Polo simple GeV/c2 mpole = 1,884 ± 0,012 ± 0,015 7,4/8 2,112 [243/9]
ISGW2 GeV−2 αI = 0,226 ± 0,005 ± 0,006 6,4/8 0,104 [800/9]
medición de la distribución q2. Estudiamos el origen
y el tamaño de los diversos efectos sistemáticos, corregir la MC sim-
sión, si es posible, evaluar el impacto de la incertidumbre
del tamaño de la corrección sobre los resultados de ajuste, y adoptar la
cambio observado como una contribución a la
seguridad sobre los parámetros adecuados para los diferentes parámetros
eterizaciones en estudio. Algunos de estos estudios hacen uso de
de las evaluaciones estándar BABAR de la eficiencia de detección,
otros se basan en muestras especiales de control de datos, por ejemplo
hadronic decaes D0 → K o K0.
1. afinación de la hadronización c-cuark
La selección de la señal se basa en variables relacionadas con
Fragmentación c-cuarco y propiedades de desintegración de la señal
Acontecimientos. Los acontecimientos simulados han sido ponderados para acordar
con las distribuciones observadas en los datos. Los pesos tienen
se obtuvo utilizando eventos con una D0 de- reconstruida
Cayéndose en K. Después de aplicar estas correcciones,
la distribución del discriminante Fisher que contiene
Estas variables se comparan para datos y simulación. Los
la diferencia restante se utiliza para evaluar la
la incertidumbre sistemática. Corresponde a la varia-
ciones sobre las cantidades instaladas obtenidas corrigiendo o no
para esta diferencia, que está por debajo del 5% en el rango de
Esta variable.
2. Algoritmo de reconstrucción
Es importante verificar que la variación q2 de la
la eficiencia de selección está bien descrita por la simulación.
Esto se hace analizando D0 → K0 como si fueran
Acontecimientos de K−ee. Los dos fotones de la
0 son re-
se mueven y los eventos se reconstruyen utilizando el algoritmo
aplicado a la descomposición semileptónica D0. La “falta” η0
y el pion cargado juegan, respectivamente, los papeles de la
neutrino y el electrón. Para preservar la kine correcta...
los límites máticos, es necesario tener en cuenta que
el “falso” neutrino tiene la masa η0 y que el “falso”
El electrón tiene la masa.
Datos y eventos simulados, que satisfacen los mismos
los criterios de selección de análisis, como para Kevie, han sido com-
pared. Para esta prueba, se eliminan los cos(e) y pe de
el discriminante Fisher, porque las distribuciones para estos
dos variables son diferentes de los eventos de la señal.
La relación de eficiencias medida en datos y simula-
tion se ajusta con una expresión lineal en q2. La correspondencia...
ing pendiente (0,71±0,68 %), indica que no hay
sesgo de icant cuando se aplican los criterios de selección de eventos.
La pendiente medida se utiliza para definir una corrección y para
estimar la correspondiente incertidumbre sistemática.
3. Resolución sobre q2
Para medir las posibles diferencias entre los datos y
simulación sobre la precisión de reconstrucción q2, D0 →
Los eventos K0 se usan de nuevo. Distribución de la dif-
ferencia q2r − q2, obtenida mediante la selección de eventos en un determinado
bin de q2 se comparan. Estas distribuciones son sistema-
aticamente un poco más estrecho para los eventos simulados y el
fracción de eventos en las colas distantes son mayores para los datos
(véase la Fig. 9).
Con la muestra D0 → K estudiamos, en datos y
simulación, la precisión de la dirección D0 y falta
reconstrucción energética para el análisis D0 → K−ee.
Esta información se utiliza en los ajustes con restricción de masa y
Por lo tanto, influye en la reconstrucción q2. Una vez la simulación...
se ajusta para reproducir los resultados obtenidos en los datos
para estos parámetros, las distribuciones de resolución q2 están de acuerdo
muy bien, como se muestra en la Fig. 9. La mitad de las medidas
variación de los parámetros ajustados a partir de estas correcciones
se ha tomado como una incertidumbre sistemática.
4. Identificación de partículas
Efectos de una diferencia dependiente del impulso
entre datos y eventos simulados en el lepton cargado
y en la identificación de kaon se han evaluado. Semejante
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4
q2r-q
2 (GeV2)
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4
q2r-q
2 (GeV2)
FIG. 9: Distribución de la diferencia entre el verdadero y el verdadero
el valor reconstruido de q2. D0 → Eventos de datos K0
corresponden a cuadrados oscuros y círculos abiertos se utilizan para
simulados. Relación (datos/MC) de las dos distribuciones
se muestran. Las distribuciones en a) comparar datos y
eventos simulados antes de aplicar las correcciones medidas con
D0 → eventos K, mientras que estas correcciones han sido ap-
plied para parcelas en b).
Las diferencias, que suelen ser inferiores al 2%, han sido me-
segura para muestras seleccionadas, de alta pureza de electrones y
Kaons. Estas correcciones se han aplicado y el
la variación se ha tomado como la estimación de la
la incertidumbre sistemática.
5. Estimación de antecedentes
El fondo bajo la señal D tiene dos compo-
nents que tienen, respectivamente, no pico y pico
comportamiento.
El fondo que no habla se origina de non-cc
eventos y de los eventos de encanto continuo en los que el
El candidato no viene de una cascada D
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por
comparando datos y tasas de eventos simuladas para (m) >
0.18 GeV/c2 (véase Fig. 1), una corrección de 1,05 disuade-
extraído de la simulación para el fondo de no hablar.
Esta corrección se aplica y una incertidumbre de ±0,05 es
utilizado como la correspondiente incertidumbre sistemática.
Acontecimientos que incluyen un pion lento originario de D
la decadencia contribuye de varias maneras a la recuperación
tierra. La tasa de producción de los mesons D en el sim-
sión está de acuerdo con las expectativas basadas en
garantías de CLEO [28]. La incertidumbre de ±0,06 en
Esta comparación está dominada por el sistema uncer-
el resultado de CLEO.
Para estudiar los efectos restantes, el pico de espalda-
componentes de tierra se han dividido de acuerdo con el
proceso del cual se originan y han sido ordenados
al disminuir el nivel de importancia:
• el K− y el electrón proceden de un D0 de-
cay (54%). La fuente principal proviene de D0 →
K0ee. Hemos corregido la rama de desintegración...
fracción de ing utilizada para este canal en el MC (2,02%)
utilizando mediciones recientes (2,17± 0,16% [1]). Los
la incertidumbre sobre este valor se ha utilizado para evaluar
la correspondiente incertidumbre sistemática.
• el electrón proviene de un fotón convertido o un
Decaimiento de Dalitz (24%). Se ha supuesto que la
la simulación contabiliza correctamente este componente;
• el K− no se origina de un hadron encanto
(14%). Esto sucede normalmente cuando hay otro
Kaon cargado negativo que acompaña al D. Nosotros
han estudiado la producción de carga kaon accom-
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
asegurar un factor de corrección de 0,87±0,02 y 0,53±0,02,
respectivamente, para el mismo signo y signo opuesto K-
Pares D*. La simulación se modifica en consecuencia
y la incertidumbre sistemática que sigue existiendo a raíz de
la fuente se vuelve insignificante;
• candidato kaon falso (principalmente piones) (6%) o falso
electrones (1%). Diferencias entre los datos y MC
sobre la evaluación de las tasas falsas se han estudiado
en BABAR. Como esto afecta a los pequeños componentes de la
la tasa de crecimiento máximo total de los fondos, el efecto de estos
las diferencias se han descuidado.
6. Procedimiento de ajuste y eventos radiativos
Para ajustar los parámetros del factor de forma comparamos el num-
de los acontecimientos esperados en cada contenedor con la medición
uno después de todas las correcciones. En este enfoque es siempre
asume que la variación q2 de f+(q
2) se administra ex-
actly por la parametrización del factor de forma. Este hy-
la potesis no es correcta, a priori, para decaimientos radiativos como
q2 = (pD − pK)2 = (pe+ p v + pγ)2 no es (quizás) igual
a la variable que entra en f+ para tales decaimientos. PHO...
TOS se utiliza para generar decaimientos con fotones adicionales
y el poste modificado ansatz se toma para parametrizar
el factor de forma hadrónico en los eventos de señal. Para cuantificar
posible distorsión del ajuste comparamos el valor ajustado
de un parámetro de factor de forma con el obtenido de una
Ajustarse a la distribución q2 generada (véase el cuadro IV).
CUADRO IV: Diferencias medidas entre el valor nominal y el valor nominal
valores ajustados de los parámetros. Las incertidumbres citadas corresponden a
a las estadísticas MC. La última columna da el impacto de la
efectos radiativos en las mediciones del factor de forma según lo previsto
por FOTOS.
Parámetro Diferencia medida
Radiación (verdaderamente ajustada)
(r1) (×0,01) 1,2± 13,0 −0,4± 2,7
(r2) +1,7± 3,6 +1,9± 0,7
(αpolo) (×0,01) −1,2± 1,4 −1,1± 0,3
(MeV/c)
2) +4,5± 6,3 +4,6± 1,4
(αI) (×0,001GeV
−2) −2,7± 3,1 −2,4± 0,7
Correcciones correspondientes, indicadas en la segunda columna
del cuadro IV, se han aplicado y citado incertidumbres
entrar en la evaluación sistemática de la incertidumbre.
Evaluar la importancia de las correcciones inducidas por
efectos radiativos, hemos comparado también el valor ajustado
de un parámetro en distribuciones q2 generadas con y
sin usar FOTOS. Se dan las diferencias medidas
en la última columna del cuadro IV. No lo han sido.
se aplica a los valores citados en el cuadro III para los diferentes
parámetros. Medimos también que los efectos radiativos afectan
principalmente la fracción del espectro de desintegración en el primer cubo
en el cuadro II, que debe aumentarse en 0,0012 para corregir
para este efecto.
7. Control de la exactitud estadística en el enfoque SVD
Una vez fijado el número de SV, se debe verificar que
la precisión estadística obtenida para cada uno de los
El valor plegado es correcto y si los sesgos generados por
La información está bajo control. Estos estudios se realizan
con simulaciones de juguete. Se observa que la incertidumbre
CUADRO V: Resumen de las incertidumbres sistemáticas sobre los parámetros adaptados.
Fuente (mpole) pole (αI) (r1) (r2)
(MeV/c2) (×0,01) (×0,001 GeV−2) (×0,01)
c-afinación de la hadronización 3,0 0,6 1,1 6,7 1,4
Algoritmo de reconstrucción 7,8 1,6 3,1 6,5 0,2
Resolución sobre q2 3,4 0,7 1,4 3,0 2,1
ID de partículas 5,5 1,1 2,3 3,8 0,4
Estimación de antecedentes 7,7 1,4 3,0 12,7 2,0
Procedimiento de fijación 6.3 1.4 3.1 13.0 3.6
Total 15,0 2,9 6,0 21,0 4,9
obtenido de un ajuste de la distribución desplegada es un-
desestimado por un factor que depende de las estadísticas
de eventos simulados y es de 1,06 en el actual anal-
Ysis. Las distribuciones de tirón indican también que el desdoblado
los valores, en cada cubo, tienen sesgos que están por debajo del 10% de
la incertidumbre estadística. Estudios similares se realizan para
la determinación de los parámetros del factor de forma.
8. Resumen de los errores sistemáticos
Incertidumbres sistemáticas para determinar la forma
Los parámetros de tor se resumen en la Tabla V.
La matriz de error sistemática para los diez se desplegó val-
se calcula considerando, a su vez, cada fuente de
la incertidumbre y mediante la medición de la variación,
responder valor desdoblado en cada bin (i). Los elementos
de la matriz de incertidumbre son la suma, sobre todas las fuentes
de la incertidumbre sistemática, de las cantidades Los
matriz de error total se evalúa como la suma de las matrices
correspondientes, respectivamente, a estadísticas y sistemáticas
incertidumbres.
B. Comparación con las expectativas y con otras
mediciones
El resumen de los ajustes a la q2 normalizada distri-
butiones se presentan en el cuadro III. Siempre y cuando lo permitamos
los parámetros del factor de forma a ser libres en el ajuste, el ajuste-
las distribuciones ted concuerdan bien con los datos y no es
posible rechazar cualquiera de las parametrizaciones.
Sin embargo, si los parámetros del factor de forma están limitados
a valores específicos predichos, el acuerdo no es bueno.
Para el modelo ISGW2, la dependencia predicha de la
factor de forma en q2 no está de acuerdo con los datos y el ajuste-
valor ted del parámetro αI difiere del predicho
valor, αI = 0,104 GeV
-2 por más de un factor dos.
Como se observa en experimentos anteriores, el polo simple
modelo ansatz, con mpole = mD*
= 2.112 GeV/c2
no reproducir las mediciones. Esto significa que la
contribución de la interacción continua DK puede-
no ser descuidado. Si se introduce un segundo parame...
de las contribuciones de los países en vías de desarrollo y de los países en vías de desarrollo, así como de los países en vías de desarrollo y de los países en vías de desarrollo.
polo a mayor masa (véase Eq. 10) los dos parámetros son
totalmente correlacionado y no hay una solución única, como ilus-
trated in Fig. 8. El poste modificado ansatz corresponde
a ♥pole = 0.
En el cuadro VI, los parámetros ajustados para el polo simple
ansatz y el polo modificado [11] ansatz se comparan
para diferentes experimentos. Las masas de polos son todas
Muy por debajo de la masa del mesón D*s. Los resultados pre-
enviado aquí son consistentes dentro de las incertidumbres declaradas
con mediciones anteriores. Excepto por el BELLE mea-
garantía, todas las demás medidas parecen favorecer un valor
de αpolo que es menor que el valor predicho por la celosía
QCD, a saber, αpole = 0,50± 0,04.
CUADRO VI: Valores ajustados para los parámetros correspondientes
respectivamente a una masa de polos y a un modelo de masa de polos modificado
para el factor de forma.
Experimento mpole (GeV/c)
2) αpolo
CLEO [4] 1,89 ± 0,05+0,04−0,03 0,36 ± 0,10
+0,03
−0,07
FOCUS [5] 1,93 ± 0,05 ± 0,03 0,28 ± 0,08 ± 0,07
BELLE [6] 1,82 ± 0,04 ± 0,03 0,52 ± 0,08 ± 0,06
Este análisis 1,884 ± 0,012 ± 0,015 0,38 ± 0,02 ± 0,03
In Fig. 10, la dependencia del factor de forma en q2 es
Presentado. Los datos se comparan con medidas anteriores:
• por el experimento FOCUS, así como con
dicciones de cálculos QCD de celosía [19]. Como se ha indicado
arriba, los datos favorecen un valor algo menor para αpole.
Los datos también se han mapeado en la variable z.
La figura 11 muestra el producto P f+ en función de
z. Por convención, esta cantidad está limitada a la unidad
a z = zmax, que corresponde a q
2 = 0. Realizamos una
ajuste a un polinomio, P × Φ × f+ + 1 + r1z + r2z2. Los
datos son compatibles con una dependencia lineal, que es
totalmente consistente con el polo modificado ansatz para f+(q
como se ilustra en la Fig. 11.
VI. MEDICIÓN DE LA FRACCIÓN
Se mide la fracción de ramificación D0 → K−ee
relativa al canal de desintegración de referencia, D0 → K.
0 0,5 1 1,5 2
q2(GeV2)
BABAR
FOCUS
Latice-QCD (αpole = 0,50(4))
FIG. 10: Comparación de la variación medida de
2)/f+(0) obtenido en el presente análisis y en la FO-
Experimento CUS [5]. La banda corresponde a la red QCD
[19] con la incertidumbre estimada.
Específicamente, comparamos la relación de tasas para el decaimiento
cadenas D → D0, D0 → K−ee, y D0 → K
en datos y eventos simulados, de esta manera, muchos sistemáticos
las incertidumbres se anulan,
BR(D0 → K−ee)datos
BR(D0 → K)datos
BR(D0 → K−ee)MC
BR(D0 → K)MC
N(cc̄)Ke/
N(cc̄)Kη
L(datos)Kl
L(datos)Ke/
N(D0 → K−ee)datos
N(D0 → K−ee)MC
N(D0 → K)MC
N(D0 → K)datos
(D0 → K−ee)MC
(D0 → K−ee)datos
(D0 → K)datos
(D0 → K)MC
La primera línea en esta expresión es la relación de la
fracción de ramificación para los dos canales utilizados en el sim-
ulation:
BR(D0 → K−ee)MC
BR(D0 → K)MC
0,0364
0,0383
. 16)
La segunda línea es la proporción del número de cc̄ simu-
eventos tardíos y las luminosidades integradas para los dos
canales:
N(cc̄)Ke/
N(cc̄)Kη
L(datos)Kl
L(datos)Ke/
117,0× 106
117,3× 106 ×
73,43 fb−1
74.27 fb−1
-0,05 -0,025 0 0,025 0,05
) Modif. ajuste de postes
BaBar
FIG. 11: Los valores medidos para Pf+ son trazados versus −z
y requiriendo que P f+ = 1 para z = zmax. La recta
líneas representan el resultado para el poste modificado ansatz, el ajuste
en el centro y la incertidumbre estadística y total.
La tercera línea corresponde a los coeficientes de medición
número de eventos de señales en los datos y en la simulación, y
la última línea da los ratios de las eficiencias a los datos y
simulación.
A. Selección de eventos de señales candidatas
Se explica la selección de los candidatos D0 → K−ee
en la sección IVA. Para la medición de la velocidad, la
no se aplica sobre la masa D y también el
impulso del candidato suave pion no está incluido
en la variable discriminante Fisher diseñada para suprimir
BB̄-en el fondo. Desde eventos genéricos de señales simuladas
utilizado en esta medición se han generado con el
Modelo ISGW2, se han ponderado para que su q2
distribución está de acuerdo con la medición presentada en
Este periódico. Por otra parte, necesitamos para el Fisher dis-
criminante FBB̄ > 0 y restringir (m) < 0,16 GeV/c
Después de la resta de fondo, quedan 76283± 323
y 95302 ± 309 eventos en datos y simulación,
Tily. Esto da:
N(D0 → K−ee)datos
N(D0 → K−ee)MC
= 0,8004± 0,0043. (18)
Para seleccionar candidatos D0 → K, los mismos datos sam-
ples se utilizan y las partículas, en cada evento, se seleccionan en
De la misma manera. Los mismos criterios de selección para el pescador
1,75 1,8 1,85 1,9 1,95
D0→K-
D0→K-
D0→K-K+
D0-
Otros
m(Kπ) (GeV/c2)
0,14 0,1425 0,145 0,1475 0,15
D0→K-
D0→K-
Los demás bkg
m(D08)-m(D0) (GeV/c2)
0,14 0,16 0,18 0,2
MC bkg
m(D08)-m(D0) (GeV/c2)
0,14 0,1425 0,145 0,1475 0,15
m(D08)-m(D0) (GeV/c2)
FIG. 12: Eventos seleccionados para el canal de referencia D → D0, D0 → K. a) Distribución en masa de los acontecimientos seleccionados
en el intervalo de valores de la letra m) del punto [0.143, 0.148] GeV/c2. b) Distribución de los eventos seleccionados en el rango m(K) [1.83, 1.89] GeV/c2.
c) la misma distribución que en b), mostrada en un rango de masa más grande con el fondo no parlante indicado (área sombreada). d)
Distribución de los datos (puntos con errores estadísticos) y de los eventos simulados (sombreado) después de la sustracción de fondo no peticionaria
histograma).
discriminante para suprimir eventos BB̄, en el eje de empuje
se aplican en dirección y en otras variables comunes.
Los eventos también se analizan de la misma manera, con dos hemi-
esferas definidas desde el eje de empuje. En cada hemisferio
a candidato D0 se reconstruye combinando un cargo
K con un pion de signo opuesto. Estas pistas tienen que
forma un vértice y la masa Kη debe estar dentro del rango
[1.77, 1.95] GeV/c2. Otro pion cargado de appropri-
se añade el signo de comer para formar un candidato D.
Además, se utilizan los siguientes criterios de selección:
• la fracción del impulso del haz, en la C.M.
, tomada por el candidato D* debe ser superior a 0.48
eliminar las contribuciones de los eventos de BB̄;
• la masa D0 medida debe estar en el rango
entre 1,83 y 1,89 GeV/c2. Este requisito
elimina las posibles contribuciones de los restantes
D0 → K−K+ o decae (véase Fig. 12 a);
• el vértice adecuado para el D0 y D* tienen que converger.
La distribución de los eventos candidatos se muestra en:
Fig. 12-c. Los siguientes componentes contribuyen a la
Señal D (véase Fig. 12 b):
• D0 → K sin fotón extra;
• D0 → K con al menos un fotón extra;
• D0 → K(γ) donde el, principalmente de la
D, decae en un muón.
La distribución de la letra m) correspondiente a otro evento
categorías no muestran un componente de pico en el
D región de la señal. El nivel de fondo total no es
malizada a los datos utilizando eventos en el intervalo de (m) entre
0,165 y 0,200 GeV/c2 (véase Fig. 12 c). Esta escala global...
ing factor es igual a 1,069±0,011. Después de los antecedentes sub-
la tracción, las distribu-
ulación puede compararse en la Fig. 12 d. Desde el D sig-
nal es más estrecho en la simulación, usamos una ventana de masa
de tal manera que esta diferencia tiene un pequeño efecto en la mea-
número asegurado de eventos D en los datos y en la simulación-
tion. Hay 166960±409 y 134537±374 candidatos
seleccionado en el intervalo (m) [0.142, 0.149] GeV/c2 para
simulados y eventos de datos, respectivamente. Esto significa:
N(D0 → K)MC
N(D0 → K)datos
= 1,230± 0,0046. (19)
B. Correcciones de eficiencia
Repercusiones del requisito de selección en la revisión
ha sido estudiado. La masa de Kln des-
señal de asignación para eventos simulados (sin incluir radia-
se comparan los fotones) con los distri-
bution obtenido con datos después de la resta de fondo.
Las contribuciones de antecedentes se han tomado de la simulación
tion. La fracción de candidatos D0 en la masa seleccionada
rango (entre 1,83 y 1,89 GeV/c2) es (97,64±0,25) %
en MC y (97,13± 0,29) % en eventos de datos. La proporción de
la eficiencia es igual a:
(D0 → K)datos
(D0 → K)MC
= 0,9947± 0,0039. (20)
Desde los eventos D0 → K−ee se han seleccionado utilizando
un requisito de selección en el apartado m), tenemos que confirmar que
la distribución de esta variable es similar en datos y
simulación. Esto se comprueba comparando la distribución
ciones obtenidas con eventos D0 → K0 analizados como
si eran decaimientos semileptónicos. Las distribuciones de la letra m)
se comparan en la Fig. 13. Por debajo de 0,16 GeV/c2, hay
0,93552±0,00066 de los candidatos D en la simulación
y 0,93219±0,00078 para los datos. Coeficiente correspondiente
de eficiencias (MC/datos) es igual a 1,0036± 0,0010.
Utilizando eventos D0 → K0, también medimos la dif-
diferencia entre la fracción de eventos retenidos después de la
Convulsiones en masa. Es decir, es 0,98038± 0,00037 en
la simulación en comparación con 0,97438 ± 0,00049 en los datos.
La eficiencia relativa (MC/datos) para esta selección es
1.0062 ± 0,0006. Sobre la base de estas dos medidas correc-
La relación de eficiencias es la siguiente:
(D0 → K−ee)MC
(D0 → K−ee)datos
= 1,0098± 0,0011. (21)
Las incertidumbres citadas, en esta sección, son de carácter estadístico.
origen y se incluirá en la incertidumbre estadística
en RD. Otras diferencias entre los dos analizados chan-
nels se consideran en la sección siguiente y contribuyen
a las incertidumbres sistemáticas.
0,15 0,2 0,25 0,3
0,15 0,2 0,25 0,3
(m) (GeV/c2)
FIG. 13: Distribución de los eventos D0 → K0 ana-
lyzed como si fueran decaimientos semileptónicos. Las distribuciones tienen
se ha normalizado a la unidad; tenga en cuenta que el tamaño de la papelera no es uni-
forma. El gráfico inferior muestra la relación de las dos distribu-
ciones anteriores.
C. Incertidumbres sistemáticas en materia de I+D
Un resumen de las incertidumbres sistemáticas en materia de I+D son:
que figuran en el cuadro VII. Proceden de criterios de selección
que son diferentes para los dos canales. Algunos de estos
las incertidumbres son las mismas que las ya consideradas
para la determinación de la variación q2 de f+.
1. Incertidumbres sistemáticas relacionadas entre sí
Incertidumbres sistemáticas sobre la tasa de decaimiento que se avecina
de los efectos que contribuyen a la medición de la
dependencia q2 de f+(q)
2) se evalúan en la sección VA
y la matriz de covarianza completa para las mediciones de
el número de eventos de señal D0 → K−ee y el frac-
sión del espectro de desintegración instalado en cada uno de los diez contenedores
está determinado. Entre las fuentes de un-
los derechos de propiedad intelectual, enumerados en el cuadro V, los correspondientes a:
• el algoritmo de reconstrucción,
• la afinación de la resolución sobre q2,
• las correcciones aplicadas a la identificación electrónica,
• la normalización de los antecedentes
se toman como fuentes comunes. Relativo correspondiente
En el cuadro VII se presentan las incertidumbres sobre la I+D.
Otras incertidumbres sistemáticas que contribuyen a la
La medición del factor de forma también afecta a la
nel y por lo tanto sus efectos en RD cancelan. Están relacionados con:
la afinación de la c-hadronización y las correcciones aplicadas
en la identificación de Kaon.
2. Requisitos de selección del discriminante Fisher
La estabilidad de la fracción de eventos D0 → K−ee
seleccionados en los datos y en la simulación en función de la
Fisher discriminante, Fcc, diseñado para suprimir cc̄ espalda-
se ha examinado el terreno. Esto se hace comparando
las distribuciones de esta variable medida en datos y en
simulación tal como se indica en la Fig. 4 para dos intervalos seleccionados en
(m).
El valor correspondiente a Fcc > 0 y para eventos se-
se utiliza en el intervalo de tiempo de medición de la frecuencia de medición de la frecuencia de muestreo (m) < 0,16 GeV/c2 como la
el resultado central y la mitad de la diferencia entre
seguridades correspondientes a Fcc superiores a – 0,25 y +
0,25 se considera una incertidumbre sistemática. Este rango de cor...
responde a un cambio relativo del 40% de la eficiencia para
eventos de señal, y da una incertidumbre de ±0,0061 en el
relación de datos y candidatos a señales simuladas.
3. D contando en D0 → K
Los candidatos de D se seleccionan en el rango.
[0.142, 0.149] GeV/c2. De la simulación es ex-
que la fracción de los eventos de la señal fuera de este
el intervalo es igual al 1,4%. A pesar de que el D sig-
nal es ligeramente más estrecho en la simulación, no hay
una gran discrepancia en las colas. La fracción de la señal
eventos medidos en las bandas laterales (m) [0.140, 0.142]
[0,149, 0,150] GeV/c2 es del 0,4% y del 0,5%, respectivamente, para
simulación y datos. Una incertidumbre de ±0,004, cor-
respuesta al 30% de incertidumbre sobre la fracción total de
se asumen los eventos fuera del intervalo seleccionado de (m).
CUADRO VII: Resumen de las incertidumbres sistemáticas sobre la
medición relativa de la tasa de decaimiento.
Fuente Variación relativa
Algoritmo de reconstrucción ±0,42%
Resolución sobre el punto q2 0
ID de electrones ±0,56%
Sustracción de fondo ±0,63%
Cortar la variable Fisher ±0,76%
D contando (D0 → K) ±0,40%
Total ±1,27%
D. Medición de la tasa de decadencia
Combinación de todas las fracciones medidas en Eq. (15), el mea-
tasa de desintegración relativa asegurada es:
RD = 0,9269± 0,0072± 0,0119. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Usando el promedio mundial para la fracción ramificada
BR(D0 → K) = (3,80± 0,07)% [1], da BR(D0 →
K−ee(γ) = (3.522 ± 0.027 ± 0.045± 0.065)%, donde
la última incertidumbre citada corresponde a la exactitud
en BR(D0 → K).
VII. Resumen
La distribución de la tasa de desintegración para el canal D0 →
K−ee(γ) se ha medido en diez cubos del cuadro II.
Varias expectativas teóricas para la variación de este
factor de forma con q2 se han considerado y valores para
se han obtenido los parámetros correspondientes (ver
Cuadro III). La variación q2 del factor de forma puede ser
parametrizado con un solo parámetro usando diferentes ex-
Presiones. El modelo ISGW2 con valores esperados para
los parámetros están excluidos, al igual que el parame de la masa del polo-
terización con mpole = mD*
El valor de la fracción de ramificación de desintegración también ha sido
medida independientemente de un modelo.
Combinando estas mediciones, el valor de la
factor de forma hadronic se obtiene:
f+(0) =
Vcs
, (23)
donde BR es la ramificación medida D0 → K−ee
fracción, D0 = (410,1± 1,5)× 10−15 s [1] es la duración de
tiempo e I =
pK(q
•f+(q)
2)/f+(0)
dq2. A
tener en cuenta la variación del factor de forma dentro de uno
bin, y en particular para extrapolar el resultado en q2 = 0,
la masa del polo y el ansatze del polo modificado han sido
utilizados; los valores correspondientes obtenidos para f+(0) difieren
por 0,002. Tomando el promedio entre estos dos valores
e incluyendo su diferencia en el sistema de
tenacidad, esto da
f+(0) = 0,727± 0,007± 0,005± 0,007, (24)
donde la última incertidumbre citada corresponde a la ac-
curatela en BR(D0 → K), D0 y Vcs. Está de acuerdo.
con expectativas y en particular con LQCD compu-
tas [19]. Usando la expansión z de Eq. (6), encontramos
a0 = (2,98± 0,01± 0,03± 0,03)× 10−2.
La alta precisión de la medición actual será
una prueba de referencia para la mejora de las determinaciones de celosía de la
variación q2 de f+.
VIII. AGRADECIMIENTOS
Los autores desean agradecer a R. J. Hill, D. Becirevic, C.
Bernard, Ph. Boucaud, S. Descotes-Genon, L. Lellouch,
J.-P. Leroy, A. Le Yaouanc y O. Pène por su ayuda
con la interpretación teórica de estos resultados.
Estamos agradecidos por las extraordinarias contribuciones de
nuestros colegas del PEP-II en el logro de los excelentes luminos-
ity y las condiciones de la máquina que han hecho que este trabajo pos-
Sible. El éxito de este proyecto también depende críticamente de
la experiencia y la dedicación de la organización informática-
ciones que apoyan a BABAR. Las instituciones colaboradoras
agradecer al SLAC su apoyo y el amable hospital
se extendió a ellos. Este trabajo cuenta con el apoyo de los EE.UU.
Departamento de Energía y Fundación Nacional de Ciencia,
El Consejo de Investigación de Ciencias Naturales e Ingeniería
cil (Canadá), Instituto de Física de Alta Energía (China),
la Comisión à l’Energie Atomique e Institut Na-
tional de Physique Nucléaire et de Physique des Partic-
ules (Francia), el Bundesministerium für Bildung und
Forschung y Deutsche Forschungsgemeinschaft (Ger-
muchos), el Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (Italia),
Fundación para la Investigación Fundamental sobre la Materia
(Países Bajos), el Consejo de Investigación de Noruega,
Ministerio de Ciencia y Tecnología de la Fed rusa
ración, Ministerio de Educación y Ciencia (España), y
el Consejo de Investigación Física y Astronómica de Partículas
(Reino Unido). Las personas han recibido apoyo
del programa Marie-Curie IEF (Unión Europea)
y la Fundación A. P. Sloan.
[1] W.-M. Yao et al., Revista de Física de Partículas, Journal of
Física G 33, 1 (2006).
[2] Los estados conjugados de carga están implícitos en todo esto
análisis.
[3] J. G. Koerner y G. A. Schuler, Z. Phys. C46, 93
(1990);
F. Gilman y R. L. Singleton Jr., Phys. Rev. D41, 142
(1990).
[4] G. S. Huang et al., CLEO colaboration, Phys. Rev. Lett.
94, 011802 (2005).
[5] J. M. Link et al., colaboración FOCUS, Phys. Lett.
B607, 233 (2005).
[6] L. Widhalm et al., BELLE colaboration; Phys. Rev.
Lett. 97, 061804 (2006).
[7] R. J. Hill, Proceedings of 4th Flavor Physics and
Conferencia sobre Violación de la CP (FPCP 2006), Vancouver,
Columbia Británica, Canadá, 9 a 12 de abril de 2006, págs.
[hep-ph/0606023].
[8] C. G. Boyd y M. J. Savage, Phys. Rev. D56, 303
(1997) y sus referencias.
[9] C. G. Boyd, B. Grinstein y R. F. Lebed, Nucl. Phys.
B461, 493 (1996).
[10] La variación de χV con u = ms/mc es pequeña, ya que
χV (0,33) = 1,02× χV (0).
[11] D. Becirevic y A. B. Kaidalov, Phys. Lett. B478, 417
(2000).
[12] M. Wirbel, B. Stech y M. Bauer, Z. Phys. C29, 637
(1985); J. G. Körner y G. A. Schuler, Z. Phys. C38,
511 (1988), Erratum-ibid, C41, 690 (1988); M. Bauer
y M. Wirbel, Z. Phys. C42, 671 (1989); J. G. Körner,
K. Schilcher, M. Wirbel e Y. L. Wu, Z. Phys. C48,
663 (1990); W. Jaus, Phys. Rev. D41, 3394 (1990), D53,
1349 (1996); R. Aleksan, A. Le Yaouanc, L. Oliver, O.
Pène nd J.-C. Raynal, Phys. Rev. D51, 6235 (1995); I.
L. Grach, I. M. Narodetskii y S. Simula, Phys. Lett.
B385, 317 (1996); H. M. Choi y C. R. Ji, Phys. Lett.
B460, 461 (1999); D. Melikhov y B. Stech, Phys. Rev.
D62, 014006 (2000); G. Amoros, S. Noguera y J. Por-
Toles, Eur. Phys. J. C 27, 243 (2003); W. Y. Wang, Y.L.
Wu y M. Zhong, Phys. Rev. D67, 014024 (2003); S.
Fajfer y J. Kamenik, Phys. Rev. D71, 014020 (2005).
[13] N. Isgur, D. Scora, B. Grinstein y M. B. Sabio, Phys.
Rev. D39, 799 (1989).
[14] D. Scora y N. Isgur, Phys. Rev. D52, 2783 (1995).
[15] T. M. Aliev, V. L. Eletsky e Y. I. Kogan, Sov. J. Nucl.
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Dosch, Phys. Rev. D44, 3567 (1991).
[16] A. Khodjamirian, R. Rückl, S. Weinzierl, C. W. Wilnhart
y O. Yakovlev, Phys. Rev. D62, 114002 (2000).
[17] J. M. Flynn y C. T. Sachrajda, sabores pesados (2a
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Singapur). Publicado en Adv. Ser. Directo. Alta energía
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[18] A. Abada, et al., Nucl. Phys. B619, 565 (2001).
[19] C. Aubin et al., Phys. Rev. Lett. 94, 011601 (2005).
[20] B. Aubert et al., BABAR Collaboration, Nucl. Instrum.
Métodos A479, 1 (2002).
[21] B. Aubert y otros, BABAR Collaboration, Phys. Rev. D66,
032003 (2002).
[22] S. Agostinelli y otros, Nucl. Instrum. Métodos A506, 250
(2003).
[23] T. Sjöstrand, Comp. Phys. Comun. 82, 74 (1994).
[24] E. Barberio y Z. Era, Comp. Phys. Comun. 79, 291
(1994).
[25] J. M. Link y otros, colaboración de FOCUS, Phys. Lett.
B544, 89 (2002).
[26] G. C. Fox y S. Wolfram, Phys. Rev. Lett. 41, 1581
(1978).
[27] A. Höcker y V. Kartvelishvili, Nucl. Instrum. Métodos
A372, 469 (1996).
[28] M. Artuso y otros, CLEO colaboration, Phys. Rev. D70,
112001 (2004).
[29] T. E. Coan y otros, CLEO colaboration, Phys. Rev. Lett.
95, 181802 (2005).
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0606023
Introducción
El factor de forma hadronica f+(q2)
Parametrizaciones del factor de forma
Expansión de Taylor
Parametrizaciones dependientes de modelos
Expectativas cuantitativas
Modelos Quark
Reglas de suma QCD
QCD de celosía
Parametrizaciones analizadas
El detector BABAR y el conjunto de datos
Reconstrucción de señales
Selección de señales
Rechazo de antecedentes
Medición q2
Resultados sobre la dependencia q2 del factor de forma hadrónico
Incertidumbres sistemáticas
Ajuste de la hadronización c-cuark
Algoritmo de reconstrucción
Resolución sobre q2
Identificación de partículas
Estimación de antecedentes
Procedimiento de ajuste y eventos radiativos
Control de la exactitud estadística en el enfoque SVD
Resumen de los errores sistemáticos
Comparación con las expectativas y con otras mediciones
Medición de la fracción de ramificación
Selección de eventos de señales candidatas
Correcciones de eficiencia
Incertidumbres sistemáticas en materia de I+D
Incertidumbres sistemáticas relacionadas entre sí
Requisitos de selección del discriminante Fisher
D*+ contando en D0K- +
Medición de la tasa de descomposición
Resumen
Agradecimientos
Bibliografía
| La forma del factor de forma hadrónica f+(q2) en el decaimiento D0 --> K- e+ nue
se ha medido en un modelo de análisis independiente y se ha comparado con
cálculos. Utilizamos 75 fb(-1) de datos registrados por el detector BABAR en el
Colisionador de positrones de electrones PEPII. La fracción de ramificación de desintegración correspondiente,
relativa a la descomposición D0 --> K- pi+, también se ha medido para ser RD = BR(D0
--> K- e+ nue)/BR(D0 --> K- pi+) = 0,927 +/- 0,007 +/- 0,012. De estos
los resultados, y utilizando el valor medio mundial actual para BR(D0 --> K-pi+),
normalización del factor de forma en q2=0 se determina que es f+(0)=0,727 +/-
0,007 +/- 0,005 +/- 0,007 donde las incertidumbres son estadísticas, sistemáticas,
y de insumos externos, respectivamente.
| Introducción
El factor de forma hadronica f+(q2)
Parametrizaciones del factor de forma
Expansión de Taylor
Parametrizaciones dependientes de modelos
Expectativas cuantitativas
Modelos Quark
Reglas de suma QCD
QCD de celosía
Parametrizaciones analizadas
El detector BABAR y el conjunto de datos
Reconstrucción de señales
Selección de señales
Rechazo de antecedentes
Medición q2
Resultados sobre la dependencia q2 del factor de forma hadrónico
Incertidumbres sistemáticas
Ajuste de la hadronización c-cuark
Algoritmo de reconstrucción
Resolución sobre q2
Identificación de partículas
Estimación de antecedentes
Procedimiento de ajuste y eventos radiativos
Control de la exactitud estadística en el enfoque SVD
Resumen de los errores sistemáticos
Comparación con las expectativas y con otras mediciones
Medición de la fracción de ramificación
Selección de eventos de señales candidatas
Correcciones de eficiencia
Incertidumbres sistemáticas en materia de I+D
Incertidumbres sistemáticas relacionadas entre sí
Requisitos de selección del discriminante Fisher
D*+ contando en D0K- +
Medición de la tasa de descomposición
Resumen
Agradecimientos
Bibliografía
|
704.0021 | Molecular Synchronization Waves in Arrays of Allosterically Regulated
Enzymes | Olas de Sincronización Molecular en Rayos de Enzimas Alostéricamente Reguladas
Vanessa Casagrande,1 Yuichi Togashi,2, ∗ y Alexander S. Mikhailov2, †
1Hahn-Meitner-Institut, Glienicker Straße 100, 14109 Berlín, Alemania
2Fritz-Haber-Institut der Max-Planck-Gesellschaft, Faradayweg 4-6, 14195 Berlín, Alemania
Formación de patrón espaciotemporal en una reacción enzimática activada por el producto en con-
se investigan las centraciones. Simulaciones estocásticas muestran que los ciclos de rotación catalítica de cada individuo
las enzimas pueden llegar a ser coherentes y que los patrones de onda complejos de sincronización molecular pueden
desarrollar. El análisis basado en la aproximación media del campo indica que los patrones observados
resultado de la presencia de Hopf y bifurcaciones de onda en el sistema considerado.
Números PACS: 82.40.Ck, 87.18.Pj, 82.39.Fk, 05.45.Xt
Máquinas moleculares, como motores moleculares, iones
las bombas y algunas enzimas, juegan un papel fundamental en
células biológicas y también se puede utilizar en la
nanotecnología de la materia [1]. Una máquina de proteínas es un cíclico
dispositivo, en el que cada ciclo consiste en mo-
ciones iniciadas mediante la unión de un ligando generador de energía
[2, 3]. En los motores, esos movimientos internos me generan...
trabajo mecánico [4], mientras que en enzimas permiten o facilitan
eventos de reacción química de itato (véase, por ejemplo, [5, 6]). Mucho
se ha atraído la atención a los estudios de biomembranas
con bombas de iones y motores moleculares, donde la membrana
la inestabilidad y los efectos de sincronización han sido ana-
lyzed [7, 8, 9]. Aquí, una clase diferente de distribución ac-
Los sistemas moleculares tivos —formados por enzimas— son
Sidered. La actividad catalítica de una enzima alostérica
la proteína se activa o inhibe mediante la unión de
moléculas ulatorias; el papel de dichas moléculas reguladoras
pueden ser jugados por productos de la misma reacción [10]. Pre-
investigaciones anteriores de enzimáticas simples reguladas por productos
sistemas [11, 12] y redes enzimáticas [13] en pequeños balnearios
volumen de tial con mezcla de difusión completa han demostrado que
sincronización espontánea de los ciclos de rotación molecular
puede tener lugar allí. Sincronización molecular externa-
ión de enzimas de la P-450 fotosensible dependiente
sistema de monooxigenasa por forzamiento óptico periódico tiene
se ha demostrado experimentalmente [14].
En esta carta, la formación del patrón espaciotemporal en
se investigan los arrays címicos. En tales sistemas, inmóviles
enzimas se unen a un soporte planar sólido inmerso
en una solución a través de la cual se suministra sustrato fresco
y las moléculas de producto se eliminan continuamente. Prod...
moléculas de uct liberadas por una enzima difusa a través de la
y activar los ciclos catalíticos de rotación de
Enzimas aromáticas en la matriz.
Un modelo estocástico simple [12] de una enzima como un cíclico
máquina (un oscilador de fase estocástico), que se muestra en la Fig. 1,
se utiliza. Vinculación de una molécula de sustrato a una enzima i
inicia un movimiento de conformación interna ordenado, de-
asignado por la fase conformacional coordin Łi. Los
el estado inicial corresponde a la fase Łi = 0. El gato...
alytic evento de conversión tiene lugar y el producto es
puesto en libertad en el estado P dentro del ciclo. Después de eso, el
sustrato
enzima
reglamentarios
molécula
retroalimentación
producto
FIG. 1: (Color online) Un boceto del modelo.
movimiento conformacional continúa hasta el equilibrio
finalmente se alcanza el estado de la enzima (el i = 1). Initi-
En el caso de un ciclo de volumen de negocios, se trata de un acontecimiento aleatorio, que se produce
a una cierta tasa de probabilidad. Asumimos que el sustrato
está presente en abundancia, y su concentración no es af-
flecado por las reacciones. Movimiento conformacional en el interior
el ciclo se modela como una deriva de difusión estocástica pro-
cesto, descrito por ecuación
En el caso de que se trate de una empresa de servicios de inversión, el valor de mercado de la empresa de servicios de inversión será igual al valor de mercado de la empresa de servicios de inversión de la empresa de servicios de inversión.
velocidad media de deriva y ηi(t) es un ruido blanco interno
con i(t)ηj(t)
′) = 2ijl(t− t
′) en los que especifique inten-
sidad de las fluctuaciones intramoleculares.
Las enzimas alostéricamente activadas poseen un sitio en su
superficie donde las moléculas reguladoras pueden unirse.
La unión de una molécula reguladora conduce a la conformación
cambio que aumenta la actividad catalítica de la enzima. A
la molécula regulatoria se une a una enzima con
Constante β y disociarse de ella con la constante de la velocidad.
ión de una molécula reguladora en una enzima aumenta su prob-
capacidad de iniciar un ciclo de α0 a α1. Asumimos que
una molécula reguladora puede unirse a una enzima sólo en su
estado de reposo y esta molécula se libera cuando el ciclo
se inicia. El papel de las moléculas reguladoras se juega
por moléculas de producto de la misma reacción. Inmóvil
las enzimas se distribuyen aleatoriamente en el espacio con concen-
c. El producto se difunde en la constante de difusión D y
sufre decaimiento a ritmo constante γ. La característica
longitud de difusión de las moléculas de producto es ldiff =
En nuestras simulaciones estocásticas 2D, el medio fue dis-
Crétese en células espaciales (hasta 256 × 256), cada una con-
http://arxiv.org/abs/0704.0021v2
FIG. 2: simulaciones estocásticas (a,b) y de campo medio (c,d) de
Patrones de onda 2D; a) p = 0,14, c = 1, y β = 300, b)
* p = 0,25, c = 10, y β = 10, c) p = 0,14, c = 1, y
β = 300, (d) p = 0,34, c = 100, y β = 1,42. Otros
los parámetros son α0 = 1, α1 = 1000, = 10, γ = 10, = 0,
D = 100. El tamaño lineal del área mostrada es L = 40 ldiff en
Todos los paneles.
que contiene una serie de moléculas enzimáticas. Las células fueron
tan pequeña que la mezcla de difusión de moléculas de producto en
una célula en el tiempo característico más corto del reac-
sión siempre podría tener lugar. Cada enzima fue descrita
por el modelo estocástico dado arriba; difusión del producto
moléculas fueron modeladas como un paseo al azar sobre un discreto
Enrejado celular. El tiempo medio del ciclo fue elegido como
la unidad de tiempo ( = 1). Sistemas que incluyen hasta 655 360
En las simulaciones se utilizaron enzimas.
Figura 2a,b (ver también Vídeos 1 y 2 en ref. [15]) muestra
dos ejemplos típicos de simulaciones estocásticas 2D. Aquí,
Se muestran distribuciones espaciales de moléculas de producto.
Las ondas de concentración del producto se propagan a través de
el medio. En un pico de una ola, muchos presentes localmente
las enzimas liberan simultáneamente las moléculas del producto.
Dado que la liberación del producto sólo puede tener lugar en un determinado
la etapa dentro del ciclo, esto significa que los ciclos de en-
Las enzimas se sincronizan localmente. No sólo ondas regulares
estructuras, tales como ondas espirales giratorias o
terns (Fig. 2a), pero también regímenes complejos de
lence (Fig. 2b) se han observado.
Para entender e interpretar la simulación estocástica re-
sults, un estudio analítico del sistema en el campo medio
aproximación, que se mantiene en el límite de la enzima alta
concentraciones, se ha realizado. En esta aproxima...
sión, el sistema se caracteriza por tres vari-
no aptos n0(r, t), n1(r, t) y m(r, t) que representan locales
concentraciones de enzimas en el estado de reposo sin o
con moléculas reguladoras conectadas (n0 y n1) y locales
concentración del producto (m). Para la simplicidad, interna
se descuidan las fluctuaciones de las enzimas ( = 0). Por lo tanto, todos
enzimas que han comenzado sus ciclos en algún momento t
liberaría sus productos en un momento determinado tp (con
(p = p/v) y terminar sus ciclos, volviendo al resto
estado, en el momento t + ♥. Por lo tanto, se describe el sistema
por un conjunto de tres ecuaciones de reacción-difusión con el tiempo
retrasos,
= βmn0 − n1 − α1n1 (1a)
= mn0 + Łn1 − α0n0 + α0n0(t− )
1n1(t− ) (1b)
= mn0 + Łn1 + α1n1 − γm+ α0n0(t− p)
1n1(t− p) +D
2m. (1c)
El sistema siempre tiene un estado estacionario uniforme
con determinadas concentraciones n0, n1 y m, que pueden ser
encontrado como soluciones de las ecuaciones algebraicas respectivas.
Este estado corresponde a la ausencia de sincronización.
Sin embargo, puede volverse inestable si la activación alostérica
es lo suficientemente fuerte. Para analizar la estabilidad, pequeña perturba-
se añaden al estado estacionario las siguientes disposiciones:
las ecuaciones (1) son linealizadas y sus soluciones son buscadas
en la que se indica el valor de la exp (qt− iqx) con el valor de la exp (qt− iqx) con el valor de la exp (qt− iqx) con el valor de la exp (qt− iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp.
Por lo tanto, cada modo espacial con wavevevector q es carácter-
por su frecuencia y su tasa de crecimiento μq. Los
propiedades μq y q son dadas por las raíces de un charac-
ecuación terística que se determina por la linealización
matriz de ecuaciones (1). El estado estacionario se convierte en unsta-
ble cuando al menos un modo espacial con alguna onda-
ber q0 comienza a crecer (μq0 > 0).
Como parámetro de bifurcación, el coeficiente β puede ser cho-
Sen. Si las moléculas reguladoras no pueden unirse a las enzimas
(β = 0), la retroalimentación está ausente y las inestabilidades no son pos-
Sible. Por otro lado, la activación alostérica se convierte en
fuerte si las moléculas reguladoras pueden unirse fácilmente y, en este
caso, la aparición de oscilaciones y patrones de onda puede ser
esperada. Nuestro análisis de bifurcación revela que, depende-
nes de los parámetros del sistema, que puede exhibir ei-
un Hopf o una bifurcación de onda [16]. Como resultado de
la bifurcación Hopf, oscilaciones uniformes con q = 0 de-
Velop. Debido a la presencia de retrasos en las ecuaciones (1),
la ecuación característica es no polinómica en términos de
y, en general, una serie de soluciones oscilatorias con
diferentes frecuencias son posibles. Físicamente, así que...
luciones corresponden a la formación de varios síncronos
Grupos enzimáticos. Este efecto ha sido previamente prolongado.
Investigado en profundidad para sistemas similares en pequeñas zonas espaciales
volúmenes con mezcla de difusión completa [11] y vamos a
No más discutirlo aquí. El uniforme más robusto
oscilaciones, que consideramos, se caracterizan por el
frecuencia (+ + + 2°/°) y corresponden al grupo único
sincronización. Como resultado de una bifurcación de la onda (también
conocido como la bifurcación Hopf con un número de onda finita
[17]), los primeros modos inestables son las olas de viaje con
cierto número de onda q0. La figura 3 muestra la bifurca-
diagrama de ciones en el plano de parámetros (p, β). Nótese que:
presencia de un punto de codimensión-2 bifurcación donde el
límites del Hopf y las bifurcaciones de onda se unen.
Para investigar la dinámica no lineal del sistema, nu-
Se han realizado simulaciones mericales de ecuaciones (1)
0 0,1 0,2 0,3 0,4
oscilaciones
codimensión−2
ola− Bifurcación de Hopf
uniforme
ondulaciones
marcapasos/ondas
mayor frecuencia/
modos mixtos
ondas
de pie −
viajar
ondas de pie
FIG. 3: Diagrama de fase (α0 = 1, α1 = 1000, = 10, γ = 10,
c = 100, D = 1000). La bifurcación Hopf (línea sólida) y la
se muestran los límites de bifurcación de onda (línea punteada con dash).
Líneas grises muestran inestabilidad del estado estacionario con respeto
al desarrollo de oscilaciones uniformes con dos (dashed) y
tres (puntos) grupos en el caso bien mezclado. Líneas que separan
dominios de parámetros con diferentes tipos de patrones son mano-
dibujado, basado en simulaciones numéricas.
[16]. El método explícito de integración de Euler ha sido:
se utilizaron; se aplicaron condiciones de límite sin flujo. Resultados
de las simulaciones 1D se resumen en la Fig. 3 y ejemplos
de los patrones típicos observados se muestran en la Fig. 4. Stand-
ing olas (fig. 4a) se desarrollan cuando el límite de la
La bifurcación de ondas (curva punteada con dash) se cruza y uni-
oscilaciones de forma se observan por encima del límite de la
Bifurcación Hopf. Cerca del punto de codimensión-2, más
Se encontró un comportamiento complejo. Esto incluía un os-
cillations (Fig. 4b), marcapasos autoorganizados (Fig. 4c)
y ondas itinerantes moduladas (Fig. 4d). Los observados
los patrones son similares a los encontrados anteriormente en la reacción-
sistemas de difusión con la bifurcación de ondas [18]. En el
esquina superior derecha del diagrama de la Fig. 3, fre más alto...
oscilaciones de quency con varios grupos síncronos toman
lugar.
Simulaciones bidimensionales de reacción-difusión
ecuaciones (1) con retraso de tiempo se han realizado para
valores de parámetros seleccionados. En simulaciones 2D, sponta-
neously desarrollando ondas concéntricas (patrones objetivo)
y las ondas espirales se han observado;
Sin embargo, fueron inestables y evolucionaron en pares de rota-
ing ondas espirales (Fig. 2c y Video 3 [15]). Complejo
regímenes de ondas, que pueden caracterizarse cualitativamente
como turbulencia de las olas de pie, también se han observado
(Fig. 2d y Video 4 [15]).
La aproximación del campo medio se basa en el abandono.
fluctuaciones estadísticas de las concentraciones de reacción
especies [11] y, por lo tanto, debe mantenerse en el
límite de concentración. In Fig. 4, dos filas superiores del panel
mostrar patrones espaciotemporales que se observan en
FIG. 4: Patrones espaciotemporales en un sistema 1D (en cada uno
panel, el eje vertical es el tiempo, corriendo hacia abajo, y el hor-
eje izontal es la coordenada). Las dos filas superiores son
simulaciones estocásticas ( = 0) con concentraciones c = 1 y
c = 10, la fila inferior muestra simulaciones de campo medio con
c = 100. a) p = 0,3, β = 95/c, b) p = 0,14, β = 260/c, c)
* p = 0,22, β = 600/c, y d) p = 0,16, β = 300/c. Otros
parámetros como en la Fig. 3; el tamaño del sistema mostrado es L = 51
Idiff.
simulaciones estocásticas con valores de parámetro corresponden-
a las correspondientes simulaciones de campo medio. Para comparar
simulaciones de campo medio con diferentes densidades enzimáticas,
la siguiente propiedad de las ecuaciones (1) se puede utilizar: in-
concentración relativa troductiva ñ0 = n0/c, ñ1 = n1/c
y mс = m/c, se puede notar que obedecen lo mismo
ecuaciones, pero con un coeficiente reescalonado = βc. Por lo tanto,
esencialmente los mismos patrones se observan siempre y cuando
la combinación de parámetros βc permanece constante. En el
Simulaciones estocásticas en la Fig. 4, el coeficiente β ha sido
aumento para compensar una disminución de la enzima
concentración. Para concentraciones enzimáticas mayores, buenas
acuerdo entre las predicciones de campo medio y stochas-
Se han encontrado simulaciones de tic. En el campo medio-equa-
ciones (1), no se toman en cuenta las fluctuaciones intramoleculares
cuenta (e = 0 y, por lo tanto, cada ciclo de volumen de negocios tiene
la misma duración fija............................................................................................................................................................................................................................................................. Las simulaciones estocásticas tienen
Sin embargo, también se realiza cuando tales fluctuaciones
estaban presentes. Todavía se podían encontrar ondas de sincronización
incluso a niveles de ruido interno que correspondían a la
Dispersión relativa media de los tiempos de rotación de alrededor del 10%
(con =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Aunque el énfasis en esta Carta está en el fenoma-
ena en matrices enzimáticas bidimensionales, efectos análogos
En el caso de los sistemas tridimensionales, debe esperarse que los sistemas represen-
enviar soluciones enzimáticas acuosas. La estabilidad lineal
análisis, dando los límites de Hopf y bifurcación de ondas
(véase la Fig. 3), es válido también para la geometría 3D. Tenemos
Se realizaron simulaciones estocásticas preliminares para
capas de dilución con altas concentraciones enzimáticas y
observar patrones de sincronización similares a los encontrados
para las matrices enzimáticas.
Una molécula de producto, liberada por una enzima, difunde
en la solución hasta que se une, como un regulador
molécula, a otra enzima o sufre una descomposición. Aquí,
debe tenerse en cuenta que una molécula reguladora
puede unirse a una enzima alostérica sólo a una cierta unión-
ing sitio del radio característico R. Utilizando la teoría de
reacciones controladas por difusión, el tiempo medio de transito
después de lo cual un producto regulador encontraría un
sitio de una de las enzimas se puede estimar aproximadamente
[11] como ttransito = 1/cDR, si las enzimas son uniformemente dis-
tributo dentro del volumen de reacción con concentración
c. Por lo tanto, la unión se produce típicamente dentro de
ance Lcorr = (Dttransit)
= (cR)
desde el punto
donde se libera una molécula. Obviamente, sólo puede
se producen si la molécula del producto no se ha sometido a
decaimiento hasta ese momento, es decir. si γttransit < 1. Esto
condición impone una restricción a la concentración enzimática
c, que debe ser superior a la concentración crítica
c* = γ/DR. Elegir γ = 103 s−1, D = 10-5 cm2s−1
y R = 10-7 cm, la concentración crítica de la enzima es
c* = 1015 cm−3 = 10−6 M. Una estimación similar puede ser
se obtiene cuando las enzimas se inmovilizan en un plano im-
en una solución reactiva; en este caso, la media de
la concentración entre las enzimas en el plano debe ser menor
que lc = (Rliff)
[22]. A pesar de que los requisitos necesarios en
concentraciones de zyme son relativamente grandes, están dentro de
el rango característico de las células biológicas (en-
zimas están presentes [19] en una célula con concentración aún más alta.
ión de más de 10-5 M). La característica temporal
el período de desarrollo de las pautas está determinado por el
tiempo de rotación de la zyme, que normalmente varía de
Lisegundos a segundos. La escala de longitud característica de
desarrollo de patrones de onda está determinado por la difusión
longitud ldiff, que puede variar en estas condiciones de
una fracción de un micrómetro a decenas de micrómetros.
Nuestro análisis muestra que la síntesis molecular espontánea...
cronización de enzimas activadas por productos alostéricos puede
se observen en arrays enzimáticos. Arrays artificiales formados
por máquinas de proteínas inmovilizadas (motores moleculares) son
ya utilizado en experimentos en nanoescala activa trans-
puerto (véase [20]). Muchas enzimas en las células biológicas son
unión a la membrana, formando así matrices enzimáticas naturales.
Fenómenos similares son posibles en la densa enzima solu-
ciones. En el estudio de Petty et al. [21], olas itinerantes
de NAD(P)H y concentraciones de protones con la
Se observó una longitud de aproximadamente un micrómetro dentro de neu-
Células tróficas. Estas ondas metabólicas tenían el temporal
período de unos 300 ms, que es por dos órdenes de magni-
tude más corto que el período característico de glucolítico
oscilaciones en las células y se encuentra más cerca de las escalas de tiempo
de ciclos de rotación de enzimas individuales. Un intrigante
la pregunta, que requiere un análisis más detallado, es si
las ondas de sincronización molecular pueden haber sido ya
visto en estos experimentos.
Las ondas de sincronización molecular son principalmente dif-
ferent de las ondas de concentración clásicas en reacción-
sistemas de difusión. En condiciones de sincronización,
estados conformacionales internos de la enzima individual
las moléculas en sus ciclos de rotación se convierten
relacionados. En óptica, una situación similar se encuentra cuando un
ha tenido lugar la transición a una generación de láser coherente.
Nuestro análisis teórico puede abrir una vía a la investigación.
ciones de una nueva clase de formación de patrón espacio-temporal
en sistemas moleculares químicamente activos.
Los autores están agradecidos a M. Falcke y P. Stange por
debates valiosos. Apoyo financiero de la Sociedad Japonesa
para la Promoción de la Ciencia mediante una beca para
se reconoce la investigación en el extranjero (Y. T.).
* Dirección actual: Laboratorios de Nanobiología, Graduado
Escuela de Biociencias Fronterizas, Universidad de Osaka, 1-3 Ya-
madaoka, Suita, Osaka 565-0871, Japón;
vestido: togashi@phys1.med.osaka-u.ac.jp
† Dirección electrónica: mikhailov@fhi-berlin.mpg.de
[1] K. Kinbara, T. Aida, Chem. Rev. 105, 1377 (2005).
[2] L. A. Blumenfeld, A. N. Tikhonov, Biophysical Thermo-
dinámica de los procesos intracelulares: Máquinas Moleculares
de la célula viva (Springer, Berlín 1994).
[3] M. Gerstein, A. M. Lesk, C. Chothia, Bioquímica 33,
6739 (1994).
[4] F. Jülicher, A. Ajdari, J. Prost, Rev. Mod. Phys. 69, 1269
(1997).
[5] H.-Ph. Lerch, A. S. Mikhailov, B. Hess, Proc. Natl. Acad.
Sci. (Estados Unidos de América) 99, 15410 (2002).
[6] H.-Ph. Lerch, R. Rigler, A. S. Mikhailov, Proc. Natl.
Acad. Sci. (Estados Unidos de América) 102, 10807 (2005).
[7] S. Ramaswamy, J. Toner, J. Prost, Phys. Rev. Lett. 84,
3494 (2000).
[8] P. Lenz, J.-F. Joanny, F. Jülicher, J. Prost, Phys. Rev.
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[9] H.-Y. Chen, Phys. Rev. Lett. 92, 168101 (2004).
[10] A. Goldbeter, Oscilaciones Bioquímicas y Celulares
Ritmos (Cambridge University Press, Cambridge 1996).
[11] P. Stange, A. S. Mikhailov, B. Hess, J. Phys. Chem. B
102, 6273 (1998).
[12] P. Stange, A. S. Mikhailov, B. Hess, J. Phys. Chem. B
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[13] K. Sun, Q. Ouyang, Phys. Rev. E 64, 026111 (2001).
[14] M. Schienbein, H. Gruler, Phys. Rev. E 56, 7116 (1997).
[15] Véase el documento EPAPS No. E-PRLTAO-99-041730
para las evoluciones dinámicas en la simulación 2D-
ciones. Para obtener más información sobre EPAPS, consulte
http://www.aip.org/pubservs/epaps.html.
[16] V. Casagrande, tesis doctoral, Universidad Técnica,
Berlín (2006),
http://opus.kobv.de/tuberlin/volltexte/2006/1273/.
[17] D. Walgraef, Formación de Patrón Espacio-Temporal
(Springer, Berlín, 1997).
[18] A. M. Zhabotinsky, M. Dolnik, I. R. Epstein, J. Chem.
Phys. 103, 10306 (1995).
[19] B. Hess, A. Boiteux, J. Krüger, Adv. Enzyme Regul. 7,
mailto:togashi@phys1.med.osaka-u.ac.jp
mailto:mikhailov@fhi-berlin.mpg.de
http://www.aip.org/pubservs/epaps.html
http://opus.kobv.de/tuberlin/volltexte/2006/1273/
149 (1969).
[20] H. Hess, G. D. Bachand, Materiales Today 8 (12, Suppl.
1), 22 (2005).
[21] H. R. Petty, R. G. Worth, A. L. Kindzelskii, Phys. Rev.
Lett. 84, 2754 (2000).
[22] La difusión perpendicular al plano se considera di-
la dilución dentro de la capa del espesor eficaz ldiff.
| Formación del patrón espaciotemporal en una reacción enzimática activada por el producto a
se investigan concentraciones elevadas de enzimas. Las simulaciones estocásticas muestran que
ciclos catalíticos de rotación de enzimas individuales pueden llegar a ser coherentes y que
pueden desarrollarse patrones de onda complejos de sincronización molecular. El análisis
sobre la base de la aproximación media del campo indica que los patrones observados
resultado de la presencia de Hopf y bifurcaciones de las olas en el
sistema.
| Olas de Sincronización Molecular en Rayos de Enzimas Alostéricamente Reguladas
Vanessa Casagrande,1 Yuichi Togashi,2, ∗ y Alexander S. Mikhailov2, †
1Hahn-Meitner-Institut, Glienicker Straße 100, 14109 Berlín, Alemania
2Fritz-Haber-Institut der Max-Planck-Gesellschaft, Faradayweg 4-6, 14195 Berlín, Alemania
Formación de patrón espaciotemporal en una reacción enzimática activada por el producto en con-
se investigan las centraciones. Simulaciones estocásticas muestran que los ciclos de rotación catalítica de cada individuo
las enzimas pueden llegar a ser coherentes y que los patrones de onda complejos de sincronización molecular pueden
desarrollar. El análisis basado en la aproximación media del campo indica que los patrones observados
resultado de la presencia de Hopf y bifurcaciones de onda en el sistema considerado.
Números PACS: 82.40.Ck, 87.18.Pj, 82.39.Fk, 05.45.Xt
Máquinas moleculares, como motores moleculares, iones
las bombas y algunas enzimas, juegan un papel fundamental en
células biológicas y también se puede utilizar en la
nanotecnología de la materia [1]. Una máquina de proteínas es un cíclico
dispositivo, en el que cada ciclo consiste en mo-
ciones iniciadas mediante la unión de un ligando generador de energía
[2, 3]. En los motores, esos movimientos internos me generan...
trabajo mecánico [4], mientras que en enzimas permiten o facilitan
eventos de reacción química de itato (véase, por ejemplo, [5, 6]). Mucho
se ha atraído la atención a los estudios de biomembranas
con bombas de iones y motores moleculares, donde la membrana
la inestabilidad y los efectos de sincronización han sido ana-
lyzed [7, 8, 9]. Aquí, una clase diferente de distribución ac-
Los sistemas moleculares tivos —formados por enzimas— son
Sidered. La actividad catalítica de una enzima alostérica
la proteína se activa o inhibe mediante la unión de
moléculas ulatorias; el papel de dichas moléculas reguladoras
pueden ser jugados por productos de la misma reacción [10]. Pre-
investigaciones anteriores de enzimáticas simples reguladas por productos
sistemas [11, 12] y redes enzimáticas [13] en pequeños balnearios
volumen de tial con mezcla de difusión completa han demostrado que
sincronización espontánea de los ciclos de rotación molecular
puede tener lugar allí. Sincronización molecular externa-
ión de enzimas de la P-450 fotosensible dependiente
sistema de monooxigenasa por forzamiento óptico periódico tiene
se ha demostrado experimentalmente [14].
En esta carta, la formación del patrón espaciotemporal en
se investigan los arrays címicos. En tales sistemas, inmóviles
enzimas se unen a un soporte planar sólido inmerso
en una solución a través de la cual se suministra sustrato fresco
y las moléculas de producto se eliminan continuamente. Prod...
moléculas de uct liberadas por una enzima difusa a través de la
y activar los ciclos catalíticos de rotación de
Enzimas aromáticas en la matriz.
Un modelo estocástico simple [12] de una enzima como un cíclico
máquina (un oscilador de fase estocástico), que se muestra en la Fig. 1,
se utiliza. Vinculación de una molécula de sustrato a una enzima i
inicia un movimiento de conformación interna ordenado, de-
asignado por la fase conformacional coordin Łi. Los
el estado inicial corresponde a la fase Łi = 0. El gato...
alytic evento de conversión tiene lugar y el producto es
puesto en libertad en el estado P dentro del ciclo. Después de eso, el
sustrato
enzima
reglamentarios
molécula
retroalimentación
producto
FIG. 1: (Color online) Un boceto del modelo.
movimiento conformacional continúa hasta el equilibrio
finalmente se alcanza el estado de la enzima (el i = 1). Initi-
En el caso de un ciclo de volumen de negocios, se trata de un acontecimiento aleatorio, que se produce
a una cierta tasa de probabilidad. Asumimos que el sustrato
está presente en abundancia, y su concentración no es af-
flecado por las reacciones. Movimiento conformacional en el interior
el ciclo se modela como una deriva de difusión estocástica pro-
cesto, descrito por ecuación
En el caso de que se trate de una empresa de servicios de inversión, el valor de mercado de la empresa de servicios de inversión será igual al valor de mercado de la empresa de servicios de inversión de la empresa de servicios de inversión.
velocidad media de deriva y ηi(t) es un ruido blanco interno
con i(t)ηj(t)
′) = 2ijl(t− t
′) en los que especifique inten-
sidad de las fluctuaciones intramoleculares.
Las enzimas alostéricamente activadas poseen un sitio en su
superficie donde las moléculas reguladoras pueden unirse.
La unión de una molécula reguladora conduce a la conformación
cambio que aumenta la actividad catalítica de la enzima. A
la molécula regulatoria se une a una enzima con
Constante β y disociarse de ella con la constante de la velocidad.
ión de una molécula reguladora en una enzima aumenta su prob-
capacidad de iniciar un ciclo de α0 a α1. Asumimos que
una molécula reguladora puede unirse a una enzima sólo en su
estado de reposo y esta molécula se libera cuando el ciclo
se inicia. El papel de las moléculas reguladoras se juega
por moléculas de producto de la misma reacción. Inmóvil
las enzimas se distribuyen aleatoriamente en el espacio con concen-
c. El producto se difunde en la constante de difusión D y
sufre decaimiento a ritmo constante γ. La característica
longitud de difusión de las moléculas de producto es ldiff =
En nuestras simulaciones estocásticas 2D, el medio fue dis-
Crétese en células espaciales (hasta 256 × 256), cada una con-
http://arxiv.org/abs/0704.0021v2
FIG. 2: simulaciones estocásticas (a,b) y de campo medio (c,d) de
Patrones de onda 2D; a) p = 0,14, c = 1, y β = 300, b)
* p = 0,25, c = 10, y β = 10, c) p = 0,14, c = 1, y
β = 300, (d) p = 0,34, c = 100, y β = 1,42. Otros
los parámetros son α0 = 1, α1 = 1000, = 10, γ = 10, = 0,
D = 100. El tamaño lineal del área mostrada es L = 40 ldiff en
Todos los paneles.
que contiene una serie de moléculas enzimáticas. Las células fueron
tan pequeña que la mezcla de difusión de moléculas de producto en
una célula en el tiempo característico más corto del reac-
sión siempre podría tener lugar. Cada enzima fue descrita
por el modelo estocástico dado arriba; difusión del producto
moléculas fueron modeladas como un paseo al azar sobre un discreto
Enrejado celular. El tiempo medio del ciclo fue elegido como
la unidad de tiempo ( = 1). Sistemas que incluyen hasta 655 360
En las simulaciones se utilizaron enzimas.
Figura 2a,b (ver también Vídeos 1 y 2 en ref. [15]) muestra
dos ejemplos típicos de simulaciones estocásticas 2D. Aquí,
Se muestran distribuciones espaciales de moléculas de producto.
Las ondas de concentración del producto se propagan a través de
el medio. En un pico de una ola, muchos presentes localmente
las enzimas liberan simultáneamente las moléculas del producto.
Dado que la liberación del producto sólo puede tener lugar en un determinado
la etapa dentro del ciclo, esto significa que los ciclos de en-
Las enzimas se sincronizan localmente. No sólo ondas regulares
estructuras, tales como ondas espirales giratorias o
terns (Fig. 2a), pero también regímenes complejos de
lence (Fig. 2b) se han observado.
Para entender e interpretar la simulación estocástica re-
sults, un estudio analítico del sistema en el campo medio
aproximación, que se mantiene en el límite de la enzima alta
concentraciones, se ha realizado. En esta aproxima...
sión, el sistema se caracteriza por tres vari-
no aptos n0(r, t), n1(r, t) y m(r, t) que representan locales
concentraciones de enzimas en el estado de reposo sin o
con moléculas reguladoras conectadas (n0 y n1) y locales
concentración del producto (m). Para la simplicidad, interna
se descuidan las fluctuaciones de las enzimas ( = 0). Por lo tanto, todos
enzimas que han comenzado sus ciclos en algún momento t
liberaría sus productos en un momento determinado tp (con
(p = p/v) y terminar sus ciclos, volviendo al resto
estado, en el momento t + ♥. Por lo tanto, se describe el sistema
por un conjunto de tres ecuaciones de reacción-difusión con el tiempo
retrasos,
= βmn0 − n1 − α1n1 (1a)
= mn0 + Łn1 − α0n0 + α0n0(t− )
1n1(t− ) (1b)
= mn0 + Łn1 + α1n1 − γm+ α0n0(t− p)
1n1(t− p) +D
2m. (1c)
El sistema siempre tiene un estado estacionario uniforme
con determinadas concentraciones n0, n1 y m, que pueden ser
encontrado como soluciones de las ecuaciones algebraicas respectivas.
Este estado corresponde a la ausencia de sincronización.
Sin embargo, puede volverse inestable si la activación alostérica
es lo suficientemente fuerte. Para analizar la estabilidad, pequeña perturba-
se añaden al estado estacionario las siguientes disposiciones:
las ecuaciones (1) son linealizadas y sus soluciones son buscadas
en la que se indica el valor de la exp (qt− iqx) con el valor de la exp (qt− iqx) con el valor de la exp (qt− iqx) con el valor de la exp (qt− iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp (qt- iqx) con el valor de la exp.
Por lo tanto, cada modo espacial con wavevevector q es carácter-
por su frecuencia y su tasa de crecimiento μq. Los
propiedades μq y q son dadas por las raíces de un charac-
ecuación terística que se determina por la linealización
matriz de ecuaciones (1). El estado estacionario se convierte en unsta-
ble cuando al menos un modo espacial con alguna onda-
ber q0 comienza a crecer (μq0 > 0).
Como parámetro de bifurcación, el coeficiente β puede ser cho-
Sen. Si las moléculas reguladoras no pueden unirse a las enzimas
(β = 0), la retroalimentación está ausente y las inestabilidades no son pos-
Sible. Por otro lado, la activación alostérica se convierte en
fuerte si las moléculas reguladoras pueden unirse fácilmente y, en este
caso, la aparición de oscilaciones y patrones de onda puede ser
esperada. Nuestro análisis de bifurcación revela que, depende-
nes de los parámetros del sistema, que puede exhibir ei-
un Hopf o una bifurcación de onda [16]. Como resultado de
la bifurcación Hopf, oscilaciones uniformes con q = 0 de-
Velop. Debido a la presencia de retrasos en las ecuaciones (1),
la ecuación característica es no polinómica en términos de
y, en general, una serie de soluciones oscilatorias con
diferentes frecuencias son posibles. Físicamente, así que...
luciones corresponden a la formación de varios síncronos
Grupos enzimáticos. Este efecto ha sido previamente prolongado.
Investigado en profundidad para sistemas similares en pequeñas zonas espaciales
volúmenes con mezcla de difusión completa [11] y vamos a
No más discutirlo aquí. El uniforme más robusto
oscilaciones, que consideramos, se caracterizan por el
frecuencia (+ + + 2°/°) y corresponden al grupo único
sincronización. Como resultado de una bifurcación de la onda (también
conocido como la bifurcación Hopf con un número de onda finita
[17]), los primeros modos inestables son las olas de viaje con
cierto número de onda q0. La figura 3 muestra la bifurca-
diagrama de ciones en el plano de parámetros (p, β). Nótese que:
presencia de un punto de codimensión-2 bifurcación donde el
límites del Hopf y las bifurcaciones de onda se unen.
Para investigar la dinámica no lineal del sistema, nu-
Se han realizado simulaciones mericales de ecuaciones (1)
0 0,1 0,2 0,3 0,4
oscilaciones
codimensión−2
ola− Bifurcación de Hopf
uniforme
ondulaciones
marcapasos/ondas
mayor frecuencia/
modos mixtos
ondas
de pie −
viajar
ondas de pie
FIG. 3: Diagrama de fase (α0 = 1, α1 = 1000, = 10, γ = 10,
c = 100, D = 1000). La bifurcación Hopf (línea sólida) y la
se muestran los límites de bifurcación de onda (línea punteada con dash).
Líneas grises muestran inestabilidad del estado estacionario con respeto
al desarrollo de oscilaciones uniformes con dos (dashed) y
tres (puntos) grupos en el caso bien mezclado. Líneas que separan
dominios de parámetros con diferentes tipos de patrones son mano-
dibujado, basado en simulaciones numéricas.
[16]. El método explícito de integración de Euler ha sido:
se utilizaron; se aplicaron condiciones de límite sin flujo. Resultados
de las simulaciones 1D se resumen en la Fig. 3 y ejemplos
de los patrones típicos observados se muestran en la Fig. 4. Stand-
ing olas (fig. 4a) se desarrollan cuando el límite de la
La bifurcación de ondas (curva punteada con dash) se cruza y uni-
oscilaciones de forma se observan por encima del límite de la
Bifurcación Hopf. Cerca del punto de codimensión-2, más
Se encontró un comportamiento complejo. Esto incluía un os-
cillations (Fig. 4b), marcapasos autoorganizados (Fig. 4c)
y ondas itinerantes moduladas (Fig. 4d). Los observados
los patrones son similares a los encontrados anteriormente en la reacción-
sistemas de difusión con la bifurcación de ondas [18]. En el
esquina superior derecha del diagrama de la Fig. 3, fre más alto...
oscilaciones de quency con varios grupos síncronos toman
lugar.
Simulaciones bidimensionales de reacción-difusión
ecuaciones (1) con retraso de tiempo se han realizado para
valores de parámetros seleccionados. En simulaciones 2D, sponta-
neously desarrollando ondas concéntricas (patrones objetivo)
y las ondas espirales se han observado;
Sin embargo, fueron inestables y evolucionaron en pares de rota-
ing ondas espirales (Fig. 2c y Video 3 [15]). Complejo
regímenes de ondas, que pueden caracterizarse cualitativamente
como turbulencia de las olas de pie, también se han observado
(Fig. 2d y Video 4 [15]).
La aproximación del campo medio se basa en el abandono.
fluctuaciones estadísticas de las concentraciones de reacción
especies [11] y, por lo tanto, debe mantenerse en el
límite de concentración. In Fig. 4, dos filas superiores del panel
mostrar patrones espaciotemporales que se observan en
FIG. 4: Patrones espaciotemporales en un sistema 1D (en cada uno
panel, el eje vertical es el tiempo, corriendo hacia abajo, y el hor-
eje izontal es la coordenada). Las dos filas superiores son
simulaciones estocásticas ( = 0) con concentraciones c = 1 y
c = 10, la fila inferior muestra simulaciones de campo medio con
c = 100. a) p = 0,3, β = 95/c, b) p = 0,14, β = 260/c, c)
* p = 0,22, β = 600/c, y d) p = 0,16, β = 300/c. Otros
parámetros como en la Fig. 3; el tamaño del sistema mostrado es L = 51
Idiff.
simulaciones estocásticas con valores de parámetro corresponden-
a las correspondientes simulaciones de campo medio. Para comparar
simulaciones de campo medio con diferentes densidades enzimáticas,
la siguiente propiedad de las ecuaciones (1) se puede utilizar: in-
concentración relativa troductiva ñ0 = n0/c, ñ1 = n1/c
y mс = m/c, se puede notar que obedecen lo mismo
ecuaciones, pero con un coeficiente reescalonado = βc. Por lo tanto,
esencialmente los mismos patrones se observan siempre y cuando
la combinación de parámetros βc permanece constante. En el
Simulaciones estocásticas en la Fig. 4, el coeficiente β ha sido
aumento para compensar una disminución de la enzima
concentración. Para concentraciones enzimáticas mayores, buenas
acuerdo entre las predicciones de campo medio y stochas-
Se han encontrado simulaciones de tic. En el campo medio-equa-
ciones (1), no se toman en cuenta las fluctuaciones intramoleculares
cuenta (e = 0 y, por lo tanto, cada ciclo de volumen de negocios tiene
la misma duración fija............................................................................................................................................................................................................................................................. Las simulaciones estocásticas tienen
Sin embargo, también se realiza cuando tales fluctuaciones
estaban presentes. Todavía se podían encontrar ondas de sincronización
incluso a niveles de ruido interno que correspondían a la
Dispersión relativa media de los tiempos de rotación de alrededor del 10%
(con =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Aunque el énfasis en esta Carta está en el fenoma-
ena en matrices enzimáticas bidimensionales, efectos análogos
En el caso de los sistemas tridimensionales, debe esperarse que los sistemas represen-
enviar soluciones enzimáticas acuosas. La estabilidad lineal
análisis, dando los límites de Hopf y bifurcación de ondas
(véase la Fig. 3), es válido también para la geometría 3D. Tenemos
Se realizaron simulaciones estocásticas preliminares para
capas de dilución con altas concentraciones enzimáticas y
observar patrones de sincronización similares a los encontrados
para las matrices enzimáticas.
Una molécula de producto, liberada por una enzima, difunde
en la solución hasta que se une, como un regulador
molécula, a otra enzima o sufre una descomposición. Aquí,
debe tenerse en cuenta que una molécula reguladora
puede unirse a una enzima alostérica sólo a una cierta unión-
ing sitio del radio característico R. Utilizando la teoría de
reacciones controladas por difusión, el tiempo medio de transito
después de lo cual un producto regulador encontraría un
sitio de una de las enzimas se puede estimar aproximadamente
[11] como ttransito = 1/cDR, si las enzimas son uniformemente dis-
tributo dentro del volumen de reacción con concentración
c. Por lo tanto, la unión se produce típicamente dentro de
ance Lcorr = (Dttransit)
= (cR)
desde el punto
donde se libera una molécula. Obviamente, sólo puede
se producen si la molécula del producto no se ha sometido a
decaimiento hasta ese momento, es decir. si γttransit < 1. Esto
condición impone una restricción a la concentración enzimática
c, que debe ser superior a la concentración crítica
c* = γ/DR. Elegir γ = 103 s−1, D = 10-5 cm2s−1
y R = 10-7 cm, la concentración crítica de la enzima es
c* = 1015 cm−3 = 10−6 M. Una estimación similar puede ser
se obtiene cuando las enzimas se inmovilizan en un plano im-
en una solución reactiva; en este caso, la media de
la concentración entre las enzimas en el plano debe ser menor
que lc = (Rliff)
[22]. A pesar de que los requisitos necesarios en
concentraciones de zyme son relativamente grandes, están dentro de
el rango característico de las células biológicas (en-
zimas están presentes [19] en una célula con concentración aún más alta.
ión de más de 10-5 M). La característica temporal
el período de desarrollo de las pautas está determinado por el
tiempo de rotación de la zyme, que normalmente varía de
Lisegundos a segundos. La escala de longitud característica de
desarrollo de patrones de onda está determinado por la difusión
longitud ldiff, que puede variar en estas condiciones de
una fracción de un micrómetro a decenas de micrómetros.
Nuestro análisis muestra que la síntesis molecular espontánea...
cronización de enzimas activadas por productos alostéricos puede
se observen en arrays enzimáticos. Arrays artificiales formados
por máquinas de proteínas inmovilizadas (motores moleculares) son
ya utilizado en experimentos en nanoescala activa trans-
puerto (véase [20]). Muchas enzimas en las células biológicas son
unión a la membrana, formando así matrices enzimáticas naturales.
Fenómenos similares son posibles en la densa enzima solu-
ciones. En el estudio de Petty et al. [21], olas itinerantes
de NAD(P)H y concentraciones de protones con la
Se observó una longitud de aproximadamente un micrómetro dentro de neu-
Células tróficas. Estas ondas metabólicas tenían el temporal
período de unos 300 ms, que es por dos órdenes de magni-
tude más corto que el período característico de glucolítico
oscilaciones en las células y se encuentra más cerca de las escalas de tiempo
de ciclos de rotación de enzimas individuales. Un intrigante
la pregunta, que requiere un análisis más detallado, es si
las ondas de sincronización molecular pueden haber sido ya
visto en estos experimentos.
Las ondas de sincronización molecular son principalmente dif-
ferent de las ondas de concentración clásicas en reacción-
sistemas de difusión. En condiciones de sincronización,
estados conformacionales internos de la enzima individual
las moléculas en sus ciclos de rotación se convierten
relacionados. En óptica, una situación similar se encuentra cuando un
ha tenido lugar la transición a una generación de láser coherente.
Nuestro análisis teórico puede abrir una vía a la investigación.
ciones de una nueva clase de formación de patrón espacio-temporal
en sistemas moleculares químicamente activos.
Los autores están agradecidos a M. Falcke y P. Stange por
debates valiosos. Apoyo financiero de la Sociedad Japonesa
para la Promoción de la Ciencia mediante una beca para
se reconoce la investigación en el extranjero (Y. T.).
* Dirección actual: Laboratorios de Nanobiología, Graduado
Escuela de Biociencias Fronterizas, Universidad de Osaka, 1-3 Ya-
madaoka, Suita, Osaka 565-0871, Japón;
vestido: togashi@phys1.med.osaka-u.ac.jp
† Dirección electrónica: mikhailov@fhi-berlin.mpg.de
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[15] Véase el documento EPAPS No. E-PRLTAO-99-041730
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ciones. Para obtener más información sobre EPAPS, consulte
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mailto:togashi@phys1.med.osaka-u.ac.jp
mailto:mikhailov@fhi-berlin.mpg.de
http://www.aip.org/pubservs/epaps.html
http://opus.kobv.de/tuberlin/volltexte/2006/1273/
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[20] H. Hess, G. D. Bachand, Materiales Today 8 (12, Suppl.
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[21] H. R. Petty, R. G. Worth, A. L. Kindzelskii, Phys. Rev.
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[22] La difusión perpendicular al plano se considera di-
la dilución dentro de la capa del espesor eficaz ldiff.
|
704.0022 | Stochastic Lie group integrators | INTEGRADORES DE GRUPOS ESTOCÁSTICOS
SIMON J.A. MALHAM* Y ESCRITO ANTIGUO*
Resumen. Presentamos integradores de grupo de Lie para ecuaciones diferenciales estocásticos no lineales con
campos vectoriales no conmutativos cuya solución evoluciona en un colector finito liso. Dado
una acción de grupo de la mentira que genera transporte a lo largo del colector, tiramos hacia atrás el flujo estocástico en
el colector al grupo de Lie a través de la acción, y posteriormente tirar hacia atrás el flujo a la correspondiente
Lie álgebra a través del mapa exponencial. Construimos una aproximación al flujo estocástico en el
Lie álgebra a través de operaciones cerradas y luego empujar de nuevo al grupo de la mentira y luego al colector,
Por lo tanto, garantizar nuestra aproximación reside en la multiplicidad. Llamamos a tales esquemas estocásticos Munthe-Kaas
métodos después de sus contrapartes deterministas. También presentamos integración estocástica de grupo Lie
sistemas basados en los métodos de Castell-Gaines. Estos implican el uso de un diferencial ordinario subyacente
integrador para aproximar el flujo generado por una serie estocástica exponencial truncada de Lie. Ellos
se convierte en estocástico Lie grupo integrador esquemas si utilizamos métodos Munthe-Kaas como el subyacente
integrador diferencial ordinario. Además, mostramos que algunos métodos Castell-Gaines son uniformes
más exacto que los correspondientes esquemas estocásticos de Taylor. Por último, demostramos nuestros métodos
simulando la dinámica de un cuerpo rígido libre como un satélite y un submarino autónomo
vehículo perturbado por dos procesos de ruido estocástico multiplicativo independiente.
Palabras clave. integradores estocásticos del grupo de la mentira, ecuaciones diferenciales estocásticas en los colectores
Clasificación de sujetos de la AMS. 60H10, 60H35, 93E20
1. Introducción. Estamos interesados en diseñar esquemas numéricos de grupo de Lie
para la fuerte aproximación de la ecualización diferencial estocástica no lineal de Stratonovich
ciones de la forma
yt = y0 +
Vi(y/23370/, ) dW
*............................................................................ (1.1)
AquíW 1,...,W d son los procesos independientes escalar Wiener yW 0t t. Suponemos
que la solución y evoluciona en un suave submanifold n-dimensional M de RN con
n ≤ N y Vi : M × R+ → TM, i = 0, 1,...., d, son campos vectoriales lisos que en
coordenadas locales son Vi =
j=1 V
i Łyj. El flujo-map : M → M de la integral
ecuación (1.1) se define como el mapa que toma los datos iniciales y0 a la solución yt en
tiempo t, es decir. yt =?t?? y0.
Nuestro objetivo en este artículo es mostrar cómo se desarrollaron los métodos de integración de grupo de Lie
por Munthe-Kaas y los coautores pueden ser extendidos a ecuaciones diferenciales estocásticas
sobre colectores lisos (véanse Crouch y Grossman [8] y Munthe-Kaas [40]). Supón
sabemos que la solución exacta de un sistema dado de ecuaciones diferenciales estocásticas
evoluciona en un M suave múltiple (véase Malliavin [36] o Emery [14]), pero sólo podemos
encontrar la solución de forma numérica. ¿Cómo podemos asegurar que nuestro aproximado
solución numérica también se encuentra en el colector?
Supongamos que se nos da una acción de grupo de Lie dimensional finita G y Lie
que genera transporte a través del colector M desde el punto de partida y0 â € M via
elementos de G. A continuación, con cualquier elemento dado en el álgebra de Lie g correspondiente a
el grupo de la mentira G, podemos asociar la acción infinitesimal usando la acción del grupo de la mentira
- Sí. El mapa 7→ es un homomorfismo de álgebra de Lie de g a X(M), el álgebra de Lie
∗Maxwell Institute for Mathematical Sciences and School of Mathematical and Computer Sciences,
Universidad Heriot-Watt, Edimburgo EH14 4AS, Reino Unido. (S.J.Malham@ma.hw.ac.uk, A.Wiese@hw.ac.uk).
(16/10/2007)
http://arxiv.org/abs/0704.0022v2
2 Malham y Wiese
de los campos vectoriales sobre el múltiple M. Más adelante la Lie subalgebra X(M) : â € € g}
es isomórfico a un álgebra dimensional finita Lie con las constantes de la misma estructura
(véase Olver [42], p. 56).
Por el contrario, supongamos que sabemos que el álgebra de Lie generada por el conjunto de gobierno-
ing campos vectoriales Vi, i = 0, 1,..., d, en M es dimensional finita, llama a esto XF (M). Entonces
Sabemos que existe un finito dimensional Lie grupo G que Lie álgebra g tiene el
constante de la misma estructura que XF (M) relativa a alguna base, y hay un grupo de Lie
acción y0 tal que Vi = i, i = 0, 1,..., d, para algunos i g (véase Olver [42], p. 56 o
Kunita [30], p. 194). La elección del grupo y la acción no es única.
En este artículo suponemos que hay un finito dimensional Lie grupo G y acción
De tal manera que nuestro conjunto de campos vectoriales dominantes Vi, i = 0, 1,..., d, son cada infinitesimal
Acciones de grupo de mentiras generadas por algún elemento en g via?y0, es decir. Vi = i para algunos i g,
i = 0, 1,..., d. Se dice que son campos vectoriales fundamentales. Esto significa que podemos
escribir el conjunto de los campos vectoriales que gobiernan Xosi para un sistema de diferencial estocástico
ecuaciones sobre el grupo de Lie G que, a través de la acción de grupo de Lie?y0, genera el flujo
gobernado por el conjunto de campos vectoriales Vi en el colector. Los campos vectoriales Vi en M son
simplemente el empuje hacia adelante de los campos vectoriales Xosi en G a través de la acción de grupo de Lie?y0.
Típicamente el flujo en el grupo Lie también necesita ser calculado numéricamente. Nosotros por lo tanto
quieren que la aproximación permanezca en el grupo de Lie para que la acción del grupo de Lie tome
nosotros de vuelta al colector.
Para lograr esto, tiramos hacia atrás el conjunto de los campos de vectores que gobiernan Xosi en G al conjunto
de los campos vectoriales que gobiernan vÍñi en g, a través del mapa exponencial ‘exp’ de g a G.
el flujo estocástico generado en g por los campos vectoriales genera el flujo estocástico
sobre G generada por el XÍO. El conjunto de campos vectoriales que gobiernan en g son para cada
Vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, ócalo, vócalo, ócalo.
(ad)
k â € € ¢ i, (1.2)
donde Bk es el número kth Bernoulli y el operador contiguo ad
en g, de hecho ad...........................................................................................................................
Por lo tanto, la serie a la derecha o cualquier truncación de la misma está cerrada en g.
si construimos una aproximación a nuestra ecuación diferencial estocástica en g usando
los campos vectoriales vó ́i o una aproximación de ellos conseguidos por truncamiento de la serie
representación, entonces esa aproximación debe residir en el álgebra de Lie g. Podemos entonces
empujar la aproximación en el álgebra de Lie hacia adelante en el grupo de Lie y luego en
el colector. Siempre y cuando calculemos el mapa exponencial y la acción apropiadamente, nuestro
solución aproximada se encuentra en el colector (para dentro de la precisión de la máquina). En resumen,
para un determinado â € ¢ g y cualquier y0 â € M tenemos el siguiente diagrama conmutativo:
X(G)
(y0 ) X(M)
exp G
# Y0 M #
Hemos separado implícitamente el conjunto de reglas de los campos vectoriales Vi, i = 0, 1,..., d,
del proceso de la trayectoria de conducción w • (W 1,..., W d). Juntos generan lo único
proceso de solución y M a la ecuación diferencial estocástica (1.1). Cuando hay
es sólo un proceso de Wiener de conducción (d = 1) el mapa de Itô w 7→ y es continuo en
la topología de la convergencia uniforme. Cuando hay dos o más procesos de conducción
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 3
(d ≥ 2) el Teorema del Límite Universal nos dice que el mapa de Itô w 7→ y es continuo
en la topología de la variación p, en particular para 2 ≤ p < 3 (véase Lyons [32], Lyons y
Qian [33] y Malliavin [36]). Una ruta Wiener con d ≥ 2 tiene una variable p finita para
p > 2. Esto significa que desde una perspectiva pathwise, aproximaciones a y construido
utilizando aproximaciones sucesivamente refinadas a w sólo se garantiza a converger a
la solución correcta y, si incluimos información sobre las áreas cordal Lévy de
el proceso de conducción. Nótese sin embargo que la L2-norm de la 2-variación de un
El proceso Wiener es finito. En el procedimiento de integración de grupo Lie prescrito anteriormente
debe resolver un sistema diferencial estocástico en el Lie álgebra g definido por el conjunto
de los campos vectoriales que rigen el proceso de la ruta de conducción w • (W 1,..., W d). In
luz del Teorema del Límite Universal y con la adaptación stepsize en mente en el futuro
(ver Gaines y Lyons [20]), por ejemplo, utilizamos en nuestros ejemplos orden 1 estocástico
métodos numéricos —que incluyen el área cordal de Lévy— para resolver el flujo en el
Lie álgebra g.
Hemos explicado así la idea detrás de los métodos de Munthe-Kaas y cómo pueden
generalizar a la situación estocástica. La primera mitad de este trabajo formaliza esto
procedimiento.
En la segunda mitad de este trabajo, consideramos los campos vectoriales autónomos y con-
struct estocástico Lie esquemas de integración de grupos utilizando métodos Castell-Gaines. Esto
el enfoque procede de la siguiente manera. Nosotros truncamos la estocástica exponencial Lie serie expan-
sión que corresponde al flujo de la solución del proceso y al diferencial estocástico
ecuación (1.1). A continuación, aproximamos el proceso de la trayectoria de conducción w • (W 1,..., W d) por
sustituirlo por un camino adecuado y suave en la variación apropiada
topología. Una aproximación a la solución yt requiere la exponenciación de la
Serie aproximada truncada exponencial Lie. Esto se puede lograr mediante la solución de la
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias impulsado por el campo vectorial que es el aprox-
imate truncado exponencial serie Lie. Si usamos los métodos ordinarios de Munthe-Kaas como
el integrador diferencial ordinario subyacente el método Castell-Gaines se convierte en un
Integrador de grupo de mentiras estocásticas.
Además, basándonos en el enfoque Castell-Gaines, presentamos una precisión uniforme
integradores exponenciales de la serie Lie que son globalmente más precisos que sus estocásticos
Planes de contraparte de Taylor (estos son investigados en detalle en Lord, Malham y
Wiese [31] para ecuaciones diferenciales estocásticas lineales). Requieren la suposición
que se utilice un integrador diferencial ordinario suficientemente preciso; que
El integrador podría ser, por ejemplo, un método ordinario de grupo de Mentira Munthe-Kaas. In
el caso de dos procesos de conducción Wiener derivamos el orden 1/2, y en el caso
de un proceso Wiener de conducción de la orden 1 uniformemente precisa exponencial serie Lie
integradores. Como consecuencia, confirmamos las propiedades de eficiencia asintótica para
ambos esquemas probados por Castell y Gaines [8] (ver Newton [41] para más detalles
sobre el concepto de eficiencia asintótica). También presentamos en el caso de una conducción
Wiener procesa un nuevo integrador exponencial de la serie Lie 3/2 de precisión uniforme
(Ver también Señor, Malham y Wiese [31]).
Presentamos dos aplicaciones físicas que demuestran la ventaja de utilizar
Métodos estocásticos de Munthe-Kaas. En primer lugar consideramos un cuerpo rígido libre que para ex-
amplio podría modelar la dinámica de un satélite. Suponemos que está perturbado por
dos procesos de ruido estocástico multiplicativo independientes. Los campos vectoriales rectores
son no conmutativos y el flujo estocástico exacto correspondiente evoluciona en la unidad
esfera. Demostramos que el método estocástico Munthe-Kaas, con un orden 1 estocástico
Taylor integrador utilizado para progresar a lo largo de la correspondiente Lie álgebra, conserva el
4 Malham y Wiese
solución aproximada en el colector de esfera de la unidad dentro de error de la máquina. Sin embargo
cuando se utiliza un integrador Taylor estocástico de orden 1 directamente, la solución sale de la
esfera de unidad. El contraste entre estos dos métodos es más enfáticamente demonio-
en nuestra segunda aplicación. Aquí consideramos un vehículo submarino autónomo
que también está perturbado por dos procesos de ruido estocástico multiplicativo independiente.
El flujo estocástico exacto evoluciona en el colector que es el dual de la Euclidiana
Lie álgebra se(3); dos Casimires independientes son conservados por el flujo exacto. Otra vez.
el método estocástico Munthe-Kass conserva los Casimirs dentro del error de la máquina.
Sin embargo, el orden 1 integrador estocástico Taylor no sólo es inestable para un gran paso-
tamaños, pero la aproximación se deriva del colector y hace una excursión dramática
hasta el infinito en el espacio de incrustación R6.
Preservar el flujo aproximado en el múltiple de la dinámica exacta puede ser un
propiedad necesaria para los sistemas físicos o financieros impulsados por caminos lisos o ásperos—
para las referencias generales véase Iserles, Munthe-Kaas, Nørsett y Zanna [25], Hairer, Lubich
y Wanner [22], Elworthy [13], Lyons y Qian [33] y Milstein y Tretyakov [38].
Integradores de grupos de mentiras estocásticas en forma de integradores Magnus para estocástico lineal
Las ecuaciones diferenciales fueron investigadas por Burrage y Burrage [5]. También lo fueron.
utilizado bajo la apariencia de los esquemas de Möbius (véase Schiff y Shnider [43]) para resolver estocástico
Ecuaciones de Riccati por Lord, Malham y Wiese [31] donde superaron el rendimiento directo
Métodos estocásticos de Taylor. Otras aplicaciones que podrían aplicarse son las siguientes:
reverso estocástico Riccati ecuaciones que surgen en óptimo estocástico lineal-cuadrático
control (Kohlmann y Tang [28]); procesos de difusión de salto en grupos de matrices Lie
para la inferencia bayesiana (Srivastava, Miller y Grenander [44]); browniano fraccionario
mociones sobre grupos de mentiras (Baudoin y Coutin [3]) y dinámica estocástica activada
por daño al ADN (Chickarmane, Ray, Sauro y Nadim [10]).
Nuestro documento se describe de la siguiente manera. En la sección 2 presentamos la configuración geométrica básica,
Sin estocástica. En particular presentamos un campo vectorial de traducción de la derecha generalizada
sobre un grupo de Mentira que forma la base de nuestra transformación posterior de la Mentira
grupo al colector. Usando una acción de grupo de Mentira, este campo vectorial empuja hacia adelante
a un campo vector de acción infinitesimal Lie grupo que genera un flujo en el suave
multiple. En la Sección 3 nos especializamos en el caso de un grupo de Lie matriz y utilizando
el mapa exponencial, deriva el retroceso del vector de traducción derecha generalizada
campo en el grupo Lie al campo vectorial correspondiente en el álgebra de Lie. Ayudar
dar un poco de contexto a nuestro esquema general, proporcionamos en la sección 4 ejemplos ilustrativos
de múltiples y opciones naturales para los grupos de Lie asociados y las acciones que generan
fluye en esos colectores. Entonces en la sección 5 mostramos cómo un flujo en un colector suave
correspondiente a una ecuación diferencial estocástica puede ser generada por un estocástico
fluir en un Lie álgebra a través de una acción de Lie álgebra. Presentamos explícitamente el estocástico Munthe...
Métodos de integración del grupo Kaas Lie en la Sección 6. Comenzamos la segunda mitad de nuestra
artículo mediante la revisión de la serie exponencial Lie para ecuaciones diferenciales estocásticas en
Sección 7. En la Sección 8 mostramos cómo construir el estocástico geométrico Castell-Gaines
métodos numéricos. En particular, también presentamos una mentira exponencial uniformemente precisa
esquemas numéricos en serie que no sólo pueden utilizarse como integradores geométricos estocásticos,
pero también son siempre más precisos que estocástico Taylor esquemas numéricos de la
orden correspondiente. En la Sección 9 presentamos nuestros ejemplos numéricos concretos. Finalmente
En la Sección 10 concluimos y presentamos algunas otras aplicaciones y direcciones futuras.
2. Mentira acciones de grupo. SupongaM es un submanifold finito n-dimensional suave
de RN con n ≤ N. Utilizamos X(M) para denotar el álgebra de Lie de los campos vectoriales en el
M múltiple, equipado con el soporte de Lie-Jacobi [U, V]
Integradores estocásticos de grupos de mentiras 5
U, V, X (M). Deja que G denote un grupo finito de Mentira dimensional.
Definición 2.1 (Acción colectiva). Una acción de grupo de Lie izquierda de un grupo de Lie G en un
M multiple es un mapa liso : G ×M → M satisfactorio para todos y M y R,S G:
(1) (id., y) = y; (2) (R. (S., y)) = (RS., y). Denotamos "y" S" (S, y).
A partir de ahora, suponemos que y0 M es fijo y se centra en el mapa de acción : G→M.
Asumimos que la acción del grupo Lie es transitiva, es decir. transporte a través del colector
desde cualquier punto y0 â € TM a cualquier otro punto y â € TM siempre se puede lograr a través de un grupo
elemento S G con y = y0 S (Marsden y Ratiu [37], p. 310).
Definimos el álgebra de Lie g asociado con el grupo de Lie G como el espacio vectorial
de todos los campos vectoriales invariantes correctos en G. Por construcción estándar esto es isomórfico
al espacio tangente a G en el id de identidad (véase Olver [42], p. 48 o Marsden
y Ratiu [37], pág.
Definición 2.2 (Campo vectorial de traducción derecha generalizada). Supón que lo somos.
dado un mapa suave : M→g. Con cada mapa de este tipo • asociamos un campo vectorial
X® : G → X(G) definido de la siguiente manera:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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en el caso de S • G, donde la «exp» es la habitual exp de difeomorfismo local: g → G de un
bourhood del elemento cero o â € g a un barrio de id â € G.
Definición 2.3 (acción del grupo de Mentira Infinitesimal). Nos asociamos con cada vector
campo Xo : G→X(G) un campo vectorial : M→X(M) como el empuje hacia adelante de Xo de G a
M by?y0, es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Xâ € € TM ~, de modo que si S â € € ~ G y y = â € ~ S â € M, entonces
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donde γ(t) G, γ(0) = S y (
campo vector X® a partir de S G). Naturalmente, como un campo vectorial es lineal, y también
# # Y # LX # # # Y # # S #
el derivado de la Mentira de "y0 a lo largo de X" en S" G.
Comentarios.
1. El mapa (S) : M→M definido por y 7→
flujo en M. Por lo tanto, si y = •(S) • y0, el empuje hacia adelante de por •(S) es dado por
(Marsden y Ratiu [37], p. 317).
2. Definimos el subgrupo de isotropía en y0 â € M por Gy0 â € {S â € G : â € € TM S = y0}; es
es un subgrupo cerrado de G (véase Helgason [23], p. 121 o Warner [48], p. 123). Definimos
el subgrupo mundial de isotropía por GM • • • • • • • • {S • G : • • • S = y0, • • • M};
es un subgrupo normal de G (véase Olver [42], p. 38).
3. Se dice que una acción de grupo de Mentira es efectiva/fiel si el mapa S 7→ (S) de
G a Diff(M), el grupo de difeomorfismos en M, es uno-a-uno. Esto es equivalente
a condición de que los diferentes elementos del grupo tengan diferentes acciones, es decir: GM {idG}.
Una acción de grupo de Mentira se dice que es libre si Gy0 = {idG} para todos y0 â € M, es decir. ¿Qué es esto?
difeomorfismo de G a M. Para más detalles, véase Marsden y Ratiu [37], p. 310
y Olver [42], p. 38.
4. El mapa γ : G/Gy0→M definido por γ : S · Gy0 7→
i.e. M = G/Gy0 para cualquier y0 â € M (un M múltiple con una acción de grupo de Mentira â €: G×M→M
definido sobre él es así diffeomorphic a un colector homogéneo ; véase Warner [48],
p. 123 o Olver [42], p. 40). Además, la acción inducida de G/GM sobre M es efectiva.
Por lo tanto, si no es una acción efectiva de G, podemos reemplazarlo (sin pérdida de generalidad)
por la acción inducida de G/GM (véase Olver [42], p. 38).
6 Malham y Wiese
5. Nuestra definición para el campo vector de traducción de la derecha generalizada X® en G es
motivado por el campo vector de traducción derecha estándar utilizado para identificar g, el vector
espacio de los campos vectoriales invariantes derecho en G, con TidG, el espacio tangente a G en el
identidad. Cuando â € € TM g es constante, Xâ € € TM X(G) es correcto invariante y un soporte de mentira
en TidG se puede definir a través de la extensión derecha por el soporte correspondiente Lie–Jacobi
para los campos vectoriales X® en X(G). A no ser que â € € TM g sea constante, Xâ € TM no es en general
Invariante. Para más detalles, véase Varadarajan [47], Olver [42], o Marsden y
Ratiu [37].
6. El mapa del generador infinitesimal 7→ de g a X(M) es un álgebra de Lie
homomorfismo. Si identificamos g como el espacio vectorial de los campos vectoriales invariantes izquierdos en G
Este mapa se convierte en un anti-homomorfismo. El soporte Lie–Jacobi tal como se define anteriormente
da la derecha (en lugar de la izquierda) Lie álgebra estuctura sobre el grupo de difeomorfismos
en M. Si además tomamos el soporte de Lie-Jacobi para ser menos que lo definido anteriormente—
asociado con la estructura izquierda Lie álgebra—entonces el mapa del generador infinitesimal
se convierte en un homomorfismo de nuevo. Véase, por ejemplo, Marsden y Ratiu [37], p. 324 o
Munthe-Kaas [40].
7. La imagen de g bajo el mapa del generador infinitesimal 7→ forma un finito
álgebra dimensional de la mentira de los campos vectoriales en M que es isomórfica al álgebra de la mentira de
el grupo de cociente efectivo G/GM (véase Olver [42], p. 56). Por lo tanto, la tangente
espacio a M en cualquier punto es g y M inherente a una conexión de G/GM. Conexiones
son necesarios para definir martingales en los colectores, pero no para definir semimartingales
(nuestro enfoque aquí); véase Malliavin [36] y Emery [14].
8. Un estudio exhaustivo de la construcción sistemática de grupos de mentiras de simetría
de campos vectoriales dados se pueden encontrar en Olver [42].
9. Asumimos por encima que los campos vectoriales X y son autónomos. Sin embargo
todos los resultados en esta y las secciones siguientes hasta la sección 7 pueden ser simples
extendido a campos vectoriales no autónomos generados por: M × R→g con (y, t) 7→
(y, t) para todos los y • M y t • R.
10. Para una generalidad total queremos suspender la referencia a los espacios de incrustación en la medida en que
Es posible. Sin embargo, en las secciones siguientes para ser concisos vamos a reclamar más explícitamente
este contexto.
3. Vuelve al álgebra de Lie. Para facilitar la presentación, asumiremos en
esta sección que G es un grupo de Lie de matriz. Recuerde que el mapa exponencial exp: g → G
es un difeomorfismo local de un barrio de o â € g a un barrio de id â € G.
Let vâ : g→g ser el tirón hacia atrás del campo del vector Xâ : G→X(G) de G a g a través de la
mapeo exponencial exp: g→G, es decir. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Si g entonces
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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. (3.1)
Aquí dexp−1 : g→g es la inversa del mapa tangente trivializado-derecha del exponencial
dexp/23370/ : g→g definido de la siguiente manera. Si β() es una curva en g de tal manera que β(0) = y
(0) = η g entonces dexp: g× g→g es el mapa local liso (Varadarajan [47], p. 108)
expβ()=0 exp()
exp(ad)− id
• η.
Tenga en cuenta que como un mapa tangente dexp : g→g es lineal. El operador inverso dexp
es la
serie del operador (1.2) generada por considerar el recíproco de dexp
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 7
Para demostrar que (3.1) es cierto, si exp: g→G con
β(0) =
exp* v* S = expβ(l) = 0
dexp..............................................................................................................................................................................................................................................................
exp(l)
S.............................................................................................................
Como la ‘exp’ es un difeomorfismo en un barrio de o ® g, este impulso hacia adelante calcu-
En el caso de los países en vías de desarrollo, la tasa de crecimiento de la población se sitúa en torno a 3,1 para todos los países de la región.
4. Ejemplos ilustrativos. Supongamos que el campo vector V : M× R→X(M) gener-
ate una solución de flujo yt â € M a partir de y0 â € M. Entonces asumir que existe un:
1. Lie grupo G con el correspondiente álgebra g de Lie;
2. Acción de grupo de la mentira y0 : G→M para la que se fija un punto de partida y0 M;
3. Campo vectorial : M× R→X(M) de tal manera que: V , es decir. V es un elemento fundamental
campo vector correspondiente a la acción y0.
Supongamos que G es un grupo de la mentira de la matriz (o puede ser incrustado en una mentira de la matriz
grupo, por ejemplo, el grupo euclidiano SE(3) está naturalmente incrustado en el grupo especial
grupo lineal SL(4;R)). Tenemos para todos S â € TM a G y t â € TM a R,
(S, t) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S)
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
S. (4.1)
Si V = para algunos : M→g, algunos Lie grupo G y la acción correspondiente y0, entonces
el flujo generado por X® en G impulsa el flujo generado por V en M. En cada uno de los
ejemplos a continuación, dado el múltiple M, presentamos un grupo de mentira natural y acción
asociado con la estructura múltiple, e identificar los campos vectoriales que generan flujos
sobre el colector a través del grupo de la mentira.
Stiefel multiple Vn,k. Suponga que M = Vn,k • {y • Rn×k : yTy = I}. Toma
G = SO(n), el grupo ortogonal especial, y?y0(S)? Sy0, la acción de la izquierda
multiplicación. El correspondiente álgebra de Lie g = so(n). Entonces por cálculo directo
(y) = (y, t) y. Por lo tanto, si el campo vector V dado (y, t) = (y, t) y, a continuación, el empuje
hacia delante del flujo generado por Xoa(S, t) en G en (4.1) es el flujo generado por V en
M. Tenga en cuenta que la esfera de unidad S2 = V3,1, es decir, S2 es sólo un particular Stiefel múltiple.
En la Sección 9 como aplicación, consideramos que la dinámica del cuerpo rígido evoluciona en S2.
Variante isoespectral Sn. Supongamos que M = Sn = {y Rn×n : yT = y}, el conjunto de
n× n matrices simétricas reales. Toma G = O(n), el grupo ortogonal y
T, que es una acción isoespectral (Munthe-Kaas [40]). La Mentira correspondiente
álgebra es g = so(n). De nuevo, por cálculo directo (y) = (y, t) y − y (y, t). Por lo tanto
si el campo vectorial dado V (y, t) = •(y, t) y−y •(y, t), entonces el empuje hacia adelante del flujo
es el flujo generado por V en M.
Dual del álgebra euclidiana se(3)*. Suponga que M = se(3)* = R3, el dual
del álgebra euclidiana se(3) del grupo euclidiano SE(3) =
s, l) · SE(3) : s ·
SO(3),
. Tómese G = SE(3), así g = se(3) y فارسى Ad* : G × gg*, la
Acción conjunta conjunta de G sobre g*. Entonces por cálculo directo (y) = −ad(y). Desde
(y) en lineal en y (y) (y), se sigue que si V (y) = ad(y), entonces
el empuje hacia adelante del flujo generado por X(S, t) =
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
S en G es el
flujo generado por V en M. Para más detalles vea la sección 9 donde investigamos el
dinámica de un vehículo submarino autónomo que evoluciona en se(3)*.
8 Malham y Wiese
Grassmannian multiple Gr(k, n). El colector de Grassmannian M = Gr(k, n)
es el espacio de los subespacios k-dimensionales de Rn. Toma G = GL(n), el lineal general
grupo de la matriz, donde si S • GL(n), identificamos
donde las matrices de bloques α, β, γ y son de tamaños k × k, k × (n − k), (n− k) × k y
(n − k) × (n − k), respectivamente (véanse Schiff y Shnider [43]; Munthe-Kaas [40]). Nosotros
elegir la acción de GL(n) en Gr(k, n) para ser la transformación Möbius generalizada
•y0(S) = (αy0 + β)(γy0 + )
−1. Por lo tanto, si
•(t) =
a(t) b(t)
c(t) d(t)
entonces el cálculo directo revela que (y) = a(t)y+ b(t)− yc(t)y− yd(t). Por lo tanto, si el
dado campo vector V (y) = a(t)y + b(t) − yc(t)y − yd(t), a continuación, el empuje hacia delante de la
El flujo generado por Xo(S, t) = (t)S en G es el flujo generado por V en Gr(k, n).
5. Integración estocástica del grupo de la mentira. Demostramos que si una acción de grupo de Mentira
•: G ×M→M existe, entonces para y0 M fijo, la acción de álgebra de Lie •y0 • exp: g→M
lleva un flujo en g a un flujo en M.
Teorema 5.1. Suponga que existe una acción de grupo de Mentiras: G ×M→M. Entonces si
existe un proceso g y un tiempo de parada T* de tal manera que en [0, T*), satisface
la ecuación diferencial estocástica Stratonovich
v'i â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € · dW · € · € · € · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
entonces el proceso y =?y0? exp?? M satisface el diferencial estocástico de Stratonovich
Ecuación en [0, T*]:
yt = y0 +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (5.2)
Prueba. Usando el lema de Itô, si la g satisface (5.1), entonces la expansión de Itô satisface
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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Ahora recuerde que para cada i = 0, 1,...., d, XÍOI es el empuje hacia adelante de vÍOI de g a G vía
el mapa exponencial, y que i es el empuje hacia adelante de Xi de G a M a través de y0
y por lo tanto el derivado de la mentira
Lvá à r à r à r à r à r à r à r à r à r à r.
A continuación, ya que yt =?y0? exp?t, llegamos a la conclusión de que y? M es un proceso que satisface la
Ecuación diferencial estocástica (5.2).
Corollary 5.2. Supongamos que para cada i = 0, 1,...., d existe : M→g tal
que el campo vector Vi : M→X(M) y i : M→X(M) pueden ser identificados, es decir.
Vi.......................................................................................................................... (5.3)
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 9
A continuación, el empuje hacia adelante por â € € € TM exp » del flujo en el álgebra de Lie múltiple g generado
por la ecuación diferencial estocástica (5.1) es el flujo en el colector liso M
generado por la ecuación diferencial estocástica (5.2), cuya solución se puede expresar
en la forma yt =
Observación. Si la acción es libre, entonces â € â € € TM expâ es un difeomorfismo de un vecino-
a un barrio de y0 â € M.
6. Métodos estocásticos Munthe-Kaas. Asumiendo que los campos vectoriales en nuestro
ecuación diferencial estocástica original (1.1) son fundamentales y satisfacen (5.3), entonces
Los métodos estocásticos Munthe-Kaas se construyen de la siguiente manera:
1. Subdividir el intervalo global de integración [0, T] en subintervalos [tn, tn+1].
2. A partir de t0 = 0, repetir los dos pasos siguientes a lo largo de intervalos sucesivos
[tn, tn+1] hasta tn+1 = T.
3. Calcular una solución aproximada tn,tn+1 a (5.1) a través de [tn, tn+1] utilizando una
Estocástico Taylor, método estocástico Runge-Kutta o Castell-Gaines.
4. Calcular la solución aproximada ytn+1..................................................................................
Obsérvese que por construcción tn,tn+1 g porque el diferencial estocástico equa-
tion (5.1) (o cualquier Taylor estocástico u otra aproximación sensata) evoluciona la
lución local en el álgebra de Lie g a través de los campos vectoriales vÍOI : g→g. Métodos adecuados
para aproximar el mapa exponencial para garantizar que los mapas g a G adecuadamente pueden ser
se encuentra en Iserles y Zanna [26]. Entonces por construcción ytn+1 â € M.
Por ejemplo, con dos procesos Wiener y campos vectoriales autónomos
orden 1 estocástico Taylor Munthe-Kaas método se basa en
tn,tn+1 =
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ J12v+1v+2 + J21v+2v+1 +
o, (6.1)
evaluado en el elemento cero o g. Típicamente ‘dexp−1’ se trunca para incluir solamente
los términos de orden bajo necesarios para mantener el orden del esquema numérico.
Observación. Es natural invocar el Teorema de Ado (véase, por ejemplo, Olver [42], pág. 54):
cualquier álgebra dimensional finita de la mentira es isomórfica a una mentira subalgebra de gl(n) (la
álgebra lineal general) para algunos n N. Sin embargo, como Munthe-Kaas [40] señala,
directamente utilizando una representación de matriz para el grupo Lie dado puede no conducir a la
implementación computacional óptima (otras estructuras de datos podrían hacerlo).
7. Serie de mentiras exponenciales. La serie Taylor estocástica es conocida en diferentes
contextos como la serie Neumann, la serie Peano-Baker o Feynman-Dyson
exponencial. Si los campos vectoriales en la ecuación diferencial estocástica (1.1) son au-
tonomous (que asumimos en adelante), es decir, para todos los i = 0, 1,...., d, Vi = Vi(y) solamente,
entonces la serie estocástica Taylor para el flujo es
Jα1m(t)Vα1 · · ·Vαm.
Aquí Pm es el conjunto de todas las combinaciones de multi-índices α = (α1,. .., αm) de longitud m
con αi ≤ {0, 1,..., d} y
Jα1m(t)
· · ·
∫ m−1
dWα1°m · · · dW
son múltiples integrales Stratonovich.
10 Malham y Wiese
El logaritmo de Łt es la exponencial serie Lie, Magnus expansion (Magnus [34])
o fórmula Chen-Strichartz (Chen [9], Strichartz [45]). En otras palabras, podemos expresar
el mapa de flujo en la forma t = expÃ3t, donde
Ji(t)Vi +
j>i=0
(Jij − Jji)(t)[Vi, Vj ] + · · ·
es la serie de Lie exponencial para nuestro sistema, y [·, ·] es el soporte de Lie-Jacobi en
X(M). Véase Yamato [49], Kunita [29], Ben Arous [1] y Castell [7] para la derivación
y convergencia de la expansión exponencial de la serie Lie en el contexto estocástico;
Strichartz [45] para la expansión explícita completa; Sussmann [46] para un producto relacionado
expansion y Lyons [32] para extensiones a caminos ásperos.
Vamos a denotar la serie truncada exponencial Lie por
t =
Jα cα, (7.1)
donde Qm denota el conjunto finito de multi-índices α para los cuales JL2 es de orden hasta
e incluye tm, donde m = 1/2, 1, 3/2,.... Los términos cα son combinaciones lineales
de muchos productos finitos (longitud α) de los campos de vectores lisos Vi, i = 0, 1,..., d.
El siguiente resultado de convergencia asintótica se puede establecer en la línea de la
prueba de ecuaciones diferenciales estocásticas lineales en Lord, Malham y Wiese [31]; nosotros
presentar una prueba en el apéndice A.
Teorema 7.1. Suponga que los campos vectoriales Vi tienen 2m+1 deriva uniformemente limitada-
tivos, para todos los i = 0, 1,...., d. Entonces para t ≤ 1, el flujo exp t y0 es integrable cuadradamente,
donde t es la serie truncada Lie (7.1). Además, si y es la solución de la estocástica
ecuación diferencial (1.1), existe una constante C
m, â â € TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
de tal manera que
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
m, â â € TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
tm+1/2. (7.2)
8. Métodos geométricos Castell-Gaines. Considerar el truncado exponencial
Serie de mentiras tn,tn+1 a lo largo del intervalo [tn, tn+1]. Nos aproximamos a orden superior múltiple
Stratonovich integrales a lo largo de cada paso del tiempo por sus expectativas condicionadas en el
incrementos de los procesos Wiener en subdivisiones adecuadas (Gaines y Lyon [20]).
Una aproximación a la solución de la ecuación diferencial estocástica (1.1) a través
el intervalo [tn, tn+1] viene dado por el flujo generado por el sistema truncado y condicionado
serie exponencial de mentiras tn,tn+1 vía
ytn+1 فارسى exp
tn,tn+1
# Ytn. #
Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial estocástica (1.1) puede ser aproximadamente
calculado resolviendo el sistema diferencial ordinario (véase Castell y Gaines [8];
Misawa [39])
u′(l) = tn,tn+1 u(l) (8.1)
a lo largo del intervalo de tiempo (+ + + +) [0, 1]. Entonces, si u(0) = ytn obtendremos u(1) ytn+1. Nosotros
debe elegir un integrador diferencial ordinario suficientemente preciso para resolver (8.1)—nosotros
Asumir implícitamente esto en adelante.
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 11
El conjunto de campos vectoriales dominantes Vi, i = 0, 1,..., d, prescribe un mapa de la
proceso de la ruta de conducción w • (W 1,..., W d) al proceso de solución única y • M a la
Ecuación diferencial estocástica (1.1). El mapa w 7→ y se llama el mapa de Itô. Recordar
que asumimos que los campos vectoriales son suaves. Cuando sólo hay un conductor Wiener
proceso (d = 1) el mapa de Itô es continuo en la topología de la convergencia uniforme
(Teorema 1.1.1. en Lyon y Qian [33]). Cuando hay dos o más pro-
cestos (d ≥ 2) el Teorema del Límite Universal (Teorema 6.2.2. en Lyons y Qian [33])
nos dice que el mapa de Itô es continuo en la topología p-variación, en particular para
2 ≤ p < 3. Una ruta Wiener con d ≥ 2 tiene una variación p con p > 2, y la variación p
métrica en este caso incluye información sobre las áreas cordales de Lévy de la ruta
(Lyons [32]). Por lo tanto, debemos elegir las aproximaciones suaves adecuadas a la
proceso de ruta de conducción w. El siguiente resultado sigue del resultado correspondiente
para ecuaciones diferenciales ordinarias en Hairer, Lubich y Wanner [22] (p. 112) también
como directamente del capítulo VIII en Malliavin [36] sobre el principio de transferencia (véase también
Emery [15]).
Lemma 8.1. Una condición necesaria y suficiente para la solución al estocástico
ecuación diferencial (1.1) para evolucionar en un suave submanifold n-dimensional M de
RN (n ≤ N) hasta un tiempo de parada T* es que Vi(y, t) • TyM para todos y • M, i =
0, 1,..., d.
Por lo tanto, la expansión estocástica de Taylor para el flujo es un difeomorfismo en M.
Sin embargo una versión truncada de la expansión estocástica de Taylor para el flujo t no
en general te mantiene en el colector, es decir. # Si tú # # M entonces # # t # # tú no necesitas necesariamente #
yace en M. Por otro lado, la serie exponencial de la Mentira, o cualquier truncación t de
se encuentra en X(M). Por Lemma 8.1 esta es una condición necesaria y suficiente para el
el flujo-mapa correspondiente exp t ser un difeomorfismo en M. Por lo tanto si u(0) = ytn
M, entonces ytn + 1 u(1) • M. Al resolver la ecuación diferencial ordinaria (8.1),
métodos geométricos clásicos de integración, por ejemplo, integradores de grupos de Lie, tales como
Los métodos Runge-Kutta Munthe-Kaas, a lo largo del intervalo
garantizar ytn+1 estancias en M. Además, como el siguiente resultado revela, numérica
métodos construidos utilizando el enfoque de la serie Castell-Gaines Lie también pueden ser más
precisa (en el apéndice B se proporciona una prueba). Definimos el fuerte error global en
tiempo T asociado con una solución aproximada ŷT como E • • • • • • • • • • L2.
Teorema 8.2. En el caso de dos procesos Wiener independientes y bajo la
suposiciones del Teorema 7.1, para cualquier condición inicial y0 ° M y un
pequeño stepsize fijo h = tn+1 − tn, el orden integrador de la serie 1/2 Lie es global más
precisa en L2 que el orden integrador estocástico 1/2 Taylor. Además, en el
caso de un proceso Wiener, el orden 1 y 3/2 mentira exponencial uniformemente precisa
integradores de series generados por
tn,tn+1
= J0V0 + J1V1 +
[V1, [V1, V0]]
(3/2)
tn,tn+1
= J0V0 + J1V1 +
(J01 − J10)[V0, V1] + h
[V1, [V1, V0]]
respectivamente, son globalmente más exactos en L2 que su correspondiente estocástico Tay-
Los integradores. En otras palabras, si E lsm denota el error global de la mentira exponencial
serie integradores de orden m por encima, y Estm es el error global de la Taylor estocástica
integradores del orden correspondiente, luego E lsm ≤ Estm para m = 1/2, 1, 3/2.
Comentarios.
1. El resultado para (3/2) es nuevo. Que el integrador de la serie orden-1/2 Lie (para dos
Procesos Wiener) y el orden integrador 1 generado por (1) son uniformemente más
la exactitud confirma las propiedades asintóticamente eficientes de estos esquemas demostrados por
12 Malham y Wiese
Castell y Gaines [8]. La prueba sigue la línea de un resultado análogo para
sistemas estocásticos lineales considerados en Lord, Malham y Wiese [31].
2. Considerar el orden 1/2 exponencial serie Lie sin campo vectorial commu-
tas. Resolver la ecuación diferencial ordinaria (8.1) usando un Euler (ordinario)
Método Munthe-Kaas y dexp de aproximación
El id es equivalente al orden 1/2
Método estocástico Taylor Munthe-Kaas (para el mismo grupo de Mentira y acción).
9. Ejemplos numéricos.
9.1. Cuerpo rígido. Consideramos la dinámica de un cuerpo rígido como un satélite
(véanse Marsden y Ratiu [37]). Vamos a suponer que el cuerpo rígido está perturbado por dos
procesos estocásticos multiplicativos independientes W 1 y W 2 con los correspondientes
campos vectoriales Vi(y) • • • i(y) y, para i = 0, 1, 2, con • i • so(3). Si normalizamos la inicial
datos y0 para que y0 = 1 entonces la dinámica evoluciona en M = S2. Nosotros, naturalmente, suponemos
G = SO(3), y y0(S) Sy0 de modo que i(y) = i(y) y, y podemos tirar hacia atrás el
flujo generado por V en M al flujo en G generado por X.i(S, t) =.i
?y0(S)
i = 0, 1, 2. Utilizamos la siguiente representación de la matriz para el 'i(y)' so(3):
•i(y) =
0 −y3/αi,3 y2/αi,2
y3/αi,3 0 −y1/αi,1
−y2/αi,2 y1/αi,1 0
donde se eligen las constantes αi,j para j = 1, 2, 3 para que los campos vectoriales Vi y
Las matrices no se desplazan para i = 0, 1, 2: α0,1 = 3, α0,2 = 1, α0,3 = 2, α1,1 = 1,
α1,2 = 1/2, α1,3 = 3/2, α2,1 = 1/4, α2,2 = 1, α2,3 = 1/2. Los campos vectoriales Vi satisfacen
las condiciones del Teorema 7.1 ya que el colector es compacto en este caso.
Resolveremos numéricamente (1.1) usando tres métodos de orden 1 diferentes: estocástico
Taylor, estocástico Taylor Munthe-Kaas basado en (6.1) y Castell-Gaines (un
método drard no geométrico Runge-Kutta se utiliza para resolver el diferencial ordinario
ecuación (8.1)). Las composiciones vectoriales ViVj necesarias para el estocástico Taylor
y los métodos Castell-Gaines se calculan fácilmente. Para el método Munthe-Kaas nosotros
Tenga en cuenta que tenemos váši o = i(y0) y
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Aquí o tan (3) es el elemento cero en el álgebra de Lie, y para todos y, z R3 definir
A(y, z;α, β)
− y3z2
− y1z3
− y2z1
y : R3→so(3) denota el isomorfismo espacial vectorial
0 3 2
3 0 1
2 1 0
Nótese que ŷ z y Ł z (véase Marsden y Ratiu [37]). Tenga en cuenta también desde el punto de vista de la información (3),
exp. • SO(3) puede calcularse de forma conveniente y barata utilizando la fórmula de Rodrigues.
(véanse Marsden y Ratiu [37] o Iserles et al. [25]).
En la Figura 9.1 mostramos la distancia del colector S2 de cada uno de los tres aprox-
imations; comenzamos con los datos iniciales y0 = (
2, 0) T. El estocástico Taylor Munthe...
Método Kaas se puede ver para preservar la solución en la esfera de unidad a dentro de la máquina
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Taylor estocástico
Castell-Gaines
Munthe-Kaas
Fig. 9.1. Cuerpo rígido: Se muestra la distancia logarítmica de la solución aproximada a la esfera de la unidad
en función del tiempo para cada uno de los métodos. A continuación mostramos las soluciones aproximadas como una función
del tiempo para los métodos estocásticos Taylor (azul) y Munthe-Kaas (magenta). Comienza la trayectoria
en la parte superior derecha y eventualmente a la deriva sobre el horizonte izquierdo.
14 Malham y Wiese
error. También vemos que el método estocástico Taylor claramente se deriva de la esfera como
el tiempo de integración progresa, al igual que el método no geométrico Castell-Gaines—
que, sin embargo, permanece notablemente más cerca del colector que el estocástico Taylor
esquema.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Taylor estocástico
Castell-Gaines
Munthe-Kaas
−3,2 −3,1 −3,9 −2,8 −2,7 −2,6 −2,5 −2,4 −2,3 −2,2
(tamaño del paso)
Número de rutas de muestreo=100
Taylor estocástico
Castell-Gaines
Munthe-Kaas
Fig. 9.2. Vehículo submarino autónomo: Mostramos la distancia de registro de la solución aproximada
a los dos Casimires C1 = η ·p (línea punteada) y C2 = p
2 (línea sólida) en función del tiempo para cada uno
de los métodos. A continuación, también mostramos el error global como una función de stepsize.
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 15
9.2. Vehículo submarino autónomo. La dinámica de un au elipsoidal
vehículo subacuático tonomous está prescrito por el estado y = (
* es su momento angular y (R3) * su momento lineal (véase Holmes,
Jenkins y Leonard [24], Egeland, Dalsmo y Sørdalen [12] y Marsden y
Ratiu [37]). Suponemos que el vehículo está perturbado por dos multi- independientes
procesos estocásticos plicativos. Los campos vectoriales que gobiernan son para i = 0, 1, 2:
Vi(y) = anuncio
# Y. # # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y.
Aquí i(y) =
•i(y), ui(y)
• se(3) donde •i(y) = I−1i(y) y ui(y) = M
i p son la
velocidad angular y lineal, e Ii = diag(αi,1, αi,2, αi,3) y Mi = diag(βi,1, βi,2, βi,3)
son el momento constante de inercia y matrices de masa, respectivamente. Explícitamente para
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ad à                                                                                                                                       Â
El sistema de campos vectoriales Vi, i = 0, 1, 2 representa la dinámica de Lie-Poisson en
M = se(3)* (Marsden y Ratiu [37]). Hay dos funciones independientes Casimir
Ck : se(3)
R, k = 1, 2, a saber, C1 = η · p y C2 = p2; estos son conservados por el
flow on se(3)*. Tenga en cuenta que el Hamiltonian, es decir. energía cinética total 1
(l · • + p · u),
También se conserva exactamente (y es útil para establecer las condiciones de suficiencia en
Teorema 7.1), pero ese no es nuestro enfoque aquí.
Si G = SE(3) SO(3) × R3, entonces la acción coadconjunta de SE(3) sobre se(3)*,
: SE(3) × se(3)se(3)* se define para todas las S = (s,
* por: S = Ad*S - 1 â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. * por: â € € € € S = Ad*S - 1 â € € € €. * por: â € € ~ S = Ad*S - 1 â € € €
sl + l (sp), sp
. Los
la acción infinitesimal correspondiente : se(3)× se(3)se(3)* para todos los se(3) y y
Se(3)* es dada por (ver Marsden y Ratiu [37], p. 477)
# Y # # # # Y # # # # # Y # # # # # # Y # # # # # # # Y # # # # # # Y # # # # Y # # # # # Y # # # # Y # # # # # Y # # # # # # # Y # # # # # # # Y # # # # # # # # # # # Y # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Desde ad(y) = (y) = (y) el conjunto gobernante de campos vectoriales en se(3)* son
Vi(y) = i y.
Ahora podemos retirar este flujo en se(3)* a un flujo en SE(3) vía?y0. La correspondencia...
El flujo de ing en SE(3) es generado por el conjunto rector de campos vectoriales para i = 0, 1, 2:
Xi S = −
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
con y = Ły0(S).
Para ayudar a la ejecución, tenga en cuenta que SE(3) =
(s, ) • SE(3) : s • SO(3), • • R3
se incrusta en SL(4;R) a través del mapa
S = (s, l) 7→
donde O es el tres-vector de ceros. También se(3) es isomórfico a una Lie subalgebra de
sl(4;R) con elementos de la forma
7→
16 Malham y Wiese
Por lo tanto, los campos vectoriales que gobiernan en SE(3) son de la forma Xi = i(y)S, donde
•i(y) =
i(η) ui(p)
Los campos vectoriales que gobiernan en se(3) son vi(l) = −dexp
(exp.o.p.)
. Otra vez la
las composiciones vectoriales ViVj necesarias para el estocástico Taylor y Castell-Gaines
los métodos pueden ser computados directamente. El cálculo directo también revela que en
forma de matriz de bloque
= = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = ; = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
Â(l0, η0;αi, αj) + Â(p0, p0;βi, αj) A(l0, p0;αi, βj)
[i(y0), j(y0)].
Aquí A(y, z;α, β) se define como el ejemplo del cuerpo rígido. Note que el exponencial
mapa exp
se(3) : se(3)→SE(3) se define para todos
se(3) =
so(3) f(
donde exp
so(3) es el mapa exponencial de so(3) a SO(3) que se puede calcular
utilizando la fórmula de Rodrigues y (véanse Bullo y Murray [4], p. 5)
f() = I3×3 + (1 − cos )/2 +
1− (pecado )/
2/2.
En la Figura 9.2 mostramos la distancia desde el colector se(3)* de cada uno de los tres ap-
proximaciones; en particular, hasta qué punto las trayectorias individuales se desvían de los Casimires
C1 = η · p y C2 = p2. Comenzamos con los datos iniciales y0 = (
2, 0, 0,
Como antes, el método estocástico Taylor Munthe-Kaas se puede ver para preservar el
Casimiros al error de la máquina. También vemos que el método estocástico Taylor
A medida que avanza el tiempo de integración y a medida que avanza
tiempo dependiendo de la ruta Wiener se dispara muy rápidamente lejos del colector.
Tenga en cuenta también que para los pasos grandes el método estocástico Taylor es inestable. Sin embargo
los métodos no geométricos Castell-Gaines y estocástico Munthe-Kaas todavía dan reli-
resultados capaces en ese régimen. Por último, aunque el método estocástico Munthe-Kaas
se adhiere al colector de error dentro de la máquina, el error de la no geométrica
El método Castell-Gaines es en realidad más pequeño.
10. Conclusiones. Hemos establecido e implementado el grupo de la Mentira estocástica
integradores basados en métodos estocásticos Munthe-Kaas y también derivados geométricos
Castell–Gaines methods. También hemos revelado varios aspectos de estos integradores
que requieren más investigación.
1. Podríamos construir un método Magnus estocástico no lineal aproximándonos
la solución a la ecuación diferencial estocástica (5.1) en el álgebra de Lie utilizando Picard
iteraciones (véase Casas e Iserles [6]).
2. Nos gustaría desarrollar un procedimiento práctico para la aplicación ordinaria
Métodos Munthe-Kaas para integradores de orden superior Castell-Gaines. Tenemos que...
termine el elemento : M→g de modo que en (8.1) tenemos =.
3. Tenemos que determinar las propiedades de los errores locales y globales para el
Métodos estocásticos de Munthe-Kaas. También una investigación exhaustiva de la utilería de estabilidad
se requieren los métodos estocásticos Munthe-Kaas y Castell-Gaines. Por
las simulaciones autónomas de vehículos submarinos eran ambos superiores a la directa
Método estocástico Taylor, especialmente para stepsizes más grandes. También tenemos que comparar la
Eficiencia relativa de los métodos de que se trata, en particular para comparar óptimamente
eficiente método geométrico Castell-Gaines con el método estocástico Munthe-Kaas.
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 17
4. Aunque nos hemos limitado principalmente a los caminos de conducción que son Wiener
procesos, podemos extender los métodos de Munthe-Kaas y Castell-Gaines a
caminos (Lyons y Qian [33], Friz [18], Friz y Victoir [19]). Además, lo que hap-
bolígrafos cuando consideramos procesos que implican saltos? Por ejemplo, Srivastava, Miller y
Grenander [44] considera los procesos de difusión de salto en grupos de mentiras de matriz para bayesianos
inferencia. ¿O qué pasa si consideramos los caminos de conducción pardo fraccionarios; Baudoin y
Coutin [3] ¿Investigar las mociones brownianas fraccionadas sobre los grupos de Mentira?
5. Schiff y Shnider [43] han utilizado métodos de grupo Lie para derivar esquemas Möbius
para integrar numéricamente los sistemas Riccati deterministas más allá del tiempo finito extraíble
singularidades e inestabilidades numéricas. Integran un sistema lineal de ecuaciones
sobre el grupo lineal general GL(n) que corresponde a un flujo de Riccati en el Grass-
manian multiple Gr(k, n) a través del mapa de acción de Möbius. Lord, Malham y Wiese [31]
aplicar esquemas estocásticos de Möbius y demostrar que pueden ser más exactos y
rentable que resolver directamente los sistemas estocásticos Riccati utilizando estocástico Taylor
métodos. Nos gustaría investigar más a fondo su eficacia para el Ric estocástico.
ecuaciones cati que surgen en el filtrado de Kalman (Kloeden y Platen [27]) y hacia atrás
ecuaciones estocásticas Riccati que surgen en el óptimo control estocástico lineal-cuadrático (ver
Por ejemplo, Kohlmann y Tang [28] y Estrade y Pontier [16].
6. Otras áreas de aplicación potencial de los métodos que hemos presentado en este
el papel son, por ejemplo: los modelos de tipos de interés de estructura-término que evolucionan en dimensiones finitas
múltiples invariantes sisionales (véase Filipovic y Teichmann [17]); dinámica estocástica
desencadenada por daño de ADN (Chickarmane, Ray, Sauro y Nadim [10]) y estocástico
integradores simpléticos para los que el gradiente de la solución evoluciona en el simplés
Grupo de mentiras (véanse Milstein y Tretyakov [38]).
Agradecimientos. Agradecemos a Alex Dragt, Peter Friz, Anders Hansen, Terry
Lyons, Per-Christian Moan y Hans Munthe-Kaas para estimular las discusiones. Nosotros
también agradecer a los árbitros anónimos, cuyas sugerencias y estímulo mejoraron
el manuscrito original significativamente. SJAM quisiera reconocer la invalu-
instalaciones capaces del Instituto Isaac Newton donde algunos de los últimos toques a este
se completaron los manuscritos.
Apéndice A. Prueba de Teorema 7.1. Seguimos la prueba de estocástico lineal
Ecuaciones diferenciales en Lord, Malham y Wiese [31] (donde más detalles técnicos
en estimaciones para múltiples integrales Stratonovich se puede encontrar). Supón que t t t(m)
es la serie truncada Lie (7.1). Primero mostramos que exp t y0 L2. Lo vemos.
para cualquier número k,
)k y0 es una suma de términos Qmk, cada uno de los cuales es un k-multiple
producto de los términos Jα cα y0. De ello se deduce que
)k • y0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
αi»:Qm
i=1,...,k
Jα1Jα2 · · · Jαkà °L2. (A.1)
Tenga en cuenta que el máximo de la norma de las composiciones de los campos de vectores cy0 se toma
sobre un conjunto finito. La aplicación repetida de la regla del producto revela que para i = 1,..., k,
cada término «Jα1Jα2 · · · Jαk » en (A.1) es la suma de como máximo 22mk−1 integrales Stratonovich
Jβ, donde para t ≤ 1, JL2 ≤ 24mk−1 tk/2. Desde el lado derecho de la ecuación (A.1)
consiste en Qmk 22mk−1 Stratonovich integrales Jβ, concluimos que,
)k • y0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
18 Malham y Wiese
Por lo tanto, la exp t y0 es integrable cuadradamente.
Segundo, probamos (7.2). Dejemos que ŷt denote la solución estocástica de la serie Taylor, trun-
a los términos incluidos en el orden hasta e incluyendo TM. Tenemos
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
yt − ŷt
t − exp t ye0
Sabemos yt L2—vea Lemma III.2.1 en Gihman y Skorohod [21]. Tenga en cuenta que
las suposiciones allí se cumplen, ya que la uniformidad de los derivados
implica continuidad Lipschitz uniforme de los campos vectoriales por el teorema de valor medio,
y la continuidad Lipschitz uniforme a su vez implica una condición de crecimiento lineal para el
campos vectoriales ya que son autónomos. Nótese que ¥t es una fuerte aproximación a
hasta e incluyendo los términos del pedido t
m, con el resto constituido por O(tm+1/2)
términos (véase la Proposición 5.9.1 en Kloeden y Platen [27]). De la definición se deduce lo siguiente:
de la serie exponencial Lie como el logaritmo de la serie Taylor estocástico, que el
los términos de orden hasta e incluyendo tm en exp t y0 corresponden con ŷt; el error
consta de términos O(tm+1/2).
Apéndice B. Prueba de Teorema 8.2. Nuestra prueba sigue la línea de eso.
para integradores Magnus de precisión uniforme para sistemas de coeficiente constante lineal (ver
Lord, Malham & Wiese [31] y Malham y Wiese [35]). Vamos a hacer, tn+1 y tn, tn+1
indicar los mapas de flujo exactos y aproximados construidos en el intervalo [tn, tn+1] de
longitud h. Definimos el resto de flujo local como
Rtn, tn+1 tn, tn+1 − tn, tn+1,
y por lo tanto el resto local es Rtn, tn+1 ytn. Que Rls y Rst denoten el flujo local
restos correspondientes a la serie exponencial Lie y Taylor estocástico aprox.
imaciones, respectivamente.
B.1. Orden integrador 1/2: dos procesos Wiener. Para el orden mundial 1/2
integradores tenemos que dirigir el orden Rls = 1
(J12 − J21)[V1, V2] y Rst = J12V1V2 +
J21V2V1. Tenga en cuenta que hemos incluido los términos J11V
1 y J22V
2 en los integradores.
Un cálculo directo revela que
(Rst y0)TRst y0
(Rls â € y0)TRls â € y0
+ h2mUTBU + O
. (B.1)
Aquí m = 1/2 (para los integradores de orden 1/2), U = (V1V2 y0, V2V1 y0)T R2n, y
B + R2n×2n consiste en n× n bloques diagonales de la forma bijIn×n donde
b = 1
e In×n es la matriz de identidad n×n. Puesto que b es semi-definido positivo, la matriz B =
bIn×n es semi-definido positivo. Por lo tanto, el orden 1/2 exponencial Lie serie integrador
es localmente más exacto que el correspondiente integrador estocástico Taylor.
B.2. Orden 1 integrador: un proceso Wiener. Para el orden mundial 1 in-
tegradores tenemos que dirigir el orden Rls = 1
(J01 − J10)[V0, V1] y Rst = J01V0V1 +
J10V1V0 + J111V
h2(V0V
1 + V
1 V0). Los términos del pedido h
2 se muestran son significativos
cuando consideremos el error global en la Sección B.4 a continuación. La estimación (B.1) también
se aplica en este caso con m = 1 y U = (V0V1 â y0, V1V0 â y0, V 31 â y0)T â R3n; y
B + R3n×3n consiste en n× n bloques diagonales de la forma bijIn×n donde
b = 1
3 3 3
3 3 3
3 3 5
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 19
Puesto que b es semi-definido positivo, la matriz B = b In×n es semi-definido positivo.
Por lo tanto, el orden 1 exponencial Lie serie integrador es localmente más precisa que el
el correspondiente integrador estocástico de Taylor.
B.3. Orden integrador 3/2: un proceso Wiener. Los restos de flujo local
son Rls = 1
J110−2J101+J011− 12h
[V1, [V1, V0]] y R
st = J011V0V
1 +J101V1V0V1+
J110V
1 V0 + J1111V
1 − 14h
2 V0V
1 + V
1 V0 +
V 41 ). Los términos del pedido h
2 se muestran
significativa cuando consideramos el error global —pero por una razón diferente esta vez— ver
Sección B.4 infra. Una vez más, la estimación (B.1) se aplica en este caso con m = 3/2 y
U = (V0V
El subartículo 6A001.b no somete a control los productos de la partida 84.01.b.
n× n bloques diagonales de la forma bijIn×n donde
b = 1
11 8 5 12
8 8 8 12
5 8 11 12
12 12 12 24
De nuevo, B es semi-definido positivo y el orden 3/2 exponencial Lie serie integrador
es localmente más exacto que el correspondiente integrador estocástico Taylor.
B.4. Error global. Recordemos que definimos el fuerte error global en el momento T
asociado con una solución aproximada ŷT como E • • • • • • • • • L2. La exacta y
soluciones aproximadas pueden ser construidas aplicando sucesivamente la exacta y
Mapas de flujo aproximados (tn, tn+1 y tn, tn+1) en los intervalos sucesivos [tn, tn+1] a
los datos iniciales y0. Un cálculo sencillo muestra para un pequeño stepsize fijo h,
E2 = E (R â € y0)TR â € y0, (B.2)
hasta los términos de orden superior, donde R
n=0 tn+1,tN Rtn,tn+1 t0,tn es el estándar
contribución de error local acumulada al error global. La conclusión importante es que
que cuando construimos el error global (B.2), los términos de
Los restos de flujo Rls o Rst con cero expectativa pierden sólo medio orden de convergencia
en este efecto de acumulación. Por lo tanto, en los restos de flujo local mostrados arriba, para el
términos de cero expectativa, la precisión superior local para los integradores de la serie Lie
transferencias a los errores globales correspondientes (véase Lord, Malham y Wiese [31] para
más detalles). Sin embargo, los términos de expectativa no cero se comportan como deterministas er-
los términos que pierden todo un orden (en la convergencia local a global); contribuyen
al error global a través de sus expectativas. Por lo tanto, incluimos tales términos de o-
der h2 en el orden 3/2 integradores arriba y aparecen como los términos restados
de los restos mostrados. Para los integradores de orden 1 no necesitamos incluir
el orden h2 términos en el integrador para obtener la convergencia media-cuadrado correcta.
Sin embargo, para garantizar que el error global para el integrador exponencial de la serie Lie
es siempre más pequeño que eso para el esquema estocástico Taylor, incluimos este término en
el integrador.
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| Presentamos integradores de grupo de Lie para diferencial estocástico no lineal
ecuaciones con campos vectoriales no conmutativos cuya solución evoluciona sobre un suave
multiple dimensión finita. Dada una acción de grupo de Lie que genera transporte
a lo largo del colector, tiramos hacia atrás el flujo estocástico en el colector a la Mentira
grupo a través de la acción, y posteriormente tirar hacia atrás el flujo a la correspondiente
Lie álgebra a través del mapa exponencial. Construimos una aproximación a la
flujo estocástico en el álgebra de Lie a través de operaciones cerradas y luego volver a
el grupo de la mentira y luego a la multiplicidad, asegurando así nuestra aproximación yace en
el colector. Llamamos a tales esquemas métodos estocásticos Munthe-Kaas después de su
homólogas deterministas. También presentamos integración estocástica de grupo Lie
esquemas basados en los métodos de Castell-Gaines. Estos implican el uso de un subyacente
integrador diferencial ordinario para aproximar el flujo generado por un
Serie de mentiras estocásticas exponenciales truncadas. Se convierten en un grupo de mentiras estocásticas.
sistemas integradores si utilizamos métodos Munthe-Kaas como el común subyacente
integrador diferencial. Además, mostramos que algunos métodos Castell--Gaines son
uniformemente más exacto que los correspondientes esquemas estocásticos de Taylor.
Por último, demostramos nuestros métodos simulando la dinámica de un rígido libre
cuerpo como un satélite y un vehículo submarino autónomo tanto perturbado por
dos procesos de ruido estocástico multiplicativo independientes.
| Introducción. Estamos interesados en diseñar esquemas numéricos de grupo de Lie
para la fuerte aproximación de la ecualización diferencial estocástica no lineal de Stratonovich
ciones de la forma
yt = y0 +
Vi(y/23370/, ) dW
*............................................................................ (1.1)
AquíW 1,...,W d son los procesos independientes escalar Wiener yW 0t t. Suponemos
que la solución y evoluciona en un suave submanifold n-dimensional M de RN con
n ≤ N y Vi : M × R+ → TM, i = 0, 1,...., d, son campos vectoriales lisos que en
coordenadas locales son Vi =
j=1 V
i Łyj. El flujo-map : M → M de la integral
ecuación (1.1) se define como el mapa que toma los datos iniciales y0 a la solución yt en
tiempo t, es decir. yt =?t?? y0.
Nuestro objetivo en este artículo es mostrar cómo se desarrollaron los métodos de integración de grupo de Lie
por Munthe-Kaas y los coautores pueden ser extendidos a ecuaciones diferenciales estocásticas
sobre colectores lisos (véanse Crouch y Grossman [8] y Munthe-Kaas [40]). Supón
sabemos que la solución exacta de un sistema dado de ecuaciones diferenciales estocásticas
evoluciona en un M suave múltiple (véase Malliavin [36] o Emery [14]), pero sólo podemos
encontrar la solución de forma numérica. ¿Cómo podemos asegurar que nuestro aproximado
solución numérica también se encuentra en el colector?
Supongamos que se nos da una acción de grupo de Lie dimensional finita G y Lie
que genera transporte a través del colector M desde el punto de partida y0 â € M via
elementos de G. A continuación, con cualquier elemento dado en el álgebra de Lie g correspondiente a
el grupo de la mentira G, podemos asociar la acción infinitesimal usando la acción del grupo de la mentira
- Sí. El mapa 7→ es un homomorfismo de álgebra de Lie de g a X(M), el álgebra de Lie
∗Maxwell Institute for Mathematical Sciences and School of Mathematical and Computer Sciences,
Universidad Heriot-Watt, Edimburgo EH14 4AS, Reino Unido. (S.J.Malham@ma.hw.ac.uk, A.Wiese@hw.ac.uk).
(16/10/2007)
http://arxiv.org/abs/0704.0022v2
2 Malham y Wiese
de los campos vectoriales sobre el múltiple M. Más adelante la Lie subalgebra X(M) : â € € g}
es isomórfico a un álgebra dimensional finita Lie con las constantes de la misma estructura
(véase Olver [42], p. 56).
Por el contrario, supongamos que sabemos que el álgebra de Lie generada por el conjunto de gobierno-
ing campos vectoriales Vi, i = 0, 1,..., d, en M es dimensional finita, llama a esto XF (M). Entonces
Sabemos que existe un finito dimensional Lie grupo G que Lie álgebra g tiene el
constante de la misma estructura que XF (M) relativa a alguna base, y hay un grupo de Lie
acción y0 tal que Vi = i, i = 0, 1,..., d, para algunos i g (véase Olver [42], p. 56 o
Kunita [30], p. 194). La elección del grupo y la acción no es única.
En este artículo suponemos que hay un finito dimensional Lie grupo G y acción
De tal manera que nuestro conjunto de campos vectoriales dominantes Vi, i = 0, 1,..., d, son cada infinitesimal
Acciones de grupo de mentiras generadas por algún elemento en g via?y0, es decir. Vi = i para algunos i g,
i = 0, 1,..., d. Se dice que son campos vectoriales fundamentales. Esto significa que podemos
escribir el conjunto de los campos vectoriales que gobiernan Xosi para un sistema de diferencial estocástico
ecuaciones sobre el grupo de Lie G que, a través de la acción de grupo de Lie?y0, genera el flujo
gobernado por el conjunto de campos vectoriales Vi en el colector. Los campos vectoriales Vi en M son
simplemente el empuje hacia adelante de los campos vectoriales Xosi en G a través de la acción de grupo de Lie?y0.
Típicamente el flujo en el grupo Lie también necesita ser calculado numéricamente. Nosotros por lo tanto
quieren que la aproximación permanezca en el grupo de Lie para que la acción del grupo de Lie tome
nosotros de vuelta al colector.
Para lograr esto, tiramos hacia atrás el conjunto de los campos de vectores que gobiernan Xosi en G al conjunto
de los campos vectoriales que gobiernan vÍñi en g, a través del mapa exponencial ‘exp’ de g a G.
el flujo estocástico generado en g por los campos vectoriales genera el flujo estocástico
sobre G generada por el XÍO. El conjunto de campos vectoriales que gobiernan en g son para cada
Vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, vócalo, ócalo, vócalo, ócalo.
(ad)
k â € € ¢ i, (1.2)
donde Bk es el número kth Bernoulli y el operador contiguo ad
en g, de hecho ad...........................................................................................................................
Por lo tanto, la serie a la derecha o cualquier truncación de la misma está cerrada en g.
si construimos una aproximación a nuestra ecuación diferencial estocástica en g usando
los campos vectoriales vó ́i o una aproximación de ellos conseguidos por truncamiento de la serie
representación, entonces esa aproximación debe residir en el álgebra de Lie g. Podemos entonces
empujar la aproximación en el álgebra de Lie hacia adelante en el grupo de Lie y luego en
el colector. Siempre y cuando calculemos el mapa exponencial y la acción apropiadamente, nuestro
solución aproximada se encuentra en el colector (para dentro de la precisión de la máquina). En resumen,
para un determinado â € ¢ g y cualquier y0 â € M tenemos el siguiente diagrama conmutativo:
X(G)
(y0 ) X(M)
exp G
# Y0 M #
Hemos separado implícitamente el conjunto de reglas de los campos vectoriales Vi, i = 0, 1,..., d,
del proceso de la trayectoria de conducción w • (W 1,..., W d). Juntos generan lo único
proceso de solución y M a la ecuación diferencial estocástica (1.1). Cuando hay
es sólo un proceso de Wiener de conducción (d = 1) el mapa de Itô w 7→ y es continuo en
la topología de la convergencia uniforme. Cuando hay dos o más procesos de conducción
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 3
(d ≥ 2) el Teorema del Límite Universal nos dice que el mapa de Itô w 7→ y es continuo
en la topología de la variación p, en particular para 2 ≤ p < 3 (véase Lyons [32], Lyons y
Qian [33] y Malliavin [36]). Una ruta Wiener con d ≥ 2 tiene una variable p finita para
p > 2. Esto significa que desde una perspectiva pathwise, aproximaciones a y construido
utilizando aproximaciones sucesivamente refinadas a w sólo se garantiza a converger a
la solución correcta y, si incluimos información sobre las áreas cordal Lévy de
el proceso de conducción. Nótese sin embargo que la L2-norm de la 2-variación de un
El proceso Wiener es finito. En el procedimiento de integración de grupo Lie prescrito anteriormente
debe resolver un sistema diferencial estocástico en el Lie álgebra g definido por el conjunto
de los campos vectoriales que rigen el proceso de la ruta de conducción w • (W 1,..., W d). In
luz del Teorema del Límite Universal y con la adaptación stepsize en mente en el futuro
(ver Gaines y Lyons [20]), por ejemplo, utilizamos en nuestros ejemplos orden 1 estocástico
métodos numéricos —que incluyen el área cordal de Lévy— para resolver el flujo en el
Lie álgebra g.
Hemos explicado así la idea detrás de los métodos de Munthe-Kaas y cómo pueden
generalizar a la situación estocástica. La primera mitad de este trabajo formaliza esto
procedimiento.
En la segunda mitad de este trabajo, consideramos los campos vectoriales autónomos y con-
struct estocástico Lie esquemas de integración de grupos utilizando métodos Castell-Gaines. Esto
el enfoque procede de la siguiente manera. Nosotros truncamos la estocástica exponencial Lie serie expan-
sión que corresponde al flujo de la solución del proceso y al diferencial estocástico
ecuación (1.1). A continuación, aproximamos el proceso de la trayectoria de conducción w • (W 1,..., W d) por
sustituirlo por un camino adecuado y suave en la variación apropiada
topología. Una aproximación a la solución yt requiere la exponenciación de la
Serie aproximada truncada exponencial Lie. Esto se puede lograr mediante la solución de la
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias impulsado por el campo vectorial que es el aprox-
imate truncado exponencial serie Lie. Si usamos los métodos ordinarios de Munthe-Kaas como
el integrador diferencial ordinario subyacente el método Castell-Gaines se convierte en un
Integrador de grupo de mentiras estocásticas.
Además, basándonos en el enfoque Castell-Gaines, presentamos una precisión uniforme
integradores exponenciales de la serie Lie que son globalmente más precisos que sus estocásticos
Planes de contraparte de Taylor (estos son investigados en detalle en Lord, Malham y
Wiese [31] para ecuaciones diferenciales estocásticas lineales). Requieren la suposición
que se utilice un integrador diferencial ordinario suficientemente preciso; que
El integrador podría ser, por ejemplo, un método ordinario de grupo de Mentira Munthe-Kaas. In
el caso de dos procesos de conducción Wiener derivamos el orden 1/2, y en el caso
de un proceso Wiener de conducción de la orden 1 uniformemente precisa exponencial serie Lie
integradores. Como consecuencia, confirmamos las propiedades de eficiencia asintótica para
ambos esquemas probados por Castell y Gaines [8] (ver Newton [41] para más detalles
sobre el concepto de eficiencia asintótica). También presentamos en el caso de una conducción
Wiener procesa un nuevo integrador exponencial de la serie Lie 3/2 de precisión uniforme
(Ver también Señor, Malham y Wiese [31]).
Presentamos dos aplicaciones físicas que demuestran la ventaja de utilizar
Métodos estocásticos de Munthe-Kaas. En primer lugar consideramos un cuerpo rígido libre que para ex-
amplio podría modelar la dinámica de un satélite. Suponemos que está perturbado por
dos procesos de ruido estocástico multiplicativo independientes. Los campos vectoriales rectores
son no conmutativos y el flujo estocástico exacto correspondiente evoluciona en la unidad
esfera. Demostramos que el método estocástico Munthe-Kaas, con un orden 1 estocástico
Taylor integrador utilizado para progresar a lo largo de la correspondiente Lie álgebra, conserva el
4 Malham y Wiese
solución aproximada en el colector de esfera de la unidad dentro de error de la máquina. Sin embargo
cuando se utiliza un integrador Taylor estocástico de orden 1 directamente, la solución sale de la
esfera de unidad. El contraste entre estos dos métodos es más enfáticamente demonio-
en nuestra segunda aplicación. Aquí consideramos un vehículo submarino autónomo
que también está perturbado por dos procesos de ruido estocástico multiplicativo independiente.
El flujo estocástico exacto evoluciona en el colector que es el dual de la Euclidiana
Lie álgebra se(3); dos Casimires independientes son conservados por el flujo exacto. Otra vez.
el método estocástico Munthe-Kass conserva los Casimirs dentro del error de la máquina.
Sin embargo, el orden 1 integrador estocástico Taylor no sólo es inestable para un gran paso-
tamaños, pero la aproximación se deriva del colector y hace una excursión dramática
hasta el infinito en el espacio de incrustación R6.
Preservar el flujo aproximado en el múltiple de la dinámica exacta puede ser un
propiedad necesaria para los sistemas físicos o financieros impulsados por caminos lisos o ásperos—
para las referencias generales véase Iserles, Munthe-Kaas, Nørsett y Zanna [25], Hairer, Lubich
y Wanner [22], Elworthy [13], Lyons y Qian [33] y Milstein y Tretyakov [38].
Integradores de grupos de mentiras estocásticas en forma de integradores Magnus para estocástico lineal
Las ecuaciones diferenciales fueron investigadas por Burrage y Burrage [5]. También lo fueron.
utilizado bajo la apariencia de los esquemas de Möbius (véase Schiff y Shnider [43]) para resolver estocástico
Ecuaciones de Riccati por Lord, Malham y Wiese [31] donde superaron el rendimiento directo
Métodos estocásticos de Taylor. Otras aplicaciones que podrían aplicarse son las siguientes:
reverso estocástico Riccati ecuaciones que surgen en óptimo estocástico lineal-cuadrático
control (Kohlmann y Tang [28]); procesos de difusión de salto en grupos de matrices Lie
para la inferencia bayesiana (Srivastava, Miller y Grenander [44]); browniano fraccionario
mociones sobre grupos de mentiras (Baudoin y Coutin [3]) y dinámica estocástica activada
por daño al ADN (Chickarmane, Ray, Sauro y Nadim [10]).
Nuestro documento se describe de la siguiente manera. En la sección 2 presentamos la configuración geométrica básica,
Sin estocástica. En particular presentamos un campo vectorial de traducción de la derecha generalizada
sobre un grupo de Mentira que forma la base de nuestra transformación posterior de la Mentira
grupo al colector. Usando una acción de grupo de Mentira, este campo vectorial empuja hacia adelante
a un campo vector de acción infinitesimal Lie grupo que genera un flujo en el suave
multiple. En la Sección 3 nos especializamos en el caso de un grupo de Lie matriz y utilizando
el mapa exponencial, deriva el retroceso del vector de traducción derecha generalizada
campo en el grupo Lie al campo vectorial correspondiente en el álgebra de Lie. Ayudar
dar un poco de contexto a nuestro esquema general, proporcionamos en la sección 4 ejemplos ilustrativos
de múltiples y opciones naturales para los grupos de Lie asociados y las acciones que generan
fluye en esos colectores. Entonces en la sección 5 mostramos cómo un flujo en un colector suave
correspondiente a una ecuación diferencial estocástica puede ser generada por un estocástico
fluir en un Lie álgebra a través de una acción de Lie álgebra. Presentamos explícitamente el estocástico Munthe...
Métodos de integración del grupo Kaas Lie en la Sección 6. Comenzamos la segunda mitad de nuestra
artículo mediante la revisión de la serie exponencial Lie para ecuaciones diferenciales estocásticas en
Sección 7. En la Sección 8 mostramos cómo construir el estocástico geométrico Castell-Gaines
métodos numéricos. En particular, también presentamos una mentira exponencial uniformemente precisa
esquemas numéricos en serie que no sólo pueden utilizarse como integradores geométricos estocásticos,
pero también son siempre más precisos que estocástico Taylor esquemas numéricos de la
orden correspondiente. En la Sección 9 presentamos nuestros ejemplos numéricos concretos. Finalmente
En la Sección 10 concluimos y presentamos algunas otras aplicaciones y direcciones futuras.
2. Mentira acciones de grupo. SupongaM es un submanifold finito n-dimensional suave
de RN con n ≤ N. Utilizamos X(M) para denotar el álgebra de Lie de los campos vectoriales en el
M múltiple, equipado con el soporte de Lie-Jacobi [U, V]
Integradores estocásticos de grupos de mentiras 5
U, V, X (M). Deja que G denote un grupo finito de Mentira dimensional.
Definición 2.1 (Acción colectiva). Una acción de grupo de Lie izquierda de un grupo de Lie G en un
M multiple es un mapa liso : G ×M → M satisfactorio para todos y M y R,S G:
(1) (id., y) = y; (2) (R. (S., y)) = (RS., y). Denotamos "y" S" (S, y).
A partir de ahora, suponemos que y0 M es fijo y se centra en el mapa de acción : G→M.
Asumimos que la acción del grupo Lie es transitiva, es decir. transporte a través del colector
desde cualquier punto y0 â € TM a cualquier otro punto y â € TM siempre se puede lograr a través de un grupo
elemento S G con y = y0 S (Marsden y Ratiu [37], p. 310).
Definimos el álgebra de Lie g asociado con el grupo de Lie G como el espacio vectorial
de todos los campos vectoriales invariantes correctos en G. Por construcción estándar esto es isomórfico
al espacio tangente a G en el id de identidad (véase Olver [42], p. 48 o Marsden
y Ratiu [37], pág.
Definición 2.2 (Campo vectorial de traducción derecha generalizada). Supón que lo somos.
dado un mapa suave : M→g. Con cada mapa de este tipo • asociamos un campo vectorial
X® : G → X(G) definido de la siguiente manera:
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en el caso de S • G, donde la «exp» es la habitual exp de difeomorfismo local: g → G de un
bourhood del elemento cero o â € g a un barrio de id â € G.
Definición 2.3 (acción del grupo de Mentira Infinitesimal). Nos asociamos con cada vector
campo Xo : G→X(G) un campo vectorial : M→X(M) como el empuje hacia adelante de Xo de G a
M by?y0, es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Xâ € € TM ~, de modo que si S â € € ~ G y y = â € ~ S â € M, entonces
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donde γ(t) G, γ(0) = S y (
campo vector X® a partir de S G). Naturalmente, como un campo vectorial es lineal, y también
# # Y # LX # # # Y # # S #
el derivado de la Mentira de "y0 a lo largo de X" en S" G.
Comentarios.
1. El mapa (S) : M→M definido por y 7→
flujo en M. Por lo tanto, si y = •(S) • y0, el empuje hacia adelante de por •(S) es dado por
(Marsden y Ratiu [37], p. 317).
2. Definimos el subgrupo de isotropía en y0 â € M por Gy0 â € {S â € G : â € € TM S = y0}; es
es un subgrupo cerrado de G (véase Helgason [23], p. 121 o Warner [48], p. 123). Definimos
el subgrupo mundial de isotropía por GM • • • • • • • • {S • G : • • • S = y0, • • • M};
es un subgrupo normal de G (véase Olver [42], p. 38).
3. Se dice que una acción de grupo de Mentira es efectiva/fiel si el mapa S 7→ (S) de
G a Diff(M), el grupo de difeomorfismos en M, es uno-a-uno. Esto es equivalente
a condición de que los diferentes elementos del grupo tengan diferentes acciones, es decir: GM {idG}.
Una acción de grupo de Mentira se dice que es libre si Gy0 = {idG} para todos y0 â € M, es decir. ¿Qué es esto?
difeomorfismo de G a M. Para más detalles, véase Marsden y Ratiu [37], p. 310
y Olver [42], p. 38.
4. El mapa γ : G/Gy0→M definido por γ : S · Gy0 7→
i.e. M = G/Gy0 para cualquier y0 â € M (un M múltiple con una acción de grupo de Mentira â €: G×M→M
definido sobre él es así diffeomorphic a un colector homogéneo ; véase Warner [48],
p. 123 o Olver [42], p. 40). Además, la acción inducida de G/GM sobre M es efectiva.
Por lo tanto, si no es una acción efectiva de G, podemos reemplazarlo (sin pérdida de generalidad)
por la acción inducida de G/GM (véase Olver [42], p. 38).
6 Malham y Wiese
5. Nuestra definición para el campo vector de traducción de la derecha generalizada X® en G es
motivado por el campo vector de traducción derecha estándar utilizado para identificar g, el vector
espacio de los campos vectoriales invariantes derecho en G, con TidG, el espacio tangente a G en el
identidad. Cuando â € € TM g es constante, Xâ € € TM X(G) es correcto invariante y un soporte de mentira
en TidG se puede definir a través de la extensión derecha por el soporte correspondiente Lie–Jacobi
para los campos vectoriales X® en X(G). A no ser que â € € TM g sea constante, Xâ € TM no es en general
Invariante. Para más detalles, véase Varadarajan [47], Olver [42], o Marsden y
Ratiu [37].
6. El mapa del generador infinitesimal 7→ de g a X(M) es un álgebra de Lie
homomorfismo. Si identificamos g como el espacio vectorial de los campos vectoriales invariantes izquierdos en G
Este mapa se convierte en un anti-homomorfismo. El soporte Lie–Jacobi tal como se define anteriormente
da la derecha (en lugar de la izquierda) Lie álgebra estuctura sobre el grupo de difeomorfismos
en M. Si además tomamos el soporte de Lie-Jacobi para ser menos que lo definido anteriormente—
asociado con la estructura izquierda Lie álgebra—entonces el mapa del generador infinitesimal
se convierte en un homomorfismo de nuevo. Véase, por ejemplo, Marsden y Ratiu [37], p. 324 o
Munthe-Kaas [40].
7. La imagen de g bajo el mapa del generador infinitesimal 7→ forma un finito
álgebra dimensional de la mentira de los campos vectoriales en M que es isomórfica al álgebra de la mentira de
el grupo de cociente efectivo G/GM (véase Olver [42], p. 56). Por lo tanto, la tangente
espacio a M en cualquier punto es g y M inherente a una conexión de G/GM. Conexiones
son necesarios para definir martingales en los colectores, pero no para definir semimartingales
(nuestro enfoque aquí); véase Malliavin [36] y Emery [14].
8. Un estudio exhaustivo de la construcción sistemática de grupos de mentiras de simetría
de campos vectoriales dados se pueden encontrar en Olver [42].
9. Asumimos por encima que los campos vectoriales X y son autónomos. Sin embargo
todos los resultados en esta y las secciones siguientes hasta la sección 7 pueden ser simples
extendido a campos vectoriales no autónomos generados por: M × R→g con (y, t) 7→
(y, t) para todos los y • M y t • R.
10. Para una generalidad total queremos suspender la referencia a los espacios de incrustación en la medida en que
Es posible. Sin embargo, en las secciones siguientes para ser concisos vamos a reclamar más explícitamente
este contexto.
3. Vuelve al álgebra de Lie. Para facilitar la presentación, asumiremos en
esta sección que G es un grupo de Lie de matriz. Recuerde que el mapa exponencial exp: g → G
es un difeomorfismo local de un barrio de o â € g a un barrio de id â € G.
Let vâ : g→g ser el tirón hacia atrás del campo del vector Xâ : G→X(G) de G a g a través de la
mapeo exponencial exp: g→G, es decir. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Si g entonces
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. (3.1)
Aquí dexp−1 : g→g es la inversa del mapa tangente trivializado-derecha del exponencial
dexp/23370/ : g→g definido de la siguiente manera. Si β() es una curva en g de tal manera que β(0) = y
(0) = η g entonces dexp: g× g→g es el mapa local liso (Varadarajan [47], p. 108)
expβ()=0 exp()
exp(ad)− id
• η.
Tenga en cuenta que como un mapa tangente dexp : g→g es lineal. El operador inverso dexp
es la
serie del operador (1.2) generada por considerar el recíproco de dexp
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 7
Para demostrar que (3.1) es cierto, si exp: g→G con
β(0) =
exp* v* S = expβ(l) = 0
dexp..............................................................................................................................................................................................................................................................
exp(l)
S.............................................................................................................
Como la ‘exp’ es un difeomorfismo en un barrio de o ® g, este impulso hacia adelante calcu-
En el caso de los países en vías de desarrollo, la tasa de crecimiento de la población se sitúa en torno a 3,1 para todos los países de la región.
4. Ejemplos ilustrativos. Supongamos que el campo vector V : M× R→X(M) gener-
ate una solución de flujo yt â € M a partir de y0 â € M. Entonces asumir que existe un:
1. Lie grupo G con el correspondiente álgebra g de Lie;
2. Acción de grupo de la mentira y0 : G→M para la que se fija un punto de partida y0 M;
3. Campo vectorial : M× R→X(M) de tal manera que: V , es decir. V es un elemento fundamental
campo vector correspondiente a la acción y0.
Supongamos que G es un grupo de la mentira de la matriz (o puede ser incrustado en una mentira de la matriz
grupo, por ejemplo, el grupo euclidiano SE(3) está naturalmente incrustado en el grupo especial
grupo lineal SL(4;R)). Tenemos para todos S â € TM a G y t â € TM a R,
(S, t) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S) (S)
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
S. (4.1)
Si V = para algunos : M→g, algunos Lie grupo G y la acción correspondiente y0, entonces
el flujo generado por X® en G impulsa el flujo generado por V en M. En cada uno de los
ejemplos a continuación, dado el múltiple M, presentamos un grupo de mentira natural y acción
asociado con la estructura múltiple, e identificar los campos vectoriales que generan flujos
sobre el colector a través del grupo de la mentira.
Stiefel multiple Vn,k. Suponga que M = Vn,k • {y • Rn×k : yTy = I}. Toma
G = SO(n), el grupo ortogonal especial, y?y0(S)? Sy0, la acción de la izquierda
multiplicación. El correspondiente álgebra de Lie g = so(n). Entonces por cálculo directo
(y) = (y, t) y. Por lo tanto, si el campo vector V dado (y, t) = (y, t) y, a continuación, el empuje
hacia delante del flujo generado por Xoa(S, t) en G en (4.1) es el flujo generado por V en
M. Tenga en cuenta que la esfera de unidad S2 = V3,1, es decir, S2 es sólo un particular Stiefel múltiple.
En la Sección 9 como aplicación, consideramos que la dinámica del cuerpo rígido evoluciona en S2.
Variante isoespectral Sn. Supongamos que M = Sn = {y Rn×n : yT = y}, el conjunto de
n× n matrices simétricas reales. Toma G = O(n), el grupo ortogonal y
T, que es una acción isoespectral (Munthe-Kaas [40]). La Mentira correspondiente
álgebra es g = so(n). De nuevo, por cálculo directo (y) = (y, t) y − y (y, t). Por lo tanto
si el campo vectorial dado V (y, t) = •(y, t) y−y •(y, t), entonces el empuje hacia adelante del flujo
es el flujo generado por V en M.
Dual del álgebra euclidiana se(3)*. Suponga que M = se(3)* = R3, el dual
del álgebra euclidiana se(3) del grupo euclidiano SE(3) =
s, l) · SE(3) : s ·
SO(3),
. Tómese G = SE(3), así g = se(3) y فارسى Ad* : G × gg*, la
Acción conjunta conjunta de G sobre g*. Entonces por cálculo directo (y) = −ad(y). Desde
(y) en lineal en y (y) (y), se sigue que si V (y) = ad(y), entonces
el empuje hacia adelante del flujo generado por X(S, t) =
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
S en G es el
flujo generado por V en M. Para más detalles vea la sección 9 donde investigamos el
dinámica de un vehículo submarino autónomo que evoluciona en se(3)*.
8 Malham y Wiese
Grassmannian multiple Gr(k, n). El colector de Grassmannian M = Gr(k, n)
es el espacio de los subespacios k-dimensionales de Rn. Toma G = GL(n), el lineal general
grupo de la matriz, donde si S • GL(n), identificamos
donde las matrices de bloques α, β, γ y son de tamaños k × k, k × (n − k), (n− k) × k y
(n − k) × (n − k), respectivamente (véanse Schiff y Shnider [43]; Munthe-Kaas [40]). Nosotros
elegir la acción de GL(n) en Gr(k, n) para ser la transformación Möbius generalizada
•y0(S) = (αy0 + β)(γy0 + )
−1. Por lo tanto, si
•(t) =
a(t) b(t)
c(t) d(t)
entonces el cálculo directo revela que (y) = a(t)y+ b(t)− yc(t)y− yd(t). Por lo tanto, si el
dado campo vector V (y) = a(t)y + b(t) − yc(t)y − yd(t), a continuación, el empuje hacia delante de la
El flujo generado por Xo(S, t) = (t)S en G es el flujo generado por V en Gr(k, n).
5. Integración estocástica del grupo de la mentira. Demostramos que si una acción de grupo de Mentira
•: G ×M→M existe, entonces para y0 M fijo, la acción de álgebra de Lie •y0 • exp: g→M
lleva un flujo en g a un flujo en M.
Teorema 5.1. Suponga que existe una acción de grupo de Mentiras: G ×M→M. Entonces si
existe un proceso g y un tiempo de parada T* de tal manera que en [0, T*), satisface
la ecuación diferencial estocástica Stratonovich
v'i â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € · dW · € · € · € · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
entonces el proceso y =?y0? exp?? M satisface el diferencial estocástico de Stratonovich
Ecuación en [0, T*]:
yt = y0 +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (5.2)
Prueba. Usando el lema de Itô, si la g satisface (5.1), entonces la expansión de Itô satisface
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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Ahora recuerde que para cada i = 0, 1,...., d, XÍOI es el empuje hacia adelante de vÍOI de g a G vía
el mapa exponencial, y que i es el empuje hacia adelante de Xi de G a M a través de y0
y por lo tanto el derivado de la mentira
Lvá à r à r à r à r à r à r à r à r à r à r.
A continuación, ya que yt =?y0? exp?t, llegamos a la conclusión de que y? M es un proceso que satisface la
Ecuación diferencial estocástica (5.2).
Corollary 5.2. Supongamos que para cada i = 0, 1,...., d existe : M→g tal
que el campo vector Vi : M→X(M) y i : M→X(M) pueden ser identificados, es decir.
Vi.......................................................................................................................... (5.3)
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 9
A continuación, el empuje hacia adelante por â € € € TM exp » del flujo en el álgebra de Lie múltiple g generado
por la ecuación diferencial estocástica (5.1) es el flujo en el colector liso M
generado por la ecuación diferencial estocástica (5.2), cuya solución se puede expresar
en la forma yt =
Observación. Si la acción es libre, entonces â € â € € TM expâ es un difeomorfismo de un vecino-
a un barrio de y0 â € M.
6. Métodos estocásticos Munthe-Kaas. Asumiendo que los campos vectoriales en nuestro
ecuación diferencial estocástica original (1.1) son fundamentales y satisfacen (5.3), entonces
Los métodos estocásticos Munthe-Kaas se construyen de la siguiente manera:
1. Subdividir el intervalo global de integración [0, T] en subintervalos [tn, tn+1].
2. A partir de t0 = 0, repetir los dos pasos siguientes a lo largo de intervalos sucesivos
[tn, tn+1] hasta tn+1 = T.
3. Calcular una solución aproximada tn,tn+1 a (5.1) a través de [tn, tn+1] utilizando una
Estocástico Taylor, método estocástico Runge-Kutta o Castell-Gaines.
4. Calcular la solución aproximada ytn+1..................................................................................
Obsérvese que por construcción tn,tn+1 g porque el diferencial estocástico equa-
tion (5.1) (o cualquier Taylor estocástico u otra aproximación sensata) evoluciona la
lución local en el álgebra de Lie g a través de los campos vectoriales vÍOI : g→g. Métodos adecuados
para aproximar el mapa exponencial para garantizar que los mapas g a G adecuadamente pueden ser
se encuentra en Iserles y Zanna [26]. Entonces por construcción ytn+1 â € M.
Por ejemplo, con dos procesos Wiener y campos vectoriales autónomos
orden 1 estocástico Taylor Munthe-Kaas método se basa en
tn,tn+1 =
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ J12v+1v+2 + J21v+2v+1 +
o, (6.1)
evaluado en el elemento cero o g. Típicamente ‘dexp−1’ se trunca para incluir solamente
los términos de orden bajo necesarios para mantener el orden del esquema numérico.
Observación. Es natural invocar el Teorema de Ado (véase, por ejemplo, Olver [42], pág. 54):
cualquier álgebra dimensional finita de la mentira es isomórfica a una mentira subalgebra de gl(n) (la
álgebra lineal general) para algunos n N. Sin embargo, como Munthe-Kaas [40] señala,
directamente utilizando una representación de matriz para el grupo Lie dado puede no conducir a la
implementación computacional óptima (otras estructuras de datos podrían hacerlo).
7. Serie de mentiras exponenciales. La serie Taylor estocástica es conocida en diferentes
contextos como la serie Neumann, la serie Peano-Baker o Feynman-Dyson
exponencial. Si los campos vectoriales en la ecuación diferencial estocástica (1.1) son au-
tonomous (que asumimos en adelante), es decir, para todos los i = 0, 1,...., d, Vi = Vi(y) solamente,
entonces la serie estocástica Taylor para el flujo es
Jα1m(t)Vα1 · · ·Vαm.
Aquí Pm es el conjunto de todas las combinaciones de multi-índices α = (α1,. .., αm) de longitud m
con αi ≤ {0, 1,..., d} y
Jα1m(t)
· · ·
∫ m−1
dWα1°m · · · dW
son múltiples integrales Stratonovich.
10 Malham y Wiese
El logaritmo de Łt es la exponencial serie Lie, Magnus expansion (Magnus [34])
o fórmula Chen-Strichartz (Chen [9], Strichartz [45]). En otras palabras, podemos expresar
el mapa de flujo en la forma t = expÃ3t, donde
Ji(t)Vi +
j>i=0
(Jij − Jji)(t)[Vi, Vj ] + · · ·
es la serie de Lie exponencial para nuestro sistema, y [·, ·] es el soporte de Lie-Jacobi en
X(M). Véase Yamato [49], Kunita [29], Ben Arous [1] y Castell [7] para la derivación
y convergencia de la expansión exponencial de la serie Lie en el contexto estocástico;
Strichartz [45] para la expansión explícita completa; Sussmann [46] para un producto relacionado
expansion y Lyons [32] para extensiones a caminos ásperos.
Vamos a denotar la serie truncada exponencial Lie por
t =
Jα cα, (7.1)
donde Qm denota el conjunto finito de multi-índices α para los cuales JL2 es de orden hasta
e incluye tm, donde m = 1/2, 1, 3/2,.... Los términos cα son combinaciones lineales
de muchos productos finitos (longitud α) de los campos de vectores lisos Vi, i = 0, 1,..., d.
El siguiente resultado de convergencia asintótica se puede establecer en la línea de la
prueba de ecuaciones diferenciales estocásticas lineales en Lord, Malham y Wiese [31]; nosotros
presentar una prueba en el apéndice A.
Teorema 7.1. Suponga que los campos vectoriales Vi tienen 2m+1 deriva uniformemente limitada-
tivos, para todos los i = 0, 1,...., d. Entonces para t ≤ 1, el flujo exp t y0 es integrable cuadradamente,
donde t es la serie truncada Lie (7.1). Además, si y es la solución de la estocástica
ecuación diferencial (1.1), existe una constante C
m, â â € TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
de tal manera que
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
m, â â € TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
tm+1/2. (7.2)
8. Métodos geométricos Castell-Gaines. Considerar el truncado exponencial
Serie de mentiras tn,tn+1 a lo largo del intervalo [tn, tn+1]. Nos aproximamos a orden superior múltiple
Stratonovich integrales a lo largo de cada paso del tiempo por sus expectativas condicionadas en el
incrementos de los procesos Wiener en subdivisiones adecuadas (Gaines y Lyon [20]).
Una aproximación a la solución de la ecuación diferencial estocástica (1.1) a través
el intervalo [tn, tn+1] viene dado por el flujo generado por el sistema truncado y condicionado
serie exponencial de mentiras tn,tn+1 vía
ytn+1 فارسى exp
tn,tn+1
# Ytn. #
Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial estocástica (1.1) puede ser aproximadamente
calculado resolviendo el sistema diferencial ordinario (véase Castell y Gaines [8];
Misawa [39])
u′(l) = tn,tn+1 u(l) (8.1)
a lo largo del intervalo de tiempo (+ + + +) [0, 1]. Entonces, si u(0) = ytn obtendremos u(1) ytn+1. Nosotros
debe elegir un integrador diferencial ordinario suficientemente preciso para resolver (8.1)—nosotros
Asumir implícitamente esto en adelante.
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 11
El conjunto de campos vectoriales dominantes Vi, i = 0, 1,..., d, prescribe un mapa de la
proceso de la ruta de conducción w • (W 1,..., W d) al proceso de solución única y • M a la
Ecuación diferencial estocástica (1.1). El mapa w 7→ y se llama el mapa de Itô. Recordar
que asumimos que los campos vectoriales son suaves. Cuando sólo hay un conductor Wiener
proceso (d = 1) el mapa de Itô es continuo en la topología de la convergencia uniforme
(Teorema 1.1.1. en Lyon y Qian [33]). Cuando hay dos o más pro-
cestos (d ≥ 2) el Teorema del Límite Universal (Teorema 6.2.2. en Lyons y Qian [33])
nos dice que el mapa de Itô es continuo en la topología p-variación, en particular para
2 ≤ p < 3. Una ruta Wiener con d ≥ 2 tiene una variación p con p > 2, y la variación p
métrica en este caso incluye información sobre las áreas cordales de Lévy de la ruta
(Lyons [32]). Por lo tanto, debemos elegir las aproximaciones suaves adecuadas a la
proceso de ruta de conducción w. El siguiente resultado sigue del resultado correspondiente
para ecuaciones diferenciales ordinarias en Hairer, Lubich y Wanner [22] (p. 112) también
como directamente del capítulo VIII en Malliavin [36] sobre el principio de transferencia (véase también
Emery [15]).
Lemma 8.1. Una condición necesaria y suficiente para la solución al estocástico
ecuación diferencial (1.1) para evolucionar en un suave submanifold n-dimensional M de
RN (n ≤ N) hasta un tiempo de parada T* es que Vi(y, t) • TyM para todos y • M, i =
0, 1,..., d.
Por lo tanto, la expansión estocástica de Taylor para el flujo es un difeomorfismo en M.
Sin embargo una versión truncada de la expansión estocástica de Taylor para el flujo t no
en general te mantiene en el colector, es decir. # Si tú # # M entonces # # t # # tú no necesitas necesariamente #
yace en M. Por otro lado, la serie exponencial de la Mentira, o cualquier truncación t de
se encuentra en X(M). Por Lemma 8.1 esta es una condición necesaria y suficiente para el
el flujo-mapa correspondiente exp t ser un difeomorfismo en M. Por lo tanto si u(0) = ytn
M, entonces ytn + 1 u(1) • M. Al resolver la ecuación diferencial ordinaria (8.1),
métodos geométricos clásicos de integración, por ejemplo, integradores de grupos de Lie, tales como
Los métodos Runge-Kutta Munthe-Kaas, a lo largo del intervalo
garantizar ytn+1 estancias en M. Además, como el siguiente resultado revela, numérica
métodos construidos utilizando el enfoque de la serie Castell-Gaines Lie también pueden ser más
precisa (en el apéndice B se proporciona una prueba). Definimos el fuerte error global en
tiempo T asociado con una solución aproximada ŷT como E • • • • • • • • • • L2.
Teorema 8.2. En el caso de dos procesos Wiener independientes y bajo la
suposiciones del Teorema 7.1, para cualquier condición inicial y0 ° M y un
pequeño stepsize fijo h = tn+1 − tn, el orden integrador de la serie 1/2 Lie es global más
precisa en L2 que el orden integrador estocástico 1/2 Taylor. Además, en el
caso de un proceso Wiener, el orden 1 y 3/2 mentira exponencial uniformemente precisa
integradores de series generados por
tn,tn+1
= J0V0 + J1V1 +
[V1, [V1, V0]]
(3/2)
tn,tn+1
= J0V0 + J1V1 +
(J01 − J10)[V0, V1] + h
[V1, [V1, V0]]
respectivamente, son globalmente más exactos en L2 que su correspondiente estocástico Tay-
Los integradores. En otras palabras, si E lsm denota el error global de la mentira exponencial
serie integradores de orden m por encima, y Estm es el error global de la Taylor estocástica
integradores del orden correspondiente, luego E lsm ≤ Estm para m = 1/2, 1, 3/2.
Comentarios.
1. El resultado para (3/2) es nuevo. Que el integrador de la serie orden-1/2 Lie (para dos
Procesos Wiener) y el orden integrador 1 generado por (1) son uniformemente más
la exactitud confirma las propiedades asintóticamente eficientes de estos esquemas demostrados por
12 Malham y Wiese
Castell y Gaines [8]. La prueba sigue la línea de un resultado análogo para
sistemas estocásticos lineales considerados en Lord, Malham y Wiese [31].
2. Considerar el orden 1/2 exponencial serie Lie sin campo vectorial commu-
tas. Resolver la ecuación diferencial ordinaria (8.1) usando un Euler (ordinario)
Método Munthe-Kaas y dexp de aproximación
El id es equivalente al orden 1/2
Método estocástico Taylor Munthe-Kaas (para el mismo grupo de Mentira y acción).
9. Ejemplos numéricos.
9.1. Cuerpo rígido. Consideramos la dinámica de un cuerpo rígido como un satélite
(véanse Marsden y Ratiu [37]). Vamos a suponer que el cuerpo rígido está perturbado por dos
procesos estocásticos multiplicativos independientes W 1 y W 2 con los correspondientes
campos vectoriales Vi(y) • • • i(y) y, para i = 0, 1, 2, con • i • so(3). Si normalizamos la inicial
datos y0 para que y0 = 1 entonces la dinámica evoluciona en M = S2. Nosotros, naturalmente, suponemos
G = SO(3), y y0(S) Sy0 de modo que i(y) = i(y) y, y podemos tirar hacia atrás el
flujo generado por V en M al flujo en G generado por X.i(S, t) =.i
?y0(S)
i = 0, 1, 2. Utilizamos la siguiente representación de la matriz para el 'i(y)' so(3):
•i(y) =
0 −y3/αi,3 y2/αi,2
y3/αi,3 0 −y1/αi,1
−y2/αi,2 y1/αi,1 0
donde se eligen las constantes αi,j para j = 1, 2, 3 para que los campos vectoriales Vi y
Las matrices no se desplazan para i = 0, 1, 2: α0,1 = 3, α0,2 = 1, α0,3 = 2, α1,1 = 1,
α1,2 = 1/2, α1,3 = 3/2, α2,1 = 1/4, α2,2 = 1, α2,3 = 1/2. Los campos vectoriales Vi satisfacen
las condiciones del Teorema 7.1 ya que el colector es compacto en este caso.
Resolveremos numéricamente (1.1) usando tres métodos de orden 1 diferentes: estocástico
Taylor, estocástico Taylor Munthe-Kaas basado en (6.1) y Castell-Gaines (un
método drard no geométrico Runge-Kutta se utiliza para resolver el diferencial ordinario
ecuación (8.1)). Las composiciones vectoriales ViVj necesarias para el estocástico Taylor
y los métodos Castell-Gaines se calculan fácilmente. Para el método Munthe-Kaas nosotros
Tenga en cuenta que tenemos váši o = i(y0) y
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Aquí o tan (3) es el elemento cero en el álgebra de Lie, y para todos y, z R3 definir
A(y, z;α, β)
− y3z2
− y1z3
− y2z1
y : R3→so(3) denota el isomorfismo espacial vectorial
0 3 2
3 0 1
2 1 0
Nótese que ŷ z y Ł z (véase Marsden y Ratiu [37]). Tenga en cuenta también desde el punto de vista de la información (3),
exp. • SO(3) puede calcularse de forma conveniente y barata utilizando la fórmula de Rodrigues.
(véanse Marsden y Ratiu [37] o Iserles et al. [25]).
En la Figura 9.1 mostramos la distancia del colector S2 de cada uno de los tres aprox-
imations; comenzamos con los datos iniciales y0 = (
2, 0) T. El estocástico Taylor Munthe...
Método Kaas se puede ver para preservar la solución en la esfera de unidad a dentro de la máquina
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Taylor estocástico
Castell-Gaines
Munthe-Kaas
Fig. 9.1. Cuerpo rígido: Se muestra la distancia logarítmica de la solución aproximada a la esfera de la unidad
en función del tiempo para cada uno de los métodos. A continuación mostramos las soluciones aproximadas como una función
del tiempo para los métodos estocásticos Taylor (azul) y Munthe-Kaas (magenta). Comienza la trayectoria
en la parte superior derecha y eventualmente a la deriva sobre el horizonte izquierdo.
14 Malham y Wiese
error. También vemos que el método estocástico Taylor claramente se deriva de la esfera como
el tiempo de integración progresa, al igual que el método no geométrico Castell-Gaines—
que, sin embargo, permanece notablemente más cerca del colector que el estocástico Taylor
esquema.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Taylor estocástico
Castell-Gaines
Munthe-Kaas
−3,2 −3,1 −3,9 −2,8 −2,7 −2,6 −2,5 −2,4 −2,3 −2,2
(tamaño del paso)
Número de rutas de muestreo=100
Taylor estocástico
Castell-Gaines
Munthe-Kaas
Fig. 9.2. Vehículo submarino autónomo: Mostramos la distancia de registro de la solución aproximada
a los dos Casimires C1 = η ·p (línea punteada) y C2 = p
2 (línea sólida) en función del tiempo para cada uno
de los métodos. A continuación, también mostramos el error global como una función de stepsize.
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 15
9.2. Vehículo submarino autónomo. La dinámica de un au elipsoidal
vehículo subacuático tonomous está prescrito por el estado y = (
* es su momento angular y (R3) * su momento lineal (véase Holmes,
Jenkins y Leonard [24], Egeland, Dalsmo y Sørdalen [12] y Marsden y
Ratiu [37]). Suponemos que el vehículo está perturbado por dos multi- independientes
procesos estocásticos plicativos. Los campos vectoriales que gobiernan son para i = 0, 1, 2:
Vi(y) = anuncio
# Y. # # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y. # Y.
Aquí i(y) =
•i(y), ui(y)
• se(3) donde •i(y) = I−1i(y) y ui(y) = M
i p son la
velocidad angular y lineal, e Ii = diag(αi,1, αi,2, αi,3) y Mi = diag(βi,1, βi,2, βi,3)
son el momento constante de inercia y matrices de masa, respectivamente. Explícitamente para
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ad à                                                                                                                                       Â
El sistema de campos vectoriales Vi, i = 0, 1, 2 representa la dinámica de Lie-Poisson en
M = se(3)* (Marsden y Ratiu [37]). Hay dos funciones independientes Casimir
Ck : se(3)
R, k = 1, 2, a saber, C1 = η · p y C2 = p2; estos son conservados por el
flow on se(3)*. Tenga en cuenta que el Hamiltonian, es decir. energía cinética total 1
(l · • + p · u),
También se conserva exactamente (y es útil para establecer las condiciones de suficiencia en
Teorema 7.1), pero ese no es nuestro enfoque aquí.
Si G = SE(3) SO(3) × R3, entonces la acción coadconjunta de SE(3) sobre se(3)*,
: SE(3) × se(3)se(3)* se define para todas las S = (s,
* por: S = Ad*S - 1 â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. * por: â € € € € S = Ad*S - 1 â € € € €. * por: â € € ~ S = Ad*S - 1 â € € €
sl + l (sp), sp
. Los
la acción infinitesimal correspondiente : se(3)× se(3)se(3)* para todos los se(3) y y
Se(3)* es dada por (ver Marsden y Ratiu [37], p. 477)
# Y # # # # Y # # # # # Y # # # # # # Y # # # # # # # Y # # # # # # Y # # # # Y # # # # # Y # # # # Y # # # # # Y # # # # # # # Y # # # # # # # Y # # # # # # # # # # # Y # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Desde ad(y) = (y) = (y) el conjunto gobernante de campos vectoriales en se(3)* son
Vi(y) = i y.
Ahora podemos retirar este flujo en se(3)* a un flujo en SE(3) vía?y0. La correspondencia...
El flujo de ing en SE(3) es generado por el conjunto rector de campos vectoriales para i = 0, 1, 2:
Xi S = −
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
con y = Ły0(S).
Para ayudar a la ejecución, tenga en cuenta que SE(3) =
(s, ) • SE(3) : s • SO(3), • • R3
se incrusta en SL(4;R) a través del mapa
S = (s, l) 7→
donde O es el tres-vector de ceros. También se(3) es isomórfico a una Lie subalgebra de
sl(4;R) con elementos de la forma
7→
16 Malham y Wiese
Por lo tanto, los campos vectoriales que gobiernan en SE(3) son de la forma Xi = i(y)S, donde
•i(y) =
i(η) ui(p)
Los campos vectoriales que gobiernan en se(3) son vi(l) = −dexp
(exp.o.p.)
. Otra vez la
las composiciones vectoriales ViVj necesarias para el estocástico Taylor y Castell-Gaines
los métodos pueden ser computados directamente. El cálculo directo también revela que en
forma de matriz de bloque
= = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = ; = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
Â(l0, η0;αi, αj) + Â(p0, p0;βi, αj) A(l0, p0;αi, βj)
[i(y0), j(y0)].
Aquí A(y, z;α, β) se define como el ejemplo del cuerpo rígido. Note que el exponencial
mapa exp
se(3) : se(3)→SE(3) se define para todos
se(3) =
so(3) f(
donde exp
so(3) es el mapa exponencial de so(3) a SO(3) que se puede calcular
utilizando la fórmula de Rodrigues y (véanse Bullo y Murray [4], p. 5)
f() = I3×3 + (1 − cos )/2 +
1− (pecado )/
2/2.
En la Figura 9.2 mostramos la distancia desde el colector se(3)* de cada uno de los tres ap-
proximaciones; en particular, hasta qué punto las trayectorias individuales se desvían de los Casimires
C1 = η · p y C2 = p2. Comenzamos con los datos iniciales y0 = (
2, 0, 0,
Como antes, el método estocástico Taylor Munthe-Kaas se puede ver para preservar el
Casimiros al error de la máquina. También vemos que el método estocástico Taylor
A medida que avanza el tiempo de integración y a medida que avanza
tiempo dependiendo de la ruta Wiener se dispara muy rápidamente lejos del colector.
Tenga en cuenta también que para los pasos grandes el método estocástico Taylor es inestable. Sin embargo
los métodos no geométricos Castell-Gaines y estocástico Munthe-Kaas todavía dan reli-
resultados capaces en ese régimen. Por último, aunque el método estocástico Munthe-Kaas
se adhiere al colector de error dentro de la máquina, el error de la no geométrica
El método Castell-Gaines es en realidad más pequeño.
10. Conclusiones. Hemos establecido e implementado el grupo de la Mentira estocástica
integradores basados en métodos estocásticos Munthe-Kaas y también derivados geométricos
Castell–Gaines methods. También hemos revelado varios aspectos de estos integradores
que requieren más investigación.
1. Podríamos construir un método Magnus estocástico no lineal aproximándonos
la solución a la ecuación diferencial estocástica (5.1) en el álgebra de Lie utilizando Picard
iteraciones (véase Casas e Iserles [6]).
2. Nos gustaría desarrollar un procedimiento práctico para la aplicación ordinaria
Métodos Munthe-Kaas para integradores de orden superior Castell-Gaines. Tenemos que...
termine el elemento : M→g de modo que en (8.1) tenemos =.
3. Tenemos que determinar las propiedades de los errores locales y globales para el
Métodos estocásticos de Munthe-Kaas. También una investigación exhaustiva de la utilería de estabilidad
se requieren los métodos estocásticos Munthe-Kaas y Castell-Gaines. Por
las simulaciones autónomas de vehículos submarinos eran ambos superiores a la directa
Método estocástico Taylor, especialmente para stepsizes más grandes. También tenemos que comparar la
Eficiencia relativa de los métodos de que se trata, en particular para comparar óptimamente
eficiente método geométrico Castell-Gaines con el método estocástico Munthe-Kaas.
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 17
4. Aunque nos hemos limitado principalmente a los caminos de conducción que son Wiener
procesos, podemos extender los métodos de Munthe-Kaas y Castell-Gaines a
caminos (Lyons y Qian [33], Friz [18], Friz y Victoir [19]). Además, lo que hap-
bolígrafos cuando consideramos procesos que implican saltos? Por ejemplo, Srivastava, Miller y
Grenander [44] considera los procesos de difusión de salto en grupos de mentiras de matriz para bayesianos
inferencia. ¿O qué pasa si consideramos los caminos de conducción pardo fraccionarios; Baudoin y
Coutin [3] ¿Investigar las mociones brownianas fraccionadas sobre los grupos de Mentira?
5. Schiff y Shnider [43] han utilizado métodos de grupo Lie para derivar esquemas Möbius
para integrar numéricamente los sistemas Riccati deterministas más allá del tiempo finito extraíble
singularidades e inestabilidades numéricas. Integran un sistema lineal de ecuaciones
sobre el grupo lineal general GL(n) que corresponde a un flujo de Riccati en el Grass-
manian multiple Gr(k, n) a través del mapa de acción de Möbius. Lord, Malham y Wiese [31]
aplicar esquemas estocásticos de Möbius y demostrar que pueden ser más exactos y
rentable que resolver directamente los sistemas estocásticos Riccati utilizando estocástico Taylor
métodos. Nos gustaría investigar más a fondo su eficacia para el Ric estocástico.
ecuaciones cati que surgen en el filtrado de Kalman (Kloeden y Platen [27]) y hacia atrás
ecuaciones estocásticas Riccati que surgen en el óptimo control estocástico lineal-cuadrático (ver
Por ejemplo, Kohlmann y Tang [28] y Estrade y Pontier [16].
6. Otras áreas de aplicación potencial de los métodos que hemos presentado en este
el papel son, por ejemplo: los modelos de tipos de interés de estructura-término que evolucionan en dimensiones finitas
múltiples invariantes sisionales (véase Filipovic y Teichmann [17]); dinámica estocástica
desencadenada por daño de ADN (Chickarmane, Ray, Sauro y Nadim [10]) y estocástico
integradores simpléticos para los que el gradiente de la solución evoluciona en el simplés
Grupo de mentiras (véanse Milstein y Tretyakov [38]).
Agradecimientos. Agradecemos a Alex Dragt, Peter Friz, Anders Hansen, Terry
Lyons, Per-Christian Moan y Hans Munthe-Kaas para estimular las discusiones. Nosotros
también agradecer a los árbitros anónimos, cuyas sugerencias y estímulo mejoraron
el manuscrito original significativamente. SJAM quisiera reconocer la invalu-
instalaciones capaces del Instituto Isaac Newton donde algunos de los últimos toques a este
se completaron los manuscritos.
Apéndice A. Prueba de Teorema 7.1. Seguimos la prueba de estocástico lineal
Ecuaciones diferenciales en Lord, Malham y Wiese [31] (donde más detalles técnicos
en estimaciones para múltiples integrales Stratonovich se puede encontrar). Supón que t t t(m)
es la serie truncada Lie (7.1). Primero mostramos que exp t y0 L2. Lo vemos.
para cualquier número k,
)k y0 es una suma de términos Qmk, cada uno de los cuales es un k-multiple
producto de los términos Jα cα y0. De ello se deduce que
)k • y0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
αi»:Qm
i=1,...,k
Jα1Jα2 · · · Jαkà °L2. (A.1)
Tenga en cuenta que el máximo de la norma de las composiciones de los campos de vectores cy0 se toma
sobre un conjunto finito. La aplicación repetida de la regla del producto revela que para i = 1,..., k,
cada término «Jα1Jα2 · · · Jαk » en (A.1) es la suma de como máximo 22mk−1 integrales Stratonovich
Jβ, donde para t ≤ 1, JL2 ≤ 24mk−1 tk/2. Desde el lado derecho de la ecuación (A.1)
consiste en Qmk 22mk−1 Stratonovich integrales Jβ, concluimos que,
)k • y0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
18 Malham y Wiese
Por lo tanto, la exp t y0 es integrable cuadradamente.
Segundo, probamos (7.2). Dejemos que ŷt denote la solución estocástica de la serie Taylor, trun-
a los términos incluidos en el orden hasta e incluyendo TM. Tenemos
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
yt − ŷt
t − exp t ye0
Sabemos yt L2—vea Lemma III.2.1 en Gihman y Skorohod [21]. Tenga en cuenta que
las suposiciones allí se cumplen, ya que la uniformidad de los derivados
implica continuidad Lipschitz uniforme de los campos vectoriales por el teorema de valor medio,
y la continuidad Lipschitz uniforme a su vez implica una condición de crecimiento lineal para el
campos vectoriales ya que son autónomos. Nótese que ¥t es una fuerte aproximación a
hasta e incluyendo los términos del pedido t
m, con el resto constituido por O(tm+1/2)
términos (véase la Proposición 5.9.1 en Kloeden y Platen [27]). De la definición se deduce lo siguiente:
de la serie exponencial Lie como el logaritmo de la serie Taylor estocástico, que el
los términos de orden hasta e incluyendo tm en exp t y0 corresponden con ŷt; el error
consta de términos O(tm+1/2).
Apéndice B. Prueba de Teorema 8.2. Nuestra prueba sigue la línea de eso.
para integradores Magnus de precisión uniforme para sistemas de coeficiente constante lineal (ver
Lord, Malham & Wiese [31] y Malham y Wiese [35]). Vamos a hacer, tn+1 y tn, tn+1
indicar los mapas de flujo exactos y aproximados construidos en el intervalo [tn, tn+1] de
longitud h. Definimos el resto de flujo local como
Rtn, tn+1 tn, tn+1 − tn, tn+1,
y por lo tanto el resto local es Rtn, tn+1 ytn. Que Rls y Rst denoten el flujo local
restos correspondientes a la serie exponencial Lie y Taylor estocástico aprox.
imaciones, respectivamente.
B.1. Orden integrador 1/2: dos procesos Wiener. Para el orden mundial 1/2
integradores tenemos que dirigir el orden Rls = 1
(J12 − J21)[V1, V2] y Rst = J12V1V2 +
J21V2V1. Tenga en cuenta que hemos incluido los términos J11V
1 y J22V
2 en los integradores.
Un cálculo directo revela que
(Rst y0)TRst y0
(Rls â € y0)TRls â € y0
+ h2mUTBU + O
. (B.1)
Aquí m = 1/2 (para los integradores de orden 1/2), U = (V1V2 y0, V2V1 y0)T R2n, y
B + R2n×2n consiste en n× n bloques diagonales de la forma bijIn×n donde
b = 1
e In×n es la matriz de identidad n×n. Puesto que b es semi-definido positivo, la matriz B =
bIn×n es semi-definido positivo. Por lo tanto, el orden 1/2 exponencial Lie serie integrador
es localmente más exacto que el correspondiente integrador estocástico Taylor.
B.2. Orden 1 integrador: un proceso Wiener. Para el orden mundial 1 in-
tegradores tenemos que dirigir el orden Rls = 1
(J01 − J10)[V0, V1] y Rst = J01V0V1 +
J10V1V0 + J111V
h2(V0V
1 + V
1 V0). Los términos del pedido h
2 se muestran son significativos
cuando consideremos el error global en la Sección B.4 a continuación. La estimación (B.1) también
se aplica en este caso con m = 1 y U = (V0V1 â y0, V1V0 â y0, V 31 â y0)T â R3n; y
B + R3n×3n consiste en n× n bloques diagonales de la forma bijIn×n donde
b = 1
3 3 3
3 3 3
3 3 5
Integradores de grupos de mentiras estocásticas 19
Puesto que b es semi-definido positivo, la matriz B = b In×n es semi-definido positivo.
Por lo tanto, el orden 1 exponencial Lie serie integrador es localmente más precisa que el
el correspondiente integrador estocástico de Taylor.
B.3. Orden integrador 3/2: un proceso Wiener. Los restos de flujo local
son Rls = 1
J110−2J101+J011− 12h
[V1, [V1, V0]] y R
st = J011V0V
1 +J101V1V0V1+
J110V
1 V0 + J1111V
1 − 14h
2 V0V
1 + V
1 V0 +
V 41 ). Los términos del pedido h
2 se muestran
significativa cuando consideramos el error global —pero por una razón diferente esta vez— ver
Sección B.4 infra. Una vez más, la estimación (B.1) se aplica en este caso con m = 3/2 y
U = (V0V
El subartículo 6A001.b no somete a control los productos de la partida 84.01.b.
n× n bloques diagonales de la forma bijIn×n donde
b = 1
11 8 5 12
8 8 8 12
5 8 11 12
12 12 12 24
De nuevo, B es semi-definido positivo y el orden 3/2 exponencial Lie serie integrador
es localmente más exacto que el correspondiente integrador estocástico Taylor.
B.4. Error global. Recordemos que definimos el fuerte error global en el momento T
asociado con una solución aproximada ŷT como E • • • • • • • • • L2. La exacta y
soluciones aproximadas pueden ser construidas aplicando sucesivamente la exacta y
Mapas de flujo aproximados (tn, tn+1 y tn, tn+1) en los intervalos sucesivos [tn, tn+1] a
los datos iniciales y0. Un cálculo sencillo muestra para un pequeño stepsize fijo h,
E2 = E (R â € y0)TR â € y0, (B.2)
hasta los términos de orden superior, donde R
n=0 tn+1,tN Rtn,tn+1 t0,tn es el estándar
contribución de error local acumulada al error global. La conclusión importante es que
que cuando construimos el error global (B.2), los términos de
Los restos de flujo Rls o Rst con cero expectativa pierden sólo medio orden de convergencia
en este efecto de acumulación. Por lo tanto, en los restos de flujo local mostrados arriba, para el
términos de cero expectativa, la precisión superior local para los integradores de la serie Lie
transferencias a los errores globales correspondientes (véase Lord, Malham y Wiese [31] para
más detalles). Sin embargo, los términos de expectativa no cero se comportan como deterministas er-
los términos que pierden todo un orden (en la convergencia local a global); contribuyen
al error global a través de sus expectativas. Por lo tanto, incluimos tales términos de o-
der h2 en el orden 3/2 integradores arriba y aparecen como los términos restados
de los restos mostrados. Para los integradores de orden 1 no necesitamos incluir
el orden h2 términos en el integrador para obtener la convergencia media-cuadrado correcta.
Sin embargo, para garantizar que el error global para el integrador exponencial de la serie Lie
es siempre más pequeño que eso para el esquema estocástico Taylor, incluimos este término en
el integrador.
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704.0023 | ALMA as the ideal probe of the solar chromosphere | Astrofísica y Ciencia Espacial manuscrito No.
(se insertará por el editor)
ALMA como sonda ideal de la cromosfera solar
Maria A. Loukitcheva · Sami K. Solanki · Stephen White
Recibido: fecha / Aceptado: fecha
Resumen La naturaleza misma de la cromosfera solar,
su estructuración y dinámica, está lejos de ser
correctamente entendido, a pesar de la investigación intensiva. Toma.
señalamos el potencial de la observación cromosférica...
ciones en longitudes de onda milimétricas para resolver este largo-
Un problema permanente. Computaciones realizadas con
modelo dinámico sofisticado de la cromosfera solar
debido a Carlsson y Stein demostrar que milímetro
la emisión es extremadamente sensible a los procesos dinámicos en
la cromosfera y las longitudes de onda adecuadas para
buscar firmas dinámicas están en el rango 0.8-5.0
mm. El modelo también sugiere que la alta resolución ob-
servicios en longitudes de onda mm, como se proporcionará por
ALMA, tendrá la propiedad única de reaccionar ante
tanto el gas caliente como el fresco, y por lo tanto tendrá el
potencial de distinguir entre modelos rivales de la
atmósfera solar. Por lo tanto, los resultados iniciales obtenidos de
las observaciones del Sol tranquilo a 3,5 mm con el
Array BIMA (resolución de 12′′)
laciones con amplitudes de 50-150 K y frecuencias de
1,5-8 mHz con tendencia a oscil-
laciones en el trabajo por Internet y períodos más largos en la red
regiones. Sin embargo, una resolución espacial más alta, como esa
proporcionado por ALMA, es necesario para una separación limpia
entre las características dentro de la atmósfera solar y
M.A. Loukitcheva · S.K. Solanki
Max-Planck-Institut für Sonnensystemforschung, D-37191
Katlenburg-Lindau, Alemania
Correo electrónico: lukicheva@mps.mpg.de
M. A. Loukitcheva
Instituto Astronómico, Universidad de San Petersburgo, 198504 St.
Petersburg (Rusia)
S. White
Departamento de Astronomía, Universidad de Maryland, College Park,
MD 20742, USA
para una comparación adecuada con la producción de la
simulaciones dinámicas prensivas.
Palabras clave el Sol · cromosfera solar · milímetro
Observaciones
1 Introducción
La cromosfera sigue siendo la capa menos comprendida de
la atmósfera solar, con los fundamentos de su estructura
dad que se debate acaloradamente: ¿está mejor descrito por la Comisión?
imagen clásica de un aumento constante de la temperatura como func-
ciones de altura, con oscilaciones débiles superpuestas (p. ej.
modelos semi empíricos de Vernazza et al. [8], Fontenla
et al. [5]), o la temperatura sigue bajando-
los pabellones, con los choques muy calientes que producen fuerte localizado
calefacción (simulaciones hidrodinámicas de radiación de Carls-
son & Stein [3], [4], y Wedemeyer et al. [9])? Los
el último concepto es coherente con las observaciones de IR de
monóxido de carbono, que requiere la presencia de gas fresco
a alturas cromosféricas (véase, por ejemplo, Ayres [1]).
Por lo tanto, los modelos existentes no pueden proporcionar una
la inscripción de la cromosfera solar. En consecuencia, ahora...
adays dos imágenes alternativas de la cromosfera co-
y el papel desempeñado por la dinámica cromosférica en
la estructuración de esta capa atmosférica es un tema de
un intenso debate científico.
Una razón para los modelos en conflicto es que son
Basado en líneas cromosféricas atómicas y con-
tinua en el UV o en líneas moleculares en el IR, ya que
Las observaciones UV son prácticamente ciegas para enfriar el gas en una
cromosfera dinámica, mientras que las observaciones IR sam-
sólo la parte fresca de la cromosfera. Mejorado
y diagnósticos más sensibles de la cromosférica
estructura y dinámica, que muestra tanto el caliente y
http://arxiv.org/abs/0704.0023v1
MDI TRACE 1600
CaII K BIMA 3,5 mm
Fig. 1 Retrato de la cromosfera solar en el centro del disco solar a 4 longitudes de onda diferentes el 18 de mayo de 2004. Desde arriba a la izquierda
abajo a la derecha: MDI magnetograma longitudinal, UV 1600 Imagen de TRACE, CaII K imagen central de línea de BBSO
e imagen BIMA a 3,5 mm.
el gas fresco y debe distinguir entre el ri-
Los modelos val, son proporcionados por observaciones en mili-
longitudes de onda ter con una resolución espacial aceptable
como fue propuesto por Loukitcheva et al. [6]. En esta estafa...
Atribución revisamos el único obser cromosférico-
vaciones a 3,5 mm con el Berkeley-Illinois-Maryland
Array y el análisis de las variaciones de intensidad ex-
a partir del modelo de Carlsson & Stein para mm
longitudes de onda. Nosotros postulamos los requisitos para mm ob-
ciones con los futuros instrumentos, con énfasis en
sobre la resolución espacial y temporal. Por fin discutimos.
las perspectivas de estudios cromosféricos con ALMA.
2 Resultados
2.1 Análisis de las observaciones BIMA a 3,5 mm
El Array Berkeley-Illinois-Maryland (BIMA) opera-
ing a una longitud de onda de 3,5 mm (frecuencia de 85 GHz)
ha sido el único interferómetro en el rango mm fre-
quently utilizado para observaciones solares. El BIMA tele-
los alcances son ahora parte de la matriz CARMA que
llevar a cabo también esas observaciones. Con los datos BIMA
obtenidos en los años 2003 y 2004 hemos construido
mapas bidimensionales de la cromosfera solar con una
resolución de 12′′, que representa el espacio más alto
resolución lograda hasta ahora en esta longitud de onda para
observaciones solares de bengalas. Las imágenes de BIMA han conducido
a nuevas ideas sobre la estructura cromosférica y
la detección de oscil cromosférico resuelto espacialmente
laciones a longitudes de onda mm. Los detalles de la restauración...
procedimiento de toma de decisiones y pruebas exhaustivas de la sensibilidad de la
los datos BIMA para la detección de firmas dinámicas
se puede encontrar en White et al. [11].
Con la resolución actualmente disponible el contraste
de las estructuras de brillo se evalúa para ser hasta
30% del brillo silencioso-sol a 3,5 mm (White et
al. [11]). Sin embargo, la similitud de la estructura de brillo
ciones, derivadas de las imágenes mm y vistas en otros
emisiones cromosféricas (Fig.1), a pesar de las diferencias
en la resolución de las imágenes (1-2′′ resolución de la
Imágenes UV), implica que la resolución BIMA no es
suficiente para resolver la estructura milimétrica fina y ob-
servaciones con resolución espacial mucho más alta que 12′′
son necesarios. Un análisis detallado de las relaciones
entre la emisión milimétrica, el campo magnético y otros
El diagnóstico cromosférico está en preparación.
En el brillo milímetro detectamos intensidad
oscilaciones con amplitudes típicas de 50-150 K en la
rango de periodos de 120 a 700 segundos (frecuencia
rango 1,5-8 mHz). Encontramos una tendencia hacia el corto
oscilaciones del período en el trabajo por internet y períodos más largos en
las regiones de la red en el Sol tranquilo, que está de acuerdo-
con los resultados obtenidos en otras longitudes de onda. En
3 mm las partes interiores de las células cromosféricas exhiben
un comportamiento típico del trabajo en internet con el maxi-
Mamá de la potencia de Fourier en el rango de 3 minutos, ¿cómo...?
siempre, la mayoría de las oscilaciones son cuasi-periódicas, mostrar-
en trenes de onda de duración finita que duran
Cally 1-3 períodos de onda (véase también Loukitcheva et al. [7]).
2.2 Análisis del espectro milimétrico del modelo CS
La respuesta de los submilimetros y milimetros ra-
diation a una serie temporal generada por Carlsson & Stein
(CS) se calculó bajo el supuesto de
radiación libre por Loukitcheva et al. [6]. Resultados
están representados en la Fig. 2 como el exceso de intensidad como func-
la longitud de onda y el tiempo.
400 720 1040 1360 1680 2000 2320 2640 2960 3280 3600
tiempo(s)
Fig. 2 Evolución del modelo Carlsson & Stein
Trum con el tiempo. Escala gris negativa que representa un exceso de intensidad
en función del tiempo y la longitud de onda.
Los períodos de onda de aproximadamente 3 min pueden ser claramente
Distinguido en la intensidad en toda onda considerada-
longitudes. Aunque la frecuencia dominante de la oscila-
ciones cambian ligeramente con la longitud de onda, para todas las ondas mm-
longitudes se encuentra en el rango de 3 minutos. La diferencia
de un período de tiempo a otro se puede explicar
por la presencia de choques de fusión durante cierto tiempo
intervalos. Las diferencias en las curvas de luz a diferencia-
las longitudes de onda ent son causadas principalmente por la diferencia
en las alturas de formación de la radiación emitida. In
general las amplitudes de las oscilaciones en comparación con
la temperatura de radiación es grande, en este sentido mm
la radiación de longitud de onda combina las ventajas de la
Líneas de CO, que principalmente ven el gas fresco, con las de
líneas atómicas y UV continua, que principalmente muestra la
Gas caliente.
En general, las temperaturas de brillo son ex-
en longitudes de onda milimétricas, fol-
cambios en la bajada de los parámetros atmosféricos. Con
aumento de la longitud de onda de la amplitud del brillo
oscilaciones crece significativamente, alcanza su máximo
valor a 2,2 mm (se espera que sea el 15% del sol silencioso)
temperatura de brillo), y disminuye rápidamente hacia
longitudes de onda más largas. Así podemos identificar el rango 0,8-
5.0 mm como el rango adecuado de longitudes de onda mm a
que se puede esperar las firmas más claras de dinámica
efectos. Una mirada cuidadosa al espectro de brillo mm
en función del tiempo (véase Fig. 2) revela un retraso de tiempo
entre las oscilaciones a milímetro largo y corto
longitudes de onda. Por lo tanto, es posible estudiar modos de onda
viajar en la cromosfera comparando sub-mm
con observaciones mm.
3 Debate
El modelo CS predice que espacial y temporalmente
las observaciones resueltas deben mostrar claramente la signa-
ciones de las fuertes ondas de choque. Sin embargo, una comunicación directa
parison de los productos de datos observacionales (RMS val-
ues, sesgo histográfico, espectros de Fourier y wavelet,
etc.), refiriéndose a regiones con débil campo magnético como
el tranquilo Sun Internetwork, con el prod correspondiente-
ucts esperados de las simulaciones de Carlsson & Stein
presenta grandes diferencias. En particular, el RMS de la
temperatura de brillo es casi un orden de magnitud
mayor en el modelo (800 K a 3 mm) que en el ob-
servicios (100 K). Otra diferencia es la ausencia de
períodos más largos en el espectro de potencia del modelo. Pero estos
Las discrepancias no excluyen los modelos CS. En el
una mano el modelo es una dimensión y por lo tanto lo hace
no predecir una longitud de coherencia de las oscilaciones, mientras que
Por otro lado, no somos capaces de resolver el problema individual
elementos oscilantes debido a la resolución espacial limitada
de las observaciones.
Consecuentemente estimamos la influencia del spa-
frotis tial en los parámetros del modelo de cromosférico
dinámica y sobre el poder oscilatorio observado. Por lo tanto
confirmamos que la resolución espacial muy limitada
actualmente disponible dificulta una separación limpia entre
las células y la red y, por lo general, tanto en la red como en
las zonas de la red contribuyen a la
Diatación. A partir del análisis de los datos observacionales
se encontró que la potencia en todos los rangos de frecuencia aumenta
considerablemente con la mejora de la resolución. Coherencia
entre el poder predicho por el modelo CS y el
el poder observado se obtiene si la longitud de la coherencia de
los elementos oscilantes están en el orden de 1′′.
Nuestros resultados son consistentes con Wedemeyer et al.
[10], que calculó la firma de la onda milimétrica re-
sulting de las simulaciones 3-D de Wedemeyer et al.
[9]. Aunque las simulaciones 3-D sufren del hecho
que la transferencia radiativa de energía se calcula en
cansado en LTE, que se convierte en una mala suposición en
las alturas cromosféricas, los autores creen que la
El patrón musferico y su evolución temporal es repre-
sentative de las regiones de trabajo por Internet no magnético de
la cromosfera solar. Las simulaciones muestran un com-
plex estructura 3D de las capas cromosféricas, que es
altamente dinámico en escalas temporales de 20-25 s y en
escalas espaciales comparables a la granulación solar, que es
en buen acuerdo con el tamaño 1′′ de ele oscilante
Esto es lo que hemos deducido. Según Wedemeyer et al.
[9] la estructura cromosférica de la temperatura es
terilizado por un patrón de ondas de choque caliente, que se originan
de movimientos convectivos, y el gas fresco que yacía entre el
Conmociones. La distribución de intensidad en longitudes de onda mm
sigue el patrón de los choques en la cromosfera
con un tamaño de sub-arcosegundo de las características asociadas con
los choques. Toda esta estructura 3D compleja y dinámica
puede deducirse de las observaciones a longitudes de onda mm
con una resolución espacial suficientemente alta de
4 Resumen
Observaciones simultáneas mm-submm en diferentes ondas-
longitudes se pueden utilizar para la tomografía de la energía solar
atmósfera, como radiación en las diferentes longitudes de onda
se origina de diferentes capas, con el promedio de
aumento de la altura de la radiación con la longitud de onda. Qué obser...
las vaciones también proporcionan una prueba fuerte del presente y del futuro
modelos. Sin embargo, las observaciones que podrían ser capaces de
descubrir la naturaleza de la cromosfera debe reunirse
los siguientes requisitos:
– observaciones multibanda en el dominio mm-submm (0,8-
5,0 mm) para hacer frente a las ondas de choque y cromosférica
modos de oscilación
– resolución espacial arcosegundo para resolver la estructura fina
– resolución temporal mejor que unos segundos para
seguir su evolución en el tiempo
– Tamaño FOV del orden de 1′
– calibración absoluta exacta de las observaciones (Bas-
tian [2])
Estos requisitos son muy similares a los de la tecnología.
especificación cal de las observaciones continuum con la
Atacama Large Millimeter Array (ALMA), que representa
, se resiente de un enorme avance con respecto a los instrumentos existentesa-
ciones que funcionen a longitudes de onda mm-submm. ALMA lo hará
producir imágenes de la más alta resolución disponible para
el futuro previsible (aunque el problema técnico
de muestreo tanto grandes como pequeñas escalas espaciales simulta-
neously, necesaria para la obtención de imágenes de alta calidad de la
la atmósfera, seguirá siendo un desafío) y será el más
instrumento sensible que funcione a longitudes de onda submm-mm.
En resumen, ALMA será una extraordinaria pow-
instrumento eficaz para el estudio de la cromosfera solar. Lo siento.
finalmente permitirá el mapeo de las tres dimensiones
estructura térmica de la cromosfera solar que
ser un verdadero avance en los estudios solares.
Agradecimientos El uso de BIMA para la investigación científica
llevado a cabo en la Universidad de Maryland es apoyado por NSF
subvención AST–0028963. Investigación solar en la Universidad de Maryland
es apoyado por NSF subvención ATM 99-90809 y NASA subvenciones NAG
5-8192, NAG 5-10175, NAG 5-12860 y NAG 5-11872.
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11. White, S., Loukitcheva, M., & Solanki, S.K.: Alta resolución
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esfera. A&A 456, 697-711 (2006)
Introducción
Resultados
Discusión
Resumen
| La naturaleza misma de la cromosfera solar, su estructuración y dinámica,
sigue estando lejos de ser comprendido adecuadamente, a pesar de la investigación intensiva.
Aquí señalamos el potencial de las observaciones cromosféricas en el milímetro
longitudes de onda para resolver este problema de larga data. Cálculos efectuados
con un sofisticado modelo dinámico de la cromosfera solar debido a Carlsson
y Stein demuestran que las emisiones milimétricas son extremadamente sensibles a
procesos dinámicos en la cromosfera y las longitudes de onda apropiadas para mirar
para las firmas dinámicas están en el rango de 0,8-5,0 mm. El modelo también sugiere
que las observaciones de alta resolución en longitudes de onda mm, como se proporcionará por
ALMA, tendrá la propiedad única de reaccionar tanto al calor como al frío
gas, y por lo tanto tendrá el potencial de distinguir entre los modelos rivales de
la atmósfera solar. Por lo tanto, los resultados iniciales obtenidos de las observaciones de
el Sol silencioso a 3,5 mm con la matriz BIMA (resolución de 12 arcos) revelan
oscilaciones significativas con amplitudes de 50-150 K y frecuencias de 1,5-8
mHz con tendencia a oscilaciones de corto plazo en el trabajo en internet y más tiempo
períodos en las regiones de la red. Sin embargo, una resolución espacial más alta, como esa
proporcionado por ALMA, es necesario para una separación limpia entre las características
en la atmósfera solar y para una comparación adecuada con la producción de
las simulaciones dinámicas completas.
| Introducción
La cromosfera sigue siendo la capa menos comprendida de
la atmósfera solar, con los fundamentos de su estructura
dad que se debate acaloradamente: ¿está mejor descrito por la Comisión?
imagen clásica de un aumento constante de la temperatura como func-
ciones de altura, con oscilaciones débiles superpuestas (p. ej.
modelos semi empíricos de Vernazza et al. [8], Fontenla
et al. [5]), o la temperatura sigue bajando-
los pabellones, con los choques muy calientes que producen fuerte localizado
calefacción (simulaciones hidrodinámicas de radiación de Carls-
son & Stein [3], [4], y Wedemeyer et al. [9])? Los
el último concepto es coherente con las observaciones de IR de
monóxido de carbono, que requiere la presencia de gas fresco
a alturas cromosféricas (véase, por ejemplo, Ayres [1]).
Por lo tanto, los modelos existentes no pueden proporcionar una
la inscripción de la cromosfera solar. En consecuencia, ahora...
adays dos imágenes alternativas de la cromosfera co-
y el papel desempeñado por la dinámica cromosférica en
la estructuración de esta capa atmosférica es un tema de
un intenso debate científico.
Una razón para los modelos en conflicto es que son
Basado en líneas cromosféricas atómicas y con-
tinua en el UV o en líneas moleculares en el IR, ya que
Las observaciones UV son prácticamente ciegas para enfriar el gas en una
cromosfera dinámica, mientras que las observaciones IR sam-
sólo la parte fresca de la cromosfera. Mejorado
y diagnósticos más sensibles de la cromosférica
estructura y dinámica, que muestra tanto el caliente y
http://arxiv.org/abs/0704.0023v1
MDI TRACE 1600
CaII K BIMA 3,5 mm
Fig. 1 Retrato de la cromosfera solar en el centro del disco solar a 4 longitudes de onda diferentes el 18 de mayo de 2004. Desde arriba a la izquierda
abajo a la derecha: MDI magnetograma longitudinal, UV 1600 Imagen de TRACE, CaII K imagen central de línea de BBSO
e imagen BIMA a 3,5 mm.
el gas fresco y debe distinguir entre el ri-
Los modelos val, son proporcionados por observaciones en mili-
longitudes de onda ter con una resolución espacial aceptable
como fue propuesto por Loukitcheva et al. [6]. En esta estafa...
Atribución revisamos el único obser cromosférico-
vaciones a 3,5 mm con el Berkeley-Illinois-Maryland
Array y el análisis de las variaciones de intensidad ex-
a partir del modelo de Carlsson & Stein para mm
longitudes de onda. Nosotros postulamos los requisitos para mm ob-
ciones con los futuros instrumentos, con énfasis en
sobre la resolución espacial y temporal. Por fin discutimos.
las perspectivas de estudios cromosféricos con ALMA.
2 Resultados
2.1 Análisis de las observaciones BIMA a 3,5 mm
El Array Berkeley-Illinois-Maryland (BIMA) opera-
ing a una longitud de onda de 3,5 mm (frecuencia de 85 GHz)
ha sido el único interferómetro en el rango mm fre-
quently utilizado para observaciones solares. El BIMA tele-
los alcances son ahora parte de la matriz CARMA que
llevar a cabo también esas observaciones. Con los datos BIMA
obtenidos en los años 2003 y 2004 hemos construido
mapas bidimensionales de la cromosfera solar con una
resolución de 12′′, que representa el espacio más alto
resolución lograda hasta ahora en esta longitud de onda para
observaciones solares de bengalas. Las imágenes de BIMA han conducido
a nuevas ideas sobre la estructura cromosférica y
la detección de oscil cromosférico resuelto espacialmente
laciones a longitudes de onda mm. Los detalles de la restauración...
procedimiento de toma de decisiones y pruebas exhaustivas de la sensibilidad de la
los datos BIMA para la detección de firmas dinámicas
se puede encontrar en White et al. [11].
Con la resolución actualmente disponible el contraste
de las estructuras de brillo se evalúa para ser hasta
30% del brillo silencioso-sol a 3,5 mm (White et
al. [11]). Sin embargo, la similitud de la estructura de brillo
ciones, derivadas de las imágenes mm y vistas en otros
emisiones cromosféricas (Fig.1), a pesar de las diferencias
en la resolución de las imágenes (1-2′′ resolución de la
Imágenes UV), implica que la resolución BIMA no es
suficiente para resolver la estructura milimétrica fina y ob-
servaciones con resolución espacial mucho más alta que 12′′
son necesarios. Un análisis detallado de las relaciones
entre la emisión milimétrica, el campo magnético y otros
El diagnóstico cromosférico está en preparación.
En el brillo milímetro detectamos intensidad
oscilaciones con amplitudes típicas de 50-150 K en la
rango de periodos de 120 a 700 segundos (frecuencia
rango 1,5-8 mHz). Encontramos una tendencia hacia el corto
oscilaciones del período en el trabajo por internet y períodos más largos en
las regiones de la red en el Sol tranquilo, que está de acuerdo-
con los resultados obtenidos en otras longitudes de onda. En
3 mm las partes interiores de las células cromosféricas exhiben
un comportamiento típico del trabajo en internet con el maxi-
Mamá de la potencia de Fourier en el rango de 3 minutos, ¿cómo...?
siempre, la mayoría de las oscilaciones son cuasi-periódicas, mostrar-
en trenes de onda de duración finita que duran
Cally 1-3 períodos de onda (véase también Loukitcheva et al. [7]).
2.2 Análisis del espectro milimétrico del modelo CS
La respuesta de los submilimetros y milimetros ra-
diation a una serie temporal generada por Carlsson & Stein
(CS) se calculó bajo el supuesto de
radiación libre por Loukitcheva et al. [6]. Resultados
están representados en la Fig. 2 como el exceso de intensidad como func-
la longitud de onda y el tiempo.
400 720 1040 1360 1680 2000 2320 2640 2960 3280 3600
tiempo(s)
Fig. 2 Evolución del modelo Carlsson & Stein
Trum con el tiempo. Escala gris negativa que representa un exceso de intensidad
en función del tiempo y la longitud de onda.
Los períodos de onda de aproximadamente 3 min pueden ser claramente
Distinguido en la intensidad en toda onda considerada-
longitudes. Aunque la frecuencia dominante de la oscila-
ciones cambian ligeramente con la longitud de onda, para todas las ondas mm-
longitudes se encuentra en el rango de 3 minutos. La diferencia
de un período de tiempo a otro se puede explicar
por la presencia de choques de fusión durante cierto tiempo
intervalos. Las diferencias en las curvas de luz a diferencia-
las longitudes de onda ent son causadas principalmente por la diferencia
en las alturas de formación de la radiación emitida. In
general las amplitudes de las oscilaciones en comparación con
la temperatura de radiación es grande, en este sentido mm
la radiación de longitud de onda combina las ventajas de la
Líneas de CO, que principalmente ven el gas fresco, con las de
líneas atómicas y UV continua, que principalmente muestra la
Gas caliente.
En general, las temperaturas de brillo son ex-
en longitudes de onda milimétricas, fol-
cambios en la bajada de los parámetros atmosféricos. Con
aumento de la longitud de onda de la amplitud del brillo
oscilaciones crece significativamente, alcanza su máximo
valor a 2,2 mm (se espera que sea el 15% del sol silencioso)
temperatura de brillo), y disminuye rápidamente hacia
longitudes de onda más largas. Así podemos identificar el rango 0,8-
5.0 mm como el rango adecuado de longitudes de onda mm a
que se puede esperar las firmas más claras de dinámica
efectos. Una mirada cuidadosa al espectro de brillo mm
en función del tiempo (véase Fig. 2) revela un retraso de tiempo
entre las oscilaciones a milímetro largo y corto
longitudes de onda. Por lo tanto, es posible estudiar modos de onda
viajar en la cromosfera comparando sub-mm
con observaciones mm.
3 Debate
El modelo CS predice que espacial y temporalmente
las observaciones resueltas deben mostrar claramente la signa-
ciones de las fuertes ondas de choque. Sin embargo, una comunicación directa
parison de los productos de datos observacionales (RMS val-
ues, sesgo histográfico, espectros de Fourier y wavelet,
etc.), refiriéndose a regiones con débil campo magnético como
el tranquilo Sun Internetwork, con el prod correspondiente-
ucts esperados de las simulaciones de Carlsson & Stein
presenta grandes diferencias. En particular, el RMS de la
temperatura de brillo es casi un orden de magnitud
mayor en el modelo (800 K a 3 mm) que en el ob-
servicios (100 K). Otra diferencia es la ausencia de
períodos más largos en el espectro de potencia del modelo. Pero estos
Las discrepancias no excluyen los modelos CS. En el
una mano el modelo es una dimensión y por lo tanto lo hace
no predecir una longitud de coherencia de las oscilaciones, mientras que
Por otro lado, no somos capaces de resolver el problema individual
elementos oscilantes debido a la resolución espacial limitada
de las observaciones.
Consecuentemente estimamos la influencia del spa-
frotis tial en los parámetros del modelo de cromosférico
dinámica y sobre el poder oscilatorio observado. Por lo tanto
confirmamos que la resolución espacial muy limitada
actualmente disponible dificulta una separación limpia entre
las células y la red y, por lo general, tanto en la red como en
las zonas de la red contribuyen a la
Diatación. A partir del análisis de los datos observacionales
se encontró que la potencia en todos los rangos de frecuencia aumenta
considerablemente con la mejora de la resolución. Coherencia
entre el poder predicho por el modelo CS y el
el poder observado se obtiene si la longitud de la coherencia de
los elementos oscilantes están en el orden de 1′′.
Nuestros resultados son consistentes con Wedemeyer et al.
[10], que calculó la firma de la onda milimétrica re-
sulting de las simulaciones 3-D de Wedemeyer et al.
[9]. Aunque las simulaciones 3-D sufren del hecho
que la transferencia radiativa de energía se calcula en
cansado en LTE, que se convierte en una mala suposición en
las alturas cromosféricas, los autores creen que la
El patrón musferico y su evolución temporal es repre-
sentative de las regiones de trabajo por Internet no magnético de
la cromosfera solar. Las simulaciones muestran un com-
plex estructura 3D de las capas cromosféricas, que es
altamente dinámico en escalas temporales de 20-25 s y en
escalas espaciales comparables a la granulación solar, que es
en buen acuerdo con el tamaño 1′′ de ele oscilante
Esto es lo que hemos deducido. Según Wedemeyer et al.
[9] la estructura cromosférica de la temperatura es
terilizado por un patrón de ondas de choque caliente, que se originan
de movimientos convectivos, y el gas fresco que yacía entre el
Conmociones. La distribución de intensidad en longitudes de onda mm
sigue el patrón de los choques en la cromosfera
con un tamaño de sub-arcosegundo de las características asociadas con
los choques. Toda esta estructura 3D compleja y dinámica
puede deducirse de las observaciones a longitudes de onda mm
con una resolución espacial suficientemente alta de
4 Resumen
Observaciones simultáneas mm-submm en diferentes ondas-
longitudes se pueden utilizar para la tomografía de la energía solar
atmósfera, como radiación en las diferentes longitudes de onda
se origina de diferentes capas, con el promedio de
aumento de la altura de la radiación con la longitud de onda. Qué obser...
las vaciones también proporcionan una prueba fuerte del presente y del futuro
modelos. Sin embargo, las observaciones que podrían ser capaces de
descubrir la naturaleza de la cromosfera debe reunirse
los siguientes requisitos:
– observaciones multibanda en el dominio mm-submm (0,8-
5,0 mm) para hacer frente a las ondas de choque y cromosférica
modos de oscilación
– resolución espacial arcosegundo para resolver la estructura fina
– resolución temporal mejor que unos segundos para
seguir su evolución en el tiempo
– Tamaño FOV del orden de 1′
– calibración absoluta exacta de las observaciones (Bas-
tian [2])
Estos requisitos son muy similares a los de la tecnología.
especificación cal de las observaciones continuum con la
Atacama Large Millimeter Array (ALMA), que representa
, se resiente de un enorme avance con respecto a los instrumentos existentesa-
ciones que funcionen a longitudes de onda mm-submm. ALMA lo hará
producir imágenes de la más alta resolución disponible para
el futuro previsible (aunque el problema técnico
de muestreo tanto grandes como pequeñas escalas espaciales simulta-
neously, necesaria para la obtención de imágenes de alta calidad de la
la atmósfera, seguirá siendo un desafío) y será el más
instrumento sensible que funcione a longitudes de onda submm-mm.
En resumen, ALMA será una extraordinaria pow-
instrumento eficaz para el estudio de la cromosfera solar. Lo siento.
finalmente permitirá el mapeo de las tres dimensiones
estructura térmica de la cromosfera solar que
ser un verdadero avance en los estudios solares.
Agradecimientos El uso de BIMA para la investigación científica
llevado a cabo en la Universidad de Maryland es apoyado por NSF
subvención AST–0028963. Investigación solar en la Universidad de Maryland
es apoyado por NSF subvención ATM 99-90809 y NASA subvenciones NAG
5-8192, NAG 5-10175, NAG 5-12860 y NAG 5-11872.
Bibliografía
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Ap. J. 575, 1104-1115 (2002)
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con observaciones milimétricas-interferómetro. A&A 456, 713-723
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B., Holweger, H.: La cromosfera solar
la luz de ALMA. In: Favata et al. (eds.) Deliberaciones del Comité
"El 13o taller de Cambridge sobre estrellas frescas, sistemas estelares
y el Sol” Hamburgo, Alemania, ESA SP-560, pp. 1035-1038
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11. White, S., Loukitcheva, M., & Solanki, S.K.: Alta resolución
observaciones milimétricas-interferómetro del cromo solar
esfera. A&A 456, 697-711 (2006)
Introducción
Resultados
Discusión
Resumen
|
704.0024 | Formation of quasi-solitons in transverse confined ferromagnetic film
media | Formación de cuasisolitones en ferromagnético confinado transversal
Medios cinematográficos
A.A. Serga 1
Technische Universität Kaiserslautern, Departamento de Física y
Forschungsschwerpunkt MINAS, D - 67663 Kaiserslautern, Alemania
M. Kostylev 2
Escuela de Física, Universidad de Australia Occidental, 35 Stirling
Autopista, Crawley WA 6009, Australia
Universidad Electrotécnica de San Petersburgo, 197376, San Petersburgo, Rusia
B. Hillebrands
Technische Universität Kaiserslautern, Departamento de Física y
Forschungsschwerpunkt MINAS, D - 67663 Kaiserslautern, Alemania
Resumen La formación de formas de onda spin-wave cuasi-2D longitudinalmente
se observaron rayas magnetizadas de película ferromagnética utilizando el tiempo y el espacio
se resolvió la técnica de dispersión de luz Brillouin. En el régimen lineal se encontró
que el confinamiento disminuye la amplitud de la magnetización dinámica cerca de la
bordes laterales de rayas. Por lo tanto, la llamada fijación dipolar efectiva de la
la netización tiene lugar en los bordes.
En el régimen no lineal, un nuevo paquete estable de onda de giro se propaga a lo largo de un
estructura de guía de onda, para la que la inestabilidad transversal y la interacción con
Las paredes laterales de la guía de onda son importantes. Los experimentos y
una simulación numérica de la evolución del pulso muestra que la forma de
Las formas de onda y su comportamiento están fuertemente influenciados por el confinamiento.
Informamos sobre la observación de un nuevo tipo de estabilidad, bidimensional
Se propagan paquetes de ondas no lineales en una estructura de guía de ondas magnéticas
y sugerir una descripción teórica de nuestros hallazgos experimentales. Estable
Los paquetes bidimensionales de ondas de giro, las llamadas balas de onda de giro, eran previ-
se observa de forma rigurosa, sin embargo sólo en muestras largas y anchas de un
película netic de itrio-hierro-granate (YIG) [1, 2, 3], que eran prácticamente un-
1Correo electrónico: serha@rhrk.uni-kl.de
2Dirección de correo electrónico: kostylev@cyllene.uwa.edu.au
limitado en ambas direcciones en el plano en comparación con el tamaño lateral de la vuelta
los paquetes de onda y la longitud de onda de la onda de giro portadora. En una guía de onda
estructura, donde la dimensión transversal es comparable a la longitud de onda,
Hasta el día de hoy sólo objetos de onda de giro no lineal casi unidimensional eran ob-
servido, que son spin wave sobre solitons. Aquí un sistema típico es un
banda estrecha (1-2mm) de una película de ferrita YIG [4, 5]. Tanto para los solitones como para los bul-
permite que la propagación en dispersión se compense por el longitudinal no lineal
compresión. En cuanto a la dimensión transversal, los solitones tienen un coseno-
como distribución de amplitud debido al confinamiento lateral en la guía de onda,
mientras que las balas muestran una inestabilidad transversal no lineal que compensa el pulso
ensancharse debido a la difracción y conducir al confinamiento transversal.
Aquí informamos sobre la observación de un nuevo paquete de ondas de giro estable prop-
agating a lo largo de una estructura de guía de onda, para la cual ambas inestabilidad transversal
e interacción con las paredes laterales de la guía de onda son importantes.
Los experimentos se llevaron a cabo utilizando un largo magnetizado longitudinalmente
Banda de película YIG de 2,5 mm de ancho y 7μm de espesor. El campo magnetizador
era 1831Oe. Las ondas de giro fueron excitadas por un campo magnético de microondas
creado con una antena de microstrip de 25μm de ancho colocado a través de la banda
y impulsado por pulsos electromagnéticos de 20n de duración a una frecuencia portadora
de 7.125GHz. Como es bien conocido el giro magnetostático del volumen hacia atrás
onda (BVMSW) [6] excitado en la configuración experimental dada es capaz de
forma tanto solitones de sobre como balas [4], dependiendo de la geometría. Los
Se investigó el comportamiento espacio-temporal de los paquetes viajantes BVMSW
mediante espectroscopia de dispersión de luz de Brillouin, resuelta en el espacio y en el tiempo
Los resultados obtenidos se demuestran en la Fig. 1 donde el espacio distri-
butiones de la intensidad de los paquetes de onda de giro se muestran para momentos dados
del tiempo. Los paquetes de onda giratoria se propagan aquí de izquierda a derecha y decaen
en el curso de su propagación a lo largo de la guía de onda debido a la
pérdida. El conjunto izquierdo de diagramas corresponde al caso lineal. El poder de
la onda electromagnética motora es de 20mW. El conjunto correcto de diagramas corre-
El sponding al caso no lineal fue recogido para un poder de conducción de 376mW.
Las diferencias entre estos dos casos se observan claramente. En primer lugar, la
paquete de onda de giro lineal se caracteriza por un coseno-como perfil lateral mientras que
la sección transversal del pulso no lineal se modifica bruscamente en relación con el
caja lineal y tiene una forma de campana pronunciada. En segundo lugar, la intensidad de la
paquete lineal se descompone monótonamente con el tiempo, mientras que la intensidad de la no-
paquete lineal aumenta inicialmente debido a su fuerte compresión transversal
(ver el segundo diagrama en la parte superior de la Fig. 1).
Ambas características no lineales proporcionan evidencia clara para el desarrollo
Figura 1: Formación de balas en el itrio-hierro-garnet confinado transversalmente
Película.
de una inestabilidad transversal y formación de balas. Es interesante que
la forma de sección transversal similar a una campana sobrevive incluso al final de la propaga-
ión distancia cuando la intensidad del pulso disminuye más de diez veces y
la contribución no lineal a la dinámica de la onda de giro debería considerablemente
Disminuir.
Con el fin de interpretar el resultado experimental hemos supuesto que la de-
desarrollo de inestabilidades no lineales en un medio confinado lateralmente es fuertemente
modificado por una cuantificación del espectro de ondas de giro. Es por eso que tenemos
transformó la tradición de la ecuación no lineal de Schrödinger en dos dimensiones:
aliada utilizada para el análisis de la dinámica de las balas [4] en un sistema de acoplamiento
ecuaciones para amplitudes de los modos de ancho de onda de giro. La forma específica de
el conjunto discreto de estos modos ortogonales se define por el límite real
condiciones en los bordes laterales de la franja. Desarrollamos una bidimensional
teoría de la dinámica lineal de la onda de giro en las rayas magnéticas. Como importante
resultado encontramos que la condición de frontera efectiva Guslienko-Slavins [8]
para la magnetización dinámica en los bordes laterales de rayas, siendo inicialmente derivado
para las ondas de giro con números de onda longitudinales que desaparecen, también es válido en el
en caso de modos de anchura de propagación con zancu longitudinal no desvanecida
bers [9]. La condición límite efectiva muestra que la magnetización
vector en los bordes de las franjas laterales está altamente fijado, lo que significa que la am-
la amplitud de la magnetización dinámica prácticamente desaparece en los bordes. Por
simplicidad es incluso posible considerar que los modos de ancho de banda para ser totalmente
fijado en los bordes laterales de las rayas. Como se ve en la Fig. 1 esta conclusión está en una
buen acuerdo con el experimento.
El análisis del sistema de ecuaciones no lineales derivadas de la no-
Ecuación Schrödinger lineal muestra que la formación de la bidimensional
forma de onda puede considerarse como un enriquecimiento del espectro de la anchura
modos. Las formas de onda parciales transportadas por los modos tienen el mismo portador
frecuencias iguales a la de la señal inicial y los números de onda portadora
que satisfacen las relaciones de dispersión de los modos. En el régimen lineal todos
los modos son ortogonales entre sí y no interactúan. En el no lineal
(alta amplitud) régimen los modos de ancho se interconectan por los cuatro-
la interacción no lineal de ondas, que da lugar a una transferencia de energía intermodal, y
el enriquecimiento del espectro de modo.
Como la antena de entrada de onda de giro genera efectivamente sólo el ancho más bajo
modo, la forma de onda inicial lanzada en la franja es determinada únicamente por ella.
Por lo tanto, para entender la física subyacente de la formación cuasi-bulleta que
es necesario considerar la interacción no lineal de los modos de ancho de orden superior
con él.
Nuestro análisis teórico muestra que la interacción de la anchura más baja
modo (n = 1) con modos de orden superior es diferente para impar e incluso superior o-
modos de der. Interactuando con modos pares, el modo de ancho más bajo se reproduce
el papel de la ola de bombeo. Esto parametralmente transfiere su energía a la
modos de ancho más alto. La interacción es puramente paramétrica y, por lo tanto,
el proceso de umbral. Necesita una señal inicial para iniciar el proceso. Esta señal
Por lo general es un modo térmicamente excitado. Por lo tanto, las necesidades de la forma de onda amplificada
una gran distancia de propagación y una velocidad de grupo igual a la velocidad de
el modo de ancho más bajo para alcanzar el nivel de amplitud del soliton. Si hay
es una amortiguación de la onda bombeada, incluso los modos nunca alcanzarán una amplitud
comparable a la del modo más bajo. Como resultado, pueden contribuir a
el perfil de forma de onda no lineal solamente, si la amplitud de la forma de onda inicial
está mucho más allá del umbral de la formación de soliton.
Interacción de modos del mismo tipo de simetría se describen por un
Término paramétrico, así como por un adicional pseudo-lineal (tri-lineal) exci-
dad, jugando el papel de una fuente externa de excitación. Semejante
la excitación pseudolineal es un proceso sin umbral. A diferencia de lo que ocurre con el paramet-
ric procesos que no necesita un valor de amplitud inicial para iniciar el
proceso. La excitación pseudo-lineal es posible sólo debido a la eficacia
fijación dipolar de la magnetización en los bordes de las rayas. Si el borde gira
la interacción de todos los modos de ancho sería puramente para-
métrica.
El mecanismo puramente paramétrico del desarrollo de una inestabilidad transversal
es típico para el proceso de formación de la bala de la forma de la onda del plano en
un medio no confinado, que lo distingue del proceso de soliton y
formación de bala en las estructuras de guía de onda.
En contraste, la inestabilidad transversal de un paquete de onda en un confinado
medio comienza como una excitación pseudolineal de modos de ancho de orden superior.
Este mecanismo garantiza un rápido crecimiento del modo simétrico n = 3 hacia arriba
al nivel en el que el mecanismo paramétrico comienza a funcionar. Después de eso, el
modo principal junto con el modo n = 3 son capaces de generar rápidamente
un gran conjunto de modos aún más altos a través de ambos pseudolineales y paramétricos
mecanismos.
Nuestra teoría muestra que la eficiencia de ambas interacciones no lineales mech-
anismos (paramétricos y trilineales) dependen fuertemente de la velocidad del grupo
diferencia de modos y la longitud inicial del pulso no lineal. En más grande
rayas las velocidades de grupo de los modos están más cerca unos de otros. Como resultado de ello
los modos de orden superior no linealmente generados permanecen más tiempo dentro de la bomba
Pulso. Si el pulso es lo suficientemente largo, alcanzan amplitudes significativas y un
se forma una forma de onda similar a una bala. En rayas más estrechas la velocidad del grupo difiere...
ence es más grande, y en consecuencia la onda de alto orden no generada linealmente
las formas dejan más rápido el área de bombeo. Como resultado, para la misma longitud de pulso,
no alcanzan amplitudes significativas. Los resultados de empotramiento no lineal
Figura 2: Formas laterales de los paquetes SW no lineales. 1 y 2 – teórica
resultados calculados para las franjas de ferrita de ancho de 2,5 mm y 1 mm,
Tily. 3 y 4 – perfiles experimentales observados en guías de onda YIG de anchura
de 2,5 mm y 1 mm, respectivamente. 1 y 3: balas. 2 y 4: solitos.
en la transformación del modo más bajo en un soliton.
Los resultados de nuestros cálculos de las formas laterales del giro no lineal
paquetes de onda en ancho (2,5 mm) y estrechas rayas de 1 mm de ferrita se muestran en
Fig. 2. La excelente correspondencia con los datos experimentales proporciona
buena evidencia de la validez de la teoría desarrollada.
Apoyo de la Deutsche Forschungsgemeinschaft,
y la Fundación Rusa para la Investigación Básica está agradecidamente ac-
con conocimiento de causa.
Bibliografía
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132402 (2002).
[9] M.Kostylev, J.-G. Hu, y R.L.Stamps, 90, 012507 (2007).
| La formación de formas de onda de giro cuasi-2D en magnetizado longitudinalmente
las rayas de la película ferromagnética se observaron mediante el uso de tiempo y espacio resuelto
Técnica de dispersión de luz Brillouin. En el régimen lineal se encontró que
el confinamiento disminuye la amplitud de la magnetización dinámica cerca del
bordes laterales de rayas. Por lo tanto, la llamada fijación dipolar efectiva de la dinámica
la magnetización tiene lugar en los bordes.
En el régimen no lineal, un nuevo paquete estable de onda de giro se propaga a lo largo de un
estructura de guía de onda, para la cual la inestabilidad transversal y la interacción
con las paredes laterales de la guía de onda se observaron importantes. Los
experimentos y una simulación numérica de la evolución del pulso muestran que el
forma de las formas de onda formadas y su comportamiento son fuertemente influenciados por el
Encierro.
| Formación de cuasisolitones en ferromagnético confinado transversal
Medios cinematográficos
A.A. Serga 1
Technische Universität Kaiserslautern, Departamento de Física y
Forschungsschwerpunkt MINAS, D - 67663 Kaiserslautern, Alemania
M. Kostylev 2
Escuela de Física, Universidad de Australia Occidental, 35 Stirling
Autopista, Crawley WA 6009, Australia
Universidad Electrotécnica de San Petersburgo, 197376, San Petersburgo, Rusia
B. Hillebrands
Technische Universität Kaiserslautern, Departamento de Física y
Forschungsschwerpunkt MINAS, D - 67663 Kaiserslautern, Alemania
Resumen La formación de formas de onda spin-wave cuasi-2D longitudinalmente
se observaron rayas magnetizadas de película ferromagnética utilizando el tiempo y el espacio
se resolvió la técnica de dispersión de luz Brillouin. En el régimen lineal se encontró
que el confinamiento disminuye la amplitud de la magnetización dinámica cerca de la
bordes laterales de rayas. Por lo tanto, la llamada fijación dipolar efectiva de la
la netización tiene lugar en los bordes.
En el régimen no lineal, un nuevo paquete estable de onda de giro se propaga a lo largo de un
estructura de guía de onda, para la que la inestabilidad transversal y la interacción con
Las paredes laterales de la guía de onda son importantes. Los experimentos y
una simulación numérica de la evolución del pulso muestra que la forma de
Las formas de onda y su comportamiento están fuertemente influenciados por el confinamiento.
Informamos sobre la observación de un nuevo tipo de estabilidad, bidimensional
Se propagan paquetes de ondas no lineales en una estructura de guía de ondas magnéticas
y sugerir una descripción teórica de nuestros hallazgos experimentales. Estable
Los paquetes bidimensionales de ondas de giro, las llamadas balas de onda de giro, eran previ-
se observa de forma rigurosa, sin embargo sólo en muestras largas y anchas de un
película netic de itrio-hierro-granate (YIG) [1, 2, 3], que eran prácticamente un-
1Correo electrónico: serha@rhrk.uni-kl.de
2Dirección de correo electrónico: kostylev@cyllene.uwa.edu.au
limitado en ambas direcciones en el plano en comparación con el tamaño lateral de la vuelta
los paquetes de onda y la longitud de onda de la onda de giro portadora. En una guía de onda
estructura, donde la dimensión transversal es comparable a la longitud de onda,
Hasta el día de hoy sólo objetos de onda de giro no lineal casi unidimensional eran ob-
servido, que son spin wave sobre solitons. Aquí un sistema típico es un
banda estrecha (1-2mm) de una película de ferrita YIG [4, 5]. Tanto para los solitones como para los bul-
permite que la propagación en dispersión se compense por el longitudinal no lineal
compresión. En cuanto a la dimensión transversal, los solitones tienen un coseno-
como distribución de amplitud debido al confinamiento lateral en la guía de onda,
mientras que las balas muestran una inestabilidad transversal no lineal que compensa el pulso
ensancharse debido a la difracción y conducir al confinamiento transversal.
Aquí informamos sobre la observación de un nuevo paquete de ondas de giro estable prop-
agating a lo largo de una estructura de guía de onda, para la cual ambas inestabilidad transversal
e interacción con las paredes laterales de la guía de onda son importantes.
Los experimentos se llevaron a cabo utilizando un largo magnetizado longitudinalmente
Banda de película YIG de 2,5 mm de ancho y 7μm de espesor. El campo magnetizador
era 1831Oe. Las ondas de giro fueron excitadas por un campo magnético de microondas
creado con una antena de microstrip de 25μm de ancho colocado a través de la banda
y impulsado por pulsos electromagnéticos de 20n de duración a una frecuencia portadora
de 7.125GHz. Como es bien conocido el giro magnetostático del volumen hacia atrás
onda (BVMSW) [6] excitado en la configuración experimental dada es capaz de
forma tanto solitones de sobre como balas [4], dependiendo de la geometría. Los
Se investigó el comportamiento espacio-temporal de los paquetes viajantes BVMSW
mediante espectroscopia de dispersión de luz de Brillouin, resuelta en el espacio y en el tiempo
Los resultados obtenidos se demuestran en la Fig. 1 donde el espacio distri-
butiones de la intensidad de los paquetes de onda de giro se muestran para momentos dados
del tiempo. Los paquetes de onda giratoria se propagan aquí de izquierda a derecha y decaen
en el curso de su propagación a lo largo de la guía de onda debido a la
pérdida. El conjunto izquierdo de diagramas corresponde al caso lineal. El poder de
la onda electromagnética motora es de 20mW. El conjunto correcto de diagramas corre-
El sponding al caso no lineal fue recogido para un poder de conducción de 376mW.
Las diferencias entre estos dos casos se observan claramente. En primer lugar, la
paquete de onda de giro lineal se caracteriza por un coseno-como perfil lateral mientras que
la sección transversal del pulso no lineal se modifica bruscamente en relación con el
caja lineal y tiene una forma de campana pronunciada. En segundo lugar, la intensidad de la
paquete lineal se descompone monótonamente con el tiempo, mientras que la intensidad de la no-
paquete lineal aumenta inicialmente debido a su fuerte compresión transversal
(ver el segundo diagrama en la parte superior de la Fig. 1).
Ambas características no lineales proporcionan evidencia clara para el desarrollo
Figura 1: Formación de balas en el itrio-hierro-garnet confinado transversalmente
Película.
de una inestabilidad transversal y formación de balas. Es interesante que
la forma de sección transversal similar a una campana sobrevive incluso al final de la propaga-
ión distancia cuando la intensidad del pulso disminuye más de diez veces y
la contribución no lineal a la dinámica de la onda de giro debería considerablemente
Disminuir.
Con el fin de interpretar el resultado experimental hemos supuesto que la de-
desarrollo de inestabilidades no lineales en un medio confinado lateralmente es fuertemente
modificado por una cuantificación del espectro de ondas de giro. Es por eso que tenemos
transformó la tradición de la ecuación no lineal de Schrödinger en dos dimensiones:
aliada utilizada para el análisis de la dinámica de las balas [4] en un sistema de acoplamiento
ecuaciones para amplitudes de los modos de ancho de onda de giro. La forma específica de
el conjunto discreto de estos modos ortogonales se define por el límite real
condiciones en los bordes laterales de la franja. Desarrollamos una bidimensional
teoría de la dinámica lineal de la onda de giro en las rayas magnéticas. Como importante
resultado encontramos que la condición de frontera efectiva Guslienko-Slavins [8]
para la magnetización dinámica en los bordes laterales de rayas, siendo inicialmente derivado
para las ondas de giro con números de onda longitudinales que desaparecen, también es válido en el
en caso de modos de anchura de propagación con zancu longitudinal no desvanecida
bers [9]. La condición límite efectiva muestra que la magnetización
vector en los bordes de las franjas laterales está altamente fijado, lo que significa que la am-
la amplitud de la magnetización dinámica prácticamente desaparece en los bordes. Por
simplicidad es incluso posible considerar que los modos de ancho de banda para ser totalmente
fijado en los bordes laterales de las rayas. Como se ve en la Fig. 1 esta conclusión está en una
buen acuerdo con el experimento.
El análisis del sistema de ecuaciones no lineales derivadas de la no-
Ecuación Schrödinger lineal muestra que la formación de la bidimensional
forma de onda puede considerarse como un enriquecimiento del espectro de la anchura
modos. Las formas de onda parciales transportadas por los modos tienen el mismo portador
frecuencias iguales a la de la señal inicial y los números de onda portadora
que satisfacen las relaciones de dispersión de los modos. En el régimen lineal todos
los modos son ortogonales entre sí y no interactúan. En el no lineal
(alta amplitud) régimen los modos de ancho se interconectan por los cuatro-
la interacción no lineal de ondas, que da lugar a una transferencia de energía intermodal, y
el enriquecimiento del espectro de modo.
Como la antena de entrada de onda de giro genera efectivamente sólo el ancho más bajo
modo, la forma de onda inicial lanzada en la franja es determinada únicamente por ella.
Por lo tanto, para entender la física subyacente de la formación cuasi-bulleta que
es necesario considerar la interacción no lineal de los modos de ancho de orden superior
con él.
Nuestro análisis teórico muestra que la interacción de la anchura más baja
modo (n = 1) con modos de orden superior es diferente para impar e incluso superior o-
modos de der. Interactuando con modos pares, el modo de ancho más bajo se reproduce
el papel de la ola de bombeo. Esto parametralmente transfiere su energía a la
modos de ancho más alto. La interacción es puramente paramétrica y, por lo tanto,
el proceso de umbral. Necesita una señal inicial para iniciar el proceso. Esta señal
Por lo general es un modo térmicamente excitado. Por lo tanto, las necesidades de la forma de onda amplificada
una gran distancia de propagación y una velocidad de grupo igual a la velocidad de
el modo de ancho más bajo para alcanzar el nivel de amplitud del soliton. Si hay
es una amortiguación de la onda bombeada, incluso los modos nunca alcanzarán una amplitud
comparable a la del modo más bajo. Como resultado, pueden contribuir a
el perfil de forma de onda no lineal solamente, si la amplitud de la forma de onda inicial
está mucho más allá del umbral de la formación de soliton.
Interacción de modos del mismo tipo de simetría se describen por un
Término paramétrico, así como por un adicional pseudo-lineal (tri-lineal) exci-
dad, jugando el papel de una fuente externa de excitación. Semejante
la excitación pseudolineal es un proceso sin umbral. A diferencia de lo que ocurre con el paramet-
ric procesos que no necesita un valor de amplitud inicial para iniciar el
proceso. La excitación pseudo-lineal es posible sólo debido a la eficacia
fijación dipolar de la magnetización en los bordes de las rayas. Si el borde gira
la interacción de todos los modos de ancho sería puramente para-
métrica.
El mecanismo puramente paramétrico del desarrollo de una inestabilidad transversal
es típico para el proceso de formación de la bala de la forma de la onda del plano en
un medio no confinado, que lo distingue del proceso de soliton y
formación de bala en las estructuras de guía de onda.
En contraste, la inestabilidad transversal de un paquete de onda en un confinado
medio comienza como una excitación pseudolineal de modos de ancho de orden superior.
Este mecanismo garantiza un rápido crecimiento del modo simétrico n = 3 hacia arriba
al nivel en el que el mecanismo paramétrico comienza a funcionar. Después de eso, el
modo principal junto con el modo n = 3 son capaces de generar rápidamente
un gran conjunto de modos aún más altos a través de ambos pseudolineales y paramétricos
mecanismos.
Nuestra teoría muestra que la eficiencia de ambas interacciones no lineales mech-
anismos (paramétricos y trilineales) dependen fuertemente de la velocidad del grupo
diferencia de modos y la longitud inicial del pulso no lineal. En más grande
rayas las velocidades de grupo de los modos están más cerca unos de otros. Como resultado de ello
los modos de orden superior no linealmente generados permanecen más tiempo dentro de la bomba
Pulso. Si el pulso es lo suficientemente largo, alcanzan amplitudes significativas y un
se forma una forma de onda similar a una bala. En rayas más estrechas la velocidad del grupo difiere...
ence es más grande, y en consecuencia la onda de alto orden no generada linealmente
las formas dejan más rápido el área de bombeo. Como resultado, para la misma longitud de pulso,
no alcanzan amplitudes significativas. Los resultados de empotramiento no lineal
Figura 2: Formas laterales de los paquetes SW no lineales. 1 y 2 – teórica
resultados calculados para las franjas de ferrita de ancho de 2,5 mm y 1 mm,
Tily. 3 y 4 – perfiles experimentales observados en guías de onda YIG de anchura
de 2,5 mm y 1 mm, respectivamente. 1 y 3: balas. 2 y 4: solitos.
en la transformación del modo más bajo en un soliton.
Los resultados de nuestros cálculos de las formas laterales del giro no lineal
paquetes de onda en ancho (2,5 mm) y estrechas rayas de 1 mm de ferrita se muestran en
Fig. 2. La excelente correspondencia con los datos experimentales proporciona
buena evidencia de la validez de la teoría desarrollada.
Apoyo de la Deutsche Forschungsgemeinschaft,
y la Fundación Rusa para la Investigación Básica está agradecidamente ac-
con conocimiento de causa.
Bibliografía
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V. Grimalsky, Yu. Rapoport, A.N. Slavin, 61, 11576 (2000).
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704.0025 | Spectroscopic Properties of Polarons in Strongly Correlated Systems by
Exact Diagrammatic Monte Carlo Method | arXiv:0704.0025v1 [cond-mat.str-el] 2 Abr 2007
Propiedades espectroscópicas de Polarons en
Sistemas fuertemente relacionados por exactamente
Método Diagnóstico de Monte Carlo
A. S. Mishchenko1,2 y N. Nagaosa3
1 CREST, Organismo Japonés de Ciencia y Tecnología (JST), AIST, 1-1-1, Higashi,
Tsukuba 305-8562, Japón.
2 Centro de Investigación Ruso “Instituto Kurchatov”, 123182 Moscú, Rusia.
3 Departamento de Física Aplicada, Universidad de Tokio, 7-3-1 Hongo,
Bunkyo-ku, Tokio 113, Japón.
1 Introducción
El estudio teórico de polarones en el sistema fuertemente correlacionado es como un
tentad a ver el contenido de una caja Pandora incrustada en otra, aún más
siniestro y oscuro, contenedor de acertijos, enigmas y misterios. Esta des-
situación perada ocurre porque la solución no se conoce ni siquiera para el más simple
problema polaron, es decir, cuando una cuasipartícula perfectamente estable (QP) con
mentum como un solo número cuántico interactúa con un baño bien definido de
Excitaciones bosónicas elementales. Por el contrario, la definición de
sistema correlacionado implica que los QPs pueden ser altamente inestables y
Se cuestiona la noción de QPs, tanto en subsistemas electrónicos como bosónicos.
Así, uno se enfrenta al problema de una interacción entre objetos mal definidos y
Es crucial resolver el problema sin aproximaciones. Otra dificultad,
es una interacción entre el impulso y otros
números cuánticos que caracterizan los estados internos de un QP.
El problema de polarón surgió originalmente como el de un electrón acoplado
a los fonones (véase [1, 2]). En la formulación inicial un QP sin estructura es char-
actuado por el único número cuántico, momentum, que cambia debido a
interacción del QP con los fonones [3, 4]. Más tarde, dependiendo de lo que puede ser
denominadas “partículas” y “medio ambiente”, y cómo interactúan entre sí,
el concepto polaron estaba relacionado con la extrema diversidad de fenómenos físicos.
Hay muchos otros objetos que, no teniendo nada que ver con los fonones, son
isomórfico a polarón simple [5], como, por ejemplo, un exciton-polaron en la intrabanda
aproximación de dispersión [6, 7, 8, 9]. Otro ejemplo es el problema de un agujero
en el antiferromagnet que está estrechamente relacionado con el polarón desde el movimiento del agujero
se acompaña de los giros que, en la aproximación de la onda de giro, son
equivalente a la creación y aniquilación de los magnones [10, 11].
http://arxiv.org/abs/0704.0025v1
2 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
El concepto de polarón se generalizó aún más para incluir grados internos
de libertad que, interactuando con el medio ambiente, cambian su
Bers. Ejemplo de un QP complejo es el polarón de Jahn-Teller, donde el electrón-
La interacción fonónica (EPI) cambia el número cuántico de electrónica degenerada
declara [12, 13, 14]. Esta generalización es importante debido a su relevancia para
los colosales fenómenos de magnetorresistencia en los óxidos de manganeso [15, 16].
Otro ejemplo es el pseudo polarón de Jahn-Teller, donde EPI es inelástico
y conduce a transiciones entre niveles electrónicos cercanos en energía de un QP
[17, 18, 19]. La generalización adicional es un sistema de varios QP que interactúan
ambos con el otro y el medio ambiente. Por ejemplo, la interacción efectiva de
dos electrones a través del intercambio por los fonones pueden superar el Coulomb repul-
sión y formar un estado ligado, bipolaron [20, 21, 22, 23, 24]. Por otra parte,
acoplamiento de orificio de atracción y electrón a las vibraciones de celosía [25, 26, 27]
puede crear una gran cantidad de objetos cualitativamente diferentes: localizado exciton, débilmente
un par de agujeros localizados y electrones localizados, etc. [28, 7]. Dispersión por
impurezas introduce complejidad adicional al problema polaron porque
interferencia de potencial de impureza con distorsión de celosía, que acompaña
el movimiento polaron, puede contribuir constructivamente o destructivamente
a la localización de un QP sobre impureza [29, 30, 7].
Además, un QP desnudo y un baño bosónico no se puede considerar así
definido en los sistemas correlacionados. Espectros de fotoemisión resueltos por ángulo
(ARPES), revelando la función Lehmann (LF) de las cuasipartículas, demostrar
grandes picos en muchos sistemas correlacionados: óxido de cooperación de alta temperatura su-
perconductores [31, 32, 33], manganitas magnetoresistivos colosales [34, 35, 36],
Conductores de Peierls cuasi-unidimensionales [37, 38] y magnetitas Verwey [39].
Además, los fonones también se amplían en muchos sistemas correlacionados, por ejemplo. en alta...
semiconductores de temperatura [40] y materiales equivalentes mixtos [41, 42]. Uno de
las posibles razones de estas ampliaciones es la interacción de los QP con el
grados de libertad de celosía. Sin embargo, en muchos casos realistas otros subsistemas,
no explícitamente incluido en el polaron Hamiltonian, son responsables de la
Decaimiento de QP y fonones, por ejemplo, otras bandas electrónicas, fonon anharmonic-
ity, la interacción con los giros nucleares, etc. Entonces, si esta ampliación auxiliar es
conocido en alguna aproximación, uno puede formular un objetivo ambicioso para estudiar
respuesta espectral cuando la cuasipartícula “barata” con amortiguación conocida interactúa
con excitaciones bosónicas “ampliadas”.
Nadie de los métodos numéricos tradicionales, por no decir nada de los analíticos,
puede dar resultados libres de aproximación para cantidades medibles de polarón, tales
como espectros de conductividad óptica o de fotoemisión resuelta en ángulo, para
sistema escópico de dimensión arbitraria. Además, no estamos al tanto de ningún numerador...
método que puede incorporar de forma libre de aproximación la información
en la amortiguación de QP y baño bosónico. A continuación se describen los conceptos básicos de re-
método Diagrammatic Monte Carlo (DMC) desarrollado cently para numéricamente
cálculo exacto de funciones verdes y funciones de correlación en imaginario
tiempo para pocos polarones en un sistema macroscópico [43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51].
La continuación analítica de las funciones imaginarias del tiempo a las frecuencias reales es per-
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 3
formado por una nueva aproximación libre aproximación de optimización estocástica
(SO) [45, 50, 51], eludiendo las dificultades de la Entropía Máxima popular
método. Por último, nos centramos en los resultados de la aplicación de la maquinaria DMC-SO
a diversos problemas [52, 53, 54, 55, 56, 57]
Los modelos básicos, relacionados con los objetos polarónicos en sistemas correlacionados,
que pueden ser resueltos por los métodos DMC-SO, se indican en la siguiente Secc. Lo siento.
se sigue en Secc. 1.2 por la descripción de los escollos encontrados por
métodos analíticos. Secc. 2 se refiere a los aspectos básicos de los métodos DMC-SO. Sin embargo,
aquellos que no están interesados en los detalles de los métodos pueden mirar brevemente
a través de las definiciones de la introducción de la Secc. 2 y gire a la Secc. 3
donde se discuten LF y la conductividad óptica de Fröhlich polaron (véase también
[58]). Los resultados de los estudios del fenómeno de auto-trampa se presentan en la Secc.
4 y la aplicación de los métodos DMC-SO al problema exciton se pueden encontrar
en Secc. 5. El capítulo se completa con la Secc. 6 dedicado a los estudios de ARPES
de superconductores de alta temperatura.
1.1 Formulación de un Modelo General con Polarones Interactuantes
En términos generales, el problema más simple de un objeto polarónico complejo, donde
el movimiento del centro de la masa no se separa del resto de los grados de libertad,
se introduce como sistema de dos QPs
Aa(k)a
Łh(k)hkh
(ak y hk son los operadores de aniquilación, y la aa(k) y la h(k) son dispersiones de
QPs), que interactúan entre sí
a-h = −N−1
U(p,k,k′)a†
p-khp-k′ap+k′. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
(N es el número de sitios de celosía) a través del potencial de Coulomb instantánea
y la dispersión por bosones
par-bos = i
(b†q.-b-q.-)
γaa (k,q)a
k−qak + γhh,(k,q)h
k−qhk + γah,(k,q)h
k−qak
+ h.c. (3)
(γ[aaa,ah,hh] son constantes de interacción) donde la cantidad de Q diferentes ramas
de excitaciones bosónicas se crean o aniquilan, que se describen por
bos =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
q.................................................................................................................................................. 4)
En general, cada QP puede ser un compuesto con grado interno de libertad
representados por T diferentes estados
4 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
PJT0 =
(k)a
i,kai,k, (5)
que los números cuánticos también se pueden cambiar debido a la parte no diagonal de
Interacción partícula-bosón
par-bos = i
i,j=1
γij (k,q)(b)
q..........................................................................................................................................
i,k−qaj,k + h.c. (6)
El modelo complicado (1)-(6) sigue estando demasiado lejos de los casos encontrados en
sistemas fuertemente correlacionados. Debido al acoplamiento de QPs (1) y (5) y bosónico
campos (4) a grados adicionales de libertad, estas excitaciones no están bien de-
multada desde el principio. Es decir, la relación de dispersión del espectro QP
en un sistema realista está mal definido. Se puede hablar de una función Lehmann (LF)
[59, 60, 61] de un QP
Lk() =
(e/k)) a†kvac
2 (7)
, que se normaliza a la unidad
dlk() = 1 y puede interpretarse como
una probabilidad de que un QP tenga un impulso k y energía. (Aquí es un
conjunto completo de eigenstatos de Hamiltonian en un sector de impulso dado
k: H (k) = E/(k) (k). Sólo para el sistema no interactuante el LF reduce
a la función delta LNONINTk () = () () () (k)) y, por lo tanto, establece la dispersión
la relación entre los valores de referencia y los valores de referencia de los valores de referencia;
Los casos específicos del modelo (1)-(6) describen una enorme variedad de problemas físicos.
Lems. Hamiltonianos (1) y (2), en caso de potencial atractivo U(p,k,k′) > 0,
describir un exciton con cribado estático [62, 63]. Además, expresiones (1)-(4)
describir bipolaron para la interacción repulsiva [20, 21, 22, 23, 24] U(p,k,k′) < 0
y exciton-polaron de otro modo [25, 26, 27]. El modelo más simple para exciton-
interacción fonónica, cuando sólo dos (T = 2) estados más bajos de
el movimiento del agujero son relevantes (p. ej. en excitón de transferencia de carga unidimensional
[64, 65, 66]), está definido por los hamiltonianos (4)-(6). Las mismas relaciones (4)-(6)
Describa los problemas de Jahn-Teller [todos en Hamiltonian (5) son los mismos]
y el pseudo polarón de Jahn-Teller. El problema de un agujero en un antiferromagnet
en la aproximación spin-wave se expresa en términos de Hamiltonianos (4)-(6) con
Q = 1 y T = 1. Cuando el agujero también interactúa con los fonones, uno tiene que tomar en
cuenta una rama bosónica más y establece Q = 2 en (4) y (6). Por último, el
problema no trivial más simple de un polarón, es decir, de un QP sin estructura interactuando
con una rama de fonón, es descrito por los Hamiltonianos no interactuantes de QP
par y fonones ph
0 =
k)a
qbq, (8)
y término de interacción
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 5
int =
V (k,q)(b†q − b−q)a
k−qak + h.c.. (9)
El problema polaron más simple, a su vez, se puede subdividir en continuo y
modelos polaron de celosía.
1.2 Limitaciones de los métodos analíticos en el problema de los polones
Solución analítica para el problema del exciton en una celosía rígida está disponible
solo para el régimen de Frenkel de radio pequeño [67] y el régimen de Wannier de radio grande
[68]. Sin embargo, incluso se desconocen los límites de validez de estas aproximaciones.
Los enfoques de aproximación de fase aleatoria [62, 63], son capaces de obtener
algunas conclusiones cualitativas para el régimen de radios intermedios, a pesar de su
los resultados titativos no son fiables debido a errores incontrolados. La situación es la siguiente:
similar con el problema de polarón sin estructura, donde las soluciones analíticas
sólo se conocen en los regímenes de acoplamiento débiles y fuertes. Además, confiable
los resultados para estos regímenes están disponibles sólo para las propiedades del estado del suelo.
Aunque varios métodos novedosos, capaces de obtener propiedades de excitado
los estados, fueron desarrollados recientemente, variación de la expansión de los estados coherentes [69] y
la suma media del impulso del propagador libre [70] como algunos ejemplos, todo de
para proporcionar datos fiables en un régimen específico, necesitan
con reglas exactas de suma [71, 72] o con resultados numéricos exactos.
La aplicación de métodos variacionales para el estudio de las excitaciones es difícil.
Desde que, estrictamente hablando, son válidos sólo para el estado de la tierra. Como un
ejemplo para la importancia de las reglas de suma en el tratamiento variacional, nos referimos
al problema de la conductividad óptica del polarón de Fröchlich. Possibil...
ity de la existencia del Estado Emocionado Relajado (RES), que es un estado metaestable
donde la deformación de celosía se ha ajustado a la representación electrónica de excitación
estabilidad y estrecho ancho de línea de la respuesta espectroscópica, fue brevemente hombres-
cado por S. I. Pekar a principios de los años 50. Entonces, la concepción de RES fue rigurosamente
formulado por J. T. Devreese con compañeros de trabajo y ha sido un tema de ex-
investigaciones tensivas durante años [5, 73, 74, 75, 76, 77, 48, 57]. Cálculos de
impedancia [75] en el marco de la técnica [78] apoyó la existencia de
un estrecho pico estable en la conductividad óptica. Sin embargo, incluso los autores
de [75] eran escépticos sobre el hecho de que el ancho de RES en el
el régimen de acoplamiento parecía ser más estrecho que la frecuencia fonónica, es decir,
tiempo inverso que es, de acuerdo con el principio de incertidumbre Heisenberg, es
necesario para la readaptación de celosía. En el papel consiguiente [77] se dieron cuenta
la importancia de muchos procesos fonónicos y estudió contri-
butión a la conductividad óptica. La importancia de muchos procesos fonónicos fue
confirmados cuando se compararon los resultados variacionales [75] con
ulaciones [48]. Variacional resultado bien reproducido la posición del pico en
datos exactos aunque falló en la descripción de la anchura del pico en el cou-
el régimen de pling [48]. Por último, cuando se modificó el enfoque [75] y varias sumas
las normas se introdujeron con precisión en el modelo de variación [57], ambas posiciones
6 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
y la anchura del pico se reprodujeron cuantitativamente. Estudios [57] (véase secc.
3.1), no abordar más bien la cuestión filosófica de si existen o no las fuentes de energía renovables,
aunque inevitablemente demostrar que, en contraste con las creencias anteriores, no hay en ningún
estable estado excitado del polarón de Fröhlich en el fuerte régimen de acoplamiento.
Tenga en cuenta que a veces los estados excitados no pueden ser manejados por métodos analíticos
incluso para acoplamientos débiles: expresión de la teoría de la perturbación para LF del Fröhlich
modelo polarón diverge en la energía del fonón [Véase (34) en Secc. 3.1.] y
Es necesario un tratamiento más elaborado.
Las dificultades de los métodos semianalíticos aumentan en el acoplamiento intermedio
régimen en el que los resultados a veces son incorrectos, incluso para las propiedades del estado de la tierra.
Por ejemplo, el enfoque variatioanl [79], que se ha considerado como un
teoría intermedia del acoplamiento, parecía ser válida sólo en el acoplamiento débil
límite [45]. Especial interés para los métodos, proporcionando información fiable sobre
los estados citados, es desencadenado por el fenómeno de auto-trampa que ocurre justo
en el régimen intermedio de acoplamiento. Se trata de un fenómeno dramático.
formación de propiedades QP cuando los parámetros del sistema se modifican ligeramente
[3, 7, 9, 80]. En el régimen de acoplamiento intermedio “atrapado” en el estado QP con
fuerte deformación de celosía a su alrededor y estado “libre” con débil perturbación
celosía puede hibridarse y resonar debido a las energías cercanas a algunos críticos
valor de la interacción electrón-láttico γc. Está claro que, para estudiar la auto-trampa,
uno tiene que aplicar un método que da información confiable sobre los estados excitados en el
régimen de acoplamiento intermedio.
2 Diagnóstico Monte Carlo y estocástico
Métodos de optimización
En esta sección introducimos definiciones de propiedades exciton-polaron que
puede ser evaluado por los métodos DMC y SO. Una idea de enfoque DMC para
cálculo numérico exacto de funciones verdes (GFs) en tiempos imaginarios
se presenta en Secc. 2.1, y una breve descripción del método SO, que es
capaz de hacer una continuación analítica imparcial desde tiempos imaginarios a
frecuencias reales, se da en la Secc. 2.2. Utilizando la combinación de DMC y SO,
a menudo se puede eludir las dificultades de análisis y numérico tradicional
métodos. Por lo tanto, un breve análisis comparativo de las ventajas e inconvenientes
de la maquinaria DMC-SO se da en la sección. 2.3.
Para obtener información sobre QPs es necesario calcular Matsubara GF
en la representación imaginaria del tiempo y hacer la continuación analítica a lo real
frecuencias [60]. Para el problema de las dos partículas (1)-(4), la cantidad pertinente es
las dos partículas GF [46, 47]
(l) = vac ak+p′(l)hk−p′(l)h†k−pa
k+p vacá. (10)
(Aquí hk−p() = e
hk−pe
, > 0.) En el caso de exciton-polaron, vac-
uum state vacá es el estado con valencia llena y bandas vacías de conducción.
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 7
Para el problema bipolaron es un sistema sin partículas. En el caso más sencillo
de un QP con una estructura interna de dos niveles descrita en los apartados 4 a 6
cantidad es la matriz de una partícula GF [52, 47]
Gk,ij(l) = vac ai,k(l)a†j,k vacao,i,j = 1,2. (11)
Para un polarón sin estructura la matriz (11) se reduce a GF escalar de una partícula
Gk(l) = vac ak(l)a†k vacá. (12)
Información sobre la respuesta a una perturbación débil externa (por ejemplo: óptica
la absorción) está contenida en la función de correlación corriente-corriente
(β/ son índices cartesianos).
Representación espectral de Lehmann de Gk() [60, 61] a temperatura cero
Gk() =
d. Lk. (l.a.) e.
, (13)
con la función de Lehmann (LF) Lk(Ł) dada en (7), revela información sobre
el suelo y estados excitados. Aquí es un conjunto completo de eigenstatos de
Hamiltonian en un sector de impulso dado k: H (k) = E v(k) (k).
El LF Lk tiene polos (picos agudos) en las energías de estable (metastable)
estados de partículas. Por ejemplo, si hay un estado estable en la energía E(k), el LF
= Lk() = Z
k) E(k) +........................................................................................................................................................................................................................................................... ., y el estado con la energía más baja
Eg.s.(k) en un sector de un impulso dado k se destaca por la asintótica
comportamiento del GF
Gk( ≤ máx.
1q,
) → Z(k) exp[−Eg.s.k)], (14)
donde el factor Z(k) es el peso del estado. Analizar el comportamiento asintótico
de GFs n-fonón similares [45, 52]
Gk(n, ; q1,. ..,qn) =
Bq1(l) ap(l)a
· · b†qn vacá, p = k−
j=1 qj.
se obtiene información detallada sobre el estado más bajo. Por ejemplo, importante
características de la función de onda de estado más baja
Por ejemplo.(k) =
q1...qn
(k;q1,...,qn)c
i,k−q1...−qnb
...b†qn vacá (16)
son parte de la contribución n-fonon
Z(k)(n)
q1...qn
Łi(k;q1,...,qn) 2 (17)
que se normaliza a la unidad
n=0 Z
k) n) 1 y el número medio de
fonones
8 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
Núcleo de la página web: http://europa.eu.int/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/search/unit/en/notice/en/notice/en/notice/notice/en/notice/en/notice/en/noticek)
b†qbq g.s.k) =
nZ(k)(n) (18)
en la nube polarónica. Otro ejemplo es la función de onda del electrón relativo-
movimiento de agujero de excitón en el estado más bajo en el sector de impulso dado
Por ejemplo.(k) =
•k p(g.s.)a
vacao. (19)
Las amplitudes k p(g.s.) de esta función de onda se puede obtener [46] de
comportamiento asintótico del siguiente GF (10)
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. 2 e−Eg.s.(k) (20)
La información sobre los estados excitados se obtiene mediante la continuación analítica
de tiempo imaginario GF a frecuencias reales que requiere para resolver el Fredholm
Ecuación Gk() = F [Lk()] (13)
Lk() = F1 [Gk()]. (21)
La ecuación (13) es una relación bastante general entre el tiempo imaginario GF/cor-
propiedades espectrales del sistema. Por ejemplo, la absorción
Coeficiente de luz por excitones I() se obtiene como solución de la misma ecuación
I() = F1
k=0()
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Además, la parte real de la conductividad óptica () se expresa [48] en
términos de la función de correlación corriente-corriente
() = 23)
2.1 Método Diagnóstico de Montecarlo
Método DMC es un algoritmo que calcula GF (10)-(12) sin ninguna
errores sistemáticos. Este algoritmo se describe a continuación para el caso más simple de
polarón sin estructura [45], y generalizaciones a casos más complejos pueden ser
encontrado en las referencias consiguientes4. DMC se basa en la expansión de Feynman de
Matsubara GF en tiempo imaginario en la representación de la interacción
4 Generalización de la técnica descrita a continuación para el caso de exciton (1-2) se da
en [46] y su modificación para pseudo-Jahn-Teller polaron (4-6) se desarrolla en
[52, 47]. Método para la evaluación de la función de correlación corriente-corriente puede ser
encontrado en [48] y un caso de un polarón interactuando con dos tipos de campos bosónicos
se considera en [49].
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 9
Gk() =
T♥
ak(l)a
(0) exp
............................................................................................................................................................................................................................................................
′)d′ ′
}] vac
; > 0.
Aquí es el operador de tiempo imaginario ordenando, vaca es un estado de vacío con-
fuera de partículas y fonones, int es la interacción Hamiltonian en (9). Signatura de
exponente denota la expansión de Taylor que resulta en la integración múltiple sobre
variables internas ′1, ′2,............................................................. .}. Los operadores están en la representación de interacción
) = exp[par + ph)]Â exp[(par + ph)]. Índice “con” significa que
expansion contiene sólo términos conectados donde no hay una integral sobre interna
Variables de tiempo ′1, ′2,. ..} se puede factorizar.
El teorema de Vick expresa el elemento matricial de los operadores ordenados por tiempo como un
suma de términos, cada uno es un factor de elementos de matriz de pares de operadores, y
Expansión (24) se convierte en una serie infinita de integrales con un aumento constante
número de variables de integración
Gk() =
m=0,2,4...
dx′1 · · · dx′m D()m)m (; {x′1,. .., x′m}). (25)
Aquí indice m significa diferentes diagramas de Feynman (FDs) de la misma
orden m. Término con m = 0 es el GF del QP G no interactuante
Función D(m)m ( ; {x′1,. .., x′m}) de cualquier orden m puede expresarse como un fac-
tor de GFs de cuasipartículas no interactivas, GFs de fonones, e interacción
vórtices V (k,q). Para el caso más simple de las expresiones del sistema hamiltoniano
para los GF de QP G
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
q (l) (l) = exp [q(l)2 − l)] (l) (l) > l) son bien conocidos.
Una característica importante del método DMC, que es diferente de la
fila de otros enfoques numéricos exactos, es la posibilidad explícita de incluir
GFs renormalizados en la expansión exacta sin ningún cambio del algoritmo.
Por ejemplo, si una amortiguación de QP, causada por algunas interacciones no incluidas
en el Hamiltoniano, es conocido, es decir. retardada auto-energía de QP
GF disponible, renormalizado
(l) =
- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí., sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí.
Im.ret(k, Ł)
[ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
se puede introducir en lugar de GF G desnudo
(lc). Normas explícitas para la evaluación de
D(m)m no dependen del orden y la topología de FD. GFs de no interacción
(l) (o Gû(0)k (21)) con los tiempos y momentos correspondientes son los siguientes:
Atribuido a líneas horizontales y GFs no interactuantes de fonón D
q ( > > > ) q ( > > ) q ( > > ) q ( > > ) q ( > > ) q ( > > > ) q ( > > > ) q ( > > > ) q ( > > > > > > > > > > > > > > > > q ( > > > > > > > > > > q ( > > > > > > > > q ( > > > > > > > > > > > q ( > > > > > > > q ( > > > > > > > > > > > > > q ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
(multiplicado por el factor de los vórtices V correspondientes (k′,q)V*(k′′,q))
Atribuido al arco propagador de fonón (véase Fig. 1a). Entonces, D(m)m es el factor
de todos los SG. Por ejemplo, expresión para el peso del término de segundo orden
(Fig. 1b) es el siguiente:
10 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
Derivados no expresados ni comprendidos en otra parte
V (k,q)2D(0)q (
( ′1)G
k−q(l)
2 − ′1)G
()................................................................................................................................................. (27)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k k-q k
*0 *2*4*1 *3
k k-q-q’ k-q k
Fig. 1. a) Típico FD que contribuye a la expansión (25). b) FD del segundo
orden y (c) orden.
El proceso DMC es un procedimiento numérico que, basado en la Metropo-
principio de lis [81, 82], muestras diferentes FDs en el espacio de parámetros (, m, m, {x′m})
y recoge las estadísticas de la variable externa de una manera que el resultado de
las estadísticas convergen a GF Gk exactos. Aunque el muestreo del interior
los parámetros de un término en (25) y el cambio entre diferentes órdenes es por-
formado en el marco de un mismo proceso numérico,
es instructivo comenzar con el procedimiento de evaluación de un término específico
D()m)m (; {x′1,. .., x′m}).
A partir de un conjunto ; {x′1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
(viejo)
l → x
(nuevo)
l de una
se sugiere el parámetro elegido arbitrario. Esta actualización es aceptada o rechazada
según el principio de Metrópolis. Después de muchos pasos, alterando todas las variables,
estadísticas de la variable externa convergen a la dependencia exacta del término en
*............................................................................ Sugerencia de nuevo valor del parámetro x
(nuevo)
l = Índice
−1(R) es generado por
número aleatorio R + [0, 1] con una función de distribución normalizada W (xl)
en un rango x
(minutos)
l < xl < x
(máximo)
l. Sólo hay dos restricciones para esto
función arbitraria por lo demás. Primero, nuevos parámetros x
(nuevo)
No debo violarlo.
Topología FD, es decir, por ejemplo, tiempo interno ′1 en la Fig. 1c debe estar en el rango
[x(min) = 0, x(max) = ′3]. En segundo lugar, la distribución debe ser no cero para el
entero, permitido por la topología FD, dominio. Esta propiedad de ergodicidad es crucial
ya que es necesario tomar muestras de todo el dominio para que la convergencia sea exacta
¡Responda! En cada paso, actualizar x
(viejo)
l → x
(nuevo)
l es aceptado con probabilidad
Pacc = M (si M < 1) y siempre lo contrario. La relación M es la siguiente:
D()m)m (; {x′1,. .., x
(nuevo)
Yo,. .., x
m})/W (x
(nuevo)
D()m)m (; {x′1,. .., x
(viejo)
Yo,. .., x
m})/W (x
(viejo)
. (28)
Para distribución uniforme W = const =
(máximo)
l − x
(máximo)
, la probabilidad
de cualquier combinación de parámetros es proporcional a la función de peso D.
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 11
Sin embargo, para una mejor convergencia, la distribuciónW (xnewl ) debe estar tan cerca como
posible a la distribución real dada por la función D(m)m ({. .., x(nuevo)l,. ., }).
Para el muestreo sobre FDs de todas las órdenes y topologías es suficiente introducir
dos actualizaciones complementarias. Actualizar A transforma FD D(m)m ( ; {x′1,. ...........................................................................................................
en orden más alto FD D(m+2)m+2 ( ; {x′1,. .................................................................................................................................
arco, conectando algunos puntos de tiempo
4 por propagador de fonón con mo-
mentum q′ (fig. 1c). Tenga en cuenta que la relación de pesos D(m+2)m+2 /D
m no es
sin dimensiones. Relación de metropolis sin dimensiones
D(m+2)m+2 ( ; {x′1,. ...............................................................
D()m)m (; {x′1,. .., x′m})W (q′,
. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
contiene la función de probabilidad normalizada W (q′,
eliminación de nuevos parámetros5. Actualización complementaria B, eliminando el fonón
propagador, utiliza la relación M−1 [45].
Tenga en cuenta que todas las actualizaciones son locales, es decir. no dependen de la estructura de la
Todo el FD. Ni las reglas ni el tiempo de CPU, necesarios para la actualización, depende de la
FD orden. El método DMC no implica ninguna truncación explícita de la orden FDs
debido al tamaño finito de la memoria de la computadora. Siempre para el acoplamiento fuerte, donde típico
número de propagadores de fonón Nph, contribuyendo al resultado, es grande, influencia
del tamaño finito de la memoria no es esencial. Realmente, de acuerdo con el límite central
Teorema, número de propagadores de fonón obedece Gauss distribución centrada
a N̄ph con la mitad de ancho del orden de
N̄ph [83]. Por lo tanto, si un recuerdo para en
mínimo 2N̄ph propagadores está reservado, diagrama de orden apenas supera este límite.
2.2 Método de optimización estocástica
El problema de invertir la ecuación integral (13) es un problema mal planteado.
Debido a la información ruidosa incompleta sobre GF Gk(), que se conoce con
errores estadísticos en un número finito de veces imaginarias en un rango finito [0, max],
hay un número infinito de soluciones aproximadas que reproducen GF dentro
algunos rangos de desviaciones y el problema es elegir “el mejor”. Otro
El problema, que es un obstáculo durante décadas, es el ruido de los dientes de sierra insta-
bilidad. Se produce cuando la solución se obtiene por un método ingenuo, por ejemplo. utilizando
enfoque de mínimos cuadrados para minimizar la medida de desviación
D[Lk()] =
∫ max
Gk(
G−1k ()dl. (30)
En este caso, se obtiene de aproximadamente LF L
operador G‡k() = F
Lk()
in (13). La inestabilidad de los dientes de sierra corrompe LF en el
rangos donde LF real es suave. Fluctuaciones rápidas de la solución A menudo
5 El factor pA/pB depende de la probabilidad de abordar procesos add/remove.
12 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
tienen una amplitud mucho mayor que el valor real de LF Lk(). Herramientas estándar
para la supresión del ruido de los dientes de sierra se basan en la idea de los primeros 60-es de Fillips-
Método de regularización de Tikhonov [84, 85, 86, 87]. Un funcional no lineal, que
Suprime los derivados grandes de la solución aproximada L
medida de desviación lineal (30). Variante más popular de los métodos de regularización
es el Método Máximo de Entropía [61].
Sin embargo, el LF típico de un QP en un campo de bosón consiste en picos funcionales
y un continuum incoherente suave con un borde afilado [45, 54]. Por lo tanto, sup-
presión de los derivados altos, como estrategia general del método de regularización,
falla. Además, cualquier aplicación específica del método de regularización utiliza
malla predefinida en el espacio de..........................................................................................................................................................................................................................................................
el caso de picos agudos. Si la ubicación real de un pico agudo está entre
puntos discretos predefinidos, el resto de la densidad espectral puede ser distorsionado ser-
Y el reconocimiento. Finalmente, la regularización del enfoque de la Entropía Máxima requiere
suposición de la distribución de Gauss de los errores estadísticos en Gk(l), que podría ser
no válido en algunos casos [61].
Recientemente, un método de optimización estocástica (SO), que elude
las dificultades mencionadas anteriormente, se desarrollaron [45]. La idea del método SO
es generar un número M lo suficientemente grande de nonreg-
Soluciones ulularizadas {L贸(s)
, s = 1,...,M, que las medidas de desviación D(s) son
menor que algún límite superior Du, dependiendo del ruido estadístico del GF
Gk(). A continuación, utilizando la linealidad de las expresiones (13), (30), la solución final es
se encuentra como la media de soluciones particulares {L(s)
Lk() = M
(.................................................................................................................... 31)
Solución particular L
Se parametrizó en términos de suma
() =
de rectángulos {Pt} = {ht, wt, ct} con altura ht > 0, anchura wt > 0, y centro
ct. Configuración
C = Pt}, t = 1,...,K}, (33)
que cumple la condición de normalización
t=1 htwt = 1, define la función
Gk(). El procedimiento de generar una solución particular comienza desde el estocástico
elección de la configuración inicial Cinits. Entonces, la medida de desviación es optimizada por
una consecuencia elegida al azar de las actualizaciones hasta que la desviación sea inferior a Du. In
Además de las actualizaciones, que no cambian el número de términos en la suma (32),
hay actualizaciones que aumentan o disminuyen el número K. Por lo tanto, desde el
número de elementos K no es fijo, cualquier función espectral se puede reproducir
con la precisión deseada.
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 13
Aunque cada solución en particular L
() sufre de ruido de los dientes de sierra en
el área de LF suave, la independencia estadística de cada solución conduce a sí mismo
promedio de este ruido en la suma (32). Tenga en cuenta que la supresión de ruido ocurre
sin supresión de altos derivados y, por lo tanto, picos y bordes afilados
no están manchados en contraste con los enfoques de regularización. Por lo tanto, vio
la inestabilidad del ruido dental es derrotada sin corrupción de picos y bordes afilados.
Además, la parametrización continua (32) no necesita malla predefinida en
Espacio. Además, dado que el espacio de solución de Hilbert se muestra directamente, cualquier
no es necesario suponer la distribución de los errores estadísticos.
Método SO fue aplicado con éxito para restaurar LF de Fröhlich polaron
[45], Rashba-Pekar exciton-polaron [54], agujero-polaron en modelo t-J [53, 49],
y sistema de rotación de muchas partículas [88]. Cálculo de la conductividad óptica de
polaron por el método SO se puede encontrar en [48]. El método SO parecía ser útil
en los casos en que el límite asintótico de GF, dando información sobre el estado del suelo,
no se puede alcanzar. Por ejemplo, señales de fluctuaciones de los términos en la expansión
(25) para un agujero en el modelo t-J conduce a estadísticas deficientes en grandes ocasiones [53],
Sin embargo, el método SO es capaz de recuperar energía y factor Z incluso de
GF conocido sólo en tiempos imaginarios pequeños [53].
2.3 Ventajas y inconvenientes de la maquinaria DMC-SO
Entre los métodos numéricos, capaces de obtener resultados cuantitativos en el
problema de exciton (1) y (2), se puede enumerar función de densidad dependiente del tiempo
la teoría nacional [89], la técnica de Hanke-Sham de corregir la excita-
energía de la tion [90, 91], y enfoques que resuelven directamente la ecuación Bethe-Salpeter
[92, 93, 94]. Estos últimos proporcionan información bastante precisa sobre los dos aspectos siguientes:
partícula GF. Sin embargo, el uso de malla finita en el espacio directo/reciproca, que
se evita en el método DMC, lleva a su fracaso en el régimen de Wannier [93].
En contraste con el método DMC, ninguno de los métodos numéricos tradicionales
puede dar resultados confiables para propiedades medibles de estados excitados de polarón
a rango arbitrario de interacción electrón-fonón para el sistema macroscópico
en el límite termodinámico. Método exacto de diagonalización [95, 96, 97, 98]
puede estudiar estados excitados aunque sólo en sistemas de tamaño finito bastante pequeños y
resultados de este método ni siquiera están justificados en el sentido variacional en el
límite termodinámico [99]. Hay un lote de variaciones bastante eficaces “ex-
los métodos de traducción de actos” [99, 100, 101, 102, 103] en los que se
el espacio de impulso y, por lo tanto, el principio variacional se aplica en el
límite termodinámico. Aunque estos métodos pueden revelar pocos discreto excitado
estados, su fracaso para la interacción de largo alcance y para la dispersión, especialmente acústica
fonones debido al crecimiento catastrófico de la base variacional. Una no perturbadora
la teoría, que es capaz de dar información sobre las propiedades espectrales en el
límite modinámico al menos para un electrón, es la Teoría de Campo Media Dinámica
[104, 105, 106, 107]. Sin embargo, da una solución exacta sólo en el caso de
dimensión infinita que no corresponde a un sistema realista y puede ser
solo se considera una guía para la extrapolación a dimensiones finitas [108].
14 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
Recientemente desarrollado la teoría de la perturbación de los clusters, donde exactamente diagonaliza-
la mejora de un clúster teniendo en cuenta los intergrupos inter-
acción [109, 110, 111, 112, 113], es aplicable para el estudio de los estados excitados,
pero limitado a retículas unidimensionales o sistemas bidimensionales con
Interacción de rango. Método tradicional de grupo de renormalización densidad-matriz
[114, 115, 116, 117, 118] es muy eficaz, aunque en su mayoría se limita a
sistemas dimensionales y escaleras. Por último, recientemente desarrollado camino integral
El algoritmo cuántico Monte Carlo [119, 120, 121, 122] es válido para cualquier dimensión.
sión y tiene debidamente en cuenta las interacciones de casi largo alcance [123]. Ruta
método integral es capaz de obtener la densidad de los estados [119, 120] y
los exponentes de isótopos [121, 124]. Sin embargo, los cálculos de carácter medible
tics de estados excitados, como ARPES o conductividad óptica, por este método
nunca fueron reportados.
En conclusión, ninguno de los métodos, excepto la combinación DMC-SO, puede obtener
en el momento de la aproximación de los resultados libres de cantidades físicas medibles
para algunos QPs interactuando con un baño bosónico macroscópico en el termo-
límite namic. De hecho, existen limitaciones de los métodos DMC y SO. DMC
método no funciona en muchos sistemas de fermión debido al problema de signos y SO
El método falla a altas temperaturas, comparable a las energías de las especificaciones dominantes.
picos tral, porque incluso muy pequeño ruido estadístico de GFs se convierte Fredholm
Ecuación (13) en el problema esencialmente "indefinido" [84].
3 Propiedades Espectrales del Polarón Fröhlich
Antes del desarrollo de los métodos DMC-SO, la información sobre la
Los estados de los modelos polaron, especialmente el de Fröhlich, eran muy limitados. Knowl-
borde de LF se basó en los resultados de la aproximación de dimensiones infinitas [125],
diagonalización exacta [126, 96, 97, 97], o fuerte expansión del acoplamiento [127]. No
una de las técnicas anteriores fue capaz de obtener el LF de polarón con
las aproximaciones, especialmente para la interacción a largo plazo cuando las dificultades de
los métodos numéricos tradicionales aumentan drásticamente. De manera similar, óptica
la conductividad (OC) del modelo Fröhlich sólo se conocía en el acoplamiento fuerte ex-
aproximación de la pansión [128], en el marco de la teoría de la perturbación
[129], o se basó en la técnica integral de trayectoria variable Feynman [75].
En esta secta. se consideran los resultados exactos de DMC-SO en LF [45] y OC [48, 57] de
Fröhlich polaron modelo.
3.1 Función Lehmann del Fröhlich Polaron
La expresión de la teoría de la perturbación para la parte de alta energía ( > 0) de la
LF para potencial de interacción arbitraria V ( q ) lee [45] (frecuencia de la
fonón óptico ph se fija en la unidad)
Lk=0( > 0) =
* 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1
V (
2 (- 1)) 2 (- 1). (34)
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 15
Parte de baja energía del LF para la interacción de corto alcance V ( q ) =
0 2 4 6
0,000
0,002
0,004
0,006
0 2 4 6
2 4 6
2 4 6
2 4 6
1,0 1,2
L a)
Fig. 2. Comparación de los resultados numéricos (líneas sólidas) y la perturbación
la teoría (líneas de dashed) para los LFs del modelo Fröhlich con α = 0,05 (a) y el
modelo de interacción de corto alcance con α = 0,05 y فارسى = 1 (b). LFs de Fröhlich polaron
para α = 0,5 (c), α = 1 (d) y α = 2 (e). La energía se mide a partir de la de la
estado de la tierra del polarón. El fragmento inicial del LF para α = 1 se muestra en
la entrada (f).
(q2 + 2)-1/2, reduciéndose a la Fröhlich cuando 0, es
Lk=0( < 0) =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (35)
Comparación de partes de baja energía del LF del modelo Fröhlich, obtenida
por DMC-SO y tomado de (35), muestra perfecto acuerdo para α = 0,05: el
precisión para la energía polaron y el factor Z es de aproximadamente 10-4. Por otra parte,
Parte de alta energía del resultado numérico (Fig. 2) se desvía significativamente de la de
la expresión analítica (35). Esto no es sorprendente ya que para Fröhlich polaron
la expresión de la teoría de la perturbación es divergente como • → •ph y, por lo tanto,
la teoría de la perturbación se rompe. Cuando la teoría de la perturbación es obviamente
válida, por ejemplo. para el caso de finito = 1, hay un acuerdo perfecto entre
expresión analítica y resultados DMC-SO (Fig. 2b). Tenga en cuenta que la alta energía
parte de Lk=0() se restaura con éxito por el método SO a pesar del hecho de que
el peso total de la característica para α = 0,05 es inferior a 10−2.
La desviación principal del LF real de la teoría de la perturbación resultado
es el pico más amplio en el LF real en â € ¬ 3.5. Para estudiar esta característica
Se calculó Lk=0(Ł) para α = 0,5, α = 1, y α = 2 (fig. 2c-e). El pico
16 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
0 4 8 12
0 4 8 12
0 4 8 12
=4 =6
Fig. 3. Evolución de la densidad espectral con α en la región de cruce de interme-
diate a acoplamientos fuertes. El pico del estado del suelo polarón se muestra sólo para α = 8.
Tenga en cuenta que el análisis espectral todavía lo resuelve, a pesar de su muy pequeño peso < 10−3.
es visto para valores más altos de la constante de interacción y su peso crece con
α. Cerca del umbral, = 1, LF demuestra la dependencia de raíz cuadrada
- 1 (Fig. 2f).
Para rastrear la evolución del pico en valores más altos de α el LF fue cal-
culado [45] para α = 4, α = 6, y α = 8 (fig. 3). A α = 4 el pico en
4 ya domina. Además, aparece un hombro distinto de alta energía
a α = 4, que se transforma en un pico amplio a • • 8,5 en el LF para α = 6.
El LF para α = 8 demuestra una mayor redistribución del peso espectral
entre diferentes máximos sin un cambio significativo de las posiciones de pico.
3.2 Conductividad óptica de la Polarón de Fröhlich: Validez de la
Principio de Franck-Condon en la espectroscopia óptica
El principio FC [130, 131] y su validez han sido ampliamente discutidos en
ies de transiciones ópticas en átomos, moléculas [132, 133] y sólidos [134, 9].
En general, el principio de FC significa que si sólo uno de los dos subsistemas acoplados
tems, p. ej. un subsistema electrónico, afectado por una perturbación externa,
El segundo subsistema, por ejemplo, la celosía, no es lo suficientemente rápido como para seguir la re-
construcción de la configuración electrónica. Es evidente que la justificación
para el principio FC es el corto tiempo característico de la medición pro-
cess lmp lc, donde lmp está relacionado con el desfase de energía entre el
y los estados finales, E, a través del principio de incertidumbre:
Es el tiempo necesario para ajustar la celosía cuando el componente electrónico
está perturbado. Entonces, la respuesta espectroscópica depende considerablemente de la
Por ejemplo, en los sistemas de valencia mixta, en los que el valor de la relación entre el valor y el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación, por ejemplo, en los sistemas de valencia mixta, cuando la relación entre el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor del valor de la relación y el valor del valor de la relación de la relación entre el valor del valor de la relación entre el valor de la relación y el valor del valor del valor del valor del valor de la relación de la relación entre el valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor de la relación de la relación de la relación de la relación de la relación de la relación del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor
valencia iónica fluctúa entre las configuraciones f5 y f6 con características
time 10-13s, espectros de experimentos rápidos y lentos son dramáticamente dif-
ferent [135, 136]. Experimentos de fotoemisión con tiempos característicos cortos
(régimen FC), revelan dos líneas, correspondientes a f5 y f6
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 17
estados. Por otro lado lento Mössbauer isomer medidas de cambio con
Los 10–9s muestran un único pico amplio con frecuencia media entre
señales de cáscaras f5 y f6. Por último, según el paradigma de mea-
tiempo del proceso de garantía, dispersión de neutrones magnéticos con
ambas líneas coherentes con todos los subsistemas ajustados dinámicamente e inco-
restos herentes de excitación fuertemente amortiguada de proyectiles f5 y f6 [137, 138].
En realidad, el significado de los tiempos Łic y Łmp varía con el sistema y
con el proceso de medición.
Estudiar la interacción entre el tiempo del proceso de medición
el tiempo justo, el OC del polarón de Fröhlich fue estudiado en [57]
el débil al fuerte régimen de acoplamiento por tres métodos. El método DMC da
Respuesta numéricamente exacta que se compara con el formalismo de la función de memoria
(MFF), que es capaz de tener en cuenta la relajación dinámica de celosía, y
una fuerte expansión del acoplamiento (SCE), que asume el enfoque FC. Fue encontrado.
que cerca del acoplamiento crítico αc 8.5 un cambio dramático del espectro OC
se produce: dominando el pico de CO se divide en dos satélites. En este régimen crítico
el superior (inferior) uno disminuye rápidamente (aumenta) es el peso espectral como el
el valor del acoplamiento aumenta constantemente. Además, mientras que OC sigue la predicción de
MFF a α < αc, su dependencia cambia a la predicha por SCE para mayor
acoplamientos. Se llegó a la conclusión de que, para la medición de CO de polarón, la
El tiempo de ajuste de la energía típica no adiabatica D. Nona-
diabaticidad destruye clasificación FC en α < αc mientras que el principio FC rápidamente
recupera su validez en grandes acoplamientos debido al rápido crecimiento de la separación de energía
entre los estados inicial y final de las transiciones ópticas.
Comparación de los datos exactos de DMC-SO para OC con los resultados
Los métodos proximales mostraron [48] que la técnica integral del camino de Feynman
[75] de Devreese, De Sitter y Goovaerts, donde se calcula el inicio del OC
del modelo de variación de Feynman [139], es el único que describe con éxito
evolución de la energía del pico principal en OC con constante de acoplamiento α (véase
[58]). Sin embargo, a partir del régimen de acoplamiento intermedio, este enfoque
no reproduce el ancho del pico. Posteriormente, el enfoque integral de la trayectoria
fue reescrita en términos de MFF [140]. A continuación, en [57] el MFP ampliado para:
el malismo, que introduce procesos de disipación fijados por reglas exactas de suma, fue
se ha desarrollado [141].
Como se muestra en la Fig. 4a, en el régimen de acoplamiento débil, el MFP, con o con
disipación, está en muy buen acuerdo con los datos de DMC, mostrando significativa
mejora con respecto al enfoque de la perturbación del acoplamiento débil [129] que
proporciona una buena descripción de los espectros OC sólo para valores muy pequeños de α. Por
1 ≤ α ≤ 8, donde el MFF estándar no reproduce la anchura máxima (fig. 4b-d)
e incluso la posición de pico (Fig. 4c), la amortiguación, introducido para extender
El plan del MFP se vuelve crucial. Los resultados del MFP extendido son exactos para el
energía máxima y bastante satisfactoria para la anchura máxima (Fig. 4b-e). Tenga en cuenta que
la ampliación del pico de datos DMC no es consecuencia de la mala calidad
del procedimiento de continuación analítica, ya que los métodos DMC-SO son capaces de re-
Encarnando características tan finas como los umbrales de emisión de 2 y 3 fonones (Fig. 4b).
18 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8 10 12
0 5 10 15
0 5 10 15
a) b)
=5,25
Fig. 4. Comparación de la conductividad óptica calculada mediante el método DMC (círculos),
MFF extendido (línea sólida), y DSG [75, 140] (línea de dado) para diferentes valores de
α. Las flechas inclinadas indican umbrales de absorción de 2 y 3 fonones.
0 5 10 15 20
0 10 20 30
0 10 20 30 40
0 5 10 15
0 5 10 15
a) b)
Fig. 5. a)-c) Comparación de la conductividad óptica calculada dentro del DMC
método (círculos), el MFF extendido (línea sólida), y SCE (línea punteada) para diferentes
valores de α. d) La energía de las características de frecuencia inferior y superior (círculos y
ángulos, respectivamente) en comparación con la energía de transición FC con el SCE (dashed
línea) y con la energía del pico obtenida de la MFF extendida (línea sólida).
En el inset, los pesos de FC y transiciones adiabaticamente conectadas se muestran como
una función de α (para η = 1.3.)
Sin embargo, un cambio dramático de OC ocurre alrededor de la fuerza crítica del acoplamiento
αc 8.5. El pico dominante de OC se divide en dos, la energía del amante
uno que corresponde a las predicciones de expansión SCR y la de
uno obedeciendo el valor MFF extendido (Fig. 5a). El hombro, correspondiente a
dinámico ampliado MFF contribución, disminuye rápidamente es la intensidad con
aumento de α y en general α (fig. 5b-c) el OC está de acuerdo con
fuerte expansión del acoplamiento, asumiendo el esquema FC. Finalmente, comparando energías
de los picos, obtenidos por DMC, MFF extendido y FC de acoplamiento fuerte ex-
pansion (Fig. 5d), concluimos que en el acoplamiento crítico αc 8.5 el espectral
propiedades cambian rápidamente de dinámico, cuando la celosía se relaja en la transición, a
Régimen FC, donde los núcleos se congelan en configuración inicial.
Con el fin de obtener una idea de los autores del desglose FC de [57] considerar la fol-
Discusiones blooding. Los estados adiabáticos aproximados no son estados autóctonos exactos
del sistema. Estos estados se mezclan por elementos no diagonales de la matriz
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 19
nondiabatic operator D y los eigenstatos exactos son combinaciones lineales de la
funciones de ondas adiabáticas. Estar interesado en las propiedades de la transición de
g) a un estado excitado (ex), cuya energía corresponde a la del OC
pico, es necesario considerar la mezcla sólo de estos estados y expresar exactamente
funciones de onda como una combinación lineal [142, 143] de suelo y excitado adi-
estados abáticos. Los coeficientes de superposición se determinan a partir de la norma
técnicas [142, 143] en las que los elementos no diagonales de la matriz no adiabática
operador [142] se expresan en términos de elementos matriciales de la energía cinética
operador M, la brecha entre estado excitado y estado de tierra E = Eex − Eg y
el número nβ de fonones en estado adiabático:
D± =M(E)−1
nβ + 1/2± 1/2 +M2(E)−2. (36)
La medida en que la celosía puede seguir la transición entre estados electrónicos,
depende del grado de mezcla entre los eigenstatos exactos iniciales y finales
a través de la interacción no adiabatica. Si los estados iniciales y terrestres son fuertes
La clasificación adiabática no tiene sentido y, por lo tanto, el FC pro-
los cestos no tienen lugar y la celosía se ajusta al cambio de los estados electrónicos
durante la transición. En el límite opuesto la aproximación adiabática es válida
y los procesos de FC dominan. Estimación del peso del componente FC
IFC [57] es igual a unidad en el caso de la mezcla cero y cero en el caso
de mezcla máxima. El peso de la transición adiabéticamente conectada (AC)
IAC = 1− IFC se define en consecuencia. El elemento matriz no diagonal M es pro-
porteal al cuadrado raíz de α con un coeficiente η del orden de la unidad.
En el régimen de acoplamiento fuerte, suponiendo que
los datos), y nβ Ł E (nβ 1), se obtiene
IFC =
1 + 4(mp/ic)
, (37)
en los que mp = 1 / E y Łic = 1/D. Para η del orden de la unidad se obtiene
descripción cualitativa de una transición bastante rápida de la CC- a la FC-dominada
transición, cuando IFC e IAC intercambian la mitad de sus pesos en el rango
de α de 7 a 9. La razón física para un cambio tan rápido es el más rápido
crecimiento de la separación de la energía EE α2 en comparación con el de la matriz ele-
• α1/2. Por último, para los grandes acoplamientos, los estados inicial y final se convierten en
Adiabaticamente desconectado. El interruptor rápido AC-FC no tiene nada que ver con
el fenómeno de auto-trampa donde el cruce y la hibridación del suelo
y un estado excitado ocurre. Este fenómeno es propiedad de la transición
entre diferentes estados y relacionados con la elección de si la celosía puede o puede
no seguir adiabaticamente el cambio de estado electrónico en la transición.
4 Self-Trapping
En esta sección se considera el fenómeno de auto-trampa (ST) que, debido a
importancia esencial de la interacción de muchas partículas de QP con el baño bosónico de
20 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
sistema macroscópico, nunca fue tratado por método exacto antes. Comenzamos
con una definición básica del fenómeno de las enfermedades de transmisión sexual e introducir la
criterio para su existencia. A continuación, se demuestran las características genéricas de ST
en un modelo simple de Rashba-Pekar exciton-polaron en Sect. 4.1. Se muestra
en Secc. 4.2 que el criterio no es un dogma ya que incluso en una dimensión
sistema, donde ST está prohibido por el criterio de la existencia, uno puede observar todos
características principales de ST debido a la naturaleza peculiar de los estados electrónicos.
En términos generales [7, 80], ST es una transformación dramática de las propiedades de un QP
cuando los parámetros del sistema se modifican ligeramente. La razón física de ST es un
resonancia cuántica, que ocurre en alguna interacción crítica constante γc,
entre “atrapado” (T) estado de QP con fuerte deformación de celosía alrededor
y “libre” (F). Naturalmente, la transición ST no es abrupta debido a
interacción no adiabatica entre los estados T y F y todas las propiedades del QP
son analíticas en γ [144]. En el pequeño γ < γc, estado del suelo es un estado F que es
débilmente acoplados a los fonones mientras que los estados excitados son estados T y tienen un grande
Deformación de celosía. A los acoplamientos críticos γ γ γc el crossover y la hibridación
de estos estados ocurre. Entonces, para γ > γc los papeles de los Estados de intercambio. Los
Estado más bajo es un estado T, mientras que el superior es un estado F.
En primer lugar, y hasta ahora el único criterio cuantitativo para la existencia de ST era
dado en términos de las propiedades del estado del suelo en la aproximación adiabática.
Este criterio considera la estabilidad del estado deslocalizado en celosía no distorsionada
= 0 con respecto a la ganancia de energía debido a la distorsión de celosía 6= 0. ST
fenómeno se produce cuando el estado completamente deslocalizado con = 0 se separa
de estado distorsionado con 6= 0 por una barrera de potencial adiabático. Uno de
Estos estados son estables mientras que otros son meta-estables. El criterio de barrera
la existencia se define en términos del índice de estabilidad
s = d− 2 (1 + l), (38)
donde d es la dimensionalidad del sistema. Índice l determina el rango de la fuerza
limq→0 •(q) • q−l, donde •(R) es el núcleo de interacción U(Rn) = •(Rn −
Rn′) /(Rn′) potencial de conexión U(Rn) con distorsión generalizada de la celosía
(Rn′) [7]. La barrera existe para s > 0 y no existe para s < 0. Los
cambio discontinuo del estado polaron, es decir, ST, se produce en el primer caso
mientras que no sucede en este último caso. Cuando s = 0, este argumento de escalado
por sí solo no puede concluir la presencia o ausencia de la ST y más detallada
Es necesario un debate para cada modelo.
4.1 Ejemplo típico de la auto-trampa: Rasba-Pekar
Exciton-Polaron
El ejemplo clásico de un sistema con el fenómeno ST es el tridimensional
Rasba-Pekar continuo exciton-polaron en la aproximación de la intrabanda
dispersarse, es decir. cuando la interacción electrón-fonón polar (EPI) con dispersión-
menos phonones ópticos ph = 1 no cambia la función de la onda interna
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 21
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
0 10 20 30 40
Fig. 6. La energía del estado del suelo (a), la masa efectiva (b), y el número medio de
fonones en función de la constante de acoplamiento (c). Pesos parciales de los estados n-fonón (d)
en el estado del suelo polarón (k = 0) a γ = 18 (círculos), γ = 18,35 (cuadrados), y
γ = 19 (diamantes). Línea punteada en el panel (a) es el resultado de un fuerte límite de acoplamiento
y la línea discontinua es el resultado de la teoría de la perturbación.
movimiento electrón-agujero. El sistema se define como un QP sin estructura con dispersión
• k) = k2/2 y acoplamiento de corto alcance a los fonones [54, 7]. Criterio general de
la existencia de ST se satisface para el sistema tridimensional con corto alcance
la interacción [54, 7, 50] y, por lo tanto, se espera observar las características típicas de la
fenómeno.
Se muestra [54] que en las proximidades del acoplamiento crítico γc 18
Número medio de fonones Nácar en (18) y masa efectiva m* rápidamente en-
pliegue en el estado del suelo por varios órdenes de magnitud (Fig. 6b a c). Además,
una resonancia cuántica entre las nubes fonónicas polarónicas de estado F y T es
demostrado. Distribución de las contribuciones parciales de n-fonón Z(k=0)(n) en
(17) tiene un máximo de n = 0 en el régimen de acoplamiento débil, que
responde a la deformación débil, y un máximo en n + 1 en el fuerte
régimen de acoplamiento, que es consecuencia de una fuerte distorsión de la celosía. ¿Cómo...?
siempre, debido a la resonancia F-T hay dos picos distintos en n = 0 y n + 1
en el caso de γ γc (fig. 6d).
Cerca del acoplamiento crítico γc el LF de polarón tiene varios estados estables
(Fig. 7 a-b) por debajo del umbral del continuum incoherente Egsph. Cualquier estado
por encima del umbral es inestable debido a la emisión de un fonón con transición
al estado del suelo en k = 0 con Egs de energía está permitido. Por otra parte,
la decadencia está prohibida por las leyes de conservación para los estados por debajo del umbral. De-
Pendencia de las energías del suelo y resonancias excitadas en la interacción
constante se asemeja a una imagen de cruce de varios estados que interactúan con cada uno
otros (Fig. 7c).
Según el cuadro general del fenómeno ST, el estado F más bajo en
el régimen de acoplamiento débil a k = 0 tiene una pequeña masa efectiva m*
orden de la masa QP desnuda m. Al contrario, la masa efectiva de excitado
Estado m* m es grande. Por lo tanto, por debajo del acoplamiento crítico la energía de la
Estado F, que es más bajo en k = 0, tiene que alcanzar una banda plana de estado T en
algo de impulso. Entonces, el estado F y T tienen que hibridar e intercambiar en
22 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
0 1 2 3
17 18 19
0 2 4
Fig. 7. LF L(k=0)(l) en el acoplamiento crítico γ = γc (a) y para γ > γc (b). La energía es
cuenta desde el estado de tierra polaron. c) Dependencia de la energía del estado del suelo
(cuadrados) y estados excitados estables (círculos, diamantes y triángulos) en el acoplamiento
constante. La línea rota es el umbral del continuum incoherente. Dependencia
de energía (d) y número medio de fonones (e) en el vector de onda en γ < γc
(círculos y rectángulos). Línea estrujada es la aproximación efectiva de masa E(k) =
Egs + k
2/2m* para parámetros Egs = −3,7946 y m* = 2,258, obtenidos por DMC
estimadores para un valor dado de γ. Línea punteada es una ley de dispersión parabólica que es
montados para durar 4 puntos de la curva de dispersión de energía con parámetros E1 = −3,5273 y
m*1 = 195. El cuadrado vacío es la energía del primer estado estable excitado a cero impulso
obtenido por el método SO.
energía. Los datos de DMC visualizan esta imagen (Fig. 7 d-e). Después de que el estado F cruza la
banda plana de estado T excitado, el número medio de fonones aumenta y
la dispersión se vuelve plana.
Es natural suponer que por encima del acoplamiento crítico la situación es
opuesto: el estado del suelo es el estado T con gran masa efectiva mientras que excitado
El estado F tiene una masa pequeña, casi desnuda y efectiva. De hecho, esta suposición era
confirmado en el marco de otro modelo que se considera en la Secc. 6.1.
Además, se demostró que en el régimen de acoplamiento fuerte excitaron resonancia
hereda no sólo la masa efectiva desnuda alrededor de k = 0, sino toda la dispersión
ley del QP desnudo [49].
4.2 Autotrampa impulsada por la degeneración
Según el criterio (38), el fenómeno ST en sistemas unidimensionales
no se produce. Aunque esta declaración es probablemente válida para el
el caso de una sola banda en la gama de energía pertinente, no es el caso para el
casos genéricos multibanda. Este hecho ha sido inadvertido durante muchos años,
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 23
que impidió la explicación adecuada de la física desconcertante de casi uno-
compuesto dimensional Antraceno-PMDA, aunque sus propiedades ópticas
[65, 145, 146, 147, 66, 148] sugiere directamente la resonancia de los estados T y F.
La razón es que en el Antraceno-PMDA, en contraste con las condiciones en las que
criterio (38) se obtiene, hay dos bandas de exciton casi degeneradas.
Entonces, uno puede considerar el mecanismo de auto-trampa cuasi-degenerado cuando ST
fenomenal es impulsado por la interacción no diagonal de los fonones con
generar niveles de excitón [52]. Este mecanismo ya se ha propuesto para la
nación de propiedades de sistemas de valencia mixta [143] aunque su relevancia fue
nunca demostrado por un enfoque exacto.
0,0 0,5 1,0 1,5
0,0 0,5 1,0 1,5
0 10 20
Fig. 8. La dependencia de la energía (a) y el número medio de fonones (b)
Constante diagonal de acoplamiento de 12° a 11° ° = 0 y 22° ° = 0,25. Distribución de Phonon en
cloud polaron por debajo del punto ST en 12 = 1.0125 (c), en el punto ST en 12 = 1,0435 (d),
y por encima del acoplamiento ST, en el punto 12 ° = 1,0625 (e).
El modelo mínimo para demostrar el mecanismo de cuasi-degenerado
auto-trampa implica una rama fonográfica óptica con frecuencia •ph = 0.1
y dos ramas de excitón con energías +1,2(q) = + + 2[1 − cos(q)], donde
*1 = 0 y *2 = 1. Presencia de corto rango diagonal γ22 y no diagonal
Interacciones de γ12 (con las correspondientes constantes adimensionales 22 = γ
22/(2o)
y 12 = γ
12/(2-)) conduce a un comportamiento clásico de auto-trampa incluso en uno-
sistema dimensional [52] (véase Fig. 8).
5 Exciton
A pesar de los numerosos esfuerzos realizados a lo largo de los años, no ha habido una tecnología rigurosa.
nique a resolver para las propiedades de exciton incluso para el modelo más simple (1)-(2) que
trata las interacciones electrón-electrón como un poten estático renormalizado Coulomb-
tial con screening dinámico promedio. Los únicos casos solucionables son el Frenkel.
límite de radios pequeños [67] y el límite de radios grandes de Wannier [68] que describen
Cristales moleculares y aislantes de gran distancia con gran constante dieléctrica, re-
Desde el punto de vista de las perspectivas. Mientras tanto, incluso los datos precisos para los límites de validez de la
24 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
Las aproximaciones de Wanner y Frenkel no han estado disponibles. Como se indica en
Sects. 1.2 y 2.3, los enfoques semianalíticos tienen poco que añadir al problema cuando
se necesitan resultados cuantitativos, mientras que los métodos numéricos tradicionales no logran
reproducirlos incluso en el régimen de Wannier. Por el contrario, los resultados de DMC
no contienen ninguna aproximación.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Ancho de banda
0,0 20,0 40,0 60,0 80,0
Ancho de banda
0 5 10 15 20 25
Esfera de coordenadas
−0,05
0 200 400 600 800 1000
Distancia entre los orificios y los electrones
0 2 4 6 8 10
Esfera de coordenadas
0 1 2 3 4
Esfera de coordenadas
Fig. 9. Panel (a): dependencia de la energía de unión de exciton en el ancho de banda
Ec = Ev para bandas de conducción y valencia. La línea discontinua corresponde a la
Modelo Wanner. La línea sólida es la espinilla cúbica, los derivados a la derecha y a la izquierda
los extremos se fijan por el límite Wannier y la teoría de la perturbación, respectivamente. Inset
en el panel (a): la parte inicial de la parcela. Panel (b): la función de onda de
movimiento en el espacio real para el exciton monopolar ópticamente prohibido. Paneles (c)-(e):
la función de onda del movimiento interno en el espacio real: (c) Wannier [Ec = Ev = 60]; (d)
[Ec = Ev = 10]; e) regímenes cercanos a Frenkel [Ec = Ev = 0,4]. El sólido
línea en el panel (c) es el resultado del modelo Wannier mientras que las líneas sólidas en otros paneles son
para guiar sólo a los ojos.
Para estudiar las condiciones de validez de los regímenes de limitación por método DMC,
espectro electrón-agujero del sistema tridimensional fue elegido en la forma
de valencia simétrica y bandas de conducción con ancho Ec y hueco directo Eg
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 25
con un impulso cero [46]. Para una relación grande W = Ec/Eg, cuando W > 30, exci-
ton energía vinculante está en buen acuerdo con los resultados de aproximación Wannier
(Fig. 9a) y la densidad de probabilidad del movimiento relativo del agujero electrónico corresponde
(Fig. 9c) a hidrógeno-como resultado. El resultado sorprendente es el requisito de
anchos de banda bastante grandes de valencia y conducción (W > 20) para la aplicabilidad de
Aproximación Wannier. Para valores más pequeños de W la energía de unión y la onda
función de movimiento relativo (Fig. 9d) se desvían de los resultados de gran radio. En el
de manera similar, las condiciones de validez del enfoque de Frenkel están bastante restringidas
También. Por otra parte, incluso fuerte localización de la función de onda no garantiza
buen acuerdo entre exact y Frenkel resultado de aproximación para la unión
energía. A 1 < W < 10 la función de onda ya está fuertemente localizada aunque
la energía de unión difiere considerablemente del resultado de aproximación de Frenkel. Por
ejemplo, en W = 0.4 movimiento relativo está bien localizado (Fig. 9e) Considerando que la
energía de unión de la aproximación de Frenkel es dos veces mayor que el resultado exacto
(Introducción en la Fig. 9a).
Un estudio de las condiciones necesarias para la formación de la transferencia de carga excitón en
Los sistemas tridimensionales son cruciales para finalizar el debate prolongado sobre el número.
ous modelos relativos a las propiedades de los semiconductores de valencia mixta [149]. A
hace una década se explicaron propiedades inusuales de SmS y SmB6 invocando
el mecanismo de inestabilidad excitónico asumiendo la naturaleza de carga-transferencia de la
Exciton ópticamente prohibido [150, 151]. A pesar de que este modelo explicó cuanti-
tasticalmente los espectros fonónicos [152, 153], las propiedades ópticas [154, 155], y mag-
datos de dispersión de neutrones netic [138], su suposición básica ha sido criticada
sin fundamento [156, 157]. Para estudiar la función de onda excitónica, dispersiones
de valencia y bandas de conducción se eligieron, ya que es típico de la valencia mixta
materiales: banda de valencia casi plana se separa de banda de conducción ancha,
que tengan como máximo en el centro y como mínimo en la frontera de la zona de Brillouin
[46]. Resultados presentados en la Fig. 9b suposición de apoyo de [150, 151] desde la ola
función de movimiento relativo tiene casi cero componente in situ y máximo
densidad de carga en los vecinos cercanos.
6 Polarones en alta temperatura sin domar
Superconductores
Ahora está bien establecido que la física de la superconducción de alta temperatura
tors es el de dopar un aislador de Mott [158, 159, 160]. Incluso una sola.
agujero en un aislador de Mott, es decir, un agujero en un antiferromagnet en caso de infinito
Hubbard repulsión U, está sustancialmente influenciado por los efectos de muchos cuerpos [10] ser-
porque es saltar a un sitio vecino perturba la disposición antiferromagnética
de giros. Por lo tanto, una comprensión a fondo de la dinámica de los agujeros dopados en
Los aisladores de Mott han atraído mucho interés recientemente. Los dos mayores
Las interacciones relevantes para los electrones en los sólidos son el electrón-electrón interac-
ciones (IEE) e interacciones electrón-fonón (IEP). La importancia de la
ex en el dopaje bajo es sin duda esencial ya que el aislador Mott está impulsado
26 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
por fuerte repulsión Hubbard, mientras que este último fue considerado en gran medida
irrelevante para la superconductividad basada en las observaciones de un isótopo pequeño
efecto sobre la Tc óptima [161] y ausencia de una contribución fonónica a la
resistividad (para la revisión véase [162]).
Por otro lado, ahora se acumulan pruebas de que el EPI
juega un papel importante en la física de los cupratos como (i) un efecto isótopo
en la densidad de superfluidos y Tc lejos del dopaje óptimo [163], (ii) neutrones
y la dispersión Raman [164, 165, 166] experimentos que muestran fuerte fonón suave-
ening con dopaje de temperatura y agujero, lo que indica que EPI es fuerte
[167, 168]. Además, los estudios recientes de los cupratos por el ángulo resuelto
espectroscopía de fotoemisión (ARPES), que los espectros son proporcionales a la
LF (7) [32], resultó en el descubrimiento de la dispersión “kinks” alrededor de 40-
70meV medido a partir de la energía de Fermi, en el rango correcto de la
fonones relacionados con el oxígeno [169, 170, 171]. Estos fonones particulares - oxígeno
Se sabe que los modos de pandeo y semirrespiración se suavizan con el dopaje [172, 164]
y con temperatura [170, 171, 172, 164, 165, 166]
plong. El cambio rápido de la velocidad puede ser predicho por cualquier interacción de
una cuasipartícula con modo bosónico, ya sea con un fonón [170, 171] o con
un modo de resonancia magnética colectiva [173, 174, 175]. Sin embargo, el reciente
descubierto “universalidad” de la energía de torcedura para LSCO sobre todo el dopaje
rango [176] arroja dudas sobre la validez de este último escenario como la energía
la escala de la excitación magnética cambia fuertemente con el dopaje.
Además, medida en materiales de alta Tc desmontados ARPES reveló
contradicción entre la dependencia del impulso de la energía y el ancho de línea
del pico QP. Por un lado, la dispersión de energía experimental de la
amplio pico en muchos compuestos subdotados [31, 177] obedece a la teoría
predicciones [178, 179], mientras que la anchura del pico experimental es comparable
con el ancho de banda y órdenes de magnitud mayores que los obtenidos de
teoría del aislador de Mott [53]. Los primeros intentos de interpretar esto anomalmente
breve vida útil de un agujero por una interacción con bosónico no magnético adicional
Excitaciones, por ejemplo. fonones [180], se enfrentó a la pregunta genérica: ¿es posible que en
la temperatura con los medios deja la dispersión de energía absolutamente no renormalizada,
mientras que, induce una decadencia que la vida inversa-tiempo es comparable o aún más grande
que la dispersión de energía QP? Una posibilidad de un origen extrínseco de esto
ancho se puede descartar ya que el dopaje induce un trastorno adicional, mientras que un
Se observa un pico más agudo en la región sobredotada.
Para entender si los fonones pueden ser responsables de
forma de los ARPES en los cuprates deshechos, el LF de un interactuando con
El agujero de fonones en el aislador de Mott fue estudiado por DMC-SO [49]. El caso de la
LF de un solo agujero corresponde a los ARPES en un compuesto deshecho. Por
un sistema con gran repulsión Hubbard U, cuando U es mucho más grande que el
ancho de banda típico W de QP no interactuante, el problema se reduce a la t-J
modelo [181, 182, 158, 11]
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 27
t-J = −t
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
iscjs + J
(SiSj − ninj/4). (39)
Aquí se proyecta (para evitar la ocupación doble) aniquilación del fermión op-
ni (< 2) es el número de ocupación, Si es spin 1/2 operador, J es un
integral de intercambio, y â € € € denota los sitios vecinos más cercanos en dos dimensiones
Enrejado cuadrado. Diferentes enfoques teóricos revelados [158, 183, 53] básicos
propiedades del LF. El LF tiene un pico agudo en la parte de baja energía de la
espectro que se dispersa con un ancho de banda WJ/t 2J y, por lo tanto, el
gran ancho QP en el experimento no se puede explicar. Más complicado tt′t′′-J
el modelo tiene en cuenta los saltos a la segunda t′ y la tercera t′′
y, por lo tanto, la dispersión del agujero cambia [184, 185, 186, 178, 179, 32].
Sin embargo, para los parámetros, que son necesarios para la descripción de la dispersión
en superconductores realistas de alta Tc [31, 178], pico en la parte de baja energía
sigue siendo afilada y bien definida para todos los momentosa [187].
Después de expresar operadores de spin en términos de Holstein-Primakoff spin wave
operadores y diagonalización de la parte de giro de Hamiltonian (39) por Fourier
y las transformaciones de Bogoliubov [188, 10, 189, 190], tt′t′′-J Hamiltonian es
reducido al modelo bosón-holón, donde el agujero (operador de aniquilación es hk)
con dispersión (k) = 4t′ cos(kx) cos(ky)+2t
′′[cos(2kx)+cos(2ky)] se propaga
en el baño de magnon (el operador de aniquilación es αk)
0t-J =
(k)h
αk (40)
con dispersión de magnon k = 2J
1− γ2
, donde γk = (cos kx + cos ky)/2.
El agujero está disperso por magnons como se describe por
h-mt-J = N
hk−qαk + h.c.
con el vértice dispersante Mk,q. Parámetros t, t
′ y t′′ están saltando ampli-
Tudes a los vecinos primero, segundo y tercero, respectivamente. Si salta
integrales t′ y t′′ se fijan en cero y agujero desnudo no tiene dispersión, el problema
(40-41) corresponde al modelo t-J.
Interacción de corto alcance de un agujero con fonones ópticos sin dispersión
e-ph = 0
bk de la frecuencia 0 es introducido por Holstein Hamil-
toniano
e-ph = N−1/2
hk−qbq + h.c.
, (42)
donde es la constante de acoplamiento independiente del impulso y del isótopo, M es
la masa de los iones de retícula vibratoria, y la frecuencia de la dispersión sin
¡Fonon! El coeficiente delante de los corchetes es el estándar Holstein in-
constante de teracción γ = /
(2M.0). En lo siguiente caracterizamos la fuerza
de EPI en términos de constante de acoplamiento adimensional Nota, si está en...
se descuida la teracción con subsistema magnético (41) y la dispersión de agujeros
28 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
se elige en la forma فارسى(k) = 2t[cos(kx) + cos(ky)], el problema (40), (42) cor-
responde al modelo estándar de Holstein donde el agujero con el salto cercano vecino
La amplitud t interactúa con los fonones sin dispersión.
Consideramos la evolución de ARPES de un solo agujero en el modelo t-J-Holstein
(40)-(42) de los débiles al fuerte régimen de acoplamiento y dispersión del LF
en el fuerte régimen de acoplamiento de la Secc. 6.1. Se produce que las propiedades del LF en
el fuerte régimen de acoplamiento del EPI explica el rompecabezas de la forma de línea ancha
en ARPES en superconductores de alta Tc subdotados. Por lo tanto, con el fin de
Sugerimos una prueba crucial para el mecanismo de ampliación inducida por el fonón, nosotros
presente cálculos del efecto de la sustitución de isótopos en el ARPES en
Secc. 6.2.
6.1 Función Espectral de un Agujero Interactuando con Phonons en el
Modelo t-J: auto-trampa y dependencia momentum
Anteriormente, el LF del modelo t-J-Holstein fue estudiado por diagonalización exacta.
método en pequeñas agrupaciones [191] y en la aproximación no cruzada (ANC)6
para los fonones y los magnones [192, 193]. Sin embargo, el pequeño tamaño del sistema en
método exacto de diagonalización implica un espectro discreto y, por lo tanto, la
No se pudo abordar el problema de la forma de línea. Este último método omite la
FDs con cruce mutuo de propagadores de fonón y, por lo tanto, es un inválido
aproximación para los fonones en acoplamientos fuertes e intermedios de EPI. Esto
declaración fue demostrada por DMC, que puede sumar todos los FDs para Holstein
modelo tanto exactamente como en la NCA [49]. Los resultados exactos y los de la ANC son:
en buen acuerdo para los valores pequeños ≤ 0.4 y drásticamente diferente para > 1.
Por ejemplo, en el caso de Ł0/t = 0,1 el resultado exacto muestra un crossover nítido a fuerte
el régimen de enganche para los productos de la categoría
crossover incluso a = 100. Por otra parte, la NCA es válida para la interacción de un
agujero con magnons ya que la vuelta S=1/2 no puede girar más de una vez y el número
de magnones en la nube polarónica no puede ser grande. Tenga en cuenta que el t-J-Holstein
modelo se reduce al problema de polarón que interactúa con varios bosónicos
campos (3)-(4).
La ampliación de la DMC en [49] tiene en cuenta el cruce mutuo de la
agators y, en el marco de la ANC parcial, descuida el cruce mutuo de
Propagadores de magnon, para evitar problemas de signos. La NCA para los magnons está justificada por:
J/t ≤ 0,4 de acuerdo de los resultados de la ANC y la diagonalización exacta sobre
pequeñas agrupaciones [188, 10, 194, 195, 190]. Resultados recientes de la diagonalización exacta
se compararon en el límite de la pequeña IPE para el modelo t-J-Holstein, bosón-holón
modelo (40-42) sin NCA, y modelo bosón-holón con NCA [196]. Al-
Aunque el acuerdo no es tan bueno como para el modelo t-J puro, se concluyó que
NCA para magnons sigue siendo lo suficientemente bueno como para sugerir que se puede utilizar NCA para un
descripción cualitativa del modelo t-J-Holstein.
6 NCA es equivalente a aproximación de nacimiento auto-consistente (SCBA)
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 29
0,0 0,2 0,4 0,6
0,0 0,2 0,4
0,0 0,2 0,4
-2,50 -2,25 -2,00
-2 0 2 4
Fig. 10. a) El LF de un agujero en el estado del suelo k = (η/2, η, 2) en J/t = 0,3 y
= 0. Parte de baja energía del LF de un agujero en el estado del suelo k = (
J/t = 0,3: (b) Depende del acoplamiento
concentración de J/t = 0,3: (f) energías de resonancias de LF más bajas; (g) factor Z de menor
pico; (h) número medio de fonones â € ¢ Nâ €.
Las figuras 10a-e muestran una parte de baja energía de LF en el estado del suelo en k =
(η/2, η/2) en los regímenes de acoplamiento débil, intermedio y fuerte de
acción con los fonones. Depende de la constante de acoplamiento de las energías de
resonancias (fig. 10f), Zk=(/2,η/2)-factor del pico más bajo (fig. 10 g), y
número de años de fonones en la nube polarónica 10h) demuestra un
cuadro que es típico de ST (véase [80, 54] y Secc. 4). Dos estados cruzan y
hibridarse en las proximidades de la constante crítica de acoplamiento
el factor de menor resonancia baja bruscamente y el número medio de
La nube polarónica se eleva rápidamente. De acuerdo con la comprensión general de la
El fenómeno ST, por encima de los acoplamientos críticos.
el estado más bajo es disperso, mientras que el superior tiene una pequeña masa efectiva.
Este supuesto se ve apoyado por la dependencia del impulso del LF en
el régimen de acoplamiento fuerte (Fig. 11a a e). Dispersión del shake-off ancho superior
El pico Franck-Condon obedece casi perfectamente a la relación
k = min+WJ/t/5{[coskx+cos ky]2+[cos(kx+ky)+cos(kx−ky)]2/4}, (43)
que describe la dispersión del modelo t-J puro en la amplia gama de ex-
cambio constante 0,1 < J/t < 0,9 [194] (fig. 11f). Tenga en cuenta que esta propiedad de
el pico de sacudida es general para todo el régimen de acoplamiento fuerte (Fig. 11f).
La dependencia momentánea del pico shake-off, reproduciendo la del libre
partícula, es la consecuencia directa del régimen adiabático. En realidad, fonon.
la frecuencia 0 es mucho menor que el ancho de banda coherente 2J de la t-J
30 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
-2 0 2
-2,5 -2,0
- 2,75
- 2,50
-2.25
- 2,00.
- 1,75
-10 -5 0 5 10
k=( /2, /2)
/t /t
k=( /4, /4)
k=(0, /4)
k=(0, )
k=( /2, /2)
Fig. 11. El LF de un agujero en J/t = 0,3 y = 0,46: (a) rango de energía completo
para k = (η/2, η/2); (b–e) parte de baja energía para diferentes momentosa. Flechas inclinadas
muestran grandes picos que pueden ser interpretados en los espectros ARPES como coherentes (C) y
parte incoherente (I). Las flechas verticales en los paneles (b)–(e) indican la posición de “invisible”
resonancia más baja. f) Dispersión de las energías de resonancias en J/t = 0,3: resonancia amplia
(círculos llenos) y polo polarón más bajo (cuadrados llenos) a = 0,46; resonancia amplia
(círculos abiertos) y polo polarón más bajo (cuadrados abiertos) a 0.4. Las curvas sólidas
son dispersiones (43) de un agujero en el modelo t-J puro en J/t = 0,3 (WJ/t=0,3 = 0,6):
Para la línea punteada (sólida) se utiliza mín = −2,396 (2,52). El panel (g) muestra el estado del suelo
potencial Q2/2 (línea sólida), potencial de estado excitado sin relajación D + Q2/2
y el potencial de estado excitado relajado D + (Q −
línea).
modelo, dando la relación adiabática /2J = 1/6 â € 1. Además, como experiencia
con el OC del polarón de Fröhlich (Sect. 3.2) muestra, hay uno más
parámetro importante en el límite de acoplamiento fuerte. Es decir, la relación entre
tiempo del proceso de medición فارسىmp = h̄/E donde E es la separación de energía de
joroba de sacudido del polo del estado del suelo, y el de la celosía característica
El tiempo es mucho menos que la unidad. Por lo tanto, la sonda de fotoemisión rápida ve
los iones congelados en una de las configuraciones posibles [197]. El LF en el límite FC
es una suma de transiciones entre una capa inferior de Elow(Q) y una capa superior de Eup(Q)
de potencial adiabático, ponderado por la función de la onda adiabática de la
Índice de las emisiones de gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero Si EPI está ausente tanto en el ELlow(Q) inicial = Q2/2
y Eup(Q) final = D + Q2/2 estados, el LF se alcanza en la energía D.
Entonces, si hay EPI Eup(Q) = Q sólo en el estado final, es decir. cuando se agujerea
se retira del aislador de Mott, la hoja superior del potencial adiabático
Eup(Q) = D− 2/2 + (Q− )2/2 tiene la misma energía D en Q = 0. Desde el
función de probabilidad low(Q) 2 tiene máximo en Q = 0, el pico del LF
amplía pero su energía no cambia [198] (Fig. 11g).
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 31
El comportamiento del LF es el mismo que se observa en el ARPES de deshabilitado
cuprates. El LF consiste en un pico amplio y una alta energía incoherente con-
tinuum (véase Fig. 11a). Además, la dispersión del pico ancho “c” en las figs. 11
reproduce la de pico agudo en el modelo t-J puro (Fig. 11b a f). El más bajo des...
pico sin persión, correspondiente a un pequeño radio polarón, tiene un peso muy pequeño
y, por lo tanto, no se puede ver en el experimento. Por otro lado, de acuerdo con ex-
perimento, dependencia momentánea del peso espectral Z(k)
de amplia resonancia
reproduce exactamente la dispersión del factor Z(k) del modelo t-J puro. La razón
para un mapeo tan perfecto es que en el caso adiabático.......................................................................................................................................................................................................................................................
la resonancia aguda en el modelo t-J sin EPI se transforma a EPI fuerte
hacia el pico ancho. Esta imagen implica que el potencial químico en el
muy subdotados cuprates no está conectado con la resonancia amplia, pero
fijado al polo de cuasipartícula real con un pequeño factor Z. Esta conclusión fue la siguiente:
recientemente confirmado experimentalmente [177].
Comparación del EPI crítico para un agujero en el modelo t-J-Holstein (40-42)
Para el modelo Holstein, véase el punto 1.2, con el mismo valor:
hopping t, concluimos que la interacción spin-hole acelera la transición hacia
el fuerte régimen de acoplamiento. La razón para mejorar el papel del EPI es
encontrado en [196]. Comparación de la renormalización impulsada por el EPI de la eficacia
masa en el modelo t-J-Holstein y Holstein muestra que la masa grande eficaz en el
El modelo t-J es responsable de este efecto. Mejora del papel del Programa ampliado de inmunización
por EEI tiene lugar al menos para un solo agujero en la parte inferior de la banda t-J.
Si la comparación se hubiera hecho con el modelo semilleno, el resultado habría sido
ha sido una mejora más pequeña o ninguna mejora en absoluto [199]. Por otra parte,
la constante de acoplamiento del fonón de medio aliento se incrementa mediante correlaciones [200].
Por último, concluimos que el efecto de la mejora del EPI eficaz por parte de la EEI es
no sin ambigüedades y depende de los detalles de la interacción y el relleno. Sin embargo,
este efecto está presente para el relleno pequeño en el modelo t-J-Holstein.
6.2 Efecto isotópico sobre ARPES en alta temperatura subdomada
Superconductores
El modo de resonancia magnética y los modos de fonón son los dos principales
candidatos para explicar la estructura “kink” de la dispersión de energía electrónica
alrededor de 40-70 meV por debajo de la energía de Fermi, y el efecto isótopo (IE) en
ARPES debe ser el experimento de armas de fumar para distinguir entre estos
Dos. Gweon et al. [201] realizó el experimento ARPES en O18-reemplazado
Bi2212 en el dopaje óptimo y encontró un IE apreciable, que sin embargo puede
no se explicará dentro del Migdal-Eliashberg de acoplamiento débil convencional
teoría. Es decir, el cambio de la función espectral debido a la sustitución del O18
se ha observado en la región de energía más alta más allá de la energía fonónica
60meV). Esto contrasta fuertemente con la predicción de la teoría del acoplamiento débil, es decir,
el IE debe ocurrir sólo cerca de la energía fonónica. Por lo tanto, el IE en óptimo
Bi2212 sigue siendo un rompecabezas. Por otro lado, el ARPES en deshabilitado
materiales, como se describe en la sec. 6.1, se ha entendido recientemente en términos de
32 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
la pequeña formación polarónica [49, 202, 198]. Por lo tanto, es esencial comparar
experimentar en sistemas deshechos con los que se presentan en esta Secc. datos DMC-SO,
donde la teoría puede ofrecer resultados cuantitativos.
Además del problema de alta Tc, fuerte mecanismo EPI de especificaciones ARPES
se consideró la ampliación como uno de los escenarios alternativos para la diatómica
moléculas [203], manganitas magnetoresistivas colosales [34], cuasi-uno-dimensi-
conductores onales de Peierls [37, 38] y magnetitas Verwey [39]. Por lo tanto, exacto
El análisis de IE sobre ARPES a una fuerte EPI es de interés general para la conclusion
experimentos en una amplia variedad de clases de compuestos.
Constante de acoplamiento sin dimensiones = γ2/4t
Para el caso más simple de IE. De hecho, asumiendo la relación natural...........................................................................................................................................................................................................................................................
entre la frecuencia del fonón y la masa, encontramos que
el factor isótopo iso = /0 =
M0/M, que se define como la relación de
frecuencia de fonones en los sistemas de isótopos sustituidos (e) y normales (e0). Nosotros
eligió los parámetros adoptados del modelo tt′t′′-J que reproducen la experiencia
dispersión mental de ARPES [178]: J/t = 0,4, t′/t = −0,34, y t′′/t = 0,23.
La frecuencia del fonon pertinente [32] se fija en 0,0 °/t = 0,2 y el isótopo
factor Łiso =
16/18 corresponde a la sustitución del isótopo O18 por O16.
Para barrer a un lado cualquier duda de posibles inestabilidades de la continuación analítica,
calculamos el LF para el compuesto normal (nor = 1), isótopo sustituido
(iso =
16/18) y “antiisótopos” sustituidos
18/16) compuestos.
La dependencia monotónica de LF en فارسى asegura la estabilidad de la continuación analítica
y da la posibilidad de evaluar las barras de error de una cantidad A utilizando cantidades
Aiso −Anor, Anor −Aant y (Aiso −Aant)/2.
Dado que LF es sensible a las fortalezas del EPI sólo para frecuencias bajas [55], nosotros
concentrarse en la parte de baja energía del espectro. La figura 12 muestra IE en la
agujero LF para diferentes acoplamientos en puntos nodal y antinodal, respectivamente. Los
tendencia general es un cambio de todas las características espectrales a mayores energías con aumento
de la masa isótopo ( < 1). También se puede observar que el cambio de la FCP amplia es
mucho más grande que el del estrecho pico real-QP. Por otra parte, para los acoplamientos grandes
El cambio de la energía QP se aproxima a cero y sólo disminuye de QP espectral
peso Z se observa para mayor masa isótopo. Por otro lado, el cambio
de FCP no se suprime para acoplamientos más grandes. Excepto el LF en el nodal
punto en = 0,62 (fig. 12a, b), donde LF todavía tiene un peso significativo de QP
Cúspide funcional, hay una característica más notable de la IE. Con aumento
de la masa isótopo aumenta la altura de la FCP. Teniendo en cuenta la
ley de conservación para LF
• Lk(•) = 1 e insensibilidad de la parte de alta energía
de LF a la fuerza EPI [55], el estrechamiento del FCP para una masa isótopo mayor
puede concluirse. Comprender las tendencias de la IE en el acoplamiento fuerte
sistema analizamos el modelo de osciladores independientes exactamente solvables (IOM)
[60]. El LF en la OIM es la distribución de Poisson
L() = exp[0/]
[¡0/!]
G., l. (44), (44)
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 33
Fig. 12. Parte de baja energía de los agujeros LF: compuesto normal (línea sólida), isótopo sub-
compuesto constituido (línea punteada) y compuesto sustituido por “antiisótopo” (dashed)
línea). LF en diferentes acoplamientos en los puntos nodal (a, c, e) y antinodal (g, i, l).
Los insets (b, d, f, h, k) muestran un pico de baja energía de QP real.
en los que 0 = γ
La constante de acoplamiento adimensional para la normalidad es 0 = 4t
El sistema y el Gl() = [4t0l] es la función. Las propiedades de la
La distribución de Poisson explica cuantitativamente muchas características de la IE en LF7.
La energía de la línea de zero-fonón l = 0 en (44) depende de la energía de la línea de zero-fonón l = 0 en (44)
Únicamente en cantidades independientes de isótopos, lo que explica que el isótopo de-
pendencia del pico de energía QP en los insets de la Fig. 12. Además, el cambio de la cero-
peso de la línea de fonón Z(0) obedece a la relación Z
iso /Z
nor = exp [0(1−
OIM. Estas estimaciones de la OIM concuerdan con los datos de DMC dentro del 15% en el nodal
punto y dentro del 25% en el antinodal. IE en FCP en el fuerte cou-
el régimen de pling sigue de las propiedades de cero M0 =
1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2L()d = 0
0 mo-
de la distribución desplazada de Poisson (44). Momentos M0 y M2 establecen
relación D = hFCPiso /hFCPnor = 1/
* 1,03 entre alturas de FCP en estado normal.
y compuestos sustituidos. Datos de DMC en el punto antinodal perfectamente de acuerdo
con la estimación anterior para todos los acoplamientos. Esto es consistente con la idea de que
la región antinodal permanece en el fuerte régimen de acoplamiento a pesar de que el
región nodal se encuentra en la región de cruce. En el punto nodal DMC datos bien
concordar con la estimación de la OIM para el valor de 0,75 (D, 1,025), mientras que en el valor de 0,69 y
7 Se debe tener precaución sobre la forma aproximada del IEP (42). Estrictamente hablando,
la dependencia real del impulso de la constante de interacción [204, 205] puede ligeramente
cambiar las diferencias obtenidas entre los puntos nodal y antinodal, aunque el
Las tendencias generales tienen que quedar intactas porque el ST es causado únicamente por el corto plazo.
parte del rango del EPI [80].
34 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
0,65 0,70 0,75
0,65 0,70 0,75
0,65 0,70 0,75
0,5 0,6 0,7
k=( /2, /2)
Fig. 13. a) Energías del estado del suelo y picos amplios para el estado normal (triángulos),
compuestos de isótopos sustituidos (círculos) y de “antiisótopos” sustituidos (diamantes).
Comparación de las estimaciones de la OIM (líneas) con los datos de DMC en los nodales (cuadrados) y
puntos antinodal (diamantes): b) cambio de la parte superior de la FCP, c) borde delantero de la FCP a 1/2
de altura, y (d) borde delantero FCP a 1/3 de altura.
La influencia de 0.62 del punto ST conduce a valores anómalos de D: D • 1,07
y D 0,98, respectivamente. Cambio del borde de baja energía a la mitad máximo
•1/2 debe ser proporcional al cambio del cuadrado raíz del segundo momento
M2 =
# 0 # 0 # 1 # # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1
]...................................................................................................................................................................... Como encontramos en simulaciones numéricas de (44) con
Funciones gaussianas8 G.,l.(.), relación.1/2.....................................................................................................................................................................................................................................................
0,62 < < 0,75. Además, las simulaciones muestran que el cambio del borde en uno
El tercer tercio del máximo de 1/3 obedece a la relación 1/3 de M2. Datos de DMC con la OIM
las estimaciones están de acuerdo con respecto a una IPE fuerte = 0,75 (Fig. 13). ¿Cómo...?
En la mayoría de los casos, el cambio de la parte superior de la FCP y de la parte superior de la FCP se ha mejorado considerablemente en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la parte superior de la FCP en la parte superior de la parte superior de la parte superior de la FCP en la parte superior de la parte superior de la FCP en la parte superior de la parte superior de la
región de transición de auto-trampa (ST). La razón física para la mejora de
IE en esta región es una propiedad general independientemente de la dispersión QP, rango
de EPI, etc. La influencia del elemento matricial no adiabatic, mezclando excitado
y estados terrestres, de las energías de resonancias depende esencialmente de la
Frecuencia fonónica. Mientras que en la aproximación adiabática la transición ST es sud-
den y nonanalytic en [80], los elementos de la matriz nondiabatic lo convierten en suave
crossover [144]. Así, como se ilustra en la Fig. 13a, cuanto menor sea la frecuencia
más aguda la torcedura en la dependencia de la energía excitada del estado en la interacción
constante
En el caso no resuelto los resultados actuales se pueden comparar directamente con
los experimentos. Se encuentra que el IE en la forma de línea ARPES de un pecado-
gle agujero se aumenta anomalmente en el régimen de acoplamiento intermedio, mientras que
puede ser descrito por el modelo simple de osciladores independientes en el
régimen de acoplamiento. El cambio de la parte superior de la FCP y el cambio de la altura de la FCP son rele-
Cantidades que deben seguirse experimentalmente en el régimen de acoplamiento intermedio
ya que IE en estas características se realza cerca del punto de autotrampa. In
8 Los resultados son casi independientes en el parámetro η de la distribución gaussiana
Gl(l) = 1/(η)
2η) exp(−[+ 4t0l]/(2η2)) en el intervalo [0.12, 0.2].
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 35
contraste, el cambio del borde delantero del pico amplio es la cantidad pertinente
en el régimen de acoplamiento fuerte ya que este valor aumenta con el acoplamiento como
Estas conclusiones, dependiendo del hecho de si el fenómeno de auto atrapamiento
se encuentra en un caso específico, puede aplicarse total o parcialmente a otro
Compuestos con EPI fuerte [34, 37, 38, 39].
6.3 Conclusiones y perspectivas
En este artículo, nos hemos centrado principalmente en el problema polaron en
sistemas correlacionados. Esto ofrece un enfoque desde el límite de con-
centración dopada en el (Mott) aislante, que es complementario a la
enfoque convencional Eliashberg-Migdal para el EPI en metales. En este último
el caso, tenemos la energía Fermi F como una escala de energía relevante, que es generalmente
mucho más grande que la frecuencia del fonón 0. En este caso, el Migdal adiabático
la aproximación es válida y las correcciones del vértice, que corresponden a la
cloud multi-fonón y son esenciales para el fenómeno de auto-trampa, son
suprimida por la proporción............................................................................................................ Por lo tanto, una cuestión importante es el crossover
desde el fuerte acoplamiento polarónico hasta el acoplamiento débil Eliashberg-
Imagen Migdal. Esto ocurre a medida que se aumenta el dopaje del portador en la insu-
Lator. Como se observa en los experimentos ARPES en supercon-
ductores, los estados polarónicos continúan sobreviviendo incluso en el dopaje finito [177].
Esto sugiere un nuevo estado metálico polarónico en los cupratos subdomados, que
es común también en los manganitas CMR [36] y es muy probablemente universal en
óxidos metálicos de transición. En la región óptima y sobredotada, el Eliashberg-
El cuadro migdal se vuelve apropiado [170, 171], pero todavía una característica no trivial de
el EPI es su fuerte dependencia impulso que conduce a la dicotomía entre
las regiones nodal y antinodal. Es una observación interesante que el alto-
Esta temperatura de transición superconductora se alcanza en la región de cruce
entre las dos imágenes anteriores, lo que sugiere que tanto la itinerancia y
el acoplamiento fuerte a los fonones son esenciales para la coherencia cuántica. Lo siento.
Por otra parte, es importante señalar que este cruce se produce de una manera no trivial también en la
el espacio mentum, es decir, las regiones nodal y antinodal se comportan de manera muy diferente
como se examina en la secc. 6.2. Sin embargo, la relevancia de la IEP para la alta Tc
La superconductividad todavía queda para futuras investigaciones.
Esperamos que este artículo convenza a los lectores del papel vital de ARPES
En el caso de los experimentos y de las soluciones numéricamente exactas al problema del EPI, el
bination de ellos ofrece una poderosa herramienta para el impulso-energía resuelto
análisis de estos sistemas electrónicos fuertemente correlacionados bastante complicados.
Esto pavimentará un nuevo camino hacia la comprensión más profunda del cuerpo
sistemas electrónicos.
Agradecemos a Y. Toyozawa, Z. X. Shen, T. Cuk, T. Devereaux, J. Zaanen, S.
Ishihara, A. Sakamoto, N. V. Prokofev, B. V. Svistunov, E. A. Burovski, J. T.
Devreese, G. de Filippis, V. Cataudella, P. E. Kornilovitch, O. Gunnarsson,
N. M. Plakida, y K. A. Kikoin, para colaboraciones y debates.
36 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
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Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 39
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Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 41
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201. G.-H. Gweon, T. Sasagawa, S. Y. Zhou y otros: Nature 430, 187 (2004)
202. O. Rösch, O. Gunnarsson, X. J. Zhou y otros: Phys. Rev. Lett. 95, 227002 (2005)
203. G. A. Sawatzky: Nature (Londres) 342B, 480 (1989)
204. O. Rösch, O. Gunnarsson: Phys. Rev. Lett. 92, 146403 (2004)
205. S. Ishihara, N. Nagaosa: Phys. Rev. B 69, 144520 (2004)
| Presentamos recientes avances en la comprensión del terreno y estados excitados
de los sistemas acoplados electrón-fonón obtenidos por métodos novedosos de
Esquemática Monte Carlo y Optimización Estocástica, que permiten la
cálculo libre de aproximación de la función Matsubara Green en tiempos imaginarios
y realizar una continuación analítica imparcial a las frecuencias reales. Les presentamos
resultados numéricos exactos sobre las propiedades del estado del suelo, función espectral de Lehmann
y conductividad óptica de diferentes sistemas fuertemente correlacionados: Frohlich
polaron, Rashba-Pekar exciton-polaron, pseudo Jahn-Teller polaron, exciton, y
interactuando con el agujero de los fonones en el modelo t-J.
| Introducción
El estudio teórico de polarones en el sistema fuertemente correlacionado es como un
tentad a ver el contenido de una caja Pandora incrustada en otra, aún más
siniestro y oscuro, contenedor de acertijos, enigmas y misterios. Esta des-
situación perada ocurre porque la solución no se conoce ni siquiera para el más simple
problema polaron, es decir, cuando una cuasipartícula perfectamente estable (QP) con
mentum como un solo número cuántico interactúa con un baño bien definido de
Excitaciones bosónicas elementales. Por el contrario, la definición de
sistema correlacionado implica que los QPs pueden ser altamente inestables y
Se cuestiona la noción de QPs, tanto en subsistemas electrónicos como bosónicos.
Así, uno se enfrenta al problema de una interacción entre objetos mal definidos y
Es crucial resolver el problema sin aproximaciones. Otra dificultad,
es una interacción entre el impulso y otros
números cuánticos que caracterizan los estados internos de un QP.
El problema de polarón surgió originalmente como el de un electrón acoplado
a los fonones (véase [1, 2]). En la formulación inicial un QP sin estructura es char-
actuado por el único número cuántico, momentum, que cambia debido a
interacción del QP con los fonones [3, 4]. Más tarde, dependiendo de lo que puede ser
denominadas “partículas” y “medio ambiente”, y cómo interactúan entre sí,
el concepto polaron estaba relacionado con la extrema diversidad de fenómenos físicos.
Hay muchos otros objetos que, no teniendo nada que ver con los fonones, son
isomórfico a polarón simple [5], como, por ejemplo, un exciton-polaron en la intrabanda
aproximación de dispersión [6, 7, 8, 9]. Otro ejemplo es el problema de un agujero
en el antiferromagnet que está estrechamente relacionado con el polarón desde el movimiento del agujero
se acompaña de los giros que, en la aproximación de la onda de giro, son
equivalente a la creación y aniquilación de los magnones [10, 11].
http://arxiv.org/abs/0704.0025v1
2 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
El concepto de polarón se generalizó aún más para incluir grados internos
de libertad que, interactuando con el medio ambiente, cambian su
Bers. Ejemplo de un QP complejo es el polarón de Jahn-Teller, donde el electrón-
La interacción fonónica (EPI) cambia el número cuántico de electrónica degenerada
declara [12, 13, 14]. Esta generalización es importante debido a su relevancia para
los colosales fenómenos de magnetorresistencia en los óxidos de manganeso [15, 16].
Otro ejemplo es el pseudo polarón de Jahn-Teller, donde EPI es inelástico
y conduce a transiciones entre niveles electrónicos cercanos en energía de un QP
[17, 18, 19]. La generalización adicional es un sistema de varios QP que interactúan
ambos con el otro y el medio ambiente. Por ejemplo, la interacción efectiva de
dos electrones a través del intercambio por los fonones pueden superar el Coulomb repul-
sión y formar un estado ligado, bipolaron [20, 21, 22, 23, 24]. Por otra parte,
acoplamiento de orificio de atracción y electrón a las vibraciones de celosía [25, 26, 27]
puede crear una gran cantidad de objetos cualitativamente diferentes: localizado exciton, débilmente
un par de agujeros localizados y electrones localizados, etc. [28, 7]. Dispersión por
impurezas introduce complejidad adicional al problema polaron porque
interferencia de potencial de impureza con distorsión de celosía, que acompaña
el movimiento polaron, puede contribuir constructivamente o destructivamente
a la localización de un QP sobre impureza [29, 30, 7].
Además, un QP desnudo y un baño bosónico no se puede considerar así
definido en los sistemas correlacionados. Espectros de fotoemisión resueltos por ángulo
(ARPES), revelando la función Lehmann (LF) de las cuasipartículas, demostrar
grandes picos en muchos sistemas correlacionados: óxido de cooperación de alta temperatura su-
perconductores [31, 32, 33], manganitas magnetoresistivos colosales [34, 35, 36],
Conductores de Peierls cuasi-unidimensionales [37, 38] y magnetitas Verwey [39].
Además, los fonones también se amplían en muchos sistemas correlacionados, por ejemplo. en alta...
semiconductores de temperatura [40] y materiales equivalentes mixtos [41, 42]. Uno de
las posibles razones de estas ampliaciones es la interacción de los QP con el
grados de libertad de celosía. Sin embargo, en muchos casos realistas otros subsistemas,
no explícitamente incluido en el polaron Hamiltonian, son responsables de la
Decaimiento de QP y fonones, por ejemplo, otras bandas electrónicas, fonon anharmonic-
ity, la interacción con los giros nucleares, etc. Entonces, si esta ampliación auxiliar es
conocido en alguna aproximación, uno puede formular un objetivo ambicioso para estudiar
respuesta espectral cuando la cuasipartícula “barata” con amortiguación conocida interactúa
con excitaciones bosónicas “ampliadas”.
Nadie de los métodos numéricos tradicionales, por no decir nada de los analíticos,
puede dar resultados libres de aproximación para cantidades medibles de polarón, tales
como espectros de conductividad óptica o de fotoemisión resuelta en ángulo, para
sistema escópico de dimensión arbitraria. Además, no estamos al tanto de ningún numerador...
método que puede incorporar de forma libre de aproximación la información
en la amortiguación de QP y baño bosónico. A continuación se describen los conceptos básicos de re-
método Diagrammatic Monte Carlo (DMC) desarrollado cently para numéricamente
cálculo exacto de funciones verdes y funciones de correlación en imaginario
tiempo para pocos polarones en un sistema macroscópico [43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51].
La continuación analítica de las funciones imaginarias del tiempo a las frecuencias reales es per-
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 3
formado por una nueva aproximación libre aproximación de optimización estocástica
(SO) [45, 50, 51], eludiendo las dificultades de la Entropía Máxima popular
método. Por último, nos centramos en los resultados de la aplicación de la maquinaria DMC-SO
a diversos problemas [52, 53, 54, 55, 56, 57]
Los modelos básicos, relacionados con los objetos polarónicos en sistemas correlacionados,
que pueden ser resueltos por los métodos DMC-SO, se indican en la siguiente Secc. Lo siento.
se sigue en Secc. 1.2 por la descripción de los escollos encontrados por
métodos analíticos. Secc. 2 se refiere a los aspectos básicos de los métodos DMC-SO. Sin embargo,
aquellos que no están interesados en los detalles de los métodos pueden mirar brevemente
a través de las definiciones de la introducción de la Secc. 2 y gire a la Secc. 3
donde se discuten LF y la conductividad óptica de Fröhlich polaron (véase también
[58]). Los resultados de los estudios del fenómeno de auto-trampa se presentan en la Secc.
4 y la aplicación de los métodos DMC-SO al problema exciton se pueden encontrar
en Secc. 5. El capítulo se completa con la Secc. 6 dedicado a los estudios de ARPES
de superconductores de alta temperatura.
1.1 Formulación de un Modelo General con Polarones Interactuantes
En términos generales, el problema más simple de un objeto polarónico complejo, donde
el movimiento del centro de la masa no se separa del resto de los grados de libertad,
se introduce como sistema de dos QPs
Aa(k)a
Łh(k)hkh
(ak y hk son los operadores de aniquilación, y la aa(k) y la h(k) son dispersiones de
QPs), que interactúan entre sí
a-h = −N−1
U(p,k,k′)a†
p-khp-k′ap+k′. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
(N es el número de sitios de celosía) a través del potencial de Coulomb instantánea
y la dispersión por bosones
par-bos = i
(b†q.-b-q.-)
γaa (k,q)a
k−qak + γhh,(k,q)h
k−qhk + γah,(k,q)h
k−qak
+ h.c. (3)
(γ[aaa,ah,hh] son constantes de interacción) donde la cantidad de Q diferentes ramas
de excitaciones bosónicas se crean o aniquilan, que se describen por
bos =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
q.................................................................................................................................................. 4)
En general, cada QP puede ser un compuesto con grado interno de libertad
representados por T diferentes estados
4 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
PJT0 =
(k)a
i,kai,k, (5)
que los números cuánticos también se pueden cambiar debido a la parte no diagonal de
Interacción partícula-bosón
par-bos = i
i,j=1
γij (k,q)(b)
q..........................................................................................................................................
i,k−qaj,k + h.c. (6)
El modelo complicado (1)-(6) sigue estando demasiado lejos de los casos encontrados en
sistemas fuertemente correlacionados. Debido al acoplamiento de QPs (1) y (5) y bosónico
campos (4) a grados adicionales de libertad, estas excitaciones no están bien de-
multada desde el principio. Es decir, la relación de dispersión del espectro QP
en un sistema realista está mal definido. Se puede hablar de una función Lehmann (LF)
[59, 60, 61] de un QP
Lk() =
(e/k)) a†kvac
2 (7)
, que se normaliza a la unidad
dlk() = 1 y puede interpretarse como
una probabilidad de que un QP tenga un impulso k y energía. (Aquí es un
conjunto completo de eigenstatos de Hamiltonian en un sector de impulso dado
k: H (k) = E/(k) (k). Sólo para el sistema no interactuante el LF reduce
a la función delta LNONINTk () = () () () (k)) y, por lo tanto, establece la dispersión
la relación entre los valores de referencia y los valores de referencia de los valores de referencia;
Los casos específicos del modelo (1)-(6) describen una enorme variedad de problemas físicos.
Lems. Hamiltonianos (1) y (2), en caso de potencial atractivo U(p,k,k′) > 0,
describir un exciton con cribado estático [62, 63]. Además, expresiones (1)-(4)
describir bipolaron para la interacción repulsiva [20, 21, 22, 23, 24] U(p,k,k′) < 0
y exciton-polaron de otro modo [25, 26, 27]. El modelo más simple para exciton-
interacción fonónica, cuando sólo dos (T = 2) estados más bajos de
el movimiento del agujero son relevantes (p. ej. en excitón de transferencia de carga unidimensional
[64, 65, 66]), está definido por los hamiltonianos (4)-(6). Las mismas relaciones (4)-(6)
Describa los problemas de Jahn-Teller [todos en Hamiltonian (5) son los mismos]
y el pseudo polarón de Jahn-Teller. El problema de un agujero en un antiferromagnet
en la aproximación spin-wave se expresa en términos de Hamiltonianos (4)-(6) con
Q = 1 y T = 1. Cuando el agujero también interactúa con los fonones, uno tiene que tomar en
cuenta una rama bosónica más y establece Q = 2 en (4) y (6). Por último, el
problema no trivial más simple de un polarón, es decir, de un QP sin estructura interactuando
con una rama de fonón, es descrito por los Hamiltonianos no interactuantes de QP
par y fonones ph
0 =
k)a
qbq, (8)
y término de interacción
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 5
int =
V (k,q)(b†q − b−q)a
k−qak + h.c.. (9)
El problema polaron más simple, a su vez, se puede subdividir en continuo y
modelos polaron de celosía.
1.2 Limitaciones de los métodos analíticos en el problema de los polones
Solución analítica para el problema del exciton en una celosía rígida está disponible
solo para el régimen de Frenkel de radio pequeño [67] y el régimen de Wannier de radio grande
[68]. Sin embargo, incluso se desconocen los límites de validez de estas aproximaciones.
Los enfoques de aproximación de fase aleatoria [62, 63], son capaces de obtener
algunas conclusiones cualitativas para el régimen de radios intermedios, a pesar de su
los resultados titativos no son fiables debido a errores incontrolados. La situación es la siguiente:
similar con el problema de polarón sin estructura, donde las soluciones analíticas
sólo se conocen en los regímenes de acoplamiento débiles y fuertes. Además, confiable
los resultados para estos regímenes están disponibles sólo para las propiedades del estado del suelo.
Aunque varios métodos novedosos, capaces de obtener propiedades de excitado
los estados, fueron desarrollados recientemente, variación de la expansión de los estados coherentes [69] y
la suma media del impulso del propagador libre [70] como algunos ejemplos, todo de
para proporcionar datos fiables en un régimen específico, necesitan
con reglas exactas de suma [71, 72] o con resultados numéricos exactos.
La aplicación de métodos variacionales para el estudio de las excitaciones es difícil.
Desde que, estrictamente hablando, son válidos sólo para el estado de la tierra. Como un
ejemplo para la importancia de las reglas de suma en el tratamiento variacional, nos referimos
al problema de la conductividad óptica del polarón de Fröchlich. Possibil...
ity de la existencia del Estado Emocionado Relajado (RES), que es un estado metaestable
donde la deformación de celosía se ha ajustado a la representación electrónica de excitación
estabilidad y estrecho ancho de línea de la respuesta espectroscópica, fue brevemente hombres-
cado por S. I. Pekar a principios de los años 50. Entonces, la concepción de RES fue rigurosamente
formulado por J. T. Devreese con compañeros de trabajo y ha sido un tema de ex-
investigaciones tensivas durante años [5, 73, 74, 75, 76, 77, 48, 57]. Cálculos de
impedancia [75] en el marco de la técnica [78] apoyó la existencia de
un estrecho pico estable en la conductividad óptica. Sin embargo, incluso los autores
de [75] eran escépticos sobre el hecho de que el ancho de RES en el
el régimen de acoplamiento parecía ser más estrecho que la frecuencia fonónica, es decir,
tiempo inverso que es, de acuerdo con el principio de incertidumbre Heisenberg, es
necesario para la readaptación de celosía. En el papel consiguiente [77] se dieron cuenta
la importancia de muchos procesos fonónicos y estudió contri-
butión a la conductividad óptica. La importancia de muchos procesos fonónicos fue
confirmados cuando se compararon los resultados variacionales [75] con
ulaciones [48]. Variacional resultado bien reproducido la posición del pico en
datos exactos aunque falló en la descripción de la anchura del pico en el cou-
el régimen de pling [48]. Por último, cuando se modificó el enfoque [75] y varias sumas
las normas se introdujeron con precisión en el modelo de variación [57], ambas posiciones
6 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
y la anchura del pico se reprodujeron cuantitativamente. Estudios [57] (véase secc.
3.1), no abordar más bien la cuestión filosófica de si existen o no las fuentes de energía renovables,
aunque inevitablemente demostrar que, en contraste con las creencias anteriores, no hay en ningún
estable estado excitado del polarón de Fröhlich en el fuerte régimen de acoplamiento.
Tenga en cuenta que a veces los estados excitados no pueden ser manejados por métodos analíticos
incluso para acoplamientos débiles: expresión de la teoría de la perturbación para LF del Fröhlich
modelo polarón diverge en la energía del fonón [Véase (34) en Secc. 3.1.] y
Es necesario un tratamiento más elaborado.
Las dificultades de los métodos semianalíticos aumentan en el acoplamiento intermedio
régimen en el que los resultados a veces son incorrectos, incluso para las propiedades del estado de la tierra.
Por ejemplo, el enfoque variatioanl [79], que se ha considerado como un
teoría intermedia del acoplamiento, parecía ser válida sólo en el acoplamiento débil
límite [45]. Especial interés para los métodos, proporcionando información fiable sobre
los estados citados, es desencadenado por el fenómeno de auto-trampa que ocurre justo
en el régimen intermedio de acoplamiento. Se trata de un fenómeno dramático.
formación de propiedades QP cuando los parámetros del sistema se modifican ligeramente
[3, 7, 9, 80]. En el régimen de acoplamiento intermedio “atrapado” en el estado QP con
fuerte deformación de celosía a su alrededor y estado “libre” con débil perturbación
celosía puede hibridarse y resonar debido a las energías cercanas a algunos críticos
valor de la interacción electrón-láttico γc. Está claro que, para estudiar la auto-trampa,
uno tiene que aplicar un método que da información confiable sobre los estados excitados en el
régimen de acoplamiento intermedio.
2 Diagnóstico Monte Carlo y estocástico
Métodos de optimización
En esta sección introducimos definiciones de propiedades exciton-polaron que
puede ser evaluado por los métodos DMC y SO. Una idea de enfoque DMC para
cálculo numérico exacto de funciones verdes (GFs) en tiempos imaginarios
se presenta en Secc. 2.1, y una breve descripción del método SO, que es
capaz de hacer una continuación analítica imparcial desde tiempos imaginarios a
frecuencias reales, se da en la Secc. 2.2. Utilizando la combinación de DMC y SO,
a menudo se puede eludir las dificultades de análisis y numérico tradicional
métodos. Por lo tanto, un breve análisis comparativo de las ventajas e inconvenientes
de la maquinaria DMC-SO se da en la sección. 2.3.
Para obtener información sobre QPs es necesario calcular Matsubara GF
en la representación imaginaria del tiempo y hacer la continuación analítica a lo real
frecuencias [60]. Para el problema de las dos partículas (1)-(4), la cantidad pertinente es
las dos partículas GF [46, 47]
(l) = vac ak+p′(l)hk−p′(l)h†k−pa
k+p vacá. (10)
(Aquí hk−p() = e
hk−pe
, > 0.) En el caso de exciton-polaron, vac-
uum state vacá es el estado con valencia llena y bandas vacías de conducción.
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 7
Para el problema bipolaron es un sistema sin partículas. En el caso más sencillo
de un QP con una estructura interna de dos niveles descrita en los apartados 4 a 6
cantidad es la matriz de una partícula GF [52, 47]
Gk,ij(l) = vac ai,k(l)a†j,k vacao,i,j = 1,2. (11)
Para un polarón sin estructura la matriz (11) se reduce a GF escalar de una partícula
Gk(l) = vac ak(l)a†k vacá. (12)
Información sobre la respuesta a una perturbación débil externa (por ejemplo: óptica
la absorción) está contenida en la función de correlación corriente-corriente
(β/ son índices cartesianos).
Representación espectral de Lehmann de Gk() [60, 61] a temperatura cero
Gk() =
d. Lk. (l.a.) e.
, (13)
con la función de Lehmann (LF) Lk(Ł) dada en (7), revela información sobre
el suelo y estados excitados. Aquí es un conjunto completo de eigenstatos de
Hamiltonian en un sector de impulso dado k: H (k) = E v(k) (k).
El LF Lk tiene polos (picos agudos) en las energías de estable (metastable)
estados de partículas. Por ejemplo, si hay un estado estable en la energía E(k), el LF
= Lk() = Z
k) E(k) +........................................................................................................................................................................................................................................................... ., y el estado con la energía más baja
Eg.s.(k) en un sector de un impulso dado k se destaca por la asintótica
comportamiento del GF
Gk( ≤ máx.
1q,
) → Z(k) exp[−Eg.s.k)], (14)
donde el factor Z(k) es el peso del estado. Analizar el comportamiento asintótico
de GFs n-fonón similares [45, 52]
Gk(n, ; q1,. ..,qn) =
Bq1(l) ap(l)a
· · b†qn vacá, p = k−
j=1 qj.
se obtiene información detallada sobre el estado más bajo. Por ejemplo, importante
características de la función de onda de estado más baja
Por ejemplo.(k) =
q1...qn
(k;q1,...,qn)c
i,k−q1...−qnb
...b†qn vacá (16)
son parte de la contribución n-fonon
Z(k)(n)
q1...qn
Łi(k;q1,...,qn) 2 (17)
que se normaliza a la unidad
n=0 Z
k) n) 1 y el número medio de
fonones
8 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
Núcleo de la página web: http://europa.eu.int/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/unit/en/notice/search/search/unit/en/notice/en/notice/en/notice/notice/en/notice/en/notice/en/noticek)
b†qbq g.s.k) =
nZ(k)(n) (18)
en la nube polarónica. Otro ejemplo es la función de onda del electrón relativo-
movimiento de agujero de excitón en el estado más bajo en el sector de impulso dado
Por ejemplo.(k) =
•k p(g.s.)a
vacao. (19)
Las amplitudes k p(g.s.) de esta función de onda se puede obtener [46] de
comportamiento asintótico del siguiente GF (10)
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. 2 e−Eg.s.(k) (20)
La información sobre los estados excitados se obtiene mediante la continuación analítica
de tiempo imaginario GF a frecuencias reales que requiere para resolver el Fredholm
Ecuación Gk() = F [Lk()] (13)
Lk() = F1 [Gk()]. (21)
La ecuación (13) es una relación bastante general entre el tiempo imaginario GF/cor-
propiedades espectrales del sistema. Por ejemplo, la absorción
Coeficiente de luz por excitones I() se obtiene como solución de la misma ecuación
I() = F1
k=0()
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Además, la parte real de la conductividad óptica () se expresa [48] en
términos de la función de correlación corriente-corriente
() = 23)
2.1 Método Diagnóstico de Montecarlo
Método DMC es un algoritmo que calcula GF (10)-(12) sin ninguna
errores sistemáticos. Este algoritmo se describe a continuación para el caso más simple de
polarón sin estructura [45], y generalizaciones a casos más complejos pueden ser
encontrado en las referencias consiguientes4. DMC se basa en la expansión de Feynman de
Matsubara GF en tiempo imaginario en la representación de la interacción
4 Generalización de la técnica descrita a continuación para el caso de exciton (1-2) se da
en [46] y su modificación para pseudo-Jahn-Teller polaron (4-6) se desarrolla en
[52, 47]. Método para la evaluación de la función de correlación corriente-corriente puede ser
encontrado en [48] y un caso de un polarón interactuando con dos tipos de campos bosónicos
se considera en [49].
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 9
Gk() =
T♥
ak(l)a
(0) exp
............................................................................................................................................................................................................................................................
′)d′ ′
}] vac
; > 0.
Aquí es el operador de tiempo imaginario ordenando, vaca es un estado de vacío con-
fuera de partículas y fonones, int es la interacción Hamiltonian en (9). Signatura de
exponente denota la expansión de Taylor que resulta en la integración múltiple sobre
variables internas ′1, ′2,............................................................. .}. Los operadores están en la representación de interacción
) = exp[par + ph)]Â exp[(par + ph)]. Índice “con” significa que
expansion contiene sólo términos conectados donde no hay una integral sobre interna
Variables de tiempo ′1, ′2,. ..} se puede factorizar.
El teorema de Vick expresa el elemento matricial de los operadores ordenados por tiempo como un
suma de términos, cada uno es un factor de elementos de matriz de pares de operadores, y
Expansión (24) se convierte en una serie infinita de integrales con un aumento constante
número de variables de integración
Gk() =
m=0,2,4...
dx′1 · · · dx′m D()m)m (; {x′1,. .., x′m}). (25)
Aquí indice m significa diferentes diagramas de Feynman (FDs) de la misma
orden m. Término con m = 0 es el GF del QP G no interactuante
Función D(m)m ( ; {x′1,. .., x′m}) de cualquier orden m puede expresarse como un fac-
tor de GFs de cuasipartículas no interactivas, GFs de fonones, e interacción
vórtices V (k,q). Para el caso más simple de las expresiones del sistema hamiltoniano
para los GF de QP G
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
q (l) (l) = exp [q(l)2 − l)] (l) (l) > l) son bien conocidos.
Una característica importante del método DMC, que es diferente de la
fila de otros enfoques numéricos exactos, es la posibilidad explícita de incluir
GFs renormalizados en la expansión exacta sin ningún cambio del algoritmo.
Por ejemplo, si una amortiguación de QP, causada por algunas interacciones no incluidas
en el Hamiltoniano, es conocido, es decir. retardada auto-energía de QP
GF disponible, renormalizado
(l) =
- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí, sí., sí., sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí., sí.
Im.ret(k, Ł)
[ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
se puede introducir en lugar de GF G desnudo
(lc). Normas explícitas para la evaluación de
D(m)m no dependen del orden y la topología de FD. GFs de no interacción
(l) (o Gû(0)k (21)) con los tiempos y momentos correspondientes son los siguientes:
Atribuido a líneas horizontales y GFs no interactuantes de fonón D
q ( > > > ) q ( > > ) q ( > > ) q ( > > ) q ( > > ) q ( > > > ) q ( > > > ) q ( > > > ) q ( > > > > > > > > > > > > > > > > q ( > > > > > > > > > > q ( > > > > > > > > q ( > > > > > > > > > > > q ( > > > > > > > q ( > > > > > > > > > > > > > q ( > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
(multiplicado por el factor de los vórtices V correspondientes (k′,q)V*(k′′,q))
Atribuido al arco propagador de fonón (véase Fig. 1a). Entonces, D(m)m es el factor
de todos los SG. Por ejemplo, expresión para el peso del término de segundo orden
(Fig. 1b) es el siguiente:
10 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
Derivados no expresados ni comprendidos en otra parte
V (k,q)2D(0)q (
( ′1)G
k−q(l)
2 − ′1)G
()................................................................................................................................................. (27)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k k-q k
*0 *2*4*1 *3
k k-q-q’ k-q k
Fig. 1. a) Típico FD que contribuye a la expansión (25). b) FD del segundo
orden y (c) orden.
El proceso DMC es un procedimiento numérico que, basado en la Metropo-
principio de lis [81, 82], muestras diferentes FDs en el espacio de parámetros (, m, m, {x′m})
y recoge las estadísticas de la variable externa de una manera que el resultado de
las estadísticas convergen a GF Gk exactos. Aunque el muestreo del interior
los parámetros de un término en (25) y el cambio entre diferentes órdenes es por-
formado en el marco de un mismo proceso numérico,
es instructivo comenzar con el procedimiento de evaluación de un término específico
D()m)m (; {x′1,. .., x′m}).
A partir de un conjunto ; {x′1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
(viejo)
l → x
(nuevo)
l de una
se sugiere el parámetro elegido arbitrario. Esta actualización es aceptada o rechazada
según el principio de Metrópolis. Después de muchos pasos, alterando todas las variables,
estadísticas de la variable externa convergen a la dependencia exacta del término en
*............................................................................ Sugerencia de nuevo valor del parámetro x
(nuevo)
l = Índice
−1(R) es generado por
número aleatorio R + [0, 1] con una función de distribución normalizada W (xl)
en un rango x
(minutos)
l < xl < x
(máximo)
l. Sólo hay dos restricciones para esto
función arbitraria por lo demás. Primero, nuevos parámetros x
(nuevo)
No debo violarlo.
Topología FD, es decir, por ejemplo, tiempo interno ′1 en la Fig. 1c debe estar en el rango
[x(min) = 0, x(max) = ′3]. En segundo lugar, la distribución debe ser no cero para el
entero, permitido por la topología FD, dominio. Esta propiedad de ergodicidad es crucial
ya que es necesario tomar muestras de todo el dominio para que la convergencia sea exacta
¡Responda! En cada paso, actualizar x
(viejo)
l → x
(nuevo)
l es aceptado con probabilidad
Pacc = M (si M < 1) y siempre lo contrario. La relación M es la siguiente:
D()m)m (; {x′1,. .., x
(nuevo)
Yo,. .., x
m})/W (x
(nuevo)
D()m)m (; {x′1,. .., x
(viejo)
Yo,. .., x
m})/W (x
(viejo)
. (28)
Para distribución uniforme W = const =
(máximo)
l − x
(máximo)
, la probabilidad
de cualquier combinación de parámetros es proporcional a la función de peso D.
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 11
Sin embargo, para una mejor convergencia, la distribuciónW (xnewl ) debe estar tan cerca como
posible a la distribución real dada por la función D(m)m ({. .., x(nuevo)l,. ., }).
Para el muestreo sobre FDs de todas las órdenes y topologías es suficiente introducir
dos actualizaciones complementarias. Actualizar A transforma FD D(m)m ( ; {x′1,. ...........................................................................................................
en orden más alto FD D(m+2)m+2 ( ; {x′1,. .................................................................................................................................
arco, conectando algunos puntos de tiempo
4 por propagador de fonón con mo-
mentum q′ (fig. 1c). Tenga en cuenta que la relación de pesos D(m+2)m+2 /D
m no es
sin dimensiones. Relación de metropolis sin dimensiones
D(m+2)m+2 ( ; {x′1,. ...............................................................
D()m)m (; {x′1,. .., x′m})W (q′,
. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
contiene la función de probabilidad normalizada W (q′,
eliminación de nuevos parámetros5. Actualización complementaria B, eliminando el fonón
propagador, utiliza la relación M−1 [45].
Tenga en cuenta que todas las actualizaciones son locales, es decir. no dependen de la estructura de la
Todo el FD. Ni las reglas ni el tiempo de CPU, necesarios para la actualización, depende de la
FD orden. El método DMC no implica ninguna truncación explícita de la orden FDs
debido al tamaño finito de la memoria de la computadora. Siempre para el acoplamiento fuerte, donde típico
número de propagadores de fonón Nph, contribuyendo al resultado, es grande, influencia
del tamaño finito de la memoria no es esencial. Realmente, de acuerdo con el límite central
Teorema, número de propagadores de fonón obedece Gauss distribución centrada
a N̄ph con la mitad de ancho del orden de
N̄ph [83]. Por lo tanto, si un recuerdo para en
mínimo 2N̄ph propagadores está reservado, diagrama de orden apenas supera este límite.
2.2 Método de optimización estocástica
El problema de invertir la ecuación integral (13) es un problema mal planteado.
Debido a la información ruidosa incompleta sobre GF Gk(), que se conoce con
errores estadísticos en un número finito de veces imaginarias en un rango finito [0, max],
hay un número infinito de soluciones aproximadas que reproducen GF dentro
algunos rangos de desviaciones y el problema es elegir “el mejor”. Otro
El problema, que es un obstáculo durante décadas, es el ruido de los dientes de sierra insta-
bilidad. Se produce cuando la solución se obtiene por un método ingenuo, por ejemplo. utilizando
enfoque de mínimos cuadrados para minimizar la medida de desviación
D[Lk()] =
∫ max
Gk(
G−1k ()dl. (30)
En este caso, se obtiene de aproximadamente LF L
operador G‡k() = F
Lk()
in (13). La inestabilidad de los dientes de sierra corrompe LF en el
rangos donde LF real es suave. Fluctuaciones rápidas de la solución A menudo
5 El factor pA/pB depende de la probabilidad de abordar procesos add/remove.
12 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
tienen una amplitud mucho mayor que el valor real de LF Lk(). Herramientas estándar
para la supresión del ruido de los dientes de sierra se basan en la idea de los primeros 60-es de Fillips-
Método de regularización de Tikhonov [84, 85, 86, 87]. Un funcional no lineal, que
Suprime los derivados grandes de la solución aproximada L
medida de desviación lineal (30). Variante más popular de los métodos de regularización
es el Método Máximo de Entropía [61].
Sin embargo, el LF típico de un QP en un campo de bosón consiste en picos funcionales
y un continuum incoherente suave con un borde afilado [45, 54]. Por lo tanto, sup-
presión de los derivados altos, como estrategia general del método de regularización,
falla. Además, cualquier aplicación específica del método de regularización utiliza
malla predefinida en el espacio de..........................................................................................................................................................................................................................................................
el caso de picos agudos. Si la ubicación real de un pico agudo está entre
puntos discretos predefinidos, el resto de la densidad espectral puede ser distorsionado ser-
Y el reconocimiento. Finalmente, la regularización del enfoque de la Entropía Máxima requiere
suposición de la distribución de Gauss de los errores estadísticos en Gk(l), que podría ser
no válido en algunos casos [61].
Recientemente, un método de optimización estocástica (SO), que elude
las dificultades mencionadas anteriormente, se desarrollaron [45]. La idea del método SO
es generar un número M lo suficientemente grande de nonreg-
Soluciones ulularizadas {L贸(s)
, s = 1,...,M, que las medidas de desviación D(s) son
menor que algún límite superior Du, dependiendo del ruido estadístico del GF
Gk(). A continuación, utilizando la linealidad de las expresiones (13), (30), la solución final es
se encuentra como la media de soluciones particulares {L(s)
Lk() = M
(.................................................................................................................... 31)
Solución particular L
Se parametrizó en términos de suma
() =
de rectángulos {Pt} = {ht, wt, ct} con altura ht > 0, anchura wt > 0, y centro
ct. Configuración
C = Pt}, t = 1,...,K}, (33)
que cumple la condición de normalización
t=1 htwt = 1, define la función
Gk(). El procedimiento de generar una solución particular comienza desde el estocástico
elección de la configuración inicial Cinits. Entonces, la medida de desviación es optimizada por
una consecuencia elegida al azar de las actualizaciones hasta que la desviación sea inferior a Du. In
Además de las actualizaciones, que no cambian el número de términos en la suma (32),
hay actualizaciones que aumentan o disminuyen el número K. Por lo tanto, desde el
número de elementos K no es fijo, cualquier función espectral se puede reproducir
con la precisión deseada.
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 13
Aunque cada solución en particular L
() sufre de ruido de los dientes de sierra en
el área de LF suave, la independencia estadística de cada solución conduce a sí mismo
promedio de este ruido en la suma (32). Tenga en cuenta que la supresión de ruido ocurre
sin supresión de altos derivados y, por lo tanto, picos y bordes afilados
no están manchados en contraste con los enfoques de regularización. Por lo tanto, vio
la inestabilidad del ruido dental es derrotada sin corrupción de picos y bordes afilados.
Además, la parametrización continua (32) no necesita malla predefinida en
Espacio. Además, dado que el espacio de solución de Hilbert se muestra directamente, cualquier
no es necesario suponer la distribución de los errores estadísticos.
Método SO fue aplicado con éxito para restaurar LF de Fröhlich polaron
[45], Rashba-Pekar exciton-polaron [54], agujero-polaron en modelo t-J [53, 49],
y sistema de rotación de muchas partículas [88]. Cálculo de la conductividad óptica de
polaron por el método SO se puede encontrar en [48]. El método SO parecía ser útil
en los casos en que el límite asintótico de GF, dando información sobre el estado del suelo,
no se puede alcanzar. Por ejemplo, señales de fluctuaciones de los términos en la expansión
(25) para un agujero en el modelo t-J conduce a estadísticas deficientes en grandes ocasiones [53],
Sin embargo, el método SO es capaz de recuperar energía y factor Z incluso de
GF conocido sólo en tiempos imaginarios pequeños [53].
2.3 Ventajas y inconvenientes de la maquinaria DMC-SO
Entre los métodos numéricos, capaces de obtener resultados cuantitativos en el
problema de exciton (1) y (2), se puede enumerar función de densidad dependiente del tiempo
la teoría nacional [89], la técnica de Hanke-Sham de corregir la excita-
energía de la tion [90, 91], y enfoques que resuelven directamente la ecuación Bethe-Salpeter
[92, 93, 94]. Estos últimos proporcionan información bastante precisa sobre los dos aspectos siguientes:
partícula GF. Sin embargo, el uso de malla finita en el espacio directo/reciproca, que
se evita en el método DMC, lleva a su fracaso en el régimen de Wannier [93].
En contraste con el método DMC, ninguno de los métodos numéricos tradicionales
puede dar resultados confiables para propiedades medibles de estados excitados de polarón
a rango arbitrario de interacción electrón-fonón para el sistema macroscópico
en el límite termodinámico. Método exacto de diagonalización [95, 96, 97, 98]
puede estudiar estados excitados aunque sólo en sistemas de tamaño finito bastante pequeños y
resultados de este método ni siquiera están justificados en el sentido variacional en el
límite termodinámico [99]. Hay un lote de variaciones bastante eficaces “ex-
los métodos de traducción de actos” [99, 100, 101, 102, 103] en los que se
el espacio de impulso y, por lo tanto, el principio variacional se aplica en el
límite termodinámico. Aunque estos métodos pueden revelar pocos discreto excitado
estados, su fracaso para la interacción de largo alcance y para la dispersión, especialmente acústica
fonones debido al crecimiento catastrófico de la base variacional. Una no perturbadora
la teoría, que es capaz de dar información sobre las propiedades espectrales en el
límite modinámico al menos para un electrón, es la Teoría de Campo Media Dinámica
[104, 105, 106, 107]. Sin embargo, da una solución exacta sólo en el caso de
dimensión infinita que no corresponde a un sistema realista y puede ser
solo se considera una guía para la extrapolación a dimensiones finitas [108].
14 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
Recientemente desarrollado la teoría de la perturbación de los clusters, donde exactamente diagonaliza-
la mejora de un clúster teniendo en cuenta los intergrupos inter-
acción [109, 110, 111, 112, 113], es aplicable para el estudio de los estados excitados,
pero limitado a retículas unidimensionales o sistemas bidimensionales con
Interacción de rango. Método tradicional de grupo de renormalización densidad-matriz
[114, 115, 116, 117, 118] es muy eficaz, aunque en su mayoría se limita a
sistemas dimensionales y escaleras. Por último, recientemente desarrollado camino integral
El algoritmo cuántico Monte Carlo [119, 120, 121, 122] es válido para cualquier dimensión.
sión y tiene debidamente en cuenta las interacciones de casi largo alcance [123]. Ruta
método integral es capaz de obtener la densidad de los estados [119, 120] y
los exponentes de isótopos [121, 124]. Sin embargo, los cálculos de carácter medible
tics de estados excitados, como ARPES o conductividad óptica, por este método
nunca fueron reportados.
En conclusión, ninguno de los métodos, excepto la combinación DMC-SO, puede obtener
en el momento de la aproximación de los resultados libres de cantidades físicas medibles
para algunos QPs interactuando con un baño bosónico macroscópico en el termo-
límite namic. De hecho, existen limitaciones de los métodos DMC y SO. DMC
método no funciona en muchos sistemas de fermión debido al problema de signos y SO
El método falla a altas temperaturas, comparable a las energías de las especificaciones dominantes.
picos tral, porque incluso muy pequeño ruido estadístico de GFs se convierte Fredholm
Ecuación (13) en el problema esencialmente "indefinido" [84].
3 Propiedades Espectrales del Polarón Fröhlich
Antes del desarrollo de los métodos DMC-SO, la información sobre la
Los estados de los modelos polaron, especialmente el de Fröhlich, eran muy limitados. Knowl-
borde de LF se basó en los resultados de la aproximación de dimensiones infinitas [125],
diagonalización exacta [126, 96, 97, 97], o fuerte expansión del acoplamiento [127]. No
una de las técnicas anteriores fue capaz de obtener el LF de polarón con
las aproximaciones, especialmente para la interacción a largo plazo cuando las dificultades de
los métodos numéricos tradicionales aumentan drásticamente. De manera similar, óptica
la conductividad (OC) del modelo Fröhlich sólo se conocía en el acoplamiento fuerte ex-
aproximación de la pansión [128], en el marco de la teoría de la perturbación
[129], o se basó en la técnica integral de trayectoria variable Feynman [75].
En esta secta. se consideran los resultados exactos de DMC-SO en LF [45] y OC [48, 57] de
Fröhlich polaron modelo.
3.1 Función Lehmann del Fröhlich Polaron
La expresión de la teoría de la perturbación para la parte de alta energía ( > 0) de la
LF para potencial de interacción arbitraria V ( q ) lee [45] (frecuencia de la
fonón óptico ph se fija en la unidad)
Lk=0( > 0) =
* 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1
V (
2 (- 1)) 2 (- 1). (34)
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 15
Parte de baja energía del LF para la interacción de corto alcance V ( q ) =
0 2 4 6
0,000
0,002
0,004
0,006
0 2 4 6
2 4 6
2 4 6
2 4 6
1,0 1,2
L a)
Fig. 2. Comparación de los resultados numéricos (líneas sólidas) y la perturbación
la teoría (líneas de dashed) para los LFs del modelo Fröhlich con α = 0,05 (a) y el
modelo de interacción de corto alcance con α = 0,05 y فارسى = 1 (b). LFs de Fröhlich polaron
para α = 0,5 (c), α = 1 (d) y α = 2 (e). La energía se mide a partir de la de la
estado de la tierra del polarón. El fragmento inicial del LF para α = 1 se muestra en
la entrada (f).
(q2 + 2)-1/2, reduciéndose a la Fröhlich cuando 0, es
Lk=0( < 0) =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (35)
Comparación de partes de baja energía del LF del modelo Fröhlich, obtenida
por DMC-SO y tomado de (35), muestra perfecto acuerdo para α = 0,05: el
precisión para la energía polaron y el factor Z es de aproximadamente 10-4. Por otra parte,
Parte de alta energía del resultado numérico (Fig. 2) se desvía significativamente de la de
la expresión analítica (35). Esto no es sorprendente ya que para Fröhlich polaron
la expresión de la teoría de la perturbación es divergente como • → •ph y, por lo tanto,
la teoría de la perturbación se rompe. Cuando la teoría de la perturbación es obviamente
válida, por ejemplo. para el caso de finito = 1, hay un acuerdo perfecto entre
expresión analítica y resultados DMC-SO (Fig. 2b). Tenga en cuenta que la alta energía
parte de Lk=0() se restaura con éxito por el método SO a pesar del hecho de que
el peso total de la característica para α = 0,05 es inferior a 10−2.
La desviación principal del LF real de la teoría de la perturbación resultado
es el pico más amplio en el LF real en â € ¬ 3.5. Para estudiar esta característica
Se calculó Lk=0(Ł) para α = 0,5, α = 1, y α = 2 (fig. 2c-e). El pico
16 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
0 4 8 12
0 4 8 12
0 4 8 12
=4 =6
Fig. 3. Evolución de la densidad espectral con α en la región de cruce de interme-
diate a acoplamientos fuertes. El pico del estado del suelo polarón se muestra sólo para α = 8.
Tenga en cuenta que el análisis espectral todavía lo resuelve, a pesar de su muy pequeño peso < 10−3.
es visto para valores más altos de la constante de interacción y su peso crece con
α. Cerca del umbral, = 1, LF demuestra la dependencia de raíz cuadrada
- 1 (Fig. 2f).
Para rastrear la evolución del pico en valores más altos de α el LF fue cal-
culado [45] para α = 4, α = 6, y α = 8 (fig. 3). A α = 4 el pico en
4 ya domina. Además, aparece un hombro distinto de alta energía
a α = 4, que se transforma en un pico amplio a • • 8,5 en el LF para α = 6.
El LF para α = 8 demuestra una mayor redistribución del peso espectral
entre diferentes máximos sin un cambio significativo de las posiciones de pico.
3.2 Conductividad óptica de la Polarón de Fröhlich: Validez de la
Principio de Franck-Condon en la espectroscopia óptica
El principio FC [130, 131] y su validez han sido ampliamente discutidos en
ies de transiciones ópticas en átomos, moléculas [132, 133] y sólidos [134, 9].
En general, el principio de FC significa que si sólo uno de los dos subsistemas acoplados
tems, p. ej. un subsistema electrónico, afectado por una perturbación externa,
El segundo subsistema, por ejemplo, la celosía, no es lo suficientemente rápido como para seguir la re-
construcción de la configuración electrónica. Es evidente que la justificación
para el principio FC es el corto tiempo característico de la medición pro-
cess lmp lc, donde lmp está relacionado con el desfase de energía entre el
y los estados finales, E, a través del principio de incertidumbre:
Es el tiempo necesario para ajustar la celosía cuando el componente electrónico
está perturbado. Entonces, la respuesta espectroscópica depende considerablemente de la
Por ejemplo, en los sistemas de valencia mixta, en los que el valor de la relación entre el valor y el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación, por ejemplo, en los sistemas de valencia mixta, cuando la relación entre el valor de la relación entre el valor de la relación y el valor de la relación entre el valor del valor de la relación y el valor del valor de la relación de la relación entre el valor del valor de la relación entre el valor de la relación y el valor del valor del valor del valor del valor de la relación de la relación entre el valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor de la relación de la relación de la relación de la relación de la relación de la relación del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor del valor
valencia iónica fluctúa entre las configuraciones f5 y f6 con características
time 10-13s, espectros de experimentos rápidos y lentos son dramáticamente dif-
ferent [135, 136]. Experimentos de fotoemisión con tiempos característicos cortos
(régimen FC), revelan dos líneas, correspondientes a f5 y f6
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 17
estados. Por otro lado lento Mössbauer isomer medidas de cambio con
Los 10–9s muestran un único pico amplio con frecuencia media entre
señales de cáscaras f5 y f6. Por último, según el paradigma de mea-
tiempo del proceso de garantía, dispersión de neutrones magnéticos con
ambas líneas coherentes con todos los subsistemas ajustados dinámicamente e inco-
restos herentes de excitación fuertemente amortiguada de proyectiles f5 y f6 [137, 138].
En realidad, el significado de los tiempos Łic y Łmp varía con el sistema y
con el proceso de medición.
Estudiar la interacción entre el tiempo del proceso de medición
el tiempo justo, el OC del polarón de Fröhlich fue estudiado en [57]
el débil al fuerte régimen de acoplamiento por tres métodos. El método DMC da
Respuesta numéricamente exacta que se compara con el formalismo de la función de memoria
(MFF), que es capaz de tener en cuenta la relajación dinámica de celosía, y
una fuerte expansión del acoplamiento (SCE), que asume el enfoque FC. Fue encontrado.
que cerca del acoplamiento crítico αc 8.5 un cambio dramático del espectro OC
se produce: dominando el pico de CO se divide en dos satélites. En este régimen crítico
el superior (inferior) uno disminuye rápidamente (aumenta) es el peso espectral como el
el valor del acoplamiento aumenta constantemente. Además, mientras que OC sigue la predicción de
MFF a α < αc, su dependencia cambia a la predicha por SCE para mayor
acoplamientos. Se llegó a la conclusión de que, para la medición de CO de polarón, la
El tiempo de ajuste de la energía típica no adiabatica D. Nona-
diabaticidad destruye clasificación FC en α < αc mientras que el principio FC rápidamente
recupera su validez en grandes acoplamientos debido al rápido crecimiento de la separación de energía
entre los estados inicial y final de las transiciones ópticas.
Comparación de los datos exactos de DMC-SO para OC con los resultados
Los métodos proximales mostraron [48] que la técnica integral del camino de Feynman
[75] de Devreese, De Sitter y Goovaerts, donde se calcula el inicio del OC
del modelo de variación de Feynman [139], es el único que describe con éxito
evolución de la energía del pico principal en OC con constante de acoplamiento α (véase
[58]). Sin embargo, a partir del régimen de acoplamiento intermedio, este enfoque
no reproduce el ancho del pico. Posteriormente, el enfoque integral de la trayectoria
fue reescrita en términos de MFF [140]. A continuación, en [57] el MFP ampliado para:
el malismo, que introduce procesos de disipación fijados por reglas exactas de suma, fue
se ha desarrollado [141].
Como se muestra en la Fig. 4a, en el régimen de acoplamiento débil, el MFP, con o con
disipación, está en muy buen acuerdo con los datos de DMC, mostrando significativa
mejora con respecto al enfoque de la perturbación del acoplamiento débil [129] que
proporciona una buena descripción de los espectros OC sólo para valores muy pequeños de α. Por
1 ≤ α ≤ 8, donde el MFF estándar no reproduce la anchura máxima (fig. 4b-d)
e incluso la posición de pico (Fig. 4c), la amortiguación, introducido para extender
El plan del MFP se vuelve crucial. Los resultados del MFP extendido son exactos para el
energía máxima y bastante satisfactoria para la anchura máxima (Fig. 4b-e). Tenga en cuenta que
la ampliación del pico de datos DMC no es consecuencia de la mala calidad
del procedimiento de continuación analítica, ya que los métodos DMC-SO son capaces de re-
Encarnando características tan finas como los umbrales de emisión de 2 y 3 fonones (Fig. 4b).
18 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8 10 12
0 5 10 15
0 5 10 15
a) b)
=5,25
Fig. 4. Comparación de la conductividad óptica calculada mediante el método DMC (círculos),
MFF extendido (línea sólida), y DSG [75, 140] (línea de dado) para diferentes valores de
α. Las flechas inclinadas indican umbrales de absorción de 2 y 3 fonones.
0 5 10 15 20
0 10 20 30
0 10 20 30 40
0 5 10 15
0 5 10 15
a) b)
Fig. 5. a)-c) Comparación de la conductividad óptica calculada dentro del DMC
método (círculos), el MFF extendido (línea sólida), y SCE (línea punteada) para diferentes
valores de α. d) La energía de las características de frecuencia inferior y superior (círculos y
ángulos, respectivamente) en comparación con la energía de transición FC con el SCE (dashed
línea) y con la energía del pico obtenida de la MFF extendida (línea sólida).
En el inset, los pesos de FC y transiciones adiabaticamente conectadas se muestran como
una función de α (para η = 1.3.)
Sin embargo, un cambio dramático de OC ocurre alrededor de la fuerza crítica del acoplamiento
αc 8.5. El pico dominante de OC se divide en dos, la energía del amante
uno que corresponde a las predicciones de expansión SCR y la de
uno obedeciendo el valor MFF extendido (Fig. 5a). El hombro, correspondiente a
dinámico ampliado MFF contribución, disminuye rápidamente es la intensidad con
aumento de α y en general α (fig. 5b-c) el OC está de acuerdo con
fuerte expansión del acoplamiento, asumiendo el esquema FC. Finalmente, comparando energías
de los picos, obtenidos por DMC, MFF extendido y FC de acoplamiento fuerte ex-
pansion (Fig. 5d), concluimos que en el acoplamiento crítico αc 8.5 el espectral
propiedades cambian rápidamente de dinámico, cuando la celosía se relaja en la transición, a
Régimen FC, donde los núcleos se congelan en configuración inicial.
Con el fin de obtener una idea de los autores del desglose FC de [57] considerar la fol-
Discusiones blooding. Los estados adiabáticos aproximados no son estados autóctonos exactos
del sistema. Estos estados se mezclan por elementos no diagonales de la matriz
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 19
nondiabatic operator D y los eigenstatos exactos son combinaciones lineales de la
funciones de ondas adiabáticas. Estar interesado en las propiedades de la transición de
g) a un estado excitado (ex), cuya energía corresponde a la del OC
pico, es necesario considerar la mezcla sólo de estos estados y expresar exactamente
funciones de onda como una combinación lineal [142, 143] de suelo y excitado adi-
estados abáticos. Los coeficientes de superposición se determinan a partir de la norma
técnicas [142, 143] en las que los elementos no diagonales de la matriz no adiabática
operador [142] se expresan en términos de elementos matriciales de la energía cinética
operador M, la brecha entre estado excitado y estado de tierra E = Eex − Eg y
el número nβ de fonones en estado adiabático:
D± =M(E)−1
nβ + 1/2± 1/2 +M2(E)−2. (36)
La medida en que la celosía puede seguir la transición entre estados electrónicos,
depende del grado de mezcla entre los eigenstatos exactos iniciales y finales
a través de la interacción no adiabatica. Si los estados iniciales y terrestres son fuertes
La clasificación adiabática no tiene sentido y, por lo tanto, el FC pro-
los cestos no tienen lugar y la celosía se ajusta al cambio de los estados electrónicos
durante la transición. En el límite opuesto la aproximación adiabática es válida
y los procesos de FC dominan. Estimación del peso del componente FC
IFC [57] es igual a unidad en el caso de la mezcla cero y cero en el caso
de mezcla máxima. El peso de la transición adiabéticamente conectada (AC)
IAC = 1− IFC se define en consecuencia. El elemento matriz no diagonal M es pro-
porteal al cuadrado raíz de α con un coeficiente η del orden de la unidad.
En el régimen de acoplamiento fuerte, suponiendo que
los datos), y nβ Ł E (nβ 1), se obtiene
IFC =
1 + 4(mp/ic)
, (37)
en los que mp = 1 / E y Łic = 1/D. Para η del orden de la unidad se obtiene
descripción cualitativa de una transición bastante rápida de la CC- a la FC-dominada
transición, cuando IFC e IAC intercambian la mitad de sus pesos en el rango
de α de 7 a 9. La razón física para un cambio tan rápido es el más rápido
crecimiento de la separación de la energía EE α2 en comparación con el de la matriz ele-
• α1/2. Por último, para los grandes acoplamientos, los estados inicial y final se convierten en
Adiabaticamente desconectado. El interruptor rápido AC-FC no tiene nada que ver con
el fenómeno de auto-trampa donde el cruce y la hibridación del suelo
y un estado excitado ocurre. Este fenómeno es propiedad de la transición
entre diferentes estados y relacionados con la elección de si la celosía puede o puede
no seguir adiabaticamente el cambio de estado electrónico en la transición.
4 Self-Trapping
En esta sección se considera el fenómeno de auto-trampa (ST) que, debido a
importancia esencial de la interacción de muchas partículas de QP con el baño bosónico de
20 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
sistema macroscópico, nunca fue tratado por método exacto antes. Comenzamos
con una definición básica del fenómeno de las enfermedades de transmisión sexual e introducir la
criterio para su existencia. A continuación, se demuestran las características genéricas de ST
en un modelo simple de Rashba-Pekar exciton-polaron en Sect. 4.1. Se muestra
en Secc. 4.2 que el criterio no es un dogma ya que incluso en una dimensión
sistema, donde ST está prohibido por el criterio de la existencia, uno puede observar todos
características principales de ST debido a la naturaleza peculiar de los estados electrónicos.
En términos generales [7, 80], ST es una transformación dramática de las propiedades de un QP
cuando los parámetros del sistema se modifican ligeramente. La razón física de ST es un
resonancia cuántica, que ocurre en alguna interacción crítica constante γc,
entre “atrapado” (T) estado de QP con fuerte deformación de celosía alrededor
y “libre” (F). Naturalmente, la transición ST no es abrupta debido a
interacción no adiabatica entre los estados T y F y todas las propiedades del QP
son analíticas en γ [144]. En el pequeño γ < γc, estado del suelo es un estado F que es
débilmente acoplados a los fonones mientras que los estados excitados son estados T y tienen un grande
Deformación de celosía. A los acoplamientos críticos γ γ γc el crossover y la hibridación
de estos estados ocurre. Entonces, para γ > γc los papeles de los Estados de intercambio. Los
Estado más bajo es un estado T, mientras que el superior es un estado F.
En primer lugar, y hasta ahora el único criterio cuantitativo para la existencia de ST era
dado en términos de las propiedades del estado del suelo en la aproximación adiabática.
Este criterio considera la estabilidad del estado deslocalizado en celosía no distorsionada
= 0 con respecto a la ganancia de energía debido a la distorsión de celosía 6= 0. ST
fenómeno se produce cuando el estado completamente deslocalizado con = 0 se separa
de estado distorsionado con 6= 0 por una barrera de potencial adiabático. Uno de
Estos estados son estables mientras que otros son meta-estables. El criterio de barrera
la existencia se define en términos del índice de estabilidad
s = d− 2 (1 + l), (38)
donde d es la dimensionalidad del sistema. Índice l determina el rango de la fuerza
limq→0 •(q) • q−l, donde •(R) es el núcleo de interacción U(Rn) = •(Rn −
Rn′) /(Rn′) potencial de conexión U(Rn) con distorsión generalizada de la celosía
(Rn′) [7]. La barrera existe para s > 0 y no existe para s < 0. Los
cambio discontinuo del estado polaron, es decir, ST, se produce en el primer caso
mientras que no sucede en este último caso. Cuando s = 0, este argumento de escalado
por sí solo no puede concluir la presencia o ausencia de la ST y más detallada
Es necesario un debate para cada modelo.
4.1 Ejemplo típico de la auto-trampa: Rasba-Pekar
Exciton-Polaron
El ejemplo clásico de un sistema con el fenómeno ST es el tridimensional
Rasba-Pekar continuo exciton-polaron en la aproximación de la intrabanda
dispersarse, es decir. cuando la interacción electrón-fonón polar (EPI) con dispersión-
menos phonones ópticos ph = 1 no cambia la función de la onda interna
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 21
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
0 10 20 30 40
Fig. 6. La energía del estado del suelo (a), la masa efectiva (b), y el número medio de
fonones en función de la constante de acoplamiento (c). Pesos parciales de los estados n-fonón (d)
en el estado del suelo polarón (k = 0) a γ = 18 (círculos), γ = 18,35 (cuadrados), y
γ = 19 (diamantes). Línea punteada en el panel (a) es el resultado de un fuerte límite de acoplamiento
y la línea discontinua es el resultado de la teoría de la perturbación.
movimiento electrón-agujero. El sistema se define como un QP sin estructura con dispersión
• k) = k2/2 y acoplamiento de corto alcance a los fonones [54, 7]. Criterio general de
la existencia de ST se satisface para el sistema tridimensional con corto alcance
la interacción [54, 7, 50] y, por lo tanto, se espera observar las características típicas de la
fenómeno.
Se muestra [54] que en las proximidades del acoplamiento crítico γc 18
Número medio de fonones Nácar en (18) y masa efectiva m* rápidamente en-
pliegue en el estado del suelo por varios órdenes de magnitud (Fig. 6b a c). Además,
una resonancia cuántica entre las nubes fonónicas polarónicas de estado F y T es
demostrado. Distribución de las contribuciones parciales de n-fonón Z(k=0)(n) en
(17) tiene un máximo de n = 0 en el régimen de acoplamiento débil, que
responde a la deformación débil, y un máximo en n + 1 en el fuerte
régimen de acoplamiento, que es consecuencia de una fuerte distorsión de la celosía. ¿Cómo...?
siempre, debido a la resonancia F-T hay dos picos distintos en n = 0 y n + 1
en el caso de γ γc (fig. 6d).
Cerca del acoplamiento crítico γc el LF de polarón tiene varios estados estables
(Fig. 7 a-b) por debajo del umbral del continuum incoherente Egsph. Cualquier estado
por encima del umbral es inestable debido a la emisión de un fonón con transición
al estado del suelo en k = 0 con Egs de energía está permitido. Por otra parte,
la decadencia está prohibida por las leyes de conservación para los estados por debajo del umbral. De-
Pendencia de las energías del suelo y resonancias excitadas en la interacción
constante se asemeja a una imagen de cruce de varios estados que interactúan con cada uno
otros (Fig. 7c).
Según el cuadro general del fenómeno ST, el estado F más bajo en
el régimen de acoplamiento débil a k = 0 tiene una pequeña masa efectiva m*
orden de la masa QP desnuda m. Al contrario, la masa efectiva de excitado
Estado m* m es grande. Por lo tanto, por debajo del acoplamiento crítico la energía de la
Estado F, que es más bajo en k = 0, tiene que alcanzar una banda plana de estado T en
algo de impulso. Entonces, el estado F y T tienen que hibridar e intercambiar en
22 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
0 1 2 3
17 18 19
0 2 4
Fig. 7. LF L(k=0)(l) en el acoplamiento crítico γ = γc (a) y para γ > γc (b). La energía es
cuenta desde el estado de tierra polaron. c) Dependencia de la energía del estado del suelo
(cuadrados) y estados excitados estables (círculos, diamantes y triángulos) en el acoplamiento
constante. La línea rota es el umbral del continuum incoherente. Dependencia
de energía (d) y número medio de fonones (e) en el vector de onda en γ < γc
(círculos y rectángulos). Línea estrujada es la aproximación efectiva de masa E(k) =
Egs + k
2/2m* para parámetros Egs = −3,7946 y m* = 2,258, obtenidos por DMC
estimadores para un valor dado de γ. Línea punteada es una ley de dispersión parabólica que es
montados para durar 4 puntos de la curva de dispersión de energía con parámetros E1 = −3,5273 y
m*1 = 195. El cuadrado vacío es la energía del primer estado estable excitado a cero impulso
obtenido por el método SO.
energía. Los datos de DMC visualizan esta imagen (Fig. 7 d-e). Después de que el estado F cruza la
banda plana de estado T excitado, el número medio de fonones aumenta y
la dispersión se vuelve plana.
Es natural suponer que por encima del acoplamiento crítico la situación es
opuesto: el estado del suelo es el estado T con gran masa efectiva mientras que excitado
El estado F tiene una masa pequeña, casi desnuda y efectiva. De hecho, esta suposición era
confirmado en el marco de otro modelo que se considera en la Secc. 6.1.
Además, se demostró que en el régimen de acoplamiento fuerte excitaron resonancia
hereda no sólo la masa efectiva desnuda alrededor de k = 0, sino toda la dispersión
ley del QP desnudo [49].
4.2 Autotrampa impulsada por la degeneración
Según el criterio (38), el fenómeno ST en sistemas unidimensionales
no se produce. Aunque esta declaración es probablemente válida para el
el caso de una sola banda en la gama de energía pertinente, no es el caso para el
casos genéricos multibanda. Este hecho ha sido inadvertido durante muchos años,
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 23
que impidió la explicación adecuada de la física desconcertante de casi uno-
compuesto dimensional Antraceno-PMDA, aunque sus propiedades ópticas
[65, 145, 146, 147, 66, 148] sugiere directamente la resonancia de los estados T y F.
La razón es que en el Antraceno-PMDA, en contraste con las condiciones en las que
criterio (38) se obtiene, hay dos bandas de exciton casi degeneradas.
Entonces, uno puede considerar el mecanismo de auto-trampa cuasi-degenerado cuando ST
fenomenal es impulsado por la interacción no diagonal de los fonones con
generar niveles de excitón [52]. Este mecanismo ya se ha propuesto para la
nación de propiedades de sistemas de valencia mixta [143] aunque su relevancia fue
nunca demostrado por un enfoque exacto.
0,0 0,5 1,0 1,5
0,0 0,5 1,0 1,5
0 10 20
Fig. 8. La dependencia de la energía (a) y el número medio de fonones (b)
Constante diagonal de acoplamiento de 12° a 11° ° = 0 y 22° ° = 0,25. Distribución de Phonon en
cloud polaron por debajo del punto ST en 12 = 1.0125 (c), en el punto ST en 12 = 1,0435 (d),
y por encima del acoplamiento ST, en el punto 12 ° = 1,0625 (e).
El modelo mínimo para demostrar el mecanismo de cuasi-degenerado
auto-trampa implica una rama fonográfica óptica con frecuencia •ph = 0.1
y dos ramas de excitón con energías +1,2(q) = + + 2[1 − cos(q)], donde
*1 = 0 y *2 = 1. Presencia de corto rango diagonal γ22 y no diagonal
Interacciones de γ12 (con las correspondientes constantes adimensionales 22 = γ
22/(2o)
y 12 = γ
12/(2-)) conduce a un comportamiento clásico de auto-trampa incluso en uno-
sistema dimensional [52] (véase Fig. 8).
5 Exciton
A pesar de los numerosos esfuerzos realizados a lo largo de los años, no ha habido una tecnología rigurosa.
nique a resolver para las propiedades de exciton incluso para el modelo más simple (1)-(2) que
trata las interacciones electrón-electrón como un poten estático renormalizado Coulomb-
tial con screening dinámico promedio. Los únicos casos solucionables son el Frenkel.
límite de radios pequeños [67] y el límite de radios grandes de Wannier [68] que describen
Cristales moleculares y aislantes de gran distancia con gran constante dieléctrica, re-
Desde el punto de vista de las perspectivas. Mientras tanto, incluso los datos precisos para los límites de validez de la
24 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
Las aproximaciones de Wanner y Frenkel no han estado disponibles. Como se indica en
Sects. 1.2 y 2.3, los enfoques semianalíticos tienen poco que añadir al problema cuando
se necesitan resultados cuantitativos, mientras que los métodos numéricos tradicionales no logran
reproducirlos incluso en el régimen de Wannier. Por el contrario, los resultados de DMC
no contienen ninguna aproximación.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Ancho de banda
0,0 20,0 40,0 60,0 80,0
Ancho de banda
0 5 10 15 20 25
Esfera de coordenadas
−0,05
0 200 400 600 800 1000
Distancia entre los orificios y los electrones
0 2 4 6 8 10
Esfera de coordenadas
0 1 2 3 4
Esfera de coordenadas
Fig. 9. Panel (a): dependencia de la energía de unión de exciton en el ancho de banda
Ec = Ev para bandas de conducción y valencia. La línea discontinua corresponde a la
Modelo Wanner. La línea sólida es la espinilla cúbica, los derivados a la derecha y a la izquierda
los extremos se fijan por el límite Wannier y la teoría de la perturbación, respectivamente. Inset
en el panel (a): la parte inicial de la parcela. Panel (b): la función de onda de
movimiento en el espacio real para el exciton monopolar ópticamente prohibido. Paneles (c)-(e):
la función de onda del movimiento interno en el espacio real: (c) Wannier [Ec = Ev = 60]; (d)
[Ec = Ev = 10]; e) regímenes cercanos a Frenkel [Ec = Ev = 0,4]. El sólido
línea en el panel (c) es el resultado del modelo Wannier mientras que las líneas sólidas en otros paneles son
para guiar sólo a los ojos.
Para estudiar las condiciones de validez de los regímenes de limitación por método DMC,
espectro electrón-agujero del sistema tridimensional fue elegido en la forma
de valencia simétrica y bandas de conducción con ancho Ec y hueco directo Eg
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 25
con un impulso cero [46]. Para una relación grande W = Ec/Eg, cuando W > 30, exci-
ton energía vinculante está en buen acuerdo con los resultados de aproximación Wannier
(Fig. 9a) y la densidad de probabilidad del movimiento relativo del agujero electrónico corresponde
(Fig. 9c) a hidrógeno-como resultado. El resultado sorprendente es el requisito de
anchos de banda bastante grandes de valencia y conducción (W > 20) para la aplicabilidad de
Aproximación Wannier. Para valores más pequeños de W la energía de unión y la onda
función de movimiento relativo (Fig. 9d) se desvían de los resultados de gran radio. En el
de manera similar, las condiciones de validez del enfoque de Frenkel están bastante restringidas
También. Por otra parte, incluso fuerte localización de la función de onda no garantiza
buen acuerdo entre exact y Frenkel resultado de aproximación para la unión
energía. A 1 < W < 10 la función de onda ya está fuertemente localizada aunque
la energía de unión difiere considerablemente del resultado de aproximación de Frenkel. Por
ejemplo, en W = 0.4 movimiento relativo está bien localizado (Fig. 9e) Considerando que la
energía de unión de la aproximación de Frenkel es dos veces mayor que el resultado exacto
(Introducción en la Fig. 9a).
Un estudio de las condiciones necesarias para la formación de la transferencia de carga excitón en
Los sistemas tridimensionales son cruciales para finalizar el debate prolongado sobre el número.
ous modelos relativos a las propiedades de los semiconductores de valencia mixta [149]. A
hace una década se explicaron propiedades inusuales de SmS y SmB6 invocando
el mecanismo de inestabilidad excitónico asumiendo la naturaleza de carga-transferencia de la
Exciton ópticamente prohibido [150, 151]. A pesar de que este modelo explicó cuanti-
tasticalmente los espectros fonónicos [152, 153], las propiedades ópticas [154, 155], y mag-
datos de dispersión de neutrones netic [138], su suposición básica ha sido criticada
sin fundamento [156, 157]. Para estudiar la función de onda excitónica, dispersiones
de valencia y bandas de conducción se eligieron, ya que es típico de la valencia mixta
materiales: banda de valencia casi plana se separa de banda de conducción ancha,
que tengan como máximo en el centro y como mínimo en la frontera de la zona de Brillouin
[46]. Resultados presentados en la Fig. 9b suposición de apoyo de [150, 151] desde la ola
función de movimiento relativo tiene casi cero componente in situ y máximo
densidad de carga en los vecinos cercanos.
6 Polarones en alta temperatura sin domar
Superconductores
Ahora está bien establecido que la física de la superconducción de alta temperatura
tors es el de dopar un aislador de Mott [158, 159, 160]. Incluso una sola.
agujero en un aislador de Mott, es decir, un agujero en un antiferromagnet en caso de infinito
Hubbard repulsión U, está sustancialmente influenciado por los efectos de muchos cuerpos [10] ser-
porque es saltar a un sitio vecino perturba la disposición antiferromagnética
de giros. Por lo tanto, una comprensión a fondo de la dinámica de los agujeros dopados en
Los aisladores de Mott han atraído mucho interés recientemente. Los dos mayores
Las interacciones relevantes para los electrones en los sólidos son el electrón-electrón interac-
ciones (IEE) e interacciones electrón-fonón (IEP). La importancia de la
ex en el dopaje bajo es sin duda esencial ya que el aislador Mott está impulsado
26 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
por fuerte repulsión Hubbard, mientras que este último fue considerado en gran medida
irrelevante para la superconductividad basada en las observaciones de un isótopo pequeño
efecto sobre la Tc óptima [161] y ausencia de una contribución fonónica a la
resistividad (para la revisión véase [162]).
Por otro lado, ahora se acumulan pruebas de que el EPI
juega un papel importante en la física de los cupratos como (i) un efecto isótopo
en la densidad de superfluidos y Tc lejos del dopaje óptimo [163], (ii) neutrones
y la dispersión Raman [164, 165, 166] experimentos que muestran fuerte fonón suave-
ening con dopaje de temperatura y agujero, lo que indica que EPI es fuerte
[167, 168]. Además, los estudios recientes de los cupratos por el ángulo resuelto
espectroscopía de fotoemisión (ARPES), que los espectros son proporcionales a la
LF (7) [32], resultó en el descubrimiento de la dispersión “kinks” alrededor de 40-
70meV medido a partir de la energía de Fermi, en el rango correcto de la
fonones relacionados con el oxígeno [169, 170, 171]. Estos fonones particulares - oxígeno
Se sabe que los modos de pandeo y semirrespiración se suavizan con el dopaje [172, 164]
y con temperatura [170, 171, 172, 164, 165, 166]
plong. El cambio rápido de la velocidad puede ser predicho por cualquier interacción de
una cuasipartícula con modo bosónico, ya sea con un fonón [170, 171] o con
un modo de resonancia magnética colectiva [173, 174, 175]. Sin embargo, el reciente
descubierto “universalidad” de la energía de torcedura para LSCO sobre todo el dopaje
rango [176] arroja dudas sobre la validez de este último escenario como la energía
la escala de la excitación magnética cambia fuertemente con el dopaje.
Además, medida en materiales de alta Tc desmontados ARPES reveló
contradicción entre la dependencia del impulso de la energía y el ancho de línea
del pico QP. Por un lado, la dispersión de energía experimental de la
amplio pico en muchos compuestos subdotados [31, 177] obedece a la teoría
predicciones [178, 179], mientras que la anchura del pico experimental es comparable
con el ancho de banda y órdenes de magnitud mayores que los obtenidos de
teoría del aislador de Mott [53]. Los primeros intentos de interpretar esto anomalmente
breve vida útil de un agujero por una interacción con bosónico no magnético adicional
Excitaciones, por ejemplo. fonones [180], se enfrentó a la pregunta genérica: ¿es posible que en
la temperatura con los medios deja la dispersión de energía absolutamente no renormalizada,
mientras que, induce una decadencia que la vida inversa-tiempo es comparable o aún más grande
que la dispersión de energía QP? Una posibilidad de un origen extrínseco de esto
ancho se puede descartar ya que el dopaje induce un trastorno adicional, mientras que un
Se observa un pico más agudo en la región sobredotada.
Para entender si los fonones pueden ser responsables de
forma de los ARPES en los cuprates deshechos, el LF de un interactuando con
El agujero de fonones en el aislador de Mott fue estudiado por DMC-SO [49]. El caso de la
LF de un solo agujero corresponde a los ARPES en un compuesto deshecho. Por
un sistema con gran repulsión Hubbard U, cuando U es mucho más grande que el
ancho de banda típico W de QP no interactuante, el problema se reduce a la t-J
modelo [181, 182, 158, 11]
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 27
t-J = −t
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
iscjs + J
(SiSj − ninj/4). (39)
Aquí se proyecta (para evitar la ocupación doble) aniquilación del fermión op-
ni (< 2) es el número de ocupación, Si es spin 1/2 operador, J es un
integral de intercambio, y â € € € denota los sitios vecinos más cercanos en dos dimensiones
Enrejado cuadrado. Diferentes enfoques teóricos revelados [158, 183, 53] básicos
propiedades del LF. El LF tiene un pico agudo en la parte de baja energía de la
espectro que se dispersa con un ancho de banda WJ/t 2J y, por lo tanto, el
gran ancho QP en el experimento no se puede explicar. Más complicado tt′t′′-J
el modelo tiene en cuenta los saltos a la segunda t′ y la tercera t′′
y, por lo tanto, la dispersión del agujero cambia [184, 185, 186, 178, 179, 32].
Sin embargo, para los parámetros, que son necesarios para la descripción de la dispersión
en superconductores realistas de alta Tc [31, 178], pico en la parte de baja energía
sigue siendo afilada y bien definida para todos los momentosa [187].
Después de expresar operadores de spin en términos de Holstein-Primakoff spin wave
operadores y diagonalización de la parte de giro de Hamiltonian (39) por Fourier
y las transformaciones de Bogoliubov [188, 10, 189, 190], tt′t′′-J Hamiltonian es
reducido al modelo bosón-holón, donde el agujero (operador de aniquilación es hk)
con dispersión (k) = 4t′ cos(kx) cos(ky)+2t
′′[cos(2kx)+cos(2ky)] se propaga
en el baño de magnon (el operador de aniquilación es αk)
0t-J =
(k)h
αk (40)
con dispersión de magnon k = 2J
1− γ2
, donde γk = (cos kx + cos ky)/2.
El agujero está disperso por magnons como se describe por
h-mt-J = N
hk−qαk + h.c.
con el vértice dispersante Mk,q. Parámetros t, t
′ y t′′ están saltando ampli-
Tudes a los vecinos primero, segundo y tercero, respectivamente. Si salta
integrales t′ y t′′ se fijan en cero y agujero desnudo no tiene dispersión, el problema
(40-41) corresponde al modelo t-J.
Interacción de corto alcance de un agujero con fonones ópticos sin dispersión
e-ph = 0
bk de la frecuencia 0 es introducido por Holstein Hamil-
toniano
e-ph = N−1/2
hk−qbq + h.c.
, (42)
donde es la constante de acoplamiento independiente del impulso y del isótopo, M es
la masa de los iones de retícula vibratoria, y la frecuencia de la dispersión sin
¡Fonon! El coeficiente delante de los corchetes es el estándar Holstein in-
constante de teracción γ = /
(2M.0). En lo siguiente caracterizamos la fuerza
de EPI en términos de constante de acoplamiento adimensional Nota, si está en...
se descuida la teracción con subsistema magnético (41) y la dispersión de agujeros
28 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
se elige en la forma فارسى(k) = 2t[cos(kx) + cos(ky)], el problema (40), (42) cor-
responde al modelo estándar de Holstein donde el agujero con el salto cercano vecino
La amplitud t interactúa con los fonones sin dispersión.
Consideramos la evolución de ARPES de un solo agujero en el modelo t-J-Holstein
(40)-(42) de los débiles al fuerte régimen de acoplamiento y dispersión del LF
en el fuerte régimen de acoplamiento de la Secc. 6.1. Se produce que las propiedades del LF en
el fuerte régimen de acoplamiento del EPI explica el rompecabezas de la forma de línea ancha
en ARPES en superconductores de alta Tc subdotados. Por lo tanto, con el fin de
Sugerimos una prueba crucial para el mecanismo de ampliación inducida por el fonón, nosotros
presente cálculos del efecto de la sustitución de isótopos en el ARPES en
Secc. 6.2.
6.1 Función Espectral de un Agujero Interactuando con Phonons en el
Modelo t-J: auto-trampa y dependencia momentum
Anteriormente, el LF del modelo t-J-Holstein fue estudiado por diagonalización exacta.
método en pequeñas agrupaciones [191] y en la aproximación no cruzada (ANC)6
para los fonones y los magnones [192, 193]. Sin embargo, el pequeño tamaño del sistema en
método exacto de diagonalización implica un espectro discreto y, por lo tanto, la
No se pudo abordar el problema de la forma de línea. Este último método omite la
FDs con cruce mutuo de propagadores de fonón y, por lo tanto, es un inválido
aproximación para los fonones en acoplamientos fuertes e intermedios de EPI. Esto
declaración fue demostrada por DMC, que puede sumar todos los FDs para Holstein
modelo tanto exactamente como en la NCA [49]. Los resultados exactos y los de la ANC son:
en buen acuerdo para los valores pequeños ≤ 0.4 y drásticamente diferente para > 1.
Por ejemplo, en el caso de Ł0/t = 0,1 el resultado exacto muestra un crossover nítido a fuerte
el régimen de enganche para los productos de la categoría
crossover incluso a = 100. Por otra parte, la NCA es válida para la interacción de un
agujero con magnons ya que la vuelta S=1/2 no puede girar más de una vez y el número
de magnones en la nube polarónica no puede ser grande. Tenga en cuenta que el t-J-Holstein
modelo se reduce al problema de polarón que interactúa con varios bosónicos
campos (3)-(4).
La ampliación de la DMC en [49] tiene en cuenta el cruce mutuo de la
agators y, en el marco de la ANC parcial, descuida el cruce mutuo de
Propagadores de magnon, para evitar problemas de signos. La NCA para los magnons está justificada por:
J/t ≤ 0,4 de acuerdo de los resultados de la ANC y la diagonalización exacta sobre
pequeñas agrupaciones [188, 10, 194, 195, 190]. Resultados recientes de la diagonalización exacta
se compararon en el límite de la pequeña IPE para el modelo t-J-Holstein, bosón-holón
modelo (40-42) sin NCA, y modelo bosón-holón con NCA [196]. Al-
Aunque el acuerdo no es tan bueno como para el modelo t-J puro, se concluyó que
NCA para magnons sigue siendo lo suficientemente bueno como para sugerir que se puede utilizar NCA para un
descripción cualitativa del modelo t-J-Holstein.
6 NCA es equivalente a aproximación de nacimiento auto-consistente (SCBA)
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 29
0,0 0,2 0,4 0,6
0,0 0,2 0,4
0,0 0,2 0,4
-2,50 -2,25 -2,00
-2 0 2 4
Fig. 10. a) El LF de un agujero en el estado del suelo k = (η/2, η, 2) en J/t = 0,3 y
= 0. Parte de baja energía del LF de un agujero en el estado del suelo k = (
J/t = 0,3: (b) Depende del acoplamiento
concentración de J/t = 0,3: (f) energías de resonancias de LF más bajas; (g) factor Z de menor
pico; (h) número medio de fonones â € ¢ Nâ €.
Las figuras 10a-e muestran una parte de baja energía de LF en el estado del suelo en k =
(η/2, η/2) en los regímenes de acoplamiento débil, intermedio y fuerte de
acción con los fonones. Depende de la constante de acoplamiento de las energías de
resonancias (fig. 10f), Zk=(/2,η/2)-factor del pico más bajo (fig. 10 g), y
número de años de fonones en la nube polarónica 10h) demuestra un
cuadro que es típico de ST (véase [80, 54] y Secc. 4). Dos estados cruzan y
hibridarse en las proximidades de la constante crítica de acoplamiento
el factor de menor resonancia baja bruscamente y el número medio de
La nube polarónica se eleva rápidamente. De acuerdo con la comprensión general de la
El fenómeno ST, por encima de los acoplamientos críticos.
el estado más bajo es disperso, mientras que el superior tiene una pequeña masa efectiva.
Este supuesto se ve apoyado por la dependencia del impulso del LF en
el régimen de acoplamiento fuerte (Fig. 11a a e). Dispersión del shake-off ancho superior
El pico Franck-Condon obedece casi perfectamente a la relación
k = min+WJ/t/5{[coskx+cos ky]2+[cos(kx+ky)+cos(kx−ky)]2/4}, (43)
que describe la dispersión del modelo t-J puro en la amplia gama de ex-
cambio constante 0,1 < J/t < 0,9 [194] (fig. 11f). Tenga en cuenta que esta propiedad de
el pico de sacudida es general para todo el régimen de acoplamiento fuerte (Fig. 11f).
La dependencia momentánea del pico shake-off, reproduciendo la del libre
partícula, es la consecuencia directa del régimen adiabático. En realidad, fonon.
la frecuencia 0 es mucho menor que el ancho de banda coherente 2J de la t-J
30 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
-2 0 2
-2,5 -2,0
- 2,75
- 2,50
-2.25
- 2,00.
- 1,75
-10 -5 0 5 10
k=( /2, /2)
/t /t
k=( /4, /4)
k=(0, /4)
k=(0, )
k=( /2, /2)
Fig. 11. El LF de un agujero en J/t = 0,3 y = 0,46: (a) rango de energía completo
para k = (η/2, η/2); (b–e) parte de baja energía para diferentes momentosa. Flechas inclinadas
muestran grandes picos que pueden ser interpretados en los espectros ARPES como coherentes (C) y
parte incoherente (I). Las flechas verticales en los paneles (b)–(e) indican la posición de “invisible”
resonancia más baja. f) Dispersión de las energías de resonancias en J/t = 0,3: resonancia amplia
(círculos llenos) y polo polarón más bajo (cuadrados llenos) a = 0,46; resonancia amplia
(círculos abiertos) y polo polarón más bajo (cuadrados abiertos) a 0.4. Las curvas sólidas
son dispersiones (43) de un agujero en el modelo t-J puro en J/t = 0,3 (WJ/t=0,3 = 0,6):
Para la línea punteada (sólida) se utiliza mín = −2,396 (2,52). El panel (g) muestra el estado del suelo
potencial Q2/2 (línea sólida), potencial de estado excitado sin relajación D + Q2/2
y el potencial de estado excitado relajado D + (Q −
línea).
modelo, dando la relación adiabática /2J = 1/6 â € 1. Además, como experiencia
con el OC del polarón de Fröhlich (Sect. 3.2) muestra, hay uno más
parámetro importante en el límite de acoplamiento fuerte. Es decir, la relación entre
tiempo del proceso de medición فارسىmp = h̄/E donde E es la separación de energía de
joroba de sacudido del polo del estado del suelo, y el de la celosía característica
El tiempo es mucho menos que la unidad. Por lo tanto, la sonda de fotoemisión rápida ve
los iones congelados en una de las configuraciones posibles [197]. El LF en el límite FC
es una suma de transiciones entre una capa inferior de Elow(Q) y una capa superior de Eup(Q)
de potencial adiabático, ponderado por la función de la onda adiabática de la
Índice de las emisiones de gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero Si EPI está ausente tanto en el ELlow(Q) inicial = Q2/2
y Eup(Q) final = D + Q2/2 estados, el LF se alcanza en la energía D.
Entonces, si hay EPI Eup(Q) = Q sólo en el estado final, es decir. cuando se agujerea
se retira del aislador de Mott, la hoja superior del potencial adiabático
Eup(Q) = D− 2/2 + (Q− )2/2 tiene la misma energía D en Q = 0. Desde el
función de probabilidad low(Q) 2 tiene máximo en Q = 0, el pico del LF
amplía pero su energía no cambia [198] (Fig. 11g).
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 31
El comportamiento del LF es el mismo que se observa en el ARPES de deshabilitado
cuprates. El LF consiste en un pico amplio y una alta energía incoherente con-
tinuum (véase Fig. 11a). Además, la dispersión del pico ancho “c” en las figs. 11
reproduce la de pico agudo en el modelo t-J puro (Fig. 11b a f). El más bajo des...
pico sin persión, correspondiente a un pequeño radio polarón, tiene un peso muy pequeño
y, por lo tanto, no se puede ver en el experimento. Por otro lado, de acuerdo con ex-
perimento, dependencia momentánea del peso espectral Z(k)
de amplia resonancia
reproduce exactamente la dispersión del factor Z(k) del modelo t-J puro. La razón
para un mapeo tan perfecto es que en el caso adiabático.......................................................................................................................................................................................................................................................
la resonancia aguda en el modelo t-J sin EPI se transforma a EPI fuerte
hacia el pico ancho. Esta imagen implica que el potencial químico en el
muy subdotados cuprates no está conectado con la resonancia amplia, pero
fijado al polo de cuasipartícula real con un pequeño factor Z. Esta conclusión fue la siguiente:
recientemente confirmado experimentalmente [177].
Comparación del EPI crítico para un agujero en el modelo t-J-Holstein (40-42)
Para el modelo Holstein, véase el punto 1.2, con el mismo valor:
hopping t, concluimos que la interacción spin-hole acelera la transición hacia
el fuerte régimen de acoplamiento. La razón para mejorar el papel del EPI es
encontrado en [196]. Comparación de la renormalización impulsada por el EPI de la eficacia
masa en el modelo t-J-Holstein y Holstein muestra que la masa grande eficaz en el
El modelo t-J es responsable de este efecto. Mejora del papel del Programa ampliado de inmunización
por EEI tiene lugar al menos para un solo agujero en la parte inferior de la banda t-J.
Si la comparación se hubiera hecho con el modelo semilleno, el resultado habría sido
ha sido una mejora más pequeña o ninguna mejora en absoluto [199]. Por otra parte,
la constante de acoplamiento del fonón de medio aliento se incrementa mediante correlaciones [200].
Por último, concluimos que el efecto de la mejora del EPI eficaz por parte de la EEI es
no sin ambigüedades y depende de los detalles de la interacción y el relleno. Sin embargo,
este efecto está presente para el relleno pequeño en el modelo t-J-Holstein.
6.2 Efecto isotópico sobre ARPES en alta temperatura subdomada
Superconductores
El modo de resonancia magnética y los modos de fonón son los dos principales
candidatos para explicar la estructura “kink” de la dispersión de energía electrónica
alrededor de 40-70 meV por debajo de la energía de Fermi, y el efecto isótopo (IE) en
ARPES debe ser el experimento de armas de fumar para distinguir entre estos
Dos. Gweon et al. [201] realizó el experimento ARPES en O18-reemplazado
Bi2212 en el dopaje óptimo y encontró un IE apreciable, que sin embargo puede
no se explicará dentro del Migdal-Eliashberg de acoplamiento débil convencional
teoría. Es decir, el cambio de la función espectral debido a la sustitución del O18
se ha observado en la región de energía más alta más allá de la energía fonónica
60meV). Esto contrasta fuertemente con la predicción de la teoría del acoplamiento débil, es decir,
el IE debe ocurrir sólo cerca de la energía fonónica. Por lo tanto, el IE en óptimo
Bi2212 sigue siendo un rompecabezas. Por otro lado, el ARPES en deshabilitado
materiales, como se describe en la sec. 6.1, se ha entendido recientemente en términos de
32 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
la pequeña formación polarónica [49, 202, 198]. Por lo tanto, es esencial comparar
experimentar en sistemas deshechos con los que se presentan en esta Secc. datos DMC-SO,
donde la teoría puede ofrecer resultados cuantitativos.
Además del problema de alta Tc, fuerte mecanismo EPI de especificaciones ARPES
se consideró la ampliación como uno de los escenarios alternativos para la diatómica
moléculas [203], manganitas magnetoresistivas colosales [34], cuasi-uno-dimensi-
conductores onales de Peierls [37, 38] y magnetitas Verwey [39]. Por lo tanto, exacto
El análisis de IE sobre ARPES a una fuerte EPI es de interés general para la conclusion
experimentos en una amplia variedad de clases de compuestos.
Constante de acoplamiento sin dimensiones = γ2/4t
Para el caso más simple de IE. De hecho, asumiendo la relación natural...........................................................................................................................................................................................................................................................
entre la frecuencia del fonón y la masa, encontramos que
el factor isótopo iso = /0 =
M0/M, que se define como la relación de
frecuencia de fonones en los sistemas de isótopos sustituidos (e) y normales (e0). Nosotros
eligió los parámetros adoptados del modelo tt′t′′-J que reproducen la experiencia
dispersión mental de ARPES [178]: J/t = 0,4, t′/t = −0,34, y t′′/t = 0,23.
La frecuencia del fonon pertinente [32] se fija en 0,0 °/t = 0,2 y el isótopo
factor Łiso =
16/18 corresponde a la sustitución del isótopo O18 por O16.
Para barrer a un lado cualquier duda de posibles inestabilidades de la continuación analítica,
calculamos el LF para el compuesto normal (nor = 1), isótopo sustituido
(iso =
16/18) y “antiisótopos” sustituidos
18/16) compuestos.
La dependencia monotónica de LF en فارسى asegura la estabilidad de la continuación analítica
y da la posibilidad de evaluar las barras de error de una cantidad A utilizando cantidades
Aiso −Anor, Anor −Aant y (Aiso −Aant)/2.
Dado que LF es sensible a las fortalezas del EPI sólo para frecuencias bajas [55], nosotros
concentrarse en la parte de baja energía del espectro. La figura 12 muestra IE en la
agujero LF para diferentes acoplamientos en puntos nodal y antinodal, respectivamente. Los
tendencia general es un cambio de todas las características espectrales a mayores energías con aumento
de la masa isótopo ( < 1). También se puede observar que el cambio de la FCP amplia es
mucho más grande que el del estrecho pico real-QP. Por otra parte, para los acoplamientos grandes
El cambio de la energía QP se aproxima a cero y sólo disminuye de QP espectral
peso Z se observa para mayor masa isótopo. Por otro lado, el cambio
de FCP no se suprime para acoplamientos más grandes. Excepto el LF en el nodal
punto en = 0,62 (fig. 12a, b), donde LF todavía tiene un peso significativo de QP
Cúspide funcional, hay una característica más notable de la IE. Con aumento
de la masa isótopo aumenta la altura de la FCP. Teniendo en cuenta la
ley de conservación para LF
• Lk(•) = 1 e insensibilidad de la parte de alta energía
de LF a la fuerza EPI [55], el estrechamiento del FCP para una masa isótopo mayor
puede concluirse. Comprender las tendencias de la IE en el acoplamiento fuerte
sistema analizamos el modelo de osciladores independientes exactamente solvables (IOM)
[60]. El LF en la OIM es la distribución de Poisson
L() = exp[0/]
[¡0/!]
G., l. (44), (44)
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 33
Fig. 12. Parte de baja energía de los agujeros LF: compuesto normal (línea sólida), isótopo sub-
compuesto constituido (línea punteada) y compuesto sustituido por “antiisótopo” (dashed)
línea). LF en diferentes acoplamientos en los puntos nodal (a, c, e) y antinodal (g, i, l).
Los insets (b, d, f, h, k) muestran un pico de baja energía de QP real.
en los que 0 = γ
La constante de acoplamiento adimensional para la normalidad es 0 = 4t
El sistema y el Gl() = [4t0l] es la función. Las propiedades de la
La distribución de Poisson explica cuantitativamente muchas características de la IE en LF7.
La energía de la línea de zero-fonón l = 0 en (44) depende de la energía de la línea de zero-fonón l = 0 en (44)
Únicamente en cantidades independientes de isótopos, lo que explica que el isótopo de-
pendencia del pico de energía QP en los insets de la Fig. 12. Además, el cambio de la cero-
peso de la línea de fonón Z(0) obedece a la relación Z
iso /Z
nor = exp [0(1−
OIM. Estas estimaciones de la OIM concuerdan con los datos de DMC dentro del 15% en el nodal
punto y dentro del 25% en el antinodal. IE en FCP en el fuerte cou-
el régimen de pling sigue de las propiedades de cero M0 =
1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2L()d = 0
0 mo-
de la distribución desplazada de Poisson (44). Momentos M0 y M2 establecen
relación D = hFCPiso /hFCPnor = 1/
* 1,03 entre alturas de FCP en estado normal.
y compuestos sustituidos. Datos de DMC en el punto antinodal perfectamente de acuerdo
con la estimación anterior para todos los acoplamientos. Esto es consistente con la idea de que
la región antinodal permanece en el fuerte régimen de acoplamiento a pesar de que el
región nodal se encuentra en la región de cruce. En el punto nodal DMC datos bien
concordar con la estimación de la OIM para el valor de 0,75 (D, 1,025), mientras que en el valor de 0,69 y
7 Se debe tener precaución sobre la forma aproximada del IEP (42). Estrictamente hablando,
la dependencia real del impulso de la constante de interacción [204, 205] puede ligeramente
cambiar las diferencias obtenidas entre los puntos nodal y antinodal, aunque el
Las tendencias generales tienen que quedar intactas porque el ST es causado únicamente por el corto plazo.
parte del rango del EPI [80].
34 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
0,65 0,70 0,75
0,65 0,70 0,75
0,65 0,70 0,75
0,5 0,6 0,7
k=( /2, /2)
Fig. 13. a) Energías del estado del suelo y picos amplios para el estado normal (triángulos),
compuestos de isótopos sustituidos (círculos) y de “antiisótopos” sustituidos (diamantes).
Comparación de las estimaciones de la OIM (líneas) con los datos de DMC en los nodales (cuadrados) y
puntos antinodal (diamantes): b) cambio de la parte superior de la FCP, c) borde delantero de la FCP a 1/2
de altura, y (d) borde delantero FCP a 1/3 de altura.
La influencia de 0.62 del punto ST conduce a valores anómalos de D: D • 1,07
y D 0,98, respectivamente. Cambio del borde de baja energía a la mitad máximo
•1/2 debe ser proporcional al cambio del cuadrado raíz del segundo momento
M2 =
# 0 # 0 # 1 # # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1
]...................................................................................................................................................................... Como encontramos en simulaciones numéricas de (44) con
Funciones gaussianas8 G.,l.(.), relación.1/2.....................................................................................................................................................................................................................................................
0,62 < < 0,75. Además, las simulaciones muestran que el cambio del borde en uno
El tercer tercio del máximo de 1/3 obedece a la relación 1/3 de M2. Datos de DMC con la OIM
las estimaciones están de acuerdo con respecto a una IPE fuerte = 0,75 (Fig. 13). ¿Cómo...?
En la mayoría de los casos, el cambio de la parte superior de la FCP y de la parte superior de la FCP se ha mejorado considerablemente en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP y en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la FCP en la parte superior de la parte superior de la FCP en la parte superior de la parte superior de la parte superior de la FCP en la parte superior de la parte superior de la FCP en la parte superior de la parte superior de la
región de transición de auto-trampa (ST). La razón física para la mejora de
IE en esta región es una propiedad general independientemente de la dispersión QP, rango
de EPI, etc. La influencia del elemento matricial no adiabatic, mezclando excitado
y estados terrestres, de las energías de resonancias depende esencialmente de la
Frecuencia fonónica. Mientras que en la aproximación adiabática la transición ST es sud-
den y nonanalytic en [80], los elementos de la matriz nondiabatic lo convierten en suave
crossover [144]. Así, como se ilustra en la Fig. 13a, cuanto menor sea la frecuencia
más aguda la torcedura en la dependencia de la energía excitada del estado en la interacción
constante
En el caso no resuelto los resultados actuales se pueden comparar directamente con
los experimentos. Se encuentra que el IE en la forma de línea ARPES de un pecado-
gle agujero se aumenta anomalmente en el régimen de acoplamiento intermedio, mientras que
puede ser descrito por el modelo simple de osciladores independientes en el
régimen de acoplamiento. El cambio de la parte superior de la FCP y el cambio de la altura de la FCP son rele-
Cantidades que deben seguirse experimentalmente en el régimen de acoplamiento intermedio
ya que IE en estas características se realza cerca del punto de autotrampa. In
8 Los resultados son casi independientes en el parámetro η de la distribución gaussiana
Gl(l) = 1/(η)
2η) exp(−[+ 4t0l]/(2η2)) en el intervalo [0.12, 0.2].
Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 35
contraste, el cambio del borde delantero del pico amplio es la cantidad pertinente
en el régimen de acoplamiento fuerte ya que este valor aumenta con el acoplamiento como
Estas conclusiones, dependiendo del hecho de si el fenómeno de auto atrapamiento
se encuentra en un caso específico, puede aplicarse total o parcialmente a otro
Compuestos con EPI fuerte [34, 37, 38, 39].
6.3 Conclusiones y perspectivas
En este artículo, nos hemos centrado principalmente en el problema polaron en
sistemas correlacionados. Esto ofrece un enfoque desde el límite de con-
centración dopada en el (Mott) aislante, que es complementario a la
enfoque convencional Eliashberg-Migdal para el EPI en metales. En este último
el caso, tenemos la energía Fermi F como una escala de energía relevante, que es generalmente
mucho más grande que la frecuencia del fonón 0. En este caso, el Migdal adiabático
la aproximación es válida y las correcciones del vértice, que corresponden a la
cloud multi-fonón y son esenciales para el fenómeno de auto-trampa, son
suprimida por la proporción............................................................................................................ Por lo tanto, una cuestión importante es el crossover
desde el fuerte acoplamiento polarónico hasta el acoplamiento débil Eliashberg-
Imagen Migdal. Esto ocurre a medida que se aumenta el dopaje del portador en la insu-
Lator. Como se observa en los experimentos ARPES en supercon-
ductores, los estados polarónicos continúan sobreviviendo incluso en el dopaje finito [177].
Esto sugiere un nuevo estado metálico polarónico en los cupratos subdomados, que
es común también en los manganitas CMR [36] y es muy probablemente universal en
óxidos metálicos de transición. En la región óptima y sobredotada, el Eliashberg-
El cuadro migdal se vuelve apropiado [170, 171], pero todavía una característica no trivial de
el EPI es su fuerte dependencia impulso que conduce a la dicotomía entre
las regiones nodal y antinodal. Es una observación interesante que el alto-
Esta temperatura de transición superconductora se alcanza en la región de cruce
entre las dos imágenes anteriores, lo que sugiere que tanto la itinerancia y
el acoplamiento fuerte a los fonones son esenciales para la coherencia cuántica. Lo siento.
Por otra parte, es importante señalar que este cruce se produce de una manera no trivial también en la
el espacio mentum, es decir, las regiones nodal y antinodal se comportan de manera muy diferente
como se examina en la secc. 6.2. Sin embargo, la relevancia de la IEP para la alta Tc
La superconductividad todavía queda para futuras investigaciones.
Esperamos que este artículo convenza a los lectores del papel vital de ARPES
En el caso de los experimentos y de las soluciones numéricamente exactas al problema del EPI, el
bination de ellos ofrece una poderosa herramienta para el impulso-energía resuelto
análisis de estos sistemas electrónicos fuertemente correlacionados bastante complicados.
Esto pavimentará un nuevo camino hacia la comprensión más profunda del cuerpo
sistemas electrónicos.
Agradecemos a Y. Toyozawa, Z. X. Shen, T. Cuk, T. Devereaux, J. Zaanen, S.
Ishihara, A. Sakamoto, N. V. Prokofev, B. V. Svistunov, E. A. Burovski, J. T.
Devreese, G. de Filippis, V. Cataudella, P. E. Kornilovitch, O. Gunnarsson,
N. M. Plakida, y K. A. Kikoin, para colaboraciones y debates.
36 A. S. Mishchenko y N. Nagaosa
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Propiedades espectroscópicas de Polarons por Exact Monte Carlo 39
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205. S. Ishihara, N. Nagaosa: Phys. Rev. B 69, 144520 (2004)
|
704.0026 | Placeholder Substructures II: Meta-Fractals, Made of Box-Kites, Fill
Infinite-Dimensional Skies | 7 Subestructuras de Placeholder II: Meta-Fractales,
Hecho de kites de caja, llenar infinito-dimensional
Cielos
Robert P. C. de Marrais*
Thothic Technology Partners, P.O.Box 3083, Plymouth MA 02361
2 de marzo de 2022
Resumen
Cero-divisores (ZDs) derivados por el Proceso Cayley-Dickson (CDP) de N-
los números dimensionales hipercomplejos (N una potencia de 2, y al menos 4) pueden
representan singularidades y, como N → , fractales – y por lo tanto, red libre de escala-
funciona. Cualquier entero > 8 y no una potencia de 2 genera un meta-fractal o
Cielo cuando se interpreta como la constante de puntal (S) de un conjunto de octahe-
dral vértice figuras llamadas Box-Kites (los bloques fundamentales de construcción ZD).
Las reglas o recetas de manipulación de bits extraordinariamente simples proporcionan herramientas para trans-
formando un género fractal en otros en el contexto de Wolfram’s Class
4 complejidad.
1 Introducción a modo de repetición: De los box-kites
a los ET
La creación de análogos 2N-dimensionales de los números complejos (y no fue un
conocimiento trivial del álgebra del siglo 19 que los análogos legítimos siempre tienen dimen-
sión un poder de 2) es manejado por un algoritmo ahora bien conocido llamado el Cayley-
Proceso Dickson (CDP). Su nombre sugiere un relato comprimido de su historia:
para Arthur Cayley – simultáneamente con, pero independientemente de, John Graves –
* Dirección de correo electrónico: rdemarrais@alum.mit.edu
http://arxiv.org/abs/0704.0026v3
saltó en la generalización inicial de Hamilton de los imaginarios 2-D a los 4-D
Quaternions a las semanas de su anuncio, produciendo – por el método posterior
Acelerado en el procedimiento de “cortador de galletas” cercano a la modernidad de Leonard Dickson –
los Octonios 8-D. La esperanza, expresada por no menos de Gauss, había sido que un
la infinidad de nuevas formas de Número estaban acechando por ahí, con maravillosos
lazos a la espera del descubrimiento, cuya utilidad mágica sería más que compensar
por la pérdida de cosas que por mucho tiempo se dieron por sentadas a medida que sus buscadores ascendían a lo más alto
dimensiones. Pero tales fantasías fueron anuladas abruptamente por Adolph Hurwitz
prueba, pocos años antes del siglo XX, que sólo se necesitaron cuatro
dimensión-duplica más allá de la Línea de Números Reales para encontrar problemas: el 16-D Sede-
niones tenía cero-divisores, lo que significa álgebra división en sí se rompió, que
significa que los investigadores estaban tan en la pérdida de encontrar algo bueno que decir sobre tal Num-
Bers que nadie se molestó en dar a sus sucesores inmediatos 32-D un nombre,
mucho menos investigarlos seriamente.
Pero es con estos 32-D “Pathions” (para abreviar “patológico,” que vamos a
Llámalos a partir de ahora) que nuestra propia cuenta recogerá en esta segunda parte
de nuestro estudio de las "subestructuras de los titulares de plazas" (es decir, "divisores cero")
fenómeno que llamamos desbordamiento de carrybit en la primera entrega, extraño pero pre-
las cosas dictables se encuentran en marcha en el equivalente ZD de una “Tabla de Cayley.” Como
veremos en breve, esta es una lista, en una matriz cuadrada, de las ZD “emanaciones” (o
falta de la misma) de todos los "elementos de ZD" entre sí – todo, es decir, compartir mem-
bérship en un conjunto definido no por un “elemento de identidad” compartido, sino un común
Patrón constante.
Lo que veremos es que las carencias son de la esencia: por cada duplicación de N, la
La Tabla de Emanación (ET) para los 2N+1-iones del mismo strut-constant contendrá que
de su predecesor, lo que llevó a un despliegue infinito de “cajas-dentro de-cajas”
las células vacías definen, a medida que N crece cada vez más, un límite fractal inconfundible. El total
análisis algorítmico de tales aspectos Matrioshka-muñeca-como “meta-fractal” – por el
reglas simples de lo que llamaremos “teoría de recetas” (después de los valores de R, C y P relacionados
a la etiqueta de la fila, a la etiqueta de la columna y a sus productos específicos para celdas en dichas tablas) –
debe esperar nuestra tercera y última entrega. Pero los gráficos de color-colchon-como puede
ser visto por cualquier lector interesado en su tiempo libre, en la presentación de diapositivas Powerpoint
en línea en Wolfram Science desde nuestra presentación de mediados de junio en NKS 2006.[1] (El
El título de slide-show es casi idéntico al de esta monografía, ya que esta última es
significa ser la exposición “teorema/prueba” de ese icónico, por lo tanto en gran medida intuitivo
y la narración empíricamente impulsada.)
Lo que necesitaremos para emprender este viaje es una rápida repetición de los resultados
de la parte I [2]. Como la parte más difícil (como cien años de negación implicaría)
es encontrar la manera correcta de pensar en la fenomenología de la división cero, no
entender su funcionamiento básico una vez que se les da, tal resumen puede ser
mucho más breve y fácil de seguir que las pruebas necesarias para producir y justificar
Lo siento. Necesitamos sólo captar 3 cosas bastante simples. Primero, debemos interiorizar el camino
y estructura vértice de un octaedro - para, debidamente anotado y storyboarded,
esto nos proporcionará la representación de Box-Kite que cataloga completamente ZDs
en la arena 16-D donde surgieron por primera vez (y, como veremos en nuestro Roundabout
Teorema aquí, subscribe todas las emergencias de ZD de dimensiones superiores también).
Segundo, en lugar del engorroso aparato de CDP que uno encuentra en el álgebra
textos y el tratamiento de software ocasional, ofrecemos dos fácil algebraica una línea
que (inspirado por el Dr. Seuss “Cosas 1” y “Cosas 2”), simplemente llamamos “Regla
1” y “Regla 2” – que operan, en serio casi pitagórico, en trillizos de
enteros (índices de trillizos asociativos entre nuestras Unidades Hipercomplejos, como vamos a
aprender), y que, al hacerlo, lograr todo lo que hacen las tácticas habituales del CDP,
pero sin la ofuscación demasiado frecuente. (También hay una muy útil, aunque
bastante trivial, “Regla 0,” que simplemente establece que cualquier entero-triple que sirve para indexar
un trillizo asociativo para una potencia de N continuará haciéndolo para todos los pow-
ers. Lo que hace esto útil es que nos permite recursivamente tomar “dados” trillizos
para los iones 2N de nivel inferior que los de interés actual y los lanzan al centro
círculo de la tercera cosa que debemos captar.)
Necesitaremos, es decir, ser capaces de dibujar el grupo proyectivo finito más simple
7-línea, representación de 7-nodos, el llamado triángulo PSL(2,7). El Reglamento, más
el Triángulo, aplicado a las trazas de borde de Box-Kite y los índices nodales,
La necesidad. De hecho, el propio Box-Kite puede ser fácilmente derivado del Triángulo, por
suprimir el nodo central, y luego reconocer cuatro correspondencias. En primer lugar,
ver los 3 lados del Triángulo con tres puntas – dos vértices más punto medio – como las fuentes
del trío del Box-Kite de triángulos “llenados” apodados Trefoil Sails. En segundo lugar, enlace
el 1 círculo de tres puntas (que es una línea proyectiva, después de todo), envuelto alrededor del
centro suprimido y enhebrando los puntos medios, como el cuarto triángulo, el
especial “Zigzag Sail.” Tercero, imagine las 3 líneas de puntos medios a ángulos como
subscribir la parte del diagrama cuestionada por ZD (porque ZDs alojados en el
el nodo de punto medio no puede dividirse entre cero y ninguno de los nodos alojados en el vértice opuesto, vértice,
nódulo), los puntales (constantes de puntal de dónde). Cuarto y último, imagínense los otros cuatro
triángulos del Box-Kite (reunión, como con los primeros cuatro, cada uno a cada uno, en las esquinas
sólo, como cuadros de damas del mismo color) como los respiraderos donde sopla el viento.
Mantienen la cometa a flote, dejando que las cuatro hermosas velas en forma de jib de color muestran
fuera, mientras que el trío de tacos de madera o plástico que forman los puntales desagradecidos
proporcionar la estabilidad estructural que hace que la cometa sea capaz de volar en primer lugar.
Como bien sabía Euclides, 3 puntos determinan un Triángulo, así como un Círculo – que
¿Cómo podemos cambiar los engranajes entre las representaciones basadas en estos projec-
Las líneas dietéticas. Pero la fácil convertibilidad de las líneas a los círculos es lo que significa proyectivo
aquí – y está, también, en el corazón mismo de la unión de las imágenes geométricas anteriores
a Números Imaginarios. Desde el diagrama de Argand hasta la esfera de Riemann,
ha sido la esencia de la geometría compleja. Sólo sobre esta última imagen, colocar una esfera
en una mesa plana, llamar al punto de contacto S (para “Sur”), y luego los rayos directos
de su punto opuesto polar N. Rayos a través del ecuador intersecan la tabla en
un círculo cuyo radio atribuimos un valor absoluto de 1, con el centro S = 0. Esto
círculo es sólo el rastro de la ecuación habitual ei·2 exponencial-órbita, con la i en
el exponente, por supuesto, siendo el imaginario estándar. Cualquier diámetro a través de esto
círculo, extendido indefinidamente en cualquiera de las dos direcciones, es claramente un “lápiz proyectivo” de
un movimiento circular en el plano que lo contiene y N, y centrado en este último.
Lo que representa cada “línea”, entonces, en el triángulo PSL(2,7) es un sistema coherente
Tem interrelacionando 3 distintos imaginarios, uno por punto nodal: es decir, un “Cuatro-
nion copy” sans los Reales (que último, como nuestro eje polar N,S en el anterior, debe
destaca “fuera” del Espacio Numérico en sí mismo, ya que la visualización en 3-D es todo utilizado por
los requisitos dimensionales de los nodos). Por lo tanto, las 7 líneas son las 7 interconectadas
Copias de cuaternión que constituyen los Octonios 8-D. ¿Y qué hace que este espé...
cialmente rico para nuestros propósitos es la recursividad incorporada de este etiquetado de Octonio
esquema para isomorfos de dimensión superior, incrustado en el tipo de conjuntos
Vamos a necesitar ETs para investigar más a fondo.
Para ver cómo esto se relaciona con los números enteros reales, tome el prototipo de las 7 líneas
en el Triángulo, y considerar los Quaternions estrictamente desde la perspectiva de la CDP
Artículo 1. La primera tarea en el estudio de cualquier sistema de 2N-ions es generar sus unidades, así que
empezar con N = 0. Tratar este singleton como el índice del eje real: i0, es decir, es
idénticamente 1. Añadir una unidad cuyo índice = 20 = 1 y tenemos el plano complejo.
Ahora, añadir en una unidad cuyo índice es la siguiente potencia disponible de 2 - con N = 1, esto
es 2 en sí mismo. Llama a esta unidad y su índice G para Generador, y declara esto inductivo
regla: el índice del producto de cualquiera de las dos unidades es siempre el XOR de los índices de
las unidades que se multiplican; pero, para cualquier unidad con índice u < G, el producto de dicho
unidad, escrita a la izquierda (derecha), con el generador escrito a su derecha (izquierda), tiene
índice igual a la suma simple de sus índices, y signo igual (frente) al producto
de los signos de sus unidades»: i1 · i2 =+i3, pero i2 · i1 =−i3. Pero esto es sólo un estándar
forma de resumir la multiplicación de Quaternion.
Ahora, set N = 2, haciendo G = 4. Aplicando la misma lógica, pero un poco general-
, obtenemos tres trillizos más de índices. Dispensando con los tediosos gastos generales
de escribir explícitamente los índices como subíndices a copias explícitas de la letra i, estos
están escritas en orden positivo cíclico (CPO) como sigue: (1,4,5);(2,4,6);(3,4,7).
(CPO no es misterioso: sólo significa leer la lista de trillizos en orden izquierdo-derecha,
y siempre que multipliquemos cualquier unidad con tal índice por la unidad cuyo índice
es a su derecho, el tercer término resultará con la firma como se ha especificado anteriormente: por ejemplo,
i4 · i5 = +i1; i4 · i3 = −i7.) Ahora tenemos 4 de los 7 trillizos de los Octonios, formando
etiquetas en los nodos de 4 de las líneas de PSL(2,7). Llamar al círculo central que abarca el
media la línea de la Regla 0 (el “kit de arranque” de los Quaternions que acabamos de introducir en nuestra Regla 1
máquina de inducción). Poner G = 4 en el centro, las 3 líneas a través de él son nuestra regla
1 trillizos. Si arraigamos más el conjunto de índices Quaternion (1,2,3) en el orden de las agujas del reloj
alrededor de la 4, a partir del punto medio de la pendiente izquierda a las 10 en punto, estas líneas son
todo orientado apuntando a los ángulos. Ahora, con “Regla 2”, vamos a construir las líneas
a lo largo de los lados del Triángulo.
Aquí está todo lo que la Regla 2 dice: dado un index-triplet asociativo (en adelante, viaje)
como los Quaternions’ (1,2,3), fijar uno entre ellos, a continuación, tomar sus dos CPO
sucesores y añadir G a ellos. Intercambia el orden de las dos nuevas unidades resultantes,
y tienes un nuevo viaje. Por lo tanto, fijando 1, 2 y 3 a su vez, en ese orden, la Regla 2
nos da estos 3 trillizos: (1,7,6);(2,5,7);(3,6,5). Si ha dibujado PSL(2,7) con
las etiquetas de Octonio por las instrucciones en el último párrafo, ya has visto
estos 3 viajes son las respuestas... y ahora sabes cómo y por qué están orientados,
También. (Clockwise, en paralelo con el círculo de la Regla 0).
Ahora hemos presentado todos los ingredientes que necesitamos para hacer un recorrido básico de
Propiedades Box-Kite. Nos limitaremos a declararlos y describirlos, en lugar de probarlos
(pero vamos a dar los números romanos de los números del teorema de la última entrega,
para los que quieren seguirlos). La primera característica en la necesidad de dilucidar,
que deberían tener a aquellos que han estado leyendo con atención rascándose la cabeza
justo ahora, es esto: las relaciones entre los índices en los nodos de PSL(2,7)
El esquema de etiquetado de qua Octonion es lo suficientemente claro; pero ¿cómo pueden estos mismos etiquetados
¿Los nodos sirven para subscribir el marco de 16-D Sedenion en el que reside Box-Kites?
La respuesta tiene dos partes.
Primera parte: ya que todos los imaginarios tienen Reales negativos como cuadrados, Imaginarios
cuyos productos son cero deben tener diferentes índices – lo que significa que el simple
caso (que llamamos “primitivo” ZDs) siempre implicará productos de pares de
unidades de diferente índice, cuyos respectivos aviones no comparten puntos distintos de 0
[IV]. Segunda parte: dado cualquiera de tales dyad ZD, ninguno de los dos índices puede jamás igualar G [II];
y, uno debe tener índice > G, mientras que el otro tiene índice < G [I, III]. El Oc-
tonion esquema de etiquetado de mapas a las cuatro Velas de un legítimo Sedenion Box-Kite
[V], porque sólo proporciona las etiquetas de bajo índice en cada uno de los 6 Octaedral
vértices.
El 4 en el centro de nuestro ejemplo, mientras tanto, ya no es la G para esto
la configuración, ya que ese papel en ahora jugado por 8 (el siguiente poder de 2 en el CDP induc-
ión). En el contexto del esquema Box-Kite, ahora está representado por un
letra: S, para strut constante – el único índice de Octonio no en un vértice de Box-Kite.
Es por eso que, desde un punto de vista, hay 7 diferentes (pero isomórfico) Caja-
Kites en el espacio Sedenion: porque tenemos 7 opciones de los cuales Octonio para suprimir!
6 vértices veces 7 nos da los 42 evaluadores de nuestro primer documento ZD [3], un término
usaremos indistintamente con dyad durante todo el tiempo. De hecho, podemos tirar de la red...
trabajo de líneas interconectadas “wok-cooking” estilo, agitando las cosas dentro y fuera de
el aceite caliente en el centro del Box-Kite. (S como “stir-fritura constante”?) Para encontrar el
“Copia de Octonio” etiquetando bajos índices en los vértices de Box-Kite donde el 5, digamos, es
suprimida, trazar la línea que lo contiene y el 4, y “rotar”: el 1 ahora va
desde el punto medio de la pendiente izquierda hasta el ángulo inferior derecho, para ser reemplazado por el 4
mientras que el 5 se dirige a la mitad, con el orden CPO (y por lo tanto, la orientación de la
línea) que permanece inalterada. De los otros 2 viajes que el 5 pertenece, sólo uno
conservar la orientación de punto a ángulo a lo largo de la vertical de 6 horas a media noche:
(2.5.7), como se puede comprobar en una instancia. (Las dos posibilidades deben orientar
sitely cuando se coloca a lo largo de la misma línea, ya que una es la Regla 1, la otra la Regla 2.)
Desde este punto, todo es forzado. Este es obviamente un procedimiento que es
trivial para automatizar, para cualquier “copia de Octonio”, independientemente de la dimensión ambiental-
sionalidad el Box-Kite que subscribe podría flotar en. Esta simple perspicacia será
la base, de hecho, de nuestro método de prueba, tanto en este documento como en su secuela. Otro
simple visión nos dirá cómo encontrar el término de alto índice para cualquier día de vértice.
Dos índices por vértice hojas 4 que se suprimen: 0 (para los Reales), G y S,
y el XOR (y también la suma simple) de los dos últimos, que taquigrafiaremos X.
Estos cuatro forman claramente una copia de Quaternion –uno, de hecho, que no tiene nada que ver-
lo que sea en sus divisiones cero de Box-Kite. Poniendo el índice de
el uno entre estos que es en sí mismo un L-unidad de la etapa central nos da la gama completa de
Conjuntos de índice L (viajes compuestos por esos índices de los 3 vértices < G de una vela) asociados
con las 4 Velas. Poner G o X, entonces, debe darnos la gama completa de U-index
sets (“U” como “upper”).
Dado que cada nodo pertenece a 3 líneas en PSL(2,7), la constante de puntadas pertenece a
3 viajes, cada uno con un término del conjunto L-index de Zigzag Sail de la Regla 0, y
uno del Vent que reside frente a él en el marco octaédrico del Box-Kite.
En las Sedeniones, tres reglas simples gobiernan las interacciones del Vent y Zigzag
Diades compartiendo un toque. Escribiendo los términos del índice U y L en mayúsculas y minúsculas
respectivamente, podemos simbolizar sus diadas como (V, v) y (Z, z) respectivamente. Los
“Tres Viziers” (derivado como efectos secundarios de [VII], con uno por cada miembro que no es
de nuestro conjunto de índice libre de ZD) debe decir lo siguiente:
VZ1: v · z = V ·Z = S
VZ2: Z · v = V · z = G
VZ3: V · v = z ·Z = X.
El primer visir motiva el término strut constante: para el mismo patrón obtiene
para ello, independientemente del puntal que se esté investigando. El Segundo Visir nos muestra
que G conecta los opuestos de puntadas, siempre por la lógica de la Regla 1. Pero claramente, el tercero
Vizier nos da la manera más simple de responder a cualquier pregunta relativa a las relaciones
entre los índices dentro de una dyad: los índices L- y U- de cualquier dyad pertenecen a la
el mismo viaje que X, con el pedido CPO determinado por si la dyad pertenece o no
al Zigzag propiamente dicho o al Vent frente a él.
Más allá de las Sedeniones, VZ2 es universalmente cierto, pero VZ1 y VZ3 son sólo así
hasta firmar: por ejemplo, el VZ1 L-trip para un strut arbitrario puede leer (z,c,S) en ciertos
contextos de dimensiones superiores. Esto es, en última instancia, un efecto secundario del mismo “carrybit”
el desbordamiento” que crea el fenómeno de mayor interés para nosotros aquí, el
box-kites” en todos los 2N-ions, N al menos 5, para S > 8 y no una potencia de 2. Correlated
con tales estructuras libres de ZD son “Tipo II” cajas-kites con S < 8 (o, más gen-
erally, ¡ G/2), indistinguible de la variedad estándar “Tipo I” pero para strut
orientaciones (con exactamente 2 de los 3 puntales de un “Tipo II” siempre se invierten: ver
Apéndice B). Sus “productos de torsión” (que funcionan de manera similar en lados paralelos de cada
de los 3 cuadrados ortogonales o “catamaranos” de la trama ortogonal de una caja-kite,
a diferencia de las cuatro “velas” triangulares que son nuestro único objetivo en esta monografía)
que actúen como intermediarios entre las estructuras normales y libres de ZD. Nuestro ar-
los comentarios aquí no harán uso de tales sutilezas del “producto twist” (sobre el cual, vea
Teorema 6 en la Parte I y la advertencia que le sigue, y los más desarrollados re-
marcas y diagramas en [4]). De hecho, su fenomenología cae “bajo el radar”
de nuestro análisis basado en la vela: después de todo, los evaluadores de strut-offposite no lo hacen mutuamente
Dividir cero.
Dados nuestros limitados propósitos aquí, por lo tanto, nuestro conjunto de herramientas, una vez que los Viziers son
caer en él, está completo para todas nuestras pruebas posteriores. (Debemos simplemente recordar
que las invocaciones de VZ1 y VZ3 se refieren implícitamente a relaciones sin signos entre
Términos de Vent y Zigzag – es decir, índices de productos XOR solamente.) Lo que queda por hacer
aún así: ensuciar nuestras manos con la plomería, y luego limpiar con un último de los grandes
construir. Comencemos con la plomería, y añadamos algo de notación. Etiquetar el Zigzag
dyads con las letras A, B, C; etiquetar sus términos opuestos a los puntales en el Vent F, E, D
respectivamente. Especifique las líneas diagonales que contienen todas y sólo ZD en cualquiera de estas líneas.
dyad K como (K, /) y (K, \) – para c · (iK + ik) y c · (iK − ik) respectivamente, c an
Arbitrario real escalar. Los doce bordes de la red octaédrica son tantos tubos,
a través de la cual recorrer las calles de dos vías de corrientes de borde: para los 3 bordes de la
Zigzag (y los 3 que definen el Vent opuesto), corrientes que unen vértices arbitrarios
M y N se llaman negativos, ya que tienen esta forma:
(M,/) ·(N, \) = (M, \) · (N,/) = 0
Rastreando el perímetro del Zigzag con el dedo, realizando productos ZD
en secuencia natural – (A, /)·(B, \), seguido de los últimos tiempos (C, /), entonces
estas veces (A, \) y así sucesivamente – uno debe ver rápidamente cómo el nombre del Zigzag
se sugirió. Suprimiendo todas las letras, uno se queda con sólo esta repetición cíclica
secuencia: /\/\/\.
Corrientes a lo largo de los 6 bordes que unen Zigzag y Vent dyads, por el contrario, con-
nect diagonales inclinadas similares, por lo tanto se llaman positivas, dando la taquigrafía
secuencia ///+ para las travesías de las velas de Trefoil:
(Z,/) ·(V, /)= (Z, \) ·(V,\)= 0
Considere la cadena de multiplicaciones ZD que se puede hacer a lo largo del Zigzag, ser-
entre A y B, luego B y C, luego C y A, para S = 4. El primer término de esto
6-ciclo de productos cero, una vez totalmente expandido, se puede escribir así:
(A, /) ·(B, \) = (i1 + i13) · (i2− i14) = (i3 − i15 + i15 − i3) =
(C, /)−(C, /)= (C, \)−(C, \)= 0
Podemos ver fácilmente aquí donde surge la noción de emanación: atravesar el
borde entre cualquier dos vértices en una vela produce un balance-pan emparejamiento de opuesto
los casos firmados de los términos en el tercer vértice de la vela... el 0 es, entonces, un
ejemplo de “teneduría de libros balanceada” (de ahí el término “Assessor”, nuestro sinónimo
en lugar de “dyad”). Esto sugiere la emanación espontánea de partículas/antipartículas
emparejamientos del vacío cuántico, en lugar de la verdadera “vacío”.
Por último, un efecto secundario de tal “dinámica de la vela” es este asombroso fenómeno:
cada Vela es un entrelazado de 4 trillizos asociativos. Para los Zigzag, estos son los L-
index (a,b,c), más los 3 viajes del índice U obtenidos sustituyendo todos menos uno de estos
letras minúsculas con sus socios en mayúsculas: ergo, (a,B,C); (A,b,C); (A,B,c).
En última instancia, esto nos dice que las ZD son extremas preservadoras del orden, ya que
Associatividad en patrones rigurosos de paso de bloqueo, para todos los 2N-iones, no importa cómo
cerca de su N podría llegar a ser. Dicho de otra manera, la aversión de un siglo re-
acción experimentada por prácticamente todos los matemáticos frente a cero-divisores fue
profundamente equivocado.
2 Tablas de Emanación: Convenios para la Construcción
Teorema 7 garantizó la estructura simple de los ETs:
índice percase iU es estrictamente determinado por G y S, una vez que se nos dan estos dos
los valores, la tabla sólo necesita hacer un seguimiento de las interacciones entre los índices de minúsculas iL. Esto
sólo conducirá a ambigüedades en el mismo lugar que éstas son significativas: en la repetición
la articulación de una caja-dentro-de-cajas tabulación de meta-fractal o Sky behav-
Iors. En tales casos, la superposición será tan rica en significado como la multiplicidad
de hojas de una superficie de Riemann en análisis complejo.
Un ET hace para la interactividad ZD lo que una tabla de Cayley hace para los grupos abstractos:
hace visibles las cosas que de otra manera no podríamos ver – y de una manera similar. Cada uno
El índice L del evaluador se introduce (de una manera que pronto especificaremos) como una fila (R) o
valor de la columna (C), entre los que figuran los productos XOR (valores P)
“spreadsheet cell” (r,c) fijado exclusivamente por R y C. Hemos observado tales valores solamente
obtener introducido si P es el índice L de una emanación legítima: es decir, el evaluador
representa mutuamente cero-divididos (forma DMZ con, para “divisores que hacen cero”)
ambos evaluadores representados por las etiquetas R y C de su celda. (Como ya
sugerido, el uso natural de las letras R, C, P aquí inspirado llamando al estudio de
NKS-como “reglas simples” para cocinar fractales de su teoría de la receta de las cuerdas de bits.)
Cuatro convenciones se utilizan en la construcción de ETs: en primer lugar, su esquema de etiquetado obedece
los mismos pedidos de anidados-padres que ya hemos utilizado en la designación de Assessores
A a F, con D, E, F los opuestos de puntal de A, B, C en reversa del orden justo
escrito. Los L-índices, entonces, se introducen como etiquetas corriendo por la parte superior y hacia abajo
la izquierda. La etiqueta del índice L más bajo se coloca a la izquierda (frente al techo),
con la etiqueta correspondiente de su puntada opuesta que se introduce a la derecha (arriba
el piso). Como siempre habrá G - 2 (por lo tanto, un número par de) índices a
entrar, repitiendo este procedimiento después de que cada par ha sido copiado en horizontal y
las etiquetas verticales las agotarán completamente.
Segunda convención: como el punto de un ET es mostrar todas las zonas desmilitarizadas legítimas,
cualquier celda cuya R y C no se dividen mutuamente en cero se deja en blanco, incluso si, en
hecho, hay un valor XOR bien definido. Por lo tanto, si R y C hacen referencia a la misma
Assessor, el XOR de sus L-índices será 0; si se refieren a puntadas opuestas,
el XOR será S. Pero en ambos casos, la celda (de ahí, el valor P) se deja en blanco.
Todos los ET “normales”, entonces, tendrán ambas diagonales largas pobladas por celdas en blanco,
mientras que todas las demás celdas están llenas.
Tercera convención: las dos diagonales ZD asociadas con cualquier evaluador no son
se distinguen en el ET, aunque varios protocolos son posibles que harían
haciendo tan fácil. Las razones son la parsimonia y la redundancia: en lugar de crear
entradas más largas, o dos veces más, se asumen ambas entradas para el mismo Box-Kite
borde contendrá la diagonal de inclinación positiva cuando el índice L inferior aparece como
la etiqueta de la fila, de lo contrario la diagonal de pendiente negativa cuando aparece el índice L más alto
Primero en su lugar. Estas sutilezas no nos conciernen mucho aquí: la cosa clave es que, en
de hecho, todas las 24 celdas llenas de las entradas ET de un Box-Kite se pueden asignar uno a uno a su
ZD diagonales. Recuerde, por Teorema 3, que ambas diagonales ZD de una forma de Asesor
DMZ con el mismo evaluador, según la misma lógica de signo de borde. Esto lleva
nosotros a la...
Cuarto convenio: Aunque son superfluos para muchos propósitos, borde
Los signos proporcionan información crítica para otros, y por lo tanto se indican en todos los ETs pro-
Vided aquí. Cada uno de los 12 bordes de un Box-Kite conduce dos corrientes – una por ZD
diagonal – y lo hace de acuerdo con una u otra opción orientativa. ZD di-
los agonales se inscriben convencionalmente de modo que el eje horizontal de su evaluador
plano es la unidad L-indexada, mientras que la vertical es la unidad U-indexada. Pero incluso si
Esta convención se invirtió, la diagonal que llevaba desde el cuadrante inferior izquierdo hasta
por derecha seguiría correspondiendo al estado de sincronización implícito por ±k(iL + iU):
para algunos Assessor U, escribimos (U,/). Por el contrario, la diagonal ortogonal en-
dictive de anti-sincronía está escrito (U,\). Si DMZ formados por los evaluadores
limitar un borde son ambos de la misma clase, entonces llamamos el borde azul o notarlo
[+]; si los evaluadores U y V sólo forman DMZ de diág-
onales – (U,/) · (V,\) = 0 (U,\) · (V,/) = 0 – luego llamamos al borde rojo o
anote [-]. Sin embargo, a efectos de ET, ya que los bordes rojos son los más infor-
mativo (todos Zigzags de borde rojo que proporcionan la base estable de la estructura de Box-Kite,
mientras que los DEF Vents de todo color rojo juegan un papel clave en la interpretación de los productos de torsión – un
tema profundo mencionado en la Parte I, que no nos preocupará más aquí), nos vamos
Sin marcar. Los seis bordes azules que limitan la vista hexagonal del Box-Kite,
sin embargo, están precedidos por una marca adicional (mejor interpretado como un guión, en lugar de un
menos signo). Esto tiene la ventaja pragmática de que cuando se acerca, un ET grande
tener sus entradas con una marca adicional se vuelven ilegibles en muchos sistemas de software
(por ejemplo, sólo se ven asteriscos) – y por lo que queremos que las entradas sin marcar sean aquellos
Es probable que sea de mayor interés.
Dado que, dado X (o, alternativamente, G o N, y S), podemos reconstruir una Caja-
Kite de su Zigzag de su viaje L-index, que recoge esta información de un ET es
Vale la pena explicarlo. Si una fila dada contiene los índices de tales Zigzag L-trips,
aparecerán como la etiqueta de la fila en sí, más dos entradas de celdas sin marcar, con el
etiqueta de columna de la que aparece como el contenido de la otra. (Si alguna de las celdas de
un conjunto complementario ser marcado con un guión, entonces estamos tratando con un DEF Vent
index.) Cada Zigzag L-trip también aparecerá 3 veces en un ET, una vez en cada fila
cuya etiqueta es uno de sus índices, sus 2 índices no etiquetados que aparecen en
entradas de celdas cada vez.
Aquí hay una tabla de emanación fácilmente interpretada. Con 6 = 23 − 2 filas y
columnas, G = 8, así que N = 4, haciendo esto un Sedenion ET (codificación, por lo tanto, un
un solo Box-Kite). Y, desde 2 3 = 4 5 = 6 7 = 1, la Constante Strut = 1
También. Un escaneo de la primera fila muestra 6 y 5 sin marcar, bajo los epígrafes 4 y
7 respectivamente; sin embargo, estas dos etiquetas aparecen como valores celulares que están marcados,
hacer estos bordes que conectan los evaluadores en el D, E, F Vent. En la cuarta fila
de las entradas, sin embargo, las etiquetas de columna 5 y 3 contienen los valores de celda 3 y 5, respectivamente,
Los dos sin marcar. Con su etiqueta de fila 6, entonces, estos forman el conjunto de Zigzag L-index
(3,6,5), que por lo tanto debe mapear a los evaluadores (A,B,C). Usando el espejo opuesto
lógica del esquema de etiquetado para determinar los puntos opuestos, está claro que las seis filas
y los encabezamientos de columna (2,4,6,7,5,3) corresponden, en ese orden, a los Asesores
(F,D,B,E,C,A). (El contenido sin marcar 6 y 5 en la primera fila, con etiquetas
(2,4) y (2,7), por lo tanto mapeo a los bordes FD y FE, conectando DeF Vent Assessors
como se afirma.) Finalmente, las diagonales largas están todas vacías: esas celdas en la diagonal
a partir de la parte superior izquierda todas tienen etiquetas de fila y columna idénticas; las de la
slots espejo-opuesto, mientras tanto, tienen etiquetas que son strut-opositos. Por nuestro
segunda convención, todas estas celdas se dejan en blanco.
2 4 6 7 5 3
2 6 −4 5 −7
4 6 −2 3 −7
6 −4 −2 3 5
7 5 3 −2 −4
5 - 7 3 - 2 6
3 - 7 5 - 4 6
Antes de comenzar un estudio en profundidad de las tablas de emanación por tipo, hay una
resultado general que se aplica a todos ellos – y cuya prueba nos dará la oportunidad
para hacer un buen uso de los Tres Viziers. Aunque aparentemente bastante concreto, vamos a utilizar
de manera indirecta para simplificar algunos argumentos por lo demás bastante complicados,
comenzando con el Teorema 9 de la sección siguiente. Este teorema de ronda es nuestro
Teorema 8. El número de celdas llenas en cualquier tabla de emanación es un múltiplo de 24.
Prueba. Dado que 24 es el número de celdas llenas en una caja de Sedenion-Kite, esto es equiv-
a la afirmación de que los divisores cero del PDC vienen en grupos no menos pequeños que Box-
Kites. Ya hemos visto, en Teorema 5, que la existencia de una zona desmilitarizada implica
el sistema 3-Assessor de una Vela, que además (como teorema 7 se detalló) implica un
sistema de 4 viajes de enclavamiento: el viaje en L de la vela, más 3 viajes que comprenden cada viaje en L
índice más los U-índices de los 2 “socios de navegación” de su evaluador.
ET, tenemos un S fijo y G fijo. Por lo tanto, si suponemos que nuestra DMZ corresponde
a una corriente de borde Zigzag, inmediatamente podemos derivar su tramo L por Teorema 5, y
todos los L-índices de Zigzag por VZ 1, y los 6 U-índices por VZ 3. Nosotros
entonces puede probar si las corrientes de borde de las velas de Trefoil son todas DMZ como sigue. As
escribimos en Teorema 7, (u,v,w) mapas a la Zigzag L-trip en CPO, pero no es necesario-
sólo en (a,b,c), orden: por lo tanto, (uopp,wopp,v) es un L-trip, y se puede mapear a
cualquiera de los Trefoils. En otras palabras, dada la simetría rotacional de tres veces del Zigzag,
prueba de la verdad del siguiente resultado aritmético prueba el estado de DMZ de todos
Bordes de trébol. Sin embargo, podemos aprovechar los 3 viajes en U de Zigzag para probarlo.
(wopp − Wopp)
(uopp +Uopp)
− V − v
+v +V
El resultado inferior izquierdo es un dado del viaje con el que empezamos. El resultado de su
derecho es una deducción de tres pasos de uno de los Zigzag U-trips: uso (uopp,w,vopp);
La regla 2 da (uopp,vopp+G,w+G); el Segundo Visir nos dice que esto es (uopp,V,Wopp);
pero el signo interno negativo en la dyad superior invierte el signo que este viaje implica,
dando +V para la respuesta.
Los mejores resultados se derivan de manera similar: encontrar cuál de los 4 viajes de Zigzag un-
derwrite la “armónica” derivada de Vizier que contiene el par de términos ser
se multiplican, y voltean los signos según sea necesario. Por lo tanto, los usos de arriba a la izquierda (u,wopp,vopp),
entonces aplica la Regla 2 y el Segundo Visir para obtener (−V ), mientras que la parte superior derecha utiliza
el propio Zigzag L-trip: (u,v,w)→ (w+G,v,u+G) → (Wopp,v,Uopp) – que,
multiplicado por (−1), rendimientos (−v). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación. La implicación de que, independientemente del tamaño de N crece, ZDs sólo aumentan
en su interconexión, en lugar de ver sus estructuras básicas atrofia, vuela en
la cara de la intuición de un siglo basada en la prueba de Hurwitz. Que no hay
corrientes de borde independientes, ni siquiera velas independientes, habla un asombroso (y
hasta ahora bastante insospechada) estabilidad en el reino de ZDs.
Corollary. Un cálculo fácil deja claro que el número máximo de llenados
celdas en cualquier ET para cualquier iones 2N es sólo el cuadrado de una fila o la longitud de la columna en
celdas, menos el doble del mismo número (para eliminar todos los espacios en diagonales largas):
es decir, (2N−1 −2)(2N−1 −2)−2 · 2N−1 +4 = (22N−2 −6 · 2N−1 +8) = (2N−1 −
4) 2N−1 − 2) = 4 · (2N−2 − 1) 2N−2 − 2). Por Roundabout, ahora sabemos esto
número es divisible por 24, por lo tanto indica un número entero de Box-Kites. Pero
dos docenas en este número es sólo (2N−2 − 1) (2N−2 − 2)/6 – el recuento de viajes para
¡Los 2N−2-ions! (Véase la sección 2 de la parte I.) Tenemos, entonces, el viaje muy importante...
Cuenta Dos Pasos: El número máximo de Kites de Caja que pueden llenar un ET de 2N-ion =
TripN−2. Veremos lo importante que es este corolario en la siguiente sección.
3 ET para N > 4 y S ≤ 7
Uno de los corolarios inmediatos de nuestras Reglas de CDP para crear nuevos trillizos de
los viejos es algo que podríamos llamar el Lemma de carga cero: si dos k-bit-long
representaciones de bitstring de dos enteros R y C siendo XORed se rellenan con
el mismo número n de 0s entre los bits j y j+1, 0 ≤ j ≤ k, su XOR lo hará, pero
para los n bits adicionales de 0s en las mismas posiciones, no se modificará – y también lo hará la
signo del producto P de unidades imaginarias derivadas de CDP con estas tres cuerdas de bits
que representen sus respectivos índices.
Ejemplos. (1,2,3)→ (2,4,6)→ (4,8,12) [Añadir 1, luego 2, 0s a la derecha de
cada bitstring]
(1,2,3)→ (1,4,5)→ (1,8,9) [Añadir 1, luego 2, 0s justo antes del bit más a la derecha
en cada bitstring]
(3,4,7)→ (3,8,11)→ (3,16,19) [Añadir 1, luego 2, 0s justo después del bit más a la izquierda
en cada bitstring]
Prueba. Regla 1 creará una nueva unidad de índice G+L a partir de cualquier unidad de índice
L < G, independientemente de la potencia de 2 G. Regla 2, mientras tanto, usos
cualquier potencia de 2 que supere todos los índices del viaje en el que operaría, entonces
añade esta G a dos de los miembros del viaje, creando un nuevo viaje con inversión
orientación – una de una serie infinita de tales, que difieren sólo en el poder de 2
(por lo tanto, la posición del bit más a la izquierda) utilizado para construirlos. El lema, entonces, es
una clara reafirmación de las implicaciones fundamentales de las Reglas del CDP.
Pero la creación de U-índices asociados con L-índices en dyads evaluadores es la
resultado directo de la creación de nuevos trillizos con G+S como su término medio. Por lo tanto, si
se llama el generador de corriente g y el de los próximos más altos 2N-iones G (= 2 · g),
entonces si los evaluadores con L-índices u y v forman DMZs en las Sedeniones para un dado
strut constante S, sus U-índices aumentará por g en los Pathions, y cero
la división no se verá afectada. Por inducción, el contenido de la tabla de emanación de la
Las entradas de sedenión (R,C,P) permanecerán sin cambios para todas las entradas de N, para todas las S ≤ 7 fijas. Esto
nos lleva a
Teorema 9. Todas las entradas de celdas diagonales no largas en todos los ET para todos los N, para todos los fijos
S ≤ 7, se llenará.
Prueba. Manteniendo la misma notación, los 2N-ions tendrán g más evaluadores que
sus predecesores, con índices que van desde g hasta 2g−1 (= G−1). Considerar
primero algún evaluador arbitrario de Zigzag con L-index z < g, cuyo U-index es G+
z ·S. (Si fuera un Assessor de Vent, o un Zigzag en un puntal de orientación inversa en un
“Tipo II” box-kite, la segunda parte de la expresión se invertiría: S · z, por
el Primer Visir. Esto afecta la orientación de trillizos, pero no el valor absoluto del índice,
Sin embargo, y es sólo lo último lo que importa en este momento.) Ahora considere la
Assessor cuyo índice L es el más bajo de los nuevos a los iones 2N, g. Sabemos
es un Asessor de Ventiladores, en todos los Kits de Caja con S < g, de los cuales hay 7 por cada uno
tal S en los Pationes, 35 en los 64-D 26-iones, y así sucesivamente: porque pertenece al viaje
(S,g,g+S) (regla 1), de modo que su índice de U aparece en su izquierda inmediata en el trillizo
(G+g+S,g,G+S) (art. 2 y último paréntesis). Su U-índice, entonces, es G+(g
S), o (recordar la regla 1) sólo G+ g+S. Reclamamos que estos evaluadores forman DMZ; o,
escribir la aritmética, que la siguiente multiplicación término por término es cierto:
+g+(G+g+S)
+z+(G+ z·S)
−(G+g+z ·S)− (z+g)
+(z+g)+(G+g+ z ·S)
Debido a que un Assessor se supone un Zigzag, mientras que el otro se demuestra un Vent,
los signos internos serán los mismos. (Simples signos de inversión, similares a los que involucran a nuestra
frecuentemente invocado variable binaria sg, nos permitirá generalizar nuestra prueba para incluir
el caso Vent-times-Vent más tarde.) Examinemos los términos uno a la vez, comenzando
con la línea de fondo. Su término izquierdo es una aplicación obvia de la Regla 1, como z < g,
este último es el generador del nivel anterior del CDP que también contenía z como un
L-index. El término abajo a la derecha derivamos de la siguiente manera: sabemos que z y su
El socio U-index en los iones 2N−1- pertenece al trillizo mediado por g+S: (z,g+
z ·S,g+S). Complementando esta expresión CPO añadiendo G a la mano derecha
(Regla 2), obtenemos el trillizo que contiene ambos multiplicandos de la parte inferior-
cantidad correcta: (z,G+g+S,G+g+z ·S). Los multiplicandos aparecen en este viaje
en su orden de aplicación en la formación del producto; por lo tanto, su resultado es
copia más firmada del tercer término del viaje, como se muestra arriba.
Pasando al término a la izquierda de la línea superior, qué viaje hacen los multiplicandos
¿Pertenecer a? Dentro de la generación anterior, la Regla 1 nos dice que z’s strut opuesto, z ·S,
multiplica g a la izquierda para producir g+ z ·S. Aplicación de la Regla 2 a los términos 6= g
invierte el orden y nos da esto: (G+g+z ·S,g,G+z ·S). Pero lo que hemos escrito
arriba es el producto de multiplicar los términos tercero y segundo del viaje juntos,
en orden revertido CPO; por lo tanto, el signo negativo es correcto. Finalmente, tenemos el
negativo de (z+g) por tácticas similares: el término es el U-índice del strut-opuesto de z
Asesor en la anterior generación de CDP, por lo tanto pertenece al viaje con este CPO
expresión: (g+S,z+g,z ·S). La regla 2 nos da (G+g+S,G+z ·S,z+g). Por lo tanto,
el producto escrito arriba está debidamente firmado.
Ahora, ¿qué efecto hace nuestra suposición inicial de que z es el índice L de un Zigzag
¿Asessor tiene sobre el argumento? El término inferior izquierdo obviamente no se ve afectado. Pero
el término de arriba-izquierda, quizás menos obviamente, también está inalterado: aunque parece que
depende de z ·S, de hecho esto sólo se utiliza para definir el índice L del puntal de z opuesto,
que multiplica g en la izquierda a exactamente el mismo efecto que z en sí mismo, siendo ambos menos
más que eso. Los dos términos de la derecha, al igual que claramente, tienen sus signos cambiados, porque
en ambos, las relaciones de orden de los índices L y U frente a G+S o X son necesariamente
Invocado. Pero ambos signos a la derecha pueden ser revertidos para obtener el resultado deseado
si cambiamos el signo interno de la expresión más alta – es decir, tenemos un
efecto análogo al logrado en argumentos anteriores mediante el uso de la variable binaria
sg, como se afirma.
Puesto que el nivel G de un CDP es el g del siguiente nivel, la demostración antedicha
claramente obtiene, por la inducción obvia, para todos los 2N-iones incluyendo y más allá de la
Pationes. Pero ¿qué pasa si uno o ambos L-índices en un candidato DMZ emparejamiento superar g?
En lugar de responder directamente, utilizamos el Teorema de la última sección.
Dado un DMZ que involucra a los evaluadores con L-índices u < g y g, se nos asegura un
El kit de caja completo existe con un Trefoil L-trip (u,g,g+u). Los demás evaluadores,
siendo sus opuestos de puntal, entonces tienen L-índices uopp,g+ S, y g+ u · S. As u
varía de 1 a 7, saltar S < 8, cero-padding nos asegura que todos los DMZ de
las generaciones anteriores del CDP existen para N superior, para todos los L-índices u,v < 8. Sólo aquellos
Box-Kites creados por cero-padding a partir de la generación anterior Box-Kites (de los cuales
no puede haber más que 1 heredado por S fijo entre los 7 encontrados en los Pationes, para
ejemplo) tendrá todos los L-índices < g. Para todos los demás, el modelo se muestra con los
tener g como un índice L debe obtener. Por lo tanto, sólo un puntal tendrá L-índices
< g, el resto compuesto de algunos w con L-índice ≥ 8, los demás derivados
sus L-índices de la XOR de w con el puntal que acabamos de mencionar, o con S.
Pero lo que garantizará que cualquier corriente de borde existirá entre arbitrario
Asesores con L-índices u < g y g+ k,0 < k < g, ya que no hay ni uno
DMZ se encuentra entre los evaluadores con L-índices ≤ g en el cuadro candidato-
¿Compartirían cometas? Ahora podemos limitar el foco de nuestra pregunta original
considerablemente, haciendo uso del curioso hecho computacional que llamamos el viaje-
Conde Dos Pasos.
En los argumentos preliminares de la Parte I sobre CDP, demostramos que el número
de trillizos asociativos en una generación dada de 2N-iones, o TripN, se puede derivar
de una fórmula simple combinatoria. Llama al conde de los Kits de Caja completos en
Un ET BKN,S. Para S < 8, BKN,S = TripN−2, todos los índices L g+ k,0 <
k < g, forma DMZs en el candidato Box-Kites implícito. Para comenzar una inducción,
vamos a considerar una nueva construcción en líneas familiares, que nos proporcionará un
manera fácil de comprender los sistemas de viaje Pathion de todos los S < 8. Comenzando con
N = 5, designamos TripN−2 viajes para cada S < 8 como tipo Regla 0, de la manera
el viaje singleton 22-ion (1,2,3) fue utilizado en nuestra introducción de "wok-cooking"
debate (que la sección 5 de la Parte I utilizó como base de sus “pruebas de tapas deslizantes”).
Pero ahora, en lugar de poner los Octonios’ G = 4 en el centro de la PSL(2,7)
triángulo, ponemos las Sedeniones’ 8.
Para la consistencia de los ejemplos, seguimos asumiendo S= 1, por lo que vamos a empezar con
(3,6,5), el Zigzag L-trip para S = 1 en las Sedeniones, y también, por zero-padding,
un L-trip Zigzag para 1 de los 7 Box-Kites con S = 1 entre los Pationes. Ex-
tender rayos desde los puntos medios (3,6,5) a través del centro crea la Regla 1 viajes
que terminan en 11,14,13: (a,b,c) se envían a (F,E,D) respectivamente. El artículo 2
viajes a lo largo de los lados, en orden de inclusión de Zigzag L-index, a continuación, corresponden a
Trefoil U-trips, todo orientado en sentido de las agujas del reloj. Leen simbólicamente (literalmente) como fol-
mínimos: EaD (14,3,13);DbF (13,6,11);FcE (11,5,14). Reclamamos cada uno de estos 7
líneas, cuando sus nodos se unen a sus opuestos de puntada, mapa 1-a-1 a un S = 1
Pathion Box-Kite. Tenemos esto como un hecho dado para el viaje de la Regla 0; tenemos que ex-
Aclarar esto para los viajes de la regla 1 (que Roundabout ya nos dice que son Box-Kites);
y, tenemos que probarlo para los viajes de la Regla 2 que hacen los lados. (Y, una vez
lo probamos, y enmarcamos la inducción adecuada para todas las N superiores, la tarea que
nos motivaron originalmente se hará: para estos U-trips casa los Asesores con
L-índices > g, cuyos candidatos Box-Kites no incluyen g.)
Los viajes de la Regla 1, en todos los casos dentro de este ejemplo, corresponden a Asses-
sor L-índices (a,d,e). Con g = 8 en d, el Tercer Visir nos dice c = 8+ S =
Sedenión X. (a,b,c) se lee así, dentro de las Sedeniones, como (a,A,X). Pero en el
Pationes, los 3 términos son menos que G, por lo tanto puede incluir un viaje de L-index para una vela
– y específicamente, un Zigzag (de lo contrario el orden de A y X se invertiría). Simi...
Larly, el viejo Sedenion (f,F) son el nuevo Pathion (f,e), con el nuevo viaje (f,c,e)
siendo la manera del Tercer Visir de decir (f,X,F) de la posición de los Sedeniones.
Para los viajes de la Regla 2, demostramos una relación en uno de ellos una zona desmilitarizada, que
Roundabout nos dice que implica todo el Box-Kite, mientras que la simetría nos permite
asumir el mismo de los otros dos. Considere, entonces, el aDE Trefoil U-trip, en-
Estanciado por (3,13,14) en nuestro ejemplo; específicamente, calcular el producto de la
Los evaluadores que contengan a y D = c+ g como L-índices. Sus U-índices dentro de la
Las patologías deben ser (G+ aS) = (G+ f ), y (G+ g+ cS) = (G+ g+ d) re-
Desde el punto de vista de las perspectivas. Escribimos sus diadas cuando se multiplican con signos internos opuestos, como
Suponemos que su DMZ es un borde en un Zigzag. Afirmamos la verdad de esta aritmética:
+(c+g)− (G+g+d)
+a + (G+f )
+(G+g+e)− (b+g)
+(b+g)− (G+g+e)
Abajo a la izquierda: (a,b,c)→ (a,c+g,b+g) (Regla 2, con N = 4.)
Abajo a la derecha: (a,d,e)→ (a,g+ e,g+d)→ (a,G+g+d,G+g+e) (artículo 2 de la Regla 2
dos veces, N = 4, luego N = 5.) El signo interior de la dyad superior invierte el del producto.
Arriba a la izquierda: (f,c,e)→ (e+g,c+g,f)→ (G+f,c+g,G+e+g) (regla 2 dos veces,
N = 4, luego N = 5.)
Arriba a la derecha: ( f,d,b) → (b+ g,d + g,f ) → (b+ g,G+ f,G+ g+ d) (regla 2
dos veces, N = 4, luego N −5.) El signo interior de la dyad superior invierte el del producto.
Un breve ejercicio similar con DMZ formado con el evaluador emanado
muestra, también, tiene un signo interno negativo con respecto a un positivo en su DMZ
Compañero. Dos signos negativos de borde en una Vela significa Zigzag (significa tres negativos
De hecho, las señales de borde). Nuestra prueba a través de los Pathions está completa; sólo necesitamos
indicar la existencia de un mecanismo constructivo para aplicar esta misma estrategia;
como N crece arbitrariamente grande.
Considere ahora el mismo triángulo PSL(2,7), pero en su centro poner un 16 (= g=G/2
para el 64-D Chingons, después de los 64 Hexagramas del I Ching, para darles un
nombre). Luego, ponga los 7 de los Pathions’ S = 1 Zigzag L-trips en el círculo de la Regla 0.
Uno obtiene 3 · 7 = 21 Regla 2 Zigzag L-trips, y los 10 enteros < g encontrados en ellos
y la 7 Regla 0 Zigzag L-trips implica que hay 10 Regla 1 Trefoil L-trips, cada uno
asociado con un Box-Kite distinto. Pero eso sería para 7+ 21+ 10 = 38
Zigzag L-trips, cuando sabemos que sólo puede haber 35. Los 3 adicionales indican que hay
algunos de doble trabajo que se producen: específicamente, 3 de la regla 1 Trefoil L-trips de hecho
designar no el estándar (a,d,e), sino (f,d,b), con d = g = 16 en cada instancia.
Cuando (5,14,11) se alimenta en nuestra “máquina de viaje” como regla 0 círculo, ambos (11,16,27)
y (14,16,30) mapa a (f,d,b) viajes vinculados a la Regla 0 Zigzag L-índices (10,27,17)
y (15,30,17), cuyos (a,d,e) viajes aparecen como rayos en triángulos para (3,10,9) y
(3,13,14), respectivamente. (11,16,27) también se muestra como un (f,d,b) con la regla 0 viaje
(6,11,13). (Se anima a los lectores a utilizar el código que figura en el apéndice de [4],
generar ETs para S y N bajos. Detalles de Trip-machining para nuestro S = 1 ejemplo son
en el apéndice A.) Para N = 7, utilice los 35 S = 1 L-trips recién derivados como regla 0 círculos
con una central 32, y así sucesivamente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4 El Teorema Number Hub (S = 2N−2) para iones 2N
Dadas las longitudes requeridas para probar la plenitud de ETs para S < 8, podría ser
sorprendente al darse cuenta de que el número infinito de casos para S = 2N−2 para todos los 2N-ions
son tan fáciles de manejar que casi se prueban a sí mismos. Sin embargo, la prueba de esto
El Teorema Number Hub, aunque técnicamente trivial, tiene implicaciones de largo alcance.
Teorema 10. Para todos los iones 2N con ZD (N > 3), y S = g = G/2, todos no largos
entradas diagonales en la tabla de emanación se llenan; más, cada celda llenada en
el cuadrante superior izquierdo del ET no está marcado (de hecho, indica una corriente de borde en una
Zigzag); además, las entradas de fila, columna y celda son isomórficas a las encontradas
en una tabla de multiplicación sin firmar, generada por CDP, para los 2N−2-iones;
TripN−2 Zigzag L-index sets que respaldan su Box-Kites son exactamente todos y
sólo aquellos viajes contenidos en dichos 2N−2-iones, el ET sirve efectivamente como su
Un atlas de alto nivel.
Prueba. Como el índice L más grande de cualquier evaluador es 2g-1, y cada S en los ETs
en cuestión es precisamente g, entonces las etiquetas de la fila (columna) ascenderá de 1 a
g− 1 en incrementos simples de arriba a abajo (de izquierda a derecha) en la parte superior izquierda
cuadrante, haciendo su cuadrado de celdas llenas isomórficas a las entradas no firmadas en el
correspondiente a la tabla de multiplicación de 2N−2 iones. Además, todas estas células llenas del ET
sólo contendrá XORs de índices < g. Por lo tanto, todos y sólo los viajes de L-index tendrá
los bordes de sus (necesariamente Zigzag) Velas que residen en dicho cuadrante. Todos no-
células diagonales largas en el ET se llenan mientras tanto, ya que todos los evaluadores candidatos
tienen el formulario M = (m,G+ g+m), y para cualquier triplete CPO (a,b,c) cuya fila y
etiquetas de columna más entrada de celda están contenidos en el cuadrante superior izquierdo, es fácil de
mostrar que la aritmética siguiente es verdadera:
+b− (G+g+b)
+a + (G+g+a)
+(G+g+c)− c
+c− (G+g+c)
Por lo tanto, el TripN−2 Box-Kites, el conjunto de Zigzag L-index de cada uno de los cuales es
uno de los viajes TripN−2 contenidos en el 2
N−2-ions, todos tienen esta forma simple:
(a,b,c,d,e,f ) = (a,b,c,g+c,g+b,g+a)
Comentarios. Como se hará cada vez más evidente, los poderes de 2 – es decir,
1-bits de singleton en bitstrings binarios indefinidamente largos – jugar un papel en el número ZD
teoría más fácilmente analógica a la de primos en los estudios tradicionales. Y mientras
los triples enteros (de Pitágoras a Fermat) juegan un papel central en el factor-
estudios tradicionales basados, todos los trillizos XOR en dos generaciones CDP’ quitar de
el poder de 2 en cuestión son recogidos por su ET en este nuevo enfoque. Todos los demás
los enteros suficientemente grandes (significado > 8) se asocian mientras tanto con fractal
firmas, a cada una de las cuales se vincula un espacio único de dimensiones infinitas
por diagonales ZD. Pero, ¿puede realmente llamarse Teoría de los Números?
De hecho, decimos que puede: que es, de hecho, el "nuevo tipo de teoría de los números" que debe
acompañar la nueva clase de ciencia de Stephen Wolfram. En su enorme libro de 2002,
nos dice que, la sabiduría común al contrario, el comportamiento complejo se puede derivar
del comportamiento aritmético más simple. El obstáculo para ver esto reside en el
la propia sabiduría común [5, p. 116]:
· · · las matemáticas tradicionales hacen una idealización fundamental: como
suma que los números son objetos elementales cuyo único relevante en-
tributo es su tamaño. Pero en una computadora, los números no son elementales.
objetos. En su lugar, deben ser representados explícitamente, típicamente por giv-
> una secuencia de dígitos.
Pero eso implica en última instancia cadenas de 0 y 1’s, donde el asunto de impor-
se convierte en qué lugares de la cuerda se mantienen, y que están vacantes: el orig-
significado inal de nuestra notación decimal sentido de sí mismo como marcador de posición aritmética.
El estudio de cero divisores – subestructuras de marcadores de posición – entonces se convierte en lo natural
forma de investigar las características compuestas de Numbers qua bitstrings. Cuándo
descubrimos, en lo que sigue, que los enteros compuestos (es decir, los que requieren
múltiples bits a ser representados) están intrínsecamente vinculados, cuando se ve como strut-constant
bit-strings, con meta-fractales de dimensión infinita, la continuación de la cita
en la siguiente página debe sonar verdadero:
En matemáticas tradicionales, los detalles de cómo se realizaron las operaciones
en números afectan secuencias de dígitos se suelen considerar bastante
irrelevante. Pero · · · precisamente mirando a tales detalles, vamos a ser
capaz de ver más claramente cómo se desarrolla la complejidad en sistemas basados
en números.
5 The Sand Mandala Flip-Book (8 < S < 16, N = 5)
En la primera exploración concreta de la fenomenología ZD más allá de las Sedeniones [6,
pp. 13-19], un sorprendente conjunto de patrones fueron descubiertos en los ETs para los valores de S
más allá del “límite de Bott”: es decir, para 8 < S < 16 (el límite superior es la G de
los Pationes 32-D), las celdas llenas bastaron para definir no 7, sino sólo 3, Box-Kites
para N = 5; más, las figuras geométricas primarias en cada ET se transforman en
uno al otro con cada incremento entero de S, de una manera que recuerda exactamente a la
flip-books que anticipan la animación de dibujos animados. Mientras que estos parecían desconcertantes
a mediados de 2002, cuando fueron encontrados, su lógica es de hecho profundamente simple.
En primer lugar, cada S de ET tal es sólo la X de uno ya visto en las Sedeniones. Nosotros
continuar nuestra convención de utilizar g para indicar la G de los géneros anteriores CDP-
sión, emplear s para el S de dicha generación, y hacer referencia a todos los índices de evaluador anteriores por
Sufijando sus cartas con asteriscos. Entonces, desde S = g+ s, el viaje (s,g,g+ s)
mandatos, por el Primer Visir (cuya versión firmada invocamos debido a la
derivación de las Sedeniones), que g debe pertenecer a la vela Zigzag si se trata de ser
un índice L-Asessor en absoluto.
Tenga en cuenta que este no es un argumento verdaderamente legítimo, como veremos en breve, aunque el
los resultados son correctos, como se muestra por otros medios en [6]: esto se debe a que
cometas primero emergen en este contexto actual – pero no están entre los 3 x 7 “flip-book”
habitantes de interés inmediato. Vamos a asumir, por la simplicidad de la presentación,
que el Primer Visir obtiene aquí: probar que lo hace, sin embargo, requiere un
argumento de fondo relativo a los copos de caja “Tipo II”: sus valores S deben ser menores
que g, por lo tanto, ninguno de nuestros candidatos flip-book puede calificar. (Pero son igual que
numerosos como el flip-book caja-kites, hay 3 para cada uno de los siete valores de
S < g. Para su enumeración, y marco teórico de la fenomenología “Tipo II”, véase
Apéndice B.)
Nos contentaremos aquí con dar esto como un resultado empírico, y
asumir, por lo tanto, la validez de la versión firmada del primer visir en el
caso en cuestión. Sobre la base de esta suposición, podemos afirmar además que el Sedenion
Los índices L de Vent, f*, e*, d*, también deben estar asociados con los evaluadores de Zigzag. Por una
argumento exactamente similar a la de la última sección, entonces tenemos 3 candidatos Box-Kites
considerar: ya que los 3 L-índices de Vent son todos menos de g, deben ser cartografiados a
los 3 evaluadores A, g = 8 deben adherirse a B (y s = 1 a E), mientras que los L-índices de
Los evaluadores asociados con f*,e*,d* deben ser A*, B*, C*, respectivamente. Los
prueba es fácil: tomando los nuevos A, C Asesores = (f*,G+g+a*) y (g,G+ s) en
ese orden como representantes fácilmente generalizables, hacemos la aritmética.
+g− (G+ s)
+ f* + (G+g+a*)
+(G+a*) − (f g)
+(f g)− (G+a*)
La parte inferior izquierda es sólo la Regla 1. Para la parte inferior derecha, comience con el Primer Visir:
(f*,a*,s)→ (f*,G+ s,G+a*)→ (f*) · (−(G+ s)) =−(G+a*). La parte superior izquierda
se deriva así: (a*, g, g+a*)→ (g, G+a*, G+g+a*)→ (G+g+a*) · g =
+(G+a*). Por último, (a*,s,f*)→ (g+a*,g+f*,s)→ (G+g+a*,G+s,g+f*),
pero el signo interno negativo de la dyad superior invierte el signo como se muestra.
Los 3 box-kites así derivados son los únicos de los 7 candidatos viables:
para el índice L de Zigzag del S = 1 Sedenion Box-Kite no suscriba una vela;
por lo tanto, por lo que los abogados llamarían un "fruto del árbol envenenado" argumento, ni
haga las 3 U-trips asociadas con el mismo Zigzag fracasado. Usando A* y B*, entonces
invocando el Teorema de la Ronda, vemos esto fácilmente:
+b(G+g+e*)
+a* + (G+g+f*)
− (G+g+d*)− c*
+c* − (G+g+d*)
NO CERO (sólo cancelación de c*)
Con la adición de dos bits sucesivos a la izquierda, la parte inferior izquierda y superior-
los productos correctos son idénticos a los obtenidos sin que se incluya el (G+g).
Del mismo modo, el producto superior izquierdo utiliza la regla 2 dos veces, con un efecto similar, pero con (G+g)
incluido en el resultado: puesto que (f*,d*,b*) es CPO, entonces obtenemos −(G+g+d*).
Para el resultado superior derecho, mientras tanto, los dos bits altos inducen una doble inversión,
luego son asesinados por XOR, dejando el producto igual que si no hubieran estado allí:
(f*,c*,e*)→ (g+e*,c*,g+f*)→ (G+g+f*,c*,G+g+e*), de ahí −c*. Nosotros
tienen un argumento que recuerda al Teorema 2: dependiendo del signo interno de la
dyad superior, un par de productos cancela o el otro, pero no ambos.
Vemos, entonces, que la construcción dada sin explicación al final de
La primera parte es correcta. Los argumentos dados allí en relación con la relación vital de
Las estructuras no-ZD de un Box-Kite a la modelación semiótica sugieren que esta “offing”
(para usar el argot binario apropiado vinculado a los sicarios de la mafia) de un Zigzag 4
Los trillizos deberían desempeñar un papel igualmente importante en ese modelo. Esto tiene
no sólo en modelos semióticos, sino físicos, ya que el hecho dinámico clave im-
plicit en los viajes Zigzag L- y U- (o sólo Z-trips en adelante) es su similitud de
orientación: puesto que (a,b,c);(a,B,C);(A,b,C);(A,B,c) son todos CPO como escrito, nosotros
están efectivamente permitidos hacer swaps por pares de mayúsculas y minúsculas
entre ellos sin inducir nada que un físico pudiera considerar observable (e.g.,
a inversión de 180o o “cuantum de giro”). Esta condición de sincronización del viaje se descompone como
tan pronto como intentemos permitir un intercambio similar entre las Z-trips y su Trefoil
compatriotas: en particular, los dos que no comparten un Asesor con los Zigzag.
El modelo de juguete de [7] utilizaría estas características para designar la base de un “Cre-
presión” que conduce a la salida de la simetría E8 ×E8 del teórico de la cadena.
Esta simetría, como se discutió allí, rompe en los modelos estándar cuando uno de los
El E8 primordial decae en un E6 – que tiene 72 raíces paralelas a las 72 rellenas
células de nuestros Mandalas de arena. Para los propósitos actuales, el aspecto clave de esta corre-
spondence es que, en la teoría de ZD al menos, la explosión de un singleton Box-Kite
en una trinidad de Sand Mandalic lanza el desinterés en la fuente de la dinámica:
el Z-trips que subscribir viaje sincronizar ya ni siquiera subscribir Box-Kites. Los
todo el escenario no sugiere nada tanto como esas cajas que, cuando se abrió por
empujar una palanca externa, emitir un brazo que tira hacia arriba en la misma palanca, forzando
la caja para cerrar y el brazo para volver a su escondite dentro de ella.
Vamos ahora a los gráficos ET de la secuencia de flip-book, tan sugerente de
autómatas celulares. Para cada uno de los 7 ET en cuestión, todas las etiquetas < g son monotoni-
Cally creciente, ya que S, y por lo tanto sus opuestos de puntal, superan a todos ellos. Pero la
solo las filas y columnas rellenas (pero para cruces diagonales largos) serán aquellas con
etiquetas iguales a S−g = s y su strut-offposite g, para estos L-índices residen en E
y B, respectivamente, en las 3 cajas-kites del conjunto, por lo que cualquiera de las
■ una de ellas fabrica ZDM dentro de cada uno de los tríos (a,d,e) y (f,d,b) Velas,
llenar todas las 12 (= 24−2, menos 2 para diagonales) celdas rellenables en cada fila o columna
etiquetados con la etiqueta de estos evaluadores. Así, como s se incrementa, dos conjuntos paralelos de
líneas perpendiculares de las células ET comienzan definiendo un cuadrado faltando sus esquinas, entonces
estos paralelos se mueven en incrementos unitarios uno hacia el otro, hasta que forman una 2 capas
crossbar una vez s = 7 (S = 15). 24 celdas cada una tiene la etiqueta de fila R o la de columna C
= s; 24 residen en líneas con etiqueta = g; y 24 más tienen su contenido P = s o
g: estos últimos tienen un orden que es menos obvio, pero por el último ET en el flip-
libro, se han preparado para formar los bordes de un diamante, ortogonal a
las diagonales largas y el encuentro con la barra transversal en sus cuatro esquinas, con s = 7
valores que llenan los bordes hacia arriba, y g = 8 los que se inclinan hacia abajo.
Los gráficos del flip-book aparecieron por primera vez en [6, p. 15]; eran recy-
en la p. 13 de [8]; a continuación se incluyeron versiones más grandes y fáciles de leer de estos ET
(junto con numerosos otros flip-books basados en Chingon y otros gráficos que vamos a
discutir más adelante) como diapositivas 25-31 de la presentación Powerpoint que comprende [1], de-
en la conferencia de Wolfram Science del 15 al 18 de junio de 2006, NKS en Washington,
D.C. Los tres recursos están disponibles en línea, y el lector es especialmente
animado a explorar el último, cuyas 78 diapositivas se puede pensar como la visual
acompañamiento a esta monografía. (En adelante, referencias a las diapositivas numeradas
será a los contenidos e indexados en él.)
6 Espectrografía 64-D: 3 Ingredientes para “Receta
Teoría”
De una manera claramente relacionada con la periodicidad Bott, las constantes de puntadas caen en tipos de-
marcada por múltiplos de 8. Pero a diferencia de la familiar modulo 8 categorización de
tipos demostrados, tal vez más familiarmente, en los álgebras Clifford de varios
dimensiones, la situación con cero divisores no se refiere a la tipología (que mantiene
producir nuevos patrones en todas las dimensiones), pero granularidad. Como veremos, em-
tablas de anación para S > 8 (y no una potencia de 2), aparte de las alineadas diagonalmente
celdas en estiramientos vacíos de otro modo, mostrar diseños de tablero de verificación de paralelo y
líneas perpendiculares cercanas a sólidos (NSLs), cuyas células todas tienen emanaciones excepto para
un par de cruces diagonales largos, y cuyos ritmos visuales están estrictamente gobernados
por S y 8 o los múltiplos más altos de este último.
La regla que encontramos en los Pationes 32-D para los Mandalas de Arena indica que
el patrón básico (y BK5, S para 8 < S < 16) es “esencialmente el mismo” para todos los
Ellos. Nosotros ponemos la frase calificativa entre comillas, ya que es una pregunta abierta a este respecto.
señalan qué características, residiendo a qué profundidad, son de hecho “lo mismo,” y cuáles son
diferente. Por el momento, invocaremos el término equivalencia espectrográfica como
una especie de pagaré, con la esperanza de meter cada vez más elementos en su bolsa de
propiedades, comenzando con dos. Primero es algo a la vez intuitivamente obvio, pero
no se ha demostrado fácilmente. (Incluiremos un corolario a un teorema posterior cuando tengamos
hecho así). Desde los primeros 8 posibles strut-constant valores todos se muestran como máximo-
ETs rellenos, y dado que las anomalías mostradas por valores más altos son estrictamente efectos secundarios
de bits a la izquierda del 8-bit (que son, por supuesto, sus múltiplos), es natural a
asumir que cualquier inducción recursiva sobre formas más simples se hará eco de esta “octava”
estructura: que cada vez que S pasa un nuevo múltiplo de 8, participa en un nuevo tipo.
(Como con los Mandalas de arena, veremos que esto significa que BKN, S para el nuevo 7- o
Banda espectral de 8 elementos de nuevas formas diferirá de la encontrada en su predecesor
banda.) Esto llevará, en los casos más claros – S = 15, o un múltiplo de 8 no
una potencia de 2, digamos – a las rejillas compuestas de 8 x 8 cajas algunos o todos cuyos bordes
son NSLs.
Cómo determinamos qué casos son claros, mientras tanto, y por qué y cómo
puede que deseemos o necesitemos privilegiarlos, nos lleva a nuestra segunda propiedad para incluir
Por adelantado en nuestra bolsa. De una manera que recuerda a los diversos trucos – como
menores y cofactores – utilizado en la teoría de matriz clásica para probar dos matrices son
Equivalente, podemos transformar miembros de una banda espectral en unos a otros por cer-
algunos métodos formales de agitar a mano. Con los Mandalas de Arena, por ejemplo, nosotros
podría sustituir los índices de concreto en las etiquetas de fila y columna por desig-
naciones que hacen referencia a los (a,b,c) valores de cada uno de sus 3 Box-Kites, listados en una
de una serie de órdenes predeterminadas: por orden por lo menos primero del CPO de tales (a,b,c)
trillizos, en una secuencia determinada por el Zigzag L-trip del Sedenion Box-Kite
podemos derivar de, por ejemplo (que es equivalente a la 3 arena-mandalica
Los valores de Box-Kites d, como hemos visto).
Dado que las celdas que se rellenan son estrictamente determinadas por S y G, tales
las naciones eliminan toda individualidad entre los extraterrestres en cuestión. Por lo tanto, si es cierto
características de la pantalla de uno de ellos parecen convenientes, podemos convertir su “línea de tono”
de índices que pueblan sus etiquetas de fila y columna en un diseño abstracto, gobernado
por el cual se asocia el índice con el que el evaluador, en la forma esbozada último
párrafo. Entonces podríamos utilizar este diseño como la plantilla para re-escrituras de todos los demás
ETs en la misma banda espectral, sabiendo que los resultados obtenidos utilizando
la instanciación de la banda podría así ser convertida en exactamente análogas
para los otros miembros de la banda.
De hecho, adoptaremos implícitamente esta táctica utilizando S = 1 como ejemplo.
“por ejemplo” en numerosos argumentos, al tiempo que emplea el S de más alto valor
encontrado entre los Mandalas de arena, 15, para simplificar la visualización (y calculat-
ing) de la creación de patrones recursivos para secuencias fijas-S, en crecimiento N. (S = 15 es
elegido porque tiene todos sus bits bajos llenos, por lo tanto todos los XORs se derivan por simple
resta, dejando el desbordamiento de carrybit para mostrarse sólo en lo que más importa a
nosotros: la desconexión de 4 candidatos Box-Kites en los Pathions, y - como vamos a mostrar
dos secciones por lo tanto – 16 en los Chingons, y 4N−4 en todos los iones 2N superiores.) Dónde
por las razones ya explicadas, las secuencias de S fijas-N, en crecimiento flip-
libros, designamos estas nuevas pantallas (por razones que vamos a justificar en breve) globo-
cabalgadas.
Mientras que hay sólo un tipo abstracto para las Sedeniones, con un Box-Kite para
cada uno de los 7 posibles valores S, una segunda banda espectral emerge en los Pathions
para incluir los Mandalas de arena, y dos más se agregan para los Chingons 64-D.
Por inducción de la primera banda compartida universalmente para todos los N > 3, donde hay
son TripN−2 Box-Kites en cada ET, para cada S ≤ 8, la primera nueva espectrografía
suma incluye el múltiplo superior de 8 que lo limita, ya que no es una potencia
de 2: 16 < S ≤ 24. La segunda nueva gama, sin embargo, está limitada por G, por lo tanto hace
no incluirlo, ya que es tautológicamente un poder de 2 (que poderes, como vimos dos
hace secciones, cumplir con un tipo todo el suyo propio, con el mismo Box-Kite-count
fórmula como para la banda espectral más baja): 24 < S < 32.
Cada una de estas dos nuevas bandas muestra una característica distintiva que subscribe
uno de los tres ingredientes clave para la teoría de la receta que en última instancia estamos buscando.
Llamamos a estos, para S ascendente, (s,g)-modularidad y ocultar/llenar la respec-
Tily. El tercer ingrediente clave, mientras tanto, reside en la banda que primero emerge
en los Pationes – y cuyo eco en los Chingons tiene características recapitulativas suffi-
científicamente rico como para merecer el nombre de recursividad. Dedicaremos la primera Parte III
la sección post-introducción a un tratamiento minucioso de la instancia más simple de este
tercer ingrediente, mostrando cómo ascender a la meta-fractal que llamamos el Whor-
fian Sky (llamado así por el gran teórico de la lingüística, Benjamin Lee Whorf,
la última conferencia sobre “Lenguaje, mente y realidad” describió el encuadre de la media-
En este contexto, la Comisión considera que, en el marco de la política de competencia, la Comisión ha adoptado una serie de medidas destinadas a mejorar la competitividad de la industria de la Unión, en particular en lo que se refiere a la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente y la protección del medio ambiente. Entre
muchos pasajes visionarios en sus descripciones de una futura ciencia interdisciplinaria,
el siguiente parece más apto para servir como la cita principal para el tercero y final
barrer nuestro argumento [9]:
Los patrones forman enteros, parecidos al Gestalten de la psicología, que son
abrazado en grandes enteros en progresión continua. Por lo tanto, el cos-
imagen mic tiene un carácter serial o jerárquico, el de una progresión
de aviones o niveles. A falta de reconocimiento de dicha orden serial, diferen-
ent ciencias cortar segmentos, por así decirlo, fuera del mundo, segmentos
que tal vez cortar a través de la dirección de los niveles naturales, o detener
corto cuando, al alcanzar un cambio de nivel importante, los fenómenos
se convierten en de un tipo muy diferente, o se deshacen del ken del viejo ob-
Métodos servacionales. Pero · · · los hechos del dominio lingüístico obligan
reconocimiento de aviones seriales, cada uno dado explícitamente por una orden de
Se observa una disminución de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de CO2. Es como si, mirando a una pared cubierta de fina tracería
de diseño similar a encaje, encontramos que esta tracería sirvió como el suelo para
un patrón más audaz, pero aún delicado, de pequeñas flores, y que sobre ser-
al darse cuenta de esta extensión floral vimos que multitudes de huecos
en él hizo otro patrón como pergamino, y que los grupos de rollos
hecho letras, las letras si se siguen en una secuencia apropiada hicieron palabras,
las palabras fueron alineadas en columnas que enumeraron y clasificaron
lazos, y así sucesivamente en el cruce continuo de patrones hasta que encontramos esta pared
ser – un gran libro de sabiduría! [10, p. 248]
Apéndice A: Genealogía de S = 1 box-kites
N = 4: Conjunto único de índice de cuaternión L (1,2,3) alimentado como círculo de la regla 0 en PSL(2,7)
con g central = 4, produciendo 7 viajes de Octonios, cada uno con un S diferente. Para S = 1,
tienen (3,6,5), que se convierte en regla 0 para el siguiente nivel.
N = 5: (3,6,5) alimentado como círculo de la Regla 0 en PSL(2,7) con g central = 8 produce 3 Regla 2
Tiras en L como los lados del triángulo, que (al colocar su puntal opuestos como L-índices)
generar (junto con cero acolchado (3,6,5) ) 4 cajas-kites con X = G+1 = 17.
Las medianas de Triángulo se convierten en (a,d,e) Trefoil L-index conjuntos de 3 Regla 1 S = 1 Recuadro-
Kites, haciendo 7 en total. Estos conjuntos de Zigzag L-index se convierten en la Regla 0 viajes para los próximos
nivel, y son:
Regla 0: (3,6,5)
Regla 1: (3,10,9); (6,15,9); (5,12,9)
Regla 2: (3,13,14); (6,11,13); (5,14,11)
N = 6: Los 7 N = 5 Zigzag L-index conjuntos que acaban de enumerarse se alimentan como regla 0 círculos en
PSL(2,7) triángulos con central g = 16, y son Zigzag L-index conjuntos en sus propios
derecha para Box-Kites con X = G+1 = 33.
10 Medias de la regla 1, 3 redundantes (en la medida en que generan (f,d,b) donde (a,d,e)
también se dan: (14,16,30)* y (11,16,27)** en el triángulo de (5,14,11), este último
también en (6,11,13)’s). Se asocian con estos 7 conjuntos de índice L de Zigzag:
(3,18,17); (5,20,17); (6,23,17); (9,24,17);
(10,27,17)*; (12,29,17); (15,30,17)*
Regla 2 lados: 3 por cada viaje de la Regla 0, como sigue:
(3,6,5)→ (3,21,22); (6,19,21); (5,22,19)
(3,10,9)→ (3,25,26); (10,19,25); (9,26,19)
(6,15,9)→ (6,25,31); (15,22,25); (9,31,22)
(5,12,9)→ (5,25,28); (12,21,25); (9,28,21)
(3,13,14)→ (3,30,29); (13,19,30); (14,29,19)
(6,11,13)→ (6,29,27); (11,22,29); (13,27,22)
(5,14,11)→ (5,27,30); (14,21,27); (11,30,21)
N = 7: Alimente los 35 conjuntos de índice L de Zigzag que acaban de figurar en la lista a PSL(2,7) con g = 32, como
Regla 0 círculos, generando así los 155 S = 1 Zigzags encontrados en los 27-iones, o
Rutas – nombradas por el sitio de la burbuja de Internet “Massachusetts”
Milagro”, Ruta 128 – y así sucesivamente.
Apéndice B: Breve introducción a los kits de cajas “Tipo II”
La generación recursiva de Zigzag L-sets acaba de presentar llamadas para un poco de cerca en-
atención cuando los cofre-kites involucrados son Tipo II, ya que entonces tienen las diagonales
de sus triángulos PSL(2,7) orientados de manera diferente: en lugar de los 3 que conducen desde el centro-
puntos de la regla 2 en las esquinas, sólo 1 de ellos preservará la orientación
en el caso de un tipo II (los otros dos han “revertido las normas VZ1” como prueba). Nosotros
primero dar una construcción para la producción de todos los box-kites Tipo II en los Pathions, y
a continuación, indicar la manera en que sus trabajos están íntimamente relacionados con
la fenomenología de los productos de torsión incluidos en el Teorema 6 de la Parte I.
La construcción se presentó con diferentes marcos en [8], donde de-
estirado una representación “stereo Fano” usando triángulos lado a lado, siendo la izquierda un
propiamente dicho PSL(2,7). Dentro de los Pathions, hay 7 cajas-kites diferentes para cada ex-
cept para los tríos “flip-book”, uno para cada S> 8. Y para S= 8 exactamente, vimos en
nuestra discusión del Teorema Number Hub que podemos construir todos los 7 colocando 8 en
el centro del Fano estándar (lo que llamaremos PSL(2,7) en adelante),
el tramo Zigzag L para cada Sedenion S y colocar sus unidades en los puntos medios de los lados,
en el orden habitual CPO (en los lados izquierdo, derecho e inferior respectivamente). Cada uno de
estas 7 líneas generan entonces una nueva caja-kite en los Pathions para el Sedenion S en
pregunta.
Si re-inscribimos el primer-kit L-trip, pero cambiamos G a los 16 del Pathion, ap-
plying VZ2 nos da nuevos términos U-index, pero los términos L-index para los 6 evaluadores
sigue siendo el mismo que para el kit de caja de Sedenión: llamamos a esta instancia “Regla 0” la
caja-kite cero-acolchado (o sólo ZP) para el valor S en cuestión.
Si tomamos los tres trillizos “Regla 1” a lo largo de los puntales, y no los colocamos en la A,
B, C posiciones de nuestro nuevo Pathion caja-kites, pero en su lugar en A, D, E (con 8 siempre
al terminar en D), generamos 3 kits de caja estándar más (Tipo I). Para S = 1, la
Sedenion Zigzag L-trip es sólo (3,6,5), y cada una de sus unidades se convierte en el índice bajo
‘A’ para un nuevo kit de caja Pathion, con L-índices escritos en “parámetros anidados”
orden (es decir, A, B, C, D, E, F) como sigue: (3,10,9,8,11,2); (6,15,9,8,14,7);
(5,12,9,8,13,4).
Pero si tomamos los 3 trillizos “Regla 2” a lo largo de los bordes, mapeando la unidad Zigzag
en el centro de cada uno al bajo índice ‘A’ de un nuevo kit de caja, el 8 no muestra
en cualquier evaluador, y dos de los tres puntales tendrán orientaciones revertidas. Estos
"Tipo II" box-kites, de nuevo para S = 1, escrito por la misma convención que se acaba de utilizar para
sus hermanos de ocho hijos, lean así: (3,13,14,15,12,2); (6,11,13,12,10,7);
(5,14,11,10,15,4). Puesto que los términos de bajo índice A y F son los mismos que en el
El mismo Sedenion-Kite, el apoyo que hacen obviamente tiene la orientación estándar.
tion. (Pero tenga en cuenta que no hay nada esencial acerca de la (A,F) strut aquí: la colocación
de la unidad indexada más baja del Zigzag L-trip en A es una convención conveniente,
y su empleo en los Pationes basta para inducir este efecto; sin embargo, no
más largo suficiente en dimensiones más altas, donde S puede superar 8 pero todavía es menor que
Que su ser Tipo II es un efecto secundario inmediato de la “Regla 2” en este método
de derivarlos debe ser obvio. Lo que es menos obvio es su relación especial.
nave con productos de torsión. Aquí, repasamos algunos de los fundamentos: en las Sedeniones,
Cada vez que dos evaluadores unieron un borde, podemos intercambiar un par de correspondientes
términos (ya sea L- o U- índices) y luego cambiar el signo uniéndose a la L- y U- en-
dados en el emparejamiento resultante, y obtener un evaluador en otra caja-kite como resultado.
Tal “productos de torsión,” entonces, invertir el borde-señal de una línea dada de ZDs como nosotros
se mueven entre contener copos de caja. Por otra parte, tales giros son naturalmente investi-
cerrado en el contexto de los cuadrados, no los triángulos, de la figura octaédrica vértice
escribimos Asesores en: los tres catamaranes ortogonales, entonces, en lugar de los cuatro
Tocar-sólo-en-los-vértices Velas. Eso es porque los lados opuestos de un catamarán
girar a los evaluadores en la misma caja-kite, de modo que cada catamarán permite un giro a
dos cajas-kites diferentes – con la terminal Catamarán, en cada caso, ser más
retorcido en la caja-kite a la que no se tuerce en primera instancia. Como se muestra en el cuadro
“Hermana retorcida” y “Caza Real” diagramas de [4], estas triples transformaciones pueden ser
representados en sus propios planos de Fano, con los índices colocados en sus loci ahora
correspondiente a las constantes de puntadas de un septeto de cofre-kites.
Cada Catamarán comprende las vías que conectan 4 Asesores – significado
no se conecta con ninguno de los términos de la tercera puntada en su caja-kite. No lo es.
difícil de ver que la constante de puntada de la caja-kite uno gira a es igual a la puntada-
opuesta al término que completa el tramo L del borde torcido en el
En primer lugar. Por lo tanto, cualquier término L-index en una caja-kite de Sedenión corresponde a la
constante de puntada de otro tal caja-kite uno puede torcer a. Esto sugiere una expansión
el significado de "producto twist" para abrazar los emparejamientos que comparten un apoyo en lugar de
un borde. Porque, si permitimos esto, entonces podemos tratar el tercer puntal ortogonal a la
el alojamiento cuadrado se tuerce como la “masta” del Catamarán, dándonos un sentido expandido
de este último término que nos permite una simplificación importante: en lugar de pensar en
las ZD de las Sedeniones distribuidas entre 7 cofres distintos, podemos verlos todos
incluido en un diagrama de kit de caja “emborrachado”, al que llamamos brocado. Cada uno
de los 12 bordes de caja-kite permite giros a un par de diferentes evaluadores – digamos
(A, b) y (B, a), en la caja-kite con S = copp = d. Más, el par (S,X) – que
podemos pensar en como en el centro de la caja-kite – puede ser “twisted” con los 6 evaluadores
en el kit de caja original para producir 12 más. Por lo tanto tenemos 6 + 24 + 12 = el
conjunto total de “42 Asesores” en las Sedeniones, todos representables, en cualquiera de los 7
box-kites componente, como un “brocado” unitario.
Sería bueno ser capaz de generalizar la noción de “brocado” con el fin de reducir
el número de estructuras básicas en contextos de orden superior: en los Pathions, para
postura, hay 77 cajas-kites, todos menos 21 de los cuales son “Tipo I,” con 21 de los
viene en arena-mandala triples, 7 formando el S = 8 “Atlas,” más 7 ZP y 3 ·7
“cajas fuertes” (así se llama, porque estos copos bajos-S contienen “piezas de 8”)
completar la colección. Pero si también contamos en la caja de 4 · 7 = 28 “falta”-
cometas para alta S, podemos colapsar nuestro recuento de la cabeza de 105 estructuras de tipo box-kite
a 15 brocados. Mimando la situación de Sedenión, el 7 ZP forma el más simple; el
7 tríos Sand-Mandala entremezclados con el septeto Atlas y las 21 cajas de fuerza para
hacer 7 brocados más; y los 21 calzoncillos tipo II se tuercen entre sí (para llenar
un Catamarán en cada uno) y en los “kites escondidos de la caja” vinculados con el alto S
(llenando dos catamaranes más por instancia de tipo II), entregando el set final
de 7 brocados. (Notamos que la situación de Tipo II no es tan misteriosa como podría ser
aparece, una vez que recordemos la lógica de la “prueba de la tapa” de la Parte I, Sección 5: con 2 de
3 trillizos de puntadas que se invierten, “apuntando” en un Fano de Tipo II tenderá a enviar un
flecha inversa en un borde 4 veces de 6 – lo que significa que, en todos estos casos, el
corolario a Teorema 7, y por lo tanto el teorema mismo, fallará, explicando así
el “por qué” de “desaparecido” box-kites!)
Ganamos la simplificación “brocado” generalizada a un precio muy pequeño: relajarse
la noción de “producto de torsión” para abarcar el índice de origen y objetivo L- y U-
pares que no son necesariamente cero-divisores en el contexto de la G a la mano.
Pero esta es una inversión que paga dividendos, ya que nos permite utilizar el Tipo II
estructuras como “intermediarios” para facilitar el estudio de la sub-
ciones del “espacio blanco” meta-fractal en los ET de alta S. Dada la semiótica y
importancia semántica de las estructuras “sin ZD” (recordemos que nuestra transcripción de
El análisis de Titot de la “Cuadrada Semiótica” de Greimas en teoría del divisor cero se basa
en los opuestos libres de ZD), podemos esperar una riqueza de resultados basados en Catama-
estudio llevado a cabo que debería al menos igual a lo que estamos llevando a cabo en base a Velas. (Por
una “atracción venidera”, los lectores interesados deben ver la diapositiva Powerpoint en línea-
muestra vinculada a nuestra presentación NKS 2007 [11], que jugará un papel con
con respecto a nuestra próxima y similarmente nombrada monografía, “Voyage by Catama-
corrió”, similar a lo que hizo nuestra presentación de diapositivas NKS 2006 para la exposición de teorema / prueba
usted está leyendo actualmente.)
Bibliografía
[1] Robert P. C. de Marrais, “Subestructuras portantes: El camino desde NKS
a redes sin escala en el mundo pequeño y con cero divisores”, http://
wolframscience.com/conference/2006/ presentations/materials/demarrais.ppt
(Nota: el apellido del autor figura bajo “M”, no “D.”)
[2] Robert P. C. de Marrais, “Subestructuras de soporte I: El camino desde NKS
las redes libres de escalas están pavimentadas con cero divisores”, Complex Systems, 17
(2007), 125-142; arXiv:math.RA/0703745.
[3] Robert P. C. de Marrais, “Los 42 evaluadores y los box-kites que vuelan,”
arXiv:math.GM/0011260.
[4] Robert P. C. de Marrais, “¡Presto! Digitalización”, arXiv:math.RA/0603281
[5] Stephen Wolfram, un nuevo tipo de ciencia, (Wolfram Media, Champaign IL,
2002). Versión electrónica en http://www.wolframscience.com/nksonline.
[6] Robert P. C. de Marrais, “Volando más alto que un box-kite,”
arXiv:math.RA/0207003.
http://arxiv.org/abs/math/0703745
http://arxiv.org/abs/math/0011260
http://arxiv.org/abs/math/0603281
http://www.wolframscience.com/nksonline
http://arxiv.org/abs/math/0207003
[7] Robert P. C. de Marrais, “El matrimonio de nada y de todos: Cero-divisor
Box-Kites en un cielo ‘TOE’”, en Actas del 26o Col-
loquio sobre los métodos teóricos de grupo en física, El Centro de Postgrado
de la Universidad de la Ciudad de Nueva York, del 26 al 30 de junio de 2006,
Springer–Verlag.
[8] Robert P. C. de Marrais, “El punto de inserción ‘Algo de la nada’”,
http://www.wolframscience.com/conference/2004/presentations/materials/
rdemarrais.pdf
[9] Robert P. C. de Marrais, “Subestructuras de soporte III: Un Bit-String-Driven
‘Teoría de la Receta’ para Espacios de Cero Divisores de Dimensión Infinita,”
arXiv:0704.0112 [math.RA])
[10] Benjamin Lee Whorf, Lenguaje, Pensamiento y Realidad, editado por John B.
Carroll (M.I.T. Press, Cambridge MA, 1956).
[11] Robert P. C. de Marrais, “Voyage by Catamaran: Long-Distance Seman-
tic Navigation, de la lógica de mito a la web semántica, puede ser eficaz por
Infinite-Dimensional Zero-Divisor Ensembles”, wolframscience.com/
conferencia/2007/presentaciones/materiales/demarrais.ppt (Nota:
apellido es listado esta vez estilo americano, bajo “D,” no “M.”)
http://www.wolframscience.com/conference/2004/presentations/materials/
http://arxiv.org/abs/0704.0112
Introducción a modo de repetición: de los calzoncillos a los extraterrestres
Tablas de Emanación: Convenios para la Construcción
ET para N > 4 y S 7
El Teorema Number Hub (S = 2N - 2) para iones 2N
El Mandala de arena Flip-Book (8 < S < 16, N = 5)
64-D Espectrografía: 3 Ingredientes para ``Teoría de la recepción''
| Divisores cero (ZD) derivados del Proceso Cayley-Dickson (CDP) de
N-dimensional hipercomplejos números (N una potencia de 2, al menos 4) puede representar
singularidades y, a medida que N se acerca a infinitos, fractales -- y por lo tanto, libres de escala
redes. Cualquier entero mayor que 8 y no una potencia de 2 genera un
meta-fractal o "Cielo" cuando se interpreta como la "constante de la lucha" (S) de un
conjunto de figuras de vértice octaédrico llamado "Box-Kites" (el fundamental
bloques de construcción de ZDs). Reglas de manipulación de bits o "recibos" notablemente simples
proporcionar herramientas para transformar un género fractal en otros en el contexto
de la complejidad clase 4 de Wolfram.
| Introducción a modo de repetición: De los box-kites
a los ET
La creación de análogos 2N-dimensionales de los números complejos (y no fue un
conocimiento trivial del álgebra del siglo 19 que los análogos legítimos siempre tienen dimen-
sión un poder de 2) es manejado por un algoritmo ahora bien conocido llamado el Cayley-
Proceso Dickson (CDP). Su nombre sugiere un relato comprimido de su historia:
para Arthur Cayley – simultáneamente con, pero independientemente de, John Graves –
* Dirección de correo electrónico: rdemarrais@alum.mit.edu
http://arxiv.org/abs/0704.0026v3
saltó en la generalización inicial de Hamilton de los imaginarios 2-D a los 4-D
Quaternions a las semanas de su anuncio, produciendo – por el método posterior
Acelerado en el procedimiento de “cortador de galletas” cercano a la modernidad de Leonard Dickson –
los Octonios 8-D. La esperanza, expresada por no menos de Gauss, había sido que un
la infinidad de nuevas formas de Número estaban acechando por ahí, con maravillosos
lazos a la espera del descubrimiento, cuya utilidad mágica sería más que compensar
por la pérdida de cosas que por mucho tiempo se dieron por sentadas a medida que sus buscadores ascendían a lo más alto
dimensiones. Pero tales fantasías fueron anuladas abruptamente por Adolph Hurwitz
prueba, pocos años antes del siglo XX, que sólo se necesitaron cuatro
dimensión-duplica más allá de la Línea de Números Reales para encontrar problemas: el 16-D Sede-
niones tenía cero-divisores, lo que significa álgebra división en sí se rompió, que
significa que los investigadores estaban tan en la pérdida de encontrar algo bueno que decir sobre tal Num-
Bers que nadie se molestó en dar a sus sucesores inmediatos 32-D un nombre,
mucho menos investigarlos seriamente.
Pero es con estos 32-D “Pathions” (para abreviar “patológico,” que vamos a
Llámalos a partir de ahora) que nuestra propia cuenta recogerá en esta segunda parte
de nuestro estudio de las "subestructuras de los titulares de plazas" (es decir, "divisores cero")
fenómeno que llamamos desbordamiento de carrybit en la primera entrega, extraño pero pre-
las cosas dictables se encuentran en marcha en el equivalente ZD de una “Tabla de Cayley.” Como
veremos en breve, esta es una lista, en una matriz cuadrada, de las ZD “emanaciones” (o
falta de la misma) de todos los "elementos de ZD" entre sí – todo, es decir, compartir mem-
bérship en un conjunto definido no por un “elemento de identidad” compartido, sino un común
Patrón constante.
Lo que veremos es que las carencias son de la esencia: por cada duplicación de N, la
La Tabla de Emanación (ET) para los 2N+1-iones del mismo strut-constant contendrá que
de su predecesor, lo que llevó a un despliegue infinito de “cajas-dentro de-cajas”
las células vacías definen, a medida que N crece cada vez más, un límite fractal inconfundible. El total
análisis algorítmico de tales aspectos Matrioshka-muñeca-como “meta-fractal” – por el
reglas simples de lo que llamaremos “teoría de recetas” (después de los valores de R, C y P relacionados
a la etiqueta de la fila, a la etiqueta de la columna y a sus productos específicos para celdas en dichas tablas) –
debe esperar nuestra tercera y última entrega. Pero los gráficos de color-colchon-como puede
ser visto por cualquier lector interesado en su tiempo libre, en la presentación de diapositivas Powerpoint
en línea en Wolfram Science desde nuestra presentación de mediados de junio en NKS 2006.[1] (El
El título de slide-show es casi idéntico al de esta monografía, ya que esta última es
significa ser la exposición “teorema/prueba” de ese icónico, por lo tanto en gran medida intuitivo
y la narración empíricamente impulsada.)
Lo que necesitaremos para emprender este viaje es una rápida repetición de los resultados
de la parte I [2]. Como la parte más difícil (como cien años de negación implicaría)
es encontrar la manera correcta de pensar en la fenomenología de la división cero, no
entender su funcionamiento básico una vez que se les da, tal resumen puede ser
mucho más breve y fácil de seguir que las pruebas necesarias para producir y justificar
Lo siento. Necesitamos sólo captar 3 cosas bastante simples. Primero, debemos interiorizar el camino
y estructura vértice de un octaedro - para, debidamente anotado y storyboarded,
esto nos proporcionará la representación de Box-Kite que cataloga completamente ZDs
en la arena 16-D donde surgieron por primera vez (y, como veremos en nuestro Roundabout
Teorema aquí, subscribe todas las emergencias de ZD de dimensiones superiores también).
Segundo, en lugar del engorroso aparato de CDP que uno encuentra en el álgebra
textos y el tratamiento de software ocasional, ofrecemos dos fácil algebraica una línea
que (inspirado por el Dr. Seuss “Cosas 1” y “Cosas 2”), simplemente llamamos “Regla
1” y “Regla 2” – que operan, en serio casi pitagórico, en trillizos de
enteros (índices de trillizos asociativos entre nuestras Unidades Hipercomplejos, como vamos a
aprender), y que, al hacerlo, lograr todo lo que hacen las tácticas habituales del CDP,
pero sin la ofuscación demasiado frecuente. (También hay una muy útil, aunque
bastante trivial, “Regla 0,” que simplemente establece que cualquier entero-triple que sirve para indexar
un trillizo asociativo para una potencia de N continuará haciéndolo para todos los pow-
ers. Lo que hace esto útil es que nos permite recursivamente tomar “dados” trillizos
para los iones 2N de nivel inferior que los de interés actual y los lanzan al centro
círculo de la tercera cosa que debemos captar.)
Necesitaremos, es decir, ser capaces de dibujar el grupo proyectivo finito más simple
7-línea, representación de 7-nodos, el llamado triángulo PSL(2,7). El Reglamento, más
el Triángulo, aplicado a las trazas de borde de Box-Kite y los índices nodales,
La necesidad. De hecho, el propio Box-Kite puede ser fácilmente derivado del Triángulo, por
suprimir el nodo central, y luego reconocer cuatro correspondencias. En primer lugar,
ver los 3 lados del Triángulo con tres puntas – dos vértices más punto medio – como las fuentes
del trío del Box-Kite de triángulos “llenados” apodados Trefoil Sails. En segundo lugar, enlace
el 1 círculo de tres puntas (que es una línea proyectiva, después de todo), envuelto alrededor del
centro suprimido y enhebrando los puntos medios, como el cuarto triángulo, el
especial “Zigzag Sail.” Tercero, imagine las 3 líneas de puntos medios a ángulos como
subscribir la parte del diagrama cuestionada por ZD (porque ZDs alojados en el
el nodo de punto medio no puede dividirse entre cero y ninguno de los nodos alojados en el vértice opuesto, vértice,
nódulo), los puntales (constantes de puntal de dónde). Cuarto y último, imagínense los otros cuatro
triángulos del Box-Kite (reunión, como con los primeros cuatro, cada uno a cada uno, en las esquinas
sólo, como cuadros de damas del mismo color) como los respiraderos donde sopla el viento.
Mantienen la cometa a flote, dejando que las cuatro hermosas velas en forma de jib de color muestran
fuera, mientras que el trío de tacos de madera o plástico que forman los puntales desagradecidos
proporcionar la estabilidad estructural que hace que la cometa sea capaz de volar en primer lugar.
Como bien sabía Euclides, 3 puntos determinan un Triángulo, así como un Círculo – que
¿Cómo podemos cambiar los engranajes entre las representaciones basadas en estos projec-
Las líneas dietéticas. Pero la fácil convertibilidad de las líneas a los círculos es lo que significa proyectivo
aquí – y está, también, en el corazón mismo de la unión de las imágenes geométricas anteriores
a Números Imaginarios. Desde el diagrama de Argand hasta la esfera de Riemann,
ha sido la esencia de la geometría compleja. Sólo sobre esta última imagen, colocar una esfera
en una mesa plana, llamar al punto de contacto S (para “Sur”), y luego los rayos directos
de su punto opuesto polar N. Rayos a través del ecuador intersecan la tabla en
un círculo cuyo radio atribuimos un valor absoluto de 1, con el centro S = 0. Esto
círculo es sólo el rastro de la ecuación habitual ei·2 exponencial-órbita, con la i en
el exponente, por supuesto, siendo el imaginario estándar. Cualquier diámetro a través de esto
círculo, extendido indefinidamente en cualquiera de las dos direcciones, es claramente un “lápiz proyectivo” de
un movimiento circular en el plano que lo contiene y N, y centrado en este último.
Lo que representa cada “línea”, entonces, en el triángulo PSL(2,7) es un sistema coherente
Tem interrelacionando 3 distintos imaginarios, uno por punto nodal: es decir, un “Cuatro-
nion copy” sans los Reales (que último, como nuestro eje polar N,S en el anterior, debe
destaca “fuera” del Espacio Numérico en sí mismo, ya que la visualización en 3-D es todo utilizado por
los requisitos dimensionales de los nodos). Por lo tanto, las 7 líneas son las 7 interconectadas
Copias de cuaternión que constituyen los Octonios 8-D. ¿Y qué hace que este espé...
cialmente rico para nuestros propósitos es la recursividad incorporada de este etiquetado de Octonio
esquema para isomorfos de dimensión superior, incrustado en el tipo de conjuntos
Vamos a necesitar ETs para investigar más a fondo.
Para ver cómo esto se relaciona con los números enteros reales, tome el prototipo de las 7 líneas
en el Triángulo, y considerar los Quaternions estrictamente desde la perspectiva de la CDP
Artículo 1. La primera tarea en el estudio de cualquier sistema de 2N-ions es generar sus unidades, así que
empezar con N = 0. Tratar este singleton como el índice del eje real: i0, es decir, es
idénticamente 1. Añadir una unidad cuyo índice = 20 = 1 y tenemos el plano complejo.
Ahora, añadir en una unidad cuyo índice es la siguiente potencia disponible de 2 - con N = 1, esto
es 2 en sí mismo. Llama a esta unidad y su índice G para Generador, y declara esto inductivo
regla: el índice del producto de cualquiera de las dos unidades es siempre el XOR de los índices de
las unidades que se multiplican; pero, para cualquier unidad con índice u < G, el producto de dicho
unidad, escrita a la izquierda (derecha), con el generador escrito a su derecha (izquierda), tiene
índice igual a la suma simple de sus índices, y signo igual (frente) al producto
de los signos de sus unidades»: i1 · i2 =+i3, pero i2 · i1 =−i3. Pero esto es sólo un estándar
forma de resumir la multiplicación de Quaternion.
Ahora, set N = 2, haciendo G = 4. Aplicando la misma lógica, pero un poco general-
, obtenemos tres trillizos más de índices. Dispensando con los tediosos gastos generales
de escribir explícitamente los índices como subíndices a copias explícitas de la letra i, estos
están escritas en orden positivo cíclico (CPO) como sigue: (1,4,5);(2,4,6);(3,4,7).
(CPO no es misterioso: sólo significa leer la lista de trillizos en orden izquierdo-derecha,
y siempre que multipliquemos cualquier unidad con tal índice por la unidad cuyo índice
es a su derecho, el tercer término resultará con la firma como se ha especificado anteriormente: por ejemplo,
i4 · i5 = +i1; i4 · i3 = −i7.) Ahora tenemos 4 de los 7 trillizos de los Octonios, formando
etiquetas en los nodos de 4 de las líneas de PSL(2,7). Llamar al círculo central que abarca el
media la línea de la Regla 0 (el “kit de arranque” de los Quaternions que acabamos de introducir en nuestra Regla 1
máquina de inducción). Poner G = 4 en el centro, las 3 líneas a través de él son nuestra regla
1 trillizos. Si arraigamos más el conjunto de índices Quaternion (1,2,3) en el orden de las agujas del reloj
alrededor de la 4, a partir del punto medio de la pendiente izquierda a las 10 en punto, estas líneas son
todo orientado apuntando a los ángulos. Ahora, con “Regla 2”, vamos a construir las líneas
a lo largo de los lados del Triángulo.
Aquí está todo lo que la Regla 2 dice: dado un index-triplet asociativo (en adelante, viaje)
como los Quaternions’ (1,2,3), fijar uno entre ellos, a continuación, tomar sus dos CPO
sucesores y añadir G a ellos. Intercambia el orden de las dos nuevas unidades resultantes,
y tienes un nuevo viaje. Por lo tanto, fijando 1, 2 y 3 a su vez, en ese orden, la Regla 2
nos da estos 3 trillizos: (1,7,6);(2,5,7);(3,6,5). Si ha dibujado PSL(2,7) con
las etiquetas de Octonio por las instrucciones en el último párrafo, ya has visto
estos 3 viajes son las respuestas... y ahora sabes cómo y por qué están orientados,
También. (Clockwise, en paralelo con el círculo de la Regla 0).
Ahora hemos presentado todos los ingredientes que necesitamos para hacer un recorrido básico de
Propiedades Box-Kite. Nos limitaremos a declararlos y describirlos, en lugar de probarlos
(pero vamos a dar los números romanos de los números del teorema de la última entrega,
para los que quieren seguirlos). La primera característica en la necesidad de dilucidar,
que deberían tener a aquellos que han estado leyendo con atención rascándose la cabeza
justo ahora, es esto: las relaciones entre los índices en los nodos de PSL(2,7)
El esquema de etiquetado de qua Octonion es lo suficientemente claro; pero ¿cómo pueden estos mismos etiquetados
¿Los nodos sirven para subscribir el marco de 16-D Sedenion en el que reside Box-Kites?
La respuesta tiene dos partes.
Primera parte: ya que todos los imaginarios tienen Reales negativos como cuadrados, Imaginarios
cuyos productos son cero deben tener diferentes índices – lo que significa que el simple
caso (que llamamos “primitivo” ZDs) siempre implicará productos de pares de
unidades de diferente índice, cuyos respectivos aviones no comparten puntos distintos de 0
[IV]. Segunda parte: dado cualquiera de tales dyad ZD, ninguno de los dos índices puede jamás igualar G [II];
y, uno debe tener índice > G, mientras que el otro tiene índice < G [I, III]. El Oc-
tonion esquema de etiquetado de mapas a las cuatro Velas de un legítimo Sedenion Box-Kite
[V], porque sólo proporciona las etiquetas de bajo índice en cada uno de los 6 Octaedral
vértices.
El 4 en el centro de nuestro ejemplo, mientras tanto, ya no es la G para esto
la configuración, ya que ese papel en ahora jugado por 8 (el siguiente poder de 2 en el CDP induc-
ión). En el contexto del esquema Box-Kite, ahora está representado por un
letra: S, para strut constante – el único índice de Octonio no en un vértice de Box-Kite.
Es por eso que, desde un punto de vista, hay 7 diferentes (pero isomórfico) Caja-
Kites en el espacio Sedenion: porque tenemos 7 opciones de los cuales Octonio para suprimir!
6 vértices veces 7 nos da los 42 evaluadores de nuestro primer documento ZD [3], un término
usaremos indistintamente con dyad durante todo el tiempo. De hecho, podemos tirar de la red...
trabajo de líneas interconectadas “wok-cooking” estilo, agitando las cosas dentro y fuera de
el aceite caliente en el centro del Box-Kite. (S como “stir-fritura constante”?) Para encontrar el
“Copia de Octonio” etiquetando bajos índices en los vértices de Box-Kite donde el 5, digamos, es
suprimida, trazar la línea que lo contiene y el 4, y “rotar”: el 1 ahora va
desde el punto medio de la pendiente izquierda hasta el ángulo inferior derecho, para ser reemplazado por el 4
mientras que el 5 se dirige a la mitad, con el orden CPO (y por lo tanto, la orientación de la
línea) que permanece inalterada. De los otros 2 viajes que el 5 pertenece, sólo uno
conservar la orientación de punto a ángulo a lo largo de la vertical de 6 horas a media noche:
(2.5.7), como se puede comprobar en una instancia. (Las dos posibilidades deben orientar
sitely cuando se coloca a lo largo de la misma línea, ya que una es la Regla 1, la otra la Regla 2.)
Desde este punto, todo es forzado. Este es obviamente un procedimiento que es
trivial para automatizar, para cualquier “copia de Octonio”, independientemente de la dimensión ambiental-
sionalidad el Box-Kite que subscribe podría flotar en. Esta simple perspicacia será
la base, de hecho, de nuestro método de prueba, tanto en este documento como en su secuela. Otro
simple visión nos dirá cómo encontrar el término de alto índice para cualquier día de vértice.
Dos índices por vértice hojas 4 que se suprimen: 0 (para los Reales), G y S,
y el XOR (y también la suma simple) de los dos últimos, que taquigrafiaremos X.
Estos cuatro forman claramente una copia de Quaternion –uno, de hecho, que no tiene nada que ver-
lo que sea en sus divisiones cero de Box-Kite. Poniendo el índice de
el uno entre estos que es en sí mismo un L-unidad de la etapa central nos da la gama completa de
Conjuntos de índice L (viajes compuestos por esos índices de los 3 vértices < G de una vela) asociados
con las 4 Velas. Poner G o X, entonces, debe darnos la gama completa de U-index
sets (“U” como “upper”).
Dado que cada nodo pertenece a 3 líneas en PSL(2,7), la constante de puntadas pertenece a
3 viajes, cada uno con un término del conjunto L-index de Zigzag Sail de la Regla 0, y
uno del Vent que reside frente a él en el marco octaédrico del Box-Kite.
En las Sedeniones, tres reglas simples gobiernan las interacciones del Vent y Zigzag
Diades compartiendo un toque. Escribiendo los términos del índice U y L en mayúsculas y minúsculas
respectivamente, podemos simbolizar sus diadas como (V, v) y (Z, z) respectivamente. Los
“Tres Viziers” (derivado como efectos secundarios de [VII], con uno por cada miembro que no es
de nuestro conjunto de índice libre de ZD) debe decir lo siguiente:
VZ1: v · z = V ·Z = S
VZ2: Z · v = V · z = G
VZ3: V · v = z ·Z = X.
El primer visir motiva el término strut constante: para el mismo patrón obtiene
para ello, independientemente del puntal que se esté investigando. El Segundo Visir nos muestra
que G conecta los opuestos de puntadas, siempre por la lógica de la Regla 1. Pero claramente, el tercero
Vizier nos da la manera más simple de responder a cualquier pregunta relativa a las relaciones
entre los índices dentro de una dyad: los índices L- y U- de cualquier dyad pertenecen a la
el mismo viaje que X, con el pedido CPO determinado por si la dyad pertenece o no
al Zigzag propiamente dicho o al Vent frente a él.
Más allá de las Sedeniones, VZ2 es universalmente cierto, pero VZ1 y VZ3 son sólo así
hasta firmar: por ejemplo, el VZ1 L-trip para un strut arbitrario puede leer (z,c,S) en ciertos
contextos de dimensiones superiores. Esto es, en última instancia, un efecto secundario del mismo “carrybit”
el desbordamiento” que crea el fenómeno de mayor interés para nosotros aquí, el
box-kites” en todos los 2N-ions, N al menos 5, para S > 8 y no una potencia de 2. Correlated
con tales estructuras libres de ZD son “Tipo II” cajas-kites con S < 8 (o, más gen-
erally, ¡ G/2), indistinguible de la variedad estándar “Tipo I” pero para strut
orientaciones (con exactamente 2 de los 3 puntales de un “Tipo II” siempre se invierten: ver
Apéndice B). Sus “productos de torsión” (que funcionan de manera similar en lados paralelos de cada
de los 3 cuadrados ortogonales o “catamaranos” de la trama ortogonal de una caja-kite,
a diferencia de las cuatro “velas” triangulares que son nuestro único objetivo en esta monografía)
que actúen como intermediarios entre las estructuras normales y libres de ZD. Nuestro ar-
los comentarios aquí no harán uso de tales sutilezas del “producto twist” (sobre el cual, vea
Teorema 6 en la Parte I y la advertencia que le sigue, y los más desarrollados re-
marcas y diagramas en [4]). De hecho, su fenomenología cae “bajo el radar”
de nuestro análisis basado en la vela: después de todo, los evaluadores de strut-offposite no lo hacen mutuamente
Dividir cero.
Dados nuestros limitados propósitos aquí, por lo tanto, nuestro conjunto de herramientas, una vez que los Viziers son
caer en él, está completo para todas nuestras pruebas posteriores. (Debemos simplemente recordar
que las invocaciones de VZ1 y VZ3 se refieren implícitamente a relaciones sin signos entre
Términos de Vent y Zigzag – es decir, índices de productos XOR solamente.) Lo que queda por hacer
aún así: ensuciar nuestras manos con la plomería, y luego limpiar con un último de los grandes
construir. Comencemos con la plomería, y añadamos algo de notación. Etiquetar el Zigzag
dyads con las letras A, B, C; etiquetar sus términos opuestos a los puntales en el Vent F, E, D
respectivamente. Especifique las líneas diagonales que contienen todas y sólo ZD en cualquiera de estas líneas.
dyad K como (K, /) y (K, \) – para c · (iK + ik) y c · (iK − ik) respectivamente, c an
Arbitrario real escalar. Los doce bordes de la red octaédrica son tantos tubos,
a través de la cual recorrer las calles de dos vías de corrientes de borde: para los 3 bordes de la
Zigzag (y los 3 que definen el Vent opuesto), corrientes que unen vértices arbitrarios
M y N se llaman negativos, ya que tienen esta forma:
(M,/) ·(N, \) = (M, \) · (N,/) = 0
Rastreando el perímetro del Zigzag con el dedo, realizando productos ZD
en secuencia natural – (A, /)·(B, \), seguido de los últimos tiempos (C, /), entonces
estas veces (A, \) y así sucesivamente – uno debe ver rápidamente cómo el nombre del Zigzag
se sugirió. Suprimiendo todas las letras, uno se queda con sólo esta repetición cíclica
secuencia: /\/\/\.
Corrientes a lo largo de los 6 bordes que unen Zigzag y Vent dyads, por el contrario, con-
nect diagonales inclinadas similares, por lo tanto se llaman positivas, dando la taquigrafía
secuencia ///+ para las travesías de las velas de Trefoil:
(Z,/) ·(V, /)= (Z, \) ·(V,\)= 0
Considere la cadena de multiplicaciones ZD que se puede hacer a lo largo del Zigzag, ser-
entre A y B, luego B y C, luego C y A, para S = 4. El primer término de esto
6-ciclo de productos cero, una vez totalmente expandido, se puede escribir así:
(A, /) ·(B, \) = (i1 + i13) · (i2− i14) = (i3 − i15 + i15 − i3) =
(C, /)−(C, /)= (C, \)−(C, \)= 0
Podemos ver fácilmente aquí donde surge la noción de emanación: atravesar el
borde entre cualquier dos vértices en una vela produce un balance-pan emparejamiento de opuesto
los casos firmados de los términos en el tercer vértice de la vela... el 0 es, entonces, un
ejemplo de “teneduría de libros balanceada” (de ahí el término “Assessor”, nuestro sinónimo
en lugar de “dyad”). Esto sugiere la emanación espontánea de partículas/antipartículas
emparejamientos del vacío cuántico, en lugar de la verdadera “vacío”.
Por último, un efecto secundario de tal “dinámica de la vela” es este asombroso fenómeno:
cada Vela es un entrelazado de 4 trillizos asociativos. Para los Zigzag, estos son los L-
index (a,b,c), más los 3 viajes del índice U obtenidos sustituyendo todos menos uno de estos
letras minúsculas con sus socios en mayúsculas: ergo, (a,B,C); (A,b,C); (A,B,c).
En última instancia, esto nos dice que las ZD son extremas preservadoras del orden, ya que
Associatividad en patrones rigurosos de paso de bloqueo, para todos los 2N-iones, no importa cómo
cerca de su N podría llegar a ser. Dicho de otra manera, la aversión de un siglo re-
acción experimentada por prácticamente todos los matemáticos frente a cero-divisores fue
profundamente equivocado.
2 Tablas de Emanación: Convenios para la Construcción
Teorema 7 garantizó la estructura simple de los ETs:
índice percase iU es estrictamente determinado por G y S, una vez que se nos dan estos dos
los valores, la tabla sólo necesita hacer un seguimiento de las interacciones entre los índices de minúsculas iL. Esto
sólo conducirá a ambigüedades en el mismo lugar que éstas son significativas: en la repetición
la articulación de una caja-dentro-de-cajas tabulación de meta-fractal o Sky behav-
Iors. En tales casos, la superposición será tan rica en significado como la multiplicidad
de hojas de una superficie de Riemann en análisis complejo.
Un ET hace para la interactividad ZD lo que una tabla de Cayley hace para los grupos abstractos:
hace visibles las cosas que de otra manera no podríamos ver – y de una manera similar. Cada uno
El índice L del evaluador se introduce (de una manera que pronto especificaremos) como una fila (R) o
valor de la columna (C), entre los que figuran los productos XOR (valores P)
“spreadsheet cell” (r,c) fijado exclusivamente por R y C. Hemos observado tales valores solamente
obtener introducido si P es el índice L de una emanación legítima: es decir, el evaluador
representa mutuamente cero-divididos (forma DMZ con, para “divisores que hacen cero”)
ambos evaluadores representados por las etiquetas R y C de su celda. (Como ya
sugerido, el uso natural de las letras R, C, P aquí inspirado llamando al estudio de
NKS-como “reglas simples” para cocinar fractales de su teoría de la receta de las cuerdas de bits.)
Cuatro convenciones se utilizan en la construcción de ETs: en primer lugar, su esquema de etiquetado obedece
los mismos pedidos de anidados-padres que ya hemos utilizado en la designación de Assessores
A a F, con D, E, F los opuestos de puntal de A, B, C en reversa del orden justo
escrito. Los L-índices, entonces, se introducen como etiquetas corriendo por la parte superior y hacia abajo
la izquierda. La etiqueta del índice L más bajo se coloca a la izquierda (frente al techo),
con la etiqueta correspondiente de su puntada opuesta que se introduce a la derecha (arriba
el piso). Como siempre habrá G - 2 (por lo tanto, un número par de) índices a
entrar, repitiendo este procedimiento después de que cada par ha sido copiado en horizontal y
las etiquetas verticales las agotarán completamente.
Segunda convención: como el punto de un ET es mostrar todas las zonas desmilitarizadas legítimas,
cualquier celda cuya R y C no se dividen mutuamente en cero se deja en blanco, incluso si, en
hecho, hay un valor XOR bien definido. Por lo tanto, si R y C hacen referencia a la misma
Assessor, el XOR de sus L-índices será 0; si se refieren a puntadas opuestas,
el XOR será S. Pero en ambos casos, la celda (de ahí, el valor P) se deja en blanco.
Todos los ET “normales”, entonces, tendrán ambas diagonales largas pobladas por celdas en blanco,
mientras que todas las demás celdas están llenas.
Tercera convención: las dos diagonales ZD asociadas con cualquier evaluador no son
se distinguen en el ET, aunque varios protocolos son posibles que harían
haciendo tan fácil. Las razones son la parsimonia y la redundancia: en lugar de crear
entradas más largas, o dos veces más, se asumen ambas entradas para el mismo Box-Kite
borde contendrá la diagonal de inclinación positiva cuando el índice L inferior aparece como
la etiqueta de la fila, de lo contrario la diagonal de pendiente negativa cuando aparece el índice L más alto
Primero en su lugar. Estas sutilezas no nos conciernen mucho aquí: la cosa clave es que, en
de hecho, todas las 24 celdas llenas de las entradas ET de un Box-Kite se pueden asignar uno a uno a su
ZD diagonales. Recuerde, por Teorema 3, que ambas diagonales ZD de una forma de Asesor
DMZ con el mismo evaluador, según la misma lógica de signo de borde. Esto lleva
nosotros a la...
Cuarto convenio: Aunque son superfluos para muchos propósitos, borde
Los signos proporcionan información crítica para otros, y por lo tanto se indican en todos los ETs pro-
Vided aquí. Cada uno de los 12 bordes de un Box-Kite conduce dos corrientes – una por ZD
diagonal – y lo hace de acuerdo con una u otra opción orientativa. ZD di-
los agonales se inscriben convencionalmente de modo que el eje horizontal de su evaluador
plano es la unidad L-indexada, mientras que la vertical es la unidad U-indexada. Pero incluso si
Esta convención se invirtió, la diagonal que llevaba desde el cuadrante inferior izquierdo hasta
por derecha seguiría correspondiendo al estado de sincronización implícito por ±k(iL + iU):
para algunos Assessor U, escribimos (U,/). Por el contrario, la diagonal ortogonal en-
dictive de anti-sincronía está escrito (U,\). Si DMZ formados por los evaluadores
limitar un borde son ambos de la misma clase, entonces llamamos el borde azul o notarlo
[+]; si los evaluadores U y V sólo forman DMZ de diág-
onales – (U,/) · (V,\) = 0 (U,\) · (V,/) = 0 – luego llamamos al borde rojo o
anote [-]. Sin embargo, a efectos de ET, ya que los bordes rojos son los más infor-
mativo (todos Zigzags de borde rojo que proporcionan la base estable de la estructura de Box-Kite,
mientras que los DEF Vents de todo color rojo juegan un papel clave en la interpretación de los productos de torsión – un
tema profundo mencionado en la Parte I, que no nos preocupará más aquí), nos vamos
Sin marcar. Los seis bordes azules que limitan la vista hexagonal del Box-Kite,
sin embargo, están precedidos por una marca adicional (mejor interpretado como un guión, en lugar de un
menos signo). Esto tiene la ventaja pragmática de que cuando se acerca, un ET grande
tener sus entradas con una marca adicional se vuelven ilegibles en muchos sistemas de software
(por ejemplo, sólo se ven asteriscos) – y por lo que queremos que las entradas sin marcar sean aquellos
Es probable que sea de mayor interés.
Dado que, dado X (o, alternativamente, G o N, y S), podemos reconstruir una Caja-
Kite de su Zigzag de su viaje L-index, que recoge esta información de un ET es
Vale la pena explicarlo. Si una fila dada contiene los índices de tales Zigzag L-trips,
aparecerán como la etiqueta de la fila en sí, más dos entradas de celdas sin marcar, con el
etiqueta de columna de la que aparece como el contenido de la otra. (Si alguna de las celdas de
un conjunto complementario ser marcado con un guión, entonces estamos tratando con un DEF Vent
index.) Cada Zigzag L-trip también aparecerá 3 veces en un ET, una vez en cada fila
cuya etiqueta es uno de sus índices, sus 2 índices no etiquetados que aparecen en
entradas de celdas cada vez.
Aquí hay una tabla de emanación fácilmente interpretada. Con 6 = 23 − 2 filas y
columnas, G = 8, así que N = 4, haciendo esto un Sedenion ET (codificación, por lo tanto, un
un solo Box-Kite). Y, desde 2 3 = 4 5 = 6 7 = 1, la Constante Strut = 1
También. Un escaneo de la primera fila muestra 6 y 5 sin marcar, bajo los epígrafes 4 y
7 respectivamente; sin embargo, estas dos etiquetas aparecen como valores celulares que están marcados,
hacer estos bordes que conectan los evaluadores en el D, E, F Vent. En la cuarta fila
de las entradas, sin embargo, las etiquetas de columna 5 y 3 contienen los valores de celda 3 y 5, respectivamente,
Los dos sin marcar. Con su etiqueta de fila 6, entonces, estos forman el conjunto de Zigzag L-index
(3,6,5), que por lo tanto debe mapear a los evaluadores (A,B,C). Usando el espejo opuesto
lógica del esquema de etiquetado para determinar los puntos opuestos, está claro que las seis filas
y los encabezamientos de columna (2,4,6,7,5,3) corresponden, en ese orden, a los Asesores
(F,D,B,E,C,A). (El contenido sin marcar 6 y 5 en la primera fila, con etiquetas
(2,4) y (2,7), por lo tanto mapeo a los bordes FD y FE, conectando DeF Vent Assessors
como se afirma.) Finalmente, las diagonales largas están todas vacías: esas celdas en la diagonal
a partir de la parte superior izquierda todas tienen etiquetas de fila y columna idénticas; las de la
slots espejo-opuesto, mientras tanto, tienen etiquetas que son strut-opositos. Por nuestro
segunda convención, todas estas celdas se dejan en blanco.
2 4 6 7 5 3
2 6 −4 5 −7
4 6 −2 3 −7
6 −4 −2 3 5
7 5 3 −2 −4
5 - 7 3 - 2 6
3 - 7 5 - 4 6
Antes de comenzar un estudio en profundidad de las tablas de emanación por tipo, hay una
resultado general que se aplica a todos ellos – y cuya prueba nos dará la oportunidad
para hacer un buen uso de los Tres Viziers. Aunque aparentemente bastante concreto, vamos a utilizar
de manera indirecta para simplificar algunos argumentos por lo demás bastante complicados,
comenzando con el Teorema 9 de la sección siguiente. Este teorema de ronda es nuestro
Teorema 8. El número de celdas llenas en cualquier tabla de emanación es un múltiplo de 24.
Prueba. Dado que 24 es el número de celdas llenas en una caja de Sedenion-Kite, esto es equiv-
a la afirmación de que los divisores cero del PDC vienen en grupos no menos pequeños que Box-
Kites. Ya hemos visto, en Teorema 5, que la existencia de una zona desmilitarizada implica
el sistema 3-Assessor de una Vela, que además (como teorema 7 se detalló) implica un
sistema de 4 viajes de enclavamiento: el viaje en L de la vela, más 3 viajes que comprenden cada viaje en L
índice más los U-índices de los 2 “socios de navegación” de su evaluador.
ET, tenemos un S fijo y G fijo. Por lo tanto, si suponemos que nuestra DMZ corresponde
a una corriente de borde Zigzag, inmediatamente podemos derivar su tramo L por Teorema 5, y
todos los L-índices de Zigzag por VZ 1, y los 6 U-índices por VZ 3. Nosotros
entonces puede probar si las corrientes de borde de las velas de Trefoil son todas DMZ como sigue. As
escribimos en Teorema 7, (u,v,w) mapas a la Zigzag L-trip en CPO, pero no es necesario-
sólo en (a,b,c), orden: por lo tanto, (uopp,wopp,v) es un L-trip, y se puede mapear a
cualquiera de los Trefoils. En otras palabras, dada la simetría rotacional de tres veces del Zigzag,
prueba de la verdad del siguiente resultado aritmético prueba el estado de DMZ de todos
Bordes de trébol. Sin embargo, podemos aprovechar los 3 viajes en U de Zigzag para probarlo.
(wopp − Wopp)
(uopp +Uopp)
− V − v
+v +V
El resultado inferior izquierdo es un dado del viaje con el que empezamos. El resultado de su
derecho es una deducción de tres pasos de uno de los Zigzag U-trips: uso (uopp,w,vopp);
La regla 2 da (uopp,vopp+G,w+G); el Segundo Visir nos dice que esto es (uopp,V,Wopp);
pero el signo interno negativo en la dyad superior invierte el signo que este viaje implica,
dando +V para la respuesta.
Los mejores resultados se derivan de manera similar: encontrar cuál de los 4 viajes de Zigzag un-
derwrite la “armónica” derivada de Vizier que contiene el par de términos ser
se multiplican, y voltean los signos según sea necesario. Por lo tanto, los usos de arriba a la izquierda (u,wopp,vopp),
entonces aplica la Regla 2 y el Segundo Visir para obtener (−V ), mientras que la parte superior derecha utiliza
el propio Zigzag L-trip: (u,v,w)→ (w+G,v,u+G) → (Wopp,v,Uopp) – que,
multiplicado por (−1), rendimientos (−v). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación. La implicación de que, independientemente del tamaño de N crece, ZDs sólo aumentan
en su interconexión, en lugar de ver sus estructuras básicas atrofia, vuela en
la cara de la intuición de un siglo basada en la prueba de Hurwitz. Que no hay
corrientes de borde independientes, ni siquiera velas independientes, habla un asombroso (y
hasta ahora bastante insospechada) estabilidad en el reino de ZDs.
Corollary. Un cálculo fácil deja claro que el número máximo de llenados
celdas en cualquier ET para cualquier iones 2N es sólo el cuadrado de una fila o la longitud de la columna en
celdas, menos el doble del mismo número (para eliminar todos los espacios en diagonales largas):
es decir, (2N−1 −2)(2N−1 −2)−2 · 2N−1 +4 = (22N−2 −6 · 2N−1 +8) = (2N−1 −
4) 2N−1 − 2) = 4 · (2N−2 − 1) 2N−2 − 2). Por Roundabout, ahora sabemos esto
número es divisible por 24, por lo tanto indica un número entero de Box-Kites. Pero
dos docenas en este número es sólo (2N−2 − 1) (2N−2 − 2)/6 – el recuento de viajes para
¡Los 2N−2-ions! (Véase la sección 2 de la parte I.) Tenemos, entonces, el viaje muy importante...
Cuenta Dos Pasos: El número máximo de Kites de Caja que pueden llenar un ET de 2N-ion =
TripN−2. Veremos lo importante que es este corolario en la siguiente sección.
3 ET para N > 4 y S ≤ 7
Uno de los corolarios inmediatos de nuestras Reglas de CDP para crear nuevos trillizos de
los viejos es algo que podríamos llamar el Lemma de carga cero: si dos k-bit-long
representaciones de bitstring de dos enteros R y C siendo XORed se rellenan con
el mismo número n de 0s entre los bits j y j+1, 0 ≤ j ≤ k, su XOR lo hará, pero
para los n bits adicionales de 0s en las mismas posiciones, no se modificará – y también lo hará la
signo del producto P de unidades imaginarias derivadas de CDP con estas tres cuerdas de bits
que representen sus respectivos índices.
Ejemplos. (1,2,3)→ (2,4,6)→ (4,8,12) [Añadir 1, luego 2, 0s a la derecha de
cada bitstring]
(1,2,3)→ (1,4,5)→ (1,8,9) [Añadir 1, luego 2, 0s justo antes del bit más a la derecha
en cada bitstring]
(3,4,7)→ (3,8,11)→ (3,16,19) [Añadir 1, luego 2, 0s justo después del bit más a la izquierda
en cada bitstring]
Prueba. Regla 1 creará una nueva unidad de índice G+L a partir de cualquier unidad de índice
L < G, independientemente de la potencia de 2 G. Regla 2, mientras tanto, usos
cualquier potencia de 2 que supere todos los índices del viaje en el que operaría, entonces
añade esta G a dos de los miembros del viaje, creando un nuevo viaje con inversión
orientación – una de una serie infinita de tales, que difieren sólo en el poder de 2
(por lo tanto, la posición del bit más a la izquierda) utilizado para construirlos. El lema, entonces, es
una clara reafirmación de las implicaciones fundamentales de las Reglas del CDP.
Pero la creación de U-índices asociados con L-índices en dyads evaluadores es la
resultado directo de la creación de nuevos trillizos con G+S como su término medio. Por lo tanto, si
se llama el generador de corriente g y el de los próximos más altos 2N-iones G (= 2 · g),
entonces si los evaluadores con L-índices u y v forman DMZs en las Sedeniones para un dado
strut constante S, sus U-índices aumentará por g en los Pathions, y cero
la división no se verá afectada. Por inducción, el contenido de la tabla de emanación de la
Las entradas de sedenión (R,C,P) permanecerán sin cambios para todas las entradas de N, para todas las S ≤ 7 fijas. Esto
nos lleva a
Teorema 9. Todas las entradas de celdas diagonales no largas en todos los ET para todos los N, para todos los fijos
S ≤ 7, se llenará.
Prueba. Manteniendo la misma notación, los 2N-ions tendrán g más evaluadores que
sus predecesores, con índices que van desde g hasta 2g−1 (= G−1). Considerar
primero algún evaluador arbitrario de Zigzag con L-index z < g, cuyo U-index es G+
z ·S. (Si fuera un Assessor de Vent, o un Zigzag en un puntal de orientación inversa en un
“Tipo II” box-kite, la segunda parte de la expresión se invertiría: S · z, por
el Primer Visir. Esto afecta la orientación de trillizos, pero no el valor absoluto del índice,
Sin embargo, y es sólo lo último lo que importa en este momento.) Ahora considere la
Assessor cuyo índice L es el más bajo de los nuevos a los iones 2N, g. Sabemos
es un Asessor de Ventiladores, en todos los Kits de Caja con S < g, de los cuales hay 7 por cada uno
tal S en los Pationes, 35 en los 64-D 26-iones, y así sucesivamente: porque pertenece al viaje
(S,g,g+S) (regla 1), de modo que su índice de U aparece en su izquierda inmediata en el trillizo
(G+g+S,g,G+S) (art. 2 y último paréntesis). Su U-índice, entonces, es G+(g
S), o (recordar la regla 1) sólo G+ g+S. Reclamamos que estos evaluadores forman DMZ; o,
escribir la aritmética, que la siguiente multiplicación término por término es cierto:
+g+(G+g+S)
+z+(G+ z·S)
−(G+g+z ·S)− (z+g)
+(z+g)+(G+g+ z ·S)
Debido a que un Assessor se supone un Zigzag, mientras que el otro se demuestra un Vent,
los signos internos serán los mismos. (Simples signos de inversión, similares a los que involucran a nuestra
frecuentemente invocado variable binaria sg, nos permitirá generalizar nuestra prueba para incluir
el caso Vent-times-Vent más tarde.) Examinemos los términos uno a la vez, comenzando
con la línea de fondo. Su término izquierdo es una aplicación obvia de la Regla 1, como z < g,
este último es el generador del nivel anterior del CDP que también contenía z como un
L-index. El término abajo a la derecha derivamos de la siguiente manera: sabemos que z y su
El socio U-index en los iones 2N−1- pertenece al trillizo mediado por g+S: (z,g+
z ·S,g+S). Complementando esta expresión CPO añadiendo G a la mano derecha
(Regla 2), obtenemos el trillizo que contiene ambos multiplicandos de la parte inferior-
cantidad correcta: (z,G+g+S,G+g+z ·S). Los multiplicandos aparecen en este viaje
en su orden de aplicación en la formación del producto; por lo tanto, su resultado es
copia más firmada del tercer término del viaje, como se muestra arriba.
Pasando al término a la izquierda de la línea superior, qué viaje hacen los multiplicandos
¿Pertenecer a? Dentro de la generación anterior, la Regla 1 nos dice que z’s strut opuesto, z ·S,
multiplica g a la izquierda para producir g+ z ·S. Aplicación de la Regla 2 a los términos 6= g
invierte el orden y nos da esto: (G+g+z ·S,g,G+z ·S). Pero lo que hemos escrito
arriba es el producto de multiplicar los términos tercero y segundo del viaje juntos,
en orden revertido CPO; por lo tanto, el signo negativo es correcto. Finalmente, tenemos el
negativo de (z+g) por tácticas similares: el término es el U-índice del strut-opuesto de z
Asesor en la anterior generación de CDP, por lo tanto pertenece al viaje con este CPO
expresión: (g+S,z+g,z ·S). La regla 2 nos da (G+g+S,G+z ·S,z+g). Por lo tanto,
el producto escrito arriba está debidamente firmado.
Ahora, ¿qué efecto hace nuestra suposición inicial de que z es el índice L de un Zigzag
¿Asessor tiene sobre el argumento? El término inferior izquierdo obviamente no se ve afectado. Pero
el término de arriba-izquierda, quizás menos obviamente, también está inalterado: aunque parece que
depende de z ·S, de hecho esto sólo se utiliza para definir el índice L del puntal de z opuesto,
que multiplica g en la izquierda a exactamente el mismo efecto que z en sí mismo, siendo ambos menos
más que eso. Los dos términos de la derecha, al igual que claramente, tienen sus signos cambiados, porque
en ambos, las relaciones de orden de los índices L y U frente a G+S o X son necesariamente
Invocado. Pero ambos signos a la derecha pueden ser revertidos para obtener el resultado deseado
si cambiamos el signo interno de la expresión más alta – es decir, tenemos un
efecto análogo al logrado en argumentos anteriores mediante el uso de la variable binaria
sg, como se afirma.
Puesto que el nivel G de un CDP es el g del siguiente nivel, la demostración antedicha
claramente obtiene, por la inducción obvia, para todos los 2N-iones incluyendo y más allá de la
Pationes. Pero ¿qué pasa si uno o ambos L-índices en un candidato DMZ emparejamiento superar g?
En lugar de responder directamente, utilizamos el Teorema de la última sección.
Dado un DMZ que involucra a los evaluadores con L-índices u < g y g, se nos asegura un
El kit de caja completo existe con un Trefoil L-trip (u,g,g+u). Los demás evaluadores,
siendo sus opuestos de puntal, entonces tienen L-índices uopp,g+ S, y g+ u · S. As u
varía de 1 a 7, saltar S < 8, cero-padding nos asegura que todos los DMZ de
las generaciones anteriores del CDP existen para N superior, para todos los L-índices u,v < 8. Sólo aquellos
Box-Kites creados por cero-padding a partir de la generación anterior Box-Kites (de los cuales
no puede haber más que 1 heredado por S fijo entre los 7 encontrados en los Pationes, para
ejemplo) tendrá todos los L-índices < g. Para todos los demás, el modelo se muestra con los
tener g como un índice L debe obtener. Por lo tanto, sólo un puntal tendrá L-índices
< g, el resto compuesto de algunos w con L-índice ≥ 8, los demás derivados
sus L-índices de la XOR de w con el puntal que acabamos de mencionar, o con S.
Pero lo que garantizará que cualquier corriente de borde existirá entre arbitrario
Asesores con L-índices u < g y g+ k,0 < k < g, ya que no hay ni uno
DMZ se encuentra entre los evaluadores con L-índices ≤ g en el cuadro candidato-
¿Compartirían cometas? Ahora podemos limitar el foco de nuestra pregunta original
considerablemente, haciendo uso del curioso hecho computacional que llamamos el viaje-
Conde Dos Pasos.
En los argumentos preliminares de la Parte I sobre CDP, demostramos que el número
de trillizos asociativos en una generación dada de 2N-iones, o TripN, se puede derivar
de una fórmula simple combinatoria. Llama al conde de los Kits de Caja completos en
Un ET BKN,S. Para S < 8, BKN,S = TripN−2, todos los índices L g+ k,0 <
k < g, forma DMZs en el candidato Box-Kites implícito. Para comenzar una inducción,
vamos a considerar una nueva construcción en líneas familiares, que nos proporcionará un
manera fácil de comprender los sistemas de viaje Pathion de todos los S < 8. Comenzando con
N = 5, designamos TripN−2 viajes para cada S < 8 como tipo Regla 0, de la manera
el viaje singleton 22-ion (1,2,3) fue utilizado en nuestra introducción de "wok-cooking"
debate (que la sección 5 de la Parte I utilizó como base de sus “pruebas de tapas deslizantes”).
Pero ahora, en lugar de poner los Octonios’ G = 4 en el centro de la PSL(2,7)
triángulo, ponemos las Sedeniones’ 8.
Para la consistencia de los ejemplos, seguimos asumiendo S= 1, por lo que vamos a empezar con
(3,6,5), el Zigzag L-trip para S = 1 en las Sedeniones, y también, por zero-padding,
un L-trip Zigzag para 1 de los 7 Box-Kites con S = 1 entre los Pationes. Ex-
tender rayos desde los puntos medios (3,6,5) a través del centro crea la Regla 1 viajes
que terminan en 11,14,13: (a,b,c) se envían a (F,E,D) respectivamente. El artículo 2
viajes a lo largo de los lados, en orden de inclusión de Zigzag L-index, a continuación, corresponden a
Trefoil U-trips, todo orientado en sentido de las agujas del reloj. Leen simbólicamente (literalmente) como fol-
mínimos: EaD (14,3,13);DbF (13,6,11);FcE (11,5,14). Reclamamos cada uno de estos 7
líneas, cuando sus nodos se unen a sus opuestos de puntada, mapa 1-a-1 a un S = 1
Pathion Box-Kite. Tenemos esto como un hecho dado para el viaje de la Regla 0; tenemos que ex-
Aclarar esto para los viajes de la regla 1 (que Roundabout ya nos dice que son Box-Kites);
y, tenemos que probarlo para los viajes de la Regla 2 que hacen los lados. (Y, una vez
lo probamos, y enmarcamos la inducción adecuada para todas las N superiores, la tarea que
nos motivaron originalmente se hará: para estos U-trips casa los Asesores con
L-índices > g, cuyos candidatos Box-Kites no incluyen g.)
Los viajes de la Regla 1, en todos los casos dentro de este ejemplo, corresponden a Asses-
sor L-índices (a,d,e). Con g = 8 en d, el Tercer Visir nos dice c = 8+ S =
Sedenión X. (a,b,c) se lee así, dentro de las Sedeniones, como (a,A,X). Pero en el
Pationes, los 3 términos son menos que G, por lo tanto puede incluir un viaje de L-index para una vela
– y específicamente, un Zigzag (de lo contrario el orden de A y X se invertiría). Simi...
Larly, el viejo Sedenion (f,F) son el nuevo Pathion (f,e), con el nuevo viaje (f,c,e)
siendo la manera del Tercer Visir de decir (f,X,F) de la posición de los Sedeniones.
Para los viajes de la Regla 2, demostramos una relación en uno de ellos una zona desmilitarizada, que
Roundabout nos dice que implica todo el Box-Kite, mientras que la simetría nos permite
asumir el mismo de los otros dos. Considere, entonces, el aDE Trefoil U-trip, en-
Estanciado por (3,13,14) en nuestro ejemplo; específicamente, calcular el producto de la
Los evaluadores que contengan a y D = c+ g como L-índices. Sus U-índices dentro de la
Las patologías deben ser (G+ aS) = (G+ f ), y (G+ g+ cS) = (G+ g+ d) re-
Desde el punto de vista de las perspectivas. Escribimos sus diadas cuando se multiplican con signos internos opuestos, como
Suponemos que su DMZ es un borde en un Zigzag. Afirmamos la verdad de esta aritmética:
+(c+g)− (G+g+d)
+a + (G+f )
+(G+g+e)− (b+g)
+(b+g)− (G+g+e)
Abajo a la izquierda: (a,b,c)→ (a,c+g,b+g) (Regla 2, con N = 4.)
Abajo a la derecha: (a,d,e)→ (a,g+ e,g+d)→ (a,G+g+d,G+g+e) (artículo 2 de la Regla 2
dos veces, N = 4, luego N = 5.) El signo interior de la dyad superior invierte el del producto.
Arriba a la izquierda: (f,c,e)→ (e+g,c+g,f)→ (G+f,c+g,G+e+g) (regla 2 dos veces,
N = 4, luego N = 5.)
Arriba a la derecha: ( f,d,b) → (b+ g,d + g,f ) → (b+ g,G+ f,G+ g+ d) (regla 2
dos veces, N = 4, luego N −5.) El signo interior de la dyad superior invierte el del producto.
Un breve ejercicio similar con DMZ formado con el evaluador emanado
muestra, también, tiene un signo interno negativo con respecto a un positivo en su DMZ
Compañero. Dos signos negativos de borde en una Vela significa Zigzag (significa tres negativos
De hecho, las señales de borde). Nuestra prueba a través de los Pathions está completa; sólo necesitamos
indicar la existencia de un mecanismo constructivo para aplicar esta misma estrategia;
como N crece arbitrariamente grande.
Considere ahora el mismo triángulo PSL(2,7), pero en su centro poner un 16 (= g=G/2
para el 64-D Chingons, después de los 64 Hexagramas del I Ching, para darles un
nombre). Luego, ponga los 7 de los Pathions’ S = 1 Zigzag L-trips en el círculo de la Regla 0.
Uno obtiene 3 · 7 = 21 Regla 2 Zigzag L-trips, y los 10 enteros < g encontrados en ellos
y la 7 Regla 0 Zigzag L-trips implica que hay 10 Regla 1 Trefoil L-trips, cada uno
asociado con un Box-Kite distinto. Pero eso sería para 7+ 21+ 10 = 38
Zigzag L-trips, cuando sabemos que sólo puede haber 35. Los 3 adicionales indican que hay
algunos de doble trabajo que se producen: específicamente, 3 de la regla 1 Trefoil L-trips de hecho
designar no el estándar (a,d,e), sino (f,d,b), con d = g = 16 en cada instancia.
Cuando (5,14,11) se alimenta en nuestra “máquina de viaje” como regla 0 círculo, ambos (11,16,27)
y (14,16,30) mapa a (f,d,b) viajes vinculados a la Regla 0 Zigzag L-índices (10,27,17)
y (15,30,17), cuyos (a,d,e) viajes aparecen como rayos en triángulos para (3,10,9) y
(3,13,14), respectivamente. (11,16,27) también se muestra como un (f,d,b) con la regla 0 viaje
(6,11,13). (Se anima a los lectores a utilizar el código que figura en el apéndice de [4],
generar ETs para S y N bajos. Detalles de Trip-machining para nuestro S = 1 ejemplo son
en el apéndice A.) Para N = 7, utilice los 35 S = 1 L-trips recién derivados como regla 0 círculos
con una central 32, y así sucesivamente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4 El Teorema Number Hub (S = 2N−2) para iones 2N
Dadas las longitudes requeridas para probar la plenitud de ETs para S < 8, podría ser
sorprendente al darse cuenta de que el número infinito de casos para S = 2N−2 para todos los 2N-ions
son tan fáciles de manejar que casi se prueban a sí mismos. Sin embargo, la prueba de esto
El Teorema Number Hub, aunque técnicamente trivial, tiene implicaciones de largo alcance.
Teorema 10. Para todos los iones 2N con ZD (N > 3), y S = g = G/2, todos no largos
entradas diagonales en la tabla de emanación se llenan; más, cada celda llenada en
el cuadrante superior izquierdo del ET no está marcado (de hecho, indica una corriente de borde en una
Zigzag); además, las entradas de fila, columna y celda son isomórficas a las encontradas
en una tabla de multiplicación sin firmar, generada por CDP, para los 2N−2-iones;
TripN−2 Zigzag L-index sets que respaldan su Box-Kites son exactamente todos y
sólo aquellos viajes contenidos en dichos 2N−2-iones, el ET sirve efectivamente como su
Un atlas de alto nivel.
Prueba. Como el índice L más grande de cualquier evaluador es 2g-1, y cada S en los ETs
en cuestión es precisamente g, entonces las etiquetas de la fila (columna) ascenderá de 1 a
g− 1 en incrementos simples de arriba a abajo (de izquierda a derecha) en la parte superior izquierda
cuadrante, haciendo su cuadrado de celdas llenas isomórficas a las entradas no firmadas en el
correspondiente a la tabla de multiplicación de 2N−2 iones. Además, todas estas células llenas del ET
sólo contendrá XORs de índices < g. Por lo tanto, todos y sólo los viajes de L-index tendrá
los bordes de sus (necesariamente Zigzag) Velas que residen en dicho cuadrante. Todos no-
células diagonales largas en el ET se llenan mientras tanto, ya que todos los evaluadores candidatos
tienen el formulario M = (m,G+ g+m), y para cualquier triplete CPO (a,b,c) cuya fila y
etiquetas de columna más entrada de celda están contenidos en el cuadrante superior izquierdo, es fácil de
mostrar que la aritmética siguiente es verdadera:
+b− (G+g+b)
+a + (G+g+a)
+(G+g+c)− c
+c− (G+g+c)
Por lo tanto, el TripN−2 Box-Kites, el conjunto de Zigzag L-index de cada uno de los cuales es
uno de los viajes TripN−2 contenidos en el 2
N−2-ions, todos tienen esta forma simple:
(a,b,c,d,e,f ) = (a,b,c,g+c,g+b,g+a)
Comentarios. Como se hará cada vez más evidente, los poderes de 2 – es decir,
1-bits de singleton en bitstrings binarios indefinidamente largos – jugar un papel en el número ZD
teoría más fácilmente analógica a la de primos en los estudios tradicionales. Y mientras
los triples enteros (de Pitágoras a Fermat) juegan un papel central en el factor-
estudios tradicionales basados, todos los trillizos XOR en dos generaciones CDP’ quitar de
el poder de 2 en cuestión son recogidos por su ET en este nuevo enfoque. Todos los demás
los enteros suficientemente grandes (significado > 8) se asocian mientras tanto con fractal
firmas, a cada una de las cuales se vincula un espacio único de dimensiones infinitas
por diagonales ZD. Pero, ¿puede realmente llamarse Teoría de los Números?
De hecho, decimos que puede: que es, de hecho, el "nuevo tipo de teoría de los números" que debe
acompañar la nueva clase de ciencia de Stephen Wolfram. En su enorme libro de 2002,
nos dice que, la sabiduría común al contrario, el comportamiento complejo se puede derivar
del comportamiento aritmético más simple. El obstáculo para ver esto reside en el
la propia sabiduría común [5, p. 116]:
· · · las matemáticas tradicionales hacen una idealización fundamental: como
suma que los números son objetos elementales cuyo único relevante en-
tributo es su tamaño. Pero en una computadora, los números no son elementales.
objetos. En su lugar, deben ser representados explícitamente, típicamente por giv-
> una secuencia de dígitos.
Pero eso implica en última instancia cadenas de 0 y 1’s, donde el asunto de impor-
se convierte en qué lugares de la cuerda se mantienen, y que están vacantes: el orig-
significado inal de nuestra notación decimal sentido de sí mismo como marcador de posición aritmética.
El estudio de cero divisores – subestructuras de marcadores de posición – entonces se convierte en lo natural
forma de investigar las características compuestas de Numbers qua bitstrings. Cuándo
descubrimos, en lo que sigue, que los enteros compuestos (es decir, los que requieren
múltiples bits a ser representados) están intrínsecamente vinculados, cuando se ve como strut-constant
bit-strings, con meta-fractales de dimensión infinita, la continuación de la cita
en la siguiente página debe sonar verdadero:
En matemáticas tradicionales, los detalles de cómo se realizaron las operaciones
en números afectan secuencias de dígitos se suelen considerar bastante
irrelevante. Pero · · · precisamente mirando a tales detalles, vamos a ser
capaz de ver más claramente cómo se desarrolla la complejidad en sistemas basados
en números.
5 The Sand Mandala Flip-Book (8 < S < 16, N = 5)
En la primera exploración concreta de la fenomenología ZD más allá de las Sedeniones [6,
pp. 13-19], un sorprendente conjunto de patrones fueron descubiertos en los ETs para los valores de S
más allá del “límite de Bott”: es decir, para 8 < S < 16 (el límite superior es la G de
los Pationes 32-D), las celdas llenas bastaron para definir no 7, sino sólo 3, Box-Kites
para N = 5; más, las figuras geométricas primarias en cada ET se transforman en
uno al otro con cada incremento entero de S, de una manera que recuerda exactamente a la
flip-books que anticipan la animación de dibujos animados. Mientras que estos parecían desconcertantes
a mediados de 2002, cuando fueron encontrados, su lógica es de hecho profundamente simple.
En primer lugar, cada S de ET tal es sólo la X de uno ya visto en las Sedeniones. Nosotros
continuar nuestra convención de utilizar g para indicar la G de los géneros anteriores CDP-
sión, emplear s para el S de dicha generación, y hacer referencia a todos los índices de evaluador anteriores por
Sufijando sus cartas con asteriscos. Entonces, desde S = g+ s, el viaje (s,g,g+ s)
mandatos, por el Primer Visir (cuya versión firmada invocamos debido a la
derivación de las Sedeniones), que g debe pertenecer a la vela Zigzag si se trata de ser
un índice L-Asessor en absoluto.
Tenga en cuenta que este no es un argumento verdaderamente legítimo, como veremos en breve, aunque el
los resultados son correctos, como se muestra por otros medios en [6]: esto se debe a que
cometas primero emergen en este contexto actual – pero no están entre los 3 x 7 “flip-book”
habitantes de interés inmediato. Vamos a asumir, por la simplicidad de la presentación,
que el Primer Visir obtiene aquí: probar que lo hace, sin embargo, requiere un
argumento de fondo relativo a los copos de caja “Tipo II”: sus valores S deben ser menores
que g, por lo tanto, ninguno de nuestros candidatos flip-book puede calificar. (Pero son igual que
numerosos como el flip-book caja-kites, hay 3 para cada uno de los siete valores de
S < g. Para su enumeración, y marco teórico de la fenomenología “Tipo II”, véase
Apéndice B.)
Nos contentaremos aquí con dar esto como un resultado empírico, y
asumir, por lo tanto, la validez de la versión firmada del primer visir en el
caso en cuestión. Sobre la base de esta suposición, podemos afirmar además que el Sedenion
Los índices L de Vent, f*, e*, d*, también deben estar asociados con los evaluadores de Zigzag. Por una
argumento exactamente similar a la de la última sección, entonces tenemos 3 candidatos Box-Kites
considerar: ya que los 3 L-índices de Vent son todos menos de g, deben ser cartografiados a
los 3 evaluadores A, g = 8 deben adherirse a B (y s = 1 a E), mientras que los L-índices de
Los evaluadores asociados con f*,e*,d* deben ser A*, B*, C*, respectivamente. Los
prueba es fácil: tomando los nuevos A, C Asesores = (f*,G+g+a*) y (g,G+ s) en
ese orden como representantes fácilmente generalizables, hacemos la aritmética.
+g− (G+ s)
+ f* + (G+g+a*)
+(G+a*) − (f g)
+(f g)− (G+a*)
La parte inferior izquierda es sólo la Regla 1. Para la parte inferior derecha, comience con el Primer Visir:
(f*,a*,s)→ (f*,G+ s,G+a*)→ (f*) · (−(G+ s)) =−(G+a*). La parte superior izquierda
se deriva así: (a*, g, g+a*)→ (g, G+a*, G+g+a*)→ (G+g+a*) · g =
+(G+a*). Por último, (a*,s,f*)→ (g+a*,g+f*,s)→ (G+g+a*,G+s,g+f*),
pero el signo interno negativo de la dyad superior invierte el signo como se muestra.
Los 3 box-kites así derivados son los únicos de los 7 candidatos viables:
para el índice L de Zigzag del S = 1 Sedenion Box-Kite no suscriba una vela;
por lo tanto, por lo que los abogados llamarían un "fruto del árbol envenenado" argumento, ni
haga las 3 U-trips asociadas con el mismo Zigzag fracasado. Usando A* y B*, entonces
invocando el Teorema de la Ronda, vemos esto fácilmente:
+b(G+g+e*)
+a* + (G+g+f*)
− (G+g+d*)− c*
+c* − (G+g+d*)
NO CERO (sólo cancelación de c*)
Con la adición de dos bits sucesivos a la izquierda, la parte inferior izquierda y superior-
los productos correctos son idénticos a los obtenidos sin que se incluya el (G+g).
Del mismo modo, el producto superior izquierdo utiliza la regla 2 dos veces, con un efecto similar, pero con (G+g)
incluido en el resultado: puesto que (f*,d*,b*) es CPO, entonces obtenemos −(G+g+d*).
Para el resultado superior derecho, mientras tanto, los dos bits altos inducen una doble inversión,
luego son asesinados por XOR, dejando el producto igual que si no hubieran estado allí:
(f*,c*,e*)→ (g+e*,c*,g+f*)→ (G+g+f*,c*,G+g+e*), de ahí −c*. Nosotros
tienen un argumento que recuerda al Teorema 2: dependiendo del signo interno de la
dyad superior, un par de productos cancela o el otro, pero no ambos.
Vemos, entonces, que la construcción dada sin explicación al final de
La primera parte es correcta. Los argumentos dados allí en relación con la relación vital de
Las estructuras no-ZD de un Box-Kite a la modelación semiótica sugieren que esta “offing”
(para usar el argot binario apropiado vinculado a los sicarios de la mafia) de un Zigzag 4
Los trillizos deberían desempeñar un papel igualmente importante en ese modelo. Esto tiene
no sólo en modelos semióticos, sino físicos, ya que el hecho dinámico clave im-
plicit en los viajes Zigzag L- y U- (o sólo Z-trips en adelante) es su similitud de
orientación: puesto que (a,b,c);(a,B,C);(A,b,C);(A,B,c) son todos CPO como escrito, nosotros
están efectivamente permitidos hacer swaps por pares de mayúsculas y minúsculas
entre ellos sin inducir nada que un físico pudiera considerar observable (e.g.,
a inversión de 180o o “cuantum de giro”). Esta condición de sincronización del viaje se descompone como
tan pronto como intentemos permitir un intercambio similar entre las Z-trips y su Trefoil
compatriotas: en particular, los dos que no comparten un Asesor con los Zigzag.
El modelo de juguete de [7] utilizaría estas características para designar la base de un “Cre-
presión” que conduce a la salida de la simetría E8 ×E8 del teórico de la cadena.
Esta simetría, como se discutió allí, rompe en los modelos estándar cuando uno de los
El E8 primordial decae en un E6 – que tiene 72 raíces paralelas a las 72 rellenas
células de nuestros Mandalas de arena. Para los propósitos actuales, el aspecto clave de esta corre-
spondence es que, en la teoría de ZD al menos, la explosión de un singleton Box-Kite
en una trinidad de Sand Mandalic lanza el desinterés en la fuente de la dinámica:
el Z-trips que subscribir viaje sincronizar ya ni siquiera subscribir Box-Kites. Los
todo el escenario no sugiere nada tanto como esas cajas que, cuando se abrió por
empujar una palanca externa, emitir un brazo que tira hacia arriba en la misma palanca, forzando
la caja para cerrar y el brazo para volver a su escondite dentro de ella.
Vamos ahora a los gráficos ET de la secuencia de flip-book, tan sugerente de
autómatas celulares. Para cada uno de los 7 ET en cuestión, todas las etiquetas < g son monotoni-
Cally creciente, ya que S, y por lo tanto sus opuestos de puntal, superan a todos ellos. Pero la
solo las filas y columnas rellenas (pero para cruces diagonales largos) serán aquellas con
etiquetas iguales a S−g = s y su strut-offposite g, para estos L-índices residen en E
y B, respectivamente, en las 3 cajas-kites del conjunto, por lo que cualquiera de las
■ una de ellas fabrica ZDM dentro de cada uno de los tríos (a,d,e) y (f,d,b) Velas,
llenar todas las 12 (= 24−2, menos 2 para diagonales) celdas rellenables en cada fila o columna
etiquetados con la etiqueta de estos evaluadores. Así, como s se incrementa, dos conjuntos paralelos de
líneas perpendiculares de las células ET comienzan definiendo un cuadrado faltando sus esquinas, entonces
estos paralelos se mueven en incrementos unitarios uno hacia el otro, hasta que forman una 2 capas
crossbar una vez s = 7 (S = 15). 24 celdas cada una tiene la etiqueta de fila R o la de columna C
= s; 24 residen en líneas con etiqueta = g; y 24 más tienen su contenido P = s o
g: estos últimos tienen un orden que es menos obvio, pero por el último ET en el flip-
libro, se han preparado para formar los bordes de un diamante, ortogonal a
las diagonales largas y el encuentro con la barra transversal en sus cuatro esquinas, con s = 7
valores que llenan los bordes hacia arriba, y g = 8 los que se inclinan hacia abajo.
Los gráficos del flip-book aparecieron por primera vez en [6, p. 15]; eran recy-
en la p. 13 de [8]; a continuación se incluyeron versiones más grandes y fáciles de leer de estos ET
(junto con numerosos otros flip-books basados en Chingon y otros gráficos que vamos a
discutir más adelante) como diapositivas 25-31 de la presentación Powerpoint que comprende [1], de-
en la conferencia de Wolfram Science del 15 al 18 de junio de 2006, NKS en Washington,
D.C. Los tres recursos están disponibles en línea, y el lector es especialmente
animado a explorar el último, cuyas 78 diapositivas se puede pensar como la visual
acompañamiento a esta monografía. (En adelante, referencias a las diapositivas numeradas
será a los contenidos e indexados en él.)
6 Espectrografía 64-D: 3 Ingredientes para “Receta
Teoría”
De una manera claramente relacionada con la periodicidad Bott, las constantes de puntadas caen en tipos de-
marcada por múltiplos de 8. Pero a diferencia de la familiar modulo 8 categorización de
tipos demostrados, tal vez más familiarmente, en los álgebras Clifford de varios
dimensiones, la situación con cero divisores no se refiere a la tipología (que mantiene
producir nuevos patrones en todas las dimensiones), pero granularidad. Como veremos, em-
tablas de anación para S > 8 (y no una potencia de 2), aparte de las alineadas diagonalmente
celdas en estiramientos vacíos de otro modo, mostrar diseños de tablero de verificación de paralelo y
líneas perpendiculares cercanas a sólidos (NSLs), cuyas células todas tienen emanaciones excepto para
un par de cruces diagonales largos, y cuyos ritmos visuales están estrictamente gobernados
por S y 8 o los múltiplos más altos de este último.
La regla que encontramos en los Pationes 32-D para los Mandalas de Arena indica que
el patrón básico (y BK5, S para 8 < S < 16) es “esencialmente el mismo” para todos los
Ellos. Nosotros ponemos la frase calificativa entre comillas, ya que es una pregunta abierta a este respecto.
señalan qué características, residiendo a qué profundidad, son de hecho “lo mismo,” y cuáles son
diferente. Por el momento, invocaremos el término equivalencia espectrográfica como
una especie de pagaré, con la esperanza de meter cada vez más elementos en su bolsa de
propiedades, comenzando con dos. Primero es algo a la vez intuitivamente obvio, pero
no se ha demostrado fácilmente. (Incluiremos un corolario a un teorema posterior cuando tengamos
hecho así). Desde los primeros 8 posibles strut-constant valores todos se muestran como máximo-
ETs rellenos, y dado que las anomalías mostradas por valores más altos son estrictamente efectos secundarios
de bits a la izquierda del 8-bit (que son, por supuesto, sus múltiplos), es natural a
asumir que cualquier inducción recursiva sobre formas más simples se hará eco de esta “octava”
estructura: que cada vez que S pasa un nuevo múltiplo de 8, participa en un nuevo tipo.
(Como con los Mandalas de arena, veremos que esto significa que BKN, S para el nuevo 7- o
Banda espectral de 8 elementos de nuevas formas diferirá de la encontrada en su predecesor
banda.) Esto llevará, en los casos más claros – S = 15, o un múltiplo de 8 no
una potencia de 2, digamos – a las rejillas compuestas de 8 x 8 cajas algunos o todos cuyos bordes
son NSLs.
Cómo determinamos qué casos son claros, mientras tanto, y por qué y cómo
puede que deseemos o necesitemos privilegiarlos, nos lleva a nuestra segunda propiedad para incluir
Por adelantado en nuestra bolsa. De una manera que recuerda a los diversos trucos – como
menores y cofactores – utilizado en la teoría de matriz clásica para probar dos matrices son
Equivalente, podemos transformar miembros de una banda espectral en unos a otros por cer-
algunos métodos formales de agitar a mano. Con los Mandalas de Arena, por ejemplo, nosotros
podría sustituir los índices de concreto en las etiquetas de fila y columna por desig-
naciones que hacen referencia a los (a,b,c) valores de cada uno de sus 3 Box-Kites, listados en una
de una serie de órdenes predeterminadas: por orden por lo menos primero del CPO de tales (a,b,c)
trillizos, en una secuencia determinada por el Zigzag L-trip del Sedenion Box-Kite
podemos derivar de, por ejemplo (que es equivalente a la 3 arena-mandalica
Los valores de Box-Kites d, como hemos visto).
Dado que las celdas que se rellenan son estrictamente determinadas por S y G, tales
las naciones eliminan toda individualidad entre los extraterrestres en cuestión. Por lo tanto, si es cierto
características de la pantalla de uno de ellos parecen convenientes, podemos convertir su “línea de tono”
de índices que pueblan sus etiquetas de fila y columna en un diseño abstracto, gobernado
por el cual se asocia el índice con el que el evaluador, en la forma esbozada último
párrafo. Entonces podríamos utilizar este diseño como la plantilla para re-escrituras de todos los demás
ETs en la misma banda espectral, sabiendo que los resultados obtenidos utilizando
la instanciación de la banda podría así ser convertida en exactamente análogas
para los otros miembros de la banda.
De hecho, adoptaremos implícitamente esta táctica utilizando S = 1 como ejemplo.
“por ejemplo” en numerosos argumentos, al tiempo que emplea el S de más alto valor
encontrado entre los Mandalas de arena, 15, para simplificar la visualización (y calculat-
ing) de la creación de patrones recursivos para secuencias fijas-S, en crecimiento N. (S = 15 es
elegido porque tiene todos sus bits bajos llenos, por lo tanto todos los XORs se derivan por simple
resta, dejando el desbordamiento de carrybit para mostrarse sólo en lo que más importa a
nosotros: la desconexión de 4 candidatos Box-Kites en los Pathions, y - como vamos a mostrar
dos secciones por lo tanto – 16 en los Chingons, y 4N−4 en todos los iones 2N superiores.) Dónde
por las razones ya explicadas, las secuencias de S fijas-N, en crecimiento flip-
libros, designamos estas nuevas pantallas (por razones que vamos a justificar en breve) globo-
cabalgadas.
Mientras que hay sólo un tipo abstracto para las Sedeniones, con un Box-Kite para
cada uno de los 7 posibles valores S, una segunda banda espectral emerge en los Pathions
para incluir los Mandalas de arena, y dos más se agregan para los Chingons 64-D.
Por inducción de la primera banda compartida universalmente para todos los N > 3, donde hay
son TripN−2 Box-Kites en cada ET, para cada S ≤ 8, la primera nueva espectrografía
suma incluye el múltiplo superior de 8 que lo limita, ya que no es una potencia
de 2: 16 < S ≤ 24. La segunda nueva gama, sin embargo, está limitada por G, por lo tanto hace
no incluirlo, ya que es tautológicamente un poder de 2 (que poderes, como vimos dos
hace secciones, cumplir con un tipo todo el suyo propio, con el mismo Box-Kite-count
fórmula como para la banda espectral más baja): 24 < S < 32.
Cada una de estas dos nuevas bandas muestra una característica distintiva que subscribe
uno de los tres ingredientes clave para la teoría de la receta que en última instancia estamos buscando.
Llamamos a estos, para S ascendente, (s,g)-modularidad y ocultar/llenar la respec-
Tily. El tercer ingrediente clave, mientras tanto, reside en la banda que primero emerge
en los Pationes – y cuyo eco en los Chingons tiene características recapitulativas suffi-
científicamente rico como para merecer el nombre de recursividad. Dedicaremos la primera Parte III
la sección post-introducción a un tratamiento minucioso de la instancia más simple de este
tercer ingrediente, mostrando cómo ascender a la meta-fractal que llamamos el Whor-
fian Sky (llamado así por el gran teórico de la lingüística, Benjamin Lee Whorf,
la última conferencia sobre “Lenguaje, mente y realidad” describió el encuadre de la media-
En este contexto, la Comisión considera que, en el marco de la política de competencia, la Comisión ha adoptado una serie de medidas destinadas a mejorar la competitividad de la industria de la Unión, en particular en lo que se refiere a la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente, la protección del medio ambiente y la protección del medio ambiente. Entre
muchos pasajes visionarios en sus descripciones de una futura ciencia interdisciplinaria,
el siguiente parece más apto para servir como la cita principal para el tercero y final
barrer nuestro argumento [9]:
Los patrones forman enteros, parecidos al Gestalten de la psicología, que son
abrazado en grandes enteros en progresión continua. Por lo tanto, el cos-
imagen mic tiene un carácter serial o jerárquico, el de una progresión
de aviones o niveles. A falta de reconocimiento de dicha orden serial, diferen-
ent ciencias cortar segmentos, por así decirlo, fuera del mundo, segmentos
que tal vez cortar a través de la dirección de los niveles naturales, o detener
corto cuando, al alcanzar un cambio de nivel importante, los fenómenos
se convierten en de un tipo muy diferente, o se deshacen del ken del viejo ob-
Métodos servacionales. Pero · · · los hechos del dominio lingüístico obligan
reconocimiento de aviones seriales, cada uno dado explícitamente por una orden de
Se observa una disminución de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de CO2. Es como si, mirando a una pared cubierta de fina tracería
de diseño similar a encaje, encontramos que esta tracería sirvió como el suelo para
un patrón más audaz, pero aún delicado, de pequeñas flores, y que sobre ser-
al darse cuenta de esta extensión floral vimos que multitudes de huecos
en él hizo otro patrón como pergamino, y que los grupos de rollos
hecho letras, las letras si se siguen en una secuencia apropiada hicieron palabras,
las palabras fueron alineadas en columnas que enumeraron y clasificaron
lazos, y así sucesivamente en el cruce continuo de patrones hasta que encontramos esta pared
ser – un gran libro de sabiduría! [10, p. 248]
Apéndice A: Genealogía de S = 1 box-kites
N = 4: Conjunto único de índice de cuaternión L (1,2,3) alimentado como círculo de la regla 0 en PSL(2,7)
con g central = 4, produciendo 7 viajes de Octonios, cada uno con un S diferente. Para S = 1,
tienen (3,6,5), que se convierte en regla 0 para el siguiente nivel.
N = 5: (3,6,5) alimentado como círculo de la Regla 0 en PSL(2,7) con g central = 8 produce 3 Regla 2
Tiras en L como los lados del triángulo, que (al colocar su puntal opuestos como L-índices)
generar (junto con cero acolchado (3,6,5) ) 4 cajas-kites con X = G+1 = 17.
Las medianas de Triángulo se convierten en (a,d,e) Trefoil L-index conjuntos de 3 Regla 1 S = 1 Recuadro-
Kites, haciendo 7 en total. Estos conjuntos de Zigzag L-index se convierten en la Regla 0 viajes para los próximos
nivel, y son:
Regla 0: (3,6,5)
Regla 1: (3,10,9); (6,15,9); (5,12,9)
Regla 2: (3,13,14); (6,11,13); (5,14,11)
N = 6: Los 7 N = 5 Zigzag L-index conjuntos que acaban de enumerarse se alimentan como regla 0 círculos en
PSL(2,7) triángulos con central g = 16, y son Zigzag L-index conjuntos en sus propios
derecha para Box-Kites con X = G+1 = 33.
10 Medias de la regla 1, 3 redundantes (en la medida en que generan (f,d,b) donde (a,d,e)
también se dan: (14,16,30)* y (11,16,27)** en el triángulo de (5,14,11), este último
también en (6,11,13)’s). Se asocian con estos 7 conjuntos de índice L de Zigzag:
(3,18,17); (5,20,17); (6,23,17); (9,24,17);
(10,27,17)*; (12,29,17); (15,30,17)*
Regla 2 lados: 3 por cada viaje de la Regla 0, como sigue:
(3,6,5)→ (3,21,22); (6,19,21); (5,22,19)
(3,10,9)→ (3,25,26); (10,19,25); (9,26,19)
(6,15,9)→ (6,25,31); (15,22,25); (9,31,22)
(5,12,9)→ (5,25,28); (12,21,25); (9,28,21)
(3,13,14)→ (3,30,29); (13,19,30); (14,29,19)
(6,11,13)→ (6,29,27); (11,22,29); (13,27,22)
(5,14,11)→ (5,27,30); (14,21,27); (11,30,21)
N = 7: Alimente los 35 conjuntos de índice L de Zigzag que acaban de figurar en la lista a PSL(2,7) con g = 32, como
Regla 0 círculos, generando así los 155 S = 1 Zigzags encontrados en los 27-iones, o
Rutas – nombradas por el sitio de la burbuja de Internet “Massachusetts”
Milagro”, Ruta 128 – y así sucesivamente.
Apéndice B: Breve introducción a los kits de cajas “Tipo II”
La generación recursiva de Zigzag L-sets acaba de presentar llamadas para un poco de cerca en-
atención cuando los cofre-kites involucrados son Tipo II, ya que entonces tienen las diagonales
de sus triángulos PSL(2,7) orientados de manera diferente: en lugar de los 3 que conducen desde el centro-
puntos de la regla 2 en las esquinas, sólo 1 de ellos preservará la orientación
en el caso de un tipo II (los otros dos han “revertido las normas VZ1” como prueba). Nosotros
primero dar una construcción para la producción de todos los box-kites Tipo II en los Pathions, y
a continuación, indicar la manera en que sus trabajos están íntimamente relacionados con
la fenomenología de los productos de torsión incluidos en el Teorema 6 de la Parte I.
La construcción se presentó con diferentes marcos en [8], donde de-
estirado una representación “stereo Fano” usando triángulos lado a lado, siendo la izquierda un
propiamente dicho PSL(2,7). Dentro de los Pathions, hay 7 cajas-kites diferentes para cada ex-
cept para los tríos “flip-book”, uno para cada S> 8. Y para S= 8 exactamente, vimos en
nuestra discusión del Teorema Number Hub que podemos construir todos los 7 colocando 8 en
el centro del Fano estándar (lo que llamaremos PSL(2,7) en adelante),
el tramo Zigzag L para cada Sedenion S y colocar sus unidades en los puntos medios de los lados,
en el orden habitual CPO (en los lados izquierdo, derecho e inferior respectivamente). Cada uno de
estas 7 líneas generan entonces una nueva caja-kite en los Pathions para el Sedenion S en
pregunta.
Si re-inscribimos el primer-kit L-trip, pero cambiamos G a los 16 del Pathion, ap-
plying VZ2 nos da nuevos términos U-index, pero los términos L-index para los 6 evaluadores
sigue siendo el mismo que para el kit de caja de Sedenión: llamamos a esta instancia “Regla 0” la
caja-kite cero-acolchado (o sólo ZP) para el valor S en cuestión.
Si tomamos los tres trillizos “Regla 1” a lo largo de los puntales, y no los colocamos en la A,
B, C posiciones de nuestro nuevo Pathion caja-kites, pero en su lugar en A, D, E (con 8 siempre
al terminar en D), generamos 3 kits de caja estándar más (Tipo I). Para S = 1, la
Sedenion Zigzag L-trip es sólo (3,6,5), y cada una de sus unidades se convierte en el índice bajo
‘A’ para un nuevo kit de caja Pathion, con L-índices escritos en “parámetros anidados”
orden (es decir, A, B, C, D, E, F) como sigue: (3,10,9,8,11,2); (6,15,9,8,14,7);
(5,12,9,8,13,4).
Pero si tomamos los 3 trillizos “Regla 2” a lo largo de los bordes, mapeando la unidad Zigzag
en el centro de cada uno al bajo índice ‘A’ de un nuevo kit de caja, el 8 no muestra
en cualquier evaluador, y dos de los tres puntales tendrán orientaciones revertidas. Estos
"Tipo II" box-kites, de nuevo para S = 1, escrito por la misma convención que se acaba de utilizar para
sus hermanos de ocho hijos, lean así: (3,13,14,15,12,2); (6,11,13,12,10,7);
(5,14,11,10,15,4). Puesto que los términos de bajo índice A y F son los mismos que en el
El mismo Sedenion-Kite, el apoyo que hacen obviamente tiene la orientación estándar.
tion. (Pero tenga en cuenta que no hay nada esencial acerca de la (A,F) strut aquí: la colocación
de la unidad indexada más baja del Zigzag L-trip en A es una convención conveniente,
y su empleo en los Pationes basta para inducir este efecto; sin embargo, no
más largo suficiente en dimensiones más altas, donde S puede superar 8 pero todavía es menor que
Que su ser Tipo II es un efecto secundario inmediato de la “Regla 2” en este método
de derivarlos debe ser obvio. Lo que es menos obvio es su relación especial.
nave con productos de torsión. Aquí, repasamos algunos de los fundamentos: en las Sedeniones,
Cada vez que dos evaluadores unieron un borde, podemos intercambiar un par de correspondientes
términos (ya sea L- o U- índices) y luego cambiar el signo uniéndose a la L- y U- en-
dados en el emparejamiento resultante, y obtener un evaluador en otra caja-kite como resultado.
Tal “productos de torsión,” entonces, invertir el borde-señal de una línea dada de ZDs como nosotros
se mueven entre contener copos de caja. Por otra parte, tales giros son naturalmente investi-
cerrado en el contexto de los cuadrados, no los triángulos, de la figura octaédrica vértice
escribimos Asesores en: los tres catamaranes ortogonales, entonces, en lugar de los cuatro
Tocar-sólo-en-los-vértices Velas. Eso es porque los lados opuestos de un catamarán
girar a los evaluadores en la misma caja-kite, de modo que cada catamarán permite un giro a
dos cajas-kites diferentes – con la terminal Catamarán, en cada caso, ser más
retorcido en la caja-kite a la que no se tuerce en primera instancia. Como se muestra en el cuadro
“Hermana retorcida” y “Caza Real” diagramas de [4], estas triples transformaciones pueden ser
representados en sus propios planos de Fano, con los índices colocados en sus loci ahora
correspondiente a las constantes de puntadas de un septeto de cofre-kites.
Cada Catamarán comprende las vías que conectan 4 Asesores – significado
no se conecta con ninguno de los términos de la tercera puntada en su caja-kite. No lo es.
difícil de ver que la constante de puntada de la caja-kite uno gira a es igual a la puntada-
opuesta al término que completa el tramo L del borde torcido en el
En primer lugar. Por lo tanto, cualquier término L-index en una caja-kite de Sedenión corresponde a la
constante de puntada de otro tal caja-kite uno puede torcer a. Esto sugiere una expansión
el significado de "producto twist" para abrazar los emparejamientos que comparten un apoyo en lugar de
un borde. Porque, si permitimos esto, entonces podemos tratar el tercer puntal ortogonal a la
el alojamiento cuadrado se tuerce como la “masta” del Catamarán, dándonos un sentido expandido
de este último término que nos permite una simplificación importante: en lugar de pensar en
las ZD de las Sedeniones distribuidas entre 7 cofres distintos, podemos verlos todos
incluido en un diagrama de kit de caja “emborrachado”, al que llamamos brocado. Cada uno
de los 12 bordes de caja-kite permite giros a un par de diferentes evaluadores – digamos
(A, b) y (B, a), en la caja-kite con S = copp = d. Más, el par (S,X) – que
podemos pensar en como en el centro de la caja-kite – puede ser “twisted” con los 6 evaluadores
en el kit de caja original para producir 12 más. Por lo tanto tenemos 6 + 24 + 12 = el
conjunto total de “42 Asesores” en las Sedeniones, todos representables, en cualquiera de los 7
box-kites componente, como un “brocado” unitario.
Sería bueno ser capaz de generalizar la noción de “brocado” con el fin de reducir
el número de estructuras básicas en contextos de orden superior: en los Pathions, para
postura, hay 77 cajas-kites, todos menos 21 de los cuales son “Tipo I,” con 21 de los
viene en arena-mandala triples, 7 formando el S = 8 “Atlas,” más 7 ZP y 3 ·7
“cajas fuertes” (así se llama, porque estos copos bajos-S contienen “piezas de 8”)
completar la colección. Pero si también contamos en la caja de 4 · 7 = 28 “falta”-
cometas para alta S, podemos colapsar nuestro recuento de la cabeza de 105 estructuras de tipo box-kite
a 15 brocados. Mimando la situación de Sedenión, el 7 ZP forma el más simple; el
7 tríos Sand-Mandala entremezclados con el septeto Atlas y las 21 cajas de fuerza para
hacer 7 brocados más; y los 21 calzoncillos tipo II se tuercen entre sí (para llenar
un Catamarán en cada uno) y en los “kites escondidos de la caja” vinculados con el alto S
(llenando dos catamaranes más por instancia de tipo II), entregando el set final
de 7 brocados. (Notamos que la situación de Tipo II no es tan misteriosa como podría ser
aparece, una vez que recordemos la lógica de la “prueba de la tapa” de la Parte I, Sección 5: con 2 de
3 trillizos de puntadas que se invierten, “apuntando” en un Fano de Tipo II tenderá a enviar un
flecha inversa en un borde 4 veces de 6 – lo que significa que, en todos estos casos, el
corolario a Teorema 7, y por lo tanto el teorema mismo, fallará, explicando así
el “por qué” de “desaparecido” box-kites!)
Ganamos la simplificación “brocado” generalizada a un precio muy pequeño: relajarse
la noción de “producto de torsión” para abarcar el índice de origen y objetivo L- y U-
pares que no son necesariamente cero-divisores en el contexto de la G a la mano.
Pero esta es una inversión que paga dividendos, ya que nos permite utilizar el Tipo II
estructuras como “intermediarios” para facilitar el estudio de la sub-
ciones del “espacio blanco” meta-fractal en los ET de alta S. Dada la semiótica y
importancia semántica de las estructuras “sin ZD” (recordemos que nuestra transcripción de
El análisis de Titot de la “Cuadrada Semiótica” de Greimas en teoría del divisor cero se basa
en los opuestos libres de ZD), podemos esperar una riqueza de resultados basados en Catama-
estudio llevado a cabo que debería al menos igual a lo que estamos llevando a cabo en base a Velas. (Por
una “atracción venidera”, los lectores interesados deben ver la diapositiva Powerpoint en línea-
muestra vinculada a nuestra presentación NKS 2007 [11], que jugará un papel con
con respecto a nuestra próxima y similarmente nombrada monografía, “Voyage by Catama-
corrió”, similar a lo que hizo nuestra presentación de diapositivas NKS 2006 para la exposición de teorema / prueba
usted está leyendo actualmente.)
Bibliografía
[1] Robert P. C. de Marrais, “Subestructuras portantes: El camino desde NKS
a redes sin escala en el mundo pequeño y con cero divisores”, http://
wolframscience.com/conference/2006/ presentations/materials/demarrais.ppt
(Nota: el apellido del autor figura bajo “M”, no “D.”)
[2] Robert P. C. de Marrais, “Subestructuras de soporte I: El camino desde NKS
las redes libres de escalas están pavimentadas con cero divisores”, Complex Systems, 17
(2007), 125-142; arXiv:math.RA/0703745.
[3] Robert P. C. de Marrais, “Los 42 evaluadores y los box-kites que vuelan,”
arXiv:math.GM/0011260.
[4] Robert P. C. de Marrais, “¡Presto! Digitalización”, arXiv:math.RA/0603281
[5] Stephen Wolfram, un nuevo tipo de ciencia, (Wolfram Media, Champaign IL,
2002). Versión electrónica en http://www.wolframscience.com/nksonline.
[6] Robert P. C. de Marrais, “Volando más alto que un box-kite,”
arXiv:math.RA/0207003.
http://arxiv.org/abs/math/0703745
http://arxiv.org/abs/math/0011260
http://arxiv.org/abs/math/0603281
http://www.wolframscience.com/nksonline
http://arxiv.org/abs/math/0207003
[7] Robert P. C. de Marrais, “El matrimonio de nada y de todos: Cero-divisor
Box-Kites en un cielo ‘TOE’”, en Actas del 26o Col-
loquio sobre los métodos teóricos de grupo en física, El Centro de Postgrado
de la Universidad de la Ciudad de Nueva York, del 26 al 30 de junio de 2006,
Springer–Verlag.
[8] Robert P. C. de Marrais, “El punto de inserción ‘Algo de la nada’”,
http://www.wolframscience.com/conference/2004/presentations/materials/
rdemarrais.pdf
[9] Robert P. C. de Marrais, “Subestructuras de soporte III: Un Bit-String-Driven
‘Teoría de la Receta’ para Espacios de Cero Divisores de Dimensión Infinita,”
arXiv:0704.0112 [math.RA])
[10] Benjamin Lee Whorf, Lenguaje, Pensamiento y Realidad, editado por John B.
Carroll (M.I.T. Press, Cambridge MA, 1956).
[11] Robert P. C. de Marrais, “Voyage by Catamaran: Long-Distance Seman-
tic Navigation, de la lógica de mito a la web semántica, puede ser eficaz por
Infinite-Dimensional Zero-Divisor Ensembles”, wolframscience.com/
conferencia/2007/presentaciones/materiales/demarrais.ppt (Nota:
apellido es listado esta vez estilo americano, bajo “D,” no “M.”)
http://www.wolframscience.com/conference/2004/presentations/materials/
http://arxiv.org/abs/0704.0112
Introducción a modo de repetición: de los calzoncillos a los extraterrestres
Tablas de Emanación: Convenios para la Construcción
ET para N > 4 y S 7
El Teorema Number Hub (S = 2N - 2) para iones 2N
El Mandala de arena Flip-Book (8 < S < 16, N = 5)
64-D Espectrografía: 3 Ingredientes para ``Teoría de la recepción''
|
704.0027 | Filling-Factor-Dependent Magnetophonon Resonance in Graphene | Resonancia magnetofonónica dependiente del factor de llenado en el grafeno
M. O. Goerbig,1 J.-N. Fuchs,1 K. Kechedzhi,2 y Vladimir I. Fal’ko2
Laboratoire de Physique des Solides, Univ. Paris-Sud, CNRS UMR 8502, F-91405 Orsay, Francia y
Departamento de Física, Universidad de Lancaster, Lancaster, LA1 4YB, Reino Unido
(Fecha: 23 de octubre de 2018)
Describimos una estructura fina peculiar adquirida por el fonón óptico en el plano en el punto de
en el grafeno cuando se pone en resonancia con una de las transiciones inter-Landau-nivel en
Este material. El efecto es más pronunciado cuando este modo de celosía (asociado con la banda G
en el espectro Raman del grafeno) está en resonancia con las transiciones inter-Landau-nivel 0 +, 1 y
− 1, 0, en un campo magnético B0 30T. Se puede utilizar para medir la fuerza del electrón-
el acoplamiento del fonón directamente, y su dependencia del factor de llenado se puede utilizar experimentalmente para detectar
vibraciones de celosía polarizadas circularmente.
Números PACS: 78.30.Na, 73.43.-f, 81.05.Uw
En metales y semiconductores los espectros de los fonones
son renormalizados por su interacción con los electrones.
Algunos de los ejemplos más conocidos incluyen el Kohn
anomalía [1] en la dispersión del fonón, que se origina
de la excitación/de-excitación de electrones a través de la
Nivel de Fermi sobre la propagación de un fonón a través de
el grueso del metal y el desplazamiento en el opti-
frecuencia del fonón cal en semiconduc-
tors [2]. Sin embargo, a pesar de la transparencia de la teoría
modelos la observación de tales efectos se oculta a menudo
por la dificultad de cambiar la densidad de electrones en un mate-
rial, mientras que en estructuras semiconductoras que contengan dos-
electrones dimensionales (2D) cuya densidad puede ser
variado, la influencia de este último en los modos de fonón es
débil debido a una fracción de volumen insignificantemente pequeña ocupada
por el gas electrónico. En este contexto, una oportunidad única
se produce en transistores de efecto de campo basados en grafeno [3], donde
la densidad de los portadores en una película atómicamente delgada (mono-
capa [4, 5, 6] o bicapa [7]) puede variar continuamente
de 1013cm−2 p-tipo a 1013cm−2 n-tipo. Varios Ra-
ya se han reportado experimentos humanos [8, 9] donde
la variación de la densidad portadora en el grafeno cambia la
frecuencia fonónica óptica, de acuerdo con la teoría
expectativas [10, 11, 12].
Cuando el grafeno está expuesto a una cuantificación magnética
campo, su espectro electrónico se apaga en discreto Lan-
niveles dau (LLs) [13]. Entonces, la energía del fonón óptico en
grafeno puede coincidir con la energía de uno de los inter-
Transiciones LL, una condición conocida como magnetofonón
resonancia [14, 15]. Recientemente, Ando ha sugerido [16]
que en el grafeno deshecho la resonancia magnetofonon
potencia el efecto del acoplamiento electrón-fonón sobre
un espectro de los fonones ópticos en el plano - el E2g
modos atribuidos a la banda G en los espectros Raman
en Refs. [8, 9, 17, 18, 19]. En este artículo, investigamos
una estructura rica del anti-cruce experimentado por tales
modos de celosía cuando un campo magnético hace su energía
igual a la energía de uno de los valles-antisimétricos
magnetoexcitones interbanda [20]. Lo más destacable es que la dif-
diferencia entre la polarización circular de varios inter-LL
transiciones [21, 22] hace la resonancia magnetofonónica
distinguible para vibraciones de celosía de diferentes circulares
polarización, lo que hace que el número de líneas divididas en
la estructura fina adquirida por un fonón y el valor de
La división depende del factor de llenado electrónico.
Los fonones ópticos en el plano en grafeno [relativo dis-
colocación u = (ux, uy) de los sublattices A y B] tienen
la energía de 0.2eV en el punto de 0.2eV (en el centro de
la zona de Brillouin). Estos fonones y su acoplamiento a
los electrones se pueden describir usando el Hamiltoniano [10, 11],
Hph =
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor.
2M®(Ôxuy − yux), (1)
u(r) =
2NucM
bμ,q + b
eμ,qe
−iq·r,
donde b
μ,q son aniquilación (creación) operadores de un
fonón con polarización eμ,q, M es la masa de un coche-
átomo bon, y Nuc es el número de células unitarias. Toma.
y debajo, usamos unidades ~ فارسى 1. También, vamos a uti-
lize una doble degeneración del modo E2g en el punto
(a q = 0) y describir el fonón óptico en el plano en
términos de un par degenerado de modos polarizados circularmente,
u = (ux+iuy)/
2 y u = u
. La constante g en Eq.
(1) caracteriza el acoplamiento electrón-fonón [23]. Esto
el acoplamiento tiene la forma del único lineal invariante en u per-
expedido por el grupo de simetría del cristal panal.
Se construye utilizando matrices Pauli
en el espacio de los componentes del sublattice de la función Bloch-
ciones, que se describen en los apartados a) y b) de la letra a) del apartado 1 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013.
estados de electrones en los valles K± (dos esquinas opuestas de
la zona hexagonal de Brillouin) y obedecer al hamiltoniano,
en términos de la carga de electrones −e < 0 [24],
Hel =?v?· · p, p =− i eA,?xAy −?yAx = B.
En este caso, = ± distingue entre K±, y el momento
p se calcula con respecto al centro de la corre-
El valle del sponding. Este Hamiltoniano representa al dom-
término del modelo de unión estrecha del próximo vecino de
grafeno [25, 26, 27], y el acoplamiento electrón-fonón
http://arxiv.org/abs/0704.0027v4
: Sublattice B
: Un sublattice
a) b)
−,(n+1)
+,(n+1)
FIG. 1: (a) Los fonones ópticos son vibraciones de celosía con una salida-
oscilación fuera de fase de los dos sublattices. b) Electrón de banda
Excitaciones de agujeros acoplamiento a modos de fonón con diferentes circulares
polarización.
en Eq. 1) tiene en cuenta el cambio en el A − B
Elementos de salto debidos al desplazamiento del sublattice [28].
En un campo magnético perpendicular, Hel determina [13]
un espectro de LL degenerados de 4 veces (spin y valle),
= ±n = α
2nv1B en la banda de valencia
n>0), con-
banda de inducción (n>0), y a cero energía (0 = 0, ex-
en el punto de Dirac en el espectro de electrones), en
términos de la longitud magnética B = 1/
eB. Semejante
espectro ha sido confirmado por el reciente cuántico Hall
mediciones de efecto [4, 5, 6]. En cada uno de los dos val-
, la base LL está dada por los estados de dos componentes
1 + n,0n,m, i(1n,0)1,m], donde se encuentran
las funciones de onda LL descritas por el num cuántico
bers n y m, este último está relacionado con la guía
centro de la libertad. Aquí, descuidamos al Zeeman.
efecto, y simplemente tener en cuenta la doble vuelta de-
generacy.
Se pueden describir excitaciones de electrones entre LLs
en términos de magnetoexcitones (véase la Fig. 1). A los efectos de la presente Decisión, se entenderá por:
para la resonancia magnetofonónica son
(n, ) =
1 + Łn,0
+,n,m;c,(n+1),m;,
(n, ) =
1 + Łn,0
+,(n+1),m;
c–,n–,m–, (2)
donde el índice A =, caracteriza la mo angular
mentum de la excitación y de los operarios c
α,n,m;
aniquilar (crear) un electrón en el estado α, n,m en
el valle Kó. Los factores de normalización N n =
[(1 + ♥n,0)NB(,(n+1) −,n)]1/2 y N n = [(1 +
(n+1))]1/2 se utilizan para garantizar la
relaciones de conmutación bosónica de los operadores de excitón,
[A(n, ),
′, )] = ♥A,A,n,n′, donde NB es el
número total de estados por LL en una muestra,
la doble degeneración de los giros. Estas conmutaciones rela-
ciones se obtienen dentro de la aproximación media del campo
=,,,,,,,,,m,m′(,− +
,,n), donde 0 ≤,n ≤ 1 es el fac-
del n-th LL. Al igual que el selec-
normas de grafeno [20, 21, 22], α, n
Los fonones polarizados se acoplan a transiciones electrónicas
con −, (n + 1) +, n, y fonones -polarizados a
−, n +, (n + 1) magnetoexcitones, en el mismo en-
ergy
2(v)(B)
n+1) (Fig. 1), que
sigue directamente de la composición de la LL en
grafeno y la forma del acoplamiento electrón-fonón
en Eq. (1). En contraste con los fotones que pareja a
el modo valle-simétrico A,s(n) = [A(n,K+) +
A(n,K−)]/
2, interacción electrón-fonón en Eq.1)..........................................................................................................................................................
parejas fonones al valle-antisimétrico magnetoex-
citon A,as(n) = [A(n,K+)− A(n,K−)]/
En términos de magnetoexcitones podemos, ahora, reescribir el
el electrón-fonón Hamiltoniano en forma bosonizada, como
* = s,as.
(n) (n) (n) (n) +
AbA (3)
gA(n)
A;as(n) + bA
A;as(n)
g (n) = g
(1 + Łn,0)γ
,(n+1) −,n,
g (n) = g
(1 + Łn,0)γ
,n −,(n+1),
donde gA son las constantes de acoplamiento efectivas, con γ =
3a2/22B y a = 1,4Å (distancia entre
ing átomos de carbono). En el Hamiltoniano (3), hemos omitido...
Excitaciones electrónicas con una momen angular superior.
Tum que no se emparejan con el fonón óptico en el plano
modos (por ejemplo, n n′, con n′ 6= n ± 1). Los vestidos
Operador de fonón correspondiente al Hamiltoniano (3)
se obtiene resolviendo la ecuación de Dyson. El polo de la
el propagador da el modo acoplado antisimétrico fre-
quencies A,
2A − 2 = 4
n=nF+1
2A − 2n
* nF g * nF g * nF g * nF g * nF g * nF g * nF g * nF g
A(nF )
2A 2nF
, (4)
donde nF representa el número de occu-
pied LL en el espectro, y n =
2(v)(B)
n+1
n). En Eq. (4), la suma (ampliada hasta el
corte de energía N+ (B/a)2 por encima del cual el sistema electrónico
la dispersión ya no es lineal) tiene en cuenta
magnetoexcitones de banda, y el último término da un pequeño
corrección debida a un magnetoexciton intrabanda. En el
límite de campos pequeños y dopaje de gran tamaño (nF + 1), solución de
Eq. (4) reproduce el resultado de campo cero [10, 11] si uno
sustituye la suma por una integral,
n=0 →
dn, ap-
proximatos
n+ 1 • 2
N y NF 0, y,
entonces, linealiza Eq. (4) sustituyendo A por en el de-
nominator,
0 + ♥
* 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2nFv/lB
• − 2
2nFv/lB
# 0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
- - - - - - - - - - ¡No! - ¡No!
en los que = (2/
3η)g/t)2 3.3× 10−3 es el mismo que en
Refs. [10, 16] (t = 2v/3a + 3eV es el salto A-B am-
plitud), y 0 es la frecuencia fonónica renormalizada en
una hoja de grafeno descompuesta en B = 0. La única variación
surge en campos altos, 0 y
2v/lB, donde para nF = 0 la
Eq linealizado. 4) rendimientos
−
g2(0)
(en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses)
2v)2 − 1
El efecto más fuerte del acoplamiento de fonón a elec-
tron se produce cuando la frecuencia de la
coincide con la frecuencia de uno de los magne-
toexcitons A,as(n). En tal caso, la suma en el
a la derecha de la ecuación de autovalor (4) es domi-
nated por el término de resonancia y puede ser aproximado
por 2og2A(n)/ (A − n). Esto resulta en una estructura fina
de modos mixtos de fonón-magnetoexcitón, A,as(n) cos
El pecado bA con frecuencia
A y A,as(n) pec. • − bA cos. •
con la frecuencia A [donde se encuentra la cuna 2 = (n0)/2gA], que
se determinan para cada polarización (A =, ) sepa-
en porcentaje,
n) = 1
(ln + 0)
(ln − 0)2 + g2A(n). 5)
Una forma genérica del anti-fonón-magnetoexciton
cruce y formación de modos acoplados,
n) en un-
grafeno dopado (es decir, v = 0) se ilustra en la Fig. 2 a).
Tal anticrossing y mezcla de modo es similar a eso
descrito por Ando [16]. Puede manifestarse en Raman
espectroscopia: en una estructura fina adquirida por la línea G
(anteriormente atribuido [8, 9, 17, 18, 19] a la op-
tic fonon en el punto de E2g) en el magneto-
condiciones de resonancia fonónica. El efecto es el más fuerte
para la resonancia n=0 • 0 entre el fonón y
Magnetoexcitón a base de −, 1 0 y 0 +, 1 tran-
Situaciones. Al acercarse a la resonancia (barriendo un
campo magnético), la línea fonónica se acompaña de
un satélite débil moviéndose hacia él y aumentando su in-
Tensidad. Exactamente en la resonancia magnetofonónica, donde
tanto el modo superior [A(n)] y el modo inferior [
A(n)]
consisten en una superposición de peso igual del fonón
y el exciton resonante, con cos
la banda G en grafeno aparecería como dos líneas. Por
n=0 =
2v/lB............................................................................................................................................................................................................................................................
B[T] meV (véanse [16, 24]) y
0 200 meV, esta resonancia ocurre en un experimento-
cuenta rango de campo accesible, B0 30 T. Para el relleno
factor v = 0, el LL central (n = 0) está siempre medio lleno.
Entonces, el acoplamiento y, por lo tanto, la división de la - y -
modos polarizados coinciden, g = g, por lo tanto, dando lugar a un
par de picos en las energías = 0 ± g bosquejados
en la parte I de la Fig. 2 b). Para el valor del campo magnético
B0 30 T y g 0.28eV [12], estimamos esta división
como 2gA â € 16meV (â € 130cm−1), que supera en gran medida la
Ancho de banda G observado en Refs. [8, 9, 17, 18, 19].
El dopaje del grafeno cambia la fuerza del cou-
constantes de plling g y g, como se muestra en la Fig. 2 c). Esto
5 10 15 20 25 30 35
Campo magnético [T]
3010 20 40
/ = 0
0 < < 2
= 2
2g 2g
división de modos
−6 −4 −2 0
4n−2 4n+2 4n+6
B=Bn>02γ
FIG. 2: a) El fonón y los magnetoexcitones unidos como función
del campo magnético. Las energías están en unidades del fonón desnudo
energía. Líneas rotas indican el valle no acoplado-simétrico
modos, con gA = 0. b) Dividir el modo en función del relleno
factor, como puede verse en la espectroscopia de Raman, con la resonancia
a condición de que, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, se cumplan los requisitos establecidos en el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, de conformidad con el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, de conformidad con el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, de conformidad con el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1303/2013, de la Comisión, de 29 de junio de 2013, por el que se establecen las condiciones de los vehículos de motor de dos o más ruedas, de los vehículos de motor de dos o más ruedas, de los vehículos de motor de dos ruedas y de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y
v = ±2 (en III). La intensidad absoluta de los modos es arbitraria
unidades, pero la altura y la anchura reflejan la relativa esperada
Intensidades. c) Dividir el modo en n = 0, en función del relleno
factor v. d) Igual que en c) para n ≥ 1.
es porque una ocupación más alta (inferior) de la n = 0 LL
reduce (mejora) la fuerza oscilante de la
transición debido a la disponibilidad de llenado y vacío
los estados en los LL implicados, mientras que el mismo cambio en
la densidad de electrones tiene el efecto opuesto en g. As
un resultado, para un factor de llenado arbitrario −2 < < < 2,
Predecimos que, en las proximidades de magnetofonon reso-
nance, el modo fonon (y, por lo tanto, la banda G en Ra-
espectro man) debe dividirse en cuatro líneas [parte II en Fig.
2 b)], con = g para -polarizado y = g
para los fonones polarizados. En el estado cuántico Hall en
factor de llenado ν = 2, la transición −, 1 0 se convierte en suc-
bloqueo excesivo y ya no afecta a la frecuencia de un
-fonón polarizado, mientras que la transición 0 +, 1 ac-
Por lo tanto, se requiere la máxima fuerza, aumentando el cou-
parámetro pling g. Esto lleva al magnetofonón
estructura de resonancia fina que consta de tres picos, con
una división aún más grande entre las líneas laterales, tal como se bosqueja en
Parte III de la Fig. 2 b). Curiosamente, esto puede permitir uno
observar directamente los modos de celosía con un circu-
polarización lar. Un aumento adicional del llenado de electrones
factor reduce la división de la línea lateral que debe com-
Desaparece por completo en = 6, después de la transición 0 +, 1
se bloquea por un relleno completo del +, 1 LL [Fig.
2 c)]. Los mismos argumentos sostienen para el grafeno dopado p,
aunque en este caso los roles de - y - modos polarizados
se intercambian.
Resonancias magnetofónicas con otras posibles inter-
Las transiciones LL n n+ 1 se producen a un nivel magnético mucho más bajo
campos, Bn = B0/(
n+1)2. Por ejemplo, una resonancia
Acoplamiento de fonones con el magnetoexciton A; tal como se indica en el punto 1 es ex-
pectoral para que se produzca en B1 • 5T. Su descripción sigue siendo excelente.
itativamente similar, aunque para n > 0 el modo de división es
menos pronunciada debido a la dependencia del campo B de la
constantes de acoplamiento en Eq. (3). Uno encuentra que g = g
para < 2 (2n − 1). En = 2,2 n − 1), el relleno de la n-
th LL comienza a cambiar, lo que reduce la división de la -
modo polarizado y da lugar a la estructura de cuatro picos.
En ν = 2(2n+1), donde el +, n LL se convierte completamente
lleno, la división del fonón -polarizado desaparece, por lo tanto,
resultando en la estructura fina de tres picos [parte III en la Fig.
2 b)] que persista hasta = 2 2 n + 3). Esto es
porque la división de los modos -polarizados permanece
constante hasta el factor de llenado v = 2 (2n + 1), arriba
qué población de la +, (n+ 1) LL comienza a suprimir
el valor de g, hasta que este último desaparezca en ν = 2 + 2 n + 3)
[véase Fig. 2 d)].
En conclusión, hemos predicho un factor de llenado-depen-
dence de la estructura fina adquirida por el avión (E2g)
fonón óptico en grafeno cuando este último está en reso-
nance con una de las transi- ciones inter-LL en esta
Terial. Se espera que el efecto sea más pronunciado
cuando el fonón esté resonantemente acoplado al 0 +, 1
y −, 1 0 transiciones, lo que requiere un campo magnético
B0 30T. Se puede utilizar la división del modo predicho
para medir directamente la fuerza del electrón-fonón
enganche, y también para distinguir entre circularmente (izquierda-
y derecha) modos de celosía polarizada.
Agradecemos a D. Abergel, A. Ferrari, P. Lederer y A.
Pinczuk para discusiones útiles. Este trabajo fue suportado.
por Agence Nationale de la Recherche Grant ANR-06-
NANO-019-03 y EPSRC-Lancaster Portfolio Partner-
buque EP/C511743. Damos las gracias al taller MPI-PKS
«Dinamics and Relaxation in Complex Quantum and
Sistemas Clásicos y Nanoestructuras’ y el Kavli
Instituto de Física Teórica, UCSB (NSF PHY99-
07949) para la hospitalidad.
[1] W. Kohn, Phys. Rev. Lett. 2, 393 (1959).
[2] G.D. Mahan, Física de muchas partículas, Kluwer Academic,
Nueva York 2000.
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[4] K. Novoselov y otros, Nature 438, 197 (2005).
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[8] S. Pisana et al., Nat. Mater. 6, 198 (2007).
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[10] T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 75, 124701 (2006).
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[16] T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn 76, 024712 (2007).
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[20] A. Iyengar et al., Phys. Rev. B 75, 125430 (2007).
[21] M.L. Sadowski et al., Phys. Rev. Lett. 97, 266405 (2006).
[22] D.S.L. Abergel y V. I. Fal’ko, Phys. Rev. B 75, 155430
(2007).
[23] Rendimiento de los resultados numéricos g =
F 0.28eV; S. Pis-
canec et al., Phys. Rev. Lett. 93, 185503 (2004).
[24] Utilizamos el valor informado v = 108cm/s; A.K. Geim y
K.S. Novoselov, Nat. Mater. 6, 183 (2007).
[25] P.R. Wallace, Phys. Rev. 71, 622 (1947).
[26] R. Saito, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus, Física
Propiedades de los nanotubos de carbono, Imperial College Press,
Londres 1998.
[27] T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005).
[28] El acoplamiento electrón-fonón es off-diagonal porque un
distorsión de celosía afecta la longitud de enlace y por lo tanto la
el salto más cercano-vecino entre los dos diferentes sub-
retículas [10, 11].
Erratum
En la versión anterior (v3) de esta Carta, tenemos
subestimado el valor numérico de la división de modo-
de la resonancia magnetofonónica [véase el apartado af-
ter Eq. 5)] por un factor de 2 (el texto anterior recoge
cuenta los parámetros corregidos). Esto es el resultado de
Dos errores. En primer lugar, hay un factor de
2, que encuentra
su origen en una normalización errónea de la circular
Fonones polarizados. En efecto, deben definirse como:
u = (ux + iuy)/
2 y u = (ux − iuy)/
2 [y no
como u = ux + iuy y u = ux − iuy tan incorrectamente
Asumido en la página 1, segunda columna], de tal manera que el
los operadores fonónicos ciated bA obedecen a la conmutación habitual
relaciones [bA, b
] = A, A′, con A =,. Esto da resultados
un factor de
2 en la definición del acoplamiento efectivo
constantes [Eq. 3)], que se lee en la forma corregida
g (n) = g
(1 + Łn,0)γ
,(n+1) −,n,
g (n) = g
(1 + Łn,0)γ
,n −,(n+1).
Como consecuencia, el acoplamiento adimensional de campo cero
constante [definido en la primera columna de la página 3 de nuestro
La letra] se multiplica por un factor de 2 y se convierte en ♥ =
3η) g/t)2.
En segundo lugar, también subestimamos el valor numérico de
la constante de acoplamiento electrón-fonón g por un factor de
2. De hecho, g definido en nuestro trabajo [véase Eq. 1)] está relacionado
a 0,0405 eV2 calculado por Piscanec et al. [2]
como g =
2°g2F 0.28 eV y no como g =
g2F 0.2
eV como incorrectamente asumido en nuestra Carta. Además,
hay una incertidumbre sustancial en el valor preciso de
la constante g. En un modelo de unión apretada, este último puede
estar relacionado con el derivado de la amplitud de salto t
en función de la distancia carbono-carbono a como g =
(−dt/da)× 3/(2
M.O.M.) [1]. El fenomenológico de Harrison
a continuación, implica que g 0,26 eV. Experimentos
en el grafeno [3] y [4] en el campo magnético cero dan para el
Constante de acoplamiento adimensional los valores 4.4 × 10−3
y 5.3×10−3, respectivamente. Esto determina g en el medio
0,3 eV y 0,36 eV, donde tenemos en cuenta que la
el valor de t se sitúa entre 2,7 y 3 eV. Al final, tenemos
tomar g en el intervalo entre 0,26 y 0,36 eV [en lugar de
de g 0,2 eV] y, por lo tanto, el acoplamiento adimensional
constante se convierte en (2.8 a 5.3)× 10−3 [en lugar de
10 a 3).
Como resultado de los dos factores de
2, el número
estimación para el modo de división 2gA en ν = 0 y B 30
T [en la resonancia discutida −, 1
segunda columna de la página 3] se convierte en 2gA â 15 meV (â 120
cm−1), para g 0,26 eV y 2gA 20 meV ( 160 cm−1)
para g 0,36 eV [en lugar de 2gA 8 meV]. El efecto
Por lo tanto, es dos veces mayor de lo previsto inicialmente. Los
Las conclusiones de nuestra labor siguen inalteradas.
Queremos agradecer a C. Faugeras y M. Potemski
por haber llamado nuestra atención sobre los infravalorados
valor de la división de modo. Véase también su reciente preimpresión
donde miden la resonancia magnetofonónica [5].
[1] T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn 75, 124701 (2006); ibíd.
024712 (2007).
[2] S. Piscanec, M. Lazzeri, F. Mauri, A. C. Ferrari, y J.
Robertson, Phys. Rev. Lett. 93, 185503 (2004).
[3] S. Pisana, M. Lazzeri, C. Casiraghi, K. S. Novoselov, A.
K. Geim, A. C. Ferrari, y F. Mauri, Nature Materials
6, 198 (2007).
[4] J. Yan, Y. Zhang, P. Kim, y A. Pinczuk, Phys. Rev.
Lett. 98, 166802 (2007).
[5] C. Faugeras, M. Amado, P. Kossacki, M. Orlita, M.
Sprinkle, C. Berger, W.A. de Heer y M. Potemski,
arXiv:0907.5498.
http://arxiv.org/abs/0907.5498
| Describimos una estructura fina peculiar adquirida por el fonón óptico en el plano
en el punto Gamma en el grafeno cuando se pone en resonancia con uno de
las transiciones inter-Landau-nivel en este material. El efecto es más
pronunciado cuando este modo de celosía (asociado con la banda G en el grafeno Raman
espectro) está en resonancia con las transiciones a nivel inter-Landau 0 -> (+,1) y
(-,1) -> 0, en un campo magnético B_0 ~ 30 T. Se puede utilizar para medir la
resistencia del acoplamiento electrón-fonón directamente, y su factor de llenado
dependencia se puede utilizar experimentalmente para detectar celosía polarizada circularmente
modos.
| Resonancia magnetofonónica dependiente del factor de llenado en el grafeno
M. O. Goerbig,1 J.-N. Fuchs,1 K. Kechedzhi,2 y Vladimir I. Fal’ko2
Laboratoire de Physique des Solides, Univ. Paris-Sud, CNRS UMR 8502, F-91405 Orsay, Francia y
Departamento de Física, Universidad de Lancaster, Lancaster, LA1 4YB, Reino Unido
(Fecha: 23 de octubre de 2018)
Describimos una estructura fina peculiar adquirida por el fonón óptico en el plano en el punto de
en el grafeno cuando se pone en resonancia con una de las transiciones inter-Landau-nivel en
Este material. El efecto es más pronunciado cuando este modo de celosía (asociado con la banda G
en el espectro Raman del grafeno) está en resonancia con las transiciones inter-Landau-nivel 0 +, 1 y
− 1, 0, en un campo magnético B0 30T. Se puede utilizar para medir la fuerza del electrón-
el acoplamiento del fonón directamente, y su dependencia del factor de llenado se puede utilizar experimentalmente para detectar
vibraciones de celosía polarizadas circularmente.
Números PACS: 78.30.Na, 73.43.-f, 81.05.Uw
En metales y semiconductores los espectros de los fonones
son renormalizados por su interacción con los electrones.
Algunos de los ejemplos más conocidos incluyen el Kohn
anomalía [1] en la dispersión del fonón, que se origina
de la excitación/de-excitación de electrones a través de la
Nivel de Fermi sobre la propagación de un fonón a través de
el grueso del metal y el desplazamiento en el opti-
frecuencia del fonón cal en semiconduc-
tors [2]. Sin embargo, a pesar de la transparencia de la teoría
modelos la observación de tales efectos se oculta a menudo
por la dificultad de cambiar la densidad de electrones en un mate-
rial, mientras que en estructuras semiconductoras que contengan dos-
electrones dimensionales (2D) cuya densidad puede ser
variado, la influencia de este último en los modos de fonón es
débil debido a una fracción de volumen insignificantemente pequeña ocupada
por el gas electrónico. En este contexto, una oportunidad única
se produce en transistores de efecto de campo basados en grafeno [3], donde
la densidad de los portadores en una película atómicamente delgada (mono-
capa [4, 5, 6] o bicapa [7]) puede variar continuamente
de 1013cm−2 p-tipo a 1013cm−2 n-tipo. Varios Ra-
ya se han reportado experimentos humanos [8, 9] donde
la variación de la densidad portadora en el grafeno cambia la
frecuencia fonónica óptica, de acuerdo con la teoría
expectativas [10, 11, 12].
Cuando el grafeno está expuesto a una cuantificación magnética
campo, su espectro electrónico se apaga en discreto Lan-
niveles dau (LLs) [13]. Entonces, la energía del fonón óptico en
grafeno puede coincidir con la energía de uno de los inter-
Transiciones LL, una condición conocida como magnetofonón
resonancia [14, 15]. Recientemente, Ando ha sugerido [16]
que en el grafeno deshecho la resonancia magnetofonon
potencia el efecto del acoplamiento electrón-fonón sobre
un espectro de los fonones ópticos en el plano - el E2g
modos atribuidos a la banda G en los espectros Raman
en Refs. [8, 9, 17, 18, 19]. En este artículo, investigamos
una estructura rica del anti-cruce experimentado por tales
modos de celosía cuando un campo magnético hace su energía
igual a la energía de uno de los valles-antisimétricos
magnetoexcitones interbanda [20]. Lo más destacable es que la dif-
diferencia entre la polarización circular de varios inter-LL
transiciones [21, 22] hace la resonancia magnetofonónica
distinguible para vibraciones de celosía de diferentes circulares
polarización, lo que hace que el número de líneas divididas en
la estructura fina adquirida por un fonón y el valor de
La división depende del factor de llenado electrónico.
Los fonones ópticos en el plano en grafeno [relativo dis-
colocación u = (ux, uy) de los sublattices A y B] tienen
la energía de 0.2eV en el punto de 0.2eV (en el centro de
la zona de Brillouin). Estos fonones y su acoplamiento a
los electrones se pueden describir usando el Hamiltoniano [10, 11],
Hph =
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor.
2M®(Ôxuy − yux), (1)
u(r) =
2NucM
bμ,q + b
eμ,qe
−iq·r,
donde b
μ,q son aniquilación (creación) operadores de un
fonón con polarización eμ,q, M es la masa de un coche-
átomo bon, y Nuc es el número de células unitarias. Toma.
y debajo, usamos unidades ~ فارسى 1. También, vamos a uti-
lize una doble degeneración del modo E2g en el punto
(a q = 0) y describir el fonón óptico en el plano en
términos de un par degenerado de modos polarizados circularmente,
u = (ux+iuy)/
2 y u = u
. La constante g en Eq.
(1) caracteriza el acoplamiento electrón-fonón [23]. Esto
el acoplamiento tiene la forma del único lineal invariante en u per-
expedido por el grupo de simetría del cristal panal.
Se construye utilizando matrices Pauli
en el espacio de los componentes del sublattice de la función Bloch-
ciones, que se describen en los apartados a) y b) de la letra a) del apartado 1 del artículo 2 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013.
estados de electrones en los valles K± (dos esquinas opuestas de
la zona hexagonal de Brillouin) y obedecer al hamiltoniano,
en términos de la carga de electrones −e < 0 [24],
Hel =?v?· · p, p =− i eA,?xAy −?yAx = B.
En este caso, = ± distingue entre K±, y el momento
p se calcula con respecto al centro de la corre-
El valle del sponding. Este Hamiltoniano representa al dom-
término del modelo de unión estrecha del próximo vecino de
grafeno [25, 26, 27], y el acoplamiento electrón-fonón
http://arxiv.org/abs/0704.0027v4
: Sublattice B
: Un sublattice
a) b)
−,(n+1)
+,(n+1)
FIG. 1: (a) Los fonones ópticos son vibraciones de celosía con una salida-
oscilación fuera de fase de los dos sublattices. b) Electrón de banda
Excitaciones de agujeros acoplamiento a modos de fonón con diferentes circulares
polarización.
en Eq. 1) tiene en cuenta el cambio en el A − B
Elementos de salto debidos al desplazamiento del sublattice [28].
En un campo magnético perpendicular, Hel determina [13]
un espectro de LL degenerados de 4 veces (spin y valle),
= ±n = α
2nv1B en la banda de valencia
n>0), con-
banda de inducción (n>0), y a cero energía (0 = 0, ex-
en el punto de Dirac en el espectro de electrones), en
términos de la longitud magnética B = 1/
eB. Semejante
espectro ha sido confirmado por el reciente cuántico Hall
mediciones de efecto [4, 5, 6]. En cada uno de los dos val-
, la base LL está dada por los estados de dos componentes
1 + n,0n,m, i(1n,0)1,m], donde se encuentran
las funciones de onda LL descritas por el num cuántico
bers n y m, este último está relacionado con la guía
centro de la libertad. Aquí, descuidamos al Zeeman.
efecto, y simplemente tener en cuenta la doble vuelta de-
generacy.
Se pueden describir excitaciones de electrones entre LLs
en términos de magnetoexcitones (véase la Fig. 1). A los efectos de la presente Decisión, se entenderá por:
para la resonancia magnetofonónica son
(n, ) =
1 + Łn,0
+,n,m;c,(n+1),m;,
(n, ) =
1 + Łn,0
+,(n+1),m;
c–,n–,m–, (2)
donde el índice A =, caracteriza la mo angular
mentum de la excitación y de los operarios c
α,n,m;
aniquilar (crear) un electrón en el estado α, n,m en
el valle Kó. Los factores de normalización N n =
[(1 + ♥n,0)NB(,(n+1) −,n)]1/2 y N n = [(1 +
(n+1))]1/2 se utilizan para garantizar la
relaciones de conmutación bosónica de los operadores de excitón,
[A(n, ),
′, )] = ♥A,A,n,n′, donde NB es el
número total de estados por LL en una muestra,
la doble degeneración de los giros. Estas conmutaciones rela-
ciones se obtienen dentro de la aproximación media del campo
=,,,,,,,,,m,m′(,− +
,,n), donde 0 ≤,n ≤ 1 es el fac-
del n-th LL. Al igual que el selec-
normas de grafeno [20, 21, 22], α, n
Los fonones polarizados se acoplan a transiciones electrónicas
con −, (n + 1) +, n, y fonones -polarizados a
−, n +, (n + 1) magnetoexcitones, en el mismo en-
ergy
2(v)(B)
n+1) (Fig. 1), que
sigue directamente de la composición de la LL en
grafeno y la forma del acoplamiento electrón-fonón
en Eq. (1). En contraste con los fotones que pareja a
el modo valle-simétrico A,s(n) = [A(n,K+) +
A(n,K−)]/
2, interacción electrón-fonón en Eq.1)..........................................................................................................................................................
parejas fonones al valle-antisimétrico magnetoex-
citon A,as(n) = [A(n,K+)− A(n,K−)]/
En términos de magnetoexcitones podemos, ahora, reescribir el
el electrón-fonón Hamiltoniano en forma bosonizada, como
* = s,as.
(n) (n) (n) (n) +
AbA (3)
gA(n)
A;as(n) + bA
A;as(n)
g (n) = g
(1 + Łn,0)γ
,(n+1) −,n,
g (n) = g
(1 + Łn,0)γ
,n −,(n+1),
donde gA son las constantes de acoplamiento efectivas, con γ =
3a2/22B y a = 1,4Å (distancia entre
ing átomos de carbono). En el Hamiltoniano (3), hemos omitido...
Excitaciones electrónicas con una momen angular superior.
Tum que no se emparejan con el fonón óptico en el plano
modos (por ejemplo, n n′, con n′ 6= n ± 1). Los vestidos
Operador de fonón correspondiente al Hamiltoniano (3)
se obtiene resolviendo la ecuación de Dyson. El polo de la
el propagador da el modo acoplado antisimétrico fre-
quencies A,
2A − 2 = 4
n=nF+1
2A − 2n
* nF g * nF g * nF g * nF g * nF g * nF g * nF g * nF g
A(nF )
2A 2nF
, (4)
donde nF representa el número de occu-
pied LL en el espectro, y n =
2(v)(B)
n+1
n). En Eq. (4), la suma (ampliada hasta el
corte de energía N+ (B/a)2 por encima del cual el sistema electrónico
la dispersión ya no es lineal) tiene en cuenta
magnetoexcitones de banda, y el último término da un pequeño
corrección debida a un magnetoexciton intrabanda. En el
límite de campos pequeños y dopaje de gran tamaño (nF + 1), solución de
Eq. (4) reproduce el resultado de campo cero [10, 11] si uno
sustituye la suma por una integral,
n=0 →
dn, ap-
proximatos
n+ 1 • 2
N y NF 0, y,
entonces, linealiza Eq. (4) sustituyendo A por en el de-
nominator,
0 + ♥
* 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2nFv/lB
• − 2
2nFv/lB
# 0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
- - - - - - - - - - ¡No! - ¡No!
en los que = (2/
3η)g/t)2 3.3× 10−3 es el mismo que en
Refs. [10, 16] (t = 2v/3a + 3eV es el salto A-B am-
plitud), y 0 es la frecuencia fonónica renormalizada en
una hoja de grafeno descompuesta en B = 0. La única variación
surge en campos altos, 0 y
2v/lB, donde para nF = 0 la
Eq linealizado. 4) rendimientos
−
g2(0)
(en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses) (en millones de chelines luxemburgueses)
2v)2 − 1
El efecto más fuerte del acoplamiento de fonón a elec-
tron se produce cuando la frecuencia de la
coincide con la frecuencia de uno de los magne-
toexcitons A,as(n). En tal caso, la suma en el
a la derecha de la ecuación de autovalor (4) es domi-
nated por el término de resonancia y puede ser aproximado
por 2og2A(n)/ (A − n). Esto resulta en una estructura fina
de modos mixtos de fonón-magnetoexcitón, A,as(n) cos
El pecado bA con frecuencia
A y A,as(n) pec. • − bA cos. •
con la frecuencia A [donde se encuentra la cuna 2 = (n0)/2gA], que
se determinan para cada polarización (A =, ) sepa-
en porcentaje,
n) = 1
(ln + 0)
(ln − 0)2 + g2A(n). 5)
Una forma genérica del anti-fonón-magnetoexciton
cruce y formación de modos acoplados,
n) en un-
grafeno dopado (es decir, v = 0) se ilustra en la Fig. 2 a).
Tal anticrossing y mezcla de modo es similar a eso
descrito por Ando [16]. Puede manifestarse en Raman
espectroscopia: en una estructura fina adquirida por la línea G
(anteriormente atribuido [8, 9, 17, 18, 19] a la op-
tic fonon en el punto de E2g) en el magneto-
condiciones de resonancia fonónica. El efecto es el más fuerte
para la resonancia n=0 • 0 entre el fonón y
Magnetoexcitón a base de −, 1 0 y 0 +, 1 tran-
Situaciones. Al acercarse a la resonancia (barriendo un
campo magnético), la línea fonónica se acompaña de
un satélite débil moviéndose hacia él y aumentando su in-
Tensidad. Exactamente en la resonancia magnetofonónica, donde
tanto el modo superior [A(n)] y el modo inferior [
A(n)]
consisten en una superposición de peso igual del fonón
y el exciton resonante, con cos
la banda G en grafeno aparecería como dos líneas. Por
n=0 =
2v/lB............................................................................................................................................................................................................................................................
B[T] meV (véanse [16, 24]) y
0 200 meV, esta resonancia ocurre en un experimento-
cuenta rango de campo accesible, B0 30 T. Para el relleno
factor v = 0, el LL central (n = 0) está siempre medio lleno.
Entonces, el acoplamiento y, por lo tanto, la división de la - y -
modos polarizados coinciden, g = g, por lo tanto, dando lugar a un
par de picos en las energías = 0 ± g bosquejados
en la parte I de la Fig. 2 b). Para el valor del campo magnético
B0 30 T y g 0.28eV [12], estimamos esta división
como 2gA â € 16meV (â € 130cm−1), que supera en gran medida la
Ancho de banda G observado en Refs. [8, 9, 17, 18, 19].
El dopaje del grafeno cambia la fuerza del cou-
constantes de plling g y g, como se muestra en la Fig. 2 c). Esto
5 10 15 20 25 30 35
Campo magnético [T]
3010 20 40
/ = 0
0 < < 2
= 2
2g 2g
división de modos
−6 −4 −2 0
4n−2 4n+2 4n+6
B=Bn>02γ
FIG. 2: a) El fonón y los magnetoexcitones unidos como función
del campo magnético. Las energías están en unidades del fonón desnudo
energía. Líneas rotas indican el valle no acoplado-simétrico
modos, con gA = 0. b) Dividir el modo en función del relleno
factor, como puede verse en la espectroscopia de Raman, con la resonancia
a condición de que, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, se cumplan los requisitos establecidos en el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, de conformidad con el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, de conformidad con el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, de conformidad con el artículo 2, apartado 1, letra b), del Reglamento (UE) n.o 1303/2013, de la Comisión, de 29 de junio de 2013, por el que se establecen las condiciones de los vehículos de motor de dos o más ruedas, de los vehículos de motor de dos o más ruedas, de los vehículos de motor de dos ruedas y de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y
v = ±2 (en III). La intensidad absoluta de los modos es arbitraria
unidades, pero la altura y la anchura reflejan la relativa esperada
Intensidades. c) Dividir el modo en n = 0, en función del relleno
factor v. d) Igual que en c) para n ≥ 1.
es porque una ocupación más alta (inferior) de la n = 0 LL
reduce (mejora) la fuerza oscilante de la
transición debido a la disponibilidad de llenado y vacío
los estados en los LL implicados, mientras que el mismo cambio en
la densidad de electrones tiene el efecto opuesto en g. As
un resultado, para un factor de llenado arbitrario −2 < < < 2,
Predecimos que, en las proximidades de magnetofonon reso-
nance, el modo fonon (y, por lo tanto, la banda G en Ra-
espectro man) debe dividirse en cuatro líneas [parte II en Fig.
2 b)], con = g para -polarizado y = g
para los fonones polarizados. En el estado cuántico Hall en
factor de llenado ν = 2, la transición −, 1 0 se convierte en suc-
bloqueo excesivo y ya no afecta a la frecuencia de un
-fonón polarizado, mientras que la transición 0 +, 1 ac-
Por lo tanto, se requiere la máxima fuerza, aumentando el cou-
parámetro pling g. Esto lleva al magnetofonón
estructura de resonancia fina que consta de tres picos, con
una división aún más grande entre las líneas laterales, tal como se bosqueja en
Parte III de la Fig. 2 b). Curiosamente, esto puede permitir uno
observar directamente los modos de celosía con un circu-
polarización lar. Un aumento adicional del llenado de electrones
factor reduce la división de la línea lateral que debe com-
Desaparece por completo en = 6, después de la transición 0 +, 1
se bloquea por un relleno completo del +, 1 LL [Fig.
2 c)]. Los mismos argumentos sostienen para el grafeno dopado p,
aunque en este caso los roles de - y - modos polarizados
se intercambian.
Resonancias magnetofónicas con otras posibles inter-
Las transiciones LL n n+ 1 se producen a un nivel magnético mucho más bajo
campos, Bn = B0/(
n+1)2. Por ejemplo, una resonancia
Acoplamiento de fonones con el magnetoexciton A; tal como se indica en el punto 1 es ex-
pectoral para que se produzca en B1 • 5T. Su descripción sigue siendo excelente.
itativamente similar, aunque para n > 0 el modo de división es
menos pronunciada debido a la dependencia del campo B de la
constantes de acoplamiento en Eq. (3). Uno encuentra que g = g
para < 2 (2n − 1). En = 2,2 n − 1), el relleno de la n-
th LL comienza a cambiar, lo que reduce la división de la -
modo polarizado y da lugar a la estructura de cuatro picos.
En ν = 2(2n+1), donde el +, n LL se convierte completamente
lleno, la división del fonón -polarizado desaparece, por lo tanto,
resultando en la estructura fina de tres picos [parte III en la Fig.
2 b)] que persista hasta = 2 2 n + 3). Esto es
porque la división de los modos -polarizados permanece
constante hasta el factor de llenado v = 2 (2n + 1), arriba
qué población de la +, (n+ 1) LL comienza a suprimir
el valor de g, hasta que este último desaparezca en ν = 2 + 2 n + 3)
[véase Fig. 2 d)].
En conclusión, hemos predicho un factor de llenado-depen-
dence de la estructura fina adquirida por el avión (E2g)
fonón óptico en grafeno cuando este último está en reso-
nance con una de las transi- ciones inter-LL en esta
Terial. Se espera que el efecto sea más pronunciado
cuando el fonón esté resonantemente acoplado al 0 +, 1
y −, 1 0 transiciones, lo que requiere un campo magnético
B0 30T. Se puede utilizar la división del modo predicho
para medir directamente la fuerza del electrón-fonón
enganche, y también para distinguir entre circularmente (izquierda-
y derecha) modos de celosía polarizada.
Agradecemos a D. Abergel, A. Ferrari, P. Lederer y A.
Pinczuk para discusiones útiles. Este trabajo fue suportado.
por Agence Nationale de la Recherche Grant ANR-06-
NANO-019-03 y EPSRC-Lancaster Portfolio Partner-
buque EP/C511743. Damos las gracias al taller MPI-PKS
«Dinamics and Relaxation in Complex Quantum and
Sistemas Clásicos y Nanoestructuras’ y el Kavli
Instituto de Física Teórica, UCSB (NSF PHY99-
07949) para la hospitalidad.
[1] W. Kohn, Phys. Rev. Lett. 2, 393 (1959).
[2] G.D. Mahan, Física de muchas partículas, Kluwer Academic,
Nueva York 2000.
[3] K. Novoselov et al., Science 306, 666 (2004).
[4] K. Novoselov y otros, Nature 438, 197 (2005).
[5] Y. Zhang y otros, Nature 438, 201 (2005).
[6] Y. Zhang et al., Phys. Rev. Lett. 96, 136806 (2006).
[7] K. Novoselov et al., Nature Phys. 2, 177 (2006).
[8] S. Pisana et al., Nat. Mater. 6, 198 (2007).
[9] J. Yan, Y. Zhang, P. Kim, y A. Pinczuk, Phys. Rev.
Lett. 98, 166802 (2007).
[10] T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 75, 124701 (2006).
[11] A.H. Castro Neto y F. Guinea, Phys. Rev. B 75,
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[13] J.W. McClure, Phys. Rev. 104, 666 (1956).
[14] J.P. Maneval, A. Zylberzstejn, y H.F. Budd, Phys.
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Lett. 37, 178 (1980); T.A. Vaughan et al., Phys. Rev. B
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[16] T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn 76, 024712 (2007).
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[18] A. Gupta et al., Nano Lett. 6, 2667 (2006).
[19] D. Graf y otros, Nano Lett. 7, 238 (2007).
[20] A. Iyengar et al., Phys. Rev. B 75, 125430 (2007).
[21] M.L. Sadowski et al., Phys. Rev. Lett. 97, 266405 (2006).
[22] D.S.L. Abergel y V. I. Fal’ko, Phys. Rev. B 75, 155430
(2007).
[23] Rendimiento de los resultados numéricos g =
F 0.28eV; S. Pis-
canec et al., Phys. Rev. Lett. 93, 185503 (2004).
[24] Utilizamos el valor informado v = 108cm/s; A.K. Geim y
K.S. Novoselov, Nat. Mater. 6, 183 (2007).
[25] P.R. Wallace, Phys. Rev. 71, 622 (1947).
[26] R. Saito, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus, Física
Propiedades de los nanotubos de carbono, Imperial College Press,
Londres 1998.
[27] T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005).
[28] El acoplamiento electrón-fonón es off-diagonal porque un
distorsión de celosía afecta la longitud de enlace y por lo tanto la
el salto más cercano-vecino entre los dos diferentes sub-
retículas [10, 11].
Erratum
En la versión anterior (v3) de esta Carta, tenemos
subestimado el valor numérico de la división de modo-
de la resonancia magnetofonónica [véase el apartado af-
ter Eq. 5)] por un factor de 2 (el texto anterior recoge
cuenta los parámetros corregidos). Esto es el resultado de
Dos errores. En primer lugar, hay un factor de
2, que encuentra
su origen en una normalización errónea de la circular
Fonones polarizados. En efecto, deben definirse como:
u = (ux + iuy)/
2 y u = (ux − iuy)/
2 [y no
como u = ux + iuy y u = ux − iuy tan incorrectamente
Asumido en la página 1, segunda columna], de tal manera que el
los operadores fonónicos ciated bA obedecen a la conmutación habitual
relaciones [bA, b
] = A, A′, con A =,. Esto da resultados
un factor de
2 en la definición del acoplamiento efectivo
constantes [Eq. 3)], que se lee en la forma corregida
g (n) = g
(1 + Łn,0)γ
,(n+1) −,n,
g (n) = g
(1 + Łn,0)γ
,n −,(n+1).
Como consecuencia, el acoplamiento adimensional de campo cero
constante [definido en la primera columna de la página 3 de nuestro
La letra] se multiplica por un factor de 2 y se convierte en ♥ =
3η) g/t)2.
En segundo lugar, también subestimamos el valor numérico de
la constante de acoplamiento electrón-fonón g por un factor de
2. De hecho, g definido en nuestro trabajo [véase Eq. 1)] está relacionado
a 0,0405 eV2 calculado por Piscanec et al. [2]
como g =
2°g2F 0.28 eV y no como g =
g2F 0.2
eV como incorrectamente asumido en nuestra Carta. Además,
hay una incertidumbre sustancial en el valor preciso de
la constante g. En un modelo de unión apretada, este último puede
estar relacionado con el derivado de la amplitud de salto t
en función de la distancia carbono-carbono a como g =
(−dt/da)× 3/(2
M.O.M.) [1]. El fenomenológico de Harrison
a continuación, implica que g 0,26 eV. Experimentos
en el grafeno [3] y [4] en el campo magnético cero dan para el
Constante de acoplamiento adimensional los valores 4.4 × 10−3
y 5.3×10−3, respectivamente. Esto determina g en el medio
0,3 eV y 0,36 eV, donde tenemos en cuenta que la
el valor de t se sitúa entre 2,7 y 3 eV. Al final, tenemos
tomar g en el intervalo entre 0,26 y 0,36 eV [en lugar de
de g 0,2 eV] y, por lo tanto, el acoplamiento adimensional
constante se convierte en (2.8 a 5.3)× 10−3 [en lugar de
10 a 3).
Como resultado de los dos factores de
2, el número
estimación para el modo de división 2gA en ν = 0 y B 30
T [en la resonancia discutida −, 1
segunda columna de la página 3] se convierte en 2gA â 15 meV (â 120
cm−1), para g 0,26 eV y 2gA 20 meV ( 160 cm−1)
para g 0,36 eV [en lugar de 2gA 8 meV]. El efecto
Por lo tanto, es dos veces mayor de lo previsto inicialmente. Los
Las conclusiones de nuestra labor siguen inalteradas.
Queremos agradecer a C. Faugeras y M. Potemski
por haber llamado nuestra atención sobre los infravalorados
valor de la división de modo. Véase también su reciente preimpresión
donde miden la resonancia magnetofonónica [5].
[1] T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn 75, 124701 (2006); ibíd.
024712 (2007).
[2] S. Piscanec, M. Lazzeri, F. Mauri, A. C. Ferrari, y J.
Robertson, Phys. Rev. Lett. 93, 185503 (2004).
[3] S. Pisana, M. Lazzeri, C. Casiraghi, K. S. Novoselov, A.
K. Geim, A. C. Ferrari, y F. Mauri, Nature Materials
6, 198 (2007).
[4] J. Yan, Y. Zhang, P. Kim, y A. Pinczuk, Phys. Rev.
Lett. 98, 166802 (2007).
[5] C. Faugeras, M. Amado, P. Kossacki, M. Orlita, M.
Sprinkle, C. Berger, W.A. de Heer y M. Potemski,
arXiv:0907.5498.
http://arxiv.org/abs/0907.5498
|
704.0028 | Pfaffians, hafnians and products of real linear functionals | Pfa ans, hafnians y produ
ts de lineal real
diversión
ciones
Péter E. Frenkel
Instituto Alfréd Rényi de Mathemati
s
Húngaro A
ademy de S
ien
es
P.O.B. 127, 1364 Budapest, Hungría
frenkelp renyi.hu
Abstra
t
Demostramos las versiones pfa y hafnia de las desigualdades de Lieb en disuadir-
minants y permanentes de semi-de nite matri positivo
es. Usamos el
La desigualdad hafnia para mejorar el límite inferior de Révész y Sarantopou-
sobre la norma de un producto
t de diversión lineal
ciones sobre una verdadera Europa
lideano
spa
e (este tema
t es a veces
alled la verdadera polarización lineal
on-
stant' problem).
Mathemati
s Subje
t Classi
dad: 46C05, 15A15
Palabras clave: polarización
onstant, real Eu
spa lideano
e, hafnian, pfaf-
an, matriz semi-de-nite positiva
-1. Introdu
ión
Los
Los objetivos del presente documento son los siguientes. En sí
tion 0, nosotros sket
h una parte de
el histori
ba
kground:
lassi
Desigualdades en los determinantes y los permanentes
de semi-de nite matri positivo
es. En sí
tion 1, probamos pfa an y hafnian
versiones de estas desigualdades, y formulamos Conje
1.5, otra hafnia
desigualdad. En sí
, aplicamos la desigualdad hafniana del teorema 1.4 a
nuestro principal objetivo: mejorar el límite inferior de Révész y Sarantopoulos en el
norma de un producto
t de diversión lineal
ciones sobre una verdadera Europa
spa lideano
e (este tema
t
es a veces
alled la verdadera polarización lineal
problema, su historia es
sket
al final del periódico). Esto es un
en Teorema 2.3. Señalamos
fuera de ese Conje
1.5 sería su
ient a
ompletely resolver el real lineal
polarización
problema instant.
Apoyo parcial de OTKA a las subvenciones T 046365, K 61116 y NK 72523.
http://arxiv.org/abs/0704.0028v2
0. Desigualdades antiguas en los determinantes y la perma-
nents
Re
todo lo que el determinante y el permanente de n× n matriz A = (ai,j)
son denados por
detA =
(−1)
ai,l(i), por A =
ai,l(i),
donde Sn es el simmétri
grupo sobre n elementos. A lo largo de todo este se
tion, nosotros
asumir que A es una semi-de-nite Hermitiano positivo n × n matriz (escribimos
A ≥ 0). Para su
h A, Hadamard demostró que
detA ≤
ai,i,
con igualdad si y sólo si A tiene una fila cero o es una matriz diagonal. Fis
ella
generalizar esto a
detA ≤ detA′ · detA′′
B* A′′
≥ 0, (1)
con igualdad si y sólo si detA′ · detA′′ · B = 0.
Con
erning el permanente de una matriz semi-de-nite positiva, Mar
nosotros [Mar1,
Mar2 probó que
por A ≥
ai,i, (2)
con igualdad si y sólo si A tiene una fila cero o es una matriz diagonal. Lieb [L
generalizar esto a
por A ≥ por A′ · por A′′ (3)
Para A como en (1), con igualdad si y sólo si A tiene una fila cero o B = 0. Además,
ha demostrado que en el polinomio P () de grado n′ (=tamaño de A′)
P () = por
♥A′ B
B* A′′
todos
oe
ients ct son reales y no negativos. Este es de hecho un teorema más fuerte
pecado
e implica
por A = P (1) =
ct ≥ cn′ = por A′ · por A′′.
okovi¢ [D, Mi dio una prueba simple de las desigualdades de Lieb, y mostró también que si
A′ y A′′ son positivos de nite entonces cnt = 0 si y sólo si todos los subpermanentes de
B de orden no desaparece. Lieb [L también declara un análogo (y análogamente demostrable)
teorema para determinantes: para A como en (1), let
D() = det
♥A′ B
B* A′′
Si detA′ · detA′′ = 0, entonces D() = 0. Si A′ y A′′ son positivos de nite, entonces
(−1)tdnt es positivo para t ≤ rk B y es cero para t > rk B.
Observación. En todas las desigualdades de Lieb mencionadas anteriormente, la
ondición que
la matriz A es semi-de-nite positivo
a ser repla
ed por los más débiles
ondition
que la diagonal blo
ks A′ y A′′ son semi-de-nite positivo. La prueba va
a través de virtualmente un
ahorcado. Alternativamente, esta forma más fuerte de inequali-
ataduras
un ser fácilmente dedu
ed de la forma aparentemente más débil de arriba.
1 Nuevas desigualdades en los pfa y los hafnianos
Para un n × n matriz A = (ai,j) y subconjuntos S, T de N := {1,...., n}, escribimos
AS,T := (ai,j)iÃ3nS,jÃ3nT. Si T = 2t es par, escribimos
(−1)T := (−1)t+
1.1 Pfa ans
En cuanto a la aplicación
aciones en Se
2 son
el
erned, este subse
ión puede ser
Se ha saltado.
Re
todo lo que el pfa y de un 2n × 2n antisimmetri
matriz C = (ci,j) es
de nesed by
pf C =
S2n
( > n° 1), η° 1), η° 2) · · · · cη(2n−1),η°(2n).
Tenemos (pf C)
= detC.
Para antisimmetri
A y symmetri
B, ambos de tamaño n× n, nosotros
onder el
polinomio
(−1)n/2pf
A B
n/2
Teorema 1.1 Que A y B sean reales n×n matri
es con A antisimmetri
y B
simmetri
. Si B es semi-de-nite positivo, entonces pt ≥ 0 para todos t. Si B es positivo
de nite, a continuación pt > 0 para t ≤ (rk A)/2 y pt = 0 para t > (rk A)/2.
Prueba. Si B = (bi,j) es semi-de nite positivo, entonces existe ve
tors x1,. .., xn
en una verdadera Europa
spa lideano
e V su
h que (xi, xj) = bi, j. Re
todo eso en el exterior
álgebra tensora
V a produao interno positivo de nite
t (y la
ocorrespondiente
Eu
la norma lidiana) es dada por
:= det(vi, wj)).
Tenemos
S2t
T =2t
(−1)S(−1)Tpf AS,S · pf AT,T · detBN\S,N\T =
S2t
T =2t
(−1)Spf AS,S ·
xi, (−1)Tpf AT,T ·
j 6°T
S2t
(−1)Spf AS,S ·
Supongamos que B es positivo de nite. Entonces el ve
los tors xi son linealmente independientes.
De ello se deduce que los tensores
i6°S xi también son linealmente independientes como S se ejecuta sobre
los subconjuntos de N. Así pt = 0 si y sólo si pf AS,S = 0 para todos S = 2t, es decir, si
y sólo si 2t > rk A. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 1.2 Que A y B sean reales n × n matri
es con A antisimmetri
y
B symmetri
. Dejar ≥ 0. Si B es semi-de-nite positivo, entonces
(−1)n/2pf
A B
≥ detB.
Si B es positivo de nite, entonces la igualdad o
urs si y solamente si A = 0.
Prueba. El lado izquierdo es
p0 + p1° · · pn/2n/2.
El lado derecho es p0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Estoy agradecido al árbitro anónimo de este documento por la idea de la
después de la prueba alternativa de los teoremas 1.1 y 1.2. Podemos asumir B > 0,
pecado
e cada matriz semi-de-nite positiva es un límite de las positivas de-nite.
La matriz B−1/2AB−1/2 es real y antisimmetri
, existe un unitario
matriz U su
h que D := U−1B−1/2AB−1/2U es diagonal con puramente imaginario
eigenvalues a1
−1,. ...............................................................................
−1. El verdadero multiset {a1,. .., a} es invariante
bajo un ↔ −a. Tenemos
= det
A B
= det
BUDU−1
BUDU−1
= det
D 1
0 U−1
= det
−1 ai
= detB2 ·
(1 + a2i/23370/).
Extra
las raíces cuadradas, y
hoosing el signo en un
ordan
e con p0 = +detB,
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
t = (−1)n/2pf
A B
= detB ·
(1 + a2i),
cuando
e ambos teoremas inmediatamente siguen, pecado
e detB > 0.
1.2 Hafnianos
Re
todo lo que el hafniano de un 2n× 2n simmétri
Matriz C = (ci,j) es de ned por
haf C =
S2n
cη(1),η(2) · · · cη(2n−1),η(2n).
Para simmetrí
A y B, ambos de tamaño n× n, nosotros
onder el polinomio
n/2
Teorema 1.3 Let A and B be symmetri
real n× n matri
es. Si B es positivo
semi-de nite, entonces ht ≥ 0 para todas las t. Si B es positivo de nite, entonces ht = 0 si y
sólo si todos los subhafnianos 2t×2t de A desaparecen.
Prueba. Si B = (bi,j) es semi-de nite positivo, entonces existe ve
tors x1,. .., xn
en una verdadera Europa
spa lideano
e V su
h que (xi, xj) = bi,j. Re
todos [Mar1, Mar2, MN,
Mi que en el simmétrio
álgebra tensora SV un producto interno positivo de nite
t
(y el
ocorrespondiente a la UE
la norma lidiana) es dada por
:= por (vi, wj)).
Tenemos
S2t
T =2t
haf AS,S · haf AT,T · por BN\S,N\T =
S2t
haf AS,S ·
Supongamos que B es positivo de nite. Entonces el ve
los tors xi son linealmente independientes.
De ello se deduce que los tensores
i6°S xi también son linealmente independientes como S se ejecuta sobre
los subconjuntos de N. Así ht = 0 si y sólo si haf AS,S = 0 para todos S = 2t. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 1.4 Let A and B be symmetri
real n× n matri
es. Dejar ≥ 0. Si B
es positivo semi-de nite, entonces
≥ por B.
Si B es positivo de nite, entonces la igualdad o
urs si y solamente si A es una matriz diagonal
o = 0.
Prueba. El lado izquierdo es
h0 + h1 · · hn/2n/2.
El lado derecho es h0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ajuste A = B y = 1, y
ombinándose con Mar
la desigualdad de nosotros (2), nosotros
llegar a
ase p = 1 de
Conje
1.5 Si A = (ai,j) es un semi-de nite simmétri positivo
real n× n
matriz, a continuación, el hafniano de la matriz 2pn× 2pn
soporte de 2p× 2p blo
ks A
es al menos (2p− 1)!¡No! ¡No! ¡No!
i,i, con igualdad si y sólo si A tiene una fila cero o es
una matriz diagonal.
2 Produ
ts de diversión lineal real
ciones
En este se
sión, aplicamos el teorema 1.4 al producto
ts de al azar normal conjuntamente
Variables y, a continuación, al producto
ts de diversión lineal real
ciones, con el fin de mejorar la calidad de vida de las personas que se desplazan dentro de la Comunidad.
h era el principal
motivación para este trabajo. Las ideas en este se
sión son análogos a los que
Arias-de-Reyna [A utilizado en la
omplex
Ase.
Let â € 1,. .......................................................................
distribución, es decir, con diversión de densidad articular
ión (2η)−d/2 exp(2/2), donde 2 =
Escribimos Ef() para la expe
dad de una diversión
ciones f = f() = f(1,. ...........................................................
Re
todo eso
k = (2p− 1)!! = (2p− 1)(2p− 3) · · · 3 · 1
para k = 1,..., d (fácil indu)
prueba tiva mediante la integración por partes), y por lo tanto
(2pk − 1)!¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
, escribimos (·, ·) para el estándar Eu
producto interior lidiano
t. We re
todos
el bien conocido [B2, G, S, Z
Wi
k fórmula. Let x1,. ..............................................................
tors in R
con la matriz Gram A =
(xi, xj)). Entonces
(xi, ) = haf A. 4)
(Para n impar, de ne haf A = 0.)
Prueba. Ambos lados son multilineales en el xi, por lo que podemos asumir que ea
h xi es
un elemento de la base ortonormal estándar e1,. ., ed. Si hay un ek que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
us un número impar de veces entre el xi, entonces ambos lados son cero. Si ud
h
ek o
rs 2pk veces, a continuación, el lado izquierdo es E
k=1
k, y la mano derecha
lado es
k=1(2pk − 1)!¡Oh, Dios mío!
h son iguales. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Los siguientes teoremas son fáciles
orolarias de Teorema 1.4 junto con
la Wi
k fórmula (4) y Mar
el teorema de nosotros (2).
Teorema 2.1 Si X1,. .., Xn son variables aleatorias normales conjuntamente con cero
expe
tación, entonces
X21 · · ·X2n
≥ EX21 · · ·EX2n.
La igualdad se mantiene si y sólo si son independientes o al menos uno de ellos es
Casi seguro que cero.
Prueba. Las variables
a ser escrito como Xi = (xi, â € ¬) con â € € de normal estándar
distribución y el xi
onstant ve
Tors con una Gram semi-de-nite positiva
matriz A = (ai, j) = ((xi, xj)). Entonces
X2i = E
(xi, â € ~)
= haf
≥ por A ≥
ai,i =
E(xi, )
EX2i,
con igualdad si y sólo si A es una matriz diagonal o tiene una fila cero, es decir, el xi
son ortogonales pares o al menos uno de ellos es cero. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La generalización del teorema 2.1 a un exponente incluso arbitrario 2p es equiv-
alent a Conje
tura 1.5.
Teorema 2.2 Para cualquier x1,. ..........................................................
(xi, â € ~)
la esfera unitaria Rd : = 1} es por lo menos
(d/2)
(d/2 + n)
(d− 2)!¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
(d+ 2n− 2)!¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
d(d+ 2)(d+ 4). .. (d+ 2n− 2)
con igualdad si y sólo si el ve
los tors xi son ortogonales en pareja.
Prueba. El promedio en la esfera de la unidad es el
onstant en los tiempos del teorema
la expe
station w.r.t. la medida estándar gaussiana (véase, por ejemplo, [B1]. Por...
orem 2.1, este último expe
dad es mínima si y sólo si el xi son pares
Ortogonal, con
h
ase es 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 2.3 Para la diversión lineal real
ciones sobre una verdadera Europa de los ciudadanos.
spa lideano
e,
f1 · · · fn ≥
f1 · · · fn
n(n+ 2)(n+ 4) · · · (3n− 2)
Aquí · significa suprema del valor absoluto en la esfera unitaria. En el
en nite-dimensional
ase, diversión
En el caso de que se trate de una norma nacional, puede autorizarse la aplicación de normas nacionales. Entonces
la
ovention 0 · • = 0 debe utilizarse en el lado derecho.
Prueba. Podemos asumir que el spa
e es R
con d ≤ n, y la diversión
ciones son
dado por fi () = (xi, ) con fi = xi = 1. Entonces f1 · · · fn2 es al menos el
promedio de
f2i () =
(xi, â € ~)
en la esfera de la unidad,
h por Teorema 2.2 y
d ≤ n es al menos 1/(n(n+ 2)(n+ 4) · · · (3n− 2)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Es un problema sin resolver, planteado por Benítez, Sarantopoulos y Tonge [BST
(1998), si el teorema 2.3 es cierto con nn bajo el signo de la raíz cuadrada en el
denominador en el lado derecho. Esto es
alled la verdadera polarización lineal
El problema de Onstant. En el
omplex
ase, la respuesta rmativa fue probada por
Arias-de-Reyna [A en 1998, basado en el
omplex analógico de la Wi
k fórmula
[A, B2, G y sobre la desigualdad de Lieb (3).
Keith Ball [Ball dio otra prueba
de la respuesta rmativa en el
omplex
ase mediante la solución de la
tablón ompplex
problema.
En el real
ase, la respuesta rmativa para n ≤ 5 fue probada por Pappas y
Révész [PR en 2004. Para general n, la mejor estimación conocida antes del presente
papel fue el de Révész y Sarantopoulos [RS (2004), basado en los resultados de
[MST, con (2n)n/4 debajo del signo de la raíz cuadrada. Véase [Mat1, Mat2, MM, R para
a
ontes sobre esta y otras cuestiones relacionadas. Tenga en cuenta que
n(n+ 2)(n+ 4) · · · (3n− 2) =
= exp (logn+ log(n+2) + log(n+4) + · · log(3n−2)) <
< exp
log u · du
= exp
[u(log u− 1)]3nn /2
= exp((3n log 3n− 3n− n logn+ n)/2) =
= exp
n(2 logn+ 3 log 3− 2)
y 3
3/e < 3 · 1.8/2.7 = 2, por lo que el teorema 2.3 es una mejora. Tenga en cuenta también que
la declaración con nn bajo el signo de raíz cuadrada seguiría de Conje
- ¡No! - ¡No!
tura 1.5.
A
conocimientos
Agradezco a Péter Major, Máté Matol
Si y Szilárd Révész para ayudar
de
ussions, y al árbitro anónimo para útil
omments.
Referencia
es
[A J. Arias-de-Reyna, variables gaussianas, polinomios y permanentes, Lin.
Alg. Appl. 285 (1998), 107 114.
El árbitro del presente documento
toda mi atención a la fa
t que Arias-de-Reyna utilizó
sólo el spe
ioDtTag
ase de (3) donde la matriz A
es de rango 1. Esto es mu.
h más simple que (3) en
General, es
a ser probado esencialmente por el argumento Mar
nosotros utilizados en [Mar1, Mar2 para probar
aún más spe
ioDtTag
ase n
= 1, whi
h todavía implica desigualdad (2).
[Ball K. M. Ball, el
Problema de tablón omplex, Bull. Londres. Matemáticas. Así que
. 33
(2001), 433 442.
[B1 A. Barvinok, Estimación de las normas de la L2k por las normas de la L2k para la diversión
ciones en órbitas,
Lo encontré. Comput. Matemáticas. 2 (2002), 393 412.
[B2 A. Barvinok, Integración y optimización de polinomios multivariados por
restri
sión en una subspa aleatoria
e, arXiv preprint: math.OC/0502298
[BST C. Benítez, Y. Sarantopoulos, A. Tonge, Límites inferiores para las normas de
producto
Ts de polinomios, Math. Pro
. Camb. Phil. Así que
. 124 (1998), 395 408.
[D D.. Okovi¢, Prueba simple de un teorema en los permanentes, Glasgow Math. J.
10 (1969), 52 54.
[G L. Gurvits, Classi
al
omplexidad y enredo cuántico, J. Comput.
Sistema S
i. 69 (2004), No. 3, 448 484.
[L E. H. Lieb, Pruebas de algunos
onje
ciones sobre los permanentes, J. Matemáticas. Yo
h. 16
(1966), 127 134.
[Mar1 M. Mar
nosotros, el análogo permanente del determinante Hadamard el-
Orem, Bull. Amer. Matemáticas. Así que
. 69 (1963), 494 496.
[Mar2 M. Mar
nosotros, el teorema de Hadamard para los permanentes, Pro
. Amer. Matemáticas.
Así que
. 15 (1964), 967 973.
[MN M. Mar
nosotros, Sr. Newman, la diversión permanente
sión como producto interior
t,
Bull. Amer. Matemáticas. Así que
. 67 (1961), 223 224.
[Mat1 M. Matol
si, A geometri
estimación sobre la norma del producto
t de diversión
ciones,
Lin. Alg. Appl. 405 (2005), 304 310.
[Mat2 M. Matol
si, La polarización lineal
onstant de R
, A
Ta Math. Hungar.
108 (2005), No. 1-2, 129 136.
[MM M. Matol
si, G. A. Muñoz, Sobre la polarización lineal real
onstant prob-
Lem, Math. Inigualdad. Appl. 9 (2006), no. 3, 485 494.
[Mi H. Min
, Permanentes, En
y
lepodia de Mathemati
s y sus Appli
aciones,
Addison-Wesley, 1978
[MST G. A. Muñoz, Y. Sarantopoulos, A. Tonge, Complexi
aciones de real
Bana
h spa
es, polinomios y mapas multilineales, Studia Math. 134 (1999),
No. 1, 13 33.
http://arxiv.org/abs/math/0502298
[PR A. Pappas, Sz. Révész, polarización lineal
onstants..., J. Matemáticas. Anal.
Appl. 300 (2004), 129 146.
[R Sz. Gy. Révész, Desigualdades para polinomios multivariables, Anales de la
Becas Marie Curie 4 (2006), http://www.marie
urie.org/annals/, arXiv
preimpresión: matemáticas.CA/0703387
[RS Sz. Gy. Révész, Y. Sarantopoulos, problemas de Plank, polarización y
shev
Onstants, J. Matemática Coreana. Así que
. 41 (2004) 157 174.
[S B. Simon, El P(l)2 Eu
teoría de campo de lidia (Quantum), Prin
Serie eton
en Fisiología
s, Prin
eton University Press, 1974
[Z A. Zvonkin, Matriz integrales y enumeración del mapa: an
esible introdu
- ¡No! - ¡No!
ión, Combinatori
s y fisicos
s (Marseille, 1995), Math. Comput. Modelización
26 (1997), 281 304.
http://arxiv.org/abs/math/0703387
Nuevas desigualdades en los pfaffianos y los hafnianos
Pfaffians
Hafnians
Productos de funciones lineales reales
| Demostramos versiones pfaffianas y hafnias de las desigualdades de Lieb sobre los determinantes
y permanentes de matrices semidefinidas positivas. Usamos el hafniano.
la desigualdad para mejorar el límite inferior de R\'ev\esz y Sarantopoulos en el
norma de un producto de las funciones lineales en un espacio euclidiano real (este tema
a veces se llama el problema de la `constante de polarización lineal real').
| Pfa ans, hafnians y produ
ts de lineal real
diversión
ciones
Péter E. Frenkel
Instituto Alfréd Rényi de Mathemati
s
Húngaro A
ademy de S
ien
es
P.O.B. 127, 1364 Budapest, Hungría
frenkelp renyi.hu
Abstra
t
Demostramos las versiones pfa y hafnia de las desigualdades de Lieb en disuadir-
minants y permanentes de semi-de nite matri positivo
es. Usamos el
La desigualdad hafnia para mejorar el límite inferior de Révész y Sarantopou-
sobre la norma de un producto
t de diversión lineal
ciones sobre una verdadera Europa
lideano
spa
e (este tema
t es a veces
alled la verdadera polarización lineal
on-
stant' problem).
Mathemati
s Subje
t Classi
dad: 46C05, 15A15
Palabras clave: polarización
onstant, real Eu
spa lideano
e, hafnian, pfaf-
an, matriz semi-de-nite positiva
-1. Introdu
ión
Los
Los objetivos del presente documento son los siguientes. En sí
tion 0, nosotros sket
h una parte de
el histori
ba
kground:
lassi
Desigualdades en los determinantes y los permanentes
de semi-de nite matri positivo
es. En sí
tion 1, probamos pfa an y hafnian
versiones de estas desigualdades, y formulamos Conje
1.5, otra hafnia
desigualdad. En sí
, aplicamos la desigualdad hafniana del teorema 1.4 a
nuestro principal objetivo: mejorar el límite inferior de Révész y Sarantopoulos en el
norma de un producto
t de diversión lineal
ciones sobre una verdadera Europa
spa lideano
e (este tema
t
es a veces
alled la verdadera polarización lineal
problema, su historia es
sket
al final del periódico). Esto es un
en Teorema 2.3. Señalamos
fuera de ese Conje
1.5 sería su
ient a
ompletely resolver el real lineal
polarización
problema instant.
Apoyo parcial de OTKA a las subvenciones T 046365, K 61116 y NK 72523.
http://arxiv.org/abs/0704.0028v2
0. Desigualdades antiguas en los determinantes y la perma-
nents
Re
todo lo que el determinante y el permanente de n× n matriz A = (ai,j)
son denados por
detA =
(−1)
ai,l(i), por A =
ai,l(i),
donde Sn es el simmétri
grupo sobre n elementos. A lo largo de todo este se
tion, nosotros
asumir que A es una semi-de-nite Hermitiano positivo n × n matriz (escribimos
A ≥ 0). Para su
h A, Hadamard demostró que
detA ≤
ai,i,
con igualdad si y sólo si A tiene una fila cero o es una matriz diagonal. Fis
ella
generalizar esto a
detA ≤ detA′ · detA′′
B* A′′
≥ 0, (1)
con igualdad si y sólo si detA′ · detA′′ · B = 0.
Con
erning el permanente de una matriz semi-de-nite positiva, Mar
nosotros [Mar1,
Mar2 probó que
por A ≥
ai,i, (2)
con igualdad si y sólo si A tiene una fila cero o es una matriz diagonal. Lieb [L
generalizar esto a
por A ≥ por A′ · por A′′ (3)
Para A como en (1), con igualdad si y sólo si A tiene una fila cero o B = 0. Además,
ha demostrado que en el polinomio P () de grado n′ (=tamaño de A′)
P () = por
♥A′ B
B* A′′
todos
oe
ients ct son reales y no negativos. Este es de hecho un teorema más fuerte
pecado
e implica
por A = P (1) =
ct ≥ cn′ = por A′ · por A′′.
okovi¢ [D, Mi dio una prueba simple de las desigualdades de Lieb, y mostró también que si
A′ y A′′ son positivos de nite entonces cnt = 0 si y sólo si todos los subpermanentes de
B de orden no desaparece. Lieb [L también declara un análogo (y análogamente demostrable)
teorema para determinantes: para A como en (1), let
D() = det
♥A′ B
B* A′′
Si detA′ · detA′′ = 0, entonces D() = 0. Si A′ y A′′ son positivos de nite, entonces
(−1)tdnt es positivo para t ≤ rk B y es cero para t > rk B.
Observación. En todas las desigualdades de Lieb mencionadas anteriormente, la
ondición que
la matriz A es semi-de-nite positivo
a ser repla
ed por los más débiles
ondition
que la diagonal blo
ks A′ y A′′ son semi-de-nite positivo. La prueba va
a través de virtualmente un
ahorcado. Alternativamente, esta forma más fuerte de inequali-
ataduras
un ser fácilmente dedu
ed de la forma aparentemente más débil de arriba.
1 Nuevas desigualdades en los pfa y los hafnianos
Para un n × n matriz A = (ai,j) y subconjuntos S, T de N := {1,...., n}, escribimos
AS,T := (ai,j)iÃ3nS,jÃ3nT. Si T = 2t es par, escribimos
(−1)T := (−1)t+
1.1 Pfa ans
En cuanto a la aplicación
aciones en Se
2 son
el
erned, este subse
ión puede ser
Se ha saltado.
Re
todo lo que el pfa y de un 2n × 2n antisimmetri
matriz C = (ci,j) es
de nesed by
pf C =
S2n
( > n° 1), η° 1), η° 2) · · · · cη(2n−1),η°(2n).
Tenemos (pf C)
= detC.
Para antisimmetri
A y symmetri
B, ambos de tamaño n× n, nosotros
onder el
polinomio
(−1)n/2pf
A B
n/2
Teorema 1.1 Que A y B sean reales n×n matri
es con A antisimmetri
y B
simmetri
. Si B es semi-de-nite positivo, entonces pt ≥ 0 para todos t. Si B es positivo
de nite, a continuación pt > 0 para t ≤ (rk A)/2 y pt = 0 para t > (rk A)/2.
Prueba. Si B = (bi,j) es semi-de nite positivo, entonces existe ve
tors x1,. .., xn
en una verdadera Europa
spa lideano
e V su
h que (xi, xj) = bi, j. Re
todo eso en el exterior
álgebra tensora
V a produao interno positivo de nite
t (y la
ocorrespondiente
Eu
la norma lidiana) es dada por
:= det(vi, wj)).
Tenemos
S2t
T =2t
(−1)S(−1)Tpf AS,S · pf AT,T · detBN\S,N\T =
S2t
T =2t
(−1)Spf AS,S ·
xi, (−1)Tpf AT,T ·
j 6°T
S2t
(−1)Spf AS,S ·
Supongamos que B es positivo de nite. Entonces el ve
los tors xi son linealmente independientes.
De ello se deduce que los tensores
i6°S xi también son linealmente independientes como S se ejecuta sobre
los subconjuntos de N. Así pt = 0 si y sólo si pf AS,S = 0 para todos S = 2t, es decir, si
y sólo si 2t > rk A. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 1.2 Que A y B sean reales n × n matri
es con A antisimmetri
y
B symmetri
. Dejar ≥ 0. Si B es semi-de-nite positivo, entonces
(−1)n/2pf
A B
≥ detB.
Si B es positivo de nite, entonces la igualdad o
urs si y solamente si A = 0.
Prueba. El lado izquierdo es
p0 + p1° · · pn/2n/2.
El lado derecho es p0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Estoy agradecido al árbitro anónimo de este documento por la idea de la
después de la prueba alternativa de los teoremas 1.1 y 1.2. Podemos asumir B > 0,
pecado
e cada matriz semi-de-nite positiva es un límite de las positivas de-nite.
La matriz B−1/2AB−1/2 es real y antisimmetri
, existe un unitario
matriz U su
h que D := U−1B−1/2AB−1/2U es diagonal con puramente imaginario
eigenvalues a1
−1,. ...............................................................................
−1. El verdadero multiset {a1,. .., a} es invariante
bajo un ↔ −a. Tenemos
= det
A B
= det
BUDU−1
BUDU−1
= det
D 1
0 U−1
= det
−1 ai
= detB2 ·
(1 + a2i/23370/).
Extra
las raíces cuadradas, y
hoosing el signo en un
ordan
e con p0 = +detB,
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
t = (−1)n/2pf
A B
= detB ·
(1 + a2i),
cuando
e ambos teoremas inmediatamente siguen, pecado
e detB > 0.
1.2 Hafnianos
Re
todo lo que el hafniano de un 2n× 2n simmétri
Matriz C = (ci,j) es de ned por
haf C =
S2n
cη(1),η(2) · · · cη(2n−1),η(2n).
Para simmetrí
A y B, ambos de tamaño n× n, nosotros
onder el polinomio
n/2
Teorema 1.3 Let A and B be symmetri
real n× n matri
es. Si B es positivo
semi-de nite, entonces ht ≥ 0 para todas las t. Si B es positivo de nite, entonces ht = 0 si y
sólo si todos los subhafnianos 2t×2t de A desaparecen.
Prueba. Si B = (bi,j) es semi-de nite positivo, entonces existe ve
tors x1,. .., xn
en una verdadera Europa
spa lideano
e V su
h que (xi, xj) = bi,j. Re
todos [Mar1, Mar2, MN,
Mi que en el simmétrio
álgebra tensora SV un producto interno positivo de nite
t
(y el
ocorrespondiente a la UE
la norma lidiana) es dada por
:= por (vi, wj)).
Tenemos
S2t
T =2t
haf AS,S · haf AT,T · por BN\S,N\T =
S2t
haf AS,S ·
Supongamos que B es positivo de nite. Entonces el ve
los tors xi son linealmente independientes.
De ello se deduce que los tensores
i6°S xi también son linealmente independientes como S se ejecuta sobre
los subconjuntos de N. Así ht = 0 si y sólo si haf AS,S = 0 para todos S = 2t. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 1.4 Let A and B be symmetri
real n× n matri
es. Dejar ≥ 0. Si B
es positivo semi-de nite, entonces
≥ por B.
Si B es positivo de nite, entonces la igualdad o
urs si y solamente si A es una matriz diagonal
o = 0.
Prueba. El lado izquierdo es
h0 + h1 · · hn/2n/2.
El lado derecho es h0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ajuste A = B y = 1, y
ombinándose con Mar
la desigualdad de nosotros (2), nosotros
llegar a
ase p = 1 de
Conje
1.5 Si A = (ai,j) es un semi-de nite simmétri positivo
real n× n
matriz, a continuación, el hafniano de la matriz 2pn× 2pn
soporte de 2p× 2p blo
ks A
es al menos (2p− 1)!¡No! ¡No! ¡No!
i,i, con igualdad si y sólo si A tiene una fila cero o es
una matriz diagonal.
2 Produ
ts de diversión lineal real
ciones
En este se
sión, aplicamos el teorema 1.4 al producto
ts de al azar normal conjuntamente
Variables y, a continuación, al producto
ts de diversión lineal real
ciones, con el fin de mejorar la calidad de vida de las personas que se desplazan dentro de la Comunidad.
h era el principal
motivación para este trabajo. Las ideas en este se
sión son análogos a los que
Arias-de-Reyna [A utilizado en la
omplex
Ase.
Let â € 1,. .......................................................................
distribución, es decir, con diversión de densidad articular
ión (2η)−d/2 exp(2/2), donde 2 =
Escribimos Ef() para la expe
dad de una diversión
ciones f = f() = f(1,. ...........................................................
Re
todo eso
k = (2p− 1)!! = (2p− 1)(2p− 3) · · · 3 · 1
para k = 1,..., d (fácil indu)
prueba tiva mediante la integración por partes), y por lo tanto
(2pk − 1)!¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
, escribimos (·, ·) para el estándar Eu
producto interior lidiano
t. We re
todos
el bien conocido [B2, G, S, Z
Wi
k fórmula. Let x1,. ..............................................................
tors in R
con la matriz Gram A =
(xi, xj)). Entonces
(xi, ) = haf A. 4)
(Para n impar, de ne haf A = 0.)
Prueba. Ambos lados son multilineales en el xi, por lo que podemos asumir que ea
h xi es
un elemento de la base ortonormal estándar e1,. ., ed. Si hay un ek que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
us un número impar de veces entre el xi, entonces ambos lados son cero. Si ud
h
ek o
rs 2pk veces, a continuación, el lado izquierdo es E
k=1
k, y la mano derecha
lado es
k=1(2pk − 1)!¡Oh, Dios mío!
h son iguales. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Los siguientes teoremas son fáciles
orolarias de Teorema 1.4 junto con
la Wi
k fórmula (4) y Mar
el teorema de nosotros (2).
Teorema 2.1 Si X1,. .., Xn son variables aleatorias normales conjuntamente con cero
expe
tación, entonces
X21 · · ·X2n
≥ EX21 · · ·EX2n.
La igualdad se mantiene si y sólo si son independientes o al menos uno de ellos es
Casi seguro que cero.
Prueba. Las variables
a ser escrito como Xi = (xi, â € ¬) con â € € de normal estándar
distribución y el xi
onstant ve
Tors con una Gram semi-de-nite positiva
matriz A = (ai, j) = ((xi, xj)). Entonces
X2i = E
(xi, â € ~)
= haf
≥ por A ≥
ai,i =
E(xi, )
EX2i,
con igualdad si y sólo si A es una matriz diagonal o tiene una fila cero, es decir, el xi
son ortogonales pares o al menos uno de ellos es cero. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La generalización del teorema 2.1 a un exponente incluso arbitrario 2p es equiv-
alent a Conje
tura 1.5.
Teorema 2.2 Para cualquier x1,. ..........................................................
(xi, â € ~)
la esfera unitaria Rd : = 1} es por lo menos
(d/2)
(d/2 + n)
(d− 2)!¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
(d+ 2n− 2)!¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
d(d+ 2)(d+ 4). .. (d+ 2n− 2)
con igualdad si y sólo si el ve
los tors xi son ortogonales en pareja.
Prueba. El promedio en la esfera de la unidad es el
onstant en los tiempos del teorema
la expe
station w.r.t. la medida estándar gaussiana (véase, por ejemplo, [B1]. Por...
orem 2.1, este último expe
dad es mínima si y sólo si el xi son pares
Ortogonal, con
h
ase es 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 2.3 Para la diversión lineal real
ciones sobre una verdadera Europa de los ciudadanos.
spa lideano
e,
f1 · · · fn ≥
f1 · · · fn
n(n+ 2)(n+ 4) · · · (3n− 2)
Aquí · significa suprema del valor absoluto en la esfera unitaria. En el
en nite-dimensional
ase, diversión
En el caso de que se trate de una norma nacional, puede autorizarse la aplicación de normas nacionales. Entonces
la
ovention 0 · • = 0 debe utilizarse en el lado derecho.
Prueba. Podemos asumir que el spa
e es R
con d ≤ n, y la diversión
ciones son
dado por fi () = (xi, ) con fi = xi = 1. Entonces f1 · · · fn2 es al menos el
promedio de
f2i () =
(xi, â € ~)
en la esfera de la unidad,
h por Teorema 2.2 y
d ≤ n es al menos 1/(n(n+ 2)(n+ 4) · · · (3n− 2)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Es un problema sin resolver, planteado por Benítez, Sarantopoulos y Tonge [BST
(1998), si el teorema 2.3 es cierto con nn bajo el signo de la raíz cuadrada en el
denominador en el lado derecho. Esto es
alled la verdadera polarización lineal
El problema de Onstant. En el
omplex
ase, la respuesta rmativa fue probada por
Arias-de-Reyna [A en 1998, basado en el
omplex analógico de la Wi
k fórmula
[A, B2, G y sobre la desigualdad de Lieb (3).
Keith Ball [Ball dio otra prueba
de la respuesta rmativa en el
omplex
ase mediante la solución de la
tablón ompplex
problema.
En el real
ase, la respuesta rmativa para n ≤ 5 fue probada por Pappas y
Révész [PR en 2004. Para general n, la mejor estimación conocida antes del presente
papel fue el de Révész y Sarantopoulos [RS (2004), basado en los resultados de
[MST, con (2n)n/4 debajo del signo de la raíz cuadrada. Véase [Mat1, Mat2, MM, R para
a
ontes sobre esta y otras cuestiones relacionadas. Tenga en cuenta que
n(n+ 2)(n+ 4) · · · (3n− 2) =
= exp (logn+ log(n+2) + log(n+4) + · · log(3n−2)) <
< exp
log u · du
= exp
[u(log u− 1)]3nn /2
= exp((3n log 3n− 3n− n logn+ n)/2) =
= exp
n(2 logn+ 3 log 3− 2)
y 3
3/e < 3 · 1.8/2.7 = 2, por lo que el teorema 2.3 es una mejora. Tenga en cuenta también que
la declaración con nn bajo el signo de raíz cuadrada seguiría de Conje
- ¡No! - ¡No!
tura 1.5.
A
conocimientos
Agradezco a Péter Major, Máté Matol
Si y Szilárd Révész para ayudar
de
ussions, y al árbitro anónimo para útil
omments.
Referencia
es
[A J. Arias-de-Reyna, variables gaussianas, polinomios y permanentes, Lin.
Alg. Appl. 285 (1998), 107 114.
El árbitro del presente documento
toda mi atención a la fa
t que Arias-de-Reyna utilizó
sólo el spe
ioDtTag
ase de (3) donde la matriz A
es de rango 1. Esto es mu.
h más simple que (3) en
General, es
a ser probado esencialmente por el argumento Mar
nosotros utilizados en [Mar1, Mar2 para probar
aún más spe
ioDtTag
ase n
= 1, whi
h todavía implica desigualdad (2).
[Ball K. M. Ball, el
Problema de tablón omplex, Bull. Londres. Matemáticas. Así que
. 33
(2001), 433 442.
[B1 A. Barvinok, Estimación de las normas de la L2k por las normas de la L2k para la diversión
ciones en órbitas,
Lo encontré. Comput. Matemáticas. 2 (2002), 393 412.
[B2 A. Barvinok, Integración y optimización de polinomios multivariados por
restri
sión en una subspa aleatoria
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[BST C. Benítez, Y. Sarantopoulos, A. Tonge, Límites inferiores para las normas de
producto
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. Camb. Phil. Así que
. 124 (1998), 395 408.
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onje
ciones sobre los permanentes, J. Matemáticas. Yo
h. 16
(1966), 127 134.
[Mar1 M. Mar
nosotros, el análogo permanente del determinante Hadamard el-
Orem, Bull. Amer. Matemáticas. Así que
. 69 (1963), 494 496.
[Mar2 M. Mar
nosotros, el teorema de Hadamard para los permanentes, Pro
. Amer. Matemáticas.
Así que
. 15 (1964), 967 973.
[MN M. Mar
nosotros, Sr. Newman, la diversión permanente
sión como producto interior
t,
Bull. Amer. Matemáticas. Así que
. 67 (1961), 223 224.
[Mat1 M. Matol
si, A geometri
estimación sobre la norma del producto
t de diversión
ciones,
Lin. Alg. Appl. 405 (2005), 304 310.
[Mat2 M. Matol
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onstant de R
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Serie eton
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esible introdu
- ¡No! - ¡No!
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s (Marseille, 1995), Math. Comput. Modelización
26 (1997), 281 304.
http://arxiv.org/abs/math/0703387
Nuevas desigualdades en los pfaffianos y los hafnianos
Pfaffians
Hafnians
Productos de funciones lineales reales
|
704.0029 | Understanding the Flavor Symmetry Breaking and Nucleon Flavor-Spin
Structure within Chiral Quark Model | Comprender la ruptura de la simetría del sabor y el núcleo
Sabor-Spin Estructura dentro del modelo de Quark de Chiral
Zhan Shu, Xiao-Lin Chen y Wei-Zhen Deng*
Departamento de Física, Universidad de Pekín, Beijing 100871, China
Resumen
En χQM, un quark puede emitir bosones Goldstone. La simetría del sabor se rompe en el Goldstone
proceso de emisión de bosón se utiliza para intepretar la estructura de nucleón sabor-spin. En este artículo,
estudiar la estructura interna de los quarks constituyentes implícitos en la χQM causada por el bosón de Goldstone
proceso de emisión en nucleón. A partir de un modelo simplificado Hamiltoniano derivado de χQM, el
se determinan las funciones de onda de los quarks constituyentes. A continuación, las probabilidades de transición obtenidas
de la emisión de bosón de oro de un quark puede dar una interpretación razonable al sabor
simetría rompiendo en la estructura de nucleón sabor-spin.
Números PACS: 12.39.-x, 12.39.Fe, 14.20.Dh
* Dirección electrónica: dwz@th.phy.pku.edu.cn
http://arxiv.org/abs/0704.0029v2
mailto:dwz@th.phy.pku.edu.cn
I. INTRODUCCIÓN
Las medidas de las funciones de la estructura polarizada del nucleón en inelástico profundo
Los experimentos de dispersión (DIS)[1, 2, 3, 4] muestran la complicación en la estructura de rotación de protones. Sólo
una porción de la rotación de protones es transportada por quarks de valencia. Por otra parte, varios experimentos[5, 6,
7] indican claramente la asimetría ū-d̄, así como la existencia del extraño contenido quark s̄ en
el mar de protones. También la distribución de quark extraño en el mar de protones es polarizado negativo.
Los resultados del DIS se desvían significativamente de la expectativa del modelo de quark nove (NQM).
NQM da muchas descripciones bastante buenas de las propiedades de hadron. ¿Por qué funciona NQM?
Es un rompecabezas que los quarks dentro de un hadron podrían ser tratados como partículas no relativistas
en NQM. El modelo de quark quiral (χQM) intenta puente entre QCD y NQM. Lo fue.
originado por Weinberg[8] y formulado por Manohar y Georgi[9]. Entre el QCD
escala de confinamiento (QCD 200MeV) y una escala de rotura de simetría quiral (SB 1GeV),
la interacción fuerte es descrita por un Lagrangian eficaz de quarks q, gluons g y
Bosones Numbu-Goldstone II. Una característica importante de la χQM es que, entre otras,
SB, los efectos internos del gluon en el hadron pueden ser pequeños comparados con el interior de Goldstone
Bosones Π y quarks q, por lo que los grados efectivos de libertad en esta región pueden ser q y Π.
Es interesante que χQM también se puede utilizar para explicar por qué NQM no funciona en el
por encima de los experimentos DIS. Por la emisión de bosón Goldstone, χQM permite la fluctuación
de un quark q en un quark de recoiling más un bosón de Goldstone q → q. El sistema q entonces
nuevas divisiones para generar mar quark a través de
• el proceso de helicoidalización
q↑ q (qq) + q (1)
• y el proceso de helicicidad sin flipping
q↑ q (qq) + q (2)
donde el subíndice indica la helicitud del quark. En ambos el proceso, q es en un relativo P-
estado de onda. En el proceso helicoidal (1), el impulso angular orbital a lo largo de la helicoidalidad
la dirección debe ser «lzá» = +1. En el proceso helicoidal sin flipping (2), lz = 0. El proceso
causar una modificación del contenido de giro del nucleón porque un quark cambia su helicidad
in (1). También causa una modificación del contenido del sabor porque el quark generado mar
a partir de Π es el sabor dependiente[10, 11].
χQM se utilizó por primera vez para explicar la asimetría del sabor del mar nucleón y la pequeñez de
la fracción de spin quark de Eichten, Hinchliffe y Quigg[10]. La asimetría del sabor del mar
distribución quark surge de las diferencias de masa en diferentes sabores quark y en diferentes
Bosones de oro. Sólo el más ligero Goldstone Boson fue considerado desde su contribución
domina. De un cálculo de la perturbación, la probabilidad de que un quark arriba emita un
se estimó que era a = 0,083. Esto induciría una asimetría de sabor en las distribuciones de Parton
de nucleón y otros hadrones.
Sin embargo, la probabilidad estimada de transición no es suficiente para dar cuenta completa del sabor
Asimetría en experimentos DIS. Contribución de otros Π’s e incluso fue considerado por
Cheng y Li[11]. La ruptura explícita del SUf (3) en las probabilidades de transición fue posterior
en refs. 12, 13 y más utilizado por varios autores[14, 15, 16, 17, 18, 19]. Sin embargo,
en todos estos cálculos, las probabilidades de transición fueron puestas en modelo a mano. Para adaptarse a la
datos experimentales, la probabilidad de que un quark arriba emitiendo necesita ser establecido a un 0.1,
que es aproximadamente un 20% más grande que el cálculo de la perturbación. Aunque la probabilidad de
la emisión puede ser aumentada usando un impulso más alto cortado en la perturbación
cálculo [20], sin embargo, el modelo de quark quiral ya no es válido a altas energías arbitrarias
# # # # # QM. #
No debemos sorprendernos por esta discrepancia, ya que la χQM funciona en una región de la derecha
por encima de la escala de confinamiento QCD. Allí se puede esperar que el efecto de confinamiento sea
importante y el cálculo perturbador de QCD puede contener un gran error. Sin embargo, hay
es otra diferencia esencial entre los cálculos del modelo antes mencionados y la perturbación
cálculo. En el cálculo de la perturbación, los bosones de Goldstone emitidos son virtuales par-
Ticles. Sin embargo, en los cálculos del modelo anteriores, que están estrechamente relacionados con la MNC, la
Los bosones de Goldstone están cerca de la cáscara de masa bajo la aproximación no relativista.
Dado que χQM puede ser un puente entre NQM y QCD, es interesante explorar χQM
desde el lado NQM donde usamos el método de función de onda. Esto dará el modelo anterior cal-
mula una base de hormigón en NQM y nos ayuda a entender mejor la simetría del sabor
Mecanismo de ruptura.
En este artículo, utilizaremos el método de función de onda para investigar la rotura de la simetría del sabor-
> en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. En un modelo convencional de quark[21], un hadron consiste en un componente confinado
quarks y su función de onda se construye en el espacio de configuración del componente
Quarks. Incorporar el proceso de transición de la emisión de Goldstone bosón de χQM en el
modelo quark, los quarks constituyentes tendrán funciones de onda intrínsecas dentro de la configuración
ración q + q.
In Sec. II, primero presentamos la función de onda compuesta de quarks constituyentes incluyendo
componentes de q. Las funciones de onda y las probabilidades de transición de q → q son
determinado a partir de un Hamiltionian χQM simplificado. In Sec. III y Sec. IV, los obtenidos
las probabilidades de transición se utilizan para calcular la estructura del sabor de nucleón y el octeto de barión
momentos magnéticos, respectivamente. Se presentan los resultados numéricos y un breve resumen
in Sec. V.
II. LA FUNCIÓN DE LA OLA DE UN CUARTO CONSTITUIDO
En χQM, el efectivo Lagrangian por debajo de la simetría quiral escala de ruptura QM implica
quarks, gluons y bosones Goldstone. Los primeros términos en este lagrangiano son[9]:
LχQM = (iDμ + Vμ) + igAA5
−m +
f 2
... (3)
donde Dμ = + igGμ es el derivado covariante del calibrador de QCD, Gμ el campo gluon y
g la constante de acoplamiento fuerte. El acoplamiento axial-vector adimensional gA = 0,7524 es
determinado a partir de la carga axial del nucleón. m representa las masas de quark constituyentes
debido a la ruptura de la simetría quiral. La constante de decaimiento pseudoescalar es f El................................................................................................
campo, las corrientes vectoriales Vμ y las corrientes axial-vector Aμ se dan en términos de Goldstone
campos de bosón Φ
η0 + 1
η K+
− 1
η0 + 1
K− K̄0 − 2
, (4)
* = exp(i)
), (5)
( ± ), (6)
• = exp(i)
). 7)..................................................................................................................................................
Una expansión de las corrientes de poder de Φ/fη produce la interacción efectiva entre Π
y q[10]
LI = −
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
5. (8)
Esto permite la fluctuación de un quark en un quark retroceso más un bosón de Goldstone q → q.
En el modelo quark, un hadron se construye con quarks constituyentes. De acuerdo con χQM,
debemos tratar un quark constituyente como una partícula compuesta incluyendo tales componentes q.
Aquí denotamos la función de onda de un quark constituyente compuesto como q. En reposo,
q = zqq
qq
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
En nuestro trabajo, la relación de normalización del Estado siempre se toma como
pp = Ł3(p− p′). (10)
La función de onda anterior es de importancia esencial en nuestro trabajo. El cuadrado de la mod-
ulus del coeficiente de cada configuración q es justo la probabilidad para el correspondiente
Π proceso de emisión
Pq→q = xqq
2, (11)
zq2 = (1−)
Pq→q)
es la probabilidad de que no se produzca ninguna emisión Π.
Para determinar la función de onda (9), primero construimos un Hamiltoniano simplificado en el
grados de libertad q y Π,
H = H0 +HB +HI. (12)
H0 representa las energías cinéticas de q y Π. Dice:
(iα · m) +
Tr[2 + ()2] +
m2Π(Φ
, (13)
donde mΠ es la masa física de Π que no es cero y no degenerada.
HI = −
d3xLI, (14)
es la interacción χQM. HB es una interacción accesoria que es necesaria para unir la q
Juntos. En nuestro Hamiltoniano simplificado, no discutiremos el formalismo explícito de HB.
En su lugar, vamos a poner algunas condiciones de restricción física en él más adelante en esta sección, que es
suficiente para nuestro cálculo.
Desde H0, podemos expandir los campos libres y Π en términos de creación y aniquilación de operadores
*q(x) =
(2η)3/2
q(p, s)e−ip·x + bq†
ps(t)v
q(p, s)eip·x
, (15)
(x) =
(2η)3/2
e-ip·x + c
eip·x
p0=EΠ
, (16)
donde
p2 +m2q
es la energía quark del sabor q,
p2 +m2Π
es la energía del bosón de Goldstone Π. aq†
ps y b
pr son los operadores de creación de quark q y
anti-cuarco q̄
p, a
p′s} = {b
pr, b
p′s} =
3) p– p′)rs. (17)
es el operador de creación de Π
] = ♥(3) p− p′). (18)
A continuación, vamos a reemplazar el campo y Φ en el Hamiltoniano (12) con el campo libre de (15)
y (16). Entonces podemos expresar el Hamiltoniano en la creación y los operadores de aniquilación, para
ejemplo
d3p Eq
ps + b
ps] +
d3p EΠ
. (19)
En todos los cálculos del modelo [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19], se asume el Π emitido
atado a la fuente quark. Para representar que q están atados, utilizamos el bien conocido SHO
función como su función de onda espacial
q =
d3ppe−
22 [Y1(, ) c
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
qΠ = 1
d3ppe−
22 Y11 (, ) c
p↓ 0
d3ppe−
22 Y10(, ) c
p↑ 0, (21)
donde es el parámetro “radio característico” en la función gaussiana. 1/
N es el nor-
factor de malización,
dp p4 e
5. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Sin embargo, necesitamos una interacción vinculante HB en el Hamiltoniano. Sin embargo, no sabemos cómo
para escribir la forma explícita de HB. Sin embargo, el HB debe proporcionar suficiente energía de unión.
Es decir, para el sistema q, debemos tener
qH0 +HBq ≤ mq +mΠ. 23)
Eso es.
EB = qHBq ≤ mq +mΠ − qH0q = mq − Eq +mΠ − EΠ. (24)
Como estimación aproximada, tomaremos el valor mínimo de EB
EB = −max
{Eq −mq + EΠ −m = −(Eu −mu + E (25)
Entonces la función de onda de un quark compuesto constituyente se determina de Schrödinger
ecuación
Hq =Mqq. 26)
Después de tomar la simplificación anterior, sólo necesitamos resolver un problema de valor propio de la matriz
=Mq
, (27)
donde
a-(0) = qHq,
Bq
3(0) = qHq,
Cq;q
3(0) = qHq,
q = x
Por ejemplo, consideremos el proceso de emisión Π. Hay cuatro posibles estados q
generadas por las fluctuaciones de un quark u: uη0, u, d y sK. Por lo tanto
u = zuu xuuη0 uη0 xuuu xud d xusKsK. (28)
Tomando estas funciones de onda como base, podemos calcular la matriz del Hamiltonian en
(27).
a = mu. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
C está diagonalizado. Sus elementos de matriz diagonal se calculan a partir de H0
Cunnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
dp p4 e
p2 +m2u +
) + EB, (30)
Cuη;uη =
dp p4 e
p2 +m2u +
p+m2η) + EB, (31)
Cd;d =
dp p4 e
p2 +m2d +
) + EB, (32)
CsK+;sK+ =
dp p4 e
p2 +m2s +
) + EB. 33)
B se calcula a partir de HI
Bue0 = −
dp p4e
, (34)
Buη = −
dp p4e
, (35)
Bd = −
dp p4e
, (36)
BsK+ = −
dp p4e
. (37)
Al diagonalizar esta matriz Hamiltoniana, obtendremos una nueva masa de la u constituyente
quark Mu y su función de onda compuesta. Las masas constituyentes y las funciones de onda de
Los quarks d y s pueden obtenerse de manera similar. Tenemos
, (38)
s = zss xsss xsdK̄0 dK̄
0 xsuKuK. (39)
De isospin simetría, mu = md, tenemos
zd = zu; xddη0 = −xuuη0 ; xdu = xud ;... (40)
Sin embargo, ya que mu 6= ms, uno debe notar que
zs 6= zu; xsdK̄0 6= x
sK0; x
uK− 6= xusK+. 41)
Después de la diagonalización, los bosones Goldstone Π se separan de quarks q aprox-
Imately. Con sólo grados de libertad q uno puede reconstruir el modelo quark y así Mu, Md,
La Sra. debe ser considerada como la masa de quark constituyente en el modelo quark.
III. FLAVOR Y ESTRUCTURA DE ESPINOS DE PROTON
Habiendo conocido las funciones de onda del quark q constituyente y las amplitudes de transición
de q emitiendo cada bosones de Goldstone Π, somos capaces de calcular la distribución de quark en
un quark constituyente que sigue a los refs. 11, 12, 13. En χQM, Π se dividirá aún más en un quark-
pareja antiquark. Al sustituir el contenido de quark de Π por funciones de onda (28), (38) y
(39), podemos reescribir las funciones de onda del quark q constituyente como
u = zuu
xuu
u(uū)
xuu
u(dd̄)
2xuu
u(ss̄) xud d(ud̄) xusKs(us̄), (42)
d = zud
xuu
d(uū)
xuu
d(dd̄)
2xuu
d(ss̄) xud u(dū) xusKs(ds̄), (43)
s = zss
xss
s(uū)
xss
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
2xss
s(ss̄)
d(sd̄) xsuKu(sū). (44)
Entonces el contenido de sabor antiquark y quark del protón (uud) son
ū = 2
xuu
xuu
+ xud 2, u = 2, (45)
xuu
xuu
+ 2xud 2, d = d 1, (46)
s̄ = 2xuu2 + 3xusK2, s = s̄. (47)
Algunas cantidades importantes dependiendo de la distribución quark anterior son: el Gottfried
suma regla IG =
(ū − d̄) cuya desviación indica la asimetría ū-d̄ en el mar de protones;
ū/d̄ medido a través de la relación de las secciones transversales de producción del par de muones; y las fracciones
de sabores de quark en protón fq =
(q+q̄)
, f3 = fu − fd y f8 = fu + fd − 2fs.
Podemos calcular aún más la estructura de giro del protón. Aquí uno debe considerar los efectos
de la mezcla de configuración generada por las fuerzas de giro-giro[22]. Tomamos las funciones de la onda baryon
del cálculo del modelo de quark[23, 24, 25]. La función de onda de protones, por ejemplo, es
expresado como
= 0,90P 28SS® − 0,34P 28S ′S® − 0,27P 28SM® (48)
donde las funciones de onda de baryon SU(6)O(3) se denotan como B2S+1N L, N es SU(3) mul-
Tiplicity. S, L son el giro total y el momento angular orbital total, mientras que = S,M,A
denota la simetría de permutación de SU(6). Las funciones de polarización de giro serán re-
marcadamente afectada por la mezcla de configuración. Siguiendo a los árbitros. 15, 17, definimos el número
operador por
No = nu↑u↑ + nu↓u↓ + nd↑d↑ + nd↓d↓ + ns↑s↑ + ns↓s↓,
donde nq↑, nq↓ son el número de q↑, q↓ quarks. La estructura de giro del protón “mixto” es
dado por
= (0.902 + 0.342)
+ 0,272
. (49)
La estructura de giro después de considerar Π-emisión se obtiene sustituyendo por cada quark en
eq. (49) por
q↑,↓ (1− ♥Pi)q↑,↓ + Pflipping(q↑,↓) + Pnon−flipping(q↑,↓), (50)
donde Pflipping(q↑,↓) y Pnon−flipping(q↑,↓) son las probabilidades de la helicicidad quark volteando y
non-flipping para q↑,↓, respectivamente. Por ejemplo, en el caso de u↑ quark tenemos,
Pflipping(u↑) =
(xuuη0 2 + xuu2)u↓ + xud 2d↓ + xusK2s↓
Pnon−flipping(u↑) =
(xuuη0 2 + xuu2)u↑ + xud 2d↑ + xusK2s↑
Por último, las funciones de polarización de giro definidas como q = q↑ − q↓ son
U = (0.902 + 0.342)
114xu
2 + 48xuu2 + 36xusK2
+ 0,272
66xu
2 + 24xuu2 + 18xusK2
, (51)
•d = (0.902 + 0.342)
2 + 12xuu2 + 9xusK2
+ 0,272
42xu
2 + 12xuu2 + 9xusK2
, (52)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (53)
Hay varias cantidades medidas que se pueden expresar en términos de la rotación anterior
funciones de polarización. Las cantidades calculadas normalmente son:
Se obtiene de la decadencia de neutrones β y de las débiles decaimientos de los hiperones, respectivamente.
Otra cantidad importante es el componente de sabor singlet del contenido total de spin quark
definida como 2 = u + d + s. También calculamos algunos factores débiles de forma axial-vector
que también están relacionados con las funciones de polarización de giro, (GA/GV )p =
(siglas en inglés de las siglas en inglés de las siglas en inglés de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la traducción inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la traducción inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la
(GA/GV )n = ds, y (GA/GV ) = 13(?ud− 2s).
IV. MOMENTOS MAGNÉTICOS DE BARYON OCTET
Teniendo en cuenta el momento angular relativo entre quark y el bosón de Goldstone Π, la
el operador del momento magnético de un sistema qΠ es
qΠ =
p2q +m
p2Π +m
p2q +m
p2Π +m
p2Π +m
p2q +m
p2q +m
p2Π +m
l® (54)
donde eq y eΠ son las cargas eléctricas transportadas por q y Π respectivamente,
el operador y lâ ° el momento angular relativo entre q y Π. El primer término en Eq(54)
es el momento magnético intrínseco de quark y los otros dos términos son la contribución de
el impulso angular orbital. Aquí tenemos que considerar el efecto relativista desde el
impulso relativo de q o Π son comparables a sus masas en el sistema qΠ
pq,Π â € â € mq,Π.
Con las funciones de onda SHO de (20), el momento magnético del sistema qΠ (54) puede ser
fácil de calcular. Entonces podemos volver a calcular los momentos magnéticos de los quarks constituyentes
teniendo en cuenta el efecto relativista. Por ejemplo, los momentos magnéticos de la u
quark es
μu = zu2uu Pu→u
+ Pu→ddd Pu→sKsKsK, (55)
donde
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (56)
y la contribución de los sistemas QΠ son
# UOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
p2 +m2
p2 +m2u +
p2 +m2
p2 +m2u
2, (57)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
p2 +m2η
p2 +m2u +
p2 +m2η
p2 +m2u
2, (58)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
p2 +m2
p2 +m2d +
p2 +m2
p2 +m2d
p2 +m2d
p2 +m2d +
p2 +m2
p2 +m2
*2, (59)
sKsK = −
p2 +m2K
p2 +m2s +
p2 +m2K
p2 +m2s
p2 +m2s
p2 +m2s +
p2 +m2K
p2 +m2K
2 libras esterlinas. (60)
Los momentos magnéticos de los quarks d y s se pueden calcular de manera similar.
Se pueden obtener fácilmente los momentos magnéticos del octeto barión sustituyendo los quarks de valencia
dentro de los bariones con los correspondientes quarks constituyentes. Una vez más tomamos protón como un
ejemplo,
μp = (0,90
2 + 0,342)
+ 0,272
. (61)
Si reemplazamos la μq por (55), la μp se puede expresar como el momento magnético barión en
modelo de quark convencional más la contribución del proceso de emisión de bosón Goldstone
[26]. Los momentos magnéticos para otros bariones de octeto se pueden calcular de manera similar.
V. RESULTADOS NUMERICOS Y CONCLUSIONES
En el cálculo numérico, la mayoría de los parámetros pueden ser tomados del ensayo
datos o el modelo de quark quiral. Recopilamos estos parámetros de entrada fijos de nuestro cálculo
en el cuadro I. Aquí hemos utilizado las masas físicas de los bosones de Goldstone[27].
CUADRO I: Parámetros fijos de entrada a partir del modelo de quark quiral y datos experimentales.
gA fη(MeV) mη(MeV) mK(MeV) mη(MeV)
0,7524 93 135 494 548
Para las masas quark, ya que nuestro trabajo se centra en el contexto interno de los quarks constituyentes
en el modelo quark, naturalmente nos referiremos a las masas de quark del modelo quark, en lugar de
los valores del modelo de quark quiral. Aquí vamos a utilizar los valores de masa quark de la amplia
aceptó el modelo de quark de Isgur[21] como se muestra en el cuadro II. Sin embargo, uno debe ser cauteloso.
que, en nuestro modelo, es el quark con el bosón Goldstone mezcla que corresponde a
el quark constituyente en el modelo quark. Es decir, valores de masa Mq después de la diagonalización
el proceso debe ser fijado a las masas de quark en el modelo de Isgur. Nuestra estrategia es ajustar la
masa quark mq en el modelo Hamiltonian para adaptarse a los valores Mq.
Por último, nos quedamos sólo con un parámetro libre ♥ que describe el confinamiento de la
Bosón Goldstone emitido en nuestro modelo. Un ajuste general a los datos experimentales de nucleón
la estructura del sabor-spin y los momentos magnéticos del barión del octeto muestran que el mejor valor debe
ser 152MeV. Con este valor de y una energe de unión mínima EB = −218MeV, la
Los valores “bare” de masas de quark mq sin mezcla de bosón de Goldstone se muestran también en la tabla
Las probabilidades de transición de la luz y los quarks extraños a los diversos sistemas q se dan
en los cuadros III y IV, respectivamente. La probabilidad de que un quark u emita un P (u →
CUADRO II: Masas de quark con vs. sin mezcla de bosón Goldstone.
EB(MeV) mu,d(MeV) ms(MeV) Mu,d(MeV) Ms(MeV)
152 - 218 288 474 220 419
d + )=0.145 es significativamente mayor que el cálculo de la perturbación a=0.083. Uno puede
note que el valor de parámetro 152MeV en nuestra función de onda, que está por debajo de QCD, es
más bien pequeño que otra escala de energía QM en el modelo de quark quiral. Seguramente esto se debilitará.
la interacción entre q y q. Sin embargo, también hay que tener en cuenta que la energía vinculante
EB = −218MeV hará la energía de un sistema qΠ mucho más cerca de la energía de quark único.
Esto mejorará la mezcla de componentes q en un quark constituyente.
Además, notamos que la asimetría entre las probabilidades de u(d) → s + K y
s → u(d) + K̄. Si esta asimetría lleva a alguna consecuencia observable en Hadron
La estructura necesita más investigación.
CUADRO III: Probabilidades de transición de un quark u a varios sistemas q y la masa de los constituyentes
Tu quark.
u → u+ η0 u → u+ η u → d+ u → s+K+ no GB-emisiones Mu
0,072 0,003 0,145 0,010 0,770 220MeV
CUADRO IV: Probabilidades de transición de un quark a varios sistemas q y la masa de los constituyentes
s quark.
s → s+ η s → u+K− s → d+ K̄0 sin emisiones de GB Ms
0,012 0,071 0,071 0,846 419MeV
A continuación, compararemos nuestros resultados de cálculo con los datos experimentales. Desde nuestro...
phasis está en la subestructura de un quark constituyente en NQM, aquí también citamos los resultados
de NQM. En la Tabla V, se muestran las estructuras calculadas de sabor y giro del protón.
Cabe mencionar que las funciones de polarización de giro de quark se pueden corregir aún más
por la anomalía del gluón[13, 15, 17, 28, 29, 30]
*q(Q2) = *q − αs(Q)
g(Q2), (62)
y el componente de sabor singlet de la helice total se modifica en consecuencia como
(Q2) = 3αs(Q)
g(Q2), (63)
donde las cantidades medidas experimentalmente son las siguientes:
spond a las cantidades calculadas sin corrección de gluon. Uso de los datos experimentales
(Q2 = 5GeV2) = 0,19 ± 0,02[2], αs(Q2 = 5GeV2) = 0,285 ± 0,013[27], y nuestro resultado
0,346, se estima que la polarización del gluón (g(Q2) es de 2,293. Ambos resultados con
y sin correcciones de la polarización del gluón se presentan en la Tabla V. La inclusión del gluón
la polarización conduce a un mejor acuerdo con los datos experimentales para la estructura de giro.
Los momentos magnéticos calculados de los bariones de octeto se indican en la Tabla VI. A pesar de que el
desviación es algo alrededor del 30% en el caso de, nuestro ajuste general a octeto baryon magnético
los momentos están de acuerdo con los experimentos. También hay que mencionar que incluso en
el caso de el ajuste puede quizás ser mejorado si se toman las correcciones debidas a los bucles pion
en cuenta[32, 33].
En los cálculos del modelo [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19], el sector del bosón de Goldstone en
χQM se extiende generalmente para incluir el mesón con U(3) simetría. De acuerdo con Cheng
y Li[11], en el gran límite Nc de QCD, hay nueve bosones Goldstone incluyendo los usuales
octeto y el singlet. Así un quark constituyente también puede transitar a un sistema quark-. Nosotros
también han hecho un cálculo U(3). Con la inclusión de, encontramos que las probabilidades
para -emisión de los quarks ligeros y extraños P (u → u + )=P (d → d + )=0.0021 y
P (s → s + )=0,0018 que son negligentemente pequeños en comparación con los de octeto Goldstone
emisiones de bosón. Por lo tanto, concluimos que la contribución de no es importante, debido a
la obvia simetría axial U(1) quebrada en espectros de masa de meson m > mK,η.
En resumen, el χQM construye un puente entre el modelo QCD y el quark de baja energía.
Esto nos permite entender el mecanismo de ruptura de la simetría del sabor y el sabor de los nucleones-
estructura de rotación en NQM a través de la consideración del quark del mar y bosones de Goldstone
en la subestructura de quarks constituyentes. Usando la simple función de onda SHO, tenemos
modeló las funciones de onda de los quarks constituyentes compuestos y así estimó el
las probabilidades de transición para las emisiones de bosón Goldstone. Estas probabilidades de transición de hecho
reflejar el sabor SU(3) simetría romper en χQM de las diferencias en las masas de quark
ms > mu,d y diferencias en las masas de bosones de Goldstone mK,η > m
de acuerdo con las parametrizaciones de otros cálculos modelo [11, 12, 13, 14, 15, 16,
CUADRO V: Valores calculados para las funciones de distribución del sabor de quark y polarización del giro
funciones en protón, en comparación con los datos experimentales y los resultados NQM.
Datos NQM Nuestro modelo
Con "g sin "g"
0,85 ± 0,05[2] 1,33 0,864 0,968
•d −0,41± 0,05[2] −0,33 −0,377 −0,274
0 −0,07± 0,05[2] 0 −0,107 −0,003
•3 = (GA/GV)n→p 1.270 ± 0.003[27] 1,67 1.242 1.242
(GA/GV )p 0,718 ± 0,015[27] 1 0,737 0,737
(GA/GV )n −0,340 ± 0,017[27] −0,33 −0,270 −0,270
(GA/GV ) 0,25 ± 0,05[27] 0,33 0,234 0,234
0,58 ± 0,025[2] 1 0,701 0,701
0,19 ± 0,02[2] 0,5 0,190 0,346
ū − 0,264
d̄ − 0,392
s̄ − 0,036
d̄ −0.118 ± 0.015[6] 0 −0.128
ū/d̄ 0,67 ± 0,06[6] 1 0,674
IG 0,254 ± 0,005[6] 0,33 0,248
fu − 0,577
fd − 0,407
fs 0,10 ± 0,06[31] 0 0,017
f3 − 0,170
f8 − 0,950
f3/f8 0,21 ± 0,05[14] 0,33 0,179
17, 18, 19]. El ajuste tanto a la estructura de sabor-spin de nucleón y octeto barión magnético
los momentos están de acuerdo con los experimentos.
CUADRO VI: Momentos magnéticos de octeto caculado en magnetón nuclear, en comparación con
experimentos y los resultados de NQM.
Octet baryons Data[27] NQM[34] Nuestro modelo
p 2,79± 0,00 2,72 2,73
n −1,91 ± 0,00 -1,81 −1,91
−1,16 ± 0,025 -1,01 −1,23
2,46± 0,01 2,61 2,67
•0 −1,25± 0,0014 −1,41 −1,36
−0,65 ± 0,002 −0,50 −0,44
• −0,61 ± 0,004 −0,59 −0,56
1,61± 0,08 1,51 1,63
Agradecimientos
Zhan Shu quisiera dar las gracias a Fan-Yong Zou y Yan-Rui Liu por sus útiles conversaciones. Esto
El trabajo fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China en el marco de Subvenciones
10675008.
[1] J. Ashman et al. (Muon europeo), Phys. Lett. B206, 364 (1988); Nucl. Phys. B328, 1
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[5] P. Amaudruz et al. (Nuevo Muon), Phys. Rev. Lett. 66, 2712 (1991); M. Arneodo y otros (Nuevos
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[34] G. Karl, Phys. Rev. D45, 247 (1992).
INTRODUCCIÓN
La función de onda de un quark constituyente
FLAVOR Y ESTRUCTURA DE ESPINOS DE PROTON
MOMENTOS MAGNÉTICOS DE BARYON OCTET
RESULTADOS NUMÉRICAS Y CONCLUSIONES
Agradecimientos
Bibliografía
| En $\XQM$, un quark puede emitir bosones Goldstone. La simetría del sabor irrumpiendo
el proceso de emisión de bosón de Goldstone se utiliza para intepretar el nucleón
estructura del sabor-spin. En este artículo, estudiamos la estructura interna de
quarks constituyentes implícitos en $\XQM$ causados por la emisión de bosón Goldstone
proceso en nucleón. De un modelo simplificado Hamiltoniano derivado de $\XQM$,
se determinan las funciones de onda intrínsecas de los quarks constituyentes. Entonces el
las probabilidades de transición obtenidas de la emisión de bosón de Goldstone a partir de una
quark puede dar una interpretación razonable a la simetría sabor romper en
nucleón sabor-spin estructura.
| Comprender la ruptura de la simetría del sabor y el núcleo
Sabor-Spin Estructura dentro del modelo de Quark de Chiral
Zhan Shu, Xiao-Lin Chen y Wei-Zhen Deng*
Departamento de Física, Universidad de Pekín, Beijing 100871, China
Resumen
En χQM, un quark puede emitir bosones Goldstone. La simetría del sabor se rompe en el Goldstone
proceso de emisión de bosón se utiliza para intepretar la estructura de nucleón sabor-spin. En este artículo,
estudiar la estructura interna de los quarks constituyentes implícitos en la χQM causada por el bosón de Goldstone
proceso de emisión en nucleón. A partir de un modelo simplificado Hamiltoniano derivado de χQM, el
se determinan las funciones de onda de los quarks constituyentes. A continuación, las probabilidades de transición obtenidas
de la emisión de bosón de oro de un quark puede dar una interpretación razonable al sabor
simetría rompiendo en la estructura de nucleón sabor-spin.
Números PACS: 12.39.-x, 12.39.Fe, 14.20.Dh
* Dirección electrónica: dwz@th.phy.pku.edu.cn
http://arxiv.org/abs/0704.0029v2
mailto:dwz@th.phy.pku.edu.cn
I. INTRODUCCIÓN
Las medidas de las funciones de la estructura polarizada del nucleón en inelástico profundo
Los experimentos de dispersión (DIS)[1, 2, 3, 4] muestran la complicación en la estructura de rotación de protones. Sólo
una porción de la rotación de protones es transportada por quarks de valencia. Por otra parte, varios experimentos[5, 6,
7] indican claramente la asimetría ū-d̄, así como la existencia del extraño contenido quark s̄ en
el mar de protones. También la distribución de quark extraño en el mar de protones es polarizado negativo.
Los resultados del DIS se desvían significativamente de la expectativa del modelo de quark nove (NQM).
NQM da muchas descripciones bastante buenas de las propiedades de hadron. ¿Por qué funciona NQM?
Es un rompecabezas que los quarks dentro de un hadron podrían ser tratados como partículas no relativistas
en NQM. El modelo de quark quiral (χQM) intenta puente entre QCD y NQM. Lo fue.
originado por Weinberg[8] y formulado por Manohar y Georgi[9]. Entre el QCD
escala de confinamiento (QCD 200MeV) y una escala de rotura de simetría quiral (SB 1GeV),
la interacción fuerte es descrita por un Lagrangian eficaz de quarks q, gluons g y
Bosones Numbu-Goldstone II. Una característica importante de la χQM es que, entre otras,
SB, los efectos internos del gluon en el hadron pueden ser pequeños comparados con el interior de Goldstone
Bosones Π y quarks q, por lo que los grados efectivos de libertad en esta región pueden ser q y Π.
Es interesante que χQM también se puede utilizar para explicar por qué NQM no funciona en el
por encima de los experimentos DIS. Por la emisión de bosón Goldstone, χQM permite la fluctuación
de un quark q en un quark de recoiling más un bosón de Goldstone q → q. El sistema q entonces
nuevas divisiones para generar mar quark a través de
• el proceso de helicoidalización
q↑ q (qq) + q (1)
• y el proceso de helicicidad sin flipping
q↑ q (qq) + q (2)
donde el subíndice indica la helicitud del quark. En ambos el proceso, q es en un relativo P-
estado de onda. En el proceso helicoidal (1), el impulso angular orbital a lo largo de la helicoidalidad
la dirección debe ser «lzá» = +1. En el proceso helicoidal sin flipping (2), lz = 0. El proceso
causar una modificación del contenido de giro del nucleón porque un quark cambia su helicidad
in (1). También causa una modificación del contenido del sabor porque el quark generado mar
a partir de Π es el sabor dependiente[10, 11].
χQM se utilizó por primera vez para explicar la asimetría del sabor del mar nucleón y la pequeñez de
la fracción de spin quark de Eichten, Hinchliffe y Quigg[10]. La asimetría del sabor del mar
distribución quark surge de las diferencias de masa en diferentes sabores quark y en diferentes
Bosones de oro. Sólo el más ligero Goldstone Boson fue considerado desde su contribución
domina. De un cálculo de la perturbación, la probabilidad de que un quark arriba emita un
se estimó que era a = 0,083. Esto induciría una asimetría de sabor en las distribuciones de Parton
de nucleón y otros hadrones.
Sin embargo, la probabilidad estimada de transición no es suficiente para dar cuenta completa del sabor
Asimetría en experimentos DIS. Contribución de otros Π’s e incluso fue considerado por
Cheng y Li[11]. La ruptura explícita del SUf (3) en las probabilidades de transición fue posterior
en refs. 12, 13 y más utilizado por varios autores[14, 15, 16, 17, 18, 19]. Sin embargo,
en todos estos cálculos, las probabilidades de transición fueron puestas en modelo a mano. Para adaptarse a la
datos experimentales, la probabilidad de que un quark arriba emitiendo necesita ser establecido a un 0.1,
que es aproximadamente un 20% más grande que el cálculo de la perturbación. Aunque la probabilidad de
la emisión puede ser aumentada usando un impulso más alto cortado en la perturbación
cálculo [20], sin embargo, el modelo de quark quiral ya no es válido a altas energías arbitrarias
# # # # # QM. #
No debemos sorprendernos por esta discrepancia, ya que la χQM funciona en una región de la derecha
por encima de la escala de confinamiento QCD. Allí se puede esperar que el efecto de confinamiento sea
importante y el cálculo perturbador de QCD puede contener un gran error. Sin embargo, hay
es otra diferencia esencial entre los cálculos del modelo antes mencionados y la perturbación
cálculo. En el cálculo de la perturbación, los bosones de Goldstone emitidos son virtuales par-
Ticles. Sin embargo, en los cálculos del modelo anteriores, que están estrechamente relacionados con la MNC, la
Los bosones de Goldstone están cerca de la cáscara de masa bajo la aproximación no relativista.
Dado que χQM puede ser un puente entre NQM y QCD, es interesante explorar χQM
desde el lado NQM donde usamos el método de función de onda. Esto dará el modelo anterior cal-
mula una base de hormigón en NQM y nos ayuda a entender mejor la simetría del sabor
Mecanismo de ruptura.
En este artículo, utilizaremos el método de función de onda para investigar la rotura de la simetría del sabor-
> en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. > en χQM. En un modelo convencional de quark[21], un hadron consiste en un componente confinado
quarks y su función de onda se construye en el espacio de configuración del componente
Quarks. Incorporar el proceso de transición de la emisión de Goldstone bosón de χQM en el
modelo quark, los quarks constituyentes tendrán funciones de onda intrínsecas dentro de la configuración
ración q + q.
In Sec. II, primero presentamos la función de onda compuesta de quarks constituyentes incluyendo
componentes de q. Las funciones de onda y las probabilidades de transición de q → q son
determinado a partir de un Hamiltionian χQM simplificado. In Sec. III y Sec. IV, los obtenidos
las probabilidades de transición se utilizan para calcular la estructura del sabor de nucleón y el octeto de barión
momentos magnéticos, respectivamente. Se presentan los resultados numéricos y un breve resumen
in Sec. V.
II. LA FUNCIÓN DE LA OLA DE UN CUARTO CONSTITUIDO
En χQM, el efectivo Lagrangian por debajo de la simetría quiral escala de ruptura QM implica
quarks, gluons y bosones Goldstone. Los primeros términos en este lagrangiano son[9]:
LχQM = (iDμ + Vμ) + igAA5
−m +
f 2
... (3)
donde Dμ = + igGμ es el derivado covariante del calibrador de QCD, Gμ el campo gluon y
g la constante de acoplamiento fuerte. El acoplamiento axial-vector adimensional gA = 0,7524 es
determinado a partir de la carga axial del nucleón. m representa las masas de quark constituyentes
debido a la ruptura de la simetría quiral. La constante de decaimiento pseudoescalar es f El................................................................................................
campo, las corrientes vectoriales Vμ y las corrientes axial-vector Aμ se dan en términos de Goldstone
campos de bosón Φ
η0 + 1
η K+
− 1
η0 + 1
K− K̄0 − 2
, (4)
* = exp(i)
), (5)
( ± ), (6)
• = exp(i)
). 7)..................................................................................................................................................
Una expansión de las corrientes de poder de Φ/fη produce la interacción efectiva entre Π
y q[10]
LI = −
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
5. (8)
Esto permite la fluctuación de un quark en un quark retroceso más un bosón de Goldstone q → q.
En el modelo quark, un hadron se construye con quarks constituyentes. De acuerdo con χQM,
debemos tratar un quark constituyente como una partícula compuesta incluyendo tales componentes q.
Aquí denotamos la función de onda de un quark constituyente compuesto como q. En reposo,
q = zqq
qq
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
En nuestro trabajo, la relación de normalización del Estado siempre se toma como
pp = Ł3(p− p′). (10)
La función de onda anterior es de importancia esencial en nuestro trabajo. El cuadrado de la mod-
ulus del coeficiente de cada configuración q es justo la probabilidad para el correspondiente
Π proceso de emisión
Pq→q = xqq
2, (11)
zq2 = (1−)
Pq→q)
es la probabilidad de que no se produzca ninguna emisión Π.
Para determinar la función de onda (9), primero construimos un Hamiltoniano simplificado en el
grados de libertad q y Π,
H = H0 +HB +HI. (12)
H0 representa las energías cinéticas de q y Π. Dice:
(iα · m) +
Tr[2 + ()2] +
m2Π(Φ
, (13)
donde mΠ es la masa física de Π que no es cero y no degenerada.
HI = −
d3xLI, (14)
es la interacción χQM. HB es una interacción accesoria que es necesaria para unir la q
Juntos. En nuestro Hamiltoniano simplificado, no discutiremos el formalismo explícito de HB.
En su lugar, vamos a poner algunas condiciones de restricción física en él más adelante en esta sección, que es
suficiente para nuestro cálculo.
Desde H0, podemos expandir los campos libres y Π en términos de creación y aniquilación de operadores
*q(x) =
(2η)3/2
q(p, s)e−ip·x + bq†
ps(t)v
q(p, s)eip·x
, (15)
(x) =
(2η)3/2
e-ip·x + c
eip·x
p0=EΠ
, (16)
donde
p2 +m2q
es la energía quark del sabor q,
p2 +m2Π
es la energía del bosón de Goldstone Π. aq†
ps y b
pr son los operadores de creación de quark q y
anti-cuarco q̄
p, a
p′s} = {b
pr, b
p′s} =
3) p– p′)rs. (17)
es el operador de creación de Π
] = ♥(3) p− p′). (18)
A continuación, vamos a reemplazar el campo y Φ en el Hamiltoniano (12) con el campo libre de (15)
y (16). Entonces podemos expresar el Hamiltoniano en la creación y los operadores de aniquilación, para
ejemplo
d3p Eq
ps + b
ps] +
d3p EΠ
. (19)
En todos los cálculos del modelo [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19], se asume el Π emitido
atado a la fuente quark. Para representar que q están atados, utilizamos el bien conocido SHO
función como su función de onda espacial
q =
d3ppe−
22 [Y1(, ) c
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
qΠ = 1
d3ppe−
22 Y11 (, ) c
p↓ 0
d3ppe−
22 Y10(, ) c
p↑ 0, (21)
donde es el parámetro “radio característico” en la función gaussiana. 1/
N es el nor-
factor de malización,
dp p4 e
5. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Sin embargo, necesitamos una interacción vinculante HB en el Hamiltoniano. Sin embargo, no sabemos cómo
para escribir la forma explícita de HB. Sin embargo, el HB debe proporcionar suficiente energía de unión.
Es decir, para el sistema q, debemos tener
qH0 +HBq ≤ mq +mΠ. 23)
Eso es.
EB = qHBq ≤ mq +mΠ − qH0q = mq − Eq +mΠ − EΠ. (24)
Como estimación aproximada, tomaremos el valor mínimo de EB
EB = −max
{Eq −mq + EΠ −m = −(Eu −mu + E (25)
Entonces la función de onda de un quark compuesto constituyente se determina de Schrödinger
ecuación
Hq =Mqq. 26)
Después de tomar la simplificación anterior, sólo necesitamos resolver un problema de valor propio de la matriz
=Mq
, (27)
donde
a-(0) = qHq,
Bq
3(0) = qHq,
Cq;q
3(0) = qHq,
q = x
Por ejemplo, consideremos el proceso de emisión Π. Hay cuatro posibles estados q
generadas por las fluctuaciones de un quark u: uη0, u, d y sK. Por lo tanto
u = zuu xuuη0 uη0 xuuu xud d xusKsK. (28)
Tomando estas funciones de onda como base, podemos calcular la matriz del Hamiltonian en
(27).
a = mu. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
C está diagonalizado. Sus elementos de matriz diagonal se calculan a partir de H0
Cunnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
dp p4 e
p2 +m2u +
) + EB, (30)
Cuη;uη =
dp p4 e
p2 +m2u +
p+m2η) + EB, (31)
Cd;d =
dp p4 e
p2 +m2d +
) + EB, (32)
CsK+;sK+ =
dp p4 e
p2 +m2s +
) + EB. 33)
B se calcula a partir de HI
Bue0 = −
dp p4e
, (34)
Buη = −
dp p4e
, (35)
Bd = −
dp p4e
, (36)
BsK+ = −
dp p4e
. (37)
Al diagonalizar esta matriz Hamiltoniana, obtendremos una nueva masa de la u constituyente
quark Mu y su función de onda compuesta. Las masas constituyentes y las funciones de onda de
Los quarks d y s pueden obtenerse de manera similar. Tenemos
, (38)
s = zss xsss xsdK̄0 dK̄
0 xsuKuK. (39)
De isospin simetría, mu = md, tenemos
zd = zu; xddη0 = −xuuη0 ; xdu = xud ;... (40)
Sin embargo, ya que mu 6= ms, uno debe notar que
zs 6= zu; xsdK̄0 6= x
sK0; x
uK− 6= xusK+. 41)
Después de la diagonalización, los bosones Goldstone Π se separan de quarks q aprox-
Imately. Con sólo grados de libertad q uno puede reconstruir el modelo quark y así Mu, Md,
La Sra. debe ser considerada como la masa de quark constituyente en el modelo quark.
III. FLAVOR Y ESTRUCTURA DE ESPINOS DE PROTON
Habiendo conocido las funciones de onda del quark q constituyente y las amplitudes de transición
de q emitiendo cada bosones de Goldstone Π, somos capaces de calcular la distribución de quark en
un quark constituyente que sigue a los refs. 11, 12, 13. En χQM, Π se dividirá aún más en un quark-
pareja antiquark. Al sustituir el contenido de quark de Π por funciones de onda (28), (38) y
(39), podemos reescribir las funciones de onda del quark q constituyente como
u = zuu
xuu
u(uū)
xuu
u(dd̄)
2xuu
u(ss̄) xud d(ud̄) xusKs(us̄), (42)
d = zud
xuu
d(uū)
xuu
d(dd̄)
2xuu
d(ss̄) xud u(dū) xusKs(ds̄), (43)
s = zss
xss
s(uū)
xss
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
2xss
s(ss̄)
d(sd̄) xsuKu(sū). (44)
Entonces el contenido de sabor antiquark y quark del protón (uud) son
ū = 2
xuu
xuu
+ xud 2, u = 2, (45)
xuu
xuu
+ 2xud 2, d = d 1, (46)
s̄ = 2xuu2 + 3xusK2, s = s̄. (47)
Algunas cantidades importantes dependiendo de la distribución quark anterior son: el Gottfried
suma regla IG =
(ū − d̄) cuya desviación indica la asimetría ū-d̄ en el mar de protones;
ū/d̄ medido a través de la relación de las secciones transversales de producción del par de muones; y las fracciones
de sabores de quark en protón fq =
(q+q̄)
, f3 = fu − fd y f8 = fu + fd − 2fs.
Podemos calcular aún más la estructura de giro del protón. Aquí uno debe considerar los efectos
de la mezcla de configuración generada por las fuerzas de giro-giro[22]. Tomamos las funciones de la onda baryon
del cálculo del modelo de quark[23, 24, 25]. La función de onda de protones, por ejemplo, es
expresado como
= 0,90P 28SS® − 0,34P 28S ′S® − 0,27P 28SM® (48)
donde las funciones de onda de baryon SU(6)O(3) se denotan como B2S+1N L, N es SU(3) mul-
Tiplicity. S, L son el giro total y el momento angular orbital total, mientras que = S,M,A
denota la simetría de permutación de SU(6). Las funciones de polarización de giro serán re-
marcadamente afectada por la mezcla de configuración. Siguiendo a los árbitros. 15, 17, definimos el número
operador por
No = nu↑u↑ + nu↓u↓ + nd↑d↑ + nd↓d↓ + ns↑s↑ + ns↓s↓,
donde nq↑, nq↓ son el número de q↑, q↓ quarks. La estructura de giro del protón “mixto” es
dado por
= (0.902 + 0.342)
+ 0,272
. (49)
La estructura de giro después de considerar Π-emisión se obtiene sustituyendo por cada quark en
eq. (49) por
q↑,↓ (1− ♥Pi)q↑,↓ + Pflipping(q↑,↓) + Pnon−flipping(q↑,↓), (50)
donde Pflipping(q↑,↓) y Pnon−flipping(q↑,↓) son las probabilidades de la helicicidad quark volteando y
non-flipping para q↑,↓, respectivamente. Por ejemplo, en el caso de u↑ quark tenemos,
Pflipping(u↑) =
(xuuη0 2 + xuu2)u↓ + xud 2d↓ + xusK2s↓
Pnon−flipping(u↑) =
(xuuη0 2 + xuu2)u↑ + xud 2d↑ + xusK2s↑
Por último, las funciones de polarización de giro definidas como q = q↑ − q↓ son
U = (0.902 + 0.342)
114xu
2 + 48xuu2 + 36xusK2
+ 0,272
66xu
2 + 24xuu2 + 18xusK2
, (51)
•d = (0.902 + 0.342)
2 + 12xuu2 + 9xusK2
+ 0,272
42xu
2 + 12xuu2 + 9xusK2
, (52)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (53)
Hay varias cantidades medidas que se pueden expresar en términos de la rotación anterior
funciones de polarización. Las cantidades calculadas normalmente son:
Se obtiene de la decadencia de neutrones β y de las débiles decaimientos de los hiperones, respectivamente.
Otra cantidad importante es el componente de sabor singlet del contenido total de spin quark
definida como 2 = u + d + s. También calculamos algunos factores débiles de forma axial-vector
que también están relacionados con las funciones de polarización de giro, (GA/GV )p =
(siglas en inglés de las siglas en inglés de las siglas en inglés de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la traducción inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la traducción inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la versión inglesa de la
(GA/GV )n = ds, y (GA/GV ) = 13(?ud− 2s).
IV. MOMENTOS MAGNÉTICOS DE BARYON OCTET
Teniendo en cuenta el momento angular relativo entre quark y el bosón de Goldstone Π, la
el operador del momento magnético de un sistema qΠ es
qΠ =
p2q +m
p2Π +m
p2q +m
p2Π +m
p2Π +m
p2q +m
p2q +m
p2Π +m
l® (54)
donde eq y eΠ son las cargas eléctricas transportadas por q y Π respectivamente,
el operador y lâ ° el momento angular relativo entre q y Π. El primer término en Eq(54)
es el momento magnético intrínseco de quark y los otros dos términos son la contribución de
el impulso angular orbital. Aquí tenemos que considerar el efecto relativista desde el
impulso relativo de q o Π son comparables a sus masas en el sistema qΠ
pq,Π â € â € mq,Π.
Con las funciones de onda SHO de (20), el momento magnético del sistema qΠ (54) puede ser
fácil de calcular. Entonces podemos volver a calcular los momentos magnéticos de los quarks constituyentes
teniendo en cuenta el efecto relativista. Por ejemplo, los momentos magnéticos de la u
quark es
μu = zu2uu Pu→u
+ Pu→ddd Pu→sKsKsK, (55)
donde
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (56)
y la contribución de los sistemas QΠ son
# UOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
p2 +m2
p2 +m2u +
p2 +m2
p2 +m2u
2, (57)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
p2 +m2η
p2 +m2u +
p2 +m2η
p2 +m2u
2, (58)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
p2 +m2
p2 +m2d +
p2 +m2
p2 +m2d
p2 +m2d
p2 +m2d +
p2 +m2
p2 +m2
*2, (59)
sKsK = −
p2 +m2K
p2 +m2s +
p2 +m2K
p2 +m2s
p2 +m2s
p2 +m2s +
p2 +m2K
p2 +m2K
2 libras esterlinas. (60)
Los momentos magnéticos de los quarks d y s se pueden calcular de manera similar.
Se pueden obtener fácilmente los momentos magnéticos del octeto barión sustituyendo los quarks de valencia
dentro de los bariones con los correspondientes quarks constituyentes. Una vez más tomamos protón como un
ejemplo,
μp = (0,90
2 + 0,342)
+ 0,272
. (61)
Si reemplazamos la μq por (55), la μp se puede expresar como el momento magnético barión en
modelo de quark convencional más la contribución del proceso de emisión de bosón Goldstone
[26]. Los momentos magnéticos para otros bariones de octeto se pueden calcular de manera similar.
V. RESULTADOS NUMERICOS Y CONCLUSIONES
En el cálculo numérico, la mayoría de los parámetros pueden ser tomados del ensayo
datos o el modelo de quark quiral. Recopilamos estos parámetros de entrada fijos de nuestro cálculo
en el cuadro I. Aquí hemos utilizado las masas físicas de los bosones de Goldstone[27].
CUADRO I: Parámetros fijos de entrada a partir del modelo de quark quiral y datos experimentales.
gA fη(MeV) mη(MeV) mK(MeV) mη(MeV)
0,7524 93 135 494 548
Para las masas quark, ya que nuestro trabajo se centra en el contexto interno de los quarks constituyentes
en el modelo quark, naturalmente nos referiremos a las masas de quark del modelo quark, en lugar de
los valores del modelo de quark quiral. Aquí vamos a utilizar los valores de masa quark de la amplia
aceptó el modelo de quark de Isgur[21] como se muestra en el cuadro II. Sin embargo, uno debe ser cauteloso.
que, en nuestro modelo, es el quark con el bosón Goldstone mezcla que corresponde a
el quark constituyente en el modelo quark. Es decir, valores de masa Mq después de la diagonalización
el proceso debe ser fijado a las masas de quark en el modelo de Isgur. Nuestra estrategia es ajustar la
masa quark mq en el modelo Hamiltonian para adaptarse a los valores Mq.
Por último, nos quedamos sólo con un parámetro libre ♥ que describe el confinamiento de la
Bosón Goldstone emitido en nuestro modelo. Un ajuste general a los datos experimentales de nucleón
la estructura del sabor-spin y los momentos magnéticos del barión del octeto muestran que el mejor valor debe
ser 152MeV. Con este valor de y una energe de unión mínima EB = −218MeV, la
Los valores “bare” de masas de quark mq sin mezcla de bosón de Goldstone se muestran también en la tabla
Las probabilidades de transición de la luz y los quarks extraños a los diversos sistemas q se dan
en los cuadros III y IV, respectivamente. La probabilidad de que un quark u emita un P (u →
CUADRO II: Masas de quark con vs. sin mezcla de bosón Goldstone.
EB(MeV) mu,d(MeV) ms(MeV) Mu,d(MeV) Ms(MeV)
152 - 218 288 474 220 419
d + )=0.145 es significativamente mayor que el cálculo de la perturbación a=0.083. Uno puede
note que el valor de parámetro 152MeV en nuestra función de onda, que está por debajo de QCD, es
más bien pequeño que otra escala de energía QM en el modelo de quark quiral. Seguramente esto se debilitará.
la interacción entre q y q. Sin embargo, también hay que tener en cuenta que la energía vinculante
EB = −218MeV hará la energía de un sistema qΠ mucho más cerca de la energía de quark único.
Esto mejorará la mezcla de componentes q en un quark constituyente.
Además, notamos que la asimetría entre las probabilidades de u(d) → s + K y
s → u(d) + K̄. Si esta asimetría lleva a alguna consecuencia observable en Hadron
La estructura necesita más investigación.
CUADRO III: Probabilidades de transición de un quark u a varios sistemas q y la masa de los constituyentes
Tu quark.
u → u+ η0 u → u+ η u → d+ u → s+K+ no GB-emisiones Mu
0,072 0,003 0,145 0,010 0,770 220MeV
CUADRO IV: Probabilidades de transición de un quark a varios sistemas q y la masa de los constituyentes
s quark.
s → s+ η s → u+K− s → d+ K̄0 sin emisiones de GB Ms
0,012 0,071 0,071 0,846 419MeV
A continuación, compararemos nuestros resultados de cálculo con los datos experimentales. Desde nuestro...
phasis está en la subestructura de un quark constituyente en NQM, aquí también citamos los resultados
de NQM. En la Tabla V, se muestran las estructuras calculadas de sabor y giro del protón.
Cabe mencionar que las funciones de polarización de giro de quark se pueden corregir aún más
por la anomalía del gluón[13, 15, 17, 28, 29, 30]
*q(Q2) = *q − αs(Q)
g(Q2), (62)
y el componente de sabor singlet de la helice total se modifica en consecuencia como
(Q2) = 3αs(Q)
g(Q2), (63)
donde las cantidades medidas experimentalmente son las siguientes:
spond a las cantidades calculadas sin corrección de gluon. Uso de los datos experimentales
(Q2 = 5GeV2) = 0,19 ± 0,02[2], αs(Q2 = 5GeV2) = 0,285 ± 0,013[27], y nuestro resultado
0,346, se estima que la polarización del gluón (g(Q2) es de 2,293. Ambos resultados con
y sin correcciones de la polarización del gluón se presentan en la Tabla V. La inclusión del gluón
la polarización conduce a un mejor acuerdo con los datos experimentales para la estructura de giro.
Los momentos magnéticos calculados de los bariones de octeto se indican en la Tabla VI. A pesar de que el
desviación es algo alrededor del 30% en el caso de, nuestro ajuste general a octeto baryon magnético
los momentos están de acuerdo con los experimentos. También hay que mencionar que incluso en
el caso de el ajuste puede quizás ser mejorado si se toman las correcciones debidas a los bucles pion
en cuenta[32, 33].
En los cálculos del modelo [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19], el sector del bosón de Goldstone en
χQM se extiende generalmente para incluir el mesón con U(3) simetría. De acuerdo con Cheng
y Li[11], en el gran límite Nc de QCD, hay nueve bosones Goldstone incluyendo los usuales
octeto y el singlet. Así un quark constituyente también puede transitar a un sistema quark-. Nosotros
también han hecho un cálculo U(3). Con la inclusión de, encontramos que las probabilidades
para -emisión de los quarks ligeros y extraños P (u → u + )=P (d → d + )=0.0021 y
P (s → s + )=0,0018 que son negligentemente pequeños en comparación con los de octeto Goldstone
emisiones de bosón. Por lo tanto, concluimos que la contribución de no es importante, debido a
la obvia simetría axial U(1) quebrada en espectros de masa de meson m > mK,η.
En resumen, el χQM construye un puente entre el modelo QCD y el quark de baja energía.
Esto nos permite entender el mecanismo de ruptura de la simetría del sabor y el sabor de los nucleones-
estructura de rotación en NQM a través de la consideración del quark del mar y bosones de Goldstone
en la subestructura de quarks constituyentes. Usando la simple función de onda SHO, tenemos
modeló las funciones de onda de los quarks constituyentes compuestos y así estimó el
las probabilidades de transición para las emisiones de bosón Goldstone. Estas probabilidades de transición de hecho
reflejar el sabor SU(3) simetría romper en χQM de las diferencias en las masas de quark
ms > mu,d y diferencias en las masas de bosones de Goldstone mK,η > m
de acuerdo con las parametrizaciones de otros cálculos modelo [11, 12, 13, 14, 15, 16,
CUADRO V: Valores calculados para las funciones de distribución del sabor de quark y polarización del giro
funciones en protón, en comparación con los datos experimentales y los resultados NQM.
Datos NQM Nuestro modelo
Con "g sin "g"
0,85 ± 0,05[2] 1,33 0,864 0,968
•d −0,41± 0,05[2] −0,33 −0,377 −0,274
0 −0,07± 0,05[2] 0 −0,107 −0,003
•3 = (GA/GV)n→p 1.270 ± 0.003[27] 1,67 1.242 1.242
(GA/GV )p 0,718 ± 0,015[27] 1 0,737 0,737
(GA/GV )n −0,340 ± 0,017[27] −0,33 −0,270 −0,270
(GA/GV ) 0,25 ± 0,05[27] 0,33 0,234 0,234
0,58 ± 0,025[2] 1 0,701 0,701
0,19 ± 0,02[2] 0,5 0,190 0,346
ū − 0,264
d̄ − 0,392
s̄ − 0,036
d̄ −0.118 ± 0.015[6] 0 −0.128
ū/d̄ 0,67 ± 0,06[6] 1 0,674
IG 0,254 ± 0,005[6] 0,33 0,248
fu − 0,577
fd − 0,407
fs 0,10 ± 0,06[31] 0 0,017
f3 − 0,170
f8 − 0,950
f3/f8 0,21 ± 0,05[14] 0,33 0,179
17, 18, 19]. El ajuste tanto a la estructura de sabor-spin de nucleón y octeto barión magnético
los momentos están de acuerdo con los experimentos.
CUADRO VI: Momentos magnéticos de octeto caculado en magnetón nuclear, en comparación con
experimentos y los resultados de NQM.
Octet baryons Data[27] NQM[34] Nuestro modelo
p 2,79± 0,00 2,72 2,73
n −1,91 ± 0,00 -1,81 −1,91
−1,16 ± 0,025 -1,01 −1,23
2,46± 0,01 2,61 2,67
•0 −1,25± 0,0014 −1,41 −1,36
−0,65 ± 0,002 −0,50 −0,44
• −0,61 ± 0,004 −0,59 −0,56
1,61± 0,08 1,51 1,63
Agradecimientos
Zhan Shu quisiera dar las gracias a Fan-Yong Zou y Yan-Rui Liu por sus útiles conversaciones. Esto
El trabajo fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China en el marco de Subvenciones
10675008.
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INTRODUCCIÓN
La función de onda de un quark constituyente
FLAVOR Y ESTRUCTURA DE ESPINOS DE PROTON
MOMENTOS MAGNÉTICOS DE BARYON OCTET
RESULTADOS NUMÉRICAS Y CONCLUSIONES
Agradecimientos
Bibliografía
|
704.003 | Tuning correlation effects with electron-phonon interactions | Efectos de correlación de sintonía con el electrón-fonón
interacciones
J.P.Hague y N.d'Ambrumenil
Departamento de Física, Universidad de Warwick, CV4 7AL, Reino Unido
Investigamos el efecto de afinar la energía fonónica en la correlación ef-
infecta en modelos de interacciones electrón-fonón usando DMFT. En el régimen
donde electrones itinerantes, correlaciones instantáneas impulsadas por el electrón-fonón
y las distorsiones estáticas compiten en escalas de energía similares, encontramos
resultados teresting incluyendo (1) Un crossover de la banda al comportamiento de Mott en el
función espectral, dando lugar a bandas híbridas / mott características en la función espectral
ión para frecuencias fonónicas ligeramente más grandes que el ancho de banda. 2) Desde la entrada en vigor de la
la conductividad óptica depende sensiblemente de la forma de la función espectral,
Demostramos que tal régimen debe ser observable a través de la baja frecuencia
forma de la conductividad óptica. (3) La resistividad tiene un pico de kondo doble
[Publicado como J. Baja. Temp. Phys. 140 pp77-89 (2005)].
Números PACS: 71.10.Fd, 71.27.+a, 71.38.-k
1. Introducción
Montaje de pruebas experimentales de altas Tc cuprates 1, niquelados 2,
manganitas 3,4 y otros materiales interesantes sugieren que el electrón grande-
las interacciones fonónicas pueden jugar un papel más importante en la física de
sistemas de electrones correlacionados de lo que se pensaba. Migdal-Eliashberg y
Las teorías de BCS han demostrado ser extremadamente exitosas en la descripción de los efectos de
Los fonones en muchos materiales. Sin embargo, si el acoplamiento entre electrones y
la celosía subyacente es grande, y/o los fonones no pueden ser tratados dentro
una aproximación adiabática, los enfoques convencionales fracasan.
El modelo Holstein contiene la mayor parte de la física fundamental de la
problema del electrón-fonón 5. Los electrones de unión apretada están acoplados al lat-
a través de una interacción local con los modos Einstein. Para el fonón grande
frecuencias, los electrones interactúan con un Hubbard fuertemente correlacionado-como en-
tracción, mientras que para las pequeñas frecuencias fonónicas la celosía da lugar a una estática
http://arxiv.org/abs/0704.0030v1
potencial que es esencialmente poco relacionado. Entre estos dos extremos lim-
su de comportamiento correlacionado y no correlacionado, los niveles de correlación se afinan
por el tamaño de la frecuencia fonónica y la física novedosa se espera. En par-
ticular, es normalmente la fuerza de la interacción que se dice para afinar el
correlación en, por ejemplo, el modelo Hubbard, mientras que en el modelo Holstein, puede
ver que tanto la fuerza de interacción como la frecuencia fonónica pueden competir
el uno con el otro para jugar este papel.
El enfoque dinámico de la teoría del campo medio (DMFT) ha demostrado su eficacia.
cessful en el tratamiento del Holstein y otros modelos 6,7,8. DMFT trata el
auto-energía como una cantidad independiente del impulso y es precisa siempre y cuando
la variación a través de la zona de Brillouin es pequeña. Para muchos aspectos de la
problema electrón-fonón en 3D, correlaciones son de corto alcance y DMFT
se puede aplicar con éxito. Se estudió el diagrama de fase de acoplamiento débil
por Ciuchi y otros en caso de competencia entre la orden de carga (CO) y la superconducción
los estados fueron encontrados 7. Freericks et al. desarrollo de un Montecarlo cuántico
(QMC) algoritmo 8,9 y examinó la aplicabilidad de
ciones basadas en técnicas al problema del electrón-fonón 10,11,12. Los
la predicción de cantidades medibles fuera de ciertos límites bien definidos es
muy restringido debido a las dificultades inherentes a la continuación analítica.
Las propiedades dinámicas como las funciones espectrales pueden ser computadas en el caso
de los fonones estáticos 13, y cerca del límite estático 14. Alternativamente, el límite
de alta frecuencia fonónica (modelo atractivo de Hubbard) se ha estudiado con
un algoritmo QMC 15.
En el estudio actual estamos preocupados por el comportamiento de los dinámicos
propiedades que podrían medirse directamente con el experimento. Usamos el iter-
la aproximación de la teoría de la perturbación, que se ha demostrado que es
precisa para el modelo Hubbard, y utilizar la máxima entropía para el análisis
continuar los resultados. Comparamos la función espectral de una sola partícula resultante.
ciones sobre una amplia gama de fuerzas de acoplamiento electrón-fonón y fonón
frecuencias. Los resultados obtenidos utilizando la teoría de la perturbación iterada (IPT)
son prometedoras y capturan el comportamiento genérico de acoplamiento débil y fuerte para
todas las frecuencias fonónicas. En las frecuencias intermedias del fonón, encontramos que
Las interacciones electrón-fonón producen una función espectral que es simulta-
características neouly tanto de la banda no correlacionada (estático) y fuertemente cor-
regímenes relacionados con Mott/Hubbard. También encontramos que la competencia entre
Los estados similares a la banda y correlacionados causan estructuras inusuales en el con-
ductividad y resistividad. Suministrado un material con bastante alto fonón
frecuencia se puede identificar, es posible que tal estado podría ser observado
experimentalmente.
El presente documento está organizado de la siguiente manera. Primero, presentamos el Holstein
modelo, la teoría de campo medio dinámico y técnicas de continuación analítica
(1a) (2a)
(2b) (2c)
Fig. 1. Contribuciones de segundo orden a la auto-energía. Líneas rectas repre-
El electrón enviado funciones de Green del anfitrión y líneas onduladas fonon Green
funciones.
(sección 2). En la sección 3., utilizamos IPT para determinar las funciones espectrales de
el modelo Holstein. Comparamos IPT con resultados exactamente conocidos en la estática
límite. Esto, junto con las conclusiones de Ref. 11 nos lleva a discutir
que el TPI es una aproximación razonable para el cálculo de
propiedades en el régimen intermedio de frecuencia del fonón. Nosotros computamos el
densidad de estados, conductividad óptica y resistividad, y dar una heurística
explicación de su comportamiento.
2. Formalismo
El Holstein Hamiltonian está escrito como,
H = −t
<ij
iÔcj +
(gxi − μ)ni
M20x
El primer término en este hamiltoniano representa un modelo de unión estrecha con
hopping parámetro t. El segundo término parejas el desplazamiento de iones locales,
xi a la densidad de electrones local. El término final puede ser identificado como el
El fonon Hamiltoniano no interactuante. c
i (ci) crear (aniquilar) electrones a
sitio i, pi es el impulso iónico, M la masa iónica, μ el potencial químico
y g el acoplamiento electrón-fonón. Los fonones son dispersivos con
frecuencia ≤0.
La teoría de la perturbación de este modelo se puede escribir en términos
de electrones interactuando a través de los fonones con la interacción efectiva,
U(is) = −
M(2s +
Aquí, las frecuencias Matsubara para los bosones y s es un
entero. Tomando el límite •0 → •, g → •, manteniendo la relación g/•0
finito, conduce a un atractivo modelo Hubbard con un no retardado en el sitio
interacción U = −g2/M20. Teoría iterada-perturbación (IPT) es conocido por
ser una aproximación razonable al Hubbard semilleno modelo 16,17. Tomando
el límite opuesto (0 → 0, M → •, manteniendo M20 • • finito) el fonón
término de energía cinética desaparece, y los fonones dependen de una variable estática
xi. Como tal, el modelo puede ser considerado como poco relacionado.
Resolvemos el modelo Holstein usando la teoría dinámica del campo medio (DMFT).
DMFT congela las fluctuaciones espaciales, llevando a una teoría que es completamente
impulso independiente, al tiempo que incluye plenamente los efectos dinámicos de la
ciones. A pesar de esta simplificación, DMFT predice que no es trivial (correlativo)
física y puede utilizarse como aproximación a los modelos 3D 18. Tal como se ha examinado
en Ref. 6, DMFT implica la solución de un conjunto de ecuaciones acopladas que
se resuelven auto-consistentemente. La función del verde para el problema de un solo sitio,
G(iün) puede ser escrito en términos de la auto-energía (iün) como,
G−1(iün) = G−10 (iün)− (iün), (3)
donde Ł es una función de G0, la función del verde para el anfitrión de un solo
Modelo de impurezas. Aquí están las frecuencias usuales de Matsubara:
cies. Las suposiciones de DMFT son equivalentes a tomar la auto-energía de
el problema de celosía original para ser local, por lo tanto G también se da por,
G(iün) =
dâ € D(â € k)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde D() la densidad de los estados (DOS) del problema no interactuante (en
nuestro caso g = 0). Trabajamos con un DOS gaussiano que corresponde a un
Enrejado hipercúbico 18, D() = exp(2/2t2)/t
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! Ecuaciones (3) y (4)
se resuelven de acuerdo con el siguiente procedimiento autoconsistente:
la función del verde de la ecuación (4) y la función del verde del anfitrión de la
problema de impureza efectiva, G0, de la ecuación (3); a continuación, calcular un nuevo auto-
energía del anfitrión o las funciones completas de Green. En lo siguiente tomaremos
el parámetro de salto t = 0.5, que establece la escala de energía.
Una vez que el algoritmo ha convergido, y después de continuar analíticamente
el eje real, las funciones de respuesta se pueden calcular. Usamos el MAXENT
método para la determinación de las funciones espectrales a partir del eje Matsubara
datos. MAXENT trata la continuación analítica como un problema inverso 19.
La función del verde, G(z), es dada por la transformación integral,
G(z) =
z − x
dx (5)
donde la función espectral es la función espectral (?(?) = Im[G(? + iη)]/l). El problema
de encontrar, por lo tanto, es uno de invertir la transformación integral. Desde el
Los datos para Gn son incompletos y ruidosos para cualquier conjunto finito de Matsubara fre-
quencies, la inversión del núcleo del problema discriminado está mal definido.
El método MAXENT selecciona la distribución
estructura coherente con los datos calculados o medidos. Estos métodos
han sido ampliamente revisados en el contexto de la inversión del kernel
en Refs. 19,20. La aplicabilidad al problema actual ha sido exhaustiva
probado, y se encuentra que es exacto.
Dentro del formalismo DMFT, muchas funciones de respuesta siguen directamente
de la función espectral de un electrón y el electrón de auto-energía (essen-
tially debido a la negligencia de todas las funciones de punto más alto conectados aparte
del G0). Aquí estaremos interesados en la conductividad 6:
Re[()] =
dâ € € D(â € € € € ~
El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión relativa a la concesión de una ayuda en forma de ayuda estatal en favor de los productores de leche desnatada desnatada en el mercado de la leche desnatada en polvo y desnatada en el mercado de la leche desnatada en polvo y de la leche desnatada en polvo y desnatada en polvo y desnatada en polvo y desnatada en polvo.
donde f(x) es la distribución Fermi-Dirac. Tomando el límite, → 0, lleva
a la conductividad de DC. (La conductividad es en unidades de e2V/ha2, donde un
es el espaciado de la celosía, V el volumen de la célula de la unidad y e y h son el
carga de electrones y constante de Planck respectivamente.)
3. Resultados
En esta sección, examinamos la validez de una aproximación a la auto-
energía construida a partir sólo de los términos de primer y segundo orden con respecto a la
funciones espectrales calculadas a frecuencias fonónicas muy altas y muy bajas.
Finalmente, calculamos la conductividad óptica y la resistividad.
Las funciones espectrales se muestran en las figuras 2 y 3. La teoría de la perturbación
se lleva a cabo en la función del anfitrión Green (es decir. ambos electrones y fonones
están desnudos). Todos los diagramas en fig. 1 se consideran,
1a(iün) = −UT
G0(in) − (in) (in) (in) (in) (in) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
2a(iün) = −2U2T 2
D20(iünm)G0(iüm)G0(iüs)G0(iünm+s) (8)
2b(iün) = U
D0(iüm-s)D0(iün-m)G0(iüm)G0(iüs)G0(iün-m+s)
2c(iün) = U
D0(iünm)D0(iüms)G20(iüm)G0(iüs) (10)
Esto también da el límite de acoplamiento débil correcto para la electrónica Green’s
función.
Primero consideramos el cálculo de funciones espectrales cercanas a la estática
y los límites de Hubbard. En el límite instantáneo las teorías de la perturbación
para los modelos Holstein y Hubbard son equivalentes. Es bien sabido que
segundo orden de la teoría de la perturbación en la función del huésped Green proporciona un
buena aproximación al Hubbard modelo 21. En el límite estático, el exacto
la solución se puede calcular fácilmente 13. La figura 2 muestra las funciones espectrales de
la solución exacta, calculada para una retícula hipercúbica y funciones espectrales,
calculado utilizando la teoría de la perturbación del orden 2 a una temperatura de T = 0,08.
Se eligió la frecuencia fonónica +0 = T/20 para que los efectos de la
La energía cinética fonónica es insignificante en comparación con las fluctuaciones térmicas. Esto
permite una comparación directa entre el exacto y aproximado
resultados. La comparación muestra que las anchuras y posiciones de la mayor
las características están estrechamente relacionadas.
Los resultados en la figura 2 para el límite estático (0 → 0), junto con el
el hecho de que se sabe que el PIT de segundo orden da resultados razonables en la
límite taneoso (0 → ), sugieren que el cálculo de las funciones espectrales
también debe ser fiable en frecuencias intermedias. Observamos que Freericks et
al. también encontrar un acuerdo razonable entre el IPT y QMC auto-energias
en medio relleno, y que esto debería llevar a un buen acuerdo en el Matsub-
ara eje función de Green. Por lo tanto, hemos resuelto las ecuaciones del IPT para
las funciones espectrales en frecuencias intermedias. Mostramos los resultados en
Fig.
Los resultados de los cálculos del IPT en el régimen de cou-
plling (Fig 3) es coherente con los resultados conocidos para los casos limitantes. Por
frecuencias , el sistema tiene el comportamiento cualitativo de la estática
límite: La densidad original no perturbada de los estados se divide en dos sub-bandas
centrado alrededor de ±U/2. Para frecuencias pequeñas (* U,0) e interacción
fuerza, U, menos de algún valor crítico, el sistema se comporta como un in-
modelo de electrón de teracción (Hubbard), ya que la interacción retardada entre
las partículas U(iÃ3s) (véase la ecuaciÃ3n 2) es efectivamente constante para Ãos â â € â € â € 0. Hay
luego una estrecha banda de cuasipartículas en la energía Fermi con densidad de estados
en la energía Fermi fijado en su valor no interactuante 6. También tomamos nota de que
los resultados para el acoplamiento pequeño y las frecuencias pequeñas están de acuerdo
con los calculados utilizando la teoría ME en la fase metálica 22.
Los cálculos recientes del grupo de renormalización (NRG) de Meyer et al.
23,24 también reportan la función espectral en el régimen intermedio. El NRG
es en principio un método exacto para resolver el problema de impureza en el que
el mapa de ecuaciones DMFT. Nuestros resultados son en gran medida consistentes con los de ellos
añadir más apoyo a la utilización del TPI en el régimen intermedio. Cuándo
en comparación con los resultados de Meyer et al 23, hay que tener en cuenta que el Hamil-
toniano (1) es exactamente el considerado en Ref. 23 pero con la cantidad
2M. = = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = = 2M. = = 2M. = = 2M. = = 2M. = = = 2M. = = = 2M. = = = 2M. = = = = 2M. = = = = = 2M. = = = = = 2M. = = = = = = = 2M. = = = = = 2M. = = = = = = = 2 M. = = = = = 2 M. = = = = 2 M. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
U-0/2 designada por g en Ref. 23 y con energías medidas
en términos de ancho de banda completo (en lugar del ancho de banda utilizado aquí).
En este artículo, trabajamos con la densidad gaussiana de estados para los no-
DOS electrónico interactuante, mientras que la referencia 23 utiliza el DOS semielíptico.
En general, esperamos que los valores críticos para la apertura de una brecha a
ser más grande para el caso Gaussian que para el caso semi-elíptico. La crítica
el acoplamiento para los parámetros de la figura 3 c) se encuentra justo por encima de U = 2,0, corre-
sponding en las unidades utilizadas en Ref. 23 a g = 1, en comparación con el
valor encontrado para el DOS semi-elíptico de g = 0,69 (note que debido a la
las diferentes escalas de energía +0 = 2 en nuestros resultados corresponden a +0 = 1 en la
unidades de 23). Sin embargo, las formas de las funciones espectrales son similares en
ambos casos, con una estructura de cinco puntas por debajo y cuatro estructuras de pico
por encima de la transición. Los picos son más estrechos en los resultados del IPT que en el
Los resultados de NRG y hay menos peso en los picos de alta energía. El presente Reglamento será obligatorio en todos sus elementos y directamente aplicable en cada Estado miembro.
reflejar las diferentes DOS, o inexactitudes en el método NRG a frecuencias
lejos de la energía Fermi resultante de la discretización logarítmica, pero
es más probable que las limitaciones del método IPT.
Utilizando el método descrito en la sección 2. es posible calcular el
auto-energía del eje real. La evolución de la temperatura de la parte imaginaria de la
la auto-energía puede verse en la figura 4 para U = 2 y +0 = 2 La auto-energía
a bajas temperaturas y frecuencias pequeñas muestra una cuadrática (Fermi-líquido
como) comportamiento consistente con el estrecho pico de cuasipartículas visto en la especificación-
función tral (Fig 3) y se desarrolla a un pico central amplio en tem-
Peraturas. También hay picos correspondientes a las subbandas Hubbard.
Con el aumento de la temperatura estos picos inducidos por fonones se mueven juntos y
fusionarse en el único máximo central asociado con el incoherente in situ
Dispersión. Este pico se caracteriza naturalmente en el marco de
la formulación del modelo de impureza auto-consistente de las ecuaciones DMFT 6 en
términos de una resonancia Kondo. En esta formulación, el campo medio dinámico
G0() está escrito en términos de una hibridación () entre el sitio orbital y
un baño de electrones de conducción y es por lo tanto equivalente a un Anderson
modelo de impureza con la complicación añadida de que • es dependiente de la frecuencia
y necesita ser computado auto-consistentemente. Sin embargo, muchas de las propiedades
en estado metálico son similares a las del modelo de impureza Anderson.
En particular, el pico central en la función espectral puede ser visto como el
Resonancia Kondo del modelo de impurezas.
Como todas las funciones puntuales conectadas con orden superior a G0 son descuidadas
dentro de DMFT, el cálculo de q = 0 funciones de respuesta es recto-
Ward. Como ejemplo mostramos en la figura 5 la (parte real de la)
ductividad para varias temperaturas con U = 2 y +0 = 2. La estructura
visto en las curvas refleja la estructura de la densidad de los estados. Hay un
fuerte respuesta a bajas frecuencias como pares de partículas-agujero son excitados dentro
la resonancia de cuasipartículas ‘como Kondo’ en la energía Fermi. El segundo
el pico en las frecuencias • • • 1 surge de las excitaciones entre los cuasiparti-
resonancia muscular y el gran satélite (banda Hubbard), mientras que el tercer pico
alrededor de 5.0 implica excitaciones entre los satélites. La primera inmersión
at • = 0.5 es la firma de las pequeñas bandas de Mott cercanas al Kondo
resonancia y es la característica más probable de ser observable experimentalmente.
También se calcula la resistividad en función de la temperatura (figura 6).
Las curvas reflejan la estructura de la autoenergía que se muestra en la Figura 4:
temperaturas la resistividad se eleva cuadráticamente como se espera para interactuar
electrones. La escala de temperatura viene dada por el ancho de banda de cuasipartículas
(en lo sucesivo, «temperatura de Kondo»). Por encima de esta temperatura la resistividad baja como el
la amplitud de dispersión in situ (Kondo) de los electrones se reduce. Hay un pequeño
segundo pico a temperaturas más altas. Las estructuras de la sección................................................................................................................
al comportamiento visto en la auto-energía. Este segundo pico es el resultado de un
aumento en la dispersión de los fonones: estos se suavizan lentamente con el aumento
temperatura y, alrededor del segundo pico en la curva de resistividad, superar
la reducción de la dispersión similar a Kondo a medida que aumenta la temperatura. Esto
efecto implica claramente una cancelación parcial entre dos efectos y, por lo tanto,
puede ser sensible a la exactitud de la continuación analítica, que en
las temperaturas comienzan a partir de la información reducida (desde la mayoría de Mat-
los puntos subara simplemente muestran un comportamiento asintótico).
4. Resumen
Hemos discutido el resultado de cambiar la relación de electrones y
energías fonónicas como método para afinar la cantidad de correlación en un modelo
de las interacciones electrón-fonón. Utilizamos esquemas aproximados para resolver
las funciones espectrales del modelo Holstein. Sobre la base de ese segundo pedido
teoría de la perturbación iterada predice el comportamiento cualitativo correcto en un
gama de acoplamientos en el límite estático, así como la descripción correcta del límite
de infinita frecuencia fonónica, hemos calculado la función espectral en-
denominar frecuencias y acoplamientos. Hemos utilizado una adaptación de la
esquema estándar de la entropía máxima para obtener la función espectral, el auto-
energía y la conductividad del modelo por la continuación analítica. Estos
las cantidades no habían sido estudiadas previamente.
Los resultados del régimen de frecuencias intermedias son coherentes con
lo que podría esperarse sobre la base de los casos limitantes (alto y bajo
frecuencias). En las escalas de energía más pequeñas que 0, el sistema muestra behav-
o similar a la del modelo Hubbard que se encuentra en el límite instantáneo
*0 → *: hay una estrecha banda central de ‘Resonancia-Kondo’ o cuasipartículas.
A grandes energías el modelo se comporta como lo hace en el régimen estático con un
bien definida división de bandas. En frecuencias intermedias la imagen es com-
complicada por la interacción de la pérdida de coherencia en la banda de cuasipartículas
y la renormalización efectiva de la frecuencia fonónica en función de
acoplamiento y temperatura. Sugerimos que si los sistemas con anomalidad
grandes frecuencias fonónicas y acoplamientos existen, a continuación, la conductividad óptica
debe llevar el sello distintivo del régimen de correlación afinado.
5. Agradecimientos
Los autores agradecen a F.Essler y F.Gebhard por su útil
debates.
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-6 -4 -2 0 2 4 6
a) Estático
U=0,33
U=1,17
U=2,00
U=4,50
-6 -4 -2 0 2 4 6
b) IPT
U=0,33
U=1,17
U=2,00
U=4,50
-6 -4 -2 0 2 4 6
c) Conservación
U=0,33
U=1,17
U=2,00
U=4,50
Fig. 2. La función espectral en el límite estático del Holstein semillenado
modelo calculado a temperatura T = 0,08 (a) utilizando la solución exacta y
(b) utilizando el segundo orden IPT a baja frecuencia, +0 = 0,004. La solución del TPI
a esta pequeña frecuencia no cero está bastante cerca de la solución exacta en el
límite estático. En particular, la división de bandas y las posiciones de los máximos
De acuerdo. En contraste, el panel (c) muestra los resultados de la aproximación utilizando
la función completa de Green (Diagram 2c de la figura 1 no se incluye para evitar
overcounting)
-6 -4 -2 0 2 4 6
a) 0=0,056
U=0,33
U=1,17
U=2,00
U=4,50
-6 -4 -2 0 2 4 6
b) 0=0,500
U=0,33
U=2,00
U=4,50
-6 -4 -2 0 2 4 6
c) 0 = 2.000
U=0,33
U=2,00
U=4,50
Fig. 3. Funciones espectrales del modelo Holstein semilleno para varios
acoplamientos electrón-fonón U, aproximados utilizando la perturbación de segundo orden
teoría en T = 0,02 y en 0,06 = 0,056 (superior), 0,0 = 0,5 (centro) y 0,0 = 2
(abajo). En el límite de baja frecuencia (-0 = 0,125), las funciones espectrales
son similares a las del límite estático indicado en la Fig. 2, con sólo un pequeño
efecto de la frecuencia fonónica no cero. Como la temperatura es más baja que
la frecuencia del fonón, el pico de cuasipartícula central se resuelve claramente para
U ≤ 2. Para las frecuencias intermedias (panel central) el pico alrededor
• = 0 es de nuevo transparente y tiene una anchura • • • 0 en el acoplamiento bajo. En la brecha
fase en acoplamientos grandes son visibles dos divisiones de banda. Por la Comisión de las Comunidades Europeas y el Consejo de las Comunidades Europeas
banda se divide al igual que en el límite estático, mientras que para â € â € TM U hay un pico en
una frecuencia fonónica renormalizada (que es menor que la frecuencia fonónica
quency). En las fases ungapped para 0-0 = 0.5 y 2, el comportamiento de baja energía
es similar a la encontrada en el modelo Hubbard con una cuasipartícula estrecha
banda que se forma cerca de la energía Fermi con el valor de la energía Fermi
en el caso de que no interactuase.
-6 -4 -2 0 2 4 6
T=0,08
T=0.16
T=0,32
Fig. 4. Parte imaginaria de la autoenergía del modelo Holstein semilleno
cuando U = 2 y +0 = 2 calculados utilizando el TPI y continuados analíticamente
utilizando MAXENT. A bajas temperaturas el comportamiento de baja frecuencia es Fermi-
líquido como (dependencia cuadrática de ) hasta frecuencias bastante bajas (en
muy bajas frecuencias y bajas temperaturas hay algunas inexactitudes como-
sociable con el truncado en frecuencias Matsubara). Hay picos en
las frecuencias asociadas con la energía fonónica y con U. Como el tem-
la peratura aumenta el mínimo en la energía Fermi ( = 0) aumenta a medida que
Incoherente dispersión in situ en los correspondientes aumentos de impurezas locales
(véase el texto). A temperaturas por encima de la característica (como Kondo) energía
escala el pico central disminuye y desaparece.
0 1 2 3 4 5 6
T=0,08
T=0.16
T=0,32
Fig. 5. La parte real de la conductividad óptica para un sistema con U = 2.0
y +0 = 2,0 para un rango de temperaturas. La estructura del espectro
refleja eso en la densidad de los estados (véase la figura 3. A bajas frecuencias, electrones
puede ser excitado dentro de la resonancia de cuasipartículas. El segundo pico en
• 2.0 representa las excitaciones de la resonancia Kondo al gran satélite
(banda de Hubbard), y el pico en 5.0 representa las excitaciones entre el
satélites.
0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,35 0,4 0,45
U=2,00
U=2,13
U=2,28
Fig. 6. La resistividad en función de la temperatura para el modelo Holstein
en el caso de los ≤0 = 2 para las diferentes resistencias de acoplamiento electrón-fonón. La resistividad es
en unidades de e2V/ha2 con V el volumen unitario de células y un espaciado de celdas de celosía.
El comportamiento refleja lo que se ve en la auto-energía. A bajas temperaturas
el comportamiento es similar al de una celosía Kondo. La resistividad se eleva
bruscamente con temperatura para temperaturas más pequeñas que la cuasipartícula
Ancho de banda. La resistividad entonces baja para temperaturas más grandes que esta
Temperatura de coherencia de celosía. Un simple decaimiento logarítmico con temperatura
no es visible porque, además de los procesos de dispersión Kondo-como,
los electrones están dispersos de los fonones térmicamente excitados cuyos espectrales
el peso se amplía y se desplaza hacia frecuencias más bajas a medida que la temperatura
Se levanta. Esto lleva a un segundo pico. En cambio, el segundo pico no es
visible para el modelo Hubbard, e indica la presencia de dos energía
escalas en el modelo Holstein.
Introducción
Formalismo
Resultados
Resumen
Agradecimientos
| Investigamos el efecto de afinar la energía fonónica en la correlación
efectos en modelos de interacciones electrón-fonón utilizando DMFT. En el régimen
donde electrones itinerantes, correlaciones instantáneas impulsadas por el electrón-fonón
y las distorsiones estáticas compiten en escalas de energía similares, encontramos varios
resultados interesantes incluyendo (1) Un crossover de la banda al comportamiento de Mott en el
función espectral, dando lugar a bandas híbridas / mott características en el espectral
función para frecuencias fonónicas ligeramente más grandes que el ancho de banda. 2) Puesto que
la conductividad óptica depende sensiblemente de la forma del espectro
función, demostramos que un régimen de este tipo debe ser observable a través de la baja
forma de frecuencia de la conductividad óptica. (3) La resistividad tiene un doble
Disposición del pico de kondo
| Introducción
Montaje de pruebas experimentales de altas Tc cuprates 1, niquelados 2,
manganitas 3,4 y otros materiales interesantes sugieren que el electrón grande-
las interacciones fonónicas pueden jugar un papel más importante en la física de
sistemas de electrones correlacionados de lo que se pensaba. Migdal-Eliashberg y
Las teorías de BCS han demostrado ser extremadamente exitosas en la descripción de los efectos de
Los fonones en muchos materiales. Sin embargo, si el acoplamiento entre electrones y
la celosía subyacente es grande, y/o los fonones no pueden ser tratados dentro
una aproximación adiabática, los enfoques convencionales fracasan.
El modelo Holstein contiene la mayor parte de la física fundamental de la
problema del electrón-fonón 5. Los electrones de unión apretada están acoplados al lat-
a través de una interacción local con los modos Einstein. Para el fonón grande
frecuencias, los electrones interactúan con un Hubbard fuertemente correlacionado-como en-
tracción, mientras que para las pequeñas frecuencias fonónicas la celosía da lugar a una estática
http://arxiv.org/abs/0704.0030v1
potencial que es esencialmente poco relacionado. Entre estos dos extremos lim-
su de comportamiento correlacionado y no correlacionado, los niveles de correlación se afinan
por el tamaño de la frecuencia fonónica y la física novedosa se espera. En par-
ticular, es normalmente la fuerza de la interacción que se dice para afinar el
correlación en, por ejemplo, el modelo Hubbard, mientras que en el modelo Holstein, puede
ver que tanto la fuerza de interacción como la frecuencia fonónica pueden competir
el uno con el otro para jugar este papel.
El enfoque dinámico de la teoría del campo medio (DMFT) ha demostrado su eficacia.
cessful en el tratamiento del Holstein y otros modelos 6,7,8. DMFT trata el
auto-energía como una cantidad independiente del impulso y es precisa siempre y cuando
la variación a través de la zona de Brillouin es pequeña. Para muchos aspectos de la
problema electrón-fonón en 3D, correlaciones son de corto alcance y DMFT
se puede aplicar con éxito. Se estudió el diagrama de fase de acoplamiento débil
por Ciuchi y otros en caso de competencia entre la orden de carga (CO) y la superconducción
los estados fueron encontrados 7. Freericks et al. desarrollo de un Montecarlo cuántico
(QMC) algoritmo 8,9 y examinó la aplicabilidad de
ciones basadas en técnicas al problema del electrón-fonón 10,11,12. Los
la predicción de cantidades medibles fuera de ciertos límites bien definidos es
muy restringido debido a las dificultades inherentes a la continuación analítica.
Las propiedades dinámicas como las funciones espectrales pueden ser computadas en el caso
de los fonones estáticos 13, y cerca del límite estático 14. Alternativamente, el límite
de alta frecuencia fonónica (modelo atractivo de Hubbard) se ha estudiado con
un algoritmo QMC 15.
En el estudio actual estamos preocupados por el comportamiento de los dinámicos
propiedades que podrían medirse directamente con el experimento. Usamos el iter-
la aproximación de la teoría de la perturbación, que se ha demostrado que es
precisa para el modelo Hubbard, y utilizar la máxima entropía para el análisis
continuar los resultados. Comparamos la función espectral de una sola partícula resultante.
ciones sobre una amplia gama de fuerzas de acoplamiento electrón-fonón y fonón
frecuencias. Los resultados obtenidos utilizando la teoría de la perturbación iterada (IPT)
son prometedoras y capturan el comportamiento genérico de acoplamiento débil y fuerte para
todas las frecuencias fonónicas. En las frecuencias intermedias del fonón, encontramos que
Las interacciones electrón-fonón producen una función espectral que es simulta-
características neouly tanto de la banda no correlacionada (estático) y fuertemente cor-
regímenes relacionados con Mott/Hubbard. También encontramos que la competencia entre
Los estados similares a la banda y correlacionados causan estructuras inusuales en el con-
ductividad y resistividad. Suministrado un material con bastante alto fonón
frecuencia se puede identificar, es posible que tal estado podría ser observado
experimentalmente.
El presente documento está organizado de la siguiente manera. Primero, presentamos el Holstein
modelo, la teoría de campo medio dinámico y técnicas de continuación analítica
(1a) (2a)
(2b) (2c)
Fig. 1. Contribuciones de segundo orden a la auto-energía. Líneas rectas repre-
El electrón enviado funciones de Green del anfitrión y líneas onduladas fonon Green
funciones.
(sección 2). En la sección 3., utilizamos IPT para determinar las funciones espectrales de
el modelo Holstein. Comparamos IPT con resultados exactamente conocidos en la estática
límite. Esto, junto con las conclusiones de Ref. 11 nos lleva a discutir
que el TPI es una aproximación razonable para el cálculo de
propiedades en el régimen intermedio de frecuencia del fonón. Nosotros computamos el
densidad de estados, conductividad óptica y resistividad, y dar una heurística
explicación de su comportamiento.
2. Formalismo
El Holstein Hamiltonian está escrito como,
H = −t
<ij
iÔcj +
(gxi − μ)ni
M20x
El primer término en este hamiltoniano representa un modelo de unión estrecha con
hopping parámetro t. El segundo término parejas el desplazamiento de iones locales,
xi a la densidad de electrones local. El término final puede ser identificado como el
El fonon Hamiltoniano no interactuante. c
i (ci) crear (aniquilar) electrones a
sitio i, pi es el impulso iónico, M la masa iónica, μ el potencial químico
y g el acoplamiento electrón-fonón. Los fonones son dispersivos con
frecuencia ≤0.
La teoría de la perturbación de este modelo se puede escribir en términos
de electrones interactuando a través de los fonones con la interacción efectiva,
U(is) = −
M(2s +
Aquí, las frecuencias Matsubara para los bosones y s es un
entero. Tomando el límite •0 → •, g → •, manteniendo la relación g/•0
finito, conduce a un atractivo modelo Hubbard con un no retardado en el sitio
interacción U = −g2/M20. Teoría iterada-perturbación (IPT) es conocido por
ser una aproximación razonable al Hubbard semilleno modelo 16,17. Tomando
el límite opuesto (0 → 0, M → •, manteniendo M20 • • finito) el fonón
término de energía cinética desaparece, y los fonones dependen de una variable estática
xi. Como tal, el modelo puede ser considerado como poco relacionado.
Resolvemos el modelo Holstein usando la teoría dinámica del campo medio (DMFT).
DMFT congela las fluctuaciones espaciales, llevando a una teoría que es completamente
impulso independiente, al tiempo que incluye plenamente los efectos dinámicos de la
ciones. A pesar de esta simplificación, DMFT predice que no es trivial (correlativo)
física y puede utilizarse como aproximación a los modelos 3D 18. Tal como se ha examinado
en Ref. 6, DMFT implica la solución de un conjunto de ecuaciones acopladas que
se resuelven auto-consistentemente. La función del verde para el problema de un solo sitio,
G(iün) puede ser escrito en términos de la auto-energía (iün) como,
G−1(iün) = G−10 (iün)− (iün), (3)
donde Ł es una función de G0, la función del verde para el anfitrión de un solo
Modelo de impurezas. Aquí están las frecuencias usuales de Matsubara:
cies. Las suposiciones de DMFT son equivalentes a tomar la auto-energía de
el problema de celosía original para ser local, por lo tanto G también se da por,
G(iün) =
dâ € D(â € k)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde D() la densidad de los estados (DOS) del problema no interactuante (en
nuestro caso g = 0). Trabajamos con un DOS gaussiano que corresponde a un
Enrejado hipercúbico 18, D() = exp(2/2t2)/t
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! Ecuaciones (3) y (4)
se resuelven de acuerdo con el siguiente procedimiento autoconsistente:
la función del verde de la ecuación (4) y la función del verde del anfitrión de la
problema de impureza efectiva, G0, de la ecuación (3); a continuación, calcular un nuevo auto-
energía del anfitrión o las funciones completas de Green. En lo siguiente tomaremos
el parámetro de salto t = 0.5, que establece la escala de energía.
Una vez que el algoritmo ha convergido, y después de continuar analíticamente
el eje real, las funciones de respuesta se pueden calcular. Usamos el MAXENT
método para la determinación de las funciones espectrales a partir del eje Matsubara
datos. MAXENT trata la continuación analítica como un problema inverso 19.
La función del verde, G(z), es dada por la transformación integral,
G(z) =
z − x
dx (5)
donde la función espectral es la función espectral (?(?) = Im[G(? + iη)]/l). El problema
de encontrar, por lo tanto, es uno de invertir la transformación integral. Desde el
Los datos para Gn son incompletos y ruidosos para cualquier conjunto finito de Matsubara fre-
quencies, la inversión del núcleo del problema discriminado está mal definido.
El método MAXENT selecciona la distribución
estructura coherente con los datos calculados o medidos. Estos métodos
han sido ampliamente revisados en el contexto de la inversión del kernel
en Refs. 19,20. La aplicabilidad al problema actual ha sido exhaustiva
probado, y se encuentra que es exacto.
Dentro del formalismo DMFT, muchas funciones de respuesta siguen directamente
de la función espectral de un electrón y el electrón de auto-energía (essen-
tially debido a la negligencia de todas las funciones de punto más alto conectados aparte
del G0). Aquí estaremos interesados en la conductividad 6:
Re[()] =
dâ € € D(â € € € € ~
El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión de la Comisión relativa a la concesión de una ayuda en forma de ayuda estatal en favor de los productores de leche desnatada desnatada en el mercado de la leche desnatada en polvo y desnatada en el mercado de la leche desnatada en polvo y de la leche desnatada en polvo y desnatada en polvo y desnatada en polvo y desnatada en polvo.
donde f(x) es la distribución Fermi-Dirac. Tomando el límite, → 0, lleva
a la conductividad de DC. (La conductividad es en unidades de e2V/ha2, donde un
es el espaciado de la celosía, V el volumen de la célula de la unidad y e y h son el
carga de electrones y constante de Planck respectivamente.)
3. Resultados
En esta sección, examinamos la validez de una aproximación a la auto-
energía construida a partir sólo de los términos de primer y segundo orden con respecto a la
funciones espectrales calculadas a frecuencias fonónicas muy altas y muy bajas.
Finalmente, calculamos la conductividad óptica y la resistividad.
Las funciones espectrales se muestran en las figuras 2 y 3. La teoría de la perturbación
se lleva a cabo en la función del anfitrión Green (es decir. ambos electrones y fonones
están desnudos). Todos los diagramas en fig. 1 se consideran,
1a(iün) = −UT
G0(in) − (in) (in) (in) (in) (in) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
2a(iün) = −2U2T 2
D20(iünm)G0(iüm)G0(iüs)G0(iünm+s) (8)
2b(iün) = U
D0(iüm-s)D0(iün-m)G0(iüm)G0(iüs)G0(iün-m+s)
2c(iün) = U
D0(iünm)D0(iüms)G20(iüm)G0(iüs) (10)
Esto también da el límite de acoplamiento débil correcto para la electrónica Green’s
función.
Primero consideramos el cálculo de funciones espectrales cercanas a la estática
y los límites de Hubbard. En el límite instantáneo las teorías de la perturbación
para los modelos Holstein y Hubbard son equivalentes. Es bien sabido que
segundo orden de la teoría de la perturbación en la función del huésped Green proporciona un
buena aproximación al Hubbard modelo 21. En el límite estático, el exacto
la solución se puede calcular fácilmente 13. La figura 2 muestra las funciones espectrales de
la solución exacta, calculada para una retícula hipercúbica y funciones espectrales,
calculado utilizando la teoría de la perturbación del orden 2 a una temperatura de T = 0,08.
Se eligió la frecuencia fonónica +0 = T/20 para que los efectos de la
La energía cinética fonónica es insignificante en comparación con las fluctuaciones térmicas. Esto
permite una comparación directa entre el exacto y aproximado
resultados. La comparación muestra que las anchuras y posiciones de la mayor
las características están estrechamente relacionadas.
Los resultados en la figura 2 para el límite estático (0 → 0), junto con el
el hecho de que se sabe que el PIT de segundo orden da resultados razonables en la
límite taneoso (0 → ), sugieren que el cálculo de las funciones espectrales
también debe ser fiable en frecuencias intermedias. Observamos que Freericks et
al. también encontrar un acuerdo razonable entre el IPT y QMC auto-energias
en medio relleno, y que esto debería llevar a un buen acuerdo en el Matsub-
ara eje función de Green. Por lo tanto, hemos resuelto las ecuaciones del IPT para
las funciones espectrales en frecuencias intermedias. Mostramos los resultados en
Fig.
Los resultados de los cálculos del IPT en el régimen de cou-
plling (Fig 3) es coherente con los resultados conocidos para los casos limitantes. Por
frecuencias , el sistema tiene el comportamiento cualitativo de la estática
límite: La densidad original no perturbada de los estados se divide en dos sub-bandas
centrado alrededor de ±U/2. Para frecuencias pequeñas (* U,0) e interacción
fuerza, U, menos de algún valor crítico, el sistema se comporta como un in-
modelo de electrón de teracción (Hubbard), ya que la interacción retardada entre
las partículas U(iÃ3s) (véase la ecuaciÃ3n 2) es efectivamente constante para Ãos â â € â € â € 0. Hay
luego una estrecha banda de cuasipartículas en la energía Fermi con densidad de estados
en la energía Fermi fijado en su valor no interactuante 6. También tomamos nota de que
los resultados para el acoplamiento pequeño y las frecuencias pequeñas están de acuerdo
con los calculados utilizando la teoría ME en la fase metálica 22.
Los cálculos recientes del grupo de renormalización (NRG) de Meyer et al.
23,24 también reportan la función espectral en el régimen intermedio. El NRG
es en principio un método exacto para resolver el problema de impureza en el que
el mapa de ecuaciones DMFT. Nuestros resultados son en gran medida consistentes con los de ellos
añadir más apoyo a la utilización del TPI en el régimen intermedio. Cuándo
en comparación con los resultados de Meyer et al 23, hay que tener en cuenta que el Hamil-
toniano (1) es exactamente el considerado en Ref. 23 pero con la cantidad
2M. = = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = 2M. = = 2M. = = 2M. = = 2M. = = 2M. = = = 2M. = = = 2M. = = = 2M. = = = = 2M. = = = = = 2M. = = = = = 2M. = = = = = = = 2M. = = = = = 2M. = = = = = = = 2 M. = = = = = 2 M. = = = = 2 M. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
U-0/2 designada por g en Ref. 23 y con energías medidas
en términos de ancho de banda completo (en lugar del ancho de banda utilizado aquí).
En este artículo, trabajamos con la densidad gaussiana de estados para los no-
DOS electrónico interactuante, mientras que la referencia 23 utiliza el DOS semielíptico.
En general, esperamos que los valores críticos para la apertura de una brecha a
ser más grande para el caso Gaussian que para el caso semi-elíptico. La crítica
el acoplamiento para los parámetros de la figura 3 c) se encuentra justo por encima de U = 2,0, corre-
sponding en las unidades utilizadas en Ref. 23 a g = 1, en comparación con el
valor encontrado para el DOS semi-elíptico de g = 0,69 (note que debido a la
las diferentes escalas de energía +0 = 2 en nuestros resultados corresponden a +0 = 1 en la
unidades de 23). Sin embargo, las formas de las funciones espectrales son similares en
ambos casos, con una estructura de cinco puntas por debajo y cuatro estructuras de pico
por encima de la transición. Los picos son más estrechos en los resultados del IPT que en el
Los resultados de NRG y hay menos peso en los picos de alta energía. El presente Reglamento será obligatorio en todos sus elementos y directamente aplicable en cada Estado miembro.
reflejar las diferentes DOS, o inexactitudes en el método NRG a frecuencias
lejos de la energía Fermi resultante de la discretización logarítmica, pero
es más probable que las limitaciones del método IPT.
Utilizando el método descrito en la sección 2. es posible calcular el
auto-energía del eje real. La evolución de la temperatura de la parte imaginaria de la
la auto-energía puede verse en la figura 4 para U = 2 y +0 = 2 La auto-energía
a bajas temperaturas y frecuencias pequeñas muestra una cuadrática (Fermi-líquido
como) comportamiento consistente con el estrecho pico de cuasipartículas visto en la especificación-
función tral (Fig 3) y se desarrolla a un pico central amplio en tem-
Peraturas. También hay picos correspondientes a las subbandas Hubbard.
Con el aumento de la temperatura estos picos inducidos por fonones se mueven juntos y
fusionarse en el único máximo central asociado con el incoherente in situ
Dispersión. Este pico se caracteriza naturalmente en el marco de
la formulación del modelo de impureza auto-consistente de las ecuaciones DMFT 6 en
términos de una resonancia Kondo. En esta formulación, el campo medio dinámico
G0() está escrito en términos de una hibridación () entre el sitio orbital y
un baño de electrones de conducción y es por lo tanto equivalente a un Anderson
modelo de impureza con la complicación añadida de que • es dependiente de la frecuencia
y necesita ser computado auto-consistentemente. Sin embargo, muchas de las propiedades
en estado metálico son similares a las del modelo de impureza Anderson.
En particular, el pico central en la función espectral puede ser visto como el
Resonancia Kondo del modelo de impurezas.
Como todas las funciones puntuales conectadas con orden superior a G0 son descuidadas
dentro de DMFT, el cálculo de q = 0 funciones de respuesta es recto-
Ward. Como ejemplo mostramos en la figura 5 la (parte real de la)
ductividad para varias temperaturas con U = 2 y +0 = 2. La estructura
visto en las curvas refleja la estructura de la densidad de los estados. Hay un
fuerte respuesta a bajas frecuencias como pares de partículas-agujero son excitados dentro
la resonancia de cuasipartículas ‘como Kondo’ en la energía Fermi. El segundo
el pico en las frecuencias • • • 1 surge de las excitaciones entre los cuasiparti-
resonancia muscular y el gran satélite (banda Hubbard), mientras que el tercer pico
alrededor de 5.0 implica excitaciones entre los satélites. La primera inmersión
at • = 0.5 es la firma de las pequeñas bandas de Mott cercanas al Kondo
resonancia y es la característica más probable de ser observable experimentalmente.
También se calcula la resistividad en función de la temperatura (figura 6).
Las curvas reflejan la estructura de la autoenergía que se muestra en la Figura 4:
temperaturas la resistividad se eleva cuadráticamente como se espera para interactuar
electrones. La escala de temperatura viene dada por el ancho de banda de cuasipartículas
(en lo sucesivo, «temperatura de Kondo»). Por encima de esta temperatura la resistividad baja como el
la amplitud de dispersión in situ (Kondo) de los electrones se reduce. Hay un pequeño
segundo pico a temperaturas más altas. Las estructuras de la sección................................................................................................................
al comportamiento visto en la auto-energía. Este segundo pico es el resultado de un
aumento en la dispersión de los fonones: estos se suavizan lentamente con el aumento
temperatura y, alrededor del segundo pico en la curva de resistividad, superar
la reducción de la dispersión similar a Kondo a medida que aumenta la temperatura. Esto
efecto implica claramente una cancelación parcial entre dos efectos y, por lo tanto,
puede ser sensible a la exactitud de la continuación analítica, que en
las temperaturas comienzan a partir de la información reducida (desde la mayoría de Mat-
los puntos subara simplemente muestran un comportamiento asintótico).
4. Resumen
Hemos discutido el resultado de cambiar la relación de electrones y
energías fonónicas como método para afinar la cantidad de correlación en un modelo
de las interacciones electrón-fonón. Utilizamos esquemas aproximados para resolver
las funciones espectrales del modelo Holstein. Sobre la base de ese segundo pedido
teoría de la perturbación iterada predice el comportamiento cualitativo correcto en un
gama de acoplamientos en el límite estático, así como la descripción correcta del límite
de infinita frecuencia fonónica, hemos calculado la función espectral en-
denominar frecuencias y acoplamientos. Hemos utilizado una adaptación de la
esquema estándar de la entropía máxima para obtener la función espectral, el auto-
energía y la conductividad del modelo por la continuación analítica. Estos
las cantidades no habían sido estudiadas previamente.
Los resultados del régimen de frecuencias intermedias son coherentes con
lo que podría esperarse sobre la base de los casos limitantes (alto y bajo
frecuencias). En las escalas de energía más pequeñas que 0, el sistema muestra behav-
o similar a la del modelo Hubbard que se encuentra en el límite instantáneo
*0 → *: hay una estrecha banda central de ‘Resonancia-Kondo’ o cuasipartículas.
A grandes energías el modelo se comporta como lo hace en el régimen estático con un
bien definida división de bandas. En frecuencias intermedias la imagen es com-
complicada por la interacción de la pérdida de coherencia en la banda de cuasipartículas
y la renormalización efectiva de la frecuencia fonónica en función de
acoplamiento y temperatura. Sugerimos que si los sistemas con anomalidad
grandes frecuencias fonónicas y acoplamientos existen, a continuación, la conductividad óptica
debe llevar el sello distintivo del régimen de correlación afinado.
5. Agradecimientos
Los autores agradecen a F.Essler y F.Gebhard por su útil
debates.
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-6 -4 -2 0 2 4 6
a) Estático
U=0,33
U=1,17
U=2,00
U=4,50
-6 -4 -2 0 2 4 6
b) IPT
U=0,33
U=1,17
U=2,00
U=4,50
-6 -4 -2 0 2 4 6
c) Conservación
U=0,33
U=1,17
U=2,00
U=4,50
Fig. 2. La función espectral en el límite estático del Holstein semillenado
modelo calculado a temperatura T = 0,08 (a) utilizando la solución exacta y
(b) utilizando el segundo orden IPT a baja frecuencia, +0 = 0,004. La solución del TPI
a esta pequeña frecuencia no cero está bastante cerca de la solución exacta en el
límite estático. En particular, la división de bandas y las posiciones de los máximos
De acuerdo. En contraste, el panel (c) muestra los resultados de la aproximación utilizando
la función completa de Green (Diagram 2c de la figura 1 no se incluye para evitar
overcounting)
-6 -4 -2 0 2 4 6
a) 0=0,056
U=0,33
U=1,17
U=2,00
U=4,50
-6 -4 -2 0 2 4 6
b) 0=0,500
U=0,33
U=2,00
U=4,50
-6 -4 -2 0 2 4 6
c) 0 = 2.000
U=0,33
U=2,00
U=4,50
Fig. 3. Funciones espectrales del modelo Holstein semilleno para varios
acoplamientos electrón-fonón U, aproximados utilizando la perturbación de segundo orden
teoría en T = 0,02 y en 0,06 = 0,056 (superior), 0,0 = 0,5 (centro) y 0,0 = 2
(abajo). En el límite de baja frecuencia (-0 = 0,125), las funciones espectrales
son similares a las del límite estático indicado en la Fig. 2, con sólo un pequeño
efecto de la frecuencia fonónica no cero. Como la temperatura es más baja que
la frecuencia del fonón, el pico de cuasipartícula central se resuelve claramente para
U ≤ 2. Para las frecuencias intermedias (panel central) el pico alrededor
• = 0 es de nuevo transparente y tiene una anchura • • • 0 en el acoplamiento bajo. En la brecha
fase en acoplamientos grandes son visibles dos divisiones de banda. Por la Comisión de las Comunidades Europeas y el Consejo de las Comunidades Europeas
banda se divide al igual que en el límite estático, mientras que para â € â € TM U hay un pico en
una frecuencia fonónica renormalizada (que es menor que la frecuencia fonónica
quency). En las fases ungapped para 0-0 = 0.5 y 2, el comportamiento de baja energía
es similar a la encontrada en el modelo Hubbard con una cuasipartícula estrecha
banda que se forma cerca de la energía Fermi con el valor de la energía Fermi
en el caso de que no interactuase.
-6 -4 -2 0 2 4 6
T=0,08
T=0.16
T=0,32
Fig. 4. Parte imaginaria de la autoenergía del modelo Holstein semilleno
cuando U = 2 y +0 = 2 calculados utilizando el TPI y continuados analíticamente
utilizando MAXENT. A bajas temperaturas el comportamiento de baja frecuencia es Fermi-
líquido como (dependencia cuadrática de ) hasta frecuencias bastante bajas (en
muy bajas frecuencias y bajas temperaturas hay algunas inexactitudes como-
sociable con el truncado en frecuencias Matsubara). Hay picos en
las frecuencias asociadas con la energía fonónica y con U. Como el tem-
la peratura aumenta el mínimo en la energía Fermi ( = 0) aumenta a medida que
Incoherente dispersión in situ en los correspondientes aumentos de impurezas locales
(véase el texto). A temperaturas por encima de la característica (como Kondo) energía
escala el pico central disminuye y desaparece.
0 1 2 3 4 5 6
T=0,08
T=0.16
T=0,32
Fig. 5. La parte real de la conductividad óptica para un sistema con U = 2.0
y +0 = 2,0 para un rango de temperaturas. La estructura del espectro
refleja eso en la densidad de los estados (véase la figura 3. A bajas frecuencias, electrones
puede ser excitado dentro de la resonancia de cuasipartículas. El segundo pico en
• 2.0 representa las excitaciones de la resonancia Kondo al gran satélite
(banda de Hubbard), y el pico en 5.0 representa las excitaciones entre el
satélites.
0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,35 0,4 0,45
U=2,00
U=2,13
U=2,28
Fig. 6. La resistividad en función de la temperatura para el modelo Holstein
en el caso de los ≤0 = 2 para las diferentes resistencias de acoplamiento electrón-fonón. La resistividad es
en unidades de e2V/ha2 con V el volumen unitario de células y un espaciado de celdas de celosía.
El comportamiento refleja lo que se ve en la auto-energía. A bajas temperaturas
el comportamiento es similar al de una celosía Kondo. La resistividad se eleva
bruscamente con temperatura para temperaturas más pequeñas que la cuasipartícula
Ancho de banda. La resistividad entonces baja para temperaturas más grandes que esta
Temperatura de coherencia de celosía. Un simple decaimiento logarítmico con temperatura
no es visible porque, además de los procesos de dispersión Kondo-como,
los electrones están dispersos de los fonones térmicamente excitados cuyos espectrales
el peso se amplía y se desplaza hacia frecuencias más bajas a medida que la temperatura
Se levanta. Esto lleva a un segundo pico. En cambio, el segundo pico no es
visible para el modelo Hubbard, e indica la presencia de dos energía
escalas en el modelo Holstein.
Introducción
Formalismo
Resultados
Resumen
Agradecimientos
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phase space | Microsoft Word - Difracción-Arxiv
Canalización cristalina de protones delanteros LHC
con distribución preservada en el espacio de fase
V.M. Biryukov♦
Instituto de Física de Alta Energía, Protvino, 142281, Rusia
Resumen
Demostramos que el cristal puede atrapar una amplia (x, x', y, y', E) distribución de partículas y
canal que se conserva con una alta precisión. Esta distribución muestral-y-hold puede ser
dirigido por un cristal curvado para su análisis aguas abajo. En simulaciones para el 7 TeV Large
Hadron Collider, un cristal adaptado a las trampas de celosía del acelerador 90% de difractivamente
protones dispersos que emergen del punto de interacción con una divergencia 100 veces la
ángulo crítico. Establecemos el criterio para la adaptación al cristal mejorando la eficiencia ~100 veces.
Los ángulos de protones se conservan en transmisión cristalina con precisión hasta 0,1 μrad. Esto
hace factible una aplicación de cristal para medir protones muy avanzados en el LHC.
1. Introducción
Una partícula que entra en la celosía de cristal paralelo a una dirección cristalográfica mayor puede ser
capturado y canalizado por la celosía a lo largo de un eje o plano de cristal [1]. Por ejemplo, un positivo
la partícula puede ser canalizada entre los planos atómicos adyacentes. En un cristal doblado, la canalización
las partículas pueden seguir la curva [2]. Esto llevó a una técnica elegante de dirección de haz por doblado
cristales de canalización [3] ahora explorados experimentalmente durante seis décadas en energía de bajo MeV
[4] a 1 TeV [5]. La técnica se utiliza de forma permanente en IHEP Protvino donde el cristal
Los sistemas extraen protones de 70 anillos principales GeV con una eficiencia del 85% a intensidad de hasta 4×1012
protones que utilizan cristales Si a sólo 2 mm a lo largo de la viga [6]. Canal de cristales doblados en buen acuerdo
con predicciones hasta las más altas energías [6-9].
Las aplicaciones de cristal en el Colisionador de Hadrones grande de 7-TeV se consideran para la colimación de haz
y la extracción [10] y la calibración in situ de los calorímetros CMS y ATLAS [11]. En otro
propuesta, cristal podría capturar las partículas que emergen del punto de interacción (IP) con pequeñas
ángulos y canalizarlos fuera de la viga [12]. Esto podría ayudar a mejorar la medición de
pequeño ángulo elástico y “cuasi-elástico” dispersión en CMS y ATLAS donde menor impulso
transferencias podrían estar disponibles para pp elásticos dispersión y menores pérdidas de impulso de protones
para la física difractiva [12]. A los grupos de CMS (con TOTEM) y ATLAS les gustaría añadir
detectores de protones muy avanzados, 420 m aguas abajo por ambos lados, un proyecto FP420 [13]. Por
detectar protones que han perdido menos del 1% de su impulso longitudinal, un QCD rico,
el programa electrodebil, Higgs y BSM se hace accesible, con el potencial de hacer
medidas únicas en el LHC, y difíciles incluso en un futuro colisionador lineal [13].
Medición del desplazamiento x y del ángulo x’ (en el plano horizontal) de la salida
los protones relativos a la viga permiten la pérdida de impulso p/p y el impulso transversal de la
Protones dispersos para ser reconstruidos. Los protones que emergen de la dispersión difractiva en el LHC tienen
ángulos de emisión muy pequeños (10-150 μrad) y pérdida de impulso fraccional ( = 10-8 – 0,1). Por lo tanto
están muy cerca de la viga y sólo pueden ser detectados en las macetas romanas aguas abajo si su
el desplazamiento en la ubicación del detector es lo suficientemente grande como para escapar del halo del haz [13].
2. Eficiencia de los cristales
Como muestra la práctica, el cristal puede entrar en un espacio muy limitado y obtener partículas de allí [6].
Las aplicaciones de cristal más eficientes se basan en el modo “multipass” donde las partículas pueden
encontrar un cristal muchas veces en el anillo [6,14]. También hay éxito experimental
demostraciones de canalización altamente eficiente en un solo pase, con eficiencia de hasta el 60% en
CERN SPS [15]. A lo largo de este artículo consideramos sólo una canalización de un solo paso.
Demostramos con simulaciones que en el LHC un cristal puede canalizar eficientemente protones hacia adelante.
Para simulaciones de canalización aplicamos un código de captura de Monte Carlo [16] utilizado con éxito para
predicción de experimentos en el CERN SPS [9], IHEP U-70 [6], Tevatron [7], RHIC [8] y KEK
[17] y aplicaciones de cristal en el LHC [10,11].
La captura de cristal es muy selectiva en ángulo. El ángulo crítico C en el que la captura es
Es posible que sea tan pequeño como ±5 μrad / E1/2(TeV) a una E de alta energía en los planos de Silicon (110).
La divergencia de protones de 150 μrad es casi 100 veces C a 7 TeV. Por lo tanto, no es posible
capturar todos estos protones por un cristal plano. Sin embargo, podemos sugerir una solución eficiente
que se benefician del hecho de que todos los protones dispersos diffractivamente proceden de una pequeña región en
la IP.
Para la óptica LHC estándar con valor de función beta en la IP β*=0,55 m, el tamaño del haz en la IP
es un haz de 16 μm rms. La propagación en la posición transversal del punto vértice donde saliente
los protones originarios están determinados por la extensión de rms de la viga y equivalen a As
los protones emergen de la dispersión difractiva en el LHC con ángulos de emisión de hasta 150 μrad y
Anchura de la interacción beam/2, la emisión de la viga que debe quedar atrapada por un cristal es ≤ 2γ μrad-mm
Sólo. Esto corresponde a la aceptación de un cristal Si de tamaño transversal de ~1 mm. La coincidencia de
la emisión de protones difractivos a la aceptación del cristal significa que las partículas podrían ser
♦ http://mail.ihep.ru/~biryukov/
atrapado y canalizado eficientemente. Para darse cuenta de esto, uno tiene que coincidir con el diseño de cristal y
ubicación de la aplicación. Para el escenario LHC con alta luminosidad, encontramos el más eficiente
diseño para ser un cristal con una cara de entrada de enfoque punto a paralelo. Cristal de enfoque propuesto por
A.I Smirnov en 1985 tiene una cara con forma de tal manera que las tangentes a los planos de cristal se cruzan en un foco
línea a cierta distancia LF del cristal [3]. Este tipo de cristal fue probado con éxito en IHEP
donde atrapó de manera eficiente un haz de divergencia de ±2 mrad (o ~100 veces C) [18]. El cristal
atrapa protones que emergen de la línea de enfoque uniformemente de todo el rango angular si la cara de entrada
tiene una forma adecuada [18].
Encontramos que para la canalización más eficiente en el LHC la distancia de enfoque LF de este cristal
debe ser igual a la distancia efectiva Leff entre la ubicación del cristal y la IP. En una deriva
espacio, Leff es la distancia geométrica. En la celosía del acelerador, Leff =(β*βC)1/2sin, donde βC es β valor
en el cristal y es el avance de la fase de la IP al cristal. Un cristal plano con un plano
la cara de entrada tiene LF = فارسى.
En simulaciones con los ajustes de óptica β* bajos, un cristal de enfoque muestra la mejor eficiencia si
instalado en un lugar con una distancia efectiva Leff ≥ 15 m desde la IP. Puede ser un Si (110) o (111)
cristal de Ł(0.15 mrad)×Leff ≥ 2,5 mm de tamaño transversal con el fin de capturar de manera eficiente todos los difractivos
Protones. La simulación predice que un cristal Si(110) de enfoque con LF=Leff atrapa el 90% de 7 TeV
protones que emergen de la IP en el rango angular de 150 μrad ancho en modo de canalización. Los
la cifra de eficiencia es casi independiente de la ubicación del cristal siempre que Leff ≥ 15 m.
La razón de la alta eficiencia en alta Leff es que, a una distancia Leff de la IP, cualquier punto en
la cara de entrada de cristal ve la fuente del haz de tamaño (en la IP) en un ángulo de /Leff. Canalización
la eficiencia se reduce por un factor de aproximadamente (1-(el/Leff-C)2)1/2 [3]. La reducción de la eficiencia mediante una
el factor de 1 a 2L2eff°C2 se convierte en insignificante para L2eff >> 2/ 2°C2 =β*/4°C2 donde se trata de un haz
Emisora. Con β*=0,55 m y cristal Si(110), la eficiencia de canalización satura para L2eff >> (4
Una idea más para la canalización eficiente de protones hacia adelante en el LHC es que un cristal puede ser
instalados con planos paralelos a los planos x’ o y’. Para su aplicación, no es crítico si
cristal dobla protones en plano horizontal o vertical para producir un desplazamiento en el detector. Pero la
distancia Leff en la celosía del acelerador de la IP al cristal puede ser muy diferente en x e y
aviones. Entonces la eficiencia de canalización es muy diferente, si el cristal atrapa protones en x’ o y’
avión. Sugerimos en este caso instalar cristal para la canalización en el plano con Leff más grande.
Por ejemplo, en la ubicación 200 m aguas abajo del IP5 (CMS) y unos 20 m por delante de
la estación de Roman Pot a 220 m donde se podía instalar cristal, Leff a 6 m en x’ y a 20 m en y’
avión. De acuerdo con el análisis anterior, la eficiencia de canalización en el plano y’ debería ser grande mientras que en
x’ plano moderado. De hecho, nuestras simulaciones para esta ubicación muestran una eficiencia de canalización de 87%
en y’ y sólo •60% en x’ plano, para β*=0,55 m y cristales óptimos de Si(110). Un cristal plano de Si
tiene eficiencia de canalización en el plano x’ de sólo 3,5% o 17 veces más bajo que un cristal de enfoque Si
adaptado a la celosía LHC.
Para la fase de ejecución del LHC con β*=2 m encontramos que la eficiencia de canalización de ≥ 85% puede
se alcanzará si el cristal se encuentra en Leff ≥ 30 m aguas abajo del período de investigación. El nominal, alto
La óptica de luminosidad del LHC no está optimizada para la detección de protones hacia adelante. Por lo tanto, a
posibilidad de utilizar un cristal de canalización puede ser muy útil, ya que ofrece oportunidades para diffractive
estudios de física de otro modo inaccesibles en los entornos nominales de LHC.
Las opciones de LHC con un alto β* (1540 y 90 m) están diseñadas para los estudios de diffractive
Física. Con β*=1540 m, la emisión de protones dispersos diffractivamente aumenta a 50
μrad-mm. Esto corresponde a la aceptación de un cristal Si de tamaño transversal ≥ 30 mm. Semejante
cristal no está fuera de discusión, sin embargo, el problema es dónde cabe en el LHC. En términos de Leff,
buena eficiencia de canalización requiere una ubicación con L2eff >> (130 m)2 en esta óptica.
Simulamos la canalización en la ubicación a 200 m de la IP5. En β*=1540 m óptica, un 10 cm
Si(110) cristal atrapado y doblado protones 0,5 mrad en el plano x’ con una eficiencia del 41%. A Ge(110)
cristal muestra allí un 48% de eficiencia, es decir. comparable a Si. Todas las cifras suponen una coincidencia perfecta
LF=Leff en cristal. Un cristal plano de Si da eficiencia de â € ¢1%, o 300 veces menor que un Si
enfoque cristal adaptado a la celosía LHC en esta ubicación.
En β*=90 m opción en la misma ubicación, la elección de avión es importante porque Leff •10 m en
x’ y •170 m en el plano y’. Ubicación preferida debe tener L2eff >> (60 m)2 por lo que esperamos muy
diferentes eficiencias en los planos x’ y y’. Nuestras simulaciones dan una eficiencia cristalina del 72% en y’ y
sólo 7% en x’ plano para β*=90 m. Aquí, la aplicación de cristal es factible sólo con la flexión en
plano vertical.
La baja eficiencia puede excluir un uso de cristal para eventos de intercambio de doble pomeron (pp→pXp)
con reconstrucción de doble brazo, porque la probabilidad de tener canalización en ambos brazos en
La coincidencia se vuelve pequeña, por ejemplo. (41 %)2+17%. Para la reconstrucción de eventos de una sola difracción
(pp→pX) se requieren estudios más detallados antes de los beneficios (o su ausencia) de un cristal
se puede entender el uso con opciones β* altas.
En este artículo sugerimos el uso de un solo cristal para la extracción de protones de halo y
entrega al detector. El uso de un sistema de cristal de 2 etapas [12], primer cristal para extraer un
protón y segundo para doblarlo un gran ángulo, reduciría la eficiencia general por un factor
de ~0.6 (idealmente) o menos. La segunda trampa de cristal sólo parte de los protones canalizados en la primera.
Finalmente, notamos que uno puede filtrar eventos de difracción con un cristal. En lugar de atrapar a todos
protones delanteros, aceptación cristalina se puede hacer más pequeño y muestra, por ejemplo. sólo el más adelante
protones que emergen de la IP con los ángulos de unos pocos μrad.
3. Transmisión precisa en un solo plano (x, x’)
Mientras que los protones se entregan físicamente del IP al detector con buena eficiencia, el
pregunta esencial es si la información sobre el espacio de fase (x, x', y, y', E) distribución de
las partículas se pierden o se corrompen mientras que las partículas se capturan y se transmiten en cristal. Los
El éxito de los experimentos para medir protones de alto impulso hacia adelante en el LHC depende de
la precisión angular de la reconstrucción de la pista de protones. Un cristal simple destruiría la fase
información espacial primero seleccionando partículas de una sola dirección y luego perturbando la
ángulo de salida de partícula por dispersión coherente e incoherente en cristal. Aceptación de cristal plano es
C y la precisión del cristal en la transmisión del ángulo es otra vez C. Eso significa, una simple trampa de cristal y
ofrece información de cero bits en la distribución del ángulo. En este papel diseñamos un cristal con
la aceptación de ~100 C y la precisión de la transmisión del ángulo de ~0.1 C, aunque suene en contra
la naturaleza de la canalización de cristal.
Supongamos que las partículas vienen con una distribución sobre (x, x', y, y', E). Idealmente, nos gustaría
el cristal para atrapar todas las partículas que vienen y preservar su distribución (x, x', y, y', E), y
entonces desplazar un ángulo de cada partícula hacia una configuración física donde esta distribución puede ser
analizada en detalle.
Uno debería resolver dos problemas. Un problema era atrapar y doblar un rayo con una divergencia
mucho mayor que el ángulo crítico. Un cristal de enfoque adaptado a la óptica LHC resuelve esto
problema. En simulaciones, un enfoque de las trampas de cristal con 90% de eficiencia todos los protones que emergen de
la IP con la distribución angular ~100 veces ♥C. Note que las partículas atrapadas conservan completamente
también su distribución sobre el ángulo en el plano ortogonal al plano de canalización. En tal caso,
cristal, las partículas están atrapadas uniformemente a partir de una distribución muy amplia sobre x’ e y’.
Un cristal doblado se transformaría (x, x', y, y') en la entrada en (x, x', y, y') en la salida. A
Hacerlo, cada partícula atrapada tiene que ser canalizada a la misma distancia en cristal. Por lo tanto, el
forma de la cara de salida de cristal debe coincidir con la cara de entrada. Luego en un cristal doblado cada uno canalizado
la partícula recibe el mismo ángulo de flexión.
Aunque el cristal descrito anteriormente puede resolver la idea de muestreo de una amplia distribución de
partículas y su entrega a un destino requerido, el segundo problema es cómo preservar el
Distribución de muestras (x, x', y, y') “congelada” en la transmisión a través de la celosía de cristal tan precisa como
Es posible. Las coordenadas (x, y) de las partículas se conservan obviamente en cristal, por lo que uno debe tomar
cuidado de la precisión en la transmisión de ángulos x’, y’ solamente.
Los protones canalizados entre planos atómicos en cristal son perturbados por (1) oscilaciones en
el plano de canalización con una amplitud de hasta C y por (2) dispersión en un gas electrónico enrarecido
(principalmente electrones de valencia) en ambos planos, x’ e y’. Nótese que la dispersión nuclear no
perturbar la muestra de partículas canalizadas transmitidas ya que este proceso se suprime fuertemente para
partículas positivas canalizadas. Simplemente diciendo, cualquier partícula nuclear dispersa sería descanalizada
y por lo tanto no está presente en la muestra de partículas dobladas.
Eso nos da la primera idea que resuelve parcialmente el problema de la exactitud de la transmisión. Los
La idea es que la información sobre las partículas capturadas por cristal está muy bien preservada en un plano, por ejemplo.
(x, x'), mientras que las partículas están atrapadas y dobladas en otro plano, por ejemplo. (y, y’). Note que la partícula
distribución en el plano ortogonal a la canalización se favorece dos veces. En primer lugar, son fácilmente
atrapados con una amplia distribución angular; en segundo lugar, se transmiten con muy poco
Dispersión. La información en este avión será mejor preservada. La oportunidad de tener datos perfectos
en un solo plano es interesante para las aplicaciones. La reconstrucción de la masa bosónica de Higgs en
reacción pp→p+H+p requiere datos (x, x’) solo en plano horizontal [13].
Figura 1 La diferencia en los ángulos de protones, x’ e y’, antes y después de un cristal Si(110).
Las oscilaciones en el plano de canalización en el potencial atómico coherente son un problema mayor.
Fig. 1 muestra una distribución de la diferencia en el ángulo de protones en los planos x’ e y’ antes y después de una
canalización en cristal, (x’OUT – x’IN) y (y’OUT – y’IN – 0,1 mrad), tal como se obtiene en simulaciones para una
Si(110) canalización de cristal doblado en el plano y’. La precisión en la transmisión de x’ en cristal es muy
Bien, ~0.1 μrad rms. La anchura de la distribución (y’OUT – y’IN – 0,1 mrad) es mucho mayor
debido a oscilaciones en el potencial de los planos Si (110).
4. Transmisión precisa en ambos planos
Para resolver el problema de la precisión en el otro plano, es decir. el plano de canalización, una solución
es utilizar un canal con un ángulo crítico inferior, por ejemplo Si(100) en lugar de (110) o (111). A
solución más universal es utilizar un cristal fuertemente doblado. El ángulo crítico C es gradualmente
reducido a cero cuando la curvatura del cristal se acerca a un valor crítico. El fuerte enfoque de un
cristal fuertemente doblado suprime oscilaciones de canalización a cualquier nivel bajo necesario en el
aplicación.
Fig. 2 muestra la diferencia en el ángulo de protones en los planos x’ y y’ antes y después de la canalización en un
cristal, (x’OUT – x’IN– 0,1 mrad) y (y’OUT – y’IN), obtenidos en simulaciones para un Si(100) de 2 mm
cristal doblado 0,1 mrad. Los protones fueron canalizados en plano x’. El valor rms de la mancha de ángulo
Se encuentra en simulaciones de 0,2 μrad tanto para x’ como para y’.
Figura 2 Lo mismo que en la Fig. 1 pero para un cristal de Si (100) fuertemente doblado.
Esta precisión debe compararse con la resolución angular de los detectores aguas abajo de
el cristal. Coordenadas de protones de medición con resolución de ~10 μm [13] sobre una base de ~8 m como
permitido por un espacio de deriva daría una precisión angular de ~1,4×10μm/8m=1,8 μrad. Adición
(cuadratica) de las precisiónes de transmisión cristalina no cambia esta resolución. Eso sería
perfecto para cristal. Con una resolución mucho mejor en el lado del detector, hasta 0,5 μrad, el
la resolución total se convierte en ~0,55 μrad, es decir, Sólo un poco perturbado. Transmisión de cristal en ambos
aviones, x’ y y’, todavía es casi perfecto.
Debido a la dispersión en el gas electrónico, los protones pierden energía en el cristal. En simulaciones, el
la pérdida de energía y sus fluctuaciones en el cristal son de 10-7-10-6 E/E, es decir, mucho más pequeño que incluso el
energía nominal esparcida en el haz LHC, 1.1×10-4. Las pérdidas de energía en cristales doblados fueron estudiadas en
experimentos en el CERN SPS con protones de 450 iones GeV y Pb de 33 TeV donde la captura
Las predicciones también fueron validadas [9]. Los protones dispersados difractivamente tendrían energía esparcida
por orden de 100 GeV, o E/E, 1,5 %, en la entrada de cristal. En simulaciones con β*=0,55-2
m óptica, la eficiencia de canalización era completamente independiente de la energía, incluso para E/E10%. In
alta β* opciones, la eficiencia del cristal fue uniforme dentro de 0,7% para E/E 1,5%. Se puede decir que un
la distribución del espacio de fase (x, y, x', y', E) puede ser perfectamente conservado en cristal y no hay información es
perdido en la transmisión en cristal.
Figura 3 Ejemplo de espacio de viga (x’, y’) en la entrada del cristal (a) y en la salida (b).
Fig. 3 muestra un ejemplo de una (x’, y’) parcela en la entrada del cristal (a) y en la salida de ella
(b) donde tratamos de mostrar con qué precisión un cristal puede transmitir una firma en el espacio angular
(semicírculo elegido como sonda). La resolución de la imagen transmitida por un cristal es ~0.2 μrad
en ambos aviones. En términos del ángulo de canalización crítico ŁC, la resolución obtenida es un orden de
la magnitud más fina que el C, mientras que el tamaño de la zona atrapada y canalizada puede ser algunos órdenes de
magnitud superior a C.
En las aplicaciones no tiene sentido tener una transmisión de cristal demasiado perfecta. Debería coincidir.
las demás fuentes de inexactitud, como una dispersión múltiple en los detectores y cámaras de vacío,
etc. Al ajustar los parámetros de cristal, en principio, se podría mejorar mucho en la precisión de la
imagen de haz aguas abajo del cristal, pero floja en el brillo de la imagen, es decir, en la tasa estadística,
ya que la eficiencia de la transmisión de cristal podría verse afectada.
Finalmente, sugerimos otra idea para el plano de canalización (una “idea microscópica”) que mejora
No sólo la precisión del cristal, sino incluso la resolución del detector en ese plano. El cristal puede magnificar
imagen de haz en un plano, p. ej. transformar los valores de entrada (x, x', y, y') en valores de salida (x, Nx'
, y, y'). El factor de aumento N puede ser tan grande como 2 o 10 o incluso 100, y servir al propósito
aumentar considerablemente la resolución angular global en x». En los ejemplos anteriores, la
la resolución fue ~1 μrad definida por la resolución del detector. Con la óptica de aumento, el total
la inexactitud en x’ se reduciría efectivamente por el factor N, con lo que se situaría por debajo de 0,1 μrad rms.
La ampliación se realiza haciendo la forma de la cara de salida de cristal diferente de la entrada
Cara. Con un factor de aumento de 10, por ejemplo, la apertura angular de entrada de 50 μrad sería
corresponde a la apertura de salida de 500 μrad.
5. Conclusión
Hemos demostrado en simulaciones que la celosía de cristal puede atrapar con un 90% de eficiencia un haz con un
(x', y') distribución mucho más amplia que un ángulo crítico. Para lograr eso, uno tiene que igualar el
longitud de enfoque de cristal a la longitud efectiva entre la fuente de partículas y el cristal en el
Enrejado acelerador. Adaptación de cristal a la celosía del acelerador mejora la eficiencia de canalización hasta
300 veces. Cristal puede transmitir las partículas atrapadas en estados canalizados con el espacio de fase (x,
distribución x', y, y', E) preservado con precisión un orden de magnitud más fino que ŁC. Varios
soluciones fueron propuestas y apoyadas por simulaciones para lograr una resolución fina en cristal
transmisión.
Esto puede dar un instrumento de haz para productos de colisión en colisionadores. Por lo general, haz acelerador
los instrumentos preparan las partículas para la colisión: enfriándolas, doblando, enfocando, etc. Detectores
resolver los resultados de la colisión. Cambiamos esto un poco mediante la introducción de la óptica de cristal entre el
punto de colisión y detectores.
Un cristal adaptado a la celosía LHC puede atrapar con una eficiencia del 90% todos los protones que emergen de
la IP con divergencias de 150 μrad o ~100°C. Los protones atrapados pueden ser canalizados a detectores
con precisión hasta 0,1 μrad rms. Esto hace factible una aplicación de cristal para el
medición de la dispersión difractiva en CMS y ATLAS en el LHC. Mientras mostrábamos el
capacidades físicas de canalización de cristal, su aplicación real en el entorno LHC tiene que
tener en cuenta muchas consideraciones técnicas para encajar en la infraestructura de acelerador existente
y detectores.
Canalización cristalina de protones delanteros LHC puede mejorar la aceptación de protones en el impulso
las pérdidas y la transferencia de cuatro momentum t tanto en TOTEM y FP420 y permiten llegar a la más pequeña
el posible valor del ángulo de dispersión [9]. Ahora el área sensible del detector comienza en ~12-15
el haz LHC [10]. El cristal se puede colocar en ~6 del haz LHC ya que es muy pequeño, ~cm Si,
y no provoca inestabilidad del haz. Tal cristal puede atrapar y entregar un muy útil
información sobre los protones “cuasielásticos” y elásticos de mayor impulso en LHC,
no está disponible de otra manera.
También hay beneficios prácticos. Crystal relajaría los estrictos requisitos en β* necesarios para
TOTEM. Cristal puede permitir que TOTEM se ejecute en el inicio temprano del LHC, posiblemente corriendo en
paralelo a otros experimentos. Gracias al cristal, los detectores FP420 podrían posiblemente residir fuera de la
región fría. Los detectores no necesitan ser sin filo. Cristal funciona mejor con bajo β*, donde
El FP420 está más interesado. Si los detectores se pueden distanciar más de la viga, fondo
las condiciones pueden mejorar. Para la inyección, las áreas activas de los detectores deben mantenerse alejadas de
las vigas y luego se movió hacia atrás; en cambio, uno puede mover un cristal. Cristal se puede introducir en
experimentar en una etapa posterior en un intento de ampliar los horizontes del programa de física.
Bibliografía
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[18] V.I. Baranov et al., Nucl. Instr. y Meth. B 95, 449 (1995).
| Demostramos que el cristal puede atrapar una amplia (x, x', y, y', E) distribución de
las partículas y el canal lo conservan con una alta precisión. Esta muestra-y-mano
la distribución puede ser dirigida por un cristal doblado para el análisis aguas abajo. In
simulaciones para el 7 TeV Gran Colisionador de Hadrones, un cristal adaptado al
El 90% de los protones dispersos que emergen de
el punto de interacción con una divergencia 100 veces el ángulo crítico. Nos pusimos
el criterio para la adaptación al cristal que mejora la eficiencia ~100 veces. Protón
ángulos se conservan en la transmisión de cristal con precisión hasta 0.1
microrad. Esto hace factible una aplicación de cristal para medir muy hacia adelante
Protones en el LHC.
| Introducción
Una partícula que entra en la celosía de cristal paralelo a una dirección cristalográfica mayor puede ser
capturado y canalizado por la celosía a lo largo de un eje o plano de cristal [1]. Por ejemplo, un positivo
la partícula puede ser canalizada entre los planos atómicos adyacentes. En un cristal doblado, la canalización
las partículas pueden seguir la curva [2]. Esto llevó a una técnica elegante de dirección de haz por doblado
cristales de canalización [3] ahora explorados experimentalmente durante seis décadas en energía de bajo MeV
[4] a 1 TeV [5]. La técnica se utiliza de forma permanente en IHEP Protvino donde el cristal
Los sistemas extraen protones de 70 anillos principales GeV con una eficiencia del 85% a intensidad de hasta 4×1012
protones que utilizan cristales Si a sólo 2 mm a lo largo de la viga [6]. Canal de cristales doblados en buen acuerdo
con predicciones hasta las más altas energías [6-9].
Las aplicaciones de cristal en el Colisionador de Hadrones grande de 7-TeV se consideran para la colimación de haz
y la extracción [10] y la calibración in situ de los calorímetros CMS y ATLAS [11]. En otro
propuesta, cristal podría capturar las partículas que emergen del punto de interacción (IP) con pequeñas
ángulos y canalizarlos fuera de la viga [12]. Esto podría ayudar a mejorar la medición de
pequeño ángulo elástico y “cuasi-elástico” dispersión en CMS y ATLAS donde menor impulso
transferencias podrían estar disponibles para pp elásticos dispersión y menores pérdidas de impulso de protones
para la física difractiva [12]. A los grupos de CMS (con TOTEM) y ATLAS les gustaría añadir
detectores de protones muy avanzados, 420 m aguas abajo por ambos lados, un proyecto FP420 [13]. Por
detectar protones que han perdido menos del 1% de su impulso longitudinal, un QCD rico,
el programa electrodebil, Higgs y BSM se hace accesible, con el potencial de hacer
medidas únicas en el LHC, y difíciles incluso en un futuro colisionador lineal [13].
Medición del desplazamiento x y del ángulo x’ (en el plano horizontal) de la salida
los protones relativos a la viga permiten la pérdida de impulso p/p y el impulso transversal de la
Protones dispersos para ser reconstruidos. Los protones que emergen de la dispersión difractiva en el LHC tienen
ángulos de emisión muy pequeños (10-150 μrad) y pérdida de impulso fraccional ( = 10-8 – 0,1). Por lo tanto
están muy cerca de la viga y sólo pueden ser detectados en las macetas romanas aguas abajo si su
el desplazamiento en la ubicación del detector es lo suficientemente grande como para escapar del halo del haz [13].
2. Eficiencia de los cristales
Como muestra la práctica, el cristal puede entrar en un espacio muy limitado y obtener partículas de allí [6].
Las aplicaciones de cristal más eficientes se basan en el modo “multipass” donde las partículas pueden
encontrar un cristal muchas veces en el anillo [6,14]. También hay éxito experimental
demostraciones de canalización altamente eficiente en un solo pase, con eficiencia de hasta el 60% en
CERN SPS [15]. A lo largo de este artículo consideramos sólo una canalización de un solo paso.
Demostramos con simulaciones que en el LHC un cristal puede canalizar eficientemente protones hacia adelante.
Para simulaciones de canalización aplicamos un código de captura de Monte Carlo [16] utilizado con éxito para
predicción de experimentos en el CERN SPS [9], IHEP U-70 [6], Tevatron [7], RHIC [8] y KEK
[17] y aplicaciones de cristal en el LHC [10,11].
La captura de cristal es muy selectiva en ángulo. El ángulo crítico C en el que la captura es
Es posible que sea tan pequeño como ±5 μrad / E1/2(TeV) a una E de alta energía en los planos de Silicon (110).
La divergencia de protones de 150 μrad es casi 100 veces C a 7 TeV. Por lo tanto, no es posible
capturar todos estos protones por un cristal plano. Sin embargo, podemos sugerir una solución eficiente
que se benefician del hecho de que todos los protones dispersos diffractivamente proceden de una pequeña región en
la IP.
Para la óptica LHC estándar con valor de función beta en la IP β*=0,55 m, el tamaño del haz en la IP
es un haz de 16 μm rms. La propagación en la posición transversal del punto vértice donde saliente
los protones originarios están determinados por la extensión de rms de la viga y equivalen a As
los protones emergen de la dispersión difractiva en el LHC con ángulos de emisión de hasta 150 μrad y
Anchura de la interacción beam/2, la emisión de la viga que debe quedar atrapada por un cristal es ≤ 2γ μrad-mm
Sólo. Esto corresponde a la aceptación de un cristal Si de tamaño transversal de ~1 mm. La coincidencia de
la emisión de protones difractivos a la aceptación del cristal significa que las partículas podrían ser
♦ http://mail.ihep.ru/~biryukov/
atrapado y canalizado eficientemente. Para darse cuenta de esto, uno tiene que coincidir con el diseño de cristal y
ubicación de la aplicación. Para el escenario LHC con alta luminosidad, encontramos el más eficiente
diseño para ser un cristal con una cara de entrada de enfoque punto a paralelo. Cristal de enfoque propuesto por
A.I Smirnov en 1985 tiene una cara con forma de tal manera que las tangentes a los planos de cristal se cruzan en un foco
línea a cierta distancia LF del cristal [3]. Este tipo de cristal fue probado con éxito en IHEP
donde atrapó de manera eficiente un haz de divergencia de ±2 mrad (o ~100 veces C) [18]. El cristal
atrapa protones que emergen de la línea de enfoque uniformemente de todo el rango angular si la cara de entrada
tiene una forma adecuada [18].
Encontramos que para la canalización más eficiente en el LHC la distancia de enfoque LF de este cristal
debe ser igual a la distancia efectiva Leff entre la ubicación del cristal y la IP. En una deriva
espacio, Leff es la distancia geométrica. En la celosía del acelerador, Leff =(β*βC)1/2sin, donde βC es β valor
en el cristal y es el avance de la fase de la IP al cristal. Un cristal plano con un plano
la cara de entrada tiene LF = فارسى.
En simulaciones con los ajustes de óptica β* bajos, un cristal de enfoque muestra la mejor eficiencia si
instalado en un lugar con una distancia efectiva Leff ≥ 15 m desde la IP. Puede ser un Si (110) o (111)
cristal de Ł(0.15 mrad)×Leff ≥ 2,5 mm de tamaño transversal con el fin de capturar de manera eficiente todos los difractivos
Protones. La simulación predice que un cristal Si(110) de enfoque con LF=Leff atrapa el 90% de 7 TeV
protones que emergen de la IP en el rango angular de 150 μrad ancho en modo de canalización. Los
la cifra de eficiencia es casi independiente de la ubicación del cristal siempre que Leff ≥ 15 m.
La razón de la alta eficiencia en alta Leff es que, a una distancia Leff de la IP, cualquier punto en
la cara de entrada de cristal ve la fuente del haz de tamaño (en la IP) en un ángulo de /Leff. Canalización
la eficiencia se reduce por un factor de aproximadamente (1-(el/Leff-C)2)1/2 [3]. La reducción de la eficiencia mediante una
el factor de 1 a 2L2eff°C2 se convierte en insignificante para L2eff >> 2/ 2°C2 =β*/4°C2 donde se trata de un haz
Emisora. Con β*=0,55 m y cristal Si(110), la eficiencia de canalización satura para L2eff >> (4
Una idea más para la canalización eficiente de protones hacia adelante en el LHC es que un cristal puede ser
instalados con planos paralelos a los planos x’ o y’. Para su aplicación, no es crítico si
cristal dobla protones en plano horizontal o vertical para producir un desplazamiento en el detector. Pero la
distancia Leff en la celosía del acelerador de la IP al cristal puede ser muy diferente en x e y
aviones. Entonces la eficiencia de canalización es muy diferente, si el cristal atrapa protones en x’ o y’
avión. Sugerimos en este caso instalar cristal para la canalización en el plano con Leff más grande.
Por ejemplo, en la ubicación 200 m aguas abajo del IP5 (CMS) y unos 20 m por delante de
la estación de Roman Pot a 220 m donde se podía instalar cristal, Leff a 6 m en x’ y a 20 m en y’
avión. De acuerdo con el análisis anterior, la eficiencia de canalización en el plano y’ debería ser grande mientras que en
x’ plano moderado. De hecho, nuestras simulaciones para esta ubicación muestran una eficiencia de canalización de 87%
en y’ y sólo •60% en x’ plano, para β*=0,55 m y cristales óptimos de Si(110). Un cristal plano de Si
tiene eficiencia de canalización en el plano x’ de sólo 3,5% o 17 veces más bajo que un cristal de enfoque Si
adaptado a la celosía LHC.
Para la fase de ejecución del LHC con β*=2 m encontramos que la eficiencia de canalización de ≥ 85% puede
se alcanzará si el cristal se encuentra en Leff ≥ 30 m aguas abajo del período de investigación. El nominal, alto
La óptica de luminosidad del LHC no está optimizada para la detección de protones hacia adelante. Por lo tanto, a
posibilidad de utilizar un cristal de canalización puede ser muy útil, ya que ofrece oportunidades para diffractive
estudios de física de otro modo inaccesibles en los entornos nominales de LHC.
Las opciones de LHC con un alto β* (1540 y 90 m) están diseñadas para los estudios de diffractive
Física. Con β*=1540 m, la emisión de protones dispersos diffractivamente aumenta a 50
μrad-mm. Esto corresponde a la aceptación de un cristal Si de tamaño transversal ≥ 30 mm. Semejante
cristal no está fuera de discusión, sin embargo, el problema es dónde cabe en el LHC. En términos de Leff,
buena eficiencia de canalización requiere una ubicación con L2eff >> (130 m)2 en esta óptica.
Simulamos la canalización en la ubicación a 200 m de la IP5. En β*=1540 m óptica, un 10 cm
Si(110) cristal atrapado y doblado protones 0,5 mrad en el plano x’ con una eficiencia del 41%. A Ge(110)
cristal muestra allí un 48% de eficiencia, es decir. comparable a Si. Todas las cifras suponen una coincidencia perfecta
LF=Leff en cristal. Un cristal plano de Si da eficiencia de â € ¢1%, o 300 veces menor que un Si
enfoque cristal adaptado a la celosía LHC en esta ubicación.
En β*=90 m opción en la misma ubicación, la elección de avión es importante porque Leff •10 m en
x’ y •170 m en el plano y’. Ubicación preferida debe tener L2eff >> (60 m)2 por lo que esperamos muy
diferentes eficiencias en los planos x’ y y’. Nuestras simulaciones dan una eficiencia cristalina del 72% en y’ y
sólo 7% en x’ plano para β*=90 m. Aquí, la aplicación de cristal es factible sólo con la flexión en
plano vertical.
La baja eficiencia puede excluir un uso de cristal para eventos de intercambio de doble pomeron (pp→pXp)
con reconstrucción de doble brazo, porque la probabilidad de tener canalización en ambos brazos en
La coincidencia se vuelve pequeña, por ejemplo. (41 %)2+17%. Para la reconstrucción de eventos de una sola difracción
(pp→pX) se requieren estudios más detallados antes de los beneficios (o su ausencia) de un cristal
se puede entender el uso con opciones β* altas.
En este artículo sugerimos el uso de un solo cristal para la extracción de protones de halo y
entrega al detector. El uso de un sistema de cristal de 2 etapas [12], primer cristal para extraer un
protón y segundo para doblarlo un gran ángulo, reduciría la eficiencia general por un factor
de ~0.6 (idealmente) o menos. La segunda trampa de cristal sólo parte de los protones canalizados en la primera.
Finalmente, notamos que uno puede filtrar eventos de difracción con un cristal. En lugar de atrapar a todos
protones delanteros, aceptación cristalina se puede hacer más pequeño y muestra, por ejemplo. sólo el más adelante
protones que emergen de la IP con los ángulos de unos pocos μrad.
3. Transmisión precisa en un solo plano (x, x’)
Mientras que los protones se entregan físicamente del IP al detector con buena eficiencia, el
pregunta esencial es si la información sobre el espacio de fase (x, x', y, y', E) distribución de
las partículas se pierden o se corrompen mientras que las partículas se capturan y se transmiten en cristal. Los
El éxito de los experimentos para medir protones de alto impulso hacia adelante en el LHC depende de
la precisión angular de la reconstrucción de la pista de protones. Un cristal simple destruiría la fase
información espacial primero seleccionando partículas de una sola dirección y luego perturbando la
ángulo de salida de partícula por dispersión coherente e incoherente en cristal. Aceptación de cristal plano es
C y la precisión del cristal en la transmisión del ángulo es otra vez C. Eso significa, una simple trampa de cristal y
ofrece información de cero bits en la distribución del ángulo. En este papel diseñamos un cristal con
la aceptación de ~100 C y la precisión de la transmisión del ángulo de ~0.1 C, aunque suene en contra
la naturaleza de la canalización de cristal.
Supongamos que las partículas vienen con una distribución sobre (x, x', y, y', E). Idealmente, nos gustaría
el cristal para atrapar todas las partículas que vienen y preservar su distribución (x, x', y, y', E), y
entonces desplazar un ángulo de cada partícula hacia una configuración física donde esta distribución puede ser
analizada en detalle.
Uno debería resolver dos problemas. Un problema era atrapar y doblar un rayo con una divergencia
mucho mayor que el ángulo crítico. Un cristal de enfoque adaptado a la óptica LHC resuelve esto
problema. En simulaciones, un enfoque de las trampas de cristal con 90% de eficiencia todos los protones que emergen de
la IP con la distribución angular ~100 veces ♥C. Note que las partículas atrapadas conservan completamente
también su distribución sobre el ángulo en el plano ortogonal al plano de canalización. En tal caso,
cristal, las partículas están atrapadas uniformemente a partir de una distribución muy amplia sobre x’ e y’.
Un cristal doblado se transformaría (x, x', y, y') en la entrada en (x, x', y, y') en la salida. A
Hacerlo, cada partícula atrapada tiene que ser canalizada a la misma distancia en cristal. Por lo tanto, el
forma de la cara de salida de cristal debe coincidir con la cara de entrada. Luego en un cristal doblado cada uno canalizado
la partícula recibe el mismo ángulo de flexión.
Aunque el cristal descrito anteriormente puede resolver la idea de muestreo de una amplia distribución de
partículas y su entrega a un destino requerido, el segundo problema es cómo preservar el
Distribución de muestras (x, x', y, y') “congelada” en la transmisión a través de la celosía de cristal tan precisa como
Es posible. Las coordenadas (x, y) de las partículas se conservan obviamente en cristal, por lo que uno debe tomar
cuidado de la precisión en la transmisión de ángulos x’, y’ solamente.
Los protones canalizados entre planos atómicos en cristal son perturbados por (1) oscilaciones en
el plano de canalización con una amplitud de hasta C y por (2) dispersión en un gas electrónico enrarecido
(principalmente electrones de valencia) en ambos planos, x’ e y’. Nótese que la dispersión nuclear no
perturbar la muestra de partículas canalizadas transmitidas ya que este proceso se suprime fuertemente para
partículas positivas canalizadas. Simplemente diciendo, cualquier partícula nuclear dispersa sería descanalizada
y por lo tanto no está presente en la muestra de partículas dobladas.
Eso nos da la primera idea que resuelve parcialmente el problema de la exactitud de la transmisión. Los
La idea es que la información sobre las partículas capturadas por cristal está muy bien preservada en un plano, por ejemplo.
(x, x'), mientras que las partículas están atrapadas y dobladas en otro plano, por ejemplo. (y, y’). Note que la partícula
distribución en el plano ortogonal a la canalización se favorece dos veces. En primer lugar, son fácilmente
atrapados con una amplia distribución angular; en segundo lugar, se transmiten con muy poco
Dispersión. La información en este avión será mejor preservada. La oportunidad de tener datos perfectos
en un solo plano es interesante para las aplicaciones. La reconstrucción de la masa bosónica de Higgs en
reacción pp→p+H+p requiere datos (x, x’) solo en plano horizontal [13].
Figura 1 La diferencia en los ángulos de protones, x’ e y’, antes y después de un cristal Si(110).
Las oscilaciones en el plano de canalización en el potencial atómico coherente son un problema mayor.
Fig. 1 muestra una distribución de la diferencia en el ángulo de protones en los planos x’ e y’ antes y después de una
canalización en cristal, (x’OUT – x’IN) y (y’OUT – y’IN – 0,1 mrad), tal como se obtiene en simulaciones para una
Si(110) canalización de cristal doblado en el plano y’. La precisión en la transmisión de x’ en cristal es muy
Bien, ~0.1 μrad rms. La anchura de la distribución (y’OUT – y’IN – 0,1 mrad) es mucho mayor
debido a oscilaciones en el potencial de los planos Si (110).
4. Transmisión precisa en ambos planos
Para resolver el problema de la precisión en el otro plano, es decir. el plano de canalización, una solución
es utilizar un canal con un ángulo crítico inferior, por ejemplo Si(100) en lugar de (110) o (111). A
solución más universal es utilizar un cristal fuertemente doblado. El ángulo crítico C es gradualmente
reducido a cero cuando la curvatura del cristal se acerca a un valor crítico. El fuerte enfoque de un
cristal fuertemente doblado suprime oscilaciones de canalización a cualquier nivel bajo necesario en el
aplicación.
Fig. 2 muestra la diferencia en el ángulo de protones en los planos x’ y y’ antes y después de la canalización en un
cristal, (x’OUT – x’IN– 0,1 mrad) y (y’OUT – y’IN), obtenidos en simulaciones para un Si(100) de 2 mm
cristal doblado 0,1 mrad. Los protones fueron canalizados en plano x’. El valor rms de la mancha de ángulo
Se encuentra en simulaciones de 0,2 μrad tanto para x’ como para y’.
Figura 2 Lo mismo que en la Fig. 1 pero para un cristal de Si (100) fuertemente doblado.
Esta precisión debe compararse con la resolución angular de los detectores aguas abajo de
el cristal. Coordenadas de protones de medición con resolución de ~10 μm [13] sobre una base de ~8 m como
permitido por un espacio de deriva daría una precisión angular de ~1,4×10μm/8m=1,8 μrad. Adición
(cuadratica) de las precisiónes de transmisión cristalina no cambia esta resolución. Eso sería
perfecto para cristal. Con una resolución mucho mejor en el lado del detector, hasta 0,5 μrad, el
la resolución total se convierte en ~0,55 μrad, es decir, Sólo un poco perturbado. Transmisión de cristal en ambos
aviones, x’ y y’, todavía es casi perfecto.
Debido a la dispersión en el gas electrónico, los protones pierden energía en el cristal. En simulaciones, el
la pérdida de energía y sus fluctuaciones en el cristal son de 10-7-10-6 E/E, es decir, mucho más pequeño que incluso el
energía nominal esparcida en el haz LHC, 1.1×10-4. Las pérdidas de energía en cristales doblados fueron estudiadas en
experimentos en el CERN SPS con protones de 450 iones GeV y Pb de 33 TeV donde la captura
Las predicciones también fueron validadas [9]. Los protones dispersados difractivamente tendrían energía esparcida
por orden de 100 GeV, o E/E, 1,5 %, en la entrada de cristal. En simulaciones con β*=0,55-2
m óptica, la eficiencia de canalización era completamente independiente de la energía, incluso para E/E10%. In
alta β* opciones, la eficiencia del cristal fue uniforme dentro de 0,7% para E/E 1,5%. Se puede decir que un
la distribución del espacio de fase (x, y, x', y', E) puede ser perfectamente conservado en cristal y no hay información es
perdido en la transmisión en cristal.
Figura 3 Ejemplo de espacio de viga (x’, y’) en la entrada del cristal (a) y en la salida (b).
Fig. 3 muestra un ejemplo de una (x’, y’) parcela en la entrada del cristal (a) y en la salida de ella
(b) donde tratamos de mostrar con qué precisión un cristal puede transmitir una firma en el espacio angular
(semicírculo elegido como sonda). La resolución de la imagen transmitida por un cristal es ~0.2 μrad
en ambos aviones. En términos del ángulo de canalización crítico ŁC, la resolución obtenida es un orden de
la magnitud más fina que el C, mientras que el tamaño de la zona atrapada y canalizada puede ser algunos órdenes de
magnitud superior a C.
En las aplicaciones no tiene sentido tener una transmisión de cristal demasiado perfecta. Debería coincidir.
las demás fuentes de inexactitud, como una dispersión múltiple en los detectores y cámaras de vacío,
etc. Al ajustar los parámetros de cristal, en principio, se podría mejorar mucho en la precisión de la
imagen de haz aguas abajo del cristal, pero floja en el brillo de la imagen, es decir, en la tasa estadística,
ya que la eficiencia de la transmisión de cristal podría verse afectada.
Finalmente, sugerimos otra idea para el plano de canalización (una “idea microscópica”) que mejora
No sólo la precisión del cristal, sino incluso la resolución del detector en ese plano. El cristal puede magnificar
imagen de haz en un plano, p. ej. transformar los valores de entrada (x, x', y, y') en valores de salida (x, Nx'
, y, y'). El factor de aumento N puede ser tan grande como 2 o 10 o incluso 100, y servir al propósito
aumentar considerablemente la resolución angular global en x». En los ejemplos anteriores, la
la resolución fue ~1 μrad definida por la resolución del detector. Con la óptica de aumento, el total
la inexactitud en x’ se reduciría efectivamente por el factor N, con lo que se situaría por debajo de 0,1 μrad rms.
La ampliación se realiza haciendo la forma de la cara de salida de cristal diferente de la entrada
Cara. Con un factor de aumento de 10, por ejemplo, la apertura angular de entrada de 50 μrad sería
corresponde a la apertura de salida de 500 μrad.
5. Conclusión
Hemos demostrado en simulaciones que la celosía de cristal puede atrapar con un 90% de eficiencia un haz con un
(x', y') distribución mucho más amplia que un ángulo crítico. Para lograr eso, uno tiene que igualar el
longitud de enfoque de cristal a la longitud efectiva entre la fuente de partículas y el cristal en el
Enrejado acelerador. Adaptación de cristal a la celosía del acelerador mejora la eficiencia de canalización hasta
300 veces. Cristal puede transmitir las partículas atrapadas en estados canalizados con el espacio de fase (x,
distribución x', y, y', E) preservado con precisión un orden de magnitud más fino que ŁC. Varios
soluciones fueron propuestas y apoyadas por simulaciones para lograr una resolución fina en cristal
transmisión.
Esto puede dar un instrumento de haz para productos de colisión en colisionadores. Por lo general, haz acelerador
los instrumentos preparan las partículas para la colisión: enfriándolas, doblando, enfocando, etc. Detectores
resolver los resultados de la colisión. Cambiamos esto un poco mediante la introducción de la óptica de cristal entre el
punto de colisión y detectores.
Un cristal adaptado a la celosía LHC puede atrapar con una eficiencia del 90% todos los protones que emergen de
la IP con divergencias de 150 μrad o ~100°C. Los protones atrapados pueden ser canalizados a detectores
con precisión hasta 0,1 μrad rms. Esto hace factible una aplicación de cristal para el
medición de la dispersión difractiva en CMS y ATLAS en el LHC. Mientras mostrábamos el
capacidades físicas de canalización de cristal, su aplicación real en el entorno LHC tiene que
tener en cuenta muchas consideraciones técnicas para encajar en la infraestructura de acelerador existente
y detectores.
Canalización cristalina de protones delanteros LHC puede mejorar la aceptación de protones en el impulso
las pérdidas y la transferencia de cuatro momentum t tanto en TOTEM y FP420 y permiten llegar a la más pequeña
el posible valor del ángulo de dispersión [9]. Ahora el área sensible del detector comienza en ~12-15
el haz LHC [10]. El cristal se puede colocar en ~6 del haz LHC ya que es muy pequeño, ~cm Si,
y no provoca inestabilidad del haz. Tal cristal puede atrapar y entregar un muy útil
información sobre los protones “cuasielásticos” y elásticos de mayor impulso en LHC,
no está disponible de otra manera.
También hay beneficios prácticos. Crystal relajaría los estrictos requisitos en β* necesarios para
TOTEM. Cristal puede permitir que TOTEM se ejecute en el inicio temprano del LHC, posiblemente corriendo en
paralelo a otros experimentos. Gracias al cristal, los detectores FP420 podrían posiblemente residir fuera de la
región fría. Los detectores no necesitan ser sin filo. Cristal funciona mejor con bajo β*, donde
El FP420 está más interesado. Si los detectores se pueden distanciar más de la viga, fondo
las condiciones pueden mejorar. Para la inyección, las áreas activas de los detectores deben mantenerse alejadas de
las vigas y luego se movió hacia atrás; en cambio, uno puede mover un cristal. Cristal se puede introducir en
experimentar en una etapa posterior en un intento de ampliar los horizontes del programa de física.
Bibliografía
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|
704.0032 | Probing non-standard neutrino interactions with supernova neutrinos | IFIC/07-03
Probando interacciones de neutrinos no estándar con neutrinos de supernova
A. Esteban-Pretel, R. Tomàs y J. W. F. Valle1
1AHEP Group, Institut de Fsica Corpuscular - C.S.I.C/Universitat de València
Edifici Instituts d’Investigació, Apt. 22085, E-46071 València, España
(Fecha: 4 de noviembre de 2018)
Analizamos la posibilidad de probar interacciones de neutrinos no estándar (INS, para abreviar) a través de
la detección de neutrinos producidos en una futura supernova galáctica (SN). Consideramos el efecto de
NSI sobre la propagación de neutrinos a través de la envolvente SN en un marco de tres neutrinos, pagando
especial atención a la inclusión de las conversiones de resonantes inducidas por el NSI, que pueden tener lugar en el
la mayoría de las capas interiores deeptonizadas. Estudiamos la posibilidad de detectar efectos NSI en un agua Megaton
Detector Cherenkov, ya sea a través de los efectos de modulación en el espectro e debido a (i) el paso
de ondas de choque a través de la envoltura SN, (ii) la dependencia del tiempo de la fracción de electrones y (iii)
los efectos de la materia terrestre; o, finalmente, a través de la posible detectabilidad de la neutrización
Reventó. Encontramos que el espectro e puede exhibir características dramáticas debido a la interna inducida por el NSI
conversión de resonancia. Esto ocurre en el caso de las concentraciones no universales del NSI de unos pocos %, y en el caso de las concentraciones muy pequeñas
NSI que cambia el sabor por encima de unos pocos×10−5.
Números PACS: 13.15.+g, 14.60.Lm, 14.60.Pq, 14.60.St, 97.60.Bw
I. INTRODUCCIÓN
Los primeros datos de la colaboración de KamLAND [1]
han sido suficientes para aislar oscilaciones de neutrinos como el
mecanismo correcto que explica el prob de neutrino solar
lem [2, 3], indicando también que gran ángulo de mezcla (LMA)
era la solución correcta. Los datos de 766,3 toneladas yarn KamLAND
La muestra refuerza aún más la validez de la LMA o
interpretación de la cilación de los datos [4].
Los datos actuales implican que el neutrino tiene masa. Para una
revisión actualizada de la situación actual del neutrino oscil-
las laciones see [5]. Teorías de la masa de neutrinos [6, 7]
cialmente requieren que los neutrinos tengan pro-
erties tales como neutrino transición electromagnética mo-
[8, 9, 10] o interacciones no estándar de cuatro fermi
(NSI, para abreviar) [11, 12, 13]. La magnitud esperada de
los efectos NSI dependen más bien del modelo.
Los modelos tipo sierra conducen a una estructura no trivial de
la matriz de mezcla de leptón que caracteriza la carga y
interacciones débiles de corriente neutra [6]. El NSI que
son inducidos por el medidor de corriente cargado y neutro
las interacciones pueden ser considerables [14, 15, 16, 17, 18]. Alter...
a nivel nacional, pueden surgir interacciones de neutrinos no estándar en
modelos donde las masas de neutrinos son radiativamente "calcula-
ble” [19, 20]. Finalmente, en algunos supersimétricos unificados
la resistencia de los neutrinos interac-
ciones pueden surgir de la renormalización y/o del umbral
efectos [21].
Destacamos que las interacciones no estándar fortalezas son
Altamente dependiente del modelo. En algunos modelos NSI fortalezas
son demasiado pequeñas para ser relevantes para la propagación de neutrinos,
porque o bien son suprimidos por alguna masa grande
escalar o restringir por los límites de las masas de neutrinos, o ambos.
Sin embargo, esto no tiene que ser el caso, y hay muchos
hipótesis teóricamente atractivas en las que
Los puntos fuertes del NSI son posibles y coherentes con el
la presencia de masas de neutrinos. De hecho, uno puede demostrar que
NSI puede existir incluso en el límite de neutri-
nos [14, 15, 16, 17, 18]. Esto también puede ocurrir en el
contexto de modelos plenamente unificados como SO(10) [22].
Argumentamos que, además de la precisión
nación de los parámetros de oscilación, es necesario
prueba de los efectos no osciladores de sublíder que podrían surgir
a partir de interacciones no estándar con neutrinos. Estos son nat-
resultado ural de muchos modelos de masa de neutrino y puede ser de
dos tipos: cambio de sabor (FC) y no universal (NU).
Estos se ven limitados por los experimentos existentes (véase
y, con los experimentos con neutrinos que ahora entran en un pre-
fase de corte [23], una mejor determinación de neutrino
los parámetros y su impacto teórico constituyen un
meta portante en astropartícula y física de alta energía [5].
Aquí nos concentramos en el impacto de los no estándares
http://arxiv.org/abs/0704.0032v1
interacciones de neutrinos en la física de supernovas. Mostramos
la forma en que la información complementaria sobre el parámetro NSI
se podría inferir de la detección del colapso del núcleo
supernova neutrinos. La motivación para el estudio es
dos veces. En primer lugar, si un futuro evento SN tiene lugar en nuestro
Galaxy el número de eventos de neutrino esperados en el
Los detectores de neutrinos actuales o previstos serían enor-
mous, O(104 − 105) [24]. Por otra parte, la extrema con-
dicciones bajo las cuales los neutrinos tienen que viajar desde que
se crean en el núcleo SN, en re-
giones en densidades nucleares, hasta que lleguen a la Tierra,
llevar a efectos fuertes de la materia. En particular, el efecto de
pequeños valores de los parámetros NSI pueden ser dramáticamente
potenciado, posiblemente llevando a consecuencias observables.
El presente documento está previsto de la siguiente manera. In Sec. II nosotros summa-
riza los límites observacionales actuales de los parámetros
describiendo el NSI, incluidos trabajos anteriores sobre el NSI en
SNe. In Sec. III describimos la propagación de neutrinos
formalismo, así como los perfiles de SN que se utilizarán.
In Sec. IV analizamos el efecto de NSI sobre la propaga-
en las regiones del interior cerca de la neutrinósfera y en
las regiones exteriores de la dotación SN. In Sec. V debatimos
la posibilidad de utilizar varios observables para sondear la
presencia de NSI en la señal de neutrino de un futuro galáctico
SN. Finalmente en Sec. VI presentamos nuestras conclusiones.
II. PRELIMINARIOS
Una gran clase de interacciones no estándar puede ser
parametrizado con el eficaz cuatro-fermión de baja energía
operador:
LNSI = fP® 2
2GF (L) (f)
μPf), (1)
donde P = L, R y f es un fermión de primera generación:
e, u, d. Los coeficientes
• Denotar la fuerza de la
NSI entre los neutrinos de los sabores α y β y el
Componente P-mano del fermión f.
Limitaciones actuales de.................................................................................................................................................
# Provienen de una variedad de dif... #
fuentes feroces, que ahora enumeramos brevemente.
A. Laboratorio
Experimentos de dispersión de neutrinos [25, 26, 27, 28,
29] proporcionar los siguientes límites, fP . 10−3 −
10−2, fPee . 10−1 − 1, fP . 0,05, fPe . 0,5 a
90 % C.L [30, 31, 32]. Por otra parte, el análisis
de la sección transversal e+e− → medida en LEP II
conduce a un atado en eP . 0,5 [33]. Perspectivas futuras
mejorar los límites actuales implica la medición de
sin2 W leptónicamente en la dispersión de electrones en el
objetivo, así como en neutrino diseminación inelástica profunda en
una futura fábrica de neutrinos. La principal mejora sería
ser en el caso de fPee y fPeo, donde los valores como pequeños
como 10-3 y 0,02, respectivamente, podrían alcanzarse [31].
La búsqueda de procesos de violación del sabor
se espera que los leptones cargados restrinjan los neu-
interacciones de trino, en la medida en que el indicador SU(2)
se asume la simetría. Sin embargo, esto puede dar a lo sumo
restricciones indicativas del orden de magnitud, ya que sabemos
SU(2) no es una buena simetría de la naturaleza. Uso de radiativos
se ha argumentado que, por ejemplo, μ − e
Conversión en núcleos como en el caso de T
cepas qPμe . 7.7× 10−4 [31].
Las interacciones no estándar también pueden afectar al neutrino
propagación a través de la materia, sondeado en neutrino corriente
experimentos de oscilación. Los límites así obtenidos se aplican a:
la constante de acoplamiento vectorial del NSI,
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
ya que sólo esto aparece en la propagación de neutrinos en
ter [91].
B. Solar y reactor
El papel de los NSI de neutrinos como efectos secundarios en la
oscilaciones solares de neutrinos y KamLAND ha sido re-
cently considerado en Ref. [34, 35, 36] con lo siguiente:
límite del 90 % de CL para el período comprendido entre el 1 de enero de 1999 y el 31 de diciembre de 1999
rango bajo −0,93. *............................................................................... 0,30, mientras que para la diagonal
# La única región prohibida es # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
[0.20, 0.78] [36]. Sólo en el caso ideal de infinitamente pre-
determinación de los parámetros de oscilación del neutrino solar cise,
el rango permitido “cerraría desde la izquierda” para negativo
Valores del parámetro NSI, en −0,6 para فارسى y −0.7 para.
C. Neutrinos atmosféricos y aceleradores
Interacciones no estándar con neutrinos de muón
puede ser limitado por experimentos con neutrinos atmosféricos
así como las búsquedas de oscilación del neutrino acelerador en
K2K y MINOS. In Ref. [37] Super-Kamiokande y
MACRO observaciones de neutrinos atmosféricos fueron con-
en el marco de dos neutrinos. Los límites son los siguientes:
se mantuvieron −0,05. * dV < 0,04 y dV − dV . 0,17
a un 99 % CL. Los mismos datos junto con K2K fueron:
considerado recientemente en Refs. [38, 39] para estudiar la nonstan-
dard interacciones de neutrinos en un esquema de tres generaciones
bajo la hipótesis de "eμ" = = = 0. El al-
región baja de obtenida para los valores de
que O(10−1) se convierte en f=u,d,efVNf/Ne. 0,2 [39],
donde Nf representa la densidad del número de fermiones.
D. Cosmología
Si las interacciones no estándar con los electrones fueran grandes
También podrían dar lugar a importantes aspectos cosmológicos y como:
implicaciones trofísicas. Por ejemplo, los neutrinos podrían
mantenerse en contacto térmico con electrones y positrones
más tiempo que en el caso estándar, por lo que compartirían
una fracción mayor de la liberación de entropía de e± annihi-
Laciones. Esto afectaría a las características previstas de la
fondo cósmico de neutrinos. Como se ha señalado recientemente
en Ref [40] los acoplamientos requeridos son, sin embargo, más grandes que
los límites actuales del laboratorio.
E. NSI en Supernovae
Según la supernova actualmente aceptada (SN)
paradigma, se espera que los neutrinos desempeñen un papel crucial
en la dinámica SN. Como resultado, la física SN proporciona
un laboratorio para sondear las propiedades de los neutrinos. Además,
muchos detectores de neutrinos grandes futuros son actualmente-
> > > >. >. >...................................................................................................................................................... El enorme número de acontecimientos,
O(104 − 105) que serían “observados” en estos detectores
dice que una futura SN en nuestra Galaxia proporcionaría un
sonda muy sensible de interacción no estándar con neutrinos
efectos.
La presencia de NSI puede conducir a importantes
quences para la física de los neutrinos SN tanto en el
núcleo denso, así como en el sobre donde neutrinos
básicamente fluyen libremente.
El papel de los procesos de dispersión de neutrinos sin avance
sobre núcleos pesados y nucleones libres que dan lugar a sabor
el cambio dentro del núcleo de la SN se ha analizado recientemente en
Ref. [42, 43]. El principal efecto encontrado fue una reducción de
el núcleo de la fracción de electrones Ye durante el colapso del núcleo. Una más baja
Usted conduciría a una masa inferior del núcleo homólogo, una más baja
energía de choque, y una mayor desintegración de fotones nucleares
carga para la onda de choque. Al permitir un máximo
Se ha alegado que se ha afirmado que se ha producido un aumento de la tasa de desempleo en el período comprendido entre el 1 de enero de 1999 y el 31 de diciembre de 1999. 10-3, donde
α = μ, [43].
Por otra parte, se ha observado desde hace mucho tiempo
que la existencia de NSI desempeña un papel importante en el
propagación de neutrinos SN a través de la cubierta de plomo-
la posibilidad de una nueva conversión de la resonancia. In
contraste con el conocido efecto MSW [44, 45]
tienen lugar incluso para los neutrinos sin masa [13]. Dos básicos
ingredientes son necesarios: universal y cambio de sabor
NSI. En el régimen original, los neutrinos se mezclaron en el
leptonic cargada corriente y la universalidad fue violada
gracias al efecto de mezclar con singlet de ancho pesado
leptones [6, 14]. Tal resonancia induciría fuertes neu-
Conversión de sabor trino tanto para neutrinos como para antineutri-
Simultáneamente, posiblemente afectando al neutrino sig-
nal de la SN1987A, así como la posibilidad de
nucleosíntesis de proceso. Esto fue en primer lugar cuantitativamente
considerado dentro de un esquema de dos sabores y límites
en los parámetros NSI relevantes se obtuvieron utilizando ambos
argumentaciones [46].
Una de las características principales de tales “internos” o
“sin masa” mecanismo de conversión de resonancia es que re-
exige la violación de la universalidad, siendo su posición
determinada únicamente por la composición química de la materia,
a saber, el valor de la fracción de electrones Ye, y no por
la densidad. En vista de los límites superiores experimentales
en los parámetros NSI tal nueva resonancia sólo puede tomar
lugar en las capas internas de la supernova, cerca de la neu-
trinosfera, donde Ye toma sus valores mínimos. En este
región los valores de Ye son lo suficientemente pequeños como para permitir
Conversiones de resonancia que tendrán lugar de acuerdo con
límites existentes sobre los puntos fuertes de la INS no universal
parámetros.
Las implicaciones físicas SN de otro tipo de NSI
presente en modelos supersimétricos de violación de paridad-R
se han estudiado también en Ref. [47], de nuevo para un sistema
de dos neutrinos. Para la definitividad NSI en d-quarks fueron
en dos casos: i) neutrinos sin masa sin
mezcla en presencia de cambio de sabor (FC) y no-
universal (NU) NSI, y (ii) neutrinos con masas de eV
y FC NSI. Se han utilizado diferentes argumentos en
con el fin de limitar los parámetros que describen el NSI,
A este respecto, la SN1987A, la posibilidad de
nucleosíntesis del proceso y la posible
alargamiento de la deposición de energía detrás del choque
onda para reactivarlo.
Por otra parte, varios artículos posteriores [48, 49,
50] consideró los efectos del NSI sobre la propa-
en un escenario de mezcla de tres neutrinos para el caso
Ye > 0,4, típico de la envolvente exterior SN. Juntos
con la suposición de que................................................................................................................. 10
−2 esto impide la
Aparición de resonancias internas en contraste con las anteriores
referencias.
Motivado por teorías supersimétricas sin R par-
ity, en Ref. [48] los autores consideraron los efectos de
NSI de pequeña resistencia con d-quarks. Después de los...
El malismo se desarrolló en Refs. [51, 52] estudiaron el cor-
rections que dicho NSI tendría en las expresiones
para las probabilidades de supervivencia en las resonancias estándar
MSW-H y MSW-L. Se realizó un análisis similar
en Ref. [49] suponiendo que las interacciones NSI inducidas por Z
inafectado por neutrinos pesados adicionales. Un fenomeno...
generalización lógica de estos resultados se llevó a cabo en
Ref. [50]. Los autores encontraron un compacto analítico ex-
presión para las probabilidades de supervivencia en las que la
efectos del NSI pueden ser incorporados a través de los cambios de la
los ángulos de mezcla de los puntos 12 y 13. En contraste con expres-
sions encontrados anteriormente estos se aplican directamente a todas las mezclas
ángulos, y en el caso de los efectos de la materia terrestre. Los
La principal consecuencia fenomenológica fue la identificación
de una degeneración entre 13 y 15 años, similar a la
“confusión” análoga entre el 13 y el
ing Parámetro NSI observado en el contexto de
oscilaciones basales de neutrinos [53, 54].
Ahora hemos reconsiderado los tres neutrinos generales
el escenario de mezcla con NSI. En contraste con el anterior
trabajo [48, 49, 50], no nos hemos limitado a
grandes valores de Ye, discutiendo también pequeños valores presentes
en las capas internas. De esta manera nuestro descrip-
ión incluye tanto la posibilidad de neutrinos que tienen la
Conversiones de resonantes “sin masa” inducidas por el NSI en
las capas interiores de la envolvente SN [13, 46, 47], así como el
Conversiones “externas” inducidas por oscilaciones [48, 49, 50] [92].
III. EVOLUCIÓN NEUTRINA
En esta sección describimos los principales ingredientes de nuestro
análisis. Nuestro énfasis estará en el uso de astrofias...
ticamente realista SN materia y Ye perfiles, caracterizando
su densidad y la composición de la materia. Sus detalles,
en particular su dependencia del tiempo, son cruciales para
la minería de la forma en que las interacciones de neutrinos no estándar
afectan a la propagación de neutrinos en el medio SN.
A. Ecuación de la evolución
Como se indica en la sección II. II en un medio no polarizado
la propagación de neutrinos en la materia se verá afectada por la
constante de acoplamiento vectorial de la NSI,
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
• [93].
La forma en que el NSI neutro actual modifica el neu-
la evolución trino será parametrizada fenomenológicamente
a través del eficaz operador de cuatro fermiones de baja energía
descrita en Eq. (1). También asumimos que...
# R, negligencia... #
la posible violación de la PC en las nuevas interacciones.
Bajo estas suposiciones el Hamiltoniano describiendo
la evolución del neutrino SN en presencia de NSI puede ser
moldeado en la forma siguiente [94]
= (Hkin +Hint) , (2)
donde Hkin representa el término cinético
Hkin = U
U †, (3)
con M2 = diag(m21,m
3), y U los tres neutrinos
Matriz de mezcla de leptón [6] en el convenio PDG [55] y
sin fases de PC.
El segundo término de la Hamiltonian cuenta para el
interacción de neutrinos con la materia y se puede dividir en
dos piezas,
Consejo = H
int +H
int. 4)
El primer término, Hstd
describe la interacción estándar
con materia y puede ser escrito como Hstd
= diag (CCV, 0, 0)
hasta un bucle de correcciones debido a las diferentes masas de la
muón y tau leptones [56]. La materia estándar poten-
tial para neutrinos se administra por
VCC =
2GFNe = V0-Ye, (5)
donde V0 • 7,6×10−14 eV, la densidad se indica en g/cm3,
Ye representa el número relativo de electrones con
respeto a los bariones. Para los antineutrinos el potencial es
idéntico pero con el signo cambiado.
El término en el hamiltoniano que describe el no-
las interacciones estándar de neutrinos con un fermión f pueden ser
expresado como,
(Hnsiint )
f=e,u,d
) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
con (V
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2GFNf
- Sí. Para la defini-
tivados por modelos reales, por ejemplo, los con rotos
Supersimetría de paridad R tomamos para f el tipo-abajo
Quark. Sin embargo, se aplicaría un tratamiento análogo
al caso de NSI sobre quarks de tipo ascendente, la existencia de
NSI con electrones no trae ninguna diferencia cualitativa drástica-
nes con respecto al caso de oscilación pura (véase
bajo). Por lo tanto, el potencial de NSI puede expresarse como
a continuación,
(V dnsi)
(2− Ye). 7)..................................................................................................................................................
A partir de ahora no escribiremos explícitamente el superíndice
d. Con el fin de simplificar aún más el problema vamos a re-
fine los parámetros diagonales NSI de modo que = 0, como uno
puede ver fácilmente que restar una matriz proporcional a
la identidad deja la física involucrada en el neutrino
oscilación no afectada.
B. Perfiles de materia Supernova
La propagación del neutrino depende de la
perfil ter y químico a través del potencial efectivo.
Este perfil presenta una importante dependencia del tiempo durante
En la explosión. Fig. 1 muestra la densidad (t, r) y la
Perfiles de fracción electrónica Ye(t, r) para el progenitor SN como
así como en diferentes momentos post-bounce.
Los perfiles de densidad del progenitor pueden ser más o menos
parametrizado por una función de poder-ley
l(r) = l(0)
, (8)
en los que 0 · 104 g/cm3, R0 · 109 cm, y n · 3. Los
perfil de fracción de electrones varía dependiendo de la materia
composición de las diferentes capas. Por ejemplo, típico
valores de Ye entre 0,42 y 0,45 en las regiones interiores
se encuentran en simulaciones de evolución estelar [57]. En el in-
regiones denominadas, en las que los MSW H y L-resonancias
se llevan a cabo Ye 0.5. Este valor puede aumentar aún más en
la mayoría de las capas exteriores de la envolvente SN debido a la
Ence de hidrógeno.
Después de que el núcleo SN rebota el perfil de la materia se ve afectado
de varias maneras. Primera nota que comienza una onda de choque frontal
para propagar hacia el exterior y finalmente expulsa a la SN enve-
Lope. La evolución de la onda de choque modificará fuertemente
ify el perfil de densidad y por lo tanto el propa de neutrino-
gation [58, 59]. Después de Ref. [60] asumiremos que
la estructura de la onda de choque es más complicada y
aparece una “onda inversa” adicional debido a la colisión
del viento impulsado por neutrinos y de la pareja lentamente en movimiento-
rial detrás del choque delantero, como se ve en el panel superior
de Fig. 1 [95].
Por otro lado, la fracción de electrones también se ve afectada
para la evolución del tiempo a medida que avanza la explosión de la SN. Una vez
el colapso comienza la densidad del núcleo crece para que el neu-
trinos llegar a ser atrapado efectivamente dentro de la
llamada “neutrinosfera”. En este punto los atrapados
fracción de electrones ha disminuido hasta valores del orden de
0,33 [61]. Cuando el núcleo interior alcanza la densidad nuclear
no puede contraer más y rebota. Como una estafa...
secuencia una onda de choque se forma en el núcleo interior y comienza
Se propaga hacia el exterior. Cuando el recién formado super-
nova shock alcanza densidades lo suficientemente bajas para el
neutrinos atrapados para comenzar a fluir más rápido que el
El choque se propaga [62], se lanza un pulso de ruptura de νe.
En la materia calentada por choque, que todavía es rica de elec-
trons y completamente desintegrados en neutrones libres y
protones, un gran número de ellos son producidos rápidamente por
captura de electrones en protones. Siguen el shock en
su salida hasta que se liberan en una muy luminosa
flash, la ruptura estalló, en el momento en que
el choque penetra en la neutrinosfera y el neutri-
Los nos pueden escapar esencialmente sin obstáculos. En consecuencia,
el número de leptón en la capa alrededor de la neutrinosfera
disminuye fuertemente y la materia se neutraliza [63]. Los
el valor de Ye disminuye constantemente en estas capas hasta que val-
us del orden de O(10−2). Fuera de la neutrinósfera
hay una subida empinada hasta Ye 0.5. Este es un robusto
característica del viento bariónico impulsado por neutrinos. Neutrino
la calefacción impulsa la pérdida de masa del viento y hace que Ye suba
dentro de unos pocos 10 km de valores bajos a altos, entre 0,45
y 0,55 [64], ver el panel inferior de la Fig. 1. Inspirado en el
resultados numéricos de Ref. [60] hemos parametrizado el
comportamiento de la fracción de electrones cerca de la neutrinosfera
fenomenológicamente como,
Ye = a+ b arctan[(r − r0)/rs], (9)
en los que a) 0,23 - 0,26 y b) 0,16 - 0,20. El param-
eters r0 y rs describen dónde tiene lugar el aumento y
lo empinado que es, respectivamente. Como se puede ver en la Fig. 1
ambos disminuyen con el tiempo.
FIG. 1: Densidad (panel superior) y fracción de electrones (abajo)
perfiles para el progenitor de la SN y en diferentes instantes
después del rebote del núcleo, de Ref. [60]. Las regiones en las que la
H (amarillo) y la resonancia L (ciano) también tienen lugar
indicado, así como la resonancia I (gris) inducida por el NSI para
los parámetros ee = 0, . 0,07 y . 0,05
IV. LOS DOS REGÍMENES
Con el fin de estudiar la propagación de neutrinos a través de
el sobre SN dividiremos el problema en dos diferen-
ent regiones: el envoltorio interior, definido por la condición
VCC • m2atm/(2E) con • m2atm • m23 • m22, y la
en el exterior, en el que se sitúan los puntos de entrada y salida de los puntos de entrada y salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de salida de los puntos de salida. Desde la parte superior
panel de la Fig. 1 se puede ver cómo el límite más o menos
varía entre r 108 cm y 109 cm, dependiendo de la
tiempo considerado. De esta manera uno puede caracterizar completamente a todos
resonancias que pueden tener lugar en la propagación de su-
neutrinos pernova, ambas conversiones de resonantes exteriores
relacionados con las masas de neutrinos e indicados como la parte superior
bandas en Fig. 1, y las resonancias internas que siguen
a partir de la presencia de interacciones no estándar con neutrinos,
indicado por la banda en la parte inferior de la misma figura.
Aquí prestamos especial atención al uso de alfombras realistas.
Perfiles de supernovas y tres neutrinos
sabores generalizando así estudios previos.
A. Evolución del Neutrino en las regiones interiores
Vamos a escribir primero el Hamiltoniano en las capas internas,
donde se encuentra Hkin. En este caso el Hamiltoniano puede ser
por escrito como
H • Pista = V0-(2− Ye)
+ Eeeeeeeeeeeeeeeeeee.eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
# Eμ 0 #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Cuando el valor del es del mismo orden que el
Las resonancias internas de la fracción electrónica Ye pueden surgir [13].
Teniendo en cuenta las limitaciones actuales de los
, discutido en Sec. II uno ve que los pequeños valores de Ye son
requerido [46, 47]. Como resultado, estos sólo pueden tener lugar
en las capas interiores más deeptonizadas, cerca de los neu-
trinosfera, donde los términos cinéticos del Hamiltonian
son insignificantes.
Dado el gran número de parámetros libres in-
participamos consideramos un caso en particular donde e y
Son lo suficientemente pequeños como para descuidar una posible mezcla inicial
entre νe y o . Salvo afinación fina, esta basi-
las cantidades cally a e, e 10−2. De acuerdo con el
debate de la Sec. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
ciones, mientras que uno espera que la ventana e & 10−2
eventualmente serán sondeados en experimentos futuros.
Puesto que se espera que los flujos iniciales de y sean
básicamente idéntico, es conveniente redefinir el débil
base mediante la realización de una rotación en el sector ♥:
= U(23)
1 0 0
0 c23′ s23′
0 −s23′ c23′
donde c23′ y s23′ corresponden a cos(
23) y el pecado
23), re-
Desde el punto de vista de las perspectivas. El ángulo 23 se puede escribir como
tan(223)
. (12)
El Hamiltoniano se convierte en la nueva base
H = U
†(23)HÚ()
23) (13)
= V0-(2− Ye)
+ Ee
eμ ♥
# # E # # 0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
,(14)
donde
eμ = Łeμc23′ − Łeąs23′ (15)
eŁ = Łeμs23′ + ŁeŁ c23′ (16)
= ( −
*2* + 4* + 4* + 4* + 4* + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
)/2 (17)
= ( +
*2* + 4* + 4* + 4* + 4* + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
)/2. (18)
Con nuestras suposiciones iniciales sobre el eα uno nota que
la nueva base básicamente diagonaliza el Hamiltoniano,
y por lo tanto coincide más o menos con la materia eigen-
base estatal. Una resonancia novedosa puede surgir si la condición
H ′ee = H
# Está satisfecho, llamamos a esto I-resonancia, estoy... #
ing para “interno” [96]. La resonancia correspondiente con-
sión se puede escribir como
Y Ie =
1 + I
, (19)
donde I se define como − Łee. In Fig. 2 representamos
la gama de los tipos de cambio de los tipos de cambio y de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de tipo de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de tipo de cambio de tipo de cambio
# que lleva a la resonancia I para #
un perfil de fracción de electrones entre las diferentes minas Y y
Y maxi = 0,5. Es importante tener en cuenta que el valor
La mía depende del tiempo. Justo antes del colapso de la
el valor mínimo de la fracción de electrones es alrededor de 0.4.
Por lo tanto, la ventana de parámetros NSI que conduciría
a una resonancia sería relativamente estrecho, como se indica
por la banda sombreada (amarilla) en la Fig. 2. A medida que pasa el tiempo
Y mina disminuye a valores del orden de unos pocos %, y
Como resultado, la región de parámetros que dan lugar a la
la resonancia se ensancha significativamente. Por ejemplo, en el rango
ee ≤ 10−3 posiblemente accesible a experimentos futuros uno
ve que la I-resonancia puede tener lugar para los valores de
del orden de O(10−2). Esto indica que el potencial
Sensibilidad sobre los parámetros NSI que pueden ser alcanzados en su-
estudios de pernova es mejor que el de los límites actuales.
FIG. 2: Contours de Y Ie como función de.........................................................................................................................................................................................................................................................
- ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde!
ing a Eq. (19) para los diferentes valores de Ye. La región de Yel-
baja representa la región de parámetros que da lugar a I-
resonancia antes del colapso. Las flechas indican cómo esto
la región se amplía con el tiempo.
Como se ve en la Fig. 1 con el fin de cumplir la I-resonancia con-
sión para tales valores pequeños de los parámetros NSI la
los valores de que de hecho debe mentir, como ya se ha dicho, en el
capas internas.
Varios comentarios están en orden: En primer lugar, en contraste con
las resonancias estándar H y L, relacionadas con la cinética
término, la densidad en sí no entra explícitamente en el
condición de resonancia, siempre que la densidad sea alta
suficiente para descuidar los términos cinéticos. Analógicamente, el en-
ergy no juega ningún papel en la condición de resonancia, que es
determinado sólo por la fracción de electrones Ye. Además,
en contraste con las resonancias estándar, la I-resonancia
se presenta tanto para neutrinos como para antineutrinos simultano
oly [13]. Finalmente, como se indica en la Fig. 3 los Estados miembros (e) son
no creado como el estado más pesado (más ligero), sino como el in-
estado de término, por lo tanto la composición del sabor de la
los neutrinos que llegan a la resonancia H es exactamente la op-
Sin NSI, el caso se plantea sin NSI. Como mostramos en Sec. V, esto
hecho puede conducir a importantes consecuencias observacionales.
Para calcular la probabilidad de salto entre
Eigenstatos de la materia en la I-resonancia que usamos el Landau-
/ m2 /
FIG. 3: Planes de cruce de niveles, primer panel es para el caso de
jerarquía normal (solo oscilaciones), la segunda incluye la
Efecto NSI. Los dos paneles inferiores corresponden a la inversa hi-
sólo oscilaciones y oscilaciones + NSI, respectivamente.
Zener aproximación para dos sabores
P ILZ e−
γI, (20)
donde γI representa el parámetro de adiabaticidad, que
se puede escribir generalmente como
Em2 − Em1
, (21)
en el que m dm/dr. Si uno aplica esto para...
mula a la caja de Eq. de e-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-). (14) suponiendo que
tan 2°mI = 2H
e-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H-(H)-(H)-(H)-(H)
• − Hee) y Em2 − Em1 =
(H −Hee)2 + 4H ′e
uno consigue
4H ′2e
( − ee)
16V0
(1 + I)3e
4×109rs,5112e9f(I),(22)
donde la parametrización del perfil de Ye ha sido de-
multado como en Eq. (9) con b = 0,16. La densidad
se resiente la densidad en unidades de 1011 g/cm3, rs,5 stands
para rs en unidades de 10
5 cm, y f(l) es una función cuyo
valor es del orden O(1) en el rango de parámetros que
están interesados en. Teniendo en cuenta todos estos factores
se deduce que la resonancia interna será adiabática
a condición de que eää & 10
−5, muy por debajo de los límites actuales,
en pleno acuerdo numérico con, por ejemplo, Ref. [47].
In Fig. 4 mostramos la condición de resonancia, así como
la adiabaticidad en términos de y
otros = 0. Con el fin de ilustrar la dependencia de
tiempo que consideramos perfiles inspirados en los perfiles numéricos
de Fig. 1 en t = 2 s (panel superior) y 15,7 s (abajo)
en el panel). Para la definitividad tomamos Y mía como el electrón
fracción a la que la densidad tiene un valor de 5× 1011g/cm3.
Para comparación con la Fig. 2 hemos asumido Y mina =
10−2 en el caso de 15.7 s. Observamos cómo la frontera
de la adiabaticidad depende de a través del valor de la
densidad a rI que a su vez depende del tiempo.
Antes de pasar a la discusión de las resonancias externas
un comentario está en orden, a saber, ¿cómo el formalismo
cambio para otros modelos de interacción no estándar. Primero
note que todo el tratamiento presentado anteriormente también ap-
se refiere al caso de NSI en quarks de tipo ascendente, con la excepción de que
la posición de los cambios de resonancia interna con respeto
al caso del cuádruple. De hecho, en este caso el NSI
potencial
(V unsi)
V0o(1 + Ye), (23)
0,001 0,01 0,1 1
0,001 0,01 0,1 1
FIG. 4: Contornos de probabilidad de salto constante en el I-
la resonancia en términos de y
ing a Fig. 1 a 2 s con a = 0,235 y b = 0,175 (panel superior)
y 15.7 s con a = 0,26 y b = 0,195 (panel inferior). Por
la simplicidad de los otros se han puesto a cero.
induciría una resonancia interna similar para el condi-
ión Ye =
I/(1− ŁI).
En contraste, para el caso de NSI con electrones, la
El potencial de NSI es proporcional a la fracción de electrones, y
Por lo tanto, ninguna resonancia interna aparecería.
B. Evolución del Neutrino en las regiones exteriores
En las capas exteriores de la envoltura SN neutrinos pueden des-
dergo importantes transiciones de sabor en los puntos donde
el potencial inducido por la materia es igual a los términos cinéticos.
En ausencia de NSI esta condición se puede expresar como
VCC ·m2/(2E). Experimentos de oscilación de Neutrino en...
dicate dos escamas de masa, en m2atm y en m2atm
â € ¢ m22−m21 [5],
por lo tanto surgen dos capas de resonancia diferentes, el llamado
H-resonancia y L-resonancia, respectivamente.
La presencia de NSI con valores de . 10−2 modi-
fíe las propiedades de las transiciones H y L [48, 49, 50].
En particular, se observa que los efectos del NSI pueden ser
que se describe como en el caso estándar mediante la integración de la
en ángulos de mezcla efectivos [50]. Un análogo “confu-
sión” entre el pecado13 y el correspondiente param del NSI-
se ha señalado en el contexto de la
oscilaciones basales de neutrinos en Refs. [53, 54].
En esta sección realizamos un trabajo más general y com-
Estudio complementario para valores ligeramente superiores del NSI
parámetros: & pocos 10−2, todavía permitido por la corriente
límites, y para los cuales la I-resonancia podría ocurrir.
La suposición fenomenológica de la jerarquía
diferencias de masa cuadradas, m2atm m2, permite, para
una factorización de la dinámica de 3 /
en dos subsistemas de 2 v aproximadamente desacoplados para el H
y transiciones L [65]. Aislar la dinámica de la
H transición, se suele rotar el sabor de neutrino ba-
y extrae la submatriz con índices
1,3) [48, 50]. Considerando que este método funciona perfectamente para
pequeños valores de puede ser peligroso para los valores superiores
10-2. Con el fin de analizar cuánto se desvía nuestro caso
de la aproximación más simple que hemos realizado un
rotación con el ángulo 23 23 23 − α en lugar de justo
23 libras esterlinas. Requeriendo que la nueva rotación diagonalice la
submatriz (2,3) en la capa de resonancia H se obtiene la
después de la expresión para el ángulo de corrección α
tan(2α) =
s212s13 + V
• s223 − 2V NSI c223
(atm +
c212(−3 + c213)
+V NSI® c223 + 2V
s223
, (24)
en los que se entenderá por «atm», «m2atm»/(2E) y «», «m2atm»/(2E». In
nuestra anotación sij y s2ij representan sin
respectivamente. Los parámetros cij y c2ij son análogos
Definido. En ausencia de NSI α es sólo una pequeña corrección
a Ł23 [97],
tan(2α) s212s13/atmc213. O(10−3). (25)
Con el fin de calcular α necesitamos saber el H-
Punto de resonancia. Para calcularlo se puede proceder como en
el caso sin NSI, a saber, hacer la rotación 23 y
analizar la submatriz (1, 3). El nuevo Hamiltonian H
tiene ahora la forma
H ′′ee = V0-[Ye + Łee(2− Ye)] + atms213
(c)
12 + s
13),
H = V0-(2− Ye) atmc213c2α
c213c
α + (sαc12 + cαs12s13)
H "e" = V0"(2− Ye)e +
•atms213cα
(−c13sαs212 + c212cαs213). 26)
Hemos definido = c
23o + s223o, y
En el artículo 23, la letra a) se sustituye por el texto siguiente:
Cos(23α), y s223α sin(2232α), c223
cos(2-23 − 2α). La condición de resonancia para el trans-
Situación, H ′′ee = H
Se puede escribir entonces como
H [Y He + (?ee − )(2− Y He )] =?atm(c213c2α − s213)
[c]
13 − c2αs213)− s2αs212 + 12s2αs212s13].(27)
Se puede comprobar fácilmente cómo en el límite de → 0 uno
recupera la condición de resonancia estándar,
HY He, Atmc213. (28)
En la región donde ocurre la resonancia H Y He 0.5.
Teniendo en cuenta Eqs. (24) y (27) ya se puede
Estimar cómo el valor de α cambia con el parámetro NSI
eters. In Fig. 5 mostramos la dependencia de α en el
después de fijar el valor de los otros parámetros NSI. Uno
puede ver cómo para & 10
-2 la aproximación del abandono-
ing α empeora significativamente. Asumiendo que el valor de 23 °C = 4 °C y el valor de
valor fijo de uno puede ver fácilmente que básicamente
afecta al numerador en Eq. (24). Por lo tanto, se espera
un aumento de α como el valor de aumenta, como se ve en la Fig. 5.
La dependencia de α en se correlaciona con la rela-
signo tivo de la jerarquía de masas y . Por ejemplo,
para la jerarquía de masa normal y valores positivos de la
dependencia es inversa, es decir, valores más altos de plomo
a una supresión de α. Aparte de este behav general...
ior, α también depende del término diagonal?ee como se ve en
Fig. 5. Este efecto ocurre cambiando el punto de resonancia
a través de la condición de resonancia en Eq. (27).
Ahora se puede calcular la probabilidad de salto-
entre la materia eigenstates en analogía con la I-resonancia
mediante la aproximación Landau-Zener, véase
Eqs. (20), (21), y 22,
PHLZ e−
γH, (29)
donde γH representa el parámetro de adiabaticidad en el
FIG. 5: Ángulo α como función de para los diferentes valores de Łee
y , en el caso de neutrinos de energía 10 MeV, con
jerarquía de masa normal, y s213 = 10
−5. El otro NSI pa-
Los rámetros toman los siguientes valores: eμ = 0 y eü = 10
H-resonancia, que puede ser escrito como
4H ′′2e
( − ′′ee)
, (30)
donde las expresiones para H se dan en Eqs (26).
Consideremos primero el caso . 10-2. En este caso
α 0 y se puede reescribir el parámetro de adiabaticidad como
# El pecado del atm #
cos(2oC)
)d ln V/drrH
, (31)
donde
= 13 °C + 13 °C
e-(2- Ye)/Ye (32)
de acuerdo con Ref. [50]. Para un poco más grande de......................................................................................................................................
pueden ser diferencias significativas. In Fig. 6 mostramos PHLZ en
el plano para antineutrinos con energía 10 MeV
en el caso de la jerarquía inversa de masas, utilizando Eq. 29) con
(panel superior) y sin (panel inferior)
Rección. Los valores de 13 y de e se han elegido así:
que la probabilidad de salto se encuentra en el régimen de transición ser-
Entre adiabáticos y fuertemente no adiabáticos. En el límite
de pequeño , α se vuelve insignificante y por lo tanto ambos re-
Los sulfatos coinciden. De Eq. (31) se ve como el valor de
Se aumenta γH se hace más grande y por lo tanto la transición
se vuelve cada vez más adiabático. Para valores negativos
puede haber una cancelación entre los años 13 y 13,
y como resultado la transición se vuelve no adiabatica.
Una consecuencia adicional de Eq. (32) es que un degen-
Surge una eracia entre los años 13 y 13. Esto se ve en la Fig. 7,
que da los contornos de PH
por lo que se refiere a la letra e) y a la letra e) del apartado 3 del artículo 13
para = 10
−4. Uno ve claramente que el mismo Landau-
La probabilidad de salto de Zener se obtiene para diferentes com-
En el caso de los productos de origen animal, el valor de los productos de origen animal y de los productos de origen animal se determinará en función de las características de los productos de origen animal y de las características de los productos de origen animal y de los productos de origen animal, así como de las características de los productos de origen animal y de los productos de origen animal y de los productos de origen animal. Esto lleva a un “con-
fusión” entre el ángulo de mezcla y el correspondiente
Parámetro NSI, que no se puede desenredar sólo en
el contexto de los neutrinos SN, como se indica en Ref. [50].
Pasamos ahora al caso de ≥ 10−2. Como
aumenta el papel de α se vuelve relevante. Considerando lo siguiente:
panel inferior PHLZ permanece básicamente independiente de ,
se puede ver cómo en el panel superior PHLZ se vuelve fuertemente
sensible a para ≥ 10−2.
Uno ve que para los valores positivos de tiende a adi-
abaticidad mientras que para valores negativos a no-diabaticidad.
Esto se deriva de la dependencia de H "e" en α, essen-
tially a través del término c13sαs212, véase Eq. (26). Por
≥ 10−2 uno ve que el sinα comienza a ser importante,
y como resultado este término eventualmente se convierte en de la misma
orden como los otros en H ′′eŁ. En este punto la señal de
, y por lo tanto el signo de sinα, es crucial ya que puede con-
homenaje a la mejora o la reducción de H ′′eفارسى. Esto
directamente se traduce en una tendencia hacia la adiabaticidad o
no adiabatismo, visto en la Fig. 6. Por lo tanto, para el rango de
relevante para la resonancia interna inducida por el NSI
adiabaticidad de la resonancia H externa puede ser afectada en
una manera no trivial.
En cuanto al caso de la transición L, una expres-
sión se puede obtener girando el Hamiltoniano original
por U(el 13 de diciembre de 2013)
†U(23)
† [48, 50]. Sin embargo, en contraste con el
en el caso de la resonancia H, donde el ángulo de mezcla
todavía desconocido, en el caso de la transición L el ángulo
El 12 ha sido mostrado por la exper de neutrino solar y reactor.
imentos a ser grandes [5]. Como resultado, para la escala de masa
esta transición siempre será adiabática independientemente de la
valores de, y afectará sólo neutrinos.
FIG. 6: Isocontours de probabilidad de salto Landau-Zener en el H-
Resonancia en términos de E y para 10 MeV antineutrinos
en el caso de la jerarquía de masas invertida. Panel superior: α dado
por Eq. (24). Panel inferior: α ajustado a cero. El resto
los parámetros toman los valores siguientes: sin2 فارسى13 = 10
.............................................
10−3, ee = eμ = 0. Véase texto.
V. OBSERVACIONES Y SENSIBILIDAD
Como se menciona en la introducción uno de los principales
tivaciones para estudiar el NSI utilizando los neutrinos emitidos en una
SN es la mejora de los efectos NSI sobre el neutrino
propagación a través de la cubierta SN debido a la
condiciones extremas de la materia que la caracterizan. En este
en la sección analizamos cómo estos efectos se traducen en
efectos servibles en el caso de una futura SN galáctica.
Esquemáticamente, la emisión de neutrinos por una SN puede ser di-
se divide en cuatro etapas: fase de caída, explosión de neutrones,
acreción, y Kelvin-Helmholtz fase de enfriamiento. Durante
la fase de caída y la explosión de neutrones sólo son
Emitida, mientras que la mayor parte de la emisión de neutrinos se libera
en todos los sabores en las dos últimas fases. Considerando que el neutrino
las características de emisión de las dos fases iniciales son basi-
FIG. 7: Isocontours de probabilidad de salto Landau-Zener en el
R-resonancia H en términos de E y 13 para = 10
−4. Y...
tinetrinos con energía 10 MeV y jerarquía de masa invertida
ha sido asumido.
independiente de las características del progenitor, tales como
como la masa del núcleo o ecuación del estado (EoS), los detalles
de los espectros de neutrinos y luminosidad durante el ac-
fase de crecimiento y enfriamiento puede cambiar significativamente para
diferentes modelos de progenitores. Como resultado, una recta para...
extracción de los parámetros de oscilación a granel
de la señal del neutrino SN parece irremediable. Sólo características
en los espectros de neutrinos detectados que son independientes
de parámetros de SN desconocidos deben utilizarse en
análisis [66].
Se plantea entonces la cuestión de cómo se puede obtener en
formación sobre los parámetros NSI. Tomando en ac-
cuenta que el principal efecto de NSI es generar nuevos in-
transicións de sabor a neutrino ternal, una posibilidad es
voke argumentos teóricos que involucran diferentes aspectos
de la dinámica interna de la SN.
In Ref. [47] se argumentó que tal sabor interno
conversión durante el primer segundo después del rebote del núcleo
En este contexto, la Comisión considera que, en el marco de la política de competencia, los Estados miembros deben tener en cuenta la evolución de la situación económica y social de la Unión Europea.
problema de calefacción. Se observa en simulacros numéricos.
ciones [67, 68, 69, 70] que como la onda de choque propa-
Puertas que pierde energía hasta que se para a unos pocos hun-
drad km. Actualmente se cree que después de neutrinos
Escapan del núcleo de la SN que hasta cierto punto pueden depositar en-
Ergy justo detrás y ayudar a la onda de choque continuar hacia fuera-
Guardias. Por otro lado, también se cree que debido a
la composición en materia de protoneutronstar (PNS)
las energías medias de los diferentes espectros neutrinos obedecen
# E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/S/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/ Esto significa que un reso-
nant conversión entre νe(e) y,
la neutrinósfera y la posición del choque estancado
la onda haría el espectro más difícil, y allí-
la deposición de energía sería más grande, dando lugar a
un efecto de regeneración de ondas de choque.
Otro argumento utilizado en la literatura fue la pos-
sibilidad que la nucleosíntesis de r-proceso, responsable
para sintetizar alrededor de la mitad de los elementos pesados con
masa número A > 70 en la naturaleza, podría ocurrir en la región
por encima de la neutrinosfera en SNe [71, 72]. Un necesario
afección es Ye < 0,5 en la región de nucleosíntesis. Los
El valor de la fracción de electrones depende del neutrino
tasas de absorción, que se determinan a su vez por el
üe(e) luminosidades y distribución de energía. Estos pueden
ser alterado por la conversión del sabor en las capas internas debido a
la presencia de NSI. Por lo tanto, al requerir el electrón
fracción por debajo de 0,5 se puede obtener información sobre la
valores de los parámetros NSI.
Mientras que es comúnmente aceptado que los neutrinos jugarán
un papel crucial en el recalentamiento de la onda de choque también
como la nucleosíntesis de proceso r, todavía hay otros como
factores trofísicos que pueden afectar a ambos. Mientras que la cuestión
Seguimos siendo objeto de debate y preferimos atenernos a los argumentos.
directamente relacionado con observables físicos en un agua grande
Detector Cherenkov. Hay varias posibilidades.
(A) las modulaciones en los espectros e debidas a la pas-
sabio de ondas de choque a través de la supernova [58, 59,
(B) la modulación en los espectros e debido al tiempo
dependencia de la fracción de electrones, inducida por el
I-resonancia
(C) las modulaciones en los espectros e debidas a la Tierra
materia [73, 74, 75, 76]
(D) Detectabilidad de la explosión de neutrones [77, 78]
Tres de estos observables, 1, 3 y 4 ya han sido
considerado en la literatura en el contexto de neutrino
oscilaciones. Aquí discutimos el potencial de lo anterior
prometedores observables en el suministro de información sobre la
Esquema de jerarquía sin2 فارسى13 NSI Psurv P̄surv
A normal & 10−4 No 0 cos2
B invertida & 10−4 Sin 2
C cualquier. 10-6 Ningún pecado2 12 cos
AI normal & 10−4 Sí sin2
BI invertido & 10−4 Sí cos2 12 cos
CIA normal. 10-6 Sí 0 sin2 12
CIb invertido. 10 a 6 Sí cos2 12 0
CUADRO I: Definición de los regímenes de neutrinos
términos de la jerarquía, el valor de 13 y la presencia
de NSI, como se describe en el texto. Los valores de la supervivencia
las probabilidades para νe (Psurv) y e (P̄surv) para cada caso son
también se indica.
Parámetros NSI. Es importante prestar atención a la
posible ocurrencia de la I-resonancia interna y a su
efecto en las resonancias externas H y L. La primera lata
inducir un efecto observable realmente nuevo, punto 2 supra.
Aquí nos concentramos en corrientes neutras de tipo no-
las interacciones estándar, por lo tanto no habrá efecto en el
reacción principal en el agua Cherenkov y centelleador detec-
tors, es decir, la desintegración beta inversa, e+p → e++n [98].
Para la definitividad tomamos NSI con d (abajo) quarks, en
que los efectos NSI se limitarán a la neu-
trino evolución dentro de la SN y la Tierra, a través de la
componente vectorial de la interacción.
De todas las combinaciones posibles de parámetros NSI
se concentrará en aquellos para los que el
la posición tiene lugar, es decir, I & 10−2, ver Fig. 2.
Con respecto a los parámetros NSI FC vamos a considerar e
entre pocos × 10-5 y 10-2, rango en el que la I-
La resonancia es adiabática, ver Fig. 4. En el siguiente disco:
sión nos centraremos en los casos extremos definidos en la Tabla I.
Una de las motivaciones para considerar estos casos es la
hecho de que las resonancias involucradas se vuelven ya sea adiabático
o fuertemente no adiabático, y por lo tanto la supervivencia prob-
habilidades en ausencia de efectos de la Tierra o ondas de choque
paso, convertirse en energía independiente. Esta suposición
simplifica la tarea de relacionar los observables con el
esquemas de neutrinos.
A. Propagación de ondas de choque
Durante aproximadamente los dos primeros segundos después de la
rebote del núcleo, las probabilidades de supervivencia de neutrino son con-
en el tiempo y en la energía para todos los casos mencionados en Ta-
ble I. Sólo los efectos de la Tierra podrían introducir una energía
dependencia. Sin embargo, la capa de resonancia H es
alcanzado por la onda de choque saliente, véase Fig. 1. El camino
el paso de la onda de choque afecta a la propagación del neutrino
depende fuertemente del escenario de mezcla de neutrinos. En el
ausencia de casos NSI A y C no mostrará ninguna prueba
de propagación de ondas de choque en el espectro observado e,
o bien porque no hay resonancia en el antineutrino
canal como en el escenario A, o porque la H-resonancia es
siempre fuertemente no adiabatico como en el escenario C. How-
siempre, en el escenario B, el cambio repentino en la densidad rompe
la adiabaticidad de la resonancia, llevando a un tiempo y
dependencia energética de la supervivencia del electrón antineutrino
probabilidad P̄surv(E, t). En el panel superior de la Fig. 8 we
mostrar P̄surv(E, t) en el caso particular que dos choque
las ondas están presentes, una hacia adelante y otra hacia atrás [60].
La presencia de los choques resulta en la aparición de
los golpes en la probabilidad de supervivencia en aquellas energías para las que
la región de resonancia es pasada por las ondas de choque. Todos
estas estructuras se mueven en el tiempo hacia las energías superiores, como
las ondas de choque llegan a regiones con menor densidad,
a consecuencias observables en el espectro e.
Pasamos ahora al caso en el que NSI está presente, que
abre la posibilidad de resonancias internas. Cuando tales
I-resonancia es adiabática la situación será similar a
el caso sin NSI. Para la jerarquía de masa normal, IA y
CIa, e no sentirá la resonancia H y por lo tanto la
efecto de ruptura de la adiabaticidad no alterará básicamente su
propagación. En contraste, para la jerarquía de masas invertida
y grande 13, caso BI, la resonancia H se produce en el
canal antineutrino y por lo tanto e sentirá el shock
paso de onda. Sin embargo, en contraste con el caso B ahora e
alcanzar la resonancia H en un estado de materia diferente:
m1 en lugar de
3, véase Fig. 3. Eso significa que antes
la onda de choque alcanza la resonancia H la supervivencia e
la probabilidad será P̄surv Cos2 12 0.7. Una vez que el
la adiabaticidad de la resonancia H se rompe por el shock
ola entonces e dejará en parte como
3 y, por lo tanto, el
La probabilidad de supervivencia disminuirá. Como consecuencia, uno
espera un patrón en tiempo y energía para la supervivencia
FIG. 8: Probabilidad de supervivencia P̄surv(E, t) para e como función
de energía en diferentes momentos promediado en energías con el en-
resolución ergy de Super-Kamiokande; para el perfil mostrado en
Fig. 1. Panel superior: se asume el caso B para el sin2 13 = 10
Panel inferior: caso BI, con = 0,07,
−4 y la
el resto de los parámetros NSI ponen a cero.
probabilidad en el caso BI de ser más o menos opuesto que en
la caja B, ver el panel inferior de la Fig. 8. La posición de
los picos y saltos en cada panel no coinciden exactamente
como el valor de aproximadamente cambia la posición de la H-
resonancia.
En los paneles izquierdos de la Fig. 9 representamos a la luz sombreada
(amarillo) la gama de.e.e. y........................................................................................................................................................................................................................................................
La impresión de onda de choque sería observable. En la parte superior
paneles hemos asumido un valor mínimo del electrón
fracción de 0,06, basada en los perfiles numéricos en t =
2 s de Fig. 1. En los paneles inferiores la mina Y se fija en 0.01,
inspirado en los perfiles en t = 15,7 s. Se puede ver cómo como
el tiempo pasa en el rango de ’s para el cual la I-resonancia
se amplía hacia valores cada vez más pequeños.
Esta es una consecuencia directa de la deleptonización constante
de las capas internas.
En el caso de los menores de 13 años, CIb, la situación es diferente.
Excepto por los valores relativamente grandes de la R-Resonancia-H
ser fuertemente no adiabatico, como en el caso C. Por lo tanto, la
el paso de las ondas de choque no cambiará significativamente
la probabilidad de supervivencia e y no conducirá a ningún ob-
efecto servible. En los paneles de la derecha de la Fig. 9 mostramos
lo mismo que en los paneles de la izquierda, pero para el sin2 13 = 10
Considerando que para los grandes valores de 13°, los paneles izquierdos,
resonancia es siempre adiabático y uno sólo tiene que asegurar
la adiabaticidad de la I-resonancia, para valores más pequeños de
La adiabaticidad de la resonancia H depende fuertemente
sobre los valores de las letras e) y , tal como se examina en la Sec. IVB.
Esto puede ser visto como una reducción significativa de la yel-
zona baja. Únicamente los grandes valores de o bien de o bien de o bien de
todavía permite una clara identificación del choque opuesto
efectos de onda. En sombra oscura (cian) mostramos la región
de parámetros para los que PH se encuentra en la región de transición
entre adiabático y fuertemente no adiabatico, y allí-
En primer lugar, podría llevar a algún efecto.
Un útil observable para detectar los efectos de la
la agación es el promedio de las energías de positrones medidas,
Ee, producido en decaimientos beta inversos. In Fig. 10, nosotros
mostrar EeE junto con los errores de sigma esperados para
un detector de agua de Megaton Cherenkov y un SN a 10 kpc
distancia, con un tiempo de encuadernación de 0,5 s, para diferentes neu-
sistemas de trino: casoB y casoBI con diferentes valores de
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Para los flujos de neutrinos asumimos la parametriza-
sión dada por Refs. [79, 80] con «E0(e)» = 15 MeV y
E0( ) = 18 MeV y la siguiente proporción del total
flujo de neutrinos Φ0(e)/Φ0(, ) = 0,8 [99].
Uno puede ver cómo las características del positrón promedio
la energía son una consecuencia directa de la forma de la
probabilidad vival, donde los dips tienen que ser traducidos en
golpes y viceversa.
Por lo tanto, es importante subrayar que, mientras que en caso de
B se espera la presencia de uno o dos dips (depen-
en la estructura de la onda de choque, véase Ref [60]), o
nada en los otros casos, uno o dos golpes son ex-
en el caso BI, como se ve en el panel superior izquierdo de
Fig. 10. Como se indica en Ref. [60] los detalles de la
dips/bump dependerá de la forma exacta de la neu-
los flujos de trino, pero siempre y cuando el assump-
ciones como Eee. Se consideran los dips/bumps
debe ser observado.
B. Variaciones de tiempo de Ye
Acabamos de ver cómo la distorsión de la densidad
perfil debido al paso de onda de choque a través del exterior
FIG. 9: Rango de los y de los e para los cuales el efecto de la conmoción
se observará la onda. En los paneles superiores un valor mínimo
de Y mina = 0,06 basado en los perfiles numéricos en t = 2 s
se ha asumido, véase Fig. 1. En los paneles inferiores tenemos
considerado un caso con Y mina = 0,01 inspirado en el perfil
at t = 15.7 s. Se ha asumido el valor de sin2
ser 10-2 y 10-7 en los paneles izquierdo y derecho, respectivamente.
También hemos superpuesto isocontours de salto constante
probabilidad 0,1 (azul) y 0,9 (rojo) en la I (líneas sólidas) y
Resonancias H (líneas desgastadas) para la jerarquía de masa invertida y
E = 10 MeV y antineutrinos. El área en amarillo representa
el espacio de parámetros donde ambas resonancias serán adiabáticas.
En el área cian se supone que la resonancia I es adiabática
mientras que H se encuentra en la región de transición.
SN envolvente puede inducir una modulación dependiente del tiempo en
el espectro e en los casos B y BI. Sin embargo, el tiempo
dependencia de la fracción de electrones Ye también puede revelar la
presencia de NSI dejando una huella clara en el
Espectro e, como ahora explicamos.
Como se indica en la sección II. IVA la región de NSI parame-
ters que conduce a la I-resonancia está básicamente determinado por el
valores mínimos y máximos de la fracción de electrones,
Y la mía y Y
e. El punto crucial es que como el delep-
tonización de la estrella proto-neutrón continúa, el valor de
Y la mina disminuye constantemente con el tiempo. Como resultado, el rango
de las fortalezas NSI para las que tiene lugar la resonancia I
FIG. 10: La energía media de p → ne+ eventos abarrotados en
tiempo para el caso B (azul roto) y BI (rojo sólido). En cada una de ellas
panel diferentes valores de se han asumido. El error
las barras representan errores de 1 en cualquier cubo. En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa.
aumenta con el tiempo, como puede verse en la Fig. 2.
Discutamos primero las consecuencias observacionales de
la dependencia del tiempo de la fracción de electrones en el caso BI.
Si
I en general) es lo suficientemente grande la I-resonancia voluntad
tienen lugar justo después del rebote del núcleo. En este caso, como
visto en el panel superior izquierdo de la Fig. 10 los dos golpes que
se acaban de discutir en Sec. Se observaría claramente el AV.
Sin embargo, para valores de parámetro NSI más pequeños que podría hap-
que la resonancia I se produce sólo después de varios sec-
onds. En particular para el perfil específico de Ye considerado
mostramos cómo este retraso podría ser de aproximadamente 2, 4 o 9 segundos
para valores de de 0,025, 0,02 o 0,015, respectivamente, véase
los últimos tres paneles Fig. 10. Como se puede inferir de la
Este efecto de retardo puede conducir a una identificación errónea de
el efecto NSI puro. Así, por ejemplo, en la parte superior derecha
panel, uno ve cómo los dos golpes también podrían ser inter-
pretendido como dos caídas, dadas las incertidumbres astrofísicas.
Esta degeneración sutil sólo se puede resolver con un extra en-
la formación sobre, por ejemplo, la dependencia del tiempo de la
espectro o la velocidad de la onda de choque. Teniendo en cuenta el su-
modelo pernova, sin embargo, la estructura temporal de la señal
podría finalmente no sólo señalar la presencia de NSI
pero incluso potencialmente indican un rango de parámetros NSI.
Pasemos ahora a la jerarquía de masas normal.
nario (asuntos AI y CIa). En analogía con el caso BI,
si I es relativamente grande el comienzo de la I-resonancia
tienen lugar desde el principio. Como se puede inferir de la Fig. 3 que
implica que e escapará de la SN como 2. Para los más pequeños
valores, sin embargo, puede suceder que la I-resonancia ser-
viene efectivo sólo después de unos segundos. Esto significa
que durante los primeros segundos de la señal de neutrino e
dejaría la estrella como 1 (casos A y C). Entonces,
después de algún punto, la fracción de electrones sería baja
suficiente para encender la resonancia I, y en consecuencia
e entraría en la Tierra como 2. Esto daría lugar a
una transición en la supervivencia del electrón antineutrino prob-
capacidad de P̄surv فارسى cos2 فارسى12 = 0.7 a sin2 فارسى12 = 0.3.
Dada la jerarquía esperada en el promedio de neutrinos en-
ergies â € â € â € â € â € â € â € â € â € TM TM TM. # E, # # # se deduce que el cambio en Ye #
Esto llevaría a un endurecimiento de las especificaciones de positrones observadas.
trum. El efecto se cuantifica en la Fig. 11 para diferentes
valores de . La cifra muestra la energía media de
los eventos p → ne+ para el caso de un agua Megaton
Detector Cherenkov exactamente como en la Fig. 10, pero para el escenario...
ios AI y CIa. Uno puede ver cómo para = 0.07 el I-
la condición de resonancia siempre se cumple y por lo tanto allí
no depende del tiempo. Sin embargo, para valores más pequeños uno
puede ver un aumento en un cierto momento que depende de la
magnitud de . Un efecto similar se produciría en caso de
C. Efectos de la materia terrestre
Antes de que la onda de choque alcance la capa de resonancia H
la dependencia de la probabilidad de supervivencia de los neutrinos en el
casos que estamos considerando, en la energía de neutrino E es muy
Debil. Sin embargo, si los neutrinos cruzan la Tierra antes de llegar...
En el caso del detector, las probabilidades de conversión pueden llegar a ser
modulaciones de inducción en el neutrino que dependen de la energía
espectro energético. Estas modulaciones pueden ser observadas
en forma de picos y valles locales en el espectro de
la tasa de eventos FDe trazada en función de 1/E. Estos
las modulaciones surgen en el canal antineutrino sólo cuando
e dejar la SN como 1 o 2. En ausencia de NSI esto
sucede en los casos A y C, donde e deja la estrella como 1.
FIG. 11: La energía media de p → ne+ eventos abarrotados en
tiempo para el caso AI y CIa y diferentes valores de . Los
Las barras de error representan errores de 1 en cualquier cubo. En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa.
En presencia de NSI e llegará a la Tierra como 1
en los casos BI, y como 2 en los casos AI y ICa. Por lo tanto
su observación excluiría los casos B y CIb. Esto
la distorsión en los espectros podría medirse por
la señal de neutrino en dos o más detectores diferentes
tal que los neutrinos viajen distancias diferentes a través de
la Tierra antes de alcanzarlos [73, 74]. Sin embargo, estos
Los efectos de la materia terrestre también pueden identificarse en una sola de-
tector [75, 76].
Analizando el espectro de potencia de los neu-
trino eventos se puede identificar la presencia de picos localizados
en las frecuencias que caracterizan la modulación. Estos
no dependen del espectro primario de neutrinos, y
puede ser determinado a una buena precisión desde el conocimiento
borde de los parámetros de oscilación solar, la materia de la Tierra
densidad, y la posición de la SN en el cielo [76]. Los
Esta última se puede determinar con suficiente precisión, incluso si
la SN está ópticamente oscurecida utilizando la capacidad de apuntamiento
Detectores de neutrinos Cherenkov de agua [81].
Este método resulta ser poderoso en la detección de la
modulación en los espectros debido a los efectos de la materia terrestre,
y, por lo tanto, al excluir los casos B y CIb. Sin embargo, la po-
Situación de los picos no depende de cómo e entra en la
Tierra, como 1 o 2. Por lo tanto, no es útil discriminar
caso AI y CIa de los casos A, C y BI.
La dependencia del tiempo de Ye, sin embargo, puede transformar
caso B en BI, y C con jerarquía inversa en CIb,
que conduce, respectivamente, a una aparición y desaparición
de estos efectos de la materia terrestre. En el caso BI la presencia de
la modulación de la onda de choque puede estropear una identificación clara
de los efectos de la materia terrestre. Sin embargo, la desaparición...
de los efectos de la materia terrestre en la transición de
El caso C a Cib nos permite fijar el caso Cib.
D. Explosión de la neutronización
La explosión de neutronización rápida tiene lugar durante
los primeros 25 ms después del rebote del núcleo con un típico
ancho completo medio máximo de 5-7ms y un pico luminoso-
ity de 3,3–3,5×1053 erg s−1. La sorprendente similitud de la
características de emisión de neutrino a pesar de la variabilidad
en las propiedades de los núcleos pre-colapso es causado por
un mecanismo de regulación entre el número de electrones
sión y abundancias objetivo para la captura de electrones. Esto
establece eficazmente fracciones de electrones similares en el in-
el núcleo central durante el colapso, lo que conduce a una convergencia de la
estructura de la parte central de los núcleos colapsantes, con
sólo pequeñas diferencias en la evolución de diferentes pro-
genitores hasta la ruptura de choque [77, 78].
Teniendo en cuenta que es probable que la SN sea
oscurecido por el polvo y una buena estimación de la distancia
no será posible, la estructura de tiempo de la
La señal de neutrino debe utilizarse como firma de la neu-
La tronización estalló. In Ref. [78] se demostró que tal
estructura del tiempo se puede ver en principio limpiamente en el
caso de un detector de agua de Megaton Cherenkov. Lo fue.
también mostró cómo la evolución del tiempo de la señal depende
fuertemente en el esquema de mezcla de neutrinos. En ausencia
de NSI se pudo observar el pico νe a condición de que el
La probabilidad de supervivencia no es cero. Como se puede ver
En la Tabla I esto sucede en los casos B y C. Sin embargo
para el caso A (jerarquización normal de la masa y «grande» (13),
deja la SN como v3. Esto lleva a una probabilidad de supervivencia
Sin2 13. 10-1, y por lo tanto el pico permanece
Oculto.
Consideremos ahora la situación en la que NSI está
prensent. Para la jerarquía normal de las masas, que nace
como vm2 pasa a través de tres resonancias diferentes, I, H
y L. Mientras que yo y L seremos adiabáticos, el destino de
H dependerá del valor de 13 libras esterlinas. Para valores “grandes”,
Caso AI, la resonancia H también será adiabática. Esto
La probabilidad de supervivencia implica que la voluntad de abandonarla es la misma que la de la probabilidad de supervivencia.
será Püe vüe ü sin2 ü12 ü 0.3, y por lo tanto el pico
se verá, como en los casos B y C. Si se produce
ser muy pequeño, caso CIa, entonces H será fuertemente no-
adiabático y por lo tanto dejará la estrella como v3. As a
consecuencia no se verá el pico de neutronización.
Para la jerarquía de masas inversa, nace como
1 y tra-
versos adiabáticamente I y L. Esto implica que
dejar la estrella como v1 y por lo tanto el pico también será
observado. Sin embargo, ahora la probabilidad de supervivencia será
Más grande, por favor, cos2 por 12 por 0.7. Así para un dado conocido
normalización, es decir, la distancia a la SN, se espera un
mayor número de eventos durante el pico de neutrones
en este caso. In Fig. 12 mostramos el número esperado
de eventos por contenedor de tiempo en un detector de Cherenkov de agua en
el caso de una SN que explota a 10 kpc, para dos diferentes
los sistemas de neutrinos, C y BI, y para diferentes SN pro-
Masas de genitor. Uno puede ver cómo la diferencia debido a
la mayor probabilidad de supervivencia es mayor que el tipi-
barras de error cal, asociado a la falta de conocimiento de la
masa progenitora.
Hay dos comentarios en orden. La neutronización
explosión tiene lugar durante los primeros milisegundos, antes de
se produce una fuerte deeptonización. Como resultado de ello, en contra-
a otros observables que hemos considerado en este pa-
por, aquí la I-resonancia sólo se producirá para I y 10-1.
Por otro lado, en presencia de NSI adicional con
electrones esto afectaría significativamente la cruz ν − e
y, en consecuencia, los resultados presentados aquí.
VI. Resumen
Hemos analizado la posibilidad de observar sig-
naturalezas de las interacciones no estándar de neutrinos a partir de la
detección de neutrinos producidos en un futuro su-
pernova.
En Secs. III y IV hemos reconsiderado el efecto de d
interacciones no estándar sobre la propagación de neutrinos
a través de la envolvente SN dentro de un marco de tres neutrinos-
trabajo. En contraste con trabajos anteriores que hemos analizado
la evolución de los neutrinos en los dos más deeptonizados en
FIG. 12: Número de eventos de la dispersión elástica en elec-
trons, por contenedor de tiempo en un detector de agua de Megaton Cherenkov para
a SN a 10 kpc para los casos C (líneas dentadas) y BI (líneas sólidas).
Se han asumido diferentes masas progenitoras: 13 millones (n13)
en rojo, 15 Mó (s15s7b2) en negro, y 25 Mó (s25a28) en azul.
También se muestran errores de 1-sigma para el caso de 15 millones de euros.
las capas y las regiones exteriores de la envolvente SN. Nosotros
han tenido también en cuenta la dependencia temporal de la
Perfiles de densidad SN y fracción de electrones.
En primer lugar hemos encontrado que los pequeños valores de la elec-
la fracción tron típica de la primera permite el NSI interno-
conversiones de resonantes inducidas, además del estándar
MSW-H y MSW-L resonancias de la envoltura exterior.
Estas nuevas conversiones de sabor tienen lugar para un relativamente
gran rango de parámetros NSI, a saber, entre
10−2 − 10−1, y e♥ y pocos × 10−5, actualmente permitido
por experimento. Para esta gama de puntos fuertes, en particular:
lar , interacciones no estándar pueden afectar significativamente
la adiabaticidad de la H-resonancia. Por otra parte
las conversiones de resonantes inducidas por el NSI también pueden conducir a
la modulación de los espectros e como resultado del tiempo
dependencia de la fracción de electrones.
In Sec. V hemos estudiado la posibilidad de detectar
Efectos NSI en un detector de agua de Megaton Cherenkov nosotros...
los efectos de modulación en el espectro e debidos a (i)
el paso de ondas de choque a través de la envolvente SN, ii)
la dependencia del tiempo de la fracción de electrones y (iii) la
Los efectos de la materia terrestre; y, finalmente, a través de los posibles
detectabilidad de la explosión de neutrones. Tenga en cuenta que
observable (ii) resulta ser complementario de la
servación del paso de la onda de choque, (i), y ofrece el
posibilidad de sondear los efectos NSI también para la jerarquía normal
espectro de neutrinos.
En la Tabla II se resumen los resultados obtenidos para
esquemas de neutrinos ferentos. Hemos encontrado que observable
i) puede indicar claramente la existencia de NSI en el caso
de la jerarquía de masa inversa y de gran tamaño (case BI). Activar
por otra parte, observable (ii) permite una identificación
de los efectos del NSI en los demás casos, jerarquía de masa normal
(casos AI y ICa) y jerarquía de masas inversa y pequeña
•13 (caso CIb). Por lo tanto, una señal positiva de cualquiera de los dos ob-
i) o ii) establecerían la existencia de NSI. In
el último caso, esto, sin embargo, dejaría una degeneración
entre los casos AI, ICa y CIb. Tal degeneración puede
se rompan con la ayuda de los observables (iii) y de los observadores
La servación de la neutronización estalló. La detección
de los efectos de la materia terrestre durante toda la supernova neu-
señal trino descartaría caso CIb ya que, como se discutió en
Sec. VC, una desaparición de los efectos de la materia terrestre
tener lugar debido a una transición de C a CIb. Por último,
la observación (no) de la explosión de neutrones puede ser
utilizado para distinguir entre los casos AI y ICa.
Del mismo modo, podrán eliminarse otras degeneraciones del cuadro II
combinando adecuadamente diferentes observables. Para el examen...
Por ejemplo, un negativo de observable (ii) podría significar cualquiera de los dos
valores de los parámetros NSI elegibles o (NU) NSI, así
grande que la resonancia interna está siempre presente. In
En este caso se podría utilizar la observación del neutrón-
sión con el fin de establecer la presencia de NSI para
el caso de la jerarquía de masas inversa. Por otra parte, el
Servación de la impresión de onda de choque en el espectro e
proporcionaría información adicional sobre el artículo 13 del Reglamento (UE) n.o 1303/2013.
En conclusión, combinando adecuadamente todos los observables
se puede establecer no sólo la presencia de NSI, sino también
la jerarquía de las masas y sondear la magnitud de.........................................................................................................................................................................................................................................................
Agradecimientos
Los autores desean dar las gracias a H-Th. Janka, O. Miranda,
S. Pastor, Th. Schwetz, y M. Tórtola para el fructuoso disco-
Sions. Trabajos apoyados por la subvención española FPA2005-
Esquema de la Jerarquía sin2 13 NSI choque Ye Tierra νe explosión
Un normal & 10−4 No No No Sí No
B invertido & 10−4 No Sí No No Sí
C cualquier. 10-6 No No No Sí Sí
AI normal & 10−4 Sí No Sí Sí Sí
BI invertida & 10−4 Sí Sí • No Sí Sí •
CIA normal. 10 a 6 Sí No Sí Sí No
CIb invertido. 10 - 6 Sí No Sí No Sí
CUADRO II: Expectativas para los objetos observables examinados en el
texto: modulación del espectro e debido a la onda de choque
paso, la variación del tiempo de Ye, el efecto de la Tierra, y el
la observación de la explosión dentro de varios esquemas de neutrinos.
Los asteriscos indican que el efecto difiere del esperado
en ausencia de NSI. Véase texto.
01269 y Red Europea de Astropartes Teóricas
cle Física ILIAS/N6 con el número de contrato RII3-CT-
2004-506222. A. E. ha recibido el apoyo de una subvención de la FPU
del Gobierno español. R. T. ha recibido apoyo
por el programa Juan de la Cierva del gobierno español
y por un ERG de la Comisión Europea.
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[88] H. Nunokawa, A. Rossi, V. B. Semikoz y J. W. F.
Valle, Nucl. Phys. B472, 495 (1996), [hep-ph/9602307].
[89] G. L. Fogli, E. Lisi, A. Mirizzi y D. Montanino, JCAP
0606, 012 (2006), [hep-ph/0603033].
[90] A. Friedland y A. Gruzinov, astro-ph/0607244.
[91] Los acoplamientos axiales afectarían a la propagación de neutrinos en la po-
medios larizados, véase Ref. [82].
[92] Sin embargo, nos hemos limitado a los valores de pequeño
suficiente para no llevar a consecuencias drásticas durante el
colapso del núcleo.
[93] En aras de la simplicidad omitiremos el superíndice V.
[94] La importancia de las conversiones colectivas de neutrinos de sabor
Las interacciones entre neutrino y neutrino han sido re-
Cently anotado en Refs. [83, 84, 85, 86]. Aquí consideramos
Únicamente en el caso en que el potencial efectivo percibido por neutri-
nos proviene de sus interacciones con electrones, protones
y neutrones. En un trabajo futuro planeamos incluir esto
efecto y tener una imagen completa de la prop de neutrino
agation.
[95] Aquí descuidamos los posibles efectos de la fluctua-
ciones [87, 88] que tienen lugar durante la onda de choque pro-
agation. Para un estudio detallado de la fenomenología
consecuencias véase Refs. [89, 90].
[96] La condición alternativa H ′ee = H
# Daría lugar a
otra resonancia interna que se puede estudiar utilizando
el mismo método. Para la brevedad, no vamos a perseguir esto en
Este periódico.
[97] Tenga en cuenta que, en el límite de altas densidades se recupera
el ángulo de rotación obtenido para la resonancia I interna
23 → ♥
23 después de descuidar los términos cinéticos.
[98] Para el caso de NSI con electrones tanto el vector y
los componentes axiales de la cruz de la pieza contribuirán a la cruz de la pieza
sección.
[99] Asumimos que para los valores de los parámetros NSI con-
los espectros de neutrinos iniciales no son significativamente
cambio.
http://arxiv.org/abs/astro-ph/0608695
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0701182
http://arxiv.org/abs/astro-ph/9604061
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9602307
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0603033
http://arxiv.org/abs/astro-ph/0607244
| Analizamos la posibilidad de detectar interacciones no estándar con neutrinos
(NSI, para abreviar) a través de la detección de neutrinos producidos en un futuro
supernova galáctica (SN).Consideramos el efecto del NSI sobre el neutrino
propagación a través de la envolvente SN dentro de un marco de tres neutrinos,
especial atención a la inclusión de las conversiones de resonantes inducidas por el NSI, que
puede tener lugar en las capas interiores más deeptonizadas. Estudiamos la posibilidad
de detectar los efectos NSI en un detector de agua de Megaton Cherenkov, ya sea a través de
efectos de modulación en el espectro $\bar\nu_e$ debido a (i) el paso del shock
ondas a través de la envoltura SN, (ii) la dependencia del tiempo del electrón
fracción y (iii) los efectos de la materia terrestre; o, finalmente, a través de los posibles
detectabilidad de la explosión de neutrones $\nu_e$. Encontramos que el $\bar\nu_e$
espectro puede mostrar características dramáticas debido al resonante interno inducido por el NSI
conversión. Esto ocurre en el caso de concentraciones no universales del NSI de unos pocos %, y en el caso de
muy pequeño cambio de sabor NSI por encima de unos pocos $\ veces 10~-5}$.
| IFIC/07-03
Probando interacciones de neutrinos no estándar con neutrinos de supernova
A. Esteban-Pretel, R. Tomàs y J. W. F. Valle1
1AHEP Group, Institut de Fsica Corpuscular - C.S.I.C/Universitat de València
Edifici Instituts d’Investigació, Apt. 22085, E-46071 València, España
(Fecha: 4 de noviembre de 2018)
Analizamos la posibilidad de probar interacciones de neutrinos no estándar (INS, para abreviar) a través de
la detección de neutrinos producidos en una futura supernova galáctica (SN). Consideramos el efecto de
NSI sobre la propagación de neutrinos a través de la envolvente SN en un marco de tres neutrinos, pagando
especial atención a la inclusión de las conversiones de resonantes inducidas por el NSI, que pueden tener lugar en el
la mayoría de las capas interiores deeptonizadas. Estudiamos la posibilidad de detectar efectos NSI en un agua Megaton
Detector Cherenkov, ya sea a través de los efectos de modulación en el espectro e debido a (i) el paso
de ondas de choque a través de la envoltura SN, (ii) la dependencia del tiempo de la fracción de electrones y (iii)
los efectos de la materia terrestre; o, finalmente, a través de la posible detectabilidad de la neutrización
Reventó. Encontramos que el espectro e puede exhibir características dramáticas debido a la interna inducida por el NSI
conversión de resonancia. Esto ocurre en el caso de las concentraciones no universales del NSI de unos pocos %, y en el caso de las concentraciones muy pequeñas
NSI que cambia el sabor por encima de unos pocos×10−5.
Números PACS: 13.15.+g, 14.60.Lm, 14.60.Pq, 14.60.St, 97.60.Bw
I. INTRODUCCIÓN
Los primeros datos de la colaboración de KamLAND [1]
han sido suficientes para aislar oscilaciones de neutrinos como el
mecanismo correcto que explica el prob de neutrino solar
lem [2, 3], indicando también que gran ángulo de mezcla (LMA)
era la solución correcta. Los datos de 766,3 toneladas yarn KamLAND
La muestra refuerza aún más la validez de la LMA o
interpretación de la cilación de los datos [4].
Los datos actuales implican que el neutrino tiene masa. Para una
revisión actualizada de la situación actual del neutrino oscil-
las laciones see [5]. Teorías de la masa de neutrinos [6, 7]
cialmente requieren que los neutrinos tengan pro-
erties tales como neutrino transición electromagnética mo-
[8, 9, 10] o interacciones no estándar de cuatro fermi
(NSI, para abreviar) [11, 12, 13]. La magnitud esperada de
los efectos NSI dependen más bien del modelo.
Los modelos tipo sierra conducen a una estructura no trivial de
la matriz de mezcla de leptón que caracteriza la carga y
interacciones débiles de corriente neutra [6]. El NSI que
son inducidos por el medidor de corriente cargado y neutro
las interacciones pueden ser considerables [14, 15, 16, 17, 18]. Alter...
a nivel nacional, pueden surgir interacciones de neutrinos no estándar en
modelos donde las masas de neutrinos son radiativamente "calcula-
ble” [19, 20]. Finalmente, en algunos supersimétricos unificados
la resistencia de los neutrinos interac-
ciones pueden surgir de la renormalización y/o del umbral
efectos [21].
Destacamos que las interacciones no estándar fortalezas son
Altamente dependiente del modelo. En algunos modelos NSI fortalezas
son demasiado pequeñas para ser relevantes para la propagación de neutrinos,
porque o bien son suprimidos por alguna masa grande
escalar o restringir por los límites de las masas de neutrinos, o ambos.
Sin embargo, esto no tiene que ser el caso, y hay muchos
hipótesis teóricamente atractivas en las que
Los puntos fuertes del NSI son posibles y coherentes con el
la presencia de masas de neutrinos. De hecho, uno puede demostrar que
NSI puede existir incluso en el límite de neutri-
nos [14, 15, 16, 17, 18]. Esto también puede ocurrir en el
contexto de modelos plenamente unificados como SO(10) [22].
Argumentamos que, además de la precisión
nación de los parámetros de oscilación, es necesario
prueba de los efectos no osciladores de sublíder que podrían surgir
a partir de interacciones no estándar con neutrinos. Estos son nat-
resultado ural de muchos modelos de masa de neutrino y puede ser de
dos tipos: cambio de sabor (FC) y no universal (NU).
Estos se ven limitados por los experimentos existentes (véase
y, con los experimentos con neutrinos que ahora entran en un pre-
fase de corte [23], una mejor determinación de neutrino
los parámetros y su impacto teórico constituyen un
meta portante en astropartícula y física de alta energía [5].
Aquí nos concentramos en el impacto de los no estándares
http://arxiv.org/abs/0704.0032v1
interacciones de neutrinos en la física de supernovas. Mostramos
la forma en que la información complementaria sobre el parámetro NSI
se podría inferir de la detección del colapso del núcleo
supernova neutrinos. La motivación para el estudio es
dos veces. En primer lugar, si un futuro evento SN tiene lugar en nuestro
Galaxy el número de eventos de neutrino esperados en el
Los detectores de neutrinos actuales o previstos serían enor-
mous, O(104 − 105) [24]. Por otra parte, la extrema con-
dicciones bajo las cuales los neutrinos tienen que viajar desde que
se crean en el núcleo SN, en re-
giones en densidades nucleares, hasta que lleguen a la Tierra,
llevar a efectos fuertes de la materia. En particular, el efecto de
pequeños valores de los parámetros NSI pueden ser dramáticamente
potenciado, posiblemente llevando a consecuencias observables.
El presente documento está previsto de la siguiente manera. In Sec. II nosotros summa-
riza los límites observacionales actuales de los parámetros
describiendo el NSI, incluidos trabajos anteriores sobre el NSI en
SNe. In Sec. III describimos la propagación de neutrinos
formalismo, así como los perfiles de SN que se utilizarán.
In Sec. IV analizamos el efecto de NSI sobre la propaga-
en las regiones del interior cerca de la neutrinósfera y en
las regiones exteriores de la dotación SN. In Sec. V debatimos
la posibilidad de utilizar varios observables para sondear la
presencia de NSI en la señal de neutrino de un futuro galáctico
SN. Finalmente en Sec. VI presentamos nuestras conclusiones.
II. PRELIMINARIOS
Una gran clase de interacciones no estándar puede ser
parametrizado con el eficaz cuatro-fermión de baja energía
operador:
LNSI = fP® 2
2GF (L) (f)
μPf), (1)
donde P = L, R y f es un fermión de primera generación:
e, u, d. Los coeficientes
• Denotar la fuerza de la
NSI entre los neutrinos de los sabores α y β y el
Componente P-mano del fermión f.
Limitaciones actuales de.................................................................................................................................................
# Provienen de una variedad de dif... #
fuentes feroces, que ahora enumeramos brevemente.
A. Laboratorio
Experimentos de dispersión de neutrinos [25, 26, 27, 28,
29] proporcionar los siguientes límites, fP . 10−3 −
10−2, fPee . 10−1 − 1, fP . 0,05, fPe . 0,5 a
90 % C.L [30, 31, 32]. Por otra parte, el análisis
de la sección transversal e+e− → medida en LEP II
conduce a un atado en eP . 0,5 [33]. Perspectivas futuras
mejorar los límites actuales implica la medición de
sin2 W leptónicamente en la dispersión de electrones en el
objetivo, así como en neutrino diseminación inelástica profunda en
una futura fábrica de neutrinos. La principal mejora sería
ser en el caso de fPee y fPeo, donde los valores como pequeños
como 10-3 y 0,02, respectivamente, podrían alcanzarse [31].
La búsqueda de procesos de violación del sabor
se espera que los leptones cargados restrinjan los neu-
interacciones de trino, en la medida en que el indicador SU(2)
se asume la simetría. Sin embargo, esto puede dar a lo sumo
restricciones indicativas del orden de magnitud, ya que sabemos
SU(2) no es una buena simetría de la naturaleza. Uso de radiativos
se ha argumentado que, por ejemplo, μ − e
Conversión en núcleos como en el caso de T
cepas qPμe . 7.7× 10−4 [31].
Las interacciones no estándar también pueden afectar al neutrino
propagación a través de la materia, sondeado en neutrino corriente
experimentos de oscilación. Los límites así obtenidos se aplican a:
la constante de acoplamiento vectorial del NSI,
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
ya que sólo esto aparece en la propagación de neutrinos en
ter [91].
B. Solar y reactor
El papel de los NSI de neutrinos como efectos secundarios en la
oscilaciones solares de neutrinos y KamLAND ha sido re-
cently considerado en Ref. [34, 35, 36] con lo siguiente:
límite del 90 % de CL para el período comprendido entre el 1 de enero de 1999 y el 31 de diciembre de 1999
rango bajo −0,93. *............................................................................... 0,30, mientras que para la diagonal
# La única región prohibida es # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
[0.20, 0.78] [36]. Sólo en el caso ideal de infinitamente pre-
determinación de los parámetros de oscilación del neutrino solar cise,
el rango permitido “cerraría desde la izquierda” para negativo
Valores del parámetro NSI, en −0,6 para فارسى y −0.7 para.
C. Neutrinos atmosféricos y aceleradores
Interacciones no estándar con neutrinos de muón
puede ser limitado por experimentos con neutrinos atmosféricos
así como las búsquedas de oscilación del neutrino acelerador en
K2K y MINOS. In Ref. [37] Super-Kamiokande y
MACRO observaciones de neutrinos atmosféricos fueron con-
en el marco de dos neutrinos. Los límites son los siguientes:
se mantuvieron −0,05. * dV < 0,04 y dV − dV . 0,17
a un 99 % CL. Los mismos datos junto con K2K fueron:
considerado recientemente en Refs. [38, 39] para estudiar la nonstan-
dard interacciones de neutrinos en un esquema de tres generaciones
bajo la hipótesis de "eμ" = = = 0. El al-
región baja de obtenida para los valores de
que O(10−1) se convierte en f=u,d,efVNf/Ne. 0,2 [39],
donde Nf representa la densidad del número de fermiones.
D. Cosmología
Si las interacciones no estándar con los electrones fueran grandes
También podrían dar lugar a importantes aspectos cosmológicos y como:
implicaciones trofísicas. Por ejemplo, los neutrinos podrían
mantenerse en contacto térmico con electrones y positrones
más tiempo que en el caso estándar, por lo que compartirían
una fracción mayor de la liberación de entropía de e± annihi-
Laciones. Esto afectaría a las características previstas de la
fondo cósmico de neutrinos. Como se ha señalado recientemente
en Ref [40] los acoplamientos requeridos son, sin embargo, más grandes que
los límites actuales del laboratorio.
E. NSI en Supernovae
Según la supernova actualmente aceptada (SN)
paradigma, se espera que los neutrinos desempeñen un papel crucial
en la dinámica SN. Como resultado, la física SN proporciona
un laboratorio para sondear las propiedades de los neutrinos. Además,
muchos detectores de neutrinos grandes futuros son actualmente-
> > > >. >. >...................................................................................................................................................... El enorme número de acontecimientos,
O(104 − 105) que serían “observados” en estos detectores
dice que una futura SN en nuestra Galaxia proporcionaría un
sonda muy sensible de interacción no estándar con neutrinos
efectos.
La presencia de NSI puede conducir a importantes
quences para la física de los neutrinos SN tanto en el
núcleo denso, así como en el sobre donde neutrinos
básicamente fluyen libremente.
El papel de los procesos de dispersión de neutrinos sin avance
sobre núcleos pesados y nucleones libres que dan lugar a sabor
el cambio dentro del núcleo de la SN se ha analizado recientemente en
Ref. [42, 43]. El principal efecto encontrado fue una reducción de
el núcleo de la fracción de electrones Ye durante el colapso del núcleo. Una más baja
Usted conduciría a una masa inferior del núcleo homólogo, una más baja
energía de choque, y una mayor desintegración de fotones nucleares
carga para la onda de choque. Al permitir un máximo
Se ha alegado que se ha afirmado que se ha producido un aumento de la tasa de desempleo en el período comprendido entre el 1 de enero de 1999 y el 31 de diciembre de 1999. 10-3, donde
α = μ, [43].
Por otra parte, se ha observado desde hace mucho tiempo
que la existencia de NSI desempeña un papel importante en el
propagación de neutrinos SN a través de la cubierta de plomo-
la posibilidad de una nueva conversión de la resonancia. In
contraste con el conocido efecto MSW [44, 45]
tienen lugar incluso para los neutrinos sin masa [13]. Dos básicos
ingredientes son necesarios: universal y cambio de sabor
NSI. En el régimen original, los neutrinos se mezclaron en el
leptonic cargada corriente y la universalidad fue violada
gracias al efecto de mezclar con singlet de ancho pesado
leptones [6, 14]. Tal resonancia induciría fuertes neu-
Conversión de sabor trino tanto para neutrinos como para antineutri-
Simultáneamente, posiblemente afectando al neutrino sig-
nal de la SN1987A, así como la posibilidad de
nucleosíntesis de proceso. Esto fue en primer lugar cuantitativamente
considerado dentro de un esquema de dos sabores y límites
en los parámetros NSI relevantes se obtuvieron utilizando ambos
argumentaciones [46].
Una de las características principales de tales “internos” o
“sin masa” mecanismo de conversión de resonancia es que re-
exige la violación de la universalidad, siendo su posición
determinada únicamente por la composición química de la materia,
a saber, el valor de la fracción de electrones Ye, y no por
la densidad. En vista de los límites superiores experimentales
en los parámetros NSI tal nueva resonancia sólo puede tomar
lugar en las capas internas de la supernova, cerca de la neu-
trinosfera, donde Ye toma sus valores mínimos. En este
región los valores de Ye son lo suficientemente pequeños como para permitir
Conversiones de resonancia que tendrán lugar de acuerdo con
límites existentes sobre los puntos fuertes de la INS no universal
parámetros.
Las implicaciones físicas SN de otro tipo de NSI
presente en modelos supersimétricos de violación de paridad-R
se han estudiado también en Ref. [47], de nuevo para un sistema
de dos neutrinos. Para la definitividad NSI en d-quarks fueron
en dos casos: i) neutrinos sin masa sin
mezcla en presencia de cambio de sabor (FC) y no-
universal (NU) NSI, y (ii) neutrinos con masas de eV
y FC NSI. Se han utilizado diferentes argumentos en
con el fin de limitar los parámetros que describen el NSI,
A este respecto, la SN1987A, la posibilidad de
nucleosíntesis del proceso y la posible
alargamiento de la deposición de energía detrás del choque
onda para reactivarlo.
Por otra parte, varios artículos posteriores [48, 49,
50] consideró los efectos del NSI sobre la propa-
en un escenario de mezcla de tres neutrinos para el caso
Ye > 0,4, típico de la envolvente exterior SN. Juntos
con la suposición de que................................................................................................................. 10
−2 esto impide la
Aparición de resonancias internas en contraste con las anteriores
referencias.
Motivado por teorías supersimétricas sin R par-
ity, en Ref. [48] los autores consideraron los efectos de
NSI de pequeña resistencia con d-quarks. Después de los...
El malismo se desarrolló en Refs. [51, 52] estudiaron el cor-
rections que dicho NSI tendría en las expresiones
para las probabilidades de supervivencia en las resonancias estándar
MSW-H y MSW-L. Se realizó un análisis similar
en Ref. [49] suponiendo que las interacciones NSI inducidas por Z
inafectado por neutrinos pesados adicionales. Un fenomeno...
generalización lógica de estos resultados se llevó a cabo en
Ref. [50]. Los autores encontraron un compacto analítico ex-
presión para las probabilidades de supervivencia en las que la
efectos del NSI pueden ser incorporados a través de los cambios de la
los ángulos de mezcla de los puntos 12 y 13. En contraste con expres-
sions encontrados anteriormente estos se aplican directamente a todas las mezclas
ángulos, y en el caso de los efectos de la materia terrestre. Los
La principal consecuencia fenomenológica fue la identificación
de una degeneración entre 13 y 15 años, similar a la
“confusión” análoga entre el 13 y el
ing Parámetro NSI observado en el contexto de
oscilaciones basales de neutrinos [53, 54].
Ahora hemos reconsiderado los tres neutrinos generales
el escenario de mezcla con NSI. En contraste con el anterior
trabajo [48, 49, 50], no nos hemos limitado a
grandes valores de Ye, discutiendo también pequeños valores presentes
en las capas internas. De esta manera nuestro descrip-
ión incluye tanto la posibilidad de neutrinos que tienen la
Conversiones de resonantes “sin masa” inducidas por el NSI en
las capas interiores de la envolvente SN [13, 46, 47], así como el
Conversiones “externas” inducidas por oscilaciones [48, 49, 50] [92].
III. EVOLUCIÓN NEUTRINA
En esta sección describimos los principales ingredientes de nuestro
análisis. Nuestro énfasis estará en el uso de astrofias...
ticamente realista SN materia y Ye perfiles, caracterizando
su densidad y la composición de la materia. Sus detalles,
en particular su dependencia del tiempo, son cruciales para
la minería de la forma en que las interacciones de neutrinos no estándar
afectan a la propagación de neutrinos en el medio SN.
A. Ecuación de la evolución
Como se indica en la sección II. II en un medio no polarizado
la propagación de neutrinos en la materia se verá afectada por la
constante de acoplamiento vectorial de la NSI,
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
• [93].
La forma en que el NSI neutro actual modifica el neu-
la evolución trino será parametrizada fenomenológicamente
a través del eficaz operador de cuatro fermiones de baja energía
descrita en Eq. (1). También asumimos que...
# R, negligencia... #
la posible violación de la PC en las nuevas interacciones.
Bajo estas suposiciones el Hamiltoniano describiendo
la evolución del neutrino SN en presencia de NSI puede ser
moldeado en la forma siguiente [94]
= (Hkin +Hint) , (2)
donde Hkin representa el término cinético
Hkin = U
U †, (3)
con M2 = diag(m21,m
3), y U los tres neutrinos
Matriz de mezcla de leptón [6] en el convenio PDG [55] y
sin fases de PC.
El segundo término de la Hamiltonian cuenta para el
interacción de neutrinos con la materia y se puede dividir en
dos piezas,
Consejo = H
int +H
int. 4)
El primer término, Hstd
describe la interacción estándar
con materia y puede ser escrito como Hstd
= diag (CCV, 0, 0)
hasta un bucle de correcciones debido a las diferentes masas de la
muón y tau leptones [56]. La materia estándar poten-
tial para neutrinos se administra por
VCC =
2GFNe = V0-Ye, (5)
donde V0 • 7,6×10−14 eV, la densidad se indica en g/cm3,
Ye representa el número relativo de electrones con
respeto a los bariones. Para los antineutrinos el potencial es
idéntico pero con el signo cambiado.
El término en el hamiltoniano que describe el no-
las interacciones estándar de neutrinos con un fermión f pueden ser
expresado como,
(Hnsiint )
f=e,u,d
) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
con (V
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2GFNf
- Sí. Para la defini-
tivados por modelos reales, por ejemplo, los con rotos
Supersimetría de paridad R tomamos para f el tipo-abajo
Quark. Sin embargo, se aplicaría un tratamiento análogo
al caso de NSI sobre quarks de tipo ascendente, la existencia de
NSI con electrones no trae ninguna diferencia cualitativa drástica-
nes con respecto al caso de oscilación pura (véase
bajo). Por lo tanto, el potencial de NSI puede expresarse como
a continuación,
(V dnsi)
(2− Ye). 7)..................................................................................................................................................
A partir de ahora no escribiremos explícitamente el superíndice
d. Con el fin de simplificar aún más el problema vamos a re-
fine los parámetros diagonales NSI de modo que = 0, como uno
puede ver fácilmente que restar una matriz proporcional a
la identidad deja la física involucrada en el neutrino
oscilación no afectada.
B. Perfiles de materia Supernova
La propagación del neutrino depende de la
perfil ter y químico a través del potencial efectivo.
Este perfil presenta una importante dependencia del tiempo durante
En la explosión. Fig. 1 muestra la densidad (t, r) y la
Perfiles de fracción electrónica Ye(t, r) para el progenitor SN como
así como en diferentes momentos post-bounce.
Los perfiles de densidad del progenitor pueden ser más o menos
parametrizado por una función de poder-ley
l(r) = l(0)
, (8)
en los que 0 · 104 g/cm3, R0 · 109 cm, y n · 3. Los
perfil de fracción de electrones varía dependiendo de la materia
composición de las diferentes capas. Por ejemplo, típico
valores de Ye entre 0,42 y 0,45 en las regiones interiores
se encuentran en simulaciones de evolución estelar [57]. En el in-
regiones denominadas, en las que los MSW H y L-resonancias
se llevan a cabo Ye 0.5. Este valor puede aumentar aún más en
la mayoría de las capas exteriores de la envolvente SN debido a la
Ence de hidrógeno.
Después de que el núcleo SN rebota el perfil de la materia se ve afectado
de varias maneras. Primera nota que comienza una onda de choque frontal
para propagar hacia el exterior y finalmente expulsa a la SN enve-
Lope. La evolución de la onda de choque modificará fuertemente
ify el perfil de densidad y por lo tanto el propa de neutrino-
gation [58, 59]. Después de Ref. [60] asumiremos que
la estructura de la onda de choque es más complicada y
aparece una “onda inversa” adicional debido a la colisión
del viento impulsado por neutrinos y de la pareja lentamente en movimiento-
rial detrás del choque delantero, como se ve en el panel superior
de Fig. 1 [95].
Por otro lado, la fracción de electrones también se ve afectada
para la evolución del tiempo a medida que avanza la explosión de la SN. Una vez
el colapso comienza la densidad del núcleo crece para que el neu-
trinos llegar a ser atrapado efectivamente dentro de la
llamada “neutrinosfera”. En este punto los atrapados
fracción de electrones ha disminuido hasta valores del orden de
0,33 [61]. Cuando el núcleo interior alcanza la densidad nuclear
no puede contraer más y rebota. Como una estafa...
secuencia una onda de choque se forma en el núcleo interior y comienza
Se propaga hacia el exterior. Cuando el recién formado super-
nova shock alcanza densidades lo suficientemente bajas para el
neutrinos atrapados para comenzar a fluir más rápido que el
El choque se propaga [62], se lanza un pulso de ruptura de νe.
En la materia calentada por choque, que todavía es rica de elec-
trons y completamente desintegrados en neutrones libres y
protones, un gran número de ellos son producidos rápidamente por
captura de electrones en protones. Siguen el shock en
su salida hasta que se liberan en una muy luminosa
flash, la ruptura estalló, en el momento en que
el choque penetra en la neutrinosfera y el neutri-
Los nos pueden escapar esencialmente sin obstáculos. En consecuencia,
el número de leptón en la capa alrededor de la neutrinosfera
disminuye fuertemente y la materia se neutraliza [63]. Los
el valor de Ye disminuye constantemente en estas capas hasta que val-
us del orden de O(10−2). Fuera de la neutrinósfera
hay una subida empinada hasta Ye 0.5. Este es un robusto
característica del viento bariónico impulsado por neutrinos. Neutrino
la calefacción impulsa la pérdida de masa del viento y hace que Ye suba
dentro de unos pocos 10 km de valores bajos a altos, entre 0,45
y 0,55 [64], ver el panel inferior de la Fig. 1. Inspirado en el
resultados numéricos de Ref. [60] hemos parametrizado el
comportamiento de la fracción de electrones cerca de la neutrinosfera
fenomenológicamente como,
Ye = a+ b arctan[(r − r0)/rs], (9)
en los que a) 0,23 - 0,26 y b) 0,16 - 0,20. El param-
eters r0 y rs describen dónde tiene lugar el aumento y
lo empinado que es, respectivamente. Como se puede ver en la Fig. 1
ambos disminuyen con el tiempo.
FIG. 1: Densidad (panel superior) y fracción de electrones (abajo)
perfiles para el progenitor de la SN y en diferentes instantes
después del rebote del núcleo, de Ref. [60]. Las regiones en las que la
H (amarillo) y la resonancia L (ciano) también tienen lugar
indicado, así como la resonancia I (gris) inducida por el NSI para
los parámetros ee = 0, . 0,07 y . 0,05
IV. LOS DOS REGÍMENES
Con el fin de estudiar la propagación de neutrinos a través de
el sobre SN dividiremos el problema en dos diferen-
ent regiones: el envoltorio interior, definido por la condición
VCC • m2atm/(2E) con • m2atm • m23 • m22, y la
en el exterior, en el que se sitúan los puntos de entrada y salida de los puntos de entrada y salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de entrada y de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de los puntos de salida de salida de los puntos de salida. Desde la parte superior
panel de la Fig. 1 se puede ver cómo el límite más o menos
varía entre r 108 cm y 109 cm, dependiendo de la
tiempo considerado. De esta manera uno puede caracterizar completamente a todos
resonancias que pueden tener lugar en la propagación de su-
neutrinos pernova, ambas conversiones de resonantes exteriores
relacionados con las masas de neutrinos e indicados como la parte superior
bandas en Fig. 1, y las resonancias internas que siguen
a partir de la presencia de interacciones no estándar con neutrinos,
indicado por la banda en la parte inferior de la misma figura.
Aquí prestamos especial atención al uso de alfombras realistas.
Perfiles de supernovas y tres neutrinos
sabores generalizando así estudios previos.
A. Evolución del Neutrino en las regiones interiores
Vamos a escribir primero el Hamiltoniano en las capas internas,
donde se encuentra Hkin. En este caso el Hamiltoniano puede ser
por escrito como
H • Pista = V0-(2− Ye)
+ Eeeeeeeeeeeeeeeeeee.eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
# Eμ 0 #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Cuando el valor del es del mismo orden que el
Las resonancias internas de la fracción electrónica Ye pueden surgir [13].
Teniendo en cuenta las limitaciones actuales de los
, discutido en Sec. II uno ve que los pequeños valores de Ye son
requerido [46, 47]. Como resultado, estos sólo pueden tener lugar
en las capas interiores más deeptonizadas, cerca de los neu-
trinosfera, donde los términos cinéticos del Hamiltonian
son insignificantes.
Dado el gran número de parámetros libres in-
participamos consideramos un caso en particular donde e y
Son lo suficientemente pequeños como para descuidar una posible mezcla inicial
entre νe y o . Salvo afinación fina, esta basi-
las cantidades cally a e, e 10−2. De acuerdo con el
debate de la Sec. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
ciones, mientras que uno espera que la ventana e & 10−2
eventualmente serán sondeados en experimentos futuros.
Puesto que se espera que los flujos iniciales de y sean
básicamente idéntico, es conveniente redefinir el débil
base mediante la realización de una rotación en el sector ♥:
= U(23)
1 0 0
0 c23′ s23′
0 −s23′ c23′
donde c23′ y s23′ corresponden a cos(
23) y el pecado
23), re-
Desde el punto de vista de las perspectivas. El ángulo 23 se puede escribir como
tan(223)
. (12)
El Hamiltoniano se convierte en la nueva base
H = U
†(23)HÚ()
23) (13)
= V0-(2− Ye)
+ Ee
eμ ♥
# # E # # 0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
,(14)
donde
eμ = Łeμc23′ − Łeąs23′ (15)
eŁ = Łeμs23′ + ŁeŁ c23′ (16)
= ( −
*2* + 4* + 4* + 4* + 4* + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
)/2 (17)
= ( +
*2* + 4* + 4* + 4* + 4* + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
)/2. (18)
Con nuestras suposiciones iniciales sobre el eα uno nota que
la nueva base básicamente diagonaliza el Hamiltoniano,
y por lo tanto coincide más o menos con la materia eigen-
base estatal. Una resonancia novedosa puede surgir si la condición
H ′ee = H
# Está satisfecho, llamamos a esto I-resonancia, estoy... #
ing para “interno” [96]. La resonancia correspondiente con-
sión se puede escribir como
Y Ie =
1 + I
, (19)
donde I se define como − Łee. In Fig. 2 representamos
la gama de los tipos de cambio de los tipos de cambio y de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de tipo de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de los tipos de cambio de tipo de cambio de tipo de cambio
# que lleva a la resonancia I para #
un perfil de fracción de electrones entre las diferentes minas Y y
Y maxi = 0,5. Es importante tener en cuenta que el valor
La mía depende del tiempo. Justo antes del colapso de la
el valor mínimo de la fracción de electrones es alrededor de 0.4.
Por lo tanto, la ventana de parámetros NSI que conduciría
a una resonancia sería relativamente estrecho, como se indica
por la banda sombreada (amarilla) en la Fig. 2. A medida que pasa el tiempo
Y mina disminuye a valores del orden de unos pocos %, y
Como resultado, la región de parámetros que dan lugar a la
la resonancia se ensancha significativamente. Por ejemplo, en el rango
ee ≤ 10−3 posiblemente accesible a experimentos futuros uno
ve que la I-resonancia puede tener lugar para los valores de
del orden de O(10−2). Esto indica que el potencial
Sensibilidad sobre los parámetros NSI que pueden ser alcanzados en su-
estudios de pernova es mejor que el de los límites actuales.
FIG. 2: Contours de Y Ie como función de.........................................................................................................................................................................................................................................................
- ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde! - ¡Acorde!
ing a Eq. (19) para los diferentes valores de Ye. La región de Yel-
baja representa la región de parámetros que da lugar a I-
resonancia antes del colapso. Las flechas indican cómo esto
la región se amplía con el tiempo.
Como se ve en la Fig. 1 con el fin de cumplir la I-resonancia con-
sión para tales valores pequeños de los parámetros NSI la
los valores de que de hecho debe mentir, como ya se ha dicho, en el
capas internas.
Varios comentarios están en orden: En primer lugar, en contraste con
las resonancias estándar H y L, relacionadas con la cinética
término, la densidad en sí no entra explícitamente en el
condición de resonancia, siempre que la densidad sea alta
suficiente para descuidar los términos cinéticos. Analógicamente, el en-
ergy no juega ningún papel en la condición de resonancia, que es
determinado sólo por la fracción de electrones Ye. Además,
en contraste con las resonancias estándar, la I-resonancia
se presenta tanto para neutrinos como para antineutrinos simultano
oly [13]. Finalmente, como se indica en la Fig. 3 los Estados miembros (e) son
no creado como el estado más pesado (más ligero), sino como el in-
estado de término, por lo tanto la composición del sabor de la
los neutrinos que llegan a la resonancia H es exactamente la op-
Sin NSI, el caso se plantea sin NSI. Como mostramos en Sec. V, esto
hecho puede conducir a importantes consecuencias observacionales.
Para calcular la probabilidad de salto entre
Eigenstatos de la materia en la I-resonancia que usamos el Landau-
/ m2 /
FIG. 3: Planes de cruce de niveles, primer panel es para el caso de
jerarquía normal (solo oscilaciones), la segunda incluye la
Efecto NSI. Los dos paneles inferiores corresponden a la inversa hi-
sólo oscilaciones y oscilaciones + NSI, respectivamente.
Zener aproximación para dos sabores
P ILZ e−
γI, (20)
donde γI representa el parámetro de adiabaticidad, que
se puede escribir generalmente como
Em2 − Em1
, (21)
en el que m dm/dr. Si uno aplica esto para...
mula a la caja de Eq. de e-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-). (14) suponiendo que
tan 2°mI = 2H
e-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H)-(H-(H)-(H)-(H)-(H)
• − Hee) y Em2 − Em1 =
(H −Hee)2 + 4H ′e
uno consigue
4H ′2e
( − ee)
16V0
(1 + I)3e
4×109rs,5112e9f(I),(22)
donde la parametrización del perfil de Ye ha sido de-
multado como en Eq. (9) con b = 0,16. La densidad
se resiente la densidad en unidades de 1011 g/cm3, rs,5 stands
para rs en unidades de 10
5 cm, y f(l) es una función cuyo
valor es del orden O(1) en el rango de parámetros que
están interesados en. Teniendo en cuenta todos estos factores
se deduce que la resonancia interna será adiabática
a condición de que eää & 10
−5, muy por debajo de los límites actuales,
en pleno acuerdo numérico con, por ejemplo, Ref. [47].
In Fig. 4 mostramos la condición de resonancia, así como
la adiabaticidad en términos de y
otros = 0. Con el fin de ilustrar la dependencia de
tiempo que consideramos perfiles inspirados en los perfiles numéricos
de Fig. 1 en t = 2 s (panel superior) y 15,7 s (abajo)
en el panel). Para la definitividad tomamos Y mía como el electrón
fracción a la que la densidad tiene un valor de 5× 1011g/cm3.
Para comparación con la Fig. 2 hemos asumido Y mina =
10−2 en el caso de 15.7 s. Observamos cómo la frontera
de la adiabaticidad depende de a través del valor de la
densidad a rI que a su vez depende del tiempo.
Antes de pasar a la discusión de las resonancias externas
un comentario está en orden, a saber, ¿cómo el formalismo
cambio para otros modelos de interacción no estándar. Primero
note que todo el tratamiento presentado anteriormente también ap-
se refiere al caso de NSI en quarks de tipo ascendente, con la excepción de que
la posición de los cambios de resonancia interna con respeto
al caso del cuádruple. De hecho, en este caso el NSI
potencial
(V unsi)
V0o(1 + Ye), (23)
0,001 0,01 0,1 1
0,001 0,01 0,1 1
FIG. 4: Contornos de probabilidad de salto constante en el I-
la resonancia en términos de y
ing a Fig. 1 a 2 s con a = 0,235 y b = 0,175 (panel superior)
y 15.7 s con a = 0,26 y b = 0,195 (panel inferior). Por
la simplicidad de los otros se han puesto a cero.
induciría una resonancia interna similar para el condi-
ión Ye =
I/(1− ŁI).
En contraste, para el caso de NSI con electrones, la
El potencial de NSI es proporcional a la fracción de electrones, y
Por lo tanto, ninguna resonancia interna aparecería.
B. Evolución del Neutrino en las regiones exteriores
En las capas exteriores de la envoltura SN neutrinos pueden des-
dergo importantes transiciones de sabor en los puntos donde
el potencial inducido por la materia es igual a los términos cinéticos.
En ausencia de NSI esta condición se puede expresar como
VCC ·m2/(2E). Experimentos de oscilación de Neutrino en...
dicate dos escamas de masa, en m2atm y en m2atm
â € ¢ m22−m21 [5],
por lo tanto surgen dos capas de resonancia diferentes, el llamado
H-resonancia y L-resonancia, respectivamente.
La presencia de NSI con valores de . 10−2 modi-
fíe las propiedades de las transiciones H y L [48, 49, 50].
En particular, se observa que los efectos del NSI pueden ser
que se describe como en el caso estándar mediante la integración de la
en ángulos de mezcla efectivos [50]. Un análogo “confu-
sión” entre el pecado13 y el correspondiente param del NSI-
se ha señalado en el contexto de la
oscilaciones basales de neutrinos en Refs. [53, 54].
En esta sección realizamos un trabajo más general y com-
Estudio complementario para valores ligeramente superiores del NSI
parámetros: & pocos 10−2, todavía permitido por la corriente
límites, y para los cuales la I-resonancia podría ocurrir.
La suposición fenomenológica de la jerarquía
diferencias de masa cuadradas, m2atm m2, permite, para
una factorización de la dinámica de 3 /
en dos subsistemas de 2 v aproximadamente desacoplados para el H
y transiciones L [65]. Aislar la dinámica de la
H transición, se suele rotar el sabor de neutrino ba-
y extrae la submatriz con índices
1,3) [48, 50]. Considerando que este método funciona perfectamente para
pequeños valores de puede ser peligroso para los valores superiores
10-2. Con el fin de analizar cuánto se desvía nuestro caso
de la aproximación más simple que hemos realizado un
rotación con el ángulo 23 23 23 − α en lugar de justo
23 libras esterlinas. Requeriendo que la nueva rotación diagonalice la
submatriz (2,3) en la capa de resonancia H se obtiene la
después de la expresión para el ángulo de corrección α
tan(2α) =
s212s13 + V
• s223 − 2V NSI c223
(atm +
c212(−3 + c213)
+V NSI® c223 + 2V
s223
, (24)
en los que se entenderá por «atm», «m2atm»/(2E) y «», «m2atm»/(2E». In
nuestra anotación sij y s2ij representan sin
respectivamente. Los parámetros cij y c2ij son análogos
Definido. En ausencia de NSI α es sólo una pequeña corrección
a Ł23 [97],
tan(2α) s212s13/atmc213. O(10−3). (25)
Con el fin de calcular α necesitamos saber el H-
Punto de resonancia. Para calcularlo se puede proceder como en
el caso sin NSI, a saber, hacer la rotación 23 y
analizar la submatriz (1, 3). El nuevo Hamiltonian H
tiene ahora la forma
H ′′ee = V0-[Ye + Łee(2− Ye)] + atms213
(c)
12 + s
13),
H = V0-(2− Ye) atmc213c2α
c213c
α + (sαc12 + cαs12s13)
H "e" = V0"(2− Ye)e +
•atms213cα
(−c13sαs212 + c212cαs213). 26)
Hemos definido = c
23o + s223o, y
En el artículo 23, la letra a) se sustituye por el texto siguiente:
Cos(23α), y s223α sin(2232α), c223
cos(2-23 − 2α). La condición de resonancia para el trans-
Situación, H ′′ee = H
Se puede escribir entonces como
H [Y He + (?ee − )(2− Y He )] =?atm(c213c2α − s213)
[c]
13 − c2αs213)− s2αs212 + 12s2αs212s13].(27)
Se puede comprobar fácilmente cómo en el límite de → 0 uno
recupera la condición de resonancia estándar,
HY He, Atmc213. (28)
En la región donde ocurre la resonancia H Y He 0.5.
Teniendo en cuenta Eqs. (24) y (27) ya se puede
Estimar cómo el valor de α cambia con el parámetro NSI
eters. In Fig. 5 mostramos la dependencia de α en el
después de fijar el valor de los otros parámetros NSI. Uno
puede ver cómo para & 10
-2 la aproximación del abandono-
ing α empeora significativamente. Asumiendo que el valor de 23 °C = 4 °C y el valor de
valor fijo de uno puede ver fácilmente que básicamente
afecta al numerador en Eq. (24). Por lo tanto, se espera
un aumento de α como el valor de aumenta, como se ve en la Fig. 5.
La dependencia de α en se correlaciona con la rela-
signo tivo de la jerarquía de masas y . Por ejemplo,
para la jerarquía de masa normal y valores positivos de la
dependencia es inversa, es decir, valores más altos de plomo
a una supresión de α. Aparte de este behav general...
ior, α también depende del término diagonal?ee como se ve en
Fig. 5. Este efecto ocurre cambiando el punto de resonancia
a través de la condición de resonancia en Eq. (27).
Ahora se puede calcular la probabilidad de salto-
entre la materia eigenstates en analogía con la I-resonancia
mediante la aproximación Landau-Zener, véase
Eqs. (20), (21), y 22,
PHLZ e−
γH, (29)
donde γH representa el parámetro de adiabaticidad en el
FIG. 5: Ángulo α como función de para los diferentes valores de Łee
y , en el caso de neutrinos de energía 10 MeV, con
jerarquía de masa normal, y s213 = 10
−5. El otro NSI pa-
Los rámetros toman los siguientes valores: eμ = 0 y eü = 10
H-resonancia, que puede ser escrito como
4H ′′2e
( − ′′ee)
, (30)
donde las expresiones para H se dan en Eqs (26).
Consideremos primero el caso . 10-2. En este caso
α 0 y se puede reescribir el parámetro de adiabaticidad como
# El pecado del atm #
cos(2oC)
)d ln V/drrH
, (31)
donde
= 13 °C + 13 °C
e-(2- Ye)/Ye (32)
de acuerdo con Ref. [50]. Para un poco más grande de......................................................................................................................................
pueden ser diferencias significativas. In Fig. 6 mostramos PHLZ en
el plano para antineutrinos con energía 10 MeV
en el caso de la jerarquía inversa de masas, utilizando Eq. 29) con
(panel superior) y sin (panel inferior)
Rección. Los valores de 13 y de e se han elegido así:
que la probabilidad de salto se encuentra en el régimen de transición ser-
Entre adiabáticos y fuertemente no adiabáticos. En el límite
de pequeño , α se vuelve insignificante y por lo tanto ambos re-
Los sulfatos coinciden. De Eq. (31) se ve como el valor de
Se aumenta γH se hace más grande y por lo tanto la transición
se vuelve cada vez más adiabático. Para valores negativos
puede haber una cancelación entre los años 13 y 13,
y como resultado la transición se vuelve no adiabatica.
Una consecuencia adicional de Eq. (32) es que un degen-
Surge una eracia entre los años 13 y 13. Esto se ve en la Fig. 7,
que da los contornos de PH
por lo que se refiere a la letra e) y a la letra e) del apartado 3 del artículo 13
para = 10
−4. Uno ve claramente que el mismo Landau-
La probabilidad de salto de Zener se obtiene para diferentes com-
En el caso de los productos de origen animal, el valor de los productos de origen animal y de los productos de origen animal se determinará en función de las características de los productos de origen animal y de las características de los productos de origen animal y de los productos de origen animal, así como de las características de los productos de origen animal y de los productos de origen animal y de los productos de origen animal. Esto lleva a un “con-
fusión” entre el ángulo de mezcla y el correspondiente
Parámetro NSI, que no se puede desenredar sólo en
el contexto de los neutrinos SN, como se indica en Ref. [50].
Pasamos ahora al caso de ≥ 10−2. Como
aumenta el papel de α se vuelve relevante. Considerando lo siguiente:
panel inferior PHLZ permanece básicamente independiente de ,
se puede ver cómo en el panel superior PHLZ se vuelve fuertemente
sensible a para ≥ 10−2.
Uno ve que para los valores positivos de tiende a adi-
abaticidad mientras que para valores negativos a no-diabaticidad.
Esto se deriva de la dependencia de H "e" en α, essen-
tially a través del término c13sαs212, véase Eq. (26). Por
≥ 10−2 uno ve que el sinα comienza a ser importante,
y como resultado este término eventualmente se convierte en de la misma
orden como los otros en H ′′eŁ. En este punto la señal de
, y por lo tanto el signo de sinα, es crucial ya que puede con-
homenaje a la mejora o la reducción de H ′′eفارسى. Esto
directamente se traduce en una tendencia hacia la adiabaticidad o
no adiabatismo, visto en la Fig. 6. Por lo tanto, para el rango de
relevante para la resonancia interna inducida por el NSI
adiabaticidad de la resonancia H externa puede ser afectada en
una manera no trivial.
En cuanto al caso de la transición L, una expres-
sión se puede obtener girando el Hamiltoniano original
por U(el 13 de diciembre de 2013)
†U(23)
† [48, 50]. Sin embargo, en contraste con el
en el caso de la resonancia H, donde el ángulo de mezcla
todavía desconocido, en el caso de la transición L el ángulo
El 12 ha sido mostrado por la exper de neutrino solar y reactor.
imentos a ser grandes [5]. Como resultado, para la escala de masa
esta transición siempre será adiabática independientemente de la
valores de, y afectará sólo neutrinos.
FIG. 6: Isocontours de probabilidad de salto Landau-Zener en el H-
Resonancia en términos de E y para 10 MeV antineutrinos
en el caso de la jerarquía de masas invertida. Panel superior: α dado
por Eq. (24). Panel inferior: α ajustado a cero. El resto
los parámetros toman los valores siguientes: sin2 فارسى13 = 10
.............................................
10−3, ee = eμ = 0. Véase texto.
V. OBSERVACIONES Y SENSIBILIDAD
Como se menciona en la introducción uno de los principales
tivaciones para estudiar el NSI utilizando los neutrinos emitidos en una
SN es la mejora de los efectos NSI sobre el neutrino
propagación a través de la cubierta SN debido a la
condiciones extremas de la materia que la caracterizan. En este
en la sección analizamos cómo estos efectos se traducen en
efectos servibles en el caso de una futura SN galáctica.
Esquemáticamente, la emisión de neutrinos por una SN puede ser di-
se divide en cuatro etapas: fase de caída, explosión de neutrones,
acreción, y Kelvin-Helmholtz fase de enfriamiento. Durante
la fase de caída y la explosión de neutrones sólo son
Emitida, mientras que la mayor parte de la emisión de neutrinos se libera
en todos los sabores en las dos últimas fases. Considerando que el neutrino
las características de emisión de las dos fases iniciales son basi-
FIG. 7: Isocontours de probabilidad de salto Landau-Zener en el
R-resonancia H en términos de E y 13 para = 10
−4. Y...
tinetrinos con energía 10 MeV y jerarquía de masa invertida
ha sido asumido.
independiente de las características del progenitor, tales como
como la masa del núcleo o ecuación del estado (EoS), los detalles
de los espectros de neutrinos y luminosidad durante el ac-
fase de crecimiento y enfriamiento puede cambiar significativamente para
diferentes modelos de progenitores. Como resultado, una recta para...
extracción de los parámetros de oscilación a granel
de la señal del neutrino SN parece irremediable. Sólo características
en los espectros de neutrinos detectados que son independientes
de parámetros de SN desconocidos deben utilizarse en
análisis [66].
Se plantea entonces la cuestión de cómo se puede obtener en
formación sobre los parámetros NSI. Tomando en ac-
cuenta que el principal efecto de NSI es generar nuevos in-
transicións de sabor a neutrino ternal, una posibilidad es
voke argumentos teóricos que involucran diferentes aspectos
de la dinámica interna de la SN.
In Ref. [47] se argumentó que tal sabor interno
conversión durante el primer segundo después del rebote del núcleo
En este contexto, la Comisión considera que, en el marco de la política de competencia, los Estados miembros deben tener en cuenta la evolución de la situación económica y social de la Unión Europea.
problema de calefacción. Se observa en simulacros numéricos.
ciones [67, 68, 69, 70] que como la onda de choque propa-
Puertas que pierde energía hasta que se para a unos pocos hun-
drad km. Actualmente se cree que después de neutrinos
Escapan del núcleo de la SN que hasta cierto punto pueden depositar en-
Ergy justo detrás y ayudar a la onda de choque continuar hacia fuera-
Guardias. Por otro lado, también se cree que debido a
la composición en materia de protoneutronstar (PNS)
las energías medias de los diferentes espectros neutrinos obedecen
# E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/S/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/E/ Esto significa que un reso-
nant conversión entre νe(e) y,
la neutrinósfera y la posición del choque estancado
la onda haría el espectro más difícil, y allí-
la deposición de energía sería más grande, dando lugar a
un efecto de regeneración de ondas de choque.
Otro argumento utilizado en la literatura fue la pos-
sibilidad que la nucleosíntesis de r-proceso, responsable
para sintetizar alrededor de la mitad de los elementos pesados con
masa número A > 70 en la naturaleza, podría ocurrir en la región
por encima de la neutrinosfera en SNe [71, 72]. Un necesario
afección es Ye < 0,5 en la región de nucleosíntesis. Los
El valor de la fracción de electrones depende del neutrino
tasas de absorción, que se determinan a su vez por el
üe(e) luminosidades y distribución de energía. Estos pueden
ser alterado por la conversión del sabor en las capas internas debido a
la presencia de NSI. Por lo tanto, al requerir el electrón
fracción por debajo de 0,5 se puede obtener información sobre la
valores de los parámetros NSI.
Mientras que es comúnmente aceptado que los neutrinos jugarán
un papel crucial en el recalentamiento de la onda de choque también
como la nucleosíntesis de proceso r, todavía hay otros como
factores trofísicos que pueden afectar a ambos. Mientras que la cuestión
Seguimos siendo objeto de debate y preferimos atenernos a los argumentos.
directamente relacionado con observables físicos en un agua grande
Detector Cherenkov. Hay varias posibilidades.
(A) las modulaciones en los espectros e debidas a la pas-
sabio de ondas de choque a través de la supernova [58, 59,
(B) la modulación en los espectros e debido al tiempo
dependencia de la fracción de electrones, inducida por el
I-resonancia
(C) las modulaciones en los espectros e debidas a la Tierra
materia [73, 74, 75, 76]
(D) Detectabilidad de la explosión de neutrones [77, 78]
Tres de estos observables, 1, 3 y 4 ya han sido
considerado en la literatura en el contexto de neutrino
oscilaciones. Aquí discutimos el potencial de lo anterior
prometedores observables en el suministro de información sobre la
Esquema de jerarquía sin2 فارسى13 NSI Psurv P̄surv
A normal & 10−4 No 0 cos2
B invertida & 10−4 Sin 2
C cualquier. 10-6 Ningún pecado2 12 cos
AI normal & 10−4 Sí sin2
BI invertido & 10−4 Sí cos2 12 cos
CIA normal. 10-6 Sí 0 sin2 12
CIb invertido. 10 a 6 Sí cos2 12 0
CUADRO I: Definición de los regímenes de neutrinos
términos de la jerarquía, el valor de 13 y la presencia
de NSI, como se describe en el texto. Los valores de la supervivencia
las probabilidades para νe (Psurv) y e (P̄surv) para cada caso son
también se indica.
Parámetros NSI. Es importante prestar atención a la
posible ocurrencia de la I-resonancia interna y a su
efecto en las resonancias externas H y L. La primera lata
inducir un efecto observable realmente nuevo, punto 2 supra.
Aquí nos concentramos en corrientes neutras de tipo no-
las interacciones estándar, por lo tanto no habrá efecto en el
reacción principal en el agua Cherenkov y centelleador detec-
tors, es decir, la desintegración beta inversa, e+p → e++n [98].
Para la definitividad tomamos NSI con d (abajo) quarks, en
que los efectos NSI se limitarán a la neu-
trino evolución dentro de la SN y la Tierra, a través de la
componente vectorial de la interacción.
De todas las combinaciones posibles de parámetros NSI
se concentrará en aquellos para los que el
la posición tiene lugar, es decir, I & 10−2, ver Fig. 2.
Con respecto a los parámetros NSI FC vamos a considerar e
entre pocos × 10-5 y 10-2, rango en el que la I-
La resonancia es adiabática, ver Fig. 4. En el siguiente disco:
sión nos centraremos en los casos extremos definidos en la Tabla I.
Una de las motivaciones para considerar estos casos es la
hecho de que las resonancias involucradas se vuelven ya sea adiabático
o fuertemente no adiabático, y por lo tanto la supervivencia prob-
habilidades en ausencia de efectos de la Tierra o ondas de choque
paso, convertirse en energía independiente. Esta suposición
simplifica la tarea de relacionar los observables con el
esquemas de neutrinos.
A. Propagación de ondas de choque
Durante aproximadamente los dos primeros segundos después de la
rebote del núcleo, las probabilidades de supervivencia de neutrino son con-
en el tiempo y en la energía para todos los casos mencionados en Ta-
ble I. Sólo los efectos de la Tierra podrían introducir una energía
dependencia. Sin embargo, la capa de resonancia H es
alcanzado por la onda de choque saliente, véase Fig. 1. El camino
el paso de la onda de choque afecta a la propagación del neutrino
depende fuertemente del escenario de mezcla de neutrinos. En el
ausencia de casos NSI A y C no mostrará ninguna prueba
de propagación de ondas de choque en el espectro observado e,
o bien porque no hay resonancia en el antineutrino
canal como en el escenario A, o porque la H-resonancia es
siempre fuertemente no adiabatico como en el escenario C. How-
siempre, en el escenario B, el cambio repentino en la densidad rompe
la adiabaticidad de la resonancia, llevando a un tiempo y
dependencia energética de la supervivencia del electrón antineutrino
probabilidad P̄surv(E, t). En el panel superior de la Fig. 8 we
mostrar P̄surv(E, t) en el caso particular que dos choque
las ondas están presentes, una hacia adelante y otra hacia atrás [60].
La presencia de los choques resulta en la aparición de
los golpes en la probabilidad de supervivencia en aquellas energías para las que
la región de resonancia es pasada por las ondas de choque. Todos
estas estructuras se mueven en el tiempo hacia las energías superiores, como
las ondas de choque llegan a regiones con menor densidad,
a consecuencias observables en el espectro e.
Pasamos ahora al caso en el que NSI está presente, que
abre la posibilidad de resonancias internas. Cuando tales
I-resonancia es adiabática la situación será similar a
el caso sin NSI. Para la jerarquía de masa normal, IA y
CIa, e no sentirá la resonancia H y por lo tanto la
efecto de ruptura de la adiabaticidad no alterará básicamente su
propagación. En contraste, para la jerarquía de masas invertida
y grande 13, caso BI, la resonancia H se produce en el
canal antineutrino y por lo tanto e sentirá el shock
paso de onda. Sin embargo, en contraste con el caso B ahora e
alcanzar la resonancia H en un estado de materia diferente:
m1 en lugar de
3, véase Fig. 3. Eso significa que antes
la onda de choque alcanza la resonancia H la supervivencia e
la probabilidad será P̄surv Cos2 12 0.7. Una vez que el
la adiabaticidad de la resonancia H se rompe por el shock
ola entonces e dejará en parte como
3 y, por lo tanto, el
La probabilidad de supervivencia disminuirá. Como consecuencia, uno
espera un patrón en tiempo y energía para la supervivencia
FIG. 8: Probabilidad de supervivencia P̄surv(E, t) para e como función
de energía en diferentes momentos promediado en energías con el en-
resolución ergy de Super-Kamiokande; para el perfil mostrado en
Fig. 1. Panel superior: se asume el caso B para el sin2 13 = 10
Panel inferior: caso BI, con = 0,07,
−4 y la
el resto de los parámetros NSI ponen a cero.
probabilidad en el caso BI de ser más o menos opuesto que en
la caja B, ver el panel inferior de la Fig. 8. La posición de
los picos y saltos en cada panel no coinciden exactamente
como el valor de aproximadamente cambia la posición de la H-
resonancia.
En los paneles izquierdos de la Fig. 9 representamos a la luz sombreada
(amarillo) la gama de.e.e. y........................................................................................................................................................................................................................................................
La impresión de onda de choque sería observable. En la parte superior
paneles hemos asumido un valor mínimo del electrón
fracción de 0,06, basada en los perfiles numéricos en t =
2 s de Fig. 1. En los paneles inferiores la mina Y se fija en 0.01,
inspirado en los perfiles en t = 15,7 s. Se puede ver cómo como
el tiempo pasa en el rango de ’s para el cual la I-resonancia
se amplía hacia valores cada vez más pequeños.
Esta es una consecuencia directa de la deleptonización constante
de las capas internas.
En el caso de los menores de 13 años, CIb, la situación es diferente.
Excepto por los valores relativamente grandes de la R-Resonancia-H
ser fuertemente no adiabatico, como en el caso C. Por lo tanto, la
el paso de las ondas de choque no cambiará significativamente
la probabilidad de supervivencia e y no conducirá a ningún ob-
efecto servible. En los paneles de la derecha de la Fig. 9 mostramos
lo mismo que en los paneles de la izquierda, pero para el sin2 13 = 10
Considerando que para los grandes valores de 13°, los paneles izquierdos,
resonancia es siempre adiabático y uno sólo tiene que asegurar
la adiabaticidad de la I-resonancia, para valores más pequeños de
La adiabaticidad de la resonancia H depende fuertemente
sobre los valores de las letras e) y , tal como se examina en la Sec. IVB.
Esto puede ser visto como una reducción significativa de la yel-
zona baja. Únicamente los grandes valores de o bien de o bien de o bien de
todavía permite una clara identificación del choque opuesto
efectos de onda. En sombra oscura (cian) mostramos la región
de parámetros para los que PH se encuentra en la región de transición
entre adiabático y fuertemente no adiabatico, y allí-
En primer lugar, podría llevar a algún efecto.
Un útil observable para detectar los efectos de la
la agación es el promedio de las energías de positrones medidas,
Ee, producido en decaimientos beta inversos. In Fig. 10, nosotros
mostrar EeE junto con los errores de sigma esperados para
un detector de agua de Megaton Cherenkov y un SN a 10 kpc
distancia, con un tiempo de encuadernación de 0,5 s, para diferentes neu-
sistemas de trino: casoB y casoBI con diferentes valores de
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Para los flujos de neutrinos asumimos la parametriza-
sión dada por Refs. [79, 80] con «E0(e)» = 15 MeV y
E0( ) = 18 MeV y la siguiente proporción del total
flujo de neutrinos Φ0(e)/Φ0(, ) = 0,8 [99].
Uno puede ver cómo las características del positrón promedio
la energía son una consecuencia directa de la forma de la
probabilidad vival, donde los dips tienen que ser traducidos en
golpes y viceversa.
Por lo tanto, es importante subrayar que, mientras que en caso de
B se espera la presencia de uno o dos dips (depen-
en la estructura de la onda de choque, véase Ref [60]), o
nada en los otros casos, uno o dos golpes son ex-
en el caso BI, como se ve en el panel superior izquierdo de
Fig. 10. Como se indica en Ref. [60] los detalles de la
dips/bump dependerá de la forma exacta de la neu-
los flujos de trino, pero siempre y cuando el assump-
ciones como Eee. Se consideran los dips/bumps
debe ser observado.
B. Variaciones de tiempo de Ye
Acabamos de ver cómo la distorsión de la densidad
perfil debido al paso de onda de choque a través del exterior
FIG. 9: Rango de los y de los e para los cuales el efecto de la conmoción
se observará la onda. En los paneles superiores un valor mínimo
de Y mina = 0,06 basado en los perfiles numéricos en t = 2 s
se ha asumido, véase Fig. 1. En los paneles inferiores tenemos
considerado un caso con Y mina = 0,01 inspirado en el perfil
at t = 15.7 s. Se ha asumido el valor de sin2
ser 10-2 y 10-7 en los paneles izquierdo y derecho, respectivamente.
También hemos superpuesto isocontours de salto constante
probabilidad 0,1 (azul) y 0,9 (rojo) en la I (líneas sólidas) y
Resonancias H (líneas desgastadas) para la jerarquía de masa invertida y
E = 10 MeV y antineutrinos. El área en amarillo representa
el espacio de parámetros donde ambas resonancias serán adiabáticas.
En el área cian se supone que la resonancia I es adiabática
mientras que H se encuentra en la región de transición.
SN envolvente puede inducir una modulación dependiente del tiempo en
el espectro e en los casos B y BI. Sin embargo, el tiempo
dependencia de la fracción de electrones Ye también puede revelar la
presencia de NSI dejando una huella clara en el
Espectro e, como ahora explicamos.
Como se indica en la sección II. IVA la región de NSI parame-
ters que conduce a la I-resonancia está básicamente determinado por el
valores mínimos y máximos de la fracción de electrones,
Y la mía y Y
e. El punto crucial es que como el delep-
tonización de la estrella proto-neutrón continúa, el valor de
Y la mina disminuye constantemente con el tiempo. Como resultado, el rango
de las fortalezas NSI para las que tiene lugar la resonancia I
FIG. 10: La energía media de p → ne+ eventos abarrotados en
tiempo para el caso B (azul roto) y BI (rojo sólido). En cada una de ellas
panel diferentes valores de se han asumido. El error
las barras representan errores de 1 en cualquier cubo. En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa.
aumenta con el tiempo, como puede verse en la Fig. 2.
Discutamos primero las consecuencias observacionales de
la dependencia del tiempo de la fracción de electrones en el caso BI.
Si
I en general) es lo suficientemente grande la I-resonancia voluntad
tienen lugar justo después del rebote del núcleo. En este caso, como
visto en el panel superior izquierdo de la Fig. 10 los dos golpes que
se acaban de discutir en Sec. Se observaría claramente el AV.
Sin embargo, para valores de parámetro NSI más pequeños que podría hap-
que la resonancia I se produce sólo después de varios sec-
onds. En particular para el perfil específico de Ye considerado
mostramos cómo este retraso podría ser de aproximadamente 2, 4 o 9 segundos
para valores de de 0,025, 0,02 o 0,015, respectivamente, véase
los últimos tres paneles Fig. 10. Como se puede inferir de la
Este efecto de retardo puede conducir a una identificación errónea de
el efecto NSI puro. Así, por ejemplo, en la parte superior derecha
panel, uno ve cómo los dos golpes también podrían ser inter-
pretendido como dos caídas, dadas las incertidumbres astrofísicas.
Esta degeneración sutil sólo se puede resolver con un extra en-
la formación sobre, por ejemplo, la dependencia del tiempo de la
espectro o la velocidad de la onda de choque. Teniendo en cuenta el su-
modelo pernova, sin embargo, la estructura temporal de la señal
podría finalmente no sólo señalar la presencia de NSI
pero incluso potencialmente indican un rango de parámetros NSI.
Pasemos ahora a la jerarquía de masas normal.
nario (asuntos AI y CIa). En analogía con el caso BI,
si I es relativamente grande el comienzo de la I-resonancia
tienen lugar desde el principio. Como se puede inferir de la Fig. 3 que
implica que e escapará de la SN como 2. Para los más pequeños
valores, sin embargo, puede suceder que la I-resonancia ser-
viene efectivo sólo después de unos segundos. Esto significa
que durante los primeros segundos de la señal de neutrino e
dejaría la estrella como 1 (casos A y C). Entonces,
después de algún punto, la fracción de electrones sería baja
suficiente para encender la resonancia I, y en consecuencia
e entraría en la Tierra como 2. Esto daría lugar a
una transición en la supervivencia del electrón antineutrino prob-
capacidad de P̄surv فارسى cos2 فارسى12 = 0.7 a sin2 فارسى12 = 0.3.
Dada la jerarquía esperada en el promedio de neutrinos en-
ergies â € â € â € â € â € â € â € â € â € TM TM TM. # E, # # # se deduce que el cambio en Ye #
Esto llevaría a un endurecimiento de las especificaciones de positrones observadas.
trum. El efecto se cuantifica en la Fig. 11 para diferentes
valores de . La cifra muestra la energía media de
los eventos p → ne+ para el caso de un agua Megaton
Detector Cherenkov exactamente como en la Fig. 10, pero para el escenario...
ios AI y CIa. Uno puede ver cómo para = 0.07 el I-
la condición de resonancia siempre se cumple y por lo tanto allí
no depende del tiempo. Sin embargo, para valores más pequeños uno
puede ver un aumento en un cierto momento que depende de la
magnitud de . Un efecto similar se produciría en caso de
C. Efectos de la materia terrestre
Antes de que la onda de choque alcance la capa de resonancia H
la dependencia de la probabilidad de supervivencia de los neutrinos en el
casos que estamos considerando, en la energía de neutrino E es muy
Debil. Sin embargo, si los neutrinos cruzan la Tierra antes de llegar...
En el caso del detector, las probabilidades de conversión pueden llegar a ser
modulaciones de inducción en el neutrino que dependen de la energía
espectro energético. Estas modulaciones pueden ser observadas
en forma de picos y valles locales en el espectro de
la tasa de eventos FDe trazada en función de 1/E. Estos
las modulaciones surgen en el canal antineutrino sólo cuando
e dejar la SN como 1 o 2. En ausencia de NSI esto
sucede en los casos A y C, donde e deja la estrella como 1.
FIG. 11: La energía media de p → ne+ eventos abarrotados en
tiempo para el caso AI y CIa y diferentes valores de . Los
Las barras de error representan errores de 1 en cualquier cubo. En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa.
En presencia de NSI e llegará a la Tierra como 1
en los casos BI, y como 2 en los casos AI y ICa. Por lo tanto
su observación excluiría los casos B y CIb. Esto
la distorsión en los espectros podría medirse por
la señal de neutrino en dos o más detectores diferentes
tal que los neutrinos viajen distancias diferentes a través de
la Tierra antes de alcanzarlos [73, 74]. Sin embargo, estos
Los efectos de la materia terrestre también pueden identificarse en una sola de-
tector [75, 76].
Analizando el espectro de potencia de los neu-
trino eventos se puede identificar la presencia de picos localizados
en las frecuencias que caracterizan la modulación. Estos
no dependen del espectro primario de neutrinos, y
puede ser determinado a una buena precisión desde el conocimiento
borde de los parámetros de oscilación solar, la materia de la Tierra
densidad, y la posición de la SN en el cielo [76]. Los
Esta última se puede determinar con suficiente precisión, incluso si
la SN está ópticamente oscurecida utilizando la capacidad de apuntamiento
Detectores de neutrinos Cherenkov de agua [81].
Este método resulta ser poderoso en la detección de la
modulación en los espectros debido a los efectos de la materia terrestre,
y, por lo tanto, al excluir los casos B y CIb. Sin embargo, la po-
Situación de los picos no depende de cómo e entra en la
Tierra, como 1 o 2. Por lo tanto, no es útil discriminar
caso AI y CIa de los casos A, C y BI.
La dependencia del tiempo de Ye, sin embargo, puede transformar
caso B en BI, y C con jerarquía inversa en CIb,
que conduce, respectivamente, a una aparición y desaparición
de estos efectos de la materia terrestre. En el caso BI la presencia de
la modulación de la onda de choque puede estropear una identificación clara
de los efectos de la materia terrestre. Sin embargo, la desaparición...
de los efectos de la materia terrestre en la transición de
El caso C a Cib nos permite fijar el caso Cib.
D. Explosión de la neutronización
La explosión de neutronización rápida tiene lugar durante
los primeros 25 ms después del rebote del núcleo con un típico
ancho completo medio máximo de 5-7ms y un pico luminoso-
ity de 3,3–3,5×1053 erg s−1. La sorprendente similitud de la
características de emisión de neutrino a pesar de la variabilidad
en las propiedades de los núcleos pre-colapso es causado por
un mecanismo de regulación entre el número de electrones
sión y abundancias objetivo para la captura de electrones. Esto
establece eficazmente fracciones de electrones similares en el in-
el núcleo central durante el colapso, lo que conduce a una convergencia de la
estructura de la parte central de los núcleos colapsantes, con
sólo pequeñas diferencias en la evolución de diferentes pro-
genitores hasta la ruptura de choque [77, 78].
Teniendo en cuenta que es probable que la SN sea
oscurecido por el polvo y una buena estimación de la distancia
no será posible, la estructura de tiempo de la
La señal de neutrino debe utilizarse como firma de la neu-
La tronización estalló. In Ref. [78] se demostró que tal
estructura del tiempo se puede ver en principio limpiamente en el
caso de un detector de agua de Megaton Cherenkov. Lo fue.
también mostró cómo la evolución del tiempo de la señal depende
fuertemente en el esquema de mezcla de neutrinos. En ausencia
de NSI se pudo observar el pico νe a condición de que el
La probabilidad de supervivencia no es cero. Como se puede ver
En la Tabla I esto sucede en los casos B y C. Sin embargo
para el caso A (jerarquización normal de la masa y «grande» (13),
deja la SN como v3. Esto lleva a una probabilidad de supervivencia
Sin2 13. 10-1, y por lo tanto el pico permanece
Oculto.
Consideremos ahora la situación en la que NSI está
prensent. Para la jerarquía normal de las masas, que nace
como vm2 pasa a través de tres resonancias diferentes, I, H
y L. Mientras que yo y L seremos adiabáticos, el destino de
H dependerá del valor de 13 libras esterlinas. Para valores “grandes”,
Caso AI, la resonancia H también será adiabática. Esto
La probabilidad de supervivencia implica que la voluntad de abandonarla es la misma que la de la probabilidad de supervivencia.
será Püe vüe ü sin2 ü12 ü 0.3, y por lo tanto el pico
se verá, como en los casos B y C. Si se produce
ser muy pequeño, caso CIa, entonces H será fuertemente no-
adiabático y por lo tanto dejará la estrella como v3. As a
consecuencia no se verá el pico de neutronización.
Para la jerarquía de masas inversa, nace como
1 y tra-
versos adiabáticamente I y L. Esto implica que
dejar la estrella como v1 y por lo tanto el pico también será
observado. Sin embargo, ahora la probabilidad de supervivencia será
Más grande, por favor, cos2 por 12 por 0.7. Así para un dado conocido
normalización, es decir, la distancia a la SN, se espera un
mayor número de eventos durante el pico de neutrones
en este caso. In Fig. 12 mostramos el número esperado
de eventos por contenedor de tiempo en un detector de Cherenkov de agua en
el caso de una SN que explota a 10 kpc, para dos diferentes
los sistemas de neutrinos, C y BI, y para diferentes SN pro-
Masas de genitor. Uno puede ver cómo la diferencia debido a
la mayor probabilidad de supervivencia es mayor que el tipi-
barras de error cal, asociado a la falta de conocimiento de la
masa progenitora.
Hay dos comentarios en orden. La neutronización
explosión tiene lugar durante los primeros milisegundos, antes de
se produce una fuerte deeptonización. Como resultado de ello, en contra-
a otros observables que hemos considerado en este pa-
por, aquí la I-resonancia sólo se producirá para I y 10-1.
Por otro lado, en presencia de NSI adicional con
electrones esto afectaría significativamente la cruz ν − e
y, en consecuencia, los resultados presentados aquí.
VI. Resumen
Hemos analizado la posibilidad de observar sig-
naturalezas de las interacciones no estándar de neutrinos a partir de la
detección de neutrinos producidos en un futuro su-
pernova.
En Secs. III y IV hemos reconsiderado el efecto de d
interacciones no estándar sobre la propagación de neutrinos
a través de la envolvente SN dentro de un marco de tres neutrinos-
trabajo. En contraste con trabajos anteriores que hemos analizado
la evolución de los neutrinos en los dos más deeptonizados en
FIG. 12: Número de eventos de la dispersión elástica en elec-
trons, por contenedor de tiempo en un detector de agua de Megaton Cherenkov para
a SN a 10 kpc para los casos C (líneas dentadas) y BI (líneas sólidas).
Se han asumido diferentes masas progenitoras: 13 millones (n13)
en rojo, 15 Mó (s15s7b2) en negro, y 25 Mó (s25a28) en azul.
También se muestran errores de 1-sigma para el caso de 15 millones de euros.
las capas y las regiones exteriores de la envolvente SN. Nosotros
han tenido también en cuenta la dependencia temporal de la
Perfiles de densidad SN y fracción de electrones.
En primer lugar hemos encontrado que los pequeños valores de la elec-
la fracción tron típica de la primera permite el NSI interno-
conversiones de resonantes inducidas, además del estándar
MSW-H y MSW-L resonancias de la envoltura exterior.
Estas nuevas conversiones de sabor tienen lugar para un relativamente
gran rango de parámetros NSI, a saber, entre
10−2 − 10−1, y e♥ y pocos × 10−5, actualmente permitido
por experimento. Para esta gama de puntos fuertes, en particular:
lar , interacciones no estándar pueden afectar significativamente
la adiabaticidad de la H-resonancia. Por otra parte
las conversiones de resonantes inducidas por el NSI también pueden conducir a
la modulación de los espectros e como resultado del tiempo
dependencia de la fracción de electrones.
In Sec. V hemos estudiado la posibilidad de detectar
Efectos NSI en un detector de agua de Megaton Cherenkov nosotros...
los efectos de modulación en el espectro e debidos a (i)
el paso de ondas de choque a través de la envolvente SN, ii)
la dependencia del tiempo de la fracción de electrones y (iii) la
Los efectos de la materia terrestre; y, finalmente, a través de los posibles
detectabilidad de la explosión de neutrones. Tenga en cuenta que
observable (ii) resulta ser complementario de la
servación del paso de la onda de choque, (i), y ofrece el
posibilidad de sondear los efectos NSI también para la jerarquía normal
espectro de neutrinos.
En la Tabla II se resumen los resultados obtenidos para
esquemas de neutrinos ferentos. Hemos encontrado que observable
i) puede indicar claramente la existencia de NSI en el caso
de la jerarquía de masa inversa y de gran tamaño (case BI). Activar
por otra parte, observable (ii) permite una identificación
de los efectos del NSI en los demás casos, jerarquía de masa normal
(casos AI y ICa) y jerarquía de masas inversa y pequeña
•13 (caso CIb). Por lo tanto, una señal positiva de cualquiera de los dos ob-
i) o ii) establecerían la existencia de NSI. In
el último caso, esto, sin embargo, dejaría una degeneración
entre los casos AI, ICa y CIb. Tal degeneración puede
se rompan con la ayuda de los observables (iii) y de los observadores
La servación de la neutronización estalló. La detección
de los efectos de la materia terrestre durante toda la supernova neu-
señal trino descartaría caso CIb ya que, como se discutió en
Sec. VC, una desaparición de los efectos de la materia terrestre
tener lugar debido a una transición de C a CIb. Por último,
la observación (no) de la explosión de neutrones puede ser
utilizado para distinguir entre los casos AI y ICa.
Del mismo modo, podrán eliminarse otras degeneraciones del cuadro II
combinando adecuadamente diferentes observables. Para el examen...
Por ejemplo, un negativo de observable (ii) podría significar cualquiera de los dos
valores de los parámetros NSI elegibles o (NU) NSI, así
grande que la resonancia interna está siempre presente. In
En este caso se podría utilizar la observación del neutrón-
sión con el fin de establecer la presencia de NSI para
el caso de la jerarquía de masas inversa. Por otra parte, el
Servación de la impresión de onda de choque en el espectro e
proporcionaría información adicional sobre el artículo 13 del Reglamento (UE) n.o 1303/2013.
En conclusión, combinando adecuadamente todos los observables
se puede establecer no sólo la presencia de NSI, sino también
la jerarquía de las masas y sondear la magnitud de.........................................................................................................................................................................................................................................................
Agradecimientos
Los autores desean dar las gracias a H-Th. Janka, O. Miranda,
S. Pastor, Th. Schwetz, y M. Tórtola para el fructuoso disco-
Sions. Trabajos apoyados por la subvención española FPA2005-
Esquema de la Jerarquía sin2 13 NSI choque Ye Tierra νe explosión
Un normal & 10−4 No No No Sí No
B invertido & 10−4 No Sí No No Sí
C cualquier. 10-6 No No No Sí Sí
AI normal & 10−4 Sí No Sí Sí Sí
BI invertida & 10−4 Sí Sí • No Sí Sí •
CIA normal. 10 a 6 Sí No Sí Sí No
CIb invertido. 10 - 6 Sí No Sí No Sí
CUADRO II: Expectativas para los objetos observables examinados en el
texto: modulación del espectro e debido a la onda de choque
paso, la variación del tiempo de Ye, el efecto de la Tierra, y el
la observación de la explosión dentro de varios esquemas de neutrinos.
Los asteriscos indican que el efecto difiere del esperado
en ausencia de NSI. Véase texto.
01269 y Red Europea de Astropartes Teóricas
cle Física ILIAS/N6 con el número de contrato RII3-CT-
2004-506222. A. E. ha recibido el apoyo de una subvención de la FPU
del Gobierno español. R. T. ha recibido apoyo
por el programa Juan de la Cierva del gobierno español
y por un ERG de la Comisión Europea.
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[91] Los acoplamientos axiales afectarían a la propagación de neutrinos en la po-
medios larizados, véase Ref. [82].
[92] Sin embargo, nos hemos limitado a los valores de pequeño
suficiente para no llevar a consecuencias drásticas durante el
colapso del núcleo.
[93] En aras de la simplicidad omitiremos el superíndice V.
[94] La importancia de las conversiones colectivas de neutrinos de sabor
Las interacciones entre neutrino y neutrino han sido re-
Cently anotado en Refs. [83, 84, 85, 86]. Aquí consideramos
Únicamente en el caso en que el potencial efectivo percibido por neutri-
nos proviene de sus interacciones con electrones, protones
y neutrones. En un trabajo futuro planeamos incluir esto
efecto y tener una imagen completa de la prop de neutrino
agation.
[95] Aquí descuidamos los posibles efectos de la fluctua-
ciones [87, 88] que tienen lugar durante la onda de choque pro-
agation. Para un estudio detallado de la fenomenología
consecuencias véase Refs. [89, 90].
[96] La condición alternativa H ′ee = H
# Daría lugar a
otra resonancia interna que se puede estudiar utilizando
el mismo método. Para la brevedad, no vamos a perseguir esto en
Este periódico.
[97] Tenga en cuenta que, en el límite de altas densidades se recupera
el ángulo de rotación obtenido para la resonancia I interna
23 → ♥
23 después de descuidar los términos cinéticos.
[98] Para el caso de NSI con electrones tanto el vector y
los componentes axiales de la cruz de la pieza contribuirán a la cruz de la pieza
sección.
[99] Asumimos que para los valores de los parámetros NSI con-
los espectros de neutrinos iniciales no son significativamente
cambio.
http://arxiv.org/abs/astro-ph/0608695
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0701182
http://arxiv.org/abs/astro-ph/9604061
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9602307
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0603033
http://arxiv.org/abs/astro-ph/0607244
|
704.0033 | Convergence of the discrete dipole approximation. I. Theoretical
analysis | Convergencia de la Aproximación Discreta del Dipolo
Convergencia de la aproximación discreta del dipolo.
I. Análisis teórico.
Maxim A. Yurkin
Facultad de Ciencias, Sección de Ciencias Computacionales, de la Universidad de Amsterdam,
Kruislaan 403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos
Instituto de cinética química y combustión, sección siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias, Institutskaya 3, Novosibirsk 630090 Rusia
myurkin@science.uva.nl
Valeri P. Maltsev
Instituto de cinética química y combustión, sección siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias, Institutskaya 3, Novosibirsk 630090 Rusia
Novosibirsk State University, Pirogova Str. 2, 630090, Novosibirsk, Rusia
Alfons G. Hoekstra
Facultad de Ciencias, Sección de Ciencias Computacionales, de la Universidad de Amsterdam,
Kruislaan 403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos
alfons@sciene.uva.nl
Resumen
Se realizó un riguroso análisis teórico de convergencia del dipolo discreto
aproximación (DDA). Demostramos que los errores en cualquier cantidad medida están limitados por una suma
de un término lineal y cuadrático en el tamaño de un dipolo d, cuando este último está en el rango de DDA
aplicabilidad. Por otra parte, el término lineal es significativamente más pequeño para el cúbicamente que para el no-
Dispersores de forma cúbica. Por lo tanto, para pequeños errores d para las partículas de forma cúbica son
mucho más pequeño que para la forma no cúbica. La importancia relativa del término lineal
disminuye con el aumento de tamaño, por lo tanto la convergencia de DDA para los dispersores lo suficientemente grandes es
cuadrático en el rango común de d. Extensas simulaciones numéricas se llevaron a cabo para una
d. Por último, discutimos una serie de nuevos desarrollos en DDA y sus
consecuencias para la convergencia.
Palabras clave: aproximación discreta del dipolo, dispersión de la luz de partículas no esféricas, convergencia
análisis, precisión
Código OCIS: 290.5850, 260.2110, 000.4430
mailto:myurkin@science.uva.nl
mailto:alfons@sciene.uva.nl
1. Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método bien conocido para resolver la luz
problema de dispersión de partículas en forma arbitraria. Desde su introducción por Purcell y
Pennypacker1 se ha mejorado constantemente. La formulación de DDA resumida por
Draine y Flatau2 hace más de 10 años todavía se utiliza más ampliamente para muchas aplicaciones,3
en parte debido al código de alta calidad y fácil de usar DDSCAT.4 Aunque
las mejoras modernas de la DDA (como se explica en detalle en la sección 2.F), todavía se encuentran en la
fase de investigación porque no se utilizan ampliamente en aplicaciones reales.
DDA discretiza directamente el volumen del esparcidor y por lo tanto es aplicable a arbitrario
partículas en forma. Sin embargo, el inconveniente de esta discretización es el extremo computacional
la complejidad de la DDA, aunque se reduce significativamente por
técnicas.2,5 Es por eso que la estrategia de aplicación habitual para DDA es "computación única",
donde una discretización se elige sobre la base de los recursos computacionales disponibles y algunos
estimaciones empíricas de los errores esperados.3,4 Estas estimaciones de errores se basan en un
número de cálculos de referencia3 y, por lo tanto, son externos al problema de dispersión de la luz
en investigación. Tales estimaciones de errores tienen evidentes inconvenientes, sin embargo no son mejores
se dispone de una alternativa. Algunos resultados del análisis analítico de errores computacionales
Los electromagnéticos son conocidos, por ejemplo. 6,7, sin embargo, suelen considerar la superficie integral
ecuaciones. Hasta donde sabemos, tal análisis no se ha hecho para el volumen integral
ecuaciones (como DDA).
Por lo general, los errores en DDA se estudian en función del parámetro tamaño del esparcidor x
(a una constante o pocos números totales diferentes de dipolos N), por ejemplo. 2,8. Sólo un pequeño número de
los documentos presentan directamente errores versus parámetro de discretización (p. ej. d – el tamaño de una sola
dipolo).9-17 El rango de d típicamente estudiado en esos documentos está limitado a una diferencia de 5 veces
entre los valores mínimo y máximo, con la excepción de dos artículos11,12 donde es 15
veces. Esas tramas de errores versus parámetro de discretización se utilizan siempre para ilustrar el
rendimiento de una nueva formulación de DDA y compararlo con otros. Sin conclusiones sobre la
Las propiedades de convergencia de DDA, en función de d, se han hecho a partir de estas parcelas. A
nuestro conocimiento, no se ha realizado ningún análisis teórico de la convergencia DDA, pero sólo un
pocos estudios empíricos limitados han aparecido en la literatura.
En este trabajo realizamos un análisis teórico de la convergencia DDA al refinar la
discretización (Sección 2). Derivamos límites teóricos rigurosos sobre el error en cualquier medida
cantidad para cualquier esparcidor. En la Sección 3 presentamos extensos resultados numéricos de DDA
cálculos para 5 dispersores diferentes usando muchas discretaciones diferentes. Estos resultados son:
se examina en la sección 4 para apoyar las conclusiones del análisis teórico. Nosotros formulamos el
conclusiones del documento en la sección 5. En un documento de seguimiento18 (que a partir de ahora nos referimos a
como documento 2), los resultados de convergencia teórica se utilizan para una técnica de extrapolación a
aumentar la precisión de los cálculos DDA.
2. Análisis teórico
En esta sección analizamos teóricamente los errores de los cálculos de DDA. Nosotros formulamos el
ecuación integral de volumen para el campo eléctrico interno y su homólogo de operador en
Sección 2.A y su discretización en la Sección 2.B. La sección 2.C contiene integral y discretated
fórmulas para cantidades medidas que son el objetivo final de cualquier simulación de dispersión de luz. Nosotros
derivar los principales resultados en la sección 2.D, donde consideramos los errores de la DDA tradicional
formulación2 sin errores de forma, que se consideran por separado en la sección 2.E. Finalmente en
Sección 2.F discutimos algunas mejoras recientes del DDA desde el punto de vista de nuestra
la teoría de la convergencia.
A.Ecuación integral
A lo largo de este documento asumimos la )iexp( t dependencia del tiempo de todos los campos. El esparcidor
se supone dieléctrico pero no magnético (permisibilidad magnética 1 = μ ), y el
la concesión de permisos se supone isotrópica (permisibilidad no isotrópica complicará significativamente la
las derivaciones, pero no modificará principalmente la conclusión principal de la sección 2 – Eqs. (70) y
(87)).
La forma general de la ecuación integral que rige el campo eléctrico dentro de la
el esparcidor dieléctrico es el siguiente:19,20
) ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( d ), ( 00 )
rErrLrMrErrGrErE VVr
∫, (1)
donde Einc(r), E(r) son el incidente y el campo eléctrico total en la ubicación r; 4)1)(() = rr
es la susceptibilidad del medio en el punto r(r) – permiso relativo). V es el volumen de
la partícula (más general – el volumen, que contiene todos los puntos donde la susceptibilidad es
no cero), V0 es un volumen más pequeño tal que, VV 0 00 \ VV r. ),( rrG ′ es el espacio libre
función de dyádic Green, definida como
−==′
)(),(
kRgRgk IIIrrG, (2)
donde I es la identidad dyádica, ck – vector de onda espacial libre, rrR =, R=R, y
es un diádico definido como (μ, v son componentes cartesianos del vector o
tensor), y g(R) es la función del verde escalar
RR RR =
iexp(
) =. 3)
M es la siguiente integral asociada con la finitud del volumen de exclusión V0
( )∫ =
), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), d,, s 30
rV rErrrGrrrGrM , (4)
donde ),(s rrG ′ es el límite estático ( ) de 0→k ),( rrG ′ :
= = = = = 23
11),(
IrrG. 5)
L es el llamado diádico auto-término:
rV rL, (6)
donde es un externo (como se ve desde r) normal a la superficie ŁVn 0 en el punto r'.
Eq. (1) puede ser reescrita en forma de operador de la siguiente manera:
incÃ3n = AEMA, (7)
donde ( 311 )~ CE →=+ VLH – funciones de V a C3 que tienen finito L1-norm, 2inc~ HÍ –
subespacio de H1 que contiene todas las funciones que satisfacen las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre. A
es una
operador lineal. Aunque la norma de Sobolev es físicamente más sólida (basada en
la finitud de la energía del campo eléctrico),
21: HH →
6,21 usamos la norma L1-Norm. Un análisis detallado de
todos los supuestos hechos para el campo eléctrico se realizan en la sección 2.D.
B.Discretización
Para resolver Eq. (1) numéricamente una discretización se hace de la siguiente manera.20 Let,
para. N denota el número de subvolumenes (dipolos). Suponiendo y
elegir, Eq.
/0=ji VV I ji
iVV = 0 (1) puede ser reescrita como
)(),(),(),(),(d)()(3inc rErrLrMrErrGrErE ii
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (8)
El conjunto de Eq. (8) (para todos i) es exacto. Más un punto fijo ri dentro de cada Vi (su centro) es
elegido y está establecido. irr =
La aproximación habitual20 es considerar E y χ constante dentro de cada subvolumen:
iiiii VÃ ==== rrrErE para()(,)()( . (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Eq. (8) puede entonces ser reescrita como
( ) iiii
jjjijii V ELMEGEE
inc, (10)
donde, )incinc ii rEE = ), ( iii V rLL =,
( )∫ =
iii r ),(),(d)
s3 rGrrGM, (11)
∫ ′′=
ij rV
13 rrGG. (12)
Una nueva aproximación, que se utiliza en casi todas las formulaciones de DDA, es
),()0( jiij rrGG =. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Esta suposición se hace implícitamente por todas las formulaciones que comienzan sustituyendo al esparcidor
con un conjunto de dipolos de punto, como fue hecho originalmente por Purcell y Pennypacker.1
(así como esférica) celda Vi con ri situado en el centro de la célula, iL se puede calcular
rendimiento analítico22
=i. (14)
Eq. (10) junto con Eqs. (13) y (14) y completamente descuidando iM es equivalente a
el DDA original de Purcell y Pennypacker (PP).1 Los términos diagonales en Eq. (10) son entonces
equivalente a la conocida polarización Clausius-Mossotti (CM) para dipolos puntuales.
Las modificaciones introducidas por otras prescripciones de DDA se discuten en la Sección 2.F.
En la notación de matriz Eq. (10) dice:
ddd,incEEA =, (15)
donde Ed, Einc,d son elementos de (vectores del tamaño N donde cada elemento es un complejo 3D
vector) y
( )N3C
dA es una matriz N×N donde cada elemento es un tensor 3×3. d es el tamaño de uno
Dipolo. En la notación de operador Eq. (8) (para irr = ) es la siguiente:
( ) diii,incinc ) ~) • ErErEA ==, (16)
Definimos la función de error de discretización como
( ) ( )iddidi,0 )(• EArEAh − =, (17)
donde E0,d es el campo exacto en los centros de los dipolos – ( )
i rEE =, en contraste con E
d que
es sólo una aproximación obtenida de la solución de Eq. (15) (aquí descuidamos el número
error que aparece de la solución de Eq. (15) sí mismo, lo que es aceptable si este error es
ser mucho menos que otros errores). Comparando Eqs. (15) y (17) se puede
obtener inmediatamente el error en los campos internos debido a la discretización ♥Ed:
( ) dddd hAEEE 1,0- =−=. (18)
C. Cantidades medidas
Después de haber determinado los campos eléctricos internos, los campos dispersos y secciones transversales pueden ser
calculado. Los campos dispersos se obtienen tomando el límite r de la integral en Eq. 1)..........................................................................................................................................................
(véase, por ejemplo, 23)
)iexp(
)sca nFrE
=, (19)
donde rrn = es el vector unitario en la dirección de dispersión, y F es la amplitud de dispersión:
=
krnnk ()())iexp(d)(i)(33 rrnrInF χ. (20)
Todas las demás propiedades de dispersión diferencial, como la amplitud y la dispersión Mueller
las matrices, y el parámetro de la asimetría â € ¢cos pueden derivarse fácilmente de F(n), calculado para
dos polarizaciones de incidentes24. Consideramos un incidente de onda de avión polarizada:
)iexp()( 0inc rkerE =, (21)
donde, a es la dirección de incidencia, y ak k= 10 = e se asume. La dispersión y
las secciones transversales de extinción (Csca, Cext) se derivan de la amplitud de dispersión:23
∫ = nFkC, (22)
( )= 02ext )(Re
, (23)
donde * denota conjugación compleja. Expresión para la sección transversal de absorción (Cabs)
utiliza directamente los campos internos:23
( )
abs )(Imd4 rEr, (24)
Puesto que sólo se conocen valores del campo interno en los centros de los dipolos, Eqs. (20) y
(24) se aproximan por (PP)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
iii kVnnk )iexp()(i)()
3 nrEInF, (25)
iiiVkC
abs )Im(4 E. 26)
Correcciones a Eq. (26) se examinan en la sección 2.F.
Ambos Eqs. (20) (para cada componente) y (24) puede generalizarse como ()
que no es necesariamente lineal), que se aproxima como:
( ) ( ) ddd = EE, (27)
donde ( )dd E/23370/ corresponde a Eqs. (25) o (26) respectivamente, y el error d consiste en dos
partes:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ddddd EEEE =,0,0. (28)
El primero proviene de la discretización (similar a Eq. (17)), y el segundo de los errores en el
campos internos.
D.Análisis del error
En esta sección realizamos análisis de errores para la formulación PP de DDA. Mejoras de
En la sección 2.F se examina más a fondo la cuestión de la DDA.
Asumimos subvolumenes cúbicos con tamaño d. También suponemos que la forma de la
partícula es exactamente descrito por estos subvolumenes cúbicos (que llamamos a esto en forma cúbica
scatter). Por otra parte, la χ es una función fluida dentro de V (supuestos exactos sobre χ se formulan
infra). Se presenta una extensión de la teoría a las formas que no satisfacen estas condiciones
en la sección 2.E. Si hay varias regiones con diferentes valores de χ
región), el análisis sigue siendo válido, pero las interfaces dentro de V deben considerarse de la misma manera que
el límite exterior de V. Fijamos aún más la geometría del problema de dispersión y el incidente
campo. Por lo tanto, sólo nos interesará la variación de la discretización (que es
se caracteriza por el único parámetro – d); por razones que se harán evidentes en la secuela, nosotros
asumir que (este límite no está limitando ya que de lo contrario DDA es generalmente
inaplicable
Cambiamos a parámetros adimensionales asumiendo 1 = k, que es equivalente a
medir todas las distancias en unidades de k1. La unidad de campo eléctrico se puede elegir arbitraria
pero constante. En todas las derivaciones posteriores utilizaremos dos conjuntos de constantes: γi y ci. γ1-γ13 son
constantes básicas que no dependen de la discretización d, pero dependen directamente de todos
otros parámetros del problema – parámetro tamaño eqkRx = (Req – radio de volumen equivalente), m,
forma, y campo de incidentes – o algunos de ellos. Por el contrario, c1-c94 son valores auxiliares que
o bien son constantes numéricas o pueden derivarse en términos de constantes γi. A pesar de que el
dependencia de ci en γi no se derivan explícitamente en este documento, se puede obtener fácilmente
siguiendo las derivaciones de esta sección. Esa es la principal motivación para usar tan vasto
cantidad de constantes en lugar de un “orden de magnitud” formalismo. Sin embargo, este tipo de
derivación tiene aplicación limitada porque, como veremos más adelante, constantes en el resultado final
dependen de casi todas las constantes básicas. El análisis cualitativo de estas dependencias será
realizado al final de esta sección. Cabe señalar que los principales resultados teóricos
relativa a la convergencia del DDA (limitación de los errores mediante una función cuadrática, cf. Eq (70))
puede ser formulado y aplicado sin consideración de ninguna constante (que es más simple).
Sin embargo, nuestra derivación completa nos permite hacer conclusiones adicionales relacionadas con el comportamiento
de términos de error específicos.
El número total de dipolos utilizados para discriminar el esparcidor es
− = dN γ. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Asumimos que el campo interno E
es al menos cuatro veces diferenciable y todos estos
Derivados consolidados dentro de V
65432 ), ),, ), ), rErErErE
para Vár y ,,Ã.
Esta suposición es aceptable ya que no hay interfaces dentro de V, por lo tanto E
debe ser un
función suave.. denota la norma euclidiana (L2), que se utiliza para todos los objetos 3D: vectores
y tensores. Usamos la norma L1-Norm,
. , para vectores y matrices N-dimensionales, así como para
funciones y operadores. Eq. (30) implica inmediatamente que. Requerimos que χ
satisface Eq.
~ 1 VL®E
(30) con constantes γ7-γ11. Más adelante indicaremos una estimación para la norma de
)RG y sus derivados. Uno puede obtener fácilmente de Eq. (2) que para 1 > R ) RG satisface
Eq. (30) (con constantes c1-c5), mientras que para 2≤R
6 ) ), ), ) )
RcRcRcRc RGRGRGRG ,
RcRG para,,..
A continuación se indican dos hechos auxiliares que se utilizarán más adelante. Dejar Vc ser un cubo con tamaño d y
con su centro en el origen y f(r) una función cuatro veces diferenciable dentro de Vc. Entonces
(máximo)(d)
fdcffr
d cVV
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
( ) ) ) max )
)(d)
d cVV
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
=∫. 33)
Eqs. (32) y (33) son el corolario de la expansión de f en la serie Taylor. Órdenes extrañas del Taylor
la expansión desaparece debido a la simetría cúbica.
Nuestro primer objetivo es estimar
dh. A partir de Eq. (17) escribimos como dih
),()),(d)0(33 ii)
i Vdr
rMPGrPrrGh +
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (34)
donde hemos introducido el vector de polarización para la concisión
)()()(rrP χ =, )(ii rPP =. (35)
Es evidente que también satisface Eq. )rP (30) (con constantes c13-c17). Comenzamos por estimar
),( iiV rM. Sustitución de una expansión de Taylor de )rP
( ) ( ) ( ) =
),(
)(4)(RrP0P0PRP RRR, (36)
donde, en Eq Rr
~0 (4) da
( ) ( )(∫ =
ii RRRRV
),,(
( d ), ( 3s3 RrPRGPRGrM ). (37)
Las normas de estos dos términos pueden estimarse como
( ) 2183s3 )d3
)(d dcRRgR
i ≤− PIPRGRG, (38)
( ) 21923153 (d3)), (~(d) dcRRcRRR
RGRrPRG
. (39)
Eq. (38) sigue directamente de las definiciones en Eqs. 2), 5). Para derivar Eq. (39) usábamos
Eq. (31) y el hecho de que 23RRR
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Finalmente, Eqs. (37)-(39) conducen a
20),( dcV ii ≤rM. (40)
Para estimar la suma en Eq. (34) consideramos por separado tres casos: 1) dipolo j se encuentra en un
concha completa de dipolo i (definimos la capa inferior); 2) j se encuentra en una capa distante de dipolo i –
1= ijijR rr; 3) todos j que caen entre los dos primeros casos (véase Fig. 1). Definimos el primero
Concha (S1(i)) de un dipolo cúbico como un conjunto de dipolos que lo tocan (incluyendo tocar en un punto)
únicamente). El segundo caparazón (S2(i)) es un conjunto de dipolos que tocan la superficie exterior del primer caparazón,
y así sucesivamente. La cáscara l-th (Sl(i)) es entonces un conjunto de todos los dipolos que se encuentran en el límite del cubo
con tamaño y centro coincidiendo con el centro del dipolo original. Llamamos a un caparazón.
completa si todos sus elementos se encuentran dentro del volumen del esparcidor V. Un shell se llama distante
dl )12( +
Kmax K(i)
2) 3)
esparcidor de vacío
Fig. 1. Partición del volumen del esparcidor en tres regiones relativas al dipolo i.
concha si todos sus elementos satisfacen, es decir. si su orden 1>ijR [ ]dKl 1max = >. Que K(i) sea el orden de
el primer caparazón incompleto, que es un indicador de lo cerca que está el dipolo i de la superficie. Nosotros
exigir la separación de los casos (1) y (2) descritos anteriormente. Todos los j que caen en la tercera
satisfacer el caso (el valor exacto de esta constante – ligeramente más grande que
máx.) KiK ≤
2<ijR 3 – depende de
d). El número de dipolos en una cáscara Sl (que puede ser incompleto) – ns(l) – se puede estimar como
33 )12()12() lclllns . 41)
La suma del error sobre todos los dipolos que se encuentran en conchas completas es entonces
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
)0(33)(),(d)
l iSj
dr PGrPrrG, (42)
Desde cada caparazón en Eq. (42) se completa se puede dividir en pares de dipolos que son
simétrico sobre el centro de la cáscara (j y -j). Para mayor comodidad nos fijamos. El interior
suma en Eq.
0r =i
(42) puede entonces ser reescrita como
( ) ( )
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
)0(33)(d)
dr PPGrPrPrG, (43)
Además introducimos la función auxiliar
( ) ( ) () ()
) 0PrPrPru =′, (44)
que satisface las siguientes desigualdades (siguiente de Eq. (30) para las series P(r) y Taylor)
22 ), ),, ) crc rururu para ,................................................................................................................ (45)
Luego Eq. (43) es equivalente a
V l jl j
drdr PGrGuGrurG
)0(33
)0(33)(d)(d), (46)
donde. Para estimar el primer término aplicamos Eq. ) jj ruu = (32) a toda la función bajo
la integral. Usando Eqs. (31) y (45) se puede obtener
( ) 325()(max −
ij
, (47)
y, por lo tanto,
)0(33)(d)
V ll j
ldcRdcdr uGrurG, (48)
donde hemos usado Eq. (41) y para ldRij ≥ )(iSj l».
Es sencillo demostrar que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
′′ =′′
3 )d
iSj ViSj V l jl j
rcrr IrG, (49)
)0()
RgIG. (50)
La derivación se basa en Eq. (2) y la equivalencia I
en todas las sumas e integrales
que satisfagan la simetría cúbica. Luego la segunda parte de Eq. (46) se transforma en
)0(33)(d)(d)−
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
V l jl j
PGrG, (51)
donde aplicamos Eq. (33) para derivar la segunda desigualdad y utilizar la identidad
y las siguientes desigualdades
)()(2 rrg − =
( ) 532131 ) (, RcRgRcRg ,, (52)
Sustitución de Eqs. (48) y (51) en Eq. (42) se puede obtener
( ) 23433
)0(33)(ln)),(d diKccdr
l iSj
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
PGrPrrG, (53)
usando el hecho de que. 1) ≤diK
Ahora consideramos la segunda parte de la suma en Eq. (34) (donde ). Primero aplicamos
1>ijR
(32), a continuación, utilice Eq. (30) para P(r) y )(rG, y finalmente invocar Eq. (29):
)0(33)(),(d dcdNcdcdr
ijij j
i
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
PGrPrrG. (54)
Para analizar la tercera parte de la suma en Eq. (34) una vez más sumamos sobre los proyectiles, sin embargo desde
son incompletos no podemos utilizar consideraciones de simetría. Aplicamos Eq. 33) a la totalidad
función bajo la integral y proceder análogo a la derivación de Eq. (51). Usando el
identidad
)(2)(2 rGrG = , (55)
(ya que hemos asumido ) obtenemos 1=k
( ) 4372 ) ( = ijRcijRrrPrG, (56)
( ) 738)(max −
ij
, (57)
que lleva a
)0(33)(),(d
∫ lcdlcdr
PGrPrrG, (58)
y luego análogo a Eq. (53):
)()()),(d 442
) ) )
)0(33
iKcidKcdr
iKl iSj
........................................................................................................................... (59)
Coleccionando Eqs. (40), (53), (54), (59) finalmente obtenemos
( ) 24443442141 )(ln)() diKcciKcidKcdi h. (60)
Entonces
( ) ( )442141
máx. 4443
)En
= KcdKcKnNdKcc
d hh, (61)
donde n(K) es el número de dipolos cuyo orden de la primera cáscara incompleta es igual a K.
está claro que
NdnKn 12)1()( , (62)
donde γ12 es la relación superficie-volumen del esparcidor. Finalmente obtenemos
( )[ ]dcddccNd 46245431 ln h. (63)
El último término en Eq. (63) está determinado principalmente por dipolos que se encuentran en la superficie (o pocos
dipolos profundos) porque proviene del término K-4 en Eq. (61) (que disminuye rápidamente cuando
moviéndose de la superficie). Definimos errores de superficie como aquellos asociados con el término lineal en
Eq. (63). Nuestra simulación numérica (ver Sección 0) muestra que este término es pequeño en comparación con
otros términos para valores “típicos” de d, sin embargo, siempre es significativo para valores suficientemente pequeños
de d.
De Eq. (18) obtenemos directamente
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
≤. (64)
Asumimos que una solución limitada de Eq. (7) existe de forma única para cualquier, además de que
Asumir que si
inc~ HÃOE
inc = E entonces 131
E.................................................................................... Estos supuestos equivalen al hecho de que
1~ −A existe y es finito (el operador 1
~ − A está limitado). Porque dA es una discretización de A
uno esperaría que
( ) 131
lim γ== −
. (65)
Aunque Eq. (65) parece intuitivamente correcto, su rigurosa prueba, incluso si es factible, yace fuera
el alcance del presente documento. Para una comprensión intuitiva se puede consultar el artículo de Rahola,25
donde estudió el espectro del operador discriminado (para dispersar por una esfera) y
mostró que sí convergen al espectro del operador integral con la disminución d.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que la convergencia del espectro sólo implica la convergencia de
la norma espectral (L2) del operador y no necesariamente la convergencia de la norma L1-norm.
Por lo tanto, Eq. (65) debe considerarse una suposición. Implica que existe un d0
de tal manera que
para 0dd < ( ) 47
A, (66)
donde c47 es una constante arbitraria más grande que γ13 (aunque d0 depende de su elección). Por
ejemplo 1347 2γ c debe conducir a una d0 bastante grande (una estimación rigurosa de d0 no parece
es factible). Por lo tanto
• dE satisface la misma restricción que
dh (Eq. (63)) pero con constantes
c48-c50.
A continuación estimamos los errores en las cantidades medidas y empezamos con la discretización
error (primera parte en Eq. (28)). Examinando Eqs. (20) y (24) se puede ver que Eq. 32) puede ser
aplicación directa que conduce a
( ) ( ) 252551,0
dd EE . (67)
La segunda parte en Eq. (28) se estima como
( ) ( ) ( ) dcddccccc d
55541
,0 ln EEEE , (68)
donde usamos Eq. (29). La estimación del error para Cabs utiliza además el hecho
i c EE 57
c E/23370/max
57.
Combinando Eqs. (67) y (68) obtenemos el resultado final de esta sección:
( ) dcddccd 5625558 ln . (69)
Es importante recordar que la derivación se realizó para constante x, m, forma, y
campo de incidente. Hay 13 constantes básicas (γ1-γ13). γ1 (Eq. (29)) caracteriza el total
volumen del esparcidor, por lo tanto, sólo depende de x. γ7-γ11 (Eq. (30) para χ(r) puede ser fácilmente
se obtiene dada la función χ(r), por otra parte es completamente trivial en el caso común de
esparcidores homogéneos. γ12 (relación superficie-volumen, Eq. (62)) depende de la forma de la
scatter y es inversamente proporcional a x. No es factible (excepto para ciertas formas simples)
para obtener los valores de las constantes γ2-γ6 (Eq. (30)), ya que requiere una solución exacta para el
campos internos. Estas constantes dependen definitivamente de todos los parámetros de la dispersión
problema. Además, estas dependencias pueden variar rápidamente, especialmente cerca de la resonancia
regiones. Lo mismo es cierto para γ13 (L1-norm de la inversa del operador integral, Eq. (65)).
Finalmente, está la importante constante d0 que también depende de todos los parámetros, sin embargo
uno puede esperar que sea lo suficientemente grande (por ejemplo, ) para la mayoría de los problemas – entonces su
la variación puede ser descuidada.
20 ≥d
Antes de proceder introducimos el parámetro de discretización kdmy =. Nosotros empleamos a la
fórmula comúnmente utilizada como propuesto por Draine,8 sin embargo, la dependencia exacta de m no es
importante porque todas las conclusiones siguen siendo válidas para m constante. Reemplazar d por y no
cambiar significativamente la dependencia de las constantes en Eq. (69) ya que todos ellos ya dependen
sobre m a través de las constantes básicas γ2-γ11, γ13. Esto lleva a
( ) ycyyccy 6126059 ln . (70)
No es factible hacer ninguna conclusión rigurosa sobre la variación de las constantes en
Eq. (70) con parámetros variables porque todas estas constantes dependen de γ2-γ6, γ13 que a su vez
dependen de manera compleja de los parámetros del problema de dispersión. Como sea que podamos.
hacer una conclusión sobre la tendencia general de esta dependencia.
Después de la derivación del Eq. (70) se puede observar que c61 es proporcional a γ12,
mientras que c59 y c60 no dependen directamente de ella (al menos una parte de las contribuciones a ellos son
independiente de γ12). Por lo tanto la tendencia general será una disminución de la relación 5961 cc con
aumento de x (cuando todos los demás parámetros están fijos). Esta es una justificación matemática de la
El hecho intuitivamente evidente de que los errores superficiales son menos significativos para partículas más grandes.
En el análisis de los resultados de las simulaciones numéricas (Sección 0) vamos a descuidar la
variación del logaritmo. Eq. (70) indica entonces que el error está limitado por una función cuadrática de
y (para ). Sin embargo, tenga en cuenta que nuestra derivación no conduce a un error óptimo
estimación, es decir, sobreestima el error y se puede mejorar. Por ejemplo, las constantes γ
0dd ≤
γ6 son generalmente más grandes dentro de una pequeña fracción de volumen del esparcidor (cerca de la superficie o algunos
regiones de resonancia interna), mientras que en el resto del scatter el campo eléctrico interno y su
los derivados están limitados por constantes significativamente más pequeñas. Sin embargo, el orden del error es
estimado correctamente, como veremos en las simulaciones numéricas.
Es importante señalar que Eq. (70) no implica que y (que es un valor firmado)
realmente depende de y como una función cuadrática, pero veremos más adelante que es el caso para los pequeños
suficiente y (Sección 0, véase el análisis detallado en el documento 2). Por otra parte, los coeficientes de lineal
y términos cuadráticos para y puede tener diferentes signos, lo que puede llevar a cero error para non-
cero y (sin embargo, esta y, si existe, es lamentablemente diferente para cada cantidad medida).
E. Errores de forma
En esta sección ampliamos el análisis de errores como se presenta en la sección 2.D a formas que no pueden
ser descrito exactamente por un conjunto de subvolumenes cúbicos. Realizamos la discretización de la misma manera
manera como en la Sección 2.B pero algunos de los Vi no son cúbicos (para Vi , que denota que
dipole i se encuentra en el límite del volumen V). Nos fijamos ri para estar todavía en el centro del cubo
(circunscribir Vi) para no romper la regularidad de la celosía. La prescripción PP estándar utiliza
volúmenes iguales ( ) en Eqs. 3dVi = (10), (14), (25), y (26), es decir, la discretización cambia la
forma de la partícula un poco. Vamos a estimar los errores introducidos por estos límites
Dipolos. Estos errores deben añadirse a los obtenidos en la sección 2.D. Comenzamos por
estimación
dh. Primero consideramos para dih Vi
=
PGrPrrGh )0(33)(),(d, (71)
que es sólo una reducción de Eq. 34). Para Vi es el mismo más el error en el dih auto-término
iiiiii
i VVdr
χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
),(),()),(d)0(33. (72)
Definamos
iij dr
PGrPrrGh )0(33sh )(),(d = ∫, (73)
IIiiiiii VV ErLrMh χ
=
),(),(sh. (74)
Estimamos cada uno de los términos en Eq. (73) por separado (ya que en realidad no hay
cancelación, y el error es del mismo orden de magnitud que los propios valores) utilizando
Eq. (30) para P(r) y )(rG y Eq. 31). Esto lleva a
h (75)
Para estimar asumimos que la superficie del esparcidor es un plano en la escala del tamaño
del dipolo. Un radio finito de curvatura sólo cambia las constantes en la siguiente
expresiones. Demostraremos que
sh cii ≤h, (76)
Por lo tanto, no necesitamos considerar el tercer término en Eq. (74) (procedente del tensor de la unidad)
en absoluto, ya que está limitado por una constante.
( ) ( ) =
iiii rrV ()), (d)), (), (d), (d), (
s3s3 rPrrGrrGrrGrrGrM. (77)
ic rrLa función en la primera integral está siempre limitada por
. Si lo mismo es cierto
para la segunda integral y, por lo tanto,
ii Vár
dcV ii 66),( ≤rM. (78)
Si ii Vár introducimos un punto auxiliar que es simétrico a ri sobre la superficie de la partícula
y aplicar la identidad
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ii ) rPrPrPrPrP = ( 79 )
a la segunda integral en Eq. (77). Uso de Taylor expansión de P cerca y el hecho de que r ′′
Irrrrr para iVr se puede demostrar que
∫ ii cdcV ),( s36867r
ir ),(d rrGM, (80)
donde el resto integral puede ser probado ser igual a ),( iiV rL . La última prueba se fue.
(véase Eqs. (74) y (80)) debe demostrar que ),( iiV rL ♥ está limitada por una constante. El único
problema potencial puede venir de la subsuperficie de la superficie de la partícula
(porque puede estar cerca de r
en es parte de
ce es i). Este subsurfa med planar. Vamos a calcular el
integral en Eq.
(6) sobre el plano infinito rlrr + = i uch que 0 s =. A continuación, n ± = ′
( ) 223
2d),plane.inf(
mm == ∫irL
V r
r, (81)
que está limitada. El resto de la integral (sobre la parte de la superficie del cubo) está limitada por un
constante, que es una manifestación de un hecho más general que (por su definición) ), ir ( iVL
no depende del tamaño, sino sólo de la forma del volumen. Por fin lo hemos hecho.
69),( cV ii rL,
que junto con Eqs. (74), (78) y (80) probar Eq. (76).
Usando Eqs. (75) y (76) obtenemos
)ln() (70)
cllnc
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 7271 #
dccNd
, (83)
donde hemos cambiado el orden de la suma en la suma doble y dividir la
sumation sobre conchas cúbicas para
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
maxKl ≤ y. Entonces lo hemos agrupado todo.
otal esti
maxKl >
en una suma sobre dipolos límite. Eqs. 41) y 62) se utilizaron en la última desigualdad.
Combinando Eqs. (63) y (83) se puede obtener el t mate de la
dh para cualquier esparcidor:
( ) ( ) [ ]ddccddccNd lnln 7273245431 h. (84)
Usando Eq. (66) obtenemos inmediatamente el sam
* De estimación para E.
La derivación de los errores en las cantidades medidas se modifica ligeramente en comparación con
(68) e cambiado a la sección 2.D, por la presencia de los errores de forma. Eqs. (67) y ar
( ) ( )( dccccccc
,0
EE , (85)
( ) ) ( ) ( ) ( ) ddccdddd lnln 2,0 E dcd 7655541
53 ≤ EO. (86)
El segundo término en Eq. (85) proviene de dipolos superficiales para los que los errores son del mismo orden
como los valores mismos. Finalmente la generalización de Eq. (70) es
( ) ( ) yciccycyccy lnlnlnlü 797826059 .......................................................................................................... (87)
Los errores de forma “refuerzan” los errores de superficie (el término lineal del error de discretización), y
aunque ambos disminuyen generalmente con el aumento del tamaño del parámetro x uno puede esperar el
término lineal en Eq. (87) ser significativos hasta valores más altos de y que en Eq. (70).
Todas las derivaciones en esta sección pueden en principio extenderse a las interfaces dentro de la
partícula, es decir, cuando una superficie, que no puede describirse exactamente como una superficie de un conjunto de cubos,
separa dos regiones en las que la χ(r) varía sin problemas. Dos partes del dipolo cúbico en el
la interfaz debe considerarse por separado de la misma manera en que se hizo anteriormente. Esto lo hará.
Sin embargo, no cambiar la conclusión principal de esta sección – Eq.(87) – pero sólo las constantes.
F.Diferentes formulaciones de DDA
En esta sección discutimos cómo diferentes formulaciones DDA modifican las estimaciones de error derivadas
en las secciones 2.D y 2.E.
La mayoría de las mejoras del PP propuestas en la literatura se refieren a la auto-
término –. Son la corrección de la Reacción Radiativa (RR),(iiV rM
8 los Verdes Digitalizados
Función (DGF),23 la formulación por Lakhtakia (LAK),26,27 el método a1-término,28,29 el
La relación de dispersión del entramado (LDR),30 la formulación de Peltoniemi (PEL),31 y el
Corregido LDR (CLDR).32 Todos ellos proporcionan una expresión para que es de orden d),( iiV rM
(excepto RR que es de orden d3). Por ejemplo, LDR es equivalente a
( )[ ] iii ddSmbmbbbV PrM 3223221 i)32(),( فارسى =, (88)
(recordemos que asumimos ) donde b1=k 1, b2, b3 son constantes numéricas y S es a
constante que depende sólo de los vectores de propagación y polarización del campo incidente.
Sin embargo, ninguna de estas formulaciones puede evaluar exactamente la integral en Eq. (39), porque el
variación del campo eléctrico no se conoce de antemano (PEL resuelve este problema, pero sólo para
un dipolo esférico). Por lo tanto, ellos (esperadamente) disminuyen la constante en Eq. (40), por lo tanto
disminuir el error global en las cantidades medidas. Sin embargo, estas formulaciones no son
espera cambiar el orden del error de d2 a algún orden superior.
No analizamos las mejoras de Rahmani, Chaumet y Bryant (RCB)33,34 y
Superficie corregida LDR (SCLDR),17 ya que se limitan a ciertas formas de partículas.
Existen dos mejoras del término de interacción en PP: Dipolos en Pareja Filtrados
(FCD)12 e Integración del Tensor de Green (IT).35 Un análisis riguroso de los errores de FCD es
más allá del ámbito de este documento, pero parece que FCD no está diseñado para reducir el término lineal
en Eq. (63) que proviene de las conchas incompletas (no simétricas). Esto es porque FCD
emplea la teoría del muestreo para mejorar la precisión de la discretización general para regular
cuadrículas cúbicas. FCD no mejora la exactitud de un único cálculo ijG (aproximación
de una integral sobre un subvolumen).
IT, que evalúa numéricamente la integral en Eq. (12), tiene un efecto más pronunciado
en la estimación de errores. Considerar el dipolo j de l-th shell (incompleto) de dipolo i, entonces
.), d), (máximo)
), d ), d ), d
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= = =
dlcrrcrrc
jijij
rGrrG
PrrrGPGrPrrG
(89)
Aquí hemos usado Eq. (36) y Taylor expansión del tensor de Green hasta el primer orden.
Eq. (89) declara que el segundo término en Eq. (58) se elimina por completo y también lo es el lineal
término en Eqs. (69) y (70) (errores superficiales). Por lo tanto, la convergencia de DDA con IT para
Se espera que los dispersores de forma cúbica sean puramente cuadráticos (desatendiendo el logaritmo).
Sin embargo, para los esparcidores no en forma cúbica el término lineal reaparece, debido a la forma
errores. Tanto IT como FCD también modifican el auto-término, sin embargo el efecto es básicamente el mismo que
para las otras formulaciones.
Varios artículos tenían como objetivo reducir los errores de forma.10,11,36 El primero – Semi-
Método analítico (GSA)10 – modifica todo el esquema DDA, mientras que los otros dos proponen
promedio de la susceptibilidad sobre los dipolos límite. Vamos a analizar aquí
Discretización (WD) por Piller11 como probablemente el método más avanzado para reducir los errores de forma
disponible hoy.
WD modifica la susceptibilidad y el auto-término del subvolumen de frontera. Nosotros, un poco.
modificar la definición del subvolumen límite utilizado en las secciones 2.B y 2.E a
tener en cuenta automáticamente las interfaces dentro del scatter. Definimos Vi para ser siempre
cúbica, pero con una posible interfaz en el interior. La superficie de partículas, cruzando el subvolumen Vi,
se asume planar y divide el subvolumen en dos partes: el volumen principal
(que contiene el centro) y el volumen secundario con susceptibilidades, y
campos eléctricos, respectivamente. Los campos eléctricos se consideran constantes en el interior
cada parte y relacionados entre sí a través del tensor de la condición límite
iV ii
ii EE
iT :
iii ETE =
s. (90)
En WD, la susceptibilidad del subvolumen límite se sustituye por uno efectivo, definido
( ) 3ssppe dVV iiiiii TI =, (91)
que da la correcta polarización total del dipolo cúbico. El auto-término eficaz es
directamente evaluado a partir de Eq. (4), teniendo en cuenta la constante χ y E dentro de cada parte,
( ) ( ) iii
rrV ETrrGrrGrrGrrGrM
= ss3ps3
),(),(d),(),(d),( . (92)
Piller evaluó las integrales en Eq. (92) numéricamente11.
Para tener en cuenta una variación suave del campo eléctrico y la susceptibilidad, definimos
( r se define en la sección ) r ′′= i′′ 2.E) y iT se calcula en la superficie entre ri y
. y r ′′ ii PP
iiiiii ETEP
sss ==. Entonces
c rrPrP
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
min) 83
s, (93)
donde hemos asumido que Eq. (30) para χ(r) y E(r) también es válido en. siV
Empezamos a estimar los errores de WD con (cf. Eq. shijh (73))
( ) ( ) =
s)0(3p)0(3sh)),(d)),(d)
jijiij rr PGrPrrGPGrPrrGh, (94)
Uso de expansiones de Taylor de cerca de r(rP ′ i y r ′′ en y correspondientemente y Eq. piV
iV (93)
uno puede obtener que la contribución principal proviene del derivado del tensor de Green,
que conducen a (cf. Eq. (75))
h (95)
iih es el siguiente (cf. Eq. (74))
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.),(),(
), d), d), d), d)
,(),(),(),(d),(),(d)
),(),(
pss3s3p3
ess3ps3
iiiiiii
iiiiiii
PrLErL
PPrrGPrPrrGPrPrrG
ErLPrrGrrGPrrGrrG
PrLrMh
=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(96)
Las dos primeras integrales pueden mostrarse fácilmente dс85≤ (cf. Eq. (77)) y el tercero es
transformado a L de la misma manera que en Eq. (80), por lo tanto
iiiiiiiiiiiiiii VVVdc ErLPrLPrLh
esspp
s ),(),(),( , (97)
donde el segundo término proviene del hecho de que PL promedio no es el mismo que L veces
promedio P. Este error depende de la geometría de la interfaz dentro de Vi y generalmente es de
Ordenen la unidad. Por ejemplo, si la interfaz plana se describe como izz, tomando el límite 0
da el error ( )zii sp2 PP (usando Eq. (81)). Por lo tanto, WD no mejora principalmente
la estimación de error dada por Eq. shiih (76), aunque puede disminuir significativamente la
constante. Por otra parte, puesto que ),( p iiV rL y ),(
Se puede evaluar (analíticamente)
para un cubo intersecado por un plano, WD se puede mejorar aún más para reducir el error en
lineal en d, que es un tema de investigación futura.
Proceder análogo a la derivación de Eq. (83) se puede obtener
Ndcdccllnc
898887
)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
h. (98)
Se puede mostrar que para la amplitud de dispersión (Eq. (25)) la estimación de error dada por
Eq. (85) se puede mejorar, ya que WD evalúa correctamente el orden cero de valor para el
dipolos límite, que conducen a
( ) ( ) 291490551,0° dcdcc
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
EE . (99)
En su artículo original11 Piller no especificó la expresión que debería usarse para Cabs. Directo
aplicación de la susceptibilidad proporcionada por WD a Eq. 26) no reduce el orden de
error cuando se compara con el Eq exacto. (24) (excepto cuando ), ya que no son lineales
funciones del campo eléctrico. Sin embargo, si consideramos por separado y (que es
equivalente a sustituir
0s =iχ
( ) ( ) ) iiiiV EEE Im χ por
2ss2pp )Im()Im( iiiiiii VV ETE + ) el mismo
estimación como en Eq. (99) puede derivarse de Cabs.
Usando Eqs. (98), (99), y la primera parte de Eq. (86) se puede derivar el error final
Estimación para el Departamento de Bienestar Social:
( ) ycyyccy 9429392 , (100)
donde la constante antes del término lineal, en comparación con Eq. (87), no contiene un
logaritmo y se espera que sea significativamente más pequeño, porque varios factores contribuyen a ello
se eliminan en WD. Aunque el Departamento de Bienestar tiene posibilidades de mejorar, no parece viable
eliminar completamente el término lineal en el error de forma. La exactitud de la evaluación de la
término de interacción sobre el dipolo límite (cf. Eq. (94) puede mejorarse mediante la integración de
El tensor de Green sobre y por separado, pero eso arruinaría la estructura de bloque-Toeplitz de
la matriz de interacción y obstaculizar el algoritmo basado en FFT para la solución de lineales
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
cubo kD=8
esfera discretizada kD=10
esfera kD=3 (x10)
esfera kD=10
esfera kD=30
Fig. 2. S11 para los 5 casos de prueba en escala logarítmica. El resultado de la esfera kD = 3 se multiplica por
10 para mayor comodidad.
ecuaciones.5 Puesto que no hay alternativa comparable a FFT hoy en día, este método parece
inaplicable.
Son posibles modificaciones menores de la expresión para Cabs. Draine8 propuso un
modificación de Eq. 26) que fue ampliamente utilizado después y que fue modificado por
Chaumet et al.35 Sin embargo, para muchos casos estas expresiones son equivalentes e, incluso cuando
no son, la diferencia es de orden d3, que se descuida en nuestro análisis de errores.
3. Simulaciones numéricas
A. Aproximación discreta del dipolo
Los fundamentos del método DDA fueron resumidos por Draine y Flatau.2 En este artículo utilizamos
la prescripción LDR para la polarización del dipolo30, que se utiliza más ampliamente en la actualidad, por ejemplo. en
el código de acceso público DDSCAT 6.1.4 También utilizamos la corrección del tamaño del dipolo8 para no-
dispersores en forma de cúbica para asegurar que la aproximación cúbica del scatter tiene el
volumen correcto; esto se cree que disminuye los errores de forma, especialmente para pequeños dispersadores.2
utilizar un esquema de discretización estándar como se describe en la sección 2.E, sin ninguna mejora
para dipolos límite. Es importante señalar que todas las conclusiones son válidas para cualquier DDA
la aplicación, pero con algunos cambios para mejoras específicas, como se
Sección 2.F.
Nuestro código – Amsterdam DDA (ADDA) – es capaz de funcionar en un clúster de ordenadores
(paralelización de un único cálculo DDA), que nos permite utilizar prácticamente ilimitado
número de dipolos, ya que no estamos limitados por la memoria de un solo ordenador.37,38 Utilizamos
un error relativo de residual como criterio de parada para la solución iterativa del DDA
sistema lineal. Los ensayos sugieren que el error relativo de las cantidades medidas debido a la
El solucionador iterativo es entonces (datos no mostrados) y por lo tanto puede ser descuidado (total relativo
errores en nuestras simulaciones son – ver Sección
810
710
56 1010 0). Más detalles sobre nuestro código puede
puede consultarse en el documento 2. Todas las simulaciones DDA se llevaron a cabo en el cálculo nacional holandés
grupo LISA.39
Cuadro 1 Valores exactos de Qext para los 5 casos de prueba.
Partícula Qext
kD = 8 cubo 4.490
discontinuidad kD = 10 esfera 3.916
kD = 3 esferas 0,753
kD = 10 esfera 3.928
kD = 30 esfera 1.985
0,1 1
pendiente = 0,77
y = kd·m
máximo
= 0°
= 45°
= 90°
= 135°
= 180°
pendiente = 0,95
Fig. 3. Errores relativos de S11 en diferentes ángulos y máximo en todos los ángulos • versus y para (a) la kD = 8
cubo, (b) la discretización cúbica de kD = 10 esfera. Se utiliza una escala de log-log. Un ajuste lineal de máximo
se muestran los errores sobre el valor de los valores. (m = 1,5).
B.Resultados
Se estudian cinco casos de prueba: un cubo con 8 = kD, tres esferas con, y un
partícula obtenida por una discretización cúbica de la
30,10,3=kD
10 = esfera kD usando 16 dipolos por D
(total de 2176 dipolos, x igual a la de una esfera; véase la descripción detallada en el Documento 2). Por D
indicar el diámetro de una esfera o el tamaño del borde de un cubo. Todos los esparcidores son homogéneos con
. Aunque los errores de DDA dependen significativamente de m (véase, por ejemplo, 5.1=m 14), nos limitamos a
un solo valor y estudiar los efectos del tamaño y la forma del esparcidor.
El número máximo de dipolos por D (nD) fue de 256. Los valores de nD que usamos son
de la forma (p es un entero), a excepción de la esfera discretizada, donde todos los np2}7,6,5,4{ D son
0,1 1
0,1 1
0,01 0,1
y = kd·m
pendiente 2.29 (c)
pendiente 0,91
máximo
= 0°
= 45°
= 90°
= 135°
= 180°
pendiente 1,05
Fig. 4. Igual que Fig. 3 pero para (a) kD = 3, (b) kD = 10, y (c) kD = 30 esferas.
múltiplos de 16 (esto es necesario para describir exactamente la forma de la partícula compuesta de un
número de cubos). Los valores mínimos para nD fueron 8 para la esfera 3=kD, 16 para el cubo,
la esfera, y la esfera discretizada, y 40 para la esfera 10=kD 30=kD.
Todos los cálculos utilizan una dirección de incidencia paralela a uno de los ejes principales de
los dipolos cúbicos. El plano de dispersión es paralelo a uno de la cara de los dipolos cúbicos. In
este artículo mostramos resultados sólo para la eficiencia de extinción Qext (para la luz incidente polarizada
paralelo a uno de los ejes principales de los dipolos cúbicos) y la función de fase S11
0,01 0,1 1
pendiente = 0,89
cubo kD=8
esfera discretizada kD=10
esfera kD=3
esfera kD=10
esfera kD=30
y=kd·m
Fig. 5. Errores relativos de Qext versus y en los 5 casos de prueba. Se utiliza una escala de log-log. Un ajuste lineal a través de 5
se muestran las mejores discretaciones de kD = 3 esfera.
más comúnmente utilizado en aplicaciones. Sin embargo, la teoría se aplica a cualquier cantidad medida.
Por ejemplo, también lo hemos confirmado para otros elementos de la matriz de Mueller (datos no mostrados).
En la Fig. 2. Para las esferas esta es la
resultado de la teoría de Mie (la precisión relativa del código que usamos24 es al menos ) y para el
cubo y esfera discretated una extrapolación sobre las 5 mejores discretaciones (la
la técnica de extrapolación se presenta en el documento 2, junto con todos los detalles de la obtención de estos
los resultados, incluidos sus errores estimados). Utilizamos tales resultados ‘exactos’ porque la teoría analítica
no está disponible para estas formas y porque los errores de la mejor discretización son más grandes que eso
de la extrapolación. Su uso como referencia para calcular errores reales (diferencia entre el
calculado y el valor exacto) de los cálculos únicos de DDA está justificado porque todos estos reales
los errores son significativamente mayores que los errores de las propias referencias (véase el documento 2;
errores generales, reales obtenidos de esta manera tienen una incertidumbre de error de referencia). Valores exactos de
610
ext para todos los casos de ensayo se presentan en la Tabla 1.
A continuación mostramos los resultados de la convergencia del DDA. Fig. 3 y Fig. 4 presentes
Errores relativos (valores absolutos) de S11 en diferentes ángulos
versus y en escala de log-log. En muchos casos los errores máximos se alcanzan con exactitud
dirección de retrodispersión, entonces estos dos conjuntos de puntos se superponen. Mínimos profundos que ocurren en
valores intermedios de y para algunos valores de (y también a veces para Qext – Fig. 5) se deben a
el hecho de que las diferencias entre los valores simulados y los valores de referencia cambian de signo cerca de estos
valores de y (ver Documento 2 para una descripción detallada de este comportamiento). Las líneas sólidas son de ajuste lineal
a todos o algunos puntos de error máximo. Las laderas de estas líneas se representan en las figuras.
Fig. 5 muestra errores relativos de Qext para los 5 casos estudiados en la escala log-log. Un ajuste lineal a través
se muestran las 5 mejores discretaciones de la esfera 3=kD. Más resultados de estos números
Las simulaciones se presentan en el documento 2.
4. Discusión
Convergencia de DDA para partículas de forma cúbica (Fig. 3) muestra las siguientes tendencias. Todos
las curvas tienen partes lineales y cuadráticas (el comportamiento no-monotónico de los errores para
también una manifestación del hecho de que la diferencia firmada se puede aproximar por una suma de lineal
y términos cuadráticos que tienen diferentes signos). La transición entre estos dos regímenes
se produce en diferentes y (que indica la importancia relativa de lineal y cuadrática
coeficientes). Mientras que para los errores máximos que están cerca de los de la dirección de retrodispersión
el término lineal es significativo para mayor y, es mucho más pequeño y no significativo en el conjunto
rango de y estudiado para la dispersión lateral ( = 90. R
para l
esults de convergencia DDA para esferas (Fig.
4) mostrar un comportamiento diferente para diferentes tamaños. Los errores para la esfera pequeña ( 3 = kD ) convergen
puramente lineal (excepto para pequeñas desviaciones de errores de )90(11 °S valores de y). Similares
los resultados se obtienen para la esfera 10=kD, pero con oscilaciones significativas superpuestas
sobre la tendencia general. Convergencia para los grandes ( 30
=kD ) la esfera es cuadrática o incluso más rápida
en el rango de y estudiado, también con oscilaciones significativas.
Comparando la Fig. 3 y Fig. 4 (especialmente Fig. 3 b) y fig. 4 b) que muestren los resultados de
casi las mismas partículas) se pueden deducir las siguientes diferencias en la convergencia de DDA para
Dispersores de forma cúbica y no cúbica. El término lineal para los esparcidores de forma cúbica
es significativamente menor, resultando en errores totales más pequeños, especialmente en el caso de las pequeñas y. Todos estos
las conclusiones, junto con la dependencia del tamaño de la significación del término lineal en el
errores totales, están en perfecto acuerdo con las predicciones teóricas hechas en las secciones 2.D y
2.E. Los errores de partículas no cúbicas muestran oscilaciones cuasi aleatorias que no son
presente para las partículas de forma cúbica. Esto se puede explicar por las variaciones agudas de la forma
errores con cambiar y (discutidos en detalle en el documento 2). Oscilaciones para la esfera
Fig. 4(a)) son muy pequeños (pero claramente presentes), lo que se debe al pequeño tamaño de la
partícula y por lo tanto la falta de características de su patrón de dispersión de la luz - la estructura de la superficie no es
que es importante y uno puede esperar errores de forma más bien pequeños. Resultados para Qext (Fig. 5) en su totalidad
apoyar las conclusiones. Errores de Qext para la esfera grande en valores pequeños de y son
inesperadamente más pequeño que para esferas más pequeñas. Esta característica requiere más estudio antes
sin embargo, no hay ninguna tendencia similar para S11(l ) (cf.
Fig. 4).
También hemos estudiado un cubo poroso que se obtuvo dividiendo un cubo en
27 cubos más pequeños y luego eliminar al azar 9 de ellos. Todas las conclusiones son las mismas que
los reportados para el cubo, pero con errores generales ligeramente mayores (datos no mostrados).
En este artículo hemos utilizado una formulación DDA tradicional2 para simulaciones numéricas.
Sin embargo, como mostramos en la sección 2.F varias mejoras modernas de DDA (a saber, IT
y WD) deberían cambiar significativamente su comportamiento de convergencia. La tecnología de la información debería ser completamente necesaria.
eliminar el término lineal para los esparcidores de forma cúbica, lo que debería mejorar la precisión
especialmente para pequeñas y. WD debe disminuir significativamente la forma y, por lo tanto, errores totales para no-
partículas de forma cúbica, además debería disminuir significativamente la amplitud de
oscilaciones aleatorias de error porque tiene en cuenta la ubicación de la interfaz dentro de la
dipolos límite. Las pruebas numéricas de convergencia DDA utilizando IT y WD es un tema de un
estudio futuro.
5. Conclusión
A lo mejor de nuestro conocimiento, realizamos por primera vez una rigurosa teoría
análisis de convergencia de la DDA. En el rango de los errores de aplicabilidad DDA ( 2<kd ) se delimitan
por una suma de un término lineal y cuadrático en el parámetro de discretización y; el término lineal es
significativamente más pequeño para los esparcidores cúbicos que para los dispersores de forma no cúbica. Por lo tanto,
pequeños y errores para las partículas de forma cúbica son mucho más pequeños que para las de forma no cúbica.
La importancia relativa del término lineal disminuye con el aumento del tamaño, por lo que la convergencia
de DDA para los dispersores lo suficientemente grandes es cuadrática en el rango común de y. Todos estos
Las conclusiones se verificaron mediante simulaciones numéricas extensas.
Por otra parte, estas simulaciones mostraron que los errores no sólo están limitados por un cuadrático
función (como se predice en la sección 2), pero en realidad puede ser (con buena precisión) descrito por un
función cuadrática de y. Este hecho proporciona una base para la técnica de extrapolación presentada en
Documento 2.
Nuestra teoría predice que las mejoras DDA modernas (a saber, IT y WD) deben
cambiar significativamente la convergencia de DDA, sin embargo las pruebas numéricas de estas predicciones
se deja para futuras investigaciones.
Agradecimientos
Damos las gracias a Gorden Videen y Michiel Min por sus valiosos comentarios sobre la versión anterior
manuscrito y revisor anónimo para sugerencias útiles. Nuestra investigación está respaldada por el
Programa de Ciencia para la Paz de la OTAN a través de la subvención SfP 977976.
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| Se realizó un riguroso análisis teórico de convergencia de lo discreto
aproximación del dipolo (DDA). Demostramos que los errores en cualquier cantidad medida son
limitado por una suma de un término lineal y cuadrático en el tamaño de un dipolo d, cuando
Este último se encuentra en el ámbito de aplicación del DDA. Por otra parte, el término lineal es
significativamente más pequeño para los esparcidores cúbicos que para los dispersores de forma no cúbica.
Por lo tanto, para pequeños errores d para partículas de forma cúbica son mucho más pequeños
que para las formas no cúbicas. La importancia relativa del término lineal
disminuye con el aumento de tamaño, por lo tanto la convergencia de DDA para lo suficientemente grande
dispersores es cuadrático en el rango común de d. Extensa numérica
simulaciones se llevaron a cabo para una amplia gama de d. Finalmente discutimos un número
de los nuevos acontecimientos en el ámbito del DDA y sus consecuencias para la convergencia.
| Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método bien conocido para resolver la luz
problema de dispersión de partículas en forma arbitraria. Desde su introducción por Purcell y
Pennypacker1 se ha mejorado constantemente. La formulación de DDA resumida por
Draine y Flatau2 hace más de 10 años todavía se utiliza más ampliamente para muchas aplicaciones,3
en parte debido al código de alta calidad y fácil de usar DDSCAT.4 Aunque
las mejoras modernas de la DDA (como se explica en detalle en la sección 2.F), todavía se encuentran en la
fase de investigación porque no se utilizan ampliamente en aplicaciones reales.
DDA discretiza directamente el volumen del esparcidor y por lo tanto es aplicable a arbitrario
partículas en forma. Sin embargo, el inconveniente de esta discretización es el extremo computacional
la complejidad de la DDA, aunque se reduce significativamente por
técnicas.2,5 Es por eso que la estrategia de aplicación habitual para DDA es "computación única",
donde una discretización se elige sobre la base de los recursos computacionales disponibles y algunos
estimaciones empíricas de los errores esperados.3,4 Estas estimaciones de errores se basan en un
número de cálculos de referencia3 y, por lo tanto, son externos al problema de dispersión de la luz
en investigación. Tales estimaciones de errores tienen evidentes inconvenientes, sin embargo no son mejores
se dispone de una alternativa. Algunos resultados del análisis analítico de errores computacionales
Los electromagnéticos son conocidos, por ejemplo. 6,7, sin embargo, suelen considerar la superficie integral
ecuaciones. Hasta donde sabemos, tal análisis no se ha hecho para el volumen integral
ecuaciones (como DDA).
Por lo general, los errores en DDA se estudian en función del parámetro tamaño del esparcidor x
(a una constante o pocos números totales diferentes de dipolos N), por ejemplo. 2,8. Sólo un pequeño número de
los documentos presentan directamente errores versus parámetro de discretización (p. ej. d – el tamaño de una sola
dipolo).9-17 El rango de d típicamente estudiado en esos documentos está limitado a una diferencia de 5 veces
entre los valores mínimo y máximo, con la excepción de dos artículos11,12 donde es 15
veces. Esas tramas de errores versus parámetro de discretización se utilizan siempre para ilustrar el
rendimiento de una nueva formulación de DDA y compararlo con otros. Sin conclusiones sobre la
Las propiedades de convergencia de DDA, en función de d, se han hecho a partir de estas parcelas. A
nuestro conocimiento, no se ha realizado ningún análisis teórico de la convergencia DDA, pero sólo un
pocos estudios empíricos limitados han aparecido en la literatura.
En este trabajo realizamos un análisis teórico de la convergencia DDA al refinar la
discretización (Sección 2). Derivamos límites teóricos rigurosos sobre el error en cualquier medida
cantidad para cualquier esparcidor. En la Sección 3 presentamos extensos resultados numéricos de DDA
cálculos para 5 dispersores diferentes usando muchas discretaciones diferentes. Estos resultados son:
se examina en la sección 4 para apoyar las conclusiones del análisis teórico. Nosotros formulamos el
conclusiones del documento en la sección 5. En un documento de seguimiento18 (que a partir de ahora nos referimos a
como documento 2), los resultados de convergencia teórica se utilizan para una técnica de extrapolación a
aumentar la precisión de los cálculos DDA.
2. Análisis teórico
En esta sección analizamos teóricamente los errores de los cálculos de DDA. Nosotros formulamos el
ecuación integral de volumen para el campo eléctrico interno y su homólogo de operador en
Sección 2.A y su discretización en la Sección 2.B. La sección 2.C contiene integral y discretated
fórmulas para cantidades medidas que son el objetivo final de cualquier simulación de dispersión de luz. Nosotros
derivar los principales resultados en la sección 2.D, donde consideramos los errores de la DDA tradicional
formulación2 sin errores de forma, que se consideran por separado en la sección 2.E. Finalmente en
Sección 2.F discutimos algunas mejoras recientes del DDA desde el punto de vista de nuestra
la teoría de la convergencia.
A.Ecuación integral
A lo largo de este documento asumimos la )iexp( t dependencia del tiempo de todos los campos. El esparcidor
se supone dieléctrico pero no magnético (permisibilidad magnética 1 = μ ), y el
la concesión de permisos se supone isotrópica (permisibilidad no isotrópica complicará significativamente la
las derivaciones, pero no modificará principalmente la conclusión principal de la sección 2 – Eqs. (70) y
(87)).
La forma general de la ecuación integral que rige el campo eléctrico dentro de la
el esparcidor dieléctrico es el siguiente:19,20
) ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( d ), ( 00 )
rErrLrMrErrGrErE VVr
∫, (1)
donde Einc(r), E(r) son el incidente y el campo eléctrico total en la ubicación r; 4)1)(() = rr
es la susceptibilidad del medio en el punto r(r) – permiso relativo). V es el volumen de
la partícula (más general – el volumen, que contiene todos los puntos donde la susceptibilidad es
no cero), V0 es un volumen más pequeño tal que, VV 0 00 \ VV r. ),( rrG ′ es el espacio libre
función de dyádic Green, definida como
−==′
)(),(
kRgRgk IIIrrG, (2)
donde I es la identidad dyádica, ck – vector de onda espacial libre, rrR =, R=R, y
es un diádico definido como (μ, v son componentes cartesianos del vector o
tensor), y g(R) es la función del verde escalar
RR RR =
iexp(
) =. 3)
M es la siguiente integral asociada con la finitud del volumen de exclusión V0
( )∫ =
), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), d,, s 30
rV rErrrGrrrGrM , (4)
donde ),(s rrG ′ es el límite estático ( ) de 0→k ),( rrG ′ :
= = = = = 23
11),(
IrrG. 5)
L es el llamado diádico auto-término:
rV rL, (6)
donde es un externo (como se ve desde r) normal a la superficie ŁVn 0 en el punto r'.
Eq. (1) puede ser reescrita en forma de operador de la siguiente manera:
incÃ3n = AEMA, (7)
donde ( 311 )~ CE →=+ VLH – funciones de V a C3 que tienen finito L1-norm, 2inc~ HÍ –
subespacio de H1 que contiene todas las funciones que satisfacen las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre. A
es una
operador lineal. Aunque la norma de Sobolev es físicamente más sólida (basada en
la finitud de la energía del campo eléctrico),
21: HH →
6,21 usamos la norma L1-Norm. Un análisis detallado de
todos los supuestos hechos para el campo eléctrico se realizan en la sección 2.D.
B.Discretización
Para resolver Eq. (1) numéricamente una discretización se hace de la siguiente manera.20 Let,
para. N denota el número de subvolumenes (dipolos). Suponiendo y
elegir, Eq.
/0=ji VV I ji
iVV = 0 (1) puede ser reescrita como
)(),(),(),(),(d)()(3inc rErrLrMrErrGrErE ii
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (8)
El conjunto de Eq. (8) (para todos i) es exacto. Más un punto fijo ri dentro de cada Vi (su centro) es
elegido y está establecido. irr =
La aproximación habitual20 es considerar E y χ constante dentro de cada subvolumen:
iiiii VÃ ==== rrrErE para()(,)()( . (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Eq. (8) puede entonces ser reescrita como
( ) iiii
jjjijii V ELMEGEE
inc, (10)
donde, )incinc ii rEE = ), ( iii V rLL =,
( )∫ =
iii r ),(),(d)
s3 rGrrGM, (11)
∫ ′′=
ij rV
13 rrGG. (12)
Una nueva aproximación, que se utiliza en casi todas las formulaciones de DDA, es
),()0( jiij rrGG =. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Esta suposición se hace implícitamente por todas las formulaciones que comienzan sustituyendo al esparcidor
con un conjunto de dipolos de punto, como fue hecho originalmente por Purcell y Pennypacker.1
(así como esférica) celda Vi con ri situado en el centro de la célula, iL se puede calcular
rendimiento analítico22
=i. (14)
Eq. (10) junto con Eqs. (13) y (14) y completamente descuidando iM es equivalente a
el DDA original de Purcell y Pennypacker (PP).1 Los términos diagonales en Eq. (10) son entonces
equivalente a la conocida polarización Clausius-Mossotti (CM) para dipolos puntuales.
Las modificaciones introducidas por otras prescripciones de DDA se discuten en la Sección 2.F.
En la notación de matriz Eq. (10) dice:
ddd,incEEA =, (15)
donde Ed, Einc,d son elementos de (vectores del tamaño N donde cada elemento es un complejo 3D
vector) y
( )N3C
dA es una matriz N×N donde cada elemento es un tensor 3×3. d es el tamaño de uno
Dipolo. En la notación de operador Eq. (8) (para irr = ) es la siguiente:
( ) diii,incinc ) ~) • ErErEA ==, (16)
Definimos la función de error de discretización como
( ) ( )iddidi,0 )(• EArEAh − =, (17)
donde E0,d es el campo exacto en los centros de los dipolos – ( )
i rEE =, en contraste con E
d que
es sólo una aproximación obtenida de la solución de Eq. (15) (aquí descuidamos el número
error que aparece de la solución de Eq. (15) sí mismo, lo que es aceptable si este error es
ser mucho menos que otros errores). Comparando Eqs. (15) y (17) se puede
obtener inmediatamente el error en los campos internos debido a la discretización ♥Ed:
( ) dddd hAEEE 1,0- =−=. (18)
C. Cantidades medidas
Después de haber determinado los campos eléctricos internos, los campos dispersos y secciones transversales pueden ser
calculado. Los campos dispersos se obtienen tomando el límite r de la integral en Eq. 1)..........................................................................................................................................................
(véase, por ejemplo, 23)
)iexp(
)sca nFrE
=, (19)
donde rrn = es el vector unitario en la dirección de dispersión, y F es la amplitud de dispersión:
=
krnnk ()())iexp(d)(i)(33 rrnrInF χ. (20)
Todas las demás propiedades de dispersión diferencial, como la amplitud y la dispersión Mueller
las matrices, y el parámetro de la asimetría â € ¢cos pueden derivarse fácilmente de F(n), calculado para
dos polarizaciones de incidentes24. Consideramos un incidente de onda de avión polarizada:
)iexp()( 0inc rkerE =, (21)
donde, a es la dirección de incidencia, y ak k= 10 = e se asume. La dispersión y
las secciones transversales de extinción (Csca, Cext) se derivan de la amplitud de dispersión:23
∫ = nFkC, (22)
( )= 02ext )(Re
, (23)
donde * denota conjugación compleja. Expresión para la sección transversal de absorción (Cabs)
utiliza directamente los campos internos:23
( )
abs )(Imd4 rEr, (24)
Puesto que sólo se conocen valores del campo interno en los centros de los dipolos, Eqs. (20) y
(24) se aproximan por (PP)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
iii kVnnk )iexp()(i)()
3 nrEInF, (25)
iiiVkC
abs )Im(4 E. 26)
Correcciones a Eq. (26) se examinan en la sección 2.F.
Ambos Eqs. (20) (para cada componente) y (24) puede generalizarse como ()
que no es necesariamente lineal), que se aproxima como:
( ) ( ) ddd = EE, (27)
donde ( )dd E/23370/ corresponde a Eqs. (25) o (26) respectivamente, y el error d consiste en dos
partes:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ddddd EEEE =,0,0. (28)
El primero proviene de la discretización (similar a Eq. (17)), y el segundo de los errores en el
campos internos.
D.Análisis del error
En esta sección realizamos análisis de errores para la formulación PP de DDA. Mejoras de
En la sección 2.F se examina más a fondo la cuestión de la DDA.
Asumimos subvolumenes cúbicos con tamaño d. También suponemos que la forma de la
partícula es exactamente descrito por estos subvolumenes cúbicos (que llamamos a esto en forma cúbica
scatter). Por otra parte, la χ es una función fluida dentro de V (supuestos exactos sobre χ se formulan
infra). Se presenta una extensión de la teoría a las formas que no satisfacen estas condiciones
en la sección 2.E. Si hay varias regiones con diferentes valores de χ
región), el análisis sigue siendo válido, pero las interfaces dentro de V deben considerarse de la misma manera que
el límite exterior de V. Fijamos aún más la geometría del problema de dispersión y el incidente
campo. Por lo tanto, sólo nos interesará la variación de la discretización (que es
se caracteriza por el único parámetro – d); por razones que se harán evidentes en la secuela, nosotros
asumir que (este límite no está limitando ya que de lo contrario DDA es generalmente
inaplicable
Cambiamos a parámetros adimensionales asumiendo 1 = k, que es equivalente a
medir todas las distancias en unidades de k1. La unidad de campo eléctrico se puede elegir arbitraria
pero constante. En todas las derivaciones posteriores utilizaremos dos conjuntos de constantes: γi y ci. γ1-γ13 son
constantes básicas que no dependen de la discretización d, pero dependen directamente de todos
otros parámetros del problema – parámetro tamaño eqkRx = (Req – radio de volumen equivalente), m,
forma, y campo de incidentes – o algunos de ellos. Por el contrario, c1-c94 son valores auxiliares que
o bien son constantes numéricas o pueden derivarse en términos de constantes γi. A pesar de que el
dependencia de ci en γi no se derivan explícitamente en este documento, se puede obtener fácilmente
siguiendo las derivaciones de esta sección. Esa es la principal motivación para usar tan vasto
cantidad de constantes en lugar de un “orden de magnitud” formalismo. Sin embargo, este tipo de
derivación tiene aplicación limitada porque, como veremos más adelante, constantes en el resultado final
dependen de casi todas las constantes básicas. El análisis cualitativo de estas dependencias será
realizado al final de esta sección. Cabe señalar que los principales resultados teóricos
relativa a la convergencia del DDA (limitación de los errores mediante una función cuadrática, cf. Eq (70))
puede ser formulado y aplicado sin consideración de ninguna constante (que es más simple).
Sin embargo, nuestra derivación completa nos permite hacer conclusiones adicionales relacionadas con el comportamiento
de términos de error específicos.
El número total de dipolos utilizados para discriminar el esparcidor es
− = dN γ. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Asumimos que el campo interno E
es al menos cuatro veces diferenciable y todos estos
Derivados consolidados dentro de V
65432 ), ),, ), ), rErErErE
para Vár y ,,Ã.
Esta suposición es aceptable ya que no hay interfaces dentro de V, por lo tanto E
debe ser un
función suave.. denota la norma euclidiana (L2), que se utiliza para todos los objetos 3D: vectores
y tensores. Usamos la norma L1-Norm,
. , para vectores y matrices N-dimensionales, así como para
funciones y operadores. Eq. (30) implica inmediatamente que. Requerimos que χ
satisface Eq.
~ 1 VL®E
(30) con constantes γ7-γ11. Más adelante indicaremos una estimación para la norma de
)RG y sus derivados. Uno puede obtener fácilmente de Eq. (2) que para 1 > R ) RG satisface
Eq. (30) (con constantes c1-c5), mientras que para 2≤R
6 ) ), ), ) )
RcRcRcRc RGRGRGRG ,
RcRG para,,..
A continuación se indican dos hechos auxiliares que se utilizarán más adelante. Dejar Vc ser un cubo con tamaño d y
con su centro en el origen y f(r) una función cuatro veces diferenciable dentro de Vc. Entonces
(máximo)(d)
fdcffr
d cVV
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
( ) ) ) max )
)(d)
d cVV
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
=∫. 33)
Eqs. (32) y (33) son el corolario de la expansión de f en la serie Taylor. Órdenes extrañas del Taylor
la expansión desaparece debido a la simetría cúbica.
Nuestro primer objetivo es estimar
dh. A partir de Eq. (17) escribimos como dih
),()),(d)0(33 ii)
i Vdr
rMPGrPrrGh +
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (34)
donde hemos introducido el vector de polarización para la concisión
)()()(rrP χ =, )(ii rPP =. (35)
Es evidente que también satisface Eq. )rP (30) (con constantes c13-c17). Comenzamos por estimar
),( iiV rM. Sustitución de una expansión de Taylor de )rP
( ) ( ) ( ) =
),(
)(4)(RrP0P0PRP RRR, (36)
donde, en Eq Rr
~0 (4) da
( ) ( )(∫ =
ii RRRRV
),,(
( d ), ( 3s3 RrPRGPRGrM ). (37)
Las normas de estos dos términos pueden estimarse como
( ) 2183s3 )d3
)(d dcRRgR
i ≤− PIPRGRG, (38)
( ) 21923153 (d3)), (~(d) dcRRcRRR
RGRrPRG
. (39)
Eq. (38) sigue directamente de las definiciones en Eqs. 2), 5). Para derivar Eq. (39) usábamos
Eq. (31) y el hecho de que 23RRR
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Finalmente, Eqs. (37)-(39) conducen a
20),( dcV ii ≤rM. (40)
Para estimar la suma en Eq. (34) consideramos por separado tres casos: 1) dipolo j se encuentra en un
concha completa de dipolo i (definimos la capa inferior); 2) j se encuentra en una capa distante de dipolo i –
1= ijijR rr; 3) todos j que caen entre los dos primeros casos (véase Fig. 1). Definimos el primero
Concha (S1(i)) de un dipolo cúbico como un conjunto de dipolos que lo tocan (incluyendo tocar en un punto)
únicamente). El segundo caparazón (S2(i)) es un conjunto de dipolos que tocan la superficie exterior del primer caparazón,
y así sucesivamente. La cáscara l-th (Sl(i)) es entonces un conjunto de todos los dipolos que se encuentran en el límite del cubo
con tamaño y centro coincidiendo con el centro del dipolo original. Llamamos a un caparazón.
completa si todos sus elementos se encuentran dentro del volumen del esparcidor V. Un shell se llama distante
dl )12( +
Kmax K(i)
2) 3)
esparcidor de vacío
Fig. 1. Partición del volumen del esparcidor en tres regiones relativas al dipolo i.
concha si todos sus elementos satisfacen, es decir. si su orden 1>ijR [ ]dKl 1max = >. Que K(i) sea el orden de
el primer caparazón incompleto, que es un indicador de lo cerca que está el dipolo i de la superficie. Nosotros
exigir la separación de los casos (1) y (2) descritos anteriormente. Todos los j que caen en la tercera
satisfacer el caso (el valor exacto de esta constante – ligeramente más grande que
máx.) KiK ≤
2<ijR 3 – depende de
d). El número de dipolos en una cáscara Sl (que puede ser incompleto) – ns(l) – se puede estimar como
33 )12()12() lclllns . 41)
La suma del error sobre todos los dipolos que se encuentran en conchas completas es entonces
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
)0(33)(),(d)
l iSj
dr PGrPrrG, (42)
Desde cada caparazón en Eq. (42) se completa se puede dividir en pares de dipolos que son
simétrico sobre el centro de la cáscara (j y -j). Para mayor comodidad nos fijamos. El interior
suma en Eq.
0r =i
(42) puede entonces ser reescrita como
( ) ( )
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
)0(33)(d)
dr PPGrPrPrG, (43)
Además introducimos la función auxiliar
( ) ( ) () ()
) 0PrPrPru =′, (44)
que satisface las siguientes desigualdades (siguiente de Eq. (30) para las series P(r) y Taylor)
22 ), ),, ) crc rururu para ,................................................................................................................ (45)
Luego Eq. (43) es equivalente a
V l jl j
drdr PGrGuGrurG
)0(33
)0(33)(d)(d), (46)
donde. Para estimar el primer término aplicamos Eq. ) jj ruu = (32) a toda la función bajo
la integral. Usando Eqs. (31) y (45) se puede obtener
( ) 325()(max −
ij
, (47)
y, por lo tanto,
)0(33)(d)
V ll j
ldcRdcdr uGrurG, (48)
donde hemos usado Eq. (41) y para ldRij ≥ )(iSj l».
Es sencillo demostrar que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
′′ =′′
3 )d
iSj ViSj V l jl j
rcrr IrG, (49)
)0()
RgIG. (50)
La derivación se basa en Eq. (2) y la equivalencia I
en todas las sumas e integrales
que satisfagan la simetría cúbica. Luego la segunda parte de Eq. (46) se transforma en
)0(33)(d)(d)−
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
V l jl j
PGrG, (51)
donde aplicamos Eq. (33) para derivar la segunda desigualdad y utilizar la identidad
y las siguientes desigualdades
)()(2 rrg − =
( ) 532131 ) (, RcRgRcRg ,, (52)
Sustitución de Eqs. (48) y (51) en Eq. (42) se puede obtener
( ) 23433
)0(33)(ln)),(d diKccdr
l iSj
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
PGrPrrG, (53)
usando el hecho de que. 1) ≤diK
Ahora consideramos la segunda parte de la suma en Eq. (34) (donde ). Primero aplicamos
1>ijR
(32), a continuación, utilice Eq. (30) para P(r) y )(rG, y finalmente invocar Eq. (29):
)0(33)(),(d dcdNcdcdr
ijij j
i
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
PGrPrrG. (54)
Para analizar la tercera parte de la suma en Eq. (34) una vez más sumamos sobre los proyectiles, sin embargo desde
son incompletos no podemos utilizar consideraciones de simetría. Aplicamos Eq. 33) a la totalidad
función bajo la integral y proceder análogo a la derivación de Eq. (51). Usando el
identidad
)(2)(2 rGrG = , (55)
(ya que hemos asumido ) obtenemos 1=k
( ) 4372 ) ( = ijRcijRrrPrG, (56)
( ) 738)(max −
ij
, (57)
que lleva a
)0(33)(),(d
∫ lcdlcdr
PGrPrrG, (58)
y luego análogo a Eq. (53):
)()()),(d 442
) ) )
)0(33
iKcidKcdr
iKl iSj
........................................................................................................................... (59)
Coleccionando Eqs. (40), (53), (54), (59) finalmente obtenemos
( ) 24443442141 )(ln)() diKcciKcidKcdi h. (60)
Entonces
( ) ( )442141
máx. 4443
)En
= KcdKcKnNdKcc
d hh, (61)
donde n(K) es el número de dipolos cuyo orden de la primera cáscara incompleta es igual a K.
está claro que
NdnKn 12)1()( , (62)
donde γ12 es la relación superficie-volumen del esparcidor. Finalmente obtenemos
( )[ ]dcddccNd 46245431 ln h. (63)
El último término en Eq. (63) está determinado principalmente por dipolos que se encuentran en la superficie (o pocos
dipolos profundos) porque proviene del término K-4 en Eq. (61) (que disminuye rápidamente cuando
moviéndose de la superficie). Definimos errores de superficie como aquellos asociados con el término lineal en
Eq. (63). Nuestra simulación numérica (ver Sección 0) muestra que este término es pequeño en comparación con
otros términos para valores “típicos” de d, sin embargo, siempre es significativo para valores suficientemente pequeños
de d.
De Eq. (18) obtenemos directamente
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
≤. (64)
Asumimos que una solución limitada de Eq. (7) existe de forma única para cualquier, además de que
Asumir que si
inc~ HÃOE
inc = E entonces 131
E.................................................................................... Estos supuestos equivalen al hecho de que
1~ −A existe y es finito (el operador 1
~ − A está limitado). Porque dA es una discretización de A
uno esperaría que
( ) 131
lim γ== −
. (65)
Aunque Eq. (65) parece intuitivamente correcto, su rigurosa prueba, incluso si es factible, yace fuera
el alcance del presente documento. Para una comprensión intuitiva se puede consultar el artículo de Rahola,25
donde estudió el espectro del operador discriminado (para dispersar por una esfera) y
mostró que sí convergen al espectro del operador integral con la disminución d.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que la convergencia del espectro sólo implica la convergencia de
la norma espectral (L2) del operador y no necesariamente la convergencia de la norma L1-norm.
Por lo tanto, Eq. (65) debe considerarse una suposición. Implica que existe un d0
de tal manera que
para 0dd < ( ) 47
A, (66)
donde c47 es una constante arbitraria más grande que γ13 (aunque d0 depende de su elección). Por
ejemplo 1347 2γ c debe conducir a una d0 bastante grande (una estimación rigurosa de d0 no parece
es factible). Por lo tanto
• dE satisface la misma restricción que
dh (Eq. (63)) pero con constantes
c48-c50.
A continuación estimamos los errores en las cantidades medidas y empezamos con la discretización
error (primera parte en Eq. (28)). Examinando Eqs. (20) y (24) se puede ver que Eq. 32) puede ser
aplicación directa que conduce a
( ) ( ) 252551,0
dd EE . (67)
La segunda parte en Eq. (28) se estima como
( ) ( ) ( ) dcddccccc d
55541
,0 ln EEEE , (68)
donde usamos Eq. (29). La estimación del error para Cabs utiliza además el hecho
i c EE 57
c E/23370/max
57.
Combinando Eqs. (67) y (68) obtenemos el resultado final de esta sección:
( ) dcddccd 5625558 ln . (69)
Es importante recordar que la derivación se realizó para constante x, m, forma, y
campo de incidente. Hay 13 constantes básicas (γ1-γ13). γ1 (Eq. (29)) caracteriza el total
volumen del esparcidor, por lo tanto, sólo depende de x. γ7-γ11 (Eq. (30) para χ(r) puede ser fácilmente
se obtiene dada la función χ(r), por otra parte es completamente trivial en el caso común de
esparcidores homogéneos. γ12 (relación superficie-volumen, Eq. (62)) depende de la forma de la
scatter y es inversamente proporcional a x. No es factible (excepto para ciertas formas simples)
para obtener los valores de las constantes γ2-γ6 (Eq. (30)), ya que requiere una solución exacta para el
campos internos. Estas constantes dependen definitivamente de todos los parámetros de la dispersión
problema. Además, estas dependencias pueden variar rápidamente, especialmente cerca de la resonancia
regiones. Lo mismo es cierto para γ13 (L1-norm de la inversa del operador integral, Eq. (65)).
Finalmente, está la importante constante d0 que también depende de todos los parámetros, sin embargo
uno puede esperar que sea lo suficientemente grande (por ejemplo, ) para la mayoría de los problemas – entonces su
la variación puede ser descuidada.
20 ≥d
Antes de proceder introducimos el parámetro de discretización kdmy =. Nosotros empleamos a la
fórmula comúnmente utilizada como propuesto por Draine,8 sin embargo, la dependencia exacta de m no es
importante porque todas las conclusiones siguen siendo válidas para m constante. Reemplazar d por y no
cambiar significativamente la dependencia de las constantes en Eq. (69) ya que todos ellos ya dependen
sobre m a través de las constantes básicas γ2-γ11, γ13. Esto lleva a
( ) ycyyccy 6126059 ln . (70)
No es factible hacer ninguna conclusión rigurosa sobre la variación de las constantes en
Eq. (70) con parámetros variables porque todas estas constantes dependen de γ2-γ6, γ13 que a su vez
dependen de manera compleja de los parámetros del problema de dispersión. Como sea que podamos.
hacer una conclusión sobre la tendencia general de esta dependencia.
Después de la derivación del Eq. (70) se puede observar que c61 es proporcional a γ12,
mientras que c59 y c60 no dependen directamente de ella (al menos una parte de las contribuciones a ellos son
independiente de γ12). Por lo tanto la tendencia general será una disminución de la relación 5961 cc con
aumento de x (cuando todos los demás parámetros están fijos). Esta es una justificación matemática de la
El hecho intuitivamente evidente de que los errores superficiales son menos significativos para partículas más grandes.
En el análisis de los resultados de las simulaciones numéricas (Sección 0) vamos a descuidar la
variación del logaritmo. Eq. (70) indica entonces que el error está limitado por una función cuadrática de
y (para ). Sin embargo, tenga en cuenta que nuestra derivación no conduce a un error óptimo
estimación, es decir, sobreestima el error y se puede mejorar. Por ejemplo, las constantes γ
0dd ≤
γ6 son generalmente más grandes dentro de una pequeña fracción de volumen del esparcidor (cerca de la superficie o algunos
regiones de resonancia interna), mientras que en el resto del scatter el campo eléctrico interno y su
los derivados están limitados por constantes significativamente más pequeñas. Sin embargo, el orden del error es
estimado correctamente, como veremos en las simulaciones numéricas.
Es importante señalar que Eq. (70) no implica que y (que es un valor firmado)
realmente depende de y como una función cuadrática, pero veremos más adelante que es el caso para los pequeños
suficiente y (Sección 0, véase el análisis detallado en el documento 2). Por otra parte, los coeficientes de lineal
y términos cuadráticos para y puede tener diferentes signos, lo que puede llevar a cero error para non-
cero y (sin embargo, esta y, si existe, es lamentablemente diferente para cada cantidad medida).
E. Errores de forma
En esta sección ampliamos el análisis de errores como se presenta en la sección 2.D a formas que no pueden
ser descrito exactamente por un conjunto de subvolumenes cúbicos. Realizamos la discretización de la misma manera
manera como en la Sección 2.B pero algunos de los Vi no son cúbicos (para Vi , que denota que
dipole i se encuentra en el límite del volumen V). Nos fijamos ri para estar todavía en el centro del cubo
(circunscribir Vi) para no romper la regularidad de la celosía. La prescripción PP estándar utiliza
volúmenes iguales ( ) en Eqs. 3dVi = (10), (14), (25), y (26), es decir, la discretización cambia la
forma de la partícula un poco. Vamos a estimar los errores introducidos por estos límites
Dipolos. Estos errores deben añadirse a los obtenidos en la sección 2.D. Comenzamos por
estimación
dh. Primero consideramos para dih Vi
=
PGrPrrGh )0(33)(),(d, (71)
que es sólo una reducción de Eq. 34). Para Vi es el mismo más el error en el dih auto-término
iiiiii
i VVdr
χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
),(),()),(d)0(33. (72)
Definamos
iij dr
PGrPrrGh )0(33sh )(),(d = ∫, (73)
IIiiiiii VV ErLrMh χ
=
),(),(sh. (74)
Estimamos cada uno de los términos en Eq. (73) por separado (ya que en realidad no hay
cancelación, y el error es del mismo orden de magnitud que los propios valores) utilizando
Eq. (30) para P(r) y )(rG y Eq. 31). Esto lleva a
h (75)
Para estimar asumimos que la superficie del esparcidor es un plano en la escala del tamaño
del dipolo. Un radio finito de curvatura sólo cambia las constantes en la siguiente
expresiones. Demostraremos que
sh cii ≤h, (76)
Por lo tanto, no necesitamos considerar el tercer término en Eq. (74) (procedente del tensor de la unidad)
en absoluto, ya que está limitado por una constante.
( ) ( ) =
iiii rrV ()), (d)), (), (d), (d), (
s3s3 rPrrGrrGrrGrrGrM. (77)
ic rrLa función en la primera integral está siempre limitada por
. Si lo mismo es cierto
para la segunda integral y, por lo tanto,
ii Vár
dcV ii 66),( ≤rM. (78)
Si ii Vár introducimos un punto auxiliar que es simétrico a ri sobre la superficie de la partícula
y aplicar la identidad
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ii ) rPrPrPrPrP = ( 79 )
a la segunda integral en Eq. (77). Uso de Taylor expansión de P cerca y el hecho de que r ′′
Irrrrr para iVr se puede demostrar que
∫ ii cdcV ),( s36867r
ir ),(d rrGM, (80)
donde el resto integral puede ser probado ser igual a ),( iiV rL . La última prueba se fue.
(véase Eqs. (74) y (80)) debe demostrar que ),( iiV rL ♥ está limitada por una constante. El único
problema potencial puede venir de la subsuperficie de la superficie de la partícula
(porque puede estar cerca de r
en es parte de
ce es i). Este subsurfa med planar. Vamos a calcular el
integral en Eq.
(6) sobre el plano infinito rlrr + = i uch que 0 s =. A continuación, n ± = ′
( ) 223
2d),plane.inf(
mm == ∫irL
V r
r, (81)
que está limitada. El resto de la integral (sobre la parte de la superficie del cubo) está limitada por un
constante, que es una manifestación de un hecho más general que (por su definición) ), ir ( iVL
no depende del tamaño, sino sólo de la forma del volumen. Por fin lo hemos hecho.
69),( cV ii rL,
que junto con Eqs. (74), (78) y (80) probar Eq. (76).
Usando Eqs. (75) y (76) obtenemos
)ln() (70)
cllnc
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 7271 #
dccNd
, (83)
donde hemos cambiado el orden de la suma en la suma doble y dividir la
sumation sobre conchas cúbicas para
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
maxKl ≤ y. Entonces lo hemos agrupado todo.
otal esti
maxKl >
en una suma sobre dipolos límite. Eqs. 41) y 62) se utilizaron en la última desigualdad.
Combinando Eqs. (63) y (83) se puede obtener el t mate de la
dh para cualquier esparcidor:
( ) ( ) [ ]ddccddccNd lnln 7273245431 h. (84)
Usando Eq. (66) obtenemos inmediatamente el sam
* De estimación para E.
La derivación de los errores en las cantidades medidas se modifica ligeramente en comparación con
(68) e cambiado a la sección 2.D, por la presencia de los errores de forma. Eqs. (67) y ar
( ) ( )( dccccccc
,0
EE , (85)
( ) ) ( ) ( ) ( ) ddccdddd lnln 2,0 E dcd 7655541
53 ≤ EO. (86)
El segundo término en Eq. (85) proviene de dipolos superficiales para los que los errores son del mismo orden
como los valores mismos. Finalmente la generalización de Eq. (70) es
( ) ( ) yciccycyccy lnlnlnlü 797826059 .......................................................................................................... (87)
Los errores de forma “refuerzan” los errores de superficie (el término lineal del error de discretización), y
aunque ambos disminuyen generalmente con el aumento del tamaño del parámetro x uno puede esperar el
término lineal en Eq. (87) ser significativos hasta valores más altos de y que en Eq. (70).
Todas las derivaciones en esta sección pueden en principio extenderse a las interfaces dentro de la
partícula, es decir, cuando una superficie, que no puede describirse exactamente como una superficie de un conjunto de cubos,
separa dos regiones en las que la χ(r) varía sin problemas. Dos partes del dipolo cúbico en el
la interfaz debe considerarse por separado de la misma manera en que se hizo anteriormente. Esto lo hará.
Sin embargo, no cambiar la conclusión principal de esta sección – Eq.(87) – pero sólo las constantes.
F.Diferentes formulaciones de DDA
En esta sección discutimos cómo diferentes formulaciones DDA modifican las estimaciones de error derivadas
en las secciones 2.D y 2.E.
La mayoría de las mejoras del PP propuestas en la literatura se refieren a la auto-
término –. Son la corrección de la Reacción Radiativa (RR),(iiV rM
8 los Verdes Digitalizados
Función (DGF),23 la formulación por Lakhtakia (LAK),26,27 el método a1-término,28,29 el
La relación de dispersión del entramado (LDR),30 la formulación de Peltoniemi (PEL),31 y el
Corregido LDR (CLDR).32 Todos ellos proporcionan una expresión para que es de orden d),( iiV rM
(excepto RR que es de orden d3). Por ejemplo, LDR es equivalente a
( )[ ] iii ddSmbmbbbV PrM 3223221 i)32(),( فارسى =, (88)
(recordemos que asumimos ) donde b1=k 1, b2, b3 son constantes numéricas y S es a
constante que depende sólo de los vectores de propagación y polarización del campo incidente.
Sin embargo, ninguna de estas formulaciones puede evaluar exactamente la integral en Eq. (39), porque el
variación del campo eléctrico no se conoce de antemano (PEL resuelve este problema, pero sólo para
un dipolo esférico). Por lo tanto, ellos (esperadamente) disminuyen la constante en Eq. (40), por lo tanto
disminuir el error global en las cantidades medidas. Sin embargo, estas formulaciones no son
espera cambiar el orden del error de d2 a algún orden superior.
No analizamos las mejoras de Rahmani, Chaumet y Bryant (RCB)33,34 y
Superficie corregida LDR (SCLDR),17 ya que se limitan a ciertas formas de partículas.
Existen dos mejoras del término de interacción en PP: Dipolos en Pareja Filtrados
(FCD)12 e Integración del Tensor de Green (IT).35 Un análisis riguroso de los errores de FCD es
más allá del ámbito de este documento, pero parece que FCD no está diseñado para reducir el término lineal
en Eq. (63) que proviene de las conchas incompletas (no simétricas). Esto es porque FCD
emplea la teoría del muestreo para mejorar la precisión de la discretización general para regular
cuadrículas cúbicas. FCD no mejora la exactitud de un único cálculo ijG (aproximación
de una integral sobre un subvolumen).
IT, que evalúa numéricamente la integral en Eq. (12), tiene un efecto más pronunciado
en la estimación de errores. Considerar el dipolo j de l-th shell (incompleto) de dipolo i, entonces
.), d), (máximo)
), d ), d ), d
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= = =
dlcrrcrrc
jijij
rGrrG
PrrrGPGrPrrG
(89)
Aquí hemos usado Eq. (36) y Taylor expansión del tensor de Green hasta el primer orden.
Eq. (89) declara que el segundo término en Eq. (58) se elimina por completo y también lo es el lineal
término en Eqs. (69) y (70) (errores superficiales). Por lo tanto, la convergencia de DDA con IT para
Se espera que los dispersores de forma cúbica sean puramente cuadráticos (desatendiendo el logaritmo).
Sin embargo, para los esparcidores no en forma cúbica el término lineal reaparece, debido a la forma
errores. Tanto IT como FCD también modifican el auto-término, sin embargo el efecto es básicamente el mismo que
para las otras formulaciones.
Varios artículos tenían como objetivo reducir los errores de forma.10,11,36 El primero – Semi-
Método analítico (GSA)10 – modifica todo el esquema DDA, mientras que los otros dos proponen
promedio de la susceptibilidad sobre los dipolos límite. Vamos a analizar aquí
Discretización (WD) por Piller11 como probablemente el método más avanzado para reducir los errores de forma
disponible hoy.
WD modifica la susceptibilidad y el auto-término del subvolumen de frontera. Nosotros, un poco.
modificar la definición del subvolumen límite utilizado en las secciones 2.B y 2.E a
tener en cuenta automáticamente las interfaces dentro del scatter. Definimos Vi para ser siempre
cúbica, pero con una posible interfaz en el interior. La superficie de partículas, cruzando el subvolumen Vi,
se asume planar y divide el subvolumen en dos partes: el volumen principal
(que contiene el centro) y el volumen secundario con susceptibilidades, y
campos eléctricos, respectivamente. Los campos eléctricos se consideran constantes en el interior
cada parte y relacionados entre sí a través del tensor de la condición límite
iV ii
ii EE
iT :
iii ETE =
s. (90)
En WD, la susceptibilidad del subvolumen límite se sustituye por uno efectivo, definido
( ) 3ssppe dVV iiiiii TI =, (91)
que da la correcta polarización total del dipolo cúbico. El auto-término eficaz es
directamente evaluado a partir de Eq. (4), teniendo en cuenta la constante χ y E dentro de cada parte,
( ) ( ) iii
rrV ETrrGrrGrrGrrGrM
= ss3ps3
),(),(d),(),(d),( . (92)
Piller evaluó las integrales en Eq. (92) numéricamente11.
Para tener en cuenta una variación suave del campo eléctrico y la susceptibilidad, definimos
( r se define en la sección ) r ′′= i′′ 2.E) y iT se calcula en la superficie entre ri y
. y r ′′ ii PP
iiiiii ETEP
sss ==. Entonces
c rrPrP
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
min) 83
s, (93)
donde hemos asumido que Eq. (30) para χ(r) y E(r) también es válido en. siV
Empezamos a estimar los errores de WD con (cf. Eq. shijh (73))
( ) ( ) =
s)0(3p)0(3sh)),(d)),(d)
jijiij rr PGrPrrGPGrPrrGh, (94)
Uso de expansiones de Taylor de cerca de r(rP ′ i y r ′′ en y correspondientemente y Eq. piV
iV (93)
uno puede obtener que la contribución principal proviene del derivado del tensor de Green,
que conducen a (cf. Eq. (75))
h (95)
iih es el siguiente (cf. Eq. (74))
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.),(),(
), d), d), d), d)
,(),(),(),(d),(),(d)
),(),(
pss3s3p3
ess3ps3
iiiiiii
iiiiiii
PrLErL
PPrrGPrPrrGPrPrrG
ErLPrrGrrGPrrGrrG
PrLrMh
=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(96)
Las dos primeras integrales pueden mostrarse fácilmente dс85≤ (cf. Eq. (77)) y el tercero es
transformado a L de la misma manera que en Eq. (80), por lo tanto
iiiiiiiiiiiiiii VVVdc ErLPrLPrLh
esspp
s ),(),(),( , (97)
donde el segundo término proviene del hecho de que PL promedio no es el mismo que L veces
promedio P. Este error depende de la geometría de la interfaz dentro de Vi y generalmente es de
Ordenen la unidad. Por ejemplo, si la interfaz plana se describe como izz, tomando el límite 0
da el error ( )zii sp2 PP (usando Eq. (81)). Por lo tanto, WD no mejora principalmente
la estimación de error dada por Eq. shiih (76), aunque puede disminuir significativamente la
constante. Por otra parte, puesto que ),( p iiV rL y ),(
Se puede evaluar (analíticamente)
para un cubo intersecado por un plano, WD se puede mejorar aún más para reducir el error en
lineal en d, que es un tema de investigación futura.
Proceder análogo a la derivación de Eq. (83) se puede obtener
Ndcdccllnc
898887
)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
h. (98)
Se puede mostrar que para la amplitud de dispersión (Eq. (25)) la estimación de error dada por
Eq. (85) se puede mejorar, ya que WD evalúa correctamente el orden cero de valor para el
dipolos límite, que conducen a
( ) ( ) 291490551,0° dcdcc
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
EE . (99)
En su artículo original11 Piller no especificó la expresión que debería usarse para Cabs. Directo
aplicación de la susceptibilidad proporcionada por WD a Eq. 26) no reduce el orden de
error cuando se compara con el Eq exacto. (24) (excepto cuando ), ya que no son lineales
funciones del campo eléctrico. Sin embargo, si consideramos por separado y (que es
equivalente a sustituir
0s =iχ
( ) ( ) ) iiiiV EEE Im χ por
2ss2pp )Im()Im( iiiiiii VV ETE + ) el mismo
estimación como en Eq. (99) puede derivarse de Cabs.
Usando Eqs. (98), (99), y la primera parte de Eq. (86) se puede derivar el error final
Estimación para el Departamento de Bienestar Social:
( ) ycyyccy 9429392 , (100)
donde la constante antes del término lineal, en comparación con Eq. (87), no contiene un
logaritmo y se espera que sea significativamente más pequeño, porque varios factores contribuyen a ello
se eliminan en WD. Aunque el Departamento de Bienestar tiene posibilidades de mejorar, no parece viable
eliminar completamente el término lineal en el error de forma. La exactitud de la evaluación de la
término de interacción sobre el dipolo límite (cf. Eq. (94) puede mejorarse mediante la integración de
El tensor de Green sobre y por separado, pero eso arruinaría la estructura de bloque-Toeplitz de
la matriz de interacción y obstaculizar el algoritmo basado en FFT para la solución de lineales
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
cubo kD=8
esfera discretizada kD=10
esfera kD=3 (x10)
esfera kD=10
esfera kD=30
Fig. 2. S11 para los 5 casos de prueba en escala logarítmica. El resultado de la esfera kD = 3 se multiplica por
10 para mayor comodidad.
ecuaciones.5 Puesto que no hay alternativa comparable a FFT hoy en día, este método parece
inaplicable.
Son posibles modificaciones menores de la expresión para Cabs. Draine8 propuso un
modificación de Eq. 26) que fue ampliamente utilizado después y que fue modificado por
Chaumet et al.35 Sin embargo, para muchos casos estas expresiones son equivalentes e, incluso cuando
no son, la diferencia es de orden d3, que se descuida en nuestro análisis de errores.
3. Simulaciones numéricas
A. Aproximación discreta del dipolo
Los fundamentos del método DDA fueron resumidos por Draine y Flatau.2 En este artículo utilizamos
la prescripción LDR para la polarización del dipolo30, que se utiliza más ampliamente en la actualidad, por ejemplo. en
el código de acceso público DDSCAT 6.1.4 También utilizamos la corrección del tamaño del dipolo8 para no-
dispersores en forma de cúbica para asegurar que la aproximación cúbica del scatter tiene el
volumen correcto; esto se cree que disminuye los errores de forma, especialmente para pequeños dispersadores.2
utilizar un esquema de discretización estándar como se describe en la sección 2.E, sin ninguna mejora
para dipolos límite. Es importante señalar que todas las conclusiones son válidas para cualquier DDA
la aplicación, pero con algunos cambios para mejoras específicas, como se
Sección 2.F.
Nuestro código – Amsterdam DDA (ADDA) – es capaz de funcionar en un clúster de ordenadores
(paralelización de un único cálculo DDA), que nos permite utilizar prácticamente ilimitado
número de dipolos, ya que no estamos limitados por la memoria de un solo ordenador.37,38 Utilizamos
un error relativo de residual como criterio de parada para la solución iterativa del DDA
sistema lineal. Los ensayos sugieren que el error relativo de las cantidades medidas debido a la
El solucionador iterativo es entonces (datos no mostrados) y por lo tanto puede ser descuidado (total relativo
errores en nuestras simulaciones son – ver Sección
810
710
56 1010 0). Más detalles sobre nuestro código puede
puede consultarse en el documento 2. Todas las simulaciones DDA se llevaron a cabo en el cálculo nacional holandés
grupo LISA.39
Cuadro 1 Valores exactos de Qext para los 5 casos de prueba.
Partícula Qext
kD = 8 cubo 4.490
discontinuidad kD = 10 esfera 3.916
kD = 3 esferas 0,753
kD = 10 esfera 3.928
kD = 30 esfera 1.985
0,1 1
pendiente = 0,77
y = kd·m
máximo
= 0°
= 45°
= 90°
= 135°
= 180°
pendiente = 0,95
Fig. 3. Errores relativos de S11 en diferentes ángulos y máximo en todos los ángulos • versus y para (a) la kD = 8
cubo, (b) la discretización cúbica de kD = 10 esfera. Se utiliza una escala de log-log. Un ajuste lineal de máximo
se muestran los errores sobre el valor de los valores. (m = 1,5).
B.Resultados
Se estudian cinco casos de prueba: un cubo con 8 = kD, tres esferas con, y un
partícula obtenida por una discretización cúbica de la
30,10,3=kD
10 = esfera kD usando 16 dipolos por D
(total de 2176 dipolos, x igual a la de una esfera; véase la descripción detallada en el Documento 2). Por D
indicar el diámetro de una esfera o el tamaño del borde de un cubo. Todos los esparcidores son homogéneos con
. Aunque los errores de DDA dependen significativamente de m (véase, por ejemplo, 5.1=m 14), nos limitamos a
un solo valor y estudiar los efectos del tamaño y la forma del esparcidor.
El número máximo de dipolos por D (nD) fue de 256. Los valores de nD que usamos son
de la forma (p es un entero), a excepción de la esfera discretizada, donde todos los np2}7,6,5,4{ D son
0,1 1
0,1 1
0,01 0,1
y = kd·m
pendiente 2.29 (c)
pendiente 0,91
máximo
= 0°
= 45°
= 90°
= 135°
= 180°
pendiente 1,05
Fig. 4. Igual que Fig. 3 pero para (a) kD = 3, (b) kD = 10, y (c) kD = 30 esferas.
múltiplos de 16 (esto es necesario para describir exactamente la forma de la partícula compuesta de un
número de cubos). Los valores mínimos para nD fueron 8 para la esfera 3=kD, 16 para el cubo,
la esfera, y la esfera discretizada, y 40 para la esfera 10=kD 30=kD.
Todos los cálculos utilizan una dirección de incidencia paralela a uno de los ejes principales de
los dipolos cúbicos. El plano de dispersión es paralelo a uno de la cara de los dipolos cúbicos. In
este artículo mostramos resultados sólo para la eficiencia de extinción Qext (para la luz incidente polarizada
paralelo a uno de los ejes principales de los dipolos cúbicos) y la función de fase S11
0,01 0,1 1
pendiente = 0,89
cubo kD=8
esfera discretizada kD=10
esfera kD=3
esfera kD=10
esfera kD=30
y=kd·m
Fig. 5. Errores relativos de Qext versus y en los 5 casos de prueba. Se utiliza una escala de log-log. Un ajuste lineal a través de 5
se muestran las mejores discretaciones de kD = 3 esfera.
más comúnmente utilizado en aplicaciones. Sin embargo, la teoría se aplica a cualquier cantidad medida.
Por ejemplo, también lo hemos confirmado para otros elementos de la matriz de Mueller (datos no mostrados).
En la Fig. 2. Para las esferas esta es la
resultado de la teoría de Mie (la precisión relativa del código que usamos24 es al menos ) y para el
cubo y esfera discretated una extrapolación sobre las 5 mejores discretaciones (la
la técnica de extrapolación se presenta en el documento 2, junto con todos los detalles de la obtención de estos
los resultados, incluidos sus errores estimados). Utilizamos tales resultados ‘exactos’ porque la teoría analítica
no está disponible para estas formas y porque los errores de la mejor discretización son más grandes que eso
de la extrapolación. Su uso como referencia para calcular errores reales (diferencia entre el
calculado y el valor exacto) de los cálculos únicos de DDA está justificado porque todos estos reales
los errores son significativamente mayores que los errores de las propias referencias (véase el documento 2;
errores generales, reales obtenidos de esta manera tienen una incertidumbre de error de referencia). Valores exactos de
610
ext para todos los casos de ensayo se presentan en la Tabla 1.
A continuación mostramos los resultados de la convergencia del DDA. Fig. 3 y Fig. 4 presentes
Errores relativos (valores absolutos) de S11 en diferentes ángulos
versus y en escala de log-log. En muchos casos los errores máximos se alcanzan con exactitud
dirección de retrodispersión, entonces estos dos conjuntos de puntos se superponen. Mínimos profundos que ocurren en
valores intermedios de y para algunos valores de (y también a veces para Qext – Fig. 5) se deben a
el hecho de que las diferencias entre los valores simulados y los valores de referencia cambian de signo cerca de estos
valores de y (ver Documento 2 para una descripción detallada de este comportamiento). Las líneas sólidas son de ajuste lineal
a todos o algunos puntos de error máximo. Las laderas de estas líneas se representan en las figuras.
Fig. 5 muestra errores relativos de Qext para los 5 casos estudiados en la escala log-log. Un ajuste lineal a través
se muestran las 5 mejores discretaciones de la esfera 3=kD. Más resultados de estos números
Las simulaciones se presentan en el documento 2.
4. Discusión
Convergencia de DDA para partículas de forma cúbica (Fig. 3) muestra las siguientes tendencias. Todos
las curvas tienen partes lineales y cuadráticas (el comportamiento no-monotónico de los errores para
también una manifestación del hecho de que la diferencia firmada se puede aproximar por una suma de lineal
y términos cuadráticos que tienen diferentes signos). La transición entre estos dos regímenes
se produce en diferentes y (que indica la importancia relativa de lineal y cuadrática
coeficientes). Mientras que para los errores máximos que están cerca de los de la dirección de retrodispersión
el término lineal es significativo para mayor y, es mucho más pequeño y no significativo en el conjunto
rango de y estudiado para la dispersión lateral ( = 90. R
para l
esults de convergencia DDA para esferas (Fig.
4) mostrar un comportamiento diferente para diferentes tamaños. Los errores para la esfera pequeña ( 3 = kD ) convergen
puramente lineal (excepto para pequeñas desviaciones de errores de )90(11 °S valores de y). Similares
los resultados se obtienen para la esfera 10=kD, pero con oscilaciones significativas superpuestas
sobre la tendencia general. Convergencia para los grandes ( 30
=kD ) la esfera es cuadrática o incluso más rápida
en el rango de y estudiado, también con oscilaciones significativas.
Comparando la Fig. 3 y Fig. 4 (especialmente Fig. 3 b) y fig. 4 b) que muestren los resultados de
casi las mismas partículas) se pueden deducir las siguientes diferencias en la convergencia de DDA para
Dispersores de forma cúbica y no cúbica. El término lineal para los esparcidores de forma cúbica
es significativamente menor, resultando en errores totales más pequeños, especialmente en el caso de las pequeñas y. Todos estos
las conclusiones, junto con la dependencia del tamaño de la significación del término lineal en el
errores totales, están en perfecto acuerdo con las predicciones teóricas hechas en las secciones 2.D y
2.E. Los errores de partículas no cúbicas muestran oscilaciones cuasi aleatorias que no son
presente para las partículas de forma cúbica. Esto se puede explicar por las variaciones agudas de la forma
errores con cambiar y (discutidos en detalle en el documento 2). Oscilaciones para la esfera
Fig. 4(a)) son muy pequeños (pero claramente presentes), lo que se debe al pequeño tamaño de la
partícula y por lo tanto la falta de características de su patrón de dispersión de la luz - la estructura de la superficie no es
que es importante y uno puede esperar errores de forma más bien pequeños. Resultados para Qext (Fig. 5) en su totalidad
apoyar las conclusiones. Errores de Qext para la esfera grande en valores pequeños de y son
inesperadamente más pequeño que para esferas más pequeñas. Esta característica requiere más estudio antes
sin embargo, no hay ninguna tendencia similar para S11(l ) (cf.
Fig. 4).
También hemos estudiado un cubo poroso que se obtuvo dividiendo un cubo en
27 cubos más pequeños y luego eliminar al azar 9 de ellos. Todas las conclusiones son las mismas que
los reportados para el cubo, pero con errores generales ligeramente mayores (datos no mostrados).
En este artículo hemos utilizado una formulación DDA tradicional2 para simulaciones numéricas.
Sin embargo, como mostramos en la sección 2.F varias mejoras modernas de DDA (a saber, IT
y WD) deberían cambiar significativamente su comportamiento de convergencia. La tecnología de la información debería ser completamente necesaria.
eliminar el término lineal para los esparcidores de forma cúbica, lo que debería mejorar la precisión
especialmente para pequeñas y. WD debe disminuir significativamente la forma y, por lo tanto, errores totales para no-
partículas de forma cúbica, además debería disminuir significativamente la amplitud de
oscilaciones aleatorias de error porque tiene en cuenta la ubicación de la interfaz dentro de la
dipolos límite. Las pruebas numéricas de convergencia DDA utilizando IT y WD es un tema de un
estudio futuro.
5. Conclusión
A lo mejor de nuestro conocimiento, realizamos por primera vez una rigurosa teoría
análisis de convergencia de la DDA. En el rango de los errores de aplicabilidad DDA ( 2<kd ) se delimitan
por una suma de un término lineal y cuadrático en el parámetro de discretización y; el término lineal es
significativamente más pequeño para los esparcidores cúbicos que para los dispersores de forma no cúbica. Por lo tanto,
pequeños y errores para las partículas de forma cúbica son mucho más pequeños que para las de forma no cúbica.
La importancia relativa del término lineal disminuye con el aumento del tamaño, por lo que la convergencia
de DDA para los dispersores lo suficientemente grandes es cuadrática en el rango común de y. Todos estos
Las conclusiones se verificaron mediante simulaciones numéricas extensas.
Por otra parte, estas simulaciones mostraron que los errores no sólo están limitados por un cuadrático
función (como se predice en la sección 2), pero en realidad puede ser (con buena precisión) descrito por un
función cuadrática de y. Este hecho proporciona una base para la técnica de extrapolación presentada en
Documento 2.
Nuestra teoría predice que las mejoras DDA modernas (a saber, IT y WD) deben
cambiar significativamente la convergencia de DDA, sin embargo las pruebas numéricas de estas predicciones
se deja para futuras investigaciones.
Agradecimientos
Damos las gracias a Gorden Videen y Michiel Min por sus valiosos comentarios sobre la versión anterior
manuscrito y revisor anónimo para sugerencias útiles. Nuestra investigación está respaldada por el
Programa de Ciencia para la Paz de la OTAN a través de la subvención SfP 977976.
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704.0034 | Origin of adaptive mutants: a quantum measurement? | Microsoft Word - NatureCorspondJasmitedit.rtf
Enviado a la naturaleza en 1990
Resumen
Este es un suplemento del documento arXiv:q-bio/0701050, que contiene el texto de la correspondencia
enviado a Nature en 1990.
Origen de los mutantes adaptativos: ¿una medición cuántica?
Señor, - Varios trabajos recientes describen la inducción no aleatoria de mutaciones adaptativas por
estímulos ambientales 1-3. La explicación más obvia de este sorprendente fenómeno sería
que la activación de la expresión génica conduce a la mejora de su tasa de mutación4. Sin embargo, este
no trabaja con las mutaciones lacZ descritas por Cairns y compañeros de trabajo como el verdadero inductor de
la lac-operón no es lactosa como tal, sino alolactosa, un subproducto de la β-galactosidasa
reacción5. Por lo tanto, en mutantes lacZ el operón no es inducido por lactosa6. Además, la inducción de
los genes respectivos no explicarían la fracción alta, entre los revertidores, del supresor
mutaciones en genes de ARNt1,7
Otras explicaciones sugieren algunos mecanismos especiales para la "aceleración de la adaptación
evolución", como la selección de proteínas "útiles" acopladas a una transcripción inversa específica1. Sin embargo,
cualquier mecanismo de este tipo también debería haber surgido en la evolución. Propongo que, para explicar el
fenómeno de mutación adaptativa, no hay necesidad de ningún nuevo mecanismo ad hoc. La única cosa
que es necesario volver a la vieja discusión sobre el papel de los conceptos cuánticos en nuestra
comprensión de la vida. Esto solo permitirá la explicación de este manifiestamente lamarckiano
fenómeno por selección darwiniana, que no ocurre en una población de organismos como de costumbre, sino en un
"población" de virtual, en el sentido de la teoría cuántica directa, estados de cada célula distinta. Por lo tanto, este
La hipótesis puede llamarse "selección de mutaciones virtuales". Fundamentación detallada de este concepto
se presentará en una publicación especial; a continuación muestro brevemente cómo podría funcionar esta explicación.
El grupo Cairns ha demostrado que las mutaciones que garantizan el crecimiento celular comienzan a
no se acumulan inmediatamente después del laminado, sino sólo después de que se crean las condiciones bajo las cuales
las mutaciones se vuelven "útiles", como si las mutaciones fueran inducidas por estas condiciones1. Sugiero que, para
explicar este fenómeno, debemos cambiar nuestras ideas sobre lo que es una célula, y considerar no
mutaciones reales pero virtuales. Una distinción importante de las mutaciones virtuales es que no
acumular con el tiempo en la célula estacionaria, mientras que el número real de mutantes crecería
linealmente desde el momento de la chapa, y esto produciría resultados drásticamente diferentes en
experimentos como los que se muestran en la Fig. 3 de Ref. 1. Las mutaciones virtuales producen "deslocalización" de
la célula entre diferentes estados, similar a la deslocalización del electrón en el espacio físico.
Sin embargo, para que una mutación virtual se convierta en una mutación real, ciertas condiciones son necesarias,
a saber, la posibilidad de crecer, alejando irreversiblemente el sistema del estado inicial. Semejante
las condiciones surgen cuando, por ejemplo, la lactosa se añade a una placa con bacterias lacZ. Brevemente, esto es
la esencia de la explicación propuesta.
¿Qué es una mutación virtual? La causa principal de las mutaciones espontáneas habituales es el
Tautomerización base conocida8 (con una frecuencia in vitro de aproximadamente 10-4). Por lo tanto, podríamos reducir
‘mutación virtual’ a tal autometrización? Creo que este punto de vista no es coherente con
experimentos, ya que implica que la misma rara forma automérica debe funcionar tanto en la transcripción
y en replicación. Si estos procesos se consideran independientes, lógicamente llegamos a la fuga
mutante, que fue refutado por Cairns y compañeros de trabajo1. Así que necesitamos postular una correlación
entre el reconocimiento de las formas tautoméricas en la transcripción y en la replicación, haciéndonos
definir "mutación virtual" como un cierto estado de la célula en su conjunto. El razonamiento análogo es
aplicable a las "transposiciones adaptativas" examinadas por Cairns. En otras palabras, consideramos la
la célula entera como sistema cuántico, con una no localidad no despreciable inherente a tales sistemas. La mayoría
de todo se asemeja a los sistemas de "rigidez generalizada"9, tales como superfluido o superconducción
estados de la materia, cuyo comportamiento está vinculado a correlaciones cuánticas; y creo, similar
Las correlaciones también tienen lugar en la célula.
Quisiera hacer hincapié en que el enfoque propuesto no requiere la detalización de
procesos moleculares en la célula. Su enfoque principal es el comportamiento de la célula en su conjunto. Del mismo modo, a
explicar precesión giroscópica no hay necesidad de considerar las interacciones entre los elementos en el interior
el giroscopio; basta con conocer algunos invariantes de movimiento, definidos por las simetrías espacio-tiempo.
A partir de esta visión general, se pueden expresar las ideas anteriores utilizando el operador
formalismo, y teniendo en cuenta los experimentos realizados por Cairns como medida de las células»
capacidad de propagarse en determinadas condiciones. Sugiero que el rasgo "capacidad de reproducirse en
La lactosa" (como ejemplo) puede ser representada por un operador que puede designar "Lac".
Es importante destacar que este nuevo operador actuará sobre el estado de toda la célula porque la capacidad de
reproducir es una propiedad de la célula en su conjunto, y no de ninguna parte de ella. En general, "Lac"
descomponer esto en una superposición de algunas funciones propias. Los componentes de esto
superposición son aquellas funciones que no cambian en la acción de este operador, pero son sólo
multiplicado por una constante. Refleja la esencia del formalismo del operador en la teoría cuántica, que
elige estados compatibles con determinadas condiciones experimentales. Hay tres de ellos.
eigenfunctions (Simplifico intencionadamente la situación): 1 corresponde a la muerte celular, 2 a la
estado estacionario, y 3 a la auto-reproducción (que es la mutación virtual, en nuestro caso). Cada uno
función entrará en la descomposición de • con un coeficiente de ci relacionado con la probabilidad de esto
o ese resultado, es decir.:
• = c1 • 1 + c2 • 2 + c3 • 3, donde ci 2 = 1
Al platear las células en lactosa agar, de hecho, comenzamos a medir su capacidad de crecimiento
en estas condiciones particulares. La tasa de acumulación de revertidores de laca, es decir, la probabilidad de
obtener una célula en el estado mutante, corresponderá a c32, siendo una cantidad pequeña, pero finita,
aparece, por ejemplo, debido a la tautomerización de base. Aquí, el papel del crecimiento celular es dual: en el
por un lado, es un factor de irreversibilidad amplificando la "fluctuación cuántica", y por otro
mano, es un criterio de selección, ya que cada tipo de mutantes virtuales capaces de crecer bajo estos
condiciones pueden conducir a la formación de colonias. Otra situación, es decir. glucosa/agar valina, será
representado por otro operador (Valr), que descomponerá la misma función de
otra base, y los mutantes Valr se obtendrán con cierta tasa. De hecho, esta es la esencia de
fenómeno de mutación adaptativa, donde una condición particular induce la aparición de
mutantes.
Por lo tanto, el cambio propuesto de nuestra opinión sobre la célula sugiere que, de acuerdo con
conceptos, no estamos tratando con la probabilidad de que una célula mutar por sí mismo, independiente de
condiciones experimentales. Más bien, estamos tratando con la probabilidad de observar la célula en el
estado mutante plastándolo en lactosa. Sin duda estamos simplificando la situación, como espontáneo
las mutaciones que se acumulan durante el crecimiento celular antes del plating, hacen nuestro conjunto ‘mixto’.
Sin embargo, esta complicación no cambia la esencia de la explicación, según la cual
las mutaciones adaptativas emergen mediante la medición del estado puro. Esto se parece al paso de un
fotones polarizados a través de un polarizador girado bajo algún ángulo a la polarización fotónica. Lo hará.
ser incorrecto decir que la polarización del fotón podría girar por el ángulo necesario por
oportunidad, antes de la interacción. Es la situación experimental específica la que hace que nos descompongamos
el vector de estado de acuerdo con los estados de base respectivos, y para evaluar la fracción de la
componente que pasará a través de polarizador. Por otro lado, se puede hablar de "adaptación"
de polarización fotónica por selección de "fit" eigenstate, y considerar este caso como el modelo para nuestro
fenómeno.
¿Cómo son todas estas ideas aplicables a la célula bacteriana viviente? Examen de los posibles problemas
El papel de los conceptos cuánticos en la biología tiene una historia bastante larga, iniciada por Niels Bohr («la
principio de complementariedad». Brevemente, se podría reducir la esencia de esta discusión a la
imposibilidad principal de predecir con precisión el destino de una célula individual. Por ejemplo, cualquier intento
determinar, si es capaz de reproducirse en determinadas condiciones, conducirá a
cambio del estado de la célula, incluso hasta su muerte. Esto es una reminiscencia de la difracción de dos ranuras
experimento, donde un intento de determinar a través de cuál de las dos ranuras el electrón en realidad
los pases conducirán a la desaparición de la interferencia. Las dos trayectorias del electrón pueden ser
se hace físicamente discernible sólo por el costo de cambiar la situación experimental. Del mismo modo,
el notorio fenómeno de la "totalidad" del organismo vivo se puede expresar formalmente
según las reglas de Feynman de cálculo de probabilidades: diferentes indiscernibles (en el
condiciones experimentales) las variantes deben incluirse en el estado puro (es decir, sus amplitudes, y
no las probabilidades, deben resumirse, lo que conduce a interferencias y otros efectos cuánticos). Por lo tanto, como
mientras una célula entera exista y esté viva, estamos obligados a tratar sus diferentes estados indiscernibles
de esta manera. Tal consideración de las limitaciones operativas nos permite explicar la
fenómeno de mutación (y, con suerte, otras adaptaciones también) como consecuencia de inevitable
dispersión cuántica en la medición de la capacidad de propagación de la célula bajo determinadas condiciones.
A pesar de su aparente carácter formal, esta hipótesis nos permite hacer algunos
predicciones de interés aplicado (en particular, médico). Predice que en los procesos que implican
mutaciones somáticas (p. ej. oncogénesis, o generación de anticuerpos específicos) las mutaciones pueden ser
inducido por condiciones que permiten que la célula que resultó estar en el estado de mutación virtual a
prolifera irreversiblemente. Creo que esta posibilidad se puede probar experimentalmente.
Bibliografía
1. Cairns, J., Overbaugh, J., Miller, S. Nature 335, 142-145 (1988)
2. Shapiro, J.A. Molec. General Genet. 194, 79-90 (1984)
3. Hall, B.J. Genética 120, 887-897 (1988)
4. Devis, B.D. Proc.Natl.Acad.Sci.USA 86, 5005-5009 (1989)
5. Lewin, B., Genes, p.236 (J.Wiley & Sons, 1985)
6. Burstein, C., Cohn, M., Kepes, A., Monod, J. Bioch.Bioph.Acta 95, 634 (1965)
7. Savic, D.J.& Kanazir, D.T. Molec. General Genet. 137, 143 a 150 (1975)
8. Topal, M., Fresco, J. Nature 263, 285-289 (1976)
9. Anderson, P.W., Stein, D.L. en Sistemas de Auto-Organización, ed. por F.E.Yates, págs. 451 a 452
(Plenum Press, 1987)
Observaciones:
Este texto fue escrito en 1990. El autor lo tradujo al inglés con la amable ayuda del Dr.
Eugene Koonin (afiliación actual: National Center for Biotechnology Information, National
Biblioteca de Medicina, Institutos Nacionales de Salud, Bethesda MD, EE.UU.)
La versión inglesa del texto fue enviada a Nature en 1990 y rechazada. Al mismo tiempo era
también enviado a los siguientes corresponsales :
1. JOHN CAIRNS
Departamento de Biología del Cáncer, Harvard School of Public Health, Boston, Massachusetts 02115.
2. BARRY HALL
Departamento de Biología Molecular y Celular, Universidad de Connecticut, Storrs 06269.
3. BERNARD DAVIS
Unidad de Fisiología Bacterial, Facultad de Medicina de Harvard, Boston, MA 02115.
4. KOICHIRO MATSUNO
Departamento de Bioingeniería, Universidad Tecnológica de Nagaoka, Japón.
5. KONSTANTIN CHUMAKOV
Centro de Evaluación e Investigación Biológica, Administración de Alimentos y Medicamentos, Rockville,
Maryland 20852, EE.UU.
6. MIKHAIL V. IVANOV
Instituto de Microbiología, Academia Rusa de Ciencias, pr. 60-letiya Oktyabrya 7, k. 2,
Moscú, 117811 Rusia.
, así como a todos los participantes en el debate «Origen de los mutantes en disputa» (Naturaleza 336, 525 -
526 (08 de diciembre de 1988))
1. D. CHARLESWORTH, B. CHARLESWORTH & J. J. BULL
Departamento de Ecología y Evolución, Universidad de Chicago, 915 East 57th Street, Chicago,
Illinois 60637, EE.UU.
Departamento de Zoología, Universidad de Texas, Austin, Texas 78712, EE.UU.
2. ALAN GRAFEN
Grupo de Investigación sobre Comportamiento Animal, Departamento de Zoología, Universidad de Oxford, Oxford OX1 3PS,
3. R. HOLLIDAY & R. F. ROSENBERGER
Laboratorio de Biología Molecular CSIRO, North Ryde, Sydney, Australia
División de Genética, Instituto Nacional de Investigación Médica, Mill Hill, Londres NW7 1AA, Reino Unido
4. LEIGH M. VAN VALEN
Departamento de Ecología y Evolución, Universidad de Chicago, 915 East 57Street, Chicago,
Illinois 60637, EE.UU.
5. DANQUINA DE ANTOINA
Institut Pasteur, 28 Rue Dr. Roux, 75724 Paris, Cedex 15, Francia
6. IRWIN TESSMAN
Departamentos de Ciencias Biológicas, Universidad Purdue, West Lafayette,
Indiana 47907, USA
| Este es un suplemento del documento arXiv:q-bio/0701050, que contiene el texto de
correspondencia enviada a Nature en 1990.
| Microsoft Word - NatureCorspondJasmitedit.rtf
Enviado a la naturaleza en 1990
Resumen
Este es un suplemento del documento arXiv:q-bio/0701050, que contiene el texto de la correspondencia
enviado a Nature en 1990.
Origen de los mutantes adaptativos: ¿una medición cuántica?
Señor, - Varios trabajos recientes describen la inducción no aleatoria de mutaciones adaptativas por
estímulos ambientales 1-3. La explicación más obvia de este sorprendente fenómeno sería
que la activación de la expresión génica conduce a la mejora de su tasa de mutación4. Sin embargo, este
no trabaja con las mutaciones lacZ descritas por Cairns y compañeros de trabajo como el verdadero inductor de
la lac-operón no es lactosa como tal, sino alolactosa, un subproducto de la β-galactosidasa
reacción5. Por lo tanto, en mutantes lacZ el operón no es inducido por lactosa6. Además, la inducción de
los genes respectivos no explicarían la fracción alta, entre los revertidores, del supresor
mutaciones en genes de ARNt1,7
Otras explicaciones sugieren algunos mecanismos especiales para la "aceleración de la adaptación
evolución", como la selección de proteínas "útiles" acopladas a una transcripción inversa específica1. Sin embargo,
cualquier mecanismo de este tipo también debería haber surgido en la evolución. Propongo que, para explicar el
fenómeno de mutación adaptativa, no hay necesidad de ningún nuevo mecanismo ad hoc. La única cosa
que es necesario volver a la vieja discusión sobre el papel de los conceptos cuánticos en nuestra
comprensión de la vida. Esto solo permitirá la explicación de este manifiestamente lamarckiano
fenómeno por selección darwiniana, que no ocurre en una población de organismos como de costumbre, sino en un
"población" de virtual, en el sentido de la teoría cuántica directa, estados de cada célula distinta. Por lo tanto, este
La hipótesis puede llamarse "selección de mutaciones virtuales". Fundamentación detallada de este concepto
se presentará en una publicación especial; a continuación muestro brevemente cómo podría funcionar esta explicación.
El grupo Cairns ha demostrado que las mutaciones que garantizan el crecimiento celular comienzan a
no se acumulan inmediatamente después del laminado, sino sólo después de que se crean las condiciones bajo las cuales
las mutaciones se vuelven "útiles", como si las mutaciones fueran inducidas por estas condiciones1. Sugiero que, para
explicar este fenómeno, debemos cambiar nuestras ideas sobre lo que es una célula, y considerar no
mutaciones reales pero virtuales. Una distinción importante de las mutaciones virtuales es que no
acumular con el tiempo en la célula estacionaria, mientras que el número real de mutantes crecería
linealmente desde el momento de la chapa, y esto produciría resultados drásticamente diferentes en
experimentos como los que se muestran en la Fig. 3 de Ref. 1. Las mutaciones virtuales producen "deslocalización" de
la célula entre diferentes estados, similar a la deslocalización del electrón en el espacio físico.
Sin embargo, para que una mutación virtual se convierta en una mutación real, ciertas condiciones son necesarias,
a saber, la posibilidad de crecer, alejando irreversiblemente el sistema del estado inicial. Semejante
las condiciones surgen cuando, por ejemplo, la lactosa se añade a una placa con bacterias lacZ. Brevemente, esto es
la esencia de la explicación propuesta.
¿Qué es una mutación virtual? La causa principal de las mutaciones espontáneas habituales es el
Tautomerización base conocida8 (con una frecuencia in vitro de aproximadamente 10-4). Por lo tanto, podríamos reducir
‘mutación virtual’ a tal autometrización? Creo que este punto de vista no es coherente con
experimentos, ya que implica que la misma rara forma automérica debe funcionar tanto en la transcripción
y en replicación. Si estos procesos se consideran independientes, lógicamente llegamos a la fuga
mutante, que fue refutado por Cairns y compañeros de trabajo1. Así que necesitamos postular una correlación
entre el reconocimiento de las formas tautoméricas en la transcripción y en la replicación, haciéndonos
definir "mutación virtual" como un cierto estado de la célula en su conjunto. El razonamiento análogo es
aplicable a las "transposiciones adaptativas" examinadas por Cairns. En otras palabras, consideramos la
la célula entera como sistema cuántico, con una no localidad no despreciable inherente a tales sistemas. La mayoría
de todo se asemeja a los sistemas de "rigidez generalizada"9, tales como superfluido o superconducción
estados de la materia, cuyo comportamiento está vinculado a correlaciones cuánticas; y creo, similar
Las correlaciones también tienen lugar en la célula.
Quisiera hacer hincapié en que el enfoque propuesto no requiere la detalización de
procesos moleculares en la célula. Su enfoque principal es el comportamiento de la célula en su conjunto. Del mismo modo, a
explicar precesión giroscópica no hay necesidad de considerar las interacciones entre los elementos en el interior
el giroscopio; basta con conocer algunos invariantes de movimiento, definidos por las simetrías espacio-tiempo.
A partir de esta visión general, se pueden expresar las ideas anteriores utilizando el operador
formalismo, y teniendo en cuenta los experimentos realizados por Cairns como medida de las células»
capacidad de propagarse en determinadas condiciones. Sugiero que el rasgo "capacidad de reproducirse en
La lactosa" (como ejemplo) puede ser representada por un operador que puede designar "Lac".
Es importante destacar que este nuevo operador actuará sobre el estado de toda la célula porque la capacidad de
reproducir es una propiedad de la célula en su conjunto, y no de ninguna parte de ella. En general, "Lac"
descomponer esto en una superposición de algunas funciones propias. Los componentes de esto
superposición son aquellas funciones que no cambian en la acción de este operador, pero son sólo
multiplicado por una constante. Refleja la esencia del formalismo del operador en la teoría cuántica, que
elige estados compatibles con determinadas condiciones experimentales. Hay tres de ellos.
eigenfunctions (Simplifico intencionadamente la situación): 1 corresponde a la muerte celular, 2 a la
estado estacionario, y 3 a la auto-reproducción (que es la mutación virtual, en nuestro caso). Cada uno
función entrará en la descomposición de • con un coeficiente de ci relacionado con la probabilidad de esto
o ese resultado, es decir.:
• = c1 • 1 + c2 • 2 + c3 • 3, donde ci 2 = 1
Al platear las células en lactosa agar, de hecho, comenzamos a medir su capacidad de crecimiento
en estas condiciones particulares. La tasa de acumulación de revertidores de laca, es decir, la probabilidad de
obtener una célula en el estado mutante, corresponderá a c32, siendo una cantidad pequeña, pero finita,
aparece, por ejemplo, debido a la tautomerización de base. Aquí, el papel del crecimiento celular es dual: en el
por un lado, es un factor de irreversibilidad amplificando la "fluctuación cuántica", y por otro
mano, es un criterio de selección, ya que cada tipo de mutantes virtuales capaces de crecer bajo estos
condiciones pueden conducir a la formación de colonias. Otra situación, es decir. glucosa/agar valina, será
representado por otro operador (Valr), que descomponerá la misma función de
otra base, y los mutantes Valr se obtendrán con cierta tasa. De hecho, esta es la esencia de
fenómeno de mutación adaptativa, donde una condición particular induce la aparición de
mutantes.
Por lo tanto, el cambio propuesto de nuestra opinión sobre la célula sugiere que, de acuerdo con
conceptos, no estamos tratando con la probabilidad de que una célula mutar por sí mismo, independiente de
condiciones experimentales. Más bien, estamos tratando con la probabilidad de observar la célula en el
estado mutante plastándolo en lactosa. Sin duda estamos simplificando la situación, como espontáneo
las mutaciones que se acumulan durante el crecimiento celular antes del plating, hacen nuestro conjunto ‘mixto’.
Sin embargo, esta complicación no cambia la esencia de la explicación, según la cual
las mutaciones adaptativas emergen mediante la medición del estado puro. Esto se parece al paso de un
fotones polarizados a través de un polarizador girado bajo algún ángulo a la polarización fotónica. Lo hará.
ser incorrecto decir que la polarización del fotón podría girar por el ángulo necesario por
oportunidad, antes de la interacción. Es la situación experimental específica la que hace que nos descompongamos
el vector de estado de acuerdo con los estados de base respectivos, y para evaluar la fracción de la
componente que pasará a través de polarizador. Por otro lado, se puede hablar de "adaptación"
de polarización fotónica por selección de "fit" eigenstate, y considerar este caso como el modelo para nuestro
fenómeno.
¿Cómo son todas estas ideas aplicables a la célula bacteriana viviente? Examen de los posibles problemas
El papel de los conceptos cuánticos en la biología tiene una historia bastante larga, iniciada por Niels Bohr («la
principio de complementariedad». Brevemente, se podría reducir la esencia de esta discusión a la
imposibilidad principal de predecir con precisión el destino de una célula individual. Por ejemplo, cualquier intento
determinar, si es capaz de reproducirse en determinadas condiciones, conducirá a
cambio del estado de la célula, incluso hasta su muerte. Esto es una reminiscencia de la difracción de dos ranuras
experimento, donde un intento de determinar a través de cuál de las dos ranuras el electrón en realidad
los pases conducirán a la desaparición de la interferencia. Las dos trayectorias del electrón pueden ser
se hace físicamente discernible sólo por el costo de cambiar la situación experimental. Del mismo modo,
el notorio fenómeno de la "totalidad" del organismo vivo se puede expresar formalmente
según las reglas de Feynman de cálculo de probabilidades: diferentes indiscernibles (en el
condiciones experimentales) las variantes deben incluirse en el estado puro (es decir, sus amplitudes, y
no las probabilidades, deben resumirse, lo que conduce a interferencias y otros efectos cuánticos). Por lo tanto, como
mientras una célula entera exista y esté viva, estamos obligados a tratar sus diferentes estados indiscernibles
de esta manera. Tal consideración de las limitaciones operativas nos permite explicar la
fenómeno de mutación (y, con suerte, otras adaptaciones también) como consecuencia de inevitable
dispersión cuántica en la medición de la capacidad de propagación de la célula bajo determinadas condiciones.
A pesar de su aparente carácter formal, esta hipótesis nos permite hacer algunos
predicciones de interés aplicado (en particular, médico). Predice que en los procesos que implican
mutaciones somáticas (p. ej. oncogénesis, o generación de anticuerpos específicos) las mutaciones pueden ser
inducido por condiciones que permiten que la célula que resultó estar en el estado de mutación virtual a
prolifera irreversiblemente. Creo que esta posibilidad se puede probar experimentalmente.
Bibliografía
1. Cairns, J., Overbaugh, J., Miller, S. Nature 335, 142-145 (1988)
2. Shapiro, J.A. Molec. General Genet. 194, 79-90 (1984)
3. Hall, B.J. Genética 120, 887-897 (1988)
4. Devis, B.D. Proc.Natl.Acad.Sci.USA 86, 5005-5009 (1989)
5. Lewin, B., Genes, p.236 (J.Wiley & Sons, 1985)
6. Burstein, C., Cohn, M., Kepes, A., Monod, J. Bioch.Bioph.Acta 95, 634 (1965)
7. Savic, D.J.& Kanazir, D.T. Molec. General Genet. 137, 143 a 150 (1975)
8. Topal, M., Fresco, J. Nature 263, 285-289 (1976)
9. Anderson, P.W., Stein, D.L. en Sistemas de Auto-Organización, ed. por F.E.Yates, págs. 451 a 452
(Plenum Press, 1987)
Observaciones:
Este texto fue escrito en 1990. El autor lo tradujo al inglés con la amable ayuda del Dr.
Eugene Koonin (afiliación actual: National Center for Biotechnology Information, National
Biblioteca de Medicina, Institutos Nacionales de Salud, Bethesda MD, EE.UU.)
La versión inglesa del texto fue enviada a Nature en 1990 y rechazada. Al mismo tiempo era
también enviado a los siguientes corresponsales :
1. JOHN CAIRNS
Departamento de Biología del Cáncer, Harvard School of Public Health, Boston, Massachusetts 02115.
2. BARRY HALL
Departamento de Biología Molecular y Celular, Universidad de Connecticut, Storrs 06269.
3. BERNARD DAVIS
Unidad de Fisiología Bacterial, Facultad de Medicina de Harvard, Boston, MA 02115.
4. KOICHIRO MATSUNO
Departamento de Bioingeniería, Universidad Tecnológica de Nagaoka, Japón.
5. KONSTANTIN CHUMAKOV
Centro de Evaluación e Investigación Biológica, Administración de Alimentos y Medicamentos, Rockville,
Maryland 20852, EE.UU.
6. MIKHAIL V. IVANOV
Instituto de Microbiología, Academia Rusa de Ciencias, pr. 60-letiya Oktyabrya 7, k. 2,
Moscú, 117811 Rusia.
, así como a todos los participantes en el debate «Origen de los mutantes en disputa» (Naturaleza 336, 525 -
526 (08 de diciembre de 1988))
1. D. CHARLESWORTH, B. CHARLESWORTH & J. J. BULL
Departamento de Ecología y Evolución, Universidad de Chicago, 915 East 57th Street, Chicago,
Illinois 60637, EE.UU.
Departamento de Zoología, Universidad de Texas, Austin, Texas 78712, EE.UU.
2. ALAN GRAFEN
Grupo de Investigación sobre Comportamiento Animal, Departamento de Zoología, Universidad de Oxford, Oxford OX1 3PS,
3. R. HOLLIDAY & R. F. ROSENBERGER
Laboratorio de Biología Molecular CSIRO, North Ryde, Sydney, Australia
División de Genética, Instituto Nacional de Investigación Médica, Mill Hill, Londres NW7 1AA, Reino Unido
4. LEIGH M. VAN VALEN
Departamento de Ecología y Evolución, Universidad de Chicago, 915 East 57Street, Chicago,
Illinois 60637, EE.UU.
5. DANQUINA DE ANTOINA
Institut Pasteur, 28 Rue Dr. Roux, 75724 Paris, Cedex 15, Francia
6. IRWIN TESSMAN
Departamentos de Ciencias Biológicas, Universidad Purdue, West Lafayette,
Indiana 47907, USA
|
704.0035 | Convergence of the discrete dipole approximation. II. An extrapolation
technique to increase the accuracy | Microsoft Word - DDAextrapolation_preprint.doc
Convergencia de la aproximación discreta del dipolo.
II. Una técnica de extrapolación para aumentar la precisión.
Maxim A. Yurkin
Facultad de Ciencias, Sección de Ciencias Computacionales, de la Universidad de Amsterdam,
Kruislaan 403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos
Instituto de cinética química y combustión, sección siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias, Institutskaya 3, Novosibirsk 630090 Rusia
myurkin@science.uva.nl
Valeri P. Maltsev
Instituto de cinética química y combustión, sección siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias, Institutskaya 3, Novosibirsk 630090 Rusia
Novosibirsk State University, Pirogova Str. 2, 630090, Novosibirsk, Rusia
Alfons G. Hoekstra
Facultad de Ciencias, Sección de Ciencias Computacionales, de la Universidad de Amsterdam,
Kruislaan 403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos
alfons@sciene.uva.nl
Resumen
Proponemos una técnica de extrapolación que permite mejorar la precisión de la
cálculos discretos de aproximación del dipolo. El rendimiento de esta técnica fue
estudiado empíricamente basado en simulaciones extensas para 5 casos de prueba utilizando muchos diferentes
discretizaciones. La calidad de la extrapolación mejora con la discretización del refino
alcanzar un rendimiento extraordinario especialmente para partículas de forma cúbica. Un dos.
orden de magnitud se demostró disminución del error. También proponemos estimaciones de
el error de extrapolación, que se demostró que era fiable. Por último, proponemos un simple
método para separar directamente los errores de forma y discretización e ilustrado esto para uno
caso de prueba.
Palabras clave: aproximación discreta del dipolo, dispersión de luz de partículas no esféricas, precisión,
extrapolación
Código OCIS: 290.5850, 260.2110, 000.4430
mailto:myurkin@science.uva.nl
mailto:alfons@sciene.uva.nl
1. Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método bien conocido para resolver la luz
problema de dispersión de partículas en forma arbitraria. Desde su introducción por Purcell y
Pennypacker1 se ha mejorado constantemente. La formulación de DDA resumida por
Draine y Flatau2 hace más de 10 años todavía se utiliza más ampliamente para diferentes aplicaciones,3
en parte debido al código de alta calidad y fácil de usar DDSCAT.4
DDA discretiza directamente el volumen del esparcidor y por lo tanto es aplicable a arbitrario
partículas en forma. Sin embargo, el inconveniente de esta discretización es el extremo computacional
complejidad de DDA de O(N 2), donde N es el número de dipolos. Esta complejidad es
Disminuyó a O(NlogN) por técnicas numéricas avanzadas.2,5 Todavía la aplicación habitual
estrategia para el DDA es “computación única”, donde una discretización se elige en función de la disponibilidad
recursos computacionales y algunas estimaciones empíricas de los errores esperados.3,4 Estos errores
las estimaciones se basan en un número limitado de cálculos de referencia3 y, por lo tanto, son externos a
el problema de dispersión de la luz bajo investigación. Tales estimaciones de errores tienen evidentes inconvenientes,
Sin embargo, no hay mejor alternativa disponible.
Por lo general, los errores en DDA se estudian en función del parámetro tamaño del esparcidor x
(a una constante o a unos pocos valores diferentes de N), por ejemplo: 2,6. Sólo varios documentos presentan errores directamente
versus parámetro de discretización (p. ej. d – el tamaño de un solo dipolo).7-15 El rango de d
normalmente estudiados en esos artículos se limita a una diferencia de 5 veces entre mínimo y
valores máximos (con la excepción de dos papeles9,10 donde es 15 veces). Sólo dos
papers7,15 usar extrapolación (a cero d) para obtener un resultado exacto de alguna cantidad medida,
Sin embargo, utilizan la extrapolación lineal más simple sin ningún fundamento teórico ni
discusión de sus capacidades.
Durante mucho tiempo se reconoce que los errores de DDA se deben a dos factores diferentes:
forma (no siempre es posible describir la forma de la partícula exactamente por una colección de
Células cúbicas) y discretización (tamaño finito de cada celda).6 Sin embargo, la cuestión de cuál de
son más importantes en diferentes casos todavía están abiertos. Un debate sobre esta cuestión se extendió
a través de varios documentos16-20 que aún no han llegado a ninguna conclusión definitiva. La incertidumbre
se debe a los métodos indirectos utilizados que tienen problemas de interpretación inherentes.
En el documento de acompañamiento21, que a partir de ahora nos referiremos como Documento 1, realizamos un
análisis teórico de la convergencia DDA al refinar la discretización. En él se establece la
base para este trabajo, donde se introduce una técnica de extrapolación (Sección 2) para mejorar la
precisión de los cálculos de DDA. Discutimos a fondo todos los parámetros libres que influyen
rendimiento de extrapolación y proporcionar una prescripción paso a paso, que se puede utilizar con
cualquier código DDA existente sin ninguna modificación. Es importante señalar que, aunque
El documento 1 proporciona una base teórica firme, no es necesario pasar por todo
detalles teóricos para entender y aplicar la técnica de extrapolación que introducimos aquí.
En la Sección 3 presentamos extensos resultados numéricos de los cálculos de DDA para 5 diferentes
Dispersores que utilizan muchas discretaciones diferentes. Estos resultados se examinan en la sección 4
evaluar el desempeño de la técnica de extrapolación. También proponemos un nuevo método para
errores de forma y discretización directamente separados de DDA (descritos e ilustrados en
Sección 3.B). Los resultados y las posibles aplicaciones se examinan en la sección 4. Formulamos
las conclusiones del documento que figuran en la sección 5.
2. Extrapolación
En esta sección describimos una técnica directa para aumentar significativamente la precisión
de una simulación DDA con un aumento relativamente pequeño del tiempo de cálculo. Esta técnica
no requiere ninguna modificación de un programa de DDA, pero sólo postprocesamiento de
datos. Por lo tanto, se puede implementar fácilmente en cualquier código DDA existente.
En el Documento 1 hemos demostrado que el error de cualquier cantidad medida está limitado por un
Función cuadrática del parámetro de discretización mkdy = (k – vector de onda espacial libre, m –
índice de refracción del esparcidor):
( ) ( )yybayybay lnlnlü 11222 , (1)
donde se mide una cierta cantidad (p. ej. eficiencia de extinción Qext, elementos de matriz Mueller
en algún ángulo de dispersión Sij(), etc.) y y su error (diferencia entre el resultado de la
simulación numérica y un valor exacto). , son constantes (independientes de y), que
se describen en detalle en el documento 1.
Aquí procedemos y asumir que para lo suficientemente pequeño y, y puede ser de hecho
aproximado por una función cuadrática de y (tomando el término logarítmico como una constante). Los
la aplicabilidad de esta hipótesis se probará empíricamente en la sección 3.B. Introducción
los términos de orden superior es posible pero no necesario (contrario al término cuadrático), y evitamos
con el fin de mantener nuestra técnica tan simple y robusta como sea posible. Ahora podemos escribir:
yyyayaa 2210, (2)
donde a0, a1, a2 son constantes que son elegidas de tal manera que • y – el error de la aproximación – es
minimizado. a0 es entonces una estimación para el valor exacto de la cantidad medida. A
procedimiento para determinar a0 es básicamente el ajuste de una función cuadrática sobre varios puntos
, que se obtienen mediante una simulación DDA estándar. En el caso ideal de uno
puede utilizar cualquier tres valores de y para obtener el valor exacto de
},{aaaaa 0=aaaaaaa
0. Sin embargo, en la práctica son diferentes
los ajustes siempre darán resultados diferentes. Nos limitamos al polinomio menos cuadrado habitual
ajuste de los datos. Hay tres preguntas que se deben responder antes de llevar a cabo tal ajuste:
1) ¿Cuántos y qué valores de y utilizar?
2) cómo ponderar la influencia de los diferentes valores calculados utilizados en el ajuste, es decir: lo que es
el comportamiento de los errores esperados y? (Tenga en cuenta que en el ajuste polinomio minimizamos χ2, el
sumación de la diferencia cuadrada entre los valores calculados y la función de ajuste
ponderado por la inversa del error esperado (y.)
3) ¿Cómo estimar la diferencia entre a0 y 0, es decir. el error del resultado final?
Es importante señalar que, aunque hay algunas pistas teóricas, las respuestas a estos
Las preguntas son principalmente empíricas y deben ser probadas. Nuestro enfoque se basa en los casos de prueba
presentado en la sección 3.B. Estos pueden no ser representativos para todos los problemas de dispersión, pero ellos
muestra el poder potencial de nuestro enfoque. No tratamos de elegir el más adecuado
opciones de ajuste, pero simplemente demostrar la aplicabilidad de la técnica.
Comenzamos analizando la segunda pregunta, es decir. ¿cuál es la desviación esperada de la
Modelo cuadrático, es decir, ¿Cuál es la dependencia funcional de y en y, para ser utilizado como ponderación
función en el procedimiento de montaje polinomio? Para las partículas de forma cúbica, definidas en:
Papel 1 como partículas cuya forma puede ser discriminada exactamente usando subvolumenes cúbicos, uno
espera una variación suave de la función de y, y el error se puede atribuir como un error de modelo,
i.e. proveniente principalmente de descuidar los términos de orden superior en el análisis de convergencia del Documento 1.
En ese caso se espera que el error y sea una función cúbica de y. Hemos intentado cúbica,
Funciones de error cuadráticas y lineales al ajustar los resultados para partículas de forma cúbica y
encontró que, aunque las diferencias son pequeñas, los errores cúbicos generalmente conducen a los mejores ajustes
(datos no mostrados).
Se espera que los errores de forma, que están presentes para las partículas de forma no cúbica, sean
muy sensible a y, porque dependen de la posición de la superficie de partículas dentro de la
dipolo límite que cambia considerablemente por una pequeña variación de y (para más detalles véase el Documento 1).
Por lo tanto, los errores de forma pueden ser vistos como ruido aleatorio superpuesto sobre una variación suave
de los Estados Unidos de América y el Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte. El comportamiento asintótico de los errores de forma es lineal en y (ver Documento 1). De hecho, en ciertos
casos que encontramos que el uso de errores lineales y da lugar a ajustes significativamente mejores que cuando se utiliza
errores cúbicos. Sin embargo, en otros casos los errores lineales fueron significativamente peores. En nuestro
experiencia, el uso de una función de error cúbica es en general siempre más fiable, incluso en el
presencia de errores de forma, porque disminuye la influencia de los puntos con valores altos de y,
donde el error es más grande y menos predecible. Ya que queremos que el procedimiento sea tan sólido como
posible y no utilizar funciones de error más complejas de lo estrictamente necesario (por ejemplo: polinomio),
tomamos una dependencia cúbica del error y, tanto para la forma cúbica- y no cúbica
Dispersores.
La elección de los valores de y para el cálculo puede ser descrito por el intervalo [ymin,ymax],
el número de puntos y su espaciamiento. ymin es generalmente determinado por el ordenador disponible
hardware (tiempo o límites de memoria), que es la mejor discretización que se puede calcular para un
un recurso dado. El objetivo del procedimiento de extrapolación es aumentar la precisión más allá de
este “límite único del DDA”. Demostraremos en la Sección 3.B que el rendimiento general de este
la técnica depende fuertemente de ymin.
La elección de ymax se rige por dos nociones: un intervalo mayor de puntos de datos en general
conduce a una mejor extrapolación pero los errores para los valores altos de y son más aleatorios y su
significación es de todos modos mucho más pequeño (ya que utilizamos una función de error cúbica). Hemos encontrado
que para los esparcidores de forma cúbica una buena opción es minmax 2yy =, mientras que para no cúbica
Dispersores en forma aumentando el intervalo a minmax 4yy = mejora los ajustes. Probablemente eso
es debido al hecho de que la calidad de ajuste para los dispersores de forma no cúbica está determinada por
errores de forma casi aleatorios y el aumento de la gama conduce a una mayor significación estadística de
el resultado. También vamos a exigir que ymax es menos de 1, ya que de lo contrario DDA es definitivamente lejos
por su comportamiento asintótico.
El espaciamiento de los puntos de muestra depende en parte del problema, especialmente para los puntos cúbicos.
Dispersores en forma (en ese caso no se puede utilizar un número arbitrario de dipolos). Espaciamos
puntos computacionales aproximadamente uniformes en una escala logarítmica, reconociendo el hecho
que una diferencia relativa en y es más significativa que un absoluto. El número total de puntos
debe ser lo suficientemente grande como para tener significación estadística. Sin embargo, un gran número de puntos
aumenta el tiempo computacional. Hemos utilizado 5 puntos para las partículas de forma cúbica (ratio de
Los valores de y1 son 8:7:6:5:4) y 9 puntos para partículas con forma no cúbica (la relación de los valores de y1 es
16:14:12:10:8:7:6:5:4) o menos si minmax 4yy <.
La estimación del error del resultado final es difícil ya que este error se debe al modelo
imperfección y no a algún tipo de ruido aleatorio. El ajuste mínimo cuadrado estándar
technique22 proporciona un error estándar (SE) para el parámetro a0, que utilizamos como punto de partida
punto. Las simulaciones numéricas (Sección 3.B) muestran que para las esferas (la única forma no cúbica)
los errores reales son menores que 2×SE en la mayoría de los casos. Eso es lo que uno esperaría si.................................................................................................................................
se considera completamente al azar (que es similar al comportamiento esperado de la forma
errores). Para las formas cúbicas, por el contrario, tenemos que estimar el error como 10×SE para de manera fiable
describir los errores reales. Es importante tener en cuenta que una estimación de error basada en la SE es la
más simple que uno puede usar. Su inconveniente es que tenemos que utilizar un gran multiplicador (basado en el real
errores obtenidos en algunas de nuestras simulaciones), lo que puede llevar a una sobrestimación significativa de
errores reales en ciertos casos.
Ahora podemos formular la técnica de extrapolación paso a paso. Usamos abreviaturas
c) y (nc) para los esparcidores de forma cúbica y no cúbica, respectivamente.
1) Seleccione ymin basado en sus recursos computacionales.
2) Tome ymax para ser 2 (c) o 4 (nc) veces ymin pero no mayor de 1.
3) Elija 5 (c) o 9 (nc) puntos sobre el intervalo [ymin, ymax] aproximadamente uniformemente
Espaciado en una escala logarítmica.
4) Realizar cálculos DDA para cada y.
5) Ajustar la función cuadrática (Eq. (2)) sobre los puntos que utilizan y},{ yy 3 como errores de datos
puntos; a0 es entonces la estimación de 0.
Multiplique SE de a0 por 10 (c) o 2 (nc) para obtener una estimación del error de extrapolación.
Los resultados de la utilización de este procedimiento se presentan en la sección 3, junto con los costes computacionales.
El procedimiento de extrapolación es similar a un método de integración Romberg22, que es
adaptativo. La estimación de errores, obtenida por extrapolación, es un indicador de exactitud interna de
Cálculos DDA que es tan importante como el aumento en la precisión en sí mismo. Nuestro error
la estimación abre el camino a la DDA adaptativa, es decir, un código que alcanzará la precisión requerida, utilizando
recursos computacionales mínimos.
3. Simulaciones numéricas
A. Aproximación discreta del dipolo
Los fundamentos del método DDA fueron resumidos por Draine y Flatau.2 En este artículo utilizamos
la prescripción LDR para la polarización del dipolo23, que se utiliza más ampliamente en la actualidad, por ejemplo. en
el código de acceso público DDSCAT 6.1.4 También utilizamos la corrección del tamaño del dipolo6 para no-
dispersores en forma de cúbica para asegurar que la aproximación cúbica del scatter tiene el
volumen correcto; esto se cree que disminuye los errores de forma, especialmente para pequeños dispersadores.2
utilizar un esquema de discretización estándar sin ninguna mejora para dipolos límite.
El principal desafío numérico de DDA es resolver un gran sistema de ecuaciones lineales 3N.
Esto se hace iterativamente usando algún método Krylov-subespacio22, mientras que el vector de matriz
Los productos se calculan utilizando un algoritmo basado en FFT.5 Nuestro código – Amsterdam DDA
(ADDA) – es capaz de funcionar en un clúster de computadoras (paralelización de un único DDA
computation), que nos permite utilizar prácticamente un número ilimitado de dipolos, ya que somos
no limitado por la memoria de un solo ordenador24,25 Utilizamos un error relativo de residual
como criterio de parada. Los ensayos sugieren que el error relativo de las cantidades medidas
debido al solucionador iterativo es entonces (datos no mostrados) y por lo tanto puede ser descuidado (total
errores relativos en nuestras simulaciones son – ver sección
810
710
56 1010 3.B). Todas las simulaciones DDA
se llevaron a cabo en el clúster de computación nacional neerlandés LISA26.
El tiempo de ejecución de una iteración depende únicamente de N, consiste en una parte aritmética
que escala linealmente con N y una parte FFT que escala como NINN. El número de iteraciones
sólo ligeramente depende del parámetro de discretización y para la geometría fija del scatter.
Rahola demostró esto teóricamente para cualquier método de Krylov-subespacio,27 y nuestra propia experiencia
está de acuerdo con esta conclusión. Por lo tanto, el tiempo total computacional escala linealmente con N
( ) o ligeramente más rápido (considerando el logaritmo y la optimización imperfecta), que es
consistente con nuestros resultados de tiempo (datos no mostrados).
3 y
Ahora podemos estimar los gastos generales computacionales de la técnica de extrapolación
en comparación con un único cálculo de DDA para ymin (tiempo – t(ymin)). Considerando el espaciamiento de
puntos que utilizamos (descritos en la sección 2) el tiempo de ejecución necesario para el cálculo de 5 puntos es
y para el cálculo de 9 puntos – )5.2 min5 ytt < )7.2 min9 ytt <. Los requisitos de memoria son:
lo mismo que para un solo cálculo. Para la comparación se debe tener en cuenta que un aumento de 8 veces
en tiempo computacional y requisitos de memoria (para
Fig. 1. Discretización cúbica de una esfera utilizando 16 dipolos por diámetro (total de 2176 dipolos).
2minyy = ) da sólo un aumento de 2 a 4 veces en la precisión (dependiendo de qué régimen de error -
lineal o cuadrático – ymin está localizado).
B.Resultados
Se estudian cinco casos de prueba: un cubo con 8 = kD, tres esferas con, y un
partícula obtenida por una discretización cúbica de la
30,10,3=kD
10 = esfera kD usando 16 dipolos por D
(un total de 2176 dipolos, véase Fig. 1, x igual a la de una esfera). Por D denotamos el diámetro de un
esfera o el tamaño del borde de un cubo. Todos los esparcidores son homogéneos con. Aunque
Los errores de DDA dependen significativamente de m (véase, por ejemplo,
5.1=m
12), nos limitamos a un solo valor y
estudiar los efectos del tamaño y la forma del esparcidor.
El número máximo de dipolos por D (nD) fue de 256. Los valores de nD que usamos son
de la forma (p es un entero), a excepción de la esfera discretizada, donde todos los np2}7,6,5,4{ D son
múltiplos de 16 (esto es necesario para describir exactamente la forma de la partícula compuesta de un
número de cubos – ver Fig. 1). Los valores mínimos para nD fueron 8 para la esfera, 16
para el cubo, la esfera, y la esfera discretizada, y 40 para la esfera.
10=kD 30=kD
Tiempo de cálculo típico para la mejor discretización (para el cubo con,
resultando en ) actualmente es de 2,5 horas en un clúster de 64 procesadores P4-3,4 GHz. Nosotros
esperar que se puede mejorar por un orden de magnitud mediante el uso de rutinas modernas de FFT (por ejemplo.
la transformación más rápida de Fourier en el oeste – FFTW
047,0=y
7107,1 N = N
28) y una solución iterativa más rápida (bi-conjugar
gradiente estabilizado o residual cuasi-mínimo que se demostró que era claramente superior a
CGNR29,30 que todavía usamos). Actualmente estamos mejorando nuestro código en este sentido.
Todos los cálculos utilizan una dirección de incidencia paralela a uno de los ejes principales de la
Dipolos cúbicos. El plano de dispersión es paralelo a una de las caras de los dipolos cúbicos. In
este artículo mostramos resultados sólo para la eficiencia de extinción Qext (para la luz incidente polarizada
paralelo a uno de los ejes principales de los dipolos cúbicos) y la función de fase S11
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.
más comúnmente utilizado en aplicaciones. Sin embargo, la técnica de extrapolación es igualmente
aplicable a cualquier cantidad medida. Por ejemplo, también lo hemos aplicado para otros Mueller
elementos de matriz (datos no mostrados).
Los resultados de referencia (exactos) de S11(e) y Qext para las esferas se obtienen por la teoría de Mie (la
precisión relativa del código que utilizamos31 es al menos ). Desafortunadamente, no hay teoría analítica
está disponible para el cubo y la esfera discretizada, que podría proporcionarnos resultados exactos.
En su lugar, utilizamos la extrapolación sobre las 5 mejores discretaciones como resultados de referencia para estos
formas.
610
Para justificar esta elección discutimos, como ejemplo, los resultados de simulación de Qext para el cubo.
En lugar de mostrar valores de Qext mismo, mostramos en la Fig. 2a ( )10ext −aQ, con a0 obtenido
a través de la instalación de las 5 mejores discretaciones. La extrapolación a través de estos 5 mejores puntos
(, ) también se muestra. La desviación del ajuste de los cinco mejores puntos
(que se superponen con
047,0min =y 094,0max =y
Fig. 2 (a)) es realmente muy pequeño. Esto también se caracteriza por una pequeña estimación
del error de extrapolación (véase 6108.1 Tabla 1). En el Documento 1 probamos que el DDA converge
a la solución exacta, por lo tanto, el resultado de la mejor extrapolación debe estar cerca de la exacta
resultado. La diferencia relativa entre la mejor discretización y la mejor extrapolación es
sólo, por lo tanto, no hace una gran diferencia que uno utilizar como referencia
al evaluar, por ejemplo, el error de la extrapolación a través de los 5 peores
5100.9
cubo kD=8
ajuste (5 mejores puntos)
esfera discretizada kD=10
ajuste (5 mejores puntos)
b) esfera kD=3
ajuste (9 mejores puntos)
esfera kD=10
ajuste (9 mejores puntos)
esfera kD=30
ajuste (9 mejores puntos)
y=kd·m
Fig. 2. Errores relativos firmados de Qext versus y sus ajustes por funciones cuadráticas para (a) kD = 8 cubo
y discretizado kD = 10 esfera, (b) 3 esferas. 5 y 9 mejores puntos se utilizan para los ajustes en (a) y (b)
respectivamente.
Cuadro 1 Errores de extrapolación de Qext. Estimación de los errores de extrapolación es 10×SE para los dos primeros
partículas y 2×SE para esferas.
Extrapolación ymin ymax Puntos Error para ymin Estimación Real
kD = 8 cubo
0,047 0,094 5 9,0×10-5 1,8×10-6 –––
0,094 0,19 5 1,6×10-4 6,6×10-6 4,6×10-6
0,19 0,38 5 2,2×10-4 5,3×10-5 4,0×10-5
0,38 0,75 5 1,1×10-4 3,7×10-4 3,2×10-4
Esfera de kD discreta = 10
0,058 0,12 5 1,0×10-4 2,4×10-5 – – –
0,12 0,23 5 2,0×10-4 9,0×10-6 7,9×10-6
0,23 0,93 4 4,3×10-4 1,2×10-3 5,9×10-4
kD = 3 esferas
0,018 0,070 9 2.2×10-4 1.0×10-5 4.1×10-6
0,035 0,14 9 4,0×10-4 5,9×10-5 4,8×10-5
0,070 0,28 9 6,8×10-4 8.7×10-5 5,7×10-6
0,14 0,54 9 9,0×10-4 3.7×10-4 7,0×10-4
0,28 0,54 5 2,4×10-4 4,3×10-3 1,8×10-3
kD = 10 esfera
0,059 0,23 9 2,7×10-4 2,0×10-4 2,7×10-5
0,12 0,47 9 5,5×10-4 5,5×10-4 3,7×10-4
0,23 0,93 9 1,5×10-3 3,1×10-3 2,1×10-3
kD = 30 esfera
0,18 0,70 9 3,8×10-4 1,3×10-3 1,4×10-3
0,18 0,35 5 3,8×10-4 3,3×10-3 6,9×10-4
Cuadro 2 Comparación de los errores de forma y discretización de Qext para kD = 10 esfera discretizada con
y = 0,93. Todos los errores son relativos al mejor resultado de extrapolación para la esfera discretizada.
Forma Discretización Total
Error 3.1×10-3 8.3×10-3 5.2×10-3
discretizaciones ( 38,0min =y, 75,0max =y ). Por lo tanto, todas las conclusiones con respecto a la
la fiabilidad de las estimaciones de errores (como se indica en la sección 4) no depende de la elección de
referencia si ymin es lo suficientemente grande. También aplicamos este razonamiento a los ymin más pequeños y suponemos que
utilizar el valor de referencia obtenido por extrapolación de las mejores discretaciones es un buen
estimación suficiente del valor exacto.
La misma justificación es válida para la esfera discriminada (ver Tabla 1 para los resultados de Qext).
Comparación de los errores de las diferentes extrapolaciones de resultados de S11() (mostrado en la Fig. 3 y Fig. 4)
es aún más convincente. Los propios resultados de referencia (tanto de Qext como de S11()) se pueden encontrar
en el Documento 1.
A continuación mostramos los resultados obtenidos por la técnica de extrapolación. La dependencia de
los errores relativos firmados de Qext on y para los 5 casos de prueba se muestran en la Fig. 2. Fig. 2 a) Muestras
resultados para el cubo y la esfera discretizada. Los 5 mejores puntos para cada esparcidor están montados
mediante una función cuadrática, utilizando el método descrito en la sección 2. Fig. 2 b) Muestras
resultados de extrapolación para las esferas, utilizando los 9 mejores puntos para cada una de ellas (cf. Sección 2. Desde
la solución exacta Mie está disponible, la intersección de un ajuste con un eje vertical es una medida de la
precisión del resultado de la extrapolación. En la tabla 1 se resumen los parámetros (ymin, ymax, número de
puntos) de todas las extrapolaciones, que se llevaron a cabo, y su rendimiento para Qext.
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,75
y = 0,38
extrapolación
Estimación
y = 0,19
y = 0,094
extrapolación
Estimación
y = 0,094
y = 0,047
extrapolación
(estimación)
Fig. 3. Errores de S11 en la escala logarítmica para extrapolación utilizando 5 valores de y en los intervalos (a)
[0.047,0.094], b) [0.094,0.19], y c) [0.38,0.75] para kD = 8 cubos. Estimación del error de extrapolación
es 10×SE.
A continuación se presentan algunos de los resultados de extrapolaciones para S11(). Los resultados para el cubo son
se muestra en la Fig. 3. Cada subfigura muestra real (en comparación con la mejor extrapolación – referencia)
y los errores estimados junto con los errores de las discretaciones más finas y crudas utilizadas.
Sólo la estimación del error se muestra para la mejor extrapolación – Fig. 3 a). Fig. 3 b) y c)
mostrar resultados de extrapolación utilizando 5 puntos en los intervalos [0,094,0,19] y [0,38,0,75]
respectivamente. El rendimiento de la extrapolación para la esfera discretizada se muestra en la Fig.
4: (a) – mejor extrapolación, (b) y (c) – resultados de extrapolación utilizando 5 y 4 puntos en el
intervalos [0,12,0,23] y [0,23,0,93] respectivamente. El amplio espaciamiento de los puntos para
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,93
y = 0,23
extrapolación
Estimación
y = 0,23
y = 0,12
extrapolación
Estimación
y = 0,12
y = 0,058
extrapolación
(estimación)
Fig. 4. Errores de S11 en la escala logarítmica para extrapolación utilizando 5 valores de y en los intervalos (a)
[0,058,0.12], b) [0,12,0.23] (c): 4 valores de y en el intervalo [0,23,0.93]) para el discontinuo kD = 10
esfera. La estimación del error de extrapolación es de 10×SE.
extrapolación representada en la Fig. 4 c) es, como se ha señalado anteriormente, debido a la forma compleja de la
esfera discretizada que limita los posibles valores de y a ser 0,93 dividido por un entero (tiempo total
para calcular estos 4 puntos es ). Es importante tener en cuenta una vez más que utilizamos
10×SE como estimación del error de extrapolación para el cubo y la esfera discretizada y 2×SE para
esferas (cf. Sección
)6.1 minyt<
Los resultados de extrapolación para la esfera 3=kD se resumen en la Fig. 5: a) muestra lo mejor
extrapolación (utilizando 9 puntos en el intervalo [0,018,0,070]), y (b) muestra lo peor, pero todavía
resultados satisfactorios, es decir, uno que muestra una mejora definida de la precisión sobre la mayoría de los
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,55
y = 0,14
extrapolación
Estimación
y = 0,070
y = 0,018
extrapolación
Estimación
Fig. 5. Errores de S11 en la escala logarítmica para extrapolación utilizando 9 valores de y en los intervalos (a)
[0,018,0,070], b) [0,14,0,55] para kD = 3 esfera. La estimación del error de extrapolación es de 2×SE.
Rango. La extrapolación utilizando 5 puntos del intervalo [0,28,0.54] ya no es satisfactoria
(datos no mostrados). Errores de las dos mejores extrapolaciones para la esfera 10=kD (utilizando 9 puntos
a partir de los intervalos [0,059,0,23] y [0,12,047]) se muestran en la Fig. 6 a) y b), respectivamente. A
la tercera extrapolación de la esfera no es satisfactoria (datos no mostrados). Ambas cosas.
extrapolaciones para la esfera muestran resultados controvertidos similares, sólo uno de ellos (9
puntos a partir del intervalo [0,18,0.70]) que es en general ligeramente mejor se muestra en
10=kD
30=kD
Fig. 7. Los
la estimación del error de extrapolación es, en general, ligeramente superior a los errores reales de la
extrapolación (datos no mostrados).
Los resultados de todas las extrapolaciones (véase el cuadro 1) muestran la siguiente tendencia:
calidad de la extrapolación (definida como disminución del error en comparación con un único DDA
computation for ymin) se degrada rápidamente con ymin en aumento. La relación entre el valor estimado y el valor real
los errores aumentan con el aumento de ymin (que se puede considerar como una degradación de la estimación
calidad).
Computación de resultados exactos tanto para la esfera 10=kD como para su discretización cúbica
( ) nos permite por primera vez separar directamente y comparar la forma y
error de discretización de los cálculos DDA únicos. El error de forma es la diferencia entre
cierta cantidad medida para una esfera discretizada (calculado a una alta precisión) y para
la esfera exacta. El error de discretización es la diferencia entre el cálculo usando un limitado
número de dipolos (2176) y solución exacta (muy precisa) para la discretización cúbica de
la esfera (primera curva en
93,0=y
Fig. 4 c)). El error total es sólo la suma de los dos. Estos tres
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,47
y = 0,12
extrapolación
Estimación
y = 0,23
y = 0,059
extrapolación
Estimación
Fig. 6. Errores de S11 en la escala logarítmica para extrapolación utilizando 9 valores de y en los intervalos (a)
[0.059,0.23], b) [0.12.0.47] para kD = 10 esfera. La estimación del error de extrapolación es de 2×SE.
En la Fig. 8, todos relativos al valor exacto para discretizado
esfera. Los errores de Qext se muestran en la Tabla 2.
4. Discusión
En su revisión Draine y Flatau2 dieron la condición 1<y para la aplicabilidad de DDA. Por lo general
(10 dipolos por longitud de onda en el medio) se utiliza en aplicaciones.6.0=y 3 más pequeños y son
solamente en estudios de errores de DDA2,12,13 o de dispersión de la luz por partículas mucho más pequeñas que un
longitud de onda (entonces d es determinado por una forma de un dispersor, y y, siendo proporcional a
tamaño del esparcidor, puede ser arbitrariamente pequeño).32 Sin embargo, si uno desea lograr mejor (de lo habitual)
precisión de una simulación DDA, menor y debe ser utilizado.
La mejor extrapolación para el cubo (Fig. 3(a)) muestra una gran mejora en comparación con
el mejor cálculo único de DDA (debe tenerse en cuenta, sin embargo, que este resultado se basa en el
estimación de errores empíricos). Los errores máximos se reducen más de 2 órdenes de magnitud. Esto
sería imposible de alcanzar mediante un único cálculo de DDA, ya que requerirá más de 6 órdenes de
aumento de magnitud en tiempo de ejecución y memoria, ya que sólo hay convergencia lineal para
Tan pequeña y. Incluso para la extrapolación se puede llamar satisfactoria porque el
error máximo se reduce casi dos veces al considerar la estimación del error (la
errores reales son aún menos). Es importante tener en cuenta que una estimación del error es importante por
38,0min =y
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,18
extrapolación
Fig. 7. Errores en la escala logarítmica de S11 en la extrapolación utilizando 9 valores de y en el intervalo
[0,18,070] para kD = 30 esfera.
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
discretización
forma
Total
Fig. 8. Comparación de la discretización y los errores de forma de S11 para kD = 10 esfera discretizada utilizando 16
dipolos por D (y = 0,93).
sí mismo (incluso cuando no es menor que el error de un solo cálculo de DDA) porque no lo hace
requieren una solución exacta (que por lo general no está disponible en aplicaciones reales). En general, el
la extrapolación disminuye los errores grandes mejor que los que ya son pequeños, es decir. puede
reducir significativamente los errores máximos, pero resultar menos satisfactorio para ciertos medidos
cantidad (por ejemplo, S11 para ciertos. Esta conclusión es válida para todas las extrapolaciones que
(Fig. 3 – Fig. 7 y los no mostrados).
Resultados de extrapolación para la esfera discreta (Fig. 4) son similares a las del cubo.
Extrapolaciones para y 0,12 son muy buenas (más de un orden de magnitud
disminución de los errores máximos), mientras que para
058,0min =y
23.0min =y está al borde de ser satisfactorio.
Este último se ve fuertemente influenciado por el hecho de que sólo se utilizan 4 puntos en un intervalo amplio
(por lo que no cumple plenamente el procedimiento especificado en la sección 2).
La mejor extrapolación para la esfera 3=kD (Fig. 5 a)) muestra resultados comparables a
Dispersores de forma cúbica, sin embargo, utiliza un extremadamente pequeño 018.0min =y. Ya para
(14.0min =y Fig. 5 b) sólo redujo los errores máximos en un factor de dos. A similar
se observa el valor límite de ymin para extrapolación satisfactoria de la esfera (10=kD fig.
6 b)), mientras que la mejor extrapolación (Fig. 6(a)) muestra buenos resultados (4 veces disminución de
error máximo), aunque significativamente peor que los resultados análogos para la forma cúbica
Dispersores. Por desgracia, actualmente no somos capaces de llegar a lo suficientemente pequeño y para el
esfera y la mejor extrapolación (30=kD Fig. 7) utiliza bastante grande, resultando en
casi insignificante mejora de la precisión.
18,0min =y
También hemos estudiado un cubo poroso que se obtuvo dividiendo un cubo en
27 cubos más pequeños y luego eliminar al azar 9 de ellos. Todas las conclusiones son las mismas que
los reportados para el cubo, pero con errores generales ligeramente mayores (datos no mostrados).
La extrapolación de Qext (tabla 1) muestra resultados similares a los descritos anteriormente, sin embargo, la
la mejora de la exactitud es generalmente menor que en el caso de los errores máximos en S11(
acuerdo con lo que hemos dicho anteriormente, ya que los errores en Qext ya son pequeños). Por otra parte, uno
debe tener en cuenta que los errores de un solo cálculo de DDA para algunos ymin son
inesperadamente pequeño (p. ej. las últimas extrapolaciones para el cubo y la esfera 3=kD), pero estos
son sólo “golpes de suerte” cerca de los puntos donde la función cruza el eje horizontal
(cf.
)• ex yQ
Fig. 2).
Resumiendo todos los resultados podemos concluir que los errores de forma degradan significativamente el
rendimiento de extrapolación, debido a su comportamiento brusco, y por lo tanto la extrapolación
la técnica es mucho más adecuada para las partículas de forma cúbica. Uno puede esperar que sea satisfactorio.
extrapolación para partículas no cúbicas sólo cuando 15,0min <y, mientras que para cúbicamente
La condición de las partículas en forma es de 4,0min <y. Es importante tener en cuenta, sin embargo, que la extrapolación
se puede utilizar para cualquier ymin. La estimación del error derivado del procedimiento de montaje (SE) puede
A continuación, se utilizará para decidir si esta extrapolación fue satisfactoria o no. La calidad de la
extrapolación aumenta significativamente con la disminución de ymin, por lo tanto la extrapolación es de mayor
valor para obtener resultados de referencia (muy precisos). El tamaño de la partícula para la que la
técnica de extrapolación proporciona una mejora significativa se determina principalmente por disponible
recursos computacionales que se requieren para alcanzar lo suficientemente pequeños ymin. Sin embargo, otros ensayos
se requiere para evaluar la calidad de la extrapolación para los dispersores grandes en comparación con el
longitud de onda.
Es importante señalar que la extrapolación lineal que se aplicó en dos documentos7,15 puede
conducen a resultados completamente erróneos (por ejemplo, si los puntos en la rama derecha de las parábolas para el
cubo y esfera en 3=kD Fig. 2 se utilizan). La extrapolación cuadrática, como se propone en
papel, es mucho más confiable.
A lo largo de todas las extrapolaciones hemos utilizado estimaciones de errores como se especifica en la sección 2:
10×SE y 2×SE para esparcidores de forma cúbica y no cúbica, respectivamente. Todos los
los resultados muestran que estas estimaciones son fiables, es decir, En la mayoría de los casos, los errores reales son menores que los
estimaciones. Sólo hay dos excepciones, ambas para la esfera 3=kD: la cuarta extrapolación
de Qext (Tabla 1) – error real 1,8 veces mayor que la estimación – y segundo de S11 – error real
1,5-2 veces más grande que la estimación para un amplio rango de valores (datos no mostrados). La existencia de tales
las excepciones son aceptables, ya que las estimaciones tienen un carácter estadístico de intervalo de confianza.
Sin embargo, estas estimaciones, aunque fiables, definitivamente no son óptimas, es decir. a menudo
sobreestimar significativamente los errores reales (por ejemplo: Fig. 5 a)). También parece ser sensible a la
espaciamiento de los valores y utilizados para extrapolación – cf. Fig. 4 c), donde el espaciamiento era inusualmente amplio
utilizado. Generalmente esta sobreestimación aumenta con el aumento de ymin. Podemos llegar a la conclusión de que la
La estimación de errores debe mejorarse, y esto es objeto de futuras investigaciones. Sin embargo, la actual
la estimación ya es adecuada para aplicaciones prácticas, ya que requieren principalmente la fiabilidad de
la estimación del error, que se demuestra empíricamente en este artículo.
Es importante señalar que nos limitamos a un solo valor de m. Mientras que límites de
ymin para obtener una extrapolación satisfactoria definitivamente dependiente de m, otras conclusiones, tales como
la fiabilidad de la estimación de error, se espera que se mantenga cierto para un amplio rango de m. Esto puede
ser fácilmente probados para valores específicos de m de interés utilizando la metodología propuesta en este
papel.
Finalmente se discuten los resultados presentados en la Fig. 8. Uno no puede concluir que los errores de forma
dominar sobre los errores de discretización (o al revés): para algunos errores de forma son
mucho más grande que la discretización, para otros – viceversa. Sin embargo, el máximo de errores que ocurren
en direcciones de retrodispersión son definitivamente debido a errores de forma (ratio de la forma máxima a
errores de discretización máximo es de aproximadamente 4). Los errores en Qext (Tabla 2) son, por el contrario, en su mayoría
debido a la discretización (aunque son casi dos órdenes de magnitud menor que
errores máximos de S11). Uno puede esperar que los errores de forma se vuelvan aún más importantes para
valores más pequeños de y, ya que el componente lineal de los errores de discretización es significativamente menor
que el de errores de forma (por lo tanto para grandes valores de y errores de forma escalar linealmente y
discretización – casi cuadráticamente). Nuestro único resultado muestra principalmente un ángulo diferente
dependencia de los errores de forma y discretización de S11: los errores de forma tienen una clara tendencia a
aumentar significativamente hacia el backscattering, mientras que la tendencia general de los errores de discretización
es uniforme a lo largo de todo el rango.
Hemos presentado un método simple para separar directamente los errores de forma y discretización
y sólo un resultado para la ilustración. Todas las comparaciones previas de forma y discretización
errores tenían importantes problemas de interpretación inherentes que causaron un montón de discusiones sobre
16-20 Nuestro método está libre de tales problemas y por lo tanto se puede utilizar para
estudio riguroso de los errores de forma en DDA. Por ejemplo, puede ayudar a evaluar directamente la
rendimiento de diferentes técnicas para reducir tales errores, por ejemplo. discretización ponderada (WD)9.
Los errores de discreción son entonces el límite que uno puede lograr reduciendo drásticamente los errores de forma.
Hemos utilizado una formulación DDA tradicional2 para demostrar que la técnica de extrapolación
se puede utilizar con los códigos DDA actuales (por ejemplo: DDSCAT4) sin modificaciones. Sin embargo,
como mostramos en el documento 1 varias mejoras modernas de DDA (a saber, la integración de
El tensor de Green (IT)33 y WD) debería cambiar significativamente el comportamiento de convergencia de DDA
los cálculos y, por lo tanto, influyen en el rendimiento de la técnica de extrapolación. La tecnología de la información debería
eliminar completamente el término lineal para los esparcidores de forma cúbica. Esto mejorará la
precisión especialmente para pequeñas y, y probablemente también mejorar la calidad de la extrapolación para
tales esparcidores. WD debe disminuir significativamente la forma y, por lo tanto, los errores totales para no-
partículas de forma cúbica, además debería disminuir significativamente la amplitud de
oscilaciones aleatorias de error porque tiene en cuenta la ubicación de la interfaz dentro de la
dipolos límite. Por lo tanto, WD debe mejorar la calidad de la extrapolación para
Dispersores de forma cúbica. Prueba del rendimiento de extrapolación de DDA utilizando IT y WD es
un tema de un estudio futuro.
5. Conclusión
Sobre la base del análisis teórico de convergencia presentado en el documento 1, propusimos
técnica de extrapolación junto con una prescripción paso a paso, que permite la precisión
mejora de los cálculos de DDA. Se estudió el desempeño de esta técnica
empíricamente y demostramos que suprime significativamente los errores máximos de S11
y 0,15 para los esparcidores de forma cúbica y no cúbica, respectivamente (para
). La calidad de la extrapolación mejora con la disminución y
4,0min <y
5,1 = m min alcanzar
rendimiento extraordinario especialmente para partículas de forma cúbica – más de dos órdenes de
Disminución de la magnitud del error cuando 05.0min para dispersores de longitud de onda con 5.1=m
(el tiempo total de cálculo para la extrapolación es inferior a 2,7 veces el de un único DDA)
computation).
Se demostró que las estimaciones propuestas del error de extrapolación eran fiables, aunque
pueden mejorarse para disminuir la sobreestimación de los errores en algunos casos. Este error
estimación es completamente interna, y por lo tanto se puede utilizar para crear DDA adaptativo – un código que
refinará automáticamente la discretización para alcanzar la precisión requerida.
También propusimos un método simple para separar directamente los errores de forma y discretización.
Errores máximos de S11( ) para la esfera de 10 = kD con 5.1 = m, discretizado usando 16 dipolos
por diámetro ( ) se deben principalmente a errores de forma, sin embargo, lo mismo no es cierto para todos
cantidades medidas. Este método puede ser utilizado para estudiar rigurosamente los fundamentos
propiedades de estos dos tipos de errores y para evaluar directamente el rendimiento de diferentes
técnicas destinadas a reducir los errores de forma.
93,0=y
Nuestra teoría predice que las mejoras DDA modernas (a saber, IT y WD) deben
cambiar significativamente el rendimiento de la técnica de extrapolación, sin embargo numérica
la prueba de estas predicciones se deja para la investigación futura.
Agradecimientos
Damos las gracias a Gorden Videen y Michiel Min por sus valiosos comentarios sobre la versión anterior
manuscrito y Denis Shamonin para ayuda con gráficos 3D. Nuestra investigación está respaldada por el
Programa de Ciencia para la Paz de la OTAN a través de la subvención SfP 977976.
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| Proponemos una técnica de extrapolación que permite mejorar la precisión de la
cálculos discretos de aproximación del dipolo. El rendimiento de esta técnica
se estudió empíricamente en base a simulaciones extensas para 5 casos de ensayo utilizando
muchas discreciones diferentes. La calidad de la extrapolación mejora con
refinación discretización alcanzando un rendimiento extraordinario, especialmente para
partículas de forma cúbica. Una disminución de magnitud de dos orden de error fue
demostrado. También proponemos estimaciones del error de extrapolación, que fueron
ha demostrado ser confiable. Finalmente proponemos un método simple para separar directamente
errores de forma y discretización e ilustraron esto para un caso de prueba.
| Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método bien conocido para resolver la luz
problema de dispersión de partículas en forma arbitraria. Desde su introducción por Purcell y
Pennypacker1 se ha mejorado constantemente. La formulación de DDA resumida por
Draine y Flatau2 hace más de 10 años todavía se utiliza más ampliamente para diferentes aplicaciones,3
en parte debido al código de alta calidad y fácil de usar DDSCAT.4
DDA discretiza directamente el volumen del esparcidor y por lo tanto es aplicable a arbitrario
partículas en forma. Sin embargo, el inconveniente de esta discretización es el extremo computacional
complejidad de DDA de O(N 2), donde N es el número de dipolos. Esta complejidad es
Disminuyó a O(NlogN) por técnicas numéricas avanzadas.2,5 Todavía la aplicación habitual
estrategia para el DDA es “computación única”, donde una discretización se elige en función de la disponibilidad
recursos computacionales y algunas estimaciones empíricas de los errores esperados.3,4 Estos errores
las estimaciones se basan en un número limitado de cálculos de referencia3 y, por lo tanto, son externos a
el problema de dispersión de la luz bajo investigación. Tales estimaciones de errores tienen evidentes inconvenientes,
Sin embargo, no hay mejor alternativa disponible.
Por lo general, los errores en DDA se estudian en función del parámetro tamaño del esparcidor x
(a una constante o a unos pocos valores diferentes de N), por ejemplo: 2,6. Sólo varios documentos presentan errores directamente
versus parámetro de discretización (p. ej. d – el tamaño de un solo dipolo).7-15 El rango de d
normalmente estudiados en esos artículos se limita a una diferencia de 5 veces entre mínimo y
valores máximos (con la excepción de dos papeles9,10 donde es 15 veces). Sólo dos
papers7,15 usar extrapolación (a cero d) para obtener un resultado exacto de alguna cantidad medida,
Sin embargo, utilizan la extrapolación lineal más simple sin ningún fundamento teórico ni
discusión de sus capacidades.
Durante mucho tiempo se reconoce que los errores de DDA se deben a dos factores diferentes:
forma (no siempre es posible describir la forma de la partícula exactamente por una colección de
Células cúbicas) y discretización (tamaño finito de cada celda).6 Sin embargo, la cuestión de cuál de
son más importantes en diferentes casos todavía están abiertos. Un debate sobre esta cuestión se extendió
a través de varios documentos16-20 que aún no han llegado a ninguna conclusión definitiva. La incertidumbre
se debe a los métodos indirectos utilizados que tienen problemas de interpretación inherentes.
En el documento de acompañamiento21, que a partir de ahora nos referiremos como Documento 1, realizamos un
análisis teórico de la convergencia DDA al refinar la discretización. En él se establece la
base para este trabajo, donde se introduce una técnica de extrapolación (Sección 2) para mejorar la
precisión de los cálculos de DDA. Discutimos a fondo todos los parámetros libres que influyen
rendimiento de extrapolación y proporcionar una prescripción paso a paso, que se puede utilizar con
cualquier código DDA existente sin ninguna modificación. Es importante señalar que, aunque
El documento 1 proporciona una base teórica firme, no es necesario pasar por todo
detalles teóricos para entender y aplicar la técnica de extrapolación que introducimos aquí.
En la Sección 3 presentamos extensos resultados numéricos de los cálculos de DDA para 5 diferentes
Dispersores que utilizan muchas discretaciones diferentes. Estos resultados se examinan en la sección 4
evaluar el desempeño de la técnica de extrapolación. También proponemos un nuevo método para
errores de forma y discretización directamente separados de DDA (descritos e ilustrados en
Sección 3.B). Los resultados y las posibles aplicaciones se examinan en la sección 4. Formulamos
las conclusiones del documento que figuran en la sección 5.
2. Extrapolación
En esta sección describimos una técnica directa para aumentar significativamente la precisión
de una simulación DDA con un aumento relativamente pequeño del tiempo de cálculo. Esta técnica
no requiere ninguna modificación de un programa de DDA, pero sólo postprocesamiento de
datos. Por lo tanto, se puede implementar fácilmente en cualquier código DDA existente.
En el Documento 1 hemos demostrado que el error de cualquier cantidad medida está limitado por un
Función cuadrática del parámetro de discretización mkdy = (k – vector de onda espacial libre, m –
índice de refracción del esparcidor):
( ) ( )yybayybay lnlnlü 11222 , (1)
donde se mide una cierta cantidad (p. ej. eficiencia de extinción Qext, elementos de matriz Mueller
en algún ángulo de dispersión Sij(), etc.) y y su error (diferencia entre el resultado de la
simulación numérica y un valor exacto). , son constantes (independientes de y), que
se describen en detalle en el documento 1.
Aquí procedemos y asumir que para lo suficientemente pequeño y, y puede ser de hecho
aproximado por una función cuadrática de y (tomando el término logarítmico como una constante). Los
la aplicabilidad de esta hipótesis se probará empíricamente en la sección 3.B. Introducción
los términos de orden superior es posible pero no necesario (contrario al término cuadrático), y evitamos
con el fin de mantener nuestra técnica tan simple y robusta como sea posible. Ahora podemos escribir:
yyyayaa 2210, (2)
donde a0, a1, a2 son constantes que son elegidas de tal manera que • y – el error de la aproximación – es
minimizado. a0 es entonces una estimación para el valor exacto de la cantidad medida. A
procedimiento para determinar a0 es básicamente el ajuste de una función cuadrática sobre varios puntos
, que se obtienen mediante una simulación DDA estándar. En el caso ideal de uno
puede utilizar cualquier tres valores de y para obtener el valor exacto de
},{aaaaa 0=aaaaaaa
0. Sin embargo, en la práctica son diferentes
los ajustes siempre darán resultados diferentes. Nos limitamos al polinomio menos cuadrado habitual
ajuste de los datos. Hay tres preguntas que se deben responder antes de llevar a cabo tal ajuste:
1) ¿Cuántos y qué valores de y utilizar?
2) cómo ponderar la influencia de los diferentes valores calculados utilizados en el ajuste, es decir: lo que es
el comportamiento de los errores esperados y? (Tenga en cuenta que en el ajuste polinomio minimizamos χ2, el
sumación de la diferencia cuadrada entre los valores calculados y la función de ajuste
ponderado por la inversa del error esperado (y.)
3) ¿Cómo estimar la diferencia entre a0 y 0, es decir. el error del resultado final?
Es importante señalar que, aunque hay algunas pistas teóricas, las respuestas a estos
Las preguntas son principalmente empíricas y deben ser probadas. Nuestro enfoque se basa en los casos de prueba
presentado en la sección 3.B. Estos pueden no ser representativos para todos los problemas de dispersión, pero ellos
muestra el poder potencial de nuestro enfoque. No tratamos de elegir el más adecuado
opciones de ajuste, pero simplemente demostrar la aplicabilidad de la técnica.
Comenzamos analizando la segunda pregunta, es decir. ¿cuál es la desviación esperada de la
Modelo cuadrático, es decir, ¿Cuál es la dependencia funcional de y en y, para ser utilizado como ponderación
función en el procedimiento de montaje polinomio? Para las partículas de forma cúbica, definidas en:
Papel 1 como partículas cuya forma puede ser discriminada exactamente usando subvolumenes cúbicos, uno
espera una variación suave de la función de y, y el error se puede atribuir como un error de modelo,
i.e. proveniente principalmente de descuidar los términos de orden superior en el análisis de convergencia del Documento 1.
En ese caso se espera que el error y sea una función cúbica de y. Hemos intentado cúbica,
Funciones de error cuadráticas y lineales al ajustar los resultados para partículas de forma cúbica y
encontró que, aunque las diferencias son pequeñas, los errores cúbicos generalmente conducen a los mejores ajustes
(datos no mostrados).
Se espera que los errores de forma, que están presentes para las partículas de forma no cúbica, sean
muy sensible a y, porque dependen de la posición de la superficie de partículas dentro de la
dipolo límite que cambia considerablemente por una pequeña variación de y (para más detalles véase el Documento 1).
Por lo tanto, los errores de forma pueden ser vistos como ruido aleatorio superpuesto sobre una variación suave
de los Estados Unidos de América y el Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte. El comportamiento asintótico de los errores de forma es lineal en y (ver Documento 1). De hecho, en ciertos
casos que encontramos que el uso de errores lineales y da lugar a ajustes significativamente mejores que cuando se utiliza
errores cúbicos. Sin embargo, en otros casos los errores lineales fueron significativamente peores. En nuestro
experiencia, el uso de una función de error cúbica es en general siempre más fiable, incluso en el
presencia de errores de forma, porque disminuye la influencia de los puntos con valores altos de y,
donde el error es más grande y menos predecible. Ya que queremos que el procedimiento sea tan sólido como
posible y no utilizar funciones de error más complejas de lo estrictamente necesario (por ejemplo: polinomio),
tomamos una dependencia cúbica del error y, tanto para la forma cúbica- y no cúbica
Dispersores.
La elección de los valores de y para el cálculo puede ser descrito por el intervalo [ymin,ymax],
el número de puntos y su espaciamiento. ymin es generalmente determinado por el ordenador disponible
hardware (tiempo o límites de memoria), que es la mejor discretización que se puede calcular para un
un recurso dado. El objetivo del procedimiento de extrapolación es aumentar la precisión más allá de
este “límite único del DDA”. Demostraremos en la Sección 3.B que el rendimiento general de este
la técnica depende fuertemente de ymin.
La elección de ymax se rige por dos nociones: un intervalo mayor de puntos de datos en general
conduce a una mejor extrapolación pero los errores para los valores altos de y son más aleatorios y su
significación es de todos modos mucho más pequeño (ya que utilizamos una función de error cúbica). Hemos encontrado
que para los esparcidores de forma cúbica una buena opción es minmax 2yy =, mientras que para no cúbica
Dispersores en forma aumentando el intervalo a minmax 4yy = mejora los ajustes. Probablemente eso
es debido al hecho de que la calidad de ajuste para los dispersores de forma no cúbica está determinada por
errores de forma casi aleatorios y el aumento de la gama conduce a una mayor significación estadística de
el resultado. También vamos a exigir que ymax es menos de 1, ya que de lo contrario DDA es definitivamente lejos
por su comportamiento asintótico.
El espaciamiento de los puntos de muestra depende en parte del problema, especialmente para los puntos cúbicos.
Dispersores en forma (en ese caso no se puede utilizar un número arbitrario de dipolos). Espaciamos
puntos computacionales aproximadamente uniformes en una escala logarítmica, reconociendo el hecho
que una diferencia relativa en y es más significativa que un absoluto. El número total de puntos
debe ser lo suficientemente grande como para tener significación estadística. Sin embargo, un gran número de puntos
aumenta el tiempo computacional. Hemos utilizado 5 puntos para las partículas de forma cúbica (ratio de
Los valores de y1 son 8:7:6:5:4) y 9 puntos para partículas con forma no cúbica (la relación de los valores de y1 es
16:14:12:10:8:7:6:5:4) o menos si minmax 4yy <.
La estimación del error del resultado final es difícil ya que este error se debe al modelo
imperfección y no a algún tipo de ruido aleatorio. El ajuste mínimo cuadrado estándar
technique22 proporciona un error estándar (SE) para el parámetro a0, que utilizamos como punto de partida
punto. Las simulaciones numéricas (Sección 3.B) muestran que para las esferas (la única forma no cúbica)
los errores reales son menores que 2×SE en la mayoría de los casos. Eso es lo que uno esperaría si.................................................................................................................................
se considera completamente al azar (que es similar al comportamiento esperado de la forma
errores). Para las formas cúbicas, por el contrario, tenemos que estimar el error como 10×SE para de manera fiable
describir los errores reales. Es importante tener en cuenta que una estimación de error basada en la SE es la
más simple que uno puede usar. Su inconveniente es que tenemos que utilizar un gran multiplicador (basado en el real
errores obtenidos en algunas de nuestras simulaciones), lo que puede llevar a una sobrestimación significativa de
errores reales en ciertos casos.
Ahora podemos formular la técnica de extrapolación paso a paso. Usamos abreviaturas
c) y (nc) para los esparcidores de forma cúbica y no cúbica, respectivamente.
1) Seleccione ymin basado en sus recursos computacionales.
2) Tome ymax para ser 2 (c) o 4 (nc) veces ymin pero no mayor de 1.
3) Elija 5 (c) o 9 (nc) puntos sobre el intervalo [ymin, ymax] aproximadamente uniformemente
Espaciado en una escala logarítmica.
4) Realizar cálculos DDA para cada y.
5) Ajustar la función cuadrática (Eq. (2)) sobre los puntos que utilizan y},{ yy 3 como errores de datos
puntos; a0 es entonces la estimación de 0.
Multiplique SE de a0 por 10 (c) o 2 (nc) para obtener una estimación del error de extrapolación.
Los resultados de la utilización de este procedimiento se presentan en la sección 3, junto con los costes computacionales.
El procedimiento de extrapolación es similar a un método de integración Romberg22, que es
adaptativo. La estimación de errores, obtenida por extrapolación, es un indicador de exactitud interna de
Cálculos DDA que es tan importante como el aumento en la precisión en sí mismo. Nuestro error
la estimación abre el camino a la DDA adaptativa, es decir, un código que alcanzará la precisión requerida, utilizando
recursos computacionales mínimos.
3. Simulaciones numéricas
A. Aproximación discreta del dipolo
Los fundamentos del método DDA fueron resumidos por Draine y Flatau.2 En este artículo utilizamos
la prescripción LDR para la polarización del dipolo23, que se utiliza más ampliamente en la actualidad, por ejemplo. en
el código de acceso público DDSCAT 6.1.4 También utilizamos la corrección del tamaño del dipolo6 para no-
dispersores en forma de cúbica para asegurar que la aproximación cúbica del scatter tiene el
volumen correcto; esto se cree que disminuye los errores de forma, especialmente para pequeños dispersadores.2
utilizar un esquema de discretización estándar sin ninguna mejora para dipolos límite.
El principal desafío numérico de DDA es resolver un gran sistema de ecuaciones lineales 3N.
Esto se hace iterativamente usando algún método Krylov-subespacio22, mientras que el vector de matriz
Los productos se calculan utilizando un algoritmo basado en FFT.5 Nuestro código – Amsterdam DDA
(ADDA) – es capaz de funcionar en un clúster de computadoras (paralelización de un único DDA
computation), que nos permite utilizar prácticamente un número ilimitado de dipolos, ya que somos
no limitado por la memoria de un solo ordenador24,25 Utilizamos un error relativo de residual
como criterio de parada. Los ensayos sugieren que el error relativo de las cantidades medidas
debido al solucionador iterativo es entonces (datos no mostrados) y por lo tanto puede ser descuidado (total
errores relativos en nuestras simulaciones son – ver sección
810
710
56 1010 3.B). Todas las simulaciones DDA
se llevaron a cabo en el clúster de computación nacional neerlandés LISA26.
El tiempo de ejecución de una iteración depende únicamente de N, consiste en una parte aritmética
que escala linealmente con N y una parte FFT que escala como NINN. El número de iteraciones
sólo ligeramente depende del parámetro de discretización y para la geometría fija del scatter.
Rahola demostró esto teóricamente para cualquier método de Krylov-subespacio,27 y nuestra propia experiencia
está de acuerdo con esta conclusión. Por lo tanto, el tiempo total computacional escala linealmente con N
( ) o ligeramente más rápido (considerando el logaritmo y la optimización imperfecta), que es
consistente con nuestros resultados de tiempo (datos no mostrados).
3 y
Ahora podemos estimar los gastos generales computacionales de la técnica de extrapolación
en comparación con un único cálculo de DDA para ymin (tiempo – t(ymin)). Considerando el espaciamiento de
puntos que utilizamos (descritos en la sección 2) el tiempo de ejecución necesario para el cálculo de 5 puntos es
y para el cálculo de 9 puntos – )5.2 min5 ytt < )7.2 min9 ytt <. Los requisitos de memoria son:
lo mismo que para un solo cálculo. Para la comparación se debe tener en cuenta que un aumento de 8 veces
en tiempo computacional y requisitos de memoria (para
Fig. 1. Discretización cúbica de una esfera utilizando 16 dipolos por diámetro (total de 2176 dipolos).
2minyy = ) da sólo un aumento de 2 a 4 veces en la precisión (dependiendo de qué régimen de error -
lineal o cuadrático – ymin está localizado).
B.Resultados
Se estudian cinco casos de prueba: un cubo con 8 = kD, tres esferas con, y un
partícula obtenida por una discretización cúbica de la
30,10,3=kD
10 = esfera kD usando 16 dipolos por D
(un total de 2176 dipolos, véase Fig. 1, x igual a la de una esfera). Por D denotamos el diámetro de un
esfera o el tamaño del borde de un cubo. Todos los esparcidores son homogéneos con. Aunque
Los errores de DDA dependen significativamente de m (véase, por ejemplo,
5.1=m
12), nos limitamos a un solo valor y
estudiar los efectos del tamaño y la forma del esparcidor.
El número máximo de dipolos por D (nD) fue de 256. Los valores de nD que usamos son
de la forma (p es un entero), a excepción de la esfera discretizada, donde todos los np2}7,6,5,4{ D son
múltiplos de 16 (esto es necesario para describir exactamente la forma de la partícula compuesta de un
número de cubos – ver Fig. 1). Los valores mínimos para nD fueron 8 para la esfera, 16
para el cubo, la esfera, y la esfera discretizada, y 40 para la esfera.
10=kD 30=kD
Tiempo de cálculo típico para la mejor discretización (para el cubo con,
resultando en ) actualmente es de 2,5 horas en un clúster de 64 procesadores P4-3,4 GHz. Nosotros
esperar que se puede mejorar por un orden de magnitud mediante el uso de rutinas modernas de FFT (por ejemplo.
la transformación más rápida de Fourier en el oeste – FFTW
047,0=y
7107,1 N = N
28) y una solución iterativa más rápida (bi-conjugar
gradiente estabilizado o residual cuasi-mínimo que se demostró que era claramente superior a
CGNR29,30 que todavía usamos). Actualmente estamos mejorando nuestro código en este sentido.
Todos los cálculos utilizan una dirección de incidencia paralela a uno de los ejes principales de la
Dipolos cúbicos. El plano de dispersión es paralelo a una de las caras de los dipolos cúbicos. In
este artículo mostramos resultados sólo para la eficiencia de extinción Qext (para la luz incidente polarizada
paralelo a uno de los ejes principales de los dipolos cúbicos) y la función de fase S11
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.
más comúnmente utilizado en aplicaciones. Sin embargo, la técnica de extrapolación es igualmente
aplicable a cualquier cantidad medida. Por ejemplo, también lo hemos aplicado para otros Mueller
elementos de matriz (datos no mostrados).
Los resultados de referencia (exactos) de S11(e) y Qext para las esferas se obtienen por la teoría de Mie (la
precisión relativa del código que utilizamos31 es al menos ). Desafortunadamente, no hay teoría analítica
está disponible para el cubo y la esfera discretizada, que podría proporcionarnos resultados exactos.
En su lugar, utilizamos la extrapolación sobre las 5 mejores discretaciones como resultados de referencia para estos
formas.
610
Para justificar esta elección discutimos, como ejemplo, los resultados de simulación de Qext para el cubo.
En lugar de mostrar valores de Qext mismo, mostramos en la Fig. 2a ( )10ext −aQ, con a0 obtenido
a través de la instalación de las 5 mejores discretaciones. La extrapolación a través de estos 5 mejores puntos
(, ) también se muestra. La desviación del ajuste de los cinco mejores puntos
(que se superponen con
047,0min =y 094,0max =y
Fig. 2 (a)) es realmente muy pequeño. Esto también se caracteriza por una pequeña estimación
del error de extrapolación (véase 6108.1 Tabla 1). En el Documento 1 probamos que el DDA converge
a la solución exacta, por lo tanto, el resultado de la mejor extrapolación debe estar cerca de la exacta
resultado. La diferencia relativa entre la mejor discretización y la mejor extrapolación es
sólo, por lo tanto, no hace una gran diferencia que uno utilizar como referencia
al evaluar, por ejemplo, el error de la extrapolación a través de los 5 peores
5100.9
cubo kD=8
ajuste (5 mejores puntos)
esfera discretizada kD=10
ajuste (5 mejores puntos)
b) esfera kD=3
ajuste (9 mejores puntos)
esfera kD=10
ajuste (9 mejores puntos)
esfera kD=30
ajuste (9 mejores puntos)
y=kd·m
Fig. 2. Errores relativos firmados de Qext versus y sus ajustes por funciones cuadráticas para (a) kD = 8 cubo
y discretizado kD = 10 esfera, (b) 3 esferas. 5 y 9 mejores puntos se utilizan para los ajustes en (a) y (b)
respectivamente.
Cuadro 1 Errores de extrapolación de Qext. Estimación de los errores de extrapolación es 10×SE para los dos primeros
partículas y 2×SE para esferas.
Extrapolación ymin ymax Puntos Error para ymin Estimación Real
kD = 8 cubo
0,047 0,094 5 9,0×10-5 1,8×10-6 –––
0,094 0,19 5 1,6×10-4 6,6×10-6 4,6×10-6
0,19 0,38 5 2,2×10-4 5,3×10-5 4,0×10-5
0,38 0,75 5 1,1×10-4 3,7×10-4 3,2×10-4
Esfera de kD discreta = 10
0,058 0,12 5 1,0×10-4 2,4×10-5 – – –
0,12 0,23 5 2,0×10-4 9,0×10-6 7,9×10-6
0,23 0,93 4 4,3×10-4 1,2×10-3 5,9×10-4
kD = 3 esferas
0,018 0,070 9 2.2×10-4 1.0×10-5 4.1×10-6
0,035 0,14 9 4,0×10-4 5,9×10-5 4,8×10-5
0,070 0,28 9 6,8×10-4 8.7×10-5 5,7×10-6
0,14 0,54 9 9,0×10-4 3.7×10-4 7,0×10-4
0,28 0,54 5 2,4×10-4 4,3×10-3 1,8×10-3
kD = 10 esfera
0,059 0,23 9 2,7×10-4 2,0×10-4 2,7×10-5
0,12 0,47 9 5,5×10-4 5,5×10-4 3,7×10-4
0,23 0,93 9 1,5×10-3 3,1×10-3 2,1×10-3
kD = 30 esfera
0,18 0,70 9 3,8×10-4 1,3×10-3 1,4×10-3
0,18 0,35 5 3,8×10-4 3,3×10-3 6,9×10-4
Cuadro 2 Comparación de los errores de forma y discretización de Qext para kD = 10 esfera discretizada con
y = 0,93. Todos los errores son relativos al mejor resultado de extrapolación para la esfera discretizada.
Forma Discretización Total
Error 3.1×10-3 8.3×10-3 5.2×10-3
discretizaciones ( 38,0min =y, 75,0max =y ). Por lo tanto, todas las conclusiones con respecto a la
la fiabilidad de las estimaciones de errores (como se indica en la sección 4) no depende de la elección de
referencia si ymin es lo suficientemente grande. También aplicamos este razonamiento a los ymin más pequeños y suponemos que
utilizar el valor de referencia obtenido por extrapolación de las mejores discretaciones es un buen
estimación suficiente del valor exacto.
La misma justificación es válida para la esfera discriminada (ver Tabla 1 para los resultados de Qext).
Comparación de los errores de las diferentes extrapolaciones de resultados de S11() (mostrado en la Fig. 3 y Fig. 4)
es aún más convincente. Los propios resultados de referencia (tanto de Qext como de S11()) se pueden encontrar
en el Documento 1.
A continuación mostramos los resultados obtenidos por la técnica de extrapolación. La dependencia de
los errores relativos firmados de Qext on y para los 5 casos de prueba se muestran en la Fig. 2. Fig. 2 a) Muestras
resultados para el cubo y la esfera discretizada. Los 5 mejores puntos para cada esparcidor están montados
mediante una función cuadrática, utilizando el método descrito en la sección 2. Fig. 2 b) Muestras
resultados de extrapolación para las esferas, utilizando los 9 mejores puntos para cada una de ellas (cf. Sección 2. Desde
la solución exacta Mie está disponible, la intersección de un ajuste con un eje vertical es una medida de la
precisión del resultado de la extrapolación. En la tabla 1 se resumen los parámetros (ymin, ymax, número de
puntos) de todas las extrapolaciones, que se llevaron a cabo, y su rendimiento para Qext.
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,75
y = 0,38
extrapolación
Estimación
y = 0,19
y = 0,094
extrapolación
Estimación
y = 0,094
y = 0,047
extrapolación
(estimación)
Fig. 3. Errores de S11 en la escala logarítmica para extrapolación utilizando 5 valores de y en los intervalos (a)
[0.047,0.094], b) [0.094,0.19], y c) [0.38,0.75] para kD = 8 cubos. Estimación del error de extrapolación
es 10×SE.
A continuación se presentan algunos de los resultados de extrapolaciones para S11(). Los resultados para el cubo son
se muestra en la Fig. 3. Cada subfigura muestra real (en comparación con la mejor extrapolación – referencia)
y los errores estimados junto con los errores de las discretaciones más finas y crudas utilizadas.
Sólo la estimación del error se muestra para la mejor extrapolación – Fig. 3 a). Fig. 3 b) y c)
mostrar resultados de extrapolación utilizando 5 puntos en los intervalos [0,094,0,19] y [0,38,0,75]
respectivamente. El rendimiento de la extrapolación para la esfera discretizada se muestra en la Fig.
4: (a) – mejor extrapolación, (b) y (c) – resultados de extrapolación utilizando 5 y 4 puntos en el
intervalos [0,12,0,23] y [0,23,0,93] respectivamente. El amplio espaciamiento de los puntos para
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,93
y = 0,23
extrapolación
Estimación
y = 0,23
y = 0,12
extrapolación
Estimación
y = 0,12
y = 0,058
extrapolación
(estimación)
Fig. 4. Errores de S11 en la escala logarítmica para extrapolación utilizando 5 valores de y en los intervalos (a)
[0,058,0.12], b) [0,12,0.23] (c): 4 valores de y en el intervalo [0,23,0.93]) para el discontinuo kD = 10
esfera. La estimación del error de extrapolación es de 10×SE.
extrapolación representada en la Fig. 4 c) es, como se ha señalado anteriormente, debido a la forma compleja de la
esfera discretizada que limita los posibles valores de y a ser 0,93 dividido por un entero (tiempo total
para calcular estos 4 puntos es ). Es importante tener en cuenta una vez más que utilizamos
10×SE como estimación del error de extrapolación para el cubo y la esfera discretizada y 2×SE para
esferas (cf. Sección
)6.1 minyt<
Los resultados de extrapolación para la esfera 3=kD se resumen en la Fig. 5: a) muestra lo mejor
extrapolación (utilizando 9 puntos en el intervalo [0,018,0,070]), y (b) muestra lo peor, pero todavía
resultados satisfactorios, es decir, uno que muestra una mejora definida de la precisión sobre la mayoría de los
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,55
y = 0,14
extrapolación
Estimación
y = 0,070
y = 0,018
extrapolación
Estimación
Fig. 5. Errores de S11 en la escala logarítmica para extrapolación utilizando 9 valores de y en los intervalos (a)
[0,018,0,070], b) [0,14,0,55] para kD = 3 esfera. La estimación del error de extrapolación es de 2×SE.
Rango. La extrapolación utilizando 5 puntos del intervalo [0,28,0.54] ya no es satisfactoria
(datos no mostrados). Errores de las dos mejores extrapolaciones para la esfera 10=kD (utilizando 9 puntos
a partir de los intervalos [0,059,0,23] y [0,12,047]) se muestran en la Fig. 6 a) y b), respectivamente. A
la tercera extrapolación de la esfera no es satisfactoria (datos no mostrados). Ambas cosas.
extrapolaciones para la esfera muestran resultados controvertidos similares, sólo uno de ellos (9
puntos a partir del intervalo [0,18,0.70]) que es en general ligeramente mejor se muestra en
10=kD
30=kD
Fig. 7. Los
la estimación del error de extrapolación es, en general, ligeramente superior a los errores reales de la
extrapolación (datos no mostrados).
Los resultados de todas las extrapolaciones (véase el cuadro 1) muestran la siguiente tendencia:
calidad de la extrapolación (definida como disminución del error en comparación con un único DDA
computation for ymin) se degrada rápidamente con ymin en aumento. La relación entre el valor estimado y el valor real
los errores aumentan con el aumento de ymin (que se puede considerar como una degradación de la estimación
calidad).
Computación de resultados exactos tanto para la esfera 10=kD como para su discretización cúbica
( ) nos permite por primera vez separar directamente y comparar la forma y
error de discretización de los cálculos DDA únicos. El error de forma es la diferencia entre
cierta cantidad medida para una esfera discretizada (calculado a una alta precisión) y para
la esfera exacta. El error de discretización es la diferencia entre el cálculo usando un limitado
número de dipolos (2176) y solución exacta (muy precisa) para la discretización cúbica de
la esfera (primera curva en
93,0=y
Fig. 4 c)). El error total es sólo la suma de los dos. Estos tres
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,47
y = 0,12
extrapolación
Estimación
y = 0,23
y = 0,059
extrapolación
Estimación
Fig. 6. Errores de S11 en la escala logarítmica para extrapolación utilizando 9 valores de y en los intervalos (a)
[0.059,0.23], b) [0.12.0.47] para kD = 10 esfera. La estimación del error de extrapolación es de 2×SE.
En la Fig. 8, todos relativos al valor exacto para discretizado
esfera. Los errores de Qext se muestran en la Tabla 2.
4. Discusión
En su revisión Draine y Flatau2 dieron la condición 1<y para la aplicabilidad de DDA. Por lo general
(10 dipolos por longitud de onda en el medio) se utiliza en aplicaciones.6.0=y 3 más pequeños y son
solamente en estudios de errores de DDA2,12,13 o de dispersión de la luz por partículas mucho más pequeñas que un
longitud de onda (entonces d es determinado por una forma de un dispersor, y y, siendo proporcional a
tamaño del esparcidor, puede ser arbitrariamente pequeño).32 Sin embargo, si uno desea lograr mejor (de lo habitual)
precisión de una simulación DDA, menor y debe ser utilizado.
La mejor extrapolación para el cubo (Fig. 3(a)) muestra una gran mejora en comparación con
el mejor cálculo único de DDA (debe tenerse en cuenta, sin embargo, que este resultado se basa en el
estimación de errores empíricos). Los errores máximos se reducen más de 2 órdenes de magnitud. Esto
sería imposible de alcanzar mediante un único cálculo de DDA, ya que requerirá más de 6 órdenes de
aumento de magnitud en tiempo de ejecución y memoria, ya que sólo hay convergencia lineal para
Tan pequeña y. Incluso para la extrapolación se puede llamar satisfactoria porque el
error máximo se reduce casi dos veces al considerar la estimación del error (la
errores reales son aún menos). Es importante tener en cuenta que una estimación del error es importante por
38,0min =y
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
y = 0,18
extrapolación
Fig. 7. Errores en la escala logarítmica de S11 en la extrapolación utilizando 9 valores de y en el intervalo
[0,18,070] para kD = 30 esfera.
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
discretización
forma
Total
Fig. 8. Comparación de la discretización y los errores de forma de S11 para kD = 10 esfera discretizada utilizando 16
dipolos por D (y = 0,93).
sí mismo (incluso cuando no es menor que el error de un solo cálculo de DDA) porque no lo hace
requieren una solución exacta (que por lo general no está disponible en aplicaciones reales). En general, el
la extrapolación disminuye los errores grandes mejor que los que ya son pequeños, es decir. puede
reducir significativamente los errores máximos, pero resultar menos satisfactorio para ciertos medidos
cantidad (por ejemplo, S11 para ciertos. Esta conclusión es válida para todas las extrapolaciones que
(Fig. 3 – Fig. 7 y los no mostrados).
Resultados de extrapolación para la esfera discreta (Fig. 4) son similares a las del cubo.
Extrapolaciones para y 0,12 son muy buenas (más de un orden de magnitud
disminución de los errores máximos), mientras que para
058,0min =y
23.0min =y está al borde de ser satisfactorio.
Este último se ve fuertemente influenciado por el hecho de que sólo se utilizan 4 puntos en un intervalo amplio
(por lo que no cumple plenamente el procedimiento especificado en la sección 2).
La mejor extrapolación para la esfera 3=kD (Fig. 5 a)) muestra resultados comparables a
Dispersores de forma cúbica, sin embargo, utiliza un extremadamente pequeño 018.0min =y. Ya para
(14.0min =y Fig. 5 b) sólo redujo los errores máximos en un factor de dos. A similar
se observa el valor límite de ymin para extrapolación satisfactoria de la esfera (10=kD fig.
6 b)), mientras que la mejor extrapolación (Fig. 6(a)) muestra buenos resultados (4 veces disminución de
error máximo), aunque significativamente peor que los resultados análogos para la forma cúbica
Dispersores. Por desgracia, actualmente no somos capaces de llegar a lo suficientemente pequeño y para el
esfera y la mejor extrapolación (30=kD Fig. 7) utiliza bastante grande, resultando en
casi insignificante mejora de la precisión.
18,0min =y
También hemos estudiado un cubo poroso que se obtuvo dividiendo un cubo en
27 cubos más pequeños y luego eliminar al azar 9 de ellos. Todas las conclusiones son las mismas que
los reportados para el cubo, pero con errores generales ligeramente mayores (datos no mostrados).
La extrapolación de Qext (tabla 1) muestra resultados similares a los descritos anteriormente, sin embargo, la
la mejora de la exactitud es generalmente menor que en el caso de los errores máximos en S11(
acuerdo con lo que hemos dicho anteriormente, ya que los errores en Qext ya son pequeños). Por otra parte, uno
debe tener en cuenta que los errores de un solo cálculo de DDA para algunos ymin son
inesperadamente pequeño (p. ej. las últimas extrapolaciones para el cubo y la esfera 3=kD), pero estos
son sólo “golpes de suerte” cerca de los puntos donde la función cruza el eje horizontal
(cf.
)• ex yQ
Fig. 2).
Resumiendo todos los resultados podemos concluir que los errores de forma degradan significativamente el
rendimiento de extrapolación, debido a su comportamiento brusco, y por lo tanto la extrapolación
la técnica es mucho más adecuada para las partículas de forma cúbica. Uno puede esperar que sea satisfactorio.
extrapolación para partículas no cúbicas sólo cuando 15,0min <y, mientras que para cúbicamente
La condición de las partículas en forma es de 4,0min <y. Es importante tener en cuenta, sin embargo, que la extrapolación
se puede utilizar para cualquier ymin. La estimación del error derivado del procedimiento de montaje (SE) puede
A continuación, se utilizará para decidir si esta extrapolación fue satisfactoria o no. La calidad de la
extrapolación aumenta significativamente con la disminución de ymin, por lo tanto la extrapolación es de mayor
valor para obtener resultados de referencia (muy precisos). El tamaño de la partícula para la que la
técnica de extrapolación proporciona una mejora significativa se determina principalmente por disponible
recursos computacionales que se requieren para alcanzar lo suficientemente pequeños ymin. Sin embargo, otros ensayos
se requiere para evaluar la calidad de la extrapolación para los dispersores grandes en comparación con el
longitud de onda.
Es importante señalar que la extrapolación lineal que se aplicó en dos documentos7,15 puede
conducen a resultados completamente erróneos (por ejemplo, si los puntos en la rama derecha de las parábolas para el
cubo y esfera en 3=kD Fig. 2 se utilizan). La extrapolación cuadrática, como se propone en
papel, es mucho más confiable.
A lo largo de todas las extrapolaciones hemos utilizado estimaciones de errores como se especifica en la sección 2:
10×SE y 2×SE para esparcidores de forma cúbica y no cúbica, respectivamente. Todos los
los resultados muestran que estas estimaciones son fiables, es decir, En la mayoría de los casos, los errores reales son menores que los
estimaciones. Sólo hay dos excepciones, ambas para la esfera 3=kD: la cuarta extrapolación
de Qext (Tabla 1) – error real 1,8 veces mayor que la estimación – y segundo de S11 – error real
1,5-2 veces más grande que la estimación para un amplio rango de valores (datos no mostrados). La existencia de tales
las excepciones son aceptables, ya que las estimaciones tienen un carácter estadístico de intervalo de confianza.
Sin embargo, estas estimaciones, aunque fiables, definitivamente no son óptimas, es decir. a menudo
sobreestimar significativamente los errores reales (por ejemplo: Fig. 5 a)). También parece ser sensible a la
espaciamiento de los valores y utilizados para extrapolación – cf. Fig. 4 c), donde el espaciamiento era inusualmente amplio
utilizado. Generalmente esta sobreestimación aumenta con el aumento de ymin. Podemos llegar a la conclusión de que la
La estimación de errores debe mejorarse, y esto es objeto de futuras investigaciones. Sin embargo, la actual
la estimación ya es adecuada para aplicaciones prácticas, ya que requieren principalmente la fiabilidad de
la estimación del error, que se demuestra empíricamente en este artículo.
Es importante señalar que nos limitamos a un solo valor de m. Mientras que límites de
ymin para obtener una extrapolación satisfactoria definitivamente dependiente de m, otras conclusiones, tales como
la fiabilidad de la estimación de error, se espera que se mantenga cierto para un amplio rango de m. Esto puede
ser fácilmente probados para valores específicos de m de interés utilizando la metodología propuesta en este
papel.
Finalmente se discuten los resultados presentados en la Fig. 8. Uno no puede concluir que los errores de forma
dominar sobre los errores de discretización (o al revés): para algunos errores de forma son
mucho más grande que la discretización, para otros – viceversa. Sin embargo, el máximo de errores que ocurren
en direcciones de retrodispersión son definitivamente debido a errores de forma (ratio de la forma máxima a
errores de discretización máximo es de aproximadamente 4). Los errores en Qext (Tabla 2) son, por el contrario, en su mayoría
debido a la discretización (aunque son casi dos órdenes de magnitud menor que
errores máximos de S11). Uno puede esperar que los errores de forma se vuelvan aún más importantes para
valores más pequeños de y, ya que el componente lineal de los errores de discretización es significativamente menor
que el de errores de forma (por lo tanto para grandes valores de y errores de forma escalar linealmente y
discretización – casi cuadráticamente). Nuestro único resultado muestra principalmente un ángulo diferente
dependencia de los errores de forma y discretización de S11: los errores de forma tienen una clara tendencia a
aumentar significativamente hacia el backscattering, mientras que la tendencia general de los errores de discretización
es uniforme a lo largo de todo el rango.
Hemos presentado un método simple para separar directamente los errores de forma y discretización
y sólo un resultado para la ilustración. Todas las comparaciones previas de forma y discretización
errores tenían importantes problemas de interpretación inherentes que causaron un montón de discusiones sobre
16-20 Nuestro método está libre de tales problemas y por lo tanto se puede utilizar para
estudio riguroso de los errores de forma en DDA. Por ejemplo, puede ayudar a evaluar directamente la
rendimiento de diferentes técnicas para reducir tales errores, por ejemplo. discretización ponderada (WD)9.
Los errores de discreción son entonces el límite que uno puede lograr reduciendo drásticamente los errores de forma.
Hemos utilizado una formulación DDA tradicional2 para demostrar que la técnica de extrapolación
se puede utilizar con los códigos DDA actuales (por ejemplo: DDSCAT4) sin modificaciones. Sin embargo,
como mostramos en el documento 1 varias mejoras modernas de DDA (a saber, la integración de
El tensor de Green (IT)33 y WD) debería cambiar significativamente el comportamiento de convergencia de DDA
los cálculos y, por lo tanto, influyen en el rendimiento de la técnica de extrapolación. La tecnología de la información debería
eliminar completamente el término lineal para los esparcidores de forma cúbica. Esto mejorará la
precisión especialmente para pequeñas y, y probablemente también mejorar la calidad de la extrapolación para
tales esparcidores. WD debe disminuir significativamente la forma y, por lo tanto, los errores totales para no-
partículas de forma cúbica, además debería disminuir significativamente la amplitud de
oscilaciones aleatorias de error porque tiene en cuenta la ubicación de la interfaz dentro de la
dipolos límite. Por lo tanto, WD debe mejorar la calidad de la extrapolación para
Dispersores de forma cúbica. Prueba del rendimiento de extrapolación de DDA utilizando IT y WD es
un tema de un estudio futuro.
5. Conclusión
Sobre la base del análisis teórico de convergencia presentado en el documento 1, propusimos
técnica de extrapolación junto con una prescripción paso a paso, que permite la precisión
mejora de los cálculos de DDA. Se estudió el desempeño de esta técnica
empíricamente y demostramos que suprime significativamente los errores máximos de S11
y 0,15 para los esparcidores de forma cúbica y no cúbica, respectivamente (para
). La calidad de la extrapolación mejora con la disminución y
4,0min <y
5,1 = m min alcanzar
rendimiento extraordinario especialmente para partículas de forma cúbica – más de dos órdenes de
Disminución de la magnitud del error cuando 05.0min para dispersores de longitud de onda con 5.1=m
(el tiempo total de cálculo para la extrapolación es inferior a 2,7 veces el de un único DDA)
computation).
Se demostró que las estimaciones propuestas del error de extrapolación eran fiables, aunque
pueden mejorarse para disminuir la sobreestimación de los errores en algunos casos. Este error
estimación es completamente interna, y por lo tanto se puede utilizar para crear DDA adaptativo – un código que
refinará automáticamente la discretización para alcanzar la precisión requerida.
También propusimos un método simple para separar directamente los errores de forma y discretización.
Errores máximos de S11( ) para la esfera de 10 = kD con 5.1 = m, discretizado usando 16 dipolos
por diámetro ( ) se deben principalmente a errores de forma, sin embargo, lo mismo no es cierto para todos
cantidades medidas. Este método puede ser utilizado para estudiar rigurosamente los fundamentos
propiedades de estos dos tipos de errores y para evaluar directamente el rendimiento de diferentes
técnicas destinadas a reducir los errores de forma.
93,0=y
Nuestra teoría predice que las mejoras DDA modernas (a saber, IT y WD) deben
cambiar significativamente el rendimiento de la técnica de extrapolación, sin embargo numérica
la prueba de estas predicciones se deja para la investigación futura.
Agradecimientos
Damos las gracias a Gorden Videen y Michiel Min por sus valiosos comentarios sobre la versión anterior
manuscrito y Denis Shamonin para ayuda con gráficos 3D. Nuestra investigación está respaldada por el
Programa de Ciencia para la Paz de la OTAN a través de la subvención SfP 977976.
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704.0036 | A remark on the number of steady states in a multiple futile cycle | Una observación sobre el número de estados estables en un ciclo múltiple inútil
Liming Wang y Eduardo D. Sontag
Departamento de Matemáticas
Universidad Rutgers, Nueva Brunswick, NJ, EE.UU.
Resumen
El ciclo de fosforilación-desfosforilación multisitio es un motivo utilizado repetidamente en la señalización celular.
Este motivo en sí mismo puede generar una variedad de comportamientos dinámicos como la bistabilidad y la ultrasensibilidad sin
retroalimentación positiva directa. En este trabajo, estudiamos el número de estados estables positivos de un
ciclo de fosforilación-defosforilación multisite, y cómo varía el número de estados estables positivos
cambiando los parámetros biológicos. Demostramos analíticamente que (1) para algunos rangos de parámetros, allí
son al menos n + 1 (si n es par) o n (si n es impar) estados estables; (2) nunca hay más de 2n − 1
estados estacionarios (en particular, esto implica que para n = 2, incluyendo niveles únicos de cascadas MAPK, allí
son a lo sumo tres estados estacionarios); (3) para parámetros cercanos al estándar Michaelis-Menten cuasi estable
condiciones del estado, hay como máximo n + 1 estados estacionarios; y (4) para parámetros alejados del estándar
Michaelis-Menten condiciones de estado casi estables, hay a lo sumo un estado estacionario.
Palabras clave: ciclos inútiles, bistabilidad, vías de señalización, redes biomoleculares, estados estacionarios
1 Introducción
Un enfoque prometedor para manejar la complejidad de las vías de señalización celular es descomponer las vías en
pequeños motivos, y analizar los motivos individuales. Un motivo en particular que ha atraído mucha atención en
los últimos años es el ciclo formado por dos o más formas inter-convertibles de una proteína. La proteína, denotada
aquí por S0, es finalmente convertido en un producto, denotado aquí por Sn, a través de una cascada de “activación”
reacciones desencadenadas o facilitadas por una enzima E; por el contrario, Sn se transforma de nuevo (o “desactivada”)
en el S0 original, ayudado por la acción de una segunda enzima F. Ver Figura 1.
S S0 2S1
SSS nn−1n−2
Figura 1: Un ciclo inútil de tamaño n.
Tales estructuras, a menudo llamadas “ciclos flexibles” (también llamados ciclos de sustrato, ciclos enzimáticos, o enzimáticos)
interconversiones, véase [1]), sirven como bloques básicos en las vías de señalización celular y tienen un impacto fundamental en
la dinámica de señalización. Los ciclos de fuga subyacen a procesos de señalización como los ciclos de GTPasa [2], bacterianos
sistemas de dos componentes y fosforelays [3, 4] cinta de correr de actina [5]), y movilización de glucosa [6], como
así como control metabólico [7] y división celular y apoptosis [8] y control de control del ciclo celular [9]. Uno
ejemplo muy importante es el de las cascadas de la proteína activada por mitogenos (MAPK), que regulan
http://arxiv.org/abs/0704.0036v2
actividades celulares primarias como proliferación, diferenciación y apoptosis [10-13] en eucariotas de
levadura a los humanos.
Las cascadas MAPK suelen consistir en tres niveles de estructuras similares con múltiples retroalimentaciones [14-16].
Cada nivel individual de las cascadas MAPK es un ciclo inútil como se muestra en la Figura 1 con n = 2. Markevich
El documento de et al. [17] fue el primero en demostrar la posibilidad de multiestacionalidad en una sola cascada
y motivó la necesidad de realizar estudios analíticos sobre el número de estados estacionarios. Conradi et al. estudiados
la existencia de multiestacionalidad en su papel [19], empleando algoritmos basados en la química de Feinberg
teoría de la red de reacción (CRNT). (Para más detalles sobre la CRNT, véase [31,32].) El algoritmo CRNT confirma
multiestacionario en un solo nivel de cascadas MAPK, y proporciona un conjunto de constantes cinéticas que pueden
dan lugar a la multiestacionalidad. Sin embargo, el algoritmo CRNT sólo prueba la existencia de múltiples constantes
y no proporciona información sobre el número exacto de estados estacionarios.
En [18], Gunawardena propuso un enfoque novedoso para el estudio de los estados estables de los ciclos inútiles. Suya
enfoque, que se centró en la cuestión de determinar la proporción de fosforilados máximos
sustrato, se desarrolló bajo la hipótesis simplificada de estado cuasi estacionario de que el sustrato es en exceso.
Sin embargo, nuestro estudio de la multiestacionalidad utiliza de una manera clave el formalismo básico en [18], incluso para el
en caso de que el sustrato no sea superior.
En la Sección 2, declaramos nuestras suposiciones básicas con respecto al modelo. El formalismo básico y los antecedentes
para el enfoque se incluye en la sección 3. El enfoque principal de este documento está en la Sección 4, donde derivamos
varios límites en el número de estados estables de ciclos inútiles de tamaño n. El primer resultado es un menor
para el número de estados estacionarios. Los resultados disponibles actualmente en los límites inferiores, al igual que en [29], sólo pueden
manejar el caso cuando las suposiciones de estado cuasi estables son válidas; ampliamos sustancialmente estos resultados a la
caso totalmente general por medio de un argumento de perturbación que permite a uno conseguir alrededor de estos restringidos
suposiciones. Otra característica novedosa de nuestros resultados en este artículo es la derivación de un encuadernado superior
de 2n − 1, válido para todas las constantes cinéticas. Los modelos en biología celular molecular se caracterizan por un alto
grado de incertidumbre en los parámetros, por lo tanto tales resultados válidos en todo el espacio de parámetros son de especial
significación. Sin embargo, cuando se dispone de más información de los parámetros, los límites superiores más afilados pueden
obtenidos, ver Teoremas 4 y 5. Finalmente terminamos nuestro trabajo en la Sección 5 con una conjetura de un n+1
límite superior.
Observamos que los resultados dados aquí complementan nuestro trabajo sobre el comportamiento dinámico
de ciclos inútiles. En el caso n = 2, [25] se demostró que el modelo muestra una convergencia genérica a la constante
estados pero no comportamiento más complicado, al menos dentro de rangos de parámetros restringidos, mientras que [27] mostró un
propiedad de persistencia (ninguna especie tiende a ser eliminada) para cualquier posible valor de parámetro. Estos papeles
no abordó la cuestión de estimar el número de estados estacionarios. (Una excepción es el caso n = 1,
para los cuales la singularidad de los Estados estacionarios puede demostrarse de varias maneras, y para los cuales la convergencia global
estos equilibrios únicos tienen [27].
2 Hipótesis modelo
Antes de presentar detalles matemáticos, vamos a discutir primero las suposiciones bioquímicas básicas que entran en
el modelo. En general, la fosforilación y la desfosforilación pueden seguir ya sea distributiva o procestiva
mecanismo. En el mecanismo procesivo, la cinasa (fosfatasa) facilita dos o más fosforilaciones
(defosforilaciones) antes de la liberación del producto final, mientras que en el mecanismo distributivo, la cinasa
(fosfatasa) facilita como mucho una fosforilación (defosforilación) en cada encuentro molecular.
En el caso de n = 2, un ciclo inútil que sigue el mecanismo procesivo puede ser representado por reacciones
de la siguiente manera:
S0 + E + ES0 + ES1 S2 + E
S2 + F + FS2 + FS1 S0 + F ;
y el mecanismo distributivo puede ser representado por reacciones:
S0 + E ES0 S1 + E ES1 S2 + E
S2 + F - FS2 S1 + F - FS1 S0 + F.
Los experimentos biológicos han demostrado que tanto la fosforilación dual como la desfosforilación en MAPK
son distributivos, véase [14-16]. En su artículo [19], Conradi et al. muestra matemáticamente que si cualquiera de los phos-
phorylation o dephosphorylation sigue un mecanismo processive, el estado estacionario será único, que,
se argumenta en [19], contradice las observaciones experimentales. Por lo tanto, para obtener resultados más interesantes, asumimos
que tanto las fosforilaciones como las defosforilaciones en los ciclos inútiles siguen el mecanismo distributivo.
Nuestra estructura de ciclos inútiles en la Figura 1 también asume implícitamente un secuencial en lugar de un azar
mecanismo. Por un mecanismo secuencial, queremos decir que la cinasa fosforila los sustratos en un
orden específico, y la fosfatasa funciona en el orden inverso. Esta suposición reduce drásticamente la
número de diferentes fosfoformas y simplifica nuestro análisis. En un caso especial cuando las constantes cinéticas
de cada fosforilación son los mismos y las constantes cinéticas de cada desfosforilación son los mismos,
el mecanismo aleatorio se puede incluir fácilmente en el caso secuencial. Biológicamente, hay sistemas, para
por ejemplo la auto-fosforilación del receptor FGF-1, que se ha demostrado experimentalmente a seguir un
mecanismo secuencial [33].
Para modelar las reacciones, se asume la cinética de acción de masas, que es estándar en el modelado matemático
de eventos moleculares en biología.
3 Formalismo matemático
En esta sección, establecemos un marco matemático para el estudio de los estados estables de los ciclos inútiles. Déjanos
primero anote todas las reacciones químicas elementales en la Figura 1:
S0 + E
koff0
kcat0
→ S1 + E
Sn−1 + E
konn−1
koffn−1
kcatn−1
→ Sn + E
S1 + F
loff0
lcat0
→ S0 + F
Sn + F
lonn−1
loffn−1
lcatn−1
→ Sn−1 + F
donde kon0, etc., son parámetros cinéticos para la unión y desencuadernación, ES0 denota el complejo consistente en
la enzima E y el sustrato S0, y así sucesivamente. Estas reacciones pueden ser modeladas por 3n + 3 diferencial-
Ecuaciones algebraicas según la cinética de acción de masa:
= −kon0s0e+ koff0c0 + lcat0d1
= −konisie+ koffi
ci + kcati−1ci−1 − loni−1sif + loffi−1
di + lcatidi+1, i = 1,...., n− 1
= konjsje− (koffj
+ kcatj )cj, j = 0,..................................................................................................................
= lonk−1skf − (loffk−1
+ lcatk−1)dk, k = 1,..., n,
junto con las “ecuaciones de conservación” algebraicas:
Etot = e+
Ftot = f +
di, (2)
Stot =
Las variables s0,. ............................................................................... .., cn−1, d1,. ..............................................................
S0,. ............................................................... ........................................................................ .., FSn, E, F
respectivamente. Para cada vector positivo
* =(kon0,. ....................................................................................................................
,. ...............................................................................................................
, kcat0,. .., kcatn−1,
Lon0,. ....................................................................................................................
,. ............................................................................................................
, lcat0,. ...........................................................................................................
(de “constantes cinéticas”) y cada triple positivo C = (Etot, Ftot, Stot), tenemos un sistema diferente.
Escribamos las coordenadas de un vector x + R3n+3+ como:
x = (s0,. ............................................................................... .., cn−1, d1,. .., dn, e, f),
y definir un mapeo
Φ : R3n+3+ × R
+ × R
+ R
con componentes Φ1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Φ1(x, Ł, C) = −kon0s0e+ koff0c0 + lcat0d1,
y así sucesivamente, enumerando los lados derecho de las ecuaciones (1), Φ3n+1 es
ci − Etot,
y similarmente para Φ3n+2 y Φ3n+3, utilizamos las ecuaciones restantes en (2).
Para cada C, definamos un conjunto
Z(, C) = {x (x, , C) = 0}.
Obsérvese que, por definición, dado x â € R3n+3+, x es un estado estacionario positivo de â € € TM, C) si y sólo si x â € €, Z (â €, C).
Por lo tanto, la afirmación matemática del problema central en este documento es contar el número de elementos
en Z(Ł, C). Nuestro análisis se simplificará en gran medida mediante un preprocesamiento. Vamos a introducir una función
: R3n+3+ × R
+ × R
+ R
con componentes â ¬1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
1 = Φ1 n+1
•i = Φi n+i 2n+i−1 i−1, i = 2,..., n
j = Φj, j = n+ 1,.........................................................................................................
Es fácil ver que
Z(, C) = {x (x,, C) = 0},
pero ahora las primeras 3n ecuaciones son:
i = lcati−1di − kcati−1ci−1 = 0, i = 1,..., n,
•n+1+j = konjsje− (koffj
+ kcatj )cj = 0, j = 0,...., n− 1
2n+k = lonk−1skf − (loffk−1
+ lcatk−1)dk = 0, k = 1,..., n,
y se puede resolver fácilmente como:
si+1 = ♥i(e/f)si, (3)
di+1 =
fsi+1
, (5)
donde
kcatilmi
KMi lcati
, KMi =
kcati + koffi
, LMi =
lcati + loffi
, i = 0,...., n− 1. 6)
Ahora podemos expresar
0 si,
0 ci y
1 di en términos de s0, •, e y f :
si = s0
1 + 0
+
+ · · · · · · · · · · · · · · · · 1
:= s0-
ci = es0
+ · ·
-0 · · n−2
KMn−1
:= es0-
, (7)
di = fs0
+ · · · +
*0 · · n−1
LMn−1
:= fs0
Aunque la ecuación de 0 representa 3n+3 ecuaciones con 3n+3 incógnitas, a continuación vamos a mostrar que
se puede reducir a dos ecuaciones con dos incógnitas, que tienen el mismo número de soluciones positivas
como = 0. Definamos primero un conjunto
S(, C) = {u, v) R+ × R+ G
1 (u, v) = 0, G
2 (u, v) = 0},
donde G
1, G
2 : R
+ R son dadas por
1 (u, v) = v (u
1(u)−
2 (u)Etot/Ftot)− Etot/Ftot + u,
2 (u, v) =
0(u)
2 (u)v
2 + (0 (u)− Stot
2 (u) + Ftotu
1 (u) + Ftot
2 u)) v − Stot.
La declaración precisa es la siguiente:
Lemma 1 Existe un mapeo : R3n+3 R2 tal que, para cada
Z(l, C) es una bijección entre los conjuntos Z(l, C) y S(l, C).
Prueba. Definimos el mapeo: R3n+3 R2 como ♥(x) = (e/f, s0), donde
x = (s0,. ............................................................................... .., cn−1, d1,. ., dn, e, f).
Si podemos demostrar que ♥ induce una bíjez entre Z(, C) y S(, C), hemos terminado.
En primer lugar, afirmamos que el término "Z" (, C) "S" (, C). Escoge cualquier x Z(Ł, C), tenemos que x satisface (3)-(5).
Por otra parte, Φ3n+2(x, Ł, C) = 0 rendimientos
Etot = e+ es0
y por lo tanto
1 + s0
1 e/f)
. (8)
Utilizando Φ3n+1(x, Ł, C) = 0 y Φ3n+2(x, فارسى, C) = 0, obtenemos:
e(1 + s0
1 (e/f))
f(1 + s0
2 e/f))
, (9)
que es G
1 (e/f, s0) = 0 después de multiplicarse por 1 + s0
2 e/f) y reordenar las condiciones.
Para comprobar que G
2 (e/f, s0) = 0, empezamos con Φ3n+3(x, فارسى, C) = 0, es decir.
Stot =
Usando (7) y (8), esta expresión se convierte en
Stot = s0
Etots0
1 e/f)
1 + s0
1 (e/f)
Ftots0oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
2 e/f)
1 + s0
2 e/f)
= s0
eFtots0
1 e/f)
f(1 + s0
2 e/f))
Ftots0oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
2 e/f)
1 + s0
2 e/f)
de donde procede la última igualdad (9).
Después de multiplicar por 1 + s0
2 (e/f), y la simplificación, obtenemos
0 (
) 2 (
)s20 +
)− Stot
Ftot
) + Ftot
s0 − Stot = 0,
Eso es, G.
2 (e/f, s0) = 0. ya que ambos G
1 (e/f, s0) y G
2 (e/f, s0) son cero,
A continuación, vamos a mostrar que S(l, C) (L, C)). Para cualquier y = (u, v) â € € TM € TM TM S, C), dejar que las coordenadas de x ser
definido como:
s0 = v
si+1 = ♥iusi
1 + s0
1 (u)
di+1 =
fsi+1
para i = 0,...., n − 1. Es fácil ver que el vector x = (s0,. ............................................................................... .., cn−1, d1,. ..............................................................
Φ1(x, Ł, C) = 0,....................................................................................................................................................................................................................................................... Si Φ3n+2(x, فارسى, C) y Φ3n+3(x, فارسى, C) también son cero, entonces x es un
elemento de Z(, C) con (x) = y. Dada la condición de que G
i (u, v) = 0 (i = 1, 2) y u = e/f, v = s0,
Tenemos a G.
1 (e/f, s0) = 0, y por lo tanto (9) mantiene. Desde
1 + s0
1 e/f)
en nuestra construcción, tenemos
Ftot = f(1 + s0
2 e/f)) = f +
Para comprobar Φ3n+3(x, فارسى, C) = 0, utilizamos
2 (e/f, s0)
1 + s0
2 e/f)
2 (e/f, s0) = 0 y 1 + s0
2 e/f) > 0. Aplicando (7)-(9), tenemos
di = s0
0(e/f) +
eFtots0
1 e/f)
f(1 + s0
2 (e/f))
Ftots0oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
2 e/f)
1 + s0
2 e/f)
= Stot.
Nos queda a nosotros mostrar que el mapa ♥ es uno a uno en la Z(Ł, C). Supóngase que فارسى(x1) = (x2) = (u, v),
donde
xi = (si0,. ..............................................................
0,..., c
n−1, d
1,..., d
i, f i), i = 1, 2.
Por la definición de ♥, sabemos que s10 = s
0 y e
1/f1 = e2/f2. Por lo tanto, s1i = s
i para i = 0,..., n.
Ecuación (8) da
1 + v1 (u)
= e2.
Así, f1 = f2, y c1i = c
i, d
i+1 = d
i+1 para i = 0,........................................................... Por lo tanto, x
1 = x2, y
es uno a uno.
El lema anterior asegura que los dos conjuntos Z(el, C) y S(el, C) tengan el mismo número de elementos. Desde
ahora en, nos centraremos en S(, C), el conjunto de soluciones positivas de las ecuaciones G
1 (u, v) = 0, G
2 (u, v) = 0,
1 (u, v) = v (u
1(u)−
2 (u)Etot/Ftot)− Etot/Ftot + u = 0, (10)
2 (u, v) =
0(u)
2 (u)v
2 + (0(u)− Stot
2 (u) + Ftotu
1 (u) + Ftot
2 (u)) v − Stot = 0. (11)
4 Número de estados estables positivos
4.1 Reducción del límite del número de estados estables positivos
Un enfoque para resolver (10)-(11) es ver G
2 (u, v) como polinomio cuadrático en v. desde G
2 (u, 0) < 0,
ecuación (11) tiene una raíz positiva única, a saber:
−HŁ,C(u) +
C(u)2 + 4Stot
0(u)
2 u)
20 (u)
2 u)
, (12)
donde
C(u) = 0(u)− Stot
2 u) + Ftotu
1(u) + Ftot
2 u). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Sustituyendo esta expresión por v en (10), y multiplicando por 0 (u), obtenemos
F, C(u) :=
−H,C(u) +
H,C(u)2 + 4Stot
0 (u)
2 u)
22 (u)
u1(u)−
2(u)
0(u)+u
0 (u) = 0.
Por lo tanto, cualquier (u, v) â € € TM € TM TM, C) debe satisfacer (12) y (14). Por otra parte, cualquier solución positiva u de (14)
(note que 0(u) > 0) y v dado por (12) (siempre positivo) proporcionan una solución positiva de (10)-(11),
es decir, (u, v) es un elemento en S(Ł, C). Por lo tanto, el número de soluciones positivas de (10)-(11) es el mismo
como el número de soluciones positivas de (12) y (14). Pero v es determinado de manera única por u en (12), que
simplifica aún más el problema a una ecuación (14) con una u desconocida. Sobre la base de esta observación,
tener:
Teorema 1 Para cada número positivo Stot, γ, existen
+ De modo que lo siguiente:
La propiedad se mantiene. Elige cualquier Etot, Ftot tal que
Ftot = Etot/γ < 0Stot/γ, (15)
a continuación, el sistema con C = (Etot, Ftot, Stot) tiene al menos n + 1 (n) estados estacionarios positivos cuando n es
incluso (odd).
Prueba. Definimos dos funciones R+ × R+ R de la siguiente manera:
,γ,Stot(, u) = H
(I) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () () (l) () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()))) () () () ()) () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () ())) () () () () ())))))) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
= 0(u)− Stot
2(u) + ♥
u1(u) +
2(u),
,γ,Stot(, u) = F
En este contexto, la Comisión considera que la ayuda estatal concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, del Tratado debe considerarse compatible con el mercado interior con arreglo al artículo 107, apartado 1, letra b), del TFUE.
,γ,Stot(, u) +
,γ,Stot(, u)2 + 4Stot
0 (u)
2 u)
22 (u)
(u1(u)−
2 u))
− 0(u) + u
0(u).
Por Lemma 1 y el argumento antes de este teorema, es suficiente para demostrar que existen 0 y 0
+ De tal manera que para todos (0, 0, 0), la ecuación F
En el caso de las soluciones positivas, el valor de 0 tiene al menos n+1 (n)
cuando n es par (odd). (Entonces, dada la satisfacción de Stot, γ, Etot, y Ftot (15), permitimos que فارسى = Etot/Stot < 0,
y aplicar el resultado.)
Un cálculo sencillo muestra que cuando • = 0,
Stot(0, u) = Stot (u
1(u)−
2(u))−
0 (u) + u............................................................................................................................................................................................................................................................
= 0,0 · · n−1u
n+1 + Ł0 · · n−2
KMn−1
(1− n−1)− n−1
+ · · · · · · · · · · · · · · · 2
KMi−1
(1− i−1)− i−1
ui + · · · (18)
(1− 0)− 0
u- γ,
donde se definen los Łi y los KMi como en (6), y βi = kcati/lcati. El polinomio F
*,γ,Stot(0, u)
es de grado n + 1, por lo que hay como máximo n + 1 raíces positivas. Observe que u = 0 no es una raíz porque
*,γ,Stot(0, u) = < 0, lo que también implica que cuando n es impar, no puede haber n + 1 raíces positivas.
Ahora arregla cualquier Stot y γ. Construiremos un vector tal que F
*,γ,Stot(0, u) tiene n+1 positivo distinto
raíces cuando n es par.
Elijamos cualquier n+1 números reales positivos u1 < · · · < un+1, de tal manera que su producto sea γ, y asumamos
(u− u1) · · · (u− un+1) = u
n+1 + anu
n + · · · + a1u+ a0, (19)
donde a0 = < 0 teniendo en cuenta que los ai se dan. Nuestro objetivo es encontrar un vector.................................................................................
+ de modo que
(18) y (19) son lo mismo. Para cada i = 0,....., n − 1, se seleccionan los i = 1. Comparación de los coeficientes de u
en (18) y (19), tenemos:
(1 + a0βi) = ai+1 − a0 − 1. (20)
Elijamos KMi > 0 de tal manera que
(ai+1 − a0 − 1)− 1 < 0, después tomar
(ai+1 − a0 − 1)− 1
para satisfacer (20). De lo dado
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ............................................................... .,KMn−1, β0,. .., βn−1,
encontraremos un vector
* =(kon0,. ....................................................................................................................
,. ...............................................................................................................
, kcat0,. .., kcatn−1,
Lon0,. ....................................................................................................................
,. ............................................................................................................
, lcat0,. ...........................................................................................................
Tal que βi = kcati/lcati, i = 0,...., n− 1, y (6) se mantiene. Este vector..................................................................................
*,γ,Stot(0, u)
tiene n + 1 raíces distintas positivas. Cuando n es impar, una construcción similar dará un vector de tal manera que
*,γ,Stot(0, u) tiene n raíces positivas y una raíz negativa.
A continuación se presenta una construcción de Ł (dada la forma siguiente: i, βi, i = 0,...., n − 1). Para cada i = 0,...., n − 1, nosotros
empezar por definir:
LMi =
♥iKMi
en consonancia con las definiciones de (6). Entonces, tomamos
koni = 1, loni = 1,
koffi
= αiKMi, kcati = (1− αi)KMi, lcati =
1− αi
KMi, loffi
= LMi − lcati,
donde se elige αi (0, 1) de tal manera que
loffi
= LMi −
1− αi
KMi > 0.
Esto satisface βi = kcati/lcati, i = 0,...............................................................................................................................
Para aplicar el Teorema Implícito de la Función, ahora vemos las funciones definidas por fórmulas en
(16) y (17), tal como se definen también para el subartículo ≤ 0, es decir: como funciones R×R+ R. Es fácil ver que F
,γ,Stot(, u)
es C1 en R × R+ porque el polinomio bajo el signo de la raíz cuadrada en F
",γ,Stot, U" nunca es cero. Activar
la otra mano, desde F
Stot(0, u) es un polinomio en u con raíces distintas.
*,γ,Stot*
(0, ui) 6= 0. Por el
Teorema implícito de la función, para cada i = 1,..., n + 1, existen intervalos abiertos Ei que contienen 0, y abierto
intervalos Ui que contiene ui, y una función diferenciable
αi : Ei → Ui
Tal que αi(0) = ui, F
En el caso de las imágenes αi(Ei) no se superponen. Si
Tomamos
(0, 0) :=
(0,),
a continuación, para cualquier (0, 0), tenemos i()} como n+ 1 distintas raíces positivas de F
,γ,Stot(, u). El caso cuando
n es impar se puede probar de manera similar.
El teorema anterior muestra que cuando Etot/Ftot es suficientemente pequeño, siempre es posible para el inútil
ciclo para tener n + 1 (n) estados estacionarios cuando n es par (odd), eligiendo las constantes cinéticas apropiadas.
Hay que notar que para arbitrarios, la derivada de Fū en cada raíz positiva puede llegar a ser cero, que
rompe el argumento de la perturbación. He aquí un ejemplo para mostrar que se necesitan más condiciones:
n = 2,.............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenemos eso.
•,γ,Stot(0, u) = 3u3 − 12u2 + 15u− 6 = 3(u− 1)2(u− 2)
tiene una doble raíz en u = 1. En este caso, incluso para = 0,01, sólo hay una raíz positiva de F
,γ,Stot(, u),
Véase la figura 2.
1 2 3
Figura 2: La trama de la función F
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas. Hay una solución real positiva única
alrededor de u = 2,14, la raíz doble u = 1 de F
Se trata de dos raíces complejas con no cero, que se bifurcan a dos raíces complejas.
partes imaginarias.
Sin embargo, el siguiente lema constituye una condición suficiente para que la F
*,γ,Stot*
(0, ū) 6= 0, para cualquier positivo
ū de tal manera que F
,γ,Stot(0, ū) = 0.
Lemma 2 Para cada número positivo Stot, γ, y vector
+, si
1− j
se mantiene para todos j = 1, · · ·, n − 1, entonces
*,γ,Stot*
(0, ū) 6= 0.
Véase el apéndice para la prueba.
Teorema 2 Para cada número positivo Stot, γ, y vector
+ cumplimiento de la condición (21), existe
Para cualquier Ftot, Etot satisfacer Ftot = Etot/γ < Ł1Stot/γ, el número de constantes positivas
los estados del sistema فارسى(l, C) es mayor o igual al número de raíces (positivas) de F
*,γ,Stot(0, u).
Prueba. Supón que F
En el caso de las raíces: ū1, Stot(0, u) tiene las siguientes raíces: ū1,. .................................................................................... Aplicando Lemma 2, tenemos
*,γ,Stot*
(0, ūk) 6= 0, k = 1,..,m.
Por los argumentos de perturbación como en el Teorema 1, tenemos que existe....... tal que F...............................................................................................................................................................................................................................................
,γ,Stot(, u)
tiene al menos m de raíces para todos los 0 <
El resultado anterior depende en gran medida de un argumento de perturbación, que sólo funciona cuando Etot/Ftot es
lo suficientemente pequeño. En la siguiente sección, vamos a dar un límite superior del número de estados estacionarios con no
las restricciones impuestas a Etot/Ftot, e independientes de los Estados miembros y de C.
4.2 Límite superior del número de estados estacionarios
Teorema 3 Para cada uno de los estados estacionarios positivos, C, el sistema tiene como máximo 2n− 1 estados estacionarios positivos.
Prueba. Un enfoque alternativo a la solución (10)-(11) es primero eliminar v de (10) en lugar de (11),
Etot/Ftot − u
u1(u)− (Etot/Ftot)
, (22)
cuando u1(u) − (Etot/Ftot)
2 (u) 6= 0. Entonces, sustituimos (22) en (11), y multiplicamos por (u
1(u) −
(Etot/Ftot)
2 u))
2 para obtener:
P, C(u) := 0
+ (0 − Stot
2 + Ftotu
1 + Ftot
u1 −
− Stot
u1 −
= 0. 23)
Por lo tanto, si u1(u) − (Etot/Ftot)
2 (u) 6= 0, el número de soluciones positivas de (10)-(11) no es mayor
en comparación con el número de raíces positivas de P Ł, C(u).
En el caso especial cuando u1(u) − (Etot/Ftot)
2 (u) = 0, por (10), debemos tener u = Etot/Ftot, y
Por lo tanto 1 (Etot/Ftot) =
2 (Etot/Ftot). Sustituyendo en (11), obtenemos una v única definida como en (12) con
u = Etot/Ftot. Pero note que en este caso u = Etot/Ftot es también una raíz de P
En este caso, también en el presente asunto.
el número de soluciones positivas a (10)-(11) no es mayor que el número de raíces positivas de P Ł,C(u).
Es fácil ver que P Ł,C(u) es divisible por u. Considerar el polinomio Q-, C-(u) := P-, C-(u)/u de
grado 2n + 1. Primero vamos a mostrar que Q., C.(u) no tiene más de 2n raíces positivas, entonces probaremos por
contradicción de que dos raíces positivas distintas no se pueden lograr.
Es fácil ver que el coeficiente de u2n+1 es
(l0 · · · n−1)
LMn−1
y el término constante es
FtotKM0
Por lo tanto, el polinomio Q-, C (u) tiene al menos una raíz negativa, y por lo tanto no tiene más de 2n raíces positivas.
Suponga que S, C, tiene la cardenalidad 2n, entonces Q, C(u) debe tener 2n distintas raíces positivas, y cada uno de
ellos tienen multiplicidad uno. Denotemos las raíces como u1,. .., u2n en orden ascendente. Alegamos que ninguna
de ellos es igual a Etot/Ftot. De ser así, habríamos tenido que hacerlo.
1 (Etot/Ftot) =
2 (Etot/Ftot), y Etot/Ftot
ser una doble raíz de Q, C(u), contradicción.
Puesto que Q-,C(0) > 0, Q-,C(u) es positivo en intervalos
I0 = (0, u1), I1 = (u2, u3),. .., In−1 = (u2n−2, u2n−1), In = (u2n,
y negativo en intervalos
J1 = (u1, u2),. .., Jn = (u2n−1, u2n).
Como se ha señalado anteriormente, 1 (Etot/Ftot) 6=
2 (Etot/Ftot), el polinomio Q
Etot/Ftot, C(u) evaluado en Etot/Ftot
es negativo, y por lo tanto, Etot/Ftot pertenece a uno de los intervalos J, digamos Js = (u2s−1, u2s), para algunos
s {1,..., n}.............................................................................................................
Por otra parte, el denominador de v en (22), denotado como B(u), es un polinomio de grado n y
Divisible por u. Si B(u) no tiene raíz positiva, entonces no cambia el signo en el eje positivo de u. Pero v
cambia el signo cuando u pasa Etot/Ftot, por lo tanto v2s−1 y v2s tienen signos opuestos, y uno de (u2s−1, v2s−1)
y (u2s, v2s) no es una solución a (10)-(11), lo que contradice el hecho de que ambos están en S(l, C).
De lo contrario, existe una raíz positiva ū de B(u) tal que no hay otra raíz positiva de B(u)
entre ū y Etot/Ftot. Conectando ū a Q
Ł,C(u), vemos que QŁ,C(ū) es siempre positivo, por lo tanto, ū
pertenece a uno de los intervalos I, decir It = (u2t, u2t+1) para algunos t {0,...., n}. Hay dos casos:
1. Etot/Ftot < ū. Tenemos
u2s−1 < Etot/Ftot < u2t < ū.
Observe que v cambia el signo cuando u pasa Etot/Ftot, por lo que el correspondiente v2s−1 y v2t tienen diferente
signos, y o bien (u2s−1, v2s−1) /o bien S(l, C) o bien (u2t, v2t) /o bien S(l, C), contradicción.
2. Etot/Ftot > ū. Tenemos
ū < u2t+1 < Etot/Ftot < u2s.
Puesto que v cambia el signo cuando u pasa Etot/Ftot, por lo que los correspondientes v2t+1 y v2s tienen diferentes
Signos, y bien (u2t+1, v2t+1) /o bien S(, C) o bien (u2s, v2s) /o bien S(, C), contradicción.
Por lo tanto, a lo sumo 2n - 1 estado estacionario.
4.3 Límites superiores ajustados
En la sección anterior, hemos visto que cualquier (u, v) â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM, u 6= Etot/Ftot debe satisfacer (22)-(23), pero
no todas las soluciones de (22)-(23) son elementos de S(l, C). Supongamos que (u, v) es una solución de (22)-(23), es
en S(, C) si y sólo si u, v > 0. En algunos casos especiales, por ejemplo, cuando la enzima es en exceso, o la
sustrato es en exceso, se podría contar el número de soluciones de (22)-(23) que no están en S(, C) para obtener
un mejor límite superior.
El siguiente es un resultado estándar sobre la continuidad de las raíces; véase, por ejemplo, Lemma A.4.1 en [30]:
Lemma 3 Let g(z) = zn + a1z
n−1 + · · · ser un polinomio de grado n y coeficientes complejos que tengan
raíces distintas
1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, ............................................
con multiplicidades
n1 + · · nq = n,
respectivamente. Teniendo en cuenta cualquier tamaño lo suficientemente pequeño > 0 existe un فارسى > 0 de modo que, si
h(z) = zn + b1z
n−1 + · · bn, ai − bi < فارسى para i = 1,..., n,
entonces h tiene precisamente ni raices en B(i) para cada i = 1,..., q.
Teorema 4 Por cada γ > 0 y R6n−6+
1 (γ) 6=
2 (γ), y cada Stot > 0, existe
Para todos los números positivos Etot, Ftot satisfacer Ftot = Etot/γ < Ł2Stot/γ, el sistema
En la mayoría de los casos, los estados estables de n+1 son positivos.
Prueba. Definamos una función R+ × C C como sigue:
•,γ,Stot(, u) = Q
En este contexto, la Comisión considera que, en el marco de la Decisión de incoación, las ayudas estatales concedidas en virtud del artículo 107, apartado 1, del Tratado deben considerarse compatibles con el mercado interior.
y un conjunto B
,γ,Stot() que consiste en las raíces de Q
En el caso de los productos que no sean positivos o de los correspondientes, el valor de los mismos será igual o superior al de los productos que no sean positivos.
v’s determinado por u’s como en (22) no son positivos, desde Q
Es un polinomio de grado 2n + 1,
si podemos demostrar que existe 2 > 0 tal que para cualquier • • (0, •2), Q
En el caso de los productos de origen animal, el valor de los productos de origen animal se calculará de acuerdo con el método de ensayo descrito en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013, con arreglo a lo dispuesto en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013.
contar las multiplicidades que están en B
Entonces hemos terminado.
Para aplicar Lemma 3, consideramos la función Q
,γ,Stot, tal como se define en R× C. At = 0:
En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los neumáticos de dos ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
2 γ − u)
2 + (0 − Stot
2 )u
1 −
2)(γ − u)− Stot(u
1 −
= [0
2 γ − u)
2 + 0
1 −
2)(γ − u)− Stot
1 −
2)(γ − u)− Stot(u
1 −
= [0 (γ − u)u
1 − ♥
2) + Stotu(u
1 −
2 ).............................................................................................................................................................................................................................................................
2 − ♥
1)]/u
= (2 −)
1 )u.............................................................................................................................................................................................................................................................
0 + Stot(u
1 −
2 )−
= (2 −)
*,γ,Stot(0, u)
Denotemos las distintas raíces de Q
Stot(0, u)/u as
u1,. ..............................................................
con multiplicidades
n1 + · · nq = 2n+ 1,
y las raíces de 1 −
u1,. .., up, p ≤ q,
con multiplicidades
m1 + · · mp = n, ni ≥ mi, para i = 1,..., p.
Para cada i = 1,..., p, si ui es real y positivo, entonces hay dos casos (ui 6 = γ como
1(γ) 6=
2(γ)):
1. ui > γ. Tenemos
1(ui)−
2 (ui) > γ(
1 (ui)−
2 (ui)) = 0.
2. ui < γ. Tenemos
1(ui)−
2 (ui) < γ(
1 (ui)−
2 (ui)) = 0.
En ambos casos,
1(ui)−
2 (ui) y γ − ui tienen signos opuestos, es decir.
1 (ui)−
2(ui))(γ − ui) < 0.
Escojamos > 0 lo suficientemente pequeño como para que las siguientes condiciones se mantengan:
1. Para todos los i = 1,..., p, si ui no es real, entonces Bl(ui) no tiene ninguna intersección con el eje real.
2. Para todos los i = 1,...., p, si ui es real y positivo, la siguiente desigualdad se mantiene para cualquier u real.............................................................................................................................................................................................................................................
(u1(u)−
2 u))(γ − u) < 0. (24)
3. Para todos los i = 1,..., p, si ui es real y negativo, entonces B/23370/(ui) no tiene ninguna intersección con el imaginario
eje.
4. B(uj)
Para todos los j 6 = k = 1,...., q.
Por Lemma 3, existe 3 > 0 tal que para todos • • (0, 3), el polinomio Q
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
nj raices en cada una de las categorías B.(uj), j = 1,..., q, denominadas por u
j (l), k = 1,..., nj.
Nosotros elegimos uno de tales...... y afirmamos que ninguna de las raíces en B.. (ui), i = 1,..... p con la v definida como
en (22) será un elemento en S. Si es así, hemos terminado, ya que hay
1 ni ≥
1 mi = n tales raíces, de
En el caso de los vehículos de las categorías B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B,
,γ,Stot().
Para cada i = 1,..., p, hay dos casos:
1. ui no es real. Entonces la condición 1 garantiza que u
i (l) no es real para cada k = 1,..., ni, y por lo tanto es
,γ,Stot().
2. ui es real y positivo. Elige cualquier raíz u
i () • B(i), k = 1,.......................................................................................................................................................................................................................................................
i () igual a
γ − uki
uki
i) −
i)
) < 0
seguido de (24). Por lo tanto (uki (l), v.
i (l))/S(l, C), y u
i) B) B) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b)
,γ,Stot().
3. ui es real y negativo. Por las condiciones 1 y 3, u
i) no es positivo para todos los k = 1,..., ni.
El siguiente teorema considera el caso cuando la enzima es en exceso:
Teorema 5 Por cada uno γ > 0, فارسى R6n−6+
1 (γ) 6=
2(γ), y cada Etot > 0, existe........................................................................................................................................................................................................................................................
tal que para todos los números positivos Ftot, Stot satisfacer Ftot = Etot/γ > Stot/(
a lo sumo un estado estacionario positivo.
Prueba. Por cada γ > 0, • • R6n−6+ de tal manera que •
1 (γ) 6=
2 (γ), y cada Etot > 0, definimos una función
R+ × C C según se indica:
*,γ,Etot(, u) = Q
(Etot, Etot/γ, Etot) (u).
Definamos el conjunto C
Como el conjunto de raíces de Q̄
En el caso de los productos que no sean positivos o de los que no sean positivos, el valor de los mismos será igual o superior al de los productos que no sean positivos.
los v’s correspondientes determinados por u’s como en (22) no son positivos. Si podemos demostrar que existe فارسى3 > 0
de tal manera que para cualquier • • (0, •3) hay a lo sumo una raíz positiva de Q̄
No está en C,γ,Etot.
,γ,Etot(),
Hemos terminado.
Con el fin de aplicar Lemma 3, ahora vemos la función Q̄
,γ,Etot, tal como se define en R× C. A = 0:
*,γ,Etot(0, u) = (γ − u)
(γ − u)
0 +
u1 +
(u1 −
:= (γ − u)R
*,γ,Etot(u).
Denotemos las distintas raíces de Q̄
Etot(0, u)/u as
u1(= γ), u2,. ..............................................................
con multiplicidades
n1 + · · nq = 2n+ 1,
y u2,. .., uq son las raíces de R
En el caso de los productos que no sean γ,γ,Etot(u) y que no sean γ.
Desde 1(γ) 6=
2(γ), R
Etot(u) no es divisible por u- γ, y por lo tanto n1 = 1.
Para cada i = 2,..., q, tenemos
(γ − ui)
0(ui)
2 (ui) = −
0(ui) +
1 (ui) +
2(ui)
1 (ui)−
2 (ui)).
Si ui > 0, entonces
0(ui)
2 (ui) y
0 (ui) +
1 (ui) +
2 (ui) son ambos positivos. Desde el 1 de enero de 1999
1(ui)−
2(ui) y γ − ui son no cero, ui
1 (ui)−
2 (ui) y γ − u debe tener signos opuestos, es decir
1 (ui)−
2(ui))(γ − ui) < 0.
Escojamos el número de puntos lo suficientemente pequeños como para que las siguientes condiciones se mantengan para todos los i = 2,..., q:
1. Si el ui no es real, entonces Bl(ui) no tiene ninguna intersección con el eje real.
2. Si el ui es real y positivo, entonces para cualquier u real, la siguiente desigualdad sostiene:
(u1(u)−
2 u))(γ − u) < 0. (25)
3. Si ui es real y negativo, entonces Bl(ui) no tiene ninguna intersección con el eje imaginario.
4. B(uj)
Para todos los i 6 = k = 2,...., q.
Por Lemma 3, existe 3 > 0 tal que para todos (0, 3), el polinomio Q̄
*,γ,Etot(, u) tiene exactamente
nj raices en cada una de las categorías B.(uj), j = 1,..., q, denominadas por u
j (l), k = 1,..., nj.
Elegimos uno de estos, y si podemos demostrar que todas las raíces en B. (ui), i = 2,...., q están en C.
,γ,Etot(),
entonces hemos terminado, ya que las únicas raíces que pueden no estar en C
Las raíces en B.(u1), y allí
es una de las raíces de la raíz B.(u1).
Para cada i = 2,..., p, hay tres casos:
1. ui no es real. Entonces la condición 1 garantiza que u
i) no es real para todos los k = 1,..., ni.
2. ui es real y positivo. Elige cualquier raíz u
i (l), k = 1,....................................................................................................
i () igual a
γ − uki
uki
i))–
i)
Por lo tanto, uki está en C
,γ,Etot().
3. ui es real y negativo. En las condiciones 1 y 3, u
i) no es positivo para todos los k = 1,..., ni.
5 Conclusiones y debates
Aquí hemos establecido un modelo matemático para ciclos de fosforilación-defosforilación multisitio de tamaño
n, y estudió el número de estados estacionarios positivos basados en este modelo. Hemos reformulado la cuestión.
del número de estados estables positivos a la cuestión del número de raíces positivas de ciertos polinomios,
a través de la cual también aplicamos técnicas de perturbación. Nuestros resultados teóricos dependen de la suposición
de cinética de acción masiva y mecanismo secuencial distributivo, que son habituales en el estudio de multisitio
fosforilación y desfosforilación.
Se obtiene un límite superior de 2n−1 estados estacionarios para combinaciones arbitrarias de parámetros. Biológicamente,
cuando la concentración del sustrato supera en gran medida la de la enzima, hay como máximo n + 1 (n) constante
indica si n es par (odd). Y este límite superior se puede lograr en condiciones cinéticas adecuadas, ver
Teorema 1 para la construcción. En el otro extremo, cuando la enzima es en exceso, hay un único
Estado estacionario.
Como caso especial de n = 2, que se puede aplicar a un único nivel de cascadas MAPK. Nuestros resultados
garantiza que no hay más de tres estados estables, consistentes con simulaciones numéricas en [17].
Notamos que hay una brecha aparente entre el límite superior 2n−1 y el límite superior de n+1
n) si n es incluso (od) cuando el sustrato es en exceso. Si pensamos que la relación Etot/Ftot como un parámetro
entonces cuando 1, hay a lo sumo n+1 (n) estados estacionarios cuando n es par (odd), que coincide con el
el límite inferior más grande posible. Cuando se trata de la primera, hay un estado estacionario único. Si el número de estados estacionarios
cambios “continuamente” con respecto a..........................................................................................................................................................................................................................................................
n + 1 (n) si n es par (odd). Así que una conjetura natural sería que el número de estados estacionarios nunca
superar n+ 1 bajo cualquier condición.
6 Reconocimiento
Agradecemos a Jeremy Gunawardena por sus útiles discusiones.
7 Apéndice
prueba de Lemma 2: Recordar que (la caída de la u en i, i = 0, 1, 2)
•,γ,Stot(0, u) = u0 + Stot(u
1 −
2) -
*,γ,Stot*
(0, u) = 0 + Stot(u
1 −
′ − (γ − u)(0 )
A partir de la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión, los Estados miembros comunicarán a la Comisión el texto de la presente Decisión.
,γ,Stot(0, ū) = 0,
Stot(
1 −
2 ) = (γ − ū)
es decir,
γ − ū =
Stot(
1 −
Por lo tanto,
*,γ,Stot*
(0, ū) = 0 + Stot(u
1 −
Stot(
1 −
(0)
= 0 +
0(u
1 −
′ − (1 −
= 0 +
((1 +
2 + · · · + Ł0 · · n−1ū
(1− 0) + 2
(1− 1) · · n
*0 · · · n−2
KMn−1
(1− n−1)ū
*0 + 20011· · · · + n0· · n1ū
(1− 0)
(1− 1)ū
2 + · ·
-0 · · n−2
KMn−1
(1− n−1)ū
= 0 +
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
(j + 1− i)
* 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(1− j)ū
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
+ Stot
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
(j + 1− i)
* 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(1− j)ū
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
0 · · n−1ū
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
1 + Stot(j + 1− i)
1 − j
donde el producto 0 · · · 1 se define como 1 para la conveniencia de la notación.
Debido a (21),
(j + 1− i)
1− j
por lo que tenemos
*,γ,Stot*
(0, ū) > 0.
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http://arxiv.org/abs/math/0701575
Introducción
Hipótesis modelo
Formalismo matemático
Número de estados estables positivos
Reducción del límite en el número de estados estables positivos
Límite superior en el número de estados estacionarios
Límites superiores ajustados
Conclusiones y debates
Reconocimiento
Apéndice
| El ciclo multisitio de fosforilación-desfosforilación es un motivo repetidamente
utilizado en la señalización celular. Este motivo en sí mismo puede generar una variedad de dinámica
comportamientos como la bistabilidad y la ultrasensibilidad sin positivo directo
feedbacks. En este trabajo, estudiamos el número de estados estables positivos de un
ciclo general de fosforilación-desfosforilación multisitio, y cómo el número
de los estados estacionarios positivos varía al cambiar los parámetros biológicos. Mostramos
analíticamente que (1) para algunos rangos de parámetros, hay al menos n+1 (si n
es par) o n (si n es impar) estados estables; (2) nunca hay más de 2n-1
estados estacionarios (en particular, esto implica que para n=2, incluyendo
niveles de cascadas de MAPK, hay a lo sumo tres estados estacionarios; (3) para
parámetros cercanos a las condiciones estándar de estado cuasi estables de Michaelis-Menten,
hay a lo sumo n+1 estados estacionarios; y (4) para parámetros lejos de la
estándar Michaelis-Menten condiciones de estado cuasi estables, hay a lo sumo uno
Estado estacionario.
| Introducción
Un enfoque prometedor para manejar la complejidad de las vías de señalización celular es descomponer las vías en
pequeños motivos, y analizar los motivos individuales. Un motivo en particular que ha atraído mucha atención en
los últimos años es el ciclo formado por dos o más formas inter-convertibles de una proteína. La proteína, denotada
aquí por S0, es finalmente convertido en un producto, denotado aquí por Sn, a través de una cascada de “activación”
reacciones desencadenadas o facilitadas por una enzima E; por el contrario, Sn se transforma de nuevo (o “desactivada”)
en el S0 original, ayudado por la acción de una segunda enzima F. Ver Figura 1.
S S0 2S1
SSS nn−1n−2
Figura 1: Un ciclo inútil de tamaño n.
Tales estructuras, a menudo llamadas “ciclos flexibles” (también llamados ciclos de sustrato, ciclos enzimáticos, o enzimáticos)
interconversiones, véase [1]), sirven como bloques básicos en las vías de señalización celular y tienen un impacto fundamental en
la dinámica de señalización. Los ciclos de fuga subyacen a procesos de señalización como los ciclos de GTPasa [2], bacterianos
sistemas de dos componentes y fosforelays [3, 4] cinta de correr de actina [5]), y movilización de glucosa [6], como
así como control metabólico [7] y división celular y apoptosis [8] y control de control del ciclo celular [9]. Uno
ejemplo muy importante es el de las cascadas de la proteína activada por mitogenos (MAPK), que regulan
http://arxiv.org/abs/0704.0036v2
actividades celulares primarias como proliferación, diferenciación y apoptosis [10-13] en eucariotas de
levadura a los humanos.
Las cascadas MAPK suelen consistir en tres niveles de estructuras similares con múltiples retroalimentaciones [14-16].
Cada nivel individual de las cascadas MAPK es un ciclo inútil como se muestra en la Figura 1 con n = 2. Markevich
El documento de et al. [17] fue el primero en demostrar la posibilidad de multiestacionalidad en una sola cascada
y motivó la necesidad de realizar estudios analíticos sobre el número de estados estacionarios. Conradi et al. estudiados
la existencia de multiestacionalidad en su papel [19], empleando algoritmos basados en la química de Feinberg
teoría de la red de reacción (CRNT). (Para más detalles sobre la CRNT, véase [31,32].) El algoritmo CRNT confirma
multiestacionario en un solo nivel de cascadas MAPK, y proporciona un conjunto de constantes cinéticas que pueden
dan lugar a la multiestacionalidad. Sin embargo, el algoritmo CRNT sólo prueba la existencia de múltiples constantes
y no proporciona información sobre el número exacto de estados estacionarios.
En [18], Gunawardena propuso un enfoque novedoso para el estudio de los estados estables de los ciclos inútiles. Suya
enfoque, que se centró en la cuestión de determinar la proporción de fosforilados máximos
sustrato, se desarrolló bajo la hipótesis simplificada de estado cuasi estacionario de que el sustrato es en exceso.
Sin embargo, nuestro estudio de la multiestacionalidad utiliza de una manera clave el formalismo básico en [18], incluso para el
en caso de que el sustrato no sea superior.
En la Sección 2, declaramos nuestras suposiciones básicas con respecto al modelo. El formalismo básico y los antecedentes
para el enfoque se incluye en la sección 3. El enfoque principal de este documento está en la Sección 4, donde derivamos
varios límites en el número de estados estables de ciclos inútiles de tamaño n. El primer resultado es un menor
para el número de estados estacionarios. Los resultados disponibles actualmente en los límites inferiores, al igual que en [29], sólo pueden
manejar el caso cuando las suposiciones de estado cuasi estables son válidas; ampliamos sustancialmente estos resultados a la
caso totalmente general por medio de un argumento de perturbación que permite a uno conseguir alrededor de estos restringidos
suposiciones. Otra característica novedosa de nuestros resultados en este artículo es la derivación de un encuadernado superior
de 2n − 1, válido para todas las constantes cinéticas. Los modelos en biología celular molecular se caracterizan por un alto
grado de incertidumbre en los parámetros, por lo tanto tales resultados válidos en todo el espacio de parámetros son de especial
significación. Sin embargo, cuando se dispone de más información de los parámetros, los límites superiores más afilados pueden
obtenidos, ver Teoremas 4 y 5. Finalmente terminamos nuestro trabajo en la Sección 5 con una conjetura de un n+1
límite superior.
Observamos que los resultados dados aquí complementan nuestro trabajo sobre el comportamiento dinámico
de ciclos inútiles. En el caso n = 2, [25] se demostró que el modelo muestra una convergencia genérica a la constante
estados pero no comportamiento más complicado, al menos dentro de rangos de parámetros restringidos, mientras que [27] mostró un
propiedad de persistencia (ninguna especie tiende a ser eliminada) para cualquier posible valor de parámetro. Estos papeles
no abordó la cuestión de estimar el número de estados estacionarios. (Una excepción es el caso n = 1,
para los cuales la singularidad de los Estados estacionarios puede demostrarse de varias maneras, y para los cuales la convergencia global
estos equilibrios únicos tienen [27].
2 Hipótesis modelo
Antes de presentar detalles matemáticos, vamos a discutir primero las suposiciones bioquímicas básicas que entran en
el modelo. En general, la fosforilación y la desfosforilación pueden seguir ya sea distributiva o procestiva
mecanismo. En el mecanismo procesivo, la cinasa (fosfatasa) facilita dos o más fosforilaciones
(defosforilaciones) antes de la liberación del producto final, mientras que en el mecanismo distributivo, la cinasa
(fosfatasa) facilita como mucho una fosforilación (defosforilación) en cada encuentro molecular.
En el caso de n = 2, un ciclo inútil que sigue el mecanismo procesivo puede ser representado por reacciones
de la siguiente manera:
S0 + E + ES0 + ES1 S2 + E
S2 + F + FS2 + FS1 S0 + F ;
y el mecanismo distributivo puede ser representado por reacciones:
S0 + E ES0 S1 + E ES1 S2 + E
S2 + F - FS2 S1 + F - FS1 S0 + F.
Los experimentos biológicos han demostrado que tanto la fosforilación dual como la desfosforilación en MAPK
son distributivos, véase [14-16]. En su artículo [19], Conradi et al. muestra matemáticamente que si cualquiera de los phos-
phorylation o dephosphorylation sigue un mecanismo processive, el estado estacionario será único, que,
se argumenta en [19], contradice las observaciones experimentales. Por lo tanto, para obtener resultados más interesantes, asumimos
que tanto las fosforilaciones como las defosforilaciones en los ciclos inútiles siguen el mecanismo distributivo.
Nuestra estructura de ciclos inútiles en la Figura 1 también asume implícitamente un secuencial en lugar de un azar
mecanismo. Por un mecanismo secuencial, queremos decir que la cinasa fosforila los sustratos en un
orden específico, y la fosfatasa funciona en el orden inverso. Esta suposición reduce drásticamente la
número de diferentes fosfoformas y simplifica nuestro análisis. En un caso especial cuando las constantes cinéticas
de cada fosforilación son los mismos y las constantes cinéticas de cada desfosforilación son los mismos,
el mecanismo aleatorio se puede incluir fácilmente en el caso secuencial. Biológicamente, hay sistemas, para
por ejemplo la auto-fosforilación del receptor FGF-1, que se ha demostrado experimentalmente a seguir un
mecanismo secuencial [33].
Para modelar las reacciones, se asume la cinética de acción de masas, que es estándar en el modelado matemático
de eventos moleculares en biología.
3 Formalismo matemático
En esta sección, establecemos un marco matemático para el estudio de los estados estables de los ciclos inútiles. Déjanos
primero anote todas las reacciones químicas elementales en la Figura 1:
S0 + E
koff0
kcat0
→ S1 + E
Sn−1 + E
konn−1
koffn−1
kcatn−1
→ Sn + E
S1 + F
loff0
lcat0
→ S0 + F
Sn + F
lonn−1
loffn−1
lcatn−1
→ Sn−1 + F
donde kon0, etc., son parámetros cinéticos para la unión y desencuadernación, ES0 denota el complejo consistente en
la enzima E y el sustrato S0, y así sucesivamente. Estas reacciones pueden ser modeladas por 3n + 3 diferencial-
Ecuaciones algebraicas según la cinética de acción de masa:
= −kon0s0e+ koff0c0 + lcat0d1
= −konisie+ koffi
ci + kcati−1ci−1 − loni−1sif + loffi−1
di + lcatidi+1, i = 1,...., n− 1
= konjsje− (koffj
+ kcatj )cj, j = 0,..................................................................................................................
= lonk−1skf − (loffk−1
+ lcatk−1)dk, k = 1,..., n,
junto con las “ecuaciones de conservación” algebraicas:
Etot = e+
Ftot = f +
di, (2)
Stot =
Las variables s0,. ............................................................................... .., cn−1, d1,. ..............................................................
S0,. ............................................................... ........................................................................ .., FSn, E, F
respectivamente. Para cada vector positivo
* =(kon0,. ....................................................................................................................
,. ...............................................................................................................
, kcat0,. .., kcatn−1,
Lon0,. ....................................................................................................................
,. ............................................................................................................
, lcat0,. ...........................................................................................................
(de “constantes cinéticas”) y cada triple positivo C = (Etot, Ftot, Stot), tenemos un sistema diferente.
Escribamos las coordenadas de un vector x + R3n+3+ como:
x = (s0,. ............................................................................... .., cn−1, d1,. .., dn, e, f),
y definir un mapeo
Φ : R3n+3+ × R
+ × R
+ R
con componentes Φ1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Φ1(x, Ł, C) = −kon0s0e+ koff0c0 + lcat0d1,
y así sucesivamente, enumerando los lados derecho de las ecuaciones (1), Φ3n+1 es
ci − Etot,
y similarmente para Φ3n+2 y Φ3n+3, utilizamos las ecuaciones restantes en (2).
Para cada C, definamos un conjunto
Z(, C) = {x (x, , C) = 0}.
Obsérvese que, por definición, dado x â € R3n+3+, x es un estado estacionario positivo de â € € TM, C) si y sólo si x â € €, Z (â €, C).
Por lo tanto, la afirmación matemática del problema central en este documento es contar el número de elementos
en Z(Ł, C). Nuestro análisis se simplificará en gran medida mediante un preprocesamiento. Vamos a introducir una función
: R3n+3+ × R
+ × R
+ R
con componentes â ¬1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
1 = Φ1 n+1
•i = Φi n+i 2n+i−1 i−1, i = 2,..., n
j = Φj, j = n+ 1,.........................................................................................................
Es fácil ver que
Z(, C) = {x (x,, C) = 0},
pero ahora las primeras 3n ecuaciones son:
i = lcati−1di − kcati−1ci−1 = 0, i = 1,..., n,
•n+1+j = konjsje− (koffj
+ kcatj )cj = 0, j = 0,...., n− 1
2n+k = lonk−1skf − (loffk−1
+ lcatk−1)dk = 0, k = 1,..., n,
y se puede resolver fácilmente como:
si+1 = ♥i(e/f)si, (3)
di+1 =
fsi+1
, (5)
donde
kcatilmi
KMi lcati
, KMi =
kcati + koffi
, LMi =
lcati + loffi
, i = 0,...., n− 1. 6)
Ahora podemos expresar
0 si,
0 ci y
1 di en términos de s0, •, e y f :
si = s0
1 + 0
+
+ · · · · · · · · · · · · · · · · 1
:= s0-
ci = es0
+ · ·
-0 · · n−2
KMn−1
:= es0-
, (7)
di = fs0
+ · · · +
*0 · · n−1
LMn−1
:= fs0
Aunque la ecuación de 0 representa 3n+3 ecuaciones con 3n+3 incógnitas, a continuación vamos a mostrar que
se puede reducir a dos ecuaciones con dos incógnitas, que tienen el mismo número de soluciones positivas
como = 0. Definamos primero un conjunto
S(, C) = {u, v) R+ × R+ G
1 (u, v) = 0, G
2 (u, v) = 0},
donde G
1, G
2 : R
+ R son dadas por
1 (u, v) = v (u
1(u)−
2 (u)Etot/Ftot)− Etot/Ftot + u,
2 (u, v) =
0(u)
2 (u)v
2 + (0 (u)− Stot
2 (u) + Ftotu
1 (u) + Ftot
2 u)) v − Stot.
La declaración precisa es la siguiente:
Lemma 1 Existe un mapeo : R3n+3 R2 tal que, para cada
Z(l, C) es una bijección entre los conjuntos Z(l, C) y S(l, C).
Prueba. Definimos el mapeo: R3n+3 R2 como ♥(x) = (e/f, s0), donde
x = (s0,. ............................................................................... .., cn−1, d1,. ., dn, e, f).
Si podemos demostrar que ♥ induce una bíjez entre Z(, C) y S(, C), hemos terminado.
En primer lugar, afirmamos que el término "Z" (, C) "S" (, C). Escoge cualquier x Z(Ł, C), tenemos que x satisface (3)-(5).
Por otra parte, Φ3n+2(x, Ł, C) = 0 rendimientos
Etot = e+ es0
y por lo tanto
1 + s0
1 e/f)
. (8)
Utilizando Φ3n+1(x, Ł, C) = 0 y Φ3n+2(x, فارسى, C) = 0, obtenemos:
e(1 + s0
1 (e/f))
f(1 + s0
2 e/f))
, (9)
que es G
1 (e/f, s0) = 0 después de multiplicarse por 1 + s0
2 e/f) y reordenar las condiciones.
Para comprobar que G
2 (e/f, s0) = 0, empezamos con Φ3n+3(x, فارسى, C) = 0, es decir.
Stot =
Usando (7) y (8), esta expresión se convierte en
Stot = s0
Etots0
1 e/f)
1 + s0
1 (e/f)
Ftots0oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
2 e/f)
1 + s0
2 e/f)
= s0
eFtots0
1 e/f)
f(1 + s0
2 e/f))
Ftots0oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
2 e/f)
1 + s0
2 e/f)
de donde procede la última igualdad (9).
Después de multiplicar por 1 + s0
2 (e/f), y la simplificación, obtenemos
0 (
) 2 (
)s20 +
)− Stot
Ftot
) + Ftot
s0 − Stot = 0,
Eso es, G.
2 (e/f, s0) = 0. ya que ambos G
1 (e/f, s0) y G
2 (e/f, s0) son cero,
A continuación, vamos a mostrar que S(l, C) (L, C)). Para cualquier y = (u, v) â € € TM € TM TM S, C), dejar que las coordenadas de x ser
definido como:
s0 = v
si+1 = ♥iusi
1 + s0
1 (u)
di+1 =
fsi+1
para i = 0,...., n − 1. Es fácil ver que el vector x = (s0,. ............................................................................... .., cn−1, d1,. ..............................................................
Φ1(x, Ł, C) = 0,....................................................................................................................................................................................................................................................... Si Φ3n+2(x, فارسى, C) y Φ3n+3(x, فارسى, C) también son cero, entonces x es un
elemento de Z(, C) con (x) = y. Dada la condición de que G
i (u, v) = 0 (i = 1, 2) y u = e/f, v = s0,
Tenemos a G.
1 (e/f, s0) = 0, y por lo tanto (9) mantiene. Desde
1 + s0
1 e/f)
en nuestra construcción, tenemos
Ftot = f(1 + s0
2 e/f)) = f +
Para comprobar Φ3n+3(x, فارسى, C) = 0, utilizamos
2 (e/f, s0)
1 + s0
2 e/f)
2 (e/f, s0) = 0 y 1 + s0
2 e/f) > 0. Aplicando (7)-(9), tenemos
di = s0
0(e/f) +
eFtots0
1 e/f)
f(1 + s0
2 (e/f))
Ftots0oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
2 e/f)
1 + s0
2 e/f)
= Stot.
Nos queda a nosotros mostrar que el mapa ♥ es uno a uno en la Z(Ł, C). Supóngase que فارسى(x1) = (x2) = (u, v),
donde
xi = (si0,. ..............................................................
0,..., c
n−1, d
1,..., d
i, f i), i = 1, 2.
Por la definición de ♥, sabemos que s10 = s
0 y e
1/f1 = e2/f2. Por lo tanto, s1i = s
i para i = 0,..., n.
Ecuación (8) da
1 + v1 (u)
= e2.
Así, f1 = f2, y c1i = c
i, d
i+1 = d
i+1 para i = 0,........................................................... Por lo tanto, x
1 = x2, y
es uno a uno.
El lema anterior asegura que los dos conjuntos Z(el, C) y S(el, C) tengan el mismo número de elementos. Desde
ahora en, nos centraremos en S(, C), el conjunto de soluciones positivas de las ecuaciones G
1 (u, v) = 0, G
2 (u, v) = 0,
1 (u, v) = v (u
1(u)−
2 (u)Etot/Ftot)− Etot/Ftot + u = 0, (10)
2 (u, v) =
0(u)
2 (u)v
2 + (0(u)− Stot
2 (u) + Ftotu
1 (u) + Ftot
2 (u)) v − Stot = 0. (11)
4 Número de estados estables positivos
4.1 Reducción del límite del número de estados estables positivos
Un enfoque para resolver (10)-(11) es ver G
2 (u, v) como polinomio cuadrático en v. desde G
2 (u, 0) < 0,
ecuación (11) tiene una raíz positiva única, a saber:
−HŁ,C(u) +
C(u)2 + 4Stot
0(u)
2 u)
20 (u)
2 u)
, (12)
donde
C(u) = 0(u)− Stot
2 u) + Ftotu
1(u) + Ftot
2 u). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Sustituyendo esta expresión por v en (10), y multiplicando por 0 (u), obtenemos
F, C(u) :=
−H,C(u) +
H,C(u)2 + 4Stot
0 (u)
2 u)
22 (u)
u1(u)−
2(u)
0(u)+u
0 (u) = 0.
Por lo tanto, cualquier (u, v) â € € TM € TM TM, C) debe satisfacer (12) y (14). Por otra parte, cualquier solución positiva u de (14)
(note que 0(u) > 0) y v dado por (12) (siempre positivo) proporcionan una solución positiva de (10)-(11),
es decir, (u, v) es un elemento en S(Ł, C). Por lo tanto, el número de soluciones positivas de (10)-(11) es el mismo
como el número de soluciones positivas de (12) y (14). Pero v es determinado de manera única por u en (12), que
simplifica aún más el problema a una ecuación (14) con una u desconocida. Sobre la base de esta observación,
tener:
Teorema 1 Para cada número positivo Stot, γ, existen
+ De modo que lo siguiente:
La propiedad se mantiene. Elige cualquier Etot, Ftot tal que
Ftot = Etot/γ < 0Stot/γ, (15)
a continuación, el sistema con C = (Etot, Ftot, Stot) tiene al menos n + 1 (n) estados estacionarios positivos cuando n es
incluso (odd).
Prueba. Definimos dos funciones R+ × R+ R de la siguiente manera:
,γ,Stot(, u) = H
(I) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () () (l) () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()))) () () () ()) () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () ())) () () () () ())))))) () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
= 0(u)− Stot
2(u) + ♥
u1(u) +
2(u),
,γ,Stot(, u) = F
En este contexto, la Comisión considera que la ayuda estatal concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, del Tratado debe considerarse compatible con el mercado interior con arreglo al artículo 107, apartado 1, letra b), del TFUE.
,γ,Stot(, u) +
,γ,Stot(, u)2 + 4Stot
0 (u)
2 u)
22 (u)
(u1(u)−
2 u))
− 0(u) + u
0(u).
Por Lemma 1 y el argumento antes de este teorema, es suficiente para demostrar que existen 0 y 0
+ De tal manera que para todos (0, 0, 0), la ecuación F
En el caso de las soluciones positivas, el valor de 0 tiene al menos n+1 (n)
cuando n es par (odd). (Entonces, dada la satisfacción de Stot, γ, Etot, y Ftot (15), permitimos que فارسى = Etot/Stot < 0,
y aplicar el resultado.)
Un cálculo sencillo muestra que cuando • = 0,
Stot(0, u) = Stot (u
1(u)−
2(u))−
0 (u) + u............................................................................................................................................................................................................................................................
= 0,0 · · n−1u
n+1 + Ł0 · · n−2
KMn−1
(1− n−1)− n−1
+ · · · · · · · · · · · · · · · 2
KMi−1
(1− i−1)− i−1
ui + · · · (18)
(1− 0)− 0
u- γ,
donde se definen los Łi y los KMi como en (6), y βi = kcati/lcati. El polinomio F
*,γ,Stot(0, u)
es de grado n + 1, por lo que hay como máximo n + 1 raíces positivas. Observe que u = 0 no es una raíz porque
*,γ,Stot(0, u) = < 0, lo que también implica que cuando n es impar, no puede haber n + 1 raíces positivas.
Ahora arregla cualquier Stot y γ. Construiremos un vector tal que F
*,γ,Stot(0, u) tiene n+1 positivo distinto
raíces cuando n es par.
Elijamos cualquier n+1 números reales positivos u1 < · · · < un+1, de tal manera que su producto sea γ, y asumamos
(u− u1) · · · (u− un+1) = u
n+1 + anu
n + · · · + a1u+ a0, (19)
donde a0 = < 0 teniendo en cuenta que los ai se dan. Nuestro objetivo es encontrar un vector.................................................................................
+ de modo que
(18) y (19) son lo mismo. Para cada i = 0,....., n − 1, se seleccionan los i = 1. Comparación de los coeficientes de u
en (18) y (19), tenemos:
(1 + a0βi) = ai+1 − a0 − 1. (20)
Elijamos KMi > 0 de tal manera que
(ai+1 − a0 − 1)− 1 < 0, después tomar
(ai+1 − a0 − 1)− 1
para satisfacer (20). De lo dado
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. ............................................................... .,KMn−1, β0,. .., βn−1,
encontraremos un vector
* =(kon0,. ....................................................................................................................
,. ...............................................................................................................
, kcat0,. .., kcatn−1,
Lon0,. ....................................................................................................................
,. ............................................................................................................
, lcat0,. ...........................................................................................................
Tal que βi = kcati/lcati, i = 0,...., n− 1, y (6) se mantiene. Este vector..................................................................................
*,γ,Stot(0, u)
tiene n + 1 raíces distintas positivas. Cuando n es impar, una construcción similar dará un vector de tal manera que
*,γ,Stot(0, u) tiene n raíces positivas y una raíz negativa.
A continuación se presenta una construcción de Ł (dada la forma siguiente: i, βi, i = 0,...., n − 1). Para cada i = 0,...., n − 1, nosotros
empezar por definir:
LMi =
♥iKMi
en consonancia con las definiciones de (6). Entonces, tomamos
koni = 1, loni = 1,
koffi
= αiKMi, kcati = (1− αi)KMi, lcati =
1− αi
KMi, loffi
= LMi − lcati,
donde se elige αi (0, 1) de tal manera que
loffi
= LMi −
1− αi
KMi > 0.
Esto satisface βi = kcati/lcati, i = 0,...............................................................................................................................
Para aplicar el Teorema Implícito de la Función, ahora vemos las funciones definidas por fórmulas en
(16) y (17), tal como se definen también para el subartículo ≤ 0, es decir: como funciones R×R+ R. Es fácil ver que F
,γ,Stot(, u)
es C1 en R × R+ porque el polinomio bajo el signo de la raíz cuadrada en F
",γ,Stot, U" nunca es cero. Activar
la otra mano, desde F
Stot(0, u) es un polinomio en u con raíces distintas.
*,γ,Stot*
(0, ui) 6= 0. Por el
Teorema implícito de la función, para cada i = 1,..., n + 1, existen intervalos abiertos Ei que contienen 0, y abierto
intervalos Ui que contiene ui, y una función diferenciable
αi : Ei → Ui
Tal que αi(0) = ui, F
En el caso de las imágenes αi(Ei) no se superponen. Si
Tomamos
(0, 0) :=
(0,),
a continuación, para cualquier (0, 0), tenemos i()} como n+ 1 distintas raíces positivas de F
,γ,Stot(, u). El caso cuando
n es impar se puede probar de manera similar.
El teorema anterior muestra que cuando Etot/Ftot es suficientemente pequeño, siempre es posible para el inútil
ciclo para tener n + 1 (n) estados estacionarios cuando n es par (odd), eligiendo las constantes cinéticas apropiadas.
Hay que notar que para arbitrarios, la derivada de Fū en cada raíz positiva puede llegar a ser cero, que
rompe el argumento de la perturbación. He aquí un ejemplo para mostrar que se necesitan más condiciones:
n = 2,.............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenemos eso.
•,γ,Stot(0, u) = 3u3 − 12u2 + 15u− 6 = 3(u− 1)2(u− 2)
tiene una doble raíz en u = 1. En este caso, incluso para = 0,01, sólo hay una raíz positiva de F
,γ,Stot(, u),
Véase la figura 2.
1 2 3
Figura 2: La trama de la función F
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas. Hay una solución real positiva única
alrededor de u = 2,14, la raíz doble u = 1 de F
Se trata de dos raíces complejas con no cero, que se bifurcan a dos raíces complejas.
partes imaginarias.
Sin embargo, el siguiente lema constituye una condición suficiente para que la F
*,γ,Stot*
(0, ū) 6= 0, para cualquier positivo
ū de tal manera que F
,γ,Stot(0, ū) = 0.
Lemma 2 Para cada número positivo Stot, γ, y vector
+, si
1− j
se mantiene para todos j = 1, · · ·, n − 1, entonces
*,γ,Stot*
(0, ū) 6= 0.
Véase el apéndice para la prueba.
Teorema 2 Para cada número positivo Stot, γ, y vector
+ cumplimiento de la condición (21), existe
Para cualquier Ftot, Etot satisfacer Ftot = Etot/γ < Ł1Stot/γ, el número de constantes positivas
los estados del sistema فارسى(l, C) es mayor o igual al número de raíces (positivas) de F
*,γ,Stot(0, u).
Prueba. Supón que F
En el caso de las raíces: ū1, Stot(0, u) tiene las siguientes raíces: ū1,. .................................................................................... Aplicando Lemma 2, tenemos
*,γ,Stot*
(0, ūk) 6= 0, k = 1,..,m.
Por los argumentos de perturbación como en el Teorema 1, tenemos que existe....... tal que F...............................................................................................................................................................................................................................................
,γ,Stot(, u)
tiene al menos m de raíces para todos los 0 <
El resultado anterior depende en gran medida de un argumento de perturbación, que sólo funciona cuando Etot/Ftot es
lo suficientemente pequeño. En la siguiente sección, vamos a dar un límite superior del número de estados estacionarios con no
las restricciones impuestas a Etot/Ftot, e independientes de los Estados miembros y de C.
4.2 Límite superior del número de estados estacionarios
Teorema 3 Para cada uno de los estados estacionarios positivos, C, el sistema tiene como máximo 2n− 1 estados estacionarios positivos.
Prueba. Un enfoque alternativo a la solución (10)-(11) es primero eliminar v de (10) en lugar de (11),
Etot/Ftot − u
u1(u)− (Etot/Ftot)
, (22)
cuando u1(u) − (Etot/Ftot)
2 (u) 6= 0. Entonces, sustituimos (22) en (11), y multiplicamos por (u
1(u) −
(Etot/Ftot)
2 u))
2 para obtener:
P, C(u) := 0
+ (0 − Stot
2 + Ftotu
1 + Ftot
u1 −
− Stot
u1 −
= 0. 23)
Por lo tanto, si u1(u) − (Etot/Ftot)
2 (u) 6= 0, el número de soluciones positivas de (10)-(11) no es mayor
en comparación con el número de raíces positivas de P Ł, C(u).
En el caso especial cuando u1(u) − (Etot/Ftot)
2 (u) = 0, por (10), debemos tener u = Etot/Ftot, y
Por lo tanto 1 (Etot/Ftot) =
2 (Etot/Ftot). Sustituyendo en (11), obtenemos una v única definida como en (12) con
u = Etot/Ftot. Pero note que en este caso u = Etot/Ftot es también una raíz de P
En este caso, también en el presente asunto.
el número de soluciones positivas a (10)-(11) no es mayor que el número de raíces positivas de P Ł,C(u).
Es fácil ver que P Ł,C(u) es divisible por u. Considerar el polinomio Q-, C-(u) := P-, C-(u)/u de
grado 2n + 1. Primero vamos a mostrar que Q., C.(u) no tiene más de 2n raíces positivas, entonces probaremos por
contradicción de que dos raíces positivas distintas no se pueden lograr.
Es fácil ver que el coeficiente de u2n+1 es
(l0 · · · n−1)
LMn−1
y el término constante es
FtotKM0
Por lo tanto, el polinomio Q-, C (u) tiene al menos una raíz negativa, y por lo tanto no tiene más de 2n raíces positivas.
Suponga que S, C, tiene la cardenalidad 2n, entonces Q, C(u) debe tener 2n distintas raíces positivas, y cada uno de
ellos tienen multiplicidad uno. Denotemos las raíces como u1,. .., u2n en orden ascendente. Alegamos que ninguna
de ellos es igual a Etot/Ftot. De ser así, habríamos tenido que hacerlo.
1 (Etot/Ftot) =
2 (Etot/Ftot), y Etot/Ftot
ser una doble raíz de Q, C(u), contradicción.
Puesto que Q-,C(0) > 0, Q-,C(u) es positivo en intervalos
I0 = (0, u1), I1 = (u2, u3),. .., In−1 = (u2n−2, u2n−1), In = (u2n,
y negativo en intervalos
J1 = (u1, u2),. .., Jn = (u2n−1, u2n).
Como se ha señalado anteriormente, 1 (Etot/Ftot) 6=
2 (Etot/Ftot), el polinomio Q
Etot/Ftot, C(u) evaluado en Etot/Ftot
es negativo, y por lo tanto, Etot/Ftot pertenece a uno de los intervalos J, digamos Js = (u2s−1, u2s), para algunos
s {1,..., n}.............................................................................................................
Por otra parte, el denominador de v en (22), denotado como B(u), es un polinomio de grado n y
Divisible por u. Si B(u) no tiene raíz positiva, entonces no cambia el signo en el eje positivo de u. Pero v
cambia el signo cuando u pasa Etot/Ftot, por lo tanto v2s−1 y v2s tienen signos opuestos, y uno de (u2s−1, v2s−1)
y (u2s, v2s) no es una solución a (10)-(11), lo que contradice el hecho de que ambos están en S(l, C).
De lo contrario, existe una raíz positiva ū de B(u) tal que no hay otra raíz positiva de B(u)
entre ū y Etot/Ftot. Conectando ū a Q
Ł,C(u), vemos que QŁ,C(ū) es siempre positivo, por lo tanto, ū
pertenece a uno de los intervalos I, decir It = (u2t, u2t+1) para algunos t {0,...., n}. Hay dos casos:
1. Etot/Ftot < ū. Tenemos
u2s−1 < Etot/Ftot < u2t < ū.
Observe que v cambia el signo cuando u pasa Etot/Ftot, por lo que el correspondiente v2s−1 y v2t tienen diferente
signos, y o bien (u2s−1, v2s−1) /o bien S(l, C) o bien (u2t, v2t) /o bien S(l, C), contradicción.
2. Etot/Ftot > ū. Tenemos
ū < u2t+1 < Etot/Ftot < u2s.
Puesto que v cambia el signo cuando u pasa Etot/Ftot, por lo que los correspondientes v2t+1 y v2s tienen diferentes
Signos, y bien (u2t+1, v2t+1) /o bien S(, C) o bien (u2s, v2s) /o bien S(, C), contradicción.
Por lo tanto, a lo sumo 2n - 1 estado estacionario.
4.3 Límites superiores ajustados
En la sección anterior, hemos visto que cualquier (u, v) â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM, u 6= Etot/Ftot debe satisfacer (22)-(23), pero
no todas las soluciones de (22)-(23) son elementos de S(l, C). Supongamos que (u, v) es una solución de (22)-(23), es
en S(, C) si y sólo si u, v > 0. En algunos casos especiales, por ejemplo, cuando la enzima es en exceso, o la
sustrato es en exceso, se podría contar el número de soluciones de (22)-(23) que no están en S(, C) para obtener
un mejor límite superior.
El siguiente es un resultado estándar sobre la continuidad de las raíces; véase, por ejemplo, Lemma A.4.1 en [30]:
Lemma 3 Let g(z) = zn + a1z
n−1 + · · · ser un polinomio de grado n y coeficientes complejos que tengan
raíces distintas
1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, 1 °, ............................................
con multiplicidades
n1 + · · nq = n,
respectivamente. Teniendo en cuenta cualquier tamaño lo suficientemente pequeño > 0 existe un فارسى > 0 de modo que, si
h(z) = zn + b1z
n−1 + · · bn, ai − bi < فارسى para i = 1,..., n,
entonces h tiene precisamente ni raices en B(i) para cada i = 1,..., q.
Teorema 4 Por cada γ > 0 y R6n−6+
1 (γ) 6=
2 (γ), y cada Stot > 0, existe
Para todos los números positivos Etot, Ftot satisfacer Ftot = Etot/γ < Ł2Stot/γ, el sistema
En la mayoría de los casos, los estados estables de n+1 son positivos.
Prueba. Definamos una función R+ × C C como sigue:
•,γ,Stot(, u) = Q
En este contexto, la Comisión considera que, en el marco de la Decisión de incoación, las ayudas estatales concedidas en virtud del artículo 107, apartado 1, del Tratado deben considerarse compatibles con el mercado interior.
y un conjunto B
,γ,Stot() que consiste en las raíces de Q
En el caso de los productos que no sean positivos o de los correspondientes, el valor de los mismos será igual o superior al de los productos que no sean positivos.
v’s determinado por u’s como en (22) no son positivos, desde Q
Es un polinomio de grado 2n + 1,
si podemos demostrar que existe 2 > 0 tal que para cualquier • • (0, •2), Q
En el caso de los productos de origen animal, el valor de los productos de origen animal se calculará de acuerdo con el método de ensayo descrito en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013, con arreglo a lo dispuesto en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 1303/2013.
contar las multiplicidades que están en B
Entonces hemos terminado.
Para aplicar Lemma 3, consideramos la función Q
,γ,Stot, tal como se define en R× C. At = 0:
En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los neumáticos de dos ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
2 γ − u)
2 + (0 − Stot
2 )u
1 −
2)(γ − u)− Stot(u
1 −
= [0
2 γ − u)
2 + 0
1 −
2)(γ − u)− Stot
1 −
2)(γ − u)− Stot(u
1 −
= [0 (γ − u)u
1 − ♥
2) + Stotu(u
1 −
2 ).............................................................................................................................................................................................................................................................
2 − ♥
1)]/u
= (2 −)
1 )u.............................................................................................................................................................................................................................................................
0 + Stot(u
1 −
2 )−
= (2 −)
*,γ,Stot(0, u)
Denotemos las distintas raíces de Q
Stot(0, u)/u as
u1,. ..............................................................
con multiplicidades
n1 + · · nq = 2n+ 1,
y las raíces de 1 −
u1,. .., up, p ≤ q,
con multiplicidades
m1 + · · mp = n, ni ≥ mi, para i = 1,..., p.
Para cada i = 1,..., p, si ui es real y positivo, entonces hay dos casos (ui 6 = γ como
1(γ) 6=
2(γ)):
1. ui > γ. Tenemos
1(ui)−
2 (ui) > γ(
1 (ui)−
2 (ui)) = 0.
2. ui < γ. Tenemos
1(ui)−
2 (ui) < γ(
1 (ui)−
2 (ui)) = 0.
En ambos casos,
1(ui)−
2 (ui) y γ − ui tienen signos opuestos, es decir.
1 (ui)−
2(ui))(γ − ui) < 0.
Escojamos > 0 lo suficientemente pequeño como para que las siguientes condiciones se mantengan:
1. Para todos los i = 1,..., p, si ui no es real, entonces Bl(ui) no tiene ninguna intersección con el eje real.
2. Para todos los i = 1,...., p, si ui es real y positivo, la siguiente desigualdad se mantiene para cualquier u real.............................................................................................................................................................................................................................................
(u1(u)−
2 u))(γ − u) < 0. (24)
3. Para todos los i = 1,..., p, si ui es real y negativo, entonces B/23370/(ui) no tiene ninguna intersección con el imaginario
eje.
4. B(uj)
Para todos los j 6 = k = 1,...., q.
Por Lemma 3, existe 3 > 0 tal que para todos • • (0, 3), el polinomio Q
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
nj raices en cada una de las categorías B.(uj), j = 1,..., q, denominadas por u
j (l), k = 1,..., nj.
Nosotros elegimos uno de tales...... y afirmamos que ninguna de las raíces en B.. (ui), i = 1,..... p con la v definida como
en (22) será un elemento en S. Si es así, hemos terminado, ya que hay
1 ni ≥
1 mi = n tales raíces, de
En el caso de los vehículos de las categorías B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B,
,γ,Stot().
Para cada i = 1,..., p, hay dos casos:
1. ui no es real. Entonces la condición 1 garantiza que u
i (l) no es real para cada k = 1,..., ni, y por lo tanto es
,γ,Stot().
2. ui es real y positivo. Elige cualquier raíz u
i () • B(i), k = 1,.......................................................................................................................................................................................................................................................
i () igual a
γ − uki
uki
i) −
i)
) < 0
seguido de (24). Por lo tanto (uki (l), v.
i (l))/S(l, C), y u
i) B) B) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b) b)
,γ,Stot().
3. ui es real y negativo. Por las condiciones 1 y 3, u
i) no es positivo para todos los k = 1,..., ni.
El siguiente teorema considera el caso cuando la enzima es en exceso:
Teorema 5 Por cada uno γ > 0, فارسى R6n−6+
1 (γ) 6=
2(γ), y cada Etot > 0, existe........................................................................................................................................................................................................................................................
tal que para todos los números positivos Ftot, Stot satisfacer Ftot = Etot/γ > Stot/(
a lo sumo un estado estacionario positivo.
Prueba. Por cada γ > 0, • • R6n−6+ de tal manera que •
1 (γ) 6=
2 (γ), y cada Etot > 0, definimos una función
R+ × C C según se indica:
*,γ,Etot(, u) = Q
(Etot, Etot/γ, Etot) (u).
Definamos el conjunto C
Como el conjunto de raíces de Q̄
En el caso de los productos que no sean positivos o de los que no sean positivos, el valor de los mismos será igual o superior al de los productos que no sean positivos.
los v’s correspondientes determinados por u’s como en (22) no son positivos. Si podemos demostrar que existe فارسى3 > 0
de tal manera que para cualquier • • (0, •3) hay a lo sumo una raíz positiva de Q̄
No está en C,γ,Etot.
,γ,Etot(),
Hemos terminado.
Con el fin de aplicar Lemma 3, ahora vemos la función Q̄
,γ,Etot, tal como se define en R× C. A = 0:
*,γ,Etot(0, u) = (γ − u)
(γ − u)
0 +
u1 +
(u1 −
:= (γ − u)R
*,γ,Etot(u).
Denotemos las distintas raíces de Q̄
Etot(0, u)/u as
u1(= γ), u2,. ..............................................................
con multiplicidades
n1 + · · nq = 2n+ 1,
y u2,. .., uq son las raíces de R
En el caso de los productos que no sean γ,γ,Etot(u) y que no sean γ.
Desde 1(γ) 6=
2(γ), R
Etot(u) no es divisible por u- γ, y por lo tanto n1 = 1.
Para cada i = 2,..., q, tenemos
(γ − ui)
0(ui)
2 (ui) = −
0(ui) +
1 (ui) +
2(ui)
1 (ui)−
2 (ui)).
Si ui > 0, entonces
0(ui)
2 (ui) y
0 (ui) +
1 (ui) +
2 (ui) son ambos positivos. Desde el 1 de enero de 1999
1(ui)−
2(ui) y γ − ui son no cero, ui
1 (ui)−
2 (ui) y γ − u debe tener signos opuestos, es decir
1 (ui)−
2(ui))(γ − ui) < 0.
Escojamos el número de puntos lo suficientemente pequeños como para que las siguientes condiciones se mantengan para todos los i = 2,..., q:
1. Si el ui no es real, entonces Bl(ui) no tiene ninguna intersección con el eje real.
2. Si el ui es real y positivo, entonces para cualquier u real, la siguiente desigualdad sostiene:
(u1(u)−
2 u))(γ − u) < 0. (25)
3. Si ui es real y negativo, entonces Bl(ui) no tiene ninguna intersección con el eje imaginario.
4. B(uj)
Para todos los i 6 = k = 2,...., q.
Por Lemma 3, existe 3 > 0 tal que para todos (0, 3), el polinomio Q̄
*,γ,Etot(, u) tiene exactamente
nj raices en cada una de las categorías B.(uj), j = 1,..., q, denominadas por u
j (l), k = 1,..., nj.
Elegimos uno de estos, y si podemos demostrar que todas las raíces en B. (ui), i = 2,...., q están en C.
,γ,Etot(),
entonces hemos terminado, ya que las únicas raíces que pueden no estar en C
Las raíces en B.(u1), y allí
es una de las raíces de la raíz B.(u1).
Para cada i = 2,..., p, hay tres casos:
1. ui no es real. Entonces la condición 1 garantiza que u
i) no es real para todos los k = 1,..., ni.
2. ui es real y positivo. Elige cualquier raíz u
i (l), k = 1,....................................................................................................
i () igual a
γ − uki
uki
i))–
i)
Por lo tanto, uki está en C
,γ,Etot().
3. ui es real y negativo. En las condiciones 1 y 3, u
i) no es positivo para todos los k = 1,..., ni.
5 Conclusiones y debates
Aquí hemos establecido un modelo matemático para ciclos de fosforilación-defosforilación multisitio de tamaño
n, y estudió el número de estados estacionarios positivos basados en este modelo. Hemos reformulado la cuestión.
del número de estados estables positivos a la cuestión del número de raíces positivas de ciertos polinomios,
a través de la cual también aplicamos técnicas de perturbación. Nuestros resultados teóricos dependen de la suposición
de cinética de acción masiva y mecanismo secuencial distributivo, que son habituales en el estudio de multisitio
fosforilación y desfosforilación.
Se obtiene un límite superior de 2n−1 estados estacionarios para combinaciones arbitrarias de parámetros. Biológicamente,
cuando la concentración del sustrato supera en gran medida la de la enzima, hay como máximo n + 1 (n) constante
indica si n es par (odd). Y este límite superior se puede lograr en condiciones cinéticas adecuadas, ver
Teorema 1 para la construcción. En el otro extremo, cuando la enzima es en exceso, hay un único
Estado estacionario.
Como caso especial de n = 2, que se puede aplicar a un único nivel de cascadas MAPK. Nuestros resultados
garantiza que no hay más de tres estados estables, consistentes con simulaciones numéricas en [17].
Notamos que hay una brecha aparente entre el límite superior 2n−1 y el límite superior de n+1
n) si n es incluso (od) cuando el sustrato es en exceso. Si pensamos que la relación Etot/Ftot como un parámetro
entonces cuando 1, hay a lo sumo n+1 (n) estados estacionarios cuando n es par (odd), que coincide con el
el límite inferior más grande posible. Cuando se trata de la primera, hay un estado estacionario único. Si el número de estados estacionarios
cambios “continuamente” con respecto a..........................................................................................................................................................................................................................................................
n + 1 (n) si n es par (odd). Así que una conjetura natural sería que el número de estados estacionarios nunca
superar n+ 1 bajo cualquier condición.
6 Reconocimiento
Agradecemos a Jeremy Gunawardena por sus útiles discusiones.
7 Apéndice
prueba de Lemma 2: Recordar que (la caída de la u en i, i = 0, 1, 2)
•,γ,Stot(0, u) = u0 + Stot(u
1 −
2) -
*,γ,Stot*
(0, u) = 0 + Stot(u
1 −
′ − (γ − u)(0 )
A partir de la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión, los Estados miembros comunicarán a la Comisión el texto de la presente Decisión.
,γ,Stot(0, ū) = 0,
Stot(
1 −
2 ) = (γ − ū)
es decir,
γ − ū =
Stot(
1 −
Por lo tanto,
*,γ,Stot*
(0, ū) = 0 + Stot(u
1 −
Stot(
1 −
(0)
= 0 +
0(u
1 −
′ − (1 −
= 0 +
((1 +
2 + · · · + Ł0 · · n−1ū
(1− 0) + 2
(1− 1) · · n
*0 · · · n−2
KMn−1
(1− n−1)ū
*0 + 20011· · · · + n0· · n1ū
(1− 0)
(1− 1)ū
2 + · ·
-0 · · n−2
KMn−1
(1− n−1)ū
= 0 +
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
(j + 1− i)
* 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(1− j)ū
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
+ Stot
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
(j + 1− i)
* 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(1− j)ū
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
0 · · n−1ū
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
1 + Stot(j + 1− i)
1 − j
donde el producto 0 · · · 1 se define como 1 para la conveniencia de la notación.
Debido a (21),
(j + 1− i)
1− j
por lo que tenemos
*,γ,Stot*
(0, ū) > 0.
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[31] M. Feinberg. Estructura de la red de reacción química y estabilidad de los reactores isotérmicos complejos:
II. Múltiples estados estacionarios para redes de deficiencia uno. Chem. Eng. Sci., 43,1–25, 1988.
[32] P. Ellison, M. Feinberg. Cómo los mecanismos catalíticos se revelan en múltiples datos del estado estacionario: I.
Principios básicos. J. Symbolic Comput., 33, 275-305, 2002.
[33] C.M. Furdui, E.D. Lew, J. Schlessinger, K.S. Anderson. Autofosforilación de la FGFR1 quinasa es
mediada por una reacción secuencial y ordenada con precisión. Celda Molecular, 21, 711-717, 2006.
http://arxiv.org/abs/math/0701575
Introducción
Hipótesis modelo
Formalismo matemático
Número de estados estables positivos
Reducción del límite en el número de estados estables positivos
Límite superior en el número de estados estacionarios
Límites superiores ajustados
Conclusiones y debates
Reconocimiento
Apéndice
|
704.0037 | The discrete dipole approximation for simulation of light scattering by
particles much larger than the wavelength | La aproximación discreta del dipolo para la simulación de la dispersión de la luz por partículas mucho más grandes que la longitud de onda
La aproximación discreta del dipolo para la simulación de la dispersión de la luz
por partículas mucho más grandes que la longitud de onda
M.A. Yurkina,b*, V.P. Maltsevb, c, y A. G. Hoekstraa*
a Sección de Ciencias Computacionales, Facultad de Ciencias, Universidad de Amsterdam, Kruislaan
403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos
b Instituto de cinética química y combustión, sección siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias, Institutskaya Str. 3, 630090, Novosibirsk, Rusia
c Universidad Estatal de Novosibirsk, Pirogova Str. 2, 630090, Novosibirsk, Rusia
Resumen
En este manuscrito investigamos las capacidades de la Aproximación Discreta del Dipolo
(DDA) para simular la dispersión de partículas que son mucho más grandes que la longitud de onda de la
luz incidente, y describir un programa informático DDA disponible al público optimizado que
procesa el gran número de dipolos necesarios para tales simulaciones. Simulaciones numéricas de
dispersión de luz por esferas con parámetros de tamaño x hasta 160 y 40 para índice refractivo
y 2 respectivamente se presentan y se comparan con los resultados exactos de la teoría de Mie.
Los errores tanto de las cantidades de dispersión integrales como de las soluciones angulares generalmente aumentan con m y m.
no muestran dependencia sistemática de x. Los tiempos computacionales aumentan considerablemente con x y
m, alcanzando valores de más de 2 semanas en un clúster de 64 procesadores. La principal característica
función del programa informático es la capacidad de paralelizar una simulación DDA única sobre un
clúster de computadoras, que le permite simular la dispersión de la luz por partículas muy grandes, como
los que se consideran en este manuscrito. Limitaciones actuales y posibles formas de
se discuten las mejoras.
05.1=m
Palabras clave: aproximación discreta del dipolo, simulación de dispersión de luz, programa informático
* Autores correspondientes. Tel.: +31-20-525-7462; fax: +31-20-525-7490.
Dirección de correo electrónico: myurkin@science.uva.nl, alfons@science.uva.nl
1 Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método general para calcular la dispersión y
absorción de ondas electromagnéticas por partículas de geometría y composición arbitrarias. Los
DDA fue propuesto por primera vez por Purcell y Pennypacker [1] y fue revisado por Draine y
Flatau en 1994 [2]. Una revisión reciente [3] describe el estado actual del DDA y su
desarrollo histórico. También explica la equivalencia del DDA y los métodos basados en el
formulación integral de la ecuación del volumen. El lector se remite a esta revisión para un análisis en profundidad
el debate sobre el Programa de Doha para el Desarrollo.
Hay una serie de programas informáticos basados en el DDA, algunos de los cuales fueron
recientemente comparado por Penttila et al. [4]. El más popular entre ellos es DDSCAT [5],
que ha sido ampliamente utilizado por muchos investigadores durante más de 10 años. En este artículo
presentar un nuevo programa, Amsterdam DDA (ADDA), que recientemente se ha puesto en el público
dominio.1 Su principal característica distintiva es la capacidad de paralelizar una simulación DDA única sobre
un clúster de ordenadores, que permite simular la dispersión de la luz por partículas muy grandes.
Esto se demuestra para una serie de casos de prueba en este manuscrito. Validación de ADDA por
simulando la dispersión de la luz por partículas del tamaño de la longitud de onda y comparándola con otras DDA
los programas fueron reportados en otra parte [4].
La sección 2 describe en detalle el código informático ADDA, mostrando sus ventajas
en comparación con otros códigos. En la sección 3 se muestran una serie de pruebas numéricas, que demuestran:
que DDA es realmente capaz de procesar partículas grandes, y mostrando las capacidades actuales
de ADDA. Los resultados de estas simulaciones se analizan en la sección 4; se comparan los errores
con resultados previos para partículas mucho más pequeñas. Sección 5 concluye el manuscrito y
examina la posible labor futura.
2 Código informático ADDA
ADDA se ha desarrollado a lo largo de un período de más de 10 años en la Universidad de
Amsterdam [6-8]. Su principal característica (distintiva de otros códigos DDA) siempre ha sido la
la capacidad de ejecutar en un clúster de computadoras, paralelismo de un solo cálculo DDA, en
contraste con, por ejemplo, DDSCAT [5] que permite la cría de varias instancias de un DDA
simulación a diferentes procesadores. Esto permite utilizar un número prácticamente ilimitado de
dipolos, ya que el ADDA no está limitado por la memoria de un solo ordenador [8,9]. Últimamente el
El rendimiento global del código se ha mejorado significativamente, junto con algunos
optimizaciones específicas para el modo de un solo procesador. Código fuente de ADDA y
la documentación está disponible gratuitamente.
La mayor parte de ADDA está escrito en ANSI C, que garantiza una amplia portabilidad en el código fuente
nivel. El código está completamente operativo bajo Linux y, en modo secuencial, en Windows basado
sistemas. La paralelización sobre múltiples procesadores se basa en una descomposición geométrica
de la partícula y el paradigma de un solo programa-múltiple-datos de la computación paralela. Los
el código se escribe para los sistemas de memoria distribuidos utilizando la interfaz de paso de mensajes (MPI).2
Tenga en cuenta que ADDA en principio también debe ejecutarse en ordenadores de memoria compartida, pero hasta ahora esto
no fue probado explícitamente. La transformación rápida de Fourier (FFT) utilizada para los productos de matriz-vector
en el solucionador iterativo se realiza ya sea utilizando rutinas de Temperton [10] o más
paquete avanzado “Fastest Fourier transform in the West” (FFTW) [11]. Esta última es la siguiente:
generalmente mucho más rápido, pero requiere una instalación de paquete separado.
ADDA tiene cuatro opciones implementadas para las polarizaciones del dipolo: Clausius-Mossotti [1],
Corrección de la reacción radiativa [12], relación de dispersión de celosía (LDR) [13], y LDR corregida
[14]. Incluye cuatro métodos iterativos: gradiente conjugado aplicado a la ecuación normalizada
con minimización de la norma residual (CGNR) [15], Bi-CG estabilizado (Bi-CGSTAB) [15], Bi-
1 http://www.science.uva.nl/research/scs/Software/adda/
2 http://www.mpi-forum.org
http://www.science.uva.nl/research/scs/Software/adda/
http://www.mpi-forum.org/
CG [16], y cuasi residual mínimo (QMR) [16]. Los dos últimos métodos iterativos emplean el
propiedad compleja-simétrica de la matriz de interacción DDA para reducir a la mitad el tiempo de cálculo [16].
El criterio de parada por defecto del método iterativo en ADDA es la norma relativa de la
Residual, que debe ser. 510
La formulación habitual de DDA puede escribirse como [2,3]:
jijii EPGP =−
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde iα es el tensor de la polarización del dipolo, es el campo eléctrico incidente,
iE ijG es el libre-
espacio El tensor de Green (complejo simétrico), y Pi es la polarización dipolo desconocida. Si la
polarizabilidad tensor es diagonal para todos los dipolos entonces siempre existe un iβ tal que
iii =, es decir, ii • =. Por otra parte, iβ es entonces complejo simétrico, y así es la matriz con
elementos
A, (2)
donde soy un tensor de identidad. A es la matriz de interacción que se utiliza en ADDA, es decir. la
se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
jjijii
jij ExGxxA =−=
, (3)
donde iii Px
1−= β es un nuevo vector desconocido. Eq. (3) es equivalente al uso de Jacobi-
[15] junto con el mantenimiento de la matriz de interacción compleja-simétrica (para cualquier
distribución del índice de refracción dentro del scatter y para cualquiera de las polarizaciones soportadas
medicamentos recetados). No hemos estudiado, sin embargo, si este Jacobi-preacondicionamiento mejora
la convergencia del solucionador iterativo. Flatau mostró [17] que en algunos casos de prueba ayuda,
mientras que en otros no hay mejoría. Es importante señalar también que el DDA no se limita a
polarizaciones diagonales o simétricas. Cualquier otro tensor puede ser utilizado, pero luego la interacción
matriz no es complejo-simétrico; por lo tanto, QMR y Bi-CG son menos eficientes.
ADDA puede realizar el promedio de orientación de las cantidades de dispersión sobre tres Euler
ángulos (α, β, γ) de la orientación de las partículas. Average sobre el ángulo α se hace con una sola
cálculo de los campos internos mediante la computación de dispersión en diferentes planos de dispersión, que es
Comparablemente rápido. Average sobre los otros dos ángulos de Euler es hecho por DDA independiente
simulaciones. El promedio en sí mismo se realiza utilizando una integración de Romberg [18], que puede
se utilizará de forma adaptativa (es decir, simulando automáticamente el número requerido de diferentes orientaciones
para alcanzar una precisión prescrita) pero limita el posible número de valores para cada orientación
ángulo a ser, Donde n es un entero. Además, se pueden utilizar las simetrías del esparcidor
para disminuir los intervalos de los ángulos de Euler, sobre los cuales a la media, y por lo tanto acelerar la
cálculo. Esta característica de ADDA fue probada en un estudio de referencia reciente [4].
12 +n
Otras características de ADDA incluyen el cálculo de la dispersión por un
Vigas gaussianas [6], un sistema de puntos de control para permitir largos recorridos en sistemas de cola que
hacer cumplir los límites superiores en el tiempo de reloj de pared para la ejecución, como suele ser el caso de forma masiva
superordenadores paralelos, cálculo de las fuerzas de radiación en cada uno de los dipolos [19], uso de
simetría rotacional del esparcidor para reducir a la mitad el tiempo de simulación, y un comando extendido
interfaz de línea. Algunas otras características, como la aplicabilidad a los dispersadores anisotrópicos y una gran
un conjunto de formas predefinidas, están previstas para ser implementadas en un futuro próximo.
Hay varios factores que permiten que el desempeño de ADDA se compare favorablemente con
otros códigos, que se mostró en un estudio de referencia realizado por Penttila et al. [4]. En primer lugar, la
FFTW 3 paquete que se utiliza automáticamente se adapta a sí mismo para realizar de manera óptima en cualquier
particular hardware. Por otra parte, ADDA no realiza transforms completos 3D FFT en uno
ejecutar, pero los descompone en un conjunto de 1D transforma con la transposición de datos en el medio. Esto
permite emplear el hecho de que los datos de entrada para la transformación hacia adelante contiene muchos ceros, y
0 20 40 60 80 100 120 140 160
(10−5,10−3)
Parámetro de tamaño x
• • = 10 - 5
70 GB
Fig. 1. Capacidades actuales de la ADDA para esferas con diferentes x y m. La región a rayas
corresponde a la plena convergencia y a la región densamente incubada a la convergencia incompleta. Los despedazados
líneas muestran dos niveles de requisitos de memoria para la simulación, de acuerdo con la “regla del pulgar”
(véase la explicación en el texto principal).
solo se utiliza una parte de los datos de salida de la transformación inversa [8]. En segundo lugar, tenemos
implementó cuatro diferentes solucionadores iterativos basados en el espacio de Krylov, lo que nos permite elegir la
el más adecuado para una aplicación en particular. Como se conoce en la literatura [17,20,21] y
demostrado en la sección 3, no hay un mejor solucionador iterativo para el DDA. Dependiendo de todos
detalles del problema de dispersión, cualquiera de los métodos puede superar a los demás. Tercero,
asignación de memoria dinámica y estructuras de datos optimizadas permiten todos los cálculos, excepto el
FFT, que debe realizarse sólo para los dipolos reales (no nulos) y no para todo el computacional
caja. Esto también disminuye el consumo de memoria de ADDA. Por otra parte, la simetría de la
matriz de interacción se utiliza para disminuir la memoria necesaria para su transformación de Fourier. Por último, todos
Las variables flotantes en ADDA se representan en doble precisión. Esto acelera la convergencia en
casos en que la precisión de la máquina se vuelve importante. Por otra parte, las operaciones básicas con doble
Los números de precisión pueden ser más rápidos que con los de una precisión en los procesadores modernos. Esto
aceleración se produce a un costo de aumento del consumo de memoria, que, sin embargo, sigue siendo menor
que para otros códigos informáticos [4].
Más información sobre ADDA se puede encontrar en un amplio manual incluido en el
paquete de distribución.
3 simulaciones numéricas
3.1 Parámetros de simulación
En nuestras pruebas utilizamos ADDA v.0.75, compilado con el compilador Intel C v.9.0 con máximo
posibles optimizaciones (opciones predeterminadas en el makefile de ADDA). Todas las pruebas se llevaron a cabo en el
Clúster de computación holandés LISA,3 utilizando 32 nodos (cada procesador Intel Xeon dual de 3,4 GHz con
4 GB RAM). Se utilizó LDR como la formulación de polarización más común. Lo hemos intentado.
tres solucionadores iterativos diferentes: QMR, Bi-CG y Bi-CGSTAB. Para todos ellos un valor predeterminado
se utilizó el criterio de parada. 510−=
3 http://www.sara.nl/userinfo/lisa/description/
http://www.sara.nl/userinfo/lisa/description/
Cuadro 1 Parámetros de las simulaciones numéricas.
m x /md
Número de
Dipolesa Método iterativo
Número de
iteraciones
20 9,6 2,6×105 Bi-CGSTAB 6
30 9,6 8,8×105 Bi-CGSTAB 7
40 9,6 2,1×106 Bi-CGSTAB 9
60 9,6 7,1×106 Bi-CGSTAB 14
80 9,6 1,7×107 Bi-CGSTAB 20
100 9,6 3,3×107 Bi-CGSTAB 27
130 10,3 9,0×107 Bi-CGSTAB 40
1,05
160 9,6 1,3×108 Bi-CGSTAB 65
20 10.5 5.1×105 QMR 86
30 11,2 2,1×106 QMR 223
40 10,5 4,1×106 QMR 598
60 9,8 1,1×107 QMR 2120
80 10,5 3,3×107 Bi-CGSTAB 21748
100 10,1 5,7×107 Bi-CGSTAB 6169
130 10,3 1,3×108 Bi-CGSTAB 29200
20 10,8 8,8×105 QMR 1344
30 10,8 3,0×106 QMR 16930
40 10,8 7,1×106 QMR 8164
60 9,6 1,7×107 Bi-CG 127588
20 11,0 1,4×106 QMR 8496 1,6
10.5 4.1×106 Bi-CG 69748
20 11,2 2,1×106 QMR 28171 1,8
30 10,2 5,5×106 Bi-CG 118383
2 20 10,1 2,1×106 QMR 58546
a Este es el número total de dipolos en la cuadrícula computacional rectangular, que es el factor principal que determina
el tiempo de cálculo de una iteración. Para las esferas el número de dipolos ocupados por el scatter en sí es casi
dos veces más pequeño.
0 5000 10000 15000 20000 25000
Número de iteraciones
Fig. 2. Convergencia del solucionador iterativo QMR para la esfera con x = 20 y m = 1,8. El residuo
como función del número de iteración se muestra. El sistema de ecuaciones lineales contiene 3×106
incógnitas.
Las esferas se utilizaron como objetos de prueba. Su tamaño parámetro x fue variado de 20 a 160 y
su índice de refracción m fue variado de 1,05 a 2. Nos limitamos al caso de m real.
Las capacidades actuales de ADDA se muestran como una región del plano (x,m) en la Fig. 1. Los
región densamente eclosionada corresponde a la plena convergencia, la región densamente eclosionada corresponde a
los casos en que el ADDA no podía converger plenamente con la norma residual requerida, sino únicamente con
20 40 60 80 100 120 140 160
106 1 semana
1 día
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
1 min
1 hora
Fig. 3. Tiempo total del reloj de pared de simulación (en 64 procesadores) para esferas con x y m diferentes. El tiempo es
se muestra en escala logarítmica. Líneas horizontales punteadas correspondientes a un minuto, una hora, un día y un
semana se muestran para comodidad.
20 40 60 80 100 120 140 160
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
Fig. 4. Errores relativos de la eficiencia de extinción en escala logarítmica para esferas con diferentes x y
)10,10( 35 . Aunque esta convergencia incompleta probablemente afecte a la exactitud final de
las cantidades de dispersión sólo ligeramente, eliminamos tales resultados de la consideración posterior
porque se requiere un estudio separado para cuantificar este efecto (véase la sección 4). Por totalmente convergente
resultados, los errores de dispersión de cantidades debido a la convergencia numérica son mucho más pequeños
que los errores totales (datos no mostrados).
En la Tabla 1 se muestra un conjunto completo de pares (x,m), para los cuales convergió ADDA. También
muestra el número de dipolos por longitud de onda en el medio ( md/
dipolo). Tratamos de mantenerlo igual a 10 según la “regla del pulgar” tal como fue formulada por
Draine y Flatau [2]; sin embargo, fue ligeramente diferente porque variamos el tamaño de la
cuadrícula de dipolo para optimizar la eficiencia paralela de ADDA.4 El número total de dipolos en una
cuadrícula computacional rectangular, que se muestra en la Tabla 1, se varió de 2.6×105 a 1.3×108, puede
4 El mejor rendimiento paralelo se obtiene cuando el tamaño de la red divide el número de procesadores. Sin embargo, ADDA
funciona con cualquier tamaño de cuadrícula.
20 40 60 80 100 120 140 160
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
Fig. 5. Igual que Fig. 4 pero ahora para el parámetro de asimetría.
20 40 60 80 100 120 140 160
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
Fig. 6. Máximo error relativo de S11 en escala logarítmica para esferas con x y m diferentes.
se determinará aproximadamente como. Requisitos de memoria y tiempo de computación
de una iteración son proporcionales a este número. Dos líneas discontinuas se muestran en
3)18.3( xm
Fig. 1 a
indicar los requisitos de memoria para diferentes x y m. Corresponden a la memoria típica
de un ordenador de escritorio moderno (2 GB) y la memoria total máxima utilizada en nuestro
simulaciones (70 GB), respectivamente.
Para cada esfera computamos la eficiencia de extinción, el parámetro de asimetría, y
todos los elementos de la matriz de Mueller en un plano de dispersión, que es un plano de simetría del cubículo
discretización de la esfera. Se obtuvieron resultados exactos para las mismas esferas utilizando el Mie
teoría [22]. La simetría esférica fue utilizada por ADDA para obtener todos los resultados de los cálculos para
Sólo un estado de polarización del campo de incidentes. Por lo tanto el tiempo de cálculo es un factor de dos
menor que para los dispersores no simétricos con la misma x y m. Empleamos un volumen
corrección para garantizar volúmenes iguales de esfera y su representación dipolo [2]. No obstante, cabe señalar que:
que para las esferas muy grandes esta corrección es extremadamente pequeña.
3.2 Resultados
La Tabla 1 muestra el solucionador iterativo que proporcionó el mejor rendimiento para cada caso particular.
y el número de iteraciones para lograr la convergencia. Fig. 2 ilustra un ejemplo específico de
20 40 60 80 100 120 140 160
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
Fig. 7. Igual que Fig. 6 pero ahora para los errores relativos RMS.
0 30 60 90 120 150 180
170 175 180
Ángulo de dispersión , grados
Fig. 8. los resultados de DDA (línea punteada) de S11 en escala logarítmica para una esfera con x = 160 y m = 1,05,
en comparación con los resultados de la teoría de Mie (línea sólida).
convergencia del solucionador iterativo DDA. Esto es QMR aplicado al sistema de 31-106 lineal
ecuaciones obtenidas para la esfera con 20=x y 8,1=m. El reloj de pared de simulación total
tiempo t para todas las partículas se muestra en la Fig. 3. Fig. 4 y Fig. 5 muestran los errores relativos de la
eficiencia de extinción Qext y el parámetro de asimetría. Máximo -
y raíz-media-cuadrado (RMS) errores relativos de S11 en todo el rango de ángulo de dispersión
se muestran en la Fig. 6 y Fig. 7 respectivamente. Errores de otra matriz de Mueller no trivial
los elementos se comportan de manera similar (datos no mostrados).
Los resultados de DDA de S11 para una esfera con 160 = x y 05,1 = m se comparan con la
Teoría Mie en Fig. 8. El conjunto muestra un aumento de la región de retrodispersión. Esto es, a
lo mejor de nuestro conocimiento, la partícula más grande jamás simulada con DDA. Fig. 9 y Fig. 10
mostrar las mismas comparaciones pero para 60 = x, 4.1 = m y 20 = x, 2 = m respectivamente.
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
Fig. 9. Igual que Fig. 8 pero ahora para x = 60 y m = 1.4.
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
Fig. 10. Igual que Fig. 8 pero ahora para x = 20 y m = 2.
4 Debate
La convergencia del solucionador iterativo QMR se muestra en la Fig. 2, con mesetas y empinadas
descensos, está de acuerdo tanto con su comportamiento en general [16] como con ejemplos particulares
de su aplicación a la DDA [20,23]. Una característica distintiva de este gráfico en comparación con el
datos de la literatura es que la convergencia se desacelera con el número de iteración, es decir. el logaritmo de
la norma residual disminuye más lentamente que linealmente. Esto es probablemente debido al gran tamaño de la
Dispersor y pérdida de precisión numérica (ver discusión a continuación).
Los tiempos totales de cálculo t aumentan considerablemente tanto con x como con m (Fig. 3). El tiempo es
se muestra en una escala logarítmica que abarca un rango de 4 segundos a más de 2 semanas. Por
, el aumento de t con x se debe principalmente al creciente número de dipolos al modelo
el esparcidor, ya que el número de iteraciones aumenta a un ritmo más lento (
05.1=m
Cuadro 1 Para m más grande
estos dos efectos son comparables, combinando en una escala muy desfavorable, que puede ser
aproximadamente descrito por una ley de poder, donde )() mxmCt 6 para. Debería
tenga en cuenta que tanto el número de iteraciones como t no siempre aumentan monótonamente con x.
Por ejemplo, para, y
2,1 ≥ m
80=x 2,1=m 30=x, 4,1=m los tiempos de ejecución son inusualmente altos.
Esto puede ser causado por un gran número de matrices de interacción DDA condición para estas dos
partículas particulares. Además, cuando la convergencia es lenta puede sufrir de la máquina
precisión, este último determina el límite de x y m, para el cual ADDA convergerá en absoluto.
Por lo tanto, las actuales limitaciones de tamaño de la DDA para se deben a la práctica
tiempos de cálculo insoportables, y no debido a los requisitos de memoria.
2,1 ≥ m
5 Simulaciones para mayor tamaño
m están lejos del límite de memoria que se muestra en la Fig. 1. Por otra parte, simplemente el uso de más procesadores
no resuelve el problema. Es necesario mejorar el rendimiento numérico, por ejemplo. dedicado
el preacondicionamiento del solucionador iterativo [15]. Por otro lado, la extensión a tamaños más grandes para
es factible si se dispone de más recursos informáticos. Esto facilita, por ejemplo,
simulando la dispersión de la luz visible por casi todas las células biológicas en suspensión.
2.1<m
El aumento del número de iteraciones con m es un hecho bien conocido [12,17,21,24];
Sin embargo, todavía no hay fundamento teórico para describirlo en detalle. Rahola [24]
predicciones teóricas de la dependencia del número de iteraciones en m, válido para los esparcidores
más pequeño que la longitud de onda. Sin embargo, estas conclusiones no son aplicables a los esparcidores
estudiado en este manuscrito. La razón general de la ralentización de la convergencia con
aumento de m es mayor interacción entre los dipolos y, por lo tanto, un aumento de la condición
número de la matriz de interacción. La absorción, si está presente, debe disminuir la
interacción entre los dipolos en un dispersor grande. Por lo tanto, se espera que la convergencia para
Los índices de refracción complejos deberían ser mejores que los puramente reales que consideramos aquí.
Lo mismo fue sugerido por Budko y Samokhin [25] basándose en el análisis del espectro
del operador de dispersión integral. Sin embargo, esta propuesta aún no ha sido verificada por
pruebas numéricas.
Otro parámetro que puede afectar en gran medida el tiempo de cálculo es la convergencia
Umbral de la letra a) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. En este documento se establece un valor por defecto de de-facto de 10-5 [2], que garantiza
errores numéricos insignificantemente pequeños en comparación con los errores del modelo. Sin embargo, en muchos casos
Los errores numéricos ya son lo suficientemente pequeños para, es decir. la diferencia de la dispersión
cantidades entre simulaciones con y es significativamente menor que la
diferencia entre este último y los valores exactos (datos no mostrados).
310−=
310 − = 510 − = 310 + 510 = + 310 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 +
Fig. 2 muestra que QMR
para un caso particular converge a y tres y seis veces más rápido
respectivamente que a. Resultados para otras partículas simuladas y solvedores iterativos muestran
tendencias similares y una aceleración aún mayor, con un aumento de la tasa de crecimiento en algunos casos (datos no mostrados).
Por lo tanto, si se puede determinar un óptimo de un caso en particular, puede disminuir la
tiempo de cálculo significativamente. Sin embargo, no perseguimos esta cuestión en esta cuestión.
manuscrito.
3102 =.............................................................................................................................................................................................................................................................
510−=
Fig. 4 muestra el deterioro de la precisión de Qext con el aumento de m, mientras que hay
no hay una clara dependencia de x (la única excepción es un único resultado para ). Resultados para 2=m
(Fig. 5) comportarse de una manera similar. Estos resultados están de acuerdo con los resultados de
otros investigadores para parámetros de menor tamaño [2,13,26], tanto en términos de los propios errores
y su dependencia de m. Para expresar errores en las dependencias angulares de S11 utilizamos dos
parámetros integrales: el máximo - y los errores relativos RMS (Fig. 6 y Fig. 7 respectivamente).
Aunque estos parámetros no son completamente objetivos, ya que están significativamente influenciados
por los valores de S11 en mínimos profundos, que son completamente irrelevantes para la mayoría real
Los experimentos proporcionan una medida consistente de la exactitud del DDA. Para relacionarlos
parámetros integrales de otros criterios, por ejemplo: acuerdo visual, se presentan tres ejemplos
en Fig. 8 – Fig. 10. Los errores de S11() muestran las mismas tendencias que la dispersión integral
las cantidades, con la excepción de que los errores para son relativamente grandes (más grandes que los para
el rango ) y generalmente disminuyen con x. Esto se debe a la naturaleza relativa de la
errores medidos y el enorme rango dinámico de S
05,1=m 2,1=m
11 para los pequeños índices de refracción (véase la Fig.
8). Los resultados para parámetros de menor tamaño encontrados en la literatura [2,26] muestran un aumento similar de
5 El valor límite de m no está bien definido, ya que depende de un hardware particular y restricciones de
tiempo de cálculo; 1.2 es sólo un valor conveniente para guiar al lector.
errores con m: sin embargo, los errores en sí son considerablemente más pequeños. Por ejemplo,
Los errores relativos máximos de S11( ) para 10 < x y m hasta i4.15.2 + son menores que 0.4. Esto
se debe a las diferencias generales entre las funciones S11( ) para partículas comparables a y
mucho más grande que la longitud de onda. Este último tiene mínimos más profundos y una dinámica global más amplia
Rango. Es importante señalar que los índices de refracción tan pequeños como 1,05 rara vez se utilizan en el DDA.
simulaciones [26], por lo tanto, es difícil hacer conclusiones definitivas sobre el comportamiento
de errores en este caso.
En lo que sigue, se discute la tradicional “regla del pulgar” [2], que establece que:
Se espera que los errores de las secciones transversales y el parámetro de asimetría sean algunos
porcentajes, y errores máximos en la dependencia angular de S11 del orden del 20-30 %.
Los resultados tanto para Qext como para -cos satisfacen la “regla del pulgar,” sin embargo, esta regla no
describir la disminución de los errores en dos órdenes de magnitud con la disminución m. Este último puede
utilizar para reducir el número de dipolos y, por lo tanto, el tiempo de cálculo en los casos en que sólo
las cantidades de dispersión integral deben calcularse para los m pequeños.
mucho más grande que el predicho por la “regla del pulgar,” que se debe al hecho de que este último
se ha obtenido sobre la base de simulaciones de ensayo para x menores de 10 [2]. Véase, sin embargo, el debate
a continuación sobre posibles cambios en el índice de refracción complejo y en las formas no esféricas. A
conclusión, la “regla del pulgar” tiene una aplicación muy limitada para el rango de x y m aquí. Más
se requieren funciones empíricas elaboradas para estimar el número de dipolos necesarios
precisión prescrita. También permitirán una estimación más realista de DDA computacional
complejidad, es decir, el tiempo de cálculo necesario para alcanzar una cierta precisión de cierta dispersión
cantidades para x y m particulares. Este tema se deja para el estudio futuro.
Los resultados de los ensayos mostrados en este artículo se limitan a índices reales de refracción y esféricamente
Dispersores en forma. En lo siguiente tratamos de generalizar nuestras conclusiones a la refracción compleja
Índice y formas no esféricas. Sin embargo, queremos subrayar que esta generalización es
Es evidente que se necesitan pruebas especulativas y más pruebas numéricas para verificarlas. Se espera que
accuracies de las cantidades de dispersión integral no debe cambiar significativamente para más general
casos. Su precisión debe deteriorarse tanto con el aumento de partes reales e imaginarias de la
índice de refracción. Se espera que la situación de las cantidades de dispersión resueltas por ángulos sea la siguiente:
diferente. Los grandes errores relativos observados en este artículo se deben a los mínimos profundos que son un
consecuencia tanto de la simetría esférica como de un índice de refracción puramente real. Se espera que
acuerdo visual entre los resultados de la DDA y la solución exacta (como se muestra en la Fig. 8 – Fig.
10) no debe cambiar significativamente para casos más generales, sin embargo, se traducirá en menores
errores relativos, especialmente para x más grande y m más pequeño.
5 Conclusión
En este artículo presentamos el ADDA, un programa informático para simular la dispersión de la luz por
partículas de forma arbitraria. ADDA puede paralelizar una simulación DDA única, lo que le permite
no estar limitado por la memoria de un solo ordenador. Además, ADDA está muy optimizada,
que le permite comparar favorablemente con otros programas basados en DDA cuando se ejecuta en un
un solo procesador. Mostramos sus capacidades para simular la dispersión de la luz por esferas con x
hasta 160 y m hasta 2. El máximo accesible x en un clúster de 64 procesadores modernos
disminuir rápidamente con el aumento de m: es 160 para 05,1 = m y sólo 20-40 (dependiendo de la
umbral de convergencia) para. Esto se debe principalmente a la lenta convergencia de la
solucionador que conduce a tiempos de cálculo prácticamente insoportables. Se espera que la partícula más grande
los tamaños se pueden alcanzar si m tiene una parte imaginaria significativa.
Los errores tanto de las cantidades de dispersión integrales como de las soluciones angulares no muestran un sistema
dependencia de x, pero en general aumentar con m. Errores de Qext y el rango de
de 0,01 % a 6 %. Máximo - y los errores relativos RMS de S11() están en los rangos 0.2–18
y 0,04–1, respectivamente. Las predicciones de error de la tradicional “regla del pulgar” han sido muy limitadas
aplicación en este rango de x y m: describe el límite superior de los errores de Qext y....................................................................................................................................................................................................................................................
Sin embargo, no tiene en cuenta la disminución de los errores con m.
Actualmente, el ADDA es capaz de simular la dispersión de la luz por casi todos los biológicos
células en suspensión; sin embargo, su rendimiento en otros casos puede mejorarse. Estos
las mejoras, dejadas para el trabajo futuro, pueden incluir la mejora de la convergencia de la iterativa
solucionador por precondición. También es conveniente llevar a cabo un estudio detallado de la dependencia de
la exactitud de los resultados finales sobre el tamaño del dipolo y los umbrales de convergencia de la
solucionador iterativo para diferentes esparcidores. Un estudio de este tipo debería dar lugar a una reducción de la
tiempo de cálculo y proporcionar una estimación realista de la complejidad de DDA en un amplio rango de x
y m.
Agradecimientos
Agradecemos a Gorden Videen por leer críticamente el manuscrito y revisor anónimo para
comentarios valiosos. Nuestra investigación cuenta con el apoyo de la rama siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias a través de la subvención 2006-03.
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1 Introducción
2 Código informático ADDA
3 simulaciones numéricas
3.1 Parámetros de simulación
3.2 Resultados
4 Debate
5 Conclusión
Agradecimientos
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| En este manuscrito investigamos las capacidades del Dipolo Discreto
Aproximación (DDA) para simular la dispersión de partículas que son mucho más grandes
que la longitud de onda de la luz incidente, y describir un optimizado públicamente
DDA programa informático disponible que procesa el gran número de dipolos
necesarios para tales simulaciones. Simulaciones numéricas de dispersión de la luz por
esferas con parámetros de tamaño x hasta 160 y 40 para el índice de refracción m=1,05 y
2 respectivamente se presentan y se comparan con los resultados exactos de la teoría Mie.
Errores tanto de las cantidades de dispersión integrales como de las soluciones angulares en general
aumentar con m y no mostrar dependencia sistemática de x. Tiempos computacionales
aumento pronunciado con x y m, alcanzando valores de más de 2 semanas en un
clúster de 64 procesadores. La principal característica distintiva del programa informático
es la capacidad de paralelizar una simulación DDA única sobre un clúster de
ordenadores, que le permite simular la dispersión de la luz por muy grande
partículas, como las que se consideran en este manuscrito. Corriente
se discuten las limitaciones y posibles formas de mejora.
| Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método general para calcular la dispersión y
absorción de ondas electromagnéticas por partículas de geometría y composición arbitrarias. Los
DDA fue propuesto por primera vez por Purcell y Pennypacker [1] y fue revisado por Draine y
Flatau en 1994 [2]. Una revisión reciente [3] describe el estado actual del DDA y su
desarrollo histórico. También explica la equivalencia del DDA y los métodos basados en el
formulación integral de la ecuación del volumen. El lector se remite a esta revisión para un análisis en profundidad
el debate sobre el Programa de Doha para el Desarrollo.
Hay una serie de programas informáticos basados en el DDA, algunos de los cuales fueron
recientemente comparado por Penttila et al. [4]. El más popular entre ellos es DDSCAT [5],
que ha sido ampliamente utilizado por muchos investigadores durante más de 10 años. En este artículo
presentar un nuevo programa, Amsterdam DDA (ADDA), que recientemente se ha puesto en el público
dominio.1 Su principal característica distintiva es la capacidad de paralelizar una simulación DDA única sobre
un clúster de ordenadores, que permite simular la dispersión de la luz por partículas muy grandes.
Esto se demuestra para una serie de casos de prueba en este manuscrito. Validación de ADDA por
simulando la dispersión de la luz por partículas del tamaño de la longitud de onda y comparándola con otras DDA
los programas fueron reportados en otra parte [4].
La sección 2 describe en detalle el código informático ADDA, mostrando sus ventajas
en comparación con otros códigos. En la sección 3 se muestran una serie de pruebas numéricas, que demuestran:
que DDA es realmente capaz de procesar partículas grandes, y mostrando las capacidades actuales
de ADDA. Los resultados de estas simulaciones se analizan en la sección 4; se comparan los errores
con resultados previos para partículas mucho más pequeñas. Sección 5 concluye el manuscrito y
examina la posible labor futura.
2 Código informático ADDA
ADDA se ha desarrollado a lo largo de un período de más de 10 años en la Universidad de
Amsterdam [6-8]. Su principal característica (distintiva de otros códigos DDA) siempre ha sido la
la capacidad de ejecutar en un clúster de computadoras, paralelismo de un solo cálculo DDA, en
contraste con, por ejemplo, DDSCAT [5] que permite la cría de varias instancias de un DDA
simulación a diferentes procesadores. Esto permite utilizar un número prácticamente ilimitado de
dipolos, ya que el ADDA no está limitado por la memoria de un solo ordenador [8,9]. Últimamente el
El rendimiento global del código se ha mejorado significativamente, junto con algunos
optimizaciones específicas para el modo de un solo procesador. Código fuente de ADDA y
la documentación está disponible gratuitamente.
La mayor parte de ADDA está escrito en ANSI C, que garantiza una amplia portabilidad en el código fuente
nivel. El código está completamente operativo bajo Linux y, en modo secuencial, en Windows basado
sistemas. La paralelización sobre múltiples procesadores se basa en una descomposición geométrica
de la partícula y el paradigma de un solo programa-múltiple-datos de la computación paralela. Los
el código se escribe para los sistemas de memoria distribuidos utilizando la interfaz de paso de mensajes (MPI).2
Tenga en cuenta que ADDA en principio también debe ejecutarse en ordenadores de memoria compartida, pero hasta ahora esto
no fue probado explícitamente. La transformación rápida de Fourier (FFT) utilizada para los productos de matriz-vector
en el solucionador iterativo se realiza ya sea utilizando rutinas de Temperton [10] o más
paquete avanzado “Fastest Fourier transform in the West” (FFTW) [11]. Esta última es la siguiente:
generalmente mucho más rápido, pero requiere una instalación de paquete separado.
ADDA tiene cuatro opciones implementadas para las polarizaciones del dipolo: Clausius-Mossotti [1],
Corrección de la reacción radiativa [12], relación de dispersión de celosía (LDR) [13], y LDR corregida
[14]. Incluye cuatro métodos iterativos: gradiente conjugado aplicado a la ecuación normalizada
con minimización de la norma residual (CGNR) [15], Bi-CG estabilizado (Bi-CGSTAB) [15], Bi-
1 http://www.science.uva.nl/research/scs/Software/adda/
2 http://www.mpi-forum.org
http://www.science.uva.nl/research/scs/Software/adda/
http://www.mpi-forum.org/
CG [16], y cuasi residual mínimo (QMR) [16]. Los dos últimos métodos iterativos emplean el
propiedad compleja-simétrica de la matriz de interacción DDA para reducir a la mitad el tiempo de cálculo [16].
El criterio de parada por defecto del método iterativo en ADDA es la norma relativa de la
Residual, que debe ser. 510
La formulación habitual de DDA puede escribirse como [2,3]:
jijii EPGP =−
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde iα es el tensor de la polarización del dipolo, es el campo eléctrico incidente,
iE ijG es el libre-
espacio El tensor de Green (complejo simétrico), y Pi es la polarización dipolo desconocida. Si la
polarizabilidad tensor es diagonal para todos los dipolos entonces siempre existe un iβ tal que
iii =, es decir, ii • =. Por otra parte, iβ es entonces complejo simétrico, y así es la matriz con
elementos
A, (2)
donde soy un tensor de identidad. A es la matriz de interacción que se utiliza en ADDA, es decir. la
se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
jjijii
jij ExGxxA =−=
, (3)
donde iii Px
1−= β es un nuevo vector desconocido. Eq. (3) es equivalente al uso de Jacobi-
[15] junto con el mantenimiento de la matriz de interacción compleja-simétrica (para cualquier
distribución del índice de refracción dentro del scatter y para cualquiera de las polarizaciones soportadas
medicamentos recetados). No hemos estudiado, sin embargo, si este Jacobi-preacondicionamiento mejora
la convergencia del solucionador iterativo. Flatau mostró [17] que en algunos casos de prueba ayuda,
mientras que en otros no hay mejoría. Es importante señalar también que el DDA no se limita a
polarizaciones diagonales o simétricas. Cualquier otro tensor puede ser utilizado, pero luego la interacción
matriz no es complejo-simétrico; por lo tanto, QMR y Bi-CG son menos eficientes.
ADDA puede realizar el promedio de orientación de las cantidades de dispersión sobre tres Euler
ángulos (α, β, γ) de la orientación de las partículas. Average sobre el ángulo α se hace con una sola
cálculo de los campos internos mediante la computación de dispersión en diferentes planos de dispersión, que es
Comparablemente rápido. Average sobre los otros dos ángulos de Euler es hecho por DDA independiente
simulaciones. El promedio en sí mismo se realiza utilizando una integración de Romberg [18], que puede
se utilizará de forma adaptativa (es decir, simulando automáticamente el número requerido de diferentes orientaciones
para alcanzar una precisión prescrita) pero limita el posible número de valores para cada orientación
ángulo a ser, Donde n es un entero. Además, se pueden utilizar las simetrías del esparcidor
para disminuir los intervalos de los ángulos de Euler, sobre los cuales a la media, y por lo tanto acelerar la
cálculo. Esta característica de ADDA fue probada en un estudio de referencia reciente [4].
12 +n
Otras características de ADDA incluyen el cálculo de la dispersión por un
Vigas gaussianas [6], un sistema de puntos de control para permitir largos recorridos en sistemas de cola que
hacer cumplir los límites superiores en el tiempo de reloj de pared para la ejecución, como suele ser el caso de forma masiva
superordenadores paralelos, cálculo de las fuerzas de radiación en cada uno de los dipolos [19], uso de
simetría rotacional del esparcidor para reducir a la mitad el tiempo de simulación, y un comando extendido
interfaz de línea. Algunas otras características, como la aplicabilidad a los dispersadores anisotrópicos y una gran
un conjunto de formas predefinidas, están previstas para ser implementadas en un futuro próximo.
Hay varios factores que permiten que el desempeño de ADDA se compare favorablemente con
otros códigos, que se mostró en un estudio de referencia realizado por Penttila et al. [4]. En primer lugar, la
FFTW 3 paquete que se utiliza automáticamente se adapta a sí mismo para realizar de manera óptima en cualquier
particular hardware. Por otra parte, ADDA no realiza transforms completos 3D FFT en uno
ejecutar, pero los descompone en un conjunto de 1D transforma con la transposición de datos en el medio. Esto
permite emplear el hecho de que los datos de entrada para la transformación hacia adelante contiene muchos ceros, y
0 20 40 60 80 100 120 140 160
(10−5,10−3)
Parámetro de tamaño x
• • = 10 - 5
70 GB
Fig. 1. Capacidades actuales de la ADDA para esferas con diferentes x y m. La región a rayas
corresponde a la plena convergencia y a la región densamente incubada a la convergencia incompleta. Los despedazados
líneas muestran dos niveles de requisitos de memoria para la simulación, de acuerdo con la “regla del pulgar”
(véase la explicación en el texto principal).
solo se utiliza una parte de los datos de salida de la transformación inversa [8]. En segundo lugar, tenemos
implementó cuatro diferentes solucionadores iterativos basados en el espacio de Krylov, lo que nos permite elegir la
el más adecuado para una aplicación en particular. Como se conoce en la literatura [17,20,21] y
demostrado en la sección 3, no hay un mejor solucionador iterativo para el DDA. Dependiendo de todos
detalles del problema de dispersión, cualquiera de los métodos puede superar a los demás. Tercero,
asignación de memoria dinámica y estructuras de datos optimizadas permiten todos los cálculos, excepto el
FFT, que debe realizarse sólo para los dipolos reales (no nulos) y no para todo el computacional
caja. Esto también disminuye el consumo de memoria de ADDA. Por otra parte, la simetría de la
matriz de interacción se utiliza para disminuir la memoria necesaria para su transformación de Fourier. Por último, todos
Las variables flotantes en ADDA se representan en doble precisión. Esto acelera la convergencia en
casos en que la precisión de la máquina se vuelve importante. Por otra parte, las operaciones básicas con doble
Los números de precisión pueden ser más rápidos que con los de una precisión en los procesadores modernos. Esto
aceleración se produce a un costo de aumento del consumo de memoria, que, sin embargo, sigue siendo menor
que para otros códigos informáticos [4].
Más información sobre ADDA se puede encontrar en un amplio manual incluido en el
paquete de distribución.
3 simulaciones numéricas
3.1 Parámetros de simulación
En nuestras pruebas utilizamos ADDA v.0.75, compilado con el compilador Intel C v.9.0 con máximo
posibles optimizaciones (opciones predeterminadas en el makefile de ADDA). Todas las pruebas se llevaron a cabo en el
Clúster de computación holandés LISA,3 utilizando 32 nodos (cada procesador Intel Xeon dual de 3,4 GHz con
4 GB RAM). Se utilizó LDR como la formulación de polarización más común. Lo hemos intentado.
tres solucionadores iterativos diferentes: QMR, Bi-CG y Bi-CGSTAB. Para todos ellos un valor predeterminado
se utilizó el criterio de parada. 510−=
3 http://www.sara.nl/userinfo/lisa/description/
http://www.sara.nl/userinfo/lisa/description/
Cuadro 1 Parámetros de las simulaciones numéricas.
m x /md
Número de
Dipolesa Método iterativo
Número de
iteraciones
20 9,6 2,6×105 Bi-CGSTAB 6
30 9,6 8,8×105 Bi-CGSTAB 7
40 9,6 2,1×106 Bi-CGSTAB 9
60 9,6 7,1×106 Bi-CGSTAB 14
80 9,6 1,7×107 Bi-CGSTAB 20
100 9,6 3,3×107 Bi-CGSTAB 27
130 10,3 9,0×107 Bi-CGSTAB 40
1,05
160 9,6 1,3×108 Bi-CGSTAB 65
20 10.5 5.1×105 QMR 86
30 11,2 2,1×106 QMR 223
40 10,5 4,1×106 QMR 598
60 9,8 1,1×107 QMR 2120
80 10,5 3,3×107 Bi-CGSTAB 21748
100 10,1 5,7×107 Bi-CGSTAB 6169
130 10,3 1,3×108 Bi-CGSTAB 29200
20 10,8 8,8×105 QMR 1344
30 10,8 3,0×106 QMR 16930
40 10,8 7,1×106 QMR 8164
60 9,6 1,7×107 Bi-CG 127588
20 11,0 1,4×106 QMR 8496 1,6
10.5 4.1×106 Bi-CG 69748
20 11,2 2,1×106 QMR 28171 1,8
30 10,2 5,5×106 Bi-CG 118383
2 20 10,1 2,1×106 QMR 58546
a Este es el número total de dipolos en la cuadrícula computacional rectangular, que es el factor principal que determina
el tiempo de cálculo de una iteración. Para las esferas el número de dipolos ocupados por el scatter en sí es casi
dos veces más pequeño.
0 5000 10000 15000 20000 25000
Número de iteraciones
Fig. 2. Convergencia del solucionador iterativo QMR para la esfera con x = 20 y m = 1,8. El residuo
como función del número de iteración se muestra. El sistema de ecuaciones lineales contiene 3×106
incógnitas.
Las esferas se utilizaron como objetos de prueba. Su tamaño parámetro x fue variado de 20 a 160 y
su índice de refracción m fue variado de 1,05 a 2. Nos limitamos al caso de m real.
Las capacidades actuales de ADDA se muestran como una región del plano (x,m) en la Fig. 1. Los
región densamente eclosionada corresponde a la plena convergencia, la región densamente eclosionada corresponde a
los casos en que el ADDA no podía converger plenamente con la norma residual requerida, sino únicamente con
20 40 60 80 100 120 140 160
106 1 semana
1 día
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
1 min
1 hora
Fig. 3. Tiempo total del reloj de pared de simulación (en 64 procesadores) para esferas con x y m diferentes. El tiempo es
se muestra en escala logarítmica. Líneas horizontales punteadas correspondientes a un minuto, una hora, un día y un
semana se muestran para comodidad.
20 40 60 80 100 120 140 160
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
Fig. 4. Errores relativos de la eficiencia de extinción en escala logarítmica para esferas con diferentes x y
)10,10( 35 . Aunque esta convergencia incompleta probablemente afecte a la exactitud final de
las cantidades de dispersión sólo ligeramente, eliminamos tales resultados de la consideración posterior
porque se requiere un estudio separado para cuantificar este efecto (véase la sección 4). Por totalmente convergente
resultados, los errores de dispersión de cantidades debido a la convergencia numérica son mucho más pequeños
que los errores totales (datos no mostrados).
En la Tabla 1 se muestra un conjunto completo de pares (x,m), para los cuales convergió ADDA. También
muestra el número de dipolos por longitud de onda en el medio ( md/
dipolo). Tratamos de mantenerlo igual a 10 según la “regla del pulgar” tal como fue formulada por
Draine y Flatau [2]; sin embargo, fue ligeramente diferente porque variamos el tamaño de la
cuadrícula de dipolo para optimizar la eficiencia paralela de ADDA.4 El número total de dipolos en una
cuadrícula computacional rectangular, que se muestra en la Tabla 1, se varió de 2.6×105 a 1.3×108, puede
4 El mejor rendimiento paralelo se obtiene cuando el tamaño de la red divide el número de procesadores. Sin embargo, ADDA
funciona con cualquier tamaño de cuadrícula.
20 40 60 80 100 120 140 160
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
Fig. 5. Igual que Fig. 4 pero ahora para el parámetro de asimetría.
20 40 60 80 100 120 140 160
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
Fig. 6. Máximo error relativo de S11 en escala logarítmica para esferas con x y m diferentes.
se determinará aproximadamente como. Requisitos de memoria y tiempo de computación
de una iteración son proporcionales a este número. Dos líneas discontinuas se muestran en
3)18.3( xm
Fig. 1 a
indicar los requisitos de memoria para diferentes x y m. Corresponden a la memoria típica
de un ordenador de escritorio moderno (2 GB) y la memoria total máxima utilizada en nuestro
simulaciones (70 GB), respectivamente.
Para cada esfera computamos la eficiencia de extinción, el parámetro de asimetría, y
todos los elementos de la matriz de Mueller en un plano de dispersión, que es un plano de simetría del cubículo
discretización de la esfera. Se obtuvieron resultados exactos para las mismas esferas utilizando el Mie
teoría [22]. La simetría esférica fue utilizada por ADDA para obtener todos los resultados de los cálculos para
Sólo un estado de polarización del campo de incidentes. Por lo tanto el tiempo de cálculo es un factor de dos
menor que para los dispersores no simétricos con la misma x y m. Empleamos un volumen
corrección para garantizar volúmenes iguales de esfera y su representación dipolo [2]. No obstante, cabe señalar que:
que para las esferas muy grandes esta corrección es extremadamente pequeña.
3.2 Resultados
La Tabla 1 muestra el solucionador iterativo que proporcionó el mejor rendimiento para cada caso particular.
y el número de iteraciones para lograr la convergencia. Fig. 2 ilustra un ejemplo específico de
20 40 60 80 100 120 140 160
Parámetro de tamaño x
m =
1,05
Fig. 7. Igual que Fig. 6 pero ahora para los errores relativos RMS.
0 30 60 90 120 150 180
170 175 180
Ángulo de dispersión , grados
Fig. 8. los resultados de DDA (línea punteada) de S11 en escala logarítmica para una esfera con x = 160 y m = 1,05,
en comparación con los resultados de la teoría de Mie (línea sólida).
convergencia del solucionador iterativo DDA. Esto es QMR aplicado al sistema de 31-106 lineal
ecuaciones obtenidas para la esfera con 20=x y 8,1=m. El reloj de pared de simulación total
tiempo t para todas las partículas se muestra en la Fig. 3. Fig. 4 y Fig. 5 muestran los errores relativos de la
eficiencia de extinción Qext y el parámetro de asimetría. Máximo -
y raíz-media-cuadrado (RMS) errores relativos de S11 en todo el rango de ángulo de dispersión
se muestran en la Fig. 6 y Fig. 7 respectivamente. Errores de otra matriz de Mueller no trivial
los elementos se comportan de manera similar (datos no mostrados).
Los resultados de DDA de S11 para una esfera con 160 = x y 05,1 = m se comparan con la
Teoría Mie en Fig. 8. El conjunto muestra un aumento de la región de retrodispersión. Esto es, a
lo mejor de nuestro conocimiento, la partícula más grande jamás simulada con DDA. Fig. 9 y Fig. 10
mostrar las mismas comparaciones pero para 60 = x, 4.1 = m y 20 = x, 2 = m respectivamente.
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
Fig. 9. Igual que Fig. 8 pero ahora para x = 60 y m = 1.4.
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo de dispersión , grados
Fig. 10. Igual que Fig. 8 pero ahora para x = 20 y m = 2.
4 Debate
La convergencia del solucionador iterativo QMR se muestra en la Fig. 2, con mesetas y empinadas
descensos, está de acuerdo tanto con su comportamiento en general [16] como con ejemplos particulares
de su aplicación a la DDA [20,23]. Una característica distintiva de este gráfico en comparación con el
datos de la literatura es que la convergencia se desacelera con el número de iteración, es decir. el logaritmo de
la norma residual disminuye más lentamente que linealmente. Esto es probablemente debido al gran tamaño de la
Dispersor y pérdida de precisión numérica (ver discusión a continuación).
Los tiempos totales de cálculo t aumentan considerablemente tanto con x como con m (Fig. 3). El tiempo es
se muestra en una escala logarítmica que abarca un rango de 4 segundos a más de 2 semanas. Por
, el aumento de t con x se debe principalmente al creciente número de dipolos al modelo
el esparcidor, ya que el número de iteraciones aumenta a un ritmo más lento (
05.1=m
Cuadro 1 Para m más grande
estos dos efectos son comparables, combinando en una escala muy desfavorable, que puede ser
aproximadamente descrito por una ley de poder, donde )() mxmCt 6 para. Debería
tenga en cuenta que tanto el número de iteraciones como t no siempre aumentan monótonamente con x.
Por ejemplo, para, y
2,1 ≥ m
80=x 2,1=m 30=x, 4,1=m los tiempos de ejecución son inusualmente altos.
Esto puede ser causado por un gran número de matrices de interacción DDA condición para estas dos
partículas particulares. Además, cuando la convergencia es lenta puede sufrir de la máquina
precisión, este último determina el límite de x y m, para el cual ADDA convergerá en absoluto.
Por lo tanto, las actuales limitaciones de tamaño de la DDA para se deben a la práctica
tiempos de cálculo insoportables, y no debido a los requisitos de memoria.
2,1 ≥ m
5 Simulaciones para mayor tamaño
m están lejos del límite de memoria que se muestra en la Fig. 1. Por otra parte, simplemente el uso de más procesadores
no resuelve el problema. Es necesario mejorar el rendimiento numérico, por ejemplo. dedicado
el preacondicionamiento del solucionador iterativo [15]. Por otro lado, la extensión a tamaños más grandes para
es factible si se dispone de más recursos informáticos. Esto facilita, por ejemplo,
simulando la dispersión de la luz visible por casi todas las células biológicas en suspensión.
2.1<m
El aumento del número de iteraciones con m es un hecho bien conocido [12,17,21,24];
Sin embargo, todavía no hay fundamento teórico para describirlo en detalle. Rahola [24]
predicciones teóricas de la dependencia del número de iteraciones en m, válido para los esparcidores
más pequeño que la longitud de onda. Sin embargo, estas conclusiones no son aplicables a los esparcidores
estudiado en este manuscrito. La razón general de la ralentización de la convergencia con
aumento de m es mayor interacción entre los dipolos y, por lo tanto, un aumento de la condición
número de la matriz de interacción. La absorción, si está presente, debe disminuir la
interacción entre los dipolos en un dispersor grande. Por lo tanto, se espera que la convergencia para
Los índices de refracción complejos deberían ser mejores que los puramente reales que consideramos aquí.
Lo mismo fue sugerido por Budko y Samokhin [25] basándose en el análisis del espectro
del operador de dispersión integral. Sin embargo, esta propuesta aún no ha sido verificada por
pruebas numéricas.
Otro parámetro que puede afectar en gran medida el tiempo de cálculo es la convergencia
Umbral de la letra a) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. En este documento se establece un valor por defecto de de-facto de 10-5 [2], que garantiza
errores numéricos insignificantemente pequeños en comparación con los errores del modelo. Sin embargo, en muchos casos
Los errores numéricos ya son lo suficientemente pequeños para, es decir. la diferencia de la dispersión
cantidades entre simulaciones con y es significativamente menor que la
diferencia entre este último y los valores exactos (datos no mostrados).
310−=
310 − = 510 − = 310 + 510 = + 310 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 + 510 +
Fig. 2 muestra que QMR
para un caso particular converge a y tres y seis veces más rápido
respectivamente que a. Resultados para otras partículas simuladas y solvedores iterativos muestran
tendencias similares y una aceleración aún mayor, con un aumento de la tasa de crecimiento en algunos casos (datos no mostrados).
Por lo tanto, si se puede determinar un óptimo de un caso en particular, puede disminuir la
tiempo de cálculo significativamente. Sin embargo, no perseguimos esta cuestión en esta cuestión.
manuscrito.
3102 =.............................................................................................................................................................................................................................................................
510−=
Fig. 4 muestra el deterioro de la precisión de Qext con el aumento de m, mientras que hay
no hay una clara dependencia de x (la única excepción es un único resultado para ). Resultados para 2=m
(Fig. 5) comportarse de una manera similar. Estos resultados están de acuerdo con los resultados de
otros investigadores para parámetros de menor tamaño [2,13,26], tanto en términos de los propios errores
y su dependencia de m. Para expresar errores en las dependencias angulares de S11 utilizamos dos
parámetros integrales: el máximo - y los errores relativos RMS (Fig. 6 y Fig. 7 respectivamente).
Aunque estos parámetros no son completamente objetivos, ya que están significativamente influenciados
por los valores de S11 en mínimos profundos, que son completamente irrelevantes para la mayoría real
Los experimentos proporcionan una medida consistente de la exactitud del DDA. Para relacionarlos
parámetros integrales de otros criterios, por ejemplo: acuerdo visual, se presentan tres ejemplos
en Fig. 8 – Fig. 10. Los errores de S11() muestran las mismas tendencias que la dispersión integral
las cantidades, con la excepción de que los errores para son relativamente grandes (más grandes que los para
el rango ) y generalmente disminuyen con x. Esto se debe a la naturaleza relativa de la
errores medidos y el enorme rango dinámico de S
05,1=m 2,1=m
11 para los pequeños índices de refracción (véase la Fig.
8). Los resultados para parámetros de menor tamaño encontrados en la literatura [2,26] muestran un aumento similar de
5 El valor límite de m no está bien definido, ya que depende de un hardware particular y restricciones de
tiempo de cálculo; 1.2 es sólo un valor conveniente para guiar al lector.
errores con m: sin embargo, los errores en sí son considerablemente más pequeños. Por ejemplo,
Los errores relativos máximos de S11( ) para 10 < x y m hasta i4.15.2 + son menores que 0.4. Esto
se debe a las diferencias generales entre las funciones S11( ) para partículas comparables a y
mucho más grande que la longitud de onda. Este último tiene mínimos más profundos y una dinámica global más amplia
Rango. Es importante señalar que los índices de refracción tan pequeños como 1,05 rara vez se utilizan en el DDA.
simulaciones [26], por lo tanto, es difícil hacer conclusiones definitivas sobre el comportamiento
de errores en este caso.
En lo que sigue, se discute la tradicional “regla del pulgar” [2], que establece que:
Se espera que los errores de las secciones transversales y el parámetro de asimetría sean algunos
porcentajes, y errores máximos en la dependencia angular de S11 del orden del 20-30 %.
Los resultados tanto para Qext como para -cos satisfacen la “regla del pulgar,” sin embargo, esta regla no
describir la disminución de los errores en dos órdenes de magnitud con la disminución m. Este último puede
utilizar para reducir el número de dipolos y, por lo tanto, el tiempo de cálculo en los casos en que sólo
las cantidades de dispersión integral deben calcularse para los m pequeños.
mucho más grande que el predicho por la “regla del pulgar,” que se debe al hecho de que este último
se ha obtenido sobre la base de simulaciones de ensayo para x menores de 10 [2]. Véase, sin embargo, el debate
a continuación sobre posibles cambios en el índice de refracción complejo y en las formas no esféricas. A
conclusión, la “regla del pulgar” tiene una aplicación muy limitada para el rango de x y m aquí. Más
se requieren funciones empíricas elaboradas para estimar el número de dipolos necesarios
precisión prescrita. También permitirán una estimación más realista de DDA computacional
complejidad, es decir, el tiempo de cálculo necesario para alcanzar una cierta precisión de cierta dispersión
cantidades para x y m particulares. Este tema se deja para el estudio futuro.
Los resultados de los ensayos mostrados en este artículo se limitan a índices reales de refracción y esféricamente
Dispersores en forma. En lo siguiente tratamos de generalizar nuestras conclusiones a la refracción compleja
Índice y formas no esféricas. Sin embargo, queremos subrayar que esta generalización es
Es evidente que se necesitan pruebas especulativas y más pruebas numéricas para verificarlas. Se espera que
accuracies de las cantidades de dispersión integral no debe cambiar significativamente para más general
casos. Su precisión debe deteriorarse tanto con el aumento de partes reales e imaginarias de la
índice de refracción. Se espera que la situación de las cantidades de dispersión resueltas por ángulos sea la siguiente:
diferente. Los grandes errores relativos observados en este artículo se deben a los mínimos profundos que son un
consecuencia tanto de la simetría esférica como de un índice de refracción puramente real. Se espera que
acuerdo visual entre los resultados de la DDA y la solución exacta (como se muestra en la Fig. 8 – Fig.
10) no debe cambiar significativamente para casos más generales, sin embargo, se traducirá en menores
errores relativos, especialmente para x más grande y m más pequeño.
5 Conclusión
En este artículo presentamos el ADDA, un programa informático para simular la dispersión de la luz por
partículas de forma arbitraria. ADDA puede paralelizar una simulación DDA única, lo que le permite
no estar limitado por la memoria de un solo ordenador. Además, ADDA está muy optimizada,
que le permite comparar favorablemente con otros programas basados en DDA cuando se ejecuta en un
un solo procesador. Mostramos sus capacidades para simular la dispersión de la luz por esferas con x
hasta 160 y m hasta 2. El máximo accesible x en un clúster de 64 procesadores modernos
disminuir rápidamente con el aumento de m: es 160 para 05,1 = m y sólo 20-40 (dependiendo de la
umbral de convergencia) para. Esto se debe principalmente a la lenta convergencia de la
solucionador que conduce a tiempos de cálculo prácticamente insoportables. Se espera que la partícula más grande
los tamaños se pueden alcanzar si m tiene una parte imaginaria significativa.
Los errores tanto de las cantidades de dispersión integrales como de las soluciones angulares no muestran un sistema
dependencia de x, pero en general aumentar con m. Errores de Qext y el rango de
de 0,01 % a 6 %. Máximo - y los errores relativos RMS de S11() están en los rangos 0.2–18
y 0,04–1, respectivamente. Las predicciones de error de la tradicional “regla del pulgar” han sido muy limitadas
aplicación en este rango de x y m: describe el límite superior de los errores de Qext y....................................................................................................................................................................................................................................................
Sin embargo, no tiene en cuenta la disminución de los errores con m.
Actualmente, el ADDA es capaz de simular la dispersión de la luz por casi todos los biológicos
células en suspensión; sin embargo, su rendimiento en otros casos puede mejorarse. Estos
las mejoras, dejadas para el trabajo futuro, pueden incluir la mejora de la convergencia de la iterativa
solucionador por precondición. También es conveniente llevar a cabo un estudio detallado de la dependencia de
la exactitud de los resultados finales sobre el tamaño del dipolo y los umbrales de convergencia de la
solucionador iterativo para diferentes esparcidores. Un estudio de este tipo debería dar lugar a una reducción de la
tiempo de cálculo y proporcionar una estimación realista de la complejidad de DDA en un amplio rango de x
y m.
Agradecimientos
Agradecemos a Gorden Videen por leer críticamente el manuscrito y revisor anónimo para
comentarios valiosos. Nuestra investigación cuenta con el apoyo de la rama siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias a través de la subvención 2006-03.
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1 Introducción
2 Código informático ADDA
3 simulaciones numéricas
3.1 Parámetros de simulación
3.2 Resultados
4 Debate
5 Conclusión
Agradecimientos
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704.0038 | The discrete dipole approximation: an overview and recent developments | La aproximación discreta del dipolo: una visión general y reciente
Acontecimientos
M.A. Yurkina,b,* y A. G. Hoekstraa
a Sección de Ciencias Computacionales, Facultad de Ciencias, Universidad de Amsterdam, Kruislaan
403, 1098 SJ, Amsterdam, Países Bajos
b Instituto de cinética química y combustión, sección siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias, Institutskaya Str. 3, 630090, Novosibirsk, Rusia
Resumen
Presentamos una revisión de la aproximación discreta del dipolo (DDA), que es un método general
simular la dispersión de la luz mediante partículas de forma arbitraria. Ponemos el método en histórico
y analizar los acontecimientos recientes, teniendo en cuenta el punto de vista de un marco general basado en
en las ecuaciones integrales para el campo eléctrico. Revisamos tanto la teoría de la DDA y su
los aspectos numéricos, siendo éste último de importancia crítica para cualquier aplicación práctica de la
método. Finalmente, la posición del DDA entre otros métodos de simulación de dispersión de luz
se muestra y se discuten posibles acontecimientos futuros.
Palabras clave: aproximación discreta del dipolo, revisión, simulación de dispersión de luz
* Autor correspondiente: Tel.: +31-20-525-7562; fax: +31-20-525-7490.
Dirección de correo electrónico: myurkin@science.uva.nl
Sumario
1 Introducción.................................................................................................................... 2
2 Marco general................................................................................................................ 3
3 Varios modelos de DDA.................................................................................................................................................................... 7
3.1 Base teórica del DDA................................................................................................................................................ 7
3.2 Exactitud de las simulaciones de DDA.................................................................................... 13
3.3 El DDA para los grupos de esferas................................................................................... 16
3.4 Modificaciones y prórrogas del DDA................................................................................ 18
4 Consideraciones numéricas................................................................................................. 19
4.1 Métodos directos y métodos iterativos................................................................................................................... 19
4.2 Formulación del orden de dispersión.................................................................................... 22
4.3 Block-Toeplitz.................................................................................................................... 23
4.4 FFT................................................................................................................................................ 24
4.5 Método multipolo rápido................................................................................................ 24
4.6 Promedio de orientación y cálculos repetidos....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
5 Comparación del DDA con otros métodos.................................................................................................................... 27
6 Observaciones finales.................................................................................................................................... 28
Agradecimientos.................................................................................................................... 28
Apéndice. Descripción de acrónimos y símbolos usados.................................................................................................... 28
Referencias................................................................................................................................................ 31
1 Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método general para calcular la dispersión y
absorción de ondas electromagnéticas por partículas de geometría y composición arbitrarias.
Inicialmente el DDA fue propuesto por Purcell y Pennypacker (PP) [1], quienes reemplazaron el
esparcidor por un conjunto de dipolos de punto. Estos dipolos interactúan entre sí y el incidente
campo, dando lugar a un sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve para obtener dipolo
polarizaciones. Todas las cantidades de dispersión medidas se pueden obtener de estas polarizaciones.
El DDA fue desarrollado por Draine y compañeros de trabajo [2-5], quienes popularizaron el método
mediante el desarrollo de un código informático de acceso público DDSCAT [6]. Más tarde se demostró que el
DDA también se puede derivar de la ecuación integral para el campo eléctrico, que es discretizado
dividiendo el esparcidor en pequeños subvolumenes cúbicos. Esta derivación fue aparentemente la primera
realizado por Goedecke y O'Brien [7] y desarrollado por otros (véase, por ejemplo,
[8-11]). Es importante señalar que las ecuaciones finales, producidas por ambas líneas de derivación de
el DDA es esencialmente el mismo. La única diferencia es que las derivaciones basadas en la integral
ecuaciones dan una visión más matemática de la aproximación, apuntando así a formas de
mejorar el método, mientras que el modelo basado en dipolos de punto es físicamente más claro.
El DDA se llama el método de dipolo acoplado o aproximación por algunos investigadores
[12,13]. También hay otros métodos, como la formulación de la ecuación integral del volumen [14]
y la función digitalizada de Green (DGF) [7], que se desarrollaron completamente
independientemente de PP. Sin embargo, más tarde se demostró que eran equivalentes a DDA [8,15]. In
esta revisión usaremos el término DDA para referirnos a todos estos métodos, ya que los describimos en
los términos de un marco general. Sin embargo, es difícil separar sin ambigüedades el DDA.
de otros métodos similares, basados en las ecuaciones integrales de volumen para el electromagnético
campos, como una amplia gama de métodos de momentos (MoM) con diferentes bases y pruebas
funciones [16-19]. En nuestra opinión, un aspecto fundamental de la DDA es que la solución para
los campos internos “físicamente significativos” o sus derivados directos, por ejemplo. polarización, juegos
un papel integral en el proceso. En otras palabras, cualquier formulación de DDA puede interpretarse como
reemplazar un esparcidor por un conjunto de dipolos que interactúan; esto se analiza más a fondo en la sección 2. Un
ejemplo de método que no se considera DDA es el MdM con orden superior jerárquico
Funciones de base Legendre [17].
El DDA es un método popular en la comunidad que dispersa la luz y ha sido
revisado por varios autores. Una extensa revisión de Draine y Flatau [4] abarca casi todos
Evolución del DDA hasta 1994. Una revisión más reciente de Draine [5] se refiere principalmente a
aplicaciones y consideraciones numéricas. La teoría de la DDA fue discutida junto con otros
métodos para simulaciones de dispersión de luz en revisiones de Wriedt [20], Chiappetta y Torresani
[21], y Kahnert [15] y en libros de Mishchenko et al. [22] y Tsang et al. [23]. Jones
[24] situó el DDA en el contexto de diferentes métodos con respecto a la caracterización de partículas.
Sin embargo, no se mencionan en ninguna de ellas muchos acontecimientos importantes relacionados con el desarrollo del desarrollo sostenible desde 1994.
manuscritos. Los que se mencionan generalmente se consideran como pasos secundarios, y no se colocan
en un marco general. Por otra parte, a lo mejor de nuestro conocimiento aspectos numéricos de la
DDA nunca han sido revisados extensamente – cada documento discute sólo unos pocos en particular
aspectos. En esta revisión tratamos de llenar este vacío.
En la sección 2 se elabora un marco general para facilitar el debate de las diferentes cuestiones.
Modelos DDA. Este marco se basa en la ecuación integral porque permite un uniforme
descripción de todo el desarrollo del DDA. Sin embargo, la conexión a un modelo físicamente más claro
de dipolos punto se discute a lo largo de la sección. Las fuentes de errores en el DDA
la formulación también se discuten allí.
En la sección 3 se revisan los principios físicos de la DDA y los resultados de
se comparan los modelos. En la subsección 3.1, las diferentes mejoras de las polarizaciones y
los términos de interacción se revisan desde un punto de vista teórico. Diferentes expresiones para las cabinas
también se discuten. Comparación de los resultados de simulación utilizando diferentes formulaciones se da en
Subsección 3.2. La subsección 3.3 abarca el caso especial de un grupo de esferas que permite
mejoras y simplificaciones particulares. En la sección 3.4, diferentes modificaciones significativas
se revisen, que no entran completamente en el marco general descrito en la sección 2.
También se examinan las mejoras del DDA para algunos fines especiales.
En la sección 4 se examinan diferentes aspectos numéricos del DDA. Estas cuestiones se refieren a:
principalmente con la resolución de sistemas muy grandes de ecuaciones lineales (Subsección 4.1). Subsección 4.2
describe el procedimiento iterativo más simple para resolver el sistema lineal DDA, que tiene un claro
significado físico. La estructura especial de la matriz de interacción DDA para una cuadrícula rectangular
y su aplicación para reducir los costos computacionales se describen en las subsecciones 4.3 y 4.4
respectivamente. Métodos generales para acelerar los cálculos, que no requieren un rectangular
grilla, se analizan en la subsección 4.5. La subsección 4.6 abarca las técnicas especiales para aumentar
eficiencia de los cálculos repetidos (por ejemplo, en el promedio de orientación).
En la sección 5 se examina una comparación numérica del DDA con otros métodos;
se discuten puntos fuertes y débiles. La sección 6 concluye el examen y examina el futuro
desarrollo del DDA.
2 Marco general
La )iexp( t tiempo dependencia de todos los campos se asume a lo largo de esta revisión. El esparcidor
se supone dieléctrico pero no magnético (permisibilidad magnética 1 = μ ). El permiso eléctrico
se asume isotrópico para simplificar las derivaciones; sin embargo, extensión a dieléctrico arbitrario
Los tensores son sencillos.1
La forma general de la ecuación integral que rige el campo eléctrico dentro de la
El esparcidor dieléctrico es el siguiente [8,15]:
) ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( d ), ( 00 )
rErrLrMrErrGrErE VVr
∫, (1)
1 En la mayoría de las fórmulas los valores escalares pueden ser reemplazados directamente por tensores, pero hay excepciones. Prórrogas de
La DDA a los dispersadores ópticamente anisotrópicos se discute en la sección 3.4.
donde Einc(r) y E(r) son el incidente y el campo eléctrico total en el lugar r;
4)1)(()) = rr es la susceptibilidad del medio en el punto r (?(r) – relativo
permiso de uso). V es el volumen de la partícula, es decir, el volumen que contiene todos los puntos donde la
La susceptibilidad no es cero. V0 es un volumen más pequeño tal que, VV 0 00 \ VV r. ),( rrG ′ es
la función del espacio libre dyadic Green, definido como
−==′ 222
i1)iexp()iexp(),(
k IIIrrG, (2)
donde I es la identidad dyádica, ck es el vector de onda espacial libre, rrR =, R=R,
y es un dyádico definido como (μ y ν son componentes cartesianos del vector
o tensor). M es la siguiente integral asociada con la finitud del volumen de exclusión
RR RR =
( )∫ =
), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), d,, s 30
rV rErrrGrrrGrM , (3)
donde ),(s rrG ′ es el límite estático ( ) de 0→k ),( rrG ′ :
= = = = =
11),(
IrrG. 4)
L es el llamado diádico auto-término:
rV rL, (5)
donde es una normalidad externa a la superficie ŁVn 0 en el punto r'. L es siempre un real, simétrico
dyádico con traza igual a 4η [25]. Es importante tener en cuenta que L no depende del tamaño
del volumen V0, pero sólo en su forma (y la ubicación del punto r en su interior). Por el contrario,
M depende del tamaño del volumen, además se acerca a cero cuando el tamaño de la
disminución del volumen [8] (si tanto χ(r) como E(r) son continuos dentro de V0).
Al derivar Eq. (1) la singularidad de la función de los Verdes ha sido tratada explícitamente,
Por lo tanto, es preferible a la formulación comúnmente utilizada [8,15]:
∫ =
r )(),(d)()(3inc rErrGrE χ. 6)
Además, Yanghjian señaló [25] que existen varios métodos para tratar la singularidad en
Eq. (6) dando lugar a resultados diferentes. También demostró que la derivación de Eq. 6) es falso en el
cerca de la singularidad de ),( rrG ′. Por lo tanto, sólo se puede considerar correcto si el
la singularidad se trata entonces de una manera similar a la de Lakhtakia [8], resultando en la correcta
Eq. (1).
Discretización de Eq. (1) se realiza de la siguiente manera [15]. Let, U
= /0=ji VV I
en el caso de los subvolúmenes ; N denota el número de subvolúmenes.2 Aunque la formulación es aplicable a cualquier
conjunto de subvolumenes Vi, en la mayoría de las aplicaciones se utilizan celdas estándar (igual). Entonces la forma de
el esparcidor no siempre puede ser descrito exactamente por tales células estándar. Por lo tanto, la
la discretización sólo puede ser aproximadamente correcta. Asumiendo iVór y eligiendo iVVV =0,
Eq. (1) puede ser reescrita como
)(),(),(),(),(d)()(3inc rErrLrMrErrGrErE ii
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. 7)..................................................................................................................................................
2 En el marco del DDA normalmente llamamos un subvolumen un dipolo.
El conjunto de Eq. (7) (para todos i) es exacto. Además, un punto fijo ri dentro de cada Vi (su centro) es
elegido y está establecido. En muchos casos se pueden hacer las siguientes suposiciones: irr =
)()()()),(d3 jjijj
rErGrErrG =, (8)
)()),(iiiiiV rMrM χ =, (9)
que indican que las integrales en Eq. (7) dependen linealmente de los valores de χ y E en el punto ri.
Eq. (7) puede entonces ser reescrita como
( ) iiii
jjjijii V ELMEGEE
inc, (10)
donde,, ) ii rEE = )
incinc
ii rLL = ) ii r =, ), ( iii V rLL =.
La aproximación habitual [15] es considerar E y χ constante dentro de cada subvolumen:
)(,)( , (11)
que implica automáticamente Eqs. 8), 9) y
( )∫ =
iii r ),(),(d)
s3)0( rrGrrGM, (12)
∫ ′′=
ij rV
1 3) 0 ( rrGG. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Superíndice (0) denota valores aproximados de los díádicos. Una nueva aproximación, que es
utilizado en casi todas las formulaciones del DDA, incluyendo, por ejemplo, [8], es
),()0( jiij rrGG =. (14)
Esta suposición se hace implícitamente por todas las formulaciones que comienzan sustituyendo al esparcidor
con un conjunto de dipolos de punto. Es importante señalar que Eq. (10) y las derivaciones resultantes de
requiere suposiciones más débiles (Eqs. 8), 9)) que la impuesta por Eq. (11) y, además,
Eq. (14). Es posible formular el DDA basado en Eq. 10), por ejemplo: los Peltoniemi
formulación [26] que se describe en la sección 3.1. Nosotros postulamos Eq. (10) como característica distintiva
de la DDA, es decir, un método se llama el DDA si y sólo si su ecuación principal es equivalente a
Eq. (10) con cualquier Vi, xxi, iM, iL, y ijG.
Kahnert [15] distinguió el DDA del MdM por el hecho de que el MdM resuelve
directamente Eq. (10) para el desconocido Ei, mientras que el DDA no busca el total, pero el emocionante eléctrico
campos
( ) ( ) selfexc iiiiiii EEEMLIE = = χ, (15)
( ) iiiii ELME = yo mismo, (16)
donde está el campo inducido por el subvolumen en sí mismo. Eq. selfiE (10) es entonces equivalente a
jjijii
excexcinc EαGEE, (17)
donde iα es el tensor de polarización definido como
( ) ) 1 = iiiiii V MLIα. (18)
Sin embargo, existe una formulación alternativa del DDA [4] que busca una solución para
polarizaciones Pi:
iiiiii V EEαP χ
exc, (19)
jijiii PGPαE
1inc. (20)
Es importante tener en cuenta que Pi, definido por Eq. (19), es sólo una aproximación a la polarización
del subvolumen Vi. Esta aproximación es exacta sólo bajo el supuesto de Eq. (11), mientras que
la formulación en sí misma no lo requiere. La formulación, utilizando Eq. (20), se puede pensar como
un intermediario entre el DDA y el MdM clasificado por Kahnert [15], por lo tanto
revelando la equivalencia completa de estas dos formulaciones. La estructura especial de la matriz
ijG hace Eq. (20) preferible sobre Eqs. (10), (17) para encontrar una solución numérica. Esto es
se examina en la sección 4.
Lakhtakia [8] clasificó las formas fuertes y débiles del DDA como las que representan o
descuidando la iM, respectivamente. La forma débil se acerca a la forma fuerte cuando el tamaño de la
la célula disminuye, porque iM se aproxima a cero. Para una celda cúbica Vi y con ri situado en el
centro de la celda, iL puede calcularse analíticamente produciendo [25]
=i. (21)
Usando Eq. (18), esto resulta en la conocida polarización Clausius-Mossotti (CM) (utilizado
Originalmente por Purcell y Pennypacker [1]) para la forma débil del DDA:
ii d ♥
α IIα, (22)
donde ) ii r =, y d es el tamaño de la celda cúbica.
Después de determinar los campos eléctricos internos, los campos dispersos y secciones transversales
se puede calcular. Los campos dispersos se obtienen tomando el límite r de la integral
en Eq. (1) (véase, por ejemplo, [7]):
)iexp(
)sca nFrE
=, (23)
donde rrn = es el vector unitario en la dirección de dispersión, y F es la amplitud de dispersión:
=
krnnk ()())iexp(d)(i)(33 rrnrInF χ. (24)
Todas las demás propiedades de dispersión diferencial, tales como amplitud y matrices de dispersión Mueller,
y el parámetro de asimetría se puede derivar de F(n), calculado para dos incidentes
polarizaciones [27]. Las fuerzas de radiación también se pueden calcular [28-30]. Considere un incidente
Ola de plano polarizada3
)iexp()( 0inc rkerE =, (25)
donde, a es la dirección del incidente, y ak k= 10 = e. La sección transversal de dispersión Csca es [27]
2sca )d
C. (26)
Las secciones transversales de absorción y extinción (Cabs, Cext) se derivan [7,14] directamente de la
campos internos:
( )
abs )(Imd4 rEr, (27)
[ ]( )( )( = 02inc3ext )(Re4)()(Imd4 eaFrErEr krkC i Vi
, (28)
donde * denota un conjugado complejo. La conservación de la energía requiere que
absextsca CCC − =. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Sin embargo, como señaló Draine [2], el uso de Eq. (29) para la evaluación de Csca puede conducir a
errores que Eq. (26), especialmente cuando. scaabs CC >>
La forma más fácil de expresar Eqs. (24) y (27) en lo que se refiere a los campos internos de la
los centros de subvolumenes es asumir Eq. (11), con rendimiento
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
krnnk )iexp(d)(i)(33)0( nrEInF χ, (30)
3 DDA se puede utilizar para cualquier onda incidente, por ejemplo. Vigas gaussianas [31]; sin embargo, no discutimos esto aquí.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
iii kVkC )Im(4)Im(4
abs EPE . 31)
Aproximación adicional de Eq. (30), dejando sólo la expansión de orden más bajo del exponente
alrededor de ri, conduce a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ii knnk )iexp()(i)()
3)0( nrPInF, (32)
que junto con Eq. (28), conduce a
( ) =
inc)0(
ext Im4 EPη. 33)
Eqs. (32) y (33) son idénticos a los utilizados por Purcell y Pennypacker [1] y, a continuación, por
Draine [2], mientras que las expresiones para Cabs (comparado con Eq. (31) son ligeramente diferentes. Estos
Las diferencias se examinan en la subsección 3.1. Desafortunadamente, muchos investigadores no especifican
explícitamente cómo las cantidades de dispersión se obtienen de los campos internos computados o
polarizaciones. Los que lo hacen suelen usar la receta de Draine (Eqs. (26), (32), (33), y
(35).).
Los errores de la formulación se pueden clasificar como asociados con el tamaño de la celda finita d
(errores de dispersión), y aproximándose la forma de las partículas con un conjunto de células estándar,
e.g. cúbica (errores de forma). Los errores de discreción resultan de considerar E constante en el interior
cada celda y la evaluación aproximada de iM y ijG. Los errores de forma también se pueden considerar
como resultado de la asunción de constantes χ y E dentro de las células limítrofes, lo que es falso
ya que el borde de la partícula cruza estas células. Por otro lado, los errores de forma pueden ser
visto como una diferencia de los resultados para la forma exacta de la partícula y para el compuesto de la
conjunto de celdas estándar. Ambos errores se acercan a cero cuando N, mientras que la geometría de la
Dispersor y los parámetros del campo de incidente se fijan. Sin embargo, no se aplica lo mismo si:
mientras que N está fijo, es decir. el DDA no es exacto en el límite de longitud de onda larga. Además,
ambos errores son sensibles al tamaño del esparcidor en la región de resonancia (ver discusión en
Subsección
3.2). El comportamiento de estos errores fue estudiado por Yurkin et al. [32].
3 Varios modelos DDA
3.1 Base teórica del DDA
Desde el manuscrito original de Purcell y Pennypacker [1], se han hecho muchos intentos
para mejorar el DDA. La primera etapa (1988-1993) de estas mejoras fue revisada por
Draine y Flatau [4]. Se ha observado [2] que Eq. (22) no satisface la conservación de la energía,
y los resultados obtenidos utilizando esta formulación no satisfacen el teorema óptico. Basado en el
bien conocido [33] “reacción radiativa” (RR) campo eléctrico, una corrección a la polarizabilidad para un
se añadió el dipolo finito [2]:
i)32(1 α
=. (34)
Draine [2] también propuso la siguiente expresión para la sección transversal de absorción:
[ ] =
iiii kkC
*3*exc)0(
abs )32()Im(4 PPEPη, (35)
derivado de Eq. (29) se aplica a un dipolo de un solo punto. La formulación PP utiliza Eq. (35)
sin la segunda parte. Se puede verificar que Eq. (35) resulta en una absorción cero para cualquier
esparcidor si la polarizabilidad es de la siguiente forma:
IAα 31 i)32( kii −=
−, Hii AA =, (36)
donde H denota la transpuesta conjugada de un tensor. Para el índice de refracción real m, RR y todos
otras expresiones especificadas a continuación resultan en α Eq satisfactorio. (36), que hace Eq. (35)
claramente favorable sobre e.g. la formulación PP. Sin embargo, cabe señalar que el PP original
formulación, donde se utilizó la polarizabilidad de MC, también resulta en absorción cero para m real.
La corrección en Eq. (34) es ( )3)(O kd. Varias otras correcciones de ( ) 2) (O kd han sido
propuesta. La primera fue propuesta por Goedecke y O’Brien [7] e independientemente en dos
otros manuscritos [34,35]. Empezaron desde Eqs. (10)-(12) y utilizó lo siguiente:
simplificando el hecho para una célula cúbica (también válida para células esféricas), resultante de la simetría:
d) IRRf
RRf, (37)
donde el origen está en el centro del cubo. Eq. (37) es válido para cualquier f(R) que tenga una singularidad
de menos de un tercer orden para, es decir, las integrales de ambos lados están definidas. Obtuvieron 0→R
32)0( )iexp(d
Rki IM. 38)
Al expandir la exp(ikR) en la serie Taylor se puede obtener
( )
++= ∫ 423
2)0( Oi
ki IM. (39)
El resto integral fue evaluado aproximándose el cubo por un volumen-equivalente
esfera, resultando en
( )( )432DGF1)0( )O))i(32() kdkdkdbi ++= IM, (40)
611992.1)34( 31DGF1 = ηb. 41)
Una evaluación exacta, obtenida sin ampliar el exponente, de Eq. (38) para el equivolumen
esfera con radio 31)43( πda = fue realizado por Livensay y Chen [36] y
aplicada en la formulación DGF del DDA por Hage y Greenberg [14,35] y posteriormente
Lakhtakia [37]:
[ ]1)iexp()i1()38()0( kakai IM (42)
En términos de los dos primeros órdenes de expansión, esto produce un resultado idéntico a Eq. (40). Finalmente
la polarizabilidad se obtiene como
( ) ( ) 32DGF13CM
)i()32()(1 kdkdbd
α. (43)
Denotamos el método basado en Eq. (42) como LAK. Las diferencias entre LAK y DGF deben
ser perceptible sólo para valores grandes de kd.
Dungey y Bohren [38], utilizando los resultados de Doyle [39], propusieron el siguiente tratamiento:
de la polarizabilidad. En primer lugar, cada celda cúbica es reemplazada por la esfera inscrita que se llama una
subunidad dipolar con una mayor permiso eléctrico relativo......................................................................................................................................................
Teoría media efectiva de granate [27]:
f, (44)
donde 6η = f es el factor de llenado del volumen. También se pueden utilizar otras teorías de medios eficaces
[40]. A continuación, el momento dipolo de la esfera equivalente se determina utilizando la teoría de Mie,
y la polarizabilidad se define como [39]
i=, (45)
donde α1 es el coeficiente de dipolo eléctrico de la teoría de Mie (véase e.g. [41]:
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ) ), ), ) ), ) ), ), ) ), ) ), ) ), ) ), ) ), ) ) ) ) ), ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ), ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
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sssssss
sssssss
1 xmxxxmm
xmxxxmm
α, (46)
en los que las funciones de Riccati-Bessel son las siguientes: 2s kdx = y ss فارسىm son el parámetro tamaño y
el índice de refracción relativo de la esfera equivalente. Denotamos esta formulación para el
polarizabilidad como método a1-término (obsérvese que esta terminología se introdujo más adelante [42]). Lo siento.
tiene la propiedad particular que 1constCMM cuando, contrariamente a todos los demás
prescripción de polarización, para la cual esta proporción se aproxima 1. Cabe señalar que el Mie
La teoría se basa en la suposición de que el campo eléctrico externo es una onda plana. En la mayoría
aplicaciones del DDA esto es cierto para el campo eléctrico incidente, pero no para el campo creado
por otros subvolumenes. Por lo tanto, la
Se espera que el método de 1-término sea correcto sólo para muy
tamaño de la célula pequeña. Por lo tanto, no está claro si este método tiene ventajas incluso en comparación con
CM. Por otra parte, este método puede estar más justificado para grupos de pequeñas esferas,
donde cada esfera puede ser considerada como un dipolo (ver Subsección 3.3).
Draine y Goodman [3] señalaron que considerando los campos eléctricos constantes para
evaluar integrales sobre una celda introduce errores de orden ( ) ( ) 2O kd. Esto representa un problema
para muchas correcciones de polarizabilidad, basadas en ecuaciones integrales. Draine y Goodman
abordar este problema desde un ángulo diferente. Ellos determinaron la polarizabilidad óptima en
la sensación de que una celosía infinita de dipolos de punto con tal polarizabilidad llevaría a la
la misma propagación de ondas planas4 que en un medio con un índice de refracción dado. Esto
polarizabilidad se llamó LDR (Relación de Dispersión de Látex) y es, como se esperaba, CM plus
Correcciones de alto pedido. Estas correcciones a su vez dependen de la dirección de propagación a y
la polarización del campo de incidente e0:
( ) ( )[ ]322LDR32LDR2LDR13CM
)i()32()(1 kdkdSmbmbbbd
α, (47)
8915316.1LDR1 b,, 1648469,0
2 b 7700004,1
3o b (48)
( )=
20aas. (49)
Utilizamos una convención de signo inverso en el denominador de Eq. (47) y los coeficientes LDR como
en comparación con el documento original [3].
Recientemente se ha demostrado [43] que la derivación de LDR no es completamente exacta,
dado que el momento dipolo resultante no satisface la condición de transversalidad, para la cual un
Se propuso una corrección. Este LDR corregido (CLDR) difiere principalmente en el hecho de que
El tensor de polarización no se puede hacer isotrópico sino sólo diagonal [43], aunque no dependiente
sobre la polarización de los incidentes:
( ) ( )[ ]3222LDR32LDR2LDR13CM
)i()32()(1 kdkdambmbbbd
α. (50)
Otro defecto de LDR es que evidentemente no es correcto para dipolos cerca de la superficie de partículas.
Sin embargo, no está claro cómo evaluar el efecto de estos dipolos superficiales maltratados en la
resultados generales, por ejemplo: en la sección de dispersión transversal.
La mejora del DDA fue iniciada por Peltoniemi [26] (PEL) que mostró
que el término M(Vi) en Eq. (7) puede ser evaluado exactamente hasta el tercer orden de kd por
ampliar el término ()(rEr bajo la integral en una serie de Taylor sobre el punto irr =′,
rendimiento
( ) ( ),(O3i3)iexp(d)
)iexp(
EkderRRRkRRk
ERkRRk
REMVM
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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=
(51)
donde χ, E y sus derivados se consideran todos en el punto ri. Eq. (51) es correcto hasta el
tercer orden de kd desde el tercer término en la serie Taylor desaparece debido a la simetría. Por
esférico Vi de radio a, las integrales se pueden evaluar exactamente [26] de una manera similar a
4 con cierta dirección de propagación y estado de polarización.
obtención de Eq. (42), pero sólo los términos de menos de cuarto orden de kd son significativos, lo que resulta
( EkaakakaVi 42232)(O)(10)
)
+ = EEEM ). (52)
Si la χ es constante dentro de la celda, entonces las ecuaciones de Maxwell indican que
EE 222 km− =, 0= E. (53)
Por lo tanto, Eq. (9) es válido hasta el tercer orden de ka y
( )[ ]322 )i)32())101(1)34( kakami ++= IM (54)
Piller y Martin [44] propusieron utilizar la teoría del muestreo para evaluar las integrales en
Eq. (1). Se muestra el campo eléctrico y la susceptibilidad:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
iiih ) ) ) ) ) ) )
r ErrrrEr , (55)
donde hr(r) es la función de respuesta de impulso de un filtro antialiasing definido como
)cos()sin(
qrqrqr
=r, (56)
donde dq γ2=. Eq. (1) se transforma entonces en Eq. (10) con los llamados Green’s filtrados
función, definida como
∫ =
r3()),d
ij hrV
rrrrGG. (57)
Eq. (57) puede considerarse una generalización de Eq. (13). Este último se obtiene si un pulso
función se considera en lugar de hr. La integral en Eq. (57) se evalúa analíticamente [44],
Tomando V0 para ser infinitesimalmente pequeño. La función de Green filtrada no tiene una singularidad
cuando, por lo tanto ji rr = iiii V GM =. Se demostró que el espectro de Fourier de E(r) yace en un
esfera con radio m(r)k, si m es constante en las proximidades de r. Por lo tanto, al menos dos muestras
se requieren puntos por longitud de onda en el esparcidor. La susceptibilidad también se filtra, ya sea por
un filtro de valor medio o uno más complicado, por ejemplo. a Ventana de Hanning. Este enfoque es el siguiente:
llamada FCD (dipolos filtrados acoplados), y una biblioteca de código informático para la evaluación de filtros
La función de Green está disponible [45].
Chaumet y otros [11] propuso la integración directa del tensor de los Verdes (TI) en Eqs. (12),
(13). Se realiza una expansión de Weyl del tensor del verde, transformándolo en una forma que permite
cálculo numérico eficiente del auto-término ( LM − ). También propusieron una corrección a:
el segundo término en la expresión de Draine para Cabs (Eq. (35).). Ampliación de sus resultados a
auto-término isotrópico es
( ) ( )[ ] =
iiiiiii VkC /) ImIm4
***exc)0(
abs PLMPEP
El segundo término corregido se basa en la energía de radiación de un dipolo finito [11]:, en
contraste con un dipolo punto utilizado en la derivación de Eq.
)Im( self ii PE
(35). Uno puede ver que Eqs. (58) y
(31) son equivalentes. Además, ambos son equivalentes a Eq. (35) Si y sólo si
IAM iii Vk
3i)32(+=, Hii AA =. (59)
Esta condición es similar, pero no equivalente, a Eq. (36) y siempre está satisfecho con RR, DGF,
Y LAK. Otras prescripciones de polarización satisfacen Eq. (59) para m real, entonces ambos Eqs. (58)
y (35) dan lugar a una absorción cero.
Rahmani, Chaumet y Bryant [46] propusieron un nuevo método (RCB) para determinar
polarizabilidad basada en la solución conocida del problema electrostático para el mismo esparcidor.
En el límite estático el campo eléctrico en cualquier punto está linealmente relacionado con el campo incidente
)()(01 rErCrE =. (60)
Sustitución de Eq. (60) en Eq. (20) con el tensor del verde estático, se puede obtener el
polarizabilidad, que daría una solución exacta en el límite estático, como
1RCB − = iiii V , (61)
ii CCrrGC
1), ( −
= χ, (62)
donde ) ii rCC =. Esta polarizabilidad estática reemplaza entonces la polarizabilidad de CM, y el RR
(Eq. (34)) se le aplica [46] para obtener la polarización final de las simulaciones de DDA. Lo fue.
más tarde demostró que las polarizaciones del RCB difieren significativamente de CM sólo para los dipolos más próximos que
2d a la interfaz [47].
En su siguiente manuscrito [48] Rahmani et al. afirmó que la derivación anterior es correcta
solo si el tensor C es constante dentro de la partícula (por ejemplo: en el caso de los elipsoides), ya que, de lo contrario, la
tensor de polarización obtenido a partir de Eq. (61) no es generalmente simétrico, que es físicamente
imposible en el caso estático. Esto muestra que una partícula con una C no constante no es
equivalente a cualquier conjunto de dipolos de punto físico incluso en el régimen estático. Sin embargo, es
equivalente a un conjunto de dipolos no físicos con una polarización asimétrica. Por lo tanto, el
polarización definida por Eq. (61) se puede utilizar formalmente, por sí mismo o con RR, incluso cuando C es
no constante.
Collinge y Draine [47] combinaron empíricamente la prescripción de RCB con CLDR para obtener
LDR corregido en superficie (SCLDR):
( ) ( ) 13RCBRCBSCLDR = BαI® d, (63)
donde B es la matriz de corrección (analógica a Eq. (50)):
( )[ ]3222LDR32LDR2LDR1 )i()32() kdkdambmbbbB (64)
Todos los métodos basados en el artículo de Rahmani et al. [46] se limitan inicialmente a aspectos muy específicos
formas del esparcidor (elipsoides, losas infinitas y cilindros). Ampliación de su aplicabilidad
a otras formas es discutible [48] y de todos modos requeriría una solución preliminar de la
problema electrostático para la misma forma, que generalmente no es trivial.
Todas las formulaciones DDA se representan esquemáticamente en la Fig. 1, que también muestra
interrelaciones entre ellos. Algunas formulaciones pueden compararse sin ambigüedades en términos de
soundness teórica: una es una mejora de la otra, es decir. emplea menos
aproximaciones. Tales formulaciones se representan en la misma columna de la Fig. 1, mientras que otros
no pueden compararse directamente entre sí; dan lugar a diferentes columnas. Comparación
entre formulaciones de diferentes columnas pueden y han sido hechas casi exclusivamente
comparación empírica de la exactitud de los resultados de la simulación (véase la subsección 3.2).
Todas las técnicas anteriores están dirigidas a reducir los errores de discretización; sólo unos pocos tienen como objetivo
reducir los errores de forma. Algunos de ellos emplean discretización adaptativa (diferentes tamaños de dipolo) a
describir mejor la forma del esparcidor (véase la subsección 3.4). Otro enfoque es el de la media
susceptibilidad en subvolumenes de límite. El promedio más simple usando el Lorentz-Lorenz
la regla de mezcla fue propuesta por Evans y Stephens [49] para el caso de la frontera entre
el esparcidor y su medio circundante
3434 e
, (65)
donde es la susceptibilidad efectiva, y f es la fracción de volumen del subvolumen realmente
ocupado por el esparcidor.
Un promedio más avanzado, llamado la discretización ponderada (WD), fue propuesto por
Piller [13]. Modifica la susceptibilidad y el auto-término del subvolumen de frontera.5
superficie de partículas, cruzando el subvolumen Vi, se asume lineal y divide el subvolumen en
dos partes: el principal que contiene el centro y un secundario con susceptibilidades piV
5 cualquier subvolumen que tenga una intersección no cero con el esparcidor y el medio exterior. Todo ello
Se contabilizan los subvolumenes.
Eq. Integral. 1)..........................................................................................................................................................
discretización
(sin hipótesis)
Eq. 7)..................................................................................................................................................
Generalidades
formulación de
DDA – Eq. (20)
Eqs. 8) y 9)
DGF, LAK
Eqs. (11)
Eq. (14)
(forma débil)
CLDR
a1 mandato
SCLDR FCD
muestreo con
antialiasing
filtro
eliminar
antialiasing
filtro
mejora de la polarizabilidad a partir de
a partir de la formulación de dipolo
cumple
Eq. (14)
simplifica a
Fig. 1. Esquema de interrelación entre los diferentes modelos de DDA analizados en la sección 3.1. Flechas
abajo corresponden a los supuestos empleados. La posición vertical del método corresponde cualitativamente
a su precisión (más alto = mejor), sin embargo los métodos en diferentes columnas no se pueden comparar directamente.
iχ, y campos eléctricos, respectivamente. Los campos eléctricos se consideran constantes
dentro de cada parte y relacionados entre sí a través de un tensor de la condición límite
iχ ii EE
iT :
iii ETE =
s. (66)
Entonces la polarización total del subvolumen puede ser evaluada de la siguiente manera:
iiiiiiiii
i VVVr
EEErErP essspp3 ()(d = == ∫, (67)
( ) iiiiiii VVV TI ssppe + =. (68)
La susceptibilidad del subvolumen límite es reemplazada por uno efectivo.
El auto-término efectivo se evalúa directamente a partir de Eq. (3), considerando χ y E
constante dentro de cada parte:
( ) ( ) ii
r TrrGrrGrrGrGM ss3ps3ee
,(),(d),(),(d =. (69)
Piller [13] evaluó las integrales en Eq. (69) numéricamente. Las ecuaciones finales son las mismas que
Eq. (20), donde las polarizaciones se obtienen a partir de Eq. (18) utilizando susceptibilidades efectivas y
auto-términos para subvolumenes de frontera. Por lo tanto, WD no modifica el número general
esquema.
En la actualidad, no hay razones teóricas rigurosas para preferir una formulación
otros. Sin embargo, los análisis teóricos de la convergencia DDA al refinar la discretización
recientemente dirigido por Yurkin et al. [32], mostró que IT y WD mejoran significativamente el
convergencia de forma y errores de discretización, respectivamente. Verificación experimental de
Estas conclusiones teóricas aún no se han llevado a cabo.
Cuadro 1 Precisión de diferentes formulaciones DDA para una esfera.a
Método de valor x a/d y m Error, % Ref.
Cext a1-término 1o2 2o4
c 0,65
0,85
1,33+0,05i
1.7+0.1i
CSec, S11 LAK 9
0,44
0,42
0,51
1,05
1,33+0,01i
2.5+1.4i
0,05, 37
0,5, 35
4, 15
Csca, Cabs DGF ≤3,2c 16 ≤1 4+3i 5, 1030 [3]
CSec LDR ≤8c 16 ≤0,5, ≤0,1 m-1≤1 1, 2
Csca
LDR ≤7c 16 ≤1
≤0,5, ≤1
2+i 1,5
3, 4
CSec ≤16c
25 ≤1 1,6+0,0008i
2,5+0,02i
LDR [51]
[4]eCSec
LDR cualquier ≤1 m3 5
20/23370/30
LDR de Csca ≤10c 16 kd≤0,63 0,69
0,41
0.29
[148]
S11 LDR ≤10c 24 kd≤0,42 0,69
0,41
Cext, RMS11S
3.2 Exactitud de las simulaciones de DDA
A lo largo de los años se han publicado muchos resultados sobre la exactitud de las simulaciones de DDA. Lo es,
Sin embargo, generalmente difícil de comparar sistemáticamente los manuscritos relevantes porque todos ellos
utilizar diferentes parámetros independientes, tales como el parámetro tamaño x, índice de refracción m, o
discretización, en función de la cual se mide el error. Vamos a describir la discretización por
el parámetro kdmy = o. El primero se utiliza siempre que es posible; sin embargo,
En algunos casos, una descripción de los resultados es más sencilla en términos de
kdmy )Re(Re =
Re. Resultados de precisión
LDR 20/23370/160
20/23370/130
20/23370/60
20/23370/30
20/23370/30
32/23370/256c
40/23370/256c
48/23370/128c
56/23370/80c
64/23370/88c
0,61!0,65d
0,560,64d
0.580.65d
0,57.60.60d
0,560,62d
0,62d
1,05
0,04, 38
0,4, 23
1, 59
4.4, 56
5.7, 105
2.0, 86
[113]
• FCD η, 2η 2.8, 5.6c 1,7 1,5 1 [44]
WD-FCD 0.53,2c
1,5-3,8c
0.911,5c
yRe=0.63 m7b
m2.5b
m4b
[10]
IT ≤5,2c CSec
≤2,1c
≤1,1c
8 ≤1 1,5+0,3i
3.5+1.4i
7,1+0,7i
Cabras
CSec RCB-RR ≤8,2c
≤7,5c
≤5,9c
≤3,4c
≤1,3c
16 ≤1 1,8+0,4i
1.9+i
2.5+i
2.5+4i
7.4+9.4i
CSec SCLDR
SCLDR
≤7,2c
≤1,5c
≤1,5c
12 ≤0,8 1,33+0,1i
5+4i
5+4i
a Todos los errores son relativos. CSec denota el error máximo en todas las secciones transversales, S11 y corresponde a
máximo y root promedio de error cuadrado sobre el rango de ángulos de dispersión, • es el error medio normalizado de la
campos eléctricos de campo lejano [44]. En algunos casos se muestran dos errores en una celda separada por un coma. Ellos
corresponden a dos valores de uno de los parámetros de la misma fila.
b descripción aproximada del intervalo.
c este valor está determinado por otros valores en la misma fila.
d este valor es ligeramente diferente para diferentes parámetros de tamaño.
e esto corresponde a la “regla del pulgar” para las esferas.
para la dispersión por una esfera se resumen en la Tabla 1. Todos los manuscritos sobre este tema pueden ser
dividido en dos clases: las que fijan x y varían N (o equivalentemente, el número de dipolos
por radio de esfera a/d) con y, y aquellos que fijan a/d y varían el parámetro de tamaño con y. Los
la primera es más fácil de interpretar; la segunda es más fácil de simular. Para facilitar la comparación entre
diferentes métodos proporcionamos x y a/d, sin embargo uno de ellos depende del otro.
A continuación figura información adicional sobre estos resultados.
Draine y Goodman [3] compararon RR, DGF y LDR para secciones transversales de una esfera
con. El DGF es generalmente más preciso que el RR. Para 16/ =da 11 m LDR da superior
o resultados comparables a DGF, para i2 = m LDR y DGF son comparables, y para
DGF es preferible a LDR. En la revisión de LDR DDA, Draine y Flatau [4]
resumen que para secciones transversales se puede evaluar a exactitudes de unos pocos por ciento
siempre y cuando. En ese caso, las secciones transversales diferenciales tienen una exactitud satisfactoria: relativa
errores de hasta 20-30%, pero sólo cuando el valor absoluto de las secciones transversales diferenciales es
Pequeño. Para las esferas, tales resultados se obtienen incluso para
i34 +m
2 ≤m
3 ≤m. Comparación de la CLDR con la LDR
[43] sólo da lugar a diferencias menores. Por lo general, CLDR resulta en una precisión ligeramente mejor para
Csca, pero peor para los taxis.
Piller y Martin [44] compararon FCD con LAK estudiando la dependencia de la media
error relativo de los campos eléctricos de campo lejano () en y para las esferas con η = x, 2η y. Lo siento.
se demostró que FCD (con un filtro de ventana de Hanning para el permiso eléctrico
3 veces más preciso que LAK en el rango
5.1=m
5.27.0 y da accuracies similares para
(para esferas más grandes). Comparación del WD con los métodos tradicionales [13]
para esferas con
4,0≤y
η = x, 2η y 32,1=m, i7.01.2 +. LAK fue utilizado para determinar
polarizaciones. Para en el rango 32,1=m 3,14,0 y la precisión global fue sólo ligeramente
mejorado, pero los picos de error para ciertos valores de y se suavizaron. Para i7.01.2 + = m
la precisión se mejoró 4-5 veces en todo el rango 3.1≤y. Piller también mostró [10] que un
la combinación de WD y FCD da mejores resultados. Generalmente FCD disminuye el negativo
los efectos de Re(e) sobre la exactitud y WD los de Im(e).
Rahmani et al. [48] mostró que el BCR era claramente superior al MC en el cálculo cruzado
secciones para fijo y m de 16/ =da i4.08.1 + a i4.94.7 + en el intervalo. Dos
Se compararon las correcciones (LDR y RR) en el caso estático, y se dio un total similar
resultados. La mejora de la exactitud general en comparación con el CM fue de 2 a 5 veces en todos los casos
estudiados. Para una losa delgada, se demostró [46,48] que los campos internos calculados utilizando RCB
difieren de los de CM en su mayoría cerca de las interfaces, donde el BCR produce errores mucho más pequeños,
casi lo mismo que lejos de las interfaces.
Collinge y Draine [47] compararon LDR, RCB y SCLDR en cálculos cruzados
secciones de esferas con. Se demostró que para 12/ =da i01.033.1 +m, LDR y SCLDR
son superiores en el rango, mientras que para 8.0≤y i45 + = m, SCLDR y RCB son superiores.
Convergencia de secciones transversales para esferas y elipsoides para el aumento de N con x fija y
También se estudiaron diferentes m (de i01.033.1 + i45+ ). SCLDR mostró la más estable
resultados para todos los casos, siendo el más o cercano al más preciso; sin embargo, para elipsoides
con grande Im(m) RCB dio resultados significativamente más precisos para Csca, especialmente para y más grande.
El rendimiento de la DDA para formas más complejas también fue estudiado por diferentes
autores. Flatau et al. [50] comparó las simulaciones DDA para una bisférica con una solución exacta
de una expansión multipolo. Para i01.033.1 + = m, 16/ = da, y 8.0≤y, LDR fue varios
veces más preciso que DGF y resultó en errores de menos del 0,5% para Csca y Cabs.
Xu y Gustafson [51] hicieron un estudio similar pero mucho más extenso de LDR. Por
, i008,06.1 +m 25/ =da, y, los errores en C4.0 ≤y ext, Cabs, y Por
, los errores en la dependencia angular de S81,0=y 11 son de hasta el 20%, mientras que S12 y S21 fueron
completamente equivocado. Para, los errores en secciones transversales superan el 10% para. i02.05.2 +m 3,0≥y
Errores en las dependencias angulares de los elementos de la matriz de Mueller están dentro de 10-20% para
y aumentar rápidamente con el aumento y. Para un fijo 3.0=y 3=x y, errores
i004.06.1 +m
ext, Cabs, y la disminución de de 10% a 1% mientras que la disminución de y de 1 a 0,2. Por
, la dependencia angular de S33.0=y 11 está de acuerdo con la solución rigurosa,
mientras que S12 y S21 difieren significativamente para ciertas orientaciones de la bisférica.
Hage y Greenberg [14] compararon LAK con los resultados experimentales obtenidos de
experimentos de microondas en cubos porosos. Usando i005.0362.1 + = m, 64.0=y y,
obtuvieron una diferencia de menos del 40% con los resultados experimentales de dispersión angular
patrones, a excepción de mínimos profundos. Dispersión ligera de cubos, baldosas y cilindros similares
También se estudiaron los parámetros y se compararon las diferencias entre el experimento y la teoría.
obtenido. Se estimó que los errores teóricos eran inferiores al 10%, con excepción de los mínimos profundos.
5504=N
Iskander et al. [34] realizó una prueba limitada de LAK para los pequeños esferoides alargados,
comparar los resultados con los obtenidos utilizando una condición iterativa de límite extendido
método. Utilizando, los cálculos se realizaron para las relaciones de aspecto hasta 20 con máximo
Parámetro de tamaño del eje largo 10 y 0,5 para
i01.033.1 + = m y
respectivamente. Los errores en la dispersión de la sección transversal fueron 21% y 11%, respectivamente. Ku [52]
comparación de LAK con CM y el
i28,076,1 +
1-término para diferentes formas, pero sus conclusiones se basan en
en un parámetro grande y (hasta 2), y por lo tanto son sospechosos y no se discute más aquí.
Andersen et al. [53] estudió el rendimiento del DDA para los grupos de tamaño Rayleigh de
unas pocas esferas (la mayoría de las formulaciones DDA son equivalentes a CM). Varios constituyentes
los materiales fueron probados, todos con altos índices de refracción en la región estudiada. Se demostró que
el DDA no pudo converger usando los recursos computacionales fijos para muy alto (hasta 13.0)
y muy bajo (hasta 0,12) Re(m); se utilizaron hasta 30 dipolos por diámetro de una sola
esfera.
Se puede concluir que las partículas con formas más complejas que las esferas son más
difícil de modelar con el DDA, lo que lleva a errores más grandes para el mismo m e y. Este efecto puede
se explican en general por el aumento de la relación superficie-volumen y, por lo tanto, mayor fracción de
subvolumenes límite [32]. Otra posible razón son las regiones complejas, por ejemplo. contacto entre
dos partículas en un cluster, donde la rápida variación del campo eléctrico deteriora la
precisión. Sin embargo, hay una notable excepción a esta tendencia general. Formas, que
puede ser modelado exactamente por un conjunto de dipolos cúbicos, por ejemplo. un cubo, se puede simular usando el
DDA mucho más precisa que las esferas, especialmente para las pequeñas y [32].
Draine y Flatau [4] han introducido una “regla del pulgar” para la discretización: uso 10
dipolos por longitud de onda en el medio (es decir, o bien y o yRe igual a 0,63, dependiendo de la
interpretación). Aunque se utiliza ampliamente, la exactitud de los resultados, al utilizar tales
discretización, es difícil deducir a priori. Draine y Flatau derivaron una estimación de
el error basado en un conjunto de simulaciones de ensayo. Esta estimación se describe anteriormente y se menciona en
Cuadro 1; por lo general se cita como un “poco porcentaje de precisión en secciones transversales”.
sobre o infraestimar significativamente el error, especialmente para parámetros de gran tamaño. Además,
no tiene en cuenta completamente la dependencia de m, incluso en el rango declarado de su
aplicación ( ), dado que la precisión del DDA se deteriora rápidamente con el aumento de m (véase el cuadro 2 ≤m)
1). Sin embargo, la regla del pulgar es buena primera conjetura para muchas aplicaciones.
La mayoría de los estudios de precisión DDA se limitan a las cantidades de dispersión integral y, a lo sumo,
la dependencia angular de S11. En sólo unos pocos manuscritos hay otras cantidades de dispersión
estudiados. Por ejemplo, Singham [54] simuló la dependencia angular de la matriz de Mueller
elemento S34 para esferas y partículas menos compactas, utilizando polarizabilidad CM. Se demostró que
una simulación precisa de este elemento requiere valores menores de y que para S11. Para 55,1 = x
y un cálculo de S33.1=m 11 ya fue exacto para 8.0=y, mientras que fue
Requerido para S
2,0≤y
34. También se informó que para objetos menos compactos como discos y varillas, el
y fue mayor, 0,4 y 0,55 respectivamente, debido a la menor interacción entre
los dipolos. Sin embargo, Hoekstra y Sloot argumentaron [55] que este efecto es causado principalmente por el
S34 pronunciado sensibilidad a la rugosidad de la superficie, que es significativo para menor tamaño si y es
Arreglado. Demostraron que para y 7.10=x 05.1=m, se logra una precisión muy alta con
debido al mayor número de dipolos utilizados. 66,0=y
Los campos internos son un resultado intermedio en el DDA. No se pueden comparar directamente
a los resultados experimentales; sin embargo, todas las cantidades de dispersión medidas se derivan de
Ellos. Por lo tanto, un estudio de su exactitud puede revelar una mayor comprensión de la naturaleza de
Errores de DDA. Hoekstra et al. [56] llevó a cabo un estudio de este tipo para la polarización de LAK. Tres
las esferas fueron examinadas con, 9, 5 y 9 = x 05,1 = m, i01,033,1 +, respectivamente.
Los valores de y fueron 0,44, 0,42 y 0,51 respectivamente. Los errores más significativos en el
amplitud del campo interno se localizó en el límite de las esferas con máximo
errores relativos de 3,4%, 19% y 120% respectivamente. Errores en S
i4.15.2 +
12, S33, S34 fueron significativos
sólo para la tercera esfera. Se demostró que para un determinado yRe estos errores aumentan rápidamente con m
pero sólo ligeramente dependen de x en el rango de 1 a 10. Por otra parte, el DDA es capaz de
reproduciendo resonancias de la teoría de Mie, aunque sus posiciones son ligeramente desplazadas (menos de
1% en m).
Droguer y Bronk [57] estudiaron la exactitud de los campos internos para los campos simples y recubiertos
esferas. Utilizaron 5.1 = x,, y CM polarizabilidad. Los errores en los campos internos fueron:
localizado en las interfaces, con errores medios superiores al 30% para una sola esfera con
y, y menos del 7% para una única y concéntrica esfera con y
. El núcleo de la esfera concéntrica tiene
8,1 ≤ m
8,1=m 17,0=y 3,1=m
08.0=y 1.1=m y su diámetro es la mitad del total
diámetro. La dependencia angular de los valores absolutos de S1 y S2 tuvo errores significativos en
el lado... y el esparcimiento de la espalda. Se puede concluir que los errores de forma contribuyen principalmente a la
campos internos cerca del límite, y aumentar con m.
Toda la literatura que discute la exactitud del DDA muestra errores en función de la entrada
parámetros y discretización, que es la forma más directa. La única excepción es la siguiente:
la regla del dedo pulgar, que es demasiado general y aproximado para ser aplicado en muchos en particular
casos. Una manera más útil de presentar errores es fijar la precisión deseada para cierta entrada
los parámetros y encontrar la discretización que resulta en tal precisión. Un análisis de este tipo puede ser
se aplica directamente a los cálculos prácticos y se puede utilizar para obtener estimaciones rigurosas de la DDA
requisitos computacionales [58].
En una serie de manuscritos se examinó el origen de los errores en el DDA para tratar de
separar y comparar los errores de forma y discretización [49,59-62]; sin embargo, no definido
Se llegaron a conclusiones. La incertidumbre se debe a los métodos indirectos utilizados que han
problemas de interpretación inherentes. Recientemente, Yurkin et al. [63] propuso un método directo para
errores de forma y discretización separados, que se pueden utilizar para estudiar su fundamental
propiedades. Este método también se puede aplicar para estudiar el desempeño de diferentes formulaciones
destinado a disminuir los errores de forma, por ejemplo. WD. Por ejemplo, se ha demostrado que el máximo
errores de S11() para una esfera con 5 = x 5,1 = m, discretizados utilizando 16 dipolos por diámetro
( ), se deben principalmente a errores de forma. Sin embargo, lo mismo no es cierto para todos los medidos
cantidades. En otro manuscrito [32] se sugirió que el error de discretización debería
disminuir más rápidamente con la disminución y que los errores de forma. Sin embargo, sigue siendo difícil deducir
a priori la importancia de los errores de forma para un cierto esparcidor e y; por lo tanto, más sistemático
Se requiere un estudio cuantitativo.
93,0=y
3.3 El DDA para los clusters de esferas
Hay dos peculiaridades principales cuando el DDA se aplica a grupos de esferas. En primer lugar, tales
Las partículas son generalmente menos compactas, produciendo interacciones más pequeñas entre los dipolos. Esto lleva
a un número de condición menor de la matriz de interacción DDA y, por lo tanto, una convergencia más rápida de
el solucionador iterativo (véase la sección 4.1). Segundo, cuando las esferas constituyentes son pequeñas
en comparación con la longitud de onda, cada esfera se puede modelar como un subvolumen esférico,
dando algunas simplificaciones teóricas.
Existe una teoría general [64] basada en la teoría de Mie (multipartículas generalizadas Mie
solución (GMM) [65]) que permite simulaciones altamente precisas de grupos de esferas.
Sin embargo, cuando se usan muchas esferas pequeñas uno quiere minimizar el número de incógnitas
en el sistema lineal. Reducción directa del GMM al orden más bajo (utilizando sólo el primer
coeficientes de expansión de orden) conduce a DDA + CM [64]. La mejora de la precisión en el MMG es
hecho por la contabilidad de los momentos multipolo más altos, mientras que el DDA introduce un orden más alto
correcciones a los coeficientes del sistema lineal. No está claro cómo la exactitud de estos
dos métodos se comparan entre sí; sin embargo, el primero debe conducir a una formulación
similar a un método multipolo acoplado (subsección 3.4) con un mayor número de incógnitas.
Métodos basados en DDA (comenzando normalmente con las ecuaciones integrales introducidas en la sección 2)
debe tener éxito en hacer la formulación más precisa sin aumentar el número de
de incógnitas, que es la meta para grandes grupos de pequeñas esferas. Por otra parte, el DDA puede
emplear algoritmos rápidos para resolver el sistema lineal. En esta configuración, el método multipolo rápido
(FMM) (véase la subsección 4.5) parece muy prometedor.
Cabe señalar, sin embargo, que un cluster que tiene un parámetro de tamaño pequeño (es decir, en la ventana
aproximación electrostática) no implica que todos los coeficientes de expansión, excepto el primero
Uno, son insignificantes. Esto se debe a que el tamaño de las partículas constituyentes también es muy pequeño y
los campos dentro de ellos están lejos de ser constantes, especialmente cuando las esferas se encuentran cerca de
el uno al otro y tienen grandes índices de refracción [66]. Por lo tanto, el DDA tiene algunos
dificultades principales para calcular la dispersión por grupos de esferas. Mackowski [67], para
ejemplo, encontró que para algunos sistemas compuestos de esferas mucho más pequeñas que el
longitud de onda, hasta 10 términos de expansión eran necesarios para lograr la convergencia. En estudios de
esferas osculantes, Ngo et al. [68] demostró que el MMG podía ser caótico y era capaz de
calcular los exponentes de Lyapunov, y que la lenta convergencia para las esferas de tocar era
el resultado del sistema que se encuentra en una región atrayente. Un artículo reciente de Markel et al. [69]
presentó modificaciones computacionalmente eficientes del GMM en el límite estático y
demostró la insuficiencia de la DDA para calcular las propiedades de dispersión de fractal
los agregados con precisión. Sin embargo, Kim et al. [70] mostró que el DDA es satisfactorio en
cálculo de la polarizabilidad estática de los nanoclusters dieléctricos, especialmente de los clusters con una
un gran número de constituyentes.
El desarrollo de métodos basados en el DDA para calcular la dispersión de la luz por grupos de
Las pequeñas esferas fueron iniciadas por Jones [71,72], quien desarrolló un método similar al CM. Iskander
et al. [34] utilizó un método equivalente al LAK para calcular la dispersión de aerosoles encadenados
clusters. Este tema fue investigado por Kosaza [73,74]. Lou y Charalampopoulos
[75] (LC) mejoró aún más los cálculos del término de interacción y las cantidades dispersas.
A partir de una ecuación integral para el campo interno equivalente a Eq. 1), supusieron
Eq. (11). Después de eso las integrales en Eqs. (12) y (13) sobre subvolumenes esféricos puede ser
evaluados analíticamente. El resultado del término de interacción es el siguiente:
),()()0( jiij ka rrGG η=, (70)
donde una función de corrección η se define como
)O()101(1
cossina
3) 42)
x =
=η. (71)
Eq. (30) también se evalúa analíticamente, dando
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ii knnkak )iexp()(i)()
3)0( nrPInF η, (72)
( ) =
iikakC
inc)0(
ext Im)(4 EP. (73)
La siguiente expresión para Cabs se declara sin derivación:
iikakC )Im()(4
abs EP. (74)
Markel et al. [76] aplicó el DDA a grupos fractales de esferas, y estudió su
propiedades ópticas. Sin embargo, no han fijado la polarizabilidad de un solo dipolo, sino más bien
la trató como una variable, calculando la dependencia de las características ópticas de un clúster sobre ella.
Pustovit et al. [77] argumentó que el DDA es inexacto para tocar esferas. Desarrollaron un
híbrido del DDA y el GMM, que considera sólo las interacciones de pares entre esferas (como
el DDA) pero, al calcularlos, da cuenta de términos multipolo más altos. Esta formulación
puede ser considerado como el que proporciona una evaluación más precisa del término de interacción
(Eq. (13)), y por lo tanto similar a LC.
LC se comparó con DGF y LAK en un cálculo Csca de un grupo de 10 partículas para
y. Las diferencias entre DGF y LAK son inferiores al 1% (como
se espera), mientras que la diferencia entre CL y LAK aumenta cuadráticamente con ka,
Alcanzar el 10% para
i7.07.1 +m 5.005.0 ka
5,0=ka. Sin embargo, no es exacto (p. ej. GMM) solución se presenta, la
la precisión de cada método individual no está clara.
Okamoto [42] probó el método a1-término para grupos de hasta 3 esferas de tocar. No
En este caso se necesita un medio eficaz, haciendo que el método suene más. Se demostró que la a1-
término es claramente superior a LDR en los cálculos transversales, cuando cada esfera se trata como un
Dipolo único. Los errores del a1-término son menos del 10% para 2,1≤y cuando. Por
tres esferas de contacto colineal los errores son 30% y 40% para y 2,8 cuando
y, respectivamente. Sin embargo, los errores no parecen disminuir
(los resultados se presentan sólo hasta
i01.033.1 + = m
9.1≤y
i01.033.1 +m i2 +
2,0=y ). Por lo tanto, el a1-término
parece adecuado para obtener estimaciones rápidas del crudo de las secciones transversales.
En la secuela de esta subsección mencionamos varias aplicaciones de la DDA a
dispersarse de grupos de esferas. Se aplicó para describir la dispersión por astrofísica
los agregados de polvo [78,79] utilizando el método a1-término. Hull et al. [80] aplicado CM DDA a Diesel
Partículas de hollín. LC se aplicó [81] al cálculo de la dispersión de la luz al azar
los agregados de cadenas ramificadas. Lumme y Rahola [40] estudiaron las propiedades de dispersión de los racimos
de grandes esferas (cada una modelada por un conjunto de dipolos) con el método a1-término considerando
aplicaciones astrofísicas. Hage y Greenberg [35] estudiaron la dispersión por partículas porosas,
que fueron modelados como grupos de células cúbicas haciendo su método equivalente a estándar
LAK. Recientemente se utilizó el DDA con LDR [82] para modelar la dispersión por granos de polvo porosos
y compararlas con teorías aproximadas, por ejemplo. teorías medias eficaces. También se utilizaba para
estudio de la dispersión de la luz por los agregados fractales [83], especialmente su dependencia de la
estructura [84].
3.4 Modificaciones y prórrogas del DDA
Bourrely et al. [85] propuso utilizar d pequeño para minimizar la rugosidad de la superficie, pero dipolos más grandes
dentro de la partícula. Comenzando con dipolos pequeños con polarizabilidad CM, se combina un dipolo
con 6 adyacentes (si todos tienen la misma polarizabilidad) produciendo un dipolo, situado en
el mismo punto pero con una polarizabilidad 7 veces mayor. Esta operación se repite mientras
Es posible. Los términos de interacción se consideran en su forma más simple (Eq. (14)). Este método
permite la disminución de los errores de forma con sólo un aumento menor en el número de dipolos.
Los autores mostraron que este método es más de dos veces más preciso que CM para algunos
casos de pruebas.
Rouleau y Martin [86] propusieron un método semianalítico generalizado. Una dinámica
cuadrícula se utiliza para evaluar la integral en Eq. (1). En primer lugar, se construye una rejilla estática dentro de la partícula.
A continuación, cada punto de la cuadrícula estática se utiliza como origen de un sistema de coordenadas esférica, y
la partícula se aproxima por un conjunto de elementos de volumen en estos esféricos
coordenadas. Como de costumbre, la polarización dentro de cada subvolumen se asume constante, pero
Eq. (13) puede evaluarse analíticamente en coordenadas esféricas. Polarización dentro de una
subvolumen se obtiene mediante la interpolación de sus valores en los puntos de la cuadrícula estática. Además,
adaptive gridding se emplea, donde se utilizan subvolumenes más pequeños en el límite de la
partícula.
Mulholland et al. [87] propuso un método de dipolo eléctrico y magnético acoplado
(CEMD), donde se considera un dipolo magnético en cada subvolumen junto con un
Dipolo. Las polarizaciones se derivan de los términos a1 y b1 de la teoría Mie. CEMD
requiere dos veces más variables en el sistema lineal, ya que los campos eléctrico y magnético
están interconectados. Lemaire [88] fue más allá y desarrolló el método multipolo acoplado,
considerando también el cuádruple eléctrico. La adición del cuádruple eléctrico puede ser
considerado como una evaluación más precisa del término de interacción en Eq. (13), en comparación con
Eq. (14). Resulta en una precisión aún mejor que la CEMD, pero a expensas de
Tiempo de cálculo. La principal desventaja de todos estos cuatro métodos es que la matriz de la
sistema de ecuaciones lineales no parece tener ninguna forma especial, adecuado para más rápido
algoritmos (véase la sección 4). Por lo tanto, los costos computacionales son mucho mayores en comparación con
métodos regulares, limitando así su uso práctico. En lo que sigue, varias extensiones DDA
se mencionan sin más discusión.
La base teórica para la aplicación del DDA a partículas ópticamente anisotrópicas fue
resumen de Lakhtakia [89]. Loiko y Molochko [90] aplicaron el DDA para estudiar la luz
dispersión por gotas esféricas de cristal líquido. Smith y Stokes [91] utilizaron el DDA para
calcular el efecto Faraday para las nanopartículas. Investigadores en la ingeniería eléctrica
comunidad aplicada MoM (en una variación que es equivalente al DDA) a anisotrópico
scatters [92,93].
Los paralelepípedos rectangulares pueden utilizarse como subvolumen en el DDA [11,23,43]. Esto
permite una descripción precisa de la dispersión de la luz por partículas con grandes relaciones de aspecto, utilizando
menos dipolos y también es compatible con las técnicas de FFT (subsección 4.4).
Khlebtsov [94] propuso una simplificación del DDA, sobre la base del supuesto de que todos
las polarizaciones son paralelas al campo eléctrico incidente. El número de variables se reduce así
tres veces, sin embargo a un costo de precisión. Además, la despolarización es completamente ignorada.
Markel [95] analíticamente resolvió las ecuaciones DDA para la dispersión por una infinita-
matriz periódica de dipolo dimensional. Este enfoque es similar al utilizado en la obtención de la
Formulación LDR para la polarización del dipolo [3].
Chaumet y otros [96] generalizó el DDA a las estructuras periódicas, y además a los defectos en
una rejilla periódica sobre una superficie [97]. La idea de utilizar el tensor del complejo verde en el
Martin resumió la formulación estándar de DDA [98].
Yang et al. [99] utilizó el DDA para calcular los campos electromagnéticos de superficie y determinar
Intensidad Raman para pequeñas partículas metálicas de forma arbitraria.
Lemaire y Bassrei [100] mostraron que la forma de un objeto se puede reconstruir a partir de
la dependencia del ángulo medido de intensidades dispersas. Este procedimiento puede ser considerado como
una inversión de la dependencia entre las polarizaciones del dipolo y la dispersión. Esto
la dependencia se toma del DDA. Una idea similar se utiliza en manuscritos recientes en óptica
tomografía [101-103].
Zubko y otros [104] modificó el tensor del verde utilizado en el DDA para estudiar el
Retrodispersión de partículas de desechos. Demostraron que la parte más lejana del tensor de los Verdes es
responsable tanto de la oleada de brillo retrodispersante como de la rama de polarización negativa.
4 Consideraciones numéricas
En esta sección se discuten los aspectos numéricos del DDA. Uno debe tener en cuenta,
Sin embargo, que los tiempos de simulación final dependen no sólo de los métodos numéricos elegidos, sino
también sobre la aplicación particular. Recientemente, Penttila et al. [105] han comparado cuatro
diferentes programas informáticos para el DDA. Estos se basan en casi idénticos números
métodos: el método iterativo Krylov-subespacio (sección 4.1) combinado con un FFT
aceleración del producto matriz-vector (sección 4.4). Sin embargo, los tiempos de simulación pueden diferir
por varios factores. Las optimizaciones de los códigos informáticos no se examinan más a fondo en este examen.
4.1 Métodos directos vs. iterativos
Hay dos tipos generales de métodos para resolver sistemas lineales de ecuaciones, Donde x
es un vector desconocido y A e y son conocidos matriz y vector, respectivamente: directo y
yAx =
iterativo [106]. Los métodos directos dan resultados en un número fijo de pasos, mientras que el número de
generalmente se desconocen a priori las iteraciones requeridas en los métodos iterativos. El más habitual
ejemplo de un método directo es la descomposición de LU, que permite la solución rápida para múltiples y
una vez realizada la descomposición. Los métodos iterativos son generalmente más rápidos, menos memoria
consumir y numéricamente más estable. Sin embargo, no se pueden considerar métodos iterativos
superior sobre directo, ya que dependen fuertemente del problema para resolver [107].
Para una matriz general n×n (en DDA Nn 3= ) el tiempo de cálculo de la descomposición de LU es
O(n3) y requisitos de almacenamiento O(n2), mientras que el tiempo de cálculo para una iteración es O(n2) [107].
Los métodos iterativos para una matriz general convergen en las iteraciones de O(n), aunque algunas de ellas
puede que no converjan en absoluto. Sin embargo, en muchos casos se puede obtener una exactitud satisfactoria después de
número mucho menor de iteraciones. En estos casos, los métodos iterativos pueden proporcionar
aumenta la velocidad, especialmente para grandes n. La mayoría de los métodos iterativos acceden a la matriz A solamente
a través de la multiplicación matriz-vector (a veces también con la matriz transpuesta), que
permite la construcción de rutinas especiales para el cálculo de estos productos. Tales rutinas
puede disminuir las necesidades de memoria, ya que ya no es necesario almacenar toda la matriz,
especialmente para matrices de forma especial (véase la subsección 4.3). Una estructura especial de la matriz
también puede permitir la aceleración del producto de matriz-vector de O(n2) a O(nlnn) (véase
subsecciones 4.4, 4.5). Sin embargo, lo mismo se aplica a los métodos directos (véase la subsección 4.3).
A lo largo de la historia del DDA, la mayoría de los métodos iterativos fueron empleados (sin embargo ver
Subsección 4.6). Al principio, se utilizaron para acelerar los cálculos [1], pero también permitieron
mayor número de dipolos a simular [6,108], ya que el almacenamiento de toda la matriz es
prohibitivo para los métodos directos. Los métodos iterativos más utilizados en el DDA son:
Métodos de Krylov-espacio, tales como [107] gradiente conjugado (CG), CG aplicado a la Normalizado
Ecuación con minimización de la norma residual (CGNR), Bi-CG, Bi-CG estabilizada (Bi-
CGSTAB), CG al cuadrado (CGS), residuos mínimos generalizados (GMRES), cuasi-mínimos
residual (QMR), transponer QMR libre (TFQMR), y métodos generalizados de tipo de producto basados
sobre Bi-CG (GPBi-CG) [109].
Una parte importante del solucionador iterativo es el preacondicionamiento, que efectivamente disminuye
el número de condición de la matriz A y, por lo tanto, acelera la convergencia. Sin embargo, este
requiere tiempo computacional adicional durante la inicialización y cada iteración.
El preacondicionamiento del sistema inicial puede resumirse como [107]
yMxMAMM 12
21 ) =
−, (75)
donde M1 y M2 son preacondicionadores izquierdos y derecho, respectivamente. Los precondicionadores deben
o bien permitir una inversión rápida o bien integrarse en el proceso de iteración. La más simple.
preacondicionador del primer tipo es el Jacobi (punto), que es sólo la parte diagonal de la matriz
A. Un ejemplo del segundo tipo de precondicionador es el polinomio Neumann
Previouser de la orden l:
) AIM. (76)
QMR y Bi-CG se pueden hacer para emplear la propiedad simétrica compleja (CS) de la
Matriz de interacción DDA para reducir a la mitad el número de multiplicaciones matriz-vector [110] (y por lo tanto
tiempo computacional). Lumme y Rahola [40] fueron los primeros en aplicar QMR(CS) al DDA
y lo comparó con CGNR. Utilizaron m de i1.06.1 + a i43+, y x de 1.3 a 13.5,
correspondiente a N de 136 a 20336. Para todos los casos estudiados QMR(CS) fue 2-4 veces más rápido
que CGNR.
Rahola [9] estudió posteriormente QMR(CS) y la comparó con CGNR, Bi-CG(CS), Bi-
CGSTAB, CGS, GMRES (lleno y con diferente longitud de memoria). Para un “típico pequeño
problema” (no se especificaron parámetros, por desgracia) la convergencia de diferentes métodos
fue probado y QMR(CS) junto con Bi-CG(CS) mostró los mejores resultados. Aunque lleno
GMRES fue capaz de converger en menos iteraciones, GMRES con hasta 40 memorias
Las longitudes fueron más lentas que QMR (CS).
Flatau [111] revisó el uso de algoritmos iterativos en el DDA y probó muchos de
ellos, junto con varios prescriptores. Calculó la dispersión de una esfera homogénea
con y m desde 1,33 hasta 1,0=x i0001,05+, 1=x y m desde 1,33 hasta y
. Izquierda (L) y derecha (R) Jacobi-, y primer orden Neumann polinomio
Los preavisos fueron probados. Por desgracia, no se especificó el número de dipolos N, que
dificulta la comparación con otros estudios. Para partículas pequeñas CG(L) fue superior para todos
Índices de refracción estudiados. CG y CG(R) mostraron resultados similares, mientras que CGNR(L) y Bi-
CGSTAB(L) fue aproximadamente 4 veces más lento. Por
i33.1 +
i0001,03+
1=x Bi-CGSTAB(L) fue superior mientras que Bi-
CGSTAB,(R) y CGS,(L),(R) fueron ligeramente peores. TFQMR (tanto con como sin Jacobi)
preconditioner) fue 3-4 veces más lento. El precondicionador Neumann de primer orden mostró
resultados insatisfactorios. Se concluyó que Bi-CGSTAB(L) es la opción más satisfactoria
para el DDA, y ese método es el por defecto utilizado en el programa DDSCAT [6].
Recientemente Fan et al. [112] han comparado GMRES, QMR(CS), Bi-CGSTAB, GPBi-CG,
y Bi-CG (CS). Los probaron en esparcidores de longitud de onda (x hasta 10) con m hasta
, y concluyó que GMRES con profundidad de memoria 30 fue el más rápido, aunque
necesita cuatro veces más memoria que los otros métodos. Sin embargo, sólo los tiempos de la
se comparó el producto matriz-vector, mientras que otras partes de la iteración también pueden tomar
tiempo significativo, especialmente para GMRES(30). Elegir entre menos que consume memoria
métodos, QMR(CS) y Bi-CG(CS) mostraron una mejor tasa de convergencia que Bi-CGSTAB y
GPBi-CG, especialmente cuando
i2.05.4 +
2>m. Además, los autores señalaron algunos defectos en la
comparación por Flatau [111], haciendo sus conclusiones insuficientes.
Yurkin et al. [113] empleaba a QMR(CS), Bi-CG(CS) y Bi-CGSTAB para simular la luz
dispersión por esferas con x hasta 160 y 40 para 05.1=m y 2, respectivamente. Se mostró.
que la convergencia de los métodos iterativos se vuelve muy lenta con el aumento de x y m (hasta
105 iteraciones son necesarias), y ninguna de ellas es claramente preferible a las demás. Además,
no parece haber una dependencia sistemática de la elección del mejor solucionador iterativo en x y
m; sin embargo, la diferencia en el tiempo computacional fue menor que un factor de dos, excepto para el
mayor x y m estudiados.
Rahola [114] mostró que el espectro del operador de dispersión integral para cualquier
dispersión homogénea es una línea en el plano complejo que va de 1 a m2, a excepción de un pequeño
cantidad de puntos, que corresponde a los índices de refracción que causan resonancias para el
forma específica. El espectro de A es similar, ya que esta matriz se obtiene en el DDA por
discretización del operador integral (véase también [9]). Suponiendo que el espectro de A exactamente
yace en la línea especificada, se demostró que una estimación para el factor de reducción óptima6 γ puede
se administrará de la siguiente manera:
Eq. (77) es una aproximación válida para los tamaños de partículas pequeñas, en los que no hay resonancias, o sólo unas pocas
están presentes. Sin embargo, en todos los casos el espectro de A se asemeja al espectro de la
operador, que se define por la forma, el tamaño y el índice de refracción del dispersador. Por lo tanto, el
el espectro, y por lo tanto la convergencia, no debe depender significativamente de la discretización. Esto
hecho fue confirmado empíricamente en otros manuscritos [9,63].
Budko y Samokhin [115] generalizaron los resultados de Rahola a arbitrarios inhomógenos
y esparcidores anisotrópicos. Describieron una región en el plano complejo que contiene el
todo el espectro del operador de dispersión integral. Esta región depende sólo de los valores de
m dentro del esparcidor y no depende de x. Demostraron que para m puramente real o para m
con muy pequeña parte imaginaria esta región puede acercarse al origen, por lo tanto la
espectro puede contener valores propios muy pequeños para partículas más grandes que la longitud de onda. Esto
6 La norma del residuo es disminuida por este factor cada iteración.
puede explicar la convergencia extremadamente lenta del solucionador iterativo para m real y x grande,
que se obtuvo recientemente en simulaciones numéricas [113]. Basado en el análisis de la
espectro del operador de dispersión integral para partículas mucho más pequeñas que la longitud de onda,
Budko et al. [116] propuso un método de iteración eficiente para este caso particular.
Se puede concluir que existen varios métodos iterativos modernos (QMR(CS), Bi-
CG(CS) y Bi-CGSTAB) que han demostrado ser eficientes cuando se aplican al DDA.
Sin embargo, ninguno de ellos puede ser reclamado superior a los otros, y uno debe probarlos para
problemas particulares de dispersión de la luz. Por otra parte, salvo en los casos más simples, el preacondicionamiento
de la matriz de interacción DDA casi no se estudia, mientras que hay una necesidad de que para x grandes y
m, desde entonces todos los métodos convergen muy lentamente o incluso divergen. Nos parece que el
el próximo gran avance numérico en el DDA se logrará mediante el desarrollo de un
preacondicionador para la matriz DDA.
Un gran número de dipolos requiere una gran potencia computacional y, por lo tanto, paralela
Los ordenadores se utilizan comúnmente, por ejemplo. [108,113]. La eficiencia paralela no se discute aquí, pero
para los solucionadores iterativos, generalmente está cerca de 1 [117]. Sin embargo, esto no es cierto para todos
preacondicionadores [107], y por lo tanto preacondicionadores pesados que requieren tiempo computacional grande en
se debe utilizar con precaución la combinación con una aplicación paralela de DDA.
4.2 Formulación del orden de dispersión
La aproximación de Rayleigh-Debye-Gans (RDG) [27] consiste en considerar E(r) igual a
Einc(r). F(n) se obtiene directamente de Eq. (24). La generalización del enfoque RDG es
obtenido por la solución iterativa de la ecuación integral (1), que puede ser reescrita como
)()()) inc r?ErE + =, (78)
donde Ł es un operador integral lineal que describe el scatter. El esquema iterativo es fácilmente
obtenido insertando la iteración de corriente (l-th) del campo eléctrico E(l)(r) en el lado derecho de
Eq. (78) y calculando la siguiente iteración en el lado izquierdo:
)()()(inc)1( rErErE ll + = +. (79)
El valor inicial se toma el mismo que en RDG,, y la fórmula general para
la solución es la siguiente:
)()( inc)0( rErE =
inc )()
l rErE, (80)
que es una aplicación directa de la conocida serie Neumann:
I, (81)
donde yo soy el operador unitario. Una condición necesaria y suficiente para la serie Neumann
la convergencia es
1. (82)
El sentido físico de este método iterativo reside en cálculos sucesivos de interacción
entre diferentes partes del esparcidor. La aproximación cero (o RDG) no
interacción; la primera aproximación considera la influencia de la dispersión de cada dipolo en el
otros una vez, y así sucesivamente. Eq. (82) establece que la interacción dentro del esparcidor debe ser pequeña,
pero no tan pequeño como se requiere para la aplicabilidad de RDG ( 1 ). En problemas de dispersión,
especialmente en física cuántica, Eq. (80) se llama la expansión del Born.
Aunque teóricamente claro, la expansión del Born no es directamente aplicable [118], ya que
cada iteración sucesiva requiere una evaluación analítica de integrales multidimensionales con
complejidad creciente, que rápidamente se vuelve inviable incluso para los esparcidores más simples. Los
el último resultado es probablemente el de Acquista [118], quien evaluó la expansión del Born para un
esfera homogénea hasta el segundo orden. Por lo tanto, la aplicación realista de la expansión Born
requiere la discretización del operador integral, que se hace naturalmente en el DDA.
Una formulación de orden de dispersión (SOF) de la DDA fue desarrollado independientemente por
Chiappetta [119] y Singham y Bohren [12,120] aplicando la serie Neumann a
Eq. (17). A continuación, es una matriz definida como jijij αGo =, donde cada elemento es un diádico, que
puede expresarse como una matriz 3×3. Un cheque explícito de Eq. (82) para un cierto esparcidor no es
factible numéricamente, sin embargo, de Hoop [121] derivó una condición suficiente para las ondas escalares:
1) máx.)2 20 <r
kR, (83)
donde R0 es el radio de la esfera más pequeña circunscribiendo el esparcidor. Aunque no
directamente aplicable a la dispersión de la luz, Eq. (83) puede utilizarse como estimación.
El rango del parámetro tamaño e índice de refracción donde converge SOF es limitado [120].
Además, incluso cuando SOF converge, los métodos iterativos más avanzados convergen más rápido (véase
Subsección 4.1). Sin embargo, SOF tiene un sentido físico claro y se puede utilizar para estudiar la
importancia de la dispersión múltiple.
4.3 Block-Toeplitz
Una matriz cuadrada A se llama Toeplitz si jiij aA =, es decir. elementos de matriz en cualquier línea paralela a
la diagonal principal es la misma [106]. En una matriz de bloque-Toeplitz (BT) (de orden K) elementos
ai no son números, sino matrices cuadradas mismas:
. (84)
Una matriz BT de 2 niveles tiene matrices BT como componentes ai. Procediendo recursivamente a un multinivel
Se define la matriz BT (MBT) para cualquier número de niveles.
Consideremos una celosía rectangular nx×ny×nz, numerada de la siguiente manera
zzyyzxxzy ininninnni = )1()1(, (85)
donde se indica la posición del elemento a lo largo de los ejes. Definamos también
el índice vectorial. Entonces uno puede verificar que la matriz de interacción en Eq.
},...,1 { # ni #
),( zyx iii=i (20),
definido por Eq. (13), satisface lo siguiente:
jiGGG == jiij. (86)
Esta ecuación por sí sola se puede utilizar para reducir en gran medida los requisitos de almacenamiento de iterativo
métodos mediante el uso de direcciones indirectas. Una mejora adicional es observar que Eq. (86) define un
Matriz simétrica BT de 3 niveles (ordenes de niveles posteriores – nx, ny, nz) cuyos bloques más pequeños
son matrices 3×3 (diádicas) ijG.
Una celosía rectangular no es mucho de una restricción, ya que cualquier esparcidor puede ser incrustado en
una cuadrícula rectangular adecuada. Sin embargo, deben introducirse dipolos “vacíos” adicionales para
construir la red hasta el paralelepípedo completo. Además, la posición y el tamaño de los dipolos
no puede ser elegido arbitrariamente para describir mejor la forma del esparcidor. Esto es especialmente
problemático para partículas altamente porosas o grupos de partículas, donde el monómero tiene un tamaño
comparable a un solo dipolo. Para todos los demás casos, estas restricciones son menores en comparación con las
gran aumento de la velocidad computacional, impuesta por la estructura BT de la matriz de interacción.
Una multiplicación matriz-vector se puede transformar en una convolución, que se calcula utilizando
una técnica de transformación rápida de Fourier (FFT) en operaciones de O(nln(n)) (ver subsección 4.4). Nota
Sin embargo, existen técnicas alternativas que no requieren una cuadrícula regular (véase la subsección
4.5).
La estructura BT también permite acelerar los métodos directos. Flatau et al. [122] utilizado un
algoritmo para la inversión de matrices BT simétricas. Tiene complejidad (O 3 xnn y almacenamiento
requisitos )(O 2 xnn, ya que sólo deben almacenarse 2 columnas de bloques de la matriz inversa.
En este caso el eje x está orientado a lo largo de la dimensión de partícula más larga. Recientemente Flatau [123]
estudió el caso especial de 1D DDA donde todos los dipolos se encuentran en línea recta y
igualmente espaciado, en el que los sistemas de ecuaciones para diferentes componentes pueden ser separados. Los
matriz de interacción para cada componente es simétrico Toeplitz, y un algoritmo rápido moderno puede
solicitar su inversión. Este método requiere la resolución preliminar de ecuaciones lineales para
dos lados derecho (por ejemplo, por alguna técnica iterativa); a continuación, la multiplicación de la matriz inversa por
cualquier vector (es decir, una solución del sistema lineal para cualquier parte derecha) sólo requiere O(nln(n))
operaciones. Sin embargo, Flatau señaló una limitación estricta para todos los métodos de cálculo rápido
de la inversa de la matriz de interacción: son aplicables sólo cuando polarizabilidades de todos
dipolos son los mismos, ya que de lo contrario el primer término en el lado derecho de Eq. (20) arruina el BT
estructura en la diagonal de la matriz de interacción. Por lo tanto, en la actualidad se limitan a
esparcidores rectangulares homogéneos. Afortunadamente, no es un problema para el vector de matriz
multiplicación, ya que el término diagonal se puede evaluar independientemente y añadir a la final
resultado.
4.4 FFT
Goodman et al. [124] mostró que la multiplicación de la matriz de interacción para un rectangular
retícula (véase la subsección 4.3) por un vector puede transformarse en una convolución discreta
jii PGPGPGy ′′=′==
)2,2,2(
)1,1,1(
)1,1,1(1
zyxzyx nnnnnN
jij, (87)
donde iG′ está definido por Eq. (86) (y 0=′0G ) para ≤ ni ≤ y
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
De lo contrario,0
1:, njj
P. (88)
Ambos G ′ y luego se consideran periódicos en cada dimensión μ con el período 2nP′ μ. A
la convolución discreta se puede transformar con un FFT a un producto de dos elementos
vectores, que es fácil de calcular. Requiere la evaluación de una FFT directa e inversa para cada uno
producto matriz-vector. Cada uno de ellos es un 3D FFT de orden 2nx×2ny×2nz. Esta operación está hecha.
para cada uno de los 3 componentes cartesianos de P′ y se realizan cálculos preliminares para 6
componentes tensores independientes de G ′.
Un método ligeramente diferente se puede idear sobre la base del papel de Barrowes et al. [125],
que desarrolló un algoritmo para la multiplicación de cualquier MBT por un vector. La multiplicación es
reducido a una convolución 1D que es evaluada por dos FFT 1D de orden
)12)(12)(12( zyx nnn. Flatau [123] propuso un algoritmo de vector de matriz
multiplicación para la matriz de interacción BT (p. ej. 1D DDA), que requiere el doble de FFTs
como el algoritmo estándar, pero de orden n en lugar de 2n. Aunque Flatau declaró que un
extensión de este algoritmo al caso 3D general es sencillo, al menos no es trivial
y probablemente su complejidad escalará lo mismo que los métodos estándar.
4.5 Método multipolo rápido
El método multipolo rápido (FMM) fue desarrollado por Greengard y Rokhlin [126] para
evaluación eficiente de los campos de potencial y fuerza en simulaciones de cuerpo-N donde todos los pares
se calculan las interacciones de las partículas N. El MMF se basa en expansiones potenciales truncadas
[127]. También se le llama método de árbol jerárquico porque las partículas se agrupan en un
forma jerárquica, y la interacción entre las partículas individuales y esta jerarquía de partículas
se calculan los grupos [128]. Sin embargo, algunos investigadores distinguen entre
multinivel FMM [129.130]; sólo este último es verdaderamente jerárquico. El FMM se adapta naturalmente a la
DDA, ya que la multiplicación matriz-vector está computando realmente el campo total en cada uno
dipolo único debido a todos los demás dipolos, como fue observado por Hoekstra y Sloot [128]. Los
la complejidad computacional del MMF (véase más adelante) es similar a los métodos basados en la FFT (véase
Subsección 4.4), pero no requiere ninguna regularidad de la red, por lo que es aplicable a
cualquier esparcidor. El inconveniente es que el FMM es conceptualmente más complejo, por lo que es mucho
Más difícil de codificar. Sin embargo, el MMF fue implementado en el DDA por Rahola [9,127].
El análisis de errores es crítico para el FMM, ya que la aceleración se obtiene mediante el uso de
aproximaciones, en contraste con métodos exactos basados en FFT. Los parámetros de aproximación son:
elegido para mantener un error, calculado según alguna estimación, en ciertos límites. Cuantos más
exacta la estimación de error es, menos cálculos son necesarios; por lo tanto, cuanto más rápido el conjunto
Algoritmo. Por lo tanto, la complejidad del algoritmo está directamente conectada al análisis de errores [131].
Koc y Chew [129] describieron la aplicación de FMM multinivel al DDA. Ellos
utiliza fórmulas semiempíricas para determinar el número de términos en las series multipolo, y
complejidad obtenida de O(N). Sin embargo, el análisis riguroso, cerca de exacto, de errores todavía falta para
el MMF aplicado al DDA. Permitirá obtener una verdadera complejidad de algoritmo con
precisión garantizada. Este análisis se ha llevado a cabo para la dispersión acústica 2D [130],
y para la dispersión de la luz formulada en términos de integrales de superficie [131]. En ambos casos, el FMM
ha demostrado tener una complejidad asintótica O(Nln2(N)). Aplicación del MMF a
Dembart y Yip [132] revisaron la formulación superficial-integral de la dispersión de la luz.
Otro problema de la aplicación de la FMM es que depende completamente de la
forma exacta del potencial de interacción ijG. Todos los manuscritos mencionados anteriormente tratan con
interacción entre dipolos puntuales, es decir, Eq. (14). Si se utiliza una expresión más compleja para ijG
(por ejemplo: IT), la mayor parte de la FMM debería desarrollarse de nuevo. Esto hace que la integración de la FMM
y el DDA un problema formidable.
El FMM es un método prometedor para calcular la dispersión de la luz por partículas que no pueden ser
mapeado efectivamente en una cuadrícula rectangular; sin embargo, todavía hay espacio para mejorar su teoría
para hacerlo más robusto y garantizar cierta precisión.
El FMM no es el único método de árbol jerárquico disponible. Por ejemplo, un muy
método intuitivamente simple fue propuesto por Barnes y Hut [133,134]. Expansiones multipolo
sobre el centro de masa en los cálculos gravitacionales se utilizan, contrariamente al centro geométrico
en el FMM. Elimina automáticamente el segundo término en la expansión multipolo, y
permite una rápida evaluación de los términos monopolo. Aunque este método es mucho más simple y más claro
que el FMM, tiene muy poco control sobre los errores que se pueden estudiar casi exclusivamente
empíricamente. Se puede aplicar a la DDA sin un aumento significativo en el total
errores computacionales.7
Ding y Tsang propusieron un enfoque alternativo [135]. Ellos estudiaron la dispersión
de los árboles y utilizó un enfoque iterativo de matriz escasa. La matriz de interacción se divide en una
parte fuerte, que explica la interacción entre los dipolos cercanos, y un complemento débil
parte:. La parte fuerte es escasa y por lo tanto permite una solución rápida de la
sistema. La parte débil es una pequeña corrección que se explica iterativamente:
ws AAA +=
yxA =)0(s,. )w)1(s ll xAyxA =+ (89)
Los autores demuestran el potencial de este enfoque para algunos casos de prueba.
4.6 Promedio de orientación y cálculos repetidos
En muchas aplicaciones físicas, uno está interesado en las propiedades ópticas de un conjunto de
partículas orientadas aleatoriamente. Cuando la concentración de partículas es pequeña, dispersión múltiple
es insignificante y las propiedades ópticas se obtienen promediando la dispersión de una partícula
sobre diferentes orientaciones de partículas. Problemas más generales, donde las partículas no son idénticas
o dispersión múltiple es significativo, no se consideran aquí.
Orientación promedio de cualquier propiedad de dispersión se puede describir como la integral sobre
los ángulos de orientación del Euler (incluida una función de distribución de probabilidad si es necesario),
7 Hoekstra AG, resultados inéditos
que se reduce a una suma por cuadratura apropiada. Por lo tanto, el problema consiste en:
cálculo de alguna propiedad de dispersión para un conjunto de diferentes orientaciones de la misma partícula.
La manera más fácil es calcularlo resolviendo secuencialmente e independientemente cada problema
del set. Sin embargo, el gran tamaño de este conjunto requiere algunos medios para reducir la
cálculos. Esto es especialmente relevante cuando la partícula es asimétrica; por lo tanto, su óptica
las propiedades son sensibles a la orientación de las partículas. Asumamos además, para mayor claridad, que somos
interesado en la matriz de dispersión en un cierto ángulo de dispersión. Toda la discusión para los demás
Las propiedades de dispersión son análogas o incluso más simples.
Singham et al. [136] señaló que el conjunto de problemas descritos anteriormente es físicamente
equivalente a una orientación fija de la partícula y a diferentes direcciones de incidente y dispersión.
Estos últimos se determinan mediante la transformación del marco de referencia de laboratorio a la referencia
marco asociado con la partícula. La matriz de dispersión de amplitud, y por lo tanto el Mueller
matriz, también se transforma junto con el marco de referencia (véase, por ejemplo. [137] para la transformación
fórmulase). Hay dos ventajas inmediatas de utilizar una orientación fija de partículas. En primer lugar, A
se mantiene constante (véase la discusión a continuación), y por lo tanto la construcción de A se hace
Sólo una vez. En segundo lugar, la matriz de amplitud para cualquier ángulo de dispersión se obtiene rápidamente después de la
sistema lineal está resuelto (para dos polarizaciones de incidentes). Por lo tanto, la integración sobre un Euler
el ángulo es relativamente rápido.
La constancia de A puede ser explotada para reducir aún más el tiempo de la orientación-aumento.
Si se obtiene o se obtiene su descomposición LU [75,136], una solución única para cualquier parte derecha y puede
se obtiene en n
2 operaciones – el mismo o menos tiempo que se requiere para una iteración utilizando
métodos iterativos generales (véase la subsección 4.1). Además, Singham et al. [136] y McClain
y Ghoul [138] independientemente propuso una forma analítica de promediar la matriz de dispersión
en cualquier ángulo de dispersión, que requiere operaciones O(n2) una vez que se conoce. Khlebtsov [139]
extendió esta técnica al promedio de las secciones transversales de extinción y absorción.
Sin embargo, mediante el empleo de propiedades especiales de la matriz A en el DDA permite
la computación de productos de matriz-vector en operaciones O(nln(n)) (véanse las subsecciones 4.4 y 4.5). Aunque
también se puede realizar alguna aceleración de los métodos directos (véase la subsección 4.3), todavía están
O(n2) o más lento. Para los métodos grandes n, iterativos (suponiendo que converjan en mucho menos que
n iteraciones) son claramente preferibles, incluso si se utilizan muchos puntos de cuadratura. Por otra parte, n grandes
es inalcanzable por métodos directos debido a los requisitos de almacenamiento. Otra mejora
podría estar utilizando un precondicionador pesado, que tiene un gran costo de inicialización y en gran medida
aumenta la tasa de convergencia. El costo de la inicialización se justifica entonces porque se calcula sólo
Una vez. Los posibles candidatos son precondicionales de factorización incompletos [107].
Por encima se dijo que A es constante para una partícula de orientación fija. Sin embargo, moderno
Formulaciones de DDA (por ejemplo: LDR) tener en cuenta la dirección de la incidencia de la luz. Por lo tanto A
depende de esta dirección, pero sólo débilmente a través de ( ) ) 2O kd correcciones. Esto complica las cosas.
las técnicas descritas anteriormente, sin embargo probablemente todavía se pueden utilizar junto con algunos
métodos especiales para corregir pequeños cambios en A en cada paso. Tales métodos no han sido
desarrollado hasta ahora.
Otra posibilidad para realizar el promedio de orientación es primero calcular la T-matriz de
la partícula, que entonces permite un promedio analítico [140]. El formalismo de la T-matriz está basado
en la expansión multipolo que se trunca en algún orden N0. Aunque N0 es difícil de
deducir a priori, por lo general es varias veces x [141,142]. El número de filas en la matriz T
es igual a. La forma más simple de evaluar la matriz T basada en el DDA es resolver
por cada onda esférica incidente (es decir. para cada fila de la matriz T) independientemente [141].
Entonces la discusión anterior sobre la optimización de este cálculo repetido es relevante. Uso
Técnicas iterativas con N
)2(2 00 + NN
número de iteraciones, el tiempo de cálculo es
( ) ( )[ ]20iter20 O)ln(O NNNNN +, donde el primer término en la suma es el tiempo para resolver el lineal
sistema, y el segundo es el cálculo real de los valores en la fila de la T-matriz.
Un nuevo método para obtener la matriz T de la matriz de interacción DDA fue propuesto por
Mackowski [141]. Esto requiere dos resúmenes con tiempo computacional ( )) ln(O 20 NNN y
( ) NN 40O. Mackowski demostró que para 5 = x su método es un orden de magnitud más rápido que
el sencillo.
Recientemente Muinonen y Zubko [143] han propuesto una manera de optimizar el conjunto
promedio de los resultados de DDA en diferentes tamaños e índices de refracción. Se basa en el cálculo
una "buena conjetura" para el vector inicial en el solucionador iterativo utilizando los resultados de los cálculos
con parámetros similares. Ideas similares se pueden utilizar para optimizar la simulación de un conjunto de ligeramente
diferentes formas o promedio orientativo.
Se propuso el uso de cálculos repetidos para aumentar la exactitud de las simulaciones de DDA
recientemente por Yurkin et al. [63]. Varias simulaciones independientes con discretización diferente
se realizó el parámetro y se extrapolaron los resultados a la discretización infinita dando
mejor precisión que las de una simulación DDA única.
5 Comparación del DDA con otros métodos
Hovenier et al. [144] comparó el DDA, el método de condición de límite ampliado (EBCM),
y el método de separación de variables (SVM) para los cálculos de dispersión por esferoides,
cilindros finitos y bisferes. Los parámetros de los problemas fueron los siguientes:,
Parámetro del tamaño del equivolumen,
i01.05.1 +m
5=x 6,0=y. Las dependencias angulares de la matriz de dispersión
se calcularon los elementos. La EBCM y la SVM parecían lograr una solución exacta, y la
El DDA mostró pequeños errores, excepto por los ángulos de retrodispersión, donde estaban hasta un 10-20%.
Wriedt y Comberg [145] compararon el DDA, EBCM y el tiempo de diferencia finita
método de dominio (FDTD) para un cubo con 33,1 = m, 1,5 y 9,2 = x, 4,9, 9,7. A favor y en contra
4.9. El DDA y el EBCM lograron una buena precisión en el cálculo del ángulo de intensidad de dispersión
dependencia; el DDA fue 2-5 veces más rápido, pero consumió 8-16 veces más memoria (y estaba en
el rango 0,3-0,5). El FDTD tenía requisitos computacionales similares a los del DDA, pero era
menos exacto. Para el DDA fue el único para lograr pequeños errores dentro del dado
recursos computacionales.
9.2=x
7.9=x
Comberg y Wriedt [146] compararon el DDA, el GMM (véase la subsección 3.3) y el
técnica multipolo generalizada (GMT) para clusters de unas pocas esferas. Una sola esfera tenía x en
el rango 4–20 y 33,1=m, 1,5. Todos los métodos lograron una buena precisión, pero la
GMM fue un orden de magnitud (y para grandes x incluso varios órdenes) más rápido que el otro
Dos. El DDA y GMT también se utilizaron para calcular la dispersión por un clúster de dos oblatos
esferoides con y. El DDA fue menos preciso y consumió 4 veces más
memoria, pero fue 6 veces más rápido que el GMT.
5=x 33,1=m
Wriedt et al. [147] comparó el método DDA, FDTD, GMT y fuentes discretas
(DSM) para el cálculo de la dispersión de la luz por un glóbulo rojo (RBC) con y
. La precisión de todos los métodos fue similar. El DDA y GMT mostraron similares
tiempos de cálculo; fueron 7 veces más rápidos que el FDTD y 12 veces más lentos que el DSM.
Cabe señalar que este último utilizó la propiedad aximétrica de RBC.
06.1=m
Recientemente Yurkin et al. [58] comparó sistemáticamente el DDA y el FDTD para
esferas con m de 1,02 a 2 y x de 10 a 100, dependiendo de m. Se demostró que
rendimiento numérico del DDA es mucho más sensible al índice de refracción que el de
el FDTD. Por lo tanto, el DDA es preferible para m pequeño, el FDTD para m más grande. Cleary, el
crossover punto no está bien definido y dependerá de los detalles del problema en cuestión como
así como sobre la aplicación particular de ambos métodos.
La principal ventaja de la DDA es que es uno de los métodos más generales, teniendo un
muy amplia gama de aplicabilidad, limitada sólo por la potencia computacional disponible. Lo contrario
de esta ventaja es que no tiene casi ningún medio para utilizar la simetría del esparcidor. Por lo tanto, la
DDA no es capaz de competir con el EBCM para los dispersadores aximétricos homogéneos. Por
scatters no aximétricos homogéneos el DDA es competitivo con el EBCM para mono-
orientación de partículas, pero esta última permite un promedio de orientación mucho más rápido. El EBCM tiene
poca aplicabilidad a los dispersadores inhomógenos, donde el DDA se puede aplicar sin ninguna
cambios. La comparación entre el FDTD y el DDA sugiere que el DDA es más
Adecuado para m pequeño. También debe tenerse en cuenta que el FDTD es aún más general, siendo fácilmente
aplicable a los campos eléctricos de incidentes no armónicos. Por otra parte, la simulación de un pulso
onda incidente con el FDTD da la solución para un espectro completo de incidentes armónico
ondas planas, pero con una limitación en la precisión.
6 Observaciones finales
El DDA ha sido revisado utilizando un marco general basado en la ecuación integral para el
campo eléctrico. Aunque los algoritmos DDA convencionales como se utilizan en varias computadoras de producción
programas, no ha cambiado significativamente desde 1994, muchas mejoras diferentes han sido
propuesta desde entonces. Algunos de ellos mejoran la precisión o el rendimiento numérico de
el DDA; sin embargo, todavía esperan una amplia aceptación. Parece que una masa crítica de nuevos
las mejoras se están acumulando, con suerte resultando en un próximo avance en el campo de la
DDA.
En nuestra opinión, en el futuro se introducirán mejoras importantes en las implementaciones informáticas de DDA.
estar conectado con uno de los siguientes:
1) Disminución de los errores de forma mediante la aplicación de técnicas WD o similares.
2) Mejorar la polarizabilidad y los términos de interacción mediante técnicas que aún no se han alcanzado.
desarrollado de manera similar a TI y PEL.
3) El estudio de diferentes precondicionadores para la matriz de interacción DDA, ya sea probar algunos de
los tipos conocidos o en desarrollo teniendo en cuenta la estructura especial de la matriz.
El punto 1) debe mejorar la exactitud general del DDA, especialmente en los casos en que la forma
los errores son dominantes, ítem (2) debe expandir la región de aplicabilidad DDA a mayor refracción
Índices, y ítem (3) debe impulsar el rendimiento global, especialmente para parámetros de tamaño grande
y/o índices de refracción.
Agradecimientos
Damos las gracias a Dan Mackowski por aclarar la discusión sobre las simulaciones de dispersión por
clusters de esferas y Gorden Videen para leer críticamente el manuscrito y para valiosos
debates. Nuestra investigación cuenta con el apoyo de la rama siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias a través de la subvención 2006-03.
Apéndice. Descripción de acrónimos y símbolos usados
Véanse los cuadros A1 y A2.
Cuadro A1 Siglas en orden alfabético.
Sección de Descripción del Acrónimoa
(L) dejó Jacobi preconditioner 4.1
Derecho Jacobi preconditioner 4.1
a1-término (M) dipolo en la teoría de Mie 3.1
Bi-CGSTAB Bi-CG estabilizado 4.1
BT block-Toeplitz 4.3
Dipolo eléctrico y magnético acoplado CEMD 3.4
CG gradiente conjugado 4.1
CGNR CG aplicado a la ecuación normalizada con minimización de la norma residual 4.1
CGS CG al cuadrado 4.1
Simetría compleja de CS 4.1
Rectificado por la CLDR LDR 3.1
CM Clausius-Mossotti 2
DDA dipolo discreto aproximación 1
DGF digitalizó la función 1 de Green
Método de fuentes discretas DSM 5
Método de condición de límite ampliado EBCM 5
Dipolos acoplados filtrados por FCD 3.1
FDTD dominio de tiempo de diferencia finita 5
Transformación rápida de FFT Fourier 4.4
Método multipolo rápido FMM 4.5
GMM solución multipartículas generalizada Mie 3.3
GMRES generalizado residual mínimo 4,1
GMT técnica multipolo generalizada 5
GPBi-CG métodos de tipo de producto generalizado basados en Bi-CG 4.1
Integración informática del tensor de Green 3.1
LAK Lakhtakia 3.1
LC Lou y Charalampopoulos 3.3
Relación de dispersión de celosía LDR 3.1
MBT multinivel BT 4.3
MdM método de los momentos 3.1
PEL Peltoniemi 3.1
PP Purcell y Pennypacker 1
QMR cuasi-mínima residual 4.1
Glóbulo rojo RBC 5
RCB Rahmani, Chaumet y Bryant 3.1
RDG Rayleigh-Debye-Gans aproximación 4.2
Corrección de la reacción radiativa RR 3.1
LDR corregido en superficie por SCLDR 3.1
SOF formulación de orden de dispersión 4.2
SVM separación de variables método 5
TFQMR transpone gratuitamente QMR 4.1
Discretización ponderada por WD 3.1
a donde se explica o aparece por primera vez (si no se da explicación).
Cuadro A2. Símbolos utilizados, letras latina y griega en orden alfabéticoa.
Sección de Descripción de Símbolos
(0) superíndice: valor aproximado (generalmente bajo hipótesis de campo constante) 2
n) Superíndice: después de la n-t-iteración 4.2
Parámetro de asimetría 2
* superíndice: conjugado complejo 2
A una matriz 3.1
a kk 2
un radio de esfera (equivalente) 3.1
Matriz de corrección B en SCLDR 3.1, Eq. (64)
b1 – b3 coeficientes numéricos en prescripciones de polarización 3.1
C tensor de solución electrostática 3.1, Eq. (60)
Csca, Cabs, Cext scattering, absorción, extinción sección transversal 2
c velocidad de la luz en vacío 2
d Tamaño de una celda cúbica 2
E, Einc, Eexc, Self, Esca (total) campo eléctrico, incidente, emocionante, auto-inducido, disperso 2
vector de polarización e0 de la onda incidente, 10 = e 2
e superíndice: efectivo 3.1
F amplitud de dispersión 2
f una función;
factor de llenado del volumen
G espacio libre dyadic Green’s función (tensor) 2
2sG G en límite estático
Término de interacción ijG
H superíndice: conjugar transponer 3.1
función de respuesta de impulso de un filtro 3.1
2, 4.1I, I identidad dyádica (tensor), operador (matriz)
i, j subíndice: índices vectoriales 4.3
i unidad imaginaria 2
i, j subíndice: número del dipolo 2
K orden de una matriz BT 4.3
k vector de onda espacial libre 2
L auto-término dyádico 2
M integral asociado con la finitud de V0;
preaconditioner
M dyádic asociado con M 2
m índice de refracción (relativo) 3.1
N número total de dipolos 2
n r 2
n tamaño de una matriz 4.1
n normal externo a la superficie 2
Tamaños nx, ny, nz de la celosía rectangular 4.3
P polarización 2
p superíndice: principal 3.1
q dγ2 3.1
R rr 2
Radio R0 de la esfera más pequeña que circunscribe el esparcidor 4.2
2r, r′ radio-vectores
Coeficiente S LDR dependiente de la polarización incidente 3.1, Eq. (49)
Si elemento de matriz de amplitud 3.2
Sij Mueller elemento de matriz 3.2
s superíndice: secundario;
fuerte;
subíndice: dipolo esférico equivalente
T tensor de la condición límite 3.1, Eq. (66)
t time 2
V volumen del esparcidor 2
Volumen de exclusión V0 2
w superíndice: débil 4.5
x vector desconocido 4.1
Cuadro A2 (continuación)
Sección de Descripción de Símbolos
Parámetro x tamaño del esparcidor 3.2
x, y, z Coordenadas cartesianas 4.3
y un vector conocido (lado derecho de un sistema lineal) 4.1
y kdm 3.2
yRe kdm)Re( 3.2
2α, α polarizabilidad, tensor
4.1γ factor de reducción óptimo
Simbolo de Kronecker
2-permiso eléctrico (relativo)
3.3η función de corrección
• tensor intermedio en el método RCB 3.1, Eq. (62)
4.2.2 Operador integral lineal, su matriz
μ, ν,.,..........................................................................................................................................................................................................................................................
Funciones de Riccati-Bessel 3.1
2χ susceptibilidad eléctrica
3.2-Medio de error relativo del campo eléctrico de campo lejano
Ángulo sólido de 2
Frecuencia circular del campo eléctrico armónico
un subíndice común y superíndices se dan por su cuenta. Para todos los vectores – el mismo símbolo pero en cursiva (en lugar de
negrita) denota la norma euclidiana del vector (excepto vectores unitarios).
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1 Introducción
2 Marco general
3 Varios modelos DDA
3.1 Base teórica del DDA
3.2 Exactitud de las simulaciones de DDA
3.3 El DDA para los clusters de esferas
3.4 Modificaciones y prórrogas del DDA
4 Consideraciones numéricas
4.1 Métodos directos vs. iterativos
4.2 Formulación del orden de dispersión
4.3 Block-Toeplitz
4.4 FFT
4.5 Método multipolo rápido
4.6 Promedio de orientación y cálculos repetidos
5 Comparación del DDA con otros métodos
6 Observaciones finales
Agradecimientos
Apéndice. Descripción de acrónimos y símbolos usados
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| Presentamos una revisión de la aproximación discreta del dipolo (DDA), que es un
método general para simular la dispersión de la luz mediante partículas de forma arbitraria. Nosotros
poner el método en contexto histórico y discutir los acontecimientos recientes, tomando
el punto de vista de un marco general basado en las ecuaciones integrales para el
campo eléctrico. Revisamos tanto la teoría del DDA como sus aspectos numéricos,
de importancia crítica para cualquier aplicación práctica de la
método. Finalmente, la posición del DDA entre otros métodos de luz
Se muestra la simulación de dispersión y se discuten posibles desarrollos futuros.
| Introducción.................................................................................................................... 2
2 Marco general................................................................................................................ 3
3 Varios modelos de DDA.................................................................................................................................................................... 7
3.1 Base teórica del DDA................................................................................................................................................ 7
3.2 Exactitud de las simulaciones de DDA.................................................................................... 13
3.3 El DDA para los grupos de esferas................................................................................... 16
3.4 Modificaciones y prórrogas del DDA................................................................................ 18
4 Consideraciones numéricas................................................................................................. 19
4.1 Métodos directos y métodos iterativos................................................................................................................... 19
4.2 Formulación del orden de dispersión.................................................................................... 22
4.3 Block-Toeplitz.................................................................................................................... 23
4.4 FFT................................................................................................................................................ 24
4.5 Método multipolo rápido................................................................................................ 24
4.6 Promedio de orientación y cálculos repetidos....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
5 Comparación del DDA con otros métodos.................................................................................................................... 27
6 Observaciones finales.................................................................................................................................... 28
Agradecimientos.................................................................................................................... 28
Apéndice. Descripción de acrónimos y símbolos usados.................................................................................................... 28
Referencias................................................................................................................................................ 31
1 Introducción
La aproximación discreta del dipolo (DDA) es un método general para calcular la dispersión y
absorción de ondas electromagnéticas por partículas de geometría y composición arbitrarias.
Inicialmente el DDA fue propuesto por Purcell y Pennypacker (PP) [1], quienes reemplazaron el
esparcidor por un conjunto de dipolos de punto. Estos dipolos interactúan entre sí y el incidente
campo, dando lugar a un sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve para obtener dipolo
polarizaciones. Todas las cantidades de dispersión medidas se pueden obtener de estas polarizaciones.
El DDA fue desarrollado por Draine y compañeros de trabajo [2-5], quienes popularizaron el método
mediante el desarrollo de un código informático de acceso público DDSCAT [6]. Más tarde se demostró que el
DDA también se puede derivar de la ecuación integral para el campo eléctrico, que es discretizado
dividiendo el esparcidor en pequeños subvolumenes cúbicos. Esta derivación fue aparentemente la primera
realizado por Goedecke y O'Brien [7] y desarrollado por otros (véase, por ejemplo,
[8-11]). Es importante señalar que las ecuaciones finales, producidas por ambas líneas de derivación de
el DDA es esencialmente el mismo. La única diferencia es que las derivaciones basadas en la integral
ecuaciones dan una visión más matemática de la aproximación, apuntando así a formas de
mejorar el método, mientras que el modelo basado en dipolos de punto es físicamente más claro.
El DDA se llama el método de dipolo acoplado o aproximación por algunos investigadores
[12,13]. También hay otros métodos, como la formulación de la ecuación integral del volumen [14]
y la función digitalizada de Green (DGF) [7], que se desarrollaron completamente
independientemente de PP. Sin embargo, más tarde se demostró que eran equivalentes a DDA [8,15]. In
esta revisión usaremos el término DDA para referirnos a todos estos métodos, ya que los describimos en
los términos de un marco general. Sin embargo, es difícil separar sin ambigüedades el DDA.
de otros métodos similares, basados en las ecuaciones integrales de volumen para el electromagnético
campos, como una amplia gama de métodos de momentos (MoM) con diferentes bases y pruebas
funciones [16-19]. En nuestra opinión, un aspecto fundamental de la DDA es que la solución para
los campos internos “físicamente significativos” o sus derivados directos, por ejemplo. polarización, juegos
un papel integral en el proceso. En otras palabras, cualquier formulación de DDA puede interpretarse como
reemplazar un esparcidor por un conjunto de dipolos que interactúan; esto se analiza más a fondo en la sección 2. Un
ejemplo de método que no se considera DDA es el MdM con orden superior jerárquico
Funciones de base Legendre [17].
El DDA es un método popular en la comunidad que dispersa la luz y ha sido
revisado por varios autores. Una extensa revisión de Draine y Flatau [4] abarca casi todos
Evolución del DDA hasta 1994. Una revisión más reciente de Draine [5] se refiere principalmente a
aplicaciones y consideraciones numéricas. La teoría de la DDA fue discutida junto con otros
métodos para simulaciones de dispersión de luz en revisiones de Wriedt [20], Chiappetta y Torresani
[21], y Kahnert [15] y en libros de Mishchenko et al. [22] y Tsang et al. [23]. Jones
[24] situó el DDA en el contexto de diferentes métodos con respecto a la caracterización de partículas.
Sin embargo, no se mencionan en ninguna de ellas muchos acontecimientos importantes relacionados con el desarrollo del desarrollo sostenible desde 1994.
manuscritos. Los que se mencionan generalmente se consideran como pasos secundarios, y no se colocan
en un marco general. Por otra parte, a lo mejor de nuestro conocimiento aspectos numéricos de la
DDA nunca han sido revisados extensamente – cada documento discute sólo unos pocos en particular
aspectos. En esta revisión tratamos de llenar este vacío.
En la sección 2 se elabora un marco general para facilitar el debate de las diferentes cuestiones.
Modelos DDA. Este marco se basa en la ecuación integral porque permite un uniforme
descripción de todo el desarrollo del DDA. Sin embargo, la conexión a un modelo físicamente más claro
de dipolos punto se discute a lo largo de la sección. Las fuentes de errores en el DDA
la formulación también se discuten allí.
En la sección 3 se revisan los principios físicos de la DDA y los resultados de
se comparan los modelos. En la subsección 3.1, las diferentes mejoras de las polarizaciones y
los términos de interacción se revisan desde un punto de vista teórico. Diferentes expresiones para las cabinas
también se discuten. Comparación de los resultados de simulación utilizando diferentes formulaciones se da en
Subsección 3.2. La subsección 3.3 abarca el caso especial de un grupo de esferas que permite
mejoras y simplificaciones particulares. En la sección 3.4, diferentes modificaciones significativas
se revisen, que no entran completamente en el marco general descrito en la sección 2.
También se examinan las mejoras del DDA para algunos fines especiales.
En la sección 4 se examinan diferentes aspectos numéricos del DDA. Estas cuestiones se refieren a:
principalmente con la resolución de sistemas muy grandes de ecuaciones lineales (Subsección 4.1). Subsección 4.2
describe el procedimiento iterativo más simple para resolver el sistema lineal DDA, que tiene un claro
significado físico. La estructura especial de la matriz de interacción DDA para una cuadrícula rectangular
y su aplicación para reducir los costos computacionales se describen en las subsecciones 4.3 y 4.4
respectivamente. Métodos generales para acelerar los cálculos, que no requieren un rectangular
grilla, se analizan en la subsección 4.5. La subsección 4.6 abarca las técnicas especiales para aumentar
eficiencia de los cálculos repetidos (por ejemplo, en el promedio de orientación).
En la sección 5 se examina una comparación numérica del DDA con otros métodos;
se discuten puntos fuertes y débiles. La sección 6 concluye el examen y examina el futuro
desarrollo del DDA.
2 Marco general
La )iexp( t tiempo dependencia de todos los campos se asume a lo largo de esta revisión. El esparcidor
se supone dieléctrico pero no magnético (permisibilidad magnética 1 = μ ). El permiso eléctrico
se asume isotrópico para simplificar las derivaciones; sin embargo, extensión a dieléctrico arbitrario
Los tensores son sencillos.1
La forma general de la ecuación integral que rige el campo eléctrico dentro de la
El esparcidor dieléctrico es el siguiente [8,15]:
) ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( d ), ( 00 )
rErrLrMrErrGrErE VVr
∫, (1)
1 En la mayoría de las fórmulas los valores escalares pueden ser reemplazados directamente por tensores, pero hay excepciones. Prórrogas de
La DDA a los dispersadores ópticamente anisotrópicos se discute en la sección 3.4.
donde Einc(r) y E(r) son el incidente y el campo eléctrico total en el lugar r;
4)1)(()) = rr es la susceptibilidad del medio en el punto r (?(r) – relativo
permiso de uso). V es el volumen de la partícula, es decir, el volumen que contiene todos los puntos donde la
La susceptibilidad no es cero. V0 es un volumen más pequeño tal que, VV 0 00 \ VV r. ),( rrG ′ es
la función del espacio libre dyadic Green, definido como
−==′ 222
i1)iexp()iexp(),(
k IIIrrG, (2)
donde I es la identidad dyádica, ck es el vector de onda espacial libre, rrR =, R=R,
y es un dyádico definido como (μ y ν son componentes cartesianos del vector
o tensor). M es la siguiente integral asociada con la finitud del volumen de exclusión
RR RR =
( )∫ =
), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), ), d,, s 30
rV rErrrGrrrGrM , (3)
donde ),(s rrG ′ es el límite estático ( ) de 0→k ),( rrG ′ :
= = = = =
11),(
IrrG. 4)
L es el llamado diádico auto-término:
rV rL, (5)
donde es una normalidad externa a la superficie ŁVn 0 en el punto r'. L es siempre un real, simétrico
dyádico con traza igual a 4η [25]. Es importante tener en cuenta que L no depende del tamaño
del volumen V0, pero sólo en su forma (y la ubicación del punto r en su interior). Por el contrario,
M depende del tamaño del volumen, además se acerca a cero cuando el tamaño de la
disminución del volumen [8] (si tanto χ(r) como E(r) son continuos dentro de V0).
Al derivar Eq. (1) la singularidad de la función de los Verdes ha sido tratada explícitamente,
Por lo tanto, es preferible a la formulación comúnmente utilizada [8,15]:
∫ =
r )(),(d)()(3inc rErrGrE χ. 6)
Además, Yanghjian señaló [25] que existen varios métodos para tratar la singularidad en
Eq. (6) dando lugar a resultados diferentes. También demostró que la derivación de Eq. 6) es falso en el
cerca de la singularidad de ),( rrG ′. Por lo tanto, sólo se puede considerar correcto si el
la singularidad se trata entonces de una manera similar a la de Lakhtakia [8], resultando en la correcta
Eq. (1).
Discretización de Eq. (1) se realiza de la siguiente manera [15]. Let, U
= /0=ji VV I
en el caso de los subvolúmenes ; N denota el número de subvolúmenes.2 Aunque la formulación es aplicable a cualquier
conjunto de subvolumenes Vi, en la mayoría de las aplicaciones se utilizan celdas estándar (igual). Entonces la forma de
el esparcidor no siempre puede ser descrito exactamente por tales células estándar. Por lo tanto, la
la discretización sólo puede ser aproximadamente correcta. Asumiendo iVór y eligiendo iVVV =0,
Eq. (1) puede ser reescrita como
)(),(),(),(),(d)()(3inc rErrLrMrErrGrErE ii
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. 7)..................................................................................................................................................
2 En el marco del DDA normalmente llamamos un subvolumen un dipolo.
El conjunto de Eq. (7) (para todos i) es exacto. Además, un punto fijo ri dentro de cada Vi (su centro) es
elegido y está establecido. En muchos casos se pueden hacer las siguientes suposiciones: irr =
)()()()),(d3 jjijj
rErGrErrG =, (8)
)()),(iiiiiV rMrM χ =, (9)
que indican que las integrales en Eq. (7) dependen linealmente de los valores de χ y E en el punto ri.
Eq. (7) puede entonces ser reescrita como
( ) iiii
jjjijii V ELMEGEE
inc, (10)
donde,, ) ii rEE = )
incinc
ii rLL = ) ii r =, ), ( iii V rLL =.
La aproximación habitual [15] es considerar E y χ constante dentro de cada subvolumen:
)(,)( , (11)
que implica automáticamente Eqs. 8), 9) y
( )∫ =
iii r ),(),(d)
s3)0( rrGrrGM, (12)
∫ ′′=
ij rV
1 3) 0 ( rrGG. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Superíndice (0) denota valores aproximados de los díádicos. Una nueva aproximación, que es
utilizado en casi todas las formulaciones del DDA, incluyendo, por ejemplo, [8], es
),()0( jiij rrGG =. (14)
Esta suposición se hace implícitamente por todas las formulaciones que comienzan sustituyendo al esparcidor
con un conjunto de dipolos de punto. Es importante señalar que Eq. (10) y las derivaciones resultantes de
requiere suposiciones más débiles (Eqs. 8), 9)) que la impuesta por Eq. (11) y, además,
Eq. (14). Es posible formular el DDA basado en Eq. 10), por ejemplo: los Peltoniemi
formulación [26] que se describe en la sección 3.1. Nosotros postulamos Eq. (10) como característica distintiva
de la DDA, es decir, un método se llama el DDA si y sólo si su ecuación principal es equivalente a
Eq. (10) con cualquier Vi, xxi, iM, iL, y ijG.
Kahnert [15] distinguió el DDA del MdM por el hecho de que el MdM resuelve
directamente Eq. (10) para el desconocido Ei, mientras que el DDA no busca el total, pero el emocionante eléctrico
campos
( ) ( ) selfexc iiiiiii EEEMLIE = = χ, (15)
( ) iiiii ELME = yo mismo, (16)
donde está el campo inducido por el subvolumen en sí mismo. Eq. selfiE (10) es entonces equivalente a
jjijii
excexcinc EαGEE, (17)
donde iα es el tensor de polarización definido como
( ) ) 1 = iiiiii V MLIα. (18)
Sin embargo, existe una formulación alternativa del DDA [4] que busca una solución para
polarizaciones Pi:
iiiiii V EEαP χ
exc, (19)
jijiii PGPαE
1inc. (20)
Es importante tener en cuenta que Pi, definido por Eq. (19), es sólo una aproximación a la polarización
del subvolumen Vi. Esta aproximación es exacta sólo bajo el supuesto de Eq. (11), mientras que
la formulación en sí misma no lo requiere. La formulación, utilizando Eq. (20), se puede pensar como
un intermediario entre el DDA y el MdM clasificado por Kahnert [15], por lo tanto
revelando la equivalencia completa de estas dos formulaciones. La estructura especial de la matriz
ijG hace Eq. (20) preferible sobre Eqs. (10), (17) para encontrar una solución numérica. Esto es
se examina en la sección 4.
Lakhtakia [8] clasificó las formas fuertes y débiles del DDA como las que representan o
descuidando la iM, respectivamente. La forma débil se acerca a la forma fuerte cuando el tamaño de la
la célula disminuye, porque iM se aproxima a cero. Para una celda cúbica Vi y con ri situado en el
centro de la celda, iL puede calcularse analíticamente produciendo [25]
=i. (21)
Usando Eq. (18), esto resulta en la conocida polarización Clausius-Mossotti (CM) (utilizado
Originalmente por Purcell y Pennypacker [1]) para la forma débil del DDA:
ii d ♥
α IIα, (22)
donde ) ii r =, y d es el tamaño de la celda cúbica.
Después de determinar los campos eléctricos internos, los campos dispersos y secciones transversales
se puede calcular. Los campos dispersos se obtienen tomando el límite r de la integral
en Eq. (1) (véase, por ejemplo, [7]):
)iexp(
)sca nFrE
=, (23)
donde rrn = es el vector unitario en la dirección de dispersión, y F es la amplitud de dispersión:
=
krnnk ()())iexp(d)(i)(33 rrnrInF χ. (24)
Todas las demás propiedades de dispersión diferencial, tales como amplitud y matrices de dispersión Mueller,
y el parámetro de asimetría se puede derivar de F(n), calculado para dos incidentes
polarizaciones [27]. Las fuerzas de radiación también se pueden calcular [28-30]. Considere un incidente
Ola de plano polarizada3
)iexp()( 0inc rkerE =, (25)
donde, a es la dirección del incidente, y ak k= 10 = e. La sección transversal de dispersión Csca es [27]
2sca )d
C. (26)
Las secciones transversales de absorción y extinción (Cabs, Cext) se derivan [7,14] directamente de la
campos internos:
( )
abs )(Imd4 rEr, (27)
[ ]( )( )( = 02inc3ext )(Re4)()(Imd4 eaFrErEr krkC i Vi
, (28)
donde * denota un conjugado complejo. La conservación de la energía requiere que
absextsca CCC − =. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Sin embargo, como señaló Draine [2], el uso de Eq. (29) para la evaluación de Csca puede conducir a
errores que Eq. (26), especialmente cuando. scaabs CC >>
La forma más fácil de expresar Eqs. (24) y (27) en lo que se refiere a los campos internos de la
los centros de subvolumenes es asumir Eq. (11), con rendimiento
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
krnnk )iexp(d)(i)(33)0( nrEInF χ, (30)
3 DDA se puede utilizar para cualquier onda incidente, por ejemplo. Vigas gaussianas [31]; sin embargo, no discutimos esto aquí.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
iii kVkC )Im(4)Im(4
abs EPE . 31)
Aproximación adicional de Eq. (30), dejando sólo la expansión de orden más bajo del exponente
alrededor de ri, conduce a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ii knnk )iexp()(i)()
3)0( nrPInF, (32)
que junto con Eq. (28), conduce a
( ) =
inc)0(
ext Im4 EPη. 33)
Eqs. (32) y (33) son idénticos a los utilizados por Purcell y Pennypacker [1] y, a continuación, por
Draine [2], mientras que las expresiones para Cabs (comparado con Eq. (31) son ligeramente diferentes. Estos
Las diferencias se examinan en la subsección 3.1. Desafortunadamente, muchos investigadores no especifican
explícitamente cómo las cantidades de dispersión se obtienen de los campos internos computados o
polarizaciones. Los que lo hacen suelen usar la receta de Draine (Eqs. (26), (32), (33), y
(35).).
Los errores de la formulación se pueden clasificar como asociados con el tamaño de la celda finita d
(errores de dispersión), y aproximándose la forma de las partículas con un conjunto de células estándar,
e.g. cúbica (errores de forma). Los errores de discreción resultan de considerar E constante en el interior
cada celda y la evaluación aproximada de iM y ijG. Los errores de forma también se pueden considerar
como resultado de la asunción de constantes χ y E dentro de las células limítrofes, lo que es falso
ya que el borde de la partícula cruza estas células. Por otro lado, los errores de forma pueden ser
visto como una diferencia de los resultados para la forma exacta de la partícula y para el compuesto de la
conjunto de celdas estándar. Ambos errores se acercan a cero cuando N, mientras que la geometría de la
Dispersor y los parámetros del campo de incidente se fijan. Sin embargo, no se aplica lo mismo si:
mientras que N está fijo, es decir. el DDA no es exacto en el límite de longitud de onda larga. Además,
ambos errores son sensibles al tamaño del esparcidor en la región de resonancia (ver discusión en
Subsección
3.2). El comportamiento de estos errores fue estudiado por Yurkin et al. [32].
3 Varios modelos DDA
3.1 Base teórica del DDA
Desde el manuscrito original de Purcell y Pennypacker [1], se han hecho muchos intentos
para mejorar el DDA. La primera etapa (1988-1993) de estas mejoras fue revisada por
Draine y Flatau [4]. Se ha observado [2] que Eq. (22) no satisface la conservación de la energía,
y los resultados obtenidos utilizando esta formulación no satisfacen el teorema óptico. Basado en el
bien conocido [33] “reacción radiativa” (RR) campo eléctrico, una corrección a la polarizabilidad para un
se añadió el dipolo finito [2]:
i)32(1 α
=. (34)
Draine [2] también propuso la siguiente expresión para la sección transversal de absorción:
[ ] =
iiii kkC
*3*exc)0(
abs )32()Im(4 PPEPη, (35)
derivado de Eq. (29) se aplica a un dipolo de un solo punto. La formulación PP utiliza Eq. (35)
sin la segunda parte. Se puede verificar que Eq. (35) resulta en una absorción cero para cualquier
esparcidor si la polarizabilidad es de la siguiente forma:
IAα 31 i)32( kii −=
−, Hii AA =, (36)
donde H denota la transpuesta conjugada de un tensor. Para el índice de refracción real m, RR y todos
otras expresiones especificadas a continuación resultan en α Eq satisfactorio. (36), que hace Eq. (35)
claramente favorable sobre e.g. la formulación PP. Sin embargo, cabe señalar que el PP original
formulación, donde se utilizó la polarizabilidad de MC, también resulta en absorción cero para m real.
La corrección en Eq. (34) es ( )3)(O kd. Varias otras correcciones de ( ) 2) (O kd han sido
propuesta. La primera fue propuesta por Goedecke y O’Brien [7] e independientemente en dos
otros manuscritos [34,35]. Empezaron desde Eqs. (10)-(12) y utilizó lo siguiente:
simplificando el hecho para una célula cúbica (también válida para células esféricas), resultante de la simetría:
d) IRRf
RRf, (37)
donde el origen está en el centro del cubo. Eq. (37) es válido para cualquier f(R) que tenga una singularidad
de menos de un tercer orden para, es decir, las integrales de ambos lados están definidas. Obtuvieron 0→R
32)0( )iexp(d
Rki IM. 38)
Al expandir la exp(ikR) en la serie Taylor se puede obtener
( )
++= ∫ 423
2)0( Oi
ki IM. (39)
El resto integral fue evaluado aproximándose el cubo por un volumen-equivalente
esfera, resultando en
( )( )432DGF1)0( )O))i(32() kdkdkdbi ++= IM, (40)
611992.1)34( 31DGF1 = ηb. 41)
Una evaluación exacta, obtenida sin ampliar el exponente, de Eq. (38) para el equivolumen
esfera con radio 31)43( πda = fue realizado por Livensay y Chen [36] y
aplicada en la formulación DGF del DDA por Hage y Greenberg [14,35] y posteriormente
Lakhtakia [37]:
[ ]1)iexp()i1()38()0( kakai IM (42)
En términos de los dos primeros órdenes de expansión, esto produce un resultado idéntico a Eq. (40). Finalmente
la polarizabilidad se obtiene como
( ) ( ) 32DGF13CM
)i()32()(1 kdkdbd
α. (43)
Denotamos el método basado en Eq. (42) como LAK. Las diferencias entre LAK y DGF deben
ser perceptible sólo para valores grandes de kd.
Dungey y Bohren [38], utilizando los resultados de Doyle [39], propusieron el siguiente tratamiento:
de la polarizabilidad. En primer lugar, cada celda cúbica es reemplazada por la esfera inscrita que se llama una
subunidad dipolar con una mayor permiso eléctrico relativo......................................................................................................................................................
Teoría media efectiva de granate [27]:
f, (44)
donde 6η = f es el factor de llenado del volumen. También se pueden utilizar otras teorías de medios eficaces
[40]. A continuación, el momento dipolo de la esfera equivalente se determina utilizando la teoría de Mie,
y la polarizabilidad se define como [39]
i=, (45)
donde α1 es el coeficiente de dipolo eléctrico de la teoría de Mie (véase e.g. [41]:
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sssssss
sssssss
1 xmxxxmm
xmxxxmm
α, (46)
en los que las funciones de Riccati-Bessel son las siguientes: 2s kdx = y ss فارسىm son el parámetro tamaño y
el índice de refracción relativo de la esfera equivalente. Denotamos esta formulación para el
polarizabilidad como método a1-término (obsérvese que esta terminología se introdujo más adelante [42]). Lo siento.
tiene la propiedad particular que 1constCMM cuando, contrariamente a todos los demás
prescripción de polarización, para la cual esta proporción se aproxima 1. Cabe señalar que el Mie
La teoría se basa en la suposición de que el campo eléctrico externo es una onda plana. En la mayoría
aplicaciones del DDA esto es cierto para el campo eléctrico incidente, pero no para el campo creado
por otros subvolumenes. Por lo tanto, la
Se espera que el método de 1-término sea correcto sólo para muy
tamaño de la célula pequeña. Por lo tanto, no está claro si este método tiene ventajas incluso en comparación con
CM. Por otra parte, este método puede estar más justificado para grupos de pequeñas esferas,
donde cada esfera puede ser considerada como un dipolo (ver Subsección 3.3).
Draine y Goodman [3] señalaron que considerando los campos eléctricos constantes para
evaluar integrales sobre una celda introduce errores de orden ( ) ( ) 2O kd. Esto representa un problema
para muchas correcciones de polarizabilidad, basadas en ecuaciones integrales. Draine y Goodman
abordar este problema desde un ángulo diferente. Ellos determinaron la polarizabilidad óptima en
la sensación de que una celosía infinita de dipolos de punto con tal polarizabilidad llevaría a la
la misma propagación de ondas planas4 que en un medio con un índice de refracción dado. Esto
polarizabilidad se llamó LDR (Relación de Dispersión de Látex) y es, como se esperaba, CM plus
Correcciones de alto pedido. Estas correcciones a su vez dependen de la dirección de propagación a y
la polarización del campo de incidente e0:
( ) ( )[ ]322LDR32LDR2LDR13CM
)i()32()(1 kdkdSmbmbbbd
α, (47)
8915316.1LDR1 b,, 1648469,0
2 b 7700004,1
3o b (48)
( )=
20aas. (49)
Utilizamos una convención de signo inverso en el denominador de Eq. (47) y los coeficientes LDR como
en comparación con el documento original [3].
Recientemente se ha demostrado [43] que la derivación de LDR no es completamente exacta,
dado que el momento dipolo resultante no satisface la condición de transversalidad, para la cual un
Se propuso una corrección. Este LDR corregido (CLDR) difiere principalmente en el hecho de que
El tensor de polarización no se puede hacer isotrópico sino sólo diagonal [43], aunque no dependiente
sobre la polarización de los incidentes:
( ) ( )[ ]3222LDR32LDR2LDR13CM
)i()32()(1 kdkdambmbbbd
α. (50)
Otro defecto de LDR es que evidentemente no es correcto para dipolos cerca de la superficie de partículas.
Sin embargo, no está claro cómo evaluar el efecto de estos dipolos superficiales maltratados en la
resultados generales, por ejemplo: en la sección de dispersión transversal.
La mejora del DDA fue iniciada por Peltoniemi [26] (PEL) que mostró
que el término M(Vi) en Eq. (7) puede ser evaluado exactamente hasta el tercer orden de kd por
ampliar el término ()(rEr bajo la integral en una serie de Taylor sobre el punto irr =′,
rendimiento
( ) ( ),(O3i3)iexp(d)
)iexp(
EkderRRRkRRk
ERkRRk
REMVM
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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=
(51)
donde χ, E y sus derivados se consideran todos en el punto ri. Eq. (51) es correcto hasta el
tercer orden de kd desde el tercer término en la serie Taylor desaparece debido a la simetría. Por
esférico Vi de radio a, las integrales se pueden evaluar exactamente [26] de una manera similar a
4 con cierta dirección de propagación y estado de polarización.
obtención de Eq. (42), pero sólo los términos de menos de cuarto orden de kd son significativos, lo que resulta
( EkaakakaVi 42232)(O)(10)
)
+ = EEEM ). (52)
Si la χ es constante dentro de la celda, entonces las ecuaciones de Maxwell indican que
EE 222 km− =, 0= E. (53)
Por lo tanto, Eq. (9) es válido hasta el tercer orden de ka y
( )[ ]322 )i)32())101(1)34( kakami ++= IM (54)
Piller y Martin [44] propusieron utilizar la teoría del muestreo para evaluar las integrales en
Eq. (1). Se muestra el campo eléctrico y la susceptibilidad:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
iiih ) ) ) ) ) ) )
r ErrrrEr , (55)
donde hr(r) es la función de respuesta de impulso de un filtro antialiasing definido como
)cos()sin(
qrqrqr
=r, (56)
donde dq γ2=. Eq. (1) se transforma entonces en Eq. (10) con los llamados Green’s filtrados
función, definida como
∫ =
r3()),d
ij hrV
rrrrGG. (57)
Eq. (57) puede considerarse una generalización de Eq. (13). Este último se obtiene si un pulso
función se considera en lugar de hr. La integral en Eq. (57) se evalúa analíticamente [44],
Tomando V0 para ser infinitesimalmente pequeño. La función de Green filtrada no tiene una singularidad
cuando, por lo tanto ji rr = iiii V GM =. Se demostró que el espectro de Fourier de E(r) yace en un
esfera con radio m(r)k, si m es constante en las proximidades de r. Por lo tanto, al menos dos muestras
se requieren puntos por longitud de onda en el esparcidor. La susceptibilidad también se filtra, ya sea por
un filtro de valor medio o uno más complicado, por ejemplo. a Ventana de Hanning. Este enfoque es el siguiente:
llamada FCD (dipolos filtrados acoplados), y una biblioteca de código informático para la evaluación de filtros
La función de Green está disponible [45].
Chaumet y otros [11] propuso la integración directa del tensor de los Verdes (TI) en Eqs. (12),
(13). Se realiza una expansión de Weyl del tensor del verde, transformándolo en una forma que permite
cálculo numérico eficiente del auto-término ( LM − ). También propusieron una corrección a:
el segundo término en la expresión de Draine para Cabs (Eq. (35).). Ampliación de sus resultados a
auto-término isotrópico es
( ) ( )[ ] =
iiiiiii VkC /) ImIm4
***exc)0(
abs PLMPEP
El segundo término corregido se basa en la energía de radiación de un dipolo finito [11]:, en
contraste con un dipolo punto utilizado en la derivación de Eq.
)Im( self ii PE
(35). Uno puede ver que Eqs. (58) y
(31) son equivalentes. Además, ambos son equivalentes a Eq. (35) Si y sólo si
IAM iii Vk
3i)32(+=, Hii AA =. (59)
Esta condición es similar, pero no equivalente, a Eq. (36) y siempre está satisfecho con RR, DGF,
Y LAK. Otras prescripciones de polarización satisfacen Eq. (59) para m real, entonces ambos Eqs. (58)
y (35) dan lugar a una absorción cero.
Rahmani, Chaumet y Bryant [46] propusieron un nuevo método (RCB) para determinar
polarizabilidad basada en la solución conocida del problema electrostático para el mismo esparcidor.
En el límite estático el campo eléctrico en cualquier punto está linealmente relacionado con el campo incidente
)()(01 rErCrE =. (60)
Sustitución de Eq. (60) en Eq. (20) con el tensor del verde estático, se puede obtener el
polarizabilidad, que daría una solución exacta en el límite estático, como
1RCB − = iiii V , (61)
ii CCrrGC
1), ( −
= χ, (62)
donde ) ii rCC =. Esta polarizabilidad estática reemplaza entonces la polarizabilidad de CM, y el RR
(Eq. (34)) se le aplica [46] para obtener la polarización final de las simulaciones de DDA. Lo fue.
más tarde demostró que las polarizaciones del RCB difieren significativamente de CM sólo para los dipolos más próximos que
2d a la interfaz [47].
En su siguiente manuscrito [48] Rahmani et al. afirmó que la derivación anterior es correcta
solo si el tensor C es constante dentro de la partícula (por ejemplo: en el caso de los elipsoides), ya que, de lo contrario, la
tensor de polarización obtenido a partir de Eq. (61) no es generalmente simétrico, que es físicamente
imposible en el caso estático. Esto muestra que una partícula con una C no constante no es
equivalente a cualquier conjunto de dipolos de punto físico incluso en el régimen estático. Sin embargo, es
equivalente a un conjunto de dipolos no físicos con una polarización asimétrica. Por lo tanto, el
polarización definida por Eq. (61) se puede utilizar formalmente, por sí mismo o con RR, incluso cuando C es
no constante.
Collinge y Draine [47] combinaron empíricamente la prescripción de RCB con CLDR para obtener
LDR corregido en superficie (SCLDR):
( ) ( ) 13RCBRCBSCLDR = BαI® d, (63)
donde B es la matriz de corrección (analógica a Eq. (50)):
( )[ ]3222LDR32LDR2LDR1 )i()32() kdkdambmbbbB (64)
Todos los métodos basados en el artículo de Rahmani et al. [46] se limitan inicialmente a aspectos muy específicos
formas del esparcidor (elipsoides, losas infinitas y cilindros). Ampliación de su aplicabilidad
a otras formas es discutible [48] y de todos modos requeriría una solución preliminar de la
problema electrostático para la misma forma, que generalmente no es trivial.
Todas las formulaciones DDA se representan esquemáticamente en la Fig. 1, que también muestra
interrelaciones entre ellos. Algunas formulaciones pueden compararse sin ambigüedades en términos de
soundness teórica: una es una mejora de la otra, es decir. emplea menos
aproximaciones. Tales formulaciones se representan en la misma columna de la Fig. 1, mientras que otros
no pueden compararse directamente entre sí; dan lugar a diferentes columnas. Comparación
entre formulaciones de diferentes columnas pueden y han sido hechas casi exclusivamente
comparación empírica de la exactitud de los resultados de la simulación (véase la subsección 3.2).
Todas las técnicas anteriores están dirigidas a reducir los errores de discretización; sólo unos pocos tienen como objetivo
reducir los errores de forma. Algunos de ellos emplean discretización adaptativa (diferentes tamaños de dipolo) a
describir mejor la forma del esparcidor (véase la subsección 3.4). Otro enfoque es el de la media
susceptibilidad en subvolumenes de límite. El promedio más simple usando el Lorentz-Lorenz
la regla de mezcla fue propuesta por Evans y Stephens [49] para el caso de la frontera entre
el esparcidor y su medio circundante
3434 e
, (65)
donde es la susceptibilidad efectiva, y f es la fracción de volumen del subvolumen realmente
ocupado por el esparcidor.
Un promedio más avanzado, llamado la discretización ponderada (WD), fue propuesto por
Piller [13]. Modifica la susceptibilidad y el auto-término del subvolumen de frontera.5
superficie de partículas, cruzando el subvolumen Vi, se asume lineal y divide el subvolumen en
dos partes: el principal que contiene el centro y un secundario con susceptibilidades piV
5 cualquier subvolumen que tenga una intersección no cero con el esparcidor y el medio exterior. Todo ello
Se contabilizan los subvolumenes.
Eq. Integral. 1)..........................................................................................................................................................
discretización
(sin hipótesis)
Eq. 7)..................................................................................................................................................
Generalidades
formulación de
DDA – Eq. (20)
Eqs. 8) y 9)
DGF, LAK
Eqs. (11)
Eq. (14)
(forma débil)
CLDR
a1 mandato
SCLDR FCD
muestreo con
antialiasing
filtro
eliminar
antialiasing
filtro
mejora de la polarizabilidad a partir de
a partir de la formulación de dipolo
cumple
Eq. (14)
simplifica a
Fig. 1. Esquema de interrelación entre los diferentes modelos de DDA analizados en la sección 3.1. Flechas
abajo corresponden a los supuestos empleados. La posición vertical del método corresponde cualitativamente
a su precisión (más alto = mejor), sin embargo los métodos en diferentes columnas no se pueden comparar directamente.
iχ, y campos eléctricos, respectivamente. Los campos eléctricos se consideran constantes
dentro de cada parte y relacionados entre sí a través de un tensor de la condición límite
iχ ii EE
iT :
iii ETE =
s. (66)
Entonces la polarización total del subvolumen puede ser evaluada de la siguiente manera:
iiiiiiiii
i VVVr
EEErErP essspp3 ()(d = == ∫, (67)
( ) iiiiiii VVV TI ssppe + =. (68)
La susceptibilidad del subvolumen límite es reemplazada por uno efectivo.
El auto-término efectivo se evalúa directamente a partir de Eq. (3), considerando χ y E
constante dentro de cada parte:
( ) ( ) ii
r TrrGrrGrrGrGM ss3ps3ee
,(),(d),(),(d =. (69)
Piller [13] evaluó las integrales en Eq. (69) numéricamente. Las ecuaciones finales son las mismas que
Eq. (20), donde las polarizaciones se obtienen a partir de Eq. (18) utilizando susceptibilidades efectivas y
auto-términos para subvolumenes de frontera. Por lo tanto, WD no modifica el número general
esquema.
En la actualidad, no hay razones teóricas rigurosas para preferir una formulación
otros. Sin embargo, los análisis teóricos de la convergencia DDA al refinar la discretización
recientemente dirigido por Yurkin et al. [32], mostró que IT y WD mejoran significativamente el
convergencia de forma y errores de discretización, respectivamente. Verificación experimental de
Estas conclusiones teóricas aún no se han llevado a cabo.
Cuadro 1 Precisión de diferentes formulaciones DDA para una esfera.a
Método de valor x a/d y m Error, % Ref.
Cext a1-término 1o2 2o4
c 0,65
0,85
1,33+0,05i
1.7+0.1i
CSec, S11 LAK 9
0,44
0,42
0,51
1,05
1,33+0,01i
2.5+1.4i
0,05, 37
0,5, 35
4, 15
Csca, Cabs DGF ≤3,2c 16 ≤1 4+3i 5, 1030 [3]
CSec LDR ≤8c 16 ≤0,5, ≤0,1 m-1≤1 1, 2
Csca
LDR ≤7c 16 ≤1
≤0,5, ≤1
2+i 1,5
3, 4
CSec ≤16c
25 ≤1 1,6+0,0008i
2,5+0,02i
LDR [51]
[4]eCSec
LDR cualquier ≤1 m3 5
20/23370/30
LDR de Csca ≤10c 16 kd≤0,63 0,69
0,41
0.29
[148]
S11 LDR ≤10c 24 kd≤0,42 0,69
0,41
Cext, RMS11S
3.2 Exactitud de las simulaciones de DDA
A lo largo de los años se han publicado muchos resultados sobre la exactitud de las simulaciones de DDA. Lo es,
Sin embargo, generalmente difícil de comparar sistemáticamente los manuscritos relevantes porque todos ellos
utilizar diferentes parámetros independientes, tales como el parámetro tamaño x, índice de refracción m, o
discretización, en función de la cual se mide el error. Vamos a describir la discretización por
el parámetro kdmy = o. El primero se utiliza siempre que es posible; sin embargo,
En algunos casos, una descripción de los resultados es más sencilla en términos de
kdmy )Re(Re =
Re. Resultados de precisión
LDR 20/23370/160
20/23370/130
20/23370/60
20/23370/30
20/23370/30
32/23370/256c
40/23370/256c
48/23370/128c
56/23370/80c
64/23370/88c
0,61!0,65d
0,560,64d
0.580.65d
0,57.60.60d
0,560,62d
0,62d
1,05
0,04, 38
0,4, 23
1, 59
4.4, 56
5.7, 105
2.0, 86
[113]
• FCD η, 2η 2.8, 5.6c 1,7 1,5 1 [44]
WD-FCD 0.53,2c
1,5-3,8c
0.911,5c
yRe=0.63 m7b
m2.5b
m4b
[10]
IT ≤5,2c CSec
≤2,1c
≤1,1c
8 ≤1 1,5+0,3i
3.5+1.4i
7,1+0,7i
Cabras
CSec RCB-RR ≤8,2c
≤7,5c
≤5,9c
≤3,4c
≤1,3c
16 ≤1 1,8+0,4i
1.9+i
2.5+i
2.5+4i
7.4+9.4i
CSec SCLDR
SCLDR
≤7,2c
≤1,5c
≤1,5c
12 ≤0,8 1,33+0,1i
5+4i
5+4i
a Todos los errores son relativos. CSec denota el error máximo en todas las secciones transversales, S11 y corresponde a
máximo y root promedio de error cuadrado sobre el rango de ángulos de dispersión, • es el error medio normalizado de la
campos eléctricos de campo lejano [44]. En algunos casos se muestran dos errores en una celda separada por un coma. Ellos
corresponden a dos valores de uno de los parámetros de la misma fila.
b descripción aproximada del intervalo.
c este valor está determinado por otros valores en la misma fila.
d este valor es ligeramente diferente para diferentes parámetros de tamaño.
e esto corresponde a la “regla del pulgar” para las esferas.
para la dispersión por una esfera se resumen en la Tabla 1. Todos los manuscritos sobre este tema pueden ser
dividido en dos clases: las que fijan x y varían N (o equivalentemente, el número de dipolos
por radio de esfera a/d) con y, y aquellos que fijan a/d y varían el parámetro de tamaño con y. Los
la primera es más fácil de interpretar; la segunda es más fácil de simular. Para facilitar la comparación entre
diferentes métodos proporcionamos x y a/d, sin embargo uno de ellos depende del otro.
A continuación figura información adicional sobre estos resultados.
Draine y Goodman [3] compararon RR, DGF y LDR para secciones transversales de una esfera
con. El DGF es generalmente más preciso que el RR. Para 16/ =da 11 m LDR da superior
o resultados comparables a DGF, para i2 = m LDR y DGF son comparables, y para
DGF es preferible a LDR. En la revisión de LDR DDA, Draine y Flatau [4]
resumen que para secciones transversales se puede evaluar a exactitudes de unos pocos por ciento
siempre y cuando. En ese caso, las secciones transversales diferenciales tienen una exactitud satisfactoria: relativa
errores de hasta 20-30%, pero sólo cuando el valor absoluto de las secciones transversales diferenciales es
Pequeño. Para las esferas, tales resultados se obtienen incluso para
i34 +m
2 ≤m
3 ≤m. Comparación de la CLDR con la LDR
[43] sólo da lugar a diferencias menores. Por lo general, CLDR resulta en una precisión ligeramente mejor para
Csca, pero peor para los taxis.
Piller y Martin [44] compararon FCD con LAK estudiando la dependencia de la media
error relativo de los campos eléctricos de campo lejano () en y para las esferas con η = x, 2η y. Lo siento.
se demostró que FCD (con un filtro de ventana de Hanning para el permiso eléctrico
3 veces más preciso que LAK en el rango
5.1=m
5.27.0 y da accuracies similares para
(para esferas más grandes). Comparación del WD con los métodos tradicionales [13]
para esferas con
4,0≤y
η = x, 2η y 32,1=m, i7.01.2 +. LAK fue utilizado para determinar
polarizaciones. Para en el rango 32,1=m 3,14,0 y la precisión global fue sólo ligeramente
mejorado, pero los picos de error para ciertos valores de y se suavizaron. Para i7.01.2 + = m
la precisión se mejoró 4-5 veces en todo el rango 3.1≤y. Piller también mostró [10] que un
la combinación de WD y FCD da mejores resultados. Generalmente FCD disminuye el negativo
los efectos de Re(e) sobre la exactitud y WD los de Im(e).
Rahmani et al. [48] mostró que el BCR era claramente superior al MC en el cálculo cruzado
secciones para fijo y m de 16/ =da i4.08.1 + a i4.94.7 + en el intervalo. Dos
Se compararon las correcciones (LDR y RR) en el caso estático, y se dio un total similar
resultados. La mejora de la exactitud general en comparación con el CM fue de 2 a 5 veces en todos los casos
estudiados. Para una losa delgada, se demostró [46,48] que los campos internos calculados utilizando RCB
difieren de los de CM en su mayoría cerca de las interfaces, donde el BCR produce errores mucho más pequeños,
casi lo mismo que lejos de las interfaces.
Collinge y Draine [47] compararon LDR, RCB y SCLDR en cálculos cruzados
secciones de esferas con. Se demostró que para 12/ =da i01.033.1 +m, LDR y SCLDR
son superiores en el rango, mientras que para 8.0≤y i45 + = m, SCLDR y RCB son superiores.
Convergencia de secciones transversales para esferas y elipsoides para el aumento de N con x fija y
También se estudiaron diferentes m (de i01.033.1 + i45+ ). SCLDR mostró la más estable
resultados para todos los casos, siendo el más o cercano al más preciso; sin embargo, para elipsoides
con grande Im(m) RCB dio resultados significativamente más precisos para Csca, especialmente para y más grande.
El rendimiento de la DDA para formas más complejas también fue estudiado por diferentes
autores. Flatau et al. [50] comparó las simulaciones DDA para una bisférica con una solución exacta
de una expansión multipolo. Para i01.033.1 + = m, 16/ = da, y 8.0≤y, LDR fue varios
veces más preciso que DGF y resultó en errores de menos del 0,5% para Csca y Cabs.
Xu y Gustafson [51] hicieron un estudio similar pero mucho más extenso de LDR. Por
, i008,06.1 +m 25/ =da, y, los errores en C4.0 ≤y ext, Cabs, y Por
, los errores en la dependencia angular de S81,0=y 11 son de hasta el 20%, mientras que S12 y S21 fueron
completamente equivocado. Para, los errores en secciones transversales superan el 10% para. i02.05.2 +m 3,0≥y
Errores en las dependencias angulares de los elementos de la matriz de Mueller están dentro de 10-20% para
y aumentar rápidamente con el aumento y. Para un fijo 3.0=y 3=x y, errores
i004.06.1 +m
ext, Cabs, y la disminución de de 10% a 1% mientras que la disminución de y de 1 a 0,2. Por
, la dependencia angular de S33.0=y 11 está de acuerdo con la solución rigurosa,
mientras que S12 y S21 difieren significativamente para ciertas orientaciones de la bisférica.
Hage y Greenberg [14] compararon LAK con los resultados experimentales obtenidos de
experimentos de microondas en cubos porosos. Usando i005.0362.1 + = m, 64.0=y y,
obtuvieron una diferencia de menos del 40% con los resultados experimentales de dispersión angular
patrones, a excepción de mínimos profundos. Dispersión ligera de cubos, baldosas y cilindros similares
También se estudiaron los parámetros y se compararon las diferencias entre el experimento y la teoría.
obtenido. Se estimó que los errores teóricos eran inferiores al 10%, con excepción de los mínimos profundos.
5504=N
Iskander et al. [34] realizó una prueba limitada de LAK para los pequeños esferoides alargados,
comparar los resultados con los obtenidos utilizando una condición iterativa de límite extendido
método. Utilizando, los cálculos se realizaron para las relaciones de aspecto hasta 20 con máximo
Parámetro de tamaño del eje largo 10 y 0,5 para
i01.033.1 + = m y
respectivamente. Los errores en la dispersión de la sección transversal fueron 21% y 11%, respectivamente. Ku [52]
comparación de LAK con CM y el
i28,076,1 +
1-término para diferentes formas, pero sus conclusiones se basan en
en un parámetro grande y (hasta 2), y por lo tanto son sospechosos y no se discute más aquí.
Andersen et al. [53] estudió el rendimiento del DDA para los grupos de tamaño Rayleigh de
unas pocas esferas (la mayoría de las formulaciones DDA son equivalentes a CM). Varios constituyentes
los materiales fueron probados, todos con altos índices de refracción en la región estudiada. Se demostró que
el DDA no pudo converger usando los recursos computacionales fijos para muy alto (hasta 13.0)
y muy bajo (hasta 0,12) Re(m); se utilizaron hasta 30 dipolos por diámetro de una sola
esfera.
Se puede concluir que las partículas con formas más complejas que las esferas son más
difícil de modelar con el DDA, lo que lleva a errores más grandes para el mismo m e y. Este efecto puede
se explican en general por el aumento de la relación superficie-volumen y, por lo tanto, mayor fracción de
subvolumenes límite [32]. Otra posible razón son las regiones complejas, por ejemplo. contacto entre
dos partículas en un cluster, donde la rápida variación del campo eléctrico deteriora la
precisión. Sin embargo, hay una notable excepción a esta tendencia general. Formas, que
puede ser modelado exactamente por un conjunto de dipolos cúbicos, por ejemplo. un cubo, se puede simular usando el
DDA mucho más precisa que las esferas, especialmente para las pequeñas y [32].
Draine y Flatau [4] han introducido una “regla del pulgar” para la discretización: uso 10
dipolos por longitud de onda en el medio (es decir, o bien y o yRe igual a 0,63, dependiendo de la
interpretación). Aunque se utiliza ampliamente, la exactitud de los resultados, al utilizar tales
discretización, es difícil deducir a priori. Draine y Flatau derivaron una estimación de
el error basado en un conjunto de simulaciones de ensayo. Esta estimación se describe anteriormente y se menciona en
Cuadro 1; por lo general se cita como un “poco porcentaje de precisión en secciones transversales”.
sobre o infraestimar significativamente el error, especialmente para parámetros de gran tamaño. Además,
no tiene en cuenta completamente la dependencia de m, incluso en el rango declarado de su
aplicación ( ), dado que la precisión del DDA se deteriora rápidamente con el aumento de m (véase el cuadro 2 ≤m)
1). Sin embargo, la regla del pulgar es buena primera conjetura para muchas aplicaciones.
La mayoría de los estudios de precisión DDA se limitan a las cantidades de dispersión integral y, a lo sumo,
la dependencia angular de S11. En sólo unos pocos manuscritos hay otras cantidades de dispersión
estudiados. Por ejemplo, Singham [54] simuló la dependencia angular de la matriz de Mueller
elemento S34 para esferas y partículas menos compactas, utilizando polarizabilidad CM. Se demostró que
una simulación precisa de este elemento requiere valores menores de y que para S11. Para 55,1 = x
y un cálculo de S33.1=m 11 ya fue exacto para 8.0=y, mientras que fue
Requerido para S
2,0≤y
34. También se informó que para objetos menos compactos como discos y varillas, el
y fue mayor, 0,4 y 0,55 respectivamente, debido a la menor interacción entre
los dipolos. Sin embargo, Hoekstra y Sloot argumentaron [55] que este efecto es causado principalmente por el
S34 pronunciado sensibilidad a la rugosidad de la superficie, que es significativo para menor tamaño si y es
Arreglado. Demostraron que para y 7.10=x 05.1=m, se logra una precisión muy alta con
debido al mayor número de dipolos utilizados. 66,0=y
Los campos internos son un resultado intermedio en el DDA. No se pueden comparar directamente
a los resultados experimentales; sin embargo, todas las cantidades de dispersión medidas se derivan de
Ellos. Por lo tanto, un estudio de su exactitud puede revelar una mayor comprensión de la naturaleza de
Errores de DDA. Hoekstra et al. [56] llevó a cabo un estudio de este tipo para la polarización de LAK. Tres
las esferas fueron examinadas con, 9, 5 y 9 = x 05,1 = m, i01,033,1 +, respectivamente.
Los valores de y fueron 0,44, 0,42 y 0,51 respectivamente. Los errores más significativos en el
amplitud del campo interno se localizó en el límite de las esferas con máximo
errores relativos de 3,4%, 19% y 120% respectivamente. Errores en S
i4.15.2 +
12, S33, S34 fueron significativos
sólo para la tercera esfera. Se demostró que para un determinado yRe estos errores aumentan rápidamente con m
pero sólo ligeramente dependen de x en el rango de 1 a 10. Por otra parte, el DDA es capaz de
reproduciendo resonancias de la teoría de Mie, aunque sus posiciones son ligeramente desplazadas (menos de
1% en m).
Droguer y Bronk [57] estudiaron la exactitud de los campos internos para los campos simples y recubiertos
esferas. Utilizaron 5.1 = x,, y CM polarizabilidad. Los errores en los campos internos fueron:
localizado en las interfaces, con errores medios superiores al 30% para una sola esfera con
y, y menos del 7% para una única y concéntrica esfera con y
. El núcleo de la esfera concéntrica tiene
8,1 ≤ m
8,1=m 17,0=y 3,1=m
08.0=y 1.1=m y su diámetro es la mitad del total
diámetro. La dependencia angular de los valores absolutos de S1 y S2 tuvo errores significativos en
el lado... y el esparcimiento de la espalda. Se puede concluir que los errores de forma contribuyen principalmente a la
campos internos cerca del límite, y aumentar con m.
Toda la literatura que discute la exactitud del DDA muestra errores en función de la entrada
parámetros y discretización, que es la forma más directa. La única excepción es la siguiente:
la regla del dedo pulgar, que es demasiado general y aproximado para ser aplicado en muchos en particular
casos. Una manera más útil de presentar errores es fijar la precisión deseada para cierta entrada
los parámetros y encontrar la discretización que resulta en tal precisión. Un análisis de este tipo puede ser
se aplica directamente a los cálculos prácticos y se puede utilizar para obtener estimaciones rigurosas de la DDA
requisitos computacionales [58].
En una serie de manuscritos se examinó el origen de los errores en el DDA para tratar de
separar y comparar los errores de forma y discretización [49,59-62]; sin embargo, no definido
Se llegaron a conclusiones. La incertidumbre se debe a los métodos indirectos utilizados que han
problemas de interpretación inherentes. Recientemente, Yurkin et al. [63] propuso un método directo para
errores de forma y discretización separados, que se pueden utilizar para estudiar su fundamental
propiedades. Este método también se puede aplicar para estudiar el desempeño de diferentes formulaciones
destinado a disminuir los errores de forma, por ejemplo. WD. Por ejemplo, se ha demostrado que el máximo
errores de S11() para una esfera con 5 = x 5,1 = m, discretizados utilizando 16 dipolos por diámetro
( ), se deben principalmente a errores de forma. Sin embargo, lo mismo no es cierto para todos los medidos
cantidades. En otro manuscrito [32] se sugirió que el error de discretización debería
disminuir más rápidamente con la disminución y que los errores de forma. Sin embargo, sigue siendo difícil deducir
a priori la importancia de los errores de forma para un cierto esparcidor e y; por lo tanto, más sistemático
Se requiere un estudio cuantitativo.
93,0=y
3.3 El DDA para los clusters de esferas
Hay dos peculiaridades principales cuando el DDA se aplica a grupos de esferas. En primer lugar, tales
Las partículas son generalmente menos compactas, produciendo interacciones más pequeñas entre los dipolos. Esto lleva
a un número de condición menor de la matriz de interacción DDA y, por lo tanto, una convergencia más rápida de
el solucionador iterativo (véase la sección 4.1). Segundo, cuando las esferas constituyentes son pequeñas
en comparación con la longitud de onda, cada esfera se puede modelar como un subvolumen esférico,
dando algunas simplificaciones teóricas.
Existe una teoría general [64] basada en la teoría de Mie (multipartículas generalizadas Mie
solución (GMM) [65]) que permite simulaciones altamente precisas de grupos de esferas.
Sin embargo, cuando se usan muchas esferas pequeñas uno quiere minimizar el número de incógnitas
en el sistema lineal. Reducción directa del GMM al orden más bajo (utilizando sólo el primer
coeficientes de expansión de orden) conduce a DDA + CM [64]. La mejora de la precisión en el MMG es
hecho por la contabilidad de los momentos multipolo más altos, mientras que el DDA introduce un orden más alto
correcciones a los coeficientes del sistema lineal. No está claro cómo la exactitud de estos
dos métodos se comparan entre sí; sin embargo, el primero debe conducir a una formulación
similar a un método multipolo acoplado (subsección 3.4) con un mayor número de incógnitas.
Métodos basados en DDA (comenzando normalmente con las ecuaciones integrales introducidas en la sección 2)
debe tener éxito en hacer la formulación más precisa sin aumentar el número de
de incógnitas, que es la meta para grandes grupos de pequeñas esferas. Por otra parte, el DDA puede
emplear algoritmos rápidos para resolver el sistema lineal. En esta configuración, el método multipolo rápido
(FMM) (véase la subsección 4.5) parece muy prometedor.
Cabe señalar, sin embargo, que un cluster que tiene un parámetro de tamaño pequeño (es decir, en la ventana
aproximación electrostática) no implica que todos los coeficientes de expansión, excepto el primero
Uno, son insignificantes. Esto se debe a que el tamaño de las partículas constituyentes también es muy pequeño y
los campos dentro de ellos están lejos de ser constantes, especialmente cuando las esferas se encuentran cerca de
el uno al otro y tienen grandes índices de refracción [66]. Por lo tanto, el DDA tiene algunos
dificultades principales para calcular la dispersión por grupos de esferas. Mackowski [67], para
ejemplo, encontró que para algunos sistemas compuestos de esferas mucho más pequeñas que el
longitud de onda, hasta 10 términos de expansión eran necesarios para lograr la convergencia. En estudios de
esferas osculantes, Ngo et al. [68] demostró que el MMG podía ser caótico y era capaz de
calcular los exponentes de Lyapunov, y que la lenta convergencia para las esferas de tocar era
el resultado del sistema que se encuentra en una región atrayente. Un artículo reciente de Markel et al. [69]
presentó modificaciones computacionalmente eficientes del GMM en el límite estático y
demostró la insuficiencia de la DDA para calcular las propiedades de dispersión de fractal
los agregados con precisión. Sin embargo, Kim et al. [70] mostró que el DDA es satisfactorio en
cálculo de la polarizabilidad estática de los nanoclusters dieléctricos, especialmente de los clusters con una
un gran número de constituyentes.
El desarrollo de métodos basados en el DDA para calcular la dispersión de la luz por grupos de
Las pequeñas esferas fueron iniciadas por Jones [71,72], quien desarrolló un método similar al CM. Iskander
et al. [34] utilizó un método equivalente al LAK para calcular la dispersión de aerosoles encadenados
clusters. Este tema fue investigado por Kosaza [73,74]. Lou y Charalampopoulos
[75] (LC) mejoró aún más los cálculos del término de interacción y las cantidades dispersas.
A partir de una ecuación integral para el campo interno equivalente a Eq. 1), supusieron
Eq. (11). Después de eso las integrales en Eqs. (12) y (13) sobre subvolumenes esféricos puede ser
evaluados analíticamente. El resultado del término de interacción es el siguiente:
),()()0( jiij ka rrGG η=, (70)
donde una función de corrección η se define como
)O()101(1
cossina
3) 42)
x =
=η. (71)
Eq. (30) también se evalúa analíticamente, dando
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ii knnkak )iexp()(i)()
3)0( nrPInF η, (72)
( ) =
iikakC
inc)0(
ext Im)(4 EP. (73)
La siguiente expresión para Cabs se declara sin derivación:
iikakC )Im()(4
abs EP. (74)
Markel et al. [76] aplicó el DDA a grupos fractales de esferas, y estudió su
propiedades ópticas. Sin embargo, no han fijado la polarizabilidad de un solo dipolo, sino más bien
la trató como una variable, calculando la dependencia de las características ópticas de un clúster sobre ella.
Pustovit et al. [77] argumentó que el DDA es inexacto para tocar esferas. Desarrollaron un
híbrido del DDA y el GMM, que considera sólo las interacciones de pares entre esferas (como
el DDA) pero, al calcularlos, da cuenta de términos multipolo más altos. Esta formulación
puede ser considerado como el que proporciona una evaluación más precisa del término de interacción
(Eq. (13)), y por lo tanto similar a LC.
LC se comparó con DGF y LAK en un cálculo Csca de un grupo de 10 partículas para
y. Las diferencias entre DGF y LAK son inferiores al 1% (como
se espera), mientras que la diferencia entre CL y LAK aumenta cuadráticamente con ka,
Alcanzar el 10% para
i7.07.1 +m 5.005.0 ka
5,0=ka. Sin embargo, no es exacto (p. ej. GMM) solución se presenta, la
la precisión de cada método individual no está clara.
Okamoto [42] probó el método a1-término para grupos de hasta 3 esferas de tocar. No
En este caso se necesita un medio eficaz, haciendo que el método suene más. Se demostró que la a1-
término es claramente superior a LDR en los cálculos transversales, cuando cada esfera se trata como un
Dipolo único. Los errores del a1-término son menos del 10% para 2,1≤y cuando. Por
tres esferas de contacto colineal los errores son 30% y 40% para y 2,8 cuando
y, respectivamente. Sin embargo, los errores no parecen disminuir
(los resultados se presentan sólo hasta
i01.033.1 + = m
9.1≤y
i01.033.1 +m i2 +
2,0=y ). Por lo tanto, el a1-término
parece adecuado para obtener estimaciones rápidas del crudo de las secciones transversales.
En la secuela de esta subsección mencionamos varias aplicaciones de la DDA a
dispersarse de grupos de esferas. Se aplicó para describir la dispersión por astrofísica
los agregados de polvo [78,79] utilizando el método a1-término. Hull et al. [80] aplicado CM DDA a Diesel
Partículas de hollín. LC se aplicó [81] al cálculo de la dispersión de la luz al azar
los agregados de cadenas ramificadas. Lumme y Rahola [40] estudiaron las propiedades de dispersión de los racimos
de grandes esferas (cada una modelada por un conjunto de dipolos) con el método a1-término considerando
aplicaciones astrofísicas. Hage y Greenberg [35] estudiaron la dispersión por partículas porosas,
que fueron modelados como grupos de células cúbicas haciendo su método equivalente a estándar
LAK. Recientemente se utilizó el DDA con LDR [82] para modelar la dispersión por granos de polvo porosos
y compararlas con teorías aproximadas, por ejemplo. teorías medias eficaces. También se utilizaba para
estudio de la dispersión de la luz por los agregados fractales [83], especialmente su dependencia de la
estructura [84].
3.4 Modificaciones y prórrogas del DDA
Bourrely et al. [85] propuso utilizar d pequeño para minimizar la rugosidad de la superficie, pero dipolos más grandes
dentro de la partícula. Comenzando con dipolos pequeños con polarizabilidad CM, se combina un dipolo
con 6 adyacentes (si todos tienen la misma polarizabilidad) produciendo un dipolo, situado en
el mismo punto pero con una polarizabilidad 7 veces mayor. Esta operación se repite mientras
Es posible. Los términos de interacción se consideran en su forma más simple (Eq. (14)). Este método
permite la disminución de los errores de forma con sólo un aumento menor en el número de dipolos.
Los autores mostraron que este método es más de dos veces más preciso que CM para algunos
casos de pruebas.
Rouleau y Martin [86] propusieron un método semianalítico generalizado. Una dinámica
cuadrícula se utiliza para evaluar la integral en Eq. (1). En primer lugar, se construye una rejilla estática dentro de la partícula.
A continuación, cada punto de la cuadrícula estática se utiliza como origen de un sistema de coordenadas esférica, y
la partícula se aproxima por un conjunto de elementos de volumen en estos esféricos
coordenadas. Como de costumbre, la polarización dentro de cada subvolumen se asume constante, pero
Eq. (13) puede evaluarse analíticamente en coordenadas esféricas. Polarización dentro de una
subvolumen se obtiene mediante la interpolación de sus valores en los puntos de la cuadrícula estática. Además,
adaptive gridding se emplea, donde se utilizan subvolumenes más pequeños en el límite de la
partícula.
Mulholland et al. [87] propuso un método de dipolo eléctrico y magnético acoplado
(CEMD), donde se considera un dipolo magnético en cada subvolumen junto con un
Dipolo. Las polarizaciones se derivan de los términos a1 y b1 de la teoría Mie. CEMD
requiere dos veces más variables en el sistema lineal, ya que los campos eléctrico y magnético
están interconectados. Lemaire [88] fue más allá y desarrolló el método multipolo acoplado,
considerando también el cuádruple eléctrico. La adición del cuádruple eléctrico puede ser
considerado como una evaluación más precisa del término de interacción en Eq. (13), en comparación con
Eq. (14). Resulta en una precisión aún mejor que la CEMD, pero a expensas de
Tiempo de cálculo. La principal desventaja de todos estos cuatro métodos es que la matriz de la
sistema de ecuaciones lineales no parece tener ninguna forma especial, adecuado para más rápido
algoritmos (véase la sección 4). Por lo tanto, los costos computacionales son mucho mayores en comparación con
métodos regulares, limitando así su uso práctico. En lo que sigue, varias extensiones DDA
se mencionan sin más discusión.
La base teórica para la aplicación del DDA a partículas ópticamente anisotrópicas fue
resumen de Lakhtakia [89]. Loiko y Molochko [90] aplicaron el DDA para estudiar la luz
dispersión por gotas esféricas de cristal líquido. Smith y Stokes [91] utilizaron el DDA para
calcular el efecto Faraday para las nanopartículas. Investigadores en la ingeniería eléctrica
comunidad aplicada MoM (en una variación que es equivalente al DDA) a anisotrópico
scatters [92,93].
Los paralelepípedos rectangulares pueden utilizarse como subvolumen en el DDA [11,23,43]. Esto
permite una descripción precisa de la dispersión de la luz por partículas con grandes relaciones de aspecto, utilizando
menos dipolos y también es compatible con las técnicas de FFT (subsección 4.4).
Khlebtsov [94] propuso una simplificación del DDA, sobre la base del supuesto de que todos
las polarizaciones son paralelas al campo eléctrico incidente. El número de variables se reduce así
tres veces, sin embargo a un costo de precisión. Además, la despolarización es completamente ignorada.
Markel [95] analíticamente resolvió las ecuaciones DDA para la dispersión por una infinita-
matriz periódica de dipolo dimensional. Este enfoque es similar al utilizado en la obtención de la
Formulación LDR para la polarización del dipolo [3].
Chaumet y otros [96] generalizó el DDA a las estructuras periódicas, y además a los defectos en
una rejilla periódica sobre una superficie [97]. La idea de utilizar el tensor del complejo verde en el
Martin resumió la formulación estándar de DDA [98].
Yang et al. [99] utilizó el DDA para calcular los campos electromagnéticos de superficie y determinar
Intensidad Raman para pequeñas partículas metálicas de forma arbitraria.
Lemaire y Bassrei [100] mostraron que la forma de un objeto se puede reconstruir a partir de
la dependencia del ángulo medido de intensidades dispersas. Este procedimiento puede ser considerado como
una inversión de la dependencia entre las polarizaciones del dipolo y la dispersión. Esto
la dependencia se toma del DDA. Una idea similar se utiliza en manuscritos recientes en óptica
tomografía [101-103].
Zubko y otros [104] modificó el tensor del verde utilizado en el DDA para estudiar el
Retrodispersión de partículas de desechos. Demostraron que la parte más lejana del tensor de los Verdes es
responsable tanto de la oleada de brillo retrodispersante como de la rama de polarización negativa.
4 Consideraciones numéricas
En esta sección se discuten los aspectos numéricos del DDA. Uno debe tener en cuenta,
Sin embargo, que los tiempos de simulación final dependen no sólo de los métodos numéricos elegidos, sino
también sobre la aplicación particular. Recientemente, Penttila et al. [105] han comparado cuatro
diferentes programas informáticos para el DDA. Estos se basan en casi idénticos números
métodos: el método iterativo Krylov-subespacio (sección 4.1) combinado con un FFT
aceleración del producto matriz-vector (sección 4.4). Sin embargo, los tiempos de simulación pueden diferir
por varios factores. Las optimizaciones de los códigos informáticos no se examinan más a fondo en este examen.
4.1 Métodos directos vs. iterativos
Hay dos tipos generales de métodos para resolver sistemas lineales de ecuaciones, Donde x
es un vector desconocido y A e y son conocidos matriz y vector, respectivamente: directo y
yAx =
iterativo [106]. Los métodos directos dan resultados en un número fijo de pasos, mientras que el número de
generalmente se desconocen a priori las iteraciones requeridas en los métodos iterativos. El más habitual
ejemplo de un método directo es la descomposición de LU, que permite la solución rápida para múltiples y
una vez realizada la descomposición. Los métodos iterativos son generalmente más rápidos, menos memoria
consumir y numéricamente más estable. Sin embargo, no se pueden considerar métodos iterativos
superior sobre directo, ya que dependen fuertemente del problema para resolver [107].
Para una matriz general n×n (en DDA Nn 3= ) el tiempo de cálculo de la descomposición de LU es
O(n3) y requisitos de almacenamiento O(n2), mientras que el tiempo de cálculo para una iteración es O(n2) [107].
Los métodos iterativos para una matriz general convergen en las iteraciones de O(n), aunque algunas de ellas
puede que no converjan en absoluto. Sin embargo, en muchos casos se puede obtener una exactitud satisfactoria después de
número mucho menor de iteraciones. En estos casos, los métodos iterativos pueden proporcionar
aumenta la velocidad, especialmente para grandes n. La mayoría de los métodos iterativos acceden a la matriz A solamente
a través de la multiplicación matriz-vector (a veces también con la matriz transpuesta), que
permite la construcción de rutinas especiales para el cálculo de estos productos. Tales rutinas
puede disminuir las necesidades de memoria, ya que ya no es necesario almacenar toda la matriz,
especialmente para matrices de forma especial (véase la subsección 4.3). Una estructura especial de la matriz
también puede permitir la aceleración del producto de matriz-vector de O(n2) a O(nlnn) (véase
subsecciones 4.4, 4.5). Sin embargo, lo mismo se aplica a los métodos directos (véase la subsección 4.3).
A lo largo de la historia del DDA, la mayoría de los métodos iterativos fueron empleados (sin embargo ver
Subsección 4.6). Al principio, se utilizaron para acelerar los cálculos [1], pero también permitieron
mayor número de dipolos a simular [6,108], ya que el almacenamiento de toda la matriz es
prohibitivo para los métodos directos. Los métodos iterativos más utilizados en el DDA son:
Métodos de Krylov-espacio, tales como [107] gradiente conjugado (CG), CG aplicado a la Normalizado
Ecuación con minimización de la norma residual (CGNR), Bi-CG, Bi-CG estabilizada (Bi-
CGSTAB), CG al cuadrado (CGS), residuos mínimos generalizados (GMRES), cuasi-mínimos
residual (QMR), transponer QMR libre (TFQMR), y métodos generalizados de tipo de producto basados
sobre Bi-CG (GPBi-CG) [109].
Una parte importante del solucionador iterativo es el preacondicionamiento, que efectivamente disminuye
el número de condición de la matriz A y, por lo tanto, acelera la convergencia. Sin embargo, este
requiere tiempo computacional adicional durante la inicialización y cada iteración.
El preacondicionamiento del sistema inicial puede resumirse como [107]
yMxMAMM 12
21 ) =
−, (75)
donde M1 y M2 son preacondicionadores izquierdos y derecho, respectivamente. Los precondicionadores deben
o bien permitir una inversión rápida o bien integrarse en el proceso de iteración. La más simple.
preacondicionador del primer tipo es el Jacobi (punto), que es sólo la parte diagonal de la matriz
A. Un ejemplo del segundo tipo de precondicionador es el polinomio Neumann
Previouser de la orden l:
) AIM. (76)
QMR y Bi-CG se pueden hacer para emplear la propiedad simétrica compleja (CS) de la
Matriz de interacción DDA para reducir a la mitad el número de multiplicaciones matriz-vector [110] (y por lo tanto
tiempo computacional). Lumme y Rahola [40] fueron los primeros en aplicar QMR(CS) al DDA
y lo comparó con CGNR. Utilizaron m de i1.06.1 + a i43+, y x de 1.3 a 13.5,
correspondiente a N de 136 a 20336. Para todos los casos estudiados QMR(CS) fue 2-4 veces más rápido
que CGNR.
Rahola [9] estudió posteriormente QMR(CS) y la comparó con CGNR, Bi-CG(CS), Bi-
CGSTAB, CGS, GMRES (lleno y con diferente longitud de memoria). Para un “típico pequeño
problema” (no se especificaron parámetros, por desgracia) la convergencia de diferentes métodos
fue probado y QMR(CS) junto con Bi-CG(CS) mostró los mejores resultados. Aunque lleno
GMRES fue capaz de converger en menos iteraciones, GMRES con hasta 40 memorias
Las longitudes fueron más lentas que QMR (CS).
Flatau [111] revisó el uso de algoritmos iterativos en el DDA y probó muchos de
ellos, junto con varios prescriptores. Calculó la dispersión de una esfera homogénea
con y m desde 1,33 hasta 1,0=x i0001,05+, 1=x y m desde 1,33 hasta y
. Izquierda (L) y derecha (R) Jacobi-, y primer orden Neumann polinomio
Los preavisos fueron probados. Por desgracia, no se especificó el número de dipolos N, que
dificulta la comparación con otros estudios. Para partículas pequeñas CG(L) fue superior para todos
Índices de refracción estudiados. CG y CG(R) mostraron resultados similares, mientras que CGNR(L) y Bi-
CGSTAB(L) fue aproximadamente 4 veces más lento. Por
i33.1 +
i0001,03+
1=x Bi-CGSTAB(L) fue superior mientras que Bi-
CGSTAB,(R) y CGS,(L),(R) fueron ligeramente peores. TFQMR (tanto con como sin Jacobi)
preconditioner) fue 3-4 veces más lento. El precondicionador Neumann de primer orden mostró
resultados insatisfactorios. Se concluyó que Bi-CGSTAB(L) es la opción más satisfactoria
para el DDA, y ese método es el por defecto utilizado en el programa DDSCAT [6].
Recientemente Fan et al. [112] han comparado GMRES, QMR(CS), Bi-CGSTAB, GPBi-CG,
y Bi-CG (CS). Los probaron en esparcidores de longitud de onda (x hasta 10) con m hasta
, y concluyó que GMRES con profundidad de memoria 30 fue el más rápido, aunque
necesita cuatro veces más memoria que los otros métodos. Sin embargo, sólo los tiempos de la
se comparó el producto matriz-vector, mientras que otras partes de la iteración también pueden tomar
tiempo significativo, especialmente para GMRES(30). Elegir entre menos que consume memoria
métodos, QMR(CS) y Bi-CG(CS) mostraron una mejor tasa de convergencia que Bi-CGSTAB y
GPBi-CG, especialmente cuando
i2.05.4 +
2>m. Además, los autores señalaron algunos defectos en la
comparación por Flatau [111], haciendo sus conclusiones insuficientes.
Yurkin et al. [113] empleaba a QMR(CS), Bi-CG(CS) y Bi-CGSTAB para simular la luz
dispersión por esferas con x hasta 160 y 40 para 05.1=m y 2, respectivamente. Se mostró.
que la convergencia de los métodos iterativos se vuelve muy lenta con el aumento de x y m (hasta
105 iteraciones son necesarias), y ninguna de ellas es claramente preferible a las demás. Además,
no parece haber una dependencia sistemática de la elección del mejor solucionador iterativo en x y
m; sin embargo, la diferencia en el tiempo computacional fue menor que un factor de dos, excepto para el
mayor x y m estudiados.
Rahola [114] mostró que el espectro del operador de dispersión integral para cualquier
dispersión homogénea es una línea en el plano complejo que va de 1 a m2, a excepción de un pequeño
cantidad de puntos, que corresponde a los índices de refracción que causan resonancias para el
forma específica. El espectro de A es similar, ya que esta matriz se obtiene en el DDA por
discretización del operador integral (véase también [9]). Suponiendo que el espectro de A exactamente
yace en la línea especificada, se demostró que una estimación para el factor de reducción óptima6 γ puede
se administrará de la siguiente manera:
Eq. (77) es una aproximación válida para los tamaños de partículas pequeñas, en los que no hay resonancias, o sólo unas pocas
están presentes. Sin embargo, en todos los casos el espectro de A se asemeja al espectro de la
operador, que se define por la forma, el tamaño y el índice de refracción del dispersador. Por lo tanto, el
el espectro, y por lo tanto la convergencia, no debe depender significativamente de la discretización. Esto
hecho fue confirmado empíricamente en otros manuscritos [9,63].
Budko y Samokhin [115] generalizaron los resultados de Rahola a arbitrarios inhomógenos
y esparcidores anisotrópicos. Describieron una región en el plano complejo que contiene el
todo el espectro del operador de dispersión integral. Esta región depende sólo de los valores de
m dentro del esparcidor y no depende de x. Demostraron que para m puramente real o para m
con muy pequeña parte imaginaria esta región puede acercarse al origen, por lo tanto la
espectro puede contener valores propios muy pequeños para partículas más grandes que la longitud de onda. Esto
6 La norma del residuo es disminuida por este factor cada iteración.
puede explicar la convergencia extremadamente lenta del solucionador iterativo para m real y x grande,
que se obtuvo recientemente en simulaciones numéricas [113]. Basado en el análisis de la
espectro del operador de dispersión integral para partículas mucho más pequeñas que la longitud de onda,
Budko et al. [116] propuso un método de iteración eficiente para este caso particular.
Se puede concluir que existen varios métodos iterativos modernos (QMR(CS), Bi-
CG(CS) y Bi-CGSTAB) que han demostrado ser eficientes cuando se aplican al DDA.
Sin embargo, ninguno de ellos puede ser reclamado superior a los otros, y uno debe probarlos para
problemas particulares de dispersión de la luz. Por otra parte, salvo en los casos más simples, el preacondicionamiento
de la matriz de interacción DDA casi no se estudia, mientras que hay una necesidad de que para x grandes y
m, desde entonces todos los métodos convergen muy lentamente o incluso divergen. Nos parece que el
el próximo gran avance numérico en el DDA se logrará mediante el desarrollo de un
preacondicionador para la matriz DDA.
Un gran número de dipolos requiere una gran potencia computacional y, por lo tanto, paralela
Los ordenadores se utilizan comúnmente, por ejemplo. [108,113]. La eficiencia paralela no se discute aquí, pero
para los solucionadores iterativos, generalmente está cerca de 1 [117]. Sin embargo, esto no es cierto para todos
preacondicionadores [107], y por lo tanto preacondicionadores pesados que requieren tiempo computacional grande en
se debe utilizar con precaución la combinación con una aplicación paralela de DDA.
4.2 Formulación del orden de dispersión
La aproximación de Rayleigh-Debye-Gans (RDG) [27] consiste en considerar E(r) igual a
Einc(r). F(n) se obtiene directamente de Eq. (24). La generalización del enfoque RDG es
obtenido por la solución iterativa de la ecuación integral (1), que puede ser reescrita como
)()()) inc r?ErE + =, (78)
donde Ł es un operador integral lineal que describe el scatter. El esquema iterativo es fácilmente
obtenido insertando la iteración de corriente (l-th) del campo eléctrico E(l)(r) en el lado derecho de
Eq. (78) y calculando la siguiente iteración en el lado izquierdo:
)()()(inc)1( rErErE ll + = +. (79)
El valor inicial se toma el mismo que en RDG,, y la fórmula general para
la solución es la siguiente:
)()( inc)0( rErE =
inc )()
l rErE, (80)
que es una aplicación directa de la conocida serie Neumann:
I, (81)
donde yo soy el operador unitario. Una condición necesaria y suficiente para la serie Neumann
la convergencia es
1. (82)
El sentido físico de este método iterativo reside en cálculos sucesivos de interacción
entre diferentes partes del esparcidor. La aproximación cero (o RDG) no
interacción; la primera aproximación considera la influencia de la dispersión de cada dipolo en el
otros una vez, y así sucesivamente. Eq. (82) establece que la interacción dentro del esparcidor debe ser pequeña,
pero no tan pequeño como se requiere para la aplicabilidad de RDG ( 1 ). En problemas de dispersión,
especialmente en física cuántica, Eq. (80) se llama la expansión del Born.
Aunque teóricamente claro, la expansión del Born no es directamente aplicable [118], ya que
cada iteración sucesiva requiere una evaluación analítica de integrales multidimensionales con
complejidad creciente, que rápidamente se vuelve inviable incluso para los esparcidores más simples. Los
el último resultado es probablemente el de Acquista [118], quien evaluó la expansión del Born para un
esfera homogénea hasta el segundo orden. Por lo tanto, la aplicación realista de la expansión Born
requiere la discretización del operador integral, que se hace naturalmente en el DDA.
Una formulación de orden de dispersión (SOF) de la DDA fue desarrollado independientemente por
Chiappetta [119] y Singham y Bohren [12,120] aplicando la serie Neumann a
Eq. (17). A continuación, es una matriz definida como jijij αGo =, donde cada elemento es un diádico, que
puede expresarse como una matriz 3×3. Un cheque explícito de Eq. (82) para un cierto esparcidor no es
factible numéricamente, sin embargo, de Hoop [121] derivó una condición suficiente para las ondas escalares:
1) máx.)2 20 <r
kR, (83)
donde R0 es el radio de la esfera más pequeña circunscribiendo el esparcidor. Aunque no
directamente aplicable a la dispersión de la luz, Eq. (83) puede utilizarse como estimación.
El rango del parámetro tamaño e índice de refracción donde converge SOF es limitado [120].
Además, incluso cuando SOF converge, los métodos iterativos más avanzados convergen más rápido (véase
Subsección 4.1). Sin embargo, SOF tiene un sentido físico claro y se puede utilizar para estudiar la
importancia de la dispersión múltiple.
4.3 Block-Toeplitz
Una matriz cuadrada A se llama Toeplitz si jiij aA =, es decir. elementos de matriz en cualquier línea paralela a
la diagonal principal es la misma [106]. En una matriz de bloque-Toeplitz (BT) (de orden K) elementos
ai no son números, sino matrices cuadradas mismas:
. (84)
Una matriz BT de 2 niveles tiene matrices BT como componentes ai. Procediendo recursivamente a un multinivel
Se define la matriz BT (MBT) para cualquier número de niveles.
Consideremos una celosía rectangular nx×ny×nz, numerada de la siguiente manera
zzyyzxxzy ininninnni = )1()1(, (85)
donde se indica la posición del elemento a lo largo de los ejes. Definamos también
el índice vectorial. Entonces uno puede verificar que la matriz de interacción en Eq.
},...,1 { # ni #
),( zyx iii=i (20),
definido por Eq. (13), satisface lo siguiente:
jiGGG == jiij. (86)
Esta ecuación por sí sola se puede utilizar para reducir en gran medida los requisitos de almacenamiento de iterativo
métodos mediante el uso de direcciones indirectas. Una mejora adicional es observar que Eq. (86) define un
Matriz simétrica BT de 3 niveles (ordenes de niveles posteriores – nx, ny, nz) cuyos bloques más pequeños
son matrices 3×3 (diádicas) ijG.
Una celosía rectangular no es mucho de una restricción, ya que cualquier esparcidor puede ser incrustado en
una cuadrícula rectangular adecuada. Sin embargo, deben introducirse dipolos “vacíos” adicionales para
construir la red hasta el paralelepípedo completo. Además, la posición y el tamaño de los dipolos
no puede ser elegido arbitrariamente para describir mejor la forma del esparcidor. Esto es especialmente
problemático para partículas altamente porosas o grupos de partículas, donde el monómero tiene un tamaño
comparable a un solo dipolo. Para todos los demás casos, estas restricciones son menores en comparación con las
gran aumento de la velocidad computacional, impuesta por la estructura BT de la matriz de interacción.
Una multiplicación matriz-vector se puede transformar en una convolución, que se calcula utilizando
una técnica de transformación rápida de Fourier (FFT) en operaciones de O(nln(n)) (ver subsección 4.4). Nota
Sin embargo, existen técnicas alternativas que no requieren una cuadrícula regular (véase la subsección
4.5).
La estructura BT también permite acelerar los métodos directos. Flatau et al. [122] utilizado un
algoritmo para la inversión de matrices BT simétricas. Tiene complejidad (O 3 xnn y almacenamiento
requisitos )(O 2 xnn, ya que sólo deben almacenarse 2 columnas de bloques de la matriz inversa.
En este caso el eje x está orientado a lo largo de la dimensión de partícula más larga. Recientemente Flatau [123]
estudió el caso especial de 1D DDA donde todos los dipolos se encuentran en línea recta y
igualmente espaciado, en el que los sistemas de ecuaciones para diferentes componentes pueden ser separados. Los
matriz de interacción para cada componente es simétrico Toeplitz, y un algoritmo rápido moderno puede
solicitar su inversión. Este método requiere la resolución preliminar de ecuaciones lineales para
dos lados derecho (por ejemplo, por alguna técnica iterativa); a continuación, la multiplicación de la matriz inversa por
cualquier vector (es decir, una solución del sistema lineal para cualquier parte derecha) sólo requiere O(nln(n))
operaciones. Sin embargo, Flatau señaló una limitación estricta para todos los métodos de cálculo rápido
de la inversa de la matriz de interacción: son aplicables sólo cuando polarizabilidades de todos
dipolos son los mismos, ya que de lo contrario el primer término en el lado derecho de Eq. (20) arruina el BT
estructura en la diagonal de la matriz de interacción. Por lo tanto, en la actualidad se limitan a
esparcidores rectangulares homogéneos. Afortunadamente, no es un problema para el vector de matriz
multiplicación, ya que el término diagonal se puede evaluar independientemente y añadir a la final
resultado.
4.4 FFT
Goodman et al. [124] mostró que la multiplicación de la matriz de interacción para un rectangular
retícula (véase la subsección 4.3) por un vector puede transformarse en una convolución discreta
jii PGPGPGy ′′=′==
)2,2,2(
)1,1,1(
)1,1,1(1
zyxzyx nnnnnN
jij, (87)
donde iG′ está definido por Eq. (86) (y 0=′0G ) para ≤ ni ≤ y
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
De lo contrario,0
1:, njj
P. (88)
Ambos G ′ y luego se consideran periódicos en cada dimensión μ con el período 2nP′ μ. A
la convolución discreta se puede transformar con un FFT a un producto de dos elementos
vectores, que es fácil de calcular. Requiere la evaluación de una FFT directa e inversa para cada uno
producto matriz-vector. Cada uno de ellos es un 3D FFT de orden 2nx×2ny×2nz. Esta operación está hecha.
para cada uno de los 3 componentes cartesianos de P′ y se realizan cálculos preliminares para 6
componentes tensores independientes de G ′.
Un método ligeramente diferente se puede idear sobre la base del papel de Barrowes et al. [125],
que desarrolló un algoritmo para la multiplicación de cualquier MBT por un vector. La multiplicación es
reducido a una convolución 1D que es evaluada por dos FFT 1D de orden
)12)(12)(12( zyx nnn. Flatau [123] propuso un algoritmo de vector de matriz
multiplicación para la matriz de interacción BT (p. ej. 1D DDA), que requiere el doble de FFTs
como el algoritmo estándar, pero de orden n en lugar de 2n. Aunque Flatau declaró que un
extensión de este algoritmo al caso 3D general es sencillo, al menos no es trivial
y probablemente su complejidad escalará lo mismo que los métodos estándar.
4.5 Método multipolo rápido
El método multipolo rápido (FMM) fue desarrollado por Greengard y Rokhlin [126] para
evaluación eficiente de los campos de potencial y fuerza en simulaciones de cuerpo-N donde todos los pares
se calculan las interacciones de las partículas N. El MMF se basa en expansiones potenciales truncadas
[127]. También se le llama método de árbol jerárquico porque las partículas se agrupan en un
forma jerárquica, y la interacción entre las partículas individuales y esta jerarquía de partículas
se calculan los grupos [128]. Sin embargo, algunos investigadores distinguen entre
multinivel FMM [129.130]; sólo este último es verdaderamente jerárquico. El FMM se adapta naturalmente a la
DDA, ya que la multiplicación matriz-vector está computando realmente el campo total en cada uno
dipolo único debido a todos los demás dipolos, como fue observado por Hoekstra y Sloot [128]. Los
la complejidad computacional del MMF (véase más adelante) es similar a los métodos basados en la FFT (véase
Subsección 4.4), pero no requiere ninguna regularidad de la red, por lo que es aplicable a
cualquier esparcidor. El inconveniente es que el FMM es conceptualmente más complejo, por lo que es mucho
Más difícil de codificar. Sin embargo, el MMF fue implementado en el DDA por Rahola [9,127].
El análisis de errores es crítico para el FMM, ya que la aceleración se obtiene mediante el uso de
aproximaciones, en contraste con métodos exactos basados en FFT. Los parámetros de aproximación son:
elegido para mantener un error, calculado según alguna estimación, en ciertos límites. Cuantos más
exacta la estimación de error es, menos cálculos son necesarios; por lo tanto, cuanto más rápido el conjunto
Algoritmo. Por lo tanto, la complejidad del algoritmo está directamente conectada al análisis de errores [131].
Koc y Chew [129] describieron la aplicación de FMM multinivel al DDA. Ellos
utiliza fórmulas semiempíricas para determinar el número de términos en las series multipolo, y
complejidad obtenida de O(N). Sin embargo, el análisis riguroso, cerca de exacto, de errores todavía falta para
el MMF aplicado al DDA. Permitirá obtener una verdadera complejidad de algoritmo con
precisión garantizada. Este análisis se ha llevado a cabo para la dispersión acústica 2D [130],
y para la dispersión de la luz formulada en términos de integrales de superficie [131]. En ambos casos, el FMM
ha demostrado tener una complejidad asintótica O(Nln2(N)). Aplicación del MMF a
Dembart y Yip [132] revisaron la formulación superficial-integral de la dispersión de la luz.
Otro problema de la aplicación de la FMM es que depende completamente de la
forma exacta del potencial de interacción ijG. Todos los manuscritos mencionados anteriormente tratan con
interacción entre dipolos puntuales, es decir, Eq. (14). Si se utiliza una expresión más compleja para ijG
(por ejemplo: IT), la mayor parte de la FMM debería desarrollarse de nuevo. Esto hace que la integración de la FMM
y el DDA un problema formidable.
El FMM es un método prometedor para calcular la dispersión de la luz por partículas que no pueden ser
mapeado efectivamente en una cuadrícula rectangular; sin embargo, todavía hay espacio para mejorar su teoría
para hacerlo más robusto y garantizar cierta precisión.
El FMM no es el único método de árbol jerárquico disponible. Por ejemplo, un muy
método intuitivamente simple fue propuesto por Barnes y Hut [133,134]. Expansiones multipolo
sobre el centro de masa en los cálculos gravitacionales se utilizan, contrariamente al centro geométrico
en el FMM. Elimina automáticamente el segundo término en la expansión multipolo, y
permite una rápida evaluación de los términos monopolo. Aunque este método es mucho más simple y más claro
que el FMM, tiene muy poco control sobre los errores que se pueden estudiar casi exclusivamente
empíricamente. Se puede aplicar a la DDA sin un aumento significativo en el total
errores computacionales.7
Ding y Tsang propusieron un enfoque alternativo [135]. Ellos estudiaron la dispersión
de los árboles y utilizó un enfoque iterativo de matriz escasa. La matriz de interacción se divide en una
parte fuerte, que explica la interacción entre los dipolos cercanos, y un complemento débil
parte:. La parte fuerte es escasa y por lo tanto permite una solución rápida de la
sistema. La parte débil es una pequeña corrección que se explica iterativamente:
ws AAA +=
yxA =)0(s,. )w)1(s ll xAyxA =+ (89)
Los autores demuestran el potencial de este enfoque para algunos casos de prueba.
4.6 Promedio de orientación y cálculos repetidos
En muchas aplicaciones físicas, uno está interesado en las propiedades ópticas de un conjunto de
partículas orientadas aleatoriamente. Cuando la concentración de partículas es pequeña, dispersión múltiple
es insignificante y las propiedades ópticas se obtienen promediando la dispersión de una partícula
sobre diferentes orientaciones de partículas. Problemas más generales, donde las partículas no son idénticas
o dispersión múltiple es significativo, no se consideran aquí.
Orientación promedio de cualquier propiedad de dispersión se puede describir como la integral sobre
los ángulos de orientación del Euler (incluida una función de distribución de probabilidad si es necesario),
7 Hoekstra AG, resultados inéditos
que se reduce a una suma por cuadratura apropiada. Por lo tanto, el problema consiste en:
cálculo de alguna propiedad de dispersión para un conjunto de diferentes orientaciones de la misma partícula.
La manera más fácil es calcularlo resolviendo secuencialmente e independientemente cada problema
del set. Sin embargo, el gran tamaño de este conjunto requiere algunos medios para reducir la
cálculos. Esto es especialmente relevante cuando la partícula es asimétrica; por lo tanto, su óptica
las propiedades son sensibles a la orientación de las partículas. Asumamos además, para mayor claridad, que somos
interesado en la matriz de dispersión en un cierto ángulo de dispersión. Toda la discusión para los demás
Las propiedades de dispersión son análogas o incluso más simples.
Singham et al. [136] señaló que el conjunto de problemas descritos anteriormente es físicamente
equivalente a una orientación fija de la partícula y a diferentes direcciones de incidente y dispersión.
Estos últimos se determinan mediante la transformación del marco de referencia de laboratorio a la referencia
marco asociado con la partícula. La matriz de dispersión de amplitud, y por lo tanto el Mueller
matriz, también se transforma junto con el marco de referencia (véase, por ejemplo. [137] para la transformación
fórmulase). Hay dos ventajas inmediatas de utilizar una orientación fija de partículas. En primer lugar, A
se mantiene constante (véase la discusión a continuación), y por lo tanto la construcción de A se hace
Sólo una vez. En segundo lugar, la matriz de amplitud para cualquier ángulo de dispersión se obtiene rápidamente después de la
sistema lineal está resuelto (para dos polarizaciones de incidentes). Por lo tanto, la integración sobre un Euler
el ángulo es relativamente rápido.
La constancia de A puede ser explotada para reducir aún más el tiempo de la orientación-aumento.
Si se obtiene o se obtiene su descomposición LU [75,136], una solución única para cualquier parte derecha y puede
se obtiene en n
2 operaciones – el mismo o menos tiempo que se requiere para una iteración utilizando
métodos iterativos generales (véase la subsección 4.1). Además, Singham et al. [136] y McClain
y Ghoul [138] independientemente propuso una forma analítica de promediar la matriz de dispersión
en cualquier ángulo de dispersión, que requiere operaciones O(n2) una vez que se conoce. Khlebtsov [139]
extendió esta técnica al promedio de las secciones transversales de extinción y absorción.
Sin embargo, mediante el empleo de propiedades especiales de la matriz A en el DDA permite
la computación de productos de matriz-vector en operaciones O(nln(n)) (véanse las subsecciones 4.4 y 4.5). Aunque
también se puede realizar alguna aceleración de los métodos directos (véase la subsección 4.3), todavía están
O(n2) o más lento. Para los métodos grandes n, iterativos (suponiendo que converjan en mucho menos que
n iteraciones) son claramente preferibles, incluso si se utilizan muchos puntos de cuadratura. Por otra parte, n grandes
es inalcanzable por métodos directos debido a los requisitos de almacenamiento. Otra mejora
podría estar utilizando un precondicionador pesado, que tiene un gran costo de inicialización y en gran medida
aumenta la tasa de convergencia. El costo de la inicialización se justifica entonces porque se calcula sólo
Una vez. Los posibles candidatos son precondicionales de factorización incompletos [107].
Por encima se dijo que A es constante para una partícula de orientación fija. Sin embargo, moderno
Formulaciones de DDA (por ejemplo: LDR) tener en cuenta la dirección de la incidencia de la luz. Por lo tanto A
depende de esta dirección, pero sólo débilmente a través de ( ) ) 2O kd correcciones. Esto complica las cosas.
las técnicas descritas anteriormente, sin embargo probablemente todavía se pueden utilizar junto con algunos
métodos especiales para corregir pequeños cambios en A en cada paso. Tales métodos no han sido
desarrollado hasta ahora.
Otra posibilidad para realizar el promedio de orientación es primero calcular la T-matriz de
la partícula, que entonces permite un promedio analítico [140]. El formalismo de la T-matriz está basado
en la expansión multipolo que se trunca en algún orden N0. Aunque N0 es difícil de
deducir a priori, por lo general es varias veces x [141,142]. El número de filas en la matriz T
es igual a. La forma más simple de evaluar la matriz T basada en el DDA es resolver
por cada onda esférica incidente (es decir. para cada fila de la matriz T) independientemente [141].
Entonces la discusión anterior sobre la optimización de este cálculo repetido es relevante. Uso
Técnicas iterativas con N
)2(2 00 + NN
número de iteraciones, el tiempo de cálculo es
( ) ( )[ ]20iter20 O)ln(O NNNNN +, donde el primer término en la suma es el tiempo para resolver el lineal
sistema, y el segundo es el cálculo real de los valores en la fila de la T-matriz.
Un nuevo método para obtener la matriz T de la matriz de interacción DDA fue propuesto por
Mackowski [141]. Esto requiere dos resúmenes con tiempo computacional ( )) ln(O 20 NNN y
( ) NN 40O. Mackowski demostró que para 5 = x su método es un orden de magnitud más rápido que
el sencillo.
Recientemente Muinonen y Zubko [143] han propuesto una manera de optimizar el conjunto
promedio de los resultados de DDA en diferentes tamaños e índices de refracción. Se basa en el cálculo
una "buena conjetura" para el vector inicial en el solucionador iterativo utilizando los resultados de los cálculos
con parámetros similares. Ideas similares se pueden utilizar para optimizar la simulación de un conjunto de ligeramente
diferentes formas o promedio orientativo.
Se propuso el uso de cálculos repetidos para aumentar la exactitud de las simulaciones de DDA
recientemente por Yurkin et al. [63]. Varias simulaciones independientes con discretización diferente
se realizó el parámetro y se extrapolaron los resultados a la discretización infinita dando
mejor precisión que las de una simulación DDA única.
5 Comparación del DDA con otros métodos
Hovenier et al. [144] comparó el DDA, el método de condición de límite ampliado (EBCM),
y el método de separación de variables (SVM) para los cálculos de dispersión por esferoides,
cilindros finitos y bisferes. Los parámetros de los problemas fueron los siguientes:,
Parámetro del tamaño del equivolumen,
i01.05.1 +m
5=x 6,0=y. Las dependencias angulares de la matriz de dispersión
se calcularon los elementos. La EBCM y la SVM parecían lograr una solución exacta, y la
El DDA mostró pequeños errores, excepto por los ángulos de retrodispersión, donde estaban hasta un 10-20%.
Wriedt y Comberg [145] compararon el DDA, EBCM y el tiempo de diferencia finita
método de dominio (FDTD) para un cubo con 33,1 = m, 1,5 y 9,2 = x, 4,9, 9,7. A favor y en contra
4.9. El DDA y el EBCM lograron una buena precisión en el cálculo del ángulo de intensidad de dispersión
dependencia; el DDA fue 2-5 veces más rápido, pero consumió 8-16 veces más memoria (y estaba en
el rango 0,3-0,5). El FDTD tenía requisitos computacionales similares a los del DDA, pero era
menos exacto. Para el DDA fue el único para lograr pequeños errores dentro del dado
recursos computacionales.
9.2=x
7.9=x
Comberg y Wriedt [146] compararon el DDA, el GMM (véase la subsección 3.3) y el
técnica multipolo generalizada (GMT) para clusters de unas pocas esferas. Una sola esfera tenía x en
el rango 4–20 y 33,1=m, 1,5. Todos los métodos lograron una buena precisión, pero la
GMM fue un orden de magnitud (y para grandes x incluso varios órdenes) más rápido que el otro
Dos. El DDA y GMT también se utilizaron para calcular la dispersión por un clúster de dos oblatos
esferoides con y. El DDA fue menos preciso y consumió 4 veces más
memoria, pero fue 6 veces más rápido que el GMT.
5=x 33,1=m
Wriedt et al. [147] comparó el método DDA, FDTD, GMT y fuentes discretas
(DSM) para el cálculo de la dispersión de la luz por un glóbulo rojo (RBC) con y
. La precisión de todos los métodos fue similar. El DDA y GMT mostraron similares
tiempos de cálculo; fueron 7 veces más rápidos que el FDTD y 12 veces más lentos que el DSM.
Cabe señalar que este último utilizó la propiedad aximétrica de RBC.
06.1=m
Recientemente Yurkin et al. [58] comparó sistemáticamente el DDA y el FDTD para
esferas con m de 1,02 a 2 y x de 10 a 100, dependiendo de m. Se demostró que
rendimiento numérico del DDA es mucho más sensible al índice de refracción que el de
el FDTD. Por lo tanto, el DDA es preferible para m pequeño, el FDTD para m más grande. Cleary, el
crossover punto no está bien definido y dependerá de los detalles del problema en cuestión como
así como sobre la aplicación particular de ambos métodos.
La principal ventaja de la DDA es que es uno de los métodos más generales, teniendo un
muy amplia gama de aplicabilidad, limitada sólo por la potencia computacional disponible. Lo contrario
de esta ventaja es que no tiene casi ningún medio para utilizar la simetría del esparcidor. Por lo tanto, la
DDA no es capaz de competir con el EBCM para los dispersadores aximétricos homogéneos. Por
scatters no aximétricos homogéneos el DDA es competitivo con el EBCM para mono-
orientación de partículas, pero esta última permite un promedio de orientación mucho más rápido. El EBCM tiene
poca aplicabilidad a los dispersadores inhomógenos, donde el DDA se puede aplicar sin ninguna
cambios. La comparación entre el FDTD y el DDA sugiere que el DDA es más
Adecuado para m pequeño. También debe tenerse en cuenta que el FDTD es aún más general, siendo fácilmente
aplicable a los campos eléctricos de incidentes no armónicos. Por otra parte, la simulación de un pulso
onda incidente con el FDTD da la solución para un espectro completo de incidentes armónico
ondas planas, pero con una limitación en la precisión.
6 Observaciones finales
El DDA ha sido revisado utilizando un marco general basado en la ecuación integral para el
campo eléctrico. Aunque los algoritmos DDA convencionales como se utilizan en varias computadoras de producción
programas, no ha cambiado significativamente desde 1994, muchas mejoras diferentes han sido
propuesta desde entonces. Algunos de ellos mejoran la precisión o el rendimiento numérico de
el DDA; sin embargo, todavía esperan una amplia aceptación. Parece que una masa crítica de nuevos
las mejoras se están acumulando, con suerte resultando en un próximo avance en el campo de la
DDA.
En nuestra opinión, en el futuro se introducirán mejoras importantes en las implementaciones informáticas de DDA.
estar conectado con uno de los siguientes:
1) Disminución de los errores de forma mediante la aplicación de técnicas WD o similares.
2) Mejorar la polarizabilidad y los términos de interacción mediante técnicas que aún no se han alcanzado.
desarrollado de manera similar a TI y PEL.
3) El estudio de diferentes precondicionadores para la matriz de interacción DDA, ya sea probar algunos de
los tipos conocidos o en desarrollo teniendo en cuenta la estructura especial de la matriz.
El punto 1) debe mejorar la exactitud general del DDA, especialmente en los casos en que la forma
los errores son dominantes, ítem (2) debe expandir la región de aplicabilidad DDA a mayor refracción
Índices, y ítem (3) debe impulsar el rendimiento global, especialmente para parámetros de tamaño grande
y/o índices de refracción.
Agradecimientos
Damos las gracias a Dan Mackowski por aclarar la discusión sobre las simulaciones de dispersión por
clusters de esferas y Gorden Videen para leer críticamente el manuscrito y para valiosos
debates. Nuestra investigación cuenta con el apoyo de la rama siberiana de la Academia Rusa de
Ciencias a través de la subvención 2006-03.
Apéndice. Descripción de acrónimos y símbolos usados
Véanse los cuadros A1 y A2.
Cuadro A1 Siglas en orden alfabético.
Sección de Descripción del Acrónimoa
(L) dejó Jacobi preconditioner 4.1
Derecho Jacobi preconditioner 4.1
a1-término (M) dipolo en la teoría de Mie 3.1
Bi-CGSTAB Bi-CG estabilizado 4.1
BT block-Toeplitz 4.3
Dipolo eléctrico y magnético acoplado CEMD 3.4
CG gradiente conjugado 4.1
CGNR CG aplicado a la ecuación normalizada con minimización de la norma residual 4.1
CGS CG al cuadrado 4.1
Simetría compleja de CS 4.1
Rectificado por la CLDR LDR 3.1
CM Clausius-Mossotti 2
DDA dipolo discreto aproximación 1
DGF digitalizó la función 1 de Green
Método de fuentes discretas DSM 5
Método de condición de límite ampliado EBCM 5
Dipolos acoplados filtrados por FCD 3.1
FDTD dominio de tiempo de diferencia finita 5
Transformación rápida de FFT Fourier 4.4
Método multipolo rápido FMM 4.5
GMM solución multipartículas generalizada Mie 3.3
GMRES generalizado residual mínimo 4,1
GMT técnica multipolo generalizada 5
GPBi-CG métodos de tipo de producto generalizado basados en Bi-CG 4.1
Integración informática del tensor de Green 3.1
LAK Lakhtakia 3.1
LC Lou y Charalampopoulos 3.3
Relación de dispersión de celosía LDR 3.1
MBT multinivel BT 4.3
MdM método de los momentos 3.1
PEL Peltoniemi 3.1
PP Purcell y Pennypacker 1
QMR cuasi-mínima residual 4.1
Glóbulo rojo RBC 5
RCB Rahmani, Chaumet y Bryant 3.1
RDG Rayleigh-Debye-Gans aproximación 4.2
Corrección de la reacción radiativa RR 3.1
LDR corregido en superficie por SCLDR 3.1
SOF formulación de orden de dispersión 4.2
SVM separación de variables método 5
TFQMR transpone gratuitamente QMR 4.1
Discretización ponderada por WD 3.1
a donde se explica o aparece por primera vez (si no se da explicación).
Cuadro A2. Símbolos utilizados, letras latina y griega en orden alfabéticoa.
Sección de Descripción de Símbolos
(0) superíndice: valor aproximado (generalmente bajo hipótesis de campo constante) 2
n) Superíndice: después de la n-t-iteración 4.2
Parámetro de asimetría 2
* superíndice: conjugado complejo 2
A una matriz 3.1
a kk 2
un radio de esfera (equivalente) 3.1
Matriz de corrección B en SCLDR 3.1, Eq. (64)
b1 – b3 coeficientes numéricos en prescripciones de polarización 3.1
C tensor de solución electrostática 3.1, Eq. (60)
Csca, Cabs, Cext scattering, absorción, extinción sección transversal 2
c velocidad de la luz en vacío 2
d Tamaño de una celda cúbica 2
E, Einc, Eexc, Self, Esca (total) campo eléctrico, incidente, emocionante, auto-inducido, disperso 2
vector de polarización e0 de la onda incidente, 10 = e 2
e superíndice: efectivo 3.1
F amplitud de dispersión 2
f una función;
factor de llenado del volumen
G espacio libre dyadic Green’s función (tensor) 2
2sG G en límite estático
Término de interacción ijG
H superíndice: conjugar transponer 3.1
función de respuesta de impulso de un filtro 3.1
2, 4.1I, I identidad dyádica (tensor), operador (matriz)
i, j subíndice: índices vectoriales 4.3
i unidad imaginaria 2
i, j subíndice: número del dipolo 2
K orden de una matriz BT 4.3
k vector de onda espacial libre 2
L auto-término dyádico 2
M integral asociado con la finitud de V0;
preaconditioner
M dyádic asociado con M 2
m índice de refracción (relativo) 3.1
N número total de dipolos 2
n r 2
n tamaño de una matriz 4.1
n normal externo a la superficie 2
Tamaños nx, ny, nz de la celosía rectangular 4.3
P polarización 2
p superíndice: principal 3.1
q dγ2 3.1
R rr 2
Radio R0 de la esfera más pequeña que circunscribe el esparcidor 4.2
2r, r′ radio-vectores
Coeficiente S LDR dependiente de la polarización incidente 3.1, Eq. (49)
Si elemento de matriz de amplitud 3.2
Sij Mueller elemento de matriz 3.2
s superíndice: secundario;
fuerte;
subíndice: dipolo esférico equivalente
T tensor de la condición límite 3.1, Eq. (66)
t time 2
V volumen del esparcidor 2
Volumen de exclusión V0 2
w superíndice: débil 4.5
x vector desconocido 4.1
Cuadro A2 (continuación)
Sección de Descripción de Símbolos
Parámetro x tamaño del esparcidor 3.2
x, y, z Coordenadas cartesianas 4.3
y un vector conocido (lado derecho de un sistema lineal) 4.1
y kdm 3.2
yRe kdm)Re( 3.2
2α, α polarizabilidad, tensor
4.1γ factor de reducción óptimo
Simbolo de Kronecker
2-permiso eléctrico (relativo)
3.3η función de corrección
• tensor intermedio en el método RCB 3.1, Eq. (62)
4.2.2 Operador integral lineal, su matriz
μ, ν,.,..........................................................................................................................................................................................................................................................
Funciones de Riccati-Bessel 3.1
2χ susceptibilidad eléctrica
3.2-Medio de error relativo del campo eléctrico de campo lejano
Ángulo sólido de 2
Frecuencia circular del campo eléctrico armónico
un subíndice común y superíndices se dan por su cuenta. Para todos los vectores – el mismo símbolo pero en cursiva (en lugar de
negrita) denota la norma euclidiana del vector (excepto vectores unitarios).
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1 Introducción
2 Marco general
3 Varios modelos DDA
3.1 Base teórica del DDA
3.2 Exactitud de las simulaciones de DDA
3.3 El DDA para los clusters de esferas
3.4 Modificaciones y prórrogas del DDA
4 Consideraciones numéricas
4.1 Métodos directos vs. iterativos
4.2 Formulación del orden de dispersión
4.3 Block-Toeplitz
4.4 FFT
4.5 Método multipolo rápido
4.6 Promedio de orientación y cálculos repetidos
5 Comparación del DDA con otros métodos
6 Observaciones finales
Agradecimientos
Apéndice. Descripción de acrónimos y símbolos usados
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704.0039 | Scalar radius of the pion and zeros in the form factor | Radio escalar del pion y ceros en el factor de forma
José A. Oller y Luis Roca
Departamento de Física. Universidad de Murcia.
E-30071, Murcia. España.
oller@um.es, luisroca@um.es
Resumen
El radio escalar de pion cuadrático, r2s, juega un papel importante para el presente determino preciso-
minaciones de dispersión. Recientemente, Ynduráin, utilizando una representación Omnès del null
isospin(I) no extraño factor de forma escalar pion, obtiene r2s = 0,75± 0,07 fm2. Este valor es
mayor que la calculada resolviendo las ecuaciones correspondientes de Muskhelishvili-Omnès,
r2s = 0,61± 0,04 fm2. Una gran discrepancia entre ambos valores, dada la precisión, entonces
resultados. Reanalizamos el método de Ynduráin y demostramos que al imponer la continuidad de la re-
factor de forma escalar pion sulting bajo pequeños cambios en los cambios de fase de entrada, un cero en el
factor de forma para algunas S-ondas I=0 T-Matrices se requiere entonces. Una vez que esto sea contabilizado,
el valor resultante es r2s = 0,65± 0,05 fm2. La principal fuente de error en nuestra determinación
está presente incertidumbres experimentales en los cambios de fase de la onda S de baja energía I=0. Otro
importante contribución a nuestro error es el comportamiento asintótico aún no resuelto de la fase
del factor de forma escalar de QCD.
http://arxiv.org/abs/0704.0039v2
1 Introducción
El factor de forma escalar del pion, (t), corresponde al elemento matricial
(t) =
d4x e−i(q
q)x(q′)
muū(x)u(x) +mdd̄(x)d(x)
(q), t = (q′ − q)2. (1.1)
Realizar una expansión de Taylor alrededor de t = 0,
(t) = (0)
+O(t2)
, (1.2)
donde r2s es el radio escalar cuadrático del pion.
La cantidad aporta alrededor del 10% [1] a los valores de las longitudes de dispersión de la onda S
a00 y a
0 según lo determinado en ref.[1], empleando ecuaciones de Roy y χPT a dos bucles. Si uno
tiene en cuenta que esta referencia da una precisión del 2,2% en su cálculo de la dispersión
longitudes, un 10% de la contribución de r2s es grande. Relacionado con eso, r2s es también importante
en SU(2)×SU(2) χPT ya que da la constante de baja energía l̄4 que controla la salida de F
a partir de su valor en el límite quiral [2, 3] en la corrección de orden principal.
Sobre la base de un bucle χPT, Gasser y Leutwyler [2] obtenidos r2s = 0,55 ± 0,15 fm2. Esto
el cálculo fue mejorado más tarde por los mismos autores junto con Donoghue [4], que resolvió
las correspondientes ecuaciones Muskhelishvili-Omnès con los canales acoplados de y KK̄. Los
actualización de este cálculo, realizada en ref.[1], da r2s = 0,61±0,04 fm2, donde los nuevos resultados
en la onda S I = 0 cambios de fase desde el análisis de la ecuación de Roy de ref.[5] están incluidos. Moussallam
[6] emplea el mismo enfoque y obtiene valores de acuerdo con el resultado anterior.
Uno debe notar que las soluciones de las ecuaciones Muskhelishvili-Omnès para la forma escalar
El factor se basa en elementos T-matrix no medidos o en supuestos acerca de cuáles son los canales
Eso importa. Teniendo en cuenta la importancia de los r2s, y los posibles errores sistemáticos en los análisis
sobre la base de las ecuaciones de Muskhelishvili-Omnès, otros enfoques independientes son muy bienvenidos. In
este respeto citamos las obras [7, 8, 9], y las de Ynduráin [10, 11, 12]. Estos últimos trabajos han
desafió el valor anterior para r2s, modificándolo a la mayor r2s = 0,75 ± 0,07 fm2. Desde
ref.[1] las ecuaciones,
AA00 = +0,027+r2, a
0 = −0,004°r2, (1.3)
dar el cambio de las longitudes de dispersión bajo una variación de r2s definido por r2s = 0.61(1 +
Fm
2. Para la diferencia entre los valores centrales de r2s dados arriba de refs.[1, 10], uno
tiene r2 = +0,23. Esto corresponde a la letra a)
0 = +0,006 y a
0 = −0.001, mientras que los errores citados
son a00 = 0,220 ± 0,005 y a20 = −0,0444 ± 0,0010. A continuación, se aduce sobre el cambio de la central
valores para las longitudes de dispersión previstas en el nivel de un sigma.
El valor tomado para r2s también es importante para determinar el acoplamiento O(p4) χPT l̄4. Los
valor de ref.[1] es l̄4 = 4.4±0.2 mientras que el de ref.[10] es l̄4 = 5,4±0,5. Ambos valores son incompatibles
dentro de los errores.
Los periódicos [10, 11, 12] han sido cuestionados en refs.[13, 14]. El valor de la Kη cuadrática
radio escalar, ár2Ã3Kls, obtenido por Ynduráin en ref.[10], r2Kηs = 0,31± 0,06 fm2, no es exacto,
porque se basa en viejos experimentos y en una mala parametrización de la onda S de baja energía I=1/2K
cambios de fase al asumir el dominio de la resonancia como un poste estándar Breit-Wigner [15]. Piel...
termórea, r2Kηs fue fijado recientemente por experimentos de alta estadística en un intervalo de acuerdo con
la predicción aguda de [15], basada en las relaciones de dispersión (tres canales Muskhelishvili-Omnès
ecuaciones de la matriz T de ref.[16]) y de dos bucles χPT [17]. De los experimentos recientes
[18, 19], uno tiene para los kaons cargados [18] r2Ks = 0,235 ± 0,014 ± 0,007 fm2, y para el
Los neutros [19] r2KLηs = 0,165 ± 0,016 fm2. La predicción de [15], en un límite de isospin, es
r2Kl = 0,192± 0,012 fm2, yaciendo justo en el medio de las determinaciones experimentales. Otro
problema es la determinación más sana de Ynduráin del radio escalar piónico, cuya (in)corrección es
aún no se ha establecido.
En este trabajo nos concentramos en el enfoque de Ynduráin [10, 11, 12] para evaluar el cuadrático
radio escalar del pion basado en una representación de Omnés de la forma escalar I=0 no extraña del pion
factor. Nuestra principal conclusión será que este enfoque [10] y la solución de la Muskhelishvili-
Ecuaciones de Omnès [4], con y KK̄ como canales acoplados, están de acuerdo entre sí si uno
correctamente tiene en cuenta, para algunas T-Matrices, la presencia de un cero en la forma escalar pion
factor en energías ligeramente por debajo del umbral de KK. Precisamente estas T-Matrices son las utilizadas en
[10] y favoreció en [11]. Una vez considerado esto, concluimos que r2s = 0,63± 0,05 fm2.
El contenido del documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 discutimos el representante de Omnès.
resensación de (t) y derivar la expresión para calcular r2s. Este cálculo se realiza
en la sección 3, donde consideramos diferentes parametrizaciones para datos experimentales y asintóticos
fases para el factor de forma escalar. Las conclusiones figuran en la última sección.
2 Factor de forma escalar
El factor de forma escalar pion (t), eq.(1.1), es una función analítica de t con un corte de la mano derecha,
debido a la unitariedad, para t ≥ 4m2η. Realizar una relación de dispersión de su logaritmo, con el posible
ceros de (t) eliminados, los resultados de la representación de Omnès,
(t) = P (t) exp
s− t
. (2.1)
Aquí, P (t) es un polinomio compuesto por los ceros de (t), con P (0) = (0). En el anterior
ecuation, ♥(s) es la fase de (t)/P (t), tomada para ser continua y de tal manera que ♥(4m)
η) = 0. In
ref.[10] el factor de forma escalar se supone que está libre de ceros y por lo tanto P (t) es sólo la constante
(0) (el factor exponencial es 1 para t = 0). Por lo tanto,
(t) = (0) exp
s− t
. (2.2)
De donde se deduce que,
r2s =
ds. 2.3)
Una de las características del factor de forma escalar pion de refs.[4, 6, 8], como se explica en ref.[13], es el
presencia de una fuerte caída en las energías alrededor del umbral de KK. Esta característica también es compartida por el
onda S fuerte I = 0 â € TM amptitud, tâ € TM a. Esto es así porque tÃ3r está en muy buena aproximaciÃ3n puramente
elástico por debajo del umbral de KK̄ y por lo tanto, descuidando por completo la inelasticidad en la discusión que
sigue, es proporcional al pecado e
i, con el cambio de fase de la onda S I=0. Es un experimento.
hecho de que está muy cerca de alrededor del umbral de KK̄, como se muestra en el fig.1. Por lo tanto, si =
sucede antes de la apertura de este canal la amplitud fuerte tiene un cero en esa energía. Activar
la otra mano, si = ocurre después del umbral de KK̄, porque la inelasticidad es entonces sustancial,
Véase eq.(2.4) abajo, no hay un cero, sino un descenso pronunciado en t. Esta inmersión puede ser arbitraria.
cerca de cero si antes del umbral KK̄ se acerca más y más, sin llegar a él.
400 600 800 1000 1200 1400 1600
(MeV)
Eq. (3.13), [20]
PY [24]
CGL [1]
Sol. A de [27]
Sol. B de [27]
Sol. C de [27]
Sol. D de [27]
Sol. E de [27]
Kaminski et al. [21]
BNL-E865 Coll. [25]
NA48/2 Coll. [26]
300 350 400 450
BL-E865 Coll. [25]
NA48/2 Coll. [26]
PY [24]
CGL [1]
Figura 1: Onda S I = 0-desplazamiento de fase, (s). Los datos experimentales son de refs.[21, 25, 26, 27].
Debido al teorema de estado final Watson la fase (s) en eq.(2.1) es dada por (s) por debajo de la
Umbral de KK̄, descuidando la inelasticidad debido a los estados 4η o 6η como se indica en los experimentos [20]. Los
la situación por encima del umbral de KKestá más implicada. Recordemos que
= (η e
2i − 1)/2i, (2.4)
con 0 ≤ η ≤ 1 y la inelasticidad está dada por 1− η2, con η el coeficiente de elasticidad. Denotamos
por la(s) fase(s) de la(s) fase(s), requerida(s) para ser continua(s) (por debajo de 4 m)
K es dada por (s)). Por continuidad,
lo suficientemente cerca del umbral de KK̄ y por encima de él, η → 1 y luego estamos en la misma situación que en
la caja elástica. Como resultado, debido al teorema del estado final de Watson y la continuidad, la fase
La(s) fecha(s) debe(n) ser(s) dada(s) por(s). Para (sK) < , sK = 4m
K, (s) no sigue el aumento
tendencia con la energía de (s) pero cae como resultado de eq.(2.4), véase la figura 2 para (sK) < Esto es fácil.
visto al escribir explícitamente las partes reales e imaginarias de tÃ3 en eq.(2.4),
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
η sin 2 +
(1− η cos 2). (2.5)
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
(MeV)
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
(MeV)
( (sK)< 180
( (sK)> 180
Figura 2: Panel izquierdo: Fase(s) fuerte(s), fase(s) de valor propio(s) y fase(s) as(s) sinptótica(s). Bien.
panel: Integrand de r2s en eq.(3.12) para la parametrización I (línea de parametrización) y II (línea sólida). Para más información
detalles ver el texto. Nótese que la incertidumbre debida a Łas(s) se reduce mucho en el integrand.
La parte imaginaria es siempre positiva (η < 1 por encima del umbral de KK̄ y 1.1 GeV [20]) mientras que el
parte real es negativo para < π, pero en un intervalo de sólo unos pocos MeV la parte real se vuelve positiva
tan pronto como > , fig.1. Como resultado, el(los) valor(s) pasa(s) rápidamente de valores inferiores pero próximos a η a
el intervalo [0, η/2]. Este movimiento rápido de (s) da lugar a un mínimo pronunciado de (t) en
esta energía, como se indica en ref.[13] y se muestra en la figura 3. La caída en los se convierte en más y más
dramático como (sK) → (con el superíndice +(−) indicando que el límite se aproxima desde
los valores por encima (por debajo), respectivamente); y en este límite, el valor de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores superiores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores Esto es
fácil de entender a partir de eq.(2.5). Llamemos a s1 el punto en el que (s1) = con s1 > sK. Cerrar
y por encima del s1, el (los) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s).
de casi η en el umbral de KK̄ a valores por debajo de η/2 justo después de s1. A continuación, en el límite s1 → s+K
uno tiene (s−K) = (s)
K) = a la izquierda, mientras que a la derecha (s)
K) = (s)
K) < η/2. Como resultado, el(los) número(s) de la(s) persona(s)
es discontinuo en s = sK. Insistimos en que esta discontinuidad de Ł(s) en sK cuando (sK) →
se aplica rigurosamente a la(sK) también puesto que η(sK) = 1. Esta discontinuidad en s = sK implica también que
el integrand en la representación de Omnès para (t) desarrolla una singularidad logarítmica como,
(s-K)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s)-
, (2.6)
con → 0+. Cuando se expone este resultado uno tiene un cero para (sK) como (l/sK) v, = (l(s−K)−
*(s+K))/η > 0 y → 0+. Este cero es una consecuencia necesaria al evolucionar continuamente desde
(sK) < η a (sK) > η.
#1 Esto a su vez implica rigurosamente que en la representación Omnès de
(t), eq.(2.1), P (t) debe ser un polinomio de primer grado para aquellos casos con (sK) ≥ γ,#2
P (t) = (0)
s1 − t
, (2.7)
con s1 la posición del cero. Observe que el grado del polinomio P (t) es discreto y por lo tanto
por continuidad no puede cambiar a menos que se desarrolle una singularidad. Este es el caso cuando (sK) =
cambiando el grado de 0 a 1. Por lo tanto, si (sK) ≥ (2.2) y
(2.3) uno debe entonces considerar,
(t) = (0)
s1 − t
s− t
, (2.8)
r2s = −
ds. (2.9)
En el caso de las personas a las que (sK) > π entonces ♥(s) sigue(s) (s) justo después del umbral de KK̄ y allí
no es una gota, como se subraya en ref.[11], véase la figura 2.
Resumiendo, hemos demostrado que (t) tiene un cero en s1 cuando (sK) ≥
la suposición de que la(s) empresa(s) sigue(s) a la(s) cantidad(s) superior al umbral de KK̄, siguiendo la línea de ref.[11], y por
imponer la continuidad en (t) bajo pequeños cambios en (sK). Como resultado, eqs.(2.8) y (2.9)
debe utilizarse en este último caso, en lugar de eqs.(2.2) y (2.3), válidos para (sK) < . Esta solución
fue pasado por alto en refs.[10, 11, 12]. En el apéndice A se explica por qué el debate anterior sobre la
No se puede aplicar cero de (t) para (sK) ≥ η en s1 a todos los factores de forma escalar pion, en particular
a la extraña.
Si eq.(2.2) se usaron para aquellos con (sK) ≥ π entonces un máximo fuerte de (t) sería
se obtiene alrededor del umbral de KK̄, en lugar del cero antes mencionado o el mínimo de
refs.[4, 6], como se muestra en la figura 3 por la línea punteada. Esto también se muestra en el fig.10 de ref.[22]
o fig.2 de [13]. Esta es la situación para el (t) de los refs.[10, 11], y es la razón por la que
obtenido allí es mucho más grande que el de los refs.[4, 1, 6]. Es decir, Ynduráin usa eqs.2.2), 2.3) para
(sK) ≥ , en lugar de eqs.(2.8), (2.9) (línea sólida en la figura 3). El papel único e importante desempeñado
por (sK) (para el elástico t por debajo del umbral de KK̄) se reconoce perfectamente en ref.[11]. Sin embargo, en
esta referencia la sorprendente conclusión de que (t) tiene dos comportamientos radicalmente diferentes bajo
se mantuvieron pequeñas variaciones de tÃ3r. Estas variaciones son suficientes para pasar de (sK) <
(sK) ≥ [10], mientras que la matriz T− o S− son totalmente continuas. Debido a esta inestabilidad de la
solución de refs.[10, 11] bajo pequeños cambios de (s), consideramos el nuestro, que produce continuo
(t), a ser ciertamente preferido. También destacamos que nuestras soluciones, ya sea para (sK) ≥ η y
(sK) < η, son los que están de acuerdo con los obtenidos mediante la resolución de la Muskhelishvili-Omnès
ecuaciones [4, 1, 6] y χPT unitario [8].
#1Se puede mostrar desde eq.(2.5) que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
) = η. Aquí estamos asumiendo η = 1 para s ≤ sK, que es un
muy buena aproximación como indica el experimento [20, 21].
#2Nos estamos centrando en la región físicamente relevante de valores permitidos experimentales para (sK), que pueden ser más grandes
o más pequeño que η pero cercano.
0 200 400 600 800 1000 1200
(MeV)
(sK)
(sK), P(t)=(0)(s1-t)/s1
(sK), P(t)=(0)
ref. [8] ((sK))
Sustitución de PSfrag
Figura 3: (t)/(0) de eq.(2.2) con (sK) <
La línea sólida corresponde a usar eq.(2.8) para este último caso. Para esta figura hemos utilizado la parametrización
II (definido en la sección 3) con α1 = 2,28 (línea de dado) y 2.20 (líneas de punteado y sólida). Los
línea punteada-doble-punto es el factor de forma escalar de ref.[8] que tiene (sK) > .
Mostremos ahora cómo fijar s1 en términos del conocimiento de (s) con (sK) ≥ . Para esto
propósito vamos a realizar una relación de dispersión de (t) con dos sustracciones,
(t) = (0) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Im(s)
s2(s− t)
ds, (2.10)
De QCD asintótico [23] se espera que el factor de forma escalar desaparezca en el infinito [10, 12],
entonces la integral de dispersión en eq.(2.10) debe converger bastante rápido. Eq.(2.10) es útil porque
nos dice que el único punto alrededor de 1 GeV donde puede haber un cero en (t) está en la energía
s1 para el cual la parte imaginaria de (t) desaparece. De lo contrario, la integral en el lado derecho
de eq.(2.10) recoge una parte imaginaria y no hay manera de cancelarla como (0), r2s y t son
Todo real. Puesto que Im(t) = (t) sin (t) para t ≤ sK, ciertamente desaparece en el punto s1 donde
(s1) = . Como sólo hay un cero en tales energías, esto determina s1 exactamente en términos de la
parametrización dada para (s).
Uno podría argumentar en contra del argumento que se acaba de dar para determinar s1 que esta energía podría ser
complejo. Sin embargo, esto implicaría dos ceros en s1 y s
1, y entonces el grado de P (t) sería
ser dos en vez de uno. Observe que el grado del polinomio P (t) es discreto y, por lo tanto, por
suavidad en los parámetros continuos de la T-matriz, su valor debe permanecer en 1 para algunos abiertos
dominio en los parámetros con (sK) > hasta que se desarrolle una discontinuidad. Físicamente, la presencia
de dos ceros requerirían a su vez que el (los) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
−1/t, como requiere el QCD asintótico [23, 10]. Este valor para la fase asintótica parece ser
más bien poco realista, ya que el (los) valor(es) sólo alcanza los valores de energía ya bastante elevados, como se muestra en el gráfico 2.
3 Resultados
Nuestro resultado principal de la sección anterior es la regla de suma para determinar r2s,
r2s = −
(((sK)− η) +
ds, (3.11)
en los que (x) = 0 para x < 0 y 1 para x ≥ 0. Nos dividimos en dos partes:
r2s = QH + QA,
QH = −
(((sK)− η) +
, (3.12)
con sH = 2,25 GeV
2. A continuación se dan las razones para fijar sH a este valor.
La cuestión principal en la aplicación del eq.(3.11) es para determinar el(s) en el integrand. Debajo de la
Umbral de KK̄ y descuidando la inelasticidad, uno tiene que فارسى(s) = (s), 4m
η ≤ s ≤ 4m2K. Esto es lo siguiente:
debido al teorema del estado final de Watson, la continuidad y la igualdad
η) = 0.
Para aplicaciones prácticas vamos a considerar los cambios de fase de la onda S I=0
K−matrix parametrización de ref.[20] (a partir de su análisis energético dependiente de los datos de 0,6 GeV
hasta 1.9 GeV) y las parametrizaciones de ref.[1] (CGL) y ref.[24] (PY). El resultado (s)
para todas estas parametrizaciones se muestran en fig.1. Utilizamos CGL desde el umbral de hasta 0.8 GeV,
porque este es el límite superior de su análisis, mientras que PY se utiliza hasta 0.9 GeV, porque en este
energía que coincide bien dentro de los errores experimentales con los datos de [20]. La K-matriz de
ref.[20] se utiliza para energías por encima de 0,8 GeV, cuando se utiliza CGL por debajo de esta energía (parametrización
I), y por encima de 0,9 GeV, cuando se utiliza PY para energías más bajas (parametrización II). Tomamos el pa-
rameterizations CGL y PY como su diferencia por debajo de 0,8 GeV cuenta bien para el experimental
las incertidumbres en, véase el gráfico 1, y satisfacen las limitaciones de la χPT (la primera) y la dispersión re-
laciones (ambos). La razón por la que saltamos a utilizar la parametrización de ref.[20] para las energías más bajas es
porque uno debe estar allí lo más preciso posible ya que esta región da la mayor contribución a
r2s, ya que es evidente desde el panel derecho de la fig.2. Sucede que la K-matriz de [20], que encaja
datos por encima de 0,6 GeV, no es compatible con datos de decaimientos de Ke4 [25, 26]. Mostramos en el inserto
de fig.1 la comparación de las parametrizaciones CGL y PY con los datos de Ke4 de [25, 26]. Nosotros
También mostrar en la misma figura los puntos experimentales en de refs.[20, 21, 27]. Ambos árbitros.[20, 21]
son compatibles dentro de los errores, con algún desacuerdo por encima de 1.5 GeV. Este desacuerdo no
afectan a nuestros resultados numéricos ya que por encima de 1.5 GeV no confiamos en los datos.
La K-matriz de ref.[20] es dado por,
Kij(s) = αiαj/(x1 − s) + βiβj/(x2 − s) + γij, (3.13)
donde
1 = 0,11± 0,15 x
2 = 1,19± 0,01
α1 = 2,28± 0,08 α2 = 2,02± 0,11
β1 = −1,00± 0,03 β2 = 0,47± 0,05
γ11 = 2,86± 0,15 γ12 = 1,85± 0,18 γ22 = 1,00± 0,53,
(3.14)
con unidades dadas en los poderes apropiados de GeV. Con el fin de calcular la contribución de la
cambios de fase de este K-matrix generamos muestras gaussianas de Montecarlo, teniendo en cuenta el
errores mostrados en eq.(3.14), y evaluar QH de acuerdo con eq.(3.12). El valor central de (sK)
para la K-matriz de ref.[20] es 3,05, ligeramente por debajo de η. Al generar Montecarlo gaussiano
muestras según eq.(3.14), hay casos con (sK) ≥ , alrededor del 30% de las muestras. Nota
que para estos casos también se tiene la contribución −6/s1 en eq.(3.11).
La aplicación del teorema de estado final de Watson para s > 4m2K no es sencilla ya que inelástico
los canales son relevantes. El primero importante es el canal KK̄ asociado a su vez con el
aparición de la resonancia estrecha f0(980), justo encima de su umbral. Esto implica un repentino
caída del parámetro de elasticidad η, pero de nuevo se eleva rápidamente (la resonancia f0(980) es estrecha
con una anchura de alrededor de 30 MeV) y en la región 1.12. s. 1.52 GeV2 es compatible
errores con η = 1 [20, 21]. Para η 1, el teorema del estado final Watson implicaría de nuevo que
Esta igualdad sólo tiene, en principio, el modulo π. Los
razón defendida en ref.[13] es la presencia de la región sK < s < 1.1
2 GeV2 donde la inelasticidad
puede ser grande, y entonces los argumentos de continuidad por sí solos no pueden ser aplicados para garantizar la igualdad
Para s & 1.12 GeV2. Este argumento se ha demostrado en ref.[11] ser bastante irrelevante
en el presente caso. Con el fin de mostrar esto se hace una diagonalización de la matriz S y KK̄ S.
Estos canales son los relevantes cuando η es claramente diferente de 1, entre 1 y 1.1 GeV.
Por encima de esa energía también tiene la apertura del canal y el papel creciente de multipión
estados.
Reproducimos aquí los argumentos de ref.[11], pero entregar expresiones directamente en términos de la
cambios de fase y parámetro de elasticidad, en lugar de los parámetros K-matrix como se hizo en ref.[11]. Por
la dispersión de dos canales, debido a la unitariedad, la matriz T puede ser escrita como:
(ηe2i − 1) 1
1− η2ei(K)
1− η2ei(K) 1
(ηe2i/23370/K − 1)
, (3.15)
con el cambio de fase elástico de la onda S I=0KK̄. En términos de la T -matriz de la onda S I=0 S-matriz
es administrado por,
S = I + 2iT, (3.16)
satisfaciendo SS† = S†S = I. La T -matriz también se puede escribir como
T = Q1/2
K−1 − iQ
Q1/2, (3.17)
donde la matriz K es real y simétrica a lo largo del eje real para s ≥ 4m2
con qπ(qK) el centro del impulso de masa de piones (kaons). Esto permite diagonalizar K con
una matriz ortogonal C real, y por lo tanto tanto las matrices T- y S- también se diagonalizan con
la misma matriz. Escribiendo,
cos ♥ sin ♥
- el pecado - porque - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado
, (3.18)
uno tiene
cos ♥ =
[(1− η2)/2]1/2
1− η2 cos2 sin
1− η2 cos2
]1/2,
pecado فارسى = −
sin
1 + (1− η2) cot2
1− η2 cos2 sin
1− η2 cos2
]1/2, (3.19)
con • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Por otro lado, los valores propios de la S-matriz son dados por,
(+) = S11
1 + e2i
1 + (1− η2) cot2
(3.20)
(−) = S22
1 + e−2i
1 + (1− η2) cot2
. (3.21)
La fase de valor propio (+) satisface (+(sK) = (sK). Las expresiones anteriores para la exp 2i/23370/(+) y
exp 2i/23370/(−) intercambio entre sí cuando tan فارسى cruza cero y al mismo tiempo el signo en
el lado derecho del eq.(3.19) para los cambios de pecado. Esta diagonalización permite desenredar dos
canales elásticos de dispersión. Los factores de forma escalar unidos a cada uno de estos canales, 1 y
2, satisfará el teorema estado final Watson en todo el rango de energía y luego uno tiene,
= CTQ1/2 = CTQ1/2
= q
(+) ± pecado (−)
•K = q
± cos ♥ 2ei
. (3.22)
El ± delante de 2 se debe al hecho de que 2 = 0 en sK, como sigue de su definición en el
ecuación de arriba. Desde Watson estado final teorema sólo fija la fase de 2 hasta modulo η, y
la fase no está definida en el cero, no podemos fijar el signo delante en esta etapa. Siguiente, 1 tiene un
cero en s1 cuando (sK) ≥ . Para este caso, 1 debe aparecer en la ecuación anterior, con el fin de
garantizar la continuidad de su fase atribuida, y esta es la razón por la que ♥ = (−1)((sK)).
Ahora, cuando η → 1 entonces el pecado ♥ → 0 como
(1− η)/2 y (s) es entonces la fase de valor propio (+).
Esta fase de valor propio se puede calcular con la T-matrix. Para los T-Matrices empleados
aquí, y los de los árbitros.[10, 11, 4, 13], (+)(s) sigue bastante de cerca la(s) cantidad(s) en todo el rango de energía.
Esto se muestra en la fig.2 y ya discutido en detalle en ref.[11]. De esta manera, se garantiza
que no difieran entre sí en un número entero múltiplo de π cuando η 1,
1.12. s. 1.52 GeV2.
Para el cálculo de QH en eq.(3.12) equilibraremos los 4 m.
K < s < 1,5
2 GeV2.
Denotando,
= I1 + I2 + I3,
‹› 1.12
ds, (3.23)
QH IH −
*((sK)− π). (3.24)
Ahora, eq.(3.22) también se puede utilizar para estimar el error de aproximar los valores de la(s) por los valores de la(s) gama(s)
4m2K < s < 1,5
2 GeV2 para calcular I2 e I3 como se hace en eq.(3.23). También podríamos haber usado (+)(s)
en eq.(3.23). Sin embargo, note que cuando η. 1 entonces (s) (s) (s) (s) y cuando la inelasticidad podría ser
En el análisis de errores se ha tenido muy en cuenta la diferencia sustancial entre los puntos (s) y (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s)
que sigue. Notablemente, la coherencia de nuestro enfoque también requiere que los puntos de vista estén más cerca de los puntos de vista de los puntos de vista.
a (+)(s). La razón es que la(s) ♥(s) para (sK) ≥ π está en muy buena aproximación la(s) ♥(s) para
(sK) < Esta diferencia es precisamente la requerida en orden
a tener el mismo valor para r2s, ya sea para (sK) < o (sK) ≥ a partir de eq.(3.11). Sin embargo, el
la diferencia para el valor de la letra (+)(s) entre (sK) < y (sK) ≥ es menor que . De hecho, observamos que
En el caso de los factores de forma explícitos de las refs, el valor de los factores de forma es más próximo al valor de los refs.[8, 4].
Consideremos primero el rango 1.12 < s < 1.52 GeV2 donde de experimento [20] η 1 dentro
errores. Con • = ± tan 2/1 y • • • (−) − • (+), eq.(3.22) nos permite escribir,
= ♥ cos 1eiŁ(+)(1 + cos l)
1 + i
# Pecado #
1 + â € € TM cos â €
. (3.25)
Cuando η → 1 entonces • → 0, de acuerdo con la expansión,#3
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(1- η)/2
1− 1 + 3 cos 2
8 sin2
(1- η)
(1- η)5/2
. (3.26)
Reescritura,
1 + i
# Pecado #
1 + â € € TM cos â €
= exp
# Pecado #
1 + â € € TM cos â €
+O(+2), (3.27)
que a partir de eqs.(3.25) y (3.27) implica un cambio en el valor de la letra (+) debido a los efectos de la inelasticidad,
*(+) → *(+) +
# Pecado #
1 + â € € TM cos â €
. (3.28)
#3La relación 2/1, presente en, no se espera que sea grande ya que las parejas f0(1300) en su mayoría a 4η y
y el f0(1500) lo hace sobre todo a [28].
Utilizando η = 0,8 en el rango 1.12. s. 1.52 GeV, η 1 del análisis de energía dependiente de
ref.[20] dada por la matriz K de eq.(3.13), uno termina con 0.3. Teniendo en cuenta que (+)
es mayor que & 3η/2 para (sK) ≥ η (en este caso (+) ), y alrededor de 3η/4 para (sK) < η,
Véase fig.2, uno termina con correcciones relativas a un 6% en el caso anterior y un 13% en el caso anterior.
Últimamente. Aunque la K-matriz de ref.[20], eq.(3.13), se da hasta 1.9 GeV, uno debe ser consciente
que tomar sólo los dos canales y KK̄ en toda la gama de energía es una simplificación excesiva,
especialmente por encima de 1.2 GeV. Debido a esto, finalmente duplicamos la estimación anterior. Por lo tanto I3 es
calculado con un error relativo del 12% para (sK) ≥ η y del 25% para (sK) < η.
En la región estrecha entre sK < s < 1,1
2 GeV2, η puede ser bastante diferente de 1, debido a
el f0(980) que se une muy fuertemente al canal abierto de KK̄. Sin embargo, desde el
las mediciones de • → KK̄ [29], donde 1 − η2 se mide directamente, #4 uno tiene una mejor manera de
determinar η que a partir de la dispersión [20, 21]. Es el resultado de los experimentos anteriores, como se muestra
también mediante cálculos explícitos [30, 31, 32], que η no es tan pequeño como se indica en los experimentos [20],
y uno tiene η 0.6 − 0.7 por su valor mínimo. Empleando η = 0,6 en eq.(3.28) entonces 0.5.
Tomando (+) alrededor de η/2 cuando (sK) < η esto implica un error relativo del 30%. Para (sK) ≥ η uno
tiene en su lugar (+) & η, y un 15% de error estimado. En cuanto a la relación del modulo de forma
factores que entran en â € TM esperamos que sea. 1 (véase el apéndice A). Por lo tanto, nuestro error en la evaluación
de I2 se estima en un 30% y un 15% para los casos (sK) < η y (sK) ≥ η, respectivamente.
Como resultado de la discusión que siguió a la eq.(3.24), consideramos que las estimaciones de error hechas
para I2 e I3 en el caso (sK) < η son demasiado conservadores y que los errores relativos dados para
(sK) > η son más realistas. Sin embargo, ya que los errores absolutos que se obtiene para I2 y
I3 son los mismos en ambos casos (porque I2 e I3 para (sK) <
los de (sK) ≥ η) mantenemos los errores como se indica arriba. A los errores anteriores para I2 e I3 debidos
a la inelasticidad, también añadimos en cuadratura el ruido en el cálculo de QH debido al error en
a partir de las incertidumbres en los parámetros de los eqs K-matrix.(3.13), (3.14), y los
parametrizaciones CGL y PY.
Finalmente empleamos para s > 2,25 GeV2 el conocimiento de la fase asintótica del escalar pion
factor de forma para evaluar el QA en eq.(3.12). La(s) función(es) está(n) determinada(s) de modo que coincida
con el comportamiento asintótico de (t) como −1/t de QCD. La representación del Omnès de la
factor de forma escalar, eqs.(2.2) y (2.8), tiende a t-q/ y t-q/1 para t → فارسى, respectivamente. Aquí, q
es el valor asintótico de la(s) fase(s) cuando s → فارسى. Por lo tanto, para (sK) <
se requiere entonces tender a η mientras que para (sK) ≥ η el valor asintótico debe ser 2η. El camino
Se prevé que el valor límite sea un tanto ambiguo [11, 12],
As(s) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es)
log(s)(s)
. (3.29)
En esta ecuación, 2dm = 24/(33 − 2nf ) 1, 2 es el parámetro escala QCD y n = 1, 2 para
(4m)
K) < η, ≥ η, respectivamente. El caso n = 2 no fue discutido en refs.[10, 11, 12, 13, 14]
el factor de forma que figura en eq.(1.1). También existe una controversia entre [14] y [12] con respecto a
el signo ± en eq.(3.29). Si las contribuciones de giro dominantes dominan [11, 12] entonces el valor límite es
alcanzado desde arriba y uno tiene el signo más, mientras que si twist tres contribuciones son el dominante
los [14] el signo menos tiene que ser considerado [12]. En el panel izquierdo de la fig.2 se muestra con el ancho
#4Neglecting multipion states.
I I II II
(sK) ≥
I1 0,435± 0,013 0,435± 0,013 0,483± 0,013 0,483± 0,013
I2 0,063± 0,010 0,010± 0,006 0,063± 0,010 0,010± 0,006
I3 0,143± 0,017 0,053± 0,013 0,143± 0,017 0,053± 0,013
QH 0,403± 0,024 0,508± 0,019 0,452± 0,024 0,554± 0,019
QA 0,21± 0,03 0,10± 0,03 0,21± 0,03 0,10± 0,03
0,61 ± 0,04 0,61 ± 0,04 0,66 ± 0,04 0,66 ± 0,04
Cuadro 1: Distintas contribuciones a los recursos propios, tal como se definen en los eqs.(3.12) y (3.23). Todas las unidades son fm2.
En el valor de los errores debidos a I1, I2, I3 y QA se agregan en cuadratura.
bandas de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los
2 de eq.(3.29), considerando ambos signos, para n = 1
((sK) < η) y 2 ((sK) ≥ η). Vemos en la figura que arriba 1,4−1,5 GeV (1,96−2,25 GeV2)
ambos, el (s) y el(s) fase(s) coinciden y es por eso que tomamos sH = 2,25 GeV
2 in eq.(3.11), de manera similar
como se hace en refs.[10, 11]. De esta manera, también evitamos entrar en detalles hadronic en una región donde
η < 1 con el inicio de la resonancia f0(1500). La incertidumbre actual si el signo + o −
se mantiene en eq.(3.29) se toma como una fuente de error en la evaluación de QA. La otra fuente de incertidumbre
proviene del valor tomado para 2, 0.1 < 2 < 0,35 GeV2, como se sugiere en ref.[10]. De la fig.2 es
claro que nuestra estimación de errores para Łas(s) es muy conservadora y debe tener en cuenta las incertidumbres
debido a la aparición de la inelasticidad para las energías superiores a 1,4 − 1,5 GeV y a la aparición de la
Resonancia f0(1500). En el panel derecho de la fig.2 mostramos el integrand para r2s, eq.(3.12), para
parametrización I (línea de dado) y II (línea sólida). Nótese como la gran incertidumbre en
muy reducida en el integrand como sucede en el dominio de energía superior.
En la tabla 1 mostramos los valores de I1, I2, I3, QH, QA y r2s para las parametrizaciones I y
II y para los dos casos (sK) ≥ η y (sK) < η. Esta tabla muestra la desaparición de la
desacuerdo entre los asuntos (sK) ≥ η y (sK) <
de eq.(3.13), una vez que el cero de (t) en s1 < sK se tenga en cuenta para el primer caso. Esto
el desacuerdo fue la razón de la controversia entre Ynduráin y ref.[13] con respecto al valor
de 2 años. El hecho de que la parametrización II da lugar a un mayor valor de r2s que I es porque
PY sigue los datos superiores por debajo de 0.9 GeV, mientras que CGL sigue los inferiores, como se muestra en la figura 1.
Los diferentes errores en la tabla 1 se añaden en cuadratura. El valor final para r2s es la media
entre los de las parametrizaciones I y II y el error se toma de tal manera que se extiende el intervalo
de los valores del cuadro 1 a nivel de dos sigmas. Uno termina con:
r2s = 0,63± 0,05 fm
2. (3.30)
Las fuentes más grandes de error en r2s son las incertidumbres en el experimental y en el
fase asintótica. Esto se debe al hecho de que los primeros se mejoran debido a su peso
en el integrand, ver fig.2, y el último debido a su gran tamaño.
Nuestro número de arriba y el de los refs.[1, 4], r2s = 0,61± 0,04 fm2, son entonces compatibles. En el
otra mano, también hemos evaluado directamente del factor de forma escalar obtenido con el
enfoque dinámico de ref.[8] de la χPT unitaria y obtenemos r2s = 0,64±0,06 fm2, en perfecto
acuerdo con eq.(3.30). Observe que el factor de forma escalar de ref.[8] tiene (sK) >
ha comprobado que tiene un cero en s1, como debería. Esto se muestra en el fig.3 por la línea punteada-doble.
El valor de los refs es 0.75±0.07 fm2.[10, 11] es mucho más grande que la nuestra porque la posibilidad
de un cero en s1 no se tuvo en cuenta allí y se consideró otra solución. Esta solución,
sin embargo, tiene un comportamiento inestable bajo la transición (sK) = 0+ a (sK) = 0+ y
no se puede conectar continuamente con el de (sK) < . Nuestra solución para (t) desde
El método de Ynduráin no tiene este comportamiento inestable y es continuo bajo cambios en
los valores de los parámetros de la K-matrix, eqs.(3.13) y 3.14). Por eso, a partir de nuestros resultados,
También se deduce que la interesante discusión de la ref.[11], en lo que respecta a si (sK) < η o ≥ η,
ya no es concluyente para explicar el desacuerdo entre los valores de refs.[10, 11] y
ref.[1] para las palabras «r2s».
También podemos trabajar a partir de nuestra determinación de r2s, eq.(3.30), valores para el O(p4) SU(2)
χPT constante de baja energía l̄4. Tomamos la expresión de dos bucles en χPT para r2s [1],
r2s =
8η2f 2η
l̄4 −
+ r
, (3.31)
donde fη = 92,4 MeV es la constante decaimiento del pion,
2 y Mη es la masa de piones. En primer lugar,
en el cálculo de nivel de un bucle r = 0 y luego se obtiene,
l̄4 = 4,7± 0,3. (3.32)
Ahora pasamos a la determinación de l̄4 basado en la relación completa de dos bucles entre r2s y l̄4.
La expresión para el término "r" se puede encontrar en el Apéndice C de ref.[1]. Se da en términos de un O(p6)
χPT contratérmino, rœS2, y cuatro O(p4) unos. Tomando los valores de todos estos parámetros, pero para l̄4,
de ref.[1] y resolver para l̄4, uno llega a
l̄4 = 4,5± 0,3. (3.33)
Este número está de acuerdo con l̄4 = 4,4± 0,2 [1].
Ref.[12] señala también que un bucle χPT se ajusta a las longitudes de dispersión de las ondas S, P y D y
rangos efectivos dan lugar a valores mucho mayores para l̄2 y l̄4 que los de ref.[1]. Para más detalles
Nos referimos a [12].
4 Conclusiones
En este trabajo hemos abordado la cuestión de las discrepancias entre los valores de la cuadrática
radio escalar pion de Leutwyler et al. [4, 13], r2s = 0,61 ± 0,04 fm2, y los papeles de Ynduráin
[10, 11, 12], «r2» = 0,75±0,07 fm2. Una de las razones de interés para tener una determinación precisa
es su contribución de un 10% a a00 y a20, calculado con una precisión del 2% en ref.[1]. Los
el valor tomado para r2s es también importante para determinar el acoplamiento de O(p4) χPT l̄4.
De nuestro estudio se deduce que el método de Ynduráin para calcular el valor de los valores [10, 11], basado en un
Omnès representación del factor de forma escalar pion, y la derivada de la resolución de los dos (tres)
Las ecuaciones del canal acoplado Muskhelishvili-Omnès [4, 1, 6] son compatibles. Se demuestra que el
razón de la discrepancia antes mencionada es la presencia de un cero en (t) para los S-onda I=0
T-Matrices con (sK) ≥ y elásticas por debajo del umbral de KK̄, con sK = 4m2K. Este cero
fue pasado por alto en refs.[10, 11], sin embargo, si se impone continuidad en la solución obtenida bajo
pequeños cambios de los cambios de fase empleados, es necesariamente requerido por el enfoque seguido
Ahí. Una vez que este cero se tiene en cuenta el mismo valor para r2s se obtiene independientemente
de si (sK) ≥ η o (sK) < η. Nuestro resultado final es r2s = 0.63 ± 0.05 fm2. El error
estimado tiene en cuenta la incertidumbre experimental en los valores de (s), efectos de inelasticidad
y presente ignorancia en la forma en que la fase del factor de forma se aproxima a su valor asintótico η,
como se predijo en el QCD. Utilizando nuestro valor para r2s calculamos l̄4 = 4.5 ± 0.3. Los valores
r2s = 0,61± 0,04 fm2 y l̄4 = 4,5± 0,3 de ref.[1] están entonces en buen acuerdo con el nuestro.
Agradecimientos
Agradecemos a Miguel Albaladejo por proporcionarnos los resultados numéricos de algunas matrices T inéditas
y Carlos Schat por su colaboración en una investigación paralela. También agradecemos a F.J. Ynduráin por
y B. Anathanarayan, I. Caprini, G. Colangelo, J. Gasser y H. Leutwyler
una lectura crítica de una versión anterior del manuscrito. Este trabajo fue apoyado en parte por el
MEC (España) y FEDER (CE) Subvenciones FPA2004-03470 y Fis2006-03438, Fundación Séneca
Subvención (Murcia) Ref. 02975/PI/05, red RTN de la Comisión Europea (CE)
en virtud del contrato No. HPRN-CT2002-00311 y el contrato no 3 del proyecto HadronPhysics I3 (EC)
RII3-CT-2004-506078.
Apéndices
Una dinámica de canal acoplado
Tomamos canales acoplados y KK̄ y denotamos por F1 y F2 su respectiva forma escalar I=0
factores. La unidad requiere,
ImFi =
(A.1) (t- s′j)t*ji, (A.1)
donde tij es la T-matrix de onda S I=0, s′i es el cuadrado de energía umbral del canal i y
.i = qi/8η
s, con qi su centro de masa tres impulso.
Una solución general a las ecuaciones anteriores es dada por,
F = T G, F =
, G =
, (A.2)
donde las funciones Gi(t) no tienen corte a mano derecha. Esta ecuación es interesante como nos dice que
si la dinámica pion domina, G1 >> G2, entonces F1 G1t11 y la fase del factor de la forma (s) sigue
(s). Como resultado, al igual que t11, tiene un cero en s1 por debajo del umbral de KK̄ para (sK) ≥ , como se muestra
en la sección 3. Por otro lado, si la dinámica kaon domina, G2 >> G1, entonces F1 G2t12 y
La(s) fase(s) sigue(n) la fase de t12, que supera claramente el umbral de KK̄. Esta es la razón por la que
el factor de forma escalar extraño pion no hay cero en s1. sK para (sK) ≥
máximo como el mostrado en la figura 3 por la línea punteada.
Al igual que en la sección 3, ahora procedemos a la diagnostificación por encima del umbral de KK̄ de la renormal-
T-matriz T ′,
T ′ =.1/2T.1/2,.......................................................................................................
, T = CTT ′C =
tØ11 0
0 tØ22
t11 = pecado (+)e
(+), t22 = pecado (−)e
(−).................................................................................................................................................................................... (A.3)
Los correspondientes factores de forma diagonal F ′1 y F
2, recogido en el vector F
′, son
F ′ = CT1/2F = TCT1/2G =
cos...................................................................................................................
1 G1 − pecado
tœ11{
sin..........................................................................................................................................................................
1 G1 + cos
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (A.4)
Las expresiones anteriores permiten obtener F1 directamente en términos de las fases eigen y con limpio
separación entre pion, G1, y dinámica kaon, G2. De eq.(3.22) se deduce que,
cos2 1G1 − cos
Sin2 11 G1 + cos
tû22.
(A.5)
Para (sK) ≥ los valores típicos, algo por encima del umbral de KK̄, son e2i/23370/(+) +i, e2i/23370/(−) −i
y el pecado.............................................................................................................................................................................................................................................................. Para el dominio de G1 uno tiene F1/G1 11 (i + cos 2o)/2 mientras que para el dominio
de G2 el resultado es F1/G2 − pecado
1 < 0. Los factores G1,2 no introducen
cualquier cambio en el (los) valor(es) con respecto a su valor antes de la apertura del umbral KK̄ ya que
son funciones lisas en s.#5 En ambos casos la fase (s) es mayor que
tendencia superior de las fases se muestra en la figura 2 (note que en este caso t11 está en el primer cuadrante, aunque
> η). Ahora, haciendo el mismo ejercicio para (sK) < , uno tiene los valores típicos e
2i/23370/(+) −i,
e2i/23370/(−) +i y peca فارسى < 0. Para el dominio pion entonces F1/G1 11 (i− cos 2♥)/2 y para el kaon
un F1/G2 + pecado
1 < 0. Por lo tanto, en el primer caso la fase es & η/2, y sigue
la tendencia inferior de las fases del fig.2, mientras que en este último es & η y sigue de nuevo la tendencia superior (este
es el caso del extraño factor de forma escalar).
La demostración en la sección 3 de que ♥(sK) es discontinuo en el límite (sK) → tomando
s1 → s+K, no se puede aplicar en el caso de dominio kaon (por ejemplo. pion extraño factor de forma escalar).
De eq.(A.5) se deduce que,
F1(t) − cos ♥ sin 1/22
t11 − t22
. (A.6)
El punto es que tû22 para t ≥ s1 (s1 → s+K) es de tamaño comparable con el de tû11 (ambos tienden a cero)
y la fase no sigue a la de (+). Este no es el caso para el dominio pion porque para s1 → s+K
entonces sin2 فارسى → 0, F1(t) cos2 ♥ 11 G1t贸11, eq.(A.5), y el(s) sigue(s) a(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s).
De eq.(A.4) también podemos escribir 2/2 t Desde
típicamente t?11/t?22 1, como se muestra arriba para las energías algo por encima del umbral de KK?, entonces
2/1 tan < 1. Esta es la razón por la que consideramos que equipararlo a 1 en la sección 3 es un conservador
estimación.
#5Debido a los ceros de Adler, esto no es necesariamente un caso cercano al umbral.
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http://arxiv.org/abs/hep-ex/0610071
Introducción
Factor de forma escalar
Resultados
Conclusiones
Dinámica del canal acoplado
| El radio escalar de pion cuadrático, \la r^2\raÃ3pi_s, juega un papel importante
para las determinaciones precisas presentes de dispersión \pi\pi. Recientemente, Yndur\ain,
utilizando una representación Omnes del isóspin nulo (I) no extraño pion escalar
factor de forma, obtiene \la r^2\ra\pi_s=0.75\pm 0.07 fm^2. Este valor es mayor
que el calculado resolviendo el correspondiente Muskhelishvili-Omnes
ecuaciones, \la r^2\raÃ3pi_s=0.61\pm 0.04 fm^2. Una gran discrepancia entre ambos
valores, dada la precisión, a continuación, resultados. Reanalizamos el método de Yndur\'ain y
demostrar que al imponer la continuidad del factor de forma escalar pion resultante
pequeños cambios en los cambios de fase de entrada \pi\pi, un cero en el factor de forma para
algunas S-ondas I=0 T-Matrices se requiere entonces. Una vez que esto es contabilizado, el
El valor resultante es \la r^2\ra_sÃ3p =0.65\pm 0.05 fm^2. La principal fuente de error
en nuestra determinación están presentes las incertidumbres experimentales en la onda S de baja energía
I=0 \pi\pi cambios de fase. Otra contribución importante a nuestro error es el no
comportamiento asintótico de la fase del factor de forma escalar desde
QCD.
| Introducción
El factor de forma escalar del pion, (t), corresponde al elemento matricial
(t) =
d4x e−i(q
q)x(q′)
muū(x)u(x) +mdd̄(x)d(x)
(q), t = (q′ − q)2. (1.1)
Realizar una expansión de Taylor alrededor de t = 0,
(t) = (0)
+O(t2)
, (1.2)
donde r2s es el radio escalar cuadrático del pion.
La cantidad aporta alrededor del 10% [1] a los valores de las longitudes de dispersión de la onda S
a00 y a
0 según lo determinado en ref.[1], empleando ecuaciones de Roy y χPT a dos bucles. Si uno
tiene en cuenta que esta referencia da una precisión del 2,2% en su cálculo de la dispersión
longitudes, un 10% de la contribución de r2s es grande. Relacionado con eso, r2s es también importante
en SU(2)×SU(2) χPT ya que da la constante de baja energía l̄4 que controla la salida de F
a partir de su valor en el límite quiral [2, 3] en la corrección de orden principal.
Sobre la base de un bucle χPT, Gasser y Leutwyler [2] obtenidos r2s = 0,55 ± 0,15 fm2. Esto
el cálculo fue mejorado más tarde por los mismos autores junto con Donoghue [4], que resolvió
las correspondientes ecuaciones Muskhelishvili-Omnès con los canales acoplados de y KK̄. Los
actualización de este cálculo, realizada en ref.[1], da r2s = 0,61±0,04 fm2, donde los nuevos resultados
en la onda S I = 0 cambios de fase desde el análisis de la ecuación de Roy de ref.[5] están incluidos. Moussallam
[6] emplea el mismo enfoque y obtiene valores de acuerdo con el resultado anterior.
Uno debe notar que las soluciones de las ecuaciones Muskhelishvili-Omnès para la forma escalar
El factor se basa en elementos T-matrix no medidos o en supuestos acerca de cuáles son los canales
Eso importa. Teniendo en cuenta la importancia de los r2s, y los posibles errores sistemáticos en los análisis
sobre la base de las ecuaciones de Muskhelishvili-Omnès, otros enfoques independientes son muy bienvenidos. In
este respeto citamos las obras [7, 8, 9], y las de Ynduráin [10, 11, 12]. Estos últimos trabajos han
desafió el valor anterior para r2s, modificándolo a la mayor r2s = 0,75 ± 0,07 fm2. Desde
ref.[1] las ecuaciones,
AA00 = +0,027+r2, a
0 = −0,004°r2, (1.3)
dar el cambio de las longitudes de dispersión bajo una variación de r2s definido por r2s = 0.61(1 +
Fm
2. Para la diferencia entre los valores centrales de r2s dados arriba de refs.[1, 10], uno
tiene r2 = +0,23. Esto corresponde a la letra a)
0 = +0,006 y a
0 = −0.001, mientras que los errores citados
son a00 = 0,220 ± 0,005 y a20 = −0,0444 ± 0,0010. A continuación, se aduce sobre el cambio de la central
valores para las longitudes de dispersión previstas en el nivel de un sigma.
El valor tomado para r2s también es importante para determinar el acoplamiento O(p4) χPT l̄4. Los
valor de ref.[1] es l̄4 = 4.4±0.2 mientras que el de ref.[10] es l̄4 = 5,4±0,5. Ambos valores son incompatibles
dentro de los errores.
Los periódicos [10, 11, 12] han sido cuestionados en refs.[13, 14]. El valor de la Kη cuadrática
radio escalar, ár2Ã3Kls, obtenido por Ynduráin en ref.[10], r2Kηs = 0,31± 0,06 fm2, no es exacto,
porque se basa en viejos experimentos y en una mala parametrización de la onda S de baja energía I=1/2K
cambios de fase al asumir el dominio de la resonancia como un poste estándar Breit-Wigner [15]. Piel...
termórea, r2Kηs fue fijado recientemente por experimentos de alta estadística en un intervalo de acuerdo con
la predicción aguda de [15], basada en las relaciones de dispersión (tres canales Muskhelishvili-Omnès
ecuaciones de la matriz T de ref.[16]) y de dos bucles χPT [17]. De los experimentos recientes
[18, 19], uno tiene para los kaons cargados [18] r2Ks = 0,235 ± 0,014 ± 0,007 fm2, y para el
Los neutros [19] r2KLηs = 0,165 ± 0,016 fm2. La predicción de [15], en un límite de isospin, es
r2Kl = 0,192± 0,012 fm2, yaciendo justo en el medio de las determinaciones experimentales. Otro
problema es la determinación más sana de Ynduráin del radio escalar piónico, cuya (in)corrección es
aún no se ha establecido.
En este trabajo nos concentramos en el enfoque de Ynduráin [10, 11, 12] para evaluar el cuadrático
radio escalar del pion basado en una representación de Omnés de la forma escalar I=0 no extraña del pion
factor. Nuestra principal conclusión será que este enfoque [10] y la solución de la Muskhelishvili-
Ecuaciones de Omnès [4], con y KK̄ como canales acoplados, están de acuerdo entre sí si uno
correctamente tiene en cuenta, para algunas T-Matrices, la presencia de un cero en la forma escalar pion
factor en energías ligeramente por debajo del umbral de KK. Precisamente estas T-Matrices son las utilizadas en
[10] y favoreció en [11]. Una vez considerado esto, concluimos que r2s = 0,63± 0,05 fm2.
El contenido del documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 discutimos el representante de Omnès.
resensación de (t) y derivar la expresión para calcular r2s. Este cálculo se realiza
en la sección 3, donde consideramos diferentes parametrizaciones para datos experimentales y asintóticos
fases para el factor de forma escalar. Las conclusiones figuran en la última sección.
2 Factor de forma escalar
El factor de forma escalar pion (t), eq.(1.1), es una función analítica de t con un corte de la mano derecha,
debido a la unitariedad, para t ≥ 4m2η. Realizar una relación de dispersión de su logaritmo, con el posible
ceros de (t) eliminados, los resultados de la representación de Omnès,
(t) = P (t) exp
s− t
. (2.1)
Aquí, P (t) es un polinomio compuesto por los ceros de (t), con P (0) = (0). En el anterior
ecuation, ♥(s) es la fase de (t)/P (t), tomada para ser continua y de tal manera que ♥(4m)
η) = 0. In
ref.[10] el factor de forma escalar se supone que está libre de ceros y por lo tanto P (t) es sólo la constante
(0) (el factor exponencial es 1 para t = 0). Por lo tanto,
(t) = (0) exp
s− t
. (2.2)
De donde se deduce que,
r2s =
ds. 2.3)
Una de las características del factor de forma escalar pion de refs.[4, 6, 8], como se explica en ref.[13], es el
presencia de una fuerte caída en las energías alrededor del umbral de KK. Esta característica también es compartida por el
onda S fuerte I = 0 â € TM amptitud, tâ € TM a. Esto es así porque tÃ3r está en muy buena aproximaciÃ3n puramente
elástico por debajo del umbral de KK̄ y por lo tanto, descuidando por completo la inelasticidad en la discusión que
sigue, es proporcional al pecado e
i, con el cambio de fase de la onda S I=0. Es un experimento.
hecho de que está muy cerca de alrededor del umbral de KK̄, como se muestra en el fig.1. Por lo tanto, si =
sucede antes de la apertura de este canal la amplitud fuerte tiene un cero en esa energía. Activar
la otra mano, si = ocurre después del umbral de KK̄, porque la inelasticidad es entonces sustancial,
Véase eq.(2.4) abajo, no hay un cero, sino un descenso pronunciado en t. Esta inmersión puede ser arbitraria.
cerca de cero si antes del umbral KK̄ se acerca más y más, sin llegar a él.
400 600 800 1000 1200 1400 1600
(MeV)
Eq. (3.13), [20]
PY [24]
CGL [1]
Sol. A de [27]
Sol. B de [27]
Sol. C de [27]
Sol. D de [27]
Sol. E de [27]
Kaminski et al. [21]
BNL-E865 Coll. [25]
NA48/2 Coll. [26]
300 350 400 450
BL-E865 Coll. [25]
NA48/2 Coll. [26]
PY [24]
CGL [1]
Figura 1: Onda S I = 0-desplazamiento de fase, (s). Los datos experimentales son de refs.[21, 25, 26, 27].
Debido al teorema de estado final Watson la fase (s) en eq.(2.1) es dada por (s) por debajo de la
Umbral de KK̄, descuidando la inelasticidad debido a los estados 4η o 6η como se indica en los experimentos [20]. Los
la situación por encima del umbral de KKestá más implicada. Recordemos que
= (η e
2i − 1)/2i, (2.4)
con 0 ≤ η ≤ 1 y la inelasticidad está dada por 1− η2, con η el coeficiente de elasticidad. Denotamos
por la(s) fase(s) de la(s) fase(s), requerida(s) para ser continua(s) (por debajo de 4 m)
K es dada por (s)). Por continuidad,
lo suficientemente cerca del umbral de KK̄ y por encima de él, η → 1 y luego estamos en la misma situación que en
la caja elástica. Como resultado, debido al teorema del estado final de Watson y la continuidad, la fase
La(s) fecha(s) debe(n) ser(s) dada(s) por(s). Para (sK) < , sK = 4m
K, (s) no sigue el aumento
tendencia con la energía de (s) pero cae como resultado de eq.(2.4), véase la figura 2 para (sK) < Esto es fácil.
visto al escribir explícitamente las partes reales e imaginarias de tÃ3 en eq.(2.4),
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
η sin 2 +
(1− η cos 2). (2.5)
400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
(MeV)
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
(MeV)
( (sK)< 180
( (sK)> 180
Figura 2: Panel izquierdo: Fase(s) fuerte(s), fase(s) de valor propio(s) y fase(s) as(s) sinptótica(s). Bien.
panel: Integrand de r2s en eq.(3.12) para la parametrización I (línea de parametrización) y II (línea sólida). Para más información
detalles ver el texto. Nótese que la incertidumbre debida a Łas(s) se reduce mucho en el integrand.
La parte imaginaria es siempre positiva (η < 1 por encima del umbral de KK̄ y 1.1 GeV [20]) mientras que el
parte real es negativo para < π, pero en un intervalo de sólo unos pocos MeV la parte real se vuelve positiva
tan pronto como > , fig.1. Como resultado, el(los) valor(s) pasa(s) rápidamente de valores inferiores pero próximos a η a
el intervalo [0, η/2]. Este movimiento rápido de (s) da lugar a un mínimo pronunciado de (t) en
esta energía, como se indica en ref.[13] y se muestra en la figura 3. La caída en los se convierte en más y más
dramático como (sK) → (con el superíndice +(−) indicando que el límite se aproxima desde
los valores por encima (por debajo), respectivamente); y en este límite, el valor de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores superiores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores Esto es
fácil de entender a partir de eq.(2.5). Llamemos a s1 el punto en el que (s1) = con s1 > sK. Cerrar
y por encima del s1, el (los) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s).
de casi η en el umbral de KK̄ a valores por debajo de η/2 justo después de s1. A continuación, en el límite s1 → s+K
uno tiene (s−K) = (s)
K) = a la izquierda, mientras que a la derecha (s)
K) = (s)
K) < η/2. Como resultado, el(los) número(s) de la(s) persona(s)
es discontinuo en s = sK. Insistimos en que esta discontinuidad de Ł(s) en sK cuando (sK) →
se aplica rigurosamente a la(sK) también puesto que η(sK) = 1. Esta discontinuidad en s = sK implica también que
el integrand en la representación de Omnès para (t) desarrolla una singularidad logarítmica como,
(s-K)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s)-(s-(s)-(s)-(s)-(s)-
, (2.6)
con → 0+. Cuando se expone este resultado uno tiene un cero para (sK) como (l/sK) v, = (l(s−K)−
*(s+K))/η > 0 y → 0+. Este cero es una consecuencia necesaria al evolucionar continuamente desde
(sK) < η a (sK) > η.
#1 Esto a su vez implica rigurosamente que en la representación Omnès de
(t), eq.(2.1), P (t) debe ser un polinomio de primer grado para aquellos casos con (sK) ≥ γ,#2
P (t) = (0)
s1 − t
, (2.7)
con s1 la posición del cero. Observe que el grado del polinomio P (t) es discreto y por lo tanto
por continuidad no puede cambiar a menos que se desarrolle una singularidad. Este es el caso cuando (sK) =
cambiando el grado de 0 a 1. Por lo tanto, si (sK) ≥ (2.2) y
(2.3) uno debe entonces considerar,
(t) = (0)
s1 − t
s− t
, (2.8)
r2s = −
ds. (2.9)
En el caso de las personas a las que (sK) > π entonces ♥(s) sigue(s) (s) justo después del umbral de KK̄ y allí
no es una gota, como se subraya en ref.[11], véase la figura 2.
Resumiendo, hemos demostrado que (t) tiene un cero en s1 cuando (sK) ≥
la suposición de que la(s) empresa(s) sigue(s) a la(s) cantidad(s) superior al umbral de KK̄, siguiendo la línea de ref.[11], y por
imponer la continuidad en (t) bajo pequeños cambios en (sK). Como resultado, eqs.(2.8) y (2.9)
debe utilizarse en este último caso, en lugar de eqs.(2.2) y (2.3), válidos para (sK) < . Esta solución
fue pasado por alto en refs.[10, 11, 12]. En el apéndice A se explica por qué el debate anterior sobre la
No se puede aplicar cero de (t) para (sK) ≥ η en s1 a todos los factores de forma escalar pion, en particular
a la extraña.
Si eq.(2.2) se usaron para aquellos con (sK) ≥ π entonces un máximo fuerte de (t) sería
se obtiene alrededor del umbral de KK̄, en lugar del cero antes mencionado o el mínimo de
refs.[4, 6], como se muestra en la figura 3 por la línea punteada. Esto también se muestra en el fig.10 de ref.[22]
o fig.2 de [13]. Esta es la situación para el (t) de los refs.[10, 11], y es la razón por la que
obtenido allí es mucho más grande que el de los refs.[4, 1, 6]. Es decir, Ynduráin usa eqs.2.2), 2.3) para
(sK) ≥ , en lugar de eqs.(2.8), (2.9) (línea sólida en la figura 3). El papel único e importante desempeñado
por (sK) (para el elástico t por debajo del umbral de KK̄) se reconoce perfectamente en ref.[11]. Sin embargo, en
esta referencia la sorprendente conclusión de que (t) tiene dos comportamientos radicalmente diferentes bajo
se mantuvieron pequeñas variaciones de tÃ3r. Estas variaciones son suficientes para pasar de (sK) <
(sK) ≥ [10], mientras que la matriz T− o S− son totalmente continuas. Debido a esta inestabilidad de la
solución de refs.[10, 11] bajo pequeños cambios de (s), consideramos el nuestro, que produce continuo
(t), a ser ciertamente preferido. También destacamos que nuestras soluciones, ya sea para (sK) ≥ η y
(sK) < η, son los que están de acuerdo con los obtenidos mediante la resolución de la Muskhelishvili-Omnès
ecuaciones [4, 1, 6] y χPT unitario [8].
#1Se puede mostrar desde eq.(2.5) que • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
) = η. Aquí estamos asumiendo η = 1 para s ≤ sK, que es un
muy buena aproximación como indica el experimento [20, 21].
#2Nos estamos centrando en la región físicamente relevante de valores permitidos experimentales para (sK), que pueden ser más grandes
o más pequeño que η pero cercano.
0 200 400 600 800 1000 1200
(MeV)
(sK)
(sK), P(t)=(0)(s1-t)/s1
(sK), P(t)=(0)
ref. [8] ((sK))
Sustitución de PSfrag
Figura 3: (t)/(0) de eq.(2.2) con (sK) <
La línea sólida corresponde a usar eq.(2.8) para este último caso. Para esta figura hemos utilizado la parametrización
II (definido en la sección 3) con α1 = 2,28 (línea de dado) y 2.20 (líneas de punteado y sólida). Los
línea punteada-doble-punto es el factor de forma escalar de ref.[8] que tiene (sK) > .
Mostremos ahora cómo fijar s1 en términos del conocimiento de (s) con (sK) ≥ . Para esto
propósito vamos a realizar una relación de dispersión de (t) con dos sustracciones,
(t) = (0) +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Im(s)
s2(s− t)
ds, (2.10)
De QCD asintótico [23] se espera que el factor de forma escalar desaparezca en el infinito [10, 12],
entonces la integral de dispersión en eq.(2.10) debe converger bastante rápido. Eq.(2.10) es útil porque
nos dice que el único punto alrededor de 1 GeV donde puede haber un cero en (t) está en la energía
s1 para el cual la parte imaginaria de (t) desaparece. De lo contrario, la integral en el lado derecho
de eq.(2.10) recoge una parte imaginaria y no hay manera de cancelarla como (0), r2s y t son
Todo real. Puesto que Im(t) = (t) sin (t) para t ≤ sK, ciertamente desaparece en el punto s1 donde
(s1) = . Como sólo hay un cero en tales energías, esto determina s1 exactamente en términos de la
parametrización dada para (s).
Uno podría argumentar en contra del argumento que se acaba de dar para determinar s1 que esta energía podría ser
complejo. Sin embargo, esto implicaría dos ceros en s1 y s
1, y entonces el grado de P (t) sería
ser dos en vez de uno. Observe que el grado del polinomio P (t) es discreto y, por lo tanto, por
suavidad en los parámetros continuos de la T-matriz, su valor debe permanecer en 1 para algunos abiertos
dominio en los parámetros con (sK) > hasta que se desarrolle una discontinuidad. Físicamente, la presencia
de dos ceros requerirían a su vez que el (los) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
−1/t, como requiere el QCD asintótico [23, 10]. Este valor para la fase asintótica parece ser
más bien poco realista, ya que el (los) valor(es) sólo alcanza los valores de energía ya bastante elevados, como se muestra en el gráfico 2.
3 Resultados
Nuestro resultado principal de la sección anterior es la regla de suma para determinar r2s,
r2s = −
(((sK)− η) +
ds, (3.11)
en los que (x) = 0 para x < 0 y 1 para x ≥ 0. Nos dividimos en dos partes:
r2s = QH + QA,
QH = −
(((sK)− η) +
, (3.12)
con sH = 2,25 GeV
2. A continuación se dan las razones para fijar sH a este valor.
La cuestión principal en la aplicación del eq.(3.11) es para determinar el(s) en el integrand. Debajo de la
Umbral de KK̄ y descuidando la inelasticidad, uno tiene que فارسى(s) = (s), 4m
η ≤ s ≤ 4m2K. Esto es lo siguiente:
debido al teorema del estado final de Watson, la continuidad y la igualdad
η) = 0.
Para aplicaciones prácticas vamos a considerar los cambios de fase de la onda S I=0
K−matrix parametrización de ref.[20] (a partir de su análisis energético dependiente de los datos de 0,6 GeV
hasta 1.9 GeV) y las parametrizaciones de ref.[1] (CGL) y ref.[24] (PY). El resultado (s)
para todas estas parametrizaciones se muestran en fig.1. Utilizamos CGL desde el umbral de hasta 0.8 GeV,
porque este es el límite superior de su análisis, mientras que PY se utiliza hasta 0.9 GeV, porque en este
energía que coincide bien dentro de los errores experimentales con los datos de [20]. La K-matriz de
ref.[20] se utiliza para energías por encima de 0,8 GeV, cuando se utiliza CGL por debajo de esta energía (parametrización
I), y por encima de 0,9 GeV, cuando se utiliza PY para energías más bajas (parametrización II). Tomamos el pa-
rameterizations CGL y PY como su diferencia por debajo de 0,8 GeV cuenta bien para el experimental
las incertidumbres en, véase el gráfico 1, y satisfacen las limitaciones de la χPT (la primera) y la dispersión re-
laciones (ambos). La razón por la que saltamos a utilizar la parametrización de ref.[20] para las energías más bajas es
porque uno debe estar allí lo más preciso posible ya que esta región da la mayor contribución a
r2s, ya que es evidente desde el panel derecho de la fig.2. Sucede que la K-matriz de [20], que encaja
datos por encima de 0,6 GeV, no es compatible con datos de decaimientos de Ke4 [25, 26]. Mostramos en el inserto
de fig.1 la comparación de las parametrizaciones CGL y PY con los datos de Ke4 de [25, 26]. Nosotros
También mostrar en la misma figura los puntos experimentales en de refs.[20, 21, 27]. Ambos árbitros.[20, 21]
son compatibles dentro de los errores, con algún desacuerdo por encima de 1.5 GeV. Este desacuerdo no
afectan a nuestros resultados numéricos ya que por encima de 1.5 GeV no confiamos en los datos.
La K-matriz de ref.[20] es dado por,
Kij(s) = αiαj/(x1 − s) + βiβj/(x2 − s) + γij, (3.13)
donde
1 = 0,11± 0,15 x
2 = 1,19± 0,01
α1 = 2,28± 0,08 α2 = 2,02± 0,11
β1 = −1,00± 0,03 β2 = 0,47± 0,05
γ11 = 2,86± 0,15 γ12 = 1,85± 0,18 γ22 = 1,00± 0,53,
(3.14)
con unidades dadas en los poderes apropiados de GeV. Con el fin de calcular la contribución de la
cambios de fase de este K-matrix generamos muestras gaussianas de Montecarlo, teniendo en cuenta el
errores mostrados en eq.(3.14), y evaluar QH de acuerdo con eq.(3.12). El valor central de (sK)
para la K-matriz de ref.[20] es 3,05, ligeramente por debajo de η. Al generar Montecarlo gaussiano
muestras según eq.(3.14), hay casos con (sK) ≥ , alrededor del 30% de las muestras. Nota
que para estos casos también se tiene la contribución −6/s1 en eq.(3.11).
La aplicación del teorema de estado final de Watson para s > 4m2K no es sencilla ya que inelástico
los canales son relevantes. El primero importante es el canal KK̄ asociado a su vez con el
aparición de la resonancia estrecha f0(980), justo encima de su umbral. Esto implica un repentino
caída del parámetro de elasticidad η, pero de nuevo se eleva rápidamente (la resonancia f0(980) es estrecha
con una anchura de alrededor de 30 MeV) y en la región 1.12. s. 1.52 GeV2 es compatible
errores con η = 1 [20, 21]. Para η 1, el teorema del estado final Watson implicaría de nuevo que
Esta igualdad sólo tiene, en principio, el modulo π. Los
razón defendida en ref.[13] es la presencia de la región sK < s < 1.1
2 GeV2 donde la inelasticidad
puede ser grande, y entonces los argumentos de continuidad por sí solos no pueden ser aplicados para garantizar la igualdad
Para s & 1.12 GeV2. Este argumento se ha demostrado en ref.[11] ser bastante irrelevante
en el presente caso. Con el fin de mostrar esto se hace una diagonalización de la matriz S y KK̄ S.
Estos canales son los relevantes cuando η es claramente diferente de 1, entre 1 y 1.1 GeV.
Por encima de esa energía también tiene la apertura del canal y el papel creciente de multipión
estados.
Reproducimos aquí los argumentos de ref.[11], pero entregar expresiones directamente en términos de la
cambios de fase y parámetro de elasticidad, en lugar de los parámetros K-matrix como se hizo en ref.[11]. Por
la dispersión de dos canales, debido a la unitariedad, la matriz T puede ser escrita como:
(ηe2i − 1) 1
1− η2ei(K)
1− η2ei(K) 1
(ηe2i/23370/K − 1)
, (3.15)
con el cambio de fase elástico de la onda S I=0KK̄. En términos de la T -matriz de la onda S I=0 S-matriz
es administrado por,
S = I + 2iT, (3.16)
satisfaciendo SS† = S†S = I. La T -matriz también se puede escribir como
T = Q1/2
K−1 − iQ
Q1/2, (3.17)
donde la matriz K es real y simétrica a lo largo del eje real para s ≥ 4m2
con qπ(qK) el centro del impulso de masa de piones (kaons). Esto permite diagonalizar K con
una matriz ortogonal C real, y por lo tanto tanto las matrices T- y S- también se diagonalizan con
la misma matriz. Escribiendo,
cos ♥ sin ♥
- el pecado - porque - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado - el pecado
, (3.18)
uno tiene
cos ♥ =
[(1− η2)/2]1/2
1− η2 cos2 sin
1− η2 cos2
]1/2,
pecado فارسى = −
sin
1 + (1− η2) cot2
1− η2 cos2 sin
1− η2 cos2
]1/2, (3.19)
con • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Por otro lado, los valores propios de la S-matriz son dados por,
(+) = S11
1 + e2i
1 + (1− η2) cot2
(3.20)
(−) = S22
1 + e−2i
1 + (1− η2) cot2
. (3.21)
La fase de valor propio (+) satisface (+(sK) = (sK). Las expresiones anteriores para la exp 2i/23370/(+) y
exp 2i/23370/(−) intercambio entre sí cuando tan فارسى cruza cero y al mismo tiempo el signo en
el lado derecho del eq.(3.19) para los cambios de pecado. Esta diagonalización permite desenredar dos
canales elásticos de dispersión. Los factores de forma escalar unidos a cada uno de estos canales, 1 y
2, satisfará el teorema estado final Watson en todo el rango de energía y luego uno tiene,
= CTQ1/2 = CTQ1/2
= q
(+) ± pecado (−)
•K = q
± cos ♥ 2ei
. (3.22)
El ± delante de 2 se debe al hecho de que 2 = 0 en sK, como sigue de su definición en el
ecuación de arriba. Desde Watson estado final teorema sólo fija la fase de 2 hasta modulo η, y
la fase no está definida en el cero, no podemos fijar el signo delante en esta etapa. Siguiente, 1 tiene un
cero en s1 cuando (sK) ≥ . Para este caso, 1 debe aparecer en la ecuación anterior, con el fin de
garantizar la continuidad de su fase atribuida, y esta es la razón por la que ♥ = (−1)((sK)).
Ahora, cuando η → 1 entonces el pecado ♥ → 0 como
(1− η)/2 y (s) es entonces la fase de valor propio (+).
Esta fase de valor propio se puede calcular con la T-matrix. Para los T-Matrices empleados
aquí, y los de los árbitros.[10, 11, 4, 13], (+)(s) sigue bastante de cerca la(s) cantidad(s) en todo el rango de energía.
Esto se muestra en la fig.2 y ya discutido en detalle en ref.[11]. De esta manera, se garantiza
que no difieran entre sí en un número entero múltiplo de π cuando η 1,
1.12. s. 1.52 GeV2.
Para el cálculo de QH en eq.(3.12) equilibraremos los 4 m.
K < s < 1,5
2 GeV2.
Denotando,
= I1 + I2 + I3,
‹› 1.12
ds, (3.23)
QH IH −
*((sK)− π). (3.24)
Ahora, eq.(3.22) también se puede utilizar para estimar el error de aproximar los valores de la(s) por los valores de la(s) gama(s)
4m2K < s < 1,5
2 GeV2 para calcular I2 e I3 como se hace en eq.(3.23). También podríamos haber usado (+)(s)
en eq.(3.23). Sin embargo, note que cuando η. 1 entonces (s) (s) (s) (s) y cuando la inelasticidad podría ser
En el análisis de errores se ha tenido muy en cuenta la diferencia sustancial entre los puntos (s) y (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s) del punto (s)
que sigue. Notablemente, la coherencia de nuestro enfoque también requiere que los puntos de vista estén más cerca de los puntos de vista de los puntos de vista.
a (+)(s). La razón es que la(s) ♥(s) para (sK) ≥ π está en muy buena aproximación la(s) ♥(s) para
(sK) < Esta diferencia es precisamente la requerida en orden
a tener el mismo valor para r2s, ya sea para (sK) < o (sK) ≥ a partir de eq.(3.11). Sin embargo, el
la diferencia para el valor de la letra (+)(s) entre (sK) < y (sK) ≥ es menor que . De hecho, observamos que
En el caso de los factores de forma explícitos de las refs, el valor de los factores de forma es más próximo al valor de los refs.[8, 4].
Consideremos primero el rango 1.12 < s < 1.52 GeV2 donde de experimento [20] η 1 dentro
errores. Con • = ± tan 2/1 y • • • (−) − • (+), eq.(3.22) nos permite escribir,
= ♥ cos 1eiŁ(+)(1 + cos l)
1 + i
# Pecado #
1 + â € € TM cos â €
. (3.25)
Cuando η → 1 entonces • → 0, de acuerdo con la expansión,#3
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(1- η)/2
1− 1 + 3 cos 2
8 sin2
(1- η)
(1- η)5/2
. (3.26)
Reescritura,
1 + i
# Pecado #
1 + â € € TM cos â €
= exp
# Pecado #
1 + â € € TM cos â €
+O(+2), (3.27)
que a partir de eqs.(3.25) y (3.27) implica un cambio en el valor de la letra (+) debido a los efectos de la inelasticidad,
*(+) → *(+) +
# Pecado #
1 + â € € TM cos â €
. (3.28)
#3La relación 2/1, presente en, no se espera que sea grande ya que las parejas f0(1300) en su mayoría a 4η y
y el f0(1500) lo hace sobre todo a [28].
Utilizando η = 0,8 en el rango 1.12. s. 1.52 GeV, η 1 del análisis de energía dependiente de
ref.[20] dada por la matriz K de eq.(3.13), uno termina con 0.3. Teniendo en cuenta que (+)
es mayor que & 3η/2 para (sK) ≥ η (en este caso (+) ), y alrededor de 3η/4 para (sK) < η,
Véase fig.2, uno termina con correcciones relativas a un 6% en el caso anterior y un 13% en el caso anterior.
Últimamente. Aunque la K-matriz de ref.[20], eq.(3.13), se da hasta 1.9 GeV, uno debe ser consciente
que tomar sólo los dos canales y KK̄ en toda la gama de energía es una simplificación excesiva,
especialmente por encima de 1.2 GeV. Debido a esto, finalmente duplicamos la estimación anterior. Por lo tanto I3 es
calculado con un error relativo del 12% para (sK) ≥ η y del 25% para (sK) < η.
En la región estrecha entre sK < s < 1,1
2 GeV2, η puede ser bastante diferente de 1, debido a
el f0(980) que se une muy fuertemente al canal abierto de KK̄. Sin embargo, desde el
las mediciones de • → KK̄ [29], donde 1 − η2 se mide directamente, #4 uno tiene una mejor manera de
determinar η que a partir de la dispersión [20, 21]. Es el resultado de los experimentos anteriores, como se muestra
también mediante cálculos explícitos [30, 31, 32], que η no es tan pequeño como se indica en los experimentos [20],
y uno tiene η 0.6 − 0.7 por su valor mínimo. Empleando η = 0,6 en eq.(3.28) entonces 0.5.
Tomando (+) alrededor de η/2 cuando (sK) < η esto implica un error relativo del 30%. Para (sK) ≥ η uno
tiene en su lugar (+) & η, y un 15% de error estimado. En cuanto a la relación del modulo de forma
factores que entran en â € TM esperamos que sea. 1 (véase el apéndice A). Por lo tanto, nuestro error en la evaluación
de I2 se estima en un 30% y un 15% para los casos (sK) < η y (sK) ≥ η, respectivamente.
Como resultado de la discusión que siguió a la eq.(3.24), consideramos que las estimaciones de error hechas
para I2 e I3 en el caso (sK) < η son demasiado conservadores y que los errores relativos dados para
(sK) > η son más realistas. Sin embargo, ya que los errores absolutos que se obtiene para I2 y
I3 son los mismos en ambos casos (porque I2 e I3 para (sK) <
los de (sK) ≥ η) mantenemos los errores como se indica arriba. A los errores anteriores para I2 e I3 debidos
a la inelasticidad, también añadimos en cuadratura el ruido en el cálculo de QH debido al error en
a partir de las incertidumbres en los parámetros de los eqs K-matrix.(3.13), (3.14), y los
parametrizaciones CGL y PY.
Finalmente empleamos para s > 2,25 GeV2 el conocimiento de la fase asintótica del escalar pion
factor de forma para evaluar el QA en eq.(3.12). La(s) función(es) está(n) determinada(s) de modo que coincida
con el comportamiento asintótico de (t) como −1/t de QCD. La representación del Omnès de la
factor de forma escalar, eqs.(2.2) y (2.8), tiende a t-q/ y t-q/1 para t → فارسى, respectivamente. Aquí, q
es el valor asintótico de la(s) fase(s) cuando s → فارسى. Por lo tanto, para (sK) <
se requiere entonces tender a η mientras que para (sK) ≥ η el valor asintótico debe ser 2η. El camino
Se prevé que el valor límite sea un tanto ambiguo [11, 12],
As(s) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es) As(es)
log(s)(s)
. (3.29)
En esta ecuación, 2dm = 24/(33 − 2nf ) 1, 2 es el parámetro escala QCD y n = 1, 2 para
(4m)
K) < η, ≥ η, respectivamente. El caso n = 2 no fue discutido en refs.[10, 11, 12, 13, 14]
el factor de forma que figura en eq.(1.1). También existe una controversia entre [14] y [12] con respecto a
el signo ± en eq.(3.29). Si las contribuciones de giro dominantes dominan [11, 12] entonces el valor límite es
alcanzado desde arriba y uno tiene el signo más, mientras que si twist tres contribuciones son el dominante
los [14] el signo menos tiene que ser considerado [12]. En el panel izquierdo de la fig.2 se muestra con el ancho
#4Neglecting multipion states.
I I II II
(sK) ≥
I1 0,435± 0,013 0,435± 0,013 0,483± 0,013 0,483± 0,013
I2 0,063± 0,010 0,010± 0,006 0,063± 0,010 0,010± 0,006
I3 0,143± 0,017 0,053± 0,013 0,143± 0,017 0,053± 0,013
QH 0,403± 0,024 0,508± 0,019 0,452± 0,024 0,554± 0,019
QA 0,21± 0,03 0,10± 0,03 0,21± 0,03 0,10± 0,03
0,61 ± 0,04 0,61 ± 0,04 0,66 ± 0,04 0,66 ± 0,04
Cuadro 1: Distintas contribuciones a los recursos propios, tal como se definen en los eqs.(3.12) y (3.23). Todas las unidades son fm2.
En el valor de los errores debidos a I1, I2, I3 y QA se agregan en cuadratura.
bandas de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los
2 de eq.(3.29), considerando ambos signos, para n = 1
((sK) < η) y 2 ((sK) ≥ η). Vemos en la figura que arriba 1,4−1,5 GeV (1,96−2,25 GeV2)
ambos, el (s) y el(s) fase(s) coinciden y es por eso que tomamos sH = 2,25 GeV
2 in eq.(3.11), de manera similar
como se hace en refs.[10, 11]. De esta manera, también evitamos entrar en detalles hadronic en una región donde
η < 1 con el inicio de la resonancia f0(1500). La incertidumbre actual si el signo + o −
se mantiene en eq.(3.29) se toma como una fuente de error en la evaluación de QA. La otra fuente de incertidumbre
proviene del valor tomado para 2, 0.1 < 2 < 0,35 GeV2, como se sugiere en ref.[10]. De la fig.2 es
claro que nuestra estimación de errores para Łas(s) es muy conservadora y debe tener en cuenta las incertidumbres
debido a la aparición de la inelasticidad para las energías superiores a 1,4 − 1,5 GeV y a la aparición de la
Resonancia f0(1500). En el panel derecho de la fig.2 mostramos el integrand para r2s, eq.(3.12), para
parametrización I (línea de dado) y II (línea sólida). Nótese como la gran incertidumbre en
muy reducida en el integrand como sucede en el dominio de energía superior.
En la tabla 1 mostramos los valores de I1, I2, I3, QH, QA y r2s para las parametrizaciones I y
II y para los dos casos (sK) ≥ η y (sK) < η. Esta tabla muestra la desaparición de la
desacuerdo entre los asuntos (sK) ≥ η y (sK) <
de eq.(3.13), una vez que el cero de (t) en s1 < sK se tenga en cuenta para el primer caso. Esto
el desacuerdo fue la razón de la controversia entre Ynduráin y ref.[13] con respecto al valor
de 2 años. El hecho de que la parametrización II da lugar a un mayor valor de r2s que I es porque
PY sigue los datos superiores por debajo de 0.9 GeV, mientras que CGL sigue los inferiores, como se muestra en la figura 1.
Los diferentes errores en la tabla 1 se añaden en cuadratura. El valor final para r2s es la media
entre los de las parametrizaciones I y II y el error se toma de tal manera que se extiende el intervalo
de los valores del cuadro 1 a nivel de dos sigmas. Uno termina con:
r2s = 0,63± 0,05 fm
2. (3.30)
Las fuentes más grandes de error en r2s son las incertidumbres en el experimental y en el
fase asintótica. Esto se debe al hecho de que los primeros se mejoran debido a su peso
en el integrand, ver fig.2, y el último debido a su gran tamaño.
Nuestro número de arriba y el de los refs.[1, 4], r2s = 0,61± 0,04 fm2, son entonces compatibles. En el
otra mano, también hemos evaluado directamente del factor de forma escalar obtenido con el
enfoque dinámico de ref.[8] de la χPT unitaria y obtenemos r2s = 0,64±0,06 fm2, en perfecto
acuerdo con eq.(3.30). Observe que el factor de forma escalar de ref.[8] tiene (sK) >
ha comprobado que tiene un cero en s1, como debería. Esto se muestra en el fig.3 por la línea punteada-doble.
El valor de los refs es 0.75±0.07 fm2.[10, 11] es mucho más grande que la nuestra porque la posibilidad
de un cero en s1 no se tuvo en cuenta allí y se consideró otra solución. Esta solución,
sin embargo, tiene un comportamiento inestable bajo la transición (sK) = 0+ a (sK) = 0+ y
no se puede conectar continuamente con el de (sK) < . Nuestra solución para (t) desde
El método de Ynduráin no tiene este comportamiento inestable y es continuo bajo cambios en
los valores de los parámetros de la K-matrix, eqs.(3.13) y 3.14). Por eso, a partir de nuestros resultados,
También se deduce que la interesante discusión de la ref.[11], en lo que respecta a si (sK) < η o ≥ η,
ya no es concluyente para explicar el desacuerdo entre los valores de refs.[10, 11] y
ref.[1] para las palabras «r2s».
También podemos trabajar a partir de nuestra determinación de r2s, eq.(3.30), valores para el O(p4) SU(2)
χPT constante de baja energía l̄4. Tomamos la expresión de dos bucles en χPT para r2s [1],
r2s =
8η2f 2η
l̄4 −
+ r
, (3.31)
donde fη = 92,4 MeV es la constante decaimiento del pion,
2 y Mη es la masa de piones. En primer lugar,
en el cálculo de nivel de un bucle r = 0 y luego se obtiene,
l̄4 = 4,7± 0,3. (3.32)
Ahora pasamos a la determinación de l̄4 basado en la relación completa de dos bucles entre r2s y l̄4.
La expresión para el término "r" se puede encontrar en el Apéndice C de ref.[1]. Se da en términos de un O(p6)
χPT contratérmino, rœS2, y cuatro O(p4) unos. Tomando los valores de todos estos parámetros, pero para l̄4,
de ref.[1] y resolver para l̄4, uno llega a
l̄4 = 4,5± 0,3. (3.33)
Este número está de acuerdo con l̄4 = 4,4± 0,2 [1].
Ref.[12] señala también que un bucle χPT se ajusta a las longitudes de dispersión de las ondas S, P y D y
rangos efectivos dan lugar a valores mucho mayores para l̄2 y l̄4 que los de ref.[1]. Para más detalles
Nos referimos a [12].
4 Conclusiones
En este trabajo hemos abordado la cuestión de las discrepancias entre los valores de la cuadrática
radio escalar pion de Leutwyler et al. [4, 13], r2s = 0,61 ± 0,04 fm2, y los papeles de Ynduráin
[10, 11, 12], «r2» = 0,75±0,07 fm2. Una de las razones de interés para tener una determinación precisa
es su contribución de un 10% a a00 y a20, calculado con una precisión del 2% en ref.[1]. Los
el valor tomado para r2s es también importante para determinar el acoplamiento de O(p4) χPT l̄4.
De nuestro estudio se deduce que el método de Ynduráin para calcular el valor de los valores [10, 11], basado en un
Omnès representación del factor de forma escalar pion, y la derivada de la resolución de los dos (tres)
Las ecuaciones del canal acoplado Muskhelishvili-Omnès [4, 1, 6] son compatibles. Se demuestra que el
razón de la discrepancia antes mencionada es la presencia de un cero en (t) para los S-onda I=0
T-Matrices con (sK) ≥ y elásticas por debajo del umbral de KK̄, con sK = 4m2K. Este cero
fue pasado por alto en refs.[10, 11], sin embargo, si se impone continuidad en la solución obtenida bajo
pequeños cambios de los cambios de fase empleados, es necesariamente requerido por el enfoque seguido
Ahí. Una vez que este cero se tiene en cuenta el mismo valor para r2s se obtiene independientemente
de si (sK) ≥ η o (sK) < η. Nuestro resultado final es r2s = 0.63 ± 0.05 fm2. El error
estimado tiene en cuenta la incertidumbre experimental en los valores de (s), efectos de inelasticidad
y presente ignorancia en la forma en que la fase del factor de forma se aproxima a su valor asintótico η,
como se predijo en el QCD. Utilizando nuestro valor para r2s calculamos l̄4 = 4.5 ± 0.3. Los valores
r2s = 0,61± 0,04 fm2 y l̄4 = 4,5± 0,3 de ref.[1] están entonces en buen acuerdo con el nuestro.
Agradecimientos
Agradecemos a Miguel Albaladejo por proporcionarnos los resultados numéricos de algunas matrices T inéditas
y Carlos Schat por su colaboración en una investigación paralela. También agradecemos a F.J. Ynduráin por
y B. Anathanarayan, I. Caprini, G. Colangelo, J. Gasser y H. Leutwyler
una lectura crítica de una versión anterior del manuscrito. Este trabajo fue apoyado en parte por el
MEC (España) y FEDER (CE) Subvenciones FPA2004-03470 y Fis2006-03438, Fundación Séneca
Subvención (Murcia) Ref. 02975/PI/05, red RTN de la Comisión Europea (CE)
en virtud del contrato No. HPRN-CT2002-00311 y el contrato no 3 del proyecto HadronPhysics I3 (EC)
RII3-CT-2004-506078.
Apéndices
Una dinámica de canal acoplado
Tomamos canales acoplados y KK̄ y denotamos por F1 y F2 su respectiva forma escalar I=0
factores. La unidad requiere,
ImFi =
(A.1) (t- s′j)t*ji, (A.1)
donde tij es la T-matrix de onda S I=0, s′i es el cuadrado de energía umbral del canal i y
.i = qi/8η
s, con qi su centro de masa tres impulso.
Una solución general a las ecuaciones anteriores es dada por,
F = T G, F =
, G =
, (A.2)
donde las funciones Gi(t) no tienen corte a mano derecha. Esta ecuación es interesante como nos dice que
si la dinámica pion domina, G1 >> G2, entonces F1 G1t11 y la fase del factor de la forma (s) sigue
(s). Como resultado, al igual que t11, tiene un cero en s1 por debajo del umbral de KK̄ para (sK) ≥ , como se muestra
en la sección 3. Por otro lado, si la dinámica kaon domina, G2 >> G1, entonces F1 G2t12 y
La(s) fase(s) sigue(n) la fase de t12, que supera claramente el umbral de KK̄. Esta es la razón por la que
el factor de forma escalar extraño pion no hay cero en s1. sK para (sK) ≥
máximo como el mostrado en la figura 3 por la línea punteada.
Al igual que en la sección 3, ahora procedemos a la diagnostificación por encima del umbral de KK̄ de la renormal-
T-matriz T ′,
T ′ =.1/2T.1/2,.......................................................................................................
, T = CTT ′C =
tØ11 0
0 tØ22
t11 = pecado (+)e
(+), t22 = pecado (−)e
(−).................................................................................................................................................................................... (A.3)
Los correspondientes factores de forma diagonal F ′1 y F
2, recogido en el vector F
′, son
F ′ = CT1/2F = TCT1/2G =
cos...................................................................................................................
1 G1 − pecado
tœ11{
sin..........................................................................................................................................................................
1 G1 + cos
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (A.4)
Las expresiones anteriores permiten obtener F1 directamente en términos de las fases eigen y con limpio
separación entre pion, G1, y dinámica kaon, G2. De eq.(3.22) se deduce que,
cos2 1G1 − cos
Sin2 11 G1 + cos
tû22.
(A.5)
Para (sK) ≥ los valores típicos, algo por encima del umbral de KK̄, son e2i/23370/(+) +i, e2i/23370/(−) −i
y el pecado.............................................................................................................................................................................................................................................................. Para el dominio de G1 uno tiene F1/G1 11 (i + cos 2o)/2 mientras que para el dominio
de G2 el resultado es F1/G2 − pecado
1 < 0. Los factores G1,2 no introducen
cualquier cambio en el (los) valor(es) con respecto a su valor antes de la apertura del umbral KK̄ ya que
son funciones lisas en s.#5 En ambos casos la fase (s) es mayor que
tendencia superior de las fases se muestra en la figura 2 (note que en este caso t11 está en el primer cuadrante, aunque
> η). Ahora, haciendo el mismo ejercicio para (sK) < , uno tiene los valores típicos e
2i/23370/(+) −i,
e2i/23370/(−) +i y peca فارسى < 0. Para el dominio pion entonces F1/G1 11 (i− cos 2♥)/2 y para el kaon
un F1/G2 + pecado
1 < 0. Por lo tanto, en el primer caso la fase es & η/2, y sigue
la tendencia inferior de las fases del fig.2, mientras que en este último es & η y sigue de nuevo la tendencia superior (este
es el caso del extraño factor de forma escalar).
La demostración en la sección 3 de que ♥(sK) es discontinuo en el límite (sK) → tomando
s1 → s+K, no se puede aplicar en el caso de dominio kaon (por ejemplo. pion extraño factor de forma escalar).
De eq.(A.5) se deduce que,
F1(t) − cos ♥ sin 1/22
t11 − t22
. (A.6)
El punto es que tû22 para t ≥ s1 (s1 → s+K) es de tamaño comparable con el de tû11 (ambos tienden a cero)
y la fase no sigue a la de (+). Este no es el caso para el dominio pion porque para s1 → s+K
entonces sin2 فارسى → 0, F1(t) cos2 ♥ 11 G1t贸11, eq.(A.5), y el(s) sigue(s) a(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s).
De eq.(A.4) también podemos escribir 2/2 t Desde
típicamente t?11/t?22 1, como se muestra arriba para las energías algo por encima del umbral de KK?, entonces
2/1 tan < 1. Esta es la razón por la que consideramos que equipararlo a 1 en la sección 3 es un conservador
estimación.
#5Debido a los ceros de Adler, esto no es necesariamente un caso cercano al umbral.
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[33] J. A. Oller, Nucl. Phys. A727, 353 (2003).
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0610071
Introducción
Factor de forma escalar
Resultados
Conclusiones
Dinámica del canal acoplado
|
704.004 | Multilinear function series in conditionally free probability with
amalgamation | arXiv:0704.0040v3 [math.OA] 5 Sep 2008
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR EN CONDICIONAL
LIBRE PROBABILIDAD CON LA AMALGAMACIÓN
MIHAI POPA
Resumen. Como en los casos de la libertad y la independencia monotónica, la
la noción de libertad condicional es significativa cuando los estados de valor complejo son
sustituido por expectativas condicionales positivas. En este marco, el documento
presenta varios resultados de positividad, una versión del teorema del límite central y
un análogo de la transforma R condicionalmente libre construida mediante
serie de funciones multilineales.
1. Introducción
El documento aborda un tema relacionado con la libertad condicional (o, en breve, utilizando el
término a partir de [2] c-libre) probabilidad. Esta noción se desarrolló en los años 90 (véase [1],
[2]) como una extensión de la libertad en el marco de ∗-álgebras dotadas de
no uno, sino dos estados. Es decir, dada una familia de álgebras unitarias, cada Ai
dotado de dos expectativas: Ai C, su producto libre de c es el triple
En el caso de los vehículos de las categorías A, A, A, B, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D., D., D., D., D., D., D., D., D., D.
(i) A = ∗iIAi es el producto libre de los álgebras Ai.
— • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(a) (a1 · · · a) = 0
(b) (a1 · · · an) = (a1) (a1) · · (n) (an)
para todos los aj (j), j = 1,...., n tales que (j)(aj) = 0 y
Un resultado clave es que si los Ai son ∗-álgebras y
entonces, los dos son también positivos.
En [6], se demuestra la positividad de los mapas de productos libres........................................................................................................................................................................................................................................................
cuando las expectativas condicionales positivas en una C*-subálgebra común,
pero los mapas positivos valorados en C siguen siendo los siguientes: Una situación más general es, de hecho,
discutida (véase el Teorema 3, sección 6, de [6]), pero la pregunta si
para 1,2, 1, 2, expectativas condicionales positivas arbitrarias queda sin respuesta.
Una primera respuesta fue dada en [8], donde mostramos que para A un *-álgebra, el
construcción análoga con tanto valor en C*-subalgebra B de A
conserva la positividad. En el presente documento se desarrolla más este resultado (véase Teorema).
2.3) y también demuestra el uso de series de funciones multilineales en la configuración libre de c.
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 45L53; secundaria 46L08.
Palabras y frases clave. libertad condicional, expectativa condicional, transform-R, multi-
serie de funciones lineales.
http://arxiv.org/abs/0704.0040v3
2 MIHAI POPA
En [2] se construye una versión libre de c de la transform-R de Voiculescu, que
llamar al cR-transform, con la propiedad que cRX+Y =
cRX +
CRY si X e Y
son elementos libres de c de la álgebra A en relación con las relaciones a)
y b) a partir de la definición del producto libre de c se aplican a los subalgebras
generado por X e Y.)
El aparato de la serie de funciones multilineales se utiliza en trabajos recientes de K. Dykema
([3] y [4]) para construir análogos adecuados para las transformas R y S
marco de la libertad con la amalgama. Demostraremos que esta construcción
también es adecuado para la transforma de cR mencionada anteriormente. Las técnicas utilizadas
se diferencian de los de [3], la construcción del tipo de espacio Fock se sustituye por
técnicas combinatorias similares a [2] y [7]. En particular, los teoremas 3.3 y 3.6
contienen nuevas pruebas (más cortas) de los resultados 6.1–6.13 a partir de [3].
El documento está estructurado en cuatro secciones. En la sección 2 se indican los principios básicos
definiciones y se prueban los principales resultados de positividad. En la sección 3 se describe la
construcción y la propiedad básica de la serie de funciones multilineales cR-transform
y la Sección 4 trata el teorema del límite central y una propiedad de positividad relacionada.
2. Definiciones y resultados de positividad
Definición 2.1. Deja que {Ai}iI ser una familia de álgebras, todos los que contienen la subalgebra
B. Supongamos que D es un subalgebra de B y i : Ai D y Φi : Ai B son con-
las expectativas ditionales, i.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o Decimos que el triple (A,Φ,) = ∗iI(Ai,Φi,i)
es el producto condicionalmente libre con amalgama sobre (B,D), o en breve, el
c-producto libre, de los triples (Ai,Φi,Φi)i
(1) A es el producto libre con amalgama sobre B de la familia (Ai)
(2) Las relaciones determinan las relaciones entre los Estados miembros y los Estados miembros.
(a1a2. .. an) = 0
Φ(a1a2. .. an) = Φ(a1)Φ(a2)......................................................................................................................................................................................................................................................
para todos los ai • A• (i), • (i) • (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) = 0).
Cuando D = C, esta definición se reduce a la dada en [6]. Cuando tanto B como
D son iguales a C, esta definición se dio en [2].
Al discutir la positividad, necesitamos una estructura * sobre nuestros álgebras. Lo haremos.
exigir que B y D sean álgebras-C*, mientras que Ai y A sólo están obligados a ser
*-álgebras.
Los siguientes resultados son versiones ligeramente modificadas de Lemma 6.4 y Teorema
6.5 a partir de [8].
Lemma 2.2. Let B be a C*-álgebra y A1, A2 be dos *-álgebras que contienen B
como ∗-subálgebra, dotado de expectativas condicionales positivas Φj : Aj B,
j = 1, 2. Si a1,. .......................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................
es la matriz con las entradas
Ai,j =
i aj) si i, j ≤ n
i )Φ2(aj) si i ≤ n, j > n
i)Φ1(aj) si i > n, j ≤ n
i aj) si i, j > n
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 3
entonces A es positivo.
Prueba. El espacio vectorial E = B • ker(Φ1) • ker(Φ2) tiene una estructura B-bimódulo
dado por las operaciones algebraicas en A1 y A2. Considere el B-sequilinear
emparejamiento
, : E× E B
determinadas por las relaciones:
b1, b2 = b*1b2, para b1, b2 • B
uj, vjó = Φj(u*jvj), para uj, vj ker(Φj), j = 1, 2
• u1, u2 • = • u2, u1 • = 0 para u1 • ker(Φ1), y u2 • ker(Φ2).
B, ej = ej, ej, ej, ej, ej, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, ob, oj, oj, oj, b, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, ob, oj, oj, oj, ob, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj,
Con esta notación, tenemos que Ai,j = Ajai, ajai, por lo tanto basta con demostrar que
A, a ≥ 0 para todos los a E.
En efecto, para un elemento a = b + u1 + u2 con b • B, uj • ker(Φj), j = 1, 2,
tener:
A, a = b + u1 + u2, b + u1 + u2
= b, b, u1, u1, u2, u2
= b*b1(u
1u1) + Φ2(u
Teorema 2.3. Let B be a C*-álgebra y D a C*-subálgebra de B. Supón que
A1, A2 son *-álgebras que contienen B, cada una dotada de dos condicionales positivos
expectativas Φj : Aj B, y j : Aj D, j = 1, 2 y considerar el c-libre
producto (A,Φ,Ł) = ∗i=1,2(Ai,Φi,Φi).
A continuación, los mapas Φ y فارسى son positivos.
Prueba. La positividad de la palabra es ahora un resultado clásico en la teoría de la proba-
bilidad con amalgama sobre una álgebra C* (véase, por ejemplo, [9], Teorema 3.5.6).
Para la positividad de Φ tenemos que demostrar que Φ(a*a) ≥ 0 para cualquier Φ A.
Cualquier elemento de A puede ser escrito como
s1,k. .. sn(k),k,
en los que sj,k â € € € € (j,k) € € (1,k) 6= € € (2,k) 6= · · · 6= € (n(k), k).
Escribiendo
s(j,k) = s(j,k) (s(j,k)) (s(j,k))
y la expansión del producto, podemos considerar una de la forma
a = d+
a1,k. .. an(k),k
con d • D • B y aj,k • A• j,k) de tal manera que • j,k)aj,k) = 0 y • (1,k) 6=
*(2, k) 6= · · · 6= (n(k), k).
4 MIHAI POPA
Por lo tanto
Φ(a)*a) = Φ
d+d*
a1,k. .. an(k),k
a1,k. .. an(k),k
a1,k. .. an(k),k
* [ N.O.M.A.]
a1,k. .. an(k),k
Puesto que Φ es una expectativa condicional y d • D • B, la igualdad antedicha se convierte en
Φ(a*a) = d*d+
d(a1,k. .. an(k),k) +
Φa*n(k),k.........................................................................................................
1,k)d
k,l=1
a*n(k),k.................................................................................................................
1, ka1, l. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Uso de la definición de producto condicionalmente libre con amalgama sobre B
y que (j,k)(aj,k) = 0 para todos j, k, uno más tiene
Φ(a*a) = d*d+
Φ(d*a1,k)Φ(a2,k).......................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(an(k),k)
...................................................................................................................................................
1,kd)
k,l=1
Φ(an(k),k)
∗..............................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(a*1,ka1,l)Φ(a2,l).......................................................................................................................................................................................................................................................
es decir
Φ(a*a) = d*d+
Φ(d*a1,k)
Φ(a2,k)...........................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(a2,k)...........................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(a*1,kd)
k,l=1
Φ(a2,k)...........................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(a)*1,ka1,l)
Φ(a2,l)................................................................................................................................................
De Lemma 2.2, la matriz S =
Φ(a)*1,ia1,j)
i,j=1
es positivo en MN+1(B),
por lo tanto
S = T ∗T, para algunos T • MN+1(B).
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 5
Denota ahora a1,N+1 = d y vk = Φ(a2,k)..Φ(an(k),k).La identidad para Φ(a)
se convierte en:
Φ(a)*a) = (v1,. ., vN, 1)
*T*T (v1,. ., vN, 1)
≥ 0, como se afirma.
Teorema 2.4. Supongamos que I =
jÃ3J Ij es una particiÃ3n de I. Entonces:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Prueba. La prueba es idéntica a las pruebas de resultados similares en [6] y [2]. Considerar
1 ≤ i ≤ m de tal manera que •(1) 6= •(2 6= · · · · 6= •(m) y (i)(ai) = 0. Vamos.
1 = i0 < i1 < · · · < ik = m y Jl = (i), il−1 ≤ i < il}.
Desde
(*) = 0, = 1 · · · · · · · · · · ·
basta con demostrar que
Φ(a1 · · · am) =
(*(lj),jlΦj)(ail−1 · · · ail)].
Φ(a1 · · · am) = (1)(a1) · (m)(am)
mientras que, desde (i)(ai) = 0,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
y la conclusión es la siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición 2.5. Que A sea un álgebra (respectivamente un *-álgebra), B un subalgebra (*-
subalgebra) de A y D a subalgebra (*-subalgebra) de B. Suponga que A está dotada
con las expectativas condicionales: A D y Φ: A D.
i) Se dice que los subalgebras (*-subalgebras) (Ai)
respecto a (Φ,l) si:
a) i) Soy libre en lo que se refiere a la letra a).
b) si el valor de la letra a) del apartado i) del artículo 1 ≤ i ≤ m, es tal que el valor de la letra a) del apartado 1 del artículo 6 = · · · · 6 = (m) y
•(ai) = 0, entonces Φ(a1 · · ·am) = Φ(a1) · · (am).
ii) Se dice que los elementos (Xi)i)i de A son indemnes con respecto a (Φ,
los subalgebras (*-subalgebras) generados por B y Xi son libres de c con
respeto de los derechos humanos (Φ,l).
Denotaremos por B el álgebra no-commutativa de polinomios en el
y con coeficientes de B (los coeficientes no conmutan con
el símbolo.............................................................................................................................................................................................................................................................. Si yo es una familia de índices, Bi}iI denotará el álgebra de
polinomios en las variables no conmutantes iI y con coeficientes de B.
Identificaremos Bi}iI con el producto libre con la amalgama sobre B de
la familia.
6 MIHAI POPA
Si A es un *-álgebra y B es con el C*-álgebra, B también será considerado
con una estructura ∗-álgebra, tomando =. Si X es un elemento autoadjunto de A,
definimos las expectativas condicionales
ΦX: B B
dado por ΦX(f()) = Φ(f(X)) y
Corolario 2.6. Supongamos que A es un *-álgebra y X e Y son c-adjuntas libres
elementos de A tal que los mapas ΦX,ΦX y ΦY,ΦY son positivos. Entonces el
mapas ΦX+Y y ΦX+Y también son positivos.
Prueba. La positividad de X+Y es una consecuencia inmediata del hecho de que X
e Y son libres con la amalgama sobre B con respecto a B. Queda por probar
la positividad de ΦX+Y.
Desde los mapas ΦX : B1 B y ΦY : B2 B son positivos, de
Teorema 2.3 así es
Φx ∗(#X, #Y ) ΦY : B1• *B 2• = B1, #2• B
Observar también que
iZ : B f() 7→ f(X + Y ) B1*B B2*
es un B-funcional positivo.
La conclusión se deriva del hecho de que la libertad de c de X e Y es equivalente
ΦX+Y = (ΦX ∗ (X,Y ) ΦY ) • iX+Y.
3. Serie de funciones multilineales y la transformación cR
Que A sea una álgebra ∗ que contenga la álgebra C* B, dotada de un condicional
expectación : A B. Si X es un elemento autoadjunto de A, entonces por el momento
de orden n de X vamos a entender el mapa
X : Bx · · · ×B}
n−1 veces
X (b1,. ..., bn−1) = (Xb1X...Xbn−1X)
Si B = C, entonces la serie generadora de momento de X
mX(z) =
(Xn)zn
codifica toda la información sobre los momentos de X. Para B 6 = C, la recta para
generalización de los servicios
mX(z) =
(Xn)zn
generalmente falla en hacer un seguimiento de todos los momentos posibles de X. Una solución a
Este inconveniente se propuso en [3], a saber, el multilin-
serie de funciones auditivas de X. Antes de definir esta noción, recordaremos brevemente la
construcción y varios resultados en series de funciones multilineales.
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 7
Let B ser un álgebra sobre un campo K. Ponemos Bū igual a B si B es unital y
a la unificación de B de lo contrario. Para n ≥ 1, denotamos por Ln(B) el conjunto de todos
Mapas K-multilineales
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
n veces
Una serie de funciones multilineales formales sobre B es una secuencia • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . ),..........................................
en los que 0 B y nLn(B) para n ≥ 1. Según [3], el conjunto de todos
serie de funciones multilineales sobre B se denotará por Mul[[B]].
En el caso de α, β •Mul[[B]], la suma formal • β y el producto formal • son:
elementos de Mul[[B]] definidos por:
(α β)n(b1,. .., bn) = αn(b1,. .., bn) + βn(b1,. .., bn)
()n(b1,. .., bn) =
αk(b1,. .., bk)βn−k(bk+1,. .., bn)
para cualquier b1,. ...............................................................................
Si β0 = 0, entonces la composición formal α • β • Mul[[B]] está definida por
(α ≤ β)0 = α0
y, en el caso de n ≥ 1, por
(α α β)n(b1,. .., bn) =
βp1(b1,. .., bp1),. .., βpk(bqk+1,. .., bqk+pk)
donde la segunda suma se hace sobre todos los k-tuples p1,. ..............................................................
p1 + · · pk = n y qj = p1 + · · pj−1.
Uno puede trabajar con elementos deMul[[B]] como si fueran series de poder formales. Los
propiedades relevantes se describen en [3], Proposición 2.3 y Proposición 2.6. Al igual que en
[3], utilizamos 1, respectivamente I, para denotar los elementos de identidad de Mul[[B] relativo
a multiplicación, respectivamente composición. En otras palabras, 1 = (1, 0, 0,... ) y
I = (0, idB, 0, 0,... ). También usaremos el hecho de que un elemento α Mul[[B]] tiene
un inverso con respecto a la composición formal, denotado 1, si y sólo si α tiene
la forma (0, α1, α2,. .. ) con α1 un elemento invertible de L1(B).
Definición 3.1. Con la notación anterior, la función multilineal generadora de momento
serie de ciones MX de X es el elemento de Mul[[B]] tal que:
MX,0 = فارسى(X)
MX,n(b1,. .., bn) = (Xb1X · · ·XbnX).
Dado un elemento α • Mul[[B]], se define la serie de funciones multilineales Rα
por la siguiente ecuación (véase [3], Def 6.1):
(1 + αI)
(I + IαI) (3.1)
Una propiedad clave de R es que para cualquier X, Y A libre sobre B, tenemos
RMX+Y = RMX + RMY. (3.2)
8 MIHAI POPA
Estas relaciones se probaron anteriormente en el caso particular B = C.
describir Rα por medios combinatorios, a través de la relación de recurrencia
αn(b1,. .., bn) =
[b1αp(1)b3,. ...................................................................................................
. ..., [bi(k−1)αp(k)(bi(k−1)+1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
bi(k)αn−ik(bik+1,. .., bn)
donde la segunda suma se realiza sobre todo 1 = i(0) < i(1) < · · · < i(k) ≤ n y
p(k) = i(k)− i(k − 1)− 2.
Siguiendo una idea de [2], la ecuación anterior se puede ilustrar gráficamente por
la imagen:
En el caso de la probabilidad libre de c escalar, un análogo de la R de Voiculescu
la transformación se desarrolla en [2]. Con el fin de evitar confusiones, vamos a denotarlo
por cR.
El cR-transform tiene la propiedad que linealiza la convolución libre de c de
pares de medidas de soporte compacto. En particular, si X e Y están libres de c
elementos de algún álgebra A, entonces
cRX+Y =
cRX +
CRY.
Si el ∗-álgebraA está dotado con los estados valorados en C
elemento de A, entonces (véase [2]), los coeficientes {cRm}m ≥ 0 de cRX se definen por
la recurrencia:
(Xn) =
l(1),...,l(k)≥0
l(1)l(k)=n−k
cRk · (X l(1)) · · (X l(k−1))• (X l(k))
ecuación que se puede ilustrar gráficamente por la imagen, eran las cajas oscuras
soporte para la aplicación de los de luz para la aplicación de los de luz para la aplicación de los de luz:
Las consideraciones anteriores llevan a la siguiente definición:
Definición 3.2. Let β, γ Mul[[B]]. La serie de funciones multilineales cRβ,γ es la
elemento de Mul[[B]] definido por la relación de recurrencia
βn(b1,. .., bn) =
cRβ,γ,k
[b1γp(1)b3,. ...................................................................................................
. .., [bi(k−1)γp(k))bi(k−1)+1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
bi(k)βn−ik(bik+1,. .., bn)
donde la segunda suma se realiza sobre todo 1 = i(0) < i(1) < · · · < i(k) ≤ n y
p(k) = i(k)− i(k − 1)− 2.
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 9
La siguiente descripción analítica de cRβ,γ también muestra que es único y
bien definido:
Teorema 3.3. Para cualquier β, γ Mul[[B]],
Rβ,γ =
β(1 + Iβ)−1
(I + IγI)1 (3.3)
Antes de probar el teorema, observar que el lado derecho de (3.3) está bien-
definido y único, ya que 1 + Iγ es invertible con respecto a la multi-
catión, I+ IβI es invertible con respecto a la composición formal y su inversa tiene
0 como primer componente (véase [3]). Necesitaremos el siguiente resultado auxiliar:
Lemma 3.4. Dejar β ser un elemento de Mul[[B]] y I el elemento de identidad con
respecto a la composición formal, I = (0, idB, 0, 0... ).
i) la serie de funciones multilineales Iβ está dada por:
(Iβ)0 = 0
(Iβ)n(b1,. .., bn) = b1βn−1(b2,. .., bn)
ii) la serie de funciones multilineales IβI está dada por
(IβI)0 = 0
(IβI)1(b1) = 0
(IβI)n(b1,. .., bn) = b1βn−2(b2,. .., bn−1)bn
Prueba. Desde I = (0, idB, 0,..... ), uno tiene:
(Iβ)0 = I0β0 = 0.
Si n ≥ 1,
(Iβ)n(b1,. .., bn) =
Ik(b1,. .., bk)βn−k(bk+1,. .., bn)
= I1(b1)βn−1(bk+1,. .., bn)
= b1βn−1(bk+1,. .., bn).
Para IβI, los mismos cálculos dan:
(IβI)0 = (Iβ)0I0 = 0
(IβI)1 = (Iβ)0I1(b1) + (Iβ)1(b1)I0
Si n ≥ 2, uno tiene:
(IβI)n(b1,. .., bn) =
(Iβ)k(b1,. .., bk)In−k(bk+1,. .., bn)
= (Iβ)n−1(b1,. ...................................................................................................
= b1βn−2(b2,. .., bn−1)bn
10 MIHAI POPA
Prueba del teorema 3.3: Set = I + IβI. Entonces
(cRβ,γ )n (b1,. .., bn) =
p1,...,pk≥1
p1pk=n
Rβ,γ,k
p1 (b1,. .., bp1),. ..,
pk(bqk+1,. .., bqk+pk)
donde qi = p1 + · · pi−1.
De Lemma (3.4) (ii), tenemos que
n(b1,. .., bn) = (I + IβI)n(b1,. .., bn)
por lo tanto, la definición 3.2 es equivalente a
βn(b1,. .., bn) =
(cRβ,γ-(I + IβI)k(b1,. .., bk)) bk+1βn−k−2(bk+2,. .., bn)
Teniendo en cuenta ahora Lemma 3.4(i), la relación anterior se convierte en
βn(b1,. .., bn) =
(cRβ,γ-(I + IβI)k(b1,. .., bk)) (I + Iβ)n−k(bk+1,. .., bn)
por lo tanto
β = [cRβ,γ-(I + IγI)] (1 + Iβ)
que es equivalente a (3.3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.5. Hasta un cambio en los coeficientes, la ecuación (3.3) es similar al resultado
en el caso B = C a partir de [2], Teorema 5.1.
Que X sea un elemento autoadjunto de A. Si A está dotado de dos condiciones de valor B-
Φ el elemento X tendrá dos multi-generadores de momento
serie de funciones lineales, uno con respecto a, que vamos a denotar por MX, y uno
con respecto a Φ, denotado MX. Para la brevedad, usaremos la notación
cRX para la
serie de funciones multilineales cRMX, MX.
Teorema 3.6. Que X e Y sean dos elementos de A que sean libres de c con respecto a
el par de expectativas condicionales (Φ,). Entonces
cRX+Y =
cRX +
Prueba. Dejar A ser un álgebra que contiene B como un subalgebra y dotado con el
expectaciones condicionales Φ, : A B. Considerar el conjunto A0 = A \ B (set
ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac., ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac., ac, ac, ac., ac, ac, ac, ac, ac, ac., ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac Para n ≥ 1 definir los mapas
cr : A0 × · · × A0}
n veces
dado por la fórmula de recurrencia:
Φ(a1 · · · an) =
l(1)l(k)
1<l(1),l(k)≤n
rk(a1[?(a2 · · · al(1)−1)],.................................................................................................................................................................................................................................................... ..,
. ..., al(k−1)[(al(k−1)+1 · · al(k)1)], al(k)[Φ(al(k)+1 · · · an)]
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 11
Tenga en cuenta que crn está bien definido, y que, para cualquier b1,. .........................................
crn+1(X, b1X,. .., bnX) =
cRX,n(b1,. .., bn). (3.4)
Al igual que en la sección 2, considerar Bi®, los álgebras no conmutativas de polinomi-
als en los símbolos i, i = 1, 2 y con coeficientes de B y el condicional
expectativas
ΦX,X : B1· B
dado por
ΦX(f(1)) = Φ(f(X))
x(f(+1)) = +(f(X))
y sus análogos ΦY,''Y para B2''.
OnB1, â € â € TM TM, identificado aB1BB2â € TM, considerar las expectativas condicionales
0, 0, 0, 0, 0, dado por:
0 = X Y
Φ0(f(+1, +2)) = Φ(f(X,Y))
(a1a2. .. a) =
l(1)l(k)
1<l(1),l(k)≤n
Al(1)−1)],............................................................................................................................................................................................................................................................ ..,
. ..., al(k−1)[0(al(k−1)+1 · ·al(k)1 )], al(k)[(al(k)+1 · · · an)]
donde a1,. .......................................................................................
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
n veces
están dadas por:
n(a1,. .., an) =
cr(a1,. .., an) si todos a1,. ...............................................................................
cr(a1,. .., an) si todos a1,. ...................................................................................
0 de lo contrario
Demostraremos que también está bien definido el valor de 0,0, en particular el de 0,0. Considerar la
el elemento a de la forma a = a1 · · · · a con aj â ° B(j) ·, de tal manera que
6= · · · · 6= • n) y • 0(aj) = 0. Se realiza el cálculo de la suma de 1 °(a1 · · · an)
a través de la relación de recurrencia arriba. A causa de la definición de la letra a) y del hecho de que
0 = X Y, sólo el término con k = 1 contribuyen a la suma, es decir.
(a1 · · · an) = (a1 °(a2 · · an))
= 1) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a
= 1(a)(a2 · · · · an)
y la identidad entre Φ y Φ0 sigue por inducción sobre n.
Desde el 1 de enero de 1985, la Comisión adoptó una propuesta de directiva por la que se modifica la Directiva 77/388/CEE relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios.
crn satisfacen la misma relación de recurrencia,
por lo tanto
n(a1,. .., an) =
cr(a1,. .., an).
12 MIHAI POPA
En particular
RX+Y,n(b1,. .., bn) =
rn+1((X + Y )b1(X + Y ). .. (X + Y )bn(X + Y ))
= ln+1((X + Y )b1(X + Y ). .. (X + Y )bn(X + Y ))
= ln+1(X)b1(X). .. (X)bn(X)) + ln+1((Y )b1(Y ). . (Y )bn(Y )
= cRX,n(b1,. .., bn) +
cRY,n(b1,. .., bn).
4. Teorema del límite central
Considerar el conjunto ordenado n = {1, 2,...., n} y
B1,. .., Bm:
B1 B2 · · · · · Bm.
Se dice que los bloques Bp y Bq de η están cruzando si existen i < j < k < l
en los casos en que i, k, Bp y j, l, Bq.
Se dice que la partición η no cruza si todos los pares de bloques distintos de η
no están cruzando. Denotaremos por NC2(n) el conjunto de todas las particiones no cruzadas
de los cuales los bloques contienen exactamente 2 elementos y por NC≤s(n) el conjunto de todos
los tabiques no cruzados de los que los bloques contienen como máximo s elementos.
Ahora γ ser una partición no-cruce de y B y C ser dos bloques de
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Decimos que B es interior a C si existen dos índices i < j en este tipo
{i + 1,...., j − 1}. El bloque B se dice que es exterior si es
no interior a cualquier otro bloque de γ. En un tabique no cruzado de n, el bloque
que contiene 1 es siempre exterior.
Considere ahora un elemento X de A. Dejar η ser una partición de NC2(n+1) (n =
impar) y B1 = (1, k) ser el bloque de η que contiene 1. Definimos, por repetición,
las siguientes expresiones:
Vη(X, b1,. ..., bn) = (Xb1V2,...,j−1} (X, b2,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Vk+1,...,n+1}(X, bk+1,. .., bn)
Wη(X, b1,. .., bn) = Φ(Xb1V2,...,j−1}(X, b2,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Wk+1,...,n+1}(X, bk+1,. .., bn)
Teorema 4.1. (Teorema del límite central) Dejar (Xn)n≥1 ser una secuencia de c-libre
elementos de A tales que:
(1) todas las Xn tienen la misma serie de funciones multilineales generadoras de momento, M
con respecto a Φ y M con respecto a Φ.
(2) (Xn) = Φ(Xn) = 0.
X1 + · · XN
Entonces:
i) lim
RSN = (0,M1(·), 0,... )
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 13
ii) lim
RSN = (0,M1(·), 0,... )
— existen dos expectativas condicionales:
en M1(·), y μ : B B, dependiendo únicamente de M1(·) y M1(·), tales
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.
ΦSN = μ
en el sentido débil; en particular,
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 23 de octubre de 2001. .. bn®) =
NC2(n)
Vη(X1, b1,. .., bn)
μ(â € b1â € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ .. bn®) =
NC2(n)
Wη(X1, b1,. .., bn).
Prueba. Que X sea un elemento de A con el mismo momento generando series como Xj,
j ≥ 1. Como se muestra en [3],
RSN =
R. Xk.............................................................................................................................................................................................
= NR X
Además, de Teorema 2.4 y Teorema 3.6, se deduce que
cRSN =
cR Xk
= N cR X
Puesto que R y cR son multilineales y M0 = M0 = 0, tenemos que
cRSN,n = lim
cRX,n
0 si n 6= 1
M1(·) si n = 1
y las relaciones similares para RSN, n, por lo tanto i) y ii) se prueban.
En efecto, basta con comprobar las relaciones entre la República Federal de Alemania y la República Federal de Alemania. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................
que son un corolario trivial de (i), (ii), y las fórmulas de recurrencia que definen R
y cR. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 4.2. Para B = C, el teorema es una versión más débil del Teorema 4.3 a partir de [2].
Si se valora C, el resultado es similar al del corolario 5.1 a partir de [6]. Además, bajo
las suposiciones de que para algunos a, b • B tenemos que:
(X1 · · ·XN ) = a
(X1 · · ·XN ) = b
las mismas técnicas conducen a un Teorema de límite tipo Poisson, similar al corolario 2,
Sección 5 de [6].
14 MIHAI POPA
En las siguientes páginas restantes describiremos la positividad del límite
funciones μ y / en términos de Φ y. El resultado central es el corolario 4.4.
Para la simplicidad, supongamos que B es un *-álgebra unitaria (de lo contrario, podemos reemplazar
B por su unificación). Considerar el símbolo de los polinomios, el *-álgebra B de los polinomios
con coeficientes de B, como se define antes, y considerar también el espacio lineal
B°B generado por el conjunto {b1°b2; b1, b2°B} con la estructura B-bimódulo
dado por
a1b1°b2a2 = (a1b1)°(b2a2)
para todos los a1, a2, b1, b2 o B.
Lemma 4.3. Para cualquier positiva B-sequilinear emparejamiento, en Bâ °B existe una
expectativas condicionales positivas : B B tales que para cualquier b1, b2 B uno
¿Tiene eso?
* (b*1b2) = *b1, b2
Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que B es unitario (de lo contrario
puede reemplazar a B por su unificación).
Considere el bÃ3dulo completo de Fock sobre BÃ3B
F = B =
# B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B }
n veces
con el emparejamiento dado por
A, b = a*b
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ............................................................... .. bn.
(a, aj, b, bj • B, j = 1,.., n)
Tenga en cuenta que los operadores lineales B A1, A2 : F F descrito por el
Relaciones
A1b = Łb
A1(a1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
A2b = 0
A2(a1 · · · · · · · · · b) =, a1a2 · · · · · · · · b) =, a1a2 · · ·
son auto-adjuntos entre sí, en el sentido de que
A11, 2 = 1, A22
para cualquier 1, 2 F, por lo tanto S = A1 + A2 es autoadjunta.
Por otra parte, para cualquier a, b â € B,
• 1, Sa*bS1 • • • aS1, bS1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
= A1 + A2)1, b(A1 + A2)1
= Aaa, baaaa, baaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, baaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, baaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, baaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
y la conclusión sigue por el establecimiento de la letra p) = 1, p (S) 1 + para todos los puntos de la letra b). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollario 4.4. Los mapas μ y / del teorema 4.1 son positivos si y sólo si
Φ(Xb*bX) ≥ 0 y Φ(Xb*bX) ≥ 0.
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 15
Prueba. Una implicación es trivial, ya que, si ν y μ son positivos, entonces
(Xb*bX) = /(Xb*bX) = /((bX)*bX) ≥ 0
Φ(Xb*bX) = μ(Xb*bX) = μ((bX)*bX) ≥ 0.
Supóngase ahora que Φ(Xb*bX) ≥ 0 y Φ(Xb*bX) ≥ 0 para todos los b • B. Lo haremos.
utilizar el mismo argumento que en [9] y [8].
Considere el conjunto de símbolos autoadjuntos i}i≥1. En cada B-bimódulo Bâ € TM iB
tienen los apareamientos positivos B-sesquilineales, y, determinados por
(Xa*bX)
(Xa*bX).
Como se muestra en Lemma 4.3, los emparejamientos sesquilineales B anteriores determinan positivo
las expectativas condicionales de Ai B, donde Ai = Bi® son los álgebras de
polinomios en • con coeficientes de B, i ≥ 1.
Para : B B una expectativa condicional, y ♥ ≥ 0, note con D la
la dilatación con de , es decir,
(b1 · · · · bn ° ) = (b1 · · bn · )
Observa que si ♥ es positivo, entonces D es también positivo.
Con las anotaciones anteriores, considere, como en la definición 2.1, la condicionalmente libre
producto (A,Φ,) = ∗iI(Ai,Φi,i). Los elementos i}i≥1 son condicionalmente libres
en A, por lo que Teorema 4.1 implica que:
μ = lim
Φ 1 N
= D 1
1N
v = lim
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
= D 1
1N
= D 1
(*Ni=1i
Tenemos que *Ni=1i ≥ 0 ya que es el producto libre de los estados (ver, por ejemplo
[9]), por lo tanto la positividad de.
Además, el teorema 2.4 y el corolario 2.6 implican que 1N ≥ 0, por lo tanto μ ≥ 0.
Agradecimiento. Esta investigación fue parcialmente apoyada por la Grant 2-CEx06-
11-34 del Gobierno rumano. Estoy agradecido a Marek Bożejko por el presente...
me ing los fundamentos de c-freeness y señalar a mi atención las referencias [2] y
[6]. Agradezco también a Hari Bercovici su constante apoyo y sus numerosos consejos.
durante el trabajo en este documento.
16 MIHAI POPA
Bibliografía
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Teoría de la Probabilidad Libre Valorada, en: Mem. AMS, Vol 132, no 627 (1998)
Mihai Popa: Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana en Bloomington,
Rawles Hall, 931 E 3rd St, Bloomington, IN 47405
Dirección de correo electrónico: mipopa@indiana.edu
| Como en los casos de libertad e independencia monotónica, la noción de
la libertad condicional es significativa cuando los estados de valor complejo son reemplazados por
expectativas condicionales positivas. En este marco, el documento presenta
varios resultados de positividad, una versión del teorema del límite central y un
análogo de la transform-R condicionalmente libre construida por medio de
serie de funciones multilineales.
| Introducción
El documento aborda un tema relacionado con la libertad condicional (o, en breve, utilizando el
término a partir de [2] c-libre) probabilidad. Esta noción se desarrolló en los años 90 (véase [1],
[2]) como una extensión de la libertad en el marco de ∗-álgebras dotadas de
no uno, sino dos estados. Es decir, dada una familia de álgebras unitarias, cada Ai
dotado de dos expectativas: Ai C, su producto libre de c es el triple
En el caso de los vehículos de las categorías A, A, A, B, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D., D., D., D., D., D., D., D., D., D.
(i) A = ∗iIAi es el producto libre de los álgebras Ai.
— • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(a) (a1 · · · a) = 0
(b) (a1 · · · an) = (a1) (a1) · · (n) (an)
para todos los aj (j), j = 1,...., n tales que (j)(aj) = 0 y
Un resultado clave es que si los Ai son ∗-álgebras y
entonces, los dos son también positivos.
En [6], se demuestra la positividad de los mapas de productos libres........................................................................................................................................................................................................................................................
cuando las expectativas condicionales positivas en una C*-subálgebra común,
pero los mapas positivos valorados en C siguen siendo los siguientes: Una situación más general es, de hecho,
discutida (véase el Teorema 3, sección 6, de [6]), pero la pregunta si
para 1,2, 1, 2, expectativas condicionales positivas arbitrarias queda sin respuesta.
Una primera respuesta fue dada en [8], donde mostramos que para A un *-álgebra, el
construcción análoga con tanto valor en C*-subalgebra B de A
conserva la positividad. En el presente documento se desarrolla más este resultado (véase Teorema).
2.3) y también demuestra el uso de series de funciones multilineales en la configuración libre de c.
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 45L53; secundaria 46L08.
Palabras y frases clave. libertad condicional, expectativa condicional, transform-R, multi-
serie de funciones lineales.
http://arxiv.org/abs/0704.0040v3
2 MIHAI POPA
En [2] se construye una versión libre de c de la transform-R de Voiculescu, que
llamar al cR-transform, con la propiedad que cRX+Y =
cRX +
CRY si X e Y
son elementos libres de c de la álgebra A en relación con las relaciones a)
y b) a partir de la definición del producto libre de c se aplican a los subalgebras
generado por X e Y.)
El aparato de la serie de funciones multilineales se utiliza en trabajos recientes de K. Dykema
([3] y [4]) para construir análogos adecuados para las transformas R y S
marco de la libertad con la amalgama. Demostraremos que esta construcción
también es adecuado para la transforma de cR mencionada anteriormente. Las técnicas utilizadas
se diferencian de los de [3], la construcción del tipo de espacio Fock se sustituye por
técnicas combinatorias similares a [2] y [7]. En particular, los teoremas 3.3 y 3.6
contienen nuevas pruebas (más cortas) de los resultados 6.1–6.13 a partir de [3].
El documento está estructurado en cuatro secciones. En la sección 2 se indican los principios básicos
definiciones y se prueban los principales resultados de positividad. En la sección 3 se describe la
construcción y la propiedad básica de la serie de funciones multilineales cR-transform
y la Sección 4 trata el teorema del límite central y una propiedad de positividad relacionada.
2. Definiciones y resultados de positividad
Definición 2.1. Deja que {Ai}iI ser una familia de álgebras, todos los que contienen la subalgebra
B. Supongamos que D es un subalgebra de B y i : Ai D y Φi : Ai B son con-
las expectativas ditionales, i.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o I.o Decimos que el triple (A,Φ,) = ∗iI(Ai,Φi,i)
es el producto condicionalmente libre con amalgama sobre (B,D), o en breve, el
c-producto libre, de los triples (Ai,Φi,Φi)i
(1) A es el producto libre con amalgama sobre B de la familia (Ai)
(2) Las relaciones determinan las relaciones entre los Estados miembros y los Estados miembros.
(a1a2. .. an) = 0
Φ(a1a2. .. an) = Φ(a1)Φ(a2)......................................................................................................................................................................................................................................................
para todos los ai • A• (i), • (i) • (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) = 0).
Cuando D = C, esta definición se reduce a la dada en [6]. Cuando tanto B como
D son iguales a C, esta definición se dio en [2].
Al discutir la positividad, necesitamos una estructura * sobre nuestros álgebras. Lo haremos.
exigir que B y D sean álgebras-C*, mientras que Ai y A sólo están obligados a ser
*-álgebras.
Los siguientes resultados son versiones ligeramente modificadas de Lemma 6.4 y Teorema
6.5 a partir de [8].
Lemma 2.2. Let B be a C*-álgebra y A1, A2 be dos *-álgebras que contienen B
como ∗-subálgebra, dotado de expectativas condicionales positivas Φj : Aj B,
j = 1, 2. Si a1,. .......................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................
es la matriz con las entradas
Ai,j =
i aj) si i, j ≤ n
i )Φ2(aj) si i ≤ n, j > n
i)Φ1(aj) si i > n, j ≤ n
i aj) si i, j > n
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 3
entonces A es positivo.
Prueba. El espacio vectorial E = B • ker(Φ1) • ker(Φ2) tiene una estructura B-bimódulo
dado por las operaciones algebraicas en A1 y A2. Considere el B-sequilinear
emparejamiento
, : E× E B
determinadas por las relaciones:
b1, b2 = b*1b2, para b1, b2 • B
uj, vjó = Φj(u*jvj), para uj, vj ker(Φj), j = 1, 2
• u1, u2 • = • u2, u1 • = 0 para u1 • ker(Φ1), y u2 • ker(Φ2).
B, ej = ej, ej, ej, ej, ej, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, ob, oj, oj, oj, b, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, ob, oj, oj, oj, ob, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj, oj,
Con esta notación, tenemos que Ai,j = Ajai, ajai, por lo tanto basta con demostrar que
A, a ≥ 0 para todos los a E.
En efecto, para un elemento a = b + u1 + u2 con b • B, uj • ker(Φj), j = 1, 2,
tener:
A, a = b + u1 + u2, b + u1 + u2
= b, b, u1, u1, u2, u2
= b*b1(u
1u1) + Φ2(u
Teorema 2.3. Let B be a C*-álgebra y D a C*-subálgebra de B. Supón que
A1, A2 son *-álgebras que contienen B, cada una dotada de dos condicionales positivos
expectativas Φj : Aj B, y j : Aj D, j = 1, 2 y considerar el c-libre
producto (A,Φ,Ł) = ∗i=1,2(Ai,Φi,Φi).
A continuación, los mapas Φ y فارسى son positivos.
Prueba. La positividad de la palabra es ahora un resultado clásico en la teoría de la proba-
bilidad con amalgama sobre una álgebra C* (véase, por ejemplo, [9], Teorema 3.5.6).
Para la positividad de Φ tenemos que demostrar que Φ(a*a) ≥ 0 para cualquier Φ A.
Cualquier elemento de A puede ser escrito como
s1,k. .. sn(k),k,
en los que sj,k â € € € € (j,k) € € (1,k) 6= € € (2,k) 6= · · · 6= € (n(k), k).
Escribiendo
s(j,k) = s(j,k) (s(j,k)) (s(j,k))
y la expansión del producto, podemos considerar una de la forma
a = d+
a1,k. .. an(k),k
con d • D • B y aj,k • A• j,k) de tal manera que • j,k)aj,k) = 0 y • (1,k) 6=
*(2, k) 6= · · · 6= (n(k), k).
4 MIHAI POPA
Por lo tanto
Φ(a)*a) = Φ
d+d*
a1,k. .. an(k),k
a1,k. .. an(k),k
a1,k. .. an(k),k
* [ N.O.M.A.]
a1,k. .. an(k),k
Puesto que Φ es una expectativa condicional y d • D • B, la igualdad antedicha se convierte en
Φ(a*a) = d*d+
d(a1,k. .. an(k),k) +
Φa*n(k),k.........................................................................................................
1,k)d
k,l=1
a*n(k),k.................................................................................................................
1, ka1, l. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Uso de la definición de producto condicionalmente libre con amalgama sobre B
y que (j,k)(aj,k) = 0 para todos j, k, uno más tiene
Φ(a*a) = d*d+
Φ(d*a1,k)Φ(a2,k).......................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(an(k),k)
...................................................................................................................................................
1,kd)
k,l=1
Φ(an(k),k)
∗..............................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(a*1,ka1,l)Φ(a2,l).......................................................................................................................................................................................................................................................
es decir
Φ(a*a) = d*d+
Φ(d*a1,k)
Φ(a2,k)...........................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(a2,k)...........................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(a*1,kd)
k,l=1
Φ(a2,k)...........................................................................................................................................................................................................................................................
Φ(a)*1,ka1,l)
Φ(a2,l)................................................................................................................................................
De Lemma 2.2, la matriz S =
Φ(a)*1,ia1,j)
i,j=1
es positivo en MN+1(B),
por lo tanto
S = T ∗T, para algunos T • MN+1(B).
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 5
Denota ahora a1,N+1 = d y vk = Φ(a2,k)..Φ(an(k),k).La identidad para Φ(a)
se convierte en:
Φ(a)*a) = (v1,. ., vN, 1)
*T*T (v1,. ., vN, 1)
≥ 0, como se afirma.
Teorema 2.4. Supongamos que I =
jÃ3J Ij es una particiÃ3n de I. Entonces:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Prueba. La prueba es idéntica a las pruebas de resultados similares en [6] y [2]. Considerar
1 ≤ i ≤ m de tal manera que •(1) 6= •(2 6= · · · · 6= •(m) y (i)(ai) = 0. Vamos.
1 = i0 < i1 < · · · < ik = m y Jl = (i), il−1 ≤ i < il}.
Desde
(*) = 0, = 1 · · · · · · · · · · ·
basta con demostrar que
Φ(a1 · · · am) =
(*(lj),jlΦj)(ail−1 · · · ail)].
Φ(a1 · · · am) = (1)(a1) · (m)(am)
mientras que, desde (i)(ai) = 0,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
y la conclusión es la siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición 2.5. Que A sea un álgebra (respectivamente un *-álgebra), B un subalgebra (*-
subalgebra) de A y D a subalgebra (*-subalgebra) de B. Suponga que A está dotada
con las expectativas condicionales: A D y Φ: A D.
i) Se dice que los subalgebras (*-subalgebras) (Ai)
respecto a (Φ,l) si:
a) i) Soy libre en lo que se refiere a la letra a).
b) si el valor de la letra a) del apartado i) del artículo 1 ≤ i ≤ m, es tal que el valor de la letra a) del apartado 1 del artículo 6 = · · · · 6 = (m) y
•(ai) = 0, entonces Φ(a1 · · ·am) = Φ(a1) · · (am).
ii) Se dice que los elementos (Xi)i)i de A son indemnes con respecto a (Φ,
los subalgebras (*-subalgebras) generados por B y Xi son libres de c con
respeto de los derechos humanos (Φ,l).
Denotaremos por B el álgebra no-commutativa de polinomios en el
y con coeficientes de B (los coeficientes no conmutan con
el símbolo.............................................................................................................................................................................................................................................................. Si yo es una familia de índices, Bi}iI denotará el álgebra de
polinomios en las variables no conmutantes iI y con coeficientes de B.
Identificaremos Bi}iI con el producto libre con la amalgama sobre B de
la familia.
6 MIHAI POPA
Si A es un *-álgebra y B es con el C*-álgebra, B también será considerado
con una estructura ∗-álgebra, tomando =. Si X es un elemento autoadjunto de A,
definimos las expectativas condicionales
ΦX: B B
dado por ΦX(f()) = Φ(f(X)) y
Corolario 2.6. Supongamos que A es un *-álgebra y X e Y son c-adjuntas libres
elementos de A tal que los mapas ΦX,ΦX y ΦY,ΦY son positivos. Entonces el
mapas ΦX+Y y ΦX+Y también son positivos.
Prueba. La positividad de X+Y es una consecuencia inmediata del hecho de que X
e Y son libres con la amalgama sobre B con respecto a B. Queda por probar
la positividad de ΦX+Y.
Desde los mapas ΦX : B1 B y ΦY : B2 B son positivos, de
Teorema 2.3 así es
Φx ∗(#X, #Y ) ΦY : B1• *B 2• = B1, #2• B
Observar también que
iZ : B f() 7→ f(X + Y ) B1*B B2*
es un B-funcional positivo.
La conclusión se deriva del hecho de que la libertad de c de X e Y es equivalente
ΦX+Y = (ΦX ∗ (X,Y ) ΦY ) • iX+Y.
3. Serie de funciones multilineales y la transformación cR
Que A sea una álgebra ∗ que contenga la álgebra C* B, dotada de un condicional
expectación : A B. Si X es un elemento autoadjunto de A, entonces por el momento
de orden n de X vamos a entender el mapa
X : Bx · · · ×B}
n−1 veces
X (b1,. ..., bn−1) = (Xb1X...Xbn−1X)
Si B = C, entonces la serie generadora de momento de X
mX(z) =
(Xn)zn
codifica toda la información sobre los momentos de X. Para B 6 = C, la recta para
generalización de los servicios
mX(z) =
(Xn)zn
generalmente falla en hacer un seguimiento de todos los momentos posibles de X. Una solución a
Este inconveniente se propuso en [3], a saber, el multilin-
serie de funciones auditivas de X. Antes de definir esta noción, recordaremos brevemente la
construcción y varios resultados en series de funciones multilineales.
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 7
Let B ser un álgebra sobre un campo K. Ponemos Bū igual a B si B es unital y
a la unificación de B de lo contrario. Para n ≥ 1, denotamos por Ln(B) el conjunto de todos
Mapas K-multilineales
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
n veces
Una serie de funciones multilineales formales sobre B es una secuencia • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . ),..........................................
en los que 0 B y nLn(B) para n ≥ 1. Según [3], el conjunto de todos
serie de funciones multilineales sobre B se denotará por Mul[[B]].
En el caso de α, β •Mul[[B]], la suma formal • β y el producto formal • son:
elementos de Mul[[B]] definidos por:
(α β)n(b1,. .., bn) = αn(b1,. .., bn) + βn(b1,. .., bn)
()n(b1,. .., bn) =
αk(b1,. .., bk)βn−k(bk+1,. .., bn)
para cualquier b1,. ...............................................................................
Si β0 = 0, entonces la composición formal α • β • Mul[[B]] está definida por
(α ≤ β)0 = α0
y, en el caso de n ≥ 1, por
(α α β)n(b1,. .., bn) =
βp1(b1,. .., bp1),. .., βpk(bqk+1,. .., bqk+pk)
donde la segunda suma se hace sobre todos los k-tuples p1,. ..............................................................
p1 + · · pk = n y qj = p1 + · · pj−1.
Uno puede trabajar con elementos deMul[[B]] como si fueran series de poder formales. Los
propiedades relevantes se describen en [3], Proposición 2.3 y Proposición 2.6. Al igual que en
[3], utilizamos 1, respectivamente I, para denotar los elementos de identidad de Mul[[B] relativo
a multiplicación, respectivamente composición. En otras palabras, 1 = (1, 0, 0,... ) y
I = (0, idB, 0, 0,... ). También usaremos el hecho de que un elemento α Mul[[B]] tiene
un inverso con respecto a la composición formal, denotado 1, si y sólo si α tiene
la forma (0, α1, α2,. .. ) con α1 un elemento invertible de L1(B).
Definición 3.1. Con la notación anterior, la función multilineal generadora de momento
serie de ciones MX de X es el elemento de Mul[[B]] tal que:
MX,0 = فارسى(X)
MX,n(b1,. .., bn) = (Xb1X · · ·XbnX).
Dado un elemento α • Mul[[B]], se define la serie de funciones multilineales Rα
por la siguiente ecuación (véase [3], Def 6.1):
(1 + αI)
(I + IαI) (3.1)
Una propiedad clave de R es que para cualquier X, Y A libre sobre B, tenemos
RMX+Y = RMX + RMY. (3.2)
8 MIHAI POPA
Estas relaciones se probaron anteriormente en el caso particular B = C.
describir Rα por medios combinatorios, a través de la relación de recurrencia
αn(b1,. .., bn) =
[b1αp(1)b3,. ...................................................................................................
. ..., [bi(k−1)αp(k)(bi(k−1)+1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
bi(k)αn−ik(bik+1,. .., bn)
donde la segunda suma se realiza sobre todo 1 = i(0) < i(1) < · · · < i(k) ≤ n y
p(k) = i(k)− i(k − 1)− 2.
Siguiendo una idea de [2], la ecuación anterior se puede ilustrar gráficamente por
la imagen:
En el caso de la probabilidad libre de c escalar, un análogo de la R de Voiculescu
la transformación se desarrolla en [2]. Con el fin de evitar confusiones, vamos a denotarlo
por cR.
El cR-transform tiene la propiedad que linealiza la convolución libre de c de
pares de medidas de soporte compacto. En particular, si X e Y están libres de c
elementos de algún álgebra A, entonces
cRX+Y =
cRX +
CRY.
Si el ∗-álgebraA está dotado con los estados valorados en C
elemento de A, entonces (véase [2]), los coeficientes {cRm}m ≥ 0 de cRX se definen por
la recurrencia:
(Xn) =
l(1),...,l(k)≥0
l(1)l(k)=n−k
cRk · (X l(1)) · · (X l(k−1))• (X l(k))
ecuación que se puede ilustrar gráficamente por la imagen, eran las cajas oscuras
soporte para la aplicación de los de luz para la aplicación de los de luz para la aplicación de los de luz:
Las consideraciones anteriores llevan a la siguiente definición:
Definición 3.2. Let β, γ Mul[[B]]. La serie de funciones multilineales cRβ,γ es la
elemento de Mul[[B]] definido por la relación de recurrencia
βn(b1,. .., bn) =
cRβ,γ,k
[b1γp(1)b3,. ...................................................................................................
. .., [bi(k−1)γp(k))bi(k−1)+1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
bi(k)βn−ik(bik+1,. .., bn)
donde la segunda suma se realiza sobre todo 1 = i(0) < i(1) < · · · < i(k) ≤ n y
p(k) = i(k)− i(k − 1)− 2.
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 9
La siguiente descripción analítica de cRβ,γ también muestra que es único y
bien definido:
Teorema 3.3. Para cualquier β, γ Mul[[B]],
Rβ,γ =
β(1 + Iβ)−1
(I + IγI)1 (3.3)
Antes de probar el teorema, observar que el lado derecho de (3.3) está bien-
definido y único, ya que 1 + Iγ es invertible con respecto a la multi-
catión, I+ IβI es invertible con respecto a la composición formal y su inversa tiene
0 como primer componente (véase [3]). Necesitaremos el siguiente resultado auxiliar:
Lemma 3.4. Dejar β ser un elemento de Mul[[B]] y I el elemento de identidad con
respecto a la composición formal, I = (0, idB, 0, 0... ).
i) la serie de funciones multilineales Iβ está dada por:
(Iβ)0 = 0
(Iβ)n(b1,. .., bn) = b1βn−1(b2,. .., bn)
ii) la serie de funciones multilineales IβI está dada por
(IβI)0 = 0
(IβI)1(b1) = 0
(IβI)n(b1,. .., bn) = b1βn−2(b2,. .., bn−1)bn
Prueba. Desde I = (0, idB, 0,..... ), uno tiene:
(Iβ)0 = I0β0 = 0.
Si n ≥ 1,
(Iβ)n(b1,. .., bn) =
Ik(b1,. .., bk)βn−k(bk+1,. .., bn)
= I1(b1)βn−1(bk+1,. .., bn)
= b1βn−1(bk+1,. .., bn).
Para IβI, los mismos cálculos dan:
(IβI)0 = (Iβ)0I0 = 0
(IβI)1 = (Iβ)0I1(b1) + (Iβ)1(b1)I0
Si n ≥ 2, uno tiene:
(IβI)n(b1,. .., bn) =
(Iβ)k(b1,. .., bk)In−k(bk+1,. .., bn)
= (Iβ)n−1(b1,. ...................................................................................................
= b1βn−2(b2,. .., bn−1)bn
10 MIHAI POPA
Prueba del teorema 3.3: Set = I + IβI. Entonces
(cRβ,γ )n (b1,. .., bn) =
p1,...,pk≥1
p1pk=n
Rβ,γ,k
p1 (b1,. .., bp1),. ..,
pk(bqk+1,. .., bqk+pk)
donde qi = p1 + · · pi−1.
De Lemma (3.4) (ii), tenemos que
n(b1,. .., bn) = (I + IβI)n(b1,. .., bn)
por lo tanto, la definición 3.2 es equivalente a
βn(b1,. .., bn) =
(cRβ,γ-(I + IβI)k(b1,. .., bk)) bk+1βn−k−2(bk+2,. .., bn)
Teniendo en cuenta ahora Lemma 3.4(i), la relación anterior se convierte en
βn(b1,. .., bn) =
(cRβ,γ-(I + IβI)k(b1,. .., bk)) (I + Iβ)n−k(bk+1,. .., bn)
por lo tanto
β = [cRβ,γ-(I + IγI)] (1 + Iβ)
que es equivalente a (3.3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.5. Hasta un cambio en los coeficientes, la ecuación (3.3) es similar al resultado
en el caso B = C a partir de [2], Teorema 5.1.
Que X sea un elemento autoadjunto de A. Si A está dotado de dos condiciones de valor B-
Φ el elemento X tendrá dos multi-generadores de momento
serie de funciones lineales, uno con respecto a, que vamos a denotar por MX, y uno
con respecto a Φ, denotado MX. Para la brevedad, usaremos la notación
cRX para la
serie de funciones multilineales cRMX, MX.
Teorema 3.6. Que X e Y sean dos elementos de A que sean libres de c con respecto a
el par de expectativas condicionales (Φ,). Entonces
cRX+Y =
cRX +
Prueba. Dejar A ser un álgebra que contiene B como un subalgebra y dotado con el
expectaciones condicionales Φ, : A B. Considerar el conjunto A0 = A \ B (set
ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac., ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac., ac, ac, ac., ac, ac, ac, ac, ac, ac., ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac, ac Para n ≥ 1 definir los mapas
cr : A0 × · · × A0}
n veces
dado por la fórmula de recurrencia:
Φ(a1 · · · an) =
l(1)l(k)
1<l(1),l(k)≤n
rk(a1[?(a2 · · · al(1)−1)],.................................................................................................................................................................................................................................................... ..,
. ..., al(k−1)[(al(k−1)+1 · · al(k)1)], al(k)[Φ(al(k)+1 · · · an)]
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 11
Tenga en cuenta que crn está bien definido, y que, para cualquier b1,. .........................................
crn+1(X, b1X,. .., bnX) =
cRX,n(b1,. .., bn). (3.4)
Al igual que en la sección 2, considerar Bi®, los álgebras no conmutativas de polinomi-
als en los símbolos i, i = 1, 2 y con coeficientes de B y el condicional
expectativas
ΦX,X : B1· B
dado por
ΦX(f(1)) = Φ(f(X))
x(f(+1)) = +(f(X))
y sus análogos ΦY,''Y para B2''.
OnB1, â € â € TM TM, identificado aB1BB2â € TM, considerar las expectativas condicionales
0, 0, 0, 0, 0, dado por:
0 = X Y
Φ0(f(+1, +2)) = Φ(f(X,Y))
(a1a2. .. a) =
l(1)l(k)
1<l(1),l(k)≤n
Al(1)−1)],............................................................................................................................................................................................................................................................ ..,
. ..., al(k−1)[0(al(k−1)+1 · ·al(k)1 )], al(k)[(al(k)+1 · · · an)]
donde a1,. .......................................................................................
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
n veces
están dadas por:
n(a1,. .., an) =
cr(a1,. .., an) si todos a1,. ...............................................................................
cr(a1,. .., an) si todos a1,. ...................................................................................
0 de lo contrario
Demostraremos que también está bien definido el valor de 0,0, en particular el de 0,0. Considerar la
el elemento a de la forma a = a1 · · · · a con aj â ° B(j) ·, de tal manera que
6= · · · · 6= • n) y • 0(aj) = 0. Se realiza el cálculo de la suma de 1 °(a1 · · · an)
a través de la relación de recurrencia arriba. A causa de la definición de la letra a) y del hecho de que
0 = X Y, sólo el término con k = 1 contribuyen a la suma, es decir.
(a1 · · · an) = (a1 °(a2 · · an))
= 1) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a
= 1(a)(a2 · · · · an)
y la identidad entre Φ y Φ0 sigue por inducción sobre n.
Desde el 1 de enero de 1985, la Comisión adoptó una propuesta de directiva por la que se modifica la Directiva 77/388/CEE relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios.
crn satisfacen la misma relación de recurrencia,
por lo tanto
n(a1,. .., an) =
cr(a1,. .., an).
12 MIHAI POPA
En particular
RX+Y,n(b1,. .., bn) =
rn+1((X + Y )b1(X + Y ). .. (X + Y )bn(X + Y ))
= ln+1((X + Y )b1(X + Y ). .. (X + Y )bn(X + Y ))
= ln+1(X)b1(X). .. (X)bn(X)) + ln+1((Y )b1(Y ). . (Y )bn(Y )
= cRX,n(b1,. .., bn) +
cRY,n(b1,. .., bn).
4. Teorema del límite central
Considerar el conjunto ordenado n = {1, 2,...., n} y
B1,. .., Bm:
B1 B2 · · · · · Bm.
Se dice que los bloques Bp y Bq de η están cruzando si existen i < j < k < l
en los casos en que i, k, Bp y j, l, Bq.
Se dice que la partición η no cruza si todos los pares de bloques distintos de η
no están cruzando. Denotaremos por NC2(n) el conjunto de todas las particiones no cruzadas
de los cuales los bloques contienen exactamente 2 elementos y por NC≤s(n) el conjunto de todos
los tabiques no cruzados de los que los bloques contienen como máximo s elementos.
Ahora γ ser una partición no-cruce de y B y C ser dos bloques de
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Decimos que B es interior a C si existen dos índices i < j en este tipo
{i + 1,...., j − 1}. El bloque B se dice que es exterior si es
no interior a cualquier otro bloque de γ. En un tabique no cruzado de n, el bloque
que contiene 1 es siempre exterior.
Considere ahora un elemento X de A. Dejar η ser una partición de NC2(n+1) (n =
impar) y B1 = (1, k) ser el bloque de η que contiene 1. Definimos, por repetición,
las siguientes expresiones:
Vη(X, b1,. ..., bn) = (Xb1V2,...,j−1} (X, b2,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Vk+1,...,n+1}(X, bk+1,. .., bn)
Wη(X, b1,. .., bn) = Φ(Xb1V2,...,j−1}(X, b2,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Wk+1,...,n+1}(X, bk+1,. .., bn)
Teorema 4.1. (Teorema del límite central) Dejar (Xn)n≥1 ser una secuencia de c-libre
elementos de A tales que:
(1) todas las Xn tienen la misma serie de funciones multilineales generadoras de momento, M
con respecto a Φ y M con respecto a Φ.
(2) (Xn) = Φ(Xn) = 0.
X1 + · · XN
Entonces:
i) lim
RSN = (0,M1(·), 0,... )
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 13
ii) lim
RSN = (0,M1(·), 0,... )
— existen dos expectativas condicionales:
en M1(·), y μ : B B, dependiendo únicamente de M1(·) y M1(·), tales
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.
ΦSN = μ
en el sentido débil; en particular,
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 23 de octubre de 2001. .. bn®) =
NC2(n)
Vη(X1, b1,. .., bn)
μ(â € b1â € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ .. bn®) =
NC2(n)
Wη(X1, b1,. .., bn).
Prueba. Que X sea un elemento de A con el mismo momento generando series como Xj,
j ≥ 1. Como se muestra en [3],
RSN =
R. Xk.............................................................................................................................................................................................
= NR X
Además, de Teorema 2.4 y Teorema 3.6, se deduce que
cRSN =
cR Xk
= N cR X
Puesto que R y cR son multilineales y M0 = M0 = 0, tenemos que
cRSN,n = lim
cRX,n
0 si n 6= 1
M1(·) si n = 1
y las relaciones similares para RSN, n, por lo tanto i) y ii) se prueban.
En efecto, basta con comprobar las relaciones entre la República Federal de Alemania y la República Federal de Alemania. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................
que son un corolario trivial de (i), (ii), y las fórmulas de recurrencia que definen R
y cR. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 4.2. Para B = C, el teorema es una versión más débil del Teorema 4.3 a partir de [2].
Si se valora C, el resultado es similar al del corolario 5.1 a partir de [6]. Además, bajo
las suposiciones de que para algunos a, b • B tenemos que:
(X1 · · ·XN ) = a
(X1 · · ·XN ) = b
las mismas técnicas conducen a un Teorema de límite tipo Poisson, similar al corolario 2,
Sección 5 de [6].
14 MIHAI POPA
En las siguientes páginas restantes describiremos la positividad del límite
funciones μ y / en términos de Φ y. El resultado central es el corolario 4.4.
Para la simplicidad, supongamos que B es un *-álgebra unitaria (de lo contrario, podemos reemplazar
B por su unificación). Considerar el símbolo de los polinomios, el *-álgebra B de los polinomios
con coeficientes de B, como se define antes, y considerar también el espacio lineal
B°B generado por el conjunto {b1°b2; b1, b2°B} con la estructura B-bimódulo
dado por
a1b1°b2a2 = (a1b1)°(b2a2)
para todos los a1, a2, b1, b2 o B.
Lemma 4.3. Para cualquier positiva B-sequilinear emparejamiento, en Bâ °B existe una
expectativas condicionales positivas : B B tales que para cualquier b1, b2 B uno
¿Tiene eso?
* (b*1b2) = *b1, b2
Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que B es unitario (de lo contrario
puede reemplazar a B por su unificación).
Considere el bÃ3dulo completo de Fock sobre BÃ3B
F = B =
# B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B # B }
n veces
con el emparejamiento dado por
A, b = a*b
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ............................................................... .. bn.
(a, aj, b, bj • B, j = 1,.., n)
Tenga en cuenta que los operadores lineales B A1, A2 : F F descrito por el
Relaciones
A1b = Łb
A1(a1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
A2b = 0
A2(a1 · · · · · · · · · b) =, a1a2 · · · · · · · · b) =, a1a2 · · ·
son auto-adjuntos entre sí, en el sentido de que
A11, 2 = 1, A22
para cualquier 1, 2 F, por lo tanto S = A1 + A2 es autoadjunta.
Por otra parte, para cualquier a, b â € B,
• 1, Sa*bS1 • • • aS1, bS1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
= A1 + A2)1, b(A1 + A2)1
= Aaa, baaaa, baaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, baaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, baaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, baaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
y la conclusión sigue por el establecimiento de la letra p) = 1, p (S) 1 + para todos los puntos de la letra b). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollario 4.4. Los mapas μ y / del teorema 4.1 son positivos si y sólo si
Φ(Xb*bX) ≥ 0 y Φ(Xb*bX) ≥ 0.
SERIE DE FUNCIÓN MULTILINEAR, PROBABILIDAD CON AMALGAMATION 15
Prueba. Una implicación es trivial, ya que, si ν y μ son positivos, entonces
(Xb*bX) = /(Xb*bX) = /((bX)*bX) ≥ 0
Φ(Xb*bX) = μ(Xb*bX) = μ((bX)*bX) ≥ 0.
Supóngase ahora que Φ(Xb*bX) ≥ 0 y Φ(Xb*bX) ≥ 0 para todos los b • B. Lo haremos.
utilizar el mismo argumento que en [9] y [8].
Considere el conjunto de símbolos autoadjuntos i}i≥1. En cada B-bimódulo Bâ € TM iB
tienen los apareamientos positivos B-sesquilineales, y, determinados por
(Xa*bX)
(Xa*bX).
Como se muestra en Lemma 4.3, los emparejamientos sesquilineales B anteriores determinan positivo
las expectativas condicionales de Ai B, donde Ai = Bi® son los álgebras de
polinomios en • con coeficientes de B, i ≥ 1.
Para : B B una expectativa condicional, y ♥ ≥ 0, note con D la
la dilatación con de , es decir,
(b1 · · · · bn ° ) = (b1 · · bn · )
Observa que si ♥ es positivo, entonces D es también positivo.
Con las anotaciones anteriores, considere, como en la definición 2.1, la condicionalmente libre
producto (A,Φ,) = ∗iI(Ai,Φi,i). Los elementos i}i≥1 son condicionalmente libres
en A, por lo que Teorema 4.1 implica que:
μ = lim
Φ 1 N
= D 1
1N
v = lim
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
= D 1
1N
= D 1
(*Ni=1i
Tenemos que *Ni=1i ≥ 0 ya que es el producto libre de los estados (ver, por ejemplo
[9]), por lo tanto la positividad de.
Además, el teorema 2.4 y el corolario 2.6 implican que 1N ≥ 0, por lo tanto μ ≥ 0.
Agradecimiento. Esta investigación fue parcialmente apoyada por la Grant 2-CEx06-
11-34 del Gobierno rumano. Estoy agradecido a Marek Bożejko por el presente...
me ing los fundamentos de c-freeness y señalar a mi atención las referencias [2] y
[6]. Agradezco también a Hari Bercovici su constante apoyo y sus numerosos consejos.
durante el trabajo en este documento.
16 MIHAI POPA
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Teoría de la Probabilidad Libre Valorada, en: Mem. AMS, Vol 132, no 627 (1998)
Mihai Popa: Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana en Bloomington,
Rawles Hall, 931 E 3rd St, Bloomington, IN 47405
Dirección de correo electrónico: mipopa@indiana.edu
|
704.0041 | Quantum Group of Isometries in Classical and Noncommutative Geometry | arXiv:0704.0041v4 [math.QA] 26 Oct 2007
Grupo Quantum de Isometries en Clásica y
Geometría no conmutativa
Debashish Goswami 1
Unidad Stat-Math, Centro Kolkata,
Instituto de Estadística de la India
203, B. T. Road, Kolkata 700 108, India
Resumen
Formulamos una generalización cuántica de la noción de grupo de
Isometrías Riemannianas para un colector Riemanniano compacto, por introducción
que induce una noción natural de acción suave e isométrica por un compacto
grupo cuántico en un colector clásico o no conmutativo descrito
por triples espectrales, y luego probar la existencia de un objeto universal
(llamado grupo de isometría cuántica) en la categoría de
grupos que actúan sin problemas e isométricamente en un determinado (posiblemente
no conmutativos) múltiples que satisfacen ciertas suposiciones de regularidad.
De hecho, identificamos el grupo de isometría cuántica con el ob-
en una categoría mayor, a saber, la categoría de «familias quantum de
isometrias lisas», definidas a lo largo de la línea de Woronowicz y Soltan.
También construimos un triple espectral en el espacio Hilbert de formas en un
no commutativo que es equivariante con respecto a un nat-
representación unitaria oral del grupo de isometría cuántica. Damos
descripción explícita de los grupos de isometría cuántica de
Tori no conmutativo, y en este contexto, obtener el doble cuántico
Torus definido en [11] como el grupo cuántico universal de holomorphic
isometrías del toro no conmutativo.
1 Introducción
Desde la formulación de grupos de automorfismo cuántico por Wang ([15],
[16]), siguiendo las sugerencias de Alain Connes, muchos ejemplos interesantes de
tales grupos cuánticos, en particular los grupos de permutación cuántica de finitos
sets y gráficos finitos, han sido ampliamente estudiados por una serie de
maticistas (véase, por ejemplo, [1] [2], [17] y referencias en ellos), que también han encontrado
aplicaciones e interacción con áreas como probabilidad libre y subfactor
teoría. El principio básico subyacente de definir un automorfismo cuántico
grupo correspondiente a alguna estructura matemática dada (por ejemplo, un
1El autor agradece el apoyo obtenido de la Indian National
Academia de Ciencias a través de las becas para un proyecto sobre Geometría No Conmutativa
y Grupos Cuánticos, y también desea dar las gracias al Abdus Salam ICTP (Trieste), donde
una parte importante del trabajo se realizó durante una visita como Junior Assciate.
http://arxiv.org/abs/0704.0041v4
conjunto finito, un gráfico, un C* o von Neumann álgebra) consta de dos pasos:
primero, identificar (si es posible) el grupo de automorfismos de la estructura como
un objeto universal en una categoría adecuada, y luego, tratar de buscar el univer-
objeto sal en una categoría similar pero más grande mediante la sustitución de grupos por cuántico
grupos de tipo apropiado. Sin embargo, la mayor parte de la labor realizada hasta ahora se refiere a
una especie de grupos de automorfismo cuántico de una estructura ‘finita’, para ex-
amplio, de conjuntos finitos o álgebras de matriz dimensional finita. Por lo tanto, es bastante
natural para tratar de extender estas ideas al ‘infinito’ o ‘continuo’
estructuras matemáticas, por ejemplo, los colectores clásicos y no conmutativos. In
el presente artículo, hemos hecho un intento de formular y estudiar la
análogos cuánticos de los grupos de isometrías Riemannianas, que juegan un
papel muy importante en la geometría diferencial clásica. El grupo de Rie-
Isometrías mannianas de un compacto M múltiple Riemanniano se puede ver como
el objeto universal en la categoría de todos los grupos compactables que actúan
en M, con acción suave e isométrica. Por lo tanto, para definir el cuántico
grupo isométrico, es razonable considerar una categoría de cuántico compacto
grupos que actúan sobre el colector (o más generalmente, sobre un no
múltiple dado por el triple espectral) de una manera ‘agradable’, conservando el Riemannian
estructura en algún sentido adecuado, para ser formulado con precisión. En este artículo,
hemos dado una definición de tal acción ‘suave e isométrica’ por un com-
pacto grupo cuántico sobre un (posiblemente no compmutativo) múltiple, ampliando
la noción de acción suave e isométrica por un grupo en un mani-
Dobla. De hecho, el significado de la acción isométrica no es más que que la acción
debe viajar con el ‘Laplaciano’ procedente del triple espectral, y
hay que mencionar que esta idea ya estaba presente en [2], aunque sólo en
el contexto de un espacio métrico finito o un gráfico finito. El objeto universal
en la categoría de tales grupos cuánticos, si existe, se debe pensar en
como el análogo cuántico del grupo de isometrías, y hemos sido capaces
para demostrar su existencia bajo algunos supuestos de regularidad, todos los cuales pueden
ser verificado para un compacto general conectado con el colector Riemannian también
como los ejemplos estándar de los colectores no conmutativos. Motivado por el
ideas de Woronowicz y Soltan, en realidad consideramos una categoría más grande. Los
Grupo isométrico de un colector clásico, visto como un espacio metificable compacto
(olvidando la estructura del grupo), puede ser visto como el objeto universal de un
categoría cuya clase de objeto consiste en subconjuntos (no necesariamente subgrupos)
del conjunto de isometrías lisas del colector. Entonces se puede probar
que este conjunto compacto universal tiene una estructura canónica de grupo. Un natural
analógico cuántico de esto ha sido formulado por nosotros, llamado la categoría de
«familias quantum de isometrias lisas». C*-álgebra subyacente de la
grupo de isometría cuántica se ha identificado con su objeto universal y
Además, se demuestra que está equipado con un coproducto canónico que lo hace
en un grupo cuántico compacto.
Creemos que un estudio detallado de los grupos de isometría cuántica no
sólo dar muchos ejemplos nuevos e interesantes de grupos cuánticos compactos,
también contribuirá a la comprensión del grupo cuántico covariante
triples espectrales. De hecho, ya hemos hecho algunos progresos en esta dirección.
mediante la construcción de un triple espectral (que a menudo está estrechamente relacionado con el original
triple espectral) en el espacio Hilbert de formas que es equivriante con respeto
a una representación canónica unitaria del grupo de isometría cuántica.
En un artículo de acompañamiento [3] con J. Bhowmick, proporcionamos com-
tas de grupos de isometría cuántica de unos pocos clásicos y no conmutativos
multiples. Sin embargo, citamos brevemente algunos de los principales resultados de [3] en el
......................................................................................................................... Una observación interesante es que la isometría cuántica
grupo del dos torso no commutativo A. (con el espectral canónico
triple) es (como álgebra C*) una suma directa de dos conmutativos y dos no-
Tori conmutativo, y contiene como subgrupo cuántico (que es univer-
sal para ciertas clases de acciones isométricas llamadas isometrias holomórficas) la
«quantum double-torus» descubierto y estudiado por Hajac y Masuda ([11].
2 Definición del grupo de isometría cuántica
2.1 Grupos isométricos de colectores clásicos
Comenzamos con una caracterización bien conocida del grupo isométrico de un (clas-
Sical) compacto colector Riemanniano. Que (M,g) sea un Riemanniano compacto
multiple y dejar que 1 = 1(M) sea el espacio de una-formas lisas, que tiene
una estructura derecha Hilbert-C-(M)-módulo dada por el interior valorado C-(M)
producto definido por
(m) = (m), (m) = (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m)
donde < ·, · > m es la métrica Riemanniana en el espacio cotangente T
mM a
el punto M.............................................................................................................. La forma de volumen Riemanniano nos permite hacer un pre-
Hilbert espacio, y denotamos su finalización por H1. Dejar H0 = L
2 (M,dvol)
y considerar el diferencial de-Rham d como un mapa lineal sin límites de
H0 a H1, con el dominio natural C
(M) (H0), y también denotar su cierre
por d. Let L := −d∗d. La siguiente identidad puede verificarse por vía directa y
fácil cálculo utilizando las coordenadas locales :
L()-L()-L()-L()-L() = 2 d, d >> para فارسى, C(M) (*).
Proposición 2.1 Un mapa liso γ : M → M es una isometría Riemanniana si
y sólo si γ se desplaza con L en el sentido de que L(f γ γ) = (L(f))
todos f • C(M).
Prueba:
Si γ se desplaza con L, entonces de la identidad (*) obtenemos para m o M y
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
< d(m), d(m) > (m)
=..............................................................................................................................................................................................................................................................
(l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
L (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
= (m) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) (e) (e) = (e) (e) (e) = (e) (e) (e) = (e) (e) = (e) (e)
= < d(γ)m, d(γ)m > m
= < (dm)
*(d(m)), (dm)
*(d(m)) > m,
que prueba que (dm)
* : T *
M → T ∗mM es una isometría. Por lo tanto, γ es un
Isometría Riemanniana.
Por el contrario, si γ es una isometría, ambos los mapas inducidos por γ en H0 y
H1, es decir, U
γ : H0 → H0 dada por U
γ (f) = f γ γ y U
γ : H
1 → H1 administrado
Por U1γ (fd.) = (f. γ.)d.(l.) son unitarios. Por otra parte, d • U
γ = U
γ d on
C(M)(H0. De esto se deduce que L = −d
* Conmutaciones con U0γ. â € € TM TM
Ahora consideremos un compacto metrizable (es decir. segundo contable) espacio
Y con un mapa contínuo : M × Y → M. Abreviamos Ł(m, y) como ym
y denotar por el mapa M m 7→ ym. Let α : C(M) → C(M)C(Y) =
C(M × Y ) ser el mapa dado por α(f)(m, y) := f(ym) para y â € Y, m â € M
y f) C(M). Para un estado de C(Y ), denote por el mapa (id
C(M) → C(M). También denotaremos por C el subespacio de C(M) C(Y)
generado por elementos de la forma α(f)(1), f (M)(C)(M)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H). Desde
C(M) y C(Y) son álgebras conmutativas, es fácil ver que C es un
*-subalgebra de C(M) C(Y). Entonces tenemos lo siguiente
Teorema 2.2 i) C es norma-densa en C(M)C(Y) si y sólo si por cada
Y, Y es uno a uno.
ii) El mapa es C
Por cada año Y si y sólo si (C)
(M) (C) (M)
para todos.
(iii) Bajo la hipótesis de (ii), cada uno es también una isometría si y sólo si
se desplaza con (L − )
−1 para todos los estados y todos los estados en la resolución de L
(equivalentemente, se desplaza con el Laplacian L en C
(M)).
Prueba:
i) En primer lugar, supóngase que es uno a uno para todos y. Por Stone-Weirstrass Theo...
rem, es suficiente para demostrar que C separa puntos. Toma (m1, y1) 6= (m2, y2)
en M × Y. Si y1 6= y2, podemos elegir C(Y) que separa y1 y y2,
por lo tanto (1 ) C se separa (m1, y1) y (m2, y2). Por lo tanto, podemos considerar la
caso cuando y1 = y2 = y (digamos), pero m1 6 = m2. Por la inyectividad de
ym1 6= ym2, por lo que existe f C(M) tal que f(ym1) 6= f(ym2), es decir.
α(f)(m1, y) 6= α(f)(m2, y). Esto demuestra la densidad de C.
Para lo contrario, argumentamos como en la prueba de la Proposición 3.3 de [14].
Asumir que C es densa en C(M) C(Y), y dejar y Y, m1,m2 M tales
que ym1 = ym2. Es decir, α(f)(1 )(m1, y) = α(f)(1 )(m2, y) para todos
f C(M), C(Y). Por la densidad de C obtenemos χ(m1, y) = χ(m2, y) para
Todas las χ C(M × Y ), así (m1, y) = (m2, y), es decir, m1 = m2.
ii) La «si parte» de ii) sigue considerando los Estados correspondientes a:
evaluación de puntos, es decir, C(Y ) • 7→ • (y), y • Y. Para lo contrario, notamos
que un estado arbitrario corresponde a una medida regular de Borel μ en Y
de modo que فارسى(h) =
hdμ, y por lo tanto, (f)(m) =
f(ym)dμ(y) para f(C(M).
A partir de esto, mediante el intercambio de diferenciación e integración (que se permite
por el Teorema de Convergencia Dominado, ya que μ es una medida finita) podemos
probar que (f) es C
Siempre que f sea así.
La afirmación iii) se deriva de la Proposición 2.1 de una manera estraghtforward.
Recordemos algunos hechos conocidos sobre el Laplacian L, visto como un
operador autoadjunto negativo en el espacio Hilbert L2 (M,dvol). Se conoce
(véase [12] y referencias en él) que L tiene resueltores compactos y todos sus
Los autovectores pertenecen a C. M. Por otra parte, se deriva de la Sobolev Em-
cama Teorema que
Dom(Ln) = C(M).
Que {eij, j = 1,..., di; i = 1, 2,...} sea el conjunto de autovectores (normalizados) de
L, donde eij â ° C
(M) es un vector propio que corresponde al valor propio.
1 < 2 <.... Tenemos lo siguiente:
Lemma 2.3 El complejo espacio lineal de {eij} es norma-densa en C(M).
Prueba:
Esto es una consecuencia de las estimaciones asintóticas de los valores propios, como
así como la unión uniforme de las funciones propias eij. Por ejemplo, es
Se sabe ([9],Teorema 1.2) que existen constantes C,C ′ tales que eij ≤
Ci
4, di ≤ C
i
2, donde n es la dimensión del multipleM. Ahora,
para la letra f) de la sección C de la parte M de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de
k≥1Dom(L
k), escribimos f como a-priori L2-convergente
Serie
ij fijeij (fij C), y observar que
fij
# 2i # # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i
2k < Ł por cada
k ≥ 1. Elegir y fijar k suficientemente grande de tal manera que
i≥0 i
n−1−2k < فارسى,
que es posible debido a la conocida asintótica de Weyl de valores propios de
L. Ahora, por la desigualdad Cauchy-Schwarz y la estimación para di, tenemos
fijeij ≤ C(C)
fij
# 2i # # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i
n−1−2k
Por lo tanto, la serie
ij fijeij converge a f en sup-norm, por lo que Sp{eij, j = 1, 2,..., di ; i =
1, 2,...} es denso en la sup-norm en C(M), por lo tanto también en CM. â € € TM TM
Denominemos Sp{eij, j = 1,..., di; i ≥ 1} por A
De ahora en adelante, 0. Lo haremos.
Ahora mostrar que C(M) puede ser reemplazado por el subespacio más pequeño A0 en
Teorema 2.2. Necesitamos un lema para esto, que también será útil más adelante.
Lemma 2.4 Dejar H1,H2 ser Hilbert espacios y para i = 1, 2, dejar Li ser (posiblemente
unbounded) operador de auto-adjunto en Hi con soluciones compactas, y dejar Vi
ser el lapso lineal de los autovectores de Li. Por otra parte, asumir que hay un
eigenvalue de Li para el cual el espacio propio es unidimensional, por ejemplo
una unidad vectorial. Let • Ser un mapa lineal de V1 a V2 de tal manera que L2 • • • L1
y •(•1) = •2. Entonces tenemos
2,(x) = 1, x x V1. 1)..........................................................................................................................................................
Prueba:
Por hipótesis en el caso de la palabra, está claro que hay un valor propio común, por ejemplo, en el caso de la palabra.
L1 y L2, con los autovectores â € 1 y â € 2, respectivamente. Vamos a escribir el set
de valores propios de Li como una unión discontinua 0}
(i = 1, 2), y dejar que el corre-
la descomposición ortogonal sponding de Vi debe ser dada por Vi = C.i.
V.i.......................................................................
CÓDIGOS Y ÓRGANOS DE LAS NACIONES UNIDAS Y DE LAS NACIONES UNIDAS
i, por ejemplo, donde V
i denota el espacio propio de Li correspondiente a la
eigenvalue ♥. Por suposición, los mapas V. 1 a V.
2 cada vez que el valor propio es un valor propio
de L2, es decir, V
2 6= {0}, y de lo contrario se mapea V
1 en {0}. Por lo tanto, (V)
1) V
Ahora, (1) es obviamente satisfecho para x = 1, por lo que es suficiente para probar (1) para todos
x V ′1. Pero tenemos x = 0 para x V
1, y desde el punto de vista de la letra x) de la parte V
2 = V2
se deduce que 2,(x) = 0 = 1, x. â € € TM TM
Lemma 2.5 Dejar Y y α ser como en Teorema 2.2. Entonces los siguientes son:
equivalente.
(a) Por cada año, es isométrico suave.
(b) Por cada estado en C(Y), tenemos (A)
0 ) A
0, y L = L en
A-0.
Prueba:
Demostramos sólo la implicación no trivial (b) (a). Suponga (b) que
deja el A-0 invariante y se desplaza con L en él, para cada estado. A
probar que α es una acción isométrica suave, es suficiente (ver la prueba de
Teorema 2.2) para probar que αy(A
Para todos y Y, donde αy(f) :=
(idevy)(f) = f y, evy es la evaluación en el punto y. LetM1,...,Mk
ser los componentes conectados del colector compacto M. Por lo tanto, el Hilbert
espacio L2(M,dvol) admite una descomposición ortogonal
2-Mi,dvol),
y el Laplacian L es de la forma iLi donde Li denota el Laplacian en
Mi. Dado que cada Mi está conectado, tenemos Ker(Li) = Cχi, donde χi es el
función constante en Mi igual a 1. Ahora, notamos que para y fijo y yo,
la imagen de Mi bajo la función continua debe ser mapeada en una
componente, sayMj. Por lo tanto, mediante la aplicación de Lemma 2.4 con H1 = L
2,Mi),H2 =
L2(Mj), = y y la L
2-continuidad del mapa f 7→ αy(f) = f
αy(f)(x)dvol(x) =
f(x)dvol(x)
para todos los f en el intervalo lineal de los autovectores de Li, por lo tanto (por densidad) para todos f
en L2(Mi). De ello se deduce que
αy(f)dvol =
fdvol para todos los l2(M), en
en particular para todos los casos en que se trate de C(M). Puesto que αy es un ∗-homomorfismo en C(M), nosotros
y(f), αy(g) =
αy(fg)dvol =
fgdvol = â € ¢f, gâ € TM,
para todos los f, g, C(M). Por lo tanto, αy se extiende a una isometría en L
2(M), a ser
denotado por la misma notación, que por nuestra suposición conmuta con el
operador de auto-adjunto L en el núcleo A-0, y por lo tanto αy se desplaza con L
n para
n. En particular deja invariantes los dominios de cada Ln, lo que implica
A. A. A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A. â € € TM TM
En vista del hecho de que el conjunto de isometrías de M, denotado por ISO(M),
es un segundo contador compacto (es decir, compacto metrizable) grupo, vemos que
ISO(M) es el segundo grupo contable compacto máximo que actúa sobre M tal
que la acción es suave e isométrica. En otras palabras, si consideramos un
catogoria cuyos objetos son grupos compactables que actúan sin problemas y
isométricamente en M, y morfismos son el grupo homomorfismos com-
silenciar con las acciones sobre M, luego ISO(M) (con su acción canónica sobre
M) es el objeto inicial de esta cateogoria. Sin embargo, uno puede tomar más
mirador general y considerar la categoría de espacios metificables compactos
Y equipado con un mapa continuo : M × Y → M satisfecho (i)-(iii) de
Teorema 2.2, o equivalente, el par de C*-álgebras unitarias conmutativas
B = C(Y) y un C*-homomorfismo unitario α : C(M) → C(M) → B satisfacer-
las condiciones i) a iii). El conjunto de isometrías ISO(M) (como un
espacio) se puede identificar con el objeto universal de esta categoría, y luego
uno puede probar que tiene una estructura de grupo.
Es bastante natural formular un análogo cuántico de lo anterior, por medio de
sidering, en el espíritu de Woronowicz y Soltan (véanse [19] y [13]), «quantum
familias de isometrias», que se puede definir como un par (B, α) donde B es
a (no necesariamente conmutativo) C*-álgebra y α : C(M) → C(M) B es
Unital C*-homomorismo que satisface i)-iii) del Teorema 2.2, es decir, el lineal
palmo de α(C(M))(1B) (que ya no es necesariamente un ∗-subálgebra,
B siendo posiblemente no commutativo) es norma-densa en C(M) B y para ev-
en B, el mapa mantiene C
(M) invariante y conmuta con
L. Los morfismos de esta categoría son obvios. Lo haremos.
probar que esta categoría tiene un objeto universal, y este objeto universal
puede ser equipado con una estructura de grupo cuántico canónico. Esto definirá
el grupo de isometría cuántica de un colector. Sin embargo, vamos a ir más allá
Células clásicas y definen el grupo de isometría cuántica QISO(A., H.D.)
para un triple espectral (A, H, D), siendo A • uni-
Algunos supuestos. Con este fin, tenemos que formular cuidadosamente la noción
de Laplaciano en geometría no conmutativa, que es el objetivo de la siguiente
subsección.
2.2 Laplaciano en geometría no conmutativa
Teniendo en cuenta un triple espectral (A, H, D), recordamos de [10] y [6] la con-
estructuración del espacio de una sola forma. Tenemos una derivación de A® a la
Bímódulo B(H) de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección H de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de Esto induce un bimódulo
morfismo η de 1(A) (bimódulo de una forma universal en A) a
B(H), de tal manera que η(l(a)) = [D, a], donde
mapa universal de derivación. Nos fijamos en 1D.
(+) := (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))))) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+)
B(H) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (L) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (A) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () () () () (l) () () () () () (l) () (l) () () () () () ()))) () () () () ()) () ()) () () () () () () () () () () () () () () () ()) ) ) () () ) ) ()))) ) () () () () () () ) () () () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Supongamos que el triple espectral es de tipo compacto
y tiene una dimensión finita en el sentido de Connes ([6]), es decir. hay algunos
p > 0 tal que el operador Dp (interpretado como la inversa de la re-
la constricción de Dp en el cierre de su gama, que tiene una co-dimensión finita
ya que D tiene resueltores compactos) tiene finito no cero Dixmier traza, denotado
por Tr® (en el que Ł es un límite de Banach adecuado, véase, por ejemplo. [6], [10]). Con-
sider la «forma canónica de volumen» ♥ procedente del rastro de Dixmier, es decir:
* : B(H) → C definido por la letra A) := 1
(Dp)
(AD)
−p). Permítanos hacer esto.
El punto asume que el triple espectral es QC. A y {[D, a], a A
están contenidos en los dominios de todos los poderes de la derivación [D, ·]. Bajo
esta suposición, es un rastro fiel positivo en el C*-subalgebra gener-
y el GNS Hilbert espacio L2(A), es
denotado por H0D. De la misma manera, equipamos
D con un producto semi-interior dado por
< η, >:= ♥(), y denotar el espacio Hilbert obtenido de él por H1D.
El mapa dD : H
D → H
D dado por dD(·) = [D, ·] es un densamente delimitado
mapa lineal definido. Asumamos lo siguiente:
La suposición i) a) dD es closable (el cierre se denota de nuevo por dD);
b) A Dom(L), donde L := −d*DdD y A
Se ve como una densa sub-
espacio de H0D;
En este punto, vamos a demostrar que esta suposición es válida bajo un muy
condición natural en el triple espectral.
Lemma 2.6 Suponga que para cada elemento un a A, el mapa R t 7→
αt(X) := exp(itD)Xexp(−itD) es diferenciable en t = 0 en la norma-
topología de B(H), donde X = a o [D, a]. Entonces la suposición (i) es sat-
Isfied. Por otra parte, en este caso, L mapea A. en el débil cierre de A...................................................................................................................................
B(H0D).
Prueba:
En primer lugar, observamos que el valor de todos los t y de todos los B(H) de A (αt(A)) es el siguiente:
exp(itD) se desplaza con Dp. Si además, A pertenece al dominio de
diferenciabilidad de la norma (a t = 0) de αt, es decir,
αt(A)−A
→ i[D,A] en el operador-
norma, entonces se deduce de la propiedad de la traza de Dixmier que ♥([D,A]) =
limt→0
(αt(A))(A)
= 0. Ahora, ya que por suposición tenemos la norma...
diferenciabilidad en t = 0 de αt(A) para A perteneciente al *-subálgebra (por ejemplo:
B) generada por A. y [D.A.], se deduce que.([D.A.]) = 0. Vamos.
nosotros ahora fijar a, b, c â € € TM a â € y observar que
< a dD(b), dD(c) >
= (a dD(b))
*dD(c) >
= ([D, [D, b*]a*c]) + ♥([D, [D, b*]a*]c)
= ([D, [D, b*]a*]c),
utilizando el hecho de que ♥([D, [D, b*]a*c]) = 0. Esto implica
< a dD(b), dD(c) > ≤ [D, [D, b]
∗]a*](c*c)
2 = [D, [D, b*]a*]
en los que â € € °câ € = â € € (c)
2 denota la L2-norm de c-H0D. Esto demuestra que
a dD(b) pertenece al dominio d
D para todos a, b â € A
Así que, en particular,
d* El D es denso, es decir, La dD es closable. Por otra parte, tomando a = 1, vemos que
Dom(d*D), o en otras palabras, A
Dom(d)*DdD). Esto prueba
i) a) e i) b). La última frase de la declaración del lema puede ser
probado a lo largo de la línea de Teorema 2.9, página 129, [10]. â € € TM TM
Necesitamos pocas suposiciones más sobre el operador L para definir el cuántico
Grupo isométrico.
Suposición (ii): L tiene resueltores compactos,
Supuestos (iii): L(A); ;
Assumption(iv): Cada autorvector de L (que tiene un espectro discreto,
por lo tanto, un conjunto completo de autovectores) pertenece a A.......................................................................................................................................................................................................................................................
Suposición(v)(«suposición de conexión»): el núcleo de L es unidimensional,
abarcado por la identidad 1 de A.o, visto como un vector unitario en H0D.
Llamamos a L el laplaciano no conmutativo y Tt el calor no conmutativo
semigrupo. Resumimos algunas observaciones simples en forma de lo siguiente
Lemma 2.7 (a) Si las suposiciones (i)-(v) son válidas, entonces para x
tienen L(x*) = (L(x))*.
b) Si Tt := exp(tL) mapas H
D en A
Para todos los t > 0, la suposición
iv) queda satisfecho.
Prueba:
Se sigue por cálculo simple utilizando los hechos que ♥ es un rastro y dD(x
−(dD(x))
* Que:
(L(x*)*y)
= (dD(x)dD(y)) = (dD(y)dD(x)) = (dD(y)
∗)*dD(x))
= < y*,L(x) > •(yL(x)) •(L(x)y),
para todos y â € Aâ € TM. Por la densidad de A en H0D (a) sigue. Para demostrar (b), tomamos nota
que si x H0D es un autovector de L, digamos L(x) =
Tt(x) = e
Por lo tanto, x = etTt(x) A
Puesto que por suposición, L tiene un conjunto contable de valores propios cada uno con finito
multiplicidad, vamos a denotarlos por 0, 0, 1, 2,... con V0 = C 1, V1, V2,...
ser eigenspaces correspondientes (dimensión finita), y para cada i, let {eij, j =
1,..., di} ser una base ortonormal de Vi. Por Asunción (iv), Vi A
En nombre de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial,
cada i, Vi se cierra bajo ∗, y además, {e
ij, j = 1,..., di} es también un o-
base normal para Vi, ya que
*y) = (yx*) para x, y â € € TM A. También hacemos
lo siguiente:
vi) El intervalo lineal complejo de {eij, i = 0, 1,...; j = 1,..., di},
decir A-0, es norma-densa en A
Definición 2.8 Decimos que un triple espectral satisfacía las suposiciones (i)-
vi) admisible.
Observación 2.9 Acabamos de ver que el triple espectral clásico (A. = C.(M.), H.D.),
donde M es compacto conectado colector de giro, H es el espacio L2 de cuadrado
espinos integrables y D es el operador de Dirac, es de hecho admisible en nuestro
sentido común. Más adelante discutiremos cómo podemos debilitar la conexión
suposición también, acomodando así un clásico general (commutativo)
Triplicado espectral en nuestra configuración. Por otra parte, los ejemplos estándar de no com-
mutatis mutandis triples espectrales, por ejemplo: los de Ao, cuántico Heisenberg múltiple
etc., pertenecen a la clase admisible.
Lemma 2.10 Asumamos que el triple espectral es admis-
Sible. Vamos a : A0 → A
0 ser un mapa lineal delimitado (norm-), de tal manera que
• 1) = 1, y • L = L = L = en el subespacio A0 que se extiende (algebraicamente) por
Vi, i = 1, 2,....
Prueba:
Por Lemma 2,4 con H1 = H2 = H
D, â € TM 1 = â € TM 2 = 1, tenemos â € (â € (x)) = â € (x)
para todos los x â € ¬ Aâ €. Por la norma-continuidad de los dos se extiende a la totalidad.
de la República de Azerbaiyán. â € € TM TM
2.3 Definición y existencia del grupo de isometría cuántica
Comenzamos recordando la definición de grupos cuánticos compactos y sus
acciones de [18]. Un grupo cuántico compacto es dado por un par (S,
S es un álgebra unitaria separable C* equipado con un homomorfismo unitario C*
S → S S (donde denota el producto tensor inyector) satisfactorio
(ai) ( id) = (id) (coasociatividad), y
(aii) el intervalo lineal de los términos «(S)(S)(S)(1)» y «(S)(1)(S)(1)(S)(1)(s)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es(es)(es)(es()(es)(es()(es)(es()(es)(es()(es()(s)(es(es)(s)(es()()(es)()(s)(s)(s)(es()()()()(s)(es()(es()()()(es()()()(es()()(es())(es(es())()()(es)(es)()()(es)(es)()()()()()()()()()(es)(es)(es)(es)(es)()())))(es()()()()()()()()()(es)()()()()()(es)()()()()(es()()()()()()()()(es()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
S S.
Es bien sabido (véase [18]) que hay una densa canónica ∗-subalgebra S0
de S, que consiste en los coeficientes de matriz de la unidad dimensional finita
(co)-representaciones de S, y mapas â € : S0 → C (co-unidad) y â € : S0 → S0
(antípodo) definido en S0 que hacen S0 un Hopf *-álgebra.
Decimos que el grupo cuántico compacto (S,) actúa sobre una C unitaria*
álgebra B, si hay un C*-homomorfismo unitario α : B → B S satisfactorio
lo siguiente:
(bi) ( id) α = (id) α, y
(bii) el lapso lineal de α(B)(1 S) es norma-densa en B S.
Recordemos ahora el concepto de grupos cuánticos universales como en [17],
[15] y referencias en él. Usaremos la mayoría de las terminologías de [15],
e.g. Woronowicz C* -subalgebra, Woronowicz C*-ideal, etc., sin embargo con
la excepción que vamos a llamar el Woronowicz C* álgebras sólo compacto
grupos cuánticos, y no utilizar el término grupos cuánticos compactos para el
objetos duales como se hace en [15]. Para Q GLn(C), deje que Au(Q) denote la uni-
grupo cuántico compacto inversal generado por uij, i, j = 1,..., n
Relaciones
uu* = In = u
∗u, u′QuQ−1 = In = QuQ
−1u′,
donde u = ((uij)), u
′ = ((uji)) y u = (u
ij)). El coproducto, dicen, es
dado por,
(uij) =
uik ukj.
Remitimos al lector a [17] para una discusión detallada sobre la estructura y clas-
sificación de tales grupos cuánticos. Vamos a denotar por Ui el grupo cuántico
Adi(I), donde di es la dimensión del subespacio Vi. Arreglamos una representación
βi : Vi → ViUi de Ui en el espacio Hilbert Vi, dado por βi(eij) =
k eiku
para j = 1,..., di, donde u
i) u
son los generadores de Ui como se discutió antes.
Por lo tanto, tanto u(i) y ̄u(i) son unitarios. De [15] se deduce que la represen-
βi induce canónicamente una representación β = ∗iβi del producto libre
U := ∗iUi (que es un grupo cuántico compacto, véase [15] para los detalles) en
el Espacio Hilbert H0D, de tal manera que la restricción de β sobre Vi coincide con βi
Por todos los i.
En vista de la caracterización de la acción isométrica suave en un clásico
múltiples, hacemos las siguientes definiciones.
Definición 2.11 Una familia cuántica de isometrías lisas de un
Múltiplo de táxis A. (o, más precisamente, en el triple espectral correspondiente)
es un par (S, α) donde S es un C*-álgebra unitario separable, α : A → A S
(donde A denota el álgebra C* obtenida completando A
B(H0D)) es una C unitaria
*-homomorfismo, satisfaciendo lo siguiente:
a) Sp
α(A)(1 S)
= A S,
b) Mapas A:
0 en sí mismo y se desplaza con L en A
para todos los estados, en S.
En el caso de que el C*-álgebra S tenga un coproducto de tal manera que (S,) sea un compacto
grupo cuántico y α es una acción de (S,) en A, decimos que (S,) actos
suavemente e isométricamente en el colector no conmutativo.
Fijar un triple espectral (A.A.H.D.). Considere la categoría Q con el
objeto-clase que consiste en todas las familias cuánticas de isometrías (S, α) de la
dado múltiple no commutativo, y el conjunto de morfismosMor((S, α), (S′, ))
siendo el conjunto de homomorfismos unitarios C* : S → S ′ satisfactorios (id) =
- Sí. También consideramos otra categoría Q′ cuyos objetos son trillizos (S,
donde (S,) es un grupo cuántico compacto que actúa sin problemas y isométricamente
en el colector no conmutativo dado, siendo α el correspondiente ac-
tion. Los morfismos son los homomorfismos de grupos cuánticos compactos
que también son morfismos de las familias cuánticas subyacentes. El olvido...
ful functor F : Q′ → Q es claramente fiel, y podemos ver F (Q′) como un
subcategoría de Q.
Asumamos a partir de ahora que el triple espectral es admis-
Sible. Nuestro objetivo es probar la existencia de un objeto universal en Q. Lo haremos.
también probar que el (único hasta isomorfismo) objeto universal pertenece a
F (Q′), y su preimagen en Q′ es un objeto universal de la categoría Q′. A
Con este fin, necesitamos algunos resultados preparatorios.
Lemma 2.12 Considerar un triple espectral admisible (AŁ,H,D) y dejar
(S, α) ser una familia cuántica de isometrías lisas del triple espectral. Más...
encima, asumir que la acción α es fiel en el sentido de que no hay
C*-subalgebra S1 de S de tal manera que α(A)
*) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Entonces : A
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
A S definido por (a b) : α(a)(1 b) se extiende a un unitario S-lineal en
el Hilbert S-módulo H0D S, denotado de nuevo por. Por otra parte, podemos encontrar un
C*-isomorfismo : U/I → S entre S y un cociente de U por un C*-ideal
I de U, tal que α = (id
• H0D, donde ΠI
indica el mapa de cociente de U a U/I.
Si, además, hay una estructura de grupo cuántico compacto en S dado
por un coproducto tal que es un objeto en Q′, el mapa α : A. →
AS se extiende a una representación unitaria (denominada de nuevo por α) de la com-
pact quantum group (S) en H0D. En este caso, el ideal yo es un Woronowicz
C*-ideal y el C*-isomorfismo : U/I → S es un morfismo de compacto
Grupos cuánticos.
Prueba:
Deja que sea cualquier estado en S. Ya que la acción α : Ao → Ao S es suave
e isométrico, concluimos por Lemma 2.10 que
x A. Puesto que el término es arbitrario, tenemos (el término id)α(x) = el término x)1S para todos los "x" A.
Por lo tanto, < α(x), α(y) >S=< x, y > 1S, donde < ·, · >S denota el valor S
producto interno del módulo Hilbert H0D S. Esto prueba que definido por
(x b) := α(x)(1 b) (x â € € TM a, b â € TM a S) se extiende a una isometría S-lineal en
el módulo S Hilbert H0DS. Por otra parte, puesto que α(A)
((1S) es norma-densa
en S, está claro que el lapso S-lineal del rango de α(A) es denso en
el módulo Hilbert H0D S, o en otras palabras, la isometría tiene una densa
rango, por lo que es un unitario.
Puesto que deja cada invariante Vi, está claro que α mapas Vi en Vi S
para cada i. Let v
(j, k = 1,..., di) ser los elementos de S tales que α(eij) =
k eik v
. Note que vi := ((v)
)) es un unitario en Mdi(C)S. Además,
el ∗-subálgebra generado por todos {v
, i, j, k ≥ 1} debe ser denso en S por
la suposición de fidelidad.
Ya hemos señalado que {e*ij} es también una base ortonormal de
Vi, y desde α, siendo un C
∗-acción sobre A, es ∗-conservador, tenemos α(e*ij) =
(α(eij))
, y por lo tanto (v
)) también es unitario. Por univer-
salidad de Ui, hay una C
* Homomorfismo de Ui a S enviando u
y por definición del producto libre, esto induce un C*-homomorfismo, dicen
Π, de U a S, de modo que U/I = S, donde I := Ker(Π).
En el caso de que S tenga un coproducto, lo que lo convierte en un grupo cuántico compacto.
y α es una acción de grupo cuántico, es fácil ver que el subalgebra de
S generada por v
es un álgebra Hopf, con
. Desde
esto, se deduce que Π es morfismo Hopf-álgebra, por lo tanto soy un Woronowicz
C*-ideal. â € € TM TM
Antes de declarar y probar el teorema principal, tomemos nota de lo siguiente
hecho elemental sobre C*-álgebras.
Lemma 2.13 Dejar C ser un C* álgebra y F ser una colección no vacía de
C*-ideales (ideales cerrados de dos lados) de C. Entonces para cualquier x C, tenemos
«x+I» = «x+I0»,
donde I0 denota la intersección de todo I en F y â € x + Iâ = infx −
La norma en C/I es la siguiente:
Prueba:
Es evidente que supIâ °F x + Iâ ° define una norma sobre C/I0, que es de hecho un
C*-norm ya que cada una de las normas cociente es así. Así el lema
se desprende de la singularidad de la norma C* sobre el álgebra C* C/I0. â € € TM TM
Teorema 2.14 Para cualquier triple espectral admisible (A, H, D), la categoría
Q de familias cuánticas de isometrías lisas tiene un objeto universal (inicial),
decir (G, α0). Por otra parte, G tiene un coproducto 0 tal que (G,0) es un
pact quantum group y (G,+0, α0) es un objeto universal en la categoría Q
de grupos cuánticos compactos que actúan sin problemas e isométricamente en el dado
triple espectral. La acción α0 es fiel.
Prueba:
Recuerde el C*-álgebra U considerado antes, y el mapa β de H0D a
H0DU. Por nuestra definición de β, está claro que β(A)
0 ) A
0 algU. Sin embargo,
β es sólo un mapa lineal (unitario) pero no necesariamente un ∗-homomorfismo. Nosotros
construir el objeto universal como un cociente adecuado de U. Let F
ser la colección de todos los C*-ideales I de U tal que la composición
I := (idI) β : A
0 → A
0 alg (U/I) se extiende a una C
∗-homomorphsim
de a (U/I), donde ΠI denota el mapa de cociente de U a
U/I. Esta colección es no vacía, ya que el trivial unidimensional C*-
álgebra C da un objeto en Q y por Lemma 2.12 obtenemos un miembro de
F. Ahora, que I0 sea la intersección de todos los ideales en F. Afirmamos que I0 es
de nuevo un miembro de F. Puesto que cualquier C*-homomorfismo es contractivo, tenemos
I (a) (a) (a) (a) (a) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () ()) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ())) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
0 y yo F. Por Lemma
2,13, vemos que I0(a) ≤ a para un A
0, por lo que se extiende a una norma-
mapa contráctivo en la ciudad por la densidad de A0 en la ciudad. Por otra parte, para a, b..........................................................................................
y para I-F, tenemos I-ab) = I-a)-I-b). Ya que ΠI = ΠI + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
reescribir la propiedad homomórfica de I como
I0(ab)- I0(a)I0(b) I0(b) I0 (I/I0).
Dado que esto es válido para cada uno de los grupos, concluimos que el grupo I0(ab)(a)(e)(b)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e).
I+F (I/I0) = (0), es decir, Es un homomorfismo. De la misma manera, podemos
mostrar que es un ∗-homomorfismo. Dado que cada βi es una representación unitaria
del grupo cuántico compacto Ui en el espacio dimensional finito Vi, él
De ello se desprende que βi(Vi)(1 Ui) es total en Vi Ui. En particular, para cualquier vi Vi
(i arbitrario), el elemento vi 1Ui = vi 1U pertenece al lapso lineal de
βi(Vi)(1Ui) β(Vi)(1U). Por lo tanto, A
0 1U está contenido en el lapso lineal de
β(A0)(1U) y, por lo tanto,A
0 1 U
se extiende linealmente por â € ¢I0(A
0 )(1U/I0).
Por la denistía-norma de A-0 en A y la contractividad del mapa cociente,
se deduce que A U/I0 es el lapso lineal cerrado de I0(A
0 )(1 U/I0).
Esto completa la prueba de que (U/I0,I0) es realmente un objeto de Q.
Ahora mostramos que G := U/I0 es un objeto universal en Q. Para ver esto, con...
sider cualquier objeto (S, α) de Q. Sin pérdida de generalidad podemos asumir la
acción para ser fiel, ya que de lo contrario podemos reemplazar S por el C*-subalgebra
generado por los elementos {v
} que aparecen en la prueba de Lemma 2.12. Pero
por Lemma 2.12 podemos asumir además que S es isomórfica con U/I para
Desde I0 I, tenemos una C
* Homomorfismo desde U/I0 hasta
U/I, enviando x+I0 a x+I, que es claramente un morfismo en la categoría Q.
Este es, de hecho, el único morfismo tal, ya que se determina de manera única en
el subalgebra denso generado por {u
+ I0, i, j, k ≥ 1} de G.
Para construir el coproducto en G = U/I0, primero consideramos α
(2) = (I0
id) I0 : A → AG G. Es fácil verificar que (G G, α
2)) es un objeto
en la categoría Q, por lo que por la universalidad de (G,I0), tenemos una unidad única
C*-homomorfismo 0 : G → G G satisfactorio
(id0) (x) = α
2) x) x) A.
Tomando x = eij, obtenemos
EIL (OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
EIL 0(lOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
Comparación de coeficientes de eil, y recordando que
(donde denota el coproducto en U), tenemos
(ηI0 ηI0)
en el intervalo lineal de {u
, i, j, k ≥ 1}, y por lo tanto en el conjunto de U. Esto
implica que los mapas I0 = Ker(lI0) en Ker(lI0I0) = (I01+1I0)
U U. En otras palabras, I0 es un Hopf C
∗-ideal, y por lo tanto G = U/I0 tiene la
La estructura del grupo cuántico compacto canónico como subgrupo cuántico de U. Lo siento.
se desprende claramente de la relación (2) que el 0 % coincide con el coproducto canónico
del subgrupo cuántico U/I0 heredado del de U. También es fácil de
ver que el objeto (G,0,I0) es universal en la categoría Q
′, utilizando el hecho
que (por Lemma 2.12) cualquier grupo cuántico compacto (G,Φ) actuando sin problemas
e isométricamente en el triple espectral dado es isomórfico con un cuántico
subgrupo U/I, para algunos Hopf C*-ideal I de U.
Por último, la fidelidad de α0 se deriva de la universalidad por norma
argumentos que bosquejamos brevemente. Si G1 G es un ∗-subalgebra de G tal
que α0(A) A G1, es fácil ver que (G1,+0, α0) es también un universal
objeto, y por definición de universalidad de G se deduce que hay un único
morfismo, digamos j, de G a G1. Pero el mapa j i es un morfismo de G a
en sí mismo, donde i : G1 → G es la inclusión. Una vez más, por universalidad, tenemos que
j i = idG, por lo que en particular, i está en, es decir. G1 = G.
Definition 2.15 Llamaremos al objeto universal (G,+0) obtenido en el
teorema por encima del grupo de isometría cuántica de (AŁ,H,D) y denotarlo
por QISO(A),H,D), o simplemente QISO(A), (o a veces QISO()) si la
triple espectral se entiende desde el contexto.
Observación 2.16 Suponga que un triple espectral admisible (A, H, D) también
cumple la condición i) de Lemma 2.5, es decir,
Dom(Ln) = A. Let α :
A → AS ser una acción isométrica suave en A por un grupo cuántico compacto
S. Recordamos de la prueba de Lemma 2.12 que el mapa de A S a
se extiende a un unitario S-lineal en el módulo S Hilbert H0D S, es decir.
puede ser visto como un unitario en B(H0D) S. Claramente, para cualquier estado
S, tenemos = (id )() B(H)
D). Ahora, por la definición de un suave
acción isométrica, el operador limitado se desplaza con la auto-adjunta
operador L en A-0, que es un núcleo para L. Por lo tanto, debe conmutar con L
para todos los n y, en particular, mantiene A. =
nDom(L
n) invariante.
Observación 2.17 Ahora vamos a indicar brevemente cómo se puede debilitar el hy-
Potesis de la conexión. Tal extensión de nuestros resultados es deseable
para dar cabida a los espacios clásicos, incluidos los conjuntos finitos y gráficos,
en nuestro marco. Un enfoque posible podría consistir en considerar la posibilidad de
gry de acciones de grupo cuántico compacto α que no son sólo ‘smmoth’ y
‘isométrico’ en nuestro sentido, pero también satisfacen la condición de la invarianza, es decir.
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá ser superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo, sino superior o igual al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Es fácil ver que la suposición de conexión
ha sido utilizado por nosotros sólo para demostrar que la Ł -invarianza es automática para
acciones isométricas suaves. Por lo tanto, si trabajamos en la cateogoria más pequeña de tales
Sólo acciones infractoras, la prueba de Teorema 2.14 pasa y por lo tanto
podemos probar la existencia de un objeto universal, que se definirá como el cuántico
Grupo isométrico. Es fácil ver que para el álgebra de funciones en un finito
conjunto, con el triple espectral dado por D = 0, este grupo de isometría cuántica
coincide con el grupo de permutación cuántica definido por Wang.
Observación 2.18 Es fácil ver cómo ampliar nuestra formulación y resultados
a triples espectrales que no son necesariamente de tipo II, es decir. cuando el rastro
Se sustituye por algunos no-tracial positivo funcional. De hecho, nuestra construcción...
En una situación de este tipo, se procederá de forma más o menos literal, sustituyendo
los grupos cuánticos universales Adi(I) por Adi(Qi) para alguna elección adecuada de
matrices Qi procedentes de la propiedad de modularidad de .
2.4 Construcción de triples espectrales cuánticos de grupo equivariante
En esta subsección, discutiremos brevemente la relevancia de la isometría cuántica
grupo al problema de la construcción de grupo cuántico equivariante espectral
triples, lo que es importante para entender el papel de los grupos cuánticos en el
marco de geometría no conmutativa. Ha habido mucha actividad.
en esta dirección recientemente, ver, por ejemplo, los artículos de Chakraborty y
Pal ([5]), Connes ([7]), Landi et al ([8]) y sus referencias. En el
situación clásica, existe una representación unitaria natural del isom-
grupo de etry G = ISO(M) de un M múltiple en el espacio Hilbert de formas, así
que el operador d+d* (donde d es el operador diferencial de-Rham) com-
mudos con la representación. De hecho, d+d* es también un operador de Dirac para el
triple espectral dado por la representación natural de C. M. en el Hilbert
espacio de formas, por lo que tenemos una construcción canónica de G-equivariante espectral
triple. Nuestro objetivo en esta subsección es generalizar esto a los no computa-
tiva, al demostrar que dD + d
D es equivariante con respecto a un
Representación canónica unitaria en el espacio Hilbert de ‘no commutativa
los formularios» (véase, por ejemplo, [10] para un análisis detallado de dichos formularios).
Considerar un triple espectral admisible (A®,H,D) y, además, hacer
la hipótesis de Lemma 2.6, es decir, Asumir que t 7→ eitDxe−itD es la norma-
diferenciable en t = 0 para todas las x en la ∗-álgebra B generada por A
[D.A.].
Lemma 2.19 En la notación de Lemma 2.6, tenemos lo siguiente (donde
b), c) A):
d*D(dD(b)c) = −
(bL(c)− L(b)c− L(bc)). 3)
Prueba:
Denotar por χ(b, c) el lado derecho de la euqación (3) y fijar cualquier â € ¬ A.
Usando los hechos, el funcional es un fiel rastro en el ∗-álgebra B,
L = −d*DdD y que [D,X] = 0 para cualquier X en B, tenemos,
(a(b, c))
(a)*bL(c)) + (ca*L(b)) + (a*L(bc))}
([D, a*b]][D, c]) −([D, ca*]][D, b])−([D, a*][D, bc])}
(a)*[D, b][D, c]] − Karabaj([D, c]a∗[D, b])− Karabaj(c[D, a*][D, b])− Karabaj([D, a*][D, b]c)}
= ([D, a*][D, b]c)
= ([D, a]*[D, b]c)
= DdD(a), dD(b)c
= (a)*(d*D(dD(b)c))).
A partir de esto, obtenemos lo siguiente por un simple cálculo:
•adD(b), a
′dD(b)
′) = −
*(b(a*a, b′)), (4)
en el caso de las letras a), b), a′, b′, y en el caso de las letras a), b), b) y b), y en el caso de las letras a), b) y c) := L(xy)-L(x)y+xL(y). Ahora, vamos a
Denotar el grupo de isometría cuántica del triple espectral dado (A., H.D.)
por (G.o, α). Deja que A0 denote el *-álgebra generada por A
0, G0 denota*-
álgebra de G generada por elementos de matriz de representaciones irreductibles.
Claramente, α : A0 → A0 alg G0 es una acción Hopf-algebraic de G0 en A0. Definir
: (A0 alg G0)× (A0 alg G0) → A0 alg G0
(x q), (x′ q′)):= (x, x′) (qq′).
De la relación (L id) α = α L en A0 se desprende que
(α(x), α(y)) = α(Ł(x, y)). 5)
Ahora definimos un mapa lineal α(1) a partir del intervalo lineal de {adD(b) : a, b {A0}
a H1D G por ajuste
α (1) adD(b) :=
i dD(b)
j ) a
donde para cualquier x â € ¢ A0 escribimos α(x) =
i A0algG0 (resumen)
sobre muchos términos finitos). A veces utilizaremos la convención Sweedler.
de escribir lo anterior simplemente como α(x) = x(1) x(2). A continuación, se desprende de la
las identidades (4) y (5), y también el hecho de que ( id)(α(a)) = ♥(a)1 para todos
a • A0 que
•adD(b), a
′dD(b)
(l+ id)(α(b*)(α(a*a′), α(b′))
(l)(α(b*)α(a*a′, b′))
(l) (α(b(a*a′, b′))
(b(a*a′, b′))1G
= AdD(b), a
′dD(b)
′)~1G.
Esto demuestra que α(1) es de hecho bien definido y se extiende a un isom-G-lineal
etery en H1D G, a ser denotado por U
(1), que envía (adD(b)) q a
α (1)adD(b)(1 q), a, b â € A0, q â € G. Además, desde el lapso lineal
de α(A0 )(1 G) es denso en H
D G, se ve fácilmente que el rango de la
isometría U (1) es la totalidad de H1D G, es decir. U
(1) es un unitario. De hecho, de su
definición también puede ser shwon que U (1) es una representación unitaria de la
Grupo cuántico compacto G en H1D.
De manera similar, podemos construir la representación unitaria U (n) de G en
el espacio Hilbert de n-formas para cualquier n ≥ 1, definiendo
U (n)(a0dD(a1)dD(a2)...dD(an))q) = a
0 dD(a)
1 )...dD(a
n )(a)
1...a
n q), ai A
(usando la convención Sweedler) y verificando que se extiende a un unitario.
También denotamos por U (0) la representación unitaria en H0D discutido ser-
en primer lugar. Finalmente, tenemos una representación unitaria U =
n≥0 U
(n) de G el
H :=
D, y también extender dD como un operador cerrado densamente definido en H
de la manera obvia, definiendo dD(a0dD(a1)...dD(an)) = dD(a0..dD(an).
Ahora es sencillo ver lo siguiente:
Teorema 2.20 El operador D′ := dD+d
D es equivariante en el sentido de que
U(D′ 1) = (D′ 1) U.
Señalamos que hay una representación natural de A en H
por la letra a)) a0dD(a1)...dD(an)) = aa0dD(a1)...dD(an), y
En el anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 1303/2013, se añade el texto siguiente:
de hecho un triple espectral, que es G-equivariante.
Aunque la relación entre las propiedades espectrales de D y D′ no es
claro en general, en muchos casos de interés (por ejemplo, cuando hay un subyacente
tipo (1, 1) datos espectrales en el sentido de [10]) estos dos operadores Dirac son
estrechamente relacionados. Como ilustración, considere el espectral canónico en el
2-torus no compmutativo A., que se discute en algunos detalles en el siguiente
sección. En este caso, el operador de Dirac D actúa sobre L2(A.
2, y es
se puede mostrar fácilmente (ver [10]) que el espacio Hilbert de formas es isomórfico
con L2(A), ♥)C
4 = L2(A)C
2; por lo tanto D′ es esencialmente igual a D en este
caso.
3 Ejemplos y cálculos
Damos algunos ejemplos simples pero interesantes explícitos de isometría cuántica
Aquí hay grupos. Sin embargo, sólo damos algunos detalles computacionales para el primero
por ejemplo, y para el resto, el lector se refiere a un artículo de acompañamiento ([3]).
Ejemplo 1: Tori conmutativo
Considere M = T, el untorus, con la estructura habitual de Riemannian. Los
∗-álgebra A. = C.(M.) es generada por una U unitaria, que es la multi-
operador de la aplicación por z en L2(T). El Laplaciano es administrado por L(Un) = −n2Un.
Si un grupo cuántico compacto (S,+S) actúa en A
# Sin problemas, que An, n # # Z sea #
elementos de S tales que α0(U) =
n An (aquí α0 : A
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
es la acción S en A.). Tenga en cuenta que esta suma infinita converge al menos
en la topología del espacio Hilbert L2(T) L2(S), donde L2(S) denota
el espacio GNS para el estado Haar de S. Está claro que la condición
(L id) • α0 = α0 • L fuerzas para tener An = 0 para todos, excepto n = ±1. Los
condiciones α0(U)α0(U)
* = α0(U)
0(U) = 1 1 implica además la siguiente
A*1A1 + A
−1A−1 = 1 = A1A
1 + A−1A
A*1A−1 = A
−1A1 = A1A
−1 = A−1A
1 = 0.
Se deduce que A±1 son isometrias parciales con dominios ortogonales y
rangos. Digamos que A1 tiene dominio P y rango Q. De ahí el dominio y
rango de A−1 son respectivamente 1 − P y 1 − Q. Considere el unitario
V = A + B, de modo que V P = A, V (1 − P ) = B. Ahora, por el hecho de que
(L id)(α0(U)
2)) = α0(L(U)
2)) es fácil ver que el coeficiente de 11 en
la expresión de α0(U)
2 debe ser 0, es decir. AB+BA = 0. De esto se desprende:
que V y P viajan y por lo tanto P = Q. Mediante un cálculo sencillo
utilizando los hechos que V es unitario, P es una proyección y V y P viaje, nosotros
puede verificar que α0 dado por α0(U) = U V P +U
−1V (1−P) se extiende a una
∗-homomorphsim de A a AC*(V, P ) satisfaciendo (Lid)0 = α0°L.
Se deduce que el álgebra C* QISO(T) es conmutativo y generado por un
unitaria V y una proyección P, o equivalente por dos isometrías parciales A,
B tales que A*A = AA*, B*B = BB*, AB = BA = 0. Por lo tanto, como un álgebra C*
es isomórfico con C(T) + C(T) = C(T × Z2). El coproducto (digamos +0)
se puede calcular fácilmente a partir del requisito de co-asociatividad, y el
Hopf estructura de álgebra de QISO(T) se puede ver a coincidir con la de
el producto semidirecto de T por Z2, en el que el generador de Z2 actúa sobre T por
enviando z 7→ z̄.
Resumimos esto en forma de lo siguiente.
Teorema 3.1 El grupo cuántico universal de isometrías QISO(T) de la
un torso T es isomórfico (como grupo cuántico) con C(T Z2) = C(ISO(T)).
Podemos fácilmente extender este resultado a tori conmutativo dimensional superior,
y puede demostrar que el grupo de isometría cuántica coincide con el clásico
Grupo isométrico. Esto es algún tipo de rigidez resultado, y será el interés-
para investigar la naturaleza de los grupos de isometría cuántica de
Células clásicas.
Ejemplo 2 : Torus no conmutativo; isomorfas holomorfas
A continuación consideramos el ejemplo más simple y bien conocido de no conmutativo
multiple, es decir, el dos-torus no compmutativo A.......................................................................................................................................................................................................................................................
número irracional (véase [6]). Es el álgebra C* universal generada por
dos unidades U y V que satisfagan la relación de conmutación UV = V U,
donde = e2 Hay un rastro canónico fiel en Ao dado por
* (UmV n) = * mn. Consideramos el triple espectral canónico (A
, H, D),
donde A* es la álgebra unitaria de U, V, H = L2(
D es dada por
0 d1 + id2
d1 − id2 0
donde d1 y d2 se cierran mapas lineales sin límites en L
2..............................................................................................................................................................................................................................................................
mV n) = mUmV n, d2(U
mV n) = nUmV n. Es fácil calcular la
espacio de una sola forma 1D (véase [4], [10], [6]) y la laplacia L = −d
∗d
dado por L(UmV n) = −(m2 + n2)UmV n. Para la simplicidad del cálculo,
en lugar del grupo completo de isometría cuántica nos concentramos al principio en un
interesante subgrupo cuántico G = QISOhol (A, H, D), que es el uni
grupo cuántico versal que deja invariante el subalgebra de A
de polinomios en U, V y 1, es decir, intervalo de umV n con m,n ≥ 0. La prueba
de la existencia y singularidad de tal grupo cuántico universal es más o
menos idéntico a la prueba de existencia y unicidad de QISO. Llamamos a G.
el grupo cuántico de isometrías “holomorfas”, y observar en el teorema
se indica a continuación sin pruebas (véase [3]) de que este grupo cuántico no es otra cosa que
el doble toro cuántico estudiado en [11].
Teorema 3.2 Considerar el siguiente coproducto B en la C
* álgebra B =
C(T2)A2, en los generadores A0, B0, C0, D0 según se indica a continuación (donde A0, D0
corresponde a C(T2) y B0, C0 corresponde a A2
B(A0) = A0 A0 + C0 B0, B(B0) = B0 A0 + D0 B0,
B(C0) = A0 C0 +C0 D0, B(D0) = B0 C0 +D0 D0.
Entonces (B,?0) es un grupo cuántico compacto y tiene una acción α0 en A.
dado por
α0(U) = U A0 + V B0, α0(V) = U C0 + V D0.
Además, (B,B) es isomórfico (como grupo cuántico) con G = QISO
hol(A., H.D.).
Nos referimos a [3] para una prueba del resultado anterior, y a [11] para el cálculo
del estado de Haar y la teoría de la representación del grupo cuántico compacto
Ejemplo 3 : Torus no conmutativo; grupo de isometría cuántica completa
Por cálculos similares pero algo tediosos (véase [3]) también se puede describir
explícitamente el grupo completo de isometría cuántica QISO(A.A.H.D.). Es como un
C* álgebra tiene ocho summandos directos, cuatro de los cuales son isomórficos con
el álgebra conmutativa C(T2), y los otros cuatro son la rotación irracional
álgebras.
Teorema 3.3
∗ (Uk1, Uk2) (como C
* álgebra), donde
k impar, Uk1, Uk2 son los dos generadores unitarios de conmutación de C(T
2), y para
even k, Uk1Uk2 = exp(4 que generan A2oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo La acción (co)
en los grupos electrógenos U, V (digamos) de A
α0(U) = U(U11+U31)+V(U52+U62)+U
−1(U21+U41)+V
−1(U72+U82),
α0(V) = U(U51+U71)+V(U12+U22)+U
−1(U61+U81)+V
−1(U32+U42).
A partir de la condición de co-asociatividad, el co-producto de QISO puede fácilmente
se calculará. Para la descripción detallada del coproducto, counidad, y
tipode y estudio de la teoría de la representación de QISO(A), el lector es
al que se hace referencia [3]. Es interesante mencionar aquí que la isometría cuántica
es un tipo de Rieffel deformación del grupo isométrico (que es
igual que el grupo de isometría cuántica) del doble torso conmutativo. Los
dos torso conmutativo es un subgrupo de su grupo isométrico, pero cuando el
El grupo isométrico se deforma en QISO(A), la relación de subgrupos no es
respetada, y la deformación del toro conmutativo, que es A2
en QISO(A♥) justo como una C
∗ subalgebra (de hecho, un resumen directo) pero no
como un subgrupo cuántico más. Esto tal vez proporcione alguna explicación.
de la inexistencia de cualquier estructura de álgebra Hopf en el no conmutativo
Torus.
Agradecimientos : El autor desea agradecer a P. Hajac
• el artículo 11 y S.L. Woronowicz para muchos valiosos
Los comentarios y sugerencias que condujeron a una mejora sustancial de la
Bibliografía
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Teoría 49 (2003), No. 1, 185–201.
[5] Chakraborty, P. S. y Pal, A.: triples espectrales equivariantes en el
grupo cuántico SU(2), K. Theory 28(2003), 107–126.
[6] Connes, A.: “Geometría no conmutativa”, Prensa Aacdémica,
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[8] Dabrowski, L., Landi, G., Sitarz, A., van Suijlekom, W. y Varilly,
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[9] Donnelly, H.: Funciones propias de los laplacianos en Riemanniano compacto
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[11] Hajac, P. y Masuda, T.: Quantum Double-Torus, Comptes
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[12] Rosenberg, S.: “El Laplaciano en un Manifold Riemanniano”, Cam-
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[13] Soltan, P. M.: Familias cuánticas de mapas y semigrupos cuánticos
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[19] Woronowicz, S. L.: Pseudogrupos, pseudoespacios y Pontryagin du-
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Física, Lausane (1979), Lecture Notes in Physics 116, pp. 407-412.
| Formulamos una generalización cuántica de la noción de grupo de
Isometrías Riemannianas para un colector Riemanniano compacto, mediante la introducción de un
noción natural de acción suave e isométrica por un grupo cuántico compacto en un
múltiple clásico o no conmutativo descrito por triples espectrales, y luego
probar la existencia de un objeto universal (llamado grupo de isometría cuántica)
en la categoría de grupos cuánticos compactos que actúan sin problemas y isométricamente en
un colector dado (posiblemente no commutativo) que satisface cierta regularidad
suposiciones. De hecho, identificamos el grupo de isometría cuántica con el universal
objeto en una categoría más grande, a saber, la categoría de `familias quantum de
isometries', definido a lo largo de la línea de Woronowicz y Soltan. También construimos
un triple espectral en el espacio Hilbert de formas en un colector no conmutativo
que es equivariante con respecto a una representación unitaria natural de la
grupo de isometría cuántica. Damos una descripción explícita de los grupos de isometría cuántica
de tori conmutativo y no conmutativo, y en este contexto, obtener el cuántico
doble toro definido en \cite{hajac} como el grupo cuántico universal de
isometrías holomórficas del toro no conmutativo.
| Introducción
Desde la formulación de grupos de automorfismo cuántico por Wang ([15],
[16]), siguiendo las sugerencias de Alain Connes, muchos ejemplos interesantes de
tales grupos cuánticos, en particular los grupos de permutación cuántica de finitos
sets y gráficos finitos, han sido ampliamente estudiados por una serie de
maticistas (véase, por ejemplo, [1] [2], [17] y referencias en ellos), que también han encontrado
aplicaciones e interacción con áreas como probabilidad libre y subfactor
teoría. El principio básico subyacente de definir un automorfismo cuántico
grupo correspondiente a alguna estructura matemática dada (por ejemplo, un
1El autor agradece el apoyo obtenido de la Indian National
Academia de Ciencias a través de las becas para un proyecto sobre Geometría No Conmutativa
y Grupos Cuánticos, y también desea dar las gracias al Abdus Salam ICTP (Trieste), donde
una parte importante del trabajo se realizó durante una visita como Junior Assciate.
http://arxiv.org/abs/0704.0041v4
conjunto finito, un gráfico, un C* o von Neumann álgebra) consta de dos pasos:
primero, identificar (si es posible) el grupo de automorfismos de la estructura como
un objeto universal en una categoría adecuada, y luego, tratar de buscar el univer-
objeto sal en una categoría similar pero más grande mediante la sustitución de grupos por cuántico
grupos de tipo apropiado. Sin embargo, la mayor parte de la labor realizada hasta ahora se refiere a
una especie de grupos de automorfismo cuántico de una estructura ‘finita’, para ex-
amplio, de conjuntos finitos o álgebras de matriz dimensional finita. Por lo tanto, es bastante
natural para tratar de extender estas ideas al ‘infinito’ o ‘continuo’
estructuras matemáticas, por ejemplo, los colectores clásicos y no conmutativos. In
el presente artículo, hemos hecho un intento de formular y estudiar la
análogos cuánticos de los grupos de isometrías Riemannianas, que juegan un
papel muy importante en la geometría diferencial clásica. El grupo de Rie-
Isometrías mannianas de un compacto M múltiple Riemanniano se puede ver como
el objeto universal en la categoría de todos los grupos compactables que actúan
en M, con acción suave e isométrica. Por lo tanto, para definir el cuántico
grupo isométrico, es razonable considerar una categoría de cuántico compacto
grupos que actúan sobre el colector (o más generalmente, sobre un no
múltiple dado por el triple espectral) de una manera ‘agradable’, conservando el Riemannian
estructura en algún sentido adecuado, para ser formulado con precisión. En este artículo,
hemos dado una definición de tal acción ‘suave e isométrica’ por un com-
pacto grupo cuántico sobre un (posiblemente no compmutativo) múltiple, ampliando
la noción de acción suave e isométrica por un grupo en un mani-
Dobla. De hecho, el significado de la acción isométrica no es más que que la acción
debe viajar con el ‘Laplaciano’ procedente del triple espectral, y
hay que mencionar que esta idea ya estaba presente en [2], aunque sólo en
el contexto de un espacio métrico finito o un gráfico finito. El objeto universal
en la categoría de tales grupos cuánticos, si existe, se debe pensar en
como el análogo cuántico del grupo de isometrías, y hemos sido capaces
para demostrar su existencia bajo algunos supuestos de regularidad, todos los cuales pueden
ser verificado para un compacto general conectado con el colector Riemannian también
como los ejemplos estándar de los colectores no conmutativos. Motivado por el
ideas de Woronowicz y Soltan, en realidad consideramos una categoría más grande. Los
Grupo isométrico de un colector clásico, visto como un espacio metificable compacto
(olvidando la estructura del grupo), puede ser visto como el objeto universal de un
categoría cuya clase de objeto consiste en subconjuntos (no necesariamente subgrupos)
del conjunto de isometrías lisas del colector. Entonces se puede probar
que este conjunto compacto universal tiene una estructura canónica de grupo. Un natural
analógico cuántico de esto ha sido formulado por nosotros, llamado la categoría de
«familias quantum de isometrias lisas». C*-álgebra subyacente de la
grupo de isometría cuántica se ha identificado con su objeto universal y
Además, se demuestra que está equipado con un coproducto canónico que lo hace
en un grupo cuántico compacto.
Creemos que un estudio detallado de los grupos de isometría cuántica no
sólo dar muchos ejemplos nuevos e interesantes de grupos cuánticos compactos,
también contribuirá a la comprensión del grupo cuántico covariante
triples espectrales. De hecho, ya hemos hecho algunos progresos en esta dirección.
mediante la construcción de un triple espectral (que a menudo está estrechamente relacionado con el original
triple espectral) en el espacio Hilbert de formas que es equivriante con respeto
a una representación canónica unitaria del grupo de isometría cuántica.
En un artículo de acompañamiento [3] con J. Bhowmick, proporcionamos com-
tas de grupos de isometría cuántica de unos pocos clásicos y no conmutativos
multiples. Sin embargo, citamos brevemente algunos de los principales resultados de [3] en el
......................................................................................................................... Una observación interesante es que la isometría cuántica
grupo del dos torso no commutativo A. (con el espectral canónico
triple) es (como álgebra C*) una suma directa de dos conmutativos y dos no-
Tori conmutativo, y contiene como subgrupo cuántico (que es univer-
sal para ciertas clases de acciones isométricas llamadas isometrias holomórficas) la
«quantum double-torus» descubierto y estudiado por Hajac y Masuda ([11].
2 Definición del grupo de isometría cuántica
2.1 Grupos isométricos de colectores clásicos
Comenzamos con una caracterización bien conocida del grupo isométrico de un (clas-
Sical) compacto colector Riemanniano. Que (M,g) sea un Riemanniano compacto
multiple y dejar que 1 = 1(M) sea el espacio de una-formas lisas, que tiene
una estructura derecha Hilbert-C-(M)-módulo dada por el interior valorado C-(M)
producto definido por
(m) = (m), (m) = (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m), (m) = (m)
donde < ·, · > m es la métrica Riemanniana en el espacio cotangente T
mM a
el punto M.............................................................................................................. La forma de volumen Riemanniano nos permite hacer un pre-
Hilbert espacio, y denotamos su finalización por H1. Dejar H0 = L
2 (M,dvol)
y considerar el diferencial de-Rham d como un mapa lineal sin límites de
H0 a H1, con el dominio natural C
(M) (H0), y también denotar su cierre
por d. Let L := −d∗d. La siguiente identidad puede verificarse por vía directa y
fácil cálculo utilizando las coordenadas locales :
L()-L()-L()-L()-L() = 2 d, d >> para فارسى, C(M) (*).
Proposición 2.1 Un mapa liso γ : M → M es una isometría Riemanniana si
y sólo si γ se desplaza con L en el sentido de que L(f γ γ) = (L(f))
todos f • C(M).
Prueba:
Si γ se desplaza con L, entonces de la identidad (*) obtenemos para m o M y
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
< d(m), d(m) > (m)
=..............................................................................................................................................................................................................................................................
(l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
L (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
= (m) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) = (e) (e) (e) = (e) (e) (e) = (e) (e) (e) = (e) (e) = (e) (e)
= < d(γ)m, d(γ)m > m
= < (dm)
*(d(m)), (dm)
*(d(m)) > m,
que prueba que (dm)
* : T *
M → T ∗mM es una isometría. Por lo tanto, γ es un
Isometría Riemanniana.
Por el contrario, si γ es una isometría, ambos los mapas inducidos por γ en H0 y
H1, es decir, U
γ : H0 → H0 dada por U
γ (f) = f γ γ y U
γ : H
1 → H1 administrado
Por U1γ (fd.) = (f. γ.)d.(l.) son unitarios. Por otra parte, d • U
γ = U
γ d on
C(M)(H0. De esto se deduce que L = −d
* Conmutaciones con U0γ. â € € TM TM
Ahora consideremos un compacto metrizable (es decir. segundo contable) espacio
Y con un mapa contínuo : M × Y → M. Abreviamos Ł(m, y) como ym
y denotar por el mapa M m 7→ ym. Let α : C(M) → C(M)C(Y) =
C(M × Y ) ser el mapa dado por α(f)(m, y) := f(ym) para y â € Y, m â € M
y f) C(M). Para un estado de C(Y ), denote por el mapa (id
C(M) → C(M). También denotaremos por C el subespacio de C(M) C(Y)
generado por elementos de la forma α(f)(1), f (M)(C)(M)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H)(H). Desde
C(M) y C(Y) son álgebras conmutativas, es fácil ver que C es un
*-subalgebra de C(M) C(Y). Entonces tenemos lo siguiente
Teorema 2.2 i) C es norma-densa en C(M)C(Y) si y sólo si por cada
Y, Y es uno a uno.
ii) El mapa es C
Por cada año Y si y sólo si (C)
(M) (C) (M)
para todos.
(iii) Bajo la hipótesis de (ii), cada uno es también una isometría si y sólo si
se desplaza con (L − )
−1 para todos los estados y todos los estados en la resolución de L
(equivalentemente, se desplaza con el Laplacian L en C
(M)).
Prueba:
i) En primer lugar, supóngase que es uno a uno para todos y. Por Stone-Weirstrass Theo...
rem, es suficiente para demostrar que C separa puntos. Toma (m1, y1) 6= (m2, y2)
en M × Y. Si y1 6= y2, podemos elegir C(Y) que separa y1 y y2,
por lo tanto (1 ) C se separa (m1, y1) y (m2, y2). Por lo tanto, podemos considerar la
caso cuando y1 = y2 = y (digamos), pero m1 6 = m2. Por la inyectividad de
ym1 6= ym2, por lo que existe f C(M) tal que f(ym1) 6= f(ym2), es decir.
α(f)(m1, y) 6= α(f)(m2, y). Esto demuestra la densidad de C.
Para lo contrario, argumentamos como en la prueba de la Proposición 3.3 de [14].
Asumir que C es densa en C(M) C(Y), y dejar y Y, m1,m2 M tales
que ym1 = ym2. Es decir, α(f)(1 )(m1, y) = α(f)(1 )(m2, y) para todos
f C(M), C(Y). Por la densidad de C obtenemos χ(m1, y) = χ(m2, y) para
Todas las χ C(M × Y ), así (m1, y) = (m2, y), es decir, m1 = m2.
ii) La «si parte» de ii) sigue considerando los Estados correspondientes a:
evaluación de puntos, es decir, C(Y ) • 7→ • (y), y • Y. Para lo contrario, notamos
que un estado arbitrario corresponde a una medida regular de Borel μ en Y
de modo que فارسى(h) =
hdμ, y por lo tanto, (f)(m) =
f(ym)dμ(y) para f(C(M).
A partir de esto, mediante el intercambio de diferenciación e integración (que se permite
por el Teorema de Convergencia Dominado, ya que μ es una medida finita) podemos
probar que (f) es C
Siempre que f sea así.
La afirmación iii) se deriva de la Proposición 2.1 de una manera estraghtforward.
Recordemos algunos hechos conocidos sobre el Laplacian L, visto como un
operador autoadjunto negativo en el espacio Hilbert L2 (M,dvol). Se conoce
(véase [12] y referencias en él) que L tiene resueltores compactos y todos sus
Los autovectores pertenecen a C. M. Por otra parte, se deriva de la Sobolev Em-
cama Teorema que
Dom(Ln) = C(M).
Que {eij, j = 1,..., di; i = 1, 2,...} sea el conjunto de autovectores (normalizados) de
L, donde eij â ° C
(M) es un vector propio que corresponde al valor propio.
1 < 2 <.... Tenemos lo siguiente:
Lemma 2.3 El complejo espacio lineal de {eij} es norma-densa en C(M).
Prueba:
Esto es una consecuencia de las estimaciones asintóticas de los valores propios, como
así como la unión uniforme de las funciones propias eij. Por ejemplo, es
Se sabe ([9],Teorema 1.2) que existen constantes C,C ′ tales que eij ≤
Ci
4, di ≤ C
i
2, donde n es la dimensión del multipleM. Ahora,
para la letra f) de la sección C de la parte M de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de la parte II de
k≥1Dom(L
k), escribimos f como a-priori L2-convergente
Serie
ij fijeij (fij C), y observar que
fij
# 2i # # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i
2k < Ł por cada
k ≥ 1. Elegir y fijar k suficientemente grande de tal manera que
i≥0 i
n−1−2k < فارسى,
que es posible debido a la conocida asintótica de Weyl de valores propios de
L. Ahora, por la desigualdad Cauchy-Schwarz y la estimación para di, tenemos
fijeij ≤ C(C)
fij
# 2i # # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i # 2i
n−1−2k
Por lo tanto, la serie
ij fijeij converge a f en sup-norm, por lo que Sp{eij, j = 1, 2,..., di ; i =
1, 2,...} es denso en la sup-norm en C(M), por lo tanto también en CM. â € € TM TM
Denominemos Sp{eij, j = 1,..., di; i ≥ 1} por A
De ahora en adelante, 0. Lo haremos.
Ahora mostrar que C(M) puede ser reemplazado por el subespacio más pequeño A0 en
Teorema 2.2. Necesitamos un lema para esto, que también será útil más adelante.
Lemma 2.4 Dejar H1,H2 ser Hilbert espacios y para i = 1, 2, dejar Li ser (posiblemente
unbounded) operador de auto-adjunto en Hi con soluciones compactas, y dejar Vi
ser el lapso lineal de los autovectores de Li. Por otra parte, asumir que hay un
eigenvalue de Li para el cual el espacio propio es unidimensional, por ejemplo
una unidad vectorial. Let • Ser un mapa lineal de V1 a V2 de tal manera que L2 • • • L1
y •(•1) = •2. Entonces tenemos
2,(x) = 1, x x V1. 1)..........................................................................................................................................................
Prueba:
Por hipótesis en el caso de la palabra, está claro que hay un valor propio común, por ejemplo, en el caso de la palabra.
L1 y L2, con los autovectores â € 1 y â € 2, respectivamente. Vamos a escribir el set
de valores propios de Li como una unión discontinua 0}
(i = 1, 2), y dejar que el corre-
la descomposición ortogonal sponding de Vi debe ser dada por Vi = C.i.
V.i.......................................................................
CÓDIGOS Y ÓRGANOS DE LAS NACIONES UNIDAS Y DE LAS NACIONES UNIDAS
i, por ejemplo, donde V
i denota el espacio propio de Li correspondiente a la
eigenvalue ♥. Por suposición, los mapas V. 1 a V.
2 cada vez que el valor propio es un valor propio
de L2, es decir, V
2 6= {0}, y de lo contrario se mapea V
1 en {0}. Por lo tanto, (V)
1) V
Ahora, (1) es obviamente satisfecho para x = 1, por lo que es suficiente para probar (1) para todos
x V ′1. Pero tenemos x = 0 para x V
1, y desde el punto de vista de la letra x) de la parte V
2 = V2
se deduce que 2,(x) = 0 = 1, x. â € € TM TM
Lemma 2.5 Dejar Y y α ser como en Teorema 2.2. Entonces los siguientes son:
equivalente.
(a) Por cada año, es isométrico suave.
(b) Por cada estado en C(Y), tenemos (A)
0 ) A
0, y L = L en
A-0.
Prueba:
Demostramos sólo la implicación no trivial (b) (a). Suponga (b) que
deja el A-0 invariante y se desplaza con L en él, para cada estado. A
probar que α es una acción isométrica suave, es suficiente (ver la prueba de
Teorema 2.2) para probar que αy(A
Para todos y Y, donde αy(f) :=
(idevy)(f) = f y, evy es la evaluación en el punto y. LetM1,...,Mk
ser los componentes conectados del colector compacto M. Por lo tanto, el Hilbert
espacio L2(M,dvol) admite una descomposición ortogonal
2-Mi,dvol),
y el Laplacian L es de la forma iLi donde Li denota el Laplacian en
Mi. Dado que cada Mi está conectado, tenemos Ker(Li) = Cχi, donde χi es el
función constante en Mi igual a 1. Ahora, notamos que para y fijo y yo,
la imagen de Mi bajo la función continua debe ser mapeada en una
componente, sayMj. Por lo tanto, mediante la aplicación de Lemma 2.4 con H1 = L
2,Mi),H2 =
L2(Mj), = y y la L
2-continuidad del mapa f 7→ αy(f) = f
αy(f)(x)dvol(x) =
f(x)dvol(x)
para todos los f en el intervalo lineal de los autovectores de Li, por lo tanto (por densidad) para todos f
en L2(Mi). De ello se deduce que
αy(f)dvol =
fdvol para todos los l2(M), en
en particular para todos los casos en que se trate de C(M). Puesto que αy es un ∗-homomorfismo en C(M), nosotros
y(f), αy(g) =
αy(fg)dvol =
fgdvol = â € ¢f, gâ € TM,
para todos los f, g, C(M). Por lo tanto, αy se extiende a una isometría en L
2(M), a ser
denotado por la misma notación, que por nuestra suposición conmuta con el
operador de auto-adjunto L en el núcleo A-0, y por lo tanto αy se desplaza con L
n para
n. En particular deja invariantes los dominios de cada Ln, lo que implica
A. A. A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A., A. â € € TM TM
En vista del hecho de que el conjunto de isometrías de M, denotado por ISO(M),
es un segundo contador compacto (es decir, compacto metrizable) grupo, vemos que
ISO(M) es el segundo grupo contable compacto máximo que actúa sobre M tal
que la acción es suave e isométrica. En otras palabras, si consideramos un
catogoria cuyos objetos son grupos compactables que actúan sin problemas y
isométricamente en M, y morfismos son el grupo homomorfismos com-
silenciar con las acciones sobre M, luego ISO(M) (con su acción canónica sobre
M) es el objeto inicial de esta cateogoria. Sin embargo, uno puede tomar más
mirador general y considerar la categoría de espacios metificables compactos
Y equipado con un mapa continuo : M × Y → M satisfecho (i)-(iii) de
Teorema 2.2, o equivalente, el par de C*-álgebras unitarias conmutativas
B = C(Y) y un C*-homomorfismo unitario α : C(M) → C(M) → B satisfacer-
las condiciones i) a iii). El conjunto de isometrías ISO(M) (como un
espacio) se puede identificar con el objeto universal de esta categoría, y luego
uno puede probar que tiene una estructura de grupo.
Es bastante natural formular un análogo cuántico de lo anterior, por medio de
sidering, en el espíritu de Woronowicz y Soltan (véanse [19] y [13]), «quantum
familias de isometrias», que se puede definir como un par (B, α) donde B es
a (no necesariamente conmutativo) C*-álgebra y α : C(M) → C(M) B es
Unital C*-homomorismo que satisface i)-iii) del Teorema 2.2, es decir, el lineal
palmo de α(C(M))(1B) (que ya no es necesariamente un ∗-subálgebra,
B siendo posiblemente no commutativo) es norma-densa en C(M) B y para ev-
en B, el mapa mantiene C
(M) invariante y conmuta con
L. Los morfismos de esta categoría son obvios. Lo haremos.
probar que esta categoría tiene un objeto universal, y este objeto universal
puede ser equipado con una estructura de grupo cuántico canónico. Esto definirá
el grupo de isometría cuántica de un colector. Sin embargo, vamos a ir más allá
Células clásicas y definen el grupo de isometría cuántica QISO(A., H.D.)
para un triple espectral (A, H, D), siendo A • uni-
Algunos supuestos. Con este fin, tenemos que formular cuidadosamente la noción
de Laplaciano en geometría no conmutativa, que es el objetivo de la siguiente
subsección.
2.2 Laplaciano en geometría no conmutativa
Teniendo en cuenta un triple espectral (A, H, D), recordamos de [10] y [6] la con-
estructuración del espacio de una sola forma. Tenemos una derivación de A® a la
Bímódulo B(H) de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección H de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección A de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección A de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección A de la sección B de la sección A de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de Esto induce un bimódulo
morfismo η de 1(A) (bimódulo de una forma universal en A) a
B(H), de tal manera que η(l(a)) = [D, a], donde
mapa universal de derivación. Nos fijamos en 1D.
(+) := (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+))))) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+)
B(H) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (L) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (A) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () () () () (l) () () () () () (l) () (l) () () () () () ()))) () () () () ()) () ()) () () () () () () () () () () () () () () () ()) ) ) () () ) ) ()))) ) () () () () () () ) () () () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () Supongamos que el triple espectral es de tipo compacto
y tiene una dimensión finita en el sentido de Connes ([6]), es decir. hay algunos
p > 0 tal que el operador Dp (interpretado como la inversa de la re-
la constricción de Dp en el cierre de su gama, que tiene una co-dimensión finita
ya que D tiene resueltores compactos) tiene finito no cero Dixmier traza, denotado
por Tr® (en el que Ł es un límite de Banach adecuado, véase, por ejemplo. [6], [10]). Con-
sider la «forma canónica de volumen» ♥ procedente del rastro de Dixmier, es decir:
* : B(H) → C definido por la letra A) := 1
(Dp)
(AD)
−p). Permítanos hacer esto.
El punto asume que el triple espectral es QC. A y {[D, a], a A
están contenidos en los dominios de todos los poderes de la derivación [D, ·]. Bajo
esta suposición, es un rastro fiel positivo en el C*-subalgebra gener-
y el GNS Hilbert espacio L2(A), es
denotado por H0D. De la misma manera, equipamos
D con un producto semi-interior dado por
< η, >:= ♥(), y denotar el espacio Hilbert obtenido de él por H1D.
El mapa dD : H
D → H
D dado por dD(·) = [D, ·] es un densamente delimitado
mapa lineal definido. Asumamos lo siguiente:
La suposición i) a) dD es closable (el cierre se denota de nuevo por dD);
b) A Dom(L), donde L := −d*DdD y A
Se ve como una densa sub-
espacio de H0D;
En este punto, vamos a demostrar que esta suposición es válida bajo un muy
condición natural en el triple espectral.
Lemma 2.6 Suponga que para cada elemento un a A, el mapa R t 7→
αt(X) := exp(itD)Xexp(−itD) es diferenciable en t = 0 en la norma-
topología de B(H), donde X = a o [D, a]. Entonces la suposición (i) es sat-
Isfied. Por otra parte, en este caso, L mapea A. en el débil cierre de A...................................................................................................................................
B(H0D).
Prueba:
En primer lugar, observamos que el valor de todos los t y de todos los B(H) de A (αt(A)) es el siguiente:
exp(itD) se desplaza con Dp. Si además, A pertenece al dominio de
diferenciabilidad de la norma (a t = 0) de αt, es decir,
αt(A)−A
→ i[D,A] en el operador-
norma, entonces se deduce de la propiedad de la traza de Dixmier que ♥([D,A]) =
limt→0
(αt(A))(A)
= 0. Ahora, ya que por suposición tenemos la norma...
diferenciabilidad en t = 0 de αt(A) para A perteneciente al *-subálgebra (por ejemplo:
B) generada por A. y [D.A.], se deduce que.([D.A.]) = 0. Vamos.
nosotros ahora fijar a, b, c â € € TM a â € y observar que
< a dD(b), dD(c) >
= (a dD(b))
*dD(c) >
= ([D, [D, b*]a*c]) + ♥([D, [D, b*]a*]c)
= ([D, [D, b*]a*]c),
utilizando el hecho de que ♥([D, [D, b*]a*c]) = 0. Esto implica
< a dD(b), dD(c) > ≤ [D, [D, b]
∗]a*](c*c)
2 = [D, [D, b*]a*]
en los que â € € °câ € = â € € (c)
2 denota la L2-norm de c-H0D. Esto demuestra que
a dD(b) pertenece al dominio d
D para todos a, b â € A
Así que, en particular,
d* El D es denso, es decir, La dD es closable. Por otra parte, tomando a = 1, vemos que
Dom(d*D), o en otras palabras, A
Dom(d)*DdD). Esto prueba
i) a) e i) b). La última frase de la declaración del lema puede ser
probado a lo largo de la línea de Teorema 2.9, página 129, [10]. â € € TM TM
Necesitamos pocas suposiciones más sobre el operador L para definir el cuántico
Grupo isométrico.
Suposición (ii): L tiene resueltores compactos,
Supuestos (iii): L(A); ;
Assumption(iv): Cada autorvector de L (que tiene un espectro discreto,
por lo tanto, un conjunto completo de autovectores) pertenece a A.......................................................................................................................................................................................................................................................
Suposición(v)(«suposición de conexión»): el núcleo de L es unidimensional,
abarcado por la identidad 1 de A.o, visto como un vector unitario en H0D.
Llamamos a L el laplaciano no conmutativo y Tt el calor no conmutativo
semigrupo. Resumimos algunas observaciones simples en forma de lo siguiente
Lemma 2.7 (a) Si las suposiciones (i)-(v) son válidas, entonces para x
tienen L(x*) = (L(x))*.
b) Si Tt := exp(tL) mapas H
D en A
Para todos los t > 0, la suposición
iv) queda satisfecho.
Prueba:
Se sigue por cálculo simple utilizando los hechos que ♥ es un rastro y dD(x
−(dD(x))
* Que:
(L(x*)*y)
= (dD(x)dD(y)) = (dD(y)dD(x)) = (dD(y)
∗)*dD(x))
= < y*,L(x) > •(yL(x)) •(L(x)y),
para todos y â € Aâ € TM. Por la densidad de A en H0D (a) sigue. Para demostrar (b), tomamos nota
que si x H0D es un autovector de L, digamos L(x) =
Tt(x) = e
Por lo tanto, x = etTt(x) A
Puesto que por suposición, L tiene un conjunto contable de valores propios cada uno con finito
multiplicidad, vamos a denotarlos por 0, 0, 1, 2,... con V0 = C 1, V1, V2,...
ser eigenspaces correspondientes (dimensión finita), y para cada i, let {eij, j =
1,..., di} ser una base ortonormal de Vi. Por Asunción (iv), Vi A
En nombre de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial,
cada i, Vi se cierra bajo ∗, y además, {e
ij, j = 1,..., di} es también un o-
base normal para Vi, ya que
*y) = (yx*) para x, y â € € TM A. También hacemos
lo siguiente:
vi) El intervalo lineal complejo de {eij, i = 0, 1,...; j = 1,..., di},
decir A-0, es norma-densa en A
Definición 2.8 Decimos que un triple espectral satisfacía las suposiciones (i)-
vi) admisible.
Observación 2.9 Acabamos de ver que el triple espectral clásico (A. = C.(M.), H.D.),
donde M es compacto conectado colector de giro, H es el espacio L2 de cuadrado
espinos integrables y D es el operador de Dirac, es de hecho admisible en nuestro
sentido común. Más adelante discutiremos cómo podemos debilitar la conexión
suposición también, acomodando así un clásico general (commutativo)
Triplicado espectral en nuestra configuración. Por otra parte, los ejemplos estándar de no com-
mutatis mutandis triples espectrales, por ejemplo: los de Ao, cuántico Heisenberg múltiple
etc., pertenecen a la clase admisible.
Lemma 2.10 Asumamos que el triple espectral es admis-
Sible. Vamos a : A0 → A
0 ser un mapa lineal delimitado (norm-), de tal manera que
• 1) = 1, y • L = L = L = en el subespacio A0 que se extiende (algebraicamente) por
Vi, i = 1, 2,....
Prueba:
Por Lemma 2,4 con H1 = H2 = H
D, â € TM 1 = â € TM 2 = 1, tenemos â € (â € (x)) = â € (x)
para todos los x â € ¬ Aâ €. Por la norma-continuidad de los dos se extiende a la totalidad.
de la República de Azerbaiyán. â € € TM TM
2.3 Definición y existencia del grupo de isometría cuántica
Comenzamos recordando la definición de grupos cuánticos compactos y sus
acciones de [18]. Un grupo cuántico compacto es dado por un par (S,
S es un álgebra unitaria separable C* equipado con un homomorfismo unitario C*
S → S S (donde denota el producto tensor inyector) satisfactorio
(ai) ( id) = (id) (coasociatividad), y
(aii) el intervalo lineal de los términos «(S)(S)(S)(1)» y «(S)(1)(S)(1)(S)(1)(s)(s)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es)(es(es)(es)(es()(es)(es()(es)(es()(es)(es()(es()(s)(es(es)(s)(es()()(es)()(s)(s)(s)(es()()()()(s)(es()(es()()()(es()()()(es()()(es())(es(es())()()(es)(es)()()(es)(es)()()()()()()()()()(es)(es)(es)(es)(es)()())))(es()()()()()()()()()(es)()()()()()(es)()()()()(es()()()()()()()()(es()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
S S.
Es bien sabido (véase [18]) que hay una densa canónica ∗-subalgebra S0
de S, que consiste en los coeficientes de matriz de la unidad dimensional finita
(co)-representaciones de S, y mapas â € : S0 → C (co-unidad) y â € : S0 → S0
(antípodo) definido en S0 que hacen S0 un Hopf *-álgebra.
Decimos que el grupo cuántico compacto (S,) actúa sobre una C unitaria*
álgebra B, si hay un C*-homomorfismo unitario α : B → B S satisfactorio
lo siguiente:
(bi) ( id) α = (id) α, y
(bii) el lapso lineal de α(B)(1 S) es norma-densa en B S.
Recordemos ahora el concepto de grupos cuánticos universales como en [17],
[15] y referencias en él. Usaremos la mayoría de las terminologías de [15],
e.g. Woronowicz C* -subalgebra, Woronowicz C*-ideal, etc., sin embargo con
la excepción que vamos a llamar el Woronowicz C* álgebras sólo compacto
grupos cuánticos, y no utilizar el término grupos cuánticos compactos para el
objetos duales como se hace en [15]. Para Q GLn(C), deje que Au(Q) denote la uni-
grupo cuántico compacto inversal generado por uij, i, j = 1,..., n
Relaciones
uu* = In = u
∗u, u′QuQ−1 = In = QuQ
−1u′,
donde u = ((uij)), u
′ = ((uji)) y u = (u
ij)). El coproducto, dicen, es
dado por,
(uij) =
uik ukj.
Remitimos al lector a [17] para una discusión detallada sobre la estructura y clas-
sificación de tales grupos cuánticos. Vamos a denotar por Ui el grupo cuántico
Adi(I), donde di es la dimensión del subespacio Vi. Arreglamos una representación
βi : Vi → ViUi de Ui en el espacio Hilbert Vi, dado por βi(eij) =
k eiku
para j = 1,..., di, donde u
i) u
son los generadores de Ui como se discutió antes.
Por lo tanto, tanto u(i) y ̄u(i) son unitarios. De [15] se deduce que la represen-
βi induce canónicamente una representación β = ∗iβi del producto libre
U := ∗iUi (que es un grupo cuántico compacto, véase [15] para los detalles) en
el Espacio Hilbert H0D, de tal manera que la restricción de β sobre Vi coincide con βi
Por todos los i.
En vista de la caracterización de la acción isométrica suave en un clásico
múltiples, hacemos las siguientes definiciones.
Definición 2.11 Una familia cuántica de isometrías lisas de un
Múltiplo de táxis A. (o, más precisamente, en el triple espectral correspondiente)
es un par (S, α) donde S es un C*-álgebra unitario separable, α : A → A S
(donde A denota el álgebra C* obtenida completando A
B(H0D)) es una C unitaria
*-homomorfismo, satisfaciendo lo siguiente:
a) Sp
α(A)(1 S)
= A S,
b) Mapas A:
0 en sí mismo y se desplaza con L en A
para todos los estados, en S.
En el caso de que el C*-álgebra S tenga un coproducto de tal manera que (S,) sea un compacto
grupo cuántico y α es una acción de (S,) en A, decimos que (S,) actos
suavemente e isométricamente en el colector no conmutativo.
Fijar un triple espectral (A.A.H.D.). Considere la categoría Q con el
objeto-clase que consiste en todas las familias cuánticas de isometrías (S, α) de la
dado múltiple no commutativo, y el conjunto de morfismosMor((S, α), (S′, ))
siendo el conjunto de homomorfismos unitarios C* : S → S ′ satisfactorios (id) =
- Sí. También consideramos otra categoría Q′ cuyos objetos son trillizos (S,
donde (S,) es un grupo cuántico compacto que actúa sin problemas y isométricamente
en el colector no conmutativo dado, siendo α el correspondiente ac-
tion. Los morfismos son los homomorfismos de grupos cuánticos compactos
que también son morfismos de las familias cuánticas subyacentes. El olvido...
ful functor F : Q′ → Q es claramente fiel, y podemos ver F (Q′) como un
subcategoría de Q.
Asumamos a partir de ahora que el triple espectral es admis-
Sible. Nuestro objetivo es probar la existencia de un objeto universal en Q. Lo haremos.
también probar que el (único hasta isomorfismo) objeto universal pertenece a
F (Q′), y su preimagen en Q′ es un objeto universal de la categoría Q′. A
Con este fin, necesitamos algunos resultados preparatorios.
Lemma 2.12 Considerar un triple espectral admisible (AŁ,H,D) y dejar
(S, α) ser una familia cuántica de isometrías lisas del triple espectral. Más...
encima, asumir que la acción α es fiel en el sentido de que no hay
C*-subalgebra S1 de S de tal manera que α(A)
*) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Entonces : A
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
A S definido por (a b) : α(a)(1 b) se extiende a un unitario S-lineal en
el Hilbert S-módulo H0D S, denotado de nuevo por. Por otra parte, podemos encontrar un
C*-isomorfismo : U/I → S entre S y un cociente de U por un C*-ideal
I de U, tal que α = (id
• H0D, donde ΠI
indica el mapa de cociente de U a U/I.
Si, además, hay una estructura de grupo cuántico compacto en S dado
por un coproducto tal que es un objeto en Q′, el mapa α : A. →
AS se extiende a una representación unitaria (denominada de nuevo por α) de la com-
pact quantum group (S) en H0D. En este caso, el ideal yo es un Woronowicz
C*-ideal y el C*-isomorfismo : U/I → S es un morfismo de compacto
Grupos cuánticos.
Prueba:
Deja que sea cualquier estado en S. Ya que la acción α : Ao → Ao S es suave
e isométrico, concluimos por Lemma 2.10 que
x A. Puesto que el término es arbitrario, tenemos (el término id)α(x) = el término x)1S para todos los "x" A.
Por lo tanto, < α(x), α(y) >S=< x, y > 1S, donde < ·, · >S denota el valor S
producto interno del módulo Hilbert H0D S. Esto prueba que definido por
(x b) := α(x)(1 b) (x â € € TM a, b â € TM a S) se extiende a una isometría S-lineal en
el módulo S Hilbert H0DS. Por otra parte, puesto que α(A)
((1S) es norma-densa
en S, está claro que el lapso S-lineal del rango de α(A) es denso en
el módulo Hilbert H0D S, o en otras palabras, la isometría tiene una densa
rango, por lo que es un unitario.
Puesto que deja cada invariante Vi, está claro que α mapas Vi en Vi S
para cada i. Let v
(j, k = 1,..., di) ser los elementos de S tales que α(eij) =
k eik v
. Note que vi := ((v)
)) es un unitario en Mdi(C)S. Además,
el ∗-subálgebra generado por todos {v
, i, j, k ≥ 1} debe ser denso en S por
la suposición de fidelidad.
Ya hemos señalado que {e*ij} es también una base ortonormal de
Vi, y desde α, siendo un C
∗-acción sobre A, es ∗-conservador, tenemos α(e*ij) =
(α(eij))
, y por lo tanto (v
)) también es unitario. Por univer-
salidad de Ui, hay una C
* Homomorfismo de Ui a S enviando u
y por definición del producto libre, esto induce un C*-homomorfismo, dicen
Π, de U a S, de modo que U/I = S, donde I := Ker(Π).
En el caso de que S tenga un coproducto, lo que lo convierte en un grupo cuántico compacto.
y α es una acción de grupo cuántico, es fácil ver que el subalgebra de
S generada por v
es un álgebra Hopf, con
. Desde
esto, se deduce que Π es morfismo Hopf-álgebra, por lo tanto soy un Woronowicz
C*-ideal. â € € TM TM
Antes de declarar y probar el teorema principal, tomemos nota de lo siguiente
hecho elemental sobre C*-álgebras.
Lemma 2.13 Dejar C ser un C* álgebra y F ser una colección no vacía de
C*-ideales (ideales cerrados de dos lados) de C. Entonces para cualquier x C, tenemos
«x+I» = «x+I0»,
donde I0 denota la intersección de todo I en F y â € x + Iâ = infx −
La norma en C/I es la siguiente:
Prueba:
Es evidente que supIâ °F x + Iâ ° define una norma sobre C/I0, que es de hecho un
C*-norm ya que cada una de las normas cociente es así. Así el lema
se desprende de la singularidad de la norma C* sobre el álgebra C* C/I0. â € € TM TM
Teorema 2.14 Para cualquier triple espectral admisible (A, H, D), la categoría
Q de familias cuánticas de isometrías lisas tiene un objeto universal (inicial),
decir (G, α0). Por otra parte, G tiene un coproducto 0 tal que (G,0) es un
pact quantum group y (G,+0, α0) es un objeto universal en la categoría Q
de grupos cuánticos compactos que actúan sin problemas e isométricamente en el dado
triple espectral. La acción α0 es fiel.
Prueba:
Recuerde el C*-álgebra U considerado antes, y el mapa β de H0D a
H0DU. Por nuestra definición de β, está claro que β(A)
0 ) A
0 algU. Sin embargo,
β es sólo un mapa lineal (unitario) pero no necesariamente un ∗-homomorfismo. Nosotros
construir el objeto universal como un cociente adecuado de U. Let F
ser la colección de todos los C*-ideales I de U tal que la composición
I := (idI) β : A
0 → A
0 alg (U/I) se extiende a una C
∗-homomorphsim
de a (U/I), donde ΠI denota el mapa de cociente de U a
U/I. Esta colección es no vacía, ya que el trivial unidimensional C*-
álgebra C da un objeto en Q y por Lemma 2.12 obtenemos un miembro de
F. Ahora, que I0 sea la intersección de todos los ideales en F. Afirmamos que I0 es
de nuevo un miembro de F. Puesto que cualquier C*-homomorfismo es contractivo, tenemos
I (a) (a) (a) (a) (a) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () ()) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ())) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
0 y yo F. Por Lemma
2,13, vemos que I0(a) ≤ a para un A
0, por lo que se extiende a una norma-
mapa contráctivo en la ciudad por la densidad de A0 en la ciudad. Por otra parte, para a, b..........................................................................................
y para I-F, tenemos I-ab) = I-a)-I-b). Ya que ΠI = ΠI + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
reescribir la propiedad homomórfica de I como
I0(ab)- I0(a)I0(b) I0(b) I0 (I/I0).
Dado que esto es válido para cada uno de los grupos, concluimos que el grupo I0(ab)(a)(e)(b)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e)(e).
I+F (I/I0) = (0), es decir, Es un homomorfismo. De la misma manera, podemos
mostrar que es un ∗-homomorfismo. Dado que cada βi es una representación unitaria
del grupo cuántico compacto Ui en el espacio dimensional finito Vi, él
De ello se desprende que βi(Vi)(1 Ui) es total en Vi Ui. En particular, para cualquier vi Vi
(i arbitrario), el elemento vi 1Ui = vi 1U pertenece al lapso lineal de
βi(Vi)(1Ui) β(Vi)(1U). Por lo tanto, A
0 1U está contenido en el lapso lineal de
β(A0)(1U) y, por lo tanto,A
0 1 U
se extiende linealmente por â € ¢I0(A
0 )(1U/I0).
Por la denistía-norma de A-0 en A y la contractividad del mapa cociente,
se deduce que A U/I0 es el lapso lineal cerrado de I0(A
0 )(1 U/I0).
Esto completa la prueba de que (U/I0,I0) es realmente un objeto de Q.
Ahora mostramos que G := U/I0 es un objeto universal en Q. Para ver esto, con...
sider cualquier objeto (S, α) de Q. Sin pérdida de generalidad podemos asumir la
acción para ser fiel, ya que de lo contrario podemos reemplazar S por el C*-subalgebra
generado por los elementos {v
} que aparecen en la prueba de Lemma 2.12. Pero
por Lemma 2.12 podemos asumir además que S es isomórfica con U/I para
Desde I0 I, tenemos una C
* Homomorfismo desde U/I0 hasta
U/I, enviando x+I0 a x+I, que es claramente un morfismo en la categoría Q.
Este es, de hecho, el único morfismo tal, ya que se determina de manera única en
el subalgebra denso generado por {u
+ I0, i, j, k ≥ 1} de G.
Para construir el coproducto en G = U/I0, primero consideramos α
(2) = (I0
id) I0 : A → AG G. Es fácil verificar que (G G, α
2)) es un objeto
en la categoría Q, por lo que por la universalidad de (G,I0), tenemos una unidad única
C*-homomorfismo 0 : G → G G satisfactorio
(id0) (x) = α
2) x) x) A.
Tomando x = eij, obtenemos
EIL (OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
EIL 0(lOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
Comparación de coeficientes de eil, y recordando que
(donde denota el coproducto en U), tenemos
(ηI0 ηI0)
en el intervalo lineal de {u
, i, j, k ≥ 1}, y por lo tanto en el conjunto de U. Esto
implica que los mapas I0 = Ker(lI0) en Ker(lI0I0) = (I01+1I0)
U U. En otras palabras, I0 es un Hopf C
∗-ideal, y por lo tanto G = U/I0 tiene la
La estructura del grupo cuántico compacto canónico como subgrupo cuántico de U. Lo siento.
se desprende claramente de la relación (2) que el 0 % coincide con el coproducto canónico
del subgrupo cuántico U/I0 heredado del de U. También es fácil de
ver que el objeto (G,0,I0) es universal en la categoría Q
′, utilizando el hecho
que (por Lemma 2.12) cualquier grupo cuántico compacto (G,Φ) actuando sin problemas
e isométricamente en el triple espectral dado es isomórfico con un cuántico
subgrupo U/I, para algunos Hopf C*-ideal I de U.
Por último, la fidelidad de α0 se deriva de la universalidad por norma
argumentos que bosquejamos brevemente. Si G1 G es un ∗-subalgebra de G tal
que α0(A) A G1, es fácil ver que (G1,+0, α0) es también un universal
objeto, y por definición de universalidad de G se deduce que hay un único
morfismo, digamos j, de G a G1. Pero el mapa j i es un morfismo de G a
en sí mismo, donde i : G1 → G es la inclusión. Una vez más, por universalidad, tenemos que
j i = idG, por lo que en particular, i está en, es decir. G1 = G.
Definition 2.15 Llamaremos al objeto universal (G,+0) obtenido en el
teorema por encima del grupo de isometría cuántica de (AŁ,H,D) y denotarlo
por QISO(A),H,D), o simplemente QISO(A), (o a veces QISO()) si la
triple espectral se entiende desde el contexto.
Observación 2.16 Suponga que un triple espectral admisible (A, H, D) también
cumple la condición i) de Lemma 2.5, es decir,
Dom(Ln) = A. Let α :
A → AS ser una acción isométrica suave en A por un grupo cuántico compacto
S. Recordamos de la prueba de Lemma 2.12 que el mapa de A S a
se extiende a un unitario S-lineal en el módulo S Hilbert H0D S, es decir.
puede ser visto como un unitario en B(H0D) S. Claramente, para cualquier estado
S, tenemos = (id )() B(H)
D). Ahora, por la definición de un suave
acción isométrica, el operador limitado se desplaza con la auto-adjunta
operador L en A-0, que es un núcleo para L. Por lo tanto, debe conmutar con L
para todos los n y, en particular, mantiene A. =
nDom(L
n) invariante.
Observación 2.17 Ahora vamos a indicar brevemente cómo se puede debilitar el hy-
Potesis de la conexión. Tal extensión de nuestros resultados es deseable
para dar cabida a los espacios clásicos, incluidos los conjuntos finitos y gráficos,
en nuestro marco. Un enfoque posible podría consistir en considerar la posibilidad de
gry de acciones de grupo cuántico compacto α que no son sólo ‘smmoth’ y
‘isométrico’ en nuestro sentido, pero también satisfacen la condición de la invarianza, es decir.
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá ser superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo, sino superior o igual al 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Es fácil ver que la suposición de conexión
ha sido utilizado por nosotros sólo para demostrar que la Ł -invarianza es automática para
acciones isométricas suaves. Por lo tanto, si trabajamos en la cateogoria más pequeña de tales
Sólo acciones infractoras, la prueba de Teorema 2.14 pasa y por lo tanto
podemos probar la existencia de un objeto universal, que se definirá como el cuántico
Grupo isométrico. Es fácil ver que para el álgebra de funciones en un finito
conjunto, con el triple espectral dado por D = 0, este grupo de isometría cuántica
coincide con el grupo de permutación cuántica definido por Wang.
Observación 2.18 Es fácil ver cómo ampliar nuestra formulación y resultados
a triples espectrales que no son necesariamente de tipo II, es decir. cuando el rastro
Se sustituye por algunos no-tracial positivo funcional. De hecho, nuestra construcción...
En una situación de este tipo, se procederá de forma más o menos literal, sustituyendo
los grupos cuánticos universales Adi(I) por Adi(Qi) para alguna elección adecuada de
matrices Qi procedentes de la propiedad de modularidad de .
2.4 Construcción de triples espectrales cuánticos de grupo equivariante
En esta subsección, discutiremos brevemente la relevancia de la isometría cuántica
grupo al problema de la construcción de grupo cuántico equivariante espectral
triples, lo que es importante para entender el papel de los grupos cuánticos en el
marco de geometría no conmutativa. Ha habido mucha actividad.
en esta dirección recientemente, ver, por ejemplo, los artículos de Chakraborty y
Pal ([5]), Connes ([7]), Landi et al ([8]) y sus referencias. En el
situación clásica, existe una representación unitaria natural del isom-
grupo de etry G = ISO(M) de un M múltiple en el espacio Hilbert de formas, así
que el operador d+d* (donde d es el operador diferencial de-Rham) com-
mudos con la representación. De hecho, d+d* es también un operador de Dirac para el
triple espectral dado por la representación natural de C. M. en el Hilbert
espacio de formas, por lo que tenemos una construcción canónica de G-equivariante espectral
triple. Nuestro objetivo en esta subsección es generalizar esto a los no computa-
tiva, al demostrar que dD + d
D es equivariante con respecto a un
Representación canónica unitaria en el espacio Hilbert de ‘no commutativa
los formularios» (véase, por ejemplo, [10] para un análisis detallado de dichos formularios).
Considerar un triple espectral admisible (A®,H,D) y, además, hacer
la hipótesis de Lemma 2.6, es decir, Asumir que t 7→ eitDxe−itD es la norma-
diferenciable en t = 0 para todas las x en la ∗-álgebra B generada por A
[D.A.].
Lemma 2.19 En la notación de Lemma 2.6, tenemos lo siguiente (donde
b), c) A):
d*D(dD(b)c) = −
(bL(c)− L(b)c− L(bc)). 3)
Prueba:
Denotar por χ(b, c) el lado derecho de la euqación (3) y fijar cualquier â € ¬ A.
Usando los hechos, el funcional es un fiel rastro en el ∗-álgebra B,
L = −d*DdD y que [D,X] = 0 para cualquier X en B, tenemos,
(a(b, c))
(a)*bL(c)) + (ca*L(b)) + (a*L(bc))}
([D, a*b]][D, c]) −([D, ca*]][D, b])−([D, a*][D, bc])}
(a)*[D, b][D, c]] − Karabaj([D, c]a∗[D, b])− Karabaj(c[D, a*][D, b])− Karabaj([D, a*][D, b]c)}
= ([D, a*][D, b]c)
= ([D, a]*[D, b]c)
= DdD(a), dD(b)c
= (a)*(d*D(dD(b)c))).
A partir de esto, obtenemos lo siguiente por un simple cálculo:
•adD(b), a
′dD(b)
′) = −
*(b(a*a, b′)), (4)
en el caso de las letras a), b), a′, b′, y en el caso de las letras a), b), b) y b), y en el caso de las letras a), b) y c) := L(xy)-L(x)y+xL(y). Ahora, vamos a
Denotar el grupo de isometría cuántica del triple espectral dado (A., H.D.)
por (G.o, α). Deja que A0 denote el *-álgebra generada por A
0, G0 denota*-
álgebra de G generada por elementos de matriz de representaciones irreductibles.
Claramente, α : A0 → A0 alg G0 es una acción Hopf-algebraic de G0 en A0. Definir
: (A0 alg G0)× (A0 alg G0) → A0 alg G0
(x q), (x′ q′)):= (x, x′) (qq′).
De la relación (L id) α = α L en A0 se desprende que
(α(x), α(y)) = α(Ł(x, y)). 5)
Ahora definimos un mapa lineal α(1) a partir del intervalo lineal de {adD(b) : a, b {A0}
a H1D G por ajuste
α (1) adD(b) :=
i dD(b)
j ) a
donde para cualquier x â € ¢ A0 escribimos α(x) =
i A0algG0 (resumen)
sobre muchos términos finitos). A veces utilizaremos la convención Sweedler.
de escribir lo anterior simplemente como α(x) = x(1) x(2). A continuación, se desprende de la
las identidades (4) y (5), y también el hecho de que ( id)(α(a)) = ♥(a)1 para todos
a • A0 que
•adD(b), a
′dD(b)
(l+ id)(α(b*)(α(a*a′), α(b′))
(l)(α(b*)α(a*a′, b′))
(l) (α(b(a*a′, b′))
(b(a*a′, b′))1G
= AdD(b), a
′dD(b)
′)~1G.
Esto demuestra que α(1) es de hecho bien definido y se extiende a un isom-G-lineal
etery en H1D G, a ser denotado por U
(1), que envía (adD(b)) q a
α (1)adD(b)(1 q), a, b â € A0, q â € G. Además, desde el lapso lineal
de α(A0 )(1 G) es denso en H
D G, se ve fácilmente que el rango de la
isometría U (1) es la totalidad de H1D G, es decir. U
(1) es un unitario. De hecho, de su
definición también puede ser shwon que U (1) es una representación unitaria de la
Grupo cuántico compacto G en H1D.
De manera similar, podemos construir la representación unitaria U (n) de G en
el espacio Hilbert de n-formas para cualquier n ≥ 1, definiendo
U (n)(a0dD(a1)dD(a2)...dD(an))q) = a
0 dD(a)
1 )...dD(a
n )(a)
1...a
n q), ai A
(usando la convención Sweedler) y verificando que se extiende a un unitario.
También denotamos por U (0) la representación unitaria en H0D discutido ser-
en primer lugar. Finalmente, tenemos una representación unitaria U =
n≥0 U
(n) de G el
H :=
D, y también extender dD como un operador cerrado densamente definido en H
de la manera obvia, definiendo dD(a0dD(a1)...dD(an)) = dD(a0..dD(an).
Ahora es sencillo ver lo siguiente:
Teorema 2.20 El operador D′ := dD+d
D es equivariante en el sentido de que
U(D′ 1) = (D′ 1) U.
Señalamos que hay una representación natural de A en H
por la letra a)) a0dD(a1)...dD(an)) = aa0dD(a1)...dD(an), y
En el anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 1303/2013, se añade el texto siguiente:
de hecho un triple espectral, que es G-equivariante.
Aunque la relación entre las propiedades espectrales de D y D′ no es
claro en general, en muchos casos de interés (por ejemplo, cuando hay un subyacente
tipo (1, 1) datos espectrales en el sentido de [10]) estos dos operadores Dirac son
estrechamente relacionados. Como ilustración, considere el espectral canónico en el
2-torus no compmutativo A., que se discute en algunos detalles en el siguiente
sección. En este caso, el operador de Dirac D actúa sobre L2(A.
2, y es
se puede mostrar fácilmente (ver [10]) que el espacio Hilbert de formas es isomórfico
con L2(A), ♥)C
4 = L2(A)C
2; por lo tanto D′ es esencialmente igual a D en este
caso.
3 Ejemplos y cálculos
Damos algunos ejemplos simples pero interesantes explícitos de isometría cuántica
Aquí hay grupos. Sin embargo, sólo damos algunos detalles computacionales para el primero
por ejemplo, y para el resto, el lector se refiere a un artículo de acompañamiento ([3]).
Ejemplo 1: Tori conmutativo
Considere M = T, el untorus, con la estructura habitual de Riemannian. Los
∗-álgebra A. = C.(M.) es generada por una U unitaria, que es la multi-
operador de la aplicación por z en L2(T). El Laplaciano es administrado por L(Un) = −n2Un.
Si un grupo cuántico compacto (S,+S) actúa en A
# Sin problemas, que An, n # # Z sea #
elementos de S tales que α0(U) =
n An (aquí α0 : A
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
es la acción S en A.). Tenga en cuenta que esta suma infinita converge al menos
en la topología del espacio Hilbert L2(T) L2(S), donde L2(S) denota
el espacio GNS para el estado Haar de S. Está claro que la condición
(L id) • α0 = α0 • L fuerzas para tener An = 0 para todos, excepto n = ±1. Los
condiciones α0(U)α0(U)
* = α0(U)
0(U) = 1 1 implica además la siguiente
A*1A1 + A
−1A−1 = 1 = A1A
1 + A−1A
A*1A−1 = A
−1A1 = A1A
−1 = A−1A
1 = 0.
Se deduce que A±1 son isometrias parciales con dominios ortogonales y
rangos. Digamos que A1 tiene dominio P y rango Q. De ahí el dominio y
rango de A−1 son respectivamente 1 − P y 1 − Q. Considere el unitario
V = A + B, de modo que V P = A, V (1 − P ) = B. Ahora, por el hecho de que
(L id)(α0(U)
2)) = α0(L(U)
2)) es fácil ver que el coeficiente de 11 en
la expresión de α0(U)
2 debe ser 0, es decir. AB+BA = 0. De esto se desprende:
que V y P viajan y por lo tanto P = Q. Mediante un cálculo sencillo
utilizando los hechos que V es unitario, P es una proyección y V y P viaje, nosotros
puede verificar que α0 dado por α0(U) = U V P +U
−1V (1−P) se extiende a una
∗-homomorphsim de A a AC*(V, P ) satisfaciendo (Lid)0 = α0°L.
Se deduce que el álgebra C* QISO(T) es conmutativo y generado por un
unitaria V y una proyección P, o equivalente por dos isometrías parciales A,
B tales que A*A = AA*, B*B = BB*, AB = BA = 0. Por lo tanto, como un álgebra C*
es isomórfico con C(T) + C(T) = C(T × Z2). El coproducto (digamos +0)
se puede calcular fácilmente a partir del requisito de co-asociatividad, y el
Hopf estructura de álgebra de QISO(T) se puede ver a coincidir con la de
el producto semidirecto de T por Z2, en el que el generador de Z2 actúa sobre T por
enviando z 7→ z̄.
Resumimos esto en forma de lo siguiente.
Teorema 3.1 El grupo cuántico universal de isometrías QISO(T) de la
un torso T es isomórfico (como grupo cuántico) con C(T Z2) = C(ISO(T)).
Podemos fácilmente extender este resultado a tori conmutativo dimensional superior,
y puede demostrar que el grupo de isometría cuántica coincide con el clásico
Grupo isométrico. Esto es algún tipo de rigidez resultado, y será el interés-
para investigar la naturaleza de los grupos de isometría cuántica de
Células clásicas.
Ejemplo 2 : Torus no conmutativo; isomorfas holomorfas
A continuación consideramos el ejemplo más simple y bien conocido de no conmutativo
multiple, es decir, el dos-torus no compmutativo A.......................................................................................................................................................................................................................................................
número irracional (véase [6]). Es el álgebra C* universal generada por
dos unidades U y V que satisfagan la relación de conmutación UV = V U,
donde = e2 Hay un rastro canónico fiel en Ao dado por
* (UmV n) = * mn. Consideramos el triple espectral canónico (A
, H, D),
donde A* es la álgebra unitaria de U, V, H = L2(
D es dada por
0 d1 + id2
d1 − id2 0
donde d1 y d2 se cierran mapas lineales sin límites en L
2..............................................................................................................................................................................................................................................................
mV n) = mUmV n, d2(U
mV n) = nUmV n. Es fácil calcular la
espacio de una sola forma 1D (véase [4], [10], [6]) y la laplacia L = −d
∗d
dado por L(UmV n) = −(m2 + n2)UmV n. Para la simplicidad del cálculo,
en lugar del grupo completo de isometría cuántica nos concentramos al principio en un
interesante subgrupo cuántico G = QISOhol (A, H, D), que es el uni
grupo cuántico versal que deja invariante el subalgebra de A
de polinomios en U, V y 1, es decir, intervalo de umV n con m,n ≥ 0. La prueba
de la existencia y singularidad de tal grupo cuántico universal es más o
menos idéntico a la prueba de existencia y unicidad de QISO. Llamamos a G.
el grupo cuántico de isometrías “holomorfas”, y observar en el teorema
se indica a continuación sin pruebas (véase [3]) de que este grupo cuántico no es otra cosa que
el doble toro cuántico estudiado en [11].
Teorema 3.2 Considerar el siguiente coproducto B en la C
* álgebra B =
C(T2)A2, en los generadores A0, B0, C0, D0 según se indica a continuación (donde A0, D0
corresponde a C(T2) y B0, C0 corresponde a A2
B(A0) = A0 A0 + C0 B0, B(B0) = B0 A0 + D0 B0,
B(C0) = A0 C0 +C0 D0, B(D0) = B0 C0 +D0 D0.
Entonces (B,?0) es un grupo cuántico compacto y tiene una acción α0 en A.
dado por
α0(U) = U A0 + V B0, α0(V) = U C0 + V D0.
Además, (B,B) es isomórfico (como grupo cuántico) con G = QISO
hol(A., H.D.).
Nos referimos a [3] para una prueba del resultado anterior, y a [11] para el cálculo
del estado de Haar y la teoría de la representación del grupo cuántico compacto
Ejemplo 3 : Torus no conmutativo; grupo de isometría cuántica completa
Por cálculos similares pero algo tediosos (véase [3]) también se puede describir
explícitamente el grupo completo de isometría cuántica QISO(A.A.H.D.). Es como un
C* álgebra tiene ocho summandos directos, cuatro de los cuales son isomórficos con
el álgebra conmutativa C(T2), y los otros cuatro son la rotación irracional
álgebras.
Teorema 3.3
∗ (Uk1, Uk2) (como C
* álgebra), donde
k impar, Uk1, Uk2 son los dos generadores unitarios de conmutación de C(T
2), y para
even k, Uk1Uk2 = exp(4 que generan A2oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo La acción (co)
en los grupos electrógenos U, V (digamos) de A
α0(U) = U(U11+U31)+V(U52+U62)+U
−1(U21+U41)+V
−1(U72+U82),
α0(V) = U(U51+U71)+V(U12+U22)+U
−1(U61+U81)+V
−1(U32+U42).
A partir de la condición de co-asociatividad, el co-producto de QISO puede fácilmente
se calculará. Para la descripción detallada del coproducto, counidad, y
tipode y estudio de la teoría de la representación de QISO(A), el lector es
al que se hace referencia [3]. Es interesante mencionar aquí que la isometría cuántica
es un tipo de Rieffel deformación del grupo isométrico (que es
igual que el grupo de isometría cuántica) del doble torso conmutativo. Los
dos torso conmutativo es un subgrupo de su grupo isométrico, pero cuando el
El grupo isométrico se deforma en QISO(A), la relación de subgrupos no es
respetada, y la deformación del toro conmutativo, que es A2
en QISO(A♥) justo como una C
∗ subalgebra (de hecho, un resumen directo) pero no
como un subgrupo cuántico más. Esto tal vez proporcione alguna explicación.
de la inexistencia de cualquier estructura de álgebra Hopf en el no conmutativo
Torus.
Agradecimientos : El autor desea agradecer a P. Hajac
• el artículo 11 y S.L. Woronowicz para muchos valiosos
Los comentarios y sugerencias que condujeron a una mejora sustancial de la
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Teoría general del sistema, Semántica de Quantum y conjuntos borrosos
Ignazio Licata
Isem, Instituto de Metodología Científica, Pa, Italia
Ignazio.licata@ejtp.info
Resumen: Se describe la posibilidad de extender el formalismo cuántico en relación con el
requisitos de la teoría general de sistemas. Se puede hacer usando una semántica cuántica
surgida de la estructura lógica profunda de la teoría cuántica. Es tan posible teniendo en cuenta el
una relación de apertura lógica entre el observador y el sistema. Vamos a mostrar cómo
considerando los valores de verdad de las proposiciones cuánticas dentro del contexto de los conjuntos borrosos está aquí
más útil para el sistema. En conclusión, proponemos un ejemplo de coherencia cuántica formal.
Palabras clave: Teoría Cuántica; Conjuntos borrosos; Teoría del Sistema; Sintaxis y Semántica de la Ciencia
Teorías; Apertura lógica.
Publicado en Systemics of Emergence. Investigación y Desarrollo, Minati G., Pessa E., Abram M.,
Springer, 2006, páginas 723-734.
1. El papel de la sintáctica y la semántica en la teoría general del sistema
El elemento omológico rompe las especializaciones, fuerzas teniendo en cuenta diferentes cosas al mismo tiempo, agita el
juego interdependiente de las subtotalidades separadas, sugiere a una totalidad más amplia cuyas leyes no son las de su
componentes. En otras palabras, el método omológico es un método antiseparatista y reconstructivo, lo que lo hace
desagradable para los especialistas.
F. Rossi-Landi 1985
El enfoque sistémico-cibernético ( Wiener, 1961; von Bertalannfy, 1968; Klir, 1991) requiere una
evaluación cuidadosa de la epistemología como la praxis crítica interna a la construcción de la ciencia
El discurso. Es por eso que la habitual referencia a un “tejido conectivo” compartido en común por diferentes
Los sujetos podrían ser engañosos. De hecho, toda teoría científica es el resultado de una
construcción conceptual compleja dirigida al problema características peculiares, por lo que lo que somos
el interés no es un marco que forma un super-sistema abstracto hecho por el "filtrado" de la
ciencias particulares, pero una investigación centrada en las características globales y fundacionales de
la actividad científica desde una perspectiva transdisciplinar. Según este punto de vista, podemos entender
la Teoría del Sistema General (GST) por analogía con la metalógica. Se ocupa de las posibilidades y
límites de varios sistemas formales en un grado más alto que cualquier estructura específica.
Una teoría científica presupone un cierto conjunto de relaciones entre el observador y el sistema, así que
GST tiene el propósito de investigar la posibilidad de describir la multitud del observador del sistema
relaciones. El objetivo principal del GST es delinear una epistemología formal para estudiar la
formación de conocimiento, una ciencia capaz de hablar de la ciencia. El éxito de esbozar tales
el panorama permitirá analizar los procesos interdisciplinarios que son más y más
más importante en el estudio de sistemas complejos y se les garantizará la “transportabilidad”
condiciones de un conjunto modelístico de un campo a otro. Por ejemplo, durante una teoría en desarrollo,
sintaxis se estructura cada vez más poniendo restricciones unívocas en la semántica de acuerdo a
los requisitos operativos del problema. A veces puede ser útil generalizar una herramienta sintáctica
en un nuevo dominio semántico para formular nuevos problemas. Semejante trabajo, por lo general trans-
disciplinaria, sólo se puede hacer por las herramientas de un GST capaz de discutir nuevas relaciones entre
Sintáctica (modelo formal) y semántica (uso del modelo). Aquí es útil considerar de nuevo la
perspectiva omológica, que no sólo identifica analogías e isomorfismos en pre-definidos
estructuras, pero tiene como objetivo encontrar una relación estructural y dinámica entre las teorías
nivel de análisis, proporcionando así nuevas posibilidades de uso (Rossi-Landi, 1985). ¿Qué cosa es particularmente
útil en el estudio de sistemas complejos, donde la esencia misma del problema en sí mismo hace un
uso dinámico de los modelos necesarios para describir las características emergentes del sistema (Minati &
Brahms, 2002; Collen, 2002).
Queremos aquí discutir brevemente tal aceptación de GST, y luego mostrar la posibilidad de
modificar la semántica de la Mecánica Cuántica (QM) para obtener una herramienta conceptual
requisitos sistémicos.
2. Observador como topógrafo de emergencia y solucionador de ambigüedades semánticas
Lo que vemos no es la Naturaleza en sí misma, sino la Naturaleza desvelando nuestros métodos de cuestionamiento.
W. Heisenberg, 1958
Una pregunta muy importante e interesante en la teoría de sistemas se puede decir como sigue: dado un conjunto
de los sistemas de medición M y de las teorías T relacionadas con un sistema S, es siempre posible ordenar
ellos, tales que Ti-1 Ti, donde el símbolo de orden parcial se utiliza para denotar la relación
“físicamente más débil que”? Señalaremos que, en este caso, la teoría de la cadena contiene
más información que las anteriores. En consecuencia, se plantea una segunda cuestión clave:
una teoría final única Tf describir exhaustivamente todos y cada uno de los aspectos del sistema S? Del
lado informativo y métrico, esto es equivalente a declarar que toda la información contenida en un
El sistema S puede extraerse mediante procesos de medición adecuados.
La proposición fundamental para el reduccionismo es, de hecho, la idea de que tal cadena de teoría
ser suficiente para dar una descripción coherente y completa para un sistema S. Reduccionismo, en la luz
de nuestras definiciones, coincide por lo tanto con el mayor grado de espacio semántico “compresión”;
cada objeto D-Ti en S tiene una definición en una teoría Ti perteneciente a la cadena de la teoría, y este último
es - en su turno - relacionado con el nivel explicativo fundamental de la teoría "final" Tf. Esto implica que
cada aspecto en un sistema S está determinado sin ambigüedad por la sintaxis descrita en Tf. Cada uno
sistema S se puede describir a un nivel fundamental, pero también con muchos fenomenológicos
descripciones, cada una de estas descripciones se puede considerar una aproximación de la teoría "final".
De todos modos, la mayoría de los sistemas “interesantes” con los que nos ocupamos no pueden incluirse en esta
programa de compatibilidad de sintaxis teoría: tenemos que considerar este aspecto importante para un correcto
definición epistémica de sistemas de “complejidad”. Vamos a ilustrar este punto con un razonamiento simple,
basado en los conceptos de apertura lógica y emergencia intrínseca (Minati, Pessa, Penna,
1998; Licata, 2003b).
Cada operación de medición puede codificarse teóricamente en una máquina Turing. Si es coherente
y completa descripción fundamental Tf existe, entonces también existirá un conjunto finito - o, a lo sumo,
Contablemente infinito - de las operaciones de medición M que puede extraer todos y cada uno
información que describe el sistema S. Llamaremos a este conjunto de medición Turing-observador.
Podemos fácilmente imaginar a Turing-observador como un robot que ejecuta una serie de mediciones en un
sistema. El robot es guiado por un programa construido sobre reglas pertenecientes a la teoría T. Puede ser
Sin embargo, demostró que esto sólo es posible para los sistemas lógicamente cerrados, o a lo sumo para los sistemas con un
muy bajo grado de apertura lógica. Cuando se trata de sistemas altamente lógicamente abiertos, no recursivo
existe un criterio formal que puede ser tan selectivo como se solicita (es decir, elegir automáticamente
la información es pertinente para describir y caracterizar el sistema, y que no lo es), simplemente
porque no es posible aislar el sistema del medio ambiente. Esto implica que la
la hipótesis del observador no se sostiene por razones fundamentales, fuertemente relacionadas con Zermelo-Fraenkel
elección axioma y a los problemas clásicos de decisión de Godel. En otras palabras, nuestro robot ejecuta el
las mediciones siempre siguiendo las mismas sintácticas, mientras que el escenario que muestra
la emergencia se modifica semánticamente. Así que es imposible pensar en codificar cualquier posible
medición en un sistema lógicamente abierto!
Por lo tanto, el observador juega una regla clave, inevitable como un solucionador de ambigüedad semántica: sólo el
observador puede y va a seleccionar propiedades de emergencia intrínseca-observacional ( Bass &
Emmeche, 1997; Cariani, 1991), y posteriormente planificar procesos de medición adecuados para
describir lo que, de hecho, han convertido en nuevos sistemas. La complejidad del sistema es
estructuralmente ligados a la apertura lógica y es, al mismo tiempo, una expresión de
los comportamientos organizados del sistema (correlaciones de largo alcance, estructura jerárquica, etc.) y
la solicitud de los observadores de nuevos modelos explicativos.
Por lo tanto, un GST tiene que permitir - en el mismo contexto teórico - tratar con el observador como un
agrimensor de emergencia en un sistema lógico abierto. En particular, está claro que el propio observador es un
sistema lógico abierto.
Por otra parte, hay que señalar que la coexistencia de muchos niveles de descripción – compatible pero
no deducibles entre sí – conduce a situaciones intrínsecas de incertidumbre,
marcos por los que se puede definir una propiedad del sistema.
3. Semántica semejante a la cuántica
No estoy contento con todos los análisis que van con sólo la teoría clásica, porque la naturaleza no es clásica,
y si quieres hacer una simulación de la naturaleza, será mejor que sea cuántico mecánico, y por golly es un maravilloso
problema, porque no parece tan fácil. Gracias.
R. P. Feyman, 1981
Cuando modificamos y/o amplificamos una teoría para poder hablar de diferentes sistemas
de los que estaban equipados para, podría ser mejor mirar a la teoría características estructurales profundas por lo que
como para obtener una perspectiva abstracta capaz de cumplir con los requisitos del enfoque omiológico, con el objetivo de señalar
una convergencia conceptual no banal.
Como todo el mundo sabe, la lógica de la física clásica es un lenguaje dicotómico (tercio non
datur), relativamente ortocompletado y capaz de cumplir las débiles relaciones de distribución por la lógica
conjuntivos Y/O. Tales características son el núcleo de los elementos conmutativos booleanos de este
lógica porque las disyunciones y conjunciones son operaciones simétricas y asociativas. Lo haremos.
aquí nos centramos en las consecuencias sistémicas de estas propiedades. Un sistema S puede obtener o no obtener un
propiedad dada P. Una vez que arreglamos el valor de la verdad P es posible mantener en nuestra investigación sobre un nuevo
preposición P subordinado al valor de la verdad del anterior. A continuación, añadimos una nueva pieza de
información a nuestro conocimiento sobre el sistema. Así que la ortocomplementación relativa axioma
que seguimos siguiendo una sucesión de pasos, cada uno haciendo nuestra incertidumbre sobre
el sistema para disminuir o, en caso de una cantidad finita de pasos, para dejarnos definir el estado de la
sistema determinando todas sus propiedades. La propiedad de cada sistema puede ser descrito por un contable
infinidad de proposiciones atómicas. Por lo tanto, tal axioma juega el papel de un axioma descriptible para clásico
sistemas.
El uso sin restricciones de este tipo de axioma tiende a ocultar los problemas conceptuales que se extienden
Desde el hecho de que cada descripción implica un contexto, como hemos visto en el caso de Turing-
análisis de observadores, y parece implicar que las propiedades sistémicas son independientes del observador,
Sin duda es una declaración no válida cuando tratamos con sistemas lógicos abiertos. En particular, la
Los rasgos booleanos señalan que siempre es posible llevar a cabo exhaustivamente una sincronía
descripción de las propiedades de un sistema. En otras palabras, cada pregunta sobre el sistema no es
dependiendo del orden que le pidamos y es responsable de una respuesta fija que indicaremos como 0- falso / 1-
Cierto. Se puede notar de repente que las características emergentes de otra manera consiguen una naturaleza diacrónica y
puede fácilmente hacer que tales características no se dan por sentadas. Usando diagramas de Venn es posible
proporcionar una representación de la descriptibilidad completa de un sistema gobernado por lógicas clásicas. Si
el estado del sistema está representado por un punto y una propiedad de su por un conjunto de puntos, entonces es siempre
es posible un “blanqueado” completo del conjunto universal I, lo que significa el siempre universalmente verdadero
Proposición. (véase el fig. 1).
Las lógicas cuánticas muestran profundas diferencias que podrían ser extremadamente útiles para nuestros objetivos
(Birkhoff & von Neumann, 1936; Piron, 1964). Al principio nació para aclarar algunos QM
contra-intuitivos lados, más tarde se ha desarrollado como un campo autónomo muy independiente de la
asuntos que la dieron a luz. Vamos a abreviar aquí las referencias formales a una encuesta esencial,
centrarse en algunos puntos de interés general en el sistema.
El lenguaje cuántico es una estructura ortomodular no booleana, es decir, es relativamente
ortocompletado pero no commutativo, para la represión del axioma de distributividad. Tal cosa
viene naturalmente del Principio de Indeterminación de Heisenberg y une la verdad- el valor de un
la afirmación del contexto y del orden por el que se ha investigado (Griffiths, 1995). Un pozo...
ejemplo conocido es el de la medición del giro de una partícula a lo largo de una dirección dada. En este caso nosotros
tratar con posibilidades semánticamente bien definidas y sin embargo intrínsecamente inciertas. Vamos a poner x
la medición del giro a lo largo de la dirección x. Para el principio de la indeterminación el valor será
totalmente incierto, sin embargo, la proposición y = 0 y = 1 es necesariamente cierto. En general, si P es un
propuesta, (-P ) su negación y Q la propiedad que no se desplaza con P, entonces vamos a obtener
una situación que puede ser representada por una “patchy” manta del conjunto I (véase la figura 2).
Tal configuración encuentra su significado esencial sólo en su relación con el observador. Así que podemos
afirma que cuando una situación puede ser descrita por una lógica cuántica, un sistema nunca es completamente
definido a priori. El proceso de medición mediante el cual se lleva a cabo la acción del observador es una opción
fijar las características de un sistema y dejar que otros no se definan. Sucede sólo por la naturaleza.
de la interrelación entre el sistema de observadores. Cada acto de observación da origen a una nueva descripción
posibilidades. La proposición Q – en el ejemplo anterior – describe propiedades que no pueden ser
definido por cualquier cadena implical de proposiciones P. Puesto que la emergencia intrínseca no puede ser
considerado como una propiedad del sistema independiente de la acción del observador - como en ingenua clásica
emergentismo -, Q se puede considerar formalmente la expresión de una propiedad emergente. Ahora sí.
fuerte tentado a definir como emergente la proposición indefinida de anti-como cuántico
lenguaje conmutativo. En particular, puede demostrarse que un no booleano e irreductible
El lenguaje ortomodular surge de propuestas infinitas. Significa que para cada par de proposiciones P1
y P2 tales que no implican el otro, existe infinitas proposiciones Q que implican P1
P2 sin necesariamente implicar los dos de ellos por separado: tercio datur. En cierto sentido, el
disyunción de las dos proposiciones obtiene más información que su mera suma fija, que es la
completamente opuesto a lo que sucede en el caso Booleano. Ahora es fácil comprender lo profundo
relación que vincula la anti-computatividad, los principios de indeterminación y el sistema global
estructura. Un sistema descriptible por una estructura booleana puede ser completamente "resuelto" mediante el análisis
los subsistemas definidos por un proceso de descomposición de ajuste ( Heylighen, 1990; Abram, 2002). En el
al contrario, en el caso anti-commutativo estudiando cualquier subsistema modifica el sistema entero en un
forma irreversible y estructural y produce incertidumbre correlacionada con la información obtenida,
que piensan hace absolutamente natural extender los principios de la indeterminación a una gran cantidad de
esferas de gran interés para el sistema (Volkenshtein, 1988).
Una cuestión particularmente clave es cómo manejar conceptualmente la cardinalidad infinita de la emergencia
proposiciones en una semántica lik-quantum. Como todo el mundo sabe QM tradicional se refiere a la
probabilidad frecuente elaborada dentro de la Interpretación de Copenhague (CIQM). Es esencialmente un
sub specie probabilitatis Boolean lógicas extensión. Los valores entre [ ]1,0 - es decir, entre el
total y siempre verdadera proposición yo y el siempre falso O – son significados como expectativa
valores, o las probabilidades asociadas a cualquier propiedad medible. Sin morar en el
complejo – y en cuanto a muchas preguntas aún abiertas – el debate sobre la interpretación de la gestión de la calidad, podemos preguntar aquí si
la aceptación probabilística de los valores de la verdad es el más adecuado para la teoría del sistema. Como suele suceder
Cuando nos ocupamos de los sentimientos transdisciplinarios, nos llevará a añadir una nueva, y de notable interés
para el "ordinario" QM también, paso a nuestra búsqueda.
4. Una interpretación borrosa de los idiomas cuánticos
Una ligera variación en los axiomas fundacionales de una teoría puede dar paso a enormes cambios en la frontera.
S. Gudder, 1988
El estudio de las facetas estructurales y lógicas de la semánica cuántica no proporciona ninguna
indicaciones necesarias sobre el espacio algebraico más adecuado para implementar sus propias ideas. Uno de
la cosa que hizo un gran mérito de tales investigaciones ha sido poner en discusión el papel clave
del espacio de Hilbert. En nuestro enfoque hemos mantenido los problemas “internos” de gestión de la calidad y su extensión a
preguntas sistémicas bien separadas. De todos modos, los últimos sugieren una posibilidad interpretativa
limitado a la lógica borrosa, que cosa puede afectar considerablemente a la tradicional QM también. El juego borroso
teoría es, en su esencia, una herramienta formal creada para tratar con la información caracterizada con
vaguedad e indeterminación. El papel clásico de Lotfi Zadeh (Zadeh, 1965) trae a
una conclusión una vieja tradición de lógica, que cuenta con Charles S. Peirce, Jan C. Smuts, Bertrand
Russell, Max Black e Ian Lukasiewicz entre sus precursores. En el centro de la teoría borrosa yace
la idea de que un elemento puede pertenecer a un conjunto a un grado variable de membresía; lo mismo vale
para una proposición y su relación variable con las constantes lógicas verdaderas y falsas. Lo subrayamos aquí.
dos aspectos de especial interés para nuestros objetivos. La definición de la ambigüedad se refiere a elementos únicos
y propiedades, pero no un conjunto estadístico, por lo que tiene que ser considerado un completamente diferente
concepto de la probabilidad de uno, que debería -por ahora- ser aclarado ampliamente (Mamdani, 1977; Kosko,
1990). Otro punto esencial –incluso menos evidente– es que la teoría difusa llama a un no-
“oráculo” algorítmico, un observador (es decir, un sistema lógico abierto y un solucionador de ambigüedad semántica) a
elegir el título de miembro. De hecho, la mayor parte de la teoría en su estructura es
modelo libre; ninguna ecuación y ningún valor numérico crean limitaciones a la evaluación cuantitativa,
ser la última tarea del constructor de modelos. En consecuencia, existe un profundo vínculo entre
sistematismo y confusión expresados con éxito por el principio de incompatibilidad de Zadeh (Zadeh,
1972) que satisface nuestro requisito de un principio generalizado de indeterminación. En él se afirma que:
aumentar la complejidad del sistema (es decir, su grado lógico de apertura), disminuirá nuestra capacidad de
hacer declaraciones exactas y predicciones probadas sobre su comportamiento. Ya existen muchos.
ejemplos de cruce entre la teoría difusa y QM (Dalla Chiara, Giuntini, 1995; Cattaneo, Dalla
Chiara, Giuntini 1993). Queremos aquí delinear la utilidad de la polivalencia difusa para el sistema
interpretación de la semántica cuántica.
Consideremos un sistema complejo, como un grupo social, una mente y un organismo biológico.
Cada uno de estos casos muestran características emergentes típicas debidas tanto a la interacción entre sus
componentes y las interrelaciones con el medio ambiente. Un acto del observador fijará algunos
propiedades y dejará a algunos otros indeterminados de acuerdo con una lógica no booleana. La grabación
de tales propiedades dependerá de la sucesión de los actos de medición y de su propia naturaleza.
El tipo de complejidad en juego, por otro lado, nos impide al declarar lo que es el estado del sistema
para asociar a la medición de una propiedad un valor probabilístico de expectativa. De hecho, sólo
los ejemplos antes mencionados están relacionados con los sistemas macroscópicos para los que el probabilístico
la interpretación de QM no es claramente válida. Por otra parte, la aplicación tradicional de la probabilidad
concepto implica la noción de "casos posibles", y por lo tanto también implica un conocimiento predefinido de
las propiedades de los sistemas. Sin embargo, la estructura lógica no conmutativa aquí esbozada no
proporcionar cualquier indicación convincente sobre el uso de probabilidad.
Por lo tanto, sería apropiado considerar un enfoque borroso para describir los actos de medición.
Podemos afirmar que dado un sistema genérico dotado de una alta apertura lógica y un conjunto indefinido
de propiedades capaces de describirlo, cada una de ellas pertenecerá al sistema en un grado variable.
Tal punto de vista expresa el famoso teorema de la "subsesión" difusa – también conocido como "el conjunto
en la parte” principio – podría parecer demasiado fuerte, de hecho, no es nada más que el más
expresión natural de la praxis científica real frente a sistemas emergentes intrínsecos. En el
en primer lugar, tenemos a nuestra disposición información indefinida estructurando progresivamente gracias a la
retroalimentación entre modelos y mediciones. Se puede demostrar que cualquier modelo lógicamente abierto de
grado n – donde n es un entero – permitirá una amplia gama de propiedades y proposiciones
indeterminado (los Qs en fig. 2) El modelo antes mencionado es una aproximación “estática” de un
proceso que muestra aspectos de proximidad y apertura variables. Estos últimos varían en el tiempo,
intensidad, diferentes niveles y contexto. Es notable señalar cómo tales sistemas son “flexibles”
y teniendo en cuenta el contexto, cambiar las reglas y hacer uso de las “contradicciones”. Este punto tiene que ser
enfatizado para entender el vínculo entre la lógica difusa y los lenguajes cuánticos. Incrementando la
apertura lógica y las propiedades poco afiladas de un sistema, será cada vez menos apto para ser descrito
por una lógica booleana. Esto trae como consecuencia que para un sistema complejo la intersección entre
un conjunto (propiedades, proposiciones) y su complemento no es igual al conjunto vacío, pero incluye
Ambos en un sentido confuso. Así que obtenemos una situación semántica polivalente que está bien adaptado para ser
descrito por un lenguaje cuántico. En cuanto a nuestro objetivo sistémico, es la interpretación probabilística de
ser inútil, por lo que vamos a construir una aceptación difusa de la semántica del formalismo. En nuestro
caso, dado un sistema S y una propiedad Q, dejar que ser una función que asocia Q a S, el
expresión ( ) [ ]1,0 QS no tiene que ser significado como un valor de probabilidad, sino como un grado de
miembros. Tal unión entre los lados no conmutativos de los lenguajes cuánticos y borrosos
La polivalencia parece ser la más adecuada y fecunda para los sistemas.
Consideremos la expresión tradicional de la coherencia cuántica (la propiedad que expresa la
Características mundiales y no locales de la gestión de calidad, es decir, principio de superposición, incertidumbre, interferencia de
probabilities), 2211 aa. En la interpretación difusa, significa que las propiedades 1o e 2o
que pertenezcan a la categoría 1a e 2a, respectivamente. En otras palabras, para complejos
sistemas el gato de Schrödinger puede estar al mismo tiempo vivo y muerto! De hecho, el reciente
experimentos con SQUIDs y los otros que investigan el llamado cuántico macroscópico
los estados sugieren una forma de macro-realismo bastante cerca de nuestra aceptación difusa (Leggett, 1980; Chiatti,
Cini, Serva, 1995). Puede proporcionar en nuce una pista que podría aparecer para ser interesante para el QM
viejos problemas interpretativos.
En general, que x sea una coordenada de posición de un objeto cuántico y su función de onda,
( ) dVx 2o se entiende generalmente como la probabilidad de encontrar la partícula en una región dV del espacio. En el
al contrario, en la interpretación difusa nos veremos obligados a mirar el módulo cuadrado como el
grado de pertenencia de la partícula a la región dV del espacio. ¿Qué tan inusual puede parecer, tales
La idea no tiene que ser vista de manera irreflexiva. De hecho, en la Teoría de Campo Cuántico y en
otros escenarios cuánticos más avanzados, una partícula no es sólo un objeto localizado en el espacio, pero
más bien un acontecimiento que surge de la transición cuántica elemental de las redes no locales (Licata,
2003a). Por lo tanto, la medición es un proceso de “descifración” que, de acuerdo con lo indicado,
reduce la ambigüedad del sistema limitando el espacio semántico y definiendo una información fija
cantidad.
Si estamos de acuerdo con tal interpretación, fácilmente e inmediatamente nos daremos cuenta de que seremos capaces de
Observar los comportamientos de coherencia cuántica en no cuánticos y muy lejos de la gama de Plank’s
h situaciones constantes. Reconsideramos aquí una situación debida a Yuri Orlov (Orlov, 1997).
Consideremos una esfera de Riemann (Dirac, 1947) – ver fig. 3 - y supongamos que cada punto
sobre la esfera representa una interpretación única de una situación dada, es decir. la asignación de un
conjunto coherente de valores de la verdad a una propuesta dada. Alternativamente, podemos considerar la elección de
un vector v desde el centro O hasta un punto en la esfera como una definición lógica de un mundo. Si nosotros
elegir una dirección diferente, asociado a un vector diferente w, ahora podemos establecer el problema sobre
el significado de la amplitud entre las descripciones lógicas de los dos mundos. Se sabe que
tal amplitud se expresa por ( )?cos121 +, donde? es el ángulo entre los dos
interpretaciones. La amplitud corresponde a una superposición de mundos, produciendo así la típica
patrones de interferencia que en términos vectoriales están relacionados con v
w. En este caso, el uso tradicional de
probabilidad no es necesario porque nuestro conocimiento de uno de los dos mundo con probabilidad igual
a p = 1 (certeza), no nos digas nada sobre la otra probabilidad. Una interpretación no es un
objeto cuántico en el sentido apropiado, y sin embargo nos vemos obligados a introducir formalmente una función de onda
e interferencia términos cuyo papel es muy oscuro uno. El enfoque borroso, en cambio, aclara
la semántica cuántica de esta situación interpretando la interferencia como una medida donde la
propiedades del mundo wv wv se deben a la global e indisoluble (no local)
contribución de la superposición v y w.
En conclusión, el uso generalizado de la semántica cuántica asociada a la nueva interpretación
posibilidades dan a los sistemas una herramienta muy poderosa para describir la relación observador-ambiente
y transmitir los varios intentos parciales - hasta ahora emprendidos - de aplicar el
formalismo al estudio de sistemas complejos en una raíz conceptual integral.
AGRADECIMIENTOS
Un agradecimiento especial al Prof. G. Minati por su amabilidad y su apoyo durante la redacción de este documento. I
debe mucho a la útil discusión sobre la mecánica Cuántica estructural y las lógicas con mi bien
amigos Prof. Renato Nobili (que me dejan usar los higos. 1 y 2 de su libro “Dai Quark alla Mente”,
y el Prof. Eliano Pessa. Dedicado a M.V.
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| Se describe la posibilidad de ampliar el formalismo cuántico en relación con
los requisitos de la teoría general de sistemas. Se puede hacer mediante el uso de un
semántica cuántica que surge de la estructura lógica profunda de la teoría cuántica. Lo siento.
es tan posible teniendo en cuenta la relación de apertura lógica entre
observador y sistema. Vamos a mostrar cómo considerar los valores de la verdad de
proposiciones cuánticas dentro del contexto de los conjuntos borrosos es aquí más útil
para el sistema. En conclusión proponemos un ejemplo de cuántica formal
coherencia.
| Microsoft Word - Like-QuantumSemantics.doc
Teoría general del sistema, Semántica de Quantum y conjuntos borrosos
Ignazio Licata
Isem, Instituto de Metodología Científica, Pa, Italia
Ignazio.licata@ejtp.info
Resumen: Se describe la posibilidad de extender el formalismo cuántico en relación con el
requisitos de la teoría general de sistemas. Se puede hacer usando una semántica cuántica
surgida de la estructura lógica profunda de la teoría cuántica. Es tan posible teniendo en cuenta el
una relación de apertura lógica entre el observador y el sistema. Vamos a mostrar cómo
considerando los valores de verdad de las proposiciones cuánticas dentro del contexto de los conjuntos borrosos está aquí
más útil para el sistema. En conclusión, proponemos un ejemplo de coherencia cuántica formal.
Palabras clave: Teoría Cuántica; Conjuntos borrosos; Teoría del Sistema; Sintaxis y Semántica de la Ciencia
Teorías; Apertura lógica.
Publicado en Systemics of Emergence. Investigación y Desarrollo, Minati G., Pessa E., Abram M.,
Springer, 2006, páginas 723-734.
1. El papel de la sintáctica y la semántica en la teoría general del sistema
El elemento omológico rompe las especializaciones, fuerzas teniendo en cuenta diferentes cosas al mismo tiempo, agita el
juego interdependiente de las subtotalidades separadas, sugiere a una totalidad más amplia cuyas leyes no son las de su
componentes. En otras palabras, el método omológico es un método antiseparatista y reconstructivo, lo que lo hace
desagradable para los especialistas.
F. Rossi-Landi 1985
El enfoque sistémico-cibernético ( Wiener, 1961; von Bertalannfy, 1968; Klir, 1991) requiere una
evaluación cuidadosa de la epistemología como la praxis crítica interna a la construcción de la ciencia
El discurso. Es por eso que la habitual referencia a un “tejido conectivo” compartido en común por diferentes
Los sujetos podrían ser engañosos. De hecho, toda teoría científica es el resultado de una
construcción conceptual compleja dirigida al problema características peculiares, por lo que lo que somos
el interés no es un marco que forma un super-sistema abstracto hecho por el "filtrado" de la
ciencias particulares, pero una investigación centrada en las características globales y fundacionales de
la actividad científica desde una perspectiva transdisciplinar. Según este punto de vista, podemos entender
la Teoría del Sistema General (GST) por analogía con la metalógica. Se ocupa de las posibilidades y
límites de varios sistemas formales en un grado más alto que cualquier estructura específica.
Una teoría científica presupone un cierto conjunto de relaciones entre el observador y el sistema, así que
GST tiene el propósito de investigar la posibilidad de describir la multitud del observador del sistema
relaciones. El objetivo principal del GST es delinear una epistemología formal para estudiar la
formación de conocimiento, una ciencia capaz de hablar de la ciencia. El éxito de esbozar tales
el panorama permitirá analizar los procesos interdisciplinarios que son más y más
más importante en el estudio de sistemas complejos y se les garantizará la “transportabilidad”
condiciones de un conjunto modelístico de un campo a otro. Por ejemplo, durante una teoría en desarrollo,
sintaxis se estructura cada vez más poniendo restricciones unívocas en la semántica de acuerdo a
los requisitos operativos del problema. A veces puede ser útil generalizar una herramienta sintáctica
en un nuevo dominio semántico para formular nuevos problemas. Semejante trabajo, por lo general trans-
disciplinaria, sólo se puede hacer por las herramientas de un GST capaz de discutir nuevas relaciones entre
Sintáctica (modelo formal) y semántica (uso del modelo). Aquí es útil considerar de nuevo la
perspectiva omológica, que no sólo identifica analogías e isomorfismos en pre-definidos
estructuras, pero tiene como objetivo encontrar una relación estructural y dinámica entre las teorías
nivel de análisis, proporcionando así nuevas posibilidades de uso (Rossi-Landi, 1985). ¿Qué cosa es particularmente
útil en el estudio de sistemas complejos, donde la esencia misma del problema en sí mismo hace un
uso dinámico de los modelos necesarios para describir las características emergentes del sistema (Minati &
Brahms, 2002; Collen, 2002).
Queremos aquí discutir brevemente tal aceptación de GST, y luego mostrar la posibilidad de
modificar la semántica de la Mecánica Cuántica (QM) para obtener una herramienta conceptual
requisitos sistémicos.
2. Observador como topógrafo de emergencia y solucionador de ambigüedades semánticas
Lo que vemos no es la Naturaleza en sí misma, sino la Naturaleza desvelando nuestros métodos de cuestionamiento.
W. Heisenberg, 1958
Una pregunta muy importante e interesante en la teoría de sistemas se puede decir como sigue: dado un conjunto
de los sistemas de medición M y de las teorías T relacionadas con un sistema S, es siempre posible ordenar
ellos, tales que Ti-1 Ti, donde el símbolo de orden parcial se utiliza para denotar la relación
“físicamente más débil que”? Señalaremos que, en este caso, la teoría de la cadena contiene
más información que las anteriores. En consecuencia, se plantea una segunda cuestión clave:
una teoría final única Tf describir exhaustivamente todos y cada uno de los aspectos del sistema S? Del
lado informativo y métrico, esto es equivalente a declarar que toda la información contenida en un
El sistema S puede extraerse mediante procesos de medición adecuados.
La proposición fundamental para el reduccionismo es, de hecho, la idea de que tal cadena de teoría
ser suficiente para dar una descripción coherente y completa para un sistema S. Reduccionismo, en la luz
de nuestras definiciones, coincide por lo tanto con el mayor grado de espacio semántico “compresión”;
cada objeto D-Ti en S tiene una definición en una teoría Ti perteneciente a la cadena de la teoría, y este último
es - en su turno - relacionado con el nivel explicativo fundamental de la teoría "final" Tf. Esto implica que
cada aspecto en un sistema S está determinado sin ambigüedad por la sintaxis descrita en Tf. Cada uno
sistema S se puede describir a un nivel fundamental, pero también con muchos fenomenológicos
descripciones, cada una de estas descripciones se puede considerar una aproximación de la teoría "final".
De todos modos, la mayoría de los sistemas “interesantes” con los que nos ocupamos no pueden incluirse en esta
programa de compatibilidad de sintaxis teoría: tenemos que considerar este aspecto importante para un correcto
definición epistémica de sistemas de “complejidad”. Vamos a ilustrar este punto con un razonamiento simple,
basado en los conceptos de apertura lógica y emergencia intrínseca (Minati, Pessa, Penna,
1998; Licata, 2003b).
Cada operación de medición puede codificarse teóricamente en una máquina Turing. Si es coherente
y completa descripción fundamental Tf existe, entonces también existirá un conjunto finito - o, a lo sumo,
Contablemente infinito - de las operaciones de medición M que puede extraer todos y cada uno
información que describe el sistema S. Llamaremos a este conjunto de medición Turing-observador.
Podemos fácilmente imaginar a Turing-observador como un robot que ejecuta una serie de mediciones en un
sistema. El robot es guiado por un programa construido sobre reglas pertenecientes a la teoría T. Puede ser
Sin embargo, demostró que esto sólo es posible para los sistemas lógicamente cerrados, o a lo sumo para los sistemas con un
muy bajo grado de apertura lógica. Cuando se trata de sistemas altamente lógicamente abiertos, no recursivo
existe un criterio formal que puede ser tan selectivo como se solicita (es decir, elegir automáticamente
la información es pertinente para describir y caracterizar el sistema, y que no lo es), simplemente
porque no es posible aislar el sistema del medio ambiente. Esto implica que la
la hipótesis del observador no se sostiene por razones fundamentales, fuertemente relacionadas con Zermelo-Fraenkel
elección axioma y a los problemas clásicos de decisión de Godel. En otras palabras, nuestro robot ejecuta el
las mediciones siempre siguiendo las mismas sintácticas, mientras que el escenario que muestra
la emergencia se modifica semánticamente. Así que es imposible pensar en codificar cualquier posible
medición en un sistema lógicamente abierto!
Por lo tanto, el observador juega una regla clave, inevitable como un solucionador de ambigüedad semántica: sólo el
observador puede y va a seleccionar propiedades de emergencia intrínseca-observacional ( Bass &
Emmeche, 1997; Cariani, 1991), y posteriormente planificar procesos de medición adecuados para
describir lo que, de hecho, han convertido en nuevos sistemas. La complejidad del sistema es
estructuralmente ligados a la apertura lógica y es, al mismo tiempo, una expresión de
los comportamientos organizados del sistema (correlaciones de largo alcance, estructura jerárquica, etc.) y
la solicitud de los observadores de nuevos modelos explicativos.
Por lo tanto, un GST tiene que permitir - en el mismo contexto teórico - tratar con el observador como un
agrimensor de emergencia en un sistema lógico abierto. En particular, está claro que el propio observador es un
sistema lógico abierto.
Por otra parte, hay que señalar que la coexistencia de muchos niveles de descripción – compatible pero
no deducibles entre sí – conduce a situaciones intrínsecas de incertidumbre,
marcos por los que se puede definir una propiedad del sistema.
3. Semántica semejante a la cuántica
No estoy contento con todos los análisis que van con sólo la teoría clásica, porque la naturaleza no es clásica,
y si quieres hacer una simulación de la naturaleza, será mejor que sea cuántico mecánico, y por golly es un maravilloso
problema, porque no parece tan fácil. Gracias.
R. P. Feyman, 1981
Cuando modificamos y/o amplificamos una teoría para poder hablar de diferentes sistemas
de los que estaban equipados para, podría ser mejor mirar a la teoría características estructurales profundas por lo que
como para obtener una perspectiva abstracta capaz de cumplir con los requisitos del enfoque omiológico, con el objetivo de señalar
una convergencia conceptual no banal.
Como todo el mundo sabe, la lógica de la física clásica es un lenguaje dicotómico (tercio non
datur), relativamente ortocompletado y capaz de cumplir las débiles relaciones de distribución por la lógica
conjuntivos Y/O. Tales características son el núcleo de los elementos conmutativos booleanos de este
lógica porque las disyunciones y conjunciones son operaciones simétricas y asociativas. Lo haremos.
aquí nos centramos en las consecuencias sistémicas de estas propiedades. Un sistema S puede obtener o no obtener un
propiedad dada P. Una vez que arreglamos el valor de la verdad P es posible mantener en nuestra investigación sobre un nuevo
preposición P subordinado al valor de la verdad del anterior. A continuación, añadimos una nueva pieza de
información a nuestro conocimiento sobre el sistema. Así que la ortocomplementación relativa axioma
que seguimos siguiendo una sucesión de pasos, cada uno haciendo nuestra incertidumbre sobre
el sistema para disminuir o, en caso de una cantidad finita de pasos, para dejarnos definir el estado de la
sistema determinando todas sus propiedades. La propiedad de cada sistema puede ser descrito por un contable
infinidad de proposiciones atómicas. Por lo tanto, tal axioma juega el papel de un axioma descriptible para clásico
sistemas.
El uso sin restricciones de este tipo de axioma tiende a ocultar los problemas conceptuales que se extienden
Desde el hecho de que cada descripción implica un contexto, como hemos visto en el caso de Turing-
análisis de observadores, y parece implicar que las propiedades sistémicas son independientes del observador,
Sin duda es una declaración no válida cuando tratamos con sistemas lógicos abiertos. En particular, la
Los rasgos booleanos señalan que siempre es posible llevar a cabo exhaustivamente una sincronía
descripción de las propiedades de un sistema. En otras palabras, cada pregunta sobre el sistema no es
dependiendo del orden que le pidamos y es responsable de una respuesta fija que indicaremos como 0- falso / 1-
Cierto. Se puede notar de repente que las características emergentes de otra manera consiguen una naturaleza diacrónica y
puede fácilmente hacer que tales características no se dan por sentadas. Usando diagramas de Venn es posible
proporcionar una representación de la descriptibilidad completa de un sistema gobernado por lógicas clásicas. Si
el estado del sistema está representado por un punto y una propiedad de su por un conjunto de puntos, entonces es siempre
es posible un “blanqueado” completo del conjunto universal I, lo que significa el siempre universalmente verdadero
Proposición. (véase el fig. 1).
Las lógicas cuánticas muestran profundas diferencias que podrían ser extremadamente útiles para nuestros objetivos
(Birkhoff & von Neumann, 1936; Piron, 1964). Al principio nació para aclarar algunos QM
contra-intuitivos lados, más tarde se ha desarrollado como un campo autónomo muy independiente de la
asuntos que la dieron a luz. Vamos a abreviar aquí las referencias formales a una encuesta esencial,
centrarse en algunos puntos de interés general en el sistema.
El lenguaje cuántico es una estructura ortomodular no booleana, es decir, es relativamente
ortocompletado pero no commutativo, para la represión del axioma de distributividad. Tal cosa
viene naturalmente del Principio de Indeterminación de Heisenberg y une la verdad- el valor de un
la afirmación del contexto y del orden por el que se ha investigado (Griffiths, 1995). Un pozo...
ejemplo conocido es el de la medición del giro de una partícula a lo largo de una dirección dada. En este caso nosotros
tratar con posibilidades semánticamente bien definidas y sin embargo intrínsecamente inciertas. Vamos a poner x
la medición del giro a lo largo de la dirección x. Para el principio de la indeterminación el valor será
totalmente incierto, sin embargo, la proposición y = 0 y = 1 es necesariamente cierto. En general, si P es un
propuesta, (-P ) su negación y Q la propiedad que no se desplaza con P, entonces vamos a obtener
una situación que puede ser representada por una “patchy” manta del conjunto I (véase la figura 2).
Tal configuración encuentra su significado esencial sólo en su relación con el observador. Así que podemos
afirma que cuando una situación puede ser descrita por una lógica cuántica, un sistema nunca es completamente
definido a priori. El proceso de medición mediante el cual se lleva a cabo la acción del observador es una opción
fijar las características de un sistema y dejar que otros no se definan. Sucede sólo por la naturaleza.
de la interrelación entre el sistema de observadores. Cada acto de observación da origen a una nueva descripción
posibilidades. La proposición Q – en el ejemplo anterior – describe propiedades que no pueden ser
definido por cualquier cadena implical de proposiciones P. Puesto que la emergencia intrínseca no puede ser
considerado como una propiedad del sistema independiente de la acción del observador - como en ingenua clásica
emergentismo -, Q se puede considerar formalmente la expresión de una propiedad emergente. Ahora sí.
fuerte tentado a definir como emergente la proposición indefinida de anti-como cuántico
lenguaje conmutativo. En particular, puede demostrarse que un no booleano e irreductible
El lenguaje ortomodular surge de propuestas infinitas. Significa que para cada par de proposiciones P1
y P2 tales que no implican el otro, existe infinitas proposiciones Q que implican P1
P2 sin necesariamente implicar los dos de ellos por separado: tercio datur. En cierto sentido, el
disyunción de las dos proposiciones obtiene más información que su mera suma fija, que es la
completamente opuesto a lo que sucede en el caso Booleano. Ahora es fácil comprender lo profundo
relación que vincula la anti-computatividad, los principios de indeterminación y el sistema global
estructura. Un sistema descriptible por una estructura booleana puede ser completamente "resuelto" mediante el análisis
los subsistemas definidos por un proceso de descomposición de ajuste ( Heylighen, 1990; Abram, 2002). En el
al contrario, en el caso anti-commutativo estudiando cualquier subsistema modifica el sistema entero en un
forma irreversible y estructural y produce incertidumbre correlacionada con la información obtenida,
que piensan hace absolutamente natural extender los principios de la indeterminación a una gran cantidad de
esferas de gran interés para el sistema (Volkenshtein, 1988).
Una cuestión particularmente clave es cómo manejar conceptualmente la cardinalidad infinita de la emergencia
proposiciones en una semántica lik-quantum. Como todo el mundo sabe QM tradicional se refiere a la
probabilidad frecuente elaborada dentro de la Interpretación de Copenhague (CIQM). Es esencialmente un
sub specie probabilitatis Boolean lógicas extensión. Los valores entre [ ]1,0 - es decir, entre el
total y siempre verdadera proposición yo y el siempre falso O – son significados como expectativa
valores, o las probabilidades asociadas a cualquier propiedad medible. Sin morar en el
complejo – y en cuanto a muchas preguntas aún abiertas – el debate sobre la interpretación de la gestión de la calidad, podemos preguntar aquí si
la aceptación probabilística de los valores de la verdad es el más adecuado para la teoría del sistema. Como suele suceder
Cuando nos ocupamos de los sentimientos transdisciplinarios, nos llevará a añadir una nueva, y de notable interés
para el "ordinario" QM también, paso a nuestra búsqueda.
4. Una interpretación borrosa de los idiomas cuánticos
Una ligera variación en los axiomas fundacionales de una teoría puede dar paso a enormes cambios en la frontera.
S. Gudder, 1988
El estudio de las facetas estructurales y lógicas de la semánica cuántica no proporciona ninguna
indicaciones necesarias sobre el espacio algebraico más adecuado para implementar sus propias ideas. Uno de
la cosa que hizo un gran mérito de tales investigaciones ha sido poner en discusión el papel clave
del espacio de Hilbert. En nuestro enfoque hemos mantenido los problemas “internos” de gestión de la calidad y su extensión a
preguntas sistémicas bien separadas. De todos modos, los últimos sugieren una posibilidad interpretativa
limitado a la lógica borrosa, que cosa puede afectar considerablemente a la tradicional QM también. El juego borroso
teoría es, en su esencia, una herramienta formal creada para tratar con la información caracterizada con
vaguedad e indeterminación. El papel clásico de Lotfi Zadeh (Zadeh, 1965) trae a
una conclusión una vieja tradición de lógica, que cuenta con Charles S. Peirce, Jan C. Smuts, Bertrand
Russell, Max Black e Ian Lukasiewicz entre sus precursores. En el centro de la teoría borrosa yace
la idea de que un elemento puede pertenecer a un conjunto a un grado variable de membresía; lo mismo vale
para una proposición y su relación variable con las constantes lógicas verdaderas y falsas. Lo subrayamos aquí.
dos aspectos de especial interés para nuestros objetivos. La definición de la ambigüedad se refiere a elementos únicos
y propiedades, pero no un conjunto estadístico, por lo que tiene que ser considerado un completamente diferente
concepto de la probabilidad de uno, que debería -por ahora- ser aclarado ampliamente (Mamdani, 1977; Kosko,
1990). Otro punto esencial –incluso menos evidente– es que la teoría difusa llama a un no-
“oráculo” algorítmico, un observador (es decir, un sistema lógico abierto y un solucionador de ambigüedad semántica) a
elegir el título de miembro. De hecho, la mayor parte de la teoría en su estructura es
modelo libre; ninguna ecuación y ningún valor numérico crean limitaciones a la evaluación cuantitativa,
ser la última tarea del constructor de modelos. En consecuencia, existe un profundo vínculo entre
sistematismo y confusión expresados con éxito por el principio de incompatibilidad de Zadeh (Zadeh,
1972) que satisface nuestro requisito de un principio generalizado de indeterminación. En él se afirma que:
aumentar la complejidad del sistema (es decir, su grado lógico de apertura), disminuirá nuestra capacidad de
hacer declaraciones exactas y predicciones probadas sobre su comportamiento. Ya existen muchos.
ejemplos de cruce entre la teoría difusa y QM (Dalla Chiara, Giuntini, 1995; Cattaneo, Dalla
Chiara, Giuntini 1993). Queremos aquí delinear la utilidad de la polivalencia difusa para el sistema
interpretación de la semántica cuántica.
Consideremos un sistema complejo, como un grupo social, una mente y un organismo biológico.
Cada uno de estos casos muestran características emergentes típicas debidas tanto a la interacción entre sus
componentes y las interrelaciones con el medio ambiente. Un acto del observador fijará algunos
propiedades y dejará a algunos otros indeterminados de acuerdo con una lógica no booleana. La grabación
de tales propiedades dependerá de la sucesión de los actos de medición y de su propia naturaleza.
El tipo de complejidad en juego, por otro lado, nos impide al declarar lo que es el estado del sistema
para asociar a la medición de una propiedad un valor probabilístico de expectativa. De hecho, sólo
los ejemplos antes mencionados están relacionados con los sistemas macroscópicos para los que el probabilístico
la interpretación de QM no es claramente válida. Por otra parte, la aplicación tradicional de la probabilidad
concepto implica la noción de "casos posibles", y por lo tanto también implica un conocimiento predefinido de
las propiedades de los sistemas. Sin embargo, la estructura lógica no conmutativa aquí esbozada no
proporcionar cualquier indicación convincente sobre el uso de probabilidad.
Por lo tanto, sería apropiado considerar un enfoque borroso para describir los actos de medición.
Podemos afirmar que dado un sistema genérico dotado de una alta apertura lógica y un conjunto indefinido
de propiedades capaces de describirlo, cada una de ellas pertenecerá al sistema en un grado variable.
Tal punto de vista expresa el famoso teorema de la "subsesión" difusa – también conocido como "el conjunto
en la parte” principio – podría parecer demasiado fuerte, de hecho, no es nada más que el más
expresión natural de la praxis científica real frente a sistemas emergentes intrínsecos. En el
en primer lugar, tenemos a nuestra disposición información indefinida estructurando progresivamente gracias a la
retroalimentación entre modelos y mediciones. Se puede demostrar que cualquier modelo lógicamente abierto de
grado n – donde n es un entero – permitirá una amplia gama de propiedades y proposiciones
indeterminado (los Qs en fig. 2) El modelo antes mencionado es una aproximación “estática” de un
proceso que muestra aspectos de proximidad y apertura variables. Estos últimos varían en el tiempo,
intensidad, diferentes niveles y contexto. Es notable señalar cómo tales sistemas son “flexibles”
y teniendo en cuenta el contexto, cambiar las reglas y hacer uso de las “contradicciones”. Este punto tiene que ser
enfatizado para entender el vínculo entre la lógica difusa y los lenguajes cuánticos. Incrementando la
apertura lógica y las propiedades poco afiladas de un sistema, será cada vez menos apto para ser descrito
por una lógica booleana. Esto trae como consecuencia que para un sistema complejo la intersección entre
un conjunto (propiedades, proposiciones) y su complemento no es igual al conjunto vacío, pero incluye
Ambos en un sentido confuso. Así que obtenemos una situación semántica polivalente que está bien adaptado para ser
descrito por un lenguaje cuántico. En cuanto a nuestro objetivo sistémico, es la interpretación probabilística de
ser inútil, por lo que vamos a construir una aceptación difusa de la semántica del formalismo. En nuestro
caso, dado un sistema S y una propiedad Q, dejar que ser una función que asocia Q a S, el
expresión ( ) [ ]1,0 QS no tiene que ser significado como un valor de probabilidad, sino como un grado de
miembros. Tal unión entre los lados no conmutativos de los lenguajes cuánticos y borrosos
La polivalencia parece ser la más adecuada y fecunda para los sistemas.
Consideremos la expresión tradicional de la coherencia cuántica (la propiedad que expresa la
Características mundiales y no locales de la gestión de calidad, es decir, principio de superposición, incertidumbre, interferencia de
probabilities), 2211 aa. En la interpretación difusa, significa que las propiedades 1o e 2o
que pertenezcan a la categoría 1a e 2a, respectivamente. En otras palabras, para complejos
sistemas el gato de Schrödinger puede estar al mismo tiempo vivo y muerto! De hecho, el reciente
experimentos con SQUIDs y los otros que investigan el llamado cuántico macroscópico
los estados sugieren una forma de macro-realismo bastante cerca de nuestra aceptación difusa (Leggett, 1980; Chiatti,
Cini, Serva, 1995). Puede proporcionar en nuce una pista que podría aparecer para ser interesante para el QM
viejos problemas interpretativos.
En general, que x sea una coordenada de posición de un objeto cuántico y su función de onda,
( ) dVx 2o se entiende generalmente como la probabilidad de encontrar la partícula en una región dV del espacio. En el
al contrario, en la interpretación difusa nos veremos obligados a mirar el módulo cuadrado como el
grado de pertenencia de la partícula a la región dV del espacio. ¿Qué tan inusual puede parecer, tales
La idea no tiene que ser vista de manera irreflexiva. De hecho, en la Teoría de Campo Cuántico y en
otros escenarios cuánticos más avanzados, una partícula no es sólo un objeto localizado en el espacio, pero
más bien un acontecimiento que surge de la transición cuántica elemental de las redes no locales (Licata,
2003a). Por lo tanto, la medición es un proceso de “descifración” que, de acuerdo con lo indicado,
reduce la ambigüedad del sistema limitando el espacio semántico y definiendo una información fija
cantidad.
Si estamos de acuerdo con tal interpretación, fácilmente e inmediatamente nos daremos cuenta de que seremos capaces de
Observar los comportamientos de coherencia cuántica en no cuánticos y muy lejos de la gama de Plank’s
h situaciones constantes. Reconsideramos aquí una situación debida a Yuri Orlov (Orlov, 1997).
Consideremos una esfera de Riemann (Dirac, 1947) – ver fig. 3 - y supongamos que cada punto
sobre la esfera representa una interpretación única de una situación dada, es decir. la asignación de un
conjunto coherente de valores de la verdad a una propuesta dada. Alternativamente, podemos considerar la elección de
un vector v desde el centro O hasta un punto en la esfera como una definición lógica de un mundo. Si nosotros
elegir una dirección diferente, asociado a un vector diferente w, ahora podemos establecer el problema sobre
el significado de la amplitud entre las descripciones lógicas de los dos mundos. Se sabe que
tal amplitud se expresa por ( )?cos121 +, donde? es el ángulo entre los dos
interpretaciones. La amplitud corresponde a una superposición de mundos, produciendo así la típica
patrones de interferencia que en términos vectoriales están relacionados con v
w. En este caso, el uso tradicional de
probabilidad no es necesario porque nuestro conocimiento de uno de los dos mundo con probabilidad igual
a p = 1 (certeza), no nos digas nada sobre la otra probabilidad. Una interpretación no es un
objeto cuántico en el sentido apropiado, y sin embargo nos vemos obligados a introducir formalmente una función de onda
e interferencia términos cuyo papel es muy oscuro uno. El enfoque borroso, en cambio, aclara
la semántica cuántica de esta situación interpretando la interferencia como una medida donde la
propiedades del mundo wv wv se deben a la global e indisoluble (no local)
contribución de la superposición v y w.
En conclusión, el uso generalizado de la semántica cuántica asociada a la nueva interpretación
posibilidades dan a los sistemas una herramienta muy poderosa para describir la relación observador-ambiente
y transmitir los varios intentos parciales - hasta ahora emprendidos - de aplicar el
formalismo al estudio de sistemas complejos en una raíz conceptual integral.
AGRADECIMIENTOS
Un agradecimiento especial al Prof. G. Minati por su amabilidad y su apoyo durante la redacción de este documento. I
debe mucho a la útil discusión sobre la mecánica Cuántica estructural y las lógicas con mi bien
amigos Prof. Renato Nobili (que me dejan usar los higos. 1 y 2 de su libro “Dai Quark alla Mente”,
y el Prof. Eliano Pessa. Dedicado a M.V.
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704.0043 | Nonequilibrium entropy limiters in lattice Boltzmann methods | Limitadores de entropía no equilibrio
en celosía Boltzmann métodos 1
R. A. Brownlee, A. N. Gorban*, J. Levesley
Departamento de Matemáticas, Universidad de Leicester, Leicester LE1 7RH, Reino Unido
Resumen
Construimos un sistema de limitadores de entropía no equilibrium para la celosía Boltz-
métodos de mann (LBM). Estos limitadores borran oscilaciones espurias sin difuminar
de choques, y no afectan a soluciones suaves. En general, hacen el mismo trabajo.
para LBM como los limitadores de flujo hacen para las diferencias finitas, los volúmenes finitos y los elementos finitos
de los métodos, pero para LBM la idea principal detrás de la construcción de nonequilibrium en-
los esquemas limitadores tropiales es transformar el campo de una cantidad escalar — nonequilibrium
Entropía. Hay dos familias de limitadores: (i) basados en la restricción del no equilibrio
entropía (entropía) y ii) basada en el filtrado de la entropía no equilibrada
(filtro de entropía). Las propiedades físicas de LBM proporcionan algunos beneficios adicionales.
ajuste: el control de la producción de entropía y la estimación exacta de la introducción artificial
La disipación es posible. Los limitadores construidos se prueban en el numeri clásico
ejemplos cal: tubos de choque atérmicos 1D con una relación de densidad inicial 1:2 y el
Cavidad 2D accionada por la tapa para los números Reynolds Re entre 2000 y 7500 en un grueso
100 × 100 grid. Todas las construcciones limitadoras son aplicables tanto a las entrópicas como a las no-
cuasiequilibrios entrópicos.
Palabras clave: método Boltzmann, regularización numérica, entropía
PACS: 47.11.Qr, 47.20.-k, 47.11.-j, 51.10.+y
1 Introducción
En 1959, S.K. Godunov [17] demostró que un esquema (lineal) para una PDE
no podía, al mismo tiempo, ser monótono y de segundo orden exacto. Por lo tanto,
* Autor correspondiente.
Dirección de correo electrónico: r.brownlee@mcs.le.ac.uk (R. A. Brownlee),
a.gorban@mcs.le.ac.uk (A. N. Gorban), j.levesley@mcs.le.ac.uk
(J. Levesley).
1 Este trabajo cuenta con el apoyo del número de subvención del EPSRC GR/S95572/01.
Preprint enviado a Physica A 24 Octubre 2018
http://arxiv.org/abs/0704.043v1
debemos elegir entre oscilación espuria en alto orden no-monotona
los regímenes y la disipación adicional en los regímenes de primer orden. Regímenes limitadores de flujo
se inventan para combinar esquemas de alta resolución en áreas con campos lisos
y esquemas de primer orden en áreas con gradientes agudos.
La idea de limitadores de flujo puede ilustrarse computando el flujo F0,1
de la cantidad conservada u entre una celda marcada por 0 y una de dos
células vecinas marcadas por ±1:
F0,1 = (1− (r))f bajo0,1 + (r)f
0,1,
donde f bajo0, 1, f
0, 1 son flujos de esquema de resolución baja y alta, respectivamente, r =
(u0 − u−1)/(u1 − u0), y (r) ≥ 0 es una función limitadora de flujo. Para r cerca de 1,
la función del limitador de flujo (r) debe estar también cerca de 1.
Durante las dos últimas décadas se han inventado muchos esquemas de limitadores de flujo [43].
Ningún limitador en particular funciona bien para todos los problemas, y por lo general se hace una elección
sobre la base de pruebas y errores.
A continuación se presentan varios ejemplos de funciones limitadoras de flujo:
mm(r) = máximo [0,min (r, 1)] (minmod, [36]);
os(r) = máx [0,min (r, β)], (1 ≤ β ≤ 2) (Osher, [10]);
mc(r) = máx [0,min (2r, 0.5(1 + r), 2)] (central monotonizado [42]);
sb(r) = máx [0,min (2r, 1),min (r, 2)] (superbee, [36]);
sw(r) = max [0,min (βr, 1), (r, β)], (1 ≤ β ≤ 2) (Sweby, [40]).
El método Boltzmann ha sido propuesto como una discretización de Boltz-
ecuación cinética de mann y ahora está en amplio uso en la dinámica de fluidos y más allá
(para una introducción y revisión véase [38]). En lugar de campos de momentos M, el
método Boltzmann funciona con campos de distribuciones discretas f.
nos permite construir limitadores muy simples que no dependen de pendientes o
Gradientes.
Todos los limitadores que construimos se basan en la representación de distribuciones
f en la forma:
f = f ∗ + f − f
f − f ∗
# F # f # f # # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # # f # f # f # f # f # f # f # # f # # f # # f # # f # # f # f # # # f # f # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde f* es el correspondiente cuasiequilibrio (equilibrio condicional) para
momentos dados M, f − f * es la “parte” no equilibrada de la distribución,
que se representa en la forma “norm×direction” y f − f es la norma
de ese componente no equilibrio (generalmente esta es la norma entrópica). Lim...
cambiar la norma del componente nonequilibrium f − f ∗, pero no
tocar su dirección o el equilibrio. En particular, los limitadores no cambian la
variables macroscópicas, porque los momentos para f y f* coinciden. Todos los limitadores que
uso son transformaciones de la forma
f 7→ f ∗ + (f − f ∗) (1)
con > 0. Si f − f * es demasiado grande, entonces el limitador debe disminuir su norma.
El esbozo del documento es el siguiente. In Sec. 2 introducimos las nociones y
notas de la teoría Boltzmann de celosía que necesitamos, en Sec. 3 elaboramos el
idea de limitadores entrópicos en más detalle y construir varios no equilibrios
Limitadores de entropía para LBM, en Sec. 4 algunos experimentos numéricos se describen:
(1) Ejemplos de tubo de choque atérmico 1D;
(2) localización del centro de vórtice en estado estacionario y observación del primer bifur- Hopf
catión en el flujo de la cavidad 2D impulsado por la tapa.
Las observaciones finales figuran en la sección II. 5.
2 Antecedentes
La esencia de la celosía Boltzmann métodos fue formulado por S. Succi en el
la siguiente máxima: “La no linealidad es local, la no-localidad es lineal” 2. Deberíamos
incluso fortalecer esta declaración. No localidad (a) es lineal; (b) es exactamente y
explícitamente solvable para todos los pasos del tiempo; (c) la discre-
ciones.
El método Boltzmann es un método de velocidad discreta. El conjunto finito
de vectores de velocidad {vi} (i = 1,...m) se selecciona, y un fluido se describe por
asociar, con cada velocidad vi, una función de distribución de una sola partícula fi =
fi(x, t) que se desarrolla por la advección y la interacción (colisión) en un fijo
Enrejado computacional. Los valores fi se denominan poblaciones. Si nos fijamos en todos
modelos Boltzmann de celosía, se encuentra que hay dos pasos: vuelo libre para
tiempo y una operación de colisión local.
La transformación de vuelo libre para el espacio continuo es
fi(x, t+ Łt) = fi(x− viŁt, t).
Después del paso de vuelo libre, el paso de colisión sigue:
fi(x) 7→ Fi({fj(x)}), (2)
2 S. Succi, "Lattice Boltzmann en todas las escalas: de la turbulencia a la transloca-
, Centro de Modelado Matemático Conferencia Distinguida, Universidad de Leices-
ter, Leicester UK, 15 de noviembre de 2006.
o en la forma vectorial
f(x) 7→ F (f(x)).
Aquí, el operador de colisión F es el conjunto de funciones Fi({fj}) (i = 1,...m).
Cada función Fi depende de todos los fj (j = 1,...m): nuevos valores de las poblaciones
fi en un punto x son funciones conocidas de todos los valores de población anteriores en el
El mismo punto.
La cadena de celosía Boltzmann “vuelo libre → colisión → vuelo libre → colisión
· · · ” se puede restringir exactamente a cualquier celosía espacial que es invariante con
con respecto a los cambios espaciales de los vectores vielt (i = 1,...m). De hecho, el vuelo libre trans-
forma los valores de la población en los sitios de la celosía en los valores de la población
en sitios de la misma celosía. El operador de colisión (2) actúa de forma puntual en cada uno de ellos.
sitio de celosía por separado. Se ha hecho mucho esfuerzo para responder a las preguntas:
“cómo la cadena Boltzmann de celosía se aproxima a la ecuación de transporte para
los momentos M?” y “¿cómo se construye el modelo Boltzmann de celosía
para un determinado fenómeno de transporte macroscópico?” (se presenta una revisión en
libro [38]).
En nuestro trabajo proponemos una construcción universal de limitadores para todos los posibles
operadores de colisión, y la construcción detallada de Fi({fj}) no es importante
con este fin. La única parte de esta construcción que utilizamos es el equilibrio local
(a veces estos estados se denominan equilibrios condicionales, cuasiequilibrios, o
incluso más simple, equilibria).
Los modelos Boltzmann de celosía deben describir la dinámica macroscópica, es decir,
la dinámica de las variables macroscópicas. Las variables macroscópicas Ml(x) son
algunas funciones lineales de los valores de población en el mismo punto: Ml(x) =
imlifi(x), o en la forma vectorial, M(x) = m(f(x)). Las variables macroscópicas
Los capaces son invariantes de colisiones:
mlifi =
mliFi({fj}) (o m(f) = m(F f))).
El ejemplo estándar de las variables macroscópicas son campos hidrodinámicos
(densidad–velocidad–densidad de energía): {n, nu, E}(x) := {i{1, vi, v2i /2}fi(x). Pero
Esta no es una elección obligatoria. Si nos gustaría resolver, por métodos LBM,
las ecuaciones Grad [22] o algunas ecuaciones termodinámicas extendidas [25], nosotros
debe ampliar la lista de los momentos (pero, al mismo tiempo, debemos estar listos
introducir velocidades más discretas para una descripción adecuada de estas
sistemas momentáneos). Por otro lado, la celosía atérmica Boltzmann modelos
con una lista abreviada de variables macroscópicas {n, nu} son muy populares.
El cuasiequilibrio es el punto fijo positivo del operador de colisión para
las variables macroscópicas dadasM. Asumimos que este punto existe, es único
y depende sin problemas de M. Para el vector de población cuasiequilibrio para
dado que M usamos la notación f * M, o simplemente f
*, si el valor correspondiente de
M es obvio. Utilizamos para denotar la operación de proyección de equilibrio de
a distribución f en el estado de cuasiequilibrio correspondiente:
(f) = f*m(f).
Para algunos de los modelos de colisión una descripción entrópica del equilibrio es pos-
sible: se define una función de densidad de entropía S(f) y el cuasiequilibrio
punto f ∗M es el maximizador de la entropía para M dado [26,39].
Como ejemplo básico vamos a considerar la celosía Bhatnagar-Gross-Krook
(LBGK) modelo con sobrerelajación (véase, por ejemplo, [3,12,23,28,38]). El LBGK col-
el operador de lisión es
F (f) := (f) + (2β − 1)((f)− f), (3)
donde β [0, 1]. Para β = 0, las colisiones LBGK no cambian f, para β = 1/2
estas colisiones actúan como equilibrio (esto corresponde a la grosera de los Ehrenfests
Granulación [15] desarrollada en [14,19,20], para β = 1, acción de colisiones LBGK
como un punto de reflexión con el centro en el cuasiequilibrio (f).
Se muestra [8] que en algunas condiciones de estabilidad y después de un período inicial
de relajación, la más simple colisión LBGK con sobrerelajación [23,38] proporciona
segundo orden aproximación precisa para la ecuación de transporte macroscópico
con viscosidad proporcional a Łt(1− β)/β.
El método entrópico LBGK (ELBM) [5,20,26,39] difiere en la definición
de (3): para β = 1 debe conservar la entropía, y en general tiene lo siguiente:
forma:
F (f) := (1- β)f + βf
donde f‡ = (1 − α)f + (f). El número α = α(f) se elige de modo que el
se cumple la condición constante de entropía: S(f) = S(f"). Para LBGK (3), α = 2. De
Por supuesto, para ELBM la definición entrópica de cuasiequilibrio debe ser válida.
En el régimen de baja viscosidad, LBGK sufre de inestabilidades numéricas que
se manifiestan fácilmente como explosiones locales y oscilaciones espurias.
El LBM experimenta los mismos problemas de oscilación espurios
los dients como los esquemas de alto orden lo hacen. Las propiedades físicas de los sistemas LBM
permite construir nuevos tipos de limitadores: el nonequilibrium entropy lim-
iters. En general, hacen el mismo trabajo para LBM que los limitadores de flujo hacen para finitos
diferencias, volúmenes finitos y métodos de elementos finitos, pero para LBM el principal
la idea detrás de la construcción de esquemas limitadores de entropía no equilibrium es
limitar una cantidad escalar — entropía no equilibrada (y no los vectores o diez-
sérs de derivados espaciales, como lo es para limitadores de flujo). Estos limitadores introducen
alguna disipación adicional, pero toda esta disipación podría ser fácilmente evaluada
a través del análisis de la producción de entropía no equilibrada.
Recientemente se han propuesto dos ejemplos de estos limitadores: la positividad
la regla [6,31,41] y la regularización de los Ehrenfest [7]. La regla de positividad sólo
proporciona positividad de distribuciones: si un paso de colisión produce
las laciones, entonces la regla de positividad los devuelve al límite de positividad. In
la regularización de los Ehrenfests, se seleccionan los sitios k con
rio entropía (la diferencia entre la entropía del estado f y la entropía de la
Estado de cuasiequilibrio correspondiente f * en un punto espacial dado) que exceda de un
dado el umbral y equilibra el estado en estos sitios.
La regla de positividad y la regularización de Ehrenfests proporcionan raras, intensas y
Correcciones localizadas. Es fácil y también computacionalmente barato organizar
transformación más suave con desplazamiento suave de estados altamente no equilibrados
a cuasiequilibrio. La siguiente transformación de regularización distribuye
su acción sin problemas: sólo podemos elegir en (1)..........................................................................................................................................................................................................................................................
función sin contratiempos فارسى(فارسىS(f)). Aquí f es el estado en algún sitio, f * es el corre-
sponding cuasiequilibrio, S es entropía, y S(f) := S(f*)− S(f).
El siguiente paso en el desarrollo de los limitadores de entropía no equilibrio está en
el uso de filtros de entropía locales. El filtro de elección aquí es el filtro medio: it
no borra los frentes afilados, y es mucho más robusto que los filtros de convolución.
Un problema importante es: “cómo se crea una entropía no equilibrada
iters para LBM con cuasiequilibrios no entrópicos?”. Proponemos una solución.
de este problema basado en la entropía del nonequilibrio Kullback. Para entrópicos
El enfoque de la entropía Kullback da la misma entropía
iters. En la termodinámica, la entropía Kullback pertenece a la familia de Massieu–
Funciones de Planck-Kramers (potenciales canónicos o grancanónicos).
3 Limitadores de entropía sin equilibrio para LBM
3.1 Regla de positividad
Hay una receta simple para la preservación de la positividad [6,31,41]: sustituir
no positivo I
0 (f)(x) por el estado no negativo más cercano que pertenece a la
línea recta
(x) + (1-)(x))(f) (x))
definido por los dos puntos, f(x) y cuasiequilibrio correspondiente. Esta operación...
en los puntos de la celosía donde la positividad
es violado. El coeficiente también depende de x. Llamemos a esta receta la
regla de positividad (Fig. 1). Esta receta preserva la positividad de las poblaciones y
probabilidades, pero puede afectar la exactitud de la aproximación. La misma regla es nec-
F(f)
Fijación de positividad
Dominio de positividad
Fig. 1. Regla de positividad en acción. Los movimientos se detienen en el límite de positividad.
Essary para ELBM (4) cuando el “estado de espejo” positivo fœ con la misma entropía
como f no existe en la línea recta (5).
3.2 Regularización de Ehrenfests
Para discutir métodos con disipación adicional, el enfoque entrópico es muy
Conveniente. Dejar que se defina la entropía S(f) para cada vector de población f = (fi)
(abajo usamos la misma letra S para la entropía local en el espacio, y esperamos que
contexto hará esta notación siempre clara). Asumimos que el
la entropía es una suma de entropías locales para todos los sitios. El no equilibrio local
la entropía es
S(f) := S(f ∗)− S(f), (6)
donde f* es el correspondiente cuasiequilibrio local en el mismo punto.
La regularización de los Ehrenfests [6,7] proporciona “corte de entropía”:
desviación local de f del cuasiequilibrio correspondiente, y cuando
«S(f)(x) supera un valor umbral preespecificado»
pasos al cuasiequilibrio correspondiente: f 7→ f * en esos puntos.
Para que los pasos de los Ehrenfests no puedan degradar la precisión de LBGK
es pertinente seleccionar los sitios de k con más alto S >. El a posteriori
Las estimaciones de disipación añadida podrían realizarse fácilmente mediante el análisis de la entropía
producción en los pasos de Ehrenfests. Se muestran experimentos numéricos (véase, por ejemplo, [6,7)]
que incluso un pequeño número de tales pasos mejoran drásticamente la estabilidad.
Para evitar el cambio de orden de precisión “en promedio”, el número de sitios con
este paso debe ser ≤ O(Nh/L) donde N es el número total de sitios, h es
el paso de la discretización del espacio y L es la característica macroscópica
longitud. Pero esta estimación aproximada de la exactitud en promedio podría ser destruida
por concentración de los pasos de Ehrenfests en las zonas más no equilibradas, para
ejemplo, en la capa de contorno. En ese caso, en lugar del número total de
sitios N en O(Nh/L) debemos tomar el número de sitios en una región específica.
Los efectos de la concentración podrían analizarse fácilmente a posteriori.
3.3 Limitadores suaves de la entropía no equilibrada
La regla de positividad y la regularización de Ehrenfests proporcionan raras, intensas y
Correcciones localizadas. Por supuesto, es fácil y también computacionalmente barato para
organizar una transformación más suave con un cambio suave de
Los estados de rium a cuasiequilibrio. La siguiente transformación de la regularización
distribuye su acción sin problemas:
f 7→ f ∗ + Ł(S(f))(f − f*). 7)..................................................................................................................................................
La elección de la función es altamente ambigua, por ejemplo, = 1/(1Sk)
para algunos α > 0 y k > 0. Hay dos opciones significativamente diferentes: (i)
ensamble-independent Ł (es decir, el valor de ♥ depende del valor local de ŁS
sólo) y (ii) ensamble-dependientes de........................................................................................................................................................................................................................................................
(S) =
1 + (+S/(αE(+S)))k−1/2
1 + (+S/(αE(+S))k
, (8)
en la que el valor medio de E(+S) en el área computacional es +S, k ≥ 1,
y α & 1. En el caso de las pequeñas S, S (S) 1 y S (S) αE (S), S (S) tiende
αE(S)/S. Es fácil seleccionar un ensamble-dependiente de...............................................................................................................
de disipación adicional total.
3.4 Vigilancia de la disipación total
Para una β dada, la producción de entropía en un paso LBGK en aprox.
• S es:
[1− (2β − 1)2]
S(x),
donde x es el punto de la cuadrícula, S(x) es la entropía no equilibrada (6) en el punto x,
LBGKS es la producción total de entropía en un solo paso LBGK. Lo sería.
deseable si la producción total de entropía para el limitador
a LBGKS:
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor con motor de encendido por chispa. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Un limitador simple dependiente del conjunto (tal vez, el más simple) para un determinado
A continuación se indican las actividades de la sección 0 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. Vamos a recoger el histograma de la distribución de S(x),
y estimación de la densidad de distribución, p(+S). Tenemos que estimar un valor
S0 que satisface la siguiente ecuación:
p(S)(S S0) dS = 0[1− (2β − 1)2]
ÍNDICE (continuación) (10)
Con el fin de no afectar a las distribuciones con pequeñas expectativas de S, elegimos
un umbral •St = maxS0,, donde • es algún valor predefinido (como en
la regularización de los Ehrenfests). Para los estados en los sitios con S ≥
vide homotety con centro de cuasiequilibrio f * y coeficiente
St/S (en
aproximación cuadrática para la entropía no equilibrada):
f(x) 7→ f*(x) +
f x) a f * x)). (11)
3.5 Mediana de filtro de entropía
Los limitadores descritos anteriormente proporcionan una corrección puntual del no equilibrio
entropía en los puntos “más no equilibrados”. Debido a la naturaleza puntual,
la técnica no introduce ningún efecto noisotrópico, y proporciona algunos
otros beneficios. Pero si involucramos la estructura local, podemos corregir locales no-
irregularidades monotonas sin tocar fragmentos regulares. Por ejemplo, nosotros
puede discutir el aumento o disminución de monotonas de la entropía no equilibrada como regular
y concentrar nuestros esfuerzos en la reducción del “ruido específico” o “sal”
y el ruido de la pimienta”. Este enfoque nos permite utilizar el recurso accesible de
cambio de entropía (9) más ahorrativo.
Entre todos los filtros posibles, sugerimos el filtro mediano. La mediana es un más
promedio robusto que la media (o la media ponderada) y por lo tanto una sola muy
valor no representativo en un barrio no afectará al valor medio
significativamente. Por lo tanto, suponemos que el filtro de entropía mediana funcionará mejor
que los filtros de convolución de la entropía.
El filtro mediano considera cada sitio a su vez y mira a sus vecinos cercanos.
Sustituye el valor de la entropía nonequilibrium S en el punto con la mediana
de esos valores •Smed, a continuación, se actualiza f por la transformación (11) con el
coeficiente de homotetia
* Smed/* S......................................................................................................................................................................................... La mediana, "Smed", se calcula por primera vez.
clasificación de todos los valores del barrio circundante en orden numérico
y luego reemplazar eso siendo considerado por el valor medio. Por ejemplo,
si un punto tiene 3 vecinos más cercanos incluyendo a sí mismo, entonces después de la clasificación tenemos
3 valores S: S1 ≤ S2 ≤ S3. El valor medio es •Smed = •S2. Por 9
vecinos más cercanos (incluyendo a sí mismo) que tenemos después de ordenar Smed = S5. Por
27 vecinos más cercanos Smed = S14.
Aceptamos solamente correcciones disipantes (las que resultan en una disminución de S,
Smed < S) debido a la segunda ley de la termodinámica. El análogo
10) también es útil para la aceptación de las correcciones más significativas.
El filtrado medio es un paso común en el procesamiento de imágenes [34] para el suavizado
de señales y la supresión del ruido de impulso con la preservación de los bordes.
3.6 Pasos entrópicos para cuasiequilibrios no entrópicos
Más allá de la aproximación cuadrática para la entropía no-equilibrio toda la lógica de
las construcciones antes mencionadas siguen siendo las mismas. Sólo existe un sig-
cambio nificante: en lugar de una homotetia simple (11) con coeficiente
• St. • S.
la transformación (7) debe aplicarse, cuando el multiplicador sea una solución
de la ecuación no lineal
S(f)* + (f − f ∗)) = S(f ∗)St.
Esta es esencialmente la misma ecuación que aparece en la definición de ELBM
Pasos (4).
Surgen más diferencias para LBM con cuasiequilibrios no entrópicos. El principal
la idea aquí es la razón de que los cuasiequilibrios no entrópicos aparecen sólo debido a
razones técnicas, y cuasiequilibrio físico continuo aproximado
ria. Esto no es una aproximación de una función de densidad, sino una aproximación
de medida, es decir, de la fórmula de la cubatura:
f v)
(v − vi)
(v)f (v)dv (v)
(vi)fi.
Las poblaciones discretas fi están conectadas a la continua (y suficientemente
densidades f(v) por los pesos de la cubatura fi (+) wif(vi). Estos pesos para
los cuasiequilibrios se encuentran por momento y condiciones de correspondencia del flujo [37]. Lo siento.
es imposible aproximar la entropía BGS
En fdv sólo por discretiza-
ión (cambiar la integración por suma, y la distribución continua f por
discreta fi), porque los pesos de la cubatura aparecen como variables adicionales. Nunca...
sin embargo, la discretización aproximada de la entropía Kullback SK [30] hace
no modificar su forma:
SK(f) = −
f v) ln
f* v)
• − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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, (12)
porque fi/f
i aproxima la relación de funciones f(v)/f
* v) y
i...................................................................................................
da la integral
f v)... dv aproximación. Aquí, en (12), el estado f * es el
cuasiequilibrio con los mismos valores de las variables macroscópicas que f.
sobre, para valores dados de las variables macroscópicas, SK(f) alcanza su maxi-
mom en el punto f = f * (tanto para distribuciones continuas como discretas).
El valor máximo correspondiente es cero. Abajo, SK es el discreto Kullback
Entropía. Si el cuasiequilibrio discreto aproximado f * no es entrópico, nosotros
puede usar −SK(f) en lugar de S(f).
Para cuasiequilibrios entrópicos con perfecta entropía la discreta entropía Kullback
da el mismo •S: −SK(f) = •S(f). Dejemos que la entropía discreta tenga la
forma estándar para una mezcla ideal (perfecta) [27].
S(f) = −
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Después de la obra clásica de Zeldovich [44], esta función se reconoce como un
instrumento útil para el análisis de ecuaciones cinéticas (especialmente en
cinética [21]). Si definimos f* como la entropía condicional máxima para
k mjkfk, entonces
ln f * k =
μjmjk,
donde μj(M) son los multiplicadores Lagrange (o “potenciales”). Para esta entropía
y equilibrio condicional que encontramos
S = S(f ∗) - S(f) =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (13)
si f y f* tienen los mismos momentos, m(f) = m(f*). El lado derecho
de (13) es −SK(f).
En la termodinámica, la entropía Kullback pertenece a la familia de Massieu–
Funciones de Planck-Kramers (potenciales canónicos o grancanónicos). Hay
otro sentido de esta cantidad: SK es la entropía relativa de f con respecto a
f ∗ [18,35].
En aproximación cuadrática,
−SK(f) =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(fi − f ∗i )2
3.7 Las colisiones ELBM como limitador suave
Sobre la base de las pruebas numéricas, los autores de [41] afirman que la positividad
la regla proporciona los mismos resultados (en el sentido de estabilidad y ausencia/presencia
de oscilaciones espurias) como los modelos ELBM, pero ELBM proporciona mejores
precisión.
Para la definición formal de ELBM (4) nuestras pruebas no apoyan las afirmaciones de que
ELBM borra oscilaciones espurias (ver abajo). Observación similar para las hamburguesas
la ecuación se publicó previamente en [4]. Entendemos esta situación en el
Siguiendo el camino. El método entrópico consta de al menos tres componentes:
(1) cuasiequilibrio entrópico, definido por la maximización de la entropía;
(2) colisiones equilibradas de la entropía (4) que tienen que
ance;
(3) un método para la solución de la ecuación trascendental S(f) = S(f") a
encontrar α = α(f) en (4).
Parece que los dos primeros ítems no afectan oscilaciones espurias en absoluto,
Si resolvemos la ecuación para α(f) con alta precisión. Viscosidad adicional
es, potencialmente, añadido por fórmulas analíticas explícitas para α(f). Con el fin de no
disminuir la entropía, los errores en estas fórmulas siempre aumentan la disipación. Esto
se puede interpretar como una transformación oculta de la forma (7), donde el
Los coeficientes en dependen también de f*.
3.8 Limitadores monotónicos y dobles monotónicos
Dos propiedades de la monotonicidad son importantes en la teoría del no equilibrio
Limitadores de entropía:
(1) un limitador debe mover la distribución al equilibrio: en todos los casos de (1)
1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 Esta es la condición de disipatividad que significa que limita
Nunca producir entropía negativa.
(2) un limitador no debe cambiar el orden de los estados en la línea: si para dos
distribuciones con los mismos momentos, f y f ′, S(f) > S(f) antes
la transformación limitadora, entonces la misma desigualdad debe mantenerse después de la
la transformación del limitador también. Por ejemplo, para el limitador (7) significa que
El aumento monótono de la S(f) + x(f)(f)(f)(f)(f)(f)(*) es un aumento monótono de la S(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f))(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f))(f)(f))(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f))(f)(f)(f))(f)(f))(f) es un aumento monótónicamente
función de x > 0.
En aproximación cuadrática,
S(f* + x(f − f*) = x2•S(f),
• S(f ∗ + x• S(f ∗ + x(f − f ∗))) (f − f ∗)) = x22(x2S(f)),
y la segunda condición de monotonicidad se transforma en el siguiente requisito:
y(y2s) es una función de aumento monótono (no decreciente) de y > 0
para cualquier s > 0.
Si un limitador satisface ambas condiciones de monotonicidad, lo llamamos “doble mono-
tónico”. Por ejemplo, la regularización de Ehrenfests satisface la primera monotonicidad
condición, pero obviamente viola la segunda. El limitador (8) viola el
primera condición para el pequeño S, pero es disipativo y satisface el segundo en
aproximación cuadrática para grandes S. El limitador con 1 = 1/(1Sk) al-
formas satisface la primera condición de monotonicidad, viola la segunda si k > 1/2,
y es monotónico doble (en aproximación cuadrática para la segunda condi-
ión), si es 0 < k ≤ 1/2. Los limitadores de umbral (11) también son monotónicos dobles.
Por supuesto, no está prohibido utilizar cualquier tipo de limitadores bajo el local y
control global de la disipación, pero los limitadores monotónicos dobles proporcionan algunos nat-
propiedades urales automáticamente, sin cuidados adicionales.
4 Experimento numérico
Para concluir este artículo informamos de algunos experimentos numéricos realizados a
demostrar el rendimiento de parte de la entropía no equilibrada propuesta
limitadores para LBM de Sec. 3.
4.1 Velocidades y cuasiequilibrios
Realizaremos simulaciones usando cuasiequi entrópicos y no entrópicos.
libria, pero siempre trabajamos con un modelo LBM atérmico. Cada vez que usamos
cuasiequilibrios no entrópicos empleamos la entropía Kullback (13).
En 1D, utilizamos una celosía con espaciamiento y paso de tiempo.
set de velocidad {v1, v2, v3} := {0,−1, 1} de modo que el modelo consta de estática, izquierda-
y las poblaciones que se mueven derechistas solamente. El subíndice i denota población (no
número del sitio de la celosía) y f1, f2 y f3 denotan el movimiento estático, izquierdo y derecho
las poblaciones, respectivamente. La entropía es S = −H, con
H = f1 log(f1/4) + f2 log(f2) + f3 log(f3),
(véase, por ejemplo, [27]) y, para esta entropía, el estado cuasiequilibrio entrópico local
f ∗ está explícitamente disponible:
f*1 =
1 + 3u2
f*2 =
(3u− 1) + 2
1 + 3u2
f*3 = −
(3u+ 1)− 2
1 + 3u2
donde
fi, u :=
Vifi. (15)
Los cuasiequilibrios polinómicos estándar no entrópicos [38] son:
f*1 =
f*2 =
(1− 3u+ 3u2),
f*3 =
(1 + 3u+ 3u2).
En 2D, empleamos una celosía cuadrada uniforme de 9 velocidades con velocidades discretas
{vi i = 0, 1,.........................................................................................................................................................................................................................................................
1, 2, 3, 4, vi =
2 (co(i − 5)
), sin(i − 5)
)) para i = 5, 6, 7, 8. Los
numeración f0, f1,. ..., f8 son para la estática, este, norte, oeste, sur, norte-
al este, noroeste, suroeste y sureste de las poblaciones en movimiento, respectivamente.
Como de costumbre, el estado de cuasiequilibrio entrópico, f *, puede determinarse de manera única
maximizando una entropía funcional
S(f) = −
Fi log
sujeta a las limitaciones de conservación de la masa y el impulso [2]:
f ∗i = ♥Wi
1 + 3u2j
2uj +
1 + 3u2j
1− uj
. (17)
Aquí, los pesos de celosía, Wi, se dan constantes específicas de celosía: W0 = 4/9,
W1,2,3,4 = 1/9 y W5,6,7,8 = 1/36. Analógicamente a (15), la variable macroscópica
los performs y u = (u1, u2) son el cero y los primeros momentos de la distribución
f, respectivamente. Los cuasiequilibrios polinómicos estándar no entrópicos [38] son:
f ∗i = ♥Wi
1 + 3viu+
9 (viu)
. (18)
4.2 LBGK y ELBM
Las ecuaciones que rigen para LBGK son
fi(x+ vi, t+ 1) = f
i (x, t) + (2β − 1)f ∗i (x, t)−fi(x, t)), (19)
donde β = 1/(2 v + 1).
Para ELBM (4) las ecuaciones de gobierno son:
fi(x+ vi, t+ 1) = (1− β)f ∗i (x, t) + βfśi(x, t), (20)
con β como se indica arriba y con = (1)ff ∗. El parámetro, α, se elige para satisfacer
una condición de entropía constante. Esto implica encontrar la raíz no trivial de la
ecuación
S((1− α)f + αf ∗) = S(f). (21)
Para resolver (21) numéricamente empleamos una rutina robusta basada en la bisección. Los
root se resuelve con una precisión de 10-15 y siempre nos aseguramos de que el retorno
el valor de α no conduce a una disminución de la entropía numérica. Estipulamos que
si, en algún sitio, no existe raíz no trivial de (21) vamos a emplear la positividad
regla en su lugar (Fig. 1).
4.3 Tubo de choque
El tubo de choque 1D para un líquido atérmico comprimible es un punto de referencia estándar
prueba de códigos hidrodinámicos. Nuestro dominio computacional será el intervalo
[0, 1] y discretizamos este intervalo con 801 sitios de celosía uniformemente espaciados.
Elegimos la relación de densidad inicial como 1:2 de modo que para x ≤ 400 establecemos
Si no, establecemos el valor de 0.5. Fijaremos la viscosidad cinemática del fluido en ~ = 10−9.
4.3.1 Comparación de LBGK y ELBM
In Fig. 2 comparamos el perfil de densidad del tubo de choque obtenido con LBGK
(utilizando cuasiequilibrios entrópicos (14)) y ELBM. En el mismo panel también
muestra tanto la entropía total S(t) :=
x S(x, t) y no equilibrio total
entropía S(t) :=
(x, t) historias del tiempo. Como se esperaba, por construcción,
Observamos que la entropía total es (efectivamente) constante para ELBM. Por otro lado
mano, LBGK se comporta no entrópicamente para este problema. En ambos casos, debemos...
servir que la entropía no equilibrio crece con el tiempo.
Como podemos ver, la elección entre las dos fórmulas de colisión LBGK (19)
o ELBM (20) no afecta a la oscilación espuria, y
sión [29] es, tal vez, el resultado de una solución analítica aproximada de la
(21). La inexactitud en la solución de (21) puede interpretarse como un ocultamiento
limitador de entropía no equilibrio. Pero hay que mencionar que el entrópico
método consiste no sólo en la fórmula de colisión, pero, lo que es importante, en
incluye una elección especial de cuasiequilibrio que podría mejorar la estabilidad (véase,
p. ej., [13]). De hecho, cuando comparamos ELBM con LBGK usando ya sea entópico o
En el caso de los cuasiequilibrios polinomios estándar, parece haber cierta ganancia en el empleo.
& cuasiequilibrios entrópicos (Fig. 3). Observamos que la región posterior al choque
para las simulaciones LBGK es más oscilatorio cuando el cuasiequilibrio polinomio
se utilizan. In Fig. 3 también hemos incluido un panel con el resultado de la simulación-
de una viscosidad mucho mayor ( v = 3,3333 × 10−2). Aquí, no observamos
diferencias apreciables en los resultados de LBGK y ELBM.
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
Fig. 2. Densidad y perfil de la simulación del tubo de choque atérmico 1:2 con v = 10-9
después de 400 pasos de tiempo utilizando a) LBGK (19); b) ELBM (20). En este ejemplo, no
población negativa se producen por cualquiera de los métodos por lo que la regla de positividad es
redundante. Para ELBM en este ejemplo, (21) siempre tiene una raíz no trivial. Total
En los paneles (c), (d) y (d) se muestran las historias temporales de la entropía y la entropía no equilibrada.
(e), (f) para LBGK y ELBM, respectivamente.
0 0,5 1
0 0,5 1
0 0,5 1
0 0,5 1
0 0,5 1
0 0,5 1
Fig. 3. Perfil de densidad y velocidad de la simulación del tubo de choque isotérmico 1:2.
ión después de 400 pasos de tiempo utilizando a) LBGK (19) con cuasiequilib-
ria (16) [ v. = 3.3333 × 10−2]; b) LBGK (19) con cuasiequilibrios entrópicos (14)
[ v = 3,3333 × 10−2]; c) ELBM (20) [ v = 3,3333 × 10−2]; d) LBGK (19) con
polinomio cuasiequilibrio (16) [/ = 10-9]; e) LBGK (19) con cuasiequilibrio entrópico
libria (14) [ v. = 10−9]; f) ELBM (20) [ v. = 10−9].
4.3.2 Limitadores de la entropía sin equilibrio.
Ahora, nos gustaría demostrar sólo una muestra representativa de los muchos
posibilidades de limitadores sugeridas en Sec. 3. En cada caso el limitador es im-
implementada por una rutina de post-procesamiento inmediatamente después de la colisión
paso (LBGK (19) o ELBM (20)). Aquí, sólo vamos a considerar LBGK
colisiones y cuasiequilibrios entrópicos (14).
El paso posterior al procesamiento se ajusta f por la fórmula de actualización:
f 7→ f ∗ + ()(S)(f − f ∗),
donde S se define por (6) y es una función limitadora.
Para la regularización de los Ehrenfests uno elegiría
(S)(x) =
1, S(x) ≤ ,
0, de lo contrario,
donde es un valor umbral preespecificado. Además, es pertinente seleccionar
sólo k sitios con más alto S >. Este limitador se ha aplicado previamente a
el problema del tubo de choque en [6,7,8] y no vamos a reproducir esos resultados aquí.
En cambio, nuestro primer ejemplo será el siguiente limitador suave:
(S) =
1 + Sk
. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Para este limitador, vamos a fijar k = 1/2 (de modo que el limitador es monotónico doble en
aproximación cuadrática a la entropía) y comparar los perfiles de densidad para α =
•/(E(S)k), • = 0,1, 0,01, 0,001. También hemos asegurado un conjunto-dependiente
limitador debido a la dependencia de α en la media E. Como en el caso de la Fig. 2,
acompañamos cada panel con la entropía total y la entropía no equilibrada
historias. Note las diferentes escalas para la entropía no equilibrada. Tenga en cuenta también que
la entropía (necesariamente) crece ahora debido a la disipación adicional.
Nuestro siguiente ejemplo (Fig. 5) considera el filtro umbral (10). En este ejemplo
Elegimos las estimaciones S0 = 5E(+S), 10E(+S), 20E(+S) y fijamos el tol-
orance = 0 para que pueda estudiarse la influencia del umbral por sí solo. Sólo
Los ajustes entrópicos se aceptan en el limitador: St ≤ S. Como umbral
aumenta, la entropía no equilibrio crece más rápido y comienza a aparecer espurio.
Finalmente, probamos el filtro mediano (Fig. 6). Elegimos un filtro mínimo para que
sólo se consideran los vecinos más cercanos. Como con el filtro de umbral, nosotros
Introducimos una tolerancia y probamos los valores de 10-3, 10-4, 10-5. Sólo
Los ajustes entrópicos se aceptan en el limitador: Smed ≤ S.
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0,025
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
Fig. 4. Densidad y perfil de la simulación del tubo de choque atérmico 1:2 con v = 10-9
después de 400 pasos de tiempo utilizando LBGK (19) y el limitador liso (22) con k = 1/2,
α = /(E(S)k) y (a) = 0,1; (b) = 0,01 y (c) = 0,001. Entropía total y
se muestran historias de tiempo de entropía nonequilibrium para cada conjunto de parámetros {k, α()}
en los paneles adyacentes.
Hemos visto que cada uno de los ejemplos que hemos considerado (Fig. 4, fig. 5
y Fig. 6) es capaz de sojuzgar oscilaciones posteriores al choque espurias comparadas
con LBGK (o ELBM) sobre este problema (cf. Fig. 2). Por supuesto, limitando
nonequilibrium entropy el resultado es necesariamente un aumento de la entropía.
De nuestras experiencias nuestra recomendación es que el filtro mediano es el
elección superior entre todos los limitadores sugeridos en Sec. 3. La acción de la Comisión
el filtro medio se encuentra para ser extremadamente suave y, al mismo tiempo, muy
eficaz.
4.4 Cavidad impulsada por la lid
Nuestro segundo ejemplo numérico es el clásico flujo de cavidad 2D impulsado por la tapa. A
La cavidad cuadrada de longitud lateral L está llena de líquido con viscosidad cinemática
(inicialmente en reposo) e impulsado por la tapa de la cavidad moviéndose a una velocidad constante
(u0, 0) (de izquierda a derecha en nuestra geometría).
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
Fig. 5. Densidad y perfil de la simulación del tubo de choque atérmico 1:2 con v = 10-9
después de 400 pasos de tiempo utilizando LBGK (19) y el limitador de umbral (10) con (a)
•St = 5E(+S); b) •St = 10E(+S) y c) •St = 20E(+S). Entropía total y
nonequilibrium entropy historias de tiempo para cada umbral •St se muestran en el
paneles adyacentes.
Simularemos el flujo en una cuadrícula de 100 × 100 usando LBGK regularizada con
el limitador de filtro medio. A menos que se indique lo contrario, utilizamos cuasiequilib-
ria (17). La implementación del filtro es la siguiente: el filtro no se aplica
a los nodos de frontera; para los nodos que rodean inmediatamente el límite el
stencil consiste en los 3 vecinos más cercanos (incluyendo a sí mismo) más
límite; para todos los demás nodos la plantilla mínima de 9 vecinos más cercanos es
utilizado.
Hemos seleccionado a propósito una simulación tan gruesa de la red porque se lee-
Ily encontró que, en este problema, LGBK no regularizado falla (rebota-up) para todos
pero los números más modestos de Reynolds Re := Lu0/ v.
4.4.1 Centros de vórtice en estado estacionario
Para el modesto número Reynolds el sistema se establece a un estado estable en el que el
Las características dominantes son un vórtice central giratorio primario, con varios contadores.
vórtices secundarios giratorios situados en el fondo-izquierda, abajo-derecha (y pos-
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
Fig. 6. Densidad y perfil de la simulación del tubo de choque atérmico 1:2 con v = 10-9
después de 400 pasos de tiempo utilizando LBGK (19) y el limitador medio mínimo con (a)
(b) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e). Entropía total y no equilibrio
Las historias de tiempo de entropía para cada tolerancia se muestran en los paneles adyacentes.
en las esquinas de la parte superior izquierda.
El estado estacionario ha sido ampliamente investigado en la literatura. El estudio
de Hou et al [24] simula el flujo sobre una gama de números de Reynolds utilizando
LBGK no regularizado en una cuadrícula 256×256. Centro vórtice primario y secundario
se proporcionan datos. Comparamos esta misma estadística para la mediana filtrada actual
simulación de cuadrícula gruesa. Emplearemos los mismos criterios de convergencia utilizados
en [24]. Es decir, consideramos que se ha alcanzado el estado estacionario garantizando
que la diferencia entre el valor máximo de la función de flujo para
10 000 pasos sucesivos es menos que 10-5. La función de flujo, que es
no es una variable primaria en la simulación LBM, se obtiene a partir de la velocidad
datos por integración utilizando la regla de Simpson. Los centros de vórtice se caracterizan como
Extrema local de la función de flujo.
Comparamos nuestros resultados con las simulaciones LBGK en [24] y [41]. Alinear
nosotros mismos con estos estudios especificamos la siguiente condición límite: tapa
perfil es constante; las paredes restantes de la cavidad están sujetas al “rebote-retroceso”
condición [38]. En nuestras simulaciones, el perfil de densidad de fluido uniforme inicial es
La velocidad de la tapa es u0 = 1/10 (en las unidades de celosía).
Recopiladas en el cuadro 1, para Re = 2000, 5000 y 7500, son las coordenadas de
los centros de vórtice primarios y secundarios que utilicen a) LBGK no regularizados; b)
LBGK con limitador de filtro medio ( = 103); (c) LBGK con filtro medio lim-
iter ( = 10−4), todos con cuasiequilibrios polinomios no entrópicos (18). Líneas
d), e) y f) son los mismos, pero con cuasiequilibrios entrópicos (17). La re-
Las líneas de mantenimiento de la tabla 1 son las siguientes: (g) datos de la bibliografía [24] (no regularizados)
LBGK en una cuadrícula de 256×256); (h) datos de la literatura [41] (regla de positividad); (i)
datos de la ure [41] (ELBM). Con la excepción de (g), se realizan todas las simulaciones
en una cuadrícula de 100 × 100. El vórtice superior izquierdo no aparece en Re = 2000 y
No se facilitaron datos al respecto en [41], en Re = 5000. La LBGK no regularizada
Re = 7500 explosión de simulación en tiempo finito y la simulación se convierte en
No tiene sentido. La coordenada y de los dos vórtices inferiores en Re = 5000 en (i)
Aparecen anomalmente pequeños y no fueron reproducidos por nuestros experimentos con
la regla de positividad (no se muestra).
Hemos llevado a cabo dos carreras del experimento con el filtro mediano param-
eter • = 10−3 y • = 10−4. A pesar del aumento del número de realizaciones
Los centros de vórtice permanecen sin cambios y no detectamos ningún signo.
varianza icante entre las dos carreras. Esto demuestra la naturaleza gentil de
el filtro medio. En Reynolds Re = 2000 el filtro mediano no tiene efecto alguno
en los centros de vórtice en comparación con LBGK.
No encontramos diferencias significativas entre los experimentos con entropía y
En este ensayo, los cuasiequilibrios polinomios no entrópicos.
Las coordenadas del centro vórtice primario para LBGK no regularizado en Re =
5000 ya son bastante inexactos ya que LBGK comienza a perder estabilidad. Estabilidad
se pierde por completo en algunos críticos Reynolds número 5000 < Re ≤ 7500 y el
explosión de simulación.
Además, tenemos acuerdo (dentro de la resolución de la cuadrícula) con los datos dados
en [24]. También se recopilan en la Tabla 1 los datos de los experimentos con limitadores
realizado en [41] (aunque no se discute explícitamente en el lenguaje de los limitadores
por los autores de esa obra). En [41] los autores dan datos del centro de vórtice para
la regla de positividad (Fig. 1) y para ELBM (que interpretamos como
limitador oculto). En [41] la regla de positividad se llama FIX-UP.
Como Reynolds número aumenta el flujo en la cavidad ya no es estable y un
surge un patrón de flujo más complicado. En el camino a un tur-
flujo bulento, el flujo de la cavidad accionada por la tapa se sabe que sufre una serie de períodos
doblando bifurcaciones Hopf. En nuestra grilla gruesa, observamos que el coordi-
los nates del centro primario del vórtice (máximo de la función de la corriente) es
característica robusta del flujo, con poco cambio entre las coordenadas (sin cambio
en coordenadas y) computadas en Re = 5000 y Re = 7500 con la mediana fil-
ter. Por un lado, debido a esta observación se vuelve inconcluso si
Cuadro 1
Coordenadas del centro de vórtice primario y secundario para el flujo de la cavidad accionada por la tapa en
Re = 2000, 5000, 7500.
Primario Inferior-izquierda Inferior-derecha Inferior-izquierda
Re x y x y x y x y x y
2000 a) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 b) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 c) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 d) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 e) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 f) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 g) 0,5255 0,5490 0,0902 0,1059 0,8471 0,0980 No se aplica
2000 h) 0,5200 0,5450 0,0900 0,1000 0,8300 0,0950 No se aplica
2000 i) 0,5200 0,5500 0,0890 0,1000 0,8300 0,1000 No se aplica
5000 a) 0,5152 0,6061 0,0808 0,1313 0,7980 0,0707 0,0505 0,8990
5000 b) 0,5152 0,5354 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0606 0,8990
5000 c) 0,5152 0,5354 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0707 0,8889
5000 d) 0,5152 0,5960 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0505 0,8990
5000 e) 0,5152 0,5354 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0606 0,8990
5000 f) 0,5152 0,5354 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0707 0,8889
5000 g) 0,5176 0,5373 0,0784 0,1373 0,8078 0,0745 0,0667 0,9059
5000 h) 0,5150 0,5680 0,0950 0,0100 0,8450 0,0100 No disponible
5000 i) 0,5150 0,5400 0,0780 0,1350 0,8050 0,0750 No disponible
7500 a) — — — — — — — —
7500 b) 0,5051 0,5354 0,0707 0,115 0,7879 0,0707 0,0606 0,8990
7500 (c) 0,5051 0,5354 0,0707 0,1515 0,7879 0,0707 0,0707 0,8889
7500 d) — — — — — — — —
7500 e) 0,5051 0,5354 0,0707 0,115 0,7879 0,0707 0,0606 0,8990
7500 (f) 0,5051 0,5354 0,0707 0,1515 0,7879 0,0707 0,0707 0,8889
7500 (g) 0,5176 0,5333 0,0706 0,1529 0,7922 0,0667 0,0706 0,9098
el limitador medio está añadiendo demasiada disipación adicional. Por otro lado
mano, una elección más estudiosa de los criterios de control puede indicar que el primero
la bifurcación ya ha ocurrido por Re = 7500.
4.4.2 Primera bifurcación de Hopf
Una encuesta de la literatura disponible revela que el valor exacto de Re en el que
la primera bifurcación Hopf ocurre es algo polémico, con más corriente
estudios (todos ellos para flujo incompresible) que van desde alrededor de Re =
7400–8500 [9,32,33]. En este caso, no pretendemos dar un valor preciso porque
es un efecto de cuadrícula bien observado que el número crítico de Reynolds aumenta
(desplaza a la derecha) con refinamiento (véase, por ejemplo, Fig. 3 in [33]). Más bien, nosotros
se contentará con localizar la primera bifurcación y, al hacerlo, demostrar
que los limitadores son capaces de regularizarse sin afectar el flujo fundamental
características.
Para localizar la primera bifurcación tomamos el siguiente enfoque algorítmico.
Se utilizan cuasiequilibrios entrópicos. El perfil de densidad de fluido uniforme inicial
la velocidad de la tapa es u0 = 1/10 (en las unidades de celosía). Nosotros
registrar los datos de velocidad inestables en un único punto de control con coordenadas
(L/16, 13L/16) y ejecutar la simulación para 5000 unidades de tiempo sin dimensiones
(5000L/u0 pasos de tiempo). Denotemos el 1% final de esta señal por (usig, vsig).
A continuación, calculamos la energía Eu (l2-norm normalizado por no-dimensional
duración de la señal) de la desviación de usig de su media:
Eu :=
U0usig
(usig − usig)
, (23)
donde usig y usig denotan la longitud y la media de usig, respectivamente. Nosotros
elegir esta estadística robusta en lugar de intentar medir la amplitud de la señal
debido al ruido numérico en la simulación LBM. La fuente del ruido en LBM
se atribuye a la existencia de una estabilidad neutral inherentemente inevitable
dirección en el esquema numérico (véase, por ejemplo, [8]).
Optamos por no emplear la condición de límite “rebote-back” utilizada en el pre-
estudio previo del estado estacionario. En lugar de eso, usaremos el difusivo límite de Maxwell.
condición (véase, por ejemplo, [11]), que se aplicó por primera vez a LBM en [1]. La esencia
de la condición es que las poblaciones que llegan a un límite se reflejan, propor-
de equilibrio, de tal manera que el equilibrio de masa (a granel) y el equilibrio de detalle
se logran. La condición límite coincide con “rebote-retroceso” en cada uno
esquina de la cavidad.
Para ilustrar, inmediatamente después de la advección de las poblaciones considerar la
la situación de la pared, alineada con la celosía, moviéndose con la velocidad uwall y
con apuntando hacia el exterior normal a la pared en la dirección negativa y (esto es
la situación en la tapa de la cavidad con uwall = u0). La aplicación
de la condición difusiva de la frontera de Maxwell en un lugar de frontera (x, y) en este
pared consiste en la actualización
fi(x, y, t+ 1) = γf
i (uwall), i = 4, 7, 8,
f2(x, y, t) + f5(x, y, t) + f6(x, y, t)
f*4 (uwall) + f
7 (uwall) + f
8 (uwall)
Observe que, porque la densidad es un factor lineal de los cuasiequilibrios (17),
la densidad de la pared es inconsecuente en la condición del límite y puede
Por lo tanto, ser tomado como unidad para conveniencia. Como es habitual, sólo esas poblaciones
se actualizan los puntos que apuntan al fluido en un sitio fronterizo. Los puntos de frontera no lo hacen
someterse a la fase de colisión a la que se somete la mayor parte de los sitios.
Preferimos la condición difusiva del límite sobre el a menudo preferido “rebote-
condición de borde de espalda” con perfil de tapa constante. Esto es porque tenemos
ha experimentado dificultades para separar el ruido numérico antes mencionado de
la señal genuina en un único punto de control utilizando “rebote-retroceso”. Observamos
que la condición difusiva del límite no impide la LBGK no regularizada
de fallar en algún número crítico de Reynolds Re > 5000.
Ahora, realizamos un experimento y grabamos (23) sobre un rango de Reynolds
números. En cada caso se emplea el limitador de filtro mediano con parámetro
= 10−3. Desde la transición entre el flujo constante y periódico en la tapa-
Cavidad impulsada es conocida por pertenecer a la clase de bifurcaciones Hopf estándar
estamos seguros de que E2u Re [16]. Ajustar una línea de mejor ajuste al resultado
los datos localizan la primera bifurcación en el flujo de la cavidad accionada por la tapa a Re = 7135
(Fig. 7). Este valor está dentro de la tolerancia de Re = 7402±4% dada en [33] para
una cuadrícula de 100×100. También proporcionamos una (tiempo promedio) trayectoria espacial fase y
Espectro de Fourier para Re = 7375 en el punto de monitoreo (Fig. 8 y Fig. 9)
que indican claramente que se ha observado la primera bifurcación.
5 Conclusiones
La entropía y la termodinámica son importantes para la estabilidad de la retícula Boltz-
Mann methods. Ahora está claro: después de casi 10 años de trabajo desde el
La mención de [26] demostró esta afirmación (las principales revisiones son [5,28,39]). Los
la pregunta es ahora: “¿cómo se utiliza, de manera óptima, la entropía y la termodifusión?
estructuras namic en los métodos Boltzmann celosía?”. En nuestro periódico tratamos de
proponer una solución (por lo menos temporal). Nuestro enfoque es aplicable a ambos
Entrópica, así como para los cuasiequilibrios polinomios no entrópicos.
5750 6000 6250 6500 6750 7000 7250 7500 7750 8000
0,005
0,015
0,025
0,035
0,045
(7135,0)
Fig. 7. Parcela de energía al cuadrado, E2u (23), en función del número de Reynolds, Re, utilizando
LBGK se regularizó con el limitador de filtro medio con una cuadrícula de 100× 100 °C = 10−3.
Las líneas rectas son líneas de mejor ajuste. La intersección de la línea inclinada con el eje x
ocurre cerca de Re = 7135.
Hemos construido un sistema de limitadores de entropía no equilibrium para la celosía
Métodos Boltzmann (LBM):
• la regla de positividad que proporciona positividad de la distribución;
• los limitadores de entropía puntuales basados en la selección y corrección de la mayoría
valores de noequilibrio;
• filtros de entropía no equilibrada, y el filtro mediano como filtro de elección.
Todos estos limitadores explotan las propiedades físicas de LBM y permiten el control del total
producción adicional de entropía. En general, hacen el mismo trabajo para LBM que
Los limitadores de flujo hacen para las diferencias finitas, los volúmenes finitos y los elementos finitos meta-
ods, y entran en funcionamiento cuando los gradientes agudos están presentes. Para sin problemas
las ondas cambiantes, los limitadores no funcionan y los derivados espaciales pueden ser
representado por aproximaciones de orden superior sin introducir
oscilaciones. Pero también hay algunas diferencias: para LBM la idea principal detrás
la construcción de sistemas limitadores de entropía no equilibrium es limitar un escalar
cantidad — la entropía del nonequilibrio — o suprimir la “sal y pimienta”
ruido del campo de esta cantidad. No tocamos los vectores o tensores
de derivados espaciales, como lo es para limitadores de flujo.
Ejemplos de pruebas estándar demuestran que los limitadores desarrollados borran espurios
oscilaciones sin desenfoque de los choques, y no afectan a las soluciones suaves. Los
limitadores que hemos probado no producen una notable disipación adicional y
Fig. 8. Componentes de velocidad en función del tiempo para la señal (usig, vsig) en el
punto de monitorización (L/16, 13L/16) utilizando LBGK regularizado con el filtro medio
limitador con = 10−3 en una cuadrícula de 100 × 100 (Re = 7375). Los puntos representan la simulación
resultados y la línea sólida es un promedio de tiempo de 100 pasos de la señal.
nos permite reproducir la primera bifurcación Hopf para la cavidad 2D con la tapa impulsada en un
grilla gruesa de 100×100. Al mismo tiempo, el filtro mediano más simple elimina el
oscilaciones post-choque espurias para baja viscosidad.
Tal vez, es imposible encontrar un mejor limitador de entropía no equilibrium para
todos los problemas. Es una tarea especial construir los limitadores óptimos para un
clases de problemas.
Agradecimientos
Examen de la versión preliminar de este trabajo con S. Succi y
ticipantes del taller Boltzmann de celosía celebrado el 15 de noviembre de 2006
En Leicester (Reino Unido) fue muy importante. El autor A. N. Gorban agradece
S. K. Godunov para el curso de los métodos numéricos dados hace muchos años en
Universidad Novosibirsk. Este trabajo cuenta con el apoyo de Ingeniería y Física
Número de subvención del Consejo de Investigación Científica (EPSRC) GR/S95572/01.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Frecuencia
Fig. 9. Espectro de amplitud relativa para la señal usig en el punto de seguimiento
(L/16, 13L/16) utilizando LBGK regularizado con el limitador de filtro medio con = 10−3
en una cuadrícula de 100 × 100 (Re = 7375). Medimos una frecuencia dominante de 0.525.
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Vol. 1, J. P. Ostriker (Ed.), Princeton University Press, Princeton, Estados Unidos, 1996,
144–148.
Introducción
Antecedentes
Limitadores de entropía sin equilibrio para LBM
Regla de positividad
Regularización de Ehrenfests
Limitadores suaves de la entropía no equilibrada
Vigilancia de la disipación total
Filtro medio de entropía
Pasos entrópicos para cuasiequilibrios no entrópicos
Las colisiones ELBM como limitador suave
Limitadores monotónicos y dobles monotónicos
Experimento numérico
Velocidades y cuasiequilibrios
LBGK y ELBM
Tubo de choque
Cavidad impulsada por el lid
Conclusiones
Bibliografía
| Construimos un sistema de limitadores de entropía no equilibrium para la celosía
Métodos Boltzmann (LBM). Estos limitadores borran oscilaciones espurias sin
desenfoque de los choques, y no afectan a las soluciones suaves. En general, hacen el
el mismo trabajo para LBM que hacen los limitadores de flujo para las diferencias finitas, los volúmenes finitos
y los métodos de elementos finitos, pero para LBM la idea principal detrás de la construcción
de esquemas limitadores de entropía no equilibrium es transformar el campo de un escalar
cantidad - nonequilibrium entropy. Hay dos familias de limitadores: (i)
sobre la base de la restricción de la entropía no equilibrada (entropía "recorte") y ii)
basado en el filtrado de la entropía no equilibrada (filtro de la entropía). Lo físico
propiedades de LBM proporcionan algunos beneficios adicionales: el control de la entropía
producción y estimación exacta de la disipación artificial introducida son
Es posible. Los limitadores construidos se prueban en ejemplos numéricos clásicos:
Tubos de choque atérmico 1D con una relación de densidad inicial 1:2 y la tapa 2D
cavidad para Reynolds números Re entre 2000 y 7500 en una cuadrícula gruesa de 100*100.
Todas las construcciones limitadoras son aplicables tanto a las entrópicas como a las no entrópicas.
cuasiequilibrios.
| Introducción
En 1959, S.K. Godunov [17] demostró que un esquema (lineal) para una PDE
no podía, al mismo tiempo, ser monótono y de segundo orden exacto. Por lo tanto,
* Autor correspondiente.
Dirección de correo electrónico: r.brownlee@mcs.le.ac.uk (R. A. Brownlee),
a.gorban@mcs.le.ac.uk (A. N. Gorban), j.levesley@mcs.le.ac.uk
(J. Levesley).
1 Este trabajo cuenta con el apoyo del número de subvención del EPSRC GR/S95572/01.
Preprint enviado a Physica A 24 Octubre 2018
http://arxiv.org/abs/0704.043v1
debemos elegir entre oscilación espuria en alto orden no-monotona
los regímenes y la disipación adicional en los regímenes de primer orden. Regímenes limitadores de flujo
se inventan para combinar esquemas de alta resolución en áreas con campos lisos
y esquemas de primer orden en áreas con gradientes agudos.
La idea de limitadores de flujo puede ilustrarse computando el flujo F0,1
de la cantidad conservada u entre una celda marcada por 0 y una de dos
células vecinas marcadas por ±1:
F0,1 = (1− (r))f bajo0,1 + (r)f
0,1,
donde f bajo0, 1, f
0, 1 son flujos de esquema de resolución baja y alta, respectivamente, r =
(u0 − u−1)/(u1 − u0), y (r) ≥ 0 es una función limitadora de flujo. Para r cerca de 1,
la función del limitador de flujo (r) debe estar también cerca de 1.
Durante las dos últimas décadas se han inventado muchos esquemas de limitadores de flujo [43].
Ningún limitador en particular funciona bien para todos los problemas, y por lo general se hace una elección
sobre la base de pruebas y errores.
A continuación se presentan varios ejemplos de funciones limitadoras de flujo:
mm(r) = máximo [0,min (r, 1)] (minmod, [36]);
os(r) = máx [0,min (r, β)], (1 ≤ β ≤ 2) (Osher, [10]);
mc(r) = máx [0,min (2r, 0.5(1 + r), 2)] (central monotonizado [42]);
sb(r) = máx [0,min (2r, 1),min (r, 2)] (superbee, [36]);
sw(r) = max [0,min (βr, 1), (r, β)], (1 ≤ β ≤ 2) (Sweby, [40]).
El método Boltzmann ha sido propuesto como una discretización de Boltz-
ecuación cinética de mann y ahora está en amplio uso en la dinámica de fluidos y más allá
(para una introducción y revisión véase [38]). En lugar de campos de momentos M, el
método Boltzmann funciona con campos de distribuciones discretas f.
nos permite construir limitadores muy simples que no dependen de pendientes o
Gradientes.
Todos los limitadores que construimos se basan en la representación de distribuciones
f en la forma:
f = f ∗ + f − f
f − f ∗
# F # f # f # # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # # f # f # f # f # f # f # f # f # f # f # # f # f # f # f # f # f # f # # f # # f # # f # # f # # f # f # # # f # f # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde f* es el correspondiente cuasiequilibrio (equilibrio condicional) para
momentos dados M, f − f * es la “parte” no equilibrada de la distribución,
que se representa en la forma “norm×direction” y f − f es la norma
de ese componente no equilibrio (generalmente esta es la norma entrópica). Lim...
cambiar la norma del componente nonequilibrium f − f ∗, pero no
tocar su dirección o el equilibrio. En particular, los limitadores no cambian la
variables macroscópicas, porque los momentos para f y f* coinciden. Todos los limitadores que
uso son transformaciones de la forma
f 7→ f ∗ + (f − f ∗) (1)
con > 0. Si f − f * es demasiado grande, entonces el limitador debe disminuir su norma.
El esbozo del documento es el siguiente. In Sec. 2 introducimos las nociones y
notas de la teoría Boltzmann de celosía que necesitamos, en Sec. 3 elaboramos el
idea de limitadores entrópicos en más detalle y construir varios no equilibrios
Limitadores de entropía para LBM, en Sec. 4 algunos experimentos numéricos se describen:
(1) Ejemplos de tubo de choque atérmico 1D;
(2) localización del centro de vórtice en estado estacionario y observación del primer bifur- Hopf
catión en el flujo de la cavidad 2D impulsado por la tapa.
Las observaciones finales figuran en la sección II. 5.
2 Antecedentes
La esencia de la celosía Boltzmann métodos fue formulado por S. Succi en el
la siguiente máxima: “La no linealidad es local, la no-localidad es lineal” 2. Deberíamos
incluso fortalecer esta declaración. No localidad (a) es lineal; (b) es exactamente y
explícitamente solvable para todos los pasos del tiempo; (c) la discre-
ciones.
El método Boltzmann es un método de velocidad discreta. El conjunto finito
de vectores de velocidad {vi} (i = 1,...m) se selecciona, y un fluido se describe por
asociar, con cada velocidad vi, una función de distribución de una sola partícula fi =
fi(x, t) que se desarrolla por la advección y la interacción (colisión) en un fijo
Enrejado computacional. Los valores fi se denominan poblaciones. Si nos fijamos en todos
modelos Boltzmann de celosía, se encuentra que hay dos pasos: vuelo libre para
tiempo y una operación de colisión local.
La transformación de vuelo libre para el espacio continuo es
fi(x, t+ Łt) = fi(x− viŁt, t).
Después del paso de vuelo libre, el paso de colisión sigue:
fi(x) 7→ Fi({fj(x)}), (2)
2 S. Succi, "Lattice Boltzmann en todas las escalas: de la turbulencia a la transloca-
, Centro de Modelado Matemático Conferencia Distinguida, Universidad de Leices-
ter, Leicester UK, 15 de noviembre de 2006.
o en la forma vectorial
f(x) 7→ F (f(x)).
Aquí, el operador de colisión F es el conjunto de funciones Fi({fj}) (i = 1,...m).
Cada función Fi depende de todos los fj (j = 1,...m): nuevos valores de las poblaciones
fi en un punto x son funciones conocidas de todos los valores de población anteriores en el
El mismo punto.
La cadena de celosía Boltzmann “vuelo libre → colisión → vuelo libre → colisión
· · · ” se puede restringir exactamente a cualquier celosía espacial que es invariante con
con respecto a los cambios espaciales de los vectores vielt (i = 1,...m). De hecho, el vuelo libre trans-
forma los valores de la población en los sitios de la celosía en los valores de la población
en sitios de la misma celosía. El operador de colisión (2) actúa de forma puntual en cada uno de ellos.
sitio de celosía por separado. Se ha hecho mucho esfuerzo para responder a las preguntas:
“cómo la cadena Boltzmann de celosía se aproxima a la ecuación de transporte para
los momentos M?” y “¿cómo se construye el modelo Boltzmann de celosía
para un determinado fenómeno de transporte macroscópico?” (se presenta una revisión en
libro [38]).
En nuestro trabajo proponemos una construcción universal de limitadores para todos los posibles
operadores de colisión, y la construcción detallada de Fi({fj}) no es importante
con este fin. La única parte de esta construcción que utilizamos es el equilibrio local
(a veces estos estados se denominan equilibrios condicionales, cuasiequilibrios, o
incluso más simple, equilibria).
Los modelos Boltzmann de celosía deben describir la dinámica macroscópica, es decir,
la dinámica de las variables macroscópicas. Las variables macroscópicas Ml(x) son
algunas funciones lineales de los valores de población en el mismo punto: Ml(x) =
imlifi(x), o en la forma vectorial, M(x) = m(f(x)). Las variables macroscópicas
Los capaces son invariantes de colisiones:
mlifi =
mliFi({fj}) (o m(f) = m(F f))).
El ejemplo estándar de las variables macroscópicas son campos hidrodinámicos
(densidad–velocidad–densidad de energía): {n, nu, E}(x) := {i{1, vi, v2i /2}fi(x). Pero
Esta no es una elección obligatoria. Si nos gustaría resolver, por métodos LBM,
las ecuaciones Grad [22] o algunas ecuaciones termodinámicas extendidas [25], nosotros
debe ampliar la lista de los momentos (pero, al mismo tiempo, debemos estar listos
introducir velocidades más discretas para una descripción adecuada de estas
sistemas momentáneos). Por otro lado, la celosía atérmica Boltzmann modelos
con una lista abreviada de variables macroscópicas {n, nu} son muy populares.
El cuasiequilibrio es el punto fijo positivo del operador de colisión para
las variables macroscópicas dadasM. Asumimos que este punto existe, es único
y depende sin problemas de M. Para el vector de población cuasiequilibrio para
dado que M usamos la notación f * M, o simplemente f
*, si el valor correspondiente de
M es obvio. Utilizamos para denotar la operación de proyección de equilibrio de
a distribución f en el estado de cuasiequilibrio correspondiente:
(f) = f*m(f).
Para algunos de los modelos de colisión una descripción entrópica del equilibrio es pos-
sible: se define una función de densidad de entropía S(f) y el cuasiequilibrio
punto f ∗M es el maximizador de la entropía para M dado [26,39].
Como ejemplo básico vamos a considerar la celosía Bhatnagar-Gross-Krook
(LBGK) modelo con sobrerelajación (véase, por ejemplo, [3,12,23,28,38]). El LBGK col-
el operador de lisión es
F (f) := (f) + (2β − 1)((f)− f), (3)
donde β [0, 1]. Para β = 0, las colisiones LBGK no cambian f, para β = 1/2
estas colisiones actúan como equilibrio (esto corresponde a la grosera de los Ehrenfests
Granulación [15] desarrollada en [14,19,20], para β = 1, acción de colisiones LBGK
como un punto de reflexión con el centro en el cuasiequilibrio (f).
Se muestra [8] que en algunas condiciones de estabilidad y después de un período inicial
de relajación, la más simple colisión LBGK con sobrerelajación [23,38] proporciona
segundo orden aproximación precisa para la ecuación de transporte macroscópico
con viscosidad proporcional a Łt(1− β)/β.
El método entrópico LBGK (ELBM) [5,20,26,39] difiere en la definición
de (3): para β = 1 debe conservar la entropía, y en general tiene lo siguiente:
forma:
F (f) := (1- β)f + βf
donde f‡ = (1 − α)f + (f). El número α = α(f) se elige de modo que el
se cumple la condición constante de entropía: S(f) = S(f"). Para LBGK (3), α = 2. De
Por supuesto, para ELBM la definición entrópica de cuasiequilibrio debe ser válida.
En el régimen de baja viscosidad, LBGK sufre de inestabilidades numéricas que
se manifiestan fácilmente como explosiones locales y oscilaciones espurias.
El LBM experimenta los mismos problemas de oscilación espurios
los dients como los esquemas de alto orden lo hacen. Las propiedades físicas de los sistemas LBM
permite construir nuevos tipos de limitadores: el nonequilibrium entropy lim-
iters. En general, hacen el mismo trabajo para LBM que los limitadores de flujo hacen para finitos
diferencias, volúmenes finitos y métodos de elementos finitos, pero para LBM el principal
la idea detrás de la construcción de esquemas limitadores de entropía no equilibrium es
limitar una cantidad escalar — entropía no equilibrada (y no los vectores o diez-
sérs de derivados espaciales, como lo es para limitadores de flujo). Estos limitadores introducen
alguna disipación adicional, pero toda esta disipación podría ser fácilmente evaluada
a través del análisis de la producción de entropía no equilibrada.
Recientemente se han propuesto dos ejemplos de estos limitadores: la positividad
la regla [6,31,41] y la regularización de los Ehrenfest [7]. La regla de positividad sólo
proporciona positividad de distribuciones: si un paso de colisión produce
las laciones, entonces la regla de positividad los devuelve al límite de positividad. In
la regularización de los Ehrenfests, se seleccionan los sitios k con
rio entropía (la diferencia entre la entropía del estado f y la entropía de la
Estado de cuasiequilibrio correspondiente f * en un punto espacial dado) que exceda de un
dado el umbral y equilibra el estado en estos sitios.
La regla de positividad y la regularización de Ehrenfests proporcionan raras, intensas y
Correcciones localizadas. Es fácil y también computacionalmente barato organizar
transformación más suave con desplazamiento suave de estados altamente no equilibrados
a cuasiequilibrio. La siguiente transformación de regularización distribuye
su acción sin problemas: sólo podemos elegir en (1)..........................................................................................................................................................................................................................................................
función sin contratiempos فارسى(فارسىS(f)). Aquí f es el estado en algún sitio, f * es el corre-
sponding cuasiequilibrio, S es entropía, y S(f) := S(f*)− S(f).
El siguiente paso en el desarrollo de los limitadores de entropía no equilibrio está en
el uso de filtros de entropía locales. El filtro de elección aquí es el filtro medio: it
no borra los frentes afilados, y es mucho más robusto que los filtros de convolución.
Un problema importante es: “cómo se crea una entropía no equilibrada
iters para LBM con cuasiequilibrios no entrópicos?”. Proponemos una solución.
de este problema basado en la entropía del nonequilibrio Kullback. Para entrópicos
El enfoque de la entropía Kullback da la misma entropía
iters. En la termodinámica, la entropía Kullback pertenece a la familia de Massieu–
Funciones de Planck-Kramers (potenciales canónicos o grancanónicos).
3 Limitadores de entropía sin equilibrio para LBM
3.1 Regla de positividad
Hay una receta simple para la preservación de la positividad [6,31,41]: sustituir
no positivo I
0 (f)(x) por el estado no negativo más cercano que pertenece a la
línea recta
(x) + (1-)(x))(f) (x))
definido por los dos puntos, f(x) y cuasiequilibrio correspondiente. Esta operación...
en los puntos de la celosía donde la positividad
es violado. El coeficiente también depende de x. Llamemos a esta receta la
regla de positividad (Fig. 1). Esta receta preserva la positividad de las poblaciones y
probabilidades, pero puede afectar la exactitud de la aproximación. La misma regla es nec-
F(f)
Fijación de positividad
Dominio de positividad
Fig. 1. Regla de positividad en acción. Los movimientos se detienen en el límite de positividad.
Essary para ELBM (4) cuando el “estado de espejo” positivo fœ con la misma entropía
como f no existe en la línea recta (5).
3.2 Regularización de Ehrenfests
Para discutir métodos con disipación adicional, el enfoque entrópico es muy
Conveniente. Dejar que se defina la entropía S(f) para cada vector de población f = (fi)
(abajo usamos la misma letra S para la entropía local en el espacio, y esperamos que
contexto hará esta notación siempre clara). Asumimos que el
la entropía es una suma de entropías locales para todos los sitios. El no equilibrio local
la entropía es
S(f) := S(f ∗)− S(f), (6)
donde f* es el correspondiente cuasiequilibrio local en el mismo punto.
La regularización de los Ehrenfests [6,7] proporciona “corte de entropía”:
desviación local de f del cuasiequilibrio correspondiente, y cuando
«S(f)(x) supera un valor umbral preespecificado»
pasos al cuasiequilibrio correspondiente: f 7→ f * en esos puntos.
Para que los pasos de los Ehrenfests no puedan degradar la precisión de LBGK
es pertinente seleccionar los sitios de k con más alto S >. El a posteriori
Las estimaciones de disipación añadida podrían realizarse fácilmente mediante el análisis de la entropía
producción en los pasos de Ehrenfests. Se muestran experimentos numéricos (véase, por ejemplo, [6,7)]
que incluso un pequeño número de tales pasos mejoran drásticamente la estabilidad.
Para evitar el cambio de orden de precisión “en promedio”, el número de sitios con
este paso debe ser ≤ O(Nh/L) donde N es el número total de sitios, h es
el paso de la discretización del espacio y L es la característica macroscópica
longitud. Pero esta estimación aproximada de la exactitud en promedio podría ser destruida
por concentración de los pasos de Ehrenfests en las zonas más no equilibradas, para
ejemplo, en la capa de contorno. En ese caso, en lugar del número total de
sitios N en O(Nh/L) debemos tomar el número de sitios en una región específica.
Los efectos de la concentración podrían analizarse fácilmente a posteriori.
3.3 Limitadores suaves de la entropía no equilibrada
La regla de positividad y la regularización de Ehrenfests proporcionan raras, intensas y
Correcciones localizadas. Por supuesto, es fácil y también computacionalmente barato para
organizar una transformación más suave con un cambio suave de
Los estados de rium a cuasiequilibrio. La siguiente transformación de la regularización
distribuye su acción sin problemas:
f 7→ f ∗ + Ł(S(f))(f − f*). 7)..................................................................................................................................................
La elección de la función es altamente ambigua, por ejemplo, = 1/(1Sk)
para algunos α > 0 y k > 0. Hay dos opciones significativamente diferentes: (i)
ensamble-independent Ł (es decir, el valor de ♥ depende del valor local de ŁS
sólo) y (ii) ensamble-dependientes de........................................................................................................................................................................................................................................................
(S) =
1 + (+S/(αE(+S)))k−1/2
1 + (+S/(αE(+S))k
, (8)
en la que el valor medio de E(+S) en el área computacional es +S, k ≥ 1,
y α & 1. En el caso de las pequeñas S, S (S) 1 y S (S) αE (S), S (S) tiende
αE(S)/S. Es fácil seleccionar un ensamble-dependiente de...............................................................................................................
de disipación adicional total.
3.4 Vigilancia de la disipación total
Para una β dada, la producción de entropía en un paso LBGK en aprox.
• S es:
[1− (2β − 1)2]
S(x),
donde x es el punto de la cuadrícula, S(x) es la entropía no equilibrada (6) en el punto x,
LBGKS es la producción total de entropía en un solo paso LBGK. Lo sería.
deseable si la producción total de entropía para el limitador
a LBGKS:
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor con motor de encendido por chispa. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Un limitador simple dependiente del conjunto (tal vez, el más simple) para un determinado
A continuación se indican las actividades de la sección 0 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013. Vamos a recoger el histograma de la distribución de S(x),
y estimación de la densidad de distribución, p(+S). Tenemos que estimar un valor
S0 que satisface la siguiente ecuación:
p(S)(S S0) dS = 0[1− (2β − 1)2]
ÍNDICE (continuación) (10)
Con el fin de no afectar a las distribuciones con pequeñas expectativas de S, elegimos
un umbral •St = maxS0,, donde • es algún valor predefinido (como en
la regularización de los Ehrenfests). Para los estados en los sitios con S ≥
vide homotety con centro de cuasiequilibrio f * y coeficiente
St/S (en
aproximación cuadrática para la entropía no equilibrada):
f(x) 7→ f*(x) +
f x) a f * x)). (11)
3.5 Mediana de filtro de entropía
Los limitadores descritos anteriormente proporcionan una corrección puntual del no equilibrio
entropía en los puntos “más no equilibrados”. Debido a la naturaleza puntual,
la técnica no introduce ningún efecto noisotrópico, y proporciona algunos
otros beneficios. Pero si involucramos la estructura local, podemos corregir locales no-
irregularidades monotonas sin tocar fragmentos regulares. Por ejemplo, nosotros
puede discutir el aumento o disminución de monotonas de la entropía no equilibrada como regular
y concentrar nuestros esfuerzos en la reducción del “ruido específico” o “sal”
y el ruido de la pimienta”. Este enfoque nos permite utilizar el recurso accesible de
cambio de entropía (9) más ahorrativo.
Entre todos los filtros posibles, sugerimos el filtro mediano. La mediana es un más
promedio robusto que la media (o la media ponderada) y por lo tanto una sola muy
valor no representativo en un barrio no afectará al valor medio
significativamente. Por lo tanto, suponemos que el filtro de entropía mediana funcionará mejor
que los filtros de convolución de la entropía.
El filtro mediano considera cada sitio a su vez y mira a sus vecinos cercanos.
Sustituye el valor de la entropía nonequilibrium S en el punto con la mediana
de esos valores •Smed, a continuación, se actualiza f por la transformación (11) con el
coeficiente de homotetia
* Smed/* S......................................................................................................................................................................................... La mediana, "Smed", se calcula por primera vez.
clasificación de todos los valores del barrio circundante en orden numérico
y luego reemplazar eso siendo considerado por el valor medio. Por ejemplo,
si un punto tiene 3 vecinos más cercanos incluyendo a sí mismo, entonces después de la clasificación tenemos
3 valores S: S1 ≤ S2 ≤ S3. El valor medio es •Smed = •S2. Por 9
vecinos más cercanos (incluyendo a sí mismo) que tenemos después de ordenar Smed = S5. Por
27 vecinos más cercanos Smed = S14.
Aceptamos solamente correcciones disipantes (las que resultan en una disminución de S,
Smed < S) debido a la segunda ley de la termodinámica. El análogo
10) también es útil para la aceptación de las correcciones más significativas.
El filtrado medio es un paso común en el procesamiento de imágenes [34] para el suavizado
de señales y la supresión del ruido de impulso con la preservación de los bordes.
3.6 Pasos entrópicos para cuasiequilibrios no entrópicos
Más allá de la aproximación cuadrática para la entropía no-equilibrio toda la lógica de
las construcciones antes mencionadas siguen siendo las mismas. Sólo existe un sig-
cambio nificante: en lugar de una homotetia simple (11) con coeficiente
• St. • S.
la transformación (7) debe aplicarse, cuando el multiplicador sea una solución
de la ecuación no lineal
S(f)* + (f − f ∗)) = S(f ∗)St.
Esta es esencialmente la misma ecuación que aparece en la definición de ELBM
Pasos (4).
Surgen más diferencias para LBM con cuasiequilibrios no entrópicos. El principal
la idea aquí es la razón de que los cuasiequilibrios no entrópicos aparecen sólo debido a
razones técnicas, y cuasiequilibrio físico continuo aproximado
ria. Esto no es una aproximación de una función de densidad, sino una aproximación
de medida, es decir, de la fórmula de la cubatura:
f v)
(v − vi)
(v)f (v)dv (v)
(vi)fi.
Las poblaciones discretas fi están conectadas a la continua (y suficientemente
densidades f(v) por los pesos de la cubatura fi (+) wif(vi). Estos pesos para
los cuasiequilibrios se encuentran por momento y condiciones de correspondencia del flujo [37]. Lo siento.
es imposible aproximar la entropía BGS
En fdv sólo por discretiza-
ión (cambiar la integración por suma, y la distribución continua f por
discreta fi), porque los pesos de la cubatura aparecen como variables adicionales. Nunca...
sin embargo, la discretización aproximada de la entropía Kullback SK [30] hace
no modificar su forma:
SK(f) = −
f v) ln
f* v)
• − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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, (12)
porque fi/f
i aproxima la relación de funciones f(v)/f
* v) y
i...................................................................................................
da la integral
f v)... dv aproximación. Aquí, en (12), el estado f * es el
cuasiequilibrio con los mismos valores de las variables macroscópicas que f.
sobre, para valores dados de las variables macroscópicas, SK(f) alcanza su maxi-
mom en el punto f = f * (tanto para distribuciones continuas como discretas).
El valor máximo correspondiente es cero. Abajo, SK es el discreto Kullback
Entropía. Si el cuasiequilibrio discreto aproximado f * no es entrópico, nosotros
puede usar −SK(f) en lugar de S(f).
Para cuasiequilibrios entrópicos con perfecta entropía la discreta entropía Kullback
da el mismo •S: −SK(f) = •S(f). Dejemos que la entropía discreta tenga la
forma estándar para una mezcla ideal (perfecta) [27].
S(f) = −
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Después de la obra clásica de Zeldovich [44], esta función se reconoce como un
instrumento útil para el análisis de ecuaciones cinéticas (especialmente en
cinética [21]). Si definimos f* como la entropía condicional máxima para
k mjkfk, entonces
ln f * k =
μjmjk,
donde μj(M) son los multiplicadores Lagrange (o “potenciales”). Para esta entropía
y equilibrio condicional que encontramos
S = S(f ∗) - S(f) =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (13)
si f y f* tienen los mismos momentos, m(f) = m(f*). El lado derecho
de (13) es −SK(f).
En la termodinámica, la entropía Kullback pertenece a la familia de Massieu–
Funciones de Planck-Kramers (potenciales canónicos o grancanónicos). Hay
otro sentido de esta cantidad: SK es la entropía relativa de f con respecto a
f ∗ [18,35].
En aproximación cuadrática,
−SK(f) =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(fi − f ∗i )2
3.7 Las colisiones ELBM como limitador suave
Sobre la base de las pruebas numéricas, los autores de [41] afirman que la positividad
la regla proporciona los mismos resultados (en el sentido de estabilidad y ausencia/presencia
de oscilaciones espurias) como los modelos ELBM, pero ELBM proporciona mejores
precisión.
Para la definición formal de ELBM (4) nuestras pruebas no apoyan las afirmaciones de que
ELBM borra oscilaciones espurias (ver abajo). Observación similar para las hamburguesas
la ecuación se publicó previamente en [4]. Entendemos esta situación en el
Siguiendo el camino. El método entrópico consta de al menos tres componentes:
(1) cuasiequilibrio entrópico, definido por la maximización de la entropía;
(2) colisiones equilibradas de la entropía (4) que tienen que
ance;
(3) un método para la solución de la ecuación trascendental S(f) = S(f") a
encontrar α = α(f) en (4).
Parece que los dos primeros ítems no afectan oscilaciones espurias en absoluto,
Si resolvemos la ecuación para α(f) con alta precisión. Viscosidad adicional
es, potencialmente, añadido por fórmulas analíticas explícitas para α(f). Con el fin de no
disminuir la entropía, los errores en estas fórmulas siempre aumentan la disipación. Esto
se puede interpretar como una transformación oculta de la forma (7), donde el
Los coeficientes en dependen también de f*.
3.8 Limitadores monotónicos y dobles monotónicos
Dos propiedades de la monotonicidad son importantes en la teoría del no equilibrio
Limitadores de entropía:
(1) un limitador debe mover la distribución al equilibrio: en todos los casos de (1)
1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 Esta es la condición de disipatividad que significa que limita
Nunca producir entropía negativa.
(2) un limitador no debe cambiar el orden de los estados en la línea: si para dos
distribuciones con los mismos momentos, f y f ′, S(f) > S(f) antes
la transformación limitadora, entonces la misma desigualdad debe mantenerse después de la
la transformación del limitador también. Por ejemplo, para el limitador (7) significa que
El aumento monótono de la S(f) + x(f)(f)(f)(f)(f)(f)(*) es un aumento monótono de la S(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f))(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f))(f)(f))(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f))(f)(f)(f))(f)(f))(f) es un aumento monótónicamente
función de x > 0.
En aproximación cuadrática,
S(f* + x(f − f*) = x2•S(f),
• S(f ∗ + x• S(f ∗ + x(f − f ∗))) (f − f ∗)) = x22(x2S(f)),
y la segunda condición de monotonicidad se transforma en el siguiente requisito:
y(y2s) es una función de aumento monótono (no decreciente) de y > 0
para cualquier s > 0.
Si un limitador satisface ambas condiciones de monotonicidad, lo llamamos “doble mono-
tónico”. Por ejemplo, la regularización de Ehrenfests satisface la primera monotonicidad
condición, pero obviamente viola la segunda. El limitador (8) viola el
primera condición para el pequeño S, pero es disipativo y satisface el segundo en
aproximación cuadrática para grandes S. El limitador con 1 = 1/(1Sk) al-
formas satisface la primera condición de monotonicidad, viola la segunda si k > 1/2,
y es monotónico doble (en aproximación cuadrática para la segunda condi-
ión), si es 0 < k ≤ 1/2. Los limitadores de umbral (11) también son monotónicos dobles.
Por supuesto, no está prohibido utilizar cualquier tipo de limitadores bajo el local y
control global de la disipación, pero los limitadores monotónicos dobles proporcionan algunos nat-
propiedades urales automáticamente, sin cuidados adicionales.
4 Experimento numérico
Para concluir este artículo informamos de algunos experimentos numéricos realizados a
demostrar el rendimiento de parte de la entropía no equilibrada propuesta
limitadores para LBM de Sec. 3.
4.1 Velocidades y cuasiequilibrios
Realizaremos simulaciones usando cuasiequi entrópicos y no entrópicos.
libria, pero siempre trabajamos con un modelo LBM atérmico. Cada vez que usamos
cuasiequilibrios no entrópicos empleamos la entropía Kullback (13).
En 1D, utilizamos una celosía con espaciamiento y paso de tiempo.
set de velocidad {v1, v2, v3} := {0,−1, 1} de modo que el modelo consta de estática, izquierda-
y las poblaciones que se mueven derechistas solamente. El subíndice i denota población (no
número del sitio de la celosía) y f1, f2 y f3 denotan el movimiento estático, izquierdo y derecho
las poblaciones, respectivamente. La entropía es S = −H, con
H = f1 log(f1/4) + f2 log(f2) + f3 log(f3),
(véase, por ejemplo, [27]) y, para esta entropía, el estado cuasiequilibrio entrópico local
f ∗ está explícitamente disponible:
f*1 =
1 + 3u2
f*2 =
(3u− 1) + 2
1 + 3u2
f*3 = −
(3u+ 1)− 2
1 + 3u2
donde
fi, u :=
Vifi. (15)
Los cuasiequilibrios polinómicos estándar no entrópicos [38] son:
f*1 =
f*2 =
(1− 3u+ 3u2),
f*3 =
(1 + 3u+ 3u2).
En 2D, empleamos una celosía cuadrada uniforme de 9 velocidades con velocidades discretas
{vi i = 0, 1,.........................................................................................................................................................................................................................................................
1, 2, 3, 4, vi =
2 (co(i − 5)
), sin(i − 5)
)) para i = 5, 6, 7, 8. Los
numeración f0, f1,. ..., f8 son para la estática, este, norte, oeste, sur, norte-
al este, noroeste, suroeste y sureste de las poblaciones en movimiento, respectivamente.
Como de costumbre, el estado de cuasiequilibrio entrópico, f *, puede determinarse de manera única
maximizando una entropía funcional
S(f) = −
Fi log
sujeta a las limitaciones de conservación de la masa y el impulso [2]:
f ∗i = ♥Wi
1 + 3u2j
2uj +
1 + 3u2j
1− uj
. (17)
Aquí, los pesos de celosía, Wi, se dan constantes específicas de celosía: W0 = 4/9,
W1,2,3,4 = 1/9 y W5,6,7,8 = 1/36. Analógicamente a (15), la variable macroscópica
los performs y u = (u1, u2) son el cero y los primeros momentos de la distribución
f, respectivamente. Los cuasiequilibrios polinómicos estándar no entrópicos [38] son:
f ∗i = ♥Wi
1 + 3viu+
9 (viu)
. (18)
4.2 LBGK y ELBM
Las ecuaciones que rigen para LBGK son
fi(x+ vi, t+ 1) = f
i (x, t) + (2β − 1)f ∗i (x, t)−fi(x, t)), (19)
donde β = 1/(2 v + 1).
Para ELBM (4) las ecuaciones de gobierno son:
fi(x+ vi, t+ 1) = (1− β)f ∗i (x, t) + βfśi(x, t), (20)
con β como se indica arriba y con = (1)ff ∗. El parámetro, α, se elige para satisfacer
una condición de entropía constante. Esto implica encontrar la raíz no trivial de la
ecuación
S((1− α)f + αf ∗) = S(f). (21)
Para resolver (21) numéricamente empleamos una rutina robusta basada en la bisección. Los
root se resuelve con una precisión de 10-15 y siempre nos aseguramos de que el retorno
el valor de α no conduce a una disminución de la entropía numérica. Estipulamos que
si, en algún sitio, no existe raíz no trivial de (21) vamos a emplear la positividad
regla en su lugar (Fig. 1).
4.3 Tubo de choque
El tubo de choque 1D para un líquido atérmico comprimible es un punto de referencia estándar
prueba de códigos hidrodinámicos. Nuestro dominio computacional será el intervalo
[0, 1] y discretizamos este intervalo con 801 sitios de celosía uniformemente espaciados.
Elegimos la relación de densidad inicial como 1:2 de modo que para x ≤ 400 establecemos
Si no, establecemos el valor de 0.5. Fijaremos la viscosidad cinemática del fluido en ~ = 10−9.
4.3.1 Comparación de LBGK y ELBM
In Fig. 2 comparamos el perfil de densidad del tubo de choque obtenido con LBGK
(utilizando cuasiequilibrios entrópicos (14)) y ELBM. En el mismo panel también
muestra tanto la entropía total S(t) :=
x S(x, t) y no equilibrio total
entropía S(t) :=
(x, t) historias del tiempo. Como se esperaba, por construcción,
Observamos que la entropía total es (efectivamente) constante para ELBM. Por otro lado
mano, LBGK se comporta no entrópicamente para este problema. En ambos casos, debemos...
servir que la entropía no equilibrio crece con el tiempo.
Como podemos ver, la elección entre las dos fórmulas de colisión LBGK (19)
o ELBM (20) no afecta a la oscilación espuria, y
sión [29] es, tal vez, el resultado de una solución analítica aproximada de la
(21). La inexactitud en la solución de (21) puede interpretarse como un ocultamiento
limitador de entropía no equilibrio. Pero hay que mencionar que el entrópico
método consiste no sólo en la fórmula de colisión, pero, lo que es importante, en
incluye una elección especial de cuasiequilibrio que podría mejorar la estabilidad (véase,
p. ej., [13]). De hecho, cuando comparamos ELBM con LBGK usando ya sea entópico o
En el caso de los cuasiequilibrios polinomios estándar, parece haber cierta ganancia en el empleo.
& cuasiequilibrios entrópicos (Fig. 3). Observamos que la región posterior al choque
para las simulaciones LBGK es más oscilatorio cuando el cuasiequilibrio polinomio
se utilizan. In Fig. 3 también hemos incluido un panel con el resultado de la simulación-
de una viscosidad mucho mayor ( v = 3,3333 × 10−2). Aquí, no observamos
diferencias apreciables en los resultados de LBGK y ELBM.
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
Fig. 2. Densidad y perfil de la simulación del tubo de choque atérmico 1:2 con v = 10-9
después de 400 pasos de tiempo utilizando a) LBGK (19); b) ELBM (20). En este ejemplo, no
población negativa se producen por cualquiera de los métodos por lo que la regla de positividad es
redundante. Para ELBM en este ejemplo, (21) siempre tiene una raíz no trivial. Total
En los paneles (c), (d) y (d) se muestran las historias temporales de la entropía y la entropía no equilibrada.
(e), (f) para LBGK y ELBM, respectivamente.
0 0,5 1
0 0,5 1
0 0,5 1
0 0,5 1
0 0,5 1
0 0,5 1
Fig. 3. Perfil de densidad y velocidad de la simulación del tubo de choque isotérmico 1:2.
ión después de 400 pasos de tiempo utilizando a) LBGK (19) con cuasiequilib-
ria (16) [ v. = 3.3333 × 10−2]; b) LBGK (19) con cuasiequilibrios entrópicos (14)
[ v = 3,3333 × 10−2]; c) ELBM (20) [ v = 3,3333 × 10−2]; d) LBGK (19) con
polinomio cuasiequilibrio (16) [/ = 10-9]; e) LBGK (19) con cuasiequilibrio entrópico
libria (14) [ v. = 10−9]; f) ELBM (20) [ v. = 10−9].
4.3.2 Limitadores de la entropía sin equilibrio.
Ahora, nos gustaría demostrar sólo una muestra representativa de los muchos
posibilidades de limitadores sugeridas en Sec. 3. En cada caso el limitador es im-
implementada por una rutina de post-procesamiento inmediatamente después de la colisión
paso (LBGK (19) o ELBM (20)). Aquí, sólo vamos a considerar LBGK
colisiones y cuasiequilibrios entrópicos (14).
El paso posterior al procesamiento se ajusta f por la fórmula de actualización:
f 7→ f ∗ + ()(S)(f − f ∗),
donde S se define por (6) y es una función limitadora.
Para la regularización de los Ehrenfests uno elegiría
(S)(x) =
1, S(x) ≤ ,
0, de lo contrario,
donde es un valor umbral preespecificado. Además, es pertinente seleccionar
sólo k sitios con más alto S >. Este limitador se ha aplicado previamente a
el problema del tubo de choque en [6,7,8] y no vamos a reproducir esos resultados aquí.
En cambio, nuestro primer ejemplo será el siguiente limitador suave:
(S) =
1 + Sk
. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Para este limitador, vamos a fijar k = 1/2 (de modo que el limitador es monotónico doble en
aproximación cuadrática a la entropía) y comparar los perfiles de densidad para α =
•/(E(S)k), • = 0,1, 0,01, 0,001. También hemos asegurado un conjunto-dependiente
limitador debido a la dependencia de α en la media E. Como en el caso de la Fig. 2,
acompañamos cada panel con la entropía total y la entropía no equilibrada
historias. Note las diferentes escalas para la entropía no equilibrada. Tenga en cuenta también que
la entropía (necesariamente) crece ahora debido a la disipación adicional.
Nuestro siguiente ejemplo (Fig. 5) considera el filtro umbral (10). En este ejemplo
Elegimos las estimaciones S0 = 5E(+S), 10E(+S), 20E(+S) y fijamos el tol-
orance = 0 para que pueda estudiarse la influencia del umbral por sí solo. Sólo
Los ajustes entrópicos se aceptan en el limitador: St ≤ S. Como umbral
aumenta, la entropía no equilibrio crece más rápido y comienza a aparecer espurio.
Finalmente, probamos el filtro mediano (Fig. 6). Elegimos un filtro mínimo para que
sólo se consideran los vecinos más cercanos. Como con el filtro de umbral, nosotros
Introducimos una tolerancia y probamos los valores de 10-3, 10-4, 10-5. Sólo
Los ajustes entrópicos se aceptan en el limitador: Smed ≤ S.
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0,025
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
Fig. 4. Densidad y perfil de la simulación del tubo de choque atérmico 1:2 con v = 10-9
después de 400 pasos de tiempo utilizando LBGK (19) y el limitador liso (22) con k = 1/2,
α = /(E(S)k) y (a) = 0,1; (b) = 0,01 y (c) = 0,001. Entropía total y
se muestran historias de tiempo de entropía nonequilibrium para cada conjunto de parámetros {k, α()}
en los paneles adyacentes.
Hemos visto que cada uno de los ejemplos que hemos considerado (Fig. 4, fig. 5
y Fig. 6) es capaz de sojuzgar oscilaciones posteriores al choque espurias comparadas
con LBGK (o ELBM) sobre este problema (cf. Fig. 2). Por supuesto, limitando
nonequilibrium entropy el resultado es necesariamente un aumento de la entropía.
De nuestras experiencias nuestra recomendación es que el filtro mediano es el
elección superior entre todos los limitadores sugeridos en Sec. 3. La acción de la Comisión
el filtro medio se encuentra para ser extremadamente suave y, al mismo tiempo, muy
eficaz.
4.4 Cavidad impulsada por la lid
Nuestro segundo ejemplo numérico es el clásico flujo de cavidad 2D impulsado por la tapa. A
La cavidad cuadrada de longitud lateral L está llena de líquido con viscosidad cinemática
(inicialmente en reposo) e impulsado por la tapa de la cavidad moviéndose a una velocidad constante
(u0, 0) (de izquierda a derecha en nuestra geometría).
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
Fig. 5. Densidad y perfil de la simulación del tubo de choque atérmico 1:2 con v = 10-9
después de 400 pasos de tiempo utilizando LBGK (19) y el limitador de umbral (10) con (a)
•St = 5E(+S); b) •St = 10E(+S) y c) •St = 20E(+S). Entropía total y
nonequilibrium entropy historias de tiempo para cada umbral •St se muestran en el
paneles adyacentes.
Simularemos el flujo en una cuadrícula de 100 × 100 usando LBGK regularizada con
el limitador de filtro medio. A menos que se indique lo contrario, utilizamos cuasiequilib-
ria (17). La implementación del filtro es la siguiente: el filtro no se aplica
a los nodos de frontera; para los nodos que rodean inmediatamente el límite el
stencil consiste en los 3 vecinos más cercanos (incluyendo a sí mismo) más
límite; para todos los demás nodos la plantilla mínima de 9 vecinos más cercanos es
utilizado.
Hemos seleccionado a propósito una simulación tan gruesa de la red porque se lee-
Ily encontró que, en este problema, LGBK no regularizado falla (rebota-up) para todos
pero los números más modestos de Reynolds Re := Lu0/ v.
4.4.1 Centros de vórtice en estado estacionario
Para el modesto número Reynolds el sistema se establece a un estado estable en el que el
Las características dominantes son un vórtice central giratorio primario, con varios contadores.
vórtices secundarios giratorios situados en el fondo-izquierda, abajo-derecha (y pos-
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
0 0,5 1
0 100 200 300 400
0 100 200 300 400
Fig. 6. Densidad y perfil de la simulación del tubo de choque atérmico 1:2 con v = 10-9
después de 400 pasos de tiempo utilizando LBGK (19) y el limitador medio mínimo con (a)
(b) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e). Entropía total y no equilibrio
Las historias de tiempo de entropía para cada tolerancia se muestran en los paneles adyacentes.
en las esquinas de la parte superior izquierda.
El estado estacionario ha sido ampliamente investigado en la literatura. El estudio
de Hou et al [24] simula el flujo sobre una gama de números de Reynolds utilizando
LBGK no regularizado en una cuadrícula 256×256. Centro vórtice primario y secundario
se proporcionan datos. Comparamos esta misma estadística para la mediana filtrada actual
simulación de cuadrícula gruesa. Emplearemos los mismos criterios de convergencia utilizados
en [24]. Es decir, consideramos que se ha alcanzado el estado estacionario garantizando
que la diferencia entre el valor máximo de la función de flujo para
10 000 pasos sucesivos es menos que 10-5. La función de flujo, que es
no es una variable primaria en la simulación LBM, se obtiene a partir de la velocidad
datos por integración utilizando la regla de Simpson. Los centros de vórtice se caracterizan como
Extrema local de la función de flujo.
Comparamos nuestros resultados con las simulaciones LBGK en [24] y [41]. Alinear
nosotros mismos con estos estudios especificamos la siguiente condición límite: tapa
perfil es constante; las paredes restantes de la cavidad están sujetas al “rebote-retroceso”
condición [38]. En nuestras simulaciones, el perfil de densidad de fluido uniforme inicial es
La velocidad de la tapa es u0 = 1/10 (en las unidades de celosía).
Recopiladas en el cuadro 1, para Re = 2000, 5000 y 7500, son las coordenadas de
los centros de vórtice primarios y secundarios que utilicen a) LBGK no regularizados; b)
LBGK con limitador de filtro medio ( = 103); (c) LBGK con filtro medio lim-
iter ( = 10−4), todos con cuasiequilibrios polinomios no entrópicos (18). Líneas
d), e) y f) son los mismos, pero con cuasiequilibrios entrópicos (17). La re-
Las líneas de mantenimiento de la tabla 1 son las siguientes: (g) datos de la bibliografía [24] (no regularizados)
LBGK en una cuadrícula de 256×256); (h) datos de la literatura [41] (regla de positividad); (i)
datos de la ure [41] (ELBM). Con la excepción de (g), se realizan todas las simulaciones
en una cuadrícula de 100 × 100. El vórtice superior izquierdo no aparece en Re = 2000 y
No se facilitaron datos al respecto en [41], en Re = 5000. La LBGK no regularizada
Re = 7500 explosión de simulación en tiempo finito y la simulación se convierte en
No tiene sentido. La coordenada y de los dos vórtices inferiores en Re = 5000 en (i)
Aparecen anomalmente pequeños y no fueron reproducidos por nuestros experimentos con
la regla de positividad (no se muestra).
Hemos llevado a cabo dos carreras del experimento con el filtro mediano param-
eter • = 10−3 y • = 10−4. A pesar del aumento del número de realizaciones
Los centros de vórtice permanecen sin cambios y no detectamos ningún signo.
varianza icante entre las dos carreras. Esto demuestra la naturaleza gentil de
el filtro medio. En Reynolds Re = 2000 el filtro mediano no tiene efecto alguno
en los centros de vórtice en comparación con LBGK.
No encontramos diferencias significativas entre los experimentos con entropía y
En este ensayo, los cuasiequilibrios polinomios no entrópicos.
Las coordenadas del centro vórtice primario para LBGK no regularizado en Re =
5000 ya son bastante inexactos ya que LBGK comienza a perder estabilidad. Estabilidad
se pierde por completo en algunos críticos Reynolds número 5000 < Re ≤ 7500 y el
explosión de simulación.
Además, tenemos acuerdo (dentro de la resolución de la cuadrícula) con los datos dados
en [24]. También se recopilan en la Tabla 1 los datos de los experimentos con limitadores
realizado en [41] (aunque no se discute explícitamente en el lenguaje de los limitadores
por los autores de esa obra). En [41] los autores dan datos del centro de vórtice para
la regla de positividad (Fig. 1) y para ELBM (que interpretamos como
limitador oculto). En [41] la regla de positividad se llama FIX-UP.
Como Reynolds número aumenta el flujo en la cavidad ya no es estable y un
surge un patrón de flujo más complicado. En el camino a un tur-
flujo bulento, el flujo de la cavidad accionada por la tapa se sabe que sufre una serie de períodos
doblando bifurcaciones Hopf. En nuestra grilla gruesa, observamos que el coordi-
los nates del centro primario del vórtice (máximo de la función de la corriente) es
característica robusta del flujo, con poco cambio entre las coordenadas (sin cambio
en coordenadas y) computadas en Re = 5000 y Re = 7500 con la mediana fil-
ter. Por un lado, debido a esta observación se vuelve inconcluso si
Cuadro 1
Coordenadas del centro de vórtice primario y secundario para el flujo de la cavidad accionada por la tapa en
Re = 2000, 5000, 7500.
Primario Inferior-izquierda Inferior-derecha Inferior-izquierda
Re x y x y x y x y x y
2000 a) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 b) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 c) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 d) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 e) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 f) 0,5253 0,5455 0,0909 0,1010 0,8384 0,1010 No se aplica
2000 g) 0,5255 0,5490 0,0902 0,1059 0,8471 0,0980 No se aplica
2000 h) 0,5200 0,5450 0,0900 0,1000 0,8300 0,0950 No se aplica
2000 i) 0,5200 0,5500 0,0890 0,1000 0,8300 0,1000 No se aplica
5000 a) 0,5152 0,6061 0,0808 0,1313 0,7980 0,0707 0,0505 0,8990
5000 b) 0,5152 0,5354 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0606 0,8990
5000 c) 0,5152 0,5354 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0707 0,8889
5000 d) 0,5152 0,5960 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0505 0,8990
5000 e) 0,5152 0,5354 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0606 0,8990
5000 f) 0,5152 0,5354 0,0808 0,1313 0,8081 0,0808 0,0707 0,8889
5000 g) 0,5176 0,5373 0,0784 0,1373 0,8078 0,0745 0,0667 0,9059
5000 h) 0,5150 0,5680 0,0950 0,0100 0,8450 0,0100 No disponible
5000 i) 0,5150 0,5400 0,0780 0,1350 0,8050 0,0750 No disponible
7500 a) — — — — — — — —
7500 b) 0,5051 0,5354 0,0707 0,115 0,7879 0,0707 0,0606 0,8990
7500 (c) 0,5051 0,5354 0,0707 0,1515 0,7879 0,0707 0,0707 0,8889
7500 d) — — — — — — — —
7500 e) 0,5051 0,5354 0,0707 0,115 0,7879 0,0707 0,0606 0,8990
7500 (f) 0,5051 0,5354 0,0707 0,1515 0,7879 0,0707 0,0707 0,8889
7500 (g) 0,5176 0,5333 0,0706 0,1529 0,7922 0,0667 0,0706 0,9098
el limitador medio está añadiendo demasiada disipación adicional. Por otro lado
mano, una elección más estudiosa de los criterios de control puede indicar que el primero
la bifurcación ya ha ocurrido por Re = 7500.
4.4.2 Primera bifurcación de Hopf
Una encuesta de la literatura disponible revela que el valor exacto de Re en el que
la primera bifurcación Hopf ocurre es algo polémico, con más corriente
estudios (todos ellos para flujo incompresible) que van desde alrededor de Re =
7400–8500 [9,32,33]. En este caso, no pretendemos dar un valor preciso porque
es un efecto de cuadrícula bien observado que el número crítico de Reynolds aumenta
(desplaza a la derecha) con refinamiento (véase, por ejemplo, Fig. 3 in [33]). Más bien, nosotros
se contentará con localizar la primera bifurcación y, al hacerlo, demostrar
que los limitadores son capaces de regularizarse sin afectar el flujo fundamental
características.
Para localizar la primera bifurcación tomamos el siguiente enfoque algorítmico.
Se utilizan cuasiequilibrios entrópicos. El perfil de densidad de fluido uniforme inicial
la velocidad de la tapa es u0 = 1/10 (en las unidades de celosía). Nosotros
registrar los datos de velocidad inestables en un único punto de control con coordenadas
(L/16, 13L/16) y ejecutar la simulación para 5000 unidades de tiempo sin dimensiones
(5000L/u0 pasos de tiempo). Denotemos el 1% final de esta señal por (usig, vsig).
A continuación, calculamos la energía Eu (l2-norm normalizado por no-dimensional
duración de la señal) de la desviación de usig de su media:
Eu :=
U0usig
(usig − usig)
, (23)
donde usig y usig denotan la longitud y la media de usig, respectivamente. Nosotros
elegir esta estadística robusta en lugar de intentar medir la amplitud de la señal
debido al ruido numérico en la simulación LBM. La fuente del ruido en LBM
se atribuye a la existencia de una estabilidad neutral inherentemente inevitable
dirección en el esquema numérico (véase, por ejemplo, [8]).
Optamos por no emplear la condición de límite “rebote-back” utilizada en el pre-
estudio previo del estado estacionario. En lugar de eso, usaremos el difusivo límite de Maxwell.
condición (véase, por ejemplo, [11]), que se aplicó por primera vez a LBM en [1]. La esencia
de la condición es que las poblaciones que llegan a un límite se reflejan, propor-
de equilibrio, de tal manera que el equilibrio de masa (a granel) y el equilibrio de detalle
se logran. La condición límite coincide con “rebote-retroceso” en cada uno
esquina de la cavidad.
Para ilustrar, inmediatamente después de la advección de las poblaciones considerar la
la situación de la pared, alineada con la celosía, moviéndose con la velocidad uwall y
con apuntando hacia el exterior normal a la pared en la dirección negativa y (esto es
la situación en la tapa de la cavidad con uwall = u0). La aplicación
de la condición difusiva de la frontera de Maxwell en un lugar de frontera (x, y) en este
pared consiste en la actualización
fi(x, y, t+ 1) = γf
i (uwall), i = 4, 7, 8,
f2(x, y, t) + f5(x, y, t) + f6(x, y, t)
f*4 (uwall) + f
7 (uwall) + f
8 (uwall)
Observe que, porque la densidad es un factor lineal de los cuasiequilibrios (17),
la densidad de la pared es inconsecuente en la condición del límite y puede
Por lo tanto, ser tomado como unidad para conveniencia. Como es habitual, sólo esas poblaciones
se actualizan los puntos que apuntan al fluido en un sitio fronterizo. Los puntos de frontera no lo hacen
someterse a la fase de colisión a la que se somete la mayor parte de los sitios.
Preferimos la condición difusiva del límite sobre el a menudo preferido “rebote-
condición de borde de espalda” con perfil de tapa constante. Esto es porque tenemos
ha experimentado dificultades para separar el ruido numérico antes mencionado de
la señal genuina en un único punto de control utilizando “rebote-retroceso”. Observamos
que la condición difusiva del límite no impide la LBGK no regularizada
de fallar en algún número crítico de Reynolds Re > 5000.
Ahora, realizamos un experimento y grabamos (23) sobre un rango de Reynolds
números. En cada caso se emplea el limitador de filtro mediano con parámetro
= 10−3. Desde la transición entre el flujo constante y periódico en la tapa-
Cavidad impulsada es conocida por pertenecer a la clase de bifurcaciones Hopf estándar
estamos seguros de que E2u Re [16]. Ajustar una línea de mejor ajuste al resultado
los datos localizan la primera bifurcación en el flujo de la cavidad accionada por la tapa a Re = 7135
(Fig. 7). Este valor está dentro de la tolerancia de Re = 7402±4% dada en [33] para
una cuadrícula de 100×100. También proporcionamos una (tiempo promedio) trayectoria espacial fase y
Espectro de Fourier para Re = 7375 en el punto de monitoreo (Fig. 8 y Fig. 9)
que indican claramente que se ha observado la primera bifurcación.
5 Conclusiones
La entropía y la termodinámica son importantes para la estabilidad de la retícula Boltz-
Mann methods. Ahora está claro: después de casi 10 años de trabajo desde el
La mención de [26] demostró esta afirmación (las principales revisiones son [5,28,39]). Los
la pregunta es ahora: “¿cómo se utiliza, de manera óptima, la entropía y la termodifusión?
estructuras namic en los métodos Boltzmann celosía?”. En nuestro periódico tratamos de
proponer una solución (por lo menos temporal). Nuestro enfoque es aplicable a ambos
Entrópica, así como para los cuasiequilibrios polinomios no entrópicos.
5750 6000 6250 6500 6750 7000 7250 7500 7750 8000
0,005
0,015
0,025
0,035
0,045
(7135,0)
Fig. 7. Parcela de energía al cuadrado, E2u (23), en función del número de Reynolds, Re, utilizando
LBGK se regularizó con el limitador de filtro medio con una cuadrícula de 100× 100 °C = 10−3.
Las líneas rectas son líneas de mejor ajuste. La intersección de la línea inclinada con el eje x
ocurre cerca de Re = 7135.
Hemos construido un sistema de limitadores de entropía no equilibrium para la celosía
Métodos Boltzmann (LBM):
• la regla de positividad que proporciona positividad de la distribución;
• los limitadores de entropía puntuales basados en la selección y corrección de la mayoría
valores de noequilibrio;
• filtros de entropía no equilibrada, y el filtro mediano como filtro de elección.
Todos estos limitadores explotan las propiedades físicas de LBM y permiten el control del total
producción adicional de entropía. En general, hacen el mismo trabajo para LBM que
Los limitadores de flujo hacen para las diferencias finitas, los volúmenes finitos y los elementos finitos meta-
ods, y entran en funcionamiento cuando los gradientes agudos están presentes. Para sin problemas
las ondas cambiantes, los limitadores no funcionan y los derivados espaciales pueden ser
representado por aproximaciones de orden superior sin introducir
oscilaciones. Pero también hay algunas diferencias: para LBM la idea principal detrás
la construcción de sistemas limitadores de entropía no equilibrium es limitar un escalar
cantidad — la entropía del nonequilibrio — o suprimir la “sal y pimienta”
ruido del campo de esta cantidad. No tocamos los vectores o tensores
de derivados espaciales, como lo es para limitadores de flujo.
Ejemplos de pruebas estándar demuestran que los limitadores desarrollados borran espurios
oscilaciones sin desenfoque de los choques, y no afectan a las soluciones suaves. Los
limitadores que hemos probado no producen una notable disipación adicional y
Fig. 8. Componentes de velocidad en función del tiempo para la señal (usig, vsig) en el
punto de monitorización (L/16, 13L/16) utilizando LBGK regularizado con el filtro medio
limitador con = 10−3 en una cuadrícula de 100 × 100 (Re = 7375). Los puntos representan la simulación
resultados y la línea sólida es un promedio de tiempo de 100 pasos de la señal.
nos permite reproducir la primera bifurcación Hopf para la cavidad 2D con la tapa impulsada en un
grilla gruesa de 100×100. Al mismo tiempo, el filtro mediano más simple elimina el
oscilaciones post-choque espurias para baja viscosidad.
Tal vez, es imposible encontrar un mejor limitador de entropía no equilibrium para
todos los problemas. Es una tarea especial construir los limitadores óptimos para un
clases de problemas.
Agradecimientos
Examen de la versión preliminar de este trabajo con S. Succi y
ticipantes del taller Boltzmann de celosía celebrado el 15 de noviembre de 2006
En Leicester (Reino Unido) fue muy importante. El autor A. N. Gorban agradece
S. K. Godunov para el curso de los métodos numéricos dados hace muchos años en
Universidad Novosibirsk. Este trabajo cuenta con el apoyo de Ingeniería y Física
Número de subvención del Consejo de Investigación Científica (EPSRC) GR/S95572/01.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Frecuencia
Fig. 9. Espectro de amplitud relativa para la señal usig en el punto de seguimiento
(L/16, 13L/16) utilizando LBGK regularizado con el limitador de filtro medio con = 10−3
en una cuadrícula de 100 × 100 (Re = 7375). Medimos una frecuencia dominante de 0.525.
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144–148.
Introducción
Antecedentes
Limitadores de entropía sin equilibrio para LBM
Regla de positividad
Regularización de Ehrenfests
Limitadores suaves de la entropía no equilibrada
Vigilancia de la disipación total
Filtro medio de entropía
Pasos entrópicos para cuasiequilibrios no entrópicos
Las colisiones ELBM como limitador suave
Limitadores monotónicos y dobles monotónicos
Experimento numérico
Velocidades y cuasiequilibrios
LBGK y ELBM
Tubo de choque
Cavidad impulsada por el lid
Conclusiones
Bibliografía
|
704.0044 | Astrophysical gyrokinetics: kinetic and fluid turbulent cascades in
magnetized weakly collisional plasmas | SERIE DE SUMINISTRO ASTRÓFICO DE SUMINISTRO, 182:310 (2009) [impresión electrónica arXiv:0704.0044]
Tipografía preimpresa utilizando el estilo LATEX emularapj v. 08/22/09
GIROKINETICA ASTROFÍSICA: CASCADES TURBULENTES TINÉTICOS Y FLUIDOS EN MAGNETIZADOS DEBILIDAD
PLASMAS COLISIONALES
A. A. SCHEKOCHIHIN,1,2 S. C. COWLEY,2,3 W. DORLAND,4 G. W. HAMMETT,5 G. G. HOWES,6 E. QUATAERT,7 Y T. TATSUNO4
Enviado el 1 de abril de 2007; aceptado el 21 de febrero de 2009; publicado el 6 de mayo de 2009
RESUMEN
Este trabajo presenta un marco teórico para entender la turbulencia plasmática en plasmas astrofísicos. Lo siento.
está motivado por observaciones de fluctuaciones electromagnéticas y de densidad en el viento solar, medio interestelar
y cúmulos de galaxias, así como por modelos de calentamiento de partículas en discos de acreción. Todos estos plasmas y muchos
otros tienen movimientos turbulentos a escalas débilmente colisionantes y sin colisiones. El documento se centra en la turbulencia en
un fuerte campo magnético medio. Las suposiciones clave son que las fluctuaciones turbulentas son pequeñas en comparación con el
campo medio, espacialmente anisotrópico con respecto a él y que su frecuencia es baja en comparación con el ciclotrón de iones
frecuencia. Se supone que la turbulencia es forzada a una escala externa específica del sistema. La energía inyectada en
Esta escala tiene que disiparse en calor, que en última instancia no puede lograrse sin colisiones. Una cinética
cascada se desarrolla que lleva la energía a escalas de colisión tanto en el espacio como en la velocidad. La naturaleza de la
La cascada cinética en varios rangos de escala depende de la física de las fluctuaciones plasmáticas que existen allí. Hay
cuatro escalas especiales que separan los regímenes físicamente distintos: el electrón y la giroescala de iones, el camino libre medio
y la escala de difusión de electrones. En cada uno de los rangos de escala separados por estas escalas, el problema totalmente cinético
se reduce sistemáticamente a un sistema de ecuaciones más transparente desde el punto de vista físico y computacional,
que se derivan de una manera rigurosa. En el “rango inercial” por encima de la giroescala de iones, la cascada cinética
Se separa en dos partes: una cascada de fluctuaciones alfvénicas y una cascada pasiva de densidad y campo magnético.
fluctuaciones de la fuerza. Las primeras se rigen por las ecuaciones Magnetohidrodinámica Reducidas (RMHD) en
tanto las escalas colisionales como las sin colisiones; estas últimas obedecen a una ecuación cinética lineal a lo largo del campo (movimiento)
líneas asociadas con el componente Alfvénic (en el límite de colisión, estas fluctuaciones de compresión se convierten en
los modos lentos y entropía del MHD convencional). En el “rango de disipación” por debajo de la giroescala de iones, hay
son de nuevo dos cascadas: la cascada de onda cinética-Alfvén (KAW) gobernada por dos fluidos como Electron Reduced
Ecuaciones magnetohidrodinámicas (ERMHD) y una cascada pasiva de fluctuaciones de la entropía iónica tanto en el espacio
y velocidad. Esta última cascada trae la energía de las fluctuaciones inercial-rango que fue Landau-dañado en
la giroescala de iones a escalas de colisión en el espacio de fase y conduce al calentamiento de iones. La energía KAW es similar
amortiguado en la giroescala de electrones y convertido en calor de electrones. Las relaciones de escala al estilo de Kolmogorov son
derivados para todas estas cascadas. La relación entre los modelos teóricos propuestos en este trabajo y
Las aplicaciones y observaciones astrofísicas se examinan en detalle.
Títulos temáticos: campos magnéticos—métodos: analítico—MHD—plasmas—turbulencia
1. INTRODUCCIÓN
Como observaciones de velocidad, densidad y campos magnéticos en
Los plasmas astrofísicos sondean escalas cada vez más pequeñas, turbulencias...
Es decir, las fluctuaciones desordenadas de la banda ancha suelen caracterizarse
por los espectros de energía de la ley de poder— emerge como un
característica ubicua.
Uno de los primeros ejemplos de turbulencias observadas en
espacio fue la detección de un Kolmogorov k-5/3 espectro
de fluctuaciones magnéticas en el viento solar sobre una fre-
quency rango de alrededor de tres décadas (primer informe de
Matthaeus & Goldstein 1982; Bavassano et al. 1982 y con-
a un alto grado de precisión por una multitud de subse-
Dirección electrónica: a.schekochihin1@physics.ox.ac.uk
1 Centro Rudolf Peierls de Física Teórica, Universidad de Oxford,
Oxford OX1 3NP, Reino Unido.
2 Física de Plasma, Laboratorio Blackett, Escuela Imperial, Lon-
Don SW7 2AZ, Reino Unido.
3 Asociación de Fusión Euratom/UKAEA, Centro Científico Culham, Abing-
ton OX14 3DB, Reino Unido.
4 Departamento de Física, Universidad de Maryland, College Park,
MD 20742-3511.
5 Princeton Plasma Physics Laboratory, Princeton, NJ 08543-0451.
6 Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Iowa, Iowa City,
IA 52242-1479.
7 Departamento de Astronomía, Universidad de California, Berkeley, CA
94720-3411.
quent observaciones, por ejemplo, Marsch & Tu 1990a; Horbury et al.
1996; Leamon y otros 1998; Bale et al. 2005; véase Fig. 1). Y...
otro famoso ejemplo en el que la ley de poder Kolmogorov
parece sostener es el espectro de densidad de electrones en el inter-
medio estelar (ISM), en este caso surge de la observación
ciones por diversos métodos en varios intervalos de escala y, cuando
estos se agrupan, la ley de poder se extiende famosamente
más de 12 décadas de escalas (Armstrong et al. 1981,
1995; Lazio y otros 2004), un disco que le ha valido el nombre
de “la Gran Ley del Poder en el Cielo”.
seguridades en el espacio y plasmas astrofísicos, de la mag-
de la netósfera a los cúmulos de galaxias, resulta en Kolmogorov (o
insistente con Kolmogorov) espectros, pero también muestran una potencia más pronunciada
leyes a escalas muy pequeñas (microfísicas) (estas observaciones
se examinan con más detalle en el apartado 8).
Los espectros de leyes de poder que abarcan amplias bandas de escalas son:
Sintomático del papel fundamental de la turbulencia como mech-
anismo de la transferencia de energía de la escala o escalas exteriores (por lo tanto,
hacia fuera denotado L), donde la energía se inyecta en el interior
escala(s), donde se disipa. Como estas escalas tienden a ser
ampliamente separados en sistemas astrofísicos, un camino para el
sistema para salvar esta brecha de escala es llenarla de fluctuaciones; el
Los espectros de la ley de poder entonces surgen debido a la invarianza de escala en el in-
escalas de término. Además de ser uno de los más fácilmente mea-
http://arxiv.org/abs/0704.0044v4
http://arxiv.org/abs/0704.0044
mailto:a.schekochihin1@physics.ox.ac.uk
2 SCHEKOCHIHIN ET AL.
características previsibles de la naturaleza multiescala de las turbulencias,
el poder-ley (y, en particular, Kolmogorov) espectro evoca un
número de ideas físicas fundamentales que se encuentran en el corazón de
la teoría de las turbulencias: universalidad de la física a pequeña escala,
cascada ergy, localidad de interacciones, etc. En este artículo,
reexaminarán y generalizarán estas ideas para el problema de la
la turbulencia del plasma nectic,8 por lo que tal vez sea útil recordar a la
leer cómo emergen en un argumento estándar que lleva a
el espectro k-5/3 (Kolmogorov 1941; Obukhov 1941).
1.1. Turbulencia de Kolmogorov
Supongamos que la energía media por unidad de tiempo por unidad de volumen
que el sistema se disipa es Ł. Esta energía tiene que ser trans-
ferred a partir de una escala exterior L (grande) en la que se inyecta
a algunas escalas internas (pequeñas) en las que se produce la disipación
(véase el punto 1.5). Se supone que en el rango de escalas interme-
diato entre el exterior y el interior (el rango inercial), el
las propiedades estadísticas de la turbulencia son universales (indepen-
abollamiento de la macrofísica de la inyección o de la microfísica
de disipación), espacialmente homogénea e isotrópica y la
la transferencia de energía es local en el espacio a escala. El flujo de cinética en-
ergia a través de cualquier escala de rango inercial
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde la densidad (constante) del medio se absorbe en
La fluctuación típica de la velocidad asociada con la
escala, y es el tiempo de cascada.
9 Puesto que las interacciones son
local, debe expresarse en términos de cantidades
asociado con la escala . Entonces es dimensionalmente inevitable
(el tiempo de interacción no lineal, o el volumen de negocios)
tiempo), por lo que tenemos
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Esto corresponde a un espectro k-5/3 de energía cinética.
1.2. Turbulencia MHD y equilibrio crítico
Que los datos astronómicos parecen apuntar a un ubicuo na-
de lo que, en su origen, es un resultado dimensional para el turbu-
Ence en un fluido neutro, podría parecer sorprendente. De hecho, la
los plasmas astrofísicos en cuestión son altamente
soporta campos magnéticos cuya energía es al menos comparable
a la energía cinética de los movimientos. Consideremos una situa-
ión donde el plasma está roscado por una dinámica uniforme
campo magnético fuerte B0 (la media, o guía, campo; véase § 1.3
para una breve discusión de la validez de esta suposición). In
la presencia de tal campo, no hay dimensionalmente único
manera de determinar el tiempo de cascada porque además de la
el tiempo de interacción no lineal, hay un segundo carácter-
tiempo istico asociado a la fluctuación del tamaño
Alfvén tiempo l/vA, donde vA es la velocidad Alfvén y l es
la escala típica de la fluctuación a lo largo del campo magnético.
Las primeras teorías de la magnetohidrodinámica (MHD) turbu-
lence (Iroshnikov 1963; Kraichnan 1965; Dobrowolny et al.
1980) calculado asumiendo una cascada isotrópica (l
() de paquetes de ondas de Alfvén débilmente interactuantes ( l/vA)
8 Un esquema de un enfoque estilo Kolmogorov a la turbulencia cinética fue
dado en un artículo reciente de Schekochihin et al. (2008b). Se puede leer como un
Introducción conceptual al presente documento, que es mucho más detallada
y cubre un conjunto mucho más amplio de temas.
9 Esta es la versión de la teoría de Kolmogorov debido a Obukhov 1941.
FIG. 1.- Espectro de fluctuaciones eléctricas y magnéticas en el viento solar
en 1 UA (véase el cuadro 1 para los parámetros de viento solar correspondientes a
plot). Esta figura se adapta con el permiso de la Fig. 3 de Bale et al. (2005)
(copyright 2005 de la American Physical Society). Hemos añadido el
pendientes de referencia para la turbulencia de onda Alfvén y onda cinética Alfvén en
líneas marcadas (rojas) en negrita y etiquetadas como “KRMHD”, “iones GK” y “ERMHD”
los intervalos de números de onda en los que estas descripciones analíticas son válidas (véase
§ 3, § 5 y § 7).
y obtuvo un espectro k−3/2. El fracaso del ob-
espectros servidos para cumplir con esta ley (ver referencias anteriores)
y especialmente el observacional (véanse las referencias al final
de esta subsección) y experimental (Robinson & Rusbridge
1971; Zweben et al. 1979) evidencia de anisotropía de MHD
las fluctuaciones llevaron a la hipótesis de la isotropía a ser descartada
(Montgomery & Turner 1981).
La forma moderna de la teoría de la turbulencia MHD es comúnmente
asociado con los nombres de Goldreich & Sridhar (1995,
1997, en adelante, SG). Puede resumirse de la siguiente manera. Como...
sume que (a) todas las perturbaciones electromagnéticas son fuertemente
anisotrópico, de modo que sus escamas características a lo largo de la media
campo son mucho más grandes que aquellos a lo largo de ella, l, o, en términos
(b) las interacciones entre los números de onda,
Los paquetes de onda alfvén son fuertes y la turbulencia en sufi-
las escalas siempre se arreglan de tal manera que
la escala de tiempo de Alfvén y la perpendicular interac-
los plazos son comparables entre sí, es decir,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
donde es la frecuencia típica de las fluctuaciones y u
es la fluctuación de velocidad perpendicular al campo medio.
Tomada escala por escala, esta suposición, conocida como la crítica
equilibrio, elimina la ambigüedad dimensional del MHD tur-
teoría de la bulencia. Por lo tanto, el tiempo de cascada es l/vA /u
de dónde
1 / 2 / () 1 / 3, 4
¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
2/3, (5)
donde l0 = v
A//23370/. La relación de escalado (4) es equivalente a un
espectro de la energía cinética, mientras que Eq. 5) Cuantifica la
anisotropía mediante el establecimiento de la relación entre
escalas pendiculares y paralelas. Nótese que Eq. 4) implica que
en términos de los números de onda paralelos, la especificación de energía cinética-
trum es k−2®.
Las consideraciones anteriores se aplican a las fluctuaciones alfvénic,
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 3
Es decir, velocidades perpendiculares y perturbaciones de los campos magnéticos
a partir de la media dada (en cada escala) por
4 ° 0,
donde la densidad media de masa del plasma (véase
Fig. 1 y discusión en § 8.1.1. Otras frecuencias bajas
Modos MHD: ondas lentas y modo entropía
para ser asesorado pasivamente por el componente Alfvénic
de la turbulencia (esto sigue de la anisotropía; véase
Lithwick & Goldreich 2001, y 2.4-2.6, § 5.5 y § 6.3
para un examen más a fondo de las fluctuaciones de la compresión).
Como hemos mencionado anteriormente, la anisotropía fue, en
hecho, incorporado en la teoría de la turbulencia MHD ya por
Montgomery & Turner (1981). Sin embargo, la opinión de estos autores
difería de la teoría de GS en que pensaban en MHD
turbulencia como esencialmente dos dimensiones, descrito por un
Cascada similar a Kolmogorov (Fyfe et al. 1977), con una mezcla de
tura de ondas de Alfvén que tienen algún espectro en k+ no emparentado
a la estructura perpendicular de la turbulencia (obsérvese que
Higdon 1984, aunque adoptó un punto de vista similar, anticipó la
escalación de la relación (5), pero no parecía considerar que
cosa más que la confirmación de una naturaleza esencialmente 2D
de la turbulencia). En lo que nos estamos refiriendo aquí como GS
turbulencias, las fluctuaciones 2D y Alfvénic no están separadas
componentes de la turbulencia. La turbulencia es de tres dimensiones.
con correlaciones paralelas y perpendiculares a la (lo-
Cal) media del campo relacionado en cada escala por el saldo crítico
suposición.
De hecho, intuitivamente, no podemos tener kášvA kášu: el tur-
bulencia no puede ser más 2D que permitido por el crítico
equilibrio debido a las fluctuaciones en los dos aviones perpendicu-
lar al campo medio sólo puede permanecer correlacionado si un Alfvén
la onda puede propagarse entre ellos en menos de su perpen-
tiempo de decorlación diicular. En el límite opuesto, débilmente inter-
las ondas de Alfén que actúan con kÃ3n fijo y Ã3n = kávA Ã3n ku pueden ser
Se ha demostrado que da lugar a una cascada de energía hacia
escalas pendiculares donde la turbulencia se vuelve fuerte y
Eq. (3) está satisfecho (Goldreich & Sridhar 1997; Galtier et al.
2000; Yousef et al. 2009). Por lo tanto, hay una tendencia natural
hacia un equilibrio crítico en un sistema que contiene no linealmente in-
Absorber ondas Alfvén. Vamos a ver en lo que sigue a ese crit-
En efecto, el equilibrio ical puede tomarse como un principio físico general.
Cípulas relativas a escalas paralelas (asociadas con propaga lineales)
ión) y las escalas perpendiculares (asociadas con
anisótropo (véase § 7.5, § 7.9.4,
§ 7.10.3).
Destacamos que, la anisotropía del plasma astrofísico
La turbulencia es un fenómeno observado. Se ve con más claridad
en las mediciones de naves espaciales de las fluctuaciones turbulentas
en el viento solar (Belcher & Davis 1971; Matthaeus et al.
1990; Bieber y otros 1996; Dasso y otros 2005; Bigazzi et al.
2006; Sorrizo-Valvo et al. 2006; Horbury et al. 2005, 2008;
Osman & Horbury 2007; Hamilton et al. 2008) y en la Conferencia de las Naciones Unidas sobre Comercio y Desarrollo
magnetosheath Shraoui et al. (2006); Alexandrova y otros
(2008b). En un reciente desarrollo clave, los datos del viento solar anal-
ysis de Horbury et al. (2008) enfoques cuantitativos
En el caso de que se produzca un robo del equilibrio crítico, se debe confirmar que:
la escala del espectro con el swavenum paralelo
ber k−2
que sigue de la primera relación de escala en
Eq. 4). La anisotropía también se observa indirectamente en el
ISM (Wilkinson et al. 1994; Trotter y otros 1998; Rickett y otros
2002; Dennett-Thorpe & de Bruyn 2003), en particular recientemente
en las nubes moleculares (Heyer et al. 2008), y, con unambigu-
consistencia ous, en simulaciones numéricas de turbulencias MHD
(Shebalin et al. 1983; Oughton y otros 1994; Cho & Vishniac
2000; Maron & Goldreich 2001; Cho et al. 2002; Müller y otros
2003).10
1.3. MHD Turbulencia con y sin campo medio
En la discusión anterior, tratar la turbulencia de MHD como tur-
bulencia de las fluctuaciones alfvénicas dependían de asumir la
presencia de un campo medio (guía) B0 que es fuerte en comparación con
las fluctuaciones magnéticas, B/B0 U/vA 1. También lo haremos.
necesidad de esta suposición en la evolución formal a seguir
(véase § 2.1, § 3.1). ¿Es legítimo esperar que tal espacialmente
¿El campo regular estará genéricamente presente? Kraichnan (1965) ar-
que en una situación genérica en la que todos los campos magnéticos son
producido por la turbulencia misma a través del efecto dinamo, uno
podría suponer que el campo más fuerte estará en la escala exterior
y que este campo desempeñará el papel de un (aproximadamente)
forma de campo guía para las ondas Alfvén en el rango inercial.
Formalmente, esto equivale a suponer que en el rango inercial,
# 1, k # L # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 . 6)
Sin embargo, no es obvio que esto deba ser cierto.
Cuando un campo fuerte de la media es impuesto por algún mech- externo
anismo, los movimientos turbulentos no pueden doblarlo significativamente, así que
sólo pequeñas perturbaciones son posibles y B B0. En contra.
Trast, sin un campo fuerte impuesto, la densidad de energía de la
Las fluctuaciones magnéticas son como máximo comparables a las cinéticas.
densidad de energía de los movimientos plasmáticos, que son entonces suffi-
cientificamente energética para enredar el campo al azar, por lo que BB B0.
En el caso del campo débil, la dinámicamente fuerte
campo magnético estocástico es el resultado de la saturación de la
dinamo a pequeña escala, o fluctuación, —ampliación de la
campo netic debido al estiramiento aleatorio por el turbulento mo-
ciones (véase la revisión de Schekochihin & Cowley 2007). Los
La teoría definitiva de este estado saturado sigue siendo
Cubierto. Tanto los argumentos físicos como las pruebas numéricas
(Schekochihin y otros 2004; Yousef et al. 2007) sugieren que:
el campo magnético en este caso se organiza en flujo plegado
hojas (o cintas). La longitud de estos pliegues es compara-
ble a la escala exterior, mientras que la escala de la dirección de campo
Las reversiones transversales al pliegue están determinadas por la dissipa-
física de la ion: en MHD con viscosidad isotrópica y resistiv-
ity, es la escala resistiva.11 Aunque las ondas de Alfvén prop-
10 La evidencia numérica es mucho menos clara sobre la escala de la
espectro. El hecho de que el espectro está más cerca de k
que a k
en simulaciones numéricas (Maron & Goldreich 2001; Müller et al. 2003;
Mason et al. 2007; Perez & Boldyrev 2008, 2009; Beresnyak & Lazarian
2008b) llevó a Boldyrev (2006) a proponer un argumento de escala que permite
una turbulencia alfvénica anisotrópica con una k
espectro. Su argumento es
basado en la conjetura de que la velocidad fluctuante y los campos magnéticos tienden
para alinear parcialmente a pequeña escala, una idea que ha tenido
soporte cal (Maron & Goldreich 2001; Beresnyak & Lazarian 2006, 2008b;
Mason et al. 2006; Matthaeus et al. 2008a). La alineación debilita non-lin-
interacciones del oído y altera las escalas. Otra modificación del cuadro de servicios generales es la siguiente:
ory que conduce a un anisótropo k
espectro fue propuesto por Gogoberidze
(2007), que asumió que la turbulencia de MHD con un campo medio fuerte es dom-
inadaptado por interacciones no locales con la escala exterior. Sin embargo, en ambos argu-
Se mantiene la suposición básica de que la turbulencia es fuerte. Esto es
la principal suposición que hacemos en este documento: el equilibrio crítico conjec-
En el cuadro que figura a continuación no se utiliza como receta de escala, sino en un sentido más débil de
una suposición de orden, es decir, simplemente tomamos los términos de propagación de onda en
las ecuaciones a ser comparables a los términos no lineales. No es difícil de mostrar
que los resultados obtenidos en lo que sigue siguen siendo válidos, independientemente de que la
mento está presente. Observamos que observacionalmente, sólo en el viento solar hace uno
medir los espectros con suficiente precisión para afirmar que son coherentes
con k
pero no con k
(véase el punto 8.1.1).
11 En plasmas astrofísicos débilmente colisionantes, tal descripción no es
4 SCHEKOCHIHIN ET AL.
agating a lo largo de los pliegues puede existir (Schekochihin et al. 2004;
Schekochihin & Cowley 2007), la presencia de
inversión de la dirección de escala significa que no hay escala por escala
equiparciÃ3n entre la velocidad y los campos magnéticos: mientras que
la energía magnética está dominada a pequeña escala debido a la di-
Reversión de rección12, la energía cinética debe ser contenida pri-
marcialmente en la escala exterior, con alguna ley de escala en la inercia
Rango.
Por lo tanto, en el nivel actual de comprensión tenemos que
sume que hay dos regímenes asintóticos de
Ence: turbulencias anisotrópicas alfvénicas con BB B0 y
turbulencia isotrópica MHD con inversiones de campo a pequeña escala y
B. B. B. En este documento, sólo discutiremos el primer régimen.
El origen del campo medio puede ser externo (como, por ejemplo, en
el viento solar, donde es el campo del Sol) o debido a algunos
forma de dinamo de campo medio (en lugar de dinamo de pequeña escala),
como normalmente se espera para las galaxias (véase, por ejemplo, Shukurov 2007).
Obsérvese, por último, que la condición BB B0 no tiene por qué ser satisfactoria.
fied en la escala exterior y de hecho no se satisface en la mayoría del espacio
o plasmas astrofísicos, donde más comúnmente
la escala exterior. Esto, sin embargo, es suficiente para el Kraich-
nn hipótesis a mantener y para una cascada alfénica a ser establecido
hasta, así que a escalas pequeñas (en el rango inercial y más allá), el
los supuestos (6) se cumplen.
1.4. Turbulencia cinética
La teoría GS de la turbulencia MHD (§ 1.2) nos permite
dar sentido a la turbulencia magnetizada observada en el cosmos
plasmas que presentan la misma escala estadística que la turbulencia
en un fluido neutro (aunque la dinámica subyacente es muy
diferentes en estos dos casos!). Sin embargo, hay un aspecto de
la turbulencia astrofísica observada que socava la ap-
licitabilidad de cualquier tipo de descripción de fluido: en la mayoría de los casos, la
rango inercial donde la escala de Kolmogorov se extiende a
escalas muy por debajo de la media del camino libre profundamente en el sin colisión
régimen. Por ejemplo, en el caso del viento solar, la media
camino libre está cerca de 1 UA, por lo que todas las escalas son sin colisión-
un caso extremo, que también resulta ser el mejor estudiado,
gracias a la posibilidad de mediciones in situ (véase § 8).
La forma adecuada de tratar estos plasmas es usando cinéticos
teoría, no ecuaciones fluidas. La base para la aplicación de la
La descripción del fluido MHD para ellos ha sido la siguiente:
resultado conocido de la teoría lineal de las ondas plasmáticas: mientras que
los modos rápidos, lentos y entropía están amortiguados en la media-
escala de camino libre tanto por viscosidad de colisión (Braginskii 1965,
Véase § 6.1.2) y por interacciones de onda-partículas sin colisión
(Barnes 1966, véase § 6.2.2), las ondas de Alfvén sólo están amortiguadas
en la giroescala de iones. Por lo tanto, se ha supuesto que el
Descripción del MHD, en la medida en que se refiere a la onda Alfvén
cascada, se puede extender a la escala de iones, con el un-
derstanding que esta cascada se desacopla de la amortiguada
cascadas del resto de los modos MHD. Este enfoque y
su aplicación a la turbulencia en el ISM se explican mejor
por Lithwick & Goldreich (2001).
Mientras que la descripción del líquido puede ser suficiente para
de las fluctuaciones alfvénicas en el rango inercial, es cer-
aplicable: la escala de inversión de campo está probablemente determinada por más
efectos plasmáticos cinéticos complicados y hasta ahora poco entendidos; por debajo de esto
escala, una turbulencia alfvénica del tipo discutido en este documento puede existir
(Schekochihin & Cowley 2006).
12 Véase Haugen y otros (2004) para una visión alternativa. Nótese también que el
Las pruebas numéricas citadas anteriormente se refieren a simulaciones forzadas. En decadencia
Simulaciones de turbulencia MHD, la energía magnética realmente parece ser
en la escala exterior (Biskamp & Müller 2000), por lo que uno podría esperar un Alfvénic
cascada profunda en el rango inercial.
No es suficiente para todo lo demás: el fluctu de compresión.
aciones en el rango inercial y turbulencia en la disipación
rango (por debajo de la giroescala de iones), donde los espectros de la ley de poder son
También se detectaron (por ejemplo, Denskat et al. 1983; Leamon et al. 1998;
Czaykowska y otros 2001; Smith et al. 2006; Sahraoui et al.
2006; Alexandrova et al. 2008a,b, véase también Fig. 1). La diversión...
reto mental que una teoría integral de las astrofias-
la turbulencia plasmática ica debe satisfacer es dar la cuenta completa de
cómo la energía de fluctuación turbulenta inyectada en la escala exterior
está en cascada a pequeñas escalas y se deposita en calor de partículas.
Veremos (§ 3.4 y § 3.5) que el concepto familiar de un
cascada de energía se puede generalizar en el marco cinético
como la cascada cinética de una sola cantidad que llamamos la
energía generalizada (véase también Schekochihin et al. 2008b, y
las referencias que figuran en el mismo). Las pequeñas escalas desarrolladas en el pro-
cesto son pequeñas escalas tanto en la posición como en el espacio de velocidad.
La razón fundamental de esto es la baja colisionalidad de
el plasma: ya que la calefacción no se puede realizar en última instancia
sin colisiones, grandes gradientes en el espacio de fase son necesarios
sary para que las colisiones sean efectivas.
La idea de una cascada de energía generalizada en el espacio de fase
como el motor de la turbulencia cinética del plasma es el
Esta es la idea de este documento. Con el fin de entender la física de la
cinética cascada en varios rangos de escala, derivamos en lo que fol-
baja una jerarquía de cinética simplificada, pero rigurosa, reducida,
descripciones fluidas e híbridas. Mientras que la teoría cinética completa
de turbulencia es muy difícil de manejar analíticamente o
numéricamente, los modelos que derivamos son mucho más tratables.
Para todos, los regímenes de aplicabilidad (rangos escala/parámetro,
los supuestos subyacentes) se indican claramente. En cada uno de ellos
la cascada cinética se divide en varios canales de
transferencia ergy, algunos de ellos familiares (por ejemplo, el Alfvénic cas-
cade, § 5.3 y § 5.4), otros conceptualmente nuevos (por ejemplo, el ki-
cascada neta de fluctuaciones de compresión sin colisión, § 6.2,
o la cascada de la entropía, 7.9-7.12).
Con el fin de introducir este marco teórico de una manera que
es a la vez analíticamente sistemática y físicamente inteligible,
primero consideremos las escalas características que son relevantes para
el problema de la turbulencia astrofísica (§ 1.5). Los modelos
derivamos están previstos en § 1.6, al final del cual el plan
Se da información sobre la evolución de la situación.
1.5. Escalas en el problema
1.5.1. Escala exterior
Es una característica genérica de los sistemas turbulentos que la energía es
inyectado a través de algún mecanismo a gran escala: “a gran escala” aquí
una escala (o una gama de escalas) comparable a la
tamaño del sistema, dependiendo de sus propiedades globales, y
mucho más grande que las escalas microfísicas en las que la energía
se disipa y se convierte en calor (§ 1.5.2). Ejemplos de
gran escala de agitación de fluctuaciones turbulentas incluyen la energía solar
actividad en la corona (lanzamiento de ondas de Alfvén para producir
turbulencias en el viento solar); explosiones de supernovas en el
ISM (por ejemplo, Norman & Ferrara 1996; Ferrière 2001);
inestabilidad en los discos de acreción (Balbus & Hawley)
1998); eventos de fusión, despertar galaxias y activo galáctico
núcleos en cúmulos de galaxias (por ejemplo, Subramanian et al. 2006;
Enßlin & Vogt 2006; Chandran 2005a). Desde que en este artículo
estamos preocupados por las propiedades locales de la astrofísica
plasmas, supongamos simplemente que la inyección de energía se produce en
algunas características de la escala exterior L. Todas las consideraciones adicionales
se aplicará a las escalas que son mucho más pequeñas que L y vamos a
asumir que el carácter particular de la inyección de energía
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 5
FIG. 2.— Partición del espacio de número de onda por escalas características. Los números de onda se normalizan por 10 v
A/, donde es la entrada total de energía (véase
§ 1.2). La línea punteada muestra la trayectoria de una cascada de onda Alfvén a partir de la escala exterior que lleva a través del espacio de número de onda. También mostramos las regiones de
validez de las tres aproximaciones terciarias. Todos ellos requieren kÃ3r à k (fluctuaciones anisotropicas) y ki à à r 1 (es decir, kà rvthi à r, là mite de baja frecuencia). Reducción
El MHD (RMHD, § 2) es válido cuando ki â € € € € € kmfpi â € (me/mi)
1/2 (límite de colisión fuertemente magnetizado, electrones adiabáticos). Las regiones de validez de Kinetic
MHD reducida (KRMHD, § 5) y MHD reducida de electrones (ERMHD, § 7) se encuentran dentro de la aproximación del electrón isotérmico/ion girocinético (Fig. 4) con
el requisito adicional de que los iones KRMHD o ki 1 (iones no magnéticos) para el ERMHD (min(1,kmfpi) (iones fuertemente magnetizados). La colisión
El límite de KRMHD (§ 6.1 y Apéndice D), (me/mi)1/2 â € € € kmfpi â € 1, es similar al RMHD, excepto que los electrones son isotérmicos. La línea punteada es el escalado de k».
vs k del equilibrio crítico en la onda Alfvén [§ 1.2, Eq. 5)] y onda cinética-alfvén [§ 7.5, Eq. (241)] regímenes.
no importa a estas pequeñas escalas.
En la mayoría de las situaciones astrofísicas, no se puede suponer que
cantidades de equilibrio tales como densidad, temperatura,
Locidad y campo magnético medio son uniformes en la escala exterior.
Sin embargo, a escalas mucho más pequeñas que L, los gradientes de la
Los campos fluctuantes a pequeña escala son mucho más grandes que los exteriores.
gradientes de la escala (aunque las amplitudes de fluctuación son mucho
más pequeño; para el campo magnético medio, esta su-
§ 1.3), por lo que podemos descuidar el equi-
Gradientes de librio y considerar la turbulencia como homoge-
neous. Específicamente, esta es una buena suposición si kÃ3L â € 1
[Eq. 6)], es decir, no sólo las escalas perpendiculares, sino también la
mucho más grandes paralelos son todavía más cortos que la escala exterior.
Notemos que, en general, no podemos suponer que la
ergy inyectable es anisotrópica, por lo que la anisotropía es
Sólo de pequeñas escalas.
1.5.2. Microescalas
Hay cuatro escalas microfísicas que marcan el transi-
ciones entre regímenes físicos distintos:
Escala de difusión de electrones. — en kmfpi(mi/mi)
1/2 â € 1, el
La respuesta electrónica es isotérmica (§ 4.4, Apéndice A.4). En
kmfpi(mi/me)
1/2-1, es adiabático (§ 4.8.4, Apéndice A.3).
Un camino libre. — en kmfpi â € 1, el plasma no colisiona.
En este régimen, las interacciones onda-partícula pueden amortiguar com-
fluctuaciones cinéticas a través de la amortiguación de Barnes (§ 6.2.2), de forma que
la inscripción se convierte en esencial. En kmfpi 1, el plasma es
colisiones y fluidos (§ 6.1, apéndices A y D).
Giroescala de iones. — en ki â > 1, iones (así como los electrones)
se magnetizan y el campo magnético se congela en el ión
flujo (el campo de velocidad E × B). En la primera fase, los iones pueden ex-
cambiar la energía con fluctuaciones electromagnéticas a través de ondas–
interacciones de partículas (y el calentamiento de los iones ocurre eventualmente a través de un
Cascada cinética de ion-entropía, véase 7.9-7.10). En ki â € 1,
los iones son sin magnetizar y tienen una respuesta Boltzmann
(§ 7.2). Tenga en cuenta que la escala inercial de iones di =
βi es compara-
ble a la giroescala de los iones a menos que el beta beta βi plasmático = 8ηniTi/B
es muy diferente de la unidad. En las teorías desarrolladas a continuación,
di no juega un papel especial excepto en el límite de Ti Te,
que no es común en plasmas astrofísicos (ver más
discusión en § 7.1 y Apéndice E).
Giroescala electrónica. — En ke â € 1, los electrones se magnetizan
y el campo magnético se congela en el flujo de electrones (§ 4,
§ 7, Apéndice C). En ke 1, los electrones absorben la
energía de las fluctuaciones electromagnéticas mediante partículas de onda
interacciones (que conducen al calentamiento de electrones a través de un electrón cinético-
cascada de entropía, véase § 7.12).
Valores típicos de estas escalas y de varias otras claves
En el cuadro 1 se indican los rametros. In Fig. 2, mostramos cómo el
espacio de número de onda, (k,k), se divide por estas escalas en
varios dominios, donde la física es diferente. Otras partes
sión del espacio de número de onda resulta de la comparación de ki
y kmfpi (ki kmfpi es el límite de la magnetiza fuerte-
6 SCHEKOCHIHIN ET AL.
CUADRO 1
PARÁMETROS REPRESENTANTES DE LAS PLASMAS ASTRÓFICAS.
Parámetro
Solar
1 UA(a)
ionizado
ISM(b)
Acreción
flujo cercano
Sgr A*(c)
Galaxia
clusters
(básicos)d)
ne = ni, cm−3 30 0,5 106 6× 10−2
Te, K. Ti(e) 8000 1011 3× 107
Ti, K 5× 105 8000 + 1012(f)?e)
B, G 10−4 10−6 30 7× 10−6
βi 5 14 4 130
vthi, km/s 90 10 10
5 700
vA, km/s 40 3 7× 10
U, km/s(f) â € 10 â € 10 â € 104 â € 102
L, km(f) + 105 + 1015 + 108 + 1017
(mi/yo)1/2mfpi, km 10
10 2× 108 4× 1010 4× 1016
mfpi, km
g) 3× 108 6× 106 109 1015
?i, km 90 1000 0.4 104
E, km 2 30 0,003 200
a Valores para el viento lento (velocidad media del flujo Vsw = 350 km/s en este caso)
medida por la nave espacial Cluster y tomada de Bale et al. (2005), ex-
el valor de Te, que no informan, pero que se espera
ser del mismo orden que Ti (Newbury et al. 1998). Tenga en cuenta que la
intervalo de datos estudiado por Bale et al. (2005) es ligeramente atípica, con βi
mayor de lo habitual en el viento solar (el rango completo de variación de βi en
el viento solar está aproximadamente entre 0,1 y 10; véase Howes et al. 2008a
para otro, quizás más típico, conjunto fiducial de parámetros de viento lento
y el apéndice A de la revisión realizada por Bruno & Carbone en 2005
parámetros de viento rápido medidos por Helios 2). Sin embargo, usamos su pa-
los valores rameter como nuestro ejemplo representativo porque los espectros
informe muestran con particular claridad tanto la fluc-
en los rangos inercial y disipación (ver Fig. 1). Ver
§ 8.1 y § 8.2.
b Valores típicos (véase, por ejemplo, Norman & Ferrara 1996; Ferrière 2001). Ver
discusión en el § 8.4.
c Valores basados en limitaciones observacionales para la emisión de radio
plasma alrededor del Centro Galáctico (Sgr A*) según la interpretación de
Loeb & Waxman (2007) (véase también Quataert 2003). Véase la discusión en
§ 8.5.
d Valores para la región central de la Hydra Un clúster tomado de
Enßlin & Vogt (2006); véase Schekochihin & Cowley 2006
conjunto de números de tiendas para los plasmas calientes fuera de los núcleos. Véase el debate
en el punto 8.6.
e Asumimos Ti Te para estas estimaciones.
f Estimación del orden de magnitud áspero.
g Definido como vthi/viii, donde νii es dado por Eq. (52).
sión, véase el apéndice A.2) y, lo que es más importante,
los números de onda paralelos y perpendiculares. Como ex-
Aclarado arriba, evidencia observacional y numérica nos dice
que la turbulencia alfvénica es anisotrópica, kÃ3r à r à r kÃ. In Fig. 2,
bosquejamos el camino que la cascada turbulenta se espera tomar
en el espacio de número de onda (utilizamos las escalas de k con k
que siguen del argumento GS para las ondas Alfvén y un
argumento análogo para las ondas cinéticas de Alfvén, revisado en
§ 1.2 y § 7.5, respectivamente).
1.6. Modelos cinéticos y fluidos
¿Cuál es la descripción analítica correcta de la turbulenta
¿fluctuaciones plasmáticas a lo largo del camino (presumido) de la cascada?
Como prometimos anteriormente, va a ser posible simplificar
la teoría cinética completa sustancialmente. Estas simplificaciones pueden
obtener en forma de una jerarquía de aproximaciones y
a medida que emergen, mecanismos físicos específicos que controlan la
cascada turbulenta en varios regímenes físicos se vuelven más
transparente.
Gyrokinetics (§ 3). — El punto de partida para el desarrollo
La primera aproximación de la jerarquía es la siguiente:
rokinetics, una teoría cinética de baja frecuencia resultante de av-
borrando el movimiento del ciclotrón de las partículas. Gyroki...
netics es adecuado para el estudio de la turbu-
Ence en prácticamente todos los rangos de parámetros astrofísicos relevantes
(Howes et al. 2006). Para fluctuaciones a frecuencias más bajas
que la frecuencia del ciclotrón de iones,
se derivan sistemáticamente mediante la utilización de los dos siguientes
suposiciones, que también sustentan la teoría de la GS (§ 1.2): a)
anisotropía de la turbulencia, por lo que k/k se utiliza como el pequeño
(b) interacciones fuertes, es decir, la fluctuación am
plitudes se supone que son tales que la propagación de ondas y
La interacción no lineal ocurre en escalas de tiempo comparables: desde
Eq. (3), u/vA. La primera de estas suposiciones implica que
Las fluctuaciones en las frecuencias alfvénicas satisfacen las siguientes condiciones:
incluso cuando su escala perpendicular es tal ki 1. Esto
hace de la girocinética una herramienta ideal tanto para la teoría analítica y
para estudios numéricos de turbulencias plasmáticas astrofísicas;
los enfoques numéricos también se hacen atractivos por el largo ex-
periencia de simulaciones girocinéticas acumuladas en la fusión
la investigación y por la existencia de
Códigos netos (Kotschenreuther y otros). 1995; Jenko y otros 2000;
Candy & Waltz 2003; Chen & Parker 2003). Una re-concisión concisa
La visión de la girocinética se presenta en el § 3 (ver Howes et al. 2006
para una derivación detallada). El lector es invitado a pagar partic-
§ 3.4 y § 3.5, donde el concepto de
se introducen cascadas netic de energía generalizada y la par-
se discute el calentamiento de la bilis en la girocinética (Apéndice F
duce leyes de conservación adicionales que surgen en 2D y algunas
veces también en 3D). Esto establece el marco conceptual
en la que la mayoría de los argumentos físicos posteriores son pre-
enviado. La región de validez de la girocinética se ilustra
en Fig. 3: cubre virtualmente todo el camino de la turbulenta
cascada, excepto las escalas más grandes (exteriores), donde no se puede
Asumir anisotropía. Tenga en cuenta que la teoría de dos fluidos, que es
el punto de partida de la teoría del MHD (véase el apéndice A), es
no es una buena descripción a escalas sin colisiones. Es importante
por mencionar, sin embargo, que la formulación de la girocinética que
adoptamos, mientras que apropiado para el tratamiento de las fluctuaciones en col-
escalas sin lision, sin embargo, requiere un cierto (débil)
grado de colisiones (véase la discusión en el apartado 3.1.3 y un ex-
tratamiento tensionado de colisiones en la girocinética del apéndice B).
Líquido de electrones isotérmicos (§ 4). — Mientras que la girocinética con-
En el caso que nos ocupa, se trata de una simplificación significativa, que sigue siendo totalmente cinética.
descripción. Los nuevos avances hacia modelos más simples son los siguientes:
lograda al demostrar que, para escalas paralelas más pequeñas que la
escala de difusión de electrones, kmfpi (me/mi)1/2, y perpen-
escalas diiculares más grandes que la giroescala electrónica, ke â â € 1,
los electrones son un líquido isotérmico magnetizado mientras que los iones
debe tratarse (giro)cinéticamente. Este es el secundario.
aproximación en nuestra jerarquía, derivada en § 4 a través de un asymp-
Expansión tótica en (me/mi)
1/2 (véase también el apéndice C.1). Los
plasma se describe por la ecuación girocinética de iones y dos
ecuaciones parecidas a fluidos que contienen dinámica de electrones—estos
se resumen en § 4.9. La región de validez de este
la aproximación se ilustra en la Fig. 4: no captura el
efectos disipativos alrededor de la escala de difusión de electrones o la
calentamiento de electrones, pero sigue siendo uniformemente válido como la cascada
pasa de colisiones a escalas sin colisión y también como
cruza la giroescala de iones.
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 7
Con el fin de dilucidar la naturaleza de la turbulencia anterior y
Por debajo de la giroescala de iones, derivamos dos
ciones, una de las cuales es válida para el ki â > 1 (§ 5 y § 6) y la
otro para ki â € 1 (§ 7; véase también el apéndice C, que da
un no rígido, no girocinético, pero tal vez más intuitivo,
derivación de los resultados de § 4 y § 7.2).
MHD reducida cinética (§ 5 y § 6). — En escalas por encima del ión
giroescala, conocida como el “rango inercial” demostramos que
el desacoplamiento de la cascada de la onda Alfvén y su indiffer-
En consecuencia, tanto la amortiguación colisional como la sin colisiones son explícitas.
propiedades analíticamente demostrables. Demostramos rigurosamente que
la cascada de la onda Alfvén está gobernada por un conjunto cerrado de dos
ecuaciones de tipo fluido para las funciones de flujo y flujo — el Re-
• Magnetohidrodinámica (RMHD) — independientemente de
la colisiones (§ 5.3 y § 5.4; derivación de RMHD)
de MHD y sus propiedades se presentan en § 2). El cas-
cade procede a través de la interacción de la onda de propagación opuesta
paquetes y se desacopla de la densidad y el campo magnético-
fluctuaciones de la fuerza (los modos “compresivos”;
límite sional, estos son los modos de entropía y lento; véase § 6.1
y el apéndice D). Estos últimos se mezclan pasivamente por el
Alfvén ondas, pero, a diferencia del límite de fluidos (colisionales), este
la cascada pasiva se rige por una ecualización cinética (simplificada)
ión para los iones (§ 5.5). Junto con RMHD, forma
una descripción cinética de fluidos híbridos de turbulencia magnetizada
en un plasma débilmente colisional, al que llamamos Re-Kinetic
MHD producido (KRMHD). Las ecuaciones KRMHD son suma-
mariscado en § 5.7. Sus límites de colisión y sin colisión
se exploran en § 6.1 y § 6.2, respectivamente. Considerando lo siguiente:
Las ondas de Alfvén están inalteradas en esta aproximación, la
Las fluctuaciones de presión están sujetas a amortiguación tanto en el col-
lisional (Braginskii 1965 viscoso amortiguación, § 6.1.2) y colli-
ionless (Barnes 1966 amortiguación, § 6.2.2) límites. En el colli-
límite sionless, el componente de compresión de la turbulencia es
un simple ejemplo de una turbulencia esencialmente cinética, incluyendo
ciones como la conservación de la energía generalizada.
a pesar de la amortiguación sin colisiones y (paralela) fase de mezcla, pos-
que conducen a la calefacción por iones (+ 6.2.3-6.2.5). ¡Qué fuerte!
las fluctuaciones de compresión se amortiguan depende de la par-
escala alel de estas fluctuaciones. Desde la ecuación cinética iónica
resulta ser lineal a lo largo de las líneas de campo en movimiento asociadas
con las ondas Alfvén, las fluctuaciones de compresión no, en
la ausencia de efectos finitos-girorradios, desarrollar un pequeño paralelo
escalas y su cascada sólo puede ser débilmente amortiguado por encima
la giroescala de iones—esto se discute en el § 6.3.
Electron Reduced MHD (§ 7). — En la escala de iones, el
Alfvénic y las cascadas de compresión ya no son decou-
pled y su energía es parcialmente amortiguada a través de la colisión sin
interacciones onda-partícula (§ 7.1). Esta parte de la energía
se canaliza hacia el calor iónico. El resto se convierte en
una cascada de ondas cinéticas Alfvén (KAW). Esta cascada ex-
tiende a través de lo que se conoce como el “rango de disipación” a
la giroescala electrónica, donde su giro viene a ser amortiguado a través de
interacción onda-partícula y transferido al calor electrónico.
La turbulencia de KAW es de nuevo anisótropo con kâ â € € kâ €. Lo siento.
se rige por un par de ecuaciones de tipo fluido, también derivado
de la girocinética. Los llamamos Electron Reduced MHD
(ERMHD). En el límite de alta beta, coinciden con la re-
forma inducida (anisotrópica) del electrón previamente conocido
MHD (Kingsep et al. 1990). Las ecuaciones ERMHD son de-
en el punto 7.2 (véase también el apéndice C.2) y en el caso de la KAW:
cade se considera en 7,3-7.5. El destino de la inercia-
energía de alcance sin colisión amortiguada en la giroescala de iones es
investigados en los puntos 7.9 a 7.11; una consideración análoga para
la energía KAW amortiguada en la giroescala de electrones es pre-
enviado en § 7.12. En estas secciones, introducimos el no-
sión de la cascada de la entropía, una mezcla de fase no lineal pro-
por lo que la amortiguación sin colisión ocurre en el ion
y las giroescamas de electrones se hacen irreversibles y las partículas son
Calentado. Esta parte de la cascada es puramente cinética y su
función es las funciones de distribución de partículas en desarrollo pequeño
escalas en el espacio de fase girocinética. Nótese que además de derivar...
ing conjuntos rigurosos de ecuaciones para la disipación-rango turbu-
§ 7 también presenta una serie de escalas estilo Kolmogorov
predicciones, tanto para la cascada de KAW (§ 7.5) como para la
cascada de tropos (§ 7.9.2, § 7.10.2, § 7.10.4, § 7.12).
Hall Reduced MHD (Apéndice E). — Reducción (anisótropo)
forma del popular sistema Hall MHD se puede derivar como un
límite especial de la girocinética (ki â € 1, Ti â € Te, βi â € 1).
Las ecuaciones de Hall Reduced MHD (HRMHD) resultantes
son un modelo conveniente para algunos propósitos porque
captura simultáneamente los límites de iones fríos y bajos beta de ambos
los sistemas KRMHD y ERMHD. Sin embargo, son
generalmente no es estrictamente aplicable en el espacio y astrofísico
plasmas de interés, donde los iones rara vez son fríos y βi no es
particularmente bajo. Las ecuaciones de HRMHD se derivan en § E.1,
la cascada cinética de la energía generalizada en el límite Hall es
§ E.2, y las circunstancias bajo las cuales el
básculas de sonido inercial e iónico se vuelven importantes en las teorías de
Las turbulencias plasmáticas se resumen en la sección E.4. Teorías de la
Turbulencia del rango de disipación basada en Hall MHD son brevemente
se examina en el punto 8.2.6.
Las regiones de validez de las aproximaciones terciarias —
KRMHD y ERMHD — se ilustran en la Fig. 2. En este fig...
ure, también se muestra la región de validez de los sistemas RMHD-
tem derivado de las ecuaciones MHD comprimibles estándar
Al asumir la anisotropía de la turbulencia y el fuerte inter-
acciones. Esta derivación es el análogo fluido de la derivación
de la girocinética. Lo presentamos en el § 2, antes de embarcarnos en
la trayectoria basada en la girocinética descrita anteriormente, con el fin de hacer
una conexión con el tratamiento MHD convencional y con
demostrar con particular sencillez cómo la asunción de
anisotropía conduce a un sistema de fluidos reducido en el que el decou-
de las cascadas de las ondas Alfvén y de los com-
(Apéndice A extiende esta derivación)
a Braginskii 1965 ecuaciones de dos fluidos en el límite de fuerte
la magnetización; también funciona rigurosamente la transición de
el límite de fluido a las ecuaciones KRMHD).
Las principales novedades oficiales del presente documento figuran en el presente documento.
en 3-7. El esquema dado arriba está destinado a ayudar al lector
navegar por estas secciones. En el § 8, discutimos en algún detalle
cómo nuestros resultados se aplican a varios plasmas astrofísicos con
débil colisionalidad: el viento solar y la capa magnetoscópica,
el ISM, los discos de acreción y los cúmulos de galaxias (§ 8.1 y § 8.2)
También se puede leer como un resumen general del documento en luz
de las pruebas disponibles en las mediciones del plasma espacial).
Finalmente, en el § 9, proporcionamos un epílogo breve y hacemos algunos
observaciones sobre las futuras direcciones de la investigación.
2. REDUCCIÓN DE LA MERCANCÍA REDUCIDA Y DESARROLLAMIENTO DE LA TURBULENCIA
CASCADES
8 SCHEKOCHIHIN ET AL.
Considere las ecuaciones de MHD comprimible
= u, (7)
B B
, (8)
= 0, s =
, γ =
, (9)
= B u − Bu, (10)
donde la densidad de masa, la velocidad u, la presión p, el magnético B
la densidad de la entropía, y d/dt =
dicciones bajo las cuales estas ecuaciones son válidas se discuten en
Apéndice A). Considerar un equilibrio estático uniforme con un
campo medio recto en la dirección z, así que
* = 0 +, p = p0 + p, B = B0 + B, (11)
donde las constantes son: 0, p0, y B0. En lo que sigue, la sub-
los guiones y se utilizarán para denotar las proyecciones de los campos,
variables y gradientes en la dirección media-campo y en
el plano (x,y) perpendicular a esta dirección, respectivamente.
2.1. Orden de RMHD
Como explicamos en la introducción, observacional y nu-
evidencia merical hace que sea seguro asumir que la turbulencia
en tal sistema será anisótropo con k (a escalas
menor que la escala exterior, kÃ3l Ã1; § 1.3 y § 1.5.1).
Por lo tanto, introduzcamos un pequeño parámetro:
llevar a cabo una expansión sistemática de Eqs. (7-10) in. En este
la expansión, las fluctuaciones se tratan como pequeñas, pero no arbi-
Por lo tanto, para estimar su tamaño, adoptaremos la propuesta de la Comisión.
la conjetura del equilibrio crítico (3), que ahora no se trata como un
escalar la prescripción detallada, pero como una suposición de pedido.
Esto nos permite introducir el siguiente pedido:
# # B # # B # # B # # B # # B #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde vA = B0/
4o es la velocidad de Alfvén. Tenga en cuenta que esto
significa que pedimos el número Mach
, (13)
donde cs = (γp0/l0)
1/2 es la velocidad del sonido y
es la beta de plasma, que se ordena ser la unidad de orden en el
Expansión (pueden tomarse límites subsidiarios de β alto y bajo
después de que se haga la expansión de â € ¬; véase § 2.4).
En Eq. (12), hicimos dos pedidos auxiliares assump-
ciones: que la velocidad y las fluctuaciones del campo magnético
tienen el carácter de Alfvén y las ondas lentas
y que las amplitudes relativas
de las fluctuaciones polarizadas de la onda alfvén (B/B0, u/vA),
Las fluctuaciones de la polarización de las ondas lentas (B/B0, u/vA) y den-
sity/pressure/entropy fluctuations (/l/p/p0) son todas las
En el mismo orden. Estrictamente hablando, si este es el caso depende
sobre las fuentes de energía que impulsan la turbulencia:
ver, si no se lanzan ondas lentas (o fluctuaciones de la entropía),
ninguno estará presente. Sin embargo, en contextos astrofísicos, el
el consumo de energía a escala exterior puede suponerse al azar y, allí-
En primer lugar, se inyecta energía comparable en todos los tipos de fluctua-
ciones.
Además, suponemos que la frecuencia característica de la
fluctuaciones es kávA [Eq. (3)], lo que significa que las ondas rápidas,
para los cuales se ordenan los siguientes números: k(v2A + c2s)1/2, Esta restric...
sión debe justificarse empíricamente. Observaciones de la energía solar
turbulencia del viento confirman que es principalmente Alfvénic (ver,
Por ejemplo, Bale et al. 2005) y que su componente de compresión es
Equilibrado sustancialmente por la presión (Roberts 1990; Burlaga et al.
1990; Marsch & Tu 1993; Bavassano et al. 2004, véase Eq. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
infra). Cálculo de turbulencia débil de MHD comprimible
turbulencia en plasmas bajos en beta (Chandran 2005b) sugiere
que sólo una pequeña cantidad de energía se transfiere del rápido
ondas a las ondas de Alfvén con grandes kÃ3. Una conclusión similar
surge de simulaciones numéricas (Cho & Lazarian 2002,
2003). Como las olas rápidas también se espera que estén sujetas a
fuerte amortiguación sin colisión y/o fuerte disipación después de
Se precipitan en choques, los eliminamos de nuestra estafa.
sideración del problema y concéntrese en la baja frecuencia
turbulencia.
2.2. Alfvén Waves
Comenzamos observando que la onda alfvén-polarizada
las fluctuaciones son bidimensionales solenoidales: ya que, desde
Eq. (7),
u = − d
= O(+2) (15)
y B = 0 exactamente, separando la parte O() de estos buzos-
gences da ·u = 0 y · B = 0. Al orden más bajo
en la expansión, podemos, por lo tanto, expresar u y B en
términos de las funciones de flujo escalar:
u =,
=. 16)
Ecuaciones de evolución para Φ y فارسى se obtienen sustituyendo
las expresiones (16) en las partes perpendiculares de la induc-
Ecuación de la decisión (10) y la ecuación de impulso (8)—de la
el rizo se toma para aniquilar el término de presión. Mantenlo...
sólo los términos de la orden más baja, O( > 2), obtenemos
, vA
, (17)
# 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 #
Φ,2
# 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (18)
donde, = · () y hemos tomado en
cuenta eso, al orden más bajo,
+ u =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bâ â â € ~
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
· · · · ·. (20)
Aquí bâ = B/B0 es el vector unitario a lo largo de la línea de campo perturbado.
Las ecuaciones (17-18) se conocen como Magne-
tohidrodinámica (RMHD). Las primeras derivaciones de estos
las ecuaciones (en el contexto de los plasmas de fusión) se deben a
Kadomtsev & Pogutse (1974) y Strauss (1976). Estos
fueron seguidos por muchas derivaciones sistemáticas y
alizaciones que emplean diversas versiones y refinamientos de
la expansión básica, teniendo en cuenta el no-Alfvénic
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 9
los modos (lo que haremos en § 2.4), e incluyendo el ef-
efectos de los gradientes espaciales de los campos de equilibrio (por ejemplo, Strauss
1977; Montgomery 1982; Hazeltine 1983; Zank & Matthaeus
1992; Kinney & McWilliams 1997; Bhattacharjee et al. 1998;
Kruger et al. 1998). Una revisión comparativa de esta ampliación
esquemas y su (a menudo estrecha) relación con la nuestra está fuera
el alcance del presente documento. Un punto importante que deseamos que sea...
phasize es que no se asume el plasma beta [definido en
Eq. (14)] ser grande o pequeño.
Las ecuaciones (17) y (18) forman un conjunto cerrado, lo que significa que la
Alfvén-onda cascada se desacopla de las ondas lentas y den-
fluctuaciones de la sidad. Es a la turbulencia descrita por Eqs. (17-
18) que la teoría GS esbozada en el § 1.2 se aplica.13 En el § 5.3, nosotros
demostrará que Eqs. (17) y (18) describen correctamente la
fluctuaciones alfvénicas incluso en un plasma sin colisión,
donde la descripción completa del MHD [Eqs. (7-10)] no es válido.
2.3. Campos Elsasser
Las ecuaciones MHD (7-10) en el límite incompresible
(l = const) adquirir una forma simétrica si está escrita en términos de
los campos Elsasser z± = u± B/
4o (Elsasser 1950). Vamos.
demostrar cómo esta simetría se manifiesta en el re-
Ecuaciones inducidas derivadas anteriormente.
Presentamos potenciales Elsasser =, por lo que z =
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para estos potenciales, Eqs. (17-18) se convierten en
•2 vA
2 = −
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
2,
. (21)
Estas ecuaciones muestran que el RMHD tiene un conjunto simple de ex-
soluciones de acto: si = 0 o = 0, el término no lineal desaparece
y el otro, no cero, Elsasser potencial es simplemente un fluc-
de forma arbitraria y la magnitud de la propagación a lo largo de
el campo medio a la velocidad de Alfvén vA:
± = f±(x,y,z vAt).
Estas soluciones son paquetes finito-amplitud Alfvén-onda de
forma arbitraria. Sólo la contrapropagación de tales soluciones puede
interactuar y así dar lugar a la cascada de la onda Alfvén
(Kraichnan 1965). Tenga en cuenta que estas interacciones son conserva-
tiva en el sentido de que las ondas “+” y “−” se dispersan
otro sin intercambiar energía.
Tenga en cuenta que la conservación individual de los “+” y “−”
energía de las ondas significa que los flujos de energía asociados
con estas ondas no necesita ser igual, así que en lugar de un pecado-
gle Flujo de Kolmogorov asumido en los argumentos de escala
13 La turbulencia de la onda Alfvén en el sistema RMHD ha sido
ied por muchos autores. Algunas de las investigaciones numéricas pertinentes son:
debido a Kinney & McWilliams (1998), Dmitruk et al. (2003), Oughton y otros
(2004), Rappazzo y otros (2007, 2008), Perez & Boldyrev (2008, 2009). Y...
la teoría alítica se ha limitado principalmente al paradigma de la turbulencia débil
(Ng & Bhattacharjee 1996, 1997; Bhattacharjee & Ng 2001; Galtier et al.
2002; Lithwick & Goldreich 2003; Galtier & Chandran 2006; Nazarenko
2008). Tomamos nota de que la adopción del equilibrio crítico [Eq. 3)] como una orden
la suposición de la expansión en kó/kó no impide que una de las subse-
quently intentar un enfoque de turbulencia débil: este último debería ser simplemente
tratada como una ampliación subsidiaria. De hecho, la aplicación de la anisotropía como
Supuesto en el nivel de ecuaciones MHD en lugar de simultáneamente con
el cierre de la turbulencia débil (Galtier et al. 2000) reduce significativamente la
cantidad de álgebra. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los débiles
aproximación de turbulencias siempre se descompone en algunos suficientemente pequeños
escala, es decir, cuando k (vA/U)
L, donde L es la escala exterior de la
turbulencia, velocidad de U en la escala exterior, y kâ ° la onda paralela-
de las olas de Alfvén (véase Goldreich & Sridhar 1997 o la revisión por
Schekochihin & Cowley 2007). Por debajo de esta escala, las interacciones no pueden ser tan...
Sumado débil.
revisado en § 1.2, podríamos tener 6=. El Grupo de Servicios Generales:
ory se puede generalizar a este caso de desequilibrio Alfvénic
cascadas (Lithwick et al. 2007; Beresnyak & Lazarian 2008a;
Chandran 2008), pero aquí nos centraremos en el equilibrio
bulence, . Si uno considera la turbulencia forzada
de manera física (es decir, sin forzar el campo magnético,
que rompería la conservación del flujo), el resultado
cade siempre estaría equilibrado. En el mundo real, imbal...
los flujos alfvénicos se miden en el viento solar rápido,
donde la influencia de las condiciones iniciales en la atmósfera solar
esfera es más pronunciada, mientras que la turbulencia de viento lento
es aproximadamente equilibrado (Marsch & Tu 1990a; véase también re-
opiniones de Tu & Marsch 1995; Bruno & Carbone 2005 y ref-
En este caso, la Comisión considera que las medidas previstas en el presente Reglamento se ajustan al dictamen del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 1999, por lo que se refiere a la aplicación de las disposiciones del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de las disposiciones legales, reglamentarias y administrativas relativas a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que respecta a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que respecta a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que respecta a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que respecta a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que se refiere a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que se refiere a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros.
2.4. Las ondas lentas y el modo de entropía
Con el fin de derivar ecuaciones de evolución para el resto
Modos MHD, primero volvamos a la parte perpendicular de la
ecuación de impulso y utilizar Eq. (12) para ordenar términos en él. In
el orden más bajo, O(), obtenemos el balance de presión
B0-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-
= 0
. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Usando Eq. (22) y la ecuación de la entropía (9), obtenemos
, (23)
donde s0 = p0/
0. Ahora, sustituyendo a Eq. (15) para u en el
componente paralelo de la ecuación de inducción (10), obtenemos
- bâ = 0. (24)
Combinando Eqs. (23) y (24), obtenemos
1 + c2s/v
bâ uâ, (25)
1 + v2A/c2s
bâ . 26)
Por último, tomamos el componente paralelo del impulso
ecuación (8) y note que, debido al balance de presión (22)
y a la pequeñez de los gradientes paralelos, la presión
Término es O (3), mientras que los términos inercial y tensión son O (2).
Por lo tanto,
= v2Abâ
. (27)
Ecuaciones (26-27) describen el fluctu-
aciones, mientras que Eq. (23) describe la entropía de frecuencia cero
modo, que se desconecta de las ondas lentas.14 El no-
linealidad en Eqs. (26-27) entra a través de los derivados definidos en
14 Para otros esquemas de expansión que conducen a conjuntos reducidos de ecuaciones para
estas fluctuaciones “compresivas” ver referencias en § 2.2. Tenga en cuenta que la na-
las fluctuaciones de densidad descritas anteriormente son distintas de las denominadas
Las fluctuaciones de densidad “seudosónicas” que surgen en el “casi incompress-
teorías MHD (Montgomery et al. 1987; Matthaeus & Brown 1988;
Matthaeus et al. 1991; Zank & Matthaeus 1993). El “pseudosonido” es...
sentialmente la respuesta de densidad causada por las fluctuaciones de presión no lineales
calculado a partir de la restricción de incompresión. La densidad resultante fluc-
las tuaciones son el segundo orden en el número Mach y, por lo tanto, el orden â € 2 en nuestro
expansión [véase Eq. (13)]. Las fluctuaciones pasivas de la densidad derivadas en este sec-
ciones, y, por lo tanto, sustituir el “pseudosonido” (véase la revisión de
Tu & Marsch 1995 para una discusión de la evidencia relevante del viento solar).
10 SCHEKOCHIHIN ET AL.
Eqs. (19-20) y se debe únicamente a las interacciones con Alfvén
olas. Por lo tanto, tanto la onda lenta y el modo de entropía cas-
cades ocurren a través de dispersión pasiva / mezcla por ondas Alfvén, en
el curso del cual no hay intercambio de energía entre el
cascadas.
Tenga en cuenta que en el límite alto de beta, cs â € vA [véase Eq. (14)], el
El modo de entropía está dominado por las fluctuaciones de densidad [Eq. (23),
cs vA], que también se desacopla de la cascada de ondas lentas
[Eq. (25), cs â € vA]. y están pasivamente mezclados por el Alfvén-
turbulencia de las olas:
= 0. (28)
El límite alto de beta es equivalente a la incompresible ap-
proximación para las ondas lentas.
En § 5.5, derivaremos una descripción cinética para la inercia-
fluctuaciones de compresión de rango (densidad y campo magnético)
resistencia), que es más generalmente válido en débil colisión
plasmas y que se reducen a Eqs. (26-27) en la colisión
límite (véase el apéndice D). Si bien estas fluctuaciones se producirán en
satisfacer una ecuación cinética, permanecerán pasivos con
respeto a las olas de Alfvén.
2.5. Campos Elsasser para las Olas Lentas
La simetría original de Elsasser (1950) se derivó para
Ecuaciones MHD comprimibles. Sin embargo, para el “compres-
fluctuaciones de las ondas lentas, podemos introducir
Campos de Elsasser:
= u
. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Directamente, la ecuación de evolución para estos campos es
vA
1 + v2A/c2s
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 + v2A/c2s
,z±
1 ± 1.................................................................................
1 + v2A/c2s
,z±
. (30)
En el límite alto de beta (vA cs), el Elsasser generalizado
los campos (29) se convierten en los componentes paralelos de la
Los campos de Elsasser son incompresibles. Vemos que sólo en esto
las ondas lentas interactúan exclusivamente con el contador-
la propagación de las ondas de Alfvén, y así sólo en este límite se establece-
ting = 0 o = 0 da lugar a la amplitud finita de onda lenta-
soluciones de paquetes z±
= f±(x,y,z vAt) análogo al finito-
Amplitud de los paquetes Alfvén-wave discutidos en § 2.3.15
eral β, la velocidad de fase de las ondas lentas es más pequeña que eso
de las olas de Alfvén y, por lo tanto, las olas de Alfvén pueden “capturar
e interactuar con las olas lentas que viajan en el mismo
dirección. Todas estas interacciones son de tipo de dispersión y
no implican ningún intercambio de energía.
2.6. Escalados para Fluctuaciones Pasivas
15 Obviamente, establecer ambos = 0 siempre habilita estos finitos-
Soluciones de onda lenta de amplitud. Más no-trivialmente, tal amplitud finita así que...
luciones existen en el marco lagrangiano asociado con las ondas Alfvén—esto
se examina en detalle en el apartado 6.3.
La escala de los campos escalares pasivamente mezclados introducidos
arriba está esclavizado a la escala de las fluctuaciones Alfvénic.
Considere, por ejemplo, el modo de entropía [Eq. (23)]. As
en la teoría de Kolmogorov–Obukhov (véase § 1.1), se asume un
cascada local-en-escala-espacio de varianza escalar y una constante
flujo de esta varianza. Entonces, análogamente a Eq. 1),
v2thi
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 31)
Dado que el tiempo de cascada es 1 u vA/l /u2,
)1/2 u
, (32)
por lo que las fluctuaciones escalares tienen la misma escala que el turbu-
En ella se mezclan (Obujov 1949; Corrsin 1951). En el cuadro de servicios generales
la turbulencia, el espectro de variación escalar debería, por lo tanto, ser
(Lithwick & Goldreich 2001). El mismo argumento ap-
se extiende a todos los campos pasivos.
Es el (presumiblemente) espectro pasivo de densidad de electrones
que proporciona las principales pruebas de la escala de k-5/3 en
turbulencia terestelar (Armstrong et al. 1981, 1995; Lazio y otros
2004, véase más información en § 8.4.1). La explicación de
este espectro en términos de mezcla pasiva del modo entropía,
originalmente propuesto por Higdon (1984), fue desarrollado en el
base de la teoría de GS por Lithwick & Goldreich (2001). Los
cascada turbulenta de las fluctuaciones compresivas y el rel-
En el apartado 6.3 se examinan más a fondo los datos relativos a los vientos solares. En particular:
ular, surgirá que la anisotropía de estas fluctuaciones
sigue siendo un problema no trivial: ¿hay un análogo de la escala
relación (5)? El argumento de escalado descrito anteriormente no
alegar cualquier suposición acerca de la relación entre el
básculas paralelas y perpendiculares del fluctu de compresión
aciones (distintas de la suposición de que son anisotrópicas).
Lithwick & Goldreich (2001) argumentan que las escalas paralelas de
las fluctuaciones alfvénicas se imprimirán en el pas-
Sivamente advected compressive, así que Eq. 5) las existencias para el
También en los últimos años. En el párrafo 6.3, examinamos esta conclusión a la vista
de la evidencia solar-viento y del hecho de que las ecuaciones
para los modos de compresión se vuelven lineales en el Lagrangian
marco asociado a la turbulencia alfvénica.
2.7. Cinco cascadas de RMHD
Por lo tanto, la anisotropía y el equilibrio crítico (3) tomado como
orden de suposiciones conducen a una descomposición ordenada de la
MHD cascada turbulenta en un Alfvén-onda desacoplada cas-
cade y cascadas de ondas lentas y fluctuaciones de la entropía
dispersa/mezclada por las ondas de Alfvén. Más precisamente,
Eqs. (23), (21) y (30) implican que, para el β arbitrario, hay
cinco cantidades conservadas:16
W±AW =
d3r?02 (ondas de Alfven), (33)
W±sw =
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
2 (ondas lentas), (34)
(fluctuaciones de la entropía).(35)
16 Tenga en cuenta que la helice magnética del campo perturbado no es un invariante de
RMHD, excepto en dos dimensiones (véase el apéndice F.4). En 2D, también hay
conservación del flujo cuadrado medio,
d3r 2 (véase el apéndice F.2).
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 11
W + AW y W
AW siempre están en cascada por la interacción con cada uno
otro, Ws se mezcla pasivamente con W
AW y W
AW, W
sw son pas-
dispersos por WAW y, a menos que β 1, también por W
Este es un ejemplo de la división de la cascada de energía global
en varios canales (recuperado como un caso particular de la
cascada cinética más general en el Apéndice D.2)—un concepto
que surgirá repetidamente en el tratamiento cinético a seguir.
El desacoplamiento de las cascadas de ondas lentas y Alfvén en
La turbulencia de MHD fue estudiada con cierto detalle y confirmada
en simulaciones numéricas directas de Maron & Goldreich (2001,
para β + 1) y por Cho & Lazarian (2002, 2003, para una gama
de valores de β). La derivación dada en § 2.2 y § 2.4 (cf.
Lithwick & Goldreich 2001) ofrece una
base retical para estos resultados, suponiendo la anisotropía de la
bulencia (que también se confirmó en
ies).
Resulta que el desacoplamiento de la cascada de la onda Alfvén
que hemos demostrado anteriormente para el anisótropo MHD turbu-
lence es una propiedad uniformemente válida de turbulencias plasmáticas en
ambas escalas colisionales y sin colisiones y que esta cascada
es descrito correctamente por las ecuaciones RMHD (17-18) todos los
hasta la giroescala de los iones, mientras que las fluctuaciones de den-
sity y la fuerza del campo magnético no satisfacen el fluido simple
ecuaciones de evolución más y requieren resolver la cinética
ecuación. Con el fin de demostrar esto, adoptamos un descrip-
y aplicarle el mismo pedido (§ 2.1) que solíamos hacer
reducir las ecuaciones MHD. La teoría cinética que emerge
como resultado se llama girocinética.
3. GIROKINETICS
El formalismo girocinético fue desarrollado por primera vez
para ondas lineales por Rutherford & Frieman (1968)
y por Taylor & Hastie (1968) (véase también Catto 1978;
Antonsen & Lane 1980; Catto et al. 1981) y posteriormente
extendido al régimen no lineal por Frieman & Chen (1982).
Derivados rigurosos de la ecuación girocinética basados en
el formalismo hamiltoniano fue desarrollado por Dubin et al.
(1983, electrostático) y Hahm et al. (1988, electromagnético).
Este enfoque se revisa en Brizard & Hahm (2007). A
más peatonal, pero quizás también más transparente exposición
de la girocinética en un campo medio recto se puede encontrar en
Howes et al. (2006), que también proporcionan una explicación detallada
del orden girocinético en el contexto de la astrofísica
turbulencia plasmática y tratamiento de las ondas lineales y
tasas de amortiguación. Aquí repasamos sólo los puntos principales a fin de
para permitir que el lector entienda el presente documento sin
remitiéndose a otra parte.
En general, un plasma se describe completamente por la distribución
función fs(t,r,v)—la densidad de probabilidad para una partícula
de las especies s (= i,e) que se encuentran en la posición
ing con velocidad v. Esta función obedece al Vlasov cinético–
Ecuación de Landau (o Boltzmann)
+ v fs +
• fs
, (36)
donde qs y ms son la carga y masa de la partícula, c es la
velocidad de la luz, y el lado derecho es el término de colisión
(cuadrado en f ). Los campos eléctricos y magnéticos son
E =
, B = A. (37)
La primera igualdad es la ley de Faraday, la segunda
la condición de solenoidalidad de campo magnético; utilizaremos la
Medidor de coulombas, A = 0. Los campos satisfacen el Poisson y
las ecuaciones Ampère-Maxwell con la carga y la corriente
densidades determinadas por fs(t,r,v):
E = 4η
qsns = 4
d3v fs, (38)
B − 1
d3vv fs. (39)
3.1. Orden Gyrokinetic y Parámetros sin Dimensiones
Como en el § 2 establecemos un equilibrio estático con una media uniforme
campo, B0 = B0, E0 = 0, asumir que las perturbaciones serán
anisótropo con kÃ3r k (en escamas más pequeñas que el exterior)
báscula, kÃ3l Ã1; ver § 1.3 y § 1.5.1), y construir una expansiÃ3n.
sión de la teoría cinética alrededor de este equilibrio con respeto
al parámetro pequeño â € â € kâ € / kâ € €. Adoptamos la orden ex-
presionado por Eqs. (3) y (12), es decir, asumimos las perturbaciones
estar interactuando fuertemente las ondas de Alfvén más la densidad de electrones
y fluctuaciones de la fuerza del campo magnético.
Además de, varios otros parámetros adimensionales son
presentes, todos los cuales se consideran formalmente de orden
unidad en la expansión girocinética: el electrón-ion masa ra-
tio me/mi, la relación de carga
Z = qi/qe = qi/e (40)
(para hidrógeno, esto es 1, que se aplica a la mayoría de los astrofísicos
plasmas de interés para nosotros), la relación de temperatura17
= Ti/Te, (41)
y la beta plasmática (ion)
v2thi
8πniTi
, (42)
donde vthi = (2Ti/mi)
1/2 es la velocidad térmica del ión y el total
β se definió en Eq. (14) basado en la presión total p = niTi +
NeTe. Ocasionalmente también usaremos el electrón beta
8ηneTe
βi. (43)
La beta total es β = βi e.
3.1.1. Números de onda y frecuencias
Como queremos que nuestra teoría sea uniformemente válida en todos (perpen-
dicular) por encima, en o por debajo de la giroescala de iones, ordenamos
ki â € 1, (44)
en la que Łi = vthi/đi es el ion giroradius, ♥i = qiB0/cmi el ion
Frecuencia del ciclotrón. Tenga en cuenta que
Sí. (45)
17 Se puede demostrar que las temperaturas de equilibrio cambian en la escala de tiempo
- 1 (Howes et al. 2006). Por otro lado, de la teoría estándar
del transporte por colisión (por ejemplo, Helander & Sigmar 2002), el ion y elec-
las temperaturas de tron se igualan en la escala de tiempo
1/21ii [véase
Eq. (51)]. Por lo tanto, puede apartarse de la unidad por una cantidad de orden
•2(l/l/ii)(mi/me)1/2. En nuestro esquema de pedidos [Eq. (49).], este es O(+2) y,
Por lo tanto, deberíamos simplemente establecer = 1 + O()2. Sin embargo, llevaremos la
parámetro porque otros esquemas de pedido son posibles que permiten arbitrarios
valores de . Estos son apropiados para plasmas con colisiones muy débiles. Por
ejemplo, en el viento solar, parece ser la unidad de orden, pero no exactamente 1
(Newbury et al. 1998), mientras que en acreción fluye cerca del agujero negro, algunos
los modelos predicen el valor de 1 (véase el punto 8.5).
12 SCHEKOCHIHIN ET AL.
FIG. 3.— Regiones de validez en el espacio de números de onda de dos aproximaciones primarias—los dos fluidos (Apéndice A.1) y girocinéticos (§ 3). El girocinético
la teoría se sostiene cuando kâ â € € ~ kâ € ~ y â € ~ ~ i [cuando kâ € ~ kâ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ kâ ~ ~ ~ ~
i, el segundo requisito se cumple automáticamente para los modos Alfvén, lento y entropía; véase
Eq. (46)]. Las ecuaciones de dos fluidos se mantienen cuando kmfpi 1 (límite collisional) y ki 1 (plasma magnético). Tenga en cuenta que la teoría girocinética se mantiene para todos
pero las escalas más grandes (exteriores), donde no se puede asumir la anisotropía.
Suponiendo que las frecuencias alfvénicas implican
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
- Sí. (46)
Por lo tanto, la girocinética es un límite de baja frecuencia que promedia sobre
las escalas de tiempo asociadas con el giro de partículas. Porque
hemos asumido que las fluctuaciones son anisotrópicas y tienen
(por orden de magnitud) Frecuencias alfvénicas, vemos desde
Eq. (46) que su frecuencia se mantiene muy por debajo de los límites de la letra i) en todas las escalas,
incluyendo el ion e incluso la giroescala electrónica—el giroki-
netics sigue siendo válido en todas estas escalas y el ciclotrón-
los efectos de frecuencia son insignificantes (cf. Quataert & Gruzinov
1999).
3.1.2. Fluctuaciones
Ecuación (3) nos permite ordenar las fluctuaciones de la escalar
potencial: por un lado, tenemos de Eq. (3) u â € € € € € â € ~ vA; el
por otra parte, la velocidad de flujo másico del plasma es (al nivel más bajo
orden) la velocidad de deriva E×B de los iones, u cE/B0
ck/B0, así que
- Sí. (47)
Todas las demás fluctuaciones (magnético, densidad, velocidad paralela) son
ordenado de acuerdo con Eq. (12).
Tenga en cuenta que el orden de la velocidad de flujo dictado por
Eq. (3) significa que estamos considerando el límite de Mach pequeño
números:
M â € ¢ u
. (48)
Esto significa que la descripción girocinética en la forma utilizada
abajo no se extiende a grandes flujos sónicos que pueden ser
presente en muchos sistemas astrofísicos. Es, en principio,
posible extender la girocinética a sistemas con sónico
flujos (por ejemplo, en la geometría toroidal; véase Artun & Tang 1994;
Sugama & Horton 1997). Sin embargo, no seguimos esto.
ruta porque tales flujos pertenecen a la misma clase de non-
características exteriores universales como la densidad de fondo y tem-
gradientes de peratura, geometría específica del sistema, etc.—estos pueden
todos se ignoran a pequeña escala, donde la turbulencia debe ser
aproximadamente homogéneos y subsónicos (siempre que
1, véase la discusión en § 1.5.1).
3.1.3. Colisiones
Por último, queremos que nuestra teoría sea válida tanto en el colli-
y los regímenes sin colisiones, por lo que no suponemos
• ser más pequeño o más grande que el (ion) de colisión fre-
Quency
kmfpi
* 1, (49)
en la que mfpi = vthi/ vii es el camino libre medio ion (este orden-
En realidad, se puede inferir de la equiparación de la girocinética en
condiciones de producción de la tropia para la producción de la entropía de colisión;
ver discusión extendida en Howes et al. 2006). Tenga en cuenta que la
orden (49) se mantiene en el entendimiento de que hemos ordenado
ki â € 1 [Eq. (44)] porque la frecuencia de fluctuación puede de-
pluma en ki en el rango de disipación (véase § 7.3).
Otras tasas de colisión están relacionadas con νii a través de un conjunto de normas
fórmulas (véase, por ejemplo, Helander & Sigmar 2002), que serán
útil en lo siguiente:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
3/2
/ii, (50)
TURBULENCIA KINÉTICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 13
νie =
3/2
/ii, (51)
νii =
2ηZ4e4ni ln
, (52)
donde lnŁ es el logaritmo de Coulomb y el factor numérico
en la definición de νie se ha insertado para notación futura
conveniencia (véase el apéndice A). Siempre definimos
mfpi =
, mfpe =
- ¡Mfpi! - ¡Mfpi! - ¡Mfpi! (53)
El orden de la frecuencia de colisión expresada por
Eq. (49) significa que las colisiones, aunque no dominantes como en
la descripción del fluido (apéndice A), se mantiene en
la versión de la teoría girocinética adoptada por nosotros. Sus
la presencia es necesaria para que podamos asumir
que la distribución de equilibrio es Maxwellian [Eq. (54)
a continuación] y para que la producción de calefacción y entropía sea
tratados correctamente (§ 3.4 y § 3.5). Sin embargo, nuestro pedido de
las colisiones y las amplitudes de fluctuación (§ 3.1.2) imponen
ciertas limitaciones: por lo tanto, no podemos tratar la clase de no lineal
fenómenos que implican la captura de partículas por varianza paralela
fluctuaciones, colas no-Maxwellianas de distribuciones de partículas,
inestabilidades plasmáticas derivadas de la presión de equilibrio
anisotropías (espejo, fierros) y sus posibles no lineales
evolución a grandes amplitudes (ver discusión en § 8.3).
La región de validez de la aproximación girocinética en
el espacio de número de onda se ilustra en la Fig. 3—se abraza
todas las escalas que se espera que sean atravesadas por el
cascada de energía anisotrópica (excepto las escamas cercanas a la
escala exterior).
Como hemos explicado anteriormente, me/mi, βi, ki y kmfpi (o
Se les asigna unidad de orden en la expansión girocinética.
Expansiones subsidiarias en pequeños me/mi (§ 4) y en pequeños o pequeños
grandes valores de los otros tres parámetros (de 5 a 7) pueden ser automotrices.
En una fase posterior, siempre y cuando sus valores no sean tan grandes.
o pequeño como para interferir con la expansión primaria en.......................................................................................................................................................................................................................................................... Estos
expansiones producirá modelos más simples de turbulencia con más
dominios restringidos de validez que la girocinética.
3.2. Ecuación girocinética
Dado el orden girocinético introducido arriba, el ex-
la pansión de la función de distribución hasta el primer orden en
estar escrito como
fs(t,r,v) = F0s(v) −
qs/23370/(t,r)
F0s(v) + hs(t,Rs,v,v®). (54)
A cero orden, es un Maxwellian:18
F0s(v) =
(ηv2ths)
v2ths
, vths =
, (55)
con densidad uniforme n0s y temperatura T0s y sin media
fluir. Como se explicará con más detalle en § 3.5, F0s tiene un
dependencia lenta del tiempo a través de la temperatura de equilibrio, T0s =
T0s(+)
2t). Esto refleja el lento calentamiento del plasma como el tur-
la energía bulenta se disipa. Sin embargo, los T0s se pueden tratar como un
constante con respecto a la dependencia del tiempo del primer orden
18 El uso del equilibrio isotrópico es una idealización significativa—esto es
se examina con más detalle en el párrafo 8.3.
función de distribución (la escala de tiempo de la fluctuación turbulenta
ciones). La parte de primer orden de la función de distribución es com-
planteado de la respuesta Boltzmann [segundo término en Eq. 54), o
Dered en Eq. (47)] y la función de distribución del girocentro hs.
La dependencia espacial de este último no se expresa por el
posición de la partícula r pero por la posición Rs de la partícula gy-
rocenter (o centro guía)—el centro de la órbita del anillo que
la partícula sigue en un campo guía fuerte:
Rs = r +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
. (56)
Por lo tanto, parte de la dependencia de velocidad de la distribución
función se subsume en la dependencia Rs de hs. Explícitamente,
hs depende sólo de dos variables de velocidad-espacio: es cus-
tomary en la literatura girocinética para que éstos sean elegidos como
la energía de partículas s = msv
2/2 y su primera invariación adiabática
ant μs = msv
/2B0 (ambos cantidades conservadas a dos cantidades más bajas
órdenes en la expansión girocinética). Sin embargo, en una recta
uniforme campo de guía B0, el par (v,v) es una opción más simple,
, que se utilizará principalmente en lo que sigue (debemos
veces encontrar un par alternativo, v y â € = vâ € / v, útil, especialmente
cuando se trate de colisiones). Se debe mantener constantemente en
mente que los derivados de hs con respecto al espacio de velocidad
variables se toman en Rs constantes, no en r constante.
La función hs satisface la ecuación girocinética:
Rs,hs} =
qsF0s
Rs
donde
χ(t,r,v) =
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
, (58)
los paréntesis Poisson se definen de la manera habitual:
Rs,hs} = ·
Rs
× Łhs
, (59)
y se introduce la notación media del anillo:
(t,r,v)Rs =
t,Rs −
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
, (60)
donde es el ángulo en el espacio de velocidad tomado en el plano
perpendicular al campo guía B0. Tenga en cuenta que, mientras que χ es
una función de r, su media de anillo es una función de Rs. Nota
también que los promedios del anillo dependen del índice de especies, como
hace la variable girocentro Rs. Ecuación (57) se obtiene por
transformar la ecuación cinética de primer orden al girocentro
variable (56) y anillo promediando el resultado (ver Howes et al.
2006, o las referencias dadas al principio del § 3). Los
En el documento de trabajo se examina la integración de la colisión mediada por anillo ( > hs/ > t)c.
pendix B.
3.3. Ecuaciones de campo
A Eq. (57), debemos añadir las ecuaciones que determinan
el campo electromagnético, a saber, los potenciales
A(t,r) que introduce la expresión para χ [Eq. (58)]. En el
límite no relativista (vthi â € c), estos son el plasma cuasi-
la neutralidad [que sigue de la equa de Poisson
ión (38) al orden más bajo en vthi/c]:
qsđns =
n0s +
d3vÃ3hsár
14 SCHEKOCHIHIN ET AL.
y las partes paralelas y perpendiculares de la ley de Ampère
[Eq. (39) hasta el orden más bajo, en los siguientes términos y en vthi/c]:
# 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
j = −
d3vvhsár, (62)
# 2 # B # # # # # # B # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vóvóvóhsór
, (63)
donde hemos utilizado B = · (A) y se cayó el dis-
corriente de colocación. Puesto que las variables de campo...................................................................................
funciones de la variable espacial r, no del girocentro vari-
poder Rs, tuvimos que determinar la contribución de la gy-
función de distribución rocenter hs a la distribución de carga en
fija r mediante la realización de una operación de giroaverage dual a la
promedio del anillo definido en Eq. (60):
(t,Rs,v,v)r =
t,r +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
,v,v
En otras palabras, las integrales de velocidad-espacio en Eqs. (61-63)
se realizan sobre hs en constante r, en lugar de constante Rs.
Si nosotros Fourier transformamos hs en Rs, la operación de giroaverage
adopta una forma matemática simple:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Eik-Rsrhsk (t.v.v.v.v.)
eik·r
ik · v
hsk(t,v,v)
eik·rJ0(as)hsk(t,v,vÃ3r), (65)
donde como = kv/el y J0 es una función de Bessel que surgió
desde el ángulo integral en el espacio de velocidad. En Eq. (63), una
cálculo análogo teniendo en cuenta el depen-
dence de v conduce a
B = −
eik·r
d3vmsv
J1(as)
hsk(t,v,v).
Nótese que Eq. (63) [y, por lo tanto, Eq. (66)] es el giroki-
Equivalente neto del balance de presión perpendicular que ap-
peraed en § 2 [Eq. (22)]:
B0-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-
= ·
d3v vhsár
= ·
t,r +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
,v,v
= :
d3vmsvv hsr = : ŁP,(67)
donde hemos integrado por partes con respecto a la
(cf. gle) y usado (v/) = v, 2v/2 = −v (cf. la
Apéndice de Roach et al. 2005).
Una vez determinados los campos, tienen que ser substi-
en χ [Eq. (58)] y el anillo de resultado promedió [Eq. (60)].
Una vez más, enfatizamos que las funciones de A, A y B son de r,
mientras que Rs es una función de Rs. La transformación es ac-
realizado a través de un cálculo análogo al que llevó a
Eqs. (65) y (66):
Rs =
eik·RsRs,k, (68)
Rs,k = J0(as)
vâ € € € TM ak
v2ths
J1(as)
. (69)
La última ecuación establece una correspondencia entre el
Fourier transforma de los campos con respecto a r y el
Transformación de Fourier de Rs con respecto a Rs.
3.4. La energía generalizada y la cascada cinética
Como se prometió en el § 1.4, el concepto central unificador de este
Ahora se introduce el papel.
Si multiplicamos la ecuación girocinética (57) por T0shs/F0s
e integrar sobre las velocidades y girocentros, encontramos que
el término no lineal conserva la varianza de hs y
d3Rs qs
Rs
T0shs
. (70)
Ahora sumemos esta ecuación sobre todas las especies. El primer mandato
en el lado derecho es
Rs
d3váhsár −
d3vávhsár
d3rE · j, (71)
donde hemos usado Eq. (61) y la ley de Ampère [Eqs. (62-
63)] para expresar las integrales de hs. El segundo mandato sobre la
a la derecha es el trabajo total realizado en plasma por unidad de tiempo.
Usando la ley de Faraday [Eq. (37)] y la ley de Ampère [Eq. (39).],
puede ser escrito como
d3rE · j = − d
B2
+ Pext, (72)
donde Pext −
d3rE · jext es la potencia total inyectada en la
sistema por las fuentes de energía externas (agitación a escala externa;
términos del flujo energético de Kolmogorov utilizado en la escala
argumentos en § 1.2, Pext = Vmin0i
sume). Combinando Eqs. (70-72), encontramos (Howes et al. 2006)
T0sÃ3h2sÃ3r
B2
= Pext +
T0shs
. (73)
W es una cantidad definida positiva — esto se hace explícito si nosotros
utilizar Eq. (61) expresarlo en términos de la distri-
función de bution fs = −qs/23370/F0s/T0s + hs [véase Eq. (54)]:
T0s/23370/ f
B2
. (74)
LA TURBULENCIA KINÉTICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 15
Nos referiremos a W como la energía generalizada. Usamos esto.
para enfatizar el papel de W como la cantidad en cascada en
turbulencia girocinética (véase más adelante). Esta cantidad es, de hecho,
la versión girocinética de un var-
iodialmente conocido como el gran poten canónico generalizado...
(véase Hallatschek 2004, que señala la
función de esta cantidad en simulaciones de turbulencias plasmáticas) o libres
energía (por ejemplo, Fowler 1968; Scott 2007). El no magnético
parte de W está relacionada con la entropía perturbada de la
tem (Krommes & Hu 1994; Sugama et al. 1996; Howes et al.
2006; Schekochihin et al. 2008b, véase el análisis en § 3.5).19
Ecuación (73) es una ley de conservación del
ergy: Pext es la fuente y el segundo término a la derecha
lado, que es negativo definido, representa dis-
pation. Esto sugiere que podríamos pensar en plasma cinético
turbulencia en términos de la energía generalizada W inyectado por
la agitación a escala exterior y disipada por colisiones. En o...
der para que la disipación sea importante, el término de colisión en
Eq. (73) tiene que ser comparable a Pext. Esto puede suceder.
de dos maneras:
1. En las escalas de colisión (kmfpi + 1) debido a las desviaciones de
la función de distribución perturbada de un local por
Maxwellian turbed (véanse el punto 6.1 y el apéndice D);
2. A escalas sin colisión (kmfpi 1) debido al desarrollo-
de pequeñas escalas en el espacio de velocidad —
(véase § 6.2.4) o v (que se acompaña de
por el desarrollo de pequeñas escalas perpendiculares en el
espacio de posición; véase § 7.9.1).
Por lo tanto, la disipación es sólo importante en particular (pequeño)
básculas, que generalmente están bien separadas del exterior
escala. La energía generalizada se transfiere desde el exterior
escalar a las escalas de disipación a través de una cascada no lineal. Nosotros
se llamará la cascada cinética. Es análogo a la energía
cascada en turbulencias fluidas o MHD, pero conceptualmente nuevas
La característica está presente: las pequeñas escalas en las que la disipación hap-
Las plumas son pequeñas escalas tanto en el espacio de velocidad como en la posición.
Considerando que los grandes gradientes de la letra v) son producidos por el lin-
mezcla en fase paralela del oído, cuyo papel en la disipa cinética
Los procesos de toma de decisiones han sido apreciados desde hace algún tiempo (Landau
1946; Hammett y otros 1991; Krommes & Hu 1994; Krommes
1999; Watanabe & Sugama 2004, véase § 6.2.4), la emergencia
de gradientes grandes en v se debe a una esencialmente no lineal
mecanismo de mezcla en fase (§ 7.9.1). A escalas espaciales más pequeñas
que el ion giroradius, esta fase perpendicular no lineal
mezcla resulta ser una más rápida y, por lo tanto, presumiblemente la
la forma dominante de generar una estructura a pequeña escala en el
ity espacio. Se previó en el desarrollo de girofluidos
momento jerarquías por Dorland & Hammett (1993). Aquí vamos.
tratarlo por primera vez como una cascada turbulenta de fase-espacio:
Esto se hace en § 7.9 y § 7.10 (ver también Schekochihin et al.
2008b).
En las secciones que siguen, derivaremos formas particulares
de W para varios casos limitantes de la teoría girocinética
(§ 4.7, § 5.6, § 6.2.5, § 7.8, Apéndices D.2 y E.2). Nosotros
ver que la cascada cinética de W es, de hecho, un directo
generalización de las cascadas de fluidos más familiares (como
19 Tenga en cuenta también que una forma cuadrática que implica tanto la distribución perturbada
función y el campo electromagnético aparece, en una forma más general que
Eq. (74), en la formulación del principio energético para el MHD cinético
aproximación (Kruskal & Oberman 1958; Kulsrud 1962, 1964). Con respecto a
la relación entre el MHD cinético y la girocinética, véase la nota 23.
las cascadas RMHD discutidas en el § 2) y que W contiene
los invariantes de energía de los modelos de fluidos en el
límites. En estos límites, la cascada de la
ergy se dividirá en varias cascadas desacopladas, como lo hizo en
el caso del RMHD (§ 2.7). Cada vez que uno de los físicamente
se cruzan las escalas importantes (§ 1.5.2) y se produce un cambio de
el régimen se produce, estas cascadas se mezclan de nuevo en
la cascada cinética general de W, que luego se puede dividir en
una manera diferente a medida que emerge en el “lado opuesto” de la
región de transición en el espacio de escala. La conversión de la
Cascada alfvénica en la cascada KAW y la entropía cas-
cade en ki 1 es el ejemplo más interesante de tal
transición, discutida en el § 7.
La energía generalizada parece ser la única cuadrática
invariante de la girocinética en tres dimensiones; en dos dimensiones
Sions, aparecen muchas otras invariantes (véase el Apéndice F).
3.5. Calefacción y entropía
En un estado estacionario, todo el poder turbulento inyectado
por la agitación externa se disipa y así se transfiere a
Calor. Matemáticamente, esto se expresa como un lento aumento en
la temperatura del equilibrio Maxwelliano. En girokinet...
ics, la escala de tiempo de calefacción se ordena como â € (â € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ \ ~ \ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
Aunque la disipación de las fluctuaciones turbulentas puede
estar ocurriendo “sin colisión” a escalas tales que kmfpi 1
(por ejemplo, a través de la interacción onda-partícula en la giroescala de iones; § 7.1),
la calefacción resultante debe efectuarse en última instancia con la ayuda
de colisiones. Esto se debe a que la calefacción es un proceso irreversible
y es una pequeña cantidad de colisiones que hacen “sin colisión”
amortiguación irreversible. En otras palabras, el calentamiento lento de la
El equilibrio Maxwelliano es equivalente a la producción de entropía
y el teorema H de Boltzmann requiere rigurosas colisiones para
Hacer esto posible. De hecho, la entropía total de las especies es
Ss = −
d3v fs ln fs
F0s lnF0s +
f 2s
+ O(3), (75)
donde nos llevamos
d3rŁ fs = 0. Entonces no es difícil demostrar que
T0shs
donde los overlines significan un promedio de más de
el tiempo característico de las fluctuaciones turbulentas
pero más corto que el tiempo de calentamiento típico â € (â € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
Howes et al. 2006; Schekochihin et al. 2008b para un informe detallado
derivación de este y los resultados relacionados sobre la calefacción en gyroki-
netics; véase también las discusiones anteriores sobre la producción de entropía
en girocinética por Krommes & Hu 1994; Krommes 1999;
Sugama et al. 1996). Hemos omitido el término que describe el
ecualización de la temperatura de colisión interespecies. Tenga en cuenta que
A ambos lados de Eq. (76) son el orden «2».
Si ahora tenemos un promedio de tiempo Eq. (73) de manera similar, el
lado izquierdo desaparece porque es un derivado del tiempo de un
cantidad fluctuante en la escala de tiempo 1 y confirmamos
que el lado derecho de Eq. (76) es simplemente igual al av-
potencia de eliminación Pext inyectada por agitación externa. La importación de
Eq. (76) es que nos dice que la calefacción sólo se puede efectuar
por colisiones, mientras que Eq. (73) implica que la potencia inyectada
llega a las escalas de colisión en velocidad y espacio de posición por
medios de una cascada cinética de energía generalizada.
16 SCHEKOCHIHIN ET AL.
El primer término en la expresión para la energía generalizada
(74) es −
s T0s/23370/Ss, donde ♥Ss es la entropía perturbada [ver
Eq. (75)]. El segundo término en Eq. (74) es energía magnética.
La amortiguación sin colisiones de las fluctuaciones electromagnéticas puede ser
como una redistribución de la energía generalizada, trans-
ferring la energía electromagnética en las fluctuaciones de la entropía,
mientras que el total de W se conserva (un simple ejemplo de cómo que
ocurre para las fluctuaciones de compresión sin colisiones en el iner-
El rango de tial se define en § 6.2.3).
La contribución a la entropía perturbada de la gy-
distribución rocenter es la integral de −h2s/2F0s,
Ecuación de evolución (70) puede ser visto como el girocinético
versión del teorema H. El primer término a mano derecha
lado de esta ecuación representa la interacción onda-partícula
(colisión sin amortiguación). En promedio de tiempo, está relacionado con
el trabajo realizado en plasma [Eq. (71)] y, por lo tanto, a la media
potencia inyectada externamente Pext a través de Eq promedio de tiempo. (72).
En un estado estacionario, esto se equilibra por el segundo término en el
a la derecha de Eq. (70), que es el calentamiento por colisión,
o entropía-producción, término que también aparece en Eq. (76).
Así, la energía generalizada canalizada por sin colisión
la amortiguación en las fluctuaciones de la entropía se convierte eventualmente
en el calor por colisiones. La cascada de entropía sub-giroescala,
que lleva la función de distribución perturbada hs a col-
escalas lisionales, se analizarán más a fondo en § 7.9 y § 7.10
(véase también Schekochihin et al. 2008b).
Esto concluye una breve imprimación sobre la girocinética necesaria
(y suficiente) para una comprensión adecuada de lo que es
Baja. Formalmente, todas las demás derivaciones analíticas de este documento
son simplemente expansiones subsidiarias de la girocinética en el pa-
rameters que enumeramos en § 3.1: en § 4, nos expandimos en (me/mi)
en el § 5 en ki (seguido de nuevas expansiones subsidiarias en
grandes y pequeños kmfpi en § 6), y en § 7 en 1/ki.
4. FLUIDO DE ELECTRONA ISOTERMAL
En esta sección, realizamos una expansión del electrón gy-
Ecuación rokinética en poderes de (me/mi)
1/2 0,02 (para hidro-
en plasma). En casi todos los casos de interés, esta expansión
se puede hacer mientras se sigue considerando
βi, ki, y kmfpi a
ser unidad de orden.21 Tenga en cuenta que la suposición ki 1 juntos
con Eq. (45) significa que
ke ki(me/mi)1/2 â € 1, (77)
Es decir, la expansión en (me/mi)
1/2 significa también que somos
considerando escalas más grandes que el girorradio electrónico. Los
idea de tal expansión de la ecuación cinética electrónica
ha sido utilizado muchas veces en la literatura de física de plasma.
La expansión de masa-ratio de la ecuación girocinética en un
forma muy similar a lo que se presenta a continuación se encuentra en
Snyder & Hammett (2001).
20 Tenga en cuenta que Eq. (72) es válido no sólo en la forma integral sino también indi-
Vidualmente para cada número de onda: de hecho, utilizando el Fourier-transformado Fara-
día y las leyes de Ampère, tenemos Ek · j
k + E
k · jk = Ek · j
ext,k + E
k · jext,k −
(1/4η)Bk2/Łt. En un estado estacionario, el promedio de tiempo elimina el tiempo
derivado de la energía de fluctuación magnética, por lo que Ek · j*k + E
k · jk = 0 en total k
excepto los correspondientes a la escala exterior, en la que la energía exterior
jection ocurre. Esto significa que por debajo de la escala exterior, el trabajo realizado en uno
las especies equilibran el trabajo realizado en la otra. La interacción onda-partícula
término en la ecuación girocinética es responsable de este intercambio de energía.
21 Una excepción notable es el dispositivo LAPD en UCLA, donde β 10−4 −
10−3 (debido principalmente a la presión de los electrones porque los iones están fríos,
0,1, por lo que βi • βe/10; véase, por ejemplo, Morales et al. 1999; Carter et al. 2006). Esto
interfiere con la expansión de masa-ratio.
La principal importancia de esta sección será técnica: nosotros
prescindirá de la ecuación girocinética electrónica y, por lo tanto,
preparar el terreno necesario para futuras aproximaciones. Los
Los principales resultados se resumen en § 4.9. Un lector que es sólo
el interés en seguir cualitativamente los principales pasos de la
derivación puede saltar a este resumen.
4.1. Ordenar los términos en la ecuación cinética
En vista de Eq. (77), ae â € 1, por lo que podemos ampliar el Bessel
funciones derivadas del promedio sobre el anillo de electrones mo-
ión:
J0(ae) = 1 −
a2e + · · ·,
J1(aes)
a2e + · · ·
. (78)
Mantener sólo los términos de orden más bajo de las expansiones anteriores
en Eq. (69) para Re, a continuación, sustituyendo esto Re y qe =
−e en la ecuación girocinética electrónica, obtenemos lo siguiente
Ecuación cinética para los electrones, precisa hasta e incluyendo
el primer orden en (me/mi)
1/2 (o en ke):
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
v2the
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
v2the
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (79)
Nótese que en Eq. (79) se toman en r = Re. Nosotros
han indicado el orden más bajo al que cada uno de los términos
entra si se compara con vhe/lz. Con el fin de obtener estos
estimaciones, hemos supuesto que la introducción de orden físico
en el apartado 3.1, con respecto a la ampliación de la filial
en (me/mi)
1/2 así como para la expansión girocinética primaria
en â € TM, para que podamos utilizar Eqs. 3) y (12) para ordenar los términos con re-
spec to (me/mi)
1/2. También hemos hecho uso de Eqs. (45), (47),
y de las tres relaciones siguientes:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (80)
(vâr/c)A
- ¡No! - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
, (81)
v2the
βi. (82)
El término de colisión se estima como orden cero porque [ver
Eqs. 49), (50)]
kmfpi
. (83)
Las consecuencias de otros posibles pedidos de la colisión
los términos se discuten en § 4.8. Recordamos al lector que todos
Parámetros adimensionales, con excepción de los siguientes: (me/mi)1/2 y (me/mi)
son considerados como la unidad del orden.
Ahora dejamos que él = h
e + h
e +. .. y llevar a cabo la expansión
a dos órdenes más bajas en (me/mi)
4.2. Orden cero
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 17
Para el orden cero, la ecuación cinética electrónica es
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
h(0)e
, (84)
donde hemos reunido los términos en el lado izquierdo a
tomar la forma de la derivada de la función de distribución
a lo largo del campo magnético perturbado:
bâ â € = â € = â €
= ♥
A, · · ·
. (85)
Ahora multiplicamos Eq. (84) por h(0)e /F0e e integrar sobre v y
r (ya que sólo estamos manteniendo los términos de orden más bajo, el distinc-
sión entre r y Re no importa aquí). Desde B = 0,
el lado izquierdo desaparece (suponiendo que todas las perturbaciones sean
o bien periódico o desaparecer en los límites) y obtenemos
h(0)e
h(0)e
E = 0.
El lado derecho de esta ecuación es cero porque la
velocidad de flujo de electrones es cero en el orden cero, u(0)
(1/n0e)
d3vvÃ3h
e = 0. Esto es una consecuencia del paral-
ley de lel Ampére [Eq. (62)], que puede escribirse como sigue:
uâ € =
4ηen0e
2A + uçi, (87)
donde
u'i =
eik·r
d3vvóJ0(ai)hik. (88)
Los tres términos en Eq. (87) puede estimarse como sigue:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
â € ¢, (89)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
4ηen0evA
*Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki*
â € ¢, (91)
donde hemos utilizado el orden fundamental (12) de la lenta
oleajes y ondas alfvén. Por lo tanto, la
dos términos en el lado derecho de Eq. (87) son un orden de
(me/mi)
1/2 menor que u(0)
E, lo que significa que a cero orden,
la ley paralela de Ampère es u(0)
E = 0.
El operador de colisión en Eq. (86) contiene electrones–
colisiones de electrones e iones de electrones. Al orden más bajo en
(me/mi)
1/2, el operador de colisión electrón-ion es simplemente el
operador de dispersión de ángulo de tono [véase Eq. (B20) en el apéndice B
y recuerden que uçái es de primer orden]. Por lo tanto, podemos entonces
reescribir Eq. (86) del siguiente modo:
h(0)e
Cee[h
V.D. v.
1 - 2
h(0)e
= 0. (92)
Ambos términos en esta expresión son negativos definidos y deben,
por lo tanto, desaparecer individualmente. Esto implica que h(0)e debe ser
una distribución Maxwelliana perturbada con cero
ity (esto se desprende de la prueba del teorema H de Boltzmann;
Véase, por ejemplo, Longmire 1963), es decir, la distribución completa de electrones
función a orden cero en la expansión de masa-ratio es [ver
Eq. (54)]:
fe = F0e +
+ h(0)e =
2ηTe/me
, (93)
donde ne = n0e + Łne, Te = T0e + ♥Te. Expandiendo alrededor de la
Maxwellian F0e, tenemos
h(0)e =
v2the
F0e, (94)
donde los campos se toman en r = Re. Ahora sustituya esto así que...
la contaminación de nuevo en Eq. (84). El término de colisión desaparece y el
la ecuación restante debe ser satisfecha en todos los valores de v.
da
+ T0e
, (95)
bâ Te
= 0. (96)
El término de colisión es descuidado en Eq. (95) porque, para h(0)e
dado por Eq. (94), desaparece a cero orden.
4.3. Conservación del flujo
Ecuación (95) implica que el flujo magnético se conserva
y las líneas de campo magnético no se pueden romper al orden más bajo en
la expansión de masa-ratio. De hecho, podemos seguir a Cowley.
(1985) y argumentan que el lado izquierdo de Eq. (95) es menos
la proyección del campo eléctrico sobre el campo magnético total
[véase Eq. (37)], así que tenemos
E · b = − b
; (97)
por lo tanto el campo eléctrico total es
Î − bóbó
y la ley de Faraday se convierte en
= −cE = (ueff ×B), (99)
ueff =
E T0e
×B, (100)
Es decir, las líneas de campo magnético se congelan en el campo de velocidad
Ueff. En el Apéndice C.1, mostramos que esta velocidad efectiva es
la parte de la velocidad de flujo del electrón ue perpendicular a la
campo magnético total B [véase Eq. (C6)].
La conservación del flujo se rompe en los órdenes más altos de la
expansión de masa-ratio. En el primer orden, resistividad Ohmic para...
Mally entra en Eq. (95) (a menos que las colisiones sean aún más débiles)
de lo que se supone hasta ahora; si se degrada una orden como es
hecho en § 4.8.3, la resistividad entra en el segundo orden). En el
segundo orden, la inercia electrónica y la finitud de los elec-
tron giroradius también conduce a la descongelación del flujo. Esto puede ser
visto formalmente manteniendo términos de segundo orden en Eq. (79), mul-
la tipplying por vÃ3 y la integraciÃ3n sobre velocidades. El pariente
se evalúa la importancia de estos mecanismos de descongelación del flujo
en el § 7.7.
18 SCHEKOCHIHIN ET AL.
4.4. Electrones isotérmicos
Ecuación (96) ordena que el temple electrón perturbado-
ature debe permanecer constante a lo largo de las líneas de campo perturbadas.
Estrictamente hablando, esto no impide que la
las líneas de campo. Sin embargo, ahora vamos a asumir que te = const (ha
sin variación espacial), lo que está justificado, por ejemplo, si las líneas de campo
son estocásticos. Asumiendo que ninguna perturbación espacialmente uniforme...
ciones existen, podemos establecer Te = 0. Ecuación (94) luego reduce
h(0)e =
F0e(v), (101)
o, usando Eq. (54),
fe =
F0e(v). (102)
Por lo tanto sigue la ecuación de estado para los electrones isotérmicos:
* Pe = Tune. (103)
4.5. Primera orden
Ahora integramos Eq. (79) sobre el espacio de velocidad y retener
los términos de orden más bajos (primero). Usando Eq. (101), tenemos
¡Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
= 0, (104)
donde la velocidad del electrón paralelo es el primer orden:
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
d3vvÃ3h
e. (105)
La integral velocidad-espacio del término de colisión no entra
porque es subdominante por al menos un factor de (me/mi)
En efecto, como se muestra en el apéndice B.1, la integración de la velocidad
conduce a un factor adicional de k2
e, para que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
, (106)
donde hemos usado Eqs. (45) y (50). El término de colisión
es subdominante debido al orden de la colisión de iones
frecuencia dada por Eq. (49).
4.6. Ecuaciones de campo
Usando Eq. (101) y qi = Ze, n0e = Zn0i, T0e = T0i/
derivamos de la ecuación de cuasi-neutralidad (61) [véase también
Eq. (65)]
eik·r
d3vJ0(ai)hik, (107)
y, desde la parte perpendicular de la ley de Ampère [Eq. (66),
usando también Eq. (107)],
eik·r
J0(ai) +
v2thi
J1(ai)
. (108)
La velocidad del electrón paralelo, u®e, se determina a partir de la par-
Alle parte de la ley de Ampère, Eq. (87).
La función de distribución de iones hola que entra en estas ecuaciones
debe determinarse resolviendo la ecuación girocinética de iones:
Eq. (57) con s = i.
4.7. Energía Generalizada
La energía generalizada (§ 3.4) para el caso de la isotermia
Los electrones se calculan sustituyendo Eq. (102) en Eq. (74):
T0iää f
n0eT0e
B2
, (109)
en los que fi = hola −
Zeel/T0i
F0i [véase Eq. (54)].
4.8. Validez de la expansión de la masa-ratio
Examinemos el rango de escalas espaciales en las que la
Las ecuaciones derivadas anteriormente son válidas. En la realización de la ex-
pansion in (me/mi)
1/2, ordenamos ki â € 1 [Eq. (77)] y
kmfpi â € 1 [Eq. (83)]. Formalmente, esto significa que la persona...
las longitudes de onda diicular y paralela de las perturbaciones no deberán
ser tan pequeño o tan grande como para interferir con la relación de masa ex-
Pansión. Ahora debatimos las cuatro condiciones que esto requiere:
En el caso de que se produzca una violación de los derechos de propiedad intelectual y de los derechos de propiedad intelectual, el Estado miembro de que se trate podrá exigir a la Comisión que le presente un informe sobre la aplicación de los derechos de propiedad intelectual de conformidad con el artículo 10, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 18 de diciembre de 1971, por el que se establece un derecho antidumping definitivo sobre las importaciones de determinados productos textiles originarios de la República Popular China, así como sobre las importaciones de determinados productos textiles originarios de la República Popular China, de la República Popular China, de la República Popular China, de la República Popular China, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea y de Suiza, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de España, de la República de Corea, de España, de España, de la República de España, de la República de España, de la República Checa, de la República de
destruir la validez de las ecuaciones derivadas anteriormente.
4.8.1. ki (mi/mi)
Esto es equivalente a exigir que ke â € 1, una condición
que era, de hecho, esencial para que la expansión se celebrara [Eq. (78)].
Esto no es una limitación seria porque los electrones pueden ser
sidered bien magnetizado en prácticamente todas las escalas de interés para
aplicaciones astrofísicas. Sin embargo, perdemos el de-
información sobre algunos importantes electrones de la física en
1: por ejemplo tales efectos como amortiguación de la onda en el
giroescala de electrones y el calentamiento de electrones (aunque el total
cantidad del calentamiento del electrón se puede deducir restando
la calefacción por iones a partir de la entrada total de energía). La ruptura de
la conservación del flujo (resistividad) es también un efecto que requiere
incorporación de la física de giroescala de electrones finitos.
4.8.2. ki (me/mi)
Si esta condición se rompe, la expansión pequeño-ki, coche-
en el § 5, debe, formalmente hablando, preceder a la misa-
Expansión de la relación. Sin embargo, resulta que el pequeño-
La expansión ki se desplaza con la expansión masa-ratio
(Schekochihin y otros 2007, véase también la nota 23), por lo que
puede utilizar las ecuaciones derivadas en 4.2-4.6 cuando ki.
(me/mi)
4.8.3. kmfpi (mi/mi)
Consideremos lo que sucede si esta condición se rompe
y kmfpi & (mi/me)
1/2. En este caso, las colisiones serán...
y el procedimiento de ampliación debe ser mod-
ified. Es decir, el término de colisión recoge un orden adicional de
(me/mi)
1/2, por lo que es el primer orden en Eq. 79). A cero orden,
la ecuación cinética electrónica ya no contiene colisiones: in-
en lugar de Eq. (84), tenemos
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
. (110)
Podemos buscar la solución de esta ecuación en la forma h(0)e =
H(t,Re)F0e + h
e,hom, donde H(t,Re) es una función desconocida para
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 19
FIG. 4. Región de validez en el espacio de número de onda de la aproximación secundaria: electrones isotérmicos e iones girocinéticos (§ 4). Es la región
de validez de la aproximación girocinética (fig. 3) más circunscritas por dos condiciones: kmfpi (me/mi)
1/2 (electronas isotérmicas) y ke 1
(electros magnéticos). También se muestra la región de validez de la teoría fuertemente magnetizada de dos fluidos (Apéndice A.2). Es lo mismo que para el dos-fluido completo
teoría más la restricción adicional ki kmfpi. La región de validez de MHD (o teoría de un fluido) es el subconjunto de esto con kmfpi â € (me/mi)
(electros adiabaticos).
se determinará y h(0)e,hom es la solución homogénea satis-
Fying
bâ h(0)e,hom = 0, (111)
Es decir, h(0)e,hom debe ser constante a lo largo del magnético perturbado
campo. Esta es una generalización de Eq. (96). Asumiendo de nuevo
líneas de campo estocástico, concluimos que h(0)e,hom es independiente
del espacio. Si descartamos perturbaciones espacialmente uniformes,
puede establecer h(0)e,hom = 0. La función desconocida H(t,Re) es fácilmente
expresados en términos de «ne» y «e»:
d3vh(0)e H =
, (112)
así h(0)e es dado de nuevo por Eq. (101), por lo que las ecuaciones derivadas
en el punto 4.2-4.6 no se alteran. Por lo tanto, la expansión de la masa-ratio
sigue siendo válido en kmfpi & (mi/me)
4.8.4. kmfpi (me/mi)
Si la longitud de onda paralela de las fluctuaciones es tan larga que
esto es violado, kmfpi. (me/mi)
1/2, el término de colisión en
Eq. (79) es menos el primer orden. Este es el término de orden más bajo en
la ecuación. Establecerlo a cero obliga a h(0)e a ser un perturbado
Maxwellian de nuevo dado por Eq. (94). En lugar de Eq. (84), el
Ecuación cinética de orden cero es
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
h(1)e
. (113)
Ahora el término de colisión en este orden contiene h(1)e, que
se puede determinar a partir de Eq. (113) mediante la inversión de los colli-
Operadora de iones. Esto establece una teoría de la perturbación que en
curso conduce a la versión reducida MHD de la general
Ecuaciones MHD—esto es lo que se consideró en § 2. Equa-
(96) ya no tiene que sostener, por lo que los electrones no son
isotérmica. En este verdadero límite de uno-fluido, ambos electrones y
los iones son adiabáticos con temperaturas iguales [véase Eq. (115) ser-
bajo]. Los términos de transporte de colisión en este límite (paralelo
y resistividad perpendicular, viscosidad, flujos de calor, etc.) fueron
calculado [comenzando no a partir de la girocinética, sino a partir de la
Ecuación de Vlasov-Landau (36) en detalle exhaustivo por
Braginskii (1965). Sus resultados y la forma en que RMHD emerge
de ellos se revisan en el Apéndice A.
En términos físicos, los electrones ya no pueden ser isotérmicos
si el tiempo de difusión de electrones en paralelo se hace más largo que el
tiempo característico de las fluctuaciones (el tiempo de Alfvén):
vthemfpik2
*Kmfpi*
. (114)
Además, bajo una condición similar, el electrón y el ion tem-
las peraturas deben ecualizar: esto sucede si el ion-electrón col-
el tiempo de lisión es más corto que el tiempo de Alfvén,
*Kmfpi*
(115)
(Véanse Lithwick y Goldreich 2001 para una discusión de
dicciones en aplicación al ISM).
4.9. Resumen
La descripción girocinética original introducida en el § 3 fue
un sistema de dos ecuaciones cinéticas [Eq. (57)] que evolucionó el
funciones de distribución de electrones e iones él, hi y tres campos
20 SCHEKOCHIHIN ET AL.
ecuaciones [Eqs. (61-63)] que se referían a:
Hola. En esta sección, hemos aprovechado la pequeñez
de la masa de electrones para tratar a los electrones como un isotérmico
fluido magnetizado, mientras que los iones permanecieron totalmente girocinéticos.
En términos matemáticos, resolvimos el ecua-
y sustituyó la girocinética por un sistema cerrado más sencillo.
tem de ecuaciones que evolucionan 6 funciones desconocidas:
Hola, hola. Estos satisfacen dos ecua-ecua-
ciones (95) y (104), tres relaciones integrales (107), (108), y
(87) que implican hola, y la ecuación cinética (57) para hola.
El sistema es más simple porque la distribución completa de electrones
la función ha sido sustituida por dos campos escalares.
Ahora resumimos este nuevo sistema de ecuaciones: denotando
ai = kv/đi, tenemos
+ T0e
, (116)
+ = −
,(117)
eik·r
d3vJ0(ai)hik, (118)
uâ € =
4ηen0e
# 2 A # # # # # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
eik·r
d3vvóJ0(ai)hik, (119)
eik·r
J0(ai) +
v2thi
J1(ai)
, (120)
y Eq. (57) para las colisiones s = i e ion-ion únicamente:
# Ri, hola # # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # # # # # # Ri # # # # # Ri # # # # Ri # # Ri # # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # Ri # # # # # # Ri # # # # # Ri # Ri # Ri # # # # # # # # Ri # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ri # # # # # # # # # Ri # # # Ri # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Ri
F0i + Cii[hi]*Ri,
(121)
donde â € ¢ Cii[. Ri es el ion-ion girocinético de la colisión oper-
ator (véase el apéndice B) y las colisiones ion-electrón
se ha descuidado al orden más bajo en (me/mi)
1/2 [véase Eq. (51)].
Tenga en cuenta que Eqs. (116-117) han sido escritas en forma compacta,
donde
+ uE =
, · · · (122)
es el derivado convectivo con respecto a la deriva de E×B ve-
locity, uE = −c /B0, y
bâ â € = â € = â €
= ♥
A, · · ·
(123)
es el gradiente a lo largo del campo magnético total (campo medio más
perturbación).
La energía generalizada conservada por Eqs. (116-121) es
dado por Eq. (109).
Vale la pena observar que el lado izquierdo de Eq. (116) es
simplemente menos el componente del campo eléctrico a lo largo de la a-
campo magnético tal [véase Eq. 37)]. Esto se utilizó en § 4.3 a
demostrar que el flujo magnético descrito por Eq. (116) es exactamente
(véase § 7.7 para una discusión de las escalas en las que
la conservación se rompe). Ecuación (116) es la proyección de
la ley generalizada de Ohm sobre el campo magnético total—la
El lado derecho de esta ecuación es el llamado termoelec-
Término tric. Esto se examina con más detalle en el apéndice C.1,
donde también mostramos que Eq. (117) es la parte paralela de Fara-
la ley del día y dar una derivación cualitativa no girocinética de
Eqs. (116-117).
Nos referiremos a Eqs. (116-121) como las ecuaciones de isother-
Líquido de electrones mal. Son válidos en una amplia gama de escalas:
las únicas limitaciones son que kâ â ° kâ (orden girocinético-
ing, § 3.1), ke 1 (los electrones están magnetizados, § 4.8.1) y
kmfpi (me/mi)1/2 (los electrones son isotérmicos, § 4.8.4). Los
región de validez de Eqs. (116-121) en el espacio de números de onda
se ilustra en la Fig. 4. Una ventaja particular de este híbrido
sistema cinético líquido es que es uniformemente válido a través de la
transición de iones magnetizados a iones no magnetizados (es decir, de
ki â € 1 a ki â € 1.
5. TURBULENCIA EN EL DISPOSITIVO INTERRIAL: RMHD KINETIC
Nuestro objetivo en esta sección es obtener un conjunto reducido de equa-
ciones que describen el plasma magnetizado en el límite de
ki. Antes de proceder con una expansión en ki, necesitamos
para dar un paso técnico formal, cuya utilidad será
se aclarará en breve. Un lector sin paciencia para esto o
cualquiera de los desarrollos técnicos posteriores puede saltar al
Resumen al final de esta sección (§ 5.7).
5.1. Un paso técnico
Vamos a dividir formalmente la función de distribución ion girocenter
en dos partes:
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
F0i + g
eik·Ri
J0(ai)
v2thi
J1(ai)
F0i + g. (124)
Entonces g satisface la siguiente ecuación, obtenida por substituto-
ing Eq. (124) y la expresión para Aaaat que sigue de:
Eq. (116) en la ecuación girocinética de iones (121):
# Ri # # Ri # # Cii # # Ri # # Ri # # Cii # # Cii # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Cii # # Cii # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # Ri # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
¡Aá,á,á,á,á,á,á,á,á,á, á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
+
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (125)
En la ecuación anterior, hemos utilizado la notación compacta en
escribir los términos no lineales: por ejemplo,
¡Aá,á,á,á,á,á,á,á,á,á, á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á
(r)(r)(r)(r)
# ARi # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # #
, donde el primer Poisson
se refiere a los derivados con respecto a r y al segundo
con respecto a Ri.
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 21
Las ecuaciones de campo (118-120) reescritas en términos de g son
1(αi)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 0(αi)
[Ze.k.]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vJ0(ai)gk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (126)
4ηen0e
k2AÃ3k
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vvóJ0(ai)gk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
= uki, (127)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
2(αi) +
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 1(αi)
[Ze.k.]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
v2thi
J1(ai)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (128)
donde ai = kv/đi, αi = k
i /2 y hemos definido
0(αi) =
d3v [J0(ai)]
2 F0i
= I0(αi)e
* i = 1 * i + · · · ·, (129)
1(αi) =
v2thi
J0(ai)
J1(ai)
F0i = 0(αi)
= [I0(αi) − I1(αi)]
αi + · · ·, (130)
2(αi) =
v2thi
J1(ai)
F0i = 21(αi). (131)
Debajo de cada término en Eqs. 125-128), hemos indicado
el orden más bajo en ki al que entra este término.
5.2. Orden subsidiaria en ki
Para llevar a cabo una expansión subsidiaria en ki pequeño,
Debemos ordenar todos los términos en Eqs. (95-104) y (125-128) con
respeto a ki. Asumamos de nuevo, como hicimos cuando ex-
la ecuación de electrones (§ 4), que la introducción ordenando
para la girocinética en § 3.1 también para la sub-
Expansión sidiária en ki. Primera nota que, en vista de Eq. (47),
Hay que considerar que Zeel/T0i es menos de primer orden:
. (132)
También, como Bó / Bó / Bó [Eq. (12)],
(vâr/c)A
# # # Vthi. # # B. # # B. # # # # B. # # # # Vthi. # # # B. # # # B. # # # # Vthi. # # B. # # # # Vthi. # # B. # # # # Vthi. # # # B. # #
βi, (133)
por lo que فارسى y (vÃ3r/c)AÃ3 son el mismo orden.
Puesto que uâ = uâ € i (los electrones no contribuyen al flujo de masa),
suponiendo que las ondas lentas y las ondas de Alfvén tienen comparables
las energías implican ui u. Como uóñi es determinado por el segundo
igualdad en Eq. (127), podemos ordenar g [usando Eq. (12)]:
, (134)
así que g es orden cero en ki. De la misma manera, "ne/n0e" "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "
son orden cero en ki—esto sigue directamente de Eq. (12).
Junto con Eq. 3), las consideraciones anteriores nos permiten
ordenar todos los términos en nuestras ecuaciones. El orden de la colisión
En el apéndice B.2 se explica el término en el que está implicado
5.3. Olas de Alfvén: Derivación cinética de RMHD
Demostraremos ahora que las ecuaciones RMHD (17-18) sostienen
en esta aproximación. Hay una simple correspondencia que...
entre las funciones de flujo y flujo definidas en Eq. 16) y
los potenciales electromagnéticos de los tipos A y A:
*, * = −
4ηmin0i
. (135)
La primera de estas definiciones dice que el flujo perpendicular
velocidad u es la velocidad de deriva E×B; la segunda definición
es la relación MHD estándar entre la función de flujo magnético
y el componente paralelo del potencial vectorial.
5.3.1. Derivación de Eq. (17)
Derivado Eq. (17) es sencillo: en Eq. (95), conservamos
sólo los términos más bajos —menos primero— de orden (los que contienen
* y A.................................................................................................................................... El resultado es
= 0. (136)
Usando Eq. (135) y la definición de la velocidad de Alfvén, vA =
4?min0i, tenemos Eq. (17). Por el argumento de § 4.3,
Eq. (136) expresa el hecho de que las líneas de campo magnético son
congelado en el campo de velocidad E×B, que es el flujo medio
velocidad asociada con las ondas de Alfvén (véase § 5.4).
5.3.2. Derivación de Eq. (18)
Como estamos a punto de ver, con el fin de derivar Eq. (18), tenemos
separar la parte de primer orden de la expansión ki. Los
manera más fácil de lograr esto, es integrar Eq. (125) sobre el
espacio de velocidad (manteniendo constante r) y ampliar el resultado
ecuación en ki pequeño. Usando Eqs. (126) y (127) para expresar
las integrales velocidad-espacio de g, obtenemos
1 0(αi)
[Ze.k.]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1(αi)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
4ηen0e
k2AÃ3k
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vJ0(ai)Ri,g}k
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vJ0(ai)
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
22 SCHEKOCHIHIN ET AL.
. (137)
Debajo de cada término, el orden más bajo en ki a la que
se muestra la entrada. Vemos que los términos que contienen..... son todos los primeros
orden, por lo que depende de este orden que vamos a mantener los términos. Los
término de colisión integrado en el espacio de velocidad recoge dos
órdenes adicionales de ki (véase el Apéndice B.1), por lo que es segundo orden
y, por lo tanto, puede ser abandonado. Como consecuencia de la
neutralidad, la parte de orden cero de la ecuación anterior exactamente
coincide con Eq. (104), es decir, ni/n0i = ne/n0e
la misma ecuación. De hecho, descuidando los términos de segundo orden (pero
¡No los de primera orden!), el término no lineal en Eq. (137) (el último
término en el lado izquierdo) es
d3vvÃ3g
v2thi
, (138)
y, usando Eqs. (126-128) para expresar integrales velocidad-espacio
de g en la expresión anterior, encontramos que la parte de orden cero
de la no linealidad es lo mismo que la no linealidad en Eq. (104),
mientras que la parte de primer orden es
*2i* *2*
4ηen0e
# 2 A A #
, (139)
en el que hemos utilizado la expansión (129) de 0 (αi) y con-
Verted de nuevo en el espacio x.
Así, si restamos Eq. (104) de Eq. (137), el resto
der es el primer orden y lee
*2i* *2*
*2i* *2*
4ηen0e
# 2 # A # # # # # # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
4ηen0e
# 2 A A #
= 0. 140)
Multiplicando Eq. (140) por 2T0i/Ze
i y usando Eq. (135), nosotros
obtener la segunda ecuación RMHD (18).
Hemos establecido que el componente Alfvén-onda de la
la turbulencia se desacopla y se describe completamente por el RMHD
ecuaciones (17) y (18). Este resultado es el mismo que en
§ 2.2, pero ahora hemos demostrado que las colisiones no afectan a la
Alfvén ondas y que una descripción de fluido-como sólo requiere
ki â € 1 para ser válido.
5.4. Por qué Alfvén hace caso omiso de las colisiones
Escribamos explícitamente la función de distribución del ion
girocentros [Eq. (124)] a dos órdenes más bajas en ki:
Ri F0i +
v2thi
F0i + g + · · ·, (141)
donde, hasta las correcciones del orden k2
i, el anillo-promedio
potencial escalar es Ri = (Ri), el potencial escalar tomado en
la posición del girocentro de iones. Nótese que en Eq. (141), el
primer término es menos el primer orden en ki [ver Eq. (132)], la segunda
ond y los términos tercero son orden cero [Eq. (134)], y todos los términos
se omiten las órdenes primera y superior. Con el fin de calcular el
función de distribución completa de iones dada por Eq. (54), tenemos que
convertir hola al espacio r. Manteniendo los términos hasta el orden cero,
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
# Ri #
(Ri) =
(r) +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
(r) + · · ·
(r) +
2v ·uE
v2thi
+. .., (142)
donde uE = −c(r)× /B0, la velocidad de deriva E×B. Sub-
la creación de Eq. (142) en Eq. (141) y luego Eq. (141) en
Eq. (54), encontramos
fi = F0i +
2v ·uE
v2thi
F0i +
v2thi
F0i + g + · · · ·. (143)
Los dos primeros términos se pueden combinar en un Maxwellian
con velocidad de flujo perpendicular media u = uE. Estos son
los términos responsables de las olas de Alfvén. El resto
los términos, que vamos a denotar, son la perturbación de la
Maxwellian en el marco en movimiento de las ondas Alfvén — ellos
Describa el componente pasivo (compresor) del turbu-
lence (ver § 5.5). Por lo tanto, la función de distribución de iones es
(ηv2thi)
(v − uE)2 + v2
+ ♥ fœi. (144)
Esto arroja luz sobre la indiferencia de las olas de Alfvén
a colisiones: las perturbaciones alfvénicas no cambian la
Carácter Maxwelliano de la distribución iónica. A diferencia de un neu-
Líquido o gas tral, donde la viscosidad surge cuando las partículas trans-
el puerto el impulso medio local una distancia de mfpi, el parti-
En un plasma magnetizado, instantáneamente se enfrentan a la
Cal E×B velocidad (se toma un ciclotrón período para ajustar, por lo que,
En términos generales, el "i" juega el papel del camino libre medio).
Por lo tanto, no hay memoria del movimiento perpendicular medio
y, por lo tanto, ningún transporte de impulso perpendicular.
Algunos lectores pueden encontrar esclarecedor notar que
Eq. (140) puede interpretarse como diciendo simplemente j = 0: el primero
dos términos representan la divergencia de la corriente de polarización,
que es perpendicular al campo magnético;22 los dos últimos
los términos son bó jó. Ninguna contribución a la corriente surge de
el término de colisión en Eq. (137) como causa de las colisiones ion-ion
ningún transporte de partículas al orden más bajo en ki.
5.5. Fluctuaciones compresivas
Las ecuaciones que describen la densidad y el magnético-
las fluctuaciones de la fuerza de campo se producen inmediatamente a partir de
Eqs. (125-128) si sólo se mantienen los términos de orden cero. En estos
ecuaciones, los términos que involucran a Ao y Ao también contienen factores
• k22i y son, por lo tanto, de primer orden [con la excepción de
la no linealidad en el lado izquierdo de Eq. (125)]. El hecho
que "Cii[Ri F0i]Ri en Eq. (125) es el primer orden se demuestra en Ap-
pendix B.2. Abandonar estos términos junto con todos los demás contri-
butiones de orden superior a cero y haciendo uso de Eq. (69)
22 La velocidad de polarización-drift es formalmente más alta que la de la uE en el
Expansión girocinética. Sin embargo, dado que uE no produce ninguna corriente,
la contribución de orden más bajo a la corriente perpendicular proviene de la
deriva de polarización. Las contribuciones de orden superior al girocentro distri-
la función de butión no necesitaba ser calculada explícitamente porque la
sión sobre la carga de polarización es llevada efectivamente por la cuasi-neutralidad
afección (61). No estamos trabajando en este punto porque, en nuestro enfoque, el no-
Únicamente se introducen cargos de polarización con fines interpretativos,
pero no es necesario para llevar a cabo los cálculos. Para más análisis cualitativos
del papel de la carga de polarización y la deriva de polarización en la girocinética,
nos referimos al lector a Krommes 2006 y referencias en él.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 23
para escribir Ri, encontramos que Eq. (125) toma la forma
+ vâ ° bâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
v2thi
v2thi
, (145)
donde hemos utilizado definiciones (122-123) de la convectiva
tiempo derivado d/dt y el gradiente total a lo largo del magnético
campo bâ · â € para escribir nuestra ecuación en una forma compacta. Nota
que, habida cuenta de la correspondencia entre Φ,
[Eq. (135)], estos derivados no lineales son los mismos que
definido en Eqs. (19-20). El término de colisión en la mano derecha
lado de la ecuación anterior es el límite de orden cero de la gy-
Rokinetic ion–ion colisioner: una forma de modelo útil de la misma
se indica en el apéndice B.3 [Eq. (B18)].
A cero orden, Eqs. (126-128) son
d3vg, (146)
d3vvÃ3g, (147)
v2thi
g. (148)
Obsérvese que u® no es una cantidad independiente—puede ser com-
de la distribución iónica, pero no es necesario
En el caso de los países de la Europa central y oriental, la tasa de crecimiento de la población de los países de la Europa central y oriental se sitúa en torno a la media de los países de la Europa central y oriental, mientras que en el caso de los países de la Europa central y oriental, la tasa de crecimiento de la población de los países de la Europa central y oriental se sitúa en torno a la media de los países de la Europa central y oriental.
Las ecuaciones (145-148) evolucionan la función de distribución iónica
g, las “cantidades de onda lenta” uâ, Bâ, y la densidad fluc-
las teaciones de los Estados Unidos de América. Las no linealidades en Eq. (145), que figura en
d/dt y b, se refieren a las cantidades de onda alfvén Φ y
(o, equivalentemente, de los tipos A y A) determinados por separado e inde-
Pendentamente por las ecuaciones RMHD (17-18). La situación
es cualitativamente similar a la del MHD (§ 2.4), excepto ahora
una descripción cinética es necesaria—Eqs. (145-148) sustitúyase
Eqs. (25-27)—y la dispersión/mezcla no lineal del lento
ondas y el modo de entropía por las ondas Alfvén toma la
forma de advección pasiva de la función de distribución g.
La densidad y las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético son la velocidad.
momentos espaciales de g.
Otra forma de entender la naturaleza pasiva de los com-
componente de presión de la turbulencia discutida anteriormente es a
pensar en ello como la perturbación de un equilibrio local Maxwelliano-
rio asociado con las ondas de Alfvén. De hecho, en § 5.4, nosotros
dividir la función de distribución completa de iones [Eq. (144)] en tal
local Maxwellian y su perturbación
En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los neumáticos de dos ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
v2thi
F0i. (149)
Es esta perturbación que contiene toda la información sobre
el componente de compresión; el segundo término en el anterior ex-
la presión impone al orden más bajo la conservación de la primera
adiabático invariante μi = miv
/2B. En términos de la función
(149), Eqs. (145-148) tomar una forma algo más compacta
(cf. Schekochihin et al. 2007):
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
v2thi
+ vábÃ3
f‡i +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, (150)
FIG. 5.- Canales de la cascada cinética de la energía generalizada (§ 3.4)
de escalas grandes a pequeñas: véase § 2.7 y el apéndice D.2 (rango inercial,
régimen de colisión), § 5.6 y § 6.2.5 (rango inercial, régimen sin colisión),
§ 7.8 y § 7.12 (rango de disipación). Tenga en cuenta que un poco de calefacción de iones probablemente
también resulta de la colisión y amortiguación sin colisión de la compresión
fluctuaciones en el rango inercial (véanse § 6.1.2 y § 6.2.4).
d3vŁ fсi, (151)
v2thi
♥ fœi. (152)
5.6. Energía Generalizada: Tres Cascadas KRMHD
La energía generalizada (§ 3.4) en el límite ki 1 es cal-
culado sustituyéndolo por Eq. (109) el ion perturbado dis-
función de asignación fi = 2v · uEF0i/v2thi + ♥ fœi [véase Eqs. (143)
y 144)]. Después de realizar la integración de velocidad, obtenemos
min0iu
n0iT0i
2i
=WAW +Wcompr. (153)
Vemos que la energía cinética de las fluctuaciones alfvénicas
ha surgido de la parte ion-entropía de la
Ergy. Los dos primeros términos en Eq. (153) son el total (cinético
más magnética) la energía de las ondas Alfvén, denotado WAW. As
Aprendimos de § 5.3, que cascadas independientemente del resto de
la energía generalizada, Wcompr, que contiene los com-
componente de la turbulencia (§ 5.5) y es el invariante
conservada por Eqs. (150-152).
En términos de los potenciales utilizados en nuestra discusión sobre el RMHD
en el § 2, tenemos
WAW =
min0i
2 + 2
min0i
2 + 2
=W +AW +W
AW (154)
donde W + AW y W
AW son las energías de las ondas “+” y “−”
[Eq. (33)], que, como sabemos de § 2.3, cascada por dispersión-
Pero sin intercambiar energía.
Por lo tanto, la cascada cinética en el límite ki 1 se divide, en-
dependientemente de la colisionalidad, en tres cascadas: de W + AW,
24 Schekochihin et al.
W-AW y Wcompr. La cascada de compresión está, de hecho, dividida
en tres cascadas independientes — la división es diferente en
el límite de colisión (apéndice D.2) y en el
uno (§ 6.2.5). La figura 5 resume esquemáticamente ambos
división de la cascada cinética que hemos trabajado hasta ahora
y los próximos acontecimientos.
5.7. Resumen
En § 4, la girocinética se redujo a un cinético-líquido híbrido
sistema por medio de una expansión en la masa de electrones, que
era válido para ke â € 1. En esta sección, tenemos más re-
estricto el rango de escala tomando ki â € 1 y como resultado han
ha sido capaz de lograr una nueva reducción de la complejidad de la
la teoría cinética que describe las cascadas turbulentas. La re-
la teoría derivada aquí evoluciona 5 funciones desconocidas: Φ,
Las funciones de flujo y flujo, Φ y
se relacionan con las cantidades de líquido (velocidad
Perturbaciones del campo magnético) vía Eq. (16) y al electro-
Potenciales magnéticos, A, vía Eq. (135). Cumplen con un cerrado
sistema de ecuaciones, Eqs. (17-18), que describen la decou-
cascada de ondas de Alfvén. Estas son las mismas ecuaciones
que surgen de las aproximaciones del MHD, pero ahora tenemos
probado que su validez no depende de la suposición
de alta colisiones (límite del fluido) y se extiende a escalas
muy por debajo del camino libre medio, pero por encima de la giroescala de iones.
Las razones físicas para esto se explican en el § 5.4. La guarida...
las fluctuaciones de la intensidad de los campos magnéticos y magnéticos (los “compres-
fluctuaciones sisivas, o las ondas lentas y el modo de entropía en
el límite MHD) requiere ahora una descripción cinética en términos de
la función de distribución iónica g [o ♥ fсi, Eq. (149)], evolucionado por
la ecuación cinética (145) [o Eq. (150)]. La ecuación cinética
contiene Łne y ŁB®, que se calculan a su vez en términos
de las integrales velocidad-espacio de g a través de Eqs. (146) y (148)
[o Eqs. (151) y (152)]. La evolución no lineal (turbulenta)
la cascada) de g, B y B se debe únicamente a la advección pasiva
de g por la turbulencia de la onda Alfvén.
Resumamos el nuevo conjunto de ecuaciones:
= vAbâ, (155)
2 = vAb 2, (156)
+ vâ ° bâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
v2thi
v2thi
, (157)
v2thi
(158)
v2thi
g, (159)
donde
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
· · · · ·. (160)
Una forma explícita del término de colisión en el lado derecho de
Eq. (157) figura en el apéndice B.3 [Eq. (B18)].
La energía generalizada conservada por Eqs. (155-159) es
dado por Eq. (153). La cascada cinética se divide, el Alfvénic
cascada que procede independientemente de la compresiva
(véase la Fig. 5).
El desacoplamiento de la cascada Alfvénic se manifiesta por
Eqs. (155-156) formando un subconjunto cerrado. Como ya se ha señalado en
§ 4.9, Eq. (155) es el componente de la ley de Ohm a lo largo del total
campo magnético, B ·E = 0. Ecuación (156) puede interpretarse como
la ecuación de evolución para la vorticidad de la perpendicular
velocidad de flujo plasmático, que es la velocidad de deriva E×B.
Nos referiremos al sistema de ecuaciones (155-159) como Ki-
netic Magnetohidrodinámica Reducida (KRMHD)23.
descripción cinética de fluidos híbridos de turbulencias de baja frecuencia
en plasma fuertemente magnetizado débilmente colisional que es uni-
válida en todas las escalas que satisfagan ki min(1,kmfpi)
(los iones están fuertemente magnetizados)24 y kmfpi (me/mi)1/2
(los electrones son isotérmicos), como se ilustra en la Fig. 2. Por lo tanto,
conecta sin problemas los regímenes de colisión y sin colisión
y es la teoría apropiada para el estudio de la turbulenta cas-
cadetes en el rango inercial. Las ecuaciones KRMHD generalizan
más bien directamente a plasmas que son tan sin colisiones
que uno no puede asumir una distribución de equilibrio Maxwelliano-
ión (Chen et al. 2009)—una situación que es relevante
en algunas de las mediciones de viento solar (ver más
sión en el punto 8.3).
KRMHD describe lo que sucede con la cascada turbulenta en
o por debajo de la giroescala de iones, pasaremos a estas escalas
en el § 7, pero primero nos gustaría discutir las cascadas turbulentas
de las fluctuaciones de densidad y de la fuerza magnética de los campos y sus
amortiguación por mecanismos de colisión y sin colisión.
6. FLUCTUACIONES COMPRESIVAS EN EL CAMPO INTERRIOR
Aquí primero derivamos las ecuaciones no lineales que gobiernan
la evolución de la compresión (densidad y campo magnético-
resistencia) fluctuaciones en la colisión (kmfpi â > 1, § 6.1 y
Apéndice D) y sin colisiones (kmfpi â 1, § 6.2)
cuss la amortiguación lineal que estas fluctuaciones experimentan en el
dos límites y determinar la forma que toma la energía generalizada
para las fluctuaciones de compresión (que es particularmente interesante
en el límite sin colisiones, 6.2.3-6.2.5). Al igual que en la sección anterior
ciones, un lector impaciente puede saltarse a § 6.3 donde los resultados
de las dos subsecciones anteriores se resumen y el
aplicaciones para la estructura de las cascadas turbulentas de la
Se discuten las fluctuaciones de densidad y fuerza de campo.
6.1. Régimen de colisiones
6.1.1. Ecuaciones
En el régimen de colisión, kmfpi-1, el límite de fluido es re-
cubierto por Eqs en expansión. (155-159) en kmfpi pequeño. Los
El cálculo que es necesario para lograr esto se realiza en Ap-
pendix D (véase también el apéndice A.4). El resultado es un conjunto cerrado
23 El término se introduce por analogía con un sistema cinético-fluido popular
conocida como Kinetic MHD, o KMHD (véase Kulsrud 1964, 1983). KMHD es de-
rived para plasmas magnetizados (l'i â °mfpi) bajo la suposición de que k's â € 1
Sin embargo, en el caso de los productos de la partida 84.01, el valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto de la partida 84.01, el valor de todas las materias utilizadas no excederá del 50 % del precio franco fábrica del producto de la partida 84.01.
pequeñas fluctuaciones (B B0). Las ecuaciones KRMHD (155-159) pueden ser
se recuperó de KMHD mediante la aplicación de la orden GK-RMHD [Eq. (12)
y § 3.1] y una expansión en (me/mi)1/2 (Schekochihin et al. 2007). Esto
significa que la expansión ki (§ 5), que para KMHD es la ex- primaria
pansión, se desplaza con la expansión girocinética (§ 3) y el (me/mi)1/2
expansión (§ 4), que lo precedieron en este artículo.
24 La condición ki kmfpi debe ser satisfecho porque en nuestro esti-
Compañeros de los términos de colisión (Apéndice B.2) tomamos ki â > 1 mientras assum-
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 25
de tres ecuaciones de fluidos que evolucionan:
= b +
, (161)
= v2Abâ
+ ibá
Bâ â € TM TM â TM TM â TM â TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
, (162)
ibá
bâ Ti
, (163)
donde
ibá u
, (164)
y i y i son los coeficientes de viscosidad iónica paralela
y la difusividad térmica, respectivamente. El viscoso y el...
la mala difusión son anisotrópicas porque el plasma está magnetizado,
(Braginskii 1965). El método de cálculo de
i y i se explican en el apéndice D.3. Aquí vamos a...
nore prefactores numéricos de la unidad de orden y dar orden-de-
valores de magnitud para estos coeficientes:
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
v2thi
• vthiđmfpi. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (165)
Si establecemos i = i = 0, Eqs. (161-164) son los mismos que el
Ecuaciones RMHD de § 2 con la velocidad de sonido definida como
cs = vA
. (166)
Esta es la definición natural de cs para el caso de adiabático
iones, cuya relación de calor específica es γi = 5/3, y elec-
trons, cuya relación de calor específica es γe = 1 [porque
Véase Eq. (103)]. Nótese que Eq. (164) es equivalente a la
balance de presión [Eq. 22) de § 2] con p = niTi + neTe y
* Pe = Tune.
Como en el § 2, las fluctuaciones descritas por Eqs. (161-164) sep-
arate en el modo de entropía de frecuencia cero y la izquierda- y
ondas lentas propagadoras derechas con
• • = ± • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1 + v2A/c2s
(167)
[véase Eq. (30)]. Los tres están en cascada independientemente de cada uno
otro a través de la interacción no lineal con las ondas Alfvén. In Ap-
pendix D.2, mostramos que el Wcompr de energía generalizada para
Este sistema, dado en el § 5.6, se divide en los tres inva-
hormigas W +sw, W
sw, y Ws, definidos por Eqs. (34-35) (véase la Fig. 5).
6.1.2. Disipación
Los términos de difusión añaden disipación a las ecuaciones. Sé...
la difusión de la causa se produce a lo largo de las líneas de campo de la
campo neto (campo medio más perturbación), los términos difusivos
son no lineales y el proceso de disipación también implica interac-
con las olas de Alfvén. Podemos estimar la característica
escala paralela en la que los términos de difusión se vuelven importantes
equilibrando el tiempo de cascada no lineal y el difu-
Tiempo de sión:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
βi, (168)
donde hemos usado Eq. (165).
Técnicamente hablando, el corte dado por Eq. (168) siempre
se encuentra en el rango de kÃ3 que está fuera de la regiÃ3n de validez
de la expansión pequeña-kmfpi adoptada en la derivación de
Eqs. (161-163). De hecho, en el límite bajo de la beta, la colisión
el corte cae manifiestamente en el rango de escala sin colisión, es decir,
la aproximación de colisión (fluido) se descompone antes de la
cascadas de ondas lentas y entropía están amortiguadas y uno debe utilizar
el límite sin colisiones (cinético) para calcular la amortiguación (véase
§ 6.2.2). La situación es diferente en el límite alto de la beta: en
este caso, la expansión en kmfpi pequeño se puede reformular
como una expansión en pequeña 1/
βi y el corte cae dentro de la
rango de validez de la aproximación del fluido. Ecuaciones (161-
163) en este límite son
= bâ uâ, (169)
= v2Abâ
+ ibá
Bâ â € TM TM â TM TM â TM â TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
, (170)
1 + Z/
5/3 + Z/
ibá
bâ ne
. (171)
Como en § 2 [Eq. (28)], las fluctuaciones de densidad [Eq. (171)]
desacoplado de las ondas lentas [Eqs. (169-170)]. Las primeras
son amortiguados por la difusión térmica, esta última por la viscosidad. Los
las relaciones de dispersión lineales correspondientes son
• = −i
1 + Z/
5/3 + Z/
â € ¢, (172)
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
ik
. (173)
Ecuación (172) describe fuerte amortiguación difusiva de la guarida-
fluctuaciones de la sidad. La relación de dispersión de onda lenta (173)
dos regímenes distintos:
1. Cuando kÃ3r < 2vA/i, describe sÃ3lo amortiguado viscosamente
olas. En particular, en el límite kmfpi 1/
βi, nosotros
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (174)
2. En el caso de las soluciones «ká» > 2vA/i, ambas se convierten en puramente imag-
inario, por lo que las ondas lentas se convierten en aperiódico
fluctuaciones decadentes. Los más corruptos (difusivos)
la rama tiene −iik2, el más débil-dañado tiene
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
mfpi
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
mfpi
. (175)
Este efecto de amortiguación se llama relajación viscosa. Lo es.
válida hasta kmfpi â € 1, donde se sustituye por el col-
amortiguación sin lision discutida en el § 6.2.2 [véase Eq. (190)].
Los mecanismos de disipación viscoso y térmico-difusivo
en los límites en los que son eficientes,
Calentamiento de iones a través de la vía estándar de fluidos (colisionales),
el desarrollo de pequeñas escalas paralelas en el espacio de posición,
pero no en el espacio de velocidad (véanse § 3.4 y § 3.5).
6.2. Régimen sin colisiones
6.2.1. Ecuaciones
En el régimen sin colisiones, kmfpi-1, la colisión inte-
gral en el lado derecho de la ecuación cinética (157) puede ser
26 SCHEKOCHIHIN ET AL.
descuidado. La dependencia v puede entonces integrarse fuera de
Eq. (157). De hecho, vamos a introducir los siguientes dos auxiliares:
funciones:
Gn(vÃ3r) = −
dv v
v2thi
g, (176)
GB(v+) = −
dv v
v2thi
g. (177)
En términos de estas funciones,
dvágGn,
dvášGB (178)
y Eq. (157) se reduce a los dos siguientes:
ecuaciones cinéticas dimensionales
+ vábÃ3 Gn = −
v'FM(v')
×b
, (179)
+ vábÃ3 GB =
v'FM(v')
×b
, (180)
donde FM(vÃ3r) = (1/
ηvthi)exp(−v2°/v
ti) es un unidimensional
Maxwellian. Este sistema se puede diagonalizar, por lo que se divide en
dos ecuaciones desconectadas
+vóbó G± =
v'FM(v')
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Dv G
±(v), (181)
donde
± = −
(182)
y hemos introducido un nuevo par de funciones
G+ = GB +
Gn, G
− = Gn +
GB, (183)
donde
= 1 +
. (184)
La ecuación (181) describe dos cascadas cinéticas desconectadas,
que discutiremos con mayor detalle en el apartado 6.2.3-6.2.5.
6.2.2. Amortiguación sin colisiones
Fluctuaciones descritas por Eq. (181) están sujetos a colisión-
menos amortiguación. De hecho, vamos a linealizar Eq. (181), Fourier trans-
forma en el tiempo y el espacio, dividir a través de −i(• − kâ € € € €, y
integrar sobre vÃ3r. Esto da la siguiente relación de dispersión
(la rama “−” es para G−, la rama “+” para G+)
IZ (Ii) = IZ
± − 1, (185)
FIG. 6.— Esquema de log-log (impresión artística) de la relación de la
velocidad de amortiguación de las fluctuaciones de la intensidad del campo magnético a la frecuencia de Alfvén
kávA en el límite de alta beta [véase Eqs. (173) y (190)]. En Barnes et al. (2009),
esta parcela se reproduce a través de una solución numérica directa del ión linealizado
Ecuación girocinética con colisiones.
en los que se indica que el valor de la sustancia problema es superior al valor de la sustancia problema.
βi y hemos utilizado el
Función de dispersión plasmática (Fried & Conte 1961)
Z (i) =
x − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(186)
(la integración está a lo largo del contorno de Landau). Esta función es
no debe confundirse con el parámetro de carga ion Z = qi/e.
Formalmente, Eq. (185) tiene un número infinito de soluciones.
Cuando βi â € 1, todos están fuertemente amortiguados con las tasas de amortiguación
El tiempo de amortiguación es compara-
ble a la escala de tiempo característica en la que el Alfvén ondea
causar estas fluctuaciones en cascada a escalas más pequeñas.
Es interesante considerar los límites de alta y baja beta.
Alto límite de beta. - Cuando βi â € 1, tenemos en Eq. (185)
− − 1 2
, G− Gn, (187)
+ − 1
, G+ GB+
Gn. (188)
La rama “−” corresponde a las fluctuaciones de densidad. Los
solución de Eq. (185) tiene Im(i) 1, por lo que estas fluctuaciones son
muy amortiguado:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
βi. (189)
La tasa de amortiguación es mucho mayor que la tasa de Alfvénic kávA
de la cascada no lineal. En cambio, para la rama “+”, la
la tasa de amortiguación es pequeña: se puede obtener expandiendo Z(i) =
η + O (), que da25
• = −i
kvthi
kvA
. (190)
Dado que Gn está fuertemente amortiguado, Eq. (188) implica G
+ GB, es decir,
las fluctuaciones que se amortiguan a la velocidad (190) son predom-
Inantamente de la fuerza del campo magnético. La tasa de amortiguación es un
25 Este es el límite girocinético (k/k 1) de la amortiguación más general
efecto conocido en la astrofísica como el Barnes (1966) amortiguación y en plasma
física como amortiguación del tiempo de tránsito. Recordamos al lector que nuestro enfoque fue
para llevar a cabo la expansión girocinética (en pequeño kó/kó) primero, y luego tomar
el límite alto de beta como una expansión subsidiaria. Un enfoque más estándar en
la teoría lineal de las ondas plasmáticas es tomar el límite de βi alto mientras se trata
k/k como cantidad arbitraria. Cálculo detallado de las tasas de amortiguación
hecho de esta manera se puede encontrar en Foote & Kulsrud (1979).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 27
constante (independiente de k) fracción pequeña 1/
βi del
Velocidad de cascada alfvénica.
In Fig. 6, damos un diagrama esquemático de la velocidad de amortiguación de la
Fluctuaciones de la fuerza del campo magnético (ondas lentas)
los límites cinéticos y de fluidos para βi â € 1.
Límite bajo de beta. - Cuando βi â € 1, tenemos
− − 1
, G− Gn+
GB, (191)
+ − 1 2
, G+ GB. (192)
Para la rama “−”, tenemos de nuevo Im(i) 1, así que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
βi, (193)
que ahora es mucho más pequeño que la tasa de cascada Alfvénic
kárvA. Para la rama “+” (predominantemente la fuerza de campo)
fluctuaciones), buscamos una solución con = −ii y i 1.
Luego Eq. (185) se convierte en "iZ" (i) 2
η i exp(i) = 2/βi. Arriba
a correcciones logarítmicamente pequeñas, esto da i
lnβi,
de dónde
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
βi lnβi. (194)
Mientras que esta tasa de amortiguación es ligeramente mayor que la de la “−”
rama, todavía es mucho más pequeño que la tasa de cascada Alfvénic.
6.2.3. Invariantes sin colisiones
Ecuación (181) obedece a una ley de conservación, que es muy fácil
a derivar. Multiplicando Eq. (181) por G±/FM e integración
sobre el espacio y las velocidades y realizar la integración por partes
en el lado derecho, tenemos
(G±)2
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
dvavvvg
±. (195)
Por otro lado, la integración de Eq. (181) sobre vó ́ da
± = −bó
dvavvvg
±. (196)
Usando esto para expresar el lado derecho de Eq. (195) en su totalidad
derivada del tiempo, encontramos
dW±compr
= 0, (197)
donde están las dos invariantes
W±compr =
n0iT0i
(G±)2
(198)
Es útil (y siempre posible) dividir
G± = FM
± + G, (199)
donde
dvággg
± = 0 por construcción. Entonces
W±compr =
n0iT0i
(G)2
. (200)
Escritas en esta forma, las dos invariantes W±compr son mani-
festly positivas cantidades definidas porque > 1 y < 0.
Los invariantes regulan las dos cascadas cinéticas desacopladas de
fluctuaciones de compresión en el régimen sin colisiones. El col-
la amortiguación sin lision derivada del § 6.2.2 conduce a la de-
cay de las fluctuaciones de densidad y de fuerza de campo, o equiva-
Lentamente, de
±, conservando W±compr. Esto significa que
la amortiguación no es más que una redistribución de la cantidad conservada
tity W±compr: el primer término en Eq. (200) crece para compensar
por la decadencia del segundo.
6.2.4. Mezcla lineal en fase paralela
En términos dinámicos, ¿cómo hace el sistema cinético Eq. (181)
organizar la integral de la función de distribución G±(vÃ3r) a
¿Decaer mientras permite que su norma crezca? Esto es muy bueno.
fenómeno conocido de la mezcla en fase (lineal) (Landau 1946;
Hammett et al. 1991; Krommes & Hu 1994; Krommes 1999;
Watanabe & Sugama 2004). Para decirlo en términos simples, el
solución del Eq linealizado. (181) consiste en el inhomoge-
parte neous, que contiene la amortiguación sin colisión y el
parte homogénea (solución del lado izquierdo = 0) dada por
La llamada respuesta balística (esta es también la
Solución no lineal si t y kÃ3r se interpretan como Lagrangian
variables en el marco de las ondas Alfvén; véase § 6.3). As
el tiempo pasa, esta parte de la solución se vuelve cada vez más
oscilatorio en v», por lo que su integral de velocidad tiende a cero, mientras que
su amplitud no decae. Se trata de tales contribuciones balísticas
que componen el término G en Eq. (200).
A medida que el gradiente de velocidad de G aumenta con el tiempo,
En algún momento puede llegar a ser suficiente.
grande para activar la integral de colisión [el lado derecho de
Eq. (157)], que hasta ahora ha sido descuidado. De esta manera el col-
amortiguación sin lisión de las fluctuaciones de compresión se puede girar
en la calefacción de iones, un simple ejemplo de un prin-
Cíclode de cómo se transfiere la energía de fluctuación electromagnética
en calor a través de la parte entropía de la energía generalizada (§ 3.5).
De hecho, probaremos en § 6.2.5 que los invariantes W±compr son
componentes de la energía general generalizada funcional
para las fluctuaciones de compresión, por lo que su cascada a pequeña
escalas en el espacio de fase es parte de la cascada cinética general en
introducida en el artículo 3.4.
No está del todo claro cuán eficiente es la fase paralela
método de mezcla para calentar los iones y, por lo tanto,
la energía de las fluctuaciones de compresión sin amortiguación ionizada termina
en el calor iónico o más bien alcanza la giroescala iónica y las parejas
volver al componente Alfvénic de la turbulencia (§ 7.1). Los
respuesta a esta pregunta dependerá de si la compresión
las fluctuaciones pueden desarrollar grandes kás—un problema no trivial más
se examina en el apartado 6.3.
6.2.5. Energía Generalizada: Tres Cascadas sin Colisión
Ahora vamos a mostrar cómo la energía generalizada para com-
las fluctuaciones de presión en el régimen sin colisiones incorpora
los dos invariantes derivados en § 6.2.3.
Reescribiendo la parte compresiva del KRMHD generalizado
energía [Eq. (153)] en términos de la función g [véase Eq. (149)],
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
Wcompr =
n0iT0i
. (201)
28 Schekochihin et al.
Usando Eqs. (178) y (183), podemos expresar a
términos de
± como se indica a continuación
, (202)
, (203)
donde se definía en Eq. (184) y
. (204)
Para expresar g en términos de G±, tenemos que reconstruir
la dependencia v de g, que integramos al principio-
ión de § 6.2.1.
Representemos la función de distribución de la siguiente manera:
ηv2thi
e-xá(x,vá), á(x,vá) =
Ll(x)Gl(v®), (205)
donde x = v2/v
y nos hemos expandido en Laguerre poli-
nomios Ll(x) = (e
x/l!)dl/dxl)xle−x. Desde el polino de Laguerre...
Mials son ortogonales, el primer término en Eq. (201) se divide en una
suma de “energías” asociadas a los coeficientes de expansión:
. (206)
Los coeficientes de expansión se determinan a través del Laguerre
transformar:
Gl(vÃ3r) =
dxe−xLl(x)®(x,v®). (207)
Como L0 = 1 y L1 = 1 − x, es fácil ver que
se expresarán como combinaciones lineales de
dvaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
dvášG1
[véase Eqs. (176-178)]. Usando Eqs. (176), (177), y (183), nosotros
puede mostrar que
G0 = −
+G+ +
* 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 2 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1
, (208)
G+ −
, (209)
donde G± satisface Eq. (181). Como se indica a continuación, Eq. (157) (n-
) todas las expansiones de mayor orden co-
los eficientes satisfacen una ecuación homogénea simple:
+ vÃ3bÃ3 Gl = 0, l > 1. (210)
Por lo tanto, la función de distribución se puede escribir explícitamente en
términos de G±:
G0(v+) +
v2thi
G1(v+)
ηv2thi
ti + g, (211)
donde G0 y G1 son administrados por Eqs. (208-209) y
el resto de la expansión de Laguerre (todas Gl con l > 1),
Es decir, es la solución homogénea de Eq. (157) que no
contribuir a la densidad o a la resistencia del campo magnético:
+ vábÃ3 gñ = 0,
d3v g = 0,
v2thi
g‡ = 0. (212)
Ahora sustituyendo Eqs. (208) y (209) en Eq. (206) y
a continuación, sustituyendo el resultado y Eqs. (202-203) hacia Eq. (201),
nos encontramos después de algunas manipulaciones sencillas
Wcompr =
T0ig
()2W +compr
()2W −compr, (213)
donde el Eq. es definido por el Eq. (204) y W±compr son los dos inde-
pendent invariantes que derivamos en § 6.2.3. Por lo tanto, el gener-
energía alizada para las fluctuaciones de compresión se divide en tres in-
partes en cascada dependientes: W±compr asociado con la den-
y las fluctuaciones magnéticas de la fuerza del campo y un
parte neta dada por el primer término en Eq. (213) (véase la Fig. 5).
La evolución dinámica de este componente puramente cinético es
descrita por Eq. (212)—se trata de una mezcla pasiva, inalterada
modo balístico.
Los tres canales en cascada conducen a un pequeño spa perpendicular.
básculas a través de la mezcla pasiva por la turbulencia alfvénica y
También a escalas pequeñas en và a través de la fase paralela de mezcla pro-
§ 6.2.4 (obsérvese que g° está sujeto a este proceso
también).
6.3. Cascadas paralelas y perpendiculares
Volvamos a la ecuación cinética (157) y transformémonos
al marco Lagrangian asociado con el campo de velocidad
u = de las ondas Alfvén: (t,r) → (t,r0), donde
r(t,r0) = r0 +
dd ′u(t)
′,r(t ′,r0)). (214)
En este marco, la derivada convectiva d/dt definida en
Eq. (160) se convierte en Ł/Łt, mientras que el gradiente espacial paralelo
se puede calcular mediante el empleo de la solución de Cauchy para
el campo magnético perturbado فارسىB = :
(t,r) = +
B(t,r)
= (0,r0) 0r, (215)
donde r es dada por Eq. (214) y 0 ° = °/°r0. Entonces
bâ = bâ(0,r0) ·
= b(0,r0) 0 =
, (216)
donde s0 es la longitud del arco a lo largo del campo magnético perturbado
se toma en t = 0 [si lB(0,r0) = 0, s0 = z0]. Por lo tanto, en el La-
marco grangiano asociado con el componente Alfvénic de
la turbulencia, Eq. (157) es lineal. Esto significa que, si el
efecto de iones finitos giroradio es descuidado, el sistema KRMHD-
mento no da lugar a una cascada de densidad y magnética
fluctuaciones de la fuerza de campo a escalas más pequeñas a lo largo del movimiento
Las líneas de campo (perturbadas), es decir, bâ · ne y bâ · · Bâ · no se encuentran en
acre. En cambio, hay una cascada perpendicular (cascada)
en k): la desviación perpendicular de las líneas de campo debido a la
Las turbulencias alfvénicas causan la mezcla pasiva de
la dirección transversal al campo magnético (véase § 2.6 para una
recapitulación rápida del argumento de escalado estándar en el
cascada pasiva que conduce a una k
en la di- perpendicular
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 29
FIG. 7.- Mezcla lagrangiana de campos pasivos: las fluctuaciones se desarrollan pequeñas
escalas a través, pero no a lo largo de las líneas de campo exactas.
rection). El gráfico 7 ilustra esta situación26.
Enfatizamos que esta falta de refinamiento no lineal de la
La escala de las líneas de campo en movimiento es una de las siguientes:
propiedad del componente de compresión de la turbulencia,
no compartido por las olas de Alfvén. De hecho, a diferencia de Eq. (157), el
Ecuaciones RMHD (155-156), no reducir a una forma lineal
bajo la transformación lagrangiana (214), por lo que el Alfvén
ondas deben desarrollar pequeñas escalas tanto a través como a lo largo de la
campo magnético perturbado.
Si la densidad y el campo magnético-resistencia fluctua-
ciones desarrollan pequeñas escalas a lo largo del campo magnético tiene directa
consecuencias físicas y observacionales. Represas de estos
las fluctuaciones, tanto en los regímenes de colisión como sin colisiones,
§ 6.1.2 y § 6.2.2, respectivamente, depende de
en su escala a lo largo del campo perturbado: de hecho, el
resultados lineales derivados hay exactos en el marco Lagrangian
(214). Para resumir estos resultados, la tasa de amortiguación de
y en el punto βi 1 es:
vthimfpik20, k0mfpi 1, (217)
vthiká0, kÃ30Ã3mfpi Ã1, (218)
donde el número de onda a lo largo del campo perturbado
(es decir, si no hay cascada paralela, el número de onda de la
agitación a gran escala).
Si esta amortiguación corta las cascadas de Ne y B
depende de las magnitudes relativas de la tasa de amortiguación γ para
a k dado y el tipo característico a que el Alfvén
las ondas hacen que el ne y el b a cascada a k más alto. Esta tasa
es A, kA, donde kA es el número de onda paralela de la
Alfvén ondas que tienen el mismo k. Desde las olas de Alfvén
tienen una cascada paralela, asumiendo escala por escala crítica
el saldo (3) conduce a [Eq. 5)]
kâ € A â € k
0. (219)
Si, a diferencia de las olas de Alfvén,
cascada de alel, kÃ3Â0 no crece con kÃ3, por lo tanto, para lo suficientemente grande
k, kâ € € € € kâ € A y € A. Esto significa que, a pesar de la humedad...
, la densidad y las fluctuaciones de la fuerza de campo deberían tener
cascadas perpendiculares que se extienden a la giroescala de iones.
La validez del argumento al comienzo de este sec-
que excluyó la cascada paralela de Ne y B no es
tan obvio como podría parecer. Lithwick & Goldreich
(2001) alegaron que la disipación de
Gyroscale causaría que estas fluctuaciones se descompusieran.
a las mismas escalas paralelas que las fluctuaciones alfvénicas por
que se mezclan, es decir, kâ € € € € kâ € A. La velocidad de amortiguación entonces
se convierte en comparable a la tasa de cascada, cortando el cas-
cadetes de fluctuaciones de densidad y de fuerza de campo en kmfpi 1.
El número de onda de corte perpendicular correspondiente es [ver
26 Tenga en cuenta que, efectivamente, también hay una cascada en kó, si este último es mea-
segura a lo largo del campo inperturbado—más precisamente, una cascada en kz. Esto es
debido a la deformación perpendicular del campo magnético perturbado por el
Alfvén - turbulencia de la onda: ya que crece mientras que b sigue siendo el mismo, nosotros
Tengo de Eq. (123)..................................................................................................................................................
Eq. (219)]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
mfpi. (220)
Asintóticamente hablando, en un plasma débilmente colisionante,
este corte está muy por encima de la giroescala de iones, ki â € 1. ¿Cómo...?
siempre, el valor relativamente pequeño de Łmfpi en el cálido ISM,
que fue el foco principal de Lithwick & Goldreich 2001,
significa que el valor numérico del corte perpendicular
escala dada por Eq. (220) estaba, de hecho, bastante cerca de
la giroescala iónica (véase el cuadro 1) y la
timates para la escala interna de las fluctuaciones de densidad de electrones
en el ISM (Spangler & Gwinn 1990; Armstrong et al. 1995).
Por lo tanto, no fue posible decir si Eq. (220), en lugar de
k 1i, representó la predicción correcta.
La situación es bastante diferente en la casi colisión.
menos caso del viento solar, donde el corte dado por
Eq. (220) significaría que muy poca densidad o campo-
Las fluctuaciones de la resistencia deben detectarse por encima de la ion gy-
roscale. Las observaciones no son compatibles con dicha conclusión.
sión: las fluctuaciones de densidad parecen seguir una ley k-5/3
en todas las escalas más grandes que unas cuantas veces (Lovelace et al.
1970; Woo & Armstrong 1979; Celnikier et al. 1983, 1987;
Coles & Harmon 1989; Marsch & Tu 1990b; Coles et al.
1991), en consonancia con el comportamiento esperado de un
campo escalar pasivo amortiguado (véase § 2.6). Un rango extendido
escala de k−5/3 por encima de la giroescala de iones también se observa para
las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético (Marsch & Tu
1990b; Bershadskii & Sreenivasan 2004; Hnat et al. 2005;
Alexandrova y otros 2008a).
Estos hechos observacionales sugieren que la fórmula de corte
(220) no se aplica. Sin embargo, esto no es concluyente.
viciar la teoría Lithwick & Goldreich (2001). Heurísticamente,
su argumento es plausible, aunque es, tal vez, útil
tener en cuenta que, con el fin de que el efecto de la
términos de sipación, no presentes en las ecuaciones KRMHD (157-
159), que debe ser sentido, la densidad y las fluctuaciones de la fuerza de campo
debe llegar a la giroescala de iones en primer lugar. Quanti-
, el fracaso de las fluctuaciones de la compresión en el
El viento solar que debe ser amortiguado todavía podría ser consistente con el
Lithwick & Goldreich (2001) teoría debido a la relación
debilidad de la amortiguación sin colisión, especialmente a baja beta
(§ 6.2.2)—la explicación que ellos mismos favorecen. El camino a
comprobar de forma observacional si esta explicación es suficiente
ser un estudio comparativo de la fluctuación compresiva
ciones para datos de viento solar con diferentes valores de βi. Si la
la resistencia de la amortiguación es el factor decisivo, uno debe al-
maneras de ver cascadas tanto de Ne como de BB en baja βi, sin cascadas
en βi + 1, y una cascada de B + B + pero no de Ne en βi alto (en
este límite, la amortiguación de las fluctuaciones de densidad es fuerte,
de la fuerza de campo débil; véase § 6.2.2). Si, por otro lado,
la cascada paralela de las fluctuaciones de compresión es intrin-
sicamente ineficiente, se espera muy poca dependencia de βi y una
En todos los casos debe observarse una cascada perpendicular.
Obviamente, una observación aún más directa (o numer-
ical) sería la detección o no detección de
alineación perfecta de las estructuras de densidad y fuerza de campo
con las líneas de campo en movimiento (no con la media magnética
campo (véase la nota 26), pero no está claro cómo medir
Esto es confiable. Es interesante, en este contexto, que en
las mediciones del Sol, las fluctuaciones de densidad se informan
tener la forma de filamentos altamente anisotrópicos alineados con
el campo magnético (Armstrong et al. 1990; Grall y otros 1997;
Woo & Habbal 1997). Otra intrigante pieza de observación...
30 SCHEKOCHIHIN ET AL.
la estructura local de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea.
la resistencia magnética del campo y las fluctuaciones de densidad a 1 UA es, en
cierto sentido, correlacionado con el ciclo solar (Kiyani et al.
2007; Hnat et al. 2007; Wicks et al. 2009)—esto sugiere un
dependencia de las condiciones iniciales ausentes en el Alfvénic
las fluctuaciones y que presumiblemente también deberían desaparecer en el
fluctuaciones de compresión si estas últimas se mezclan completamente tanto en
las direcciones perpendiculares y paralelas.
7. TURBULENCIA EN LA DISIPACIÓN: ELECTRÓN RMHD
Y EL CASCADE DE LA ENTROPÍA
7.1. Transición en la Gyroscale de Ion
La validez de la teoría discutida en § 5 y § 6 rompe
hacia abajo cuando ki â € 1. A medida que se acerca la giroescala de iones,
las ondas de Alfvén ya no están desconectadas del resto de
la dinámica plasmática. Todos los modos ahora contienen perturbaciones
de densidad y de fuerza de campo magnético y puede ser una colisión-
menos amortiguado. Debido a la naturaleza de baja frecuencia de la
Cascada de la onda alfvén, incluso en ki 1 [Eq. (46)],
Por lo tanto, la resonancia del ciclotrón iónico no es im-
portante, mientras que el Landau uno ( = ) es. El lineal el-
ory de esta amortiguación sin colisiones en la girocinética aprox-
La imaginación se desarrolla en detalle en Howes et al. (2006) (véase
también Gary & Borovsky 2008). La Figura 8 muestra las soluciones de
su relación de dispersión que ilustra cómo la onda Alfvén
se convierte en una onda cinética dispersiva Alfvén (KAW) (véase § 7.3)
y la amortiguación sin colisiones se vuelve importante a medida que el ion gy-
roscale se alcanza.
Recalcamos que esta transición se produce en la giroescala de iones, no
en la escala inercial de iones di =
βi (excepto en el límite del frío)
iones, = T0i/T0e + 1; véase el apéndice E). Esta afirmación es cierta
incluso cuando βi no es unidad de orden, como se ilustra en la Fig. 8: para el
tres casos trazados allí, kdi = 1 corresponde a ki = 0,1,
1 y 10 para βi = 0,01, 1 y 100, respectivamente, pero hay
no hay rastro de la escala inercial de iones en las soluciones de la lineal
relación de dispersión. No linealmente, en el límite βi-1, podemos
considerar las escalas kdi 1 y ampliar la girocinética en
ki = kdi
βi â € 1 de una manera similar a cómo se hizo en § 5
y obtener exactamente los mismos resultados: Fluctuaciones alfvénicas
descrita por las ecuaciones RMHD y fluctua-
ciones pasivas por ellos y la satisfacción de la reducción de
Ecuación cinética derivada de § 5.5. Por lo tanto, a pesar de que di
en baja beta, no hay ningún cambio en la naturaleza de la turbulenta
cascada hasta que se alcanza el ki â € 1.
La teoría no lineal de lo que sucede en ki 1 es muy
mal entendido. Sin embargo, es posible avanzar
al examinar qué tipo de fluctuaciones surgen en el otro
lado de la transición, en ki 1. Como demostraremos
abajo, resulta que otra cascada turbulenta — esta vez
de KAW—es posible en este llamado rango de disipación. Lo siento.
puede transferir la energía de KAW-como fluctuaciones hacia abajo a la
giroescala electrónica, donde el electrón Landau amortigua
importante (ver Howes et al. 2006). Un poco de observación evi-
dence de KAW está, de hecho, disponible en el viento solar y el
magnetosfera (Bale et al. 2005; Grison et al. 2005, cf.
, § 8.2.4). Debajo derivamos las ecuaciones que
describir las fluctuaciones de tipo KAW en el rango de escala ki â € 1,
ke â € 1 (§ 7.2) y elaborar una escala al estilo de Kolmogorov
teoría para esta cascada (§ 7.5).
Debido a la presencia de la amortiguación sin colisión en el
ion giroescala, sólo una cierta fracción del poder turbulento
llegar allí desde el rango inercial se convierte en el
KAW cascada, mientras que el resto es Landau-dañado. La humedad...
ing conduce a la calefacción de los iones, pero el proceso de depósito-
la energía de fluctuación amortiguada sin colisión en el ion
el calor no es trivial porque, como explicamos en el § 3.5, las colisiones
tienen que desempeñar un papel para que se produzca una verdadera calefacción. As
nos explicamos en el § 3.5 y veremos específicamente para el dissi-
rango de pation en § 7.8, la energía de fluctuación electromagnética
no desaparece como resultado de la amortiguación de Landau, pero es
convertidas en fluctuaciones de la entropía iónica, mientras que la
la energía se conserva. A continuación, se accede a colisiones e ion
calentamiento logrado a través de un fenómeno puramente cinético: el ion
cascada de entropía en el espacio de fase (mezcla de fase no lineal), para
que una teoría se desarrolla en § 7.9 y § 7.10. Un pro-
cesto de conversión de la energía KAW en entropía electrónica
las fluctuaciones y, a continuación, el calor de los electrones se trata en § 7.12.
La figura 5 ilustra las rutas que la energía toma del ion gy-
roscale hacia la calefacción. Crucialmente, es en ki 1 que
se decide cuánta energía eventualmente entraría en el
iones y cuánto en electrones.27 Cómo esta distribución
de energía depende de los parámetros plasmáticos (βi y T0i/T0e)
es una cuestión teórica abierta28 de considerables astrofias-
Por ejemplo, la eficacia de la calefacción iónica es un elemento clave de la
conocido en la teoría de los flujos de acreción dominados por la advección
(Quataert & Gruzinov 1999, véase el análisis en § 8.5) y de
la corona solar (por ejemplo, Cranmer & van Ballegooijen 2003); nosotros
también verá en § 7.11 que puede determinar la forma de la
espectros de intervalo de disipación observados en plasmas espaciales.
En la sección 7.14 figura un breve resumen de esta sección.
7.2. Ecuaciones de MHD con reducción de electrones
La derivación es directa: cuando ai â € € € ~ ki â € 1, todo
Bessel funciona en Eqs. (118-120) son pequeñas, por lo que las integrales
de la función de distribución de iones desaparecen y Eqs. (118-120) ser-
, (221)
uâ € =
4ηen0e
# 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
, ui = 0, (222)
, (223)
donde usamos las definiciones (135) de flujo y flujo
funciones Φ y فارسى.
Estas ecuaciones son un reflejo del hecho de que, para ki
1, la respuesta iónica es efectivamente puramente Boltzmann, con el
parte girocinética hi contribución nada a los campos o flujos
[véase Eq. (54) con hola omitido; hi, sin embargo, juega un impor-
papel en el balance energético y la calefacción por iones, como se ha explicado
en el punto 7.8-7.10 infra]. La respuesta de Boltzmann para la den-
sity se expresa por Eq. (221). La ecuación (222) establece que:
velocidad de flujo de iones paralelos puede ser descuidado. Finalmente, Eq. (223)
expresa el equilibrio de presión para Boltzmann (y, por lo tanto,
electrones isotérmicos [Eq. (103)) e iones: si escribimos
B0-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-
= pi − pe = −T0i/23370/ni − T0eŁne, (224)
27 Parte de la energía de las fluctuaciones de compresión puede entrar en calor iónico a través de
colisión (§ 6.1.2) o amortiguación sin colisión (§ 6.2.2) de estas fluctuaciones
en el rango inercial. Si se trata de un mecanismo de calefacción de iones significativo
depende de la eficiencia de la cascada paralela (véanse § 6.2.4 y § 6.3).
28 ¿Cuánta energía se convierte en fluctuaciones de la entropía iónica en el pro-
de una cascada turbulenta no lineal no está necesariamente directamente relacionada con el
resistencia de la amortiguación lineal sin colisión.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 31
FIG. 8.- Soluciones numéricas de la relación de dispersión girocinética lineal (para un tratamiento detallado de la teoría lineal, véase Howes et al. 2006) en el que se muestra la
transición de la onda Alfvén a KAW entre el rango inercial (ki 1) y el rango de disipación (ki & 1). Se muestran tres casos: beta baja (βi = 0,01),
βi = 1, y beta alta (βi = 100). En los tres casos, = 1 y Z = 1. Líneas sólidas negritas muestran la frecuencia real, negrita líneas discontinuas la velocidad de amortiguación γ, ambos
normalizado por kávA (en girocinética, â ¬ / kà  vA y γ / kà  vA son funciones de kà solamente). Las líneas punteadas muestran la solución KAW asintótica (230). Línea sólida horizontal
muestra la onda Alfvén = kávA. Las líneas sólidas verticales muestran ki = 1 y ke = 1. Tenga en cuenta que la amortiguación se puede considerar fuerte si la característica decaimiento
el tiempo es comparable o más corto que el período de la onda, es decir, γ/ & 1/2η. Por lo tanto, en estas parcelas, la amortiguación en ki 1 es relativamente débil para βi = 1, relativamente
fuerte para beta baja y muy fuerte para beta alta.
De ello se deduce que
, (225)
que, combinado con Eq. (221), da Eq. (223). Recordamos
el lector que la ley perpendicular de Ampère, de la que
Eq. (223) fue derivado [Eq. (66) vía Eq. (120)] es, en gyrokinet-
ics, de hecho equivalente a la declaración de pres-
equilibrio seguro (ver sección 3.3).
Sustitución de Eqs. (221-223) en Eqs. (116-117), obtenemos
el siguiente sistema cerrado de ecuaciones
bâ, (226)
2 %i
1 + Z/
) b
*2i* *2*
. (227)
Tenga en cuenta que, utilizando Eq. (223), Eqs. (226) y (227) pueden refundirse
como dos ecuaciones de evolución acopladas para la perpendicular y
componentes paralelos del campo magnético perturbado,
tily [Eqs. (C10) en el apéndice C.2].
Nos referiremos a Eqs. (226-227) como MHD con reducción de electrones
(ERMHD). Están relacionados con la Magnetohidrodi-
namics (EMHD)—una aproximación de fluidos que evoluciona la
campo magnético sólo y surge si se asume que el mag-
campo nectic se congela en la velocidad de flujo de electrones ue, mientras que
los iones son inmóviles, ui = 0 (Kingsep et al. 1990):
4ηen0e
[(B)×B]. (228)
Como se explica en el apéndice C.2, el resultado de la aplicación del
RMHD/ordenamiento girocinético (§ 2.1 y § 3.1) a Eq. (228),
donde B = B0 + B y
, (229)
coincide con nuestros Eqs. (226-227) en el incom-
límites de presión de βi â € 1 o βe = βiZ/€ â € 1. Cuando las betas son
arbitraria, las fluctuaciones de densidad no se pueden descuidar en comparación
a las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético [Eq. (225)] y
dan lugar a flujos perpendiculares de iones con ui 6= 0. Por lo tanto, nuestro
El sistema ERMHD constituye la adecuada generalización de
EMHD para fluctuaciones anisotrópicas de baja frecuencia sin la
suposición de incompresibilidad.
Una (más tenue) relación también existe entre nuestro
El sistema ERMHD y el llamado Hall MHD, que, como
EMHD, se basa en el campo magnético que se está congelando en
el flujo de electrones, pero incluye el movimiento de iones a través del stan-
dard ecuación de impulso MHD [Eq. 8)]. Hablar estrictamente...
ing, Hall MHD sólo se puede utilizar en el límite de iones fríos,
1 (véase, por ejemplo, Ito et al. 2004; Hirose et al. 2004,
y el apéndice E), en cuyo caso puede demostrarse que reduce
a Eqs. (226-227) en el límite adecuado de pequeña escala (Ap-
pendix E). A pesar de que 1 no es una suposición natural para
la mayoría de los plasmas espaciales y astrofísicos, Hall MHD ha, debido a
su simplicidad, ha sido un paradigma teórico popular en el
de la turbulencia del espacio y del plasma astrofísico (véase § 8.2.6).
Por lo tanto, hemos dedicado el Apéndice E a mostrar cómo este
la aproximación encaja en el marco teórico propuesto
aquí: a saber, derivamos el anisótropo de baja frecuencia ver-
sión de la Hall MHD aproximación de la girocinética bajo
la suposición 1 y discutir el papel de la inercia iónica
básculas sonoras de iones, que adquieren significación física en
Este límite. Sin embargo, fuera de este Apéndice, asumimos que 1
en todas partes y no utilizará el Hall MHD.
La validez de las ecuaciones ERMHD como modelo para
Dinámica plasmática en el rango de disipación se discute más a fondo
En el artículo 7.6.
7.3. Ondas cinéticas de Alfvén
Los modos lineales soportados por ERMHD son cinéticos Alfvén
ondas (KAW) con frecuencias
•k = ±
1 + Z/
2 %i
1 + Z/
) kikávA. (230)
Esta relación de dispersión se ilustra en la Fig. 8: tenga en cuenta que la
transición de las ondas de Alfvén a la dispersión de KAW siempre oc-
en ki-1, incluso cuando βi-1 o βi-1. En este último
caso, hay un salto de frecuencia brusca en la transición (accom-
paneada por una amortiguación de iones Landau muy fuerte).
Las funciones propias correspondientes a las dos ondas con
32 Schekochihin et al.
FIG. 9.- Polarización de la onda cinética Alfvén, véase Eqs. (232) y (233).
frecuencias (230) son
2 %i
kk. (231)
Usando Eqs. (229) y (223), el campo magnético-vec-
se puede expresar de la siguiente manera:
= −i k
1 + Z/
2 %i
1 + Z/
(232)
por lo tanto, para una sola onda “+” o “−” (correspondiente a k = 0 o
k = 0, respectivamente), Bk gira en el plano perpendicular
al vector de onda k en el sentido de las agujas del reloj con respecto a este último,
mientras la onda se propaga paralela o antiparalela a la guía
campo (Fig. 9).
Las ondas están polarizadas elípticamente a la derecha. De hecho, nosotros...
ing Eq. (223), el campo eléctrico perpendicular es:
Ek = −ik
−ik + k
• (233)
(cf. Gary 1986; Hollweg 1999). El segundo término es pequeño en
la expansión girocinética, por lo que esta es una elipse muy alargada
(Fig. 9).
7.4. Olas de Alfvén cinéticas de amplitud finita
Como estamos a punto de defender una KAW críticamente equilibrada
la turbulencia de una manera análoga a la teoría de GS para el
Alfvén ondas (§ 1.2), es una pregunta natural para preguntar cómo simi-
las propiedades no lineales de una cascada de KAW putativa serán
a una cascada de ondas Alfvén. Como en el caso de las olas de Alfvén,
hay dos modos lineales de contrapropagación [Eqs. (230)
y (231)], y resulta que ciertas superposiciones de estos
modos (paquetes KAW) también son soluciones no lineales exactas de
Eqs. (226-227). Vamos a demostrar que este es el caso.
Podríamos buscar las soluciones no lineales de Eqs. (226-227)
requiriendo que los términos no lineales desaparezcan. Desde que bâ · â € =
(1/vA), · · ·, esto da
, = 0 = c1Φ, (234)
= 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
donde c1 y c2 son constantes. Si tales soluciones son
posible se determina sustituyendo Eqs. (234) y (235)
en Eqs. (226) y (227) y exigiendo que los dos resultados
Las ecuaciones lineales de ing son consistentes entre sí (ambos equa-
ciones que ahora sólo evolucionan. Esto se logra si29
c21 = −
2 %i
, (236)
así que existen soluciones reales si c2 < 0. En particular, el paquete de olas...
ets consistente en KAW dado por uno de los eigen lineales-
modos (231) con una forma arbitraria en z pero confinado a un
una sola cáscara k = k = const, satisfacer Eqs. (234-236) con
c2 = −k2
i. Este resultado es, de hecho, sólo ligeramente no trivial:
en la girocinética, la no linealidad del soporte de Poisson [Eq. (59)]
desaparece para cualquier modo monocromático (en k) porque el
Poisson soporte de dos modos con números de onda k y k
es · (k × k). Por lo tanto, cualquier solución monocromática
de las ecuaciones linealizadas es también una solución no lineal exacta.
Como hemos demostrado anteriormente, una superposición de monocromática
KAW que tienen un k fijo, o, algo más generalmente, sat-
isfy Eq. (235) con una c2 fija, sigue siendo una solución exacta.
Tenga en cuenta que se aplica un procedimiento similar a la RMHD equa-
ciones (17-18) devuelve las soluciones de Elsasser: perturbaciones de
forma arbitraria que satisfacen Φ =. La diferencia física
entre estos paquetes de onda Alfven de amplitud finita y el
Paquetes KAW de amplitud finita discutidos anteriormente es que no-
las interacciones lineales pueden ocurrir no sólo entre contrapropa-
entre los que se copropagan, una forma natural de
conclusión porque KAW son dispersivos (su velocidad de grupo
a lo largo del campo guía es vAki), por lo que las ondas copropagantes
con diferentes k puede “alcanzar” entre sí e inter-
act.30
7.5. Escalas para Turbulencia KAW
Una teoría de escala para la turbulencia descrita por Eqs. (221-
227) se puede construir en las mismas líneas que la teoría GS
para la turbulencia de la onda Alfvén (§ 1.2). Es decir, vamos a...
sume que la turbulencia por debajo de la giroescala de iones consiste en
Fluctuaciones similares a las de la KAW con kóš kóš (Quataert & Gruzinov)
1999) y que las interacciones entre ellos son críticas
equilibrada (Cho & Lazarian 2004), es decir, que la propagación
tiempo y tiempo de interacción no lineal son comparables en cada
escala. Insistimos en que ninguna de estas suposiciones son, estrictamente,
hablando, inevitable31 (y, de hecho, tampoco estaban en-
Evitable en el caso de las ondas de Alfvén). Desde que hemos de-
Rived Eqs. (226-227) de la girocinética, la anisotropía de
las fluctuaciones descritas por estas ecuaciones están cableadas,
pero no se garantiza que la cascada física real sea
baja la giroescala de iones es de hecho anisotrópica, aunque anal-
ysis de mediciones de viento solar parece indicar que
29 Formalmente hablando, c1 y c2 pueden depender de t y z. Si esto está permitido,
Todavía recuperamos Eq. (236), pero además de ella, obtenemos la ecuación de la evolución
= vA(1 + Z/ Esto permite c1 = const, pero hay, de
Por supuesto, otras soluciones. No los consideraremos aquí.
30 El cálculo anterior es análogo al cálculo por
Mahajan & Krishan (2005) por incompresible Hall MHD (es decir, essen-
ticalmente, el límite alto-βe de las ecuaciones discutidas en el Apéndice E), pero
el resultado es más general en el sentido de que tiene a ion arbitrario y
betas de electrones. La solución Mahajan-Krishan en las cantidades límite del EMHD
a darse cuenta de que Eq. (228) se convierte en lineal para el magnético libre de fuerza (Beltrami)
perturbaciones, ♥B = B. Sustitución de Eq. (229) en esta ecuación
y usando Eq. (223), vemos que la ecuación libre de fuerza es equivalente
a Eqs. (234-236) si c2 = 2 y el límite incompresible (βi 1 o
Se toma βe = βiZ/
31 De hecho, se consideró que la turbulencia del EMHD era débil por varios au-
tors, que predijo un espectro k−2 de energía magnética asumiendo la isotropía
(Goldreich & Reisenegger 1992) o k
para el caso anisótropo (Voitenko)
1998; Galtier & Bhattacharjee 2003; Galtier 2006).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 33
al menos una fracción significativa de ella es (ver Leamon et al.
1998; Hamilton et al. 2008). Simulaciones numéricas basadas en
en Eq. (228) (Biskamp y otros 1996, 1999; Ghosh y otros 1996;
Ng et al. 2003; Cho & Lazarian 2004; Shaikh & Zank 2005)
han revelado que el espectro de fluctuaciones magnéticas
básculas como k
, el resultado consistente con los supuestos
ya se ha indicado anteriormente. Esbocemos el argumento que lleva a esto
escalar.
Primero asumir que las fluctuaciones son KAW-like y que
y [Eq. (231)] tienen escalas similares. Esto implica
1o de enero
(237)
(a efectos de la ampliación de escala de argumentos y del orden de
estimación de la magnitud, establecemos Z/e = 1, pero mantener el βi de-
pendencia tan baja y alta-límites de beta podría ser recuperado si
necesario). El hecho de que fija-k KAW paquetes, que sat-
isfy Eq. (237) con ♥ = 1/k, son soluciones no lineales exactas
de las ecuaciones del ERMHD (§ 7.4) da alguna credibilidad a esto
suposición.
Suponiendo que la localidad a escala-espacio de las interacciones implica un
cascada KAW de flujo constante: análogamente a Eq. 1),
(/l)
*KAW.* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW*
* (1 * i ) ( / i )
*KAW.* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW*
• KAW = const, (238)
donde KAW es el tiempo de cascada y KAW es la energía de KAW
flujo proporcional a la fracción del flujo total
poder turbulento Pext; véase § 3.4) que se convirtió en el
KAW cascada en la giroescala de iones.
Usando Eqs. (226-227) y Eq. (237), no es difícil de ver
que el tiempo característico de la decorrelación no lineal es de 2 /.
Si la turbulencia es fuerte, entonces esta vez es comparable a
la frecuencia inversa de KAW [Eq. (230)] escala por escala y nosotros
puede suponer que el tiempo de cascada es comparable a:
....................................................................................................................
1o de enero
. (239)
En otras palabras, esto dice que """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
(Obsérvese que la última relación confirma que
nuestros argumentos de escala no violan el orden girocinético;
§ 2.1 y § 3.1). Ecuación (239) es el equilibrio crítico como
Supuestos para KAW. Como en el caso de las ondas Alfvén (§ 1.2),
Podríamos argumentar físicamente que el equilibrio crítico está establecido ser-
causa la longitud de correlación paralela l es determinada por el
condición de que la onda puede propagar la distancia l en uno
tiempo de decorrelación no lineal correspondiente a la perpendic-
longitud de la correlación de la mular.
Combinando Eqs. (238) y (239), obtenemos la escala deseada
relaciones para la turbulencia de KAW:
(IKAW)
)1/3 vA
(1o i)1/3
2/3, (240)
(1o i)1/6
, (241)
donde l0 = v
A/e, como en el § 1.2. La primera de estas relaciones de escala
es equivalente a una k
espectro de la energía magnética, el sec-
ond cuantifica la anisotropía (que es más fuerte que para el
GS turbulencia). Ambas escalas fueron confirmadas en el numerador.
ical simulations of Cho & Lazarian (2004)—es su detec-
sión de la escala (241) que hace un caso particularmente fuerte
que la turbulencia de KAW no es débil y que el equilibrio crítico
La hipótesis es aplicable.
Para las fluctuaciones de tipo KAW, la densidad [Eq. (221)] y
campo magnético [Eqs. (223) y (231)] tienen las mismas especificaciones:
trum como potencial escalar, es decir, k
, mientras que el campo eléctrico
E k tiene un espectro k−1/3. Fluctuación del viento solar
espectros reportados por Bale et al. (2005) de hecho son consistentes
con una transición a la turbulencia de KAW alrededor de la giroescala de iones:
k-5/3 espectros magnéticos y de potencia de campo eléctrico en k
sustituyó, para kl'i & 1, por lo que parece ser coherente con
un escalado k−7/3 para el espectro de campos magnéticos y un escalado k−1/3 para
el eléctrico (véase Fig. 1). Un resultado similar se recupera en
simulaciones totalmente girocinéticas con βi = 1, = 1 (Howes et al.
2008b). Sin embargo, no todas las observaciones de viento solar son tan
Apoyo directo a la noción de la KAW cas-
cade y espectros de fluctuación magnética mucho más escarpados también tienen
(por ejemplo, Denskat et al. 1983; Leamon et al. 1998;
Smith et al. 2006). Las posibles razones para ello surgirán en
§ 7.6 y § 7.11 y los datos del viento solar se discuten más a fondo
§ 8.2.4 y § 8.2.5.
7.6. Validez del electrono RMHD y efecto del electrono
Landau Dampping
Las ecuaciones ERMHD derivadas del § 7 son válidas siempre que
ki 1 y también siempre y cuando sea suficiente utilizar la
orden en la expansión masa-ratio (electros isotérmicos; véase
§ 4). En particular, esto significa que el electrón Landau húmedo-
ing es descuidado. Asintóticamente hablando, esto es un riguroso
Pero hay que ser cauteloso al aplicarlo a plas reales.
mas. Desde la anchura de la gama de escala donde ki 1 y
ke â € 1 es solamente â € (mi/me)1/2 â € 43, para algunos valores de la
Los parámetros plasmáticos (T0i/T0e y βi) pueden no ser muy frecuentes.
amplio intervalo de escalas donde el electrón Landau amortigua
Es realmente insignificante. Considere, por ejemplo, el límite bajo de beta,
βi â € 1. En este límite, la frecuencia de la KAW es:
[Eq. (230)]. El electrón Landau amortiguando se convierte en impor-
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
βi+1, por lo que el ERMHD
la aproximación se desglosa y, en consecuencia, el
cade, en su caso, debe ser interrumpido mucho antes de que el electrón
se alcanza la giroescala. La figura 8 muestra la solución de la
relación completa de dispersión girocinética (Howes et al. 2006) para
pequeño, unidad y grande βi. Uno puede juzgar para qué escalas y
qué tan bien (o qué tan mal) se mantiene la aproximación del ERMHD
de la precisión con la que la frecuencia exacta sigue la
solución asintótica Eq. (230) y de la fuerza relativa
de la amortiguación en comparación con la frecuencia real de las ondas.
El electrón no negativo Landau amortiguación puede afectar turbu-
espectros de lence porque ya no se puede asumir una constante
flujo de energía KAW como lo hicimos en § 7.5. Para evaluar la conse-
quences de este efecto, Howes et al. (2008a) construyó un sim-
El modelo de transferencia de energía espectral y concluyó que Lan-
amortiguación dau conduce al empinamiento de los espectros KAW—uno
de varias posibles razones para los espectros de dispersión-rango empinado
observado en plasmas espaciales (ver también § 7.11).
7.7. Descongelación del flujo
Como el ERMHD es un límite de los sistemas isotérmicos-electrón-fluido-
(§ 4), las líneas de campo magnético permanecen ininterrumpidas (ver
§ 4.3). Dentro de los pedidos empleados arriba (pequeña masa ra-
el flujo se descongela solamente en el
proximidad de la giroescala de electrones. Es interesante evaluar
un poco más precisamente la escala a la que esto sucede como un
función de los parámetros plasmáticos.
34 Schekochihin et al.
Físicamente, hay tres tipos de mecanismos por los cuales
la conservación del flujo se rompe: inercia electrónica, los efectos de
giroradio de electrones finitos, y resistividad Ohmic. Vamos a tomar
el momento vÃ3 de la ecuaciÃ3n girocinética electrÃ3n [Eq. (57),
s = e, integración en constante r] y utilizar Eq. (222) evaluar
el término inercial en el momento electrón paralelo resultante
ecuación:
d2e®2A®, (242)
donde de =?e/
βe es la escala inercial de electrones y βe =
Zβi/. Comparando esto con el término "A"/"t de la derecha
lado de la mano de la ecuación de impulso electrónico, vemos que el
inercia electrónica se convierte en importante cuando ke
βe. Los
efectos finitos-giroradio entran cuando ke â € 1. Por lo tanto, en el bajo
βe, la inercia electrónica se vuelve importante por encima del electrón
Gyroscale, mientras que en el βe alto, los efectos finitos-giroradio en-
ter primero. Finalmente, la resistividad Ohmic viene de los colli-
sión (véase el apéndice B.4):
d3vv
.......................................................................................................................................................... (243)
Por lo tanto, la resistividad comienza a actuar cuando kde â € (/ vei)1/2. Uso
la frecuencia KAW [Eq. (230)] para estimar y asumir
que no es pequeño, tenemos
ke kmfpi
1o de enero
. (244)
Por lo tanto, la escala resistiva sólo puede ser más grande el electrón gy-
roscale si el plasma es colisional (kmfpi + 1) y/o elec-
Los trons son mucho más fríos que los iones (1o) y/o los βi 1o. Nota
si sólo se cumple la última de estas condiciones, el electrón
La inercia sigue siendo importante a escalas más grandes que la resistividad.
7.8. Energía Generalizada: Cascadas de KAW y Entropía
La energía generalizada (§ 3.4) en el límite ki 1 es cal-
culado sustituyendo Eqs. (221) y (223) en Eq. (109):
T0iÃ3h2i ár
n0iT0i
=Whi +WKAW. (245)
Aquí el primer término, Whi, es la varianza total de hola, que es
proporcional a menos la entropía de la ditri-
bution (véase § 3.5) y cuya cascada a escalas de colisión
§ 7.9 y § 7.10. Los dos mandatos restantes son los siguientes:
la energía KAW en cascada independiente:
WKAW =
min0i
2
min0i
2 + 2
. (246)
Aunque podemos escribir WKAW como la suma de las energías de
los "+" y "−" lineales KAW eigenmodes [Eq. (231)], que
también son soluciones no lineales exactas (§ 7.4), las dos no
cade de forma independiente y puede intercambiar energía. Tenga en cuenta que la
Ecuaciones ERMHD también conservan
d3r, que es fácilmente
interpretado como la helice del campo magnético perturbado (ver
Apéndice F.3). Sin embargo, no afecta a la cascada de KAW
discutido en el § 7.5 porque se puede argumentar que tiene una tendencia
a cascada inversamente (Apéndice F.6).
Comparando la forma en que la energía generalizada se divide arriba
y por debajo de la escala de giroscopios de iones (véase el punto 5.6 para el límite de ki-1),
interpretamos lo que sucede en la transición de ki 1 como un redis-
Atribución del poder que llegó de las grandes escalas entre
una cascada de KAW y una cascada del (menos) girocentro
entropía en el espacio de fase (ver Fig. 5). Esta última cascada
es la forma en que la energía desviada del electromag-
fluctuaciones netas por la amortiguación sin colisión (onda–partículas)
la interacción) se puede transferir a las escalas de colisión y de-
Posicionado en calor (§ 7.1). El concepto de cascada de la entropía como
el agente clave en el calentamiento del plasma se introdujo en
§ 3.5, donde prometimos una discusión más detallada más adelante.
Pasamos ahora a este debate.
7.9. Cascada de Entropía
La función de distribución ion-girocentro hi satisface al ion
Ecuación girocinética (121), donde se producen colisiones ion-electrónicas
descuidado bajo la expansión de la masa-ratio. En ki â > 1, el
la contribución dominante a Ri proviene de la electromag-
fluctuaciones netas asociadas a la turbulencia de la KAW. Desde
la cascada KAW se desacopla de la cascada de la entropía, hi
es un trazador pasivo de la turbulencia de KAW mediada por el anillo en
espacio de fase. Ampliación de las funciones de Bessel en la expres-
sión para Ri,k [ai 1 en Eq. (69) con s = i] y fabricación
uso de Eqs. (222-223) y del escalado de la KAW
[Eq. (231)], no es difícil demostrar que
# Ri,k #
Ri,k =
J0(ai)Φk
, (247)
donde
J0(ai)
, ai = ki
, (248)
así que hi satisface [Eq. (121)]
# Ri, hola # # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # # # # # # Ri # # # # # Ri # # # # Ri # # Ri # # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # Ri # # # # # # Ri # # # # # Ri # Ri # Ri # # # # # # # # Ri # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ri # # # # # # # # # Ri # # # Ri # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
βiđivA
Ri
F0i + Cii[hi]® Ri
(249)
con la ley de conservación [Eq. (70), s = i]
βi ♥ivA
Ri
Hola Cii[hi]Ri
. (250)
7.9.1. Mezcla de fase perpendicular no lineal
El término de interacción onda-partícula (el primer término en el
lados derecho de estas dos ecuaciones) se verá en breve
ser subdominante en ki 1. Representa la fuente de
el Whi invariante debido a la amortiguación sin colisión en el ión
Gyroscale de alguna fracción de la energía que llega de la in-
rango ercial. En un estado turbulento estacionario, deberíamos tener
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 35
FIG. 10.- Mecanismo de mezcla de fases perpendiculares no lineales:
función de distribución girocenter en Ri de partículas con velocidades v y v
se mezcla con fluctuaciones turbulentas del potencial Φ (flujos E×B) mediod
sobre órbitas de partículas separadas por una distancia mayor que la longitud de la correlación
de Φ.
dWhi/dt = 0 y esta fuente debe equilibrarse en promedio entre
el término (negativo definido) de disipación de colisión ( = calentamiento;
Véase § 3.5). Este equilibrio sólo puede lograrse si se desarrolla
escalas pequeñas en el espacio de velocidad y lleva el
energía, o, en este caso, la entropía, a escalas en el espacio de fase en
que las colisiones son importantes. Una forma rápida de ver esto es por
Recordando que el operador de colisión tiene dos deriva-
y sólo puede equilibrar los términos en el lado izquierdo de
Eq. (249) si
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (251)
donde • es la frecuencia característica de las fluctuaciones
de hola. En caso de que se trate de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de un acto, o de un Estado o de un Estado o de un Estado, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, o de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro o de un Estado miembro de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de conformidad con respecto de conformidad con respecto de conformidad con arreglo, de conformidad con respecto, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con el Estado miembro, de conformidad con el Estado miembro, de conformidad con el Estado miembro, de conformidad con arreglo con arreglo con arreglo con arreglo el Estado miembro, de conformidad con arreglo el Estado miembro, o de conformidad con arreglo con arreglo con arreglo el Estado miembro, o de conformidad con arreglo con arreglo con arreglo Esto es ciertamente cierto para
ki â € 1: tomar â € € € € € € € € € € ~ kmfpi y usar kmfpi â € 1 (que
es el límite adecuado en y por debajo de la giroescala de iones para
la mayoría de los plasmas de interés; cf. nota a pie de página 24), hemos
- ¿Por qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué?
βi/kmfpi 1.
La condición (251) significa que la tasa de colisión puede ser ar-
Bitralmente pequeño—esto siempre será compensado por el suf-
ficientemente fina estructura de velocidad-espacio de la función de distribución
sión para producir una cantidad finita de producción de entropía (
) independiente de los países del límite νii → +0. La situa...
sión se parece un poco a la aparición de un pequeño balneario.
básculas tiales en turbulencia fluida-neutral con arbitrariamente pequeñas
pero no de cero viscosidad (Kolmogorov 1941). La analogía
no es perfecto, sin embargo, porque el equa ion girocinético
ión (249) no contiene un término de interacción no lineal que
causaría explícitamente una cascada en el espacio de velocidad. In-
en lugar de, el (anillo-promedio) KAW turbulencia mezcla hola en el
espacio girocéntrico a través del término no lineal en Eq. (249), así que hola
tendrá estructura a pequeña escala en Ri en escalas características
mucho más pequeño que el Sr. Asumamos que el dominante no-
efecto lineal es una interacción local de la fluctua-
ciones de hola con el componente similar de pequeña escala de Ri.
Puesto que el promedio del anillo está involucrado y ki es grande, el val-
de Ri correspondientes a dos velocidades v y v′
provienen de fluctuaciones electromagnéticas relacionadas con la decoración espacial
si kv/đi y kv
[el argumento de la función de Bessel]
en Eq. (247)] difieren por orden de unidad, es decir, para
v − v
(252)
(véase la Fig. 10). Esta relación da una correspondencia entre
las escalas de decoración de hi en la posición y velocidad
espacio. Combinando Eqs. (252) y (251), vemos que hay
una escala de corte de colisión determinada por el ki-
1.32 La escala de corte es mucho más pequeña que la giroescala de iones.
En el rango entre estas escalas, la disipación de colisión es
Pequeño. Las fluctuaciones de la entropía iónica se transfieren a través de este
escala por medio de una cascada, para la que vamos a
estructura una teoría de escala en § 7.9.2 (y, para el caso sin la
antecedentes de turbulencia de KAW, en § 7.10).
Es importante subrayar que no importa cuán pequeño sea el
escala de corte de colisión es, toda la energía generalizada chan-
en la cascada de la entropía en la giroescala de iones eventualmente
lo alcanza y se convierte en calor. Tenga en cuenta que la tasa en
que esto sucede es en general la amplitud-dependiente porque
el proceso no es lineal, aunque vamos a argumentar en § 7.9.4 (ver
también § 7.10.3) que el tiempo de cascada no lineal y el paralelo
tiempo de propagación lineal (transmisión de partículas) se relacionan por un
condición crítica-equilibrio-como (también argumentaremos que
la mezcla lineal en fase paralela, que puede generar pequeñas
básculas en và, es un proceso menos eficiente que el no lineal per-
pendicular mencionado anteriormente).
Es interesante notar la conexión entre la entropía
la cascada y algunos aspectos del cierre de girofluidos formal-
stem desarrollado por Dorland & Hammett (1993). En su...
ory, la aparición de escalas pequeñas en v se manifestó como
el crecimiento de los momentos de alto orden v del girocentro distri-
función de butión. Identificaron correctamente este efecto como una con-
secuencia de la mezcla de fase perpendicular no lineal de la
función de distribución girocenter causada por un
velocidad-espacio esparcido en las velocidades E × B promediadas por el anillo
(dado por el Ri = Ri en nuestra notación) que surge en y
por debajo de la giroescala de iones.
7.9.2. Escalados
Puesto que la entropía es una cantidad conservada, seguiremos la
bien pisado camino Kolmogorov, asumir la localidad de interac-
ciones en el espacio de escala y flujo constante de entropía, y concluir,
análogamente a Eq. 1),
v8thi
h2i/23370/ Łh = const, (253)
donde el flujo de entropía es proporcional a la fracción de la
potencia turbulenta total (o Pext; véase § 3.4) que fue desviada
en la cascada de la entropía en la giroescala de iones, y es el cas-
cade tiempo que ahora tenemos que encontrar.
Por la suposición de equilibrio crítico, el tiempo de decorrelación
de las fluctuaciones electromagnéticas en la turbulencia de KAW es
comparable en cada escala al período de la KAW en esa escala, y
al tiempo de interacción no lineal [Eq. (239)]:
....................................................................................................................
(1o i)1/3
. (254)
El tiempo característico asociado con el término no lineal en
Eq. (249) es más larga que la KAW por un factor de (e/e/e)
1/2 debido a
el promedio del anillo, lo que reduce la fuerza de la no lineal
interacción. Esta debilidad de la no linealidad lo hace pos-
para desarrollar una teoría analítica sistemática de la entropía
32 Otra fuente de alisado espacial en pequeña escala proviene de la
términos girocentro-difusión pendicular ii(v/vthi)2k2
I hik que surgen en
los operadores de colisión anillados, por ejemplo, el segundo término del modelo
operador (B13). Estos términos de nuevo imponen un número de onda de corte tal que
Ki ( >//ii)
1/2 â € 1.
36 SCHEKOCHIHIN ET AL.
cascada (Schekochihin & Cowley 2009). También es posible
estimar el tiempo de cascada a través de un argumento más cualitativo
análogo a aquel ideado por primera vez por Kraichnan (1965) para el
turbulencia débil de las ondas de Alfvén: durante cada correla-
la no linealidad cambia la amplitud de hi
por una pequeña cantidad:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
estos cambios se acumulan con el tiempo como una caminata aleatoria,
así que después del tiempo t, el cambio acumulativo en amplitud es
(t/lKAW.)
1/2; finalmente, el tiempo de cascada t = es el tiempo
después de lo cual el cambio acumulativo en la amplitud es compara-
ble a la amplitud misma, que da, utilizando Eq. (254),
....................................................................................................................
(1o i)1/3
. (256)
Sustitución de esto en Eq. (253), tenemos
Hola.
v3thi
)1/2(
(1 â € i) 1 / 6 â € €
(257)
que corresponde a una k
espectro de la entropía.
En el argumento presentado anteriormente, supusimos que la
ión de hi fue determinado por la mezcla no lineal de hi por
las fluctuaciones de la KAW mediadas por el anillo en lugar de por la onda–
término de interacción de partículas en el lado derecho de Eq. (249).
Ahora podemos confirmar la validez de esta suposición. Los
cambio en la amplitud de hola en un tiempo de correlación KAW
debido al término de interacción onda-partícula es
¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
v3thi
βiđivA
# No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No.
v3thi
(IKAW)
)1/3
βi (1 i)1/3
7/6, (258)
donde hemos usado Eq. (240). Comparando esto con Eq. (255)
y usando Eq. (257), vemos que?hi? en Eq. (258) es un factor
de (l/i)
1/2 más pequeña que la mezcla no lineal.
7.9.3. Corte de espacio en fase
Para elaborar las escalas de corte tanto en la posición como en el plano.
ity espacio, usamos Eqs. (251) y (252): en Eq. (251), â € ¬ 1/,
donde es el tiempo característico de la decoración de hi dado por
Eq. (256); utilizando Eq. (252), encontramos los cortes:
3/5 = Do-3/5, (259)
donde i es el tiempo de cascada [Eq. (256)] tomado en
Por una convención recientemente establecida, el num sin dimensiones
ber Do = 1/νiii se llama el número Dorland. Se juega.
el papel de Reynolds número para la turbulencia cinética, mea-
la separación de escala entre la giroescala de iones y
la escala de disipación de colisiones (Schekochihin et al. 2008b;
Tatsuno et al. 2009a, b).
7.9.4. Mezcla en fase paralela
Otra suposición, que se hizo implícitamente, fue que
la mezcla en fase paralela debida al segundo término a la izquierda
lado de la mano de Eq. (249) podría ser ignorado. Esto requiere jus-
tificación, especialmente porque es con este término “balístico”
que tradicionalmente se asocia el surgimiento de la pequeña escala
estructura en el espacio de velocidad (por ejemplo, Krommes & Hu 1994;
Krommes 1999; Watanabe & Sugama 2004). El efecto de
la mezcla en fase paralela consiste en producir pequeñas escalas en
ity space. Asumamos que el KAW Turbu-
lence imparte su escala de decoración paralela para hi y utilizar el
escalar la relación (241) a la estimación de kÃ3r à r l−1. Luego, después de uno
Tiempo de cascada [Eq. (256)], hola está relacionado con la decoración en el paralelo
escalas de velocidad
βi(1 i)
• 1. (260)
Concluimos que la mezcla de fase perpendicular no lineal
[Eq. (259)] es más eficiente que el paralelo lineal. Nota
que hasta un factor βi-dependiente Eq. (260) es equivalente a
crítica-equilibrio-como suposición de hola en el sentido de que el
el tiempo de propagación es comparable al tiempo de cascada, o
−1 [véase Eq. (249)].
7.10. Cascada de Entropía en la Ausencia de Turbulencia de KAW
Actualmente no se sabe cómo se puede determinar ana-
líticamente qué fracción del poder turbulento que llega de
el rango inercial a la giroescala de iones se canaliza hacia el
KAW cascada y qué fracción se disipa a través de la cinética
ión-entropía en cascada introducida en el § 7.9 (tal vez sólo puede
se determinará mediante simulaciones numéricas directas). Es cer-
Es un hecho que en muchas mediciones de viento solar, la rel-
espectros de energía magnética atíficamente poco profundos asociados con el
La cascada de KAW (§ 7.5) no aparece y los espectros mucho más empinados
se detectan (cerca de k−4; ver Leamon et al. 1998; Smith y otros
2006). En vista de esta evidencia, es interesante preguntar qué
sería la naturaleza de las fluctuaciones electromagnéticas por debajo de la
ion giroescala si la cascada de KAW no se lanzó, es decir,
si todo (o la mayor parte) del turbulento poder fue dirigido a la
cascada de entropía (es decir, si W Whi en § 7.8).
7.10.1. Ecuaciones
De nuevo es posible derivar un conjunto cerrado de ecuaciones para todos
cantidades fluctuantes.
Asumamos (y verifiquemos a posteriori; § 7.10.4) que el
frecuencia característica de tales fluctuaciones es mucho menor
que la frecuencia KAW [Eq. (230)] de modo que el primer término en
Eq. (116) es pequeño y la ecuación se reduce al equilibrio de
los otros dos términos. Esto da
, (261)
lo que significa que los electrones son puramente Boltzmann [he = 0 a
orden más bajo; véase Eq. (101)]. Entonces, de Eq. (118),
ivti
eik·r
d3vJ0(ai)hik (262)
Usando Eq. (262), encontramos de Eq. (120) que el campo-
las fluctuaciones de la fuerza son
eik·r
v2thi
J1(ai)
hik, (263)
el cual es más pequeño que Zeel/T0i por un factor de βi/ki.
Por lo tanto, podemos descuidar a BB/B0 en comparación con
Eq. (117). Usando Eq. (261), obtenemos lo que es físicamente el
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 37
Ecuación de continuidad de electrones:
+
4ηen0e
# 2A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
= 0, (264)
u'i =
eik·r
d3vvóJ0(ai)hik. (265)
Tenga en cuenta que en términos de las funciones de flujo y flujo, Eq. (264)
toma la forma
* 2i * 2 =
, (266)
donde hemos aproximado bâ · â € € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
escritura, debe demostrarse que es correcta en § 7.10.4.
Junto con la ecuación girocinética de iones, que disuaden-
minas hola, Eqs. (261-264) forman un conjunto cerrado. Ellos describen
fluctuaciones de baja frecuencia de la densidad y electromagnética
campo debido únicamente a la presencia de fluctuaciones de hi por debajo de la
ion giroescala.
Se sigue de Eq. (263) que la B/B0 contribuye a la
inantly a Ri [Eq. (69) con s = i y ai 1]. Lo será.
verificó a posteriori (§ 7.10.4) que lo mismo es cierto para A.
Por lo tanto, Eqs. (247) y (249) siguen en vigor, al igual que en
caso con KAW. Esto significa que Eqs. (249) y (262)
un subconjunto cerrado. Así, la cascada cinética ion-entropía es auto-
regular en el sentido de que hola ya no es pasivo (como era
en presencia de turbulencias de KAW; § 7.9) pero está mezclado por
las fluctuaciones “electrostáticas” de la escalar
tential, que a su vez son producidos por hi de acuerdo con
Eq. (262).
Las fluctuaciones magnéticas son pasivas y determinadas por
las fluctuaciones electrostáticas y entropía a través de Eqs. (263)
y (264).
7.10.2. Escalados
De Eq. (262), podemos establecer una correspondencia entre
(las fluctuaciones electrostáticas y las fluctuaciones
de la función de distribución ion-girocentro):
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
hi, (267)
donde el factor de (l/l)
1/2 proviene de la función Bessel
[Eq. (248)] y el factor de (v/vthi)
1/2 resultados de la
v integración del factor oscilatorio en la función Bessel
times hi, que decora a escalas pequeñas en la velocidad
espacio y, por lo tanto, su integral se acumula en un
La moda de caminar. Las escalas de velocidad-espacio están relacionadas con el
escalas espaciales vía Eq. (252), que fue llegado por un ar-
mento no específico a las fluctuaciones de tipo KAW y, por lo tanto,
sigue aguantando.
Usando Eq. (267), encontramos que la interacción onda-partícula
término en el lado derecho de Eq. (249) es subdominante: com-
lo que muestra que es más pequeño por un factor de
(l/i)
3/2 â € 1. Por lo tanto, es el término no lineal en Eq. (249)
que controla las escalas de hiel y.
Ahora asumimos de nuevo la localidad de escala-espacio y con-
Estancy del flujo de entropía, así que Eq. (253) espera. La cascada
(decorrelación) el tiempo es igual al tiempo característico associ-
ated con el término no lineal en Eq. (249):.............................................................................................................................................................................................................................................................
Sustitución de esto en Eq. (253) y utilizando Eq. (267), nosotros ar-
rive en las relaciones de escala deseadas para la cascada de la entropía
(Schekochihin y otros 2008b):
v3thi
)1/3
1/6, (268)
)1/3 vthi
7/6, (269)
)1/3
1/3, (270)
donde l0 = v
A/e, como en el § 1.2. Nótese que desde la existencia
de esta cascada depende de que no sea abrumado por el
Fluctuaciones de la KAW, deberíamos tener una KAW y una H =
KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW.
El escalado para la función de distribución ion-girocenter,
Eq. (268), implica una k
Espectro : el mismo que para el KAW
turbulencia [Eq. (257)]. La escala para el tiempo de cascada,
Eq. (270), es también similar a la de la turbulencia de KAW
[Eq. (256)]. Por lo tanto, la velocidad- y girocentro-espacio corte-
los offs siguen siendo dados por Eq. (259), donde i es dado ahora por
Eq. (270) tomado en = Łi.
Una nueva característica es la escala del potencial escalar, dada por
Eq. (269), que corresponde a una k
−10/3
espectro (a diferencia de la
Espectro KAW, § 7.5). Esta es una predicción medible para el
Fluctuaciones electrostáticas: el espectro de campos eléctricos implícito
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De Eq. (261), también concluimos que la densidad
las fluctuaciones deben tener el mismo espectro que la escalar po-
tential, k
−10/3
—otra predicción medible.
Las escalas derivadas arriba para los espectros del ión
la función de distribución y del potencial escalar han sido
confirmado en las simulaciones numéricas de Tatsuno et al.
(2009a,b), que estudió electroestática en descomposición tur-
bulencia en dos dimensiones espaciales. También encontraron velocidad...
escalas de espacio de acuerdo con Eq. (252) (utilizando un
representación de las funciones de correlación en el espacio v
sobre la base de la transformación de Hankel de la función de distribución;
Véase Plunk et al. 2009).
7.10.3. Cascada paralela y mezcla en fase paralela
Una vez más hemos ignorado el término balístico (el segundo
el lado izquierdo) en Eq. (249). Vamos a estimar el efi...
cencia de la cascada espacial paralela de la entropía iónica y de
la mezcla en fase paralela asociada mediante una conjetura
similar al equilibrio crítico: suponiendo que
los planos pendiculares sólo permanecen correlacionados a condición de que las partículas
puede fluir entre ellos en un tiempo de decorrelación no lineal
(cf. § 1.2 y § 7.9.4), concluimos que la partícula paralela
frecuencia de transmisión kávÃ3 debe ser comparable en cada escala
al tiempo inverso no lineal −1, así que
kâ € € TM ~ vthi â € 1. (271)
Como explicamos en § 7.9.4, las escalas paralelas en la velocidad
espacio generado a través del término balístico están relacionados con el paralelo
Números de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por De Eq. (271), encontramos que
después de un tiempo de cascada, la escala de velocidad paralela típica es
1 por lo que la mezcla en fase paralela es de nuevo mucho menos
eficiente que la perpendicular.
Nótese que Eq. (271) combinado con Eq. (270) significa que el
la anisotropía se caracteriza de nuevo por la relación de escalar
, similar al caso de la turbulencia de KAW [véase Eq. (241)
y § 7.9.4].
38 SCHEKOCHIHIN ET AL.
7.10.4. Escalados para las Fluctuaciones Magnéticas
La ley de escala para las fluctuaciones del campo magnético
la fuerza sigue inmediatamente de Eqs. (263) y (269):
ivti
−11/6
13/6, (272)
de donde el espectro de estas fluctuaciones es k
−16/3
El escalonamiento de A® (las fluctuaciones magnéticas perpendiculares)
depende de la relación entre k y k. De hecho, la proporción
entre el primero y el tercero términos en el lado izquierdo de
Eq. (264) [o, equivalentemente, entre los términos primero y segundo
en el lado derecho de Eq. (266)] es............................................................................................................................................................................................................................................................
kà                                                                       Â
. Para un crit-
En el caso de los países de la Europa central y oriental, la situación de los países de la Europa central y oriental sigue siendo muy difícil.
[Eq. (271)]. Utilizando el primer término para elaborar la escala para el
fluctuaciones magnéticas perpendiculares, obtenemos, usando Eq. (269),
ivti
−11/6
13/6, (273)
que es el mismo escalado que en el caso de la letra B/B0 [Eq. (272)].
Usando Eq. (273) junto con Eqs. (269) y (270), es
ahora directamente para confirmar las tres suposiciones hechas
en § 7.10.1 que prometimos verificar a posteriori:
1. En Eq. (116), "A"/"t" cb", así que Eq. (261) espera (el
Los electrones siguen siendo Boltzmann). Esto significa que no hay KAW
puede ser excitado por la cascada.
2. En Eq. (264). Esto
significa que las líneas de campo no están significativamente perturbadas.
3. En la expresión para Ri [Eq. (69)], váaaaaaaaa, así que
Eq. (249) espera. Esto significa que la fluc-
las tuaciones dominan la cascada.
7.11. ¿Cascadas superpuestas?
Los espectros de fluctuaciones magnéticas obtenidos en § 7.10.4
son muy empinadas; de hecho, más profundas que las que normalmente se observan
en el rango de disipación del viento solar (§ 8.2.5). Uno podría
Especifíquese que los espectros observados pueden deberse a una superposi-
de las dos cascadas realizables por debajo de la giroescala de iones: a
cascada de alta frecuencia de KAW (§ 7.5) y baja frecuencia
cascada de fluctuaciones electrostáticas debidas a la entropía iónica
fluctuaciones (§ 7.10). Tal superposición podría ocurrir si
la energía que entra en la cascada de KAW es relativamente pequeña,
KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW. Uno espera entonces que una cascada electrostática sea
montado justo debajo de la giroescala de iones con la cascada de KAW
Superándolo más profundo en el rango de disipación. Comparación
Eqs. (240) y (269), podemos estimar la posición de
Brecha tral:
# Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # Ki # # Ki # # Ki #
KAW/KAW
. (274)
Dado que el número de personas que figuran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista.
El rango de disipación no es muy amplio. Es entonces concebible que
los espectros observados no son verdaderas leyes de poder, sino simplemente no-
superposiciones asintóticas de las especificaciones electrostáticas y KAW-
tra con el rango observado de exponentes espectrales “efectivos”
debido a la variación de los valores de la ruptura espectral (274) entre el
dos cascadas.33
33 Varias teorías alternativas que pretenden explicar el rango de disipación
existen los espectros: véase § 8.2.6.
El valor de la KAW/específicamente a cualquier conjunto particular de param-
eters (βi, , etc.) es fijado por lo que sucede en ki â € 1 (§ 7.1;
Véase § 8.2.2, § 8.2.5 y § 8.5 para más información).
7.12. Debajo de la Gyroscale Electron: La última cascada
Finalmente, consideremos lo que sucede cuando ke â € 1. En
Estas escalas, tenemos que volver al sistema girocinético completo.
tem de ecuaciones. La cuasi-neutralidad [Eq. (61)], paralelo
[Eq. (62)] y perpendicular [Eq. (66)] La ley de Ampère se convierte en
eik·r
d3vJ0(ae)hek, (275)
4ηen0e
# 2 A # # # # 2 A # # # # 2 A # # # # 2 A # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # 2 A # # # # # # 2 A # # # # # # # # 2 A # # # # # # # # # # 2 A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
eik·r
d3vvóJ0(ae)hek, (276)
eik·r
v2the
J1(aes)
hek, (277)
donde βe = βiZ/. Hemos descartado las integrales de velocidad
de hola a los dos porque el giroavering los hace subdom-
inactivo en los poderes de (me/mi)
1/2 y debido a las fluctuaciones
de hi son amortiguados por colisiones [suponiendo que el corte de colisión-
dado por Eq. (259) se encuentra por encima de la giroescala electrónica]. A
Eqs. (275-277), debemos añadir la ecuación girocinética para
él [Eq. (57) con s = e], cerrando así el sistema.
El tipo de turbulencia descrito por estas ecuaciones es muy
similar a la examinada en el párrafo 7.10. Es fácil de mostrar desde
Eqs. (275-277) que
. (278)
Por lo tanto, las fluctuaciones magnéticas son subdominantes en el ex-
presión para Re [Eq. (69) con s = e y ae + 1], así
# Re # Re # Re # La ecuación electrónica girocinética entonces es
# Re, he # # # # Re, he # # # # # Re, he # # # # # # # Re, he # # # # # # # # Re, he # # # # # # Re, he # # # # # # # Re, he # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Re, he # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (279)
donde el término de interacción onda-partícula en la mano derecha
lado se ha caído porque se puede demostrar que es pequeño
a través del mismo argumento que en § 7.10.2.
Junto con Eq. (275), Eq. (279) describe el cinético cas-
cade de entropía electrónica desde la giroescala de electrones hasta
la escala a la que las colisiones de electrones pueden disiparlo en calor.
Esta cascada el resultado de la amortiguación sin colisión de KAW en
La energía en la cascada de KAW es < < < 1 > > >, por lo que el poder en la cascada de KAW es < < < < < < < < < < < < < < < > > > > > >.
verted en las fluctuaciones electrón-entropía: de hecho, en el
límite ke 1, la energía generalizada es simplemente
= Whe (280)
(véase la Fig. 5).
Los mismos argumentos de escalado que en § 7.10.2 aplican y escalan
relaciones análogas a Eqs. (268-270), y (272) deben seguirse debidamente:
v3the
(IKAW)
1/6, (281)
(IKAW)
vte l
7/6, (282)
)1/3(
, (283)
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 39
(IKAW)
−11/6
13/6, (284)
donde l0 = v
A/e, como en el § 1.2. La fórmula para la colisión
cortes en el número de onda y el espacio de velocidad es análogo a
Eq. (259):
3/5, (285)
donde e es el tiempo de cascada (283) tomado en
7.13. Validez de la Gyrokinetics en el rango de disipación
A medida que la cascada cinética toma la energía (generalizada) para siempre
escalas más pequeñas, la frecuencia de las fluctuaciones aumenta.
En la aplicación de la teoría girocinética, uno debe ser consciente de
la necesidad de que esta frecuencia se mantenga más pequeña que la de la i. Uso
las fórmulas de escalado para los tiempos característicos de la fluc-
las teaciones derivadas de arriba [Eqs. (254), (270) y (283)], podemos
determinar las condiciones para la utilización de la sustancia activa. Por lo tanto, para el giroki-
la teoría neta para ser válida en todas partes en el rango inercial, nosotros
debe tener
β3/4i
(286)
en todas las escalas hasta ki â > 1, es decir,?i/l0 â > β3/2i, no muy
condición estricta.
Por debajo de la giroescala de iones, la cascada de KAW (§ 7.5) permanece
en el régimen girocinético siempre y cuando
# Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # Ki # # Ki # # Ki #
i (1 i)
(287)
(estamos asumiendo Ti/Te 1 en todas partes). La condición para
esto todavía para ser cierto en la giroescala de electrones es
i (1 i)
. (288)
Las fluctuaciones de la entropía de iones mezcladas pasivamente por el KAW tur-
bulencia (§ 7.9), satisfacer Eq. (287) en todas las escalas hasta el ión
Corte de colisión [Eq. (259)] si
mfpi
i (1 i)
. (289)
Tenga en cuenta que la condición para que el corte de colisión iónico para mentir
por encima de la giroescala de electrones es
mfpi
βi(1 â € i)1/3
)5/6(
(290)
En ausencia de turbulencia de KAW, la pura ion-entropía cas-
cade (§ 7.10) sigue siendo girocinético para
β3/2i
. 291)
Esto es válido en todas las escalas hasta el corte de colisión de iones
siempre y cuando se trate de una condición extremadamente débil,
que siempre está satisfecho. Esto es porque la ion-entropía
las fluctuaciones en este caso tienen frecuencias mucho más bajas que en
el régimen de KAW. El corte de colisión de iones se encuentra por encima de la
giroescala de electrones si, al igual que Eq. (290),
mfpi
)5/6(
. (292)
Si la condición (290) se cumple, todas las fluctuaciones de la
función de distribución de iones se amortiguan por encima del electrón
Gyroscale. Esto significa que por debajo de esta escala, sólo necesitamos
la ecuación electrón girocinética que debe ser válida, es decir, la ecuación de • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
La cascada electrón-entropía (§ 7.12), cuya característica
escala de tiempo es dada por Eq. (283), cumple esta condición para
# Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke #
β3/2e
. (293)
Esto es válido en todas las escalas hasta el electrón
Corte de colisión [Eq. (285)] siempre y cuando se cumplan las condiciones siguientes:
(/KAW)
2β3e (mi/mi)
3(l0/l/e), que siempre está satisfecho.
Dentro de la expansión formal hemos adoptado (ki 1
y kmfpi
βi), no es difícil ver que
y?i/l0???3. Puesto que todos los demás parámetros (me/mi, βi, βe
etc.) son la unidad de orden con respecto a â € ¬, todo lo anterior con-
las diciones para la validez de la girocinética son asintóticamente
correcto por construcción. Sin embargo, en aplicación a
plasmas trofísicos, uno siempre debe comprobar si esto
la construcción de bodegas. Por ejemplo, sustituyéndolo por el siguiente:
rámetros para el viento solar muestra que el ap girocinético
La proximación es, de hecho, probable que empiece a desbaratar algunos...
donde entre el ión y las giroescales de electrones (Howes et al.
2008a).34 Esto libera una variedad de ondas de alta frecuencia
modos, que pueden estar participando en la cascada turbulenta
alrededor y por debajo de la giroescala de electrones (véase, por ejemplo, el reciente
observaciones detalladas de estas escamas en la capa magnetoscópica por
Mangeney et al. 2006; Lacombe et al. 2006 o los primeros meses
seguridades de fluctuaciones de alta frecuencia en el viento solar por
Denskat y otros 1983; Coroniti y otros 1982).
7.14. Resumen
En esta sección, hemos analizado la turbulencia en la dissi-
rango de pation, que resultó tener muchos más esencialmente
Características cinéticas que el rango inercial.
En la giroescala de iones, ki-1, la cascada cinética trasera-
se agruparon en dos componentes distintos: parte de la
Alized) la energía que llegaba del rango inercial era la colisión-
menos amortiguada, dando lugar a una cascada puramente cinética de iones.
fluctuaciones de la entropía, el resto se convirtió en una cascada de
Las ondas cinéticas de Alfvén (KAW) (Fig. 5; § 7.1 y § 7.8).
La cascada de KAW es descrita por dos ecua-
ciones para dos funciones escalares, la función de flujo magnético
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
4ηmin0i y el potencial escalar, expresado, para
continuidad con los resultados del § 5, en términos de la función
Φ = (c/B0). Las ecuaciones son (véase § 7.2)
bâ, (294)
2 %i
1 + Z/
) b
*2i* *2*
, (295)
donde bâ · â € € = â € / € z + (1/vA), · · â €. La densidad y
34 Véase también este artículo para un conjunto de pruebas numéricas de la validez de la
rokinetics en el rango de disipación, una teoría lineal de la conversión de KAW
en las ondas ion-ciclotrón-dañado Bernstein, y una discusión sobre el potencial
(un)importancia de la amortiguación del ciclotrón iónico para la disipación de turbulencias.
40 SCHEKOCHIHIN ET AL.
las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético están directamente relacionadas con el
potencial escalar:
. (296)
Llamamos a Eqs. (294-296) el Magnetohidro Reducido de Electrones
dinámica (ERMHD).
La cascada ion-entropía es descrita por el ion girocinético
ecuación:
Ri,hi} = Cii[hi]Ri. (297)
La función de distribución de iones está mezclada por el anillo-promedio
potencial escalar y sufre una cascada tanto en la velocidad
y el espacio girocéntrico—esta cascada fase-espacio es esencial
para la conversión de la energía turbulenta en el calor iónico,
que en última instancia sólo puede hacerse mediante colisiones (véase § 7.9).
Si la cascada de KAW es fuerte (su poder KAW es un orden-
unidad fracción de la potencia turbulenta inyectada total, de-
termines Φ en Eq. (297), por lo que la cascada ion-entropía es pasiva
con respecto a la turbulencia de KAW. Ecuaciones (294-295) y
(297) forman un sistema cerrado que determina los tres func-
Φ, Ł, hola, de los cuales este último es esclavo de los dos primeros.
También se puede calcular.... y...................................................................................................................................
a Φ [Eq. (296)]. La energía generalizada conservada por estos
ecuaciones es dada por Eq. (245).
Si la cascada de KAW es débil, la ion-entropía
cascada domina la turbulencia en el rango de disipación y
Conduce fluctuaciones electrostáticas de baja frecuencia, principalmente, con una
componente magnético subdominante. Estos son dados por el
después de las relaciones (véase § 7.10)
ivti
2 (1 + ♥/Z)
eik·r
d3vJ0(ai)hik, (298)
ivti
, (299)
eik·r ×
1 + Z/
J0(ai)
hik, (300)
eik·r
v2thi
J1(ai)
hik, (301)
donde ai = kv/đi, Ecuaciones (297) y (298) forman un cerrado
sistema para Φ y hola. El resto de los campos, a saber:
B, son esclavos de hola a través de Eqs. (299-301).
Los modelos fluidos y cinéticos resumidos anteriormente son válidos
entre el ión y las giroescamas de electrones. Por debajo del electrón
Gyroscale, la amortiguación sin colisiones de la cascada de KAW
lo convierte en una cascada de entropía electrónica, similar en naturaleza a
la cascada ion-entropía (§ 7.12).
La cascada de KAW y la turbulencia de baja frecuencia...
ciated con la cascada de iones-entropía tienen escala distinta ser-
Haviors. Para la cascada KAW, los espectros de la electricidad,
densidad y fluctuaciones magnéticas son (§ 7.5)
EE (k) k−1/3, En(k) k
, EB(k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (302)
Para las cascadas de entropía iónica y electrónica (§ 7.9 y § 7.12),
EE (k) k−4/3, En(k) k
−10/3
, EB(k)
−16/3
(303)
En el § 7.11 argumentamos que los espectros observados en la dissipa-
El alcance del viento solar podría ser el resultado de una superpo-
Situación de estas dos cascadas, aunque una serie de alternativas
Existen teorías (§ 8.2.6).
8. DEBATE DE LAS APLICACIONES ATROFÍSICAS
Hasta ahora sólo nos hemos referido ocasionalmente a algunas cuestiones pertinentes.
evidencia observacional para plasmas espaciales y astrofísicos.
Ahora discutimos con más detalle cómo el marco teórico
lo expuesto anteriormente se aplica a las turbulencias plasmáticas reales en el espacio.
A pesar de que vamos a discutir el medio interestelar, accre-
ciones y cúmulos de galaxias hacia el final de este sec-
sión, la fuente más gratificante de información observacional
sobre turbulencias plasmáticas en condiciones astrofísicas es el
el viento lar y la capa magnetométrica porque sólo allí directamente en
Las mediciones in situ de todas las cantidades interesantes son possi-
ble. Medición de la fluctuación magnética y de la velocidad
los campos en el viento solar han estado disponibles desde la década de 1960
(Coleman 1968) y una vasta literatura existe ahora en sus especificaciones...
tra, anisotropía, carácter alfvénico y muchos otros aspectos (a
breve revisión reciente es Horbury et al. 2005; dos largos son
Tu & Marsch 1995; Bruno & Carbone 2005). No es nuestro
el objetivo aquí para proporcionar una encuesta completa de lo que se conoce
sobre la turbulencia del plasma en el viento solar. En lugar de eso, lo haremos.
limitar nuestra discusión a algunos puntos que consideramos impor-
A la luz del marco teórico propuesto en esta
per.35 A medida que hagamos esto, proporcionaremos copiosas referencias a
el cuerpo principal del documento, por lo que esta sección se puede leer como un
guía orientada a los datos, dirigida tanto a un lector minucioso que
ha llegado aquí después de pasar por las secciones anteriores
y un impaciente que se ha saltado a éste con la esperanza de
averiguar si hay algo de uso “práctico” en el
desarrollos teóricos anteriores.
8.1. Turbulencia inercial en el viento solar
En la gama inercial, es decir, para ki 1, el turbu-
La cinética de los fluidos híbridos reducidos debe describirse mediante la reducción de la cinética hídrica.
teoría derivada del § 5 (KRMHD). Su aplicabilidad depende de
tres supuestos clave: i) la turbulencia es Alfvénic, es decir, con-
sisss de pequeña frecuencia (» B/B0 1) baja frecuencia (» k·vA ·)
perturbaciones de un campo magnético medio ambiente y corre-
fluctuaciones de velocidad; ii) es fuertemente anisotrópica,
(iii) la distribución del equilibrio puede ser aprox.
Apareada o, al menos, razonablemente modelada por un Maxwelliano con...
pérdida de la física esencial (esto se discutirá en el § 8.3).
Si se cumplen estos supuestos, KRMHD (resumido en
§ 5.7) es un conjunto riguroso de ecuaciones dinámicas para la inercia
gama, un conjunto de predicciones de escala al estilo Kolmogorov para el
El componente alfvénico de la turbulencia se puede producir (la
GS teoría, revisada en § 1.2), mientras que a la fluc-
ciones, se aplican las consideraciones del § 6. Así que vamos a examinar
la evidencia observacional.
8.1.1. Alfvénic Naturaleza de la Turbulencia
La presencia de ondas de Alfvén en el viento solar fue re-
ported ya las primeras obras de Unti & Neugebauer (1968)
y Belcher & Davis (1971). Se detectan ondas alfvén al-
listo a muy bajas frecuencias (grandes escalas)—y, en estos
35 Un amplio debate cuantitativo sobre la aplicabilidad de la
La teoría neticista de la turbulencia en el viento solar lento fue dada por Howes et al.
(2008a).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 41
frecuencias bajas, tienen un espectro k−1.36 Este espectro cor-
responde a una distribución uniforme de escalas/frecuencias de
ondas lanzadas por la actividad coronal del Sol. Nonlin-
la interacción del oído de estas ondas da lugar a un tur-
cascada bulenta del tipo que se discutió anteriormente. El ef-
escala exterior fectiva de esta cascada se puede detectar como una especificación
ruptura tral donde la escala k−1 empina hasta el Kolmogorov
pendiente k−5/3 (véase Bavassano et al. 1982; Marsch & Tu 1990a;
Horbury et al. 1996 para resultados de viento rápido en la ruptura espectral;
para una discusión de la escala exterior eficaz en el viento lento
en 1 UA, véase Howes et al. 2008a). La escala particular en
que esto sucede aumenta con la distancia del Sol
(Bavassano et al. 1982), reflejando el estado más desarrollado
de la turbulencia en etapas posteriores de la evolución. A la 1 UA, la
escala exterior se sitúa aproximadamente en el rango de 105 − 106 km; el k−5/3
rango se extiende hasta escalas/frecuencias que corresponden a un
pocas veces el ion giroradius (102 − 103 km; ver Tabla 1).
El rango entre la escala exterior (la ruptura espectral) y
la giroescala de iones es el rango inercial. En este rango, B/B0 de-
pliegues con escala debido a la pendiente espectral negativa pronunciada.
Por lo tanto, la suposición de pequeñas fluctuaciones, B/B0 1,
si bien no es necesariamente cierto en la escala exterior, es cada vez más
mejor satisfecho más dentro de la gama inercial (cf. § 1.3).
¿Son estas fluctuaciones Alfvénic? En un plasma como el
el viento solar, deben ser porque, como se muestra en el § 5.3, para
ki â € 1, estas fluctuaciones son rigurosamente descritas por el
Ecuaciones RMHD. El flujo magnético se congela en el ión
movimientos, por lo que desplazar una parcela de plasma debe producir un
igualar (Alfvénic) la perturbación de la línea de campo magnético
y viceversa: en una onda Alfvén, u = B/
4?min0i.
La confirmación más fuerte de que esto es verdad para el
Las fluctuaciones del rango inercial en el viento solar fueron logradas por
Bale et al. (2005), que comparó los espectros de la electricidad y
fluctuaciones magnéticas y encontraron que ambas escalan como k−5/3
y seguirse unos a otros con una precisión notable (véase Fig. 1).
El campo eléctrico es una muy buena medida de la perpendicular
campo de velocidad porque, para ki â € 1, la velocidad plasmática es
la velocidad de deriva E×B, u = cE× /B0 (véase § 5.4).
Este cuadro de acuerdo entre la teoría básica y la
Los servicios se alteran de una manera perturbadora por un extraordi-
un reciente resultado de Chapman & Hnat (2007); Podesta et al.
(2006) y J. E. Borovsky (2008, comunicación privada),
que reclaman diferentes índices espectrales de velocidad y mag-
fluctuaciones netas: k−3/2 y k−5/3, respectivamente. Este resultado
es desconcertante porque si es asintóticamente correcto en el iner-
rango de tial, implica o bien u â â € â € TM o u â € â € â € TM y es
no está claro cómo las fluctuaciones perpendiculares de la velocidad en un
plasma ideal podría no producir desplazamientos alfvénicos
y, por lo tanto, fluctuaciones perpendiculares del campo magnético con
las energías coincidentes. Las explicaciones plausibles pueden ser las siguientes:
el campo de velocidad en estas mediciones está contaminado por un no-
Componente alfvénico paralelo al campo magnético (aunque
análisis de datos por Chapman & Hnat 2007 no apoya esto)
o que el aplanamiento del espectro de velocidad se debe a algunos
forma de un efecto de girorradio finito o incluso una inyección de energía
en las fluctuaciones de velocidad en las escalas que se aproximan al ión
giroescala (por ejemplo, a partir de la presión-anisotropía-instabili-
36 Derivado del espectro de frecuencia f −1 a través de la hipótesis Taylor (1938)
esis, f k ·Vsw, donde Vsw es la velocidad media a la que sopla el viento
más allá de la nave espacial. La hipótesis de Taylor es una buena suposición para el...
Lar viento porque Vsw (+ 800 km/s en el viento rápido, + 300 km/s en el lento
viento) es altamente supersónico, super-Alfvénic y supera con creces la fluctuación
velocidades.
§ 8.3).
8.1.2. Espectro energético
Cuán sólida es la afirmación de que el espectro observado
tiene una escala de k−5/3? En las mediciones individuales de la
espectros de energía magnética, se afirma una precisión muy alta
para esta escala: el exponente espectral medido es
entre 1,6 y 1,7; acuerdo con Kolmogorov valor 1,67
a menudo se informa de que está dentro de unos pocos por ciento (véase, por ejemplo,
Horbury et al. 1996; Leamon y otros 1998; Bale et al. 2005;
Narita et al. 2006; Alexandrova et al. 2008a; Horbury et al.
2008)). Hay una dispersión algo más amplia de espectrales en...
si se consideran grandes conjuntos de intervalos de medición
(Smith y otros 2006), pero en general, las pruebas observacionales
no parece ser consistente con una k
espectro consis-
encontrado en las simulaciones MHD con un campo medio fuerte
(Maron & Goldreich 2001; Müller et al. 2003; Mason et al.
2007; Perez & Boldyrev 2008, 2009; Beresnyak & Lazarian
2008b) y defendido por razones teóricas en los últimos años
modificaciones de la teoría de GS por Boldyrev (2006) y por
Gogoberidze (2007) (véase la nota 10). Esta discrepancia es...
entre observaciones y simulaciones sigue sin resolverse
cuestión teórica. Es probable que la mejor manera de abordarlo sea con numeri-
la modelización de las ecuaciones RMHD (§ 2.2) y mediante una de-
comparación de colas de la estructura de las fluctuaciones alfvénic
en tales simulaciones y en el viento solar.
8.1.3. Anisotropía
Construyendo evidencia de anisotropía de fluctuación turbulenta...
ciones han progresado de la mera detección de su alargamiento
a lo largo del campo magnético (Belcher & Davis 1971)
datos a un modelo ad hoc que mezcla una perpendicular 2D y una
1D paralelo (“slab”) componentes turbulentos en algunos propor-
tion37 (Matthaeus et al. 1990; Bieber y otros 1996; Dasso y otros
2005; Hamilton et al. 2008)—a una sistemática formal e imparcial
análisis que muestran la presencia persistente de anisotropía en absoluto
básculas (Bigazzi et al. 2006; Sorrizo-Valvo et al. 2006)— a di-
mediciones rectas de funciones de correlación tridimensional
(Osman & Horbury 2007) — y finalmente a la computación espectral
exponentes en ángulos fijos entre k y B0 (Horbury et al.
2008). Estos últimos autores parecen haber logrado la primera
confirmación cuantitativa directa de la teoría GS por demonio-
estratificando que el espectro magnético-energía escala como k
números de onda perpendiculares al campo medio y como k−2
números de onda paralelos a él [consistente con la primera escala
relación en Eq. 4)]. Esto es lo más cercano que tienen las observaciones
llegó a confirmar la relación de GS kâ € € k
[ver Eq. 5)] en a
plasma turbulento astrofísico real.
8.1.4. Fluctuaciones compresivas
De acuerdo con la teoría desarrollada en el § 5, la densidad y
Las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético son pasivas, energéticamente
Desconectado y mezclado por la cascada Alfvénic (§ 5.5;
estos son modos lentos y entropía en el MHD colisional
límite (véanse § 2.4 y § 6.1). Se espera que estas fluctuaciones
estar equilibrados a presión, expresados por Eq. 22) o, más
eralmente en girocinética, por Eq. (67). Hay, de hecho, fuerte
37 Estas técnicas se originan en la visión de la turbulencia del MHD como un su-
perposición de una turbulencia 2D y una mezcla de ondas Alfvén (Fyfe et al.
1977; Montgomery & Turner 1981). Como discutimos en el § 1.2, consideramos
la visión de Goldreich & Sridhar (1995, 1997) de una Alfvénic críticamente equilibrada
cascada para estar mejor justificada físicamente.
42 SCHEKOCHIHIN ET AL.
evidencia de que las presiones magnéticas y térmicas en la energía solar
el viento son anticorrelacionados, aunque hay algunas indicaciones
de la presencia de fluctuaciones compresivas, de onda rápida como
bien (Roberts 1990; Burlaga et al. 1990; Marsch & Tu 1993;
Bavassano et al. 2004).
Medición de la densidad y de la fluctua-
ciones realizadas por una variedad de métodos diferentes, tanto en
1 AU (Celnikier y otros 1983, 1987; Marsch & Tu 1990b;
Bershadskii & Sreenivasan 2004; Hnat et al. 2005;
Kellogg & Horbury 2005; Alexandrova et al. 2008a) y
cerca del Sol (Lovelace et al. 1970; Woo & Armstrong 1979;
Coles & Harmon 1989; Coles et al. 1991) muestran fluctuación
niveles de orden 10% y espectros que parecen tener un k−5/3
escala por encima de las escalas de orden 102 − 103 km, que
mately corresponde a la giroescala de iones. El Kolmogorov
valor del exponente espectral es, como en el caso de Alfvénic
fluctuaciones, medidas con bastante precisión en casos individuales
(1,67 ± 0,03 en Celnikier et al. 1987). Curiosamente, el
los exponentes de la función de estructura de orden superior medidos para el
la fuerza del campo magnético muestra que es más intermitente
cantidad que la velocidad o el campo magnético vectorial (es decir,
que las fluctuaciones alfvénicas) y que la expo de escala
nents están cuantitativamente muy cerca de los valores encontrados para
escalares pasivos en fluidos neutros (Bershadskii & Sreenivasan)
2004; Bruno et al. 2007). Uno podría argumentar que esto presta
algún apoyo a la expectativa teórica de pasivo
Fluctuaciones magnéticas de la fuerza del campo.
Teniendo en cuenta que en el régimen sin colisiones estos fluctua-
Se supone que las ciones están sujetas a una fuerte amortiguación cinética.
(§ 6.2.2), la presencia de Kolmogorov-como bien desarrollado
y aparentemente turbulentos espectros es más sorprendente
que tal vez ha sido reconocido públicamente. Una extensión
En el párrafo 6.3 se examina esta cuestión. Sin el in-
conclusión de los efectos de disipación asociados con el ión finito
giroescala, la cascada pasiva de la densidad y la fuerza del campo
es puramente perpendicular al campo magnético local (exacto) y
no conduce a ningún refinamiento de escala a lo largo del campo. Esta im-
estructuras altamente anisotrópicas alineadas con el campo, cuya longitud
es determinado por las condiciones iniciales (es decir, condiciones en el
corona). La amortiguación cinética es ineficiente para tales fluctua-
ciones. Si bien esto parece explicar la presencia de
de la ley de poder, no es del todo obvio que el
cascada paralela es realmente ausente una vez que la disipación se toma en
cuenta (Lithwick & Goldreich 2001), por lo que el problema no es todavía
Acordado. Dicho esto, observamos que hay un montón de evidencia de
un alto grado de anisotropía y alineación de campo de la
microestructura de la sidad en el viento solar interior y corona exterior
(por ejemplo, Armstrong et al. 1990; Grall y otros 1997; Woo & Habbal
1997). También hay pruebas de que la estructura local de la
las fluctuaciones de la compresión a 1 UA se correlacionan con
nal, implicando alguna forma de memoria de la condición inicial
ciones (Kiyani et al. 2007; Hnat et al. 2007; Wicks et al. 2009).
Observamos, por último, que si las fluctuaciones de la compresión en
la gama inercial puede desarrollar escalas paralelas cortas debe también
nos dicen cuánto calor de iones puede resultar de su amortiguación
(véase § 6.2.4).
8.2. Turbulencia de dispersión-rango en el viento solar y el
Funda magnética
A escalas que se aproximan a la giroescala de iones, ki â € 1, efectos
asociado con la extensión finita de iones giroorbits comienzan a
materia. Observacionalmente, esta transición se manifiesta como un
ruptura clara en el espectro de fluctuaciones magnéticas, con el
Escalado de rango inercial k−5/3 reemplazado por una pendiente más pronunciada (ver
Fig. 1). Mientras que los electrones en estas escalas pueden ser tratados como
un líquido isotérmico (siempre y cuando estemos considerando las fluctuaciones
por encima de la giroescala electrónica, ke 1; véase § 4), la
La descripción girocinética (§ 3) debe ser adoptada para los iones.
Es, de hecho, entender la dinámica del plasma en y alrededor
1 que la girocinética fue diseñada por primera vez en plasma de fusión
teoría (Frieman & Chen 1982; Brizard & Hahm 2007). En o...
der para la girocinética y otras disipación-rango aproxima-
ciones que se desprenden de ella (artículo 7) para ser un enfoque creíble en
el viento solar y otros plasmas espaciales, tiene que ser estable-
que las fluctuaciones en y por debajo de la giroescala de iones todavía están
fuertemente anisótropo, kÃ3r à r à r kà r. Si ese es el caso, entonces su
las frecuencias ( kvAki, véase § 7.3) serán aún más pequeñas que
la frecuencia del ciclotrón en al menos una parte de la “disipación”
rango”38—el rango de escalas ki & 1 (véase § 7.13).
Tenga en cuenta que la información adicional sobre la disipación-
la turbulencia de rango se puede extraer de las mediciones en
la capa magneto-mientras que las escamas por encima de la giroescala de iones son
probablemente no universal allí, el rango de disipación parece
mostrar un comportamiento universal, en su mayoría similar al viento solar
(véase, por ejemplo, Alexandrova 2008). Esto complementa el obser-
la imagen vacional que emerge de los datos del viento solar y de al-
nos reduce a aprender más como amplitudes de fluctuación en el mag-
netosa es más grande y escalas mucho más pequeñas se pueden sondear
que en el viento solar (Mangeney et al. 2006; Lacombe et al.
2006; Alexandrova et al. 2008b).
8.2.1. Anisotropía
Sabemos con bastante certeza que el fluctu-
aciones que caen en cascada a la giroescala de iones de la in-
El rango ercial es fuertemente anisotrópico (§ 8.1.3). Mientras...
peras probable que la anisotropía persista en ki-1, es ex-
Tremely importante para tener un veredicto claro sobre esta suposición
de las mediciones de viento solar. Mientras que Leamon et al. (1998)
y, más recientemente, Hamilton et al. (2008) presentó algunos
evidencia de que las fluctuaciones magnéticas en el viento solar tienen un
grado de anisotropía por debajo de la giroescala de iones, no definitivo
estudio similar a Horbury et al. (2008) o Bigazzi et al. (2006);
Sorriso-Valvo et al. (2006) todavía existe. En el magne...
tosheath, donde las escamas del rango de disipación son más fáciles de mea-
seguro que en el viento solar, análisis reciente de Shraoui et al.
(2006); Alexandrova y otros (2008b) muestra pruebas de
anisotropía fuerte.
Además de confirmar la presencia de la anisotropía,
ser interesante para estudiar sus características de escala: por ejemplo, comprobar
la predicción del escalado kâ â € k
[Eq. (241); véase también § 7.9.4
y § 7.10.3] de manera similar a la relación de GS
[Eq. (5)] fue corroborado por Horbury et al. (2008).
En este documento, hemos proseguido con la suposición de que
la anisotropía y, por lo tanto, las frecuencias bajas
caracterizar las fluctuaciones en el rango de disipación—o, al menos,
que las fluctuaciones anisotrópicas de baja frecuencia son
canal de cascada de energía cant y puede ser considerado desacoplado
de cualquier posible dinámica de alta frecuencia.
8.2.2. Transición en la Gyroscale de Ion:
Calefacción
38 Este término, habitual en la literatura de la física espacial, es algo de
un mal nombre porque, como hemos visto en el § 7, rico disipación turbulento
dinámica están presentes en esta gama junto a lo que normalmente se piensa como
Disipación.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 43
Si las fluctuaciones en la giroescala de iones tienen kâ ° ° ° k y
No están sujetos al ciclotrón res.
onnance ( ), pero están sujetos al Landau.
( = ). Las fluctuaciones alfvénicas en la giroescala de iones son
ya no se desconecta de las fluctuaciones de la compresión y
puede ser Landau-damped (§ 7.1). Parece verosímil que
es el flujo de energía de la cascada Alfvénic que ac-
cuenta para un pronunciado aplanamiento local del espectro de
fluctuaciones de densidad en el viento solar observado justo arriba
la giroescala de iones (Woo & Armstrong 1979; Celnikier et al.
1983, 1987; Coles & Harmon 1989; Marsch & Tu 1990b;
Coles et al. 1991; Kellogg & Horbury 2005).39
En términos energéticos, la amortiguación Landau equivale a un redis-
Atribución de energía generalizada de fluctu electromagnético
a las fluctuaciones de la entropía (§ 3.4, § 7.8). Esto da lugar a
a la cascada de la entropía, transfiriendo en última instancia el Landau-
energía amortiguada en calor iónico (§ 3.5, § 7.9 y § 7.10). ¿Cómo...?
sólo una parte de la cascada de rango inercial está tan amortiguada que...
causa una alternativa, electrón, canal en cascada existe: el ki-
ondas netic Alfvén ( 7.2-7.8). La energía transferida a
las fluctuaciones de tipo KAW pueden caer en cascada al electrón gy-
roscale, donde es Landau amortiguado en los electrones, la conversión
primero en la cascada de la entropía electrónica y luego el calor del electrón
(§ 7.12).
Por lo tanto, la transición en la ion gyroscale finalmente de-
incide en qué proporción la energía turbulenta que llega de
el rango inercial se distribuye entre el ión y el electrón
Calor. ¿Cómo la fracción de poder que entra en cualquiera de los dos depende de
parámetros-βi, Ti/Te, amplitudes,. ... es una clave sin respuesta
la cuestión tanto en el espacio como en el astrofísico (véase, por ejemplo, el artículo 8.5).
mas. Gyrokinetics parece ser una herramienta ideal para abordar
esta pregunta tanto analítica como numéricamente (Howes et al.
2008b). En el marco esbozado en el presente documento, el
modelo imal adecuado para el estudio de la transición en el ión
giroescala es el sistema de ecuaciones para electrones isotérmicos
e iones girocinéticos derivados en el § 4 (se resume en el § 4.9).
8.2.3. Ion Gyroscale vs. Ion Inercial Scale
A menudo se asume en la literatura física espacial que es
en la escala inercial de los iones, di =
βi, en lugar de en el ion gy-
que el espectral se rompe entre el inercial y el di-
El rango de sorción ocurre. La distinción entre di e i i i i
se nota cuando βi es significativamente diferente de la unidad,
una ocurrencia relativamente rara en el viento solar. Mientras que algunos en...
tienta para determinar a cuál de estas dos escalas un espectral
ruptura entre los rangos inercial y disipación se han producido
las afirmaciones producidas de que di es un candidato más probable (Smith et al.
2001), estudios más completos de los conjuntos de datos disponibles
concluir básicamente que es difícil de decir (Leamon et al. 2000;
Markovskii et al. 2008).
En el enfoque girocinético defendido en este documento, el
La escala inercial no desempeña un papel especial (véase § 7.1). El único
régimen de parámetros en el que di aparece como una escala especial
es Ti Te (“iones fríos”), cuando la aproximación Hall MHD
puede derivarse de forma sistemática (véase el apéndice E). Esto,
sin embargo, no es el límite adecuado para el viento solar o la mayoría de otros
plasmas astrofísicos de interés porque los iones rara vez son fríos.
El hall MHD se examina más a fondo en el apartado 8.2.6 y en el apéndice E.
8.2.4. Turbulencia de KAW
39 Celnikier y otros (1987) propuso que el aplanamiento podría ser una especificación k1
trum análogo al espectro de Batchelor de varianza escalar pasiva en el
rango viscoso-convectivo. Creemos que esta analogía no puede aplicarse porque den-
sity no es pasiva en o por debajo de la giroescala de iones.
Si la girocinética es válida en las escalas ki & 1 (es decir, si k k,
y es aceptable por lo menos modelar el equilibrio
distribución como un Maxwelliano; véase § 8.3), el electromagnético
las fluctuaciones por debajo de la giroescala de iones serán descritas por el
aproximación fluida que derivamos en § 7.2 y se refiere a
ERMHD. Las soluciones de onda de este sistema de ecuaciones son
las ondas cinéticas de Alfvén (7.3-7.4) y es posible ar-
gue para una cascada al estilo GS críticamente equilibrada de KAW-como
fluctuaciones electromagnéticas (§ 7.5) entre el ion y el elec-
(Landau se humilló en los electrones en ke 1; la
expresión para la tasa de amortiguación de KAW en el límite girocinético
se administra en Howes et al. 2006; véase también Fig. 8).
De hecho, cada KAW ha sido detectado en plas espaciales.
mas (por ejemplo, Grison et al. 2005). ¿Qué hay de la turbulencia de KAW?
¿Cómo se puede saber si una pendiente espectral en particular uno es
la medición corresponde a la cascada de KAW o se ajusta a
esquema nativo para la turbulencia del rango de disipación (§ 8.2.6)?
Parece ser un programa sensato para buscar rela-
ciones entre diferentes campos predichos por la teoría (§ 7.2)
y para las correspondientes pendientes espectrales y relaciones de escala
para la anisotropía (§ 7.5). Esto significa que simultáneamente mea-
seguridades de campo magnético, eléctrico, de densidad y magnético-
las fluctuaciones de la fuerza son necesarias.
Para el viento solar, los espectros eléctricos y magnéticos
fluctuaciones por debajo de la giroescala de iones notificada por Bale et al.
(2005) son compatibles con las escalas de k−1/3 y k−7/3 pre-
dictado para una cascada KAW anisótropa críticamente equilibrada
(§ 7.5; véase Fig. 1 para escalas teóricas superpuestas
en un complot tomado de Bale et al. 2005; no obstante, note que
Bale et al. 2005 ellos mismos interpretaron sus datos en
qué manera diferente y que su resolución era en cualquier caso
no es suficiente para estar seguros de las escalas). También fueron capaces de
para comprobar que sus fluctuaciones satisfacen la dispersión de KAW
relación—para fluctuaciones críticamente equilibradas, esto es, de hecho,
plausible. Espectros de fluctuación magnética reportados recientemente por
Alexandrova y otros (2008a) son sólo ligeramente más pronunciadas que la
espectro teórico k-7/3 KAW. Estos autores también encuentran un
gran cantidad de fluctuaciones de la fuerza del campo magnético en
el rango de disipación, con un espectro que sigue el mismo
escalar—esto es de nuevo consistente con el cuadro teórico
de la turbulencia de KAW [véase Eq. (223)]. Medidas notificadas
por Czaykowska et al. (2001); Alexandrova y otros (2008b)
la capa magnética parece presentar una imagen similar.
Los espectros de densidad medidos por Celnikier et al. (1983,
1987) por debajo de la giroescala de los iones tras el aplanado
segmento alrededor de ki â € 1 (discutido en § 8.2.200). Para un KAW
en cascada, el espectro de densidad debe ser k−7/3 (§ 7.5); con
KAW, k-10/3 (§ 7.10.2). La pendiente observada en los papeles
citado anteriormente parece ser algo más superficial incluso que k−2
(cf. un resultado similar de Spangler & Gwinn 1990 para el ISM;
§ 8.4.1), pero, dada la resolución imperfecta, ni en serio
en contradicción con la predicción basada en el KAW cas-
cade, ni suficiente para corroborarlo. Desafortunadamente, tenemos
no encontrado publicado mediciones simultáneas de la densidad-
y espectros de fluctuación magnética o eléctrica.
8.2.5. Variabilidad de la pendiente espectral
Mientras que muchas medidas consistentes con la imagen de KAW-
se puede encontrar, también hay muchos en los que los espectros
son mucho más pronunciadas (Denskat et al. 1983; Leamon et al. 1998).
Análisis de un gran conjunto de medidas de la
espectros de fluctuación en el rango de disipación del viento solar
revela una amplia difusión en los índices espectrales: aproximadamente entre
44 Schekochihin et al.
−1 y −4 (Smith et al. 2006). Hay evidencia de un débil
correlación positiva entre espectros de rango de disipación más pronunciados
y temperaturas más altas de los iones (Leamon et al. 1998) o superior
Tasas de cascada calculadas a partir del intervalo inercial (Smith et al.
2006). Esto sugiere que una mayor cantidad de calefacción iónica puede
corresponden a una cascada de KAW total o parcialmente suprimida,
que está en línea con nuestra visión de la calefacción de iones y el KAW
cascada como los dos canales competidores de la cinética general
cascada (§ 7.8). Con una cascada KAW debilitada, todo o parte de
el rango de disipación estaría dominado por la entropía iónica
la cascada—un fenómeno puramente cinético manifestado por
dominantemente fluctuaciones electrostáticas y muy empinadas magnéticas-
espectros de energía (§ 7.10). Esto podría explicar ambos por el empinado...
dad de los espectros observados y para la propagación en sus índices
(§ 7.11), aunque existen muchas otras teorías (véase § 8.2.6).
Si bien es posible que tengamos un argumento plausible, este no es el caso.
pero una teoría cuantitativa satisfactoria que nos permitiría
predecir cuando la cascada de KAW está presente y cuando no lo está o
qué espectro del rango de disipación debe esperarse
valores de los parámetros del viento solar (βi, Ti/Te, etc.). Resolu-
sión de este tema parece depender una vez más de la cuestión de cómo
mucha energía turbulenta es desviada hacia la cascada de la entropía iónica
(equivalentemente, en calor de iones) en la giroescala de iones (véase § 8.2.200).
8.2.6. Teorías alternativas de la gama de disipación
Se han puesto una serie de teorías y modelos alternativos
hacia adelante para explicar las pendientes espectrales observadas (y sus vari-
capacidad) en el rango de disipación. No es nuestro objetivo revisar o
crítica de todos ellos en detalle, pero tal vez es útil proporcionar un
pocos comentarios breves sobre algunos de ellos a la luz de la teo-
marco retical construido en este documento.
Todo este marco teórico depende de la adopción de
rokinética como descripción válida o, al menos, como modelo sensato
que no se pierda ningún canal significativo de cascada de energía
y disipación. Mientras que obviamente creemos que esto es el
enfoque correcto, vale la pena detallar qué efectos quedan
“por construcción”.
Cascada de onda Alfvén paralela y amortiguación de ciclotrón iónico. — Los
el uso de la girocinética supone que las fluctuaciones permanecen anisotrópicas
a todas las escalas, por lo tanto, por lo tanto, por lo tanto,
Las resonancias del ciclotrón están ordenadas. Sin embargo, si uno
insiste en encaminar la energía de la onda Alfvén hacia un paral-
lel cascada, por ejemplo, por la fuerza establecer k = 0, es pos-
para construir una teoría de turbulencias débiles en la que
se disipa por la amortiguación del ciclotrón iónico (Yoon & Fang
2008). Simulaciones numéricas de turbulencias 3D MHD
no soportar la posibilidad de una cascada paralela de ondas Alfvén
(Shebalin et al. 1983; Oughton y otros 1994; Cho & Vishniac
2000; Maron & Goldreich 2001; Cho et al. 2002; Müller y otros
2003). Evidencia solar-viento que la cascada perpendicular
domina es bastante fuerte para el rango inercial (§ 8.1.3) y
menos para el rango de disipación (§ 8.2.1). Mientras que, como se ha dicho
en el artículo 8.2.1, todavía no se puede afirmar definitivamente que las observaciones
nos dicen que # # # # # # i en ki # # 1, se ha argumentado que #
las observaciones no parecen ser consistentes con el ciclotrón
amortiguación siendo el mecanismo principal para la disipación de
la turbulencia alfvénica de rango inercial en la giroescala de iones
(Leamon et al. 1998, 2000; Smith et al. 2001). Ion-ciclotrón
resonancia podría ser alcanzado en algún lugar en el
rango de disipación (ver sección 7.13). En este punto la girocinética
formalmente se rompe, aunque, como argumentan Howes et al.
(2008a, véase su § 3.6), esto no significa necesariamente que
la amortiguación del ciclotrón iónico se convertirá en la disipación dominante
canal para la turbulencia.
Cascada de silbadores paralelos. — Un magnetosonico/silbato paralelo
cascada eventualmente amortiguada por el ciclotrón electrónico
resonancia (Stawicki et al. 2001 también se excluye en el
construcción de girocinética. La cascada de silbadores tiene
se ha tenido en cuenta en el Salón MHD aproxi-
(se examina más adelante al final de esta sección). Ambas cosas.
teoría de la turbulencia débil (Galtier 2006) y numérica 3D
simulaciones (Cho & Lazarian 2004) concluyó que, como
en MHD, la cascada turbulenta es altamente anisotrópica, con
Transferencia de energía perpendicular dominando sobre el paralelo
Una.40 Parece que se ha llegado a la misma conclusión
en recientes simulaciones de PIC cinético 2D de Gary et al. (2008);
Saito et al. (2008). Por lo tanto, la turbulencia de nuevo parece ser
conducidos al régimen de acceso girocinético.
Mientras que la teoría y las simulaciones numéricas parecen hacer
argumentando a favor de una cascada paralela y ciclotrón de calor-
sión, existe alguna evidencia observacional en sup-
puerto de ellos, especialmente para el viento solar cercano al Sol (por ejemplo,
Harmon & Coles 2005). Por lo tanto, la presencia o
portancia del calentamiento del ciclotrón en el viento solar y, más
En general, el mecanismo o mecanismos responsables de
calefacción por iones pendiculares (Marsch et al. 1983) siguen siendo en gran medida un
problema abierto. Además de las teorías mencionadas anteriormente, muchos
se han propuesto otras ideas, algunas de las cuales
para conciliar el dominio de la baja frecuencia perpendic-
cascada circular con posibilidad de calentamiento del ciclotrón (por ejemplo,
Chandran 2005b; Markovskii et al. 2006; véase Hollweg 2008
para una revisión reciente y concisa del problema).
Una cascada de espejos. — Sahraoui y otros (2006) analizó un conjunto de
Medición de múltiples naves espaciales en racimo en la capa magnetométrica
e informó de un amplio espectro de leyes de poder ( k-8/3) de espejo
estructuras en y por debajo de la giroescala de iones. Alegan que
estas no son fluctuaciones de tipo KAW porque su frecuencia
es cero en el marco de plasma. A pesar de que estas estructuras son
altamente anisótropos con ká ká, no pueden ser descritos por
la teoría girocinética en su forma actual, porque
muy grande (+ 40%, ocasionalmente llegando a la unidad) y porque
la captura de partículas por fluctuaciones, que es probable que
importante en la física no lineal del espejo inestable-
ity (Kivelson & Southwood 1996; Pokhotelov et al. 2008;
Rincon et al. 2009), se ordena en girocinética. Por lo tanto, si un
“Cascada de espejo” existe, no está recogida en nuestra descripción.
En términos más generales, el efecto de la anisotropía a presión
la inestabilidad en la turbulencia en el rango de disipación es un
amplio espacio abierto, que requiere un mayor esfuerzo analítico (véase el punto 8.3).
Si se aceptan para la
rango de disipación e inestabilidades plasmáticas en la giroescala de iones
(§ 8.3) son ignorados, la teoría girocinética formal y su
las consecuencias asintóticas derivadas de lo anterior deben mantenerse. Ahí está.
son dos características esenciales de la física lineal en y por debajo
la giroescala de iones que debe jugar algún papel: el sin colisiones
(Landau) amortiguación y la naturaleza dispersiva de la ola así-
luciones (véase Fig. 8 y § 7.3; cf., por ejemplo, Leamon et al. 1999;
Stawicki y otros 2001). Ambas características han sido...
para explicar la ruptura espectral en la giroescala de iones y
las pendientes espectrales debajo de él.
40 Es posible producir una cascada paralela artificialmente ejecutando 1D
simulaciones (Matthaeus et al. 2008b).
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 45
Landau amortiguación y efectos instrumentales. — En la mayor parte de nuestro
, ( § 7, 8.2.4-8.2.5), efectivamente asumimos que la
La amortiguación de Landau sólo es importante en ki 1 y ke 1
Pero no en el medio, así que podríamos hablar de una escama asintótica...
ings y cascadas sin disipación. Sin embargo, como se señaló
En el § 7.6, un comportamiento de escalado propiamente asintótico en el dis-
el rango de sorción es probablemente imposible en la naturaleza porque el
la separación de escala entre el ión y la giroescala de electrones es
Únicamente alrededor de (mi/mi)
1/2 43. En particular, no siempre hay
un amplio intervalo de escala donde la amortiguación cinética es negligi-
bly pequeño (especialmente en βi bajos; ver Fig. 8; cf. Leamon et al.
1999). Howes et al. (2008a) propuso un modelo de cómo
presencia de amortiguación combinada con efectos instrumentales (a
suelo de resolución) podría conducir a espectros medidos que parecen
leyes de poder más pronunciadas que k-7/3, con el ex- espectral eficaz
pont en función de los parámetros plasmáticos (referimos al lector
a ese documento para una discusión sobre cómo se compara esto con la pre-
modelos anteriores de un tipo similar, por ejemplo, Li et al. 2001). Una clave
la suposición física de los suyos y modelos similares es que el
cantidad de energía drenada de la onda Alfvén y KAW
cascadas en el calor de los iones se establece por la fuerza de la línea
amortiguación. Todavía no está claro si esto está justificado.
Hall y Electron MHD. — Si se considera la amortiguación de Landau
sin importancia en alguna parte del rango de disipación (que
puede ser cierto en algunos regímenes; ver Fig. 8 y Howes et al.
2006, 2008a,b) y la dispersión de las ondas se considera
ser la característica más destacada, podría parecer que un fluido, más bien
que cinética, la descripción debe ser suficiente. Hall MHD
(Mahajan & Yoshida 1998) o su kdi-1 limitan el electrón
MHD (Kingsep et al. 1990) han sido acogidos por muchos au-
la descripción, adecuada tanto para el análisis de argu-
(Goldreich & Reisenegger 1992; Krishan & Mahajan)
2004; Gogoberidze 2005; Galtier & Bhattacharjee 2003;
Galtier 2006; Alexandrova et al. 2008a) y sim-
ulaciones (Biskamp et al. 1996, 1999; Ghosh y otros 1996;
Ng et al. 2003; Cho & Lazarian 2004; Shaikh & Zank 2005;
Galtier & Buchlin 2007; Matthaeus et al. 2008b).
¿En qué medida se trata de un enfoque alternativo?
tiva a (¿y mejor que?) Gyrokinetics (como se sugiere, por ejemplo, por
Matthaeus et al. 2008b)? Para las fluctuaciones con kà     kÃ, Hall
MHD es simplemente un límite particular de la girocinética: βi â € 1 y
Ti/Te + 1 (límite de iones en frío; véase el apéndice E). Si kÃ3r no es pequeño
comparado con k, entonces la girocinética no es válida, mientras que Hall
MHD sigue describiendo correctamente el límite de iones en frío (por ejemplo,
Ito et al. 2004; Hirose et al. 2004), capturando en particular la
silver rama de la relación de dispersión. Sin embargo, como nosotros
ya han mencionado anteriormente, el dominio de la perpe-
la transferencia de energía diicular (kÃ3r k) se apoya tanto por débil-
teoría de turbulencias para Hall MHD (Galtier 2006) y por 3D
simulaciones numéricas del Electron MHD (Cho & Lazarian)
2004).
Por lo tanto, la teoría girocinética y sus límites rigurosos, tales
como ERMHD (§ 7.2), sustituir Hall MHD por anisotropic tur-
bulence. Dado que los iones generalmente no son fríos en el viento solar
(o cualquier otro plasma aquí discutido), Hall MHD no es para...
Una aproximación muy relevante. También echa totalmente de menos el
Humedad cinética y canal de cascada de entropía asociado
conduce al calentamiento de partículas (§ 7.1, § 7.9 y § 7.10). Sin embargo,
El Hall MHD captura las ondas de Alfvén desperdiciándose.
Simulaciones sisivas y numéricas de la misma muestran una ruptura espectral,
aunque, técnicamente hablando, en la escala equivocada (di en su lugar
(véase § 7.1). Aunque Hall MHD no puede ser rigurosamente
utilizado como teoría cuantitativa de la ruptura espectral y el asso-
cambio en la naturaleza de la cascada turbulenta, el Salón
Ecuaciones MHD en el límite kdi 1 son matemáticamente sim-
ilar a nuestras ecuaciones ERMHD (véase § 7.2 y Apéndice E)
dentro de coeficientes constantes probablemente no es esencial para
modelos de turbulencias. Por lo tanto, los resultados de
Las simulaciones de Hall y Electron MHD citadas anteriormente son di-
Rectly útil para entender la cascada de KAW—y, en-
escritura, en el límite kdi 1, kde 1, son en su mayoría consistentes
con los argumentos de escala de § 7.5.
Los vórtices de Alfvén. — Por último, mencionamos un argumento relativo a
a los espectros del rango de disipación que no se basan en la energía
cascadas en absoluto. Basado en la evidencia de los vórtices de Alfvén en
el magnetoespacio, Alexandrova (2008) especuló que empinada
espectros power-law observados en el intervalo de disipación al menos
en algunos casos podría reflejar la geometría de la ion-giroescala
estructuras en lugar de una cascada de energía local. Si Alfvén vor...
ciones son una característica común, esta posibilidad no puede ser ex-
Suprimida. Sin embargo, los espectros geométricos resultantes son bastante
empinada (k-4 y empinada), por lo que sólo pueden llegar a ser importantes
Si la cascada de KAW es débil o suprimida...
Larly a los espectros empinados asociados con la cascada de la entropía
(§ 7.11).
8.3. ¿La distribución del equilibrio es isotrópica y Maxwelliana?
En términos teóricos rigurosos, el punto más débil de este pa-
per es el uso de un equilibrio Maxwelliano. Formalmente, esto es
sólo se justifica cuando las colisiones son débiles pero no demasiado débiles:
Ordenamos la frecuencia de colisión como similar al fluctu-
frecuencia de la reacción [Eq. 49)]. Este grado de colisión es
suficiente para demostrar que una distribución de equilibrio Maxwellian
F0s(v) realmente emerge en el orden más bajo de los giroki-
expansión neta (Howes et al. 2006). Este argumento funciona
bien para plasmas como el ISM (§ 8.4), donde las colisiones son
débil () pero no insignificante () () mfpi () L). En el espacio
plasmas, el camino libre medio es del orden de 1 UA — el des-
(véase el cuadro 1). Estrictamente
hablando, en tan altamente sin colisiones un plasma, el equilib-
la distribución del rio no tiene que ser ni Maxwellian ni
isotrópico.
La conservación del primer invariante adiabático, μ = v2/2B,
sugiere que la anisotropía de la temperatura con respecto a la
dirección de campo magnético (T0 6= T0) puede existir. Cuando el
anisotropía relativa es mayor que (aproximadamente) 1/βi, desencadena
varias inestabilidades plasmáticas de crecimiento muy rápido: la mayoría promi-
En el fondo, las mangueras de fuego (T0 < T0) y los modos de espejo (T0 > T0)
(por ejemplo, Gary et al. 1976). Sus tasas de crecimiento alcanzan su punto máximo alrededor de la
ion giroescala, lo que da lugar a una inyección de energía adicional
at ki 1.
No hay una teoría analítica definitiva de cómo se sentaron estas fluctuaciones.
urate, cascada y afectar la distribución del equilibrio ha sido
propuesta. Parece ser una expectativa razonable que el
las fluctuaciones resultantes de la anisotropía de la temperatura satu-
tasa limitando esta anisotropía. Esta idea tiene algún apoyo
en observaciones de viento solar: mientras que el grado de anisotropía
de las funciones básicas de distribución de partículas varía
entre los conjuntos de datos, las anisotropías observadas parecen
para poblar la parte del plano del parámetro (T0/T0,βi) cir-
Cumplido de una manera bastante precisa por el estabil marginal-
ity límites para el espejo y las mangueras de fuego (Gary et al. 2001;
Kasper et al. 2002; Marsch y otros 2004; Hellinger et al. 2006;
Matteini et al. 2007).41
41 Tenga en cuenta que Kellogg et al. (2006) medir las fluctuaciones del campo eléctrico
46 SCHEKOCHIHIN ET AL.
Si queremos estudiar turbulencias en conjuntos de datos que no mienten
demasiado cerca de estos límites de estabilidad, asumiendo un isotrópico
Distribución del equilibrio Maxwelliano [Eq. (54)] es probablemente
una simplificación aceptable, aunque no del todo rigurosa.
Uno de ellos. Es evidente que es posible realizar más trabajos teóricos al respecto.
sujeto: por lo tanto, no es un problema para formular la girocinética
con una distribución arbitraria del equilibrio (Frieman & Chen
1982) y a partir de eso, una vez que puede generalizar los resultados
de este documento (para el sistema KRMHD, § 5, esto se ha hecho
por Chen et al. 2009). Tratar las propias inestabilidades
podría resultar más difícil, requiriendo el orden girocinético...
que se modificará y la expansión se llevará a órdenes más altas
incorporar características que no sean capturadas por la girocinética,
Por ejemplo, escalas paralelas cortas (Rosin et al. 2009), trampa de partículas
ping (Pokhotelov et al. 2008; Rincon et al. 2009) o nonlin-
efectos finitos-girorradios en el oído (Califano et al. 2008). Tenga en cuenta que
la teoría de la disipación-rango de turbulencia probablemente
Es necesario modificarlo para tener en cuenta la energía adicional en
jection de la inestabilidad y para el (todavía poco claro) manera en
que esta energía hace su camino a la disipación y al calor.
Además de las anisotropías, las funciones de distribución de partículas
en el viento solar (especialmente el electrón uno) exhiben no-
Maxwellian suprathermal colas (véase Maksimovic et al. 2005;
Marsch 2006, y sus referencias). Estos contienen pequeños
(+ 5% de la densidad total) poblaciones de partículas energéticas.
Tanto el origen de estas partículas como su efecto sobre la turbulencia
Hay que modelar cinéticamente. Una vez más, es posible formu-
girocinética tardía para las distribuciones de equilibrio general de este
y examinar la interacción entre ellos y el turbu-
fluctuaciones prestadas, pero dejamos tal teoría fuera del alcance
de este periódico.
Por lo tanto, queda mucho por hacer para incorporar la
funciones de distribución de librio en la descripción girocinética
del plasma solar del viento. Mientras tanto, creemos que
la teoría girocinética basada en un equilibrio Maxwelliano dis-
En el presente documento se presenta una contribución idealizada e imper-
sin embargo, es un paso adelante en el tratamiento analítico
de la turbulencia espacio-plasma en comparación con el descrip-
ciones que han prevalecido hasta ahora.
8.4. Medio interestelar
Mientras que el viento solar es inigualable por otros astrofísicos
plasmas en el nivel de detalle con el que la turbulencia en él puede
se miden, el medio interestelar (ISM) también ofrece un
servidor de una serie de formas de diagnosticar la turbulencia plasmática,
que, en el caso del IGS, se cree que es principalmente ex-
citado por las explosiones de supernovas (Norman & Ferrara 1996). Los
la precisión y la resolución de este análisis deben mejorar
rápidamente gracias a muchos nuevos observatorios, por ejemplo, LOFAR42
Planck (Enßlin y otros 2006) y, en un futuro más lejano,
SKA (Lazio y otros 2004).
El ISM es un entorno espacialmente inhomogéneo que consiste en:
de varias fases que tienen diferentes temperaturas, densi-
los lazos y los grados de ionización (Ferrière 2001).43 Utilizaremos
la fase ISM caliente (véase el cuadro 1) como nuestro interstel fiducial
plasma lar y discutir brevemente lo que se sabe sobre los dos
principales cantidades accesibles desde el punto de vista de la observación: la den-
sity y campos magnéticos, y cómo esta información encaja en
en el rango de frecuencias iónico-ciclotrón, estimar la velocidad-espacio resultante
difusión y argumentan que es suficiente isotropizar la distribución iónica
42 http://www.lofar.org
43 Y, por lo tanto, diferentes grados de importancia de las partículas neutras
y los efectos de amortiguación ambipolar asociados—estos no serán discutidos
aquí; vea Lithwick & Goldreich 2001.
el marco teórico propuesto aquí.
8.4.1. Fluctuaciones de densidad de electrones
Las fluctuaciones de densidad de electrones inferidas de la inter-
Las mediciones de centelleo estelar parecen tener un espectro
con un exponente −1.7, consistente con el Kolmogorov
escalado (Armstrong et al. 1981, 1995; Lazio y otros 2004; véase:
Sin embargo, las pruebas discrepantes de Smirnova et al. 2006, who
alegar un exponente espectral más cercano a −1.5). Esto se sostiene.
alrededor de 5 décadas de escalas: (105,1010) km. Otros observatorios
Las pruebas a escalas más y más pequeñas respaldan el caso.
para que este supuesto rango inercial se extienda sobre tantos
12 décadas: 102.11015 km, un buen ejemplo de escala
separación que llevó a un astrofísico impresionado a dudar
la densidad escalando “La Gran Ley del Poder en el Cielo.”
el corte superior aquí es consistente con las estimaciones de la su-
escala pernova de orden 100 pc—presumiblemente la escala exterior de
la turbulencia (Norman & Ferrara 1996) y también más o menos la
altura de la escala del disco galáctico (obviamente el límite superior
sobre la validez de cualquier modelo homogéneo del ISM
bulencia). El corte inferior es una estimación para la escala interna
por debajo de la cual la pendiente logarítmica del espectro de densidad
empina hasta aproximadamente −2 (Spangler & Gwinn 1990).
Higdon (1984) fue el primero en darse cuenta de que el electrón-
Las fluctuaciones de densidad en el ISM podrían atribuirse a un
cade de un trazador pasivo mezclado por la turbulencia ambiente (la
Modo de entropía MHD; véase § 2.6). Esta idea fue traída a ma-
Turquía por Lithwick & Goldreich (2001), que estudió el pas-
en cascadas de los modos lentos y entropía en el marco
trabajo de la teoría de GS (véase también Maron & Goldreich 2001).
Si la turbulencia se asume anisotrópica, como en la teoría GS,
la naturaleza pasiva de las fluctuaciones de densidad con respecto a
la cascada de onda Alfvén desacoplada se convierte en una rigurosa re-
en MHD (§ 2.4) y, como hemos mostrado anteriormente, en el
descripción girocinética más general apropiada para débilmente
plasmas de colisión (§ 5.5). Anisotropía de la densidad de electrones
las fluctuaciones en el IGS son, de hecho, apoyadas desde el punto de vista de la observación
(Wilkinson et al. 1994; Trotter y otros 1998; Rickett y otros 2002;
Dennett-Thorpe & de Bruyn 2003; Heyer et al. 2008, véase también
Lazio et al. 2004 para un debate conciso), aunque detallado
Actualmente no es posible realizar mediciones escala por escala.
Si la turbulencia subyacente de la onda Alfvén en el ISM tiene
espectro, según lo predicho por GS, así debería el elec-
densidad tron (ver sección 2.6). Como discutimos en el § 6.3, el phys-
la naturaleza de la escala interna para las fluctuaciones de la densidad
a la hora de determinar si tienen una cascada en ká y son efi-
se humedecen cuando kmfpi 1 o no se desarrollan pequeños
escalas paralelas y, por lo tanto, pueden alcanzar ki 1. El ob-
escala interior estimada servacionalmente es consistente con el ión
(véase el cuadro 1; tenga en cuenta que el ion iner-
báscula tial di =
βi es similar a ♥i en los valores moderados
de las características βi del MEI — véase más adelante el análisis de la
(ir)pertinencia de di en § 7.1, § 8.2.3 y Apéndice E). ¿Cómo...?
desde entonces, ya que el camino libre medio en el ISM no es enorme (Ta-
ble 1), no es posible distinguir esto de la perpen-
corte de diicular k−1
mfpiL
−1/2 • 500 km implícitos por el par-
corte de alel en kmfpi 1 [véase Eq. (220)], tal como lo propugna el
Lithwick & Goldreich (2001). Tenga en cuenta que el relativamente corto
medio camino libre significa que gran parte del rango de escala se extiende por
la Gran Ley del Poder en el Cielo es, de hecho, bien descrita por
la aproximación MHD bien con adiabático (§ 2) o bien
electrones mal (§ 6.1 y Apéndice D).
Por debajo de la giroescala de iones, el exponente espectral −2 informó
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 47
Por Spangler & Gwinn (1990) se mide suficientemente impor-
cisely ser consistente con el −7/3 esperado para la densidad
fluctuaciones en la cascada de KAW (§ 7.5). Sin embargo, dado el
alto grado de incertidumbre sobre lo que sucede en este
sipation range” incluso en el caso mucho mejor resuelto de la
el viento solar (§ 8.2), probablemente sería prudente reservar judg-
Hasta que se disponga de mejores datos.
8.4.2. Fluctuaciones magnéticas
El segundo tipo principal de fluctuaciones turbulentas observables
en el ISM son las fluctuaciones magnéticas, accesibles indirectamente
a través de las mediciones de la rotación de Faraday del polar-
ángulo de expansión de la luz pulsar que viaja a través del ISM.
La función de estructura de la medida de rotación (RM) debe
tener la pendiente de Kolmogorov de 2/3 si la fluctua magnética
ciones se deben a la turbulencia alfvénica descrita por el GS el-
Ory. Hay una incertidumbre considerable en la interpretación de la
datos disponibles, principalmente debido a una resolución espacial insuficiente
(raramente mejor que unos pocos parsec). Laderas de la función de la estructura
2/3 se han notificado (Minter & Spangler
1996), pero, dependiendo de dónde se mire, la estructura más superficial
funciones que parecen empinarse a escalas de unos pocos parsec
También se observan (Haverkorn et al. 2004).
Un estudio reciente de Haverkorn et al. (2005) detectaron un
tendencia teresting: las funciones de estructura de RM computadas para re-
giones que se encuentran en los brazos espirales galácticos son casi perfectamente
hasta el límite de resolución, mientras que en las regiones interarmas,
tienen pendientes detectables (aunque en su mayoría son shal-
Baje ese 2/3). Observaciones de campos magnéticos en exteriores
galaxias también revelan una marcada diferencia en el campo magnético
estructura entre brazos e interarmas: el espacio regular
(medio) los campos son más fuertes en las interarmas, mientras que en los brazos,
los campos estocásticos dominan (Beck 2007). Esta cualitativa
diferencia entre la estructura del campo magnético en los brazos
e interarmas se ha atribuido a menor eficacia exterior
escala en los brazos (+ 1 pc, en comparación con + 102 pc en
terarms; véase Haverkorn et al. 2008) o a la turbulencia en el
brazos e interarmas pertenecientes a los dos distintos asintóticos
regímenes descritos en el apartado 1.3: más cerca de la anisotrópica Alfvénic
turbulencia con un fuerte campo medio en las interarmas y a la
estado saturado isotrópico de dinamo a pequeña escala en los brazos
(Schekochihin y otros 2007).
8.5. Discos de precisión
Acreción del plasma en un agujero negro central o neutrones
estrella es responsable de muchos de los fenómenos más energéticos
observado en astrofísica (véase, por ejemplo, Narayan & Quataert 2005
para una revisión). Ahora se cree que una inestabilidad lineal de dif-
plasmas ferecialmente giratorios, el magnetorotal instabil-
ity (MRI)—amplifica campos magnéticos y da lugar a MHD
turbulencia en discos astrofísicos (Balbus & Hawley 1998).
Estrés magnético debido a esta turbulencia transporte angular mo-
mentum, permitiendo que el plasma se acrecie. La resonancia magnética convierte la
energía potencial gravitacional del plasma que entra en
turbulencia en la escala exterior que es comparable a la escala
altura del disco. Esta energía es entonces en cascada a los pequeños
escalas y disipado en calor, potenciando la radiación que
vemos de los flujos de acreción. Las simulaciones de fluido MHD muestran
que la turbulencia generada por la RMN en discos es subsónica y
tiene β 10 − 100. Por lo tanto, en escalas mucho más pequeñas que la escala
altura del disco, turbulencia homogénea en el parámetro
los regímenes considerados en este documento es una idealización válida y
los modelos cinéticos desarrollados anteriormente deben representar un paso
hacia adelante en comparación con el enfoque puramente fluido.
La turbulencia aún no se puede observar directamente en los discos, así que mod-
La mayor parte de las turbulencias se utilizan para producir prédicas probables.
ciones de propiedades observables de discos tales como sus rayos X y
emisiones de radio. Uno de los casos mejor observados es el (pre-
suma) flujo de acreción en el agujero negro coincide con el
fuente de radio Sgr A* en el centro de nuestra Galaxia (ver revisión
por Quataert 2003).
Dependiendo de la velocidad de calentamiento y refrigeración en la entrada-
(que a su vez dependen de la tasa de acreción y otros
las propiedades del sistema en cuestión), existen diferencias
ent modelos que describen las propiedades físicas de la acreción
fluye a un objeto central. En una clase de modelos, un geometri-
disco de acreción delgada ópticamente grueso (Shakura & Sunyaev)
1973), el plasma que fluye es frío y denso y bien de-
Se describe como un fluido MHD. Cuando se aplican a Sgr A*, estos
modelos producen una predicción de su luminosidad total que es
varios órdenes de magnitud más grandes que los observados. Otro
clase de modelos, que parece ser más coherente con el
propiedades observadas de Sgr A*, se llama radiativamente ineficiente
flujos de acreción (RIAF; véase Rees et al. 1982; Narayan & Yi
1995 y revisión por Quataert 2003 de las solicitudes y
Limitaciones servacionales en Sgr A*). En estos modelos, el in-
se cree que el plasma que fluye cerca del agujero negro adopta un dos-
configuración de temperatura, con los iones (Ti 1011 − 1012 K)
más caliente que los electrones (Te + 109 − 1011 K).44 El electrón
e ion termodinámica desacoplamiento porque las densidades son
tan bajo que el tiempo de ecualización de la temperatura 1ie es más largo
que el tiempo para que el plasma fluya en el agujero negro. Por lo tanto,
como el viento solar, RIAFs son macroscópicamente sin colisión
plasmas (véase la Tabla 1 para los parámetros plasmáticos en el
centro; tenga en cuenta que estos parámetros son tan extremos que la gy-
descripción roquinética, mientras que probablemente mejor que el fluido,
no se puede esperar que sea rigurosamente válido; como mínimo,
debe reformularse en forma relativista). En lo alto
temperaturas adecuadas a los RIAF, electrones irradian energía
mucho más eficiente que los iones (en virtud de su
y, por lo tanto, se espera que contribuyan dom-
inantly a la emisión observada, mientras que la energía térmica de
los iones son tragados por el agujero negro. Desde el plasma
es sin colisiones, el electrón de calentamiento por turbulencias en gran parte de-
termines la termodinámica de los electrones y por lo tanto el
Propiedades observables de los RIAF. La cuestión de qué
sión de la energía turbulenta entra en ion y que en elec-
Por lo tanto, el calentamiento de tron es crucial para comprender la acreción
y la respuesta a esta pregunta depende de la
propiedades de cola de la turbulencia cinética a pequeña escala (por ejemplo,
Quataert & Gruzinov 1999; Sharma et al. 2007), así como sobre
las propiedades lineales de la resonancia magnética sin colisión (Quataert et al.
2002; Sharma y otros 2003).
Desde que todo el turbulento poder cayó por la cascada
debe ser disipado en iones o en el calor de electrones, es re-
aliar la cantidad de energía generalizada desviada en el ion gy-
roscale en la cascada de la entropía de iones (+ 7,8-7,9) que decide
cuánta energía queda para calentar los electrones a través de la KAW
En cascada (- 7,2-7,5, § 7.12). Una vez más, como en el caso de la energía solar
el viento (§ 8.2.2 y § 8.2.5), la transición
roscale de la turbulencia alfvénic en ki 1 a la KAW
la turbulencia en ki 1 emerge como un problema clave sin resolver.
8.6. Racimos de galaxias
44 Es en parte con esta aplicación en mente que llevamos el general
relación de temperatura en nuestros cálculos; véase la nota 17.
48 Schekochihin et al.
Los cúmulos de galaxias son los objetos de plasma más grandes de la Uni-
Versículo. Al igual que los otros ejemplos anteriormente analizados, el
El plasma ter se encuentra en el régimen de colisión débil (véase el cuadro 1).
Fluctuaciones de densidad de electrones, temperatura y de magnético
Los campos se miden en racimos por rayos X y radioobserva-
pero la resolución es sólo suficiente para afirmar que un
Existe una gama bastante amplia de fluctuaciones a escala (Schuecker et al.
2004; Vogt & Enßlin 2005). Todavía no hay escalas de leyes de poder
se ha establecido más allá de toda duda razonable.
Lo que obstaculiza fundamentalmente la modelización cuantitativa de la
bulencia y efectos relacionados en los clusters es que no tenemos
una teoría definida de las propiedades básicas del intracluster
medio: su viscosidad (efectiva), difusividad magnética o
mala conductividad. En una débil colisión y fuertemente mag-
plasma netizado, todo esto depende de la estructura de la
campo magnético (Braginskii 1965), que está formado por el
bulence. Si (o a escalas en las que) un assump-
la estructura de campo, más análisis
progreso es posible: por lo tanto, los modelos teóricos presentados en
este papel asume que el campo magnético es una suma de un
variando en el espacio “campo medio” y en pequeñas frecuencias por-
Turbaciones (BBB0).
De hecho, ya que los clusters no tienen campos medios de ninguna mag-
nitude que podría ser considerado dinámicamente significativo, pero
tienen campos estocásticos, la turbulencia MHD a escala exterior en
los racimos entran en la categoría de campo medio débil (véase el punto 1.3).
El campo magnético debe ser altamente filamentoso, organizado
en estructuras reversadoras de dirección plegadas de larga duración. No es cur-
rently sabe lo que determina la escala de inversión.45 Obser-
vaciones, a la vez que confirma tentativamente la existencia de
los filamentos largos (Clarke & Enßlin 2006), sugieren que
escala versal es mucho más grande que la giroescala de iones: por lo tanto, la
espectro de energía magnética para el núcleo de cluster Hydra A re-
Portado por Vogt & Enßlin (2005) picos alrededor de 1 kpc, com-
a 105 km. Por debajo de esta escala, un Alfvén-onda cas-
cade debe existir (como, de hecho, es sugerido por Vogt & Enßlin
espectro aproximadamente consistente con k−5/3 a escalas inferiores
el pico). Debido a que estas escalas son sin colisiones (
los núcleos y 10 kpc en la mayor parte de los clusters), es a esto
turbulencia que la teoría desarrollada en este artículo debe ser
aplicable.
Existe otra complicación, similar a la discutida en
§ 8.3: las anisotropías de presión podrían dar lugar a plasma rápido
La tasa de crecimiento se sitúa por encima de la tasa de crecimiento de los iones.
roscale. Como señalaron Schekochihin y otros. (2005),
de hecho, son una consecuencia inevitable de cualquier
movimientos fluidos que cambian la fuerza del campo magnético.
Aunque una serie de argumentos interesantes y plausibles
se puede hacer sobre la forma en que las inestabilidades podrían determinar
la estructura de campo magnético (Schekochihin & Cowley 2006;
Schekochihin et al. 2008a; Rosin et al. 2009; Rincon et al.
2009), no se entiende actualmente cómo la pequeña
las fluctuaciones resultantes de estas inestabilidades coexisten con el
Cascada alfvénica.
Las incertidumbres que resultan de esta imperfecta
la naturaleza del medio intracluster son exempli-
fied por el problema de su conductividad térmica. El magnético...
escala de inversión de campo en los clusters no es ciertamente más grande que el
escala de difusión de electrones, (mi/me)
1 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2
45 Vea Schekochihin & Cowley (2006) para una presentación detallada de nuestro
opiniones sobre la interacción entre turbulencias, campo magnético y plasma ef-
Para más debates y desacuerdos, véase Enßlin & Vogt
(2006); Subramanian y otros (2006); Brunetti & Lazarian (2007).
pocos kpc en los núcleos a unos pocos cientos de kpc a granel. Ahí...
En primer lugar, se esperaría que la aproximación de la isotermia
Líquido de electrones (§ 4) debe aplicarse sin duda en todas las escalas por debajo
la escala de inversión, en la que se presumiblemente se mantiene el valor de B0. Incluso
Sin embargo, esto no está absolutamente claro. Uno podría imaginar
los electrones siendo efectivamente adiabáticos si (o en las regiones
donde) las inestabilidades plasmáticas dan lugar a grandes fluctuaciones
del campo magnético (* B/B0 1) en la escala de giroscopios de iones
por la que se induce el camino libre medio a mfpi »i (Schekochihin et al.
2008a; Rosin et al. 2009; Rincon et al. 2009). Qué fluctu...
aciones no pueden ser descritas por la girocinética en su cur-
forma de alquiler. El estado actual de las pruebas observacionales
no permite excluir ninguna de estas posibilidades.
Ambos isotérmicos (Fabian et al. 2006; Sanders & Fabian 2006)
y no isotérmicas (Markevitch y Vikhlinin 2007) coherentes
se observan estructuras que parecen ser choques. Trastornos
también se pueden detectar fluctuaciones de temperatura, lo que permite
uno para inferir un límite superior para la escala en la que el isotérmico
la aproximación puede empezar a ser válida: así, Markevitch et al.
(2003) encontrar variaciones de temperatura en todas las escalas hasta •
100 kpc, que es el límite estadístico que define el spa-
resolución tial de su mapa de temperatura. En ninguno de estos o
mediciones similares son los datos del campo magnético disponibles que
haría posible una comparación puntual de la
y estructura térmica.
Debido a esta falta de información sobre el estado de la
plasma magnetizado en cúmulos, teorías del intracluster
medio no están suficientemente limitados por las observaciones, por lo que
ninguna teoría está en posición de prevalecer. Este estado incierto
de los asuntos podría mejorarse mediante el análisis observacional
mucho mejor resuelto caso del viento solar, que debería ser
bastante similar al medio intracluster a escalas muy pequeñas
(excepto para valores algo más bajos de βi en el viento solar).
9. CONCLUSIÓN
En este artículo, hemos considerado el plasma magnetizado tur-
bulencia en el régimen astrofósico prevalente de
Lisionalidad. Hemos demostrado cómo la energía inyectada en el
las cascadas de escala exterior en el espacio de fase, con el tiempo para aumentar
entropía del sistema y calentar las partículas. En el proceso,
Hemos explicado cómo se combinan las herramientas de física de plasma...
en particular, la teoría girocinética —con las ideas de un tur-
bulenta cascada de energía para llegar a una jerarquía de traqueables
modelos de turbulencia en varias escalas físicamente distintas en
tervales. Estos modelos representan las vías de ramificación de un
cascada de energía generalizada en el espacio de fase (la “cas cinética
cade”; véase Fig. 5) y explicitar el “fluido” y el “cinético”
aspectos de la turbulencia plasmática.
En el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial se presenta un resumen detallado de estos acontecimientos.
Introducción. Los resúmenes técnicos intermedios fueron pro-
§ 4.9, § 5.7 y § 7.14. Un resumen astrofísico
y la discusión de las pruebas observacionales se dio en el § 8,
con especial énfasis en los plasmas espaciales (8.1-8.3). Nuestro
vista de cómo la transformación de la turbulenta a gran escala
energía en calor se produce fue encapsulado en el concepto de
una cascada cinética de energía generalizada. Fue previsualizado en
§ 1.4 y desarrollado cuantitativamente en los puntos 3.4 a 3.5, 4.7, 5.6,
• 6.2.3 a 6.2.5, • 7.8 a 7.12, apéndices D.2 y E.2.
Después de una serie de contribuciones analíticas que fijaron
crear un marco teórico para la girocinética astrofísica
(Howes et al. 2006, 2008a; Schekochihin et al. 2007, 2008b,
y este artículo), un extenso programa de fluidos, fluidos híbridos,
cinética, y totalmente girocinética46 simulaciones numéricas de mag-
En la actualidad se están produciendo turbulencias plasmáticas netas (para el primer re-
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 49
sults de este programa, ver Howes et al. 2008b; Tatsuno y otros
2009a, b). Comparaciones cuidadosas de la totalmente girocinética
simulaciones con simulaciones basadas en el más fácilmente
Modelos computables derivados de este trabajo (RMHD—§ 2,
Líquido isotérmico de electrones, sección 4, KRMHD, sección 5, ERMHD,
§ 7, HRMHD-Apéndice E) así como con el
estudios basados en varios fluidos Landau (Snyder et al. 1997;
Goswami et al. 2005; Ramos 2005; Sharma y otros 2006, 2007;
Passot & Sulem 2007) y girofluido (Hammett et al. 1991;
Dorland & Hammett 1993; Snyder & Hammett 2001; Scott
Los cierres de 2007) parecen ser el camino a seguir en el desarrollo de una
modelo numérico completo de la cinética turbulenta cas-
cade desde la escala externa hasta la giroescala electrónica. De la
muchos plasmas astrofísicos a los que se aplican estos resultados, el
el viento solar y, tal vez, la capa magnetográfica, debido a la alta
calidad de las mediciones de turbulencias posibles en ellos, aparecen
para ser las camas de ensayo más adecuadas para
comparaciones titativas de la teoría y los resultados de simulación con
pruebas observacionales. El objetivo de todo este trabajo sigue siendo
una caracterización cuantitativa de las propiedades del rango de escala
(espectro, anisotropía, naturaleza de las fluctuaciones y sus interac-
ciones), el ion y el calentamiento de electrones, y el transporte propiamente-
ataduras de la turbulencia plasmática magnetizada.
Agradecemos a O. Alexandrova, S. Bale, J. Borovsky, T. Carter,
S. Chapman, C. Chen, E. Churazov, T. Enßlin, A. Fabian,
A. Finoguenov, A. Fletcher, M. Haverkorn, B. Hnat, T. Hor-
Enterrar, K. Issautier, C. Lacombe, M. Markevitch, K. Osman,
T. Passot, F. Sahraoui, A. Shukurov y A. Vikhlinin
debates útiles sobre datos experimentales y observacionales;
I. Abel, M. Barnes, D. Ernst, J. Hastie, P. Ricci, C. Roach,
y B. Rogers para discusiones de colisiones en girocinética;
y G. Plunk para las discusiones de la teoría de la
bulencia en dos dimensiones espaciales. El viaje de los autores fue
con el apoyo del Centro de la DOE de EE.UU. para la Dy de Plasma Multiescala
de la Fundación Leverhulme (UK) International Aca-
Demic Network for Magnetized Plasma Turbulence. A.A.S.
fue apoyado en parte por un PPARC/STFC Advanced Fellow-
buque y por el STFC Grant ST/F002505/1. También da las gracias
UCLA Plasma Group por su hospitalidad en
Sions. S.C.C. y W.D. Gracias al Instituto Kavli por...
la Física Orética y el Centro de Física de Aspen
hospitalidad. G.W.H. fue apoyado por el contrato de EE.UU. DOE
DE-AC02-76CH-03073. G.G.H. y T.T. fueron apoyados por
el Centro de Dinámica de Plasma Multiescala de EE.UU. DOE. E.Q.
y G.G.H. fueron apoyados en parte por David y Lucille
Fundación Packard.
46 Utilizando el código GS2 públicamente disponible (desarrollado originalmente para la fusión
aplicaciones; véase http://gs2.sourceforge.net) y el AstroGK construido específicamente
código (véase http://www.physics.uiowa.edu/~ ghowes/astrogk/).
APÉNDICE
A. EQUACIONES DE BRAGINSKII DOS FLUIDOS Y MHD REDUCIDO
Aquí explicamos cómo las ecuaciones estándar de un fluido MHD utilizadas en § 2 y el límite de colisión del sistema KRMHD
(§ 6.1, derivado del Apéndice D) ambos aparecen como casos limitantes de la teoría de los dos fluidos. Para el caso de fluctuaciones anisotrópicas,
Todo esto puede, por supuesto, derivarse de la girocinética, pero es útil para proporcionar una conexión a la más bien
descripción de fluidos conocidos de plasmas de colisión.
A.1. Ecuaciones de dos flúidos
La rigurosa derivación de las ecuaciones de fluido para un plasma de colisión se hizo en el clásico papel de Braginskii (1965). Suya
Ecuaciones, válidas para el subartículo 1o, kmfpi o 1, ki o 1o (véase la Fig. 3), evolucionar las densidades ns, velocidades medias nosotros y las temperaturas
Ts de cada especie plasmática (s = i,e):
+ nosotros
ns = −nsus, (A1)
+ nosotros
nosotros = ps s + qsns
nosotros ×B
+ Fs, (A2)
+ nosotros
Ts = −psus s − s : us + Qs, (A3)
donde ps = nsTs y las expresiones para el tensor de tensión viscoso s, la fuerza de fricción Fs, el flujo de calor Łs y el calor interespecies
intercambio Qs se dan en Braginskii (1965). Las ecuaciones (A1-A3) se complementan con la condición de cuasineutralidad, ne = Zni,
y las leyes Faraday y Ampère, que están (en el límite no relativista)
= −cE, j = ene(ui − ue) =
B. (A4)
Debido a la cuasi-neutralidad, sólo necesitamos una de las ecuaciones de continuidad, digamos el ion uno. También podemos usar el electrón momen-
ecuación tum [Eq. (A2), s = e] para expresar E, que luego sustituimos en la ecuación de impulso iónico y la ley de Faraday. Los
sistema resultante es
= u, (A5)
B B
+ ue
ue, (A6)
u×B − j×B
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
+ ue
, (A7)
http://gs2.sourceforge.net
http://www.physics.uiowa.edu/~
50 SCHEKOCHIHIN ET AL.
en los que ♥ = mini, u = u, p = pi + pe, = i + e, ue = u − j/ene, ne = Zni, d/dt = El ion y las temperaturas de los electrones
seguir satisfaciendo Eq. (A3).
A.2. Límite fuertemente magnetizado
En esta forma, la teoría de dos fluidos comienza a asemejarse al estándar de un fluido MHD, que fue nuestro punto de partida en § 2: Eqs. (A5-
A7) ya parecen similares a las ecuaciones de continuidad, impulso y inducción. Los términos adicionales que aparecen en estas ecuaciones
y las ecuaciones de temperatura (A3) se ponen bajo control considerando cómo dependen de un número de adimensionales
Parámetros: (me/mi)
1/2. Si bien todos estos son pequeños en el cálculo de Braginskii, no se hace ninguna suposición en cuanto a
cómo se comparan entre sí. Ahora especificamos que
kmfpi
, ki # kmfpi #
1 (A8)
(véase la Fig. 4). Tenga en cuenta que la primera de estas relaciones es equivalente a suponer que las frecuencias de fluctuación son Alfvénic—el mismo
suposición como en la girocinética [Eq. 49)]. La segunda relación en Eq. (A8) será referido por nosotros como el fuertemente magnetizado
límite. Bajo los supuestos (A8), las ecuaciones de dos fluidos se reducen al siguiente conjunto cerrado:47
= u, (A10)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
# Bóbi #
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
B B
, (A11)
= B u − Bu, (A12)
Tiu +
Bibá Ti
− νie (Ti − Te) +
mii
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (A13)
Teu +
Te
(Te − Ti), (A14)
donde i = 0,90vthiđmfpi es la viscosidad de iones paralelos, i = 2,45vthiđmfpi difusividad térmica de iones paralelos, e = 1,40vthe
Z2 / 5/2
(mi/yo)
1/2i difusividad térmica del electrón paralelo [en este caso mfpi = vthi/νii con νii definido en Eq. (52)], y νie ion-electron
velocidad de colisión [definida en Eq. (51)]. Tenga en cuenta que el último término en Eq. (A13) representa el calentamiento viscoso de los iones.
A.3. Ecuaciones de un flujo (MHD)
Si ahora nos limitamos al régimen de baja frecuencia donde las colisiones ion-electrón dominan sobre todos los demás términos en el
Ecuación ion-temperatura (A13),
kmfpi
1 (A15)
[véase Eqs. (A8) y (51)], tenemos, al orden más bajo en esta nueva expansión subsidiaria, Ti = Te = T. Ahora podemos escribir p = (ni +ne)T =
(1 + Z)?T/mi y, añadiendo Eqs. (A13) y (A14), encontrar la ecuación para la presión:
pu =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
mii
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (A16)
donde hemos descuidado la difusividad térmica de los iones en comparación con el electrón uno, pero mantuvimos el término de calentamiento de los iones para mantener
conservación de la energía. Ecuación (A16) junto con Eqs. (A10-A12) constituye el sistema MHD de un fluido convencional. Con
los términos disipativos [que son pequeños debido a Eq. (A15)] descuidado, este fue el punto de partida para nuestra derivación fluida de
RMHD en § 2.
Tenga en cuenta que los electrones en este régimen son adiabáticos porque la difusión térmica de electrones es pequeña
*Kmfpi*
1 (A17)
47 La estructura de la ecuación de impulso (A11) se entiende mejor al darse cuenta de que i
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= p − p, la diferencia entre el perpen-
presiones diiculares y paralelas (ion). Puesto que la presión total es p = (2/3)p + (1/3)p, Eq. (A11) puede ser escrito
p − pÃ3r
B B
. (A9)
Esta es la forma general de la ecuación de impulso que también es válida para los plasmas sin colisión, cuando ki 1 pero kmfpi es unidad de orden o incluso grande.
Ecuación (A9) junto con la ecuación de continuidad (A11), la ecuación de inducción (A12) y una ecuación cinética para la función de distribución de partículas (de la
la solución de la cual se determinan p y p) forman el sistema conocido como Kinetic MHD (KMHD, véase Kulsrud 1964, 1983). El límite de colisión, kmfpi â € 1, de
KMHD es de nuevo Eqs. (A10-A14).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 51
siempre que Eq. (A15) sostiene y βi es unidad de orden. Si tomamos βi â € 1 en su lugar, todavía podemos satisfacer Eq. (A15), por lo que Ti = Te sigue de
la ecuación de temperatura del ión (A13) y las ecuaciones de un fluido emergen como una expansión en βi alto. Sin embargo, estas ecuaciones ahora
describir dos regímenes físicos: el régimen adiabático de longitud de onda larga que satisface Eq. (A17) y el régimen de longitud de onda más corta
en el que (me/mi)
βi-kmfpi-(me/mi)1/2
βi, por lo que el líquido es isotérmico, T = T0 = const, p = [(1+Z)T0/mi] (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
se mantiene con γ = 1].
A.4. Ecuaciones de dos flúidos con electrones isotérmicos
Consideremos ahora el régimen en el que el acoplamiento entre el ión y las temperaturas de electrones es pequeño y el electrón
difusión es grande [el límite opuesto a Eqs. (A15) y (A17)]:
kmfpi
*Kmfpi*
1 (A18)
Entonces los electrones son isotérmicos, Te = T0e = const (con la suposición habitual de líneas de campo estocástico, por lo que bâ · â € Te = 0 implica
Te = 0, como en § 4.4), mientras que la temperatura del ión satisface
Tiu +
Bibá Ti
mii
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
. (A19)
Ecuación (A19) junto con Eqs. (A10-A12) y p = (Ti + ZT0e)/mi son un sistema cerrado que describe un líquido similar al MHD
de iones adiabáticos y electrones isotérmicos. Aplicar el orden de § 2.1 a estas ecuaciones y llevar a cabo una expansión en
1 enteramente análogo a la forma en que se hizo en § 2, llegamos a las ecuaciones RMHD (17-18) para las ondas Alfvén
y el siguiente sistema para las fluctuaciones de compresión (modos lentos y entropía):
+ bâ = 0, (A20)
− v2Abâ
= i
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
, (A21)
= ibá
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (A22)
y el balance de presión
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
. (A23)
Recordemos que estas ecuaciones, siendo la consecuencia de las ecuaciones de dos fluidos de Braginskii (§ A.1), son una expansión en kmfpi 1
corregir hasta el primer orden en este pequeño parámetro. Puesto que los términos disipativos son pequeños, podemos reemplazar (d/dt)/l0 en el viscoso
términos de Eqs. (A21) y (A23) por su valor calculado a partir de Eqs. (A20), (A22) y (A23) en abandono de la disipación: (d/dt)/l0 =
− bâ · â € € € · (1 + c2s/v2A) [cf. Eq. (25)], donde la velocidad del sonido cs es definida por Eq. (166). Sustitución de esto en Eqs. (A21)
y (A23), recuperamos el límite de colisión de KRMHD derivado en el Apéndice D, véase Eqs. (D18-D20) y (D22).
B. COLISIONES EN LA GIROKINETICA
El operador de colisión general que aparece en Eq. (36) es (Landau 1936)
= 2
q2s q
fs′ (v
fs(v)
fs(v)
fs′ (v′)
, (B1)
donde w = v − v′ y lnŁ es el logaritmo de Coulomb. Ahora tenemos en cuenta la expansión de la función de distribución (54),
utilizar el hecho de que el operador de colisión desaparece cuando actúa en un Maxwellian, y conservar sólo los términos de primer orden en la girocinética
expansión. Esto nos da la forma general del término de colisión en Eq. (57): es la forma linealizada media del anillo de la Landau
Operador de colisión (B1), (hs/t)c = Cs[h]Rs, donde
Cs[h] = 2
q2s q
F0s′(v
hs(v) − F0s(v)
hs′(v
. (B2)
Tenga en cuenta que los derivados de velocidad se toman en constante r, es decir, las funciones de distribución girocéntrico que aparecen en el integrand
debe entenderse como hs(v) hs(t,r+v / La forma explícita del operador de colisión girocinética se puede derivar
en k espacio, como sigue:
eik·Rhk
eik·rCs
e-ikhk
eik·Rs
eiks(v)Cs
e-ikhk
, (B3)
52 SCHEKOCHIHIN ET AL.
en los casos en los que s(v) = −v /s y Rs = rs(v). Los soportes angulares sin subíndice se refieren a promedios sobre el girolángulo de las cantidades
que no dependen de las coordenadas espaciales. Tenga en cuenta que dentro del operador Cs[. ..], h ocurre tanto con índice s y velocidad v y
con índice s′ y velocidad v′ (sobre el cual se realiza la suma/integración). En este último caso, en el
factor exponencial dentro del operador.
La mayoría de las propiedades del operador de colisión que se utilizan en el cuerpo principal de este documento para ordenar los términos de colisión
puede establecerse en general, ya sobre la base de Eq. (B3) (• B.1-B.2). Si la forma explícita del operador de colisión es
requerido, podríamos, en principio, realizar el promedio del anillo en el operador linealizado C [Eq. (B2)] y derivar una forma explícita de
En la práctica, en la girocinética, como en el resto de la física plasmática, el operador de colisión total sólo se utiliza cuando es absolutamente
Inevitable. En la mayoría de los problemas de interés, son posibles nuevas simplificaciones: las colisiones de las mismas especies son a menudo modeladas por
operadores más simples que comparten todas las propiedades de conservación del operador de colisión (§ B.3), mientras que los operadores de colisión interespecies
se expanden en la proporción de masa electrón-ion (§ B.4).
B.1. Velocidad-Espacio Integral del Operador de Colisión Girocinética
Muchos de nuestros cálculos implican la integración de la ecuación girocinética (57) sobre el espacio de velocidad, manteniendo constante r.
Aquí estimamos el tamaño de la integral del término de colisión cuando ks â € 1. Usando Eq. (B3),
d3veik·r−iks(v)
eiks(v)Cs
e-ikhk
eik·r2η
dv v
e-iks(v)
eiks(v)Cs
e-ikhk
eik·r
e-iks(v)
eiks(v)Cs
e-ikhk
eik·r
d3vJ0(as)e
iks(v)Cs
e-ikhk
eik·r
1 − ik · v
k · v
+...
e-ikhk
. (B4)
Dado que el operador de colisión (linealizado) Cs conserva el número de partículas, el primer término en la expansión desaparece. El operador
Cs = Css +Css′ es una suma del operador de colisión de una misma especie [la parte s′ = s de la suma en Eq. (B2)] y la colisión entre especies
operador (la parte s′ 6= s). El primero conserva el impulso total de las partículas de las especies s, por lo que no da ninguna contribución a la
segundo término en la expansión en Eq. (B4). Por lo tanto,
D3vCss[hs]Rsár /ssk
s................................................................................................................................................. (B5)
Las colisiones entre especies contribuyen al segundo término en Eq. (B4) debido al intercambio de impulso con la especie s′. Esto
la contribución se infiere fácilmente de la fórmula estándar para la fuerza de fricción linealizada (véase, por ejemplo, Helander & Sigmar 2002):
d3vvCss′
e-ikhk
S v)e
−iks(v)hsk + mss
S v)e
−iks′ (v)hs′k
, (B6)
S v) =
2ηn0s′q
s′ ln
(vs
vths′
vths′
erf ′
vths′
, (B7)
donde erf(x) = (2/
dy exp(−y2) es la función de error. A partir de esto, a través de un cálculo de promedios de anillo análogo a Eq. (B17),
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
−ik ·
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
e-ikhk
S v)
ik s(v)e−iks(v)
hsk +
S v)
ik s′(v)e−iks′ (v)
S (v)asJ1(as)hsk +
S (v)as′J1(as′)hs′k
En caso de que se trate de una persona física o jurídica, se considerará que la persona física o jurídica de la que se trate es una persona física o jurídica. (B8)
Para las colisiones ion-electrón (s = i, s′ = e), utilizando Eqs. (45) y (51), nos encontramos con que ambos términos son "(me/mi)1/2\iik22i"ni.
Así, además de un factor adicional de k2
i, las colisiones ion-electrón también son subdominantes por un orden en la expansión de masa-ratio
en comparación con las colisiones ion-ion. La misma estimación se mantiene para las contribuciones interespecies a los términos tercero y cuarto en
Eq. (B4). De una manera similar, la integral del operador de colisión electrón-ion (s = e, s′ = i), es la misma
orden como la integral de las colisiones electrón-electrón.
La conclusión de esta sección es que, tanto para iones como para colisiones de electrones, la velocidad-espacio integral (en constante r) de la
El operador de colisión girocinética es más alto que el propio operador de colisión por dos órdenes de ks. Esta es la propiedad que nosotros
se basó en descuidar los términos de colisión en Eqs. (104) y (137).
B.2. Orden de términos de colisión en Eqs. (125) y (137)
En el § 5, afirmamos que la contribución al término de colisión ion-ion debido a la (ZeRi/T0i)F0i parte de la distribución ion
función [Eq. (124)] era una orden de ki más pequeña que las contribuciones del resto de hola. Esto fue usado para ordenar la colisión.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 53
términos en Eqs. (125) y (137). De hecho, de Eq. (B3),
ZeRi
eik·Ri
eikiCii
e-iki J0(ai)F0i
- ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso?
eik·Ri
eikiCii
1 − ik i −
(k i)2 −
+ · · ·
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
F0i. (B9)
Esta estimación se mantiene porque, como es fácil de determinar utilizando Eq. (B2), el operador Cii aniquila los dos primeros términos en el
expansión y sólo actúa no trivialmente sobre una expresión que es el segundo orden en ki. Con la ayuda de Eq. (47), el pedido deseado
del término (B9) en Eq. (125) sigue. Cuando Eq. (B9) se integra sobre el espacio de velocidad, el resultado recoge dos órdenes adicionales en
ki [un efecto general de la integración del operador de colisión giropromedio sobre el espacio de velocidad; véase Eq. (B4)]:
ZeRi
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (B10)
así que el término resultante en Eq. (137) es el tercer orden, como se indica en el § 5.3.
B.3. Modelo de operador de dispersión de Angle-Pitch para colisiones de la misma especie
Se construye un modelo de operador popular para colisiones de la misma especie que conserva el número de partículas, el impulso y la energía
mediante la toma del operador de dispersión de ángulos de pitch-partículas de ensayo y su corrección con un plazo adicional que garantice un
servación (Rosenbluth et al. 1972; véase también Helander & Sigmar 2002):
CM[hs] = /
D v)
1 - 2
)......................................................................................
1 - 2
2v ·U[hs]
v2ths
, U[hs] =
d3vv vssD v)hss
d3v (v/vths)2/D (v)F0s(v)
, (B11)
v) = vss
(vs
v2ths
erf ′
, /ss =
2ηn0sq
s ln
, (B12)
donde los derivados de velocidad están en constante r. La versión girocinética de este operador es (cf. Catto & Tsang 1977;
Dimits & Cohen 1994
• CM[hs] • Rs =
eik·Rss/D (v)
1 - 2
) Łhsk
v2(1 + 2)
4v2ths
s hsk + 2
VJ1(as)U[hsk] + vJ0(as)U[hsk]
v2ths
, (B13)
U[hsk] =
D3vvvJ1(as)/D (v)hsk(v,vÃ3Â)
d3v (v/vths)2/D (v)F0s(v)
, U®[hsk] =
D3VVVVJ0(as)
D (v)hsk(v,v)
d3v (v/vths)2/D (v)F0s(v)
donde como = kv/el. Los derivados de velocidad están ahora en Rs constantes. El término de difusión espacial que aparece en el anillo-promedio
El operador de colisión se debe físicamente al hecho de que un cambio en la velocidad de una partícula resultante de una colisión puede conducir a un cambio
en la posición espacial de su girocentro.
Con el fin de derivar Eq. (B13), usamos Eq. (B3). Desde entonces, Łs(v) =
1 − 2 sin ŷv
1 − 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + co + + + 2 + + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + + +
No es difícil de ver.
e-iks(v)hsk = e
−iks(v)
1 - 2
ik ·
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
e-iks(v)hsk = e
−ik(v)
ik ·v
Hsk. (B14)
Por lo tanto,
eiks(v)
1 - 2
e-iks(v)hsk
1 - 2
) Łhsk
k2hsk,
eiks(v)
e-iks(v)hsk
1 - 2
k2hsk.
(B15)
Combinando estas fórmulas, obtenemos los dos primeros términos en Eq. (B13). Ahora vamos a trabajar en el término U:
eiks(v)v ·
d3v′ vssD (v
′)e−iks(v)
′)hsk
v,v
veiks(v)
dv v
dv
v′e−iks(v
v,v
(B16)
Desde
ve±iks(v)
= v
e±iks(v)
ve±iks(v)
, donde
e±iks(v)
= J0(as) y
±iks(v)
=
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
ik ·
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
= ±i♥s
ik ·
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
= ±i k
vJ1(as), (B17)
Obtenemos el tercer término en Eq. (B13).
54 SCHEKOCHIHIN ET AL.
Es útil dar la forma de orden más bajo del operador (B13) en el límite ks 1:
• CM[hs] • Rs = /
D v)
1 - 2
)......................................................................................
d3v′v′
vssD (v)
′)hs(v
d3v′v′2 vssD (v
′)F0s(v′)
+ O(k2
s ). (B18)
Este es el operador que se puede utilizar en el lado derecho de Eq. (145) (como, por ejemplo, se hace en el cálculo del transporte por colisión
términos del apéndice D.3).
En los cálculos numéricos prácticos de la turbulencia girocinética, el operador de dispersión del ángulo de pitch no es suficiente porque el
la función de distribución desarrolla escalas pequeñas no sólo en, sino también en v (M. Barnes, W. Dorland y T. Tatsuno 2006, inédito).
Esto se espera, de hecho, porque la cascada de la entropía de la fase-espacio produce pequeñas escalas en v, en lugar de sólo en (véase § 7.9.1).
Con el fin de proporcionar un corte en v, debe añadirse un operador de difusión de energía al operador de dispersión de ángulos de pitch derivado anteriormente.
Abel et al propusieron un operador de difusión de energía girocinética con modelo de tracto numérico. (2008); Barnes et al. (2009).48
B.4. Operador de colisión de electrones y iones
Este operador se puede ampliar en mí/mi y al orden más bajo es (véase, por ejemplo, Helander & Sigmar 2002)
Cei[h] = /
D v)
1 - 2
)..............................................................................................
1 - 2
2v ·ui
v2the
, v.i.D. = v.i.
(v el
. (B19)
Las correcciones a este formulario son O(me/mi). Este es el segundo orden en la expansión del § 4 y, por lo tanto, no necesitamos mantener estos
correcciones. El operador (B19) es matemáticamente similar al operador modelo para las colisiones de la misma especie [Eq. (B13)]. Los
La versión girocinética de este operador se deriva de la manera análoga al cálculo del apéndice B.3. El resultado es
Cei[h]Re =
eik·Re/eiD (v)
1 - 2
) Łhek
v2(1 + 2)
4v2el
v2the
J1(aes)
2v′2
v2thi
hik +
2vóJ0(ae)uki
v2the
. (B20)
En escalas no muy cercanas a la giroescala electrónica, es decir, tales que ke (me/mi)1/2, los términos segundo y tercero son manifiestamente
segundo orden en (me/mi)
1/2, por lo que hay que descuidar junto con otras contribuciones O(me/mi) a las colisiones electrón-ion.
49 Las
los dos términos restantes son de primer orden en la expansión de masa-ratio: el primer término desaparece para él = h
e [Eq. (101)], por lo que su contribución
es el primer orden; en el cuarto término, podemos utilizar Eq. (87) expresar las cantidades que son también de primer orden. Únicamente conservando
los términos de primer orden, el operador de colisión electrón-ion girocinético es
Cei[h]Re = /
D v)
1 - 2
) h(1)e
2vá»uûi
v2the
. (B21)
Tenga en cuenta que el término de arrastre de iones es esencial para representar la fricción iónico-electrón correctamente y, por lo tanto, para capturar el Ohmic
resistividad (que, sin embargo, rara vez es más importante para el flujo descongelante que la inercia electrónica y la finitud del electrón
giroradio; véase § 7.7).
C. LA DERIVACIÓN HEURÍSTICA DE LAS EQUACIONES ELECTRÓNICAS
Aquí mostramos cómo las ecuaciones (116-117) de § 4 y las ecuaciones ERMHD (226-227) de § 7 pueden derivarse heurísticamente
de la dinámica de fluidos electrónicos y una serie de suposiciones físicas, sin el uso de la girocinética (§ C.1). Esta derivación es
No es riguroso. Su función es proporcionar una ruta intuitiva al fluido electrónico isotérmico y aproximaciones de ERMHD.
C.1. Derivación de Eqs. (116-117)
Comenzamos con las siguientes tres ecuaciones:
= −cE, ♥ne
(neue) = 0, E +
ue ×B
. (C1)
Estas son la ley de Faraday, la ecuación de continuidad de electrones, y la ley generalizada de Ohm, que es el impulso electrónico
ecuación con todos los términos de inercia electrónica descuidados (es decir, efectivamente, el orden más bajo en la expansión en la masa de electrones yo). Los
se supone que la presión de electrones es escalar por fiat (esto puede justificarse en ciertos límites: por ejemplo, en el límite de colisión, como en
Apéndice A, o para la aproximación del fluido electrónico isotérmico derivada de § 4). El término de presión electrónica en el lado derecho
de la ley de Ohm a veces se llama el término termoeléctrico. Ahora asumimos el mismo equilibrio uniforme estático, E0 = 0, B0 = B0,
que hemos utilizado a lo largo de este documento y aplicar a Eqs. (C1) el orden fundamental discutido en § 3.1.
48 El operador de colisión utiliza ahora los códigos GS2 y AstroGK (véase la nota 46) es su operador de difusión de energía más la ópera de dispersión de ángulo de pitch-angle-
tor (B13).
49 El tercer término en Eq. (B20) es, de hecho, nunca importante: en las escalas de electrones, ke 1, es insignificante debido a la función de Bessel en la velocidad
integral (Abel et al. 2008).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 55
Primero considere la proyección de la ley de Ohm sobre el campo magnético total B, use la definición de E [Eq. (37)], y mantener el
términos de orden líder en la expansión de:
E · b = − 1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
+ bâ = bâ â ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
. (C2)
Esto se convierte en Eq. (116) si también asumimos electrones isotérmicos, Łpe = T0eŁne [ver Eq. (103)].
Con la ayuda de la ley de Ohm, la ley de Faraday se convierte en
= (ue ×B) = −ue B + B ue − Bue. (C3)
Manteniendo los términos de orden principal, encontramos, para los componentes de Eq. (C3) perpendicular y paralela al campo medio,
+ ue
= b ue,
+ ue
= bâ â € € TM a. (C4)
En la última ecuación, hemos utilizado la ecuación de continuidad de electrones para escribir
ue = −
+ ue
. (C5)
De la ley de Ohm, tenemos, al orden más bajo,
ue =
E
=
. (C6)
Usando esta expresión en el segundo de las ecuaciones (C4) da
- bâ e =
, (C7)
donde d/dt se define de la manera habitual [Eq. (122)]. Suponiendo que los electrones isotérmicos aniquilan el segundo término en
el lado derecho y convierte la ecuación anterior en Eq. (117). En cuanto a la primera de las ecuaciones (C4), el uso de Eq. (C6) y
substitución de B = A = lo convierte en el Eq previamente derivado. (C2), de dónde sigue Eq. (116).
Por lo tanto, hemos demostrado que Eqs. (116-117) puede derivarse como consecuencia directa de la ley de Faraday, dinámica de fluidos electrónicos
(ecuación de continuidad del electrón y el balance de fuerza del electrón, a. k. a. la ley generalizada de Ohm), y la suposición de isotérmica
electrones—todos llevados al orden principal en el orden girocinético dado en § 3.1 (es decir, asumiendo anisotrópicos que interactúan fuertemente
fluctuaciones con kà      kà ).
Acabamos de demostrar que Eqs. (116) y (117) son simplemente la parte perpendicular y paralela, respectivamente, de Eq. (C3). Los
Última ecuación significa que las líneas de campo magnético se congelan en la velocidad de flujo de electrones ue, es decir, el flujo se conserva, el
resultado probado formalmente en § 4.3 [véase Eq. (99),].
C.2. MHD de electrones y la Derivación de Eqs. (226-227)
Una ruta a Eqs. (226-227), ya explicado en § 7.2, es comenzar con Eqs. (C2) y (C7) y asumir electrones Boltzmann
e iones y el balance total de presión. Otro enfoque, más estándar en la literatura sobre el Hall y el Electron MHD, es:
empezar con Eq. (C3), que establece que el campo magnético se congela en el flujo de electrones. La velocidad del electrón se puede escribir en
términos de la velocidad del ión y la densidad de la corriente, y este último entonces relacionado con el campo magnético a través de la ley de Ampère:
ue = ui −
= ui −
4ηene
B. (C8)
Para el orden de dirección en, las partes perpendiculares y paralelas de Eq. (C3) son Eqs. (C4), respectivamente, donde la perpendicular y
velocidades de electrones paralelas son [de Eq. (C8)]
ue = ui +
4ηen0e
BÃ3r, uáe = uái +
4ηen0e
# 2 A # # # 2 A # # # 2 A # # # 2 A # # # 2 A # # # # 2 A # # (C9)
El tamaño relativo de los dos términos en cada una de estas expresiones está controlado por el tamaño de kdi, donde di =
βi es el ión
Escala inercial. Cuando kdi â € 1, podemos establecer ui = 0. Note, sin embargo, que el movimiento iónico no es totalmente descuidado: de hecho, en el
segundo de las ecuaciones (C4), los términos Łne/ne viene, vía Eq. (C5), de la divergencia de la velocidad iónica [de Eq. (C8),
ui = ue]. Para completar la derivación, relacionamos a Ne con BB a través de la suposición de balance de presión total, como se explica en
§ 7.2, dándonos Eq. (225). Sustitución de esta ecuación y Eqs. (C9) en Eqs. (C4), obtenemos
= v2Adi b
1 + 2/βi(1 + Z/ )
Bó 2, (C10)
donde • = −A®/
4?min0i. Las ecuaciones (C10) evolucionan el campo magnético perturbado. Estas ecuaciones se convierten en las ecuaciones ERMHD
(226-227) en caso de que el valor de B-B-B-0 se exprese en términos del potencial escalar a través de Eq. (223).
56 Schekochihin et al.
Tenga en cuenta que hay dos límites especiales en los que la suposición de iones inmóviles basta para derivar Eqs. (C10) de Eq. (C3)
sin necesidad de equilibrio de presión: βi â € 1 (iones incompresibles) o â € = T0i/T0e â € 1 (iones fríos) pero â € € = βiZ/€ â € 1. En ambos
casos, Eq. (225) muestra que la densidad puede ser ignorada y el coeficiente de la mano derecha
lado del segundo de las ecuaciones (C10) es igual a 1. El límite de los iones fríos se examina más a fondo en el apéndice E.
D. LÍMITE FLUIDO DEL RMHD KINETICO
Tomar el límite de fluidos (colisionales) del sistema KRMHD (resumido en § 5.7) significa llevar a cabo otra filial
expansión—esta vez en kmfpi â € 1. La expansión sólo afecta a las ecuaciones para la densidad y la fuerza del campo magnético
fluctuaciones (§ 5.5) porque las ondas Alfvén son indiferentes a los efectos de colisión.
El cálculo que se presenta a continuación sigue un algoritmo estándar de perturbación utilizado en la teoría cinética de los gases y en el plasma
física para derivar ecuaciones fluidas con coeficientes de transporte de colisión (Chapman & Cowling 1970). Para plasma magnetizado,
Este cálculo fue realizado en plena generalidad por Braginskii (1965), cuyo punto de partida fue la teoría cinética plasmática completa
[Eqs. (36-39)]. Si bien lo que hacemos a continuación es, estrictamente hablando, simplemente un caso particular de su cálculo (véase el Apéndice A), tiene
la ventaja de la simplicidad relativa y también sirve para mostrar cómo el límite de fluido se recupera del formalismo girocinético—a
la demostración de que creemos que es de valor.
Será conveniente utilizar el sistema KRMHD escrito en términos de la función fœi = g + (v2/v
que es la que se encuentra en la lista de los Estados miembros de la Unión Europea (en lo sucesivo, «los Estados miembros»).
la perturbación del local Maxwellian en el marco de las ondas Alfvén [Eqs. (150-152)]. Queremos ampliar Eq. (150) en los poderes
de kmfpi, por lo que dejamos que
i +
i +.. ...........................................................................................................................................................................................
+ B(1)
+.. .., etc.
D.1. Orden Zeroth: Ecuaciones de Fluidos Ideales
Desde [ver Eq. 49)]
kmfpi
kà                                                                       Â
• kmfpi, (D1)
a cero orden Eq. (150) pasa a ser
- ¡No! - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
= 0. El modo cero del operador de colisión es un Maxwellian. Por lo tanto, nosotros
puede escribir la función de distribución completa de iones hasta el orden cero en kmfpi como sigue [ver Eq. (144)]
2ηTi/mi
mi[(v − uE)2 + (vÃ3r − uà )2]
, (D2)
donde ni = n0i + Łni y Ti = T0i + ♥Ti incluyen tanto las cantidades no perturbadas como sus perturbaciones. La velocidad de deriva E×B uE
proviene de las olas de Alfvén (véase § 5.4) y no nos concierne aquí. Debido a que las perturbaciones ni, u· y Ti son pequeñas en el
expansión girocinética original, Eq. (D2) es equivalente a
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, ni exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
n(0)e
v2thi
* T (0)i.
v2thi
F0i, (D3)
donde hemos utilizado la cuasi-neutralidad para sustituir a ni/n0i = ne/n0e. Esto satisface automáticamente Eq. (151), mientras que Eq. (152) nos da
una expresión para la perturbación de la temperatura iónica:
* T (0)i.
n(0)e
B(0)
. (D4)
Tenga en cuenta que esto es coherente con la interpretación de la ley perpendicular de Ampère [Eq. (63), que es el progenitor de
Eq. (152)] como el balance de presión [véase Eq. (67)]: de hecho, recordando que la perturbación de la presión de los electrones es
[Eq. (103)], tenemos
= pe − ♥pi = neT0e − ♥niT0i − n0iđTi, (D5)
de donde sigue Eq. (D4) por medio de la cuasineutralidad (Zni = ne) y las definiciones de Z, , βi [Eqs. (40-42)].
Dado que el operador de colisiones conserva el número de partículas, el impulso y la energía, podemos obtener ecuaciones de evolución para Łn(0)e /n0e,
y B(0)
/B0 multiplicando Eq. (150) por 1, v®, v
2/v2thi, respectivamente, e integrar sobre el espacio de velocidad. Los tres
los momentos que emergen de esta manera son
d3v/23370/ fœ (0)i =
n(0)e
d3vv f
i = u
v2thi
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, ni exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
n(0)e
* T (0)i.
. (D6)
Las tres ecuaciones de evolución para estos momentos son
n(0)e
B(0)
+ bâ u(0)
= 0, (D7)
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 57
du(0)
− v2A b
B(0)
= 0, (D8)
n(0)e
* T (0)i.
B(0)
bâ u(0)
= 0. (D9)
Esto nos permite recuperar las ecuaciones de fluidos que derivamos en § 2.4: Eq. (D8) es el componente paralelo del impulso MHD
ecuación (27); combinando Eqs. (D7), (D9) y (D4), obtenemos la ecuación de continuidad y el componente paralelo de la inducción
ecuación—estos son los mismos que Eqs. (25) y (26)):
n(0)e
1 + c2s/v
bâ u(0)
B(0)
1 + v2A/c2s
bâ u(0)
, (D10)
donde la velocidad de sonido cs es definida por Eq. (166). De Eqs. (D7) y (D9), también encontramos el análogo de la ecuación de la entropía (23):
* T (0)i.
n(0)e
♥s(0)
♥s(0)
* T (0)i.
n(0)e
n(0)e
B(0)
. (D11)
Esto implica que la temperatura cambia debido únicamente al calentamiento por compresión.
D.2. Energía Generalizada: Cinco Cascadas RMHD Recuperadas
Ahora calculamos la energía generalizada sustituyéndola de Eq. (D3) en Eq. (153) y utilizando Eqs. (D4) y (D11):
min0iu
min0iu
n0iT0i
1 + Z/
5/3 + Z/
=W +AW +W
AW + W
sw +W
n0iT0i
1 + Z/
5/3 + Z/
Ws. (D12)
Los dos primeros términos son la energía de onda Alfvén [Eq. (154)]. Los dos términos siguientes son la energía de onda lenta, que se divide en
las energías en cascada independientes de las ondas “+” y “−” (véase el punto 2.5):
WSW = W
sw +W
min0i
z
2 + z
. (D13)
El último término es la varianza total del modo entropía. Así, hemos recuperado las cinco cascadas del sistema RMHD (§ 2.7;
Fig. 5 mapea el destino de estas cascadas a escalas cinéticas).
D.3. Primera Orden: Transporte Colisional
Ahora vamos a calcular los términos de transporte de colisión para las ecuaciones derivadas arriba. Para hacer esto, tenemos que determinar
la función de distribución perturbada por orden de primer orden f (1)i, que satisface [véase Eq. (150)]
f‡ (1)i
*.........................................................................................................................................................
v2thi
B(0)
+ vâ ° bâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
fû (0)i +
n(0)e
. (D14)
Ahora usamos Eq. (D3) en sustitución de los substratos (D10-D11) y (D8) para calcular los derivados de tiempo. Ecuación (D14)
se convierte en
f‡ (1)i
1 - 3 - 2
v2thi
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
bâ u(0)
v2thi
bâ T
F0i(v), (D15)
en los que = v/v. Tenga en cuenta que el lado derecho da cero cuando se multiplica por 1, vÃ3 o v
2 e integrado sobre el espacio de velocidad, como
debe hacerlo porque el operador de colisión en el lado izquierdo conserva el número de partículas, el impulso y la energía.
Resolviendo Eq. (D15) requiere invertir el operador de colisión. Si bien esto se puede hacer para el operador general de colisión Landau
(véase Braginskii 1965), para nuestros fines, basta con utilizar el modelo de operador que figura en el apéndice B.3, Eq. (B18). Esto simplifica
los cálculos a expensas de una inexactitud de orden uno en los valores numéricos de los coeficientes de transporte. Como el valor exacto de
Estos coeficientes nunca serán cruciales para nosotros, esto es una pérdida aceptable de precisión. Invertir el operador de colisión en Eq. (D15)
entonces da
1i =.............................................................................................................................................................................................................................................................
/ iiD(v)
1 - 3 - 2
v2thi
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
bâ u(0)
v2thi
bâ T
F0i(v), (D16)
58 SCHEKOCHIHIN ET AL.
donde ν iiD(v) es una frecuencia de colisión definida en Eq. (B12) y hemos elegido las constantes de integración de tal manera que
se respetan tres leyes de conservación:
d3v/23370/ f‡ (1)i = 0,
d3vv f
i = 0,
d3vv2 f (1)i = 0. Estas relaciones significan que
e = 0,
= 0, T (1)i = 0 y que, en vista de Eq. (152), tenemos
B(1)
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
ibá u, (D17)
donde i se define a continuación [Eq. (D21)]. Las ecuaciones (D16-D17) se utilizan ahora para calcular las correcciones de primer orden al momento
ecuaciones (D7-D9). Se convierten en
+ bâ uâ = 0, (D18)
− v2Abâ
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
i
Bâ â € TM TM â TM TM â TM â TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
, (D19)
= ibá
bâ Ti
, (D20)
donde hemos introducido los coeficientes de viscosidad paralela y difusividad térmica paralela:
i =
/ iiD(v)v
F0i(v), i =
/ iiD(v)v
v2thi
F0i(v). (D21)
Todas las cantidades perturbadas ahora son precisas hasta el primer orden en kmfpi. Nótese que en Eq. (D19), usamos Eq. (D17) para expresar
B(0)
= B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B
. Hacemos lo mismo en Eq. (D4) y obtener
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
ibá u
. (D22)
Esta ecuación completa el sistema (D18-D20), lo que nos permite determinar el número de personas, el número de personas, el número de personas, el número de personas y el número de personas. En § 6.1, usamos las ecuaciones
derivados anteriormente, pero absorben el prefactor (2/3 + c2s/v)
A)/(1 + c)
A) en la definición de i. El mismo sistema de ecuaciones también puede
se derivan de la teoría de Braginskii de dos fluidos (Apéndice A.4), de la que podemos tomar prestados los valores cuantitativamente correctos de la
viscosidad e iones difusividad térmica: i = 0,90v
ti/νii, i = 2.45v
donde se define en Eq. (52).
E. HALL MHD REDUCIDO
La popular aproximación Hall MHD consiste en asumir que el campo magnético se congela en la velocidad de flujo de electrones
[Eq. (C3)]. Este último se calcula a partir de la velocidad de flujo iónico y la corriente determinada por la ley de Ampère [Eq. (C8)]:
4ηen0e
, (E1)
donde la velocidad de flujo iónico ui satisface la ecuación de impulso MHD convencional (8). El Hall MHD es un atractivo teórico
modelo que parece capturar tanto el comportamiento MHD en longitudes de onda largas (cuando ue ui) y algunos de los efectos cinéticos que
se vuelven importantes a escalas pequeñas debido a la disociación entre los flujos de electrones e iones (la aparición de ondas dispersivas)
sin traer toda la complejidad de la teoría cinética. Sin embargo, a diferencia de la teoría cinética, ignora completamente la
efectos de amortiguación sin colisión y sugiere que el cambio físico a pequeña escala clave está asociado con la escala inercial de iones
di =.........................................................................................................................................................................
βi (o, cuando βe +1, la escala de sonido de iones
En lugar de la giroescala de iones, véase § E.3). ¿Es esto aceptable?
¿Modelo para turbulencias plasmáticas? La figura 8 ilustra el hecho de que, en el punto 1, la escala inercial de iones no desempeña un papel especial linealmente,
la onda MHD Alfvén se dispersa en la giroescala de iones, no en di, y que la amortiguación sin colisión no puede en general
ser descuidado. Una comparación detallada de la relación de dispersión lineal Hall MHD con la relación de dispersión plasmática caliente completa conduce a
la conclusión de que el hall MHD es sólo una aproximación válida en el límite de los iones fríos, a saber, = T0i/T0e 1 (Ito et al. 2004;
Hirose et al. 2004). En este Apéndice, mostramos que una versión reducida (de baja frecuencia, anisotrópica) de Hall MHD puede, de hecho, ser
esto demuestra que el modelo Hall MHD encaja en el marco teórico
propuesta en el presente documento como límite especial. Sin embargo, el régimen de parámetros que da lugar a este límite especial no es común en
plasmas espaciales y astrofísicos de interés.
E.1. Derivación girocinética de la sala MHD reducida
Comencemos con las ecuaciones del fluido isotérmico de electrones, Eqs. (116-121), es decir, trabajar dentro de los supuestos que nos permitieron
para llevar a cabo la expansión de masa-ratio (§ 4.8). En Eq. (120) (ley de Perpendicular Ampère, o balance de presión girocinética), tomando
50 Tenga en cuenta que, estrictamente hablando, nuestro orden de la frecuencia de colisión no nos permite tomar este límite (véase la nota 17), pero esto es una traición menor al rigor,
que, de hecho, no invalida los resultados.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 59
el límite de la letra 1 de la letra • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
eik·r
d3vJ0(ai)hik
, (E2)
donde hemos usado Eq. (118) para expresar la integral hi y la expresión para el electrón beta βe = βiZ/. Tenga en cuenta que lo anterior
ecuación es simplemente la declaración de un equilibrio entre la presión térmica magnética y electrónica (los iones son relativamente fríos,
por lo que han caído de la balanza de presión). Usando Eq. (E2) para expresar el nombre en términos de «B» en Eqs. (116) y (117) y también
sustituyéndolo por el eq. (119) [o, equivalentemente, Eq. (87)], obtenemos
= vAbâ
vAdi
1 + 2/βe
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, (E3)
donde hemos utilizado nuestras definiciones habituales de las funciones de flujo y flujo [Eq. (135)] y de los derivados completos [Eq. (160)].
Estas ecuaciones determinan la evolución del campo magnético, pero todavía necesitamos la ecuación girocinética de iones (121) para calcular
el movimiento iónico (Φ = c-B0 y u-i) a través de Eqs. (118) y (88). Hay dos límites en los que la cinética iónica se puede reducir a
modelos fluidos simples.
E.1.1. Límite de alto ion-beta, βi â € 1
En este límite, ki = kdi
βi 1 siempre y cuando kdi no sea pequeño. Entonces el movimiento iónico puede ser descuidado porque es promedio hacia fuera
por las funciones de Bessel en Eqs. (118) y (88)—de la misma manera que en § 7.2. Por lo que obtenemos Φ = (l/Z)vAdil/B0 [usando Eq. (E2);
Este es el límite de 1 Eq. (223)] y ui = 0. Tomando en cuenta que βe = βiZ/فارسى 1 en este límite, encontramos que Eqs. (E3) reducir a
= v2Adi b
= −di b 2, (E4)
que es el límite de 1 de nuestras ecuaciones ERMHD (226-227) [o, equivalentemente, Eqs. (C10)].
E.1.2. Límite bajo de ion-beta, βi • • • 1 (límite de sala)
Este límite es similar al límite RMHD elaborado en el § 5: tomamos, por ahora, kdi 1 y βe 1 (en el que
expansiones se pueden llevar a cabo más tarde), y ampliar la girocinética de iones en ki = kdi
βi â € 1. Tenga en cuenta que ordenar βe + 1 significa
que hemos ordenado βi â â € € â € 1. Ahora procedemos análogamente a la forma en que lo hicimos en § 5: expresar la distribución iónica en términos de
la función g definida por Eq. (124) y, utilizando la relación (E2) entre B/B0 y N0e, escriba Eqs. (125-127) según se indica:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
- • Cii[g] • Ri
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
¡Aá,á,á,á,á,á,á,á,á,á, á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
+bó
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
F0i +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
,(E5)
1(αi) +
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 0(αi)
[Ze.k.]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vJ0(ai)gk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, uki
d3vvóJ0(ai)gk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (E6)
Todos los términos en estas ecuaciones se pueden ordenar con respecto al parámetro pequeño
βi (una filial de expansión de la
Expansión de la Sala y ampliación de la Sala en la Sala en la Sala 1). El orden más bajo al que entran se indica debajo de cada término. Los
orden que usamos es el mismo que en § 5.2, pero ahora contamos los poderes de
βi y ordene formalmente kdi 1 y βe 1. Es fácil.
para comprobar que este pedido se puede resumir de la siguiente manera:
y que los términos ion y electrón en Eqs. (E3) son comparables en virtud de esta orden, por lo que su competencia se mantiene (de hecho, este
podría ser utilizado como la suposición subyacente detrás de la orden). La frecuencia de fluctuación sigue ordenándose como el Alfvén
frecuencia, · k·vA. Los términos de colisión se ordenan a través de:
βi y kmfpi 1, aunque esta última suposición es
no es esencial para lo que sigue, porque las colisiones resultan ser insignificantes y está bien tomar kmfpi 1 desde el principio y
los descuida por completo.
En Eqs. (E6), usamos Eqs. (129) y (130) escribir 1 0(αi) αi = k22i /2 y 1(αi) 1. Estas ecuaciones implican que si nosotros
expandir g = g(−1) + g(0) +.. .., debemos tener
d3vg(−1) = 0, por lo que la contribución al lado derecho de la primera de las ecuaciones
60 SCHEKOCHIHIN ET AL.
(E6) (la ecuación de cuasi-neutralidad) proviene de g(0), mientras que el flujo de iones paralelo está determinado por g(−1). Conservando sólo el más bajo
(menos primero) términos de orden en Eq. (E5), encontramos la ecuación para g(−1), el momento de vÃ3n de la cual da una ecuaciÃ3n para uÃ3i:
(−1)
,g(−1)} = 2
VÓBÓBÓ
F0i ♥
= v2Abâ
. (E8)
Ahora integrando Eq. (E5) sobre el espacio de velocidad (en constante r), utilizando la primera de las ecuaciones (E6) para expresar la integral de
g(0), y conservando sólo los términos de orden más bajos (cero), encontramos
*2i* *2*
+ i = 0 ♥
2 = vAb 2, (E9)
donde hemos utilizado el segundo de las ecuaciones (E3) para expresar la derivada de tiempo de
Junto con Eqs. (E3), Eqs. (E8) y (E9) forman un sistema cerrado, que es natural llamar Hall Reduced MHD (HRMHD)
porque estas ecuaciones pueden ser directamente derivadas aplicando el orden RMHD (§ 2.1) a las ecuaciones MHD (8-10)
con la ecuación de inducción (10) sustituida por Eq. (E1). De hecho, Eqs. (E8) y (E9) coinciden exactamente con Eqs. (27) y (18), que
son los componentes paralelos y perpendiculares de la ecuación de impulso MHD (8) bajo el orden RMHD; Eqs. (E3) debería
comparación de Eqs. (17) y (26), sin dejar de notar que, en el límite de la velocidad de sonido de 1°, la velocidad de sonido es cs = vA
βe/2 [véase Eq. (166)]. Los
El caso incompresible (Mahajan & Yoshida 1998) se recupera en el límite subsidiario βe â € 1 (es decir, 1 â € € €.
E.2. Energía Generalizada para el Salón RMHD y el Modo Entropía Pasiva
Para elaborar la energía generalizada (§ 3.4) para el régimen de HRMHD, comenzamos con la energía generalizada para la isotermia
Líquido de electrones [Eq. (109)] y utilice Eq. (E2) para expresar la perturbación de la densidad:
T0iää f
, (E10)
donde se llama B =. La función de distribución de iones perturbados se puede escribir en la misma forma que se hizo en § 5.4 [Eq. (143)]:
al orden más bajo en el
Expansión βi (§ E.1.2),
f (−1)i =
2v ·u
v2thi
F0i + g(−1) =
2v ·u
v2thi
F0i +
2vá»uûi
v2thi
F0i + g, (E11)
donde u =. La última igualdad de arriba se logra notando que, puesto que g(−1) satisface Eq. (E8), podemos dividirlo en un
Maxwellian perturbado con velocidad paralela u'i y el resto: g
(−1) = 2váuáiF0i/v
ti + g Entonces la solución homogénea es g
de la ecuación cinética de orden principal [véase Eq. (E8)]:
, g = 0,
d3v g = 0. (E12)
Sustitución de Eq. (E11) en Eq. (E10) y mantener sólo los términos de orden de prioridad en el
Expansión βi, obtenemos
min0iu
min0iu
T0ig
. (E13)
Los primeros cuatro términos son la energía del Alfvénic y las fluctuaciones polarizadas de onda lenta [cf. Eq. (D12)]. A diferencia de RMHD, estos
no se desacoplarán en el HRMHD, a menos que se adopte otro límite subsidiario de longitud de onda larga (véase E.4). Es fácil verificar que el
La suma de estos cuatro términos es efectivamente conservada por Eqs. (E3), (E8) y (E9). El último término en Eq. (E13) es un producto de conservación individual
Cantidad cinética. Su conservación refleja el hecho de que g
Velocidades alfvénicas a través de Eq. (E12).51
El modo cinético pasivo gū puede ser considerado como una versión cinética del modo entropía MHD y, de hecho, se reduce a él si el
Operador de colisión en Eq. (E5) se actualiza a la orden principal ordenando por orden 1 (es decir, considerando longitudes de onda largas paralelas,
# Kmfpi #
βi). En tal límite de colisión, gû tiene que ser un Maxwelliano perturbado sin densidad o perturbación de velocidad [porque
d3vg = 0, mientras que la perturbación de la velocidad se separa explícitamente de g en Eq. (E11)]. Por lo tanto,
v2thi
F0i ♥
T0ig
n0iT0i
T 2i
T 20i
. (E14)
Esto se debe comparar con el βi â € € 1 límite de Eqs. (D11) y (D12). Como hemos establecido, en el
Expansión βi,
* Ti = T
i, lni = ln
i, B = B
, por lo que el orden más bajo es 0 = Ti/T0i y Eq. (E14) describe el modo de entropía en el límite Hall.
51 Se produce una división similar de la cascada de energía generalizada en una cascada de tipo fluido más una cascada pasiva de una parte de la función de distribución de densidad cero
en el régimen de Hasegawa-Mima, que es la versión electrostática del límite Hall (Plunk et al. 2009).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 61
E.3. Hall RMHD Relación de dispersión
Linealización de las ecuaciones Hall RMHD (E3), (E8) y (E9) (derivado en § E.1.2 asumiendo el orden βi â € € € 1), obtenemos
la siguiente relación de dispersión:52
• 2 − k2 • v
1 + 2/βe
= 2 k2 v
1 + 2/βe
. (E15)
Cuando el término de acoplamiento en el lado derecho es insignificante, kdi/
1 + 2/βe â € 1, recuperamos la onda MHD Alfvén, â € 2 = k2â € v
y la onda lenta del MHD, +2 = k2
v2A/(1 + v
s ) [Eq. (167)], donde cs = vA
βe/2 en el límite de la letra a) del punto 1 [Eq. (166)]. Al contrario.
límite, obtenemos la onda cinética Alfvén, 2 = k2
i /(1 + 2/βe) [igual que Eq. (230) con • • • 1].
La solución de la relación de dispersión (E15) es
1 + 2/βe
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (E16)
Las funciones propias correspondientes satisfacen entonces53
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
vAdi
, ui = −
, Φ = −
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (E17)
La ecuación (E16) adopta una forma particularmente sencilla en los límites subsidiarios de beta beta βe = βiZ/
βe â € 1 : â € 2 = k2â € v
, βe â € 1 : â € 2 = k2â € v
1 + k2
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
1 + k2
, (E18)
en los que ♥s = di
βe/2 =
Se llama la escala de sonido ion. La ola Alfvén y la ola lenta (conocido como el ion
ondas acústicas en el límite de 1o, 1o, 1o y 1o se dispersen en la escala inercial de iones (kdi 1o) cuando βe 1o y en el ion
escala de sonido (ks â € 1) cuando βe â € 1.
E.4. Resumen de la sala RMHD y el papel de las escalas de sonido ion inercial e ion
Hemos demostrado que en el límite de los iones fríos y de los iones bajos beta (βi â â € € 1, “el límite Hall”), la turbulencia girocinética puede ser
descrita por cinco funciones escalares: las funciones de flujo y flujo Φ y فارسى para las fluctuaciones alfvénicas, la velocidad paralela y
Perturbaciones magnéticas de campos oi y Bb para las fluctuaciones polarizadas de onda lenta y g, la parte de densidad cero, velocidad cero de
la función de distribución iónica, que es la versión cinética del modo entropía MHD. Las cuatro primeras de estas funciones satisfacen un
conjunto cerrado de cuatro ecuaciones de tipo fluido, derivadas en el § E.1 y recogidas aquí:
= vAbâ
vAdi
1 + 2/βe
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, (E19)
2 = vAb 2,
= v2Abâ
. (E20)
Llamamos a estas ecuaciones la Magnetohidrodinámica Reducida Hall (HRMHD). Para tener plenamente en cuenta la generalización de la energía cas-
cade, uno debe añadir a las cuatro ecuaciones HRMHD la quinta, ecuación cinética (E12) para g
desde el HRMHD y esclavizado a las fluctuaciones de velocidad alfvénic (§ E.2).
Las ecuaciones dadas anteriormente son válidas por encima de la giroescala de iones, ki 1. Contienen una escala especial,
1 + 2/βe, que
es la escala inercial de iones di para βe 1 y la escala sonora de iones Como se desprende claramente de la teoría lineal
(§ E.3), el Alfvén y las ondas lentas se dispersan a esta escala. No linealmente, esta escala marca la transición del régimen
en la que las fluctuaciones alfvénicas y de onda lenta polarizadas se disocian del régimen en el que se mezclan. Es decir, cuando
kdi/
1 + 2/βe + 1, HRMHD se convierte en RMHD: Eqs. (E19) se convierte en Eqs. (17) y (26), mientras que Eqs. (E20) permanecer sin cambios
e idéntico a Eqs. (18) y (27); en el límite opuesto, kdi/
1 + 2/βe + 1, el movimiento de los iones se desacopla del campo magnético
evolución y Eqs. (E19) se convierten en ecuaciones ERMHD (226-227).
Dado que estamos considerando el caso βi â € 1, tanto di y ¬s son mucho más grandes que el ion gyroscale ¬i. En el límite opuesto de
βi â € 1 (§ E.1.1), mientras que di es la única escala que aparece explícitamente en Eqs. (E4), tenemos di â € ¬ i y las ecuaciones mismas
representa la dinámica a escalas mucho más pequeñas que la giroescala de iones, por lo que la transición entre los regímenes RMHD y ERHD
se produce en ki 1. Lo mismo es cierto para βi â € 1, cuando di â € € €. La escala de sonido de iones no juega un papel especial cuando
52 La relación completa de dispersión girocinética en un límite similar se desarrolló en Howes et al. (2006), apéndice D.2.1.
53 Tenga en cuenta que los paquetes de onda con k = k y satisfacer Eq. (E17) en función de k dada por Eq. (E16) son soluciones no lineales exactas de
las ecuaciones HRMHD (E3) y (E8-E9). Esto puede ser mostrado a través de un cálculo análogo al de § 7.3 (para el incompresible Hall MHD, esto fue hecho por
Mahajan & Krishan 2005).
62 SCHEKOCHIHIN ET AL.
βi no es pequeño: no es difícil ver que para ks 1, los términos de movimiento de iones en Eqs. (E19) dominamos y simplemente recuperamos el
Modelo KRMHD de rango inercial (§ 5) expandiéndose en ki = ks
2-Z-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I.-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I
En el párrafo 8.2.6 se examinan más a fondo varias teorías de la turbulencia de la dispersión basada en Hall y Electron MHD.
F. DOS INVARIOS DIMENSIONALES EN LA GIROKINETICS
Dado que la girocinética es en cierto sentido una aproximación “cuasi-dos-dimensional”, es natural preguntar si esto da lugar a
propiedades de conservación (además de la conservación de la energía generalizada discutida en el § 3.4) y cómo se rompen por el
presencia de términos de propagación paralelos. Es importante destacar que, salvo en algunos casos especiales, estas invariantes son sólo
invariantes en 2D, por lo que la turbulencia girocinética en 2D y 3D tiene propiedades fundamentalmente diferentes, a pesar de su aparentemente “cuasi-2D”
naturaleza. Por lo tanto, generalmente no es correcto pensar en la turbulencia girocinética (o su caso especial la turbulencia MHD) como
esencialmente una turbulencia 2D con una mezcla de ondas propagadoras paralelas (Fyfe et al. 1977; Montgomery & Turner 1981).
En este Apéndice, elaboramos los invariantes 2D. Sin intentar presentar un análisis completo de la conservación en 2D
propiedades de la girocinética, limitamos nuestra discusión a mostrar cómo algunos invariantes fluidos más familiares (sobre todo, magnético
helicidad) emergen de los invariantes 2D generales en los límites asintóticos apropiados.
F.1. Invariantes 2D generales
Al derivar la energía generalizada invariante, utilizamos el hecho de que
d3Rs hsRs,hs} = 0, así que Eq. (57) después de la multiplicación
por T0shs/F0s y la integración sobre el espacio no contiene ninguna contribución de la no linealidad de Poisson-bracket. Ya que también tenemos
d3Rs RsRs,hs} = 0, multiplicando Eq. (57) por qsRs e integración sobre el espacio tiene un resultado similar. Sustracción de la
última ecuación integrada de la primera y reordenar términos da
qsRs
= qsv
d3Rs Rs
qsRs
. (F1)
Vemos que en una situación puramente en 2D, cuando............. tenemos una familia infinita de invariantes........................................................................................................................................................................................................................................
cada especie y por cada valor de v y v!) sólo se rompe por colisiones. En 3D, la emisión de partículas paralelas (propagación)
término en la ecuación girocinética generalmente rompe estos invariantes, aunque casos especiales pueden surgir en los que el primer término en el
a la derecha de Eq. (F1) desaparece y aparece un invariante 3D genuino.
F.2. “A2
-Cosas”
Aplique la expansión de masa-ratio (§ 4.1) a Eq. (F1) para electrones. Uso de la solución (101) para la distribución de electrones
función, encontramos
T0eF0e
v2the
d3rA
v2the
+ · · ·
= −ev
v2the
F0e −
h(1)e
d3rA
, (F2)
donde hemos mantenido los términos a dos órdenes principales en la expansión. Al orden más bajo, la ecuación anterior se reduce a
d3rA
. (F3)
Esta ecuación también se puede obtener directamente de Eq. (116) (multiplicar por A® e integrar). En 2D, expresa un bien conocido
ley de conservación de la “A2®-cosa.” Como este invariante 2D existe ya en el nivel de la expansión de masa-ratio del electrón
cinética, sin suposiciones sobre los iones, se hereda tanto por las ecuaciones RMHD en el límite de ki â € 1 (§ 5.3) y
por las ecuaciones del ERMHD en el límite de ki 1 (§ 7.2). En el límite anterior, Łne/n0e en el lado derecho de Eq. (F3) es
insignificante (bajo la orden explicada en el § 5.2); en este último límite, se expresa en términos de Ł vía Eq. (221). La conservación
una característica única en 2D, rota por el término de propagación paralelo en 3D.
F.3. Helicicidad magnética en el fluido de electrones
Si ahora dividimos Eq. (F2) a través de evá/c e integrar a través de velocidades, obtenemos, después de algunas integraciones por partes, otro
relación que se convierte en una ley de conservación en 2D y que también puede derivarse fácilmente directamente de las ecuaciones de la isotermia
Líquido de electrones (116-117):
d3rA
. (F4)
En el límite ERMHD ki â € 1 (§ 7.2), utilizamos Eqs. (221-223) para simplificar la ecuación anterior y encontrar que la integral en el
La derecha desaparece y obtenemos una verdadera ley de conservación en 3D:
d3rAB = 0. (F5)
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 63
Esto también puede derivarse directamente de las ecuaciones ERMHD (226-227) [usando Eq. (223)]. La cantidad conservada se ve fácilmente
ser la helice del campo magnético perturbado:
d3rA · B =
A
+ AB®
A · (A) + AB®
d3rABÃ3. (F6)
F.4. Helice magnética en el límite RMHD
A diferencia del ERMHD, la helice del campo magnético perturbado en el RMHD se conserva sólo en 2D. Esto es porque
la ecuación de inducción para el campo perturbado tiene un término inhomógeno asociado con el campo medio [Eq. (10) con B =
B0 + B] (este tema ha sido ampliamente discutido en la literatura; véase Matthaeus & Goldstein 1982; Stribling et al. 1994;
Berger 1997; Montgomery & Bates 1999; Brandenburgo & Matthaeus 2004). Directamente de la ecuación de inducción o de su
Eqs descendientes de RMHD. (17) y (26), obtenemos [note las definiciones (135)]
d3rAB =
1 + v2A/c2s
, (F7)
por lo que la helicidad sólo se conserva si el valor de 0........................................................................................................................................................................................................................................................
Para ser completos, vamos a mostrar ahora que esta ley de conservación 2D es un caso particular de Eq. (F1) para los iones. Consideremos la
Intervalo inercial (ki 1). Sustituimos Eq. (124) en Eq. (F1) para los iones y ampliar a dos órdenes principales en ki utilizando el
orden explicado en § 5.2:
vARi
Z2e2v2
d3rA®g + · · ·
Z2e2v2
d3rA
v2thi
+ Zev®
d3rA
. (F8)
Los términos de orden más bajo en las ecuaciones anteriores (todos proporcionales a v2+F0i) simplemente reproducen la conservación 2D de “A
â € TM-cosas,â € TM TM
dado por Eq. (F3). Ahora restamos Eq. (F3) multiplicado por (Zevá/c)
2F0i/T0i de Eq. (F8). Esto nos deja con
d3rA®g = c
+ v+F0i
v2thi
d3rA
. (F9)
Esta ecuación es una ley general de conservación 2D de las ecuaciones KRMHD (véase § 5.7) y también puede derivarse directamente de ellas.
Si lo integramos sobre velocidades y usamos Eqs. (146) y (147), simplemente recuperamos Eq. (F4). Sin embargo, desde Eq. (F9)
cada valor de vÃ3 y vÃ3, lleva mucha más informaciÃ3n que Eq. (F4).
Para establecer una conexión con el MHD, consideremos el límite de fluidos (colisionales) del KRMHD que figura en el Apéndice D.
función de la ión al orden más bajo en la expansión kmfpi 1 es g = −(v2/v2thi)
i, donde
I es el perturbado Maxwellian
dado por Eq. (D3). Podemos sustituir esta expresión en Eq. (F9). Dado que en esta expansión la integral de colisión se aplica a
y es el mismo orden que el resto de los términos (véase § D.3), las leyes de conservación se derivan mejor tomando 1, v®, y v
2/v2thi momentos
de Eq. (F9) para hacer desaparecer el término de colisión. En particular, multiplicando Eq. (F9) por 1 + (2//3Z)v2/v2thi, integrando sobre
velocidades y usando Eqs. (D4) y (D6), obtenemos la ecuación de evolución para
d3rABÃ3, que coincide con Eq. (F7). Nota
que, ya sea procediendo de una manera análoga, uno puede derivar ecuaciones similares para
d3rAne y
d3rAÃ3uá—estos son también 2D
invariantes del sistema RMHD, roto en 3D por la presencia de los términos de propagación. El mismo resultado puede derivarse directamente
de las ecuaciones de evolución (D8) y (D10).
F.5. Invariante electrostático
Curiosamente, la existencia de los invariantes 2D generales introducidos en el § F.1 junto con la invariante de energía generalizada dada por
Eq. (73) significa que uno puede construir un invariante 2D de la girocinética que no implica ninguna cantidad de velocidad-espacio. En orden
para hacer eso, uno debe integrar Eq. (F1) sobre velocidades, suma sobre especies, y restar Eq. (73) de la ecuación resultante (por lo tanto
eliminar las integrales h2s). El resultado no es particularmente edificante en el caso general, pero toma una forma simple si se considera
Perturbaciones electrostáticas (lB = 0). En este caso, las manipulaciones descritas anteriormente llevan a la siguiente ecuación:
d3v Is − W
q2s n0s
10(αs)
k2 =
d3rE −
d3Rs Rs
, (F10)
donde E = /Łz, αs = k2
s/2 y 0 se definen por Eq. (129). En 2D, E = 0 y la ecuación anterior expresa una conservación
ley rota sólo por colisiones. La derivación completa y el análisis de las propiedades de conservación 2D de la girocinética en el electro-
límite estático, incluido el invariante (F10), la versión electrostática de Eq. (F1), y sus consecuencias para las escalas y cascadas,
fue administrado por Plunk et al. (2009). A este respecto, consideramos brevemente algunos límites pertinentes.
Para ki â € 1, tenemos â € 0(α) = 1 â € € +.. .. por lo que la invariante dada por Eq. (F10) es simplemente la energía cinética de los flujos E×B:
s(msn0s/2)
d3r 2, en el que Φ = cŁ/B0. En el límite ki 1, ke 1, tenemos Y = −n0i
d3rZ2e2-2/2T0i. In
64 Schekochihin et al.
el límite ke 1, tenemos Y = −(1 + Z/ )n0e
d3re2/2T0e. Mientras que no estamos interesados en las fluctuaciones electrostáticas en el
El rango inercial, la turbulencia electrostática en el rango de disipación se discutió en § 7.10 y § 7.12. El invariante electrostático 2D
en los límites ki â € 1, ke â € 1 y ke â € 1 también se puede derivar directamente de las ecuaciones dadas allí [en el límite anterior,
utilizar Eq. (264) expresar uçái en términos de jçá con el fin de obtener Eq. (F10)].
Tenga en cuenta que, tomado por separado e integrado a través de velocidades, Eq. (F1) para los iones (cuando ki â € 1, ke â € 1) y para los electrones
(cuando ke 1), se reduce al orden más bajo a la declaración de la conservación 3D de
d3Ri T0ih2i /2F0i [Whi in Eq. (245)] y
d3Re T0eh2e/2F0e [Eq. (280)], respectivamente.
F.6. Consecuencias para las cascadas y escalas turbulentas
Puesto que los invariantes distintos de la energía generalizada o sus partes constituyentes están presentes en 2D y, en algunos límites, también en 3D, uno
podría preguntar cómo su presencia afecta a las cascadas y escalas turbulentas. Como ejemplo, consideremos la helicidad magnética en
Turbulencia de KAW, que es un invariante 3D de las ecuaciones de ERMHD (§ F.3).
Un análisis al estilo Kolmogorov de una cascada local de KAW basado en un flujo constante de helices da (procede como en § 7.5):
*KAW.* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW*
1o de enero
*KAW.* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW*
1o de enero
# # H = const # # # # const # # # const # # # const # # # # const # # # const # # # const # # # const # # # const # # # const # # # const # # # # const # # # # # const # # # # const # # # # const # # # # const # # # # const # # # # # const # # # # # # # # const # # # # # # const # # # # const # # # # const # # # # # # # const # const # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(1o i)1/6
1/3, (F11)
donde H es el flujo de helicidad (omitiendo factores dimensionales constantes, la helicidad se define ahora como
d3r y supone ser
no-cero). Esto corresponde a una k
espectro de energía magnética.
Para decidir si esperamos que las escalas sean determinadas por el flujo constante-helicitario o por la constante-energía
flujo (como se supone en § 7.5), adaptamos un argumento estándar originalmente debido a Fjørtoft (1953). Si el flujo de helicidad de la KAW
turbulencias originadas en la giroescala de los iones (mediante la conversión parcial de la turbulencia de rango inercial; véase § 7) es H, su energía
El flujo es de KAW, H, en Eq. (F11) y comparar con Eq. (238)]. Si la cascada entre el ión y la giroescala de electrones
se controla manteniendo un flujo constante de helicidad, entonces el flujo de helicidad que llega a la giroescala de electrones sigue siendo H, mientras que
el flujo de energía asociado es de Hl/e, KAW, es decir, más energía llega a l que la que había en l! Esto es claramente imposible en
un estado estacionario. La manera de resolver esta contradicción es concluir que la cascada de la helicidad es, de hecho, inversa (es decir, dirigida
hacia escalas más grandes), mientras que la cascada de energía es directa (a escalas más pequeñas). Un argumento similar basado en la constancia de la
el flujo de energía KAW lleva entonces a la conclusión de que el flujo de helicidad que llega a la giroescala de electrones es KAWe/
Es decir, la helicidad no cae en cascada a escalas más pequeñas. De hecho, tampoco se produce en cascada a grandes escalas porque el ERMHD
Las ecuaciones no son válidas por encima de la giroescala de iones y la helicidad del campo magnético perturbado en el rango inercial no es un 3D
invariante (§ F.4). La situación sería diferente si existiera una fuente de energía en la giroescala electrónica o en algún lugar de
entre los Estados miembros y los Estados miembros. En tal caso, se esperaría una cascada de helice inversa y la consiguiente escala más superficial [Eq. (F11)]
entre la escala de inyección de energía y la giroescala de iones.
Otras invariantes introducidas anteriormente pueden argumentarse de manera similar para dar lugar a cascadas inversas en la hipotética 2D
situaciones en las que son válidas y siempre que haya inyección de energía a escalas pequeñas (para el caso electrostático, véase Plunk et al.
2009 y simulaciones numéricas de Tatsuno et al. 2009b). La visión de la turbulencia avanzada en este documento no es generalmente
permitir que esto suceda. En primer lugar, la naturaleza fundamentalmente 3D de la turbulencia se impone a través de la conjetura de equilibrio crítico y
apoyado por el argumento de que “dos dimensiones” sólo pueden mantenerse a través de distancias paralelas que no excedan de la
distancia una onda de propagación paralela (o partículas de flujo paralelo) viaja a lo largo de un tiempo de decorrelación no lineal (véase § 1.2,
§ 7.5 y § 7.10.3). En segundo lugar, la falta de inyección de energía a pequeña escala se asumió desde el principio. Sin embargo, esto puede ser violado.
en plasmas astrofísicos reales por diversas inestabilidades plasmáticas a pequeña escala (por ejemplo, provocadas por anisotropías de presión; véase discusión
en el punto 8.3). El tratamiento de esos efectos queda fuera del ámbito de aplicación del presente documento y sigue siendo una cuestión de trabajo en el futuro.
REFERENCIAS
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http://arxiv.org/abs/0811.2538
| Presentamos un marco teórico para la turbulencia plasmática en la astrofísica
plasmas (viento solar, medio interestelar, cúmulos de galaxias, discos de acreción).
Las suposiciones clave son que la turbulencia es anisotrópica con respecto a la
El campo magnético medio y las frecuencias son bajas en comparación con el ciclotrón iónico
frecuencia. La energía inyectada a escala exterior debe ser convertida
en el calor, que en última instancia no se puede hacer sin colisiones. UN KINETIC
CASCADE desarrolla que lleva la energía a las escalas de colisión tanto en el espacio como
velocidad. Su naturaleza depende de la física de las fluctuaciones plasmáticas. En cada uno de
los rangos de escala físicamente distintos, el problema cinético es sistemáticamente
reducido a un conjunto más tratable de ecuaciones. En el "rango inercial" por encima de la
ion giroescala, la cascada cinética se divide en una cascada de Alfvenic
fluctuaciones, que se rigen por las ecuaciones RMHD en la colisión
escalas sin colisiones, y una cascada pasiva de fluctuaciones de compresión,
que obedecen a una ecuación cinética lineal a lo largo de las líneas de campo en movimiento asociadas
con el componente Alfvenic. En el "rango de disipación" entre el ión y
giroescales de electrones, hay de nuevo dos cascadas: la onda cinética-Alfven
(KAW) cascada gobernada por dos ecuaciones de electron RMHD fluidos y un pasivo
cascada fase-espacio de las fluctuaciones de la entropía iónica. Esta última cascada trae la
energía de las fluctuaciones de rango inercial que fue amortiguada por la colisión sin
interacción onda-partícula en la giroescala de iones a escalas de colisión en la
espacio de fase y conduce a la calefacción por iones. La energía KAW se amortigua igualmente en el
giroescala de electrones y convertido en calor de electrones. Escalado estilo Kolmogorov
las relaciones se derivan para estas cascadas. Astrofísica y espaciofísica
las aplicaciones se discuten en detalle.
| Introducción conceptual al presente documento, que es mucho más detallada
y cubre un conjunto mucho más amplio de temas.
9 Esta es la versión de la teoría de Kolmogorov debido a Obukhov 1941.
FIG. 1.- Espectro de fluctuaciones eléctricas y magnéticas en el viento solar
en 1 UA (véase el cuadro 1 para los parámetros de viento solar correspondientes a
plot). Esta figura se adapta con el permiso de la Fig. 3 de Bale et al. (2005)
(copyright 2005 de la American Physical Society). Hemos añadido el
pendientes de referencia para la turbulencia de onda Alfvén y onda cinética Alfvén en
líneas marcadas (rojas) en negrita y etiquetadas como “KRMHD”, “iones GK” y “ERMHD”
los intervalos de números de onda en los que estas descripciones analíticas son válidas (véase
§ 3, § 5 y § 7).
y obtuvo un espectro k−3/2. El fracaso del ob-
espectros servidos para cumplir con esta ley (ver referencias anteriores)
y especialmente el observacional (véanse las referencias al final
de esta subsección) y experimental (Robinson & Rusbridge
1971; Zweben et al. 1979) evidencia de anisotropía de MHD
las fluctuaciones llevaron a la hipótesis de la isotropía a ser descartada
(Montgomery & Turner 1981).
La forma moderna de la teoría de la turbulencia MHD es comúnmente
asociado con los nombres de Goldreich & Sridhar (1995,
1997, en adelante, SG). Puede resumirse de la siguiente manera. Como...
sume que (a) todas las perturbaciones electromagnéticas son fuertemente
anisotrópico, de modo que sus escamas características a lo largo de la media
campo son mucho más grandes que aquellos a lo largo de ella, l, o, en términos
(b) las interacciones entre los números de onda,
Los paquetes de onda alfvén son fuertes y la turbulencia en sufi-
las escalas siempre se arreglan de tal manera que
la escala de tiempo de Alfvén y la perpendicular interac-
los plazos son comparables entre sí, es decir,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
donde es la frecuencia típica de las fluctuaciones y u
es la fluctuación de velocidad perpendicular al campo medio.
Tomada escala por escala, esta suposición, conocida como la crítica
equilibrio, elimina la ambigüedad dimensional del MHD tur-
teoría de la bulencia. Por lo tanto, el tiempo de cascada es l/vA /u
de dónde
1 / 2 / () 1 / 3, 4
¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
2/3, (5)
donde l0 = v
A//23370/. La relación de escalado (4) es equivalente a un
espectro de la energía cinética, mientras que Eq. 5) Cuantifica la
anisotropía mediante el establecimiento de la relación entre
escalas pendiculares y paralelas. Nótese que Eq. 4) implica que
en términos de los números de onda paralelos, la especificación de energía cinética-
trum es k−2®.
Las consideraciones anteriores se aplican a las fluctuaciones alfvénic,
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 3
Es decir, velocidades perpendiculares y perturbaciones de los campos magnéticos
a partir de la media dada (en cada escala) por
4 ° 0,
donde la densidad media de masa del plasma (véase
Fig. 1 y discusión en § 8.1.1. Otras frecuencias bajas
Modos MHD: ondas lentas y modo entropía
para ser asesorado pasivamente por el componente Alfvénic
de la turbulencia (esto sigue de la anisotropía; véase
Lithwick & Goldreich 2001, y 2.4-2.6, § 5.5 y § 6.3
para un examen más a fondo de las fluctuaciones de la compresión).
Como hemos mencionado anteriormente, la anisotropía fue, en
hecho, incorporado en la teoría de la turbulencia MHD ya por
Montgomery & Turner (1981). Sin embargo, la opinión de estos autores
difería de la teoría de GS en que pensaban en MHD
turbulencia como esencialmente dos dimensiones, descrito por un
Cascada similar a Kolmogorov (Fyfe et al. 1977), con una mezcla de
tura de ondas de Alfvén que tienen algún espectro en k+ no emparentado
a la estructura perpendicular de la turbulencia (obsérvese que
Higdon 1984, aunque adoptó un punto de vista similar, anticipó la
escalación de la relación (5), pero no parecía considerar que
cosa más que la confirmación de una naturaleza esencialmente 2D
de la turbulencia). En lo que nos estamos refiriendo aquí como GS
turbulencias, las fluctuaciones 2D y Alfvénic no están separadas
componentes de la turbulencia. La turbulencia es de tres dimensiones.
con correlaciones paralelas y perpendiculares a la (lo-
Cal) media del campo relacionado en cada escala por el saldo crítico
suposición.
De hecho, intuitivamente, no podemos tener kášvA kášu: el tur-
bulencia no puede ser más 2D que permitido por el crítico
equilibrio debido a las fluctuaciones en los dos aviones perpendicu-
lar al campo medio sólo puede permanecer correlacionado si un Alfvén
la onda puede propagarse entre ellos en menos de su perpen-
tiempo de decorlación diicular. En el límite opuesto, débilmente inter-
las ondas de Alfén que actúan con kÃ3n fijo y Ã3n = kávA Ã3n ku pueden ser
Se ha demostrado que da lugar a una cascada de energía hacia
escalas pendiculares donde la turbulencia se vuelve fuerte y
Eq. (3) está satisfecho (Goldreich & Sridhar 1997; Galtier et al.
2000; Yousef et al. 2009). Por lo tanto, hay una tendencia natural
hacia un equilibrio crítico en un sistema que contiene no linealmente in-
Absorber ondas Alfvén. Vamos a ver en lo que sigue a ese crit-
En efecto, el equilibrio ical puede tomarse como un principio físico general.
Cípulas relativas a escalas paralelas (asociadas con propaga lineales)
ión) y las escalas perpendiculares (asociadas con
anisótropo (véase § 7.5, § 7.9.4,
§ 7.10.3).
Destacamos que, la anisotropía del plasma astrofísico
La turbulencia es un fenómeno observado. Se ve con más claridad
en las mediciones de naves espaciales de las fluctuaciones turbulentas
en el viento solar (Belcher & Davis 1971; Matthaeus et al.
1990; Bieber y otros 1996; Dasso y otros 2005; Bigazzi et al.
2006; Sorrizo-Valvo et al. 2006; Horbury et al. 2005, 2008;
Osman & Horbury 2007; Hamilton et al. 2008) y en la Conferencia de las Naciones Unidas sobre Comercio y Desarrollo
magnetosheath Shraoui et al. (2006); Alexandrova y otros
(2008b). En un reciente desarrollo clave, los datos del viento solar anal-
ysis de Horbury et al. (2008) enfoques cuantitativos
En el caso de que se produzca un robo del equilibrio crítico, se debe confirmar que:
la escala del espectro con el swavenum paralelo
ber k−2
que sigue de la primera relación de escala en
Eq. 4). La anisotropía también se observa indirectamente en el
ISM (Wilkinson et al. 1994; Trotter y otros 1998; Rickett y otros
2002; Dennett-Thorpe & de Bruyn 2003), en particular recientemente
en las nubes moleculares (Heyer et al. 2008), y, con unambigu-
consistencia ous, en simulaciones numéricas de turbulencias MHD
(Shebalin et al. 1983; Oughton y otros 1994; Cho & Vishniac
2000; Maron & Goldreich 2001; Cho et al. 2002; Müller y otros
2003).10
1.3. MHD Turbulencia con y sin campo medio
En la discusión anterior, tratar la turbulencia de MHD como tur-
bulencia de las fluctuaciones alfvénicas dependían de asumir la
presencia de un campo medio (guía) B0 que es fuerte en comparación con
las fluctuaciones magnéticas, B/B0 U/vA 1. También lo haremos.
necesidad de esta suposición en la evolución formal a seguir
(véase § 2.1, § 3.1). ¿Es legítimo esperar que tal espacialmente
¿El campo regular estará genéricamente presente? Kraichnan (1965) ar-
que en una situación genérica en la que todos los campos magnéticos son
producido por la turbulencia misma a través del efecto dinamo, uno
podría suponer que el campo más fuerte estará en la escala exterior
y que este campo desempeñará el papel de un (aproximadamente)
forma de campo guía para las ondas Alfvén en el rango inercial.
Formalmente, esto equivale a suponer que en el rango inercial,
# 1, k # L # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 . 6)
Sin embargo, no es obvio que esto deba ser cierto.
Cuando un campo fuerte de la media es impuesto por algún mech- externo
anismo, los movimientos turbulentos no pueden doblarlo significativamente, así que
sólo pequeñas perturbaciones son posibles y B B0. En contra.
Trast, sin un campo fuerte impuesto, la densidad de energía de la
Las fluctuaciones magnéticas son como máximo comparables a las cinéticas.
densidad de energía de los movimientos plasmáticos, que son entonces suffi-
cientificamente energética para enredar el campo al azar, por lo que BB B0.
En el caso del campo débil, la dinámicamente fuerte
campo magnético estocástico es el resultado de la saturación de la
dinamo a pequeña escala, o fluctuación, —ampliación de la
campo netic debido al estiramiento aleatorio por el turbulento mo-
ciones (véase la revisión de Schekochihin & Cowley 2007). Los
La teoría definitiva de este estado saturado sigue siendo
Cubierto. Tanto los argumentos físicos como las pruebas numéricas
(Schekochihin y otros 2004; Yousef et al. 2007) sugieren que:
el campo magnético en este caso se organiza en flujo plegado
hojas (o cintas). La longitud de estos pliegues es compara-
ble a la escala exterior, mientras que la escala de la dirección de campo
Las reversiones transversales al pliegue están determinadas por la dissipa-
física de la ion: en MHD con viscosidad isotrópica y resistiv-
ity, es la escala resistiva.11 Aunque las ondas de Alfvén prop-
10 La evidencia numérica es mucho menos clara sobre la escala de la
espectro. El hecho de que el espectro está más cerca de k
que a k
en simulaciones numéricas (Maron & Goldreich 2001; Müller et al. 2003;
Mason et al. 2007; Perez & Boldyrev 2008, 2009; Beresnyak & Lazarian
2008b) llevó a Boldyrev (2006) a proponer un argumento de escala que permite
una turbulencia alfvénica anisotrópica con una k
espectro. Su argumento es
basado en la conjetura de que la velocidad fluctuante y los campos magnéticos tienden
para alinear parcialmente a pequeña escala, una idea que ha tenido
soporte cal (Maron & Goldreich 2001; Beresnyak & Lazarian 2006, 2008b;
Mason et al. 2006; Matthaeus et al. 2008a). La alineación debilita non-lin-
interacciones del oído y altera las escalas. Otra modificación del cuadro de servicios generales es la siguiente:
ory que conduce a un anisótropo k
espectro fue propuesto por Gogoberidze
(2007), que asumió que la turbulencia de MHD con un campo medio fuerte es dom-
inadaptado por interacciones no locales con la escala exterior. Sin embargo, en ambos argu-
Se mantiene la suposición básica de que la turbulencia es fuerte. Esto es
la principal suposición que hacemos en este documento: el equilibrio crítico conjec-
En el cuadro que figura a continuación no se utiliza como receta de escala, sino en un sentido más débil de
una suposición de orden, es decir, simplemente tomamos los términos de propagación de onda en
las ecuaciones a ser comparables a los términos no lineales. No es difícil de mostrar
que los resultados obtenidos en lo que sigue siguen siendo válidos, independientemente de que la
mento está presente. Observamos que observacionalmente, sólo en el viento solar hace uno
medir los espectros con suficiente precisión para afirmar que son coherentes
con k
pero no con k
(véase el punto 8.1.1).
11 En plasmas astrofísicos débilmente colisionantes, tal descripción no es
4 SCHEKOCHIHIN ET AL.
agating a lo largo de los pliegues puede existir (Schekochihin et al. 2004;
Schekochihin & Cowley 2007), la presencia de
inversión de la dirección de escala significa que no hay escala por escala
equiparciÃ3n entre la velocidad y los campos magnéticos: mientras que
la energía magnética está dominada a pequeña escala debido a la di-
Reversión de rección12, la energía cinética debe ser contenida pri-
marcialmente en la escala exterior, con alguna ley de escala en la inercia
Rango.
Por lo tanto, en el nivel actual de comprensión tenemos que
sume que hay dos regímenes asintóticos de
Ence: turbulencias anisotrópicas alfvénicas con BB B0 y
turbulencia isotrópica MHD con inversiones de campo a pequeña escala y
B. B. B. En este documento, sólo discutiremos el primer régimen.
El origen del campo medio puede ser externo (como, por ejemplo, en
el viento solar, donde es el campo del Sol) o debido a algunos
forma de dinamo de campo medio (en lugar de dinamo de pequeña escala),
como normalmente se espera para las galaxias (véase, por ejemplo, Shukurov 2007).
Obsérvese, por último, que la condición BB B0 no tiene por qué ser satisfactoria.
fied en la escala exterior y de hecho no se satisface en la mayoría del espacio
o plasmas astrofísicos, donde más comúnmente
la escala exterior. Esto, sin embargo, es suficiente para el Kraich-
nn hipótesis a mantener y para una cascada alfénica a ser establecido
hasta, así que a escalas pequeñas (en el rango inercial y más allá), el
los supuestos (6) se cumplen.
1.4. Turbulencia cinética
La teoría GS de la turbulencia MHD (§ 1.2) nos permite
dar sentido a la turbulencia magnetizada observada en el cosmos
plasmas que presentan la misma escala estadística que la turbulencia
en un fluido neutro (aunque la dinámica subyacente es muy
diferentes en estos dos casos!). Sin embargo, hay un aspecto de
la turbulencia astrofísica observada que socava la ap-
licitabilidad de cualquier tipo de descripción de fluido: en la mayoría de los casos, la
rango inercial donde la escala de Kolmogorov se extiende a
escalas muy por debajo de la media del camino libre profundamente en el sin colisión
régimen. Por ejemplo, en el caso del viento solar, la media
camino libre está cerca de 1 UA, por lo que todas las escalas son sin colisión-
un caso extremo, que también resulta ser el mejor estudiado,
gracias a la posibilidad de mediciones in situ (véase § 8).
La forma adecuada de tratar estos plasmas es usando cinéticos
teoría, no ecuaciones fluidas. La base para la aplicación de la
La descripción del fluido MHD para ellos ha sido la siguiente:
resultado conocido de la teoría lineal de las ondas plasmáticas: mientras que
los modos rápidos, lentos y entropía están amortiguados en la media-
escala de camino libre tanto por viscosidad de colisión (Braginskii 1965,
Véase § 6.1.2) y por interacciones de onda-partículas sin colisión
(Barnes 1966, véase § 6.2.2), las ondas de Alfvén sólo están amortiguadas
en la giroescala de iones. Por lo tanto, se ha supuesto que el
Descripción del MHD, en la medida en que se refiere a la onda Alfvén
cascada, se puede extender a la escala de iones, con el un-
derstanding que esta cascada se desacopla de la amortiguada
cascadas del resto de los modos MHD. Este enfoque y
su aplicación a la turbulencia en el ISM se explican mejor
por Lithwick & Goldreich (2001).
Mientras que la descripción del líquido puede ser suficiente para
de las fluctuaciones alfvénicas en el rango inercial, es cer-
aplicable: la escala de inversión de campo está probablemente determinada por más
efectos plasmáticos cinéticos complicados y hasta ahora poco entendidos; por debajo de esto
escala, una turbulencia alfvénica del tipo discutido en este documento puede existir
(Schekochihin & Cowley 2006).
12 Véase Haugen y otros (2004) para una visión alternativa. Nótese también que el
Las pruebas numéricas citadas anteriormente se refieren a simulaciones forzadas. En decadencia
Simulaciones de turbulencia MHD, la energía magnética realmente parece ser
en la escala exterior (Biskamp & Müller 2000), por lo que uno podría esperar un Alfvénic
cascada profunda en el rango inercial.
No es suficiente para todo lo demás: el fluctu de compresión.
aciones en el rango inercial y turbulencia en la disipación
rango (por debajo de la giroescala de iones), donde los espectros de la ley de poder son
También se detectaron (por ejemplo, Denskat et al. 1983; Leamon et al. 1998;
Czaykowska y otros 2001; Smith et al. 2006; Sahraoui et al.
2006; Alexandrova et al. 2008a,b, véase también Fig. 1). La diversión...
reto mental que una teoría integral de las astrofias-
la turbulencia plasmática ica debe satisfacer es dar la cuenta completa de
cómo la energía de fluctuación turbulenta inyectada en la escala exterior
está en cascada a pequeñas escalas y se deposita en calor de partículas.
Veremos (§ 3.4 y § 3.5) que el concepto familiar de un
cascada de energía se puede generalizar en el marco cinético
como la cascada cinética de una sola cantidad que llamamos la
energía generalizada (véase también Schekochihin et al. 2008b, y
las referencias que figuran en el mismo). Las pequeñas escalas desarrolladas en el pro-
cesto son pequeñas escalas tanto en la posición como en el espacio de velocidad.
La razón fundamental de esto es la baja colisionalidad de
el plasma: ya que la calefacción no se puede realizar en última instancia
sin colisiones, grandes gradientes en el espacio de fase son necesarios
sary para que las colisiones sean efectivas.
La idea de una cascada de energía generalizada en el espacio de fase
como el motor de la turbulencia cinética del plasma es el
Esta es la idea de este documento. Con el fin de entender la física de la
cinética cascada en varios rangos de escala, derivamos en lo que fol-
baja una jerarquía de cinética simplificada, pero rigurosa, reducida,
descripciones fluidas e híbridas. Mientras que la teoría cinética completa
de turbulencia es muy difícil de manejar analíticamente o
numéricamente, los modelos que derivamos son mucho más tratables.
Para todos, los regímenes de aplicabilidad (rangos escala/parámetro,
los supuestos subyacentes) se indican claramente. En cada uno de ellos
la cascada cinética se divide en varios canales de
transferencia ergy, algunos de ellos familiares (por ejemplo, el Alfvénic cas-
cade, § 5.3 y § 5.4), otros conceptualmente nuevos (por ejemplo, el ki-
cascada neta de fluctuaciones de compresión sin colisión, § 6.2,
o la cascada de la entropía, 7.9-7.12).
Con el fin de introducir este marco teórico de una manera que
es a la vez analíticamente sistemática y físicamente inteligible,
primero consideremos las escalas características que son relevantes para
el problema de la turbulencia astrofísica (§ 1.5). Los modelos
derivamos están previstos en § 1.6, al final del cual el plan
Se da información sobre la evolución de la situación.
1.5. Escalas en el problema
1.5.1. Escala exterior
Es una característica genérica de los sistemas turbulentos que la energía es
inyectado a través de algún mecanismo a gran escala: “a gran escala” aquí
una escala (o una gama de escalas) comparable a la
tamaño del sistema, dependiendo de sus propiedades globales, y
mucho más grande que las escalas microfísicas en las que la energía
se disipa y se convierte en calor (§ 1.5.2). Ejemplos de
gran escala de agitación de fluctuaciones turbulentas incluyen la energía solar
actividad en la corona (lanzamiento de ondas de Alfvén para producir
turbulencias en el viento solar); explosiones de supernovas en el
ISM (por ejemplo, Norman & Ferrara 1996; Ferrière 2001);
inestabilidad en los discos de acreción (Balbus & Hawley)
1998); eventos de fusión, despertar galaxias y activo galáctico
núcleos en cúmulos de galaxias (por ejemplo, Subramanian et al. 2006;
Enßlin & Vogt 2006; Chandran 2005a). Desde que en este artículo
estamos preocupados por las propiedades locales de la astrofísica
plasmas, supongamos simplemente que la inyección de energía se produce en
algunas características de la escala exterior L. Todas las consideraciones adicionales
se aplicará a las escalas que son mucho más pequeñas que L y vamos a
asumir que el carácter particular de la inyección de energía
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 5
FIG. 2.— Partición del espacio de número de onda por escalas características. Los números de onda se normalizan por 10 v
A/, donde es la entrada total de energía (véase
§ 1.2). La línea punteada muestra la trayectoria de una cascada de onda Alfvén a partir de la escala exterior que lleva a través del espacio de número de onda. También mostramos las regiones de
validez de las tres aproximaciones terciarias. Todos ellos requieren kÃ3r à k (fluctuaciones anisotropicas) y ki à à r 1 (es decir, kà rvthi à r, là mite de baja frecuencia). Reducción
El MHD (RMHD, § 2) es válido cuando ki â € € € € € kmfpi â € (me/mi)
1/2 (límite de colisión fuertemente magnetizado, electrones adiabáticos). Las regiones de validez de Kinetic
MHD reducida (KRMHD, § 5) y MHD reducida de electrones (ERMHD, § 7) se encuentran dentro de la aproximación del electrón isotérmico/ion girocinético (Fig. 4) con
el requisito adicional de que los iones KRMHD o ki 1 (iones no magnéticos) para el ERMHD (min(1,kmfpi) (iones fuertemente magnetizados). La colisión
El límite de KRMHD (§ 6.1 y Apéndice D), (me/mi)1/2 â € € € kmfpi â € 1, es similar al RMHD, excepto que los electrones son isotérmicos. La línea punteada es el escalado de k».
vs k del equilibrio crítico en la onda Alfvén [§ 1.2, Eq. 5)] y onda cinética-alfvén [§ 7.5, Eq. (241)] regímenes.
no importa a estas pequeñas escalas.
En la mayoría de las situaciones astrofísicas, no se puede suponer que
cantidades de equilibrio tales como densidad, temperatura,
Locidad y campo magnético medio son uniformes en la escala exterior.
Sin embargo, a escalas mucho más pequeñas que L, los gradientes de la
Los campos fluctuantes a pequeña escala son mucho más grandes que los exteriores.
gradientes de la escala (aunque las amplitudes de fluctuación son mucho
más pequeño; para el campo magnético medio, esta su-
§ 1.3), por lo que podemos descuidar el equi-
Gradientes de librio y considerar la turbulencia como homoge-
neous. Específicamente, esta es una buena suposición si kÃ3L â € 1
[Eq. 6)], es decir, no sólo las escalas perpendiculares, sino también la
mucho más grandes paralelos son todavía más cortos que la escala exterior.
Notemos que, en general, no podemos suponer que la
ergy inyectable es anisotrópica, por lo que la anisotropía es
Sólo de pequeñas escalas.
1.5.2. Microescalas
Hay cuatro escalas microfísicas que marcan el transi-
ciones entre regímenes físicos distintos:
Escala de difusión de electrones. — en kmfpi(mi/mi)
1/2 â € 1, el
La respuesta electrónica es isotérmica (§ 4.4, Apéndice A.4). En
kmfpi(mi/me)
1/2-1, es adiabático (§ 4.8.4, Apéndice A.3).
Un camino libre. — en kmfpi â € 1, el plasma no colisiona.
En este régimen, las interacciones onda-partícula pueden amortiguar com-
fluctuaciones cinéticas a través de la amortiguación de Barnes (§ 6.2.2), de forma que
la inscripción se convierte en esencial. En kmfpi 1, el plasma es
colisiones y fluidos (§ 6.1, apéndices A y D).
Giroescala de iones. — en ki â > 1, iones (así como los electrones)
se magnetizan y el campo magnético se congela en el ión
flujo (el campo de velocidad E × B). En la primera fase, los iones pueden ex-
cambiar la energía con fluctuaciones electromagnéticas a través de ondas–
interacciones de partículas (y el calentamiento de los iones ocurre eventualmente a través de un
Cascada cinética de ion-entropía, véase 7.9-7.10). En ki â € 1,
los iones son sin magnetizar y tienen una respuesta Boltzmann
(§ 7.2). Tenga en cuenta que la escala inercial de iones di =
βi es compara-
ble a la giroescala de los iones a menos que el beta beta βi plasmático = 8ηniTi/B
es muy diferente de la unidad. En las teorías desarrolladas a continuación,
di no juega un papel especial excepto en el límite de Ti Te,
que no es común en plasmas astrofísicos (ver más
discusión en § 7.1 y Apéndice E).
Giroescala electrónica. — En ke â € 1, los electrones se magnetizan
y el campo magnético se congela en el flujo de electrones (§ 4,
§ 7, Apéndice C). En ke 1, los electrones absorben la
energía de las fluctuaciones electromagnéticas mediante partículas de onda
interacciones (que conducen al calentamiento de electrones a través de un electrón cinético-
cascada de entropía, véase § 7.12).
Valores típicos de estas escalas y de varias otras claves
En el cuadro 1 se indican los rametros. In Fig. 2, mostramos cómo el
espacio de número de onda, (k,k), se divide por estas escalas en
varios dominios, donde la física es diferente. Otras partes
sión del espacio de número de onda resulta de la comparación de ki
y kmfpi (ki kmfpi es el límite de la magnetiza fuerte-
6 SCHEKOCHIHIN ET AL.
CUADRO 1
PARÁMETROS REPRESENTANTES DE LAS PLASMAS ASTRÓFICAS.
Parámetro
Solar
1 UA(a)
ionizado
ISM(b)
Acreción
flujo cercano
Sgr A*(c)
Galaxia
clusters
(básicos)d)
ne = ni, cm−3 30 0,5 106 6× 10−2
Te, K. Ti(e) 8000 1011 3× 107
Ti, K 5× 105 8000 + 1012(f)?e)
B, G 10−4 10−6 30 7× 10−6
βi 5 14 4 130
vthi, km/s 90 10 10
5 700
vA, km/s 40 3 7× 10
U, km/s(f) â € 10 â € 10 â € 104 â € 102
L, km(f) + 105 + 1015 + 108 + 1017
(mi/yo)1/2mfpi, km 10
10 2× 108 4× 1010 4× 1016
mfpi, km
g) 3× 108 6× 106 109 1015
?i, km 90 1000 0.4 104
E, km 2 30 0,003 200
a Valores para el viento lento (velocidad media del flujo Vsw = 350 km/s en este caso)
medida por la nave espacial Cluster y tomada de Bale et al. (2005), ex-
el valor de Te, que no informan, pero que se espera
ser del mismo orden que Ti (Newbury et al. 1998). Tenga en cuenta que la
intervalo de datos estudiado por Bale et al. (2005) es ligeramente atípica, con βi
mayor de lo habitual en el viento solar (el rango completo de variación de βi en
el viento solar está aproximadamente entre 0,1 y 10; véase Howes et al. 2008a
para otro, quizás más típico, conjunto fiducial de parámetros de viento lento
y el apéndice A de la revisión realizada por Bruno & Carbone en 2005
parámetros de viento rápido medidos por Helios 2). Sin embargo, usamos su pa-
los valores rameter como nuestro ejemplo representativo porque los espectros
informe muestran con particular claridad tanto la fluc-
en los rangos inercial y disipación (ver Fig. 1). Ver
§ 8.1 y § 8.2.
b Valores típicos (véase, por ejemplo, Norman & Ferrara 1996; Ferrière 2001). Ver
discusión en el § 8.4.
c Valores basados en limitaciones observacionales para la emisión de radio
plasma alrededor del Centro Galáctico (Sgr A*) según la interpretación de
Loeb & Waxman (2007) (véase también Quataert 2003). Véase la discusión en
§ 8.5.
d Valores para la región central de la Hydra Un clúster tomado de
Enßlin & Vogt (2006); véase Schekochihin & Cowley 2006
conjunto de números de tiendas para los plasmas calientes fuera de los núcleos. Véase el debate
en el punto 8.6.
e Asumimos Ti Te para estas estimaciones.
f Estimación del orden de magnitud áspero.
g Definido como vthi/viii, donde νii es dado por Eq. (52).
sión, véase el apéndice A.2) y, lo que es más importante,
los números de onda paralelos y perpendiculares. Como ex-
Aclarado arriba, evidencia observacional y numérica nos dice
que la turbulencia alfvénica es anisotrópica, kÃ3r à r à r kÃ. In Fig. 2,
bosquejamos el camino que la cascada turbulenta se espera tomar
en el espacio de número de onda (utilizamos las escalas de k con k
que siguen del argumento GS para las ondas Alfvén y un
argumento análogo para las ondas cinéticas de Alfvén, revisado en
§ 1.2 y § 7.5, respectivamente).
1.6. Modelos cinéticos y fluidos
¿Cuál es la descripción analítica correcta de la turbulenta
¿fluctuaciones plasmáticas a lo largo del camino (presumido) de la cascada?
Como prometimos anteriormente, va a ser posible simplificar
la teoría cinética completa sustancialmente. Estas simplificaciones pueden
obtener en forma de una jerarquía de aproximaciones y
a medida que emergen, mecanismos físicos específicos que controlan la
cascada turbulenta en varios regímenes físicos se vuelven más
transparente.
Gyrokinetics (§ 3). — El punto de partida para el desarrollo
La primera aproximación de la jerarquía es la siguiente:
rokinetics, una teoría cinética de baja frecuencia resultante de av-
borrando el movimiento del ciclotrón de las partículas. Gyroki...
netics es adecuado para el estudio de la turbu-
Ence en prácticamente todos los rangos de parámetros astrofísicos relevantes
(Howes et al. 2006). Para fluctuaciones a frecuencias más bajas
que la frecuencia del ciclotrón de iones,
se derivan sistemáticamente mediante la utilización de los dos siguientes
suposiciones, que también sustentan la teoría de la GS (§ 1.2): a)
anisotropía de la turbulencia, por lo que k/k se utiliza como el pequeño
(b) interacciones fuertes, es decir, la fluctuación am
plitudes se supone que son tales que la propagación de ondas y
La interacción no lineal ocurre en escalas de tiempo comparables: desde
Eq. (3), u/vA. La primera de estas suposiciones implica que
Las fluctuaciones en las frecuencias alfvénicas satisfacen las siguientes condiciones:
incluso cuando su escala perpendicular es tal ki 1. Esto
hace de la girocinética una herramienta ideal tanto para la teoría analítica y
para estudios numéricos de turbulencias plasmáticas astrofísicas;
los enfoques numéricos también se hacen atractivos por el largo ex-
periencia de simulaciones girocinéticas acumuladas en la fusión
la investigación y por la existencia de
Códigos netos (Kotschenreuther y otros). 1995; Jenko y otros 2000;
Candy & Waltz 2003; Chen & Parker 2003). Una re-concisión concisa
La visión de la girocinética se presenta en el § 3 (ver Howes et al. 2006
para una derivación detallada). El lector es invitado a pagar partic-
§ 3.4 y § 3.5, donde el concepto de
se introducen cascadas netic de energía generalizada y la par-
se discute el calentamiento de la bilis en la girocinética (Apéndice F
duce leyes de conservación adicionales que surgen en 2D y algunas
veces también en 3D). Esto establece el marco conceptual
en la que la mayoría de los argumentos físicos posteriores son pre-
enviado. La región de validez de la girocinética se ilustra
en Fig. 3: cubre virtualmente todo el camino de la turbulenta
cascada, excepto las escalas más grandes (exteriores), donde no se puede
Asumir anisotropía. Tenga en cuenta que la teoría de dos fluidos, que es
el punto de partida de la teoría del MHD (véase el apéndice A), es
no es una buena descripción a escalas sin colisiones. Es importante
por mencionar, sin embargo, que la formulación de la girocinética que
adoptamos, mientras que apropiado para el tratamiento de las fluctuaciones en col-
escalas sin lision, sin embargo, requiere un cierto (débil)
grado de colisiones (véase la discusión en el apartado 3.1.3 y un ex-
tratamiento tensionado de colisiones en la girocinética del apéndice B).
Líquido de electrones isotérmicos (§ 4). — Mientras que la girocinética con-
En el caso que nos ocupa, se trata de una simplificación significativa, que sigue siendo totalmente cinética.
descripción. Los nuevos avances hacia modelos más simples son los siguientes:
lograda al demostrar que, para escalas paralelas más pequeñas que la
escala de difusión de electrones, kmfpi (me/mi)1/2, y perpen-
escalas diiculares más grandes que la giroescala electrónica, ke â â € 1,
los electrones son un líquido isotérmico magnetizado mientras que los iones
debe tratarse (giro)cinéticamente. Este es el secundario.
aproximación en nuestra jerarquía, derivada en § 4 a través de un asymp-
Expansión tótica en (me/mi)
1/2 (véase también el apéndice C.1). Los
plasma se describe por la ecuación girocinética de iones y dos
ecuaciones parecidas a fluidos que contienen dinámica de electrones—estos
se resumen en § 4.9. La región de validez de este
la aproximación se ilustra en la Fig. 4: no captura el
efectos disipativos alrededor de la escala de difusión de electrones o la
calentamiento de electrones, pero sigue siendo uniformemente válido como la cascada
pasa de colisiones a escalas sin colisión y también como
cruza la giroescala de iones.
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 7
Con el fin de dilucidar la naturaleza de la turbulencia anterior y
Por debajo de la giroescala de iones, derivamos dos
ciones, una de las cuales es válida para el ki â > 1 (§ 5 y § 6) y la
otro para ki â € 1 (§ 7; véase también el apéndice C, que da
un no rígido, no girocinético, pero tal vez más intuitivo,
derivación de los resultados de § 4 y § 7.2).
MHD reducida cinética (§ 5 y § 6). — En escalas por encima del ión
giroescala, conocida como el “rango inercial” demostramos que
el desacoplamiento de la cascada de la onda Alfvén y su indiffer-
En consecuencia, tanto la amortiguación colisional como la sin colisiones son explícitas.
propiedades analíticamente demostrables. Demostramos rigurosamente que
la cascada de la onda Alfvén está gobernada por un conjunto cerrado de dos
ecuaciones de tipo fluido para las funciones de flujo y flujo — el Re-
• Magnetohidrodinámica (RMHD) — independientemente de
la colisiones (§ 5.3 y § 5.4; derivación de RMHD)
de MHD y sus propiedades se presentan en § 2). El cas-
cade procede a través de la interacción de la onda de propagación opuesta
paquetes y se desacopla de la densidad y el campo magnético-
fluctuaciones de la fuerza (los modos “compresivos”;
límite sional, estos son los modos de entropía y lento; véase § 6.1
y el apéndice D). Estos últimos se mezclan pasivamente por el
Alfvén ondas, pero, a diferencia del límite de fluidos (colisionales), este
la cascada pasiva se rige por una ecualización cinética (simplificada)
ión para los iones (§ 5.5). Junto con RMHD, forma
una descripción cinética de fluidos híbridos de turbulencia magnetizada
en un plasma débilmente colisional, al que llamamos Re-Kinetic
MHD producido (KRMHD). Las ecuaciones KRMHD son suma-
mariscado en § 5.7. Sus límites de colisión y sin colisión
se exploran en § 6.1 y § 6.2, respectivamente. Considerando lo siguiente:
Las ondas de Alfvén están inalteradas en esta aproximación, la
Las fluctuaciones de presión están sujetas a amortiguación tanto en el col-
lisional (Braginskii 1965 viscoso amortiguación, § 6.1.2) y colli-
ionless (Barnes 1966 amortiguación, § 6.2.2) límites. En el colli-
límite sionless, el componente de compresión de la turbulencia es
un simple ejemplo de una turbulencia esencialmente cinética, incluyendo
ciones como la conservación de la energía generalizada.
a pesar de la amortiguación sin colisiones y (paralela) fase de mezcla, pos-
que conducen a la calefacción por iones (+ 6.2.3-6.2.5). ¡Qué fuerte!
las fluctuaciones de compresión se amortiguan depende de la par-
escala alel de estas fluctuaciones. Desde la ecuación cinética iónica
resulta ser lineal a lo largo de las líneas de campo en movimiento asociadas
con las ondas Alfvén, las fluctuaciones de compresión no, en
la ausencia de efectos finitos-girorradios, desarrollar un pequeño paralelo
escalas y su cascada sólo puede ser débilmente amortiguado por encima
la giroescala de iones—esto se discute en el § 6.3.
Electron Reduced MHD (§ 7). — En la escala de iones, el
Alfvénic y las cascadas de compresión ya no son decou-
pled y su energía es parcialmente amortiguada a través de la colisión sin
interacciones onda-partícula (§ 7.1). Esta parte de la energía
se canaliza hacia el calor iónico. El resto se convierte en
una cascada de ondas cinéticas Alfvén (KAW). Esta cascada ex-
tiende a través de lo que se conoce como el “rango de disipación” a
la giroescala electrónica, donde su giro viene a ser amortiguado a través de
interacción onda-partícula y transferido al calor electrónico.
La turbulencia de KAW es de nuevo anisótropo con kâ â € € kâ €. Lo siento.
se rige por un par de ecuaciones de tipo fluido, también derivado
de la girocinética. Los llamamos Electron Reduced MHD
(ERMHD). En el límite de alta beta, coinciden con la re-
forma inducida (anisotrópica) del electrón previamente conocido
MHD (Kingsep et al. 1990). Las ecuaciones ERMHD son de-
en el punto 7.2 (véase también el apéndice C.2) y en el caso de la KAW:
cade se considera en 7,3-7.5. El destino de la inercia-
energía de alcance sin colisión amortiguada en la giroescala de iones es
investigados en los puntos 7.9 a 7.11; una consideración análoga para
la energía KAW amortiguada en la giroescala de electrones es pre-
enviado en § 7.12. En estas secciones, introducimos el no-
sión de la cascada de la entropía, una mezcla de fase no lineal pro-
por lo que la amortiguación sin colisión ocurre en el ion
y las giroescamas de electrones se hacen irreversibles y las partículas son
Calentado. Esta parte de la cascada es puramente cinética y su
función es las funciones de distribución de partículas en desarrollo pequeño
escalas en el espacio de fase girocinética. Nótese que además de derivar...
ing conjuntos rigurosos de ecuaciones para la disipación-rango turbu-
§ 7 también presenta una serie de escalas estilo Kolmogorov
predicciones, tanto para la cascada de KAW (§ 7.5) como para la
cascada de tropos (§ 7.9.2, § 7.10.2, § 7.10.4, § 7.12).
Hall Reduced MHD (Apéndice E). — Reducción (anisótropo)
forma del popular sistema Hall MHD se puede derivar como un
límite especial de la girocinética (ki â € 1, Ti â € Te, βi â € 1).
Las ecuaciones de Hall Reduced MHD (HRMHD) resultantes
son un modelo conveniente para algunos propósitos porque
captura simultáneamente los límites de iones fríos y bajos beta de ambos
los sistemas KRMHD y ERMHD. Sin embargo, son
generalmente no es estrictamente aplicable en el espacio y astrofísico
plasmas de interés, donde los iones rara vez son fríos y βi no es
particularmente bajo. Las ecuaciones de HRMHD se derivan en § E.1,
la cascada cinética de la energía generalizada en el límite Hall es
§ E.2, y las circunstancias bajo las cuales el
básculas de sonido inercial e iónico se vuelven importantes en las teorías de
Las turbulencias plasmáticas se resumen en la sección E.4. Teorías de la
Turbulencia del rango de disipación basada en Hall MHD son brevemente
se examina en el punto 8.2.6.
Las regiones de validez de las aproximaciones terciarias —
KRMHD y ERMHD — se ilustran en la Fig. 2. En este fig...
ure, también se muestra la región de validez de los sistemas RMHD-
tem derivado de las ecuaciones MHD comprimibles estándar
Al asumir la anisotropía de la turbulencia y el fuerte inter-
acciones. Esta derivación es el análogo fluido de la derivación
de la girocinética. Lo presentamos en el § 2, antes de embarcarnos en
la trayectoria basada en la girocinética descrita anteriormente, con el fin de hacer
una conexión con el tratamiento MHD convencional y con
demostrar con particular sencillez cómo la asunción de
anisotropía conduce a un sistema de fluidos reducido en el que el decou-
de las cascadas de las ondas Alfvén y de los com-
(Apéndice A extiende esta derivación)
a Braginskii 1965 ecuaciones de dos fluidos en el límite de fuerte
la magnetización; también funciona rigurosamente la transición de
el límite de fluido a las ecuaciones KRMHD).
Las principales novedades oficiales del presente documento figuran en el presente documento.
en 3-7. El esquema dado arriba está destinado a ayudar al lector
navegar por estas secciones. En el § 8, discutimos en algún detalle
cómo nuestros resultados se aplican a varios plasmas astrofísicos con
débil colisionalidad: el viento solar y la capa magnetoscópica,
el ISM, los discos de acreción y los cúmulos de galaxias (§ 8.1 y § 8.2)
También se puede leer como un resumen general del documento en luz
de las pruebas disponibles en las mediciones del plasma espacial).
Finalmente, en el § 9, proporcionamos un epílogo breve y hacemos algunos
observaciones sobre las futuras direcciones de la investigación.
2. REDUCCIÓN DE LA MERCANCÍA REDUCIDA Y DESARROLLAMIENTO DE LA TURBULENCIA
CASCADES
8 SCHEKOCHIHIN ET AL.
Considere las ecuaciones de MHD comprimible
= u, (7)
B B
, (8)
= 0, s =
, γ =
, (9)
= B u − Bu, (10)
donde la densidad de masa, la velocidad u, la presión p, el magnético B
la densidad de la entropía, y d/dt =
dicciones bajo las cuales estas ecuaciones son válidas se discuten en
Apéndice A). Considerar un equilibrio estático uniforme con un
campo medio recto en la dirección z, así que
* = 0 +, p = p0 + p, B = B0 + B, (11)
donde las constantes son: 0, p0, y B0. En lo que sigue, la sub-
los guiones y se utilizarán para denotar las proyecciones de los campos,
variables y gradientes en la dirección media-campo y en
el plano (x,y) perpendicular a esta dirección, respectivamente.
2.1. Orden de RMHD
Como explicamos en la introducción, observacional y nu-
evidencia merical hace que sea seguro asumir que la turbulencia
en tal sistema será anisótropo con k (a escalas
menor que la escala exterior, kÃ3l Ã1; § 1.3 y § 1.5.1).
Por lo tanto, introduzcamos un pequeño parámetro:
llevar a cabo una expansión sistemática de Eqs. (7-10) in. En este
la expansión, las fluctuaciones se tratan como pequeñas, pero no arbi-
Por lo tanto, para estimar su tamaño, adoptaremos la propuesta de la Comisión.
la conjetura del equilibrio crítico (3), que ahora no se trata como un
escalar la prescripción detallada, pero como una suposición de pedido.
Esto nos permite introducir el siguiente pedido:
# # B # # B # # B # # B # # B #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde vA = B0/
4o es la velocidad de Alfvén. Tenga en cuenta que esto
significa que pedimos el número Mach
, (13)
donde cs = (γp0/l0)
1/2 es la velocidad del sonido y
es la beta de plasma, que se ordena ser la unidad de orden en el
Expansión (pueden tomarse límites subsidiarios de β alto y bajo
después de que se haga la expansión de â € ¬; véase § 2.4).
En Eq. (12), hicimos dos pedidos auxiliares assump-
ciones: que la velocidad y las fluctuaciones del campo magnético
tienen el carácter de Alfvén y las ondas lentas
y que las amplitudes relativas
de las fluctuaciones polarizadas de la onda alfvén (B/B0, u/vA),
Las fluctuaciones de la polarización de las ondas lentas (B/B0, u/vA) y den-
sity/pressure/entropy fluctuations (/l/p/p0) son todas las
En el mismo orden. Estrictamente hablando, si este es el caso depende
sobre las fuentes de energía que impulsan la turbulencia:
ver, si no se lanzan ondas lentas (o fluctuaciones de la entropía),
ninguno estará presente. Sin embargo, en contextos astrofísicos, el
el consumo de energía a escala exterior puede suponerse al azar y, allí-
En primer lugar, se inyecta energía comparable en todos los tipos de fluctua-
ciones.
Además, suponemos que la frecuencia característica de la
fluctuaciones es kávA [Eq. (3)], lo que significa que las ondas rápidas,
para los cuales se ordenan los siguientes números: k(v2A + c2s)1/2, Esta restric...
sión debe justificarse empíricamente. Observaciones de la energía solar
turbulencia del viento confirman que es principalmente Alfvénic (ver,
Por ejemplo, Bale et al. 2005) y que su componente de compresión es
Equilibrado sustancialmente por la presión (Roberts 1990; Burlaga et al.
1990; Marsch & Tu 1993; Bavassano et al. 2004, véase Eq. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
infra). Cálculo de turbulencia débil de MHD comprimible
turbulencia en plasmas bajos en beta (Chandran 2005b) sugiere
que sólo una pequeña cantidad de energía se transfiere del rápido
ondas a las ondas de Alfvén con grandes kÃ3. Una conclusión similar
surge de simulaciones numéricas (Cho & Lazarian 2002,
2003). Como las olas rápidas también se espera que estén sujetas a
fuerte amortiguación sin colisión y/o fuerte disipación después de
Se precipitan en choques, los eliminamos de nuestra estafa.
sideración del problema y concéntrese en la baja frecuencia
turbulencia.
2.2. Alfvén Waves
Comenzamos observando que la onda alfvén-polarizada
las fluctuaciones son bidimensionales solenoidales: ya que, desde
Eq. (7),
u = − d
= O(+2) (15)
y B = 0 exactamente, separando la parte O() de estos buzos-
gences da ·u = 0 y · B = 0. Al orden más bajo
en la expansión, podemos, por lo tanto, expresar u y B en
términos de las funciones de flujo escalar:
u =,
=. 16)
Ecuaciones de evolución para Φ y فارسى se obtienen sustituyendo
las expresiones (16) en las partes perpendiculares de la induc-
Ecuación de la decisión (10) y la ecuación de impulso (8)—de la
el rizo se toma para aniquilar el término de presión. Mantenlo...
sólo los términos de la orden más baja, O( > 2), obtenemos
, vA
, (17)
# 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 #
Φ,2
# 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 # # 2 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (18)
donde, = · () y hemos tomado en
cuenta eso, al orden más bajo,
+ u =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bâ â â € ~
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
· · · · ·. (20)
Aquí bâ = B/B0 es el vector unitario a lo largo de la línea de campo perturbado.
Las ecuaciones (17-18) se conocen como Magne-
tohidrodinámica (RMHD). Las primeras derivaciones de estos
las ecuaciones (en el contexto de los plasmas de fusión) se deben a
Kadomtsev & Pogutse (1974) y Strauss (1976). Estos
fueron seguidos por muchas derivaciones sistemáticas y
alizaciones que emplean diversas versiones y refinamientos de
la expansión básica, teniendo en cuenta el no-Alfvénic
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 9
los modos (lo que haremos en § 2.4), e incluyendo el ef-
efectos de los gradientes espaciales de los campos de equilibrio (por ejemplo, Strauss
1977; Montgomery 1982; Hazeltine 1983; Zank & Matthaeus
1992; Kinney & McWilliams 1997; Bhattacharjee et al. 1998;
Kruger et al. 1998). Una revisión comparativa de esta ampliación
esquemas y su (a menudo estrecha) relación con la nuestra está fuera
el alcance del presente documento. Un punto importante que deseamos que sea...
phasize es que no se asume el plasma beta [definido en
Eq. (14)] ser grande o pequeño.
Las ecuaciones (17) y (18) forman un conjunto cerrado, lo que significa que la
Alfvén-onda cascada se desacopla de las ondas lentas y den-
fluctuaciones de la sidad. Es a la turbulencia descrita por Eqs. (17-
18) que la teoría GS esbozada en el § 1.2 se aplica.13 En el § 5.3, nosotros
demostrará que Eqs. (17) y (18) describen correctamente la
fluctuaciones alfvénicas incluso en un plasma sin colisión,
donde la descripción completa del MHD [Eqs. (7-10)] no es válido.
2.3. Campos Elsasser
Las ecuaciones MHD (7-10) en el límite incompresible
(l = const) adquirir una forma simétrica si está escrita en términos de
los campos Elsasser z± = u± B/
4o (Elsasser 1950). Vamos.
demostrar cómo esta simetría se manifiesta en el re-
Ecuaciones inducidas derivadas anteriormente.
Presentamos potenciales Elsasser =, por lo que z =
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para estos potenciales, Eqs. (17-18) se convierten en
•2 vA
2 = −
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
2,
. (21)
Estas ecuaciones muestran que el RMHD tiene un conjunto simple de ex-
soluciones de acto: si = 0 o = 0, el término no lineal desaparece
y el otro, no cero, Elsasser potencial es simplemente un fluc-
de forma arbitraria y la magnitud de la propagación a lo largo de
el campo medio a la velocidad de Alfvén vA:
± = f±(x,y,z vAt).
Estas soluciones son paquetes finito-amplitud Alfvén-onda de
forma arbitraria. Sólo la contrapropagación de tales soluciones puede
interactuar y así dar lugar a la cascada de la onda Alfvén
(Kraichnan 1965). Tenga en cuenta que estas interacciones son conserva-
tiva en el sentido de que las ondas “+” y “−” se dispersan
otro sin intercambiar energía.
Tenga en cuenta que la conservación individual de los “+” y “−”
energía de las ondas significa que los flujos de energía asociados
con estas ondas no necesita ser igual, así que en lugar de un pecado-
gle Flujo de Kolmogorov asumido en los argumentos de escala
13 La turbulencia de la onda Alfvén en el sistema RMHD ha sido
ied por muchos autores. Algunas de las investigaciones numéricas pertinentes son:
debido a Kinney & McWilliams (1998), Dmitruk et al. (2003), Oughton y otros
(2004), Rappazzo y otros (2007, 2008), Perez & Boldyrev (2008, 2009). Y...
la teoría alítica se ha limitado principalmente al paradigma de la turbulencia débil
(Ng & Bhattacharjee 1996, 1997; Bhattacharjee & Ng 2001; Galtier et al.
2002; Lithwick & Goldreich 2003; Galtier & Chandran 2006; Nazarenko
2008). Tomamos nota de que la adopción del equilibrio crítico [Eq. 3)] como una orden
la suposición de la expansión en kó/kó no impide que una de las subse-
quently intentar un enfoque de turbulencia débil: este último debería ser simplemente
tratada como una ampliación subsidiaria. De hecho, la aplicación de la anisotropía como
Supuesto en el nivel de ecuaciones MHD en lugar de simultáneamente con
el cierre de la turbulencia débil (Galtier et al. 2000) reduce significativamente la
cantidad de álgebra. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los débiles
aproximación de turbulencias siempre se descompone en algunos suficientemente pequeños
escala, es decir, cuando k (vA/U)
L, donde L es la escala exterior de la
turbulencia, velocidad de U en la escala exterior, y kâ ° la onda paralela-
de las olas de Alfvén (véase Goldreich & Sridhar 1997 o la revisión por
Schekochihin & Cowley 2007). Por debajo de esta escala, las interacciones no pueden ser tan...
Sumado débil.
revisado en § 1.2, podríamos tener 6=. El Grupo de Servicios Generales:
ory se puede generalizar a este caso de desequilibrio Alfvénic
cascadas (Lithwick et al. 2007; Beresnyak & Lazarian 2008a;
Chandran 2008), pero aquí nos centraremos en el equilibrio
bulence, . Si uno considera la turbulencia forzada
de manera física (es decir, sin forzar el campo magnético,
que rompería la conservación del flujo), el resultado
cade siempre estaría equilibrado. En el mundo real, imbal...
los flujos alfvénicos se miden en el viento solar rápido,
donde la influencia de las condiciones iniciales en la atmósfera solar
esfera es más pronunciada, mientras que la turbulencia de viento lento
es aproximadamente equilibrado (Marsch & Tu 1990a; véase también re-
opiniones de Tu & Marsch 1995; Bruno & Carbone 2005 y ref-
En este caso, la Comisión considera que las medidas previstas en el presente Reglamento se ajustan al dictamen del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 1999, por lo que se refiere a la aplicación de las disposiciones del Reglamento (UE) n.o 1308/2013, por el que se establecen disposiciones de aplicación del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la aplicación de las disposiciones legales, reglamentarias y administrativas relativas a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que respecta a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que respecta a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que respecta a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que respecta a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que se refiere a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros en lo que se refiere a la protección de los intereses financieros de los Estados miembros.
2.4. Las ondas lentas y el modo de entropía
Con el fin de derivar ecuaciones de evolución para el resto
Modos MHD, primero volvamos a la parte perpendicular de la
ecuación de impulso y utilizar Eq. (12) para ordenar términos en él. In
el orden más bajo, O(), obtenemos el balance de presión
B0-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-
= 0
. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Usando Eq. (22) y la ecuación de la entropía (9), obtenemos
, (23)
donde s0 = p0/
0. Ahora, sustituyendo a Eq. (15) para u en el
componente paralelo de la ecuación de inducción (10), obtenemos
- bâ = 0. (24)
Combinando Eqs. (23) y (24), obtenemos
1 + c2s/v
bâ uâ, (25)
1 + v2A/c2s
bâ . 26)
Por último, tomamos el componente paralelo del impulso
ecuación (8) y note que, debido al balance de presión (22)
y a la pequeñez de los gradientes paralelos, la presión
Término es O (3), mientras que los términos inercial y tensión son O (2).
Por lo tanto,
= v2Abâ
. (27)
Ecuaciones (26-27) describen el fluctu-
aciones, mientras que Eq. (23) describe la entropía de frecuencia cero
modo, que se desconecta de las ondas lentas.14 El no-
linealidad en Eqs. (26-27) entra a través de los derivados definidos en
14 Para otros esquemas de expansión que conducen a conjuntos reducidos de ecuaciones para
estas fluctuaciones “compresivas” ver referencias en § 2.2. Tenga en cuenta que la na-
las fluctuaciones de densidad descritas anteriormente son distintas de las denominadas
Las fluctuaciones de densidad “seudosónicas” que surgen en el “casi incompress-
teorías MHD (Montgomery et al. 1987; Matthaeus & Brown 1988;
Matthaeus et al. 1991; Zank & Matthaeus 1993). El “pseudosonido” es...
sentialmente la respuesta de densidad causada por las fluctuaciones de presión no lineales
calculado a partir de la restricción de incompresión. La densidad resultante fluc-
las tuaciones son el segundo orden en el número Mach y, por lo tanto, el orden â € 2 en nuestro
expansión [véase Eq. (13)]. Las fluctuaciones pasivas de la densidad derivadas en este sec-
ciones, y, por lo tanto, sustituir el “pseudosonido” (véase la revisión de
Tu & Marsch 1995 para una discusión de la evidencia relevante del viento solar).
10 SCHEKOCHIHIN ET AL.
Eqs. (19-20) y se debe únicamente a las interacciones con Alfvén
olas. Por lo tanto, tanto la onda lenta y el modo de entropía cas-
cades ocurren a través de dispersión pasiva / mezcla por ondas Alfvén, en
el curso del cual no hay intercambio de energía entre el
cascadas.
Tenga en cuenta que en el límite alto de beta, cs â € vA [véase Eq. (14)], el
El modo de entropía está dominado por las fluctuaciones de densidad [Eq. (23),
cs vA], que también se desacopla de la cascada de ondas lentas
[Eq. (25), cs â € vA]. y están pasivamente mezclados por el Alfvén-
turbulencia de las olas:
= 0. (28)
El límite alto de beta es equivalente a la incompresible ap-
proximación para las ondas lentas.
En § 5.5, derivaremos una descripción cinética para la inercia-
fluctuaciones de compresión de rango (densidad y campo magnético)
resistencia), que es más generalmente válido en débil colisión
plasmas y que se reducen a Eqs. (26-27) en la colisión
límite (véase el apéndice D). Si bien estas fluctuaciones se producirán en
satisfacer una ecuación cinética, permanecerán pasivos con
respeto a las olas de Alfvén.
2.5. Campos Elsasser para las Olas Lentas
La simetría original de Elsasser (1950) se derivó para
Ecuaciones MHD comprimibles. Sin embargo, para el “compres-
fluctuaciones de las ondas lentas, podemos introducir
Campos de Elsasser:
= u
. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Directamente, la ecuación de evolución para estos campos es
vA
1 + v2A/c2s
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 + v2A/c2s
,z±
1 ± 1.................................................................................
1 + v2A/c2s
,z±
. (30)
En el límite alto de beta (vA cs), el Elsasser generalizado
los campos (29) se convierten en los componentes paralelos de la
Los campos de Elsasser son incompresibles. Vemos que sólo en esto
las ondas lentas interactúan exclusivamente con el contador-
la propagación de las ondas de Alfvén, y así sólo en este límite se establece-
ting = 0 o = 0 da lugar a la amplitud finita de onda lenta-
soluciones de paquetes z±
= f±(x,y,z vAt) análogo al finito-
Amplitud de los paquetes Alfvén-wave discutidos en § 2.3.15
eral β, la velocidad de fase de las ondas lentas es más pequeña que eso
de las olas de Alfvén y, por lo tanto, las olas de Alfvén pueden “capturar
e interactuar con las olas lentas que viajan en el mismo
dirección. Todas estas interacciones son de tipo de dispersión y
no implican ningún intercambio de energía.
2.6. Escalados para Fluctuaciones Pasivas
15 Obviamente, establecer ambos = 0 siempre habilita estos finitos-
Soluciones de onda lenta de amplitud. Más no-trivialmente, tal amplitud finita así que...
luciones existen en el marco lagrangiano asociado con las ondas Alfvén—esto
se examina en detalle en el apartado 6.3.
La escala de los campos escalares pasivamente mezclados introducidos
arriba está esclavizado a la escala de las fluctuaciones Alfvénic.
Considere, por ejemplo, el modo de entropía [Eq. (23)]. As
en la teoría de Kolmogorov–Obukhov (véase § 1.1), se asume un
cascada local-en-escala-espacio de varianza escalar y una constante
flujo de esta varianza. Entonces, análogamente a Eq. 1),
v2thi
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 31)
Dado que el tiempo de cascada es 1 u vA/l /u2,
)1/2 u
, (32)
por lo que las fluctuaciones escalares tienen la misma escala que el turbu-
En ella se mezclan (Obujov 1949; Corrsin 1951). En el cuadro de servicios generales
la turbulencia, el espectro de variación escalar debería, por lo tanto, ser
(Lithwick & Goldreich 2001). El mismo argumento ap-
se extiende a todos los campos pasivos.
Es el (presumiblemente) espectro pasivo de densidad de electrones
que proporciona las principales pruebas de la escala de k-5/3 en
turbulencia terestelar (Armstrong et al. 1981, 1995; Lazio y otros
2004, véase más información en § 8.4.1). La explicación de
este espectro en términos de mezcla pasiva del modo entropía,
originalmente propuesto por Higdon (1984), fue desarrollado en el
base de la teoría de GS por Lithwick & Goldreich (2001). Los
cascada turbulenta de las fluctuaciones compresivas y el rel-
En el apartado 6.3 se examinan más a fondo los datos relativos a los vientos solares. En particular:
ular, surgirá que la anisotropía de estas fluctuaciones
sigue siendo un problema no trivial: ¿hay un análogo de la escala
relación (5)? El argumento de escalado descrito anteriormente no
alegar cualquier suposición acerca de la relación entre el
básculas paralelas y perpendiculares del fluctu de compresión
aciones (distintas de la suposición de que son anisotrópicas).
Lithwick & Goldreich (2001) argumentan que las escalas paralelas de
las fluctuaciones alfvénicas se imprimirán en el pas-
Sivamente advected compressive, así que Eq. 5) las existencias para el
También en los últimos años. En el párrafo 6.3, examinamos esta conclusión a la vista
de la evidencia solar-viento y del hecho de que las ecuaciones
para los modos de compresión se vuelven lineales en el Lagrangian
marco asociado a la turbulencia alfvénica.
2.7. Cinco cascadas de RMHD
Por lo tanto, la anisotropía y el equilibrio crítico (3) tomado como
orden de suposiciones conducen a una descomposición ordenada de la
MHD cascada turbulenta en un Alfvén-onda desacoplada cas-
cade y cascadas de ondas lentas y fluctuaciones de la entropía
dispersa/mezclada por las ondas de Alfvén. Más precisamente,
Eqs. (23), (21) y (30) implican que, para el β arbitrario, hay
cinco cantidades conservadas:16
W±AW =
d3r?02 (ondas de Alfven), (33)
W±sw =
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
2 (ondas lentas), (34)
(fluctuaciones de la entropía).(35)
16 Tenga en cuenta que la helice magnética del campo perturbado no es un invariante de
RMHD, excepto en dos dimensiones (véase el apéndice F.4). En 2D, también hay
conservación del flujo cuadrado medio,
d3r 2 (véase el apéndice F.2).
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 11
W + AW y W
AW siempre están en cascada por la interacción con cada uno
otro, Ws se mezcla pasivamente con W
AW y W
AW, W
sw son pas-
dispersos por WAW y, a menos que β 1, también por W
Este es un ejemplo de la división de la cascada de energía global
en varios canales (recuperado como un caso particular de la
cascada cinética más general en el Apéndice D.2)—un concepto
que surgirá repetidamente en el tratamiento cinético a seguir.
El desacoplamiento de las cascadas de ondas lentas y Alfvén en
La turbulencia de MHD fue estudiada con cierto detalle y confirmada
en simulaciones numéricas directas de Maron & Goldreich (2001,
para β + 1) y por Cho & Lazarian (2002, 2003, para una gama
de valores de β). La derivación dada en § 2.2 y § 2.4 (cf.
Lithwick & Goldreich 2001) ofrece una
base retical para estos resultados, suponiendo la anisotropía de la
bulencia (que también se confirmó en
ies).
Resulta que el desacoplamiento de la cascada de la onda Alfvén
que hemos demostrado anteriormente para el anisótropo MHD turbu-
lence es una propiedad uniformemente válida de turbulencias plasmáticas en
ambas escalas colisionales y sin colisiones y que esta cascada
es descrito correctamente por las ecuaciones RMHD (17-18) todos los
hasta la giroescala de los iones, mientras que las fluctuaciones de den-
sity y la fuerza del campo magnético no satisfacen el fluido simple
ecuaciones de evolución más y requieren resolver la cinética
ecuación. Con el fin de demostrar esto, adoptamos un descrip-
y aplicarle el mismo pedido (§ 2.1) que solíamos hacer
reducir las ecuaciones MHD. La teoría cinética que emerge
como resultado se llama girocinética.
3. GIROKINETICS
El formalismo girocinético fue desarrollado por primera vez
para ondas lineales por Rutherford & Frieman (1968)
y por Taylor & Hastie (1968) (véase también Catto 1978;
Antonsen & Lane 1980; Catto et al. 1981) y posteriormente
extendido al régimen no lineal por Frieman & Chen (1982).
Derivados rigurosos de la ecuación girocinética basados en
el formalismo hamiltoniano fue desarrollado por Dubin et al.
(1983, electrostático) y Hahm et al. (1988, electromagnético).
Este enfoque se revisa en Brizard & Hahm (2007). A
más peatonal, pero quizás también más transparente exposición
de la girocinética en un campo medio recto se puede encontrar en
Howes et al. (2006), que también proporcionan una explicación detallada
del orden girocinético en el contexto de la astrofísica
turbulencia plasmática y tratamiento de las ondas lineales y
tasas de amortiguación. Aquí repasamos sólo los puntos principales a fin de
para permitir que el lector entienda el presente documento sin
remitiéndose a otra parte.
En general, un plasma se describe completamente por la distribución
función fs(t,r,v)—la densidad de probabilidad para una partícula
de las especies s (= i,e) que se encuentran en la posición
ing con velocidad v. Esta función obedece al Vlasov cinético–
Ecuación de Landau (o Boltzmann)
+ v fs +
• fs
, (36)
donde qs y ms son la carga y masa de la partícula, c es la
velocidad de la luz, y el lado derecho es el término de colisión
(cuadrado en f ). Los campos eléctricos y magnéticos son
E =
, B = A. (37)
La primera igualdad es la ley de Faraday, la segunda
la condición de solenoidalidad de campo magnético; utilizaremos la
Medidor de coulombas, A = 0. Los campos satisfacen el Poisson y
las ecuaciones Ampère-Maxwell con la carga y la corriente
densidades determinadas por fs(t,r,v):
E = 4η
qsns = 4
d3v fs, (38)
B − 1
d3vv fs. (39)
3.1. Orden Gyrokinetic y Parámetros sin Dimensiones
Como en el § 2 establecemos un equilibrio estático con una media uniforme
campo, B0 = B0, E0 = 0, asumir que las perturbaciones serán
anisótropo con kÃ3r k (en escamas más pequeñas que el exterior)
báscula, kÃ3l Ã1; ver § 1.3 y § 1.5.1), y construir una expansiÃ3n.
sión de la teoría cinética alrededor de este equilibrio con respeto
al parámetro pequeño â € â € kâ € / kâ € €. Adoptamos la orden ex-
presionado por Eqs. (3) y (12), es decir, asumimos las perturbaciones
estar interactuando fuertemente las ondas de Alfvén más la densidad de electrones
y fluctuaciones de la fuerza del campo magnético.
Además de, varios otros parámetros adimensionales son
presentes, todos los cuales se consideran formalmente de orden
unidad en la expansión girocinética: el electrón-ion masa ra-
tio me/mi, la relación de carga
Z = qi/qe = qi/e (40)
(para hidrógeno, esto es 1, que se aplica a la mayoría de los astrofísicos
plasmas de interés para nosotros), la relación de temperatura17
= Ti/Te, (41)
y la beta plasmática (ion)
v2thi
8πniTi
, (42)
donde vthi = (2Ti/mi)
1/2 es la velocidad térmica del ión y el total
β se definió en Eq. (14) basado en la presión total p = niTi +
NeTe. Ocasionalmente también usaremos el electrón beta
8ηneTe
βi. (43)
La beta total es β = βi e.
3.1.1. Números de onda y frecuencias
Como queremos que nuestra teoría sea uniformemente válida en todos (perpen-
dicular) por encima, en o por debajo de la giroescala de iones, ordenamos
ki â € 1, (44)
en la que Łi = vthi/đi es el ion giroradius, ♥i = qiB0/cmi el ion
Frecuencia del ciclotrón. Tenga en cuenta que
Sí. (45)
17 Se puede demostrar que las temperaturas de equilibrio cambian en la escala de tiempo
- 1 (Howes et al. 2006). Por otro lado, de la teoría estándar
del transporte por colisión (por ejemplo, Helander & Sigmar 2002), el ion y elec-
las temperaturas de tron se igualan en la escala de tiempo
1/21ii [véase
Eq. (51)]. Por lo tanto, puede apartarse de la unidad por una cantidad de orden
•2(l/l/ii)(mi/me)1/2. En nuestro esquema de pedidos [Eq. (49).], este es O(+2) y,
Por lo tanto, deberíamos simplemente establecer = 1 + O()2. Sin embargo, llevaremos la
parámetro porque otros esquemas de pedido son posibles que permiten arbitrarios
valores de . Estos son apropiados para plasmas con colisiones muy débiles. Por
ejemplo, en el viento solar, parece ser la unidad de orden, pero no exactamente 1
(Newbury et al. 1998), mientras que en acreción fluye cerca del agujero negro, algunos
los modelos predicen el valor de 1 (véase el punto 8.5).
12 SCHEKOCHIHIN ET AL.
FIG. 3.— Regiones de validez en el espacio de números de onda de dos aproximaciones primarias—los dos fluidos (Apéndice A.1) y girocinéticos (§ 3). El girocinético
la teoría se sostiene cuando kâ â € € ~ kâ € ~ y â € ~ ~ i [cuando kâ € ~ kâ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ kâ ~ ~ ~ ~
i, el segundo requisito se cumple automáticamente para los modos Alfvén, lento y entropía; véase
Eq. (46)]. Las ecuaciones de dos fluidos se mantienen cuando kmfpi 1 (límite collisional) y ki 1 (plasma magnético). Tenga en cuenta que la teoría girocinética se mantiene para todos
pero las escalas más grandes (exteriores), donde no se puede asumir la anisotropía.
Suponiendo que las frecuencias alfvénicas implican
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
- Sí. (46)
Por lo tanto, la girocinética es un límite de baja frecuencia que promedia sobre
las escalas de tiempo asociadas con el giro de partículas. Porque
hemos asumido que las fluctuaciones son anisotrópicas y tienen
(por orden de magnitud) Frecuencias alfvénicas, vemos desde
Eq. (46) que su frecuencia se mantiene muy por debajo de los límites de la letra i) en todas las escalas,
incluyendo el ion e incluso la giroescala electrónica—el giroki-
netics sigue siendo válido en todas estas escalas y el ciclotrón-
los efectos de frecuencia son insignificantes (cf. Quataert & Gruzinov
1999).
3.1.2. Fluctuaciones
Ecuación (3) nos permite ordenar las fluctuaciones de la escalar
potencial: por un lado, tenemos de Eq. (3) u â € € € € € â € ~ vA; el
por otra parte, la velocidad de flujo másico del plasma es (al nivel más bajo
orden) la velocidad de deriva E×B de los iones, u cE/B0
ck/B0, así que
- Sí. (47)
Todas las demás fluctuaciones (magnético, densidad, velocidad paralela) son
ordenado de acuerdo con Eq. (12).
Tenga en cuenta que el orden de la velocidad de flujo dictado por
Eq. (3) significa que estamos considerando el límite de Mach pequeño
números:
M â € ¢ u
. (48)
Esto significa que la descripción girocinética en la forma utilizada
abajo no se extiende a grandes flujos sónicos que pueden ser
presente en muchos sistemas astrofísicos. Es, en principio,
posible extender la girocinética a sistemas con sónico
flujos (por ejemplo, en la geometría toroidal; véase Artun & Tang 1994;
Sugama & Horton 1997). Sin embargo, no seguimos esto.
ruta porque tales flujos pertenecen a la misma clase de non-
características exteriores universales como la densidad de fondo y tem-
gradientes de peratura, geometría específica del sistema, etc.—estos pueden
todos se ignoran a pequeña escala, donde la turbulencia debe ser
aproximadamente homogéneos y subsónicos (siempre que
1, véase la discusión en § 1.5.1).
3.1.3. Colisiones
Por último, queremos que nuestra teoría sea válida tanto en el colli-
y los regímenes sin colisiones, por lo que no suponemos
• ser más pequeño o más grande que el (ion) de colisión fre-
Quency
kmfpi
* 1, (49)
en la que mfpi = vthi/ vii es el camino libre medio ion (este orden-
En realidad, se puede inferir de la equiparación de la girocinética en
condiciones de producción de la tropia para la producción de la entropía de colisión;
ver discusión extendida en Howes et al. 2006). Tenga en cuenta que la
orden (49) se mantiene en el entendimiento de que hemos ordenado
ki â € 1 [Eq. (44)] porque la frecuencia de fluctuación puede de-
pluma en ki en el rango de disipación (véase § 7.3).
Otras tasas de colisión están relacionadas con νii a través de un conjunto de normas
fórmulas (véase, por ejemplo, Helander & Sigmar 2002), que serán
útil en lo siguiente:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
3/2
/ii, (50)
TURBULENCIA KINÉTICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 13
νie =
3/2
/ii, (51)
νii =
2ηZ4e4ni ln
, (52)
donde lnŁ es el logaritmo de Coulomb y el factor numérico
en la definición de νie se ha insertado para notación futura
conveniencia (véase el apéndice A). Siempre definimos
mfpi =
, mfpe =
- ¡Mfpi! - ¡Mfpi! - ¡Mfpi! (53)
El orden de la frecuencia de colisión expresada por
Eq. (49) significa que las colisiones, aunque no dominantes como en
la descripción del fluido (apéndice A), se mantiene en
la versión de la teoría girocinética adoptada por nosotros. Sus
la presencia es necesaria para que podamos asumir
que la distribución de equilibrio es Maxwellian [Eq. (54)
a continuación] y para que la producción de calefacción y entropía sea
tratados correctamente (§ 3.4 y § 3.5). Sin embargo, nuestro pedido de
las colisiones y las amplitudes de fluctuación (§ 3.1.2) imponen
ciertas limitaciones: por lo tanto, no podemos tratar la clase de no lineal
fenómenos que implican la captura de partículas por varianza paralela
fluctuaciones, colas no-Maxwellianas de distribuciones de partículas,
inestabilidades plasmáticas derivadas de la presión de equilibrio
anisotropías (espejo, fierros) y sus posibles no lineales
evolución a grandes amplitudes (ver discusión en § 8.3).
La región de validez de la aproximación girocinética en
el espacio de número de onda se ilustra en la Fig. 3—se abraza
todas las escalas que se espera que sean atravesadas por el
cascada de energía anisotrópica (excepto las escamas cercanas a la
escala exterior).
Como hemos explicado anteriormente, me/mi, βi, ki y kmfpi (o
Se les asigna unidad de orden en la expansión girocinética.
Expansiones subsidiarias en pequeños me/mi (§ 4) y en pequeños o pequeños
grandes valores de los otros tres parámetros (de 5 a 7) pueden ser automotrices.
En una fase posterior, siempre y cuando sus valores no sean tan grandes.
o pequeño como para interferir con la expansión primaria en.......................................................................................................................................................................................................................................................... Estos
expansiones producirá modelos más simples de turbulencia con más
dominios restringidos de validez que la girocinética.
3.2. Ecuación girocinética
Dado el orden girocinético introducido arriba, el ex-
la pansión de la función de distribución hasta el primer orden en
estar escrito como
fs(t,r,v) = F0s(v) −
qs/23370/(t,r)
F0s(v) + hs(t,Rs,v,v®). (54)
A cero orden, es un Maxwellian:18
F0s(v) =
(ηv2ths)
v2ths
, vths =
, (55)
con densidad uniforme n0s y temperatura T0s y sin media
fluir. Como se explicará con más detalle en § 3.5, F0s tiene un
dependencia lenta del tiempo a través de la temperatura de equilibrio, T0s =
T0s(+)
2t). Esto refleja el lento calentamiento del plasma como el tur-
la energía bulenta se disipa. Sin embargo, los T0s se pueden tratar como un
constante con respecto a la dependencia del tiempo del primer orden
18 El uso del equilibrio isotrópico es una idealización significativa—esto es
se examina con más detalle en el párrafo 8.3.
función de distribución (la escala de tiempo de la fluctuación turbulenta
ciones). La parte de primer orden de la función de distribución es com-
planteado de la respuesta Boltzmann [segundo término en Eq. 54), o
Dered en Eq. (47)] y la función de distribución del girocentro hs.
La dependencia espacial de este último no se expresa por el
posición de la partícula r pero por la posición Rs de la partícula gy-
rocenter (o centro guía)—el centro de la órbita del anillo que
la partícula sigue en un campo guía fuerte:
Rs = r +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
. (56)
Por lo tanto, parte de la dependencia de velocidad de la distribución
función se subsume en la dependencia Rs de hs. Explícitamente,
hs depende sólo de dos variables de velocidad-espacio: es cus-
tomary en la literatura girocinética para que éstos sean elegidos como
la energía de partículas s = msv
2/2 y su primera invariación adiabática
ant μs = msv
/2B0 (ambos cantidades conservadas a dos cantidades más bajas
órdenes en la expansión girocinética). Sin embargo, en una recta
uniforme campo de guía B0, el par (v,v) es una opción más simple,
, que se utilizará principalmente en lo que sigue (debemos
veces encontrar un par alternativo, v y â € = vâ € / v, útil, especialmente
cuando se trate de colisiones). Se debe mantener constantemente en
mente que los derivados de hs con respecto al espacio de velocidad
variables se toman en Rs constantes, no en r constante.
La función hs satisface la ecuación girocinética:
Rs,hs} =
qsF0s
Rs
donde
χ(t,r,v) =
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
, (58)
los paréntesis Poisson se definen de la manera habitual:
Rs,hs} = ·
Rs
× Łhs
, (59)
y se introduce la notación media del anillo:
(t,r,v)Rs =
t,Rs −
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
, (60)
donde es el ángulo en el espacio de velocidad tomado en el plano
perpendicular al campo guía B0. Tenga en cuenta que, mientras que χ es
una función de r, su media de anillo es una función de Rs. Nota
también que los promedios del anillo dependen del índice de especies, como
hace la variable girocentro Rs. Ecuación (57) se obtiene por
transformar la ecuación cinética de primer orden al girocentro
variable (56) y anillo promediando el resultado (ver Howes et al.
2006, o las referencias dadas al principio del § 3). Los
En el documento de trabajo se examina la integración de la colisión mediada por anillo ( > hs/ > t)c.
pendix B.
3.3. Ecuaciones de campo
A Eq. (57), debemos añadir las ecuaciones que determinan
el campo electromagnético, a saber, los potenciales
A(t,r) que introduce la expresión para χ [Eq. (58)]. En el
límite no relativista (vthi â € c), estos son el plasma cuasi-
la neutralidad [que sigue de la equa de Poisson
ión (38) al orden más bajo en vthi/c]:
qsđns =
n0s +
d3vÃ3hsár
14 SCHEKOCHIHIN ET AL.
y las partes paralelas y perpendiculares de la ley de Ampère
[Eq. (39) hasta el orden más bajo, en los siguientes términos y en vthi/c]:
# 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
j = −
d3vvhsár, (62)
# 2 # B # # # # # # B # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vóvóvóhsór
, (63)
donde hemos utilizado B = · (A) y se cayó el dis-
corriente de colocación. Puesto que las variables de campo...................................................................................
funciones de la variable espacial r, no del girocentro vari-
poder Rs, tuvimos que determinar la contribución de la gy-
función de distribución rocenter hs a la distribución de carga en
fija r mediante la realización de una operación de giroaverage dual a la
promedio del anillo definido en Eq. (60):
(t,Rs,v,v)r =
t,r +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
,v,v
En otras palabras, las integrales de velocidad-espacio en Eqs. (61-63)
se realizan sobre hs en constante r, en lugar de constante Rs.
Si nosotros Fourier transformamos hs en Rs, la operación de giroaverage
adopta una forma matemática simple:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Eik-Rsrhsk (t.v.v.v.v.)
eik·r
ik · v
hsk(t,v,v)
eik·rJ0(as)hsk(t,v,vÃ3r), (65)
donde como = kv/el y J0 es una función de Bessel que surgió
desde el ángulo integral en el espacio de velocidad. En Eq. (63), una
cálculo análogo teniendo en cuenta el depen-
dence de v conduce a
B = −
eik·r
d3vmsv
J1(as)
hsk(t,v,v).
Nótese que Eq. (63) [y, por lo tanto, Eq. (66)] es el giroki-
Equivalente neto del balance de presión perpendicular que ap-
peraed en § 2 [Eq. (22)]:
B0-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-
= ·
d3v vhsár
= ·
t,r +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
,v,v
= :
d3vmsvv hsr = : ŁP,(67)
donde hemos integrado por partes con respecto a la
(cf. gle) y usado (v/) = v, 2v/2 = −v (cf. la
Apéndice de Roach et al. 2005).
Una vez determinados los campos, tienen que ser substi-
en χ [Eq. (58)] y el anillo de resultado promedió [Eq. (60)].
Una vez más, enfatizamos que las funciones de A, A y B son de r,
mientras que Rs es una función de Rs. La transformación es ac-
realizado a través de un cálculo análogo al que llevó a
Eqs. (65) y (66):
Rs =
eik·RsRs,k, (68)
Rs,k = J0(as)
vâ € € € TM ak
v2ths
J1(as)
. (69)
La última ecuación establece una correspondencia entre el
Fourier transforma de los campos con respecto a r y el
Transformación de Fourier de Rs con respecto a Rs.
3.4. La energía generalizada y la cascada cinética
Como se prometió en el § 1.4, el concepto central unificador de este
Ahora se introduce el papel.
Si multiplicamos la ecuación girocinética (57) por T0shs/F0s
e integrar sobre las velocidades y girocentros, encontramos que
el término no lineal conserva la varianza de hs y
d3Rs qs
Rs
T0shs
. (70)
Ahora sumemos esta ecuación sobre todas las especies. El primer mandato
en el lado derecho es
Rs
d3váhsár −
d3vávhsár
d3rE · j, (71)
donde hemos usado Eq. (61) y la ley de Ampère [Eqs. (62-
63)] para expresar las integrales de hs. El segundo mandato sobre la
a la derecha es el trabajo total realizado en plasma por unidad de tiempo.
Usando la ley de Faraday [Eq. (37)] y la ley de Ampère [Eq. (39).],
puede ser escrito como
d3rE · j = − d
B2
+ Pext, (72)
donde Pext −
d3rE · jext es la potencia total inyectada en la
sistema por las fuentes de energía externas (agitación a escala externa;
términos del flujo energético de Kolmogorov utilizado en la escala
argumentos en § 1.2, Pext = Vmin0i
sume). Combinando Eqs. (70-72), encontramos (Howes et al. 2006)
T0sÃ3h2sÃ3r
B2
= Pext +
T0shs
. (73)
W es una cantidad definida positiva — esto se hace explícito si nosotros
utilizar Eq. (61) expresarlo en términos de la distri-
función de bution fs = −qs/23370/F0s/T0s + hs [véase Eq. (54)]:
T0s/23370/ f
B2
. (74)
LA TURBULENCIA KINÉTICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 15
Nos referiremos a W como la energía generalizada. Usamos esto.
para enfatizar el papel de W como la cantidad en cascada en
turbulencia girocinética (véase más adelante). Esta cantidad es, de hecho,
la versión girocinética de un var-
iodialmente conocido como el gran poten canónico generalizado...
(véase Hallatschek 2004, que señala la
función de esta cantidad en simulaciones de turbulencias plasmáticas) o libres
energía (por ejemplo, Fowler 1968; Scott 2007). El no magnético
parte de W está relacionada con la entropía perturbada de la
tem (Krommes & Hu 1994; Sugama et al. 1996; Howes et al.
2006; Schekochihin et al. 2008b, véase el análisis en § 3.5).19
Ecuación (73) es una ley de conservación del
ergy: Pext es la fuente y el segundo término a la derecha
lado, que es negativo definido, representa dis-
pation. Esto sugiere que podríamos pensar en plasma cinético
turbulencia en términos de la energía generalizada W inyectado por
la agitación a escala exterior y disipada por colisiones. En o...
der para que la disipación sea importante, el término de colisión en
Eq. (73) tiene que ser comparable a Pext. Esto puede suceder.
de dos maneras:
1. En las escalas de colisión (kmfpi + 1) debido a las desviaciones de
la función de distribución perturbada de un local por
Maxwellian turbed (véanse el punto 6.1 y el apéndice D);
2. A escalas sin colisión (kmfpi 1) debido al desarrollo-
de pequeñas escalas en el espacio de velocidad —
(véase § 6.2.4) o v (que se acompaña de
por el desarrollo de pequeñas escalas perpendiculares en el
espacio de posición; véase § 7.9.1).
Por lo tanto, la disipación es sólo importante en particular (pequeño)
básculas, que generalmente están bien separadas del exterior
escala. La energía generalizada se transfiere desde el exterior
escalar a las escalas de disipación a través de una cascada no lineal. Nosotros
se llamará la cascada cinética. Es análogo a la energía
cascada en turbulencias fluidas o MHD, pero conceptualmente nuevas
La característica está presente: las pequeñas escalas en las que la disipación hap-
Las plumas son pequeñas escalas tanto en el espacio de velocidad como en la posición.
Considerando que los grandes gradientes de la letra v) son producidos por el lin-
mezcla en fase paralela del oído, cuyo papel en la disipa cinética
Los procesos de toma de decisiones han sido apreciados desde hace algún tiempo (Landau
1946; Hammett y otros 1991; Krommes & Hu 1994; Krommes
1999; Watanabe & Sugama 2004, véase § 6.2.4), la emergencia
de gradientes grandes en v se debe a una esencialmente no lineal
mecanismo de mezcla en fase (§ 7.9.1). A escalas espaciales más pequeñas
que el ion giroradius, esta fase perpendicular no lineal
mezcla resulta ser una más rápida y, por lo tanto, presumiblemente la
la forma dominante de generar una estructura a pequeña escala en el
ity espacio. Se previó en el desarrollo de girofluidos
momento jerarquías por Dorland & Hammett (1993). Aquí vamos.
tratarlo por primera vez como una cascada turbulenta de fase-espacio:
Esto se hace en § 7.9 y § 7.10 (ver también Schekochihin et al.
2008b).
En las secciones que siguen, derivaremos formas particulares
de W para varios casos limitantes de la teoría girocinética
(§ 4.7, § 5.6, § 6.2.5, § 7.8, Apéndices D.2 y E.2). Nosotros
ver que la cascada cinética de W es, de hecho, un directo
generalización de las cascadas de fluidos más familiares (como
19 Tenga en cuenta también que una forma cuadrática que implica tanto la distribución perturbada
función y el campo electromagnético aparece, en una forma más general que
Eq. (74), en la formulación del principio energético para el MHD cinético
aproximación (Kruskal & Oberman 1958; Kulsrud 1962, 1964). Con respecto a
la relación entre el MHD cinético y la girocinética, véase la nota 23.
las cascadas RMHD discutidas en el § 2) y que W contiene
los invariantes de energía de los modelos de fluidos en el
límites. En estos límites, la cascada de la
ergy se dividirá en varias cascadas desacopladas, como lo hizo en
el caso del RMHD (§ 2.7). Cada vez que uno de los físicamente
se cruzan las escalas importantes (§ 1.5.2) y se produce un cambio de
el régimen se produce, estas cascadas se mezclan de nuevo en
la cascada cinética general de W, que luego se puede dividir en
una manera diferente a medida que emerge en el “lado opuesto” de la
región de transición en el espacio de escala. La conversión de la
Cascada alfvénica en la cascada KAW y la entropía cas-
cade en ki 1 es el ejemplo más interesante de tal
transición, discutida en el § 7.
La energía generalizada parece ser la única cuadrática
invariante de la girocinética en tres dimensiones; en dos dimensiones
Sions, aparecen muchas otras invariantes (véase el Apéndice F).
3.5. Calefacción y entropía
En un estado estacionario, todo el poder turbulento inyectado
por la agitación externa se disipa y así se transfiere a
Calor. Matemáticamente, esto se expresa como un lento aumento en
la temperatura del equilibrio Maxwelliano. En girokinet...
ics, la escala de tiempo de calefacción se ordena como â € (â € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ \ ~ \ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
Aunque la disipación de las fluctuaciones turbulentas puede
estar ocurriendo “sin colisión” a escalas tales que kmfpi 1
(por ejemplo, a través de la interacción onda-partícula en la giroescala de iones; § 7.1),
la calefacción resultante debe efectuarse en última instancia con la ayuda
de colisiones. Esto se debe a que la calefacción es un proceso irreversible
y es una pequeña cantidad de colisiones que hacen “sin colisión”
amortiguación irreversible. En otras palabras, el calentamiento lento de la
El equilibrio Maxwelliano es equivalente a la producción de entropía
y el teorema H de Boltzmann requiere rigurosas colisiones para
Hacer esto posible. De hecho, la entropía total de las especies es
Ss = −
d3v fs ln fs
F0s lnF0s +
f 2s
+ O(3), (75)
donde nos llevamos
d3rŁ fs = 0. Entonces no es difícil demostrar que
T0shs
donde los overlines significan un promedio de más de
el tiempo característico de las fluctuaciones turbulentas
pero más corto que el tiempo de calentamiento típico â € (â € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
Howes et al. 2006; Schekochihin et al. 2008b para un informe detallado
derivación de este y los resultados relacionados sobre la calefacción en gyroki-
netics; véase también las discusiones anteriores sobre la producción de entropía
en girocinética por Krommes & Hu 1994; Krommes 1999;
Sugama et al. 1996). Hemos omitido el término que describe el
ecualización de la temperatura de colisión interespecies. Tenga en cuenta que
A ambos lados de Eq. (76) son el orden «2».
Si ahora tenemos un promedio de tiempo Eq. (73) de manera similar, el
lado izquierdo desaparece porque es un derivado del tiempo de un
cantidad fluctuante en la escala de tiempo 1 y confirmamos
que el lado derecho de Eq. (76) es simplemente igual al av-
potencia de eliminación Pext inyectada por agitación externa. La importación de
Eq. (76) es que nos dice que la calefacción sólo se puede efectuar
por colisiones, mientras que Eq. (73) implica que la potencia inyectada
llega a las escalas de colisión en velocidad y espacio de posición por
medios de una cascada cinética de energía generalizada.
16 SCHEKOCHIHIN ET AL.
El primer término en la expresión para la energía generalizada
(74) es −
s T0s/23370/Ss, donde ♥Ss es la entropía perturbada [ver
Eq. (75)]. El segundo término en Eq. (74) es energía magnética.
La amortiguación sin colisiones de las fluctuaciones electromagnéticas puede ser
como una redistribución de la energía generalizada, trans-
ferring la energía electromagnética en las fluctuaciones de la entropía,
mientras que el total de W se conserva (un simple ejemplo de cómo que
ocurre para las fluctuaciones de compresión sin colisiones en el iner-
El rango de tial se define en § 6.2.3).
La contribución a la entropía perturbada de la gy-
distribución rocenter es la integral de −h2s/2F0s,
Ecuación de evolución (70) puede ser visto como el girocinético
versión del teorema H. El primer término a mano derecha
lado de esta ecuación representa la interacción onda-partícula
(colisión sin amortiguación). En promedio de tiempo, está relacionado con
el trabajo realizado en plasma [Eq. (71)] y, por lo tanto, a la media
potencia inyectada externamente Pext a través de Eq promedio de tiempo. (72).
En un estado estacionario, esto se equilibra por el segundo término en el
a la derecha de Eq. (70), que es el calentamiento por colisión,
o entropía-producción, término que también aparece en Eq. (76).
Así, la energía generalizada canalizada por sin colisión
la amortiguación en las fluctuaciones de la entropía se convierte eventualmente
en el calor por colisiones. La cascada de entropía sub-giroescala,
que lleva la función de distribución perturbada hs a col-
escalas lisionales, se analizarán más a fondo en § 7.9 y § 7.10
(véase también Schekochihin et al. 2008b).
Esto concluye una breve imprimación sobre la girocinética necesaria
(y suficiente) para una comprensión adecuada de lo que es
Baja. Formalmente, todas las demás derivaciones analíticas de este documento
son simplemente expansiones subsidiarias de la girocinética en el pa-
rameters que enumeramos en § 3.1: en § 4, nos expandimos en (me/mi)
en el § 5 en ki (seguido de nuevas expansiones subsidiarias en
grandes y pequeños kmfpi en § 6), y en § 7 en 1/ki.
4. FLUIDO DE ELECTRONA ISOTERMAL
En esta sección, realizamos una expansión del electrón gy-
Ecuación rokinética en poderes de (me/mi)
1/2 0,02 (para hidro-
en plasma). En casi todos los casos de interés, esta expansión
se puede hacer mientras se sigue considerando
βi, ki, y kmfpi a
ser unidad de orden.21 Tenga en cuenta que la suposición ki 1 juntos
con Eq. (45) significa que
ke ki(me/mi)1/2 â € 1, (77)
Es decir, la expansión en (me/mi)
1/2 significa también que somos
considerando escalas más grandes que el girorradio electrónico. Los
idea de tal expansión de la ecuación cinética electrónica
ha sido utilizado muchas veces en la literatura de física de plasma.
La expansión de masa-ratio de la ecuación girocinética en un
forma muy similar a lo que se presenta a continuación se encuentra en
Snyder & Hammett (2001).
20 Tenga en cuenta que Eq. (72) es válido no sólo en la forma integral sino también indi-
Vidualmente para cada número de onda: de hecho, utilizando el Fourier-transformado Fara-
día y las leyes de Ampère, tenemos Ek · j
k + E
k · jk = Ek · j
ext,k + E
k · jext,k −
(1/4η)Bk2/Łt. En un estado estacionario, el promedio de tiempo elimina el tiempo
derivado de la energía de fluctuación magnética, por lo que Ek · j*k + E
k · jk = 0 en total k
excepto los correspondientes a la escala exterior, en la que la energía exterior
jection ocurre. Esto significa que por debajo de la escala exterior, el trabajo realizado en uno
las especies equilibran el trabajo realizado en la otra. La interacción onda-partícula
término en la ecuación girocinética es responsable de este intercambio de energía.
21 Una excepción notable es el dispositivo LAPD en UCLA, donde β 10−4 −
10−3 (debido principalmente a la presión de los electrones porque los iones están fríos,
0,1, por lo que βi • βe/10; véase, por ejemplo, Morales et al. 1999; Carter et al. 2006). Esto
interfiere con la expansión de masa-ratio.
La principal importancia de esta sección será técnica: nosotros
prescindirá de la ecuación girocinética electrónica y, por lo tanto,
preparar el terreno necesario para futuras aproximaciones. Los
Los principales resultados se resumen en § 4.9. Un lector que es sólo
el interés en seguir cualitativamente los principales pasos de la
derivación puede saltar a este resumen.
4.1. Ordenar los términos en la ecuación cinética
En vista de Eq. (77), ae â € 1, por lo que podemos ampliar el Bessel
funciones derivadas del promedio sobre el anillo de electrones mo-
ión:
J0(ae) = 1 −
a2e + · · ·,
J1(aes)
a2e + · · ·
. (78)
Mantener sólo los términos de orden más bajo de las expansiones anteriores
en Eq. (69) para Re, a continuación, sustituyendo esto Re y qe =
−e en la ecuación girocinética electrónica, obtenemos lo siguiente
Ecuación cinética para los electrones, precisa hasta e incluyendo
el primer orden en (me/mi)
1/2 (o en ke):
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
v2the
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
v2the
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (79)
Nótese que en Eq. (79) se toman en r = Re. Nosotros
han indicado el orden más bajo al que cada uno de los términos
entra si se compara con vhe/lz. Con el fin de obtener estos
estimaciones, hemos supuesto que la introducción de orden físico
en el apartado 3.1, con respecto a la ampliación de la filial
en (me/mi)
1/2 así como para la expansión girocinética primaria
en â € TM, para que podamos utilizar Eqs. 3) y (12) para ordenar los términos con re-
spec to (me/mi)
1/2. También hemos hecho uso de Eqs. (45), (47),
y de las tres relaciones siguientes:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (80)
(vâr/c)A
- ¡No! - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
, (81)
v2the
βi. (82)
El término de colisión se estima como orden cero porque [ver
Eqs. 49), (50)]
kmfpi
. (83)
Las consecuencias de otros posibles pedidos de la colisión
los términos se discuten en § 4.8. Recordamos al lector que todos
Parámetros adimensionales, con excepción de los siguientes: (me/mi)1/2 y (me/mi)
son considerados como la unidad del orden.
Ahora dejamos que él = h
e + h
e +. .. y llevar a cabo la expansión
a dos órdenes más bajas en (me/mi)
4.2. Orden cero
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 17
Para el orden cero, la ecuación cinética electrónica es
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
h(0)e
, (84)
donde hemos reunido los términos en el lado izquierdo a
tomar la forma de la derivada de la función de distribución
a lo largo del campo magnético perturbado:
bâ â € = â € = â €
= ♥
A, · · ·
. (85)
Ahora multiplicamos Eq. (84) por h(0)e /F0e e integrar sobre v y
r (ya que sólo estamos manteniendo los términos de orden más bajo, el distinc-
sión entre r y Re no importa aquí). Desde B = 0,
el lado izquierdo desaparece (suponiendo que todas las perturbaciones sean
o bien periódico o desaparecer en los límites) y obtenemos
h(0)e
h(0)e
E = 0.
El lado derecho de esta ecuación es cero porque la
velocidad de flujo de electrones es cero en el orden cero, u(0)
(1/n0e)
d3vvÃ3h
e = 0. Esto es una consecuencia del paral-
ley de lel Ampére [Eq. (62)], que puede escribirse como sigue:
uâ € =
4ηen0e
2A + uçi, (87)
donde
u'i =
eik·r
d3vvóJ0(ai)hik. (88)
Los tres términos en Eq. (87) puede estimarse como sigue:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
â € ¢, (89)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
4ηen0evA
*Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki* *Ki*
â € ¢, (91)
donde hemos utilizado el orden fundamental (12) de la lenta
oleajes y ondas alfvén. Por lo tanto, la
dos términos en el lado derecho de Eq. (87) son un orden de
(me/mi)
1/2 menor que u(0)
E, lo que significa que a cero orden,
la ley paralela de Ampère es u(0)
E = 0.
El operador de colisión en Eq. (86) contiene electrones–
colisiones de electrones e iones de electrones. Al orden más bajo en
(me/mi)
1/2, el operador de colisión electrón-ion es simplemente el
operador de dispersión de ángulo de tono [véase Eq. (B20) en el apéndice B
y recuerden que uçái es de primer orden]. Por lo tanto, podemos entonces
reescribir Eq. (86) del siguiente modo:
h(0)e
Cee[h
V.D. v.
1 - 2
h(0)e
= 0. (92)
Ambos términos en esta expresión son negativos definidos y deben,
por lo tanto, desaparecer individualmente. Esto implica que h(0)e debe ser
una distribución Maxwelliana perturbada con cero
ity (esto se desprende de la prueba del teorema H de Boltzmann;
Véase, por ejemplo, Longmire 1963), es decir, la distribución completa de electrones
función a orden cero en la expansión de masa-ratio es [ver
Eq. (54)]:
fe = F0e +
+ h(0)e =
2ηTe/me
, (93)
donde ne = n0e + Łne, Te = T0e + ♥Te. Expandiendo alrededor de la
Maxwellian F0e, tenemos
h(0)e =
v2the
F0e, (94)
donde los campos se toman en r = Re. Ahora sustituya esto así que...
la contaminación de nuevo en Eq. (84). El término de colisión desaparece y el
la ecuación restante debe ser satisfecha en todos los valores de v.
da
+ T0e
, (95)
bâ Te
= 0. (96)
El término de colisión es descuidado en Eq. (95) porque, para h(0)e
dado por Eq. (94), desaparece a cero orden.
4.3. Conservación del flujo
Ecuación (95) implica que el flujo magnético se conserva
y las líneas de campo magnético no se pueden romper al orden más bajo en
la expansión de masa-ratio. De hecho, podemos seguir a Cowley.
(1985) y argumentan que el lado izquierdo de Eq. (95) es menos
la proyección del campo eléctrico sobre el campo magnético total
[véase Eq. (37)], así que tenemos
E · b = − b
; (97)
por lo tanto el campo eléctrico total es
Î − bóbó
y la ley de Faraday se convierte en
= −cE = (ueff ×B), (99)
ueff =
E T0e
×B, (100)
Es decir, las líneas de campo magnético se congelan en el campo de velocidad
Ueff. En el Apéndice C.1, mostramos que esta velocidad efectiva es
la parte de la velocidad de flujo del electrón ue perpendicular a la
campo magnético total B [véase Eq. (C6)].
La conservación del flujo se rompe en los órdenes más altos de la
expansión de masa-ratio. En el primer orden, resistividad Ohmic para...
Mally entra en Eq. (95) (a menos que las colisiones sean aún más débiles)
de lo que se supone hasta ahora; si se degrada una orden como es
hecho en § 4.8.3, la resistividad entra en el segundo orden). En el
segundo orden, la inercia electrónica y la finitud de los elec-
tron giroradius también conduce a la descongelación del flujo. Esto puede ser
visto formalmente manteniendo términos de segundo orden en Eq. (79), mul-
la tipplying por vÃ3 y la integraciÃ3n sobre velocidades. El pariente
se evalúa la importancia de estos mecanismos de descongelación del flujo
en el § 7.7.
18 SCHEKOCHIHIN ET AL.
4.4. Electrones isotérmicos
Ecuación (96) ordena que el temple electrón perturbado-
ature debe permanecer constante a lo largo de las líneas de campo perturbadas.
Estrictamente hablando, esto no impide que la
las líneas de campo. Sin embargo, ahora vamos a asumir que te = const (ha
sin variación espacial), lo que está justificado, por ejemplo, si las líneas de campo
son estocásticos. Asumiendo que ninguna perturbación espacialmente uniforme...
ciones existen, podemos establecer Te = 0. Ecuación (94) luego reduce
h(0)e =
F0e(v), (101)
o, usando Eq. (54),
fe =
F0e(v). (102)
Por lo tanto sigue la ecuación de estado para los electrones isotérmicos:
* Pe = Tune. (103)
4.5. Primera orden
Ahora integramos Eq. (79) sobre el espacio de velocidad y retener
los términos de orden más bajos (primero). Usando Eq. (101), tenemos
¡Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
= 0, (104)
donde la velocidad del electrón paralelo es el primer orden:
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
d3vvÃ3h
e. (105)
La integral velocidad-espacio del término de colisión no entra
porque es subdominante por al menos un factor de (me/mi)
En efecto, como se muestra en el apéndice B.1, la integración de la velocidad
conduce a un factor adicional de k2
e, para que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
, (106)
donde hemos usado Eqs. (45) y (50). El término de colisión
es subdominante debido al orden de la colisión de iones
frecuencia dada por Eq. (49).
4.6. Ecuaciones de campo
Usando Eq. (101) y qi = Ze, n0e = Zn0i, T0e = T0i/
derivamos de la ecuación de cuasi-neutralidad (61) [véase también
Eq. (65)]
eik·r
d3vJ0(ai)hik, (107)
y, desde la parte perpendicular de la ley de Ampère [Eq. (66),
usando también Eq. (107)],
eik·r
J0(ai) +
v2thi
J1(ai)
. (108)
La velocidad del electrón paralelo, u®e, se determina a partir de la par-
Alle parte de la ley de Ampère, Eq. (87).
La función de distribución de iones hola que entra en estas ecuaciones
debe determinarse resolviendo la ecuación girocinética de iones:
Eq. (57) con s = i.
4.7. Energía Generalizada
La energía generalizada (§ 3.4) para el caso de la isotermia
Los electrones se calculan sustituyendo Eq. (102) en Eq. (74):
T0iää f
n0eT0e
B2
, (109)
en los que fi = hola −
Zeel/T0i
F0i [véase Eq. (54)].
4.8. Validez de la expansión de la masa-ratio
Examinemos el rango de escalas espaciales en las que la
Las ecuaciones derivadas anteriormente son válidas. En la realización de la ex-
pansion in (me/mi)
1/2, ordenamos ki â € 1 [Eq. (77)] y
kmfpi â € 1 [Eq. (83)]. Formalmente, esto significa que la persona...
las longitudes de onda diicular y paralela de las perturbaciones no deberán
ser tan pequeño o tan grande como para interferir con la relación de masa ex-
Pansión. Ahora debatimos las cuatro condiciones que esto requiere:
En el caso de que se produzca una violación de los derechos de propiedad intelectual y de los derechos de propiedad intelectual, el Estado miembro de que se trate podrá exigir a la Comisión que le presente un informe sobre la aplicación de los derechos de propiedad intelectual de conformidad con el artículo 10, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 18 de diciembre de 1971, por el que se establece un derecho antidumping definitivo sobre las importaciones de determinados productos textiles originarios de la República Popular China, así como sobre las importaciones de determinados productos textiles originarios de la República Popular China, de la República Popular China, de la República Popular China, de la República Popular China, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea y de Suiza, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de la República de Corea, de España, de la República de Corea, de España, de España, de la República de España, de la República de España, de la República Checa, de la República de
destruir la validez de las ecuaciones derivadas anteriormente.
4.8.1. ki (mi/mi)
Esto es equivalente a exigir que ke â € 1, una condición
que era, de hecho, esencial para que la expansión se celebrara [Eq. (78)].
Esto no es una limitación seria porque los electrones pueden ser
sidered bien magnetizado en prácticamente todas las escalas de interés para
aplicaciones astrofísicas. Sin embargo, perdemos el de-
información sobre algunos importantes electrones de la física en
1: por ejemplo tales efectos como amortiguación de la onda en el
giroescala de electrones y el calentamiento de electrones (aunque el total
cantidad del calentamiento del electrón se puede deducir restando
la calefacción por iones a partir de la entrada total de energía). La ruptura de
la conservación del flujo (resistividad) es también un efecto que requiere
incorporación de la física de giroescala de electrones finitos.
4.8.2. ki (me/mi)
Si esta condición se rompe, la expansión pequeño-ki, coche-
en el § 5, debe, formalmente hablando, preceder a la misa-
Expansión de la relación. Sin embargo, resulta que el pequeño-
La expansión ki se desplaza con la expansión masa-ratio
(Schekochihin y otros 2007, véase también la nota 23), por lo que
puede utilizar las ecuaciones derivadas en 4.2-4.6 cuando ki.
(me/mi)
4.8.3. kmfpi (mi/mi)
Consideremos lo que sucede si esta condición se rompe
y kmfpi & (mi/me)
1/2. En este caso, las colisiones serán...
y el procedimiento de ampliación debe ser mod-
ified. Es decir, el término de colisión recoge un orden adicional de
(me/mi)
1/2, por lo que es el primer orden en Eq. 79). A cero orden,
la ecuación cinética electrónica ya no contiene colisiones: in-
en lugar de Eq. (84), tenemos
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
. (110)
Podemos buscar la solución de esta ecuación en la forma h(0)e =
H(t,Re)F0e + h
e,hom, donde H(t,Re) es una función desconocida para
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 19
FIG. 4. Región de validez en el espacio de número de onda de la aproximación secundaria: electrones isotérmicos e iones girocinéticos (§ 4). Es la región
de validez de la aproximación girocinética (fig. 3) más circunscritas por dos condiciones: kmfpi (me/mi)
1/2 (electronas isotérmicas) y ke 1
(electros magnéticos). También se muestra la región de validez de la teoría fuertemente magnetizada de dos fluidos (Apéndice A.2). Es lo mismo que para el dos-fluido completo
teoría más la restricción adicional ki kmfpi. La región de validez de MHD (o teoría de un fluido) es el subconjunto de esto con kmfpi â € (me/mi)
(electros adiabaticos).
se determinará y h(0)e,hom es la solución homogénea satis-
Fying
bâ h(0)e,hom = 0, (111)
Es decir, h(0)e,hom debe ser constante a lo largo del magnético perturbado
campo. Esta es una generalización de Eq. (96). Asumiendo de nuevo
líneas de campo estocástico, concluimos que h(0)e,hom es independiente
del espacio. Si descartamos perturbaciones espacialmente uniformes,
puede establecer h(0)e,hom = 0. La función desconocida H(t,Re) es fácilmente
expresados en términos de «ne» y «e»:
d3vh(0)e H =
, (112)
así h(0)e es dado de nuevo por Eq. (101), por lo que las ecuaciones derivadas
en el punto 4.2-4.6 no se alteran. Por lo tanto, la expansión de la masa-ratio
sigue siendo válido en kmfpi & (mi/me)
4.8.4. kmfpi (me/mi)
Si la longitud de onda paralela de las fluctuaciones es tan larga que
esto es violado, kmfpi. (me/mi)
1/2, el término de colisión en
Eq. (79) es menos el primer orden. Este es el término de orden más bajo en
la ecuación. Establecerlo a cero obliga a h(0)e a ser un perturbado
Maxwellian de nuevo dado por Eq. (94). En lugar de Eq. (84), el
Ecuación cinética de orden cero es
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
h(1)e
. (113)
Ahora el término de colisión en este orden contiene h(1)e, que
se puede determinar a partir de Eq. (113) mediante la inversión de los colli-
Operadora de iones. Esto establece una teoría de la perturbación que en
curso conduce a la versión reducida MHD de la general
Ecuaciones MHD—esto es lo que se consideró en § 2. Equa-
(96) ya no tiene que sostener, por lo que los electrones no son
isotérmica. En este verdadero límite de uno-fluido, ambos electrones y
los iones son adiabáticos con temperaturas iguales [véase Eq. (115) ser-
bajo]. Los términos de transporte de colisión en este límite (paralelo
y resistividad perpendicular, viscosidad, flujos de calor, etc.) fueron
calculado [comenzando no a partir de la girocinética, sino a partir de la
Ecuación de Vlasov-Landau (36) en detalle exhaustivo por
Braginskii (1965). Sus resultados y la forma en que RMHD emerge
de ellos se revisan en el Apéndice A.
En términos físicos, los electrones ya no pueden ser isotérmicos
si el tiempo de difusión de electrones en paralelo se hace más largo que el
tiempo característico de las fluctuaciones (el tiempo de Alfvén):
vthemfpik2
*Kmfpi*
. (114)
Además, bajo una condición similar, el electrón y el ion tem-
las peraturas deben ecualizar: esto sucede si el ion-electrón col-
el tiempo de lisión es más corto que el tiempo de Alfvén,
*Kmfpi*
(115)
(Véanse Lithwick y Goldreich 2001 para una discusión de
dicciones en aplicación al ISM).
4.9. Resumen
La descripción girocinética original introducida en el § 3 fue
un sistema de dos ecuaciones cinéticas [Eq. (57)] que evolucionó el
funciones de distribución de electrones e iones él, hi y tres campos
20 SCHEKOCHIHIN ET AL.
ecuaciones [Eqs. (61-63)] que se referían a:
Hola. En esta sección, hemos aprovechado la pequeñez
de la masa de electrones para tratar a los electrones como un isotérmico
fluido magnetizado, mientras que los iones permanecieron totalmente girocinéticos.
En términos matemáticos, resolvimos el ecua-
y sustituyó la girocinética por un sistema cerrado más sencillo.
tem de ecuaciones que evolucionan 6 funciones desconocidas:
Hola, hola. Estos satisfacen dos ecua-ecua-
ciones (95) y (104), tres relaciones integrales (107), (108), y
(87) que implican hola, y la ecuación cinética (57) para hola.
El sistema es más simple porque la distribución completa de electrones
la función ha sido sustituida por dos campos escalares.
Ahora resumimos este nuevo sistema de ecuaciones: denotando
ai = kv/đi, tenemos
+ T0e
, (116)
+ = −
,(117)
eik·r
d3vJ0(ai)hik, (118)
uâ € =
4ηen0e
# 2 A # # # # # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
eik·r
d3vvóJ0(ai)hik, (119)
eik·r
J0(ai) +
v2thi
J1(ai)
, (120)
y Eq. (57) para las colisiones s = i e ion-ion únicamente:
# Ri, hola # # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # # # # # # Ri # # # # # Ri # # # # Ri # # Ri # # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # Ri # # # # # # Ri # # # # # Ri # Ri # Ri # # # # # # # # Ri # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ri # # # # # # # # # Ri # # # Ri # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Ri
F0i + Cii[hi]*Ri,
(121)
donde â € ¢ Cii[. Ri es el ion-ion girocinético de la colisión oper-
ator (véase el apéndice B) y las colisiones ion-electrón
se ha descuidado al orden más bajo en (me/mi)
1/2 [véase Eq. (51)].
Tenga en cuenta que Eqs. (116-117) han sido escritas en forma compacta,
donde
+ uE =
, · · · (122)
es el derivado convectivo con respecto a la deriva de E×B ve-
locity, uE = −c /B0, y
bâ â € = â € = â €
= ♥
A, · · ·
(123)
es el gradiente a lo largo del campo magnético total (campo medio más
perturbación).
La energía generalizada conservada por Eqs. (116-121) es
dado por Eq. (109).
Vale la pena observar que el lado izquierdo de Eq. (116) es
simplemente menos el componente del campo eléctrico a lo largo de la a-
campo magnético tal [véase Eq. 37)]. Esto se utilizó en § 4.3 a
demostrar que el flujo magnético descrito por Eq. (116) es exactamente
(véase § 7.7 para una discusión de las escalas en las que
la conservación se rompe). Ecuación (116) es la proyección de
la ley generalizada de Ohm sobre el campo magnético total—la
El lado derecho de esta ecuación es el llamado termoelec-
Término tric. Esto se examina con más detalle en el apéndice C.1,
donde también mostramos que Eq. (117) es la parte paralela de Fara-
la ley del día y dar una derivación cualitativa no girocinética de
Eqs. (116-117).
Nos referiremos a Eqs. (116-121) como las ecuaciones de isother-
Líquido de electrones mal. Son válidos en una amplia gama de escalas:
las únicas limitaciones son que kâ â ° kâ (orden girocinético-
ing, § 3.1), ke 1 (los electrones están magnetizados, § 4.8.1) y
kmfpi (me/mi)1/2 (los electrones son isotérmicos, § 4.8.4). Los
región de validez de Eqs. (116-121) en el espacio de números de onda
se ilustra en la Fig. 4. Una ventaja particular de este híbrido
sistema cinético líquido es que es uniformemente válido a través de la
transición de iones magnetizados a iones no magnetizados (es decir, de
ki â € 1 a ki â € 1.
5. TURBULENCIA EN EL DISPOSITIVO INTERRIAL: RMHD KINETIC
Nuestro objetivo en esta sección es obtener un conjunto reducido de equa-
ciones que describen el plasma magnetizado en el límite de
ki. Antes de proceder con una expansión en ki, necesitamos
para dar un paso técnico formal, cuya utilidad será
se aclarará en breve. Un lector sin paciencia para esto o
cualquiera de los desarrollos técnicos posteriores puede saltar al
Resumen al final de esta sección (§ 5.7).
5.1. Un paso técnico
Vamos a dividir formalmente la función de distribución ion girocenter
en dos partes:
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
F0i + g
eik·Ri
J0(ai)
v2thi
J1(ai)
F0i + g. (124)
Entonces g satisface la siguiente ecuación, obtenida por substituto-
ing Eq. (124) y la expresión para Aaaat que sigue de:
Eq. (116) en la ecuación girocinética de iones (121):
# Ri # # Ri # # Cii # # Ri # # Ri # # Cii # # Cii # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Cii # # Cii # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # Ri # #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
¡Aá,á,á,á,á,á,á,á,á,á, á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
+
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (125)
En la ecuación anterior, hemos utilizado la notación compacta en
escribir los términos no lineales: por ejemplo,
¡Aá,á,á,á,á,á,á,á,á,á, á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á
(r)(r)(r)(r)
# ARi # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # #
, donde el primer Poisson
se refiere a los derivados con respecto a r y al segundo
con respecto a Ri.
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 21
Las ecuaciones de campo (118-120) reescritas en términos de g son
1(αi)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 0(αi)
[Ze.k.]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vJ0(ai)gk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (126)
4ηen0e
k2AÃ3k
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vvóJ0(ai)gk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
= uki, (127)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
2(αi) +
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 1(αi)
[Ze.k.]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
v2thi
J1(ai)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (128)
donde ai = kv/đi, αi = k
i /2 y hemos definido
0(αi) =
d3v [J0(ai)]
2 F0i
= I0(αi)e
* i = 1 * i + · · · ·, (129)
1(αi) =
v2thi
J0(ai)
J1(ai)
F0i = 0(αi)
= [I0(αi) − I1(αi)]
αi + · · ·, (130)
2(αi) =
v2thi
J1(ai)
F0i = 21(αi). (131)
Debajo de cada término en Eqs. 125-128), hemos indicado
el orden más bajo en ki al que entra este término.
5.2. Orden subsidiaria en ki
Para llevar a cabo una expansión subsidiaria en ki pequeño,
Debemos ordenar todos los términos en Eqs. (95-104) y (125-128) con
respeto a ki. Asumamos de nuevo, como hicimos cuando ex-
la ecuación de electrones (§ 4), que la introducción ordenando
para la girocinética en § 3.1 también para la sub-
Expansión sidiária en ki. Primera nota que, en vista de Eq. (47),
Hay que considerar que Zeel/T0i es menos de primer orden:
. (132)
También, como Bó / Bó / Bó [Eq. (12)],
(vâr/c)A
# # # Vthi. # # B. # # B. # # # # B. # # # # Vthi. # # # B. # # # B. # # # # Vthi. # # B. # # # # Vthi. # # B. # # # # Vthi. # # # B. # #
βi, (133)
por lo que فارسى y (vÃ3r/c)AÃ3 son el mismo orden.
Puesto que uâ = uâ € i (los electrones no contribuyen al flujo de masa),
suponiendo que las ondas lentas y las ondas de Alfvén tienen comparables
las energías implican ui u. Como uóñi es determinado por el segundo
igualdad en Eq. (127), podemos ordenar g [usando Eq. (12)]:
, (134)
así que g es orden cero en ki. De la misma manera, "ne/n0e" "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "B" / "
son orden cero en ki—esto sigue directamente de Eq. (12).
Junto con Eq. 3), las consideraciones anteriores nos permiten
ordenar todos los términos en nuestras ecuaciones. El orden de la colisión
En el apéndice B.2 se explica el término en el que está implicado
5.3. Olas de Alfvén: Derivación cinética de RMHD
Demostraremos ahora que las ecuaciones RMHD (17-18) sostienen
en esta aproximación. Hay una simple correspondencia que...
entre las funciones de flujo y flujo definidas en Eq. 16) y
los potenciales electromagnéticos de los tipos A y A:
*, * = −
4ηmin0i
. (135)
La primera de estas definiciones dice que el flujo perpendicular
velocidad u es la velocidad de deriva E×B; la segunda definición
es la relación MHD estándar entre la función de flujo magnético
y el componente paralelo del potencial vectorial.
5.3.1. Derivación de Eq. (17)
Derivado Eq. (17) es sencillo: en Eq. (95), conservamos
sólo los términos más bajos —menos primero— de orden (los que contienen
* y A.................................................................................................................................... El resultado es
= 0. (136)
Usando Eq. (135) y la definición de la velocidad de Alfvén, vA =
4?min0i, tenemos Eq. (17). Por el argumento de § 4.3,
Eq. (136) expresa el hecho de que las líneas de campo magnético son
congelado en el campo de velocidad E×B, que es el flujo medio
velocidad asociada con las ondas de Alfvén (véase § 5.4).
5.3.2. Derivación de Eq. (18)
Como estamos a punto de ver, con el fin de derivar Eq. (18), tenemos
separar la parte de primer orden de la expansión ki. Los
manera más fácil de lograr esto, es integrar Eq. (125) sobre el
espacio de velocidad (manteniendo constante r) y ampliar el resultado
ecuación en ki pequeño. Usando Eqs. (126) y (127) para expresar
las integrales velocidad-espacio de g, obtenemos
1 0(αi)
[Ze.k.]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1(αi)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
4ηen0e
k2AÃ3k
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vJ0(ai)Ri,g}k
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d3vJ0(ai)
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
22 SCHEKOCHIHIN ET AL.
. (137)
Debajo de cada término, el orden más bajo en ki a la que
se muestra la entrada. Vemos que los términos que contienen..... son todos los primeros
orden, por lo que depende de este orden que vamos a mantener los términos. Los
término de colisión integrado en el espacio de velocidad recoge dos
órdenes adicionales de ki (véase el Apéndice B.1), por lo que es segundo orden
y, por lo tanto, puede ser abandonado. Como consecuencia de la
neutralidad, la parte de orden cero de la ecuación anterior exactamente
coincide con Eq. (104), es decir, ni/n0i = ne/n0e
la misma ecuación. De hecho, descuidando los términos de segundo orden (pero
¡No los de primera orden!), el término no lineal en Eq. (137) (el último
término en el lado izquierdo) es
d3vvÃ3g
v2thi
, (138)
y, usando Eqs. (126-128) para expresar integrales velocidad-espacio
de g en la expresión anterior, encontramos que la parte de orden cero
de la no linealidad es lo mismo que la no linealidad en Eq. (104),
mientras que la parte de primer orden es
*2i* *2*
4ηen0e
# 2 A A #
, (139)
en el que hemos utilizado la expansión (129) de 0 (αi) y con-
Verted de nuevo en el espacio x.
Así, si restamos Eq. (104) de Eq. (137), el resto
der es el primer orden y lee
*2i* *2*
*2i* *2*
4ηen0e
# 2 # A # # # # # # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
4ηen0e
# 2 A A #
= 0. 140)
Multiplicando Eq. (140) por 2T0i/Ze
i y usando Eq. (135), nosotros
obtener la segunda ecuación RMHD (18).
Hemos establecido que el componente Alfvén-onda de la
la turbulencia se desacopla y se describe completamente por el RMHD
ecuaciones (17) y (18). Este resultado es el mismo que en
§ 2.2, pero ahora hemos demostrado que las colisiones no afectan a la
Alfvén ondas y que una descripción de fluido-como sólo requiere
ki â € 1 para ser válido.
5.4. Por qué Alfvén hace caso omiso de las colisiones
Escribamos explícitamente la función de distribución del ion
girocentros [Eq. (124)] a dos órdenes más bajas en ki:
Ri F0i +
v2thi
F0i + g + · · ·, (141)
donde, hasta las correcciones del orden k2
i, el anillo-promedio
potencial escalar es Ri = (Ri), el potencial escalar tomado en
la posición del girocentro de iones. Nótese que en Eq. (141), el
primer término es menos el primer orden en ki [ver Eq. (132)], la segunda
ond y los términos tercero son orden cero [Eq. (134)], y todos los términos
se omiten las órdenes primera y superior. Con el fin de calcular el
función de distribución completa de iones dada por Eq. (54), tenemos que
convertir hola al espacio r. Manteniendo los términos hasta el orden cero,
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
# Ri #
(Ri) =
(r) +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
(r) + · · ·
(r) +
2v ·uE
v2thi
+. .., (142)
donde uE = −c(r)× /B0, la velocidad de deriva E×B. Sub-
la creación de Eq. (142) en Eq. (141) y luego Eq. (141) en
Eq. (54), encontramos
fi = F0i +
2v ·uE
v2thi
F0i +
v2thi
F0i + g + · · · ·. (143)
Los dos primeros términos se pueden combinar en un Maxwellian
con velocidad de flujo perpendicular media u = uE. Estos son
los términos responsables de las olas de Alfvén. El resto
los términos, que vamos a denotar, son la perturbación de la
Maxwellian en el marco en movimiento de las ondas Alfvén — ellos
Describa el componente pasivo (compresor) del turbu-
lence (ver § 5.5). Por lo tanto, la función de distribución de iones es
(ηv2thi)
(v − uE)2 + v2
+ ♥ fœi. (144)
Esto arroja luz sobre la indiferencia de las olas de Alfvén
a colisiones: las perturbaciones alfvénicas no cambian la
Carácter Maxwelliano de la distribución iónica. A diferencia de un neu-
Líquido o gas tral, donde la viscosidad surge cuando las partículas trans-
el puerto el impulso medio local una distancia de mfpi, el parti-
En un plasma magnetizado, instantáneamente se enfrentan a la
Cal E×B velocidad (se toma un ciclotrón período para ajustar, por lo que,
En términos generales, el "i" juega el papel del camino libre medio).
Por lo tanto, no hay memoria del movimiento perpendicular medio
y, por lo tanto, ningún transporte de impulso perpendicular.
Algunos lectores pueden encontrar esclarecedor notar que
Eq. (140) puede interpretarse como diciendo simplemente j = 0: el primero
dos términos representan la divergencia de la corriente de polarización,
que es perpendicular al campo magnético;22 los dos últimos
los términos son bó jó. Ninguna contribución a la corriente surge de
el término de colisión en Eq. (137) como causa de las colisiones ion-ion
ningún transporte de partículas al orden más bajo en ki.
5.5. Fluctuaciones compresivas
Las ecuaciones que describen la densidad y el magnético-
las fluctuaciones de la fuerza de campo se producen inmediatamente a partir de
Eqs. (125-128) si sólo se mantienen los términos de orden cero. En estos
ecuaciones, los términos que involucran a Ao y Ao también contienen factores
• k22i y son, por lo tanto, de primer orden [con la excepción de
la no linealidad en el lado izquierdo de Eq. (125)]. El hecho
que "Cii[Ri F0i]Ri en Eq. (125) es el primer orden se demuestra en Ap-
pendix B.2. Abandonar estos términos junto con todos los demás contri-
butiones de orden superior a cero y haciendo uso de Eq. (69)
22 La velocidad de polarización-drift es formalmente más alta que la de la uE en el
Expansión girocinética. Sin embargo, dado que uE no produce ninguna corriente,
la contribución de orden más bajo a la corriente perpendicular proviene de la
deriva de polarización. Las contribuciones de orden superior al girocentro distri-
la función de butión no necesitaba ser calculada explícitamente porque la
sión sobre la carga de polarización es llevada efectivamente por la cuasi-neutralidad
afección (61). No estamos trabajando en este punto porque, en nuestro enfoque, el no-
Únicamente se introducen cargos de polarización con fines interpretativos,
pero no es necesario para llevar a cabo los cálculos. Para más análisis cualitativos
del papel de la carga de polarización y la deriva de polarización en la girocinética,
nos referimos al lector a Krommes 2006 y referencias en él.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 23
para escribir Ri, encontramos que Eq. (125) toma la forma
+ vâ ° bâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
v2thi
v2thi
, (145)
donde hemos utilizado definiciones (122-123) de la convectiva
tiempo derivado d/dt y el gradiente total a lo largo del magnético
campo bâ · â € para escribir nuestra ecuación en una forma compacta. Nota
que, habida cuenta de la correspondencia entre Φ,
[Eq. (135)], estos derivados no lineales son los mismos que
definido en Eqs. (19-20). El término de colisión en la mano derecha
lado de la ecuación anterior es el límite de orden cero de la gy-
Rokinetic ion–ion colisioner: una forma de modelo útil de la misma
se indica en el apéndice B.3 [Eq. (B18)].
A cero orden, Eqs. (126-128) son
d3vg, (146)
d3vvÃ3g, (147)
v2thi
g. (148)
Obsérvese que u® no es una cantidad independiente—puede ser com-
de la distribución iónica, pero no es necesario
En el caso de los países de la Europa central y oriental, la tasa de crecimiento de la población de los países de la Europa central y oriental se sitúa en torno a la media de los países de la Europa central y oriental, mientras que en el caso de los países de la Europa central y oriental, la tasa de crecimiento de la población de los países de la Europa central y oriental se sitúa en torno a la media de los países de la Europa central y oriental.
Las ecuaciones (145-148) evolucionan la función de distribución iónica
g, las “cantidades de onda lenta” uâ, Bâ, y la densidad fluc-
las teaciones de los Estados Unidos de América. Las no linealidades en Eq. (145), que figura en
d/dt y b, se refieren a las cantidades de onda alfvén Φ y
(o, equivalentemente, de los tipos A y A) determinados por separado e inde-
Pendentamente por las ecuaciones RMHD (17-18). La situación
es cualitativamente similar a la del MHD (§ 2.4), excepto ahora
una descripción cinética es necesaria—Eqs. (145-148) sustitúyase
Eqs. (25-27)—y la dispersión/mezcla no lineal del lento
ondas y el modo de entropía por las ondas Alfvén toma la
forma de advección pasiva de la función de distribución g.
La densidad y las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético son la velocidad.
momentos espaciales de g.
Otra forma de entender la naturaleza pasiva de los com-
componente de presión de la turbulencia discutida anteriormente es a
pensar en ello como la perturbación de un equilibrio local Maxwelliano-
rio asociado con las ondas de Alfvén. De hecho, en § 5.4, nosotros
dividir la función de distribución completa de iones [Eq. (144)] en tal
local Maxwellian y su perturbación
En el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, el valor de los neumáticos de dos ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
v2thi
F0i. (149)
Es esta perturbación que contiene toda la información sobre
el componente de compresión; el segundo término en el anterior ex-
la presión impone al orden más bajo la conservación de la primera
adiabático invariante μi = miv
/2B. En términos de la función
(149), Eqs. (145-148) tomar una forma algo más compacta
(cf. Schekochihin et al. 2007):
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
v2thi
+ vábÃ3
f‡i +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, (150)
FIG. 5.- Canales de la cascada cinética de la energía generalizada (§ 3.4)
de escalas grandes a pequeñas: véase § 2.7 y el apéndice D.2 (rango inercial,
régimen de colisión), § 5.6 y § 6.2.5 (rango inercial, régimen sin colisión),
§ 7.8 y § 7.12 (rango de disipación). Tenga en cuenta que un poco de calefacción de iones probablemente
también resulta de la colisión y amortiguación sin colisión de la compresión
fluctuaciones en el rango inercial (véanse § 6.1.2 y § 6.2.4).
d3vŁ fсi, (151)
v2thi
♥ fœi. (152)
5.6. Energía Generalizada: Tres Cascadas KRMHD
La energía generalizada (§ 3.4) en el límite ki 1 es cal-
culado sustituyéndolo por Eq. (109) el ion perturbado dis-
función de asignación fi = 2v · uEF0i/v2thi + ♥ fœi [véase Eqs. (143)
y 144)]. Después de realizar la integración de velocidad, obtenemos
min0iu
n0iT0i
2i
=WAW +Wcompr. (153)
Vemos que la energía cinética de las fluctuaciones alfvénicas
ha surgido de la parte ion-entropía de la
Ergy. Los dos primeros términos en Eq. (153) son el total (cinético
más magnética) la energía de las ondas Alfvén, denotado WAW. As
Aprendimos de § 5.3, que cascadas independientemente del resto de
la energía generalizada, Wcompr, que contiene los com-
componente de la turbulencia (§ 5.5) y es el invariante
conservada por Eqs. (150-152).
En términos de los potenciales utilizados en nuestra discusión sobre el RMHD
en el § 2, tenemos
WAW =
min0i
2 + 2
min0i
2 + 2
=W +AW +W
AW (154)
donde W + AW y W
AW son las energías de las ondas “+” y “−”
[Eq. (33)], que, como sabemos de § 2.3, cascada por dispersión-
Pero sin intercambiar energía.
Por lo tanto, la cascada cinética en el límite ki 1 se divide, en-
dependientemente de la colisionalidad, en tres cascadas: de W + AW,
24 Schekochihin et al.
W-AW y Wcompr. La cascada de compresión está, de hecho, dividida
en tres cascadas independientes — la división es diferente en
el límite de colisión (apéndice D.2) y en el
uno (§ 6.2.5). La figura 5 resume esquemáticamente ambos
división de la cascada cinética que hemos trabajado hasta ahora
y los próximos acontecimientos.
5.7. Resumen
En § 4, la girocinética se redujo a un cinético-líquido híbrido
sistema por medio de una expansión en la masa de electrones, que
era válido para ke â € 1. En esta sección, tenemos más re-
estricto el rango de escala tomando ki â € 1 y como resultado han
ha sido capaz de lograr una nueva reducción de la complejidad de la
la teoría cinética que describe las cascadas turbulentas. La re-
la teoría derivada aquí evoluciona 5 funciones desconocidas: Φ,
Las funciones de flujo y flujo, Φ y
se relacionan con las cantidades de líquido (velocidad
Perturbaciones del campo magnético) vía Eq. (16) y al electro-
Potenciales magnéticos, A, vía Eq. (135). Cumplen con un cerrado
sistema de ecuaciones, Eqs. (17-18), que describen la decou-
cascada de ondas de Alfvén. Estas son las mismas ecuaciones
que surgen de las aproximaciones del MHD, pero ahora tenemos
probado que su validez no depende de la suposición
de alta colisiones (límite del fluido) y se extiende a escalas
muy por debajo del camino libre medio, pero por encima de la giroescala de iones.
Las razones físicas para esto se explican en el § 5.4. La guarida...
las fluctuaciones de la intensidad de los campos magnéticos y magnéticos (los “compres-
fluctuaciones sisivas, o las ondas lentas y el modo de entropía en
el límite MHD) requiere ahora una descripción cinética en términos de
la función de distribución iónica g [o ♥ fсi, Eq. (149)], evolucionado por
la ecuación cinética (145) [o Eq. (150)]. La ecuación cinética
contiene Łne y ŁB®, que se calculan a su vez en términos
de las integrales velocidad-espacio de g a través de Eqs. (146) y (148)
[o Eqs. (151) y (152)]. La evolución no lineal (turbulenta)
la cascada) de g, B y B se debe únicamente a la advección pasiva
de g por la turbulencia de la onda Alfvén.
Resumamos el nuevo conjunto de ecuaciones:
= vAbâ, (155)
2 = vAb 2, (156)
+ vâ ° bâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
v2thi
v2thi
, (157)
v2thi
(158)
v2thi
g, (159)
donde
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
· · · · ·. (160)
Una forma explícita del término de colisión en el lado derecho de
Eq. (157) figura en el apéndice B.3 [Eq. (B18)].
La energía generalizada conservada por Eqs. (155-159) es
dado por Eq. (153). La cascada cinética se divide, el Alfvénic
cascada que procede independientemente de la compresiva
(véase la Fig. 5).
El desacoplamiento de la cascada Alfvénic se manifiesta por
Eqs. (155-156) formando un subconjunto cerrado. Como ya se ha señalado en
§ 4.9, Eq. (155) es el componente de la ley de Ohm a lo largo del total
campo magnético, B ·E = 0. Ecuación (156) puede interpretarse como
la ecuación de evolución para la vorticidad de la perpendicular
velocidad de flujo plasmático, que es la velocidad de deriva E×B.
Nos referiremos al sistema de ecuaciones (155-159) como Ki-
netic Magnetohidrodinámica Reducida (KRMHD)23.
descripción cinética de fluidos híbridos de turbulencias de baja frecuencia
en plasma fuertemente magnetizado débilmente colisional que es uni-
válida en todas las escalas que satisfagan ki min(1,kmfpi)
(los iones están fuertemente magnetizados)24 y kmfpi (me/mi)1/2
(los electrones son isotérmicos), como se ilustra en la Fig. 2. Por lo tanto,
conecta sin problemas los regímenes de colisión y sin colisión
y es la teoría apropiada para el estudio de la turbulenta cas-
cadetes en el rango inercial. Las ecuaciones KRMHD generalizan
más bien directamente a plasmas que son tan sin colisiones
que uno no puede asumir una distribución de equilibrio Maxwelliano-
ión (Chen et al. 2009)—una situación que es relevante
en algunas de las mediciones de viento solar (ver más
sión en el punto 8.3).
KRMHD describe lo que sucede con la cascada turbulenta en
o por debajo de la giroescala de iones, pasaremos a estas escalas
en el § 7, pero primero nos gustaría discutir las cascadas turbulentas
de las fluctuaciones de densidad y de la fuerza magnética de los campos y sus
amortiguación por mecanismos de colisión y sin colisión.
6. FLUCTUACIONES COMPRESIVAS EN EL CAMPO INTERRIOR
Aquí primero derivamos las ecuaciones no lineales que gobiernan
la evolución de la compresión (densidad y campo magnético-
resistencia) fluctuaciones en la colisión (kmfpi â > 1, § 6.1 y
Apéndice D) y sin colisiones (kmfpi â 1, § 6.2)
cuss la amortiguación lineal que estas fluctuaciones experimentan en el
dos límites y determinar la forma que toma la energía generalizada
para las fluctuaciones de compresión (que es particularmente interesante
en el límite sin colisiones, 6.2.3-6.2.5). Al igual que en la sección anterior
ciones, un lector impaciente puede saltarse a § 6.3 donde los resultados
de las dos subsecciones anteriores se resumen y el
aplicaciones para la estructura de las cascadas turbulentas de la
Se discuten las fluctuaciones de densidad y fuerza de campo.
6.1. Régimen de colisiones
6.1.1. Ecuaciones
En el régimen de colisión, kmfpi-1, el límite de fluido es re-
cubierto por Eqs en expansión. (155-159) en kmfpi pequeño. Los
El cálculo que es necesario para lograr esto se realiza en Ap-
pendix D (véase también el apéndice A.4). El resultado es un conjunto cerrado
23 El término se introduce por analogía con un sistema cinético-fluido popular
conocida como Kinetic MHD, o KMHD (véase Kulsrud 1964, 1983). KMHD es de-
rived para plasmas magnetizados (l'i â °mfpi) bajo la suposición de que k's â € 1
Sin embargo, en el caso de los productos de la partida 84.01, el valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto de la partida 84.01, el valor de todas las materias utilizadas no excederá del 50 % del precio franco fábrica del producto de la partida 84.01.
pequeñas fluctuaciones (B B0). Las ecuaciones KRMHD (155-159) pueden ser
se recuperó de KMHD mediante la aplicación de la orden GK-RMHD [Eq. (12)
y § 3.1] y una expansión en (me/mi)1/2 (Schekochihin et al. 2007). Esto
significa que la expansión ki (§ 5), que para KMHD es la ex- primaria
pansión, se desplaza con la expansión girocinética (§ 3) y el (me/mi)1/2
expansión (§ 4), que lo precedieron en este artículo.
24 La condición ki kmfpi debe ser satisfecho porque en nuestro esti-
Compañeros de los términos de colisión (Apéndice B.2) tomamos ki â > 1 mientras assum-
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 25
de tres ecuaciones de fluidos que evolucionan:
= b +
, (161)
= v2Abâ
+ ibá
Bâ â € TM TM â TM TM â TM â TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
, (162)
ibá
bâ Ti
, (163)
donde
ibá u
, (164)
y i y i son los coeficientes de viscosidad iónica paralela
y la difusividad térmica, respectivamente. El viscoso y el...
la mala difusión son anisotrópicas porque el plasma está magnetizado,
(Braginskii 1965). El método de cálculo de
i y i se explican en el apéndice D.3. Aquí vamos a...
nore prefactores numéricos de la unidad de orden y dar orden-de-
valores de magnitud para estos coeficientes:
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
v2thi
• vthiđmfpi. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (165)
Si establecemos i = i = 0, Eqs. (161-164) son los mismos que el
Ecuaciones RMHD de § 2 con la velocidad de sonido definida como
cs = vA
. (166)
Esta es la definición natural de cs para el caso de adiabático
iones, cuya relación de calor específica es γi = 5/3, y elec-
trons, cuya relación de calor específica es γe = 1 [porque
Véase Eq. (103)]. Nótese que Eq. (164) es equivalente a la
balance de presión [Eq. 22) de § 2] con p = niTi + neTe y
* Pe = Tune.
Como en el § 2, las fluctuaciones descritas por Eqs. (161-164) sep-
arate en el modo de entropía de frecuencia cero y la izquierda- y
ondas lentas propagadoras derechas con
• • = ± • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1 + v2A/c2s
(167)
[véase Eq. (30)]. Los tres están en cascada independientemente de cada uno
otro a través de la interacción no lineal con las ondas Alfvén. In Ap-
pendix D.2, mostramos que el Wcompr de energía generalizada para
Este sistema, dado en el § 5.6, se divide en los tres inva-
hormigas W +sw, W
sw, y Ws, definidos por Eqs. (34-35) (véase la Fig. 5).
6.1.2. Disipación
Los términos de difusión añaden disipación a las ecuaciones. Sé...
la difusión de la causa se produce a lo largo de las líneas de campo de la
campo neto (campo medio más perturbación), los términos difusivos
son no lineales y el proceso de disipación también implica interac-
con las olas de Alfvén. Podemos estimar la característica
escala paralela en la que los términos de difusión se vuelven importantes
equilibrando el tiempo de cascada no lineal y el difu-
Tiempo de sión:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
βi, (168)
donde hemos usado Eq. (165).
Técnicamente hablando, el corte dado por Eq. (168) siempre
se encuentra en el rango de kÃ3 que está fuera de la regiÃ3n de validez
de la expansión pequeña-kmfpi adoptada en la derivación de
Eqs. (161-163). De hecho, en el límite bajo de la beta, la colisión
el corte cae manifiestamente en el rango de escala sin colisión, es decir,
la aproximación de colisión (fluido) se descompone antes de la
cascadas de ondas lentas y entropía están amortiguadas y uno debe utilizar
el límite sin colisiones (cinético) para calcular la amortiguación (véase
§ 6.2.2). La situación es diferente en el límite alto de la beta: en
este caso, la expansión en kmfpi pequeño se puede reformular
como una expansión en pequeña 1/
βi y el corte cae dentro de la
rango de validez de la aproximación del fluido. Ecuaciones (161-
163) en este límite son
= bâ uâ, (169)
= v2Abâ
+ ibá
Bâ â € TM TM â TM TM â TM â TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
, (170)
1 + Z/
5/3 + Z/
ibá
bâ ne
. (171)
Como en § 2 [Eq. (28)], las fluctuaciones de densidad [Eq. (171)]
desacoplado de las ondas lentas [Eqs. (169-170)]. Las primeras
son amortiguados por la difusión térmica, esta última por la viscosidad. Los
las relaciones de dispersión lineales correspondientes son
• = −i
1 + Z/
5/3 + Z/
â € ¢, (172)
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
ik
. (173)
Ecuación (172) describe fuerte amortiguación difusiva de la guarida-
fluctuaciones de la sidad. La relación de dispersión de onda lenta (173)
dos regímenes distintos:
1. Cuando kÃ3r < 2vA/i, describe sÃ3lo amortiguado viscosamente
olas. En particular, en el límite kmfpi 1/
βi, nosotros
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (174)
2. En el caso de las soluciones «ká» > 2vA/i, ambas se convierten en puramente imag-
inario, por lo que las ondas lentas se convierten en aperiódico
fluctuaciones decadentes. Los más corruptos (difusivos)
la rama tiene −iik2, el más débil-dañado tiene
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
mfpi
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
mfpi
. (175)
Este efecto de amortiguación se llama relajación viscosa. Lo es.
válida hasta kmfpi â € 1, donde se sustituye por el col-
amortiguación sin lision discutida en el § 6.2.2 [véase Eq. (190)].
Los mecanismos de disipación viscoso y térmico-difusivo
en los límites en los que son eficientes,
Calentamiento de iones a través de la vía estándar de fluidos (colisionales),
el desarrollo de pequeñas escalas paralelas en el espacio de posición,
pero no en el espacio de velocidad (véanse § 3.4 y § 3.5).
6.2. Régimen sin colisiones
6.2.1. Ecuaciones
En el régimen sin colisiones, kmfpi-1, la colisión inte-
gral en el lado derecho de la ecuación cinética (157) puede ser
26 SCHEKOCHIHIN ET AL.
descuidado. La dependencia v puede entonces integrarse fuera de
Eq. (157). De hecho, vamos a introducir los siguientes dos auxiliares:
funciones:
Gn(vÃ3r) = −
dv v
v2thi
g, (176)
GB(v+) = −
dv v
v2thi
g. (177)
En términos de estas funciones,
dvágGn,
dvášGB (178)
y Eq. (157) se reduce a los dos siguientes:
ecuaciones cinéticas dimensionales
+ vábÃ3 Gn = −
v'FM(v')
×b
, (179)
+ vábÃ3 GB =
v'FM(v')
×b
, (180)
donde FM(vÃ3r) = (1/
ηvthi)exp(−v2°/v
ti) es un unidimensional
Maxwellian. Este sistema se puede diagonalizar, por lo que se divide en
dos ecuaciones desconectadas
+vóbó G± =
v'FM(v')
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Dv G
±(v), (181)
donde
± = −
(182)
y hemos introducido un nuevo par de funciones
G+ = GB +
Gn, G
− = Gn +
GB, (183)
donde
= 1 +
. (184)
La ecuación (181) describe dos cascadas cinéticas desconectadas,
que discutiremos con mayor detalle en el apartado 6.2.3-6.2.5.
6.2.2. Amortiguación sin colisiones
Fluctuaciones descritas por Eq. (181) están sujetos a colisión-
menos amortiguación. De hecho, vamos a linealizar Eq. (181), Fourier trans-
forma en el tiempo y el espacio, dividir a través de −i(• − kâ € € € €, y
integrar sobre vÃ3r. Esto da la siguiente relación de dispersión
(la rama “−” es para G−, la rama “+” para G+)
IZ (Ii) = IZ
± − 1, (185)
FIG. 6.— Esquema de log-log (impresión artística) de la relación de la
velocidad de amortiguación de las fluctuaciones de la intensidad del campo magnético a la frecuencia de Alfvén
kávA en el límite de alta beta [véase Eqs. (173) y (190)]. En Barnes et al. (2009),
esta parcela se reproduce a través de una solución numérica directa del ión linealizado
Ecuación girocinética con colisiones.
en los que se indica que el valor de la sustancia problema es superior al valor de la sustancia problema.
βi y hemos utilizado el
Función de dispersión plasmática (Fried & Conte 1961)
Z (i) =
x − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(186)
(la integración está a lo largo del contorno de Landau). Esta función es
no debe confundirse con el parámetro de carga ion Z = qi/e.
Formalmente, Eq. (185) tiene un número infinito de soluciones.
Cuando βi â € 1, todos están fuertemente amortiguados con las tasas de amortiguación
El tiempo de amortiguación es compara-
ble a la escala de tiempo característica en la que el Alfvén ondea
causar estas fluctuaciones en cascada a escalas más pequeñas.
Es interesante considerar los límites de alta y baja beta.
Alto límite de beta. - Cuando βi â € 1, tenemos en Eq. (185)
− − 1 2
, G− Gn, (187)
+ − 1
, G+ GB+
Gn. (188)
La rama “−” corresponde a las fluctuaciones de densidad. Los
solución de Eq. (185) tiene Im(i) 1, por lo que estas fluctuaciones son
muy amortiguado:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
βi. (189)
La tasa de amortiguación es mucho mayor que la tasa de Alfvénic kávA
de la cascada no lineal. En cambio, para la rama “+”, la
la tasa de amortiguación es pequeña: se puede obtener expandiendo Z(i) =
η + O (), que da25
• = −i
kvthi
kvA
. (190)
Dado que Gn está fuertemente amortiguado, Eq. (188) implica G
+ GB, es decir,
las fluctuaciones que se amortiguan a la velocidad (190) son predom-
Inantamente de la fuerza del campo magnético. La tasa de amortiguación es un
25 Este es el límite girocinético (k/k 1) de la amortiguación más general
efecto conocido en la astrofísica como el Barnes (1966) amortiguación y en plasma
física como amortiguación del tiempo de tránsito. Recordamos al lector que nuestro enfoque fue
para llevar a cabo la expansión girocinética (en pequeño kó/kó) primero, y luego tomar
el límite alto de beta como una expansión subsidiaria. Un enfoque más estándar en
la teoría lineal de las ondas plasmáticas es tomar el límite de βi alto mientras se trata
k/k como cantidad arbitraria. Cálculo detallado de las tasas de amortiguación
hecho de esta manera se puede encontrar en Foote & Kulsrud (1979).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 27
constante (independiente de k) fracción pequeña 1/
βi del
Velocidad de cascada alfvénica.
In Fig. 6, damos un diagrama esquemático de la velocidad de amortiguación de la
Fluctuaciones de la fuerza del campo magnético (ondas lentas)
los límites cinéticos y de fluidos para βi â € 1.
Límite bajo de beta. - Cuando βi â € 1, tenemos
− − 1
, G− Gn+
GB, (191)
+ − 1 2
, G+ GB. (192)
Para la rama “−”, tenemos de nuevo Im(i) 1, así que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
βi, (193)
que ahora es mucho más pequeño que la tasa de cascada Alfvénic
kárvA. Para la rama “+” (predominantemente la fuerza de campo)
fluctuaciones), buscamos una solución con = −ii y i 1.
Luego Eq. (185) se convierte en "iZ" (i) 2
η i exp(i) = 2/βi. Arriba
a correcciones logarítmicamente pequeñas, esto da i
lnβi,
de dónde
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
βi lnβi. (194)
Mientras que esta tasa de amortiguación es ligeramente mayor que la de la “−”
rama, todavía es mucho más pequeño que la tasa de cascada Alfvénic.
6.2.3. Invariantes sin colisiones
Ecuación (181) obedece a una ley de conservación, que es muy fácil
a derivar. Multiplicando Eq. (181) por G±/FM e integración
sobre el espacio y las velocidades y realizar la integración por partes
en el lado derecho, tenemos
(G±)2
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
dvavvvg
±. (195)
Por otro lado, la integración de Eq. (181) sobre vó ́ da
± = −bó
dvavvvg
±. (196)
Usando esto para expresar el lado derecho de Eq. (195) en su totalidad
derivada del tiempo, encontramos
dW±compr
= 0, (197)
donde están las dos invariantes
W±compr =
n0iT0i
(G±)2
(198)
Es útil (y siempre posible) dividir
G± = FM
± + G, (199)
donde
dvággg
± = 0 por construcción. Entonces
W±compr =
n0iT0i
(G)2
. (200)
Escritas en esta forma, las dos invariantes W±compr son mani-
festly positivas cantidades definidas porque > 1 y < 0.
Los invariantes regulan las dos cascadas cinéticas desacopladas de
fluctuaciones de compresión en el régimen sin colisiones. El col-
la amortiguación sin lision derivada del § 6.2.2 conduce a la de-
cay de las fluctuaciones de densidad y de fuerza de campo, o equiva-
Lentamente, de
±, conservando W±compr. Esto significa que
la amortiguación no es más que una redistribución de la cantidad conservada
tity W±compr: el primer término en Eq. (200) crece para compensar
por la decadencia del segundo.
6.2.4. Mezcla lineal en fase paralela
En términos dinámicos, ¿cómo hace el sistema cinético Eq. (181)
organizar la integral de la función de distribución G±(vÃ3r) a
¿Decaer mientras permite que su norma crezca? Esto es muy bueno.
fenómeno conocido de la mezcla en fase (lineal) (Landau 1946;
Hammett et al. 1991; Krommes & Hu 1994; Krommes 1999;
Watanabe & Sugama 2004). Para decirlo en términos simples, el
solución del Eq linealizado. (181) consiste en el inhomoge-
parte neous, que contiene la amortiguación sin colisión y el
parte homogénea (solución del lado izquierdo = 0) dada por
La llamada respuesta balística (esta es también la
Solución no lineal si t y kÃ3r se interpretan como Lagrangian
variables en el marco de las ondas Alfvén; véase § 6.3). As
el tiempo pasa, esta parte de la solución se vuelve cada vez más
oscilatorio en v», por lo que su integral de velocidad tiende a cero, mientras que
su amplitud no decae. Se trata de tales contribuciones balísticas
que componen el término G en Eq. (200).
A medida que el gradiente de velocidad de G aumenta con el tiempo,
En algún momento puede llegar a ser suficiente.
grande para activar la integral de colisión [el lado derecho de
Eq. (157)], que hasta ahora ha sido descuidado. De esta manera el col-
amortiguación sin lisión de las fluctuaciones de compresión se puede girar
en la calefacción de iones, un simple ejemplo de un prin-
Cíclode de cómo se transfiere la energía de fluctuación electromagnética
en calor a través de la parte entropía de la energía generalizada (§ 3.5).
De hecho, probaremos en § 6.2.5 que los invariantes W±compr son
componentes de la energía general generalizada funcional
para las fluctuaciones de compresión, por lo que su cascada a pequeña
escalas en el espacio de fase es parte de la cascada cinética general en
introducida en el artículo 3.4.
No está del todo claro cuán eficiente es la fase paralela
método de mezcla para calentar los iones y, por lo tanto,
la energía de las fluctuaciones de compresión sin amortiguación ionizada termina
en el calor iónico o más bien alcanza la giroescala iónica y las parejas
volver al componente Alfvénic de la turbulencia (§ 7.1). Los
respuesta a esta pregunta dependerá de si la compresión
las fluctuaciones pueden desarrollar grandes kás—un problema no trivial más
se examina en el apartado 6.3.
6.2.5. Energía Generalizada: Tres Cascadas sin Colisión
Ahora vamos a mostrar cómo la energía generalizada para com-
las fluctuaciones de presión en el régimen sin colisiones incorpora
los dos invariantes derivados en § 6.2.3.
Reescribiendo la parte compresiva del KRMHD generalizado
energía [Eq. (153)] en términos de la función g [véase Eq. (149)],
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
Wcompr =
n0iT0i
. (201)
28 Schekochihin et al.
Usando Eqs. (178) y (183), podemos expresar a
términos de
± como se indica a continuación
, (202)
, (203)
donde se definía en Eq. (184) y
. (204)
Para expresar g en términos de G±, tenemos que reconstruir
la dependencia v de g, que integramos al principio-
ión de § 6.2.1.
Representemos la función de distribución de la siguiente manera:
ηv2thi
e-xá(x,vá), á(x,vá) =
Ll(x)Gl(v®), (205)
donde x = v2/v
y nos hemos expandido en Laguerre poli-
nomios Ll(x) = (e
x/l!)dl/dxl)xle−x. Desde el polino de Laguerre...
Mials son ortogonales, el primer término en Eq. (201) se divide en una
suma de “energías” asociadas a los coeficientes de expansión:
. (206)
Los coeficientes de expansión se determinan a través del Laguerre
transformar:
Gl(vÃ3r) =
dxe−xLl(x)®(x,v®). (207)
Como L0 = 1 y L1 = 1 − x, es fácil ver que
se expresarán como combinaciones lineales de
dvaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
dvášG1
[véase Eqs. (176-178)]. Usando Eqs. (176), (177), y (183), nosotros
puede mostrar que
G0 = −
+G+ +
* 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 2 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1
, (208)
G+ −
, (209)
donde G± satisface Eq. (181). Como se indica a continuación, Eq. (157) (n-
) todas las expansiones de mayor orden co-
los eficientes satisfacen una ecuación homogénea simple:
+ vÃ3bÃ3 Gl = 0, l > 1. (210)
Por lo tanto, la función de distribución se puede escribir explícitamente en
términos de G±:
G0(v+) +
v2thi
G1(v+)
ηv2thi
ti + g, (211)
donde G0 y G1 son administrados por Eqs. (208-209) y
el resto de la expansión de Laguerre (todas Gl con l > 1),
Es decir, es la solución homogénea de Eq. (157) que no
contribuir a la densidad o a la resistencia del campo magnético:
+ vábÃ3 gñ = 0,
d3v g = 0,
v2thi
g‡ = 0. (212)
Ahora sustituyendo Eqs. (208) y (209) en Eq. (206) y
a continuación, sustituyendo el resultado y Eqs. (202-203) hacia Eq. (201),
nos encontramos después de algunas manipulaciones sencillas
Wcompr =
T0ig
()2W +compr
()2W −compr, (213)
donde el Eq. es definido por el Eq. (204) y W±compr son los dos inde-
pendent invariantes que derivamos en § 6.2.3. Por lo tanto, el gener-
energía alizada para las fluctuaciones de compresión se divide en tres in-
partes en cascada dependientes: W±compr asociado con la den-
y las fluctuaciones magnéticas de la fuerza del campo y un
parte neta dada por el primer término en Eq. (213) (véase la Fig. 5).
La evolución dinámica de este componente puramente cinético es
descrita por Eq. (212)—se trata de una mezcla pasiva, inalterada
modo balístico.
Los tres canales en cascada conducen a un pequeño spa perpendicular.
básculas a través de la mezcla pasiva por la turbulencia alfvénica y
También a escalas pequeñas en và a través de la fase paralela de mezcla pro-
§ 6.2.4 (obsérvese que g° está sujeto a este proceso
también).
6.3. Cascadas paralelas y perpendiculares
Volvamos a la ecuación cinética (157) y transformémonos
al marco Lagrangian asociado con el campo de velocidad
u = de las ondas Alfvén: (t,r) → (t,r0), donde
r(t,r0) = r0 +
dd ′u(t)
′,r(t ′,r0)). (214)
En este marco, la derivada convectiva d/dt definida en
Eq. (160) se convierte en Ł/Łt, mientras que el gradiente espacial paralelo
se puede calcular mediante el empleo de la solución de Cauchy para
el campo magnético perturbado فارسىB = :
(t,r) = +
B(t,r)
= (0,r0) 0r, (215)
donde r es dada por Eq. (214) y 0 ° = °/°r0. Entonces
bâ = bâ(0,r0) ·
= b(0,r0) 0 =
, (216)
donde s0 es la longitud del arco a lo largo del campo magnético perturbado
se toma en t = 0 [si lB(0,r0) = 0, s0 = z0]. Por lo tanto, en el La-
marco grangiano asociado con el componente Alfvénic de
la turbulencia, Eq. (157) es lineal. Esto significa que, si el
efecto de iones finitos giroradio es descuidado, el sistema KRMHD-
mento no da lugar a una cascada de densidad y magnética
fluctuaciones de la fuerza de campo a escalas más pequeñas a lo largo del movimiento
Las líneas de campo (perturbadas), es decir, bâ · ne y bâ · · Bâ · no se encuentran en
acre. En cambio, hay una cascada perpendicular (cascada)
en k): la desviación perpendicular de las líneas de campo debido a la
Las turbulencias alfvénicas causan la mezcla pasiva de
la dirección transversal al campo magnético (véase § 2.6 para una
recapitulación rápida del argumento de escalado estándar en el
cascada pasiva que conduce a una k
en la di- perpendicular
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 29
FIG. 7.- Mezcla lagrangiana de campos pasivos: las fluctuaciones se desarrollan pequeñas
escalas a través, pero no a lo largo de las líneas de campo exactas.
rection). El gráfico 7 ilustra esta situación26.
Enfatizamos que esta falta de refinamiento no lineal de la
La escala de las líneas de campo en movimiento es una de las siguientes:
propiedad del componente de compresión de la turbulencia,
no compartido por las olas de Alfvén. De hecho, a diferencia de Eq. (157), el
Ecuaciones RMHD (155-156), no reducir a una forma lineal
bajo la transformación lagrangiana (214), por lo que el Alfvén
ondas deben desarrollar pequeñas escalas tanto a través como a lo largo de la
campo magnético perturbado.
Si la densidad y el campo magnético-resistencia fluctua-
ciones desarrollan pequeñas escalas a lo largo del campo magnético tiene directa
consecuencias físicas y observacionales. Represas de estos
las fluctuaciones, tanto en los regímenes de colisión como sin colisiones,
§ 6.1.2 y § 6.2.2, respectivamente, depende de
en su escala a lo largo del campo perturbado: de hecho, el
resultados lineales derivados hay exactos en el marco Lagrangian
(214). Para resumir estos resultados, la tasa de amortiguación de
y en el punto βi 1 es:
vthimfpik20, k0mfpi 1, (217)
vthiká0, kÃ30Ã3mfpi Ã1, (218)
donde el número de onda a lo largo del campo perturbado
(es decir, si no hay cascada paralela, el número de onda de la
agitación a gran escala).
Si esta amortiguación corta las cascadas de Ne y B
depende de las magnitudes relativas de la tasa de amortiguación γ para
a k dado y el tipo característico a que el Alfvén
las ondas hacen que el ne y el b a cascada a k más alto. Esta tasa
es A, kA, donde kA es el número de onda paralela de la
Alfvén ondas que tienen el mismo k. Desde las olas de Alfvén
tienen una cascada paralela, asumiendo escala por escala crítica
el saldo (3) conduce a [Eq. 5)]
kâ € A â € k
0. (219)
Si, a diferencia de las olas de Alfvén,
cascada de alel, kÃ3Â0 no crece con kÃ3, por lo tanto, para lo suficientemente grande
k, kâ € € € € kâ € A y € A. Esto significa que, a pesar de la humedad...
, la densidad y las fluctuaciones de la fuerza de campo deberían tener
cascadas perpendiculares que se extienden a la giroescala de iones.
La validez del argumento al comienzo de este sec-
que excluyó la cascada paralela de Ne y B no es
tan obvio como podría parecer. Lithwick & Goldreich
(2001) alegaron que la disipación de
Gyroscale causaría que estas fluctuaciones se descompusieran.
a las mismas escalas paralelas que las fluctuaciones alfvénicas por
que se mezclan, es decir, kâ € € € € kâ € A. La velocidad de amortiguación entonces
se convierte en comparable a la tasa de cascada, cortando el cas-
cadetes de fluctuaciones de densidad y de fuerza de campo en kmfpi 1.
El número de onda de corte perpendicular correspondiente es [ver
26 Tenga en cuenta que, efectivamente, también hay una cascada en kó, si este último es mea-
segura a lo largo del campo inperturbado—más precisamente, una cascada en kz. Esto es
debido a la deformación perpendicular del campo magnético perturbado por el
Alfvén - turbulencia de la onda: ya que crece mientras que b sigue siendo el mismo, nosotros
Tengo de Eq. (123)..................................................................................................................................................
Eq. (219)]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
mfpi. (220)
Asintóticamente hablando, en un plasma débilmente colisionante,
este corte está muy por encima de la giroescala de iones, ki â € 1. ¿Cómo...?
siempre, el valor relativamente pequeño de Łmfpi en el cálido ISM,
que fue el foco principal de Lithwick & Goldreich 2001,
significa que el valor numérico del corte perpendicular
escala dada por Eq. (220) estaba, de hecho, bastante cerca de
la giroescala iónica (véase el cuadro 1) y la
timates para la escala interna de las fluctuaciones de densidad de electrones
en el ISM (Spangler & Gwinn 1990; Armstrong et al. 1995).
Por lo tanto, no fue posible decir si Eq. (220), en lugar de
k 1i, representó la predicción correcta.
La situación es bastante diferente en la casi colisión.
menos caso del viento solar, donde el corte dado por
Eq. (220) significaría que muy poca densidad o campo-
Las fluctuaciones de la resistencia deben detectarse por encima de la ion gy-
roscale. Las observaciones no son compatibles con dicha conclusión.
sión: las fluctuaciones de densidad parecen seguir una ley k-5/3
en todas las escalas más grandes que unas cuantas veces (Lovelace et al.
1970; Woo & Armstrong 1979; Celnikier et al. 1983, 1987;
Coles & Harmon 1989; Marsch & Tu 1990b; Coles et al.
1991), en consonancia con el comportamiento esperado de un
campo escalar pasivo amortiguado (véase § 2.6). Un rango extendido
escala de k−5/3 por encima de la giroescala de iones también se observa para
las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético (Marsch & Tu
1990b; Bershadskii & Sreenivasan 2004; Hnat et al. 2005;
Alexandrova y otros 2008a).
Estos hechos observacionales sugieren que la fórmula de corte
(220) no se aplica. Sin embargo, esto no es concluyente.
viciar la teoría Lithwick & Goldreich (2001). Heurísticamente,
su argumento es plausible, aunque es, tal vez, útil
tener en cuenta que, con el fin de que el efecto de la
términos de sipación, no presentes en las ecuaciones KRMHD (157-
159), que debe ser sentido, la densidad y las fluctuaciones de la fuerza de campo
debe llegar a la giroescala de iones en primer lugar. Quanti-
, el fracaso de las fluctuaciones de la compresión en el
El viento solar que debe ser amortiguado todavía podría ser consistente con el
Lithwick & Goldreich (2001) teoría debido a la relación
debilidad de la amortiguación sin colisión, especialmente a baja beta
(§ 6.2.2)—la explicación que ellos mismos favorecen. El camino a
comprobar de forma observacional si esta explicación es suficiente
ser un estudio comparativo de la fluctuación compresiva
ciones para datos de viento solar con diferentes valores de βi. Si la
la resistencia de la amortiguación es el factor decisivo, uno debe al-
maneras de ver cascadas tanto de Ne como de BB en baja βi, sin cascadas
en βi + 1, y una cascada de B + B + pero no de Ne en βi alto (en
este límite, la amortiguación de las fluctuaciones de densidad es fuerte,
de la fuerza de campo débil; véase § 6.2.2). Si, por otro lado,
la cascada paralela de las fluctuaciones de compresión es intrin-
sicamente ineficiente, se espera muy poca dependencia de βi y una
En todos los casos debe observarse una cascada perpendicular.
Obviamente, una observación aún más directa (o numer-
ical) sería la detección o no detección de
alineación perfecta de las estructuras de densidad y fuerza de campo
con las líneas de campo en movimiento (no con la media magnética
campo (véase la nota 26), pero no está claro cómo medir
Esto es confiable. Es interesante, en este contexto, que en
las mediciones del Sol, las fluctuaciones de densidad se informan
tener la forma de filamentos altamente anisotrópicos alineados con
el campo magnético (Armstrong et al. 1990; Grall y otros 1997;
Woo & Habbal 1997). Otra intrigante pieza de observación...
30 SCHEKOCHIHIN ET AL.
la estructura local de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea.
la resistencia magnética del campo y las fluctuaciones de densidad a 1 UA es, en
cierto sentido, correlacionado con el ciclo solar (Kiyani et al.
2007; Hnat et al. 2007; Wicks et al. 2009)—esto sugiere un
dependencia de las condiciones iniciales ausentes en el Alfvénic
las fluctuaciones y que presumiblemente también deberían desaparecer en el
fluctuaciones de compresión si estas últimas se mezclan completamente tanto en
las direcciones perpendiculares y paralelas.
7. TURBULENCIA EN LA DISIPACIÓN: ELECTRÓN RMHD
Y EL CASCADE DE LA ENTROPÍA
7.1. Transición en la Gyroscale de Ion
La validez de la teoría discutida en § 5 y § 6 rompe
hacia abajo cuando ki â € 1. A medida que se acerca la giroescala de iones,
las ondas de Alfvén ya no están desconectadas del resto de
la dinámica plasmática. Todos los modos ahora contienen perturbaciones
de densidad y de fuerza de campo magnético y puede ser una colisión-
menos amortiguado. Debido a la naturaleza de baja frecuencia de la
Cascada de la onda alfvén, incluso en ki 1 [Eq. (46)],
Por lo tanto, la resonancia del ciclotrón iónico no es im-
portante, mientras que el Landau uno ( = ) es. El lineal el-
ory de esta amortiguación sin colisiones en la girocinética aprox-
La imaginación se desarrolla en detalle en Howes et al. (2006) (véase
también Gary & Borovsky 2008). La Figura 8 muestra las soluciones de
su relación de dispersión que ilustra cómo la onda Alfvén
se convierte en una onda cinética dispersiva Alfvén (KAW) (véase § 7.3)
y la amortiguación sin colisiones se vuelve importante a medida que el ion gy-
roscale se alcanza.
Recalcamos que esta transición se produce en la giroescala de iones, no
en la escala inercial de iones di =
βi (excepto en el límite del frío)
iones, = T0i/T0e + 1; véase el apéndice E). Esta afirmación es cierta
incluso cuando βi no es unidad de orden, como se ilustra en la Fig. 8: para el
tres casos trazados allí, kdi = 1 corresponde a ki = 0,1,
1 y 10 para βi = 0,01, 1 y 100, respectivamente, pero hay
no hay rastro de la escala inercial de iones en las soluciones de la lineal
relación de dispersión. No linealmente, en el límite βi-1, podemos
considerar las escalas kdi 1 y ampliar la girocinética en
ki = kdi
βi â € 1 de una manera similar a cómo se hizo en § 5
y obtener exactamente los mismos resultados: Fluctuaciones alfvénicas
descrita por las ecuaciones RMHD y fluctua-
ciones pasivas por ellos y la satisfacción de la reducción de
Ecuación cinética derivada de § 5.5. Por lo tanto, a pesar de que di
en baja beta, no hay ningún cambio en la naturaleza de la turbulenta
cascada hasta que se alcanza el ki â € 1.
La teoría no lineal de lo que sucede en ki 1 es muy
mal entendido. Sin embargo, es posible avanzar
al examinar qué tipo de fluctuaciones surgen en el otro
lado de la transición, en ki 1. Como demostraremos
abajo, resulta que otra cascada turbulenta — esta vez
de KAW—es posible en este llamado rango de disipación. Lo siento.
puede transferir la energía de KAW-como fluctuaciones hacia abajo a la
giroescala electrónica, donde el electrón Landau amortigua
importante (ver Howes et al. 2006). Un poco de observación evi-
dence de KAW está, de hecho, disponible en el viento solar y el
magnetosfera (Bale et al. 2005; Grison et al. 2005, cf.
, § 8.2.4). Debajo derivamos las ecuaciones que
describir las fluctuaciones de tipo KAW en el rango de escala ki â € 1,
ke â € 1 (§ 7.2) y elaborar una escala al estilo de Kolmogorov
teoría para esta cascada (§ 7.5).
Debido a la presencia de la amortiguación sin colisión en el
ion giroescala, sólo una cierta fracción del poder turbulento
llegar allí desde el rango inercial se convierte en el
KAW cascada, mientras que el resto es Landau-dañado. La humedad...
ing conduce a la calefacción de los iones, pero el proceso de depósito-
la energía de fluctuación amortiguada sin colisión en el ion
el calor no es trivial porque, como explicamos en el § 3.5, las colisiones
tienen que desempeñar un papel para que se produzca una verdadera calefacción. As
nos explicamos en el § 3.5 y veremos específicamente para el dissi-
rango de pation en § 7.8, la energía de fluctuación electromagnética
no desaparece como resultado de la amortiguación de Landau, pero es
convertidas en fluctuaciones de la entropía iónica, mientras que la
la energía se conserva. A continuación, se accede a colisiones e ion
calentamiento logrado a través de un fenómeno puramente cinético: el ion
cascada de entropía en el espacio de fase (mezcla de fase no lineal), para
que una teoría se desarrolla en § 7.9 y § 7.10. Un pro-
cesto de conversión de la energía KAW en entropía electrónica
las fluctuaciones y, a continuación, el calor de los electrones se trata en § 7.12.
La figura 5 ilustra las rutas que la energía toma del ion gy-
roscale hacia la calefacción. Crucialmente, es en ki 1 que
se decide cuánta energía eventualmente entraría en el
iones y cuánto en electrones.27 Cómo esta distribución
de energía depende de los parámetros plasmáticos (βi y T0i/T0e)
es una cuestión teórica abierta28 de considerables astrofias-
Por ejemplo, la eficacia de la calefacción iónica es un elemento clave de la
conocido en la teoría de los flujos de acreción dominados por la advección
(Quataert & Gruzinov 1999, véase el análisis en § 8.5) y de
la corona solar (por ejemplo, Cranmer & van Ballegooijen 2003); nosotros
también verá en § 7.11 que puede determinar la forma de la
espectros de intervalo de disipación observados en plasmas espaciales.
En la sección 7.14 figura un breve resumen de esta sección.
7.2. Ecuaciones de MHD con reducción de electrones
La derivación es directa: cuando ai â € € € ~ ki â € 1, todo
Bessel funciona en Eqs. (118-120) son pequeñas, por lo que las integrales
de la función de distribución de iones desaparecen y Eqs. (118-120) ser-
, (221)
uâ € =
4ηen0e
# 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
, ui = 0, (222)
, (223)
donde usamos las definiciones (135) de flujo y flujo
funciones Φ y فارسى.
Estas ecuaciones son un reflejo del hecho de que, para ki
1, la respuesta iónica es efectivamente puramente Boltzmann, con el
parte girocinética hi contribución nada a los campos o flujos
[véase Eq. (54) con hola omitido; hi, sin embargo, juega un impor-
papel en el balance energético y la calefacción por iones, como se ha explicado
en el punto 7.8-7.10 infra]. La respuesta de Boltzmann para la den-
sity se expresa por Eq. (221). La ecuación (222) establece que:
velocidad de flujo de iones paralelos puede ser descuidado. Finalmente, Eq. (223)
expresa el equilibrio de presión para Boltzmann (y, por lo tanto,
electrones isotérmicos [Eq. (103)) e iones: si escribimos
B0-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-B-
= pi − pe = −T0i/23370/ni − T0eŁne, (224)
27 Parte de la energía de las fluctuaciones de compresión puede entrar en calor iónico a través de
colisión (§ 6.1.2) o amortiguación sin colisión (§ 6.2.2) de estas fluctuaciones
en el rango inercial. Si se trata de un mecanismo de calefacción de iones significativo
depende de la eficiencia de la cascada paralela (véanse § 6.2.4 y § 6.3).
28 ¿Cuánta energía se convierte en fluctuaciones de la entropía iónica en el pro-
de una cascada turbulenta no lineal no está necesariamente directamente relacionada con el
resistencia de la amortiguación lineal sin colisión.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 31
FIG. 8.- Soluciones numéricas de la relación de dispersión girocinética lineal (para un tratamiento detallado de la teoría lineal, véase Howes et al. 2006) en el que se muestra la
transición de la onda Alfvén a KAW entre el rango inercial (ki 1) y el rango de disipación (ki & 1). Se muestran tres casos: beta baja (βi = 0,01),
βi = 1, y beta alta (βi = 100). En los tres casos, = 1 y Z = 1. Líneas sólidas negritas muestran la frecuencia real, negrita líneas discontinuas la velocidad de amortiguación γ, ambos
normalizado por kávA (en girocinética, â ¬ / kà  vA y γ / kà  vA son funciones de kà solamente). Las líneas punteadas muestran la solución KAW asintótica (230). Línea sólida horizontal
muestra la onda Alfvén = kávA. Las líneas sólidas verticales muestran ki = 1 y ke = 1. Tenga en cuenta que la amortiguación se puede considerar fuerte si la característica decaimiento
el tiempo es comparable o más corto que el período de la onda, es decir, γ/ & 1/2η. Por lo tanto, en estas parcelas, la amortiguación en ki 1 es relativamente débil para βi = 1, relativamente
fuerte para beta baja y muy fuerte para beta alta.
De ello se deduce que
, (225)
que, combinado con Eq. (221), da Eq. (223). Recordamos
el lector que la ley perpendicular de Ampère, de la que
Eq. (223) fue derivado [Eq. (66) vía Eq. (120)] es, en gyrokinet-
ics, de hecho equivalente a la declaración de pres-
equilibrio seguro (ver sección 3.3).
Sustitución de Eqs. (221-223) en Eqs. (116-117), obtenemos
el siguiente sistema cerrado de ecuaciones
bâ, (226)
2 %i
1 + Z/
) b
*2i* *2*
. (227)
Tenga en cuenta que, utilizando Eq. (223), Eqs. (226) y (227) pueden refundirse
como dos ecuaciones de evolución acopladas para la perpendicular y
componentes paralelos del campo magnético perturbado,
tily [Eqs. (C10) en el apéndice C.2].
Nos referiremos a Eqs. (226-227) como MHD con reducción de electrones
(ERMHD). Están relacionados con la Magnetohidrodi-
namics (EMHD)—una aproximación de fluidos que evoluciona la
campo magnético sólo y surge si se asume que el mag-
campo nectic se congela en la velocidad de flujo de electrones ue, mientras que
los iones son inmóviles, ui = 0 (Kingsep et al. 1990):
4ηen0e
[(B)×B]. (228)
Como se explica en el apéndice C.2, el resultado de la aplicación del
RMHD/ordenamiento girocinético (§ 2.1 y § 3.1) a Eq. (228),
donde B = B0 + B y
, (229)
coincide con nuestros Eqs. (226-227) en el incom-
límites de presión de βi â € 1 o βe = βiZ/€ â € 1. Cuando las betas son
arbitraria, las fluctuaciones de densidad no se pueden descuidar en comparación
a las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético [Eq. (225)] y
dan lugar a flujos perpendiculares de iones con ui 6= 0. Por lo tanto, nuestro
El sistema ERMHD constituye la adecuada generalización de
EMHD para fluctuaciones anisotrópicas de baja frecuencia sin la
suposición de incompresibilidad.
Una (más tenue) relación también existe entre nuestro
El sistema ERMHD y el llamado Hall MHD, que, como
EMHD, se basa en el campo magnético que se está congelando en
el flujo de electrones, pero incluye el movimiento de iones a través del stan-
dard ecuación de impulso MHD [Eq. 8)]. Hablar estrictamente...
ing, Hall MHD sólo se puede utilizar en el límite de iones fríos,
1 (véase, por ejemplo, Ito et al. 2004; Hirose et al. 2004,
y el apéndice E), en cuyo caso puede demostrarse que reduce
a Eqs. (226-227) en el límite adecuado de pequeña escala (Ap-
pendix E). A pesar de que 1 no es una suposición natural para
la mayoría de los plasmas espaciales y astrofísicos, Hall MHD ha, debido a
su simplicidad, ha sido un paradigma teórico popular en el
de la turbulencia del espacio y del plasma astrofísico (véase § 8.2.6).
Por lo tanto, hemos dedicado el Apéndice E a mostrar cómo este
la aproximación encaja en el marco teórico propuesto
aquí: a saber, derivamos el anisótropo de baja frecuencia ver-
sión de la Hall MHD aproximación de la girocinética bajo
la suposición 1 y discutir el papel de la inercia iónica
básculas sonoras de iones, que adquieren significación física en
Este límite. Sin embargo, fuera de este Apéndice, asumimos que 1
en todas partes y no utilizará el Hall MHD.
La validez de las ecuaciones ERMHD como modelo para
Dinámica plasmática en el rango de disipación se discute más a fondo
En el artículo 7.6.
7.3. Ondas cinéticas de Alfvén
Los modos lineales soportados por ERMHD son cinéticos Alfvén
ondas (KAW) con frecuencias
•k = ±
1 + Z/
2 %i
1 + Z/
) kikávA. (230)
Esta relación de dispersión se ilustra en la Fig. 8: tenga en cuenta que la
transición de las ondas de Alfvén a la dispersión de KAW siempre oc-
en ki-1, incluso cuando βi-1 o βi-1. En este último
caso, hay un salto de frecuencia brusca en la transición (accom-
paneada por una amortiguación de iones Landau muy fuerte).
Las funciones propias correspondientes a las dos ondas con
32 Schekochihin et al.
FIG. 9.- Polarización de la onda cinética Alfvén, véase Eqs. (232) y (233).
frecuencias (230) son
2 %i
kk. (231)
Usando Eqs. (229) y (223), el campo magnético-vec-
se puede expresar de la siguiente manera:
= −i k
1 + Z/
2 %i
1 + Z/
(232)
por lo tanto, para una sola onda “+” o “−” (correspondiente a k = 0 o
k = 0, respectivamente), Bk gira en el plano perpendicular
al vector de onda k en el sentido de las agujas del reloj con respecto a este último,
mientras la onda se propaga paralela o antiparalela a la guía
campo (Fig. 9).
Las ondas están polarizadas elípticamente a la derecha. De hecho, nosotros...
ing Eq. (223), el campo eléctrico perpendicular es:
Ek = −ik
−ik + k
• (233)
(cf. Gary 1986; Hollweg 1999). El segundo término es pequeño en
la expansión girocinética, por lo que esta es una elipse muy alargada
(Fig. 9).
7.4. Olas de Alfvén cinéticas de amplitud finita
Como estamos a punto de defender una KAW críticamente equilibrada
la turbulencia de una manera análoga a la teoría de GS para el
Alfvén ondas (§ 1.2), es una pregunta natural para preguntar cómo simi-
las propiedades no lineales de una cascada de KAW putativa serán
a una cascada de ondas Alfvén. Como en el caso de las olas de Alfvén,
hay dos modos lineales de contrapropagación [Eqs. (230)
y (231)], y resulta que ciertas superposiciones de estos
modos (paquetes KAW) también son soluciones no lineales exactas de
Eqs. (226-227). Vamos a demostrar que este es el caso.
Podríamos buscar las soluciones no lineales de Eqs. (226-227)
requiriendo que los términos no lineales desaparezcan. Desde que bâ · â € =
(1/vA), · · ·, esto da
, = 0 = c1Φ, (234)
= 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
donde c1 y c2 son constantes. Si tales soluciones son
posible se determina sustituyendo Eqs. (234) y (235)
en Eqs. (226) y (227) y exigiendo que los dos resultados
Las ecuaciones lineales de ing son consistentes entre sí (ambos equa-
ciones que ahora sólo evolucionan. Esto se logra si29
c21 = −
2 %i
, (236)
así que existen soluciones reales si c2 < 0. En particular, el paquete de olas...
ets consistente en KAW dado por uno de los eigen lineales-
modos (231) con una forma arbitraria en z pero confinado a un
una sola cáscara k = k = const, satisfacer Eqs. (234-236) con
c2 = −k2
i. Este resultado es, de hecho, sólo ligeramente no trivial:
en la girocinética, la no linealidad del soporte de Poisson [Eq. (59)]
desaparece para cualquier modo monocromático (en k) porque el
Poisson soporte de dos modos con números de onda k y k
es · (k × k). Por lo tanto, cualquier solución monocromática
de las ecuaciones linealizadas es también una solución no lineal exacta.
Como hemos demostrado anteriormente, una superposición de monocromática
KAW que tienen un k fijo, o, algo más generalmente, sat-
isfy Eq. (235) con una c2 fija, sigue siendo una solución exacta.
Tenga en cuenta que se aplica un procedimiento similar a la RMHD equa-
ciones (17-18) devuelve las soluciones de Elsasser: perturbaciones de
forma arbitraria que satisfacen Φ =. La diferencia física
entre estos paquetes de onda Alfven de amplitud finita y el
Paquetes KAW de amplitud finita discutidos anteriormente es que no-
las interacciones lineales pueden ocurrir no sólo entre contrapropa-
entre los que se copropagan, una forma natural de
conclusión porque KAW son dispersivos (su velocidad de grupo
a lo largo del campo guía es vAki), por lo que las ondas copropagantes
con diferentes k puede “alcanzar” entre sí e inter-
act.30
7.5. Escalas para Turbulencia KAW
Una teoría de escala para la turbulencia descrita por Eqs. (221-
227) se puede construir en las mismas líneas que la teoría GS
para la turbulencia de la onda Alfvén (§ 1.2). Es decir, vamos a...
sume que la turbulencia por debajo de la giroescala de iones consiste en
Fluctuaciones similares a las de la KAW con kóš kóš (Quataert & Gruzinov)
1999) y que las interacciones entre ellos son críticas
equilibrada (Cho & Lazarian 2004), es decir, que la propagación
tiempo y tiempo de interacción no lineal son comparables en cada
escala. Insistimos en que ninguna de estas suposiciones son, estrictamente,
hablando, inevitable31 (y, de hecho, tampoco estaban en-
Evitable en el caso de las ondas de Alfvén). Desde que hemos de-
Rived Eqs. (226-227) de la girocinética, la anisotropía de
las fluctuaciones descritas por estas ecuaciones están cableadas,
pero no se garantiza que la cascada física real sea
baja la giroescala de iones es de hecho anisotrópica, aunque anal-
ysis de mediciones de viento solar parece indicar que
29 Formalmente hablando, c1 y c2 pueden depender de t y z. Si esto está permitido,
Todavía recuperamos Eq. (236), pero además de ella, obtenemos la ecuación de la evolución
= vA(1 + Z/ Esto permite c1 = const, pero hay, de
Por supuesto, otras soluciones. No los consideraremos aquí.
30 El cálculo anterior es análogo al cálculo por
Mahajan & Krishan (2005) por incompresible Hall MHD (es decir, essen-
ticalmente, el límite alto-βe de las ecuaciones discutidas en el Apéndice E), pero
el resultado es más general en el sentido de que tiene a ion arbitrario y
betas de electrones. La solución Mahajan-Krishan en las cantidades límite del EMHD
a darse cuenta de que Eq. (228) se convierte en lineal para el magnético libre de fuerza (Beltrami)
perturbaciones, ♥B = B. Sustitución de Eq. (229) en esta ecuación
y usando Eq. (223), vemos que la ecuación libre de fuerza es equivalente
a Eqs. (234-236) si c2 = 2 y el límite incompresible (βi 1 o
Se toma βe = βiZ/
31 De hecho, se consideró que la turbulencia del EMHD era débil por varios au-
tors, que predijo un espectro k−2 de energía magnética asumiendo la isotropía
(Goldreich & Reisenegger 1992) o k
para el caso anisótropo (Voitenko)
1998; Galtier & Bhattacharjee 2003; Galtier 2006).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 33
al menos una fracción significativa de ella es (ver Leamon et al.
1998; Hamilton et al. 2008). Simulaciones numéricas basadas en
en Eq. (228) (Biskamp y otros 1996, 1999; Ghosh y otros 1996;
Ng et al. 2003; Cho & Lazarian 2004; Shaikh & Zank 2005)
han revelado que el espectro de fluctuaciones magnéticas
básculas como k
, el resultado consistente con los supuestos
ya se ha indicado anteriormente. Esbocemos el argumento que lleva a esto
escalar.
Primero asumir que las fluctuaciones son KAW-like y que
y [Eq. (231)] tienen escalas similares. Esto implica
1o de enero
(237)
(a efectos de la ampliación de escala de argumentos y del orden de
estimación de la magnitud, establecemos Z/e = 1, pero mantener el βi de-
pendencia tan baja y alta-límites de beta podría ser recuperado si
necesario). El hecho de que fija-k KAW paquetes, que sat-
isfy Eq. (237) con ♥ = 1/k, son soluciones no lineales exactas
de las ecuaciones del ERMHD (§ 7.4) da alguna credibilidad a esto
suposición.
Suponiendo que la localidad a escala-espacio de las interacciones implica un
cascada KAW de flujo constante: análogamente a Eq. 1),
(/l)
*KAW.* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW*
* (1 * i ) ( / i )
*KAW.* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW*
• KAW = const, (238)
donde KAW es el tiempo de cascada y KAW es la energía de KAW
flujo proporcional a la fracción del flujo total
poder turbulento Pext; véase § 3.4) que se convirtió en el
KAW cascada en la giroescala de iones.
Usando Eqs. (226-227) y Eq. (237), no es difícil de ver
que el tiempo característico de la decorrelación no lineal es de 2 /.
Si la turbulencia es fuerte, entonces esta vez es comparable a
la frecuencia inversa de KAW [Eq. (230)] escala por escala y nosotros
puede suponer que el tiempo de cascada es comparable a:
....................................................................................................................
1o de enero
. (239)
En otras palabras, esto dice que """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
(Obsérvese que la última relación confirma que
nuestros argumentos de escala no violan el orden girocinético;
§ 2.1 y § 3.1). Ecuación (239) es el equilibrio crítico como
Supuestos para KAW. Como en el caso de las ondas Alfvén (§ 1.2),
Podríamos argumentar físicamente que el equilibrio crítico está establecido ser-
causa la longitud de correlación paralela l es determinada por el
condición de que la onda puede propagar la distancia l en uno
tiempo de decorrelación no lineal correspondiente a la perpendic-
longitud de la correlación de la mular.
Combinando Eqs. (238) y (239), obtenemos la escala deseada
relaciones para la turbulencia de KAW:
(IKAW)
)1/3 vA
(1o i)1/3
2/3, (240)
(1o i)1/6
, (241)
donde l0 = v
A/e, como en el § 1.2. La primera de estas relaciones de escala
es equivalente a una k
espectro de la energía magnética, el sec-
ond cuantifica la anisotropía (que es más fuerte que para el
GS turbulencia). Ambas escalas fueron confirmadas en el numerador.
ical simulations of Cho & Lazarian (2004)—es su detec-
sión de la escala (241) que hace un caso particularmente fuerte
que la turbulencia de KAW no es débil y que el equilibrio crítico
La hipótesis es aplicable.
Para las fluctuaciones de tipo KAW, la densidad [Eq. (221)] y
campo magnético [Eqs. (223) y (231)] tienen las mismas especificaciones:
trum como potencial escalar, es decir, k
, mientras que el campo eléctrico
E k tiene un espectro k−1/3. Fluctuación del viento solar
espectros reportados por Bale et al. (2005) de hecho son consistentes
con una transición a la turbulencia de KAW alrededor de la giroescala de iones:
k-5/3 espectros magnéticos y de potencia de campo eléctrico en k
sustituyó, para kl'i & 1, por lo que parece ser coherente con
un escalado k−7/3 para el espectro de campos magnéticos y un escalado k−1/3 para
el eléctrico (véase Fig. 1). Un resultado similar se recupera en
simulaciones totalmente girocinéticas con βi = 1, = 1 (Howes et al.
2008b). Sin embargo, no todas las observaciones de viento solar son tan
Apoyo directo a la noción de la KAW cas-
cade y espectros de fluctuación magnética mucho más escarpados también tienen
(por ejemplo, Denskat et al. 1983; Leamon et al. 1998;
Smith et al. 2006). Las posibles razones para ello surgirán en
§ 7.6 y § 7.11 y los datos del viento solar se discuten más a fondo
§ 8.2.4 y § 8.2.5.
7.6. Validez del electrono RMHD y efecto del electrono
Landau Dampping
Las ecuaciones ERMHD derivadas del § 7 son válidas siempre que
ki 1 y también siempre y cuando sea suficiente utilizar la
orden en la expansión masa-ratio (electros isotérmicos; véase
§ 4). En particular, esto significa que el electrón Landau húmedo-
ing es descuidado. Asintóticamente hablando, esto es un riguroso
Pero hay que ser cauteloso al aplicarlo a plas reales.
mas. Desde la anchura de la gama de escala donde ki 1 y
ke â € 1 es solamente â € (mi/me)1/2 â € 43, para algunos valores de la
Los parámetros plasmáticos (T0i/T0e y βi) pueden no ser muy frecuentes.
amplio intervalo de escalas donde el electrón Landau amortigua
Es realmente insignificante. Considere, por ejemplo, el límite bajo de beta,
βi â € 1. En este límite, la frecuencia de la KAW es:
[Eq. (230)]. El electrón Landau amortiguando se convierte en impor-
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
βi+1, por lo que el ERMHD
la aproximación se desglosa y, en consecuencia, el
cade, en su caso, debe ser interrumpido mucho antes de que el electrón
se alcanza la giroescala. La figura 8 muestra la solución de la
relación completa de dispersión girocinética (Howes et al. 2006) para
pequeño, unidad y grande βi. Uno puede juzgar para qué escalas y
qué tan bien (o qué tan mal) se mantiene la aproximación del ERMHD
de la precisión con la que la frecuencia exacta sigue la
solución asintótica Eq. (230) y de la fuerza relativa
de la amortiguación en comparación con la frecuencia real de las ondas.
El electrón no negativo Landau amortiguación puede afectar turbu-
espectros de lence porque ya no se puede asumir una constante
flujo de energía KAW como lo hicimos en § 7.5. Para evaluar la conse-
quences de este efecto, Howes et al. (2008a) construyó un sim-
El modelo de transferencia de energía espectral y concluyó que Lan-
amortiguación dau conduce al empinamiento de los espectros KAW—uno
de varias posibles razones para los espectros de dispersión-rango empinado
observado en plasmas espaciales (ver también § 7.11).
7.7. Descongelación del flujo
Como el ERMHD es un límite de los sistemas isotérmicos-electrón-fluido-
(§ 4), las líneas de campo magnético permanecen ininterrumpidas (ver
§ 4.3). Dentro de los pedidos empleados arriba (pequeña masa ra-
el flujo se descongela solamente en el
proximidad de la giroescala de electrones. Es interesante evaluar
un poco más precisamente la escala a la que esto sucede como un
función de los parámetros plasmáticos.
34 Schekochihin et al.
Físicamente, hay tres tipos de mecanismos por los cuales
la conservación del flujo se rompe: inercia electrónica, los efectos de
giroradio de electrones finitos, y resistividad Ohmic. Vamos a tomar
el momento vÃ3 de la ecuaciÃ3n girocinética electrÃ3n [Eq. (57),
s = e, integración en constante r] y utilizar Eq. (222) evaluar
el término inercial en el momento electrón paralelo resultante
ecuación:
d2e®2A®, (242)
donde de =?e/
βe es la escala inercial de electrones y βe =
Zβi/. Comparando esto con el término "A"/"t de la derecha
lado de la mano de la ecuación de impulso electrónico, vemos que el
inercia electrónica se convierte en importante cuando ke
βe. Los
efectos finitos-giroradio entran cuando ke â € 1. Por lo tanto, en el bajo
βe, la inercia electrónica se vuelve importante por encima del electrón
Gyroscale, mientras que en el βe alto, los efectos finitos-giroradio en-
ter primero. Finalmente, la resistividad Ohmic viene de los colli-
sión (véase el apéndice B.4):
d3vv
.......................................................................................................................................................... (243)
Por lo tanto, la resistividad comienza a actuar cuando kde â € (/ vei)1/2. Uso
la frecuencia KAW [Eq. (230)] para estimar y asumir
que no es pequeño, tenemos
ke kmfpi
1o de enero
. (244)
Por lo tanto, la escala resistiva sólo puede ser más grande el electrón gy-
roscale si el plasma es colisional (kmfpi + 1) y/o elec-
Los trons son mucho más fríos que los iones (1o) y/o los βi 1o. Nota
si sólo se cumple la última de estas condiciones, el electrón
La inercia sigue siendo importante a escalas más grandes que la resistividad.
7.8. Energía Generalizada: Cascadas de KAW y Entropía
La energía generalizada (§ 3.4) en el límite ki 1 es cal-
culado sustituyendo Eqs. (221) y (223) en Eq. (109):
T0iÃ3h2i ár
n0iT0i
=Whi +WKAW. (245)
Aquí el primer término, Whi, es la varianza total de hola, que es
proporcional a menos la entropía de la ditri-
bution (véase § 3.5) y cuya cascada a escalas de colisión
§ 7.9 y § 7.10. Los dos mandatos restantes son los siguientes:
la energía KAW en cascada independiente:
WKAW =
min0i
2
min0i
2 + 2
. (246)
Aunque podemos escribir WKAW como la suma de las energías de
los "+" y "−" lineales KAW eigenmodes [Eq. (231)], que
también son soluciones no lineales exactas (§ 7.4), las dos no
cade de forma independiente y puede intercambiar energía. Tenga en cuenta que la
Ecuaciones ERMHD también conservan
d3r, que es fácilmente
interpretado como la helice del campo magnético perturbado (ver
Apéndice F.3). Sin embargo, no afecta a la cascada de KAW
discutido en el § 7.5 porque se puede argumentar que tiene una tendencia
a cascada inversamente (Apéndice F.6).
Comparando la forma en que la energía generalizada se divide arriba
y por debajo de la escala de giroscopios de iones (véase el punto 5.6 para el límite de ki-1),
interpretamos lo que sucede en la transición de ki 1 como un redis-
Atribución del poder que llegó de las grandes escalas entre
una cascada de KAW y una cascada del (menos) girocentro
entropía en el espacio de fase (ver Fig. 5). Esta última cascada
es la forma en que la energía desviada del electromag-
fluctuaciones netas por la amortiguación sin colisión (onda–partículas)
la interacción) se puede transferir a las escalas de colisión y de-
Posicionado en calor (§ 7.1). El concepto de cascada de la entropía como
el agente clave en el calentamiento del plasma se introdujo en
§ 3.5, donde prometimos una discusión más detallada más adelante.
Pasamos ahora a este debate.
7.9. Cascada de Entropía
La función de distribución ion-girocentro hi satisface al ion
Ecuación girocinética (121), donde se producen colisiones ion-electrónicas
descuidado bajo la expansión de la masa-ratio. En ki â > 1, el
la contribución dominante a Ri proviene de la electromag-
fluctuaciones netas asociadas a la turbulencia de la KAW. Desde
la cascada KAW se desacopla de la cascada de la entropía, hi
es un trazador pasivo de la turbulencia de KAW mediada por el anillo en
espacio de fase. Ampliación de las funciones de Bessel en la expres-
sión para Ri,k [ai 1 en Eq. (69) con s = i] y fabricación
uso de Eqs. (222-223) y del escalado de la KAW
[Eq. (231)], no es difícil demostrar que
# Ri,k #
Ri,k =
J0(ai)Φk
, (247)
donde
J0(ai)
, ai = ki
, (248)
así que hi satisface [Eq. (121)]
# Ri, hola # # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # Ri # # # Ri # # # Ri # # # # # # # Ri # # # # # Ri # # # # Ri # # Ri # # # Ri # # Ri # # Ri # # Ri # Ri # # # # # # Ri # # # # # Ri # Ri # Ri # # # # # # # # Ri # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ri # # # # # # # # # Ri # # # Ri # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
βiđivA
Ri
F0i + Cii[hi]® Ri
(249)
con la ley de conservación [Eq. (70), s = i]
βi ♥ivA
Ri
Hola Cii[hi]Ri
. (250)
7.9.1. Mezcla de fase perpendicular no lineal
El término de interacción onda-partícula (el primer término en el
lados derecho de estas dos ecuaciones) se verá en breve
ser subdominante en ki 1. Representa la fuente de
el Whi invariante debido a la amortiguación sin colisión en el ión
Gyroscale de alguna fracción de la energía que llega de la in-
rango ercial. En un estado turbulento estacionario, deberíamos tener
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 35
FIG. 10.- Mecanismo de mezcla de fases perpendiculares no lineales:
función de distribución girocenter en Ri de partículas con velocidades v y v
se mezcla con fluctuaciones turbulentas del potencial Φ (flujos E×B) mediod
sobre órbitas de partículas separadas por una distancia mayor que la longitud de la correlación
de Φ.
dWhi/dt = 0 y esta fuente debe equilibrarse en promedio entre
el término (negativo definido) de disipación de colisión ( = calentamiento;
Véase § 3.5). Este equilibrio sólo puede lograrse si se desarrolla
escalas pequeñas en el espacio de velocidad y lleva el
energía, o, en este caso, la entropía, a escalas en el espacio de fase en
que las colisiones son importantes. Una forma rápida de ver esto es por
Recordando que el operador de colisión tiene dos deriva-
y sólo puede equilibrar los términos en el lado izquierdo de
Eq. (249) si
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (251)
donde • es la frecuencia característica de las fluctuaciones
de hola. En caso de que se trate de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de una infracción, o de un acto, o de un Estado o de un Estado o de un Estado, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, o de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro o de un Estado miembro de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de un Estado miembro, de conformidad con respecto de conformidad con respecto de conformidad con arreglo, de conformidad con respecto, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con arreglo, de conformidad con el Estado miembro, de conformidad con el Estado miembro, de conformidad con el Estado miembro, de conformidad con arreglo con arreglo con arreglo con arreglo el Estado miembro, de conformidad con arreglo el Estado miembro, o de conformidad con arreglo con arreglo con arreglo el Estado miembro, o de conformidad con arreglo con arreglo con arreglo Esto es ciertamente cierto para
ki â € 1: tomar â € € € € € € € € € € ~ kmfpi y usar kmfpi â € 1 (que
es el límite adecuado en y por debajo de la giroescala de iones para
la mayoría de los plasmas de interés; cf. nota a pie de página 24), hemos
- ¿Por qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué?
βi/kmfpi 1.
La condición (251) significa que la tasa de colisión puede ser ar-
Bitralmente pequeño—esto siempre será compensado por el suf-
ficientemente fina estructura de velocidad-espacio de la función de distribución
sión para producir una cantidad finita de producción de entropía (
) independiente de los países del límite νii → +0. La situa...
sión se parece un poco a la aparición de un pequeño balneario.
básculas tiales en turbulencia fluida-neutral con arbitrariamente pequeñas
pero no de cero viscosidad (Kolmogorov 1941). La analogía
no es perfecto, sin embargo, porque el equa ion girocinético
ión (249) no contiene un término de interacción no lineal que
causaría explícitamente una cascada en el espacio de velocidad. In-
en lugar de, el (anillo-promedio) KAW turbulencia mezcla hola en el
espacio girocéntrico a través del término no lineal en Eq. (249), así que hola
tendrá estructura a pequeña escala en Ri en escalas características
mucho más pequeño que el Sr. Asumamos que el dominante no-
efecto lineal es una interacción local de la fluctua-
ciones de hola con el componente similar de pequeña escala de Ri.
Puesto que el promedio del anillo está involucrado y ki es grande, el val-
de Ri correspondientes a dos velocidades v y v′
provienen de fluctuaciones electromagnéticas relacionadas con la decoración espacial
si kv/đi y kv
[el argumento de la función de Bessel]
en Eq. (247)] difieren por orden de unidad, es decir, para
v − v
(252)
(véase la Fig. 10). Esta relación da una correspondencia entre
las escalas de decoración de hi en la posición y velocidad
espacio. Combinando Eqs. (252) y (251), vemos que hay
una escala de corte de colisión determinada por el ki-
1.32 La escala de corte es mucho más pequeña que la giroescala de iones.
En el rango entre estas escalas, la disipación de colisión es
Pequeño. Las fluctuaciones de la entropía iónica se transfieren a través de este
escala por medio de una cascada, para la que vamos a
estructura una teoría de escala en § 7.9.2 (y, para el caso sin la
antecedentes de turbulencia de KAW, en § 7.10).
Es importante subrayar que no importa cuán pequeño sea el
escala de corte de colisión es, toda la energía generalizada chan-
en la cascada de la entropía en la giroescala de iones eventualmente
lo alcanza y se convierte en calor. Tenga en cuenta que la tasa en
que esto sucede es en general la amplitud-dependiente porque
el proceso no es lineal, aunque vamos a argumentar en § 7.9.4 (ver
también § 7.10.3) que el tiempo de cascada no lineal y el paralelo
tiempo de propagación lineal (transmisión de partículas) se relacionan por un
condición crítica-equilibrio-como (también argumentaremos que
la mezcla lineal en fase paralela, que puede generar pequeñas
básculas en và, es un proceso menos eficiente que el no lineal per-
pendicular mencionado anteriormente).
Es interesante notar la conexión entre la entropía
la cascada y algunos aspectos del cierre de girofluidos formal-
stem desarrollado por Dorland & Hammett (1993). En su...
ory, la aparición de escalas pequeñas en v se manifestó como
el crecimiento de los momentos de alto orden v del girocentro distri-
función de butión. Identificaron correctamente este efecto como una con-
secuencia de la mezcla de fase perpendicular no lineal de la
función de distribución girocenter causada por un
velocidad-espacio esparcido en las velocidades E × B promediadas por el anillo
(dado por el Ri = Ri en nuestra notación) que surge en y
por debajo de la giroescala de iones.
7.9.2. Escalados
Puesto que la entropía es una cantidad conservada, seguiremos la
bien pisado camino Kolmogorov, asumir la localidad de interac-
ciones en el espacio de escala y flujo constante de entropía, y concluir,
análogamente a Eq. 1),
v8thi
h2i/23370/ Łh = const, (253)
donde el flujo de entropía es proporcional a la fracción de la
potencia turbulenta total (o Pext; véase § 3.4) que fue desviada
en la cascada de la entropía en la giroescala de iones, y es el cas-
cade tiempo que ahora tenemos que encontrar.
Por la suposición de equilibrio crítico, el tiempo de decorrelación
de las fluctuaciones electromagnéticas en la turbulencia de KAW es
comparable en cada escala al período de la KAW en esa escala, y
al tiempo de interacción no lineal [Eq. (239)]:
....................................................................................................................
(1o i)1/3
. (254)
El tiempo característico asociado con el término no lineal en
Eq. (249) es más larga que la KAW por un factor de (e/e/e)
1/2 debido a
el promedio del anillo, lo que reduce la fuerza de la no lineal
interacción. Esta debilidad de la no linealidad lo hace pos-
para desarrollar una teoría analítica sistemática de la entropía
32 Otra fuente de alisado espacial en pequeña escala proviene de la
términos girocentro-difusión pendicular ii(v/vthi)2k2
I hik que surgen en
los operadores de colisión anillados, por ejemplo, el segundo término del modelo
operador (B13). Estos términos de nuevo imponen un número de onda de corte tal que
Ki ( >//ii)
1/2 â € 1.
36 SCHEKOCHIHIN ET AL.
cascada (Schekochihin & Cowley 2009). También es posible
estimar el tiempo de cascada a través de un argumento más cualitativo
análogo a aquel ideado por primera vez por Kraichnan (1965) para el
turbulencia débil de las ondas de Alfvén: durante cada correla-
la no linealidad cambia la amplitud de hi
por una pequeña cantidad:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
estos cambios se acumulan con el tiempo como una caminata aleatoria,
así que después del tiempo t, el cambio acumulativo en amplitud es
(t/lKAW.)
1/2; finalmente, el tiempo de cascada t = es el tiempo
después de lo cual el cambio acumulativo en la amplitud es compara-
ble a la amplitud misma, que da, utilizando Eq. (254),
....................................................................................................................
(1o i)1/3
. (256)
Sustitución de esto en Eq. (253), tenemos
Hola.
v3thi
)1/2(
(1 â € i) 1 / 6 â € €
(257)
que corresponde a una k
espectro de la entropía.
En el argumento presentado anteriormente, supusimos que la
ión de hi fue determinado por la mezcla no lineal de hi por
las fluctuaciones de la KAW mediadas por el anillo en lugar de por la onda–
término de interacción de partículas en el lado derecho de Eq. (249).
Ahora podemos confirmar la validez de esta suposición. Los
cambio en la amplitud de hola en un tiempo de correlación KAW
debido al término de interacción onda-partícula es
¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
v3thi
βiđivA
# No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No. # No.
v3thi
(IKAW)
)1/3
βi (1 i)1/3
7/6, (258)
donde hemos usado Eq. (240). Comparando esto con Eq. (255)
y usando Eq. (257), vemos que?hi? en Eq. (258) es un factor
de (l/i)
1/2 más pequeña que la mezcla no lineal.
7.9.3. Corte de espacio en fase
Para elaborar las escalas de corte tanto en la posición como en el plano.
ity espacio, usamos Eqs. (251) y (252): en Eq. (251), â € ¬ 1/,
donde es el tiempo característico de la decoración de hi dado por
Eq. (256); utilizando Eq. (252), encontramos los cortes:
3/5 = Do-3/5, (259)
donde i es el tiempo de cascada [Eq. (256)] tomado en
Por una convención recientemente establecida, el num sin dimensiones
ber Do = 1/νiii se llama el número Dorland. Se juega.
el papel de Reynolds número para la turbulencia cinética, mea-
la separación de escala entre la giroescala de iones y
la escala de disipación de colisiones (Schekochihin et al. 2008b;
Tatsuno et al. 2009a, b).
7.9.4. Mezcla en fase paralela
Otra suposición, que se hizo implícitamente, fue que
la mezcla en fase paralela debida al segundo término a la izquierda
lado de la mano de Eq. (249) podría ser ignorado. Esto requiere jus-
tificación, especialmente porque es con este término “balístico”
que tradicionalmente se asocia el surgimiento de la pequeña escala
estructura en el espacio de velocidad (por ejemplo, Krommes & Hu 1994;
Krommes 1999; Watanabe & Sugama 2004). El efecto de
la mezcla en fase paralela consiste en producir pequeñas escalas en
ity space. Asumamos que el KAW Turbu-
lence imparte su escala de decoración paralela para hi y utilizar el
escalar la relación (241) a la estimación de kÃ3r à r l−1. Luego, después de uno
Tiempo de cascada [Eq. (256)], hola está relacionado con la decoración en el paralelo
escalas de velocidad
βi(1 i)
• 1. (260)
Concluimos que la mezcla de fase perpendicular no lineal
[Eq. (259)] es más eficiente que el paralelo lineal. Nota
que hasta un factor βi-dependiente Eq. (260) es equivalente a
crítica-equilibrio-como suposición de hola en el sentido de que el
el tiempo de propagación es comparable al tiempo de cascada, o
−1 [véase Eq. (249)].
7.10. Cascada de Entropía en la Ausencia de Turbulencia de KAW
Actualmente no se sabe cómo se puede determinar ana-
líticamente qué fracción del poder turbulento que llega de
el rango inercial a la giroescala de iones se canaliza hacia el
KAW cascada y qué fracción se disipa a través de la cinética
ión-entropía en cascada introducida en el § 7.9 (tal vez sólo puede
se determinará mediante simulaciones numéricas directas). Es cer-
Es un hecho que en muchas mediciones de viento solar, la rel-
espectros de energía magnética atíficamente poco profundos asociados con el
La cascada de KAW (§ 7.5) no aparece y los espectros mucho más empinados
se detectan (cerca de k−4; ver Leamon et al. 1998; Smith y otros
2006). En vista de esta evidencia, es interesante preguntar qué
sería la naturaleza de las fluctuaciones electromagnéticas por debajo de la
ion giroescala si la cascada de KAW no se lanzó, es decir,
si todo (o la mayor parte) del turbulento poder fue dirigido a la
cascada de entropía (es decir, si W Whi en § 7.8).
7.10.1. Ecuaciones
De nuevo es posible derivar un conjunto cerrado de ecuaciones para todos
cantidades fluctuantes.
Asumamos (y verifiquemos a posteriori; § 7.10.4) que el
frecuencia característica de tales fluctuaciones es mucho menor
que la frecuencia KAW [Eq. (230)] de modo que el primer término en
Eq. (116) es pequeño y la ecuación se reduce al equilibrio de
los otros dos términos. Esto da
, (261)
lo que significa que los electrones son puramente Boltzmann [he = 0 a
orden más bajo; véase Eq. (101)]. Entonces, de Eq. (118),
ivti
eik·r
d3vJ0(ai)hik (262)
Usando Eq. (262), encontramos de Eq. (120) que el campo-
las fluctuaciones de la fuerza son
eik·r
v2thi
J1(ai)
hik, (263)
el cual es más pequeño que Zeel/T0i por un factor de βi/ki.
Por lo tanto, podemos descuidar a BB/B0 en comparación con
Eq. (117). Usando Eq. (261), obtenemos lo que es físicamente el
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 37
Ecuación de continuidad de electrones:
+
4ηen0e
# 2A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
= 0, (264)
u'i =
eik·r
d3vvóJ0(ai)hik. (265)
Tenga en cuenta que en términos de las funciones de flujo y flujo, Eq. (264)
toma la forma
* 2i * 2 =
, (266)
donde hemos aproximado bâ · â € € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
escritura, debe demostrarse que es correcta en § 7.10.4.
Junto con la ecuación girocinética de iones, que disuaden-
minas hola, Eqs. (261-264) forman un conjunto cerrado. Ellos describen
fluctuaciones de baja frecuencia de la densidad y electromagnética
campo debido únicamente a la presencia de fluctuaciones de hi por debajo de la
ion giroescala.
Se sigue de Eq. (263) que la B/B0 contribuye a la
inantly a Ri [Eq. (69) con s = i y ai 1]. Lo será.
verificó a posteriori (§ 7.10.4) que lo mismo es cierto para A.
Por lo tanto, Eqs. (247) y (249) siguen en vigor, al igual que en
caso con KAW. Esto significa que Eqs. (249) y (262)
un subconjunto cerrado. Así, la cascada cinética ion-entropía es auto-
regular en el sentido de que hola ya no es pasivo (como era
en presencia de turbulencias de KAW; § 7.9) pero está mezclado por
las fluctuaciones “electrostáticas” de la escalar
tential, que a su vez son producidos por hi de acuerdo con
Eq. (262).
Las fluctuaciones magnéticas son pasivas y determinadas por
las fluctuaciones electrostáticas y entropía a través de Eqs. (263)
y (264).
7.10.2. Escalados
De Eq. (262), podemos establecer una correspondencia entre
(las fluctuaciones electrostáticas y las fluctuaciones
de la función de distribución ion-girocentro):
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
hi, (267)
donde el factor de (l/l)
1/2 proviene de la función Bessel
[Eq. (248)] y el factor de (v/vthi)
1/2 resultados de la
v integración del factor oscilatorio en la función Bessel
times hi, que decora a escalas pequeñas en la velocidad
espacio y, por lo tanto, su integral se acumula en un
La moda de caminar. Las escalas de velocidad-espacio están relacionadas con el
escalas espaciales vía Eq. (252), que fue llegado por un ar-
mento no específico a las fluctuaciones de tipo KAW y, por lo tanto,
sigue aguantando.
Usando Eq. (267), encontramos que la interacción onda-partícula
término en el lado derecho de Eq. (249) es subdominante: com-
lo que muestra que es más pequeño por un factor de
(l/i)
3/2 â € 1. Por lo tanto, es el término no lineal en Eq. (249)
que controla las escalas de hiel y.
Ahora asumimos de nuevo la localidad de escala-espacio y con-
Estancy del flujo de entropía, así que Eq. (253) espera. La cascada
(decorrelación) el tiempo es igual al tiempo característico associ-
ated con el término no lineal en Eq. (249):.............................................................................................................................................................................................................................................................
Sustitución de esto en Eq. (253) y utilizando Eq. (267), nosotros ar-
rive en las relaciones de escala deseadas para la cascada de la entropía
(Schekochihin y otros 2008b):
v3thi
)1/3
1/6, (268)
)1/3 vthi
7/6, (269)
)1/3
1/3, (270)
donde l0 = v
A/e, como en el § 1.2. Nótese que desde la existencia
de esta cascada depende de que no sea abrumado por el
Fluctuaciones de la KAW, deberíamos tener una KAW y una H =
KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW.
El escalado para la función de distribución ion-girocenter,
Eq. (268), implica una k
Espectro : el mismo que para el KAW
turbulencia [Eq. (257)]. La escala para el tiempo de cascada,
Eq. (270), es también similar a la de la turbulencia de KAW
[Eq. (256)]. Por lo tanto, la velocidad- y girocentro-espacio corte-
los offs siguen siendo dados por Eq. (259), donde i es dado ahora por
Eq. (270) tomado en = Łi.
Una nueva característica es la escala del potencial escalar, dada por
Eq. (269), que corresponde a una k
−10/3
espectro (a diferencia de la
Espectro KAW, § 7.5). Esta es una predicción medible para el
Fluctuaciones electrostáticas: el espectro de campos eléctricos implícito
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De Eq. (261), también concluimos que la densidad
las fluctuaciones deben tener el mismo espectro que la escalar po-
tential, k
−10/3
—otra predicción medible.
Las escalas derivadas arriba para los espectros del ión
la función de distribución y del potencial escalar han sido
confirmado en las simulaciones numéricas de Tatsuno et al.
(2009a,b), que estudió electroestática en descomposición tur-
bulencia en dos dimensiones espaciales. También encontraron velocidad...
escalas de espacio de acuerdo con Eq. (252) (utilizando un
representación de las funciones de correlación en el espacio v
sobre la base de la transformación de Hankel de la función de distribución;
Véase Plunk et al. 2009).
7.10.3. Cascada paralela y mezcla en fase paralela
Una vez más hemos ignorado el término balístico (el segundo
el lado izquierdo) en Eq. (249). Vamos a estimar el efi...
cencia de la cascada espacial paralela de la entropía iónica y de
la mezcla en fase paralela asociada mediante una conjetura
similar al equilibrio crítico: suponiendo que
los planos pendiculares sólo permanecen correlacionados a condición de que las partículas
puede fluir entre ellos en un tiempo de decorrelación no lineal
(cf. § 1.2 y § 7.9.4), concluimos que la partícula paralela
frecuencia de transmisión kávÃ3 debe ser comparable en cada escala
al tiempo inverso no lineal −1, así que
kâ € € TM ~ vthi â € 1. (271)
Como explicamos en § 7.9.4, las escalas paralelas en la velocidad
espacio generado a través del término balístico están relacionados con el paralelo
Números de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por el número de onda por De Eq. (271), encontramos que
después de un tiempo de cascada, la escala de velocidad paralela típica es
1 por lo que la mezcla en fase paralela es de nuevo mucho menos
eficiente que la perpendicular.
Nótese que Eq. (271) combinado con Eq. (270) significa que el
la anisotropía se caracteriza de nuevo por la relación de escalar
, similar al caso de la turbulencia de KAW [véase Eq. (241)
y § 7.9.4].
38 SCHEKOCHIHIN ET AL.
7.10.4. Escalados para las Fluctuaciones Magnéticas
La ley de escala para las fluctuaciones del campo magnético
la fuerza sigue inmediatamente de Eqs. (263) y (269):
ivti
−11/6
13/6, (272)
de donde el espectro de estas fluctuaciones es k
−16/3
El escalonamiento de A® (las fluctuaciones magnéticas perpendiculares)
depende de la relación entre k y k. De hecho, la proporción
entre el primero y el tercero términos en el lado izquierdo de
Eq. (264) [o, equivalentemente, entre los términos primero y segundo
en el lado derecho de Eq. (266)] es............................................................................................................................................................................................................................................................
kà                                                                       Â
. Para un crit-
En el caso de los países de la Europa central y oriental, la situación de los países de la Europa central y oriental sigue siendo muy difícil.
[Eq. (271)]. Utilizando el primer término para elaborar la escala para el
fluctuaciones magnéticas perpendiculares, obtenemos, usando Eq. (269),
ivti
−11/6
13/6, (273)
que es el mismo escalado que en el caso de la letra B/B0 [Eq. (272)].
Usando Eq. (273) junto con Eqs. (269) y (270), es
ahora directamente para confirmar las tres suposiciones hechas
en § 7.10.1 que prometimos verificar a posteriori:
1. En Eq. (116), "A"/"t" cb", así que Eq. (261) espera (el
Los electrones siguen siendo Boltzmann). Esto significa que no hay KAW
puede ser excitado por la cascada.
2. En Eq. (264). Esto
significa que las líneas de campo no están significativamente perturbadas.
3. En la expresión para Ri [Eq. (69)], váaaaaaaaa, así que
Eq. (249) espera. Esto significa que la fluc-
las tuaciones dominan la cascada.
7.11. ¿Cascadas superpuestas?
Los espectros de fluctuaciones magnéticas obtenidos en § 7.10.4
son muy empinadas; de hecho, más profundas que las que normalmente se observan
en el rango de disipación del viento solar (§ 8.2.5). Uno podría
Especifíquese que los espectros observados pueden deberse a una superposi-
de las dos cascadas realizables por debajo de la giroescala de iones: a
cascada de alta frecuencia de KAW (§ 7.5) y baja frecuencia
cascada de fluctuaciones electrostáticas debidas a la entropía iónica
fluctuaciones (§ 7.10). Tal superposición podría ocurrir si
la energía que entra en la cascada de KAW es relativamente pequeña,
KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW, KAW. Uno espera entonces que una cascada electrostática sea
montado justo debajo de la giroescala de iones con la cascada de KAW
Superándolo más profundo en el rango de disipación. Comparación
Eqs. (240) y (269), podemos estimar la posición de
Brecha tral:
# Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # Ki # # Ki # # Ki #
KAW/KAW
. (274)
Dado que el número de personas que figuran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista de personas que se encuentran en la lista.
El rango de disipación no es muy amplio. Es entonces concebible que
los espectros observados no son verdaderas leyes de poder, sino simplemente no-
superposiciones asintóticas de las especificaciones electrostáticas y KAW-
tra con el rango observado de exponentes espectrales “efectivos”
debido a la variación de los valores de la ruptura espectral (274) entre el
dos cascadas.33
33 Varias teorías alternativas que pretenden explicar el rango de disipación
existen los espectros: véase § 8.2.6.
El valor de la KAW/específicamente a cualquier conjunto particular de param-
eters (βi, , etc.) es fijado por lo que sucede en ki â € 1 (§ 7.1;
Véase § 8.2.2, § 8.2.5 y § 8.5 para más información).
7.12. Debajo de la Gyroscale Electron: La última cascada
Finalmente, consideremos lo que sucede cuando ke â € 1. En
Estas escalas, tenemos que volver al sistema girocinético completo.
tem de ecuaciones. La cuasi-neutralidad [Eq. (61)], paralelo
[Eq. (62)] y perpendicular [Eq. (66)] La ley de Ampère se convierte en
eik·r
d3vJ0(ae)hek, (275)
4ηen0e
# 2 A # # # # 2 A # # # # 2 A # # # # 2 A # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # # 2 A # # # # 2 A # # # # # # 2 A # # # # # # # # 2 A # # # # # # # # # # 2 A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
eik·r
d3vvóJ0(ae)hek, (276)
eik·r
v2the
J1(aes)
hek, (277)
donde βe = βiZ/. Hemos descartado las integrales de velocidad
de hola a los dos porque el giroavering los hace subdom-
inactivo en los poderes de (me/mi)
1/2 y debido a las fluctuaciones
de hi son amortiguados por colisiones [suponiendo que el corte de colisión-
dado por Eq. (259) se encuentra por encima de la giroescala electrónica]. A
Eqs. (275-277), debemos añadir la ecuación girocinética para
él [Eq. (57) con s = e], cerrando así el sistema.
El tipo de turbulencia descrito por estas ecuaciones es muy
similar a la examinada en el párrafo 7.10. Es fácil de mostrar desde
Eqs. (275-277) que
. (278)
Por lo tanto, las fluctuaciones magnéticas son subdominantes en el ex-
presión para Re [Eq. (69) con s = e y ae + 1], así
# Re # Re # Re # La ecuación electrónica girocinética entonces es
# Re, he # # # # Re, he # # # # # Re, he # # # # # # # Re, he # # # # # # # # Re, he # # # # # # Re, he # # # # # # # Re, he # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Re, he # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (279)
donde el término de interacción onda-partícula en la mano derecha
lado se ha caído porque se puede demostrar que es pequeño
a través del mismo argumento que en § 7.10.2.
Junto con Eq. (275), Eq. (279) describe el cinético cas-
cade de entropía electrónica desde la giroescala de electrones hasta
la escala a la que las colisiones de electrones pueden disiparlo en calor.
Esta cascada el resultado de la amortiguación sin colisión de KAW en
La energía en la cascada de KAW es < < < 1 > > >, por lo que el poder en la cascada de KAW es < < < < < < < < < < < < < < < > > > > > >.
verted en las fluctuaciones electrón-entropía: de hecho, en el
límite ke 1, la energía generalizada es simplemente
= Whe (280)
(véase la Fig. 5).
Los mismos argumentos de escalado que en § 7.10.2 aplican y escalan
relaciones análogas a Eqs. (268-270), y (272) deben seguirse debidamente:
v3the
(IKAW)
1/6, (281)
(IKAW)
vte l
7/6, (282)
)1/3(
, (283)
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 39
(IKAW)
−11/6
13/6, (284)
donde l0 = v
A/e, como en el § 1.2. La fórmula para la colisión
cortes en el número de onda y el espacio de velocidad es análogo a
Eq. (259):
3/5, (285)
donde e es el tiempo de cascada (283) tomado en
7.13. Validez de la Gyrokinetics en el rango de disipación
A medida que la cascada cinética toma la energía (generalizada) para siempre
escalas más pequeñas, la frecuencia de las fluctuaciones aumenta.
En la aplicación de la teoría girocinética, uno debe ser consciente de
la necesidad de que esta frecuencia se mantenga más pequeña que la de la i. Uso
las fórmulas de escalado para los tiempos característicos de la fluc-
las teaciones derivadas de arriba [Eqs. (254), (270) y (283)], podemos
determinar las condiciones para la utilización de la sustancia activa. Por lo tanto, para el giroki-
la teoría neta para ser válida en todas partes en el rango inercial, nosotros
debe tener
β3/4i
(286)
en todas las escalas hasta ki â > 1, es decir,?i/l0 â > β3/2i, no muy
condición estricta.
Por debajo de la giroescala de iones, la cascada de KAW (§ 7.5) permanece
en el régimen girocinético siempre y cuando
# Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # # Ki # # Ki # # Ki # # Ki #
i (1 i)
(287)
(estamos asumiendo Ti/Te 1 en todas partes). La condición para
esto todavía para ser cierto en la giroescala de electrones es
i (1 i)
. (288)
Las fluctuaciones de la entropía de iones mezcladas pasivamente por el KAW tur-
bulencia (§ 7.9), satisfacer Eq. (287) en todas las escalas hasta el ión
Corte de colisión [Eq. (259)] si
mfpi
i (1 i)
. (289)
Tenga en cuenta que la condición para que el corte de colisión iónico para mentir
por encima de la giroescala de electrones es
mfpi
βi(1 â € i)1/3
)5/6(
(290)
En ausencia de turbulencia de KAW, la pura ion-entropía cas-
cade (§ 7.10) sigue siendo girocinético para
β3/2i
. 291)
Esto es válido en todas las escalas hasta el corte de colisión de iones
siempre y cuando se trate de una condición extremadamente débil,
que siempre está satisfecho. Esto es porque la ion-entropía
las fluctuaciones en este caso tienen frecuencias mucho más bajas que en
el régimen de KAW. El corte de colisión de iones se encuentra por encima de la
giroescala de electrones si, al igual que Eq. (290),
mfpi
)5/6(
. (292)
Si la condición (290) se cumple, todas las fluctuaciones de la
función de distribución de iones se amortiguan por encima del electrón
Gyroscale. Esto significa que por debajo de esta escala, sólo necesitamos
la ecuación electrón girocinética que debe ser válida, es decir, la ecuación de • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
La cascada electrón-entropía (§ 7.12), cuya característica
escala de tiempo es dada por Eq. (283), cumple esta condición para
# Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke # # Ke #
β3/2e
. (293)
Esto es válido en todas las escalas hasta el electrón
Corte de colisión [Eq. (285)] siempre y cuando se cumplan las condiciones siguientes:
(/KAW)
2β3e (mi/mi)
3(l0/l/e), que siempre está satisfecho.
Dentro de la expansión formal hemos adoptado (ki 1
y kmfpi
βi), no es difícil ver que
y?i/l0???3. Puesto que todos los demás parámetros (me/mi, βi, βe
etc.) son la unidad de orden con respecto a â € ¬, todo lo anterior con-
las diciones para la validez de la girocinética son asintóticamente
correcto por construcción. Sin embargo, en aplicación a
plasmas trofísicos, uno siempre debe comprobar si esto
la construcción de bodegas. Por ejemplo, sustituyéndolo por el siguiente:
rámetros para el viento solar muestra que el ap girocinético
La proximación es, de hecho, probable que empiece a desbaratar algunos...
donde entre el ión y las giroescales de electrones (Howes et al.
2008a).34 Esto libera una variedad de ondas de alta frecuencia
modos, que pueden estar participando en la cascada turbulenta
alrededor y por debajo de la giroescala de electrones (véase, por ejemplo, el reciente
observaciones detalladas de estas escamas en la capa magnetoscópica por
Mangeney et al. 2006; Lacombe et al. 2006 o los primeros meses
seguridades de fluctuaciones de alta frecuencia en el viento solar por
Denskat y otros 1983; Coroniti y otros 1982).
7.14. Resumen
En esta sección, hemos analizado la turbulencia en la dissi-
rango de pation, que resultó tener muchos más esencialmente
Características cinéticas que el rango inercial.
En la giroescala de iones, ki-1, la cascada cinética trasera-
se agruparon en dos componentes distintos: parte de la
Alized) la energía que llegaba del rango inercial era la colisión-
menos amortiguada, dando lugar a una cascada puramente cinética de iones.
fluctuaciones de la entropía, el resto se convirtió en una cascada de
Las ondas cinéticas de Alfvén (KAW) (Fig. 5; § 7.1 y § 7.8).
La cascada de KAW es descrita por dos ecua-
ciones para dos funciones escalares, la función de flujo magnético
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
4ηmin0i y el potencial escalar, expresado, para
continuidad con los resultados del § 5, en términos de la función
Φ = (c/B0). Las ecuaciones son (véase § 7.2)
bâ, (294)
2 %i
1 + Z/
) b
*2i* *2*
, (295)
donde bâ · â € € = â € / € z + (1/vA), · · â €. La densidad y
34 Véase también este artículo para un conjunto de pruebas numéricas de la validez de la
rokinetics en el rango de disipación, una teoría lineal de la conversión de KAW
en las ondas ion-ciclotrón-dañado Bernstein, y una discusión sobre el potencial
(un)importancia de la amortiguación del ciclotrón iónico para la disipación de turbulencias.
40 SCHEKOCHIHIN ET AL.
las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético están directamente relacionadas con el
potencial escalar:
. (296)
Llamamos a Eqs. (294-296) el Magnetohidro Reducido de Electrones
dinámica (ERMHD).
La cascada ion-entropía es descrita por el ion girocinético
ecuación:
Ri,hi} = Cii[hi]Ri. (297)
La función de distribución de iones está mezclada por el anillo-promedio
potencial escalar y sufre una cascada tanto en la velocidad
y el espacio girocéntrico—esta cascada fase-espacio es esencial
para la conversión de la energía turbulenta en el calor iónico,
que en última instancia sólo puede hacerse mediante colisiones (véase § 7.9).
Si la cascada de KAW es fuerte (su poder KAW es un orden-
unidad fracción de la potencia turbulenta inyectada total, de-
termines Φ en Eq. (297), por lo que la cascada ion-entropía es pasiva
con respecto a la turbulencia de KAW. Ecuaciones (294-295) y
(297) forman un sistema cerrado que determina los tres func-
Φ, Ł, hola, de los cuales este último es esclavo de los dos primeros.
También se puede calcular.... y...................................................................................................................................
a Φ [Eq. (296)]. La energía generalizada conservada por estos
ecuaciones es dada por Eq. (245).
Si la cascada de KAW es débil, la ion-entropía
cascada domina la turbulencia en el rango de disipación y
Conduce fluctuaciones electrostáticas de baja frecuencia, principalmente, con una
componente magnético subdominante. Estos son dados por el
después de las relaciones (véase § 7.10)
ivti
2 (1 + ♥/Z)
eik·r
d3vJ0(ai)hik, (298)
ivti
, (299)
eik·r ×
1 + Z/
J0(ai)
hik, (300)
eik·r
v2thi
J1(ai)
hik, (301)
donde ai = kv/đi, Ecuaciones (297) y (298) forman un cerrado
sistema para Φ y hola. El resto de los campos, a saber:
B, son esclavos de hola a través de Eqs. (299-301).
Los modelos fluidos y cinéticos resumidos anteriormente son válidos
entre el ión y las giroescamas de electrones. Por debajo del electrón
Gyroscale, la amortiguación sin colisiones de la cascada de KAW
lo convierte en una cascada de entropía electrónica, similar en naturaleza a
la cascada ion-entropía (§ 7.12).
La cascada de KAW y la turbulencia de baja frecuencia...
ciated con la cascada de iones-entropía tienen escala distinta ser-
Haviors. Para la cascada KAW, los espectros de la electricidad,
densidad y fluctuaciones magnéticas son (§ 7.5)
EE (k) k−1/3, En(k) k
, EB(k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (302)
Para las cascadas de entropía iónica y electrónica (§ 7.9 y § 7.12),
EE (k) k−4/3, En(k) k
−10/3
, EB(k)
−16/3
(303)
En el § 7.11 argumentamos que los espectros observados en la dissipa-
El alcance del viento solar podría ser el resultado de una superpo-
Situación de estas dos cascadas, aunque una serie de alternativas
Existen teorías (§ 8.2.6).
8. DEBATE DE LAS APLICACIONES ATROFÍSICAS
Hasta ahora sólo nos hemos referido ocasionalmente a algunas cuestiones pertinentes.
evidencia observacional para plasmas espaciales y astrofísicos.
Ahora discutimos con más detalle cómo el marco teórico
lo expuesto anteriormente se aplica a las turbulencias plasmáticas reales en el espacio.
A pesar de que vamos a discutir el medio interestelar, accre-
ciones y cúmulos de galaxias hacia el final de este sec-
sión, la fuente más gratificante de información observacional
sobre turbulencias plasmáticas en condiciones astrofísicas es el
el viento lar y la capa magnetométrica porque sólo allí directamente en
Las mediciones in situ de todas las cantidades interesantes son possi-
ble. Medición de la fluctuación magnética y de la velocidad
los campos en el viento solar han estado disponibles desde la década de 1960
(Coleman 1968) y una vasta literatura existe ahora en sus especificaciones...
tra, anisotropía, carácter alfvénico y muchos otros aspectos (a
breve revisión reciente es Horbury et al. 2005; dos largos son
Tu & Marsch 1995; Bruno & Carbone 2005). No es nuestro
el objetivo aquí para proporcionar una encuesta completa de lo que se conoce
sobre la turbulencia del plasma en el viento solar. En lugar de eso, lo haremos.
limitar nuestra discusión a algunos puntos que consideramos impor-
A la luz del marco teórico propuesto en esta
per.35 A medida que hagamos esto, proporcionaremos copiosas referencias a
el cuerpo principal del documento, por lo que esta sección se puede leer como un
guía orientada a los datos, dirigida tanto a un lector minucioso que
ha llegado aquí después de pasar por las secciones anteriores
y un impaciente que se ha saltado a éste con la esperanza de
averiguar si hay algo de uso “práctico” en el
desarrollos teóricos anteriores.
8.1. Turbulencia inercial en el viento solar
En la gama inercial, es decir, para ki 1, el turbu-
La cinética de los fluidos híbridos reducidos debe describirse mediante la reducción de la cinética hídrica.
teoría derivada del § 5 (KRMHD). Su aplicabilidad depende de
tres supuestos clave: i) la turbulencia es Alfvénic, es decir, con-
sisss de pequeña frecuencia (» B/B0 1) baja frecuencia (» k·vA ·)
perturbaciones de un campo magnético medio ambiente y corre-
fluctuaciones de velocidad; ii) es fuertemente anisotrópica,
(iii) la distribución del equilibrio puede ser aprox.
Apareada o, al menos, razonablemente modelada por un Maxwelliano con...
pérdida de la física esencial (esto se discutirá en el § 8.3).
Si se cumplen estos supuestos, KRMHD (resumido en
§ 5.7) es un conjunto riguroso de ecuaciones dinámicas para la inercia
gama, un conjunto de predicciones de escala al estilo Kolmogorov para el
El componente alfvénico de la turbulencia se puede producir (la
GS teoría, revisada en § 1.2), mientras que a la fluc-
ciones, se aplican las consideraciones del § 6. Así que vamos a examinar
la evidencia observacional.
8.1.1. Alfvénic Naturaleza de la Turbulencia
La presencia de ondas de Alfvén en el viento solar fue re-
ported ya las primeras obras de Unti & Neugebauer (1968)
y Belcher & Davis (1971). Se detectan ondas alfvén al-
listo a muy bajas frecuencias (grandes escalas)—y, en estos
35 Un amplio debate cuantitativo sobre la aplicabilidad de la
La teoría neticista de la turbulencia en el viento solar lento fue dada por Howes et al.
(2008a).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 41
frecuencias bajas, tienen un espectro k−1.36 Este espectro cor-
responde a una distribución uniforme de escalas/frecuencias de
ondas lanzadas por la actividad coronal del Sol. Nonlin-
la interacción del oído de estas ondas da lugar a un tur-
cascada bulenta del tipo que se discutió anteriormente. El ef-
escala exterior fectiva de esta cascada se puede detectar como una especificación
ruptura tral donde la escala k−1 empina hasta el Kolmogorov
pendiente k−5/3 (véase Bavassano et al. 1982; Marsch & Tu 1990a;
Horbury et al. 1996 para resultados de viento rápido en la ruptura espectral;
para una discusión de la escala exterior eficaz en el viento lento
en 1 UA, véase Howes et al. 2008a). La escala particular en
que esto sucede aumenta con la distancia del Sol
(Bavassano et al. 1982), reflejando el estado más desarrollado
de la turbulencia en etapas posteriores de la evolución. A la 1 UA, la
escala exterior se sitúa aproximadamente en el rango de 105 − 106 km; el k−5/3
rango se extiende hasta escalas/frecuencias que corresponden a un
pocas veces el ion giroradius (102 − 103 km; ver Tabla 1).
El rango entre la escala exterior (la ruptura espectral) y
la giroescala de iones es el rango inercial. En este rango, B/B0 de-
pliegues con escala debido a la pendiente espectral negativa pronunciada.
Por lo tanto, la suposición de pequeñas fluctuaciones, B/B0 1,
si bien no es necesariamente cierto en la escala exterior, es cada vez más
mejor satisfecho más dentro de la gama inercial (cf. § 1.3).
¿Son estas fluctuaciones Alfvénic? En un plasma como el
el viento solar, deben ser porque, como se muestra en el § 5.3, para
ki â € 1, estas fluctuaciones son rigurosamente descritas por el
Ecuaciones RMHD. El flujo magnético se congela en el ión
movimientos, por lo que desplazar una parcela de plasma debe producir un
igualar (Alfvénic) la perturbación de la línea de campo magnético
y viceversa: en una onda Alfvén, u = B/
4?min0i.
La confirmación más fuerte de que esto es verdad para el
Las fluctuaciones del rango inercial en el viento solar fueron logradas por
Bale et al. (2005), que comparó los espectros de la electricidad y
fluctuaciones magnéticas y encontraron que ambas escalan como k−5/3
y seguirse unos a otros con una precisión notable (véase Fig. 1).
El campo eléctrico es una muy buena medida de la perpendicular
campo de velocidad porque, para ki â € 1, la velocidad plasmática es
la velocidad de deriva E×B, u = cE× /B0 (véase § 5.4).
Este cuadro de acuerdo entre la teoría básica y la
Los servicios se alteran de una manera perturbadora por un extraordi-
un reciente resultado de Chapman & Hnat (2007); Podesta et al.
(2006) y J. E. Borovsky (2008, comunicación privada),
que reclaman diferentes índices espectrales de velocidad y mag-
fluctuaciones netas: k−3/2 y k−5/3, respectivamente. Este resultado
es desconcertante porque si es asintóticamente correcto en el iner-
rango de tial, implica o bien u â â € â € TM o u â € â € â € TM y es
no está claro cómo las fluctuaciones perpendiculares de la velocidad en un
plasma ideal podría no producir desplazamientos alfvénicos
y, por lo tanto, fluctuaciones perpendiculares del campo magnético con
las energías coincidentes. Las explicaciones plausibles pueden ser las siguientes:
el campo de velocidad en estas mediciones está contaminado por un no-
Componente alfvénico paralelo al campo magnético (aunque
análisis de datos por Chapman & Hnat 2007 no apoya esto)
o que el aplanamiento del espectro de velocidad se debe a algunos
forma de un efecto de girorradio finito o incluso una inyección de energía
en las fluctuaciones de velocidad en las escalas que se aproximan al ión
giroescala (por ejemplo, a partir de la presión-anisotropía-instabili-
36 Derivado del espectro de frecuencia f −1 a través de la hipótesis Taylor (1938)
esis, f k ·Vsw, donde Vsw es la velocidad media a la que sopla el viento
más allá de la nave espacial. La hipótesis de Taylor es una buena suposición para el...
Lar viento porque Vsw (+ 800 km/s en el viento rápido, + 300 km/s en el lento
viento) es altamente supersónico, super-Alfvénic y supera con creces la fluctuación
velocidades.
§ 8.3).
8.1.2. Espectro energético
Cuán sólida es la afirmación de que el espectro observado
tiene una escala de k−5/3? En las mediciones individuales de la
espectros de energía magnética, se afirma una precisión muy alta
para esta escala: el exponente espectral medido es
entre 1,6 y 1,7; acuerdo con Kolmogorov valor 1,67
a menudo se informa de que está dentro de unos pocos por ciento (véase, por ejemplo,
Horbury et al. 1996; Leamon y otros 1998; Bale et al. 2005;
Narita et al. 2006; Alexandrova et al. 2008a; Horbury et al.
2008)). Hay una dispersión algo más amplia de espectrales en...
si se consideran grandes conjuntos de intervalos de medición
(Smith y otros 2006), pero en general, las pruebas observacionales
no parece ser consistente con una k
espectro consis-
encontrado en las simulaciones MHD con un campo medio fuerte
(Maron & Goldreich 2001; Müller et al. 2003; Mason et al.
2007; Perez & Boldyrev 2008, 2009; Beresnyak & Lazarian
2008b) y defendido por razones teóricas en los últimos años
modificaciones de la teoría de GS por Boldyrev (2006) y por
Gogoberidze (2007) (véase la nota 10). Esta discrepancia es...
entre observaciones y simulaciones sigue sin resolverse
cuestión teórica. Es probable que la mejor manera de abordarlo sea con numeri-
la modelización de las ecuaciones RMHD (§ 2.2) y mediante una de-
comparación de colas de la estructura de las fluctuaciones alfvénic
en tales simulaciones y en el viento solar.
8.1.3. Anisotropía
Construyendo evidencia de anisotropía de fluctuación turbulenta...
ciones han progresado de la mera detección de su alargamiento
a lo largo del campo magnético (Belcher & Davis 1971)
datos a un modelo ad hoc que mezcla una perpendicular 2D y una
1D paralelo (“slab”) componentes turbulentos en algunos propor-
tion37 (Matthaeus et al. 1990; Bieber y otros 1996; Dasso y otros
2005; Hamilton et al. 2008)—a una sistemática formal e imparcial
análisis que muestran la presencia persistente de anisotropía en absoluto
básculas (Bigazzi et al. 2006; Sorrizo-Valvo et al. 2006)— a di-
mediciones rectas de funciones de correlación tridimensional
(Osman & Horbury 2007) — y finalmente a la computación espectral
exponentes en ángulos fijos entre k y B0 (Horbury et al.
2008). Estos últimos autores parecen haber logrado la primera
confirmación cuantitativa directa de la teoría GS por demonio-
estratificando que el espectro magnético-energía escala como k
números de onda perpendiculares al campo medio y como k−2
números de onda paralelos a él [consistente con la primera escala
relación en Eq. 4)]. Esto es lo más cercano que tienen las observaciones
llegó a confirmar la relación de GS kâ € € k
[ver Eq. 5)] en a
plasma turbulento astrofísico real.
8.1.4. Fluctuaciones compresivas
De acuerdo con la teoría desarrollada en el § 5, la densidad y
Las fluctuaciones de la fuerza del campo magnético son pasivas, energéticamente
Desconectado y mezclado por la cascada Alfvénic (§ 5.5;
estos son modos lentos y entropía en el MHD colisional
límite (véanse § 2.4 y § 6.1). Se espera que estas fluctuaciones
estar equilibrados a presión, expresados por Eq. 22) o, más
eralmente en girocinética, por Eq. (67). Hay, de hecho, fuerte
37 Estas técnicas se originan en la visión de la turbulencia del MHD como un su-
perposición de una turbulencia 2D y una mezcla de ondas Alfvén (Fyfe et al.
1977; Montgomery & Turner 1981). Como discutimos en el § 1.2, consideramos
la visión de Goldreich & Sridhar (1995, 1997) de una Alfvénic críticamente equilibrada
cascada para estar mejor justificada físicamente.
42 SCHEKOCHIHIN ET AL.
evidencia de que las presiones magnéticas y térmicas en la energía solar
el viento son anticorrelacionados, aunque hay algunas indicaciones
de la presencia de fluctuaciones compresivas, de onda rápida como
bien (Roberts 1990; Burlaga et al. 1990; Marsch & Tu 1993;
Bavassano et al. 2004).
Medición de la densidad y de la fluctua-
ciones realizadas por una variedad de métodos diferentes, tanto en
1 AU (Celnikier y otros 1983, 1987; Marsch & Tu 1990b;
Bershadskii & Sreenivasan 2004; Hnat et al. 2005;
Kellogg & Horbury 2005; Alexandrova et al. 2008a) y
cerca del Sol (Lovelace et al. 1970; Woo & Armstrong 1979;
Coles & Harmon 1989; Coles et al. 1991) muestran fluctuación
niveles de orden 10% y espectros que parecen tener un k−5/3
escala por encima de las escalas de orden 102 − 103 km, que
mately corresponde a la giroescala de iones. El Kolmogorov
valor del exponente espectral es, como en el caso de Alfvénic
fluctuaciones, medidas con bastante precisión en casos individuales
(1,67 ± 0,03 en Celnikier et al. 1987). Curiosamente, el
los exponentes de la función de estructura de orden superior medidos para el
la fuerza del campo magnético muestra que es más intermitente
cantidad que la velocidad o el campo magnético vectorial (es decir,
que las fluctuaciones alfvénicas) y que la expo de escala
nents están cuantitativamente muy cerca de los valores encontrados para
escalares pasivos en fluidos neutros (Bershadskii & Sreenivasan)
2004; Bruno et al. 2007). Uno podría argumentar que esto presta
algún apoyo a la expectativa teórica de pasivo
Fluctuaciones magnéticas de la fuerza del campo.
Teniendo en cuenta que en el régimen sin colisiones estos fluctua-
Se supone que las ciones están sujetas a una fuerte amortiguación cinética.
(§ 6.2.2), la presencia de Kolmogorov-como bien desarrollado
y aparentemente turbulentos espectros es más sorprendente
que tal vez ha sido reconocido públicamente. Una extensión
En el párrafo 6.3 se examina esta cuestión. Sin el in-
conclusión de los efectos de disipación asociados con el ión finito
giroescala, la cascada pasiva de la densidad y la fuerza del campo
es puramente perpendicular al campo magnético local (exacto) y
no conduce a ningún refinamiento de escala a lo largo del campo. Esta im-
estructuras altamente anisotrópicas alineadas con el campo, cuya longitud
es determinado por las condiciones iniciales (es decir, condiciones en el
corona). La amortiguación cinética es ineficiente para tales fluctua-
ciones. Si bien esto parece explicar la presencia de
de la ley de poder, no es del todo obvio que el
cascada paralela es realmente ausente una vez que la disipación se toma en
cuenta (Lithwick & Goldreich 2001), por lo que el problema no es todavía
Acordado. Dicho esto, observamos que hay un montón de evidencia de
un alto grado de anisotropía y alineación de campo de la
microestructura de la sidad en el viento solar interior y corona exterior
(por ejemplo, Armstrong et al. 1990; Grall y otros 1997; Woo & Habbal
1997). También hay pruebas de que la estructura local de la
las fluctuaciones de la compresión a 1 UA se correlacionan con
nal, implicando alguna forma de memoria de la condición inicial
ciones (Kiyani et al. 2007; Hnat et al. 2007; Wicks et al. 2009).
Observamos, por último, que si las fluctuaciones de la compresión en
la gama inercial puede desarrollar escalas paralelas cortas debe también
nos dicen cuánto calor de iones puede resultar de su amortiguación
(véase § 6.2.4).
8.2. Turbulencia de dispersión-rango en el viento solar y el
Funda magnética
A escalas que se aproximan a la giroescala de iones, ki â € 1, efectos
asociado con la extensión finita de iones giroorbits comienzan a
materia. Observacionalmente, esta transición se manifiesta como un
ruptura clara en el espectro de fluctuaciones magnéticas, con el
Escalado de rango inercial k−5/3 reemplazado por una pendiente más pronunciada (ver
Fig. 1). Mientras que los electrones en estas escalas pueden ser tratados como
un líquido isotérmico (siempre y cuando estemos considerando las fluctuaciones
por encima de la giroescala electrónica, ke 1; véase § 4), la
La descripción girocinética (§ 3) debe ser adoptada para los iones.
Es, de hecho, entender la dinámica del plasma en y alrededor
1 que la girocinética fue diseñada por primera vez en plasma de fusión
teoría (Frieman & Chen 1982; Brizard & Hahm 2007). En o...
der para la girocinética y otras disipación-rango aproxima-
ciones que se desprenden de ella (artículo 7) para ser un enfoque creíble en
el viento solar y otros plasmas espaciales, tiene que ser estable-
que las fluctuaciones en y por debajo de la giroescala de iones todavía están
fuertemente anisótropo, kÃ3r à r à r kà r. Si ese es el caso, entonces su
las frecuencias ( kvAki, véase § 7.3) serán aún más pequeñas que
la frecuencia del ciclotrón en al menos una parte de la “disipación”
rango”38—el rango de escalas ki & 1 (véase § 7.13).
Tenga en cuenta que la información adicional sobre la disipación-
la turbulencia de rango se puede extraer de las mediciones en
la capa magneto-mientras que las escamas por encima de la giroescala de iones son
probablemente no universal allí, el rango de disipación parece
mostrar un comportamiento universal, en su mayoría similar al viento solar
(véase, por ejemplo, Alexandrova 2008). Esto complementa el obser-
la imagen vacional que emerge de los datos del viento solar y de al-
nos reduce a aprender más como amplitudes de fluctuación en el mag-
netosa es más grande y escalas mucho más pequeñas se pueden sondear
que en el viento solar (Mangeney et al. 2006; Lacombe et al.
2006; Alexandrova et al. 2008b).
8.2.1. Anisotropía
Sabemos con bastante certeza que el fluctu-
aciones que caen en cascada a la giroescala de iones de la in-
El rango ercial es fuertemente anisotrópico (§ 8.1.3). Mientras...
peras probable que la anisotropía persista en ki-1, es ex-
Tremely importante para tener un veredicto claro sobre esta suposición
de las mediciones de viento solar. Mientras que Leamon et al. (1998)
y, más recientemente, Hamilton et al. (2008) presentó algunos
evidencia de que las fluctuaciones magnéticas en el viento solar tienen un
grado de anisotropía por debajo de la giroescala de iones, no definitivo
estudio similar a Horbury et al. (2008) o Bigazzi et al. (2006);
Sorriso-Valvo et al. (2006) todavía existe. En el magne...
tosheath, donde las escamas del rango de disipación son más fáciles de mea-
seguro que en el viento solar, análisis reciente de Shraoui et al.
(2006); Alexandrova y otros (2008b) muestra pruebas de
anisotropía fuerte.
Además de confirmar la presencia de la anisotropía,
ser interesante para estudiar sus características de escala: por ejemplo, comprobar
la predicción del escalado kâ â € k
[Eq. (241); véase también § 7.9.4
y § 7.10.3] de manera similar a la relación de GS
[Eq. (5)] fue corroborado por Horbury et al. (2008).
En este documento, hemos proseguido con la suposición de que
la anisotropía y, por lo tanto, las frecuencias bajas
caracterizar las fluctuaciones en el rango de disipación—o, al menos,
que las fluctuaciones anisotrópicas de baja frecuencia son
canal de cascada de energía cant y puede ser considerado desacoplado
de cualquier posible dinámica de alta frecuencia.
8.2.2. Transición en la Gyroscale de Ion:
Calefacción
38 Este término, habitual en la literatura de la física espacial, es algo de
un mal nombre porque, como hemos visto en el § 7, rico disipación turbulento
dinámica están presentes en esta gama junto a lo que normalmente se piensa como
Disipación.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 43
Si las fluctuaciones en la giroescala de iones tienen kâ ° ° ° k y
No están sujetos al ciclotrón res.
onnance ( ), pero están sujetos al Landau.
( = ). Las fluctuaciones alfvénicas en la giroescala de iones son
ya no se desconecta de las fluctuaciones de la compresión y
puede ser Landau-damped (§ 7.1). Parece verosímil que
es el flujo de energía de la cascada Alfvénic que ac-
cuenta para un pronunciado aplanamiento local del espectro de
fluctuaciones de densidad en el viento solar observado justo arriba
la giroescala de iones (Woo & Armstrong 1979; Celnikier et al.
1983, 1987; Coles & Harmon 1989; Marsch & Tu 1990b;
Coles et al. 1991; Kellogg & Horbury 2005).39
En términos energéticos, la amortiguación Landau equivale a un redis-
Atribución de energía generalizada de fluctu electromagnético
a las fluctuaciones de la entropía (§ 3.4, § 7.8). Esto da lugar a
a la cascada de la entropía, transfiriendo en última instancia el Landau-
energía amortiguada en calor iónico (§ 3.5, § 7.9 y § 7.10). ¿Cómo...?
sólo una parte de la cascada de rango inercial está tan amortiguada que...
causa una alternativa, electrón, canal en cascada existe: el ki-
ondas netic Alfvén ( 7.2-7.8). La energía transferida a
las fluctuaciones de tipo KAW pueden caer en cascada al electrón gy-
roscale, donde es Landau amortiguado en los electrones, la conversión
primero en la cascada de la entropía electrónica y luego el calor del electrón
(§ 7.12).
Por lo tanto, la transición en la ion gyroscale finalmente de-
incide en qué proporción la energía turbulenta que llega de
el rango inercial se distribuye entre el ión y el electrón
Calor. ¿Cómo la fracción de poder que entra en cualquiera de los dos depende de
parámetros-βi, Ti/Te, amplitudes,. ... es una clave sin respuesta
la cuestión tanto en el espacio como en el astrofísico (véase, por ejemplo, el artículo 8.5).
mas. Gyrokinetics parece ser una herramienta ideal para abordar
esta pregunta tanto analítica como numéricamente (Howes et al.
2008b). En el marco esbozado en el presente documento, el
modelo imal adecuado para el estudio de la transición en el ión
giroescala es el sistema de ecuaciones para electrones isotérmicos
e iones girocinéticos derivados en el § 4 (se resume en el § 4.9).
8.2.3. Ion Gyroscale vs. Ion Inercial Scale
A menudo se asume en la literatura física espacial que es
en la escala inercial de los iones, di =
βi, en lugar de en el ion gy-
que el espectral se rompe entre el inercial y el di-
El rango de sorción ocurre. La distinción entre di e i i i i
se nota cuando βi es significativamente diferente de la unidad,
una ocurrencia relativamente rara en el viento solar. Mientras que algunos en...
tienta para determinar a cuál de estas dos escalas un espectral
ruptura entre los rangos inercial y disipación se han producido
las afirmaciones producidas de que di es un candidato más probable (Smith et al.
2001), estudios más completos de los conjuntos de datos disponibles
concluir básicamente que es difícil de decir (Leamon et al. 2000;
Markovskii et al. 2008).
En el enfoque girocinético defendido en este documento, el
La escala inercial no desempeña un papel especial (véase § 7.1). El único
régimen de parámetros en el que di aparece como una escala especial
es Ti Te (“iones fríos”), cuando la aproximación Hall MHD
puede derivarse de forma sistemática (véase el apéndice E). Esto,
sin embargo, no es el límite adecuado para el viento solar o la mayoría de otros
plasmas astrofísicos de interés porque los iones rara vez son fríos.
El hall MHD se examina más a fondo en el apartado 8.2.6 y en el apéndice E.
8.2.4. Turbulencia de KAW
39 Celnikier y otros (1987) propuso que el aplanamiento podría ser una especificación k1
trum análogo al espectro de Batchelor de varianza escalar pasiva en el
rango viscoso-convectivo. Creemos que esta analogía no puede aplicarse porque den-
sity no es pasiva en o por debajo de la giroescala de iones.
Si la girocinética es válida en las escalas ki & 1 (es decir, si k k,
y es aceptable por lo menos modelar el equilibrio
distribución como un Maxwelliano; véase § 8.3), el electromagnético
las fluctuaciones por debajo de la giroescala de iones serán descritas por el
aproximación fluida que derivamos en § 7.2 y se refiere a
ERMHD. Las soluciones de onda de este sistema de ecuaciones son
las ondas cinéticas de Alfvén (7.3-7.4) y es posible ar-
gue para una cascada al estilo GS críticamente equilibrada de KAW-como
fluctuaciones electromagnéticas (§ 7.5) entre el ion y el elec-
(Landau se humilló en los electrones en ke 1; la
expresión para la tasa de amortiguación de KAW en el límite girocinético
se administra en Howes et al. 2006; véase también Fig. 8).
De hecho, cada KAW ha sido detectado en plas espaciales.
mas (por ejemplo, Grison et al. 2005). ¿Qué hay de la turbulencia de KAW?
¿Cómo se puede saber si una pendiente espectral en particular uno es
la medición corresponde a la cascada de KAW o se ajusta a
esquema nativo para la turbulencia del rango de disipación (§ 8.2.6)?
Parece ser un programa sensato para buscar rela-
ciones entre diferentes campos predichos por la teoría (§ 7.2)
y para las correspondientes pendientes espectrales y relaciones de escala
para la anisotropía (§ 7.5). Esto significa que simultáneamente mea-
seguridades de campo magnético, eléctrico, de densidad y magnético-
las fluctuaciones de la fuerza son necesarias.
Para el viento solar, los espectros eléctricos y magnéticos
fluctuaciones por debajo de la giroescala de iones notificada por Bale et al.
(2005) son compatibles con las escalas de k−1/3 y k−7/3 pre-
dictado para una cascada KAW anisótropa críticamente equilibrada
(§ 7.5; véase Fig. 1 para escalas teóricas superpuestas
en un complot tomado de Bale et al. 2005; no obstante, note que
Bale et al. 2005 ellos mismos interpretaron sus datos en
qué manera diferente y que su resolución era en cualquier caso
no es suficiente para estar seguros de las escalas). También fueron capaces de
para comprobar que sus fluctuaciones satisfacen la dispersión de KAW
relación—para fluctuaciones críticamente equilibradas, esto es, de hecho,
plausible. Espectros de fluctuación magnética reportados recientemente por
Alexandrova y otros (2008a) son sólo ligeramente más pronunciadas que la
espectro teórico k-7/3 KAW. Estos autores también encuentran un
gran cantidad de fluctuaciones de la fuerza del campo magnético en
el rango de disipación, con un espectro que sigue el mismo
escalar—esto es de nuevo consistente con el cuadro teórico
de la turbulencia de KAW [véase Eq. (223)]. Medidas notificadas
por Czaykowska et al. (2001); Alexandrova y otros (2008b)
la capa magnética parece presentar una imagen similar.
Los espectros de densidad medidos por Celnikier et al. (1983,
1987) por debajo de la giroescala de los iones tras el aplanado
segmento alrededor de ki â € 1 (discutido en § 8.2.200). Para un KAW
en cascada, el espectro de densidad debe ser k−7/3 (§ 7.5); con
KAW, k-10/3 (§ 7.10.2). La pendiente observada en los papeles
citado anteriormente parece ser algo más superficial incluso que k−2
(cf. un resultado similar de Spangler & Gwinn 1990 para el ISM;
§ 8.4.1), pero, dada la resolución imperfecta, ni en serio
en contradicción con la predicción basada en el KAW cas-
cade, ni suficiente para corroborarlo. Desafortunadamente, tenemos
no encontrado publicado mediciones simultáneas de la densidad-
y espectros de fluctuación magnética o eléctrica.
8.2.5. Variabilidad de la pendiente espectral
Mientras que muchas medidas consistentes con la imagen de KAW-
se puede encontrar, también hay muchos en los que los espectros
son mucho más pronunciadas (Denskat et al. 1983; Leamon et al. 1998).
Análisis de un gran conjunto de medidas de la
espectros de fluctuación en el rango de disipación del viento solar
revela una amplia difusión en los índices espectrales: aproximadamente entre
44 Schekochihin et al.
−1 y −4 (Smith et al. 2006). Hay evidencia de un débil
correlación positiva entre espectros de rango de disipación más pronunciados
y temperaturas más altas de los iones (Leamon et al. 1998) o superior
Tasas de cascada calculadas a partir del intervalo inercial (Smith et al.
2006). Esto sugiere que una mayor cantidad de calefacción iónica puede
corresponden a una cascada de KAW total o parcialmente suprimida,
que está en línea con nuestra visión de la calefacción de iones y el KAW
cascada como los dos canales competidores de la cinética general
cascada (§ 7.8). Con una cascada KAW debilitada, todo o parte de
el rango de disipación estaría dominado por la entropía iónica
la cascada—un fenómeno puramente cinético manifestado por
dominantemente fluctuaciones electrostáticas y muy empinadas magnéticas-
espectros de energía (§ 7.10). Esto podría explicar ambos por el empinado...
dad de los espectros observados y para la propagación en sus índices
(§ 7.11), aunque existen muchas otras teorías (véase § 8.2.6).
Si bien es posible que tengamos un argumento plausible, este no es el caso.
pero una teoría cuantitativa satisfactoria que nos permitiría
predecir cuando la cascada de KAW está presente y cuando no lo está o
qué espectro del rango de disipación debe esperarse
valores de los parámetros del viento solar (βi, Ti/Te, etc.). Resolu-
sión de este tema parece depender una vez más de la cuestión de cómo
mucha energía turbulenta es desviada hacia la cascada de la entropía iónica
(equivalentemente, en calor de iones) en la giroescala de iones (véase § 8.2.200).
8.2.6. Teorías alternativas de la gama de disipación
Se han puesto una serie de teorías y modelos alternativos
hacia adelante para explicar las pendientes espectrales observadas (y sus vari-
capacidad) en el rango de disipación. No es nuestro objetivo revisar o
crítica de todos ellos en detalle, pero tal vez es útil proporcionar un
pocos comentarios breves sobre algunos de ellos a la luz de la teo-
marco retical construido en este documento.
Todo este marco teórico depende de la adopción de
rokinética como descripción válida o, al menos, como modelo sensato
que no se pierda ningún canal significativo de cascada de energía
y disipación. Mientras que obviamente creemos que esto es el
enfoque correcto, vale la pena detallar qué efectos quedan
“por construcción”.
Cascada de onda Alfvén paralela y amortiguación de ciclotrón iónico. — Los
el uso de la girocinética supone que las fluctuaciones permanecen anisotrópicas
a todas las escalas, por lo tanto, por lo tanto, por lo tanto,
Las resonancias del ciclotrón están ordenadas. Sin embargo, si uno
insiste en encaminar la energía de la onda Alfvén hacia un paral-
lel cascada, por ejemplo, por la fuerza establecer k = 0, es pos-
para construir una teoría de turbulencias débiles en la que
se disipa por la amortiguación del ciclotrón iónico (Yoon & Fang
2008). Simulaciones numéricas de turbulencias 3D MHD
no soportar la posibilidad de una cascada paralela de ondas Alfvén
(Shebalin et al. 1983; Oughton y otros 1994; Cho & Vishniac
2000; Maron & Goldreich 2001; Cho et al. 2002; Müller y otros
2003). Evidencia solar-viento que la cascada perpendicular
domina es bastante fuerte para el rango inercial (§ 8.1.3) y
menos para el rango de disipación (§ 8.2.1). Mientras que, como se ha dicho
en el artículo 8.2.1, todavía no se puede afirmar definitivamente que las observaciones
nos dicen que # # # # # # i en ki # # 1, se ha argumentado que #
las observaciones no parecen ser consistentes con el ciclotrón
amortiguación siendo el mecanismo principal para la disipación de
la turbulencia alfvénica de rango inercial en la giroescala de iones
(Leamon et al. 1998, 2000; Smith et al. 2001). Ion-ciclotrón
resonancia podría ser alcanzado en algún lugar en el
rango de disipación (ver sección 7.13). En este punto la girocinética
formalmente se rompe, aunque, como argumentan Howes et al.
(2008a, véase su § 3.6), esto no significa necesariamente que
la amortiguación del ciclotrón iónico se convertirá en la disipación dominante
canal para la turbulencia.
Cascada de silbadores paralelos. — Un magnetosonico/silbato paralelo
cascada eventualmente amortiguada por el ciclotrón electrónico
resonancia (Stawicki et al. 2001 también se excluye en el
construcción de girocinética. La cascada de silbadores tiene
se ha tenido en cuenta en el Salón MHD aproxi-
(se examina más adelante al final de esta sección). Ambas cosas.
teoría de la turbulencia débil (Galtier 2006) y numérica 3D
simulaciones (Cho & Lazarian 2004) concluyó que, como
en MHD, la cascada turbulenta es altamente anisotrópica, con
Transferencia de energía perpendicular dominando sobre el paralelo
Una.40 Parece que se ha llegado a la misma conclusión
en recientes simulaciones de PIC cinético 2D de Gary et al. (2008);
Saito et al. (2008). Por lo tanto, la turbulencia de nuevo parece ser
conducidos al régimen de acceso girocinético.
Mientras que la teoría y las simulaciones numéricas parecen hacer
argumentando a favor de una cascada paralela y ciclotrón de calor-
sión, existe alguna evidencia observacional en sup-
puerto de ellos, especialmente para el viento solar cercano al Sol (por ejemplo,
Harmon & Coles 2005). Por lo tanto, la presencia o
portancia del calentamiento del ciclotrón en el viento solar y, más
En general, el mecanismo o mecanismos responsables de
calefacción por iones pendiculares (Marsch et al. 1983) siguen siendo en gran medida un
problema abierto. Además de las teorías mencionadas anteriormente, muchos
se han propuesto otras ideas, algunas de las cuales
para conciliar el dominio de la baja frecuencia perpendic-
cascada circular con posibilidad de calentamiento del ciclotrón (por ejemplo,
Chandran 2005b; Markovskii et al. 2006; véase Hollweg 2008
para una revisión reciente y concisa del problema).
Una cascada de espejos. — Sahraoui y otros (2006) analizó un conjunto de
Medición de múltiples naves espaciales en racimo en la capa magnetométrica
e informó de un amplio espectro de leyes de poder ( k-8/3) de espejo
estructuras en y por debajo de la giroescala de iones. Alegan que
estas no son fluctuaciones de tipo KAW porque su frecuencia
es cero en el marco de plasma. A pesar de que estas estructuras son
altamente anisótropos con ká ká, no pueden ser descritos por
la teoría girocinética en su forma actual, porque
muy grande (+ 40%, ocasionalmente llegando a la unidad) y porque
la captura de partículas por fluctuaciones, que es probable que
importante en la física no lineal del espejo inestable-
ity (Kivelson & Southwood 1996; Pokhotelov et al. 2008;
Rincon et al. 2009), se ordena en girocinética. Por lo tanto, si un
“Cascada de espejo” existe, no está recogida en nuestra descripción.
En términos más generales, el efecto de la anisotropía a presión
la inestabilidad en la turbulencia en el rango de disipación es un
amplio espacio abierto, que requiere un mayor esfuerzo analítico (véase el punto 8.3).
Si se aceptan para la
rango de disipación e inestabilidades plasmáticas en la giroescala de iones
(§ 8.3) son ignorados, la teoría girocinética formal y su
las consecuencias asintóticas derivadas de lo anterior deben mantenerse. Ahí está.
son dos características esenciales de la física lineal en y por debajo
la giroescala de iones que debe jugar algún papel: el sin colisiones
(Landau) amortiguación y la naturaleza dispersiva de la ola así-
luciones (véase Fig. 8 y § 7.3; cf., por ejemplo, Leamon et al. 1999;
Stawicki y otros 2001). Ambas características han sido...
para explicar la ruptura espectral en la giroescala de iones y
las pendientes espectrales debajo de él.
40 Es posible producir una cascada paralela artificialmente ejecutando 1D
simulaciones (Matthaeus et al. 2008b).
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 45
Landau amortiguación y efectos instrumentales. — En la mayor parte de nuestro
, ( § 7, 8.2.4-8.2.5), efectivamente asumimos que la
La amortiguación de Landau sólo es importante en ki 1 y ke 1
Pero no en el medio, así que podríamos hablar de una escama asintótica...
ings y cascadas sin disipación. Sin embargo, como se señaló
En el § 7.6, un comportamiento de escalado propiamente asintótico en el dis-
el rango de sorción es probablemente imposible en la naturaleza porque el
la separación de escala entre el ión y la giroescala de electrones es
Únicamente alrededor de (mi/mi)
1/2 43. En particular, no siempre hay
un amplio intervalo de escala donde la amortiguación cinética es negligi-
bly pequeño (especialmente en βi bajos; ver Fig. 8; cf. Leamon et al.
1999). Howes et al. (2008a) propuso un modelo de cómo
presencia de amortiguación combinada con efectos instrumentales (a
suelo de resolución) podría conducir a espectros medidos que parecen
leyes de poder más pronunciadas que k-7/3, con el ex- espectral eficaz
pont en función de los parámetros plasmáticos (referimos al lector
a ese documento para una discusión sobre cómo se compara esto con la pre-
modelos anteriores de un tipo similar, por ejemplo, Li et al. 2001). Una clave
la suposición física de los suyos y modelos similares es que el
cantidad de energía drenada de la onda Alfvén y KAW
cascadas en el calor de los iones se establece por la fuerza de la línea
amortiguación. Todavía no está claro si esto está justificado.
Hall y Electron MHD. — Si se considera la amortiguación de Landau
sin importancia en alguna parte del rango de disipación (que
puede ser cierto en algunos regímenes; ver Fig. 8 y Howes et al.
2006, 2008a,b) y la dispersión de las ondas se considera
ser la característica más destacada, podría parecer que un fluido, más bien
que cinética, la descripción debe ser suficiente. Hall MHD
(Mahajan & Yoshida 1998) o su kdi-1 limitan el electrón
MHD (Kingsep et al. 1990) han sido acogidos por muchos au-
la descripción, adecuada tanto para el análisis de argu-
(Goldreich & Reisenegger 1992; Krishan & Mahajan)
2004; Gogoberidze 2005; Galtier & Bhattacharjee 2003;
Galtier 2006; Alexandrova et al. 2008a) y sim-
ulaciones (Biskamp et al. 1996, 1999; Ghosh y otros 1996;
Ng et al. 2003; Cho & Lazarian 2004; Shaikh & Zank 2005;
Galtier & Buchlin 2007; Matthaeus et al. 2008b).
¿En qué medida se trata de un enfoque alternativo?
tiva a (¿y mejor que?) Gyrokinetics (como se sugiere, por ejemplo, por
Matthaeus et al. 2008b)? Para las fluctuaciones con kà     kÃ, Hall
MHD es simplemente un límite particular de la girocinética: βi â € 1 y
Ti/Te + 1 (límite de iones en frío; véase el apéndice E). Si kÃ3r no es pequeño
comparado con k, entonces la girocinética no es válida, mientras que Hall
MHD sigue describiendo correctamente el límite de iones en frío (por ejemplo,
Ito et al. 2004; Hirose et al. 2004), capturando en particular la
silver rama de la relación de dispersión. Sin embargo, como nosotros
ya han mencionado anteriormente, el dominio de la perpe-
la transferencia de energía diicular (kÃ3r k) se apoya tanto por débil-
teoría de turbulencias para Hall MHD (Galtier 2006) y por 3D
simulaciones numéricas del Electron MHD (Cho & Lazarian)
2004).
Por lo tanto, la teoría girocinética y sus límites rigurosos, tales
como ERMHD (§ 7.2), sustituir Hall MHD por anisotropic tur-
bulence. Dado que los iones generalmente no son fríos en el viento solar
(o cualquier otro plasma aquí discutido), Hall MHD no es para...
Una aproximación muy relevante. También echa totalmente de menos el
Humedad cinética y canal de cascada de entropía asociado
conduce al calentamiento de partículas (§ 7.1, § 7.9 y § 7.10). Sin embargo,
El Hall MHD captura las ondas de Alfvén desperdiciándose.
Simulaciones sisivas y numéricas de la misma muestran una ruptura espectral,
aunque, técnicamente hablando, en la escala equivocada (di en su lugar
(véase § 7.1). Aunque Hall MHD no puede ser rigurosamente
utilizado como teoría cuantitativa de la ruptura espectral y el asso-
cambio en la naturaleza de la cascada turbulenta, el Salón
Ecuaciones MHD en el límite kdi 1 son matemáticamente sim-
ilar a nuestras ecuaciones ERMHD (véase § 7.2 y Apéndice E)
dentro de coeficientes constantes probablemente no es esencial para
modelos de turbulencias. Por lo tanto, los resultados de
Las simulaciones de Hall y Electron MHD citadas anteriormente son di-
Rectly útil para entender la cascada de KAW—y, en-
escritura, en el límite kdi 1, kde 1, son en su mayoría consistentes
con los argumentos de escala de § 7.5.
Los vórtices de Alfvén. — Por último, mencionamos un argumento relativo a
a los espectros del rango de disipación que no se basan en la energía
cascadas en absoluto. Basado en la evidencia de los vórtices de Alfvén en
el magnetoespacio, Alexandrova (2008) especuló que empinada
espectros power-law observados en el intervalo de disipación al menos
en algunos casos podría reflejar la geometría de la ion-giroescala
estructuras en lugar de una cascada de energía local. Si Alfvén vor...
ciones son una característica común, esta posibilidad no puede ser ex-
Suprimida. Sin embargo, los espectros geométricos resultantes son bastante
empinada (k-4 y empinada), por lo que sólo pueden llegar a ser importantes
Si la cascada de KAW es débil o suprimida...
Larly a los espectros empinados asociados con la cascada de la entropía
(§ 7.11).
8.3. ¿La distribución del equilibrio es isotrópica y Maxwelliana?
En términos teóricos rigurosos, el punto más débil de este pa-
per es el uso de un equilibrio Maxwelliano. Formalmente, esto es
sólo se justifica cuando las colisiones son débiles pero no demasiado débiles:
Ordenamos la frecuencia de colisión como similar al fluctu-
frecuencia de la reacción [Eq. 49)]. Este grado de colisión es
suficiente para demostrar que una distribución de equilibrio Maxwellian
F0s(v) realmente emerge en el orden más bajo de los giroki-
expansión neta (Howes et al. 2006). Este argumento funciona
bien para plasmas como el ISM (§ 8.4), donde las colisiones son
débil () pero no insignificante () () mfpi () L). En el espacio
plasmas, el camino libre medio es del orden de 1 UA — el des-
(véase el cuadro 1). Estrictamente
hablando, en tan altamente sin colisiones un plasma, el equilib-
la distribución del rio no tiene que ser ni Maxwellian ni
isotrópico.
La conservación del primer invariante adiabático, μ = v2/2B,
sugiere que la anisotropía de la temperatura con respecto a la
dirección de campo magnético (T0 6= T0) puede existir. Cuando el
anisotropía relativa es mayor que (aproximadamente) 1/βi, desencadena
varias inestabilidades plasmáticas de crecimiento muy rápido: la mayoría promi-
En el fondo, las mangueras de fuego (T0 < T0) y los modos de espejo (T0 > T0)
(por ejemplo, Gary et al. 1976). Sus tasas de crecimiento alcanzan su punto máximo alrededor de la
ion giroescala, lo que da lugar a una inyección de energía adicional
at ki 1.
No hay una teoría analítica definitiva de cómo se sentaron estas fluctuaciones.
urate, cascada y afectar la distribución del equilibrio ha sido
propuesta. Parece ser una expectativa razonable que el
las fluctuaciones resultantes de la anisotropía de la temperatura satu-
tasa limitando esta anisotropía. Esta idea tiene algún apoyo
en observaciones de viento solar: mientras que el grado de anisotropía
de las funciones básicas de distribución de partículas varía
entre los conjuntos de datos, las anisotropías observadas parecen
para poblar la parte del plano del parámetro (T0/T0,βi) cir-
Cumplido de una manera bastante precisa por el estabil marginal-
ity límites para el espejo y las mangueras de fuego (Gary et al. 2001;
Kasper et al. 2002; Marsch y otros 2004; Hellinger et al. 2006;
Matteini et al. 2007).41
41 Tenga en cuenta que Kellogg et al. (2006) medir las fluctuaciones del campo eléctrico
46 SCHEKOCHIHIN ET AL.
Si queremos estudiar turbulencias en conjuntos de datos que no mienten
demasiado cerca de estos límites de estabilidad, asumiendo un isotrópico
Distribución del equilibrio Maxwelliano [Eq. (54)] es probablemente
una simplificación aceptable, aunque no del todo rigurosa.
Uno de ellos. Es evidente que es posible realizar más trabajos teóricos al respecto.
sujeto: por lo tanto, no es un problema para formular la girocinética
con una distribución arbitraria del equilibrio (Frieman & Chen
1982) y a partir de eso, una vez que puede generalizar los resultados
de este documento (para el sistema KRMHD, § 5, esto se ha hecho
por Chen et al. 2009). Tratar las propias inestabilidades
podría resultar más difícil, requiriendo el orden girocinético...
que se modificará y la expansión se llevará a órdenes más altas
incorporar características que no sean capturadas por la girocinética,
Por ejemplo, escalas paralelas cortas (Rosin et al. 2009), trampa de partículas
ping (Pokhotelov et al. 2008; Rincon et al. 2009) o nonlin-
efectos finitos-girorradios en el oído (Califano et al. 2008). Tenga en cuenta que
la teoría de la disipación-rango de turbulencia probablemente
Es necesario modificarlo para tener en cuenta la energía adicional en
jection de la inestabilidad y para el (todavía poco claro) manera en
que esta energía hace su camino a la disipación y al calor.
Además de las anisotropías, las funciones de distribución de partículas
en el viento solar (especialmente el electrón uno) exhiben no-
Maxwellian suprathermal colas (véase Maksimovic et al. 2005;
Marsch 2006, y sus referencias). Estos contienen pequeños
(+ 5% de la densidad total) poblaciones de partículas energéticas.
Tanto el origen de estas partículas como su efecto sobre la turbulencia
Hay que modelar cinéticamente. Una vez más, es posible formu-
girocinética tardía para las distribuciones de equilibrio general de este
y examinar la interacción entre ellos y el turbu-
fluctuaciones prestadas, pero dejamos tal teoría fuera del alcance
de este periódico.
Por lo tanto, queda mucho por hacer para incorporar la
funciones de distribución de librio en la descripción girocinética
del plasma solar del viento. Mientras tanto, creemos que
la teoría girocinética basada en un equilibrio Maxwelliano dis-
En el presente documento se presenta una contribución idealizada e imper-
sin embargo, es un paso adelante en el tratamiento analítico
de la turbulencia espacio-plasma en comparación con el descrip-
ciones que han prevalecido hasta ahora.
8.4. Medio interestelar
Mientras que el viento solar es inigualable por otros astrofísicos
plasmas en el nivel de detalle con el que la turbulencia en él puede
se miden, el medio interestelar (ISM) también ofrece un
servidor de una serie de formas de diagnosticar la turbulencia plasmática,
que, en el caso del IGS, se cree que es principalmente ex-
citado por las explosiones de supernovas (Norman & Ferrara 1996). Los
la precisión y la resolución de este análisis deben mejorar
rápidamente gracias a muchos nuevos observatorios, por ejemplo, LOFAR42
Planck (Enßlin y otros 2006) y, en un futuro más lejano,
SKA (Lazio y otros 2004).
El ISM es un entorno espacialmente inhomogéneo que consiste en:
de varias fases que tienen diferentes temperaturas, densi-
los lazos y los grados de ionización (Ferrière 2001).43 Utilizaremos
la fase ISM caliente (véase el cuadro 1) como nuestro interstel fiducial
plasma lar y discutir brevemente lo que se sabe sobre los dos
principales cantidades accesibles desde el punto de vista de la observación: la den-
sity y campos magnéticos, y cómo esta información encaja en
en el rango de frecuencias iónico-ciclotrón, estimar la velocidad-espacio resultante
difusión y argumentan que es suficiente isotropizar la distribución iónica
42 http://www.lofar.org
43 Y, por lo tanto, diferentes grados de importancia de las partículas neutras
y los efectos de amortiguación ambipolar asociados—estos no serán discutidos
aquí; vea Lithwick & Goldreich 2001.
el marco teórico propuesto aquí.
8.4.1. Fluctuaciones de densidad de electrones
Las fluctuaciones de densidad de electrones inferidas de la inter-
Las mediciones de centelleo estelar parecen tener un espectro
con un exponente −1.7, consistente con el Kolmogorov
escalado (Armstrong et al. 1981, 1995; Lazio y otros 2004; véase:
Sin embargo, las pruebas discrepantes de Smirnova et al. 2006, who
alegar un exponente espectral más cercano a −1.5). Esto se sostiene.
alrededor de 5 décadas de escalas: (105,1010) km. Otros observatorios
Las pruebas a escalas más y más pequeñas respaldan el caso.
para que este supuesto rango inercial se extienda sobre tantos
12 décadas: 102.11015 km, un buen ejemplo de escala
separación que llevó a un astrofísico impresionado a dudar
la densidad escalando “La Gran Ley del Poder en el Cielo.”
el corte superior aquí es consistente con las estimaciones de la su-
escala pernova de orden 100 pc—presumiblemente la escala exterior de
la turbulencia (Norman & Ferrara 1996) y también más o menos la
altura de la escala del disco galáctico (obviamente el límite superior
sobre la validez de cualquier modelo homogéneo del ISM
bulencia). El corte inferior es una estimación para la escala interna
por debajo de la cual la pendiente logarítmica del espectro de densidad
empina hasta aproximadamente −2 (Spangler & Gwinn 1990).
Higdon (1984) fue el primero en darse cuenta de que el electrón-
Las fluctuaciones de densidad en el ISM podrían atribuirse a un
cade de un trazador pasivo mezclado por la turbulencia ambiente (la
Modo de entropía MHD; véase § 2.6). Esta idea fue traída a ma-
Turquía por Lithwick & Goldreich (2001), que estudió el pas-
en cascadas de los modos lentos y entropía en el marco
trabajo de la teoría de GS (véase también Maron & Goldreich 2001).
Si la turbulencia se asume anisotrópica, como en la teoría GS,
la naturaleza pasiva de las fluctuaciones de densidad con respecto a
la cascada de onda Alfvén desacoplada se convierte en una rigurosa re-
en MHD (§ 2.4) y, como hemos mostrado anteriormente, en el
descripción girocinética más general apropiada para débilmente
plasmas de colisión (§ 5.5). Anisotropía de la densidad de electrones
las fluctuaciones en el IGS son, de hecho, apoyadas desde el punto de vista de la observación
(Wilkinson et al. 1994; Trotter y otros 1998; Rickett y otros 2002;
Dennett-Thorpe & de Bruyn 2003; Heyer et al. 2008, véase también
Lazio et al. 2004 para un debate conciso), aunque detallado
Actualmente no es posible realizar mediciones escala por escala.
Si la turbulencia subyacente de la onda Alfvén en el ISM tiene
espectro, según lo predicho por GS, así debería el elec-
densidad tron (ver sección 2.6). Como discutimos en el § 6.3, el phys-
la naturaleza de la escala interna para las fluctuaciones de la densidad
a la hora de determinar si tienen una cascada en ká y son efi-
se humedecen cuando kmfpi 1 o no se desarrollan pequeños
escalas paralelas y, por lo tanto, pueden alcanzar ki 1. El ob-
escala interior estimada servacionalmente es consistente con el ión
(véase el cuadro 1; tenga en cuenta que el ion iner-
báscula tial di =
βi es similar a ♥i en los valores moderados
de las características βi del MEI — véase más adelante el análisis de la
(ir)pertinencia de di en § 7.1, § 8.2.3 y Apéndice E). ¿Cómo...?
desde entonces, ya que el camino libre medio en el ISM no es enorme (Ta-
ble 1), no es posible distinguir esto de la perpen-
corte de diicular k−1
mfpiL
−1/2 • 500 km implícitos por el par-
corte de alel en kmfpi 1 [véase Eq. (220)], tal como lo propugna el
Lithwick & Goldreich (2001). Tenga en cuenta que el relativamente corto
medio camino libre significa que gran parte del rango de escala se extiende por
la Gran Ley del Poder en el Cielo es, de hecho, bien descrita por
la aproximación MHD bien con adiabático (§ 2) o bien
electrones mal (§ 6.1 y Apéndice D).
Por debajo de la giroescala de iones, el exponente espectral −2 informó
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 47
Por Spangler & Gwinn (1990) se mide suficientemente impor-
cisely ser consistente con el −7/3 esperado para la densidad
fluctuaciones en la cascada de KAW (§ 7.5). Sin embargo, dado el
alto grado de incertidumbre sobre lo que sucede en este
sipation range” incluso en el caso mucho mejor resuelto de la
el viento solar (§ 8.2), probablemente sería prudente reservar judg-
Hasta que se disponga de mejores datos.
8.4.2. Fluctuaciones magnéticas
El segundo tipo principal de fluctuaciones turbulentas observables
en el ISM son las fluctuaciones magnéticas, accesibles indirectamente
a través de las mediciones de la rotación de Faraday del polar-
ángulo de expansión de la luz pulsar que viaja a través del ISM.
La función de estructura de la medida de rotación (RM) debe
tener la pendiente de Kolmogorov de 2/3 si la fluctua magnética
ciones se deben a la turbulencia alfvénica descrita por el GS el-
Ory. Hay una incertidumbre considerable en la interpretación de la
datos disponibles, principalmente debido a una resolución espacial insuficiente
(raramente mejor que unos pocos parsec). Laderas de la función de la estructura
2/3 se han notificado (Minter & Spangler
1996), pero, dependiendo de dónde se mire, la estructura más superficial
funciones que parecen empinarse a escalas de unos pocos parsec
También se observan (Haverkorn et al. 2004).
Un estudio reciente de Haverkorn et al. (2005) detectaron un
tendencia teresting: las funciones de estructura de RM computadas para re-
giones que se encuentran en los brazos espirales galácticos son casi perfectamente
hasta el límite de resolución, mientras que en las regiones interarmas,
tienen pendientes detectables (aunque en su mayoría son shal-
Baje ese 2/3). Observaciones de campos magnéticos en exteriores
galaxias también revelan una marcada diferencia en el campo magnético
estructura entre brazos e interarmas: el espacio regular
(medio) los campos son más fuertes en las interarmas, mientras que en los brazos,
los campos estocásticos dominan (Beck 2007). Esta cualitativa
diferencia entre la estructura del campo magnético en los brazos
e interarmas se ha atribuido a menor eficacia exterior
escala en los brazos (+ 1 pc, en comparación con + 102 pc en
terarms; véase Haverkorn et al. 2008) o a la turbulencia en el
brazos e interarmas pertenecientes a los dos distintos asintóticos
regímenes descritos en el apartado 1.3: más cerca de la anisotrópica Alfvénic
turbulencia con un fuerte campo medio en las interarmas y a la
estado saturado isotrópico de dinamo a pequeña escala en los brazos
(Schekochihin y otros 2007).
8.5. Discos de precisión
Acreción del plasma en un agujero negro central o neutrones
estrella es responsable de muchos de los fenómenos más energéticos
observado en astrofísica (véase, por ejemplo, Narayan & Quataert 2005
para una revisión). Ahora se cree que una inestabilidad lineal de dif-
plasmas ferecialmente giratorios, el magnetorotal instabil-
ity (MRI)—amplifica campos magnéticos y da lugar a MHD
turbulencia en discos astrofísicos (Balbus & Hawley 1998).
Estrés magnético debido a esta turbulencia transporte angular mo-
mentum, permitiendo que el plasma se acrecie. La resonancia magnética convierte la
energía potencial gravitacional del plasma que entra en
turbulencia en la escala exterior que es comparable a la escala
altura del disco. Esta energía es entonces en cascada a los pequeños
escalas y disipado en calor, potenciando la radiación que
vemos de los flujos de acreción. Las simulaciones de fluido MHD muestran
que la turbulencia generada por la RMN en discos es subsónica y
tiene β 10 − 100. Por lo tanto, en escalas mucho más pequeñas que la escala
altura del disco, turbulencia homogénea en el parámetro
los regímenes considerados en este documento es una idealización válida y
los modelos cinéticos desarrollados anteriormente deben representar un paso
hacia adelante en comparación con el enfoque puramente fluido.
La turbulencia aún no se puede observar directamente en los discos, así que mod-
La mayor parte de las turbulencias se utilizan para producir prédicas probables.
ciones de propiedades observables de discos tales como sus rayos X y
emisiones de radio. Uno de los casos mejor observados es el (pre-
suma) flujo de acreción en el agujero negro coincide con el
fuente de radio Sgr A* en el centro de nuestra Galaxia (ver revisión
por Quataert 2003).
Dependiendo de la velocidad de calentamiento y refrigeración en la entrada-
(que a su vez dependen de la tasa de acreción y otros
las propiedades del sistema en cuestión), existen diferencias
ent modelos que describen las propiedades físicas de la acreción
fluye a un objeto central. En una clase de modelos, un geometri-
disco de acreción delgada ópticamente grueso (Shakura & Sunyaev)
1973), el plasma que fluye es frío y denso y bien de-
Se describe como un fluido MHD. Cuando se aplican a Sgr A*, estos
modelos producen una predicción de su luminosidad total que es
varios órdenes de magnitud más grandes que los observados. Otro
clase de modelos, que parece ser más coherente con el
propiedades observadas de Sgr A*, se llama radiativamente ineficiente
flujos de acreción (RIAF; véase Rees et al. 1982; Narayan & Yi
1995 y revisión por Quataert 2003 de las solicitudes y
Limitaciones servacionales en Sgr A*). En estos modelos, el in-
se cree que el plasma que fluye cerca del agujero negro adopta un dos-
configuración de temperatura, con los iones (Ti 1011 − 1012 K)
más caliente que los electrones (Te + 109 − 1011 K).44 El electrón
e ion termodinámica desacoplamiento porque las densidades son
tan bajo que el tiempo de ecualización de la temperatura 1ie es más largo
que el tiempo para que el plasma fluya en el agujero negro. Por lo tanto,
como el viento solar, RIAFs son macroscópicamente sin colisión
plasmas (véase la Tabla 1 para los parámetros plasmáticos en el
centro; tenga en cuenta que estos parámetros son tan extremos que la gy-
descripción roquinética, mientras que probablemente mejor que el fluido,
no se puede esperar que sea rigurosamente válido; como mínimo,
debe reformularse en forma relativista). En lo alto
temperaturas adecuadas a los RIAF, electrones irradian energía
mucho más eficiente que los iones (en virtud de su
y, por lo tanto, se espera que contribuyan dom-
inantly a la emisión observada, mientras que la energía térmica de
los iones son tragados por el agujero negro. Desde el plasma
es sin colisiones, el electrón de calentamiento por turbulencias en gran parte de-
termines la termodinámica de los electrones y por lo tanto el
Propiedades observables de los RIAF. La cuestión de qué
sión de la energía turbulenta entra en ion y que en elec-
Por lo tanto, el calentamiento de tron es crucial para comprender la acreción
y la respuesta a esta pregunta depende de la
propiedades de cola de la turbulencia cinética a pequeña escala (por ejemplo,
Quataert & Gruzinov 1999; Sharma et al. 2007), así como sobre
las propiedades lineales de la resonancia magnética sin colisión (Quataert et al.
2002; Sharma y otros 2003).
Desde que todo el turbulento poder cayó por la cascada
debe ser disipado en iones o en el calor de electrones, es re-
aliar la cantidad de energía generalizada desviada en el ion gy-
roscale en la cascada de la entropía de iones (+ 7,8-7,9) que decide
cuánta energía queda para calentar los electrones a través de la KAW
En cascada (- 7,2-7,5, § 7.12). Una vez más, como en el caso de la energía solar
el viento (§ 8.2.2 y § 8.2.5), la transición
roscale de la turbulencia alfvénic en ki 1 a la KAW
la turbulencia en ki 1 emerge como un problema clave sin resolver.
8.6. Racimos de galaxias
44 Es en parte con esta aplicación en mente que llevamos el general
relación de temperatura en nuestros cálculos; véase la nota 17.
48 Schekochihin et al.
Los cúmulos de galaxias son los objetos de plasma más grandes de la Uni-
Versículo. Al igual que los otros ejemplos anteriormente analizados, el
El plasma ter se encuentra en el régimen de colisión débil (véase el cuadro 1).
Fluctuaciones de densidad de electrones, temperatura y de magnético
Los campos se miden en racimos por rayos X y radioobserva-
pero la resolución es sólo suficiente para afirmar que un
Existe una gama bastante amplia de fluctuaciones a escala (Schuecker et al.
2004; Vogt & Enßlin 2005). Todavía no hay escalas de leyes de poder
se ha establecido más allá de toda duda razonable.
Lo que obstaculiza fundamentalmente la modelización cuantitativa de la
bulencia y efectos relacionados en los clusters es que no tenemos
una teoría definida de las propiedades básicas del intracluster
medio: su viscosidad (efectiva), difusividad magnética o
mala conductividad. En una débil colisión y fuertemente mag-
plasma netizado, todo esto depende de la estructura de la
campo magnético (Braginskii 1965), que está formado por el
bulence. Si (o a escalas en las que) un assump-
la estructura de campo, más análisis
progreso es posible: por lo tanto, los modelos teóricos presentados en
este papel asume que el campo magnético es una suma de un
variando en el espacio “campo medio” y en pequeñas frecuencias por-
Turbaciones (BBB0).
De hecho, ya que los clusters no tienen campos medios de ninguna mag-
nitude que podría ser considerado dinámicamente significativo, pero
tienen campos estocásticos, la turbulencia MHD a escala exterior en
los racimos entran en la categoría de campo medio débil (véase el punto 1.3).
El campo magnético debe ser altamente filamentoso, organizado
en estructuras reversadoras de dirección plegadas de larga duración. No es cur-
rently sabe lo que determina la escala de inversión.45 Obser-
vaciones, a la vez que confirma tentativamente la existencia de
los filamentos largos (Clarke & Enßlin 2006), sugieren que
escala versal es mucho más grande que la giroescala de iones: por lo tanto, la
espectro de energía magnética para el núcleo de cluster Hydra A re-
Portado por Vogt & Enßlin (2005) picos alrededor de 1 kpc, com-
a 105 km. Por debajo de esta escala, un Alfvén-onda cas-
cade debe existir (como, de hecho, es sugerido por Vogt & Enßlin
espectro aproximadamente consistente con k−5/3 a escalas inferiores
el pico). Debido a que estas escalas son sin colisiones (
los núcleos y 10 kpc en la mayor parte de los clusters), es a esto
turbulencia que la teoría desarrollada en este artículo debe ser
aplicable.
Existe otra complicación, similar a la discutida en
§ 8.3: las anisotropías de presión podrían dar lugar a plasma rápido
La tasa de crecimiento se sitúa por encima de la tasa de crecimiento de los iones.
roscale. Como señalaron Schekochihin y otros. (2005),
de hecho, son una consecuencia inevitable de cualquier
movimientos fluidos que cambian la fuerza del campo magnético.
Aunque una serie de argumentos interesantes y plausibles
se puede hacer sobre la forma en que las inestabilidades podrían determinar
la estructura de campo magnético (Schekochihin & Cowley 2006;
Schekochihin et al. 2008a; Rosin et al. 2009; Rincon et al.
2009), no se entiende actualmente cómo la pequeña
las fluctuaciones resultantes de estas inestabilidades coexisten con el
Cascada alfvénica.
Las incertidumbres que resultan de esta imperfecta
la naturaleza del medio intracluster son exempli-
fied por el problema de su conductividad térmica. El magnético...
escala de inversión de campo en los clusters no es ciertamente más grande que el
escala de difusión de electrones, (mi/me)
1 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2
45 Vea Schekochihin & Cowley (2006) para una presentación detallada de nuestro
opiniones sobre la interacción entre turbulencias, campo magnético y plasma ef-
Para más debates y desacuerdos, véase Enßlin & Vogt
(2006); Subramanian y otros (2006); Brunetti & Lazarian (2007).
pocos kpc en los núcleos a unos pocos cientos de kpc a granel. Ahí...
En primer lugar, se esperaría que la aproximación de la isotermia
Líquido de electrones (§ 4) debe aplicarse sin duda en todas las escalas por debajo
la escala de inversión, en la que se presumiblemente se mantiene el valor de B0. Incluso
Sin embargo, esto no está absolutamente claro. Uno podría imaginar
los electrones siendo efectivamente adiabáticos si (o en las regiones
donde) las inestabilidades plasmáticas dan lugar a grandes fluctuaciones
del campo magnético (* B/B0 1) en la escala de giroscopios de iones
por la que se induce el camino libre medio a mfpi »i (Schekochihin et al.
2008a; Rosin et al. 2009; Rincon et al. 2009). Qué fluctu...
aciones no pueden ser descritas por la girocinética en su cur-
forma de alquiler. El estado actual de las pruebas observacionales
no permite excluir ninguna de estas posibilidades.
Ambos isotérmicos (Fabian et al. 2006; Sanders & Fabian 2006)
y no isotérmicas (Markevitch y Vikhlinin 2007) coherentes
se observan estructuras que parecen ser choques. Trastornos
también se pueden detectar fluctuaciones de temperatura, lo que permite
uno para inferir un límite superior para la escala en la que el isotérmico
la aproximación puede empezar a ser válida: así, Markevitch et al.
(2003) encontrar variaciones de temperatura en todas las escalas hasta •
100 kpc, que es el límite estadístico que define el spa-
resolución tial de su mapa de temperatura. En ninguno de estos o
mediciones similares son los datos del campo magnético disponibles que
haría posible una comparación puntual de la
y estructura térmica.
Debido a esta falta de información sobre el estado de la
plasma magnetizado en cúmulos, teorías del intracluster
medio no están suficientemente limitados por las observaciones, por lo que
ninguna teoría está en posición de prevalecer. Este estado incierto
de los asuntos podría mejorarse mediante el análisis observacional
mucho mejor resuelto caso del viento solar, que debería ser
bastante similar al medio intracluster a escalas muy pequeñas
(excepto para valores algo más bajos de βi en el viento solar).
9. CONCLUSIÓN
En este artículo, hemos considerado el plasma magnetizado tur-
bulencia en el régimen astrofósico prevalente de
Lisionalidad. Hemos demostrado cómo la energía inyectada en el
las cascadas de escala exterior en el espacio de fase, con el tiempo para aumentar
entropía del sistema y calentar las partículas. En el proceso,
Hemos explicado cómo se combinan las herramientas de física de plasma...
en particular, la teoría girocinética —con las ideas de un tur-
bulenta cascada de energía para llegar a una jerarquía de traqueables
modelos de turbulencia en varias escalas físicamente distintas en
tervales. Estos modelos representan las vías de ramificación de un
cascada de energía generalizada en el espacio de fase (la “cas cinética
cade”; véase Fig. 5) y explicitar el “fluido” y el “cinético”
aspectos de la turbulencia plasmática.
En el informe de la Comisión de Asuntos Económicos y Monetarios y de Política Industrial se presenta un resumen detallado de estos acontecimientos.
Introducción. Los resúmenes técnicos intermedios fueron pro-
§ 4.9, § 5.7 y § 7.14. Un resumen astrofísico
y la discusión de las pruebas observacionales se dio en el § 8,
con especial énfasis en los plasmas espaciales (8.1-8.3). Nuestro
vista de cómo la transformación de la turbulenta a gran escala
energía en calor se produce fue encapsulado en el concepto de
una cascada cinética de energía generalizada. Fue previsualizado en
§ 1.4 y desarrollado cuantitativamente en los puntos 3.4 a 3.5, 4.7, 5.6,
• 6.2.3 a 6.2.5, • 7.8 a 7.12, apéndices D.2 y E.2.
Después de una serie de contribuciones analíticas que fijaron
crear un marco teórico para la girocinética astrofísica
(Howes et al. 2006, 2008a; Schekochihin et al. 2007, 2008b,
y este artículo), un extenso programa de fluidos, fluidos híbridos,
cinética, y totalmente girocinética46 simulaciones numéricas de mag-
En la actualidad se están produciendo turbulencias plasmáticas netas (para el primer re-
LA TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 49
sults de este programa, ver Howes et al. 2008b; Tatsuno y otros
2009a, b). Comparaciones cuidadosas de la totalmente girocinética
simulaciones con simulaciones basadas en el más fácilmente
Modelos computables derivados de este trabajo (RMHD—§ 2,
Líquido isotérmico de electrones, sección 4, KRMHD, sección 5, ERMHD,
§ 7, HRMHD-Apéndice E) así como con el
estudios basados en varios fluidos Landau (Snyder et al. 1997;
Goswami et al. 2005; Ramos 2005; Sharma y otros 2006, 2007;
Passot & Sulem 2007) y girofluido (Hammett et al. 1991;
Dorland & Hammett 1993; Snyder & Hammett 2001; Scott
Los cierres de 2007) parecen ser el camino a seguir en el desarrollo de una
modelo numérico completo de la cinética turbulenta cas-
cade desde la escala externa hasta la giroescala electrónica. De la
muchos plasmas astrofísicos a los que se aplican estos resultados, el
el viento solar y, tal vez, la capa magnetográfica, debido a la alta
calidad de las mediciones de turbulencias posibles en ellos, aparecen
para ser las camas de ensayo más adecuadas para
comparaciones titativas de la teoría y los resultados de simulación con
pruebas observacionales. El objetivo de todo este trabajo sigue siendo
una caracterización cuantitativa de las propiedades del rango de escala
(espectro, anisotropía, naturaleza de las fluctuaciones y sus interac-
ciones), el ion y el calentamiento de electrones, y el transporte propiamente-
ataduras de la turbulencia plasmática magnetizada.
Agradecemos a O. Alexandrova, S. Bale, J. Borovsky, T. Carter,
S. Chapman, C. Chen, E. Churazov, T. Enßlin, A. Fabian,
A. Finoguenov, A. Fletcher, M. Haverkorn, B. Hnat, T. Hor-
Enterrar, K. Issautier, C. Lacombe, M. Markevitch, K. Osman,
T. Passot, F. Sahraoui, A. Shukurov y A. Vikhlinin
debates útiles sobre datos experimentales y observacionales;
I. Abel, M. Barnes, D. Ernst, J. Hastie, P. Ricci, C. Roach,
y B. Rogers para discusiones de colisiones en girocinética;
y G. Plunk para las discusiones de la teoría de la
bulencia en dos dimensiones espaciales. El viaje de los autores fue
con el apoyo del Centro de la DOE de EE.UU. para la Dy de Plasma Multiescala
de la Fundación Leverhulme (UK) International Aca-
Demic Network for Magnetized Plasma Turbulence. A.A.S.
fue apoyado en parte por un PPARC/STFC Advanced Fellow-
buque y por el STFC Grant ST/F002505/1. También da las gracias
UCLA Plasma Group por su hospitalidad en
Sions. S.C.C. y W.D. Gracias al Instituto Kavli por...
la Física Orética y el Centro de Física de Aspen
hospitalidad. G.W.H. fue apoyado por el contrato de EE.UU. DOE
DE-AC02-76CH-03073. G.G.H. y T.T. fueron apoyados por
el Centro de Dinámica de Plasma Multiescala de EE.UU. DOE. E.Q.
y G.G.H. fueron apoyados en parte por David y Lucille
Fundación Packard.
46 Utilizando el código GS2 públicamente disponible (desarrollado originalmente para la fusión
aplicaciones; véase http://gs2.sourceforge.net) y el AstroGK construido específicamente
código (véase http://www.physics.uiowa.edu/~ ghowes/astrogk/).
APÉNDICE
A. EQUACIONES DE BRAGINSKII DOS FLUIDOS Y MHD REDUCIDO
Aquí explicamos cómo las ecuaciones estándar de un fluido MHD utilizadas en § 2 y el límite de colisión del sistema KRMHD
(§ 6.1, derivado del Apéndice D) ambos aparecen como casos limitantes de la teoría de los dos fluidos. Para el caso de fluctuaciones anisotrópicas,
Todo esto puede, por supuesto, derivarse de la girocinética, pero es útil para proporcionar una conexión a la más bien
descripción de fluidos conocidos de plasmas de colisión.
A.1. Ecuaciones de dos flúidos
La rigurosa derivación de las ecuaciones de fluido para un plasma de colisión se hizo en el clásico papel de Braginskii (1965). Suya
Ecuaciones, válidas para el subartículo 1o, kmfpi o 1, ki o 1o (véase la Fig. 3), evolucionar las densidades ns, velocidades medias nosotros y las temperaturas
Ts de cada especie plasmática (s = i,e):
+ nosotros
ns = −nsus, (A1)
+ nosotros
nosotros = ps s + qsns
nosotros ×B
+ Fs, (A2)
+ nosotros
Ts = −psus s − s : us + Qs, (A3)
donde ps = nsTs y las expresiones para el tensor de tensión viscoso s, la fuerza de fricción Fs, el flujo de calor Łs y el calor interespecies
intercambio Qs se dan en Braginskii (1965). Las ecuaciones (A1-A3) se complementan con la condición de cuasineutralidad, ne = Zni,
y las leyes Faraday y Ampère, que están (en el límite no relativista)
= −cE, j = ene(ui − ue) =
B. (A4)
Debido a la cuasi-neutralidad, sólo necesitamos una de las ecuaciones de continuidad, digamos el ion uno. También podemos usar el electrón momen-
ecuación tum [Eq. (A2), s = e] para expresar E, que luego sustituimos en la ecuación de impulso iónico y la ley de Faraday. Los
sistema resultante es
= u, (A5)
B B
+ ue
ue, (A6)
u×B − j×B
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
+ ue
, (A7)
http://gs2.sourceforge.net
http://www.physics.uiowa.edu/~
50 SCHEKOCHIHIN ET AL.
en los que ♥ = mini, u = u, p = pi + pe, = i + e, ue = u − j/ene, ne = Zni, d/dt = El ion y las temperaturas de los electrones
seguir satisfaciendo Eq. (A3).
A.2. Límite fuertemente magnetizado
En esta forma, la teoría de dos fluidos comienza a asemejarse al estándar de un fluido MHD, que fue nuestro punto de partida en § 2: Eqs. (A5-
A7) ya parecen similares a las ecuaciones de continuidad, impulso y inducción. Los términos adicionales que aparecen en estas ecuaciones
y las ecuaciones de temperatura (A3) se ponen bajo control considerando cómo dependen de un número de adimensionales
Parámetros: (me/mi)
1/2. Si bien todos estos son pequeños en el cálculo de Braginskii, no se hace ninguna suposición en cuanto a
cómo se comparan entre sí. Ahora especificamos que
kmfpi
, ki # kmfpi #
1 (A8)
(véase la Fig. 4). Tenga en cuenta que la primera de estas relaciones es equivalente a suponer que las frecuencias de fluctuación son Alfvénic—el mismo
suposición como en la girocinética [Eq. 49)]. La segunda relación en Eq. (A8) será referido por nosotros como el fuertemente magnetizado
límite. Bajo los supuestos (A8), las ecuaciones de dos fluidos se reducen al siguiente conjunto cerrado:47
= u, (A10)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
# Bóbi #
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
B B
, (A11)
= B u − Bu, (A12)
Tiu +
Bibá Ti
− νie (Ti − Te) +
mii
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (A13)
Teu +
Te
(Te − Ti), (A14)
donde i = 0,90vthiđmfpi es la viscosidad de iones paralelos, i = 2,45vthiđmfpi difusividad térmica de iones paralelos, e = 1,40vthe
Z2 / 5/2
(mi/yo)
1/2i difusividad térmica del electrón paralelo [en este caso mfpi = vthi/νii con νii definido en Eq. (52)], y νie ion-electron
velocidad de colisión [definida en Eq. (51)]. Tenga en cuenta que el último término en Eq. (A13) representa el calentamiento viscoso de los iones.
A.3. Ecuaciones de un flujo (MHD)
Si ahora nos limitamos al régimen de baja frecuencia donde las colisiones ion-electrón dominan sobre todos los demás términos en el
Ecuación ion-temperatura (A13),
kmfpi
1 (A15)
[véase Eqs. (A8) y (51)], tenemos, al orden más bajo en esta nueva expansión subsidiaria, Ti = Te = T. Ahora podemos escribir p = (ni +ne)T =
(1 + Z)?T/mi y, añadiendo Eqs. (A13) y (A14), encontrar la ecuación para la presión:
pu =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
mii
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (A16)
donde hemos descuidado la difusividad térmica de los iones en comparación con el electrón uno, pero mantuvimos el término de calentamiento de los iones para mantener
conservación de la energía. Ecuación (A16) junto con Eqs. (A10-A12) constituye el sistema MHD de un fluido convencional. Con
los términos disipativos [que son pequeños debido a Eq. (A15)] descuidado, este fue el punto de partida para nuestra derivación fluida de
RMHD en § 2.
Tenga en cuenta que los electrones en este régimen son adiabáticos porque la difusión térmica de electrones es pequeña
*Kmfpi*
1 (A17)
47 La estructura de la ecuación de impulso (A11) se entiende mejor al darse cuenta de que i
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= p − p, la diferencia entre el perpen-
presiones diiculares y paralelas (ion). Puesto que la presión total es p = (2/3)p + (1/3)p, Eq. (A11) puede ser escrito
p − pÃ3r
B B
. (A9)
Esta es la forma general de la ecuación de impulso que también es válida para los plasmas sin colisión, cuando ki 1 pero kmfpi es unidad de orden o incluso grande.
Ecuación (A9) junto con la ecuación de continuidad (A11), la ecuación de inducción (A12) y una ecuación cinética para la función de distribución de partículas (de la
la solución de la cual se determinan p y p) forman el sistema conocido como Kinetic MHD (KMHD, véase Kulsrud 1964, 1983). El límite de colisión, kmfpi â € 1, de
KMHD es de nuevo Eqs. (A10-A14).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 51
siempre que Eq. (A15) sostiene y βi es unidad de orden. Si tomamos βi â € 1 en su lugar, todavía podemos satisfacer Eq. (A15), por lo que Ti = Te sigue de
la ecuación de temperatura del ión (A13) y las ecuaciones de un fluido emergen como una expansión en βi alto. Sin embargo, estas ecuaciones ahora
describir dos regímenes físicos: el régimen adiabático de longitud de onda larga que satisface Eq. (A17) y el régimen de longitud de onda más corta
en el que (me/mi)
βi-kmfpi-(me/mi)1/2
βi, por lo que el líquido es isotérmico, T = T0 = const, p = [(1+Z)T0/mi] (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
se mantiene con γ = 1].
A.4. Ecuaciones de dos flúidos con electrones isotérmicos
Consideremos ahora el régimen en el que el acoplamiento entre el ión y las temperaturas de electrones es pequeño y el electrón
difusión es grande [el límite opuesto a Eqs. (A15) y (A17)]:
kmfpi
*Kmfpi*
1 (A18)
Entonces los electrones son isotérmicos, Te = T0e = const (con la suposición habitual de líneas de campo estocástico, por lo que bâ · â € Te = 0 implica
Te = 0, como en § 4.4), mientras que la temperatura del ión satisface
Tiu +
Bibá Ti
mii
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
. (A19)
Ecuación (A19) junto con Eqs. (A10-A12) y p = (Ti + ZT0e)/mi son un sistema cerrado que describe un líquido similar al MHD
de iones adiabáticos y electrones isotérmicos. Aplicar el orden de § 2.1 a estas ecuaciones y llevar a cabo una expansión en
1 enteramente análogo a la forma en que se hizo en § 2, llegamos a las ecuaciones RMHD (17-18) para las ondas Alfvén
y el siguiente sistema para las fluctuaciones de compresión (modos lentos y entropía):
+ bâ = 0, (A20)
− v2Abâ
= i
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
, (A21)
= ibá
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (A22)
y el balance de presión
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
. (A23)
Recordemos que estas ecuaciones, siendo la consecuencia de las ecuaciones de dos fluidos de Braginskii (§ A.1), son una expansión en kmfpi 1
corregir hasta el primer orden en este pequeño parámetro. Puesto que los términos disipativos son pequeños, podemos reemplazar (d/dt)/l0 en el viscoso
términos de Eqs. (A21) y (A23) por su valor calculado a partir de Eqs. (A20), (A22) y (A23) en abandono de la disipación: (d/dt)/l0 =
− bâ · â € € € · (1 + c2s/v2A) [cf. Eq. (25)], donde la velocidad del sonido cs es definida por Eq. (166). Sustitución de esto en Eqs. (A21)
y (A23), recuperamos el límite de colisión de KRMHD derivado en el Apéndice D, véase Eqs. (D18-D20) y (D22).
B. COLISIONES EN LA GIROKINETICA
El operador de colisión general que aparece en Eq. (36) es (Landau 1936)
= 2
q2s q
fs′ (v
fs(v)
fs(v)
fs′ (v′)
, (B1)
donde w = v − v′ y lnŁ es el logaritmo de Coulomb. Ahora tenemos en cuenta la expansión de la función de distribución (54),
utilizar el hecho de que el operador de colisión desaparece cuando actúa en un Maxwellian, y conservar sólo los términos de primer orden en la girocinética
expansión. Esto nos da la forma general del término de colisión en Eq. (57): es la forma linealizada media del anillo de la Landau
Operador de colisión (B1), (hs/t)c = Cs[h]Rs, donde
Cs[h] = 2
q2s q
F0s′(v
hs(v) − F0s(v)
hs′(v
. (B2)
Tenga en cuenta que los derivados de velocidad se toman en constante r, es decir, las funciones de distribución girocéntrico que aparecen en el integrand
debe entenderse como hs(v) hs(t,r+v / La forma explícita del operador de colisión girocinética se puede derivar
en k espacio, como sigue:
eik·Rhk
eik·rCs
e-ikhk
eik·Rs
eiks(v)Cs
e-ikhk
, (B3)
52 SCHEKOCHIHIN ET AL.
en los casos en los que s(v) = −v /s y Rs = rs(v). Los soportes angulares sin subíndice se refieren a promedios sobre el girolángulo de las cantidades
que no dependen de las coordenadas espaciales. Tenga en cuenta que dentro del operador Cs[. ..], h ocurre tanto con índice s y velocidad v y
con índice s′ y velocidad v′ (sobre el cual se realiza la suma/integración). En este último caso, en el
factor exponencial dentro del operador.
La mayoría de las propiedades del operador de colisión que se utilizan en el cuerpo principal de este documento para ordenar los términos de colisión
puede establecerse en general, ya sobre la base de Eq. (B3) (• B.1-B.2). Si la forma explícita del operador de colisión es
requerido, podríamos, en principio, realizar el promedio del anillo en el operador linealizado C [Eq. (B2)] y derivar una forma explícita de
En la práctica, en la girocinética, como en el resto de la física plasmática, el operador de colisión total sólo se utiliza cuando es absolutamente
Inevitable. En la mayoría de los problemas de interés, son posibles nuevas simplificaciones: las colisiones de las mismas especies son a menudo modeladas por
operadores más simples que comparten todas las propiedades de conservación del operador de colisión (§ B.3), mientras que los operadores de colisión interespecies
se expanden en la proporción de masa electrón-ion (§ B.4).
B.1. Velocidad-Espacio Integral del Operador de Colisión Girocinética
Muchos de nuestros cálculos implican la integración de la ecuación girocinética (57) sobre el espacio de velocidad, manteniendo constante r.
Aquí estimamos el tamaño de la integral del término de colisión cuando ks â € 1. Usando Eq. (B3),
d3veik·r−iks(v)
eiks(v)Cs
e-ikhk
eik·r2η
dv v
e-iks(v)
eiks(v)Cs
e-ikhk
eik·r
e-iks(v)
eiks(v)Cs
e-ikhk
eik·r
d3vJ0(as)e
iks(v)Cs
e-ikhk
eik·r
1 − ik · v
k · v
+...
e-ikhk
. (B4)
Dado que el operador de colisión (linealizado) Cs conserva el número de partículas, el primer término en la expansión desaparece. El operador
Cs = Css +Css′ es una suma del operador de colisión de una misma especie [la parte s′ = s de la suma en Eq. (B2)] y la colisión entre especies
operador (la parte s′ 6= s). El primero conserva el impulso total de las partículas de las especies s, por lo que no da ninguna contribución a la
segundo término en la expansión en Eq. (B4). Por lo tanto,
D3vCss[hs]Rsár /ssk
s................................................................................................................................................. (B5)
Las colisiones entre especies contribuyen al segundo término en Eq. (B4) debido al intercambio de impulso con la especie s′. Esto
la contribución se infiere fácilmente de la fórmula estándar para la fuerza de fricción linealizada (véase, por ejemplo, Helander & Sigmar 2002):
d3vvCss′
e-ikhk
S v)e
−iks(v)hsk + mss
S v)e
−iks′ (v)hs′k
, (B6)
S v) =
2ηn0s′q
s′ ln
(vs
vths′
vths′
erf ′
vths′
, (B7)
donde erf(x) = (2/
dy exp(−y2) es la función de error. A partir de esto, a través de un cálculo de promedios de anillo análogo a Eq. (B17),
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
−ik ·
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
e-ikhk
S v)
ik s(v)e−iks(v)
hsk +
S v)
ik s′(v)e−iks′ (v)
S (v)asJ1(as)hsk +
S (v)as′J1(as′)hs′k
En caso de que se trate de una persona física o jurídica, se considerará que la persona física o jurídica de la que se trate es una persona física o jurídica. (B8)
Para las colisiones ion-electrón (s = i, s′ = e), utilizando Eqs. (45) y (51), nos encontramos con que ambos términos son "(me/mi)1/2\iik22i"ni.
Así, además de un factor adicional de k2
i, las colisiones ion-electrón también son subdominantes por un orden en la expansión de masa-ratio
en comparación con las colisiones ion-ion. La misma estimación se mantiene para las contribuciones interespecies a los términos tercero y cuarto en
Eq. (B4). De una manera similar, la integral del operador de colisión electrón-ion (s = e, s′ = i), es la misma
orden como la integral de las colisiones electrón-electrón.
La conclusión de esta sección es que, tanto para iones como para colisiones de electrones, la velocidad-espacio integral (en constante r) de la
El operador de colisión girocinética es más alto que el propio operador de colisión por dos órdenes de ks. Esta es la propiedad que nosotros
se basó en descuidar los términos de colisión en Eqs. (104) y (137).
B.2. Orden de términos de colisión en Eqs. (125) y (137)
En el § 5, afirmamos que la contribución al término de colisión ion-ion debido a la (ZeRi/T0i)F0i parte de la distribución ion
función [Eq. (124)] era una orden de ki más pequeña que las contribuciones del resto de hola. Esto fue usado para ordenar la colisión.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 53
términos en Eqs. (125) y (137). De hecho, de Eq. (B3),
ZeRi
eik·Ri
eikiCii
e-iki J0(ai)F0i
- ¿Qué es eso? - ¿Qué es eso?
eik·Ri
eikiCii
1 − ik i −
(k i)2 −
+ · · ·
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
F0i. (B9)
Esta estimación se mantiene porque, como es fácil de determinar utilizando Eq. (B2), el operador Cii aniquila los dos primeros términos en el
expansión y sólo actúa no trivialmente sobre una expresión que es el segundo orden en ki. Con la ayuda de Eq. (47), el pedido deseado
del término (B9) en Eq. (125) sigue. Cuando Eq. (B9) se integra sobre el espacio de velocidad, el resultado recoge dos órdenes adicionales en
ki [un efecto general de la integración del operador de colisión giropromedio sobre el espacio de velocidad; véase Eq. (B4)]:
ZeRi
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (B10)
así que el término resultante en Eq. (137) es el tercer orden, como se indica en el § 5.3.
B.3. Modelo de operador de dispersión de Angle-Pitch para colisiones de la misma especie
Se construye un modelo de operador popular para colisiones de la misma especie que conserva el número de partículas, el impulso y la energía
mediante la toma del operador de dispersión de ángulos de pitch-partículas de ensayo y su corrección con un plazo adicional que garantice un
servación (Rosenbluth et al. 1972; véase también Helander & Sigmar 2002):
CM[hs] = /
D v)
1 - 2
)......................................................................................
1 - 2
2v ·U[hs]
v2ths
, U[hs] =
d3vv vssD v)hss
d3v (v/vths)2/D (v)F0s(v)
, (B11)
v) = vss
(vs
v2ths
erf ′
, /ss =
2ηn0sq
s ln
, (B12)
donde los derivados de velocidad están en constante r. La versión girocinética de este operador es (cf. Catto & Tsang 1977;
Dimits & Cohen 1994
• CM[hs] • Rs =
eik·Rss/D (v)
1 - 2
) Łhsk
v2(1 + 2)
4v2ths
s hsk + 2
VJ1(as)U[hsk] + vJ0(as)U[hsk]
v2ths
, (B13)
U[hsk] =
D3vvvJ1(as)/D (v)hsk(v,vÃ3Â)
d3v (v/vths)2/D (v)F0s(v)
, U®[hsk] =
D3VVVVJ0(as)
D (v)hsk(v,v)
d3v (v/vths)2/D (v)F0s(v)
donde como = kv/el. Los derivados de velocidad están ahora en Rs constantes. El término de difusión espacial que aparece en el anillo-promedio
El operador de colisión se debe físicamente al hecho de que un cambio en la velocidad de una partícula resultante de una colisión puede conducir a un cambio
en la posición espacial de su girocentro.
Con el fin de derivar Eq. (B13), usamos Eq. (B3). Desde entonces, Łs(v) =
1 − 2 sin ŷv
1 − 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + co + + + 2 + + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + + +
No es difícil de ver.
e-iks(v)hsk = e
−iks(v)
1 - 2
ik ·
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
e-iks(v)hsk = e
−ik(v)
ik ·v
Hsk. (B14)
Por lo tanto,
eiks(v)
1 - 2
e-iks(v)hsk
1 - 2
) Łhsk
k2hsk,
eiks(v)
e-iks(v)hsk
1 - 2
k2hsk.
(B15)
Combinando estas fórmulas, obtenemos los dos primeros términos en Eq. (B13). Ahora vamos a trabajar en el término U:
eiks(v)v ·
d3v′ vssD (v
′)e−iks(v)
′)hsk
v,v
veiks(v)
dv v
dv
v′e−iks(v
v,v
(B16)
Desde
ve±iks(v)
= v
e±iks(v)
ve±iks(v)
, donde
e±iks(v)
= J0(as) y
±iks(v)
=
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
ik ·
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
= ±i♥s
ik ·
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
= ±i k
vJ1(as), (B17)
Obtenemos el tercer término en Eq. (B13).
54 SCHEKOCHIHIN ET AL.
Es útil dar la forma de orden más bajo del operador (B13) en el límite ks 1:
• CM[hs] • Rs = /
D v)
1 - 2
)......................................................................................
d3v′v′
vssD (v)
′)hs(v
d3v′v′2 vssD (v
′)F0s(v′)
+ O(k2
s ). (B18)
Este es el operador que se puede utilizar en el lado derecho de Eq. (145) (como, por ejemplo, se hace en el cálculo del transporte por colisión
términos del apéndice D.3).
En los cálculos numéricos prácticos de la turbulencia girocinética, el operador de dispersión del ángulo de pitch no es suficiente porque el
la función de distribución desarrolla escalas pequeñas no sólo en, sino también en v (M. Barnes, W. Dorland y T. Tatsuno 2006, inédito).
Esto se espera, de hecho, porque la cascada de la entropía de la fase-espacio produce pequeñas escalas en v, en lugar de sólo en (véase § 7.9.1).
Con el fin de proporcionar un corte en v, debe añadirse un operador de difusión de energía al operador de dispersión de ángulos de pitch derivado anteriormente.
Abel et al propusieron un operador de difusión de energía girocinética con modelo de tracto numérico. (2008); Barnes et al. (2009).48
B.4. Operador de colisión de electrones y iones
Este operador se puede ampliar en mí/mi y al orden más bajo es (véase, por ejemplo, Helander & Sigmar 2002)
Cei[h] = /
D v)
1 - 2
)..............................................................................................
1 - 2
2v ·ui
v2the
, v.i.D. = v.i.
(v el
. (B19)
Las correcciones a este formulario son O(me/mi). Este es el segundo orden en la expansión del § 4 y, por lo tanto, no necesitamos mantener estos
correcciones. El operador (B19) es matemáticamente similar al operador modelo para las colisiones de la misma especie [Eq. (B13)]. Los
La versión girocinética de este operador se deriva de la manera análoga al cálculo del apéndice B.3. El resultado es
Cei[h]Re =
eik·Re/eiD (v)
1 - 2
) Łhek
v2(1 + 2)
4v2el
v2the
J1(aes)
2v′2
v2thi
hik +
2vóJ0(ae)uki
v2the
. (B20)
En escalas no muy cercanas a la giroescala electrónica, es decir, tales que ke (me/mi)1/2, los términos segundo y tercero son manifiestamente
segundo orden en (me/mi)
1/2, por lo que hay que descuidar junto con otras contribuciones O(me/mi) a las colisiones electrón-ion.
49 Las
los dos términos restantes son de primer orden en la expansión de masa-ratio: el primer término desaparece para él = h
e [Eq. (101)], por lo que su contribución
es el primer orden; en el cuarto término, podemos utilizar Eq. (87) expresar las cantidades que son también de primer orden. Únicamente conservando
los términos de primer orden, el operador de colisión electrón-ion girocinético es
Cei[h]Re = /
D v)
1 - 2
) h(1)e
2vá»uûi
v2the
. (B21)
Tenga en cuenta que el término de arrastre de iones es esencial para representar la fricción iónico-electrón correctamente y, por lo tanto, para capturar el Ohmic
resistividad (que, sin embargo, rara vez es más importante para el flujo descongelante que la inercia electrónica y la finitud del electrón
giroradio; véase § 7.7).
C. LA DERIVACIÓN HEURÍSTICA DE LAS EQUACIONES ELECTRÓNICAS
Aquí mostramos cómo las ecuaciones (116-117) de § 4 y las ecuaciones ERMHD (226-227) de § 7 pueden derivarse heurísticamente
de la dinámica de fluidos electrónicos y una serie de suposiciones físicas, sin el uso de la girocinética (§ C.1). Esta derivación es
No es riguroso. Su función es proporcionar una ruta intuitiva al fluido electrónico isotérmico y aproximaciones de ERMHD.
C.1. Derivación de Eqs. (116-117)
Comenzamos con las siguientes tres ecuaciones:
= −cE, ♥ne
(neue) = 0, E +
ue ×B
. (C1)
Estas son la ley de Faraday, la ecuación de continuidad de electrones, y la ley generalizada de Ohm, que es el impulso electrónico
ecuación con todos los términos de inercia electrónica descuidados (es decir, efectivamente, el orden más bajo en la expansión en la masa de electrones yo). Los
se supone que la presión de electrones es escalar por fiat (esto puede justificarse en ciertos límites: por ejemplo, en el límite de colisión, como en
Apéndice A, o para la aproximación del fluido electrónico isotérmico derivada de § 4). El término de presión electrónica en el lado derecho
de la ley de Ohm a veces se llama el término termoeléctrico. Ahora asumimos el mismo equilibrio uniforme estático, E0 = 0, B0 = B0,
que hemos utilizado a lo largo de este documento y aplicar a Eqs. (C1) el orden fundamental discutido en § 3.1.
48 El operador de colisión utiliza ahora los códigos GS2 y AstroGK (véase la nota 46) es su operador de difusión de energía más la ópera de dispersión de ángulo de pitch-angle-
tor (B13).
49 El tercer término en Eq. (B20) es, de hecho, nunca importante: en las escalas de electrones, ke 1, es insignificante debido a la función de Bessel en la velocidad
integral (Abel et al. 2008).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 55
Primero considere la proyección de la ley de Ohm sobre el campo magnético total B, use la definición de E [Eq. (37)], y mantener el
términos de orden líder en la expansión de:
E · b = − 1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
+ bâ = bâ â ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
. (C2)
Esto se convierte en Eq. (116) si también asumimos electrones isotérmicos, Łpe = T0eŁne [ver Eq. (103)].
Con la ayuda de la ley de Ohm, la ley de Faraday se convierte en
= (ue ×B) = −ue B + B ue − Bue. (C3)
Manteniendo los términos de orden principal, encontramos, para los componentes de Eq. (C3) perpendicular y paralela al campo medio,
+ ue
= b ue,
+ ue
= bâ â € € TM a. (C4)
En la última ecuación, hemos utilizado la ecuación de continuidad de electrones para escribir
ue = −
+ ue
. (C5)
De la ley de Ohm, tenemos, al orden más bajo,
ue =
E
=
. (C6)
Usando esta expresión en el segundo de las ecuaciones (C4) da
- bâ e =
, (C7)
donde d/dt se define de la manera habitual [Eq. (122)]. Suponiendo que los electrones isotérmicos aniquilan el segundo término en
el lado derecho y convierte la ecuación anterior en Eq. (117). En cuanto a la primera de las ecuaciones (C4), el uso de Eq. (C6) y
substitución de B = A = lo convierte en el Eq previamente derivado. (C2), de dónde sigue Eq. (116).
Por lo tanto, hemos demostrado que Eqs. (116-117) puede derivarse como consecuencia directa de la ley de Faraday, dinámica de fluidos electrónicos
(ecuación de continuidad del electrón y el balance de fuerza del electrón, a. k. a. la ley generalizada de Ohm), y la suposición de isotérmica
electrones—todos llevados al orden principal en el orden girocinético dado en § 3.1 (es decir, asumiendo anisotrópicos que interactúan fuertemente
fluctuaciones con kà      kà ).
Acabamos de demostrar que Eqs. (116) y (117) son simplemente la parte perpendicular y paralela, respectivamente, de Eq. (C3). Los
Última ecuación significa que las líneas de campo magnético se congelan en la velocidad de flujo de electrones ue, es decir, el flujo se conserva, el
resultado probado formalmente en § 4.3 [véase Eq. (99),].
C.2. MHD de electrones y la Derivación de Eqs. (226-227)
Una ruta a Eqs. (226-227), ya explicado en § 7.2, es comenzar con Eqs. (C2) y (C7) y asumir electrones Boltzmann
e iones y el balance total de presión. Otro enfoque, más estándar en la literatura sobre el Hall y el Electron MHD, es:
empezar con Eq. (C3), que establece que el campo magnético se congela en el flujo de electrones. La velocidad del electrón se puede escribir en
términos de la velocidad del ión y la densidad de la corriente, y este último entonces relacionado con el campo magnético a través de la ley de Ampère:
ue = ui −
= ui −
4ηene
B. (C8)
Para el orden de dirección en, las partes perpendiculares y paralelas de Eq. (C3) son Eqs. (C4), respectivamente, donde la perpendicular y
velocidades de electrones paralelas son [de Eq. (C8)]
ue = ui +
4ηen0e
BÃ3r, uáe = uái +
4ηen0e
# 2 A # # # 2 A # # # 2 A # # # 2 A # # # 2 A # # # # 2 A # # (C9)
El tamaño relativo de los dos términos en cada una de estas expresiones está controlado por el tamaño de kdi, donde di =
βi es el ión
Escala inercial. Cuando kdi â € 1, podemos establecer ui = 0. Note, sin embargo, que el movimiento iónico no es totalmente descuidado: de hecho, en el
segundo de las ecuaciones (C4), los términos Łne/ne viene, vía Eq. (C5), de la divergencia de la velocidad iónica [de Eq. (C8),
ui = ue]. Para completar la derivación, relacionamos a Ne con BB a través de la suposición de balance de presión total, como se explica en
§ 7.2, dándonos Eq. (225). Sustitución de esta ecuación y Eqs. (C9) en Eqs. (C4), obtenemos
= v2Adi b
1 + 2/βi(1 + Z/ )
Bó 2, (C10)
donde • = −A®/
4?min0i. Las ecuaciones (C10) evolucionan el campo magnético perturbado. Estas ecuaciones se convierten en las ecuaciones ERMHD
(226-227) en caso de que el valor de B-B-B-0 se exprese en términos del potencial escalar a través de Eq. (223).
56 Schekochihin et al.
Tenga en cuenta que hay dos límites especiales en los que la suposición de iones inmóviles basta para derivar Eqs. (C10) de Eq. (C3)
sin necesidad de equilibrio de presión: βi â € 1 (iones incompresibles) o â € = T0i/T0e â € 1 (iones fríos) pero â € € = βiZ/€ â € 1. En ambos
casos, Eq. (225) muestra que la densidad puede ser ignorada y el coeficiente de la mano derecha
lado del segundo de las ecuaciones (C10) es igual a 1. El límite de los iones fríos se examina más a fondo en el apéndice E.
D. LÍMITE FLUIDO DEL RMHD KINETICO
Tomar el límite de fluidos (colisionales) del sistema KRMHD (resumido en § 5.7) significa llevar a cabo otra filial
expansión—esta vez en kmfpi â € 1. La expansión sólo afecta a las ecuaciones para la densidad y la fuerza del campo magnético
fluctuaciones (§ 5.5) porque las ondas Alfvén son indiferentes a los efectos de colisión.
El cálculo que se presenta a continuación sigue un algoritmo estándar de perturbación utilizado en la teoría cinética de los gases y en el plasma
física para derivar ecuaciones fluidas con coeficientes de transporte de colisión (Chapman & Cowling 1970). Para plasma magnetizado,
Este cálculo fue realizado en plena generalidad por Braginskii (1965), cuyo punto de partida fue la teoría cinética plasmática completa
[Eqs. (36-39)]. Si bien lo que hacemos a continuación es, estrictamente hablando, simplemente un caso particular de su cálculo (véase el Apéndice A), tiene
la ventaja de la simplicidad relativa y también sirve para mostrar cómo el límite de fluido se recupera del formalismo girocinético—a
la demostración de que creemos que es de valor.
Será conveniente utilizar el sistema KRMHD escrito en términos de la función fœi = g + (v2/v
que es la que se encuentra en la lista de los Estados miembros de la Unión Europea (en lo sucesivo, «los Estados miembros»).
la perturbación del local Maxwellian en el marco de las ondas Alfvén [Eqs. (150-152)]. Queremos ampliar Eq. (150) en los poderes
de kmfpi, por lo que dejamos que
i +
i +.. ...........................................................................................................................................................................................
+ B(1)
+.. .., etc.
D.1. Orden Zeroth: Ecuaciones de Fluidos Ideales
Desde [ver Eq. 49)]
kmfpi
kà                                                                       Â
• kmfpi, (D1)
a cero orden Eq. (150) pasa a ser
- ¡No! - ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
= 0. El modo cero del operador de colisión es un Maxwellian. Por lo tanto, nosotros
puede escribir la función de distribución completa de iones hasta el orden cero en kmfpi como sigue [ver Eq. (144)]
2ηTi/mi
mi[(v − uE)2 + (vÃ3r − uà )2]
, (D2)
donde ni = n0i + Łni y Ti = T0i + ♥Ti incluyen tanto las cantidades no perturbadas como sus perturbaciones. La velocidad de deriva E×B uE
proviene de las olas de Alfvén (véase § 5.4) y no nos concierne aquí. Debido a que las perturbaciones ni, u· y Ti son pequeñas en el
expansión girocinética original, Eq. (D2) es equivalente a
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, ni exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
n(0)e
v2thi
* T (0)i.
v2thi
F0i, (D3)
donde hemos utilizado la cuasi-neutralidad para sustituir a ni/n0i = ne/n0e. Esto satisface automáticamente Eq. (151), mientras que Eq. (152) nos da
una expresión para la perturbación de la temperatura iónica:
* T (0)i.
n(0)e
B(0)
. (D4)
Tenga en cuenta que esto es coherente con la interpretación de la ley perpendicular de Ampère [Eq. (63), que es el progenitor de
Eq. (152)] como el balance de presión [véase Eq. (67)]: de hecho, recordando que la perturbación de la presión de los electrones es
[Eq. (103)], tenemos
= pe − ♥pi = neT0e − ♥niT0i − n0iđTi, (D5)
de donde sigue Eq. (D4) por medio de la cuasineutralidad (Zni = ne) y las definiciones de Z, , βi [Eqs. (40-42)].
Dado que el operador de colisiones conserva el número de partículas, el impulso y la energía, podemos obtener ecuaciones de evolución para Łn(0)e /n0e,
y B(0)
/B0 multiplicando Eq. (150) por 1, v®, v
2/v2thi, respectivamente, e integrar sobre el espacio de velocidad. Los tres
los momentos que emergen de esta manera son
d3v/23370/ fœ (0)i =
n(0)e
d3vv f
i = u
v2thi
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, ni exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
n(0)e
* T (0)i.
. (D6)
Las tres ecuaciones de evolución para estos momentos son
n(0)e
B(0)
+ bâ u(0)
= 0, (D7)
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 57
du(0)
− v2A b
B(0)
= 0, (D8)
n(0)e
* T (0)i.
B(0)
bâ u(0)
= 0. (D9)
Esto nos permite recuperar las ecuaciones de fluidos que derivamos en § 2.4: Eq. (D8) es el componente paralelo del impulso MHD
ecuación (27); combinando Eqs. (D7), (D9) y (D4), obtenemos la ecuación de continuidad y el componente paralelo de la inducción
ecuación—estos son los mismos que Eqs. (25) y (26)):
n(0)e
1 + c2s/v
bâ u(0)
B(0)
1 + v2A/c2s
bâ u(0)
, (D10)
donde la velocidad de sonido cs es definida por Eq. (166). De Eqs. (D7) y (D9), también encontramos el análogo de la ecuación de la entropía (23):
* T (0)i.
n(0)e
♥s(0)
♥s(0)
* T (0)i.
n(0)e
n(0)e
B(0)
. (D11)
Esto implica que la temperatura cambia debido únicamente al calentamiento por compresión.
D.2. Energía Generalizada: Cinco Cascadas RMHD Recuperadas
Ahora calculamos la energía generalizada sustituyéndola de Eq. (D3) en Eq. (153) y utilizando Eqs. (D4) y (D11):
min0iu
min0iu
n0iT0i
1 + Z/
5/3 + Z/
=W +AW +W
AW + W
sw +W
n0iT0i
1 + Z/
5/3 + Z/
Ws. (D12)
Los dos primeros términos son la energía de onda Alfvén [Eq. (154)]. Los dos términos siguientes son la energía de onda lenta, que se divide en
las energías en cascada independientes de las ondas “+” y “−” (véase el punto 2.5):
WSW = W
sw +W
min0i
z
2 + z
. (D13)
El último término es la varianza total del modo entropía. Así, hemos recuperado las cinco cascadas del sistema RMHD (§ 2.7;
Fig. 5 mapea el destino de estas cascadas a escalas cinéticas).
D.3. Primera Orden: Transporte Colisional
Ahora vamos a calcular los términos de transporte de colisión para las ecuaciones derivadas arriba. Para hacer esto, tenemos que determinar
la función de distribución perturbada por orden de primer orden f (1)i, que satisface [véase Eq. (150)]
f‡ (1)i
*.........................................................................................................................................................
v2thi
B(0)
+ vâ ° bâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
fû (0)i +
n(0)e
. (D14)
Ahora usamos Eq. (D3) en sustitución de los substratos (D10-D11) y (D8) para calcular los derivados de tiempo. Ecuación (D14)
se convierte en
f‡ (1)i
1 - 3 - 2
v2thi
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
bâ u(0)
v2thi
bâ T
F0i(v), (D15)
en los que = v/v. Tenga en cuenta que el lado derecho da cero cuando se multiplica por 1, vÃ3 o v
2 e integrado sobre el espacio de velocidad, como
debe hacerlo porque el operador de colisión en el lado izquierdo conserva el número de partículas, el impulso y la energía.
Resolviendo Eq. (D15) requiere invertir el operador de colisión. Si bien esto se puede hacer para el operador general de colisión Landau
(véase Braginskii 1965), para nuestros fines, basta con utilizar el modelo de operador que figura en el apéndice B.3, Eq. (B18). Esto simplifica
los cálculos a expensas de una inexactitud de orden uno en los valores numéricos de los coeficientes de transporte. Como el valor exacto de
Estos coeficientes nunca serán cruciales para nosotros, esto es una pérdida aceptable de precisión. Invertir el operador de colisión en Eq. (D15)
entonces da
1i =.............................................................................................................................................................................................................................................................
/ iiD(v)
1 - 3 - 2
v2thi
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
bâ u(0)
v2thi
bâ T
F0i(v), (D16)
58 SCHEKOCHIHIN ET AL.
donde ν iiD(v) es una frecuencia de colisión definida en Eq. (B12) y hemos elegido las constantes de integración de tal manera que
se respetan tres leyes de conservación:
d3v/23370/ f‡ (1)i = 0,
d3vv f
i = 0,
d3vv2 f (1)i = 0. Estas relaciones significan que
e = 0,
= 0, T (1)i = 0 y que, en vista de Eq. (152), tenemos
B(1)
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
ibá u, (D17)
donde i se define a continuación [Eq. (D21)]. Las ecuaciones (D16-D17) se utilizan ahora para calcular las correcciones de primer orden al momento
ecuaciones (D7-D9). Se convierten en
+ bâ uâ = 0, (D18)
− v2Abâ
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
i
Bâ â € TM TM â TM TM â TM â TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
, (D19)
= ibá
bâ Ti
, (D20)
donde hemos introducido los coeficientes de viscosidad paralela y difusividad térmica paralela:
i =
/ iiD(v)v
F0i(v), i =
/ iiD(v)v
v2thi
F0i(v). (D21)
Todas las cantidades perturbadas ahora son precisas hasta el primer orden en kmfpi. Nótese que en Eq. (D19), usamos Eq. (D17) para expresar
B(0)
= B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B = B
. Hacemos lo mismo en Eq. (D4) y obtener
2/3 + c2s/v
1 + c2s/v
ibá u
. (D22)
Esta ecuación completa el sistema (D18-D20), lo que nos permite determinar el número de personas, el número de personas, el número de personas, el número de personas y el número de personas. En § 6.1, usamos las ecuaciones
derivados anteriormente, pero absorben el prefactor (2/3 + c2s/v)
A)/(1 + c)
A) en la definición de i. El mismo sistema de ecuaciones también puede
se derivan de la teoría de Braginskii de dos fluidos (Apéndice A.4), de la que podemos tomar prestados los valores cuantitativamente correctos de la
viscosidad e iones difusividad térmica: i = 0,90v
ti/νii, i = 2.45v
donde se define en Eq. (52).
E. HALL MHD REDUCIDO
La popular aproximación Hall MHD consiste en asumir que el campo magnético se congela en la velocidad de flujo de electrones
[Eq. (C3)]. Este último se calcula a partir de la velocidad de flujo iónico y la corriente determinada por la ley de Ampère [Eq. (C8)]:
4ηen0e
, (E1)
donde la velocidad de flujo iónico ui satisface la ecuación de impulso MHD convencional (8). El Hall MHD es un atractivo teórico
modelo que parece capturar tanto el comportamiento MHD en longitudes de onda largas (cuando ue ui) y algunos de los efectos cinéticos que
se vuelven importantes a escalas pequeñas debido a la disociación entre los flujos de electrones e iones (la aparición de ondas dispersivas)
sin traer toda la complejidad de la teoría cinética. Sin embargo, a diferencia de la teoría cinética, ignora completamente la
efectos de amortiguación sin colisión y sugiere que el cambio físico a pequeña escala clave está asociado con la escala inercial de iones
di =.........................................................................................................................................................................
βi (o, cuando βe +1, la escala de sonido de iones
En lugar de la giroescala de iones, véase § E.3). ¿Es esto aceptable?
¿Modelo para turbulencias plasmáticas? La figura 8 ilustra el hecho de que, en el punto 1, la escala inercial de iones no desempeña un papel especial linealmente,
la onda MHD Alfvén se dispersa en la giroescala de iones, no en di, y que la amortiguación sin colisión no puede en general
ser descuidado. Una comparación detallada de la relación de dispersión lineal Hall MHD con la relación de dispersión plasmática caliente completa conduce a
la conclusión de que el hall MHD es sólo una aproximación válida en el límite de los iones fríos, a saber, = T0i/T0e 1 (Ito et al. 2004;
Hirose et al. 2004). En este Apéndice, mostramos que una versión reducida (de baja frecuencia, anisotrópica) de Hall MHD puede, de hecho, ser
esto demuestra que el modelo Hall MHD encaja en el marco teórico
propuesta en el presente documento como límite especial. Sin embargo, el régimen de parámetros que da lugar a este límite especial no es común en
plasmas espaciales y astrofísicos de interés.
E.1. Derivación girocinética de la sala MHD reducida
Comencemos con las ecuaciones del fluido isotérmico de electrones, Eqs. (116-121), es decir, trabajar dentro de los supuestos que nos permitieron
para llevar a cabo la expansión de masa-ratio (§ 4.8). En Eq. (120) (ley de Perpendicular Ampère, o balance de presión girocinética), tomando
50 Tenga en cuenta que, estrictamente hablando, nuestro orden de la frecuencia de colisión no nos permite tomar este límite (véase la nota 17), pero esto es una traición menor al rigor,
que, de hecho, no invalida los resultados.
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 59
el límite de la letra 1 de la letra • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
eik·r
d3vJ0(ai)hik
, (E2)
donde hemos usado Eq. (118) para expresar la integral hi y la expresión para el electrón beta βe = βiZ/. Tenga en cuenta que lo anterior
ecuación es simplemente la declaración de un equilibrio entre la presión térmica magnética y electrónica (los iones son relativamente fríos,
por lo que han caído de la balanza de presión). Usando Eq. (E2) para expresar el nombre en términos de «B» en Eqs. (116) y (117) y también
sustituyéndolo por el eq. (119) [o, equivalentemente, Eq. (87)], obtenemos
= vAbâ
vAdi
1 + 2/βe
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, (E3)
donde hemos utilizado nuestras definiciones habituales de las funciones de flujo y flujo [Eq. (135)] y de los derivados completos [Eq. (160)].
Estas ecuaciones determinan la evolución del campo magnético, pero todavía necesitamos la ecuación girocinética de iones (121) para calcular
el movimiento iónico (Φ = c-B0 y u-i) a través de Eqs. (118) y (88). Hay dos límites en los que la cinética iónica se puede reducir a
modelos fluidos simples.
E.1.1. Límite de alto ion-beta, βi â € 1
En este límite, ki = kdi
βi 1 siempre y cuando kdi no sea pequeño. Entonces el movimiento iónico puede ser descuidado porque es promedio hacia fuera
por las funciones de Bessel en Eqs. (118) y (88)—de la misma manera que en § 7.2. Por lo que obtenemos Φ = (l/Z)vAdil/B0 [usando Eq. (E2);
Este es el límite de 1 Eq. (223)] y ui = 0. Tomando en cuenta que βe = βiZ/فارسى 1 en este límite, encontramos que Eqs. (E3) reducir a
= v2Adi b
= −di b 2, (E4)
que es el límite de 1 de nuestras ecuaciones ERMHD (226-227) [o, equivalentemente, Eqs. (C10)].
E.1.2. Límite bajo de ion-beta, βi • • • 1 (límite de sala)
Este límite es similar al límite RMHD elaborado en el § 5: tomamos, por ahora, kdi 1 y βe 1 (en el que
expansiones se pueden llevar a cabo más tarde), y ampliar la girocinética de iones en ki = kdi
βi â € 1. Tenga en cuenta que ordenar βe + 1 significa
que hemos ordenado βi â â € € â € 1. Ahora procedemos análogamente a la forma en que lo hicimos en § 5: expresar la distribución iónica en términos de
la función g definida por Eq. (124) y, utilizando la relación (E2) entre B/B0 y N0e, escriba Eqs. (125-127) según se indica:
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# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
- • Cii[g] • Ri
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
¡Aá,á,á,á,á,á,á,á,á,á, á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á,á
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
+bó
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
F0i +
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
,(E5)
1(αi) +
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 0(αi)
[Ze.k.]
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d3vJ0(ai)gk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, uki
d3vvóJ0(ai)gk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (E6)
Todos los términos en estas ecuaciones se pueden ordenar con respecto al parámetro pequeño
βi (una filial de expansión de la
Expansión de la Sala y ampliación de la Sala en la Sala en la Sala 1). El orden más bajo al que entran se indica debajo de cada término. Los
orden que usamos es el mismo que en § 5.2, pero ahora contamos los poderes de
βi y ordene formalmente kdi 1 y βe 1. Es fácil.
para comprobar que este pedido se puede resumir de la siguiente manera:
y que los términos ion y electrón en Eqs. (E3) son comparables en virtud de esta orden, por lo que su competencia se mantiene (de hecho, este
podría ser utilizado como la suposición subyacente detrás de la orden). La frecuencia de fluctuación sigue ordenándose como el Alfvén
frecuencia, · k·vA. Los términos de colisión se ordenan a través de:
βi y kmfpi 1, aunque esta última suposición es
no es esencial para lo que sigue, porque las colisiones resultan ser insignificantes y está bien tomar kmfpi 1 desde el principio y
los descuida por completo.
En Eqs. (E6), usamos Eqs. (129) y (130) escribir 1 0(αi) αi = k22i /2 y 1(αi) 1. Estas ecuaciones implican que si nosotros
expandir g = g(−1) + g(0) +.. .., debemos tener
d3vg(−1) = 0, por lo que la contribución al lado derecho de la primera de las ecuaciones
60 SCHEKOCHIHIN ET AL.
(E6) (la ecuación de cuasi-neutralidad) proviene de g(0), mientras que el flujo de iones paralelo está determinado por g(−1). Conservando sólo el más bajo
(menos primero) términos de orden en Eq. (E5), encontramos la ecuación para g(−1), el momento de vÃ3n de la cual da una ecuaciÃ3n para uÃ3i:
(−1)
,g(−1)} = 2
VÓBÓBÓ
F0i ♥
= v2Abâ
. (E8)
Ahora integrando Eq. (E5) sobre el espacio de velocidad (en constante r), utilizando la primera de las ecuaciones (E6) para expresar la integral de
g(0), y conservando sólo los términos de orden más bajos (cero), encontramos
*2i* *2*
+ i = 0 ♥
2 = vAb 2, (E9)
donde hemos utilizado el segundo de las ecuaciones (E3) para expresar la derivada de tiempo de
Junto con Eqs. (E3), Eqs. (E8) y (E9) forman un sistema cerrado, que es natural llamar Hall Reduced MHD (HRMHD)
porque estas ecuaciones pueden ser directamente derivadas aplicando el orden RMHD (§ 2.1) a las ecuaciones MHD (8-10)
con la ecuación de inducción (10) sustituida por Eq. (E1). De hecho, Eqs. (E8) y (E9) coinciden exactamente con Eqs. (27) y (18), que
son los componentes paralelos y perpendiculares de la ecuación de impulso MHD (8) bajo el orden RMHD; Eqs. (E3) debería
comparación de Eqs. (17) y (26), sin dejar de notar que, en el límite de la velocidad de sonido de 1°, la velocidad de sonido es cs = vA
βe/2 [véase Eq. (166)]. Los
El caso incompresible (Mahajan & Yoshida 1998) se recupera en el límite subsidiario βe â € 1 (es decir, 1 â € € €.
E.2. Energía Generalizada para el Salón RMHD y el Modo Entropía Pasiva
Para elaborar la energía generalizada (§ 3.4) para el régimen de HRMHD, comenzamos con la energía generalizada para la isotermia
Líquido de electrones [Eq. (109)] y utilice Eq. (E2) para expresar la perturbación de la densidad:
T0iää f
, (E10)
donde se llama B =. La función de distribución de iones perturbados se puede escribir en la misma forma que se hizo en § 5.4 [Eq. (143)]:
al orden más bajo en el
Expansión βi (§ E.1.2),
f (−1)i =
2v ·u
v2thi
F0i + g(−1) =
2v ·u
v2thi
F0i +
2vá»uûi
v2thi
F0i + g, (E11)
donde u =. La última igualdad de arriba se logra notando que, puesto que g(−1) satisface Eq. (E8), podemos dividirlo en un
Maxwellian perturbado con velocidad paralela u'i y el resto: g
(−1) = 2váuáiF0i/v
ti + g Entonces la solución homogénea es g
de la ecuación cinética de orden principal [véase Eq. (E8)]:
, g = 0,
d3v g = 0. (E12)
Sustitución de Eq. (E11) en Eq. (E10) y mantener sólo los términos de orden de prioridad en el
Expansión βi, obtenemos
min0iu
min0iu
T0ig
. (E13)
Los primeros cuatro términos son la energía del Alfvénic y las fluctuaciones polarizadas de onda lenta [cf. Eq. (D12)]. A diferencia de RMHD, estos
no se desacoplarán en el HRMHD, a menos que se adopte otro límite subsidiario de longitud de onda larga (véase E.4). Es fácil verificar que el
La suma de estos cuatro términos es efectivamente conservada por Eqs. (E3), (E8) y (E9). El último término en Eq. (E13) es un producto de conservación individual
Cantidad cinética. Su conservación refleja el hecho de que g
Velocidades alfvénicas a través de Eq. (E12).51
El modo cinético pasivo gū puede ser considerado como una versión cinética del modo entropía MHD y, de hecho, se reduce a él si el
Operador de colisión en Eq. (E5) se actualiza a la orden principal ordenando por orden 1 (es decir, considerando longitudes de onda largas paralelas,
# Kmfpi #
βi). En tal límite de colisión, gû tiene que ser un Maxwelliano perturbado sin densidad o perturbación de velocidad [porque
d3vg = 0, mientras que la perturbación de la velocidad se separa explícitamente de g en Eq. (E11)]. Por lo tanto,
v2thi
F0i ♥
T0ig
n0iT0i
T 2i
T 20i
. (E14)
Esto se debe comparar con el βi â € € 1 límite de Eqs. (D11) y (D12). Como hemos establecido, en el
Expansión βi,
* Ti = T
i, lni = ln
i, B = B
, por lo que el orden más bajo es 0 = Ti/T0i y Eq. (E14) describe el modo de entropía en el límite Hall.
51 Se produce una división similar de la cascada de energía generalizada en una cascada de tipo fluido más una cascada pasiva de una parte de la función de distribución de densidad cero
en el régimen de Hasegawa-Mima, que es la versión electrostática del límite Hall (Plunk et al. 2009).
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 61
E.3. Hall RMHD Relación de dispersión
Linealización de las ecuaciones Hall RMHD (E3), (E8) y (E9) (derivado en § E.1.2 asumiendo el orden βi â € € € 1), obtenemos
la siguiente relación de dispersión:52
• 2 − k2 • v
1 + 2/βe
= 2 k2 v
1 + 2/βe
. (E15)
Cuando el término de acoplamiento en el lado derecho es insignificante, kdi/
1 + 2/βe â € 1, recuperamos la onda MHD Alfvén, â € 2 = k2â € v
y la onda lenta del MHD, +2 = k2
v2A/(1 + v
s ) [Eq. (167)], donde cs = vA
βe/2 en el límite de la letra a) del punto 1 [Eq. (166)]. Al contrario.
límite, obtenemos la onda cinética Alfvén, 2 = k2
i /(1 + 2/βe) [igual que Eq. (230) con • • • 1].
La solución de la relación de dispersión (E15) es
1 + 2/βe
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (E16)
Las funciones propias correspondientes satisfacen entonces53
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
vAdi
, ui = −
, Φ = −
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. (E17)
La ecuación (E16) adopta una forma particularmente sencilla en los límites subsidiarios de beta beta βe = βiZ/
βe â € 1 : â € 2 = k2â € v
, βe â € 1 : â € 2 = k2â € v
1 + k2
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
1 + k2
, (E18)
en los que ♥s = di
βe/2 =
Se llama la escala de sonido ion. La ola Alfvén y la ola lenta (conocido como el ion
ondas acústicas en el límite de 1o, 1o, 1o y 1o se dispersen en la escala inercial de iones (kdi 1o) cuando βe 1o y en el ion
escala de sonido (ks â € 1) cuando βe â € 1.
E.4. Resumen de la sala RMHD y el papel de las escalas de sonido ion inercial e ion
Hemos demostrado que en el límite de los iones fríos y de los iones bajos beta (βi â â € € 1, “el límite Hall”), la turbulencia girocinética puede ser
descrita por cinco funciones escalares: las funciones de flujo y flujo Φ y فارسى para las fluctuaciones alfvénicas, la velocidad paralela y
Perturbaciones magnéticas de campos oi y Bb para las fluctuaciones polarizadas de onda lenta y g, la parte de densidad cero, velocidad cero de
la función de distribución iónica, que es la versión cinética del modo entropía MHD. Las cuatro primeras de estas funciones satisfacen un
conjunto cerrado de cuatro ecuaciones de tipo fluido, derivadas en el § E.1 y recogidas aquí:
= vAbâ
vAdi
1 + 2/βe
# Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # Bá # # # # # # # Bá # # # # # # Bá # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, (E19)
2 = vAb 2,
= v2Abâ
. (E20)
Llamamos a estas ecuaciones la Magnetohidrodinámica Reducida Hall (HRMHD). Para tener plenamente en cuenta la generalización de la energía cas-
cade, uno debe añadir a las cuatro ecuaciones HRMHD la quinta, ecuación cinética (E12) para g
desde el HRMHD y esclavizado a las fluctuaciones de velocidad alfvénic (§ E.2).
Las ecuaciones dadas anteriormente son válidas por encima de la giroescala de iones, ki 1. Contienen una escala especial,
1 + 2/βe, que
es la escala inercial de iones di para βe 1 y la escala sonora de iones Como se desprende claramente de la teoría lineal
(§ E.3), el Alfvén y las ondas lentas se dispersan a esta escala. No linealmente, esta escala marca la transición del régimen
en la que las fluctuaciones alfvénicas y de onda lenta polarizadas se disocian del régimen en el que se mezclan. Es decir, cuando
kdi/
1 + 2/βe + 1, HRMHD se convierte en RMHD: Eqs. (E19) se convierte en Eqs. (17) y (26), mientras que Eqs. (E20) permanecer sin cambios
e idéntico a Eqs. (18) y (27); en el límite opuesto, kdi/
1 + 2/βe + 1, el movimiento de los iones se desacopla del campo magnético
evolución y Eqs. (E19) se convierten en ecuaciones ERMHD (226-227).
Dado que estamos considerando el caso βi â € 1, tanto di y ¬s son mucho más grandes que el ion gyroscale ¬i. En el límite opuesto de
βi â € 1 (§ E.1.1), mientras que di es la única escala que aparece explícitamente en Eqs. (E4), tenemos di â € ¬ i y las ecuaciones mismas
representa la dinámica a escalas mucho más pequeñas que la giroescala de iones, por lo que la transición entre los regímenes RMHD y ERHD
se produce en ki 1. Lo mismo es cierto para βi â € 1, cuando di â € € €. La escala de sonido de iones no juega un papel especial cuando
52 La relación completa de dispersión girocinética en un límite similar se desarrolló en Howes et al. (2006), apéndice D.2.1.
53 Tenga en cuenta que los paquetes de onda con k = k y satisfacer Eq. (E17) en función de k dada por Eq. (E16) son soluciones no lineales exactas de
las ecuaciones HRMHD (E3) y (E8-E9). Esto puede ser mostrado a través de un cálculo análogo al de § 7.3 (para el incompresible Hall MHD, esto fue hecho por
Mahajan & Krishan 2005).
62 SCHEKOCHIHIN ET AL.
βi no es pequeño: no es difícil ver que para ks 1, los términos de movimiento de iones en Eqs. (E19) dominamos y simplemente recuperamos el
Modelo KRMHD de rango inercial (§ 5) expandiéndose en ki = ks
2-Z-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I.-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I
En el párrafo 8.2.6 se examinan más a fondo varias teorías de la turbulencia de la dispersión basada en Hall y Electron MHD.
F. DOS INVARIOS DIMENSIONALES EN LA GIROKINETICS
Dado que la girocinética es en cierto sentido una aproximación “cuasi-dos-dimensional”, es natural preguntar si esto da lugar a
propiedades de conservación (además de la conservación de la energía generalizada discutida en el § 3.4) y cómo se rompen por el
presencia de términos de propagación paralelos. Es importante destacar que, salvo en algunos casos especiales, estas invariantes son sólo
invariantes en 2D, por lo que la turbulencia girocinética en 2D y 3D tiene propiedades fundamentalmente diferentes, a pesar de su aparentemente “cuasi-2D”
naturaleza. Por lo tanto, generalmente no es correcto pensar en la turbulencia girocinética (o su caso especial la turbulencia MHD) como
esencialmente una turbulencia 2D con una mezcla de ondas propagadoras paralelas (Fyfe et al. 1977; Montgomery & Turner 1981).
En este Apéndice, elaboramos los invariantes 2D. Sin intentar presentar un análisis completo de la conservación en 2D
propiedades de la girocinética, limitamos nuestra discusión a mostrar cómo algunos invariantes fluidos más familiares (sobre todo, magnético
helicidad) emergen de los invariantes 2D generales en los límites asintóticos apropiados.
F.1. Invariantes 2D generales
Al derivar la energía generalizada invariante, utilizamos el hecho de que
d3Rs hsRs,hs} = 0, así que Eq. (57) después de la multiplicación
por T0shs/F0s y la integración sobre el espacio no contiene ninguna contribución de la no linealidad de Poisson-bracket. Ya que también tenemos
d3Rs RsRs,hs} = 0, multiplicando Eq. (57) por qsRs e integración sobre el espacio tiene un resultado similar. Sustracción de la
última ecuación integrada de la primera y reordenar términos da
qsRs
= qsv
d3Rs Rs
qsRs
. (F1)
Vemos que en una situación puramente en 2D, cuando............. tenemos una familia infinita de invariantes........................................................................................................................................................................................................................................
cada especie y por cada valor de v y v!) sólo se rompe por colisiones. En 3D, la emisión de partículas paralelas (propagación)
término en la ecuación girocinética generalmente rompe estos invariantes, aunque casos especiales pueden surgir en los que el primer término en el
a la derecha de Eq. (F1) desaparece y aparece un invariante 3D genuino.
F.2. “A2
-Cosas”
Aplique la expansión de masa-ratio (§ 4.1) a Eq. (F1) para electrones. Uso de la solución (101) para la distribución de electrones
función, encontramos
T0eF0e
v2the
d3rA
v2the
+ · · ·
= −ev
v2the
F0e −
h(1)e
d3rA
, (F2)
donde hemos mantenido los términos a dos órdenes principales en la expansión. Al orden más bajo, la ecuación anterior se reduce a
d3rA
. (F3)
Esta ecuación también se puede obtener directamente de Eq. (116) (multiplicar por A® e integrar). En 2D, expresa un bien conocido
ley de conservación de la “A2®-cosa.” Como este invariante 2D existe ya en el nivel de la expansión de masa-ratio del electrón
cinética, sin suposiciones sobre los iones, se hereda tanto por las ecuaciones RMHD en el límite de ki â € 1 (§ 5.3) y
por las ecuaciones del ERMHD en el límite de ki 1 (§ 7.2). En el límite anterior, Łne/n0e en el lado derecho de Eq. (F3) es
insignificante (bajo la orden explicada en el § 5.2); en este último límite, se expresa en términos de Ł vía Eq. (221). La conservación
una característica única en 2D, rota por el término de propagación paralelo en 3D.
F.3. Helicicidad magnética en el fluido de electrones
Si ahora dividimos Eq. (F2) a través de evá/c e integrar a través de velocidades, obtenemos, después de algunas integraciones por partes, otro
relación que se convierte en una ley de conservación en 2D y que también puede derivarse fácilmente directamente de las ecuaciones de la isotermia
Líquido de electrones (116-117):
d3rA
. (F4)
En el límite ERMHD ki â € 1 (§ 7.2), utilizamos Eqs. (221-223) para simplificar la ecuación anterior y encontrar que la integral en el
La derecha desaparece y obtenemos una verdadera ley de conservación en 3D:
d3rAB = 0. (F5)
TURBULENCIA KINETICA EN LAS PLASMAS MAGNETIZADAS 63
Esto también puede derivarse directamente de las ecuaciones ERMHD (226-227) [usando Eq. (223)]. La cantidad conservada se ve fácilmente
ser la helice del campo magnético perturbado:
d3rA · B =
A
+ AB®
A · (A) + AB®
d3rABÃ3. (F6)
F.4. Helice magnética en el límite RMHD
A diferencia del ERMHD, la helice del campo magnético perturbado en el RMHD se conserva sólo en 2D. Esto es porque
la ecuación de inducción para el campo perturbado tiene un término inhomógeno asociado con el campo medio [Eq. (10) con B =
B0 + B] (este tema ha sido ampliamente discutido en la literatura; véase Matthaeus & Goldstein 1982; Stribling et al. 1994;
Berger 1997; Montgomery & Bates 1999; Brandenburgo & Matthaeus 2004). Directamente de la ecuación de inducción o de su
Eqs descendientes de RMHD. (17) y (26), obtenemos [note las definiciones (135)]
d3rAB =
1 + v2A/c2s
, (F7)
por lo que la helicidad sólo se conserva si el valor de 0........................................................................................................................................................................................................................................................
Para ser completos, vamos a mostrar ahora que esta ley de conservación 2D es un caso particular de Eq. (F1) para los iones. Consideremos la
Intervalo inercial (ki 1). Sustituimos Eq. (124) en Eq. (F1) para los iones y ampliar a dos órdenes principales en ki utilizando el
orden explicado en § 5.2:
vARi
Z2e2v2
d3rA®g + · · ·
Z2e2v2
d3rA
v2thi
+ Zev®
d3rA
. (F8)
Los términos de orden más bajo en las ecuaciones anteriores (todos proporcionales a v2+F0i) simplemente reproducen la conservación 2D de “A
â € TM-cosas,â € TM TM
dado por Eq. (F3). Ahora restamos Eq. (F3) multiplicado por (Zevá/c)
2F0i/T0i de Eq. (F8). Esto nos deja con
d3rA®g = c
+ v+F0i
v2thi
d3rA
. (F9)
Esta ecuación es una ley general de conservación 2D de las ecuaciones KRMHD (véase § 5.7) y también puede derivarse directamente de ellas.
Si lo integramos sobre velocidades y usamos Eqs. (146) y (147), simplemente recuperamos Eq. (F4). Sin embargo, desde Eq. (F9)
cada valor de vÃ3 y vÃ3, lleva mucha más informaciÃ3n que Eq. (F4).
Para establecer una conexión con el MHD, consideremos el límite de fluidos (colisionales) del KRMHD que figura en el Apéndice D.
función de la ión al orden más bajo en la expansión kmfpi 1 es g = −(v2/v2thi)
i, donde
I es el perturbado Maxwellian
dado por Eq. (D3). Podemos sustituir esta expresión en Eq. (F9). Dado que en esta expansión la integral de colisión se aplica a
y es el mismo orden que el resto de los términos (véase § D.3), las leyes de conservación se derivan mejor tomando 1, v®, y v
2/v2thi momentos
de Eq. (F9) para hacer desaparecer el término de colisión. En particular, multiplicando Eq. (F9) por 1 + (2//3Z)v2/v2thi, integrando sobre
velocidades y usando Eqs. (D4) y (D6), obtenemos la ecuación de evolución para
d3rABÃ3, que coincide con Eq. (F7). Nota
que, ya sea procediendo de una manera análoga, uno puede derivar ecuaciones similares para
d3rAne y
d3rAÃ3uá—estos son también 2D
invariantes del sistema RMHD, roto en 3D por la presencia de los términos de propagación. El mismo resultado puede derivarse directamente
de las ecuaciones de evolución (D8) y (D10).
F.5. Invariante electrostático
Curiosamente, la existencia de los invariantes 2D generales introducidos en el § F.1 junto con la invariante de energía generalizada dada por
Eq. (73) significa que uno puede construir un invariante 2D de la girocinética que no implica ninguna cantidad de velocidad-espacio. En orden
para hacer eso, uno debe integrar Eq. (F1) sobre velocidades, suma sobre especies, y restar Eq. (73) de la ecuación resultante (por lo tanto
eliminar las integrales h2s). El resultado no es particularmente edificante en el caso general, pero toma una forma simple si se considera
Perturbaciones electrostáticas (lB = 0). En este caso, las manipulaciones descritas anteriormente llevan a la siguiente ecuación:
d3v Is − W
q2s n0s
10(αs)
k2 =
d3rE −
d3Rs Rs
, (F10)
donde E = /Łz, αs = k2
s/2 y 0 se definen por Eq. (129). En 2D, E = 0 y la ecuación anterior expresa una conservación
ley rota sólo por colisiones. La derivación completa y el análisis de las propiedades de conservación 2D de la girocinética en el electro-
límite estático, incluido el invariante (F10), la versión electrostática de Eq. (F1), y sus consecuencias para las escalas y cascadas,
fue administrado por Plunk et al. (2009). A este respecto, consideramos brevemente algunos límites pertinentes.
Para ki â € 1, tenemos â € 0(α) = 1 â € € +.. .. por lo que la invariante dada por Eq. (F10) es simplemente la energía cinética de los flujos E×B:
s(msn0s/2)
d3r 2, en el que Φ = cŁ/B0. En el límite ki 1, ke 1, tenemos Y = −n0i
d3rZ2e2-2/2T0i. In
64 Schekochihin et al.
el límite ke 1, tenemos Y = −(1 + Z/ )n0e
d3re2/2T0e. Mientras que no estamos interesados en las fluctuaciones electrostáticas en el
El rango inercial, la turbulencia electrostática en el rango de disipación se discutió en § 7.10 y § 7.12. El invariante electrostático 2D
en los límites ki â € 1, ke â € 1 y ke â € 1 también se puede derivar directamente de las ecuaciones dadas allí [en el límite anterior,
utilizar Eq. (264) expresar uçái en términos de jçá con el fin de obtener Eq. (F10)].
Tenga en cuenta que, tomado por separado e integrado a través de velocidades, Eq. (F1) para los iones (cuando ki â € 1, ke â € 1) y para los electrones
(cuando ke 1), se reduce al orden más bajo a la declaración de la conservación 3D de
d3Ri T0ih2i /2F0i [Whi in Eq. (245)] y
d3Re T0eh2e/2F0e [Eq. (280)], respectivamente.
F.6. Consecuencias para las cascadas y escalas turbulentas
Puesto que los invariantes distintos de la energía generalizada o sus partes constituyentes están presentes en 2D y, en algunos límites, también en 3D, uno
podría preguntar cómo su presencia afecta a las cascadas y escalas turbulentas. Como ejemplo, consideremos la helicidad magnética en
Turbulencia de KAW, que es un invariante 3D de las ecuaciones de ERMHD (§ F.3).
Un análisis al estilo Kolmogorov de una cascada local de KAW basado en un flujo constante de helices da (procede como en § 7.5):
*KAW.* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW*
1o de enero
*KAW.* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW* *KAW*
1o de enero
# # H = const # # # # const # # # const # # # const # # # # const # # # const # # # const # # # const # # # const # # # const # # # const # # # # const # # # # # const # # # # const # # # # const # # # # const # # # # const # # # # # const # # # # # # # # const # # # # # # const # # # # const # # # # const # # # # # # # const # const # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(1o i)1/6
1/3, (F11)
donde H es el flujo de helicidad (omitiendo factores dimensionales constantes, la helicidad se define ahora como
d3r y supone ser
no-cero). Esto corresponde a una k
espectro de energía magnética.
Para decidir si esperamos que las escalas sean determinadas por el flujo constante-helicitario o por la constante-energía
flujo (como se supone en § 7.5), adaptamos un argumento estándar originalmente debido a Fjørtoft (1953). Si el flujo de helicidad de la KAW
turbulencias originadas en la giroescala de los iones (mediante la conversión parcial de la turbulencia de rango inercial; véase § 7) es H, su energía
El flujo es de KAW, H, en Eq. (F11) y comparar con Eq. (238)]. Si la cascada entre el ión y la giroescala de electrones
se controla manteniendo un flujo constante de helicidad, entonces el flujo de helicidad que llega a la giroescala de electrones sigue siendo H, mientras que
el flujo de energía asociado es de Hl/e, KAW, es decir, más energía llega a l que la que había en l! Esto es claramente imposible en
un estado estacionario. La manera de resolver esta contradicción es concluir que la cascada de la helicidad es, de hecho, inversa (es decir, dirigida
hacia escalas más grandes), mientras que la cascada de energía es directa (a escalas más pequeñas). Un argumento similar basado en la constancia de la
el flujo de energía KAW lleva entonces a la conclusión de que el flujo de helicidad que llega a la giroescala de electrones es KAWe/
Es decir, la helicidad no cae en cascada a escalas más pequeñas. De hecho, tampoco se produce en cascada a grandes escalas porque el ERMHD
Las ecuaciones no son válidas por encima de la giroescala de iones y la helicidad del campo magnético perturbado en el rango inercial no es un 3D
invariante (§ F.4). La situación sería diferente si existiera una fuente de energía en la giroescala electrónica o en algún lugar de
entre los Estados miembros y los Estados miembros. En tal caso, se esperaría una cascada de helice inversa y la consiguiente escala más superficial [Eq. (F11)]
entre la escala de inyección de energía y la giroescala de iones.
Otras invariantes introducidas anteriormente pueden argumentarse de manera similar para dar lugar a cascadas inversas en la hipotética 2D
situaciones en las que son válidas y siempre que haya inyección de energía a escalas pequeñas (para el caso electrostático, véase Plunk et al.
2009 y simulaciones numéricas de Tatsuno et al. 2009b). La visión de la turbulencia avanzada en este documento no es generalmente
permitir que esto suceda. En primer lugar, la naturaleza fundamentalmente 3D de la turbulencia se impone a través de la conjetura de equilibrio crítico y
apoyado por el argumento de que “dos dimensiones” sólo pueden mantenerse a través de distancias paralelas que no excedan de la
distancia una onda de propagación paralela (o partículas de flujo paralelo) viaja a lo largo de un tiempo de decorrelación no lineal (véase § 1.2,
§ 7.5 y § 7.10.3). En segundo lugar, la falta de inyección de energía a pequeña escala se asumió desde el principio. Sin embargo, esto puede ser violado.
en plasmas astrofísicos reales por diversas inestabilidades plasmáticas a pequeña escala (por ejemplo, provocadas por anisotropías de presión; véase discusión
en el punto 8.3). El tratamiento de esos efectos queda fuera del ámbito de aplicación del presente documento y sigue siendo una cuestión de trabajo en el futuro.
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704.0045 | Evolution of solitary waves and undular bores in shallow-water flows
over a gradual slope with bottom friction | Evolución de las ondas solitarias y los agujeros ondulados en
aguas poco profundas fluyen sobre una pendiente gradual con fondo
fricción
G.A. El1, R.H.J. Grimshaw2
Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Loughborough,
Loughborough LE11 3TU, Reino Unido
1 correo electrónico: G. El@lboro.ac.uk 2 correo electrónico: R.H.J.Grimshaw@lboro.ac.uk
A.M. Kamchatnov
Instituto de Espectroscopia, Academia Rusa de Ciencias,
Troitsk, región de Moscú, 142190 Rusia
Correo electrónico: kamch@isan.troitsk.ru
Resumen
Este artículo considera la propagación de aguas poco profundas solitarias y no lineales peri-
ondas odic sobre una pendiente gradual con fricción de fondo en el marco de una variable-
coeficiente Korteweg-de Vries ecuación. Utilizamos el método del promedio de Whitham, usando
un desarrollo reciente de esta teoría para las ecuaciones integrables perturbadas. Generalidades
el enfoque nos permite no sólo mejorar los resultados conocidos sobre la evolución adiabática de
ondas solitarias aisladas y trenes de ondas periódicas en presencia de topografía variable
y la fricción inferior, modelado por la ley Chezy, pero también importante, para estudiar la
los efectos de estos factores sobre la propagación de los orificios undulares, que son esencialmente un-
constante en el sistema que se examina. En particular, se demuestra que la
acción de la topografía variable y la fricción del fondo generalmente impone cierta global
las restricciones a la propagación de la perforación undular de modo que la evolución de los soli-
ola tardía puede ser sustancialmente diferente de la de una ola solitaria aislada con
la misma amplitud inicial. Este efecto no local se debe a interacciones de ondas no lineales
dentro del agujero undular y puede conducir a un crecimiento de amplitud de onda solitaria adicional,
que no pueden predecirse en el marco del enfoque tradicional adiabático de
la propagación de ondas solitarias en medios que varían lentamente.
1 Introducción
Ha habido muchos estudios de la propagación de las olas de agua sobre una pendiente, a veces
también sujeto a los efectos de la fricción en el fondo. Muchas de estas obras han considerado lineales
ondas, o han sido simulaciones numéricas en el marco de varias ondas largas no lineales
Ecuaciones modelo. Nuestro interés aquí está en la propagación de agua larga débilmente no lineal
http://arxiv.org/abs/0704.0045v1
ondas sobre una pendiente, simultáneamente sujeta a fricción en el fondo, una combinación aparentemente
por primera vez considerado por Miles (1983a,b), aunque para el caso especial de una sola ola solitaria, o un
tren de onda periódico. Un modelo de ecuación apropiado para este escenario es la variable-coeficiente
Perturbada ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) (véase Grimshaw 1981, Johnson 1973a, b),
A + cAx +
AAx +
Axxx = −CD
AA. 1)..........................................................................................................................................................
Aquí A(x, t) es la elevación de la superficie libre por encima de la profundidad no perturbada h(x) y c(x) =
gh(x) es la velocidad lineal de fase de onda larga. El término de fricción inferior en la mano derecha
lado está representado por la ley Chezy, modelando una capa fronteriza turbulenta. Aquí el CD es un
coeficiente de arrastre no dimensional, a menudo se supone que tiene un valor alrededor de 0.01 (Miles 1983a,b).
Se podrían utilizar otras formas de fricción (véase, por ejemplo, Grimshaw et al 2003), pero el Chezy
la ley parece ser la más apropiada para las olas de agua en una profundidad poco profunda. En (1) la primera
dos términos en el lado izquierdo son los términos dominantes, y por sí mismos describen el
propagación de una onda lineal larga con velocidad c. Los términos restantes en la mano izquierda
el lado representan, respectivamente, el efecto de la variación de profundidad, débilmente no lineal efectos y débil
dispersión lineal. La ecuación se deriva utilizando el equilibrio habitual de KdV en el que el lineal
la dispersión, representada por Ł2/2 x 2, se equilibra por la no linealidad, representada por A. Aquí vamos.
han añadido a este equilibrio débil inhomogeneidad de modo que cx/c escalas como h
2o 3o x 3o, y débil
fricción para que el CD se escale con h.a./a.x. Dentro de este equilibrio básico de términos, podemos lanzar (1)
en la forma equivalente asintótica
AAX +
AXXX = −CD
AA, (2)
en los que =
c(x′)
, X = − t. (3)
Aquí tenemos h = h(x(l)), explícitamente dependiente de la variable ♥ que describe la evolución
a lo largo del camino de la ola.
La ecuación gobernante (2) puede ser fundida en varias formas equivalentes. Que la mayoría de com-
monly utilizado es la variable-coeficiente KdV ecuación, obtenida aquí por poner
B = (gh)1/4A (4)
de modo que B.O. +
2g1/4h5/4
BBX +
BXXX = −CD
BB. 5)
Esta forma muestra que, en ausencia de término de fricción, es decir. cuando CD 0, ecuación (2)
tiene dos integrales de movimiento con las densidades proporcionales a h1/4A y h1/2A2. Estos
a menudo se denominan leyes para la conservación de la “masa” y el “momento”. Sin embargo,
estas densidades no corresponden necesariamente a las entidades físicas correspondientes. De hecho,
la densidad del “momento” es proporcional al flujo de acción de la onda, mientras que
la densidad de “masa” difiere ligeramente de la densidad de masa real. Esta última cuestión ha sido la siguiente:
explorado por Miles (1979), donde se demostró que la diferencia es menor que el error
incurrido en la derivación de la ecuación (4), y se debe a ondas reflejadas.
Nuestra principal preocupación en este artículo es con el comportamiento de un agujero ondulado sobre una pendiente
en presencia de fricción inferior, utilizando la ecuación perturbada de KdV (2), donde estábamos
originalmente motivado por la posibilidad de que el comportamiento de un tsunami
La costa podría ser modelada de esta manera. La solución de orificio no disturbable a la KdV inalterada
la ecuación se puede construir utilizando el conocido enfoque Gurevich-Pitaevskii (GP) (1974)
(véanse también Fornberg y Whitham 1978). En este enfoque, se representa el agujero undular
como un tren de ondas periódicas no lineales moduladas. La característica principal de esta inestable undular
es la presencia de una onda solitaria (que es la forma de onda limitante de la
ola cnoidal) en su borde delantero. El problema de valor inicial original para la ecuación de KdV es
a continuación, sustituido por un determinado problema de valor límite para la modulación asociada Whitham
ecuaciones. Observamos, sin embargo, que hasta ahora, las soluciones más simples, “x/t)”-similaridad de la
Las ecuaciones de modulación se han utilizado para la modelización de orificios undulares en varios contextos
(véanse, por ejemplo, Grimshaw y Smyth 1986, Smyth 1987 o Apel 2003). Estas soluciones,
mientras que describiendo eficazmente muchas características de los agujeros ondulados, son degenerados y no
dad, incluso cualitativamente, algunos efectos importantes asociados con la modulación no autosimilar
Dinámica. En particular, en la solución GP clásica para la resolución de un salto inicial
en la ecuación de KdV no perturbada, la amplitud de la onda solitaria de plomo en el undular
el diámetro es constante (dos veces el valor del salto inicial). Por otra parte, la modulación
solución para el orificio undular que evoluciona a partir de un perfil inicial general monótono decreciente
muestra que la amplitud de la onda solitaria de plomo de hecho crece con el tiempo (Gurevich, Krylov y
Mazur 1989; Gurevich, Krylov y El 1992; Kamchatnov 2000). Como veremos, el mismo
posibilidad de tales variaciones en las soluciones moduladas de la ecuación KdV no perturbada
tiene una implicación dinámica de fluidos muy importante: en un entorno general, el plomo
ola solitaria no puede ser tratada como una onda individual de KdV solitaria, sino que representa un
parte de la estructura global de ondas no lineales. En otras palabras, mientras que en cada momento en particular
del tiempo la onda solitaria del plomo tiene el perfil espacial del soliton familiar del KdV, generalmente,
la dependencia temporal de su amplitud no se puede obtener en el marco de
teoría de la perturbación de ondas solitarias.
En la ecuación KdV no perturbada, el crecimiento de la amplitud de onda solitaria de plomo es
causado por la inhomogeneidad espacial de los datos iniciales. Aquí, sin embargo, la presencia de un
la perturbación debida a la topografía y/o fricción sirve como alternativa y/o adicional
causa de variación de la amplitud de la onda solitaria de plomo. Por lo tanto, en el presente caso, la
variación en la amplitud tendrá dos componentes (que generalmente, por supuesto, no puede ser
separado debido a la naturaleza no lineal del problema); uno es local, descrito por el
la teoría de la perturbación adiabática para una sola ola solitaria, y la otra no es local, que
en principio, requiere el estudio de la solución de modulación completa. Dependiendo de la relación
valores de los pequeños parámetros asociados con la pendiente, la fricción y la no uniformidad espacial
de las modulaciones iniciales, podemos tener en cuenta sólo uno de estos componentes, o un
combinación de ellos.
La estructura del documento es la siguiente. Primero, en la Sección 2, reformulamos el modelo básico
(1) como una ecuación KdV constante-coeficiente perturbada por términos que representan la topografía
y fricción. Entonces derivamos en la Sección 3 la modulación de Whitham perturbada asociada
ecuaciones utilizando métodos recientemente desarrollados por Kamchatnov (2004). A continuación, en la sección 4, este
El sistema Whitham está integrado en el límite de onda solitaria. Nuestro propósito aquí es principalmente para
obtener la ecuación de una característica múltiple, que define el borde de ataque de un banco
en el caso de las modulaciones debidas a la acción combinada de la pendiente y
La fricción en el fondo es pequeña en comparación con las modulaciones espaciales existentes debido a la no uniformidad
de los datos iniciales. Como subproducto de esta integración, reproducimos y extendemos lo conocido
resultados sobre la variación adiabática de una sola onda solitaria (Miles 1983a,b). Entonces, en la sección
5, realizamos un estudio análogo de una ola cnoidal, propagando sobre una pendiente gradual y
, un caso estudiado previamente por Miles (1983 b) pero bajo la restricción de
flujo medio cero, que se elimina aquí. Finalmente, en la Sección 6 estudiamos los efectos de una
pendiente y fricción en el fondo en la parte delantera de un agujero ondulado que representa una modulación
onda cnoidal transformándose en un sistema de solitones débilmente interactuantes cerca de su borde delantero.
2 Formulación de problemas
A los efectos del presente documento, es conveniente refundir (2) en la norma KdV
forma de ecuación con coeficientes constantes, modificado por ciertos términos de perturbación. Por lo tanto,
introducir las nuevas variables
A, T =
hdl =
6g3/2
h(x)dx. 6)
de modo que UT + 6UX + UXXX = R = F (T )U −G(T )U U, (7)
donde F (T ) = −9hT
, G(T) = 4CD
. (8)
En esta forma, la ecuación gobernante (7) tiene la estructura de la ecuación integrable KdV
en el lado izquierdo, mientras que los efectos separados de la diferente profundidad y la fricción inferior
están representados por los dos términos en el lado derecho. Esta estructura nos permite utilizar
la teoría general desarrollada en Kamchatnov (2004) para los sistemas integrables perturbados.
Para gran parte de la discusión posterior, es útil asumir que h(x) = constante,
CD = 0 para x < 0 en la ecuación original (1), que corresponde a F (T ) = G(T ) = 0 para
T < 0 en (7). También asumiremos que A = 0 para x > 0 en t = 0, que corresponde a
U = 0 para X > 0 en X = (T) (véase (6)). Entonces vamos a proponer dos tipos de valor inicial
problema para (1), y correspondientemente para (7).
(a) Dejar que una onda solitaria de una amplitud dada a0 inicialmente se propague sobre un fondo plano
sin fricción (es decir, un soliton descrito por una ecuación KdV no perturbada), introduzca la variable
topografía y región de fricción inferior en t = 0, x = 0 (fig. 1 a).
(b) Dejar que un agujero undular de una intensidad dada se propague sobre un fondo plano sin fricción
(la solución correspondiente de la ecuación KdV no perturbada se discutirá en la sección
5). Que la ola solitaria de plomo de este agujero undular tenga la misma amplitud a0 y entre
la topografía variable y la región de fricción inferior en t = 0, x = 0 (fig. 1b).
En particular, nos interesará la comparación de la lenta evolución de estos
dos, inicialmente idénticas, ondas solitarias en los dos problemas diferentes descritos anteriormente. Los
diferencia esencial esperada en la evolución se debe al hecho de que la ola solitaria de plomo
en el agujero undular generalmente no es independiente de la parte restante del agujero y puede
presentar características que no pueden ser capturadas por un análisis de perturbación local. El conocido
ejemplo de tal comportamiento, cuando una ola solitaria se ve limitada por la condición de ser
una parte de una estructura global de onda no lineal, es proporcionada por la solución de taladro undular de la
Ecuación KdV-Burgers (KdV-B)
ut + 6uux + uxxx = μuxx, μ + 1. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
( )h x
a)
( )h x
Figura 1: Ola solitaria aislada (a) y agujero undular (b) entrando en la variable topogra-
phy/región de fricción de fondo.
De hecho, se sabe que la solución de agujero undular de la ecuación KdV-B (9) tiene un aislamiento
ondear en su vanguardia (véase Johnson 1970; Gurevich & Pitaevskii 1987; Avilov, Krichever
& Novikov 1987) y esta onda solitaria: (a) está asintóticamente cerca de una solución de soliton
de la ecuación KdV no perturbada; y (b) tiene la amplitud, digamos a0, que es constante en
Tiempo. Al mismo tiempo, está claro que si uno toma un soliton KdV aislado del mismo
amplitud a0 como datos iniciales para la ecuación de KdV-Burgers se amortiguaría con el tiempo debido
a la disipación. La explicación física de una diferencia tan drástica en el comportamiento de un
Soliton aislado y una ola solitaria de plomo en el agujero undular para la misma débil disipación
La ecuación de KdV-B es que la acción de la disipación débil en un agujero undular en expansión es
doble: por un lado, la disipación tiende a disminuir la amplitud de la onda
localmente pero, por otro lado, “apreta” el undular llevaba para que la interacción (es decir.
intercambio de impulso) entre los solitarios separados dentro del agujero se vuelve más fuerte que en
la ausencia de disipación y esto actúa como el factor de aumento de la amplitud. El adicional
impulso se extrae del flujo aguas arriba con una mayor profundidad (ver Benjamin y
Lighthill 1954). Como resultado, en el caso de la ecuación KdV-B, un equilibrio no cero
valor para la amplitud de onda solitaria de plomo en el agujero undular se establece. Por supuesto,
para otros tipos de disipación, un valor estacionario de la amplitud del soliton de plomo no
necesariamente existen, pero en general, debido al esperado aumento de las interacciones de soliton cerca
el borde delantero, la amplitud del soliton de plomo del agujero undular decaería más lento
que la de un soliton aislado. De hecho, la presencia aquí de topografía variable también
puede dar lugar a un crecimiento adicional de amplitud “no local”.
Mientras que el problema (a) puede ser resuelto usando el análisis tradicional de la perturbación para un solo
onda solitaria, que conduce a una ecuación diferencial ordinaria a lo largo de la trayectoria de onda solitaria
(véase Miles 1983a,b), el problema de la evolución de los agujeros (b) requiere un enfoque más general
que se puede desarrollar sobre la base de la teoría de modulación de Whitham que conduce a un sistema de
tres ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas no lineales del primer orden. Desde el Whitham
método, siendo equivalente a un procedimiento de perturbación de escala múltiple no lineal, contiene la
teoría adiabática de la evolución lenta de una sola ola solitaria como una particular (aunque singular)
límite, es instructivo a los efectos de este documento para tratar los problemas (a) y (b) utilizando
la teoría general de Whitham.
3 Ecuaciones de modulación
El Whithammethod original (Whitham 1965, 1974) fue desarrollado para
Coeficiente no lineal de las ecuaciones dispersivas y se basa en el promedio de
leyes de servación del sistema original durante el período de un viaje periódico de una sola fase
solución de onda. El sistema resultante de ecuaciones cuasi-lineales describe la evolución lenta
de las modulaciones (es decir, del valor medio, el número de onda, la amplitud, etc.) de los pe-
Ola de viaje riodica. Aquí, ese enfoque se extiende a la perturbada ecuación de KdV (6)
• la aplicación del enfoque general de Kamchatnov (2004), que amplía los resultados anteriores para
Algunos casos específicos (véanse Gurevich y Pitaevskii (1987, 1991), Avilov, Krichever y Novikov)
(1987) y Myint y Grimshaw (1995), por ejemplo).
Suponemos que la evolución de la onda no lineal es adiabaticamente lenta, es decir, la
onda se puede representar localmente como una solución de la ecuación KdV no perturbada correspondiente
(es decir, (7) con cero en el lado derecho) con sus parámetros variando lentamente con el espacio y
Tiempo. La solución periódica de una fase de la ecuación KdV se puede escribir en la forma
U(X, T ) =
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- - (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) () () () () () () () () () () () )
donde sn(y,m) es la función de seno elíptico de Jacobi, son parámetros y la
Variable de fase y el módulo m están dados por
* = X − V T, V = − 2(1 + 2 + 3), (11)
- - - - - - - - - - - ¿Qué?
- - - - - - - - - - ¿Qué?
, (12)
y L =
−P (μ)
2K(m)
- - - - - - - - - - ¿Qué?
, (13)
donde K(m) es la integral elíptica completa del primer tipo, L es la “longitud de onda” a lo largo de la
Eje X (que en realidad es un tiempo retardado en lugar de una verdadera coordinación espacial). Aquí vamos.
han utilizado la representación de la ecuación diferencial ordinaria básica para el viaje de KdV
solución de onda (10) en la forma (véase Kamchatnov (2000) para una motivación general detrás de
(representación)
−P (μ), (14)
donde
μ = 1
(U + s1), s1 =
P (μ) =
= μ3 − s1μ2 + s2 s3, (16)
que es la solución (10) es parametrizada por los ceros de P polinomio (μ).
En una onda modulada, se permite que los parámetros
T, y su evolución se rige por las ecuaciones de Whitham. Para el KdV no perturbado
ecuación, la evolución de los parámetros de modulación se debe a una no-uniforme espacial
de las distribuciones iniciales para lj, j = 1, 2, 3 y la escala espacio-temporal típica de la
Las variaciones de modulación se determinan por la escala de los datos iniciales.
En el caso de la ecuación perturbada de KdV (7), la evolución de los parámetros
es causada no sólo por su no-uniformidad espacial inicial, sino también por la acción del
la perturbación débil, de modo que, en general, al menos dos escalas espacio-temporales independientes para
las modulaciones pueden estar implicadas. Sin embargo, en este momento no vamos a introducir ninguna escala
separación dentro de la teoría de la modulación y derivar las ecuaciones generales perturbadas Whitham
suponiendo que los valores típicos de F (T) y G (T) son O(j/
Teoría de la modulación.
Es instructivo introducir primero las ecuaciones de Whitham para la ecuación perturbada de KdV
(7) utilizando el enfoque tradicional de promediar las leyes de conservación (perturbadas). A esto
final, introducimos el promedio durante el período (13) de la ola cnoidal (10) por
# F # # # # F # # # # F # # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # F # # F # # F # # # F # # F # # # F # # F # # F # # F # # # F # # F # # F # # F # # F # F # # F # # # # F # # F # # # F # # # # F # # F # # F # # F # # # F # # F # # F # F # # # F # F # F # F # F # F # F # # # # # # # # F # F # # F # F # F # # # # # # # # # # # # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Fd. =
−P (μ)
. (17)
En particular,
• U = 2 − s1 = 2 • 3 − 1 •
+ 1 - 2 - 3 (18)
• U2 = 8[−s1
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
s11 +
(de 21 a 23 años)] + s21, (19)
donde E(m) es la integral elíptica completa del segundo tipo. Ahora, uno representa el
Ecuación KdV (7) en forma de leyes de conservación perturbadas
= Rj, j = 1, 2, 3, Rj + 1, (20)
donde Pj y Qj son las expresiones estándar para las densidades conservadas (integrales kruskal)
y “fluxes” de la ecuación KdV no perturbada. Al igual que en la teoría de Whitham (1965) para
sistemas dispersivos no perturbados, el número de leyes de conservación requeridas es igual a la
número de parámetros libres en la solución de onda de desplazamiento, que es tres en el presente caso.
A continuación, se aplica el promedio (17) al sistema (20) para obtener (véase Dubrovin y Novikov
1989)
Pj®
Qj
= Rjà, j = 1, 2, 3. (21)
El sistema (21) describe la evolución lenta de los parámetros j en la solución de onda cnoidal
(10).
Junto con estos derivados perturbada forma conservadora de las ecuaciones de Whitham, nosotros
introducir la ley de conservación de olas que es una condición general para la existencia de
Soluciones moduladas monofásicas de ondas de desplazamiento (10) (véase, por ejemplo, Whitham 1974) y
debe ser coherente con el sistema de modulación (21). Esta ley de conservación tiene la forma
= 0, (22)
donde k =
, • = kV (23)
son el “número de onda” y la “frecuencia” respectivamente (hemos puesto comillas aquí
porque el número de onda real y la frecuencia relacionada con las variables físicas x, t son
diferentes cantidades de las de (23), pero se relacionan a través de las transformaciones (3, 6) ).
La ley de conservación de las olas (22) puede ser introducida en lugar de cualquiera de tres inhomogéneas
leyes de conservación promedio que comprenden el sistema Whitham (21).
Se sabe que el sistema Whitham para el coeficiente constante homogéneo KdV
la ecuación puede ser representada en forma diagonal (Riemann) (Whitham 1965, 1974) por un ap-
elección adecuada de los tres parámetros que caracterizan la solución periódica de ondas de desplazamiento.
De hecho, en nuestra solución (7) los parámetros ya han sido elegidos para que coincidan
con las invariantes Riemann del sistema de modulación KdV no perturbado. Presentación de los mismos
explícitamente en el sistema perturbado (21) que obtenemos (véase Kamchatnov 2004)
L/i
• (s1) • (s1) • (s) • (s) • (s) • (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (r) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (r) (s) (s) (s) (s) (s) (s) () () () () () () () () () ()) () ()) () () () ()) () ()) () ()) () () () ()) () () () ()) () () () ) () () () () () () () () () ) () () () () () () ) () () () ) () () () () () ) () () () () () ) () () () ) () () () () () () () () ) ) ) () () ) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () () ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )
j 6 =i(
, i = 1, 2, 3, (24)
donde R es el término de perturbación en el lado derecho de la ecuación KdV (7) y
vi = −2
L/i
, i = 1, 2, 3, (25)
son las velocidades características de Whitham correspondientes a la ecuación KdV no perturbada.
Cabe señalar que la realización directa de la lúcida
El ritmo para obtener el sistema de modulación perturbado en forma diagonal es una tarea bastante laboriosa.
De hecho, para derivar el sistema (24), el llamado método de integración finito-gap que incorpora el
Se ha utilizado la estructura integrable de la ecuación KdV no perturbada. El sistema de modulación
Tem (24) en una forma más particular que corresponde a las opciones específicas del término de perturbación
fue obtenido por Myint y Grimshaw (1995) usando una expansión de perturbación a escala múltiple.
En este último escenario, la ley de conservación de olas (22) es una parte inherente de la construcción,
mientras que en el método de promedio utilizado aquí, se puede obtener como consecuencia del sistema
(24).
Para obtener una representación explícita de las ecuaciones de Whitham para el presente caso de
ecuación (7), debemos sustituir la perturbación R por el lado derecho de (7) y
realizar la integración (17) con U dado por (10). A partir de ahora, vamos a considerar
solo los flujos donde U ≥ 0 de modo que el término de perturbación asuma la forma
R(U) = G(T)U − F (T)U2. 26)
Sustituyendo (26) por (24) obtenemos, después de algunos cálculos detallados (véase el apéndice),
el perturbado sistema Whitham en la forma
= Ci[F (T )Ai −G(T )Bi], i = 1, 2, 3 (27)
donde C1 =
, C2 =
E − (1-m)K
, C3 =
; (28)
((51,1 −,2 −,3)E +
(l) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
- - - - - - - - - - ¿Qué?
(53o, 1o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
(−27o21 − 7o22o − 7o23o + 2o1o2o + 2o1o3o + 22o2o3)E
() () () () (1) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)
(−7o21 − 27o22 − 7o23 + 2o1o2 + 22o1o3 + 2o2o3)E
- - - - - - - - - - ¿Qué?
- - - - - - - - - - ¿Qué?
(71-21 + 15-95)
2 + 11
3 - 6- 6- 1- 2- 18- 1- 3 + 6- 2- 3) K,
(−7o21 − 7o22 − 27o23 + 22o1o2 + 2o1o3 + 2o2o3)E
(71°21 + 11°)
2 + 15
3 - 18- 18- 1- 6- 1- 3 + 6- 2- 3) K;
y las velocidades características son:
v1 = −2
3-(1-)(1-m)K
v2 = −2
4(l)3 − (l)2(l)m)K
E − (1-m)K
v3 = −2
4(e)3 − (e)2)K
Las ecuaciones (27) – (31) proporcionan un marco general para el estudio de la modulación no lineal
evolución de las ondas sobre la topografía variable con fricción en el fondo. En ausencia de la perturba-
términos bation (es decir, cuando F (T ) 0, G (T ) 0), el sistema (27), (31) coincide de hecho con
las ecuaciones originales de Whitham (Whitham 1965) para la dinámica integrable de KdV. En eso
En este caso general (perturbado) se convierten en invariantes de Riemann, por lo que en este caso general (perturbado)
Las llamaremos variables Riemann.
Es importante estudiar la estructura de las perturbadas ecuaciones de Whitham (27) – (31) en
dos casos limitantes cuando la onda cnoidal subyacente degenera en (i) una pequeña amplitud
ola sinusoidal (límite lineal), cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinusoidal (límite lineal), cuando se produce una ola sinusoidal (m = 0), y ii) cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinoidal (límite lineal), cuando se produce una ola sinoidal (m = 0) y se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinoidal (límite lineal), cuando se produce una ola sinoidal (m = 3) y (ii) cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinoidal (límite lineal), cuando se produce una ola sinoidal (m = 0), cuando se produce una ola sinoidal (m = 3) y (ii) cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinoidal (límite lineal), cuando se produce una o
(m = 1). Puesto que en ambos límites las oscilaciones no contribuyen a la media
flujo (son infinitamente pequeños en el límite lineal y la distancia entre ellos se convierte
infinitamente largo en el límite de onda solitaria) uno debe esperar que en ambos casos uno de los
Las ecuaciones de Whitham se transformarán en el límite sin dispersión del original perturbado
Ecuación KdV (7), es decir:
UT + 6UUX = F (T )U −G(T )U2, (32)
De hecho, utilizando fórmulas (27) – (31) obtenemos para m = 0:
2 ° = 3 ° °,
− 6ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
= 1F + 1F
+ (61,1 − 12,3)
= 1F + 1F
Del mismo modo, para m = 1, uno tiene
2 ° = 1 °,
− (41,1 + 2,3)
(cuatro libras esterlinas − tres libras esterlinas)F +
(73,23 − 24,1,3 + 32,21)G,
− 6o 3o
= 3F + 3F
Vemos que, en ambos casos, una de las variables de Riemann (tomada con signo invertido) coincide
con la solución de la ecuación sin dispersión (32) (recuérdese que en la derivación de la
Ecuaciones de Whitham asumimos U ≥ 0 en todas partes), es decir U = U = U = 1 cuando
(m = 0) y U = «U» = «3» cuando «l2» = «l1» (m = 1).
Para concluir esta sección, presentamos expresiones para los parámetros de onda física tales como
la amplitud de la onda de elevación de superficie a, la elevación media de la velocidad y el número de onda en términos
de la solución de modulación j(X, T ). Utilizando (6) y (10) obtenemos para la amplitud de onda
(pico a valle) y la elevación media
(-), (-), (-)........................................................................................................................................................................................................................................................
# U # # # U # # # # U # # # # U # # # # # U # # # # # # # U # # # # # # U # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde la dependencia de â € € â € € € TM en j(X, T ), j = 1, 2, 3 está dada por (18) y X = X(x, t),
T = T (x, t) por (3, 6). Con el fin de obtener el número de onda física y la frecuencia
notamos primero que la función de fase (X, T) definida en (11) es sustituida por una función más general
expresión definida de modo que k = X y kV = T son el “número de onda” y “frecuencia” en
el sistema de coordenadas X −T. Luego definimos la función de la fase física (x, t) = (X, T)
para que consigamos
* = x, * = t. (36)
Ahora se deduce que
(1- hV)
), = k, y
1 - hV/6g
. (37)
Tenga en cuenta que la frecuencia física es el “número de onda” en el sistema de coordenadas X − T,
y que la velocidad de la fase física es. Dado que la validez del modelo KdV (1) requiere
entre otras cosas, que la onda sea correcta se deduce de esta expresión que la modulación
la solución sólo sigue siendo válida cuando hV < 6g. Por supuesto, la validez de (1) también requiere que
la amplitud sigue siendo pequeña, y esto normalmente también garantizaría que V sigue siendo pequeña.
4 Solución de modulación en el límite de onda solitaria
En esta sección, integraremos el sistema de modulación perturbado (27) a lo largo de la
característica correspondiente a la fusión de dos variables de Riemann Como lo haremos
ver más adelante, esta característica especifica el movimiento del borde delantero de la barandilla undular
perforado en el caso cuando las perturbaciones debidas a la topografía variable y la fricción del fondo pueden
se considerarán pequeñas en comparación con las modulaciones espaciales existentes dentro del agujero. En
al mismo tiempo, como en el caso de la letra a) del punto 2 = la letra a) del punto 1 (es decir: m = 1) corresponde al límite de onda solitaria en el
solución de onda de viaje (10), nuestros resultados aquí se espera que sean consistentes con los resultados
del enfoque tradicional de la perturbación a la variación adiabática de una onda solitaria debida
a la topografía y fricción en el fondo (véase Miles 1983a,b).
En el límite m → 1 la solución periódica (10) de la ecuación KdV pasa a su solitario
solución de onda
U(X, T ) = U0sech
- 3 - 1 (X − VsT )] - 3 - 38
donde
U0 = 2 () 3 () 1), Vs = − (41 + 23) (39)
son la amplitud de onda solitaria y la “velocidad” respectivamente. La solución (38) depende de dos
Parámetros de la evolución lenta adiabática de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los
sistema (34). Es importante que la segunda ecuación en este sistema se desvincule de
El primero. Por lo tanto, la evolución del pedestal 3 en el que la ola solitaria cabalga, puede
se encuentran a partir de la solución de esta ecuación sin dispersión por el método de las características.
Cuando se conoce el parámetro 3(X, T), se puede encontrar la evolución del parámetro 1 a partir de la solución de
la primera ecuación (34). Como resultado, llegamos a una descripción completa de la adiabática lenta
evolución de los parámetros de onda solitaria teniendo en cuenta su interacción con el (dado)
Pedestal.
Sin embargo, es importante señalar aquí que mientras que esta descripción de la evolución adiabática
de una ola solitaria está completa en lo que se refiere a la ola solitaria en sí, no describe
la evolución de una estantería que se necesita para conservar la “masa” total (véase, por ejemplo,
Johnson 1973b, Grimshaw 1979 o Grimshaw 2006). Esta estantería tiene un pequeño
amplitud, pero una escala de longitud muy grande, y por lo tanto puede llevar el mismo orden de “masa” como
la ola solitaria. Pero tenga en cuenta que el “momento” de la estantería es mucho más pequeño que
la de la ola solitaria, cuya deformación adiabática está gobernada de hecho a
conservación del “momentum”, o más precisamente, mediante la conservación del flujo de acción de las olas (estrictamente
hablando, conservación sólo en ausencia de fricción).
La situación se simplifica si la onda solitaria se propaga en una región de agua tranquila así
que no hay pedestal por delante de la onda, es decir, 3 = 0 en X > فارسى(T ). Pero entonces, desde
3 = 0 es una solución exacta del degenerado sistema Whitham (34) para esta onda solitaria
configuración, podemos poner 3 = 0 tanto en la solución de onda solitaria,
U(X, T ) = −2♥1sech2[
1 (X − VsT )], Vs = −41, (40)
y en la ecuación (34) para el parámetro
− 4ooooooooooooooooooooooooo − 4ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
F/23370/1 +
G/23370/21, (41)
Como vemos, la onda solitaria se mueve con la velocidad instantánea
= −41, (42)
y el parámetro 1 cambia con T a lo largo de la trayectoria de onda solitaria de acuerdo con el
ecuación diferencial ordinaria
F (T )
G(T)21. (43)
Se puede demostrar que la ecuación (43) es consistente con la ecuación para la mitad de la onda solitaria-
ancho γ =
1 obtenido por el enfoque tradicional de perturbación (véase Grimshaw (1979)
por ejemplo).
A continuación, reescribir la ecuación (43) en términos de la x-variable independiente original. Por eso,
nos encontramos de (6), que
dT = (h1/2/6g3/2)dx (44)
y F = −27
)3/2 dh
, G = 4CD
. (45)
A continuación, la sustitución de estas expresiones en (43) produce la ecuación
= −31
21 (46)
que se puede integrar fácilmente para dar
−C0 −
, (47)
donde C0 es una constante de integración y x = 0 es un punto de referencia donde h = h0. De acuerdo
a (40), U0 = −2♥1 es la amplitud del soliton expresada en términos de la variable U(X, T ).
Retorno al desplazamiento de superficie original A(x, t) mediante (6) y denotando C0 =
4/(3ga0h0), encontramos la dependencia de la amplitud del soliton de elevación de la superficie a = (2h)
2/3g)U0
en x en la forma
a = a0
CDa0h0
, (48)
donde a0 es la amplitud de onda solitaria en x = 0. Observamos que para CD = 0 esto se reduce a
el clásico Boussinesq (1872) resulta en un h−1, mientras que para h = h0 se reduce al conocido
ley de decaimiento algebraico a 1/(1 + constante x) debido a la fricción Chezy. Millas (1983a,b) obtenidas
esta expresión para una variación lineal de profundidad, aunque notamos que hay un factor de 2
diferencia con (48) (en Millas (1983a,b) el factor 16CD/15 es 8CD/15). La trayectoria de
el soliton se puede encontrar ahora de (42) y (47):
− t =
dx′h−5/2(x′)
CDa0h0
h3(x)
. (49)
Esta expresión determina implícitamente la dependencia de x en t a lo largo de la trayectoria de onda solitaria
y proporciona la ecuación deseada para la característica múltiple del sistema de modulación
para el caso m = 1.
Es instructivo derivar una expresión explícita para la velocidad de onda solitaria computando
el derivado dx/dt de (49), o más simplemente, directamente de (37),
1-a/2h
. (50)
La fórmula (50) produce la restricción para la amplitud relativa γ = a/h < 2 que es
claramente más allá de la aplicabilidad de la aproximación de KdV (la ruptura de onda se produce ya
a γ = 0,7 (véase Whitham 1974)). En el caso sin fricción (CD = 0) la ecuación (48) da
a/h = a0h0/h
2, y por lo tanto la expresión (50) para la velocidad debe fallar como h → 0. Es interesante.
observar que este fallo del modelo KdV como h → 0 debido a la apariencia de infinito (y
¡Más negativo!) velocidad de onda solitaria no es evidente de la expresión (48) para el
amplitud de onda solitaria, y la implicación es que el modelo no puede continuar como
h → 0. Curiosamente esta restricción del modelo KdV parece nunca haberse notado antes
a pesar de numerosos trabajos sobre este tema. Tenga en cuenta que teniendo en cuenta la fricción en el fondo
conduce a una fórmula más complicada para la velocidad de onda solitaria en función de h, pero el
El resultado cualitativo sigue siendo el mismo.
Es sencillo demostrar de (46) o (48) que
= −hx
CDa0h0
CDa0h0
. (51)
Se sigue inmediatamente que para una onda que avanza en profundidad creciente (hx > 0), la amplitud
tude disminuye debido a una combinación de profundidad creciente y fricción en el fondo. Sin embargo, para
una onda que avanza en profundidad decreciente, hay una tendencia a aumentar la amplitud debida
a la disminución de la profundidad, pero para disminuir la amplitud debido a la fricción del fondo. Por lo tanto, si
o no los aumentos de amplitud se determina por cuál de estos efectos es mayor, y esto en
el giro está determinado por la pendiente, la profundidad y el parámetro de arrastre consolidado CDa0/h0.
Para ilustrar, consideremos la topografía inferior en la forma
h(x) = h1+0 (h0 − Łx)α, α > 0, (52)
que satisface la condición h(0) = h0; el parámetro caracteriza la pendiente del bot-
Tom. En este caso, la fórmula (48) se convierte en
a = a0
*(3 1)h0
)(31)/α
si α 6= 1/3. Uno puede ver ahora que si α < 1/3, entonces el término de fricción inferior es relativamente
no es importante debido a la pequeñez de la CD. Por supuesto, para este caso recuperamos de nuevo el
Boussinesq resultado, ahora ligeramente modificado,
a A0
(1− 3α)h20
, 0 < α <
, h ́ h0. (54)
Por supuesto, este resultado es poco práctico en el contexto de KdV como la aproximación de KdV utilizada aquí
requiere la relación a/h para permanecer pequeño.
Si α > 1/3 obtiene ahora la fórmula asintótica
15(3 1)
, h â € h0, (55)
que es independiente de la amplitud inicial a0. Esta expresión es consistente con el pequeño-
Amplitud La aproximación KdV siempre y cuando (3 1)-CD es la unidad de orden. Sencilla inspección de
(55) muestra que la amplitud de la onda solitaria
• aumenta como h → 0 si 1
< α < 1
• es constante como h → 0 si α = 1
• disminuye como h → 0 si α > 1
Así para 1/3 < α < 1/2, como para el caso α < 1/3, la amplitud aumentará a medida que la profundidad
disminuye, a pesar de la presencia de fricción (suficientemente pequeña). Sin embargo, para α > 1/3, incluso
aunque por lo general hay algún crecimiento inicial en la amplitud, eventualmente incluso el fondo pequeño
la fricción tendrá efecto y la amplitud disminuye a cero. Observamos que si α = 1/3 entonces
la integral
h−3dx en (48) diverge logarítmicamente como h → 0, que sólo modifica ligeramente
el resultado (55) para h â € h0 e implica el crecimiento de la amplitud â € ln h/h como h → 0.
De particular interés es el caso α = 1. En ese caso, la fórmula (53) pasa a ser
a = a0
. (56)
y a 15
h, h, h0 (57)
Estas expresiones (56, 57) fueron obtenidas por Miles (1983a, b) utilizando la conservación de energía de ondas
(como anteriormente, note, sin embargo, que en Miles (1983a,b) el coeficiente numérico es 15/4 más bien
de 15/8). Por lo tanto, estos resultados obtenidos de la teoría de Whitham son de hecho consistentes, en
el orden principal, con el enfoque tradicional de la perturbación para un solitario lentamente variando
Onda.
5 Deformación adiabática de una onda cnoidal
A continuación se considera una onda cnoidal modulada (10) en el caso especial cuando la modulación hace
no dependen de X. Si bien este caso es, en sentido estricto, poco práctico, ya que supone que existe un
infinitamente largo tren de onda, sin embargo, puede proporcionar algunas ideas útiles sobre la calidad
efectos de la pendiente y fricción graduales en los orificios undulares que se representan localmente como cnoidales
olas. En ausencia de fricción, la dependencia lenta de los parámetros de la onda cnoidal en T
fue obtenido por Ostrovsky & Pelinovsky (1970, 1975) y Miles (1979) (véase también Grimshaw
2006), suponiendo que el desplazamiento de la superficie tuviera una media cero (es decir, «U» = 0), mientras que,
los efectos de la fricción fueron tenidos en cuenta por Miles (1983b) utilizando la misma media cero
Suposición de desplazamiento. Sin embargo, esta suposición es inconsistente con nuestro objetivo de estudiar
perforaciones undulares en las que el valor de â € € ¬ es esencialmente distinto de cero. Por lo tanto, tenemos que desarrollar un
teoría más general que nos permite tener en cuenta las variaciones en todos los parámetros en el
Ola cnoidal. Este marco general lo proporciona el sistema de modulación (27).
Por lo tanto, consideramos el caso cuando las variables Riemann en (27) no dependen de la
variable X para que las ecuaciones generales Whitham se conviertan en ecuaciones diferenciales ordinarias
en T, que se puede reformular convenientemente en términos de la coordenada espacial x original
utilizando la relación (44):
, i = 1, 2, 3, (58)
donde todas las variables se definen anteriormente en la sección 3 (ver 28, 29, 30). Este sistema puede ser fácilmente
resuelto numéricamente. Pero es instructivo, sin embargo, primero indicar algunas propiedades generales
de la solución.
En primer lugar, la solución al sistema (58) debe tener la propiedad de la conservación
longitud” L (o “número de onda” k=2η/L)
2K(m)
- - - - - - - - - - ¿Qué?
= constante (59)
De hecho, la ley de conservación de olas (22) en ausencia de la dependencia X asume la forma
= 0, (60)
que rinde (59). Así, el sistema de tres ecuaciones (58) se puede reducir a dos ecuaciones.
A continuación, aplicando Whitham promedio directamente a (7) rendimientos
P, M = « U », P = « U ». (61)
P − 4CD
Q., P = U., Q. = U................................................................................................................... (62)
El conjunto de ecuaciones (59), (61), (62) comprende un sistema de modulación cerrado para tres independientes
parámetros de modulación, por ejemplo M, Pû y m. Aunque este sistema no es tan conveniente para
análisis como el sistema (27) en las variables Riemann, no tiene una restricción U > 0 inherente
en (27), y permite algunas inferencias directas con respecto a la posible existencia de
soluciones de modulación con elevación media cero, es decir con M = 0. De hecho, uno puede ver
que la solución con la media cero en realidad no es generalmente admisible cuando CD 6= 0, a
situación ignorada en Miles (1983b). De hecho, M = 0 inmediatamente entonces implica que P
por (61). Pero luego debido a (59) tenemos los tres parámetros de modulación fija que es claramente
inconsistente con la ecuación restante (62) (excepto en el caso trivial M = 0, P = 0,
Q? = 0). Sin embargo, en ausencia de fricción, cuando CD = 0, la ecuación (61) desacopla y
permite una solución no trivial con una media cero. En general, cuando CD = 0 ecuaciones (61),
(62) se puede integrar fácilmente para dar
d = Mh9/4 = constante; = Ph9/2 = constante. (63)
Entonces, usando (18, 19, 59) uno obtiene fácilmente la fórmula para la variación del módulo m,
y por lo tanto de todos los demás parámetros de onda, en función de h
K2[2(2−m)EK − 3E2 − (1−m)K2] =
( − d2)L4
. (64)
200
400
600
800
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
C = 0
C = 0,01
Figura 2: La dependencia del módulo m en el espacio físico coordina x en los casos
sin y con fricción en el fondo en la solución de modulación independiente de X.
Fórmula (64) generaliza el caso M 6= 0 (es decir, d 6= 0) las expresiones de Ostrovsky y
Pelinovsky (1970, 1975), Miles (1979) y Grimshaw (2006) (nota que en Grimshaw (2006)
la restricción media cero en realidad no es necesaria). Observamos aquí que, de nuevo con CD = 0,
la ecuación (5) implica la conservación de B y B2 (el flujo de acción de onda promedio), que,
junto con (59), también rendimiento (64).
La frecuencia física y el número de onda en la onda periódica modulada bajo estudio
se dan por la fórmula (37), y recordamos aquí que k = 2η/L es constante (véase (59)). As
se ha discutido antes al final de la sección 3 debemos exigir que la velocidad de fase se mantenga positiva, ya que
la onda evoluciona, y aquí que requiere que el número de onda física فارسى > 0. Desde a/h (y
por lo tanto hV/6g) se supone que es pequeño dentro del rango de aplicabilidad de la ecuación KdV
(2) la expresión (37) implica el comportamiento..........................................................................................................................................................................................................................................................
gh que, por supuesto, está de acuerdo con el
bien conocido resultado para las olas lineales en una playa inclinada (véase Johnson 1997 por ejemplo). Esto
efecto se atenuará ligeramente para la onda no lineal cnoidal, desde V h/6g > 0, pero la
efecto global será un “estrujamiento” de la ola cnoidal, un resultado importante para nuestro futuro
estudio de los orificios undulares. A continuación se estudia numéricamente el efecto combinado de la pendiente y la fricción
en una ola cnoidal.
Como hemos demostrado, en presencia de fricción Chezy M 6= 0, y también hemos asumido
que U > 0, que es necesario cuando venimos a estudiar los agujeros undulares. Ahora usamos el
sistema de modulación estacionaria (58) en las variables de Riemann, que se deriva
Supuestos. Resolvemos el sistema de ecuación diferencial ordinario acoplado (58) para el caso de un
pendiente lineal
h(x) = h0 − x (65)
con h0 = 10, = 0,01, y con las condiciones iniciales
-0,441, -0,441, -0,441, -2 = 0,147, -3 = 0,294 at x = 0, (66)
que corresponde a una onda casi armónica con m = 0.2, a/h0 = 0.2, â € € € € € € € € € € € € € € € € € €.
a x = 0 (véase (35). También notamos que para los parámetros elegidos tenemos V = 0, así que en
x = 0 tenemos • • •/
gh0 como en la teoría lineal. Es instructivo comparar las soluciones con
(CD = 0,01) y sin fricción (CD = 0). In Fig. 2 la dependencia del módulo m
100 200 300 400 500
C = 0
C = 0,01
100 200 300 400 500
h <A>
1/4 C = 0
C = 0,01
Figura 3: Izquierda: Dependencia del valor medio AA en la solución de modulación independiente de X
en el espacio físico, coordenar x sin (línea de sujeción) y con (línea sólida) fricción en el fondo;
Derecha: Mismo pero multiplicado por el factor de ley de los Verdes, h1/4
100
200
300
400
500
1.
4
1.
6
1.
8
2.
2
2.
4
C = 0
C = 0,01
Figura 4: La dependencia de la amplitud de elevación de la superficie a en el espacio coordina x. Dashed
línea corresponde a la caja sin fricción y línea sólida a la caja con fricción inferior.
en x se muestra para ambos casos. Vemos que para el caso sin fricción m → 1 con disminución
de profundidad, es decir, las crestas de la onda asumen la forma de ondas solitarias cuando uno se acerca a la
en la costa. Cuando CD 6= 0 el módulo también crece con disminución de profundidad pero nunca alcanza
unidad. La dependencia de x de la elevación media de la superficie AA para los casos sin y
con fricción se muestra en la Fig. 3. Hemos comprobado que la “longitud de onda” L (59) es constante
para ambas soluciones. Además, se puede ver en la Fig. 3 (derecha) que el valor h1/4â € € € € € d es de hecho
conservado en el caso sin fricción, pero no es constante si la fricción está presente (la misma sostiene
verdadero para el valor h1/2â € A2â € € ° pero no presentamos el gráfico aquí). Finalmente, en la Fig. 4 los
se muestra la dependencia de la amplitud de la onda de elevación física a en la coordenada espacial x.
Se puede ver que la amplitud adiabéticamente crece con la distancia en el caso sin fricción
debido al efecto de la pendiente (sin fricción) pero, no inesperadamente, disminuye gradualmente
en el caso de que la fricción del fondo esté presente, donde la disminución para estos ajustes de parámetros
es comparable en magnitud al efecto de la pendiente. En ambos casos, los principales aspectos cualitativos
los cambios ocurren en la forma de la onda y la longitud de onda.
En general, podemos deducir de estos resultados que el principal efecto local de una pendiente y fondo
la fricción sobre una onda cnoidal, junto con las variaciones de amplitud adiabática, es doble: una onda
con un m < 1 en x = 0 tiende a transformarse en una secuencia de ondas solitarias a medida que x disminuye,
y al mismo tiempo la distancia entre las crestas de onda posteriores tiende a disminuir. Esto
está en marcado contraste con el comportamiento de las ondas cnoidales moduladas en los problemas descritos
por la ecuación KdV no perturbada, donde el crecimiento del módulo m va acompañado de un
aumento de la distancia entre las crestas de las olas. En general, en el estudio del comportamiento de
perforaciones onduladas inestables en presencia de una pendiente y fricción en el fondo que tendremos que tratar
con la combinación de estas dos tendencias opuestas.
6 Propagación de orificios undulares sobre topografía variable
con fricción en el fondo
6.1 Problema de Gurevich-Pitaevskii para caso de fricción cero de fondo plano
Pasamos ahora al problema b) descrito en la sección 2. Estudiamos la evolución de un undular
la perforación se desarrolla a partir de un salto inicial de elevación de la superficie ≤ > 0, situado en algún punto x0 < 0.
Como se explica a continuación, el agujero undular se expandirá con el tiempo de modo que en algunos t = t0 su ventaja
la onda solitaria entra en la región de pendiente gradual, que comienza en x = 0 (véase Fig. 1b). Asumimos que
que para x < 0 uno tiene h = h0 = constante y CD 0. Presentaremos en primer lugar una formulación
del problema Gurevich-Pitaevskii para la ecuación KdV libre de perturbaciones y reproducir
la conocida solución de modulación de similitud que describe la evolución del orificio undular
hasta el momento en que entra en la pendiente. Insistimos en que, aunque esta formulación y
especialmente, esta solución de similitud se conocen muy bien y han sido utilizados por muchos autores,
algunas de las inferencias importantes para la aplicación actual a la dinámica de fluidos no han sido
muy apreciado, por lo que podemos discernir. Pertinente a nuestro objetivo principal en este artículo,
realizamos un estudio detallado de las características del sistema de modulación Whitham en
la proximidad del borde delantero de la solución de perforación undular, y demostrar que el límite con-
las dimensiones del tipo Gurevich-Pitaevskii sólo permiten dos configuraciones de características posibles,
implica dos tipos cualitativamente diferentes de comportamiento de onda solitaria. Siguiente, nosotros
demostrar cómo esta formulación Gurevich-Pitaevskii del problema se aplica a la perturbada
sistema de modulación en la forma (27) y finalmente estudiaremos los efectos de la perturbación
sobre las modulaciones en las proximidades del borde delantero del agujero ondulado.
En el caso de un fondo plano, sin fricción, la ecuación original (1) se convierte en la constante-
coeficiente KdV ecuación que se puede fundir en la forma estándar
+ 6 + = 0 (67)
introduciendo las nuevas variables
A, â € =
(x+ x0 −
gh0t), • =
t, (68)
donde x0 < 0 es una constante arbitraria. En el enfoque Gurevich-Pitaevskii (GP), uno
considera una perturbación inicial a gran escala η(, 0) = f(), en forma de perfil decreciente,
f ′() < 0 (por ejemplo: un paso suave: f() → 0 como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
evolución inicial hasta algún tiempo crítico (desbaratado) b puede ser descrito por la dispersión sin
límite de la ecuación de KdV, es decir, por la ecuación de Hopf,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (69)
La evolución (69) conduce a la ruptura de la onda del perfil de r() en algunos , con el
consecuencia de que el término dispersivo en la ecuación de KdV entonces entra en juego, y un
formas de perforación undular, que pueden representarse localmente como una onda de desplazamiento monofásica. Esto
ola itinerante se modula de tal manera que adquiere la forma de una ola solitaria en el
y gradualmente degenera, a través del régimen no lineal de la onda cnoidal, a
un paquete de ondas lineales en el borde que sigue = (). Es importante que este aburrimiento undular
es esencialmente inestable, es decir. la región se expande con el tiempo.
La solución de onda de desplazamiento monofásica de la ecuación KdV (67) tiene la forma (cf.
10)
η(, ) = r3 − r1 − r2 − 2 r3 − r2)sn2(
r3 − r1, m) (70)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
r3 − r2
r3 − r1
. (71)
Los parámetros r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ 0 en el orificio undular varían lentamente entre las funciones de
cuya evolución se rige por las ecuaciones de Whitham
+ vj(r1, r2, r3)
= 0, j = 1, 2, 3. (72)
Las velocidades características en (72) son dadas por (31). Recalcamos que, aunque analítico
las expresiones (70) y (10) (así como (72) y la versión homogénea de (27)) son idénticas,
se escriben para conjuntos completamente diferentes de variables, tanto dependientes como independientes.
El Riemann invariants rj(, ) están sujetos a condiciones especiales de emparejamiento en el libre
límites, = () definidos por las condiciones m = 0 (borde de trailer) y m = 1 (líder)
edge), formulado en Gurevich y Pitaevskii (1974) (véase también Kamchatnov (2000) o El
(2005) para una descripción detallada).
En el borde descendente (armónico), donde la amplitud de la onda a = 2 r3 − r2) desaparece y
m = 0, uno tiene
* = () : r2 = r3, −r1 = r. (73)
En el borde delantero (solitón), donde m = 1 tiene
= () : r2 = r1, −r3 = r. (74)
En ambos (73) y (74), r(, ) es la solución de la ecuación de Hopf (69).
Para la solución del problema GP (72), (73), (74) por
las ecuaciones diferenciales ordinarias
= v−(, ),
= v+(, ), (75)
donde v± se calculan como valores de velocidades de doble característica de la modulación
sistema en los bordes de orificios ondulados,
v− = v2(r1, r3, r3)=(l) = v3(r1, r3, r3)=(l), (76)
v+ = v2(r1, r1, r3)=(l) = v1(r1, r1, r3)=(l) (77)
Estas ecuaciones (75) representan esencialmente las condiciones del límite cinemático para el undular
orujo (véase El 2005). De hecho, la velocidad de doble característica v2(r1, r3, r3) = v3(r1, r3, r3) puede
se muestre que coincide con la velocidad del grupo lineal del paquete de onda KdV de pequeña amplitud
mientras que la velocidad de doble característica v2(r1, r1, r3) = v1(r1, r1, r3) es la velocidad de soliton.
Uno podría inferir de esta formulación GP del problema que, desde el borde delantero de
el orificio undular especificado por (75), (77) es una característica del sistema de modulación, entonces
el valor de la doble invariante Riemann r+ فارسى r2 = r1 es constante. Entonces, al considerar un
se propaga en agua fija, donde r = 0, se obtendría de la emparejamiento
condición (74) en el borde delantero que r3= = 0 y por lo tanto, la amplitud del plomo solitario
onda a+ = 2 r3−r1) = = −r+ siempre sería constante también. Sin embargo, esto contradice
el razonamiento físico general de que debe permitirse la amplitud de la onda solitaria de plomo
cambiar en el caso de los datos iniciales generales. La aparente contradicción se resuelve observando
que el borde delantero especificado por (75), (77) puede ser un sobre de la familia característica,
i.e. un cáustico, en lugar de necesariamente una característica regular, y por lo tanto no hay necesidad
para que el doble r + invariante Riemann sea constante a lo largo de la curva = () en general.
Por otro lado, ya que el borde delantero está definido por la condición m = 1, la forma de onda
en el borde delantero coincidirá con el perfil espacial del soliton KdV estándar. Por lo tanto
Llegamos a la conclusión de que, en general, la amplitud de la ola solitaria KdV líder
variará, incluso en ausencia de los términos de perturbación. Por supuesto, en el KdV inalterado
ecuación, tales ondas solitarias variables no pueden existir por sí solas, y requieren la presencia
del resto del agujero undular. También destacamos que estas variaciones de la
onda en el agujero undular, como se describe aquí, tienen una naturaleza física completamente diferente a
las variaciones de los parámetros de una onda solitaria individual debido a pequeñas perturbaciones como
descrita en la sección 4. Son causadas por interacciones de ondas no lineales dentro de la undular
aburrido más que por una respuesta adiabática local de la ola solitaria a una perturbación inducida
por topografía y fricción. Sin embargo, es importante para nuestro estudio que transcurra que
la acción de estos mismos términos de perturbación en el agujero undular puede conducir tanto a un local y un
respuesta no local de la principal ola solitaria.
6.2 Desarrollamiento de taladro undular a partir de un salto inicial
A continuación consideramos la solución más simple del sistema de modulación, que describe un undular
se desarrolla a partir de una discontinuidad inicial situada en el punto x = −x0. En (η;, ) -
variables tenemos las condiciones iniciales
η(, 0) = para < 0 ; η(, 0) = 0 para > 0, (78)
donde > 0 es una constante. Entonces, al usar (69), las condiciones iniciales (78) son fácilmente
traducido a las condiciones de coincidencia de libre frontera (73), (74) para los invariantes Riemann.
Debido a la ausencia de una escala de longitud en este problema, la solución correspondiente de la
sistema de modulación debe depender de la variable auto-similar
el sistema de modulación a las ecuaciones diferenciales ordinarias
(vi − )
= 0, i = 1, 2, 3. (79)
-4
0
-3
0
-2
0
-1
0
10
20
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
-30 -20 -10 10
η(, = 5)
Figura 5: Izquierda: Comportamiento invariante de Riemann en la solución de modulación de similitud para la
caso plano inferior cero-fricción ; Derecha: perfil de agujero undular correspondiente η().
Las condiciones de frontera para (79) se derivan de las condiciones de coincidencia (73), (74) utilizando el
condición inicial (78):
* = : r2 = r3, r1 =
* = : r2 = r1, r3 = 0.
donde son coordenadas auto-similares (velocidades) de los bordes que conducen y siguen, = .
Teniendo en cuenta la desigualdad r1 ≤ r2 ≤ r3 se obtiene la modulación bien conocida
de Gurevich y Pitaevskii (1974) (véase también Fornberg y Whitham 1978)
r1 = , r3 = 0, r2 = −m®, (81)
= v2(,-má, 0) = 2Â[(1 +m)−
2m(1-m)K(m)
E(m)− (1-m)K(m)
]. (82)
Esta solución de modulación (81), (82) (véase la Fig. 5a) representa el reemplazo, debido a averag-
ión sobre las oscilaciones, de la solución formal no física de tres valores de la dispersión sin
Ecuación de KdV (es decir, de la ecuación de Hopf) que habría tenido lugar en ausencia de
la regularización dispersiva por el agujero undular. Vemos que (82) describe una expansión
ventilador en el plano característico y, por lo tanto, es una solución global. Sustitución (81), (82)
en la solución de onda itinerante (70) se obtiene la forma de onda asintótica de la ondulación undular
orujo (véase Fig. 5b), que entonces puede ser fácilmente representado en términos de la física original
variables que utilizan las relaciones (68).
Las ecuaciones de los bordes descendentes y delanteros del agujero undular se determinan a partir de
(82) poniendo m = 0 y m = 1 respectivamente
= = v2(, 0, 0) = −6
= = v2(,, 0) = 4. (83)
La amplitud de onda solitaria principal es η0 = 2 (r3−r1) = 2(2, que es exactamente el doble de la altura
del salto inicial. Esto corresponde a la amplitud de la elevación de la superficie a = 3h0
(68)). Tenga en cuenta que, para obtener la primera onda solitaria de la misma amplitud inicial a0 como para el
ola solitaria separada considerada en la sección 4, se debe utilizar el valor de salto +0 = a0/3h0,
que por supuesto es sólo 2, donde = 3h0/2 es la discontinuidad inicial en la superficie
elevación.
6.3 Estructura de la parte delantera del taladro undular
Estamos especialmente interesados en el comportamiento de la solución de modulación (81), (82)
las proximidades del borde de ataque. Este comportamiento está esencialmente determinado por el
modo en que el par de características correspondientes a las velocidades v2 y v1 se fusionan
en un valor propio múltiple v+ del sistema de modulación en = ().
En primer lugar, se puede inferir fácilmente de la solución de modulación (81), (82) que la velocidad de fase
c = −2(r1 + r2 + r3) = 2(1 +m) > v2(,−m, 0) para m < 1 y c = v2 para m = 1. Por lo tanto,
cualquier cresta de onda individual generada en el borde de avance del agujero undular se mueve hacia
el borde de ventaja, es decir, para cualquier cresta m → 1 como • • • • • • • • • para cualquier cresta m → 1 como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Por lo tanto, para cualquier cresta de onda en particular,
a excepción de la primera, el estado de la onda solitaria se logra sólo asintóticamente como
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Sin pérdida de generalidad asumimos en esta sección que = 1 en (81), (82). En primer lugar, como
ya hemos mencionado, la familia característica 2 : d/d = v2 es un ventilador de expansión en
el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión.
*2 : * = C2®, (84)
parametrizado por una constante C2, −6 ≤ C2 ≤ 4. A continuación, en (82) hacemos una asintótica
expansión de v2(−1,−m, 0) para pequeñas (1−m) + 1, para obtener
2(1-m) ln(16/(1-m)) − (85)
o, con precisión logarítmica,
( − / / / ) 1 : 1 - m
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2 ln[1/( − â €/€)]
. (86)
A continuación, expandiendo v1(−1,−m, 0) para (1 − m) 1 y usando (86) obtenemos la asintótica
ecuación para la familia de las características
= v1 =
+ + ( − ) + O(1m), (87)
que se integra fácilmente a la dirección orden de dar
* 1 : * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, (88)
donde C1 ≥ 0 es un «etiquetado» constante arbitrario de las características; C1 = 0 corresponde a
el borde delantero del agujero undular. Esta fórmula asintótica (88) es válida siempre y cuando el valor de la fórmula sea superior al de la fórmula asintótica 1.
Comportamiento de las características que pertenecen a las familias
borde se muestra en la Fig. 6a.
A continuación, expandiendo la ecuación para la tercera familia característica, 3: d/d = v3(−1,−m, 0)
para (1-m) â € 1, nos ponemos a usar (86)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ln(1/( â â € ¬))
+O( − â € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (89)
Figura 6: Comportamiento de las características de la solución de modulación de similitud
edge (): (a) familias 1: dÃ3r/dÃ3r = v1 y Ã3r2 : = C2Ã3r, (b) familia Ã3r3: dÃ3r/dà r = v3.
Integración (89) obtenemos el primer orden
*3 : * C3 − g(), (90)
donde g() =
− C3
ln − C3 − ln
Derivados de la capacidad de absorción de gases de efecto invernadero y de la capacidad de absorción de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de conformidad con el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]
+) = 0, (91)
C3 es una constante arbitraria. La fórmula asintótica (90) es válida siempre y cuando g(
1. Dado que las características de la intersección 3 del borde de ataque • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
debemos indicar su
Comportamiento fuera del agujero ondulado. Se deriva de la condición de coincidencia (74) y el
la estructura limitante (34) de las velocidades características del sistema Whitham, que el
las características de la familia de la combinación 3 con las características de la ecuación de Hopf dÃ3/dÃ3 = 6r
con el valor de la invariante Riemann r = 0 correspondiente al agua corriente corriente arriba
undular aburrido. Por lo tanto, las características externas buscadas son simplemente líneas verticales = C3.
El comportamiento cualitativo de las características de la familia 3 se muestra en la Fig. 6b.
Es evidente del comportamiento asintótico de las características que el borde característica
= corresponde al movimiento de la onda solitaria principal se cruza sólo con
las características de la familia •3 llevando el valor invariante de Riemann r3 = 0 en el undular
dominio de aburrimiento. Desde, de acuerdo con la condición de coincidencia (80), r3 0 en todas partes a lo largo de la
borde característica se puede inferir que el movimiento de onda solitaria líder está completamente especificado
por su amplitud en = 0. De hecho, en este caso, el borde de ventaja representa un
característica del sistema de modulación, a lo largo de la cual el r+ invariante Riemann = r2 = r1 es
una constante. Dado el valor constante de r1 = −1 para la solución (82), se infiere que la
amplitud del soliton de plomo del agujero undular autosimilar, η0 = 2 r3 − r+) = 2 es también un
valor constante. Por lo tanto, en el agujero undular que evoluciona desde un salto inicial, el líder solitario
onda representa un soliton independiente de la ecuación KdV. Por supuesto, este hecho sigue
directamente de la solución de modulación (82) pero ahora hemos establecido su significado en el
el contexto de las características, que desempeñarán un papel importante a continuación.
A continuación se discute la estructura del frente de agujero undular en el caso cuando el inicial
perfil η(, 0) no es una simple discontinuidad de salto, y en su lugar tiene la forma de un monótono
función decreciente, por ejemplo, ()1/2 cuando ≤ 0 y η(, 0) = 0 para > 0. En ese caso,
la solución de modulación para el orificio undular ya no posee una similitud de x/t como en la
Figura 7: a) Borde de plomo () de taladrado no autosimilar como una envoltura de par en par
las características de la fusión de las familias dâr/dâr = v1 y dâr/dâr = v2; b) el comportamiento de la
Invariantes de Riemann en solución de modulación no autosimilar con r3 0.
salto de resolución y, como resultado, la velocidad (y por lo tanto, la amplitud) de la ventaja
la onda solitaria no es constante. Por ejemplo, para el perfil inicial de raíz cuadrada antes mencionado
la amplitud de la ola solitaria de plomo crece como 2 (véase Gurevich, Krylov y Mazur 1989,
o Kamchatnov 2000). Claramente, tal variación de amplitud es imposible si el borde de ventaja
() era una característica regular que llevaba un valor constante del r+ invariante de Riemann. As
Sin embargo, las condiciones de coincidencia de GP (73) - (77) admiten otra posibilidad;
la curva del borde delantero es el sobre de las familias características 1: d/d = v1 y 2:
d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- Esta configuración se muestra en la Fig. 7a. En este caso, el
el comportamiento del módulo m en las proximidades del borde delantero está dado por la asintótica
fórmula encontrada en Gurevich & Pitaevskii (1974):
(1 a m)2
(r+)2
( − ) (92)
donde se asume que se conoce la función r+() 6= constante. Otra característica específica de
Esta configuración (general) es que dr1,2/d® → como → (ver Fig. 7b - también se encuentra en
Gurevich & Pitaevskii 1974, véase también Kamchatnov 2000), que contrasta drásticamente con
solución de similitud (véase Fig. 6a). Esta diferencia particular fue discutida en relación con
perforaciones undulares en la ecuación KdV-Burgers en Gurevich y Pitaevskii (1987).
En resumen, vemos en (92) que la estructura de la solución de modulación en el vicin-
ity del borde delantero de un agujero undular definido como una envolvente característica es cualitativamente
diferente en comparación con el caso de similitud (véase (85)). El más general (pero qual-
itativamente similar a la (92)) fórmula asintótica que tiene en cuenta las pequeñas perturbaciones
debido a una topografía variable y fricción en el fondo se derivará más adelante. Por el momento,
es importante para nosotros que en esta configuración, cuando el borde delantero es una característica
sobre en lugar de sólo una característica, el valor r+, y por lo tanto, la onda solitaria líder
La amplitud puede variar.
El análisis de la solución de modulación correspondiente en Gurevich, Krylov y Mazur
(1989) mostró que, mientras que en el caso de un salto inicial las crestas de la onda generadas en el
borde que arrastra alcanzar el borde delantero (y por lo tanto, transformar en ondas solitarias) sólo
asintóticamente como t → فارسى, para el caso más general de la disminución de los datos iniciales de cada onda
cresta generada en el borde descendente alcanza el borde delantero en tiempo finito y reemplaza
(supera) la actual ola solitaria líder. Este proceso se manifiesta como un continuo
Crecimiento de amplitud de la onda solitaria (aparente). Como en la teoría clásica del soliton,
una explicación alternativa del crecimiento de la amplitud de onda solitaria principal se puede hacer en
los términos del intercambio de impulso entre la ola solitaria “instantánea”
ondas solitarias de mayor amplitud que vienen de la izquierda. De hecho, como el análisis riguroso de
Lax, Levermore y Venakides mostraron (ver Lax, Levermore y Venakides (1994) y la
referencias allí), toda la estructura modulada del agujero undular puede ser asintóticamente
descrito en términos de las interacciones de un gran número de solitones KdV inicialmente «envasados»
en un perfil inicial a gran escala no oscilante.
Esta última interpretación es especialmente instructiva para nuestros propósitos. Nuestro punto es que
la causa específica de las interacciones mejoradas del soliton que resultan en el crecimiento de la amplitud en el
el borde delantero no es esencial; puede ser variaciones espaciales a gran escala del perfil inicial como
simplemente descrito, pero también podría ser igualmente un efecto de pequeñas perturbaciones en el KdV
la ecuación misma. De hecho, en la débilmente perturbada ecuación de KdV, la estructura de onda local
del agujero undular debe describirse al orden principal mediante la solución periódica (70) de
la ecuación KdV no perturbada, por lo que si uno asume las condiciones de límite GP análogo a
(73) – (77) para el sistema de modulación perturbado (27), se tendrá que tratar invariablemente
uno de los dos tipos posibles de comportamiento de las características (indicado en Figs. 7a y 8a)
en las proximidades del borde delantero del agujero undular, porque este comportamiento cualitativo
es determinado sólo por la estructura de las condiciones de límite de GP y por el asociado
estructura asintótica de las velocidades características del sistema Whitham para (1-m) â € 1,
que son los mismos tanto para los sistemas de modulación sin perturbaciones como para los sistemas de modulación sin perturbaciones. A continuación, lo haremos.
demostrar que, al utilizar el conocimiento de este comportamiento cualitativo de las características,
es capaz de construir la solución de modulación asintótica para el frente de perforación undular en el
presencia de topografía variable y fricción en el fondo, incluso si la solución completa de la perturbación
El sistema de modulación no está disponible.
6.4 Problema de Gurevich-Pitaevskii para la modulación perturbada
Ahora investigamos cómo el problema de coincidencia GP se aplica a la modulación perturbada
sistema (27). Como en el problema GP original, postulamos el requisito físico natural
que el valor medio â € ¬ es continuo a través de los bordes del taladro undular, que representan libre
límites y están definidos por las condiciones m = 0 (borde de trailing X = X−(T)) y m = 1
(borde principal X = X+(T)). También, consideramos la propagación de la perforación undular en
agua, por lo tanto UX=X+(T) = 0. Ahora, utilizando la expresión explícita (18) para â € € € en términos de
integrales elípticas completas y calculando sus límites como m → 0 y m → 1 tiene
X = X−(T ) :
X = X+(T ) :
donde u(X, T ) es la solución de la ecuación KdV sin dispersión perturbada (7), es decir,
uT + 6uuX = F (T )u−G(T )u2, (94)
con las condiciones del límite
0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
= 0 si
en los que فارسى0 = −x0/
gh0. Las condiciones del límite (95) corresponden a un inicial discontinuo
elevación de la superficie A(x, t) a x = −x0, obtenida mediante transformaciones (3) y (6) cuando
uno establece t = 0. Como antes, el valor de a0/(3h0) es el valor de la discontinuidad en A, elegido en
de tal manera que la amplitud de la onda solitaria de plomo en el agujero undular era exactamente a0
en la región de fricción cero de fondo plano (véase la sección 6.2).
Este problema de emparejamiento de fronteras libres se complementa con las condiciones cinemáticas
definir explícitamente los límites X = X±(T ). Estos se formulan utilizando el múltiplo
direcciones características del sistema de modulación perturbada (27) en los límites como m → 0
y m → 1 (cf. (75) - (77)),
= V −(X−, T ),
= V +(X+, T ), (96)
donde V − = v2(u,
−, ) = v3(u,
−, ), (97)
V + = v2(
+, +, 0) = v1(l)
+,, 0), (98)
y = 2(X
−, T ) = 3(X
-, T ), - = -2(X
+, T ) = 1(X
+, T ). (99)
Por lo tanto, para la perturbada ecuación KdV los bordes delanteros y posteriores del agujero undular son
definida matemáticamente de la misma manera que para el no perturbado, aunque para un diferente
conjunto de variables.
6.5 Deformación de la parte delantera del orificio undular debido a la variable topog-
Rafi y fricción en el fondo
Finalmente estudiamos los efectos de la pendiente gradual y la fricción del fondo en la parte delantera de la
orificio nodular en expansión autosimilar descrito en las secciones 6.2 y 6.3. El resultado será esencialmente
dependen de los valores relativos de los pequeños parámetros que aparecen en el problema. Tomamos nota
que, en general, hay tres pequeños parámetros pertinentes distintos,
* 1, * = max(hx) * 1, CD * 1 (100)
El primer parámetro pequeño se determina por la relación de la profundidad de equilibrio en el plano
región inferior, a la distancia desde el comienzo de la región de pendiente hasta la ubicación de la
discontinuidad inicial del salto en el desplazamiento de la superficie. Esto mide el relativo típico
variaciones espaciales de los parámetros de modulación en el agujero undular cuando llega a la
principio de la pendiente. Los parámetros segundo y tercero están contenidos en la ecuación de KdV
(1) en sí mismo y medir los valores de la pendiente y la fricción del fondo, respectivamente. En términos de
las variables transformadas que aparecen en (7), F (T ), G(T ) CD (véase (8)). Generalmente
Suponemos que el CD (los posibles pedidos de CD o CD pueden entonces ser considerados como
casos particulares).
Para obtener una descripción cuantitativa de la proximidad del borde delantero de la
se realiza una expansión del sistema de modulación Whitham (27) para (1 − m) â € 1.
Primero introducimos las sustituciones
I (X, T ) = I
+(T) + li(X, T), vi = V
+ + v′i,
+ + i, i = 1, 2. (101)
donde X? = X+ −X, V + = −4®, =
F (T )+ +
G (T ).... 2......................................................................................................................................................................................................................................................... (102)
Dado que 2 ≥ 1, v2 ≥ v1 uno siempre tiene l2 ≥ l1, v′2 ≥ v′1. Asumiendo X. X. + 1..........................................................................................................................................................................................................................................................
y el uso de que 3 = 0 a orden de plomo en la proximidad del borde de ataque (ver la coincidencia
condición (93)), tenemos de las expansiones asintóticas de (28) – (31) como (1-m)
v′1 = M1(l2 − l1)
ln(16/(1-m))
1 + 1
(1 a m) ln(16/(1 a m))
(l2 − l1),
v′2 = M2(l2 − l1)
1− ln(16/(1−m))
(1 a m) ln(16/(1 a m))
(l2 − l1),
(103)
*1 = N1(l2 − l1)
1 + ln
l2 − l1
− 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
l2 − l1
− 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
− 3
(l2 − l1)
2 = N2(l2 − l1)
5 + ln
l2 − l1
− 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
l2 − l1
− 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
+ 13
(l2 − l1).
(104)
Naturalmente, v′i y
i desaparece cuando l2 = l1. Ahora, sustituyendo (101), (102) en la modulación
sistema (27) obtenemos
− (V + + v′i)
= + i, i = 1, 2. (105)
Al utilizar la condición cinemática (96) en el borde delantero, esto se reduce a
− v′i
= + i, i = 1, 2. (106)
Hay dos casos cualitativamente diferentes a considerar:
i) limX0 dli/dX < فارسى, i = 1, 2 (fig. 8a)
(ii) limX0 dli/dX =, i = 1, 2 (fig. 8b)
El caso i) implica que a la orden principal (106) se reduce a
= , (107)
que, junto con la condición cinemática dX+/dT = −4», define el borde de ataque
curva X+(T). Se puede observar que este sistema coincide con (43), (42)
Figura 8: Comportamiento de las variables de Riemann en las proximidades del borde delantero del undular
se propagan por pendiente gradual con fricción en el fondo (a) Variaciones adiabáticas de la
Similaridad GP regimen,, CD ; (b) Caso general, CD.
movimiento de una onda solitaria separada sobre una pendiente gradual con fricción en el fondo. Su integral
expresado en términos de x físico original, t-variables se da por (49). Por lo tanto, en el caso
(i) la onda solitaria de plomo en el agujero undular hasta el orden de plomo no está restringida por las interacciones
con la parte restante del agujero y se comporta como una ola solitaria separada. Físicamente esto
caso corresponde a la deformación adiabática de la solución de modulación de similitud (81), (82)
e implica el siguiente pequeño parámetro de orden :......................................................................................................................................................
A continuación, se estudia la estructura de esta solución de modulación de similitud débilmente perturbada en
las proximidades del borde delantero. El siguiente orden principal del sistema (106) produce
− v′i
= i, i = 1, 2, (108)
es decir
= −N1
= −N2
. (109)
Sustracción de una ecuación (109) de otra con relación a la relación l2 − l1 =
(1−m) conduce consistentemente al orden que conduce a la ecuación diferencial para 1−m
(de 1 a m)
F (T )
16G(T)
, (110)
Esta ecuación debe resolverse con la condición inicial
1-m = 0 en X = 0. (111)
La integración elemental da con la precisión O(1-m) (cf. (85))
(1-m) ln 16
F (T)− 16
G(T)
X+-X
. (112)
Esta fórmula determina la dependencia del módulo m de T y X (siempre y cuando 1-m
Ahora, hacemos uso de la solución de la ecuación (107) dada por (47) con C0 =
4/(3ga0h0) (véase (48)). Bajo la suposición de que la integral
h−3dx diverge como h → 0,
para que la fricción turbulenta en el fondo juegue un papel esencial en el frente de perforación
haviour (ver sección 4 para una aproximación similar para una onda solitaria aislada), obtenemos
para h â € h0
(1-m) ln
2 + 3h2
(X+ −X). (113)
Por fin, si la topografía inferior se aproxima por la dependencia (52), llegamos con la
la misma precisión
(1-m) ln 16
(3 1)
(X+ −X), (114)
donde α > 1/3. El segundo término entre corchetes tiende a cero como h → 0. Sin embargo, el
región donde puede ser descuidado puede ser muy estrecho debido a la pequeñez del parámetro
- ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? Recordamos que en esta fórmula X+ se da por (49) y X se define por (3) en términos de
las variables físicas originales independientes x y t.
Resumiendo, si se cumplen las condiciones del CD, la ola solitaria de plomo de la
oleaje undular se comporta como una ola solitaria individual (no interactuante) que varía adiabaticamente
bajo pequeña perturbación debido a la topografía variable y fricción en el fondo. La modulación
solución en las proximidades del borde delantero también varía adiabaticamente, sin embargo, su
la estructura considerada en la sección 6.4 (véase la figura 5.6) permanece inalterada.
En un marcado contraste con el caso descrito de deformación adiabática de un agujero undular
frente es el caso ii) cuando el segundo término en el lado izquierdo de (106) contribuye a la
orden principal, es decir, al movimiento del propio borde de ataque. Es decir, tenemos
= + v′i
, i = 1, 2. (115)
Ahora dá/dT 6= lo que significa que la amplitud de la onda solitaria de plomo varía
esencialmente diferente en comparación con el caso de una ola solitaria aislada. De hecho, el término
en el lado derecho de (115) es responsable de las variaciones adiabáticas locales de la solitaria
ola mientras que el término v′i
las interacciones de la onda dentro del agujero undular. Uso de fórmulas asintóticas (103) que implican
v′2 ≥ 0, v′1 ≤ 0, y la condición limX0 dl1,2/dX = فارسى junto con l2 ≥ l1, no es
difícil de demostrar que este término no local es siempre no negativo, es decir. la onda solitaria de plomo
en el agujero ondulado se propaga sobre una pendiente gradual con la fricción del fondo siempre se mueve
más rápido (y, por lo tanto, tiene mayor amplitud) que una solitaria ola aislada de la misma
amplitud inicial en el comienzo de la pendiente. De hecho, como hemos demostrado en la sección 5,
la presencia de la pendiente y la fricción del fondo siempre resultan en “apretar” la ola cnoidal, por lo tanto
aumento del intercambio de impulso entre ondas solitarias en las proximidades del borde de ataque
del agujero ondular y la aceleración de la onda solitaria de plomo en sí misma. La situación aquí es
cualitativamente análogo al descrito en la sección 6.4, donde la modulación global general
se discutió la solución para la ecuación KdV no perturbada. Similarmente a ese caso, el principal
borde ahora representa un sobre característico – un cáustico (de lo contrario estamos de vuelta en el caso
(i) que implica d/dT = ) (véase la Fig. 6a).
A diferencia del caso de las variaciones adiabáticas del borde delantero, determinación de la función
â € ¢(T ) requiere ahora el conocimiento de la solución completa del sistema de modulación perturbado (27)
con las condiciones correspondientes (93). Mientras que los métodos analíticos para construir tal solución
para los sistemas inhomogéneos cuasilineales no están disponibles actualmente, es instructivo asumir
que dÃ3r/dT − es una funciÃ3n conocida de T y para estudiar la estructura de la soluciÃ3n en
cerca del borde delantero. Con un relato de la forma explícita (103) de la velocidad
correcciones, ecuaciones (115) asumen la forma
= −d
+/dT −
2 (l2 − l1)
ln[16/(1−m)]
(1 a m)
, (116)
= −d
+/dT −
2 (l2 − l1)
ln[16/(1−m)]
(1 a m)
. (117)
Tomando la diferencia de (116) y (117) la transformamos a la forma
(de 1 a m)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
()2
(1-m) ln[16/(1-m)]
. (118)
Esta ecuación se puede integrar fácilmente con la condición inicial (111) para dar
(1 a m)2
2 d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
()2
(X+ −X). (119)
Esta solución coincide con la fórmula asintótica (92) para el comportamiento del módulo
en las proximidades del borde delantero del agujero undular en general no perturbado GP problema
[16] pero en lugar de la derivada dâr/dT en (92) tenemos la diferencia dâr/dT (que
es siempre positivo como hemos establecido).
7 Conclusiones
Hemos estudiado los efectos de una pendiente gradual y turbulenta (Chezy) fricción inferior en el
propagación de ondas solitarias, ondas periódicas no lineales y agujeros ondulados en aguas poco profundas
flujos en el marco de la ecuación de KdV perturbada por coeficiente variable. El análisis ha
se llevó a cabo en el entorno más general proporcionado por las ecuaciones asociadas Whitham
Descripción de las modulaciones lentas de una onda de desplazamiento periódica debido a la pendiente, fricción en el fondo
y la falta de uniformidad espacial de los datos iniciales. Esta teoría de la modulación, desarrollada en forma general
para las ecuaciones integrables perturbadas en Kamchatnov (2004) se aplicó aquí a la perturbada
Ecuación de KdV y nos permitió tener en cuenta las variaciones lentas de los tres parámetros
en la solución de la onda cnoidal. Las soluciones particulares independientes del tiempo del perturbado
Se demostró que las ecuaciones de modulación eran consistentes con las soluciones adiabaticamente variables
para una sola onda solitaria y para una onda periódica que se propaga sobre una pendiente sin fondo
fricción obtenida en Ostrovsky & Pelinovsky (1970, 1975) y Miles (1979, 1983a). Lo fue.
muestra, sin embargo, que la suposición de cero elevación media utilizada en estos documentos para el
descripción de las variaciones lentas de una onda cnoidal, deja de ser válida en el caso de
La fricción turbulenta en el fondo está presente. En este caso, se obtuvo una solución más general
mejora numérica de los resultados de Miles (1983b).
Por otra parte, el sistema de modulación a tiempo completo derivado se utilizó para la descripción
los efectos de la topografía variable y de la fricción del fondo sobre la propagación de la
los orificios, en particular sobre las variaciones del frente de orificios undulares que representan un sistema de
débilmente interactuando ondas solitarias. Por el análisis de las características del Whitham
sistema en las proximidades del borde delantero del agujero undular, dos configuraciones posibles
se han identificado en función de si el borde delantero del agujero undular representa un
característica regular del sistema de modulación o su característica singular, es decir: un cáustico.
Se demostró que el primer caso correspondía a deformaciones adiabáticas lentas de las clasi-
cal Gurevich-Pitaevskii solución de modulación y se realiza cuando las perturbaciones debidas a
La topografía variable y la fricción en el fondo son pequeñas en comparación con el espacio no-
uniformidad de las modulaciones en el agujero undular (que se supone que se forma fuera de la
región de topografía variable/fricción en el fondo). En el caso de modulaciones debidas a la
las perturbaciones externas son comparables en magnitud con las modulaciones existentes en el
el borde delantero se convierte en un cáustico, y esta situa-
spond a interacciones mejoradas de ondas solitarias dentro del frente de perforación undular. Mejoradas
se ha demostrado que las interacciones llevan a un crecimiento de amplitud de onda solitaria “no local”,
que no puede predecirse en el marco del enfoque tradicional local adiabático de la
agación de una onda solitaria aislada en un entorno variable. Como hemos mencionado en el
Introducción, una de nuestras motivaciones originales para este estudio fue la posibilidad de modelar un
tsunami de propagación hacia la costa como un agujero undular. En este contexto, sugerimos que:
el segundo escenario descrito anteriormente es el más relevante, que tiene la implicación de que
el crecimiento, y eventualmente la ruptura de las principales olas en un tren de onda del tsunami, no puede ser
modelado como un efecto local para esa onda en particular, pero es determinado en su lugar por el conjunto
estructura del tren de onda.
Agradecimientos
Este trabajo se inició durante la visita de A.M.K. en el Departamento de Ciencias Matemáticas
Ences, Universidad de Loughborough, Reino Unido. A.M.K. agradece al EPSRC su apoyo financiero.
Apéndice A: Derivación del sistema de modulación perturbada
Expresamos la función integral en el lado derecho de (24) en términos de μ-variable
(15):
(2-s1-U)R = 8Gμ3 − [8G/23370/i + 4(F + 2s1G)]μ2
+ [4(F + 2s1G)i + 2s1(s1G+ F)] 2s1(s1G+ F)i.
(120)
Entonces obtenemos con el uso de (13), (14) y (16) las siguientes expresiones:
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
μd. =
−P (μ)
2 = 1
μ2dl =
3 =
μ3d = −
+ s12 − s2 s3,
(121)
donde soy una integral conocida
() () () () () () () () () ()
5/2[(1−m+m2)E(m)− (1−m)(1−m/2)K(m)],
(122)
K(m) y E(m) son las integrales elípticas completas del primer y segundo tipo, respec-
Tily. Los derivados de I con respecto a Łi también se conocen integrales de la tabla (Gradshtein &
Ryzhik 1980):
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) )
1
3- 1[(2 +3221)E221K],
(de 3 a μ)() (de 1)
2
K + (1 + 3 22)E],
(2)( ♥1)
3-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)---(---------------(--------------------------------------------
3 − 1[(2♥3 − 1 − Ł2)E − (2 − 1)K].
(123)
Podemos expresar fácilmente los si-derivados en términos de derivados de........................................................................................................................................................................................................................................................
fórmulas (véase (16))
s1 = l+2 + l+3, s2 = l+ l+3 + l+3, s3 = l+2°2°3 (124)
y resolver el sistema lineal para los diferenciales. El cálculo sencillo da
(−1)3−k
j 6 =i(
. (125)
A continuación, combinando (123) y (125), obtenemos los derivados I/si y, por lo tanto, las expresiones
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
(s21 − 3s2)
() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (
+ s1
1 - 2 - 3
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
(126)
Para completar el cálculo del lado derecho de (24), necesitamos también expresiones
L/1
= 2 (-) 2 (-) 1 (-) 1 (-) 1 (-)
L/2
2..............................................................................................................................................................................................................................................................
E − (1-m)K
L/3
2..............................................................................................................................................................................................................................................................
(127)
Recopilando todas las contribuciones en términos de perturbaciones, obtenemos las ecuaciones de Whitham en
el formulario
= Ci[F (T )Ai −G(T )Bi], (128)
donde Cj, Aj, Bj y vj, j = 1, 2, 3 se especifican mediante fórmulas (28) - (30).
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Introducción
Formulación de problemas
Ecuaciones de modulación
Solución de modulación en el límite de onda solitaria
Deformación adiabática de una onda cnoidal
Propagación de orificios undulares sobre topografía variable con fricción en el fondo
Problema Gurevich-Pitaevskii para caso de fricción cero de fondo plano
Agujero no diular que se desarrolla a partir de un salto inicial
Estructura del frente de agujero ondulado
Problema de Gurevich-Pitaevskii para el sistema de modulación perturbado
Deformación de la parte delantera del orificio undular debido a la topografía variable y a la fricción en el fondo
Conclusiones
| Este artículo considera la propagación de aguas poco profundas solitarias y no lineales
ondas periódicas sobre una pendiente gradual con fricción en el fondo en el marco de una
Coeficiente variable Korteweg-de Vries ecuación. Usamos el promedio de Whitham
método, utilizando un desarrollo reciente de esta teoría para perturbado integrable
ecuaciones. Este enfoque general nos permite no sólo mejorar los resultados conocidos
sobre la evolución adiabática de ondas solitarias aisladas y trenes de ondas periódicas
en presencia de topografía variable y fricción en el fondo, modelada por la
La ley de Chezy, pero también importante, para estudiar los efectos de estos factores en el
propagación de orificios ondulados, que son esencialmente inestables en el sistema
que se está examinando. En particular, se demuestra que la acción combinada de
La topografía variable y la fricción en el fondo generalmente imponen ciertos niveles globales
restricciones a la propagación de la perforación undular de modo que la evolución de la
ola solitaria líder puede ser sustancialmente diferente de la de un aislado
onda solitaria con la misma amplitud inicial. Este efecto no local se debe a
interacciones de ondas no lineales dentro del agujero undular y pueden conducir a un
aumento adicional de la amplitud de la onda solitaria, que no se puede predecir en el
marco del enfoque tradicional adiabático de la propagación del aislamiento
ondas en medios poco a poco variando.
| Introducción
Ha habido muchos estudios de la propagación de las olas de agua sobre una pendiente, a veces
también sujeto a los efectos de la fricción en el fondo. Muchas de estas obras han considerado lineales
ondas, o han sido simulaciones numéricas en el marco de varias ondas largas no lineales
Ecuaciones modelo. Nuestro interés aquí está en la propagación de agua larga débilmente no lineal
http://arxiv.org/abs/0704.0045v1
ondas sobre una pendiente, simultáneamente sujeta a fricción en el fondo, una combinación aparentemente
por primera vez considerado por Miles (1983a,b), aunque para el caso especial de una sola ola solitaria, o un
tren de onda periódico. Un modelo de ecuación apropiado para este escenario es la variable-coeficiente
Perturbada ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) (véase Grimshaw 1981, Johnson 1973a, b),
A + cAx +
AAx +
Axxx = −CD
AA. 1)..........................................................................................................................................................
Aquí A(x, t) es la elevación de la superficie libre por encima de la profundidad no perturbada h(x) y c(x) =
gh(x) es la velocidad lineal de fase de onda larga. El término de fricción inferior en la mano derecha
lado está representado por la ley Chezy, modelando una capa fronteriza turbulenta. Aquí el CD es un
coeficiente de arrastre no dimensional, a menudo se supone que tiene un valor alrededor de 0.01 (Miles 1983a,b).
Se podrían utilizar otras formas de fricción (véase, por ejemplo, Grimshaw et al 2003), pero el Chezy
la ley parece ser la más apropiada para las olas de agua en una profundidad poco profunda. En (1) la primera
dos términos en el lado izquierdo son los términos dominantes, y por sí mismos describen el
propagación de una onda lineal larga con velocidad c. Los términos restantes en la mano izquierda
el lado representan, respectivamente, el efecto de la variación de profundidad, débilmente no lineal efectos y débil
dispersión lineal. La ecuación se deriva utilizando el equilibrio habitual de KdV en el que el lineal
la dispersión, representada por Ł2/2 x 2, se equilibra por la no linealidad, representada por A. Aquí vamos.
han añadido a este equilibrio débil inhomogeneidad de modo que cx/c escalas como h
2o 3o x 3o, y débil
fricción para que el CD se escale con h.a./a.x. Dentro de este equilibrio básico de términos, podemos lanzar (1)
en la forma equivalente asintótica
AAX +
AXXX = −CD
AA, (2)
en los que =
c(x′)
, X = − t. (3)
Aquí tenemos h = h(x(l)), explícitamente dependiente de la variable ♥ que describe la evolución
a lo largo del camino de la ola.
La ecuación gobernante (2) puede ser fundida en varias formas equivalentes. Que la mayoría de com-
monly utilizado es la variable-coeficiente KdV ecuación, obtenida aquí por poner
B = (gh)1/4A (4)
de modo que B.O. +
2g1/4h5/4
BBX +
BXXX = −CD
BB. 5)
Esta forma muestra que, en ausencia de término de fricción, es decir. cuando CD 0, ecuación (2)
tiene dos integrales de movimiento con las densidades proporcionales a h1/4A y h1/2A2. Estos
a menudo se denominan leyes para la conservación de la “masa” y el “momento”. Sin embargo,
estas densidades no corresponden necesariamente a las entidades físicas correspondientes. De hecho,
la densidad del “momento” es proporcional al flujo de acción de la onda, mientras que
la densidad de “masa” difiere ligeramente de la densidad de masa real. Esta última cuestión ha sido la siguiente:
explorado por Miles (1979), donde se demostró que la diferencia es menor que el error
incurrido en la derivación de la ecuación (4), y se debe a ondas reflejadas.
Nuestra principal preocupación en este artículo es con el comportamiento de un agujero ondulado sobre una pendiente
en presencia de fricción inferior, utilizando la ecuación perturbada de KdV (2), donde estábamos
originalmente motivado por la posibilidad de que el comportamiento de un tsunami
La costa podría ser modelada de esta manera. La solución de orificio no disturbable a la KdV inalterada
la ecuación se puede construir utilizando el conocido enfoque Gurevich-Pitaevskii (GP) (1974)
(véanse también Fornberg y Whitham 1978). En este enfoque, se representa el agujero undular
como un tren de ondas periódicas no lineales moduladas. La característica principal de esta inestable undular
es la presencia de una onda solitaria (que es la forma de onda limitante de la
ola cnoidal) en su borde delantero. El problema de valor inicial original para la ecuación de KdV es
a continuación, sustituido por un determinado problema de valor límite para la modulación asociada Whitham
ecuaciones. Observamos, sin embargo, que hasta ahora, las soluciones más simples, “x/t)”-similaridad de la
Las ecuaciones de modulación se han utilizado para la modelización de orificios undulares en varios contextos
(véanse, por ejemplo, Grimshaw y Smyth 1986, Smyth 1987 o Apel 2003). Estas soluciones,
mientras que describiendo eficazmente muchas características de los agujeros ondulados, son degenerados y no
dad, incluso cualitativamente, algunos efectos importantes asociados con la modulación no autosimilar
Dinámica. En particular, en la solución GP clásica para la resolución de un salto inicial
en la ecuación de KdV no perturbada, la amplitud de la onda solitaria de plomo en el undular
el diámetro es constante (dos veces el valor del salto inicial). Por otra parte, la modulación
solución para el orificio undular que evoluciona a partir de un perfil inicial general monótono decreciente
muestra que la amplitud de la onda solitaria de plomo de hecho crece con el tiempo (Gurevich, Krylov y
Mazur 1989; Gurevich, Krylov y El 1992; Kamchatnov 2000). Como veremos, el mismo
posibilidad de tales variaciones en las soluciones moduladas de la ecuación KdV no perturbada
tiene una implicación dinámica de fluidos muy importante: en un entorno general, el plomo
ola solitaria no puede ser tratada como una onda individual de KdV solitaria, sino que representa un
parte de la estructura global de ondas no lineales. En otras palabras, mientras que en cada momento en particular
del tiempo la onda solitaria del plomo tiene el perfil espacial del soliton familiar del KdV, generalmente,
la dependencia temporal de su amplitud no se puede obtener en el marco de
teoría de la perturbación de ondas solitarias.
En la ecuación KdV no perturbada, el crecimiento de la amplitud de onda solitaria de plomo es
causado por la inhomogeneidad espacial de los datos iniciales. Aquí, sin embargo, la presencia de un
la perturbación debida a la topografía y/o fricción sirve como alternativa y/o adicional
causa de variación de la amplitud de la onda solitaria de plomo. Por lo tanto, en el presente caso, la
variación en la amplitud tendrá dos componentes (que generalmente, por supuesto, no puede ser
separado debido a la naturaleza no lineal del problema); uno es local, descrito por el
la teoría de la perturbación adiabática para una sola ola solitaria, y la otra no es local, que
en principio, requiere el estudio de la solución de modulación completa. Dependiendo de la relación
valores de los pequeños parámetros asociados con la pendiente, la fricción y la no uniformidad espacial
de las modulaciones iniciales, podemos tener en cuenta sólo uno de estos componentes, o un
combinación de ellos.
La estructura del documento es la siguiente. Primero, en la Sección 2, reformulamos el modelo básico
(1) como una ecuación KdV constante-coeficiente perturbada por términos que representan la topografía
y fricción. Entonces derivamos en la Sección 3 la modulación de Whitham perturbada asociada
ecuaciones utilizando métodos recientemente desarrollados por Kamchatnov (2004). A continuación, en la sección 4, este
El sistema Whitham está integrado en el límite de onda solitaria. Nuestro propósito aquí es principalmente para
obtener la ecuación de una característica múltiple, que define el borde de ataque de un banco
en el caso de las modulaciones debidas a la acción combinada de la pendiente y
La fricción en el fondo es pequeña en comparación con las modulaciones espaciales existentes debido a la no uniformidad
de los datos iniciales. Como subproducto de esta integración, reproducimos y extendemos lo conocido
resultados sobre la variación adiabática de una sola onda solitaria (Miles 1983a,b). Entonces, en la sección
5, realizamos un estudio análogo de una ola cnoidal, propagando sobre una pendiente gradual y
, un caso estudiado previamente por Miles (1983 b) pero bajo la restricción de
flujo medio cero, que se elimina aquí. Finalmente, en la Sección 6 estudiamos los efectos de una
pendiente y fricción en el fondo en la parte delantera de un agujero ondulado que representa una modulación
onda cnoidal transformándose en un sistema de solitones débilmente interactuantes cerca de su borde delantero.
2 Formulación de problemas
A los efectos del presente documento, es conveniente refundir (2) en la norma KdV
forma de ecuación con coeficientes constantes, modificado por ciertos términos de perturbación. Por lo tanto,
introducir las nuevas variables
A, T =
hdl =
6g3/2
h(x)dx. 6)
de modo que UT + 6UX + UXXX = R = F (T )U −G(T )U U, (7)
donde F (T ) = −9hT
, G(T) = 4CD
. (8)
En esta forma, la ecuación gobernante (7) tiene la estructura de la ecuación integrable KdV
en el lado izquierdo, mientras que los efectos separados de la diferente profundidad y la fricción inferior
están representados por los dos términos en el lado derecho. Esta estructura nos permite utilizar
la teoría general desarrollada en Kamchatnov (2004) para los sistemas integrables perturbados.
Para gran parte de la discusión posterior, es útil asumir que h(x) = constante,
CD = 0 para x < 0 en la ecuación original (1), que corresponde a F (T ) = G(T ) = 0 para
T < 0 en (7). También asumiremos que A = 0 para x > 0 en t = 0, que corresponde a
U = 0 para X > 0 en X = (T) (véase (6)). Entonces vamos a proponer dos tipos de valor inicial
problema para (1), y correspondientemente para (7).
(a) Dejar que una onda solitaria de una amplitud dada a0 inicialmente se propague sobre un fondo plano
sin fricción (es decir, un soliton descrito por una ecuación KdV no perturbada), introduzca la variable
topografía y región de fricción inferior en t = 0, x = 0 (fig. 1 a).
(b) Dejar que un agujero undular de una intensidad dada se propague sobre un fondo plano sin fricción
(la solución correspondiente de la ecuación KdV no perturbada se discutirá en la sección
5). Que la ola solitaria de plomo de este agujero undular tenga la misma amplitud a0 y entre
la topografía variable y la región de fricción inferior en t = 0, x = 0 (fig. 1b).
En particular, nos interesará la comparación de la lenta evolución de estos
dos, inicialmente idénticas, ondas solitarias en los dos problemas diferentes descritos anteriormente. Los
diferencia esencial esperada en la evolución se debe al hecho de que la ola solitaria de plomo
en el agujero undular generalmente no es independiente de la parte restante del agujero y puede
presentar características que no pueden ser capturadas por un análisis de perturbación local. El conocido
ejemplo de tal comportamiento, cuando una ola solitaria se ve limitada por la condición de ser
una parte de una estructura global de onda no lineal, es proporcionada por la solución de taladro undular de la
Ecuación KdV-Burgers (KdV-B)
ut + 6uux + uxxx = μuxx, μ + 1. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
( )h x
a)
( )h x
Figura 1: Ola solitaria aislada (a) y agujero undular (b) entrando en la variable topogra-
phy/región de fricción de fondo.
De hecho, se sabe que la solución de agujero undular de la ecuación KdV-B (9) tiene un aislamiento
ondear en su vanguardia (véase Johnson 1970; Gurevich & Pitaevskii 1987; Avilov, Krichever
& Novikov 1987) y esta onda solitaria: (a) está asintóticamente cerca de una solución de soliton
de la ecuación KdV no perturbada; y (b) tiene la amplitud, digamos a0, que es constante en
Tiempo. Al mismo tiempo, está claro que si uno toma un soliton KdV aislado del mismo
amplitud a0 como datos iniciales para la ecuación de KdV-Burgers se amortiguaría con el tiempo debido
a la disipación. La explicación física de una diferencia tan drástica en el comportamiento de un
Soliton aislado y una ola solitaria de plomo en el agujero undular para la misma débil disipación
La ecuación de KdV-B es que la acción de la disipación débil en un agujero undular en expansión es
doble: por un lado, la disipación tiende a disminuir la amplitud de la onda
localmente pero, por otro lado, “apreta” el undular llevaba para que la interacción (es decir.
intercambio de impulso) entre los solitarios separados dentro del agujero se vuelve más fuerte que en
la ausencia de disipación y esto actúa como el factor de aumento de la amplitud. El adicional
impulso se extrae del flujo aguas arriba con una mayor profundidad (ver Benjamin y
Lighthill 1954). Como resultado, en el caso de la ecuación KdV-B, un equilibrio no cero
valor para la amplitud de onda solitaria de plomo en el agujero undular se establece. Por supuesto,
para otros tipos de disipación, un valor estacionario de la amplitud del soliton de plomo no
necesariamente existen, pero en general, debido al esperado aumento de las interacciones de soliton cerca
el borde delantero, la amplitud del soliton de plomo del agujero undular decaería más lento
que la de un soliton aislado. De hecho, la presencia aquí de topografía variable también
puede dar lugar a un crecimiento adicional de amplitud “no local”.
Mientras que el problema (a) puede ser resuelto usando el análisis tradicional de la perturbación para un solo
onda solitaria, que conduce a una ecuación diferencial ordinaria a lo largo de la trayectoria de onda solitaria
(véase Miles 1983a,b), el problema de la evolución de los agujeros (b) requiere un enfoque más general
que se puede desarrollar sobre la base de la teoría de modulación de Whitham que conduce a un sistema de
tres ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas no lineales del primer orden. Desde el Whitham
método, siendo equivalente a un procedimiento de perturbación de escala múltiple no lineal, contiene la
teoría adiabática de la evolución lenta de una sola ola solitaria como una particular (aunque singular)
límite, es instructivo a los efectos de este documento para tratar los problemas (a) y (b) utilizando
la teoría general de Whitham.
3 Ecuaciones de modulación
El Whithammethod original (Whitham 1965, 1974) fue desarrollado para
Coeficiente no lineal de las ecuaciones dispersivas y se basa en el promedio de
leyes de servación del sistema original durante el período de un viaje periódico de una sola fase
solución de onda. El sistema resultante de ecuaciones cuasi-lineales describe la evolución lenta
de las modulaciones (es decir, del valor medio, el número de onda, la amplitud, etc.) de los pe-
Ola de viaje riodica. Aquí, ese enfoque se extiende a la perturbada ecuación de KdV (6)
• la aplicación del enfoque general de Kamchatnov (2004), que amplía los resultados anteriores para
Algunos casos específicos (véanse Gurevich y Pitaevskii (1987, 1991), Avilov, Krichever y Novikov)
(1987) y Myint y Grimshaw (1995), por ejemplo).
Suponemos que la evolución de la onda no lineal es adiabaticamente lenta, es decir, la
onda se puede representar localmente como una solución de la ecuación KdV no perturbada correspondiente
(es decir, (7) con cero en el lado derecho) con sus parámetros variando lentamente con el espacio y
Tiempo. La solución periódica de una fase de la ecuación KdV se puede escribir en la forma
U(X, T ) =
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- - (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) () () () () () () () () () () () )
donde sn(y,m) es la función de seno elíptico de Jacobi, son parámetros y la
Variable de fase y el módulo m están dados por
* = X − V T, V = − 2(1 + 2 + 3), (11)
- - - - - - - - - - - ¿Qué?
- - - - - - - - - - ¿Qué?
, (12)
y L =
−P (μ)
2K(m)
- - - - - - - - - - ¿Qué?
, (13)
donde K(m) es la integral elíptica completa del primer tipo, L es la “longitud de onda” a lo largo de la
Eje X (que en realidad es un tiempo retardado en lugar de una verdadera coordinación espacial). Aquí vamos.
han utilizado la representación de la ecuación diferencial ordinaria básica para el viaje de KdV
solución de onda (10) en la forma (véase Kamchatnov (2000) para una motivación general detrás de
(representación)
−P (μ), (14)
donde
μ = 1
(U + s1), s1 =
P (μ) =
= μ3 − s1μ2 + s2 s3, (16)
que es la solución (10) es parametrizada por los ceros de P polinomio (μ).
En una onda modulada, se permite que los parámetros
T, y su evolución se rige por las ecuaciones de Whitham. Para el KdV no perturbado
ecuación, la evolución de los parámetros de modulación se debe a una no-uniforme espacial
de las distribuciones iniciales para lj, j = 1, 2, 3 y la escala espacio-temporal típica de la
Las variaciones de modulación se determinan por la escala de los datos iniciales.
En el caso de la ecuación perturbada de KdV (7), la evolución de los parámetros
es causada no sólo por su no-uniformidad espacial inicial, sino también por la acción del
la perturbación débil, de modo que, en general, al menos dos escalas espacio-temporales independientes para
las modulaciones pueden estar implicadas. Sin embargo, en este momento no vamos a introducir ninguna escala
separación dentro de la teoría de la modulación y derivar las ecuaciones generales perturbadas Whitham
suponiendo que los valores típicos de F (T) y G (T) son O(j/
Teoría de la modulación.
Es instructivo introducir primero las ecuaciones de Whitham para la ecuación perturbada de KdV
(7) utilizando el enfoque tradicional de promediar las leyes de conservación (perturbadas). A esto
final, introducimos el promedio durante el período (13) de la ola cnoidal (10) por
# F # # # # F # # # # F # # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # # F # # F # # F # # F # # # F # # F # # # F # # F # # F # # F # # # F # # F # # F # # F # # F # F # # F # # # # F # # F # # # F # # # # F # # F # # F # # F # # # F # # F # # F # F # # # F # F # F # F # F # F # F # # # # # # # # F # F # # F # F # F # # # # # # # # # # # # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Fd. =
−P (μ)
. (17)
En particular,
• U = 2 − s1 = 2 • 3 − 1 •
+ 1 - 2 - 3 (18)
• U2 = 8[−s1
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
s11 +
(de 21 a 23 años)] + s21, (19)
donde E(m) es la integral elíptica completa del segundo tipo. Ahora, uno representa el
Ecuación KdV (7) en forma de leyes de conservación perturbadas
= Rj, j = 1, 2, 3, Rj + 1, (20)
donde Pj y Qj son las expresiones estándar para las densidades conservadas (integrales kruskal)
y “fluxes” de la ecuación KdV no perturbada. Al igual que en la teoría de Whitham (1965) para
sistemas dispersivos no perturbados, el número de leyes de conservación requeridas es igual a la
número de parámetros libres en la solución de onda de desplazamiento, que es tres en el presente caso.
A continuación, se aplica el promedio (17) al sistema (20) para obtener (véase Dubrovin y Novikov
1989)
Pj®
Qj
= Rjà, j = 1, 2, 3. (21)
El sistema (21) describe la evolución lenta de los parámetros j en la solución de onda cnoidal
(10).
Junto con estos derivados perturbada forma conservadora de las ecuaciones de Whitham, nosotros
introducir la ley de conservación de olas que es una condición general para la existencia de
Soluciones moduladas monofásicas de ondas de desplazamiento (10) (véase, por ejemplo, Whitham 1974) y
debe ser coherente con el sistema de modulación (21). Esta ley de conservación tiene la forma
= 0, (22)
donde k =
, • = kV (23)
son el “número de onda” y la “frecuencia” respectivamente (hemos puesto comillas aquí
porque el número de onda real y la frecuencia relacionada con las variables físicas x, t son
diferentes cantidades de las de (23), pero se relacionan a través de las transformaciones (3, 6) ).
La ley de conservación de las olas (22) puede ser introducida en lugar de cualquiera de tres inhomogéneas
leyes de conservación promedio que comprenden el sistema Whitham (21).
Se sabe que el sistema Whitham para el coeficiente constante homogéneo KdV
la ecuación puede ser representada en forma diagonal (Riemann) (Whitham 1965, 1974) por un ap-
elección adecuada de los tres parámetros que caracterizan la solución periódica de ondas de desplazamiento.
De hecho, en nuestra solución (7) los parámetros ya han sido elegidos para que coincidan
con las invariantes Riemann del sistema de modulación KdV no perturbado. Presentación de los mismos
explícitamente en el sistema perturbado (21) que obtenemos (véase Kamchatnov 2004)
L/i
• (s1) • (s1) • (s) • (s) • (s) • (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (r) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (r) (s) (s) (s) (s) (s) (s) () () () () () () () () () ()) () ()) () () () ()) () ()) () ()) () () () ()) () () () ()) () () () ) () () () () () () () () () ) () () () () () () ) () () () ) () () () () () ) () () () () () ) () () () ) () () () () () () () () ) ) ) () () ) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () () () ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )
j 6 =i(
, i = 1, 2, 3, (24)
donde R es el término de perturbación en el lado derecho de la ecuación KdV (7) y
vi = −2
L/i
, i = 1, 2, 3, (25)
son las velocidades características de Whitham correspondientes a la ecuación KdV no perturbada.
Cabe señalar que la realización directa de la lúcida
El ritmo para obtener el sistema de modulación perturbado en forma diagonal es una tarea bastante laboriosa.
De hecho, para derivar el sistema (24), el llamado método de integración finito-gap que incorpora el
Se ha utilizado la estructura integrable de la ecuación KdV no perturbada. El sistema de modulación
Tem (24) en una forma más particular que corresponde a las opciones específicas del término de perturbación
fue obtenido por Myint y Grimshaw (1995) usando una expansión de perturbación a escala múltiple.
En este último escenario, la ley de conservación de olas (22) es una parte inherente de la construcción,
mientras que en el método de promedio utilizado aquí, se puede obtener como consecuencia del sistema
(24).
Para obtener una representación explícita de las ecuaciones de Whitham para el presente caso de
ecuación (7), debemos sustituir la perturbación R por el lado derecho de (7) y
realizar la integración (17) con U dado por (10). A partir de ahora, vamos a considerar
solo los flujos donde U ≥ 0 de modo que el término de perturbación asuma la forma
R(U) = G(T)U − F (T)U2. 26)
Sustituyendo (26) por (24) obtenemos, después de algunos cálculos detallados (véase el apéndice),
el perturbado sistema Whitham en la forma
= Ci[F (T )Ai −G(T )Bi], i = 1, 2, 3 (27)
donde C1 =
, C2 =
E − (1-m)K
, C3 =
; (28)
((51,1 −,2 −,3)E +
(l) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
- - - - - - - - - - ¿Qué?
(53o, 1o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
(−27o21 − 7o22o − 7o23o + 2o1o2o + 2o1o3o + 22o2o3)E
() () () () (1) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)
(−7o21 − 27o22 − 7o23 + 2o1o2 + 22o1o3 + 2o2o3)E
- - - - - - - - - - ¿Qué?
- - - - - - - - - - ¿Qué?
(71-21 + 15-95)
2 + 11
3 - 6- 6- 1- 2- 18- 1- 3 + 6- 2- 3) K,
(−7o21 − 7o22 − 27o23 + 22o1o2 + 2o1o3 + 2o2o3)E
(71°21 + 11°)
2 + 15
3 - 18- 18- 1- 6- 1- 3 + 6- 2- 3) K;
y las velocidades características son:
v1 = −2
3-(1-)(1-m)K
v2 = −2
4(l)3 − (l)2(l)m)K
E − (1-m)K
v3 = −2
4(e)3 − (e)2)K
Las ecuaciones (27) – (31) proporcionan un marco general para el estudio de la modulación no lineal
evolución de las ondas sobre la topografía variable con fricción en el fondo. En ausencia de la perturba-
términos bation (es decir, cuando F (T ) 0, G (T ) 0), el sistema (27), (31) coincide de hecho con
las ecuaciones originales de Whitham (Whitham 1965) para la dinámica integrable de KdV. En eso
En este caso general (perturbado) se convierten en invariantes de Riemann, por lo que en este caso general (perturbado)
Las llamaremos variables Riemann.
Es importante estudiar la estructura de las perturbadas ecuaciones de Whitham (27) – (31) en
dos casos limitantes cuando la onda cnoidal subyacente degenera en (i) una pequeña amplitud
ola sinusoidal (límite lineal), cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinusoidal (límite lineal), cuando se produce una ola sinusoidal (m = 0), y ii) cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinoidal (límite lineal), cuando se produce una ola sinoidal (m = 0) y se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinoidal (límite lineal), cuando se produce una ola sinoidal (m = 3) y (ii) cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinoidal (límite lineal), cuando se produce una ola sinoidal (m = 0), cuando se produce una ola sinoidal (m = 3) y (ii) cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola solitaria cuando se produce una ola sinoidal (límite lineal), cuando se produce una o
(m = 1). Puesto que en ambos límites las oscilaciones no contribuyen a la media
flujo (son infinitamente pequeños en el límite lineal y la distancia entre ellos se convierte
infinitamente largo en el límite de onda solitaria) uno debe esperar que en ambos casos uno de los
Las ecuaciones de Whitham se transformarán en el límite sin dispersión del original perturbado
Ecuación KdV (7), es decir:
UT + 6UUX = F (T )U −G(T )U2, (32)
De hecho, utilizando fórmulas (27) – (31) obtenemos para m = 0:
2 ° = 3 ° °,
− 6ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
= 1F + 1F
+ (61,1 − 12,3)
= 1F + 1F
Del mismo modo, para m = 1, uno tiene
2 ° = 1 °,
− (41,1 + 2,3)
(cuatro libras esterlinas − tres libras esterlinas)F +
(73,23 − 24,1,3 + 32,21)G,
− 6o 3o
= 3F + 3F
Vemos que, en ambos casos, una de las variables de Riemann (tomada con signo invertido) coincide
con la solución de la ecuación sin dispersión (32) (recuérdese que en la derivación de la
Ecuaciones de Whitham asumimos U ≥ 0 en todas partes), es decir U = U = U = 1 cuando
(m = 0) y U = «U» = «3» cuando «l2» = «l1» (m = 1).
Para concluir esta sección, presentamos expresiones para los parámetros de onda física tales como
la amplitud de la onda de elevación de superficie a, la elevación media de la velocidad y el número de onda en términos
de la solución de modulación j(X, T ). Utilizando (6) y (10) obtenemos para la amplitud de onda
(pico a valle) y la elevación media
(-), (-), (-)........................................................................................................................................................................................................................................................
# U # # # U # # # # U # # # # U # # # # # U # # # # # # # U # # # # # # U # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde la dependencia de â € € â € € € TM en j(X, T ), j = 1, 2, 3 está dada por (18) y X = X(x, t),
T = T (x, t) por (3, 6). Con el fin de obtener el número de onda física y la frecuencia
notamos primero que la función de fase (X, T) definida en (11) es sustituida por una función más general
expresión definida de modo que k = X y kV = T son el “número de onda” y “frecuencia” en
el sistema de coordenadas X −T. Luego definimos la función de la fase física (x, t) = (X, T)
para que consigamos
* = x, * = t. (36)
Ahora se deduce que
(1- hV)
), = k, y
1 - hV/6g
. (37)
Tenga en cuenta que la frecuencia física es el “número de onda” en el sistema de coordenadas X − T,
y que la velocidad de la fase física es. Dado que la validez del modelo KdV (1) requiere
entre otras cosas, que la onda sea correcta se deduce de esta expresión que la modulación
la solución sólo sigue siendo válida cuando hV < 6g. Por supuesto, la validez de (1) también requiere que
la amplitud sigue siendo pequeña, y esto normalmente también garantizaría que V sigue siendo pequeña.
4 Solución de modulación en el límite de onda solitaria
En esta sección, integraremos el sistema de modulación perturbado (27) a lo largo de la
característica correspondiente a la fusión de dos variables de Riemann Como lo haremos
ver más adelante, esta característica especifica el movimiento del borde delantero de la barandilla undular
perforado en el caso cuando las perturbaciones debidas a la topografía variable y la fricción del fondo pueden
se considerarán pequeñas en comparación con las modulaciones espaciales existentes dentro del agujero. En
al mismo tiempo, como en el caso de la letra a) del punto 2 = la letra a) del punto 1 (es decir: m = 1) corresponde al límite de onda solitaria en el
solución de onda de viaje (10), nuestros resultados aquí se espera que sean consistentes con los resultados
del enfoque tradicional de la perturbación a la variación adiabática de una onda solitaria debida
a la topografía y fricción en el fondo (véase Miles 1983a,b).
En el límite m → 1 la solución periódica (10) de la ecuación KdV pasa a su solitario
solución de onda
U(X, T ) = U0sech
- 3 - 1 (X − VsT )] - 3 - 38
donde
U0 = 2 () 3 () 1), Vs = − (41 + 23) (39)
son la amplitud de onda solitaria y la “velocidad” respectivamente. La solución (38) depende de dos
Parámetros de la evolución lenta adiabática de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los valores de los
sistema (34). Es importante que la segunda ecuación en este sistema se desvincule de
El primero. Por lo tanto, la evolución del pedestal 3 en el que la ola solitaria cabalga, puede
se encuentran a partir de la solución de esta ecuación sin dispersión por el método de las características.
Cuando se conoce el parámetro 3(X, T), se puede encontrar la evolución del parámetro 1 a partir de la solución de
la primera ecuación (34). Como resultado, llegamos a una descripción completa de la adiabática lenta
evolución de los parámetros de onda solitaria teniendo en cuenta su interacción con el (dado)
Pedestal.
Sin embargo, es importante señalar aquí que mientras que esta descripción de la evolución adiabática
de una ola solitaria está completa en lo que se refiere a la ola solitaria en sí, no describe
la evolución de una estantería que se necesita para conservar la “masa” total (véase, por ejemplo,
Johnson 1973b, Grimshaw 1979 o Grimshaw 2006). Esta estantería tiene un pequeño
amplitud, pero una escala de longitud muy grande, y por lo tanto puede llevar el mismo orden de “masa” como
la ola solitaria. Pero tenga en cuenta que el “momento” de la estantería es mucho más pequeño que
la de la ola solitaria, cuya deformación adiabática está gobernada de hecho a
conservación del “momentum”, o más precisamente, mediante la conservación del flujo de acción de las olas (estrictamente
hablando, conservación sólo en ausencia de fricción).
La situación se simplifica si la onda solitaria se propaga en una región de agua tranquila así
que no hay pedestal por delante de la onda, es decir, 3 = 0 en X > فارسى(T ). Pero entonces, desde
3 = 0 es una solución exacta del degenerado sistema Whitham (34) para esta onda solitaria
configuración, podemos poner 3 = 0 tanto en la solución de onda solitaria,
U(X, T ) = −2♥1sech2[
1 (X − VsT )], Vs = −41, (40)
y en la ecuación (34) para el parámetro
− 4ooooooooooooooooooooooooo − 4ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
F/23370/1 +
G/23370/21, (41)
Como vemos, la onda solitaria se mueve con la velocidad instantánea
= −41, (42)
y el parámetro 1 cambia con T a lo largo de la trayectoria de onda solitaria de acuerdo con el
ecuación diferencial ordinaria
F (T )
G(T)21. (43)
Se puede demostrar que la ecuación (43) es consistente con la ecuación para la mitad de la onda solitaria-
ancho γ =
1 obtenido por el enfoque tradicional de perturbación (véase Grimshaw (1979)
por ejemplo).
A continuación, reescribir la ecuación (43) en términos de la x-variable independiente original. Por eso,
nos encontramos de (6), que
dT = (h1/2/6g3/2)dx (44)
y F = −27
)3/2 dh
, G = 4CD
. (45)
A continuación, la sustitución de estas expresiones en (43) produce la ecuación
= −31
21 (46)
que se puede integrar fácilmente para dar
−C0 −
, (47)
donde C0 es una constante de integración y x = 0 es un punto de referencia donde h = h0. De acuerdo
a (40), U0 = −2♥1 es la amplitud del soliton expresada en términos de la variable U(X, T ).
Retorno al desplazamiento de superficie original A(x, t) mediante (6) y denotando C0 =
4/(3ga0h0), encontramos la dependencia de la amplitud del soliton de elevación de la superficie a = (2h)
2/3g)U0
en x en la forma
a = a0
CDa0h0
, (48)
donde a0 es la amplitud de onda solitaria en x = 0. Observamos que para CD = 0 esto se reduce a
el clásico Boussinesq (1872) resulta en un h−1, mientras que para h = h0 se reduce al conocido
ley de decaimiento algebraico a 1/(1 + constante x) debido a la fricción Chezy. Millas (1983a,b) obtenidas
esta expresión para una variación lineal de profundidad, aunque notamos que hay un factor de 2
diferencia con (48) (en Millas (1983a,b) el factor 16CD/15 es 8CD/15). La trayectoria de
el soliton se puede encontrar ahora de (42) y (47):
− t =
dx′h−5/2(x′)
CDa0h0
h3(x)
. (49)
Esta expresión determina implícitamente la dependencia de x en t a lo largo de la trayectoria de onda solitaria
y proporciona la ecuación deseada para la característica múltiple del sistema de modulación
para el caso m = 1.
Es instructivo derivar una expresión explícita para la velocidad de onda solitaria computando
el derivado dx/dt de (49), o más simplemente, directamente de (37),
1-a/2h
. (50)
La fórmula (50) produce la restricción para la amplitud relativa γ = a/h < 2 que es
claramente más allá de la aplicabilidad de la aproximación de KdV (la ruptura de onda se produce ya
a γ = 0,7 (véase Whitham 1974)). En el caso sin fricción (CD = 0) la ecuación (48) da
a/h = a0h0/h
2, y por lo tanto la expresión (50) para la velocidad debe fallar como h → 0. Es interesante.
observar que este fallo del modelo KdV como h → 0 debido a la apariencia de infinito (y
¡Más negativo!) velocidad de onda solitaria no es evidente de la expresión (48) para el
amplitud de onda solitaria, y la implicación es que el modelo no puede continuar como
h → 0. Curiosamente esta restricción del modelo KdV parece nunca haberse notado antes
a pesar de numerosos trabajos sobre este tema. Tenga en cuenta que teniendo en cuenta la fricción en el fondo
conduce a una fórmula más complicada para la velocidad de onda solitaria en función de h, pero el
El resultado cualitativo sigue siendo el mismo.
Es sencillo demostrar de (46) o (48) que
= −hx
CDa0h0
CDa0h0
. (51)
Se sigue inmediatamente que para una onda que avanza en profundidad creciente (hx > 0), la amplitud
tude disminuye debido a una combinación de profundidad creciente y fricción en el fondo. Sin embargo, para
una onda que avanza en profundidad decreciente, hay una tendencia a aumentar la amplitud debida
a la disminución de la profundidad, pero para disminuir la amplitud debido a la fricción del fondo. Por lo tanto, si
o no los aumentos de amplitud se determina por cuál de estos efectos es mayor, y esto en
el giro está determinado por la pendiente, la profundidad y el parámetro de arrastre consolidado CDa0/h0.
Para ilustrar, consideremos la topografía inferior en la forma
h(x) = h1+0 (h0 − Łx)α, α > 0, (52)
que satisface la condición h(0) = h0; el parámetro caracteriza la pendiente del bot-
Tom. En este caso, la fórmula (48) se convierte en
a = a0
*(3 1)h0
)(31)/α
si α 6= 1/3. Uno puede ver ahora que si α < 1/3, entonces el término de fricción inferior es relativamente
no es importante debido a la pequeñez de la CD. Por supuesto, para este caso recuperamos de nuevo el
Boussinesq resultado, ahora ligeramente modificado,
a A0
(1− 3α)h20
, 0 < α <
, h ́ h0. (54)
Por supuesto, este resultado es poco práctico en el contexto de KdV como la aproximación de KdV utilizada aquí
requiere la relación a/h para permanecer pequeño.
Si α > 1/3 obtiene ahora la fórmula asintótica
15(3 1)
, h â € h0, (55)
que es independiente de la amplitud inicial a0. Esta expresión es consistente con el pequeño-
Amplitud La aproximación KdV siempre y cuando (3 1)-CD es la unidad de orden. Sencilla inspección de
(55) muestra que la amplitud de la onda solitaria
• aumenta como h → 0 si 1
< α < 1
• es constante como h → 0 si α = 1
• disminuye como h → 0 si α > 1
Así para 1/3 < α < 1/2, como para el caso α < 1/3, la amplitud aumentará a medida que la profundidad
disminuye, a pesar de la presencia de fricción (suficientemente pequeña). Sin embargo, para α > 1/3, incluso
aunque por lo general hay algún crecimiento inicial en la amplitud, eventualmente incluso el fondo pequeño
la fricción tendrá efecto y la amplitud disminuye a cero. Observamos que si α = 1/3 entonces
la integral
h−3dx en (48) diverge logarítmicamente como h → 0, que sólo modifica ligeramente
el resultado (55) para h â € h0 e implica el crecimiento de la amplitud â € ln h/h como h → 0.
De particular interés es el caso α = 1. En ese caso, la fórmula (53) pasa a ser
a = a0
. (56)
y a 15
h, h, h0 (57)
Estas expresiones (56, 57) fueron obtenidas por Miles (1983a, b) utilizando la conservación de energía de ondas
(como anteriormente, note, sin embargo, que en Miles (1983a,b) el coeficiente numérico es 15/4 más bien
de 15/8). Por lo tanto, estos resultados obtenidos de la teoría de Whitham son de hecho consistentes, en
el orden principal, con el enfoque tradicional de la perturbación para un solitario lentamente variando
Onda.
5 Deformación adiabática de una onda cnoidal
A continuación se considera una onda cnoidal modulada (10) en el caso especial cuando la modulación hace
no dependen de X. Si bien este caso es, en sentido estricto, poco práctico, ya que supone que existe un
infinitamente largo tren de onda, sin embargo, puede proporcionar algunas ideas útiles sobre la calidad
efectos de la pendiente y fricción graduales en los orificios undulares que se representan localmente como cnoidales
olas. En ausencia de fricción, la dependencia lenta de los parámetros de la onda cnoidal en T
fue obtenido por Ostrovsky & Pelinovsky (1970, 1975) y Miles (1979) (véase también Grimshaw
2006), suponiendo que el desplazamiento de la superficie tuviera una media cero (es decir, «U» = 0), mientras que,
los efectos de la fricción fueron tenidos en cuenta por Miles (1983b) utilizando la misma media cero
Suposición de desplazamiento. Sin embargo, esta suposición es inconsistente con nuestro objetivo de estudiar
perforaciones undulares en las que el valor de â € € ¬ es esencialmente distinto de cero. Por lo tanto, tenemos que desarrollar un
teoría más general que nos permite tener en cuenta las variaciones en todos los parámetros en el
Ola cnoidal. Este marco general lo proporciona el sistema de modulación (27).
Por lo tanto, consideramos el caso cuando las variables Riemann en (27) no dependen de la
variable X para que las ecuaciones generales Whitham se conviertan en ecuaciones diferenciales ordinarias
en T, que se puede reformular convenientemente en términos de la coordenada espacial x original
utilizando la relación (44):
, i = 1, 2, 3, (58)
donde todas las variables se definen anteriormente en la sección 3 (ver 28, 29, 30). Este sistema puede ser fácilmente
resuelto numéricamente. Pero es instructivo, sin embargo, primero indicar algunas propiedades generales
de la solución.
En primer lugar, la solución al sistema (58) debe tener la propiedad de la conservación
longitud” L (o “número de onda” k=2η/L)
2K(m)
- - - - - - - - - - ¿Qué?
= constante (59)
De hecho, la ley de conservación de olas (22) en ausencia de la dependencia X asume la forma
= 0, (60)
que rinde (59). Así, el sistema de tres ecuaciones (58) se puede reducir a dos ecuaciones.
A continuación, aplicando Whitham promedio directamente a (7) rendimientos
P, M = « U », P = « U ». (61)
P − 4CD
Q., P = U., Q. = U................................................................................................................... (62)
El conjunto de ecuaciones (59), (61), (62) comprende un sistema de modulación cerrado para tres independientes
parámetros de modulación, por ejemplo M, Pû y m. Aunque este sistema no es tan conveniente para
análisis como el sistema (27) en las variables Riemann, no tiene una restricción U > 0 inherente
en (27), y permite algunas inferencias directas con respecto a la posible existencia de
soluciones de modulación con elevación media cero, es decir con M = 0. De hecho, uno puede ver
que la solución con la media cero en realidad no es generalmente admisible cuando CD 6= 0, a
situación ignorada en Miles (1983b). De hecho, M = 0 inmediatamente entonces implica que P
por (61). Pero luego debido a (59) tenemos los tres parámetros de modulación fija que es claramente
inconsistente con la ecuación restante (62) (excepto en el caso trivial M = 0, P = 0,
Q? = 0). Sin embargo, en ausencia de fricción, cuando CD = 0, la ecuación (61) desacopla y
permite una solución no trivial con una media cero. En general, cuando CD = 0 ecuaciones (61),
(62) se puede integrar fácilmente para dar
d = Mh9/4 = constante; = Ph9/2 = constante. (63)
Entonces, usando (18, 19, 59) uno obtiene fácilmente la fórmula para la variación del módulo m,
y por lo tanto de todos los demás parámetros de onda, en función de h
K2[2(2−m)EK − 3E2 − (1−m)K2] =
( − d2)L4
. (64)
200
400
600
800
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
C = 0
C = 0,01
Figura 2: La dependencia del módulo m en el espacio físico coordina x en los casos
sin y con fricción en el fondo en la solución de modulación independiente de X.
Fórmula (64) generaliza el caso M 6= 0 (es decir, d 6= 0) las expresiones de Ostrovsky y
Pelinovsky (1970, 1975), Miles (1979) y Grimshaw (2006) (nota que en Grimshaw (2006)
la restricción media cero en realidad no es necesaria). Observamos aquí que, de nuevo con CD = 0,
la ecuación (5) implica la conservación de B y B2 (el flujo de acción de onda promedio), que,
junto con (59), también rendimiento (64).
La frecuencia física y el número de onda en la onda periódica modulada bajo estudio
se dan por la fórmula (37), y recordamos aquí que k = 2η/L es constante (véase (59)). As
se ha discutido antes al final de la sección 3 debemos exigir que la velocidad de fase se mantenga positiva, ya que
la onda evoluciona, y aquí que requiere que el número de onda física فارسى > 0. Desde a/h (y
por lo tanto hV/6g) se supone que es pequeño dentro del rango de aplicabilidad de la ecuación KdV
(2) la expresión (37) implica el comportamiento..........................................................................................................................................................................................................................................................
gh que, por supuesto, está de acuerdo con el
bien conocido resultado para las olas lineales en una playa inclinada (véase Johnson 1997 por ejemplo). Esto
efecto se atenuará ligeramente para la onda no lineal cnoidal, desde V h/6g > 0, pero la
efecto global será un “estrujamiento” de la ola cnoidal, un resultado importante para nuestro futuro
estudio de los orificios undulares. A continuación se estudia numéricamente el efecto combinado de la pendiente y la fricción
en una ola cnoidal.
Como hemos demostrado, en presencia de fricción Chezy M 6= 0, y también hemos asumido
que U > 0, que es necesario cuando venimos a estudiar los agujeros undulares. Ahora usamos el
sistema de modulación estacionaria (58) en las variables de Riemann, que se deriva
Supuestos. Resolvemos el sistema de ecuación diferencial ordinario acoplado (58) para el caso de un
pendiente lineal
h(x) = h0 − x (65)
con h0 = 10, = 0,01, y con las condiciones iniciales
-0,441, -0,441, -0,441, -2 = 0,147, -3 = 0,294 at x = 0, (66)
que corresponde a una onda casi armónica con m = 0.2, a/h0 = 0.2, â € € € € € € € € € € € € € € € € € €.
a x = 0 (véase (35). También notamos que para los parámetros elegidos tenemos V = 0, así que en
x = 0 tenemos • • •/
gh0 como en la teoría lineal. Es instructivo comparar las soluciones con
(CD = 0,01) y sin fricción (CD = 0). In Fig. 2 la dependencia del módulo m
100 200 300 400 500
C = 0
C = 0,01
100 200 300 400 500
h <A>
1/4 C = 0
C = 0,01
Figura 3: Izquierda: Dependencia del valor medio AA en la solución de modulación independiente de X
en el espacio físico, coordenar x sin (línea de sujeción) y con (línea sólida) fricción en el fondo;
Derecha: Mismo pero multiplicado por el factor de ley de los Verdes, h1/4
100
200
300
400
500
1.
4
1.
6
1.
8
2.
2
2.
4
C = 0
C = 0,01
Figura 4: La dependencia de la amplitud de elevación de la superficie a en el espacio coordina x. Dashed
línea corresponde a la caja sin fricción y línea sólida a la caja con fricción inferior.
en x se muestra para ambos casos. Vemos que para el caso sin fricción m → 1 con disminución
de profundidad, es decir, las crestas de la onda asumen la forma de ondas solitarias cuando uno se acerca a la
en la costa. Cuando CD 6= 0 el módulo también crece con disminución de profundidad pero nunca alcanza
unidad. La dependencia de x de la elevación media de la superficie AA para los casos sin y
con fricción se muestra en la Fig. 3. Hemos comprobado que la “longitud de onda” L (59) es constante
para ambas soluciones. Además, se puede ver en la Fig. 3 (derecha) que el valor h1/4â € € € € € d es de hecho
conservado en el caso sin fricción, pero no es constante si la fricción está presente (la misma sostiene
verdadero para el valor h1/2â € A2â € € ° pero no presentamos el gráfico aquí). Finalmente, en la Fig. 4 los
se muestra la dependencia de la amplitud de la onda de elevación física a en la coordenada espacial x.
Se puede ver que la amplitud adiabéticamente crece con la distancia en el caso sin fricción
debido al efecto de la pendiente (sin fricción) pero, no inesperadamente, disminuye gradualmente
en el caso de que la fricción del fondo esté presente, donde la disminución para estos ajustes de parámetros
es comparable en magnitud al efecto de la pendiente. En ambos casos, los principales aspectos cualitativos
los cambios ocurren en la forma de la onda y la longitud de onda.
En general, podemos deducir de estos resultados que el principal efecto local de una pendiente y fondo
la fricción sobre una onda cnoidal, junto con las variaciones de amplitud adiabática, es doble: una onda
con un m < 1 en x = 0 tiende a transformarse en una secuencia de ondas solitarias a medida que x disminuye,
y al mismo tiempo la distancia entre las crestas de onda posteriores tiende a disminuir. Esto
está en marcado contraste con el comportamiento de las ondas cnoidales moduladas en los problemas descritos
por la ecuación KdV no perturbada, donde el crecimiento del módulo m va acompañado de un
aumento de la distancia entre las crestas de las olas. En general, en el estudio del comportamiento de
perforaciones onduladas inestables en presencia de una pendiente y fricción en el fondo que tendremos que tratar
con la combinación de estas dos tendencias opuestas.
6 Propagación de orificios undulares sobre topografía variable
con fricción en el fondo
6.1 Problema de Gurevich-Pitaevskii para caso de fricción cero de fondo plano
Pasamos ahora al problema b) descrito en la sección 2. Estudiamos la evolución de un undular
la perforación se desarrolla a partir de un salto inicial de elevación de la superficie ≤ > 0, situado en algún punto x0 < 0.
Como se explica a continuación, el agujero undular se expandirá con el tiempo de modo que en algunos t = t0 su ventaja
la onda solitaria entra en la región de pendiente gradual, que comienza en x = 0 (véase Fig. 1b). Asumimos que
que para x < 0 uno tiene h = h0 = constante y CD 0. Presentaremos en primer lugar una formulación
del problema Gurevich-Pitaevskii para la ecuación KdV libre de perturbaciones y reproducir
la conocida solución de modulación de similitud que describe la evolución del orificio undular
hasta el momento en que entra en la pendiente. Insistimos en que, aunque esta formulación y
especialmente, esta solución de similitud se conocen muy bien y han sido utilizados por muchos autores,
algunas de las inferencias importantes para la aplicación actual a la dinámica de fluidos no han sido
muy apreciado, por lo que podemos discernir. Pertinente a nuestro objetivo principal en este artículo,
realizamos un estudio detallado de las características del sistema de modulación Whitham en
la proximidad del borde delantero de la solución de perforación undular, y demostrar que el límite con-
las dimensiones del tipo Gurevich-Pitaevskii sólo permiten dos configuraciones de características posibles,
implica dos tipos cualitativamente diferentes de comportamiento de onda solitaria. Siguiente, nosotros
demostrar cómo esta formulación Gurevich-Pitaevskii del problema se aplica a la perturbada
sistema de modulación en la forma (27) y finalmente estudiaremos los efectos de la perturbación
sobre las modulaciones en las proximidades del borde delantero del agujero ondulado.
En el caso de un fondo plano, sin fricción, la ecuación original (1) se convierte en la constante-
coeficiente KdV ecuación que se puede fundir en la forma estándar
+ 6 + = 0 (67)
introduciendo las nuevas variables
A, â € =
(x+ x0 −
gh0t), • =
t, (68)
donde x0 < 0 es una constante arbitraria. En el enfoque Gurevich-Pitaevskii (GP), uno
considera una perturbación inicial a gran escala η(, 0) = f(), en forma de perfil decreciente,
f ′() < 0 (por ejemplo: un paso suave: f() → 0 como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
evolución inicial hasta algún tiempo crítico (desbaratado) b puede ser descrito por la dispersión sin
límite de la ecuación de KdV, es decir, por la ecuación de Hopf,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (69)
La evolución (69) conduce a la ruptura de la onda del perfil de r() en algunos , con el
consecuencia de que el término dispersivo en la ecuación de KdV entonces entra en juego, y un
formas de perforación undular, que pueden representarse localmente como una onda de desplazamiento monofásica. Esto
ola itinerante se modula de tal manera que adquiere la forma de una ola solitaria en el
y gradualmente degenera, a través del régimen no lineal de la onda cnoidal, a
un paquete de ondas lineales en el borde que sigue = (). Es importante que este aburrimiento undular
es esencialmente inestable, es decir. la región se expande con el tiempo.
La solución de onda de desplazamiento monofásica de la ecuación KdV (67) tiene la forma (cf.
10)
η(, ) = r3 − r1 − r2 − 2 r3 − r2)sn2(
r3 − r1, m) (70)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
r3 − r2
r3 − r1
. (71)
Los parámetros r1 ≤ r2 ≤ r3 ≤ 0 en el orificio undular varían lentamente entre las funciones de
cuya evolución se rige por las ecuaciones de Whitham
+ vj(r1, r2, r3)
= 0, j = 1, 2, 3. (72)
Las velocidades características en (72) son dadas por (31). Recalcamos que, aunque analítico
las expresiones (70) y (10) (así como (72) y la versión homogénea de (27)) son idénticas,
se escriben para conjuntos completamente diferentes de variables, tanto dependientes como independientes.
El Riemann invariants rj(, ) están sujetos a condiciones especiales de emparejamiento en el libre
límites, = () definidos por las condiciones m = 0 (borde de trailer) y m = 1 (líder)
edge), formulado en Gurevich y Pitaevskii (1974) (véase también Kamchatnov (2000) o El
(2005) para una descripción detallada).
En el borde descendente (armónico), donde la amplitud de la onda a = 2 r3 − r2) desaparece y
m = 0, uno tiene
* = () : r2 = r3, −r1 = r. (73)
En el borde delantero (solitón), donde m = 1 tiene
= () : r2 = r1, −r3 = r. (74)
En ambos (73) y (74), r(, ) es la solución de la ecuación de Hopf (69).
Para la solución del problema GP (72), (73), (74) por
las ecuaciones diferenciales ordinarias
= v−(, ),
= v+(, ), (75)
donde v± se calculan como valores de velocidades de doble característica de la modulación
sistema en los bordes de orificios ondulados,
v− = v2(r1, r3, r3)=(l) = v3(r1, r3, r3)=(l), (76)
v+ = v2(r1, r1, r3)=(l) = v1(r1, r1, r3)=(l) (77)
Estas ecuaciones (75) representan esencialmente las condiciones del límite cinemático para el undular
orujo (véase El 2005). De hecho, la velocidad de doble característica v2(r1, r3, r3) = v3(r1, r3, r3) puede
se muestre que coincide con la velocidad del grupo lineal del paquete de onda KdV de pequeña amplitud
mientras que la velocidad de doble característica v2(r1, r1, r3) = v1(r1, r1, r3) es la velocidad de soliton.
Uno podría inferir de esta formulación GP del problema que, desde el borde delantero de
el orificio undular especificado por (75), (77) es una característica del sistema de modulación, entonces
el valor de la doble invariante Riemann r+ فارسى r2 = r1 es constante. Entonces, al considerar un
se propaga en agua fija, donde r = 0, se obtendría de la emparejamiento
condición (74) en el borde delantero que r3= = 0 y por lo tanto, la amplitud del plomo solitario
onda a+ = 2 r3−r1) = = −r+ siempre sería constante también. Sin embargo, esto contradice
el razonamiento físico general de que debe permitirse la amplitud de la onda solitaria de plomo
cambiar en el caso de los datos iniciales generales. La aparente contradicción se resuelve observando
que el borde delantero especificado por (75), (77) puede ser un sobre de la familia característica,
i.e. un cáustico, en lugar de necesariamente una característica regular, y por lo tanto no hay necesidad
para que el doble r + invariante Riemann sea constante a lo largo de la curva = () en general.
Por otro lado, ya que el borde delantero está definido por la condición m = 1, la forma de onda
en el borde delantero coincidirá con el perfil espacial del soliton KdV estándar. Por lo tanto
Llegamos a la conclusión de que, en general, la amplitud de la ola solitaria KdV líder
variará, incluso en ausencia de los términos de perturbación. Por supuesto, en el KdV inalterado
ecuación, tales ondas solitarias variables no pueden existir por sí solas, y requieren la presencia
del resto del agujero undular. También destacamos que estas variaciones de la
onda en el agujero undular, como se describe aquí, tienen una naturaleza física completamente diferente a
las variaciones de los parámetros de una onda solitaria individual debido a pequeñas perturbaciones como
descrita en la sección 4. Son causadas por interacciones de ondas no lineales dentro de la undular
aburrido más que por una respuesta adiabática local de la ola solitaria a una perturbación inducida
por topografía y fricción. Sin embargo, es importante para nuestro estudio que transcurra que
la acción de estos mismos términos de perturbación en el agujero undular puede conducir tanto a un local y un
respuesta no local de la principal ola solitaria.
6.2 Desarrollamiento de taladro undular a partir de un salto inicial
A continuación consideramos la solución más simple del sistema de modulación, que describe un undular
se desarrolla a partir de una discontinuidad inicial situada en el punto x = −x0. En (η;, ) -
variables tenemos las condiciones iniciales
η(, 0) = para < 0 ; η(, 0) = 0 para > 0, (78)
donde > 0 es una constante. Entonces, al usar (69), las condiciones iniciales (78) son fácilmente
traducido a las condiciones de coincidencia de libre frontera (73), (74) para los invariantes Riemann.
Debido a la ausencia de una escala de longitud en este problema, la solución correspondiente de la
sistema de modulación debe depender de la variable auto-similar
el sistema de modulación a las ecuaciones diferenciales ordinarias
(vi − )
= 0, i = 1, 2, 3. (79)
-4
0
-3
0
-2
0
-1
0
10
20
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
-30 -20 -10 10
η(, = 5)
Figura 5: Izquierda: Comportamiento invariante de Riemann en la solución de modulación de similitud para la
caso plano inferior cero-fricción ; Derecha: perfil de agujero undular correspondiente η().
Las condiciones de frontera para (79) se derivan de las condiciones de coincidencia (73), (74) utilizando el
condición inicial (78):
* = : r2 = r3, r1 =
* = : r2 = r1, r3 = 0.
donde son coordenadas auto-similares (velocidades) de los bordes que conducen y siguen, = .
Teniendo en cuenta la desigualdad r1 ≤ r2 ≤ r3 se obtiene la modulación bien conocida
de Gurevich y Pitaevskii (1974) (véase también Fornberg y Whitham 1978)
r1 = , r3 = 0, r2 = −m®, (81)
= v2(,-má, 0) = 2Â[(1 +m)−
2m(1-m)K(m)
E(m)− (1-m)K(m)
]. (82)
Esta solución de modulación (81), (82) (véase la Fig. 5a) representa el reemplazo, debido a averag-
ión sobre las oscilaciones, de la solución formal no física de tres valores de la dispersión sin
Ecuación de KdV (es decir, de la ecuación de Hopf) que habría tenido lugar en ausencia de
la regularización dispersiva por el agujero undular. Vemos que (82) describe una expansión
ventilador en el plano característico y, por lo tanto, es una solución global. Sustitución (81), (82)
en la solución de onda itinerante (70) se obtiene la forma de onda asintótica de la ondulación undular
orujo (véase Fig. 5b), que entonces puede ser fácilmente representado en términos de la física original
variables que utilizan las relaciones (68).
Las ecuaciones de los bordes descendentes y delanteros del agujero undular se determinan a partir de
(82) poniendo m = 0 y m = 1 respectivamente
= = v2(, 0, 0) = −6
= = v2(,, 0) = 4. (83)
La amplitud de onda solitaria principal es η0 = 2 (r3−r1) = 2(2, que es exactamente el doble de la altura
del salto inicial. Esto corresponde a la amplitud de la elevación de la superficie a = 3h0
(68)). Tenga en cuenta que, para obtener la primera onda solitaria de la misma amplitud inicial a0 como para el
ola solitaria separada considerada en la sección 4, se debe utilizar el valor de salto +0 = a0/3h0,
que por supuesto es sólo 2, donde = 3h0/2 es la discontinuidad inicial en la superficie
elevación.
6.3 Estructura de la parte delantera del taladro undular
Estamos especialmente interesados en el comportamiento de la solución de modulación (81), (82)
las proximidades del borde de ataque. Este comportamiento está esencialmente determinado por el
modo en que el par de características correspondientes a las velocidades v2 y v1 se fusionan
en un valor propio múltiple v+ del sistema de modulación en = ().
En primer lugar, se puede inferir fácilmente de la solución de modulación (81), (82) que la velocidad de fase
c = −2(r1 + r2 + r3) = 2(1 +m) > v2(,−m, 0) para m < 1 y c = v2 para m = 1. Por lo tanto,
cualquier cresta de onda individual generada en el borde de avance del agujero undular se mueve hacia
el borde de ventaja, es decir, para cualquier cresta m → 1 como • • • • • • • • • para cualquier cresta m → 1 como • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Por lo tanto, para cualquier cresta de onda en particular,
a excepción de la primera, el estado de la onda solitaria se logra sólo asintóticamente como
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Sin pérdida de generalidad asumimos en esta sección que = 1 en (81), (82). En primer lugar, como
ya hemos mencionado, la familia característica 2 : d/d = v2 es un ventilador de expansión en
el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión, el avión.
*2 : * = C2®, (84)
parametrizado por una constante C2, −6 ≤ C2 ≤ 4. A continuación, en (82) hacemos una asintótica
expansión de v2(−1,−m, 0) para pequeñas (1−m) + 1, para obtener
2(1-m) ln(16/(1-m)) − (85)
o, con precisión logarítmica,
( − / / / ) 1 : 1 - m
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2 ln[1/( − â €/€)]
. (86)
A continuación, expandiendo v1(−1,−m, 0) para (1 − m) 1 y usando (86) obtenemos la asintótica
ecuación para la familia de las características
= v1 =
+ + ( − ) + O(1m), (87)
que se integra fácilmente a la dirección orden de dar
* 1 : * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, (88)
donde C1 ≥ 0 es un «etiquetado» constante arbitrario de las características; C1 = 0 corresponde a
el borde delantero del agujero undular. Esta fórmula asintótica (88) es válida siempre y cuando el valor de la fórmula sea superior al de la fórmula asintótica 1.
Comportamiento de las características que pertenecen a las familias
borde se muestra en la Fig. 6a.
A continuación, expandiendo la ecuación para la tercera familia característica, 3: d/d = v3(−1,−m, 0)
para (1-m) â € 1, nos ponemos a usar (86)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ln(1/( â â € ¬))
+O( − â € € ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (89)
Figura 6: Comportamiento de las características de la solución de modulación de similitud
edge (): (a) familias 1: dÃ3r/dÃ3r = v1 y Ã3r2 : = C2Ã3r, (b) familia Ã3r3: dÃ3r/dà r = v3.
Integración (89) obtenemos el primer orden
*3 : * C3 − g(), (90)
donde g() =
− C3
ln − C3 − ln
Derivados de la capacidad de absorción de gases de efecto invernadero y de la capacidad de absorción de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de conformidad con el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]
+) = 0, (91)
C3 es una constante arbitraria. La fórmula asintótica (90) es válida siempre y cuando g(
1. Dado que las características de la intersección 3 del borde de ataque • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
debemos indicar su
Comportamiento fuera del agujero ondulado. Se deriva de la condición de coincidencia (74) y el
la estructura limitante (34) de las velocidades características del sistema Whitham, que el
las características de la familia de la combinación 3 con las características de la ecuación de Hopf dÃ3/dÃ3 = 6r
con el valor de la invariante Riemann r = 0 correspondiente al agua corriente corriente arriba
undular aburrido. Por lo tanto, las características externas buscadas son simplemente líneas verticales = C3.
El comportamiento cualitativo de las características de la familia 3 se muestra en la Fig. 6b.
Es evidente del comportamiento asintótico de las características que el borde característica
= corresponde al movimiento de la onda solitaria principal se cruza sólo con
las características de la familia •3 llevando el valor invariante de Riemann r3 = 0 en el undular
dominio de aburrimiento. Desde, de acuerdo con la condición de coincidencia (80), r3 0 en todas partes a lo largo de la
borde característica se puede inferir que el movimiento de onda solitaria líder está completamente especificado
por su amplitud en = 0. De hecho, en este caso, el borde de ventaja representa un
característica del sistema de modulación, a lo largo de la cual el r+ invariante Riemann = r2 = r1 es
una constante. Dado el valor constante de r1 = −1 para la solución (82), se infiere que la
amplitud del soliton de plomo del agujero undular autosimilar, η0 = 2 r3 − r+) = 2 es también un
valor constante. Por lo tanto, en el agujero undular que evoluciona desde un salto inicial, el líder solitario
onda representa un soliton independiente de la ecuación KdV. Por supuesto, este hecho sigue
directamente de la solución de modulación (82) pero ahora hemos establecido su significado en el
el contexto de las características, que desempeñarán un papel importante a continuación.
A continuación se discute la estructura del frente de agujero undular en el caso cuando el inicial
perfil η(, 0) no es una simple discontinuidad de salto, y en su lugar tiene la forma de un monótono
función decreciente, por ejemplo, ()1/2 cuando ≤ 0 y η(, 0) = 0 para > 0. En ese caso,
la solución de modulación para el orificio undular ya no posee una similitud de x/t como en la
Figura 7: a) Borde de plomo () de taladrado no autosimilar como una envoltura de par en par
las características de la fusión de las familias dâr/dâr = v1 y dâr/dâr = v2; b) el comportamiento de la
Invariantes de Riemann en solución de modulación no autosimilar con r3 0.
salto de resolución y, como resultado, la velocidad (y por lo tanto, la amplitud) de la ventaja
la onda solitaria no es constante. Por ejemplo, para el perfil inicial de raíz cuadrada antes mencionado
la amplitud de la ola solitaria de plomo crece como 2 (véase Gurevich, Krylov y Mazur 1989,
o Kamchatnov 2000). Claramente, tal variación de amplitud es imposible si el borde de ventaja
() era una característica regular que llevaba un valor constante del r+ invariante de Riemann. As
Sin embargo, las condiciones de coincidencia de GP (73) - (77) admiten otra posibilidad;
la curva del borde delantero es el sobre de las familias características 1: d/d = v1 y 2:
d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d-d- Esta configuración se muestra en la Fig. 7a. En este caso, el
el comportamiento del módulo m en las proximidades del borde delantero está dado por la asintótica
fórmula encontrada en Gurevich & Pitaevskii (1974):
(1 a m)2
(r+)2
( − ) (92)
donde se asume que se conoce la función r+() 6= constante. Otra característica específica de
Esta configuración (general) es que dr1,2/d® → como → (ver Fig. 7b - también se encuentra en
Gurevich & Pitaevskii 1974, véase también Kamchatnov 2000), que contrasta drásticamente con
solución de similitud (véase Fig. 6a). Esta diferencia particular fue discutida en relación con
perforaciones undulares en la ecuación KdV-Burgers en Gurevich y Pitaevskii (1987).
En resumen, vemos en (92) que la estructura de la solución de modulación en el vicin-
ity del borde delantero de un agujero undular definido como una envolvente característica es cualitativamente
diferente en comparación con el caso de similitud (véase (85)). El más general (pero qual-
itativamente similar a la (92)) fórmula asintótica que tiene en cuenta las pequeñas perturbaciones
debido a una topografía variable y fricción en el fondo se derivará más adelante. Por el momento,
es importante para nosotros que en esta configuración, cuando el borde delantero es una característica
sobre en lugar de sólo una característica, el valor r+, y por lo tanto, la onda solitaria líder
La amplitud puede variar.
El análisis de la solución de modulación correspondiente en Gurevich, Krylov y Mazur
(1989) mostró que, mientras que en el caso de un salto inicial las crestas de la onda generadas en el
borde que arrastra alcanzar el borde delantero (y por lo tanto, transformar en ondas solitarias) sólo
asintóticamente como t → فارسى, para el caso más general de la disminución de los datos iniciales de cada onda
cresta generada en el borde descendente alcanza el borde delantero en tiempo finito y reemplaza
(supera) la actual ola solitaria líder. Este proceso se manifiesta como un continuo
Crecimiento de amplitud de la onda solitaria (aparente). Como en la teoría clásica del soliton,
una explicación alternativa del crecimiento de la amplitud de onda solitaria principal se puede hacer en
los términos del intercambio de impulso entre la ola solitaria “instantánea”
ondas solitarias de mayor amplitud que vienen de la izquierda. De hecho, como el análisis riguroso de
Lax, Levermore y Venakides mostraron (ver Lax, Levermore y Venakides (1994) y la
referencias allí), toda la estructura modulada del agujero undular puede ser asintóticamente
descrito en términos de las interacciones de un gran número de solitones KdV inicialmente «envasados»
en un perfil inicial a gran escala no oscilante.
Esta última interpretación es especialmente instructiva para nuestros propósitos. Nuestro punto es que
la causa específica de las interacciones mejoradas del soliton que resultan en el crecimiento de la amplitud en el
el borde delantero no es esencial; puede ser variaciones espaciales a gran escala del perfil inicial como
simplemente descrito, pero también podría ser igualmente un efecto de pequeñas perturbaciones en el KdV
la ecuación misma. De hecho, en la débilmente perturbada ecuación de KdV, la estructura de onda local
del agujero undular debe describirse al orden principal mediante la solución periódica (70) de
la ecuación KdV no perturbada, por lo que si uno asume las condiciones de límite GP análogo a
(73) – (77) para el sistema de modulación perturbado (27), se tendrá que tratar invariablemente
uno de los dos tipos posibles de comportamiento de las características (indicado en Figs. 7a y 8a)
en las proximidades del borde delantero del agujero undular, porque este comportamiento cualitativo
es determinado sólo por la estructura de las condiciones de límite de GP y por el asociado
estructura asintótica de las velocidades características del sistema Whitham para (1-m) â € 1,
que son los mismos tanto para los sistemas de modulación sin perturbaciones como para los sistemas de modulación sin perturbaciones. A continuación, lo haremos.
demostrar que, al utilizar el conocimiento de este comportamiento cualitativo de las características,
es capaz de construir la solución de modulación asintótica para el frente de perforación undular en el
presencia de topografía variable y fricción en el fondo, incluso si la solución completa de la perturbación
El sistema de modulación no está disponible.
6.4 Problema de Gurevich-Pitaevskii para la modulación perturbada
Ahora investigamos cómo el problema de coincidencia GP se aplica a la modulación perturbada
sistema (27). Como en el problema GP original, postulamos el requisito físico natural
que el valor medio â € ¬ es continuo a través de los bordes del taladro undular, que representan libre
límites y están definidos por las condiciones m = 0 (borde de trailing X = X−(T)) y m = 1
(borde principal X = X+(T)). También, consideramos la propagación de la perforación undular en
agua, por lo tanto UX=X+(T) = 0. Ahora, utilizando la expresión explícita (18) para â € € € en términos de
integrales elípticas completas y calculando sus límites como m → 0 y m → 1 tiene
X = X−(T ) :
X = X+(T ) :
donde u(X, T ) es la solución de la ecuación KdV sin dispersión perturbada (7), es decir,
uT + 6uuX = F (T )u−G(T )u2, (94)
con las condiciones del límite
0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
= 0 si
en los que فارسى0 = −x0/
gh0. Las condiciones del límite (95) corresponden a un inicial discontinuo
elevación de la superficie A(x, t) a x = −x0, obtenida mediante transformaciones (3) y (6) cuando
uno establece t = 0. Como antes, el valor de a0/(3h0) es el valor de la discontinuidad en A, elegido en
de tal manera que la amplitud de la onda solitaria de plomo en el agujero undular era exactamente a0
en la región de fricción cero de fondo plano (véase la sección 6.2).
Este problema de emparejamiento de fronteras libres se complementa con las condiciones cinemáticas
definir explícitamente los límites X = X±(T ). Estos se formulan utilizando el múltiplo
direcciones características del sistema de modulación perturbada (27) en los límites como m → 0
y m → 1 (cf. (75) - (77)),
= V −(X−, T ),
= V +(X+, T ), (96)
donde V − = v2(u,
−, ) = v3(u,
−, ), (97)
V + = v2(
+, +, 0) = v1(l)
+,, 0), (98)
y = 2(X
−, T ) = 3(X
-, T ), - = -2(X
+, T ) = 1(X
+, T ). (99)
Por lo tanto, para la perturbada ecuación KdV los bordes delanteros y posteriores del agujero undular son
definida matemáticamente de la misma manera que para el no perturbado, aunque para un diferente
conjunto de variables.
6.5 Deformación de la parte delantera del orificio undular debido a la variable topog-
Rafi y fricción en el fondo
Finalmente estudiamos los efectos de la pendiente gradual y la fricción del fondo en la parte delantera de la
orificio nodular en expansión autosimilar descrito en las secciones 6.2 y 6.3. El resultado será esencialmente
dependen de los valores relativos de los pequeños parámetros que aparecen en el problema. Tomamos nota
que, en general, hay tres pequeños parámetros pertinentes distintos,
* 1, * = max(hx) * 1, CD * 1 (100)
El primer parámetro pequeño se determina por la relación de la profundidad de equilibrio en el plano
región inferior, a la distancia desde el comienzo de la región de pendiente hasta la ubicación de la
discontinuidad inicial del salto en el desplazamiento de la superficie. Esto mide el relativo típico
variaciones espaciales de los parámetros de modulación en el agujero undular cuando llega a la
principio de la pendiente. Los parámetros segundo y tercero están contenidos en la ecuación de KdV
(1) en sí mismo y medir los valores de la pendiente y la fricción del fondo, respectivamente. En términos de
las variables transformadas que aparecen en (7), F (T ), G(T ) CD (véase (8)). Generalmente
Suponemos que el CD (los posibles pedidos de CD o CD pueden entonces ser considerados como
casos particulares).
Para obtener una descripción cuantitativa de la proximidad del borde delantero de la
se realiza una expansión del sistema de modulación Whitham (27) para (1 − m) â € 1.
Primero introducimos las sustituciones
I (X, T ) = I
+(T) + li(X, T), vi = V
+ + v′i,
+ + i, i = 1, 2. (101)
donde X? = X+ −X, V + = −4®, =
F (T )+ +
G (T ).... 2......................................................................................................................................................................................................................................................... (102)
Dado que 2 ≥ 1, v2 ≥ v1 uno siempre tiene l2 ≥ l1, v′2 ≥ v′1. Asumiendo X. X. + 1..........................................................................................................................................................................................................................................................
y el uso de que 3 = 0 a orden de plomo en la proximidad del borde de ataque (ver la coincidencia
condición (93)), tenemos de las expansiones asintóticas de (28) – (31) como (1-m)
v′1 = M1(l2 − l1)
ln(16/(1-m))
1 + 1
(1 a m) ln(16/(1 a m))
(l2 − l1),
v′2 = M2(l2 − l1)
1− ln(16/(1−m))
(1 a m) ln(16/(1 a m))
(l2 − l1),
(103)
*1 = N1(l2 − l1)
1 + ln
l2 − l1
− 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
l2 − l1
− 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
− 3
(l2 − l1)
2 = N2(l2 − l1)
5 + ln
l2 − l1
− 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
2° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
l2 − l1
− 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
+ 13
(l2 − l1).
(104)
Naturalmente, v′i y
i desaparece cuando l2 = l1. Ahora, sustituyendo (101), (102) en la modulación
sistema (27) obtenemos
− (V + + v′i)
= + i, i = 1, 2. (105)
Al utilizar la condición cinemática (96) en el borde delantero, esto se reduce a
− v′i
= + i, i = 1, 2. (106)
Hay dos casos cualitativamente diferentes a considerar:
i) limX0 dli/dX < فارسى, i = 1, 2 (fig. 8a)
(ii) limX0 dli/dX =, i = 1, 2 (fig. 8b)
El caso i) implica que a la orden principal (106) se reduce a
= , (107)
que, junto con la condición cinemática dX+/dT = −4», define el borde de ataque
curva X+(T). Se puede observar que este sistema coincide con (43), (42)
Figura 8: Comportamiento de las variables de Riemann en las proximidades del borde delantero del undular
se propagan por pendiente gradual con fricción en el fondo (a) Variaciones adiabáticas de la
Similaridad GP regimen,, CD ; (b) Caso general, CD.
movimiento de una onda solitaria separada sobre una pendiente gradual con fricción en el fondo. Su integral
expresado en términos de x físico original, t-variables se da por (49). Por lo tanto, en el caso
(i) la onda solitaria de plomo en el agujero undular hasta el orden de plomo no está restringida por las interacciones
con la parte restante del agujero y se comporta como una ola solitaria separada. Físicamente esto
caso corresponde a la deformación adiabática de la solución de modulación de similitud (81), (82)
e implica el siguiente pequeño parámetro de orden :......................................................................................................................................................
A continuación, se estudia la estructura de esta solución de modulación de similitud débilmente perturbada en
las proximidades del borde delantero. El siguiente orden principal del sistema (106) produce
− v′i
= i, i = 1, 2, (108)
es decir
= −N1
= −N2
. (109)
Sustracción de una ecuación (109) de otra con relación a la relación l2 − l1 =
(1−m) conduce consistentemente al orden que conduce a la ecuación diferencial para 1−m
(de 1 a m)
F (T )
16G(T)
, (110)
Esta ecuación debe resolverse con la condición inicial
1-m = 0 en X = 0. (111)
La integración elemental da con la precisión O(1-m) (cf. (85))
(1-m) ln 16
F (T)− 16
G(T)
X+-X
. (112)
Esta fórmula determina la dependencia del módulo m de T y X (siempre y cuando 1-m
Ahora, hacemos uso de la solución de la ecuación (107) dada por (47) con C0 =
4/(3ga0h0) (véase (48)). Bajo la suposición de que la integral
h−3dx diverge como h → 0,
para que la fricción turbulenta en el fondo juegue un papel esencial en el frente de perforación
haviour (ver sección 4 para una aproximación similar para una onda solitaria aislada), obtenemos
para h â € h0
(1-m) ln
2 + 3h2
(X+ −X). (113)
Por fin, si la topografía inferior se aproxima por la dependencia (52), llegamos con la
la misma precisión
(1-m) ln 16
(3 1)
(X+ −X), (114)
donde α > 1/3. El segundo término entre corchetes tiende a cero como h → 0. Sin embargo, el
región donde puede ser descuidado puede ser muy estrecho debido a la pequeñez del parámetro
- ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? Recordamos que en esta fórmula X+ se da por (49) y X se define por (3) en términos de
las variables físicas originales independientes x y t.
Resumiendo, si se cumplen las condiciones del CD, la ola solitaria de plomo de la
oleaje undular se comporta como una ola solitaria individual (no interactuante) que varía adiabaticamente
bajo pequeña perturbación debido a la topografía variable y fricción en el fondo. La modulación
solución en las proximidades del borde delantero también varía adiabaticamente, sin embargo, su
la estructura considerada en la sección 6.4 (véase la figura 5.6) permanece inalterada.
En un marcado contraste con el caso descrito de deformación adiabática de un agujero undular
frente es el caso ii) cuando el segundo término en el lado izquierdo de (106) contribuye a la
orden principal, es decir, al movimiento del propio borde de ataque. Es decir, tenemos
= + v′i
, i = 1, 2. (115)
Ahora dá/dT 6= lo que significa que la amplitud de la onda solitaria de plomo varía
esencialmente diferente en comparación con el caso de una ola solitaria aislada. De hecho, el término
en el lado derecho de (115) es responsable de las variaciones adiabáticas locales de la solitaria
ola mientras que el término v′i
las interacciones de la onda dentro del agujero undular. Uso de fórmulas asintóticas (103) que implican
v′2 ≥ 0, v′1 ≤ 0, y la condición limX0 dl1,2/dX = فارسى junto con l2 ≥ l1, no es
difícil de demostrar que este término no local es siempre no negativo, es decir. la onda solitaria de plomo
en el agujero ondulado se propaga sobre una pendiente gradual con la fricción del fondo siempre se mueve
más rápido (y, por lo tanto, tiene mayor amplitud) que una solitaria ola aislada de la misma
amplitud inicial en el comienzo de la pendiente. De hecho, como hemos demostrado en la sección 5,
la presencia de la pendiente y la fricción del fondo siempre resultan en “apretar” la ola cnoidal, por lo tanto
aumento del intercambio de impulso entre ondas solitarias en las proximidades del borde de ataque
del agujero ondular y la aceleración de la onda solitaria de plomo en sí misma. La situación aquí es
cualitativamente análogo al descrito en la sección 6.4, donde la modulación global general
se discutió la solución para la ecuación KdV no perturbada. Similarmente a ese caso, el principal
borde ahora representa un sobre característico – un cáustico (de lo contrario estamos de vuelta en el caso
(i) que implica d/dT = ) (véase la Fig. 6a).
A diferencia del caso de las variaciones adiabáticas del borde delantero, determinación de la función
â € ¢(T ) requiere ahora el conocimiento de la solución completa del sistema de modulación perturbado (27)
con las condiciones correspondientes (93). Mientras que los métodos analíticos para construir tal solución
para los sistemas inhomogéneos cuasilineales no están disponibles actualmente, es instructivo asumir
que dÃ3r/dT − es una funciÃ3n conocida de T y para estudiar la estructura de la soluciÃ3n en
cerca del borde delantero. Con un relato de la forma explícita (103) de la velocidad
correcciones, ecuaciones (115) asumen la forma
= −d
+/dT −
2 (l2 − l1)
ln[16/(1−m)]
(1 a m)
, (116)
= −d
+/dT −
2 (l2 − l1)
ln[16/(1−m)]
(1 a m)
. (117)
Tomando la diferencia de (116) y (117) la transformamos a la forma
(de 1 a m)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
()2
(1-m) ln[16/(1-m)]
. (118)
Esta ecuación se puede integrar fácilmente con la condición inicial (111) para dar
(1 a m)2
2 d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
()2
(X+ −X). (119)
Esta solución coincide con la fórmula asintótica (92) para el comportamiento del módulo
en las proximidades del borde delantero del agujero undular en general no perturbado GP problema
[16] pero en lugar de la derivada dâr/dT en (92) tenemos la diferencia dâr/dT (que
es siempre positivo como hemos establecido).
7 Conclusiones
Hemos estudiado los efectos de una pendiente gradual y turbulenta (Chezy) fricción inferior en el
propagación de ondas solitarias, ondas periódicas no lineales y agujeros ondulados en aguas poco profundas
flujos en el marco de la ecuación de KdV perturbada por coeficiente variable. El análisis ha
se llevó a cabo en el entorno más general proporcionado por las ecuaciones asociadas Whitham
Descripción de las modulaciones lentas de una onda de desplazamiento periódica debido a la pendiente, fricción en el fondo
y la falta de uniformidad espacial de los datos iniciales. Esta teoría de la modulación, desarrollada en forma general
para las ecuaciones integrables perturbadas en Kamchatnov (2004) se aplicó aquí a la perturbada
Ecuación de KdV y nos permitió tener en cuenta las variaciones lentas de los tres parámetros
en la solución de la onda cnoidal. Las soluciones particulares independientes del tiempo del perturbado
Se demostró que las ecuaciones de modulación eran consistentes con las soluciones adiabaticamente variables
para una sola onda solitaria y para una onda periódica que se propaga sobre una pendiente sin fondo
fricción obtenida en Ostrovsky & Pelinovsky (1970, 1975) y Miles (1979, 1983a). Lo fue.
muestra, sin embargo, que la suposición de cero elevación media utilizada en estos documentos para el
descripción de las variaciones lentas de una onda cnoidal, deja de ser válida en el caso de
La fricción turbulenta en el fondo está presente. En este caso, se obtuvo una solución más general
mejora numérica de los resultados de Miles (1983b).
Por otra parte, el sistema de modulación a tiempo completo derivado se utilizó para la descripción
los efectos de la topografía variable y de la fricción del fondo sobre la propagación de la
los orificios, en particular sobre las variaciones del frente de orificios undulares que representan un sistema de
débilmente interactuando ondas solitarias. Por el análisis de las características del Whitham
sistema en las proximidades del borde delantero del agujero undular, dos configuraciones posibles
se han identificado en función de si el borde delantero del agujero undular representa un
característica regular del sistema de modulación o su característica singular, es decir: un cáustico.
Se demostró que el primer caso correspondía a deformaciones adiabáticas lentas de las clasi-
cal Gurevich-Pitaevskii solución de modulación y se realiza cuando las perturbaciones debidas a
La topografía variable y la fricción en el fondo son pequeñas en comparación con el espacio no-
uniformidad de las modulaciones en el agujero undular (que se supone que se forma fuera de la
región de topografía variable/fricción en el fondo). En el caso de modulaciones debidas a la
las perturbaciones externas son comparables en magnitud con las modulaciones existentes en el
el borde delantero se convierte en un cáustico, y esta situa-
spond a interacciones mejoradas de ondas solitarias dentro del frente de perforación undular. Mejoradas
se ha demostrado que las interacciones llevan a un crecimiento de amplitud de onda solitaria “no local”,
que no puede predecirse en el marco del enfoque tradicional local adiabático de la
agación de una onda solitaria aislada en un entorno variable. Como hemos mencionado en el
Introducción, una de nuestras motivaciones originales para este estudio fue la posibilidad de modelar un
tsunami de propagación hacia la costa como un agujero undular. En este contexto, sugerimos que:
el segundo escenario descrito anteriormente es el más relevante, que tiene la implicación de que
el crecimiento, y eventualmente la ruptura de las principales olas en un tren de onda del tsunami, no puede ser
modelado como un efecto local para esa onda en particular, pero es determinado en su lugar por el conjunto
estructura del tren de onda.
Agradecimientos
Este trabajo se inició durante la visita de A.M.K. en el Departamento de Ciencias Matemáticas
Ences, Universidad de Loughborough, Reino Unido. A.M.K. agradece al EPSRC su apoyo financiero.
Apéndice A: Derivación del sistema de modulación perturbada
Expresamos la función integral en el lado derecho de (24) en términos de μ-variable
(15):
(2-s1-U)R = 8Gμ3 − [8G/23370/i + 4(F + 2s1G)]μ2
+ [4(F + 2s1G)i + 2s1(s1G+ F)] 2s1(s1G+ F)i.
(120)
Entonces obtenemos con el uso de (13), (14) y (16) las siguientes expresiones:
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
μd. =
−P (μ)
2 = 1
μ2dl =
3 =
μ3d = −
+ s12 − s2 s3,
(121)
donde soy una integral conocida
() () () () () () () () () ()
5/2[(1−m+m2)E(m)− (1−m)(1−m/2)K(m)],
(122)
K(m) y E(m) son las integrales elípticas completas del primer y segundo tipo, respec-
Tily. Los derivados de I con respecto a Łi también se conocen integrales de la tabla (Gradshtein &
Ryzhik 1980):
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) (-) ) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ) (-) )
1
3- 1[(2 +3221)E221K],
(de 3 a μ)() (de 1)
2
K + (1 + 3 22)E],
(2)( ♥1)
3-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)---(---------------(--------------------------------------------
3 − 1[(2♥3 − 1 − Ł2)E − (2 − 1)K].
(123)
Podemos expresar fácilmente los si-derivados en términos de derivados de........................................................................................................................................................................................................................................................
fórmulas (véase (16))
s1 = l+2 + l+3, s2 = l+ l+3 + l+3, s3 = l+2°2°3 (124)
y resolver el sistema lineal para los diferenciales. El cálculo sencillo da
(−1)3−k
j 6 =i(
. (125)
A continuación, combinando (123) y (125), obtenemos los derivados I/si y, por lo tanto, las expresiones
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
(s21 − 3s2)
() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (
+ s1
1 - 2 - 3
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (- (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
(126)
Para completar el cálculo del lado derecho de (24), necesitamos también expresiones
L/1
= 2 (-) 2 (-) 1 (-) 1 (-) 1 (-)
L/2
2..............................................................................................................................................................................................................................................................
E − (1-m)K
L/3
2..............................................................................................................................................................................................................................................................
(127)
Recopilando todas las contribuciones en términos de perturbaciones, obtenemos las ecuaciones de Whitham en
el formulario
= Ci[F (T )Ai −G(T )Bi], (128)
donde Cj, Aj, Bj y vj, j = 1, 2, 3 se especifican mediante fórmulas (28) - (30).
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Introducción
Formulación de problemas
Ecuaciones de modulación
Solución de modulación en el límite de onda solitaria
Deformación adiabática de una onda cnoidal
Propagación de orificios undulares sobre topografía variable con fricción en el fondo
Problema Gurevich-Pitaevskii para caso de fricción cero de fondo plano
Agujero no diular que se desarrolla a partir de un salto inicial
Estructura del frente de agujero ondulado
Problema de Gurevich-Pitaevskii para el sistema de modulación perturbado
Deformación de la parte delantera del orificio undular debido a la topografía variable y a la fricción en el fondo
Conclusiones
|
704.0046 | A limit relation for entropy and channel capacity per unit cost | Una relación límite para la entropía
y capacidad de canal por unidad de costo
Imre Csiszár1,4, Fumio Hiai2,5 y Dénes Petz3,4
4 Instituto Alfréd Rényi de Matemáticas,
H-1364 Budapest, POB 127, Hungría
5 Escuela Superior de Ciencias de la Información, Universidad de Tohoku
Aoba-ku, Sendai 980-8579, Japón
Resumen: En un modelo mecánico cuántico, Diósi, Feldmann y Kosloff
llegó a una conjetura indicando que el límite de la entropía de determinadas mezclas
es la entropía relativa como el tamaño del sistema va al infinito. La conjetura es
probado en este documento para matrices de densidad. La primera prueba es analítica y utiliza
la ley cuántica de los grandes números. El segundo aclara la relación con
capacidad de canal por unidad de coste para canales clásicos-quantum. Ambas pruebas
conducen a generalizaciones de la conjetura.
Palabras clave: entropía Shannon, entropía von Neumann, entropía relativa, ca-
costo por unidad, Holevo con destino.
1E-mail: csiszar@renyi.hu. Con el apoyo parcial de la subvención húngara de investigación OTKA T068258.
2E-mail: hiai@math.is.tohoku.ac.jp. Con el apoyo parcial de Grant in Aid for Scientific Research
(B)17340043.
3E-mail: petz@math.bme.hu. Con el apoyo parcial de la beca húngara de investigación OTKAT068258.
http://arxiv.org/abs/0704.0046v1
1 Introducción
Fue conjeturado por Diósi, Feldmann y Kosloff en [4], basado en la termodinámica
consideraciones, que la entropía de von Neumann de un estado cuántico igual a una mezcla
Rn :=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
supera la entropía de un componente asintóticamente por la entropía relativa Umegaki
S(), es decir,
S(Rn) − (n− 1)S(l) − S(l) → S(l) (1)
como n → فارسى. Aquí son matrices de densidad actuando sobre una dimensión finita Hilbert
espacio. Recordemos que S() = −Tr
S() =
Tr (log) (log) (- log) (- log) si supp) (- supp) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log)
De lo contrario.
En cuanto al fondo de las cantidades de entropía cuántica, nos referimos a [10, 12].
Al parecer, no se ha publicado ninguna prueba exacta de (1) incluso para el caso clásico, al-
aunque para ese caso se ofrece una prueba heurística en [4].
En el artículo primero se presenta una prueba analítica de (1) para el caso supp
una desigualdad entre las entropías relativas de Umegaki y Belafkin-Staszewski, y
la ley débil de grandes números en el caso cuántico. En la segunda parte del periódico,
se aclara que el problema está relacionado con la teoría de los canales clásico-quantum. Los
la observación esencial es el hecho de que S(Rn) − (n− 1)S(
Cantidad Holevo (información clásica-quantum mutua) para un determinado canal para el que
la entropía relativa surge como la capacidad por coste unitario.
Las dos pruebas diferentes conducen a dos generalizaciones diferentes de la conjetura.
2 Una prueba analítica de la conjetura
En esta sección suponemos que supp.......................................................................................................................
Uno puede simplemente calcular:
S(Rn
n) = Tr(Rn logRn − Rn log
= −S(Rn) − (n− 1)Tr
De ahí la identidad
S(Rn
n) = −S(Rn) + (n− 1)S(l) + S(l) + S(l)
Espera. De ello se deduce que la conjetura (1) es equivalente a la declaración
S(Rn
n) → 0 como n → •
cuando supp ≤ supp ♥.
Recordemos la entropía relativa de Belafkin-Staszewski
SBS() = Tr(
1/21/2)) = −Tr(η(1/21/2))
en caso de que se desprenda ≤ desmontaje, donde η(t) := −t log t, véase [1, 10]. Fue probado por Hiai y Petz
S() ≤ SBS(), (2)
Véase [6], o Proposición 7.11 en [10].
Teorema 1. Si supp ≤ supp ♥, entonces S(Rn)− (n−1)S(l)−S(l) → S() as n → ♥.
Prueba: Queremos usar la ley cuántica de grandes números, ver Proposición 1.17 en
[10]. Asumir que las matrices de densidad son d × d y podemos suponer que es
Invertible. Debido a la construcción GNS con respecto al límite del producto
Estados n(A) = Tr
nA en el producto tensor n-fold Md(C)
N, todo tensor finito
Productos Md(C)
n están incrustados en un álgebra von Neumann M actuando sobre un Hilbert
espacio H. Si γ denota el cambio de la derecha y X := 1/21/2, entonces Rn se escribe como
Rn = (
1/2)n
γi(X)
(?1/2)n.
Por desigualdad (2), obtenemos
0 ≤ S(Rn
n) ≤ SBS(Rn
= −Tr
n η
(1/2)nRn(l)
−1/2)n
γi(X)
, (3)
donde es el vector cíclico en la construcción de GNS.
La ley de los grandes números da
γi(X) → I
en la topología del operador fuerte en B(H), ya que Ł(X) = Tr 1/21/2 = 1.
Dado que el cálculo funcional continuo preserva la fuerte convergencia (simplemente debida
a la aproximación por polinomios en un conjunto compacto), obtenemos
γi(X)
→ η(I) = 0 fuertemente.
Esto muestra que el límite superior (3) converge a 0 y la prueba es completa.
Por la misma prueba uno puede obtener que para
Rm,n :=
m (n−1) + m (n−2) + · · · + (n−1) m
la relación de límite
S(Rm,n) − (n− 1)S(l) −mS(l) → mS(l) (4)
se mantiene como n → • cuando m se fija.
En el siguiente teorema tratamos el caso probabilístico en un lenguaje de matriz. La prueba
incluye el caso cuando no es cierto supp Los lectores que no son familiares
con el ajuste cuántico del teorema anterior se sugiere seguir los argumentos
abajo.
Teorema 2. Supongamos que las matrices de densidad que se desplazan son las matrices de densidad. Entonces S(Rn)− (n−
1)S(l) − S(l) → S(l) como n → S(l).
Prueba: Podemos suponer que ♥ = Diag(μ1,. .., μl, 0,.., 0) y ...............................................................
son matrices diagonales d×d, μ1,. ..., μl > 0 y l < d. (Podemos considerar
álgebra de tamaño más grande si ♥ es invertible.) Si supp ≤ supp , entonces l+1 = · · · = ♥d = 0;
Esto se llamará el caso regular. Cuando supp............................................................................................................................
que Łd > 0 y nos referimos al caso singular.
Los valores propios de Rn corresponden a elementos (i1,. .., in) de {1,..., d}
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 5)
Dividimos los valores propios en tres grupos diferentes de la siguiente manera:
a) A corresponde a (i1,. ................................................................................................
n con 1 ≤ i1,. ...................................................................................
b) B corresponde a (i1,. ................................................................................................
n que contiene exactamente una d,
c) C es el resto de los valores propios.
Si el valor propio (5) está en el grupo A, entonces es
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
μi1μi2 · · en.
Primero computamos
η() =
i1,..., en
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
μi1 · · ·
Debajo de las sumaciones son más de 1 ≤ i1,. ..............................................................................................
i1,..., en
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
μi1 · · ·
i1,..., en
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
μi1 · · ·
log(μi1 · · ·in) + Qn
i1,..., en
En log μik +
i1,..., en
En logμik
+ · · · +
i1,..., en
En log μik
(n− 1)
μik logμik +
♥ik logμik
= (n− 1)S(l) −
♥i logμi + Qn,
donde
Qn :=
i1,..., en
(μi1 · · in)η
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
Considerar un espacio de probabilidad
(l,P) :=
{1,...., l}N, (μ1,. .., μl)
donde (μ1,. .., μl)
N es el producto de la medida en {1,...., l} con la distribución
(μ1,. ., μl). Para cada n • N dejar que Xn sea una variable aleatoria en • dependiendo de la
nth {1,................................................................................................................................................... Luego X1, X2,. .. son
distribución idéntica variables aleatorias independientes y Qn es el valor de expectativa de
X1 + · · + Xn
La fuerte ley de los grandes números dice que
X1 + · · + Xn
→ E(X1) =
Casi seguro.
Puesto que η((X1 + · · · + Xn)/n) está limitada uniformemente, la convergencia limitada de Lebesgue
teorema implica que
Qn → η
como n → فارسى.
En el caso regular
i=1 ♥i = 1, Qn → 0 y todos los valores propios distintos de cero están en el grupo A.
Por lo tanto tenemos
S(Rn) − (n− 1)S(
♥i logμi +
Log de los datos de los registros de los Estados miembros de la Unión Europea (en lo sucesivo, «log de los datos»)
y la declaración es clara.
A continuación consideramos el caso singular, cuando tenemos
η() = (n1)S() + O(1)
y nos dirigimos a valores propios en B. Si el valor propio correspondiente a (i1,. ..........................................................
{1,...., d}n está en el grupo B e i1 = d, entonces el valor propio es
dμi2. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin.
De ello se deduce que
i2,..., en
(l+dμi2 · · · en
(l+dμi2 · · · en
i2,..., en
(μi2 · · · en) log(μi2 · · · en) −
(n− 1)S(l) −
Cuando i2 = d,. .., en = d, obtenemos la misma cantidad, por lo que esto debe multiplicarse con n:
η(l) = (l)d(n− 1)S(l) − (l)d log
Hacemos una estimación más baja a la entropía de Rn de tal manera que calculamos
η(l)
cuando A y B pasan por encima de A y B. Ahora está claro que
S(Rn) − (n− 1)S(
η() +
η(l) − (n− 1)S(l) − S(l)
≥ d(n− 1)S(l) + d log n + O(1) →
como n → فارسى.
3 Interpretación como capacidad
Un canal clásico-quantum con alfabeto de entrada clásico X transfiere la entrada x X
en la salida W (x) فارسى Łx que es una matriz de densidad que actúa en un espacio Hilbert K. Nosotros
nos limitamos al caso cuando X es finito y K es finito dimensional.
Si se elige una variable aleatoria clásica X para ser la entrada, con distribución de probabilidad
P = {p(x) : x • X}, entonces la salida correspondiente es el estado cuántico X :=
X-X-p(x)-x. Cuando se realiza una medición en el sistema cuántico de salida,
da lugar a una variable de salida aleatoria Y que se distribuye conjuntamente con la entrada X.
Si una partición de unidad en B(K) describe la medida, entonces
Prob(Y = y X = x) = Tr 6)
De acuerdo con el límite de Holevo, tenemos
= H(Y ) − H(Y X) ≤ I(X,W ) := S(?X) −
p(x)S(lx), (7)
que es en realidad una simple consecuencia de la monotonicidad de la entropía relativa un-
der state transformation [7], véase también [11]. I(X,W) es la llamada cantidad de Holevo o
información clásica-cuantum mutua, y satisface la identidad
p(x)S(lx) = I(X,W) + S(lx), (8)
donde.........................................................................................................................................................
El canal se utiliza para transferir secuencias del alfabeto clásico; x = (x1, x2,. ...............................................................................................
X n se transfiere en el estado cuántico Wn(x) = x := x1x2x2... xn. Un código para
el canal Wn es definido por un subconjunto An X
n, que se llama un conjunto de palabras clave. El de-
coder es una medida {Fy : y â € X
n}. La probabilidad de error es Prob(X 6=Y), donde
X es la variable aleatoria de entrada distribuida uniformemente en An y la salida aleatoria
variable es determinada por (6), donde x e y son reemplazados por x e y.
La observación esencial es el hecho de que S(Rn)−(n−1)S(l)−S(l)) en la conjetura
es una cantidad Holevo en el caso de un canal con secuencias de entrada (x1, x2, ). ...............................................................................................................................................................................................................................................................
y las salidas. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
secuencias que contienen exactamente un 0. De manera más general, consideraremos las cantidades de Holevo
I(A,?0,?1) := S
S(lx).
definido para cualquier conjunto A {0, 1}n de secuencias binarias de longitud n.
El concepto relacionado con la conjetura que estudiamos es la capacidad de canal por costo unitario
que se define a continuación para la simplicidad sólo en el caso de X = {0, 1}, el coste de un
carácter 0 X es 1, mientras que el costo de 1 X es 0.
Para un canal sin memoria con un alfabeto de entrada binario X = {0, 1} y un > 0, a
número R > 0 se llama una tasa de
T suficientemente grande, existe un código de longitud n > T con al menos eT (R) palabras clave
tal que cada una de las palabras clave contiene como máximo T 0 y la probabilidad de error está en
la mayoría. La R más grande, que es un coste por unidad alcanzable por cada 0 es la
capacidad de canal por unidad de coste.
Lemma 1. Para una A arbitraria {0, 1}n,
I(A, l0, l1) ≤ c(A)S(l01)
se mantiene, donde
c(A) :=
i : xi = 0.
Prueba: Let c(x) := i : xi = 0 para x A. Puesto que I(A,?0,?1) es un Holevo particular
cantidad I(X,Wn), podemos utilizar la identidad (8) para obtener un límite superior
S(lx
1 ) =
c(x)S(l01) = c(A)S(l01)
para I(A,?0,?1).
Lemma 2. Si A {0, 1}n es un código del canal Wn, cuya probabilidad de error (para
algunos esquemas de decodificación) no exceden de un determinado 0 < < 1, entonces
Log 2 ≤ I(A,
Prueba: El lado derecho es un atado para la información mutua clásica I(XY ) =
H(Y) − H(Y X), donde Y es la salida del canal, véase (7). Desde la probabilidad de error
Prob(X 6 = Y ) es menor que ♥, la aplicación de la desigualdad de Fano (véase [3]) da
H(XY ) ≤ log A + log 2.
Por lo tanto
I(X • Y ) = H(X) −H(XY ) ≥ (1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
y la prueba está completa.
Los dos lemas anteriores muestran que la entropía relativa S(?01) es un límite superior
para la capacidad de canal por unidad de coste del canal W (0) = 0 y W (1) = 1 con
un alfabeto de entrada binario. De hecho, asumir que R > 0 es una tasa de Ł-logable. Por cada
Hay un código A {0, 1}n para el cual obtenemos por Lemmas 1 y 2
TS(l01) ≥ c(A)S(l01) ≥ I(L, l0, l
≥ 1 log − 1 log A − 2 log
≥ (1 − )T (R− ) − log 2.
Puesto que T es arbitrariamente grande y Ł, ♥ son arbitrariamente pequeño, R ≤ S(l01) sigue. Que
S(l01) es igual a la capacidad del canal por costo unitario se verificará a continuación.
Teorema 3. Que el canal clásico-quantum W : X = {0, 1} → B(K) se defina como
W (0) =................................................................................................................. Suponga que un {0, 1}
n es elegido de tal manera que
(a) cada elemento x = (x1, x2,. .., xn) A contiene como máximo l copias de 0,
(b) log An/ logn → c as n →
c(An) :=
i : xi = 0 → c como n →
para algún número real c > 0 y para algún número natural l. Si la variable aleatoria Xn
tiene una distribución uniforme en An, entonces
S(lXn) −
S(lx)
= cS().
La prueba del teorema se divide en lemas. Necesitamos la parte directa de la
el denominado lema cuántico Stein obtenido en [6], véase también [2, 5, 9, 12].
Lemma 3. Vamos a ser matrices de densidad. Por cada η > 0 y 0 < R < S(l01),
Si N es lo suficientemente grande, entonces hay una proyección E B(KN) tal que
αN [E] := Tr
0 (I − E) < η
y para βN [E] := Tr
1 E la estimación
log βN [E] < −R
Espera.
Tenga en cuenta que αN se llama el error del primer tipo, mientras que βN es el error del segundo
amable.
Lemma 4. Asumir que el valor de 0, 0 < R < S(l01), l es un número entero positivo y la
secuencias x en An {0, 1}
n contienen como máximo l copias de 0. Dejemos que las palabras clave sean las
N veces repeticiones xN = (x,x,. ..,x) de las secuencias x • An. Si N es la parte entera
y n es lo suficientemente grande, entonces hay un esquema de decodificación tal que la probabilidad de error es
más pequeña que la de.............................................................................................................................................................................................
Prueba: Seguimos la construcción probabilística en [13]. Dejemos que las palabras clave sean la N -
doblar repeticiones xN = (x, x,. ..,x) de las secuencias x • An. El resultado correspondiente
Las matrices de densidad actúan sobre el espacio de Hilbert KNn (Kn)N. Nos descomponemos este Hilbert
espacio en un producto N-fold de una manera diferente. Para cada 1 ≤ i ≤ n, dejar que Ki sea el
producto tensor de los factores i, i + n, i + 2n,. .., i + (N − 1) n. Así que K se identifica con
K1 K2 Kn.
Para cada 1 ≤ i ≤ n realizamos una prueba de hipótesis en el espacio Ki de Hilbert. Los
0-hipótesis es que el componente ith de la realmente elegido x • An es 0. Basado en
las salidas del canal en las instancias de tiempo i, i + n,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
probado contra la hipótesis alternativa de que el componente ith de x es 1. De acuerdo
al lema cuántico Stein (Lemma 3), dado cualquier η > 0 y 0 < R < S(), para N
suficientemente grande, existe una prueba Ei tal que la probabilidad de error del primer tipo
es menor que η, mientras que la probabilidad de error del segundo tipo es menor que e-NR.
Las proyecciones Ei y yo − Ei forman una partición de unidad en el espacio Hilbert Ki, y
el producto tensor n-fold de esta proyección de conmutación dará una partición de la unidad en
KNn. Vamos a {0, 1}n y poner Fy :=
i=1Fiyi, donde Fyi = Ei si yi = 0 y Fyi = I −Ei
Si yi = 1. Por lo tanto, el resultado de la decodificación puede ser una secuencia arbitraria 0-1 en {0, 1}
El esquema de decodificación da y {0, 1}n de tal manera que yi = 0 si las pruebas aceptadas
la 0-hipótesis para i y yi = 1 si se acepta la alternativa. La probabilidad de error
debe estimarse:
Prob(Y 6= XX = x) =
y:y 6=x
Tr N
y:y 6=x
Tr Nxi Fii
y:yi 6=xi
Tr Nxj Fyj ≤
Tr Nxi (I − Fxi).
Si xi = 0, entonces
Tr Nxi (I − Fxi) = Tr
0 (I −Ei) ≤ η,
porque es un error del primer tipo. Cuando xi = 1,
Tr Nxi (I − Fxi) = Tr
1 Ei ≤ e
del error del segundo tipo. De ello se deduce que lη + ne−NR está vinculado al error
probabilidad. El primer término será pequeño si η es pequeño. El segundo mandato será pequeño
si N es lo suficientemente grande. Si los dos términos están mayorizados por el punto 2 de la parte dispositiva, entonces la declaración de la
Lemma espera. Podemos elegir n tan grande que N definido por la declaración debe ser grande
Suficiente.
Prueba de Teorema 3: Puesto que Lemma 1 da un límite superior, es decir,
lim sup
S(lXn) −
S(lx)
≤ cS(),
Queda por demostrar que
lim inf
S(lXn) −
S(lx)
≥ cS().
Lemma 4 es sobre la entrada XN repetida N -times y describe un esquema de decodificación
con probabilidad de error a lo sumo. De acuerdo con Lemma 2 tenemos
1 log An − 1 ≤ S(lXN ) −
S(lxN ).
De la subadditividad de la entropía tenemos
S(lXN ) ≤ NS(lX)
S(lxN ) = NS(lx)
se mantiene debido a la aditividad para el producto. De ello se deduce que
(1 − )
log An
≤ S(lX) −
S(lx).
De la elección de N en Lemma 4 tenemos
log An
log n
logn + log 2 − log
log An
y el límite inferior está arbitrariamente cerca de cR. Puesto que R < S(?01) fue arbitrario, el
la prueba está completa.
Bibliografía
[1] V.P. Belafkin y P. Staszewski, generalización algebraica de la entropía relativa y
Entropía, Ann. Inst. Henri Poincaré, Sec. A 37(1982), 51–58.
[2] I. Bjelaković, J. Deuschel, T. Krüger, R. Seiler, R. Siegmund-Schultze y A. Szko la,
Una versión cuántica del teorema de Sanov, Comm. Matemáticas. Phys. 260(2005), 659–671.
[3] T. M. Cover y J. A. Thomas, Elementos de la Teoría de la Información, Segunda edición,
Wiley-Interscience, Hoboken, NJ, 2006.
[4] L. Diósi, T. Feldmann y R. Kosloff, Sobre la identidad exacta entre termodinámica
y entropías informáticas en un modelo unitario de fricción, Int. J. Información Cuántica,
4(2006), 99–104.
[5] M. Hayashi, Información Cuántica. Una introducción, Springer, 2006.
[6] F. Hiai y D. Petz, La fórmula adecuada para la entropía relativa y sus asintóticas en
Probabilidad cuántica, Comm. Matemáticas. Phys. 143 (1991), 99 a 114.
[7] A.S. Holevo, Algunas estimaciones para la cantidad de información transmi-
canal de comunicación tum (en ruso), Problemy Peredachi Informacii, 9(1973),
3–11.
[8] M.A. Nielsen e I.L. Chuang, computación cuántica e información cuántica,
Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
[9] T. Ogawa y H. Nagaoka, Strong converse y el lema de Stein
Pruebas de esis, IEEE Tans. Inf. Teoría 46(2000), 2428–2433.
[10] M. Ohya y D. Petz, Entropía Cuántica y su Uso, Springer, 1993.
[11] M. Ohya, D. Petz y N. Watanabe, Sobre las capacidades de los canales cuánticos, Prob.
Matemáticas. Stat. 17(1997), 179–196.
[12] D. Petz, Conferencias sobre teoría cuántica de la información y estadísticas cuánticas, libro
manuscrito en preparación.
[13] S. Verdu, En capacidad de canal por coste unitario, IEEE Trans. Informa. Teoría 36(1990),
1019–1030.
Introducción
Una prueba analítica de la conjetura
Interpretación como capacidad
| En un modelo mecánico cuántico, Diosi, Feldmann y Kosloff llegaron a un
conjetura de que el límite de la entropía de determinadas mezclas es la
Entropía relativa como el tamaño del sistema va al infinito. La conjetura se demuestra en
este papel para matrices de densidad. La primera prueba es analítica y utiliza el
ley cuántica de grandes números. El segundo aclara la relación con el canal
capacidad por unidad de coste para canales clásicos-quantum. Ambas pruebas conducen a
generalización de la conjetura.
| Introducción
Fue conjeturado por Diósi, Feldmann y Kosloff en [4], basado en la termodinámica
consideraciones, que la entropía de von Neumann de un estado cuántico igual a una mezcla
Rn :=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
supera la entropía de un componente asintóticamente por la entropía relativa Umegaki
S(), es decir,
S(Rn) − (n− 1)S(l) − S(l) → S(l) (1)
como n → فارسى. Aquí son matrices de densidad actuando sobre una dimensión finita Hilbert
espacio. Recordemos que S() = −Tr
S() =
Tr (log) (log) (- log) (- log) si supp) (- supp) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- supp) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log) (- log)
De lo contrario.
En cuanto al fondo de las cantidades de entropía cuántica, nos referimos a [10, 12].
Al parecer, no se ha publicado ninguna prueba exacta de (1) incluso para el caso clásico, al-
aunque para ese caso se ofrece una prueba heurística en [4].
En el artículo primero se presenta una prueba analítica de (1) para el caso supp
una desigualdad entre las entropías relativas de Umegaki y Belafkin-Staszewski, y
la ley débil de grandes números en el caso cuántico. En la segunda parte del periódico,
se aclara que el problema está relacionado con la teoría de los canales clásico-quantum. Los
la observación esencial es el hecho de que S(Rn) − (n− 1)S(
Cantidad Holevo (información clásica-quantum mutua) para un determinado canal para el que
la entropía relativa surge como la capacidad por coste unitario.
Las dos pruebas diferentes conducen a dos generalizaciones diferentes de la conjetura.
2 Una prueba analítica de la conjetura
En esta sección suponemos que supp.......................................................................................................................
Uno puede simplemente calcular:
S(Rn
n) = Tr(Rn logRn − Rn log
= −S(Rn) − (n− 1)Tr
De ahí la identidad
S(Rn
n) = −S(Rn) + (n− 1)S(l) + S(l) + S(l)
Espera. De ello se deduce que la conjetura (1) es equivalente a la declaración
S(Rn
n) → 0 como n → •
cuando supp ≤ supp ♥.
Recordemos la entropía relativa de Belafkin-Staszewski
SBS() = Tr(
1/21/2)) = −Tr(η(1/21/2))
en caso de que se desprenda ≤ desmontaje, donde η(t) := −t log t, véase [1, 10]. Fue probado por Hiai y Petz
S() ≤ SBS(), (2)
Véase [6], o Proposición 7.11 en [10].
Teorema 1. Si supp ≤ supp ♥, entonces S(Rn)− (n−1)S(l)−S(l) → S() as n → ♥.
Prueba: Queremos usar la ley cuántica de grandes números, ver Proposición 1.17 en
[10]. Asumir que las matrices de densidad son d × d y podemos suponer que es
Invertible. Debido a la construcción GNS con respecto al límite del producto
Estados n(A) = Tr
nA en el producto tensor n-fold Md(C)
N, todo tensor finito
Productos Md(C)
n están incrustados en un álgebra von Neumann M actuando sobre un Hilbert
espacio H. Si γ denota el cambio de la derecha y X := 1/21/2, entonces Rn se escribe como
Rn = (
1/2)n
γi(X)
(?1/2)n.
Por desigualdad (2), obtenemos
0 ≤ S(Rn
n) ≤ SBS(Rn
= −Tr
n η
(1/2)nRn(l)
−1/2)n
γi(X)
, (3)
donde es el vector cíclico en la construcción de GNS.
La ley de los grandes números da
γi(X) → I
en la topología del operador fuerte en B(H), ya que Ł(X) = Tr 1/21/2 = 1.
Dado que el cálculo funcional continuo preserva la fuerte convergencia (simplemente debida
a la aproximación por polinomios en un conjunto compacto), obtenemos
γi(X)
→ η(I) = 0 fuertemente.
Esto muestra que el límite superior (3) converge a 0 y la prueba es completa.
Por la misma prueba uno puede obtener que para
Rm,n :=
m (n−1) + m (n−2) + · · · + (n−1) m
la relación de límite
S(Rm,n) − (n− 1)S(l) −mS(l) → mS(l) (4)
se mantiene como n → • cuando m se fija.
En el siguiente teorema tratamos el caso probabilístico en un lenguaje de matriz. La prueba
incluye el caso cuando no es cierto supp Los lectores que no son familiares
con el ajuste cuántico del teorema anterior se sugiere seguir los argumentos
abajo.
Teorema 2. Supongamos que las matrices de densidad que se desplazan son las matrices de densidad. Entonces S(Rn)− (n−
1)S(l) − S(l) → S(l) como n → S(l).
Prueba: Podemos suponer que ♥ = Diag(μ1,. .., μl, 0,.., 0) y ...............................................................
son matrices diagonales d×d, μ1,. ..., μl > 0 y l < d. (Podemos considerar
álgebra de tamaño más grande si ♥ es invertible.) Si supp ≤ supp , entonces l+1 = · · · = ♥d = 0;
Esto se llamará el caso regular. Cuando supp............................................................................................................................
que Łd > 0 y nos referimos al caso singular.
Los valores propios de Rn corresponden a elementos (i1,. .., in) de {1,..., d}
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 5)
Dividimos los valores propios en tres grupos diferentes de la siguiente manera:
a) A corresponde a (i1,. ................................................................................................
n con 1 ≤ i1,. ...................................................................................
b) B corresponde a (i1,. ................................................................................................
n que contiene exactamente una d,
c) C es el resto de los valores propios.
Si el valor propio (5) está en el grupo A, entonces es
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
μi1μi2 · · en.
Primero computamos
η() =
i1,..., en
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
μi1 · · ·
Debajo de las sumaciones son más de 1 ≤ i1,. ..............................................................................................
i1,..., en
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
μi1 · · ·
i1,..., en
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
μi1 · · ·
log(μi1 · · ·in) + Qn
i1,..., en
En log μik +
i1,..., en
En logμik
+ · · · +
i1,..., en
En log μik
(n− 1)
μik logμik +
♥ik logμik
= (n− 1)S(l) −
♥i logμi + Qn,
donde
Qn :=
i1,..., en
(μi1 · · in)η
(l/μi1) + · · · + (l/μin)
Considerar un espacio de probabilidad
(l,P) :=
{1,...., l}N, (μ1,. .., μl)
donde (μ1,. .., μl)
N es el producto de la medida en {1,...., l} con la distribución
(μ1,. ., μl). Para cada n • N dejar que Xn sea una variable aleatoria en • dependiendo de la
nth {1,................................................................................................................................................... Luego X1, X2,. .. son
distribución idéntica variables aleatorias independientes y Qn es el valor de expectativa de
X1 + · · + Xn
La fuerte ley de los grandes números dice que
X1 + · · + Xn
→ E(X1) =
Casi seguro.
Puesto que η((X1 + · · · + Xn)/n) está limitada uniformemente, la convergencia limitada de Lebesgue
teorema implica que
Qn → η
como n → فارسى.
En el caso regular
i=1 ♥i = 1, Qn → 0 y todos los valores propios distintos de cero están en el grupo A.
Por lo tanto tenemos
S(Rn) − (n− 1)S(
♥i logμi +
Log de los datos de los registros de los Estados miembros de la Unión Europea (en lo sucesivo, «log de los datos»)
y la declaración es clara.
A continuación consideramos el caso singular, cuando tenemos
η() = (n1)S() + O(1)
y nos dirigimos a valores propios en B. Si el valor propio correspondiente a (i1,. ..........................................................
{1,...., d}n está en el grupo B e i1 = d, entonces el valor propio es
dμi2. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin. μin.
De ello se deduce que
i2,..., en
(l+dμi2 · · · en
(l+dμi2 · · · en
i2,..., en
(μi2 · · · en) log(μi2 · · · en) −
(n− 1)S(l) −
Cuando i2 = d,. .., en = d, obtenemos la misma cantidad, por lo que esto debe multiplicarse con n:
η(l) = (l)d(n− 1)S(l) − (l)d log
Hacemos una estimación más baja a la entropía de Rn de tal manera que calculamos
η(l)
cuando A y B pasan por encima de A y B. Ahora está claro que
S(Rn) − (n− 1)S(
η() +
η(l) − (n− 1)S(l) − S(l)
≥ d(n− 1)S(l) + d log n + O(1) →
como n → فارسى.
3 Interpretación como capacidad
Un canal clásico-quantum con alfabeto de entrada clásico X transfiere la entrada x X
en la salida W (x) فارسى Łx que es una matriz de densidad que actúa en un espacio Hilbert K. Nosotros
nos limitamos al caso cuando X es finito y K es finito dimensional.
Si se elige una variable aleatoria clásica X para ser la entrada, con distribución de probabilidad
P = {p(x) : x • X}, entonces la salida correspondiente es el estado cuántico X :=
X-X-p(x)-x. Cuando se realiza una medición en el sistema cuántico de salida,
da lugar a una variable de salida aleatoria Y que se distribuye conjuntamente con la entrada X.
Si una partición de unidad en B(K) describe la medida, entonces
Prob(Y = y X = x) = Tr 6)
De acuerdo con el límite de Holevo, tenemos
= H(Y ) − H(Y X) ≤ I(X,W ) := S(?X) −
p(x)S(lx), (7)
que es en realidad una simple consecuencia de la monotonicidad de la entropía relativa un-
der state transformation [7], véase también [11]. I(X,W) es la llamada cantidad de Holevo o
información clásica-cuantum mutua, y satisface la identidad
p(x)S(lx) = I(X,W) + S(lx), (8)
donde.........................................................................................................................................................
El canal se utiliza para transferir secuencias del alfabeto clásico; x = (x1, x2,. ...............................................................................................
X n se transfiere en el estado cuántico Wn(x) = x := x1x2x2... xn. Un código para
el canal Wn es definido por un subconjunto An X
n, que se llama un conjunto de palabras clave. El de-
coder es una medida {Fy : y â € X
n}. La probabilidad de error es Prob(X 6=Y), donde
X es la variable aleatoria de entrada distribuida uniformemente en An y la salida aleatoria
variable es determinada por (6), donde x e y son reemplazados por x e y.
La observación esencial es el hecho de que S(Rn)−(n−1)S(l)−S(l)) en la conjetura
es una cantidad Holevo en el caso de un canal con secuencias de entrada (x1, x2, ). ...............................................................................................................................................................................................................................................................
y las salidas. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
secuencias que contienen exactamente un 0. De manera más general, consideraremos las cantidades de Holevo
I(A,?0,?1) := S
S(lx).
definido para cualquier conjunto A {0, 1}n de secuencias binarias de longitud n.
El concepto relacionado con la conjetura que estudiamos es la capacidad de canal por costo unitario
que se define a continuación para la simplicidad sólo en el caso de X = {0, 1}, el coste de un
carácter 0 X es 1, mientras que el costo de 1 X es 0.
Para un canal sin memoria con un alfabeto de entrada binario X = {0, 1} y un > 0, a
número R > 0 se llama una tasa de
T suficientemente grande, existe un código de longitud n > T con al menos eT (R) palabras clave
tal que cada una de las palabras clave contiene como máximo T 0 y la probabilidad de error está en
la mayoría. La R más grande, que es un coste por unidad alcanzable por cada 0 es la
capacidad de canal por unidad de coste.
Lemma 1. Para una A arbitraria {0, 1}n,
I(A, l0, l1) ≤ c(A)S(l01)
se mantiene, donde
c(A) :=
i : xi = 0.
Prueba: Let c(x) := i : xi = 0 para x A. Puesto que I(A,?0,?1) es un Holevo particular
cantidad I(X,Wn), podemos utilizar la identidad (8) para obtener un límite superior
S(lx
1 ) =
c(x)S(l01) = c(A)S(l01)
para I(A,?0,?1).
Lemma 2. Si A {0, 1}n es un código del canal Wn, cuya probabilidad de error (para
algunos esquemas de decodificación) no exceden de un determinado 0 < < 1, entonces
Log 2 ≤ I(A,
Prueba: El lado derecho es un atado para la información mutua clásica I(XY ) =
H(Y) − H(Y X), donde Y es la salida del canal, véase (7). Desde la probabilidad de error
Prob(X 6 = Y ) es menor que ♥, la aplicación de la desigualdad de Fano (véase [3]) da
H(XY ) ≤ log A + log 2.
Por lo tanto
I(X • Y ) = H(X) −H(XY ) ≥ (1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
y la prueba está completa.
Los dos lemas anteriores muestran que la entropía relativa S(?01) es un límite superior
para la capacidad de canal por unidad de coste del canal W (0) = 0 y W (1) = 1 con
un alfabeto de entrada binario. De hecho, asumir que R > 0 es una tasa de Ł-logable. Por cada
Hay un código A {0, 1}n para el cual obtenemos por Lemmas 1 y 2
TS(l01) ≥ c(A)S(l01) ≥ I(L, l0, l
≥ 1 log − 1 log A − 2 log
≥ (1 − )T (R− ) − log 2.
Puesto que T es arbitrariamente grande y Ł, ♥ son arbitrariamente pequeño, R ≤ S(l01) sigue. Que
S(l01) es igual a la capacidad del canal por costo unitario se verificará a continuación.
Teorema 3. Que el canal clásico-quantum W : X = {0, 1} → B(K) se defina como
W (0) =................................................................................................................. Suponga que un {0, 1}
n es elegido de tal manera que
(a) cada elemento x = (x1, x2,. .., xn) A contiene como máximo l copias de 0,
(b) log An/ logn → c as n →
c(An) :=
i : xi = 0 → c como n →
para algún número real c > 0 y para algún número natural l. Si la variable aleatoria Xn
tiene una distribución uniforme en An, entonces
S(lXn) −
S(lx)
= cS().
La prueba del teorema se divide en lemas. Necesitamos la parte directa de la
el denominado lema cuántico Stein obtenido en [6], véase también [2, 5, 9, 12].
Lemma 3. Vamos a ser matrices de densidad. Por cada η > 0 y 0 < R < S(l01),
Si N es lo suficientemente grande, entonces hay una proyección E B(KN) tal que
αN [E] := Tr
0 (I − E) < η
y para βN [E] := Tr
1 E la estimación
log βN [E] < −R
Espera.
Tenga en cuenta que αN se llama el error del primer tipo, mientras que βN es el error del segundo
amable.
Lemma 4. Asumir que el valor de 0, 0 < R < S(l01), l es un número entero positivo y la
secuencias x en An {0, 1}
n contienen como máximo l copias de 0. Dejemos que las palabras clave sean las
N veces repeticiones xN = (x,x,. ..,x) de las secuencias x • An. Si N es la parte entera
y n es lo suficientemente grande, entonces hay un esquema de decodificación tal que la probabilidad de error es
más pequeña que la de.............................................................................................................................................................................................
Prueba: Seguimos la construcción probabilística en [13]. Dejemos que las palabras clave sean la N -
doblar repeticiones xN = (x, x,. ..,x) de las secuencias x • An. El resultado correspondiente
Las matrices de densidad actúan sobre el espacio de Hilbert KNn (Kn)N. Nos descomponemos este Hilbert
espacio en un producto N-fold de una manera diferente. Para cada 1 ≤ i ≤ n, dejar que Ki sea el
producto tensor de los factores i, i + n, i + 2n,. .., i + (N − 1) n. Así que K se identifica con
K1 K2 Kn.
Para cada 1 ≤ i ≤ n realizamos una prueba de hipótesis en el espacio Ki de Hilbert. Los
0-hipótesis es que el componente ith de la realmente elegido x • An es 0. Basado en
las salidas del canal en las instancias de tiempo i, i + n,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
probado contra la hipótesis alternativa de que el componente ith de x es 1. De acuerdo
al lema cuántico Stein (Lemma 3), dado cualquier η > 0 y 0 < R < S(), para N
suficientemente grande, existe una prueba Ei tal que la probabilidad de error del primer tipo
es menor que η, mientras que la probabilidad de error del segundo tipo es menor que e-NR.
Las proyecciones Ei y yo − Ei forman una partición de unidad en el espacio Hilbert Ki, y
el producto tensor n-fold de esta proyección de conmutación dará una partición de la unidad en
KNn. Vamos a {0, 1}n y poner Fy :=
i=1Fiyi, donde Fyi = Ei si yi = 0 y Fyi = I −Ei
Si yi = 1. Por lo tanto, el resultado de la decodificación puede ser una secuencia arbitraria 0-1 en {0, 1}
El esquema de decodificación da y {0, 1}n de tal manera que yi = 0 si las pruebas aceptadas
la 0-hipótesis para i y yi = 1 si se acepta la alternativa. La probabilidad de error
debe estimarse:
Prob(Y 6= XX = x) =
y:y 6=x
Tr N
y:y 6=x
Tr Nxi Fii
y:yi 6=xi
Tr Nxj Fyj ≤
Tr Nxi (I − Fxi).
Si xi = 0, entonces
Tr Nxi (I − Fxi) = Tr
0 (I −Ei) ≤ η,
porque es un error del primer tipo. Cuando xi = 1,
Tr Nxi (I − Fxi) = Tr
1 Ei ≤ e
del error del segundo tipo. De ello se deduce que lη + ne−NR está vinculado al error
probabilidad. El primer término será pequeño si η es pequeño. El segundo mandato será pequeño
si N es lo suficientemente grande. Si los dos términos están mayorizados por el punto 2 de la parte dispositiva, entonces la declaración de la
Lemma espera. Podemos elegir n tan grande que N definido por la declaración debe ser grande
Suficiente.
Prueba de Teorema 3: Puesto que Lemma 1 da un límite superior, es decir,
lim sup
S(lXn) −
S(lx)
≤ cS(),
Queda por demostrar que
lim inf
S(lXn) −
S(lx)
≥ cS().
Lemma 4 es sobre la entrada XN repetida N -times y describe un esquema de decodificación
con probabilidad de error a lo sumo. De acuerdo con Lemma 2 tenemos
1 log An − 1 ≤ S(lXN ) −
S(lxN ).
De la subadditividad de la entropía tenemos
S(lXN ) ≤ NS(lX)
S(lxN ) = NS(lx)
se mantiene debido a la aditividad para el producto. De ello se deduce que
(1 − )
log An
≤ S(lX) −
S(lx).
De la elección de N en Lemma 4 tenemos
log An
log n
logn + log 2 − log
log An
y el límite inferior está arbitrariamente cerca de cR. Puesto que R < S(?01) fue arbitrario, el
la prueba está completa.
Bibliografía
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[3] T. M. Cover y J. A. Thomas, Elementos de la Teoría de la Información, Segunda edición,
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y entropías informáticas en un modelo unitario de fricción, Int. J. Información Cuántica,
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Probabilidad cuántica, Comm. Matemáticas. Phys. 143 (1991), 99 a 114.
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canal de comunicación tum (en ruso), Problemy Peredachi Informacii, 9(1973),
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[11] M. Ohya, D. Petz y N. Watanabe, Sobre las capacidades de los canales cuánticos, Prob.
Matemáticas. Stat. 17(1997), 179–196.
[12] D. Petz, Conferencias sobre teoría cuántica de la información y estadísticas cuánticas, libro
manuscrito en preparación.
[13] S. Verdu, En capacidad de canal por coste unitario, IEEE Trans. Informa. Teoría 36(1990),
1019–1030.
Introducción
Una prueba analítica de la conjetura
Interpretación como capacidad
|
704.0047 | Intelligent location of simultaneously active acoustic emission sources:
Part I | Ubicación inteligente de la acústica activa simultáneamente
fuentes de emisión:
Parte I
Tadej Kosel e Igor Grabec
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, POB 394, SI-1001 Liubliana, Eslovenia
Correo electrónico: tadej.kosel@guest.arnes.si; igor.grabec@fs.uni-lj.si
Resumen— Se describe el localizador inteligente de emisiones acústicas
en la Parte I, mientras que en la Parte II se examina la separación de fuentes ciegas,
estimación de tiempo de retraso y localización de dos activos simultáneamente
fuentes de emisión acústica continua.
La ubicación de la emisión acústica en el marco complicado de la aeronave
las estructuras son un problema difícil de los ensayos no destructivos. Esto
el artículo describe un localizador de fuente de emisión acústica inteligente.
El localizador inteligente consta de una antena sensora y un
red neuronal de regresión, que resuelve el problema de localización
basado en el aprendizaje a partir de ejemplos. El rendimiento del localizador fue:
probados en diferentes muestras de ensayo. Las pruebas han demostrado que la
la precisión de la ubicación depende de la velocidad del sonido y la atenuación
en el espécimen, las dimensiones de la zona de ensayo, y el
propiedades de los datos almacenados. La precisión de ubicación lograda por
el localizador inteligente es comparable al obtenido por el
método de triangulación convencional, mientras que la aplicabilidad de la
localizador inteligente es más general desde el análisis de las trayectorias de los rayos sónicos
se evita. Este es un método prometedor para los ensayos no destructivos
de las estructuras del bastidor de la aeronave por el método de emisión acústica.
INTRODUCCIÓN
La emisión acústica (AE) se refiere a ensayos no destructivos
métodos y se utiliza para localizar y caracterizar el desarrollo
fisuras y defectos en el material. En ensayos no destructivos de
estructuras del marco de aviación, la emisión acústica es un bien aceptado
método [8]. El problema de ubicación suele ser resuelto por varios
técnicas de triangulación basadas en el análisis de rayos ultrasónicos
trayectorias [10], [1], [3]. Resolver y programar el
la ecuación es bastante engorrosa y no puede ser simplemente
formado si la estructura del espécimen sometido a ensayo es geométricamente
complicado. Ensayo de emisiones acústicas de las estructuras de las aeronaves
es un problema difícil y difícil. Las estructuras implican
tornillos, cierres y placas, todos los cuales se mueven en relación con uno
otro debido a la carga estructural diferencial durante el vuelo. Los
geometría compleja del fuselaje resulta en modo múltiple
conversiones de señales de fuente AE, agravando la dificultad
de relacionar el evento de origen con la señal detectada.
Con el fin de evitar dificultades con la solución de ecuaciones y
programación del procedimiento de triangulación, varios empíricos
los enfoques basados en el aprendizaje a partir de ejemplos ya han
propuesta [5]. Desarrollamos un localizador inteligente capaz
de aprender de ejemplos que, por lo tanto, llamamos un
localizador inteligente. El propósito de desarrollar el inteligente
Manuscrito generado: 31 de enero de 2007
el localizador debe sustituir la información obtenida del análisis
de trayectorias de rayos sónicos por información obtenida directamente de
eventos simulados de EA en el espécimen bajo ensayo. De esta manera,
el procedimiento de calibración, que debe realizarse de todos modos,
podría generalizarse al entrenamiento del localizador inteligente.
El desarrollo de tal localizador inteligente ha sido
se describe en otra parte [4]. En el localizador se desarrolló un
se emplea la red neuronal de regresión (GRNN) [9], que
adquiere datos sobre las señales y parámetros de AE detectados
de sus fuentes durante el aprendizaje. La GRNN utiliza estos datos
en los ensayos al estimar la posición de origen desconocida desde
señales de EA detectadas. Con este fin, la asociación GRNN
se utiliza la operación. La base de esta operación es estadística
estimación determinada por la media condicional [6]. Conse-
quently, la precisión del localizador inteligente también depende de
el procedimiento de aprendizaje, y debe ser examinado antes de la prueba.
Este artículo describe los resultados obtenidos mediante la prueba de la
localizador inteligente en fuentes experimentales continuas de AE. Los
el propósito de este estudio fue probar y examinar las ventajas
del localizador inteligente en comparación con un localizador convencional.
como se describe en la parte I. En la segunda parte, un experimento será
explicado en el que se utilizó un localizador inteligente para localizar
dos fuentes de EA continuas activas simultáneamente generadas
por fuga de flujo de aire. Ubicación de más de una fuente en la
al mismo tiempo en el espécimen de prueba es un nuevo enfoque en acústica
ensayos de emisiones, y es un método muy prometedor para las aeronaves
y pruebas estructurales del espacio aéreo.
Cuando preparamos los experimentos, nos centramos en localizar
defectos evolutivos en materiales y construcciones estresados, y
fugas de buques. Por lo tanto, realizamos la localización exper-
imentos en cuatro especímenes diferentes con tres AE diferentes
fuentes. Los especímenes comprendían bandas, placas, anillos, y
los vasos, mientras que las fuentes de AE fueron simuladas por la ruptura de un
plomo de lápiz (prueba de pluma), deformación del material durante el ensayo de tracción,
y fuga de aire fluye a través de un pequeño agujero en una muestra. Los
Las posiciones de las fuentes de EA utilizadas en los ensayos fueron bien especificadas.
Se compararon las posiciones reales con las estimadas, y
la discrepancia se utilizó para describir la inexactitud del
localizador. En este artículo, sólo el experimento con aire de fuga
se explica el flujo a través de un pequeño agujero en una muestra. En la parte I,
se explica la ubicación de una fuente continua de AE. Esta parte
está destinado a una mejor comprensión de la Parte II y la comparación
de resultados. En la segunda parte, un nuevo enfoque de la ubicación de dos
http://arxiv.org/abs/0704.0047v1
Se explican las fuentes de EA continuas activas simultáneamente.
A continuación, el artículo explica primero los antecedentes teóricos
para la aplicación de la media condicional a la ubicación
problema, a continuación, describe el procesamiento auxiliar de la señal AE, y
por último demuestra el rendimiento de la intelli experimental
gent localizador.
ANTECEDENTES TEÓRETICOS
En esta sección describimos un enfoque no paramétrico para
modelización empírica de los fenómenos de EA y resolución de la localización
problema. Este modelado se deriva de una descripción de la
leyes en términos de distribuciones de probabilidad. Desde que ha sido
explicada en detalle en otra parte, presentamos aquí sólo su
conceptos [6], [5].
El objeto del modelado empírico es la relación entre
variables que se miden simultáneamente por un conjunto de
sensores. En nuestro ejemplo las variables son coordenadas de origen
y características de la señal AE. Que sean representados por un
vector de los componentes M: x = (+1,. .............................................................. En el campo empírico
descripción de un fenómeno de EA repetimos la observación N
veces para crear una base de datos de prototipos de vectores {x1,. ..,xN}.
En lugar de formular una relación entre los componentes de x
en su lugar tratamos este vector como una variable aleatoria y expresa
la función de densidad de probabilidad conjunta f por el estimador
f(x) =
(x− xn). 1)..........................................................................................................................................................
Aquí denota la función delta de Dirac. A los efectos de:
modelización, también debemos estimar la densidad de probabilidad en
el espacio entre los puntos del prototipo. Esto se logra mediante
expresando la función singular delta en Eqs. 1 por un liso
función, como por ejemplo el Gaussian
wn(x− xn, ) = exp
x− xn®
, n = 1,..., N.
en el que denota el parámetro de suavizado.
Los vectores de datos determinan un modelo empírico de la
función de densidad de probabilidad. Su adquisición corresponde a
la fase de aprendizaje del modelado empírico. Vamos más lejos.
asumir que la observación del fenómeno de la EA sólo proporciona
información parcial que es dada por un vector truncado
g = (+1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
en el que se designan los componentes faltantes. El problema es
estimar el vector complementario de falta o oculta
componentes:
h = (-;-S+1,. ...............................................................................................
de tal manera que el vector de datos completo se determine por concate-
nación
x = g â € h = (â € 1,. ............................................................... ................................................................................... 5)
Se determina una solución estadísticamente óptima a este problema
por el estimador medio condicional, que se expresa por un
superposición de términos [6]
Bn(g)hn, donde (6)
Bn(g) =
w(g − gn,
w(g − gk,
. 7)..................................................................................................................................................
Las funciones de base Bn(g) representan una medida de similitud
entre el vector truncado g dado por un ob- particular
Servación y vectores truncados de la base de datos gn. Los
mayor el valor de Bn(g) mayor la contribución de hn
a la suma 7 estimando â € ¬. Por lo tanto, la estimación de lo oculto
vector â € se parece a la memoria asociativa, que es característico
de inteligencia. El promedio condicional representa un
regresión no paramétrica [6].
Durante la fase de aprendizaje de la operación un localizador inteligente
de fuentes AE acepta señales AE y coordenadas de fuente
y almacena prototipos de vectores de datos, mientras que durante la aplicación
acepta sólo señales AE y estima la correspondiente
posición de origen. Cada una de estas fases se puede realizar en un
unidad separada que puede ser interpretada como una capa de un sensor-
red neuronal.
Con el fin de garantizar las propiedades aceptables del localizador,
el parámetro de suavizado debe ser elegido correctamente[2]. Los
el propósito de la función de suavizado es estimar la probabilidad
función de densidad entre los puntos de datos del prototipo. Un único
método para la especificación óptima del parámetro de suavizado
aún no se sabe. En este caso, es numéricamente más sencillo
especificar por la media distancia al punto vecino más cercano:
n = 0,5 min
Para todos i 6 = n. (8)
Preprocesamiento de señales
El localizador inteligente comprendía una antena sensora, señal
Unidad de preprocesamiento y unidad de localización de fuentes, como se muestra en
Fig. 1. La primera unidad calcula el tiempo de retraso
AE señala y1(t) e y2(t), mientras que la segunda unidad estima
la posición de la fuente de la demora de tiempo t. Señales AE
y1(t) e y2(t) son detectados por sensores y filtrados utilizando un
Filtro Butterworth bandpass. Sin el filtro bandpass, el tiempo
los retrasos no se pueden asignar fácilmente a las posiciones de origen en el
banda de muestreo y, por lo tanto, la aplicabilidad de este método
depende de la elección adecuada de la función de filtro bandpass H(f).
Encontramos en los especímenes dispersivos que la información en el
señal continua de AE sobre la posición de la fuente se encuentra en una
banda de frecuencia estrecha. Un paquete de onda con aproximadamente
velocidad de onda constante a lo largo del espécimen debe ser extraído
por este filtro. La función de filtro H(f) se determina durante
procedimiento de entrenamiento del localizador.
Sustitución de PSfrag
y1(t)
y2(t)
y1(t)
y2(t)
Ry1y2 TCross-
correlator
detector
Localizador Sensor
Sensor
Paso de banda
filtro
Espécimen de ensayo
#2 H(f)
Unidad de preprocesamiento de señales
Fig. 1. Procesamiento de señales AE por el localizador inteligente
Dos métodos convencionales para la estimación del tiempo de retraso son:
entre dos señales se conocen: función de umbral y
función de correlación. Estimación del retraso en el tiempo en el umbral
función es simple, pero sólo aplicable en el caso de discreto
AE. Más general, pero también más exigente, es el retraso de tiempo
estimación a partir de la función de correlación cruzada de las señales AE
[11]. La función de correlación cruzada:
Ry1y2() =
y1(t) y2(t+ ), (9)
generalmente muestra un pico cuando el parámetro corresponde a
el retardo de tiempo entre las señales y1(t) y y2(t). La hora
el retraso se determina así desde la posición del pico de la
función de correlación cruzada. Una ventaja de la aplicación
de la función de correlación cruzada es que no depende
sobre el carácter discreto o continuo de las señales AE. Esto
método para la estimación del tiempo de retraso sólo es aplicable cuando
La fuente de AE está activa en el momento de la detección. En caso de
dos o más fuentes de AE continuas activas simultáneamente, una
se debería utilizar un enfoque diferente, que se debatirá en
la Parte II.
Una función de filtro se calcula durante la calibración de la
localizador inteligente como sigue. Durante la calibración, un conjunto de
fuentes prototipo se generan en la muestra de prueba por una pluma
prueba en una red de coordenadas preparada[8]. Esta red en la mayoría de los casos
tiene secciones lineales, donde se colocan las fuentes del prototipo
en línea recta. En este caso, sabemos que los retrasos de tiempo
entre señales son también linealmente dependientes. Si tenemos una prueba
espécimen con una estructura geométrica complicada, a continuación, un pre-
proceso de calibración tiene que ser realizado en el que tenemos que
elegir una parte geométricamente simple del espécimen y llevar
a cabo un procedimiento de precalibración de esta parte tal que el tiempo
los retrasos entre las señales dependen linealmente.
Para la calibración utilizamos señales AE generadas por una pluma
prueba. Obtuvimos 12 pares de señales AE de dos sensores
concatenados con coordenadas conocidas de fuentes. El posi-
ciones de fuentes simuladas fueron distribuidas uniformemente a lo largo de un
línea recta en un espécimen. En tales casos, el plazo de espera es el siguiente:
linealmente relacionado con la posición de origen z. Esto es de ventaja para
determinación óptima del filtro bandpass porque la referencia
es una línea recta. Cálculo de los retrasos en el tiempo en el mismo conjunto
de señales de AE prototipo se repitió 70 veces. El bandpass
el filtro de Łf = 10 kHz fue desplazado por 1 kHz en cada repetición
de 5 a 75 kHz. Se calcularon los retrasos en el tiempo en cada una de ellas.
la repetición y la distribución obtenida se comparó con una
línea recta, como se muestra en la Fig. 2. El ancho de banda de frecuencia era
considerado óptimo cuando el error cuadrado medio raíz (RMSE)
fue mínimo, como se muestra en la Fig. 3 a). La frecuencia óptima
banda para este espécimen fue de 35-45 kHz y la velocidad de
Las ondas elásticas fueron de 1,7 km s−1. El filtro fue utilizado para
muestras de preprocesamiento de prototipos, así como de fuentes de ensayo. As
se muestra en la Fig. 3(b), los pares (z,t), estimados a partir de filtrados
señales, encajan en una línea recta, excepto un atípico, que resulta
por error experimental.
EXPERIMENTO
El localizador inteligente de fuentes AE se muestra esquemáticamente
en Fig. 4. Incluye un sistema automático de adquisición de datos
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
5–15 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
25–35 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
25–35 kHz
35–45 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
25–35 kHz
35–45 kHz
45–55 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
25–35 kHz
35–45 kHz
45–55 kHz
55–65 kHz
Fig. 2. Distribución de los retrasos temporales y su aproximación lineal
el espécimen de la banda. Por este procedimiento un filtro de paso de banda óptimo puede ser
determinado.
controlado por ordenador y una red de sensores AE.
Los sensores AE son transductores piezoeléctricos (pinductores).
El diámetro del área activa del transductor es de 1,3 mm, y por lo tanto
puede ser considerado como un sensor puntual. Las señales de los sensores
se alimentan a un osciloscopio digital donde se digitalizan y
transferido a un PC. El funcionamiento del localizador inteligente es
determinado por software en el PC que controla la adquisición de datos
y estima la posición de fuentes desconocidas de EA.
El localizador funciona en dos modos diferentes:
1) En el modo de aprendizaje o calibración, un conjunto de pruebas de N pluma es
realizado en el que la información completa sobre el AE
el fenómeno se adquiere. El operador debe preparar una
red de orientación cuya forma depende de la forma
del espécimen de ensayo. La forma recomendada es un
red equidistante, puesto que la posición de las fuentes prototipo
producir un error mínimo del localizador. ¿Desde el origen?
coordenadas y retrasos de tiempo entre AE preprocesado
señales, los prototipos de vectores se crean y almacenan en
la memoria de la red neuronal como base de datos.
2) En el modo de aplicación, sólo los retrasos de tiempo entre AE
se proporcionan señales. A continuación, se asocian en el
red neuronal con las coordenadas de origen estimadas.
En el caso de EA discreta, el tiempo de retraso puede ser visualmente
estimado a partir de un salto marcado en el estallido de la señal AE, o
se puede determinar instrumentalmente utilizando una función de umbral.
Por lo tanto, en el caso de EA continua, los retrasos de tiempo no pueden
ser simplemente estimado, aunque una función de correlación cruzada
ya se ha utilizado para este fin. En nuestro enfoque, nosotros
Por lo tanto, aplicó una función de correlación cruzada. El propósito de
este experimento fue para determinar la exactitud de la ubicación de
fuentes continuas de EA en un espécimen unidimensional.
Se explican dos experimentos con espécimen de banda de aluminio
en este artículo. Probamos el localizador en una banda de aluminio
espécimen de dimensiones 4000 × 40 × 5mm3. Reflexión de
Se redujeron las señales AE en los extremos del espécimen de la banda
afilando los extremos. Para la prueba hemos seleccionado un área de prueba
15 a 25 35 a 45 55 a 65 75 a 85
Sustitución de PSfrag
[kHz] - Banda de frecuencia
E-fopt
−1000 −500 0 500 1000
Sustitución de PSfrag
z [mm] - Ubicación real
-Antiguamente.
Fig. 3. Retrasos en el tiempo para las fuentes de prototipos y ensayos mediante el paso de banda
filtro de frecuencia 35-45 kHz. a) Desviación de la posición de la fuente prototipo de
una línea recta para diferentes anchos de banda de frecuencia de filtro. b) Retrasos en el tiempo
fuentes de prototipos y pruebas; Leyenda: + fuente de prototipos, • fuente de pruebas
en el centro del espécimen de la banda donde estaban 23 agujeros
preparado. La distancia entre los agujeros era de 100 mm y el
El diámetro de los agujeros era de 2 mm. Se montaron dos sensores AE
A 100 mm de los orificios terminales. A los efectos de:
entrenamiento localizador, generamos 12 fuentes prototipo separadas
por 200 mm, mientras que los 23 agujeros se aplicaron para el ensayo del localizador.
En este experimento, calibramos el localizador por la prueba de la pluma y
examinarlo mediante EA continua generada por el flujo de aire. El aire
flujo fue producido por la expansión del aire comprimido a través de
boquilla de 1 mm de diámetro. La boquilla fue montada 1 mm
sobre la superficie del espécimen de banda.
Se realizaron dos experimentos. En el primer experimento,
Sólo una fuente continua de AE estaba activa en la banda
espécimen, mientras que en el segundo experimento dos AE continua
las fuentes estaban activas simultáneamente en el espécimen de la banda.
Se explica la localización simultánea sucesiva de dos fuentes
en la parte II.
Las señales fueron procesadas como se muestra en la Fig. 1. El primer paso
en el procesamiento fue el cálculo de la función de correlación cruzada
de señales de AE. La señal correspondiente fue enviada a través de una
bandapass Butterworth filtro de bandapass de 35 a 45 kHz.
La determinación de este filtro se explica anteriormente en este artículo.
RESULTADOS
Los resultados de las pruebas de localización se muestran en la Fig. 5 a). Los
error absoluto de ubicación para cada fuente de prueba se muestra en
Fig. 5 b). El error de ubicación en el experimento oscila entre 1,3 mm
a 60 mm con valor medio de A = 20 mm (sin tener en cuenta el valor
atípico). Si describimos el error con respecto a la distancia
entre sensores (2,4 m), el valor relativo es inferior al 1%.
El aumento del número de fuentes de prototipos puede reducir la
error. A pesar de la complejidad de las señales de AE continuas, la
problema de ubicación se resolvió satisfactoriamente con respecto a la
precisión requerida en los ensayos no destructivos. Los resultados también muestran
que un procedimiento de calibración estándar con señales discretas de AE
se puede utilizar para el entrenamiento del localizador.
Sustitución de PSfrag
Sensores
Operador
Analógico
Señales
#2 Digital
osciloscopio
Conjunto de parámetros
Computadora
Calibración por fuentes simuladas de AE
Fig. 4. Configuración experimental del localizador inteligente
−1000 −500 0 500 1000
−1000
Sustitución de PSfrag
x [mm] - Ubicación real
-Antiguamente.
−1000 −500 0 500 1000
Sustitución de PSfrag
x [mm] - Ubicación real
-Antiguamente.
Fig. 5. Resultado de la localización continua de la fuente de AE en la banda. a) Estimación
versus la ubicación real de las fuentes de prueba; Leyenda: + fuente de prototipo, • fuente de prueba.
b) Error absoluto de ubicación; Ła - error promedio.
DEBATE Y CONCLUSIÓN
Estimación de las coordenadas de origen por el promedio condicional
está sujeto a un error sistemático causado por el suavizado de la
función delta [5]. Este error se puede reducir aumentando
el número de fuentes de prototipos. Ya que no es siempre
posible aumentar el número de fuentes prototipo debido a
la complejidad de los experimentos, hay que encontrar un compromiso
por ensayo y error.
El error experimental es aceptable, así que decidimos hacer
pruebas adicionales, como se examinará en la parte II.
Este estudio muestra que un localizador convencional de AE en funcionamiento
en el método de triangulación puede ser reemplazado con éxito por un
localizador inteligente que aprende de ejemplos. Los resultados muestran
que el localizador inteligente puede localizar fuentes con
precisión en casos de: (1) EA discreta en banda y placa, (2)
AE continua en banda, (3) AE discreta en placa con agujero
(ring), (4) EA discreta generada por ruptura de espécimen durante
el ensayo de tracción y (5) AE discreto en el recipiente a presión. Lo ha hecho.
también se ha demostrado que el localizador puede realizar localización zonal[7].
Comparar los errores medios de todos los experimentos y las distancias
entre fuentes prototipo, encontramos que el error promedio
es siempre menos del 30% de la distancia entre el prototipo
fuentes, mientras que el error máximo es siempre menos del 50% de
la distancia entre las fuentes del prototipo. La exactitud de la
el localizador puede ser controlado por el número de fuentes prototipo
Emocionado durante el entrenamiento. El error experimental del localizador es
una consecuencia de la dispersión de ondas en un espécimen que opera
como guía de onda, reflejos de límites y atenuación.
Encontramos para las ondas dispersivas que un paquete de ondas óptimo
debe encontrarse que tiene una velocidad aproximadamente constante
a lo largo del espécimen de prueba. Estimación del tiempo transcurrido entre EA
las señales por la función de correlación cruzada sólo son aplicables para
una fuente activa de AE. Si hay varios activos simultáneamente
Fuentes AE, entonces la separación de fuentes ciegas debe ser utilizada, como
se mostrará en la Parte II.
REFERENCIAS
[1] Chan, Y. T. Ho, K. C. 1994, Un estimador sencillo y eficiente para
localización perbólica, Transacciones IEEE sobre Procesamiento de Señales 42(8), 1905–
1915.
[2] Cherkassky, V. Mulier, F. 1998, Leraning from Data: Conceptos, Teoría,
y Métodos, John Wiley & Sons inc., Nueva York.
[3] Friedlander, B. 1987, Un algoritmo de localización pasiva y su precisión
análisis, IEEE Journal of Oceanic Engineering OE-12(1), 234–245.
[4] Grabec, I. Antolovič, B. 1994, Localizador inteligente de fuentes de AE, en
T. Kishi, Y. Mori M. Enoki, eds, La 12a Emisión Acústica Internacional
Simposio, Vol. 7 del progreso en la emisión acústica, los japoneses
Sociedad para la Inspección No Destructiva, Tokio, Japón, pp. 565–570.
[5] Grabec, I. Sachse, W. 1991, «Modelo automático de fenómenos físicos:
Aplicación a datos ultrasónicos», J. Appl. Phys. 69(9), 6233–6244.
[6] Grabec, I. Sachse, W. 1997, Synergetics of Measurement, Prediction and
Control, Springer-Verlag, Berlín.
[7] Kosel, T. Grabec, I. 1998, Localizador inteligente de discreto y continuo
fuentes de emisión acústica, en J. Grum, ed., Aplicación de Contemporary
Ensayos no destructivos en Ingeniería, 5a Conferencia Internacional
Sociedad Eslovena de Ensayos No Destructivos, Sociedad Eslovena de Ensayos No Destructivos
Ensayos no destructivos, Liubliana, Eslovenia, pp. 39–54.
[8] McIntire, P. Miller, R. K., eds 1987, Acoustic Emission Testing, Vol. 5
Manual de Pruebas No Destructivas, 2 edn, American Society for Non--
pruebas destructivas, Filadelfia, EE.UU.
[9] Specht, D. F. 1991, Una red neural de regresión general, IEEE Trans.
sobre Redes Neurales 2(6), 568-576.
[10] Tobias, A. 1976, Ubicación de la fuente de emisión acústica en dos dimensiones
por un conjunto de tres sensores, Ensayos no destructivos 9(2), 9-12.
[11] Ziola, S. M. Gorman, M. R. 1991, Ubicación de la fuente en las placas delgadas utilizando
correlación cruzada, J. Acoust. Soc. Soy. 90(5), 2551–2556.
Bibliografía
| El localizador inteligente de emisiones acústicas se describe en la parte I, mientras que la parte
II se refiere a la separación de fuentes ciegas, la estimación del tiempo de retraso y la ubicación de dos
fuentes de emisión acústica continua activa simultáneamente.
La ubicación de la emisión acústica en estructuras de bastidor de aeronaves complicadas es
un difícil problema de pruebas no destructivas. Este artículo describe un
localizador inteligente de fuentes de emisión acústica. El localizador inteligente comprende
una antena sensora y una red neural de regresión general, que resuelve la
problema de ubicación basado en el aprendizaje de ejemplos. El rendimiento del localizador fue:
probados en diferentes muestras de ensayo. Las pruebas han demostrado que la precisión de
lugar depende de la velocidad del sonido y la atenuación en la muestra, la
dimensiones del área probada, y las propiedades de los datos almacenados. La ubicación
la precisión alcanzada por el localizador inteligente es comparable a la obtenida por
el método de triangulación convencional, mientras que la aplicabilidad del
localización inteligente es más general ya que el análisis de trayectorias de rayos sónicos es
Evitado. Este es un método prometedor para los ensayos no destructivos de aeronaves
estructuras de marco por el método de emisión acústica.
| Ubicación inteligente de la acústica activa simultáneamente
fuentes de emisión:
Parte I
Tadej Kosel e Igor Grabec
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, POB 394, SI-1001 Liubliana, Eslovenia
Correo electrónico: tadej.kosel@guest.arnes.si; igor.grabec@fs.uni-lj.si
Resumen— Se describe el localizador inteligente de emisiones acústicas
en la Parte I, mientras que en la Parte II se examina la separación de fuentes ciegas,
estimación de tiempo de retraso y localización de dos activos simultáneamente
fuentes de emisión acústica continua.
La ubicación de la emisión acústica en el marco complicado de la aeronave
las estructuras son un problema difícil de los ensayos no destructivos. Esto
el artículo describe un localizador de fuente de emisión acústica inteligente.
El localizador inteligente consta de una antena sensora y un
red neuronal de regresión, que resuelve el problema de localización
basado en el aprendizaje a partir de ejemplos. El rendimiento del localizador fue:
probados en diferentes muestras de ensayo. Las pruebas han demostrado que la
la precisión de la ubicación depende de la velocidad del sonido y la atenuación
en el espécimen, las dimensiones de la zona de ensayo, y el
propiedades de los datos almacenados. La precisión de ubicación lograda por
el localizador inteligente es comparable al obtenido por el
método de triangulación convencional, mientras que la aplicabilidad de la
localizador inteligente es más general desde el análisis de las trayectorias de los rayos sónicos
se evita. Este es un método prometedor para los ensayos no destructivos
de las estructuras del bastidor de la aeronave por el método de emisión acústica.
INTRODUCCIÓN
La emisión acústica (AE) se refiere a ensayos no destructivos
métodos y se utiliza para localizar y caracterizar el desarrollo
fisuras y defectos en el material. En ensayos no destructivos de
estructuras del marco de aviación, la emisión acústica es un bien aceptado
método [8]. El problema de ubicación suele ser resuelto por varios
técnicas de triangulación basadas en el análisis de rayos ultrasónicos
trayectorias [10], [1], [3]. Resolver y programar el
la ecuación es bastante engorrosa y no puede ser simplemente
formado si la estructura del espécimen sometido a ensayo es geométricamente
complicado. Ensayo de emisiones acústicas de las estructuras de las aeronaves
es un problema difícil y difícil. Las estructuras implican
tornillos, cierres y placas, todos los cuales se mueven en relación con uno
otro debido a la carga estructural diferencial durante el vuelo. Los
geometría compleja del fuselaje resulta en modo múltiple
conversiones de señales de fuente AE, agravando la dificultad
de relacionar el evento de origen con la señal detectada.
Con el fin de evitar dificultades con la solución de ecuaciones y
programación del procedimiento de triangulación, varios empíricos
los enfoques basados en el aprendizaje a partir de ejemplos ya han
propuesta [5]. Desarrollamos un localizador inteligente capaz
de aprender de ejemplos que, por lo tanto, llamamos un
localizador inteligente. El propósito de desarrollar el inteligente
Manuscrito generado: 31 de enero de 2007
el localizador debe sustituir la información obtenida del análisis
de trayectorias de rayos sónicos por información obtenida directamente de
eventos simulados de EA en el espécimen bajo ensayo. De esta manera,
el procedimiento de calibración, que debe realizarse de todos modos,
podría generalizarse al entrenamiento del localizador inteligente.
El desarrollo de tal localizador inteligente ha sido
se describe en otra parte [4]. En el localizador se desarrolló un
se emplea la red neuronal de regresión (GRNN) [9], que
adquiere datos sobre las señales y parámetros de AE detectados
de sus fuentes durante el aprendizaje. La GRNN utiliza estos datos
en los ensayos al estimar la posición de origen desconocida desde
señales de EA detectadas. Con este fin, la asociación GRNN
se utiliza la operación. La base de esta operación es estadística
estimación determinada por la media condicional [6]. Conse-
quently, la precisión del localizador inteligente también depende de
el procedimiento de aprendizaje, y debe ser examinado antes de la prueba.
Este artículo describe los resultados obtenidos mediante la prueba de la
localizador inteligente en fuentes experimentales continuas de AE. Los
el propósito de este estudio fue probar y examinar las ventajas
del localizador inteligente en comparación con un localizador convencional.
como se describe en la parte I. En la segunda parte, un experimento será
explicado en el que se utilizó un localizador inteligente para localizar
dos fuentes de EA continuas activas simultáneamente generadas
por fuga de flujo de aire. Ubicación de más de una fuente en la
al mismo tiempo en el espécimen de prueba es un nuevo enfoque en acústica
ensayos de emisiones, y es un método muy prometedor para las aeronaves
y pruebas estructurales del espacio aéreo.
Cuando preparamos los experimentos, nos centramos en localizar
defectos evolutivos en materiales y construcciones estresados, y
fugas de buques. Por lo tanto, realizamos la localización exper-
imentos en cuatro especímenes diferentes con tres AE diferentes
fuentes. Los especímenes comprendían bandas, placas, anillos, y
los vasos, mientras que las fuentes de AE fueron simuladas por la ruptura de un
plomo de lápiz (prueba de pluma), deformación del material durante el ensayo de tracción,
y fuga de aire fluye a través de un pequeño agujero en una muestra. Los
Las posiciones de las fuentes de EA utilizadas en los ensayos fueron bien especificadas.
Se compararon las posiciones reales con las estimadas, y
la discrepancia se utilizó para describir la inexactitud del
localizador. En este artículo, sólo el experimento con aire de fuga
se explica el flujo a través de un pequeño agujero en una muestra. En la parte I,
se explica la ubicación de una fuente continua de AE. Esta parte
está destinado a una mejor comprensión de la Parte II y la comparación
de resultados. En la segunda parte, un nuevo enfoque de la ubicación de dos
http://arxiv.org/abs/0704.0047v1
Se explican las fuentes de EA continuas activas simultáneamente.
A continuación, el artículo explica primero los antecedentes teóricos
para la aplicación de la media condicional a la ubicación
problema, a continuación, describe el procesamiento auxiliar de la señal AE, y
por último demuestra el rendimiento de la intelli experimental
gent localizador.
ANTECEDENTES TEÓRETICOS
En esta sección describimos un enfoque no paramétrico para
modelización empírica de los fenómenos de EA y resolución de la localización
problema. Este modelado se deriva de una descripción de la
leyes en términos de distribuciones de probabilidad. Desde que ha sido
explicada en detalle en otra parte, presentamos aquí sólo su
conceptos [6], [5].
El objeto del modelado empírico es la relación entre
variables que se miden simultáneamente por un conjunto de
sensores. En nuestro ejemplo las variables son coordenadas de origen
y características de la señal AE. Que sean representados por un
vector de los componentes M: x = (+1,. .............................................................. En el campo empírico
descripción de un fenómeno de EA repetimos la observación N
veces para crear una base de datos de prototipos de vectores {x1,. ..,xN}.
En lugar de formular una relación entre los componentes de x
en su lugar tratamos este vector como una variable aleatoria y expresa
la función de densidad de probabilidad conjunta f por el estimador
f(x) =
(x− xn). 1)..........................................................................................................................................................
Aquí denota la función delta de Dirac. A los efectos de:
modelización, también debemos estimar la densidad de probabilidad en
el espacio entre los puntos del prototipo. Esto se logra mediante
expresando la función singular delta en Eqs. 1 por un liso
función, como por ejemplo el Gaussian
wn(x− xn, ) = exp
x− xn®
, n = 1,..., N.
en el que denota el parámetro de suavizado.
Los vectores de datos determinan un modelo empírico de la
función de densidad de probabilidad. Su adquisición corresponde a
la fase de aprendizaje del modelado empírico. Vamos más lejos.
asumir que la observación del fenómeno de la EA sólo proporciona
información parcial que es dada por un vector truncado
g = (+1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
en el que se designan los componentes faltantes. El problema es
estimar el vector complementario de falta o oculta
componentes:
h = (-;-S+1,. ...............................................................................................
de tal manera que el vector de datos completo se determine por concate-
nación
x = g â € h = (â € 1,. ............................................................... ................................................................................... 5)
Se determina una solución estadísticamente óptima a este problema
por el estimador medio condicional, que se expresa por un
superposición de términos [6]
Bn(g)hn, donde (6)
Bn(g) =
w(g − gn,
w(g − gk,
. 7)..................................................................................................................................................
Las funciones de base Bn(g) representan una medida de similitud
entre el vector truncado g dado por un ob- particular
Servación y vectores truncados de la base de datos gn. Los
mayor el valor de Bn(g) mayor la contribución de hn
a la suma 7 estimando â € ¬. Por lo tanto, la estimación de lo oculto
vector â € se parece a la memoria asociativa, que es característico
de inteligencia. El promedio condicional representa un
regresión no paramétrica [6].
Durante la fase de aprendizaje de la operación un localizador inteligente
de fuentes AE acepta señales AE y coordenadas de fuente
y almacena prototipos de vectores de datos, mientras que durante la aplicación
acepta sólo señales AE y estima la correspondiente
posición de origen. Cada una de estas fases se puede realizar en un
unidad separada que puede ser interpretada como una capa de un sensor-
red neuronal.
Con el fin de garantizar las propiedades aceptables del localizador,
el parámetro de suavizado debe ser elegido correctamente[2]. Los
el propósito de la función de suavizado es estimar la probabilidad
función de densidad entre los puntos de datos del prototipo. Un único
método para la especificación óptima del parámetro de suavizado
aún no se sabe. En este caso, es numéricamente más sencillo
especificar por la media distancia al punto vecino más cercano:
n = 0,5 min
Para todos i 6 = n. (8)
Preprocesamiento de señales
El localizador inteligente comprendía una antena sensora, señal
Unidad de preprocesamiento y unidad de localización de fuentes, como se muestra en
Fig. 1. La primera unidad calcula el tiempo de retraso
AE señala y1(t) e y2(t), mientras que la segunda unidad estima
la posición de la fuente de la demora de tiempo t. Señales AE
y1(t) e y2(t) son detectados por sensores y filtrados utilizando un
Filtro Butterworth bandpass. Sin el filtro bandpass, el tiempo
los retrasos no se pueden asignar fácilmente a las posiciones de origen en el
banda de muestreo y, por lo tanto, la aplicabilidad de este método
depende de la elección adecuada de la función de filtro bandpass H(f).
Encontramos en los especímenes dispersivos que la información en el
señal continua de AE sobre la posición de la fuente se encuentra en una
banda de frecuencia estrecha. Un paquete de onda con aproximadamente
velocidad de onda constante a lo largo del espécimen debe ser extraído
por este filtro. La función de filtro H(f) se determina durante
procedimiento de entrenamiento del localizador.
Sustitución de PSfrag
y1(t)
y2(t)
y1(t)
y2(t)
Ry1y2 TCross-
correlator
detector
Localizador Sensor
Sensor
Paso de banda
filtro
Espécimen de ensayo
#2 H(f)
Unidad de preprocesamiento de señales
Fig. 1. Procesamiento de señales AE por el localizador inteligente
Dos métodos convencionales para la estimación del tiempo de retraso son:
entre dos señales se conocen: función de umbral y
función de correlación. Estimación del retraso en el tiempo en el umbral
función es simple, pero sólo aplicable en el caso de discreto
AE. Más general, pero también más exigente, es el retraso de tiempo
estimación a partir de la función de correlación cruzada de las señales AE
[11]. La función de correlación cruzada:
Ry1y2() =
y1(t) y2(t+ ), (9)
generalmente muestra un pico cuando el parámetro corresponde a
el retardo de tiempo entre las señales y1(t) y y2(t). La hora
el retraso se determina así desde la posición del pico de la
función de correlación cruzada. Una ventaja de la aplicación
de la función de correlación cruzada es que no depende
sobre el carácter discreto o continuo de las señales AE. Esto
método para la estimación del tiempo de retraso sólo es aplicable cuando
La fuente de AE está activa en el momento de la detección. En caso de
dos o más fuentes de AE continuas activas simultáneamente, una
se debería utilizar un enfoque diferente, que se debatirá en
la Parte II.
Una función de filtro se calcula durante la calibración de la
localizador inteligente como sigue. Durante la calibración, un conjunto de
fuentes prototipo se generan en la muestra de prueba por una pluma
prueba en una red de coordenadas preparada[8]. Esta red en la mayoría de los casos
tiene secciones lineales, donde se colocan las fuentes del prototipo
en línea recta. En este caso, sabemos que los retrasos de tiempo
entre señales son también linealmente dependientes. Si tenemos una prueba
espécimen con una estructura geométrica complicada, a continuación, un pre-
proceso de calibración tiene que ser realizado en el que tenemos que
elegir una parte geométricamente simple del espécimen y llevar
a cabo un procedimiento de precalibración de esta parte tal que el tiempo
los retrasos entre las señales dependen linealmente.
Para la calibración utilizamos señales AE generadas por una pluma
prueba. Obtuvimos 12 pares de señales AE de dos sensores
concatenados con coordenadas conocidas de fuentes. El posi-
ciones de fuentes simuladas fueron distribuidas uniformemente a lo largo de un
línea recta en un espécimen. En tales casos, el plazo de espera es el siguiente:
linealmente relacionado con la posición de origen z. Esto es de ventaja para
determinación óptima del filtro bandpass porque la referencia
es una línea recta. Cálculo de los retrasos en el tiempo en el mismo conjunto
de señales de AE prototipo se repitió 70 veces. El bandpass
el filtro de Łf = 10 kHz fue desplazado por 1 kHz en cada repetición
de 5 a 75 kHz. Se calcularon los retrasos en el tiempo en cada una de ellas.
la repetición y la distribución obtenida se comparó con una
línea recta, como se muestra en la Fig. 2. El ancho de banda de frecuencia era
considerado óptimo cuando el error cuadrado medio raíz (RMSE)
fue mínimo, como se muestra en la Fig. 3 a). La frecuencia óptima
banda para este espécimen fue de 35-45 kHz y la velocidad de
Las ondas elásticas fueron de 1,7 km s−1. El filtro fue utilizado para
muestras de preprocesamiento de prototipos, así como de fuentes de ensayo. As
se muestra en la Fig. 3(b), los pares (z,t), estimados a partir de filtrados
señales, encajan en una línea recta, excepto un atípico, que resulta
por error experimental.
EXPERIMENTO
El localizador inteligente de fuentes AE se muestra esquemáticamente
en Fig. 4. Incluye un sistema automático de adquisición de datos
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
5–15 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
25–35 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
25–35 kHz
35–45 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
25–35 kHz
35–45 kHz
45–55 kHz
−1 0 1
Sustitución de PSfrag
l [m]
[ms]
5–15 kHz
15–25 kHz
25–35 kHz
35–45 kHz
45–55 kHz
55–65 kHz
Fig. 2. Distribución de los retrasos temporales y su aproximación lineal
el espécimen de la banda. Por este procedimiento un filtro de paso de banda óptimo puede ser
determinado.
controlado por ordenador y una red de sensores AE.
Los sensores AE son transductores piezoeléctricos (pinductores).
El diámetro del área activa del transductor es de 1,3 mm, y por lo tanto
puede ser considerado como un sensor puntual. Las señales de los sensores
se alimentan a un osciloscopio digital donde se digitalizan y
transferido a un PC. El funcionamiento del localizador inteligente es
determinado por software en el PC que controla la adquisición de datos
y estima la posición de fuentes desconocidas de EA.
El localizador funciona en dos modos diferentes:
1) En el modo de aprendizaje o calibración, un conjunto de pruebas de N pluma es
realizado en el que la información completa sobre el AE
el fenómeno se adquiere. El operador debe preparar una
red de orientación cuya forma depende de la forma
del espécimen de ensayo. La forma recomendada es un
red equidistante, puesto que la posición de las fuentes prototipo
producir un error mínimo del localizador. ¿Desde el origen?
coordenadas y retrasos de tiempo entre AE preprocesado
señales, los prototipos de vectores se crean y almacenan en
la memoria de la red neuronal como base de datos.
2) En el modo de aplicación, sólo los retrasos de tiempo entre AE
se proporcionan señales. A continuación, se asocian en el
red neuronal con las coordenadas de origen estimadas.
En el caso de EA discreta, el tiempo de retraso puede ser visualmente
estimado a partir de un salto marcado en el estallido de la señal AE, o
se puede determinar instrumentalmente utilizando una función de umbral.
Por lo tanto, en el caso de EA continua, los retrasos de tiempo no pueden
ser simplemente estimado, aunque una función de correlación cruzada
ya se ha utilizado para este fin. En nuestro enfoque, nosotros
Por lo tanto, aplicó una función de correlación cruzada. El propósito de
este experimento fue para determinar la exactitud de la ubicación de
fuentes continuas de EA en un espécimen unidimensional.
Se explican dos experimentos con espécimen de banda de aluminio
en este artículo. Probamos el localizador en una banda de aluminio
espécimen de dimensiones 4000 × 40 × 5mm3. Reflexión de
Se redujeron las señales AE en los extremos del espécimen de la banda
afilando los extremos. Para la prueba hemos seleccionado un área de prueba
15 a 25 35 a 45 55 a 65 75 a 85
Sustitución de PSfrag
[kHz] - Banda de frecuencia
E-fopt
−1000 −500 0 500 1000
Sustitución de PSfrag
z [mm] - Ubicación real
-Antiguamente.
Fig. 3. Retrasos en el tiempo para las fuentes de prototipos y ensayos mediante el paso de banda
filtro de frecuencia 35-45 kHz. a) Desviación de la posición de la fuente prototipo de
una línea recta para diferentes anchos de banda de frecuencia de filtro. b) Retrasos en el tiempo
fuentes de prototipos y pruebas; Leyenda: + fuente de prototipos, • fuente de pruebas
en el centro del espécimen de la banda donde estaban 23 agujeros
preparado. La distancia entre los agujeros era de 100 mm y el
El diámetro de los agujeros era de 2 mm. Se montaron dos sensores AE
A 100 mm de los orificios terminales. A los efectos de:
entrenamiento localizador, generamos 12 fuentes prototipo separadas
por 200 mm, mientras que los 23 agujeros se aplicaron para el ensayo del localizador.
En este experimento, calibramos el localizador por la prueba de la pluma y
examinarlo mediante EA continua generada por el flujo de aire. El aire
flujo fue producido por la expansión del aire comprimido a través de
boquilla de 1 mm de diámetro. La boquilla fue montada 1 mm
sobre la superficie del espécimen de banda.
Se realizaron dos experimentos. En el primer experimento,
Sólo una fuente continua de AE estaba activa en la banda
espécimen, mientras que en el segundo experimento dos AE continua
las fuentes estaban activas simultáneamente en el espécimen de la banda.
Se explica la localización simultánea sucesiva de dos fuentes
en la parte II.
Las señales fueron procesadas como se muestra en la Fig. 1. El primer paso
en el procesamiento fue el cálculo de la función de correlación cruzada
de señales de AE. La señal correspondiente fue enviada a través de una
bandapass Butterworth filtro de bandapass de 35 a 45 kHz.
La determinación de este filtro se explica anteriormente en este artículo.
RESULTADOS
Los resultados de las pruebas de localización se muestran en la Fig. 5 a). Los
error absoluto de ubicación para cada fuente de prueba se muestra en
Fig. 5 b). El error de ubicación en el experimento oscila entre 1,3 mm
a 60 mm con valor medio de A = 20 mm (sin tener en cuenta el valor
atípico). Si describimos el error con respecto a la distancia
entre sensores (2,4 m), el valor relativo es inferior al 1%.
El aumento del número de fuentes de prototipos puede reducir la
error. A pesar de la complejidad de las señales de AE continuas, la
problema de ubicación se resolvió satisfactoriamente con respecto a la
precisión requerida en los ensayos no destructivos. Los resultados también muestran
que un procedimiento de calibración estándar con señales discretas de AE
se puede utilizar para el entrenamiento del localizador.
Sustitución de PSfrag
Sensores
Operador
Analógico
Señales
#2 Digital
osciloscopio
Conjunto de parámetros
Computadora
Calibración por fuentes simuladas de AE
Fig. 4. Configuración experimental del localizador inteligente
−1000 −500 0 500 1000
−1000
Sustitución de PSfrag
x [mm] - Ubicación real
-Antiguamente.
−1000 −500 0 500 1000
Sustitución de PSfrag
x [mm] - Ubicación real
-Antiguamente.
Fig. 5. Resultado de la localización continua de la fuente de AE en la banda. a) Estimación
versus la ubicación real de las fuentes de prueba; Leyenda: + fuente de prototipo, • fuente de prueba.
b) Error absoluto de ubicación; Ła - error promedio.
DEBATE Y CONCLUSIÓN
Estimación de las coordenadas de origen por el promedio condicional
está sujeto a un error sistemático causado por el suavizado de la
función delta [5]. Este error se puede reducir aumentando
el número de fuentes de prototipos. Ya que no es siempre
posible aumentar el número de fuentes prototipo debido a
la complejidad de los experimentos, hay que encontrar un compromiso
por ensayo y error.
El error experimental es aceptable, así que decidimos hacer
pruebas adicionales, como se examinará en la parte II.
Este estudio muestra que un localizador convencional de AE en funcionamiento
en el método de triangulación puede ser reemplazado con éxito por un
localizador inteligente que aprende de ejemplos. Los resultados muestran
que el localizador inteligente puede localizar fuentes con
precisión en casos de: (1) EA discreta en banda y placa, (2)
AE continua en banda, (3) AE discreta en placa con agujero
(ring), (4) EA discreta generada por ruptura de espécimen durante
el ensayo de tracción y (5) AE discreto en el recipiente a presión. Lo ha hecho.
también se ha demostrado que el localizador puede realizar localización zonal[7].
Comparar los errores medios de todos los experimentos y las distancias
entre fuentes prototipo, encontramos que el error promedio
es siempre menos del 30% de la distancia entre el prototipo
fuentes, mientras que el error máximo es siempre menos del 50% de
la distancia entre las fuentes del prototipo. La exactitud de la
el localizador puede ser controlado por el número de fuentes prototipo
Emocionado durante el entrenamiento. El error experimental del localizador es
una consecuencia de la dispersión de ondas en un espécimen que opera
como guía de onda, reflejos de límites y atenuación.
Encontramos para las ondas dispersivas que un paquete de ondas óptimo
debe encontrarse que tiene una velocidad aproximadamente constante
a lo largo del espécimen de prueba. Estimación del tiempo transcurrido entre EA
las señales por la función de correlación cruzada sólo son aplicables para
una fuente activa de AE. Si hay varios activos simultáneamente
Fuentes AE, entonces la separación de fuentes ciegas debe ser utilizada, como
se mostrará en la Parte II.
REFERENCIAS
[1] Chan, Y. T. Ho, K. C. 1994, Un estimador sencillo y eficiente para
localización perbólica, Transacciones IEEE sobre Procesamiento de Señales 42(8), 1905–
1915.
[2] Cherkassky, V. Mulier, F. 1998, Leraning from Data: Conceptos, Teoría,
y Métodos, John Wiley & Sons inc., Nueva York.
[3] Friedlander, B. 1987, Un algoritmo de localización pasiva y su precisión
análisis, IEEE Journal of Oceanic Engineering OE-12(1), 234–245.
[4] Grabec, I. Antolovič, B. 1994, Localizador inteligente de fuentes de AE, en
T. Kishi, Y. Mori M. Enoki, eds, La 12a Emisión Acústica Internacional
Simposio, Vol. 7 del progreso en la emisión acústica, los japoneses
Sociedad para la Inspección No Destructiva, Tokio, Japón, pp. 565–570.
[5] Grabec, I. Sachse, W. 1991, «Modelo automático de fenómenos físicos:
Aplicación a datos ultrasónicos», J. Appl. Phys. 69(9), 6233–6244.
[6] Grabec, I. Sachse, W. 1997, Synergetics of Measurement, Prediction and
Control, Springer-Verlag, Berlín.
[7] Kosel, T. Grabec, I. 1998, Localizador inteligente de discreto y continuo
fuentes de emisión acústica, en J. Grum, ed., Aplicación de Contemporary
Ensayos no destructivos en Ingeniería, 5a Conferencia Internacional
Sociedad Eslovena de Ensayos No Destructivos, Sociedad Eslovena de Ensayos No Destructivos
Ensayos no destructivos, Liubliana, Eslovenia, pp. 39–54.
[8] McIntire, P. Miller, R. K., eds 1987, Acoustic Emission Testing, Vol. 5
Manual de Pruebas No Destructivas, 2 edn, American Society for Non--
pruebas destructivas, Filadelfia, EE.UU.
[9] Specht, D. F. 1991, Una red neural de regresión general, IEEE Trans.
sobre Redes Neurales 2(6), 568-576.
[10] Tobias, A. 1976, Ubicación de la fuente de emisión acústica en dos dimensiones
por un conjunto de tres sensores, Ensayos no destructivos 9(2), 9-12.
[11] Ziola, S. M. Gorman, M. R. 1991, Ubicación de la fuente en las placas delgadas utilizando
correlación cruzada, J. Acoust. Soc. Soy. 90(5), 2551–2556.
Bibliografía
|
704.0048 | Inference on white dwarf binary systems using the first round Mock LISA
Data Challenges data sets | compilado:
25 de octubre
Inferencia en los sistemas binarios de la enana blanca usando el
Primera ronda de conjuntos de datos Mock LISA Data Challenges
Alexander Stroeer1,2, John Veitch1, Christian Röver3,
Ed Bloomer4, James Clark4, Nelson Christensen5,
Martin Hendry4, Chris Messenger4, Renate Meyer3,
Matthew Pitkin4, Jennifer Toher4, Richard Umstätter3,
Alberto Vecchio1,2 y Graham Woan4
1 Escuela de Física y Astronomía, Universidad de Birmingham, Birmingham, Reino Unido
2 Departamento de Física y Astronomía, Northwestern University, Evanston, IL, EE.UU.
3 Departamento de Estadística, Universidad de Auckland, Auckland (Nueva Zelandia)
4 Departamento de Física y Astronomía, Universidad de Glasgow, Glasgow, Reino Unido
5 Física y Astronomía, Carleton College, Northfield, MN, EE.UU.
Resumen. Informamos sobre el análisis de los conjuntos de datos de una sola fuente seleccionados de la
primera ronda de Mock LISA Data Challenges (MLDC) para binarios enanos blancos. Nosotros
puesta en marcha de una tubería de extremo a extremo consistente en un preprocesamiento coherente basado en la red
unidad para la detección de señales, y una cadena automática Markov Monte Carlo post-procesamiento
unidad para la evaluación de señales. Demostramos que la detección de señales con nuestra coherente
enfoque es seguro y preciso, y se aumenta en precisión y complementa
con información adicional sobre los parámetros de la señal por nuestro Markov Chain Monte
Carlo se acerca. También demostramos que la rutina de la cadena Markov Monte Carlo es
adicionalmente capaz de determinar con precisión el nivel de ruido en la ventana de frecuencia de
interés.
Números PACS: 04.80.Nn, 02.70.Uu.
Presentada a: Gravity clásica y cuántica
1. Introducción
Los datos obtenidos de LISA [1] contendrán un gran número de binarios enanos blancos
sistemas a través de toda la ventana de observación [2]. A frecuencias inferiores a 3 mHz
las fuentes son tan abundantes que producen un primer plano estocástico cuya intensidad
domina el ruido instrumental [3]. Las fuentes más cercanas (y más fuertes) seguirán siendo
lo suficientemente brillante como para ser resuelto individualmente. Por encima de 3 mHz las fuentes se convierten en
suficientemente escaso en el espacio de parámetros (y, en particular, en el dominio de frecuencias) que
las fuentes detectables se vuelven resolubles individualmente. La identificación de las enanas blancas
en el conjunto de datos LISA representa uno de los problemas de análisis más interesantes planteados por
la misión: se desconoce el número total de señales en el conjunto de datos, el ruido efectivo
http://arxiv.org/abs/0704.0048v2
WD MLDC1 2
el nivel que afecta a las mediciones no se calcula fácilmente a partir de las corrientes de datos, y
hay un gran número de fuentes superpuestas hasta el límite de la confusión.
La inferencia bayesiana proporciona un marco claro para abordar este problema [4, 5, 6].
Algunos de nosotros hemos realizado estudios exploratorios y análisis de “prueba de concepto”
sobre los problemas simplificados que han demostrado que las técnicas bayesianas
mostrar un buen potencial para las aplicaciones LISA [11, 10, 12]. Del mismo modo otros autores han
técnicas implementadas con éxito utilizando inferencia bayesiana [18, 17, 16]. En este artículo
Presentamos los primeros resultados de un proceso de análisis de extremo a extremo desarrollado en el contexto de
los Desafíos de datos de Mock LISA que han evolucionado a partir de nuestro trabajo anterior. Esta tubería
se aplica a los conjuntos de datos de desafío de una sola fuente más simples 1.1.1a y 1.1.1b y a todos los
los resultados presentados aquí se obtienen después de la liberación de los archivos clave. En un compañero
documento [19], presentamos los resultados que hemos obtenido para el análisis de los conjuntos de datos
que contiene radiación gravitacional de un enorme agujero-negro binario inspiral. Nuestro grupo
presentó una entrada para el MLDC analizando el conjunto de datos ciegos 1.1.1c [13, 14]: no obstante
que el resultado sufría por el hecho de que la tubería no estaba completa, el código de análisis
fue ineficiente y nos encontramos con problemas de hardware con el clúster Beowulf utilizado para
realizar el análisis.
Los resultados que presentamos aquí se obtienen con un análisis de dos etapas de extremo a extremo
tubería: (i) primero procesamos el conjunto de datos con un algoritmo coherente basado en la cuadrícula para identificar
señales candidatas; ii) a continuación, seguimos las señales candidatas con una cadena Markov
Código de Monte Carlo para obtener la función de densidad de probabilidad en los parámetros del modelo. Nuestro
método difiere de otros métodos MCMC que se han propuesto y aplicado a
los datos de los MLDC en el contexto de los binarios de la enana blanca [18, 17, 16]: el MCMC no es
utilizado para la búsqueda, pero sólo en la fase final del análisis para producir densidad posterior
funciones de los parámetros del modelo. El nivel espectral de ruido se incluye como uno de los
parámetros desconocidos y se estima junto con los parámetros de la gravedad
fuente(es) de onda.
2. Método de análisis
En esta sección se describe el enfoque de dos etapas que hemos adoptado para el análisis.
La señal producida por un sistema binario enano blanco se modela como monocromática en
el marco de referencia de la fuente, a raíz de los convenios adoptados en el primer MLDC [7, 8, 9].
Se describe por 7 parámetros: latitud eclíptica.e y longitud.e, inclinación. y
Ángulo de polarización , frecuencia a un tiempo de referencia f0 y fase global correspondiente
Φ0 y amplitud A.
Los datos distribuidos para el MLDC son los tres observables TDI v1.5 Michelson
X, Y y Z ‡. A partir de ellos construimos las dos salidas ortogonales de TDI
A = (2X − Y − Z)/3 (1)
E = (Z − Y )/
3 (2)
‡ En nuestro análisis de MCMC utilizamos el conjunto de datos producidos utilizando el Simulador LISA.
WD MLDC1 3
por diagonalización de la matriz de covarianza de ruido siguiendo el procedimiento presentado en [23].
El ruido que afecta a los canales A y E es poco relacionado y descrito por el lado
Densidad espectral del ruido Sn(f). Modelamos la función de respuesta LISA en la frecuencia baja
limitar con el fin de mejorar la eficiencia computacional de nuestro análisis.
2.1. Primera etapa: búsqueda basada en cuadrícula
La primera etapa de la tubería consiste en una búsqueda rápida de los datos para el mejor
Filtro emparejado basado en el conocido algoritmo estadístico F, desarrollado por primera vez para el triaxial
señales pulsares en el contexto de observaciones terrestres [20]. Esto explota el ayuno
Fourier Transform para realizar coincidencias en el dominio de frecuencia a plantillas que son
generado en una matriz de puntos fijos en el espacio de parámetros.
Se supone que los datos de un detector individual en el dominio de frecuencia d
contienen una señal más ruido gaussiano, dс(f) = hс(f) + ñ(f). Definimos el logarítmico
probabilidad como medida de la coincidencia, según logL (dh)− 1
(hh) con () denotando
el producto escalar tal como se define en [20]. Una sola señal en el algoritmo F -estadístico es
re-parametrizado como una función lineal de cuatro variables ortogonales, y la frecuencia
f0. La estadística de detección se basa en cuatro parámetros AF, BF, CF y DF, encontrados por
integrar sobre las funciones de respuesta a(t) y b(t) a los dos estados de polarización de
la señal de onda gravitacional [20],
∫ Tobs
a(t)2dt (3)
b(t)2dt (4)
a(t)b(t)dt, (5)
DF = AFBF − C2F (6)
Tobs indica el tiempo total observado para el conjunto de datos que se está analizando. El óptimo
estadística de detección 2F, que está pre-maximizada sobre los parámetros de molestia h0,
y es
2F = 8
Sn(f)Tobs
BF Fa2 + AF Fb2 − 2CF ×R(Fab)
. 7)..................................................................................................................................................
Fa y Fb son las transformadas demoduladas de Fourier de los datos,
∫ Tobs
d(t)a(t)e-iΦ(t)dt; Fb =
∫ Tobs
d(t)b(t)e-iΦ(t)dt, (8)
Φ(t) es la fase de la señal de onda gravitacional, como se describe en [22].
A medida que la matriz LISA se mueve en el espacio, la frecuencia f0 se ve afectada por Doppler
modulación. Esta modulación cambia con diferente posición de la fuente en el cielo,
lo que implica la necesidad de volver a calcular las modulaciones y, por lo tanto, a(t) y b(t) para cada cielo
posición que se pone a prueba - un factor significativo en el rendimiento de este enfoque. Los
estructura de modulación diferente sin embargo también nos permite estimar la ubicación de la
WD MLDC1 4
fuente en el cielo maximizando el valor 2F. La resolución posible en el cielo con
este método no es tan bueno como de un cálculo de probabilidad posterior bayesiano completo como
realizado en la etapa de estimación de parámetros, como se muestra en un ejemplo para Challenge
1.1.1a en la figura 1. Sin embargo, dado que esta estadística puede ser computada con bastante rapidez
sirve como una forma útil de encontrar valores iniciales para alimentarse en la rutina de MCMC, tal como se adoptó
dentro de la tubería. La resolución alcanzable en el cielo aumenta con frecuencia, que
implica que el desajuste entre el filtro y la señal cae más rápidamente a mayor
frecuencias, que requieren un mayor número de plantillas para cubrir el cielo. Por lo tanto,
desafío 1.1.1b a f 3mHz se utilizó una red aérea de tamaño 5.752 puntos, en comparación
con 765 puntos para el desafío 1.1.1a a f 1mHz.
La búsqueda estadística F fue implementada usando el paquete de software LIGO “Lalapps”
[24], en el que el código de búsqueda pulsar fue modificado por Reinhard Prix y John Whelan
utilizar la función de respuesta LISA para las variables X, Y y Z [21]. Estos datos
los flujos de datos fueron dados en forma de Transformaciones cortas de Fourier, cada uno de longitud un día,
creado a partir de los datos de desafío MLDC1. Para cada desafío el rango completo especificado de
las frecuencias fueron buscadas por la señal como sería en una búsqueda a ciegas. El código era
ejecutar en una sola CPU y ejecutar en unas pocas horas, con el tiempo de ejecución aumentando en mayor
frecuencia debido a la mayor resolución del cielo y la cuadrícula de frecuencia que tuvo que ser utilizado.
El candidato elegido para pasar a la etapa MCMC fue simplemente lo que desencadenó el
valor más alto de 2F.
2.2. Segunda etapa: Seguimiento de la cadena Markov Monte Carlo
Según el teorema de Bayes, la probabilidad posterior, p(md
los datos ddepende de la distribución anterior p(m), que contiene la información conocida antes
el análisis, la probabilidad L(dm) del modelo y un factor de normalización p(d)
p(mdś) = L(dmś)p(mś)
p(d)
La función de densidad de probabilidad posterior muestra la densidad de probabilidad conjunta de
valores de los parámetros del modelo m贸, condicionados a los datos d贸.
Implementamos el teorema de Bayes utilizando datos en forma de variables TDI A y E
y modeló nuestra plantilla de acuerdo con la Aproximación de longitud de onda larga directamente
en el dominio Fourier [25] para obtener velocidad computacional. La probabilidad logarítmica
En esta etapa, L(dmś) incluyó explícitamente su dependencia del espectral de ruido unilateral
densidad Sn(f)
logL(dm) = const. −
log Sn(f) − (d hd h), (10)
se muestra aquí para A o E, con la probabilidad combinada como suma de la persona
Probabilidades. Restringimos nuestro análisis a una ventana de frecuencia suficientemente estrecha en
para poder aproximar la densidad espectral del ruido como constante, Sn(f) = S0. Esto
se estableció como el intervalo en frecuencia que contiene al menos el 98% de la potencia de nuestro
WD MLDC1 5
Longitud eclíptica
2F en función de la posición del cielo, a una frecuencia 0.001063 Hz
1 2 3 4 5 6
Gráfico 1 La variación de los valores de 2F para la búsqueda de señal desconocida 1.1.1a, como un
función de la posición del cielo, parametrizada por latitud eclíptica β y longitud Los
distribución es multimodal y no gaussiano, y tiene una mala resolución en comparación
con que se puede lograr con el MCMC y una probabilidad bayesiana, pero al encontrar la
máximo sirve bien como punto de partida para la estimación de parámetros más refinados
abajo.
modelo m, con los límites superior e inferior del intervalo dados por f±(2/año)(5+2γf0AU/c)
[25]. S0 es, por tanto, un parámetro adicional que debe inferirse dentro del modelo m贸 en Eq. 10.
Implementamos un sampler automático Random Walk Metropolis (Stroeer &
Vecchio 2007, en. preparación.) a la muestra de la función posterior de densidad de probabilidad en
forma de una cadena de Markov. El muestreo de Metrópolis elimina la necesidad de calcular explícitamente
la constante de normalización en el teorema de Bayes, y la evolución de la cadena de Markov da
fácil acceso a la articulación, así como la distribución marginalizada de densidad posterior. El muestreador
se inició desde el conjunto de parámetros que desencadenó el valor más alto de 2F en nuestra cuadrícula
una ejecución coherente basada en el análisis (véase la sección anterior). La función automatizada de la
El muestreo de metrópolis se logra mediante el control del tamaño del paso de muestreo con adaptativo
las técnicas de probabilidad de aceptación [26]. Por lo tanto, el muestreador no depende de
suposiciones sobre la señal en el conjunto de datos con el fin de obtener resultados satisfactorios y fiables;
desarrolla un algoritmo adecuado y enfoque por sí mismo basado en las propiedades de la
probabilidad tal como se encuentra sobre la marcha, en los pasos iniciales del muestreador. La longitud de nuestra
La cadena de Markov fue pre-configurada a 106, con los 104 estados iniciales de la cadena descartados como el
"Quemar" fase de nuestro sampler. El tiempo de ejecución para una ejecución de análisis de datos es de 5 horas en un
CPU única de 2 GHz en el cluster Tsunami de la Universidad de Birmingham.
WD MLDC1 6
Gráfico 2 Las funciones de densidad de probabilidad posterior marginalizada de los ocho
parámetros desconocidos – los siete parámetros que describen la señal y el ruido
densidad espectral S0 – para el conjunto de datos de desafío 1.1.1a. El sólido negro vertical
línea denota el valor verdadero del parámetro (para el ángulo de polarización el valor verdadero
modulo η/2), y la línea de rayas grises el valor inicial para el análisis MCMC como
determinado por la plantilla de la primera etapa que produce el valor máximo de la
F -estadística. En el caso de la densidad espectral del ruido, la primera etapa del análisis
no proporcionar una estimación; el valor verdadero de este parámetro se toma como el valor de
el espectro sonoro instrumental utilizado para generar el conjunto de datos y proporcionado en [9].
WD MLDC1 7
Gráfico 3 Las funciones de densidad de probabilidad posterior marginalizada de los ocho
parámetros desconocidos para el conjunto de datos de desafío 1.1.1b. Las etiquetas son como en la figura
3. Resultados
Encontramos que la señal candidata más prometedora de la búsqueda F -estadística ya
Ajustó la verdadera señal incrustada a una alta precisión, especialmente en frecuencia y
localización del cielo. Nuestro sampler MCMC, como una unidad de post-procesamiento, por lo tanto sólo necesita 1000
iteraciones para quemar y establecer un muestreo fiable desde la parte posterior. Los
Los posteriores marginados se muestran en las figs. 2 y 3. Encontramos, como se ve en el último
las cifras, que el muestreador MCMC más refinado las conjeturas iniciales de la F - estadística,
medida por la diferencia absoluta entre el valor verdadero de un parámetro dado
y la mediana de la posterior marginalizada recuperada para ese parámetro. Cuadro 1
WD MLDC1 8
Cuadro 1 Detalles sobre los resultados de Challenge 1.1.1a y Challenge 1.1.1b. S0,
la constante densidad espectral de ruido unilateral dentro de nuestra estrecha ventana de frecuencia, es
en comparación con la verdadera densidad espectral de ruido de un lado a la verdadera frecuencia de la
señal, se le da modulo γ/2. Int90 denota el intervalo mínimo para incluir el 90% de
Los estados MCMC para el parámetro dado, el modo denota la diferencia absoluta entre el
valor verdadero de un parámetro de señal y el modo de su posterior recuperado;
La media denota la diferencia absoluta equivalente para la mediana y la media de la posterior
respectivamente; denota la desviación estándar de la parte posterior de la muestra según se derive
de la mediana. Cito además la relación señal-ruido (SNR) para una plantilla
utilizando los valores reales de la fuente y los valores recuperados de la ejecución del análisis de datos,
como derivado de la mediana de las distribuciones posteriores individuales, y la correlación
C entre estas dos plantillas.
Int90, modo mediana, medio mediana, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa.
Reto 1.1.1a
10−41Hz−1
(3.53257, 4.72639) -0.42084 -0.440278 -0.452456 0,36704
0,958409, 1,03165) -0,0147383 -0,0149381 -0,0148725 0,0222861
E/ rad (5.05376, 5.13528) -0.00550139 -0.00569547 -0.00579889 0,0247886
•/ rad (1,32475, 0,500553) 0,1768 0,1823 0,1902 0,1908
^/ rad (0,097761, 1.0008) -0,0459747 0,190001 0,23459 0,295211
A/10−22 (1,61976, 2,67967) 0,664371 0,358844 0,2989878 0,368524
f0/ mHz (1,06273, 1,06273) -1,19664e-06 -1,22207e-06 -1,22259e-06 1,04422e-06
Φ0/ rad (3.10668, 5.808) -0.164989 0,00998525 0,229659 0,829146
SNR true = 51.024497 recuperado = 50.648600
C verdadero vs. recuperado = 0,99689
Desafío 1.1.1b
10−41Hz−1
(0,876833, 1,38959) -0,0679571 -0,0906557 -0,0996144 0,16017
0,121611, 0,0116916) -0,0343353 -0,151185 -0,150328 0,0406552
E/ rad (4.60969, 4.63537) 0,00265723 0,00305564 0,00302203 0,00779893
0,266328, 0,362409) 0,0101541 0,0111747 0,0111268 0,0353938
(') rad (1.22036, 1.33338) -0.0430412 -0.040458 -0.0394818 0,03488383
A/10−22 (0.45001, 0,542454) -0,016442 -0,0151921 -0,0149907 0,0281154
f0/ mHz (3.00036, 3.00036) 3.1221e-07 2.49289e-07 2.42807e-07 8.181111e-07
Φ0/ rad (5.83869, 6.19411) 0,137219 0,119301 0,119921 0,502384
SNR verdadero = 36,587444 recuperado = 37,368806
C verdadero vs. recuperado = 0,97897
muestra detalles de las estadísticas de las distribuciones posteriores recuperadas. Destacamos que
la mayoría de los valores verdaderos de los parámetros están dentro de una desviación estándar
de la mediana de la parte posterior, con un pequeño porcentaje dentro de dos muestras estándar
desviaciones. Además, cada valor verdadero de un parámetro de la señal está dentro de la
intervalo mínimo del posterior para cubrir el 90% de todos los valores de estado MCMC. Recuperado
Las relaciones señal-ruido se miden como SNR = (sh)/
(hh), y el partido C =
(htruehmed)/
(htruehtrue) (hmedhmed) entre la plantilla construida del verdadero
valores y una plantilla a partir de los valores medios de las distribuciones posteriores individuales,
dando una correlación que siempre es superior a 0,97. Se determinan los niveles de ruido
con precisión y dentro de las desviaciones estándar de 1 a 1,5 muestras. No obstante, observamos que
WD MLDC1 9
nuestra carrera en Challenge 1.1.1a muestra una menor coincidencia y mayores diferencias entre true
valor y valor recuperado de los parámetros en comparación con la ejecución en Challenge 1.1.1b. Lo siento.
también exhibe distribuciones posteriores de cola en inclinación y amplitud, aunque el
SNR de Challenge 1.1.1a es el doble del valor de Challenge 1.1.1b.
4. Conclusiones
Hemos presentado un nuevo enfoque para el análisis de datos LISA en forma de un extremo a extremo
Gasoducto. Primero detectamos e identificamos señales candidatas en el flujo de datos LISA con
un algoritmo coherente basado en cuadrícula, y luego post-procesado el candidato más prometedor
señales con un código automático Markov Chain Monte Carlo para obtener probabilidad
densidades para los parámetros del modelo. Demostramos una identificación exitosa y
post-procesamiento de las señales de los datos de una fuente MLDC de doble enana blanca
los conjuntos 1.1.1a y 1.1.1b. Además, el código automático Markov Chain Monte Carlo
ha identificado con éxito el nivel de ruido dentro de una pequeña ventana de frecuencia de interés en
estos conjuntos de datos. Observamos que un enfoque paralelo al análisis de datos de la inspiración binaria
las señales están siendo desarrolladas por Röver et al, con un método Markov Chain Monte Carlo
que puede después del proceso con éxito una señal candidata generada a partir de los parámetros verdaderos
de la señal. La detección de señales en una etapa de preprocesamiento se está probando actualmente en
métodos MCMC paralelos templados y/o análisis de frecuencia de tiempo [19].
Identificamos dos características prominentes y prometedoras de nuestra tubería: su capacidad de
determinar buenas condiciones iniciales para el MCMC y su capacidad para ejecutar el MCMC
automáticamente. Como hemos demostrado en este artículo, la anchura de los marginados
densidad posterior para el parámetro de frecuencia es extremadamente estrecho. Por lo tanto, es vital
que la estimación inicial de la frecuencia está dentro de esta región, como la estructura casi plana
del PDF posterior fuera de esta región da poca o ninguna información sobre la ubicación de
el pico. Disminuyen las posibilidades de encontrar el modo a través de un muestreo aleatorio
más adelante con un rango anterior más grande para el parámetro. Añadiendo una búsqueda estadística F como
la primera etapa en la tubería resuelve este problema, ya que la frecuencia y la posición en el
cielo se recuperan con mucha precisión, dentro de los límites de la región de probabilidad posterior
de interés, antes de que el MCMC realice el post-procesamiento y la estimación de parámetros. Los
función automática de la MCMC asegura un éxito post-procesamiento para el otro
parámetros astrofísicos que pueden haberse localizado fuera de la región posterior de
interés por el enfoque estadístico F, como en el caso de la amplitud del desafío
1.1.1a. Convergence es ayudado por la capacidad de nuestro código para aumentar o disminuir el muestreo
escalas de acuerdo con su experiencia de la calidad de muestreo de la posterior durante el
fase de combustión.
Estamos trabajando en una extensión de la tubería como se muestra en este documento a
abordar con éxito los conjuntos de datos de fuentes múltiples, necesarios para la segunda ronda del MLDC.
El trabajo actual incluye la exploración de nuestra búsqueda coherente basada en la red de datos
streams para identificar automáticamente al candidato individual más prometedor
señales, y la implementación de un salto reversible automático Markov Chain Monte
WDMLC1 10
La rutina de Carlo (por ejemplo: como ya se ha demostrado en [10]) para encontrar la trans-dimensional
funciones de densidad de probabilidad de los parámetros de un número total desconocido de señales.
Destacamos que la determinación del nivel de ruido que se presenta aquí ya sirve como clave
ingrediente a la vuelta 2, donde la simulación de una población binaria enana blanca galáctica
introduce niveles adicionales de ruido de confusión procedentes de fuentes irresolubles.
Agradecimientos
El trabajo de Nelson Christensen fue apoyado por la beca de la Fundación Nacional de Ciencia
PHY-0553422 y el programa Fulbright Scholar. El trabajo de Alberto Vecchio fue parcialmente
con el apoyo de la Fundación Packard y de la Fundación Nacional de Ciencia. Los
Grupo de la Universidad de Auckland fue apoyado por la Royal Society de Nueva Zelanda
Subvención del Fondo Marsden UOA-204.
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http://arxiv.org/abs/gr-qc/0609105
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0609106
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0609010
http://astrogravs.nasa.gov/docs/mldc/round1/entries.html
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0701139
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0701170
http://www.lsc-group.phys.uwm.edu/daswg/projects/lal.html
Introducción
Método de análisis
Primera etapa: búsqueda basada en cuadrícula
Segunda etapa: Seguimiento de la cadena Markov Monte Carlo
Resultados
Conclusiones
| Informamos sobre el análisis de conjuntos de datos de una sola fuente seleccionados desde el primer
ronda del Mock LISA Data Challenges (MLDC) para binarios enanos blancos. Nosotros
puesta en marcha de una tubería de extremo a extremo consistente en una red coherente
unidad de preprocesamiento para la detección de señales, y una cadena automática Markov Monte
Unidad de post-procesamiento Carlo para evaluación de señales. Demostramos esa señal.
la detección con nuestro enfoque coherente es segura y precisa, y aumenta
en precisión y complementado con información adicional sobre la señal
parámetros de nuestro enfoque Markov Chain Monte Carlo. También demostramos que
la rutina Markov Chain Monte Carlo es además capaz de determinar
con precisión el nivel de ruido en la ventana de frecuencia de interés.
| Introducción
Los datos obtenidos de LISA [1] contendrán un gran número de binarios enanos blancos
sistemas a través de toda la ventana de observación [2]. A frecuencias inferiores a 3 mHz
las fuentes son tan abundantes que producen un primer plano estocástico cuya intensidad
domina el ruido instrumental [3]. Las fuentes más cercanas (y más fuertes) seguirán siendo
lo suficientemente brillante como para ser resuelto individualmente. Por encima de 3 mHz las fuentes se convierten en
suficientemente escaso en el espacio de parámetros (y, en particular, en el dominio de frecuencias) que
las fuentes detectables se vuelven resolubles individualmente. La identificación de las enanas blancas
en el conjunto de datos LISA representa uno de los problemas de análisis más interesantes planteados por
la misión: se desconoce el número total de señales en el conjunto de datos, el ruido efectivo
http://arxiv.org/abs/0704.0048v2
WD MLDC1 2
el nivel que afecta a las mediciones no se calcula fácilmente a partir de las corrientes de datos, y
hay un gran número de fuentes superpuestas hasta el límite de la confusión.
La inferencia bayesiana proporciona un marco claro para abordar este problema [4, 5, 6].
Algunos de nosotros hemos realizado estudios exploratorios y análisis de “prueba de concepto”
sobre los problemas simplificados que han demostrado que las técnicas bayesianas
mostrar un buen potencial para las aplicaciones LISA [11, 10, 12]. Del mismo modo otros autores han
técnicas implementadas con éxito utilizando inferencia bayesiana [18, 17, 16]. En este artículo
Presentamos los primeros resultados de un proceso de análisis de extremo a extremo desarrollado en el contexto de
los Desafíos de datos de Mock LISA que han evolucionado a partir de nuestro trabajo anterior. Esta tubería
se aplica a los conjuntos de datos de desafío de una sola fuente más simples 1.1.1a y 1.1.1b y a todos los
los resultados presentados aquí se obtienen después de la liberación de los archivos clave. En un compañero
documento [19], presentamos los resultados que hemos obtenido para el análisis de los conjuntos de datos
que contiene radiación gravitacional de un enorme agujero-negro binario inspiral. Nuestro grupo
presentó una entrada para el MLDC analizando el conjunto de datos ciegos 1.1.1c [13, 14]: no obstante
que el resultado sufría por el hecho de que la tubería no estaba completa, el código de análisis
fue ineficiente y nos encontramos con problemas de hardware con el clúster Beowulf utilizado para
realizar el análisis.
Los resultados que presentamos aquí se obtienen con un análisis de dos etapas de extremo a extremo
tubería: (i) primero procesamos el conjunto de datos con un algoritmo coherente basado en la cuadrícula para identificar
señales candidatas; ii) a continuación, seguimos las señales candidatas con una cadena Markov
Código de Monte Carlo para obtener la función de densidad de probabilidad en los parámetros del modelo. Nuestro
método difiere de otros métodos MCMC que se han propuesto y aplicado a
los datos de los MLDC en el contexto de los binarios de la enana blanca [18, 17, 16]: el MCMC no es
utilizado para la búsqueda, pero sólo en la fase final del análisis para producir densidad posterior
funciones de los parámetros del modelo. El nivel espectral de ruido se incluye como uno de los
parámetros desconocidos y se estima junto con los parámetros de la gravedad
fuente(es) de onda.
2. Método de análisis
En esta sección se describe el enfoque de dos etapas que hemos adoptado para el análisis.
La señal producida por un sistema binario enano blanco se modela como monocromática en
el marco de referencia de la fuente, a raíz de los convenios adoptados en el primer MLDC [7, 8, 9].
Se describe por 7 parámetros: latitud eclíptica.e y longitud.e, inclinación. y
Ángulo de polarización , frecuencia a un tiempo de referencia f0 y fase global correspondiente
Φ0 y amplitud A.
Los datos distribuidos para el MLDC son los tres observables TDI v1.5 Michelson
X, Y y Z ‡. A partir de ellos construimos las dos salidas ortogonales de TDI
A = (2X − Y − Z)/3 (1)
E = (Z − Y )/
3 (2)
‡ En nuestro análisis de MCMC utilizamos el conjunto de datos producidos utilizando el Simulador LISA.
WD MLDC1 3
por diagonalización de la matriz de covarianza de ruido siguiendo el procedimiento presentado en [23].
El ruido que afecta a los canales A y E es poco relacionado y descrito por el lado
Densidad espectral del ruido Sn(f). Modelamos la función de respuesta LISA en la frecuencia baja
limitar con el fin de mejorar la eficiencia computacional de nuestro análisis.
2.1. Primera etapa: búsqueda basada en cuadrícula
La primera etapa de la tubería consiste en una búsqueda rápida de los datos para el mejor
Filtro emparejado basado en el conocido algoritmo estadístico F, desarrollado por primera vez para el triaxial
señales pulsares en el contexto de observaciones terrestres [20]. Esto explota el ayuno
Fourier Transform para realizar coincidencias en el dominio de frecuencia a plantillas que son
generado en una matriz de puntos fijos en el espacio de parámetros.
Se supone que los datos de un detector individual en el dominio de frecuencia d
contienen una señal más ruido gaussiano, dс(f) = hс(f) + ñ(f). Definimos el logarítmico
probabilidad como medida de la coincidencia, según logL (dh)− 1
(hh) con () denotando
el producto escalar tal como se define en [20]. Una sola señal en el algoritmo F -estadístico es
re-parametrizado como una función lineal de cuatro variables ortogonales, y la frecuencia
f0. La estadística de detección se basa en cuatro parámetros AF, BF, CF y DF, encontrados por
integrar sobre las funciones de respuesta a(t) y b(t) a los dos estados de polarización de
la señal de onda gravitacional [20],
∫ Tobs
a(t)2dt (3)
b(t)2dt (4)
a(t)b(t)dt, (5)
DF = AFBF − C2F (6)
Tobs indica el tiempo total observado para el conjunto de datos que se está analizando. El óptimo
estadística de detección 2F, que está pre-maximizada sobre los parámetros de molestia h0,
y es
2F = 8
Sn(f)Tobs
BF Fa2 + AF Fb2 − 2CF ×R(Fab)
. 7)..................................................................................................................................................
Fa y Fb son las transformadas demoduladas de Fourier de los datos,
∫ Tobs
d(t)a(t)e-iΦ(t)dt; Fb =
∫ Tobs
d(t)b(t)e-iΦ(t)dt, (8)
Φ(t) es la fase de la señal de onda gravitacional, como se describe en [22].
A medida que la matriz LISA se mueve en el espacio, la frecuencia f0 se ve afectada por Doppler
modulación. Esta modulación cambia con diferente posición de la fuente en el cielo,
lo que implica la necesidad de volver a calcular las modulaciones y, por lo tanto, a(t) y b(t) para cada cielo
posición que se pone a prueba - un factor significativo en el rendimiento de este enfoque. Los
estructura de modulación diferente sin embargo también nos permite estimar la ubicación de la
WD MLDC1 4
fuente en el cielo maximizando el valor 2F. La resolución posible en el cielo con
este método no es tan bueno como de un cálculo de probabilidad posterior bayesiano completo como
realizado en la etapa de estimación de parámetros, como se muestra en un ejemplo para Challenge
1.1.1a en la figura 1. Sin embargo, dado que esta estadística puede ser computada con bastante rapidez
sirve como una forma útil de encontrar valores iniciales para alimentarse en la rutina de MCMC, tal como se adoptó
dentro de la tubería. La resolución alcanzable en el cielo aumenta con frecuencia, que
implica que el desajuste entre el filtro y la señal cae más rápidamente a mayor
frecuencias, que requieren un mayor número de plantillas para cubrir el cielo. Por lo tanto,
desafío 1.1.1b a f 3mHz se utilizó una red aérea de tamaño 5.752 puntos, en comparación
con 765 puntos para el desafío 1.1.1a a f 1mHz.
La búsqueda estadística F fue implementada usando el paquete de software LIGO “Lalapps”
[24], en el que el código de búsqueda pulsar fue modificado por Reinhard Prix y John Whelan
utilizar la función de respuesta LISA para las variables X, Y y Z [21]. Estos datos
los flujos de datos fueron dados en forma de Transformaciones cortas de Fourier, cada uno de longitud un día,
creado a partir de los datos de desafío MLDC1. Para cada desafío el rango completo especificado de
las frecuencias fueron buscadas por la señal como sería en una búsqueda a ciegas. El código era
ejecutar en una sola CPU y ejecutar en unas pocas horas, con el tiempo de ejecución aumentando en mayor
frecuencia debido a la mayor resolución del cielo y la cuadrícula de frecuencia que tuvo que ser utilizado.
El candidato elegido para pasar a la etapa MCMC fue simplemente lo que desencadenó el
valor más alto de 2F.
2.2. Segunda etapa: Seguimiento de la cadena Markov Monte Carlo
Según el teorema de Bayes, la probabilidad posterior, p(md
los datos ddepende de la distribución anterior p(m), que contiene la información conocida antes
el análisis, la probabilidad L(dm) del modelo y un factor de normalización p(d)
p(mdś) = L(dmś)p(mś)
p(d)
La función de densidad de probabilidad posterior muestra la densidad de probabilidad conjunta de
valores de los parámetros del modelo m贸, condicionados a los datos d贸.
Implementamos el teorema de Bayes utilizando datos en forma de variables TDI A y E
y modeló nuestra plantilla de acuerdo con la Aproximación de longitud de onda larga directamente
en el dominio Fourier [25] para obtener velocidad computacional. La probabilidad logarítmica
En esta etapa, L(dmś) incluyó explícitamente su dependencia del espectral de ruido unilateral
densidad Sn(f)
logL(dm) = const. −
log Sn(f) − (d hd h), (10)
se muestra aquí para A o E, con la probabilidad combinada como suma de la persona
Probabilidades. Restringimos nuestro análisis a una ventana de frecuencia suficientemente estrecha en
para poder aproximar la densidad espectral del ruido como constante, Sn(f) = S0. Esto
se estableció como el intervalo en frecuencia que contiene al menos el 98% de la potencia de nuestro
WD MLDC1 5
Longitud eclíptica
2F en función de la posición del cielo, a una frecuencia 0.001063 Hz
1 2 3 4 5 6
Gráfico 1 La variación de los valores de 2F para la búsqueda de señal desconocida 1.1.1a, como un
función de la posición del cielo, parametrizada por latitud eclíptica β y longitud Los
distribución es multimodal y no gaussiano, y tiene una mala resolución en comparación
con que se puede lograr con el MCMC y una probabilidad bayesiana, pero al encontrar la
máximo sirve bien como punto de partida para la estimación de parámetros más refinados
abajo.
modelo m, con los límites superior e inferior del intervalo dados por f±(2/año)(5+2γf0AU/c)
[25]. S0 es, por tanto, un parámetro adicional que debe inferirse dentro del modelo m贸 en Eq. 10.
Implementamos un sampler automático Random Walk Metropolis (Stroeer &
Vecchio 2007, en. preparación.) a la muestra de la función posterior de densidad de probabilidad en
forma de una cadena de Markov. El muestreo de Metrópolis elimina la necesidad de calcular explícitamente
la constante de normalización en el teorema de Bayes, y la evolución de la cadena de Markov da
fácil acceso a la articulación, así como la distribución marginalizada de densidad posterior. El muestreador
se inició desde el conjunto de parámetros que desencadenó el valor más alto de 2F en nuestra cuadrícula
una ejecución coherente basada en el análisis (véase la sección anterior). La función automatizada de la
El muestreo de metrópolis se logra mediante el control del tamaño del paso de muestreo con adaptativo
las técnicas de probabilidad de aceptación [26]. Por lo tanto, el muestreador no depende de
suposiciones sobre la señal en el conjunto de datos con el fin de obtener resultados satisfactorios y fiables;
desarrolla un algoritmo adecuado y enfoque por sí mismo basado en las propiedades de la
probabilidad tal como se encuentra sobre la marcha, en los pasos iniciales del muestreador. La longitud de nuestra
La cadena de Markov fue pre-configurada a 106, con los 104 estados iniciales de la cadena descartados como el
"Quemar" fase de nuestro sampler. El tiempo de ejecución para una ejecución de análisis de datos es de 5 horas en un
CPU única de 2 GHz en el cluster Tsunami de la Universidad de Birmingham.
WD MLDC1 6
Gráfico 2 Las funciones de densidad de probabilidad posterior marginalizada de los ocho
parámetros desconocidos – los siete parámetros que describen la señal y el ruido
densidad espectral S0 – para el conjunto de datos de desafío 1.1.1a. El sólido negro vertical
línea denota el valor verdadero del parámetro (para el ángulo de polarización el valor verdadero
modulo η/2), y la línea de rayas grises el valor inicial para el análisis MCMC como
determinado por la plantilla de la primera etapa que produce el valor máximo de la
F -estadística. En el caso de la densidad espectral del ruido, la primera etapa del análisis
no proporcionar una estimación; el valor verdadero de este parámetro se toma como el valor de
el espectro sonoro instrumental utilizado para generar el conjunto de datos y proporcionado en [9].
WD MLDC1 7
Gráfico 3 Las funciones de densidad de probabilidad posterior marginalizada de los ocho
parámetros desconocidos para el conjunto de datos de desafío 1.1.1b. Las etiquetas son como en la figura
3. Resultados
Encontramos que la señal candidata más prometedora de la búsqueda F -estadística ya
Ajustó la verdadera señal incrustada a una alta precisión, especialmente en frecuencia y
localización del cielo. Nuestro sampler MCMC, como una unidad de post-procesamiento, por lo tanto sólo necesita 1000
iteraciones para quemar y establecer un muestreo fiable desde la parte posterior. Los
Los posteriores marginados se muestran en las figs. 2 y 3. Encontramos, como se ve en el último
las cifras, que el muestreador MCMC más refinado las conjeturas iniciales de la F - estadística,
medida por la diferencia absoluta entre el valor verdadero de un parámetro dado
y la mediana de la posterior marginalizada recuperada para ese parámetro. Cuadro 1
WD MLDC1 8
Cuadro 1 Detalles sobre los resultados de Challenge 1.1.1a y Challenge 1.1.1b. S0,
la constante densidad espectral de ruido unilateral dentro de nuestra estrecha ventana de frecuencia, es
en comparación con la verdadera densidad espectral de ruido de un lado a la verdadera frecuencia de la
señal, se le da modulo γ/2. Int90 denota el intervalo mínimo para incluir el 90% de
Los estados MCMC para el parámetro dado, el modo denota la diferencia absoluta entre el
valor verdadero de un parámetro de señal y el modo de su posterior recuperado;
La media denota la diferencia absoluta equivalente para la mediana y la media de la posterior
respectivamente; denota la desviación estándar de la parte posterior de la muestra según se derive
de la mediana. Cito además la relación señal-ruido (SNR) para una plantilla
utilizando los valores reales de la fuente y los valores recuperados de la ejecución del análisis de datos,
como derivado de la mediana de las distribuciones posteriores individuales, y la correlación
C entre estas dos plantillas.
Int90, modo mediana, medio mediana, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa, medioa.
Reto 1.1.1a
10−41Hz−1
(3.53257, 4.72639) -0.42084 -0.440278 -0.452456 0,36704
0,958409, 1,03165) -0,0147383 -0,0149381 -0,0148725 0,0222861
E/ rad (5.05376, 5.13528) -0.00550139 -0.00569547 -0.00579889 0,0247886
•/ rad (1,32475, 0,500553) 0,1768 0,1823 0,1902 0,1908
^/ rad (0,097761, 1.0008) -0,0459747 0,190001 0,23459 0,295211
A/10−22 (1,61976, 2,67967) 0,664371 0,358844 0,2989878 0,368524
f0/ mHz (1,06273, 1,06273) -1,19664e-06 -1,22207e-06 -1,22259e-06 1,04422e-06
Φ0/ rad (3.10668, 5.808) -0.164989 0,00998525 0,229659 0,829146
SNR true = 51.024497 recuperado = 50.648600
C verdadero vs. recuperado = 0,99689
Desafío 1.1.1b
10−41Hz−1
(0,876833, 1,38959) -0,0679571 -0,0906557 -0,0996144 0,16017
0,121611, 0,0116916) -0,0343353 -0,151185 -0,150328 0,0406552
E/ rad (4.60969, 4.63537) 0,00265723 0,00305564 0,00302203 0,00779893
0,266328, 0,362409) 0,0101541 0,0111747 0,0111268 0,0353938
(') rad (1.22036, 1.33338) -0.0430412 -0.040458 -0.0394818 0,03488383
A/10−22 (0.45001, 0,542454) -0,016442 -0,0151921 -0,0149907 0,0281154
f0/ mHz (3.00036, 3.00036) 3.1221e-07 2.49289e-07 2.42807e-07 8.181111e-07
Φ0/ rad (5.83869, 6.19411) 0,137219 0,119301 0,119921 0,502384
SNR verdadero = 36,587444 recuperado = 37,368806
C verdadero vs. recuperado = 0,97897
muestra detalles de las estadísticas de las distribuciones posteriores recuperadas. Destacamos que
la mayoría de los valores verdaderos de los parámetros están dentro de una desviación estándar
de la mediana de la parte posterior, con un pequeño porcentaje dentro de dos muestras estándar
desviaciones. Además, cada valor verdadero de un parámetro de la señal está dentro de la
intervalo mínimo del posterior para cubrir el 90% de todos los valores de estado MCMC. Recuperado
Las relaciones señal-ruido se miden como SNR = (sh)/
(hh), y el partido C =
(htruehmed)/
(htruehtrue) (hmedhmed) entre la plantilla construida del verdadero
valores y una plantilla a partir de los valores medios de las distribuciones posteriores individuales,
dando una correlación que siempre es superior a 0,97. Se determinan los niveles de ruido
con precisión y dentro de las desviaciones estándar de 1 a 1,5 muestras. No obstante, observamos que
WD MLDC1 9
nuestra carrera en Challenge 1.1.1a muestra una menor coincidencia y mayores diferencias entre true
valor y valor recuperado de los parámetros en comparación con la ejecución en Challenge 1.1.1b. Lo siento.
también exhibe distribuciones posteriores de cola en inclinación y amplitud, aunque el
SNR de Challenge 1.1.1a es el doble del valor de Challenge 1.1.1b.
4. Conclusiones
Hemos presentado un nuevo enfoque para el análisis de datos LISA en forma de un extremo a extremo
Gasoducto. Primero detectamos e identificamos señales candidatas en el flujo de datos LISA con
un algoritmo coherente basado en cuadrícula, y luego post-procesado el candidato más prometedor
señales con un código automático Markov Chain Monte Carlo para obtener probabilidad
densidades para los parámetros del modelo. Demostramos una identificación exitosa y
post-procesamiento de las señales de los datos de una fuente MLDC de doble enana blanca
los conjuntos 1.1.1a y 1.1.1b. Además, el código automático Markov Chain Monte Carlo
ha identificado con éxito el nivel de ruido dentro de una pequeña ventana de frecuencia de interés en
estos conjuntos de datos. Observamos que un enfoque paralelo al análisis de datos de la inspiración binaria
las señales están siendo desarrolladas por Röver et al, con un método Markov Chain Monte Carlo
que puede después del proceso con éxito una señal candidata generada a partir de los parámetros verdaderos
de la señal. La detección de señales en una etapa de preprocesamiento se está probando actualmente en
métodos MCMC paralelos templados y/o análisis de frecuencia de tiempo [19].
Identificamos dos características prominentes y prometedoras de nuestra tubería: su capacidad de
determinar buenas condiciones iniciales para el MCMC y su capacidad para ejecutar el MCMC
automáticamente. Como hemos demostrado en este artículo, la anchura de los marginados
densidad posterior para el parámetro de frecuencia es extremadamente estrecho. Por lo tanto, es vital
que la estimación inicial de la frecuencia está dentro de esta región, como la estructura casi plana
del PDF posterior fuera de esta región da poca o ninguna información sobre la ubicación de
el pico. Disminuyen las posibilidades de encontrar el modo a través de un muestreo aleatorio
más adelante con un rango anterior más grande para el parámetro. Añadiendo una búsqueda estadística F como
la primera etapa en la tubería resuelve este problema, ya que la frecuencia y la posición en el
cielo se recuperan con mucha precisión, dentro de los límites de la región de probabilidad posterior
de interés, antes de que el MCMC realice el post-procesamiento y la estimación de parámetros. Los
función automática de la MCMC asegura un éxito post-procesamiento para el otro
parámetros astrofísicos que pueden haberse localizado fuera de la región posterior de
interés por el enfoque estadístico F, como en el caso de la amplitud del desafío
1.1.1a. Convergence es ayudado por la capacidad de nuestro código para aumentar o disminuir el muestreo
escalas de acuerdo con su experiencia de la calidad de muestreo de la posterior durante el
fase de combustión.
Estamos trabajando en una extensión de la tubería como se muestra en este documento a
abordar con éxito los conjuntos de datos de fuentes múltiples, necesarios para la segunda ronda del MLDC.
El trabajo actual incluye la exploración de nuestra búsqueda coherente basada en la red de datos
streams para identificar automáticamente al candidato individual más prometedor
señales, y la implementación de un salto reversible automático Markov Chain Monte
WDMLC1 10
La rutina de Carlo (por ejemplo: como ya se ha demostrado en [10]) para encontrar la trans-dimensional
funciones de densidad de probabilidad de los parámetros de un número total desconocido de señales.
Destacamos que la determinación del nivel de ruido que se presenta aquí ya sirve como clave
ingrediente a la vuelta 2, donde la simulación de una población binaria enana blanca galáctica
introduce niveles adicionales de ruido de confusión procedentes de fuentes irresolubles.
Agradecimientos
El trabajo de Nelson Christensen fue apoyado por la beca de la Fundación Nacional de Ciencia
PHY-0553422 y el programa Fulbright Scholar. El trabajo de Alberto Vecchio fue parcialmente
con el apoyo de la Fundación Packard y de la Fundación Nacional de Ciencia. Los
Grupo de la Universidad de Auckland fue apoyado por la Royal Society de Nueva Zelanda
Subvención del Fondo Marsden UOA-204.
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http://arxiv.org/abs/gr-qc/0609010
http://astrogravs.nasa.gov/docs/mldc/round1/entries.html
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0701139
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0701170
http://www.lsc-group.phys.uwm.edu/daswg/projects/lal.html
Introducción
Método de análisis
Primera etapa: búsqueda basada en cuadrícula
Segunda etapa: Seguimiento de la cadena Markov Monte Carlo
Resultados
Conclusiones
|
704.0049 | An algorithm for the classification of smooth Fano polytopes | Un algoritmo para la clasificación de Fano suave
politopos
Mikkel Øbro
24 de octubre de 2018
Resumen
Presentamos un algoritmo que produce la lista de clasificación de
D-politopos de Fano lisos para cualquier d dado ≥ 1. La entrada del algo-
ritmo es un solo número, a saber, el entero positivo d. El algoritmo
se ha utilizado para clasificar los politopos D de Fano lisos para d ≤ 7. Ahí está.
son 7622 clases de isomorfismo de 6-politopos de Fano liso y 72256
clases de isomorfismo de suave Fano 7-polytopes.
1 Introducción
Las clases de isomorfismo de las variedades de Fano torico liso de dimensión d corresponden
a las clases de isomorfismo de los llamados d-politopos de Fano lisos, que son completamente
politopos de celosía convexa dimensional en Rd, de tal manera que el origen está en el
interior de los politopos y los vértices de cada faceta es una base de la
Enrejado integral Zd • Rd. Los politopos D de Fano lisos han sido intensos
estudió durante las últimas décadas. Se han clasificado completamente hasta
isomorfismo para d ≤ 4 ([1], [18], [3], [15]). Supuestos adicionales
hay resultados de clasificación válidos en cada dimensión.
Hasta donde sabemos, los politopos de Fano D han sido clasificados en el fol-
casos de reducción de la velocidad:
• Cuando el número de vértices es d+ 1, d+ 2 o d+ 3 ([9],[2]).
• Cuando el número de vértices es 3d, que resulta ser el superior
encuadernado en el número de vértices ([6]).
• Cuando el número de vértices es 3d− 1 ([19]).
• Cuando los politopos son centralmente simétricos ([17]).
• Cuando los politopos son pseudo-simétricos, es decir. hay una faceta F,
tal que −F es también una faceta ([8]).
• Cuando hay muchos pares de vértices simétricos centrales ([5]).
http://arxiv.org/abs/0704.0049v1
2 2 POLÍTOPOS FANO SMOOTH
• Cuando los d-folds tóricos correspondientes están equipados con un extremo
contracción, que contrae un divisor torico a un punto ([4]) o una curva
([16]).
Recientemente una clasificación completa de 5-politopos de Fano liso ha sido un-
Anunciado ([12]). El enfoque es recuperar suave Fano d-polytopes de
su imagen bajo la proyección a lo largo de un vértice. Esta imagen es reflexiva.
(d− 1)-politopo (véase [3]), que es un politopo de celosía totalmente dimensional con-
conteniendo el origen en el interior, de tal manera que el politopo dual es también una celosía
Politopo. Los politopos reflexivos se han clasificado hasta la dimensión 4 utilizando
el programa informático PALP ([10],[11]). Usando esta clasificación y PALP
los autores de [12] logran clasificar los 5 politopos de Fano lisos.
En este artículo presentamos un algoritmo que clasifica los politopos D de Fano lisos
para cualquier d ≥ 1. Llamamos a este algoritmo SFP (para Smooth Fano Poly-
topes). La entrada es el entero positivo d, no se necesita nada más. Los
algoritmo se ha implementado en C++, y se utiliza para clasificar Fano suave
D-politopos para d ≤ 7. Para d = 6 y d = 7 nuestros resultados son nuevos:
Teorema 1.1. Hay 7622 clases de isomorfismo de Fano suave 6-
politopos y 72256 clases de isomorfismo de Fano 7-politopos lisos.
Las listas de clasificación de los politopos D de Fano lisos, d ≤ 7, están disponibles en
la página web de los autores: http://home.imf.au.dk/oebro
Una idea clave en el algoritmo es la noción de una faceta especial de un Fano suave
d-politopo (definido en la sección 3.1): una faceta F de un politopo d-Fano liso
se llama especial, si la suma de los vértices del politopo es un no negativo
combinación lineal de vértices de F. Esto nos permite identificar un subconjunto finito
Wd de la celosía Z
d, de tal manera que cualquier suave Fano d-politopo es isomórfico a
uno cuyos vértices están contenidos en Wd (teorema 3.6). Por lo tanto, el problema de
clasificación suave Fano d-polytopes se reduce al problema de considerar
ciertos subconjuntos de Wd.
Luego definimos un orden total en subconjuntos finitos de Zd y usamos esto para definir un
orden total en el conjunto de politopos D de Fano liso, que respeta el isomor-
phism (sección 4). El algoritmo SFP (descrito en la sección 5) pasa por
ciertos subconjuntos finitos de Wd en orden creciente, y salidas suave Fano
D-polytopes en orden creciente, de tal manera que cualquier suave Fano d-polytope es
isomórfico a exactamente uno en la lista de salida.
Como consecuencia de la orden total sobre los politopos D de Fano lisos, el algo-
rithm no necesita consultar la salida anterior para comprobar si el isomorfismo a
decidir si se produce o no un politopo construido.
2 Politopos de Fano lisos
Arreglamos una notación y probamos algunos hechos simples sobre los politopos de Fano lisos.
El casco convexo de un conjunto de K â € Rd es denotado por convK. Un politopo es
el casco convexo de finitamente muchos puntos. La dimensión de un politopo P es
la dimensión del casco afín, affP, del politopo P. Un k-politopo es
un politopo de dimensión k. Una cara de un politopo es la intersección de un
soporte del hiperplano con el politopo. Las caras de los politopos son politopos.
Las caras de la dimensión 0 se llaman vértices, mientras que las caras de la codimensión 1 y 2
se llaman facetas y crestas, respectivamente. El conjunto de vértices de un politopo
P es denotado por V(P ).
Definición 2.1. Un politopo de celosía convexa P en Rd se llama un Fano suave
d-politopo, si el origen está contenido en el interior de P y los vértices de
cada faceta de P es una Z-base de la retícula Zd Rd.
Consideramos que dos D-politopos de Fano lisos P1, P2 son isomórficos, si hay
existe un mapa lineal bijetivo فارسى : Rd → Rd, de tal manera que ♥(Zd) = Zd y
(P1) = P2.
Cada vez que F es un (d−1)-simplex en Rd, de tal manera que 0 / affF, dejamos que uF (R
ser el elemento único determinado por â € ¢uF, F â € = {1}. Por cada v(F )
definimos uw
• (Rd)* ser el elemento donde •uw
, wâ = 1 y â € € °uw
, w = 0
por cada w′ • V(F ), w′ 6= w. A continuación {uw >
V(F)} es la base de (Rd)*
dual a la base V(F) de Rd.
Cuando F es una faceta de un politopo de Fano suave y v V(P), sin duda
tienen â € TM uF, vâ â € € TM Z y
V(F) y V(F), v(F) ≤ 0 v/V(F).
El lema que figura a continuación se refiere a la relación entre los elementos uF y uF ′,
cuando F y F ′ sean facetas adyacentes.
Lemma 2.2. Dejar que F sea una faceta de un politopo de Fano suave P y v V(F).
Que F ′ sea la faceta única que se intersecta F en una cresta R de P, v /».
Let v′ = V(F ′) \ V(R).
1. * *Uv *
, v = −1.
2. En el caso de los contratos de servicios de inversión, el importe total de los contratos de servicios de inversión se estima en [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, lo que equivale a [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...]
= uF ′, v.
3. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, xâ € € € TM ~ ( € ~ u F, v
− 1) para cualquier x • Rd.
4. En particular,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, xá < 0 if ÃouF ′, xá > ÃouF, xá.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, xá > 0 if ÃouF ′, xá < ÃouF, xá.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, xâ = 0 if â € € ° F ′, xâ € = â € ° F, xâ € ° F.
para cualquier x â € TM Rd.
4 2 POLITOPOS FANO SMOOTH
5. Suponga que x 6= v′ es un vértice de P donde
, x+ < 0. A continuación, uF, v
â € ¢uF, xâ € TM.
Prueba. Los conjuntos V(F) y V(F ′) son ambas bases de la retícula Zd y la
A continuación figura la primera declaración.
Tenemos v + v′ â € ¢ span(F â € F ′), y luego la segunda declaración sigue.
Utilice los estados anteriores para calcular uF ′, x.
uF ′, x =''uF ′,
V(F)
# UwF, x # w #
V(F)v}
# UwF, x # u #
F, xuF ′, v
= uF, x u
F, x+
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # v # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
= uF, x u
F, x+
En el caso de los contratos de servicios de inversión, el importe total de los contratos de servicios de inversión se estima en [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, lo que equivale a [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...]
− 1
En la medida en que la letra f) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 se refiere a la aplicación de las disposiciones del presente Reglamento a las personas físicas y jurídicas que no sean personas físicas, jurídicas o jurídicas, que no sean personas físicas, jurídicas o jurídicas, de conformidad con el apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p.
− 1 < 0 las tres equivalencias siguen directamente.
Suponga que hay un vértice x V(P), de tal manera que
, xâ < 0 y â € uF, v
â € ¢uF, xâ € TM. Entonces
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
F, x â € € ~ ( € ~ u F, v
− 1) ≥ UF, x UF − (UF, v
− 1) ≥ 1.
Por lo tanto x está en la faceta F ′. Pero este no puede ser el caso como V(F ′) = {v
V(F) \ {v}. Por lo tanto no existe tal x.
Y hemos terminado.
En el siguiente lema mostramos un límite inferior en los números
, vâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
para cualquier faceta F y cualquier vértice v de un suave fano d-politopo.
Lemma 2.3. Deja que F sea una faceta y v un vértice de un suave politopo de Fano P.
uwF, v ≥
0 â € uF, vâ € = 1
−1 â € ¢uF, vâ € = 0
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
por cada w â € V(F ).
Prueba. Cuando â € ¢uF, vâ € = 1 la declaración es obvia.
Supongan que se trata de «uF», «vá» = 0» y «u»
, vâ < 0 para algunos w â € V(F ). Dejar F ′ ser el
una faceta única que se cruza F en la cresta conv{V(F) \ {w. Por lema 2.2
uF ′, v > 0. Como 'uF ′, vâ ° Z debemos tener 'uF ′, vâ = 1. Esto implica
uF, v = −1.
Supóngase «uF», «V» < 0 y «u»
, vâ < â € € °F, vâ ≤ −1 para algunos w â € V(F ). Vamos.
F ′ 6= F debe ser la faceta que contenga la cresta conv{V(F) \ {w, y dejar w′ ser
el vértice único en V(F ′) \ V(F ). Entonces por lema 2.2
uF ′, v = uF, v + u
F, vâ r ( r r r r, r, r, r
− 1) ≥ UF, v − u
F, vâr.
Si la respuesta es afirmativa, la respuesta es afirmativa.
, vá > 0, entonces v está en la faceta F ′. Pero este no es el caso.
como uw
, vâ < − 1. Llegamos a la conclusión de que
, vâr ≥ â € uF, vâ €.
Cuando F es una faceta y v un vértice de un suave Fano d-politopo P, de tal manera que
â € ¢uF, vâ = 0, podemos decir algo acerca de la retícula facial de P.
Lemma 2.4 ([7], sección 2.3, observación 5(2), [13], lema 5.5). Deja que F sea una faceta
y v ser vértice de un politopo de Fano suave P. Supongamos uF, v = 0.
Entonces conváv} V(F) \ {w} es una faceta de P para cada w  V(F) con
, vâ = −1.
Prueba. Sigue de la prueba del lema 2.3.
3 Incrustaciones especiales de politopos de Fano lisos
En esta sección encontramos un subconjunto finito concreto Wd de Z
♪ con la utilería agradable... ♪
erty que cualquier suave Fano d-politopo es isomórfico a uno cuyos vértices
están contenidos en Wd. El problema de la clasificación de los politopos d-Fano lisos
entonces se reduce a considerar subconjuntos de Wd.
3.1 Aspectos especiales
La siguiente definición es un concepto clave.
Definición 3.1. Una faceta F de un suave Fano d-politopo P se llama especial,
si la suma de los vértices de P es una combinación lineal no negativa de V(F),
es decir
VV(P)
V(F)
aww, aw ≥ 0.
Claramente, cualquier fano d-politopo suave tiene al menos una faceta especial.
Deja que F sea una faceta especial de un suave Fano d-politopo P.
0 ≤ â € uF,
VV(P)
vâ = d+
V.V.(P.), U.F., V.O.
«UF, vó»,
que implica −d ≤ â € uF, vâ ≤ 1 para cualquier vértice v de P. Mediante el uso de la parte inferior
encuadernado en los números
V(F) (véase el lema 2.3), podemos encontrar un
explicita subconjunto finito de la celosía Zd, de tal manera que cada v V(P) está contenido
en este subconjunto. En el siguiente lema generalizamos esta observación a
subconjuntos de V(P) que contienen V(F).
Lemma 3.2. Deja que P sea un politopo de Fano suave. Deja que F sea una faceta especial de
P y dejar V ser un subconjunto de V(P) que contiene V(F), cuya suma es v.
uF, ≥ 0
6 3 EMBEJAMIENTOS ESPECIALES DE POLÍTOPOS FANO SMOTH
uwF, ≤ uF, 1
por cada w â € V(F ).
Prueba. Para mayor comodidad establecemos U = V(P) \ V y μ =
V. U. v. Ya que F es un
una faceta especial que sabemos que
0 ≤ â € uF,
VV(P)
vá = uF, uF,.
El conjunto V(F) está contenido en V por lo tanto â € uF, vâ ≤ 0 para cada v en U, por lo tanto
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
Supongamos que para algunos w V(F ) tenemos
................................................................................... Por lema
2.3 Sabemos que
uwF, v ≥
−1 â € ¢uF, vâ € = 0
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
para cada vértice v • V(P ) \ V(F ). Hay a lo sumo un vértice v de P,
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
, vâr (lema 2.4). Así que
uwF, ≥ uF, − 1.
Ahora, considéralo.
v'V(P) v'.
?uwF,
VV(P)
= uwF, u
F, > UF, UF, = UF,
VV(P)
Pero esto implica que
vârV(P ) vâr es negativo para algunos x âr V(F ). A
contradicción.
Corolario 3.3. Deja que F sea una faceta especial y v cualquier vértice de un suave Fano
D-politopo. A continuación −d ≤ â € uF, vâ ≤ 1 y
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0,0 ≤ 0,0,0 ≤
1, â € ¢uF, vâ € = 1
d− 1, â € ¢uF, vâ € = 0
d+ â € € uF, vâ €, â € uF, vâ € < 0
por cada w â € V(F ).
Prueba. Para â € ¢uF, vâ € = 1 la declaración es obvia. Cuando se trate de «uF», v», = 0,
coeficientes de v con respecto a la base V(F ) se limita a continuación en −1
(lema 2.3), por lo que ningún coeficiente excede d− 1.
Por lo tanto, el caso â € € uF, vâ € < 0 permanece. El límite inferior es por el lema 2.3. Uso
Lema 3.2 en el subconjunto V = V(F ) {v} para probar el límite superior.
3.2 Inserciones especiales 7
3.2 Inserciones especiales
Let (e1,. .., ed) ser una base fija de la celosía Z
d • Rd.
Definición 3.4. Deja que P sea un suave Fano d-politope. Cualquier Fano suave
D-politopo Q, con conv{e1,. .., ed} como una faceta especial, se llama un especial
Incrustación de P, si P y Q son isomórficos.
Obviamente, para cualquier politopo de Fano suave P, existe al menos una especial
incrustación de P. Como cualquier politopo tiene finitamente muchas facetas, sólo existe
finitamente muchas incrustaciones especiales de P.
Ahora definimos un subconjunto de Zd que jugará un papel importante en lo que
sigue.
Definición 3.5. Por Wd denotamos el conjunto máximo (con respecto a inclu-
sión) de puntos de celosía en Zd de tal manera que
1. El origen no está contenido en Wd.
2. Los puntos en Wd son puntos primitivos de celosía.
3. Si a1e1 +.... + aded • Wd, entonces −d ≤ a ≤ 1 para a = a1 +.... + ad y
≤ ai ≤
1, a = 1
d− 1, a = 0
d+ a, a < 0
por cada i = 1,..., d.
El siguiente teorema es uno de los resultados clave de este trabajo. Nos permite
clasificar los D-politopos de Fano lisos considerando subconjuntos de la explicitely
dado set Wd.
Teorema 3.6. Dejar que P sea un arbitrario suave Fano d-polytope, y Q cualquier
incrustación especial de P. A continuación, V(Q) está contenido en el conjunto Wd.
Prueba. Sigue directamente del corolario 3.3 y la definición de Wd.
4 Total de pedidos de politopos de Fano lisos
En esta sección definimos un orden total en el conjunto de D-Polítopos de Fano lisos
para cualquier d fijo ≥ 1.
A lo largo de la sección (e1,. .., ed) es una base fija de la celosía Z
8 4 SOLICITUD TOTAL DE POLÍTOPOS FANO FANO
4.1 El orden de un punto de celosía
Comenzamos por definir un orden total en Zd.
Definición 4.1. Let x = x1e1 +. .. + xded, y = y1e1 +. .. + yded ser dos
puntos de celosía en Zd. Definimos x y si y sólo si
(−x1 −.... − xd, x1,. .., xd) ≤lex (−y1 −...................................................................................................................................................................................................................................................... .., yd),
donde ≤lex es el pedido lexicográfico sobre el producto de d + 1 copias de
el conjunto pedido (Z,≤).
El pedido es una orden total en Zd.
Ejemplo. (0, 1) • (−1, 1) • (1,−1) • (−1, 0).
Que V sea cualquier subconjunto finito no vacío de puntos de celosía en Zd. Definimos máx. V
al elemento máximo en V con respecto al pedido. Del mismo modo, minV
se define como el elemento mínimo en V.
Una propiedad importante del pedido se muestra en el siguiente lema.
Lemma 4.2. Que P sea un suave Fano d-politopo, tal que conv{e1,. .., ed}
es una faceta de P. Por cada 1 ≤ i ≤ d, dejar vi 6 = ei denotar el vértice de P, tales
que conv{e1,. .., ei−1, vi, ei+1,. .., ed} es una faceta de P.
Entonces vi = min{v • V(P )
, vâr < 0}.
Prueba. Por el lema 2.2.(1) el vértice vi está en el set {v â € V(P ) â € ~ u
, vâ < 0},
y por el lema 2.2.(5) y la definición de la orden, vi es el mínimo
elemento en este conjunto.
De hecho, hemos elegido el pedido para obtener la propiedad del lema 4.2,
y cualquier otro orden total en Zd que tenga esta propiedad se puede utilizar en lo que
sigue.
4.2 El orden de un fano d-politopo suave
Ahora podemos definir un orden en subconjuntos finitos de Zd. El pedido es
definido recursivamente.
Definición 4.3. Que X e Y sean subconjuntos finitos de Zd. Definimos X Y si
y sólo si X = • o
Y 6 = # # (minX # minY # (minX # minY # X #minX} Y #min Y }).
Ejemplo. * (0, 1)} * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Cuando W es un conjunto finito no vacío de subconjuntos de Zd, definimos maxW para ser el
elemento máximo en W con respecto a la ordenación de subconjuntos. Del mismo modo,
minW es el elemento mínimo en W.
Ahora, estamos listos para definir el orden de un suave fano d-politopo.
4.3 Permutación de los vectores de base y los presubconjuntos 9
Definición 4.4. Deja que P sea un suave Fano d-politope. La orden de P,
ord(P), se define como
ord(P ) := min{V(Q) Q una incrustación especial de P}.
El conjunto es no vacío y finito, así que ord(P) está bien definido.
Que P1 y P2 sean dos politopos D de Fano lisos. Decimos que P1 ≤ P2 si
y sólo si ord(P1) od(P2). Esto es, de hecho, una orden total en el conjunto de
clases de isomorfismo de D-politopos de Fano lisos.
4.3 Permutación de los vectores de base y los presubconjuntos
El grupo Sd de permutaciones de d elementos actúa sobre Z
d es la forma obvia
permutando los vectores de base:
- ¿Qué? - ¿Qué?(a1e1 +... + aded) := a1e/23370/(1) +.................................................................................................................................................................................................................................................
Del mismo modo, Sd actúa sobre subconjuntos de Z
.X :=.x x X}.
En esta notación tenemos claramente para cualquier incrustación especial P de un suave
Fano d-politopo
ord(P ) min.V(P )
Que V y W sean subconjuntos finitos de Zd. Decimos que V es un presubconjunto de W, si
V. W. y v. w. cuando v. V. y w. W. V.
Ejemplo. {(0, 1), (−1, 1)} es un presubconjunto de {(0, 1), (−1, 1), (1,−1)}, mientras que
{0, 1), (1,−1)} no lo es.
Lemma 4.5. Deja que P sea un politopo de Fano suave. A continuación, cada subconjunto V preestablecido de
ord(P ) es el elemento mínimo en.V
Prueba. Let ord(P ) = {v1,. ................................................................................................... ..... vn. Suponga que existe un
permutación y una k, 1 ≤ k ≤ n, de manera que
..... v1,........................................................................................................ .., vk} = {w1,. ............................................................... .., vk},
donde w1 â € ¬. ............................................................................................... Entonces hay un número j, 1 ≤ j ≤ k, tal que
wi = vi por cada 1 ≤ i < j y wj • vj.
Vamos a actuar en {v1,. .., vn}.
..... v1,........................................................................................................ .., vn} = {x1,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................
A continuación, xi vi por cada 1 ≤ i < j y xj • vj. Por lo tanto .ord(P ) ord(P ), pero
esto contradice la definición de ord(P ).
10 5 EL FPS-ALGORITMO
5 El algoritmo SFP
En esta sección describimos un algoritmo que produce la lista de clasificación
de D-politopos de Fano lisos para cualquier d dado ≥ 1. El algoritmo funciona por
pasando por ciertos subconjuntos finitos de Wd en orden creciente (con respeto
a la orden definida en la sección anterior). Producirá un subconjunto V
iff convV es un suave Fano d-politopo P y ord(P ) = V.
A lo largo de toda la sección (e1,. ., ed) es una base fija de Z
d y yo denota
el (d− 1)-simplex conv{e1,. .., ed}.
5.1 El algoritmo SFP
El algoritmo SFP consta de tres funciones,
SFP, AddPoint y CheckSubset.
Los subconjuntos finitos de Wd son construidos por la función AddPoint, que
toma un subconjunto V, {e1,. .., ed} V Wd, junto con un conjunto finito F,
I-F, de (d − 1)-simplifica en Rd como entrada. Luego pasa a través de cada v en
el conjunto
{v) {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v}
en orden creciente, y recursivamente se llama a sí mismo con entrada V {v} y algunos
set F ′ de (d − 1)-simplices de Rd, F F ′. De esta manera subconjuntos de Wd son
considerado en orden creciente.
Cada vez que se llama a AddPoint, comprueba si el conjunto de entrada V es el conjunto de vértice de
una incrustación especial de un suave Fano d-politopo P de tal manera que ord(P ) = V,
en cuyo caso se produce el politopo P = convV.
Para cualquier entero dado d ≥ 1 la función SFP llama a la función AddPoint
con entrada {e1,. .............................................................. De esta manera una llamada SFP(d) hará la
algoritmo ir a través de cada subconjunto finito de Wd que contiene {e1,. .., ed}, y
suave Fano d-polytopes se emiten en un orden estrictamente creciente.
Es vital para la eficacia del algoritmo SFP, que haya algunos
manera eficiente de comprobar si un subconjunto V Wd es un presubset de ord(P) para algunos
suave Fano d-polytope P. La función AddPoint debe realizar esto
comprobar antes de la llamada recursiva AddPoint (V,F ′).
Si P es cualquier suave Fano d-politopo, entonces cualquier presubset V de ord(P ) es el
elemento mínimo en el conjunto.V Sd} (por lema 4.5). En otras palabras, si
existe una permutación de tal manera que V V, entonces el algoritmo debe
no hacer la llamada recursiva AddPoint(V ).
Pero esta no es la única prueba que deseamos realizar en un subconjunto V antes de la
llamada recursiva. La función CheckSubset realiza otra prueba: Se necesita
a subconjunto V, {e1,. .., ed} V Wd como entrada junto con un conjunto finito de
(d−1)-simplices F, I â € F, y devuelve un conjunto F ′ de (d−1)-simplices que contienen
F, si existe una incrustación especial P de un suave fano d-politopo, tales
5.2 Ejemplo del razonamiento de CheckSubset 11
1. V es un presubconjunto de V(P)
2. F es un subconjunto de las facetas de P
Esto se demuestra en el teorema 5.1. Si no existe tal incrustación especial, entonces
CheckSubset devuelve falso en muchos casos, ¡pero no siempre! Sólo cuando
CheckSubset(V,F) devuelve un conjunto F ′ de simplices, permitimos el recursivo
llame a AddPoint(V,F ′).
Dada la entrada V Wd y un conjunto F de (d − 1)-simplices de R
d, la función
CheckSubset funciona de la siguiente manera: Suponga que V es un presubset de V(P)
para alguna incrustación especial P de un suave Fano d-politopo y F es un subconjunto
de las facetas de P. Deducir tanto como sea posible de la retícula facial de P y
buscar contradicciones con los lemas enunciados en la sección 2. Más facetas
sabemos de P, más restricciones que podemos poner en el vértice conjunto V(P ), y
entonces en V. Si surge una contradicción, devuelve falso. De lo contrario, devolver el
deducido conjunto de facetas de P.
El siguiente ejemplo ilustra cómo funciona la función CheckSubset.
5.2 Ejemplo del razonamiento en CheckSubset
Let d = 5 y V = {v1,. .., v8}, donde
v1 = e1, v2 = e2, v3 = e3, v4 = e4, v5 = e5
v6 = −e1 − e2 + e4 + e5, v7 = e2 − e3 − e4, v8 = −e4 − e5.
Supongamos que P es una incrustación especial de un 5-politopo de Fano suave, de tal manera que
V es un presubconjunto de V(P ). Ciertamente, el simplex I es una faceta de P.
Note que V no viola el lema 3.2.
v1 +. .. + v8 = e2 + e5.
Si V contradijera el lema 3.2, entonces el politopo P no podría existir, y
CheckSubset(V, {I}) debe devolver false.
Para la simplicidad denotamos cualquier k-simplex conv{vi1,. ......................................................... ...........................................................................................................
Puesto que uI, v6 = 0, las simplificaciones F1 = {2, 3, 4, 5, 6} y F2 = {1, 3, 4, 5, 6}
son facetas de P (lema 2.4).
Hay exactamente dos facetas de P que contienen la cresta {1, 2, 4, 5}. Uno de
ellos soy yo. Supongamos que el otro es {1, 2, 4, 5, 9}, donde v9 es alguna celosía
punto no en V, v9, V(P). A continuación, «lul», v9», > «lul», v7», por lemma 2.2.5)
y, a continuación, v9 - v7 por la definición de la ordenación de los puntos de celosía Z
Pero entonces V no es un presubconjunto de V(P). Esta es la bonita propiedad de la
orden de Zd, y la razón por la que lo elegimos como lo hicimos. Concluimos que
F3 = {1, 2, 4, 5, 7} es una faceta de P, y por razonamiento similar F4 = {1, 2, 3, 5, 8}
y F5 = {1, 2, 3, 4, 8} son facetas de P.
12 5 EL FPS-ALGORITMO
Ahora, para cada una de las facetas Fi y cada punto vj V, comprobamos si â € TM uFi, vjâ =
0. Si este es el caso, entonces por lema 2.4 conv({vj} V(Fi) \ {w}) es una faceta
de P por cada w • V(Fi) donde • u
, vjá < 0. De esta manera conseguimos eso.
{2, 4, 5, 6, 7}, {1, 4, 5, 6, 7}, {1, 2, 3, 7, 8}, {1, 3, 5, 7, 8}
son facetas de P.
Continuamos de esta manera, hasta que no podemos deducir ninguna nueva faceta de P.
el tiempo que encontramos una nueva faceta F comprobamos que v está por debajo de F (es decir, uF, v ≤ 1)
y que el lema 2.3 es válido para cualquier v. V. Si no es así, entonces CheckSubset(V, {I})
debería devolver falso.
Si no surge ninguna contradicción, CheckSubset(V, {I}) devuelve el conjunto de deducción
facetas.
5.3 El algoritmo SFP en pseudocódigo
Entrada: Un entero positivo d.
Salida: Una lista de incrustaciones especiales de politopos D de Fano lisos, de tal manera que
1. Cualquier suave Fano d-politopo es isomórfico a uno y sólo uno poli-
tope en la lista de salida.
2. Si P es un D-politopo de Fano suave en la lista de salida, entonces V(P) =
ord(P ).
3. Si P1 y P2 son dos politopos de Fano D lisos no isomórficos en la
la lista de salida y P1 precede a P2 en la lista de salida, entonces ord(P1)
ord(P2).
SFP ( un entero d ≥ 1 )
1. Construir el conjunto V = {e1,. .., ed} y el simplex I = convV.
2. Llame a la función AddPoint(V, {I}).
3. Fin del programa.
AddPoint ( un subconjunto V donde {e1,. .......................................................................................
Simplices F en Rd donde I â € F )
1. Si P = conv(V(V )) es un politopo d-Fano suave y V(V ) = ord(P ),
entonces salida P.
2. Ir a través de cada v • Wd, maxV(V) • v, en orden creciente con
con respecto a la orden:
(a) Si CheckSubset(V {v},F) devuelve false, entonces goto (d). Oth-
erwise dejar que F ′ sea el juego devuelto de (d− 1)-simplices.
5.4 Justificación del algoritmo SFP 13
b) Si V {v} 6= min.(V {v}) {Sd}, entonces goto (d).
c) Llamar a la función AddPoint(V) {v},F ′).
(d) Dejar v ser el siguiente elemento en Wd y volver a (a).
3. Retorno
CheckSubset ( subconjunto V donde {e1,. .......................................................................
Simplices F en Rd donde I â € F )
1. Let ν =
V. V.
2. Si uI, < 0, entonces devuelve false.
3. Si
, > 1 + uI, para algunos i, a continuación, volver falso.
4. Let F ′ = F.
5. Por cada {1,...., d}: Si el conjunto {v • V u
, vâ < 0} es igual a
{max V}, a continuación, añadir el simplex conv({max V} • V(I) \ {ei}) a F
6. Si existe F + F ′ tal que V(F ) no es una Z-base de Zd, entonces
Devuélveme falso.
7. Si existe F ° F ′ y v ° V de tal manera que ° uF, vâ > 1, a continuación, volver
Falso.
8. Si existe F ° F ′, v ° V y w ° V(F), de manera que
uwF, v <
0 â € uF, vâ € = 1
−1 â € ¢uF, vâ € = 0
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
y luego regresará falsamente.
9. Si existe F ° F ′, v ° V y w ° V(F ), de manera que ° u F, v ° = 0 y
, v = −1, entonces considere la simplex F ′ = conv({vV(F ) \ {w}).
Si F ′ /+ F ′, añádase F ′ a F ′ y vuelva al paso 6.
10. Devuelve F ′.
5.4 Justificación del algoritmo SFP
Los siguientes teoremas justifican el algoritmo SFP.
Teorema 5.1. Deja que P sea una incrustación especial de un suave fano d-politopo
y V un presubconjunto de V(P), tal que {e1,. ..., ed} V. Let F be a set of
facetas de P.
A continuación, CheckSubset(V,F) devuelve un subconjunto F ′ de las facetas de P y F F ′.
14 6 RESULTADOS DE CLASIFICACIÓN Y DÓNDE LLEVARLOS
Prueba. Para el lema 3.2 el subconjunto V pasará las pruebas en los pasos 2 y 3 en
CheckSubset.
La función CheckSubset construye un conjunto F ′ de (d−1)-simplices contiene-
Ahora queremos probar que cada simplex F en F ′ es un
faceta de P : Por las suposiciones el subconjunto F F ′ consta de facetas de P.
Considerar la adición de un simplex Fi, 1 ≤ i ≤ d, en el paso 5:
Fi = conv({max V} • V(I) \ {ei}).
Como maxV es el único elemento en el conjunto {v • V uei
, vâ < 0} y V es un
presubset de V(P ), Fi es una faceta de P por el lema 4.2.
Considere la adición de simplices en el paso 9: Si F es una faceta de P, entonces por
lemma 2.4 el simplex conv({v} • V(F) \ {w}) es una faceta de P.
Por inducción concluimos, que cada simplex en F ′ es una faceta de P.
cualquier simplex F + F ′ superará las pruebas en los pasos 6–8 (utiliza el lema 2.3 para ver
que se haya superado la última prueba).
Esto prueba el teorema.
Teorema 5.2. El algoritmo SFP produce la salida prometida.
Prueba. Deja que P sea un suave Fano d-politope. Claramente, P es isomórfico a en
la mayoría de un politopo en la lista de salida.
Que Q sea una incrustación especial de P tal que V(Q) = ord(P ). Tenemos que hacerlo.
mostrar que Q está en la lista de salida. Let V(Q) = {e1,. ., ed, q1,. .., qk}, donde
q1 â € TM. . • qk, y dejar Vi = {e1,. ., ed, q1,. .., qi} por cada 1 ≤ i ≤ k.
Ciertamente la función AddPoint ha sido llamada con input {e1,. .., ed}
y {I}.
Por teorema 5.1 la función llamada CheckSubset(V1, {I}) devuelve un conjunto F1 de
(d − 1)-simplices que son facetas de Q, I-F1. Por lema 4.5 el conjunto V1
pasa la prueba en 2b en AddPoint. Entonces AddPoint se llama recursivamente
con entrada V1 y F1.
La llamada CheckSubset(V1,F1) devuelve un subconjunto F2 de facetas de Q, y la
el conjunto V2 pasa la prueba en 2b en AddPoint. Así que la llamada AddPoint(V2,F2) es
Hecho.
Proceda de esta manera para ver que la llamada AddPoint (Vk,Fk) se hace, y luego
el politopo Q = convVk se produce en el paso 1 en AddPoint.
6 Clasificación de resultados y dónde obtenerlos
Una versión modificada del algoritmo SFP se ha implementado en C++,
y utilizados para clasificar los politopos D de Fano lisos para d ≤ 7. En promedio
nuestro programa necesita menos de un día (enero de 2007) para
estructurar la lista de clasificación de los 7 politopos de Fano lisos. Estas listas pueden ser
descargado de la página principal de los autores: http://home.imf.au.dk/oebro
REFERENCIAS 15
Una ventaja del algoritmo SFP es que no requiere casi ningún recuerdo:
Cuando el algoritmo ha encontrado un suave Fano d-polytope P, no necesita
consultar la lista de productos para decidir si se produce el politopo P o no.
La construcción garantiza que V(P) = min.V(P)
Queda por comprobar si V(P) = ord(P). Por lo tanto, no hay necesidad de almacenar el
lista de productos.
La siguiente tabla muestra el número de clases de isomorfismo de Fano suave
D-polytopes con n vértices.
n d = 1 d = 2 d = 3 d = 4 d = 5 d = 6 d = 7
4 2 1
5 1 4 1
6 1 7 9 1
7 4 28 15 1
8 2 47 91 26 1
9 27 268 257 40
10 10 312 1318 643
11 1 137 2807 5347
12 1 35 2204 19516
13 5 771 26312
14 2 186 14758
15 39 4362
16 11 1013
17 1 214
18 1 43
Total 1 5 18 124 866 7622 72256
Bibliografía
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16 REFERENCIAS
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2001, Bolyai Society Mathematical Studies 12, Springer, 2001.
[8] G. Ewald, Sobre la clasificación de las variedades Toric Fano, Dicrete Com-
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Geom. 3 (1988), 49–54.
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dimensiones, Adv. Teor. Matemáticas. Phys. 2 (1998), 853–871.
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en cuatro dimensiones, Adv. Teor. Matemáticas. Phys. 4 (2000), 1209–1230.
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topes, Preprint, maths.AG/0511294, 2005.
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variedades,. Tohoku Math. J. 52 (2000), 383–413.
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http://arxiv.org/abs/math/0702890
http://arxiv.org/abs/math/0511294
http://arxiv.org/abs/math/0703416
REFERENCIAS 17
Departamento de Matemáticas
Universidad de Århus
8000 Århus C
Dinamarca
Dirección de correo electrónico: oebro@imf.au.dk
Introducción
Politopos de Fano lisos
Incrustaciones especiales de politopos de Fano lisos
Aspectos especiales
Inserciones especiales
Orden total de politopos de Fano lisos
El orden de un punto de celosía
El orden de un suave fano d-politopo
Permutación de los vegetales de base y los presubconjuntos
El algoritmo SFP
El algoritmo SFP
Un ejemplo del razonamiento en CheckSubset
El algoritmo SFP en pseudocódigo
Justificación del algoritmo SFP
Clasificación de los resultados y dónde obtenerlos
| Presentamos un algoritmo que produce la lista de clasificación de Fano suave
d-polytopes para cualquier d dado. La entrada del algoritmo es un solo número,
a saber, el entero positivo d. El algoritmo se ha utilizado para clasificar suave
D-politopos de Fano para d<=7. Hay 7622 clases de isomorfismo de Fano suave
6-polytopes y 72256 clases de isomorfismo de Fano 7-polytopes lisos.
| Introducción
Las clases de isomorfismo de las variedades de Fano torico liso de dimensión d corresponden
a las clases de isomorfismo de los llamados d-politopos de Fano lisos, que son completamente
politopos de celosía convexa dimensional en Rd, de tal manera que el origen está en el
interior de los politopos y los vértices de cada faceta es una base de la
Enrejado integral Zd • Rd. Los politopos D de Fano lisos han sido intensos
estudió durante las últimas décadas. Se han clasificado completamente hasta
isomorfismo para d ≤ 4 ([1], [18], [3], [15]). Supuestos adicionales
hay resultados de clasificación válidos en cada dimensión.
Hasta donde sabemos, los politopos de Fano D han sido clasificados en el fol-
casos de reducción de la velocidad:
• Cuando el número de vértices es d+ 1, d+ 2 o d+ 3 ([9],[2]).
• Cuando el número de vértices es 3d, que resulta ser el superior
encuadernado en el número de vértices ([6]).
• Cuando el número de vértices es 3d− 1 ([19]).
• Cuando los politopos son centralmente simétricos ([17]).
• Cuando los politopos son pseudo-simétricos, es decir. hay una faceta F,
tal que −F es también una faceta ([8]).
• Cuando hay muchos pares de vértices simétricos centrales ([5]).
http://arxiv.org/abs/0704.0049v1
2 2 POLÍTOPOS FANO SMOOTH
• Cuando los d-folds tóricos correspondientes están equipados con un extremo
contracción, que contrae un divisor torico a un punto ([4]) o una curva
([16]).
Recientemente una clasificación completa de 5-politopos de Fano liso ha sido un-
Anunciado ([12]). El enfoque es recuperar suave Fano d-polytopes de
su imagen bajo la proyección a lo largo de un vértice. Esta imagen es reflexiva.
(d− 1)-politopo (véase [3]), que es un politopo de celosía totalmente dimensional con-
conteniendo el origen en el interior, de tal manera que el politopo dual es también una celosía
Politopo. Los politopos reflexivos se han clasificado hasta la dimensión 4 utilizando
el programa informático PALP ([10],[11]). Usando esta clasificación y PALP
los autores de [12] logran clasificar los 5 politopos de Fano lisos.
En este artículo presentamos un algoritmo que clasifica los politopos D de Fano lisos
para cualquier d ≥ 1. Llamamos a este algoritmo SFP (para Smooth Fano Poly-
topes). La entrada es el entero positivo d, no se necesita nada más. Los
algoritmo se ha implementado en C++, y se utiliza para clasificar Fano suave
D-politopos para d ≤ 7. Para d = 6 y d = 7 nuestros resultados son nuevos:
Teorema 1.1. Hay 7622 clases de isomorfismo de Fano suave 6-
politopos y 72256 clases de isomorfismo de Fano 7-politopos lisos.
Las listas de clasificación de los politopos D de Fano lisos, d ≤ 7, están disponibles en
la página web de los autores: http://home.imf.au.dk/oebro
Una idea clave en el algoritmo es la noción de una faceta especial de un Fano suave
d-politopo (definido en la sección 3.1): una faceta F de un politopo d-Fano liso
se llama especial, si la suma de los vértices del politopo es un no negativo
combinación lineal de vértices de F. Esto nos permite identificar un subconjunto finito
Wd de la celosía Z
d, de tal manera que cualquier suave Fano d-politopo es isomórfico a
uno cuyos vértices están contenidos en Wd (teorema 3.6). Por lo tanto, el problema de
clasificación suave Fano d-polytopes se reduce al problema de considerar
ciertos subconjuntos de Wd.
Luego definimos un orden total en subconjuntos finitos de Zd y usamos esto para definir un
orden total en el conjunto de politopos D de Fano liso, que respeta el isomor-
phism (sección 4). El algoritmo SFP (descrito en la sección 5) pasa por
ciertos subconjuntos finitos de Wd en orden creciente, y salidas suave Fano
D-polytopes en orden creciente, de tal manera que cualquier suave Fano d-polytope es
isomórfico a exactamente uno en la lista de salida.
Como consecuencia de la orden total sobre los politopos D de Fano lisos, el algo-
rithm no necesita consultar la salida anterior para comprobar si el isomorfismo a
decidir si se produce o no un politopo construido.
2 Politopos de Fano lisos
Arreglamos una notación y probamos algunos hechos simples sobre los politopos de Fano lisos.
El casco convexo de un conjunto de K â € Rd es denotado por convK. Un politopo es
el casco convexo de finitamente muchos puntos. La dimensión de un politopo P es
la dimensión del casco afín, affP, del politopo P. Un k-politopo es
un politopo de dimensión k. Una cara de un politopo es la intersección de un
soporte del hiperplano con el politopo. Las caras de los politopos son politopos.
Las caras de la dimensión 0 se llaman vértices, mientras que las caras de la codimensión 1 y 2
se llaman facetas y crestas, respectivamente. El conjunto de vértices de un politopo
P es denotado por V(P ).
Definición 2.1. Un politopo de celosía convexa P en Rd se llama un Fano suave
d-politopo, si el origen está contenido en el interior de P y los vértices de
cada faceta de P es una Z-base de la retícula Zd Rd.
Consideramos que dos D-politopos de Fano lisos P1, P2 son isomórficos, si hay
existe un mapa lineal bijetivo فارسى : Rd → Rd, de tal manera que ♥(Zd) = Zd y
(P1) = P2.
Cada vez que F es un (d−1)-simplex en Rd, de tal manera que 0 / affF, dejamos que uF (R
ser el elemento único determinado por â € ¢uF, F â € = {1}. Por cada v(F )
definimos uw
• (Rd)* ser el elemento donde •uw
, wâ = 1 y â € € °uw
, w = 0
por cada w′ • V(F ), w′ 6= w. A continuación {uw >
V(F)} es la base de (Rd)*
dual a la base V(F) de Rd.
Cuando F es una faceta de un politopo de Fano suave y v V(P), sin duda
tienen â € TM uF, vâ â € € TM Z y
V(F) y V(F), v(F) ≤ 0 v/V(F).
El lema que figura a continuación se refiere a la relación entre los elementos uF y uF ′,
cuando F y F ′ sean facetas adyacentes.
Lemma 2.2. Dejar que F sea una faceta de un politopo de Fano suave P y v V(F).
Que F ′ sea la faceta única que se intersecta F en una cresta R de P, v /».
Let v′ = V(F ′) \ V(R).
1. * *Uv *
, v = −1.
2. En el caso de los contratos de servicios de inversión, el importe total de los contratos de servicios de inversión se estima en [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, lo que equivale a [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...]
= uF ′, v.
3. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, xâ € € € TM ~ ( € ~ u F, v
− 1) para cualquier x • Rd.
4. En particular,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, xá < 0 if ÃouF ′, xá > ÃouF, xá.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, xá > 0 if ÃouF ′, xá < ÃouF, xá.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, xâ = 0 if â € € ° F ′, xâ € = â € ° F, xâ € ° F.
para cualquier x â € TM Rd.
4 2 POLITOPOS FANO SMOOTH
5. Suponga que x 6= v′ es un vértice de P donde
, x+ < 0. A continuación, uF, v
â € ¢uF, xâ € TM.
Prueba. Los conjuntos V(F) y V(F ′) son ambas bases de la retícula Zd y la
A continuación figura la primera declaración.
Tenemos v + v′ â € ¢ span(F â € F ′), y luego la segunda declaración sigue.
Utilice los estados anteriores para calcular uF ′, x.
uF ′, x =''uF ′,
V(F)
# UwF, x # w #
V(F)v}
# UwF, x # u #
F, xuF ′, v
= uF, x u
F, x+
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # v # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
= uF, x u
F, x+
En el caso de los contratos de servicios de inversión, el importe total de los contratos de servicios de inversión se estima en [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, lo que equivale a [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...]
− 1
En la medida en que la letra f) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 se refiere a la aplicación de las disposiciones del presente Reglamento a las personas físicas y jurídicas que no sean personas físicas, jurídicas o jurídicas, que no sean personas físicas, jurídicas o jurídicas, de conformidad con el apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p.
− 1 < 0 las tres equivalencias siguen directamente.
Suponga que hay un vértice x V(P), de tal manera que
, xâ < 0 y â € uF, v
â € ¢uF, xâ € TM. Entonces
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
F, x â € € ~ ( € ~ u F, v
− 1) ≥ UF, x UF − (UF, v
− 1) ≥ 1.
Por lo tanto x está en la faceta F ′. Pero este no puede ser el caso como V(F ′) = {v
V(F) \ {v}. Por lo tanto no existe tal x.
Y hemos terminado.
En el siguiente lema mostramos un límite inferior en los números
, vâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
para cualquier faceta F y cualquier vértice v de un suave fano d-politopo.
Lemma 2.3. Deja que F sea una faceta y v un vértice de un suave politopo de Fano P.
uwF, v ≥
0 â € uF, vâ € = 1
−1 â € ¢uF, vâ € = 0
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
por cada w â € V(F ).
Prueba. Cuando â € ¢uF, vâ € = 1 la declaración es obvia.
Supongan que se trata de «uF», «vá» = 0» y «u»
, vâ < 0 para algunos w â € V(F ). Dejar F ′ ser el
una faceta única que se cruza F en la cresta conv{V(F) \ {w. Por lema 2.2
uF ′, v > 0. Como 'uF ′, vâ ° Z debemos tener 'uF ′, vâ = 1. Esto implica
uF, v = −1.
Supóngase «uF», «V» < 0 y «u»
, vâ < â € € °F, vâ ≤ −1 para algunos w â € V(F ). Vamos.
F ′ 6= F debe ser la faceta que contenga la cresta conv{V(F) \ {w, y dejar w′ ser
el vértice único en V(F ′) \ V(F ). Entonces por lema 2.2
uF ′, v = uF, v + u
F, vâ r ( r r r r, r, r, r
− 1) ≥ UF, v − u
F, vâr.
Si la respuesta es afirmativa, la respuesta es afirmativa.
, vá > 0, entonces v está en la faceta F ′. Pero este no es el caso.
como uw
, vâ < − 1. Llegamos a la conclusión de que
, vâr ≥ â € uF, vâ €.
Cuando F es una faceta y v un vértice de un suave Fano d-politopo P, de tal manera que
â € ¢uF, vâ = 0, podemos decir algo acerca de la retícula facial de P.
Lemma 2.4 ([7], sección 2.3, observación 5(2), [13], lema 5.5). Deja que F sea una faceta
y v ser vértice de un politopo de Fano suave P. Supongamos uF, v = 0.
Entonces conváv} V(F) \ {w} es una faceta de P para cada w  V(F) con
, vâ = −1.
Prueba. Sigue de la prueba del lema 2.3.
3 Incrustaciones especiales de politopos de Fano lisos
En esta sección encontramos un subconjunto finito concreto Wd de Z
♪ con la utilería agradable... ♪
erty que cualquier suave Fano d-politopo es isomórfico a uno cuyos vértices
están contenidos en Wd. El problema de la clasificación de los politopos d-Fano lisos
entonces se reduce a considerar subconjuntos de Wd.
3.1 Aspectos especiales
La siguiente definición es un concepto clave.
Definición 3.1. Una faceta F de un suave Fano d-politopo P se llama especial,
si la suma de los vértices de P es una combinación lineal no negativa de V(F),
es decir
VV(P)
V(F)
aww, aw ≥ 0.
Claramente, cualquier fano d-politopo suave tiene al menos una faceta especial.
Deja que F sea una faceta especial de un suave Fano d-politopo P.
0 ≤ â € uF,
VV(P)
vâ = d+
V.V.(P.), U.F., V.O.
«UF, vó»,
que implica −d ≤ â € uF, vâ ≤ 1 para cualquier vértice v de P. Mediante el uso de la parte inferior
encuadernado en los números
V(F) (véase el lema 2.3), podemos encontrar un
explicita subconjunto finito de la celosía Zd, de tal manera que cada v V(P) está contenido
en este subconjunto. En el siguiente lema generalizamos esta observación a
subconjuntos de V(P) que contienen V(F).
Lemma 3.2. Deja que P sea un politopo de Fano suave. Deja que F sea una faceta especial de
P y dejar V ser un subconjunto de V(P) que contiene V(F), cuya suma es v.
uF, ≥ 0
6 3 EMBEJAMIENTOS ESPECIALES DE POLÍTOPOS FANO SMOTH
uwF, ≤ uF, 1
por cada w â € V(F ).
Prueba. Para mayor comodidad establecemos U = V(P) \ V y μ =
V. U. v. Ya que F es un
una faceta especial que sabemos que
0 ≤ â € uF,
VV(P)
vá = uF, uF,.
El conjunto V(F) está contenido en V por lo tanto â € uF, vâ ≤ 0 para cada v en U, por lo tanto
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
Supongamos que para algunos w V(F ) tenemos
................................................................................... Por lema
2.3 Sabemos que
uwF, v ≥
−1 â € ¢uF, vâ € = 0
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
para cada vértice v • V(P ) \ V(F ). Hay a lo sumo un vértice v de P,
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
, vâr (lema 2.4). Así que
uwF, ≥ uF, − 1.
Ahora, considéralo.
v'V(P) v'.
?uwF,
VV(P)
= uwF, u
F, > UF, UF, = UF,
VV(P)
Pero esto implica que
vârV(P ) vâr es negativo para algunos x âr V(F ). A
contradicción.
Corolario 3.3. Deja que F sea una faceta especial y v cualquier vértice de un suave Fano
D-politopo. A continuación −d ≤ â € uF, vâ ≤ 1 y
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0 ≤ 0,0,0 ≤ 0,0,0 ≤
1, â € ¢uF, vâ € = 1
d− 1, â € ¢uF, vâ € = 0
d+ â € € uF, vâ €, â € uF, vâ € < 0
por cada w â € V(F ).
Prueba. Para â € ¢uF, vâ € = 1 la declaración es obvia. Cuando se trate de «uF», v», = 0,
coeficientes de v con respecto a la base V(F ) se limita a continuación en −1
(lema 2.3), por lo que ningún coeficiente excede d− 1.
Por lo tanto, el caso â € € uF, vâ € < 0 permanece. El límite inferior es por el lema 2.3. Uso
Lema 3.2 en el subconjunto V = V(F ) {v} para probar el límite superior.
3.2 Inserciones especiales 7
3.2 Inserciones especiales
Let (e1,. .., ed) ser una base fija de la celosía Z
d • Rd.
Definición 3.4. Deja que P sea un suave Fano d-politope. Cualquier Fano suave
D-politopo Q, con conv{e1,. .., ed} como una faceta especial, se llama un especial
Incrustación de P, si P y Q son isomórficos.
Obviamente, para cualquier politopo de Fano suave P, existe al menos una especial
incrustación de P. Como cualquier politopo tiene finitamente muchas facetas, sólo existe
finitamente muchas incrustaciones especiales de P.
Ahora definimos un subconjunto de Zd que jugará un papel importante en lo que
sigue.
Definición 3.5. Por Wd denotamos el conjunto máximo (con respecto a inclu-
sión) de puntos de celosía en Zd de tal manera que
1. El origen no está contenido en Wd.
2. Los puntos en Wd son puntos primitivos de celosía.
3. Si a1e1 +.... + aded • Wd, entonces −d ≤ a ≤ 1 para a = a1 +.... + ad y
≤ ai ≤
1, a = 1
d− 1, a = 0
d+ a, a < 0
por cada i = 1,..., d.
El siguiente teorema es uno de los resultados clave de este trabajo. Nos permite
clasificar los D-politopos de Fano lisos considerando subconjuntos de la explicitely
dado set Wd.
Teorema 3.6. Dejar que P sea un arbitrario suave Fano d-polytope, y Q cualquier
incrustación especial de P. A continuación, V(Q) está contenido en el conjunto Wd.
Prueba. Sigue directamente del corolario 3.3 y la definición de Wd.
4 Total de pedidos de politopos de Fano lisos
En esta sección definimos un orden total en el conjunto de D-Polítopos de Fano lisos
para cualquier d fijo ≥ 1.
A lo largo de la sección (e1,. .., ed) es una base fija de la celosía Z
8 4 SOLICITUD TOTAL DE POLÍTOPOS FANO FANO
4.1 El orden de un punto de celosía
Comenzamos por definir un orden total en Zd.
Definición 4.1. Let x = x1e1 +. .. + xded, y = y1e1 +. .. + yded ser dos
puntos de celosía en Zd. Definimos x y si y sólo si
(−x1 −.... − xd, x1,. .., xd) ≤lex (−y1 −...................................................................................................................................................................................................................................................... .., yd),
donde ≤lex es el pedido lexicográfico sobre el producto de d + 1 copias de
el conjunto pedido (Z,≤).
El pedido es una orden total en Zd.
Ejemplo. (0, 1) • (−1, 1) • (1,−1) • (−1, 0).
Que V sea cualquier subconjunto finito no vacío de puntos de celosía en Zd. Definimos máx. V
al elemento máximo en V con respecto al pedido. Del mismo modo, minV
se define como el elemento mínimo en V.
Una propiedad importante del pedido se muestra en el siguiente lema.
Lemma 4.2. Que P sea un suave Fano d-politopo, tal que conv{e1,. .., ed}
es una faceta de P. Por cada 1 ≤ i ≤ d, dejar vi 6 = ei denotar el vértice de P, tales
que conv{e1,. .., ei−1, vi, ei+1,. .., ed} es una faceta de P.
Entonces vi = min{v • V(P )
, vâr < 0}.
Prueba. Por el lema 2.2.(1) el vértice vi está en el set {v â € V(P ) â € ~ u
, vâ < 0},
y por el lema 2.2.(5) y la definición de la orden, vi es el mínimo
elemento en este conjunto.
De hecho, hemos elegido el pedido para obtener la propiedad del lema 4.2,
y cualquier otro orden total en Zd que tenga esta propiedad se puede utilizar en lo que
sigue.
4.2 El orden de un fano d-politopo suave
Ahora podemos definir un orden en subconjuntos finitos de Zd. El pedido es
definido recursivamente.
Definición 4.3. Que X e Y sean subconjuntos finitos de Zd. Definimos X Y si
y sólo si X = • o
Y 6 = # # (minX # minY # (minX # minY # X #minX} Y #min Y }).
Ejemplo. * (0, 1)} * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Cuando W es un conjunto finito no vacío de subconjuntos de Zd, definimos maxW para ser el
elemento máximo en W con respecto a la ordenación de subconjuntos. Del mismo modo,
minW es el elemento mínimo en W.
Ahora, estamos listos para definir el orden de un suave fano d-politopo.
4.3 Permutación de los vectores de base y los presubconjuntos 9
Definición 4.4. Deja que P sea un suave Fano d-politope. La orden de P,
ord(P), se define como
ord(P ) := min{V(Q) Q una incrustación especial de P}.
El conjunto es no vacío y finito, así que ord(P) está bien definido.
Que P1 y P2 sean dos politopos D de Fano lisos. Decimos que P1 ≤ P2 si
y sólo si ord(P1) od(P2). Esto es, de hecho, una orden total en el conjunto de
clases de isomorfismo de D-politopos de Fano lisos.
4.3 Permutación de los vectores de base y los presubconjuntos
El grupo Sd de permutaciones de d elementos actúa sobre Z
d es la forma obvia
permutando los vectores de base:
- ¿Qué? - ¿Qué?(a1e1 +... + aded) := a1e/23370/(1) +.................................................................................................................................................................................................................................................
Del mismo modo, Sd actúa sobre subconjuntos de Z
.X :=.x x X}.
En esta notación tenemos claramente para cualquier incrustación especial P de un suave
Fano d-politopo
ord(P ) min.V(P )
Que V y W sean subconjuntos finitos de Zd. Decimos que V es un presubconjunto de W, si
V. W. y v. w. cuando v. V. y w. W. V.
Ejemplo. {(0, 1), (−1, 1)} es un presubconjunto de {(0, 1), (−1, 1), (1,−1)}, mientras que
{0, 1), (1,−1)} no lo es.
Lemma 4.5. Deja que P sea un politopo de Fano suave. A continuación, cada subconjunto V preestablecido de
ord(P ) es el elemento mínimo en.V
Prueba. Let ord(P ) = {v1,. ................................................................................................... ..... vn. Suponga que existe un
permutación y una k, 1 ≤ k ≤ n, de manera que
..... v1,........................................................................................................ .., vk} = {w1,. ............................................................... .., vk},
donde w1 â € ¬. ............................................................................................... Entonces hay un número j, 1 ≤ j ≤ k, tal que
wi = vi por cada 1 ≤ i < j y wj • vj.
Vamos a actuar en {v1,. .., vn}.
..... v1,........................................................................................................ .., vn} = {x1,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................
A continuación, xi vi por cada 1 ≤ i < j y xj • vj. Por lo tanto .ord(P ) ord(P ), pero
esto contradice la definición de ord(P ).
10 5 EL FPS-ALGORITMO
5 El algoritmo SFP
En esta sección describimos un algoritmo que produce la lista de clasificación
de D-politopos de Fano lisos para cualquier d dado ≥ 1. El algoritmo funciona por
pasando por ciertos subconjuntos finitos de Wd en orden creciente (con respeto
a la orden definida en la sección anterior). Producirá un subconjunto V
iff convV es un suave Fano d-politopo P y ord(P ) = V.
A lo largo de toda la sección (e1,. ., ed) es una base fija de Z
d y yo denota
el (d− 1)-simplex conv{e1,. .., ed}.
5.1 El algoritmo SFP
El algoritmo SFP consta de tres funciones,
SFP, AddPoint y CheckSubset.
Los subconjuntos finitos de Wd son construidos por la función AddPoint, que
toma un subconjunto V, {e1,. .., ed} V Wd, junto con un conjunto finito F,
I-F, de (d − 1)-simplifica en Rd como entrada. Luego pasa a través de cada v en
el conjunto
{v) {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v}
en orden creciente, y recursivamente se llama a sí mismo con entrada V {v} y algunos
set F ′ de (d − 1)-simplices de Rd, F F ′. De esta manera subconjuntos de Wd son
considerado en orden creciente.
Cada vez que se llama a AddPoint, comprueba si el conjunto de entrada V es el conjunto de vértice de
una incrustación especial de un suave Fano d-politopo P de tal manera que ord(P ) = V,
en cuyo caso se produce el politopo P = convV.
Para cualquier entero dado d ≥ 1 la función SFP llama a la función AddPoint
con entrada {e1,. .............................................................. De esta manera una llamada SFP(d) hará la
algoritmo ir a través de cada subconjunto finito de Wd que contiene {e1,. .., ed}, y
suave Fano d-polytopes se emiten en un orden estrictamente creciente.
Es vital para la eficacia del algoritmo SFP, que haya algunos
manera eficiente de comprobar si un subconjunto V Wd es un presubset de ord(P) para algunos
suave Fano d-polytope P. La función AddPoint debe realizar esto
comprobar antes de la llamada recursiva AddPoint (V,F ′).
Si P es cualquier suave Fano d-politopo, entonces cualquier presubset V de ord(P ) es el
elemento mínimo en el conjunto.V Sd} (por lema 4.5). En otras palabras, si
existe una permutación de tal manera que V V, entonces el algoritmo debe
no hacer la llamada recursiva AddPoint(V ).
Pero esta no es la única prueba que deseamos realizar en un subconjunto V antes de la
llamada recursiva. La función CheckSubset realiza otra prueba: Se necesita
a subconjunto V, {e1,. .., ed} V Wd como entrada junto con un conjunto finito de
(d−1)-simplices F, I â € F, y devuelve un conjunto F ′ de (d−1)-simplices que contienen
F, si existe una incrustación especial P de un suave fano d-politopo, tales
5.2 Ejemplo del razonamiento de CheckSubset 11
1. V es un presubconjunto de V(P)
2. F es un subconjunto de las facetas de P
Esto se demuestra en el teorema 5.1. Si no existe tal incrustación especial, entonces
CheckSubset devuelve falso en muchos casos, ¡pero no siempre! Sólo cuando
CheckSubset(V,F) devuelve un conjunto F ′ de simplices, permitimos el recursivo
llame a AddPoint(V,F ′).
Dada la entrada V Wd y un conjunto F de (d − 1)-simplices de R
d, la función
CheckSubset funciona de la siguiente manera: Suponga que V es un presubset de V(P)
para alguna incrustación especial P de un suave Fano d-politopo y F es un subconjunto
de las facetas de P. Deducir tanto como sea posible de la retícula facial de P y
buscar contradicciones con los lemas enunciados en la sección 2. Más facetas
sabemos de P, más restricciones que podemos poner en el vértice conjunto V(P ), y
entonces en V. Si surge una contradicción, devuelve falso. De lo contrario, devolver el
deducido conjunto de facetas de P.
El siguiente ejemplo ilustra cómo funciona la función CheckSubset.
5.2 Ejemplo del razonamiento en CheckSubset
Let d = 5 y V = {v1,. .., v8}, donde
v1 = e1, v2 = e2, v3 = e3, v4 = e4, v5 = e5
v6 = −e1 − e2 + e4 + e5, v7 = e2 − e3 − e4, v8 = −e4 − e5.
Supongamos que P es una incrustación especial de un 5-politopo de Fano suave, de tal manera que
V es un presubconjunto de V(P ). Ciertamente, el simplex I es una faceta de P.
Note que V no viola el lema 3.2.
v1 +. .. + v8 = e2 + e5.
Si V contradijera el lema 3.2, entonces el politopo P no podría existir, y
CheckSubset(V, {I}) debe devolver false.
Para la simplicidad denotamos cualquier k-simplex conv{vi1,. ......................................................... ...........................................................................................................
Puesto que uI, v6 = 0, las simplificaciones F1 = {2, 3, 4, 5, 6} y F2 = {1, 3, 4, 5, 6}
son facetas de P (lema 2.4).
Hay exactamente dos facetas de P que contienen la cresta {1, 2, 4, 5}. Uno de
ellos soy yo. Supongamos que el otro es {1, 2, 4, 5, 9}, donde v9 es alguna celosía
punto no en V, v9, V(P). A continuación, «lul», v9», > «lul», v7», por lemma 2.2.5)
y, a continuación, v9 - v7 por la definición de la ordenación de los puntos de celosía Z
Pero entonces V no es un presubconjunto de V(P). Esta es la bonita propiedad de la
orden de Zd, y la razón por la que lo elegimos como lo hicimos. Concluimos que
F3 = {1, 2, 4, 5, 7} es una faceta de P, y por razonamiento similar F4 = {1, 2, 3, 5, 8}
y F5 = {1, 2, 3, 4, 8} son facetas de P.
12 5 EL FPS-ALGORITMO
Ahora, para cada una de las facetas Fi y cada punto vj V, comprobamos si â € TM uFi, vjâ =
0. Si este es el caso, entonces por lema 2.4 conv({vj} V(Fi) \ {w}) es una faceta
de P por cada w • V(Fi) donde • u
, vjá < 0. De esta manera conseguimos eso.
{2, 4, 5, 6, 7}, {1, 4, 5, 6, 7}, {1, 2, 3, 7, 8}, {1, 3, 5, 7, 8}
son facetas de P.
Continuamos de esta manera, hasta que no podemos deducir ninguna nueva faceta de P.
el tiempo que encontramos una nueva faceta F comprobamos que v está por debajo de F (es decir, uF, v ≤ 1)
y que el lema 2.3 es válido para cualquier v. V. Si no es así, entonces CheckSubset(V, {I})
debería devolver falso.
Si no surge ninguna contradicción, CheckSubset(V, {I}) devuelve el conjunto de deducción
facetas.
5.3 El algoritmo SFP en pseudocódigo
Entrada: Un entero positivo d.
Salida: Una lista de incrustaciones especiales de politopos D de Fano lisos, de tal manera que
1. Cualquier suave Fano d-politopo es isomórfico a uno y sólo uno poli-
tope en la lista de salida.
2. Si P es un D-politopo de Fano suave en la lista de salida, entonces V(P) =
ord(P ).
3. Si P1 y P2 son dos politopos de Fano D lisos no isomórficos en la
la lista de salida y P1 precede a P2 en la lista de salida, entonces ord(P1)
ord(P2).
SFP ( un entero d ≥ 1 )
1. Construir el conjunto V = {e1,. .., ed} y el simplex I = convV.
2. Llame a la función AddPoint(V, {I}).
3. Fin del programa.
AddPoint ( un subconjunto V donde {e1,. .......................................................................................
Simplices F en Rd donde I â € F )
1. Si P = conv(V(V )) es un politopo d-Fano suave y V(V ) = ord(P ),
entonces salida P.
2. Ir a través de cada v • Wd, maxV(V) • v, en orden creciente con
con respecto a la orden:
(a) Si CheckSubset(V {v},F) devuelve false, entonces goto (d). Oth-
erwise dejar que F ′ sea el juego devuelto de (d− 1)-simplices.
5.4 Justificación del algoritmo SFP 13
b) Si V {v} 6= min.(V {v}) {Sd}, entonces goto (d).
c) Llamar a la función AddPoint(V) {v},F ′).
(d) Dejar v ser el siguiente elemento en Wd y volver a (a).
3. Retorno
CheckSubset ( subconjunto V donde {e1,. .......................................................................
Simplices F en Rd donde I â € F )
1. Let ν =
V. V.
2. Si uI, < 0, entonces devuelve false.
3. Si
, > 1 + uI, para algunos i, a continuación, volver falso.
4. Let F ′ = F.
5. Por cada {1,...., d}: Si el conjunto {v • V u
, vâ < 0} es igual a
{max V}, a continuación, añadir el simplex conv({max V} • V(I) \ {ei}) a F
6. Si existe F + F ′ tal que V(F ) no es una Z-base de Zd, entonces
Devuélveme falso.
7. Si existe F ° F ′ y v ° V de tal manera que ° uF, vâ > 1, a continuación, volver
Falso.
8. Si existe F ° F ′, v ° V y w ° V(F), de manera que
uwF, v <
0 â € uF, vâ € = 1
−1 â € ¢uF, vâ € = 0
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
y luego regresará falsamente.
9. Si existe F ° F ′, v ° V y w ° V(F ), de manera que ° u F, v ° = 0 y
, v = −1, entonces considere la simplex F ′ = conv({vV(F ) \ {w}).
Si F ′ /+ F ′, añádase F ′ a F ′ y vuelva al paso 6.
10. Devuelve F ′.
5.4 Justificación del algoritmo SFP
Los siguientes teoremas justifican el algoritmo SFP.
Teorema 5.1. Deja que P sea una incrustación especial de un suave fano d-politopo
y V un presubconjunto de V(P), tal que {e1,. ..., ed} V. Let F be a set of
facetas de P.
A continuación, CheckSubset(V,F) devuelve un subconjunto F ′ de las facetas de P y F F ′.
14 6 RESULTADOS DE CLASIFICACIÓN Y DÓNDE LLEVARLOS
Prueba. Para el lema 3.2 el subconjunto V pasará las pruebas en los pasos 2 y 3 en
CheckSubset.
La función CheckSubset construye un conjunto F ′ de (d−1)-simplices contiene-
Ahora queremos probar que cada simplex F en F ′ es un
faceta de P : Por las suposiciones el subconjunto F F ′ consta de facetas de P.
Considerar la adición de un simplex Fi, 1 ≤ i ≤ d, en el paso 5:
Fi = conv({max V} • V(I) \ {ei}).
Como maxV es el único elemento en el conjunto {v • V uei
, vâ < 0} y V es un
presubset de V(P ), Fi es una faceta de P por el lema 4.2.
Considere la adición de simplices en el paso 9: Si F es una faceta de P, entonces por
lemma 2.4 el simplex conv({v} • V(F) \ {w}) es una faceta de P.
Por inducción concluimos, que cada simplex en F ′ es una faceta de P.
cualquier simplex F + F ′ superará las pruebas en los pasos 6–8 (utiliza el lema 2.3 para ver
que se haya superado la última prueba).
Esto prueba el teorema.
Teorema 5.2. El algoritmo SFP produce la salida prometida.
Prueba. Deja que P sea un suave Fano d-politope. Claramente, P es isomórfico a en
la mayoría de un politopo en la lista de salida.
Que Q sea una incrustación especial de P tal que V(Q) = ord(P ). Tenemos que hacerlo.
mostrar que Q está en la lista de salida. Let V(Q) = {e1,. ., ed, q1,. .., qk}, donde
q1 â € TM. . • qk, y dejar Vi = {e1,. ., ed, q1,. .., qi} por cada 1 ≤ i ≤ k.
Ciertamente la función AddPoint ha sido llamada con input {e1,. .., ed}
y {I}.
Por teorema 5.1 la función llamada CheckSubset(V1, {I}) devuelve un conjunto F1 de
(d − 1)-simplices que son facetas de Q, I-F1. Por lema 4.5 el conjunto V1
pasa la prueba en 2b en AddPoint. Entonces AddPoint se llama recursivamente
con entrada V1 y F1.
La llamada CheckSubset(V1,F1) devuelve un subconjunto F2 de facetas de Q, y la
el conjunto V2 pasa la prueba en 2b en AddPoint. Así que la llamada AddPoint(V2,F2) es
Hecho.
Proceda de esta manera para ver que la llamada AddPoint (Vk,Fk) se hace, y luego
el politopo Q = convVk se produce en el paso 1 en AddPoint.
6 Clasificación de resultados y dónde obtenerlos
Una versión modificada del algoritmo SFP se ha implementado en C++,
y utilizados para clasificar los politopos D de Fano lisos para d ≤ 7. En promedio
nuestro programa necesita menos de un día (enero de 2007) para
estructurar la lista de clasificación de los 7 politopos de Fano lisos. Estas listas pueden ser
descargado de la página principal de los autores: http://home.imf.au.dk/oebro
REFERENCIAS 15
Una ventaja del algoritmo SFP es que no requiere casi ningún recuerdo:
Cuando el algoritmo ha encontrado un suave Fano d-polytope P, no necesita
consultar la lista de productos para decidir si se produce el politopo P o no.
La construcción garantiza que V(P) = min.V(P)
Queda por comprobar si V(P) = ord(P). Por lo tanto, no hay necesidad de almacenar el
lista de productos.
La siguiente tabla muestra el número de clases de isomorfismo de Fano suave
D-polytopes con n vértices.
n d = 1 d = 2 d = 3 d = 4 d = 5 d = 6 d = 7
4 2 1
5 1 4 1
6 1 7 9 1
7 4 28 15 1
8 2 47 91 26 1
9 27 268 257 40
10 10 312 1318 643
11 1 137 2807 5347
12 1 35 2204 19516
13 5 771 26312
14 2 186 14758
15 39 4362
16 11 1013
17 1 214
18 1 43
Total 1 5 18 124 866 7622 72256
Bibliografía
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- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Geom. 3 (1988), 49–54.
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[15] H. Sato, Hacia la clasificación de Toric Fano de dimensión superior
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http://arxiv.org/abs/math/0702890
http://arxiv.org/abs/math/0511294
http://arxiv.org/abs/math/0703416
REFERENCIAS 17
Departamento de Matemáticas
Universidad de Århus
8000 Århus C
Dinamarca
Dirección de correo electrónico: oebro@imf.au.dk
Introducción
Politopos de Fano lisos
Incrustaciones especiales de politopos de Fano lisos
Aspectos especiales
Inserciones especiales
Orden total de politopos de Fano lisos
El orden de un punto de celosía
El orden de un suave fano d-politopo
Permutación de los vegetales de base y los presubconjuntos
El algoritmo SFP
El algoritmo SFP
Un ejemplo del razonamiento en CheckSubset
El algoritmo SFP en pseudocódigo
Justificación del algoritmo SFP
Clasificación de los resultados y dónde obtenerlos
|
704.005 | Intelligent location of simultaneously active acoustic emission sources:
Part II | Localización inteligente de dos activos simultáneamente
fuentes de emisión acústica:
Parte II
Tadej Kosel e Igor Grabec
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, POB 394, SI-1001 Liubliana, Eslovenia
Correo electrónico: tadej.kosel@guest.arnes.si; igor.grabec@fs.uni-lj.si
Resumen— La parte I describe una emisión acústica inteligente
localizador, mientras que la Parte II discute la separación de fuentes ciegas, el tiempo
estimación del retraso y localización de dos emisiones acústicas continuas
fuentes.
El análisis de emisiones acústicas (AE) se utiliza para la caracterización
y localización de defectos en el desarrollo de materiales. Fuentes de AE
a menudo generan una mezcla de varios estadísticamente independientes
señales. Un problema difícil del análisis de AE es la separación y
caracterización de los componentes de la señal cuando las señales de
Se desconocen varias fuentes y el modo de mezcla. Últimamente,
separación de fuentes ciegas (BSS) mediante análisis de componentes independientes
(ICA) se ha utilizado para resolver estos problemas. El propósito de
este artículo es para demostrar la aplicabilidad de la ACI para localizar
dos fuentes de emisión acústicas activas simultáneamente independientes
en un espécimen de banda de aluminio. El método es prometedor para
Ensayos no destructivos de estructuras de bastidor de aeronaves mediante acústica
análisis de emisiones.
INTRODUCCIÓN
Un objetivo común de muchos métodos de ensayo no destructivos es
detectar defectos en los materiales. Análisis de emisiones acústicas (AE)
es un método de ensayo pasivo utilizado para localizar y caracterizar
defectos que emiten sonido[10].
Hay muchas maneras de deducir la ubicación de un AE
fuente de señales eléctricas detectadas por una cadena de sensores.
Los problemas correspondientes pueden clasificarse por el tipo de
mecanismo de fuente acústica como la ubicación de un continuo
fuente de emisión, como la generada por una fuga, o
localización de emisiones discretas, como una explosión de AE causada por una
Creciendo crack. Este artículo describe un método de procesamiento
Señales continuas de AE para determinar el tiempo de retraso (T-D)
entre señales y, por lo tanto, proporcionar información para la localización
de fuentes de AE. Debe señalarse que la aplicación de
Características de la fuente de AE, tales como recuento, tasa de recuento, ampli-
distribución de tude, y medición de tiempo de retraso convencional,
no tiene sentido cuando se trata de acústica continua
fuentes.
La información básica para la ubicación de la fuente AE consiste en:
T-D entre ondas de estrés detectadas en diferentes posiciones en
Un espécimen. En el caso de una sola fuente activa de AE, T-
D de ondas acústicas continuas se puede estimar utilizando el
función de correlación cruzada (CCF) de las señales del sensor descritas
en la parte I del presente artículo[10], [7]. En el caso de dos (o
Manuscrito generado: 31 de enero de 2007
más) simultáneamente activos fuentes de AE, este método no es
aplicable, ya que el análisis del marco para la cooperación con el país sólo conduce a la T-D
de la señal AE más poderosa. Detección simultánea de
Por lo tanto, las señales de fuente AE activas independientes requieren más
un enfoque sofisticado.
El propósito de nuestro estudio fue encontrar un método adecuado para
procesamiento de una mezcla de dos activos simultáneos continuos
AE señales para determinar el T-D y, en relación con esto, el
coordenadas de ambas fuentes de EA. Encontramos que los ciegos
El método de separación de la fuente (BSS) resuelve este problema
Torily. BSS es un método general de procesamiento de señales
la recuperación de las contribuciones de diferentes fuentes de
un conjunto finito de observaciones grabadas por sensores, independientes
del medio de propagación y sin ningún conocimiento previo
de las fuentes. BSS ya se ha aplicado con éxito
en medicina, telecomunicaciones, procesamiento de imágenes, etc.[8].
Sin embargo, también es un método prometedor para el análisis de AE de
estructuras de aeronaves, porque las señales AE a menudo se ocultan en un
mezcla de señales de diversas fuentes. BSS podría extraer
la firma específica de cada fuente AE, que puede
ser utilizados con fines de localización y caracterización, o para
aislar las fuentes de EA del ruido de fondo. Dirigimos
experimentos con BSS en un haz de aluminio en el que dos
Fuentes continuas de AE fueron generadas simultáneamente por el aire
fluir.
MÉTODOS
En esta sección explicamos dos métodos diferentes para el tiempo
retraso en la estimación de las fuentes de EA. El primer método se basa en
análisis del marco para la cooperación con el país y es conveniente para la estimación T-D de
una fuente continua de AE activa como se describe en la parte I[10],
[7], [12]. El CCF muestra un pico cuando el parámetro de retardo
compensa la T-D entre las señales del sensor [10]. El T-D
se determina así por la posición del pico más alto de la
CCF. El segundo método se basa en el algoritmo BSS y es
conveniente para la estimación T-D de dos (o más) simultáneamente
fuentes de EA continua activa[9]. Ubicación de dos simulta-
fuentes de AE neouly activa fue realizado por un inteligente
localizador basado en una red neural de regresión general[5]
descrita en la parte I.
La separación de fuentes ciegas multicanal ha recibido recientemente
mayor atención debido a la importancia de su potencial
http://arxiv.org/abs/0704.0050v1
aplicaciones[3]. Se produce en muchos campos de la ingeniería y
ciencias aplicadas, incluido el procesamiento de señales desde antena
procesamiento de datos array, habla y geofísica, reducción del ruido,
análisis biológico del sistema, etc. Consiste en recuperar señales
Emitida por fuentes desconocidas y mezclada por un
medio (material donde las ondas se propagan), utilizando sólo varios
observaciones de las mezclas. Las únicas suposiciones hechas
son la linealidad del sistema de mezcla y la estadística
independencia de las señales originales.
Los métodos BSS pueden clasificarse de varias maneras. Uno
posible clasificación que se puede hacer depende de si
las mezclas sean instantáneas o convolutivas [4]. Convo-
las mezclas lutivas corresponden a un sistema de mezcla con el tiempo
memoria dependiente. Representan un caso más general que
mezclas instantáneas, y que tienen, en particular, acústicas
aplicaciones. Últimamente, el principio de componente independiente
análisis (ICA) se aplicó en BSS, y se encontró que
ser una herramienta sencilla y poderosa[6]. El presente estudio trata de las siguientes cuestiones:
separación de dos convolutivamente mixtos continuos independientes
Las señales AE de ICA y el localizador inteligente se utilizaron para
localizar dos fuentes de EA continuas independientes basadas en T-D
Procesos de mezcla y filtrado de señales de entrada desconocidas
sj(t) puede tener una espalda matemática o física diferente.
motivos, en función de aplicaciones específicas. En este artículo,
nos centramos principalmente en los casos más simples con n señales xi(t)
mezclado linealmente en n desconocido estadísticamente independiente, cero
media de las señales de origen sj(t). La composición se expresa en:
notación de matriz como x = A ∗ s [8], donde «*» denota un
convolution, x = [x1(t),. .., xn(t)]
T es el vector del sensor
señales, s = [s1(t),. .., sn(t)]
T es el vector de las señales de origen
y A es un rango completo desconocido n × n matriz de mezcla cuya
los elementos son filtros finitos de respuesta a impulsos (FIR). Asumimos que
que sólo el vector x está disponible. El objetivo de la ACI es encontrar un
matriz W, por el cual el vector x se puede transformar en fuente
señales u = W * x.
Matrix W es simplemente la inversa de A. Sin embargo, cuando el ruido
corrompe las señales, matriz W debe ser encontrado por un óptimo
tratamiento estadístico del problema inverso. El óptimo ma-
trix W puede ser estimado por una red neuronal de avance de alimentación
operando en el dominio de frecuencia. Un algoritmo de aprendizaje con
El gradiente natural de Amari puede escribirse de la siguiente manera:
W. (l+1) = W. (l+) + W. (l+) + W. (l+1),
[I - â € € ¢ Â Â Â Â Â Â Â Â = tanh(R[]] + ı tanh(I[]), donde α es
la tasa de aprendizaje, η es la constante de aprendizaje, I es la identidad
la matriz y el tilde representan un dominio de frecuencia.
El algoritmo ICA se ejecuta fuera de línea y procede de la siguiente manera:
[11] (Fig. 1):
1) Preprocesar las señales de entrada de tiempo-dominio, x(t): sub-
Extraer la media de cada señal.
2) Inicializar los filtros de desmezclado de dominio de frecuencia, W
3) Tomar un bloque de datos de entrada y convertirlo en el
dominio de frecuencia usando la transformación rápida de Fourier
(FFT).
4) Filtrar el bloque de entrada de dominio de frecuencia, x
para obtener las señales de origen estimadas,................................................................................................................
5) Pasar a través del dominio de frecuencia no linealidad.
6) Utilice W.o.o.o.o. y.o.o. junto con el gradiente natural.o.o.o.
extensión [2] para calcular el cambio en la desmezcla
Sustitución de PSfrag
inicializar antes del proceso
desmezclar
filtros
filtro
regla de actualización
Fig. 1. Diagrama de bloques del algoritmo ICA
filtro,..................................................................................................
7) Tome el siguiente bloque de datos de entrada, encubierto en el
dominio de frecuencia, y proceder desde el paso 4. Repite esto.
proceso hasta que los filtros de desmezclado hayan convergido en
una solución, pasando varias veces a través de los datos.
8) normalizar Wū y convertirlo de nuevo en el dominio del tiempo,
usando la Transformación Inversa Fast Fourier (IFFT).
9) Convolver el dominio de tiempo de desmezclar filtros, W, con x
para obtener las fuentes estimadas.
EXPERIMENTOS
Realizamos experimentos con dos continuos independientes.
fuentes de AE en una banda de aluminio de dimensiones 4000×
40× 5mm3. Reflexiones al final de la banda se redujeron
envolviendo los extremos en masilla. El área de pruebas estaba en el
eje longitudinal en el centro de la banda, donde 23 agujeros de
diámetro 2 mm y separación mutua 100 mm fueron preparados
como se muestra en la Fig. 2.
Sustitución de PSfrag
Flujo de aire de 2 mm de banda
Fig. 2. Generación de AE por aire que fluye a través del agujero
Dos sensores AE fueron montados a 100 mm de distancia de la
agujeros terminales, que es de 2,4 m el uno del otro. El origen de
el sistema de coordenadas estaba en el medio de la banda y el
área de ensayo extendida de −1,1m a +1,1m. Señales AE
fueron excitados por dos chorros de aire independientes que fluyen a través de
los agujeros. La posición de origen se seleccionó arbitrariamente en
+100mm y +800mm. Los chorros de aire fueron formados por dos boquillas
de diámetro 1 mm mediante presión 7 bar. El set experimental...
hasta consistió en el espécimen de ensayo (banda de aluminio), dos AE
sensores (pinductores), dos fuentes AE (reactores de aire), dos amplificadores,
un osciloscopio digital (convertidor A/D) y un ordenador (BSS)
módulo, localizador, plotter) como se muestra en la Fig. 3. Tres experimentos
se realizaron : (1) estimación T-D utilizando un CCF de dos AE
señales que no estaban activas simultáneamente; (2) estimación T-D
utilizando un CCF de dos señales AE que fueron simultáneamente
activo y (3) estimación T-D de las señales de AE utilizando ICA.
Ubicación de las fuentes, basada en T-D, por el localizador inteligente
se realizó en los tres casos.
Sustitución de PSfrag
sensor
Fuente AE
localizador
plotter
Fig. 3. Puesta en marcha experimental
En el primer experimento sólo se activó un chorro de aire para
una medición particular. En el segundo experimento ambos aire
Los jets fueron activados. Las señales de los sensores fueron lineales convolutivas
mezclas de dos fuentes de EA continuas independientes, tal como se muestra
en Fig. 4. La autocorrelación R11, R22 y la correlación cruzada
las funciones R12, R21 se calcularon a partir de las señales del sensor. Sólo
una T-D de dos señales se puede estimar a partir de la más alta
pico en ambos marcos de cooperación, independientemente del número de países independientes
Fuentes de EA en la muestra de ensayo como se muestra en la Fig. 5. Esto
significa que no se puede utilizar un CCF para la estimación automática de T-D
ión de múltiples señales de EA en el espécimen de ensayo. El marco de cooperación con el país
muestra varios picos que pertenecen a varios independientes
Fuentes de AE, pero es usualmente imposible relacionar estos picos
a las coordenadas correspondientes de las fuentes de EA.
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Sustitución de PSfrag
t [ms]
a) Señal sensorial #1
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Sustitución de PSfrag
t [ms]
b) Señal sensorial #2
Fig. 4. Mezclas de dos fuentes AE continuas independientes adquiridas por dos
sensores
En el tercer experimento se utilizó el algoritmo ICA para
resolver satisfactoriamente este problema. Resultados del algoritmo ICA
en la desmezcla de filtros FIR que extraen la fuente independiente
señales de señales sensoriales. Invirtiendo los filtros de desmezclado
W obtenemos filtros de mezcla A. En el caso de dos independientes
0 5000 10000 15000
Sustitución de PSfrag
Sustitución de PSfrag
Rx1x1
Sustitución de PSfrag
Rx1x1
Rx1x2
0 5000 10000 15000
Sustitución de PSfrag
Rx1x1
Rx1x2
Rx2x1
Fig. 5. Funciones de correlación automática y cruzada de las señales sensoriales; flecha descendente
marca el pico más alto
Fuentes AE y dos sensores, los componentes de A son cuatro
Filtros de mezcla FIR, como se muestra en la Fig. 6. Hay dos directos
a11, a22 y dos filtros de mezcla cruzada a12, a21. El primer índice
del filtro representa el número del sensor, mientras que el
el segundo índice representa el número de la fuente. La posición
del pico más alto de los filtros transversales FIR determina la T-
D entre dos señales de dos sensores. Si substraemos el
Coordenada del pico más alto de un filtro FIR de mezcla directa
a11 de la coordenada del pico más alto del filtro cruzado a21
Obtenemos el T-D de la primera fuente independiente de AE, ya que cada
de los picos más altos en los filtros FIR pertenecen a diferentes
señales AE independientes.
RESULTADOS
Los resultados de la estimación T-D de dos continuos independientes
Las fuentes de AE se muestran en la Fig. 7. Se hicieron tres experimentos.
En el primer experimento, el T-D fue estimado por un CCF de dos
Fuentes de EA que no estaban activas simultáneamente como marcadas
por «».................................................................................................................. Ubicaciones de estas dos fuentes estimadas por el
El localizador inteligente fue de +181 mm y +784 mm. El segundo
El experimento se realizó con ambas fuentes de AE simul-
Taneamente. La T-D también fue estimada por un marco de cooperación con el país. El pico más alto
0 5000 10000 15000
Sustitución de PSfrag
Sustitución de PSfrag
Sustitución de PSfrag
0 5000 10000 15000
0.5PSfrag reemplazos
Fig. 6. Filtros de mezcla obtenidos por el ICA de señales sensoriales; marcas de flechas descendentes
el pico más alto
posición corresponde a la ubicación de la fuente marcada con «− −»
y fue +784 mm. El tercer experimento se realizó utilizando
ICA para estimación de T-D y localización por localizador inteligente. Los
el resultado está marcado por ‘ ’. Puestos estimados de estas dos fuentes
fueron +179 mm y +784 mm respectivamente. Si comparamos el
coordenadas de ambas fuentes independientes de EA estimadas por
el primer experimento y por el tercer experimento, encontramos un
buena correspondencia. Si comparamos la fuente estimada de AE
coordenadas con coordenadas reales, que eran +100 mm y
+800 mm respectivamente, observamos un ligero desacuerdo debido a
error experimental. El error experimental es de alrededor del 3% con respecto a
la distancia entre los sensores. Error absoluto en este caso es
79 mm y 16 mm respectivamente. Los resultados también dependen de
el número y la distribución de las fuentes de prototipos marcadas por
«•», que son esenciales para el funcionamiento del localizador inteligente.
Si aumenta el número de fuentes prototipo, error de ubicación
se reduce. En nuestro caso las fuentes prototipo fueron distribuidas
a lo largo del haz de −1.1m a +1.1m separados por 0.1m, así que
que el error sistemático del localizador se fijó en varios ascensos.
Sustitución de PSfrag
Posición real l [m]
función de correlación
Fig. 7. Resultados de la localización de dos fuentes de EA independientes continuas.
Símbolos: ‘ ’ – Fuentes de AE obtenidas por ICA; ‘®’ – Fuentes estimadas de AE
obtenido por función de correlación cruzada en dos pasos, cuando sólo uno de dos
Las fuentes de AE estaban activas en el momento de la medición; «− −» – estimación de AE
fuentes obtenidas por función de correlación cruzada cuando dos fuentes de EA fueron
activos simultáneamente; «•» – prototipo de fuentes AE necesarias para la ubicación utilizando
localizador inteligente; «−» – distribución de fuentes reales.
DEBATE Y CONCLUSIÓN
El marco de cooperación nacional es aplicable a la estimación de T-D únicamente en el caso de una
fuente activa de AE. El objetivo de nuestra investigación es desarrollar una nueva
método para estimar T-D entre las señales de AE en el caso de mul-
tiple simultáneamente activos fuentes de AE continuas. Tenemos
ha demostrado que, a tal efecto, la ACI es una opción aplicable. ICA
encuentra un sistema de coordenadas lineales (los filtros de desmezclado) de tal manera que
las señales resultantes son estadísticamente independientes. Esto es un
ventaja de la ACI sobre el CCF. Representa un nuevo enfoque para
el tratamiento de los datos de EA y amplía aún más la aplicabilidad de
Análisis de EA en el campo de los ensayos no destructivos. En máquinas
o en un entorno industrial, múltiples fuentes suelen ser
Simultáneamente, a menudo representan dis-
turbantes. Las señales complejas correspondientes no son directamente
aplicable a la caracterización de determinadas fuentes. Sin embargo,
la separación de las contribuciones por el análisis de ICA de hecho representa un
tipo de filtrado, aumentando la aplicabilidad de las señales filtradas
a la caracterización de fuentes en entornos complejos. Futuro
investigación se centrará en la ubicación de múltiples fuentes de AE
en especímenes bidimensionales y tridimensionales.
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[3] Burel, G. 1992, Separación ciega de fuentes: Un algoritmo no lineal,
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[4] Deville, Y. Charkani, N. 1997, Análisis de la estabilidad del tiempo-
algoritmos de separación de fuentes de dominio para señales mixtas
Conferencia Internacional sobre la Acústica, el Discurso y el Procesamiento de Señales,
pp. 1835-1838.
[5] Grabec, I. Sachse, W. 1997, Synergetics of Measurement, Prediction and
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[6] Hyvarinen, A. Oja, E. 2000, Análisis independiente de componentes: algoritmos
y aplicaciones, Neural Networks 13, 411-430.
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[8] Lee, T.-W. 1998, Análisis Independiente de Componentes, Teoría y Aplicación
cations, Kluwer Academic Publishers, Boston, etc.
[9] Lee, T.-W., Bell, A. J. Lambert, R. 1997, La separación ciega de convolvido
y fuentes diferidas, Avances en Sistemas de Procesamiento de Información Neural
9, 758–764.
[10] McIntire, P. Miller, R. K., eds 1987, Pruebas de emisiones acústicas,
Vol. 5 of Nondestructive Testing Handbook, 2 edn, American Society
para las pruebas no destructivas, Filadelfia, EE.UU.
[11] Westner, A. G. 1996, Captura de audio basada en objetos: Separación
fuentes acústicamente mixtas, tesis de MSc, Instituto de Tecnología de Massachusetts
Nología.
[12] Ziola, S. M. Gorman, M. R. 1991, Ubicación de origen en placas delgadas utilizando
correlación cruzada, J. Acoust. Soc. Soy. 90(5), 2551–2556.
Bibliografía
| La parte I describe un localizador inteligente de emisiones acústicas, mientras que la parte II
discute separación de fuentes ciegas, estimación de tiempo de retraso y localización de dos
fuentes de emisión acústica continua.
El análisis de emisiones acústicas (AE) se utiliza para la caracterización y localización de
desarrollar defectos en los materiales. AE fuentes a menudo generan una mezcla de varios
señales estadísticamente independientes. Un problema difícil del análisis de AE es
separación y caracterización de los componentes de la señal cuando las señales de
Se desconocen varias fuentes y el modo de mezcla. Recientemente, fuente ciega
la separación (BSS) por análisis independiente de componentes (ICA) se ha utilizado para resolver
estos problemas. El propósito del presente documento es demostrar la aplicabilidad
de la ACI para localizar dos emisiones acústicas activas simultáneamente
fuentes en un espécimen de banda de aluminio. El método es prometedor para
Ensayos no destructivos de estructuras de bastidor de aeronaves mediante emisiones acústicas
análisis.
| Localización inteligente de dos activos simultáneamente
fuentes de emisión acústica:
Parte II
Tadej Kosel e Igor Grabec
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, POB 394, SI-1001 Liubliana, Eslovenia
Correo electrónico: tadej.kosel@guest.arnes.si; igor.grabec@fs.uni-lj.si
Resumen— La parte I describe una emisión acústica inteligente
localizador, mientras que la Parte II discute la separación de fuentes ciegas, el tiempo
estimación del retraso y localización de dos emisiones acústicas continuas
fuentes.
El análisis de emisiones acústicas (AE) se utiliza para la caracterización
y localización de defectos en el desarrollo de materiales. Fuentes de AE
a menudo generan una mezcla de varios estadísticamente independientes
señales. Un problema difícil del análisis de AE es la separación y
caracterización de los componentes de la señal cuando las señales de
Se desconocen varias fuentes y el modo de mezcla. Últimamente,
separación de fuentes ciegas (BSS) mediante análisis de componentes independientes
(ICA) se ha utilizado para resolver estos problemas. El propósito de
este artículo es para demostrar la aplicabilidad de la ACI para localizar
dos fuentes de emisión acústicas activas simultáneamente independientes
en un espécimen de banda de aluminio. El método es prometedor para
Ensayos no destructivos de estructuras de bastidor de aeronaves mediante acústica
análisis de emisiones.
INTRODUCCIÓN
Un objetivo común de muchos métodos de ensayo no destructivos es
detectar defectos en los materiales. Análisis de emisiones acústicas (AE)
es un método de ensayo pasivo utilizado para localizar y caracterizar
defectos que emiten sonido[10].
Hay muchas maneras de deducir la ubicación de un AE
fuente de señales eléctricas detectadas por una cadena de sensores.
Los problemas correspondientes pueden clasificarse por el tipo de
mecanismo de fuente acústica como la ubicación de un continuo
fuente de emisión, como la generada por una fuga, o
localización de emisiones discretas, como una explosión de AE causada por una
Creciendo crack. Este artículo describe un método de procesamiento
Señales continuas de AE para determinar el tiempo de retraso (T-D)
entre señales y, por lo tanto, proporcionar información para la localización
de fuentes de AE. Debe señalarse que la aplicación de
Características de la fuente de AE, tales como recuento, tasa de recuento, ampli-
distribución de tude, y medición de tiempo de retraso convencional,
no tiene sentido cuando se trata de acústica continua
fuentes.
La información básica para la ubicación de la fuente AE consiste en:
T-D entre ondas de estrés detectadas en diferentes posiciones en
Un espécimen. En el caso de una sola fuente activa de AE, T-
D de ondas acústicas continuas se puede estimar utilizando el
función de correlación cruzada (CCF) de las señales del sensor descritas
en la parte I del presente artículo[10], [7]. En el caso de dos (o
Manuscrito generado: 31 de enero de 2007
más) simultáneamente activos fuentes de AE, este método no es
aplicable, ya que el análisis del marco para la cooperación con el país sólo conduce a la T-D
de la señal AE más poderosa. Detección simultánea de
Por lo tanto, las señales de fuente AE activas independientes requieren más
un enfoque sofisticado.
El propósito de nuestro estudio fue encontrar un método adecuado para
procesamiento de una mezcla de dos activos simultáneos continuos
AE señales para determinar el T-D y, en relación con esto, el
coordenadas de ambas fuentes de EA. Encontramos que los ciegos
El método de separación de la fuente (BSS) resuelve este problema
Torily. BSS es un método general de procesamiento de señales
la recuperación de las contribuciones de diferentes fuentes de
un conjunto finito de observaciones grabadas por sensores, independientes
del medio de propagación y sin ningún conocimiento previo
de las fuentes. BSS ya se ha aplicado con éxito
en medicina, telecomunicaciones, procesamiento de imágenes, etc.[8].
Sin embargo, también es un método prometedor para el análisis de AE de
estructuras de aeronaves, porque las señales AE a menudo se ocultan en un
mezcla de señales de diversas fuentes. BSS podría extraer
la firma específica de cada fuente AE, que puede
ser utilizados con fines de localización y caracterización, o para
aislar las fuentes de EA del ruido de fondo. Dirigimos
experimentos con BSS en un haz de aluminio en el que dos
Fuentes continuas de AE fueron generadas simultáneamente por el aire
fluir.
MÉTODOS
En esta sección explicamos dos métodos diferentes para el tiempo
retraso en la estimación de las fuentes de EA. El primer método se basa en
análisis del marco para la cooperación con el país y es conveniente para la estimación T-D de
una fuente continua de AE activa como se describe en la parte I[10],
[7], [12]. El CCF muestra un pico cuando el parámetro de retardo
compensa la T-D entre las señales del sensor [10]. El T-D
se determina así por la posición del pico más alto de la
CCF. El segundo método se basa en el algoritmo BSS y es
conveniente para la estimación T-D de dos (o más) simultáneamente
fuentes de EA continua activa[9]. Ubicación de dos simulta-
fuentes de AE neouly activa fue realizado por un inteligente
localizador basado en una red neural de regresión general[5]
descrita en la parte I.
La separación de fuentes ciegas multicanal ha recibido recientemente
mayor atención debido a la importancia de su potencial
http://arxiv.org/abs/0704.0050v1
aplicaciones[3]. Se produce en muchos campos de la ingeniería y
ciencias aplicadas, incluido el procesamiento de señales desde antena
procesamiento de datos array, habla y geofísica, reducción del ruido,
análisis biológico del sistema, etc. Consiste en recuperar señales
Emitida por fuentes desconocidas y mezclada por un
medio (material donde las ondas se propagan), utilizando sólo varios
observaciones de las mezclas. Las únicas suposiciones hechas
son la linealidad del sistema de mezcla y la estadística
independencia de las señales originales.
Los métodos BSS pueden clasificarse de varias maneras. Uno
posible clasificación que se puede hacer depende de si
las mezclas sean instantáneas o convolutivas [4]. Convo-
las mezclas lutivas corresponden a un sistema de mezcla con el tiempo
memoria dependiente. Representan un caso más general que
mezclas instantáneas, y que tienen, en particular, acústicas
aplicaciones. Últimamente, el principio de componente independiente
análisis (ICA) se aplicó en BSS, y se encontró que
ser una herramienta sencilla y poderosa[6]. El presente estudio trata de las siguientes cuestiones:
separación de dos convolutivamente mixtos continuos independientes
Las señales AE de ICA y el localizador inteligente se utilizaron para
localizar dos fuentes de EA continuas independientes basadas en T-D
Procesos de mezcla y filtrado de señales de entrada desconocidas
sj(t) puede tener una espalda matemática o física diferente.
motivos, en función de aplicaciones específicas. En este artículo,
nos centramos principalmente en los casos más simples con n señales xi(t)
mezclado linealmente en n desconocido estadísticamente independiente, cero
media de las señales de origen sj(t). La composición se expresa en:
notación de matriz como x = A ∗ s [8], donde «*» denota un
convolution, x = [x1(t),. .., xn(t)]
T es el vector del sensor
señales, s = [s1(t),. .., sn(t)]
T es el vector de las señales de origen
y A es un rango completo desconocido n × n matriz de mezcla cuya
los elementos son filtros finitos de respuesta a impulsos (FIR). Asumimos que
que sólo el vector x está disponible. El objetivo de la ACI es encontrar un
matriz W, por el cual el vector x se puede transformar en fuente
señales u = W * x.
Matrix W es simplemente la inversa de A. Sin embargo, cuando el ruido
corrompe las señales, matriz W debe ser encontrado por un óptimo
tratamiento estadístico del problema inverso. El óptimo ma-
trix W puede ser estimado por una red neuronal de avance de alimentación
operando en el dominio de frecuencia. Un algoritmo de aprendizaje con
El gradiente natural de Amari puede escribirse de la siguiente manera:
W. (l+1) = W. (l+) + W. (l+) + W. (l+1),
[I - â € € ¢ Â Â Â Â Â Â Â Â = tanh(R[]] + ı tanh(I[]), donde α es
la tasa de aprendizaje, η es la constante de aprendizaje, I es la identidad
la matriz y el tilde representan un dominio de frecuencia.
El algoritmo ICA se ejecuta fuera de línea y procede de la siguiente manera:
[11] (Fig. 1):
1) Preprocesar las señales de entrada de tiempo-dominio, x(t): sub-
Extraer la media de cada señal.
2) Inicializar los filtros de desmezclado de dominio de frecuencia, W
3) Tomar un bloque de datos de entrada y convertirlo en el
dominio de frecuencia usando la transformación rápida de Fourier
(FFT).
4) Filtrar el bloque de entrada de dominio de frecuencia, x
para obtener las señales de origen estimadas,................................................................................................................
5) Pasar a través del dominio de frecuencia no linealidad.
6) Utilice W.o.o.o.o. y.o.o. junto con el gradiente natural.o.o.o.
extensión [2] para calcular el cambio en la desmezcla
Sustitución de PSfrag
inicializar antes del proceso
desmezclar
filtros
filtro
regla de actualización
Fig. 1. Diagrama de bloques del algoritmo ICA
filtro,..................................................................................................
7) Tome el siguiente bloque de datos de entrada, encubierto en el
dominio de frecuencia, y proceder desde el paso 4. Repite esto.
proceso hasta que los filtros de desmezclado hayan convergido en
una solución, pasando varias veces a través de los datos.
8) normalizar Wū y convertirlo de nuevo en el dominio del tiempo,
usando la Transformación Inversa Fast Fourier (IFFT).
9) Convolver el dominio de tiempo de desmezclar filtros, W, con x
para obtener las fuentes estimadas.
EXPERIMENTOS
Realizamos experimentos con dos continuos independientes.
fuentes de AE en una banda de aluminio de dimensiones 4000×
40× 5mm3. Reflexiones al final de la banda se redujeron
envolviendo los extremos en masilla. El área de pruebas estaba en el
eje longitudinal en el centro de la banda, donde 23 agujeros de
diámetro 2 mm y separación mutua 100 mm fueron preparados
como se muestra en la Fig. 2.
Sustitución de PSfrag
Flujo de aire de 2 mm de banda
Fig. 2. Generación de AE por aire que fluye a través del agujero
Dos sensores AE fueron montados a 100 mm de distancia de la
agujeros terminales, que es de 2,4 m el uno del otro. El origen de
el sistema de coordenadas estaba en el medio de la banda y el
área de ensayo extendida de −1,1m a +1,1m. Señales AE
fueron excitados por dos chorros de aire independientes que fluyen a través de
los agujeros. La posición de origen se seleccionó arbitrariamente en
+100mm y +800mm. Los chorros de aire fueron formados por dos boquillas
de diámetro 1 mm mediante presión 7 bar. El set experimental...
hasta consistió en el espécimen de ensayo (banda de aluminio), dos AE
sensores (pinductores), dos fuentes AE (reactores de aire), dos amplificadores,
un osciloscopio digital (convertidor A/D) y un ordenador (BSS)
módulo, localizador, plotter) como se muestra en la Fig. 3. Tres experimentos
se realizaron : (1) estimación T-D utilizando un CCF de dos AE
señales que no estaban activas simultáneamente; (2) estimación T-D
utilizando un CCF de dos señales AE que fueron simultáneamente
activo y (3) estimación T-D de las señales de AE utilizando ICA.
Ubicación de las fuentes, basada en T-D, por el localizador inteligente
se realizó en los tres casos.
Sustitución de PSfrag
sensor
Fuente AE
localizador
plotter
Fig. 3. Puesta en marcha experimental
En el primer experimento sólo se activó un chorro de aire para
una medición particular. En el segundo experimento ambos aire
Los jets fueron activados. Las señales de los sensores fueron lineales convolutivas
mezclas de dos fuentes de EA continuas independientes, tal como se muestra
en Fig. 4. La autocorrelación R11, R22 y la correlación cruzada
las funciones R12, R21 se calcularon a partir de las señales del sensor. Sólo
una T-D de dos señales se puede estimar a partir de la más alta
pico en ambos marcos de cooperación, independientemente del número de países independientes
Fuentes de EA en la muestra de ensayo como se muestra en la Fig. 5. Esto
significa que no se puede utilizar un CCF para la estimación automática de T-D
ión de múltiples señales de EA en el espécimen de ensayo. El marco de cooperación con el país
muestra varios picos que pertenecen a varios independientes
Fuentes de AE, pero es usualmente imposible relacionar estos picos
a las coordenadas correspondientes de las fuentes de EA.
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Sustitución de PSfrag
t [ms]
a) Señal sensorial #1
0 0,1 0,2 0,3 0,4
Sustitución de PSfrag
t [ms]
b) Señal sensorial #2
Fig. 4. Mezclas de dos fuentes AE continuas independientes adquiridas por dos
sensores
En el tercer experimento se utilizó el algoritmo ICA para
resolver satisfactoriamente este problema. Resultados del algoritmo ICA
en la desmezcla de filtros FIR que extraen la fuente independiente
señales de señales sensoriales. Invirtiendo los filtros de desmezclado
W obtenemos filtros de mezcla A. En el caso de dos independientes
0 5000 10000 15000
Sustitución de PSfrag
Sustitución de PSfrag
Rx1x1
Sustitución de PSfrag
Rx1x1
Rx1x2
0 5000 10000 15000
Sustitución de PSfrag
Rx1x1
Rx1x2
Rx2x1
Fig. 5. Funciones de correlación automática y cruzada de las señales sensoriales; flecha descendente
marca el pico más alto
Fuentes AE y dos sensores, los componentes de A son cuatro
Filtros de mezcla FIR, como se muestra en la Fig. 6. Hay dos directos
a11, a22 y dos filtros de mezcla cruzada a12, a21. El primer índice
del filtro representa el número del sensor, mientras que el
el segundo índice representa el número de la fuente. La posición
del pico más alto de los filtros transversales FIR determina la T-
D entre dos señales de dos sensores. Si substraemos el
Coordenada del pico más alto de un filtro FIR de mezcla directa
a11 de la coordenada del pico más alto del filtro cruzado a21
Obtenemos el T-D de la primera fuente independiente de AE, ya que cada
de los picos más altos en los filtros FIR pertenecen a diferentes
señales AE independientes.
RESULTADOS
Los resultados de la estimación T-D de dos continuos independientes
Las fuentes de AE se muestran en la Fig. 7. Se hicieron tres experimentos.
En el primer experimento, el T-D fue estimado por un CCF de dos
Fuentes de EA que no estaban activas simultáneamente como marcadas
por «».................................................................................................................. Ubicaciones de estas dos fuentes estimadas por el
El localizador inteligente fue de +181 mm y +784 mm. El segundo
El experimento se realizó con ambas fuentes de AE simul-
Taneamente. La T-D también fue estimada por un marco de cooperación con el país. El pico más alto
0 5000 10000 15000
Sustitución de PSfrag
Sustitución de PSfrag
Sustitución de PSfrag
0 5000 10000 15000
0.5PSfrag reemplazos
Fig. 6. Filtros de mezcla obtenidos por el ICA de señales sensoriales; marcas de flechas descendentes
el pico más alto
posición corresponde a la ubicación de la fuente marcada con «− −»
y fue +784 mm. El tercer experimento se realizó utilizando
ICA para estimación de T-D y localización por localizador inteligente. Los
el resultado está marcado por ‘ ’. Puestos estimados de estas dos fuentes
fueron +179 mm y +784 mm respectivamente. Si comparamos el
coordenadas de ambas fuentes independientes de EA estimadas por
el primer experimento y por el tercer experimento, encontramos un
buena correspondencia. Si comparamos la fuente estimada de AE
coordenadas con coordenadas reales, que eran +100 mm y
+800 mm respectivamente, observamos un ligero desacuerdo debido a
error experimental. El error experimental es de alrededor del 3% con respecto a
la distancia entre los sensores. Error absoluto en este caso es
79 mm y 16 mm respectivamente. Los resultados también dependen de
el número y la distribución de las fuentes de prototipos marcadas por
«•», que son esenciales para el funcionamiento del localizador inteligente.
Si aumenta el número de fuentes prototipo, error de ubicación
se reduce. En nuestro caso las fuentes prototipo fueron distribuidas
a lo largo del haz de −1.1m a +1.1m separados por 0.1m, así que
que el error sistemático del localizador se fijó en varios ascensos.
Sustitución de PSfrag
Posición real l [m]
función de correlación
Fig. 7. Resultados de la localización de dos fuentes de EA independientes continuas.
Símbolos: ‘ ’ – Fuentes de AE obtenidas por ICA; ‘®’ – Fuentes estimadas de AE
obtenido por función de correlación cruzada en dos pasos, cuando sólo uno de dos
Las fuentes de AE estaban activas en el momento de la medición; «− −» – estimación de AE
fuentes obtenidas por función de correlación cruzada cuando dos fuentes de EA fueron
activos simultáneamente; «•» – prototipo de fuentes AE necesarias para la ubicación utilizando
localizador inteligente; «−» – distribución de fuentes reales.
DEBATE Y CONCLUSIÓN
El marco de cooperación nacional es aplicable a la estimación de T-D únicamente en el caso de una
fuente activa de AE. El objetivo de nuestra investigación es desarrollar una nueva
método para estimar T-D entre las señales de AE en el caso de mul-
tiple simultáneamente activos fuentes de AE continuas. Tenemos
ha demostrado que, a tal efecto, la ACI es una opción aplicable. ICA
encuentra un sistema de coordenadas lineales (los filtros de desmezclado) de tal manera que
las señales resultantes son estadísticamente independientes. Esto es un
ventaja de la ACI sobre el CCF. Representa un nuevo enfoque para
el tratamiento de los datos de EA y amplía aún más la aplicabilidad de
Análisis de EA en el campo de los ensayos no destructivos. En máquinas
o en un entorno industrial, múltiples fuentes suelen ser
Simultáneamente, a menudo representan dis-
turbantes. Las señales complejas correspondientes no son directamente
aplicable a la caracterización de determinadas fuentes. Sin embargo,
la separación de las contribuciones por el análisis de ICA de hecho representa un
tipo de filtrado, aumentando la aplicabilidad de las señales filtradas
a la caracterización de fuentes en entornos complejos. Futuro
investigación se centrará en la ubicación de múltiples fuentes de AE
en especímenes bidimensionales y tridimensionales.
REFERENCIAS
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[3] Burel, G. 1992, Separación ciega de fuentes: Un algoritmo no lineal,
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9, 758–764.
[10] McIntire, P. Miller, R. K., eds 1987, Pruebas de emisiones acústicas,
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[11] Westner, A. G. 1996, Captura de audio basada en objetos: Separación
fuentes acústicamente mixtas, tesis de MSc, Instituto de Tecnología de Massachusetts
Nología.
[12] Ziola, S. M. Gorman, M. R. 1991, Ubicación de origen en placas delgadas utilizando
correlación cruzada, J. Acoust. Soc. Soy. 90(5), 2551–2556.
Bibliografía
|
704.0051 | Visualizing Teleportation | Visualización de la teletransportación
Scott M. Cohen*
Departamento de Física, Universidad Duquesne, Pittsburgh, Pennsylvania 15282 y
Departamento de Física, Universidad Carnegie-Mellon, Pittsburgh, Pennsylvania 15213
Se describe una nueva forma de imaginar el procesamiento de la información cuántica, permitiendo un vi-
sualización de la teletransportación de estados cuánticos y proporcionar una comprensión sencilla e intuitiva
de este fascinante fenómeno. La discusión está dirigida a proporcionar a los físicos un método de ex-
Planteando la teletransportación a los no-científicos. Las ideas básicas de la física cuántica se explican por primera vez en
términos laicos, después de lo cual estas ideas se utilizan con una descripción gráfica, de la cual la teletransportación
surge naturalmente.
I. INTRODUCCIÓN
Uno de los campos más emocionantes y de más rápido crecimiento de la física hoy en día es la información cuántica. Especialmente desde el
descubrimiento por Shor [1, 2] que existen cálculos para los que una computadora cuántica es aparentemente mucho más eficiente que
un ordenador clásico, el interés en entender la información cuántica ha aumentado a un ritmo impresionante. Uno muy amplio
El descubrimiento publicitado que ha surgido del trabajo en este campo es la teletransportación [3]. Mientras que no es exactamente equivalente a la
proceso que goza de fama generalizada entre los fans de Star Trek (“Beam me up, Scotty”), el fenómeno se refiere aquí
No obstante, es fascinante, y tal vez incluso sorprendente. La razón de la amplia publicidad de este
probada (y experimentalmente probada [4, 5, 6, 7, 8], aunque aún no inequívocamente demostrada) predicción científica
es casi seguro en gran parte debido al hecho de que comparte el mismo nombre que la idea intrigante
de la ciencia ficción.
La forma habitual de describir la teletransportación es a través de ecuaciones matemáticas, y esta matemática es relativamente
simple, como se ha demostrado ampliamente en otras partes [3, 9). Por lo tanto, una comprensión de este fenómeno es
accesible a los físicos, otros científicos, y aquellos que poseen un nivel razonablemente fuerte de habilidad matemática. Ahí está.
Por otra parte, parece ser una buena cantidad de malentendidos de teletransportación entre los no científicos, con el
noción flotando alrededor de que el fenómeno asombroso se muestra regularmente en episodios de Star Trek – es decir, de material
objetos teletransportados de un lugar a otro – en realidad ha resultado ser posible en la vida real. Nada podría
Estar lejos de la verdad, por supuesto, así que nos quedamos preguntándonos cómo rectificar esta desafortunada situación. Los
La pregunta que me dirijo aquí es la siguiente: ¿puede el verdadero fenómeno (científico) de la teletransportación ser entendido por otros,
¿Aquellos que no tienen mucha habilidad en matemáticas? Las explicaciones habituales ciertamente fracasarán en este sentido, aunque con cuidado
presentado por un físico competente, porque las matemáticas tiene una tendencia bien conocida para asustar a la gente, y en cualquier
caso, las matemáticas de la teletransportación no es tan simple. El artículo está dirigido a los físicos que poseen un sólido
la comprensión de la física cuántica (incluidos los estudiantes de posgrado), con el objetivo de proporcionar un método por el que
físico puede explicar la teletransportación a alguien que no es matemáticamente inclinado. Por lo tanto, el objetivo es, en última instancia,
aunque indirectamente, para educar al público en general sobre la teletransportación, y por extensión, la mecánica cuántica misma. Los
enfoque implica sólo las ideas más básicas sobre la física cuántica, y si bien no evita por completo matemáticas
expresiones, utiliza sólo las matemáticas más simples (uno sólo necesita aceptar que ciertos objetos son 0 o 1) y
se basa casi enteramente en “fotografías”, permitiendo al laico visualizar – y por lo tanto, entender – lo que está sucediendo.
En las siguientes secciones, describiré mi método de visualización directa de la teletransportación. Estas secciones están escritas
como si estuviera dirigida al lego. La siguiente sección explica la naturaleza probabilística de la física cuántica al considerar
“monedas cuánticas”, que son ejemplos de sistemas de dos niveles. Esta sección describe cómo uno debe pensar en
medidas, lo que se entiende por probabilidades para los sistemas clásicos, y luego cómo estas ideas se pueden utilizar para describir
sistemas cuánticos. Luego, en la Sección III, presento mi enfoque gráfico para entender la dinámica de la
procesamiento de información, que luego se utiliza en la sección III B para explicar en imágenes cómo teletransportación de estados cuánticos
es posible. Una de las observaciones cruciales será que un estado enredado compartido en, por ejemplo, sistemas a y b, proporciona
las partes con múltiples “imágenes” del estado de un sistema adicional A. La capacidad de manipular estas imágenes
– independientemente por cada partido, y diferente de una imagen a la siguiente – es lo que permite que la teletransportación sea
Conseguido. En términos más generales, estas ideas proporcionan una visión importante de por qué el enredo es un recurso valioso, ya que
He descrito en detalle en otra parte, y han sido útiles para entender otros aspectos de la información cuántica
* Dirección electrónica: cohensm@duq.edu
http://arxiv.org/abs/0704.051v2
mailto:cohensm@duq.edu
procesamiento [10, 11].
II. PROPUESTAS
Tal vez el aspecto más fundamental de la teoría cuántica es que sólo puede hacer predicciones en términos de probabil-
ciones. En general, incluso si uno tiene una descripción completa del estado de un sistema cuántico, uno no sabrá por delante de
tiempo lo que el resultado de una medida dada será. Esto está en contradicción directa con nuestra experiencia cotidiana,
a la que nos referimos como “clásica”. Por ejemplo, una moneda clásica volteada que aterriza cabezas (“cabezas” es entonces un completo
descripción del estado de esta moneda), se sabe con certeza que son cabezas, y también con certeza que no son colas.
Es decir, si conocemos el estado de una moneda clásica (en este caso “cabezas”), podemos predecir con certeza la respuesta a
cualquier pregunta razonable que elijamos hacer (o “medida”) sobre esa moneda (por ejemplo, “¿Es cola?”). Por lo tanto,
necesidad de entender lo que se entiende por “estado” de un sistema cuántico y cómo este estado se relaciona con las probabilidades y
resultados de las mediciones. La siguiente definición de medición será adecuada para nuestros propósitos.
Definición: Una medición es un procedimiento que proporciona respuestas a una colección de preguntas de sí-no, que es
ambos mutuamente excluyentes (cuando la respuesta a una de las preguntas es “sí”, la respuesta a todas las demás es “no”) y
completa (se incluyen todas las posibilidades; es decir, una de las preguntas siempre será respondida afirmativamente). Los
una sola pregunta que recibe la respuesta "sí" se refiere como el resultado de la medición.
Por ejemplo, puesto que una moneda clásica es cara o cruz, y estas dos posibilidades son mutuamente excluyentes,
la medición en una moneda clásica es un procedimiento que responde a las dos preguntas “¿Es la cabeza?” y “¿Es la cola?”
la moneda siempre será una u otra, siempre habrá un “sí” respuesta a una de estas preguntas, y luego el
otra pregunta siempre es contestada “no”. Por lo tanto, estas dos preguntas constituyen realmente una medida de acuerdo con
la definición anterior. Si se contesta afirmativamente “¿Es cabeza?”, entonces “cabezas” es el resultado de la medición.
Resulta que estas dos preguntas también constituyen una medida sobre las monedas cuánticas. Sin embargo, en contraste con
el caso clásico en el que esta es la única medición posible, hay una amplia gama de posibles mediciones en
monedas cuánticas. Esto se hará más claro a partir de la discusión en las siguientes secciones, donde introducimos un pacto
forma de describir estas cosas, una forma comúnmente utilizada en la mecánica cuántica.
A. Monedas clásicas y probabilidades clásicas
Considere de nuevo una moneda clásica volteada. La moneda cae a la cabeza o a la cola. Será útil utilizar un poco
notación abreviada: H® para las cabezas y T+ para las colas. La declaración de que “si es cabeza, no es cola” (es decir, tiene
cero probabilidad de ser colas) se representará como
T H = 0.
El soporte orientado a la izquierda representa el estado inicial conocido (“Es cabezas.”) y el soporte orientado a la derecha representa T
la pregunta (“¿Es cola?”). El número (0) que aparece en el lado derecho del signo igual entonces da la
probabilidad de que con este estado inicial, la respuesta a esta pregunta será sí. Para el ejemplo anterior, tenemos que
la probabilidad es 0, que es como se espera ya que cuando la moneda es H nunca será T. Tenga en cuenta que es útil utilizar la
soportes orientados a la izquierda y a la derecha, para que podamos leer fácilmente cuál es el estado inicial y cuál es la pregunta
Preguntó al respecto. Simplemente escribir TH = 0 en la ecuación anterior llevaría a la confusión cuando discutimos dos monedas (ver
abajo), que podría tener un estado inicial donde uno es colas, las otras cabezas, representadas por TH®.
Tal vez una declaración aún más trivial “si es cabeza, entonces es cabeza” (con certeza, o con probabilidad uno),
se representará de manera similar como
# H # H # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
De nuevo, el soporte orientado a la derecha contiene la pregunta "H ", o "¿Es la cabeza?", y el hecho de que la expresión es igual
a 1 indica que la respuesta a esta pregunta siempre será “sí” cuando el estado inicial es H®. Estas declaraciones
son triviales porque si conocemos el estado de una moneda clásica, podemos predecir con certeza si serán cabezas o
colas cuando lo miramos.
Aunque las ecuaciones restantes se verán un poco más involucrados, las únicas matemáticas que el lector necesita entender
está contenido en las dos ecuaciones anteriores, junto con otras dos que son casi exactamente lo mismo. El debate en el
el resto de este documento seguirá de las cuatro declaraciones simples, H H = 1, T T = 1, T H = 0, H T = 0.
A continuación consideremos dos monedas. En este caso, una lista completa de posibilidades mutuamente excluyentes es HH, HT, TH, TT.
Podemos hacer declaraciones exactamente de la misma manera que hicimos arriba, por ejemplo “si son HH, entonces no son HT, ”
que en nuestra notación está escrito
H1T2H2H2H2H2H = H1H1H1H × T2H2H2H = (1)× (0) = 0,
cuando los subíndices (1, 2) se hayan insertado para mayor claridad a fin de indicar qué moneda es cuál. Note que en esta ecuación,
hemos equiparado la expresión H1T2H2H2H2O con el producto de dos expresiones, H1H1O y T2OH2O. Esto es
porque cualquier pregunta sobre las dos monedas en conjunto es la misma que dos preguntas, una sobre cada una de las monedas por separado.
Obviamente también es cierto que “si son HH, entonces son HH”, así que
H1H2H2H2H2H2H1H1H1H1H × H2H2H2H = (1)× (1) = 1.
Para tres monedas, hay ocho posibilidades (HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT) y la misma
La notación también explicará fácilmente este caso. No tendremos que considerar más de tres monedas aquí, sin embargo
En principio, es sencillo hacerlo.
B. Monedas cuánticas y probabilidades cuánticas
Las monedas cuánticas se comportan muy diferentemente en comparación con sus contrapartes clásicas, y las probabilidades cuánticas deben
ser entendido de maneras muy diferentes. Todavía tenemos cabezas y colas, H y T, como posibles estados de una moneda cuántica.
Nos referimos a estos dos estados como “ortogonales” entre sí, con lo que simplemente queremos decir que son mutuamente
exclusiva: si la moneda cuántica es H, es definitivamente (con certeza) no T, y viceversa. Tomamos nota de que los cuatro
Las ecuaciones que aparecen en la sección anterior son igualmente ciertas tanto para las monedas cuánticas como clásicas. Sin embargo, hay
ahora existen algunas posibilidades muy extrañas. Si tuviera que sugerir que una moneda clásica puede ser tanto H y T en uno y
Al mismo tiempo, estarías completamente justificado al pensar que me había vuelto un poco loco. Te lo voy a decir, sin embargo,
que al menos en un cierto sentido (aunque muy real), este es el caso de las monedas cuánticas (aunque usted todavía puede preguntarse un
un poco sobre mi cordura). El punto es que, en el caso cuántico, tiene sentido hacer preguntas como: “Si
la moneda es H, es la mitad H y la mitad T?”; o podemos dar la vuelta y preguntar “Si la moneda es la mitad H y la mitad T, es que
¿H?" Ninguna de estas preguntas tiene ningún sentido cuando se refiere a una moneda clásica. Por otro lado, para
una moneda cuántica no sólo son cuestiones legítimas, sino que de hecho son muy importantes (no consideramos
la posibilidad insignificante de una moneda clásica aterrizando en su borde, y en cualquier caso esto no tiene ninguna relación con lo que nosotros
media por una moneda cuántica que es la mitad H y la mitad T ).
Para representar estas preguntas, podemos escribir el estado (Q) de una moneda cuántica que es la mitad H y la mitad T como
Q =
# T # # # T # # # T # #
Entonces la respuesta a la pregunta, “Si la moneda es la mitad H y la mitad T, ¿es H?” es contestada por la ecuación,
# H # Q # # # # H # # # Q # # # # # # H # # # Q # # # # # H # # # # H # # Q # # # # # # # H # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# H # H #
# H # T #
(1) +
(0) =
que debe interpretarse en el sentido de “sí, con probabilidad 1/2”, implicando también “no, con probabilidad 1-1/2 = 1/2”
[En mecánica cuántica, es en realidad el cuadrado del objeto en el lado izquierdo de la ecuación anterior que
representa la probabilidad, en lugar de ese objeto en sí mismo, que se conoce como la “amplitud de probabilidad”; sin embargo,
aunque la diferencia entre probabilidades y amplitudes de probabilidad es crucial para la comprensión de
mecánica, he elegido en la presente discusión para pasar por alto esta distinción en beneficio de la persona laica a quien
Estas ideas están dirigidas, ya que sólo servirían para complicar las cosas, causando una confusión innecesaria entre los Estados miembros.
público previsto]. El soporte orientado a la izquierda representa el estado inicial conocido, y el soporte orientado a la derecha
representa la pregunta (“¿Es la cabeza?”). El número 1/2 que aparece en el lado derecho de la última línea entonces da
la probabilidad de que con este estado inicial, la respuesta a esta pregunta será sí. El punto a entender aquí es
que a pesar de que tenemos una descripción completa (Q) del estado de la moneda cuántica, generalmente no sabemos en
avanzar si la moneda será H o T cuando la veamos. Sólo podemos predecir en términos de probabilidades: si
realizar este experimento muchas veces, la mitad del tiempo la respuesta será sí y la otra mitad del tiempo será no.
Además, hay muchas más preguntas que podemos hacer en el caso cuántico, en comparación con el caso clásico. Lo somos.
ya no se limita a preguntar “¿es la moneda H?” o “¿es T?”, pero podemos hacer otras preguntas, como el reverso de
la pregunta que acabamos de responder,
# QH # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
# H #
# H # H #
# T # H #
(1) +
(0) =
Vemos que la pregunta “Si la moneda es H, ¿es la mitad H y la mitad T?” tiene la misma respuesta que la pregunta anterior:
“Sí, con probabilidad 1/2; y no, con probabilidad 1/2.”
Observamos que en el resto del papel, en lugar de formular preguntas como "¿es la moneda la mitad H y la mitad T?", nosotros
En lugar de preguntar si es "partes iguales" H y T. Si bien no hay ninguna diferencia real entre estas dos preguntas, este
refrasing nos permite simplificar la notación prescindiendo de los factores de 1/2 que han aparecido en el anterior
debate. Al hacerlo, las ecuaciones no producirán los mismos números que las probabilidades para las diversas preguntas, pero
esto no obstaculizará la presentación ya que los valores numéricos de las probabilidades no son cruciales para las ideas que
deseo de transmitir: sólo tenemos que recordar que ciertos objetos son iguales a 1 y otros son iguales a 0.
III. TELEPORTACIÓN
¿Qué queremos decir exactamente con teletransportación en el contexto de la información cuántica? No es un objeto material que
está siendo teletransportado, pero más bien el estado de un sistema cuántico. Asumimos que el sistema es una moneda cuántica,
con un conjunto completo de estados mutuamente excluyentes (ortogonales) siendo “cabezas” y “colas”, que podemos denotar como
H y T. Supongamos que Alice y Bob son físicos en lugares ampliamente separados entre sí. Cada uno tiene un
moneda cuántica – etiquetada a y b, respectivamente – y estas dos monedas están en el estado
B0ab = HaHb Tab,
donde los subíndices utilizados aquí se refieren al sistema a (b) en posesión de Alice (Bob). Este estado de dos monedas cuánticas tiene
una propiedad muy extraña, que se conoce como enredo, y el estado mismo es un ejemplo de un enredado máximo
Estado. El enredo es un tipo bastante extraño de correlación entre los sistemas cuánticos, que se manifiesta en el
B0 por el hecho de que ni el sistema a ni b pueden ser considerados como un “estado propio” independiente
del otro sistema: cualquiera que sea el estado de la moneda a, la moneda b tendrá el mismo estado, pero uno no puede decir nada
sobre el estado de cualquiera de las monedas independiente de la otra. Es esta propiedad de enredo que se acredita con
permitiendo a Alice y Bob realizar la teletransportación.
Alice recibe otra moneda (sistema A), preparada en un estado
SA = cH HA cT TA
con coeficientes arbitrarios cH y cT que son completamente desconocidos para ella y para Bob. Si cH = 1/2 y cT = 1/2,
tenemos el caso discutido en la sección anterior, donde la moneda es igualmente probable que sea H o T.
otros valores de estos coeficientes, las dos posibilidades en general no serán igualmente probables. La tarea de Alice es realizar
operaciones en los sistemas en su posesión (a y A) de tal manera que Bob terminará con su sistema (b) en
precisamente el estado SbÃ3, que es el mismo estado que SAÃ3, pero ahora en el sistema distante b. Resulta que esta tarea
se puede lograr si Alice comunica información a Bob (quizás a través de un teléfono) sobre lo que terminó
hacer a sus sistemas, después de lo cual Bob realiza una operación cuántica bastante simple, dependiendo de la información
obtenido de Alice, en el sistema b.
Un punto importante a entender en lo que sigue es que nada de ellos hace en este proceso proporciona
incluso la más mínima información sobre los coeficientes cH y cT, por lo que el estado (S) que ha sido teletransportado sigue siendo
completamente desconocido para las partes. Este aspecto de la teletransportación se vuelve aún más sorprendente si se considera la
cantidad de información que se transmite: la información contenida en un estado cuántico es mucho mayor que la cantidad
realmente transmitido de Alice a Bob a través del teléfono (como veremos a continuación, la cantidad transmitida a través de la
teléfono es dos bits clásicos, lo suficiente para transmitir que una de las cuatro posibilidades se ha elegido). Cierto, el clásico
información que se puede codificar en un sistema cuántico de dos niveles no puede exceder un bit (un bit es la cantidad de información
necesario para elegir entre dos posibilidades, tales como H y T ). Pero si Alice quería decirle a Bob cómo crear el
estado en su propio laboratorio al comunicarse con él a través de una línea telefónica, esto requeriría una cantidad infinita de clásico
información; es decir, suficiente información para describir completamente los números arbitrarios, cH y cT (es infinito porque
uno de estos números bien podría ser un número irracional como
nunca repetirse). Por supuesto, Alice y Bob son completamente ignorantes de lo que son estos números, así que incluso si
era posible transmitir una cantidad infinita de información, ni siquiera saben qué información
¡necesita enviar! Sin embargo, cuando comparten el enredo, es posible para los dos de ellos, trabajando juntos, para
crear el estado desconocido en la moneda de Bob b con la comunicación de sólo dos bits clásicos.
A. Visualización del procesamiento cuántico de la información
Introduzcamos ahora el método pictórico que se utilizará para visualizar la teletransportación. Los diagramas simples nos
se utilizará para representar estados de múltiples monedas cuánticas, en poder de dos partes diferentes, son familiares para muchos investigadores
trabajando en información cuántica. Ahora vamos a ilustrar cómo estos diagramas se utilizan para representar estados cuánticos,
y luego cómo se pueden utilizar para seguir lo que sucede a estas monedas cuando las mediciones son realizadas por uno de los
las fiestas. Entonces, estaremos listos para usarlos para visualizar la teletransportación.
1. Estados de las monedas cuánticas
Para representar el estado de una sola moneda cuántica etiquetada A (de pie para Alice; ella también tendrá la otra moneda etiquetada
a, mientras que la moneda única de Bob está etiquetada b), podemos utilizar un diagrama de caja simple,
= cH HA® + cT TA® =
Los coeficientes cH y cT que aparecen en las cajas indican “cuánto” está en esa parte del estado SA de la moneda A. Los
siguiente ejemplo ilustra el caso en el que hay dos monedas (A y b) en poder de dos partes diferentes. Entonces, el estado
de estas dos monedas podría ser
SAHb =
Hbâ Tbâ
con SA como se indica anteriormente. Los cuadrados vacíos en el lado derecho de este diagrama representan el hecho de que el sistema b es
“no T ” (tiene cero probabilidad de ser colas); la cH en la esquina superior izquierda representa la probabilidad de que las monedas sean
ambas cabezas; y la cT en la parte inferior izquierda, la probabilidad de la moneda de Bob es cara y Alice es cola.
Si hay tres partes involucradas, un cubo tridimensional podría ser utilizado para representar esta situación. Sin embargo,
servirá a nuestros propósitos actuales para representar ambos sistemas de Alice a lo largo de la dimensión vertical del diagrama. Nosotros
podría tener monedas A y b como en el ejemplo anterior, y moneda un ser cabezas, el estado general de estas tres monedas
representados como
SAHaHba =
Hbâ Tbâ
TAHa®
# # HaHa #
TATaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
HATa®
Si en su lugar los sistemas a,b son T, esta imagen es
SATaTba =
Hbâ Tbâ
TAHa®
# # HaHa #
TATaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
HATa®
Ahora considere lo que sucede si sumamos las dos ecuaciones anteriores juntos. Entonces nuestras dos monedas a,b son “partes iguales en
HH y en TT ”, que es lo que antes nos referíamos como el “estado máximamente enredado” B0ab = HaHbTab.
El diagrama correspondiente parece
SABÓ(HaHbó + Tabó) =
Hbâ Tbâ
TAHa®
# # HaHa #
TATaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
HATa®
Hbâ Tbâ
Nótese cómo hay ahora dos imágenes del estado SA®. Esta observación resulta bastante útil para comprender
Enredo [10, 11], pero no tendremos que discutir estos temas aquí. Veamos ahora cómo representar
mediciones mediante el uso de estos diagramas.
2. Medición de las monedas cuánticas
Supongamos que Alice y Bob comparten tres monedas cuánticas en el estado representado en la última ecuación de la anterior
Y Alice quiere saber algo sobre sus monedas. Si ella mide la moneda a y descubre que es H, entonces nosotros
#Ha × #
Hbâ Tbâ
Hbâ Tbâ
Recordemos que cuando el soporte orientado a la derecha Ha está unido a la orientada a la izquierda Ha a la izquierda de esta ecuación, obtenemos
HaHa = 1, que "preserva" la fila superior, mientras que HaTa = 0, lo que indica que la fila inferior es aniquilada
(multiplicado por 0), por lo que ya no aparece en la extrema derecha de esta ecuación. La interpretación es la siguiente:
cuando la pregunta “¿Es la moneda una cabeza?” se contesta afirmativamente las otras monedas se dejan en el estado SAHb. Nosotros
ver cómo esta medición actúa en ambas imágenes simultáneamente, en lugar de en las dos de forma independiente. Los
La imagen superior izquierda se ha conservado intacta, pero la otra imagen fue aniquilada, desapareciendo por completo.
Por otro lado, si el resultado de la medición de Alice había sido que la moneda a era T, esto estaría representado
Ta ×
Hbâ Tbâ
Hbâ Tbâ
En este caso, la imagen de arriba-izquierda ha desaparecido y la de abajo-derecha se ha conservado intacta. En cada una de ellas
de estos casos, el estado de la moneda A no cambia, pero el de la moneda b se deja en un estado que corresponde directamente a la
resultado de la medición de Alice en a. Si descubre que la moneda a era H (o T ), entonces la moneda b termina H (o T ).
Alternativamente, podría hacer una medición que incluya la pregunta “¿Es la moneda una parte igual H y T?” Si la respuesta
a esta pregunta es sí, entonces
(Ha Ta) ×
Hbâ Tbâ
Hbâ Tbâ
S.A. = S.A.A. (H.B. + T.B.)
que es sólo una suma de las dos ecuaciones anteriores (note cómo después de cada uno de los tres resultados de medición que tenemos
sólo considerado, las dos imágenes se han colapsado en una sola fila). Una vez más vemos que el estado de la moneda b
termina correspondiendo al resultado de la medición de Alice en la moneda a. Esto ilustra algo de la extrañeza
que reside en estados enredados de sistemas cuánticos: no importa qué medida Alice hace en moneda a y no
importa qué resultado obtiene de esa medición, el estado resultante de la moneda b corresponderá directamente a
ese resultado.
La forma en que las imágenes de SA aparecen en el diagrama es crucial. El hecho de que los dos comienzan en diferentes filas
y en diferentes columnas será importante en lo que está por venir. Si el enredo entre sistemas a,b estaba ausente, para
ejemplo si ellos estuvieran en el estado (no enredado) (Ha Ta) Hb, entonces esto sería representado por (recordar que
SA® = cH HA cT TA®)
SÁ (Ha + Ta) Hb =
Hbâ Tbâ
TAHa®
# # HaHa #
TATaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
HATa®
Hbâ Tbâ
En estas circunstancias, la visión de Bob de la imagen inferior de SA está “obstruida” por la presencia de la imagen superior;
las dos imágenes aparecen efectivamente como una para él. Como se verá en la sección siguiente, la presencia de
el enredo entre las monedas a, b será necesario para lograr la teletransportación. Nos aseguraremos de que así sea.
La capacidad de Bob (y Alice) de “ver” las dos imágenes por separado, y la consiguiente capacidad de cada una de ellas para actuar
diferentemente en una de las imágenes en comparación con la otra, que es crucial para su éxito.
En la siguiente sección, pasamos a la tarea de teletransportar el estado SA a la moneda de Bob b. Para comenzar este proceso,
Alice llevará a cabo una medición que hace preguntas “conjuntas”; es decir, preguntas sobre ambas monedas en su poder
Simultáneamente. Como ejemplo, ella podría preguntar si ambos son H. Es decir,
# HAHa #
Hbâ Tbâ
TAHa®
# # HaHa #
TATaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
HATa®
Hbâ Tbâ
La cH que aparece en la caja de la derecha corresponde a la probabilidad de que la respuesta a esta pregunta será
“sí”. Más importante para nuestros propósitos es reconocer que cuando este es el resultado de la medición, la moneda b
termina H, una vez más una consecuencia del enredo inicial entre monedas a y b.
Ahora veamos cómo es posible la teletransportación.
B. Visualización de la teletransportación
La teletransportación se realiza con la ayuda de los sistemas adicionales a, b en el estado enredado B0ab. Inicio del sistema A
en el estado de SA, discutido anteriormente, y este es el estado que teletransportarán. Alice va a hacer un conjunto de preguntas conjuntas, que
juntos constituyen una medida, sobre el estado de las dos monedas en su posesión, a y A. Sobre la primera cuestión
pregunta si estas dos monedas son partes iguales HH y TT. Cuando la respuesta es sí, tenemos
(# HAHa + #TATa) ×
Hbâ Tbâ
TAHa®
# # HaHa #
TATaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
HATa®
Hbâ Tbâ
cH cT
Observe cómo las dos filas medias son aniquiladas por este resultado (porque estas filas corresponden a una situación donde
las dos monedas son diferentes – una H y una T – mientras que estamos preguntando si son las mismas), y el resto
las filas se colapsan en una sola fila. Ahora, si nos fijamos cuidadosamente (o tal vez, ni siquiera con tanto cuidado) en la final
diagrama en esta imagen, llegaremos a una conclusión bastante sorprendente. Vemos que el estado del sistema de Bob b
es ahora Sbâ = cH Hbâ + cT Tbâ. Es decir, el estado desconocido SA®, originalmente en el sistema A, está ahora en el sistema de Bob
b. Además, la pregunta hecha por Alice no tenía nada que ver con los coeficientes cH y cT, que
determinar cuál era el estado original de la moneda A. Por lo tanto, los partidos siguen siendo completamente ignorantes del estado S, sin embargo
¡Ese estado ha sido teletransportado con éxito!
Sin embargo, no hemos terminado del todo, ya que nos gustaría que Alice y Bob pudieran teletransportarse sin importar qué
la pregunta conjunta termina siendo el resultado de la medición de Alice. Debido a la naturaleza probabilística de la cuántica
mundo, ella no puede elegir el resultado de su medición. En su lugar, Alice efectivamente hace todas las preguntas en ella
la medición elegida y luego debe esperar a que la naturaleza decida qué pregunta ella (la naturaleza, es decir) elegirá como la
resultado. Lo bueno de la naturaleza es que le dirá a Alice qué pregunta fue elegida.
Debe haber cuatro preguntas en un conjunto completo de preguntas que componen una medición conjunta sobre las monedas A, a. Déjame a mí.
ilustrar con otra pregunta cómo Alice y Bob pueden tener éxito con la teletransportación, y luego se le pide al lector que
que también pueden tener éxito con cualquiera de las dos preguntas restantes (estos pueden tratarse en un
camino a la que se muestra aquí [12]). La segunda pregunta es: ¿son las monedas A, partes iguales TH y HT? Los correspondientes
diagrama es
(TAHa + HATa) ×
Hbâ Tbâ
TAHa®
# # HaHa #
TATaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
HATa®
Hbâ Tbâ
cT cH
Aquí, las primeras y últimas filas son aniquiladas por este resultado, y las dos medias se colapsan en una sola fila.
Mirando el diagrama final, vemos que la moneda b se deja en el estado cT Hba + cH Tba, que tiene los coeficientes cH
y cT intercambiado en comparación con el estado S en el que queremos que esté. Sin embargo, Alice sabe que este es el
pregunta a la que la naturaleza respondió que sí, y ella puede llamar a Bob por teléfono e informarle de este hecho. Una vez
él sabe que esta es la pregunta que fue respondida afirmativamente, todo lo que necesita hacer es “voltear su moneda cuántica”. Recordar
que se trata de una moneda cuántica, que no puede simplemente recoger y dar la vuelta. En cambio, lo que queremos decir con esto es que él
intercambia H por T y viceversa. En resulta que esta es una acción legítima que se puede realizar en un cuántico
moneda, y dejará la moneda b en el estado deseado: cT Hba + cH Tba → cT Tba + cH Hba = Sba. Note también que ellos
de nuevo permanecer completamente ignorante de los coeficientes cH y cT – nada que ha sucedido les ha proporcionado
ninguna información de este tipo, ni la han necesitado. Resulta que no importa cuál de los cuatro resultados de Alice
medición que obtiene, una vez que le informa a Bob de ese resultado, que será capaz de realizar una acción legítima en
su moneda cuántica que dejará su moneda en el estado Sbá. Todo lo que Bob necesita saber, para elegir qué acción
para realizar, es el resultado de la medición de Alice: Alice sólo necesita enviarle dos bits de información, lo suficiente para
elegir entre uno de los cuatro resultados posibles. Además, ninguno de los cuatro resultados proporciona a ninguna de las partes
cualquier información sobre los coeficientes, cH y cT, por lo que ambos permanecen completamente ignorantes del estado original que
acaban de teletransportarse con éxito.
Los diagramas proporcionan una gran cantidad de información sobre lo que está pasando. La observación crucial es la presencia de dos
imágenes del estado S, resultante del enredo entre monedas a, b. Alice hace una medida que, aunque no
actuar independientemente sobre estas dos imágenes, actúa de manera diferente sobre ellas, como hemos aludido arriba. Esta medición
escoge diferentes partes de S de las diferentes imágenes de una manera que todo S se conserva y ninguno de ellos es
Repetido. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, la parte H se conserva de la imagen inferior derecha, y la parte T
desde la parte superior izquierda (y viceversa en el ejemplo anterior). Esto sugiere (y de hecho es el caso) que para
las monedas que tienen más de dos lados (una matriz cuántica de seis lados, por ejemplo), las partes pueden teletransportar el estado de tales
una moneda de la cara n compartiendo un estado maximo-enredado que es “lo suficientemente grande” para proporcionarles n imágenes de la
estado desconocido S. Entonces Alice puede diseñar su medida de tal manera que para cada resultado: (1) una parte diferente de S es
extraído de cada imagen; y (2) todo el estado se conserva a través de las imágenes n. Después, Bob puede recuperar el
simplemente mediante la reorganización de las diversas partes, que será capaz de hacer una vez que Alice le informa del resultado de
su medida. La medición de Alice no les proporciona ninguna información sobre el estado original que son
intentar teletransportarse, ni la reorganización de Bob requiere que sepan nada al respecto. En todos los casos,
siguen ignorando el estado que están teletransportando. Se anima al lector a dibujar un diagrama (tal vez para las monedas
con n = 3 lados cada uno; ver el párrafo siguiente) y seguir a través del argumento para estar seguro de que está claro cómo esto
Está hecho. El diagrama tendrá n × n = n2 filas horizontales (que representan las dos monedas de la cara n de Alice A, a, cada fila
correspondiente a una de las combinaciones de los lados de estas dos monedas: HH, HT, HU, HV, · · ·, donde H, T, U, V, · · ·
etiqueta los diversos lados), y n columnas verticales (que representan la moneda de Bob b).
Una medición completa para el caso n = 3 incluirá n2 = 9 resultados, pero una comprensión esencialmente completa
se puede ganar si el lector considera sólo los tres resultados correspondientes a (1) HAHa + Ta + UAUa; (2)
# HATa # TAUa #UAHa; y (3) # HAUa #TAHa #UATa, donde U es el tercer lado de estas monedas (los otros seis
los resultados implican complicaciones adicionales que no he explicado aquí, pero estos resultados no son cruciales para el
tipo general de comprensión que estamos buscando aquí). En este caso la generalización apropiada de B0 es el estado
HaHb Tab UaUb, y los tres términos en esta expresión producen las tres imágenes necesarias para la teletransportación.
IV. PUNTOS CLÁSICOS TELEPORTADORES
En esta sección, considero la teletransportación de monedas clásicas, que resulta ser posible utilizando un método que lleva
una sorprendente semejanza con el método utilizado para las monedas cuánticas. Imagine que Chloe prepara una moneda clásica (etiquetado
A) como H o T, y se lo da a Alice, que no se le permite mirar la moneda. Chloe también prepara monedas clásicas
a y b tales que sean HH (ambos H) o TT (ambos T ). Luego le da una moneda a Alice y una moneda b a Bob,
pero de nuevo no permite que estos partidos miren sus monedas. Alice ahora le hace a Chloe las siguientes dos preguntas:
¿Monedas A y una misma? ¿O son diferentes? Este par de preguntas “sí-no” representa una medición, tal como se define
antes, en este par de monedas. Si Chloe le informa que son los mismos, entonces Alice sabe que la moneda b, que está garantizada
ser lo mismo que a, es también lo mismo que A; si, por otro lado, Chloe dice monedas A y a son diferentes, entonces moneda b
También es diferente de A. Alice ahora llama a Bob por teléfono y le dice que “voltee” o “no voltee”. En el primer caso
(Lo mismo que a) le dice que no voltee, mientras que cuando A y a son diferentes, ella le dice que voltee. Después de que él la siga
instrucción, la moneda b de Bob con certeza coincide con la moneda A. El estado de la moneda A se ha teletransportado a la moneda b.
Es instructivo ver por qué el caso cuántico es asombroso mientras que el clásico es más bien mundano. Ahí está.
son tres diferencias importantes entre teletransportación clásica y cuántica. La primera diferencia tiene que ver con el
información que Alice tendría que transmitir a Bob con el fin de informarle del estado de la moneda A, si ella ocurrió
conocer ese estado. Para una moneda clásica, sólo hay dos posibilidades, H o T, por lo que tendría que transmitir sólo
Un poco para Bob. Esta es la misma cantidad de información que se transmite realmente cuando ella le dice “voltear” o
“no des la vuelta” – de nuevo, dos posibilidades. Por el contrario, como se examinó al comienzo de la sección III para el caso de
monedas cuánticas, requeriría una cantidad infinita de información para Alice para informar a Bob del estado de la moneda A,
mientras que en realidad sólo transmite dos bits de información al informarle cuál de sus cuatro preguntas era la
resultado de su medición. Vemos que los dos casos, clásico vs. cuántico, son dramáticamente diferentes en términos de
las cantidades de información de que se trate.
La segunda diferencia entre estos dos casos es un poco más sutil. En el caso clásico, si Alice fuera a engañar
y realmente mirar a la moneda A, ella automáticamente sabría en qué estado está esa moneda y sería capaz de decirle a Bob lo que
hacer con su moneda – girar H o girar T ; otro mensaje de un bit que abarca estas dos posibilidades. Esto
absolutamente no funcionará para una moneda cuántica, que Alice no puede simplemente “mirar” para descubrir su estado. La razón
es lo siguiente: Para empezar, en contraste con una moneda clásica, cuando Alice mira su moneda cuántica, invariablemente
lo perturba en el proceso. Es decir, no importa en qué estado estaba la moneda antes de que la mirara, el estado después de que ella
lo mira con certeza dada por el resultado de su medición. Por ejemplo, incluso si el estado es “partes iguales
H y T ” antes de que ella pregunte si es H o T, si la respuesta es H (T ), entonces la moneda es ahora H (T ). O si es H para empezar
con y ella hace una medición que responde sí a la pregunta “¿Es igual a las partes H y T?”, entonces el estado de
la moneda ahora será partes iguales H y T. Por lo tanto, cuando ella lo mira, ella obtendrá una de dos respuestas (las
los dos posibles resultados de su medición) en cuanto al estado de la moneda, pero si lo mira mal, esa respuesta
no le dirá lo que el estado era de antemano, pero sólo lo que es ahora. Además, ya que ahora ha perturbado
el estado, no hay manera de volver atrás e intentar de nuevo, ya que la moneda está ahora en un estado completamente diferente de la
Ella está tratando de descubrir. La moraleja de esta historia es doble: con las monedas cuánticas (1) no se molesten en tratar de engañar;
y (2) no tiene sentido pedir una “repetición”.
La tercera diferencia entre los casos cuánticos y clásicos es aún más sutil y está relacionada con el enredo,
para el cual no hay contrapartida con las monedas clásicas. Para la teletransportación clásica, Chloe debe decirle a Alice si o no
las monedas a,A son iguales o diferentes. Cuando estas monedas son clásicas, y como Chloe es la que las preparó,
Ella es ciertamente capaz de hacerlo. Sin embargo, en el caso cuántico monedas a, b están enredados, lo que significa que ninguno de los dos
tiene un estado definido propio. Puesto que la moneda a no tiene un estado definido, la pregunta si las monedas a,A son la
¡Lo mismo (tienen el mismo estado) no tiene respuesta! Incluso si asumimos que Chloe preparó monedas a, b en su estado enredado,
no hay nada que ella (o cualquier otra persona) pueda decir sobre el estado de la moneda a, excepto que está enredado
con b y no tiene un estado definido propio. Vale la pena señalar que tanto en los casos cuánticos como clásicos, las monedas a, b
se correlacionan entre sí en formas que a primera vista parecen ser muy similares – cuando uno se mide y se encuentra
para ser H (T ), el otro también será H (T ). Sin embargo, las correlaciones presentes en el enredado estado B0 de
monedas cuánticas a, b no tienen análogos en el caso de las monedas clásicas. Una razón es precisamente lo que acabamos de discutir:
que las monedas cuánticas se pueden correlacionar de esta manera a pesar de que ninguna de las monedas individuales tiene un estado definido
propia (una moneda clásica siempre tiene un estado definido propio).
V. CONCLUSIÓN
He descrito una manera novedosa de visualizar el procesamiento de la información cuántica, y he utilizado esta imagen para dar un simple
manera de “ver” cómo la teletransportación es posible. La imagen resulta ser útil más allá de sólo proporcionar un entendimiento
de fenómenos previamente conocidos (teletransportación), sin embargo. De hecho, nos ha dado una comprensión más profunda de la
proceso de aplicación de manera determinista de unidades no locales mediante operaciones locales y comunicación clásica (cuando
el enredo compartido está disponible como recurso), lo que nos permite construir nuevos protocolos [10] que van mucho más allá de lo que
anteriormente se sabía que era posible [13]. También hemos utilizado esta imagen para estudiar la cuestión de qué enredo
se necesitan recursos para ejecutar localmente otras operaciones no locales, como protocolos de medición a los efectos
de conjuntos distintivos de estados cuánticos que son indistinguibles sin el recurso enredado adicional [11].
Agradecimientos
Este trabajo ha sido apoyado en parte por la Fundación Nacional de Ciencia a través de la Beca No. PHY-0456951. Lo estoy.
muy agradecido por las numerosas discusiones con Bob Griffiths y otros en su grupo de investigación.
[1] P. W. Shor, en Actas del 35o Simposio Anual sobre los Fundamentos de la Informática, editado por S. Goldwasser
(IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA, 1994).
[2] E. Gerjuoy, Am. J. Phys. 73, 521 (2005).
[3] C. Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).
[4] M. Barrett y otros, Nature 429, 737 (2004).
[5] M. Riebe et al., Nature 429, 734 (2004).
[6] D. Bouwmeester et al., Nature 390, 575 (1997).
[7] A. Furusawa et al., Science 282, 706 (1998).
[8] J. F. Sherson et al., Nature 443, 557 (2006).
[9] M. Nielsen e I. Chuang, Computación Cuántica e Información Cuántica (Cambridge University Press, Cambridge,
Reino Unido, 2000).
[10] L. Yu, R. B. Griffiths y S.M. Cohen, se publicará.
[11] S. M. Cohen, Phys. Rev. A 77, 012304: 1 (2008).
[12] Las otras dos preguntas implican menos signos y se representan como (3) #HaHa − #TATa y (4) #HATa − #TAHa,
respectivamente. Multiplicar uno u otro de los estados H y T por un signo menos es otra operación cuántica válida,
que Bob puede realizar en su moneda. Al hacerlo, efectivamente convierte cada uno de estos casos en uno de los dos ya mostrados.
explícitamente en el periódico. Cuando la pregunta (3) es contestada afirmativamente, la multiplicación de Tb por el signo menos es todo lo que es
necesario para completar la teletransportación; y para la pregunta (4), la operación de signo menos sólo necesita ser seguido por Bob voltear
su moneda cuántica.
[13] B. Reznik, Y. Aharonov, y B. Groisman, Phys. Rev. A 65, 032312: 1 (2002).
Introducción
Probabilidades
Monedas clásicas y probabilidades clásicas
Monedas cuánticas y probabilidades cuánticas
Teletransportación
Visualización del procesamiento cuántico de la información
Estados de las monedas cuánticas
Medición de las monedas cuánticas
Visualización de la teletransportación
Teletransportación de monedas clásicas
Conclusión
Agradecimientos
Bibliografía
| Se describe una nueva forma de imaginar el procesamiento de la información cuántica,
permitiendo una visualización directa de la teletransportación de estados cuánticos y
proporcionar una comprensión sencilla e intuitiva de este fascinante fenómeno.
La discusión está dirigida a proporcionar a los físicos un método de explicación
teletransportación a no científicos. Las ideas básicas de la física cuántica son las primeras
explicada en términos laicos, después de lo cual estas ideas se utilizan con un gráfico
descripción, de la cual la teletransportación surge naturalmente.
| Introducción
Probabilidades
Monedas clásicas y probabilidades clásicas
Monedas cuánticas y probabilidades cuánticas
Teletransportación
Visualización del procesamiento cuántico de la información
Estados de las monedas cuánticas
Medición de las monedas cuánticas
Visualización de la teletransportación
Teletransportación de monedas clásicas
Conclusión
Agradecimientos
Bibliografía
|
704.0052 | Quantum Field Theory on Curved Backgrounds. II. Spacetime Symmetries | TEORÍA QUANTUM SOBRE EL TERRITORIO CURVO
ANTECEDENTES. II.
SIMETRIAS DE ESPACETIMO
ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Resumen. Estudiamos las simetrías espacio-tiempo en el campo cuántico escalar
teoría (incluidas las teorías de interacción) sobre el espacio-tiempo estático. Nosotros primero.
Considerar la teoría de campo cuántico euclidiano en un mani-
plegar, y mostrar que el grupo de isometría es generado por un parámetro
subgrupos que tienen cuantificaciones autoadjuntas o unitarias. Nosotros
continuar analíticamente los semigrupos autoadjuntos a un parámetro uni-
grupos tary, y así construir una representación unitaria de la isometría
grupo del colector Lorentziano asociado. El método se ilustra
para el ejemplo del espacio hiperbólico, cuya continuación lorenziana es
Espacio Anti-de Sitter.
1. Introducción
La extensión de la teoría cuántica del campo a los tiempos-espacio curvos ha llevado a
el descubrimiento de muchos fenómenos cualitativamente nuevos que no ocurren
en la teoría más simple sobre el espacio Minkowski, como la radiación Hawking; para
antecedentes y referencias históricas, véase [2, 6, 18].
La reconstrucción de la teoría cuántica del campo en un espacio de firma Lorentz-
tiempo de la correspondiente teoría de campo cuántico euclidiano hace uso de
Osterwalder-Schrader (OS) positividad [15, 16] y continuación analítica. Activar
un fondo curvo, puede no haber una definición adecuada de la traducción del tiempo
y no hamiltoniano; por lo tanto, el marco matemático de la cantidad euclidiana
La teoría de tum field puede descomponerse. Sin embargo, en el espacio-tiempos estáticos hay un
Hamiltoniano y tiene sentido definir QFT euclidiano. Este enfoque fue el siguiente:
recientemente tomada por los autores [11], en la que las propiedades fundamentales de
Osterwalder-Schrader cuantificación y algunas de las estimaciones fundamentales
de la teoría cuántica constructiva del campo1 se generalizaron a los espacios-tiempos estáticos.
El trabajo anterior [11], sin embargo, no abordó la continuación analítica
que lleva de una teoría euclidiana a una teoría en tiempo real. En el presente
artículo, iniciamos un tratamiento de la continuación analítica mediante la construcción de
operadores unitarios que forman una representación del grupo isométrico de la
Lorentz-firma espacio-tiempo asociado a un espacio-tiempo Riemanniano estático.
Nuestro enfoque es similar en espíritu al de Fröhlich [4] y de Klein y
Fecha: 22 de febrero de 2007.
1Para los antecedentes sobre teoría de campo constructiva en espacios-tiempo planos, véase [8, 9].
http://arxiv.org/abs/0704.052v1
2 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Landau [13], que mostró cómo pasar del grupo euclidiano al Poincaré
grupo sin utilizar los operadores de campo en el espacio-tiempo plano.
Este trabajo también tiene aplicaciones a la teoría de la representación, ya que proporciona
un procedimiento de cuantificación natural (functorial) que construye no trivial
Representaciones unitarias de los grupos de Lie que surgen como grupos de isometría
de los espacios-tiempos estáticos, de la firma Lorentz. Por lo general, estos grupos no son
compacto. Por ejemplo, cuando se aplica a AdSd+1, nuestro procedimiento da un
representación unitaria del componente de identidad de SO(d, 2). Además,
nuestro procedimiento hace uso de la descomposición de Cartan, una herramienta estándar en
teoría de la representación.
2. Tiempo-espacio clásico
2.1. Estructura del espacio-tiempos estático.
Definición 2.1. Un espacio-tiempo estático cuantificable es un completo,
Multiplex riemanniano orientable (M,gab) con una definición global (suave)
Campo de matanza que es ortogonal a una hipersuperficie de codimensión-una................................................................................................................
de tal manera que las órbitas de se completen y cada órbita se interseca exactamente
Una vez.
A lo largo de este trabajo, asumimos que M es un espacio estático cuantificable.
Tiempo. Definición 2.1 implica que hay una función de tiempo global t definida
hasta una constante por el requisito de que Así M es foliado por
rebanadas de tiempo Mt, y
M = \ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ M = \ ~ \ ~ \ ~ ~ \ ~ \ ~
donde las uniones son discontinuos, =M0, y son conjuntos abiertos correspondientes
a t > 0 y t < 0 respectivamente. Inferimos la existencia de una isometría
invierte el signo de t,
De tal manera que...
2 = 1, = id.
Fijar una extensión auto-adjunta del laplaciano, y dejar C = ( +m2)−1
ser el resueltor del Laplaciano (también llamado la covarianza libre), donde
m2 > 0. Entonces C es un operador autoadjunto limitado en L2(M). Para cada una de las categorías siguientes:
R, el espacio Sobolev Hs(M) es un verdadero espacio Hilbert, definido como la terminación
(M) en la norma
(2.1) â € € € TM = â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
− sf®.
La inclusión Hs Hs+k para k > 0 es Hilbert-Schmidt. Define S :=
s<0Hs(M) y S
s>0Hs(M). Entonces
S • H−1(M) • S
forma un Gelfand triple, y S es un espacio nuclear.
Recordemos que S ′ tiene una algebra natural de conjuntos medibles (véase, por ejemplo,
[7, 8, 17]). Hay una única medida de probabilidad gaussiana μ con media
cero y covarianza C definidos en los conjuntos de cilindros en S ′ (véase [7]).
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO3
De manera más general, uno puede considerar un no-Gaussiano, cuenta-additivo
medir μ en S ′ y el espacio
E := L2(S ′, μ).
Estamos interesados en el caso de que los monomios de la forma A(Φ) =
Φ(f1)... Φ(fn) para el fichero S son todos los elementos de E, y para los cuales su alcance
es denso en E. Esto es por supuesto cierto si μ es la medida gaussiana con
covarianza C.
Para un set abierto, deje que E.O.E. denote el cierre en E del set de
monomios A(Φ) =
iΦ(fi) donde supp(fi) Particular
importancia para la teoría del campo cuántico euclidiano es el subespacio de tiempo positivo
E+ := E.
2.2. El Operador Inducido por una isometría. Algunos de los sub-
el acto múltiple espacio-tiempo en un espacio Hilbert de los campos clásicos que surgen en
el estudio de una teoría de campo clásica. En el caso de las letras f) y m) : M → M an
isometría, definir
(1)*f = f 1.
Puesto que det(d) = 1, la operación f → f se extiende a un operador limitado
en H±1(M) o en L
2 M). Un tratamiento de isometrías para espacios-tiempos estáticos
aparece en [11].
Definición 2.2. Ser una isometría, y A(Φ) = Φ(f1).. Φ(fn) E a
monomial. Definir el operador inducido
2.2) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l (l) (l) (l) (l) (l (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()))) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
(fn).............................................................................................................................................................................................................................................................
y extender el término "" por linealidad al dominio de los polinomios en los campos,
que es denso en E.
3. Cuantificación Osterwalder-Schrader
3.1. Cuantización de Vectores (El Espacio Hilbert H de Quantum
Teoría). En esta sección definimos el mapa de cuantificación E+ → H, donde
H es el espacio Hilbert de la teoría cuántica. La existencia de la cuantificación
mapa se basa en una condición conocida como Osterwalder-Schrader (o reflexión)
positividad. Una medida de probabilidad μ en S ′ se dice que es reflejo positivo si
(3.1)
F dμ ≥ 0
para todos los F en el subespacio de tiempo positivo E+ E.
Reflexión sobre E inducida por فارسى. Definir la forma sesquilineal (A,B) en EE+
como (A,B) = A,Bâ, así (3.1) declara que (F,F) ≥ 0.
Suposición 1 (Positividad O-S). Cualquier medida dμ que consideremos es re-
flexión positiva con respecto a la reflexión de tiempo.
4 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Definición 3.1 (OS-Quantización). Dada una medida de reflexión positiva dμ,
el espacio Hilbert H de la teoría cuántica es la terminación de E+/N con
respeto al producto interior dado por la forma sesquilineal (A,B). Denotar
el mapa de cuantificación Π para vectores E+ → H por Π(A) = Â, y escribir
(3.2), BH = (A,B) = A,B®E para A,B+.
3.2. Cuantificación de Operadores. El teorema básico de cuantificación da un
condición suficiente para mapear un operador lineal T (posiblemente sin límite) en E
a su cuantificación, un operador lineal Tâ ° en H. Considere un densamente definido
operador T en E, el tiempo unitario-reflexión , y el contiguo T + = T .
En [10] también se dio una versión preliminar de lo siguiente.
Definición 3.2 (condición de cuantificación I). El operador T satisface QC-I
i. El operador T tiene un dominio D(T) denso en E.
ii. Hay un subdominio D0 E+ D(T)D(T)D(T)
+), para los cuales Dâ € ° ° H
es denso.
iii. Las transformaciones T y T+ ambos mapean D0 en E+.
Teorema 3.3 (Cuantificación I). Si T satisface QC-I, entonces
i. Los operadores T D0 y T
D0 tienen cuantificaciones T y T con
dominio Dâ € € TM.
ii. Los operadores Târ* =
TÃ Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â
y T están de acuerdo en Dâ ́0.
iii. El operador Tâ D0 tiene un cierre, a saber Tâ °
Prueba. Queremos definir la cuantificación de Tâ € con el dominio putativo Dâ € 0
(3.3) Tâ Â = Tâ = A.
Para cualquier vector A • D0 y para cualquier B • (D0 • N ), es el caso de que
= B. La transformación TÃ3 es definida por (3.3) if TÃ3A = â € T (A+B) =
Tâ € A+ Tâ € B. Por lo tanto, es necesario verificar que T : D0 N → N, que ahora
La suposición D0+D(T)
+), junto con el hecho de que es unitario,
se asegura de que el valor de D0 D(T)
*). Por lo tanto, para cualquier F + D0,
(3.4)
F, TBE = T
F, B, E = (T)
F ), Bâ E = T
+F,B+E = T+
+F, BH.
En el último paso utilizamos el hecho asumido en la parte iii) de QC-I que T+ :
D0 → E+, produciendo el producto interior de dos vectores en H. Inferimos de
la desigualdad de Schwarz en H que
F, TBC ≤ TCB = 0.
Como "F", "TB"E = "F", "T"B"H, esto significa que "T"B"D"0. Como Dâ °0 es denso en
H por QC-I.ii, inferimos TÃ3B = 0. En otras palabras, TB N como se requiere para
Definir Tâ.
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO5
Para mostrar que Dâ € € D(Tâ € €
*), realizar un cálculo similar al (3.4)
con A arbitrario, D0 que sustituye a B, a saber:
(3.5)
# F # T # H # F, TA # E # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T #
F), AE = T
+F,A®E = TF, H.
El lado derecho es continuo en H, y por lo tanto Fó, D(T*). Además...
más T * F = T F. Esta identidad muestra que si F N, entonces TF = 0.
Por lo tanto TD0 tiene una cuantificación
+, y podemos escribir (3.5) como
(3.6) T • F = TF •, para todos los F • D0.
En particular Tâ * está densamente definido por lo que Tâ ́ tiene un cierre. Esto completa el
prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición 3.4 (condición de cuantificación II). El operador T satisface QC-II
i. Tanto el operador T como su contiguo T* tienen dominios densos D(T), D(T*)
ii. Hay un dominio D0 E+ en el dominio común de T, T
+, T+T,
y TT+.
iii. Cada operador T, T+, T+T y TT+ mapea D0 en E+.
Teorema 3.5 (Cuantificación II). Si T satisface QC-II, entonces
i. Los operadores T D0 y T
D0 tienen cuantificaciones T y T con
dominio Dâ € € TM.
ii. Si A, B, D0, uno tiene B, Tá, H = Tá, B, H.
Comentarios.
i. En Teorema 3.5 caemos la suposición de que el dominio Dâ °0 es denso,
la obtención de cuantificaciones Tó y Tó cuyos dominios no son necesariamente
Denso. Para compensar esto, asumimos más propiedades
en relación con el dominio y el rango de T+ en E.
ii. Dado que DÃ30 no necesita ser denso en H, el contiguo de TÃ3 no necesita ser definido.
Sin embargo, se llama al operador TÃ3 simétrico en caso de que uno tiene
(3.7) Bó, Tó, H = Tó, Bó, H, para todos los A, B, D0.
iii. Si es una extensión densamente definida de Tâ, entonces = Tâ en el
dominio Dâ € € TM.
Prueba. Definimos la cuantificación Tâ € con el dominio putativo Dâ € 0. Al igual que en
la prueba de Teorema 3.3, esta cuantificación T® está bien definida si es el caso
que T : D0 • N → N. Para cualquier F • D0 • N, por definición • FH = 0.
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde se utiliza el hecho de que D0 â € D(T
+T). Por lo tanto
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
F, T+TF
= F, T+TF H.
6 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Aquí usamos el hecho de que T+T mapea D0 a E+. Por lo tanto, se puede utilizar el
Schwarz desigualdad en H para obtener
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
= 0.
Por lo tanto T : D0 N → N, y T tiene una cuantificación T® con el dominio D+0.
Para verificar que TD0 tiene una cuantificación, es necesario demostrar que
T+ : D0 N+ N. Repite el argumento anterior con T
+ sustitución de T.
suposición TT+ : D0 → E+ rendimientos para F â € D0 â € N,
T+F, T+F H = T
F, T+F E = F, TT
+F +E = +F +T
+F +H.
Utilice la desigualdad de Schwarz en H para obtener el resultado deseado que
T+F, T+F H ≤ F+H T+F
= 0.
Por lo tanto T + tiene una cuantificación T con el dominio D+0, y para B + D0 uno tiene
TB = TB. Con el fin de establecer (ii), supongamos que A, B, D0. Entonces
# B #, T # H # # B, TA # E # # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T #
B), AE = T
+B,A®E
= TB, H = TB, H.(3.8)
Esto completa la prueba.
4. Estructura y representación de la Lie Álgebra de
Campos de matanza
Para el resto de este documento asumimos lo siguiente, que es claramente
verdadero en el caso gaussiano como el laplaciano se desplaza con la isometría
Grupo G. (En [11] se dio una explicación adicional.)
Suposición 2. Los grupos de isometría G que consideramos dejan la medida
dμ invariante, en el sentido de que •, definido anteriormente, es una representación unitaria
de G en E.
4.1. La representación de g en E.
Lemma 4.1. Deja que Gi sea un grupo analítico con Lie álgebra gi (i = 1, 2),
y let : g1 → g2 ser un homomorfismo. No puede haber más de uno.
homomorfismo analítico η : G1 → G2 para el cual d Si G1 es simplemente
conectado a continuación, siempre hay uno tal η.
Deja que D = d/dt denote el campo vectorial de unidad canónica en R. Deja que G sea un
grupo de mentira real con álgebra g, y dejar X â € g. El mapa tD → tX(t â € R)
es un homomorfismo de Lie(R) → g, por lo que por el Lemma hay un único
homomorfismo analítico X : R → G tal que d+X(D) = X. A la inversa,
si η es un homomorfismo analítico de R → G, y si dejamos X = dη(D),
es obvio que η = X. Por lo tanto X 7→ X es una biyección de g en el set
de homomorfismos analíticos R → G. El mapa exponencial está definido por
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO7
exp(X) := X(1). Para grupos de mentiras complejas, se aplica el mismo argumento,
sustitución de R con C durante todo el tiempo.
Dado que g está conectado, también lo es exp(g). Por lo tanto exp(g) G0, donde G0 denota
el componente conectado de la identidad en G. No tiene que ser el caso para
un grupo de Mentira general que exp(g) = G0, pero para una gran clase de ejemplos
(los llamados grupos exponenciales) esto sí sostiene. Para cualquier grupo de Lie, exp(g)
contiene un barrio abierto de la identidad, por lo que el subgrupo generado
por exp(g) siempre coincide con G0.
Aplicaremos los resultados anteriores con G = Iso(M), el grupo de isometría de
M, y g = Lie(G) el álgebra de campos de matanza global. Por lo tanto tenemos un bijec-
correspondencia entre los campos de matanza y los grupos de 1 parámetro de isoma-
Lo intenta. Esta correspondencia tiene una realización geométrica: el 1-parametro
grupo de isometrias
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corresponde a X â € g es el flujo generado por X.
Considere los dos diferentes grupos de 1 parámetro de operadores unitarios:
(1) el grupo unitario s en L
2(M), y
(2) el grupo unitario (en lo sucesivo, «el grupo unitario») en E.
El teorema de Stone se aplica a ambos grupos unitarios para producir
operadores autoadjuntos definidos en los respectivos espacios de Hilbert.
En el primer caso, el operador autoadjunto pertinente es simplemente una extensión
de −iX, visto como un operador diferencial en Cc (M). Esto es porque para
f. C.c. (M.) y p.m., tenemos:
Xpf = (LXf)(p) =
f(Łs(p))s=0.
Por lo tanto −iX es un operador simétrico densamente definido en L2(M), y Stone’s
teorema implica que −iX tiene extensiones auto-adjuntas.
En el segundo caso, el grupo unitario de E también tiene un auto-adjunto
Generador Ł(X), que se puede calcular explícitamente. Por definición,
e) es(X)
Φ(fi)
Φ (fi > s). Φ (fi > s). Φ (fi > s).
Ahora reemplace s→ −s y calcule d/dss=0 aplicado a ambos lados de la última
ecuación para ver que
Φ(fi)
Φ(f1). Φ(-iXfj)Φ(fj+1). Φ(fn)................................................................................................................................................................................................................................................
Uno puede comprobar que فارسى es una representación de álgebra de Lie de g, es decir. ([X,Y]) =
(X),(Y )].
4.2. La descomposición de Cartan de g. Por cada g, hay algunos
dominio denso en E en el que () es auto-adjunto, como se discutió anteriormente.
8 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Sin embargo, las cuantificaciones que actúan sobre H pueden ser ermitañas, anti-
hermitano, o ninguno de los dos dependiendo de si tiene una relación de la
(4.1) • () • = () • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
con uno de los dos signos posibles, o si no existe tal relación.
Incluso si (4.1) se mantiene, para completar la construcción de una representación unitaria
tion uno debe probar que existe un dominio denso en H sobre el cual () es
auto-adjunta o sesgada-adjunta. Este problema no trivial será tratado en un
sección posterior utilizando los teoremas 3.3 y 3.5 y la teoría de la simetría local
semigrupos [12, 4]. Actualmente determinamos qué elementos dentro de g satisfacen
relaciones de la forma (4.1).
Vamos a := como un operador en C(M), y considerar un campo de matanza X g
también como operador en C(M). Definir T : g → g por
(4.2) T (X) :=
De (4.2) no es obvio que el rango de T está contenido en g.
Esto, recordamos algunas construcciones geométricas.
Que M,N sea multiformes, que : M → N sea un difeomorfismo, y X
Vect(M). Entonces
(4.3) 1*X = X(· ) 1.
define a un operador en el código C.O. (N). Uno puede comprobar que este operador es un
derivación, así (4.3) define un campo vectorial en N. El campo vectorial (4.3) es
normalmente denotado
X = d(X1(p))
y se conoce como el empujón hacia adelante de X.
Ahora queremos mostrar que g = g g−, donde g± son los espacios ±1-eigen
de T. Esto se demuestra mediante la introducción de un producto interno ( X, Y ) g en g con
respeto a la cual T es auto-adjunta.
Teorema 4.2. Considera g como un espacio Hilbert con producto interno (X,Y)g.
El operador T : g → g es auto-adjunto con T 2 = I; por lo tanto
(4.4) g = g+ â € g−
como suma directa ortogonal de los espacios de Hilbert, donde g± son los espacios ±1-eigen
de T. Además, de g a g- por lo tanto dim(g-) ≥ 1. Los elementos de g- tienen hermitiano
cuantificaciones, mientras que los elementos de g+ tienen cuantificaciones antihermitanas.
Prueba. Escribir (4.2) como
(4.5) T (X) = 1*X = X.
Por lo tanto T es el operador de push-forward por Ł. El empujón hacia adelante de un asesinato
campo por una isometría es otro campo de matanza, por lo tanto el rango de T está contenido
2No es el caso que g- consiste sólo de t. En particular, dim(g−) = 2 para M = H 2.
Puede ocurrir que dim g + = 0.
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO9
en g. También, T debe tener un núcleo trivial desde T 2 = I, y esto implica que
T es sujetivo. Se deduce de (4.5) que T es un operador Hermitano en
g. Por lo tanto T es diagonalizable y tiene valores propios reales que son cuadrados
raíces de 1. Esto establece la descomposición (4.4). Que los elementos de
g− tienen cuantificaciones hermitanas, mientras que los elementos de g+ tienen anti-hermitan
Las cuantificaciones siguen del Teorema 3.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Una involución cartana es un homomorfismo de álgebra de Lie g → g que cuadrados
a la identidad. Se deduce de (4.2) que T es un homomorfismo de álgebra de Lie;
por lo tanto, Teorema 4.2 implica que T es una involución Cartan de g. Esto implica
que los espacios propios (g+, g−) forman un par de Cartanos, lo que significa que
(4.6) [g+, g+] â € g+, [g+, g−] â € g−, y [g−, g−] â € g+.
Claramente g+ es un subalgebra mientras que g− no lo es, y cualquier subalgebra contenida en
g- es abeliano.
5. Isometismos reflexivos e invariantes
Dejar G = Iso(M) denotar el grupo de isometría de M, como arriba. Entonces G
tiene un subgrupo Z2 que contiene {1,. Este subgrupo actúa sobre G por conjuga-
tion, que es sólo la acción → :=. La conjugación es una (interior)
automorfismo del grupo, así que
() =, ()−1 = (1)
Definición 5.1. Nosotros decimos que G es reflejo-invariante si
=,
y que se refleja si
= 1.
Que GRI denote el subgrupo de G que consiste en elementos de reflexión-invariantes,
y dejar que GR denote el subconjunto de elementos reflejados.
Tenga en cuenta que GRI es el estabilizador de la acción Z2, por lo tanto un subgrupo. Un
prueba alternativa de este producto utilizando GRI = exp(g+). Aunque GR está cerrado
bajo la toma de inversas y contiene la identidad, el producto de dos
Las isometrías reflejadas ya no se reflejan a menos que se desplazan. En general,
el producto de un elemento de GR con un elemento de GRI no es ni un elemento
de GR ni de GRI. La única isometría que es tanto reflexión-invariante y
se refleja en sí mismo. Por lo tanto, tenemos:
GR GRI = {1, GR GRI ( G.
Teorema 5.2. Deja que G0 denote el componente conectado de la identidad en
G. Entonces G0 es generado por GR â € ¢ GRI. (Esta es una forma del Cartan
descomposición para G.)
10 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Prueba. Dado que g = g + g - como una suma directa de espacios vectoriales (aunque no de
Lie álgebras), tenemos
exp(g)
exp(g+) • exp(g−)
Elija las bases,i}i=1,...,n± para g± respectivamente. Entonces tenemos:
{exp(s,i) : 1 ≤ i ≤ n+, s < Rexp(s,j) : 1 ≤ j ≤ n−, s ≤ R}
Además, exp(s,i) se refleja, mientras que exp(s,i) es reflexión-invariante,
completando la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 5.3. El álgebra de Lie del subgrupo GRI es g+.
Para resumir, el grupo isométrico de un espacio-tiempo estático siempre puede ser
generado por una colección de n (= dim g) subgrupos de un parámetro, cada uno de
que consiste en isometrías reflejadas, o isoma invariante-reflexión
Lo intenta.
6. Construcción de Representaciones Unitarias
6.1. Auto-asociación de Semigrupos. En esta sección, recordamos varios
resultados conocidos sobre la autoasociación de semigrupos. En términos aproximados, estos
los resultados implican que si una familia de un parámetro Sα de simetría sin límite
los operadores cumplen una condición de semigrupo de la forma SαSβ = S
en condiciones adecuadas se puede concluir la auto-asociación esencial.
Un teorema de este tipo apareció en un artículo de 1970 de Nussbaum [14], que
Asumió que los operadores de semigrupos tienen un dominio denso común. Los
resultado fue redescubierto independientemente por Fröhlich, que lo aplicó a
teoría del campo de tum en varios documentos importantes [5, 3]. Para nuestra aplicación prevista.
catión a la teoría cuántica del campo, resulta ser muy conveniente caer
la suposición de que â € a tal que el Sα todos tienen un dominio denso común
para < a, a favor de la suposición más débil que
0D(Sα) es denso.
Una generalización del teorema de Nussbaum que permite los dominios de la
operadores de semigrupos para variar con el parámetro, y que sólo requiere el
unión de los dominios a ser densos, se formuló más tarde y dos independientes
Las pruebas fueron dadas: una por Fröhlich [4], y otra por Klein y Landau [12].
Este último también utilizó este teorema en su construcción de representaciones de
el grupo euclidiano y la correspondiente continuación analítica a la
Grupo Lorentz [13].
Con el fin de mantener el presente artículo autónomo, primero definimos simmet-
ric semigrupos locales y luego recordar el refinado teorema de la auto-adjuntividad de
Fröhlich, Klein y Landau.
Definición 6.1. Dejar que H sea un espacio Hilbert, dejar T > 0 y para cada α [0, T ],
Deja que Sα sea un operador lineal simétrico en el dominio Dα H, de tal manera que:
i) Dα Dβ si α ≤ β y D :=
0T Dα es denso en H,
ii) El Sα es débilmente continuo,
iii) S0 = I, Sβ(Dα) D para 0 ≤ β ≤ α ≤ T, y
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETERÍAS DEL ESPACETIMO11
iv) SαSβ = S® en D® para α, β, α + β ® [0, T ].
En esta situación, decimos que (Sα,Dα, T ) es un semigrupo local simétrico.
Es importante que Dα no se requiere para ser denso en H para cada α; el
solo el requisito de densidad es i).
Teorema 6.2 ([12, 4]). Para cada semigrupo local simétrico (Sα,Dα, T ),
existe un operador auto-adjunto único A tal que3
Dα D(e)
A) y Sα = e
ADα para todos los α [0, T ].
Además, A ≥ −c si y sólo si ≤ Sαf ≤ e
Para todos los tipos de Dα y 0 < α < T.
6.2. Isometismos de reflexión-invariantes.
Lemma 6.3. Seamos una isometría de reflexión-invariante y asumamos
De tal manera que (p) . A continuación, se conserva el subespacio de tiempo positivo, es decir.
() .
Prueba. Primero probamos eso. Supóngase que no; entonces â € â € € con â € (p) 6â €
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Asumir que (p) (sin pérdida de generalidad: podríamos repetir lo mismo
argumentación con la letra p) de la letra ). Entonces contiene ()(p) = (p) , a
contradicción desde =. Usamos el hecho de que = id so فارسى(p) = p.
Por lo tanto, se restringe a una isometría de. De ello se deduce que la restricción de
M ′ = M es también una isometría. Sin embargo, M ′ = , donde denota
la unión discordante. Por lo tanto () está totalmente contenido en o,
ya que es un homeomorfismo y por lo tanto () está conectado. La posibilidad
que () es descartado por nuestra suposición, así que () . - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 6.3 tiene la consecuencia inmediata de que si â € g+ entonces el uno-
grupo de parámetros asociado a es positivo-tiempo-invariante. Este resultado se reproduce
un papel clave en la prueba del Teorema 6.4.
6.3. Construcción de Representaciones Unitarias. El resto de esta sección
se dedica a demostrar que la teoría de semigrupos locales simétricos puede ser
se aplica a los operadores cuantificados en H correspondientes a cada uno de un conjunto de
Subgrupos de 1 parámetro de G = Iso(M). La prueba se basa en Lemma 6.3,
y los teoremas 3.3, 3.5 y 6.2.
Teorema 6.4. Que (M,gab) sea un espacio-tiempo estático cuantificable. Vamos a ser un
Campo de matanza que se encuentra en g+ o g−, con grupo asociado de un parámetro de
Isometries R. Entonces existe una ópera auto-adjunta densamente definida.
de tal manera que no se den cuenta de que se trata de una cuestión de orden, sino de una cuestión de orden que se plantea en el orden del día de la Conferencia de las Naciones Unidas sobre el Derecho del Mar.
() =
# Si # # # # Si # # # # Si # # # Si # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # Si # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # Si # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # # Si # # # # # # # # # Si # # # # # Si # # # # # Si # # # Si # # # Si # # # Si # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
eiαA® if â € € € g+.
3Los autores de [4, 12] también demostraron que
bD :=
0S
0
Sβ(Dα)
, donde 0 < S ≤ T,
es un núcleo para A, es decir. (A, bD) es esencialmente auto-adjunto.
12 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Prueba. Primero supongamos que g−, lo que implica que las isometrias son
reflejó, y por lo tanto ()
+ = (). Definir
,α := ♥
α ().
Para todos α en algún barrio de cero,,α es un subconjunto abierto no vacío de
, y además, como α → 0
+,,α aumenta a llenar con,0 =.
Estas declaraciones se desprenden inmediatamente del hecho de que, para cada p ,
(p) es continuo con respecto a α, y فارسى0 es el mapa de identidad.
Desde (,α) , inferimos que ()E,α E+. Por el teorema 3.5,
*() tiene una cuantificación que es un operador simétrico en el dominio
Dó,α := Π(E,α).
Nótese que DÃo,α no es necesariamente denso en H.
4 Ahora mostramos que el Teorema
6.2 puede aplicarse.
Fijar alguna constante positiva con, una no vacía. Tenga en cuenta que
0a
,α =
0a
E,α = E+.
De ello se deduce que
Dâ € :=
0a
es denso en H. Esto establece la condición (i) de la definición 6.1, y el
otras condiciones son verificaciones rutinarias. Teorema 6.2 implica la existencia de
un operador autoadjuntado densamente definido A en H, de tal manera que
() = exp() para todos los α [0, a].
Esto demuestra el teorema en el caso â € ¬ gâ.
Ahora supongamos que g+, lo que implica que las isometrias son reflexión-
invariante, y
()
+ = ()
−1 = () en E.
Lemma 6.3 implica que ()E+ E+. Por el teorema 3.3, tiene un
cuantificación () que se define y satisface
()
* = ()
en el dominio Π(E+), que es denso en H por definición. En este caso nosotros
no necesita Teorema 6.2; para cada α, () se extiende por la continuidad a uno-
grupo unitario de parámetros definido en todo H (no sólo para un subespacio denso).
Por el teorema de Stone,
() = exp(iαA®)
para Aâ € € ~ auto-adjunto y para todos α â € ~ R. La prueba es completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4Densidad de Da,α sería implícita por un teorema de Reeh-Schlieder, que no demostramos
excepto en el caso libre. Teorema 6.2 elimina la necesidad de un teorema Reeh-Schlieder en
este argumento.
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO13
7. Continuación analítica
Cada espacio-tiempo estático Riemanniano (M,gab) tiene una continuación Lorentziana
Mlor, que construimos de la siguiente manera. En coordenadas adaptadas, la gab métrica
sobre M toma la forma
(7.1) ds2 = F (x)dt2 + G(x)dx
μdxν.
La continuación analítica t → −it de (7.1) es estándar y da una métrica
de la firma Lorentz, ds2lor = −F dt
2 + G dx2, por el que definimos la
Lorentzian espacio-tiempo Mlor. Se conserva la ecuación de Einstein Ricg = k g
por la continuación analítica, pero no utilizamos este hecho en ninguna parte de la
presente documento.
Let
i : 1 ≤ i ≤ n ser bases de g±, respectivamente. Let A
i = A+(±)
los operadores autoadjuntos densamente definidos en H, construidos por Teorema
6.4. Vamos.
(7.2) U
i (α) = exp(iαA)
i ), para 1 ≤ i ≤ n±
ser los grupos unitarios de un parámetro asociados en H.
Afirmamos que el grupo generado por el n = n+ + n− un parámetro
grupos unitarios (7.2) es isomórfico al componente de identidad de
Glor := Iso(Mlor),
el grupo de las isometrias Lorentzianas. Desde el punto de vista local, la estructura del grupo es la siguiente:
determinado por su Lie álgebra, basta con comprobar que los generadores satisfacen
las relaciones definitorias de glor := Lie (Glor).
Desde la cuantificación de operadores preserva la multiplicación, tenemos
(7.3) X, Y, Z, g, [X, Y ] = Z, [(X), (Y)] = (Z).
En lo que sigue, vamos a utilizar la notación para (X): X g.
La cuantificación convierte los elementos de g- de operadores sesgados en Ella-
operadores mitianos, es decir, elementos de son ermitaños en H y por lo tanto, ele-
Por lo tanto i es un álgebra de Lie
representados por operadores simétricos de sesgo en H.
Teorema 7.1. Tenemos un isomorfismo de álgebras de Lie:
(7.4) glor i .
Prueba. LetMC ser el colector obtenido permitiendo que la coordenada t tome
los valores en C. Definir :MC →MC por t 7→ −it. Entonces el glor es generado por
i }1≤i≤n+ j}1≤j≤n−, donde ηj := i
Es posible definir un conjunto de constantes de estructura real fijk tal que
(7.5) [
fijk®
14 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Aplicando a ambos lados de (7.5), las relaciones de conmutación de glor son
visto como
(7.6) [ηi, ηj ] = −fijk
junto con las mismas relaciones para g+ que antes. Ahora (7.3) implica que
(7.6) son precisamente las relaciones de conmutación de i, completando
la prueba de (7.4). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 7.2. Que (M,gab) sea un espacio-tiempo estático cuantificable. El unitario
grupos (7.2) determinan una representación unitaria de G0lor en H.
7.1. Conclusiones. Hemos obtenido las siguientes conclusiones. Hay un
representación unitaria del grupo G0lor en el espacio físico Hilbert H
de la teoría cuántica del campo sobre el espacio-tiempo estático M. Esta representación
mapea el subgrupo de traducción temporal en el grupo unitario exp(itH), donde
la energía H ≥ 0 es un operador autoadjunto positivo y densamente definido corre-
Acudiendo al hamiltoniano de la teoría. El espacio Hilbert H contiene un
Estado de la tierra 0° = 1° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
la acción de todas las simetrías espaciales. Obtenemos estos resultados a través del análisis
continuación de la trayectoria euclidiana integral, bajo suposiciones leves sobre
la medida que debe incluir todos los ejemplos físicamente interesantes. Esto es
sin introducir a los operadores de campo; no obstante, los teoremas 3.3 y
3.5 bastan para construir operadores de campo. En el caso especial M = Rd con
G = SO(4), obtenemos una representación unitaria de la ortocrónica adecuada
Grupo Lorentz, G0lor = L
+ = SO
0(3, 1).
8. Espacio hiperbólico y espacio anti-de-sitter
Considere la teoría del campo cuántico euclidiano en M = H d. La métrica es
ds2 = r−2
dx2i,
donde definimos r = xd para mayor comodidad. El Laplaciano es
(8.1)
d = (2 - d)r
+ r2
Los campos vectoriales d−1 de coordenadas /xi : i 6= d} son todos campos estáticos de matanza,
y cualquiera de las coordenadas xi (i 6= d) es una representación satisfactoria de
tiempo en este espacio-tiempo. Es conveniente definir t = x1 como antes, y a
identificar t con el tiempo.
El tiempo cero es M0 = H
d - 1. Desde
H d = {v • Rd,1 • v • v • = −1, v0 > 0}
se deduce que Isom(H d) = O+(d, 1) y la isometría de la orientación-preservante
grupo es SO+(d, 1).
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETERÍAS DEL ESPACETIMO 15
Gráfico 1 Líneas de flujo del campo de Matanza • = (t2 − r2)• t +
2tr r en H
Para los espacios de curvatura constante, uno puede resolver la ecuación de Killing LKg = 0
explícitamente. Ilustremos las soluciones y sus cuantificaciones para d = 2.
Los tres campos de matanza
(8.2) • • • • • t, η • t • t + r • • • • • (t) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2 − r2)t + 2tr r
son una base conveniente para g. Cualquier colector d-dimensional satisface dim g ≤
d(d + 1)/2, se dice que los colectores que saturan el límite son
métrica, y H d es máximamente simétrica.
Ahora, tf(−t) = −f
′(−t) por lo que Łt = t, por lo tanto Łt g−. Calcula similar.
ciones muestran [l, η] = 0 y =. Por lo tanto η se extiende g+, mientras que t, span g−.
Las relaciones de conmutación5 para g son:
[η, ] = , [η, t] = t, [, ] = −2η.
Estos cálculos verifican que (g+, g−) forma un par cartan, tal como se define en
(4.6).
Los flujos asociados a (8.2) se visualizan fácilmente:
y η líneas de flujo son radialmente hacia fuera desde el origen euclidiano. Los flujos
son círculos euclidianos, indicados por las líneas más oscuras de la Figura 1. Por lo tanto
los flujos de η se definen en todo E+, mientras que los flujos de son análogos a
las rotaciones espacio-tiempo en R2, y por lo tanto, deben definirse en una cuña de la
Wα = {t, r): t, r > 0, tan
−1(r/t) <.
La simple idea geométrica de la sección 6.2 está muy bien confirmada en este caso:
los flujos de η (el generador de g+) conservan el plano t = 0, y están separados
Isometrias de y.
El corolario 7.2 implica que el procedimiento descrito anteriormente define un uni-
representación tardía del componente de identidad de Iso(AdS2) en el
Hilbert espacio H para la teoría cuántica del campo en este fondo, incluyendo
teorías con interacciones que preservan la simetría. Desde Iso(AdSd+1) =
5 Tenga en cuenta que bastante generalmente [g−, g−] g+ por lo que es automático que [
a η.
16 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
SO(d, 2), tenemos una representación unitaria de SO0(1, 2). Este último es un no-
compacto, semisimple grupo real de la mentira, y por lo tanto no tiene finito-dimensional
Representaciones unitarias, pero una serie de interesantes dimensionales infinitas.
Apéndice A. Teorema de Euclidián Reeh-Schlieder
Demostramos la propiedad euclidiana Reeh-Schlieder para las teorías libres en curva
antecedentes. Es razonable esperar que esta propiedad se extienda para interactuar-
Las teorías sobre los fondos curvos, pero tendría que ser establecido para
cada uno de estos modelos, ya que depende explícitamente de la función de dos puntos.
El teorema de Reeh-Schlieder garantiza la existencia de una cantidad densa
dominio zation basado en cualquier subconjunto abierto de. Por esta razón, uno podría
utilizar el teorema de Reeh-Schlieder (RS) con el teorema de Nussbaum [14]
struye una segunda prueba de Teorema 6.4 bajo la suposición adicional de que
M es real-analítica.
Afortunadamente, nuestra prueba de Teorema 6.4 es completamente independiente de la
Propiedad de Reeh-Schlieder. Esto tiene dos ventajas: no tenemos que asumir
M es una variedad de análisis reales y, lo que es más importante, nuestra prueba de Teorema
6.4 Generaliza de forma inmediata y transparente las teorías de interacción durante el tiempo que
como el espacio Hilbert H no es modificado por la interacción.
Declaramos y probamos esto usando el espacio de una sola partícula; sin embargo, el resultado
claramente se extiende al espacio de campo cuántico Hilbert.
Teorema A.1. Que M sea un espacio-tiempo estático cuantificable dotado de un
estructura real-analítica, y asumir que gab es real-analítica. Deja que O # # # # # # O # # # # # # # # O # # # # # # Deja que O # # # # # # # # # O # # # # # # Deja que O # # # # # # # # # # O # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
y D = C(O) L2(). Entonces, Dá.
= {0}.
Prueba. Que f L2() con f D. Para x , definir
η(x) := «f», «x»H» = «f», «C», «x» L2 ».
La real-analítica de η(x) se deriva de la real-analítica de (la integral
núcleo de) C, que a su vez sigue del teorema de regularidad elíptica en el
categoría de análisis real (véase, por ejemplo, [1, Sec. II.1.3]). Ahora por suposición,
para cualquier g â € € TM c (O), tenemos
0 =, fH = f,CgÃ3L2(M).
Let g → ♥x para x â € O. A continuación, 0 = f,CÃ3xÃ3l2 η(x). Desde O = 0, por
real-analítica que inferimos la desaparición de η en, completando la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Agradecimientos. Estamos agradecidos a Hanno Gottschalk y Alexander
Strohmaier para discusiones útiles, y G.R. agradece a la Universität
Bonn por su hospitalidad en febrero de 2007.
Bibliografía
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El espacio es esencialmente autoadjunto. Adv. en Appl. Math., 1(3):237-256,
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Funciones de Green. Comm. Matemáticas. Phys., 31:83-112, 1973.
[16] Konrad Osterwalder y Robert Schrader. Axiomas para el euclidiano
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un apéndice de Stephen Summers.
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18 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
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itation et quantifications (Les Houches, 1992), págs. 63 a 167. Norte...
Holanda, Amsterdam, 1995.
Dirección de correo electrónico: arthur jaffe@harvard.edu
Universidad de Harvard, 17 Oxford St., Cambridge, MA 02138
Dirección de correo electrónico: ritter@post.harvard.edu
Universidad de Harvard, 17 Oxford St., Cambridge, MA 02138
1. Introducción
2. Tiempo-espacio clásico
2.1. Estructura de los Tiempos-Espacio estáticos
2.2. El operador inducido por una isometría
3. Cuantificación Osterwalder-Schrader
3.1. Cuantificación de Vectores (El Espacio Hilbert H de la Teoría Cuántica)
3.2. Cuantificación de operadores
4. Estructura y representación de la álgebra de mentiras de campos de matanza
4.1. La representación de g en E
4.2. La descomposición del cartán de g
5. Isometismos reflexivos e invariantes
6. Construcción de Representaciones Unitarias
6.1. Autoasociación de los semigrupos
6.2. Isometismos de reflexión-invariantes
6.3. Construcción de Representaciones Unitarias
7. Continuación analítica
7.1. Conclusiones
8. Espacio hiperbólico y espacio anti-de-sitter
Apéndice A. Teorema de Euclidián Reeh-Schlieder
Agradecimientos
Bibliografía
| Estudiamos simetrías espacio-tiempo en teoría de campos cuánticos escalares (incluyendo
la interacción de las teorías) sobre el espacio-tiempos estáticos. Primero consideramos a Euclidiano
la teoría cuántica del campo en un múltiple Riemanniano estático, y mostrar que el
grupo isométrico es generado por subgrupos de un parámetro que tienen
cuantificaciones autoadjuntas o unitarias. Analíticamente continuamos la
semigrupos autoadjuntos a grupos unitarios de un parámetro, y así construir un
representación unitaria del grupo isométrico del Lorencio asociado
multiple. El método se ilustra para el ejemplo del espacio hiperbólico, que
La continuación lorenziana es el espacio Anti-de Sitter.
| Introducción
La extensión de la teoría cuántica del campo a los tiempos-espacio curvos ha llevado a
el descubrimiento de muchos fenómenos cualitativamente nuevos que no ocurren
en la teoría más simple sobre el espacio Minkowski, como la radiación Hawking; para
antecedentes y referencias históricas, véase [2, 6, 18].
La reconstrucción de la teoría cuántica del campo en un espacio de firma Lorentz-
tiempo de la correspondiente teoría de campo cuántico euclidiano hace uso de
Osterwalder-Schrader (OS) positividad [15, 16] y continuación analítica. Activar
un fondo curvo, puede no haber una definición adecuada de la traducción del tiempo
y no hamiltoniano; por lo tanto, el marco matemático de la cantidad euclidiana
La teoría de tum field puede descomponerse. Sin embargo, en el espacio-tiempos estáticos hay un
Hamiltoniano y tiene sentido definir QFT euclidiano. Este enfoque fue el siguiente:
recientemente tomada por los autores [11], en la que las propiedades fundamentales de
Osterwalder-Schrader cuantificación y algunas de las estimaciones fundamentales
de la teoría cuántica constructiva del campo1 se generalizaron a los espacios-tiempos estáticos.
El trabajo anterior [11], sin embargo, no abordó la continuación analítica
que lleva de una teoría euclidiana a una teoría en tiempo real. En el presente
artículo, iniciamos un tratamiento de la continuación analítica mediante la construcción de
operadores unitarios que forman una representación del grupo isométrico de la
Lorentz-firma espacio-tiempo asociado a un espacio-tiempo Riemanniano estático.
Nuestro enfoque es similar en espíritu al de Fröhlich [4] y de Klein y
Fecha: 22 de febrero de 2007.
1Para los antecedentes sobre teoría de campo constructiva en espacios-tiempo planos, véase [8, 9].
http://arxiv.org/abs/0704.052v1
2 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Landau [13], que mostró cómo pasar del grupo euclidiano al Poincaré
grupo sin utilizar los operadores de campo en el espacio-tiempo plano.
Este trabajo también tiene aplicaciones a la teoría de la representación, ya que proporciona
un procedimiento de cuantificación natural (functorial) que construye no trivial
Representaciones unitarias de los grupos de Lie que surgen como grupos de isometría
de los espacios-tiempos estáticos, de la firma Lorentz. Por lo general, estos grupos no son
compacto. Por ejemplo, cuando se aplica a AdSd+1, nuestro procedimiento da un
representación unitaria del componente de identidad de SO(d, 2). Además,
nuestro procedimiento hace uso de la descomposición de Cartan, una herramienta estándar en
teoría de la representación.
2. Tiempo-espacio clásico
2.1. Estructura del espacio-tiempos estático.
Definición 2.1. Un espacio-tiempo estático cuantificable es un completo,
Multiplex riemanniano orientable (M,gab) con una definición global (suave)
Campo de matanza que es ortogonal a una hipersuperficie de codimensión-una................................................................................................................
de tal manera que las órbitas de se completen y cada órbita se interseca exactamente
Una vez.
A lo largo de este trabajo, asumimos que M es un espacio estático cuantificable.
Tiempo. Definición 2.1 implica que hay una función de tiempo global t definida
hasta una constante por el requisito de que Así M es foliado por
rebanadas de tiempo Mt, y
M = \ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ \ ~ M = \ ~ \ ~ \ ~ ~ \ ~ \ ~
donde las uniones son discontinuos, =M0, y son conjuntos abiertos correspondientes
a t > 0 y t < 0 respectivamente. Inferimos la existencia de una isometría
invierte el signo de t,
De tal manera que...
2 = 1, = id.
Fijar una extensión auto-adjunta del laplaciano, y dejar C = ( +m2)−1
ser el resueltor del Laplaciano (también llamado la covarianza libre), donde
m2 > 0. Entonces C es un operador autoadjunto limitado en L2(M). Para cada una de las categorías siguientes:
R, el espacio Sobolev Hs(M) es un verdadero espacio Hilbert, definido como la terminación
(M) en la norma
(2.1) â € € € TM = â € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
− sf®.
La inclusión Hs Hs+k para k > 0 es Hilbert-Schmidt. Define S :=
s<0Hs(M) y S
s>0Hs(M). Entonces
S • H−1(M) • S
forma un Gelfand triple, y S es un espacio nuclear.
Recordemos que S ′ tiene una algebra natural de conjuntos medibles (véase, por ejemplo,
[7, 8, 17]). Hay una única medida de probabilidad gaussiana μ con media
cero y covarianza C definidos en los conjuntos de cilindros en S ′ (véase [7]).
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO3
De manera más general, uno puede considerar un no-Gaussiano, cuenta-additivo
medir μ en S ′ y el espacio
E := L2(S ′, μ).
Estamos interesados en el caso de que los monomios de la forma A(Φ) =
Φ(f1)... Φ(fn) para el fichero S son todos los elementos de E, y para los cuales su alcance
es denso en E. Esto es por supuesto cierto si μ es la medida gaussiana con
covarianza C.
Para un set abierto, deje que E.O.E. denote el cierre en E del set de
monomios A(Φ) =
iΦ(fi) donde supp(fi) Particular
importancia para la teoría del campo cuántico euclidiano es el subespacio de tiempo positivo
E+ := E.
2.2. El Operador Inducido por una isometría. Algunos de los sub-
el acto múltiple espacio-tiempo en un espacio Hilbert de los campos clásicos que surgen en
el estudio de una teoría de campo clásica. En el caso de las letras f) y m) : M → M an
isometría, definir
(1)*f = f 1.
Puesto que det(d) = 1, la operación f → f se extiende a un operador limitado
en H±1(M) o en L
2 M). Un tratamiento de isometrías para espacios-tiempos estáticos
aparece en [11].
Definición 2.2. Ser una isometría, y A(Φ) = Φ(f1).. Φ(fn) E a
monomial. Definir el operador inducido
2.2) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l (l) (l) (l) (l) (l (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()))) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
(fn).............................................................................................................................................................................................................................................................
y extender el término "" por linealidad al dominio de los polinomios en los campos,
que es denso en E.
3. Cuantificación Osterwalder-Schrader
3.1. Cuantización de Vectores (El Espacio Hilbert H de Quantum
Teoría). En esta sección definimos el mapa de cuantificación E+ → H, donde
H es el espacio Hilbert de la teoría cuántica. La existencia de la cuantificación
mapa se basa en una condición conocida como Osterwalder-Schrader (o reflexión)
positividad. Una medida de probabilidad μ en S ′ se dice que es reflejo positivo si
(3.1)
F dμ ≥ 0
para todos los F en el subespacio de tiempo positivo E+ E.
Reflexión sobre E inducida por فارسى. Definir la forma sesquilineal (A,B) en EE+
como (A,B) = A,Bâ, así (3.1) declara que (F,F) ≥ 0.
Suposición 1 (Positividad O-S). Cualquier medida dμ que consideremos es re-
flexión positiva con respecto a la reflexión de tiempo.
4 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Definición 3.1 (OS-Quantización). Dada una medida de reflexión positiva dμ,
el espacio Hilbert H de la teoría cuántica es la terminación de E+/N con
respeto al producto interior dado por la forma sesquilineal (A,B). Denotar
el mapa de cuantificación Π para vectores E+ → H por Π(A) = Â, y escribir
(3.2), BH = (A,B) = A,B®E para A,B+.
3.2. Cuantificación de Operadores. El teorema básico de cuantificación da un
condición suficiente para mapear un operador lineal T (posiblemente sin límite) en E
a su cuantificación, un operador lineal Tâ ° en H. Considere un densamente definido
operador T en E, el tiempo unitario-reflexión , y el contiguo T + = T .
En [10] también se dio una versión preliminar de lo siguiente.
Definición 3.2 (condición de cuantificación I). El operador T satisface QC-I
i. El operador T tiene un dominio D(T) denso en E.
ii. Hay un subdominio D0 E+ D(T)D(T)D(T)
+), para los cuales Dâ € ° ° H
es denso.
iii. Las transformaciones T y T+ ambos mapean D0 en E+.
Teorema 3.3 (Cuantificación I). Si T satisface QC-I, entonces
i. Los operadores T D0 y T
D0 tienen cuantificaciones T y T con
dominio Dâ € € TM.
ii. Los operadores Târ* =
TÃ Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â
y T están de acuerdo en Dâ ́0.
iii. El operador Tâ D0 tiene un cierre, a saber Tâ °
Prueba. Queremos definir la cuantificación de Tâ € con el dominio putativo Dâ € 0
(3.3) Tâ Â = Tâ = A.
Para cualquier vector A • D0 y para cualquier B • (D0 • N ), es el caso de que
= B. La transformación TÃ3 es definida por (3.3) if TÃ3A = â € T (A+B) =
Tâ € A+ Tâ € B. Por lo tanto, es necesario verificar que T : D0 N → N, que ahora
La suposición D0+D(T)
+), junto con el hecho de que es unitario,
se asegura de que el valor de D0 D(T)
*). Por lo tanto, para cualquier F + D0,
(3.4)
F, TBE = T
F, B, E = (T)
F ), Bâ E = T
+F,B+E = T+
+F, BH.
En el último paso utilizamos el hecho asumido en la parte iii) de QC-I que T+ :
D0 → E+, produciendo el producto interior de dos vectores en H. Inferimos de
la desigualdad de Schwarz en H que
F, TBC ≤ TCB = 0.
Como "F", "TB"E = "F", "T"B"H, esto significa que "T"B"D"0. Como Dâ °0 es denso en
H por QC-I.ii, inferimos TÃ3B = 0. En otras palabras, TB N como se requiere para
Definir Tâ.
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO5
Para mostrar que Dâ € € D(Tâ € €
*), realizar un cálculo similar al (3.4)
con A arbitrario, D0 que sustituye a B, a saber:
(3.5)
# F # T # H # F, TA # E # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T #
F), AE = T
+F,A®E = TF, H.
El lado derecho es continuo en H, y por lo tanto Fó, D(T*). Además...
más T * F = T F. Esta identidad muestra que si F N, entonces TF = 0.
Por lo tanto TD0 tiene una cuantificación
+, y podemos escribir (3.5) como
(3.6) T • F = TF •, para todos los F • D0.
En particular Tâ * está densamente definido por lo que Tâ ́ tiene un cierre. Esto completa el
prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición 3.4 (condición de cuantificación II). El operador T satisface QC-II
i. Tanto el operador T como su contiguo T* tienen dominios densos D(T), D(T*)
ii. Hay un dominio D0 E+ en el dominio común de T, T
+, T+T,
y TT+.
iii. Cada operador T, T+, T+T y TT+ mapea D0 en E+.
Teorema 3.5 (Cuantificación II). Si T satisface QC-II, entonces
i. Los operadores T D0 y T
D0 tienen cuantificaciones T y T con
dominio Dâ € € TM.
ii. Si A, B, D0, uno tiene B, Tá, H = Tá, B, H.
Comentarios.
i. En Teorema 3.5 caemos la suposición de que el dominio Dâ °0 es denso,
la obtención de cuantificaciones Tó y Tó cuyos dominios no son necesariamente
Denso. Para compensar esto, asumimos más propiedades
en relación con el dominio y el rango de T+ en E.
ii. Dado que DÃ30 no necesita ser denso en H, el contiguo de TÃ3 no necesita ser definido.
Sin embargo, se llama al operador TÃ3 simétrico en caso de que uno tiene
(3.7) Bó, Tó, H = Tó, Bó, H, para todos los A, B, D0.
iii. Si es una extensión densamente definida de Tâ, entonces = Tâ en el
dominio Dâ € € TM.
Prueba. Definimos la cuantificación Tâ € con el dominio putativo Dâ € 0. Al igual que en
la prueba de Teorema 3.3, esta cuantificación T® está bien definida si es el caso
que T : D0 • N → N. Para cualquier F • D0 • N, por definición • FH = 0.
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
donde se utiliza el hecho de que D0 â € D(T
+T). Por lo tanto
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
F, T+TF
= F, T+TF H.
6 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Aquí usamos el hecho de que T+T mapea D0 a E+. Por lo tanto, se puede utilizar el
Schwarz desigualdad en H para obtener
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
= 0.
Por lo tanto T : D0 N → N, y T tiene una cuantificación T® con el dominio D+0.
Para verificar que TD0 tiene una cuantificación, es necesario demostrar que
T+ : D0 N+ N. Repite el argumento anterior con T
+ sustitución de T.
suposición TT+ : D0 → E+ rendimientos para F â € D0 â € N,
T+F, T+F H = T
F, T+F E = F, TT
+F +E = +F +T
+F +H.
Utilice la desigualdad de Schwarz en H para obtener el resultado deseado que
T+F, T+F H ≤ F+H T+F
= 0.
Por lo tanto T + tiene una cuantificación T con el dominio D+0, y para B + D0 uno tiene
TB = TB. Con el fin de establecer (ii), supongamos que A, B, D0. Entonces
# B #, T # H # # B, TA # E # # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T # T #
B), AE = T
+B,A®E
= TB, H = TB, H.(3.8)
Esto completa la prueba.
4. Estructura y representación de la Lie Álgebra de
Campos de matanza
Para el resto de este documento asumimos lo siguiente, que es claramente
verdadero en el caso gaussiano como el laplaciano se desplaza con la isometría
Grupo G. (En [11] se dio una explicación adicional.)
Suposición 2. Los grupos de isometría G que consideramos dejan la medida
dμ invariante, en el sentido de que •, definido anteriormente, es una representación unitaria
de G en E.
4.1. La representación de g en E.
Lemma 4.1. Deja que Gi sea un grupo analítico con Lie álgebra gi (i = 1, 2),
y let : g1 → g2 ser un homomorfismo. No puede haber más de uno.
homomorfismo analítico η : G1 → G2 para el cual d Si G1 es simplemente
conectado a continuación, siempre hay uno tal η.
Deja que D = d/dt denote el campo vectorial de unidad canónica en R. Deja que G sea un
grupo de mentira real con álgebra g, y dejar X â € g. El mapa tD → tX(t â € R)
es un homomorfismo de Lie(R) → g, por lo que por el Lemma hay un único
homomorfismo analítico X : R → G tal que d+X(D) = X. A la inversa,
si η es un homomorfismo analítico de R → G, y si dejamos X = dη(D),
es obvio que η = X. Por lo tanto X 7→ X es una biyección de g en el set
de homomorfismos analíticos R → G. El mapa exponencial está definido por
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO7
exp(X) := X(1). Para grupos de mentiras complejas, se aplica el mismo argumento,
sustitución de R con C durante todo el tiempo.
Dado que g está conectado, también lo es exp(g). Por lo tanto exp(g) G0, donde G0 denota
el componente conectado de la identidad en G. No tiene que ser el caso para
un grupo de Mentira general que exp(g) = G0, pero para una gran clase de ejemplos
(los llamados grupos exponenciales) esto sí sostiene. Para cualquier grupo de Lie, exp(g)
contiene un barrio abierto de la identidad, por lo que el subgrupo generado
por exp(g) siempre coincide con G0.
Aplicaremos los resultados anteriores con G = Iso(M), el grupo de isometría de
M, y g = Lie(G) el álgebra de campos de matanza global. Por lo tanto tenemos un bijec-
correspondencia entre los campos de matanza y los grupos de 1 parámetro de isoma-
Lo intenta. Esta correspondencia tiene una realización geométrica: el 1-parametro
grupo de isometrias
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
corresponde a X â € g es el flujo generado por X.
Considere los dos diferentes grupos de 1 parámetro de operadores unitarios:
(1) el grupo unitario s en L
2(M), y
(2) el grupo unitario (en lo sucesivo, «el grupo unitario») en E.
El teorema de Stone se aplica a ambos grupos unitarios para producir
operadores autoadjuntos definidos en los respectivos espacios de Hilbert.
En el primer caso, el operador autoadjunto pertinente es simplemente una extensión
de −iX, visto como un operador diferencial en Cc (M). Esto es porque para
f. C.c. (M.) y p.m., tenemos:
Xpf = (LXf)(p) =
f(Łs(p))s=0.
Por lo tanto −iX es un operador simétrico densamente definido en L2(M), y Stone’s
teorema implica que −iX tiene extensiones auto-adjuntas.
En el segundo caso, el grupo unitario de E también tiene un auto-adjunto
Generador Ł(X), que se puede calcular explícitamente. Por definición,
e) es(X)
Φ(fi)
Φ (fi > s). Φ (fi > s). Φ (fi > s).
Ahora reemplace s→ −s y calcule d/dss=0 aplicado a ambos lados de la última
ecuación para ver que
Φ(fi)
Φ(f1). Φ(-iXfj)Φ(fj+1). Φ(fn)................................................................................................................................................................................................................................................
Uno puede comprobar que فارسى es una representación de álgebra de Lie de g, es decir. ([X,Y]) =
(X),(Y )].
4.2. La descomposición de Cartan de g. Por cada g, hay algunos
dominio denso en E en el que () es auto-adjunto, como se discutió anteriormente.
8 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Sin embargo, las cuantificaciones que actúan sobre H pueden ser ermitañas, anti-
hermitano, o ninguno de los dos dependiendo de si tiene una relación de la
(4.1) • () • = () • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
con uno de los dos signos posibles, o si no existe tal relación.
Incluso si (4.1) se mantiene, para completar la construcción de una representación unitaria
tion uno debe probar que existe un dominio denso en H sobre el cual () es
auto-adjunta o sesgada-adjunta. Este problema no trivial será tratado en un
sección posterior utilizando los teoremas 3.3 y 3.5 y la teoría de la simetría local
semigrupos [12, 4]. Actualmente determinamos qué elementos dentro de g satisfacen
relaciones de la forma (4.1).
Vamos a := como un operador en C(M), y considerar un campo de matanza X g
también como operador en C(M). Definir T : g → g por
(4.2) T (X) :=
De (4.2) no es obvio que el rango de T está contenido en g.
Esto, recordamos algunas construcciones geométricas.
Que M,N sea multiformes, que : M → N sea un difeomorfismo, y X
Vect(M). Entonces
(4.3) 1*X = X(· ) 1.
define a un operador en el código C.O. (N). Uno puede comprobar que este operador es un
derivación, así (4.3) define un campo vectorial en N. El campo vectorial (4.3) es
normalmente denotado
X = d(X1(p))
y se conoce como el empujón hacia adelante de X.
Ahora queremos mostrar que g = g g−, donde g± son los espacios ±1-eigen
de T. Esto se demuestra mediante la introducción de un producto interno ( X, Y ) g en g con
respeto a la cual T es auto-adjunta.
Teorema 4.2. Considera g como un espacio Hilbert con producto interno (X,Y)g.
El operador T : g → g es auto-adjunto con T 2 = I; por lo tanto
(4.4) g = g+ â € g−
como suma directa ortogonal de los espacios de Hilbert, donde g± son los espacios ±1-eigen
de T. Además, de g a g- por lo tanto dim(g-) ≥ 1. Los elementos de g- tienen hermitiano
cuantificaciones, mientras que los elementos de g+ tienen cuantificaciones antihermitanas.
Prueba. Escribir (4.2) como
(4.5) T (X) = 1*X = X.
Por lo tanto T es el operador de push-forward por Ł. El empujón hacia adelante de un asesinato
campo por una isometría es otro campo de matanza, por lo tanto el rango de T está contenido
2No es el caso que g- consiste sólo de t. En particular, dim(g−) = 2 para M = H 2.
Puede ocurrir que dim g + = 0.
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO9
en g. También, T debe tener un núcleo trivial desde T 2 = I, y esto implica que
T es sujetivo. Se deduce de (4.5) que T es un operador Hermitano en
g. Por lo tanto T es diagonalizable y tiene valores propios reales que son cuadrados
raíces de 1. Esto establece la descomposición (4.4). Que los elementos de
g− tienen cuantificaciones hermitanas, mientras que los elementos de g+ tienen anti-hermitan
Las cuantificaciones siguen del Teorema 3.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Una involución cartana es un homomorfismo de álgebra de Lie g → g que cuadrados
a la identidad. Se deduce de (4.2) que T es un homomorfismo de álgebra de Lie;
por lo tanto, Teorema 4.2 implica que T es una involución Cartan de g. Esto implica
que los espacios propios (g+, g−) forman un par de Cartanos, lo que significa que
(4.6) [g+, g+] â € g+, [g+, g−] â € g−, y [g−, g−] â € g+.
Claramente g+ es un subalgebra mientras que g− no lo es, y cualquier subalgebra contenida en
g- es abeliano.
5. Isometismos reflexivos e invariantes
Dejar G = Iso(M) denotar el grupo de isometría de M, como arriba. Entonces G
tiene un subgrupo Z2 que contiene {1,. Este subgrupo actúa sobre G por conjuga-
tion, que es sólo la acción → :=. La conjugación es una (interior)
automorfismo del grupo, así que
() =, ()−1 = (1)
Definición 5.1. Nosotros decimos que G es reflejo-invariante si
=,
y que se refleja si
= 1.
Que GRI denote el subgrupo de G que consiste en elementos de reflexión-invariantes,
y dejar que GR denote el subconjunto de elementos reflejados.
Tenga en cuenta que GRI es el estabilizador de la acción Z2, por lo tanto un subgrupo. Un
prueba alternativa de este producto utilizando GRI = exp(g+). Aunque GR está cerrado
bajo la toma de inversas y contiene la identidad, el producto de dos
Las isometrías reflejadas ya no se reflejan a menos que se desplazan. En general,
el producto de un elemento de GR con un elemento de GRI no es ni un elemento
de GR ni de GRI. La única isometría que es tanto reflexión-invariante y
se refleja en sí mismo. Por lo tanto, tenemos:
GR GRI = {1, GR GRI ( G.
Teorema 5.2. Deja que G0 denote el componente conectado de la identidad en
G. Entonces G0 es generado por GR â € ¢ GRI. (Esta es una forma del Cartan
descomposición para G.)
10 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Prueba. Dado que g = g + g - como una suma directa de espacios vectoriales (aunque no de
Lie álgebras), tenemos
exp(g)
exp(g+) • exp(g−)
Elija las bases,i}i=1,...,n± para g± respectivamente. Entonces tenemos:
{exp(s,i) : 1 ≤ i ≤ n+, s < Rexp(s,j) : 1 ≤ j ≤ n−, s ≤ R}
Además, exp(s,i) se refleja, mientras que exp(s,i) es reflexión-invariante,
completando la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 5.3. El álgebra de Lie del subgrupo GRI es g+.
Para resumir, el grupo isométrico de un espacio-tiempo estático siempre puede ser
generado por una colección de n (= dim g) subgrupos de un parámetro, cada uno de
que consiste en isometrías reflejadas, o isoma invariante-reflexión
Lo intenta.
6. Construcción de Representaciones Unitarias
6.1. Auto-asociación de Semigrupos. En esta sección, recordamos varios
resultados conocidos sobre la autoasociación de semigrupos. En términos aproximados, estos
los resultados implican que si una familia de un parámetro Sα de simetría sin límite
los operadores cumplen una condición de semigrupo de la forma SαSβ = S
en condiciones adecuadas se puede concluir la auto-asociación esencial.
Un teorema de este tipo apareció en un artículo de 1970 de Nussbaum [14], que
Asumió que los operadores de semigrupos tienen un dominio denso común. Los
resultado fue redescubierto independientemente por Fröhlich, que lo aplicó a
teoría del campo de tum en varios documentos importantes [5, 3]. Para nuestra aplicación prevista.
catión a la teoría cuántica del campo, resulta ser muy conveniente caer
la suposición de que â € a tal que el Sα todos tienen un dominio denso común
para < a, a favor de la suposición más débil que
0D(Sα) es denso.
Una generalización del teorema de Nussbaum que permite los dominios de la
operadores de semigrupos para variar con el parámetro, y que sólo requiere el
unión de los dominios a ser densos, se formuló más tarde y dos independientes
Las pruebas fueron dadas: una por Fröhlich [4], y otra por Klein y Landau [12].
Este último también utilizó este teorema en su construcción de representaciones de
el grupo euclidiano y la correspondiente continuación analítica a la
Grupo Lorentz [13].
Con el fin de mantener el presente artículo autónomo, primero definimos simmet-
ric semigrupos locales y luego recordar el refinado teorema de la auto-adjuntividad de
Fröhlich, Klein y Landau.
Definición 6.1. Dejar que H sea un espacio Hilbert, dejar T > 0 y para cada α [0, T ],
Deja que Sα sea un operador lineal simétrico en el dominio Dα H, de tal manera que:
i) Dα Dβ si α ≤ β y D :=
0T Dα es denso en H,
ii) El Sα es débilmente continuo,
iii) S0 = I, Sβ(Dα) D para 0 ≤ β ≤ α ≤ T, y
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETERÍAS DEL ESPACETIMO11
iv) SαSβ = S® en D® para α, β, α + β ® [0, T ].
En esta situación, decimos que (Sα,Dα, T ) es un semigrupo local simétrico.
Es importante que Dα no se requiere para ser denso en H para cada α; el
solo el requisito de densidad es i).
Teorema 6.2 ([12, 4]). Para cada semigrupo local simétrico (Sα,Dα, T ),
existe un operador auto-adjunto único A tal que3
Dα D(e)
A) y Sα = e
ADα para todos los α [0, T ].
Además, A ≥ −c si y sólo si ≤ Sαf ≤ e
Para todos los tipos de Dα y 0 < α < T.
6.2. Isometismos de reflexión-invariantes.
Lemma 6.3. Seamos una isometría de reflexión-invariante y asumamos
De tal manera que (p) . A continuación, se conserva el subespacio de tiempo positivo, es decir.
() .
Prueba. Primero probamos eso. Supóngase que no; entonces â € â € € con â € (p) 6â €
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Asumir que (p) (sin pérdida de generalidad: podríamos repetir lo mismo
argumentación con la letra p) de la letra ). Entonces contiene ()(p) = (p) , a
contradicción desde =. Usamos el hecho de que = id so فارسى(p) = p.
Por lo tanto, se restringe a una isometría de. De ello se deduce que la restricción de
M ′ = M es también una isometría. Sin embargo, M ′ = , donde denota
la unión discordante. Por lo tanto () está totalmente contenido en o,
ya que es un homeomorfismo y por lo tanto () está conectado. La posibilidad
que () es descartado por nuestra suposición, así que () . - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 6.3 tiene la consecuencia inmediata de que si â € g+ entonces el uno-
grupo de parámetros asociado a es positivo-tiempo-invariante. Este resultado se reproduce
un papel clave en la prueba del Teorema 6.4.
6.3. Construcción de Representaciones Unitarias. El resto de esta sección
se dedica a demostrar que la teoría de semigrupos locales simétricos puede ser
se aplica a los operadores cuantificados en H correspondientes a cada uno de un conjunto de
Subgrupos de 1 parámetro de G = Iso(M). La prueba se basa en Lemma 6.3,
y los teoremas 3.3, 3.5 y 6.2.
Teorema 6.4. Que (M,gab) sea un espacio-tiempo estático cuantificable. Vamos a ser un
Campo de matanza que se encuentra en g+ o g−, con grupo asociado de un parámetro de
Isometries R. Entonces existe una ópera auto-adjunta densamente definida.
de tal manera que no se den cuenta de que se trata de una cuestión de orden, sino de una cuestión de orden que se plantea en el orden del día de la Conferencia de las Naciones Unidas sobre el Derecho del Mar.
() =
# Si # # # # Si # # # # Si # # # Si # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # Si # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # Si # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # Si # # # # # Si # # # # # # # # # Si # # # # # Si # # # # # Si # # # Si # # # Si # # # Si # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
eiαA® if â € € € g+.
3Los autores de [4, 12] también demostraron que
bD :=
0S
0
Sβ(Dα)
, donde 0 < S ≤ T,
es un núcleo para A, es decir. (A, bD) es esencialmente auto-adjunto.
12 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Prueba. Primero supongamos que g−, lo que implica que las isometrias son
reflejó, y por lo tanto ()
+ = (). Definir
,α := ♥
α ().
Para todos α en algún barrio de cero,,α es un subconjunto abierto no vacío de
, y además, como α → 0
+,,α aumenta a llenar con,0 =.
Estas declaraciones se desprenden inmediatamente del hecho de que, para cada p ,
(p) es continuo con respecto a α, y فارسى0 es el mapa de identidad.
Desde (,α) , inferimos que ()E,α E+. Por el teorema 3.5,
*() tiene una cuantificación que es un operador simétrico en el dominio
Dó,α := Π(E,α).
Nótese que DÃo,α no es necesariamente denso en H.
4 Ahora mostramos que el Teorema
6.2 puede aplicarse.
Fijar alguna constante positiva con, una no vacía. Tenga en cuenta que
0a
,α =
0a
E,α = E+.
De ello se deduce que
Dâ € :=
0a
es denso en H. Esto establece la condición (i) de la definición 6.1, y el
otras condiciones son verificaciones rutinarias. Teorema 6.2 implica la existencia de
un operador autoadjuntado densamente definido A en H, de tal manera que
() = exp() para todos los α [0, a].
Esto demuestra el teorema en el caso â € ¬ gâ.
Ahora supongamos que g+, lo que implica que las isometrias son reflexión-
invariante, y
()
+ = ()
−1 = () en E.
Lemma 6.3 implica que ()E+ E+. Por el teorema 3.3, tiene un
cuantificación () que se define y satisface
()
* = ()
en el dominio Π(E+), que es denso en H por definición. En este caso nosotros
no necesita Teorema 6.2; para cada α, () se extiende por la continuidad a uno-
grupo unitario de parámetros definido en todo H (no sólo para un subespacio denso).
Por el teorema de Stone,
() = exp(iαA®)
para Aâ € € ~ auto-adjunto y para todos α â € ~ R. La prueba es completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4Densidad de Da,α sería implícita por un teorema de Reeh-Schlieder, que no demostramos
excepto en el caso libre. Teorema 6.2 elimina la necesidad de un teorema Reeh-Schlieder en
este argumento.
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETRIAS DE ESPACETIMO13
7. Continuación analítica
Cada espacio-tiempo estático Riemanniano (M,gab) tiene una continuación Lorentziana
Mlor, que construimos de la siguiente manera. En coordenadas adaptadas, la gab métrica
sobre M toma la forma
(7.1) ds2 = F (x)dt2 + G(x)dx
μdxν.
La continuación analítica t → −it de (7.1) es estándar y da una métrica
de la firma Lorentz, ds2lor = −F dt
2 + G dx2, por el que definimos la
Lorentzian espacio-tiempo Mlor. Se conserva la ecuación de Einstein Ricg = k g
por la continuación analítica, pero no utilizamos este hecho en ninguna parte de la
presente documento.
Let
i : 1 ≤ i ≤ n ser bases de g±, respectivamente. Let A
i = A+(±)
los operadores autoadjuntos densamente definidos en H, construidos por Teorema
6.4. Vamos.
(7.2) U
i (α) = exp(iαA)
i ), para 1 ≤ i ≤ n±
ser los grupos unitarios de un parámetro asociados en H.
Afirmamos que el grupo generado por el n = n+ + n− un parámetro
grupos unitarios (7.2) es isomórfico al componente de identidad de
Glor := Iso(Mlor),
el grupo de las isometrias Lorentzianas. Desde el punto de vista local, la estructura del grupo es la siguiente:
determinado por su Lie álgebra, basta con comprobar que los generadores satisfacen
las relaciones definitorias de glor := Lie (Glor).
Desde la cuantificación de operadores preserva la multiplicación, tenemos
(7.3) X, Y, Z, g, [X, Y ] = Z, [(X), (Y)] = (Z).
En lo que sigue, vamos a utilizar la notación para (X): X g.
La cuantificación convierte los elementos de g- de operadores sesgados en Ella-
operadores mitianos, es decir, elementos de son ermitaños en H y por lo tanto, ele-
Por lo tanto i es un álgebra de Lie
representados por operadores simétricos de sesgo en H.
Teorema 7.1. Tenemos un isomorfismo de álgebras de Lie:
(7.4) glor i .
Prueba. LetMC ser el colector obtenido permitiendo que la coordenada t tome
los valores en C. Definir :MC →MC por t 7→ −it. Entonces el glor es generado por
i }1≤i≤n+ j}1≤j≤n−, donde ηj := i
Es posible definir un conjunto de constantes de estructura real fijk tal que
(7.5) [
fijk®
14 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
Aplicando a ambos lados de (7.5), las relaciones de conmutación de glor son
visto como
(7.6) [ηi, ηj ] = −fijk
junto con las mismas relaciones para g+ que antes. Ahora (7.3) implica que
(7.6) son precisamente las relaciones de conmutación de i, completando
la prueba de (7.4). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 7.2. Que (M,gab) sea un espacio-tiempo estático cuantificable. El unitario
grupos (7.2) determinan una representación unitaria de G0lor en H.
7.1. Conclusiones. Hemos obtenido las siguientes conclusiones. Hay un
representación unitaria del grupo G0lor en el espacio físico Hilbert H
de la teoría cuántica del campo sobre el espacio-tiempo estático M. Esta representación
mapea el subgrupo de traducción temporal en el grupo unitario exp(itH), donde
la energía H ≥ 0 es un operador autoadjunto positivo y densamente definido corre-
Acudiendo al hamiltoniano de la teoría. El espacio Hilbert H contiene un
Estado de la tierra 0° = 1° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
la acción de todas las simetrías espaciales. Obtenemos estos resultados a través del análisis
continuación de la trayectoria euclidiana integral, bajo suposiciones leves sobre
la medida que debe incluir todos los ejemplos físicamente interesantes. Esto es
sin introducir a los operadores de campo; no obstante, los teoremas 3.3 y
3.5 bastan para construir operadores de campo. En el caso especial M = Rd con
G = SO(4), obtenemos una representación unitaria de la ortocrónica adecuada
Grupo Lorentz, G0lor = L
+ = SO
0(3, 1).
8. Espacio hiperbólico y espacio anti-de-sitter
Considere la teoría del campo cuántico euclidiano en M = H d. La métrica es
ds2 = r−2
dx2i,
donde definimos r = xd para mayor comodidad. El Laplaciano es
(8.1)
d = (2 - d)r
+ r2
Los campos vectoriales d−1 de coordenadas /xi : i 6= d} son todos campos estáticos de matanza,
y cualquiera de las coordenadas xi (i 6= d) es una representación satisfactoria de
tiempo en este espacio-tiempo. Es conveniente definir t = x1 como antes, y a
identificar t con el tiempo.
El tiempo cero es M0 = H
d - 1. Desde
H d = {v • Rd,1 • v • v • = −1, v0 > 0}
se deduce que Isom(H d) = O+(d, 1) y la isometría de la orientación-preservante
grupo es SO+(d, 1).
Teoría cuántica sobre el terreno de los antecedentes. II. SIMETERÍAS DEL ESPACETIMO 15
Gráfico 1 Líneas de flujo del campo de Matanza • = (t2 − r2)• t +
2tr r en H
Para los espacios de curvatura constante, uno puede resolver la ecuación de Killing LKg = 0
explícitamente. Ilustremos las soluciones y sus cuantificaciones para d = 2.
Los tres campos de matanza
(8.2) • • • • • t, η • t • t + r • • • • • (t) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2 − r2)t + 2tr r
son una base conveniente para g. Cualquier colector d-dimensional satisface dim g ≤
d(d + 1)/2, se dice que los colectores que saturan el límite son
métrica, y H d es máximamente simétrica.
Ahora, tf(−t) = −f
′(−t) por lo que Łt = t, por lo tanto Łt g−. Calcula similar.
ciones muestran [l, η] = 0 y =. Por lo tanto η se extiende g+, mientras que t, span g−.
Las relaciones de conmutación5 para g son:
[η, ] = , [η, t] = t, [, ] = −2η.
Estos cálculos verifican que (g+, g−) forma un par cartan, tal como se define en
(4.6).
Los flujos asociados a (8.2) se visualizan fácilmente:
y η líneas de flujo son radialmente hacia fuera desde el origen euclidiano. Los flujos
son círculos euclidianos, indicados por las líneas más oscuras de la Figura 1. Por lo tanto
los flujos de η se definen en todo E+, mientras que los flujos de son análogos a
las rotaciones espacio-tiempo en R2, y por lo tanto, deben definirse en una cuña de la
Wα = {t, r): t, r > 0, tan
−1(r/t) <.
La simple idea geométrica de la sección 6.2 está muy bien confirmada en este caso:
los flujos de η (el generador de g+) conservan el plano t = 0, y están separados
Isometrias de y.
El corolario 7.2 implica que el procedimiento descrito anteriormente define un uni-
representación tardía del componente de identidad de Iso(AdS2) en el
Hilbert espacio H para la teoría cuántica del campo en este fondo, incluyendo
teorías con interacciones que preservan la simetría. Desde Iso(AdSd+1) =
5 Tenga en cuenta que bastante generalmente [g−, g−] g+ por lo que es automático que [
a η.
16 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
SO(d, 2), tenemos una representación unitaria de SO0(1, 2). Este último es un no-
compacto, semisimple grupo real de la mentira, y por lo tanto no tiene finito-dimensional
Representaciones unitarias, pero una serie de interesantes dimensionales infinitas.
Apéndice A. Teorema de Euclidián Reeh-Schlieder
Demostramos la propiedad euclidiana Reeh-Schlieder para las teorías libres en curva
antecedentes. Es razonable esperar que esta propiedad se extienda para interactuar-
Las teorías sobre los fondos curvos, pero tendría que ser establecido para
cada uno de estos modelos, ya que depende explícitamente de la función de dos puntos.
El teorema de Reeh-Schlieder garantiza la existencia de una cantidad densa
dominio zation basado en cualquier subconjunto abierto de. Por esta razón, uno podría
utilizar el teorema de Reeh-Schlieder (RS) con el teorema de Nussbaum [14]
struye una segunda prueba de Teorema 6.4 bajo la suposición adicional de que
M es real-analítica.
Afortunadamente, nuestra prueba de Teorema 6.4 es completamente independiente de la
Propiedad de Reeh-Schlieder. Esto tiene dos ventajas: no tenemos que asumir
M es una variedad de análisis reales y, lo que es más importante, nuestra prueba de Teorema
6.4 Generaliza de forma inmediata y transparente las teorías de interacción durante el tiempo que
como el espacio Hilbert H no es modificado por la interacción.
Declaramos y probamos esto usando el espacio de una sola partícula; sin embargo, el resultado
claramente se extiende al espacio de campo cuántico Hilbert.
Teorema A.1. Que M sea un espacio-tiempo estático cuantificable dotado de un
estructura real-analítica, y asumir que gab es real-analítica. Deja que O # # # # # # O # # # # # # # # O # # # # # # Deja que O # # # # # # # # # O # # # # # # Deja que O # # # # # # # # # # O # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
y D = C(O) L2(). Entonces, Dá.
= {0}.
Prueba. Que f L2() con f D. Para x , definir
η(x) := «f», «x»H» = «f», «C», «x» L2 ».
La real-analítica de η(x) se deriva de la real-analítica de (la integral
núcleo de) C, que a su vez sigue del teorema de regularidad elíptica en el
categoría de análisis real (véase, por ejemplo, [1, Sec. II.1.3]). Ahora por suposición,
para cualquier g â € € TM c (O), tenemos
0 =, fH = f,CgÃ3L2(M).
Let g → ♥x para x â € O. A continuación, 0 = f,CÃ3xÃ3l2 η(x). Desde O = 0, por
real-analítica que inferimos la desaparición de η en, completando la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Agradecimientos. Estamos agradecidos a Hanno Gottschalk y Alexander
Strohmaier para discusiones útiles, y G.R. agradece a la Universität
Bonn por su hospitalidad en febrero de 2007.
Bibliografía
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[16] Konrad Osterwalder y Robert Schrader. Axiomas para el euclidiano
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http://www.arthurjaffe.com/Assets/pdf/IntroQFT.pdf
18 ARTHUR JAFFE Y GORDON RITTER
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itation et quantifications (Les Houches, 1992), págs. 63 a 167. Norte...
Holanda, Amsterdam, 1995.
Dirección de correo electrónico: arthur jaffe@harvard.edu
Universidad de Harvard, 17 Oxford St., Cambridge, MA 02138
Dirección de correo electrónico: ritter@post.harvard.edu
Universidad de Harvard, 17 Oxford St., Cambridge, MA 02138
1. Introducción
2. Tiempo-espacio clásico
2.1. Estructura de los Tiempos-Espacio estáticos
2.2. El operador inducido por una isometría
3. Cuantificación Osterwalder-Schrader
3.1. Cuantificación de Vectores (El Espacio Hilbert H de la Teoría Cuántica)
3.2. Cuantificación de operadores
4. Estructura y representación de la álgebra de mentiras de campos de matanza
4.1. La representación de g en E
4.2. La descomposición del cartán de g
5. Isometismos reflexivos e invariantes
6. Construcción de Representaciones Unitarias
6.1. Autoasociación de los semigrupos
6.2. Isometismos de reflexión-invariantes
6.3. Construcción de Representaciones Unitarias
7. Continuación analítica
7.1. Conclusiones
8. Espacio hiperbólico y espacio anti-de-sitter
Apéndice A. Teorema de Euclidián Reeh-Schlieder
Agradecimientos
Bibliografía
|
704.0053 | A Global Approach to the Theory of Special Finsler Manifolds | ENFOQUE MUNDIAL DE LA
TEORÍA DE LAS
MANIFOLADORES ESPECIALES
Nabil L. Youssef†, S. H. Abed† y A. Soleiman‡
†Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias,
Universidad de El Cairo, Giza, Egipto.
nyoussef@frcu.eun.eg, sabed@frcu.eun.eg
‡Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias,
Universidad Benha, Benha, Egipto.
soleiman@mailer.eun.eg
Dedicado a la memoria del Prof. Dr. A. TAMIM
Resumen. El objetivo del presente documento es ofrecer una presentación mundial de la
teoría de los colectores especiales Finsler. Introducimos e investigamos globalmente (o in-
En el caso de los países de la Europa central y oriental, se trata de una de las regiones más importantes y más importantes de la Unión Europea.
monly utilizado especial Finsler colectores : localmente Minkowskian, Berwald, Landesberg,
general Landesberg, P -reducible, C-reducible, semi-C-reducible, cuasi-C-reducible,
P*-Finsler, Ch-periódicos, Cv-periódicos, C0-periódicos, Sv-periódicos, Sv-periódicos de
el segundo orden, similar a C2, similar a S3, similar a S4, similar a P2, similar a R3, similar a P, simétrico, h-isótropo,
de curvatura escalar, de curvatura constante, de curvatura escalar p, de curvatura s-ps.
Se introducen las definiciones globales de estos colectores especiales Finsler. Varios
relaciones entre los diferentes tipos de colectores Finsler considerados especiales
se encuentran. Muchos resultados locales, conocidos en la literatura, son probados globalmente y
Se obtienen varios resultados nuevos. Como subproducto, identidades y propiedades interesantes
se deducen los campos tensores de torsión y los campos tensores de curvatura.
A pesar de que nuestra investigación es totalmente global, proporcionamos; para la comparación rea-
hijos, un apéndice que presenta una homóloga local de nuestro enfoque global y
definiciones de los espacios especiales Finsler considerados. 1
Palabras clave y frases. Berwald, Landesberg, P -reducible, C-reducible, Semi-C-
reducibles, cuasi-C-reducibles, P*-Finsler, Ch-periódicos, Cv-periódicos, Sv-periódicos,
C2-como, S3-como, S4-como, P2-como, R3-como, P-simétrico, h-isótropo, De curva escalar-
tura, de curvatura constante, de curvatura p-escalar, de curvatura s-ps.
2000 Clasificación de sujetos de la AMS. 53C60, 53B40.
Número de ArXiv: 0704.053
http://arxiv.org/abs/0704.0053v3
Introducción
En geometría Finsler todos los objetos geométricos dependen no sólo de la posición coordi-
nates, como en la geometría Riemanniana, pero también en argumentos direccionales. En Riemannian
geometría hay una conexión lineal canónica en el múltiple M, mientras que en Finsler
geometría hay una conexión lineal canónica correspondiente, debido a E. Cartan,
que no es una conexión en M pero es una conexión en 1(TM), la retirada de
el haz tangente TM por η : TM M (el enfoque de retroceso). Por otra parte, en
Geometría Riemanniana hay un tensor de curvatura y un tensor de torsión asociado
con una conexión lineal dada en el colector M, mientras que en la geometría de Finsler allí
son tres tensores de curvatura y cinco tensores de torsión asociados con un determinado lineal
conexión en 1(TM).
La mayoría de los espacios especiales en la geometría de Finsler se derivan del hecho de que
los campos de η-tensor (torsiones y curvaturas) asociados con la conexión cartán
satisfacer las formas especiales. En consecuencia, los espacios especiales de la geometría de Finsler son más
numerosos que los de la geometría Riemanniana. Espacios especiales de Finsler son investigados
local (utilizando coordenadas locales) de muchos autores: M. Matsumoto [16], [18], [15], [14]
y otros [6], [19], [8], [7]. Por otro lado, el global (o intrínseco, libre de
Coordenadas locales) la investigación de tales espacios es muy rara en la literatura. Algunos
A. Tamim [24], [25], aporta contribuciones considerables en este sentido.
En el presente trabajo, proporcionamos una presentación global de la teoría de especial
Colchones Finsler. Presentamos e investigamos globalmente muchos de los más importantes
y más comúnmente utilizado especial Finsler colectores : localmente Minkowskian, Berwald,
Landesberg, general Landesberg, P -reducible, C-reducible, semi-C-reducible, cuasi-
C-reducible, P*-Finsler, Ch-periódico, Cv-periódico, C0-periódico, Sv-periódico, Sv-
recurrente del segundo orden, C2-como, S3-como, S4-como, P2-como, R3-como, P-simétrico,
h-isótropo, de curvatura escalar, de curvatura constante, de curvatura p-scalar, de s-ps-
curvatura.
El documento consta de dos partes, precedidas por una sección preliminar (§1), que
proporciona una breve descripción de los conceptos básicos del enfoque de retroceso de Finsler
geometría necesaria para este trabajo. Para más detalles, se hace referencia al lector [1], [3], [5]
y [24].
En la primera parte (§2), introducimos las definiciones globales de
especial Finsler colectores de tal manera que, cuando se localizan, que rinden el habitual
definiciones locales actuales en la literatura (véase el apéndice). Las definiciones son:
arreglado según el tipo de la propiedad definitoria del colector especial Finsler
concernidos.
En la segunda parte (§3), varias relaciones entre los diferentes tipos de
se encuentran colectores Finsler especiales. Muchos resultados locales, conocidos en el
literatura, se prueban globalmente y se obtienen varios nuevos resultados. Como subproducto
de algunos de los resultados obtenidos, identidades y propiedades interesantes
se deducen los campos tensores de torsión y los campos tensores de curvatura, que a su vez juegan
un papel clave en la obtención de otros resultados.
Entre los resultados obtenidos se encuentran: una caracterización de los colectores Riemannianos, una
caracterización de colectores Sv-periódicos, una caracterización de P-simétricos
los colectores, una caracterización de los colectores de Berwald (en ciertos casos), la equivalencia
de los colectores Landsberg y Landsberg en general en determinadas condiciones, una clasificación
ión de colectores h-isotrópicos Ch-periódicos y una presentación de diferentes condiciones
bajo el cual un colector tipo R3 Finsler se convierte en un colector Finsler de curvatura s-ps.
Los resultados anteriores son sólo una muestra no exhaustiva de los resultados globales obtenidos en
Este periódico.
Por último, cabe señalar que algunos resultados importantes de [8], [9], [11], [13], [19],
[20],...,etc. (obtenido en coordenadas locales) se derivan inmediatamente de la
resultados globales (cuando se localizan).
Aunque nuestra investigación es totalmente global, concluimos el documento con un ap-
pendix presentando una contraparte local de nuestro enfoque global y las definiciones locales
de los espacios especiales Finsler considerados. Esto se hace para facilitar la comparación y
hacer que el papel sea más autónomo.
1. Notación y preliminares
En esta sección, damos un breve relato de los conceptos básicos de la retirada
formalismo de la geometría de Finsler necesario para este trabajo. Para más detalles, véase [1], [3],
[5] y [24]. Hacemos la suposición general de que todos los objetos geométricos que consideramos
son de la clase C. A lo largo del presente documento se utilizarán las siguientes anotaciones:
M : un verdadero colector diferenciable de dimensión finita n y de clase C.
F(M): la álgebra-R de funciones diferenciables en M,
X(M): el módulo F(M) de campos vectoriales en M,
ηM : TM M : el paquete tangente de M,
η : TM M : el subbundle de vectores distintos de cero tangente a M,
V (TM): subbundle vertical del haz TTM,
P : 1(TM) TM : el retroceso del haz tangente TM por
P* : 1(T*M) TM : la retirada del haz de cotangente T*M por η,
X((M)): el módulo F(TM) de secciones diferenciables de 1(TM).
Los elementos de X((M)) se denominarán campos de η-vector y se denotarán por
letras X. Los campos de Tensor en 1(TM) se llamarán campos de Tensor. Lo fundamental
El campo η-vector es el campo η-vector η definido por η(u) = (u, u) para todos los u • TM. Los
elevación a 1(TM) de un campo vectorial X en M es el campo vectorial X definido por X(u) =
(u,X(π(u))). El elevador a 1(TM) de un 1-formo de M es el
* (u) = (u, ♥ (u)).
El paquete tangente T (TM) está relacionado con el paquete pullback 1(TM) por el
secuencia exacta corta
0 1(TM)
T (TM)
1(TM) 0,
en los que los morfismos de los bultos π y γ se definan, respectivamente, por π = (ηT M, dη) y
γ(u, v) = ju(v), donde ju es el isomorfismo natural ju : TηM (v)M Tu(TηM (v)M).
Dejar • ser una conexión lineal (o simplemente una conexión) en el paquete pullback
1(TM). Nos asociamos a â € TM el mapa
K : TTM 1(TM) : X 7 Xη,
llamado el mapa de la conexión (o de la desviación) de. Un vector tangente X Tu(TM)
se dice que es horizontal si K(X) = 0. El espacio vector Hu(TM) = {X+ Tu(TM) :
K(X) = 0} de los vectores horizontales en u â € TM se llama el espacio horizontal a M
en u. Se dice que la conexión es regular si
Tu(TM) = Vu(TM)â € € ~ Hu(TM) â € € TM.
Si M está dotado de una conexión regular, a continuación, los mapas del paquete de vectores
γ : 1(TM) V (TM),
H(T M) : H(TM)
−1(TM),
KV (T M) : V (TM)
−1(TM)
son isomorfismos vectoriales. Denoremos β = (H(T M))
−1, entonces
βoβ = id1(T M), βo♥ =
idH(T M) en H(TM)
0 en V(TM)
(1.1)
Para una conexión regular definimos dos derivados covariantes
• y
• la siguiente información:
Para cada vector (1)γ-forma A, tenemos
A)(øX, øY ) := (XA)(øY ), (
(A)(øX, øY ) := (XA)(øY ).
El tensor de torsión clásico T de la conexión.............................................................................................
T(X, Y ) = #X?Y #Y #X - #[X, Y] #X, Y #X(TM).
Los tensores de torsión horizontales (h)h-) y mixtos (h)hv-), denotados respectivamente por Q
y T, están definidos por
Q(X, Y ) = T(βXβY ), T (X, Y ) = T(γX, βY )
El tensor de curvatura clásico K de la conexión • es definido por
K(X, Y )Z = XYZ YXXZ [X, Y]ZX, Y, ZX(TM).
Los tensores horizontales (h-), mixtos (hv-) y verticales (v-) de curvatura, deno-
por R, P y S, se definen por
R(X, Y)øZ = K(βXβY)øZ, P (X, Y)øZ = K(βX, γY)øZ, S(X, Y)øZ = K(γX, γY)øZ.
También tenemos los tensores (v)h-, (v)hv- y (v)v-torsión, denotados respectivamente por RÃ3,
Derivados de los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA
Râ ́(X, Y ) = R(X, Y ), Pâ ́ (X, Y ) = P (X, Y ), â ́(X, Y ) = S(X, Y ).
Teorema 1.1. [25] Que (M,L) sea un colector Finsler. Existe un único regular
conexión en 1(TM) de tal manera que
a) • es métrica : • g = 0,
b) La torsión horizontal de • desaparece : Q = 0,
c) La torsión T mezclada de T de • satisface g(T (X, Y ), Z) = g(T (X,Z), Y ).
Tal conexión se llama la conexión Cartan asociada al hombre Finsler-
ifold (M,L).
Uno puede mostrar que la torsión T de la conexión de Cartan tiene la propiedad que
T (X, η) = 0 para todos los X â € ¬ X(η(M)) y asociados a T tenemos:
Definición 1.2. [25] Ser la conexión de Cartan asociada a (M,L). Los
el campo T del tensor de torsión de la conexión.........................................................................................................................................................................................................................................................
llamado el tensor de Cartan y denotado de nuevo T, definido por :
T (X, Y, Z) = g (T (X, Y ), Z), para todos los X, Y, Z • X(TM).
También induce una forma C, llamada torsión contraída, definida por:
C(X) := Tr{Y 7 T (X, Y )}, para todas las X (TM).
Definición 1.3. [25] Con respecto a la conexión de Cartan asociada a (M,L),
Tenemos
– Los tensores Ricci horizontales y verticales Rich y Ricv se definen respectivamente por:
Rich(X, Y ) := Tr{Z 7 R(X,Z)Y }, para todas las X, Y, X(TM),
Ricv(X, Y ) := Tr{Z 7 S(X,Z)Y }, para todas las X, Y, X(TM).
– El Ricci horizontal y vertical mapas Rich0 y Ric
0 se definen respectivamente por:
g(Rich0(X), Y ) := Ric
h(X, Y ), para todas las X, Y-X(TM),
g(Ricv0(X), Y ) := Ric
v(X, Y ), para todas las X, Y • X(TM).
– Las curvaturas escalar horizontales y verticales Sch, Scv se definen respectivamente por:
Sch := Tr(Rich0), Sc
v := Tr(Ricv0),
donde R y S son, respectivamente, los tensores de curvatura horizontales y verticales de.
Proposición 1.4. [12] Que (M,L) sea un colector Finsler. El campo vector G disuade-
es un aerosol, llamado aerosol canónico asociado a la energía
E, donde E := 1
L2 y := ddJE.
Uno puede demostrar, en este caso, que G = βoη, y G es así horizontal con respecto
a la conexión de Cartan.
Teorema 1.5. [26] Que (M,L) sea un colector Finsler. Existe un único regular
conexión D en 1(TM) de tal manera que
a) D está libre de torsión;
b) La pulverización canónica G = βoη es horizontal con respecto a D;
c) El tensor de torsión (v)hv de D desaparece.
Tal conexión se llama la conexión Berwald asociada al Finsler
multiple (M,L).
2. Espacios especiales de Finsler
En esta sección, introducimos las definiciones globales de los más importantes y
espacios especiales utilizados comúnmente Finsler de tal manera que, cuando se localizan, ceden
las definiciones locales habituales que existen en la literatura (véase el apéndice). Aquí vamos.
simplemente establecer las definiciones, posponiendo la investigación de las relaciones mutuas ser-
entre estos espacios especiales Finsler a la siguiente sección. Las definiciones están ordenadas
según el tipo de propiedad definitoria del espacio especial de Finsler de que se trate.
A lo largo del papel, g, â € ¬, â € y D denotan, respectivamente, la métrica de Finsler en
1(TM), la métrica inducida en 1(T ∗M), la conexión de Cartan y el Berwald
conexión asociada a un determinado colector Finsler (M,L). Además, T denota la torsión
tensor de la conexión de Cartan (o el tensor de Cartan) y R, P y S denotan
respectivamente la curvatura horizontal, la curvatura mixta y la curvatura vertical
de la conexión con Cartan.
Definición 2.1. Un colector Finsler (M,L) es:
a) Riemanniano si el tensor métrico g(x, y) es independiente de y o, equivalentemente, si
T (X, Y ) = 0, para todas las X, Y, X((M)).
(b) localmente Minkowskian si el tensor métrico g(x, y) es independiente de x o, equiva-
Lentamente, si
X T = 0 y R = 0.
Definición 2.2. Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) Berwald [24] si el tensor de torsión T es horizontalmente paralelo. Es decir,
X T = 0.
b) Ch-periódico si el tensor de torsión T satisface la condición
X T = ♥o(X) T,
donde Oo es una forma de orden uno.
c) P *-Finsler multiple si el campo de tensión η T se expresa en la forma
T = (x, y) T,
donde (x, y) =
bg( C,C)
g(C,øC)
y C2 := (C,C) = C(C) 6= 0; C
siendo el campo η-vector definido por g(C,X) = C(X).
Definición 2.3. Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) Cv-periódico si el tensor de torsión T cumple la condición
(XT )(Y, Z) = ♥o(X)T (Y, Z).
b) C0-periódico si el tensor de torsión T cumple la condición
(DγXT )(Y, Z) = o(X)T (Y, Z).
Definición 2.4. [25] Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) semi-C-reducible si el dimM ≥ 3 y el tensor de Cartan T tienen la forma
T (X, Y, Z) =
(X, Y)C(Z) + ~(Y, Z)C(X) + ~(Z,X)C(Y)
C(X)C(Y)C(Z),
donde las funciones escalares de μ y satisfacen las funciones escalares de μ + = 1, ~ = g − l l y l(X) :=
L−1g(X, η).
b) C-reducible si el dimM ≥ 3 y el tensor de Cartan T tienen la forma
T (X, Y, Z) =
(X, Y)C(Z) + ~(Y, Z)C(X) + ~(Z,X)C(Y)}.
c) similar a C2 si la forma es dimM ≥ 2 y el tensor de Cartan T tiene la forma
T (X, Y, Z) =
C(X)C(Y)C(Z).
Definición 2.5. Un colector Finsler (M,L), donde dimM ≥ 3, se dice que es cuasi-C-
reducible si el tensor de Cartan T está escrito como :
T (X, Y, Z) = A(X, Y)C(Z) + A(Y, Z)C(X) + A(Z,X)C(Y),
donde A es un indicador simétrico (2) γ-forma (A(X, η) = 0 para todas las X).
Definición 2.6. [25] Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) S3-como si dim(M) ≥ 4 y el tensor vertical de curvatura S(X, Y, Z, W )
:= g(S(X, Y)Z,W) tiene la forma :
S(X, Y, Z, W) =
(n− 1)(n− 2)
(X,Z)~(Y,W)−~(X,W)~(Y,Z)}.
(b) S4-como si dim(M) ≥ 5 y el tensor vertical de curvatura S(X, Y, Z, W) tiene la
forma :
S(X, Y, Z, W) =~(X,Z)F(Y,W)− ~(Y, Z)F(X,W)+
+ ~(Y,W )F(X,Z)− ~(X,W )F(Y,Z),
(2.1)
donde F es la forma (2)γ definida por F =
{Ricv−
Scv ~
2 n - 2)
Definición 2.7. Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) Sv-periódico si el tensor de v-curvatura S cumple la condición
(XS)(Y, Z,W) = (X)S(Y, Z)W,
donde es una forma de orden uno.
b) Sv-periódico del segundo orden si el tensor de curvatura v S cumple la condición
• S)(øY, øX,Z,W,U) = •(X, Y )S(Z,W)U,
donde Ł es una forma de orden dos.
Definición 2.8. [24] Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) un colector Landsberg si
(X, Y ) = P (X, Y )η = 0
b) un colector general Landsberg si
Tr{Y P (X, Y )} = 0
Definición 2.9. Un colector Finsler (M,L) se dice que es P -simétrico si la mezcla
tensor de curvatura P satisface
P (X, Y )Z = P (Y,X)Z,
Definición 2.10. Un colector Finsler (M,L), donde dimM ≥ 3, se dice que es similar a P2
si el tensor de curvatura mixto P tiene la forma :
P (X, Y, Z, øW ) = α(Z)T (X, Y, øW )− α(W ) T (X, øY, Z),
donde α es una (1) forma γ (positivamente homogénea de grado 0).
Definición 2.11. [25] Un colector Finsler (M,L), donde se dice que es dimM ≥ 3,
P -reducible si el campo tensor P (X, Y, Z) := g(P (X, Y)η, Z) puede expresarse en
el formulario :
P (X, Y, Z) = (X)~(Y, Z) + (Y)~(Z,X) + (Z)~(X, Y),
en el que es una (1) forma-satisfactoria () = 0.
Definición 2.12. [2] Un colector Finsler (M,L), donde se dice que es dimM ≥ 3,
h-isótropo si existe un ko escalar tal que el tensor de curvatura horizontal R tiene
el formulario
R(X, Y)Z = ko{g(Y, Z)X − g(X,Z)Y}.
Definición 2.13. [2] Un colector Finsler (M,L), donde se dice que el dimM ≥ 3 es:
(a) de curvatura escalar si existe una función escalar k : TM R tal que
el tensor de curvatura horizontal R(X, Y, Z, W ) := g(R(X, Y )Z, W ) satisface la
relación
R(η,X, η, Y ) = kL2~(X, Y ).
(b) de curvatura constante si la función k en (a) es constante.
Definición 2.14. Se dice que un colector Finsler (M,L) es similar a R3 si dimM ≥ 4 y
el tensor de curvatura horizontal R(X, Y, Z, W ) se expresa en la forma
R(X, Y, Z,W) =g(X,Z)F (Y,W)− g(Y, Z)F (X,W)+
+ g(Y,W )F (X,Z)− g(X,W )F (Y,Z),
(2.2)
donde F es la forma (2)γ definida por F = 1
{Rich − Sc
2 n−1)
3. Relaciones entre los diferentes tipos de
Espacios Finsler
Esta sección está dedicada a la investigación global de algunas relaciones mutuas
entre los espacios especiales de Finsler introducidos en la sección anterior. Un poco de conse...
quences también se extraen de estas relaciones.
Comenzamos con algunas consecuencias inmediatas de las definiciones:
a) Un colector local Minkowskian es un colector Berwald.
b) Un colector de Berwald es un colector de Landsberg.
c) Un colector Landsberg es un colector general Landsberg.
d) Un colector de Berwald es Ch-periódico (resp. P ∗-Finsler).
e) Un manifold P* es un colector Landsberg.
f) A C-reducible (resp. C2-como) el colector es semi-C-reducible.
g) Un colector semi-C-reducible es cuasi-C-reducible.
(h) Un colector Finsler de curvatura constante es de curvatura escalar.
Los dos siguientes lemas son útiles para su uso posterior.
Lemma 3.1. [25] Por cada øX, øY â € € € TM (M) tenemos:
a) P (, øX)øY = 0, b) P (øX, )øY = 0, c) P (øX, øY ) = (T )(øX, øY ).
Lemma 3.2. Si el vector es el vector, la forma se define por:
• (øX) := øX − L−1l(øX), o := I − L−1l, (3.1)
donde l es la forma η dada por l(X) = L−1g(X, η), entonces tenemos:
a) ~(øX, øY ) = g(
(d) Tr(l) = n− 1, (e) X ♥ = 0, (f) X ~ = 0.
Como hemos visto, un colector Landsberg es el general Landsberg. Lo contrario es
No es cierto. Sin embargo, tenemos
Proposición 3.3. Un C-reducible general Landsberg colector (M,L) es un Landsberg
multiple.
Prueba. Puesto que (M,L) es un colector C-reducible, entonces, por la definición 2.4, Lemma 3.2,
la simetría de ~ y la no degeneración de g, obtenemos
T (øX, øY ) =
(øX, øY )øC + C(øX)
donde øC es el campo η-vector definido por g(øC, øX) := C(øX). Tomando el covariante h
derivado Z de ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos
(Z T )(øX, øY ) =
{(Z ~)(øX, øY )øC + ~(øX, øY )Z øC + C(øX)(Z)(øY) +
+(Z C)(øX)•(øY )+C(øY )(Z)(øX)+ (Z C)(øY)•(øX)},
a partir de la cual, al establecer øZ = y teniendo en cuenta el hecho de que Z ~ = 0 y
que Z فارسى = 0 ( Lemma 3.2), obtenemos
( T )(øX, øY ) =
(øX, øY ) øC+( C)(øX)
Ahora, bajo el supuesto dado de que el (M,L) es un colector general Landsberg,
entonces C = 0 (Definición 2.8) y por lo tanto øC = 0. Por lo tanto T = 0 y el
El resultado es el siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Además, un colector de Berwald es Landsberg. Lo contrario no es de ninguna manera cierto,
Aunque no tenemos contraejemplos. Encontrar un colector Landsberg que no es
Berwald sigue siendo un problema abierto. Sin embargo, tenemos
Proposición 3.4. [25] Un colector de Landsberg C-reducible (M,L) es un Berwald
multiple.
Combinando las dos Proposiciones anteriores, obtenemos el resultado más poderoso:
Proposición 3.5. Un C-reducible general Landsberg colector (M,L) es un Berwald
multiple.
Resumiendo, tenemos:
Teorema 3.6. Que (M,L) sea un colector de Finsler reducible C. La siguiente afirmación:
son equivalentes :
a) (M,L) es un colector de Berwald.
b) (M,L) es un colector Landsberg.
c) (M,L) es un colector general Landsberg.
Aquí recuperamos un resultado de Matsumuoto [15], a saber:
Corollary 3.7. Si el tensor de curvatura h R y el tensor de curvatura hv P de una C-
El colector reducible desaparece, entonces el colector es localmente Minkowskian.
Observación 3.8. [15] Se puede conjeturar que un colector Finsler será Minkowskian
si el tensor de curvatura-h R y el tensor de curvatura-hv P desaparecen. Como se ha visto anteriormente
la conjetura se verifica ya en una condición algo fuerte “C-reducibilidad”.
Teorema 3.9. Que (M,L) sea un colector Finsler. Entonces tenemos:
a) Un colector reducible en C es reducible en P.
b) Un colector general de Landsberg es Landsberg.
Prueba.
(a) Puesto que (M,L) es C-reducible, entonces por la definición 2.4, tenemos
T (øX, øY, øZ) =
SøX,øY,øZ(øX, øY )C(øZ)}.
Aplicando la derivada h-covariante W en ambos lados de la ecuación anterior, tomando
en cuenta el hecho de que (W T )(øX, øY, øZ) = g((W T )(øX, øY ), øZ) y que
W ~ = 0, obtenemos
g((WT)(øX, øY), øZ) =
SøX,øY,øZ(øX, øY )(W C)(øZ)}.
A partir de la cual, al establecer øW = y señalar que P (øX, øY ) = ( T )(øX, øY ),
el resultado es el siguiente.
(b) Puesto que (M,L) es un colector P -reducible, entonces por la definición 2.11, teniendo en cuenta
cuenta el hecho de que g no es degenerado, obtenemos
P (øX, øY ) = (øX)(øY ) + (øY )(øX) + (øX, øY ), (3.2)
donde es el campo η-vector definido por g(, øX) := ♥(øX).
Desde el punto de vista de los valores de 0, después del TrY 7 del TrY 7 del TrY (øY ) (øX) + ~(øX, øY ) del TrY (øY ) del TrY (øY ) del TrY (øY ) del TrY. Tomando
el rastro de ambos lados de (3.2), utilizando el hecho de que P (øX, øY ) = ( T )(øX, øY )
(Lemma 3.1) y que TrY 7 ( T )(øX, øY )} = ( C)(øX), obtenemos
(øX) =
n + 1
( C)(øX). (3.3)
Ahora, de las ecuaciones (3.2) y (3.3), tenemos
g(P (øX, øY ), øZ) =
n + 1
SøX,øY,øZ(øX, øY )( C)(øZ)}. (3.4)
Según el supuesto dado de que el colector es general Landsberg, entonces
C = 0. Por lo tanto, de (3.4), obtenemos P (øX, øY ) = 0 y por lo tanto el colector
es Landsberg. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.10.
a) Un colector periódico es un colector P*-Finsler.
b) Un colector general Landsberg P*-Finsler es un colector Landsberg.
Prueba. La prueba es directa y la omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.11. Un colector tipo C2 Finsler es un colector Berwald si, y sólo si,
el campo C de γ-tensor es horizontalmente paralelo.
Prueba. Dejar (M,L) ser C2-como. Entonces, T (øX, øY, øZ) =
C(øC)
C(øX)C(øY)C(øZ),
de la cual T (øX, øY ) = 1
C(øC)
C(øX)C(øY)øC. Tomando el derivado h-covariante de
ambos lados, tenemos
(ZT )(øX, øY ) =
ZC(øC)
C(øX)C(øY)øC +
C(øC)
(ZC)(øX)C(øY)øC +
C(øC)
(ZC)(øY)C(øX)øC+
C(øC)
C(øX)C(øY)ZøC.
En vista de esta relación, Z T = 0 si, y sólo si, Z C = 0. De ahí el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 3.12. Un colector general Landsberg tipo C2 es un colector Landsberg.
En vista de los teoremas anteriores, tenemos:
Corolario 3.13. Las dos nociones de ser Landsberg y general Landsberg coinciden
en el caso de la reducibilidad C, la reducibilidad P, la semejanza C2 o P
*-Finsler.
Como sabemos, un colector de Landsberg C-reducible es un colector de Berwald (Proposi-
tion 3.4 ). Además, un colector tipo C2 Finsler es un colector Berwald si, y sólo
si, el campo C de η-tensor es horizontalmente paralelo (Proposición 3.11). Vamos a tratar de
generalizar estos resultados al caso de semi-C-reducibilidad.
Teorema 3.14. Un colector semi-C-reducible Finsler es un colector Berwald si, y
sólo si, la característica escalar μ y el campo tensor C son horizontalmente paralelos.
Prueba. En primer lugar, si (M,L) es semi-C-reducible, entonces
T (øX, øY, øZ) =
SøX,øY,øZ(øX, øY )C(øZ)
C(øC)
C(øX)C(øY)C(øZ).
Tomando la derivada h-covariante de ambos lados, notando que X~ = 0, obtenemos
(WT)(øX, øY, øZ) =
n + 1
SøX,øY,øZ(øX, øY )(WC)(øZ) + (Wμ)C(øZ)
SøX,øY,øZ{(WC)(øX)C(øY)C(øZ)}
W μ
WC(øC)
}C(øX)C(øY)C(øZ).
Ahora bien, si la característica escalar μ y el campo de tensor C son horizontalmente par-
allel, entonces WT = 0 y (M,L) es un colector de Berwald.
Por el contrario, si (M,L) es un colector de Berwald, entoncesXT = 0 y por lo tanto XC =
0, XøC = 0. Estos, junto con la ecuación anterior, dan
W
SøX,øY,øZ(øX, øY )C(øZ)}
C(øX)C(øY)C(øZ)} = 0,
que implica inmediatamente que Wμ = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Los siguientes lemas son útiles para su uso posterior
Lemma 3.15. Para todos los X, Y, X(l(M)), tenemos:
a) [γX, γY ] = γ(XY YX)
b) [γX, βY ] = (P (Y,X)η YX) + β(XY − T (X,Y))
c) [βX, βY ] = γ(R(X, Y)η) + β(XY YX)
Lemma 3,16. Para todos los øX, øY, øZ, øW â € € € TM, tenemos:
a) g((WT ) øX, øY ), øZ) = g(WT ) øX, øZ), øY,
b) g(S(øX, øY)øZ, øW) = −g(S(øX, øY)øW, øZ).
Prueba.
(a) De la definición de la derivada covariante, obtenemos
g((WT )(øX, øY ), øZ) = g(WT (øX, øY ), øZ)− g(WøX, øY ), øZ)−
−g(T (øX,WøY ), øZ).
(3.5)
Ahora, tenemos
g(WT (øX, øY ), øZ) = W · g(T (øX, øY ), øZ)− g(T (øX, øY )
= W · g(T (øX, øY ), øZ)− g(T (øX,WøZ), øY ),
Del mismo modo,
g(T (øX,øWøY ), øZ) = W · g(T (øX, øZ), øY )− g(WT (øX, øZ), øY ).
Sustitución de estas dos ecuaciones en (3.5), notando la propiedad que g(T (WøX, øY ), øZ)
= g(T (WøX, øZ), øY) (cf. § 1), el resultado sigue.
b) se desprende directamente de la fórmula general (que puede probarse fácilmente)
g(K(X, Y)øZ, øW) + g(K(X, Y)øW, øZ) = 0
por ajuste X = X e Y = Y, donde K es el tensor de curvatura clásica de la
Conexión de cartan como una conexión lineal en el paquete pull-back (cf. § 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.17. Que (M,L) sea un colector Ch-periódico Finsler (XT = 0(øX)T ).
Entonces, tenemos:
(a) Si Ko := ♥o() = 0, entonces el tensor de curvatura de hv P se expresa en la forma:
P (øX, øY, øZ, øW ) = ♥o(øZ)T (øX, øY, øW )− o(øW )T (øX, øY, øZ)
y la (v)hv-torsión Pú se desvanece.
(b) Si Ko 6= 0, entonces el tensor de torsión de v(hv) P® es recurrente:
(ZP )(øX, øY ) = (♥o(øZ) +
ZKo
)P® (øX, øY ).
Prueba.
a) El tensor de curvatura p puede escribirse en la forma [25]:
P (øX, øY, øZ, øW ) = g((ZT )(øX, øY ), øW )− g((WT )(øX, øY ), øZ)+
+g(T (øX, øZ), PÃ3r(øW, øY ))− g(T (øX, øW ), PÃ3r(øZ, øY )).
A continuación, utilizando Pó (øX, øY ) = (T ) (øX, øY ) (Lemma 3.1) y la C
h-recurrencia
condición, tenemos
P (øX, øY, øZ, øW ) = ♥o(øZ)T (øX, øY, øW )− o(øW )T (øX, øY, øZ)−
o(){g(T (øX, øW), T (øY, øZ))− g(T (øX, øZ), T (øY, øW))}
= O(øZ)T (øX, øY, øW )− O(øW )T (øX, øY, øZ)− O()S(øX, øY, øZ, øW ).
Ahora, si Ło() = 0, entonces (a) sigue de la relación anterior.
(b) Si Ko := ♥o() 6= 0, entonces por Lemma 3.1 y la condición de recurrencia, tenemos
(øX, øY ) = KoT (øX, øY ),
de los cuales
(ZP)(øX, øY ) = ZKo +Kođo(øZ)}T (øX, øY ).
Entonces, (b) sigue de las dos ecuaciones anteriores. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.18. Supongamos que (M,L) es Ch-periódico. Entonces, el tensor de curvatura v S
es recurrente con respecto a la diferenciación h-covariante : XS = ♥(øX)S, donde
Es una forma de orden uno.
Prueba. Uno puede demostrar fácilmente que : Para todos X, Y, Z â € TM,
SX,Y,Z{K(X, Y )?Z XT(Y, Z) +T(X, [Y, Z])} = 0.
Setting X = X, Y = Y y Z = Z en la ecuación anterior, obtenemos
S(øX, øY )øZ = Y T (øX, øZ)XT (øY, øZ)ZT(X, Z)−
−T(X, [Y, Z]) +T(Y, [X, Z]) +T([X, Y ], Z).
Usando Lemma 3.15 y el hecho de que T(X, Z) = 0, la ecuación anterior reduce
S(øX, øY)øZ = (Y T)(øX, øZ)− (XT)(øY, øZ)+
+T (øX, T (øY, øZ))− T (øY, T (øX, øZ)).
(3.6)
Desde g(T (øX, øY ), øZ) = g(T (øX, øZ), øY ), tenemos
g(S(øX, øY )øZ, øW) = g((Y T)(øX, øZ), øW)− g((XT)(øY, øZ), øW)+
+g(T (øX, øW ), T (øY, øZ))− g(T (øY, øW ), T (øX, øZ)).
Del mismo modo,
g(S(øX, øY )øW, øZ) = g((Y T )(øX, øW ), øZ)− g((XT )(øY, øW ), øZ)+
+g(T (øX, øZ), T (øY, øW))− g(T (øY, øZ), T (øX, øW)).
Las dos ecuaciones anteriores, junto con Lemma 3,16, producen
g((XT )(øY, øZ), øW ) = g((Y T )(øX, øZ), øW ). (3.7)
Por (3.6) y (3.7), obtenemos
S(øX, øY, øZ, øW ) = g(T (øX, øW ), T (øY, øZ))− g(T (øY, øW ), T (øX, øZ)). (3.8)
Ahora, utilizando la suposición dada de que el colector es Ch-periódico, Ecuación
(3.8) implica que
(XS)(øY, øZ, øV, øW ) = XS(øY, øZ, øV, øW )−
− S(XøY, øZ, øV, øW )− S(øY,XøZ, øV, øW )−
− S(øY, øZ,XøV, øW )− S(øY, øZ, øV,XøW ).
= Xg(T (øY, øW), T (øZ, øV))Xg(T (øZ, øW), T (øY, øV)−
−g(T (XøY, øW ), T (øZ, øV )) + g(T (øZ, øW ), T (XøY, øV ))−
−g(T (øY, øW ), T (XøZ, øV )) + g(T (XøZ, øW ), T (øY, øV )−
−g(T (øY, øW ), T (øZ,XøV )) + g(T (øZ, øW ), T (øY,XøV )−
−g(T (øY,XøW ), T (øZ, øV )) + g(T (øZ,XøW ), T (øY, øV )).
= g((XT )(øY, øW ), T (øZ, øV )) + g(T (øY, øW ), (XT )(øZ, øV )−
−g((XT )(øZ, øW ), T (øY, øV ))− g(T (øZ, øW ), (XT )(øY, øV )).
= 2o(øX)S(øY, øZ, øV, øW ) =: (øX)S(øY, øZ, øV, øW ).
Por lo tanto, el resultado sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollary 3.19. En el curso de la prueba de Teorema 3.18, hemos demostrado que
(Ecuaciones (3.7) y (3.8)):
a) (XT) (øY, øZ) = (Y T) (øX, øZ),
b) S(øX, øY, øZ, øW) = g(T (øX, øW), T (øY, øZ))– g(T (øY, øW), T (øX, øZ)).
Corollary 3.20. Let (M,L) ser un C2-como Finsler múltiple. Entonces la curvatura v
El tensor S desaparece.
Prueba. Sustituir T (øX, øY ) = 1
C(øC)
C(øX)C(øY)øC en el corolario 3.19(b), nosotros
obtener el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 3.21. Que (M,L) sea un colector reducible C. Entonces,
a) el tensor de curvatura v S tiene la forma
S(øX, øY, øZ, øW ) =
(n + 1)2
{C2~(øX, øW)~(øY, øZ)−C2~(øY, øW)~(øX, øZ)+
(øX, øW)C(øY)C(øZ)+ ~(øY, øZ)C(øX)C(øW)−
(øY, øW)C(øX)C(øZ)− ~(øX, øZ)C(øY)C(øW)}.
(b) el tensor Ricc vertical Ricv tiene la forma
Ricv(øX, øY ) =
(3 a n)
(n + 1)2
C(øX)C(øY)−
(n− 1)
(n+ 1)2
C2~(øX, øY ).
c) la curvatura vertical escalar Scv tiene la forma
Scv =
(2 a n)
(n+1)
Teorema 3.22. Un colector Finsler (M,L) es P - Simétrica si, y sólo si,
El tensor de curvatura v S satisface la ecuación S = 0.
Prueba. Uno puede demostrar que: Para todos X, Y, Z â € TM,
SX,Y,ZZK(X, Y)-K(X, Y)-Z-K([X, Y ], Z)} = 0. (3.9)
Setting X = X, Y = Y y Z = Z en la ecuación anterior, obtenemos
ZS(øX, øY )øW Y P (øZ, øX)øW XP (øZ, øY )øW−
− S(øX, øY )ZøW + P (øZ, øY )XøW − P (øZ, øX)Y øW−
−K([X, Y ], Z)øW −K([Y, Z], X)øW −K([Z, X ], Y)øW = 0.
Mediante el uso de Lemma 3.15, la relación anterior se reduce a
(ZS)(øX, øY, øW) + (Y P)(øZ, øX, øW)− (XP)(øZ, øY, øW)+
+S(P (øZ, øY ), øX)øW − S(P (øZ, øX), øY )øW+
+P (T (øY, øZ), øX)øW − P (T (øX, øZ), øY )øW = 0.
(3.10)
Establecimiento de øZ = en la ecuación anterior, teniendo en cuenta Lemma 3.1 y el hecho
que T (øX, ) = 0 y que (XP )(, øY, øZ) = −P (øX, øY)øZ, obtenemos
P (øX, øY )øZ = P (øY, øX)øZ − (S)(øX, øY, øZ). (3.11)
El resultado sigue inmediatamente de (3.11). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Según (3.11) y Lemma 3.1, tenemos:
Corollary 3.23. Let Pó (øX, øY ) := P (øX, øY ) y Tó (øX, øY ) := (T )(øX, øY ).
A continuación, los campos de π-tensor Pó y Tó son simétricos.
El teorema 3.18 y el teorema 3.22 dan lugar al siguiente resultado.
Teorema 3.24. Supongamos que un colector de Finsler (M,L) es Ch-periódico y P -
Simétrica. Si 6= 0, entonces el tensor de curvatura v S desaparece idénticamente.
Ahora, vamos a probar el siguiente lema que proporciona algunos importantes y
propiedades útiles del tensor de torsión T y la curvatura v S:
Lemma 3,25. Por cada øX, øY, øZ y øW X((M)), tenemos
a) T (øX, øY ) = T (øY, øX),
b) T (, øX) = 0,
c) SøX,øY,øZS(øX, øY )øZ = 0,
d) g(S(øX, øY )øZ, øW ) = g(S(øZ, øW)øX, øY ),
e) S(, øX)øY = 0 = S(øX, )øY,
(f) (XS)(, øY )øZ = −S(øX, øY )øZ, (XS)(, øX) = 0.
g) S(øX, øY )øZ = −1
{(DγXT)(Y, Z)− (DγY T)(X,Z)}.
En consecuencia, S desaparece si y sólo si (DγXT) (Y, Z) = (DγY T) (X,Z).
Prueba.
a) Del corolario 3.19 a)
(XT)(øY, øZ) = (Y T)(øX, øZ).
Ajuste de øZ = y utilizando el hecho de que T (øX, ) = 0 y que K oγ = idX((M)),
el resultado es el siguiente.
(b) Sigue de (a) junto con la relación T (øX, ) = 0.
(c) Setting X = X, Y = Y y Z = Z en (3.9) y usando Lemma 3.15, nosotros
SøX,øY,øZ(XS)(øY, øZ, øW ) = 0.
De nuevo, establecer øW = en la ecuación anterior y utilizando el hecho de que S(øX, øY ) =
0 y que K oγ = idX((M)), el resultado sigue.
d) Se sigue del corolario 3.19 b), señalando que la T es simétrica.
(e) y (f) son claros.
(g) De la relación DγXøY = XøY − T (øX, øY ) [27], obtenemos
(DγXT)(øY, øZ) = (XT)(øY, øZ)−T (øX, T (øY, øZ))+T (T (øX, øY), øZ)+T (øY, T (øX, øZ)),
(DγY T)(øX, øZ) = (Y T)(øX, øZ)−T (øY, T (øX, øZ))+T (T (øY, øX), øZ)+T (øX, T (øY, øZ)).
El resultado sigue de las dos ecuaciones anteriores, usando el corolario 3.19 y el sim-
metría de T.
Como consecuencia directa del mencionado lema, tenemos la
Corollary 3.26. Un colector P2-como Finsler es P-simétrico.
Proposición 3.27. Supongamos que (M,L) es Cv-periódico. Entonces, la curvatura en v diez...
Sor S es v-periódico : XS = (øX)S, siendo un (1) En consecuencia, S
desaparece idénticamente.
Prueba. Tomando el derivado covariante v de ambos lados de la relación en el corolario
3.19(b) y, a continuación, utilizando la suposición de que XT = فارسى0(X)T, obtenemos
(XS)(øY, øZ, øV, øW ) = 2♥o(øX)S(øY, øZ, øV, øW ) =: (øX)S(øY, øZ, øV, øW ),
que muestra que S es v-periódico.
Ahora, ajuste øV = en la última ecuación, utilizando las propiedades de S y notando
que K oγ = idX((M)), concluimos que S = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente resultado da una caracterización de los múltiples Riemannianos en términos
de Cv-recurrencia y C0-recurrencia.
Teorema 3.28.
a) Un colector Cv-periódico Finsler es Riemanniano,
b) Un colector de Finsler es Riemanniano.
Prueba. a) Puesto que (M,L) es Cv-periódico, entonces (XT) (Y, Z) = ♥o(X)T (Y, Z),
que, al establecer øX = y notando que T = −T, obtenemos
T (Y, Z) = o(η)T (Y, Z). (3.12)
Pero ya que (XT) (øY, øZ) = (Y T) (øX, øZ) (Corollary 3.19), a continuación, ♥o(øX)T (øY, øZ) =
♥o(øY )T (øX, øZ). Por lo tanto,
o(η)T (Y, Z) = 0. (3.13)
Entonces, el resultado sigue de (3.12) y (3.13).
(b) puede demostrarse de manera similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.29. Para un colector Finsler (M,L), las siguientes afirmaciones son:
equivalente :
a) (M,L) es Sv-periódico.
b) El tensor de curvatura v S desaparece de forma idéntica.
c) (M,L) es Sv-periódico de la segunda orden.
Prueba.
Si (M,L) es Sv-periódico, entonces por definición 2.7(a) tenemos
(WS)(øX, øY, øZ) = (øW )S(øY, øX)øZ,
a partir de la cual, al establecer øZ =, teniendo en cuenta el hecho de que S(øX, øY ) = 0
y que Koγ = id1(TM), el resultado sigue.
(b) =e) (a): Trivial.
(b) =l(c) : Trivial.
(c) =e) (b): Si el colector dado (M,L) es Sv-periódico del segundo orden, entonces
por definición 2.7(b) obtenemos
(øX, øY )S(øZ, øV )øW = (
S)(øY, øX, øZ, øV, øW)
= Y (XS)(øZ, øV, øW)− (Y øXS)(øZ, øV, øW)−
− (XS)(Y øZ, øV, øW)− (XS)(øZ,Y øV, øW)−
−(XS)(øZ, øV,Y øW).
Al sustituir øZ = = øW en la ecuación anterior y utilizando Lemma 3.25 y el
hecho que S(øX, øY ) = 0, obtenemos
S(øX, øY)øZ = −S(øZ, øY)øX y S(øX, øY)øZ = −S(øX, øZ)øY.
De esto, junto con la identidad SøX,øY,øZS(øX, øY )øZ = 0, la curvatura v
El tensor S desaparece idénticamente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En vista del teorema anterior tenemos:
Corollary 3.30.
a) Un Sv-periódico (resp. un segundo pedido Sv-periódico) múltiple (M,L) es similar a S3,
siempre que dimM ≥ 4.
b) Un Sv-periódico (resp. un segundo pedido Sv-periódico) múltiple (M,L) es S4-como,
siempre que dimM ≥ 5.
Teorema 3.31. Si (M,L) es un colector tipo P2 Finsler, entonces el tensor de curvatura v
S desaparece o el tensor de curvatura hv P desaparece. En el caso posterior, el covariante h
derivado de S desaparece.
Prueba. Como (M,L) es P2-como, entonces P (X, Y, η, øW ) = α(η)T (X, Y, øW ) =: αoT (X, Y, øW )
y, por lo tanto,
(øX, øY ) = αoT (X, Y ). (3.14)
Ahora, poniendo øW = en (3.10), obtenemos
(øZ, øX)- (X, øY)- (øZ, øY)- P (øZ, øX)øY + P (øZ, øY)øX-
−Pós (T (øX, øZ), øY ) + Pós (T (øY, øZ), øX) = 0.
Por lo tanto,
g((Y PÃ3r )(øZ, øX), øW )− g((XPÃ3r )(øZ, øY ), øW )− P (øZ, øX, øY, øW )+
+P (øZ, øY, øX, øW )− g(P® (T (øX, øZ), øY ), øW ) + g(P® (T (øY, øZ), øX), øW ) = 0.
De la cual, junto con (3.14) y la definición 2.10, teniendo en cuenta la relación
= (Y αo)T (øZ, øX) + αo(Y T)(øZ, øX), obtenemos
g((Y αo)T (øZ, øX) + αo(Y T)(øZ, øX), øW)− g((Xαo)T (øZ, øY)+
o(XT )(øZ, øY ), øW ) + α(X)T (Z, Y, øW )− α(W ) T (Z, øY,X)− α(Y )T (Z,X, øW )
(W ) T (X, øY, Z)− g(αoT (T (øX, øZ), øY ), øW ) + g(αoT (T (øY, øZ), øX), øW ) = 0.
Por lo tanto, utilizando Corollary 3.19,
(Y α)()T (øX, øZ, øW)− (Xα)()T (øY, øZ, øW) = αoS(øX, øY, øW, øZ).
Se observa que el lado izquierdo de la ecuación anterior es simétrico en
los argumentos øZ y øW mientras que el lado derecho es sesgado-simétrico en el mismo
argumentaciones. Por lo tanto tenemos
αoS(øX, øY, øW, øZ) = 0, (3,15)
*(øY)T (øX, øZ, øW)−(øX)T (øY, øZ, øW) = 0, (3.16)
en la que es la forma definida por (øY ) := (Y α)().
Ahora, Si 6= 0, se deduce de (3.16) que existe una función escalar tal que
T (øX, øY, øZ) = En consecuencia, T (øX, øY ) =
donde g(, øX) := ♥(øX). De la cual
S(øX, øY, øZ, øW ) = g(T (øX, øW ), T (øY, øZ))− g(T (øY, øW ), T (øX, øZ))
• • • (øX) • (øY) • (øZ) • (øW) • (, ) • (øX) • (øY) • (øZ) • (øW) • (, ) = 0.
Por otro lado, si el tensor de curvatura v S 6= 0, entonces se deriva de (3.15)
que فارسى = 0 y α() = 0. Por lo tanto, α = 0 y el tensor de curvatura p hv desaparece. In
este caso, se deduce de la identidad (3.10) que XS = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.32. Un colector tipo P2 Finsler (M,L) es un P
*-Finsler multiple.
Prueba. Como (M,L) es P2-como, entonces a partir de (3.14), tenemos Pó (X, Y ) = αoT (X, Y ). Uso
Lemma 3.1, obtenemos (T )(øX, øY ) = α0T (øX, øY ), de la que, tomando el rastro,
C = α0T, donde α0 =
bg( C,C)
. De ahí el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente definición será útil en la secuela.
Definición 3.33. Un campo tensor es positivamente homogéneo de grado r en el
argumento direccional y (simbólicamente, h(r)) si satisface la condición
= re, o D = re.
Lemma 3.34. Que (M,L) sea un colector Finsler, entonces tenemos
(a) La métrica de Finsler g (el tensor métrico angular ~) es homogénea de grado 0,
b) El tensor de curvatura v S es homogéneo de grado −2,
c) El tensor de curvatura de la CV P es homogéneo de grado −1,
d) El tensor de curvatura R es homogéneo de grado 0,
e) El tensor de torsión (h)hv T es homogéneo de grado −1,
(f) El tensor de torsión (v)hv P® es homogéneo de grado 0,
(g) El tensor (v)h-torsión R® es homogéneo de grado 1.
Lemma 3,35. Para cada vector (1)γ-forma A, tenemos
A) (øX, øY, øZ)− (
A)øY, øX, øZ) = A(R(øX, øY)øZ)− R(øX, øY)A(øZ)+
γ bR(øX,øY )
A)(øZ).
El teorema de Deicke [4] puede formularse globalmente de la siguiente manera:
Lemma 3,36. Que (M,L) sea un colector Finsler. Las siguientes afirmaciones son:
equivalente:
a) (M,L) es Riemanniano,
b) El tensor T (h)hv-torsión desaparece,
c) La forma C desaparece.
Teorema 3.37. Dejar (M,L) ser Finsler colector que es h-isotrópico (de escalar k0)
y Ch-periódicos (de vector de recurrencia 0). Entonces, (M,L) es necesariamente uno de los
A continuación:
a) Una variedad riemanniana de curvatura constante,
b) Un colector Finsler de dimensión 2,
c) Un colector Finsler de dimensiones n ≥ 3 con escalar de desaparición k0 y
(Xđo)(øY) = (Y Ło)(øX).
Prueba. Para un colector Ch-periódico, uno puede demostrar fácilmente que
T (øX, øY, øZ, øW)− (
• T (øY, øX, øZ, øW ) =
= T (øZ, øW ) =: (øX, øY )T (øZ, øW ).
De lo cual, teniendo en cuenta Lemma 3.35, obtenemos
(øX, øY )T (øZ, øW ) = T (R(øX, øY )øZ, øW ) + T (øZ, R(øX, øY )øW )−
−R(øX, øY )T (øZ, øW )+ (
γ bR(øX,øY )
T )(øZ, øW ).
Ahora, como (M,L) es h-isótropo de escalar k0, entonces el tensor de curvatura h R tiene la forma
R(øX, øY)øZ = k0{g(øX, øZ)øY − g(øY, øZ)øX}; (n ≥ 3).
De las dos ecuaciones anteriores, obtenemos
(øX, øY )T (øZ, øW ) = k0g(øX, øZ)T (øY, øW )− k0g(øY, øZ)T (øX, øW ) + k0g(øX, øW )T (øZ, øY )−
−k0g(øY, øW )T (øZ, øX)− k0g(øX, T (øZ, øW ))øY + k0g(øY, T (øZ, øW ))øX
+k0g(øX, )(Y T)(øZ, øW)− k0g(øY, )(XT)(øZ, øW).
(3.17)
Setting øY =, notando que T es h(−1) y g(, ) = L2, obtenemos
(øX, )T (øZ, øW ) = −k0g(, øZ)T (øX, øW )− k0g(, øW )T (øZ, øX)− k0T (øX, øZ, øW ) −
− k0g(øX, )T (øZ, øW)− k0L
2(XT)(øZ, øW).
De lo cual, tenemos
g(øY, )(øX, )T (øZ, øW) = −k0g(øY, )g(, øZ)T (øX, øW)− k0g(øY, )g(, øW)T (øZ, øX)−
− k0g(øY, )T (øX, øZ, øW) k0g(øY, )g(øX, )T (øZ, øW)−
2g(øY, )(XT)(øZ, øW),
(3.18)
Considerando que
g(øX, )(øY, )T (øZ, øW) = −k0g(øX, )g(, øZ)T (øY, øW)− k0g(øX, )g(, øW)T (øZ, øY)−
− k0g(øX, )T (øY, øZ, øW) k0g(øX, )g(øY, )T (øZ, øW)−
2g(øX, )(Y T)(øZ, øW).
(3.19)
Ahora, a partir de (3.17), (3.18) y (3.19), obtenemos
T (øZ, øW ){L2(øX, øY ) g(øY, )(øX, ) + g(øX, )(øY, )} =
= UøX,øY k0L
2(øX, øZ)T (øY, øW ) + ~(øX, øW )T (øY, øZ)− (øY ) T (øX, øZ, øW )}.
Tomando el rastro de ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos
C(øZ){L2(øX, øY) g(øY, )(øX, ) + g(øX, )(øY, )} =
= 2k0L
2(øX, øZ)C(øY)− ~(øY, øZ)C(øX)}.
(3.20)
Ajuste de øZ = øC, teniendo en cuenta el hecho de que ~(øX, øC) = C(øX), el anterior
ecuación reduce a
C(øC){L2(øX, øY) g(øY, )(øX, ) + g(øX, )(øY, )} = 0.
Ahora, si C(øC) = g(øC, øC) = 0, entonces øC = 0 y así C = 0. En consecuencia, por
Lemma 3.36, (M,L) es una variedad Riemanniana de curvatura constante.
Por otro lado, si (M,L) no es Riemannian, entonces tenemos
L2°(øX, øY ) g(øY, )(øX, ) + g(øX, )(øY, ) = 0.
De la cual, junto con (3.20), obtenemos
k0(øX, øZ)C(øY)− ~(øY, øZ)C(øX)} = 0. (3.21)
Si k0 6= 0, entonces, por (3.21), ~(øX, øZ)C(øY) = ~(øY, øZ)C(øX). Ajuste øY = øC,
Obtenemos ~(øX, øZ) = 1
C(øX)C(øZ), que implica que dimM = 2.
Si k0 = 0, entonces R = 0 y (3.17) rinde (øX, øY ) = 0, lo que significa que
(Xđo)(øY) = (Y Ło)(øX). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora, centramos nuestra atención en el interesante caso (c) del teorema anterior. In
en este caso, el tensor de curvatura h R = 0 y, por lo tanto, el tensor de torsión (v)h R = 0.
Por lo tanto, la ecuación (deducido de (3.9))
(XR)(øY, øZ, øW)+ (Y P)(øZ, øX, øW)− (ZP)(øY, øX, øW)−
−P (øZ, P (øY, øX))øW +R(T (øX, øY ), øZ)øW − S(R(øY, øZ), øX)øW+
+P (øY, P (øZ, øX))øW − R(T (øX, øZ), øY )øW = 0.
reduce a
(Y P)(øZ, øX, øW)− (ZP)(øY, øX, øW)−
−P (øZ, P® (øY, øX))øW + P (øY, P® (øZ, øX))øW = 0.
Ajuste øW =, obtenemos
(øZ, øX)— (øY, øX)— (øY, øX)— (øZ, Pó (øY, øX)) + Pó (øY, Pó® (øZ, øX)) = 0.
(3.22)
Puesto que (M,L) es Ch-periódico, entonces, por la Proposición 3.17, el (v)hv-torsión tensor
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(øX, øY ) = ♥o()T (øX, øY ) = KoT (øX, øY ). De éstos, junto con (3.22),
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
(Koko(øY) YKo)T (øZ, øX)− (Koko(øZ) ZKo)T (øX, øY)−
−K2oT (øZ, T (øX, øY )) +K
oT (øY, T (øX, øZ)) = 0.
Por lo tanto, por el corolario 3.19,
K2oS(øY, øZ, øX, øW ) = UøY,øZ{(Kođo(øY ) YKo)T (øX, øZ, øW )}.
Como S(øY, øZ, øX, øW ) es sesgo-simétrico en los argumentos øX y øW mientras que el
lado derecho es simétrico en los mismos argumentos, obtenemos
K2oS(øY, øZ, øX, øW ) = 0, (3.23)
UøY,øZ{(Koo(øY ) YKo)T (øZ, øX, øW )} = 0. (3.24)
De los apartados (3.23) y () se desprende que
P (øX, øY, øZ, øW ) = ♥o(øZ)T (øX, øY, øW )− o(øW )T (øX, øY, øZ).
Por otro lado, si Ko 6= 0, entonces el tensor de curvatura v S desaparece de (3.23).
A continuación, se ve a partir de (3.24) que, si V(øY) := Kođo(øY) YKo 6= 0, entonces allí
existe una función escalar
T (øX,øZ,øW )T (øX,øY,øZ)T (øY,øZ,øW )
(T (øX,øY,øW ))2(V(øZ))3
de tal manera que
T (øX, øY, øW ) = V(øX)V(øY )V(øW ).
Resumiendo, tenemos
Teorema 3.38. Dejar (M,L) ser un colector de Finsler de dimensiones n ≥ 3. Si (M,L)
h-isotrópico y Ch-periódico, entonces
a) el vector de recurrencia (o) satisface : (Xo) (øY ) = (Y) (øX),
b) el tensor de curvatura R = 0 y el tensor de torsión (v)h R = 0,
c) el tensor de curvatura p tiene la propiedad de que
P (øX, øY, øZ, øW ) = ♥o(øZ)T (øX, øY, øW )− o(øW )T (øX, øY, øZ),
d) el tensor de torsión (v)hv Pó (øX, øY ) = KoT (øX, øY ).
Además, si Ko 6= 0, entonces
e) el tensor de curvatura v S desaparece,
(f) el tensor de torsión (h)hv T satisface: T (øX, øY, øW ) = V(øX)V(øY )V(øW ).
Por la definición 2.10 y el teorema 3.38, tenemos inmediatamente:
Corolario 3,39. Un colector Finsler (M,L) de dimensión n ≥ 3 que es h-isotrópico
y Ch-periódico es necesariamente P2-como.
Ahora, definimos un operador P que nos ayuda a investigar los colectores tipo R3.
Definición 3.40.
(a) Si se trata de un campo de tipo η-tensor (1,p), entonces P ·-tensor es un campo de lo mismo
tipo definido por :
(P · Ł)(øX1,..., øXp) := ((øX1),..., (øXp)),
donde es el vector γ-forma definido por (3.1).
(b) Si es un campo de tipo η-tensor (0,p), entonces P ·-tensor es un campo de la misma
tipo definido por :
(P · •)(øX1,..., øXp) := •(øX1),..., •(øXp)).
Observación 3.41. Desde el punto de vista de los valores de referencia (por ejemplo, los valores de referencia y los valores de referencia) y de los valores de referencia (por ejemplo, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia y los valores de referencia.
entonces el operador P es un proyector (es decir. P · (P · •) = P · •).
Definición 3.42. Se dice que un campo de tensor es indicador si satisface el
condición : P · • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
El siguiente resultado da una caracterización de la propiedad indicadora para ciertos
tipos de campos de η-tensor :
Lemma 3,43.
(a) Un vector (2).-forma.... es indicador si, y sólo si,... (øX, )............................................................................................................................................................................................................................................
y g(øX, øY ), ) = 0.
(b) Un escalador (2) es indicadora si, y sólo si, (øX, ) = 0 = ♥(, øX).
Prueba.
a) Ser un vector (2)-forma. En la definición 3.40 a) y teniendo en cuenta (3.1),
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
(P · •)(øX, øY ) = •(•(øX), •(øY ))
= (øX − L−1l(øX), øY − L−1l(øY))}
= (øX, øY )− L−1l(øY )•(øX, )−
-L -1l(øX)-(, øY) + L -2l(øX)l(øY)-(, )
= (øX, øY )− L−2g(øX, øY ), ) − L−1l(øY )•(øX, )+
+L1l(øX)(, øY)L2l(øX)l(øY)(, )
(3.25)
Ahora bien, si (øX, ) = 0 = (, øX) y g((øX, øY ), ) = 0, entonces (3.25) implica
que (P · •)(øX, øY ) = •(øX, øY ) y, por lo tanto, • es indicadora.
Por otra parte, si el valor de la palabra es indicativo, entonces el valor de la palabra (øX, øY ) = el valor de la palabra (el valor de la palabra (øX), el valor de la palabra (øY )).
De la cual, setting øX = (resp. øY = ) y teniendo en cuenta el hecho de que
*() = 0 (Lemma 3.2), obtenemos *(, øY ) = 0 (resp. (øX, ) = 0). De esto, a...
gether con (P+)(øX, øY ) = (øX, øY ), Ecuación (3.25) implica que L−2g(•(øX, øY ), ) =
0. En consecuencia, g(øX, øY ), ) = 0.
b) La prueba es similar a la de a) y la omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.44. Para un colector Finsler (M,L), los siguientes tensores son:
indicadora :
a) El campo de concentración,
b) El tensor de torsión mixta T,
c) El tensor de curvatura en v S,
d) El tensor métrico angular ~,
e) El campo tensor P para cada campo tensor.
Ahora, definimos los siguientes campos de η-tensor:
F : F (X, Y ) := 1
{Rich(X, Y)−
Schg(X,Y)
2 n−1)
Fo : g(Fo(øX), øY ) := F (øX, øY ),
F a : F a(øX) := F (, øX),
F b : F b(øX) := F (øX, ),
m : m(øX, øY ) := (P · F )(øX, øY ),
mo : g(mo(øX), øY ) := m(øX, øY ),
a : a(øX) := L−1(P · F a)(øX),
øa : g(øa, øY ) := a(øX),
b : b(øX) := L−1(P · F b)(øX),
øb : g(øb, øX) := b(øX),
c : c := L−2F (, ),
Ró : Ró (øX, øY ) := R(øX, øY ),
H : H(øX) := R(, øX) = R(, øX).
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(3.26)
Observación 3.45. Uno puede mostrar que m, mo, a y b son indicadores y H() = 0.
Proposición 3.46. Si (M,L) es un colector de Finsler tipo R3, entonces el campo de γ-tensor
F se puede escribir en el formulario
F (øX, øY ) = m(øX, øY ) + l(øX)a(øY ) + l(øY )b(øX) + c l(øX)l(øY ). (3.27)
Prueba. La prueba se deriva de las definiciones 2.14 y 3.40 b), teniendo en cuenta
Ecuaciones (3.1) y (3.26). Más detalles :
(P · F )(øX, øY ) = F (
= F (øX − L−1l(øX), øY − L−1l(øY))
= F (øX, øY )− L−1l(øY )F (øX, )−
−L−1l(øX)F (, øY) + L−2l(øX)l(øY)F (, )
= F (øX, øY )− L−1l(øY ){(P · F b)(øX) + L−1l(øX)F (, )
− L−1l(øX){(P · F a)(øY) + L−1l(øY)F ( ) L−2l(øX)l(øY)F (, )
= F (øX, øY)− l(øX)a(øY)− l(øY)b(øX)− c l(øX)l(øY). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.47. Uno puede demostrar que los campos de η-tensor a y b satisfacen lo siguiente
Relaciones
F a(øX) = L{a(øX) + c l(øX)},
F b(øX) = L{b(øX) + c l(øX)}.
(3.28)
Proposición 3.48. En un colector tipo R3 Finsler (M,L), tenemos:
a) R(øX, øY)øZ = g(øX, øZ)Fo(øY)+F (øX, øZ)øY−g(øY, øZ)Fo(øX)−F (øY, øZ)øX.
(b) RøX, øY ) = g(øX, )Fo(øY)+F (øX, )øY −g(øY, )Fo(øX)−F (øY, )øX.
c) H(øY ) = L2Fo(øY ) + c L
2øY − g(øY, )Fo()− F (øY, ).
d) Fo(øX) = mo(øX) + øa l(øX) + L
−1b(øX) + c L−1l(øX).
En consecuencia,
(e) Râr(øX, øY ) = L{l(øX)(mo(øY ) + c (øY )) + b(øX)(øY )
− L{l(øY)(mo(øX) + c (øX)) + b(øY)(øX)}.
f) H(øY ) = L2{mo(øY ) + c (øY )}.
Prueba.
(a) Puesto que (M,L) es un multiple tipo R3, entonces por la definición 2.14, tenemos
R(X, Y, Z,W) =g(X,Z)F (Y,W)− g(Y, Z)F (X,W)+
+ g(Y,W)F (X,Z)− g(X,W)F (Y,Z).
De la cual, utilizando el hecho de que g(Fo(øX), øY ) = F (øX, øY ) y que el Finsler
métrica g no es degenerado, el resultado sigue.
b) Seguimientos de a) mediante el establecimiento de øZ =.
c) Seguimientos de b) mediante el establecimiento de øX =.
d) Para (3.27) y (3.26), obtenemos
g(Fo(øX), øY) = g(mo(øX), øY)+g(øa, øY) l(øX)+L
−1b(øX)g(, øY )+c L−1l(øX)g(, øY ).
Por lo tanto, el resultado sigue, de la no degeneración de g.
e) A continuación, sustituyendo Fo(øX) (del d)) y F
b(øX) (de (3.28) a b).
f) Seguimientos de la letra e) mediante el establecimiento de øX =, teniendo en cuenta la Observación 3.45 y la
hecho que l() = L.
Observación 3.49. Teniendo en cuenta (3.26) y Lemma 3.2, la definición 2.13(a) puede ser
con retraso, según se indica:
Un colector Finsler (M,L) es de curvatura de escalador si el campo de tensor H satisface la
relación H(øX) = L2(øX), donde ♥ es una función escalar en TM.
Definición 3.50. Un colector Finsler (M,L) se dice que es de escalar perpendicular
(o de curvatura p-escalar) si el tensor de curvatura h R satisface la condición
(P · R) (øX, øY, øZ, øW) = Ro(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øX, øW)~(øY, øZ)}, (3.29)
donde Ro es una función llamada curvatura perpendicular escalar.
Definición 3.51. Se dice que un colector Finsler (M,L) es de curvatura s-ps si (M,L)
es tanto de curvatura escalar como de curvatura p-escalar.
Proposición 3.52. Si mo(øX) = t (øX), entonces un colector de finsler tipo R3 es un
Finsler multiple de curvatura s-ps.
Prueba. Bajo el supuesto dado y teniendo en cuenta la Proposición 3.48(f), nosotros
H(øX) = L2(øX), con = t + c.
Por lo tanto, el múltiple considerado es de curvatura escalar.
Ahora, demostramos que el colector dado es de curvatura p-escalar. Aplicando el
proyección P en el tensor de curvatura R de un colector tipo R3, obtenemos
(P · R)(øX, øY, øZ, øW ) = R(
= g(?(øX),?(øZ))(P · F )(øY, øW) + g(?(øY),?(øW))(P · F )(øX, øZ)−
−g(øY), (øZ))(P · F )(øX, øW)− g((øX), (øW))(P · F )(øY, øZ)
= g(Ø(øX), (øZ))m(øY, øW) + g(øY), (øW))m(øX, øZ)−
− g(øY ), (øZ))m(øX, øW )− g(/23370/(øX), (øW))m(øY, øZ).
(3.30)
Desde
g(l(øX), (øY )) = g(l(øX), øY − L−1l(øY )) = g(el(øX), øY )− L−1l(øY )g(el(øX), )
= ~(øX, øY )− L−1l(øY )~(øX, )= ~(øX, øY ),
entonces, utilizando de nuevo la suposición dada (mo = t m = t~), Ecuación (3.30)
reduce a
(P · R)(øX, øY, øZ, øW) = ~(øX, øZ)m(øY, øW) + ~(øY, øW)m(øX, øZ)−
(øY, øZ)m(øX, øW)− ~(øX, øW)m(øY, øZ)
= 2t(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øY, øZ)~(øX, øW)}.
Por lo tanto, tomando Ro = 2t, tenemos
(P · R)(øX, øY, øZ, øW) = Ro(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øY, øZ)~(øX, øW)}.
En consecuencia, el colector dado es de curvatura p-escalar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.53. Si un colector tipo R3 Finsler (M,L) es de curvatura p-escalar, entonces
es de curvatura s-ps.
Prueba. Puesto que el colector considerado es similar a R3, entonces, por el mismo procedimiento que en
la prueba de la Proposición 3.52, tenemos
(P · R)(øX, øY, øZ, øW) = ~(øX, øZ)m(øY, øW) + ~(øY, øW)m(øX, øZ)−
(øY, øZ)m(øX, øW)− ~(øX, øW)m(øY, øZ).
(3.31)
Por otro lado, puesto que el múltiple considerado es de curvatura p-escalar, entonces el
El tensor de curvatura h satisface
(P · R)(øX, øY, øZ, øW) = Ro(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øY, øZ)~(øX, øW)}. (3.32)
Ahora, de las ecuaciones (3.31) y (3.32), obtenemos
UøX,øY {Ro~(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øX, øZ)m(øY, øW)− ~(øY, øW)m(øX, øZ)} = 0.
Utilizando (3.26) y la no degeneración del tensor métrico g, la ecuación anterior
reduce a
UøX,øY {Ro~(øX, øZ)(øY ) ~(øX, øZ)mo(øY )m(øX, øZ)(øY)} = 0. (3.33)
Puesto que los campos de π-tensor, m y mo son indicadores, entonces
TrY 7 ~(øX, øY )(øZ)} = g(øX, Ł(øZ)) = ~(øX, øZ),
TrY 7 ~(øX, øY )mo(øZ)} = m(øX, øZ),
TrY 7 m(øX, øY )(øZ)} = m(øX, øZ).
En consecuencia, si tomamos el rastro de ambos lados de la ecuación (3.33), haciendo uso de
Lemma 3.43, tenemos
(n− 2)Ro~(øX, øZ)− (n− 3)m(øX, øZ)− (n− 1)t ~(øX, øZ) = 0,
donde t := 1
Tr(mo). De la cual, usando (3.26) y Lemma 3.2, obtenemos
(n− 2)Ro (n− 3)mo − (n− 1)t ♥ = 0. (3.34)
De nuevo, tomando el rastro de la ecuación anterior, obtenemos
(n− 1)(n− 2)(Ro − 2t) = 0.
Sustituyendo la relación anterior en (3.34), obtenemos mo = t. Por lo tanto, por Proposición
3.52, el resultado sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.54. Si un colector tipo R3 Finsler (M,L) es de curvatura escalar, entonces
es de curvatura s-ps.
Prueba. Puesto que el colector dado es R3-como, entonces el η-tensor H es dado por (cf.
Proposición 3.48):
H(øX) = L2{mo(øX) + c (øX)}. (3.35)
Y puesto que el múltiple considerado es de curvatura escalar, entonces
H(øX) = L2(øX). (3.36)
De las ecuaciones (3.35) y (3.36) se deduce quemo(øX) = (c)
Por lo tanto, por la Proposición 3.52, el resultado sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora, definamos el campo de η-tensor
(øX, øY, øZ, øW ) = R(øX, øY, øZ, øW )− 1
UøX,øY {g(øX, øZ)Ric
h(øY, øW )+
+g(øY, øW )Rich(øX, øZ)− rg(øX, øZ)g(øY, øW)},
(3.37)
donde r = 1
Sch. De la definición 2.14 y (3.37), obtenemos inmediatamente
Teorema 3.55. Un colector tipo R3 Finsler se caracteriza por
(øX, øY, øZ, øW ) = 0.
El campo tensor • en el teorema antedicho es de la misma forma que el Weyl
tensor conforme en geometría Riemanniana, dibujamos lo siguiente
Teorema 3.56. Un colector Riemanniano tipo R3 es conformalmente plano.
Observación 3.57. Cabe señalar que algunos resultados importantes de [8], [9], [11], [13],
[19], [20],...,etc. (obtenidos en coordenadas locales) se recuperan de las mencionadas
resultados globales (cuando se localizan).
Apéndice. Fórmulas locales
En aras de la integridad, presentamos en este apéndice un breve y conciso
encuesta de las expresiones locales de algunos objetos geométricos importantes y el local
definiciones de los colectores especiales de Finsler tratados en el papel.
Que (U, (xi)) sea un sistema de coordenadas locales en M y (1(U), (xi, yi))
sistema asociado de coordenadas locales en TM. Utilizamos las siguientes anotaciones:
(i) := (
): la base natural de TxM, x â € ¢M,
(i) := (
): la base natural de Vu(TM), u â € TM,
(i, i): la base natural de Tu(TM),
(i): la base natural de la fibra sobre u en
−1(TM) (i es el ascensor de Łi en u).
A un colector Finsler (M,L), asociamos los objetos geométricos:
gij :=
ijL
2 = ijE: el tensor métrico Finsler,
Cijk :=
k gij : el tensor de Cartan,
~ij := gij − lilj (li :=
i): el tensor angular métrico,
Gh: los componentes del spray canónico,
Ghi := iG
Ghij := jG
i = j iG
(i) := (i −G
i h): la base de Hu(TM) adaptada a G
(i, i): la base de Tu(TM) = Hu(TM) Vu(TM) adaptada a G
Tenemos:
γ(i) = i,
(l) = i, (l) = 0, (l) = i, (l) = i,
β(i) = ♥i,
J(eli) = i, J(eli) = 0, J(eli) = i,
h := βo. = dxi...............................................................................................................
j i v := γoK = dy
i i +G
j i.
Definimos:
γhij :=
GHL(ljjjjjjjjjjhljjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
Chij :=
ghl(i glj + j gil − l gij) =
ghl i gjl = g
hlCijl,
** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ghl(i glj + j gil − l gij).
Entonces, tenemos:
• El spray canónico G: Gh = 1
γhij y
• La conexión Barthel: Ghi = iG
h = Łhijy
j = Ghijy
• La conexión de Cartan C.: (.....................................................................................................................................................................
i, C
El covariante h asociado (resp. v-covariante) derivado se denota por p (resp. ),
donde Ki
jk := ♥kK
mk −K
jk y K
j k := kK
mk −K
• La conexión de Berwald: (Ghij, G
i, 0).
El covariante h asociado (resp. V-covariante) derivado se denota por
p(resp.
donde Ki
:= kK
mk −K
jk y K
:= kK
También tenemos Ghij =
ij + C
ij k y
k = Łhij + C
ij o, donde C
ij o = C
ij k y
Para la conexión de Cartan, tenemos:
(v)h-torsión: Rijk = kG
j − ♥jG
k = UjkkG
(v)hv-torsión: P ijk = G
jk −
jk = C
jkmy
m = C i
jk0,
(h)hv-torsión : C ijk = 1/2{g
rirgjk},
h-curvatura : Rihjk = Ujkk
hj +
mk} − C
hv-curvatura : P ihjk = k
hj − C
+ C ihmP
V-curvatura : Sihjk = C
mj − C
mk = Ujk{C
Para la conexión de Berwald, tenemos:
(v)h-torsión: R*ijk = kG
j − ♥jG
k = UjkkG
h-curvatura : R*ihjk = UjkkG
hj +G
hv-curvatura : P *ihjk = kG
hj =: G
En lo siguiente, damos las definiciones locales de los espacios especiales de Finsler tratados
en el periódico. Para cada espacio especial de Finsler (M,L), fijamos su nombre, su definición
y una referencia seleccionada en la que se encuentra la definición local:
• Multiplex de Rimaniann [22]: gij(x, y) gij(x) Cijk = 0 Ci := C
ik = 0
(Teorema de Deicke [4]).
• Minkowaskian multiple [22]: gij(x, y) gij(y) C
= 0 y Rhijk = 0.
• Berwald multiple [22]:?hij(x, y)??
ij(x) (es decir, k
ij = 0) C
• Multiplex periódico [13]: Chijk = μkChij,
donde μj es un campo vectorial covariante.
• Colchón P ∗-Finsler [7]: Ch
ij0 = (x, y)C
donde (x, y) = PiC
; Pi := P
ik = C
ik0 = Ci0 y C
2 = CiC
i 6= 0.
• Cv-periódico [13]: C ijkl = C
jk o Cijkl = Cijk.
• C0-periódico múltiple [13]: C ijk
= 1 C
jk o Cijk
= Cijk.
• Colchón semi-C reducible (dimM ≥ 3) [18]:
Cijk =
(n+1)
(~ijCk + ~jkCi + ~kiCj) +
CiCjCk, C
2 6 = 0,
en los que μ y ♥ son funciones escalares que satisfacen • • • • = 1.
• C-reducible (dimM ≥ 3) [15]: Cijk =
(~ijCk + ~jkCi + ~kiCj).
• C2-como colector (dimM ≥ 2) [17]: Cijk =
CiCjCk, C
2 6= 0.
• colector cuasi-C reducible (dimM ≥ 3) [23]: Cijk = AijCk + AjkCi + AkiCj,
donde Aij(x, y) es un campo tensor simétrico que satisface Aijy
i = 0.
• Multiplicador tipo S3 (dimM ≥ 4) [6]: Slijk =
(n−1)(n−2)
ik~lj − ~ij~lk},
donde S es la curvatura vertical escalar.
• Colchón similar a S4 (dimM ≥ 5) [6]: Slijk = ~ljFik − ~lkFij + ~ikFlj − ~ijFlk,
donde Fij :=
{Sij −
2 n−2)
Sij es el tensor vertical de Ricci.
• Multifolleto Sv-periódico [20], [11]: Shijkm = ♥mShijk,
donde ♥j(x, y) es un campo vectorial covariante.
• Segundo orden Células Sv-periódicas [20], [11]: Shijkmn = mnShijk,
donde el campo de tensor covariante es el Íj(x, y).
• Landsberg multiple [7]: P hkji y
k = 0
k = 0 Ch
yk = 0.
• General Landsberg multiple [10]: P rijry
i = 0 Cjo = 0.
• Multiple simétrico P [19]: Phijk = Phikj.
• colector tipo P2 (dimM ≥ 3) [14]: Phijk = αhCijk − αiChjk,
donde αk(x, y) es un campo vectorial covariante.
• Multiplicador reducible P (dimM ≥ 3) [19]: Pijk =
(~ij Pk + ~jk Pi + ~ki Pj),
donde Pijk = ghiP
• colector isotrópico h (dimM ≥ 3) [13]: Rhijk = ko{ghjgik − ghkgij},
para algunos escalar ko, donde Rhijk = gilR
• Manifold de curvatura escalar [21]: Rijkl y
iyk = kL2~jl,
para alguna función k : TM R.
• Manifold de curvatura constante [21]: la función k en la definición anterior es
constante.
• Manifold de curvatura perpendicular escalar (o de curvatura p-escalar ) [8], [9]:
P ·Rhijk := ~
k Rlmnr = Roik~hj − ~ij~hk},
donde Ro es una función llamada curvatura perpendicular escalar.
• Manifold de curvatura s-ps [8], [9]: (M,L) es tanto de curvatura escalar como de
Curvatura p-escalar.
• colector tipo R3 (dimM ≥ 4) [8]: Rhijk = ghjFik − ghkFij + gikFhj − gijFhk,
donde Fij :=
{Rij −
r gij}; Rij := R
ijh, r :=
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[27] Nabil L. Youssef, S. H. Abed, y A. Soleiman, Una teoría global de la conformación
Geometría Finsler, presentada. ArXiv No.: matemáticas. DG/0610052.
| El objetivo del presente documento es ofrecer una presentación mundial de la
teoría de los colectores especiales Finsler. Presentamos e investigamos globalmente (o
intrínsecamente, libre de coordenadas locales) muchos de los más importantes y más
colectores especiales de Finsler de uso común: localmente Minkowskian, Berwald,
Landesberg, General Landesberg, $P$-reducible, $C$-reducible,
Semi-C$-reducible, cuasi-C$-reducible, $Pâ*}$-Finsler, $Câh}$-periódico,
Periódicas, periódicas, periódicas, periódicas, periódicas
el segundo pedido, $C_{2}-like, $S_{3}-like, $S_{4}-like, $P_{2}-like,
$R_{3}-como, $P$-simétrico, $h$-isotrópico, de curvatura escalar, de constante
curvatura, de $p$-scalar curvatura, de $s$-$ps$-curvatura. A nivel mundial
Se introducen definiciones de estos colectores especiales Finsler. Varios
relaciones entre los diferentes tipos de la considerada especial Finsler
Se encuentran colectores. Muchos resultados locales, conocidos en la literatura, son probados
a nivel mundial y se obtienen varios resultados nuevos. Como subproducto, interesante
identidades y propiedades relativas a los campos tensores de torsión y el
Los campos tensores de curvatura se deducen. Aunque nuestra investigación es totalmente
global, proporcionamos; por razones de comparación, un apéndice que presenta un
homólogo de nuestro enfoque global y de las definiciones locales de
Espacios Finsler considerados.
| Introducción
En geometría Finsler todos los objetos geométricos dependen no sólo de la posición coordi-
nates, como en la geometría Riemanniana, pero también en argumentos direccionales. En Riemannian
geometría hay una conexión lineal canónica en el múltiple M, mientras que en Finsler
geometría hay una conexión lineal canónica correspondiente, debido a E. Cartan,
que no es una conexión en M pero es una conexión en 1(TM), la retirada de
el haz tangente TM por η : TM M (el enfoque de retroceso). Por otra parte, en
Geometría Riemanniana hay un tensor de curvatura y un tensor de torsión asociado
con una conexión lineal dada en el colector M, mientras que en la geometría de Finsler allí
son tres tensores de curvatura y cinco tensores de torsión asociados con un determinado lineal
conexión en 1(TM).
La mayoría de los espacios especiales en la geometría de Finsler se derivan del hecho de que
los campos de η-tensor (torsiones y curvaturas) asociados con la conexión cartán
satisfacer las formas especiales. En consecuencia, los espacios especiales de la geometría de Finsler son más
numerosos que los de la geometría Riemanniana. Espacios especiales de Finsler son investigados
local (utilizando coordenadas locales) de muchos autores: M. Matsumoto [16], [18], [15], [14]
y otros [6], [19], [8], [7]. Por otro lado, el global (o intrínseco, libre de
Coordenadas locales) la investigación de tales espacios es muy rara en la literatura. Algunos
A. Tamim [24], [25], aporta contribuciones considerables en este sentido.
En el presente trabajo, proporcionamos una presentación global de la teoría de especial
Colchones Finsler. Presentamos e investigamos globalmente muchos de los más importantes
y más comúnmente utilizado especial Finsler colectores : localmente Minkowskian, Berwald,
Landesberg, general Landesberg, P -reducible, C-reducible, semi-C-reducible, cuasi-
C-reducible, P*-Finsler, Ch-periódico, Cv-periódico, C0-periódico, Sv-periódico, Sv-
recurrente del segundo orden, C2-como, S3-como, S4-como, P2-como, R3-como, P-simétrico,
h-isótropo, de curvatura escalar, de curvatura constante, de curvatura p-scalar, de s-ps-
curvatura.
El documento consta de dos partes, precedidas por una sección preliminar (§1), que
proporciona una breve descripción de los conceptos básicos del enfoque de retroceso de Finsler
geometría necesaria para este trabajo. Para más detalles, se hace referencia al lector [1], [3], [5]
y [24].
En la primera parte (§2), introducimos las definiciones globales de
especial Finsler colectores de tal manera que, cuando se localizan, que rinden el habitual
definiciones locales actuales en la literatura (véase el apéndice). Las definiciones son:
arreglado según el tipo de la propiedad definitoria del colector especial Finsler
concernidos.
En la segunda parte (§3), varias relaciones entre los diferentes tipos de
se encuentran colectores Finsler especiales. Muchos resultados locales, conocidos en el
literatura, se prueban globalmente y se obtienen varios nuevos resultados. Como subproducto
de algunos de los resultados obtenidos, identidades y propiedades interesantes
se deducen los campos tensores de torsión y los campos tensores de curvatura, que a su vez juegan
un papel clave en la obtención de otros resultados.
Entre los resultados obtenidos se encuentran: una caracterización de los colectores Riemannianos, una
caracterización de colectores Sv-periódicos, una caracterización de P-simétricos
los colectores, una caracterización de los colectores de Berwald (en ciertos casos), la equivalencia
de los colectores Landsberg y Landsberg en general en determinadas condiciones, una clasificación
ión de colectores h-isotrópicos Ch-periódicos y una presentación de diferentes condiciones
bajo el cual un colector tipo R3 Finsler se convierte en un colector Finsler de curvatura s-ps.
Los resultados anteriores son sólo una muestra no exhaustiva de los resultados globales obtenidos en
Este periódico.
Por último, cabe señalar que algunos resultados importantes de [8], [9], [11], [13], [19],
[20],...,etc. (obtenido en coordenadas locales) se derivan inmediatamente de la
resultados globales (cuando se localizan).
Aunque nuestra investigación es totalmente global, concluimos el documento con un ap-
pendix presentando una contraparte local de nuestro enfoque global y las definiciones locales
de los espacios especiales Finsler considerados. Esto se hace para facilitar la comparación y
hacer que el papel sea más autónomo.
1. Notación y preliminares
En esta sección, damos un breve relato de los conceptos básicos de la retirada
formalismo de la geometría de Finsler necesario para este trabajo. Para más detalles, véase [1], [3],
[5] y [24]. Hacemos la suposición general de que todos los objetos geométricos que consideramos
son de la clase C. A lo largo del presente documento se utilizarán las siguientes anotaciones:
M : un verdadero colector diferenciable de dimensión finita n y de clase C.
F(M): la álgebra-R de funciones diferenciables en M,
X(M): el módulo F(M) de campos vectoriales en M,
ηM : TM M : el paquete tangente de M,
η : TM M : el subbundle de vectores distintos de cero tangente a M,
V (TM): subbundle vertical del haz TTM,
P : 1(TM) TM : el retroceso del haz tangente TM por
P* : 1(T*M) TM : la retirada del haz de cotangente T*M por η,
X((M)): el módulo F(TM) de secciones diferenciables de 1(TM).
Los elementos de X((M)) se denominarán campos de η-vector y se denotarán por
letras X. Los campos de Tensor en 1(TM) se llamarán campos de Tensor. Lo fundamental
El campo η-vector es el campo η-vector η definido por η(u) = (u, u) para todos los u • TM. Los
elevación a 1(TM) de un campo vectorial X en M es el campo vectorial X definido por X(u) =
(u,X(π(u))). El elevador a 1(TM) de un 1-formo de M es el
* (u) = (u, ♥ (u)).
El paquete tangente T (TM) está relacionado con el paquete pullback 1(TM) por el
secuencia exacta corta
0 1(TM)
T (TM)
1(TM) 0,
en los que los morfismos de los bultos π y γ se definan, respectivamente, por π = (ηT M, dη) y
γ(u, v) = ju(v), donde ju es el isomorfismo natural ju : TηM (v)M Tu(TηM (v)M).
Dejar • ser una conexión lineal (o simplemente una conexión) en el paquete pullback
1(TM). Nos asociamos a â € TM el mapa
K : TTM 1(TM) : X 7 Xη,
llamado el mapa de la conexión (o de la desviación) de. Un vector tangente X Tu(TM)
se dice que es horizontal si K(X) = 0. El espacio vector Hu(TM) = {X+ Tu(TM) :
K(X) = 0} de los vectores horizontales en u â € TM se llama el espacio horizontal a M
en u. Se dice que la conexión es regular si
Tu(TM) = Vu(TM)â € € ~ Hu(TM) â € € TM.
Si M está dotado de una conexión regular, a continuación, los mapas del paquete de vectores
γ : 1(TM) V (TM),
H(T M) : H(TM)
−1(TM),
KV (T M) : V (TM)
−1(TM)
son isomorfismos vectoriales. Denoremos β = (H(T M))
−1, entonces
βoβ = id1(T M), βo♥ =
idH(T M) en H(TM)
0 en V(TM)
(1.1)
Para una conexión regular definimos dos derivados covariantes
• y
• la siguiente información:
Para cada vector (1)γ-forma A, tenemos
A)(øX, øY ) := (XA)(øY ), (
(A)(øX, øY ) := (XA)(øY ).
El tensor de torsión clásico T de la conexión.............................................................................................
T(X, Y ) = #X?Y #Y #X - #[X, Y] #X, Y #X(TM).
Los tensores de torsión horizontales (h)h-) y mixtos (h)hv-), denotados respectivamente por Q
y T, están definidos por
Q(X, Y ) = T(βXβY ), T (X, Y ) = T(γX, βY )
El tensor de curvatura clásico K de la conexión • es definido por
K(X, Y )Z = XYZ YXXZ [X, Y]ZX, Y, ZX(TM).
Los tensores horizontales (h-), mixtos (hv-) y verticales (v-) de curvatura, deno-
por R, P y S, se definen por
R(X, Y)øZ = K(βXβY)øZ, P (X, Y)øZ = K(βX, γY)øZ, S(X, Y)øZ = K(γX, γY)øZ.
También tenemos los tensores (v)h-, (v)hv- y (v)v-torsión, denotados respectivamente por RÃ3,
Derivados de los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA
Râ ́(X, Y ) = R(X, Y ), Pâ ́ (X, Y ) = P (X, Y ), â ́(X, Y ) = S(X, Y ).
Teorema 1.1. [25] Que (M,L) sea un colector Finsler. Existe un único regular
conexión en 1(TM) de tal manera que
a) • es métrica : • g = 0,
b) La torsión horizontal de • desaparece : Q = 0,
c) La torsión T mezclada de T de • satisface g(T (X, Y ), Z) = g(T (X,Z), Y ).
Tal conexión se llama la conexión Cartan asociada al hombre Finsler-
ifold (M,L).
Uno puede mostrar que la torsión T de la conexión de Cartan tiene la propiedad que
T (X, η) = 0 para todos los X â € ¬ X(η(M)) y asociados a T tenemos:
Definición 1.2. [25] Ser la conexión de Cartan asociada a (M,L). Los
el campo T del tensor de torsión de la conexión.........................................................................................................................................................................................................................................................
llamado el tensor de Cartan y denotado de nuevo T, definido por :
T (X, Y, Z) = g (T (X, Y ), Z), para todos los X, Y, Z • X(TM).
También induce una forma C, llamada torsión contraída, definida por:
C(X) := Tr{Y 7 T (X, Y )}, para todas las X (TM).
Definición 1.3. [25] Con respecto a la conexión de Cartan asociada a (M,L),
Tenemos
– Los tensores Ricci horizontales y verticales Rich y Ricv se definen respectivamente por:
Rich(X, Y ) := Tr{Z 7 R(X,Z)Y }, para todas las X, Y, X(TM),
Ricv(X, Y ) := Tr{Z 7 S(X,Z)Y }, para todas las X, Y, X(TM).
– El Ricci horizontal y vertical mapas Rich0 y Ric
0 se definen respectivamente por:
g(Rich0(X), Y ) := Ric
h(X, Y ), para todas las X, Y-X(TM),
g(Ricv0(X), Y ) := Ric
v(X, Y ), para todas las X, Y • X(TM).
– Las curvaturas escalar horizontales y verticales Sch, Scv se definen respectivamente por:
Sch := Tr(Rich0), Sc
v := Tr(Ricv0),
donde R y S son, respectivamente, los tensores de curvatura horizontales y verticales de.
Proposición 1.4. [12] Que (M,L) sea un colector Finsler. El campo vector G disuade-
es un aerosol, llamado aerosol canónico asociado a la energía
E, donde E := 1
L2 y := ddJE.
Uno puede demostrar, en este caso, que G = βoη, y G es así horizontal con respecto
a la conexión de Cartan.
Teorema 1.5. [26] Que (M,L) sea un colector Finsler. Existe un único regular
conexión D en 1(TM) de tal manera que
a) D está libre de torsión;
b) La pulverización canónica G = βoη es horizontal con respecto a D;
c) El tensor de torsión (v)hv de D desaparece.
Tal conexión se llama la conexión Berwald asociada al Finsler
multiple (M,L).
2. Espacios especiales de Finsler
En esta sección, introducimos las definiciones globales de los más importantes y
espacios especiales utilizados comúnmente Finsler de tal manera que, cuando se localizan, ceden
las definiciones locales habituales que existen en la literatura (véase el apéndice). Aquí vamos.
simplemente establecer las definiciones, posponiendo la investigación de las relaciones mutuas ser-
entre estos espacios especiales Finsler a la siguiente sección. Las definiciones están ordenadas
según el tipo de propiedad definitoria del espacio especial de Finsler de que se trate.
A lo largo del papel, g, â € ¬, â € y D denotan, respectivamente, la métrica de Finsler en
1(TM), la métrica inducida en 1(T ∗M), la conexión de Cartan y el Berwald
conexión asociada a un determinado colector Finsler (M,L). Además, T denota la torsión
tensor de la conexión de Cartan (o el tensor de Cartan) y R, P y S denotan
respectivamente la curvatura horizontal, la curvatura mixta y la curvatura vertical
de la conexión con Cartan.
Definición 2.1. Un colector Finsler (M,L) es:
a) Riemanniano si el tensor métrico g(x, y) es independiente de y o, equivalentemente, si
T (X, Y ) = 0, para todas las X, Y, X((M)).
(b) localmente Minkowskian si el tensor métrico g(x, y) es independiente de x o, equiva-
Lentamente, si
X T = 0 y R = 0.
Definición 2.2. Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) Berwald [24] si el tensor de torsión T es horizontalmente paralelo. Es decir,
X T = 0.
b) Ch-periódico si el tensor de torsión T satisface la condición
X T = ♥o(X) T,
donde Oo es una forma de orden uno.
c) P *-Finsler multiple si el campo de tensión η T se expresa en la forma
T = (x, y) T,
donde (x, y) =
bg( C,C)
g(C,øC)
y C2 := (C,C) = C(C) 6= 0; C
siendo el campo η-vector definido por g(C,X) = C(X).
Definición 2.3. Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) Cv-periódico si el tensor de torsión T cumple la condición
(XT )(Y, Z) = ♥o(X)T (Y, Z).
b) C0-periódico si el tensor de torsión T cumple la condición
(DγXT )(Y, Z) = o(X)T (Y, Z).
Definición 2.4. [25] Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) semi-C-reducible si el dimM ≥ 3 y el tensor de Cartan T tienen la forma
T (X, Y, Z) =
(X, Y)C(Z) + ~(Y, Z)C(X) + ~(Z,X)C(Y)
C(X)C(Y)C(Z),
donde las funciones escalares de μ y satisfacen las funciones escalares de μ + = 1, ~ = g − l l y l(X) :=
L−1g(X, η).
b) C-reducible si el dimM ≥ 3 y el tensor de Cartan T tienen la forma
T (X, Y, Z) =
(X, Y)C(Z) + ~(Y, Z)C(X) + ~(Z,X)C(Y)}.
c) similar a C2 si la forma es dimM ≥ 2 y el tensor de Cartan T tiene la forma
T (X, Y, Z) =
C(X)C(Y)C(Z).
Definición 2.5. Un colector Finsler (M,L), donde dimM ≥ 3, se dice que es cuasi-C-
reducible si el tensor de Cartan T está escrito como :
T (X, Y, Z) = A(X, Y)C(Z) + A(Y, Z)C(X) + A(Z,X)C(Y),
donde A es un indicador simétrico (2) γ-forma (A(X, η) = 0 para todas las X).
Definición 2.6. [25] Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) S3-como si dim(M) ≥ 4 y el tensor vertical de curvatura S(X, Y, Z, W )
:= g(S(X, Y)Z,W) tiene la forma :
S(X, Y, Z, W) =
(n− 1)(n− 2)
(X,Z)~(Y,W)−~(X,W)~(Y,Z)}.
(b) S4-como si dim(M) ≥ 5 y el tensor vertical de curvatura S(X, Y, Z, W) tiene la
forma :
S(X, Y, Z, W) =~(X,Z)F(Y,W)− ~(Y, Z)F(X,W)+
+ ~(Y,W )F(X,Z)− ~(X,W )F(Y,Z),
(2.1)
donde F es la forma (2)γ definida por F =
{Ricv−
Scv ~
2 n - 2)
Definición 2.7. Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) Sv-periódico si el tensor de v-curvatura S cumple la condición
(XS)(Y, Z,W) = (X)S(Y, Z)W,
donde es una forma de orden uno.
b) Sv-periódico del segundo orden si el tensor de curvatura v S cumple la condición
• S)(øY, øX,Z,W,U) = •(X, Y )S(Z,W)U,
donde Ł es una forma de orden dos.
Definición 2.8. [24] Se dice que un colector Finsler (M,L) es:
a) un colector Landsberg si
(X, Y ) = P (X, Y )η = 0
b) un colector general Landsberg si
Tr{Y P (X, Y )} = 0
Definición 2.9. Un colector Finsler (M,L) se dice que es P -simétrico si la mezcla
tensor de curvatura P satisface
P (X, Y )Z = P (Y,X)Z,
Definición 2.10. Un colector Finsler (M,L), donde dimM ≥ 3, se dice que es similar a P2
si el tensor de curvatura mixto P tiene la forma :
P (X, Y, Z, øW ) = α(Z)T (X, Y, øW )− α(W ) T (X, øY, Z),
donde α es una (1) forma γ (positivamente homogénea de grado 0).
Definición 2.11. [25] Un colector Finsler (M,L), donde se dice que es dimM ≥ 3,
P -reducible si el campo tensor P (X, Y, Z) := g(P (X, Y)η, Z) puede expresarse en
el formulario :
P (X, Y, Z) = (X)~(Y, Z) + (Y)~(Z,X) + (Z)~(X, Y),
en el que es una (1) forma-satisfactoria () = 0.
Definición 2.12. [2] Un colector Finsler (M,L), donde se dice que es dimM ≥ 3,
h-isótropo si existe un ko escalar tal que el tensor de curvatura horizontal R tiene
el formulario
R(X, Y)Z = ko{g(Y, Z)X − g(X,Z)Y}.
Definición 2.13. [2] Un colector Finsler (M,L), donde se dice que el dimM ≥ 3 es:
(a) de curvatura escalar si existe una función escalar k : TM R tal que
el tensor de curvatura horizontal R(X, Y, Z, W ) := g(R(X, Y )Z, W ) satisface la
relación
R(η,X, η, Y ) = kL2~(X, Y ).
(b) de curvatura constante si la función k en (a) es constante.
Definición 2.14. Se dice que un colector Finsler (M,L) es similar a R3 si dimM ≥ 4 y
el tensor de curvatura horizontal R(X, Y, Z, W ) se expresa en la forma
R(X, Y, Z,W) =g(X,Z)F (Y,W)− g(Y, Z)F (X,W)+
+ g(Y,W )F (X,Z)− g(X,W )F (Y,Z),
(2.2)
donde F es la forma (2)γ definida por F = 1
{Rich − Sc
2 n−1)
3. Relaciones entre los diferentes tipos de
Espacios Finsler
Esta sección está dedicada a la investigación global de algunas relaciones mutuas
entre los espacios especiales de Finsler introducidos en la sección anterior. Un poco de conse...
quences también se extraen de estas relaciones.
Comenzamos con algunas consecuencias inmediatas de las definiciones:
a) Un colector local Minkowskian es un colector Berwald.
b) Un colector de Berwald es un colector de Landsberg.
c) Un colector Landsberg es un colector general Landsberg.
d) Un colector de Berwald es Ch-periódico (resp. P ∗-Finsler).
e) Un manifold P* es un colector Landsberg.
f) A C-reducible (resp. C2-como) el colector es semi-C-reducible.
g) Un colector semi-C-reducible es cuasi-C-reducible.
(h) Un colector Finsler de curvatura constante es de curvatura escalar.
Los dos siguientes lemas son útiles para su uso posterior.
Lemma 3.1. [25] Por cada øX, øY â € € € TM (M) tenemos:
a) P (, øX)øY = 0, b) P (øX, )øY = 0, c) P (øX, øY ) = (T )(øX, øY ).
Lemma 3.2. Si el vector es el vector, la forma se define por:
• (øX) := øX − L−1l(øX), o := I − L−1l, (3.1)
donde l es la forma η dada por l(X) = L−1g(X, η), entonces tenemos:
a) ~(øX, øY ) = g(
(d) Tr(l) = n− 1, (e) X ♥ = 0, (f) X ~ = 0.
Como hemos visto, un colector Landsberg es el general Landsberg. Lo contrario es
No es cierto. Sin embargo, tenemos
Proposición 3.3. Un C-reducible general Landsberg colector (M,L) es un Landsberg
multiple.
Prueba. Puesto que (M,L) es un colector C-reducible, entonces, por la definición 2.4, Lemma 3.2,
la simetría de ~ y la no degeneración de g, obtenemos
T (øX, øY ) =
(øX, øY )øC + C(øX)
donde øC es el campo η-vector definido por g(øC, øX) := C(øX). Tomando el covariante h
derivado Z de ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos
(Z T )(øX, øY ) =
{(Z ~)(øX, øY )øC + ~(øX, øY )Z øC + C(øX)(Z)(øY) +
+(Z C)(øX)•(øY )+C(øY )(Z)(øX)+ (Z C)(øY)•(øX)},
a partir de la cual, al establecer øZ = y teniendo en cuenta el hecho de que Z ~ = 0 y
que Z فارسى = 0 ( Lemma 3.2), obtenemos
( T )(øX, øY ) =
(øX, øY ) øC+( C)(øX)
Ahora, bajo el supuesto dado de que el (M,L) es un colector general Landsberg,
entonces C = 0 (Definición 2.8) y por lo tanto øC = 0. Por lo tanto T = 0 y el
El resultado es el siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Además, un colector de Berwald es Landsberg. Lo contrario no es de ninguna manera cierto,
Aunque no tenemos contraejemplos. Encontrar un colector Landsberg que no es
Berwald sigue siendo un problema abierto. Sin embargo, tenemos
Proposición 3.4. [25] Un colector de Landsberg C-reducible (M,L) es un Berwald
multiple.
Combinando las dos Proposiciones anteriores, obtenemos el resultado más poderoso:
Proposición 3.5. Un C-reducible general Landsberg colector (M,L) es un Berwald
multiple.
Resumiendo, tenemos:
Teorema 3.6. Que (M,L) sea un colector de Finsler reducible C. La siguiente afirmación:
son equivalentes :
a) (M,L) es un colector de Berwald.
b) (M,L) es un colector Landsberg.
c) (M,L) es un colector general Landsberg.
Aquí recuperamos un resultado de Matsumuoto [15], a saber:
Corollary 3.7. Si el tensor de curvatura h R y el tensor de curvatura hv P de una C-
El colector reducible desaparece, entonces el colector es localmente Minkowskian.
Observación 3.8. [15] Se puede conjeturar que un colector Finsler será Minkowskian
si el tensor de curvatura-h R y el tensor de curvatura-hv P desaparecen. Como se ha visto anteriormente
la conjetura se verifica ya en una condición algo fuerte “C-reducibilidad”.
Teorema 3.9. Que (M,L) sea un colector Finsler. Entonces tenemos:
a) Un colector reducible en C es reducible en P.
b) Un colector general de Landsberg es Landsberg.
Prueba.
(a) Puesto que (M,L) es C-reducible, entonces por la definición 2.4, tenemos
T (øX, øY, øZ) =
SøX,øY,øZ(øX, øY )C(øZ)}.
Aplicando la derivada h-covariante W en ambos lados de la ecuación anterior, tomando
en cuenta el hecho de que (W T )(øX, øY, øZ) = g((W T )(øX, øY ), øZ) y que
W ~ = 0, obtenemos
g((WT)(øX, øY), øZ) =
SøX,øY,øZ(øX, øY )(W C)(øZ)}.
A partir de la cual, al establecer øW = y señalar que P (øX, øY ) = ( T )(øX, øY ),
el resultado es el siguiente.
(b) Puesto que (M,L) es un colector P -reducible, entonces por la definición 2.11, teniendo en cuenta
cuenta el hecho de que g no es degenerado, obtenemos
P (øX, øY ) = (øX)(øY ) + (øY )(øX) + (øX, øY ), (3.2)
donde es el campo η-vector definido por g(, øX) := ♥(øX).
Desde el punto de vista de los valores de 0, después del TrY 7 del TrY 7 del TrY (øY ) (øX) + ~(øX, øY ) del TrY (øY ) del TrY (øY ) del TrY (øY ) del TrY. Tomando
el rastro de ambos lados de (3.2), utilizando el hecho de que P (øX, øY ) = ( T )(øX, øY )
(Lemma 3.1) y que TrY 7 ( T )(øX, øY )} = ( C)(øX), obtenemos
(øX) =
n + 1
( C)(øX). (3.3)
Ahora, de las ecuaciones (3.2) y (3.3), tenemos
g(P (øX, øY ), øZ) =
n + 1
SøX,øY,øZ(øX, øY )( C)(øZ)}. (3.4)
Según el supuesto dado de que el colector es general Landsberg, entonces
C = 0. Por lo tanto, de (3.4), obtenemos P (øX, øY ) = 0 y por lo tanto el colector
es Landsberg. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.10.
a) Un colector periódico es un colector P*-Finsler.
b) Un colector general Landsberg P*-Finsler es un colector Landsberg.
Prueba. La prueba es directa y la omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.11. Un colector tipo C2 Finsler es un colector Berwald si, y sólo si,
el campo C de γ-tensor es horizontalmente paralelo.
Prueba. Dejar (M,L) ser C2-como. Entonces, T (øX, øY, øZ) =
C(øC)
C(øX)C(øY)C(øZ),
de la cual T (øX, øY ) = 1
C(øC)
C(øX)C(øY)øC. Tomando el derivado h-covariante de
ambos lados, tenemos
(ZT )(øX, øY ) =
ZC(øC)
C(øX)C(øY)øC +
C(øC)
(ZC)(øX)C(øY)øC +
C(øC)
(ZC)(øY)C(øX)øC+
C(øC)
C(øX)C(øY)ZøC.
En vista de esta relación, Z T = 0 si, y sólo si, Z C = 0. De ahí el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 3.12. Un colector general Landsberg tipo C2 es un colector Landsberg.
En vista de los teoremas anteriores, tenemos:
Corolario 3.13. Las dos nociones de ser Landsberg y general Landsberg coinciden
en el caso de la reducibilidad C, la reducibilidad P, la semejanza C2 o P
*-Finsler.
Como sabemos, un colector de Landsberg C-reducible es un colector de Berwald (Proposi-
tion 3.4 ). Además, un colector tipo C2 Finsler es un colector Berwald si, y sólo
si, el campo C de η-tensor es horizontalmente paralelo (Proposición 3.11). Vamos a tratar de
generalizar estos resultados al caso de semi-C-reducibilidad.
Teorema 3.14. Un colector semi-C-reducible Finsler es un colector Berwald si, y
sólo si, la característica escalar μ y el campo tensor C son horizontalmente paralelos.
Prueba. En primer lugar, si (M,L) es semi-C-reducible, entonces
T (øX, øY, øZ) =
SøX,øY,øZ(øX, øY )C(øZ)
C(øC)
C(øX)C(øY)C(øZ).
Tomando la derivada h-covariante de ambos lados, notando que X~ = 0, obtenemos
(WT)(øX, øY, øZ) =
n + 1
SøX,øY,øZ(øX, øY )(WC)(øZ) + (Wμ)C(øZ)
SøX,øY,øZ{(WC)(øX)C(øY)C(øZ)}
W μ
WC(øC)
}C(øX)C(øY)C(øZ).
Ahora bien, si la característica escalar μ y el campo de tensor C son horizontalmente par-
allel, entonces WT = 0 y (M,L) es un colector de Berwald.
Por el contrario, si (M,L) es un colector de Berwald, entoncesXT = 0 y por lo tanto XC =
0, XøC = 0. Estos, junto con la ecuación anterior, dan
W
SøX,øY,øZ(øX, øY )C(øZ)}
C(øX)C(øY)C(øZ)} = 0,
que implica inmediatamente que Wμ = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Los siguientes lemas son útiles para su uso posterior
Lemma 3.15. Para todos los X, Y, X(l(M)), tenemos:
a) [γX, γY ] = γ(XY YX)
b) [γX, βY ] = (P (Y,X)η YX) + β(XY − T (X,Y))
c) [βX, βY ] = γ(R(X, Y)η) + β(XY YX)
Lemma 3,16. Para todos los øX, øY, øZ, øW â € € € TM, tenemos:
a) g((WT ) øX, øY ), øZ) = g(WT ) øX, øZ), øY,
b) g(S(øX, øY)øZ, øW) = −g(S(øX, øY)øW, øZ).
Prueba.
(a) De la definición de la derivada covariante, obtenemos
g((WT )(øX, øY ), øZ) = g(WT (øX, øY ), øZ)− g(WøX, øY ), øZ)−
−g(T (øX,WøY ), øZ).
(3.5)
Ahora, tenemos
g(WT (øX, øY ), øZ) = W · g(T (øX, øY ), øZ)− g(T (øX, øY )
= W · g(T (øX, øY ), øZ)− g(T (øX,WøZ), øY ),
Del mismo modo,
g(T (øX,øWøY ), øZ) = W · g(T (øX, øZ), øY )− g(WT (øX, øZ), øY ).
Sustitución de estas dos ecuaciones en (3.5), notando la propiedad que g(T (WøX, øY ), øZ)
= g(T (WøX, øZ), øY) (cf. § 1), el resultado sigue.
b) se desprende directamente de la fórmula general (que puede probarse fácilmente)
g(K(X, Y)øZ, øW) + g(K(X, Y)øW, øZ) = 0
por ajuste X = X e Y = Y, donde K es el tensor de curvatura clásica de la
Conexión de cartan como una conexión lineal en el paquete pull-back (cf. § 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.17. Que (M,L) sea un colector Ch-periódico Finsler (XT = 0(øX)T ).
Entonces, tenemos:
(a) Si Ko := ♥o() = 0, entonces el tensor de curvatura de hv P se expresa en la forma:
P (øX, øY, øZ, øW ) = ♥o(øZ)T (øX, øY, øW )− o(øW )T (øX, øY, øZ)
y la (v)hv-torsión Pú se desvanece.
(b) Si Ko 6= 0, entonces el tensor de torsión de v(hv) P® es recurrente:
(ZP )(øX, øY ) = (♥o(øZ) +
ZKo
)P® (øX, øY ).
Prueba.
a) El tensor de curvatura p puede escribirse en la forma [25]:
P (øX, øY, øZ, øW ) = g((ZT )(øX, øY ), øW )− g((WT )(øX, øY ), øZ)+
+g(T (øX, øZ), PÃ3r(øW, øY ))− g(T (øX, øW ), PÃ3r(øZ, øY )).
A continuación, utilizando Pó (øX, øY ) = (T ) (øX, øY ) (Lemma 3.1) y la C
h-recurrencia
condición, tenemos
P (øX, øY, øZ, øW ) = ♥o(øZ)T (øX, øY, øW )− o(øW )T (øX, øY, øZ)−
o(){g(T (øX, øW), T (øY, øZ))− g(T (øX, øZ), T (øY, øW))}
= O(øZ)T (øX, øY, øW )− O(øW )T (øX, øY, øZ)− O()S(øX, øY, øZ, øW ).
Ahora, si Ło() = 0, entonces (a) sigue de la relación anterior.
(b) Si Ko := ♥o() 6= 0, entonces por Lemma 3.1 y la condición de recurrencia, tenemos
(øX, øY ) = KoT (øX, øY ),
de los cuales
(ZP)(øX, øY ) = ZKo +Kođo(øZ)}T (øX, øY ).
Entonces, (b) sigue de las dos ecuaciones anteriores. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.18. Supongamos que (M,L) es Ch-periódico. Entonces, el tensor de curvatura v S
es recurrente con respecto a la diferenciación h-covariante : XS = ♥(øX)S, donde
Es una forma de orden uno.
Prueba. Uno puede demostrar fácilmente que : Para todos X, Y, Z â € TM,
SX,Y,Z{K(X, Y )?Z XT(Y, Z) +T(X, [Y, Z])} = 0.
Setting X = X, Y = Y y Z = Z en la ecuación anterior, obtenemos
S(øX, øY )øZ = Y T (øX, øZ)XT (øY, øZ)ZT(X, Z)−
−T(X, [Y, Z]) +T(Y, [X, Z]) +T([X, Y ], Z).
Usando Lemma 3.15 y el hecho de que T(X, Z) = 0, la ecuación anterior reduce
S(øX, øY)øZ = (Y T)(øX, øZ)− (XT)(øY, øZ)+
+T (øX, T (øY, øZ))− T (øY, T (øX, øZ)).
(3.6)
Desde g(T (øX, øY ), øZ) = g(T (øX, øZ), øY ), tenemos
g(S(øX, øY )øZ, øW) = g((Y T)(øX, øZ), øW)− g((XT)(øY, øZ), øW)+
+g(T (øX, øW ), T (øY, øZ))− g(T (øY, øW ), T (øX, øZ)).
Del mismo modo,
g(S(øX, øY )øW, øZ) = g((Y T )(øX, øW ), øZ)− g((XT )(øY, øW ), øZ)+
+g(T (øX, øZ), T (øY, øW))− g(T (øY, øZ), T (øX, øW)).
Las dos ecuaciones anteriores, junto con Lemma 3,16, producen
g((XT )(øY, øZ), øW ) = g((Y T )(øX, øZ), øW ). (3.7)
Por (3.6) y (3.7), obtenemos
S(øX, øY, øZ, øW ) = g(T (øX, øW ), T (øY, øZ))− g(T (øY, øW ), T (øX, øZ)). (3.8)
Ahora, utilizando la suposición dada de que el colector es Ch-periódico, Ecuación
(3.8) implica que
(XS)(øY, øZ, øV, øW ) = XS(øY, øZ, øV, øW )−
− S(XøY, øZ, øV, øW )− S(øY,XøZ, øV, øW )−
− S(øY, øZ,XøV, øW )− S(øY, øZ, øV,XøW ).
= Xg(T (øY, øW), T (øZ, øV))Xg(T (øZ, øW), T (øY, øV)−
−g(T (XøY, øW ), T (øZ, øV )) + g(T (øZ, øW ), T (XøY, øV ))−
−g(T (øY, øW ), T (XøZ, øV )) + g(T (XøZ, øW ), T (øY, øV )−
−g(T (øY, øW ), T (øZ,XøV )) + g(T (øZ, øW ), T (øY,XøV )−
−g(T (øY,XøW ), T (øZ, øV )) + g(T (øZ,XøW ), T (øY, øV )).
= g((XT )(øY, øW ), T (øZ, øV )) + g(T (øY, øW ), (XT )(øZ, øV )−
−g((XT )(øZ, øW ), T (øY, øV ))− g(T (øZ, øW ), (XT )(øY, øV )).
= 2o(øX)S(øY, øZ, øV, øW ) =: (øX)S(øY, øZ, øV, øW ).
Por lo tanto, el resultado sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollary 3.19. En el curso de la prueba de Teorema 3.18, hemos demostrado que
(Ecuaciones (3.7) y (3.8)):
a) (XT) (øY, øZ) = (Y T) (øX, øZ),
b) S(øX, øY, øZ, øW) = g(T (øX, øW), T (øY, øZ))– g(T (øY, øW), T (øX, øZ)).
Corollary 3.20. Let (M,L) ser un C2-como Finsler múltiple. Entonces la curvatura v
El tensor S desaparece.
Prueba. Sustituir T (øX, øY ) = 1
C(øC)
C(øX)C(øY)øC en el corolario 3.19(b), nosotros
obtener el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 3.21. Que (M,L) sea un colector reducible C. Entonces,
a) el tensor de curvatura v S tiene la forma
S(øX, øY, øZ, øW ) =
(n + 1)2
{C2~(øX, øW)~(øY, øZ)−C2~(øY, øW)~(øX, øZ)+
(øX, øW)C(øY)C(øZ)+ ~(øY, øZ)C(øX)C(øW)−
(øY, øW)C(øX)C(øZ)− ~(øX, øZ)C(øY)C(øW)}.
(b) el tensor Ricc vertical Ricv tiene la forma
Ricv(øX, øY ) =
(3 a n)
(n + 1)2
C(øX)C(øY)−
(n− 1)
(n+ 1)2
C2~(øX, øY ).
c) la curvatura vertical escalar Scv tiene la forma
Scv =
(2 a n)
(n+1)
Teorema 3.22. Un colector Finsler (M,L) es P - Simétrica si, y sólo si,
El tensor de curvatura v S satisface la ecuación S = 0.
Prueba. Uno puede demostrar que: Para todos X, Y, Z â € TM,
SX,Y,ZZK(X, Y)-K(X, Y)-Z-K([X, Y ], Z)} = 0. (3.9)
Setting X = X, Y = Y y Z = Z en la ecuación anterior, obtenemos
ZS(øX, øY )øW Y P (øZ, øX)øW XP (øZ, øY )øW−
− S(øX, øY )ZøW + P (øZ, øY )XøW − P (øZ, øX)Y øW−
−K([X, Y ], Z)øW −K([Y, Z], X)øW −K([Z, X ], Y)øW = 0.
Mediante el uso de Lemma 3.15, la relación anterior se reduce a
(ZS)(øX, øY, øW) + (Y P)(øZ, øX, øW)− (XP)(øZ, øY, øW)+
+S(P (øZ, øY ), øX)øW − S(P (øZ, øX), øY )øW+
+P (T (øY, øZ), øX)øW − P (T (øX, øZ), øY )øW = 0.
(3.10)
Establecimiento de øZ = en la ecuación anterior, teniendo en cuenta Lemma 3.1 y el hecho
que T (øX, ) = 0 y que (XP )(, øY, øZ) = −P (øX, øY)øZ, obtenemos
P (øX, øY )øZ = P (øY, øX)øZ − (S)(øX, øY, øZ). (3.11)
El resultado sigue inmediatamente de (3.11). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Según (3.11) y Lemma 3.1, tenemos:
Corollary 3.23. Let Pó (øX, øY ) := P (øX, øY ) y Tó (øX, øY ) := (T )(øX, øY ).
A continuación, los campos de π-tensor Pó y Tó son simétricos.
El teorema 3.18 y el teorema 3.22 dan lugar al siguiente resultado.
Teorema 3.24. Supongamos que un colector de Finsler (M,L) es Ch-periódico y P -
Simétrica. Si 6= 0, entonces el tensor de curvatura v S desaparece idénticamente.
Ahora, vamos a probar el siguiente lema que proporciona algunos importantes y
propiedades útiles del tensor de torsión T y la curvatura v S:
Lemma 3,25. Por cada øX, øY, øZ y øW X((M)), tenemos
a) T (øX, øY ) = T (øY, øX),
b) T (, øX) = 0,
c) SøX,øY,øZS(øX, øY )øZ = 0,
d) g(S(øX, øY )øZ, øW ) = g(S(øZ, øW)øX, øY ),
e) S(, øX)øY = 0 = S(øX, )øY,
(f) (XS)(, øY )øZ = −S(øX, øY )øZ, (XS)(, øX) = 0.
g) S(øX, øY )øZ = −1
{(DγXT)(Y, Z)− (DγY T)(X,Z)}.
En consecuencia, S desaparece si y sólo si (DγXT) (Y, Z) = (DγY T) (X,Z).
Prueba.
a) Del corolario 3.19 a)
(XT)(øY, øZ) = (Y T)(øX, øZ).
Ajuste de øZ = y utilizando el hecho de que T (øX, ) = 0 y que K oγ = idX((M)),
el resultado es el siguiente.
(b) Sigue de (a) junto con la relación T (øX, ) = 0.
(c) Setting X = X, Y = Y y Z = Z en (3.9) y usando Lemma 3.15, nosotros
SøX,øY,øZ(XS)(øY, øZ, øW ) = 0.
De nuevo, establecer øW = en la ecuación anterior y utilizando el hecho de que S(øX, øY ) =
0 y que K oγ = idX((M)), el resultado sigue.
d) Se sigue del corolario 3.19 b), señalando que la T es simétrica.
(e) y (f) son claros.
(g) De la relación DγXøY = XøY − T (øX, øY ) [27], obtenemos
(DγXT)(øY, øZ) = (XT)(øY, øZ)−T (øX, T (øY, øZ))+T (T (øX, øY), øZ)+T (øY, T (øX, øZ)),
(DγY T)(øX, øZ) = (Y T)(øX, øZ)−T (øY, T (øX, øZ))+T (T (øY, øX), øZ)+T (øX, T (øY, øZ)).
El resultado sigue de las dos ecuaciones anteriores, usando el corolario 3.19 y el sim-
metría de T.
Como consecuencia directa del mencionado lema, tenemos la
Corollary 3.26. Un colector P2-como Finsler es P-simétrico.
Proposición 3.27. Supongamos que (M,L) es Cv-periódico. Entonces, la curvatura en v diez...
Sor S es v-periódico : XS = (øX)S, siendo un (1) En consecuencia, S
desaparece idénticamente.
Prueba. Tomando el derivado covariante v de ambos lados de la relación en el corolario
3.19(b) y, a continuación, utilizando la suposición de que XT = فارسى0(X)T, obtenemos
(XS)(øY, øZ, øV, øW ) = 2♥o(øX)S(øY, øZ, øV, øW ) =: (øX)S(øY, øZ, øV, øW ),
que muestra que S es v-periódico.
Ahora, ajuste øV = en la última ecuación, utilizando las propiedades de S y notando
que K oγ = idX((M)), concluimos que S = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente resultado da una caracterización de los múltiples Riemannianos en términos
de Cv-recurrencia y C0-recurrencia.
Teorema 3.28.
a) Un colector Cv-periódico Finsler es Riemanniano,
b) Un colector de Finsler es Riemanniano.
Prueba. a) Puesto que (M,L) es Cv-periódico, entonces (XT) (Y, Z) = ♥o(X)T (Y, Z),
que, al establecer øX = y notando que T = −T, obtenemos
T (Y, Z) = o(η)T (Y, Z). (3.12)
Pero ya que (XT) (øY, øZ) = (Y T) (øX, øZ) (Corollary 3.19), a continuación, ♥o(øX)T (øY, øZ) =
♥o(øY )T (øX, øZ). Por lo tanto,
o(η)T (Y, Z) = 0. (3.13)
Entonces, el resultado sigue de (3.12) y (3.13).
(b) puede demostrarse de manera similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.29. Para un colector Finsler (M,L), las siguientes afirmaciones son:
equivalente :
a) (M,L) es Sv-periódico.
b) El tensor de curvatura v S desaparece de forma idéntica.
c) (M,L) es Sv-periódico de la segunda orden.
Prueba.
Si (M,L) es Sv-periódico, entonces por definición 2.7(a) tenemos
(WS)(øX, øY, øZ) = (øW )S(øY, øX)øZ,
a partir de la cual, al establecer øZ =, teniendo en cuenta el hecho de que S(øX, øY ) = 0
y que Koγ = id1(TM), el resultado sigue.
(b) =e) (a): Trivial.
(b) =l(c) : Trivial.
(c) =e) (b): Si el colector dado (M,L) es Sv-periódico del segundo orden, entonces
por definición 2.7(b) obtenemos
(øX, øY )S(øZ, øV )øW = (
S)(øY, øX, øZ, øV, øW)
= Y (XS)(øZ, øV, øW)− (Y øXS)(øZ, øV, øW)−
− (XS)(Y øZ, øV, øW)− (XS)(øZ,Y øV, øW)−
−(XS)(øZ, øV,Y øW).
Al sustituir øZ = = øW en la ecuación anterior y utilizando Lemma 3.25 y el
hecho que S(øX, øY ) = 0, obtenemos
S(øX, øY)øZ = −S(øZ, øY)øX y S(øX, øY)øZ = −S(øX, øZ)øY.
De esto, junto con la identidad SøX,øY,øZS(øX, øY )øZ = 0, la curvatura v
El tensor S desaparece idénticamente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En vista del teorema anterior tenemos:
Corollary 3.30.
a) Un Sv-periódico (resp. un segundo pedido Sv-periódico) múltiple (M,L) es similar a S3,
siempre que dimM ≥ 4.
b) Un Sv-periódico (resp. un segundo pedido Sv-periódico) múltiple (M,L) es S4-como,
siempre que dimM ≥ 5.
Teorema 3.31. Si (M,L) es un colector tipo P2 Finsler, entonces el tensor de curvatura v
S desaparece o el tensor de curvatura hv P desaparece. En el caso posterior, el covariante h
derivado de S desaparece.
Prueba. Como (M,L) es P2-como, entonces P (X, Y, η, øW ) = α(η)T (X, Y, øW ) =: αoT (X, Y, øW )
y, por lo tanto,
(øX, øY ) = αoT (X, Y ). (3.14)
Ahora, poniendo øW = en (3.10), obtenemos
(øZ, øX)- (X, øY)- (øZ, øY)- P (øZ, øX)øY + P (øZ, øY)øX-
−Pós (T (øX, øZ), øY ) + Pós (T (øY, øZ), øX) = 0.
Por lo tanto,
g((Y PÃ3r )(øZ, øX), øW )− g((XPÃ3r )(øZ, øY ), øW )− P (øZ, øX, øY, øW )+
+P (øZ, øY, øX, øW )− g(P® (T (øX, øZ), øY ), øW ) + g(P® (T (øY, øZ), øX), øW ) = 0.
De la cual, junto con (3.14) y la definición 2.10, teniendo en cuenta la relación
= (Y αo)T (øZ, øX) + αo(Y T)(øZ, øX), obtenemos
g((Y αo)T (øZ, øX) + αo(Y T)(øZ, øX), øW)− g((Xαo)T (øZ, øY)+
o(XT )(øZ, øY ), øW ) + α(X)T (Z, Y, øW )− α(W ) T (Z, øY,X)− α(Y )T (Z,X, øW )
(W ) T (X, øY, Z)− g(αoT (T (øX, øZ), øY ), øW ) + g(αoT (T (øY, øZ), øX), øW ) = 0.
Por lo tanto, utilizando Corollary 3.19,
(Y α)()T (øX, øZ, øW)− (Xα)()T (øY, øZ, øW) = αoS(øX, øY, øW, øZ).
Se observa que el lado izquierdo de la ecuación anterior es simétrico en
los argumentos øZ y øW mientras que el lado derecho es sesgado-simétrico en el mismo
argumentaciones. Por lo tanto tenemos
αoS(øX, øY, øW, øZ) = 0, (3,15)
*(øY)T (øX, øZ, øW)−(øX)T (øY, øZ, øW) = 0, (3.16)
en la que es la forma definida por (øY ) := (Y α)().
Ahora, Si 6= 0, se deduce de (3.16) que existe una función escalar tal que
T (øX, øY, øZ) = En consecuencia, T (øX, øY ) =
donde g(, øX) := ♥(øX). De la cual
S(øX, øY, øZ, øW ) = g(T (øX, øW ), T (øY, øZ))− g(T (øY, øW ), T (øX, øZ))
• • • (øX) • (øY) • (øZ) • (øW) • (, ) • (øX) • (øY) • (øZ) • (øW) • (, ) = 0.
Por otro lado, si el tensor de curvatura v S 6= 0, entonces se deriva de (3.15)
que فارسى = 0 y α() = 0. Por lo tanto, α = 0 y el tensor de curvatura p hv desaparece. In
este caso, se deduce de la identidad (3.10) que XS = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.32. Un colector tipo P2 Finsler (M,L) es un P
*-Finsler multiple.
Prueba. Como (M,L) es P2-como, entonces a partir de (3.14), tenemos Pó (X, Y ) = αoT (X, Y ). Uso
Lemma 3.1, obtenemos (T )(øX, øY ) = α0T (øX, øY ), de la que, tomando el rastro,
C = α0T, donde α0 =
bg( C,C)
. De ahí el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente definición será útil en la secuela.
Definición 3.33. Un campo tensor es positivamente homogéneo de grado r en el
argumento direccional y (simbólicamente, h(r)) si satisface la condición
= re, o D = re.
Lemma 3.34. Que (M,L) sea un colector Finsler, entonces tenemos
(a) La métrica de Finsler g (el tensor métrico angular ~) es homogénea de grado 0,
b) El tensor de curvatura v S es homogéneo de grado −2,
c) El tensor de curvatura de la CV P es homogéneo de grado −1,
d) El tensor de curvatura R es homogéneo de grado 0,
e) El tensor de torsión (h)hv T es homogéneo de grado −1,
(f) El tensor de torsión (v)hv P® es homogéneo de grado 0,
(g) El tensor (v)h-torsión R® es homogéneo de grado 1.
Lemma 3,35. Para cada vector (1)γ-forma A, tenemos
A) (øX, øY, øZ)− (
A)øY, øX, øZ) = A(R(øX, øY)øZ)− R(øX, øY)A(øZ)+
γ bR(øX,øY )
A)(øZ).
El teorema de Deicke [4] puede formularse globalmente de la siguiente manera:
Lemma 3,36. Que (M,L) sea un colector Finsler. Las siguientes afirmaciones son:
equivalente:
a) (M,L) es Riemanniano,
b) El tensor T (h)hv-torsión desaparece,
c) La forma C desaparece.
Teorema 3.37. Dejar (M,L) ser Finsler colector que es h-isotrópico (de escalar k0)
y Ch-periódicos (de vector de recurrencia 0). Entonces, (M,L) es necesariamente uno de los
A continuación:
a) Una variedad riemanniana de curvatura constante,
b) Un colector Finsler de dimensión 2,
c) Un colector Finsler de dimensiones n ≥ 3 con escalar de desaparición k0 y
(Xđo)(øY) = (Y Ło)(øX).
Prueba. Para un colector Ch-periódico, uno puede demostrar fácilmente que
T (øX, øY, øZ, øW)− (
• T (øY, øX, øZ, øW ) =
= T (øZ, øW ) =: (øX, øY )T (øZ, øW ).
De lo cual, teniendo en cuenta Lemma 3.35, obtenemos
(øX, øY )T (øZ, øW ) = T (R(øX, øY )øZ, øW ) + T (øZ, R(øX, øY )øW )−
−R(øX, øY )T (øZ, øW )+ (
γ bR(øX,øY )
T )(øZ, øW ).
Ahora, como (M,L) es h-isótropo de escalar k0, entonces el tensor de curvatura h R tiene la forma
R(øX, øY)øZ = k0{g(øX, øZ)øY − g(øY, øZ)øX}; (n ≥ 3).
De las dos ecuaciones anteriores, obtenemos
(øX, øY )T (øZ, øW ) = k0g(øX, øZ)T (øY, øW )− k0g(øY, øZ)T (øX, øW ) + k0g(øX, øW )T (øZ, øY )−
−k0g(øY, øW )T (øZ, øX)− k0g(øX, T (øZ, øW ))øY + k0g(øY, T (øZ, øW ))øX
+k0g(øX, )(Y T)(øZ, øW)− k0g(øY, )(XT)(øZ, øW).
(3.17)
Setting øY =, notando que T es h(−1) y g(, ) = L2, obtenemos
(øX, )T (øZ, øW ) = −k0g(, øZ)T (øX, øW )− k0g(, øW )T (øZ, øX)− k0T (øX, øZ, øW ) −
− k0g(øX, )T (øZ, øW)− k0L
2(XT)(øZ, øW).
De lo cual, tenemos
g(øY, )(øX, )T (øZ, øW) = −k0g(øY, )g(, øZ)T (øX, øW)− k0g(øY, )g(, øW)T (øZ, øX)−
− k0g(øY, )T (øX, øZ, øW) k0g(øY, )g(øX, )T (øZ, øW)−
2g(øY, )(XT)(øZ, øW),
(3.18)
Considerando que
g(øX, )(øY, )T (øZ, øW) = −k0g(øX, )g(, øZ)T (øY, øW)− k0g(øX, )g(, øW)T (øZ, øY)−
− k0g(øX, )T (øY, øZ, øW) k0g(øX, )g(øY, )T (øZ, øW)−
2g(øX, )(Y T)(øZ, øW).
(3.19)
Ahora, a partir de (3.17), (3.18) y (3.19), obtenemos
T (øZ, øW ){L2(øX, øY ) g(øY, )(øX, ) + g(øX, )(øY, )} =
= UøX,øY k0L
2(øX, øZ)T (øY, øW ) + ~(øX, øW )T (øY, øZ)− (øY ) T (øX, øZ, øW )}.
Tomando el rastro de ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos
C(øZ){L2(øX, øY) g(øY, )(øX, ) + g(øX, )(øY, )} =
= 2k0L
2(øX, øZ)C(øY)− ~(øY, øZ)C(øX)}.
(3.20)
Ajuste de øZ = øC, teniendo en cuenta el hecho de que ~(øX, øC) = C(øX), el anterior
ecuación reduce a
C(øC){L2(øX, øY) g(øY, )(øX, ) + g(øX, )(øY, )} = 0.
Ahora, si C(øC) = g(øC, øC) = 0, entonces øC = 0 y así C = 0. En consecuencia, por
Lemma 3.36, (M,L) es una variedad Riemanniana de curvatura constante.
Por otro lado, si (M,L) no es Riemannian, entonces tenemos
L2°(øX, øY ) g(øY, )(øX, ) + g(øX, )(øY, ) = 0.
De la cual, junto con (3.20), obtenemos
k0(øX, øZ)C(øY)− ~(øY, øZ)C(øX)} = 0. (3.21)
Si k0 6= 0, entonces, por (3.21), ~(øX, øZ)C(øY) = ~(øY, øZ)C(øX). Ajuste øY = øC,
Obtenemos ~(øX, øZ) = 1
C(øX)C(øZ), que implica que dimM = 2.
Si k0 = 0, entonces R = 0 y (3.17) rinde (øX, øY ) = 0, lo que significa que
(Xđo)(øY) = (Y Ło)(øX). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora, centramos nuestra atención en el interesante caso (c) del teorema anterior. In
en este caso, el tensor de curvatura h R = 0 y, por lo tanto, el tensor de torsión (v)h R = 0.
Por lo tanto, la ecuación (deducido de (3.9))
(XR)(øY, øZ, øW)+ (Y P)(øZ, øX, øW)− (ZP)(øY, øX, øW)−
−P (øZ, P (øY, øX))øW +R(T (øX, øY ), øZ)øW − S(R(øY, øZ), øX)øW+
+P (øY, P (øZ, øX))øW − R(T (øX, øZ), øY )øW = 0.
reduce a
(Y P)(øZ, øX, øW)− (ZP)(øY, øX, øW)−
−P (øZ, P® (øY, øX))øW + P (øY, P® (øZ, øX))øW = 0.
Ajuste øW =, obtenemos
(øZ, øX)— (øY, øX)— (øY, øX)— (øZ, Pó (øY, øX)) + Pó (øY, Pó® (øZ, øX)) = 0.
(3.22)
Puesto que (M,L) es Ch-periódico, entonces, por la Proposición 3.17, el (v)hv-torsión tensor
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(øX, øY ) = ♥o()T (øX, øY ) = KoT (øX, øY ). De éstos, junto con (3.22),
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
(Koko(øY) YKo)T (øZ, øX)− (Koko(øZ) ZKo)T (øX, øY)−
−K2oT (øZ, T (øX, øY )) +K
oT (øY, T (øX, øZ)) = 0.
Por lo tanto, por el corolario 3.19,
K2oS(øY, øZ, øX, øW ) = UøY,øZ{(Kođo(øY ) YKo)T (øX, øZ, øW )}.
Como S(øY, øZ, øX, øW ) es sesgo-simétrico en los argumentos øX y øW mientras que el
lado derecho es simétrico en los mismos argumentos, obtenemos
K2oS(øY, øZ, øX, øW ) = 0, (3.23)
UøY,øZ{(Koo(øY ) YKo)T (øZ, øX, øW )} = 0. (3.24)
De los apartados (3.23) y () se desprende que
P (øX, øY, øZ, øW ) = ♥o(øZ)T (øX, øY, øW )− o(øW )T (øX, øY, øZ).
Por otro lado, si Ko 6= 0, entonces el tensor de curvatura v S desaparece de (3.23).
A continuación, se ve a partir de (3.24) que, si V(øY) := Kođo(øY) YKo 6= 0, entonces allí
existe una función escalar
T (øX,øZ,øW )T (øX,øY,øZ)T (øY,øZ,øW )
(T (øX,øY,øW ))2(V(øZ))3
de tal manera que
T (øX, øY, øW ) = V(øX)V(øY )V(øW ).
Resumiendo, tenemos
Teorema 3.38. Dejar (M,L) ser un colector de Finsler de dimensiones n ≥ 3. Si (M,L)
h-isotrópico y Ch-periódico, entonces
a) el vector de recurrencia (o) satisface : (Xo) (øY ) = (Y) (øX),
b) el tensor de curvatura R = 0 y el tensor de torsión (v)h R = 0,
c) el tensor de curvatura p tiene la propiedad de que
P (øX, øY, øZ, øW ) = ♥o(øZ)T (øX, øY, øW )− o(øW )T (øX, øY, øZ),
d) el tensor de torsión (v)hv Pó (øX, øY ) = KoT (øX, øY ).
Además, si Ko 6= 0, entonces
e) el tensor de curvatura v S desaparece,
(f) el tensor de torsión (h)hv T satisface: T (øX, øY, øW ) = V(øX)V(øY )V(øW ).
Por la definición 2.10 y el teorema 3.38, tenemos inmediatamente:
Corolario 3,39. Un colector Finsler (M,L) de dimensión n ≥ 3 que es h-isotrópico
y Ch-periódico es necesariamente P2-como.
Ahora, definimos un operador P que nos ayuda a investigar los colectores tipo R3.
Definición 3.40.
(a) Si se trata de un campo de tipo η-tensor (1,p), entonces P ·-tensor es un campo de lo mismo
tipo definido por :
(P · Ł)(øX1,..., øXp) := ((øX1),..., (øXp)),
donde es el vector γ-forma definido por (3.1).
(b) Si es un campo de tipo η-tensor (0,p), entonces P ·-tensor es un campo de la misma
tipo definido por :
(P · •)(øX1,..., øXp) := •(øX1),..., •(øXp)).
Observación 3.41. Desde el punto de vista de los valores de referencia (por ejemplo, los valores de referencia y los valores de referencia) y de los valores de referencia (por ejemplo, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia, los valores de referencia y los valores de referencia.
entonces el operador P es un proyector (es decir. P · (P · •) = P · •).
Definición 3.42. Se dice que un campo de tensor es indicador si satisface el
condición : P · • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
El siguiente resultado da una caracterización de la propiedad indicadora para ciertos
tipos de campos de η-tensor :
Lemma 3,43.
(a) Un vector (2).-forma.... es indicador si, y sólo si,... (øX, )............................................................................................................................................................................................................................................
y g(øX, øY ), ) = 0.
(b) Un escalador (2) es indicadora si, y sólo si, (øX, ) = 0 = ♥(, øX).
Prueba.
a) Ser un vector (2)-forma. En la definición 3.40 a) y teniendo en cuenta (3.1),
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
(P · •)(øX, øY ) = •(•(øX), •(øY ))
= (øX − L−1l(øX), øY − L−1l(øY))}
= (øX, øY )− L−1l(øY )•(øX, )−
-L -1l(øX)-(, øY) + L -2l(øX)l(øY)-(, )
= (øX, øY )− L−2g(øX, øY ), ) − L−1l(øY )•(øX, )+
+L1l(øX)(, øY)L2l(øX)l(øY)(, )
(3.25)
Ahora bien, si (øX, ) = 0 = (, øX) y g((øX, øY ), ) = 0, entonces (3.25) implica
que (P · •)(øX, øY ) = •(øX, øY ) y, por lo tanto, • es indicadora.
Por otra parte, si el valor de la palabra es indicativo, entonces el valor de la palabra (øX, øY ) = el valor de la palabra (el valor de la palabra (øX), el valor de la palabra (øY )).
De la cual, setting øX = (resp. øY = ) y teniendo en cuenta el hecho de que
*() = 0 (Lemma 3.2), obtenemos *(, øY ) = 0 (resp. (øX, ) = 0). De esto, a...
gether con (P+)(øX, øY ) = (øX, øY ), Ecuación (3.25) implica que L−2g(•(øX, øY ), ) =
0. En consecuencia, g(øX, øY ), ) = 0.
b) La prueba es similar a la de a) y la omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 3.44. Para un colector Finsler (M,L), los siguientes tensores son:
indicadora :
a) El campo de concentración,
b) El tensor de torsión mixta T,
c) El tensor de curvatura en v S,
d) El tensor métrico angular ~,
e) El campo tensor P para cada campo tensor.
Ahora, definimos los siguientes campos de η-tensor:
F : F (X, Y ) := 1
{Rich(X, Y)−
Schg(X,Y)
2 n−1)
Fo : g(Fo(øX), øY ) := F (øX, øY ),
F a : F a(øX) := F (, øX),
F b : F b(øX) := F (øX, ),
m : m(øX, øY ) := (P · F )(øX, øY ),
mo : g(mo(øX), øY ) := m(øX, øY ),
a : a(øX) := L−1(P · F a)(øX),
øa : g(øa, øY ) := a(øX),
b : b(øX) := L−1(P · F b)(øX),
øb : g(øb, øX) := b(øX),
c : c := L−2F (, ),
Ró : Ró (øX, øY ) := R(øX, øY ),
H : H(øX) := R(, øX) = R(, øX).
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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(3.26)
Observación 3.45. Uno puede mostrar que m, mo, a y b son indicadores y H() = 0.
Proposición 3.46. Si (M,L) es un colector de Finsler tipo R3, entonces el campo de γ-tensor
F se puede escribir en el formulario
F (øX, øY ) = m(øX, øY ) + l(øX)a(øY ) + l(øY )b(øX) + c l(øX)l(øY ). (3.27)
Prueba. La prueba se deriva de las definiciones 2.14 y 3.40 b), teniendo en cuenta
Ecuaciones (3.1) y (3.26). Más detalles :
(P · F )(øX, øY ) = F (
= F (øX − L−1l(øX), øY − L−1l(øY))
= F (øX, øY )− L−1l(øY )F (øX, )−
−L−1l(øX)F (, øY) + L−2l(øX)l(øY)F (, )
= F (øX, øY )− L−1l(øY ){(P · F b)(øX) + L−1l(øX)F (, )
− L−1l(øX){(P · F a)(øY) + L−1l(øY)F ( ) L−2l(øX)l(øY)F (, )
= F (øX, øY)− l(øX)a(øY)− l(øY)b(øX)− c l(øX)l(øY). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.47. Uno puede demostrar que los campos de η-tensor a y b satisfacen lo siguiente
Relaciones
F a(øX) = L{a(øX) + c l(øX)},
F b(øX) = L{b(øX) + c l(øX)}.
(3.28)
Proposición 3.48. En un colector tipo R3 Finsler (M,L), tenemos:
a) R(øX, øY)øZ = g(øX, øZ)Fo(øY)+F (øX, øZ)øY−g(øY, øZ)Fo(øX)−F (øY, øZ)øX.
(b) RøX, øY ) = g(øX, )Fo(øY)+F (øX, )øY −g(øY, )Fo(øX)−F (øY, )øX.
c) H(øY ) = L2Fo(øY ) + c L
2øY − g(øY, )Fo()− F (øY, ).
d) Fo(øX) = mo(øX) + øa l(øX) + L
−1b(øX) + c L−1l(øX).
En consecuencia,
(e) Râr(øX, øY ) = L{l(øX)(mo(øY ) + c (øY )) + b(øX)(øY )
− L{l(øY)(mo(øX) + c (øX)) + b(øY)(øX)}.
f) H(øY ) = L2{mo(øY ) + c (øY )}.
Prueba.
(a) Puesto que (M,L) es un multiple tipo R3, entonces por la definición 2.14, tenemos
R(X, Y, Z,W) =g(X,Z)F (Y,W)− g(Y, Z)F (X,W)+
+ g(Y,W)F (X,Z)− g(X,W)F (Y,Z).
De la cual, utilizando el hecho de que g(Fo(øX), øY ) = F (øX, øY ) y que el Finsler
métrica g no es degenerado, el resultado sigue.
b) Seguimientos de a) mediante el establecimiento de øZ =.
c) Seguimientos de b) mediante el establecimiento de øX =.
d) Para (3.27) y (3.26), obtenemos
g(Fo(øX), øY) = g(mo(øX), øY)+g(øa, øY) l(øX)+L
−1b(øX)g(, øY )+c L−1l(øX)g(, øY ).
Por lo tanto, el resultado sigue, de la no degeneración de g.
e) A continuación, sustituyendo Fo(øX) (del d)) y F
b(øX) (de (3.28) a b).
f) Seguimientos de la letra e) mediante el establecimiento de øX =, teniendo en cuenta la Observación 3.45 y la
hecho que l() = L.
Observación 3.49. Teniendo en cuenta (3.26) y Lemma 3.2, la definición 2.13(a) puede ser
con retraso, según se indica:
Un colector Finsler (M,L) es de curvatura de escalador si el campo de tensor H satisface la
relación H(øX) = L2(øX), donde ♥ es una función escalar en TM.
Definición 3.50. Un colector Finsler (M,L) se dice que es de escalar perpendicular
(o de curvatura p-escalar) si el tensor de curvatura h R satisface la condición
(P · R) (øX, øY, øZ, øW) = Ro(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øX, øW)~(øY, øZ)}, (3.29)
donde Ro es una función llamada curvatura perpendicular escalar.
Definición 3.51. Se dice que un colector Finsler (M,L) es de curvatura s-ps si (M,L)
es tanto de curvatura escalar como de curvatura p-escalar.
Proposición 3.52. Si mo(øX) = t (øX), entonces un colector de finsler tipo R3 es un
Finsler multiple de curvatura s-ps.
Prueba. Bajo el supuesto dado y teniendo en cuenta la Proposición 3.48(f), nosotros
H(øX) = L2(øX), con = t + c.
Por lo tanto, el múltiple considerado es de curvatura escalar.
Ahora, demostramos que el colector dado es de curvatura p-escalar. Aplicando el
proyección P en el tensor de curvatura R de un colector tipo R3, obtenemos
(P · R)(øX, øY, øZ, øW ) = R(
= g(?(øX),?(øZ))(P · F )(øY, øW) + g(?(øY),?(øW))(P · F )(øX, øZ)−
−g(øY), (øZ))(P · F )(øX, øW)− g((øX), (øW))(P · F )(øY, øZ)
= g(Ø(øX), (øZ))m(øY, øW) + g(øY), (øW))m(øX, øZ)−
− g(øY ), (øZ))m(øX, øW )− g(/23370/(øX), (øW))m(øY, øZ).
(3.30)
Desde
g(l(øX), (øY )) = g(l(øX), øY − L−1l(øY )) = g(el(øX), øY )− L−1l(øY )g(el(øX), )
= ~(øX, øY )− L−1l(øY )~(øX, )= ~(øX, øY ),
entonces, utilizando de nuevo la suposición dada (mo = t m = t~), Ecuación (3.30)
reduce a
(P · R)(øX, øY, øZ, øW) = ~(øX, øZ)m(øY, øW) + ~(øY, øW)m(øX, øZ)−
(øY, øZ)m(øX, øW)− ~(øX, øW)m(øY, øZ)
= 2t(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øY, øZ)~(øX, øW)}.
Por lo tanto, tomando Ro = 2t, tenemos
(P · R)(øX, øY, øZ, øW) = Ro(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øY, øZ)~(øX, øW)}.
En consecuencia, el colector dado es de curvatura p-escalar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.53. Si un colector tipo R3 Finsler (M,L) es de curvatura p-escalar, entonces
es de curvatura s-ps.
Prueba. Puesto que el colector considerado es similar a R3, entonces, por el mismo procedimiento que en
la prueba de la Proposición 3.52, tenemos
(P · R)(øX, øY, øZ, øW) = ~(øX, øZ)m(øY, øW) + ~(øY, øW)m(øX, øZ)−
(øY, øZ)m(øX, øW)− ~(øX, øW)m(øY, øZ).
(3.31)
Por otro lado, puesto que el múltiple considerado es de curvatura p-escalar, entonces el
El tensor de curvatura h satisface
(P · R)(øX, øY, øZ, øW) = Ro(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øY, øZ)~(øX, øW)}. (3.32)
Ahora, de las ecuaciones (3.31) y (3.32), obtenemos
UøX,øY {Ro~(øX, øZ)~(øY, øW)− ~(øX, øZ)m(øY, øW)− ~(øY, øW)m(øX, øZ)} = 0.
Utilizando (3.26) y la no degeneración del tensor métrico g, la ecuación anterior
reduce a
UøX,øY {Ro~(øX, øZ)(øY ) ~(øX, øZ)mo(øY )m(øX, øZ)(øY)} = 0. (3.33)
Puesto que los campos de π-tensor, m y mo son indicadores, entonces
TrY 7 ~(øX, øY )(øZ)} = g(øX, Ł(øZ)) = ~(øX, øZ),
TrY 7 ~(øX, øY )mo(øZ)} = m(øX, øZ),
TrY 7 m(øX, øY )(øZ)} = m(øX, øZ).
En consecuencia, si tomamos el rastro de ambos lados de la ecuación (3.33), haciendo uso de
Lemma 3.43, tenemos
(n− 2)Ro~(øX, øZ)− (n− 3)m(øX, øZ)− (n− 1)t ~(øX, øZ) = 0,
donde t := 1
Tr(mo). De la cual, usando (3.26) y Lemma 3.2, obtenemos
(n− 2)Ro (n− 3)mo − (n− 1)t ♥ = 0. (3.34)
De nuevo, tomando el rastro de la ecuación anterior, obtenemos
(n− 1)(n− 2)(Ro − 2t) = 0.
Sustituyendo la relación anterior en (3.34), obtenemos mo = t. Por lo tanto, por Proposición
3.52, el resultado sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.54. Si un colector tipo R3 Finsler (M,L) es de curvatura escalar, entonces
es de curvatura s-ps.
Prueba. Puesto que el colector dado es R3-como, entonces el η-tensor H es dado por (cf.
Proposición 3.48):
H(øX) = L2{mo(øX) + c (øX)}. (3.35)
Y puesto que el múltiple considerado es de curvatura escalar, entonces
H(øX) = L2(øX). (3.36)
De las ecuaciones (3.35) y (3.36) se deduce quemo(øX) = (c)
Por lo tanto, por la Proposición 3.52, el resultado sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora, definamos el campo de η-tensor
(øX, øY, øZ, øW ) = R(øX, øY, øZ, øW )− 1
UøX,øY {g(øX, øZ)Ric
h(øY, øW )+
+g(øY, øW )Rich(øX, øZ)− rg(øX, øZ)g(øY, øW)},
(3.37)
donde r = 1
Sch. De la definición 2.14 y (3.37), obtenemos inmediatamente
Teorema 3.55. Un colector tipo R3 Finsler se caracteriza por
(øX, øY, øZ, øW ) = 0.
El campo tensor • en el teorema antedicho es de la misma forma que el Weyl
tensor conforme en geometría Riemanniana, dibujamos lo siguiente
Teorema 3.56. Un colector Riemanniano tipo R3 es conformalmente plano.
Observación 3.57. Cabe señalar que algunos resultados importantes de [8], [9], [11], [13],
[19], [20],...,etc. (obtenidos en coordenadas locales) se recuperan de las mencionadas
resultados globales (cuando se localizan).
Apéndice. Fórmulas locales
En aras de la integridad, presentamos en este apéndice un breve y conciso
encuesta de las expresiones locales de algunos objetos geométricos importantes y el local
definiciones de los colectores especiales de Finsler tratados en el papel.
Que (U, (xi)) sea un sistema de coordenadas locales en M y (1(U), (xi, yi))
sistema asociado de coordenadas locales en TM. Utilizamos las siguientes anotaciones:
(i) := (
): la base natural de TxM, x â € ¢M,
(i) := (
): la base natural de Vu(TM), u â € TM,
(i, i): la base natural de Tu(TM),
(i): la base natural de la fibra sobre u en
−1(TM) (i es el ascensor de Łi en u).
A un colector Finsler (M,L), asociamos los objetos geométricos:
gij :=
ijL
2 = ijE: el tensor métrico Finsler,
Cijk :=
k gij : el tensor de Cartan,
~ij := gij − lilj (li :=
i): el tensor angular métrico,
Gh: los componentes del spray canónico,
Ghi := iG
Ghij := jG
i = j iG
(i) := (i −G
i h): la base de Hu(TM) adaptada a G
(i, i): la base de Tu(TM) = Hu(TM) Vu(TM) adaptada a G
Tenemos:
γ(i) = i,
(l) = i, (l) = 0, (l) = i, (l) = i,
β(i) = ♥i,
J(eli) = i, J(eli) = 0, J(eli) = i,
h := βo. = dxi...............................................................................................................
j i v := γoK = dy
i i +G
j i.
Definimos:
γhij :=
GHL(ljjjjjjjjjjhljjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
Chij :=
ghl(i glj + j gil − l gij) =
ghl i gjl = g
hlCijl,
** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ghl(i glj + j gil − l gij).
Entonces, tenemos:
• El spray canónico G: Gh = 1
γhij y
• La conexión Barthel: Ghi = iG
h = Łhijy
j = Ghijy
• La conexión de Cartan C.: (.....................................................................................................................................................................
i, C
El covariante h asociado (resp. v-covariante) derivado se denota por p (resp. ),
donde Ki
jk := ♥kK
mk −K
jk y K
j k := kK
mk −K
• La conexión de Berwald: (Ghij, G
i, 0).
El covariante h asociado (resp. V-covariante) derivado se denota por
p(resp.
donde Ki
:= kK
mk −K
jk y K
:= kK
También tenemos Ghij =
ij + C
ij k y
k = Łhij + C
ij o, donde C
ij o = C
ij k y
Para la conexión de Cartan, tenemos:
(v)h-torsión: Rijk = kG
j − ♥jG
k = UjkkG
(v)hv-torsión: P ijk = G
jk −
jk = C
jkmy
m = C i
jk0,
(h)hv-torsión : C ijk = 1/2{g
rirgjk},
h-curvatura : Rihjk = Ujkk
hj +
mk} − C
hv-curvatura : P ihjk = k
hj − C
+ C ihmP
V-curvatura : Sihjk = C
mj − C
mk = Ujk{C
Para la conexión de Berwald, tenemos:
(v)h-torsión: R*ijk = kG
j − ♥jG
k = UjkkG
h-curvatura : R*ihjk = UjkkG
hj +G
hv-curvatura : P *ihjk = kG
hj =: G
En lo siguiente, damos las definiciones locales de los espacios especiales de Finsler tratados
en el periódico. Para cada espacio especial de Finsler (M,L), fijamos su nombre, su definición
y una referencia seleccionada en la que se encuentra la definición local:
• Multiplex de Rimaniann [22]: gij(x, y) gij(x) Cijk = 0 Ci := C
ik = 0
(Teorema de Deicke [4]).
• Minkowaskian multiple [22]: gij(x, y) gij(y) C
= 0 y Rhijk = 0.
• Berwald multiple [22]:?hij(x, y)??
ij(x) (es decir, k
ij = 0) C
• Multiplex periódico [13]: Chijk = μkChij,
donde μj es un campo vectorial covariante.
• Colchón P ∗-Finsler [7]: Ch
ij0 = (x, y)C
donde (x, y) = PiC
; Pi := P
ik = C
ik0 = Ci0 y C
2 = CiC
i 6= 0.
• Cv-periódico [13]: C ijkl = C
jk o Cijkl = Cijk.
• C0-periódico múltiple [13]: C ijk
= 1 C
jk o Cijk
= Cijk.
• Colchón semi-C reducible (dimM ≥ 3) [18]:
Cijk =
(n+1)
(~ijCk + ~jkCi + ~kiCj) +
CiCjCk, C
2 6 = 0,
en los que μ y ♥ son funciones escalares que satisfacen • • • • = 1.
• C-reducible (dimM ≥ 3) [15]: Cijk =
(~ijCk + ~jkCi + ~kiCj).
• C2-como colector (dimM ≥ 2) [17]: Cijk =
CiCjCk, C
2 6= 0.
• colector cuasi-C reducible (dimM ≥ 3) [23]: Cijk = AijCk + AjkCi + AkiCj,
donde Aij(x, y) es un campo tensor simétrico que satisface Aijy
i = 0.
• Multiplicador tipo S3 (dimM ≥ 4) [6]: Slijk =
(n−1)(n−2)
ik~lj − ~ij~lk},
donde S es la curvatura vertical escalar.
• Colchón similar a S4 (dimM ≥ 5) [6]: Slijk = ~ljFik − ~lkFij + ~ikFlj − ~ijFlk,
donde Fij :=
{Sij −
2 n−2)
Sij es el tensor vertical de Ricci.
• Multifolleto Sv-periódico [20], [11]: Shijkm = ♥mShijk,
donde ♥j(x, y) es un campo vectorial covariante.
• Segundo orden Células Sv-periódicas [20], [11]: Shijkmn = mnShijk,
donde el campo de tensor covariante es el Íj(x, y).
• Landsberg multiple [7]: P hkji y
k = 0
k = 0 Ch
yk = 0.
• General Landsberg multiple [10]: P rijry
i = 0 Cjo = 0.
• Multiple simétrico P [19]: Phijk = Phikj.
• colector tipo P2 (dimM ≥ 3) [14]: Phijk = αhCijk − αiChjk,
donde αk(x, y) es un campo vectorial covariante.
• Multiplicador reducible P (dimM ≥ 3) [19]: Pijk =
(~ij Pk + ~jk Pi + ~ki Pj),
donde Pijk = ghiP
• colector isotrópico h (dimM ≥ 3) [13]: Rhijk = ko{ghjgik − ghkgij},
para algunos escalar ko, donde Rhijk = gilR
• Manifold de curvatura escalar [21]: Rijkl y
iyk = kL2~jl,
para alguna función k : TM R.
• Manifold de curvatura constante [21]: la función k en la definición anterior es
constante.
• Manifold de curvatura perpendicular escalar (o de curvatura p-escalar ) [8], [9]:
P ·Rhijk := ~
k Rlmnr = Roik~hj − ~ij~hk},
donde Ro es una función llamada curvatura perpendicular escalar.
• Manifold de curvatura s-ps [8], [9]: (M,L) es tanto de curvatura escalar como de
Curvatura p-escalar.
• colector tipo R3 (dimM ≥ 4) [8]: Rhijk = ghjFik − ghkFij + gikFhj − gijFhk,
donde Fij :=
{Rij −
r gij}; Rij := R
ijh, r :=
Bibliografía
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|
704.0054 | The Hardy-Lorentz Spaces $H^{p,q}(R^n)$ | El Hardy-Lorentz Spaces Hp,q(Rn)
Wael Abu-Shammala y Alberto Torchinsky
Resumen
En este artículo consideramos los espacios Hardy-Lorentz Hp,q(Rn), con
0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ Discutimos la descomposición atómica de
los elementos en estos espacios, sus propiedades de interpolación, y el
comportamiento de integrales singulares y otros operadores que actúan sobre ellos.
La verdadera teoría variable de los espacios Hardy representa un escenario fructífero para
el estudio de las funciones máximas y de los operadores integrales singulares. De hecho,
es debido al fracaso de estos operadores para preservar L1 que el Hardy
espacio H1 asume su papel prominente en el análisis armónico. Ahora, para muchos
de estos operadores, el papel de L1 también puede ser desempeñado por H1,
Debilidad H1. Sin embargo, aunque estos operadores son sensibles a H1 − L1 y
H1; − L1; estimaciones, interpolación entre H1 y H1;
disponible. Consideraciones similares se aplican a Hp y Hp débil para 0 < p < 1.
El propósito de este documento es proporcionar un resultado de interpolación para el
Espacios Hardy-Lorentz Hp,q, 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤
Hp débil como punto final para la interpolación real. La descomposición atómica
es el ingrediente clave en el tratamiento de la interpolación, ya que en este contexto
Las truncaciones están disponibles, ni se aplica la reiteración.
El documento se organiza de la siguiente manera. Los espacios de Lorentz, incluidos los criterios
que garanticen la adhesión a la Lp,q, 0 < p < فارسى, 0 < q ≤
Sección 1. En la Sección 2 mostramos que las distribuciones en Hp,q tienen un atómico
descomposición en términos de átomos de Hp con coeficientes en una mezcla adecuada
espacio de norma. Una aplicación interesante de esta descomposición es a Hp,q-Lp,
estimaciones para los operadores integrales singulares de Calderón-Zygmund, p < q ≤ فارسى.
También, manipulando los diferentes niveles de la descomposición atómica, nosotros
mostrar que, para 0 < q1 < q < q2 ≤ فارسى, H
p,q es un espacio intermedio entre
Hp,q1 y Hp,q2. Este resultado se aplica a Calderón-Zygmund singular integral
operadores, incluidos aquellos con núcleos variables, integrales Marcinkiewicz, y
otros operadores.
http://arxiv.org/abs/0704.0054v1
1 Los espacios de Lorentz
El espacio Lorentz Lp,q(Rn) = Lp,q, 0 < p, 0 < q ≤
funciones medibles f con cuasinorm finito â € â € TM p,q dada por
{f} {p},q = {f} {f},q {f},q {f}, {f},q {f}, {f},q {f}, {f},q {f}, {f {f},q }, {f {f},q {f }, {f {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }
[t1/pf ∗(t)]q
, 0 < q ,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
[t1/pf ∗(t)], q = فارسى.
La cuasinorma de Lorentz también se puede dar en términos de la función de distribución
= x Rn: f(x) >, hablando vagamente, la inversa de la
reordenación no creciente f ∗ de f. De hecho, tenemos
{f} {p},q = {f} {f},q {f},q {f}, {f},q {f}, {f},q {f}, {f},q {f}, {f {f},q }, {f {f},q {f }, {f {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }
*q−1m(f, )q/p d
2km(f, 2k)1/p
cuando 0 < q, y
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2km(f, 2k)1/p, q = فارسى.
Nótese que, en particular, Lp,p = Lp, y Lp es débil Lp.
Los dos resultados siguientes son útiles para verificar que una función está en Lp,q.
Lemma 1.1. Let 0 < p, y 0 < q ≤ فارسى. Asumir que el no negativo
secuencia k} satisface {2
kμk}
q. Además, supongamos que el no negativo
función de verificación de la siguiente propiedad: existe 0 < فارسى < 1 tal que,
dado un número entero arbitrario k0, tenemos ≤ k0 + ηk0, donde k0 es esencialmente
limitado y satisfecho k0 ≤ c 2
k0, y
2k0lpm(ηk0, 2
k0) ≤ c
[2kk]
A continuación, se sustituyen por el texto siguiente:
kμklq.
Prueba. Es claramente suficiente verificar que 2k > γ 2k1/plq, donde γ
es una constante positiva arbitraria. Ahora, dado k0, vamos a k0 y ηk0 ser como arriba,
y poner γ = c+ 1, donde c es la constante en las desigualdades anteriores; para esto
elección de γ, > γ 2k0} k0 > 2
Cuando q = Ł, tenemos
2k0°m(ηk0, 2
k0)1/p ≤ c
[2-k(1) 2k μk]
≤ c 2−k0(1) sup
[ 2k μk].
Por lo tanto, 2k0 m(ηk0, 2
k0)1/p ≤ supk≥k0[ 2
k μk], y, en consecuencia,
2k0 m(γ, γ 2k0)1/p ≤ c 2kμkl, todos k0.
Cuando 0 < q <
[2k(1)μk]
Cuando p < q, por la desigualdad de Hölder con exponente r = q/p y su conjugado
r′, esta expresión está dominada por
2k pr
)1/r′(
2k(1)μk
rp )1/r
≤ c 2−k0
2k(1)μk
[ ]q )p/q
y, cuando 0 < q ≤ p, r < 1, y obtenemos un límite similar simplemente observando
que no exceda de
2-k0op
[2k(1)μk]
≤ 2−k0p
2k(1)μk
[ ]q )p/q
De donde, continuando con la estimación, tenemos
2k0lpm(ηk0, 2
k0) ≤ c
2k(1)μk
[ ]q )p/q
que produce, desde 1− • = 2 •,
2k0 m(, γ 2k0)1/p ≤ c 2k0
2k(1)μk
[ ]q )1/q
Por lo tanto, subiendo a la q y summing, obtenemos
2k0 m(, γ 2k0)1/p
2k0 q
2k(1)μk
que, al cambiar el orden de la suma en el lado derecho de la
por encima de la desigualdad, está limitada por
2k(1)μk
k0=
2k0 q
El lector no tendrá dificultad en verificar que, para Lemma 1.1 mantener,
basta con que â € TM x 0 satisface
m(x0, 2
k0)1/p ≤ c μk0, todos k0.
Esto sostiene, por ejemplo, cuando x0
r ≤ c 2
, 0 < r < فارسى. De hecho, la
los supuestos de Lemma 1.1 corresponden al caso limitante de esta desigualdad
como r → فارسى.
Otra condición útil es dada por nuestro siguiente resultado, la prueba se deja a
el lector.
Lemma 1.2. Dejar 0 < p < فارسى, y dejar que la secuencia no negativa k} ser
De tal manera que {2kμk} {l)
q, 0 < q ≤ فارسى. Además, supongamos que el no negativo
la función satisface la siguiente propiedad: existe 0 < < 1 tal que,
dado un número entero arbitrario k0, tenemos
2k0pm(k0, 2
k0) ≤ c
2k®k
, 0 < < min(1, q/p),
2k0k0 > 2
k0 ≤ c
2kk
A continuación, se sustituyen por el texto siguiente:
kμklq.
También necesitaremos algunos conceptos básicos de la teoría de la interpo real.
ración. Deja que A0, A1, sea un par de espacios Banach cuasinormed compatibles,
Es decir, tanto A0 como A1 están continuamente incrustados en un vector topológico más grande
espacio. El Peetre K funcional de f • A0 + A1 en t > 0 está definido por
K(t, f ;A0, A1) = inf
f=f0+f1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
donde f = f0 + f1, f0 â € A0 y f1 â € A1.
En el caso particular de los espacios Lq, la función K puede ser computada
por la fórmula de Holmstedt, véase [12]. Específicamente, para 0 < q0 < q1 ≤
dado por 1/α = 1/q0 − 1/q1. Entonces,
K(t, f;Lq0, Lq1)
f*(s)q0ds
)1/q0
f*(s)q1ds
)1/q1
El espacio intermedio (A0, A1)η, q, 0 < η < 1, 0 < q <
los f ’s en A0 + A1 con
(A0,A1)η, q =
tK(t, f;A0, A1)
[ ]q dt
(A0,A1)
tK(t, f;A0, A1)
, q = فارسى.
Finalmente, para los espacios Lq y Lp,q, tenemos el siguiente resultado. Vamos.
0 < q1 < q < q2 ≤ فارسى, y supongan que 1/q = (1 − η)/q1 + η/q2. Entonces,
Lq = (Lq1, Lq2)η,q y L
1,q = (L1,q1, L1,q2)η,q, véase [4].
2 Los espacios Hardy-Lorentz Hp,q
En este artículo adoptamos la caracterización atómica de los espacios Hardy Hp,
0 < p ≤ 1. Recuerde que una función de soporte compacto a con [n(1/p− 1)]
momentos de desaparición es un átomo de Hp con intervalo de definición I (por supuesto, yo es
un cubo en Rn), si supp(a) I, y I1/p a(x) ≤ 1. El espacio Hardy
Hp(Rn) = Hp consiste en las distribuciones f que se pueden escribir como f =
♥jaj, donde los aj’s son H
p átomos,
p < فارسى, y la convergencia es
en el sentido de distribuciones, así como en Hp. Además,
# FHp # # Inf #
donde el infimum se hace cargo de todas las posibles descomposiciones atómicas de f.
Esta última expresión ha sido tradicionalmente llamada la norma Hp atómica de f.
C. Fefferman, Rivière y Sagher identificaron los espacios intermedios
entre el espacio Hardy Hp0, 0 < p0 < 1, y L
En la misma forma que en el caso de las empresas de servicios de inversión, el importe total de los préstamos concedidos a las empresas de servicios de inversión en el sector de la inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión.
(Hp0, LŁ)η,q = H
p,q, 1/p = (1− η)/p0, 0 < q ≤
donde Hp,q consiste en las distribuciones f cuya función máxima radial
Mf(x) = supt>0 (f ∗?t)(x) pertenece a L
p,q. Aquí es un sup-
función portada, suave con integral no desvanecida, véase [10]. R. Fefferman
y Soria estudió en detalle el espacio H1, fue llamado débil H1, ver
[11].
Al igual que en el caso de Hp, Hp,q se puede caracterizar en una serie de
diferentes formas, incluso en términos de funciones máximas no-tangenciales y
Las funciones de Lusin. En lo que sigue vamos a calcular la cuasinorm de f en Hp,q
por medio de la expresión
2km(Mf, 2k)1/p
, 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤
donde Mf es una función máxima adecuada de f.
Pasando a la descomposición atómica de Hp,q, la prueba se divide en dos
partes. En primer lugar, construimos una descomposición atómica esencialmente óptima; Par-
ilov ha obtenido independientemente este resultado para H1,q cuando 1 ≤ q, véase [14].
Además, R. Fefferman y Soria dieron la descomposición atómica de débil H1,
Véase [11], y Alvarez la descomposición atómica de Hp débil, 0 < p < 1, ver
Teorema 2.1. Let f â € € Hp,q, 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ €. Entonces f tiene un atómico
descomposición f =
j,k j,kaj,k, donde los aj,k son H
p átomos con definición
intervalos Ij,k que han limitado solapamiento uniforme para cada k, la secuencia
j,k} satisface
j j,k
Y la convergencia está en el
sentido de las distribuciones. Además,
j j,k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Prueba. La idea de construir una descomposición atómica utilizando la de Calderón
reproduciendo fórmula es bien entendido, por lo que sólo vamos a bosquejar aquí, para
más detalles, véanse [5] y [18]. Dejemos que Nf(x) = sup(f*) (y) : x− y < t}
denotar la función máxima no-tangencial de f con respecto a un
función suave • con integral no desvanecimiento. Uno considera los conjuntos abiertos
Ok = {Nf > 2
k}, todos los enteros k, y construye los átomos con intervalo de definición
asociado a los intervalos, en realidad cubos, de la descomposición de Whitney
de Ok, y por lo tanto satisfacer todas las propiedades requeridas. Más precisamente, uno
construye una secuencia de funciones delimitadas fk con norma no superior a c 2
para cada k, y tal que f −
kn fk → 0 en el sentido de distri-
butions. Estas funciones tienen la propiedad adicional que fk(x) =
j αj,k(x),
donde j,k(x) ≤ c 2
k, c es una constante, cada αj,k ha desaparecido momentos hacia arriba
a la orden [n(1/p − 1)] y se apoya en Ij,k - aproximadamente uno de los Whitney
cubos -, donde los Ij,k han limitado solapamientos para cada k, uniformemente en k.
sólo queda ahora a escala αj,k,
αj,k(x) = j,k aj,k(x),
y equilibrar la contribución de cada término a la suma. Dejemos que Łj,k = 2
kIj,k
Entonces, aj,k(x) es esencialmente una H
p átomo con intervalo de definición Ij,k, y uno
j j,k
2k Ok
1/p. Por lo tanto,
j,k
)1/p
2k Ok
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Como aplicación de esta descomposición atómica, el lector debería tener
No hay dificultad para mostrar directamente el C. Fefferman, Rivière, Sagher carácter-
sión de Hp,q, véase [10].
Otra aplicación interesante de esta descomposición es a Hp,q − Lp,
estimaciones para los operadores integrales singulares de Calderón-Zygmund T, p < q ≤.
Este enfoque combina el concepto de operador local p-quasi de Weisz, véase
[17], con la idea de dilaciones variables de R. Fefferman y Soria, véase [11].
Intuitivamente, ya que la condición de Hörmander implica que T mapas H1 en L1, decir,
en caso de que T se defina en H1, s, 1 < s ≤ فارسى, algún refuerzo de esta condición
es necesario. Esto se logra por las dilaciones variables. Por otra parte, desde
vamos a incluir p < 1 en nuestra discusión, a medida que p se hace más pequeño, más regularidad de
el núcleo de T será requerido. Esto justifica la siguiente definición.
Dado 0 < p ≤ 1, dejar N = [n(1/p − 1)], y, asociado al núcleo
k(x, y) de un operador integral singular Calderón-Zygmund T, considere la
módulo de continuidad
* p() = sup * p() = sup * = sup * p() = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup =
Rn\(2/l)I
k(x, y)−
N
(y − yI)
αkα(x, yI) dy
donde 0 < ≤ 1, y la sup se hace cargo de la recogida de intervalos arbitrarios
I de Rn centrado en yI. Aquí, para un multi-índice α = (α1,. .., αn),
kα(x, yI) =
Dαk(x, y)
فارسىp() controla el comportamiento de T en los átomos. Más precisamente, si a es una H
p átomo
con el intervalo definidor I, y 0 < < 1, observen que
T (a)(x) =
[k(x, y)−
N
(y − yI)
αkα(x, yI)] a(y) dy,
y, en consecuencia,
Rn\(2/l)I
T (a)(x)p dx ≤
Ahora estamos listos para probar el Hp,q − Lp,
Zygmund operador integral singular T con núcleo k(x, y).
Teorema 2.2. Let 0 < p ≤ 1, y p < q ≤ فارسى. Supongamos que un Calderón...
El operador integral singular Zygmund T es de tipo débil (r, r) para aproximadamente 1 < r <
y que el módulo de continuidad del núcleo k satisface un Dini
condición del orden q/(q − p), a saber,
Ap,q =
* p..............................................................................................................................................................................................................................................................
q/(q−p)d
](q−p)/q
Luego T mapea Hp,q continuamente en Lp y Tfp ≤ cA
p.q.f.Hp.q.
Prueba. Tenemos que demostrarlo.
2k0pm(Tf, 2k0) ≤ c + f
Hp,q, todos k0.
Let f =
j ♥j,kaj,k, ser la descomposición atómica de f dada en teorema
2.1, y set f1 =
j ♥j,kaj,k, y f2 = f − f1. Además, dejar μk =
j j,k
, y recuerden que klq â € â € â € â € â € TM TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM, y recuerden que klq â â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM.
Desde el 1 de enero de 1999
r ≤ c 2
k0(r−p)
Hp, hemos
2pk0m(Tf1, 2
k0) ≤ c
Hp.
A continuación, ponga I*j,k = 2
1/n(3/2)p(k−k0)/nIj,k, y dejar
I*j,k.
Desde I*j,k = 2(3/2)
p(k−k0)Ij,k 2
−k0p(3/4)p(k−k0)j,k
p, tenemos
≤
I*j,k ≤ c 2
(3/4)p(k−k0)
j,k
≤ c 2−k0p
≤ c 2−k0pÃ3fÃ3
Hp.
Además, desde 0 < p ≤ 1, se sigue fácilmente que
T (f2)(x)
j,k
pT (aj,k)(x)
y, por Tonelli y la estimación para T (a), tenemos
T (f2)(x)
p dx ≤
j,k
Rn\I*
T (aj,k)(x)
)p(k−k0)/n
)pk/n)q/(q−p))(q−p)/q
* p..............................................................................................................................................................................................................................................................
q/(q−p)d
](q−p)/q
Hp,q.
Este atado da a la vez
2pk0 x / : T (f2)(x) > 2
k0 ≤ cAp,q â € ~ fâ €
Hp,q,
lo que implica que
2pk0m(Tf2, 2
k0−1) ≤ 2pk0
: T (f2)(x) > 2
k0−1
≤ c °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f
Hp. + cAp.
Hp,q.
Por último,
2k0pm(Tf, 2k0) ≤ 2k0pm(Tf1, 2
k0−1) + 2k0pm(Tf2, 2
k0-1)
≤ c °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f
Hp. + cAp.
Hp,q,
y, desde â â € € TM TM € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM y, desde â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Pasamos ahora a la conversación del Teorema 2.1. Es evidente que una
condición que relaciona los coeficientes j con los átomos correspondientes aj
implicado en una descomposición atómica de la forma
j ♥jaj(x) es relevante aquí.
Más precisamente, si Ij denota el intervalo de soporte de aj, dejar
Ik = {j : 2
k ≤ j/Ij
1/p < 2k+1},
y, en el caso de la letra ♥ = j}, poner
[p,q] =
]q/p)1/q
Entonces tenemos,
Teorema 2.3. Dejar 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ فارسى, y dejar que f sea una distribución dada
por f =
j j aj(x), donde los aj’s son H
p átomos, y la convergencia es en
el sentido de las distribuciones. Además, asumir que la familia {Ij} consistente en
los soportes de los ajs se superponen a cada nivel Ik uniformemente en k,
y [p,q]. Entonces, f â € H
p,q, y â € € € TM = Hp,q ≤ c â € [p,q].
Prueba. Deje que Mf(x) = supt>0 (f ∗?t)(x) denote la función máxima radial
de f con respecto a una función suave adecuada • con soporte contenido en
x ≤ 1} e integral no desvaneciente. Verificaremos que Mf satisface la
condiciones de Lemma 1.1 y por lo tanto está en Lp,q.
Fijar un entero k0 y dejar
g(x) =
♥jaj(x).
Puesto que Mg ≤ g basta con estimar g(x). Que C sea el límite
solapamiento constante para la familia de los soportes de los ajs. Entonces, para j â € ¢ Ik,
j aj(x) =
Ij1/p
j Ij
1/p aj(x) ≤ 2
kχIj (x),
y, en consecuencia,
g(x) ≤
χIj(x) ≤ C 2
Siguiente, vamos
h(x) =
♥jaj(x).
Puesto que aj tiene N = [n(1/p − 1)] momentos de desaparición, no es difícil ver
que, si Ij es el intervalo de definición de aj y Ij se centra en xj, y γ =
(n+N+1)/n > 1/p, entonces, con c independiente de j, j(x) =Maj(x) satisface
j(x) ≤ c
Ij
1/p
(Ij x− xj n)γ
Por lo tanto, si 1/γ < p < 1,
Mh(x)p ≤ c
Ik,k≥k0
(j Ij
1/p)p
(Ij x− xj n)p
que, en el momento de la integración, produce
Mh(x)p dx ≤ c
Ik,k≥k0
(j Ij
1/p)p
(Ij x− xj n)p
Las integrales en el lado derecho arriba son de orden Ij
1p y, conse-
Quently, por la desigualdad de Chebychev,
> 2k0pMh > 2k0 ≤ c
Ik,k≥k0
*P Ij*
1 ≤ c
Ij.
Por lo tanto, Lemma 1.1 se aplica a los tipos de Mf, K0 = Mg, ηk0 = Mh y μk =
, y conseguimos
2km(Mf, 2k)1/p
)1/p
que, desde
# Ij #
, j # Ik,
está limitada por c [p,q], 0 < q ≤ فارسى. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente resultado es de interés porque se aplica a la descomposición arbitraria.
ciones en Hp,q. La prueba se basa en Lemma 1.2, y se deja al lector.
Teorema 2.4. Dejar 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ فارسى, y dejar que f sea una distribución dada
por f =
j j aj(x), donde los aj’s son H
p átomos, y la convergencia es
en el sentido de distribuciones. Además, asumir que [η,q] < para algunos
0 < η < min(p, q). A continuación, f Hp,q, y fHp,q ≤ c [η,q].
2.1 Interpolación entre espacios Hardy-Lorentz
Ahora estamos listos para identificar los espacios intermedios de un par de Hardy-
Espacios de Lorentz con el mismo primer índice p ≤ 1.
Teorema 2.5. Let 0 < p ≤ 1. Teniendo en cuenta 0 < q1 < q < q2 ≤ فارسى, definir 0 < η < 1
por la relación 1/q = (1− η)/q1 + η/q2. Entonces, con cuasinormas equivalentes,
Hp,q = (Hp,q1, Hp,q2)η,q.
Prueba. Puesto que la función máxima no-tangencial Nf de una distribución f en
Hp,q1 es en Lp,q1, y el de f en Hp,q2 es en Lp,q2, tenemos
K(t, Nf;Lp,q1, Lp,q2) ≤ cK(t, f;Hp,q1, Hp,q2).
Por lo tanto,
Nfp,q (Lp,q1,Lp,q2)η,q ≤ c (Hp,q1,Hp,q2 )η,q,
y (Hp,q1, Hp,q2)η,q H
Para mostrar la otra incrustación, con la notación en la prueba de Teorema
2.1, escribir f =
j ♥j,kaj,k, y recordar que para cada entero k, el nivel
set Ik = {j : j,k/Ij,k
1/p 2k} contiene exclusivamente la secuencia j,k}.
Dejar μ
j,k
p. Por construcción,
k # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Hp,q. Ahora, reorganízalo.
k} en
l }, y, para cada l ≥ 1, dejar que kl sea tal que μkl = μ
l. Para
l0 ≥ 1, dejar Kl0 = {k1,. .., kl0}, y poner f1,10 =
kâ € € TM ~ Kl0
j j,kaj,k y f2,10 =
f − f1,10. Luego, por el teorema 2.2, f1,10 H
p,q1, f2,l0 H
p,q2, y, con la
interpretación habitual para q2 = ,
°f1,10°Hp,q1 ≤ c
)1/q1
, + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
)1/q2
Por lo tanto, para t > 0 y cada entero positivo l0, tenemos
K(t, f ;Hp,q1, Hp,q2) ≤ c
)1/q1
)1/q2
Ahora, por la fórmula de Homstedt, hay una opción de l0 tal que la mano derecha
lado por encima de K(t, k}; l
q1, lq2), y, en consecuencia,
K(t, f ;Hp,q1, Hp,q2) ≤ cK(t, k}; l
q1, lq2).
Por lo tanto,
(Hp,q1,Hp,q2 )η,q ≤ c k(lq1,lq2)η,q
≤ c klq ≤ c â € â € € € TM TM TM Hp,q,
y Hp,q (Hp,q1, Hp,q2)η,q. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El lector no tendrá dificultad en verificar que el Teorema 2.5 da que
Si T es un mapa continuo, sublineal de H1 a L1, y de H1 a L1,
a continuación "Tf"1,q ≤ c "f"H1,q para 1 < q < فارسى. Esta observación tiene numerosos
aplicaciones. Por ejemplo, considere la singular integral Calderón-Zygmund
operadores con núcleo variable definido por
Tl(f)(x) = p.v.
(x, x-y)
x− yn
f(y) dy.
Bajo los supuestos de crecimiento y suavidad adecuados en los mapas H de T
continuamente en L1, véase [6], y H1, fue continuamente en L1, fue, véase [8]. Por lo tanto,
si satisface los supuestos de ambos de estos resultados, los mapas H de T
1,q contin-
uly en L1,q para 1 < q < فارسى. Un resultado similar sigue invocando el
caracterización de H1,q dada por C. Fefferman, Rivière y Sagher. ¿Cómo...?
siempre, en este caso la estimación de Hp-Lp requiere suavidad adicional de
se muestra, por ejemplo, en [6]. Consideraciones similares se aplican a la Marcinkiewicz
integral, véase [9], y [7].
Por último, cuando p < 1, nuestros resultados cubren, por ejemplo, los operadores de CZ
satisfactoria T*(1) = 0 discutida por Álvarez y Milman, véase [3]. Estos oper-
ators, así como una clase relacionada más general introducida en [15], preservar Hp
< p ≤ 1, y, en consecuencia, por el teorema 2.5,
también conservar Hp,q para p en ese mismo rango, y q > p.
Bibliografía
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, UNIVERSIDAD INDIANA,
BLOOMINGTON, EN 47405
Correo electrónico: wabusham@indiana.edu, torchins@indiana.edu
Los espacios de Lorentz
Los espacios Hardy-Lorentz Hp,q
Interpolación entre espacios Hardy-Lorentz
| En este artículo consideramos los espacios de Hardy-Lorentz $H?p,q}(R^n)$, con
$0<p\le 1$, $0<q\le \infty$. Discutimos la descomposición atómica de la
elementos en estos espacios, sus propiedades de interpolación, y el comportamiento de
integrales singulares y otros operadores que actúan sobre ellas.
| El Hardy-Lorentz Spaces Hp,q(Rn)
Wael Abu-Shammala y Alberto Torchinsky
Resumen
En este artículo consideramos los espacios Hardy-Lorentz Hp,q(Rn), con
0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ Discutimos la descomposición atómica de
los elementos en estos espacios, sus propiedades de interpolación, y el
comportamiento de integrales singulares y otros operadores que actúan sobre ellos.
La verdadera teoría variable de los espacios Hardy representa un escenario fructífero para
el estudio de las funciones máximas y de los operadores integrales singulares. De hecho,
es debido al fracaso de estos operadores para preservar L1 que el Hardy
espacio H1 asume su papel prominente en el análisis armónico. Ahora, para muchos
de estos operadores, el papel de L1 también puede ser desempeñado por H1,
Debilidad H1. Sin embargo, aunque estos operadores son sensibles a H1 − L1 y
H1; − L1; estimaciones, interpolación entre H1 y H1;
disponible. Consideraciones similares se aplican a Hp y Hp débil para 0 < p < 1.
El propósito de este documento es proporcionar un resultado de interpolación para el
Espacios Hardy-Lorentz Hp,q, 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤
Hp débil como punto final para la interpolación real. La descomposición atómica
es el ingrediente clave en el tratamiento de la interpolación, ya que en este contexto
Las truncaciones están disponibles, ni se aplica la reiteración.
El documento se organiza de la siguiente manera. Los espacios de Lorentz, incluidos los criterios
que garanticen la adhesión a la Lp,q, 0 < p < فارسى, 0 < q ≤
Sección 1. En la Sección 2 mostramos que las distribuciones en Hp,q tienen un atómico
descomposición en términos de átomos de Hp con coeficientes en una mezcla adecuada
espacio de norma. Una aplicación interesante de esta descomposición es a Hp,q-Lp,
estimaciones para los operadores integrales singulares de Calderón-Zygmund, p < q ≤ فارسى.
También, manipulando los diferentes niveles de la descomposición atómica, nosotros
mostrar que, para 0 < q1 < q < q2 ≤ فارسى, H
p,q es un espacio intermedio entre
Hp,q1 y Hp,q2. Este resultado se aplica a Calderón-Zygmund singular integral
operadores, incluidos aquellos con núcleos variables, integrales Marcinkiewicz, y
otros operadores.
http://arxiv.org/abs/0704.0054v1
1 Los espacios de Lorentz
El espacio Lorentz Lp,q(Rn) = Lp,q, 0 < p, 0 < q ≤
funciones medibles f con cuasinorm finito â € â € TM p,q dada por
{f} {p},q = {f} {f},q {f},q {f}, {f},q {f}, {f},q {f}, {f},q {f}, {f {f},q }, {f {f},q {f }, {f {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }
[t1/pf ∗(t)]q
, 0 < q ,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
[t1/pf ∗(t)], q = فارسى.
La cuasinorma de Lorentz también se puede dar en términos de la función de distribución
= x Rn: f(x) >, hablando vagamente, la inversa de la
reordenación no creciente f ∗ de f. De hecho, tenemos
{f} {p},q = {f} {f},q {f},q {f}, {f},q {f}, {f},q {f}, {f},q {f}, {f {f},q }, {f {f},q {f }, {f {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f }, {f }, {f {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }, {f }
*q−1m(f, )q/p d
2km(f, 2k)1/p
cuando 0 < q, y
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2km(f, 2k)1/p, q = فارسى.
Nótese que, en particular, Lp,p = Lp, y Lp es débil Lp.
Los dos resultados siguientes son útiles para verificar que una función está en Lp,q.
Lemma 1.1. Let 0 < p, y 0 < q ≤ فارسى. Asumir que el no negativo
secuencia k} satisface {2
kμk}
q. Además, supongamos que el no negativo
función de verificación de la siguiente propiedad: existe 0 < فارسى < 1 tal que,
dado un número entero arbitrario k0, tenemos ≤ k0 + ηk0, donde k0 es esencialmente
limitado y satisfecho k0 ≤ c 2
k0, y
2k0lpm(ηk0, 2
k0) ≤ c
[2kk]
A continuación, se sustituyen por el texto siguiente:
kμklq.
Prueba. Es claramente suficiente verificar que 2k > γ 2k1/plq, donde γ
es una constante positiva arbitraria. Ahora, dado k0, vamos a k0 y ηk0 ser como arriba,
y poner γ = c+ 1, donde c es la constante en las desigualdades anteriores; para esto
elección de γ, > γ 2k0} k0 > 2
Cuando q = Ł, tenemos
2k0°m(ηk0, 2
k0)1/p ≤ c
[2-k(1) 2k μk]
≤ c 2−k0(1) sup
[ 2k μk].
Por lo tanto, 2k0 m(ηk0, 2
k0)1/p ≤ supk≥k0[ 2
k μk], y, en consecuencia,
2k0 m(γ, γ 2k0)1/p ≤ c 2kμkl, todos k0.
Cuando 0 < q <
[2k(1)μk]
Cuando p < q, por la desigualdad de Hölder con exponente r = q/p y su conjugado
r′, esta expresión está dominada por
2k pr
)1/r′(
2k(1)μk
rp )1/r
≤ c 2−k0
2k(1)μk
[ ]q )p/q
y, cuando 0 < q ≤ p, r < 1, y obtenemos un límite similar simplemente observando
que no exceda de
2-k0op
[2k(1)μk]
≤ 2−k0p
2k(1)μk
[ ]q )p/q
De donde, continuando con la estimación, tenemos
2k0lpm(ηk0, 2
k0) ≤ c
2k(1)μk
[ ]q )p/q
que produce, desde 1− • = 2 •,
2k0 m(, γ 2k0)1/p ≤ c 2k0
2k(1)μk
[ ]q )1/q
Por lo tanto, subiendo a la q y summing, obtenemos
2k0 m(, γ 2k0)1/p
2k0 q
2k(1)μk
que, al cambiar el orden de la suma en el lado derecho de la
por encima de la desigualdad, está limitada por
2k(1)μk
k0=
2k0 q
El lector no tendrá dificultad en verificar que, para Lemma 1.1 mantener,
basta con que â € TM x 0 satisface
m(x0, 2
k0)1/p ≤ c μk0, todos k0.
Esto sostiene, por ejemplo, cuando x0
r ≤ c 2
, 0 < r < فارسى. De hecho, la
los supuestos de Lemma 1.1 corresponden al caso limitante de esta desigualdad
como r → فارسى.
Otra condición útil es dada por nuestro siguiente resultado, la prueba se deja a
el lector.
Lemma 1.2. Dejar 0 < p < فارسى, y dejar que la secuencia no negativa k} ser
De tal manera que {2kμk} {l)
q, 0 < q ≤ فارسى. Además, supongamos que el no negativo
la función satisface la siguiente propiedad: existe 0 < < 1 tal que,
dado un número entero arbitrario k0, tenemos
2k0pm(k0, 2
k0) ≤ c
2k®k
, 0 < < min(1, q/p),
2k0k0 > 2
k0 ≤ c
2kk
A continuación, se sustituyen por el texto siguiente:
kμklq.
También necesitaremos algunos conceptos básicos de la teoría de la interpo real.
ración. Deja que A0, A1, sea un par de espacios Banach cuasinormed compatibles,
Es decir, tanto A0 como A1 están continuamente incrustados en un vector topológico más grande
espacio. El Peetre K funcional de f • A0 + A1 en t > 0 está definido por
K(t, f ;A0, A1) = inf
f=f0+f1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
donde f = f0 + f1, f0 â € A0 y f1 â € A1.
En el caso particular de los espacios Lq, la función K puede ser computada
por la fórmula de Holmstedt, véase [12]. Específicamente, para 0 < q0 < q1 ≤
dado por 1/α = 1/q0 − 1/q1. Entonces,
K(t, f;Lq0, Lq1)
f*(s)q0ds
)1/q0
f*(s)q1ds
)1/q1
El espacio intermedio (A0, A1)η, q, 0 < η < 1, 0 < q <
los f ’s en A0 + A1 con
(A0,A1)η, q =
tK(t, f;A0, A1)
[ ]q dt
(A0,A1)
tK(t, f;A0, A1)
, q = فارسى.
Finalmente, para los espacios Lq y Lp,q, tenemos el siguiente resultado. Vamos.
0 < q1 < q < q2 ≤ فارسى, y supongan que 1/q = (1 − η)/q1 + η/q2. Entonces,
Lq = (Lq1, Lq2)η,q y L
1,q = (L1,q1, L1,q2)η,q, véase [4].
2 Los espacios Hardy-Lorentz Hp,q
En este artículo adoptamos la caracterización atómica de los espacios Hardy Hp,
0 < p ≤ 1. Recuerde que una función de soporte compacto a con [n(1/p− 1)]
momentos de desaparición es un átomo de Hp con intervalo de definición I (por supuesto, yo es
un cubo en Rn), si supp(a) I, y I1/p a(x) ≤ 1. El espacio Hardy
Hp(Rn) = Hp consiste en las distribuciones f que se pueden escribir como f =
♥jaj, donde los aj’s son H
p átomos,
p < فارسى, y la convergencia es
en el sentido de distribuciones, así como en Hp. Además,
# FHp # # Inf #
donde el infimum se hace cargo de todas las posibles descomposiciones atómicas de f.
Esta última expresión ha sido tradicionalmente llamada la norma Hp atómica de f.
C. Fefferman, Rivière y Sagher identificaron los espacios intermedios
entre el espacio Hardy Hp0, 0 < p0 < 1, y L
En la misma forma que en el caso de las empresas de servicios de inversión, el importe total de los préstamos concedidos a las empresas de servicios de inversión en el sector de la inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión en el sector de los servicios de inversión.
(Hp0, LŁ)η,q = H
p,q, 1/p = (1− η)/p0, 0 < q ≤
donde Hp,q consiste en las distribuciones f cuya función máxima radial
Mf(x) = supt>0 (f ∗?t)(x) pertenece a L
p,q. Aquí es un sup-
función portada, suave con integral no desvanecida, véase [10]. R. Fefferman
y Soria estudió en detalle el espacio H1, fue llamado débil H1, ver
[11].
Al igual que en el caso de Hp, Hp,q se puede caracterizar en una serie de
diferentes formas, incluso en términos de funciones máximas no-tangenciales y
Las funciones de Lusin. En lo que sigue vamos a calcular la cuasinorm de f en Hp,q
por medio de la expresión
2km(Mf, 2k)1/p
, 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤
donde Mf es una función máxima adecuada de f.
Pasando a la descomposición atómica de Hp,q, la prueba se divide en dos
partes. En primer lugar, construimos una descomposición atómica esencialmente óptima; Par-
ilov ha obtenido independientemente este resultado para H1,q cuando 1 ≤ q, véase [14].
Además, R. Fefferman y Soria dieron la descomposición atómica de débil H1,
Véase [11], y Alvarez la descomposición atómica de Hp débil, 0 < p < 1, ver
Teorema 2.1. Let f â € € Hp,q, 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ €. Entonces f tiene un atómico
descomposición f =
j,k j,kaj,k, donde los aj,k son H
p átomos con definición
intervalos Ij,k que han limitado solapamiento uniforme para cada k, la secuencia
j,k} satisface
j j,k
Y la convergencia está en el
sentido de las distribuciones. Además,
j j,k
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Prueba. La idea de construir una descomposición atómica utilizando la de Calderón
reproduciendo fórmula es bien entendido, por lo que sólo vamos a bosquejar aquí, para
más detalles, véanse [5] y [18]. Dejemos que Nf(x) = sup(f*) (y) : x− y < t}
denotar la función máxima no-tangencial de f con respecto a un
función suave • con integral no desvanecimiento. Uno considera los conjuntos abiertos
Ok = {Nf > 2
k}, todos los enteros k, y construye los átomos con intervalo de definición
asociado a los intervalos, en realidad cubos, de la descomposición de Whitney
de Ok, y por lo tanto satisfacer todas las propiedades requeridas. Más precisamente, uno
construye una secuencia de funciones delimitadas fk con norma no superior a c 2
para cada k, y tal que f −
kn fk → 0 en el sentido de distri-
butions. Estas funciones tienen la propiedad adicional que fk(x) =
j αj,k(x),
donde j,k(x) ≤ c 2
k, c es una constante, cada αj,k ha desaparecido momentos hacia arriba
a la orden [n(1/p − 1)] y se apoya en Ij,k - aproximadamente uno de los Whitney
cubos -, donde los Ij,k han limitado solapamientos para cada k, uniformemente en k.
sólo queda ahora a escala αj,k,
αj,k(x) = j,k aj,k(x),
y equilibrar la contribución de cada término a la suma. Dejemos que Łj,k = 2
kIj,k
Entonces, aj,k(x) es esencialmente una H
p átomo con intervalo de definición Ij,k, y uno
j j,k
2k Ok
1/p. Por lo tanto,
j,k
)1/p
2k Ok
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Como aplicación de esta descomposición atómica, el lector debería tener
No hay dificultad para mostrar directamente el C. Fefferman, Rivière, Sagher carácter-
sión de Hp,q, véase [10].
Otra aplicación interesante de esta descomposición es a Hp,q − Lp,
estimaciones para los operadores integrales singulares de Calderón-Zygmund T, p < q ≤.
Este enfoque combina el concepto de operador local p-quasi de Weisz, véase
[17], con la idea de dilaciones variables de R. Fefferman y Soria, véase [11].
Intuitivamente, ya que la condición de Hörmander implica que T mapas H1 en L1, decir,
en caso de que T se defina en H1, s, 1 < s ≤ فارسى, algún refuerzo de esta condición
es necesario. Esto se logra por las dilaciones variables. Por otra parte, desde
vamos a incluir p < 1 en nuestra discusión, a medida que p se hace más pequeño, más regularidad de
el núcleo de T será requerido. Esto justifica la siguiente definición.
Dado 0 < p ≤ 1, dejar N = [n(1/p − 1)], y, asociado al núcleo
k(x, y) de un operador integral singular Calderón-Zygmund T, considere la
módulo de continuidad
* p() = sup * p() = sup * = sup * p() = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup * = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup = sup =
Rn\(2/l)I
k(x, y)−
N
(y − yI)
αkα(x, yI) dy
donde 0 < ≤ 1, y la sup se hace cargo de la recogida de intervalos arbitrarios
I de Rn centrado en yI. Aquí, para un multi-índice α = (α1,. .., αn),
kα(x, yI) =
Dαk(x, y)
فارسىp() controla el comportamiento de T en los átomos. Más precisamente, si a es una H
p átomo
con el intervalo definidor I, y 0 < < 1, observen que
T (a)(x) =
[k(x, y)−
N
(y − yI)
αkα(x, yI)] a(y) dy,
y, en consecuencia,
Rn\(2/l)I
T (a)(x)p dx ≤
Ahora estamos listos para probar el Hp,q − Lp,
Zygmund operador integral singular T con núcleo k(x, y).
Teorema 2.2. Let 0 < p ≤ 1, y p < q ≤ فارسى. Supongamos que un Calderón...
El operador integral singular Zygmund T es de tipo débil (r, r) para aproximadamente 1 < r <
y que el módulo de continuidad del núcleo k satisface un Dini
condición del orden q/(q − p), a saber,
Ap,q =
* p..............................................................................................................................................................................................................................................................
q/(q−p)d
](q−p)/q
Luego T mapea Hp,q continuamente en Lp y Tfp ≤ cA
p.q.f.Hp.q.
Prueba. Tenemos que demostrarlo.
2k0pm(Tf, 2k0) ≤ c + f
Hp,q, todos k0.
Let f =
j ♥j,kaj,k, ser la descomposición atómica de f dada en teorema
2.1, y set f1 =
j ♥j,kaj,k, y f2 = f − f1. Además, dejar μk =
j j,k
, y recuerden que klq â € â € â € â € â € TM TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM, y recuerden que klq â â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM.
Desde el 1 de enero de 1999
r ≤ c 2
k0(r−p)
Hp, hemos
2pk0m(Tf1, 2
k0) ≤ c
Hp.
A continuación, ponga I*j,k = 2
1/n(3/2)p(k−k0)/nIj,k, y dejar
I*j,k.
Desde I*j,k = 2(3/2)
p(k−k0)Ij,k 2
−k0p(3/4)p(k−k0)j,k
p, tenemos
≤
I*j,k ≤ c 2
(3/4)p(k−k0)
j,k
≤ c 2−k0p
≤ c 2−k0pÃ3fÃ3
Hp.
Además, desde 0 < p ≤ 1, se sigue fácilmente que
T (f2)(x)
j,k
pT (aj,k)(x)
y, por Tonelli y la estimación para T (a), tenemos
T (f2)(x)
p dx ≤
j,k
Rn\I*
T (aj,k)(x)
)p(k−k0)/n
)pk/n)q/(q−p))(q−p)/q
* p..............................................................................................................................................................................................................................................................
q/(q−p)d
](q−p)/q
Hp,q.
Este atado da a la vez
2pk0 x / : T (f2)(x) > 2
k0 ≤ cAp,q â € ~ fâ €
Hp,q,
lo que implica que
2pk0m(Tf2, 2
k0−1) ≤ 2pk0
: T (f2)(x) > 2
k0−1
≤ c °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f
Hp. + cAp.
Hp,q.
Por último,
2k0pm(Tf, 2k0) ≤ 2k0pm(Tf1, 2
k0−1) + 2k0pm(Tf2, 2
k0-1)
≤ c °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f °f
Hp. + cAp.
Hp,q,
y, desde â â € € TM TM € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM y, desde â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Pasamos ahora a la conversación del Teorema 2.1. Es evidente que una
condición que relaciona los coeficientes j con los átomos correspondientes aj
implicado en una descomposición atómica de la forma
j ♥jaj(x) es relevante aquí.
Más precisamente, si Ij denota el intervalo de soporte de aj, dejar
Ik = {j : 2
k ≤ j/Ij
1/p < 2k+1},
y, en el caso de la letra ♥ = j}, poner
[p,q] =
]q/p)1/q
Entonces tenemos,
Teorema 2.3. Dejar 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ فارسى, y dejar que f sea una distribución dada
por f =
j j aj(x), donde los aj’s son H
p átomos, y la convergencia es en
el sentido de las distribuciones. Además, asumir que la familia {Ij} consistente en
los soportes de los ajs se superponen a cada nivel Ik uniformemente en k,
y [p,q]. Entonces, f â € H
p,q, y â € € € TM = Hp,q ≤ c â € [p,q].
Prueba. Deje que Mf(x) = supt>0 (f ∗?t)(x) denote la función máxima radial
de f con respecto a una función suave adecuada • con soporte contenido en
x ≤ 1} e integral no desvaneciente. Verificaremos que Mf satisface la
condiciones de Lemma 1.1 y por lo tanto está en Lp,q.
Fijar un entero k0 y dejar
g(x) =
♥jaj(x).
Puesto que Mg ≤ g basta con estimar g(x). Que C sea el límite
solapamiento constante para la familia de los soportes de los ajs. Entonces, para j â € ¢ Ik,
j aj(x) =
Ij1/p
j Ij
1/p aj(x) ≤ 2
kχIj (x),
y, en consecuencia,
g(x) ≤
χIj(x) ≤ C 2
Siguiente, vamos
h(x) =
♥jaj(x).
Puesto que aj tiene N = [n(1/p − 1)] momentos de desaparición, no es difícil ver
que, si Ij es el intervalo de definición de aj y Ij se centra en xj, y γ =
(n+N+1)/n > 1/p, entonces, con c independiente de j, j(x) =Maj(x) satisface
j(x) ≤ c
Ij
1/p
(Ij x− xj n)γ
Por lo tanto, si 1/γ < p < 1,
Mh(x)p ≤ c
Ik,k≥k0
(j Ij
1/p)p
(Ij x− xj n)p
que, en el momento de la integración, produce
Mh(x)p dx ≤ c
Ik,k≥k0
(j Ij
1/p)p
(Ij x− xj n)p
Las integrales en el lado derecho arriba son de orden Ij
1p y, conse-
Quently, por la desigualdad de Chebychev,
> 2k0pMh > 2k0 ≤ c
Ik,k≥k0
*P Ij*
1 ≤ c
Ij.
Por lo tanto, Lemma 1.1 se aplica a los tipos de Mf, K0 = Mg, ηk0 = Mh y μk =
, y conseguimos
2km(Mf, 2k)1/p
)1/p
que, desde
# Ij #
, j # Ik,
está limitada por c [p,q], 0 < q ≤ فارسى. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente resultado es de interés porque se aplica a la descomposición arbitraria.
ciones en Hp,q. La prueba se basa en Lemma 1.2, y se deja al lector.
Teorema 2.4. Dejar 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ فارسى, y dejar que f sea una distribución dada
por f =
j j aj(x), donde los aj’s son H
p átomos, y la convergencia es
en el sentido de distribuciones. Además, asumir que [η,q] < para algunos
0 < η < min(p, q). A continuación, f Hp,q, y fHp,q ≤ c [η,q].
2.1 Interpolación entre espacios Hardy-Lorentz
Ahora estamos listos para identificar los espacios intermedios de un par de Hardy-
Espacios de Lorentz con el mismo primer índice p ≤ 1.
Teorema 2.5. Let 0 < p ≤ 1. Teniendo en cuenta 0 < q1 < q < q2 ≤ فارسى, definir 0 < η < 1
por la relación 1/q = (1− η)/q1 + η/q2. Entonces, con cuasinormas equivalentes,
Hp,q = (Hp,q1, Hp,q2)η,q.
Prueba. Puesto que la función máxima no-tangencial Nf de una distribución f en
Hp,q1 es en Lp,q1, y el de f en Hp,q2 es en Lp,q2, tenemos
K(t, Nf;Lp,q1, Lp,q2) ≤ cK(t, f;Hp,q1, Hp,q2).
Por lo tanto,
Nfp,q (Lp,q1,Lp,q2)η,q ≤ c (Hp,q1,Hp,q2 )η,q,
y (Hp,q1, Hp,q2)η,q H
Para mostrar la otra incrustación, con la notación en la prueba de Teorema
2.1, escribir f =
j ♥j,kaj,k, y recordar que para cada entero k, el nivel
set Ik = {j : j,k/Ij,k
1/p 2k} contiene exclusivamente la secuencia j,k}.
Dejar μ
j,k
p. Por construcción,
k # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Hp,q. Ahora, reorganízalo.
k} en
l }, y, para cada l ≥ 1, dejar que kl sea tal que μkl = μ
l. Para
l0 ≥ 1, dejar Kl0 = {k1,. .., kl0}, y poner f1,10 =
kâ € € TM ~ Kl0
j j,kaj,k y f2,10 =
f − f1,10. Luego, por el teorema 2.2, f1,10 H
p,q1, f2,l0 H
p,q2, y, con la
interpretación habitual para q2 = ,
°f1,10°Hp,q1 ≤ c
)1/q1
, + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
)1/q2
Por lo tanto, para t > 0 y cada entero positivo l0, tenemos
K(t, f ;Hp,q1, Hp,q2) ≤ c
)1/q1
)1/q2
Ahora, por la fórmula de Homstedt, hay una opción de l0 tal que la mano derecha
lado por encima de K(t, k}; l
q1, lq2), y, en consecuencia,
K(t, f ;Hp,q1, Hp,q2) ≤ cK(t, k}; l
q1, lq2).
Por lo tanto,
(Hp,q1,Hp,q2 )η,q ≤ c k(lq1,lq2)η,q
≤ c klq ≤ c â € â € € € TM TM TM Hp,q,
y Hp,q (Hp,q1, Hp,q2)η,q. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El lector no tendrá dificultad en verificar que el Teorema 2.5 da que
Si T es un mapa continuo, sublineal de H1 a L1, y de H1 a L1,
a continuación "Tf"1,q ≤ c "f"H1,q para 1 < q < فارسى. Esta observación tiene numerosos
aplicaciones. Por ejemplo, considere la singular integral Calderón-Zygmund
operadores con núcleo variable definido por
Tl(f)(x) = p.v.
(x, x-y)
x− yn
f(y) dy.
Bajo los supuestos de crecimiento y suavidad adecuados en los mapas H de T
continuamente en L1, véase [6], y H1, fue continuamente en L1, fue, véase [8]. Por lo tanto,
si satisface los supuestos de ambos de estos resultados, los mapas H de T
1,q contin-
uly en L1,q para 1 < q < فارسى. Un resultado similar sigue invocando el
caracterización de H1,q dada por C. Fefferman, Rivière y Sagher. ¿Cómo...?
siempre, en este caso la estimación de Hp-Lp requiere suavidad adicional de
se muestra, por ejemplo, en [6]. Consideraciones similares se aplican a la Marcinkiewicz
integral, véase [9], y [7].
Por último, cuando p < 1, nuestros resultados cubren, por ejemplo, los operadores de CZ
satisfactoria T*(1) = 0 discutida por Álvarez y Milman, véase [3]. Estos oper-
ators, así como una clase relacionada más general introducida en [15], preservar Hp
< p ≤ 1, y, en consecuencia, por el teorema 2.5,
también conservar Hp,q para p en ese mismo rango, y q > p.
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, UNIVERSIDAD INDIANA,
BLOOMINGTON, EN 47405
Correo electrónico: wabusham@indiana.edu, torchins@indiana.edu
Los espacios de Lorentz
Los espacios Hardy-Lorentz Hp,q
Interpolación entre espacios Hardy-Lorentz
|
704.0055 | Potassium intercalation in graphite: A van der Waals density-functional
study | Intercalación de potasio en el grafito: estudio funcional de densidad van der Waals
Eleni Ziambaras,1 Jesper Kleis,1 Elsebeth Schröder,1 y Per Hyldgaard1,2,*
Departamento de Física Aplicada, Universidad Tecnológica de Chalmers, SE-412 96 Göteborg, Suecia
Microtecnología y nanociencia, MC2, Universidad Tecnológica de Chalmers, SE-412 96 Göteborg, Suecia
(Fecha: 1 de abril de 2007)
La intercalación de potasio en el grafito es investigada por la teoría de los primeros principios. La unión en
el compuesto de potasio-grafito está razonablemente bien representado por la densidad semilocal tradicional
cálculos de la teoría funcional (DFT). Sin embargo, para investigar la energía de formación de intercalado
de átomos de potasio puro y grafito requiere el uso de una descripción de la intercapa de grafito
y, por tanto, una relación coherente de las interacciones dispersivas no locales. Esto está incluido
perfectamente con DFT ordinario por un enfoque funcional de densidad de van der Waals (vdW-DF) [Phys.
Rev. Lett. 92, 246401 (2004)]. El uso del vdW-DF se encuentra para estabilizar el cristal de grafito,
con parámetros de cristal de acuerdo con los experimentos. Para el grafito y el intercalado potásico
parámetros estructurales de grafito tales como separación de unión, energía de unión de capas, energía de formación,
y se informa de módulos a granel. También las energías de absorción de potasio de adsorción y subsuperficie
se informan. La descripción de vdW-DF, en comparación con el enfoque semilocal tradicional, se encuentra
para suavizar débilmente la respuesta elástica.
I. INTRODUCCIÓN
El grafito con su estructura en capas es fácilmente interca-
con metales alcalinos (AM) ya en ambiente tempera-
tura. El compuesto intercalado tiene dos dimensiones
capas de AM entre capas de grafito,1,2,3,4,5 dando lugar a
a propiedades interesantes, como la superconductividad 6,7
La formación de un intercalado de AM-grafito procede
con adsorción de átomos AM sobre grafito y absorción
de átomos AM por debajo de la capa superior de grafito, después de lo cual
mayor exposición a los átomos AM conduce el intercalado AM
compuesto.
Experimentos recientes8,9 sobre la estructura y elec-
Las propiedades trónicas de los sistemas AM/grafito utilizan muestras
de grafito que se preparan mediante el calentamiento de cristales SiC
a temperaturas alrededor de 1400° C.10 Esta inducida por el calor
La grafitización es de gran valor para estudios espectroscópicos
de sistemas grafíticos, ya que la superposición de grafito resultante
11 La naturaleza de la unión
entre las superficies de SiC y el grafito se ha explorado
experimentalmente con espectroscopia de fotoemisión12 y
teóricamente13 con una densidad de van der Waals funcional
(vdW-DF) enfoque teórico que explica el van der
Fuerzas Waals (vdW).14,15,16,17
Aquí investigamos con la teoría funcional de la densidad
(DFT) los efectos sobre la estructura del grafito y el
energía y la respuesta elástica cuando el potasio
está intercalado. El compuesto final de intercalado es
C8K. El sistema de intercalado AM es interesante en él-
auto y ha sido el foco de numerosos experimentos-
Los sistemas grafíticos son también
materiales de prueba ideales en el desarrollo de la teoría en curso que
El objetivo es mejorar la descripción de las actividades interlocales no locales.
enlaces de capa en sistemas escasos.14,23,24 Estándar DFT ap-
los proaches se basan en locales (aproximación de la densidad local,
LDA) y aproximaciones semilocales (gradi-
ent aproximation, GGA)25,26,27,28 para el electrón ex-
cambio y correlación. Tales herramientas DFT regulares no lo hacen
tratar correctamente la unión VDW débil, por ejemplo, el cohe-
sión entre las capas (adyacentes) de grafito. El fracaso de
DFT tradicional para el grafito hace imposible
una comparación significativa de la energía en el
adsorción de AM superficial y absorción de AM subsuperficial.
Por el contrario, las investigaciones de sistemas grafíticos como C8K
nos permiten probar la precisión de nuestro desarrollo vdW-DF-
trabajo.
Exploramos la naturaleza de la unión del grafito,
el proceso que conduce a la intercalación mediante adsorción y
la absorción de potasio, y la naturaleza de la
grafito intercalado C8K utilizando un recientemente desarrollado
vdW-DF densidad funcional.16 Esta elección de funcional es
esencial para una comparación de las propiedades de grafito y C8K
debido a la incapacidad de la tradicional GGA basada en DFT
para describir el grafito. Calculamos la estructura y elas-
respuesta tic (módulo bulk B0) de grafito prístino y
grafito intercalado de potasio y presentamos resultados
para las energías de formación del sistema C8K.
La intercalación de potasio en el grafito está precedida
por la adsorción de potasio encima de un grafito
superficie y absorción de potasio debajo de la parte superior
capa de grafito de la superficie. En este trabajo estudiamos
cómo el potasio se une al grafito en estas dos partes de
el proceso hacia la intercalación. Nuestras entradas de vdW-DF...
ligaciones de la unión de potasio en o sobre el grafito
suplementos correspondientes vdW-DF estudios de la unión
de hidrocarburos aromáticos policíclicos, de
Cristal de polietileno, de benceno, y de poli-
hidrocarburos aromáticos cíclicos y moléculas de fenol
grafito.29,30,31,32,33,34
El esbozo del documento es el siguiente. Sección II
contiene una breve descripción de los materiales de interés aquí:
grafito, C8K y grafito con un adsorbido o ab-
capa de átomo K sorbed. Se describe el esquema vdW-DF
in Sec. III. La sección IV presenta nuestros resultados, Sec. V
el debate, y las conclusiones se extraen en la Sec. VI.
http://arxiv.org/abs/0704.0555v1
FIG. 1: (Color en línea) Grafito hexagonal simple (AA stack-
ing) y grafito hexagonal natural (apilado AB). Los dos
las estructuras difieren por cada segunda capa de carbono en AB-
se desplaza el grafito apilado, mientras que en el grafito apilado con AA
Todos los aviones están directamente por encima de los demás. El experimentalmente
constante de retícula en el plano y separación de la hoja de nat-
El grafito ural es (Ref. 40) a = 2,459 Å y dC-C = 3,336 Å,
respectivamente.
II. ESTRUCTURA MATERIAL
El grafito es un sólido semimetálico con fuerte intraplano
enlaces y capas débilmente acopladas. La presencia de estos
dos tipos de unión resulta en un material con diferentes
propiedades a lo largo de las diversas direcciones cristalográficas35.
Por ejemplo, la conductividad térmica y eléctrica
a lo largo de las hojas de carbono es dos órdenes de magnitud superior
que la perpendicular a las hojas. Esta utilería específica
erty permite que el calor se mueva direccionalmente, lo que lo hace
es posible controlar la transferencia de calor. Los relativamente débiles
Las fuerzas de vdW entre las hojas contribuyen a otro in-
propiedad de importancia industrial: el grafito es un lubri-
Cant. Además, las propiedades anisotrópicas del grafito
hacer que el material sea adecuado como sustrato en electrónica
estudios de películas de metal ultrafino.36,37,38,39
La estructura natural del grafito es un apilamiento AB,
con las capas de grafito cambiadas en relación entre sí,
como se ilustra en la Fig. 1. La figura también muestra hexagonal
grafito, compuesto de capas de grafito apiladas con AA. Los
constante de retícula en el plano a y la separación de la capa dC-C
También se ilustra. En el grafito natural la unidad primitiva
célula es hexagonal, incluye cuatro átomos de carbono en dos lay-
rs, y tiene longitudes unitarias del lado de la célula a y altura c = 2dC-C.
Se han estudiado las propiedades físicas del grafito
en una variedad de experimental40,41,42 y teórica43,44
trabajo. Algunos de los trabajos de DFT se han realizado en
LDA, que no proporciona un significado físico
cuenta de encuadernación en sistemas escalonados.15,45 Al mismo tiempo
tiempo, el uso de GGA no es una opción porque no
atar las capas de grafito. Para una buena descripción de la
FIG. 2: (Color en línea) Estructura cristalina del espectáculo C8K-
el apilado AA de las capas de carbono (pequeñas bolas) y
el apilamiento de las capas de potasio (bolas grandes) por-
pendicular a las hojas de grafeno. Las capas de potasio son
dispuestos en una estructura p(2×2), con los átomos K ocupando
los sitios sobre los huecos de cada cuarto hexágono de carbono.
estructura y naturaleza del grafito las interacciones de vdW deben
se incluirá45.
Metales alcalinos (AM), excepto Na, penetran fácilmente en el
galería del grafito que forma el grafito metálico alcalino en-
Compuestos tercalados. Estos compuestos de intercalación
se forman a través del intercambio de electrones entre el inter-
capa calizada y las capas de carbono del huésped, resultando en una
diferente naturaleza del tipo de unión entre capas que la
de grafito prístino. El intercalado también afecta a la
propiedades de grafito, que se convierte en supercon-
ductivo en la dirección paralela a los planos en crítico
temperaturas inferiores a 1 K.6,7
La estructura de los compuestos de intercalación de grafito AM
se caracteriza por su etapa n, donde n es el número de
Hojas de grafito situadas entre las capas AM. En este
trabajo que consideramos sólo grafito intercalado etapa 1 C8K,
en la que las capas de grafito y potasio se alternan
a través del cristal. La célula de unidad primitiva de C8K
es ortornómbico y contiene dieciséis átomos C y dos
Los átomos K. En el cristal C8K se ordenan los átomos K
en un registro de p(2×2) con separación K-K 2a,
la constante de celosía en el plano del grafito. Esta separación
de los átomos de potasio es alrededor de 8% más grande que en
el cristal natural K bcc (basado en valores experimentales).
El apilamiento de hojas de carbono en C8K es de tipo AA, con la
K átomos que ocupan los sitios sobre los huecos de cada
cuarto hexágono de carbono, cada posición designada por α, β,
γ, o , y el apilamiento de los átomos K perpendiculares
a los planos que se describe por la secuencia como
ilustrada en la Fig. 2.
III. MÉTODOS COMPUTATIVOS
El primer principio es la energía total y la estructura electrónica.
los cálculos se realizan en el marco
de DFT. El semilocal Perdew-Burke-Ernzerhof (PBE)
sabor26 de GGA es elegido para el intercambio-correlación
funcional para los cálculos tradicionales auto-consistentes
en el que se basan los cálculos de vdW-DF. Para todos los GGA cal-
culaciones que utilizamos el código DFT de código abierto Dacapo,46
que emplea a Vanderbilt pseudopotenciales ultrasuaves47,
condiciones de frontera periódicas, y una base de ondas de plano establecido.
Un corte de energía de 500 eV se utiliza para la expansión de
las funciones de onda y la zona Brillouin (BZ) de la
Las células unitarias se muestrean de acuerdo con el Monkhorst-Pack
esquema.48 El auto-consistentemente determinado valencia GGA
Densidad de electrones n(r) así como componentes de la energía
de estos cálculos se pasan a la siguiente
Cálculo vdW-DF de la energía total.
Para los estudios de adsorción y absorción un grafito
se utiliza la losa superficial compuesta de 4 capas, con una superficie
célula unitaria de longitudes laterales dos veces las de la masa de grafito
células unitarias (es decir, longitudes laterales 2a). Cálculos de superficie
se realizan con un muestreo de 4×4×1 k-punto de la BZ.
Los cálculos (puros) de GGA a granel de grafito son
formado con un muestreo de 8×8×4 k-punto de la BZ,
mientras que para la estructura a granel C8K, en una celda unitaria como mínimo
el doble del tamaño en cualquier dirección, se utilizan puntos de 4×4×2 k,
compatible también con la elección del muestreo en punto k de la
losas de superficie.
Elegimos describir C8K usando una unidad hexagonal
celda con cuatro unidades de fórmula, longitudes laterales
dos veces los de grafito y con cuatro grafito y
cuatro capas K en la dirección perpendicular a las capas.
C8K también puede ser descrito por el anteriormente mencionado
célula de unidad ortornómbica primitiva que contiene dos fórmulas
unidades de átomos pero conservamos la célula ortornómbica para
facilidad de descripción y para la aplicación sencilla de nu-
cálculos VDW-DF mericamente robustos.
En todos nuestros estudios, excepto en los casos de prueba, el Fast Fourier
Transformar (FFT) las rejillas se eligen de tal manera que la separa-
sión de puntos vecinos es el máximo de 0,13 Å en cualquier
dirección en cualquier cálculo.
A. cálculos de la función de densidad de vdW
En el grafito, las capas de carbono se unen por interac-
ciones únicamente. En el compuesto intercalado una parte importante de
la atracción es iónica, pero también aquí las interacciones vdW
no puede ser ignorado. Con el fin de incluir el vdW interac-
ciones sistemáticamente en todos nuestros cálculos utilizamos la
vdW-DF de Ref. 16. Allí, la correlación energía func-
cional se divide en una parte local y una parte no local,
Ec E
c + E
c, (1)
donde la parte local se aproxima en el LDA y el
parte no local Enlc se construye consistentemente para desaparecer
para un sistema homogéneo. La correlación no local Enlc
se calcula a partir del n(r) basado en GGA y sus gradientes
mediante el uso de información sobre la respuesta de muchos cuerpos de
el gas electrónico débilmente inhomógeno:
Enlc =
dr′n(r)/23370/(r, r′)n(r′). 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
El núcleo no local (r, r′) se puede tabular en términos
de la separación r − r entre los dos fragmentos en
posiciones r y r′ a través de los parámetros D = (q0 +
q′0)r − r
/2 y = (q0 − q
0)/(q0 + q
0). Aquí q0 es un
parámetro local que depende de la densidad de electrones y
su gradiente en la posición r. La expresión analítica para el
kernel en términos de D y se puede encontrar en Ref. 16.
Para sistemas periódicos, como el grafito a granel, C8K,
y la superficie de grafito (con K- adsorbida o absorbida
átomos), la correlación no local por unidad de célula es simplemente
evaluado a partir de la interacción de los puntos en la unidad
celda V0 con puntos por todas partes en el espacio (V ) en los tres
(para el grafito a granel y C8K) o dos (para el grafito)
superficie) dimensiones de periodicidad. Por lo tanto, el V -integral
en Eq. 2) en principio requiere una representación de la
densidad de electrones infinitamente repetida en el espacio. En prac-
, la correlación no local rápidamente converge31 y
suficiente con repeticiones de la célula de la unidad unas pocas veces en
cada dirección espacial. Para el grafito v -integral
es convergente cuando usamos una V que se extiende 9 (7) veces
la célula de unidad original en direcciones paralelas (perpendicular)
a las sábanas. Para la investigación de potasio un signif-
Se adopta una célula original de unidad más grande (ver Fig. 2);
aquí una V totalmente convergente corresponde a una célula que se extiende
cinco (tres) veces la celda original en la dirección paralela
(perpendicular) a las hojas para la masa C8K. Para describir
las correlaciones no locales (2) para la superficie de grafito a
V suficiente se extiende cinco veces la celda original de la unidad a lo largo
las hojas de carbono.
Para el intercambio de energía Ex seguimos la elección de
Ref. 16 de usar el intercambio revPBE27. Entre los func...
ciones a las que tenemos fácil acceso, el revPBE tiene
resultó ser el mejor candidato para minimizar los diez-
dency de intercambio artificial encuadernación en grafito.15
Utilizando el esquema descrito anteriormente para evaluar Enlc, el
la energía total finalmente dice:
EvdW-DF = EGGA − EGGAc + E
c + E
c, (3)
donde EGGA es la energía total de GGA con el revPBE
selección para la descripción del intercambio y EGGAc (E
la energía de correlación GGA (LDA). Como nuestro calcu GGA...
las laciones en esta aplicación específica de vdW-DF se llevan
hacia fuera en PBE, no revPBE, necesitamos más explícitamente
sustituir el intercambio de PBE en EGGA por el de revPBE
para la misma distribución de densidad de carga de electrones.
B. Convergencia de la energía local y no local
variación
Los cálculos de DFT proporcionan resultados físicamente significativos
para las diferencias de energía entre las energías totales (3). A un-
derstand materiales y procesos que debemos comparar total
Diferencias de energía entre un sistema con todos los componentes
a distancia relativamente cercana y un sistema de dos o más
fragmentos en la separación “infinita” (el sistema de referencia).
Dado que la energía total (3) consiste tanto en un largo alcance
término y términos GGA y LDA de rango más corto es nat-
ural para elegir diferentes maneras de representar el separado
fragmentos para estas diferentes energías de largo o corto alcance
términos.
Para las partes de energía de menor alcance (LDA y GGA)
el sistema de referencia es un sistema completo con vacío
entre los fragmentos. Para los cálculos de LDA y GGA
Normalmente basta con asegurarse de que el depósito de carga-
las colas de la sity de los fragmentos no se superponen, pero aquí nosotros
encontrar que los dipolos superficiales causan una convergencia más lenta
con separación de capas. Usamos un sistema con la capa
separación entre la capa de potasio y la más cercana
capa(s) de grafito dC-K = 12 Å (8 Å)
estudio de adsorción (absorción).
La evaluación de las correlaciones no localesEnlc requiere
cuidados adicionales. Esto se debe a razones técnicas
Con el fin de mantener la estabilidad numérica en la base de la Enlc eval-
sión en la red FFT utilizada para converger
■ los cálculos tradicionales de la DFT. La evaluación de la
Energía de correlación no local, Eq. 2), implica una ponderación
doble integral de un núcleo con un corto alcance significativo
variación16. La forma del núcleo hace que el Enlc eval-
ciones sensibles a las características del enrejado de tipo FFT49,
por ejemplo, a la posición relativa de puntos de cuadrícula FFT
en relación con la posición de los núcleos (para un punto de cuadrícula finito
ing).
Sin embargo, una evaluación sólida de la unión o cohesión
La contribución energética de las correlaciones no locales puede
se asegure mediante una nueva división de la energía difi-
ences en pasos que minimicen la cuadrícula antes mencionada
sensibilidad. El problema de la sensibilidad FFT del Enlc
evaluación se acentúa porque la unión en el Enlc
canal surge como una menor diferencia de energía entre siz-
powerEnlc contribuciones del sistema y de los fragmentos.
Por el contrario, la convergencia en los cálculos vdW-DF de
Las energías cohesivas se pueden obtener incluso en un mod-
precisión de la rejilla FFT (0.13 Å utilizado aquí) mediante la concepción de un
sistema de cálculo que mantiene siempre idénticos po-
Situación de los núcleos en relación con los puntos de cuadrícula en el conjunto
sistemas, así como en el sistema de referencia de fragmentos.
Así obtenemos una evaluación numéricamente robusta de la
Enlc diferencias de energía mediante la elección de pasos para los que
puede controlar explícitamente el enrejado FFT. Para adsorción
y los casos de absorción calculamos los sistemas de referencia
como una suma de Enlc - contribuciones para cada fragmento y nosotros
asegúrese de colocar siempre el fragmento en la exacta
la misma posición en el sistema que en el sistema de interacción.
Para sistemas a granel elegimos pasos en los que exclusivamente
ajustar la constante de retícula interplano o en el plano. Toma.
el sistema de referencia se define simplemente como un sistema
con doble retícula (o en algunos casos cuádruple)
constante y con la correspondiente duplicación de la FFT
cuadrícula a lo largo del vector de células unitarias pertinente.
El coste de la plena convergencia es que, en la práctica, nosotros de
diez hacer tres o más cálculos de GGA y posteriores
Enlc cálculos para cada punto de la absorción, absorp-
ión, o curva de formación-energía. Además de la cal-
Culados para el sistema completo que tenemos que hacer uno para cada uno de
los fragmentos aislados en posición idéntica en el adsorp-
ión/absorción y uno o más fragmentos en
la unidad-célula duplicada y la referencia de cuadrícula duplicada. Nosotros
han probado explícitamente que el uso de un espaciado de la red FFT de
< 0,13 Å (pero no más grande) para los cálculos de referencia
es suficiente para garantizar la plena convergencia en el informe
Enlc (y E
vdW-DF total) variación de la energía para el grafito
sistemas.
C. Energías de formación y absorción de materiales
La energía cohesiva del grafito (G) es la ganancia de energía,
por átomo de carbono, de crear grafito en celosía en el plano
constante a y capa de separación dC-C de aislado (spin-
polarizado) átomos de carbono.
EG,coh(a, dC-C) = EG,tot(a, dC-C)− EC-atom,tot (4)
donde EG, tot y EC-Atom, tot son energías totales por carbono
átomo. La estructura del grafito es estable como mínimo.
de la energía cohesiva, en las constantes de celosía a = aG y
2dC-C = cG.
La energía de adsorción (absorción) para un p(2 × 2) K-
capa sobre (bajo) la capa superior de una superficie de grafito es
la diferencia en la energía total [de Eq. 3)] para el sistema
a mano menos la energía total del sistema inicial, es decir,
una superficie de grafito limpia y potasio aislado en fase gaseosa
átomos. Sin embargo, debido a lo anteriormente mencionado
problemas en el uso de la vdW-DF calculamos la adsorción
y la energía de absorción como una suma de etapas (artificiales)
ing al sistema deseado: Primero el inicialmente aislado,
los átomos de potasio spin-polarizados se reúnen en un
capa de potasio flotante con la estructura corresponde-
ing a una cubierta completa de átomos de potasio. Por esto el total
sistema gana la energía de la capa EK (aG), con
EK-capa(a) = EK,tot(a)− EK-atom,tot. 5)
En la adsorción la capa de potasio se coloca simplemente
en la parte superior de la superficie de grafito de cuatro capas (2 × 2) (con
los átomos K sobre huecos de grafito) a distancia dC-K.
De este modo, el sistema obtiene una mayor contribución energética
EK-G (dC-K). Esto lleva a una energía de adsorción por
K-atom
Eads(dC-K) = EK-capa(aG) + EK-G(dC-K). 6)
En la absorción, la capa superior de grafito se despega de la
(2 × 2) superficie de grafito y se trasladó a una distancia muy lejana
de los restos de la superficie de grafito. Este proceso
costes del sistema una (exfoliación) energía EC-G =
−[Etot,C-G(dC-C = cG/2)− Etot,C-G(dC-C → En el
muy lejos la capa de grafito aislada se mueve a AA
apilado con la superficie, sin costo de energía adicional. Entonces,
la capa de potasio se coloca a medio camino entre el
lejos de la capa de grafito y los restos del grafito sur-
Cara. Finalmente las dos capas se mueven gradualmente hacia
la superficie. A la distancia 2dC-K entre los dos más altos
capas de grafito (sandwiching la capa K) el sistema tiene
Además, obtuvo una energía EC-K-G(dC-K). El absorp...
energía por K-atom es por lo tanto
Eabs(dC-K) = EC-GEK-layer(aG)EC-K-G(dC-K).
Del mismo modo, se forma el compuesto de intercalado C8K
del grafito moviendo primero las capas de grafito lejos
aparte acordeón-como (y allí cambiar la pila de grafito-
ing de ABA. .. a AAA. .. sin costo de energía), entonces
cambiar la constante de celosía en el plano de la aislada
capas de grafeno de aG a a continuación, intercalando capas K
(en el apilamiento ) entre las capas de grafito, y fi-
movimiento nally todas las capas de K- y grafito hacia atrás como un
acordeón, con constante de celosía en el plano a (que tiene la
valor aC8K en equilibrio).
En la práctica, una celda de cuatro unidades se repite periódicamente
capas de grafito se utiliza con el fin de dar cabida a la
Potasio -apilamiento. La ganancia de energía de crear
a (2×2) hoja de grafeno de 8 átomos de carbono aislados es
definida de manera similar a la de la capa K:
• Capa CE(a) = capa CE, tot(a)− 8EC-átomo, tot. (8)
La energía de formación para el intercalado C8K com-
libra por átomo K o unidad de fórmula, Eform, se encuentra así
del coste energético de mover cuatro capas de grafito
aparte mediante la ampliación de la célula de la unidad (2 × 2) a gran altura,
EG-acc, el costo de cambiar la retícula en el plano con-
stant de aG a a en cada uno de los cuatro grafeno aislado
(a) )
con cuatro capas K de átomos K aislados, de capa 4°EK(a),
más la ganancia de traer cuatro capas K y cuatro grafito
las capas juntas en la estructura de C8K, «EC8K-acc(a, dC-K),
rendimiento
Eform(a, dC-K)
EG-acc + 4°EC-capa(a)− 4°EC-capa(aG)
+ 4 °EK-capa(a) + °EC8K-acc(a, dC-K)
. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Las energías relevantes a usar para comparar las tres
diferentes mecanismos de inclusión del potasio (adsorp-
ión, absorción e intercalación) son, por lo tanto, Eads (dC-K),
Eabs(dC-K) y Eform(a, dC-K) en sus
Los valores de mamá.
IV. RESULTADOS
Las observaciones experimentales indican que el intercala-
ión de potasio en grafito comienza con la absorción
de potasio evaporado en un grafito inicialmente limpio
superficie.50 Esta absorción subsuperficial está precedida por ini-
adsorción de potasio escasa en la superficie, y
procede con mayor absorción en grafito más profundo
Vacíos. La opinión general es que los átomos K entran
grafito en los bordes del paso del grafito.20 La cantidad y
la posición de los átomos K intercalados es controlada por el tem-
peratura y tiempo de evaporación.
A continuación, primero describimos el grafito limpio inicial sys-
y la ganancia de energía en (artificialmente) crear libre-
Capas K flotantes de átomos K aislados. Entonces te presentamos
y discutir nuestros resultados sobre la adsorción de potasio y
absorción superficial, seguida de una caracterización de la masa
Para el sistema de adsorción (absorción) calculamos
la curva energética de adsorción (absorción),
estructura de equilibrio. Como demostración de la necesidad
para un enrejado FFT relativamente fino en el VDW-DF cal-
también calculamos y comparamos la absorción
curva para una rejilla FFT más escasa. Para los sistemas a granel-
Tems (grafito y C8K) determinamos el pa-
rámetros y el módulo a granel. También calculamos el
energía de formación de C8K y la energía necesaria para pelar
de una capa de grafito de la superficie de grafito y com-
pare con el experimento.51
A. Estructura a granel de grafito
Los cálculos actuales sobre el grafito puro son para el
grafito natural, apilado con AB (panel inferior de la Fig. 1). Los
energía cohesiva se calcula en un total de 232 estructura
valores (a, dC-C) y la estructura de equilibrio y la masa
a continuación, se evalúa el módulo B0 utilizando el método de de-
escrito en Ref. 52.
La Figura 3 muestra un diagrama de contorno del grafito cohesivo
variación de energía EG, coh en función de la capa sep-
aración dC-C y la constante de celosía en el plano a, calcu-
se ha retrasado en el marco del plan VDW-DF. El espaciado del contorno
es 5meV por átomo de carbono, se muestra en relación con la energía
mínimo situado en (a, dC-C) = (aG, cG/2) =(2,476 Å,
3.59 Å). Estos valores se resumen en la Tabla I conjuntamente
con los resultados obtenidos de una PBE semilocal
Culación. Como era de esperar, y discutido en Ref. 14, el
El cálculo de PBE semilocal produce resultados poco realistas para
la separación de la capa. En el cuadro también se presenta la
responder a los valores experimentales. Nuestra celosía calculada
los valores obtenidos utilizando vdW-DFT están de acuerdo
con el experimento,40 y cerca de los encontrados desde el
antiguo vdW-DF de Refs. 14 y 15, (en el que para Enlc como
invarianza translacional sume de n(r) a lo largo del grafito
aviones,) a (2.47 Å, 3.76 Å).
Consistente con los informes experimentales18 y nuestros previ-
ous cálculos14,15,45 encontramos que el grafito es bastante suave,
indicado por el valor del módulo B0 a granel. Desde el avión
compresión es muy duro en el grafito la mayor parte de la suavidad
sugerido por (el isotrópico) B0 proviene de la compresión
perpendicular a las capas de grafito, y el valor de
Se espera que B0 sea casi idéntico al elástico C33
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
dC−C [Å]
FIG. 3: Energía cohesiva de grafito EG, coh (AB-apilado), basado
en vdW-DF, en función de la separación de capa de carbono dC-C
y la constante de celosía en el plano a. Los contornos de energía son
espaciado por 5meV por átomo de carbono.
CUADRO I: Parámetros de estructura optimizados y elásticos
propiedades para el grafito hexagonal natural (apilado AB)
y la estructura de grafito intercalado con potasio C8K en
AαAβAγAAα. .. apilamiento. La tabla muestra el calcu-
los valores óptimos tardíos de la constante de celosía en el plano a, el
(grafito-)capa-capa de separación dC-C, y el módulo a granel
B0. En C8K el valor si dC-C es el doble del grafito-potasio
distancia dC-K.
Grafito C8K
PBE vdW-DF Exp. PBE vdW-DF Exp.
a (Å) 2.473 2.476 2.459a 2.494 2.494 2.480b
dC-C (Å) 4 3,59 3,336
a 5,39 5,53 5,35c
B0 (GPa) 27 37
de 37 26 47de
aRef. 40. bRef. 53. cRef. 4. dRef. 18.
eValue presentado es para C33; para materiales lateralmente rígidos, como
grafito y C8K, C33 es una buena aproximación de B0.
Coeficiente.14,18
Encontramos el costo de energía de pelar una capa de grafito
de la superficie de grafito (la energía de exfoliación)
•EC-G = −435 meV por unidad celular (2 × 2), es decir, −55
meV por átomo de carbono superficial (cuadro II). Un reciente
Experimento51 midió la energía de desorción de poli-
hidrocarburos aromáticos cíclicos (básicamente escamas de grafito)
hojas) de una superficie de grafito. De este experimento
el coste energético de quitar una capa de grafito de la
La superficie de grafito se dedujo a −52± 5meV/átomo.
Nuestro valor −55 meV/C-atom también es consistente con
una determinación separada de vdW-DF29 de la unión
(−47meV por átomo en el plano) entre dos (de lo contrario)
hojas de grafeno aisladas.
Para las energías del sistema absorbente y del
C8K intercala unos pocos otros grafito-relacionado con la energía con-
Se necesitan contribuciones. La energía de recoger átomos C
para formar una hoja de grafeno en retícula constante a de iso-
átomos lated (espinpolarizados) es dada por la capa CE (a); nosotros
encontrar que el cambio de la constante de celosía a de aG a
el valor de equilibrio aC8K de C8K causa esta energía
para cambiar una mera hoja de 30 meV por (2 × 2). El contri-
bution ŁEG-acc es la energía del grafito a granel en movimiento
capas (en este caso cuatro capas repetidas periódicamente)
lejos el uno del otro, expandiendo la célula de la unidad
a lo largo de la dirección perpendicular a las capas. Por lo tanto,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
El número de átomos y capas por unidad de célula en
cuenta. Nos encontramos con el valor EG-acc = −1600 meV por
(2×2) célula de cuatro capas. Esto corresponde a −50 meV
por átomo C, de nuevo consistente con nuestro resultado para el ex-
energía de la foliación, EC-G/8 = −55 meV.
B. Crear una capa de K-átomos
El paso (artificial) de crear una capa de potasio
átomos de átomos aislados liberan una energía significativa
Capa de EK. Esta energía contiene la variación de energía
con constante de celosía en el plano y el costo de energía de
cambiar de un spin-polarizado a un spin-equilibrado elec-
tron configuración para el átomo aislado.54
La creación de la capa K proporciona una ganancia de energía
que es aproximadamente la mitad de un eV por átomo de potasio, dependiendo
en la constante final de celosía. Con la celosía de grafito
aG constante el cambio de energía, incluido el cambio de giro
El coste, es de la capa (aG) de EK = −476meV por átomo de K en vdW-
DF (−624meV cuando se calcula dentro de PBE), mientras que
Capa EK (aC8K) = −473meV en vdW-DF.
C. Adsorción de potasio de grafito sobre la superficie
Los átomos de potasio se adsorben en un usual
ABA... superficie de grafito apilada. Consideramos que aquí está completo
(una monocapa) cobertura, que es un átomo de potasio
por unidad de superficie de grafito (2 × 2). Esto ordena a la
átomos de potasio en una estructura de panal de miel con celosía
constante 2aG, y una distancia más cercana-vecino dentro de la
Cazadora K de AG.
La celda de unidad utilizada en los cálculos estándar de DFT
para la adsorción y absorción tiene una altura de 40 Å y
incluye una región de vacío lo suficientemente grande como para que no interac-
ciones (dentro de GGA) pueden ocurrir entre el grafeno superior
hoja y el fondo de la losa en el periódicamente repetido
imagen de la losa. La región de vacío también es grande en
para garantizar que la separación de cualquier átomo a
la capa del dipolo55 permanece siempre más grande que 4 Å.
En el panel superior de la Fig. 4 mostramos la adsorción en-
ergy por átomo de potasio. La energía de adsorción en equi-
librio es −937 meV por átomo K a distancia dC-K = 3,02
Å de la superficie de grafito.
Para la comparación también mostramos la curva de adsorción cal-
culado en un cálculo DFT tradicional de solo PBE. Desde
vdW−DF
2 3 4 5 6 7
dC−K [Å]
vdW−DF
43.532.5
dC−K [Å]
escasa
FIG. 4: Adsorción de potasio y energía de absorción en el
superficie de grafito en función de la separación dC-K del
Capa de K-átomo y la(s) capa(s) de grafito más cercana(s) (en el plano)
constante de celosía correspondiente a la de la superficie, aG).
Panel superior: curva de adsorción basada en cálculos vdW-DF
(línea sólida con círculos negros) y cálculos de PBE GGA
(línea bañada). Las líneas horizontales a la izquierda muestran
ergy gana en la creación de la capa K aislada a partir de átomos aislados,
La capa EK (aG), la asíntota de Eads (dC-K) en esta trama.
Cuadro inferior: Curva de absorción basada en calcu- vdW-DF
Laciones. La asintutota es aquí la suma EK-capa(aG) −
•EC-G. Inset: Energía de unión de la capa K y la
capa superior de grafito (“capa C”) en la parte superior de la losa de grafito,
CE-K-G. La curva divisoria muestra nuestros resultados cuando en E
ignorar cada segundo punto de rejilla FFT (en cada dirección) de
la densidad de carga de los cálculos GGA subyacentes, la
curva sólida con círculos negros muestra el resultado de usar cada
punto de red FFT disponible.
la interacción entre la capa K y el grafito sur-
cara tiene un componente de corto alcance, incluso GGA calcu-
las laciones, como la curva PBE, muestran una unión significativa
(-900 meV/K-atom en dC-K = 2,96 Å). Esto está en...
trast a la unión pura vdW entre las capas en limpio
grafito.14,15 Tenga en cuenta que la asintutota de la curva PBE
es diferente de la de la curva vdW-DF, esto es debido
a las diferentes ganancias de energía (layer de EK) en la recogida de un
capa de potasio de átomos aislados cuando se calcula en
PBE o en vdW-DF.
Para la adsorción de K, las curvas vdW-DF y PBE concuerdan
razonablemente bien, y el uso de vdW-DF para esta spe-
El cálculo cífico no es urgentemente necesario. Sin embargo, en
para comparar los resultados de adsorción consistentemente con
absorción, intercalación y grafito limpio, es necesario
e incluir las interacciones de largo alcance a través de vdW-
DF. Como se muestra para los resultados a granel de grafito arriba, PBE
rendimientos cuantitativa y cualitativamente incorrectos resultados para
la separación de la capa.
D. Absorción de potasio bajo la superficie de grafito
La primera adsorción subsuperficial de K tiene lugar en el
vacío bajo la capa de grafito más alta. La superficie ab-
la absorción de la primera capa K causa un cambio lateral de la
hoja de grafito superior, resultando en un A/K/ABAB. ...................................................................................
el grafito. Hemos estudiado la naturaleza de la unión
de este proceso de absorción considerando una p(2×2) completa-
capa de potasio intercalada en la subsuperficie de un cuatro
capa gruesa de losa de grafito.
Tras la recepción de la sección III relativa a la absorción
energía (7) las energías •EC-K-G se aproximan por
los de una losa de grafito intercalada de cuatro capas con
el apilamiento A/K/ABA, y los valores se muestran en el
inset de Fig. 4. La energía de absorción Eabs es dada por
la curva en el panel inferior de la Fig. 4, y su mínimo
es −952meV por átomo K en dC-K = 2,90 Å.
Para investigar qué espaciamiento de la red es lo suficientemente denso
para obtener valores convergentes de energía total en vdW-DF nosotros
hacer cálculos adicionales en la región de distancia de unión
con una rejilla más escasa. Específicamente, el conjunto de la Fig. 4
compara el vdW-DF calculado en la rejilla completa con uno
que utiliza sólo cualquier otro punto de la red FFT en cada direc-
sión, lo que implica un espaciamiento de la red para Enlc (pero no para
cal términos) que es el máximo 0.26 Å. Tomamos nota de que el uso de
la red completa produce valores absolutos más pequeños de la absorción-
Energia de la ion. También notamos que el efecto es más pro-
Anunciado para pequeñas separaciones que para distancias más grandes.
Así pues, dados los recursos, los densos cálculos de la red FFT
se prefieren, pero incluso la red menos densa FFT calcu-
las laciones producen resultados razonablemente bien convergentes. En total
cálculos (excepto pruebas de nuestros sistemas grafíticos)
utilizar un espaciado con un máximo de 0,13 Å entre puntos de rejilla.
Este es un espaciado de la red para el cual hemos probado explícitamente
convergencia de la vdW-DF para los sistemas grafíticos dada
la estrategia computacional descrita y discutida en
Sec. III.
E. Grafito intercalado con potasio
Cuando los átomos de potasio penetran en la galería de la
grafito, forman planos que se ordenan en un p(2×2)
a lo largo de los aviones. La intercalación K causa una
cambio de cada segunda capa de carbono que resulta en un AA
apilamiento de las hojas de grafito. Los átomos K entonces simplemente
ocupar los sitios sobre los huecos de cada cuarto carbono
Hexágono. El orden de los átomos K perpendicular a la
planos se describe por el apilamiento, ilustrado en
Fig. 2.
Para el compuesto intercalado de potasio C8K cal-
Culado en DFT estándar utilizando PBE la energía total en
132 combinaciones diferentes de los parámetros estructurales a
CUADRO II: Comparación de la energía de exfoliación de grafito por
átomo de superficie, EC-G/8, energía de unión de capa de grafito por coche-
bon atom, EC-acc/32, la ganancia de energía por K átomo de col-
la lectura de capas de K y grafito en equilibrio para formar C8K,
ECC8K-acc/4, y la energía de formación de equilibrio de C8K,
Eform.
EC-G/8 EC-acc/32 EC8K-acc/4 Eform
[meV/atom] [meV/atom] [meV/C8K] [meV/C8K]
vdW-DF −55 −50 −818 −861
PBE − − − 511 −
Exp. −52± 5a −1236b
aRef. 51. bRef. 1.
5 5,2 5,4 5,6 5,8 6
dC−C [Å]
FIG. 5: Energía de formación de C8K, Eform, en función de
la separación de capa de carbono a capa de carbono dC-C y la mitad del in-
constante de celosía plana, a. Los contornos de energía son espaciados por
20meV por unidad de fórmula.
y dC-C. Las densidades de carga y términos de energía de estos
los cálculos se utilizan entonces como entrada a vdW-DF. El equi-
estructura de librio y propiedades elásticas (B0) tanto para el
Los resultados de vdW-DF y para los resultados de PBE son
con el mismo método que en el caso del grafito52.
La Figura 5 muestra un diagrama de contorno de la formación C8K
energía, calculada en vdW-DF, en función del C-C
separación de capas (dC-C) y periodicidad en el plano (a)
de la estructura de la capa de grafito. El espaciado del contorno es
20 meV por unidad de fórmula y se muestran en relación con el
energía mínima a (a, dC-C) = (2.494 Å, 5.53 Å).
V. DEBATE
La Tabla I presenta una visión general de nuestros resultados estructurales
obtenido con el vdW-DF para el grafito y el C8K. Los
tabla también contrasta los resultados con la correspondiente
valores calculados con PBE cuando estén disponibles. El vdW-
Valor DF dC-C = 5,53 Å para la capa C8K C − C sep-
la aración es un 3% mayor que la observada experimentalmente
valor mientras que el valor PBE corresponde a menos de un
1 % de expansión. Nuestro resultado vdW-DF para la masa C8K
módulo (26 GPa) también es más suave que el resultado PBE
(37 GPA) y más lejos de la esti-
mates (47 GPa) basados en las medidas del elástico C33
respuesta.18 Una pequeña sobrestimación de la separación atómica
es consistente con el comportamiento de vdW-DF que ha sido
documentado en una amplia gama de finitos y extendidos
sistemas.14,15,16,17,29,30,33,34 Este resultado de sobreestimación,
por lo menos en parte, de nuestra elección de la parametrización de
el comportamiento de intercambio — un aspecto que yace más allá
la aplicación actual de vdW-DF, que se centra en
mejorar la cuenta de las correlaciones no locales, por
se. Es probable que las investigaciones sistemáticas de
efectos de cambio pueden refinar aún más la precisión de vdW-DF
En cualquier caso, la teoría vdW-DF calcu-
las laciones representan, a diferencia de PBE, el único enfoque
para obtener una caracterización completa ab initio de la AM in-
proceso de tercalación.
El sistema C8K es más compacto que el grafito y
Esto explica por qué PBE solo aquí puede proporcionar un buen de-
la inscripción de la estructura de los materiales y, al menos, algunas
propiedades terials, mientras que falla completamente para el grafito.
La distancia entre las hojas de grafeno sobre interca-
ración de los átomos de potasio se estira en comparación con
de grafito puro, pero la (K-)capa a (grafito-)capa
la separación, dC-K = dC-C/2 = 2,77 Å, es significativamente menor
que la separación capa-capa en grafito puro. Esto en...
indica que es probable que C8K se mantenga unido, al menos en parte,
por interacciones de corto alcance.
Cuadro II Documentos que la vdW que vinculan nunca-
menos desempeña un papel importante en el proceso de
ión de C8K. La tabla resume y contrasta nuestro
Resultados de vdW-DF y PBE para exfoliación de grafito y
Energías de unión de capa, así como unión de capa C8K
y energías de formación. El resultado de vdW-DF para el C8K
La energía de formación es menor que la medida experimental.
Sin embargo, representa un 31%, pero representa un
cálculo ab initio motivado. Por el contrario, el C8K
la energía de formación simplemente no está disponible en PBE porque
PBE, como se indica, no describe la unión de la capa en
grafito. Además, para las comparaciones vdW-DF/PBE
que podemos hacer — por ejemplo, de la capa C8K inter-
acción «EC8K-acc — la vdW-DF se encuentra significativamente
reforzar la unión en comparación con PBE.
También es interesante observar que la combinación de
Componentes de unión de rango más corto y vdW en C8K
produce una capa de energía de unión que está cerca de la de
el caso del grafito. A pesar de la diferencia en la naturaleza
de interacciones, encontramos energías de unión casi idénticas
por capa para el caso de la exfoliación y el acordeón en
grafito y para el acordeón en C8K. Esta observación
da testimonio de una fuerza quizás sorprendente de la llamada
interacciones VDW de materia blanda.
En una perspectiva más amplia nuestro vdW-DF permite una primera
comparación de la gama de sistemas de grafito AM de
adsorción sobre absorción a la intercalación completa y, por lo tanto,
perspicacia sobre el progreso de la intercalación. Asumiendo un denso
2×2 configuración, encontramos que la energía para el potasio
adsorción y absorción es casi degenerado con un
la absorción es ligeramente preferible, consis-
tienda con comportamiento experimental. También encontramos que la
la absorción de potasio puede eventualmente proceder hacia
plena intercalación gracias a un importante lanzamiento de forma-
Energia de la ion.
VI. CONCLUSIONES
El proceso de intercalación de potasio en el grafito tiene
se han investigado por medio de la función de densidad VDW-DF
método de evaluación. Este método incluye la dispersión en
las acciones necesarias para una investigación coherente de la
proceso de intercalación. Para limpiar el grafito vdW-DF
predice, contrariamente a la aplicación estándar de DFT semilocal-
ciones: un sistema a granel estabilizado con equilibrio
parámetros de cristal en estrecha concordancia con los experimentos.
Dos límites del proceso de absorción han sido inves-
tentado por el vdW-DF, es decir, subsuperficie de una sola capa
absorción y la etapa 1 totalmente intercalada de potasio
cristal C8K. Aquí el vdW-DF se muestra para mejorar el
Tipo (semi)local de unión descrito por ap-
Proaches. El impacto significativo en los materiales behav-
io indica que el vdW-DF es necesario no sólo para un
descripción coherente de los sistemas de materia escasa que son
sólo estabilizados por las fuerzas de dispersión, pero también por su
intercala.
Damos las gracias a D.C. Langreth y a B.I. Lundqvist para Stim-
sión de las discusiones. Apoyo parcial del sueco
Consejo de Investigación (VR), el graduado nacional sueco
Escuela de Ciencias de los Materiales (NFSM), y el sueco
Fundación para la Investigación Estratégica (SSF) a través de la
el consorcio ATOMICS es agradecido, como
así como la asignación de tiempo informático en el CICE/C3SE
(Chalmers) y SNIC (Infraestructura Nacional Sueca)
para la computación).
* Dirección electrónica: hyldgaar@chalmers.se
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50 La transición de la adsorción sobre la superficie a la subsuperficie
absorción se identifica en el experimento mediante una función de trabajo
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54 O. Gunnarsson, B.I. Lundqvist, y J.W. Wilkins, Phys.
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de VDW-DF existe en la actualidad, calculamos la energía
costo para cambiar el giro de átomos aislados de potasio en
PBE. Así pues, se determina que el coste del cambio de giro será de 26
meV/K-atom.
55 L. Bengtsson, Phys. Rev. B 59, 12301 (1999), y
Por lo tanto, en ella.
56 La elección del sabor de intercambio en vdW-DF se estableció en Ref. 15
para evitar la unión artificial en los sistemas de gas noble y para
mejor imitar los cálculos de intercambio exactos para esos sistemas-
Tems. Sin embargo, está lejos de ser seguro e incluso improbable que
las conclusiones extraídas para los sistemas de gas noble
separaciones de unión menores de 3 Å.
http://www.fysik.dtu.dk/CAMPOS/
| La intercalación de potasio en el grafito es investigada por los primeros principios
teoría. La unión en el compuesto de potasio-grafito está razonablemente bien
Contemplada por la teoría funcional tradicional de densidad semilocal (DFT)
cálculos. Sin embargo, para investigar la energía de formación de intercalado de
átomos de potasio puro y grafito requiere el uso de una descripción del grafito
la unión entre capas y, por lo tanto, una cuenta coherente de la dispersión no local
interacciones. Esto se incluye perfectamente con DFT ordinario por un van der Waals
aproximación funcional de densidad (vdW-DF) [Phys. Rev. Lett. 92, 246401 (2004)]. Los
El uso del VDW-DF se encuentra para estabilizar el cristal de grafito, con cristal
los parámetros de acuerdo con los experimentos. Para grafito y
parámetros estructurales de grafito intercalado con potasio, como la unión
separación, energía de unión de capas, energía de formación y módulo a granel son
notificada. También las energías de absorción de potasio de la adsorción y sub-superficie son
notificada. La descripción de vdW-DF, en comparación con el semilocal tradicional
aproximación, se encuentra para suavizar débilmente la respuesta elástica.
| Intercalación de potasio en el grafito: estudio funcional de densidad van der Waals
Eleni Ziambaras,1 Jesper Kleis,1 Elsebeth Schröder,1 y Per Hyldgaard1,2,*
Departamento de Física Aplicada, Universidad Tecnológica de Chalmers, SE-412 96 Göteborg, Suecia
Microtecnología y nanociencia, MC2, Universidad Tecnológica de Chalmers, SE-412 96 Göteborg, Suecia
(Fecha: 1 de abril de 2007)
La intercalación de potasio en el grafito es investigada por la teoría de los primeros principios. La unión en
el compuesto de potasio-grafito está razonablemente bien representado por la densidad semilocal tradicional
cálculos de la teoría funcional (DFT). Sin embargo, para investigar la energía de formación de intercalado
de átomos de potasio puro y grafito requiere el uso de una descripción de la intercapa de grafito
y, por tanto, una relación coherente de las interacciones dispersivas no locales. Esto está incluido
perfectamente con DFT ordinario por un enfoque funcional de densidad de van der Waals (vdW-DF) [Phys.
Rev. Lett. 92, 246401 (2004)]. El uso del vdW-DF se encuentra para estabilizar el cristal de grafito,
con parámetros de cristal de acuerdo con los experimentos. Para el grafito y el intercalado potásico
parámetros estructurales de grafito tales como separación de unión, energía de unión de capas, energía de formación,
y se informa de módulos a granel. También las energías de absorción de potasio de adsorción y subsuperficie
se informan. La descripción de vdW-DF, en comparación con el enfoque semilocal tradicional, se encuentra
para suavizar débilmente la respuesta elástica.
I. INTRODUCCIÓN
El grafito con su estructura en capas es fácilmente interca-
con metales alcalinos (AM) ya en ambiente tempera-
tura. El compuesto intercalado tiene dos dimensiones
capas de AM entre capas de grafito,1,2,3,4,5 dando lugar a
a propiedades interesantes, como la superconductividad 6,7
La formación de un intercalado de AM-grafito procede
con adsorción de átomos AM sobre grafito y absorción
de átomos AM por debajo de la capa superior de grafito, después de lo cual
mayor exposición a los átomos AM conduce el intercalado AM
compuesto.
Experimentos recientes8,9 sobre la estructura y elec-
Las propiedades trónicas de los sistemas AM/grafito utilizan muestras
de grafito que se preparan mediante el calentamiento de cristales SiC
a temperaturas alrededor de 1400° C.10 Esta inducida por el calor
La grafitización es de gran valor para estudios espectroscópicos
de sistemas grafíticos, ya que la superposición de grafito resultante
11 La naturaleza de la unión
entre las superficies de SiC y el grafito se ha explorado
experimentalmente con espectroscopia de fotoemisión12 y
teóricamente13 con una densidad de van der Waals funcional
(vdW-DF) enfoque teórico que explica el van der
Fuerzas Waals (vdW).14,15,16,17
Aquí investigamos con la teoría funcional de la densidad
(DFT) los efectos sobre la estructura del grafito y el
energía y la respuesta elástica cuando el potasio
está intercalado. El compuesto final de intercalado es
C8K. El sistema de intercalado AM es interesante en él-
auto y ha sido el foco de numerosos experimentos-
Los sistemas grafíticos son también
materiales de prueba ideales en el desarrollo de la teoría en curso que
El objetivo es mejorar la descripción de las actividades interlocales no locales.
enlaces de capa en sistemas escasos.14,23,24 Estándar DFT ap-
los proaches se basan en locales (aproximación de la densidad local,
LDA) y aproximaciones semilocales (gradi-
ent aproximation, GGA)25,26,27,28 para el electrón ex-
cambio y correlación. Tales herramientas DFT regulares no lo hacen
tratar correctamente la unión VDW débil, por ejemplo, el cohe-
sión entre las capas (adyacentes) de grafito. El fracaso de
DFT tradicional para el grafito hace imposible
una comparación significativa de la energía en el
adsorción de AM superficial y absorción de AM subsuperficial.
Por el contrario, las investigaciones de sistemas grafíticos como C8K
nos permiten probar la precisión de nuestro desarrollo vdW-DF-
trabajo.
Exploramos la naturaleza de la unión del grafito,
el proceso que conduce a la intercalación mediante adsorción y
la absorción de potasio, y la naturaleza de la
grafito intercalado C8K utilizando un recientemente desarrollado
vdW-DF densidad funcional.16 Esta elección de funcional es
esencial para una comparación de las propiedades de grafito y C8K
debido a la incapacidad de la tradicional GGA basada en DFT
para describir el grafito. Calculamos la estructura y elas-
respuesta tic (módulo bulk B0) de grafito prístino y
grafito intercalado de potasio y presentamos resultados
para las energías de formación del sistema C8K.
La intercalación de potasio en el grafito está precedida
por la adsorción de potasio encima de un grafito
superficie y absorción de potasio debajo de la parte superior
capa de grafito de la superficie. En este trabajo estudiamos
cómo el potasio se une al grafito en estas dos partes de
el proceso hacia la intercalación. Nuestras entradas de vdW-DF...
ligaciones de la unión de potasio en o sobre el grafito
suplementos correspondientes vdW-DF estudios de la unión
de hidrocarburos aromáticos policíclicos, de
Cristal de polietileno, de benceno, y de poli-
hidrocarburos aromáticos cíclicos y moléculas de fenol
grafito.29,30,31,32,33,34
El esbozo del documento es el siguiente. Sección II
contiene una breve descripción de los materiales de interés aquí:
grafito, C8K y grafito con un adsorbido o ab-
capa de átomo K sorbed. Se describe el esquema vdW-DF
in Sec. III. La sección IV presenta nuestros resultados, Sec. V
el debate, y las conclusiones se extraen en la Sec. VI.
http://arxiv.org/abs/0704.0555v1
FIG. 1: (Color en línea) Grafito hexagonal simple (AA stack-
ing) y grafito hexagonal natural (apilado AB). Los dos
las estructuras difieren por cada segunda capa de carbono en AB-
se desplaza el grafito apilado, mientras que en el grafito apilado con AA
Todos los aviones están directamente por encima de los demás. El experimentalmente
constante de retícula en el plano y separación de la hoja de nat-
El grafito ural es (Ref. 40) a = 2,459 Å y dC-C = 3,336 Å,
respectivamente.
II. ESTRUCTURA MATERIAL
El grafito es un sólido semimetálico con fuerte intraplano
enlaces y capas débilmente acopladas. La presencia de estos
dos tipos de unión resulta en un material con diferentes
propiedades a lo largo de las diversas direcciones cristalográficas35.
Por ejemplo, la conductividad térmica y eléctrica
a lo largo de las hojas de carbono es dos órdenes de magnitud superior
que la perpendicular a las hojas. Esta utilería específica
erty permite que el calor se mueva direccionalmente, lo que lo hace
es posible controlar la transferencia de calor. Los relativamente débiles
Las fuerzas de vdW entre las hojas contribuyen a otro in-
propiedad de importancia industrial: el grafito es un lubri-
Cant. Además, las propiedades anisotrópicas del grafito
hacer que el material sea adecuado como sustrato en electrónica
estudios de películas de metal ultrafino.36,37,38,39
La estructura natural del grafito es un apilamiento AB,
con las capas de grafito cambiadas en relación entre sí,
como se ilustra en la Fig. 1. La figura también muestra hexagonal
grafito, compuesto de capas de grafito apiladas con AA. Los
constante de retícula en el plano a y la separación de la capa dC-C
También se ilustra. En el grafito natural la unidad primitiva
célula es hexagonal, incluye cuatro átomos de carbono en dos lay-
rs, y tiene longitudes unitarias del lado de la célula a y altura c = 2dC-C.
Se han estudiado las propiedades físicas del grafito
en una variedad de experimental40,41,42 y teórica43,44
trabajo. Algunos de los trabajos de DFT se han realizado en
LDA, que no proporciona un significado físico
cuenta de encuadernación en sistemas escalonados.15,45 Al mismo tiempo
tiempo, el uso de GGA no es una opción porque no
atar las capas de grafito. Para una buena descripción de la
FIG. 2: (Color en línea) Estructura cristalina del espectáculo C8K-
el apilado AA de las capas de carbono (pequeñas bolas) y
el apilamiento de las capas de potasio (bolas grandes) por-
pendicular a las hojas de grafeno. Las capas de potasio son
dispuestos en una estructura p(2×2), con los átomos K ocupando
los sitios sobre los huecos de cada cuarto hexágono de carbono.
estructura y naturaleza del grafito las interacciones de vdW deben
se incluirá45.
Metales alcalinos (AM), excepto Na, penetran fácilmente en el
galería del grafito que forma el grafito metálico alcalino en-
Compuestos tercalados. Estos compuestos de intercalación
se forman a través del intercambio de electrones entre el inter-
capa calizada y las capas de carbono del huésped, resultando en una
diferente naturaleza del tipo de unión entre capas que la
de grafito prístino. El intercalado también afecta a la
propiedades de grafito, que se convierte en supercon-
ductivo en la dirección paralela a los planos en crítico
temperaturas inferiores a 1 K.6,7
La estructura de los compuestos de intercalación de grafito AM
se caracteriza por su etapa n, donde n es el número de
Hojas de grafito situadas entre las capas AM. En este
trabajo que consideramos sólo grafito intercalado etapa 1 C8K,
en la que las capas de grafito y potasio se alternan
a través del cristal. La célula de unidad primitiva de C8K
es ortornómbico y contiene dieciséis átomos C y dos
Los átomos K. En el cristal C8K se ordenan los átomos K
en un registro de p(2×2) con separación K-K 2a,
la constante de celosía en el plano del grafito. Esta separación
de los átomos de potasio es alrededor de 8% más grande que en
el cristal natural K bcc (basado en valores experimentales).
El apilamiento de hojas de carbono en C8K es de tipo AA, con la
K átomos que ocupan los sitios sobre los huecos de cada
cuarto hexágono de carbono, cada posición designada por α, β,
γ, o , y el apilamiento de los átomos K perpendiculares
a los planos que se describe por la secuencia como
ilustrada en la Fig. 2.
III. MÉTODOS COMPUTATIVOS
El primer principio es la energía total y la estructura electrónica.
los cálculos se realizan en el marco
de DFT. El semilocal Perdew-Burke-Ernzerhof (PBE)
sabor26 de GGA es elegido para el intercambio-correlación
funcional para los cálculos tradicionales auto-consistentes
en el que se basan los cálculos de vdW-DF. Para todos los GGA cal-
culaciones que utilizamos el código DFT de código abierto Dacapo,46
que emplea a Vanderbilt pseudopotenciales ultrasuaves47,
condiciones de frontera periódicas, y una base de ondas de plano establecido.
Un corte de energía de 500 eV se utiliza para la expansión de
las funciones de onda y la zona Brillouin (BZ) de la
Las células unitarias se muestrean de acuerdo con el Monkhorst-Pack
esquema.48 El auto-consistentemente determinado valencia GGA
Densidad de electrones n(r) así como componentes de la energía
de estos cálculos se pasan a la siguiente
Cálculo vdW-DF de la energía total.
Para los estudios de adsorción y absorción un grafito
se utiliza la losa superficial compuesta de 4 capas, con una superficie
célula unitaria de longitudes laterales dos veces las de la masa de grafito
células unitarias (es decir, longitudes laterales 2a). Cálculos de superficie
se realizan con un muestreo de 4×4×1 k-punto de la BZ.
Los cálculos (puros) de GGA a granel de grafito son
formado con un muestreo de 8×8×4 k-punto de la BZ,
mientras que para la estructura a granel C8K, en una celda unitaria como mínimo
el doble del tamaño en cualquier dirección, se utilizan puntos de 4×4×2 k,
compatible también con la elección del muestreo en punto k de la
losas de superficie.
Elegimos describir C8K usando una unidad hexagonal
celda con cuatro unidades de fórmula, longitudes laterales
dos veces los de grafito y con cuatro grafito y
cuatro capas K en la dirección perpendicular a las capas.
C8K también puede ser descrito por el anteriormente mencionado
célula de unidad ortornómbica primitiva que contiene dos fórmulas
unidades de átomos pero conservamos la célula ortornómbica para
facilidad de descripción y para la aplicación sencilla de nu-
cálculos VDW-DF mericamente robustos.
En todos nuestros estudios, excepto en los casos de prueba, el Fast Fourier
Transformar (FFT) las rejillas se eligen de tal manera que la separa-
sión de puntos vecinos es el máximo de 0,13 Å en cualquier
dirección en cualquier cálculo.
A. cálculos de la función de densidad de vdW
En el grafito, las capas de carbono se unen por interac-
ciones únicamente. En el compuesto intercalado una parte importante de
la atracción es iónica, pero también aquí las interacciones vdW
no puede ser ignorado. Con el fin de incluir el vdW interac-
ciones sistemáticamente en todos nuestros cálculos utilizamos la
vdW-DF de Ref. 16. Allí, la correlación energía func-
cional se divide en una parte local y una parte no local,
Ec E
c + E
c, (1)
donde la parte local se aproxima en el LDA y el
parte no local Enlc se construye consistentemente para desaparecer
para un sistema homogéneo. La correlación no local Enlc
se calcula a partir del n(r) basado en GGA y sus gradientes
mediante el uso de información sobre la respuesta de muchos cuerpos de
el gas electrónico débilmente inhomógeno:
Enlc =
dr′n(r)/23370/(r, r′)n(r′). 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
El núcleo no local (r, r′) se puede tabular en términos
de la separación r − r entre los dos fragmentos en
posiciones r y r′ a través de los parámetros D = (q0 +
q′0)r − r
/2 y = (q0 − q
0)/(q0 + q
0). Aquí q0 es un
parámetro local que depende de la densidad de electrones y
su gradiente en la posición r. La expresión analítica para el
kernel en términos de D y se puede encontrar en Ref. 16.
Para sistemas periódicos, como el grafito a granel, C8K,
y la superficie de grafito (con K- adsorbida o absorbida
átomos), la correlación no local por unidad de célula es simplemente
evaluado a partir de la interacción de los puntos en la unidad
celda V0 con puntos por todas partes en el espacio (V ) en los tres
(para el grafito a granel y C8K) o dos (para el grafito)
superficie) dimensiones de periodicidad. Por lo tanto, el V -integral
en Eq. 2) en principio requiere una representación de la
densidad de electrones infinitamente repetida en el espacio. En prac-
, la correlación no local rápidamente converge31 y
suficiente con repeticiones de la célula de la unidad unas pocas veces en
cada dirección espacial. Para el grafito v -integral
es convergente cuando usamos una V que se extiende 9 (7) veces
la célula de unidad original en direcciones paralelas (perpendicular)
a las sábanas. Para la investigación de potasio un signif-
Se adopta una célula original de unidad más grande (ver Fig. 2);
aquí una V totalmente convergente corresponde a una célula que se extiende
cinco (tres) veces la celda original en la dirección paralela
(perpendicular) a las hojas para la masa C8K. Para describir
las correlaciones no locales (2) para la superficie de grafito a
V suficiente se extiende cinco veces la celda original de la unidad a lo largo
las hojas de carbono.
Para el intercambio de energía Ex seguimos la elección de
Ref. 16 de usar el intercambio revPBE27. Entre los func...
ciones a las que tenemos fácil acceso, el revPBE tiene
resultó ser el mejor candidato para minimizar los diez-
dency de intercambio artificial encuadernación en grafito.15
Utilizando el esquema descrito anteriormente para evaluar Enlc, el
la energía total finalmente dice:
EvdW-DF = EGGA − EGGAc + E
c + E
c, (3)
donde EGGA es la energía total de GGA con el revPBE
selección para la descripción del intercambio y EGGAc (E
la energía de correlación GGA (LDA). Como nuestro calcu GGA...
las laciones en esta aplicación específica de vdW-DF se llevan
hacia fuera en PBE, no revPBE, necesitamos más explícitamente
sustituir el intercambio de PBE en EGGA por el de revPBE
para la misma distribución de densidad de carga de electrones.
B. Convergencia de la energía local y no local
variación
Los cálculos de DFT proporcionan resultados físicamente significativos
para las diferencias de energía entre las energías totales (3). A un-
derstand materiales y procesos que debemos comparar total
Diferencias de energía entre un sistema con todos los componentes
a distancia relativamente cercana y un sistema de dos o más
fragmentos en la separación “infinita” (el sistema de referencia).
Dado que la energía total (3) consiste tanto en un largo alcance
término y términos GGA y LDA de rango más corto es nat-
ural para elegir diferentes maneras de representar el separado
fragmentos para estas diferentes energías de largo o corto alcance
términos.
Para las partes de energía de menor alcance (LDA y GGA)
el sistema de referencia es un sistema completo con vacío
entre los fragmentos. Para los cálculos de LDA y GGA
Normalmente basta con asegurarse de que el depósito de carga-
las colas de la sity de los fragmentos no se superponen, pero aquí nosotros
encontrar que los dipolos superficiales causan una convergencia más lenta
con separación de capas. Usamos un sistema con la capa
separación entre la capa de potasio y la más cercana
capa(s) de grafito dC-K = 12 Å (8 Å)
estudio de adsorción (absorción).
La evaluación de las correlaciones no localesEnlc requiere
cuidados adicionales. Esto se debe a razones técnicas
Con el fin de mantener la estabilidad numérica en la base de la Enlc eval-
sión en la red FFT utilizada para converger
■ los cálculos tradicionales de la DFT. La evaluación de la
Energía de correlación no local, Eq. 2), implica una ponderación
doble integral de un núcleo con un corto alcance significativo
variación16. La forma del núcleo hace que el Enlc eval-
ciones sensibles a las características del enrejado de tipo FFT49,
por ejemplo, a la posición relativa de puntos de cuadrícula FFT
en relación con la posición de los núcleos (para un punto de cuadrícula finito
ing).
Sin embargo, una evaluación sólida de la unión o cohesión
La contribución energética de las correlaciones no locales puede
se asegure mediante una nueva división de la energía difi-
ences en pasos que minimicen la cuadrícula antes mencionada
sensibilidad. El problema de la sensibilidad FFT del Enlc
evaluación se acentúa porque la unión en el Enlc
canal surge como una menor diferencia de energía entre siz-
powerEnlc contribuciones del sistema y de los fragmentos.
Por el contrario, la convergencia en los cálculos vdW-DF de
Las energías cohesivas se pueden obtener incluso en un mod-
precisión de la rejilla FFT (0.13 Å utilizado aquí) mediante la concepción de un
sistema de cálculo que mantiene siempre idénticos po-
Situación de los núcleos en relación con los puntos de cuadrícula en el conjunto
sistemas, así como en el sistema de referencia de fragmentos.
Así obtenemos una evaluación numéricamente robusta de la
Enlc diferencias de energía mediante la elección de pasos para los que
puede controlar explícitamente el enrejado FFT. Para adsorción
y los casos de absorción calculamos los sistemas de referencia
como una suma de Enlc - contribuciones para cada fragmento y nosotros
asegúrese de colocar siempre el fragmento en la exacta
la misma posición en el sistema que en el sistema de interacción.
Para sistemas a granel elegimos pasos en los que exclusivamente
ajustar la constante de retícula interplano o en el plano. Toma.
el sistema de referencia se define simplemente como un sistema
con doble retícula (o en algunos casos cuádruple)
constante y con la correspondiente duplicación de la FFT
cuadrícula a lo largo del vector de células unitarias pertinente.
El coste de la plena convergencia es que, en la práctica, nosotros de
diez hacer tres o más cálculos de GGA y posteriores
Enlc cálculos para cada punto de la absorción, absorp-
ión, o curva de formación-energía. Además de la cal-
Culados para el sistema completo que tenemos que hacer uno para cada uno de
los fragmentos aislados en posición idéntica en el adsorp-
ión/absorción y uno o más fragmentos en
la unidad-célula duplicada y la referencia de cuadrícula duplicada. Nosotros
han probado explícitamente que el uso de un espaciado de la red FFT de
< 0,13 Å (pero no más grande) para los cálculos de referencia
es suficiente para garantizar la plena convergencia en el informe
Enlc (y E
vdW-DF total) variación de la energía para el grafito
sistemas.
C. Energías de formación y absorción de materiales
La energía cohesiva del grafito (G) es la ganancia de energía,
por átomo de carbono, de crear grafito en celosía en el plano
constante a y capa de separación dC-C de aislado (spin-
polarizado) átomos de carbono.
EG,coh(a, dC-C) = EG,tot(a, dC-C)− EC-atom,tot (4)
donde EG, tot y EC-Atom, tot son energías totales por carbono
átomo. La estructura del grafito es estable como mínimo.
de la energía cohesiva, en las constantes de celosía a = aG y
2dC-C = cG.
La energía de adsorción (absorción) para un p(2 × 2) K-
capa sobre (bajo) la capa superior de una superficie de grafito es
la diferencia en la energía total [de Eq. 3)] para el sistema
a mano menos la energía total del sistema inicial, es decir,
una superficie de grafito limpia y potasio aislado en fase gaseosa
átomos. Sin embargo, debido a lo anteriormente mencionado
problemas en el uso de la vdW-DF calculamos la adsorción
y la energía de absorción como una suma de etapas (artificiales)
ing al sistema deseado: Primero el inicialmente aislado,
los átomos de potasio spin-polarizados se reúnen en un
capa de potasio flotante con la estructura corresponde-
ing a una cubierta completa de átomos de potasio. Por esto el total
sistema gana la energía de la capa EK (aG), con
EK-capa(a) = EK,tot(a)− EK-atom,tot. 5)
En la adsorción la capa de potasio se coloca simplemente
en la parte superior de la superficie de grafito de cuatro capas (2 × 2) (con
los átomos K sobre huecos de grafito) a distancia dC-K.
De este modo, el sistema obtiene una mayor contribución energética
EK-G (dC-K). Esto lleva a una energía de adsorción por
K-atom
Eads(dC-K) = EK-capa(aG) + EK-G(dC-K). 6)
En la absorción, la capa superior de grafito se despega de la
(2 × 2) superficie de grafito y se trasladó a una distancia muy lejana
de los restos de la superficie de grafito. Este proceso
costes del sistema una (exfoliación) energía EC-G =
−[Etot,C-G(dC-C = cG/2)− Etot,C-G(dC-C → En el
muy lejos la capa de grafito aislada se mueve a AA
apilado con la superficie, sin costo de energía adicional. Entonces,
la capa de potasio se coloca a medio camino entre el
lejos de la capa de grafito y los restos del grafito sur-
Cara. Finalmente las dos capas se mueven gradualmente hacia
la superficie. A la distancia 2dC-K entre los dos más altos
capas de grafito (sandwiching la capa K) el sistema tiene
Además, obtuvo una energía EC-K-G(dC-K). El absorp...
energía por K-atom es por lo tanto
Eabs(dC-K) = EC-GEK-layer(aG)EC-K-G(dC-K).
Del mismo modo, se forma el compuesto de intercalado C8K
del grafito moviendo primero las capas de grafito lejos
aparte acordeón-como (y allí cambiar la pila de grafito-
ing de ABA. .. a AAA. .. sin costo de energía), entonces
cambiar la constante de celosía en el plano de la aislada
capas de grafeno de aG a a continuación, intercalando capas K
(en el apilamiento ) entre las capas de grafito, y fi-
movimiento nally todas las capas de K- y grafito hacia atrás como un
acordeón, con constante de celosía en el plano a (que tiene la
valor aC8K en equilibrio).
En la práctica, una celda de cuatro unidades se repite periódicamente
capas de grafito se utiliza con el fin de dar cabida a la
Potasio -apilamiento. La ganancia de energía de crear
a (2×2) hoja de grafeno de 8 átomos de carbono aislados es
definida de manera similar a la de la capa K:
• Capa CE(a) = capa CE, tot(a)− 8EC-átomo, tot. (8)
La energía de formación para el intercalado C8K com-
libra por átomo K o unidad de fórmula, Eform, se encuentra así
del coste energético de mover cuatro capas de grafito
aparte mediante la ampliación de la célula de la unidad (2 × 2) a gran altura,
EG-acc, el costo de cambiar la retícula en el plano con-
stant de aG a a en cada uno de los cuatro grafeno aislado
(a) )
con cuatro capas K de átomos K aislados, de capa 4°EK(a),
más la ganancia de traer cuatro capas K y cuatro grafito
las capas juntas en la estructura de C8K, «EC8K-acc(a, dC-K),
rendimiento
Eform(a, dC-K)
EG-acc + 4°EC-capa(a)− 4°EC-capa(aG)
+ 4 °EK-capa(a) + °EC8K-acc(a, dC-K)
. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Las energías relevantes a usar para comparar las tres
diferentes mecanismos de inclusión del potasio (adsorp-
ión, absorción e intercalación) son, por lo tanto, Eads (dC-K),
Eabs(dC-K) y Eform(a, dC-K) en sus
Los valores de mamá.
IV. RESULTADOS
Las observaciones experimentales indican que el intercala-
ión de potasio en grafito comienza con la absorción
de potasio evaporado en un grafito inicialmente limpio
superficie.50 Esta absorción subsuperficial está precedida por ini-
adsorción de potasio escasa en la superficie, y
procede con mayor absorción en grafito más profundo
Vacíos. La opinión general es que los átomos K entran
grafito en los bordes del paso del grafito.20 La cantidad y
la posición de los átomos K intercalados es controlada por el tem-
peratura y tiempo de evaporación.
A continuación, primero describimos el grafito limpio inicial sys-
y la ganancia de energía en (artificialmente) crear libre-
Capas K flotantes de átomos K aislados. Entonces te presentamos
y discutir nuestros resultados sobre la adsorción de potasio y
absorción superficial, seguida de una caracterización de la masa
Para el sistema de adsorción (absorción) calculamos
la curva energética de adsorción (absorción),
estructura de equilibrio. Como demostración de la necesidad
para un enrejado FFT relativamente fino en el VDW-DF cal-
también calculamos y comparamos la absorción
curva para una rejilla FFT más escasa. Para los sistemas a granel-
Tems (grafito y C8K) determinamos el pa-
rámetros y el módulo a granel. También calculamos el
energía de formación de C8K y la energía necesaria para pelar
de una capa de grafito de la superficie de grafito y com-
pare con el experimento.51
A. Estructura a granel de grafito
Los cálculos actuales sobre el grafito puro son para el
grafito natural, apilado con AB (panel inferior de la Fig. 1). Los
energía cohesiva se calcula en un total de 232 estructura
valores (a, dC-C) y la estructura de equilibrio y la masa
a continuación, se evalúa el módulo B0 utilizando el método de de-
escrito en Ref. 52.
La Figura 3 muestra un diagrama de contorno del grafito cohesivo
variación de energía EG, coh en función de la capa sep-
aración dC-C y la constante de celosía en el plano a, calcu-
se ha retrasado en el marco del plan VDW-DF. El espaciado del contorno
es 5meV por átomo de carbono, se muestra en relación con la energía
mínimo situado en (a, dC-C) = (aG, cG/2) =(2,476 Å,
3.59 Å). Estos valores se resumen en la Tabla I conjuntamente
con los resultados obtenidos de una PBE semilocal
Culación. Como era de esperar, y discutido en Ref. 14, el
El cálculo de PBE semilocal produce resultados poco realistas para
la separación de la capa. En el cuadro también se presenta la
responder a los valores experimentales. Nuestra celosía calculada
los valores obtenidos utilizando vdW-DFT están de acuerdo
con el experimento,40 y cerca de los encontrados desde el
antiguo vdW-DF de Refs. 14 y 15, (en el que para Enlc como
invarianza translacional sume de n(r) a lo largo del grafito
aviones,) a (2.47 Å, 3.76 Å).
Consistente con los informes experimentales18 y nuestros previ-
ous cálculos14,15,45 encontramos que el grafito es bastante suave,
indicado por el valor del módulo B0 a granel. Desde el avión
compresión es muy duro en el grafito la mayor parte de la suavidad
sugerido por (el isotrópico) B0 proviene de la compresión
perpendicular a las capas de grafito, y el valor de
Se espera que B0 sea casi idéntico al elástico C33
3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
dC−C [Å]
FIG. 3: Energía cohesiva de grafito EG, coh (AB-apilado), basado
en vdW-DF, en función de la separación de capa de carbono dC-C
y la constante de celosía en el plano a. Los contornos de energía son
espaciado por 5meV por átomo de carbono.
CUADRO I: Parámetros de estructura optimizados y elásticos
propiedades para el grafito hexagonal natural (apilado AB)
y la estructura de grafito intercalado con potasio C8K en
AαAβAγAAα. .. apilamiento. La tabla muestra el calcu-
los valores óptimos tardíos de la constante de celosía en el plano a, el
(grafito-)capa-capa de separación dC-C, y el módulo a granel
B0. En C8K el valor si dC-C es el doble del grafito-potasio
distancia dC-K.
Grafito C8K
PBE vdW-DF Exp. PBE vdW-DF Exp.
a (Å) 2.473 2.476 2.459a 2.494 2.494 2.480b
dC-C (Å) 4 3,59 3,336
a 5,39 5,53 5,35c
B0 (GPa) 27 37
de 37 26 47de
aRef. 40. bRef. 53. cRef. 4. dRef. 18.
eValue presentado es para C33; para materiales lateralmente rígidos, como
grafito y C8K, C33 es una buena aproximación de B0.
Coeficiente.14,18
Encontramos el costo de energía de pelar una capa de grafito
de la superficie de grafito (la energía de exfoliación)
•EC-G = −435 meV por unidad celular (2 × 2), es decir, −55
meV por átomo de carbono superficial (cuadro II). Un reciente
Experimento51 midió la energía de desorción de poli-
hidrocarburos aromáticos cíclicos (básicamente escamas de grafito)
hojas) de una superficie de grafito. De este experimento
el coste energético de quitar una capa de grafito de la
La superficie de grafito se dedujo a −52± 5meV/átomo.
Nuestro valor −55 meV/C-atom también es consistente con
una determinación separada de vdW-DF29 de la unión
(−47meV por átomo en el plano) entre dos (de lo contrario)
hojas de grafeno aisladas.
Para las energías del sistema absorbente y del
C8K intercala unos pocos otros grafito-relacionado con la energía con-
Se necesitan contribuciones. La energía de recoger átomos C
para formar una hoja de grafeno en retícula constante a de iso-
átomos lated (espinpolarizados) es dada por la capa CE (a); nosotros
encontrar que el cambio de la constante de celosía a de aG a
el valor de equilibrio aC8K de C8K causa esta energía
para cambiar una mera hoja de 30 meV por (2 × 2). El contri-
bution ŁEG-acc es la energía del grafito a granel en movimiento
capas (en este caso cuatro capas repetidas periódicamente)
lejos el uno del otro, expandiendo la célula de la unidad
a lo largo de la dirección perpendicular a las capas. Por lo tanto,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
El número de átomos y capas por unidad de célula en
cuenta. Nos encontramos con el valor EG-acc = −1600 meV por
(2×2) célula de cuatro capas. Esto corresponde a −50 meV
por átomo C, de nuevo consistente con nuestro resultado para el ex-
energía de la foliación, EC-G/8 = −55 meV.
B. Crear una capa de K-átomos
El paso (artificial) de crear una capa de potasio
átomos de átomos aislados liberan una energía significativa
Capa de EK. Esta energía contiene la variación de energía
con constante de celosía en el plano y el costo de energía de
cambiar de un spin-polarizado a un spin-equilibrado elec-
tron configuración para el átomo aislado.54
La creación de la capa K proporciona una ganancia de energía
que es aproximadamente la mitad de un eV por átomo de potasio, dependiendo
en la constante final de celosía. Con la celosía de grafito
aG constante el cambio de energía, incluido el cambio de giro
El coste, es de la capa (aG) de EK = −476meV por átomo de K en vdW-
DF (−624meV cuando se calcula dentro de PBE), mientras que
Capa EK (aC8K) = −473meV en vdW-DF.
C. Adsorción de potasio de grafito sobre la superficie
Los átomos de potasio se adsorben en un usual
ABA... superficie de grafito apilada. Consideramos que aquí está completo
(una monocapa) cobertura, que es un átomo de potasio
por unidad de superficie de grafito (2 × 2). Esto ordena a la
átomos de potasio en una estructura de panal de miel con celosía
constante 2aG, y una distancia más cercana-vecino dentro de la
Cazadora K de AG.
La celda de unidad utilizada en los cálculos estándar de DFT
para la adsorción y absorción tiene una altura de 40 Å y
incluye una región de vacío lo suficientemente grande como para que no interac-
ciones (dentro de GGA) pueden ocurrir entre el grafeno superior
hoja y el fondo de la losa en el periódicamente repetido
imagen de la losa. La región de vacío también es grande en
para garantizar que la separación de cualquier átomo a
la capa del dipolo55 permanece siempre más grande que 4 Å.
En el panel superior de la Fig. 4 mostramos la adsorción en-
ergy por átomo de potasio. La energía de adsorción en equi-
librio es −937 meV por átomo K a distancia dC-K = 3,02
Å de la superficie de grafito.
Para la comparación también mostramos la curva de adsorción cal-
culado en un cálculo DFT tradicional de solo PBE. Desde
vdW−DF
2 3 4 5 6 7
dC−K [Å]
vdW−DF
43.532.5
dC−K [Å]
escasa
FIG. 4: Adsorción de potasio y energía de absorción en el
superficie de grafito en función de la separación dC-K del
Capa de K-átomo y la(s) capa(s) de grafito más cercana(s) (en el plano)
constante de celosía correspondiente a la de la superficie, aG).
Panel superior: curva de adsorción basada en cálculos vdW-DF
(línea sólida con círculos negros) y cálculos de PBE GGA
(línea bañada). Las líneas horizontales a la izquierda muestran
ergy gana en la creación de la capa K aislada a partir de átomos aislados,
La capa EK (aG), la asíntota de Eads (dC-K) en esta trama.
Cuadro inferior: Curva de absorción basada en calcu- vdW-DF
Laciones. La asintutota es aquí la suma EK-capa(aG) −
•EC-G. Inset: Energía de unión de la capa K y la
capa superior de grafito (“capa C”) en la parte superior de la losa de grafito,
CE-K-G. La curva divisoria muestra nuestros resultados cuando en E
ignorar cada segundo punto de rejilla FFT (en cada dirección) de
la densidad de carga de los cálculos GGA subyacentes, la
curva sólida con círculos negros muestra el resultado de usar cada
punto de red FFT disponible.
la interacción entre la capa K y el grafito sur-
cara tiene un componente de corto alcance, incluso GGA calcu-
las laciones, como la curva PBE, muestran una unión significativa
(-900 meV/K-atom en dC-K = 2,96 Å). Esto está en...
trast a la unión pura vdW entre las capas en limpio
grafito.14,15 Tenga en cuenta que la asintutota de la curva PBE
es diferente de la de la curva vdW-DF, esto es debido
a las diferentes ganancias de energía (layer de EK) en la recogida de un
capa de potasio de átomos aislados cuando se calcula en
PBE o en vdW-DF.
Para la adsorción de K, las curvas vdW-DF y PBE concuerdan
razonablemente bien, y el uso de vdW-DF para esta spe-
El cálculo cífico no es urgentemente necesario. Sin embargo, en
para comparar los resultados de adsorción consistentemente con
absorción, intercalación y grafito limpio, es necesario
e incluir las interacciones de largo alcance a través de vdW-
DF. Como se muestra para los resultados a granel de grafito arriba, PBE
rendimientos cuantitativa y cualitativamente incorrectos resultados para
la separación de la capa.
D. Absorción de potasio bajo la superficie de grafito
La primera adsorción subsuperficial de K tiene lugar en el
vacío bajo la capa de grafito más alta. La superficie ab-
la absorción de la primera capa K causa un cambio lateral de la
hoja de grafito superior, resultando en un A/K/ABAB. ...................................................................................
el grafito. Hemos estudiado la naturaleza de la unión
de este proceso de absorción considerando una p(2×2) completa-
capa de potasio intercalada en la subsuperficie de un cuatro
capa gruesa de losa de grafito.
Tras la recepción de la sección III relativa a la absorción
energía (7) las energías •EC-K-G se aproximan por
los de una losa de grafito intercalada de cuatro capas con
el apilamiento A/K/ABA, y los valores se muestran en el
inset de Fig. 4. La energía de absorción Eabs es dada por
la curva en el panel inferior de la Fig. 4, y su mínimo
es −952meV por átomo K en dC-K = 2,90 Å.
Para investigar qué espaciamiento de la red es lo suficientemente denso
para obtener valores convergentes de energía total en vdW-DF nosotros
hacer cálculos adicionales en la región de distancia de unión
con una rejilla más escasa. Específicamente, el conjunto de la Fig. 4
compara el vdW-DF calculado en la rejilla completa con uno
que utiliza sólo cualquier otro punto de la red FFT en cada direc-
sión, lo que implica un espaciamiento de la red para Enlc (pero no para
cal términos) que es el máximo 0.26 Å. Tomamos nota de que el uso de
la red completa produce valores absolutos más pequeños de la absorción-
Energia de la ion. También notamos que el efecto es más pro-
Anunciado para pequeñas separaciones que para distancias más grandes.
Así pues, dados los recursos, los densos cálculos de la red FFT
se prefieren, pero incluso la red menos densa FFT calcu-
las laciones producen resultados razonablemente bien convergentes. En total
cálculos (excepto pruebas de nuestros sistemas grafíticos)
utilizar un espaciado con un máximo de 0,13 Å entre puntos de rejilla.
Este es un espaciado de la red para el cual hemos probado explícitamente
convergencia de la vdW-DF para los sistemas grafíticos dada
la estrategia computacional descrita y discutida en
Sec. III.
E. Grafito intercalado con potasio
Cuando los átomos de potasio penetran en la galería de la
grafito, forman planos que se ordenan en un p(2×2)
a lo largo de los aviones. La intercalación K causa una
cambio de cada segunda capa de carbono que resulta en un AA
apilamiento de las hojas de grafito. Los átomos K entonces simplemente
ocupar los sitios sobre los huecos de cada cuarto carbono
Hexágono. El orden de los átomos K perpendicular a la
planos se describe por el apilamiento, ilustrado en
Fig. 2.
Para el compuesto intercalado de potasio C8K cal-
Culado en DFT estándar utilizando PBE la energía total en
132 combinaciones diferentes de los parámetros estructurales a
CUADRO II: Comparación de la energía de exfoliación de grafito por
átomo de superficie, EC-G/8, energía de unión de capa de grafito por coche-
bon atom, EC-acc/32, la ganancia de energía por K átomo de col-
la lectura de capas de K y grafito en equilibrio para formar C8K,
ECC8K-acc/4, y la energía de formación de equilibrio de C8K,
Eform.
EC-G/8 EC-acc/32 EC8K-acc/4 Eform
[meV/atom] [meV/atom] [meV/C8K] [meV/C8K]
vdW-DF −55 −50 −818 −861
PBE − − − 511 −
Exp. −52± 5a −1236b
aRef. 51. bRef. 1.
5 5,2 5,4 5,6 5,8 6
dC−C [Å]
FIG. 5: Energía de formación de C8K, Eform, en función de
la separación de capa de carbono a capa de carbono dC-C y la mitad del in-
constante de celosía plana, a. Los contornos de energía son espaciados por
20meV por unidad de fórmula.
y dC-C. Las densidades de carga y términos de energía de estos
los cálculos se utilizan entonces como entrada a vdW-DF. El equi-
estructura de librio y propiedades elásticas (B0) tanto para el
Los resultados de vdW-DF y para los resultados de PBE son
con el mismo método que en el caso del grafito52.
La Figura 5 muestra un diagrama de contorno de la formación C8K
energía, calculada en vdW-DF, en función del C-C
separación de capas (dC-C) y periodicidad en el plano (a)
de la estructura de la capa de grafito. El espaciado del contorno es
20 meV por unidad de fórmula y se muestran en relación con el
energía mínima a (a, dC-C) = (2.494 Å, 5.53 Å).
V. DEBATE
La Tabla I presenta una visión general de nuestros resultados estructurales
obtenido con el vdW-DF para el grafito y el C8K. Los
tabla también contrasta los resultados con la correspondiente
valores calculados con PBE cuando estén disponibles. El vdW-
Valor DF dC-C = 5,53 Å para la capa C8K C − C sep-
la aración es un 3% mayor que la observada experimentalmente
valor mientras que el valor PBE corresponde a menos de un
1 % de expansión. Nuestro resultado vdW-DF para la masa C8K
módulo (26 GPa) también es más suave que el resultado PBE
(37 GPA) y más lejos de la esti-
mates (47 GPa) basados en las medidas del elástico C33
respuesta.18 Una pequeña sobrestimación de la separación atómica
es consistente con el comportamiento de vdW-DF que ha sido
documentado en una amplia gama de finitos y extendidos
sistemas.14,15,16,17,29,30,33,34 Este resultado de sobreestimación,
por lo menos en parte, de nuestra elección de la parametrización de
el comportamiento de intercambio — un aspecto que yace más allá
la aplicación actual de vdW-DF, que se centra en
mejorar la cuenta de las correlaciones no locales, por
se. Es probable que las investigaciones sistemáticas de
efectos de cambio pueden refinar aún más la precisión de vdW-DF
En cualquier caso, la teoría vdW-DF calcu-
las laciones representan, a diferencia de PBE, el único enfoque
para obtener una caracterización completa ab initio de la AM in-
proceso de tercalación.
El sistema C8K es más compacto que el grafito y
Esto explica por qué PBE solo aquí puede proporcionar un buen de-
la inscripción de la estructura de los materiales y, al menos, algunas
propiedades terials, mientras que falla completamente para el grafito.
La distancia entre las hojas de grafeno sobre interca-
ración de los átomos de potasio se estira en comparación con
de grafito puro, pero la (K-)capa a (grafito-)capa
la separación, dC-K = dC-C/2 = 2,77 Å, es significativamente menor
que la separación capa-capa en grafito puro. Esto en...
indica que es probable que C8K se mantenga unido, al menos en parte,
por interacciones de corto alcance.
Cuadro II Documentos que la vdW que vinculan nunca-
menos desempeña un papel importante en el proceso de
ión de C8K. La tabla resume y contrasta nuestro
Resultados de vdW-DF y PBE para exfoliación de grafito y
Energías de unión de capa, así como unión de capa C8K
y energías de formación. El resultado de vdW-DF para el C8K
La energía de formación es menor que la medida experimental.
Sin embargo, representa un 31%, pero representa un
cálculo ab initio motivado. Por el contrario, el C8K
la energía de formación simplemente no está disponible en PBE porque
PBE, como se indica, no describe la unión de la capa en
grafito. Además, para las comparaciones vdW-DF/PBE
que podemos hacer — por ejemplo, de la capa C8K inter-
acción «EC8K-acc — la vdW-DF se encuentra significativamente
reforzar la unión en comparación con PBE.
También es interesante observar que la combinación de
Componentes de unión de rango más corto y vdW en C8K
produce una capa de energía de unión que está cerca de la de
el caso del grafito. A pesar de la diferencia en la naturaleza
de interacciones, encontramos energías de unión casi idénticas
por capa para el caso de la exfoliación y el acordeón en
grafito y para el acordeón en C8K. Esta observación
da testimonio de una fuerza quizás sorprendente de la llamada
interacciones VDW de materia blanda.
En una perspectiva más amplia nuestro vdW-DF permite una primera
comparación de la gama de sistemas de grafito AM de
adsorción sobre absorción a la intercalación completa y, por lo tanto,
perspicacia sobre el progreso de la intercalación. Asumiendo un denso
2×2 configuración, encontramos que la energía para el potasio
adsorción y absorción es casi degenerado con un
la absorción es ligeramente preferible, consis-
tienda con comportamiento experimental. También encontramos que la
la absorción de potasio puede eventualmente proceder hacia
plena intercalación gracias a un importante lanzamiento de forma-
Energia de la ion.
VI. CONCLUSIONES
El proceso de intercalación de potasio en el grafito tiene
se han investigado por medio de la función de densidad VDW-DF
método de evaluación. Este método incluye la dispersión en
las acciones necesarias para una investigación coherente de la
proceso de intercalación. Para limpiar el grafito vdW-DF
predice, contrariamente a la aplicación estándar de DFT semilocal-
ciones: un sistema a granel estabilizado con equilibrio
parámetros de cristal en estrecha concordancia con los experimentos.
Dos límites del proceso de absorción han sido inves-
tentado por el vdW-DF, es decir, subsuperficie de una sola capa
absorción y la etapa 1 totalmente intercalada de potasio
cristal C8K. Aquí el vdW-DF se muestra para mejorar el
Tipo (semi)local de unión descrito por ap-
Proaches. El impacto significativo en los materiales behav-
io indica que el vdW-DF es necesario no sólo para un
descripción coherente de los sistemas de materia escasa que son
sólo estabilizados por las fuerzas de dispersión, pero también por su
intercala.
Damos las gracias a D.C. Langreth y a B.I. Lundqvist para Stim-
sión de las discusiones. Apoyo parcial del sueco
Consejo de Investigación (VR), el graduado nacional sueco
Escuela de Ciencias de los Materiales (NFSM), y el sueco
Fundación para la Investigación Estratégica (SSF) a través de la
el consorcio ATOMICS es agradecido, como
así como la asignación de tiempo informático en el CICE/C3SE
(Chalmers) y SNIC (Infraestructura Nacional Sueca)
para la computación).
* Dirección electrónica: hyldgaar@chalmers.se
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costo para cambiar el giro de átomos aislados de potasio en
PBE. Así pues, se determina que el coste del cambio de giro será de 26
meV/K-atom.
55 L. Bengtsson, Phys. Rev. B 59, 12301 (1999), y
Por lo tanto, en ella.
56 La elección del sabor de intercambio en vdW-DF se estableció en Ref. 15
para evitar la unión artificial en los sistemas de gas noble y para
mejor imitar los cálculos de intercambio exactos para esos sistemas-
Tems. Sin embargo, está lejos de ser seguro e incluso improbable que
las conclusiones extraídas para los sistemas de gas noble
separaciones de unión menores de 3 Å.
http://www.fysik.dtu.dk/CAMPOS/
|
704.0056 | Phase diagram of Gaussian-core nematics | Diagrama de fase de la nemática del núcleo gaussiano
Santi Prestipino1, * y Franz Saija2, †
Università degli Studi di Messina, Dipartimento di Fisica, Contrada Papardo, 98166 Messina, Italia
Istituto per i Processi Chimico-Fisici del CNR, Sezione di Messina, Via La Farina 237, 98123 Messina, Italia
(Fecha: 4 de noviembre de 2018)
Estudiamos un modelo simple de un cristal líquido nemático hecho de partículas elipsoidales paralelas que interactúan-
, a través de una repulsiva ley gaussiana. Después de identificar las fases sólidas pertinentes del sistema a través de
un cuidadoso escrutinio de la temperatura cero de hasta once estructuras de cristal candidatas, determinamos
la temperatura de fusión para varios valores de presión, también con la ayuda de la energía libre exacta calcu-
Laciones. Entre las características prominentes de este modelo están el derretimiento reentrante impulsado por la presión y el
estabilización de una fase columnar para temperaturas intermedias.
Números PACS: 05.20.Jj, 61.20.Ja, 61.30.-v, 64.70.Md
Palabras Clave: Cristales líquidos; fase columnar; transiciones sólidos-líquidos y sólidos-sólidos; Monte isotérmico-isobárico
Carlo; cálculos exactos de energía libre
INTRODUCCIÓN
Desde hace cinco décadas, la simulación numérica tiene im-
como instrumento invaluable para la determinación de la igualdad de oportunidades entre hombres y mujeres
propiedades estadísticas de librio de muchos sistemas de partículas.
A pesar de una larga historia, sin embargo, una precisa evolución numérica
de la energía libre de Helmholtz de un modelo sencillo
fluido en su fase sólida ha resistido todos los ataques para muchos
años hasta, en un notable documento de 1984 [1], Frenkel y
Ladd mostró cómo una referencia Einstein sólido puede ser utilizado
derecho a este fin. Desde entonces, se ha convertido en possi-
ble para rastrear un equi-
Diagrama de fase de librio para sistemas fluidos simples de Monte
Métodos de simulación Carlo. La única limitación real de
el método Frenkel-Ladd es la necesidad de un preliminar
identificación de todas las estructuras sólidas pertinentes. Dependiendo
sobre la complejidad del potencial del modelo, algunos
se podría omitir, tampoco necesariamente muestra
aumentar espontáneamente en la simulación debido a la eficacia
fragmentación del espacio de fase del sistema en inescapable
Cuencas ergódicas.
En una serie de artículos [2, 3, 4], hemos empleado
la técnica Frenkel-Ladd en combinación con la
método estándar de integración termodinámica con el fin de
traza el diagrama de fase de alguna referencia simple-fluido
modelos. En particular, hemos proporcionado el primer accu-
determinación de la velocidad del diagrama de fase para el llamado
Modelo Gaussiano-núcleo, que está destinado a describir diluido
soluciones de bobinas poliméricas [5, 6]. La termodinámica
de este modelo se rige por la competencia entre el
fluido y dos diferentes, centrados en el cuerpo-cúbico (BCC) y
cúbica (FCC), estructuras cristalinas; sus pecu-
Los rasgos mentirosos son reentrant derretirse por com-
presión y, en un estrecho rango de temperaturas, BCC
reentrada en el sector sólido.
Después de trabajos de simulación anteriores de Frenkel y col-
trabajadores en elipsoides duros y esferocilindros [7, 8, 9,
10], así como por otros autores sobre mancuernas duras [11],
nuestro objetivo aquí es proporcionar otra demostración del uso
de simulación para la descripción de la pro-
ertíes de partículas alargadas. Tales moléculas pueden existir en un
número de mesofases parcialmente ordenadas con largo alcance
orden orientativo, posiblemente en combinación con uno- o
orden translacional bidimensional (como en
en cristales líquidos columnares, respectivamente) [12, 13]. Líquido
los cristales también suelen dar lugar a numerosas fases sólidas
que, por regla general, difícilmente puede anticiparse de un
Mirar el potencial de interacción entre las moléculas.
Muy recientemente, un interesante modelo de cristal líquido fue
introducido por de Miguel y Martin del Río [14]
diagrama de fase muestra una fase esméctica estable, así como
reentrada de la fase nemática impulsada por la presión. Los
modelo consiste en elipsoides duros igualmente orientados que son
equipado con un atractivo pozo esférico (hay
no es una fase isotrópica en este modelo ya que las partículas
están artificialmente obligados a permanecer paralelos entre sí,
por lo tanto, la fase líquida es un cristal líquido nemático). Ini-
, pensamos en este modelo como un candidato ideal para
una reconstrucción completa del diagrama de fase. Unfor-
atuntely, el potencial del modelo resulta no ser simple
suficiente para permitir una identificación directa de
la estructura de su(s) fase(s) sólida(s) y, a este respecto,
el papel original es de hecho reticente. Hemos hecho
un intento de resolver la estructura sólida en términos de
retículas cúbicas estiradas pero una inspección directa de muchos
las configuraciones sólidas de equilibrio revelan más complicación,
Sin embargo, periódicamente se repiten los patrones. Probablemente, esto resulta
de una difícil coincidencia entre la optimización re-
requisitos de los diferentes componentes de potencial de par,
Es decir, una repulsión de núcleo duro cilíndricamente simétrica y una
atracción esféricamente simétrica escalonada.
Para retener la reentrada nemática y, posiblemente, también la
fase esmética, hemos considerado una prueba más tratable
caso, que es una deformación uniaxial del Gaus repulsivo-
Sian potencial, que esperamos proporcionar un modelo ne-
fluido mático cuyo diagrama de fase puede ser completamente trabajado,
también en su sólida región. Se puede argumentar plausiblemente sobre la simbiosis.
metría y también se espera de la suavidad de
http://arxiv.org/abs/0704.0056v1
el potencial que todas las fases sólidas del modelo tendrán ahora
se encuentra dentro de la clase de cúbito uniaxialmente estirado
cristales.
El resto del documento se organiza de la siguiente manera:
II, presentamos nuestro modelo de cristal líquido junto con
un catálogo de estructuras cristalinas que son posiblemente
Acéptalo. A continuación, en la sección III, esbozamos el número-
método por el cual el diagrama de fase del modelo
está siendo dibujado. Los resultados se exponen en la sección IV, mientras que
Se aplazan a la Sección otras observaciones y conclusiones
MODELO
Consideramos un líquido nemático de elipsoides paralelos N
de la revolución cuyos límites geométricos están manchados
a cabo por una interacción de pareja u que suavemente depende de
la relación entre la distancia centro-centro r y el
“distancia de contacto”, que es la distancia de ap-
proa en caso de límites agudos. es una función de la
ángulo de que el rayo r uniendo los dos centros moleculares
formas con la dirección del eje de la revolución. Su
la expresión de forma cerrada se encuentra fácilmente en:
() =
L2 sin2 +D2 cos2
, (2.1)
D y L es el transversal (con respecto a ) y el
diámetro longitudinal, respectivamente (en lo sucesivo,
sólo el caso de prolato L > D). Para las partículas uniaxiales, la
la dependencia funcional de es en realidad en cos ♥, como ex-
ejemplificado por Eq. (2.1). También observamos que los elipsoides duros
se corresponden con un esfuerzo de interacción siendo
r < l(l) y cero de lo contrario.
Para la eficiencia del cálculo numérico, lo suficiente
La interacción de corto alcance en todas las direcciones es altamente deseable.
capaz y, entre interacciones suaves, una buena elección es un
Repulsión de dos cuerpos Gaussian-decadente,
u(r, فارسى) = exp
(l)2
, (2.2)
â > 0 siendo una escala de energía arbitraria. Eq. (2.2) define
el líquido nemático Gaussian-core (GCN). Es evidente.
que, al aumentar la relación de aspecto L/D, más grande y
mayor tamaño del sistema son necesarios con el fin de tirar hacia abajo cualquier
Error de redondeo que está implícito, por ejemplo. en el número
cálculo de la energía total.
Otra cantidad crucial para determinar en una simulación
es la presión. Para un sistema de volumen V de paralelo N
elipsoides en contacto con un baño de calor a temperatura
T, la presión de equilibrio P se puede calcular a partir de
un teorema virial que generaliza el válido para un sim-
Líquido. Dejemos que la energía potencial total del sistema
ser de la forma general U =
i<j u(Ri − Rj, cos Łij),
donde Ri es el centro de la posición de la masa de la partícula i y
(Ri-Rj). Al cambiar a escalado V −1/3Ri
coordenadas, uno obtiene fácilmente:
P = kBT
1 (Rij, cos Łij)
, (2.3)
donde u′1 es el derivado u con respecto a su primero
argumento, = N/V es la densidad (número), y kB
es la constante de Boltzmann. Es evidente que es canónico.
Ensamblaje promedio. Al introducir la "T" y la "T"
función de distribución dependiente de dos cuerpos g2(R1,R2) =
g(R1−R2, cos فارسى12), la presión del sistema también puede ser ex-
presionado como
P = kBT
dr r3g(r, l)u′1(r, l). (2.4)
En particular, para un sistema de elipsoides duros la presión
el texto es el siguiente:
P = kBT
d-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l). (2.5)
De todos modos, una implementación práctica de Eq. (2.4) o (2.5)
en una simulación requiere una evaluación precisa de los dos-
función g argumento que, normalmente, es una tarea difícil
lograr con errores estadísticos insignificantes. Mucho.
mejor solución es cambiar a la isotermal-isobárica en-
semble, simulando el sistema bajo constante-T y
condiciones P constantes, véase la sección III.
Como se mencionó en la Introducción, una de las principales
la comodidad de las simulaciones líquido-cristal es la correcta
identificación de la(s) fase(s) sólida(s) del sistema, ya que
una plétora de tales fases son concebibles y hay
no hay criterio infalible para elegir aquellos que son realmente
pertinente para el modelo específico objeto de investigación. Los
la importancia real de una fase de cristal dada sólo puede ser
juzgado a posteriori, después de demostrar su estabilidad mecánica
a largo plazo y, en última instancia, sobre la base de
el cálculo de su energía libre Gibbs, pero nada puede
Sin embargo, asegúrese de que no se salteó ninguna fase importante.
Además de estas vagas indicaciones, adoptamos un enfoque más estridente.
prueba gent con el fin de seleccionar las fases para las que vale la pena
la realización del cálculo de los costes numéricos de la
energía libre. Con referencia específica al modelo (2.2),
Hicimos un estudio completo de T = 0 de la po-
tential μ en función de la presión para muchos estirados
fases cúbicas y hexagonales, de tal forma que
mejorar los estados de tierra estables y dejar fuera de más
considerar todos los sólidos con un μ muy grande a cero tem-
Peratura. De hecho, es poco probable que tales fases puedan
desempeñar un papel para la termodinámica a temperatura no cero-
Atures.
Para el potencial de interacción que describe el GCN
modelo, suponemos que todas sus fases cristalinas estables
se buscarán entre las estructuras obtenidas de
las celosías cúbicas y hexagonales comunes por el traje-
capaz de estirar a lo largo de un eje de cristal de alta simetría, con
relaciones de estiramiento óptimas α que probablemente están cerca de
L/D. Toma, por ejemplo. el caso de BCC. Podemos estirarnos.
a lo largo de [001], [110], o [111], definiendo así
BCC001(α), BCC110(α) y BCC111(α)
número entre paréntesis es la relación de estiramiento; para in-
posición, BCC001(2) es un cristal BCC cuya célula unitaria tiene
se expandió por un factor de 2 a lo largo de ). Lo mismo puede
se hará con las estructuras simple-cúbica (SC) y FCC.
Además, consideramos que el envase hexágono cerrado (HCP) y
retículas simples-hexagonales (SH) que se estiran a lo largo
[111], de esta manera llegando a un total de once potencialmente
fases cristalinas relevantes.
MÉTODO
Para los valores fijos de T y P, el más estable de varios
fases termodinámicas es la que tiene el producto químico más bajo
potencial μ (energía libre de Gibbs por partícula). En T =
0, sólo las fases de cristal están involucradas en esta competencia
y, una vez que se haya elaborado una lista de las fases pertinentes,
la búsqueda de la óptima en una P dada se convierte en un
ejercicio computacional simple. Una propiedad exacta de la
Modelo Gaussian-core (que es el L/D = 1 límite de la
GCN) es que, al aumentar la presión, el BCC
cristal toma el control del cristal de FCC en P * • PD 3 / •
0,055 [3]. Por lo tanto, en el modelo GCN con L/D > 1 a
el papel principal se espera naturalmente para el FCC estirado
y cristales BCC.
Para una estructura de cristal asignada, calculamos la T =
0 potencial químico μ(P) del modelo GCN para un determinado
presión P mediante el ajuste de la relación de estiramiento α(P) y la
densidad (P ) hasta que se encuentre el mínimo de (U+PV )/N.
Una vez conocido el perfil de μ en función de P para cada
estructura, es sencillo dibujar la fase T = 0
diagrama para el L/D dado.
El comportamiento termodinámico conocido a cero tempera-
El marco general para la continuación de la cooperación entre la Unión Europea y los países de Europa central y oriental es el marco general de la cooperación entre la Unión Europea y los países de Europa central y oriental.
estudio lacional a temperaturas no cero. De hecho, es seguro
para decir que los mismos cristales que son estables en T = 0
también dar la estructura subyacente de celosía para el estable
fases sólidas en T > 0. Como veremos con más detalle en
la siguiente sección, la única complicación es la existencia
de tres estructuras degeneradas T = 0 para no demasiado pequeñas
presiones, que nos obligaron a considerar cada uno de ellos como un
fase GCN de baja temperatura potencialmente relevante.
Realizamos una simulación de Monte Carlo (MC) de la
Modelo GCN con L/D = 3 en el isotérmico-isobárico
conjunto, utilizando el algoritmo estándar de Metrópolis con
las condiciones periódicas de los límites y la imagen más cercana
la invención. Para la fase sólida, cuatro tipos diferentes de
se consideran las celosías, a saber, FCC001(3), BCC110(3),
BCC111(3) y BCC001(3) (véase la sección IV). El num-
se escogen las partículas en una dirección determinada para garantizar
una contribución insignificante a la energía de interacción
de pares de partículas separadas por la mitad de una simulación-
longitud de la caja en esa dirección. Más precisamente, nuestras muestras
consisten en 10× 20× 8 = 1600 partículas en la FCC001(3)
fase, de 8 × 24 × 6 = 1152 partículas en el líquido y en
la fase sólida BCC110(3), de 10× 12× 18 = 2160 parti-
en la fase BCC111(3), y de 12× 12× 10 = 1440
partículas en la fase BCC001(3). Teniendo en cuenta la gran
tamaño del sistema empleado, no hicimos ningún intento de extrapo-
tarde nuestros resultados de tamaño finito al infinito.
En T y P dados, el equilibrio de la muestra típicamente
tomó unos pocos miles de barridos MC, un barrido que consiste en
un intento promedio por partícula de cambiar su centro-de-
posición de masa más un intento promedio de cambiar la
volumen mediante un reescalado isotrópico de coordenadas de partículas.
El desplazamiento aleatorio máximo de una partícula y
el cambio máximo de volumen en un movimiento de prueba MC son ad-
justed una vez un barrido durante la carrera con el fin de mantener el
la relación de aceptación de los movimientos cerca del 50% y el 40%, respec-
Tily. Mientras que la configuración anterior es suficiente cuando simu-
latiendo un sistema de fluidos (nemático), que podría tener
consecuencias sobre el muestreo de un estado sólido para operar
con una forma de caja fija, ya que esto no permitiría
sistema para liberar el estrés residual. Es por eso que, después de un
primera optimización áspera con forma de caja fija, el equi-
la trayectoria MC del librio de un estado sólido se genera con una
Algoritmo de Metrópolis modificado (llamado constante-estrés)
que permite ajustar la longitud del vari-
los lados de la caja independientemente unos de otros (véase
e.g. [8]). Normalmente, sin embargo, la caja de simulación de-
Viate sólo muy poco de su forma original. Cuando el
opuesta ocurre, esto indica una inestabilidad mecánica de
el sólido a favor del fluido, por lo tanto da una pista en cuanto a
donde se encuentra el derretimiento. Observamos que simulaciones MC
con una forma de caja variable no son muy adecuados para el fluido
fase ya que en este caso un lado de la caja suele ser-
viene mucho más grande o más pequeño que los otros dos, un hecho
que prejuzga seriamente la fiabilidad de la simulación
los resultados.
Con el fin de localizar el punto de fusión de un pres-
Claro, generamos secuencias separadas de simulaciones,
a partir del sólido frío por un lado y desde el caliente
líquido en el otro lado. La última configuración producida
en una carrera dada se toma para ser la primera de la siguiente carrera en un
temperatura ligeramente diferente. La configuración de inicio
de una cadena “sólida” de carreras fue siempre un cristal perfecto con
α = 3 y una densidad igual a su valor T = 0. Por lo general,
esta serie de carreras se lleva a cabo hasta que un cambio repentino es
observado en la diferencia entre las energías/volumenes
de sólidos y fluidos, con el fin de evitar que el promedio sobre
estados termodinámicos heterogéneos. Termodinámica
promedios se calculan sobre trayectorias 104 barridos de largo.
Trayectorias mucho más largas se construyen para estimar
el potencial químico del líquido (véase más adelante).
La estimación de errores estadísticos es un problema crítico siempre que
las diferentes estructuras sólidas candidatas tan estrechamente compiten por
estabilidad termodinámica. Con este fin, dividimos el MC
trayectoria en diez bloques y estimar la longitud de la
barras de error para ser el doble de grande que la desviación estándar de
el bloque promedio. Por lo general, los errores relativos que afectan a
la energía y el volumen del fluido se encuentran
muy pequeño, unas pocas centésimas por ciento como máximo (para un
sólidos, son aún más pequeños).
Una pista más directa sobre la naturaleza de la(s) fase(s)
expresada por el sistema para temperaturas intermedias
se puede obtener de un seguimiento cuidadoso en todo el estado
espacio de un parámetro de orden “estéctico” (OP) y de dos
diferentes, transversales y longitudinales (con respecto a )
funciones de distribución (DFs). Se define el OP smectic
* (l) =............................................................................................................................................................................................................................................................
. (3.1)
Esta cantidad es capaz de notar la existencia de una capa
estructura a lo largo de en el sistema, ya sea sólido-como o smectic-
Me gusta. En particular, el ♥ en el que ♥ toma su mayor valor
da la distancia nominal max entre las capas. A
gran valor de a ♥max indica una fuerte capa a lo largo de z
con el periodo max. Con el fin de discriminar entre sólidos
y smectic (fluido) capas, podemos confiar en el en-plano
DF g(r), con r = r − (r· ), que informa sobre
¿Cuán rápida es la decadencia de la correlación espacial cristalina?
laciones en direcciones perpendiculares a. La persistencia
de orden de cristal a lo largo de se mide a través de otro DF,
g(z), que da indicaciones similares a Un líquido...
como el perfil de g junto con un pico agudo o g
ser fiel indicación de una fase sumectica. A la inversa,
un brusco pico g junto con el sin estructura
ser las impresiones de una fase columnar. Tanto g(r) como
se normalizan de tal manera que se aproximan a 1 en
grandes distancias en caso de centro de masa totalmente desordenado
distribuciones en las direcciones respectivas. Ligera desviación...
ciones de este valor asintótico pueden ocurrir como resultado
de la variación de las longitudes laterales de la caja durante una simulación
Corre. Los dos DF fueron construidos con una resolución espacial.
la contaminación de la sustancia D/20 y de la sustancia L/20, respectivamente, y
actualizado cada 10 barridos MC.
Calculamos la diferencia en el potencial químico ser-
entre dos estados de equilibrio del sistema – digamos,
1 y 2 – dentro de la misma fase (o incluso en diferentes
fases, siempre que estén separadas por un segundo orden
límite) por la integración termodinámica estándar
método adaptado al conjunto isotérmico-isobárico,
Es decir, mediante el uso combinado de las fórmulas:
μ(T, P2)− μ(T, P1) =
dP v(T, P ) (3.2)
μ(T2, P )
μ(T1, P )
u(T, P ) + Pv(T, P )
(3.3)
Para demostrar realmente útil, sin embargo, las ecuaciones anteriores re-
Para obtener una estimación independiente de μ para al menos un
en cada fase. Para el fluido, una referencia
el estado puede ser cualquier estado caracterizado por un
sity (un gas casi ideal), desde entonces el exceso químico
potencial se puede estimar con precisión a través de Widom
método de inserción de partículas [15]. El uso de esta técnica
para densidades pequeñas pero finitas evita lo que por lo demás es necesario
extrapolación de sary al límite de gas ideal como referencia
estado para la integración termodinámica.
Para calcular el exceso de energía libre Helmholtz
de un sólido, recurrimos al método propuesto por Frenkel
y Ladd [1], basado en un tipo diferente de termo-
integración biológica (véase Ref. [4] para una descripción completa de esto
método y de su aplicación en un ordenador). Nosotros
note que la simetría elipsoidal de las partículas GCN
no es una complicación en absoluto, ya que los ejes de partículas son
congelados y los únicos grados de libertad que quedan son los
centros de masa. El exceso sólido de energía libre Helmholtz es
calculado a través de una serie de simulaciones NV T, es decir,
para la densidad y temperatura fijas. En cuanto a la densidad
se refiere, su valor se elige de una manera tal que
plies con la presión de la referencia de baja temperatura
la secuencia del Tratado de no proliferación de las armas nucleares
las carreras se inician. Queremos hacer hincapié en que, gracias a la
grandes tamaños de muestra empleados, el histograma de densidad en un
El Tratado sobre la no proliferación de las armas nucleares (TNP) siempre resultó haber alcanzado su punto álgido, independientemente de que el Tratado sobre la no proliferación de las armas nucleares (TNP)
fluctuaciones de densidad muy limitadas (por lo tanto, insignificantes)
dependencia en conjunto de los promedios estadísticos).
RESULTADOS
Cálculos de temperatura cero
Para varios valores L/D en el intervalo entre 1,1
y 3, hemos calculado el potencial químico T = 0-
tial μ(P) para nuestros once estados candidatos, con
P variando de 0 a 0,20. Informamos en el cuadro 1 de la
resultados relativos a L/D = 3 para dos valores de P, 0,05
y 0,20. Un aspecto emergente de esta tabla es el exis-
de una rica degeneración que es sólo en parte el resultado de
la identidad efectiva de las estructuras cristalinas hasta un dila-
tion. Toma, por ejemplo. las cinco estructuras con el mínimo de μ
(y con la misma densidad). Mientras que la celosía BCC001
con α = 3 se obtiene de la celosía FCC001 con
α = 3/
2 = 2.12... por un simple
2 dilatación, hay
no hay homotetia que transforme BCC001(3) en BCC110(3)
o en BCC111(3) (a su vez equivalente a SC111(1.5)):
Los puntos en estas tres celosías tienen diferentes envi-
ronmentos, como se puede comprobar contando el nth-orden
vecinos por n hasta 4, sin embargo los tres estirados BCC llora-
los niveles mínimos de μ comparten el mismo U/N. También los pares
FCC110(3), FCC111(3) y SC001(3), SC110(3) consisten
de estructuras degeneradas topológicamente diferentes. Este hecho
es un fenómeno emergente cuya profunda razón permanece
no está claro para nosotros; debe tratar con la dependencia de u de
la relación r/l(l), ya que la misma simetría se mantiene con una
polinomio, en lugar de Gaussian, dependencia.
Para el caso de L/D = 3, se muestra en la Fig. 1 el over-
todos P dependencia a T = 0 del potencial químico μ
para los diversos sólidos. El sólido con el mínimo μ es
o bien del tipo FCC001 (con α = 3) o, por ejemplo, de la
tipo BCC001 (con α = 3), un hecho que es cierto, pero
con α = L/D, para todos los 1 < L/D < 3. Otros sólidos son:
definitivamente descartado, y lo mismo probablemente
T > 0. Sobre el aumento de L/D, la transición de una FCC-
tipo a una fase de tipo BCC se produce en un menor y más bajo
presión, cuyo valor reducido es ligeramente inferior a 0,02
para L/D = 3.
Simulación de Monte Carlo
Con el fin de investigar el comportamiento termodinámico de
el modelo GCN a temperaturas no cero, tenemos coche-
Se ha realizado una serie de simulaciones MC para un GCN
sistema con L/D = 3, que es el sistema con el
características más fuertes líquido-cristalinas que todavía podemos el hombre-
edad numérica.
Hemos realizado escaneos del diagrama de fase para seis
diferentes valores de presión, P* = 0,01, 0,02, 0,03, 0,05, 0,12,
y 0,20. Con toda probabilidad, FCC001(3) es el sta-
ble fase del sistema sólo en un bolsillo muy pequeño de T -P
avión cerca del origen. Sin embargo, decidimos no hacerlo.
emprender un estudio de libre energía sobre la estabilidad relativa de
FCC001(3), y fases de tipo BCC en
asegura ya que esto requeriría una precisión numérica que
está más allá de nuestras capacidades. A una primera aproximación, la
límite entre FCC001(3) y, por ejemplo, BCC111(3)
se puede suponer que funciona a presión constante. Por lo que se refiere a:
datos obtenidos a diferentes presiones, hemos realizado
dos secuencias más de MC corre a lo largo de la isotérmica
rutas para T* = 0,002 (sólidos) y T* = 0,015 (fluido).
El cálculo Frenkel-Ladd del exceso
La energía libre de Helmholtz por tipo de partícula confirma que
los sólidos BCC001(3), BCC110(3) y BCC111(3)
son casi degenerados a baja temperatura. Tomamos
T* = 0,002, P* = 0,05 como estado de referencia para la
cálculo de energías libres sólidas. Con la densidad
fijado en π = 0,08562D−3, en todos los casos correspondientes
a P* = 0,05, encontramos βfex = 144.461(2), 144.470(2),
y 144.453(3), para los tres sólidos mencionados, respectivamente,
lo que implica una débil preferencia por la fase BCC111(3).
A continuación, utilizando la integración termodinámica a lo largo de la
T ∗ = 0,002 isotermas (véase Eq. (3.2)), hemos estudiado
la estabilidad relativa de los tres sólidos como función
de presión, hasta P* = 0,20. Los resultados, representados
en Fig. 2, sugieren que BCC111(3) es la fase estable
en toda la región de baja temperatura, los otros sólidos
ser muy buenas soluciones de todos modos con casi óptimo
potenciales químicos.
A continuación, seguimos el desorden térmico de la BCC-
los sólidos de tipo para la presión fija (con tres casos consid-
ed, P* = 0,05, 0,12 y 0,20) a través de secuencias de
Ejecución isotérmica-isobárica, todas a partir de T* = 0,002,
con pasos de 0,001. Cualquier secuencia de este tipo se detiene cuando
los valores de la energía potencial y el volumen específico
se derrumbó sobre los del fluido, informando así que el
los límites finales de la estabilidad sólida se alcanzan (por lo general, un
sólido difícilmente puede ser sobrecalentado). Los umbrales de estabilidad
detectada de esta manera son bastante consistentes con la indica-
sión proveniente de los perfiles de DF que, al aumentar
La temperatura de ing, eventualmente mostrará una apariencia de líquido-como-
Ance. Integración termodinámica (véase Eq. (3.3) se utiliza
para propagar el μ calculado para T* = 0,002 a más alto
temperaturas.
En cuanto al líquido (nemático) se refiere, tenemos
primera generación de una secuencia de simulaciones del Tratado sobre la no proliferación de las armas nucleares
P* = 0,05, a partir de T* = 0,015. En esta inicial
punto, se estimó el exceso de potencial químico μex
por el método de inserción de Widom, obteniendo μex = 0,986(5).
Cabe señalar que, en un largo período de simulación de
muchos como 5×104 MC barre en equilibrio, el químico-
valor potencial relajado muy pronto, con pequeñas fluctuaciones
alrededor de la media y no se observó ninguna deriva significativa. Nuestro
El análisis de la fase de fluidos se completa con más
ulaciones a lo largo de las vías isobáricas para P * = 0,12 y
0,20, para el cual no teníamos la necesidad de calcular la
potencial químico de nuevo, ya que esto podría deducirse de
los datos de volumen a lo largo de la T* = 0,015 isoterma.
Resultados de potencial químico a lo largo de los tres isobars en
que nos centramos se reportan en Figs. 3 a 5. Como está claro,
con el aumento de la temperatura que el líquido eventualmente toma
sobre los sólidos. Entre los sólidos, la fase BCC111(3)
es el preferido para cualquier temperatura y presión, al-
aunque el potencial químico de las otras fases sólidas es
sólo un poco más grande. En el aumento de la presión, el derretimiento
la temperatura baja, como en el modelo Gaussian-core.
La necesidad de una coincidencia con la temperatura cero
punto de fusión para P = 0 implicará entonces fusión reentrant-
También en el modelo GCN. El error máximo en el
temperatura de fusión Tm, que estimamos que es alrededor de
0,003 (por lo que no es tan pequeño), depende completamente de la lim-
precisión del líquido μex, que a continuación constituye un
principal fuente de error en Tm.
La única conclusión que podemos sacar de lo anterior
estudio del potencial químico es que BCC111(3) es el más
fase sólida estable del sistema (siempre que la presión sea
no muy bajo). Sin embargo, una mirada más de cerca a los perfiles de DF
obtenido de la simulación de BCC111(3) plantea algunas
duda sobre la estabilidad absoluta de esta fase en
llamar temperaturas, cualquiera que sea la presión, llamando
para una interpretación diferente de la hasta ahora considerada
como datos BCC111(3) MC. Tomemos, por ejemplo, el caso de
P = 0,05. Al aumentar la temperatura, mientras que g mantiene
fuerte alcanzó su punto máximo hasta el derretimiento, el os de tipo sólido-
las cilaciones de gâ ° se someten a amortiguación progresiva hasta que
se lavan completamente, lo que sugiere un segundo orden
(o muy débil de primer orden a lo sumo) transformación de
BCC111(3) en una fase columnar antes de la fusión. Esto
se ilustra en las Figs. 6 y 7, donde se trazan los DFs
para una serie de temperaturas. Una indicación similar se obtiene
del comportamiento de la OP smética, véase Fig. 8, cuyo
máximo más alto eventualmente se desinfla en prácticamente el
a la misma temperatura, T * 0,005, a la que las oscilaciones
de gâ ° desaparecen. Tenga en cuenta que ninguna apariencia de un columnar
fase se observa durante la simulación de cualquiera de los dos BCC110(3)
o BCC001(3), ni en la simulación de FCC001(3) para
P * = 0,01. Una porción de la fase columnar se representa en
Fig. 9 (paneles de la derecha). En esta fase, columnas de apilados
las partículas están dispuestas lado a lado, herméticamente empaquetadas para
Gether para proyectar un sólido triangular en el plano x-y.
Las columnas vecinas no son proporcionales a cada una
otro, como lo implica una completamente sin rasgos.
La causa probable de la inestabilidad de la
El modelo GCN se basa en la ausencia de un mecanismo ad hoc.
anism para la atracción lateral entre las moléculas, que
está presente en su lugar en el modelo de Ref. [14]. Por cierto,
los elipsoides duros tampoco muestran una fase esméctica [7], en
varianza con esferocilindros duros (largos) donde la partícula
la geometría por sí sola es suficiente para estabilizar un periódico
modulación de la densidad numérica a lo largo de [10].
Dadas las pruebas convincentes de una fase columnar
En el modelo GCN, se puede preguntar ahora si el
Las conclusiones extraídas de los datos sobre el potencial químico son todas
Defectuosa. En particular, las curvas de μ que se etiquetan como
BCC111(3) in Figs. 3 a 5 no tendría sentido más allá
una determinada temperatura Tc < Tm. De hecho, no lo son, es decir,
conservan plena validez hasta el derretimiento desde el (casi)
carácter continuo de la transición de BCC111(3)
a columnar permite continuar con seguridad termo-
integración nazi a través de la frontera, con la condición
que lo que antes se trataba como el BCC111(3) chemi-
potencial cal más allá de Tc se asignará en su lugar a la
fase columnar.
A medida que aumenta la presión, la transición de BCC111(3) a
columnar tiene lugar a temperaturas más bajas y más bajas.
Con el fin de excluir que la fase columnar también, como-
sabio el fluido, mostrará el comportamiento reentrante en el bajo pres-
seguro, hemos simulado el desorden de un BCC111(3)
sólido también para P* = 0,02 y 0,03 (de hecho, no hay reentrada
se observa la fase columnar). Otros puntos sobre
la línea de fusión para P = 0,01, 0,02 y 0,03 se fija
a través del comportamiento de g en función de la temperatura.
En total, el diagrama de fase de GCN aparece como
bosquejado en la Fig. 10. Esto es similar al retrato de fase
del modelo Gaussian-core, véase Fig. 1 de Ref. [4], con
la obvia excepción de la fase columnar. Hay un
pequeña discrepancia entre los puntos de fusión tal como están situados
a través de cálculos de energía libre (puntos completos en la Fig. 10) y
los evaluados a partir de la evolución de g (puntos abiertos). In
nuestra opinión, esto se atribuiría en su mayor parte a la sta-
error tistico asociado con el μex del fluido en su
Estado de referencia. A pesar de su limitada precisión,
Sin embargo, los cálculos de energía libre son todos menos inútiles en
identificar la estructura de la fase sólida. En conclu-
sión, aunque algunos aspectos del comportamiento de equilibrio
del modelo GCN sigue siendo incierto, especialmente con
con respecto a la ubicación exacta de la transición sólida
a baja presión, estamos seguros de que las principales características
del diagrama de fase GCN se contabilizan correctamente
por Fig. 10.
Resumiendo, hay al menos dos concebibles y
caminos mutuamente excluyentes para el desorden térmico de
un sólido líquido-cristal (además de una transformación directa)
de ella en una fase nemática). Uno es a través de la forma...
de una fase smética, que eventualmente se transforma en
un líquido nemático. Una segunda posibilidad es una más gradual
liberación de orden cristalino por la apariencia de un colum-
fase nar como etapa intermedia entre el sólido y el
fase nemática. Nuestro estudio demostró que es este segundo
escenario que ocurre en el modelo GCN, sin pruebas
lo que sea de una fase smectica.
CONCLUSIONES
Hemos introducido un modelo de cristal líquido de
Elipsoids paralelos repulsivos, llamado el Gaussian-core ne-
modelo matic (GCN), con el objetivo de una caracterización completa
sión de su comportamiento de fase, incluido el sector sólido. Esto
requiere una identificación preliminar de todos los sólidos pertinentes
estructuras, que es generalmente una tarea muy difícil de ser
realizado para modelos de cristales líquidos [16]. A través de una
escrutinio cuidadoso de hasta once deformados uniaxialmente
Fases cúbicas y hexagonales, obtuvimos una de-
la inscripción del retrato de la fase de equilibrio T = 0 de la
Modelo GCN, identificando su estado de base en cualquier caso
presión. Al hacerlo, descubrimos a un rico y absolutamente
degeneración estructural inesperada, que sólo se levanta por
va a T > 0. A baja temperatura, y para no demasiado
baja presión, nuestros cálculos de energía libre indican que un
Sistema GCN con una relación de aspecto de 3 se encuentra en sólo uno
fase sólida, es decir, un sólido BCC estirado con las moléculas
orientado a lo largo de [111]. Sólo cerca de cero presión, el estable
fase se convierte en un sólido FCC estirado. Con el aumento
temperatura, el sólido tipo BCC primero sufre un débil
transición a una fase columnar, que aún conserva par-
orden cristalino tial, antes de fundir completamente en el
Líquido nemático.
Vale la pena destacar que nuestro interés en el GCN
modelo es puramente teórico, elipsoides de núcleo duro provid-
Un modelo de cristal líquido más realista desde el punto de vista físico. Uno
Incluso podría argumentar que una repulsión gaussiana es altamente irremediable.
Alistic para un cristal líquido. En sistemas atómicos reales, super-
posición de los núcleos de partículas está fuertemente obstruida, de dónde
la consideración de la re-potencia inversa dura o empinada
pulsación en los modelos más populares. Sin embargo, a menos que la
densidad del sistema es muy alta, superior a la considerada en
nuestro estudio, partículas gaussianas repulsivas serían efectivamente
ser ciego a un núcleo duro interior, que por lo tanto puede o puede
no existen, como se pone de manifiesto, por ejemplo. en las instantáneas de la Fig. 9
donde las partículas aparecen bien espaciadas.
El modelo GCN es una “deformación” de Stillinger
Gaussian-core modelo, bien conocido por exhibir un
transición de fusión reentrante. Varios casos de reen-
El comportamiento de los transexuales también se conoce por nemáticas [17] y en
una de las motivaciones originales para el presente trabajo
estaba buscando un nuevo tipo de reentrada, es decir, re-
aparición de una fase más desordenada con el aumento
presión. Con este estudio, proporcionamos otro examen...
de comportamiento reentrante en un modelo nemático: Mientras que este
no es nada más que el análogo de la reentrada fase-fluido en el
El modelo Gaussian-core, la novedad absoluta de nuestros hallazgos
se encuentra en la naturaleza de la fase intermedia, esto es
sorprendentemente columnar en una gama de presiones en lugar de
Realmente sólido.
* Dirección electrónica: Santi.Prestipino@unime.it
† Dirección electrónica: saija@me.cnr.it
[1] D. Frenkel y A. J. C. Ladd, J. Chem. Phys. 81, 3188
(1984); véase también J. M. Polson, E. Trizac, S. Pronk, y
D. Frenkel, J. Chem. Phys. 112, 5339 (2000).
[2] F. Saija y S. Prestipino, Phys. Rev. B 72, 024113
(2005).
[3] S. Prestipino, F. Saija, y P. V. Giaquinta, Phys. Rev.
E 71, 050102(R) (2005).
[4] S. Prestipino, F. Saija, y P. V. Giaquinta, J. Chem.
Phys. 123, 144110 (2005).
[5] F. H. Stillinger, J. Chem. Phys., 65, 3968 (1976).
[6] A. Lang, C. N. Likos, M. Watzlawek, y H. Löwen, J.
Phys.: Condens. Materia, 12, 5087 (2000).
[7] D. Frenkel, B. M. Mulder, y J. P. McTague, Phys. Rev.
Lett. 52, 287 (1984).
[8] A. Stroobants, H. N. W. Lekkerkerkerker, y D. Frenkel,
Phys. Rev. A 36, 2929 (1987).
[9] J. A. C. Veerman y D. Frenkel, Phys. Rev. A 41, 3237
(1990); ibídem, 43, 4334 (1991).
[10] P. Bolhuis y D. Frenkel, J. Chem. Phys. 106, 666
(1997).
[11] C. Vega, E. P. A. Paras, y P. A. Monson, J. Chem.
Phys. 96, 9060 (1992); ibídem, 97, 8543 (1992).
[12] P. Pasini y C. Zannoni eds., Avances en el ordenador
Simulación de cristales líquidos (serie OTAN-ASI, 1998).
[13] S. Singh, Phys. Rep. 324, 107 (2000).
[14] E. de Miguel y E. Martin del Rio, Phys. Rev. Lett. 95,
217802 (2005).
[15] B. Widom, J. Chem. Phys. 39, 2808 (1963).
[16] Después de completar este documento, nos dimos cuenta de
el descubrimiento, reportado en P. Pfleiderer y T. Schilling,
cond-mat/0612151, de una nueva fase cristalina estable en
Elipsoides duros de pie libre. Esto demuestra aún más
que la estructura sólida de los cristales líquidos es generalmente dif-
ficulto para anticipar, incluso cuando el sistema de modelo es el
lo más simple posible.
[17] El primer ejemplo de tal comportamiento fue descubierto por
P. E. Cladis, Phys. Rev. Lett. 35, 48 (1975); véase también
Ref. [14] y referencias en él.
mailto:Santi.Prestipino@unime.it
mailto:saija@me.cnr.it
CUADRO I: Modelo de NCG para L/D = 3: T = 0 poten-
tial μ(P) para once sólidos diferentes y dos valores de P*, 0,05
y 0,20. Nx, Ny, Nz son el número de puntos de celosía a lo largo
las tres direcciones espaciales, = NxNyNz/V es la densidad,
y α es la relación de estiramiento (para la celosía SH111, α es la
la denominada relación c/a). Nx, Ny, Nz han sido elegidos tan grandes
que el error de redondeo de la energía potencial total por
partícula, U/N, debido al tamaño de la celosía finita es insignificante. Los
la precisión numérica en el punto y α es de una unidad en el último deci-
dígito de mal. Mirando a la tabla, las estructuras más estables en
ambas presiones son cinco cristales degenerados, que en realidad pertenecen a
a tres tipos distintos que son ejemplificados por BCC001(3)
(equivalente a FCC001(2.12) hasta una dilatación), BCC110(3),
y BCC111(3) (equivalente a SC111(1.5)) – entre paréntesis
es el valor de α.
cristal Nx, Ny, Nz /23370/(0.05) α(0.05) μ(0.05) Ć(0.20) α(0.20) μ(0.20)
FCC001 10,20,10 0,086 2,12 0,855724 0,157 2,12 2,093695
BCC001 14,14,10 0,086 3,00 0,855724 0,157 3,00 2,093695
SC001 20,20,8 0,086 3,00 0,881586 0,158 3,00 2,105241
FCC110 16,12,12 0,086 3,00 0,856391 0,157 3,00 2,094368
BCC110 10,28,8 0,086 3,00 0,855724 0,157 3,00 2,093695
SC110 14,18,10 0,086 3,00 0,881586, 0,158 3,00 2,105241
FCC111 16,18,9 0,086 3,00 0,856391 0,157 3,00 2,094368
BCC111 12,12,18 0,086 3,00 0,855724 0,157 3,00 2,093695
SC111 12,12,18 0,086 1,50 0,855724 0,157 1,50 2,093695
HCP111 18,20,10 0,086 3,00 0,856429 0,157 3,02 2,094474
SH111 18,20,9 0,086 2,75 0,870014 0,158 2,69 2,099565
FIG. 1: T = 0 comportamiento de equilibrio del modelo GCN con
L/D = 3. Izquierda: T = 0 potencial químico μ(P ∗) de var-
en relación con el BCC110(3), que sirve así como
el nivel cero o de referencia. La presión reducida P* está en
crementado por pasos de 0,01. Tenga en cuenta que, para todos P, los cinco
cristales FCC001(2.12), BCC001(3), BCC110(3), BCC111(3),
y SC111(1.5) son degenerados ( = 0). Otros puntos de datos
son para FCC001 (línea continua; α = 3 para P* = 0,01, be-
α = 2,12 en caso contrario), FCC110(3) y FCC111(3) (puntos
línea), HCP111 (puntos abiertos), SH111 (cuadrados abiertos), SC001(3)
y SC110(3) (línea de sujeción). Derecha: Ecuación resultante de
estado en el rango de presión de 0 a 0,30. FCC001(3) (abierto
triángulo) es estable a muy baja presión, hasta ligeramente menos
que 0,02, mientras que FCC001(2.12), BCC001(3), etc. (puntos abiertos)
prevalecen para las presiones más altas.
FIG. 2: Modelo GCN con L/D = 3, resultados de potencial químico
para T ∗ = 0,002. En la imagen, trazamos el químico reducido
potencial de las tres estructuras degeneradas T = 0 que existen
para una presión no demasiado baja, tomando BCC111(3) como referencia. Los
última fase da el sólido más estable para cualquier P en el rango
de 0,05 a 0,20 (y, lo más probable, aún más). La μ
curvas se obtienen por integración termodinámica del volumen
Datos MC, utilizando como condiciones iniciales las especificadas por el
Cálculos de Frenkel-Ladd que se realizaron en P* = 0,05.
Aunque los valores de μ reportados para los sólidos tipo BCC son muy
cerca unos de otros y también afectados por un cierto ruido numérico,
la mayor estabilidad de BCC111(3) no puede ser verdaderamente llamada a
pregunta – un patrón regular se ve claramente detrás de cada curva.
FIG. 3: Modelo GCN con L/D = 3, potencial químico
resultados para P* = 0,05: Potencial químico del líquido
fase (línea punteada) en comparación con las de la
fases sólidas para esa presión (BCC001(3), línea de larga caída;
BCC110(3), línea discontinua; BCC111(3), línea continua). Mientras
el sólido BCC111(3) es estable a baja temperatura, el líquido
fase lo supera en estabilidad para temperaturas más altas. Esto
se ve más claramente en el conjunto, donde el potencial químico
se reportan diferencias, tomando el líquido μ como referencia. Los
temperatura de fusión para P* = 0,05, que es
línea tinuosa cruza cero, se estima que es T ∗ 0,0073.
FIG. 4: Modelo GCN con L/D = 3, resultados de potencial químico
para P ∗ = 0,12 La misma notación que en la Fig. 3, con excepción de la
ausencia de datos para BCC001(3), que no se calcularon.
A pesar de esto, un vistazo a los resultados en Figs. 2 y 3 nos dan
la confianza de que el potencial químico de BCC001(3) será
más cercana a la de BCC110(3) que la de P* = 0,05.
FIG. 5: Modelo GCN con L/D = 3, resultados de potencial químico
para P ∗ = 0,20. La misma notación que en Figs. 3 y 4.
FIG. 6: Modelo GCN con L/D = 3, funciones de distribución de
BCC111(3) para P* = 0,05. Izquierda: T* = 0,002. Derecha: T* =
0,003. La fuerza del orden cristalino a lo largo de, medida
por la amplitud de las oscilaciones de g, se reduce con el aumento
temperatura, hasta que el trastorno completo se deja por encima de T ∗ 0,005
(ver siguiente Fig. 7). Considerando que la cristalinidad interior
el plano x-y persiste mucho más allá de T* = 0,005 (el
modulación de g permanece sólido-como más allá de esta temperatura
y hasta el derretimiento), concluimos que se encuentra el sistema GCN
en una fase columnar de 0,005 < T < Tm.
FIG. 7: Modelo GCN con L/D = 3, funciones de distribución
de BCC111(3) para P* = 0,05. Izquierda: T* = 0,004. Derecha:
T ∗ = 0,005.
FIG. 8: Modelo GCN con L/D = 3, orden smectic parame-
ter de BCC111(3) para P* = 0,05. El comportamiento de
reproduce fielmente lo que se ve para gÃ3r(z) (cf. Higos. 6 y 7):
El desinflado del máximo más alto
la temperatura sigue muy de cerca la amortiguación térmica de gá(z) os-
Cilaciones.
FIG. 9: Modelo GCN con L/D = 3, algunas instantáneas de la
configuración de partículas tomada a baja temperatura (T ∗ = 0,002,
BCC111(3) fase sólida) y a temperatura intermedia
(T ∗ = 0,006, fase columnar). La presión reducida es
P* = 0,05 en ambos casos. Arriba: vista lateral, es decir, proyección
de coordenadas de partículas en el plano x-z. Abajo: vista superior,
Es decir, proyección de coordenadas de partículas en el plano x-y. Por
la claridad, a pesar de que su interacción mutua es
ticles se dan bordes elipsoidales agudos, correspondientes a
un eje corto unitario (D) y un eje largo de L = 3D. Mientras que el
orden cristalino a lo largo de z se pierde ya en T ∗ = 0.005 (por lo tanto,
está allí en el panel superior izquierdo mientras que está ausente en la parte superior-
panel derecho), el orden triangular dentro del plano x-y es principal-
se mantiene hasta la temperatura de fusión (aquí, Tm 0,0073).
FIG. 10: Modelo GCN con L/D = 3, bosquejo de la fase
diagrama en el plano T-P. Los puntos completos marcan la ubicación
de la transición de fusión como se extrae de nuestra energía libre
cálculos. Los símbolos abiertos se refieren en su lugar a la transición
los umbrales establecidos por una inspección visual de los perfiles DF.
Aunque las últimas estimaciones de los puntos de fusión son más fáciles de
El estudio de la libre energía era esencial para
identificar la estructura sólida correcta del modelo GCN en no
presión muy baja. Para ayudar al ojo, fase tentativa limitada...
aries son dibujados como continuos (es decir, de primer orden) y despedazados
(casi de segundo orden) líneas a través de los puntos de transición. In
la región de baja presión, el límite sólido es altamente hi-
Potética ya que no tenemos datos allí.
| Estudiamos un modelo simple de un cristal líquido nemático hecho de paralelo
partículas elipsoidales que interactúan a través de una ley gaussiana repulsiva. Después
identificación de las fases sólidas pertinentes del sistema a través de un
examen de la temperatura cero de hasta once estructuras de cristal candidatas, nosotros
determinar la temperatura de fusión para varios valores de presión, también con el
ayuda de cálculos exactos de energía libre. Entre las características prominentes de este
el modelo son la fusión reentrada impulsada por la presión y la estabilización de un columnar
fase para temperaturas intermedias.
| Introducción, una de las principales
la comodidad de las simulaciones líquido-cristal es la correcta
identificación de la(s) fase(s) sólida(s) del sistema, ya que
una plétora de tales fases son concebibles y hay
no hay criterio infalible para elegir aquellos que son realmente
pertinente para el modelo específico objeto de investigación. Los
la importancia real de una fase de cristal dada sólo puede ser
juzgado a posteriori, después de demostrar su estabilidad mecánica
a largo plazo y, en última instancia, sobre la base de
el cálculo de su energía libre Gibbs, pero nada puede
Sin embargo, asegúrese de que no se salteó ninguna fase importante.
Además de estas vagas indicaciones, adoptamos un enfoque más estridente.
prueba gent con el fin de seleccionar las fases para las que vale la pena
la realización del cálculo de los costes numéricos de la
energía libre. Con referencia específica al modelo (2.2),
Hicimos un estudio completo de T = 0 de la po-
tential μ en función de la presión para muchos estirados
fases cúbicas y hexagonales, de tal forma que
mejorar los estados de tierra estables y dejar fuera de más
considerar todos los sólidos con un μ muy grande a cero tem-
Peratura. De hecho, es poco probable que tales fases puedan
desempeñar un papel para la termodinámica a temperatura no cero-
Atures.
Para el potencial de interacción que describe el GCN
modelo, suponemos que todas sus fases cristalinas estables
se buscarán entre las estructuras obtenidas de
las celosías cúbicas y hexagonales comunes por el traje-
capaz de estirar a lo largo de un eje de cristal de alta simetría, con
relaciones de estiramiento óptimas α que probablemente están cerca de
L/D. Toma, por ejemplo. el caso de BCC. Podemos estirarnos.
a lo largo de [001], [110], o [111], definiendo así
BCC001(α), BCC110(α) y BCC111(α)
número entre paréntesis es la relación de estiramiento; para in-
posición, BCC001(2) es un cristal BCC cuya célula unitaria tiene
se expandió por un factor de 2 a lo largo de ). Lo mismo puede
se hará con las estructuras simple-cúbica (SC) y FCC.
Además, consideramos que el envase hexágono cerrado (HCP) y
retículas simples-hexagonales (SH) que se estiran a lo largo
[111], de esta manera llegando a un total de once potencialmente
fases cristalinas relevantes.
MÉTODO
Para los valores fijos de T y P, el más estable de varios
fases termodinámicas es la que tiene el producto químico más bajo
potencial μ (energía libre de Gibbs por partícula). En T =
0, sólo las fases de cristal están involucradas en esta competencia
y, una vez que se haya elaborado una lista de las fases pertinentes,
la búsqueda de la óptima en una P dada se convierte en un
ejercicio computacional simple. Una propiedad exacta de la
Modelo Gaussian-core (que es el L/D = 1 límite de la
GCN) es que, al aumentar la presión, el BCC
cristal toma el control del cristal de FCC en P * • PD 3 / •
0,055 [3]. Por lo tanto, en el modelo GCN con L/D > 1 a
el papel principal se espera naturalmente para el FCC estirado
y cristales BCC.
Para una estructura de cristal asignada, calculamos la T =
0 potencial químico μ(P) del modelo GCN para un determinado
presión P mediante el ajuste de la relación de estiramiento α(P) y la
densidad (P ) hasta que se encuentre el mínimo de (U+PV )/N.
Una vez conocido el perfil de μ en función de P para cada
estructura, es sencillo dibujar la fase T = 0
diagrama para el L/D dado.
El comportamiento termodinámico conocido a cero tempera-
El marco general para la continuación de la cooperación entre la Unión Europea y los países de Europa central y oriental es el marco general de la cooperación entre la Unión Europea y los países de Europa central y oriental.
estudio lacional a temperaturas no cero. De hecho, es seguro
para decir que los mismos cristales que son estables en T = 0
también dar la estructura subyacente de celosía para el estable
fases sólidas en T > 0. Como veremos con más detalle en
la siguiente sección, la única complicación es la existencia
de tres estructuras degeneradas T = 0 para no demasiado pequeñas
presiones, que nos obligaron a considerar cada uno de ellos como un
fase GCN de baja temperatura potencialmente relevante.
Realizamos una simulación de Monte Carlo (MC) de la
Modelo GCN con L/D = 3 en el isotérmico-isobárico
conjunto, utilizando el algoritmo estándar de Metrópolis con
las condiciones periódicas de los límites y la imagen más cercana
la invención. Para la fase sólida, cuatro tipos diferentes de
se consideran las celosías, a saber, FCC001(3), BCC110(3),
BCC111(3) y BCC001(3) (véase la sección IV). El num-
se escogen las partículas en una dirección determinada para garantizar
una contribución insignificante a la energía de interacción
de pares de partículas separadas por la mitad de una simulación-
longitud de la caja en esa dirección. Más precisamente, nuestras muestras
consisten en 10× 20× 8 = 1600 partículas en la FCC001(3)
fase, de 8 × 24 × 6 = 1152 partículas en el líquido y en
la fase sólida BCC110(3), de 10× 12× 18 = 2160 parti-
en la fase BCC111(3), y de 12× 12× 10 = 1440
partículas en la fase BCC001(3). Teniendo en cuenta la gran
tamaño del sistema empleado, no hicimos ningún intento de extrapo-
tarde nuestros resultados de tamaño finito al infinito.
En T y P dados, el equilibrio de la muestra típicamente
tomó unos pocos miles de barridos MC, un barrido que consiste en
un intento promedio por partícula de cambiar su centro-de-
posición de masa más un intento promedio de cambiar la
volumen mediante un reescalado isotrópico de coordenadas de partículas.
El desplazamiento aleatorio máximo de una partícula y
el cambio máximo de volumen en un movimiento de prueba MC son ad-
justed una vez un barrido durante la carrera con el fin de mantener el
la relación de aceptación de los movimientos cerca del 50% y el 40%, respec-
Tily. Mientras que la configuración anterior es suficiente cuando simu-
latiendo un sistema de fluidos (nemático), que podría tener
consecuencias sobre el muestreo de un estado sólido para operar
con una forma de caja fija, ya que esto no permitiría
sistema para liberar el estrés residual. Es por eso que, después de un
primera optimización áspera con forma de caja fija, el equi-
la trayectoria MC del librio de un estado sólido se genera con una
Algoritmo de Metrópolis modificado (llamado constante-estrés)
que permite ajustar la longitud del vari-
los lados de la caja independientemente unos de otros (véase
e.g. [8]). Normalmente, sin embargo, la caja de simulación de-
Viate sólo muy poco de su forma original. Cuando el
opuesta ocurre, esto indica una inestabilidad mecánica de
el sólido a favor del fluido, por lo tanto da una pista en cuanto a
donde se encuentra el derretimiento. Observamos que simulaciones MC
con una forma de caja variable no son muy adecuados para el fluido
fase ya que en este caso un lado de la caja suele ser-
viene mucho más grande o más pequeño que los otros dos, un hecho
que prejuzga seriamente la fiabilidad de la simulación
los resultados.
Con el fin de localizar el punto de fusión de un pres-
Claro, generamos secuencias separadas de simulaciones,
a partir del sólido frío por un lado y desde el caliente
líquido en el otro lado. La última configuración producida
en una carrera dada se toma para ser la primera de la siguiente carrera en un
temperatura ligeramente diferente. La configuración de inicio
de una cadena “sólida” de carreras fue siempre un cristal perfecto con
α = 3 y una densidad igual a su valor T = 0. Por lo general,
esta serie de carreras se lleva a cabo hasta que un cambio repentino es
observado en la diferencia entre las energías/volumenes
de sólidos y fluidos, con el fin de evitar que el promedio sobre
estados termodinámicos heterogéneos. Termodinámica
promedios se calculan sobre trayectorias 104 barridos de largo.
Trayectorias mucho más largas se construyen para estimar
el potencial químico del líquido (véase más adelante).
La estimación de errores estadísticos es un problema crítico siempre que
las diferentes estructuras sólidas candidatas tan estrechamente compiten por
estabilidad termodinámica. Con este fin, dividimos el MC
trayectoria en diez bloques y estimar la longitud de la
barras de error para ser el doble de grande que la desviación estándar de
el bloque promedio. Por lo general, los errores relativos que afectan a
la energía y el volumen del fluido se encuentran
muy pequeño, unas pocas centésimas por ciento como máximo (para un
sólidos, son aún más pequeños).
Una pista más directa sobre la naturaleza de la(s) fase(s)
expresada por el sistema para temperaturas intermedias
se puede obtener de un seguimiento cuidadoso en todo el estado
espacio de un parámetro de orden “estéctico” (OP) y de dos
diferentes, transversales y longitudinales (con respecto a )
funciones de distribución (DFs). Se define el OP smectic
* (l) =............................................................................................................................................................................................................................................................
. (3.1)
Esta cantidad es capaz de notar la existencia de una capa
estructura a lo largo de en el sistema, ya sea sólido-como o smectic-
Me gusta. En particular, el ♥ en el que ♥ toma su mayor valor
da la distancia nominal max entre las capas. A
gran valor de a ♥max indica una fuerte capa a lo largo de z
con el periodo max. Con el fin de discriminar entre sólidos
y smectic (fluido) capas, podemos confiar en el en-plano
DF g(r), con r = r − (r· ), que informa sobre
¿Cuán rápida es la decadencia de la correlación espacial cristalina?
laciones en direcciones perpendiculares a. La persistencia
de orden de cristal a lo largo de se mide a través de otro DF,
g(z), que da indicaciones similares a Un líquido...
como el perfil de g junto con un pico agudo o g
ser fiel indicación de una fase sumectica. A la inversa,
un brusco pico g junto con el sin estructura
ser las impresiones de una fase columnar. Tanto g(r) como
se normalizan de tal manera que se aproximan a 1 en
grandes distancias en caso de centro de masa totalmente desordenado
distribuciones en las direcciones respectivas. Ligera desviación...
ciones de este valor asintótico pueden ocurrir como resultado
de la variación de las longitudes laterales de la caja durante una simulación
Corre. Los dos DF fueron construidos con una resolución espacial.
la contaminación de la sustancia D/20 y de la sustancia L/20, respectivamente, y
actualizado cada 10 barridos MC.
Calculamos la diferencia en el potencial químico ser-
entre dos estados de equilibrio del sistema – digamos,
1 y 2 – dentro de la misma fase (o incluso en diferentes
fases, siempre que estén separadas por un segundo orden
límite) por la integración termodinámica estándar
método adaptado al conjunto isotérmico-isobárico,
Es decir, mediante el uso combinado de las fórmulas:
μ(T, P2)− μ(T, P1) =
dP v(T, P ) (3.2)
μ(T2, P )
μ(T1, P )
u(T, P ) + Pv(T, P )
(3.3)
Para demostrar realmente útil, sin embargo, las ecuaciones anteriores re-
Para obtener una estimación independiente de μ para al menos un
en cada fase. Para el fluido, una referencia
el estado puede ser cualquier estado caracterizado por un
sity (un gas casi ideal), desde entonces el exceso químico
potencial se puede estimar con precisión a través de Widom
método de inserción de partículas [15]. El uso de esta técnica
para densidades pequeñas pero finitas evita lo que por lo demás es necesario
extrapolación de sary al límite de gas ideal como referencia
estado para la integración termodinámica.
Para calcular el exceso de energía libre Helmholtz
de un sólido, recurrimos al método propuesto por Frenkel
y Ladd [1], basado en un tipo diferente de termo-
integración biológica (véase Ref. [4] para una descripción completa de esto
método y de su aplicación en un ordenador). Nosotros
note que la simetría elipsoidal de las partículas GCN
no es una complicación en absoluto, ya que los ejes de partículas son
congelados y los únicos grados de libertad que quedan son los
centros de masa. El exceso sólido de energía libre Helmholtz es
calculado a través de una serie de simulaciones NV T, es decir,
para la densidad y temperatura fijas. En cuanto a la densidad
se refiere, su valor se elige de una manera tal que
plies con la presión de la referencia de baja temperatura
la secuencia del Tratado de no proliferación de las armas nucleares
las carreras se inician. Queremos hacer hincapié en que, gracias a la
grandes tamaños de muestra empleados, el histograma de densidad en un
El Tratado sobre la no proliferación de las armas nucleares (TNP) siempre resultó haber alcanzado su punto álgido, independientemente de que el Tratado sobre la no proliferación de las armas nucleares (TNP)
fluctuaciones de densidad muy limitadas (por lo tanto, insignificantes)
dependencia en conjunto de los promedios estadísticos).
RESULTADOS
Cálculos de temperatura cero
Para varios valores L/D en el intervalo entre 1,1
y 3, hemos calculado el potencial químico T = 0-
tial μ(P) para nuestros once estados candidatos, con
P variando de 0 a 0,20. Informamos en el cuadro 1 de la
resultados relativos a L/D = 3 para dos valores de P, 0,05
y 0,20. Un aspecto emergente de esta tabla es el exis-
de una rica degeneración que es sólo en parte el resultado de
la identidad efectiva de las estructuras cristalinas hasta un dila-
tion. Toma, por ejemplo. las cinco estructuras con el mínimo de μ
(y con la misma densidad). Mientras que la celosía BCC001
con α = 3 se obtiene de la celosía FCC001 con
α = 3/
2 = 2.12... por un simple
2 dilatación, hay
no hay homotetia que transforme BCC001(3) en BCC110(3)
o en BCC111(3) (a su vez equivalente a SC111(1.5)):
Los puntos en estas tres celosías tienen diferentes envi-
ronmentos, como se puede comprobar contando el nth-orden
vecinos por n hasta 4, sin embargo los tres estirados BCC llora-
los niveles mínimos de μ comparten el mismo U/N. También los pares
FCC110(3), FCC111(3) y SC001(3), SC110(3) consisten
de estructuras degeneradas topológicamente diferentes. Este hecho
es un fenómeno emergente cuya profunda razón permanece
no está claro para nosotros; debe tratar con la dependencia de u de
la relación r/l(l), ya que la misma simetría se mantiene con una
polinomio, en lugar de Gaussian, dependencia.
Para el caso de L/D = 3, se muestra en la Fig. 1 el over-
todos P dependencia a T = 0 del potencial químico μ
para los diversos sólidos. El sólido con el mínimo μ es
o bien del tipo FCC001 (con α = 3) o, por ejemplo, de la
tipo BCC001 (con α = 3), un hecho que es cierto, pero
con α = L/D, para todos los 1 < L/D < 3. Otros sólidos son:
definitivamente descartado, y lo mismo probablemente
T > 0. Sobre el aumento de L/D, la transición de una FCC-
tipo a una fase de tipo BCC se produce en un menor y más bajo
presión, cuyo valor reducido es ligeramente inferior a 0,02
para L/D = 3.
Simulación de Monte Carlo
Con el fin de investigar el comportamiento termodinámico de
el modelo GCN a temperaturas no cero, tenemos coche-
Se ha realizado una serie de simulaciones MC para un GCN
sistema con L/D = 3, que es el sistema con el
características más fuertes líquido-cristalinas que todavía podemos el hombre-
edad numérica.
Hemos realizado escaneos del diagrama de fase para seis
diferentes valores de presión, P* = 0,01, 0,02, 0,03, 0,05, 0,12,
y 0,20. Con toda probabilidad, FCC001(3) es el sta-
ble fase del sistema sólo en un bolsillo muy pequeño de T -P
avión cerca del origen. Sin embargo, decidimos no hacerlo.
emprender un estudio de libre energía sobre la estabilidad relativa de
FCC001(3), y fases de tipo BCC en
asegura ya que esto requeriría una precisión numérica que
está más allá de nuestras capacidades. A una primera aproximación, la
límite entre FCC001(3) y, por ejemplo, BCC111(3)
se puede suponer que funciona a presión constante. Por lo que se refiere a:
datos obtenidos a diferentes presiones, hemos realizado
dos secuencias más de MC corre a lo largo de la isotérmica
rutas para T* = 0,002 (sólidos) y T* = 0,015 (fluido).
El cálculo Frenkel-Ladd del exceso
La energía libre de Helmholtz por tipo de partícula confirma que
los sólidos BCC001(3), BCC110(3) y BCC111(3)
son casi degenerados a baja temperatura. Tomamos
T* = 0,002, P* = 0,05 como estado de referencia para la
cálculo de energías libres sólidas. Con la densidad
fijado en π = 0,08562D−3, en todos los casos correspondientes
a P* = 0,05, encontramos βfex = 144.461(2), 144.470(2),
y 144.453(3), para los tres sólidos mencionados, respectivamente,
lo que implica una débil preferencia por la fase BCC111(3).
A continuación, utilizando la integración termodinámica a lo largo de la
T ∗ = 0,002 isotermas (véase Eq. (3.2)), hemos estudiado
la estabilidad relativa de los tres sólidos como función
de presión, hasta P* = 0,20. Los resultados, representados
en Fig. 2, sugieren que BCC111(3) es la fase estable
en toda la región de baja temperatura, los otros sólidos
ser muy buenas soluciones de todos modos con casi óptimo
potenciales químicos.
A continuación, seguimos el desorden térmico de la BCC-
los sólidos de tipo para la presión fija (con tres casos consid-
ed, P* = 0,05, 0,12 y 0,20) a través de secuencias de
Ejecución isotérmica-isobárica, todas a partir de T* = 0,002,
con pasos de 0,001. Cualquier secuencia de este tipo se detiene cuando
los valores de la energía potencial y el volumen específico
se derrumbó sobre los del fluido, informando así que el
los límites finales de la estabilidad sólida se alcanzan (por lo general, un
sólido difícilmente puede ser sobrecalentado). Los umbrales de estabilidad
detectada de esta manera son bastante consistentes con la indica-
sión proveniente de los perfiles de DF que, al aumentar
La temperatura de ing, eventualmente mostrará una apariencia de líquido-como-
Ance. Integración termodinámica (véase Eq. (3.3) se utiliza
para propagar el μ calculado para T* = 0,002 a más alto
temperaturas.
En cuanto al líquido (nemático) se refiere, tenemos
primera generación de una secuencia de simulaciones del Tratado sobre la no proliferación de las armas nucleares
P* = 0,05, a partir de T* = 0,015. En esta inicial
punto, se estimó el exceso de potencial químico μex
por el método de inserción de Widom, obteniendo μex = 0,986(5).
Cabe señalar que, en un largo período de simulación de
muchos como 5×104 MC barre en equilibrio, el químico-
valor potencial relajado muy pronto, con pequeñas fluctuaciones
alrededor de la media y no se observó ninguna deriva significativa. Nuestro
El análisis de la fase de fluidos se completa con más
ulaciones a lo largo de las vías isobáricas para P * = 0,12 y
0,20, para el cual no teníamos la necesidad de calcular la
potencial químico de nuevo, ya que esto podría deducirse de
los datos de volumen a lo largo de la T* = 0,015 isoterma.
Resultados de potencial químico a lo largo de los tres isobars en
que nos centramos se reportan en Figs. 3 a 5. Como está claro,
con el aumento de la temperatura que el líquido eventualmente toma
sobre los sólidos. Entre los sólidos, la fase BCC111(3)
es el preferido para cualquier temperatura y presión, al-
aunque el potencial químico de las otras fases sólidas es
sólo un poco más grande. En el aumento de la presión, el derretimiento
la temperatura baja, como en el modelo Gaussian-core.
La necesidad de una coincidencia con la temperatura cero
punto de fusión para P = 0 implicará entonces fusión reentrant-
También en el modelo GCN. El error máximo en el
temperatura de fusión Tm, que estimamos que es alrededor de
0,003 (por lo que no es tan pequeño), depende completamente de la lim-
precisión del líquido μex, que a continuación constituye un
principal fuente de error en Tm.
La única conclusión que podemos sacar de lo anterior
estudio del potencial químico es que BCC111(3) es el más
fase sólida estable del sistema (siempre que la presión sea
no muy bajo). Sin embargo, una mirada más de cerca a los perfiles de DF
obtenido de la simulación de BCC111(3) plantea algunas
duda sobre la estabilidad absoluta de esta fase en
llamar temperaturas, cualquiera que sea la presión, llamando
para una interpretación diferente de la hasta ahora considerada
como datos BCC111(3) MC. Tomemos, por ejemplo, el caso de
P = 0,05. Al aumentar la temperatura, mientras que g mantiene
fuerte alcanzó su punto máximo hasta el derretimiento, el os de tipo sólido-
las cilaciones de gâ ° se someten a amortiguación progresiva hasta que
se lavan completamente, lo que sugiere un segundo orden
(o muy débil de primer orden a lo sumo) transformación de
BCC111(3) en una fase columnar antes de la fusión. Esto
se ilustra en las Figs. 6 y 7, donde se trazan los DFs
para una serie de temperaturas. Una indicación similar se obtiene
del comportamiento de la OP smética, véase Fig. 8, cuyo
máximo más alto eventualmente se desinfla en prácticamente el
a la misma temperatura, T * 0,005, a la que las oscilaciones
de gâ ° desaparecen. Tenga en cuenta que ninguna apariencia de un columnar
fase se observa durante la simulación de cualquiera de los dos BCC110(3)
o BCC001(3), ni en la simulación de FCC001(3) para
P * = 0,01. Una porción de la fase columnar se representa en
Fig. 9 (paneles de la derecha). En esta fase, columnas de apilados
las partículas están dispuestas lado a lado, herméticamente empaquetadas para
Gether para proyectar un sólido triangular en el plano x-y.
Las columnas vecinas no son proporcionales a cada una
otro, como lo implica una completamente sin rasgos.
La causa probable de la inestabilidad de la
El modelo GCN se basa en la ausencia de un mecanismo ad hoc.
anism para la atracción lateral entre las moléculas, que
está presente en su lugar en el modelo de Ref. [14]. Por cierto,
los elipsoides duros tampoco muestran una fase esméctica [7], en
varianza con esferocilindros duros (largos) donde la partícula
la geometría por sí sola es suficiente para estabilizar un periódico
modulación de la densidad numérica a lo largo de [10].
Dadas las pruebas convincentes de una fase columnar
En el modelo GCN, se puede preguntar ahora si el
Las conclusiones extraídas de los datos sobre el potencial químico son todas
Defectuosa. En particular, las curvas de μ que se etiquetan como
BCC111(3) in Figs. 3 a 5 no tendría sentido más allá
una determinada temperatura Tc < Tm. De hecho, no lo son, es decir,
conservan plena validez hasta el derretimiento desde el (casi)
carácter continuo de la transición de BCC111(3)
a columnar permite continuar con seguridad termo-
integración nazi a través de la frontera, con la condición
que lo que antes se trataba como el BCC111(3) chemi-
potencial cal más allá de Tc se asignará en su lugar a la
fase columnar.
A medida que aumenta la presión, la transición de BCC111(3) a
columnar tiene lugar a temperaturas más bajas y más bajas.
Con el fin de excluir que la fase columnar también, como-
sabio el fluido, mostrará el comportamiento reentrante en el bajo pres-
seguro, hemos simulado el desorden de un BCC111(3)
sólido también para P* = 0,02 y 0,03 (de hecho, no hay reentrada
se observa la fase columnar). Otros puntos sobre
la línea de fusión para P = 0,01, 0,02 y 0,03 se fija
a través del comportamiento de g en función de la temperatura.
En total, el diagrama de fase de GCN aparece como
bosquejado en la Fig. 10. Esto es similar al retrato de fase
del modelo Gaussian-core, véase Fig. 1 de Ref. [4], con
la obvia excepción de la fase columnar. Hay un
pequeña discrepancia entre los puntos de fusión tal como están situados
a través de cálculos de energía libre (puntos completos en la Fig. 10) y
los evaluados a partir de la evolución de g (puntos abiertos). In
nuestra opinión, esto se atribuiría en su mayor parte a la sta-
error tistico asociado con el μex del fluido en su
Estado de referencia. A pesar de su limitada precisión,
Sin embargo, los cálculos de energía libre son todos menos inútiles en
identificar la estructura de la fase sólida. En conclu-
sión, aunque algunos aspectos del comportamiento de equilibrio
del modelo GCN sigue siendo incierto, especialmente con
con respecto a la ubicación exacta de la transición sólida
a baja presión, estamos seguros de que las principales características
del diagrama de fase GCN se contabilizan correctamente
por Fig. 10.
Resumiendo, hay al menos dos concebibles y
caminos mutuamente excluyentes para el desorden térmico de
un sólido líquido-cristal (además de una transformación directa)
de ella en una fase nemática). Uno es a través de la forma...
de una fase smética, que eventualmente se transforma en
un líquido nemático. Una segunda posibilidad es una más gradual
liberación de orden cristalino por la apariencia de un colum-
fase nar como etapa intermedia entre el sólido y el
fase nemática. Nuestro estudio demostró que es este segundo
escenario que ocurre en el modelo GCN, sin pruebas
lo que sea de una fase smectica.
CONCLUSIONES
Hemos introducido un modelo de cristal líquido de
Elipsoids paralelos repulsivos, llamado el Gaussian-core ne-
modelo matic (GCN), con el objetivo de una caracterización completa
sión de su comportamiento de fase, incluido el sector sólido. Esto
requiere una identificación preliminar de todos los sólidos pertinentes
estructuras, que es generalmente una tarea muy difícil de ser
realizado para modelos de cristales líquidos [16]. A través de una
escrutinio cuidadoso de hasta once deformados uniaxialmente
Fases cúbicas y hexagonales, obtuvimos una de-
la inscripción del retrato de la fase de equilibrio T = 0 de la
Modelo GCN, identificando su estado de base en cualquier caso
presión. Al hacerlo, descubrimos a un rico y absolutamente
degeneración estructural inesperada, que sólo se levanta por
va a T > 0. A baja temperatura, y para no demasiado
baja presión, nuestros cálculos de energía libre indican que un
Sistema GCN con una relación de aspecto de 3 se encuentra en sólo uno
fase sólida, es decir, un sólido BCC estirado con las moléculas
orientado a lo largo de [111]. Sólo cerca de cero presión, el estable
fase se convierte en un sólido FCC estirado. Con el aumento
temperatura, el sólido tipo BCC primero sufre un débil
transición a una fase columnar, que aún conserva par-
orden cristalino tial, antes de fundir completamente en el
Líquido nemático.
Vale la pena destacar que nuestro interés en el GCN
modelo es puramente teórico, elipsoides de núcleo duro provid-
Un modelo de cristal líquido más realista desde el punto de vista físico. Uno
Incluso podría argumentar que una repulsión gaussiana es altamente irremediable.
Alistic para un cristal líquido. En sistemas atómicos reales, super-
posición de los núcleos de partículas está fuertemente obstruida, de dónde
la consideración de la re-potencia inversa dura o empinada
pulsación en los modelos más populares. Sin embargo, a menos que la
densidad del sistema es muy alta, superior a la considerada en
nuestro estudio, partículas gaussianas repulsivas serían efectivamente
ser ciego a un núcleo duro interior, que por lo tanto puede o puede
no existen, como se pone de manifiesto, por ejemplo. en las instantáneas de la Fig. 9
donde las partículas aparecen bien espaciadas.
El modelo GCN es una “deformación” de Stillinger
Gaussian-core modelo, bien conocido por exhibir un
transición de fusión reentrante. Varios casos de reen-
El comportamiento de los transexuales también se conoce por nemáticas [17] y en
una de las motivaciones originales para el presente trabajo
estaba buscando un nuevo tipo de reentrada, es decir, re-
aparición de una fase más desordenada con el aumento
presión. Con este estudio, proporcionamos otro examen...
de comportamiento reentrante en un modelo nemático: Mientras que este
no es nada más que el análogo de la reentrada fase-fluido en el
El modelo Gaussian-core, la novedad absoluta de nuestros hallazgos
se encuentra en la naturaleza de la fase intermedia, esto es
sorprendentemente columnar en una gama de presiones en lugar de
Realmente sólido.
* Dirección electrónica: Santi.Prestipino@unime.it
† Dirección electrónica: saija@me.cnr.it
[1] D. Frenkel y A. J. C. Ladd, J. Chem. Phys. 81, 3188
(1984); véase también J. M. Polson, E. Trizac, S. Pronk, y
D. Frenkel, J. Chem. Phys. 112, 5339 (2000).
[2] F. Saija y S. Prestipino, Phys. Rev. B 72, 024113
(2005).
[3] S. Prestipino, F. Saija, y P. V. Giaquinta, Phys. Rev.
E 71, 050102(R) (2005).
[4] S. Prestipino, F. Saija, y P. V. Giaquinta, J. Chem.
Phys. 123, 144110 (2005).
[5] F. H. Stillinger, J. Chem. Phys., 65, 3968 (1976).
[6] A. Lang, C. N. Likos, M. Watzlawek, y H. Löwen, J.
Phys.: Condens. Materia, 12, 5087 (2000).
[7] D. Frenkel, B. M. Mulder, y J. P. McTague, Phys. Rev.
Lett. 52, 287 (1984).
[8] A. Stroobants, H. N. W. Lekkerkerkerker, y D. Frenkel,
Phys. Rev. A 36, 2929 (1987).
[9] J. A. C. Veerman y D. Frenkel, Phys. Rev. A 41, 3237
(1990); ibídem, 43, 4334 (1991).
[10] P. Bolhuis y D. Frenkel, J. Chem. Phys. 106, 666
(1997).
[11] C. Vega, E. P. A. Paras, y P. A. Monson, J. Chem.
Phys. 96, 9060 (1992); ibídem, 97, 8543 (1992).
[12] P. Pasini y C. Zannoni eds., Avances en el ordenador
Simulación de cristales líquidos (serie OTAN-ASI, 1998).
[13] S. Singh, Phys. Rep. 324, 107 (2000).
[14] E. de Miguel y E. Martin del Rio, Phys. Rev. Lett. 95,
217802 (2005).
[15] B. Widom, J. Chem. Phys. 39, 2808 (1963).
[16] Después de completar este documento, nos dimos cuenta de
el descubrimiento, reportado en P. Pfleiderer y T. Schilling,
cond-mat/0612151, de una nueva fase cristalina estable en
Elipsoides duros de pie libre. Esto demuestra aún más
que la estructura sólida de los cristales líquidos es generalmente dif-
ficulto para anticipar, incluso cuando el sistema de modelo es el
lo más simple posible.
[17] El primer ejemplo de tal comportamiento fue descubierto por
P. E. Cladis, Phys. Rev. Lett. 35, 48 (1975); véase también
Ref. [14] y referencias en él.
mailto:Santi.Prestipino@unime.it
mailto:saija@me.cnr.it
CUADRO I: Modelo de NCG para L/D = 3: T = 0 poten-
tial μ(P) para once sólidos diferentes y dos valores de P*, 0,05
y 0,20. Nx, Ny, Nz son el número de puntos de celosía a lo largo
las tres direcciones espaciales, = NxNyNz/V es la densidad,
y α es la relación de estiramiento (para la celosía SH111, α es la
la denominada relación c/a). Nx, Ny, Nz han sido elegidos tan grandes
que el error de redondeo de la energía potencial total por
partícula, U/N, debido al tamaño de la celosía finita es insignificante. Los
la precisión numérica en el punto y α es de una unidad en el último deci-
dígito de mal. Mirando a la tabla, las estructuras más estables en
ambas presiones son cinco cristales degenerados, que en realidad pertenecen a
a tres tipos distintos que son ejemplificados por BCC001(3)
(equivalente a FCC001(2.12) hasta una dilatación), BCC110(3),
y BCC111(3) (equivalente a SC111(1.5)) – entre paréntesis
es el valor de α.
cristal Nx, Ny, Nz /23370/(0.05) α(0.05) μ(0.05) Ć(0.20) α(0.20) μ(0.20)
FCC001 10,20,10 0,086 2,12 0,855724 0,157 2,12 2,093695
BCC001 14,14,10 0,086 3,00 0,855724 0,157 3,00 2,093695
SC001 20,20,8 0,086 3,00 0,881586 0,158 3,00 2,105241
FCC110 16,12,12 0,086 3,00 0,856391 0,157 3,00 2,094368
BCC110 10,28,8 0,086 3,00 0,855724 0,157 3,00 2,093695
SC110 14,18,10 0,086 3,00 0,881586, 0,158 3,00 2,105241
FCC111 16,18,9 0,086 3,00 0,856391 0,157 3,00 2,094368
BCC111 12,12,18 0,086 3,00 0,855724 0,157 3,00 2,093695
SC111 12,12,18 0,086 1,50 0,855724 0,157 1,50 2,093695
HCP111 18,20,10 0,086 3,00 0,856429 0,157 3,02 2,094474
SH111 18,20,9 0,086 2,75 0,870014 0,158 2,69 2,099565
FIG. 1: T = 0 comportamiento de equilibrio del modelo GCN con
L/D = 3. Izquierda: T = 0 potencial químico μ(P ∗) de var-
en relación con el BCC110(3), que sirve así como
el nivel cero o de referencia. La presión reducida P* está en
crementado por pasos de 0,01. Tenga en cuenta que, para todos P, los cinco
cristales FCC001(2.12), BCC001(3), BCC110(3), BCC111(3),
y SC111(1.5) son degenerados ( = 0). Otros puntos de datos
son para FCC001 (línea continua; α = 3 para P* = 0,01, be-
α = 2,12 en caso contrario), FCC110(3) y FCC111(3) (puntos
línea), HCP111 (puntos abiertos), SH111 (cuadrados abiertos), SC001(3)
y SC110(3) (línea de sujeción). Derecha: Ecuación resultante de
estado en el rango de presión de 0 a 0,30. FCC001(3) (abierto
triángulo) es estable a muy baja presión, hasta ligeramente menos
que 0,02, mientras que FCC001(2.12), BCC001(3), etc. (puntos abiertos)
prevalecen para las presiones más altas.
FIG. 2: Modelo GCN con L/D = 3, resultados de potencial químico
para T ∗ = 0,002. En la imagen, trazamos el químico reducido
potencial de las tres estructuras degeneradas T = 0 que existen
para una presión no demasiado baja, tomando BCC111(3) como referencia. Los
última fase da el sólido más estable para cualquier P en el rango
de 0,05 a 0,20 (y, lo más probable, aún más). La μ
curvas se obtienen por integración termodinámica del volumen
Datos MC, utilizando como condiciones iniciales las especificadas por el
Cálculos de Frenkel-Ladd que se realizaron en P* = 0,05.
Aunque los valores de μ reportados para los sólidos tipo BCC son muy
cerca unos de otros y también afectados por un cierto ruido numérico,
la mayor estabilidad de BCC111(3) no puede ser verdaderamente llamada a
pregunta – un patrón regular se ve claramente detrás de cada curva.
FIG. 3: Modelo GCN con L/D = 3, potencial químico
resultados para P* = 0,05: Potencial químico del líquido
fase (línea punteada) en comparación con las de la
fases sólidas para esa presión (BCC001(3), línea de larga caída;
BCC110(3), línea discontinua; BCC111(3), línea continua). Mientras
el sólido BCC111(3) es estable a baja temperatura, el líquido
fase lo supera en estabilidad para temperaturas más altas. Esto
se ve más claramente en el conjunto, donde el potencial químico
se reportan diferencias, tomando el líquido μ como referencia. Los
temperatura de fusión para P* = 0,05, que es
línea tinuosa cruza cero, se estima que es T ∗ 0,0073.
FIG. 4: Modelo GCN con L/D = 3, resultados de potencial químico
para P ∗ = 0,12 La misma notación que en la Fig. 3, con excepción de la
ausencia de datos para BCC001(3), que no se calcularon.
A pesar de esto, un vistazo a los resultados en Figs. 2 y 3 nos dan
la confianza de que el potencial químico de BCC001(3) será
más cercana a la de BCC110(3) que la de P* = 0,05.
FIG. 5: Modelo GCN con L/D = 3, resultados de potencial químico
para P ∗ = 0,20. La misma notación que en Figs. 3 y 4.
FIG. 6: Modelo GCN con L/D = 3, funciones de distribución de
BCC111(3) para P* = 0,05. Izquierda: T* = 0,002. Derecha: T* =
0,003. La fuerza del orden cristalino a lo largo de, medida
por la amplitud de las oscilaciones de g, se reduce con el aumento
temperatura, hasta que el trastorno completo se deja por encima de T ∗ 0,005
(ver siguiente Fig. 7). Considerando que la cristalinidad interior
el plano x-y persiste mucho más allá de T* = 0,005 (el
modulación de g permanece sólido-como más allá de esta temperatura
y hasta el derretimiento), concluimos que se encuentra el sistema GCN
en una fase columnar de 0,005 < T < Tm.
FIG. 7: Modelo GCN con L/D = 3, funciones de distribución
de BCC111(3) para P* = 0,05. Izquierda: T* = 0,004. Derecha:
T ∗ = 0,005.
FIG. 8: Modelo GCN con L/D = 3, orden smectic parame-
ter de BCC111(3) para P* = 0,05. El comportamiento de
reproduce fielmente lo que se ve para gÃ3r(z) (cf. Higos. 6 y 7):
El desinflado del máximo más alto
la temperatura sigue muy de cerca la amortiguación térmica de gá(z) os-
Cilaciones.
FIG. 9: Modelo GCN con L/D = 3, algunas instantáneas de la
configuración de partículas tomada a baja temperatura (T ∗ = 0,002,
BCC111(3) fase sólida) y a temperatura intermedia
(T ∗ = 0,006, fase columnar). La presión reducida es
P* = 0,05 en ambos casos. Arriba: vista lateral, es decir, proyección
de coordenadas de partículas en el plano x-z. Abajo: vista superior,
Es decir, proyección de coordenadas de partículas en el plano x-y. Por
la claridad, a pesar de que su interacción mutua es
ticles se dan bordes elipsoidales agudos, correspondientes a
un eje corto unitario (D) y un eje largo de L = 3D. Mientras que el
orden cristalino a lo largo de z se pierde ya en T ∗ = 0.005 (por lo tanto,
está allí en el panel superior izquierdo mientras que está ausente en la parte superior-
panel derecho), el orden triangular dentro del plano x-y es principal-
se mantiene hasta la temperatura de fusión (aquí, Tm 0,0073).
FIG. 10: Modelo GCN con L/D = 3, bosquejo de la fase
diagrama en el plano T-P. Los puntos completos marcan la ubicación
de la transición de fusión como se extrae de nuestra energía libre
cálculos. Los símbolos abiertos se refieren en su lugar a la transición
los umbrales establecidos por una inspección visual de los perfiles DF.
Aunque las últimas estimaciones de los puntos de fusión son más fáciles de
El estudio de la libre energía era esencial para
identificar la estructura sólida correcta del modelo GCN en no
presión muy baja. Para ayudar al ojo, fase tentativa limitada...
aries son dibujados como continuos (es decir, de primer orden) y despedazados
(casi de segundo orden) líneas a través de los puntos de transición. In
la región de baja presión, el límite sólido es altamente hi-
Potética ya que no tenemos datos allí.
|
704.0057 | High-spin to low-spin and orbital polarization transitions in
multiorbital Mott systems | Transiciones de alta velocidad a baja velocidad y polarización orbital en sistemas multiorbitales de Mott
Philipp Werner y Andrew J. Millis
Universidad de Columbia, 538 West, 120th Street, Nueva York, NY 10027, EE.UU.
(Fecha: 30 de junio de 2007)
Estudiamos la interacción de la división de campo de cristal y acoplamiento Hund en un modelo de dos órbitas que
captura la física esencial de los sistemas con dos electrones o agujeros en la capa, por ejemplo. Utilizamos un solo sitio
teoría de campo media dinámica con un solucionador de impurezas recientemente desarrollado que es capaz de acceder fuerte
acoplamientos y bajas temperaturas. Los rellenos de los orbitales y la ubicación de los límites de fase
se calculan en función de la repulsión de Coulomb, el acoplamiento de intercambio y la división del campo de cristal. Nosotros
encontrar que el acoplamiento Hund puede conducir el sistema en una nueva fase aislante Mott con desaparición
susceptibilidad orbital. Lejos de la semi-llenación, la división del campo de cristal puede inducir un orbital selectivo
Estado de Mott.
Números PACS: 71.10.Fd, 71.10.Fd, 71.28.+d, 71.30.+h
La transición Mott metal-isulador juega un fundamen-
papel en la física electrónica de la materia condensada [1]. Mucho
la atención se ha centrado en el caso de una órbita, en parte
causa de su presunta relevancia para la alta temperatura su-
perconductividad [2] y, en parte, porque
herramientas oréticas para el caso multiorbital han hasta hace poco
no ha estado disponible. En la mayoría de los sistemas Mott, sin embargo, más
que un orbital sea pertinente [3] y la redistribución de
electrones entre diferentes orbitales conduce a un nuevo fenoma-
ena tal como orden orbital o “orbital selectivo” Mott
transiciones. Estudios recientes de niquelados [4], titanos [5],
cobalto [6], manganatos [7], vanadatos [8, 9, 10] y
los rutenatos [3, 11, 12, 13] han centrado su interés en
terplay entre la transición de Mott metal-isulador y
Degeneración orbital. Una cuestión fundamental en este campo,
pertinente, en particular, a la cuestión de las distorsiones de las celosías
en materiales fuertemente correlacionados, es la respuesta de multi-
sistemas orbitales a una perturbación que rompe el orbital
Degeneración. En este artículo, mostramos que dos orbitales
modelo con acoplamiento de hund y división de campo de cristal ex-
se opone a dos fases mott fundamentalmente diferentes, un char-
acterizada por una susceptibilidad orbital que desaparece, y una
adiabaticamente conectado al estado aislante de la banda. Nosotros
caracterizar estas fases en términos del suelo atómico
estados.
Los modelos multiorbitales son más difíciles de estudiar
debido al mayor número de grados de libertad,
y porque el intercambio físicamente importante y
términos de salto de parejas no son fáciles de tratar por estándar
Métodos Hubbard-Stratonovich [14]. Acoplamiento débil ap-
se han utilizado los proaches [12] para demostrar que el intercambio y
par de saltos de acción interacciones para suprimir la respuesta a
una división de campo de cristal, y algunos autores han estudiado
el modelo sin términos de cambio y de salto de pares [9],
pero una extensión fiable de estos resultados a
evant Slater-Kanamori interacciones y el fuerte cou-
ha faltado un régimen de plántulas.
La teoría de campo media dinámica (DMFT) proporciona un no-
marco perturbativo y computacionalmente manejable para
estudiar los efectos de correlación y ha permitido
la transición del aislador de metales Mott [15]. En su pecado...
gle site version, DMFT ignora el momentum depen-
dence de la auto-energía y reduce el lat- original
problema a la solución auto-consistente de un quan-
Modelo de impureza de tum dado por el HQI Hamiltoniano =
Hloc + Hhyb + Hbath. Para modelos multiorbitales Hloc =
m.m.c.c.
j,k,l,m U
jklmc
l cm, donde m = (i,
denota índices orbitales y de giro, y U jklm algunos
interacción general de cuatro fermiones. Hhyb y Hbath son
el baño de impurezas mezclando y bañando a los Hamiltonianos, respec-
Tily. Mientras que la aproximación DMFT simplifica la
problema enormemente (sustitución de un campo 3 + 1 dimensional
teoría por un modelo de impureza cuántica más una autoconsis-
enfermedad de tency), las complicaciones adicionales asociadas con
los acoplamientos de intercambio en sistemas multiorbitales tienen hasta re-
Prohibido el trabajo numérico extenso. Interesante
progreso se ha hecho utilizando una temperatura finita exacta
técnica de diagonalización [6, 13], pero este enfoque re-
requiere una truncación de Hbath a un pequeño número de niveles.
En Refs. [16, 17] hemos introducido un tiempo continuo
solucionador de impurezas que puede manejar las interacciones generales
en Hloc. El método, que está libre de sistemáticamente er-
rors, se basa en una expansión diagnóstica de los parti-
función de la impureza-baño hibridación Hhyb.
Aquí, empleamos a este solucionador para estudiar el
caso relevante en el que el número de electrones coincide
el número de orbitales. El local hamiltoniano es
Hloc = −
α=1,2
μnα, +
(n1,e − n2,e)
α=1,2
Unα,↑nα,↓ +
U ′n1,Ôn2,
(U ′ − J)n1,
− J(
2, 2, 1, ↑ +
2, 1, 1, ↓ + h.c.), (1)
con μ el potencial químico, el campo de cristal dividido-
U el intraorbital y U ′ el Coulomb interorbital
interacción, y J el coeficiente del acoplamiento Hund.
Adoptamos la elección convencional de parámetros, U ′ =
http://arxiv.org/abs/0704.0057v2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
•/t=0,2
•/t=0,6
•/t=1
FIG. 1: Relleno de orbital 1 en función de U para •/t =
0,2, 0,6, 1 y varios valores de J/U. Las diferentes curvas
en el caso de un determinado número de cifras correspondientes (de abajo hacia arriba) a J/U = 0,
(0,01), (0,02), 0,05, 0,1, 0,15, 0,25, respectivamente. Abierto (completo)
los símbolos corresponden a soluciones metálicas (aislantes). Los
transición metal-isulador se caracteriza por un salto en el relleno
y una región de convivencia donde tanto aislante como metálico
existen soluciones. Nuestros datos muestran la región de estabilidad de la
fase metálica.
U − 2J, que se deriva de consideraciones de simetría para
d-orbitales en el espacio libre y también se supone que
sólidos. Con esta opción el Hamiltoniano (1) es la rotación-
alia invariante en el espacio orbital y la condición para la mitad-
el llenado se convierte en μ = μ1/2 • 32U −
J. En el DMFT auto-
Lazo de consistencia utilizamos una densidad semicircular de estados
de bandwith 4t (Bethe celosía). La temperatura, a menos que
de otra manera, es T/t = 0,02 y suprimimos magnético
orden mediante un promedio de vuelta hacia arriba y hacia abajo en cada orbital.
En las simulaciones no se encuentra ningún problema de signos.
El resultado principal se muestra en la Fig. 1, que para varios
los valores de los gráficos J/U y J/U, el relleno por vuelta, n1, de o-
bital 1 en función de la fuerza de interacción. La mitad
llenado, condición no magnética implica n2 = 1 − n1. In
el límite T → 0, se encuentran tres fases: una fase metálica
(que puede tener un valor de n1 entre 0 y 0,5), una
Aislador polarizado orbitalmente favorecido por grandes y pequeños
J, y un aislador de Mott (con n1 = 0,5 = n2) favorecido
por gran U, pequeño y grande J. Si se aumenta la dosis de U a partir de
cero a un pequeño valor, la división orbital o aumenta
(pequeñas J/U) o disminuciones (grandes J/U),
resultados de Ref. [12]. A medida que la fuerza de interacción está aún más en
arrugado, una de varias cosas puede suceder: a muy pequeño
J/U, n1 continúa disminuyendo, y el sistema eventualmente
sufre una transición a un aislante polarizado orbitalmente
(para grandes • esencialmente un aislador de banda). Por un poco
mayor J/U, la ocupación n1, después de una disminución inicial,
pasa por un mínimo y comienza a aumentar. A la par
las interacciones más fuertes, se observa entonces una transición ei-
a un aislante polarizado orbitalmente (donde n1 puede
tomar un rango de valores) o en un tipo especial de aislante
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
J/U=0
0,05 0,1
metal
Aislador
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
J/U=0 J/U=0,25
Aislador de mott
(Triplicado de giro para J/U=0,25)
metal
polarizado orbitalmente
Aislador
FIG. 2: Diagrama de fase en el plano de la división del campo de cristal
e intraorbital Coulomb repulsión U para los valores indicados de
J/U. Para J = 0 el límite de fase es una función monotónica
de 0, mientras que en el caso de J/U > 0 alcanza sus picos cerca de • =
2J (indicado
por las líneas punteadas). El estado aislante de la región.
2J se caracteriza por una susceptibilidad orbital que desaparece.
con n1 = 0,5.
La figura 2 muestra el diagrama de fase del aislante metálico en
el espacio de división de campo de cristal y Coulomb repul-
sión para varios valores de J/U. En ausencia de un cristal
desdoblamiento del campo ( = 0), observamos una trans-
posición en una U crítica fuertemente dependiente de J. Este hallazgo
es coherente con los datos presentados en Ref. [18]. Como lo está.
aumentada, la U crítica cambia. Para J = 0 y fijo
U, n1 disminuye hasta que la banda se vacía y un metal-
se produce una transición aislante. La disminución monotónica de
la U crítica con • en J = 0 es un caso especial. Por
J > 0, el primer efecto de un pequeño
fase metálica. Entonces, a más grande, un reentrante aislante
se produce la fase. Demostraremos a continuación que este comportamiento
surge de la naturaleza inusual del estado aislante en
J > 0 y pequeñas, que se caracteriza en T = 0 por a
Susceptibilidad orbital que desaparece estrictamente. En caso de aumento de la dosis
en U grande, este estado hace una transición a una órbita
Aislador polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado
2J. Por lo tanto, conspiramos en
Fig. 2 las curvas • =
2J como líneas punteadas, y sug-
gesta que corresponden al límite de fase T = 0
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
J/U=0,1
0 0,05 0,15 0,15 0,2
J/U=0
J/U=0,002
J/U=0,005
J/U=0,010
J/U=0,020
FIG. 3: Relleno de orbital 1 en función de la U fija
y valores indicados de J/U. Panel superior: U/t = 6. Abrir
(completo) los símbolos corresponden a soluciones metálicas (aislantes).
Panel inferior: U/t = 9. Aquí, todas las soluciones son aislantes.
En el caso de las divisiones de campo de cristal de menor tamaño que c =
2J (indicado
por una línea vertical) la susceptibilidad orbital en el límite T → 0
está completamente suprimido. Líneas sólidas son para βt = 50, punteadas
líneas muestran resultados para βt = 12.5, 25 y 100, respectivamente.
entre dos estados aislantes distintos.
En la figura 3 se traza el relleno de orbital 1 en función de:
división de campo de cristal para U/t fijo y varios valores de
J/U. La curva más a la izquierda en el panel superior muestra la
variación de densidad para J/U = 0.02. El modelo se encuentra en el punto 0 de la letra a) del punto 3 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1305/2013.
es metálico. La rápida variación de n1 con • refleja la
la susceptibilidad orbital grande, pero finita del metal, que
para este pequeño valor de J es fuertemente mejorado por U. En
*/t * 0.325 >
2J, una transición aparentemente de primer orden
ocurre al estado aislante polarizado orbitalmente, que
luego evoluciona suavemente (a medida que se aumenta) a la banda
Aislador (n1 → 0). Los dos valores J más grandes revelan un
comportamiento diferente. En el caso de las categorías siguientes: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2J el aislante
estado se caracteriza por una ocupación orbital que es
independiente de la división del campo de cristal. Entonces, un aparato...
transición ently discontinua ocurre a un estado metálico
con una gran susceptibilidad orbital, que a mayor
muestra una transición de primer orden a la polarización orbital
Estado aislante. El panel inferior de la Fig. 3 muestra el ser-
2 4 6 8 10 12 14 16
estado de base
•/t=0,3
•/t=0,5
•/t=0,7
FIG. 4: Peso de los diferentes estados autóctonos de Hloc para U/t =
6, J/U = 0,05 y •/t = 0,3, 0,5 y 0,7. El más pequeño
división de campo de cristal corresponde a un estado aislante con
susceptibilidad orbital suprimida, el valor intermedio a una
estado metálico y la mayor división en un “aislador de banda”
(véase la Fig. 3).
havior para U más grande, donde el modelo está siempre aislante.
Nuestros datos para J = 0 muestran una rápida variación de n1 con
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La pendiente está fijada por la inversa del Kugel-Khomskii
superexchange t2/U; los efectos térmicos no son importantes
a βt = 50. En el caso de J > 0 y de los pequeños, el modelo es insu-
lating, con una susceptibilidad orbital que desaparece, entonces (cerca de
2J) hace una transición a la polarización orbital
Fase aislante con una susceptibilidad diferencial
determinado por la física Kugel-Khomskii. Tenga en cuenta que la
transición entre los dos aisladores es afilada sólo en
T = 0; para T > 0 se produce un crossover rápido (pero suave).
Para obtener una visión de estos fenómenos, nos fijamos en el
contribución a la función de partición de la different-
ent eigenstates del local Hamiltonian. Hloc tiene 16
eigenstatos, que numeramos esencialmente como en la Tabla II
de Ref. [17]. Para el siguiente debate es importante:
nota que 6â, 7â, y 8â, son los tres estados de trillizos de rotación
(con energía U − 3J − 2μ), mientras que 10° y 11° son lin-
combinaciones de oídos de los estados, 0 y 0, con dos
electrones en un orbital y ninguno en el otro. Esta última
dos estados son acoplados por el par saltando y afectados
por la división del campo de cristal. Aquí, los elegimos para
ser eigenstatos de Hloc correspondientes a las eigenenergias
J2 + 4°2 − 2μ: (1 + α2±)−1/2(, 0 0,),
= ±(
J2 + 4°2 2°)/J. En particular, elegimos
10 ser el autoestado con menor energía.
La Figura 4 muestra los pesos de estos estados para los tres
fases encontradas en U/t = 6, J/U = 0,05 (véase Fig. 3).
En la fase pequeña, los estados de los trillizos están ocupados,
con pequeñas excursiones a estados con ocupación 1 o
3. Por lo tanto, llamamos a esta fase el trillizo Mott insu-
Lator. Los estados de trillizos, por supuesto, tienen un electrón en
cada orbital y no obtienen energía de la polarización orbital
(el hecho notable es que esta característica se conserva af-
0,55
0,65
0,75
3,5 4 4,5 5 5,5 6
orbital 1
orbital 2
FIG. 5: Relleno n1(μ), n2(μ) para U/t = 4, J/U = 0,25 y
•/t = 0,4. Los símbolos completos (abiertos) corresponden al aislamiento
Soluciones (metálicas). A la mitad del llenado (μ/t = 3,5), el sistema
está en un estado aislante de Mott trillizo, para 3,9. μ/t. 4.6 in
un estado de Mott orbital selectivo, y para μ/t y 4,6 metálicos en
Las dos bandas.
acople superior a la celosía). En la fase metálica, un
El número de estados es visitado, mientras que en la órbita polar-
Aislador, el Estado local dominante (cuyo peso
es un singlet (10). Los
los estados de trillizos están casi completamente suprimidos en el o-
Fase de polarización bituminosa. El aislante-aislador grande-U
transición presenta las mismas características, pero sin la
fase metálica intermedia y, por lo tanto, es también un
Situación entre estados de giro alto y bajo. Comparación de
las eigenenergias de los estados de trillizos de giro y 10 muestran
que estos niveles se cruzan en • =
2J. Por lo tanto, la transición
de triplete aislador de Mott a ínsula polarizada orbitalmente
tor se produce a la altura de c =
2J, consistente con nuestro número
datos. También notamos que la función de onda del estado 10
depende de la relación J/, liderando en el límite grande-
a n1() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()))) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( En la fase de giro bajo, el o-
Por lo tanto, la susceptibilidad bital tiene dos contribuciones: una
originarias de la física de Kugel-Khomskii y una de o-
der J2/3 de Hloc. Este último explica los redondeos
visto en la curva más a la derecha de la Fig. 3.
Abordamos brevemente la cuestión de la selectividad orbital
Transición de Mott, que proporciona un mecanismo para
momento de formación en materiales correlacionados, y ha sido
el tema de un debate muy reciente [11]. Estudios anteriores
centrado en modelos de dos órbitas con diferentes anchos de banda
y número entero de electrones. Nos encontramos con que en el
presencia de un campo de cristal que se divide, cambiando el producto químico
potencial puede conducir el sistema en un orbital selectivo
Estado de Mott, incluso si los anchos de banda son iguales. Gráfico 5
muestra el relleno por vuelta en ambos orbitales como una función
de μ, para U/t = 4, J/U = 0,25 y •/t = 0,4. Dopaje
se produce primero en una de las bandas, dejando la otra en una
Estado de Mott con un momento magnético. Cambio adicional de
el potencial químico impulsa la segunda banda metálica.
En conclusión, hemos demostrado que la impulsión multiorbital
Los modelos de calidad con acoplamientos realistas pueden ser eficientemente sim-
ululado con el método de Ref. [17]. Hemos presentado
pruebas numéricas, basadas en un solo sitio DMFT calcula-
ciones, para la existencia de dos diferentes aislamientos Mott
en un modelo semi-llenado de dos orbitales con Hund cou-
plomería y división de campos de cristal. En interacciones fuertes
y J <
2o, el sistema, en el límite T → 0, está en
una fase caracterizada por la desaparición de un susceptibil orbital
ity, y un giro 1 momento en cada sitio. Para J >
Se encuentra un aislante polarizado orbitalmente. El intercambio
términos promover el comportamiento aislante en = 0, pero puede
Estabilizar una fase metálica a valores de..........................................................................................................................................................................................................................................................
El modelo no interactuante es un insulador de bandas.
Es interesante comparar nuestros resultados con el trabajo reciente
en el modelo Hubbard bicapa [19, 20]. El modelo
que estos autores estudian es equivalente a nuestro modelo con
U = U ′ = J, remplazado por el salto de intercapa.
En el sector de la baja energía de este modelo, sólo cuatro Estados
(esencialmente nuestros tres trillizos y el estado de salto de pareja
10) son relevantes, y lo que estos autores describen como la
Aislador de mott a crossover aislante de banda corresponde
a nuestra transición (aparentemente aguda en T = 0) entre
triplet Aislador de Mott y aislante polarizado orbitalmente.
La existencia de dos fases aislantes distintas plantea
muchas preguntas interesantes incluyendo la teoría de un
Aislador con susceptibilidad orbital que desaparece estrictamente
(que debe exhibir una simetría del indicador orbital) y
la naturaleza y las propiedades de los diferentes aislantes metálicos
transiciones. La física cerca del “punto triple” permanece
a estudiar. Nuestros resultados lejos de la semi-llenado sugieren
que La2NiO4 ligeramente dopada está en una órbita selectiva
Fase Mott.
Los cálculos se han realizado en el Hreidar
clúster de beowulf en ETH Zürich, utilizando la biblioteca ALPS
[21]. Damos las gracias al Sr. Troyer por la generosa asignación de
tiempo de la computadora, A. Georges y A. Poteryaev para stimu-
y NSF-DMR-040135 para apoyo.
[1] M. Imada, A. Fujimori e Y. Tokura, Rev. Mod. Phys.
70, 1039 (1998).
[2] P. W. Anderson, Science 235, 1196 (1987).
[3] Y. Tokura y N. Nagaosa, Science 288, 462 (2000).
[4] J. Kunes et al., Phys. Rev. B 75, 165115 (2007)
[5] C. Ulrich et al., Phys. Rev. Lett. 97, 157401 (2006).
[6] H. Ishida, M. D. Johannes, y A. Liebsch, Phys. Rev.
Lett. 94, 196401 (2005); A. Liebsch y H. Ishida,
arXiv:0705.3627.
[7] A. Yamasaki et al., Phys. Rev. Lett. 96, 166401 (2006).
[8] S. Biermann et al., Phys. Rev. Lett. 94, 026404 (2005).
[9] F. Lechermann, S. Biermann y A. Georges, Phys. Rev.
Lett. 94, 166402 (2005).
[10] T. Yoshida et al., Phys. Rev. Lett. 95, 146404 (2005).
[11] A. Liebsch, Phys. Rev. Lett. 91, 226401 (2003); A. Koga
et al., Phys. Rev. Lett. 92, 216402 (2004).
http://arxiv.org/abs/0705.3627
[12] S. Okamoto y A. J. Millis, Phys. Rev. B 70, 195120
(2004).
[13] A. Liebsch y H. Ishida, Phys. Rev. Lett. 98, 216403
(2007).
[14] S. Sakai, R. Arita, K. Held, y H. Aoki, Phys. Rev. B
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[15] A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth y M. J. Rozenberg,
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[16] P. Werner et al., Phys. Rev. Lett. 97, 076405 (2006).
[17] P. Werner y A. J. Millis, Phys. Rev. B 74, 155107
(2006).
[18] A. Koga, Y. Imai y N. Kawakami, Phys. Rev. B 66,
165107 (2002).
[19] A. Fuhrmann, D. Heilmann y H. Monien, Phys. Rev.
B 73 245118 (2006).
[20] S. S. Kancharla y S. Okamoto, cond-mat/0703728.
[21] M. Troyer et al., Lecture Notes in Computer Science
1505, 191 (1998); F. Alet et al., J. Phys. Soc. Jpn. Suppl.
74, 30 (2005); http://alps.comp-phys.org/.
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0703728
http://alps.comp-phys.org/
| Estudiamos la interacción de la división de campo de cristal y acoplamiento de hund en un
modelo de dos órbitas que captura la física esencial de los sistemas con dos
electrones u agujeros en la cáscara e_g. Utilizamos el campo medio dinámico de un solo sitio
teoría con un recientemente desarrollado solucionador de impurezas que es capaz de acceder fuerte
acoplamientos y bajas temperaturas. Los rellenos de los orbitales y la ubicación
de los límites de fase se calculan en función de la repulsión de Coulomb, intercambio
acoplamiento y división de campo de cristal. Encontramos que el acoplamiento Hund puede conducir
el sistema en una nueva fase aislante Mott con la desaparición orbital
Susceptibilidad. Lejos de la mitad del relleno, la división del campo de cristal puede inducir
un estado de Mott orbital selectivo.
| Transiciones de alta velocidad a baja velocidad y polarización orbital en sistemas multiorbitales de Mott
Philipp Werner y Andrew J. Millis
Universidad de Columbia, 538 West, 120th Street, Nueva York, NY 10027, EE.UU.
(Fecha: 30 de junio de 2007)
Estudiamos la interacción de la división de campo de cristal y acoplamiento Hund en un modelo de dos órbitas que
captura la física esencial de los sistemas con dos electrones o agujeros en la capa, por ejemplo. Utilizamos un solo sitio
teoría de campo media dinámica con un solucionador de impurezas recientemente desarrollado que es capaz de acceder fuerte
acoplamientos y bajas temperaturas. Los rellenos de los orbitales y la ubicación de los límites de fase
se calculan en función de la repulsión de Coulomb, el acoplamiento de intercambio y la división del campo de cristal. Nosotros
encontrar que el acoplamiento Hund puede conducir el sistema en una nueva fase aislante Mott con desaparición
susceptibilidad orbital. Lejos de la semi-llenación, la división del campo de cristal puede inducir un orbital selectivo
Estado de Mott.
Números PACS: 71.10.Fd, 71.10.Fd, 71.28.+d, 71.30.+h
La transición Mott metal-isulador juega un fundamen-
papel en la física electrónica de la materia condensada [1]. Mucho
la atención se ha centrado en el caso de una órbita, en parte
causa de su presunta relevancia para la alta temperatura su-
perconductividad [2] y, en parte, porque
herramientas oréticas para el caso multiorbital han hasta hace poco
no ha estado disponible. En la mayoría de los sistemas Mott, sin embargo, más
que un orbital sea pertinente [3] y la redistribución de
electrones entre diferentes orbitales conduce a un nuevo fenoma-
ena tal como orden orbital o “orbital selectivo” Mott
transiciones. Estudios recientes de niquelados [4], titanos [5],
cobalto [6], manganatos [7], vanadatos [8, 9, 10] y
los rutenatos [3, 11, 12, 13] han centrado su interés en
terplay entre la transición de Mott metal-isulador y
Degeneración orbital. Una cuestión fundamental en este campo,
pertinente, en particular, a la cuestión de las distorsiones de las celosías
en materiales fuertemente correlacionados, es la respuesta de multi-
sistemas orbitales a una perturbación que rompe el orbital
Degeneración. En este artículo, mostramos que dos orbitales
modelo con acoplamiento de hund y división de campo de cristal ex-
se opone a dos fases mott fundamentalmente diferentes, un char-
acterizada por una susceptibilidad orbital que desaparece, y una
adiabaticamente conectado al estado aislante de la banda. Nosotros
caracterizar estas fases en términos del suelo atómico
estados.
Los modelos multiorbitales son más difíciles de estudiar
debido al mayor número de grados de libertad,
y porque el intercambio físicamente importante y
términos de salto de parejas no son fáciles de tratar por estándar
Métodos Hubbard-Stratonovich [14]. Acoplamiento débil ap-
se han utilizado los proaches [12] para demostrar que el intercambio y
par de saltos de acción interacciones para suprimir la respuesta a
una división de campo de cristal, y algunos autores han estudiado
el modelo sin términos de cambio y de salto de pares [9],
pero una extensión fiable de estos resultados a
evant Slater-Kanamori interacciones y el fuerte cou-
ha faltado un régimen de plántulas.
La teoría de campo media dinámica (DMFT) proporciona un no-
marco perturbativo y computacionalmente manejable para
estudiar los efectos de correlación y ha permitido
la transición del aislador de metales Mott [15]. En su pecado...
gle site version, DMFT ignora el momentum depen-
dence de la auto-energía y reduce el lat- original
problema a la solución auto-consistente de un quan-
Modelo de impureza de tum dado por el HQI Hamiltoniano =
Hloc + Hhyb + Hbath. Para modelos multiorbitales Hloc =
m.m.c.c.
j,k,l,m U
jklmc
l cm, donde m = (i,
denota índices orbitales y de giro, y U jklm algunos
interacción general de cuatro fermiones. Hhyb y Hbath son
el baño de impurezas mezclando y bañando a los Hamiltonianos, respec-
Tily. Mientras que la aproximación DMFT simplifica la
problema enormemente (sustitución de un campo 3 + 1 dimensional
teoría por un modelo de impureza cuántica más una autoconsis-
enfermedad de tency), las complicaciones adicionales asociadas con
los acoplamientos de intercambio en sistemas multiorbitales tienen hasta re-
Prohibido el trabajo numérico extenso. Interesante
progreso se ha hecho utilizando una temperatura finita exacta
técnica de diagonalización [6, 13], pero este enfoque re-
requiere una truncación de Hbath a un pequeño número de niveles.
En Refs. [16, 17] hemos introducido un tiempo continuo
solucionador de impurezas que puede manejar las interacciones generales
en Hloc. El método, que está libre de sistemáticamente er-
rors, se basa en una expansión diagnóstica de los parti-
función de la impureza-baño hibridación Hhyb.
Aquí, empleamos a este solucionador para estudiar el
caso relevante en el que el número de electrones coincide
el número de orbitales. El local hamiltoniano es
Hloc = −
α=1,2
μnα, +
(n1,e − n2,e)
α=1,2
Unα,↑nα,↓ +
U ′n1,Ôn2,
(U ′ − J)n1,
− J(
2, 2, 1, ↑ +
2, 1, 1, ↓ + h.c.), (1)
con μ el potencial químico, el campo de cristal dividido-
U el intraorbital y U ′ el Coulomb interorbital
interacción, y J el coeficiente del acoplamiento Hund.
Adoptamos la elección convencional de parámetros, U ′ =
http://arxiv.org/abs/0704.0057v2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
•/t=0,2
•/t=0,6
•/t=1
FIG. 1: Relleno de orbital 1 en función de U para •/t =
0,2, 0,6, 1 y varios valores de J/U. Las diferentes curvas
en el caso de un determinado número de cifras correspondientes (de abajo hacia arriba) a J/U = 0,
(0,01), (0,02), 0,05, 0,1, 0,15, 0,25, respectivamente. Abierto (completo)
los símbolos corresponden a soluciones metálicas (aislantes). Los
transición metal-isulador se caracteriza por un salto en el relleno
y una región de convivencia donde tanto aislante como metálico
existen soluciones. Nuestros datos muestran la región de estabilidad de la
fase metálica.
U − 2J, que se deriva de consideraciones de simetría para
d-orbitales en el espacio libre y también se supone que
sólidos. Con esta opción el Hamiltoniano (1) es la rotación-
alia invariante en el espacio orbital y la condición para la mitad-
el llenado se convierte en μ = μ1/2 • 32U −
J. En el DMFT auto-
Lazo de consistencia utilizamos una densidad semicircular de estados
de bandwith 4t (Bethe celosía). La temperatura, a menos que
de otra manera, es T/t = 0,02 y suprimimos magnético
orden mediante un promedio de vuelta hacia arriba y hacia abajo en cada orbital.
En las simulaciones no se encuentra ningún problema de signos.
El resultado principal se muestra en la Fig. 1, que para varios
los valores de los gráficos J/U y J/U, el relleno por vuelta, n1, de o-
bital 1 en función de la fuerza de interacción. La mitad
llenado, condición no magnética implica n2 = 1 − n1. In
el límite T → 0, se encuentran tres fases: una fase metálica
(que puede tener un valor de n1 entre 0 y 0,5), una
Aislador polarizado orbitalmente favorecido por grandes y pequeños
J, y un aislador de Mott (con n1 = 0,5 = n2) favorecido
por gran U, pequeño y grande J. Si se aumenta la dosis de U a partir de
cero a un pequeño valor, la división orbital o aumenta
(pequeñas J/U) o disminuciones (grandes J/U),
resultados de Ref. [12]. A medida que la fuerza de interacción está aún más en
arrugado, una de varias cosas puede suceder: a muy pequeño
J/U, n1 continúa disminuyendo, y el sistema eventualmente
sufre una transición a un aislante polarizado orbitalmente
(para grandes • esencialmente un aislador de banda). Por un poco
mayor J/U, la ocupación n1, después de una disminución inicial,
pasa por un mínimo y comienza a aumentar. A la par
las interacciones más fuertes, se observa entonces una transición ei-
a un aislante polarizado orbitalmente (donde n1 puede
tomar un rango de valores) o en un tipo especial de aislante
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
J/U=0
0,05 0,1
metal
Aislador
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
J/U=0 J/U=0,25
Aislador de mott
(Triplicado de giro para J/U=0,25)
metal
polarizado orbitalmente
Aislador
FIG. 2: Diagrama de fase en el plano de la división del campo de cristal
e intraorbital Coulomb repulsión U para los valores indicados de
J/U. Para J = 0 el límite de fase es una función monotónica
de 0, mientras que en el caso de J/U > 0 alcanza sus picos cerca de • =
2J (indicado
por las líneas punteadas). El estado aislante de la región.
2J se caracteriza por una susceptibilidad orbital que desaparece.
con n1 = 0,5.
La figura 2 muestra el diagrama de fase del aislante metálico en
el espacio de división de campo de cristal y Coulomb repul-
sión para varios valores de J/U. En ausencia de un cristal
desdoblamiento del campo ( = 0), observamos una trans-
posición en una U crítica fuertemente dependiente de J. Este hallazgo
es coherente con los datos presentados en Ref. [18]. Como lo está.
aumentada, la U crítica cambia. Para J = 0 y fijo
U, n1 disminuye hasta que la banda se vacía y un metal-
se produce una transición aislante. La disminución monotónica de
la U crítica con • en J = 0 es un caso especial. Por
J > 0, el primer efecto de un pequeño
fase metálica. Entonces, a más grande, un reentrante aislante
se produce la fase. Demostraremos a continuación que este comportamiento
surge de la naturaleza inusual del estado aislante en
J > 0 y pequeñas, que se caracteriza en T = 0 por a
Susceptibilidad orbital que desaparece estrictamente. En caso de aumento de la dosis
en U grande, este estado hace una transición a una órbita
Aislador polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado en la zona de aislamiento polarizado
2J. Por lo tanto, conspiramos en
Fig. 2 las curvas • =
2J como líneas punteadas, y sug-
gesta que corresponden al límite de fase T = 0
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
J/U=0,1
0 0,05 0,15 0,15 0,2
J/U=0
J/U=0,002
J/U=0,005
J/U=0,010
J/U=0,020
FIG. 3: Relleno de orbital 1 en función de la U fija
y valores indicados de J/U. Panel superior: U/t = 6. Abrir
(completo) los símbolos corresponden a soluciones metálicas (aislantes).
Panel inferior: U/t = 9. Aquí, todas las soluciones son aislantes.
En el caso de las divisiones de campo de cristal de menor tamaño que c =
2J (indicado
por una línea vertical) la susceptibilidad orbital en el límite T → 0
está completamente suprimido. Líneas sólidas son para βt = 50, punteadas
líneas muestran resultados para βt = 12.5, 25 y 100, respectivamente.
entre dos estados aislantes distintos.
En la figura 3 se traza el relleno de orbital 1 en función de:
división de campo de cristal para U/t fijo y varios valores de
J/U. La curva más a la izquierda en el panel superior muestra la
variación de densidad para J/U = 0.02. El modelo se encuentra en el punto 0 de la letra a) del punto 3 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1305/2013.
es metálico. La rápida variación de n1 con • refleja la
la susceptibilidad orbital grande, pero finita del metal, que
para este pequeño valor de J es fuertemente mejorado por U. En
*/t * 0.325 >
2J, una transición aparentemente de primer orden
ocurre al estado aislante polarizado orbitalmente, que
luego evoluciona suavemente (a medida que se aumenta) a la banda
Aislador (n1 → 0). Los dos valores J más grandes revelan un
comportamiento diferente. En el caso de las categorías siguientes: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2J el aislante
estado se caracteriza por una ocupación orbital que es
independiente de la división del campo de cristal. Entonces, un aparato...
transición ently discontinua ocurre a un estado metálico
con una gran susceptibilidad orbital, que a mayor
muestra una transición de primer orden a la polarización orbital
Estado aislante. El panel inferior de la Fig. 3 muestra el ser-
2 4 6 8 10 12 14 16
estado de base
•/t=0,3
•/t=0,5
•/t=0,7
FIG. 4: Peso de los diferentes estados autóctonos de Hloc para U/t =
6, J/U = 0,05 y •/t = 0,3, 0,5 y 0,7. El más pequeño
división de campo de cristal corresponde a un estado aislante con
susceptibilidad orbital suprimida, el valor intermedio a una
estado metálico y la mayor división en un “aislador de banda”
(véase la Fig. 3).
havior para U más grande, donde el modelo está siempre aislante.
Nuestros datos para J = 0 muestran una rápida variación de n1 con
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La pendiente está fijada por la inversa del Kugel-Khomskii
superexchange t2/U; los efectos térmicos no son importantes
a βt = 50. En el caso de J > 0 y de los pequeños, el modelo es insu-
lating, con una susceptibilidad orbital que desaparece, entonces (cerca de
2J) hace una transición a la polarización orbital
Fase aislante con una susceptibilidad diferencial
determinado por la física Kugel-Khomskii. Tenga en cuenta que la
transición entre los dos aisladores es afilada sólo en
T = 0; para T > 0 se produce un crossover rápido (pero suave).
Para obtener una visión de estos fenómenos, nos fijamos en el
contribución a la función de partición de la different-
ent eigenstates del local Hamiltonian. Hloc tiene 16
eigenstatos, que numeramos esencialmente como en la Tabla II
de Ref. [17]. Para el siguiente debate es importante:
nota que 6â, 7â, y 8â, son los tres estados de trillizos de rotación
(con energía U − 3J − 2μ), mientras que 10° y 11° son lin-
combinaciones de oídos de los estados, 0 y 0, con dos
electrones en un orbital y ninguno en el otro. Esta última
dos estados son acoplados por el par saltando y afectados
por la división del campo de cristal. Aquí, los elegimos para
ser eigenstatos de Hloc correspondientes a las eigenenergias
J2 + 4°2 − 2μ: (1 + α2±)−1/2(, 0 0,),
= ±(
J2 + 4°2 2°)/J. En particular, elegimos
10 ser el autoestado con menor energía.
La Figura 4 muestra los pesos de estos estados para los tres
fases encontradas en U/t = 6, J/U = 0,05 (véase Fig. 3).
En la fase pequeña, los estados de los trillizos están ocupados,
con pequeñas excursiones a estados con ocupación 1 o
3. Por lo tanto, llamamos a esta fase el trillizo Mott insu-
Lator. Los estados de trillizos, por supuesto, tienen un electrón en
cada orbital y no obtienen energía de la polarización orbital
(el hecho notable es que esta característica se conserva af-
0,55
0,65
0,75
3,5 4 4,5 5 5,5 6
orbital 1
orbital 2
FIG. 5: Relleno n1(μ), n2(μ) para U/t = 4, J/U = 0,25 y
•/t = 0,4. Los símbolos completos (abiertos) corresponden al aislamiento
Soluciones (metálicas). A la mitad del llenado (μ/t = 3,5), el sistema
está en un estado aislante de Mott trillizo, para 3,9. μ/t. 4.6 in
un estado de Mott orbital selectivo, y para μ/t y 4,6 metálicos en
Las dos bandas.
acople superior a la celosía). En la fase metálica, un
El número de estados es visitado, mientras que en la órbita polar-
Aislador, el Estado local dominante (cuyo peso
es un singlet (10). Los
los estados de trillizos están casi completamente suprimidos en el o-
Fase de polarización bituminosa. El aislante-aislador grande-U
transición presenta las mismas características, pero sin la
fase metálica intermedia y, por lo tanto, es también un
Situación entre estados de giro alto y bajo. Comparación de
las eigenenergias de los estados de trillizos de giro y 10 muestran
que estos niveles se cruzan en • =
2J. Por lo tanto, la transición
de triplete aislador de Mott a ínsula polarizada orbitalmente
tor se produce a la altura de c =
2J, consistente con nuestro número
datos. También notamos que la función de onda del estado 10
depende de la relación J/, liderando en el límite grande-
a n1() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()))) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( En la fase de giro bajo, el o-
Por lo tanto, la susceptibilidad bital tiene dos contribuciones: una
originarias de la física de Kugel-Khomskii y una de o-
der J2/3 de Hloc. Este último explica los redondeos
visto en la curva más a la derecha de la Fig. 3.
Abordamos brevemente la cuestión de la selectividad orbital
Transición de Mott, que proporciona un mecanismo para
momento de formación en materiales correlacionados, y ha sido
el tema de un debate muy reciente [11]. Estudios anteriores
centrado en modelos de dos órbitas con diferentes anchos de banda
y número entero de electrones. Nos encontramos con que en el
presencia de un campo de cristal que se divide, cambiando el producto químico
potencial puede conducir el sistema en un orbital selectivo
Estado de Mott, incluso si los anchos de banda son iguales. Gráfico 5
muestra el relleno por vuelta en ambos orbitales como una función
de μ, para U/t = 4, J/U = 0,25 y •/t = 0,4. Dopaje
se produce primero en una de las bandas, dejando la otra en una
Estado de Mott con un momento magnético. Cambio adicional de
el potencial químico impulsa la segunda banda metálica.
En conclusión, hemos demostrado que la impulsión multiorbital
Los modelos de calidad con acoplamientos realistas pueden ser eficientemente sim-
ululado con el método de Ref. [17]. Hemos presentado
pruebas numéricas, basadas en un solo sitio DMFT calcula-
ciones, para la existencia de dos diferentes aislamientos Mott
en un modelo semi-llenado de dos orbitales con Hund cou-
plomería y división de campos de cristal. En interacciones fuertes
y J <
2o, el sistema, en el límite T → 0, está en
una fase caracterizada por la desaparición de un susceptibil orbital
ity, y un giro 1 momento en cada sitio. Para J >
Se encuentra un aislante polarizado orbitalmente. El intercambio
términos promover el comportamiento aislante en = 0, pero puede
Estabilizar una fase metálica a valores de..........................................................................................................................................................................................................................................................
El modelo no interactuante es un insulador de bandas.
Es interesante comparar nuestros resultados con el trabajo reciente
en el modelo Hubbard bicapa [19, 20]. El modelo
que estos autores estudian es equivalente a nuestro modelo con
U = U ′ = J, remplazado por el salto de intercapa.
En el sector de la baja energía de este modelo, sólo cuatro Estados
(esencialmente nuestros tres trillizos y el estado de salto de pareja
10) son relevantes, y lo que estos autores describen como la
Aislador de mott a crossover aislante de banda corresponde
a nuestra transición (aparentemente aguda en T = 0) entre
triplet Aislador de Mott y aislante polarizado orbitalmente.
La existencia de dos fases aislantes distintas plantea
muchas preguntas interesantes incluyendo la teoría de un
Aislador con susceptibilidad orbital que desaparece estrictamente
(que debe exhibir una simetría del indicador orbital) y
la naturaleza y las propiedades de los diferentes aislantes metálicos
transiciones. La física cerca del “punto triple” permanece
a estudiar. Nuestros resultados lejos de la semi-llenado sugieren
que La2NiO4 ligeramente dopada está en una órbita selectiva
Fase Mott.
Los cálculos se han realizado en el Hreidar
clúster de beowulf en ETH Zürich, utilizando la biblioteca ALPS
[21]. Damos las gracias al Sr. Troyer por la generosa asignación de
tiempo de la computadora, A. Georges y A. Poteryaev para stimu-
y NSF-DMR-040135 para apoyo.
[1] M. Imada, A. Fujimori e Y. Tokura, Rev. Mod. Phys.
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http://alps.comp-phys.org/
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704.0058 | Intelligent Life in Cosmology | arXiv:0704.0058v1 [physics.pop-ph] 31 Mar 2007
Vida inteligente en Cosmología
Frank J. Tipler
Departamento de Matemáticas y Departamento de Física
Universidad de Tulane
Nueva Orleans, Louisiana 70118 EE.UU.
Resumen
Presentaré tres argumentos para la proposición de que la vida inteligente es muy rara en el universo. En primer lugar,
Voy a resumir la opinión consensuada de los fundadores de la síntesis moderna (Simpson, Dobzhanski,
y Mayr) que la evolución de la vida inteligente es extremadamente improbable. En segundo lugar, voy a desarrollar el Fermi
Paradoja: si existieran, estarían aquí. En tercer lugar, demostraré que si la vida inteligente fuera demasiado común,
utilizaría todos los recursos disponibles y moriría. Pero voy a demostrar que el principio mecánico cuántico de
unitariedad (¡en realidad una forma de teleología!) requiere vida inteligente para sobrevivir hasta el fin de los tiempos. Por último, lo haré.
argumenta que, si el universo realmente está acelerando, entonces la supervivencia hasta el fin de los tiempos requiere que inteligente
La vida, aunque rara, ha evolucionado varias veces en el universo visible. Voy a argumentar que la aceleración es
una consecuencia del exceso de materia sobre la antimateria en el universo. Sugeriré experimentos para probar
Estos reclamos.
Palabras clave: procariotas extraterrestres, vida inteligente extraterrestre, aceleración cosmológica, uni-
taridad, teleología, futuro del universo, universo cerrado, evaporación del agujero negro, baryogénesis
1. Introducción
Martin Rees es aficionado a argumentar, la ausencia de pruebas no es evidencia de ausencia. ¿Cómo podría alguien
¿No está de acuerdo? Pero sobre la cuestión de la existencia de la vida inteligente extraterrestre, tenemos un hecho innegable:
no están aquí. Es decir, seres inteligentes extraterrestres no están obviamente presentes en nuestro planeta, o en
nuestro sistema solar. ¡Creo que incluso Martin estará de acuerdo con esto! Pero afirmo que este hecho nos permite concluir que
inteligencia extraterrestre (ETI) es ausencia de nuestra Galaxia y del Grupo Local de galaxias. En los demás
palabras, si existieran, ¡estarían aquí!
Este argumento se ha llamado a menudo la Paradoja de Fermi. Creo que es análogo a la paradoja de Olbers en
cosmología, que utiliza un hecho igualmente obvio, conocido por todos nosotros — el hecho de que el cielo es oscuro por la noche
— para concluir que el universo debe haber evolucionado a su estado actual. El universo no puede haber sido
lo mismo que aparece ahora para toda la eternidad. En la sección 2 esbozaré las razones por las que la ausencia de IET
en la Tierra nos permite concluir que no existen en nuestro barrio galáctico. He desarrollado esto.
el argumento es mucho más detallado en otras partes, abordando todos los argumentos contrarios que se han propuesto. Así que yo
sólo describiré mi argumento en la sección 2. Sólo voy a esbozar el argumento evolutivo contra ETI
Aquí. Mayr, Dobzhanski, Simpson y Ayala han defendido esta posición durante los últimos 40 años,
y estoy seguro de que este argumento es bastante familiar para los lectores de esta revista. Lo que quiero desarrollar en este
papel es un nuevo argumento contra la existencia de ETI.
Lo llamaré el Argumento de Recursos Limitados. Está relacionado con la Paradoja de Fermi en que asume
que una forma de vida inteligente se expandirá inevitable fuera de su planeta de origen y una vez que esta expansión comienza,
Nunca se detendrá. Pero si la vida inteligente fuera común en el cosmos, la expansión de la civilización tecnológica
usaría los recursos tan rápido que la vida inteligente se extinguiría. Si la vida inteligente es rara, la velocidad de la luz
la barrera evitará que la vida agote los recursos demasiado rápido.
La reacción inmediata a este argumento es, por lo que si la vida inteligente utiliza los recursos demasiado rápido y
¿Se muere? ¿Tenemos alguna razón para creer que inteligente tiene alguna garantía de supervivencia que otro
las especies no lo hacen? La mayoría de las especies que han evolucionado se han extinguido y no han dejado descendientes. ¿Por qué debería
¿Los Homo sapiens son diferentes? No hay evidencia de la biología evolutiva de que la inteligencia deba
Sobrevivir indefinidamente.
Pero hay evidencia de la física sobre la importancia de la vida de inteligencia en la cosmología. Por supuesto que no.
la fase actual de la historia universal, pero en cambio cerca del final del universo.
http://arXiv.org/abs/0704.0058v1
II. Por qué la vida inteligente debe ser rara
A. El improbable argumento de la evolución
El argumento contra ETI con el que la mayoría de los lectores de esta revista estarán familiarizados se remonta a Alfred
Russell Wallace, y más recientemente ha sido defendido por evolucionistas tan importantes como George Gaylord Simp-
hijo, Theodosius Dobzhanski, y Ernst Mayr. Estos científicos señalan que de acuerdo con el
Síntesis, la evolución no tiene conocimiento de metas. En cambio, la selección natural actúa sobre mutaciones aleatorias, muta-
ciones que nunca aparecen con la intención de alcanzar una meta en un futuro lejano. Hay un enorme
número de vías evolutivas, y tan pocos de estos conducen a la vida inteligente, que es poco probable inteligente
la vida aparecerá más de una vez en el universo visible, que es la parte del universo dentro de 13.700 millones
años luz. Se observa que el universo tiene 13.7 billones de años, por lo que no podemos ver una distancia mayor
que 13.7 billones de años luz, la luz de distancia podría haber viajado en ese tiempo. (En realidad, podemos ver hacia fuera
un poco más allá de 13.700 millones de años luz debido a la expansión del universo, pero permítanme ignorar esto
menor tecnicismo.) Incluso si asumimos que toda la materia y la energía en el universo visible estaban en
la forma de planetas semejantes a la Tierra, sólo habría (!) alrededor de 1028 planetas similares a la Tierra en el universo visible.
Este número asume que “como la tierra” significa sólo que la masa del planeta es mayor o igual a
la masa de la Tierra. No se hace ninguna suposición acerca de la estrella, la atmósfera o el radio orbital del planeta.
El conocido evolucionista Francisco Ayala ha hecho recientemente este argumento cuantitativo. Él estima
que la probabilidad de que una especie inteligente evolucione en un planeta similar a la Tierra sobre el cual organismos de una célula
han aparecido es menos de 10 a la menos un millón de energía! Este número es tan pequeño que la evolución
de la vida inteligente es extremadamente improbable que haya ocurrido incluso una vez. El número de Ayala no está contradicho
por el hecho de que la vida inteligente existe en la Tierra. Es extremadamente improbable que exista en cualquier lugar.
en el universo (al menos si el universo es finito en tamaño espacial, como argumentaré en la Sección IV que es).
El número de Ayala depende de la suposición de que los cambios genéticos sobre los que opera la selección natural son
esencialmente al azar. La evolución no tiene previsión. Mayr ha subrayado que la inteligencia en la tierra se limita a
el linaje cordate, por lo que, argumenta que si los cordates nunca aparecieron en la Tierra, tampoco lo haría la inteligencia.
Pero los acordes evolucionaron por primera vez hace más de medio billón de años. Estos animales no sabían que tenían que
evolucionar para que el Homo sapiens eventualmente apareciera. La selección natural sólo puede operar durante la cría de un animal
De por vida. No puede seleccionar un genoma con la intención de utilizar el genoma mil millones de años después.
Hay una advertencia importante a esto; una advertencia señalada por primera vez por el mismo Charles Darwin en el último
páginas de su libro La variación de animales y plantas bajo domesticación. Darwin señaló que en el
nivel final de la física, el universo es determinista. Esto significa que en el nivel final, no hay
Acontecimientos aleatorios. En particular, la evolución del Homo sapiens era inevitable, determinada por el estado inicial
del universo y de los universos condiciones iniciales. La variación “Random” no significa sin causa. Es sólo que...
significa impredecible para los seres humanos. Por lo tanto, en este último nivel físico, Darwin afirma que su
la propia teoría es sólo una aproximación. Darwin señaló que el avance de la ciencia podría permitirnos obtener
suficiente información para predecir estas variaciones “aleatorias”. Discutiré a continuación que esta vez ha llegado.
B. Si existieran, estarían aquí
El argumento contra la existencia de vida inteligente extraterrestre que he desarrollado en la mayoría
El detalle a veces se llama la Paradoja de Fermi: si existieran, estarían aquí. La fuerza de este argumento es
por lo general no se aprecia, porque la mayoría de la gente... e incluso la mayoría de los científicos (! — asumir tácitamente que cualquier extranjero
la civilización, no importa cuándo evolucionaron o cuánto tiempo han tenido tecnología avanzada, sin embargo,
tienen esencialmente la tecnología de finales del siglo XX. La razón de esta suposición tácita es la habitual
debilidad humana: tenemos la desafortunada costumbre de tratar de imponer nuestras actuales perspectivas humanas sobre la
universo físico.
Pero consideremos las consecuencias de una tecnología informática ligeramente más avanzada que la que tenemos ahora.
Sí. Según la mayoría de los expertos informáticos, dentro de un siglo o así deberíamos tener programas de ordenador que
tener inteligencia a nivel humano, computadoras que pueden ejecutar tales programas y también hacer copias de sí mismos
y los programas. Imagina una máquina así combinada con nuestra tecnología de cohetes en una sonda espacial. Semejante
la sonda espacial puede alcanzar la estrella más cercana en 40.000 años. Una vez allí en el sistema estelar más cercano, la sonda podría
hacer varias copias de sí mismo, utilizando el material de asteroides que ahora sabemos que está presente en casi todas las estrellas
sistemas, enviando estas sondas hijas a otros sistemas estelares, donde el proceso se repetiría. Incluso
con nuestra tecnología de cohetes, cada sistema estelar en toda la Galaxia tendría una sonda dentro de 100 millones
años. Con una tecnología de cohetes más avanzada, una tecnología de cohetes que incluso hoy en día se ha experimentado
con, debería ser posible enviar una sonda entre las estrellas a una velocidad de luz de 1/10. Con tal velocidad, sondas
cubriría toda la galaxia en unos pocos millones de años. ¡Y todo por el costo de una sola sonda!
Casi cualquier motivación que podamos imaginar conduciría a una especie inteligente con la tecnología para lanzar
Esa sonda única. Supongamos, por ejemplo, que ET quiere contactar con otras formas de vida inteligentes. Entonces en lugar de
Envía señales de radio, deberían enviar esa sonda. Con la radio, uno tiene que enviar las señales.
a muchas estrellas, durante muchos miles de años. (Esperaríamos que la evolución a la inteligencia requiriera miles de millones
de años, como lo hizo en la Tierra.) Pero una vez lanzada la sonda, la cobertura de toda la galaxia es automática.
Una vez en un sistema estelar objetivo, la sonda inteligente puede contactar con cualquier forma de vida inteligente que tenga
evolucionó en cualquier planeta del sistema. O si no se encuentra vida inteligente, la sonda puede estudiar todo el sistema
y transmitir los resultados de vuelta a la Tierra. Esta investigación in situ es obviamente imposible si las señales de radio
son enviados en lugar de una sonda espacial.
Uno podría pensar que una especie inteligente sería renuente a usar sondas debido a la preocupación de que
estas máquinas eventualmente escaparían del control de las especies transmisoras originales. Pero lo mismo
Se puede hacer objeción al envío de señales de radio. Es imposible predecir el uso de una especie receptora
haría de la información en la señal. Muchos científicos aquí en la Tierra se han opuesto a la transmisión
de señales, temiendo que los alienígenas hostiles puedan usar las señales para llegar a casa en nuestro planeta. El miedo a perder el control
de las sondas — que, puesto que estas máquinas son seres racionales, deben ser considerados como nuestros hijos de la mente
— aplicar con la misma fuerza a nuestros descendientes biológicos. “Ninguna especie existente ahora transmitirá su
la semejanza a una futuridad distante” fue como Darwin puso en las páginas finales del Origen de las Especies. No lo sabemos.
si serán buenos o malos según nuestros estándares. Sabemos que en un futuro lejano no serán Homo
Sapiens.
Pero a la larga, nuestros descendientes, sean como sean, ya sean máquinas de silicio o
los dispositivos de ADN más familiares, deben abandonar la Tierra si quieren sobrevivir. Dentro de 6 mil millones de años, la
La atmósfera del Sol se expandirá y envolverá a la Tierra, la cual entrará en espiral en el Sol y será vaporizada. A
un destino similar está reservado para todas y cada una de las especies inteligentes que evolucionan en un planeta acuático. Hacer el razonable
Suposición darwiniana de que la supervivencia será una motivación central de todas las especies inteligentes, todas las especies inteligentes
eventualmente desarrollará viajes espaciales, dejará su planeta, y colonizará su propio sistema estelar. El universo
tiene 13.7 billones de años, y la mayoría de las estrellas y sus planetas son miles de millones de años mayores que los nuestros. Por lo tanto,
sea cual sea la probabilidad de que la vida inteligente evolucione en un planeta semejante a la Tierra en el que aparezcan organismos de una célula,
La mayoría de las especies inteligentes serían miles de millones de años mayores que nosotros. Deberían haber dejado a su madre.
planeta hace miles de millones de años. Una vez que salen de su planeta, nada puede detener su expansión en interestelar
espacio. Si existieran, estarían aquí.
C. Argumento sobre recursos limitados
Una vez que una especie inteligente comienza su expansión en el espacio interestelar, sólo hay la velocidad de la luz
barrera para detener la expansión. Además, como Dyson ha subrayado, la vida inteligente eventualmente se desarrollará
la capacidad de convertir cualquier forma de materia en materia viva y dispositivos de soporte vital. Dado el tiempo, inteligente
la vida puede desmontar no sólo asteroides, sino también planetas del tamaño de Júpiter e incluso estrellas. Por lo tanto, una galaxia
que ha sido invadido (infectado?) por un espacio que viaja forma de vida inteligente comenzará a desaparecer. Esto,
Por cierto, es otro argumento para la singularidad humana en el universo visible. Nunca hemos observado
galaxias en proceso de desintegración controlada. La vida inteligente, a largo plazo, debe aparecer como un
horda de langostas, devorando toda la materia en su dominio. Un amplio gobierno galáctico no puede ser establecido para detenerse
tal comportamiento debido a la velocidad de la barrera de la luz, pero incluso si se pudiera establecer, no tendría opción
pero para permitir tal comportamiento. La supervivencia requiere la conversión de la materia en energía. Fijación de un límite máximo
a cuanta materia puede ser tan convertida simplemente condenaría la vida a la extinción.
Sin embargo, la velocidad de la barrera de la luz, que impide que un gobierno de escala galáctica se establezca
evitar que la vida devore toda la materia, impone una limitación a la rapidez con la que la vida puede utilizar los recursos. Los
disco de nuestra galaxia tiene unos 100.000 años luz de ancho; no usamos los recursos materiales de nuestra galaxia en menos
más de 100.000 años. El cúmulo de Virgo está a unos 60 millones de años luz de distancia. No podemos utilizar los recursos
del grupo de Virgo en menos de 60 millones de años. Si el universo se cerrara y desacelerase, un solo
forma de vida inteligente no podía devorar el universo entero hasta después de que el universo había comenzado a volver a colapsar.
En realidad el universo se está acelerando actualmente. Si esta aceleración continuara para siempre en su presente
, nuestros descendientes podrían devorar sólo la región actual en un máximo de 10 mil millones de años luz. Este límite
se impone por la velocidad de la barrera luminosa modificada por la aceleración universal.
Pero cuanto más inteligente es la vida que hay en el universo, más planetas sobre los cuales la vida inteligente inde-
A medida que los recursos evolucionen, se agotarán con mayor rapidez. Cuando se agoten todos los recursos materiales,
La vida inteligente morirá. Cuanto más común sea la vida inteligente en el universo, más rápidamente se convertirá
Extinto.
Por el contrario, si la vida inteligente es bastante rara — una sola especie inteligente, si el universo estaba cerrado y
la vida inteligente se vería obligada por las leyes de la física a utilizar los recursos a la derecha
para sobrevivir hasta el final de los tiempos. E incluso especies más inteligentes podrían sobrevivir si el universo
iban a tener un período de aceleración en su fase de expansión, como se observa que tiene el universo.
Pero ¿por qué el universo debe ajustar el número de especies inteligentes para que los descendientes de la
¿Las especies sobrevivirían hasta el fin de los tiempos? Como Darwin señaló en las páginas finales del Origen de las Especies,
casi todas las especies que han existido en la Tierra han muerto, sin dejar descendientes. ¿Por qué debería un
forma de vida inteligente tiene una probabilidad de supervivencia totalmente diferente de casi todas las otras especies? Afirmo que
vida inteligente sobrevivirá hasta el final de los tiempos porque las leyes de la física lo requieren. O para ponerlo otro
maneras, porque tal supervivencia es una de las metas del universo.
III. Unitariaridad es Teleología
La teleología ha sido completamente rechazada por los biólogos evolutivos. Este rechazo es desafortunado, porque,
La teleología está viva y bien en la física, bajo el nombre de unitariedad. La unidad es un postulado absolutamente central
de la mecánica cuántica, y tiene muchas consecuencias. Una de estas consecuencias es el teorema del CPT, que
implica que los factores g de partículas y antipartículas deben ser exactamente iguales. Esta igualdad (para los electrones
y positrones) se ha verificado experimentalmente a 13 decimales, el número experimental más preciso
Lo hemos hecho. ¡Es por eso que muy pocos físicos están dispuestos a renunciar al postulado de unidad! Además,
la unidad está estrechamente relacionada con la ley de conservación de la energía, y se ha demostrado una violación de la unidad
para resultar generalmente en la gigantesca creación de energía de la nada. Un modelo (debido a Leonard Susskin) de
la violación de la unidad tenía la implicación de que cada vez que se encendía un horno de microondas, tanta energía era
creado que la Tierra fue destrozada. Así que los físicos son muy reacios a abandonar la unidad.
La unidad se aplica más a menudo a lo que los físicos llaman la matriz S, que es la mecánica cuántica
operador lineal que transforma cualquier estado en el pasado final a un estado único en el futuro final. Pero
unitarity más generalmente se aplica al operador de la evolución del tiempo, un operador lineal que lleva el cuántico
estado del universo en cualquier momento inicial único en el estado cuántico del universo en cualquier futuro elegido
Tiempo. Únicamente es una palabra clave. Significa que la unitariedad es la versión mecánica cuántica del determinismo.
Contrariamente a lo que se piensa generalmente, el determinismo está vivo y bien en la mecánica cuántica. Determinismo,
Sin embargo, se aplica a las funciones de onda (estados cuánticos) en lugar de a las partículas individuales. Alternativamente, nosotros
puede decir que el determinismo se aplica a colecciones coherentes de mundos más que a individuos. Hay un sentido,
que no voy a tener espacio para discutir aquí, en el que la mecánica cuántica es más determinista que clásica
mecánica, y que Schrödinger deriva su famosa ecuación al exigir que la mecánica clásica en ella
la expresión más general (Teoría Hamilton-Jacobi) sea determinista. (Véase Tipler (2005) para el análisis matemático
detalles.)
Pero el habitual determinismo pasado a futuro no es el significado fundamental de la unitariedad. ¿Qué unidad?
realmente significa que el inverso del operador de la evolución del tiempo existe, y se calcula fácilmente a partir del tiempo
el operador de la evolución al formar el conjugado ermitaño del operador de la evolución del tiempo. Cualquier operador cuyo
inversa se obtiene de esta manera se dice que es un operador unitario. Pero en el contexto actual, lo importante
punto es que el inverso del operador de la evolución del tiempo existe. La inversa de cualquier operador es un operador
que deshaga el efecto del operador original. En el caso del operador de la evolución del tiempo, que genera
evolución del pasado al futuro, el operador inverso genera evolución del futuro al pasado. En otras palabras, lleva
estados cuánticos futuros única en estados cuánticos pasados. Por lo tanto, unitariedad nos dice que cualquier
declaración de la causalidad habitual pasado-a-futura es matemáticamente equivalente a alguna declaración completa de
causalidad de futuro a pasado. En un lenguaje más tradicional, una lista completa de todas las causas eficientes es equivalente a
una lista completa de las causas finales. ¡La telelogía ha renacido!
Sin embargo, la Segunda Ley de la Termodinámica dice que la complejidad del universo en el
El micronivel está aumentando con el tiempo. Esto significa que por lo general será el caso de que la causalidad pasado-a-futura
será la explicación más simple de los dos lenguajes causales. Pero no siempre será así. Deberíamos
Recuerden siempre que para la realidad física los dos lenguajes de causalidad son matemáticamente equivalentes. Lo siento.
puede ser ocasionalmente el caso que nosotros los humanos podemos entender donde la evolución del universo está tomando
sólo usando la causalidad del futuro al pasado. Es decir, podemos entender lo que está pasando ahora sólo por
considerando el objetivo final del universo.
Rechazar esta posibilidad es un error terrible. Los humanos piensan naturalmente en términos de pasado a futuro
causalidad porque nuestros recuerdos están diseñados (por las leyes de la física) para trabajar en esta dirección temporal. Pero la
el universo no está restringido de manera similar. Es un error imponer limitaciones humanas al universo físico. Lo siento.
fue un terrible error exigir que la mecánica del sistema solar se vea simple en un marco geocéntrico de referencia.
Permítanme ahora usar esta causalidad de futuro a pasado para demostrar que la evolución biológica no puede ser completamente
Al azar. Ahora voy a argumentar que las leyes de la física requieren vida inteligente para evolucionar en algún lugar, y sobrevivir
hasta el fin de los tiempos.
IV. Por qué la vida inteligente debe existir en el futuro lejano
La necesidad de una vida inteligente en un futuro lejano es una consecuencia automática de las leyes de la física,
específicamente la mecánica cuántica, la relatividad general, el modelo estándar de la física de partículas, y la mayoría de impor-
la Segunda Ley de la Termodinámica. Demostraré que la coherencia mutua de estas leyes requiere
Tres cosas. Primero, el universo debe estar cerrado (la topología espacial del universo debe ser una tres esferas).
Segundo, la vida debe sobrevivir hasta el fin de los tiempos. En tercer lugar, el conocimiento que posee la vida debe aumentar a
infinito a medida que se acerca el fin de los tiempos. No asumo que la vida sobreviva hasta el fin de los tiempos. La supervivencia de la vida
sigue de las leyes de la física. Si las leyes de la física son para nosotros, ¿quién puede estar en contra de nosotros?
Pero antes de probar que las leyes de la física requieren vida para sobrevivir, permítanme primero mostrar que es posible
para que la vida sobreviva. Para sobrevivir por un tiempo experiencial infinito, la vida requiere un suministro ilimitado de energía. Que
es, el suministro de energía disponible debe divergir hasta el infinito a medida que se acerca el fin del tiempo. Sin embargo,
la conservación de la energía requiere que la energía total del universo sea constante. De hecho, Roger Penrose tiene
demostrado que la energía total de cualquier universo cerrado es ZERO! La energía total es cero ahora, era cero en el
pasado, y será cero en todo momento en el futuro. Uno podría preguntarse cómo esto es posible. Después de todo, somos
ahora recibiendo energía del Sol, estamos usando energía alimentaria mientras leemos esto, y podemos extraer energía
del carbón, el petróleo y el uranio. En otras palabras, la energía parece no ser cero.
Sin embargo, las formas de energía que se acaban de enumerar no son todas las formas de energía en el universo. También hay
energía gravitacional, lo cual es negativo. Así que si añadiéramos todas las formas positivas de energía — radiante
energía, la energía almacenada en el carbón, el petróleo y el uranio, y lo más importante, la energía en masa de la materia —
a la energía gravitacional negativa, la suma es cero. Esto significa que si podemos hacer la gravitación
energía aún más negativa, la energía positiva, es decir, la energía disponible para la vida, necesariamente aumenta,
a pesar de que la energía total en el universo permanece cero. La propiedad clave de la energía que siempre debe ser
tiene en mente que se transforma de una forma a otra. Una vez que nos demos cuenta de que la energía gravitacional puede
transformados en energía disponible, entendemos donde la vida puede obtener la fuente ilimitada de
energía que necesita para sobrevivir: la vida debe hacer el enfoque de energía gravitacional total menos infinito.
La vida sólo puede hacer esto si el universo está cerrado, y se derrumba a cero tamaño a medida que se acerca el fin de los tiempos.
Por el contrario, si el universo se cierra y colapsa a cero tamaño, entonces la energía gravitacional total va a
menos infinito, ya que la energía gravitacional de un sistema es inversamente proporcional al tamaño del sistema.
He demostrado en mi libro (Tipler, 1994) que la vida puede de hecho extraer energía disponible ilimitada de la
colapso del universo.
Ahora permítanme esbozar la prueba de mis tres afirmaciones anteriores. Sólo puedo dar aquí un esbozo. Para completar
los detalles, el lector se refiere a mi libro (Tipler, 1994) y a los documentos (Tipler et al, 2000), y (Tipler
2001)) sobre arXiv, la base de datos física previa a la impresión (disponible en la Internet en http://arxiv.org/). Agujeros negros
existe, pero Hawking probó que eran agujeros negros para evaporarse por completo — como necesariamente lo harían si el
el universo se expandiría para siempre — los agujeros negros violarían la unitariedad, la ley fundamental de la
mecánica que describí en la sección anterior. Por lo tanto, el universo debe finalmente dejar de expandirse,
colapsar, y terminar en una singularidad final. Si esta singularidad final fuera acompañada por horizontes de eventos, entonces
el Bekenstein Bound (otra ley de la mecánica cuántica, básicamente el Principio de Incertidumbre de Heisenberg
http://arxiv.org/
se expresa en el lenguaje de la teoría de la información) tendría el siguiente efecto. Se obligaría a que todos
la información de microestado en el universo para ir a cero a medida que el universo se acerca a la singularidad final.
Pero la información de microestado que va a cero implicaría que la entropía del universo tendría que
ir a cero, y esto contradiría la Segunda Ley de la Termodinámica, que dice que la entropía de
el universo nunca puede disminuir. Pero si los horizontes de eventos no existen, entonces el Bekenstein Bound permite el
información en los microestados a divergir hasta el infinito a medida que se acerca la singularidad final. Por el contrario, SOLO
si no existen horizontes de eventos puede la mecánica cuántica (el Bekenstein Bound) ser consistente con el Segundo
Ley de la Termodinámica. Por lo tanto, los horizontes de eventos no pueden existir, y por el Teorema de Seifert (ver (Tipler,
1994), p. 435) la no existencia de horizontes de eventos requiere que el universo se cierre espacialmente. En Penrose
c-construcción de límites (Tipler, 1994), (Hawking y Ellis, 1973), una singularidad sin horizontes de eventos es un
un solo punto. Yo llamo a tal singularidad final el punto OMEGA. En una conferencia en el Castillo de Windsor, Martin Rees
objetó que muchos físicos (en particular, él mismo) no aceptan la prueba de Hawking de que la unidad
fueron violados fueron un agujero negro para evaporarse hasta completarse. Pero la mayoría de los físicos que rechazan Hawking’s
el argumento, sin embargo, acepta que existe, sin embargo, un problema de información de agujero negro: es decir, que nosotros
debe explicar cómo sale la información que cae en un agujero negro. Muchas soluciones a la información
El problema ha sido propuesto, pero todas estas soluciones (excepto la que voy a avanzar) tienen una característica en
frecuentes. Todos ellos implican nuevas leyes propuestas de la física. Mi propuesta: que no haya horizontes de acontecimientos
en absoluto, por lo tanto no hay horizontes de eventos de agujero negro, por lo que toda la información en todos los eventos son accesibles a todos los observadores
en el futuro lejano — NO implica nuevas leyes físicas. Sólo se utiliza la relatividad general clásica. Utilizo
Hawkings argumento unitariedad sólo para inferir la inexistencia de horizontes de eventos. Si resolvemos el agujero negro
Problema de la información simplemente asumiendo la inexistencia de horizontes de eventos, entonces no necesito usar tampoco
el Bekenstein Bound o la Segunda Ley de la Termodinámica para inferir la existencia del Punto Omega,
o cierre espacial. Resolver el problema de la información usando física conocida automáticamente no produce ningún evento
horizontes y cierre espacial para el universo.
Si el universo evolucionara hacia un tipo de singularidad final de Omega Point sin que la vida estuviera presente a
guiar su evolución, entonces la no existencia de horizontes de eventos significaría que el universo estaría evolucionando
en un estado infinitamente improbable. Tal evolución contradiría la Segunda Ley de la Termodinámica,
que requiere que el universo evolucione de estados menos probables a más probables. Por otro lado, si la vida
está presente guiando la evolución del universo hacia la singularidad final, luego la ausencia de horizontes de eventos
es en realidad el estado más probable, porque la ausencia de horizontes de eventos es exactamente lo que la vida requiere
para sobrevivir (detalles en mi libro (Tipler 1994)). En otras palabras, la validez de la Segunda Ley
de la Termodinámica REQUIERE que la vida esté presente todo el camino en la singularidad final, y además, el
La Segunda Ley requiere que la vida guíe al universo de tal manera que elimine los horizontes de eventos. La vida es la
sólo un proceso consistente con la ley física conocida capaz de eliminar horizontes de eventos sin el universo
evolucionando a un estado infinitamente improbable. Exactamente cómo la vida elimina los horizontes de eventos se describe en
mi libro (Tipler, 1994). Hablando en términos aproximados, la vida empuja el universo para permitir que la luz circunnavegue
el universo primero en una dirección, y luego en otra. Esto se hace repetidamente, un número infinito de veces.
Hay así un número INFINITO de circunnavegaciones de luz antes de que se alcance el Punto Omega. Si
debíamos considerar una sola circunnavegación como una sola garrapata del reloj de luz habría un infinito
cantidad de ese tiempo entre ahora y el Punto Omega. Un tiempo aún más físico sería el número
de experiencias que la vida tiene entre ahora y el Punto Omega. Este “tiempo experiencial” — el tiempo
experimentado por la vida en el futuro lejano — es el tiempo físico más apropiado para usar cerca del Punto Omega.
Es mucho más apropiado que el tiempo apropiado basado en humanos que ahora usamos en nuestros relojes.
V. La vida en el futuro de un universo acelerador
Como cualquiera que haya leído las columnas científicas de los periódicos durante la última década sabe, el universo
ahora se está acelerando. Las más recientes observaciones WMAP de la Radiación Cósmica de Fondo de Microondas
proporcionar la evidencia más fuerte para la aceleración, pero hay varias líneas independientes de evidencia que conducen
hasta la conclusión de que el universo se está acelerando. La evidencia es también fuerte que el mecanismo para el
la aceleración se debe a una constante cosmológica positiva. Si esta aceleración continuara para siempre, entonces como
Barrow y yo mostramos en nuestro libro (Barrow y Tipler, 1986), la vida inteligente eventualmente morirá, y el
Toda la teoría, que describí en la sección III, sería falsa. Si la vida inteligente va a continuar hasta el mismo
fin de los tiempos —como debe ser si las leyes de la física han de mantenerse en todo momento— entonces el universo debe eventualmente
dejar de acelerar, ralentizar hasta que la expansión se detenga, y luego volver a colapsar a una singularidad final. En este
sección, voy a esbozar un mecanismo que puede cancelar la aceleración. Mi propuesta asume la validez de
el Modelo Estándar de Física de Partículas, una teoría que hasta ahora se apoya en todos los experimentos realizados para
fecha, y que proporciona sólo un mecanismo para una aceleración universal.
Las últimas observaciones de WMAP de la Radiación Cósmica de Fondo de Microondas (CMBR) han proporcionado
los siguientes hechos. Primero, el universo tiene 13.700 millones de años. En segundo lugar, en la época actual, la densidad
los parámetros de la curvatura, la materia ordinaria, la materia oscura y la energía oscura son respectivamente
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Nótese que el subíndice de la energía oscura es
usar este subíndice para enfatizar que los datos de WMAP indican que la energía oscura se ve observacionalmente como la
el efecto de una constante cosmológica positiva, tradicionalmente escrita. Cualquier teoría cosmológica correcta debe ser
de conformidad con estas observaciones.
El Modelo Estándar, mínimamente acoplado a la gravedad, necesariamente tiene una constante cosmológica positiva. I
predicho en mi libro (Tipler, 1994) que esta constante cosmológica haría que el universo experimentara un
aceleración. Sostuve que esta aceleración ocurriría en la fase de colapso de la historia universal. Lo hice.
no se dan cuenta de que una aceleración también podría ocurrir en la fase de expansión. Aunque debería haberlo hecho, desde el
El modelo estándar requiere tal aceleración.
El Modelo Estándar requiere una constante cosmológica positiva para cancelar el efecto del vacío de Higgs.
Recordemos que según el Modelo Estándar, el universo está impregnado con un valor no cero del Higgs
campo, y es este valor no cero que rompe la simetría electrodébil y da masa a todas las partículas.
Pero esta ruptura de simetría se logra a través del potencial de Higgs, que para el campo de Higgs constante, actúa
exactamente una constante cosmológica negativa muy fuerte. Inicialmente, en la singularidad del Big Bang, el campo de Higgs,
y por lo tanto el potencial de Higgs, era cero. Pero cero no es el valor más bajo del potencial, así como el universo
expandido, el potencial de Higgs cayó a su valor más bajo, correspondiente a una constante cosmológica negativa.
Ahora en la relatividad especial, esta constante negativa se puede volver a normalizar fuera de la existencia. En general, no.
relatividad. Cualquier constante en la materia Lagrangian multiplica el elemento de volumen invariante, y es equivalente
a poner una constante cosmológica en el Lagrangian (Weinberg, 1988).
El valor de la constante cosmológica negativa correspondiente al potencial de Higgs puede ser establecido por
experimentar, y es enorme: −1.0× 1026 gm/cm3, en comparación con la densidad de energía de la materia oscura
y energía oscura, sólo 10-29 gm/cm3. La única manera de que el modelo estándar sea compatible con el modelo general
La relatividad es añadir una constante cosmológica positiva de la misma magnitud al lagrangiano. Lo haríamos.
esperar el valor de la constante cosmológica positiva añadida para cancelar con precisión el valor del Higgs
potencial, cuando el Higgs está en su verdadero estado de tierra (la densidad de energía absoluta más baja del potencial).
Pero el campo de Higgs no puede estar actualmente en su verdadero estado de base, por una razón muy simple: hay más
materia que la antimateria en el universo. El Modelo Estándar tiene un mecanismo de generación de este observado
exceso de materia sobre la antimateria, pero la mayoría de los cosmólogos creen que este no puede ser el mecanismo principal
para generar materia, porque piensan, incorrectamente, que va a generar demasiados fotones a bariones. I
han demostrado que este gran número de fotones a bariones es una consecuencia de la imposición de la frontera equivocada
condiciones en el universo muy temprano. Si las únicas condiciones de frontera consistentes con el Bekenstein Bound
Fecha de nacimiento: 19.6.1981 la teoría cuántica del campo) se imponen, la proporción de fotón a barión resulta bien. El modelo estándar
la generación de la materia funciona por túnel de vacío electrodébil. Y si este túnel produce un exceso de materia
sobre la antimateria, el campo de Higgs no puede estar en su verdadero vacío. Por lo tanto, el exceso de materia sobre la antimateria en
el universo en última instancia causa la aceleración observada del universo!
Por el contrario, si el exceso de materia sobre la antimateria desapareciera —si la materia se convirtiera en
energía a través de túnel electrodébil — y si esta desaparición se produjera lo suficientemente rápido, entonces el Higgs
potencial caería hacia su verdadero estado de tierra, la constante cosmológica positiva sería progresivamente
cancelado, y el universo dejaría de acelerarse. Si el universo fuera espacialmente una tres-esfera — y
He argumentado en la sección anterior que es — entonces una vez que la aceleración se detenga, el universo se expandirá
a un tamaño máximo, y luego volver a colapsar en la singularidad final.
Siempre, por supuesto, que se pueda encontrar un mecanismo para convertir la materia en energía a través de electrweak
túnel cuántico. El mecanismo tendría que ser el inverso del proceso que creó el asunto
exceso en el universo primitivo. Pero una gran cantidad de materia fue creada en el universo temprano porque el
La densidad de energía del campo de medición era enorme. La densidad de energía del campo de medición es pequeña hoy en día: 10-31 gm/cm3, y
cada vez más pequeño a medida que el universo se expande. Si la aceleración va a parar, otro mecanismo debe aniquilar
el asunto.
Afirmo que nuestros futuros descendientes aniquilarán el asunto. Una vez más, aniquilarán al
materia para sobrevivir. La supervivencia requiere energía. Si el número de barión se conserva, entonces sólo un pequeño
fracción del contenido energético de la materia se puede extraer. Si el hidrógeno se convierte en helio, como en el
Sol, sólo el 0,7% de la masa del hidrógeno se convierte en energía. Pero si nuestros descendientes usan el inverso de
baryogénesis (el término técnico para el proceso que generó la materia en el universo temprano), TODA la energía
en la materia se puede extraer. Predigo que en el futuro, se encontrará una manera de usar la baryogénesis inversa,
nuestros descendientes usarán este proceso como su principal fuente de energía, y como consecuencia de usar allí arriba
recursos de materia, se salvarán a sí mismos, y a todo el universo. Porque si la aceleración puede ser
cancelada y el colapso universal inducido, entonces la energía de colapso gravitacional puede proporcionar un ilimitado
fuente de energía, como mostré arriba.
Pero en un universo acelerado, la vida sólo puede viajar al horizonte de eventos cosmológicos, que es de unos 10
a miles de millones de años luz de distancia en el momento presente, dado el valor observado de la energía oscura. (En realidad, debería
lo llaman “el horizonte del evento de seudo”, ya que sería un verdadero horizonte del evento sólo si la vida nunca detiene la expansión,
y el Punto Omega nunca se desarrolla. El Punto Omega, recuerde, significa que no hay horizontes de eventos.) Pero
no localidad cuántica significa que el túnel cuántico responsable de la bariogénesis genera un uniforme
densidad de bariones en grandes escalas. (Y ya que es la creación de bariones que generan perturbaciones en el
CMBR, el espectro de perturbación debe ser invariante de escala.) Esto significa que los bariones tienen esencialmente
la misma densidad en grandes escalas por todas partes en el universo. Esto significa que la aceleración debe ser
universal. Esto significa que si el universo va a volver a colapsar, los bariones deben ser aniquilados en todas partes, incluso
a distancias mayores de 10 mil millones de años luz, donde nuestros descendientes no pueden viajar, incluso se basaron en cohetes
en la aniquilación de los bariones que se construirá. Esos cohetes podrían acercarse a la velocidad de la luz. He mostrado (Tipler,
1994) que tales cohetes pueden viajar distancias cosmológicas, utilizando la expansión del universo mismo para frenar
¡Baja el cohete! Nuestros descendientes pueden alcanzar el horizonte pseudo-evento, pero no más lejos.
Así, las leyes de la física requieren que existan otras especies inteligentes en el universo. Debido a la
Recursos limitados Argumento, las diferentes formas de vida inteligentes deben ser raras, aproximadamente una especie por Hubble
volumen. La otra forma de vida inteligente más cercana debe estar a unos 10 mil millones de años luz de distancia. Pero si fuéramos a
los buscaríamos, no los veríamos, porque a los 10 mil millones de años luz, veríamos su galaxia tal como era
Hace 10 mil millones de años, probablemente mucho antes de que se formara su sistema planetario.
VI. Conclusión y experimentos propuestos
Pero los radiotelescopios suficientemente avanzados PUEDEN ser capaces de detectar su presencia futura. En los demás
palabras, voy a argumentar ahora que hay un papel para SETI! Si no podemos detectar civilizaciones alienígenas, podríamos ser
capaces de detectar los organismos de una sola célula de los que eventualmente evolucionarán. Siempre que estos organismos
ya existía hace 10 mil millones de años.
Hay alguna evidencia de que el organismo de una célula que eran nuestros propios antepasados eran alrededor de miles de millones de
años antes de que la Tierra se formara hace 4.600 millones de años. William Schopf (1999, p. 77) ha descubierto estructuras
en los 3.465 ± 5 millones de años de edad Apex chert de Australia que se asemejan mucho a las cianobacterias modernas. Schopf
identificó estas estructuras como cianobacterias fósiles, una identificación que ha sido cuestionada recientemente. Pero yo
asumirá que su identificación es correcta, así que puedo considerar las consecuencias.
Ahora las cianobacterias son en realidad máquinas bioquímicas muy sofisticadas. Si el fósil encontrado por Schopf son
de hecho cianobacterias, entonces toda la maquinaria de los procariotes, incluyendo la capacidad fotosintética, debe haber sido
presente en la Tierra casi tan pronto como la Tierra llegó a ser capaz de sostener la vida, hace unos 3.8 billones de años.
Schopf mismo señala (1999, p. 98) que parece extraordinario suponer que esta tanta sofisticación
podría haber evolucionado en el período geológicamente corto entre la solidificación de la Tierra y la fecha de
los fósiles de Apex. Estoy de acuerdo con Schopf. Si de hecho las estructuras de Apex son fósiles de cianobacterias, entonces estos
los organismos no pueden haber evolucionado en la Tierra. Deben haber evolucionado su nivel observado de sofisticación en
algún otro planeta cuya estrella hace mucho tiempo dejó la secuencia principal, y en el proceso, dispersó las cianobacterias
en todo el espacio interestelar.
En la conferencia del Castillo de Windsor, Paul Davies destacó la opinión consensuada de que las cianobacterias
podría sobrevivir a un viaje desde uno de los planetas del Sistema Solar, pero debido a la cantidad de radiación que
recibirían, no podrían sobrevivir a un viaje interestelar. Pero la evidencia que Pablo citó era teórica,
en lugar de experimental. Cianobacterias son capaces de sobrevivir a explosiones nucleares, y han sido
conocido por vivir dentro de reactores nucleares (Schopf, 1999, pp. 232-234). Dada la capacidad de cianobacterias para
sobrevivir a la radiación, su complejidad bioquímica, y la evidencia de que aparecieron casi instantáneamente
en la Tierra, creo que la preponderancia de la evidencia dice que las cianobacterias evolucionaron miles de millones de años antes
la Tierra se formó, en una estrella que ha desaparecido desde hace mucho tiempo.
Esta hipótesis tiene consecuencias. Primero, nuestras sondas espaciales interplanetarias deberían encontrar cianobacterias
dondequiera que en el Sistema Solar haya, o haya habido, agua líquida. Pero si las cianobacterias han sido
dispersos por todo el espacio interestelar miles de millones de años antes de que la Tierra se formara, esperaríamos encontrar
cianobacterias, con los mismos codones de ADN y maquinaria celular, donde haya agua líquida en el
Toda la Galaxia. Esta hipótesis sólo se puede probar rigurosamente con sondas espaciales interestelares. Por cierto,
nota que he dado al pasar otra razón por la que las sondas interestelares eventualmente serán enviadas por
cualquier especie inteligente: para comprobar cómo la vida está relacionada en la Galaxia.
Pero si los organismos fotosintéticos han existido durante miles de millones de años antes de que la Tierra se formara —para el
orden de 10 mil millones de años — y si nuestra evolución es típica, esperaríamos una vida inteligente cerca de la pseudo
horizonte de eventos que han evolucionado a partir de organismos, algunos de los cuales tienen capacidad fotosintética, que existían en
planetas de agua líquida hace 10 mil millones de años. También esperaríamos que hubiera tiempo para la fotosintética
organismos para convertir algunas de las atmósferas de estos planetas antiguos en atmósferas de oxígeno. Esto es lo que nosotros
debe buscar en galaxias distantes: las líneas espectrales de oxígeno libre. Desde hace mucho tiempo se sabe que la
El oxígeno en la atmósfera de la Tierra puede ser visto a una distancia de 10 años luz por un telescopio orbitante de un metro.
Un telescopio de millones de kilómetros sería capaz de ver líneas libres de oxígeno en atmósferas planetarias cerca del pseudo
horizonte de eventos. A partir de los argumentos anteriores, algunas de esas atmósferas deben existir.
Un telescopio de un millón de kilómetros no va a ser construido en el futuro inmediato. A corto plazo, me gustaría
proponer probar la hipótesis de que el exceso de materia sobre la antimateria es responsable de la
aceleración, y que una condición límite especial en los campos del Modelo Estándar genera el exceso
de materia sobre antimateria. Esto se puede hacer con bastante facilidad, utilizando una modificación del equipo original que
descubrió el CMBR. He demostrado en (Tipler, 2001, 2005) que si la física modelo estándar es responsable
para la materia oscura y la energía oscura, entonces el CMBR no debe emparejarse con electrones diestros,
y esto se puede ver enviando el CMBR a través de filtros que consisten en conductores pobres. A través de tal
filtro, el CMBR sería más penetrante que la radiación térmica de la misma temperatura. He mostrado
que el mismo efecto es visible en el efecto Sunyaev-Zel-dovich (Tipler, 2005), y es responsable
para el gran poder penetrante de los rayos cósmicos de energía ultraalta (Tipler, 2001, 2005).
Dos de los argumentos contra la existencia de ETI han existido durante mucho tiempo. La evolución
el argumento se remonta a Alfred Wallace, con Darwin el co-descubiertor del principio de la selección natural.
La Paradoja Fermi se remonta a Enrico Fermi. He añadido un tercero, el “Limited Resources Argument” que
conecta la rareza de la vida inteligente en el universo con la supervivencia ilimitada de la inteligencia en el futuro lejano.
Pero para apreciar el poder de este argumento, debemos aprender a abandonar las formas antropocéntricas de pensar.
Debemos abandonar la idea (generalmente tácita) de que nuestra tecnología agota lo que es posible utilizando lo conocido.
leyes de la física. Debemos abandonar la idea de que el universo actúa de acuerdo a los patrones de pensamiento humano,
que la causalidad funciona del pasado al futuro. Debemos abandonar la idea de que el universo nos evoluciona como el
nivel más alto de inteligencia, y que todas las otras especies inteligentes estarán tan limitadas en el espacio como nosotros. Por último,
debemos abandonar la idea de que hay un límite a lo que la inteligencia puede lograr, y esa inteligencia
nunca jugará un papel en la escala cosmológica. Una vez que abandonamos estas formas humanas de pensar, podemos
apreciar la verdadera relación entre la vida inteligente y el cosmos.
Bibliografía
Barrow, J.D., Tipler, F.J. 1986 Principio cosmológico antropológico, Oxford University Press.
Hawking, S.W., Ellis, G.F.R. 1973 La estructura a gran escala del espacio-tiempo, Cambridge University Press.
Schopf, W. 1999 Cuna de la vida: el descubrimiento de los fósiles más primitivos de la Tierra, Princeton University Press.
Tipler, F. J. 1994 La Física de la Inmortalidad, Doubleday.
Tipler, F. J., Graber, J., McGinley, M., Nichols-Barrer, J., Staecker 2000 gr-qc/0003082.
Tipler, F.J. 2001 astro-ph/0111520.
http://arXiv.org/abs/gr-qc/0003082
http://arXiv.org/abs/astro-ph/0111520
Tipler, F. J. 2005, Reports Prog. Phys. 68, pp. 897–964.
Weinberg, S. 1989, Rev. Mod. Phys., 61, pp. 1–22.
| Presentaré tres argumentos para la proposición de que la vida inteligente es
muy raro en el universo. En primer lugar, resumiré la opinión consensuada de:
los fundadores de la síntesis moderna (Simpson, Dobzhanski, y Mayr) que el
la evolución de la vida inteligente es extremadamente improbable. En segundo lugar, lo haré.
desarrollar la Paradoja Fermi: si existieran estarían aquí. En tercer lugar, voy a mostrar
que si la vida inteligente fuera demasiado común, se utilizaría todo lo disponible
recursos y morir. Pero voy a demostrar que el principio mecánico cuántico
de unidad (¡en realidad una forma de teleología!) requiere vida inteligente para
sobrevivir hasta el fin de los tiempos. Por último, voy a argumentar que, si el universo es
de hecho acelerando, entonces la supervivencia hasta el fin de los tiempos requiere que inteligente
La vida, aunque rara, ha evolucionado varias veces en el universo visible. I
argumentará que la aceleración es una consecuencia del exceso de materia sobre
antimateria en el universo. Sugeriré experimentos para probar estas afirmaciones.
| Introducción
Martin Rees es aficionado a argumentar, la ausencia de pruebas no es evidencia de ausencia. ¿Cómo podría alguien
¿No está de acuerdo? Pero sobre la cuestión de la existencia de la vida inteligente extraterrestre, tenemos un hecho innegable:
no están aquí. Es decir, seres inteligentes extraterrestres no están obviamente presentes en nuestro planeta, o en
nuestro sistema solar. ¡Creo que incluso Martin estará de acuerdo con esto! Pero afirmo que este hecho nos permite concluir que
inteligencia extraterrestre (ETI) es ausencia de nuestra Galaxia y del Grupo Local de galaxias. En los demás
palabras, si existieran, ¡estarían aquí!
Este argumento se ha llamado a menudo la Paradoja de Fermi. Creo que es análogo a la paradoja de Olbers en
cosmología, que utiliza un hecho igualmente obvio, conocido por todos nosotros — el hecho de que el cielo es oscuro por la noche
— para concluir que el universo debe haber evolucionado a su estado actual. El universo no puede haber sido
lo mismo que aparece ahora para toda la eternidad. En la sección 2 esbozaré las razones por las que la ausencia de IET
en la Tierra nos permite concluir que no existen en nuestro barrio galáctico. He desarrollado esto.
el argumento es mucho más detallado en otras partes, abordando todos los argumentos contrarios que se han propuesto. Así que yo
sólo describiré mi argumento en la sección 2. Sólo voy a esbozar el argumento evolutivo contra ETI
Aquí. Mayr, Dobzhanski, Simpson y Ayala han defendido esta posición durante los últimos 40 años,
y estoy seguro de que este argumento es bastante familiar para los lectores de esta revista. Lo que quiero desarrollar en este
papel es un nuevo argumento contra la existencia de ETI.
Lo llamaré el Argumento de Recursos Limitados. Está relacionado con la Paradoja de Fermi en que asume
que una forma de vida inteligente se expandirá inevitable fuera de su planeta de origen y una vez que esta expansión comienza,
Nunca se detendrá. Pero si la vida inteligente fuera común en el cosmos, la expansión de la civilización tecnológica
usaría los recursos tan rápido que la vida inteligente se extinguiría. Si la vida inteligente es rara, la velocidad de la luz
la barrera evitará que la vida agote los recursos demasiado rápido.
La reacción inmediata a este argumento es, por lo que si la vida inteligente utiliza los recursos demasiado rápido y
¿Se muere? ¿Tenemos alguna razón para creer que inteligente tiene alguna garantía de supervivencia que otro
las especies no lo hacen? La mayoría de las especies que han evolucionado se han extinguido y no han dejado descendientes. ¿Por qué debería
¿Los Homo sapiens son diferentes? No hay evidencia de la biología evolutiva de que la inteligencia deba
Sobrevivir indefinidamente.
Pero hay evidencia de la física sobre la importancia de la vida de inteligencia en la cosmología. Por supuesto que no.
la fase actual de la historia universal, pero en cambio cerca del final del universo.
http://arXiv.org/abs/0704.0058v1
II. Por qué la vida inteligente debe ser rara
A. El improbable argumento de la evolución
El argumento contra ETI con el que la mayoría de los lectores de esta revista estarán familiarizados se remonta a Alfred
Russell Wallace, y más recientemente ha sido defendido por evolucionistas tan importantes como George Gaylord Simp-
hijo, Theodosius Dobzhanski, y Ernst Mayr. Estos científicos señalan que de acuerdo con el
Síntesis, la evolución no tiene conocimiento de metas. En cambio, la selección natural actúa sobre mutaciones aleatorias, muta-
ciones que nunca aparecen con la intención de alcanzar una meta en un futuro lejano. Hay un enorme
número de vías evolutivas, y tan pocos de estos conducen a la vida inteligente, que es poco probable inteligente
la vida aparecerá más de una vez en el universo visible, que es la parte del universo dentro de 13.700 millones
años luz. Se observa que el universo tiene 13.7 billones de años, por lo que no podemos ver una distancia mayor
que 13.7 billones de años luz, la luz de distancia podría haber viajado en ese tiempo. (En realidad, podemos ver hacia fuera
un poco más allá de 13.700 millones de años luz debido a la expansión del universo, pero permítanme ignorar esto
menor tecnicismo.) Incluso si asumimos que toda la materia y la energía en el universo visible estaban en
la forma de planetas semejantes a la Tierra, sólo habría (!) alrededor de 1028 planetas similares a la Tierra en el universo visible.
Este número asume que “como la tierra” significa sólo que la masa del planeta es mayor o igual a
la masa de la Tierra. No se hace ninguna suposición acerca de la estrella, la atmósfera o el radio orbital del planeta.
El conocido evolucionista Francisco Ayala ha hecho recientemente este argumento cuantitativo. Él estima
que la probabilidad de que una especie inteligente evolucione en un planeta similar a la Tierra sobre el cual organismos de una célula
han aparecido es menos de 10 a la menos un millón de energía! Este número es tan pequeño que la evolución
de la vida inteligente es extremadamente improbable que haya ocurrido incluso una vez. El número de Ayala no está contradicho
por el hecho de que la vida inteligente existe en la Tierra. Es extremadamente improbable que exista en cualquier lugar.
en el universo (al menos si el universo es finito en tamaño espacial, como argumentaré en la Sección IV que es).
El número de Ayala depende de la suposición de que los cambios genéticos sobre los que opera la selección natural son
esencialmente al azar. La evolución no tiene previsión. Mayr ha subrayado que la inteligencia en la tierra se limita a
el linaje cordate, por lo que, argumenta que si los cordates nunca aparecieron en la Tierra, tampoco lo haría la inteligencia.
Pero los acordes evolucionaron por primera vez hace más de medio billón de años. Estos animales no sabían que tenían que
evolucionar para que el Homo sapiens eventualmente apareciera. La selección natural sólo puede operar durante la cría de un animal
De por vida. No puede seleccionar un genoma con la intención de utilizar el genoma mil millones de años después.
Hay una advertencia importante a esto; una advertencia señalada por primera vez por el mismo Charles Darwin en el último
páginas de su libro La variación de animales y plantas bajo domesticación. Darwin señaló que en el
nivel final de la física, el universo es determinista. Esto significa que en el nivel final, no hay
Acontecimientos aleatorios. En particular, la evolución del Homo sapiens era inevitable, determinada por el estado inicial
del universo y de los universos condiciones iniciales. La variación “Random” no significa sin causa. Es sólo que...
significa impredecible para los seres humanos. Por lo tanto, en este último nivel físico, Darwin afirma que su
la propia teoría es sólo una aproximación. Darwin señaló que el avance de la ciencia podría permitirnos obtener
suficiente información para predecir estas variaciones “aleatorias”. Discutiré a continuación que esta vez ha llegado.
B. Si existieran, estarían aquí
El argumento contra la existencia de vida inteligente extraterrestre que he desarrollado en la mayoría
El detalle a veces se llama la Paradoja de Fermi: si existieran, estarían aquí. La fuerza de este argumento es
por lo general no se aprecia, porque la mayoría de la gente... e incluso la mayoría de los científicos (! — asumir tácitamente que cualquier extranjero
la civilización, no importa cuándo evolucionaron o cuánto tiempo han tenido tecnología avanzada, sin embargo,
tienen esencialmente la tecnología de finales del siglo XX. La razón de esta suposición tácita es la habitual
debilidad humana: tenemos la desafortunada costumbre de tratar de imponer nuestras actuales perspectivas humanas sobre la
universo físico.
Pero consideremos las consecuencias de una tecnología informática ligeramente más avanzada que la que tenemos ahora.
Sí. Según la mayoría de los expertos informáticos, dentro de un siglo o así deberíamos tener programas de ordenador que
tener inteligencia a nivel humano, computadoras que pueden ejecutar tales programas y también hacer copias de sí mismos
y los programas. Imagina una máquina así combinada con nuestra tecnología de cohetes en una sonda espacial. Semejante
la sonda espacial puede alcanzar la estrella más cercana en 40.000 años. Una vez allí en el sistema estelar más cercano, la sonda podría
hacer varias copias de sí mismo, utilizando el material de asteroides que ahora sabemos que está presente en casi todas las estrellas
sistemas, enviando estas sondas hijas a otros sistemas estelares, donde el proceso se repetiría. Incluso
con nuestra tecnología de cohetes, cada sistema estelar en toda la Galaxia tendría una sonda dentro de 100 millones
años. Con una tecnología de cohetes más avanzada, una tecnología de cohetes que incluso hoy en día se ha experimentado
con, debería ser posible enviar una sonda entre las estrellas a una velocidad de luz de 1/10. Con tal velocidad, sondas
cubriría toda la galaxia en unos pocos millones de años. ¡Y todo por el costo de una sola sonda!
Casi cualquier motivación que podamos imaginar conduciría a una especie inteligente con la tecnología para lanzar
Esa sonda única. Supongamos, por ejemplo, que ET quiere contactar con otras formas de vida inteligentes. Entonces en lugar de
Envía señales de radio, deberían enviar esa sonda. Con la radio, uno tiene que enviar las señales.
a muchas estrellas, durante muchos miles de años. (Esperaríamos que la evolución a la inteligencia requiriera miles de millones
de años, como lo hizo en la Tierra.) Pero una vez lanzada la sonda, la cobertura de toda la galaxia es automática.
Una vez en un sistema estelar objetivo, la sonda inteligente puede contactar con cualquier forma de vida inteligente que tenga
evolucionó en cualquier planeta del sistema. O si no se encuentra vida inteligente, la sonda puede estudiar todo el sistema
y transmitir los resultados de vuelta a la Tierra. Esta investigación in situ es obviamente imposible si las señales de radio
son enviados en lugar de una sonda espacial.
Uno podría pensar que una especie inteligente sería renuente a usar sondas debido a la preocupación de que
estas máquinas eventualmente escaparían del control de las especies transmisoras originales. Pero lo mismo
Se puede hacer objeción al envío de señales de radio. Es imposible predecir el uso de una especie receptora
haría de la información en la señal. Muchos científicos aquí en la Tierra se han opuesto a la transmisión
de señales, temiendo que los alienígenas hostiles puedan usar las señales para llegar a casa en nuestro planeta. El miedo a perder el control
de las sondas — que, puesto que estas máquinas son seres racionales, deben ser considerados como nuestros hijos de la mente
— aplicar con la misma fuerza a nuestros descendientes biológicos. “Ninguna especie existente ahora transmitirá su
la semejanza a una futuridad distante” fue como Darwin puso en las páginas finales del Origen de las Especies. No lo sabemos.
si serán buenos o malos según nuestros estándares. Sabemos que en un futuro lejano no serán Homo
Sapiens.
Pero a la larga, nuestros descendientes, sean como sean, ya sean máquinas de silicio o
los dispositivos de ADN más familiares, deben abandonar la Tierra si quieren sobrevivir. Dentro de 6 mil millones de años, la
La atmósfera del Sol se expandirá y envolverá a la Tierra, la cual entrará en espiral en el Sol y será vaporizada. A
un destino similar está reservado para todas y cada una de las especies inteligentes que evolucionan en un planeta acuático. Hacer el razonable
Suposición darwiniana de que la supervivencia será una motivación central de todas las especies inteligentes, todas las especies inteligentes
eventualmente desarrollará viajes espaciales, dejará su planeta, y colonizará su propio sistema estelar. El universo
tiene 13.7 billones de años, y la mayoría de las estrellas y sus planetas son miles de millones de años mayores que los nuestros. Por lo tanto,
sea cual sea la probabilidad de que la vida inteligente evolucione en un planeta semejante a la Tierra en el que aparezcan organismos de una célula,
La mayoría de las especies inteligentes serían miles de millones de años mayores que nosotros. Deberían haber dejado a su madre.
planeta hace miles de millones de años. Una vez que salen de su planeta, nada puede detener su expansión en interestelar
espacio. Si existieran, estarían aquí.
C. Argumento sobre recursos limitados
Una vez que una especie inteligente comienza su expansión en el espacio interestelar, sólo hay la velocidad de la luz
barrera para detener la expansión. Además, como Dyson ha subrayado, la vida inteligente eventualmente se desarrollará
la capacidad de convertir cualquier forma de materia en materia viva y dispositivos de soporte vital. Dado el tiempo, inteligente
la vida puede desmontar no sólo asteroides, sino también planetas del tamaño de Júpiter e incluso estrellas. Por lo tanto, una galaxia
que ha sido invadido (infectado?) por un espacio que viaja forma de vida inteligente comenzará a desaparecer. Esto,
Por cierto, es otro argumento para la singularidad humana en el universo visible. Nunca hemos observado
galaxias en proceso de desintegración controlada. La vida inteligente, a largo plazo, debe aparecer como un
horda de langostas, devorando toda la materia en su dominio. Un amplio gobierno galáctico no puede ser establecido para detenerse
tal comportamiento debido a la velocidad de la barrera de la luz, pero incluso si se pudiera establecer, no tendría opción
pero para permitir tal comportamiento. La supervivencia requiere la conversión de la materia en energía. Fijación de un límite máximo
a cuanta materia puede ser tan convertida simplemente condenaría la vida a la extinción.
Sin embargo, la velocidad de la barrera de la luz, que impide que un gobierno de escala galáctica se establezca
evitar que la vida devore toda la materia, impone una limitación a la rapidez con la que la vida puede utilizar los recursos. Los
disco de nuestra galaxia tiene unos 100.000 años luz de ancho; no usamos los recursos materiales de nuestra galaxia en menos
más de 100.000 años. El cúmulo de Virgo está a unos 60 millones de años luz de distancia. No podemos utilizar los recursos
del grupo de Virgo en menos de 60 millones de años. Si el universo se cerrara y desacelerase, un solo
forma de vida inteligente no podía devorar el universo entero hasta después de que el universo había comenzado a volver a colapsar.
En realidad el universo se está acelerando actualmente. Si esta aceleración continuara para siempre en su presente
, nuestros descendientes podrían devorar sólo la región actual en un máximo de 10 mil millones de años luz. Este límite
se impone por la velocidad de la barrera luminosa modificada por la aceleración universal.
Pero cuanto más inteligente es la vida que hay en el universo, más planetas sobre los cuales la vida inteligente inde-
A medida que los recursos evolucionen, se agotarán con mayor rapidez. Cuando se agoten todos los recursos materiales,
La vida inteligente morirá. Cuanto más común sea la vida inteligente en el universo, más rápidamente se convertirá
Extinto.
Por el contrario, si la vida inteligente es bastante rara — una sola especie inteligente, si el universo estaba cerrado y
la vida inteligente se vería obligada por las leyes de la física a utilizar los recursos a la derecha
para sobrevivir hasta el final de los tiempos. E incluso especies más inteligentes podrían sobrevivir si el universo
iban a tener un período de aceleración en su fase de expansión, como se observa que tiene el universo.
Pero ¿por qué el universo debe ajustar el número de especies inteligentes para que los descendientes de la
¿Las especies sobrevivirían hasta el fin de los tiempos? Como Darwin señaló en las páginas finales del Origen de las Especies,
casi todas las especies que han existido en la Tierra han muerto, sin dejar descendientes. ¿Por qué debería un
forma de vida inteligente tiene una probabilidad de supervivencia totalmente diferente de casi todas las otras especies? Afirmo que
vida inteligente sobrevivirá hasta el final de los tiempos porque las leyes de la física lo requieren. O para ponerlo otro
maneras, porque tal supervivencia es una de las metas del universo.
III. Unitariaridad es Teleología
La teleología ha sido completamente rechazada por los biólogos evolutivos. Este rechazo es desafortunado, porque,
La teleología está viva y bien en la física, bajo el nombre de unitariedad. La unidad es un postulado absolutamente central
de la mecánica cuántica, y tiene muchas consecuencias. Una de estas consecuencias es el teorema del CPT, que
implica que los factores g de partículas y antipartículas deben ser exactamente iguales. Esta igualdad (para los electrones
y positrones) se ha verificado experimentalmente a 13 decimales, el número experimental más preciso
Lo hemos hecho. ¡Es por eso que muy pocos físicos están dispuestos a renunciar al postulado de unidad! Además,
la unidad está estrechamente relacionada con la ley de conservación de la energía, y se ha demostrado una violación de la unidad
para resultar generalmente en la gigantesca creación de energía de la nada. Un modelo (debido a Leonard Susskin) de
la violación de la unidad tenía la implicación de que cada vez que se encendía un horno de microondas, tanta energía era
creado que la Tierra fue destrozada. Así que los físicos son muy reacios a abandonar la unidad.
La unidad se aplica más a menudo a lo que los físicos llaman la matriz S, que es la mecánica cuántica
operador lineal que transforma cualquier estado en el pasado final a un estado único en el futuro final. Pero
unitarity más generalmente se aplica al operador de la evolución del tiempo, un operador lineal que lleva el cuántico
estado del universo en cualquier momento inicial único en el estado cuántico del universo en cualquier futuro elegido
Tiempo. Únicamente es una palabra clave. Significa que la unitariedad es la versión mecánica cuántica del determinismo.
Contrariamente a lo que se piensa generalmente, el determinismo está vivo y bien en la mecánica cuántica. Determinismo,
Sin embargo, se aplica a las funciones de onda (estados cuánticos) en lugar de a las partículas individuales. Alternativamente, nosotros
puede decir que el determinismo se aplica a colecciones coherentes de mundos más que a individuos. Hay un sentido,
que no voy a tener espacio para discutir aquí, en el que la mecánica cuántica es más determinista que clásica
mecánica, y que Schrödinger deriva su famosa ecuación al exigir que la mecánica clásica en ella
la expresión más general (Teoría Hamilton-Jacobi) sea determinista. (Véase Tipler (2005) para el análisis matemático
detalles.)
Pero el habitual determinismo pasado a futuro no es el significado fundamental de la unitariedad. ¿Qué unidad?
realmente significa que el inverso del operador de la evolución del tiempo existe, y se calcula fácilmente a partir del tiempo
el operador de la evolución al formar el conjugado ermitaño del operador de la evolución del tiempo. Cualquier operador cuyo
inversa se obtiene de esta manera se dice que es un operador unitario. Pero en el contexto actual, lo importante
punto es que el inverso del operador de la evolución del tiempo existe. La inversa de cualquier operador es un operador
que deshaga el efecto del operador original. En el caso del operador de la evolución del tiempo, que genera
evolución del pasado al futuro, el operador inverso genera evolución del futuro al pasado. En otras palabras, lleva
estados cuánticos futuros única en estados cuánticos pasados. Por lo tanto, unitariedad nos dice que cualquier
declaración de la causalidad habitual pasado-a-futura es matemáticamente equivalente a alguna declaración completa de
causalidad de futuro a pasado. En un lenguaje más tradicional, una lista completa de todas las causas eficientes es equivalente a
una lista completa de las causas finales. ¡La telelogía ha renacido!
Sin embargo, la Segunda Ley de la Termodinámica dice que la complejidad del universo en el
El micronivel está aumentando con el tiempo. Esto significa que por lo general será el caso de que la causalidad pasado-a-futura
será la explicación más simple de los dos lenguajes causales. Pero no siempre será así. Deberíamos
Recuerden siempre que para la realidad física los dos lenguajes de causalidad son matemáticamente equivalentes. Lo siento.
puede ser ocasionalmente el caso que nosotros los humanos podemos entender donde la evolución del universo está tomando
sólo usando la causalidad del futuro al pasado. Es decir, podemos entender lo que está pasando ahora sólo por
considerando el objetivo final del universo.
Rechazar esta posibilidad es un error terrible. Los humanos piensan naturalmente en términos de pasado a futuro
causalidad porque nuestros recuerdos están diseñados (por las leyes de la física) para trabajar en esta dirección temporal. Pero la
el universo no está restringido de manera similar. Es un error imponer limitaciones humanas al universo físico. Lo siento.
fue un terrible error exigir que la mecánica del sistema solar se vea simple en un marco geocéntrico de referencia.
Permítanme ahora usar esta causalidad de futuro a pasado para demostrar que la evolución biológica no puede ser completamente
Al azar. Ahora voy a argumentar que las leyes de la física requieren vida inteligente para evolucionar en algún lugar, y sobrevivir
hasta el fin de los tiempos.
IV. Por qué la vida inteligente debe existir en el futuro lejano
La necesidad de una vida inteligente en un futuro lejano es una consecuencia automática de las leyes de la física,
específicamente la mecánica cuántica, la relatividad general, el modelo estándar de la física de partículas, y la mayoría de impor-
la Segunda Ley de la Termodinámica. Demostraré que la coherencia mutua de estas leyes requiere
Tres cosas. Primero, el universo debe estar cerrado (la topología espacial del universo debe ser una tres esferas).
Segundo, la vida debe sobrevivir hasta el fin de los tiempos. En tercer lugar, el conocimiento que posee la vida debe aumentar a
infinito a medida que se acerca el fin de los tiempos. No asumo que la vida sobreviva hasta el fin de los tiempos. La supervivencia de la vida
sigue de las leyes de la física. Si las leyes de la física son para nosotros, ¿quién puede estar en contra de nosotros?
Pero antes de probar que las leyes de la física requieren vida para sobrevivir, permítanme primero mostrar que es posible
para que la vida sobreviva. Para sobrevivir por un tiempo experiencial infinito, la vida requiere un suministro ilimitado de energía. Que
es, el suministro de energía disponible debe divergir hasta el infinito a medida que se acerca el fin del tiempo. Sin embargo,
la conservación de la energía requiere que la energía total del universo sea constante. De hecho, Roger Penrose tiene
demostrado que la energía total de cualquier universo cerrado es ZERO! La energía total es cero ahora, era cero en el
pasado, y será cero en todo momento en el futuro. Uno podría preguntarse cómo esto es posible. Después de todo, somos
ahora recibiendo energía del Sol, estamos usando energía alimentaria mientras leemos esto, y podemos extraer energía
del carbón, el petróleo y el uranio. En otras palabras, la energía parece no ser cero.
Sin embargo, las formas de energía que se acaban de enumerar no son todas las formas de energía en el universo. También hay
energía gravitacional, lo cual es negativo. Así que si añadiéramos todas las formas positivas de energía — radiante
energía, la energía almacenada en el carbón, el petróleo y el uranio, y lo más importante, la energía en masa de la materia —
a la energía gravitacional negativa, la suma es cero. Esto significa que si podemos hacer la gravitación
energía aún más negativa, la energía positiva, es decir, la energía disponible para la vida, necesariamente aumenta,
a pesar de que la energía total en el universo permanece cero. La propiedad clave de la energía que siempre debe ser
tiene en mente que se transforma de una forma a otra. Una vez que nos demos cuenta de que la energía gravitacional puede
transformados en energía disponible, entendemos donde la vida puede obtener la fuente ilimitada de
energía que necesita para sobrevivir: la vida debe hacer el enfoque de energía gravitacional total menos infinito.
La vida sólo puede hacer esto si el universo está cerrado, y se derrumba a cero tamaño a medida que se acerca el fin de los tiempos.
Por el contrario, si el universo se cierra y colapsa a cero tamaño, entonces la energía gravitacional total va a
menos infinito, ya que la energía gravitacional de un sistema es inversamente proporcional al tamaño del sistema.
He demostrado en mi libro (Tipler, 1994) que la vida puede de hecho extraer energía disponible ilimitada de la
colapso del universo.
Ahora permítanme esbozar la prueba de mis tres afirmaciones anteriores. Sólo puedo dar aquí un esbozo. Para completar
los detalles, el lector se refiere a mi libro (Tipler, 1994) y a los documentos (Tipler et al, 2000), y (Tipler
2001)) sobre arXiv, la base de datos física previa a la impresión (disponible en la Internet en http://arxiv.org/). Agujeros negros
existe, pero Hawking probó que eran agujeros negros para evaporarse por completo — como necesariamente lo harían si el
el universo se expandiría para siempre — los agujeros negros violarían la unitariedad, la ley fundamental de la
mecánica que describí en la sección anterior. Por lo tanto, el universo debe finalmente dejar de expandirse,
colapsar, y terminar en una singularidad final. Si esta singularidad final fuera acompañada por horizontes de eventos, entonces
el Bekenstein Bound (otra ley de la mecánica cuántica, básicamente el Principio de Incertidumbre de Heisenberg
http://arxiv.org/
se expresa en el lenguaje de la teoría de la información) tendría el siguiente efecto. Se obligaría a que todos
la información de microestado en el universo para ir a cero a medida que el universo se acerca a la singularidad final.
Pero la información de microestado que va a cero implicaría que la entropía del universo tendría que
ir a cero, y esto contradiría la Segunda Ley de la Termodinámica, que dice que la entropía de
el universo nunca puede disminuir. Pero si los horizontes de eventos no existen, entonces el Bekenstein Bound permite el
información en los microestados a divergir hasta el infinito a medida que se acerca la singularidad final. Por el contrario, SOLO
si no existen horizontes de eventos puede la mecánica cuántica (el Bekenstein Bound) ser consistente con el Segundo
Ley de la Termodinámica. Por lo tanto, los horizontes de eventos no pueden existir, y por el Teorema de Seifert (ver (Tipler,
1994), p. 435) la no existencia de horizontes de eventos requiere que el universo se cierre espacialmente. En Penrose
c-construcción de límites (Tipler, 1994), (Hawking y Ellis, 1973), una singularidad sin horizontes de eventos es un
un solo punto. Yo llamo a tal singularidad final el punto OMEGA. En una conferencia en el Castillo de Windsor, Martin Rees
objetó que muchos físicos (en particular, él mismo) no aceptan la prueba de Hawking de que la unidad
fueron violados fueron un agujero negro para evaporarse hasta completarse. Pero la mayoría de los físicos que rechazan Hawking’s
el argumento, sin embargo, acepta que existe, sin embargo, un problema de información de agujero negro: es decir, que nosotros
debe explicar cómo sale la información que cae en un agujero negro. Muchas soluciones a la información
El problema ha sido propuesto, pero todas estas soluciones (excepto la que voy a avanzar) tienen una característica en
frecuentes. Todos ellos implican nuevas leyes propuestas de la física. Mi propuesta: que no haya horizontes de acontecimientos
en absoluto, por lo tanto no hay horizontes de eventos de agujero negro, por lo que toda la información en todos los eventos son accesibles a todos los observadores
en el futuro lejano — NO implica nuevas leyes físicas. Sólo se utiliza la relatividad general clásica. Utilizo
Hawkings argumento unitariedad sólo para inferir la inexistencia de horizontes de eventos. Si resolvemos el agujero negro
Problema de la información simplemente asumiendo la inexistencia de horizontes de eventos, entonces no necesito usar tampoco
el Bekenstein Bound o la Segunda Ley de la Termodinámica para inferir la existencia del Punto Omega,
o cierre espacial. Resolver el problema de la información usando física conocida automáticamente no produce ningún evento
horizontes y cierre espacial para el universo.
Si el universo evolucionara hacia un tipo de singularidad final de Omega Point sin que la vida estuviera presente a
guiar su evolución, entonces la no existencia de horizontes de eventos significaría que el universo estaría evolucionando
en un estado infinitamente improbable. Tal evolución contradiría la Segunda Ley de la Termodinámica,
que requiere que el universo evolucione de estados menos probables a más probables. Por otro lado, si la vida
está presente guiando la evolución del universo hacia la singularidad final, luego la ausencia de horizontes de eventos
es en realidad el estado más probable, porque la ausencia de horizontes de eventos es exactamente lo que la vida requiere
para sobrevivir (detalles en mi libro (Tipler 1994)). En otras palabras, la validez de la Segunda Ley
de la Termodinámica REQUIERE que la vida esté presente todo el camino en la singularidad final, y además, el
La Segunda Ley requiere que la vida guíe al universo de tal manera que elimine los horizontes de eventos. La vida es la
sólo un proceso consistente con la ley física conocida capaz de eliminar horizontes de eventos sin el universo
evolucionando a un estado infinitamente improbable. Exactamente cómo la vida elimina los horizontes de eventos se describe en
mi libro (Tipler, 1994). Hablando en términos aproximados, la vida empuja el universo para permitir que la luz circunnavegue
el universo primero en una dirección, y luego en otra. Esto se hace repetidamente, un número infinito de veces.
Hay así un número INFINITO de circunnavegaciones de luz antes de que se alcance el Punto Omega. Si
debíamos considerar una sola circunnavegación como una sola garrapata del reloj de luz habría un infinito
cantidad de ese tiempo entre ahora y el Punto Omega. Un tiempo aún más físico sería el número
de experiencias que la vida tiene entre ahora y el Punto Omega. Este “tiempo experiencial” — el tiempo
experimentado por la vida en el futuro lejano — es el tiempo físico más apropiado para usar cerca del Punto Omega.
Es mucho más apropiado que el tiempo apropiado basado en humanos que ahora usamos en nuestros relojes.
V. La vida en el futuro de un universo acelerador
Como cualquiera que haya leído las columnas científicas de los periódicos durante la última década sabe, el universo
ahora se está acelerando. Las más recientes observaciones WMAP de la Radiación Cósmica de Fondo de Microondas
proporcionar la evidencia más fuerte para la aceleración, pero hay varias líneas independientes de evidencia que conducen
hasta la conclusión de que el universo se está acelerando. La evidencia es también fuerte que el mecanismo para el
la aceleración se debe a una constante cosmológica positiva. Si esta aceleración continuara para siempre, entonces como
Barrow y yo mostramos en nuestro libro (Barrow y Tipler, 1986), la vida inteligente eventualmente morirá, y el
Toda la teoría, que describí en la sección III, sería falsa. Si la vida inteligente va a continuar hasta el mismo
fin de los tiempos —como debe ser si las leyes de la física han de mantenerse en todo momento— entonces el universo debe eventualmente
dejar de acelerar, ralentizar hasta que la expansión se detenga, y luego volver a colapsar a una singularidad final. En este
sección, voy a esbozar un mecanismo que puede cancelar la aceleración. Mi propuesta asume la validez de
el Modelo Estándar de Física de Partículas, una teoría que hasta ahora se apoya en todos los experimentos realizados para
fecha, y que proporciona sólo un mecanismo para una aceleración universal.
Las últimas observaciones de WMAP de la Radiación Cósmica de Fondo de Microondas (CMBR) han proporcionado
los siguientes hechos. Primero, el universo tiene 13.700 millones de años. En segundo lugar, en la época actual, la densidad
los parámetros de la curvatura, la materia ordinaria, la materia oscura y la energía oscura son respectivamente
En el caso de los vehículos de motor, el valor de los vehículos de motor no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Nótese que el subíndice de la energía oscura es
usar este subíndice para enfatizar que los datos de WMAP indican que la energía oscura se ve observacionalmente como la
el efecto de una constante cosmológica positiva, tradicionalmente escrita. Cualquier teoría cosmológica correcta debe ser
de conformidad con estas observaciones.
El Modelo Estándar, mínimamente acoplado a la gravedad, necesariamente tiene una constante cosmológica positiva. I
predicho en mi libro (Tipler, 1994) que esta constante cosmológica haría que el universo experimentara un
aceleración. Sostuve que esta aceleración ocurriría en la fase de colapso de la historia universal. Lo hice.
no se dan cuenta de que una aceleración también podría ocurrir en la fase de expansión. Aunque debería haberlo hecho, desde el
El modelo estándar requiere tal aceleración.
El Modelo Estándar requiere una constante cosmológica positiva para cancelar el efecto del vacío de Higgs.
Recordemos que según el Modelo Estándar, el universo está impregnado con un valor no cero del Higgs
campo, y es este valor no cero que rompe la simetría electrodébil y da masa a todas las partículas.
Pero esta ruptura de simetría se logra a través del potencial de Higgs, que para el campo de Higgs constante, actúa
exactamente una constante cosmológica negativa muy fuerte. Inicialmente, en la singularidad del Big Bang, el campo de Higgs,
y por lo tanto el potencial de Higgs, era cero. Pero cero no es el valor más bajo del potencial, así como el universo
expandido, el potencial de Higgs cayó a su valor más bajo, correspondiente a una constante cosmológica negativa.
Ahora en la relatividad especial, esta constante negativa se puede volver a normalizar fuera de la existencia. En general, no.
relatividad. Cualquier constante en la materia Lagrangian multiplica el elemento de volumen invariante, y es equivalente
a poner una constante cosmológica en el Lagrangian (Weinberg, 1988).
El valor de la constante cosmológica negativa correspondiente al potencial de Higgs puede ser establecido por
experimentar, y es enorme: −1.0× 1026 gm/cm3, en comparación con la densidad de energía de la materia oscura
y energía oscura, sólo 10-29 gm/cm3. La única manera de que el modelo estándar sea compatible con el modelo general
La relatividad es añadir una constante cosmológica positiva de la misma magnitud al lagrangiano. Lo haríamos.
esperar el valor de la constante cosmológica positiva añadida para cancelar con precisión el valor del Higgs
potencial, cuando el Higgs está en su verdadero estado de tierra (la densidad de energía absoluta más baja del potencial).
Pero el campo de Higgs no puede estar actualmente en su verdadero estado de base, por una razón muy simple: hay más
materia que la antimateria en el universo. El Modelo Estándar tiene un mecanismo de generación de este observado
exceso de materia sobre la antimateria, pero la mayoría de los cosmólogos creen que este no puede ser el mecanismo principal
para generar materia, porque piensan, incorrectamente, que va a generar demasiados fotones a bariones. I
han demostrado que este gran número de fotones a bariones es una consecuencia de la imposición de la frontera equivocada
condiciones en el universo muy temprano. Si las únicas condiciones de frontera consistentes con el Bekenstein Bound
Fecha de nacimiento: 19.6.1981 la teoría cuántica del campo) se imponen, la proporción de fotón a barión resulta bien. El modelo estándar
la generación de la materia funciona por túnel de vacío electrodébil. Y si este túnel produce un exceso de materia
sobre la antimateria, el campo de Higgs no puede estar en su verdadero vacío. Por lo tanto, el exceso de materia sobre la antimateria en
el universo en última instancia causa la aceleración observada del universo!
Por el contrario, si el exceso de materia sobre la antimateria desapareciera —si la materia se convirtiera en
energía a través de túnel electrodébil — y si esta desaparición se produjera lo suficientemente rápido, entonces el Higgs
potencial caería hacia su verdadero estado de tierra, la constante cosmológica positiva sería progresivamente
cancelado, y el universo dejaría de acelerarse. Si el universo fuera espacialmente una tres-esfera — y
He argumentado en la sección anterior que es — entonces una vez que la aceleración se detenga, el universo se expandirá
a un tamaño máximo, y luego volver a colapsar en la singularidad final.
Siempre, por supuesto, que se pueda encontrar un mecanismo para convertir la materia en energía a través de electrweak
túnel cuántico. El mecanismo tendría que ser el inverso del proceso que creó el asunto
exceso en el universo primitivo. Pero una gran cantidad de materia fue creada en el universo temprano porque el
La densidad de energía del campo de medición era enorme. La densidad de energía del campo de medición es pequeña hoy en día: 10-31 gm/cm3, y
cada vez más pequeño a medida que el universo se expande. Si la aceleración va a parar, otro mecanismo debe aniquilar
el asunto.
Afirmo que nuestros futuros descendientes aniquilarán el asunto. Una vez más, aniquilarán al
materia para sobrevivir. La supervivencia requiere energía. Si el número de barión se conserva, entonces sólo un pequeño
fracción del contenido energético de la materia se puede extraer. Si el hidrógeno se convierte en helio, como en el
Sol, sólo el 0,7% de la masa del hidrógeno se convierte en energía. Pero si nuestros descendientes usan el inverso de
baryogénesis (el término técnico para el proceso que generó la materia en el universo temprano), TODA la energía
en la materia se puede extraer. Predigo que en el futuro, se encontrará una manera de usar la baryogénesis inversa,
nuestros descendientes usarán este proceso como su principal fuente de energía, y como consecuencia de usar allí arriba
recursos de materia, se salvarán a sí mismos, y a todo el universo. Porque si la aceleración puede ser
cancelada y el colapso universal inducido, entonces la energía de colapso gravitacional puede proporcionar un ilimitado
fuente de energía, como mostré arriba.
Pero en un universo acelerado, la vida sólo puede viajar al horizonte de eventos cosmológicos, que es de unos 10
a miles de millones de años luz de distancia en el momento presente, dado el valor observado de la energía oscura. (En realidad, debería
lo llaman “el horizonte del evento de seudo”, ya que sería un verdadero horizonte del evento sólo si la vida nunca detiene la expansión,
y el Punto Omega nunca se desarrolla. El Punto Omega, recuerde, significa que no hay horizontes de eventos.) Pero
no localidad cuántica significa que el túnel cuántico responsable de la bariogénesis genera un uniforme
densidad de bariones en grandes escalas. (Y ya que es la creación de bariones que generan perturbaciones en el
CMBR, el espectro de perturbación debe ser invariante de escala.) Esto significa que los bariones tienen esencialmente
la misma densidad en grandes escalas por todas partes en el universo. Esto significa que la aceleración debe ser
universal. Esto significa que si el universo va a volver a colapsar, los bariones deben ser aniquilados en todas partes, incluso
a distancias mayores de 10 mil millones de años luz, donde nuestros descendientes no pueden viajar, incluso se basaron en cohetes
en la aniquilación de los bariones que se construirá. Esos cohetes podrían acercarse a la velocidad de la luz. He mostrado (Tipler,
1994) que tales cohetes pueden viajar distancias cosmológicas, utilizando la expansión del universo mismo para frenar
¡Baja el cohete! Nuestros descendientes pueden alcanzar el horizonte pseudo-evento, pero no más lejos.
Así, las leyes de la física requieren que existan otras especies inteligentes en el universo. Debido a la
Recursos limitados Argumento, las diferentes formas de vida inteligentes deben ser raras, aproximadamente una especie por Hubble
volumen. La otra forma de vida inteligente más cercana debe estar a unos 10 mil millones de años luz de distancia. Pero si fuéramos a
los buscaríamos, no los veríamos, porque a los 10 mil millones de años luz, veríamos su galaxia tal como era
Hace 10 mil millones de años, probablemente mucho antes de que se formara su sistema planetario.
VI. Conclusión y experimentos propuestos
Pero los radiotelescopios suficientemente avanzados PUEDEN ser capaces de detectar su presencia futura. En los demás
palabras, voy a argumentar ahora que hay un papel para SETI! Si no podemos detectar civilizaciones alienígenas, podríamos ser
capaces de detectar los organismos de una sola célula de los que eventualmente evolucionarán. Siempre que estos organismos
ya existía hace 10 mil millones de años.
Hay alguna evidencia de que el organismo de una célula que eran nuestros propios antepasados eran alrededor de miles de millones de
años antes de que la Tierra se formara hace 4.600 millones de años. William Schopf (1999, p. 77) ha descubierto estructuras
en los 3.465 ± 5 millones de años de edad Apex chert de Australia que se asemejan mucho a las cianobacterias modernas. Schopf
identificó estas estructuras como cianobacterias fósiles, una identificación que ha sido cuestionada recientemente. Pero yo
asumirá que su identificación es correcta, así que puedo considerar las consecuencias.
Ahora las cianobacterias son en realidad máquinas bioquímicas muy sofisticadas. Si el fósil encontrado por Schopf son
de hecho cianobacterias, entonces toda la maquinaria de los procariotes, incluyendo la capacidad fotosintética, debe haber sido
presente en la Tierra casi tan pronto como la Tierra llegó a ser capaz de sostener la vida, hace unos 3.8 billones de años.
Schopf mismo señala (1999, p. 98) que parece extraordinario suponer que esta tanta sofisticación
podría haber evolucionado en el período geológicamente corto entre la solidificación de la Tierra y la fecha de
los fósiles de Apex. Estoy de acuerdo con Schopf. Si de hecho las estructuras de Apex son fósiles de cianobacterias, entonces estos
los organismos no pueden haber evolucionado en la Tierra. Deben haber evolucionado su nivel observado de sofisticación en
algún otro planeta cuya estrella hace mucho tiempo dejó la secuencia principal, y en el proceso, dispersó las cianobacterias
en todo el espacio interestelar.
En la conferencia del Castillo de Windsor, Paul Davies destacó la opinión consensuada de que las cianobacterias
podría sobrevivir a un viaje desde uno de los planetas del Sistema Solar, pero debido a la cantidad de radiación que
recibirían, no podrían sobrevivir a un viaje interestelar. Pero la evidencia que Pablo citó era teórica,
en lugar de experimental. Cianobacterias son capaces de sobrevivir a explosiones nucleares, y han sido
conocido por vivir dentro de reactores nucleares (Schopf, 1999, pp. 232-234). Dada la capacidad de cianobacterias para
sobrevivir a la radiación, su complejidad bioquímica, y la evidencia de que aparecieron casi instantáneamente
en la Tierra, creo que la preponderancia de la evidencia dice que las cianobacterias evolucionaron miles de millones de años antes
la Tierra se formó, en una estrella que ha desaparecido desde hace mucho tiempo.
Esta hipótesis tiene consecuencias. Primero, nuestras sondas espaciales interplanetarias deberían encontrar cianobacterias
dondequiera que en el Sistema Solar haya, o haya habido, agua líquida. Pero si las cianobacterias han sido
dispersos por todo el espacio interestelar miles de millones de años antes de que la Tierra se formara, esperaríamos encontrar
cianobacterias, con los mismos codones de ADN y maquinaria celular, donde haya agua líquida en el
Toda la Galaxia. Esta hipótesis sólo se puede probar rigurosamente con sondas espaciales interestelares. Por cierto,
nota que he dado al pasar otra razón por la que las sondas interestelares eventualmente serán enviadas por
cualquier especie inteligente: para comprobar cómo la vida está relacionada en la Galaxia.
Pero si los organismos fotosintéticos han existido durante miles de millones de años antes de que la Tierra se formara —para el
orden de 10 mil millones de años — y si nuestra evolución es típica, esperaríamos una vida inteligente cerca de la pseudo
horizonte de eventos que han evolucionado a partir de organismos, algunos de los cuales tienen capacidad fotosintética, que existían en
planetas de agua líquida hace 10 mil millones de años. También esperaríamos que hubiera tiempo para la fotosintética
organismos para convertir algunas de las atmósferas de estos planetas antiguos en atmósferas de oxígeno. Esto es lo que nosotros
debe buscar en galaxias distantes: las líneas espectrales de oxígeno libre. Desde hace mucho tiempo se sabe que la
El oxígeno en la atmósfera de la Tierra puede ser visto a una distancia de 10 años luz por un telescopio orbitante de un metro.
Un telescopio de millones de kilómetros sería capaz de ver líneas libres de oxígeno en atmósferas planetarias cerca del pseudo
horizonte de eventos. A partir de los argumentos anteriores, algunas de esas atmósferas deben existir.
Un telescopio de un millón de kilómetros no va a ser construido en el futuro inmediato. A corto plazo, me gustaría
proponer probar la hipótesis de que el exceso de materia sobre la antimateria es responsable de la
aceleración, y que una condición límite especial en los campos del Modelo Estándar genera el exceso
de materia sobre antimateria. Esto se puede hacer con bastante facilidad, utilizando una modificación del equipo original que
descubrió el CMBR. He demostrado en (Tipler, 2001, 2005) que si la física modelo estándar es responsable
para la materia oscura y la energía oscura, entonces el CMBR no debe emparejarse con electrones diestros,
y esto se puede ver enviando el CMBR a través de filtros que consisten en conductores pobres. A través de tal
filtro, el CMBR sería más penetrante que la radiación térmica de la misma temperatura. He mostrado
que el mismo efecto es visible en el efecto Sunyaev-Zel-dovich (Tipler, 2005), y es responsable
para el gran poder penetrante de los rayos cósmicos de energía ultraalta (Tipler, 2001, 2005).
Dos de los argumentos contra la existencia de ETI han existido durante mucho tiempo. La evolución
el argumento se remonta a Alfred Wallace, con Darwin el co-descubiertor del principio de la selección natural.
La Paradoja Fermi se remonta a Enrico Fermi. He añadido un tercero, el “Limited Resources Argument” que
conecta la rareza de la vida inteligente en el universo con la supervivencia ilimitada de la inteligencia en el futuro lejano.
Pero para apreciar el poder de este argumento, debemos aprender a abandonar las formas antropocéntricas de pensar.
Debemos abandonar la idea (generalmente tácita) de que nuestra tecnología agota lo que es posible utilizando lo conocido.
leyes de la física. Debemos abandonar la idea de que el universo actúa de acuerdo a los patrones de pensamiento humano,
que la causalidad funciona del pasado al futuro. Debemos abandonar la idea de que el universo nos evoluciona como el
nivel más alto de inteligencia, y que todas las otras especies inteligentes estarán tan limitadas en el espacio como nosotros. Por último,
debemos abandonar la idea de que hay un límite a lo que la inteligencia puede lograr, y esa inteligencia
nunca jugará un papel en la escala cosmológica. Una vez que abandonamos estas formas humanas de pensar, podemos
apreciar la verdadera relación entre la vida inteligente y el cosmos.
Bibliografía
Barrow, J.D., Tipler, F.J. 1986 Principio cosmológico antropológico, Oxford University Press.
Hawking, S.W., Ellis, G.F.R. 1973 La estructura a gran escala del espacio-tiempo, Cambridge University Press.
Schopf, W. 1999 Cuna de la vida: el descubrimiento de los fósiles más primitivos de la Tierra, Princeton University Press.
Tipler, F. J. 1994 La Física de la Inmortalidad, Doubleday.
Tipler, F. J., Graber, J., McGinley, M., Nichols-Barrer, J., Staecker 2000 gr-qc/0003082.
Tipler, F.J. 2001 astro-ph/0111520.
http://arXiv.org/abs/gr-qc/0003082
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Tipler, F. J. 2005, Reports Prog. Phys. 68, pp. 897–964.
Weinberg, S. 1989, Rev. Mod. Phys., 61, pp. 1–22.
|
704.0059 | The Mass and Radius of the Unseen M-Dwarf Companion in the Single-Lined
Eclipsing Binary HAT-TR-205-013 | LA MASA Y LA RADIUS DEL UNSEEN M-DWARF
COMPAÑIA EN LA BINARIA DE ECLIPACIÓN ÚNICA
HAT-TR-205-013
Thomas G. Beatty1, José M. Fernández2,3, David W. Latham2, Gáspár Á.
Bakos2,4, Géza Kovács5, Robert W. Noyes2, Robert P. Stefanik2, Guillermo
Torres2, Mark E. Everett6, Carl W. Hergenrother7,2
dlatham@cfa.harvard.edu
RESUMEN
Derivamos masas y radios para ambos componentes en el eclipsado de una sola línea
binario HAT-TR-205-013, que consiste en un primario F7V y un M-enano tardío
secundaria. El período del sistema es corto, P = 2.230736 ± 0.00010 días, con
una órbita indistinguible de circular, e = 0,012 ± 0,021. Demostramos
generalmente que la gravedad superficial de la estrella secundaria en un binario de una sola línea
en eclipses totales pueden derivarse de las características de la curva de luz
y órbita espectroscópica. Esto limita lo secundario a una línea única en el
diagrama de radio de masa con M/R2 = constante. Para HAT-TR-205-013, asumimos
la órbita ha sido circularizada, y que la rotación de la primaria ha sido
sincronizado y alineado con el eje orbital. Nuestra línea observada ampliándose,
Vrot sin irot = 28,9± 1,0 km s−1, da un radio primario de RA = 1,28 ± 0,04 R.
Nuestro análisis de la curva de luz conduce al radio de lo secundario, RB = 0,167± 0,006
Ró, y el eje semimayor de la órbita, a = 7,54± 0,30 Ró = 0,0351± 0,0014
UA. Nuestra órbita espectroscópica de una sola línea y el eje semimayor luego producen el
masas individuales, MB = 0,124 ± 0,010 M+ y MA = 1,04 ± 0,13 M+. Nuestro
resultado para HAT-TR-205-013 B se encuentra por encima de los modelos teóricos de radio de masa de
1Departamento de Astronomía, Universidad de Harvard, 60 Garden Street, Cambridge, MA 02138
2Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, 60 Garden Street, Cambridge, MA 02138
3Departamento de Astronomía, Pontificia Universidad Católica, Casilla 306, Santiago 22, Chile
4Hubble Fellow
Observatorio 5Konkoly, Budapest, P.O. Recuadro 67, H-1125, Hungría
6Instituto de Ciencias Planetarias, 1700 East Fort Lowell Road, Suite 106, Tucson, AZ 85719
7Lunar y Laboratorio Planetario, Universidad de Arizona, Tucson, AZ 85719
http://arxiv.org/abs/0704.0059v2
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el grupo de Lyon, en consonancia con los resultados de los binarios eclipsados de doble línea. Los
método que describimos ofrece la oportunidad de estudiar el extremo muy bajo de la estelar
relación masa-radio.
Títulos temáticos: binarios: eclipsación — binarios: espectroscópicos — estrellas: fondos
parámetros mentales — estrellas: masa baja — estrellas: rotación
1. INTRODUCCIÓN
Solucionar las masas y los radios de las estrellas se ha logrado tradicionalmente a través de la
análisis de binarios eclipsantes de doble línea, donde se detecta la luz de ambos componentes.
Masas y radios determinados de esta manera son fundamentales y pueden ser muy precisos, porque
se basan sólo en las leyes de Newton y la geometría para el análisis de la órbita espectroscópica y
curva de luz, y no en modelos de estructura estelar y evolución. En particular, el análisis de la
curva de luz eclipse produce la inclinación orbital, y cuando se combina con la doble línea
órbita espectroscópica, esto produce masas individuales para ambas estrellas.
Hay docenas de binarios eclipsados de doble línea con masa muy precisa y ra-
determinaciones dius (por ejemplo: ver Andersen 1991, para una revisión), pero sólo 10 M enanas (en
5 sistemas) con precisiónes superiores al 3 por ciento. En orden de aumento de masa, los 5
Los sistemas son: CM Draconis (Lacy 1977; Metcalfe et al. 1996), CU Cancri (Ribas 2003),
NSVS01031772 (López-Morales et al. 2006), YY Geminorum (Torres & Ribas 2002), y
GU Boötis (López-Morales & Ribas 2005). En la figura 1 se muestran los resultados observacionales de estos estudios.
10 M enanas en el diagrama de radio de masa, junto con los modelos teóricos predichos de
Baraffe et al. (1998). Todos los radios observados son más grandes que las predicciones teóricas,
Típicamente entre un 5 y un 10 por ciento. Otra característica llamativa de la Figura 1 es la falta de precisión
determinaciones de radio de masa en la mitad inferior del rango de masa de M-enano, a partir de CM Dra B
(0.214 millones de euros), hasta el límite subestelar cercano a 0.075 millones de euros. Últimamente, sin embargo, la
Número creciente de binarios de eclipsación monolínea de corto período con primarias de estrellas F y G
Segundos secundarios y enanos M identificados mediante estudios fotométricos de gran ángulo para el planeta en tránsito
promete proporcionar una manera de llenar este vacío en el diagrama de radio de masa (Bouchy et al. 2005;
Pont et al. 2005a, b, 2006).
Una aproximación al uso de un binario de eclipsado de una sola línea para resolver para la masa y el radio de
el compañero invisible es utilizar modelos estelares junto con espectroscópicos y fotométricos
observaciones de la primaria para estimar su masa y radio. A continuación, la relación de radio de la
curva de luz produce el radio de lo secundario, y la función de masa de la espectroscópica
órbita con la inclinación orbital de la curva de luz se puede combinar para producir la masa de
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el secundario. Sin embargo, este enfoque no es fundamental, ya que se basa en modelos estelares
para caracterizar la primaria. Pruebas de la relación radio-masa con los segundos de baja masa
en tales sistemas no son mejores que la validez de los modelos para las primarias. En particular,
los isocronos teóricos dependen de la metalicidad, y los errores significativos pueden resultar si el mal
se adopta la metalicidad.
Un enfoque alternativo, y más fundamental, se basa en la expectativa de que
los binarios cuyas órbitas han sido circularizadas por los mecanismos de mareas también deben tener la
rotación axial de ambas estrellas sincronizadas con el período orbital, y ambos ejes rotacionales
alineado con lo normal a la órbita, de modo que las dos inclinaciones son iguales, irot = iorb (por ejemplo.
Véase Hut 1981; Zahn 1989). En este caso, una medición de la ampliación de la línea espectral debido a
rotación, Vrot sin irot, combinado con un valor para el yorb a partir de un análisis de la curva de luz, rendimientos
la velocidad de rotación ecuatorial real, Vrot. Si la rotación está sincronizada con la órbita,
entonces Prot = Porb, y el radio de la primaria puede ser resuelto. La clave de este enfoque
es la capacidad de obtener valores precisos para la ampliación rotacional de las líneas espectrales,
porque el radio primario no puede ser más exacto que el valor derivado para Vrot. Los
radio de la primaria entonces establece la escala para el resto del sistema, produciendo el radio de la
secundario y el eje semi-mayor de la órbita en unidades de longitud real, así como el orbital
inclinación. Entonces la versión revisada de Newton de la Tercera Ley de Kepler se puede utilizar para derivar la
suma de las masas, y la función de masa de la órbita espectroscópica de una sola línea permite la
masas individuales por determinar. Este enfoque depende de las predicciones de la estelar
modelos sólo en formas menores: los coeficientes de oscurecimiento de las extremidades son necesarios para el análisis detallado
de la curva de luz eclipse, y el ensanchamiento rotacional que se deriva de la observación
los espectros pueden depender débilmente de la metalicidad que se adopte.
La ventaja de usar binarios eclipsados de una sola línea es que aumenta drásticamente
el número de estrellas de baja masa cuyas masas y radios se pueden determinar. De hecho, sobre el
los últimos 30 años sólo siete sistemas de eclipsación de doble línea compuestos de estrellas de baja masa han sido
identificados (los mencionados CM Dra, CU Cnc, NSVS01031772, YY Gem, y GU Boo,
más OGLE-BW3-V38 (Maceroni y Montalbán 2004), y TrES-Her0-07621 (Creevey et al.
2005)). Mientras tanto, más de 75 binarios eclipsados de una sola línea con segundos de M-dwarf
han sido descubiertos mediante estudios fotométricos de gran angular en tránsito de planetas como Vulcan,
TrES y HAT en los últimos cinco años (Latham 2007).
Aumento del número de estrellas de baja masa con determinaciones fundamentales de masas y
Los radios valen la pena debido a las percepciones que estos sistemas pueden producir en la estructura estelar. Baja...
estrellas de masa cerca del límite de quema de hidrógeno son lo suficientemente frías como para que sus temperaturas interiores
están en el orden de la temperatura del electrón Fermi (Chabrier & Baraffe 1997), causando piezas
del interior estelar para estar en el estado de un gas electrónico parcialmente degenerado, lo que significa
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una descripción clásica de Maxwell-Boltzmann del interior no se aplica. Por otra parte, el
densidad de número de electrones es tal que la distancia inter-iónica media es en sí mismo en el orden de la
Thomas-Fermi longitud de cribado, lo que significa que el gas electrónico es polarizado por el exterior-
campo iónico (Chabrier & Baraffe 1997). Añadir a esto la complejidad adicional que magnético
los campos pueden desempeñar un papel en el funcionamiento interno de las estrellas de baja masa (Mullan & MacDonald 2001),
y se hace evidente que cualquier intento de describir el interior de las estrellas de baja masa debe tomar
en cuenta la física tanto de los campos magnéticos como de los plasmas polarizados parcialmente degenerados.
No sólo es difícil modelar los interiores de las estrellas de baja masa, sino también el gris usual
Las atmósferas modelo ya no son aplicables. Las temperaturas relativamente bajas del estelar
atmósferas permiten la recombinación de hidrógeno molecular y otras moléculas, tales como
como TiO. Por lo tanto, atmósferas modelo no grises precisas que tienen en cuenta los efectos
de moléculas deben ser derivados y emparejados con los modelos interiores (Baraffe et al. 2002).
Así las estrellas cerca de la parte inferior de la secuencia principal plantean un desafío a la materia densa fisi-
cists y astrónomos estelares. Uno de los pocos métodos de prueba de modelos para estrellas de baja masa
es confrontando las predicciones teóricas de la relación masa-radio con las observaciones. Arriba
hasta ahora ha habido pocos datos con los que limitar las posibles teorías. Medición
las masas y radios de los enanos M en los binarios eclipsantes de una sola línea por lo tanto proporciona una nueva
oportunidad de probar la relación masa-radio cerca de la parte inferior de la secuencia principal.
En este artículo, determinamos masas y radios para los componentes de HAT-TR-205-
013, un binario unilineado eclipsante identificado por el HATnet (Húngaro-hecho Automatizado
Telescope Network, véase Bakos et al. (2004)). El secundario M-dwarf invisible tiene una masa y
radio de 0,124 M° y 0,167 R°, con errores de 1 a ° de 9 y 4 por ciento, respectivamente. Esto
el resultado coloca a la enana M alrededor del 10 por ciento por encima del radio predicho por el Baraffe et al.
(1998) modelos. En este primer trabajo describimos nuestras técnicas de análisis en detalle. En el futuro
Presentaremos los resultados de los secundarios enanos adicionales.
2. OBSERVACIONES Y REDUCCIÓN DE DATOS
2.1. Fotometría HAT
El proyecto HATnet1, iniciado en 2003 por G. Á. B, es una encuesta de campo amplio que tiene como objetivo
el descubrimiento de planetas en tránsito alrededor de estrellas brillantes. En la actualidad comprende 6 pequeñas empresas de amplio alcance.
telescopios automatizados de campo, cada uno de los cuales monitorea 8° × 8° del cielo, que normalmente contienen 5000
1www.hatnet.hu
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estrellas lo suficientemente brillantes como para permitir la detección de tránsitos planetarios a través del típico 1% fotométrico
Inducen a sus padres a las estrellas. Los instrumentos se despliegan en dos estaciones,
red distribuida en longitud, con cuatro telescopios en el Observatorio Fred L. Whipple
Arizona, y dos telescopios en el Submillimeter Array en Hawái. Para una información más detallada
descripción de la instrumentación, observaciones y flujo de datos de HAT, véase Bakos et al. (2002,
2004).
El sistema HAT-TR-205-013 se encuentra en el campo de encuesta HATnet G205, centrado en α = 22h55m,
y = +37′ +30′. 3357 observaciones de este campo fueron realizadas por los telescopios HATnet entre
5 de octubre de 2003 y 30 de enero de 2004. Los tiempos de exposición fueron de 5 min a una cadencia de 5,5 min.
Las curvas de luz se derivaron por fotometría de apertura para las 6400 estrellas en G205 suficientemente brillante
para obtener una precisión fotométrica superior al 2% (alcanzando en algunos casos el 0,3%). Derivados
las curvas de luz, hicimos uso del Algoritmo de Filtración de Tendencias (Kovács, Bakos, & Noyes
2005) corregir las tendencias espurias de los datos. Luego buscamos todas las curvas de luz
señales de tránsito características, utilizando la Caja de ajuste de menos plazas (Kovács, Zucker, & Mazeh
2002) algoritmo, que busca caídas en forma de caja en el espacio de parámetros de frecuencia,
duración del tránsito y fase de entrada. Señales de tránsito de candidatos con la mayor detección
A continuación, se examinó individualmente, para aislar a aquellos con la mejor combinación de
tipo estelar (preferiblemente estrellas de secuencia principal de tipo espectral media F o posterior), y profundidad,
forma y duración del tránsito. Uno de ellos fue HAT-TR-205-013, para lo cual identificamos
una periodicidad prominente con un período de 2,2307 días y una profundidad de tránsito de 0,02 mag. Gráfico 2
muestra los datos de fase plegados y normalizados de flujo para HAT-TR-205-013.
Después de nuestra determinación de HAT-TR-205-013 como un sistema planetario potencial, nosotros
identifica la estrella en el catálogo 2MASS como 2MASS 23080834+3338039, que rindió J
y magnitudes K de J = 9,691 y K = 9,408. También encontramos HAT-TR-205-013 en el
Catálogo Tycho, como TYC 2755-36-1, con magnitudes BT = 11,355 y VT = 10,729. Nosotros
a continuación, ha programado HAT-TR-205-013 para las observaciones espectroscópicas de seguimiento para determinar si
la caída fotométrica fue causada por un acompañante estelar.
2.2. Espectroscopia de seguimiento
Nuestra estrategia habitual para el seguimiento de los candidatos de los planetas en tránsito identificados por campos amplios
Los estudios fotométricos comenzarán con un reconocimiento espectroscópico inicial, para ver si hay
es la evidencia de un compañero estelar que es responsable de la curva de luz observada. Tenemos
utiliza los velocímetros digitales CfA (Latham 1992) en el reflector de 1,5 m Wyeth en el
Observatorio Oak Ridge en la ciudad de Harvard, Massachusetts y en el 1.5-m Tillinghast
Reflector en el Observatorio Fred L. Whipple en Mount Hopkins, Arizona para obtener
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orden echelle espectros en una ventana de longitud de onda de 45 Å centrado en 5187 Å con una resolución de
8,5 km s−1 y una relación típica entre la señal y el ruido por elemento de resolución de 15 a 20. Para lentamente
estrellas de tipo solar giratorias estos espectros ofrecen velocidades radiales precisas a unos 0,5 km s−1,
que es suficiente para detectar el movimiento orbital debido a compañeros con masas hasta cerca de 5
o 10 MJ para períodos orbitales de unos pocos días.
Las observaciones espectroscópicas de seguimiento de los candidatos de los planetas en tránsito son más fáciles de realizar
ule que las observaciones fotométricas, porque la velocidad radial varía a lo largo de la totalidad
fase orbital, mientras que la curva de luz de tránsito tiene un ciclo de trabajo de sólo unos pocos por ciento, por ejemplo. 3
horas fuera de 3 días. La espectroscopia tiene la ventaja adicional sobre la fotometría que nosotros
puede utilizar nuestros espectros para clasificar la estrella madre, derivando temperatura efectiva, rotación
velocidad, y la gravedad superficial mediante la correlación de los espectros observados con una biblioteca de sintético
espectros. Esta información es a menudo útil para rechazar las estrellas anfitrionas que son demasiado calientes, o son
rotar demasiado rápido, o son evolucionados (en cuyo caso suponemos que el gigante debe ser el brillante
estrella en un triple mezclado). Por lo tanto, en CfA normalmente empezamos con un reconocimiento espectroscópico
antes de intentar realizar una fotometría de seguimiento o observaciones de velocidad radial muy precisas (por ejemplo: ver
O’Donovan et al. 2007).
A partir de 1999 con los candidatos en tránsito-planeta proporcionados por el equipo Vulcano (Borucki et al.
2001), rápidamente nos enteramos de que la gran mayoría de los candidatos del planeta eran en realidad eclips-
ing binarios disfrazados de planetas en tránsito (Latham 2003). Uno de los más comunes
Los impostores eran una estrella F o G primaria eclipsada por una secundaria M-enano tardía. Tales sistemas
producen curvas de luz similares a los planetas que transitan por enanas de tipo solar, porque M enanas cerca
la parte inferior de la secuencia principal tiene aproximadamente el mismo tamaño que los planetas gigantes. Sin embargo,
son fáciles de distinguir de los planetas, porque sus masas son de dos órdenes de magnitud
más grande, y el movimiento orbital reflejo que inducen en sus estrellas matrices tiene una amplitud de
al menos varios km s−1.
Hemos determinado las velocidades rotacionales y radiales de HAT-TR-205-013 por corre-
la relación de los espectros observados con las plantillas extraídas de una biblioteca de espectros sintéticos
calculado por Jon Morse para una cuadrícula de atmósferas estelares Kurucz (1992). La cuadrícula de la biblioteca
tiene una separación de 250 K en temperatura efectiva, Teff ; 0,5 en la gravedad de la superficie del tronco, log g; y
0,5 en metalicidad logarítmica relativa al sol, [Fe/H]. Para las determinaciones finales de velocidad radial
adoptamos la plantilla con los valores de Teff, log g y Vrot que dieron el valor más alto para
el pico del coeficiente de correlación, promediado sobre todos los espectros observados, asumiendo solar
metalicidad. Para el análisis de correlación se utilizó xcsao (Kurtz & Mink 1998) corriendo dentro
el entorno IRAF2.
2IRAF (Facilidad de Reducción y Análisis de Imágenes) es distribuido por el Servicio Nacional de Astronomía Óptica
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Nuestro primer espectro de HAT-TR-205-013 reveló que las líneas espectrales de la
primaria se ampliaron en unos 30 km s-1 de rotación. En nuestra experiencia esto es un fuerte
sugerencia de que el compañero es una estrella con suficiente masa para sincronizar la rotación de
el primario con el período orbital. La segunda exposición mostró que la velocidad variaba
por varios km s−1. Los espectros adicionales pronto revelaron una órbita espectroscópica con un período
que coincide con el período fotométrico y una semiamplitud orbital, K, de unos 20 km s−1
lo que implica que el secundario era un pequeño enano M. En total acumulamos 23 espectros
que rinden las velocidades radiales notificadas en la tabla 1, que se calcularon utilizando una plantilla
con Teff = 6250 K, log g = 4,0, [Fe/H]=0,0, y Vrot = 30 kms
−1. Los parámetros de nuestra
solución orbital para HAT-TR-205-013 se indican en la Tabla 2 y la velocidad correspondiente
la curva y las velocidades observadas se grafican en la Figura 3.
Porque el valor de la velocidad de rotación es crítico para nuestra determinación del radio
de la estrella primaria, evaluamos tanto la precisión interna de nuestras determinaciones y
posibles errores sistemáticos resultantes de incertidumbres en la gravedad superficial y la metalicidad
de la estrella primaria. Nuestros resultados finales para la masa y el radio de la estrella primaria implican un
log de gravedad de superficie g = 4,24, a mitad de camino entre las plantillas más cercanas en nuestra biblioteca de sintéticos
espectros. Por lo tanto, evaluamos la velocidad de rotación a log g = 4,0 y 4,5, y también
a dos metalicidades, [Fe/H] = 0,0 y −0,5. En cada una de las cuatro combinaciones de log g y
[Fe/H] corrimos correlaciones en un amplio rango de temperaturas, de 5500 a 7250 K, y rotacionales
velocidades, 10 a 50 km s−1. A cada gravedad y metalicidad interpolamos para encontrar la
temperatura y rotación que dio el valor más alto del coeficiente de correlación promediado
sobre todos los espectros observados ponderados por las estadísticas de fotones. Para estos experimentos nosotros
no utilizó dos de nuestros espectros observados que tenían niveles de exposición mucho más bajos que el otro
21 observaciones. Los resultados se presentan en la Tabla 3. Ellos muestran que la exactitud de nuestra
la determinación de la velocidad de rotación en un logaritmo g y [Fe/H] no está seriamente limitada por la
scatter de las exposiciones individuales, a pesar de la relación señal-ruido relativamente baja de nuestra
Espectros observados. La incertidumbre en la velocidad media de rotación en cada log g y [Fe/H]
debido a la dispersión interna es inferior a 0,3 km s−1.
Los resultados notificados en el cuadro 3 también muestran que los errores sistemáticos debidos a incertidumbres
en la gravedad y la metalicidad no son graves. Por ejemplo, la dependencia de la rotación
la velocidad sobre la metalicidad es bastante débil, sólo 0,2 km s−1 para un cambio de 0,5 en [Fe/H]. En el
Por otra parte, la dependencia de la gravedad es bastante fuerte, alrededor de 1,0 km s−1 para un cambio de 0,5
Afortunadamente, la incertidumbre en la gravedad real de la estrella primaria es bastante pequeña,
menos de 0,2 en log g, por lo que la velocidad de rotación interpolada entre las dos gravedades debe
los servatorios, que son operados por la Asociación de Universidades para la Investigación en Astronomía, Inc., bajo
contrato con la Fundación Nacional de Ciencia.
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ser bueno para tal vez 0,2 km s−1. Por desgracia, todavía no tenemos una medida directa de la
metalicidad de HAT-TR-205-013, pero el hecho de que las plantillas con [Fe/H] = 0,0 dan un
una mejor correspondencia con los espectros observados que las plantillas con [Fe/H] =−0.5 sugiere que
metalicidad es probablemente dentro de 0,5 dex de solar. En ausencia de una metalicidad precisa que
adoptar un valor de [Fe/H] = −0.2, que es típico del barrio solar (Nordström et al.
2004). La temperatura correspondiente a esta metalicidad que derivamos de nuestros espectros es
Teff = 6295 K, pero con un error sistemático que podría superar los 200 K debido a la degeneración
entre temperatura y metalicidad en el análisis de nuestros espectros. El enfoque alternativo
de derivar una temperatura de los índices fotométricos se ve obstaculizado por la falta de precisión
fotometría y la posibilidad de que pueda haber un enrojecimiento significativo. La distancia que
derivamos de la ley Stefan-Boltzmann usando R = 1,27 ± 0,04 R®, Teff = 6295 ± 200 K,
VT = 10,729 ± 0,048 (que corresponde a V = 10,67 ± 0,05) y corrección bolométrica
= −0,011 (Flower 1996) es 232 ± 18 pc. Desde nuestra temperatura espectroscópica y log g, nosotros
estimar que el tipo espectral de la primaria es F7V (Cox 2000).
Así, nuestros experimentos con diferentes gravedades y metalicidades sugieren que el sistema-
Los errores atic debidos a incertidumbres en los parámetros de la plantilla pueden ser inferiores a 0,4 km s−1.
Cuando se combina en cuadratura con la estimación de precisión interna de 0,3 km s−1, este sug-
indica que el error total en nuestra velocidad de rotación interpolada final podría ser tan pequeño como 0,5
Km s−1. Sin embargo, la experiencia anterior indicaría que la incertidumbre real es mayor.
que esta estimación interna. Por lo tanto, para ser conservadores adoptamos una incertidumbre de 1,0
km s−1 y utilizar Vrot sin irot = 28,9 ± 1,0 km s−1 para nuestra determinación del radio de la
análisis primario y posterior.
También se podría determinar el valor de Vrot sin irot mediante la medición espectroscópica de la
amplitud del efecto Rossiter-McLaughlin durante el eclipse (Gaudi & Winn 2007). En el
En el caso de HAT-TR-205-013, la amplitud de este efecto sería de unos 0,5 km s-1, demasiado pequeña para
se medirá con los velocímetros digitales CfA, pero potencialmente observables con precisión
de unos pocos por ciento por instrumentos como HIRES en Keck 1.
Nuestro enfoque se basa en la suposición de que la rotación estelar se ha sincronizado con
el período orbital. Una forma de probar esta suposición podría ser usar fotometría muy precisa.
para derivar un período de rotación para la estrella. Buscamos variaciones sinusoidales en el HAT.
fotometría, pero no encontró nada significativo cerca del período orbital. Detectamos una
variación marginalmente significativa con la mitad del período orbital y amplitud de aproximadamente 1 mmag,
que es consistente con la deformación elipsoidal esperada de la estrella primaria. A
En segundo lugar, una prueba más global sería utilizar modelos estelares para estimar la masa y el radio de
el principal, pero un requisito previo para tal análisis serían determinaciones exactas de la
temperatura y metalicidad, presumiblemente a partir de espectros de alta calidad, y tales resultados no son
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Sin embargo, está disponible.
2.3. Seguimiento Fotometría KeplerCam
Proporcionar una curva de luz de alta calidad para el análisis del eclipse primario de HAT-
TR-205-013 utilizamos KeplerCam en el telescopio de 1,2 m del Observatorio Fred L. Whipple
en Mount Hopkins, Arizona. KeplerCam utiliza un monolítico 4K×4K Fairchild 486 CCD
que proporciona un campo de 23′ y un tamaño de píxel de 0,34′′. Usamos los tiempos de eclipse predichos de
nuestra órbita espectroscópica para programar observaciones en la noche del 22 al 23 de octubre de 2005. Nosotros
observó con éxito un eclipse completo, alternando entre las bandas Sloan g e i.
La vista fue aproximadamente 2′′ FWHM durante toda la noche, pero deliberadamente
desenfoque el telescopio para obtener imágenes con 3′′ FWHM con el fin de mantener el pico cuenta
en las imágenes muy por debajo de la saturación. A lo largo de las observaciones, el centro de
telescopio, que depende débilmente de la temperatura, fue ajustado tres veces para mantener la imagen
tamaño cercano a 3′′ FWHM. Debido a que usamos guía automática, el centroide de las imágenes se movió
menos de 3 píxeles durante la duración de las observaciones. Para lectura, enjabonamos los píxeles.
2 × 2, que dio un tiempo total de lectura incluyendo los gastos generales de 12 segundos. Tiempos de exposición
fueron 30 segundos para la banda G y 10 segundos para la banda I. Las imágenes fueron obtenidas en
secuencias de exposiciones de banda de 3 g seguidas de 6 exposiciones de banda i. Todo dicho, fuimos capaces de
recoger un total de 297 imágenes en la banda g y 588 en la banda i. Algunas nubes de cirrus delgadas
estaban presentes al principio de la noche, sin una degradación notable de las curvas de luz.
Un cuarto de Luna se levantó durante las observaciones después del final de la salida, y esto contribuyó
a un ligero aumento en la dispersión fotométrica después de la salida.
Todas las imágenes se redujeron aplicando una corrección overscan y luego restando
el patrón de sesgo residual bidimensional. Después de corregir los efectos del obturador, aplanamos
cada imagen utilizando un conjunto normalizado de imágenes de crepúsculo combinadas. Para producir la curva de luz,
utilizamos la primera imagen de cada filtro en una secuencia de observación como nuestra referencia astrométrica
para identificar las mismas estrellas en imágenes posteriores. Luego determinamos el cambio relativo
entre imágenes para reubicar cada estrella en las siguientes imágenes. Medimos el flujo de cada uno
estrella en una abertura circular de 6,7′′ alrededor de la posición derivada del ajuste astrométrico utilizando
daophot/phot dentro de la IRAF (Tody 1986, 1993). Estimamos el cielo en un anillo alrededor
cada estrella con radios internos y externos de 9.4′′ y 13.4′′ utilizando el modo de rechazo sigma.
Seleccionamos iterativamente estrellas de comparación mediante la eliminación de cualquier que mostró ruido inusual o
Variabilidad en sus curvas de luz diferencial, obteniendo 21 estrellas de comparación para la banda g y
37 para la banda I. Sobre la base de un flujo medio ponderado de las estrellas de comparación, calculamos
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una corrección de extinción, y luego aplicó esto a cada estrella de comparación. Los rms típicos
residuo para ambas bandas fue de 1,5 mmag, un valor que aumentó ligeramente hacia el final de la
noche debido al aumento del brillo del cielo de la Luna naciente. El principal contribuyente del ruido
a la fotometría de imágenes individuales fue la centelleación atmosférica, que
para más del 65% de nuestros rms calculados (Young 1967). Las mediciones fotométricas individuales
en las bandas g e i se indican en los cuadros 4 y 5, respectivamente.
3. ANÁLISIS DE LA LUZ
Nuestras curvas de luz KeplerCam para HAT-TR-205-013 dan una buena cobertura del eclipse
centrado en HJD 245366.747±0.001, con más de dos horas de cobertura tanto antes de la
inicio de la entrada y después del final de la salida. El eclipse en sí dura alrededor de 3 horas entre
primer y cuarto contacto y es cerca de 2 por ciento de profundidad, de acuerdo con la luz del descubrimiento
curva de HAT. Nuestras curvas de luz KeplerCam muestran claramente los efectos del oscurecimiento de las extremidades en
forma de eclipse en función de la longitud de onda: la curva de luz de banda i es ligeramente más superficial y
posee un fondo más plano que la curva de la banda g. Las porciones de las curvas de luz antes
y después del eclipse mostró una ligera deriva, que quitamos con un ajuste lineal. El resultado
Las curvas de luz están trazadas en la Figura 4.
De nuestros ajustes a las curvas de luz KeplerCam derivamos centros de tránsito de 245366,7465±
0,0005 y 245366,7473 ± 0,0005 en las bandas g e i, respectivamente. Cuando nos com-
bina estos tiempos de tránsito con los resultados de la fotometría HAT, obtenemos la efeméris
245366.74748± 0,00018 +N × 2.230736± 0.000010.
Conociendo la duración y profundidad del eclipse, junto con el período orbital, nosotros
fueron capaces de obtener valores brutos para la relación de semieje mayor y radio de la secundaria
al radio de la estrella primaria utilizando las relaciones
(2)
donde a es el eje semimayor orbital, RA y RB son los radios de las estrellas primarias y secundarias,
El P es el período orbital, el TTR es la longitud de tránsito, y el TTR es la profundidad de tránsito en flujo relativo.
Para nuestros valores de P • 2,23 días, •ttr • 2,5 horas y • • 0,02, obtuvimos a/RA • 5,93
y RB/RA 0,133 a partir de esta primera aproximación.
Luego construimos una cuadrícula bidimensional de curva de luz que encaja en a/RA y RB/RA, centrada
sobre los valores brutos obtenidos anteriormente. El parámetro de impacto b se introdujo como un tercero
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dimensión en la cuadrícula, variando de b = 0 (transito central) a b = 1 + RB/RA (pastoreo)
tránsito). Los escalones de la cuadrícula fueron 0,002 en a/RA, 0,00001 en RB/RA y 0,001 en b. Generamos
curvas de luz sintética para cada combinación de parámetros utilizando las rutinas proporcionadas por
Mandel & Agol (2002), junto con los coeficientes cuadráticos de oscurecimiento de las extremidades derivados por
Claret (2004), utilizando la temperatura y la gravedad de la superficie para la primaria que habíamos derivado
Espectroscópicamente. Adoptamos valores solares para la metalicidad y turbulencia superficial de la
estrella primaria. Los coeficientes exactos que usamos fueron u1 = 0,4238 y u2 = 0,3250 en la g,
y u1 = 0,1814 y u2 = 0,3723 en la banda i. Incertidumbres en nuestros valores de la extremidad...
coeficientes de oscurecimiento, en gran parte como resultado de la incertidumbre en la temperatura espectroscópica
la medición, tuvo un efecto insignificante en nuestros resultados finales.
Para identificar la curva de luz sintética que dio el mejor ajuste a los datos reales, buscamos
para el ajuste con el menor valor de χ2, inspeccionar los contornos de χ2 para asegurarnos de que
encontró el mínimo global. También inspeccionamos las parcelas de los ajustes a los datos como un
Jaque. Aplicamos este procedimiento a las curvas de luz g e i. Los resultados se resumen
en el cuadro 6.
Para calcular las incertidumbres de nuestros valores de a/RA, RB/RA y b, realizamos
Ajustes adicionales en los que fijamos uno de los parámetros en un valor que difiere ligeramente de la
valor de mejor ajuste, y adecuado para los otros dos parámetros. Hemos cambiado este parámetro fijo hasta
el ajuste eventual logró una χ2 que estaba 1- lejos de nuestros parámetros de mejor ajuste’ χ2. Nosotros
a continuación, utilizó la diferencia entre este valor de 1- y nuestro mejor valor de ajuste como la incertidumbre
para ese parámetro en particular. Examinamos la correlación entre los tres diferentes
parámetros haciendo un ajuste final a los datos utilizando el método Levenberg-Marquardt – un
combinación de los métodos Inverse-Hessian y Steepest Descent (Press et al. 1992). Esto
nos permitió calcular la matriz de covarianza para los tres parámetros de ajuste, y por lo tanto la
coeficientes de correlación para los parámetros. Para los tres, la correlación con cualquiera de los
otros dos eran siempre menores que 0,5 en ambas bandas. Aunque esto no es insignificante, encontramos
que la contribución al error total estimado fue menor. Por supuesto, el Levenberg...
El método Marquardt también se puede utilizar para calcular las incertidumbres en a/RA, RB/RA y b.
Sin embargo, las incertidumbres que derivamos de nuestro análisis de cuadrícula fueron sustancialmente mayores.
Para ser conservadores, adoptamos las incertidumbres de la red en lugar del Levenberg-Marquardt
incertidumbres. La Figura 5 muestra diagramas de contorno de χ2 para nuestros ajustes. En el cuadro 6 se indica el ajuste final
los resultados y errores, y la Tabla 7 enumera los coeficientes de correlación. Los datos de KeplerCam y
Las curvas luminosas de mejor ajuste se muestran en la Figura 4. Ajuste simultáneo de las curvas de luz en ambos
las bandas producidas se ajustan a las estadísticas inferiores de la χ2, como resultado de la ligera diferencia entre
las dos bandas. Por lo tanto, utilizamos un promedio simple de los resultados de la curva de luz como nuestro adoptado
valores para los parámetros de la Tabla 6.
– 12 –
3.1. MASAS Y RADII PARA HAT-TR-205-013
Utilizando los valores que hemos medido a partir de las curvas de luz eclipse, así como el
parámetros de órbita espectroscópica observados, podemos restringir la ubicación de HAT-TR-205-013
A y B en el diagrama de radio de masa a curvas únicas descritas completamente por estos observa-
Capaz. Para enfatizar esto, hemos escrito los valores observables entre paréntesis en el siguiente
derivación.
Para empezar, utilizamos la versión revisada de Newton de la Tercera Ley de Kepler y la espectroscópica
Función de masa de la solución orbital:
[P]2 =
G (MA + MB)
a3 (3)
sin yorb
(MA + MB)
1− [e]2 (4)
donde [KA] es la semiamplitud de la órbita espectroscópica para la primaria en km s
−1, [e]
la excentricidad de la órbita, y G es la Constante Gravitacional. Con estas dos ecuaciones,
se pueden encontrar las dos incógnitas (MA y MB):
[P]2
[P] [KA]
1− [e]2
2ηa sin yorb
sin yorb
1 - [e]2 (6)
Tanto la inclinación orbital como el eje semimayor pueden expresarse en términos de
observables [a/RA], [RB/RA] y [b], y los radios estelares desconocidos RA y RB:
Tomando nuestro valor para el parámetro de impacto [b], que mide
ión de las estrellas primarias y secundarias en el punto medio del eclipse, la inclinación orbital
puede expresarse en términos de los observables [a/RA] y [b]:
[b] = [a/RA] cos iorb (7)
sin yorb =
[a/RA]2
Del mismo modo, el eje semimayor puede estar escrito en términos de observables [a/RA], [RB/RA]
y [b], y los radios estelares desconocidos RA y RB:
a = [a/RA] RA =
[a/RA]
[presupuesto ordinario/presupuesto ordinario]
PO (9)
– 13 –
Sustitución de estos valores en Eq.(5) y (6) da expresiones para la masa de cada uno
componente como funciones de sólo los observables y los radios estelares respectivos:
G[P]2
[a/RA]
[P] [KA]
1− [e]2
2η(1− [b]2/[a/RA]2)1/2 [a/RA] RA
R3A (10)
G[P]
[a/RA]
[presupuesto ordinario/presupuesto ordinario]
1− [e]2
(1 a [b]2/[a/RA]2)
R2B (11)
Por lo tanto, sólo de lo que somos capaces de medir utilizando las curvas de luz eclipse y
espectroscopia, podemos limitar HAT-TR-205-013 B a una única curva en el radio de masa dia-
Gramo que va como MB/R
B = constante. Esta constante es directamente proporcional a la superficie
gravedad del objeto, que ha sido señalado previamente por Southworth et al. (2004). En nuestro
caso, la calidad de nuestra fotometría nos permite medir esta constante con extrema precisión;
la región de incertidumbre alrededor de esta línea de gravedad de superficie está en el orden de la propia anchura de línea
cuando está tramado.
A través de la supuesta sincronización de la rotación de la primaria al período orbital nosotros
puede localizar HAT-TR-205-013 B en esta curva de determinación de gravedad, pero es importante
note que la línea en sí se define sin haber hecho ninguna suposición sobre el sistema.
De hecho, es posible calcular una curva de gravedad similar para cualquier sistema de eclipsación, o para un
sistema que contiene un planeta en tránsito. Todo lo que se requiere es una curva de luz de buena calidad y
órbita espectroscópica. Esto se ha hecho anteriormente para el caso de un planeta en tránsito por
Winn et al. (2006).
Para colocar HAT-TR-205-013 en el diagrama de radios masivos más específicamente, observamos que
que la excentricidad medida de nuestra órbita espectroscópica para HAT-TR-205-013 es indistinta-
y, por lo tanto, por las razones descritas en la introducción, nosotros
asumir que los ejes de rotación de ambas estrellas se han alineado con la normal orbital y que
la rotación de ambas estrellas se ha sincronizado con el período orbital. Esto nos permite usar
la línea rotacional observada ampliando de la primaria a resolver para el radio de la primaria
en unidades lineales, que a su vez nos permite convertir el tamaño orbital y el radio secundario en
unidades lineales a partir de los valores de [a/RA] y [RB/RA] derivados de las curvas luminosas.
Usando la suposición de sincronización, y ese iorb = irot, vemos por inspección que
[Vrot sin irot]
sin yorb
[Vrot sin irot]
sin yorb
[RB/RA] (13)
donde [Vrot sin irot] es la ampliación rotacional proyectada de la primaria derivada de su
Espectros observados. Ahora podemos sustituir en Eq.(8) para que el pecado iorb para obtener ambos radios en términos de
– 14 –
nuestros observables:
2η (1− [b]2/[a/RA]2)
[Vrot sin irot] (14)
2η (1− [b]2/[a/RA]2)1/2
[RB/RA] [Vrot sin irot] (15)
Combinando estas dos declaraciones con Eq.(9) y (10), llegamos a expresiones para
las masas de cada componente en términos de las cantidades observables:
[a/RA]
(1– [b]2/[a/RA]2)3/2
1− [e]2
[a/RA][Vrot sin irot]
[Vrot sin irot]
3 (16)
[a/RA]
(1– [b]2/[a/RA]2)3/2
1− [e]2 [Vrot sin irot]2 (17)
Los resultados para las masas y radios para ambos componentes de HAT-TR-205-013 son pre-
enviado en el cuadro 8. Los errores se estimaron utilizando simulaciones de Montecarlo y fueron com-
junto con los resultados de la propagación formal de errores, incluidos los coeficientes de correlación
derivado de los ajustes de la curva de luz. Ambos enfoques arrojaron resultados similares. La masa y
el radio obtenido para la estrella primaria es esencialmente el mismo para las curvas de luz g e i,
pero la masa y el radio para el secundario difieren en 0.8 y 3 por ciento, respectivamente. Esto
La diferencia de radio entre las dos curvas luminosas es cercana a 1-, y puede deberse a incertidumbres
en los coeficientes de oscurecimiento de las extremidades. Nuestros valores adoptados se basan en los valores medios de
los parámetros de la curva de luz.
4. DEBATE
En la Figura 6 trazamos nuestra masa y radio para el M-enano secundario HAT-TR-205-
013 B en un diagrama de radio de masa, junto con isocronos para edades de 0,5 y 5 Gyr de
Baraffe et al. (1998). También trazamos los resultados de 11 segundos enanos M de la muestra
de candidatos planetarios de OGLE analizados por Bouchy et al. (2005); Pont et al. (2005a, b, 2006)
y se enumeran en el cuadro 9. Para los sistemas OGLE-TR-34 (Bouchy et al. 2005), OGLE-TR-120
(Pont et al. 2005b), y los sistemas de baja masa OGLE-TR-122 (Pont et al. 2005a) y OGLE-
TR-123 (Pont et al. 2006) los autores tuvieron que utilizar modelos estelares para estimar las masas
y radios de las primarias sin la asunción de sincronización, como sincronización
masas implícitas y radios que eran inconsistentes con las observaciones espectroscópicas. Por la Comisión
otros siete sistemas, fueron capaces de asumir la sincronización y derivar el radio de la
primaria de la ampliación de la línea rotacional observada. En general, el acuerdo entre
– 15 –
Los resultados de OGLE y el Baraffe et al. (1998) los isocronos parecen prometedores, pero la observación
Las incertidumbres siguen siendo demasiado grandes para permitir una prueba crítica de los modelos teóricos. El OGLE
los sistemas son mucho más débiles que HAT-TR-205-013, lo que presenta retos significativos
para las observaciones de seguimiento espectroscópicas y fotométricas. Espectroscopia con la
resolución y relación señal-ruido adecuados para determinar valores precisos para la rotación
ampliar requiere tiempo en grandes telescopios, y fotometría para curvas de luz de alta calidad
también requiere grandes telescopios para lograr las estadísticas de fotones necesarias. Eclipsamiento de binarios
los estudios de gran angular son mucho más brillantes y, por lo tanto, menos desafiantes en ambos
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Nuestro valor para el radio del secundario M-dwarf en HAT-TR-205-013 es del 11 por ciento,
alrededor de 3-, por encima de los isocronos teóricos. Esta divergencia se ve reforzada aún más por Eq.(11),
que, como se ha señalado anteriormente, restringe la posición de HAT-TR-205-013 B para
línea única determinada por la gravedad superficial del objeto. Esta curva de gravedad hace
no se basa en ninguna hipótesis previa sobre el sistema HAT-TR-205-013, ni depende de
sobre nuestro valor medido de Vrot sin irot, que es el mayor contribuyente de la incertidumbre a nuestro
resultados finales. Utilizamos la suposición de sincronización y la medida espectroscópica
Vrot sin irot para colocar HAT-TR-205-013 B en una ubicación específica a lo largo de la curva, pero es
importante señalar que en la región que encontramos HAT-TR-205-013 B, la curva de permitido
ubicaciones corre casi paralelo a los modelos teóricos. Esto se ilustra en la Figura 6 por
la línea roja que pasa a través de nuestro punto para HAT-TR-205-013 B. Así pues, la conclusión de que
los modelos teóricos predicen un radio para HAT-TR-205-013 B que es demasiado pequeño alrededor de 10
porcentaje está en terreno mucho más firme de lo que la barra de error en el radio observado podría sugerir.
De hecho, se requeriría una diferencia de 6 a 6 en Vrot sin irot para colocar HAT-TR-205-013 B en la
Modelos Baraffe.
Nuestro resultado para HAT-TR-205-013 B apoya la sugerencia de los resultados para el doble-
binarios eclipsantes forrados trazados en la Figura 1 que los modelos predicen radios para enanas M que
son demasiado pequeños hasta un 10 por ciento. Esta discrepancia ya se ha observado anteriormente, por ejemplo.
por Torres & Ribas (2002) en el caso de YY Gem. Torres et al. (2006) planteó la cuestión de
si los binarios de eclipsación de corto período son representativos de estrellas de campo aisladas y amplias
binarios donde las fuerzas de las mareas son insignificantes. Sugirieron que la rápida rotación de la
las estrellas en estos sistemas causadas por la sincronización de mareas podrían dar lugar a una mejora magnética
la actividad, disminuyendo así la eficiencia del transporte de energía en las envolventes convectivas y
conduce a radios estelares inflados. Para las estrellas de baja masa, este efecto se examina con más detalle por
López-Morales (2007).
En el caso de HAT-TR-205-013, no vemos evidencia en la fotometría de manchas estelares en
la estrella primaria, que serían indicadores reveladores de la actividad magnética estelar mejorada.
– 16 –
Aunque HAT-TR-205-013 A está girando rápidamente, la falta de atividad magnética no es sorprendente,
dado su tipo espectral (F7). La capa convectiva exterior de la estrella es relativamente superficial, y
no es inusual que las estrellas de este tipo que giran rápidamente carezcan de una fuerte actividad magnética
(Torres et al. 2006).
En algunos casos puede ser posible determinar independientemente el período de rotación de
el primario a través de curvas de luz de alta calidad utilizadas para identificar definitivamente la varia fotométrica-
ión fuera del eclipse. Esto serviría como un cheque a la suposición de la sincronización de mareas
en el sistema.
En futuros trabajos presentaremos los resultados de varios eclipsados adicionales de una sola línea
binarios con órbitas circulares.
Agradecemos a Joe Zajac, Perry Berlind, y Mike Calkins por obtener algunos de los espectros...
observaciones escópicas; Bob Davis para el mantenimiento de la base de datos para el CfA Digital Speedome-
y John Geary, Andy Szentgyorgyi, Emilio Falco, Ted Groner y Wayne Peters
su contribución a hacer de KeplerCam un instrumento tan eficaz para
curvas de luz de calidad. TGB agradece a la Universidad de Harvard Orígenes de la Vida Initiative
babor. GK agradece el apoyo de OTKA K-60750. El proyecto HATnet cuenta con el apoyo de
NASA Grant NNG04GN74G. Esta investigación fue apoyada en parte por la Misión Kepler.
en virtud del Acuerdo de Cooperación de la NASA NCC2-1390.
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http://arxiv.org/abs/astro-ph/0612224
– 19 –
Cuadro 1 Velocidades radiales individuales
HJD Vrad (Vrad)
(días) (km s−1) (km s−1)
2453034.45642 −2,02 1,38
2453035.47574 −10,11 1,61
2453035.58018 −18.52 1,01
2453036.48778 −12.93 1,53
2453037.46565 −0,47 1,43
2453037.61215 −6,83 0,91
2453038.46413 −25,72 1,48
2453038.57874 -19.76 1.15
2453040.47360 −28.58 1.24
2453042,58686 −27,79 0,91
2453043,58338 +4,84 1,23
2453044,58422 −19,73 1,14
2453055,57911 −6,42 0,73
2453046 46373 −2.11 0,80
2453046,60000 −10,47 0,77
2453047,50881 −20.45 1,49
2453047,58731 −14,83 0,95
2453543.94910 −4.01 1.10
2453658.69572 −20.53 1.16
2453659,75967 +3.14 2,28
2453659,78398 +2.85 1,09
2453660,70213 −25,98 1,57
2453664.70202 −19.39 1.21
– 20 –
Cuadro 2 Parámetros orbitales espectroscópicos
Valor del parámetro
P (días) 2,23072± 0,00005
γ (km s−1) − 9,83± 0,30
K (km s−1) 18,33± 0,47
e 0,012± 0,021
() 143± 90
Época (HJD) 2, 453, 198,61± 0,56
Nobs 23
O − C rms (km s−1) 1,06
f(M) (M+3) 0,00142± 0,00023
aA sin i (Gm) 0,562± 0,030
– 21 –
Cuadro 3 Resultados de Velocidad Rotacional
log g,[Fe/H] Teff < Vrot > (< Vrot >) Correlación
(K) (km s−1) (km s−1) Coeficiente
4,00,0 6340 29,4 0,25 0,826
4,5,0,0 6540 28,4 0,24 0,823
4,0,-0,5 5960 29,2 0,21 0,821
4.5,−0,5 6150 28,2 0,24 0,816
Adoptada:
4,24–0,2 6295 28,9 1,0
– 22 –
Cuadro 4. g Fotometría de bandas
HJD Flux
245366,575985 1.00054
245366,576472 0,99856
245366,576946 1,0108
2453666.579226 1.00084
245366.579712 1.00008
2453665,580198 0,99985
245366582501 0,99998
245366,582976 0,99882
245366,583474 1,00159
Nota. — El cuadro 4 es pre-
enviado en su totalidad en el
edición electrónica del As-
Diario trofísico. Un por-
ión se muestra aquí para guid-
en relación con su forma y
contenido.
columna (1): Heliocéntrico
Julian Date,
columna (2): Normalizado in-
flujo strumental.
– 23 –
Cuadro 5 i Fotometría de bandas
HJD Flux
2453666,574226 0,99951
245366,574469 0,99803
245366,574724 1.00096
245366,574967 0,99846
245366,575233 0,99628
245366.575488 1.00014
245366.577432 1.00062
245366,577698 0,99886
245366,577965 0,99941
245366,578208 0,99613
245366,578474 0,99957
245366,578728 0,99962
245366580719 0,99837
245366,580974 0,99976
2453666,581228 0,99761
245366,581494 1.00025
245366,581772 1,0113
2453666,582027 0,99823
Nota. — El cuadro 5 es pre-
enviado en su totalidad en el
edición electrónica del As-
Diario trofísico. Un por-
ión se muestra aquí para guid-
en relación con su forma y
contenido.
columna (1): Heliocéntrico
Julian Date,
– 24 –
columna (2): Normalizado in-
flujo strumental.
– 25 –
Cuadro 6 Resultados de ajuste de la curva de luz
Parámetro g Banda i Banda adoptada
a/RA 5,93± 0,15 5,91± 0,16 5,92± 0,11
RB/RA 0,1330± 0,0010 0,1288± 0,0007 0,1309± 0,0006
b 0,36± 0,06 0,37± 0,07 0,365± 0,046
– 26 –
Cuadro 7 Coeficiente de correlación
Coeficiente g Banda i Banda
(a/RA,RB/RA) 0,28 0,27
a/RA, b) −0,21 −0,42
(presupuesto ordinario/presupuesto ordinario, b) 0,04 0,01
– 27 –
Cuadro 8 Parámetros físicos para HAT-TR-205-013
Parámetro g Banda i Banda adoptada
MA (MÃ3r) 1,04± 0,14 1,03± 0,14 1,04± 0,13
AR (R+) 1,28± 0,04 1,28± 0,04 1,28± 0,04
MB (M+) 0,124± 0,011 0,123± 0,011 0,124± 0,010
RB (R®) 0,169± 0,006 0,164± 0,006 0,167± 0,006
a (UCA) 0,0351± 0,0015 0,0351± 0,0015 0,0351± 0,0014
– 28 –
Cuadro 9 Masas y radios para estrellas bajas en masa
Nombre M (MÃ3r) R (RÃ3r) Tipo Ref.
OGLE-TR-123 B 0,085± 0,011 0,133± 0,009 SB1 EB 1
OGLE-TR-122 B 0,092± 0,009 0,120± 0,018 SB1 EB 2,3
OGLE-TR-106 B 0,116± 0,021 0,181± 0,013 SB1 EB 3
HAT-TR-205-013 B 0,123± 0,011 0,167± 0,007 SB1 EB 13
OGLE-TR-125 B 0,209± 0,033 0,211± 0,027 SB1 EB 3
CM Dra B 0,2136± 0,0010 0,2347± 0,0019 SB2 EB 4,5
CM Dra A 0,2307± 0,0010 0,2516± 0,0020 SB2 EB 4,5
OGLE-TR-78 B 0,243± 0,015 0,240± 0,013 SB1 EB 3
OGLE-TR-5 B 0,271± 0,035 0,263± 0,012 SB1 EB 6
OGLE-TR-7 B 0,281± 0,029 0,282± 0,013 SB1 EB 6
OGLE-TR-6 B 0,359± 0,025 0,393± 0,018 SB1 EB 6
OGLE-TR-18 B 0,387± 0,049 0,390± 0,040 SB1 EB 6
CU Cnc B 0,3890± 0,0014 0,3908± 0,0094 SB2 EB 7
OGLE-BW3-V38 B 0,41± 0,09 0,44± 0,06 SB2 EB 8
CU Cnc A 0,4333± 0,0017 0,4317± 0,0052 SB2 EB 7
OGLE-BW3-V38 A 0,44± 0,07 0,51± 0,04 SB2 EB 8
OGLE-TR-120 B 0,47± 0,04 0,42± 0,02 SB1 EB 3
TrES-Her0-07621 B 0,489± 0,003 0,452± 0,050 SB2 EB 9
TrES-Her0-07621 A 0,493± 0,003 0,453± 0,060 SB2 EB 9
NSVS01031772 B 0,4982± 0,0025 0,5088± 0,0030 SB2 EB 10
OGLE-TR-34 B 0,509± 0,038 0,435± 0,033 SB1 EB 6
NSVS01031772 A 0,5428± 0,0027 0,5260± 0,0028 SB2 EB 10
YY Gem A & B 0,5992± 0,0047 0,6191± 0,0057 SB2 EB 11
GU Boo B 0,599± 0,006 0,620± 0,020 SB2 EB 12
GU Boo A 0,610± 0,007 0,623± 0,016 SB2 EB 12
Referencias. — 1. Pont et al. (2006); 2. Pont et al. (2005a); 3. Pont et al.
(2005b); 4. Lacy (1977); 5. Metcalfe et al. (1996); 6. Bouchy et al. (2005);
– 29 –
7. Ribas (2003); 8. Maceroni & Montalbán (2004); 9. Creevey et al.
(2005); 10. López-Morales et al. (2006); 11. Torres & Ribas (2002); 12.
López-Morales & Ribas (2005); 13. Este documento
– 30 –
Fig. 1.— El diagrama de radio de masa para 10 estrellas en 5 binarios eclipsantes de doble línea cada uno
compuesto de dos enanos M, y con errores mejores que 3 por ciento.
– 31 –
9.98
10.02
10.04
10.06
10.08
10.1
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4
Fase
Datos TFA HAT-5
Datos TFA HAT-8
10.01
10.02
10.03
10.04
10.05
10.06
-0,1 -0,05 0 0,05 0,1
Fig. 2.- La curva de luz de HATnet plegada por fase para HAT-TR-205-013.
– 32 –
Fig. 3.- La curva de velocidad de nuestra solución orbital para HAT-TR-205-013, junto con la
velocidades observadas individuales. El panel inferior muestra los residuos de velocidad O-C de la
solución orbital.
– 33 –
Fig. 4.— Curvas de luz KeplerCam para HAT-TR-205-013 en las bandas SDSS g e i. Contin-
las líneas ousuales muestran las curvas de luz sintética más ajustadas para cada una.
– 34 –
Fig. 5.— Contornos de χ2 para los resultados de los ajustes a las curvas de luz en la banda g (izquierda
paneles) e i-band (paneles derecho). Para cada banda los tres paneles muestran las proyecciones en
los tres posibles aviones con b, a/RA y RB/RA. Los contornos 1-e, 2-e y 3-e son:
Conspirado.
– 35 –
Fig. 6.— El diagrama de radio de masa para las enanas M en binarios eclipsantes de una sola línea. La M
enanos de Pont et al. (2005a,b, 2006) se trazan como círculos abiertos. La línea roja pasando
a través del punto para HAT-TR-205-013 B muestra la restricción impuesta a su ubicación por
Eq.(11) y nuestras cantidades observadas, sin hacer ninguna suposición explícita (como
sincronización) sobre el sistema. Asumiendo la sincronización, las marcas de hash en la línea
mostrar el efecto que las diferencias de ± 1, 2, y 3 km s−1 en Vrot tienen en nuestros resultados finales.
INTRODUCCIÓN
OBSERVACIONES Y REDUCCIÓN DE DATOS
Fotometría HAT
Espectroscopia de seguimiento
Seguimiento Fotometría KeplerCam
ANÁLISIS DE LA LUZ
MASAS Y RADII PARA HAT-TR-205-013
DEBATE
| Derivamos masas y radios para ambos componentes en el eclipsado de una sola línea
binario HAT-TR-205-013, que consiste en un primario F7V y un M-enano tardío
secundaria. El período del sistema es corto, $P=2.230736 \pm 0.000010$ días, con
una órbita indistinguible de circular, $e=0.012 \pm 0.021$. Demostramos
generalmente que la gravedad superficial de la estrella secundaria en una sola línea
binaria que sufre eclipses totales puede derivarse de las características de la
curva de luz y órbita espectroscópica. Esto limita lo secundario a un
línea en el diagrama de radio de masa con $M/R^2$ = constante. Para HAT-TR-205-013,
asumir que la órbita ha sido circularizada, y que la rotación de la primaria
ha sido sincronizado y alineado con el eje orbital. Nuestra línea observada
ampliar, $V_{rm putrefacción} \sin i_{\rm putrefacción} = 28,9 \pm 1,0$ \kms, da una primaria
radio de $R_{\rm A} = 1,28 \pm 0,04$ \rsun. Nuestro análisis de curva de luz conduce a
el radio del secundario, $R_{\rm B} = 0,167 \pm 0,006$ \rsun, y el
eje semimayor de la órbita, $a = 7.54 \pm 0.30 \rsun = 0.0351 \pm 0.0014$ AU.
Nuestra órbita espectroscópica de una sola línea y el eje semimayor luego producen el
masas individuales, $M_{rm B} = 0,124 \pm 0,010$ \msun y $M_{\rm A} = 1,04
\pm 0.13$ \msun. Nuestro resultado para HAT-TR-205-013 B está por encima de lo teórico
modelos de radio de masas del grupo de Lyon, coherentes con los resultados de
binarios eclipsados de doble línea. El método que describimos ofrece la oportunidad
estudiar el extremo muy bajo de la relación estelar masa-radio.
| LA MASA Y LA RADIUS DEL UNSEEN M-DWARF
COMPAÑIA EN LA BINARIA DE ECLIPACIÓN ÚNICA
HAT-TR-205-013
Thomas G. Beatty1, José M. Fernández2,3, David W. Latham2, Gáspár Á.
Bakos2,4, Géza Kovács5, Robert W. Noyes2, Robert P. Stefanik2, Guillermo
Torres2, Mark E. Everett6, Carl W. Hergenrother7,2
dlatham@cfa.harvard.edu
RESUMEN
Derivamos masas y radios para ambos componentes en el eclipsado de una sola línea
binario HAT-TR-205-013, que consiste en un primario F7V y un M-enano tardío
secundaria. El período del sistema es corto, P = 2.230736 ± 0.00010 días, con
una órbita indistinguible de circular, e = 0,012 ± 0,021. Demostramos
generalmente que la gravedad superficial de la estrella secundaria en un binario de una sola línea
en eclipses totales pueden derivarse de las características de la curva de luz
y órbita espectroscópica. Esto limita lo secundario a una línea única en el
diagrama de radio de masa con M/R2 = constante. Para HAT-TR-205-013, asumimos
la órbita ha sido circularizada, y que la rotación de la primaria ha sido
sincronizado y alineado con el eje orbital. Nuestra línea observada ampliándose,
Vrot sin irot = 28,9± 1,0 km s−1, da un radio primario de RA = 1,28 ± 0,04 R.
Nuestro análisis de la curva de luz conduce al radio de lo secundario, RB = 0,167± 0,006
Ró, y el eje semimayor de la órbita, a = 7,54± 0,30 Ró = 0,0351± 0,0014
UA. Nuestra órbita espectroscópica de una sola línea y el eje semimayor luego producen el
masas individuales, MB = 0,124 ± 0,010 M+ y MA = 1,04 ± 0,13 M+. Nuestro
resultado para HAT-TR-205-013 B se encuentra por encima de los modelos teóricos de radio de masa de
1Departamento de Astronomía, Universidad de Harvard, 60 Garden Street, Cambridge, MA 02138
2Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, 60 Garden Street, Cambridge, MA 02138
3Departamento de Astronomía, Pontificia Universidad Católica, Casilla 306, Santiago 22, Chile
4Hubble Fellow
Observatorio 5Konkoly, Budapest, P.O. Recuadro 67, H-1125, Hungría
6Instituto de Ciencias Planetarias, 1700 East Fort Lowell Road, Suite 106, Tucson, AZ 85719
7Lunar y Laboratorio Planetario, Universidad de Arizona, Tucson, AZ 85719
http://arxiv.org/abs/0704.0059v2
– 2 –
el grupo de Lyon, en consonancia con los resultados de los binarios eclipsados de doble línea. Los
método que describimos ofrece la oportunidad de estudiar el extremo muy bajo de la estelar
relación masa-radio.
Títulos temáticos: binarios: eclipsación — binarios: espectroscópicos — estrellas: fondos
parámetros mentales — estrellas: masa baja — estrellas: rotación
1. INTRODUCCIÓN
Solucionar las masas y los radios de las estrellas se ha logrado tradicionalmente a través de la
análisis de binarios eclipsantes de doble línea, donde se detecta la luz de ambos componentes.
Masas y radios determinados de esta manera son fundamentales y pueden ser muy precisos, porque
se basan sólo en las leyes de Newton y la geometría para el análisis de la órbita espectroscópica y
curva de luz, y no en modelos de estructura estelar y evolución. En particular, el análisis de la
curva de luz eclipse produce la inclinación orbital, y cuando se combina con la doble línea
órbita espectroscópica, esto produce masas individuales para ambas estrellas.
Hay docenas de binarios eclipsados de doble línea con masa muy precisa y ra-
determinaciones dius (por ejemplo: ver Andersen 1991, para una revisión), pero sólo 10 M enanas (en
5 sistemas) con precisiónes superiores al 3 por ciento. En orden de aumento de masa, los 5
Los sistemas son: CM Draconis (Lacy 1977; Metcalfe et al. 1996), CU Cancri (Ribas 2003),
NSVS01031772 (López-Morales et al. 2006), YY Geminorum (Torres & Ribas 2002), y
GU Boötis (López-Morales & Ribas 2005). En la figura 1 se muestran los resultados observacionales de estos estudios.
10 M enanas en el diagrama de radio de masa, junto con los modelos teóricos predichos de
Baraffe et al. (1998). Todos los radios observados son más grandes que las predicciones teóricas,
Típicamente entre un 5 y un 10 por ciento. Otra característica llamativa de la Figura 1 es la falta de precisión
determinaciones de radio de masa en la mitad inferior del rango de masa de M-enano, a partir de CM Dra B
(0.214 millones de euros), hasta el límite subestelar cercano a 0.075 millones de euros. Últimamente, sin embargo, la
Número creciente de binarios de eclipsación monolínea de corto período con primarias de estrellas F y G
Segundos secundarios y enanos M identificados mediante estudios fotométricos de gran ángulo para el planeta en tránsito
promete proporcionar una manera de llenar este vacío en el diagrama de radio de masa (Bouchy et al. 2005;
Pont et al. 2005a, b, 2006).
Una aproximación al uso de un binario de eclipsado de una sola línea para resolver para la masa y el radio de
el compañero invisible es utilizar modelos estelares junto con espectroscópicos y fotométricos
observaciones de la primaria para estimar su masa y radio. A continuación, la relación de radio de la
curva de luz produce el radio de lo secundario, y la función de masa de la espectroscópica
órbita con la inclinación orbital de la curva de luz se puede combinar para producir la masa de
– 3 –
el secundario. Sin embargo, este enfoque no es fundamental, ya que se basa en modelos estelares
para caracterizar la primaria. Pruebas de la relación radio-masa con los segundos de baja masa
en tales sistemas no son mejores que la validez de los modelos para las primarias. En particular,
los isocronos teóricos dependen de la metalicidad, y los errores significativos pueden resultar si el mal
se adopta la metalicidad.
Un enfoque alternativo, y más fundamental, se basa en la expectativa de que
los binarios cuyas órbitas han sido circularizadas por los mecanismos de mareas también deben tener la
rotación axial de ambas estrellas sincronizadas con el período orbital, y ambos ejes rotacionales
alineado con lo normal a la órbita, de modo que las dos inclinaciones son iguales, irot = iorb (por ejemplo.
Véase Hut 1981; Zahn 1989). En este caso, una medición de la ampliación de la línea espectral debido a
rotación, Vrot sin irot, combinado con un valor para el yorb a partir de un análisis de la curva de luz, rendimientos
la velocidad de rotación ecuatorial real, Vrot. Si la rotación está sincronizada con la órbita,
entonces Prot = Porb, y el radio de la primaria puede ser resuelto. La clave de este enfoque
es la capacidad de obtener valores precisos para la ampliación rotacional de las líneas espectrales,
porque el radio primario no puede ser más exacto que el valor derivado para Vrot. Los
radio de la primaria entonces establece la escala para el resto del sistema, produciendo el radio de la
secundario y el eje semi-mayor de la órbita en unidades de longitud real, así como el orbital
inclinación. Entonces la versión revisada de Newton de la Tercera Ley de Kepler se puede utilizar para derivar la
suma de las masas, y la función de masa de la órbita espectroscópica de una sola línea permite la
masas individuales por determinar. Este enfoque depende de las predicciones de la estelar
modelos sólo en formas menores: los coeficientes de oscurecimiento de las extremidades son necesarios para el análisis detallado
de la curva de luz eclipse, y el ensanchamiento rotacional que se deriva de la observación
los espectros pueden depender débilmente de la metalicidad que se adopte.
La ventaja de usar binarios eclipsados de una sola línea es que aumenta drásticamente
el número de estrellas de baja masa cuyas masas y radios se pueden determinar. De hecho, sobre el
los últimos 30 años sólo siete sistemas de eclipsación de doble línea compuestos de estrellas de baja masa han sido
identificados (los mencionados CM Dra, CU Cnc, NSVS01031772, YY Gem, y GU Boo,
más OGLE-BW3-V38 (Maceroni y Montalbán 2004), y TrES-Her0-07621 (Creevey et al.
2005)). Mientras tanto, más de 75 binarios eclipsados de una sola línea con segundos de M-dwarf
han sido descubiertos mediante estudios fotométricos de gran angular en tránsito de planetas como Vulcan,
TrES y HAT en los últimos cinco años (Latham 2007).
Aumento del número de estrellas de baja masa con determinaciones fundamentales de masas y
Los radios valen la pena debido a las percepciones que estos sistemas pueden producir en la estructura estelar. Baja...
estrellas de masa cerca del límite de quema de hidrógeno son lo suficientemente frías como para que sus temperaturas interiores
están en el orden de la temperatura del electrón Fermi (Chabrier & Baraffe 1997), causando piezas
del interior estelar para estar en el estado de un gas electrónico parcialmente degenerado, lo que significa
– 4 –
una descripción clásica de Maxwell-Boltzmann del interior no se aplica. Por otra parte, el
densidad de número de electrones es tal que la distancia inter-iónica media es en sí mismo en el orden de la
Thomas-Fermi longitud de cribado, lo que significa que el gas electrónico es polarizado por el exterior-
campo iónico (Chabrier & Baraffe 1997). Añadir a esto la complejidad adicional que magnético
los campos pueden desempeñar un papel en el funcionamiento interno de las estrellas de baja masa (Mullan & MacDonald 2001),
y se hace evidente que cualquier intento de describir el interior de las estrellas de baja masa debe tomar
en cuenta la física tanto de los campos magnéticos como de los plasmas polarizados parcialmente degenerados.
No sólo es difícil modelar los interiores de las estrellas de baja masa, sino también el gris usual
Las atmósferas modelo ya no son aplicables. Las temperaturas relativamente bajas del estelar
atmósferas permiten la recombinación de hidrógeno molecular y otras moléculas, tales como
como TiO. Por lo tanto, atmósferas modelo no grises precisas que tienen en cuenta los efectos
de moléculas deben ser derivados y emparejados con los modelos interiores (Baraffe et al. 2002).
Así las estrellas cerca de la parte inferior de la secuencia principal plantean un desafío a la materia densa fisi-
cists y astrónomos estelares. Uno de los pocos métodos de prueba de modelos para estrellas de baja masa
es confrontando las predicciones teóricas de la relación masa-radio con las observaciones. Arriba
hasta ahora ha habido pocos datos con los que limitar las posibles teorías. Medición
las masas y radios de los enanos M en los binarios eclipsantes de una sola línea por lo tanto proporciona una nueva
oportunidad de probar la relación masa-radio cerca de la parte inferior de la secuencia principal.
En este artículo, determinamos masas y radios para los componentes de HAT-TR-205-
013, un binario unilineado eclipsante identificado por el HATnet (Húngaro-hecho Automatizado
Telescope Network, véase Bakos et al. (2004)). El secundario M-dwarf invisible tiene una masa y
radio de 0,124 M° y 0,167 R°, con errores de 1 a ° de 9 y 4 por ciento, respectivamente. Esto
el resultado coloca a la enana M alrededor del 10 por ciento por encima del radio predicho por el Baraffe et al.
(1998) modelos. En este primer trabajo describimos nuestras técnicas de análisis en detalle. En el futuro
Presentaremos los resultados de los secundarios enanos adicionales.
2. OBSERVACIONES Y REDUCCIÓN DE DATOS
2.1. Fotometría HAT
El proyecto HATnet1, iniciado en 2003 por G. Á. B, es una encuesta de campo amplio que tiene como objetivo
el descubrimiento de planetas en tránsito alrededor de estrellas brillantes. En la actualidad comprende 6 pequeñas empresas de amplio alcance.
telescopios automatizados de campo, cada uno de los cuales monitorea 8° × 8° del cielo, que normalmente contienen 5000
1www.hatnet.hu
– 5 –
estrellas lo suficientemente brillantes como para permitir la detección de tránsitos planetarios a través del típico 1% fotométrico
Inducen a sus padres a las estrellas. Los instrumentos se despliegan en dos estaciones,
red distribuida en longitud, con cuatro telescopios en el Observatorio Fred L. Whipple
Arizona, y dos telescopios en el Submillimeter Array en Hawái. Para una información más detallada
descripción de la instrumentación, observaciones y flujo de datos de HAT, véase Bakos et al. (2002,
2004).
El sistema HAT-TR-205-013 se encuentra en el campo de encuesta HATnet G205, centrado en α = 22h55m,
y = +37′ +30′. 3357 observaciones de este campo fueron realizadas por los telescopios HATnet entre
5 de octubre de 2003 y 30 de enero de 2004. Los tiempos de exposición fueron de 5 min a una cadencia de 5,5 min.
Las curvas de luz se derivaron por fotometría de apertura para las 6400 estrellas en G205 suficientemente brillante
para obtener una precisión fotométrica superior al 2% (alcanzando en algunos casos el 0,3%). Derivados
las curvas de luz, hicimos uso del Algoritmo de Filtración de Tendencias (Kovács, Bakos, & Noyes
2005) corregir las tendencias espurias de los datos. Luego buscamos todas las curvas de luz
señales de tránsito características, utilizando la Caja de ajuste de menos plazas (Kovács, Zucker, & Mazeh
2002) algoritmo, que busca caídas en forma de caja en el espacio de parámetros de frecuencia,
duración del tránsito y fase de entrada. Señales de tránsito de candidatos con la mayor detección
A continuación, se examinó individualmente, para aislar a aquellos con la mejor combinación de
tipo estelar (preferiblemente estrellas de secuencia principal de tipo espectral media F o posterior), y profundidad,
forma y duración del tránsito. Uno de ellos fue HAT-TR-205-013, para lo cual identificamos
una periodicidad prominente con un período de 2,2307 días y una profundidad de tránsito de 0,02 mag. Gráfico 2
muestra los datos de fase plegados y normalizados de flujo para HAT-TR-205-013.
Después de nuestra determinación de HAT-TR-205-013 como un sistema planetario potencial, nosotros
identifica la estrella en el catálogo 2MASS como 2MASS 23080834+3338039, que rindió J
y magnitudes K de J = 9,691 y K = 9,408. También encontramos HAT-TR-205-013 en el
Catálogo Tycho, como TYC 2755-36-1, con magnitudes BT = 11,355 y VT = 10,729. Nosotros
a continuación, ha programado HAT-TR-205-013 para las observaciones espectroscópicas de seguimiento para determinar si
la caída fotométrica fue causada por un acompañante estelar.
2.2. Espectroscopia de seguimiento
Nuestra estrategia habitual para el seguimiento de los candidatos de los planetas en tránsito identificados por campos amplios
Los estudios fotométricos comenzarán con un reconocimiento espectroscópico inicial, para ver si hay
es la evidencia de un compañero estelar que es responsable de la curva de luz observada. Tenemos
utiliza los velocímetros digitales CfA (Latham 1992) en el reflector de 1,5 m Wyeth en el
Observatorio Oak Ridge en la ciudad de Harvard, Massachusetts y en el 1.5-m Tillinghast
Reflector en el Observatorio Fred L. Whipple en Mount Hopkins, Arizona para obtener
– 6 –
orden echelle espectros en una ventana de longitud de onda de 45 Å centrado en 5187 Å con una resolución de
8,5 km s−1 y una relación típica entre la señal y el ruido por elemento de resolución de 15 a 20. Para lentamente
estrellas de tipo solar giratorias estos espectros ofrecen velocidades radiales precisas a unos 0,5 km s−1,
que es suficiente para detectar el movimiento orbital debido a compañeros con masas hasta cerca de 5
o 10 MJ para períodos orbitales de unos pocos días.
Las observaciones espectroscópicas de seguimiento de los candidatos de los planetas en tránsito son más fáciles de realizar
ule que las observaciones fotométricas, porque la velocidad radial varía a lo largo de la totalidad
fase orbital, mientras que la curva de luz de tránsito tiene un ciclo de trabajo de sólo unos pocos por ciento, por ejemplo. 3
horas fuera de 3 días. La espectroscopia tiene la ventaja adicional sobre la fotometría que nosotros
puede utilizar nuestros espectros para clasificar la estrella madre, derivando temperatura efectiva, rotación
velocidad, y la gravedad superficial mediante la correlación de los espectros observados con una biblioteca de sintético
espectros. Esta información es a menudo útil para rechazar las estrellas anfitrionas que son demasiado calientes, o son
rotar demasiado rápido, o son evolucionados (en cuyo caso suponemos que el gigante debe ser el brillante
estrella en un triple mezclado). Por lo tanto, en CfA normalmente empezamos con un reconocimiento espectroscópico
antes de intentar realizar una fotometría de seguimiento o observaciones de velocidad radial muy precisas (por ejemplo: ver
O’Donovan et al. 2007).
A partir de 1999 con los candidatos en tránsito-planeta proporcionados por el equipo Vulcano (Borucki et al.
2001), rápidamente nos enteramos de que la gran mayoría de los candidatos del planeta eran en realidad eclips-
ing binarios disfrazados de planetas en tránsito (Latham 2003). Uno de los más comunes
Los impostores eran una estrella F o G primaria eclipsada por una secundaria M-enano tardía. Tales sistemas
producen curvas de luz similares a los planetas que transitan por enanas de tipo solar, porque M enanas cerca
la parte inferior de la secuencia principal tiene aproximadamente el mismo tamaño que los planetas gigantes. Sin embargo,
son fáciles de distinguir de los planetas, porque sus masas son de dos órdenes de magnitud
más grande, y el movimiento orbital reflejo que inducen en sus estrellas matrices tiene una amplitud de
al menos varios km s−1.
Hemos determinado las velocidades rotacionales y radiales de HAT-TR-205-013 por corre-
la relación de los espectros observados con las plantillas extraídas de una biblioteca de espectros sintéticos
calculado por Jon Morse para una cuadrícula de atmósferas estelares Kurucz (1992). La cuadrícula de la biblioteca
tiene una separación de 250 K en temperatura efectiva, Teff ; 0,5 en la gravedad de la superficie del tronco, log g; y
0,5 en metalicidad logarítmica relativa al sol, [Fe/H]. Para las determinaciones finales de velocidad radial
adoptamos la plantilla con los valores de Teff, log g y Vrot que dieron el valor más alto para
el pico del coeficiente de correlación, promediado sobre todos los espectros observados, asumiendo solar
metalicidad. Para el análisis de correlación se utilizó xcsao (Kurtz & Mink 1998) corriendo dentro
el entorno IRAF2.
2IRAF (Facilidad de Reducción y Análisis de Imágenes) es distribuido por el Servicio Nacional de Astronomía Óptica
– 7 –
Nuestro primer espectro de HAT-TR-205-013 reveló que las líneas espectrales de la
primaria se ampliaron en unos 30 km s-1 de rotación. En nuestra experiencia esto es un fuerte
sugerencia de que el compañero es una estrella con suficiente masa para sincronizar la rotación de
el primario con el período orbital. La segunda exposición mostró que la velocidad variaba
por varios km s−1. Los espectros adicionales pronto revelaron una órbita espectroscópica con un período
que coincide con el período fotométrico y una semiamplitud orbital, K, de unos 20 km s−1
lo que implica que el secundario era un pequeño enano M. En total acumulamos 23 espectros
que rinden las velocidades radiales notificadas en la tabla 1, que se calcularon utilizando una plantilla
con Teff = 6250 K, log g = 4,0, [Fe/H]=0,0, y Vrot = 30 kms
−1. Los parámetros de nuestra
solución orbital para HAT-TR-205-013 se indican en la Tabla 2 y la velocidad correspondiente
la curva y las velocidades observadas se grafican en la Figura 3.
Porque el valor de la velocidad de rotación es crítico para nuestra determinación del radio
de la estrella primaria, evaluamos tanto la precisión interna de nuestras determinaciones y
posibles errores sistemáticos resultantes de incertidumbres en la gravedad superficial y la metalicidad
de la estrella primaria. Nuestros resultados finales para la masa y el radio de la estrella primaria implican un
log de gravedad de superficie g = 4,24, a mitad de camino entre las plantillas más cercanas en nuestra biblioteca de sintéticos
espectros. Por lo tanto, evaluamos la velocidad de rotación a log g = 4,0 y 4,5, y también
a dos metalicidades, [Fe/H] = 0,0 y −0,5. En cada una de las cuatro combinaciones de log g y
[Fe/H] corrimos correlaciones en un amplio rango de temperaturas, de 5500 a 7250 K, y rotacionales
velocidades, 10 a 50 km s−1. A cada gravedad y metalicidad interpolamos para encontrar la
temperatura y rotación que dio el valor más alto del coeficiente de correlación promediado
sobre todos los espectros observados ponderados por las estadísticas de fotones. Para estos experimentos nosotros
no utilizó dos de nuestros espectros observados que tenían niveles de exposición mucho más bajos que el otro
21 observaciones. Los resultados se presentan en la Tabla 3. Ellos muestran que la exactitud de nuestra
la determinación de la velocidad de rotación en un logaritmo g y [Fe/H] no está seriamente limitada por la
scatter de las exposiciones individuales, a pesar de la relación señal-ruido relativamente baja de nuestra
Espectros observados. La incertidumbre en la velocidad media de rotación en cada log g y [Fe/H]
debido a la dispersión interna es inferior a 0,3 km s−1.
Los resultados notificados en el cuadro 3 también muestran que los errores sistemáticos debidos a incertidumbres
en la gravedad y la metalicidad no son graves. Por ejemplo, la dependencia de la rotación
la velocidad sobre la metalicidad es bastante débil, sólo 0,2 km s−1 para un cambio de 0,5 en [Fe/H]. En el
Por otra parte, la dependencia de la gravedad es bastante fuerte, alrededor de 1,0 km s−1 para un cambio de 0,5
Afortunadamente, la incertidumbre en la gravedad real de la estrella primaria es bastante pequeña,
menos de 0,2 en log g, por lo que la velocidad de rotación interpolada entre las dos gravedades debe
los servatorios, que son operados por la Asociación de Universidades para la Investigación en Astronomía, Inc., bajo
contrato con la Fundación Nacional de Ciencia.
– 8 –
ser bueno para tal vez 0,2 km s−1. Por desgracia, todavía no tenemos una medida directa de la
metalicidad de HAT-TR-205-013, pero el hecho de que las plantillas con [Fe/H] = 0,0 dan un
una mejor correspondencia con los espectros observados que las plantillas con [Fe/H] =−0.5 sugiere que
metalicidad es probablemente dentro de 0,5 dex de solar. En ausencia de una metalicidad precisa que
adoptar un valor de [Fe/H] = −0.2, que es típico del barrio solar (Nordström et al.
2004). La temperatura correspondiente a esta metalicidad que derivamos de nuestros espectros es
Teff = 6295 K, pero con un error sistemático que podría superar los 200 K debido a la degeneración
entre temperatura y metalicidad en el análisis de nuestros espectros. El enfoque alternativo
de derivar una temperatura de los índices fotométricos se ve obstaculizado por la falta de precisión
fotometría y la posibilidad de que pueda haber un enrojecimiento significativo. La distancia que
derivamos de la ley Stefan-Boltzmann usando R = 1,27 ± 0,04 R®, Teff = 6295 ± 200 K,
VT = 10,729 ± 0,048 (que corresponde a V = 10,67 ± 0,05) y corrección bolométrica
= −0,011 (Flower 1996) es 232 ± 18 pc. Desde nuestra temperatura espectroscópica y log g, nosotros
estimar que el tipo espectral de la primaria es F7V (Cox 2000).
Así, nuestros experimentos con diferentes gravedades y metalicidades sugieren que el sistema-
Los errores atic debidos a incertidumbres en los parámetros de la plantilla pueden ser inferiores a 0,4 km s−1.
Cuando se combina en cuadratura con la estimación de precisión interna de 0,3 km s−1, este sug-
indica que el error total en nuestra velocidad de rotación interpolada final podría ser tan pequeño como 0,5
Km s−1. Sin embargo, la experiencia anterior indicaría que la incertidumbre real es mayor.
que esta estimación interna. Por lo tanto, para ser conservadores adoptamos una incertidumbre de 1,0
km s−1 y utilizar Vrot sin irot = 28,9 ± 1,0 km s−1 para nuestra determinación del radio de la
análisis primario y posterior.
También se podría determinar el valor de Vrot sin irot mediante la medición espectroscópica de la
amplitud del efecto Rossiter-McLaughlin durante el eclipse (Gaudi & Winn 2007). En el
En el caso de HAT-TR-205-013, la amplitud de este efecto sería de unos 0,5 km s-1, demasiado pequeña para
se medirá con los velocímetros digitales CfA, pero potencialmente observables con precisión
de unos pocos por ciento por instrumentos como HIRES en Keck 1.
Nuestro enfoque se basa en la suposición de que la rotación estelar se ha sincronizado con
el período orbital. Una forma de probar esta suposición podría ser usar fotometría muy precisa.
para derivar un período de rotación para la estrella. Buscamos variaciones sinusoidales en el HAT.
fotometría, pero no encontró nada significativo cerca del período orbital. Detectamos una
variación marginalmente significativa con la mitad del período orbital y amplitud de aproximadamente 1 mmag,
que es consistente con la deformación elipsoidal esperada de la estrella primaria. A
En segundo lugar, una prueba más global sería utilizar modelos estelares para estimar la masa y el radio de
el principal, pero un requisito previo para tal análisis serían determinaciones exactas de la
temperatura y metalicidad, presumiblemente a partir de espectros de alta calidad, y tales resultados no son
– 9 –
Sin embargo, está disponible.
2.3. Seguimiento Fotometría KeplerCam
Proporcionar una curva de luz de alta calidad para el análisis del eclipse primario de HAT-
TR-205-013 utilizamos KeplerCam en el telescopio de 1,2 m del Observatorio Fred L. Whipple
en Mount Hopkins, Arizona. KeplerCam utiliza un monolítico 4K×4K Fairchild 486 CCD
que proporciona un campo de 23′ y un tamaño de píxel de 0,34′′. Usamos los tiempos de eclipse predichos de
nuestra órbita espectroscópica para programar observaciones en la noche del 22 al 23 de octubre de 2005. Nosotros
observó con éxito un eclipse completo, alternando entre las bandas Sloan g e i.
La vista fue aproximadamente 2′′ FWHM durante toda la noche, pero deliberadamente
desenfoque el telescopio para obtener imágenes con 3′′ FWHM con el fin de mantener el pico cuenta
en las imágenes muy por debajo de la saturación. A lo largo de las observaciones, el centro de
telescopio, que depende débilmente de la temperatura, fue ajustado tres veces para mantener la imagen
tamaño cercano a 3′′ FWHM. Debido a que usamos guía automática, el centroide de las imágenes se movió
menos de 3 píxeles durante la duración de las observaciones. Para lectura, enjabonamos los píxeles.
2 × 2, que dio un tiempo total de lectura incluyendo los gastos generales de 12 segundos. Tiempos de exposición
fueron 30 segundos para la banda G y 10 segundos para la banda I. Las imágenes fueron obtenidas en
secuencias de exposiciones de banda de 3 g seguidas de 6 exposiciones de banda i. Todo dicho, fuimos capaces de
recoger un total de 297 imágenes en la banda g y 588 en la banda i. Algunas nubes de cirrus delgadas
estaban presentes al principio de la noche, sin una degradación notable de las curvas de luz.
Un cuarto de Luna se levantó durante las observaciones después del final de la salida, y esto contribuyó
a un ligero aumento en la dispersión fotométrica después de la salida.
Todas las imágenes se redujeron aplicando una corrección overscan y luego restando
el patrón de sesgo residual bidimensional. Después de corregir los efectos del obturador, aplanamos
cada imagen utilizando un conjunto normalizado de imágenes de crepúsculo combinadas. Para producir la curva de luz,
utilizamos la primera imagen de cada filtro en una secuencia de observación como nuestra referencia astrométrica
para identificar las mismas estrellas en imágenes posteriores. Luego determinamos el cambio relativo
entre imágenes para reubicar cada estrella en las siguientes imágenes. Medimos el flujo de cada uno
estrella en una abertura circular de 6,7′′ alrededor de la posición derivada del ajuste astrométrico utilizando
daophot/phot dentro de la IRAF (Tody 1986, 1993). Estimamos el cielo en un anillo alrededor
cada estrella con radios internos y externos de 9.4′′ y 13.4′′ utilizando el modo de rechazo sigma.
Seleccionamos iterativamente estrellas de comparación mediante la eliminación de cualquier que mostró ruido inusual o
Variabilidad en sus curvas de luz diferencial, obteniendo 21 estrellas de comparación para la banda g y
37 para la banda I. Sobre la base de un flujo medio ponderado de las estrellas de comparación, calculamos
– 10 –
una corrección de extinción, y luego aplicó esto a cada estrella de comparación. Los rms típicos
residuo para ambas bandas fue de 1,5 mmag, un valor que aumentó ligeramente hacia el final de la
noche debido al aumento del brillo del cielo de la Luna naciente. El principal contribuyente del ruido
a la fotometría de imágenes individuales fue la centelleación atmosférica, que
para más del 65% de nuestros rms calculados (Young 1967). Las mediciones fotométricas individuales
en las bandas g e i se indican en los cuadros 4 y 5, respectivamente.
3. ANÁLISIS DE LA LUZ
Nuestras curvas de luz KeplerCam para HAT-TR-205-013 dan una buena cobertura del eclipse
centrado en HJD 245366.747±0.001, con más de dos horas de cobertura tanto antes de la
inicio de la entrada y después del final de la salida. El eclipse en sí dura alrededor de 3 horas entre
primer y cuarto contacto y es cerca de 2 por ciento de profundidad, de acuerdo con la luz del descubrimiento
curva de HAT. Nuestras curvas de luz KeplerCam muestran claramente los efectos del oscurecimiento de las extremidades en
forma de eclipse en función de la longitud de onda: la curva de luz de banda i es ligeramente más superficial y
posee un fondo más plano que la curva de la banda g. Las porciones de las curvas de luz antes
y después del eclipse mostró una ligera deriva, que quitamos con un ajuste lineal. El resultado
Las curvas de luz están trazadas en la Figura 4.
De nuestros ajustes a las curvas de luz KeplerCam derivamos centros de tránsito de 245366,7465±
0,0005 y 245366,7473 ± 0,0005 en las bandas g e i, respectivamente. Cuando nos com-
bina estos tiempos de tránsito con los resultados de la fotometría HAT, obtenemos la efeméris
245366.74748± 0,00018 +N × 2.230736± 0.000010.
Conociendo la duración y profundidad del eclipse, junto con el período orbital, nosotros
fueron capaces de obtener valores brutos para la relación de semieje mayor y radio de la secundaria
al radio de la estrella primaria utilizando las relaciones
(2)
donde a es el eje semimayor orbital, RA y RB son los radios de las estrellas primarias y secundarias,
El P es el período orbital, el TTR es la longitud de tránsito, y el TTR es la profundidad de tránsito en flujo relativo.
Para nuestros valores de P • 2,23 días, •ttr • 2,5 horas y • • 0,02, obtuvimos a/RA • 5,93
y RB/RA 0,133 a partir de esta primera aproximación.
Luego construimos una cuadrícula bidimensional de curva de luz que encaja en a/RA y RB/RA, centrada
sobre los valores brutos obtenidos anteriormente. El parámetro de impacto b se introdujo como un tercero
– 11 –
dimensión en la cuadrícula, variando de b = 0 (transito central) a b = 1 + RB/RA (pastoreo)
tránsito). Los escalones de la cuadrícula fueron 0,002 en a/RA, 0,00001 en RB/RA y 0,001 en b. Generamos
curvas de luz sintética para cada combinación de parámetros utilizando las rutinas proporcionadas por
Mandel & Agol (2002), junto con los coeficientes cuadráticos de oscurecimiento de las extremidades derivados por
Claret (2004), utilizando la temperatura y la gravedad de la superficie para la primaria que habíamos derivado
Espectroscópicamente. Adoptamos valores solares para la metalicidad y turbulencia superficial de la
estrella primaria. Los coeficientes exactos que usamos fueron u1 = 0,4238 y u2 = 0,3250 en la g,
y u1 = 0,1814 y u2 = 0,3723 en la banda i. Incertidumbres en nuestros valores de la extremidad...
coeficientes de oscurecimiento, en gran parte como resultado de la incertidumbre en la temperatura espectroscópica
la medición, tuvo un efecto insignificante en nuestros resultados finales.
Para identificar la curva de luz sintética que dio el mejor ajuste a los datos reales, buscamos
para el ajuste con el menor valor de χ2, inspeccionar los contornos de χ2 para asegurarnos de que
encontró el mínimo global. También inspeccionamos las parcelas de los ajustes a los datos como un
Jaque. Aplicamos este procedimiento a las curvas de luz g e i. Los resultados se resumen
en el cuadro 6.
Para calcular las incertidumbres de nuestros valores de a/RA, RB/RA y b, realizamos
Ajustes adicionales en los que fijamos uno de los parámetros en un valor que difiere ligeramente de la
valor de mejor ajuste, y adecuado para los otros dos parámetros. Hemos cambiado este parámetro fijo hasta
el ajuste eventual logró una χ2 que estaba 1- lejos de nuestros parámetros de mejor ajuste’ χ2. Nosotros
a continuación, utilizó la diferencia entre este valor de 1- y nuestro mejor valor de ajuste como la incertidumbre
para ese parámetro en particular. Examinamos la correlación entre los tres diferentes
parámetros haciendo un ajuste final a los datos utilizando el método Levenberg-Marquardt – un
combinación de los métodos Inverse-Hessian y Steepest Descent (Press et al. 1992). Esto
nos permitió calcular la matriz de covarianza para los tres parámetros de ajuste, y por lo tanto la
coeficientes de correlación para los parámetros. Para los tres, la correlación con cualquiera de los
otros dos eran siempre menores que 0,5 en ambas bandas. Aunque esto no es insignificante, encontramos
que la contribución al error total estimado fue menor. Por supuesto, el Levenberg...
El método Marquardt también se puede utilizar para calcular las incertidumbres en a/RA, RB/RA y b.
Sin embargo, las incertidumbres que derivamos de nuestro análisis de cuadrícula fueron sustancialmente mayores.
Para ser conservadores, adoptamos las incertidumbres de la red en lugar del Levenberg-Marquardt
incertidumbres. La Figura 5 muestra diagramas de contorno de χ2 para nuestros ajustes. En el cuadro 6 se indica el ajuste final
los resultados y errores, y la Tabla 7 enumera los coeficientes de correlación. Los datos de KeplerCam y
Las curvas luminosas de mejor ajuste se muestran en la Figura 4. Ajuste simultáneo de las curvas de luz en ambos
las bandas producidas se ajustan a las estadísticas inferiores de la χ2, como resultado de la ligera diferencia entre
las dos bandas. Por lo tanto, utilizamos un promedio simple de los resultados de la curva de luz como nuestro adoptado
valores para los parámetros de la Tabla 6.
– 12 –
3.1. MASAS Y RADII PARA HAT-TR-205-013
Utilizando los valores que hemos medido a partir de las curvas de luz eclipse, así como el
parámetros de órbita espectroscópica observados, podemos restringir la ubicación de HAT-TR-205-013
A y B en el diagrama de radio de masa a curvas únicas descritas completamente por estos observa-
Capaz. Para enfatizar esto, hemos escrito los valores observables entre paréntesis en el siguiente
derivación.
Para empezar, utilizamos la versión revisada de Newton de la Tercera Ley de Kepler y la espectroscópica
Función de masa de la solución orbital:
[P]2 =
G (MA + MB)
a3 (3)
sin yorb
(MA + MB)
1− [e]2 (4)
donde [KA] es la semiamplitud de la órbita espectroscópica para la primaria en km s
−1, [e]
la excentricidad de la órbita, y G es la Constante Gravitacional. Con estas dos ecuaciones,
se pueden encontrar las dos incógnitas (MA y MB):
[P]2
[P] [KA]
1− [e]2
2ηa sin yorb
sin yorb
1 - [e]2 (6)
Tanto la inclinación orbital como el eje semimayor pueden expresarse en términos de
observables [a/RA], [RB/RA] y [b], y los radios estelares desconocidos RA y RB:
Tomando nuestro valor para el parámetro de impacto [b], que mide
ión de las estrellas primarias y secundarias en el punto medio del eclipse, la inclinación orbital
puede expresarse en términos de los observables [a/RA] y [b]:
[b] = [a/RA] cos iorb (7)
sin yorb =
[a/RA]2
Del mismo modo, el eje semimayor puede estar escrito en términos de observables [a/RA], [RB/RA]
y [b], y los radios estelares desconocidos RA y RB:
a = [a/RA] RA =
[a/RA]
[presupuesto ordinario/presupuesto ordinario]
PO (9)
– 13 –
Sustitución de estos valores en Eq.(5) y (6) da expresiones para la masa de cada uno
componente como funciones de sólo los observables y los radios estelares respectivos:
G[P]2
[a/RA]
[P] [KA]
1− [e]2
2η(1− [b]2/[a/RA]2)1/2 [a/RA] RA
R3A (10)
G[P]
[a/RA]
[presupuesto ordinario/presupuesto ordinario]
1− [e]2
(1 a [b]2/[a/RA]2)
R2B (11)
Por lo tanto, sólo de lo que somos capaces de medir utilizando las curvas de luz eclipse y
espectroscopia, podemos limitar HAT-TR-205-013 B a una única curva en el radio de masa dia-
Gramo que va como MB/R
B = constante. Esta constante es directamente proporcional a la superficie
gravedad del objeto, que ha sido señalado previamente por Southworth et al. (2004). En nuestro
caso, la calidad de nuestra fotometría nos permite medir esta constante con extrema precisión;
la región de incertidumbre alrededor de esta línea de gravedad de superficie está en el orden de la propia anchura de línea
cuando está tramado.
A través de la supuesta sincronización de la rotación de la primaria al período orbital nosotros
puede localizar HAT-TR-205-013 B en esta curva de determinación de gravedad, pero es importante
note que la línea en sí se define sin haber hecho ninguna suposición sobre el sistema.
De hecho, es posible calcular una curva de gravedad similar para cualquier sistema de eclipsación, o para un
sistema que contiene un planeta en tránsito. Todo lo que se requiere es una curva de luz de buena calidad y
órbita espectroscópica. Esto se ha hecho anteriormente para el caso de un planeta en tránsito por
Winn et al. (2006).
Para colocar HAT-TR-205-013 en el diagrama de radios masivos más específicamente, observamos que
que la excentricidad medida de nuestra órbita espectroscópica para HAT-TR-205-013 es indistinta-
y, por lo tanto, por las razones descritas en la introducción, nosotros
asumir que los ejes de rotación de ambas estrellas se han alineado con la normal orbital y que
la rotación de ambas estrellas se ha sincronizado con el período orbital. Esto nos permite usar
la línea rotacional observada ampliando de la primaria a resolver para el radio de la primaria
en unidades lineales, que a su vez nos permite convertir el tamaño orbital y el radio secundario en
unidades lineales a partir de los valores de [a/RA] y [RB/RA] derivados de las curvas luminosas.
Usando la suposición de sincronización, y ese iorb = irot, vemos por inspección que
[Vrot sin irot]
sin yorb
[Vrot sin irot]
sin yorb
[RB/RA] (13)
donde [Vrot sin irot] es la ampliación rotacional proyectada de la primaria derivada de su
Espectros observados. Ahora podemos sustituir en Eq.(8) para que el pecado iorb para obtener ambos radios en términos de
– 14 –
nuestros observables:
2η (1− [b]2/[a/RA]2)
[Vrot sin irot] (14)
2η (1− [b]2/[a/RA]2)1/2
[RB/RA] [Vrot sin irot] (15)
Combinando estas dos declaraciones con Eq.(9) y (10), llegamos a expresiones para
las masas de cada componente en términos de las cantidades observables:
[a/RA]
(1– [b]2/[a/RA]2)3/2
1− [e]2
[a/RA][Vrot sin irot]
[Vrot sin irot]
3 (16)
[a/RA]
(1– [b]2/[a/RA]2)3/2
1− [e]2 [Vrot sin irot]2 (17)
Los resultados para las masas y radios para ambos componentes de HAT-TR-205-013 son pre-
enviado en el cuadro 8. Los errores se estimaron utilizando simulaciones de Montecarlo y fueron com-
junto con los resultados de la propagación formal de errores, incluidos los coeficientes de correlación
derivado de los ajustes de la curva de luz. Ambos enfoques arrojaron resultados similares. La masa y
el radio obtenido para la estrella primaria es esencialmente el mismo para las curvas de luz g e i,
pero la masa y el radio para el secundario difieren en 0.8 y 3 por ciento, respectivamente. Esto
La diferencia de radio entre las dos curvas luminosas es cercana a 1-, y puede deberse a incertidumbres
en los coeficientes de oscurecimiento de las extremidades. Nuestros valores adoptados se basan en los valores medios de
los parámetros de la curva de luz.
4. DEBATE
En la Figura 6 trazamos nuestra masa y radio para el M-enano secundario HAT-TR-205-
013 B en un diagrama de radio de masa, junto con isocronos para edades de 0,5 y 5 Gyr de
Baraffe et al. (1998). También trazamos los resultados de 11 segundos enanos M de la muestra
de candidatos planetarios de OGLE analizados por Bouchy et al. (2005); Pont et al. (2005a, b, 2006)
y se enumeran en el cuadro 9. Para los sistemas OGLE-TR-34 (Bouchy et al. 2005), OGLE-TR-120
(Pont et al. 2005b), y los sistemas de baja masa OGLE-TR-122 (Pont et al. 2005a) y OGLE-
TR-123 (Pont et al. 2006) los autores tuvieron que utilizar modelos estelares para estimar las masas
y radios de las primarias sin la asunción de sincronización, como sincronización
masas implícitas y radios que eran inconsistentes con las observaciones espectroscópicas. Por la Comisión
otros siete sistemas, fueron capaces de asumir la sincronización y derivar el radio de la
primaria de la ampliación de la línea rotacional observada. En general, el acuerdo entre
– 15 –
Los resultados de OGLE y el Baraffe et al. (1998) los isocronos parecen prometedores, pero la observación
Las incertidumbres siguen siendo demasiado grandes para permitir una prueba crítica de los modelos teóricos. El OGLE
los sistemas son mucho más débiles que HAT-TR-205-013, lo que presenta retos significativos
para las observaciones de seguimiento espectroscópicas y fotométricas. Espectroscopia con la
resolución y relación señal-ruido adecuados para determinar valores precisos para la rotación
ampliar requiere tiempo en grandes telescopios, y fotometría para curvas de luz de alta calidad
también requiere grandes telescopios para lograr las estadísticas de fotones necesarias. Eclipsamiento de binarios
los estudios de gran angular son mucho más brillantes y, por lo tanto, menos desafiantes en ambos
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Nuestro valor para el radio del secundario M-dwarf en HAT-TR-205-013 es del 11 por ciento,
alrededor de 3-, por encima de los isocronos teóricos. Esta divergencia se ve reforzada aún más por Eq.(11),
que, como se ha señalado anteriormente, restringe la posición de HAT-TR-205-013 B para
línea única determinada por la gravedad superficial del objeto. Esta curva de gravedad hace
no se basa en ninguna hipótesis previa sobre el sistema HAT-TR-205-013, ni depende de
sobre nuestro valor medido de Vrot sin irot, que es el mayor contribuyente de la incertidumbre a nuestro
resultados finales. Utilizamos la suposición de sincronización y la medida espectroscópica
Vrot sin irot para colocar HAT-TR-205-013 B en una ubicación específica a lo largo de la curva, pero es
importante señalar que en la región que encontramos HAT-TR-205-013 B, la curva de permitido
ubicaciones corre casi paralelo a los modelos teóricos. Esto se ilustra en la Figura 6 por
la línea roja que pasa a través de nuestro punto para HAT-TR-205-013 B. Así pues, la conclusión de que
los modelos teóricos predicen un radio para HAT-TR-205-013 B que es demasiado pequeño alrededor de 10
porcentaje está en terreno mucho más firme de lo que la barra de error en el radio observado podría sugerir.
De hecho, se requeriría una diferencia de 6 a 6 en Vrot sin irot para colocar HAT-TR-205-013 B en la
Modelos Baraffe.
Nuestro resultado para HAT-TR-205-013 B apoya la sugerencia de los resultados para el doble-
binarios eclipsantes forrados trazados en la Figura 1 que los modelos predicen radios para enanas M que
son demasiado pequeños hasta un 10 por ciento. Esta discrepancia ya se ha observado anteriormente, por ejemplo.
por Torres & Ribas (2002) en el caso de YY Gem. Torres et al. (2006) planteó la cuestión de
si los binarios de eclipsación de corto período son representativos de estrellas de campo aisladas y amplias
binarios donde las fuerzas de las mareas son insignificantes. Sugirieron que la rápida rotación de la
las estrellas en estos sistemas causadas por la sincronización de mareas podrían dar lugar a una mejora magnética
la actividad, disminuyendo así la eficiencia del transporte de energía en las envolventes convectivas y
conduce a radios estelares inflados. Para las estrellas de baja masa, este efecto se examina con más detalle por
López-Morales (2007).
En el caso de HAT-TR-205-013, no vemos evidencia en la fotometría de manchas estelares en
la estrella primaria, que serían indicadores reveladores de la actividad magnética estelar mejorada.
– 16 –
Aunque HAT-TR-205-013 A está girando rápidamente, la falta de atividad magnética no es sorprendente,
dado su tipo espectral (F7). La capa convectiva exterior de la estrella es relativamente superficial, y
no es inusual que las estrellas de este tipo que giran rápidamente carezcan de una fuerte actividad magnética
(Torres et al. 2006).
En algunos casos puede ser posible determinar independientemente el período de rotación de
el primario a través de curvas de luz de alta calidad utilizadas para identificar definitivamente la varia fotométrica-
ión fuera del eclipse. Esto serviría como un cheque a la suposición de la sincronización de mareas
en el sistema.
En futuros trabajos presentaremos los resultados de varios eclipsados adicionales de una sola línea
binarios con órbitas circulares.
Agradecemos a Joe Zajac, Perry Berlind, y Mike Calkins por obtener algunos de los espectros...
observaciones escópicas; Bob Davis para el mantenimiento de la base de datos para el CfA Digital Speedome-
y John Geary, Andy Szentgyorgyi, Emilio Falco, Ted Groner y Wayne Peters
su contribución a hacer de KeplerCam un instrumento tan eficaz para
curvas de luz de calidad. TGB agradece a la Universidad de Harvard Orígenes de la Vida Initiative
babor. GK agradece el apoyo de OTKA K-60750. El proyecto HATnet cuenta con el apoyo de
NASA Grant NNG04GN74G. Esta investigación fue apoyada en parte por la Misión Kepler.
en virtud del Acuerdo de Cooperación de la NASA NCC2-1390.
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Esta preimpresión fue preparada con el AAS LATEX macros v5.2.
http://arxiv.org/abs/astro-ph/0610603
http://arxiv.org/abs/astro-ph/0612224
– 19 –
Cuadro 1 Velocidades radiales individuales
HJD Vrad (Vrad)
(días) (km s−1) (km s−1)
2453034.45642 −2,02 1,38
2453035.47574 −10,11 1,61
2453035.58018 −18.52 1,01
2453036.48778 −12.93 1,53
2453037.46565 −0,47 1,43
2453037.61215 −6,83 0,91
2453038.46413 −25,72 1,48
2453038.57874 -19.76 1.15
2453040.47360 −28.58 1.24
2453042,58686 −27,79 0,91
2453043,58338 +4,84 1,23
2453044,58422 −19,73 1,14
2453055,57911 −6,42 0,73
2453046 46373 −2.11 0,80
2453046,60000 −10,47 0,77
2453047,50881 −20.45 1,49
2453047,58731 −14,83 0,95
2453543.94910 −4.01 1.10
2453658.69572 −20.53 1.16
2453659,75967 +3.14 2,28
2453659,78398 +2.85 1,09
2453660,70213 −25,98 1,57
2453664.70202 −19.39 1.21
– 20 –
Cuadro 2 Parámetros orbitales espectroscópicos
Valor del parámetro
P (días) 2,23072± 0,00005
γ (km s−1) − 9,83± 0,30
K (km s−1) 18,33± 0,47
e 0,012± 0,021
() 143± 90
Época (HJD) 2, 453, 198,61± 0,56
Nobs 23
O − C rms (km s−1) 1,06
f(M) (M+3) 0,00142± 0,00023
aA sin i (Gm) 0,562± 0,030
– 21 –
Cuadro 3 Resultados de Velocidad Rotacional
log g,[Fe/H] Teff < Vrot > (< Vrot >) Correlación
(K) (km s−1) (km s−1) Coeficiente
4,00,0 6340 29,4 0,25 0,826
4,5,0,0 6540 28,4 0,24 0,823
4,0,-0,5 5960 29,2 0,21 0,821
4.5,−0,5 6150 28,2 0,24 0,816
Adoptada:
4,24–0,2 6295 28,9 1,0
– 22 –
Cuadro 4. g Fotometría de bandas
HJD Flux
245366,575985 1.00054
245366,576472 0,99856
245366,576946 1,0108
2453666.579226 1.00084
245366.579712 1.00008
2453665,580198 0,99985
245366582501 0,99998
245366,582976 0,99882
245366,583474 1,00159
Nota. — El cuadro 4 es pre-
enviado en su totalidad en el
edición electrónica del As-
Diario trofísico. Un por-
ión se muestra aquí para guid-
en relación con su forma y
contenido.
columna (1): Heliocéntrico
Julian Date,
columna (2): Normalizado in-
flujo strumental.
– 23 –
Cuadro 5 i Fotometría de bandas
HJD Flux
2453666,574226 0,99951
245366,574469 0,99803
245366,574724 1.00096
245366,574967 0,99846
245366,575233 0,99628
245366.575488 1.00014
245366.577432 1.00062
245366,577698 0,99886
245366,577965 0,99941
245366,578208 0,99613
245366,578474 0,99957
245366,578728 0,99962
245366580719 0,99837
245366,580974 0,99976
2453666,581228 0,99761
245366,581494 1.00025
245366,581772 1,0113
2453666,582027 0,99823
Nota. — El cuadro 5 es pre-
enviado en su totalidad en el
edición electrónica del As-
Diario trofísico. Un por-
ión se muestra aquí para guid-
en relación con su forma y
contenido.
columna (1): Heliocéntrico
Julian Date,
– 24 –
columna (2): Normalizado in-
flujo strumental.
– 25 –
Cuadro 6 Resultados de ajuste de la curva de luz
Parámetro g Banda i Banda adoptada
a/RA 5,93± 0,15 5,91± 0,16 5,92± 0,11
RB/RA 0,1330± 0,0010 0,1288± 0,0007 0,1309± 0,0006
b 0,36± 0,06 0,37± 0,07 0,365± 0,046
– 26 –
Cuadro 7 Coeficiente de correlación
Coeficiente g Banda i Banda
(a/RA,RB/RA) 0,28 0,27
a/RA, b) −0,21 −0,42
(presupuesto ordinario/presupuesto ordinario, b) 0,04 0,01
– 27 –
Cuadro 8 Parámetros físicos para HAT-TR-205-013
Parámetro g Banda i Banda adoptada
MA (MÃ3r) 1,04± 0,14 1,03± 0,14 1,04± 0,13
AR (R+) 1,28± 0,04 1,28± 0,04 1,28± 0,04
MB (M+) 0,124± 0,011 0,123± 0,011 0,124± 0,010
RB (R®) 0,169± 0,006 0,164± 0,006 0,167± 0,006
a (UCA) 0,0351± 0,0015 0,0351± 0,0015 0,0351± 0,0014
– 28 –
Cuadro 9 Masas y radios para estrellas bajas en masa
Nombre M (MÃ3r) R (RÃ3r) Tipo Ref.
OGLE-TR-123 B 0,085± 0,011 0,133± 0,009 SB1 EB 1
OGLE-TR-122 B 0,092± 0,009 0,120± 0,018 SB1 EB 2,3
OGLE-TR-106 B 0,116± 0,021 0,181± 0,013 SB1 EB 3
HAT-TR-205-013 B 0,123± 0,011 0,167± 0,007 SB1 EB 13
OGLE-TR-125 B 0,209± 0,033 0,211± 0,027 SB1 EB 3
CM Dra B 0,2136± 0,0010 0,2347± 0,0019 SB2 EB 4,5
CM Dra A 0,2307± 0,0010 0,2516± 0,0020 SB2 EB 4,5
OGLE-TR-78 B 0,243± 0,015 0,240± 0,013 SB1 EB 3
OGLE-TR-5 B 0,271± 0,035 0,263± 0,012 SB1 EB 6
OGLE-TR-7 B 0,281± 0,029 0,282± 0,013 SB1 EB 6
OGLE-TR-6 B 0,359± 0,025 0,393± 0,018 SB1 EB 6
OGLE-TR-18 B 0,387± 0,049 0,390± 0,040 SB1 EB 6
CU Cnc B 0,3890± 0,0014 0,3908± 0,0094 SB2 EB 7
OGLE-BW3-V38 B 0,41± 0,09 0,44± 0,06 SB2 EB 8
CU Cnc A 0,4333± 0,0017 0,4317± 0,0052 SB2 EB 7
OGLE-BW3-V38 A 0,44± 0,07 0,51± 0,04 SB2 EB 8
OGLE-TR-120 B 0,47± 0,04 0,42± 0,02 SB1 EB 3
TrES-Her0-07621 B 0,489± 0,003 0,452± 0,050 SB2 EB 9
TrES-Her0-07621 A 0,493± 0,003 0,453± 0,060 SB2 EB 9
NSVS01031772 B 0,4982± 0,0025 0,5088± 0,0030 SB2 EB 10
OGLE-TR-34 B 0,509± 0,038 0,435± 0,033 SB1 EB 6
NSVS01031772 A 0,5428± 0,0027 0,5260± 0,0028 SB2 EB 10
YY Gem A & B 0,5992± 0,0047 0,6191± 0,0057 SB2 EB 11
GU Boo B 0,599± 0,006 0,620± 0,020 SB2 EB 12
GU Boo A 0,610± 0,007 0,623± 0,016 SB2 EB 12
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– 29 –
7. Ribas (2003); 8. Maceroni & Montalbán (2004); 9. Creevey et al.
(2005); 10. López-Morales et al. (2006); 11. Torres & Ribas (2002); 12.
López-Morales & Ribas (2005); 13. Este documento
– 30 –
Fig. 1.— El diagrama de radio de masa para 10 estrellas en 5 binarios eclipsantes de doble línea cada uno
compuesto de dos enanos M, y con errores mejores que 3 por ciento.
– 31 –
9.98
10.02
10.04
10.06
10.08
10.1
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4
Fase
Datos TFA HAT-5
Datos TFA HAT-8
10.01
10.02
10.03
10.04
10.05
10.06
-0,1 -0,05 0 0,05 0,1
Fig. 2.- La curva de luz de HATnet plegada por fase para HAT-TR-205-013.
– 32 –
Fig. 3.- La curva de velocidad de nuestra solución orbital para HAT-TR-205-013, junto con la
velocidades observadas individuales. El panel inferior muestra los residuos de velocidad O-C de la
solución orbital.
– 33 –
Fig. 4.— Curvas de luz KeplerCam para HAT-TR-205-013 en las bandas SDSS g e i. Contin-
las líneas ousuales muestran las curvas de luz sintética más ajustadas para cada una.
– 34 –
Fig. 5.— Contornos de χ2 para los resultados de los ajustes a las curvas de luz en la banda g (izquierda
paneles) e i-band (paneles derecho). Para cada banda los tres paneles muestran las proyecciones en
los tres posibles aviones con b, a/RA y RB/RA. Los contornos 1-e, 2-e y 3-e son:
Conspirado.
– 35 –
Fig. 6.— El diagrama de radio de masa para las enanas M en binarios eclipsantes de una sola línea. La M
enanos de Pont et al. (2005a,b, 2006) se trazan como círculos abiertos. La línea roja pasando
a través del punto para HAT-TR-205-013 B muestra la restricción impuesta a su ubicación por
Eq.(11) y nuestras cantidades observadas, sin hacer ninguna suposición explícita (como
sincronización) sobre el sistema. Asumiendo la sincronización, las marcas de hash en la línea
mostrar el efecto que las diferencias de ± 1, 2, y 3 km s−1 en Vrot tienen en nuestros resultados finales.
INTRODUCCIÓN
OBSERVACIONES Y REDUCCIÓN DE DATOS
Fotometría HAT
Espectroscopia de seguimiento
Seguimiento Fotometría KeplerCam
ANÁLISIS DE LA LUZ
MASAS Y RADII PARA HAT-TR-205-013
DEBATE
|
704.006 | Coulomb excitation of unstable nuclei at intermediate energies | Excitación Coulomb de núcleos inestables a energías intermedias
C.A. Bertulani1*, G. Cardella2, M. De Napoli2, 3, G. Raciti2,3 y E. Rapisarda2,3
1 Departamento de Física y Astronomía,
Universidad de Tennessee, Knoxville, Tennessee 37996, EE.UU.
2 Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Catania,
Via Santa Sofía 64, I-95123, Catania, Italia
3 Dipartimento di Fisica e Astronomia, Universitá Catania,
Via Santa Sofía 64, I-95123, Catania, Italia
Resumen
Investigamos la excitación de Coulomb de estados de baja altitud de núcleos inestables en intermedios
colisiones de energía (Elab 10-500 MeV/nucleón). Se muestra que las secciones transversales para el E1 y
Las transiciones E2 son más grandes con energías más bajas, mucho menos de 10 MeV/nucleón. Efectos sobre el retardo
La distorsión de Coulomb y Coulomb se encuentra relevante tanto para energías tan bajas como 10 MeV/nucleón y
tan alto como 500 MeV/núcleo. Se examinan las consecuencias para los estudios realizados en las instalaciones de los rayos radioactivos.
Números PACS: 25.60.-t, 25.70.-z, 25.70.De
Palabras clave: excitación de Coulomb, secciones transversales, núcleos inestables.
* bertulanica@ornl.gov.
http://arxiv.org/abs/0704.0060v2
Los núcleos inestables a menudo se estudian con reacciones inducidas por haces radioactivos secundarios.
Ejemplos de estas reacciones son la dispersión elástica, la fragmentación y la excitación Coulomb
por objetivos pesados. La excitación de Coulomb es especialmente útil ya que el mecanismo de interacción es
muy conocido [1]. Es el resultado de interacciones electromagnéticas de un proyectil (ZP,AP )
con un objetivo (ZT,AT ). Uno de los núcleos participantes está excitado a medida que pasa a través de la
campo electromagnético del otro. Aquí sólo vamos a considerar la excitación de los pro-
En el caso de los estudios realizados en instalaciones de iones pesadas en todo el mundo, por ejemplo, en el caso de las instalaciones de iones pesadas.
LNS/Catania, NSCL/MSU, GSI, GANIL, RIKEN, etc. En la excitación Coulomb una pho-
tonelada con energía E es absorbida por el proyectil. Porque en pura excitación Coulomb el
núcleos participantes permanecen fuera del alcance de la fuerza nuclear fuerte, la cruz de excitación
sección puede expresarse en términos de los mismos elementos de la matriz multipolo que carácter-
ize excitated-state gamma-ray decaimiento, o la reducción de las probabilidades de transición, B(; Ji → Jf).
Por lo tanto, las amplitudes de excitación de Coulomb se combinan fuertemente con valiosas estructuras nucleares.
información. Por lo tanto, este mecanismo se ha utilizado durante muchos años para estudiar la
propiedades electromagnéticas de los estados nucleares de baja altitud [1].
Las secciones transversales de excitación de Coulomb son grandes si el parámetro de adiabacidad satisface la con-
dicciÃ3n
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
< 1, (1)
donde a0 es la mitad de la distancia de aproximación más cercana en una colisión frontal para un proyectil
velocidad v, y Ex = fi es la energía de excitación. Este corte adiabático limita el posible
energías de excitación por debajo de 1-2 MeV en colisiones sub-barrera. Una manera posible de superar esto
limitación, y excitar estados de alta altitud, es utilizar energías proyectiles superiores. En este caso,
la distancia de aproximación más cercana, en la que los núcleos aún interactúan sólo electromagnéticamente, es
del orden de la suma de los radios nucleares, R = RP + RT, donde P se refiere al proyectil
y T al objetivo. Para las energías muy altas uno también tiene que tener en cuenta el Lorentz
contracción del tiempo de interacción por medio del factor Lorentz γ = (1− v2/c2)−1/2, con
c ser la velocidad de la luz. Para tales colisiones la condición de adiabacidad, Eq. 1), pasa a ser
•(R) =
< 1. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
De esta relación se obtiene que para bombardear energías alrededor y por encima de 100
MeV/nucleon, estados con energía de hasta 10-20 MeV pueden ser excitados fácilmente [3].
Una descripción apropiada de la excitación de Coulomb en energías intermedias (Elab =
10 - 500 MeV/nucleón) se ha descrito en ref. [2]. En esta región de la energía ni la
Formalismo de excitación Coulomb no relativista descrito en ref. [1], ni el relativista
formulado en refs. [3, 4] son apropiados. Esto se discute en detalle en ref. [2] donde:
se muestra que los valores correctos de las secciones transversales de excitación Coulomb difieren hasta
30-40% en comparación con los tratamientos no relativistas y relativistas utilizados para calcular
observables experimentales (secciones transversales, distribuciones angulares de rayos gamma, etc.)).
Seguimos el formalismo de ref. [2] calcular secciones transversales para la excitación de Coulomb a partir de
energías que varían de 10 a 500 MeV/núcleo. Estas son las energías donde la mayoría de los radioactivos
las instalaciones de rayos están o estarán operando en todo el mundo. Las secciones transversales calculadas
ser una guía útil para futuros experimentos. También comparamos los cálculos exactos con
los obtenidos utilizando fórmulas analíticas simples y poniendo a prueba el régimen de su validez.
Las secciones transversales para la transición Ji → Jf en el proyectil se calculan utilizando el
ecuación [2]
d/23370/i→f
4η2Z2T e
B(, Ji → Jf)
(2° 1)3
S(, μ) 2, (3)
donde η = E o M representa la multipolaridad eléctrica o magnética, y
B(, Ji Jf) =
2Ji + 1
# Jf # M() # Ji #
son las probabilidades de transición reducidas. En estas ecuaciones, • = 1/ pecado(/2), con • ser
el ángulo de desviación, a0 = ZPZT e
2/m0v
2 y a = a0/γ. Las funciones complejas S(, μ) son
integrales a lo largo de las trayectorias de Coulomb corregidas por retraso. Su cálculo y cómo
se refieren a las teorías no relativistas y relativistas se describen en detalles en ref. [2].
Aquí vamos a introducir otra herramienta de comparación para la sección transversal total, que se obtiene
mediante la integración del eq. 3 sobre ángulos de dispersión. Para el cálculo se utilizó el código COULINT [2]
las integrales orbitales S(, μ) y las secciones transversales de eq. 3 (para más detalles, véase ref. [2]).
Usando la teoría descrita en ref. [4], es fácil demostrar que los valores aproximados de la
las secciones transversales para las transiciones E1, E2 y M1 pueden obtenerse por medio de las relaciones
(app)
B (E1)
K0K1 −
K21 − K
(app)
E3xB (E2)
K21 +
K0K1 −
K21 − K
(app)
B (M1)
K0K1 −
K21 − K
, (5)
donde Kn son las funciones de Bessel modificadas del segundo orden, como una función de
eq. 2, con R corregido para retroceso por la modificación R → R + πa/2 [3].
Aquí sólo vamos a considerar la excitación de los estados de mentira más bajos en luz y medio
núcleos pesados. Para las masas nucleares A < 20, el sitio web de evaluación de datos nucleares de TUNL
fue de gran ayuda [5]. Las tasas de transición electromagnética en la base de datos TUNL son:
se administran en unidades de Weisskopf y se transforman a los valores B(, Ii → If) apropiados
por medio de las relaciones estándar Weisskopf BW (E1; Ji → Jgs) = 0,06446A
2/3 e2fm2,
BW (E2; Ji → Jgs) = 0,05940A
4/3 e2fm4, y BW (M1; Ji → Jgs) = 1,79 (e~/2mnc)
. Por
comparación, algunos núcleos de masa media, así como algunos núcleos estables, fueron incluidos en el
cálculo. Otros datos fueron tomados de refs. [6, 7, 8, 9].
Algunos casos de núcleos lejos de la línea de estabilidad son muy interesantes y merecen más
estudio, posiblemente utilizando el método de excitación Coulomb. Por ejemplo, es bien sabido que
los núcleos con cáscaras abiertas tienden a tener valores de B(E2) superiores a 10 W.u., mientras que los núcleos con
El cierre de la cáscara de neutrones o protones tiende a tener valores B(E2) claramente más pequeños. Típico
ejemplos de esta última categoría son los núcleos doblemente mágicos, 16O y 48Ca, que B(E2)
los valores son 3,17 y 1,58 W.u., respectivamente. Según una fórmula empírica ajustada
a un ajuste global de las tasas de transición conocidas, los valores del primer nivel excitado 2+, E2+, y
B(E2; 0+ → 2+) están relacionados por [10] (E2+ en keV)
B(E2; 0+ → 2+) = 26
A2/3E2+
e2fm4. 6)
El valor de B(E2) para 16C basado en esta fórmula es al menos un orden de magnitud
mayor que lo observado experimentalmente en un experimento de disociación de Coulomb [9]. Los
el obstáculo anomalmente fuerte de la transición 16C no está bien explicado teóricamente. Esto
es sólo un ejemplo del poder de la excitación Coulomb como herramienta para acceder a la nueva física
inherente a especies nucleares raras poco conocidas.
Otro ejemplo es la fuerte transición E1 en 11Be. 11Be es un arquetipo de un halo nu-
cleus y muestra la transición de dipolo más rápida conocida entre estados unidos en los núcleos. Los
B(E1) fuerza de transición entre el suelo y el único estado de excitación consolidado (a 0,32
MeV) fue determinado a partir de mediciones de por vida por Millener et al. debe ser 0,116 e2fm2 [11].
Sin embargo, los experimentos de excitación Coulomb han obtenido un valor mucho menor del B(E1)
que sigue siendo una cuestión de investigación [12, 13, 14]. Por lo tanto, parece claro que las predicciones
A menudo, la teoría de la estructura nuclear y de la reacción tradicional da lugar a desacuerdos.
Con datos experimentales. A pesar de ello, cuando se contabilizan las correcciones adecuadas
(por ejemplo: Acoplamiento de canales, excitación nuclear, correcciones relativistas), excitación de Coulomb
haces dioactivos es una poderosa herramienta complementaria para investigar las propiedades electromagnéticas
de núcleos lejos de la línea de estabilidad.
En la Tabla 1 comparamos nuestros cálculos con varias secciones transversales obtenidas experimentalmente
para la excitación Coulomb de núcleos inestables. Las unidades de energía son MeV, el laboratorio
la energía está en MeV/nucleón, los valores B están en unidades de e2 fm2
en milibares. Las dos últimas columnas dan las secciones transversales calculadas obtenidas mediante el uso
eqs. 3 y 5, respectivamente. Desde las secciones transversales de eq. 5 son funciones del mínimo
parámetro de impacto, los valores notificados en el cuadro se han calculado de acuerdo con el
rangos angulares experimentales reportados en la séptima columna. Excepto para el caso 11Be, para
que se conoce la discrepancia entre la teoría y el experimento (véase la discusión anterior), la
las secciones transversales calculadas están próximas a los valores experimentales. Sin embargo, el cálculo
las secciones transversales tienden a ser más pequeñas que las experimentales para 17Ne, 32Mg, 38S, 40S, 42S,
44Ar, y 46Ar proyectiles. Esto es preocupante porque los valores de B() fueron extraídos
de las secciones transversales obtenidas experimentalmente, utilizando ecuaciones similares a la eq. 5. Estos
Los valores B experimentales tendrían que ser mayores entre un 10 y un 30% según nuestros cálculos.
Es importante destacar el hecho de que muchos datos experimentales sobre núcleos inestables recogidos
hasta ahora han sido analizados por medio de herramientas teóricas (DWBA y canales acoplados)
códigos) que no incluyen la dinámica relativista (la inclusión de la cinemática relativista
es sencillo). Este problema se abordó por primera vez en ref. [15], donde se mostró
que el análisis de datos experimentales a energías intermedias sin un tratamiento adecuado
de la dinámica relativista conduce a valores erróneos de las probabilidades de transición electromagnética.
Debemos subrayar que un tratamiento teórico completo de las dinámicas relativistas de fuerte y
interacciones electromagnéticas en sistemas de muchos cuerpos es muy difícil y todavía no existe
[15].
Objetivo del proyectil de datos Elab B()
1 [16] 11Be Pb 43. E1 0,115 < 5– 0,32 (1
) 191± 26 328. 323.
2 [16] 11Be Pb 59,4 E1 0,094 < 3,8% 0,32 (1
) 304± 43 213. 211.
3 [18] 11Be Au 57,6 E1 0,079 < 3,8% 0,32 (1
) 244± 31 170. 168.
4 [17] 11Be Pb 64. E1 0,099 < 3,8% 0,32 (1
) 302± 31 217. 215.
5 [19, 20] 17Ne Au 60. M1 0,163 < 4,5–1,29 (1
) 12± 4 12,6 13,0
6 [6] 32Mg Pb 49,2 E2 454 < 4+ 0,885 (0+ → 2+) 91,7± 14,4 137. 128.
7 [19] 38S Au 39,2 E2 235 < 4,1+ 1,29 (0+ → 2+) 59± 7 48. 45,0
8 [19] 40S Au 39,5 E2 334 < 4,1% 0,91 (0+ → 2+) 94± 9 75,5 70,4
9 [19] 42S Au 40,6 E2 397 < 4,1–0,89 (0+ → 2+) 128± 19 101. 94,3
10 [19] 44Ar Au 33,5 E2 345 < 4,1+ 1,14 (0+ → 2+) 81± 9 62,3 58,3
11 [19] 46Ar Au 35,2 E2 196 < 4,1+ 1,55 (0+ → 2+) 53± 10 40,9 38,2
12 [8] 46Ar Au 76,4 E2 212 < 2,9% 1,55 (0+ → 2+) 68± 8 50,0 47,4
Cuadro 1 Secciones cruzadas para excitación Coulomb de núcleos inestables. Las unidades de energía
son MeV, la energía de laboratorio es en MeV/nucleon, los valores B() son en unidades de e2fm2
y las secciones transversales están en milibares. Los datos de los diferentes experimentos (número 1 a
12) se recogieron de las referencias enumeradas en la columna 1. Las dos últimas columnas dan la
las secciones transversales calculadas obtenidas mediante el uso de eqs. 3 y 5, respectivamente.
En la figura 1 mostramos una comparación entre los datos experimentales y nuestros cálculos.
Notamos que las secciones transversales calculadas con ayuda de eq. 5 no son muy diferentes de
los calculados con eq. 3. Son sistemáticamente más bajos, hasta el 10%, que el exacto
cálculo según eq. 3. Como discutimos a continuación, esto no es siempre el caso, especialmente para
la excitación de los estados de alto nivel. De hecho, este es un buen chequeo de eq. 3, que se hace en un
muy diferente que los cálculos analíticos de eq. 5. Pero como veremos a continuación, esto
acuerdo no siempre es el caso, especialmente cuando se incluyen pequeños parámetros de impacto para
que la sensibilidad a las correcciones relativistas es mayor (ver ref. [2]). La curva divisoria
en la figura 1 es una guía para el ojo. Ayuda ver que las secciones transversales experimentales están en
promedio mayor que los calculados, ya sea con eq. 3 (círculos abiertos), o con eq. 5 (abierto)
triángulos).
2 4 6 8 10 12
Conjunto de datos
FIG. 1: Comparación entre secciones experimentales de excitación de Coulomb (estrellas sólidas con
barras de error) y teóricas, calculadas con eq. 3 (círculos abiertos), o con eq. 5 (abierto)
triángulos).
Ex [MeV] J
i → J
f B() [e
2 fm2o] 10 20 30 50 100 200 500
11Be 0,32 1
E1 0,115 1128 653 473 315 187 115 69,6
11B 2.21 3
M1 2,40×10−2 0,301 0,799 1,15 1,63 2,33 3,08 4,17
11C 2.00 3
M1 1,52×10−2 0,196 0,551 0,793 1,12 1,57 2,07 2,76
12B 0,953 1+ → 2+ M1 4,62×10−3 0,227 0,395 0,490 0,607 0,762 0,917 1,13
12C 4,44 0+ → 2+ E2 37,9 34,6 38,6 31,3 21,6 12,1 6,93 3,81
13C 3.09 1
E1 1,39×10−2 8,37 11,3 11,0 9,61 7,28 5,39 3,89
13N 2,37 1
E1 3,56×10−2 38,2 43,6 39,6 32,5 23,2 16,4 11,4
15C 0,74 1
E2 2,90 8,79 4,04 2,65 1,59 0,839 0,475 0,267
16C 1,77 0+ → 2+ E2 2,12 8,81 4,41 2,92 1,76 0,920 0,517 0,285
16N 0,12 0− → 2− E2 10,2 31,0 14,1 9,21 5,53 2,91 1,64 0,926
17N 1,37 1
M1 5,15×10−3 0,153 0,304 0,397 0,516 0,680 0,848 1,09
17O 0,87 5
E2 2,07 6,30 2,88 1,87 1,12 0,588 0,332 0,184
17F 0,5 5
E2 21,6 68,3 29,7 19,3 11,6 6,08 3,44 1,92
18O 1,98 0+ → 2+ E2 44,8 109 60,7 40,9 24,8 11,6 7,27 3,99
18F 0,94 1+ → 3+ E2 37,9 115 52.5 34,1 20,4 10,7 6,01 3,34
18Ne 1,89 0+ → 2+ E2 248 615 342 229 138 72,0 40,1 22,1
19O 0,1 5
M1 2,34×10−4 0,0495 0,0615 0,0673 0,0737 0,0799 0,779 0,799
19F 0,11 1
E1 5,51×10−4 8,07 4,36 3,06 1,97 1,10 0,592 0,337
19Ne 0,24 1
E2 119 361 157 102 61,6 32,5 18,5 10,5
20O 1,67 0+ → 2+ E2 28,0 72 37,4 24,9 15,1 7,86 4,41 2,43
20F 0,656 2+ → 3+ M1 3,56×10−3 0,237 0,385 0,465 0,560 0,683 0,803 0,959
20Ne 1,63 0+ → 2+ E2 319 834 433 287 173 89,8 50,3 27,6
30Ne 0,791 0+ → 2+ E2 460 1167 550 361 218 115 65,0 35,2
32Mg 0,885 0+ → 2+ E2 454 1151 541 355 214 112 63,0 36,7
42S 0,89 0+ → 2+ E2 397 945 445 292 175 91,9 52 29,7
46Ar 1,55 0+ → 2+ E2 190 399 209 140 84,4 44,1 24,7 13,6
54Ni 1,40 0+ → 2+ E2 626 1319 677 447 268 139 78.1 43.1
Cuadro 2 - Secciones transversales (en mb) para la excitación Coulomb de proyectiles incidente en Pb
objetivos de bombardear energías que oscilan entre 10 y 500 MeV/núcleo. Las unidades de energía son
MeV, la energía de laboratorio está en MeV/nucleon, los valores B() están en unidades de e2fm2
Las secciones transversales para la excitación Coulomb de numerosos proyectiles incidente en objetivos Pb
en energías de bombardeo que van de 10 a 500 MeV/núcleo se muestran en la Tabla 2. Estos
se calcularon secciones transversales suponiendo que los detectores recogieran eventos de todos los posibles
Acontecimientos de dispersión de Coulomb. En una situación experimental real, la distribución angular es
restringido a ventanas angulares, reduciendo las secciones transversales disponibles. Sólo la mentira más baja
se han considerado las transiciones, es decir, desde el suelo hasta los primeros estados excitados. Uno
observa que algunas secciones transversales son muy grandes, especialmente para 11Be, 18Ne, 30Ne y 54Ni.
Para estos y otros casos similares, las mediciones son fáciles de realizar, con un
número de eventos/segundo incluso con intensidades modestas. Casos como el 16C están bien dentro
las posibilidades experimentales en la mayoría de las instalaciones de haz radiactivo.
La Tabla 2 también muestra que, a excepción de las excitaciones M1, las secciones transversales de excitación Coulomb
disminuir constantemente a medida que la energía aumenta de 10 a 500 MeV/núcleo. Sobre la base de estos
números por sí solo, se podría concluir que la excitación Coulomb de los estados de baja altitud (en contraste
al caso de los estados de alto nivel, por ejemplo. resonancias gigantes [4]) son más adecuados para los estudios en niveles bajos
energías. Sin embargo, las reacciones a energías más bajas, mientras que son menos influenciadas por la contaminación debida
a la desintegración nuclear [12, 14] puede dar lugar a grandes efectos de alto orden [21]. La interpretación
de datos podrían ser distorsionados como en el caso de la disociación Coulomb de 8B a baja energía [24],
que fue completamente malinterpretado en términos de cálculos de primer orden. En algunas situaciones,
cuando los efectos de orden superior son pertinentes, no se puede descuidar el efecto de la desintegración nuclear
o bien [22, 23]. Por lo tanto, la elección de la energía incidente dependería de la
condiciones. Identificación de rayos gamma a partir de la desexcitación mediante técnicas de desplazamiento Doppler
a menudo son más ventajosos en energías superiores. Además, con excepción de pocos casos (por ejemplo, 11C), el
Las transiciones magnéticas del dipolo son mucho más pequeñas que las de las transiciones E1 y E2. Incluso
para las transiciones M1 las mediciones están bajo la posibilidad de la mayoría de los nuevos experimentos
instalaciones.
La comparación de los cálculos exactos, utilizando eq. 3 (líneas sólidas) y las aproximaciones
5 (líneas puntiagudas) se muestran en figs. 2 (a-d), para 11Be, 11B, 54Ni y 16O, respectivamente. El 16O
el caso (así como para 12C en la Tabla 2) se incluyó para la comparación, con un
Estado. Vemos de los figs 2a y 2b que las aproximaciones en eq. 5 trabajo bastante bien para
la multipolaridad M1 y razonablemente bien (entre el 20% a 10 MeV/nucleón y el 5% a 50
MeV/núcleo) para los casos E1. Pero fallan mal en energías bajas e intermedias por
c) d)
FIG. 2: Excitación Coulomb sección transversal del primer estado excitado en 11Be, 11B y 54Ni y de la
13.05 MeV sate en 16O incidente de proyectiles en objetivos Pb como una función de la energía del laboratorio.
el E2 ( fig. 2c). La razón es que el campo E2 Coulomb ("campo mareo") es muy sensible
a los detalles de la dinámica de colisión a bajas energías. Estas conclusiones pueden ser engañosas.
ya que incluso para los casos E1 y M1 las aproximaciones en eq. 5 puede ser muy diferente de
los cálculos exactos si la energía de excitación es grande (véase la discusión en ref. [2]). Esto es
se muestra en la figura 2d, donde se traza la sección transversal de excitación Coulomb del Ex = 13.09
Estado de MeV en 16O. En este caso, las secciones transversales basadas en eq. 5 es un factor de 10 más pequeño
que el cálculo exacto a 10 MeV/núcleo. A 100 MeV/núcleo esta diferencia cae
Al 10%, que todavía debe ser considerado con cuidado.
En resumen, en este artículo hemos utilizado el formalismo de ref. [2] para predecir la cruz
secciones para la excitación Coulomb de varios proyectiles de luz con transiciones electromagnéticas
encontrado en la literatura, listado en la base de datos TUNL [5], y para algunos otros casos seleccionados.
Estas estimaciones serán útiles para la planificación de experimentos de excitación Coulomb en la actualidad y
las futuras instalaciones de iones pesados. Es evidente que la inclusión de los efectos relativistas combinados
con la distorsión de Coulomb son de la máxima relevancia. La sección transversal inferida por el uso de
Los tratamientos no relativistas o simplemente relativistas pueden estar equivocados hasta en un 30% incluso a los 100
MeV/nucleon, como se muestra aquí y en ref. [2]. Por último, el uso de la excitación Coulomb para
producir núcleos en estados de alta altitud es una herramienta importante para estudiar los procesos de emisión de partículas.
Por ejemplo, la excitación de 18Ne y su posterior decaimiento por la emisión de dos protones es un
proceso de gran interés teórico y experimental. Trabajos experimentales en esta dirección
está en curso [25].
Agradecimientos
Esta investigación fue apoyada por el Departamento de Energía de los Estados Unidos bajo el contrato No. DE-
AC05-00OR22725 (Oak Ridge National Laboratory) con UT-Battelle, LLC., y por DE-
FC02-07ER41457 con la Universidad de Washington (UNEDF, SciDAC-2).
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d’Ampezzo, Italia, 3 - 7 de julio de 2006.
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0703083
Bibliografía
| Investigamos la excitación Coulomb de estados de baja altitud de núcleos inestables
en colisiones de energía intermedias ($E_{labásim10-500$ MeV/núcleo). Lo es.
muestra que las secciones transversales para las transiciones de $E1$ y $E2$ son más grandes en
energías más bajas, mucho menos de 10 MeV/núcleo. Efectos sobre el retardo y Coulomb
la distorsión se encuentra relevante tanto para energías tan bajas como 10 MeV/núcleo
y tan alto como 500 MeV/núcleo. Implicaciones para estudios en haz radiactivo
se discuten las instalaciones.
| Excitación Coulomb de núcleos inestables a energías intermedias
C.A. Bertulani1*, G. Cardella2, M. De Napoli2, 3, G. Raciti2,3 y E. Rapisarda2,3
1 Departamento de Física y Astronomía,
Universidad de Tennessee, Knoxville, Tennessee 37996, EE.UU.
2 Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Catania,
Via Santa Sofía 64, I-95123, Catania, Italia
3 Dipartimento di Fisica e Astronomia, Universitá Catania,
Via Santa Sofía 64, I-95123, Catania, Italia
Resumen
Investigamos la excitación de Coulomb de estados de baja altitud de núcleos inestables en intermedios
colisiones de energía (Elab 10-500 MeV/nucleón). Se muestra que las secciones transversales para el E1 y
Las transiciones E2 son más grandes con energías más bajas, mucho menos de 10 MeV/nucleón. Efectos sobre el retardo
La distorsión de Coulomb y Coulomb se encuentra relevante tanto para energías tan bajas como 10 MeV/nucleón y
tan alto como 500 MeV/núcleo. Se examinan las consecuencias para los estudios realizados en las instalaciones de los rayos radioactivos.
Números PACS: 25.60.-t, 25.70.-z, 25.70.De
Palabras clave: excitación de Coulomb, secciones transversales, núcleos inestables.
* bertulanica@ornl.gov.
http://arxiv.org/abs/0704.0060v2
Los núcleos inestables a menudo se estudian con reacciones inducidas por haces radioactivos secundarios.
Ejemplos de estas reacciones son la dispersión elástica, la fragmentación y la excitación Coulomb
por objetivos pesados. La excitación de Coulomb es especialmente útil ya que el mecanismo de interacción es
muy conocido [1]. Es el resultado de interacciones electromagnéticas de un proyectil (ZP,AP )
con un objetivo (ZT,AT ). Uno de los núcleos participantes está excitado a medida que pasa a través de la
campo electromagnético del otro. Aquí sólo vamos a considerar la excitación de los pro-
En el caso de los estudios realizados en instalaciones de iones pesadas en todo el mundo, por ejemplo, en el caso de las instalaciones de iones pesadas.
LNS/Catania, NSCL/MSU, GSI, GANIL, RIKEN, etc. En la excitación Coulomb una pho-
tonelada con energía E es absorbida por el proyectil. Porque en pura excitación Coulomb el
núcleos participantes permanecen fuera del alcance de la fuerza nuclear fuerte, la cruz de excitación
sección puede expresarse en términos de los mismos elementos de la matriz multipolo que carácter-
ize excitated-state gamma-ray decaimiento, o la reducción de las probabilidades de transición, B(; Ji → Jf).
Por lo tanto, las amplitudes de excitación de Coulomb se combinan fuertemente con valiosas estructuras nucleares.
información. Por lo tanto, este mecanismo se ha utilizado durante muchos años para estudiar la
propiedades electromagnéticas de los estados nucleares de baja altitud [1].
Las secciones transversales de excitación de Coulomb son grandes si el parámetro de adiabacidad satisface la con-
dicciÃ3n
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< 1, (1)
donde a0 es la mitad de la distancia de aproximación más cercana en una colisión frontal para un proyectil
velocidad v, y Ex = fi es la energía de excitación. Este corte adiabático limita el posible
energías de excitación por debajo de 1-2 MeV en colisiones sub-barrera. Una manera posible de superar esto
limitación, y excitar estados de alta altitud, es utilizar energías proyectiles superiores. En este caso,
la distancia de aproximación más cercana, en la que los núcleos aún interactúan sólo electromagnéticamente, es
del orden de la suma de los radios nucleares, R = RP + RT, donde P se refiere al proyectil
y T al objetivo. Para las energías muy altas uno también tiene que tener en cuenta el Lorentz
contracción del tiempo de interacción por medio del factor Lorentz γ = (1− v2/c2)−1/2, con
c ser la velocidad de la luz. Para tales colisiones la condición de adiabacidad, Eq. 1), pasa a ser
•(R) =
< 1. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
De esta relación se obtiene que para bombardear energías alrededor y por encima de 100
MeV/nucleon, estados con energía de hasta 10-20 MeV pueden ser excitados fácilmente [3].
Una descripción apropiada de la excitación de Coulomb en energías intermedias (Elab =
10 - 500 MeV/nucleón) se ha descrito en ref. [2]. En esta región de la energía ni la
Formalismo de excitación Coulomb no relativista descrito en ref. [1], ni el relativista
formulado en refs. [3, 4] son apropiados. Esto se discute en detalle en ref. [2] donde:
se muestra que los valores correctos de las secciones transversales de excitación Coulomb difieren hasta
30-40% en comparación con los tratamientos no relativistas y relativistas utilizados para calcular
observables experimentales (secciones transversales, distribuciones angulares de rayos gamma, etc.)).
Seguimos el formalismo de ref. [2] calcular secciones transversales para la excitación de Coulomb a partir de
energías que varían de 10 a 500 MeV/núcleo. Estas son las energías donde la mayoría de los radioactivos
las instalaciones de rayos están o estarán operando en todo el mundo. Las secciones transversales calculadas
ser una guía útil para futuros experimentos. También comparamos los cálculos exactos con
los obtenidos utilizando fórmulas analíticas simples y poniendo a prueba el régimen de su validez.
Las secciones transversales para la transición Ji → Jf en el proyectil se calculan utilizando el
ecuación [2]
d/23370/i→f
4η2Z2T e
B(, Ji → Jf)
(2° 1)3
S(, μ) 2, (3)
donde η = E o M representa la multipolaridad eléctrica o magnética, y
B(, Ji Jf) =
2Ji + 1
# Jf # M() # Ji #
son las probabilidades de transición reducidas. En estas ecuaciones, • = 1/ pecado(/2), con • ser
el ángulo de desviación, a0 = ZPZT e
2/m0v
2 y a = a0/γ. Las funciones complejas S(, μ) son
integrales a lo largo de las trayectorias de Coulomb corregidas por retraso. Su cálculo y cómo
se refieren a las teorías no relativistas y relativistas se describen en detalles en ref. [2].
Aquí vamos a introducir otra herramienta de comparación para la sección transversal total, que se obtiene
mediante la integración del eq. 3 sobre ángulos de dispersión. Para el cálculo se utilizó el código COULINT [2]
las integrales orbitales S(, μ) y las secciones transversales de eq. 3 (para más detalles, véase ref. [2]).
Usando la teoría descrita en ref. [4], es fácil demostrar que los valores aproximados de la
las secciones transversales para las transiciones E1, E2 y M1 pueden obtenerse por medio de las relaciones
(app)
B (E1)
K0K1 −
K21 − K
(app)
E3xB (E2)
K21 +
K0K1 −
K21 − K
(app)
B (M1)
K0K1 −
K21 − K
, (5)
donde Kn son las funciones de Bessel modificadas del segundo orden, como una función de
eq. 2, con R corregido para retroceso por la modificación R → R + πa/2 [3].
Aquí sólo vamos a considerar la excitación de los estados de mentira más bajos en luz y medio
núcleos pesados. Para las masas nucleares A < 20, el sitio web de evaluación de datos nucleares de TUNL
fue de gran ayuda [5]. Las tasas de transición electromagnética en la base de datos TUNL son:
se administran en unidades de Weisskopf y se transforman a los valores B(, Ii → If) apropiados
por medio de las relaciones estándar Weisskopf BW (E1; Ji → Jgs) = 0,06446A
2/3 e2fm2,
BW (E2; Ji → Jgs) = 0,05940A
4/3 e2fm4, y BW (M1; Ji → Jgs) = 1,79 (e~/2mnc)
. Por
comparación, algunos núcleos de masa media, así como algunos núcleos estables, fueron incluidos en el
cálculo. Otros datos fueron tomados de refs. [6, 7, 8, 9].
Algunos casos de núcleos lejos de la línea de estabilidad son muy interesantes y merecen más
estudio, posiblemente utilizando el método de excitación Coulomb. Por ejemplo, es bien sabido que
los núcleos con cáscaras abiertas tienden a tener valores de B(E2) superiores a 10 W.u., mientras que los núcleos con
El cierre de la cáscara de neutrones o protones tiende a tener valores B(E2) claramente más pequeños. Típico
ejemplos de esta última categoría son los núcleos doblemente mágicos, 16O y 48Ca, que B(E2)
los valores son 3,17 y 1,58 W.u., respectivamente. Según una fórmula empírica ajustada
a un ajuste global de las tasas de transición conocidas, los valores del primer nivel excitado 2+, E2+, y
B(E2; 0+ → 2+) están relacionados por [10] (E2+ en keV)
B(E2; 0+ → 2+) = 26
A2/3E2+
e2fm4. 6)
El valor de B(E2) para 16C basado en esta fórmula es al menos un orden de magnitud
mayor que lo observado experimentalmente en un experimento de disociación de Coulomb [9]. Los
el obstáculo anomalmente fuerte de la transición 16C no está bien explicado teóricamente. Esto
es sólo un ejemplo del poder de la excitación Coulomb como herramienta para acceder a la nueva física
inherente a especies nucleares raras poco conocidas.
Otro ejemplo es la fuerte transición E1 en 11Be. 11Be es un arquetipo de un halo nu-
cleus y muestra la transición de dipolo más rápida conocida entre estados unidos en los núcleos. Los
B(E1) fuerza de transición entre el suelo y el único estado de excitación consolidado (a 0,32
MeV) fue determinado a partir de mediciones de por vida por Millener et al. debe ser 0,116 e2fm2 [11].
Sin embargo, los experimentos de excitación Coulomb han obtenido un valor mucho menor del B(E1)
que sigue siendo una cuestión de investigación [12, 13, 14]. Por lo tanto, parece claro que las predicciones
A menudo, la teoría de la estructura nuclear y de la reacción tradicional da lugar a desacuerdos.
Con datos experimentales. A pesar de ello, cuando se contabilizan las correcciones adecuadas
(por ejemplo: Acoplamiento de canales, excitación nuclear, correcciones relativistas), excitación de Coulomb
haces dioactivos es una poderosa herramienta complementaria para investigar las propiedades electromagnéticas
de núcleos lejos de la línea de estabilidad.
En la Tabla 1 comparamos nuestros cálculos con varias secciones transversales obtenidas experimentalmente
para la excitación Coulomb de núcleos inestables. Las unidades de energía son MeV, el laboratorio
la energía está en MeV/nucleón, los valores B están en unidades de e2 fm2
en milibares. Las dos últimas columnas dan las secciones transversales calculadas obtenidas mediante el uso
eqs. 3 y 5, respectivamente. Desde las secciones transversales de eq. 5 son funciones del mínimo
parámetro de impacto, los valores notificados en el cuadro se han calculado de acuerdo con el
rangos angulares experimentales reportados en la séptima columna. Excepto para el caso 11Be, para
que se conoce la discrepancia entre la teoría y el experimento (véase la discusión anterior), la
las secciones transversales calculadas están próximas a los valores experimentales. Sin embargo, el cálculo
las secciones transversales tienden a ser más pequeñas que las experimentales para 17Ne, 32Mg, 38S, 40S, 42S,
44Ar, y 46Ar proyectiles. Esto es preocupante porque los valores de B() fueron extraídos
de las secciones transversales obtenidas experimentalmente, utilizando ecuaciones similares a la eq. 5. Estos
Los valores B experimentales tendrían que ser mayores entre un 10 y un 30% según nuestros cálculos.
Es importante destacar el hecho de que muchos datos experimentales sobre núcleos inestables recogidos
hasta ahora han sido analizados por medio de herramientas teóricas (DWBA y canales acoplados)
códigos) que no incluyen la dinámica relativista (la inclusión de la cinemática relativista
es sencillo). Este problema se abordó por primera vez en ref. [15], donde se mostró
que el análisis de datos experimentales a energías intermedias sin un tratamiento adecuado
de la dinámica relativista conduce a valores erróneos de las probabilidades de transición electromagnética.
Debemos subrayar que un tratamiento teórico completo de las dinámicas relativistas de fuerte y
interacciones electromagnéticas en sistemas de muchos cuerpos es muy difícil y todavía no existe
[15].
Objetivo del proyectil de datos Elab B()
1 [16] 11Be Pb 43. E1 0,115 < 5– 0,32 (1
) 191± 26 328. 323.
2 [16] 11Be Pb 59,4 E1 0,094 < 3,8% 0,32 (1
) 304± 43 213. 211.
3 [18] 11Be Au 57,6 E1 0,079 < 3,8% 0,32 (1
) 244± 31 170. 168.
4 [17] 11Be Pb 64. E1 0,099 < 3,8% 0,32 (1
) 302± 31 217. 215.
5 [19, 20] 17Ne Au 60. M1 0,163 < 4,5–1,29 (1
) 12± 4 12,6 13,0
6 [6] 32Mg Pb 49,2 E2 454 < 4+ 0,885 (0+ → 2+) 91,7± 14,4 137. 128.
7 [19] 38S Au 39,2 E2 235 < 4,1+ 1,29 (0+ → 2+) 59± 7 48. 45,0
8 [19] 40S Au 39,5 E2 334 < 4,1% 0,91 (0+ → 2+) 94± 9 75,5 70,4
9 [19] 42S Au 40,6 E2 397 < 4,1–0,89 (0+ → 2+) 128± 19 101. 94,3
10 [19] 44Ar Au 33,5 E2 345 < 4,1+ 1,14 (0+ → 2+) 81± 9 62,3 58,3
11 [19] 46Ar Au 35,2 E2 196 < 4,1+ 1,55 (0+ → 2+) 53± 10 40,9 38,2
12 [8] 46Ar Au 76,4 E2 212 < 2,9% 1,55 (0+ → 2+) 68± 8 50,0 47,4
Cuadro 1 Secciones cruzadas para excitación Coulomb de núcleos inestables. Las unidades de energía
son MeV, la energía de laboratorio es en MeV/nucleon, los valores B() son en unidades de e2fm2
y las secciones transversales están en milibares. Los datos de los diferentes experimentos (número 1 a
12) se recogieron de las referencias enumeradas en la columna 1. Las dos últimas columnas dan la
las secciones transversales calculadas obtenidas mediante el uso de eqs. 3 y 5, respectivamente.
En la figura 1 mostramos una comparación entre los datos experimentales y nuestros cálculos.
Notamos que las secciones transversales calculadas con ayuda de eq. 5 no son muy diferentes de
los calculados con eq. 3. Son sistemáticamente más bajos, hasta el 10%, que el exacto
cálculo según eq. 3. Como discutimos a continuación, esto no es siempre el caso, especialmente para
la excitación de los estados de alto nivel. De hecho, este es un buen chequeo de eq. 3, que se hace en un
muy diferente que los cálculos analíticos de eq. 5. Pero como veremos a continuación, esto
acuerdo no siempre es el caso, especialmente cuando se incluyen pequeños parámetros de impacto para
que la sensibilidad a las correcciones relativistas es mayor (ver ref. [2]). La curva divisoria
en la figura 1 es una guía para el ojo. Ayuda ver que las secciones transversales experimentales están en
promedio mayor que los calculados, ya sea con eq. 3 (círculos abiertos), o con eq. 5 (abierto)
triángulos).
2 4 6 8 10 12
Conjunto de datos
FIG. 1: Comparación entre secciones experimentales de excitación de Coulomb (estrellas sólidas con
barras de error) y teóricas, calculadas con eq. 3 (círculos abiertos), o con eq. 5 (abierto)
triángulos).
Ex [MeV] J
i → J
f B() [e
2 fm2o] 10 20 30 50 100 200 500
11Be 0,32 1
E1 0,115 1128 653 473 315 187 115 69,6
11B 2.21 3
M1 2,40×10−2 0,301 0,799 1,15 1,63 2,33 3,08 4,17
11C 2.00 3
M1 1,52×10−2 0,196 0,551 0,793 1,12 1,57 2,07 2,76
12B 0,953 1+ → 2+ M1 4,62×10−3 0,227 0,395 0,490 0,607 0,762 0,917 1,13
12C 4,44 0+ → 2+ E2 37,9 34,6 38,6 31,3 21,6 12,1 6,93 3,81
13C 3.09 1
E1 1,39×10−2 8,37 11,3 11,0 9,61 7,28 5,39 3,89
13N 2,37 1
E1 3,56×10−2 38,2 43,6 39,6 32,5 23,2 16,4 11,4
15C 0,74 1
E2 2,90 8,79 4,04 2,65 1,59 0,839 0,475 0,267
16C 1,77 0+ → 2+ E2 2,12 8,81 4,41 2,92 1,76 0,920 0,517 0,285
16N 0,12 0− → 2− E2 10,2 31,0 14,1 9,21 5,53 2,91 1,64 0,926
17N 1,37 1
M1 5,15×10−3 0,153 0,304 0,397 0,516 0,680 0,848 1,09
17O 0,87 5
E2 2,07 6,30 2,88 1,87 1,12 0,588 0,332 0,184
17F 0,5 5
E2 21,6 68,3 29,7 19,3 11,6 6,08 3,44 1,92
18O 1,98 0+ → 2+ E2 44,8 109 60,7 40,9 24,8 11,6 7,27 3,99
18F 0,94 1+ → 3+ E2 37,9 115 52.5 34,1 20,4 10,7 6,01 3,34
18Ne 1,89 0+ → 2+ E2 248 615 342 229 138 72,0 40,1 22,1
19O 0,1 5
M1 2,34×10−4 0,0495 0,0615 0,0673 0,0737 0,0799 0,779 0,799
19F 0,11 1
E1 5,51×10−4 8,07 4,36 3,06 1,97 1,10 0,592 0,337
19Ne 0,24 1
E2 119 361 157 102 61,6 32,5 18,5 10,5
20O 1,67 0+ → 2+ E2 28,0 72 37,4 24,9 15,1 7,86 4,41 2,43
20F 0,656 2+ → 3+ M1 3,56×10−3 0,237 0,385 0,465 0,560 0,683 0,803 0,959
20Ne 1,63 0+ → 2+ E2 319 834 433 287 173 89,8 50,3 27,6
30Ne 0,791 0+ → 2+ E2 460 1167 550 361 218 115 65,0 35,2
32Mg 0,885 0+ → 2+ E2 454 1151 541 355 214 112 63,0 36,7
42S 0,89 0+ → 2+ E2 397 945 445 292 175 91,9 52 29,7
46Ar 1,55 0+ → 2+ E2 190 399 209 140 84,4 44,1 24,7 13,6
54Ni 1,40 0+ → 2+ E2 626 1319 677 447 268 139 78.1 43.1
Cuadro 2 - Secciones transversales (en mb) para la excitación Coulomb de proyectiles incidente en Pb
objetivos de bombardear energías que oscilan entre 10 y 500 MeV/núcleo. Las unidades de energía son
MeV, la energía de laboratorio está en MeV/nucleon, los valores B() están en unidades de e2fm2
Las secciones transversales para la excitación Coulomb de numerosos proyectiles incidente en objetivos Pb
en energías de bombardeo que van de 10 a 500 MeV/núcleo se muestran en la Tabla 2. Estos
se calcularon secciones transversales suponiendo que los detectores recogieran eventos de todos los posibles
Acontecimientos de dispersión de Coulomb. En una situación experimental real, la distribución angular es
restringido a ventanas angulares, reduciendo las secciones transversales disponibles. Sólo la mentira más baja
se han considerado las transiciones, es decir, desde el suelo hasta los primeros estados excitados. Uno
observa que algunas secciones transversales son muy grandes, especialmente para 11Be, 18Ne, 30Ne y 54Ni.
Para estos y otros casos similares, las mediciones son fáciles de realizar, con un
número de eventos/segundo incluso con intensidades modestas. Casos como el 16C están bien dentro
las posibilidades experimentales en la mayoría de las instalaciones de haz radiactivo.
La Tabla 2 también muestra que, a excepción de las excitaciones M1, las secciones transversales de excitación Coulomb
disminuir constantemente a medida que la energía aumenta de 10 a 500 MeV/núcleo. Sobre la base de estos
números por sí solo, se podría concluir que la excitación Coulomb de los estados de baja altitud (en contraste
al caso de los estados de alto nivel, por ejemplo. resonancias gigantes [4]) son más adecuados para los estudios en niveles bajos
energías. Sin embargo, las reacciones a energías más bajas, mientras que son menos influenciadas por la contaminación debida
a la desintegración nuclear [12, 14] puede dar lugar a grandes efectos de alto orden [21]. La interpretación
de datos podrían ser distorsionados como en el caso de la disociación Coulomb de 8B a baja energía [24],
que fue completamente malinterpretado en términos de cálculos de primer orden. En algunas situaciones,
cuando los efectos de orden superior son pertinentes, no se puede descuidar el efecto de la desintegración nuclear
o bien [22, 23]. Por lo tanto, la elección de la energía incidente dependería de la
condiciones. Identificación de rayos gamma a partir de la desexcitación mediante técnicas de desplazamiento Doppler
a menudo son más ventajosos en energías superiores. Además, con excepción de pocos casos (por ejemplo, 11C), el
Las transiciones magnéticas del dipolo son mucho más pequeñas que las de las transiciones E1 y E2. Incluso
para las transiciones M1 las mediciones están bajo la posibilidad de la mayoría de los nuevos experimentos
instalaciones.
La comparación de los cálculos exactos, utilizando eq. 3 (líneas sólidas) y las aproximaciones
5 (líneas puntiagudas) se muestran en figs. 2 (a-d), para 11Be, 11B, 54Ni y 16O, respectivamente. El 16O
el caso (así como para 12C en la Tabla 2) se incluyó para la comparación, con un
Estado. Vemos de los figs 2a y 2b que las aproximaciones en eq. 5 trabajo bastante bien para
la multipolaridad M1 y razonablemente bien (entre el 20% a 10 MeV/nucleón y el 5% a 50
MeV/núcleo) para los casos E1. Pero fallan mal en energías bajas e intermedias por
c) d)
FIG. 2: Excitación Coulomb sección transversal del primer estado excitado en 11Be, 11B y 54Ni y de la
13.05 MeV sate en 16O incidente de proyectiles en objetivos Pb como una función de la energía del laboratorio.
el E2 ( fig. 2c). La razón es que el campo E2 Coulomb ("campo mareo") es muy sensible
a los detalles de la dinámica de colisión a bajas energías. Estas conclusiones pueden ser engañosas.
ya que incluso para los casos E1 y M1 las aproximaciones en eq. 5 puede ser muy diferente de
los cálculos exactos si la energía de excitación es grande (véase la discusión en ref. [2]). Esto es
se muestra en la figura 2d, donde se traza la sección transversal de excitación Coulomb del Ex = 13.09
Estado de MeV en 16O. En este caso, las secciones transversales basadas en eq. 5 es un factor de 10 más pequeño
que el cálculo exacto a 10 MeV/núcleo. A 100 MeV/núcleo esta diferencia cae
Al 10%, que todavía debe ser considerado con cuidado.
En resumen, en este artículo hemos utilizado el formalismo de ref. [2] para predecir la cruz
secciones para la excitación Coulomb de varios proyectiles de luz con transiciones electromagnéticas
encontrado en la literatura, listado en la base de datos TUNL [5], y para algunos otros casos seleccionados.
Estas estimaciones serán útiles para la planificación de experimentos de excitación Coulomb en la actualidad y
las futuras instalaciones de iones pesados. Es evidente que la inclusión de los efectos relativistas combinados
con la distorsión de Coulomb son de la máxima relevancia. La sección transversal inferida por el uso de
Los tratamientos no relativistas o simplemente relativistas pueden estar equivocados hasta en un 30% incluso a los 100
MeV/nucleon, como se muestra aquí y en ref. [2]. Por último, el uso de la excitación Coulomb para
producir núcleos en estados de alta altitud es una herramienta importante para estudiar los procesos de emisión de partículas.
Por ejemplo, la excitación de 18Ne y su posterior decaimiento por la emisión de dos protones es un
proceso de gran interés teórico y experimental. Trabajos experimentales en esta dirección
está en curso [25].
Agradecimientos
Esta investigación fue apoyada por el Departamento de Energía de los Estados Unidos bajo el contrato No. DE-
AC05-00OR22725 (Oak Ridge National Laboratory) con UT-Battelle, LLC., y por DE-
FC02-07ER41457 con la Universidad de Washington (UNEDF, SciDAC-2).
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[25] E. Rapisarda, G. Cardella, F. Amorini, L. Calabretta, M. De Napoli, P.Figuera, G. Raciti, F.
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d’Ampezzo, Italia, 3 - 7 de julio de 2006.
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0703083
Bibliografía
|
704.0061 | Intersection Bodies and Generalized Cosine Transforms | arXiv:0704.0061v2 [math.FA] 3 de mayo de 2007
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN Y GENERALIZADAS
TRANSFORMES DE COSINA
BORIS RUBIN
Resumen. Los cuerpos de intersección representan una clase notable de
objetos geométricos asociados con secciones de cuerpos estelares y en-
Radón que invoca transforma, coseno generalizado transforma, y el
el análisis pertinente de Fourier. El tema principal de este artículo es interrela-
sión entre cosenos generalizados transforma de diferentes tipos en el
de su aplicación a la investigación de una determinada familia de
cuerpos de intersección, a los que llamamos cuerpos de intersección. Esta última
incluir los cuerpos de intersección k (en el sentido de A. Koldobsky) y
bolas unitarias de subespacios finitos-dimensionales de Lp-espacios. En particular:
Lar, mostramos que las restricciones en subespacios dimensionales inferiores de
el Radón esférico se transforma y el coseno generalizado trans-
las formas conservan su estructura geométrica integral. Aplicamos esto.
resultado del estudio de las secciones de los cuerpos de intersección. Nuevo char...
Actuaciones de esta clase de cuerpos se obtienen y ejemplos son
dado. También revisamos algunos hechos conocidos y les damos nuevas pruebas.
Sumario
1. Introducción.
2. Preliminares.
3. Las familias analíticas del coseno generalizado se transforman.
4. Distribuciones homogéneas definitivas positivas.
5. Cuerpos de intersección.
6. Ejemplos de cuerpos de intersección.
7. (q, l)-bolas.
8. El coseno generalizado transforma y compara volúmenes.
9. Apéndice.
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 44A12; secundaria 52A38.
Palabras y frases clave. Radón esférico transforma, coseno transforma, inter-
los cuerpos de la sección.
La investigación fue apoyada en parte por la subvención de NSF DMS-0556157 y la
El programa EPSCOR de Louisiana, patrocinado por NSF y la Junta de Apoyo a los Regentes
Fondo.
http://arxiv.org/abs/0704.0061v2
2 BORIS RUBIN
1. Introducción
Esta es una versión actualizada y extendida de nuestra anterior preimpresión
[R5].
Los cuerpos de intersección interactúan con Radón transforma y abarcan
diversas clases de objetos geométricos asociados a secciones de cuerpos estelares.
El concepto de cuerpo de intersección se introdujo en el notable
papel de Lutwak [Lu] y llevó a un avance en la solución de la
problema de larga data Busemann-Petty; véase [G], [K4], [Lu], [Z2] para
referencias y notas históricas.
Recordamos algunos hechos conocidos que serán necesarios en lo siguiente.
Un origen-simétrico (o.s.) cuerpo estelar en Rn, n ≥ 2, es un conjunto compacto
K con un interior no vacío de tal manera que tK â € € € ¬ [0, 1], K = −K,
y la función radial lK() = sup ≥ 0 : K} es continua
en la esfera de unidad Sn−1. En lo siguiente, Kn denota el conjunto de todos
o.s. cuerpos estelares en Rn, Gn, es el múltiple de Grassmann i-dimensional
subespacios lineales de Rn, y voli(·) denota el volumen i-dimensional
función. La función de Minkowski de un cuerpo K â € ¢ Kn se define por
xK = min{a ≥ 0 : x aK}, de modo que K = 1K (), Sn−1.
Definición 1.1. [Lu] Un cuerpo K Kn es un cuerpo de intersección de un cuerpo
L • Kn si K() = voln−1(L • ) por cada • • Sn−1, donde es el
hiperplano central ortogonal a Ł.
Al tener en cuenta que el voln−1 (L ) en la definición 1.1 es un
múltiplo constante de la transformación Minkowski-Funk
(Mf)(l) =
Sn−1
f(u) dŁu, f(u) = l
L (u),
Goodey, Lutwak y Weil [GLW] Definición generalizada 1.1 de la siguiente manera.
Definición 1.2. Un cuerpo K • Kn es un cuerpo de intersección si • K = Mμ
para algunos incluso no negativos Borel finito medida μ en Sn−1.
Se dice que una secuencia de cuerpos Kj Kn es convergente con K K Kn
en la métrica radial si lim
Kj − ♥K C(Sn−1) = 0.
Proposición 1.3. La clase de cuerpos de intersección es el cierre de la
clase de cuerpos de intersección de cuerpos estelares en la métrica radial.
Proposición 1.4. Si K es un cuerpo de intersección en Rn, n > 2, entonces para
cada i = 2, 3,....., n − 1 y cada η • Gn,i, K • η es una intersección
cuerpo en η.
Con respecto a estas dos importantes propuestas, véanse [FGW], [GW] y
una bonita encuesta histórica en [G].
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 3
Distintas generalizaciones del concepto de intersección cuerpo associ-
ated a secciones dimensionales inferiores fueron sugeridos en la literatura; ver,
Por ejemplo, [K4], [RZ], [Z1]. La siguiente, que desempeña un papel importante
en el estudio del problema dimensional inferior Busemann-Petty, se debe
a Zhang [Z1].
Definición 1.5. Decimos que un cuerpo K-Kn pertenece a la clase de Zhang.
Zni si hay un Borel finito no negativo medir m en el Grassmann
Gn,i de tal manera que
K = R
im, donde R
i es la dual esférica
Transformación de radón; véase 2.2, 2.5.
Otra generalización fue sugerida por Koldobsky [K2] y de-
se describe en detalle en [K4]. Esta clase de cuerpos será nuestra principal preocupación.
Definición 1.6. [K4, p. 71] Un cuerpo K • Kn es un cuerpo de intersección k
(escribimos K = IBk(L)) si
(1.1) volk(K â € ¬) = voln−k(L â € € € € € € TM Gn,k.
Denotamos por IBk, en el conjunto de todos los cuerpos K • Kn satisfaciendo (1.1) para
Un poco de L-Kn.
Cuando k = 1, esta definición coincide con la definición 1.1 hasta a
múltiplo constante. Un análogo de la definición 1.2 se dio en el Fourier
términos analíticos de la siguiente manera.
Definición 1.7. [K4, Definición 4.7] Un cuerpo K • Kn es una intersección k
cuerpo si hay una medida de Borel finito no negativo μ en Sn−1, de modo que
para cada función de Schwartz,
xkK (x) dx =
tk−1(tŁ) dt
dμ(),
donde denota la transformación de Fourier de ♥.
El conjunto de todos los cuerpos de k-intersección en Rn será denotado por tinta.
Teniendo en cuenta la Proposición 1.3 para k = 1, uno puede alternativamente
definir la tinta de clase como un cierre de IBk,n en la métrica radial; cf. [Mi1,
p. 532]. No obstante, para aplicar los resultados de [K4] a dicha clase, equivalencia
de esta definición de la definición 1.7 debe demostrarse. Haremos esto en
la situación más general de la sección 5.2.
De las definiciones 1.6 y 1.7 no está claro, para qué cuerpos L • Kn
el cuerpo de k-intersección K = IBk(L) pertinente existe. Tampoco lo es.
obvio que los cuerpos en realidad constituyen la tinta de clase. Lo siguiente:
importante caracterización se debe a Koldobsky.
4 BORIS RUBIN
Teorema 1.8. [K4, Teorema 4.8] Un cuerpo K • Kn es una intersección k
cuerpo si y sólo si · kK representa un positivo definido templado dis-
Atribución a Rn, es decir, la transformación de Fourier ( · kK )
distribución templada en Rn.
El concepto de cuerpo de intersección k está relacionado con otro importante
desarrollo. Para K. Kn, se dice que el espacio cuasi-normado (Rn, · K)
a ser isométricamente incrustado en Lp, p > 0, si hay un operador lineal
T : Rn → Lp([0, 1]) de modo que xK = TxLp([0,1]).
Teorema 1.9. [K4, Teorema 6,10] El espacio (Rn, · K) incrusta iso-
métricamente en Lp, p > 0, p 6= 2, 4,........................................................................................................................
es una distribución positiva en Rn \ {0}.
Después de los teoremas 1.9 y 1.8, se puede decir formalmente que K
y sólo si (Rn, · K) incrusta isométricamente en L−k. Esta observación,
combinado con la definición 1.7, fue utilizado por A. Koldobsky para definir la
concepto de “incrustación isométrica en Lp” para p negativo.
Definición 1.10. [K4, Definición 6.14] Let 0 < p < n, K • Kn. Los
espacio (Rn, · K) se dice que está isométricamente incrustado en L-p si hay
es un borel finito no negativo medida μ en Sn−1, de modo que para cada
función de Schwartz.................................................................................................................
xpK (x) dx =
tp−1(tŁ) dt
dμ(),
donde denota la transformación de Fourier de ♥.
Cuerpos simétricos de origenK en esta definición pueden ser considerados como “unidad
bolas de subespacios n-dimensionales de L-p”. Comparación de las definiciones 1.10
y 1.7, se podría llamar a estos órganos “cuerpos de intersección”. Desde el
el significado del espacio L-p en sí mismo no se especifica en la definición 1.10 y
ya que nuestro papel se centra principalmente en las propiedades geométricas de los cuerpos
(en lugar de incrustar en Lp), en la siguiente opción preferimos adoptar
otro nombre de “el cuerpo de la intersección”, donde ♥ es un número real, que
se especificará a su debido tiempo. Denotamos el conjunto de todas las intersecciones
cuerpos en Rn por In
Contenido del documento. Nos centraremos en la conexión íntima
entre los cuerpos de intersección, Radón esférico transforma, y general-
se transforma el coseno; ver definiciones en la sección 2.2. Este enfoque
está motivado por el hecho de que el volumen de una sección transversal central de
un cuerpo estelar se expresa a través de la transformación esférica del Radón, y
este último es un miembro de la familia analítica del coseno generalizado
se transforma. Estas transformaciones fueron introducidas por Semyanistyi [Se] y
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 5
surgen (hasta nombrar y normalizar) en diferentes contextos de análisis
y geometría; véase, por ejemplo, [K4], [R1]-[RZ], [Sa2], [Sa3], [Str1], [Str2].
Las secciones 2-4 proporcionan un fondo analítico para consideraciones geométricas.
ciones en las secciones 5-7. En la Sección 2 establecemos nuestra notación y definimos
el coseno generalizado se transforma sobre la esfera y el dual pertinente
transforma en colectores Grassmann. En la Sección 3 presentamos lo básico
las propiedades de estas transformaciones, establecer nuevas relaciones entre spheri-
cal Radon transforma y el coseno generalizado transforma, y probar
“teoremas de restricción”, que son similares a los teoremas de Sobolev
espacios. La sección 4 trata de la distribución homogénea definida positiva
ciones, que se pueden caracterizar en términos del coseno generalizado
se transforma. Esta sección sirve como preparación para el próximo
definición del concepto de cuerpo de intersección. Investigamos qué
Los de ♥ son apropiados y por qué. En la sección 5 cambiamos a geometría y
definir la clase de cuerpos de intersección. El caso 0 < < n cor-
responde a la “unidad de bolas de L-p-espacios” en el espíritu de la definición
1.10. El lector encontrará en esta sección nuevas pruebas de algunos conocidos
hechos. Introducimos la noción de cuerpo de intersección de un cuerpo estelar
en Rn, que extiende la definición 1.6 a todos los < n, 6= 0. La clase
de todos estos cuerpos será denotado por el IBn. Demostraremos que por
todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero y las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, incluidas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero y las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, incluidas las medidas de efecto invernadero. ...............................................................................
la métrica radial. El caso = 1 da la Proposición 1.3. Lo será.
ha demostrado que todas las secciones centrales m-dimensionales de
es son cuerpos de intersección en los planos m correspondientes siempre
< m, 6= 0.
Surge la pregunta natural: ¿Cómo construir cuerpos de intersección?
En la Sección 6 damos una serie de ejemplos; algunos de ellos son conocidos y
algunos son nuevos. Pueden obtenerse utilizando declaraciones auxiliares
de la sección 3. En particular, la famosa integración de la clase de Zhang
Znn−k into Ink, que fue establecido por primera vez en [K3] y estudiado en [Mi1],
[Mi2], se generalizará en el caso, cuando k se sustituye por cualquier
(0, n). La sección 7 está dedicada a las denominadas (q, l)-bolas, definidas por
Bnq,l = {x = (x′, x′′): xq + xq ≤ 1; x′ â € Rn−l, x′′ â € Rl}, q > 0.
Demostramos que si 0 < q ≤ 2, entonces Bnq,l â € € € € € € € € € € € (0, n). Si
q > 2 y n − 3 ≤ Si q > 2 y
= máx. (n - l, l) − 2, entonces Bnq, l 6 El caso, cuando
q > 2, l > 1, y 0 ≤ < n− 3 representa un problema abierto.
En la Sección 8 recordamos el problema generalizado de Busemann-Petty
(GBP) para secciones centrales i-dimensionales de o.s. cuerpos convexos en Rn.
Este problema está todavía abierto para i = 2 e i = 3 (n ≥ 5).
De hecho inspira toda la investigación. Uso de las propiedades de la
6 BORIS RUBIN
coseno generalizado transforma, damos una breve prueba directa del hecho
que una respuesta afirmativa a la GBP implica que cada O.S suave. con-
cuerpo vex en Rn con curvatura positiva es un cuerpo (n– i)-intersección.
Este hecho fue descubierto por A. Koldobsky. La prueba original en [K3]
se basa en el incrustado Inn-i Zni y el resultado de Zhang [Z1, Teorema
6]. Este último depende en gran medida del teorema de separación Hahn-Banach.
Nuestra prueba es más constructiva y casi autónoma. Concluimos
el documento del Apéndice, que se añade para mayor comodidad del lector.
La lista de referencias al final del documento está lejos de ser com-
Pleto. Otras referencias se pueden encontrar en libros y documentos citados.
Agradecimiento. Agradezco al profesor Alexander Koldob...
cielo, que compartió conmigo su conocimiento del tema. Agradecimientos especiales
ir a los profesores Erwin Lutwak, Deane Yang, y Gaoyong Zhang para
debates útiles.
2. Preliminares
2.1. Notación. En lo siguiente, N = {1, 2,... } es el conjunto de todos los nat-
números urales, Sn−1 es la esfera unitaria en Rn con el área n−1 =
2ηn/2/l(n/2); Ce(S)
n−1) es el espacio de funciones incluso continuas en
Sn−1; SO(n) es el grupo ortogonal especial de Rn; para
γ (n), d() y dγ denotan la probabilidad invariante relevante
asegura; D(Sn−1) es el espacio de las funciones de C.C. en Sn−1 equipado con
la topología estándar, y D′(Sn−1) representa el doble correspondiente
espacio de distribuciones. Los subespacios de las funciones de prueba uniforme (distribu-
ciones) se designan por De(Sn−1) (D′e(Sn−1)); Gn,i denota la Grass-
mann múltiple de subespacios i-dimensionales de Rn con el SO(n)-
la probabilidad invariante de la medida d; D(Gn,i) es el espacio de infinitamente dif-
funciones ferentables en Gn,i.
Escribimos M(Sn−1) y M(Gn,i) para los espacios de finito Borel mea-
asegura en Sn−1 y Gn,i; M+(Sn−1) y M+(Gn,i) son los relevantes
espacios de medidas no negativas; Me+(Sn−1) denota el espacio de par
medidas μ • M+(Sn−1). Teniendo en cuenta una función en Gn, i, denotamos
(η) = (), η Gn,n−i. Del mismo modo, dada una medida μ â € M(Gn,n-i),
la correspondiente “medida ortogonal” en M(Gn,i) se define por
(, ) = (μ, ), C(Gn,i).
Que {Yj,k} sea una base ortonormal de armónicos esféricos en Sn−1.
Aquí j = 0, 1, 2,..., y k = 1, 2,...., dn(j), donde dn(j) es el di-
mensión del subespacio de armónicos esféricos de grado j. Cada uno
función D(Sn−1) admite una descomposición
j,k Łj,kYj,k con
coeficientes de Fourier-Laplace
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa.
rápidamente como j →. Cada distribución f • D′(Sn−1) puede ser definida por
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 7
(f, ) =
j,k fj,káj,k donde fj,k = (f, Yj,k) crecen no más rápido que j
m
algunos entero m. Vamos a necesitar la integral de Poisson, que se define para
f • L1(Sn−1) por
(2.1) (Πtf)(l) = (1− t2)
f(u) − tundu, 0 < t < 1,
y tiene la descomposición de Fourier-Laplace Πtf =
j,k t
jfj,kYj,k [SW].
En el caso de la letra f) D′(Sn−1), esta descomposición sirve como definición de la letra Πtf. Por
análisis armónico en la esfera unitaria, el lector se refiere a [Le],
[Mü], [Ne], [SW], y un artículo de encuesta [Sa3].
2.2. Transformaciones integrales básicas. Para funciones integrables f en Sn−1
y onGn,i, 1 ≤ i ≤ n−1, la transformación esférica del radón (Rif)(),
Gn,i, y su dual (R
(l)) (l), (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
(2.2) (Rif)() =
Sn−1
f(l) d, (R)
(l)) =
() d,
donde d y d denotan las medidas de probabilidad en los colectores
Sn−1 y Gn,i: , respectivamente. El significado preciso de
la segunda integral es
(2.3) (R*i/23370/)(l) =
SO(n−1)
*(rp0) dγ, *(rp0) Sn−1,
donde p0 es una coordenada fija arbitrariamente i-plano que contiene el norte
es una rotación que satisface ren = .
Operadores Ri y R
I extender a las medidas finitas Borel en un canónico
way, usando la dualidad
(2.4)
(Rif)(l)(l)(l)d =
f(l))(R)*i(l)(l)dl.
Específicamente, para μ M(Sn−1) y m(Gn,i), definimos Riμ
M(Gn,i) y R*im • M(Sn−1) por
(2.5) (Riμ, )=
(R*iŁ)(l)dμ(l), (R)
im, f)=
(Rif)()dm(),
en los que se aplica el punto C(Gn,i), f (C(Sn−1).
Las transformadas generalizadas de coseno se definen por
(2.6) (Rαi f)) γn,i(α)
Pri−n f(
(2.7) (
)) = γn,i(α)
Pri−n
8 BORIS RUBIN
γn,i(α) =
((n− i)/2)
2π(n−1)/2 (α/2)
, Re α > 0, i−n 6= 0, 2, 4,...............................................................................................
Aquí Pr representa la proyección ortogonal de................................................................................................................
, el o-
Complemento togonal de Gn,i. Si f y ♥ son lo suficientemente suaves, entonces
integrales (2.2) pueden ser considerados (hasta un múltiplo constante) como miembros
de las familias analíticas pertinentes (2.6) y (2.7); cf. Lemma 3.1. Los
caso particular i = n − 1 en (2.2) corresponde al Minkowski-Funk
transformar
(2.8) (Mf)(u) =
: u=0}
(Rn−1f)(u)
), u Sn−1,
que integra una función f sobre grandes círculos de codimensión 1. Esto
transform es un miembro de la familia analítica
(2.9) (Mαf)(u) = (Rαn−1f)(u
) = γn(α)
f() · u1 d,
(2.10) γn(α)=
-1 -1 -1
(1o)/2
2η(n−1)/2l(α/2)
, Re 0, α 6=1, 3, 5,....
Los valores α = 1, 3, 5,... son polos de la función Gamma (((1+)/2).
En algunas ocasiones incluimos estos valores en consideración y fijamos
(2.11) (Mf)(u) =
f(l) · u1 dl.
Notas históricas. Con respecto a las transformaciones esféricas de radón (2.2) y
la transformación Minkowski-Funk (2.8), véase [GGG], [He], [R2], [R3]. Los
primera investigación detallada de la familia analítica {M se debe a Se-
myanistyi [Se], que demostró que estos operadores surgen naturalmente en el
Análisis de Fourier de funciones homogéneas. El caso α = 2 en (2.11)
era conocido antes, gracias a W. Blaschke, A.D. Alexandrov, y P.
Lévy. Se presentan integrales (2.9) (a veces con una normalización diferente)
en diversas áreas de análisis y geometría; véase [K4], [R1] - [R3], [Sa3],
[Str1], y referencias en él. En geometría convexa y espacio Banach
teoría, los operadores (2.11) con α − 1 sustituido por p se conocen como p-
coseno transforma. Las familias analíticas más generales (2.6) y (2.7) fueron:
introducido en [R2].
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 9
3. Familias Analíticas de la Cosina Generalizada
Transforma
3.1. Propiedades básicas. A continuación revisamos las propiedades básicas de las integrales
(2.6), (2.7), (2.9); véase [R2], [R3] para más detalles. Para funciones integrables.
> 0, integrales (2.6), (2.7) y (2.9) son ab-
Solutivamente convergente. Cuando f y ♥ son infinitamente diferenciables, estos
las integrales se extienden meromórficamente a todos los α C.
Lemma 3.1. Si f y son funciones continuas, entonces
Rαi f = R
i f = ciRif, ci =
2π(i−1)/2
;(3.1)
0 = ciR
iŁ,(3.2)
Mαf = M0f = cn−1Mf, cn−1 =
2η(n−2)/2
.(3.3)
Por lo tanto, el Radón transforma, su dual, y el Minkowski-Funk trans-
forma puede ser considerado (hasta un múltiplo constante) como miembros de la
familias analíticas correspondientes {Rαi }, {
, {M.
Prueba. Las fórmulas (3.2) y (3.3) siguen de (3.1). Para probar (3.1), nosotros
escribir (2.6) en coordenadas bi-esféricas, donde
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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Esto da
(Rαi f)() = c γn,i(α)
∫ /2
sini−1
Sn−1
Sn−1
f(u sin vcos) du
ci(α)
•(α/2)
tα/2−1F (t) dt,
donde
ci(α) =
c γn,i(α) •(α/2)
- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1-
((n− i)/2)
2η(n−1)/2
2π(i−1)/2
como α → 0, y
F (t) = (1− t2)i/2−1
Sn−1
Sn−1
1− t2+vt) du.
10 BORIS RUBIN
Desde
•(α/2)
tα/2−1F (t) dt = F (0) =
Sn−1
f(u)du = (Rif)(),
Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La continuación analítica de las integrales (2.9) se puede realizar en esférico
Armónicos como Mαf=
mj,αfj,kYj,k, donde
(3.4) mj,α=
(−1)j/2
(j/2 + (1− α)/2)
(j/2 + (n− 1 + α)/2)
si j está a mano,
0 si j es impar;
Véase [R1], [R3]. Si f (D′(Sn−1), entonces Mαf es una distribución definida por
(Mαf, Ł)=(f,M)=
mj,α fj,k Łj,k, D(Sn−1); α 6=1, 3, 5,....
Lemma 3.2. Let α, β C; α, β 6= 1, 3, 5,.... Si α + β = 2 − n y
f) De(Sn−1) (o f) D′e (Sn−1)), a continuación:
(3.5) MαMβf = f.
Si α, 2−n− 6= 1, 3, 5,......................................................................... ., entonces Mα es un automorfismo de los espacios
De(Sn−1) y D′e(Sn−1).
Prueba. La igualdad (3.5) es equivalente a mj,αmj,β = 1, = 2−n.
Este último se deriva de (3.4). La segunda declaración es una consecuencia de
la teoría estándar de los armónicos esféricos [Ne], porque el Fourier-
Multiplicador Laplace mj,α tiene un comportamiento de potencia como j →. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 3.3. La transformación Minkowski-Funk en los espacios De(Sn−1)
y D′e(Sn−1) puede ser invertido por la fórmula
(3.6) (M)−1 = cn−1M
2−n, cn−1 =
2η(n−2)/2
Tenga en cuenta que hay una amplia variedad de diversas fórmulas de inversión para
la transformación Minkowski-Funk (véase [GGG], [He], [R3] y las referencias
en ella), pero todos ellos son, de hecho, diferentes realizaciones de (3.6),
dependiendo de las clases de funciones.
3.2. Declaraciones auxiliares. Establecemos algunas conexiones entre
familias de operadores definidas anteriormente.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 11
Lemma 3.4. Let α, β C; α, β 6= 1, 3, 5,.... Si Reα > Reβ, entonces
Mα =MβAα,β, donde Aα,β es un operador de convolución esférica con el
Multiplicador Fourier-Laplace
(3.7) aα,β(j) =
(j/2 + (1− α)/2)
(j/2 + (n− 1 + α)/2)
(j/2 + (n− 1 + β)/2)
(j/2 + (1− β)/2)
de modo que aα,β(j) â € (j/2) como j → â €. Si α y β son números reales
α > β > 1− n, α + β < 2, entonces Aα,β es un operador integral
de tal manera que Aα,βf ≥ 0 por cada f no negativa • L1(Sn−1).
Prueba. La primera declaración se deriva de (3.4). Para probar el segundo,
consideramos operadores integrales
+ f) x) =
•(μ/2)
(1− t2)μ/2−1(Πtf)(x) tndt,(3.8)
− f) x) =
•(μ/2)
(t2 − 1)μ/2−1(Π1/tf)(x) t1dt,(3.9)
expresado a través de la integral de Poisson (2.1). El mul de Fourier-Laplace...
Tipliers de Q
+ y Q
− − − − − − − − − − − − − − − − −
(3.10) qâ € €
+ (j)=
((j+n1)/2)
((j+n1)/2)
− (j)=
((j)/2)
((j)/2)
Se pueden computar fácilmente teniendo en cuenta que
los términos de Fourier-Laplace. En caso de que se cumplan las condiciones siguientes: f) L1(Sn−1) y 0 < μ < < < n, entonces
integrales (3.8) y (3.9) son absolutamente convergentes y obedecen Q
± f ≥ 0
cuando f ≥ 0. Comparando (3.10) y (3.7), obtenemos una factorización
Aα,β = Q
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
− (set μ = α − β, v = 1 − β), lo que implica
la segunda declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Es conveniente introducir una notación especial para la esférica
Transformación de radón y de coseno generalizado con ortogonal
argumentación. Asumiendo que Gn,i, denotamos
(3.11) (Rn-i,f) • = (Rn-if) •
), (Rαn-i,f) ) = (R
n-if)
Lemma 3.5. Let f L1(Sn−1), Re α > 0; α 6= 1, 3, 5,.....
(3.12) (RiM
αf)•) = c (Ráši−1n−i, f)•), Gn,i, c =
2π(i−1)/2
o (sustituir i por n− i)
(3.13) (Rn-i,M
αf)•) =
2π(n−i−1)/2
n−i−1
(RÃ3n-i-1i f).
Si f • De(Sn−1), entonces (3.12) y (3.13) se extienden a Reα ≤ 0 mediante análisis
continuación.
12 BORIS RUBIN
Prueba. Para Reα > 0,
αf)) = γn(α)
Sn−1
f(l) · u1 dl.
Desde · u = Prv · u para algunos v â € Sn−1 â € â €, mediante el cambio de la
orden de integración, obtenemos
αf)) = γn(α)
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Sn−1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
La integral interna es independiente en v. y se puede evaluar fácilmente:
Sn−1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
t1(1− t2)(i−3)/2 dt
2π(i−1)/2 (α/2)
(i+ 1)/2)
Esto implica (3.12). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente declaración es doble a Lemma 3.5.
Lemma 3.6. Dejar μ M(Gn,i), α 6= 1, 3, 5,.....
(3.14) MαR*iμ = c
RÍO−1n−i μ
, c = 2η(i−1)/2/2/2/1,
en el sentido D′(Sn−1). Si Reα > 0 y μ es absolutamente continuo con
densidad de L1 (Gn,i), entonces
(3.15) MαR*i/23370/ = c
RÍO-1N-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-
casi en todas partes en Sn−1. Si D(Gn,i), entonces (3.15) se extiende a todos
complejo α 6= 1, 3, 5,... por continuación analítica.
Prueba. Dejemos que De(Sn−1) (basta con considerar sólo el funcionamiento de la prueba
ciones). Por (2.4) y (3.12),
(MαR*iμ, فارسى) = (μ,RiM
) = c (μ,Rí-1n-i, فارسى) = c (μ
, Róñi-1n-i-i).
Esto da el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente declaración contiene representaciones explícitas de la derecha en
verso de la doble Radón transformar R*i (nota que R
i es no-injetivo en
D(Gn,i) cuando 1 < i < n− 1).
Lemma 3.7. Cada función f (Sn−1) se representa como f=R*iAf,
donde A : De(Sn−1) → D(Gn,i),
(3.16) Af = c1R
i f = c2Rn−i,M
2-nf,
η(1−i)/2n−2
n−i−1
(n− i)/2)
(n− 1)/2)
, c2 =
2γn/2−1
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 13
Prueba. La coincidencia de expresiones en (3.16) sigue de (3.13). A
prueban la primera igualdad, invocamos convoluciones esféricas definidas por
continuación analítica de la integral
(3.17) (Qαf)()=
(n−1)/2 (n−1)
2η(n−1)/2l(α/2)
(1u2)(n+1)/2f(u)du,
Reα > 0, α − n 6= 0, 2, 4,...., de modo que Q0f = f [R2]. Por el teorema
1.1 de [R2], R*iR
i f = c
•i−1f, y por lo tanto (set α = 1 − i),
i f = c
1 f, como se desee. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente declaración proporciona una factorización intrigante de la Minkowski-
Funk transforma en términos de Radon transforma asociados a
Subespacios ortogonales. Esta factorización puede ser útil en diferentes oc-
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.8. En el caso de f) L1(Sn−1) y 0 < i < n,
(3.18) Mf = R*iRn−i,f.
Prueba. Por (2.3),
(R*iRn-i,f)
SO(n−1)
(Rn-i,f) (rR)
i) dγ
SO(n−1)
(Rn−if)(rR
n-i) dγ
SO(n−1)
Sn−1rR
f v) dv
Sn−1®Rn−i
SO(n−1)
f(rw) dγ.
La integral interna es independiente en w • Sn−1 • Rn−i e iguala
(Mf). Esto da (3.18). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3.3. Teoremas de restricción. Los teoremas de este tipo se ocupan de los rastros
de funciones en subespacios dimensionales inferiores y son bien conocidos, por
postura, en la teoría de los espacios de función. A lo mejor de nuestro conocimiento,
trazas de funciones representadas por Radon transforma o, más en general,
por las transformadas generalizadas del coseno, no fueron estudiadas sistemáticamente
y merecen especial atención, ya que proporcionan una respuesta analítica-
tierra a una serie de resultados relacionados con secciones de cuerpos estelares; cf. [R3,
Sec. 3.5], [FGW]. Teniendo en cuenta un subespacio η • Gn,m y k < m, denotamos
por Gk(η) el colector de todos los subespacios k-dimensionales de η.
14 BORIS RUBIN
Teorema 3.9. Let f • Ce(Sn−1), 1 ≤ k < m < n, • 6= 0,−2,−4,. ...
En caso de que se trate de una ren < k, a continuación, por cada n ° Gn,m y cada n ° Gk(η),
(3.19) (Rkn−kf)
) = (Rkm−kT
η f)
η),
donde
(3.20) (T f) (u) = c
Sn−1®(Ru)
f(w)u · wm1 dw,
u • Sn−1 • η, cœ = η(m−n)/2 n−m/2.
En particular (let k),
(3.21) (Rn−kf)
)=c (Rm−kT
η f)
η), c= η
(n-m)/2 m−k−1
n−k−1
Prueba. Por (2.6),
(Rkn−kf)
)=γn,n−k(k − )
Pr f(
Representamos en coordenadas bi-esféricas como
(3.22) = ucos + v sin®,
donde
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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Si, entonces, Pr = Pr[Pr] = Pru cos, y por lo tanto,
(Rkn−kf)
) = γm,m−k(k −
Sn−1
Pru(T f(u) du,
donde
(T f)(u) =
c′′ γn,n−k(k − )
γm,m−k(k − )
∫ /2
sinn−m−1 • cosm1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Sn−1
f(ucosv sin ) dv
η(m−n)/2 n−m
Sn−1®(Ru)
f(w)u · wm1 dw.
La fórmula (3.21) sigue de (3.19) por (3.1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 15
Teorema 3.10. Let f (Sn−1), Gn,m, 1<m<n. Supón que
f = M1g, donde Ree < m, 6= 0,−2,−4,.... A continuación, la restricción
de f en η se representa como f = M1
Sn−1
T g, donde T
η tiene la forma
(3.20) y M1
Sn−1
denota el mismo operador M1, pero en la esfera
Sn−1 ° η.
Prueba. Para Re. < 1, la declaración es un caso particular de Teorema
3.9 (set k = 1). Para otros valores de , el resultado sigue por análisis
continuación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.11. La restricción 6= 0,−2,−4,. .. en los teoremas 3.9 y
3.10 es causada por la función Gamma فارسى(/23370//2) en el numerador de la
factor de normalización correspondiente. Es evidente de la prueba, que
ambos teoremas siguen siendo verdad también para ♥ = −2l, l â € N, si eliminamos el
factor de normalización. Entonces M1 en Teorema 3.10 será sustituido
en el caso de M‡1+2l; véase el punto 2.11.
Necesitaremos la siguiente generalización del Teorema 3.10.
Teorema 3.12. Let f Ce(Sn−1), μ Me+(Sn−1), and let Gn,m,
1<m<n. Supóngase que f = M1, si
f=M‡1+2lμ, si = −2l.
(i) Hay una medida contra Me+ (Sn-1) tal que la restricción de
f en Sn−1 • η se representa como f = M1
Sn−1
(ii) Si dμ(l) = g(l)dl, g (l) Ce(Sn−1), i) se mantiene con d/(l) =
(T g)()d, donde T
η g tiene la forma (3.20).
iii) Si el valor de la letra a) es igual o superior a 2 l, l es igual a N, i) y ii) se mantiene con M1
Sn−1
sustituida
para Mû1+2l
Sn−1
Prueba. PASO 1. Dejemos primero.............................................................................................................................................................................................................................................................
Poisson integral (2.1) de modo que
Πtf = ΠtM
1 =M1gt, gt = Πtμ De(Sn−1), t (0, 1).
Dado que f es continua, entonces Πtf converge a f como t → 0 uniformemente
sobre Sn−1 y, por lo tanto, uniformemente sobre Sn−1 Por lo tanto, para cualquier prueba
función D(Sn−1 • η), debido al teorema 3.10, tenemos
(f, •) = lim
(Πtf, Ł) = lim
(M1gt, )
= lim
(M1
Sn−1
T gt, ) = lim
(T gt,M
Sn−1
= lim
(Vt,M)
Sn−1
•), νt = T
η gt.(3.23)
Por lo tanto, lim
(Vt,M)
Sn−1
Existe para cada D(Sn−1). Si está a mano,
i.e., # # De(Sn−1 # η), entonces, por Lemma 3.2, podemos reemplazar # por #
16 BORIS RUBIN
M1−m
Sn−1
• y concluir que el límite máximo
(V.V.) está bien definido para cada uno de los Estados miembros.
De(Sn−1). Puesto que νt = T Πtμ es una función par y el genérico
función de prueba D(Sn−1 • η) se puede representar como +, donde
son pares y impares, respectivamente, se deduce que el límite lim
(v.v., n.c.o.p.) =
(v.v., ) está bien definido para cada D(Sn11η) (no sólo para
•, como se ha indicado anteriormente). Dado que D′(Sn-1+ η) es débilmente completa, hay un
distribución uniforme en D'(Sn-1 ° η) de modo que
(Vídeo) = lim
(v.v., n.c.o.p.), n.c.o.p.
Por otra parte, puesto que (v.g.) = (p.g.)
η Πtμ, •) no es negativo para todos los no-
negativo (D(Sn−1 • η) y cada t(0,1), entonces / es un positivo
distribución y, por Teorema 9.1, ν es una medida en Me+ (Sn−1 η).
Por lo tanto, por (3.23), (f, ) = lim
(Vt,M)
Sn−1
(Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación)
Sn−1
En el caso de los Estados miembros, el importe total de la ayuda concedida a los productores de la Unión incluidos en la muestra es de [...] millones EUR, lo que equivale a [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...]
significa que f = M1
Sn−1
- Como se desee.
En caso de que dμ() = g() r/d/, g () Ce(Sn−1), entonces νt = T Πtg tiende a T g uni-
formly en Sn−1 como t→ 0. Por lo tanto, por (3.23), (f, ) = (T g,M1Sn−1),
que significa f = M1
Sn−1
T g.
PASO 2. Considerar el caso = −2l, l •N, cuando f = M1+2lμ,
μ Me+(Sn−1), y el operador T = T−2lη tiene la forma
(T−2lη h)(u) = c
Sn−1®(Ru)
u · wm+2l−1 h(w) dw,
cf. (3.20). Para cualquier función h • C(Sn−1) y • • C(Sn−1 • η),
(3.24) (T−2lη h, ) = (h,
T2lη ),
donde
T2lη ()()=
(m/2)
2-(n/2)
( Pr
Pr
Pr2l C(Sn−1).
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 17
De hecho, usando coordenadas bi-esféricas (véase (3.22)), tenemos
(T2lη h, ) = c
Sn−1
• (u)du
Sn−1®(Ru)
h(w)u · wm+2l−1 dw
cnm1
Sn−1
• (u)du
sinn−m−1 • cosm+2l−1 • d •
Sn−1
h(ucosv sin ) dv
cnm1
c′′ n−m
h()
( Pr
Pr
Pr2l d = (h,
T2lη ).
Dejar h = Πtμ y observar que el límite lim
(T2lη Πtμ,
causa, por (3,24), (T−2lη Πtμ, ) = (Πtμ,
→ (μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ,
T2lη ). Nota
que (T−2lη Πtμ, فارسى) ≥ 0 para cualquier no-negativo (C(Sn−1). Aplicar
el argumento de integridad estándar (como en el Paso 1), concluimos, que
la existencia de una medida contra M+ (Sn−1 • η) tal que
(T2lη Πtμ, ) = (/, ) C(Sn1· η).
Usando esta igualdad, para f = Mû1+2lμ obtenemos
(f, •) = lim
(Πtf, Ł) = lim
(ΠtM
1+2lμ, ) = lim
(M1+2lΠtμ, )
(use Teorema 3.10 y Observación 3.11)
= lim
(M‡1+2l
Sn−1
T2lη Πtμ, ) = lim
(T2lη Πtμ, M
Sn−1
= (v.M. 1+2l)
Sn−1
Esto da el resultado.
Si dμ(l) = g(l), g (l), g (l), g (l), entonces, por el teorema 3.10 y Observación
3.11, para • • Sn−1 • η tenemos
(Πtf)(l) = (ΠtM
1+2lg)() = (M1+2lΠtg)() = (M2lg)
Sn−1
T2lη Πtg ()).
Debido a la continuidad de los operadores M1+2l
Sn−1
, T2lη, y Πt en el
espacios relevantes de funciones continuas, pasando al límite como t→ 0,
Obtenemos f() = (M1+2l)
Sn−1
T2lη g)), Sn11 η, según se desee. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
18 BORIS RUBIN
4. Distribuciones homogéneas definidas positivas
Recordamos algunos hechos conocidos; ver, por ejemplo, [GS], [Le]. Que S(Rn) sea el
Espacio de Schwartz de funcionamientos rápidamente decrecientes en Rn y S ′(Rn)
su dual. La transformación de Fourier de F â € S ′(Rn) se define por
# F #, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(x) eix·y dx, (+) S(Rn).
Una distribución F • S ′(Rn) es homogénea de grado • • C si para cualquier
A > 0, A, A, A, A, A (x/a) A = A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A,, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, Homogénea dis-
las contribuciones a Rn están íntimamente relacionadas con las distribuciones en Sn−1.
Let first f (L1(Sn−1), (E/23370/f)(x) = xf(x/x), x Rn \ {0}. Los
El operador Ee genera una distribución meromórfica de S ′
Ef, a.c.
rÍn−1u(r)dr, u(r) =
f(l)(l)(l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
donde “a.c.” denota la continuación analítica en el ♥-variable. El des-
• La distribución de la carga de trabajo es regular si la carga de trabajo es > > −n y admite polos simples en
♥ = −n,−n −1,.... La definición anterior se extiende a todas las distribuciones
f) D′(Sn−1) por la fórmula
En el cuadro que figura a continuación se indica el número de identificación de la persona a la que se hace referencia en el artículo 2, apartado 1, letra a), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013.
rà n−1u(r)dr, u(r) = (f,
y el mapa E/23370/ : D′(Sn−1) → S′(Rn) es débilmente continuo. Si f
es ortogonal a todos los armónicos esféricos de grado j, luego el derivado-
ative u(j)(r) es igual a cero en r = 0 y el polo en ♥ = − n − j es
extraíble. En particular, si f es una distribución uniforme, es decir, (f, ) =
(f, ), () = فارسى() D(Sn−1), entonces los únicos polos posibles
...........................................................................................................................................................................................
La transformación de Fourier de distribuciones homogéneas fue extensa
estudiado por muchos autores; véase [Sa3] y referencias en él. Restringimos
nuestra consideración a las distribuciones incluso, cuando la familia del operador {M
definido por (2.9) surge naturalmente gracias a la fórmula
(4.1) [E1-n®f]
* = 21n/2E1M.
Esta fórmula equivale a Semyanistyi [Se]. Si f • De(Sn−1), entonces (4.1)
se mantiene en sentido punto para 0 < Reα < 1 (véase, por ejemplo, Lemma 3.3 en [R1] ) y
se extiende en el sentido S ′ a todos los α ° C satisfactorio
(4.2) α / {1, 3, 5,.........................................................................................................................................................................................................................................................
1Aquí y en adelante, diferentes anotaciones, y (·, ·) se utilizan para distribuciones en Rn
y Sn−1, respectivamente.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 19
Puesto que De(Sn−1) es denso en D′e(Sn−1) y los mapas E1−n® y E1
son débilmente continuos de D′e(Sn−1) a S′(Rn), luego (4.1) se extiende a
todos los f â € D′e(Sn−1).
En cuanto a los casos excluidos en (4.2), observamos que si α = 1+ 2l para
algunos l = 0, 1,... .., entonces (4.1) es significativo si y sólo si f es ortogonal
a todos los armónicos esféricos de grado 2l. Si α = 1 − n − 2l para algunos
l = 0, 1,.. ., entonces, de acuerdo con la descomposición armónica esférica
j,k fj,kYj,k, j par, fórmula (4.1) se sustituye por el texto siguiente:
[E2lf]
(+) = (+) = (+) n
fj,k()l−j/2Yj,k(i
+2n+2lηn/2E−n−2lm
1−n−2l
fj,kYj,k
donde es el operador de Laplace, ...............................................................................................................................................................................................................................................................
es la función delta. Vale la pena señalar que para α = 1, 3, 5,.. ., el
distribución [E1−n®f]
También se puede entender en el sentido regularizado
sin ninguna suposición ortogonal. Sin embargo, esa regularización
no preserva la homogeneidad; véase [Sa1], [Sa3].
Nuestra principal preocupación es la positividad y la defini-
distribuciones mogéneas. El lector se refiere a [GV] para el general
teoría. Una distribución F ° S ′(Rn) es positiva si °F, ≥ 0 para todos los no-
negativo de S(Rn). Una definición similar se aplica a las distribuciones en el
esfera y en Rn \ {0}. Una distribución F + S ′(Rn) es positiva definida
Si Fó es positivo. Para nuestros propósitos, es importante saber, que incluso
Las distribuciones homogéneas son definitivas positivas. Vamos a reescribir (4.1)
y (4.2) con 1− n− α sustituido por. Tenemos
(4.4) [Ef]
* = 2nn/2EnM
1nf,
(4.5) • • • • 0, • 0 = {n, n + 2, n+ 4... } • • {0,−2,−4,. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ..}.
Teorema 4.1. Vamos a R \ D′e(Sn−1).
(i) Si la distribución positiva definida es de < 0 y Ef, entonces f = 0.
ii) En el caso de todas las declaraciones de la categoría R \ 0, las siguientes son equivalentes:
a) [Ef]
Es una distribución positiva en Rn 0} (para 0, esto puede
ser reemplazado por "Ef es una distribución definida positiva en R
b) M1nf Me+ (Sn−1);
(c) f = M1 para alguna medida μ Me+ (Sn−1).
Por otra parte, para cualquier real 6= 0,−2,−4,.. ., y cualquier i = 1, 2,...., n−1,
c) equivalga a:
d) Rif = R
n-i, para alguna medida μ Me+ (Sn−1).
20 BORIS RUBIN
Prueba. (i) Elijan los siguientes puntos: (x) = exp(xm) pt,(x/x), donde m(x/x), donde m(x/x) = exp(xm) pt,(x/x), donde m(x/x), donde m(x/x), donde m(x/) = = exp(xm) pt,(x/x), donde m(x/x), donde m(x/) = 2N y
pt;(·) es el núcleo de Poisson
(4.6) pt,(u) =
1− t2
(1− 2tu · + t2)n/2
, 0 < t < 1; u,
A continuación, EnM1nf, = c/23370/(ΠtM1nf)), donde
c.c. = a.c.
r1 exp(−rm) dr = m−1
y (ΠtM)
1nf (nf)) es la integral de Poisson de M1nf. Si Ef es un
distribución definida positiva, entonces, por (4.4), EnM
1nf es un positivo
distribución. Por otro lado, si < 0 y m >, entonces c < 0.
Por lo tanto, EnM1nf, puede ser no negativo para cada no negativo
(ltM1nf)(l) = 0 por cada 0 < t < 1 y
Sn−1. Este último implica M1nf = 0, que es equivalente a
f = 0 porque M1n es inyector; véase Lemma 3.2.
ii) Dejar [Ef]
Ser una distribución positiva en Rn 0}. Significa que
para todos los tipos de S(Rn) tales que ≥ 0 y 0 / suppo, [Ef ]., ≥ 0
o, por (4.4), EnM1nf, ≥ 0. Escoge (x) = (x)(x)(x/x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x))(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x))(x)(x)(x)(x))(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x))(x)(x)(x)(x)(x))())))(x)(x)(x)(*)()()(x)(x)()(*)(*)()()()()()(*)()()()(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)()(*)(*)(x)(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*
en los que • • D(Sn−1), • ≥ 0, y • es una función suave y no negativa
de tal manera que
rÃ3n−2Ã3n(r)dr = 1 y 0 /Ã3n suppÃ3n. Entonces
EnM1nf, = (M1nf, ) ≥ 0,
y por lo tanto, M1nf Me+(Sn−1); vea Teorema 9.1.
Por el contrario, permitamos μ = M1nf Me+ (Sn−1) y dejar que S(Rn);
• ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. En el caso de < 0 asumimos adicionalmente 0 / supp. Por (4.4),
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2nn/2
r1dr
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
Esto demuestra la equivalencia de las letras a) y b). Equivalencia de b) y c)
sigue de Lemma 3.2.
Demostremos la equivalencia de (c) y (d). Si Rif = R
n-i,,
μ Me+(Sn−1), entonces, por (3.15),
(f) = (Rif) = (R)
n-i,, ) = (μ,
Rin-i
= c−1(μ,M1R*i
Puesto que cualquier función de De(Sn−1) se puede expresar como • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
algunos de D(Gn,i) (véase Lemma 3.7), esto da (f, •) = c−1(μ,M1, •)
que es c). Por el contrario, dejar f = M1, μ Me+ (Sn−1), es decir,
(f, ) = (μ,M1, ) por cada De(Sn−1). Escoge = R*i
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 21
D(Gn,i). A continuación, como se indica más arriba, (f, R*i.) = (μ,M1R*i.) = c (μ,
Rin-i
que da (d). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5. Órganos de intersección
5.1. Definiciones y comentarios. Recordamos que Kn es el conjunto de
todos los cuerpos estelares simétricos de origen K en Rn, n ≥ 2;
función radial y la función de Minkowski de K. La siguiente defi-
niciones y declaraciones están motivadas por el Teorema 4.1 y el anterior
consideración. Vamos a ser un número real,
(5.1) s/23370/ =
1 si > 0, 6= n, n+ 2, n+ 4,...,
En el caso de la sustancia problema, el valor de la sustancia problema se calculará de acuerdo con el método de ensayo descrito en el punto 2 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la sustancia problema (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1). ...
No se tendrán en cuenta los valores de 0, n, n + 2, n + 4,...
a continuación, pero los valores de = −2,−4,. .. se incluirá. Se convierten en
significativo si cambiamos la normalización. En el caso de los 6= 0, n, n + 2, n + 4.........................................................................................................................................
que el conjunto de los cuerpos K. Kn, para los cuales hay una medida
μ Me+(Sn−1) de tal manera que sK = M1 si
K = M
En caso contrario, el valor de la sustancia problema será igual o superior al 10 % del precio franco fábrica del producto. La igualdad sK = M1
significa que para cualquier D(Sn−1),
kK()()() d ° =
(M1)(l)dμ(l),
donde se entiende en el sentido de análisis para el caso de ≥ 1, (M1)()
continuación. Recordamos la notación
0 = {n, n+ 2, n+ 4..................................................................................................... ..}.
Teorema 5.1. En el caso de la letra • • R®0, las declaraciones siguientes son equivalentes:
a) K. In.............................................................................................................................................................................................................................................................
(b) La transformación de Fourier es una distribución positiva en
(para ♥ > 0, esto puede ser reemplazado por “ · K es un positivo definido
distribución en Rn”);
c) s
1nK Me+(Sn−1);
El teorema es una consecuencia inmediata del teorema 4.1 si el lat-
ter se aplica a f = s
K. Se proporciona otra caracterización útil
por el teorema 4.1 d).
Teorema 5.2. Vamos a R \ #0. Si K. In., entonces por cada i..........................................................................................................
{1, 2,......, n−1} hay una medida μ Me+(Sn−1) de tal manera que sRiK =
Rin−i,. Por el contrario, si
s
K = R
n-i,
para algunos i {1, 2,...........................................................................................................................................................................................................................................................
22 BORIS RUBIN
A pesar de que se llamó "el conjunto de cuerpos", la definición de este conjunto
es puramente analítico y se necesita trabajo adicional para entender qué cuerpos
(en su caso) constituyen realmente la clase In
Los siguientes comentarios serán útiles.
1. El caso > n no es tan interesante, porque por Teorema 5.1(c),
En la ficha de datos se encuentra o vacío (si ((n − ♥)/2) < 0) o coincide con el conjunto.
clase Kn (si ((n−)/2) > 0).
2. En el caso de la sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, el Tribunal de Primera Instancia se pronunció sobre la interpretación de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre los impuestos sobre el volumen de negocios y sobre los impuestos sobre el volumen de negocios.
Ding del espacio (Rn, · K) en L-p, p = ♥; ver Introducción. En el
el marco de este concepto, todos los órganos K
bolas de subespacios n-dimensionales de L”.
3. En caso de que se trate de una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión o de una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión o de una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, se considerará que la empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión es una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión y, en su caso, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión y, en su caso, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión.
upK =
· up dμ()
para un poco de μ Me+ (Sn−1). Esta es la conocida representación de Lévy,
caracterizar la incrustación isométrica del espacio (Rn, · K) en Lp;
Véase Lemma 6.4 en [K4]. La declaración b) en el Teorema 5.1 está de acuerdo con
Teorema 1.9. Manteniendo esta terminología, podemos decir lo siguiente:
Proposición 5.3. Let p > −n, p 6= 0. Entonces (Rn, · K) incrusta
isométricamente en Lp si y sólo si K • In−p.
4. En el caso de que el valor de la tinta sea igual o superior al valor de la tinta, el valor de la tinta será igual o superior al valor de la clase de tinta.
de cuerpos de k-intersección; véase Definición 1.7 y Teorema 1.8. Teoremas
5.1 y 5.2 proporcionan nuevas caracterizaciones de esta clase.
Estos comentarios inspiran lo siguiente:
Definición 5.4. Let < n, 6= 0. Se dice que un cuerpo K-Kn es un
Cuerpo de intersección si K In, o, en otras palabras, si hay una medida
μ Me+(Sn−1) de tal manera que sK = M1 si
2lK = M
1+2lμ, de lo contrario.
El resultado del teorema 5.2 para = i = k puede servir como alternativa
definición de cuerpos de intersección k en términos de transformación de Radón. Esto
la definición está de acuerdo con la definición 1.6 e imita la definición 1.2.
Definición 5.5. Vamos k {1, 2,...., n − 1}. Un cuerpo K-Kn es un k-
cuerpo de intersección si hay una medida no negativa μ en Sn−1 tal
(5.2) (Rk
K)•) = (Rn−kμ)•
Gn,k.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 23
La igualdad (5.2) se entiende en el sentido débil según (2.5). Es decir,
en el caso de C(Gn,k) y (η) = (), η Gn,n−k, (5.2) significa
(5.3)
K)•)•)•)•) •) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(R*n−k
)•) dμ()).
5.2. Cuerpos de intersección de cuerpos estelares y cierre en
métrica de marcación. Como mencionamos en Introducción, la clase de intersección
de los cuerpos, que coincide con In-
dial métrica de la clase de cuerpos de intersección de cuerpos estelares. A continuación
ampliamos este resultado a todos los n, 6= 0, en el marco de la
un enfoque único. Recordamos (véase la definición 1.6) que K • Kn es un
Cuerpo de la k-intersección de un cuerpo L • Kn y escribir K = IBk(L) si
(5.4) volk(K â € € ¢) = voln−k(L â € € € € € € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Que IBk,n sea el conjunto de todos los cuerpos K • Kn satisfactorio (5.4) para algunos
L. Kn.
¿Cómo podemos extender la propiedad puramente geométrica (5.4) a no-
valores enteros de k? Con este fin, en primer lugar expresamos (5.4) en términos de
el coseno generalizado se transforma (2.9).
Lemma 5.6. Si K = IBk(L) es infinitamente suave, entonces
(5.5) n-kL =cM
1-n+klkK,
−1M1−kđn−kL,
c = γk−n/2(n− k)/k.
Prueba. Hacemos uso de (3.13), donde establecemos i = k, α = 1 − n + k y
f = ♥kK. Por (3.1), esto da
(5.6) Rk
K = cRn−k,M
1-n+kkK, c =
ηk−n/2 n−k−1
Por otro lado, si K = IBk(L) es infinitamente suave, entonces, según
a (5.4) y la igualdad
(5.7) volk(K â € ¬) =
K) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Tenemos
(5.8) Rk
k n−k−1
(n− k) k−1
Rn−k,
Comparando (5.6) y (5.8), debido a la inyectividad de la transformación del Radón,
Obtenemos la primera igualdad en (5.5). La segunda igualdad se deriva de
el primero por (3.5). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
24 BORIS RUBIN
Las igualdades (5.5) son extensibles a valores no enteros de k. Denotamos
cl,n = l
n/2(n)/
y dejar que se defina sl por (5.1).
Definición 5.7. Let < n, 6= 0; K,L • Kn. Decimos que K es un
Cuerpo de intersección de L y escribir K = IB/23370/(L) si sK=c−1♥,nM1
en el caso de los productos de la partida 6 0 6 = -2l, l -N, y 2lK = M1+2l
Yo, de lo contrario. Los
conjunto de todos los cuerpos de intersección de los cuerpos estelares será denotado por IB/23370/,n.
También denotamos
(5.9) IB,n={K IB
Por (3.5), igualdad s
K = c
1nL es equivalente a
s. c. m., n.m.
1-nK. Ambas igualdades son generalmente entendidas en el sentido
de distribuciones, por ejemplo,
K, Ł) = c
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no,
1), Ł D(Sn−1).
Si K (o L) es suave, entonces s
K()=c
(M)
1 nL ))
cada Sn−1.
Teorema 5.8. Let < n, 6= 0. Si el valor de 6= -2l, l -N, entonces la clase
En el caso de los cuerpos de intersección es el cierre de las clases IBđ,n y IB,n
Cuerpos de intersección de cuerpos estelares en la métrica radial:
(5.10) En la siguiente dirección: cl IBl,n = cl IB,n.
Si el valor de la columna es igual o superior a 2 l, el valor de la columna es igual o superior al valor de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila « « « « « « « « « « «
Prueba. PASO 1. Primero probamos que en el tiempo. Dejemos que K.o.o. In.o., es decir,
a) s
1, μ Me+(Sn−1), si 6= −2l, l N, y
b) 2lK = M
1+2lμ, de lo contrario.
Nuestro objetivo es definir una secuencia Kj • IB, de tal manera que •Kj → •K en el
C-norm. Considerar la integral de Poisson
K (véase (2.1)), que converge
a K en la C-norm cuando t→ 1. En el caso de la letra a), para cualquier función de ensayo
D(Sn−1)
K,..................................................................................................................................................
K,Πtl) = s
(μ,M
1 ) = s
1tμ, فارسى).
De la misma manera, en el caso de la letra b), tenemos una igualdad puntual (
K )-() =
(M1+2lΠtμ)), Elija Kj para que Kj = Πtj
K, donde está TJ
una secuencia en (0, 1) aproximándose a 1. Claramente, Kj converge a K en el
métrica radial. Por otra parte, Kj IB,n, porque Kj = s
1nLj
y 2lKj = M
1 + 2 ln + 2 lLj, donde los cuerpos Lj están definidos por
En el caso de la letra a) y de la letra c) del apartado 1 del artículo 92, el importe de la multa será igual al importe de la multa prevista en el apartado 1 del artículo 92 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de junio de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo en lo que respecta a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena.
= Πtjμ en el caso (b), respectivamente.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 25
Por el contrario, vamos a K cl IB,n, 6= −2,−4,.... Significa que allí
es una secuencia de Kj IB,n tal que lim
K − ♥Kj C(Sn−1) = 0 y
= c−1♥,nM
1nLj, Lj-De+(S)
n−1). Si j → فارسى, entonces para cada
D(Sn−1),
(5.11) s
,M1−n) → sl(K,M1−n)=sl(M1−nK, فارسى).
El lado derecho de (5.11) no es negativo, porque por (3.5), para
todas y cada una de las categorías de «De+» (Sn−1),
,M1−n) = c−1♥,n(M
1nLj,M
1−n) = c−1
, •) ≥ 0.
Por Teorema 9.1, se deduce que s
1-nK es un mea- no negativo
Claro. Lo denotamos por μ. Por (3.5), para cualquier D(Sn−1),
K, Ł) = s/23370/(M
1-nK,M
1) = (μ,M1) = (M1,
i.e., KÃ3n.e...................................................................................................................................................................................... Esto le da a IB,nÃ3rnÃ3n y, por encima, InÃ3n =cl IB,n.
PASO 2. Queda por probar que cl IB,n = cl IB/23370/,n. Desde el IB,n
IBđ,n, entonces cl IB,n,n,cl IB/23370/,n. Para probar la inclusión opuesta,
K. cl IB.,n. y considerar el caso 6 = −2,−4,..... Tenemos que mostrar
que hay una secuencia de cuerpos lisos Kj, que converge a K en
la métrica radial y tal que s
= c−1♥,nM
1nLj para algunos cuerpos
Lj Kn. Ya que K.C.L. IB.N., hay una secuencia K.j. Kn tal que
Kūj K C(Sn−1) = 0 y s
= c−1♥,nM
1n
para algunos cuerpos
Kn. Definimos cuerpos lisos Kj y Lj por
Kj = Π1−1/jl
nLj = Π1−1/jl
donde Π1−1/j representa la integral de Poisson con el parámetro 1 − 1/j.
Desde el punto de vista de los operadores Π1-1/j y M
1 viajar, entonces s
=c−1♥,nM
1nLj,
y por lo tanto, Kj IB,n. Por otro lado, por las propiedades de la
Poisson integral [SW],
Kj −
K ≤ 1−1/jK
K 1−1/jK − K → 0
como j → فارسى. Significa, que K â € ¢ cl IB,n o cl IB/23370/,n â Â cl IB,n. Por lo tanto,
por arriba, cl IB/23370/,n = cl IB,n. En el caso de los ♥ = −2,−4,. .., el argumento es
similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 5.9. Si = −2,−4,. ... no podemos probar la coincidencia de
La prueba de la incrustación cl IB,n
se basa en gran medida en el hecho de que M1 es un isomorfismo de De(Sn−1). Si
= −2,−4,. .., esto no es así, y el operador M?1 tiene un no trivial
núcleo, que consiste en armónicos esféricos de grado > 2l; véase [R1]
para más detalles.
26 BORIS RUBIN
Es interesante traducir el teorema 5,8 para = −p, p > 0, en
el lenguaje de las incrustaciones isométricas. Ignorando un pos no-importante...
factor constante itive y utilizando coordenadas polares, se puede reemplazar el
Equidades s
K = c
1 nL y
K = M
1 + 2 ln + 2 ll en definición
5.7 por
(5.12) upK =
x · up dx, u Sn−1.
Corolario 5.10.
(i) Una unidad de bola de cada subespacio n-dimensional de Lp, puede ser
acoplado en la métrica radial por los cuerpos K, definidos por (5.12), donde L Kn
tiene un límite de C.O.C.
ii) Si, además, p 6 = 2, 4,.........................................................................................................................................................................................................................................................
subespacios dimensionales de Lp, se puede identificar con el cierre en el
métrica radial del conjunto de cuerpos K satisfactorio (5.12) para algunos lisos
cuerpo L. Kn (también se pueden considerar cuerpos arbitrarios L. Kn).
5.3. Secciones centrales de los cuerpos de intersección. Se sabe que
una sección transversal K ° η de un cuerpo K ° Tinta por cualquier centro m-dimensional
plano η es un cuerpo de k-intersección en η siempre que 1 ≤ k < m < n.
hecho se estableció en [Mi1, Proposición 3.17] mediante el uso de Teorema 1.8
y un determinado procedimiento de aproximación. A continuación presentamos más general
los resultados, incluidas las secciones de los cuerpos de intersección k de los cuerpos estelares, y
el caso de no entero k = . Estos resultados son las consecuencias de la
restricción de los teoremas de la sección 3.3.
Teorema 5.11. Dejar 1 ≤ k < m < n, η • Gn,m. Si K = IBk(L) en Rn,
a continuación, K η = IBk(L) en η, donde el cuerpo L está definido por
(5.13) m−k
(u) = ck,m,n
Sn−1®(Ru)
N-kL (w) U
m−k−1 dw,
u • Sn−1 • η, ck,m,n =
(m– k) n−m
2 n - k)
Prueba. Por (5.7) y (3.21) (con f = n-kL ),
= voln−k(L • ) = voln−k(L • ) =
n−k−1
(Rn-k
L )•
c n−k−1
(Rm−kT
L )•
η)(5.14)
m−k−1
(Rm-k
) η) = volm−k(L
como se desee. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 27
Teorema 5.11 tiene la siguiente generalización.
Teorema 5.12. Dejar 1 < m < n, η ° Gn,m y suponer que < m,
6= 0. Si K = IBl(L) en Rn, entonces K η = IBl(L") en η, donde la
cuerpo L está definido por:
(5.15).............................................................................................................................................................................................................................................................
(u) = c
Sn−1®(Ru)
Nótese el nombre de la persona que se encuentra en el país de origen.
m1 dw,
e = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(m− ) n−m
2 n- ♥)
si 6= − 2l, l + N,
η(m−n)/2 n−m/2 en caso contrario.
Por otra parte, si K. In. In. en Rn., entonces K. η. Im. en η.
Prueba. Dejemos que ♥ 6= −2l, l â € N, y dejar que â € ¬ Sn−1 â € η. Por definición 5.7,
K = c
1nL, y el teorema 3.12 (con f = s
K y g =
c - 1-,n-
L ) rendimientos
K(l) = (M)
Sn−1
T [c
L ])(l) = c
(m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m)
Sn−1
),..............................................................................................................................................................................................................................................................
donde?m
= c T
L, c = η
(n-m)/2(m- Por definición
5.7 y (3.20), hemos terminado. En caso de que el valor de la sustancia problema sea inferior o igual al valor de la sustancia problema, el valor de la sustancia problema será igual o superior al valor de la sustancia problema en el caso de que el valor de la sustancia problema sea inferior o igual al valor de la sustancia problema.
2lK () = (M0)
Sn−1
T2lη
(M) = (M)
Sn−1
M+2l
en los que m+2l
= T2lη
L. Esto da (5.15).
Por otra parte, si K. In...........................................................................................................................................................................................................................................................
K = M
1, μ Me+ (Sn−1). Por lo tanto, por Teorema 3.12, hay
una medida contra Me+ (Sn−1 • η) de tal manera que la restricción de sK a
Sn−1 está representado como sK =M1Sn−1. Significa que K I
en η. En el caso de = −2l, l â € N, el argumento es similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. Ejemplos de órganos de intersección
La definición de las clases de las clases In- y IB-,n y de todos los caracteres conocidos.
las zaciones son puramente analíticas. A diferencia del caso = 1, cuando una intersección
cuerpo de un cuerpo estelar está explícitamente definido por un procedimiento geométrico simple
dure, no está claro cómo podemos construir cuerpos de intersección en el
caso general. A continuación damos algunos ejemplos, cuando la función radial
de un cuerpo de intersección se puede determinar explícitamente. Estos ejemplos
utilizar las transformadas de coseno generalizadas.
Ejemplo 6.1. Let < 1, 6= 0. Este caso es el más simple. De hecho,
dada una medida no negativa μ en Sn−1, la intersección pertinente
28 BORIS RUBIN
cuerpo puede ser construido directamente por la fórmula K = M
1, si 6=
-2l, l-N, y 2lK = M1+2lμ, de lo contrario. En otras palabras (cf. (2.11)),
(6.1) K(u) =
· u dμ(♥).
Este hecho (reemplazado por p) es una reformulación del Teorema 6.17
de [K4], que se declaró en el lenguaje de incrustaciones isométricas
y se basa en la caracterización de P. Lévy; véase también Lemma 6.4 y
Teorema 4.11 en [K4].
Ejemplo 6.2. Si n − 3 ≤
cuerpos convexos simétricos en Rn.
Este hecho se debe a Koldobsky [K4, corolario 4.9]. Se puede probar
utilizando una ligera modificación del argumento de [R3, Sec. 7], según se indica a continuación.
Por Teorema 5.1 (c), basta con comprobar que para cualquier o.s. cuerpo convexo
K,M1nK Me+(Sn−1). Esto es obvio en el caso de ≥ n−1. Para manejar
el caso n− 3 ≤ < n− 1, supongamos primero que K es infinitamente suave.
Usando coordenadas polares, para Reα > 0, podemos escribir
(6.2) (Mn−1K)(u) = (α + n− 1) γn(α)
x · u1 dx.
Entonces M1nK se puede realizar como continuación analítica (a.c.) en α =
1 + n del lado derecho de (6.2). Este último puede ser escrito como
I(α) = 2 ( n− 1)γn(α)
t1AK,u(t) dt,
AK,u(t) = voln−1(Ktu+u). Toma de la continuación analítica (véase [GS,
Capítulo 1]), para −2 < α < 0 (que equivale a n−3 ≤ < n−1)
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
a.c.I(α) = c1
t1[AK,u(t)−AK,u(0)] dt.
Del mismo modo, a.c.I(α) en α = −2 (que corresponde a = n − 3) es
K,u(0). Después de [GS], se puede comprobar fácilmente que las constantes c1 y
c2 son negativos. Puesto que K es convexa, ambas continuacións analíticas son
positivo, y por lo tanto M1nK > 0. Si K es un o.s arbitrario. convex
cuerpo, lo aproximamos en la métrica radial por o.s liso. convex
cuerpos Kj. A continuación, para cualquier función de prueba • • D+(Sn−1), por el anterior
paso que tenemos
(M1nK,
) = lim
(Kj,M
(El Presidente declara aprobada la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo:
= lim
(M1nKj, فارسى) ≥ 0.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 29
Por lo tanto, por Teorema 9.1, M1nK es una medida no negativa y la
la prueba está completa.
Ejemplo 6.3. Si K =
El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si el artículo 2, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 se opone a la aplicación de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, Sexta Directiva en materia de armonización de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios, en particular en lo que se refiere a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios.
Y luego K. In............................................................................................................................................
De hecho, para cualquier función de prueba • • D(Sn−1), por (3.12) (con α = 1)
Tenemos
(K, ) = (
Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de Bélgica Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas
N° de cat.: + χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ ± χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ · χ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · χ · χ χ χ χ χ χ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
, Rin−i,)
= c−1(, RiM
1) = c−1(R*i / Comisión de las Comunidades Europeas
,M1), c =
2π(i−1)/2
Esto significa que en el caso de 0 ≤ ≤ i < n y < M+ (Gn,n-i),
(6.3) K =
Rin-i / K = M1, μ = c−1R*i.
Por definición 5.4, esto da el resultado. El caso particular = i
implica la integración en Ini de la clase Znn-i de Zhang; véase Definición
1.5. Esta incrustación se demostró en [K3] y [Mi1] de una manera diferente;
ver también [Mi2], donde se demuestra que Znn-i es un subconjunto adecuado de Ini si
2 ≤ i ≤ n− 2.
Ejemplo 6.4. Si 0 < (i− 1)/2 < ≤ i < n y K = M i para algunos
M+(Sn−1), luego K+ In.
De hecho, por Lemma 3.4 (con α = i− ♥, β = 1− ), K = M i =
M1Ai,1, donde Ai,1 es un operador integral que conserva
se proporciona positividad i− > 1− > 1− n, (i− ) + (1− ) < 2. Esto
es sólo nuestro caso.
Ejemplo 6.5. Uno puede construir los cuerpos K. In. A partir de los cuerpos L. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In.
por la fórmula lK = l
L proporcionó 0 < < < n.
De hecho, según la definición 5.4, existe una medida μ â € M+(Sn−1) de modo que
L = M
1. Luego, por Lemma 3.4 (con α = 1 −, β = 1 −),
K =
L = M
1 = M1A1,1, y hemos terminado. Este ejemplo
generaliza el resultado correspondiente de [Mi1, p. 533, Declaración c)],
que se obtuvo de una manera diferente para el caso, cuando
enteros.
Ejemplo 6.6. Vamos.
(6.4) Bnq = {x Rn : xq =
xkq
≤ 1}.
Si es 0 < q ≤ 2, entonces Bnq â € € € € € € € € € (0, n). Si 2 < q,
a continuación, Bnq • In. • si y sólo si • ≥ n. − 3.
30 BORIS RUBIN
Ambas declaraciones se deben a Koldobsky. El primero sigue de
el hecho de que para 0 < q ≤ 2 la transformación de Fourier de xq es un positivo
S ′-distribución (véanse Lemmas 3.6 y 2.27 en [K4]). El segundo estado...
es una reformulación del teorema 4.13 de [K4]. La parte “si” es una
consecuencia del ejemplo 6.2.
7. (q, l)-bolas
En esta sección consideramos un ejemplo más, que se parece a
amplio 6.6, pero no entra en su ámbito de aplicación y requiere un
consideración. Vamos.
x = (x′, x′′) • Rn, x′ • Rn−l =
Rej, x
′′ Rl =
j=n−l+1
Rej,
e1,. .., y siendo vectores de unidad de coordenadas. Considerar el (q, l)-ball
(7.1) Bnq,l = {x : xq,l = (xq + xq)1/q ≤ 1}, q > 0.
Nos preguntamos para qué triples (q, l, n), Bnq, l es un cuerpo de intersección. A
estudiar este problema, necesitamos algo de preparación. Pensemos en el Fourier
integral
(7.2) γq,l(η) =
Ey
eiyà dy, η Rl, q > 0.
La función γq,l(η) es uniformemente continua en R
l y desaparece en
El infinito.
Lemma 7.1. Si es 0 < q ≤ 2, entonces γq,l(η) > 0 para todos los η + Rl.
Prueba. (Cf. [K4, p. 44, para l = 1]). Para η = 0, la declaración es obvia.
Se sabe (véase, por ejemplo, [SW]), que
(7.3) [e−t
)(η) = ηl/2t−l/2e
2/4t, t > 0.
Esto da el resultado para q = 2. Dejar 0 < q < 2. Por el teorema de Bernstein
[F, Capítulo 18, Sec. 4], hay una medida finita no negativa μq en
[0) de modo que e-zq/2 =
e-tz dμq(t), z â € [0,â €]. Sustitúyase z por y2 por
(7.4) ey
e-ty
dμq(t).
Entonces (7.3) rinde
γq,l(η) =
- Hola. - Hola.
e-ty
dμq(t) =
dμq(t)
eiyáe−tyá
= γl/2
t−l/2e
2/4t dμq(t) > 0.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 31
El teorema de Fubini es aplicable aquí, porque, por (7.4),
eiydy
e-ty
dμq =
Ey
dy.
Nuestra siguiente preocupación es el comportamiento de γq,l(η) cuando →. Si q
es incluso, entonces e
es una función de Schwartz y por lo tanto, γq,l es infin-
itely suave y rápidamente disminuyendo. En el caso general, tenemos el
siguiente.
Lemma 7.2. Para cualquier q > 0,
(7.5) lim
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
l+qγq,l(η) = 2l+q
Prueba. Para l = 1, esta declaración se puede encontrar en [PS, Capítulo 3, Prob-
lem 154] y en [K4, p. 45]. En el caso general, la prueba es más
sofisticado y depende de las propiedades de las funciones de Bessel. Por el
fórmula conocida para la transformación de Fourier de una función radial (ver,
Por ejemplo, [SW], escribimos γq,l(η) = I(), donde
I(s) = (2η)l/2s1−l/2
rl/2Jl/2−1(rs) dr
= (2η)l/2s−l
[(rs)l/2Jl/2(rs)] dr.
Integración por rendimientos de piezas
I(s) = q(2η)l/2s−l/2
rl/2+q−1Jl/2(rs) dr.
Cambiando la variable z = sqrq, obtenemos
sl+qI(s) = (2η)l/2A(s1/q), A() =
e-zzzl/2qJl/2(z
1/q) dz.
En realidad tenemos que calcular el límite A0 = lim
A(l). Con este fin, nosotros
invocar las funciones de Hankel H
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de marzo de 2001.
v. z) si z es real
[Er]. Que h v(z) = z
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de marzo de 2001. Esta es una función analítica de un solo valor
en el plano z con corte (, 0). Uso de las propiedades del Bessel
funciones [Er], obtenemos
(7.6) lim
h(z) = 2
( v)/l)i,
(7.7) h/z)...........................................................................................................................................................................................................................................................
2/ z1/2eiz−
( 1
), z → فارسى.
A continuación, escribimos "A" como "A" = "Re"
e-zđhl/2(z
1/q) dz y cambiar la
línea de integración de [0,) a l = {z : z = reiü, r > 0} para
32 BORIS RUBIN
pequeño < πq/2. Por el teorema de Cauchy, debido a (7.6) y (7.7), nosotros
obtener A() = Re
e-zđhl/2(z
1/q) dz. Puesto que para z = reiŁ, hl/2(z
1/q) =
O(1) cuando r = z → 0 y hl/2(z1/q) = O(r(l−1)/2qe−r
1/q sin(l/q)) como
por el teorema de Lebesgue sobre convergencia dominada, obtenemos
A0 = Re
hl/2(z)
1/q) dz. Para evaluar la última integral, utilizamos de nuevo
analyticity y substituyer l. por l.q./2 = {z : z = rei.q./2, r > 0} para obtener
A0 = Re
eiňq/2
hl/2(r)
1/qeiη/2) dr
Para finalizar los cálculos, invocamos la función de McDonald's K v(z) para que
h(z) = z
/H(1)/z) = −
(sea el 1 de julio de 1992) /K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K
−iň/2).
Esto da
sin(lq/2)
sl/2+q−1Kl/2(s) ds.
La última integral puede ser evaluada explícitamente por la fórmula 2.16.2 (2)
de [PBM], y obtenemos el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora podemos proceder a estudiar (q, l)-bolas Bnq,l; ver (7.1). Hay
una íntima conexión entre las propiedades geométricas de las bolas Bnq,l
y la transformación de Fourier de la función de poder · pq,l. El caso q = 2
es bien conocido y está asociado con los potenciales de Riesz; véase, por ejemplo, [St]. Los
caso relevante de lnq -balls, que está de acuerdo con l = 1 fue considerado en
Ejemplo 6.6.
Lemma 7.3. Que q > 0, = (, ) Rn, γq,l() y γq,n−l() sea
las funciones de la forma (7.2). Definimos
(7.8) hp,q,l() =
(−p/q)
tn+p−1 γq,n−l
′t) γq,l(
′′t) dt.
i) Dejar 6= 0 y 6= 0. Si q es par, entonces la integral (7.8) es abso-
lútemente convergente para todos los p > −n. De lo contrario, es absolutamente convergente
cuando −n < p < 2q. En estos casos, hp,q,l () es un local integrable
función lejos de los subespacios de coordenadas Rl y Rn−l.
ii) Si −n < p < 0, entonces hp,q,l () L1loc(Rn)S ′(Rn) y (
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
hp,q,l() en el sentido de S ′-distribuciones. Específicamente, en el caso de S(Rn),
(7.9) hp,q,l, = (2η)n · pq,l,.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 33
Prueba. i) Para cualquier 0 < < a,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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hp,q,l (; ) d
(−p/q)
tn+p−1 dt
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
q,n−l (t) d
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
q,l (t) d
(−p/q)
tp−1 dt
tzta
q,n−l (z′) dz′
tzta
q,l (z′′) dz′′
(−p/q)
(...) =
(−p/q)
(I1 + I2).
La primera integral está dominada por
tn+p−1 dt, c =
q,n−l (z′) max
q,l (z′′)
y es finito para p > −n. La segunda integral puede ser estimada por
haciendo uso de Lemma 7.2. Específicamente, si q no es un entero par, entonces
I2 ≤ c
tp−1 dt
zn−l+q
zl+q
tp−2q−1 dt.
Si q es par, entonces γq,l y γq,n−l están disminuyendo rápidamente y I2 ≤
tp−2m−1 dt para cualquier m > 0. Esto da lo que necesitamos.
ii) Si −n < p < 0, se aplica el mismo argumento con • = 0. In
Este caso, I2 no excede de q,n−l1q,l1
tp−1 dt. Esta última es la siguiente:
finito cuando p < 0, porque, por Lemma 7.2, γq,n−l y γq,l son integrables
funciones en los espacios respectivos. Cuando se puede comprobar fácilmente # → # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Cuando # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
que hp,q,l () = O(m) para algunos m > 0, y por lo tanto, hp,q,l S ′(Rn).
Para calcular la transformación de Fourier ( · pq,l), reemplazamos a x
q,l by
la fórmula
xpq,l =
(−p/q)
tp−1 ex
′/tqx′′/tq dt, p < 0,
34 BORIS RUBIN
y note que la transformación de Fourier de la función x→ ex′/tqx′′/tq
es sólo γq,n-l
′t) γq,l
′′t). Entonces
· pq,l)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(2η)nq
(−p/q)
tp−1 dt
′/tqx′′/tqŁ(x) dx
(−p/q)
tn+p−1 dt
γq,n−l
′t) γq,l
′′t) () d.
El intercambio del orden de integración en este argumento puede ser fácil
justificado utilizando la convergencia absoluta de las integrales en estudio.
Teorema 7.4. Si el valor de 0 < q ≤ 2, 0 < l < n, entonces Bnq,l es una intersección
cuerpo para cualquier 0 < < n.
Prueba. Debido a Lemma 7.1, la función (7.8) (con p sustituida por )
es positivo, y por lo tanto, por Lemma 7.3, · q,l representa un positivo
distribución definitiva. Ahora el resultado sigue por Teorema 5.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Considere el caso q > 2. En este caso Bnq, l es convexo, y, debido a
Ejemplo 6.2, Bnq,l.
Este caso es especialmente intrigante.
Proposición 7.5. Si q > 2 y 0 < < max(n− l, l)− 2, entonces · q,l
no es una distribución definida positiva y, por lo tanto, Bnq, l 6o In
Prueba. Que 0 < ♥ < n− l− 2 y supongamos lo contrario, que Bnq,l â € € €.
Considere la sección de Bnq,l por el plano dimensional (n − l + 1) η =
Ren Rn−l. Por el teorema 5.12, Bnq, l
xnen + xq,l = (xnq + xq)/q
es una distribución definida positiva en η. Por el segundo texto derivado (véase
[K4, Teorema 4.19]) esto es imposible si 0 < < n− l− 2. A similar
la contradicción se puede obtener si se asume 0 < < l− 2 y considerar
la sección de Bnq,l por el plano (l+1)-dimensional Re1 â € Rl. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La Proposición 7.5 puede probarse sin utilizar la segunda derivada
texto y Teorema 5.12 sobre las secciones de los cuerpos de intersección; véase [R4].
Los límites para ♥ parecen ser los mismos.
Problema abierto. Dejar q > 2, l > 1. Es Bnq,l un cuerpo de intersección si
max(n− l, l)− 2 < < n− 3?
Este problema no ocurre en el caso l = 1 como en el ejemplo 6.6.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 35
8. El coseno generalizado se transforma y la comparación de
volúmenes
Para 1 < i < n, deje que voli(·) denote la función de volumen i-dimensional.
Supongamos que i es fijo, y dejar A y B ser O.S. cuerpos convexos en Rn
Satisfacción
(8.1) voli(A) ≤ voli(B) Gn,i.
¿Es eso lo que sigue?
(8.2) voln(A) ≤ voln(B)?
Esta pregunta se conoce como el problema de Busemann-Petty generalizada
(GBP); véase [G], [RZ], [Z1].
Teorema 8.1. Si el GBP (8.1)-(8.2) tiene una respuesta afirmativa, entonces
cada cuerpo convexo simétrico de origen liso con curvatura positiva en
n es un cuerpo de (n− i)-intersección.
Prueba. Supongamos que B es un O.S. cuerpo convexo en Rn para que el radial
función B es infinitamente suave, el límite de B tiene una curva positiva
y B/o Inn-i. Por la definición 5.4, hay una función de (Sn−1),
que es negativo en algunos conjuntos simétricos de origen abierto
de tal manera que n−iB = M
1+i−n/23370/. Elegimos una función h • De(Sn−1) así que
que la letra h) se sustituye por el texto siguiente: Definir un O.S.
cuerpo liso A por.iA =.i
B − M1 −ih, > 0. Si el pequeño es lo suficientemente pequeño,
Entonces A es convexa. Desde antes de (3.12), RiM
1-ih = cR0n−i,h ≥ 0, entonces
A ≤ Ri.i.B, que da (8.1). Por otra parte, por (3.5),
(ln-iB, l
B −?iA) =?(M1+i−n?,M1−ih) =?(?, h) < 0,
o (ln-iB, l
B) < (l)
B,
A). Por la desigualdad de Hölder, esto implica voln(B) <
voln(A), que contradice (8.2). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 8.2. Como señalamos en Introducción, el Teorema 8.1 no es nuevo, y
su prueba dada en [K3] se basa en una secuencia de hechos profundos
análisis. La prueba presentada arriba es mucho más elemental y
constructivo. Por ejemplo, nos permite mantener las propiedades de invarianza de
los cuerpos bajo control. Esta ventaja se utilizó esencialmente en nuestro
papel [R4].
El teorema 8.1 y la Proposición 7.5 implican lo siguiente:
Corollary 8.3. Dejar 1 ≤ l ≤ n/2; i > l+2, B = Bn4, l (véase (7.1)). Entonces
Hay un o.s suave. cuerpo convexo A en Rn para que (8.1) mantenga pero (8.2)
falla.
36 BORIS RUBIN
Ajustando l = 1 en esta declaración, obtenemos el conocido Bourgain-
Zhang teorema, que afirma que GBP tiene una respuesta negativa cuando
3 < i < n; véase [BZ], [K4], [RZ] sobre este tema. Para i = 2 e i = 3
(n ≥ 5) el GBP sigue abierto. Respuesta afirmativa en estos casos
se obtuvo en [R4] para los cuerpos que tienen una cierta simetría adicional.
9. Apéndice
Cada distribución positiva F + S ′(Rn) es dada por un no-temperado
medida negativa μ, es decir, F, =
(x)dμ(x); véase, por ejemplo, [GV, p.147]).
Para comodidad del lector, presentamos un hecho similar para la esfera.
Teorema 9.1. Una distribución f • D′(Sn−1) es positiva si y sólo si
existe una medida μ • M+(Sn−1) tal que
(f, ) =
D(Sn−1).
Prueba. Esta afirmación es conocida, sin embargo, no pudimos encontrar precisa ref-
erence y decidió dar una prueba de la conveniencia del lector. Los
La parte “si” es obvia. Para probar la parte de “solo si”, escribimos un test func-
• D(Sn−1) como suma • • • 1+i • 2, donde • 1 = Re, • 2 = Im.
Desde C(Sn−1) ≤ Łj ≤ C(Sn−1), j = 1, 2, y f es positivo, entonces
−(f, 1) C(Sn−1) ≤ (f, Łj) ≤ (f, 1) C(Sn−1),
y, por lo tanto, (f, l) ≤ (f, l) (f, l) ≤ 2(f, 1) C(Sn−1). Desde
D(Sn−1) es denso en C(Sn−1), luego f se extiende como un continuo lineal
funcional en C(Sn−1) y, por el teorema de Riesz, hay un mea-
seguro μ en Sn−1 de tal manera que (f
Para cada uno de ellos: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
C(Sn−1). En particular, (f, ) = (f, ) =
Para cada una de las categorías siguientes:
D(Sn−1). Al tener en cuenta que cada función no negativa
C(Sn−1) se puede aproximar uniformemente por funciones no negativas
D(Sn−1) (por ejemplo, por las integrales de Poisson de
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa.
(f, Łk) ≥ 0.
Esto último significa que μ no es negativo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Luisiana, Baton Rouge,
LA, 70803 USA
Dirección de correo electrónico: borisr@math.lsu.edu
| Los cuerpos de intersección representan una clase notable de objetos geométricos
asociado con secciones de cuerpos estelares e invocando
Radón transforma, coseno generalizado transforma, y el pertinente Fourier
análisis. El objetivo principal de este artículo es la interrelación entre
coseno transforma de diferentes tipos en el contexto de su aplicación a
investigación de una cierta familia de cuerpos de intersección, que llamamos
Cuerpos de $\lam$-intersección. Estos últimos incluyen $k$-intersección de los cuerpos (en el
sentido de A. Koldobsky) y bolas unitarias de subespacios finitos-dimensionales de
Espacios de $L_p$. En particular, mostramos que las restricciones a las dimensiones inferiores
los subespacios del Radón esférico transforman y el coseno generalizado
transforma preserva su estructura geométrica integral. Aplicamos este resultado a
el estudio de secciones de cuerpos de intersección $\lam$. Nuevas caracterizaciones de
se obtiene esta clase de cuerpos y se dan ejemplos. También revisamos algunos
hechos conocidos y darles nuevas pruebas.
| Introducción.
2. Preliminares.
3. Las familias analíticas del coseno generalizado se transforman.
4. Distribuciones homogéneas definitivas positivas.
5. Cuerpos de intersección.
6. Ejemplos de cuerpos de intersección.
7. (q, l)-bolas.
8. El coseno generalizado transforma y compara volúmenes.
9. Apéndice.
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. Primaria 44A12; secundaria 52A38.
Palabras y frases clave. Radón esférico transforma, coseno transforma, inter-
los cuerpos de la sección.
La investigación fue apoyada en parte por la subvención de NSF DMS-0556157 y la
El programa EPSCOR de Louisiana, patrocinado por NSF y la Junta de Apoyo a los Regentes
Fondo.
http://arxiv.org/abs/0704.0061v2
2 BORIS RUBIN
1. Introducción
Esta es una versión actualizada y extendida de nuestra anterior preimpresión
[R5].
Los cuerpos de intersección interactúan con Radón transforma y abarcan
diversas clases de objetos geométricos asociados a secciones de cuerpos estelares.
El concepto de cuerpo de intersección se introdujo en el notable
papel de Lutwak [Lu] y llevó a un avance en la solución de la
problema de larga data Busemann-Petty; véase [G], [K4], [Lu], [Z2] para
referencias y notas históricas.
Recordamos algunos hechos conocidos que serán necesarios en lo siguiente.
Un origen-simétrico (o.s.) cuerpo estelar en Rn, n ≥ 2, es un conjunto compacto
K con un interior no vacío de tal manera que tK â € € € ¬ [0, 1], K = −K,
y la función radial lK() = sup ≥ 0 : K} es continua
en la esfera de unidad Sn−1. En lo siguiente, Kn denota el conjunto de todos
o.s. cuerpos estelares en Rn, Gn, es el múltiple de Grassmann i-dimensional
subespacios lineales de Rn, y voli(·) denota el volumen i-dimensional
función. La función de Minkowski de un cuerpo K â € ¢ Kn se define por
xK = min{a ≥ 0 : x aK}, de modo que K = 1K (), Sn−1.
Definición 1.1. [Lu] Un cuerpo K Kn es un cuerpo de intersección de un cuerpo
L • Kn si K() = voln−1(L • ) por cada • • Sn−1, donde es el
hiperplano central ortogonal a Ł.
Al tener en cuenta que el voln−1 (L ) en la definición 1.1 es un
múltiplo constante de la transformación Minkowski-Funk
(Mf)(l) =
Sn−1
f(u) dŁu, f(u) = l
L (u),
Goodey, Lutwak y Weil [GLW] Definición generalizada 1.1 de la siguiente manera.
Definición 1.2. Un cuerpo K • Kn es un cuerpo de intersección si • K = Mμ
para algunos incluso no negativos Borel finito medida μ en Sn−1.
Se dice que una secuencia de cuerpos Kj Kn es convergente con K K Kn
en la métrica radial si lim
Kj − ♥K C(Sn−1) = 0.
Proposición 1.3. La clase de cuerpos de intersección es el cierre de la
clase de cuerpos de intersección de cuerpos estelares en la métrica radial.
Proposición 1.4. Si K es un cuerpo de intersección en Rn, n > 2, entonces para
cada i = 2, 3,....., n − 1 y cada η • Gn,i, K • η es una intersección
cuerpo en η.
Con respecto a estas dos importantes propuestas, véanse [FGW], [GW] y
una bonita encuesta histórica en [G].
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 3
Distintas generalizaciones del concepto de intersección cuerpo associ-
ated a secciones dimensionales inferiores fueron sugeridos en la literatura; ver,
Por ejemplo, [K4], [RZ], [Z1]. La siguiente, que desempeña un papel importante
en el estudio del problema dimensional inferior Busemann-Petty, se debe
a Zhang [Z1].
Definición 1.5. Decimos que un cuerpo K-Kn pertenece a la clase de Zhang.
Zni si hay un Borel finito no negativo medir m en el Grassmann
Gn,i de tal manera que
K = R
im, donde R
i es la dual esférica
Transformación de radón; véase 2.2, 2.5.
Otra generalización fue sugerida por Koldobsky [K2] y de-
se describe en detalle en [K4]. Esta clase de cuerpos será nuestra principal preocupación.
Definición 1.6. [K4, p. 71] Un cuerpo K • Kn es un cuerpo de intersección k
(escribimos K = IBk(L)) si
(1.1) volk(K â € ¬) = voln−k(L â € € € € € € TM Gn,k.
Denotamos por IBk, en el conjunto de todos los cuerpos K • Kn satisfaciendo (1.1) para
Un poco de L-Kn.
Cuando k = 1, esta definición coincide con la definición 1.1 hasta a
múltiplo constante. Un análogo de la definición 1.2 se dio en el Fourier
términos analíticos de la siguiente manera.
Definición 1.7. [K4, Definición 4.7] Un cuerpo K • Kn es una intersección k
cuerpo si hay una medida de Borel finito no negativo μ en Sn−1, de modo que
para cada función de Schwartz,
xkK (x) dx =
tk−1(tŁ) dt
dμ(),
donde denota la transformación de Fourier de ♥.
El conjunto de todos los cuerpos de k-intersección en Rn será denotado por tinta.
Teniendo en cuenta la Proposición 1.3 para k = 1, uno puede alternativamente
definir la tinta de clase como un cierre de IBk,n en la métrica radial; cf. [Mi1,
p. 532]. No obstante, para aplicar los resultados de [K4] a dicha clase, equivalencia
de esta definición de la definición 1.7 debe demostrarse. Haremos esto en
la situación más general de la sección 5.2.
De las definiciones 1.6 y 1.7 no está claro, para qué cuerpos L • Kn
el cuerpo de k-intersección K = IBk(L) pertinente existe. Tampoco lo es.
obvio que los cuerpos en realidad constituyen la tinta de clase. Lo siguiente:
importante caracterización se debe a Koldobsky.
4 BORIS RUBIN
Teorema 1.8. [K4, Teorema 4.8] Un cuerpo K • Kn es una intersección k
cuerpo si y sólo si · kK representa un positivo definido templado dis-
Atribución a Rn, es decir, la transformación de Fourier ( · kK )
distribución templada en Rn.
El concepto de cuerpo de intersección k está relacionado con otro importante
desarrollo. Para K. Kn, se dice que el espacio cuasi-normado (Rn, · K)
a ser isométricamente incrustado en Lp, p > 0, si hay un operador lineal
T : Rn → Lp([0, 1]) de modo que xK = TxLp([0,1]).
Teorema 1.9. [K4, Teorema 6,10] El espacio (Rn, · K) incrusta iso-
métricamente en Lp, p > 0, p 6= 2, 4,........................................................................................................................
es una distribución positiva en Rn \ {0}.
Después de los teoremas 1.9 y 1.8, se puede decir formalmente que K
y sólo si (Rn, · K) incrusta isométricamente en L−k. Esta observación,
combinado con la definición 1.7, fue utilizado por A. Koldobsky para definir la
concepto de “incrustación isométrica en Lp” para p negativo.
Definición 1.10. [K4, Definición 6.14] Let 0 < p < n, K • Kn. Los
espacio (Rn, · K) se dice que está isométricamente incrustado en L-p si hay
es un borel finito no negativo medida μ en Sn−1, de modo que para cada
función de Schwartz.................................................................................................................
xpK (x) dx =
tp−1(tŁ) dt
dμ(),
donde denota la transformación de Fourier de ♥.
Cuerpos simétricos de origenK en esta definición pueden ser considerados como “unidad
bolas de subespacios n-dimensionales de L-p”. Comparación de las definiciones 1.10
y 1.7, se podría llamar a estos órganos “cuerpos de intersección”. Desde el
el significado del espacio L-p en sí mismo no se especifica en la definición 1.10 y
ya que nuestro papel se centra principalmente en las propiedades geométricas de los cuerpos
(en lugar de incrustar en Lp), en la siguiente opción preferimos adoptar
otro nombre de “el cuerpo de la intersección”, donde ♥ es un número real, que
se especificará a su debido tiempo. Denotamos el conjunto de todas las intersecciones
cuerpos en Rn por In
Contenido del documento. Nos centraremos en la conexión íntima
entre los cuerpos de intersección, Radón esférico transforma, y general-
se transforma el coseno; ver definiciones en la sección 2.2. Este enfoque
está motivado por el hecho de que el volumen de una sección transversal central de
un cuerpo estelar se expresa a través de la transformación esférica del Radón, y
este último es un miembro de la familia analítica del coseno generalizado
se transforma. Estas transformaciones fueron introducidas por Semyanistyi [Se] y
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 5
surgen (hasta nombrar y normalizar) en diferentes contextos de análisis
y geometría; véase, por ejemplo, [K4], [R1]-[RZ], [Sa2], [Sa3], [Str1], [Str2].
Las secciones 2-4 proporcionan un fondo analítico para consideraciones geométricas.
ciones en las secciones 5-7. En la Sección 2 establecemos nuestra notación y definimos
el coseno generalizado se transforma sobre la esfera y el dual pertinente
transforma en colectores Grassmann. En la Sección 3 presentamos lo básico
las propiedades de estas transformaciones, establecer nuevas relaciones entre spheri-
cal Radon transforma y el coseno generalizado transforma, y probar
“teoremas de restricción”, que son similares a los teoremas de Sobolev
espacios. La sección 4 trata de la distribución homogénea definida positiva
ciones, que se pueden caracterizar en términos del coseno generalizado
se transforma. Esta sección sirve como preparación para el próximo
definición del concepto de cuerpo de intersección. Investigamos qué
Los de ♥ son apropiados y por qué. En la sección 5 cambiamos a geometría y
definir la clase de cuerpos de intersección. El caso 0 < < n cor-
responde a la “unidad de bolas de L-p-espacios” en el espíritu de la definición
1.10. El lector encontrará en esta sección nuevas pruebas de algunos conocidos
hechos. Introducimos la noción de cuerpo de intersección de un cuerpo estelar
en Rn, que extiende la definición 1.6 a todos los < n, 6= 0. La clase
de todos estos cuerpos será denotado por el IBn. Demostraremos que por
todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero y las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, incluidas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, todas las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero y las medidas de reducción de las emisiones de gases de efecto invernadero, incluidas las medidas de efecto invernadero. ...............................................................................
la métrica radial. El caso = 1 da la Proposición 1.3. Lo será.
ha demostrado que todas las secciones centrales m-dimensionales de
es son cuerpos de intersección en los planos m correspondientes siempre
< m, 6= 0.
Surge la pregunta natural: ¿Cómo construir cuerpos de intersección?
En la Sección 6 damos una serie de ejemplos; algunos de ellos son conocidos y
algunos son nuevos. Pueden obtenerse utilizando declaraciones auxiliares
de la sección 3. En particular, la famosa integración de la clase de Zhang
Znn−k into Ink, que fue establecido por primera vez en [K3] y estudiado en [Mi1],
[Mi2], se generalizará en el caso, cuando k se sustituye por cualquier
(0, n). La sección 7 está dedicada a las denominadas (q, l)-bolas, definidas por
Bnq,l = {x = (x′, x′′): xq + xq ≤ 1; x′ â € Rn−l, x′′ â € Rl}, q > 0.
Demostramos que si 0 < q ≤ 2, entonces Bnq,l â € € € € € € € € € € € (0, n). Si
q > 2 y n − 3 ≤ Si q > 2 y
= máx. (n - l, l) − 2, entonces Bnq, l 6 El caso, cuando
q > 2, l > 1, y 0 ≤ < n− 3 representa un problema abierto.
En la Sección 8 recordamos el problema generalizado de Busemann-Petty
(GBP) para secciones centrales i-dimensionales de o.s. cuerpos convexos en Rn.
Este problema está todavía abierto para i = 2 e i = 3 (n ≥ 5).
De hecho inspira toda la investigación. Uso de las propiedades de la
6 BORIS RUBIN
coseno generalizado transforma, damos una breve prueba directa del hecho
que una respuesta afirmativa a la GBP implica que cada O.S suave. con-
cuerpo vex en Rn con curvatura positiva es un cuerpo (n– i)-intersección.
Este hecho fue descubierto por A. Koldobsky. La prueba original en [K3]
se basa en el incrustado Inn-i Zni y el resultado de Zhang [Z1, Teorema
6]. Este último depende en gran medida del teorema de separación Hahn-Banach.
Nuestra prueba es más constructiva y casi autónoma. Concluimos
el documento del Apéndice, que se añade para mayor comodidad del lector.
La lista de referencias al final del documento está lejos de ser com-
Pleto. Otras referencias se pueden encontrar en libros y documentos citados.
Agradecimiento. Agradezco al profesor Alexander Koldob...
cielo, que compartió conmigo su conocimiento del tema. Agradecimientos especiales
ir a los profesores Erwin Lutwak, Deane Yang, y Gaoyong Zhang para
debates útiles.
2. Preliminares
2.1. Notación. En lo siguiente, N = {1, 2,... } es el conjunto de todos los nat-
números urales, Sn−1 es la esfera unitaria en Rn con el área n−1 =
2ηn/2/l(n/2); Ce(S)
n−1) es el espacio de funciones incluso continuas en
Sn−1; SO(n) es el grupo ortogonal especial de Rn; para
γ (n), d() y dγ denotan la probabilidad invariante relevante
asegura; D(Sn−1) es el espacio de las funciones de C.C. en Sn−1 equipado con
la topología estándar, y D′(Sn−1) representa el doble correspondiente
espacio de distribuciones. Los subespacios de las funciones de prueba uniforme (distribu-
ciones) se designan por De(Sn−1) (D′e(Sn−1)); Gn,i denota la Grass-
mann múltiple de subespacios i-dimensionales de Rn con el SO(n)-
la probabilidad invariante de la medida d; D(Gn,i) es el espacio de infinitamente dif-
funciones ferentables en Gn,i.
Escribimos M(Sn−1) y M(Gn,i) para los espacios de finito Borel mea-
asegura en Sn−1 y Gn,i; M+(Sn−1) y M+(Gn,i) son los relevantes
espacios de medidas no negativas; Me+(Sn−1) denota el espacio de par
medidas μ • M+(Sn−1). Teniendo en cuenta una función en Gn, i, denotamos
(η) = (), η Gn,n−i. Del mismo modo, dada una medida μ â € M(Gn,n-i),
la correspondiente “medida ortogonal” en M(Gn,i) se define por
(, ) = (μ, ), C(Gn,i).
Que {Yj,k} sea una base ortonormal de armónicos esféricos en Sn−1.
Aquí j = 0, 1, 2,..., y k = 1, 2,...., dn(j), donde dn(j) es el di-
mensión del subespacio de armónicos esféricos de grado j. Cada uno
función D(Sn−1) admite una descomposición
j,k Łj,kYj,k con
coeficientes de Fourier-Laplace
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa.
rápidamente como j →. Cada distribución f • D′(Sn−1) puede ser definida por
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 7
(f, ) =
j,k fj,káj,k donde fj,k = (f, Yj,k) crecen no más rápido que j
m
algunos entero m. Vamos a necesitar la integral de Poisson, que se define para
f • L1(Sn−1) por
(2.1) (Πtf)(l) = (1− t2)
f(u) − tundu, 0 < t < 1,
y tiene la descomposición de Fourier-Laplace Πtf =
j,k t
jfj,kYj,k [SW].
En el caso de la letra f) D′(Sn−1), esta descomposición sirve como definición de la letra Πtf. Por
análisis armónico en la esfera unitaria, el lector se refiere a [Le],
[Mü], [Ne], [SW], y un artículo de encuesta [Sa3].
2.2. Transformaciones integrales básicas. Para funciones integrables f en Sn−1
y onGn,i, 1 ≤ i ≤ n−1, la transformación esférica del radón (Rif)(),
Gn,i, y su dual (R
(l)) (l), (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
(2.2) (Rif)() =
Sn−1
f(l) d, (R)
(l)) =
() d,
donde d y d denotan las medidas de probabilidad en los colectores
Sn−1 y Gn,i: , respectivamente. El significado preciso de
la segunda integral es
(2.3) (R*i/23370/)(l) =
SO(n−1)
*(rp0) dγ, *(rp0) Sn−1,
donde p0 es una coordenada fija arbitrariamente i-plano que contiene el norte
es una rotación que satisface ren = .
Operadores Ri y R
I extender a las medidas finitas Borel en un canónico
way, usando la dualidad
(2.4)
(Rif)(l)(l)(l)d =
f(l))(R)*i(l)(l)dl.
Específicamente, para μ M(Sn−1) y m(Gn,i), definimos Riμ
M(Gn,i) y R*im • M(Sn−1) por
(2.5) (Riμ, )=
(R*iŁ)(l)dμ(l), (R)
im, f)=
(Rif)()dm(),
en los que se aplica el punto C(Gn,i), f (C(Sn−1).
Las transformadas generalizadas de coseno se definen por
(2.6) (Rαi f)) γn,i(α)
Pri−n f(
(2.7) (
)) = γn,i(α)
Pri−n
8 BORIS RUBIN
γn,i(α) =
((n− i)/2)
2π(n−1)/2 (α/2)
, Re α > 0, i−n 6= 0, 2, 4,...............................................................................................
Aquí Pr representa la proyección ortogonal de................................................................................................................
, el o-
Complemento togonal de Gn,i. Si f y ♥ son lo suficientemente suaves, entonces
integrales (2.2) pueden ser considerados (hasta un múltiplo constante) como miembros
de las familias analíticas pertinentes (2.6) y (2.7); cf. Lemma 3.1. Los
caso particular i = n − 1 en (2.2) corresponde al Minkowski-Funk
transformar
(2.8) (Mf)(u) =
: u=0}
(Rn−1f)(u)
), u Sn−1,
que integra una función f sobre grandes círculos de codimensión 1. Esto
transform es un miembro de la familia analítica
(2.9) (Mαf)(u) = (Rαn−1f)(u
) = γn(α)
f() · u1 d,
(2.10) γn(α)=
-1 -1 -1
(1o)/2
2η(n−1)/2l(α/2)
, Re 0, α 6=1, 3, 5,....
Los valores α = 1, 3, 5,... son polos de la función Gamma (((1+)/2).
En algunas ocasiones incluimos estos valores en consideración y fijamos
(2.11) (Mf)(u) =
f(l) · u1 dl.
Notas históricas. Con respecto a las transformaciones esféricas de radón (2.2) y
la transformación Minkowski-Funk (2.8), véase [GGG], [He], [R2], [R3]. Los
primera investigación detallada de la familia analítica {M se debe a Se-
myanistyi [Se], que demostró que estos operadores surgen naturalmente en el
Análisis de Fourier de funciones homogéneas. El caso α = 2 en (2.11)
era conocido antes, gracias a W. Blaschke, A.D. Alexandrov, y P.
Lévy. Se presentan integrales (2.9) (a veces con una normalización diferente)
en diversas áreas de análisis y geometría; véase [K4], [R1] - [R3], [Sa3],
[Str1], y referencias en él. En geometría convexa y espacio Banach
teoría, los operadores (2.11) con α − 1 sustituido por p se conocen como p-
coseno transforma. Las familias analíticas más generales (2.6) y (2.7) fueron:
introducido en [R2].
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 9
3. Familias Analíticas de la Cosina Generalizada
Transforma
3.1. Propiedades básicas. A continuación revisamos las propiedades básicas de las integrales
(2.6), (2.7), (2.9); véase [R2], [R3] para más detalles. Para funciones integrables.
> 0, integrales (2.6), (2.7) y (2.9) son ab-
Solutivamente convergente. Cuando f y ♥ son infinitamente diferenciables, estos
las integrales se extienden meromórficamente a todos los α C.
Lemma 3.1. Si f y son funciones continuas, entonces
Rαi f = R
i f = ciRif, ci =
2π(i−1)/2
;(3.1)
0 = ciR
iŁ,(3.2)
Mαf = M0f = cn−1Mf, cn−1 =
2η(n−2)/2
.(3.3)
Por lo tanto, el Radón transforma, su dual, y el Minkowski-Funk trans-
forma puede ser considerado (hasta un múltiplo constante) como miembros de la
familias analíticas correspondientes {Rαi }, {
, {M.
Prueba. Las fórmulas (3.2) y (3.3) siguen de (3.1). Para probar (3.1), nosotros
escribir (2.6) en coordenadas bi-esféricas, donde
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Esto da
(Rαi f)() = c γn,i(α)
∫ /2
sini−1
Sn−1
Sn−1
f(u sin vcos) du
ci(α)
•(α/2)
tα/2−1F (t) dt,
donde
ci(α) =
c γn,i(α) •(α/2)
- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1-
((n− i)/2)
2η(n−1)/2
2π(i−1)/2
como α → 0, y
F (t) = (1− t2)i/2−1
Sn−1
Sn−1
1− t2+vt) du.
10 BORIS RUBIN
Desde
•(α/2)
tα/2−1F (t) dt = F (0) =
Sn−1
f(u)du = (Rif)(),
Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La continuación analítica de las integrales (2.9) se puede realizar en esférico
Armónicos como Mαf=
mj,αfj,kYj,k, donde
(3.4) mj,α=
(−1)j/2
(j/2 + (1− α)/2)
(j/2 + (n− 1 + α)/2)
si j está a mano,
0 si j es impar;
Véase [R1], [R3]. Si f (D′(Sn−1), entonces Mαf es una distribución definida por
(Mαf, Ł)=(f,M)=
mj,α fj,k Łj,k, D(Sn−1); α 6=1, 3, 5,....
Lemma 3.2. Let α, β C; α, β 6= 1, 3, 5,.... Si α + β = 2 − n y
f) De(Sn−1) (o f) D′e (Sn−1)), a continuación:
(3.5) MαMβf = f.
Si α, 2−n− 6= 1, 3, 5,......................................................................... ., entonces Mα es un automorfismo de los espacios
De(Sn−1) y D′e(Sn−1).
Prueba. La igualdad (3.5) es equivalente a mj,αmj,β = 1, = 2−n.
Este último se deriva de (3.4). La segunda declaración es una consecuencia de
la teoría estándar de los armónicos esféricos [Ne], porque el Fourier-
Multiplicador Laplace mj,α tiene un comportamiento de potencia como j →. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 3.3. La transformación Minkowski-Funk en los espacios De(Sn−1)
y D′e(Sn−1) puede ser invertido por la fórmula
(3.6) (M)−1 = cn−1M
2−n, cn−1 =
2η(n−2)/2
Tenga en cuenta que hay una amplia variedad de diversas fórmulas de inversión para
la transformación Minkowski-Funk (véase [GGG], [He], [R3] y las referencias
en ella), pero todos ellos son, de hecho, diferentes realizaciones de (3.6),
dependiendo de las clases de funciones.
3.2. Declaraciones auxiliares. Establecemos algunas conexiones entre
familias de operadores definidas anteriormente.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 11
Lemma 3.4. Let α, β C; α, β 6= 1, 3, 5,.... Si Reα > Reβ, entonces
Mα =MβAα,β, donde Aα,β es un operador de convolución esférica con el
Multiplicador Fourier-Laplace
(3.7) aα,β(j) =
(j/2 + (1− α)/2)
(j/2 + (n− 1 + α)/2)
(j/2 + (n− 1 + β)/2)
(j/2 + (1− β)/2)
de modo que aα,β(j) â € (j/2) como j → â €. Si α y β son números reales
α > β > 1− n, α + β < 2, entonces Aα,β es un operador integral
de tal manera que Aα,βf ≥ 0 por cada f no negativa • L1(Sn−1).
Prueba. La primera declaración se deriva de (3.4). Para probar el segundo,
consideramos operadores integrales
+ f) x) =
•(μ/2)
(1− t2)μ/2−1(Πtf)(x) tndt,(3.8)
− f) x) =
•(μ/2)
(t2 − 1)μ/2−1(Π1/tf)(x) t1dt,(3.9)
expresado a través de la integral de Poisson (2.1). El mul de Fourier-Laplace...
Tipliers de Q
+ y Q
− − − − − − − − − − − − − − − − −
(3.10) qâ € €
+ (j)=
((j+n1)/2)
((j+n1)/2)
− (j)=
((j)/2)
((j)/2)
Se pueden computar fácilmente teniendo en cuenta que
los términos de Fourier-Laplace. En caso de que se cumplan las condiciones siguientes: f) L1(Sn−1) y 0 < μ < < < n, entonces
integrales (3.8) y (3.9) son absolutamente convergentes y obedecen Q
± f ≥ 0
cuando f ≥ 0. Comparando (3.10) y (3.7), obtenemos una factorización
Aα,β = Q
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
− (set μ = α − β, v = 1 − β), lo que implica
la segunda declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Es conveniente introducir una notación especial para la esférica
Transformación de radón y de coseno generalizado con ortogonal
argumentación. Asumiendo que Gn,i, denotamos
(3.11) (Rn-i,f) • = (Rn-if) •
), (Rαn-i,f) ) = (R
n-if)
Lemma 3.5. Let f L1(Sn−1), Re α > 0; α 6= 1, 3, 5,.....
(3.12) (RiM
αf)•) = c (Ráši−1n−i, f)•), Gn,i, c =
2π(i−1)/2
o (sustituir i por n− i)
(3.13) (Rn-i,M
αf)•) =
2π(n−i−1)/2
n−i−1
(RÃ3n-i-1i f).
Si f • De(Sn−1), entonces (3.12) y (3.13) se extienden a Reα ≤ 0 mediante análisis
continuación.
12 BORIS RUBIN
Prueba. Para Reα > 0,
αf)) = γn(α)
Sn−1
f(l) · u1 dl.
Desde · u = Prv · u para algunos v â € Sn−1 â € â €, mediante el cambio de la
orden de integración, obtenemos
αf)) = γn(α)
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Sn−1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
La integral interna es independiente en v. y se puede evaluar fácilmente:
Sn−1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
t1(1− t2)(i−3)/2 dt
2π(i−1)/2 (α/2)
(i+ 1)/2)
Esto implica (3.12). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente declaración es doble a Lemma 3.5.
Lemma 3.6. Dejar μ M(Gn,i), α 6= 1, 3, 5,.....
(3.14) MαR*iμ = c
RÍO−1n−i μ
, c = 2η(i−1)/2/2/2/1,
en el sentido D′(Sn−1). Si Reα > 0 y μ es absolutamente continuo con
densidad de L1 (Gn,i), entonces
(3.15) MαR*i/23370/ = c
RÍO-1N-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-
casi en todas partes en Sn−1. Si D(Gn,i), entonces (3.15) se extiende a todos
complejo α 6= 1, 3, 5,... por continuación analítica.
Prueba. Dejemos que De(Sn−1) (basta con considerar sólo el funcionamiento de la prueba
ciones). Por (2.4) y (3.12),
(MαR*iμ, فارسى) = (μ,RiM
) = c (μ,Rí-1n-i, فارسى) = c (μ
, Róñi-1n-i-i).
Esto da el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente declaración contiene representaciones explícitas de la derecha en
verso de la doble Radón transformar R*i (nota que R
i es no-injetivo en
D(Gn,i) cuando 1 < i < n− 1).
Lemma 3.7. Cada función f (Sn−1) se representa como f=R*iAf,
donde A : De(Sn−1) → D(Gn,i),
(3.16) Af = c1R
i f = c2Rn−i,M
2-nf,
η(1−i)/2n−2
n−i−1
(n− i)/2)
(n− 1)/2)
, c2 =
2γn/2−1
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 13
Prueba. La coincidencia de expresiones en (3.16) sigue de (3.13). A
prueban la primera igualdad, invocamos convoluciones esféricas definidas por
continuación analítica de la integral
(3.17) (Qαf)()=
(n−1)/2 (n−1)
2η(n−1)/2l(α/2)
(1u2)(n+1)/2f(u)du,
Reα > 0, α − n 6= 0, 2, 4,...., de modo que Q0f = f [R2]. Por el teorema
1.1 de [R2], R*iR
i f = c
•i−1f, y por lo tanto (set α = 1 − i),
i f = c
1 f, como se desee. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente declaración proporciona una factorización intrigante de la Minkowski-
Funk transforma en términos de Radon transforma asociados a
Subespacios ortogonales. Esta factorización puede ser útil en diferentes oc-
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.8. En el caso de f) L1(Sn−1) y 0 < i < n,
(3.18) Mf = R*iRn−i,f.
Prueba. Por (2.3),
(R*iRn-i,f)
SO(n−1)
(Rn-i,f) (rR)
i) dγ
SO(n−1)
(Rn−if)(rR
n-i) dγ
SO(n−1)
Sn−1rR
f v) dv
Sn−1®Rn−i
SO(n−1)
f(rw) dγ.
La integral interna es independiente en w • Sn−1 • Rn−i e iguala
(Mf). Esto da (3.18). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3.3. Teoremas de restricción. Los teoremas de este tipo se ocupan de los rastros
de funciones en subespacios dimensionales inferiores y son bien conocidos, por
postura, en la teoría de los espacios de función. A lo mejor de nuestro conocimiento,
trazas de funciones representadas por Radon transforma o, más en general,
por las transformadas generalizadas del coseno, no fueron estudiadas sistemáticamente
y merecen especial atención, ya que proporcionan una respuesta analítica-
tierra a una serie de resultados relacionados con secciones de cuerpos estelares; cf. [R3,
Sec. 3.5], [FGW]. Teniendo en cuenta un subespacio η • Gn,m y k < m, denotamos
por Gk(η) el colector de todos los subespacios k-dimensionales de η.
14 BORIS RUBIN
Teorema 3.9. Let f • Ce(Sn−1), 1 ≤ k < m < n, • 6= 0,−2,−4,. ...
En caso de que se trate de una ren < k, a continuación, por cada n ° Gn,m y cada n ° Gk(η),
(3.19) (Rkn−kf)
) = (Rkm−kT
η f)
η),
donde
(3.20) (T f) (u) = c
Sn−1®(Ru)
f(w)u · wm1 dw,
u • Sn−1 • η, cœ = η(m−n)/2 n−m/2.
En particular (let k),
(3.21) (Rn−kf)
)=c (Rm−kT
η f)
η), c= η
(n-m)/2 m−k−1
n−k−1
Prueba. Por (2.6),
(Rkn−kf)
)=γn,n−k(k − )
Pr f(
Representamos en coordenadas bi-esféricas como
(3.22) = ucos + v sin®,
donde
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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Si, entonces, Pr = Pr[Pr] = Pru cos, y por lo tanto,
(Rkn−kf)
) = γm,m−k(k −
Sn−1
Pru(T f(u) du,
donde
(T f)(u) =
c′′ γn,n−k(k − )
γm,m−k(k − )
∫ /2
sinn−m−1 • cosm1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Sn−1
f(ucosv sin ) dv
η(m−n)/2 n−m
Sn−1®(Ru)
f(w)u · wm1 dw.
La fórmula (3.21) sigue de (3.19) por (3.1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 15
Teorema 3.10. Let f (Sn−1), Gn,m, 1<m<n. Supón que
f = M1g, donde Ree < m, 6= 0,−2,−4,.... A continuación, la restricción
de f en η se representa como f = M1
Sn−1
T g, donde T
η tiene la forma
(3.20) y M1
Sn−1
denota el mismo operador M1, pero en la esfera
Sn−1 ° η.
Prueba. Para Re. < 1, la declaración es un caso particular de Teorema
3.9 (set k = 1). Para otros valores de , el resultado sigue por análisis
continuación. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.11. La restricción 6= 0,−2,−4,. .. en los teoremas 3.9 y
3.10 es causada por la función Gamma فارسى(/23370//2) en el numerador de la
factor de normalización correspondiente. Es evidente de la prueba, que
ambos teoremas siguen siendo verdad también para ♥ = −2l, l â € N, si eliminamos el
factor de normalización. Entonces M1 en Teorema 3.10 será sustituido
en el caso de M‡1+2l; véase el punto 2.11.
Necesitaremos la siguiente generalización del Teorema 3.10.
Teorema 3.12. Let f Ce(Sn−1), μ Me+(Sn−1), and let Gn,m,
1<m<n. Supóngase que f = M1, si
f=M‡1+2lμ, si = −2l.
(i) Hay una medida contra Me+ (Sn-1) tal que la restricción de
f en Sn−1 • η se representa como f = M1
Sn−1
(ii) Si dμ(l) = g(l)dl, g (l) Ce(Sn−1), i) se mantiene con d/(l) =
(T g)()d, donde T
η g tiene la forma (3.20).
iii) Si el valor de la letra a) es igual o superior a 2 l, l es igual a N, i) y ii) se mantiene con M1
Sn−1
sustituida
para Mû1+2l
Sn−1
Prueba. PASO 1. Dejemos primero.............................................................................................................................................................................................................................................................
Poisson integral (2.1) de modo que
Πtf = ΠtM
1 =M1gt, gt = Πtμ De(Sn−1), t (0, 1).
Dado que f es continua, entonces Πtf converge a f como t → 0 uniformemente
sobre Sn−1 y, por lo tanto, uniformemente sobre Sn−1 Por lo tanto, para cualquier prueba
función D(Sn−1 • η), debido al teorema 3.10, tenemos
(f, •) = lim
(Πtf, Ł) = lim
(M1gt, )
= lim
(M1
Sn−1
T gt, ) = lim
(T gt,M
Sn−1
= lim
(Vt,M)
Sn−1
•), νt = T
η gt.(3.23)
Por lo tanto, lim
(Vt,M)
Sn−1
Existe para cada D(Sn−1). Si está a mano,
i.e., # # De(Sn−1 # η), entonces, por Lemma 3.2, podemos reemplazar # por #
16 BORIS RUBIN
M1−m
Sn−1
• y concluir que el límite máximo
(V.V.) está bien definido para cada uno de los Estados miembros.
De(Sn−1). Puesto que νt = T Πtμ es una función par y el genérico
función de prueba D(Sn−1 • η) se puede representar como +, donde
son pares y impares, respectivamente, se deduce que el límite lim
(v.v., n.c.o.p.) =
(v.v., ) está bien definido para cada D(Sn11η) (no sólo para
•, como se ha indicado anteriormente). Dado que D′(Sn-1+ η) es débilmente completa, hay un
distribución uniforme en D'(Sn-1 ° η) de modo que
(Vídeo) = lim
(v.v., n.c.o.p.), n.c.o.p.
Por otra parte, puesto que (v.g.) = (p.g.)
η Πtμ, •) no es negativo para todos los no-
negativo (D(Sn−1 • η) y cada t(0,1), entonces / es un positivo
distribución y, por Teorema 9.1, ν es una medida en Me+ (Sn−1 η).
Por lo tanto, por (3.23), (f, ) = lim
(Vt,M)
Sn−1
(Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación) = (Respuesta de casación)
Sn−1
En el caso de los Estados miembros, el importe total de la ayuda concedida a los productores de la Unión incluidos en la muestra es de [...] millones EUR, lo que equivale a [...] millones EUR, es decir, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...] millones EUR, [...]
significa que f = M1
Sn−1
- Como se desee.
En caso de que dμ() = g() r/d/, g () Ce(Sn−1), entonces νt = T Πtg tiende a T g uni-
formly en Sn−1 como t→ 0. Por lo tanto, por (3.23), (f, ) = (T g,M1Sn−1),
que significa f = M1
Sn−1
T g.
PASO 2. Considerar el caso = −2l, l •N, cuando f = M1+2lμ,
μ Me+(Sn−1), y el operador T = T−2lη tiene la forma
(T−2lη h)(u) = c
Sn−1®(Ru)
u · wm+2l−1 h(w) dw,
cf. (3.20). Para cualquier función h • C(Sn−1) y • • C(Sn−1 • η),
(3.24) (T−2lη h, ) = (h,
T2lη ),
donde
T2lη ()()=
(m/2)
2-(n/2)
( Pr
Pr
Pr2l C(Sn−1).
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 17
De hecho, usando coordenadas bi-esféricas (véase (3.22)), tenemos
(T2lη h, ) = c
Sn−1
• (u)du
Sn−1®(Ru)
h(w)u · wm+2l−1 dw
cnm1
Sn−1
• (u)du
sinn−m−1 • cosm+2l−1 • d •
Sn−1
h(ucosv sin ) dv
cnm1
c′′ n−m
h()
( Pr
Pr
Pr2l d = (h,
T2lη ).
Dejar h = Πtμ y observar que el límite lim
(T2lη Πtμ,
causa, por (3,24), (T−2lη Πtμ, ) = (Πtμ,
→ (μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ,
T2lη ). Nota
que (T−2lη Πtμ, فارسى) ≥ 0 para cualquier no-negativo (C(Sn−1). Aplicar
el argumento de integridad estándar (como en el Paso 1), concluimos, que
la existencia de una medida contra M+ (Sn−1 • η) tal que
(T2lη Πtμ, ) = (/, ) C(Sn1· η).
Usando esta igualdad, para f = Mû1+2lμ obtenemos
(f, •) = lim
(Πtf, Ł) = lim
(ΠtM
1+2lμ, ) = lim
(M1+2lΠtμ, )
(use Teorema 3.10 y Observación 3.11)
= lim
(M‡1+2l
Sn−1
T2lη Πtμ, ) = lim
(T2lη Πtμ, M
Sn−1
= (v.M. 1+2l)
Sn−1
Esto da el resultado.
Si dμ(l) = g(l), g (l), g (l), g (l), entonces, por el teorema 3.10 y Observación
3.11, para • • Sn−1 • η tenemos
(Πtf)(l) = (ΠtM
1+2lg)() = (M1+2lΠtg)() = (M2lg)
Sn−1
T2lη Πtg ()).
Debido a la continuidad de los operadores M1+2l
Sn−1
, T2lη, y Πt en el
espacios relevantes de funciones continuas, pasando al límite como t→ 0,
Obtenemos f() = (M1+2l)
Sn−1
T2lη g)), Sn11 η, según se desee. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
18 BORIS RUBIN
4. Distribuciones homogéneas definidas positivas
Recordamos algunos hechos conocidos; ver, por ejemplo, [GS], [Le]. Que S(Rn) sea el
Espacio de Schwartz de funcionamientos rápidamente decrecientes en Rn y S ′(Rn)
su dual. La transformación de Fourier de F â € S ′(Rn) se define por
# F #, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(x) eix·y dx, (+) S(Rn).
Una distribución F • S ′(Rn) es homogénea de grado • • C si para cualquier
A > 0, A, A, A, A, A (x/a) A = A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A,, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, Homogénea dis-
las contribuciones a Rn están íntimamente relacionadas con las distribuciones en Sn−1.
Let first f (L1(Sn−1), (E/23370/f)(x) = xf(x/x), x Rn \ {0}. Los
El operador Ee genera una distribución meromórfica de S ′
Ef, a.c.
rÍn−1u(r)dr, u(r) =
f(l)(l)(l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l)
donde “a.c.” denota la continuación analítica en el ♥-variable. El des-
• La distribución de la carga de trabajo es regular si la carga de trabajo es > > −n y admite polos simples en
♥ = −n,−n −1,.... La definición anterior se extiende a todas las distribuciones
f) D′(Sn−1) por la fórmula
En el cuadro que figura a continuación se indica el número de identificación de la persona a la que se hace referencia en el artículo 2, apartado 1, letra a), del Reglamento (UE) n.o 1308/2013.
rà n−1u(r)dr, u(r) = (f,
y el mapa E/23370/ : D′(Sn−1) → S′(Rn) es débilmente continuo. Si f
es ortogonal a todos los armónicos esféricos de grado j, luego el derivado-
ative u(j)(r) es igual a cero en r = 0 y el polo en ♥ = − n − j es
extraíble. En particular, si f es una distribución uniforme, es decir, (f, ) =
(f, ), () = فارسى() D(Sn−1), entonces los únicos polos posibles
...........................................................................................................................................................................................
La transformación de Fourier de distribuciones homogéneas fue extensa
estudiado por muchos autores; véase [Sa3] y referencias en él. Restringimos
nuestra consideración a las distribuciones incluso, cuando la familia del operador {M
definido por (2.9) surge naturalmente gracias a la fórmula
(4.1) [E1-n®f]
* = 21n/2E1M.
Esta fórmula equivale a Semyanistyi [Se]. Si f • De(Sn−1), entonces (4.1)
se mantiene en sentido punto para 0 < Reα < 1 (véase, por ejemplo, Lemma 3.3 en [R1] ) y
se extiende en el sentido S ′ a todos los α ° C satisfactorio
(4.2) α / {1, 3, 5,.........................................................................................................................................................................................................................................................
1Aquí y en adelante, diferentes anotaciones, y (·, ·) se utilizan para distribuciones en Rn
y Sn−1, respectivamente.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 19
Puesto que De(Sn−1) es denso en D′e(Sn−1) y los mapas E1−n® y E1
son débilmente continuos de D′e(Sn−1) a S′(Rn), luego (4.1) se extiende a
todos los f â € D′e(Sn−1).
En cuanto a los casos excluidos en (4.2), observamos que si α = 1+ 2l para
algunos l = 0, 1,... .., entonces (4.1) es significativo si y sólo si f es ortogonal
a todos los armónicos esféricos de grado 2l. Si α = 1 − n − 2l para algunos
l = 0, 1,.. ., entonces, de acuerdo con la descomposición armónica esférica
j,k fj,kYj,k, j par, fórmula (4.1) se sustituye por el texto siguiente:
[E2lf]
(+) = (+) = (+) n
fj,k()l−j/2Yj,k(i
+2n+2lηn/2E−n−2lm
1−n−2l
fj,kYj,k
donde es el operador de Laplace, ...............................................................................................................................................................................................................................................................
es la función delta. Vale la pena señalar que para α = 1, 3, 5,.. ., el
distribución [E1−n®f]
También se puede entender en el sentido regularizado
sin ninguna suposición ortogonal. Sin embargo, esa regularización
no preserva la homogeneidad; véase [Sa1], [Sa3].
Nuestra principal preocupación es la positividad y la defini-
distribuciones mogéneas. El lector se refiere a [GV] para el general
teoría. Una distribución F ° S ′(Rn) es positiva si °F, ≥ 0 para todos los no-
negativo de S(Rn). Una definición similar se aplica a las distribuciones en el
esfera y en Rn \ {0}. Una distribución F + S ′(Rn) es positiva definida
Si Fó es positivo. Para nuestros propósitos, es importante saber, que incluso
Las distribuciones homogéneas son definitivas positivas. Vamos a reescribir (4.1)
y (4.2) con 1− n− α sustituido por. Tenemos
(4.4) [Ef]
* = 2nn/2EnM
1nf,
(4.5) • • • • 0, • 0 = {n, n + 2, n+ 4... } • • {0,−2,−4,. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ..}.
Teorema 4.1. Vamos a R \ D′e(Sn−1).
(i) Si la distribución positiva definida es de < 0 y Ef, entonces f = 0.
ii) En el caso de todas las declaraciones de la categoría R \ 0, las siguientes son equivalentes:
a) [Ef]
Es una distribución positiva en Rn 0} (para 0, esto puede
ser reemplazado por "Ef es una distribución definida positiva en R
b) M1nf Me+ (Sn−1);
(c) f = M1 para alguna medida μ Me+ (Sn−1).
Por otra parte, para cualquier real 6= 0,−2,−4,.. ., y cualquier i = 1, 2,...., n−1,
c) equivalga a:
d) Rif = R
n-i, para alguna medida μ Me+ (Sn−1).
20 BORIS RUBIN
Prueba. (i) Elijan los siguientes puntos: (x) = exp(xm) pt,(x/x), donde m(x/x), donde m(x/x) = exp(xm) pt,(x/x), donde m(x/x), donde m(x/x), donde m(x/) = = exp(xm) pt,(x/x), donde m(x/x), donde m(x/) = 2N y
pt;(·) es el núcleo de Poisson
(4.6) pt,(u) =
1− t2
(1− 2tu · + t2)n/2
, 0 < t < 1; u,
A continuación, EnM1nf, = c/23370/(ΠtM1nf)), donde
c.c. = a.c.
r1 exp(−rm) dr = m−1
y (ΠtM)
1nf (nf)) es la integral de Poisson de M1nf. Si Ef es un
distribución definida positiva, entonces, por (4.4), EnM
1nf es un positivo
distribución. Por otro lado, si < 0 y m >, entonces c < 0.
Por lo tanto, EnM1nf, puede ser no negativo para cada no negativo
(ltM1nf)(l) = 0 por cada 0 < t < 1 y
Sn−1. Este último implica M1nf = 0, que es equivalente a
f = 0 porque M1n es inyector; véase Lemma 3.2.
ii) Dejar [Ef]
Ser una distribución positiva en Rn 0}. Significa que
para todos los tipos de S(Rn) tales que ≥ 0 y 0 / suppo, [Ef ]., ≥ 0
o, por (4.4), EnM1nf, ≥ 0. Escoge (x) = (x)(x)(x/x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x))(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x))(x)(x)(x)(x))(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x))(x)(x)(x)(x)(x))())))(x)(x)(x)(*)()()(x)(x)()(*)(*)()()()()()(*)()()()(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)()(*)(*)(x)(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*
en los que • • D(Sn−1), • ≥ 0, y • es una función suave y no negativa
de tal manera que
rÃ3n−2Ã3n(r)dr = 1 y 0 /Ã3n suppÃ3n. Entonces
EnM1nf, = (M1nf, ) ≥ 0,
y por lo tanto, M1nf Me+(Sn−1); vea Teorema 9.1.
Por el contrario, permitamos μ = M1nf Me+ (Sn−1) y dejar que S(Rn);
• ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. • ≥ 0. En el caso de < 0 asumimos adicionalmente 0 / supp. Por (4.4),
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2nn/2
r1dr
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
Esto demuestra la equivalencia de las letras a) y b). Equivalencia de b) y c)
sigue de Lemma 3.2.
Demostremos la equivalencia de (c) y (d). Si Rif = R
n-i,,
μ Me+(Sn−1), entonces, por (3.15),
(f) = (Rif) = (R)
n-i,, ) = (μ,
Rin-i
= c−1(μ,M1R*i
Puesto que cualquier función de De(Sn−1) se puede expresar como • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
algunos de D(Gn,i) (véase Lemma 3.7), esto da (f, •) = c−1(μ,M1, •)
que es c). Por el contrario, dejar f = M1, μ Me+ (Sn−1), es decir,
(f, ) = (μ,M1, ) por cada De(Sn−1). Escoge = R*i
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 21
D(Gn,i). A continuación, como se indica más arriba, (f, R*i.) = (μ,M1R*i.) = c (μ,
Rin-i
que da (d). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5. Órganos de intersección
5.1. Definiciones y comentarios. Recordamos que Kn es el conjunto de
todos los cuerpos estelares simétricos de origen K en Rn, n ≥ 2;
función radial y la función de Minkowski de K. La siguiente defi-
niciones y declaraciones están motivadas por el Teorema 4.1 y el anterior
consideración. Vamos a ser un número real,
(5.1) s/23370/ =
1 si > 0, 6= n, n+ 2, n+ 4,...,
En el caso de la sustancia problema, el valor de la sustancia problema se calculará de acuerdo con el método de ensayo descrito en el punto 2 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la sustancia problema (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1). ...
No se tendrán en cuenta los valores de 0, n, n + 2, n + 4,...
a continuación, pero los valores de = −2,−4,. .. se incluirá. Se convierten en
significativo si cambiamos la normalización. En el caso de los 6= 0, n, n + 2, n + 4.........................................................................................................................................
que el conjunto de los cuerpos K. Kn, para los cuales hay una medida
μ Me+(Sn−1) de tal manera que sK = M1 si
K = M
En caso contrario, el valor de la sustancia problema será igual o superior al 10 % del precio franco fábrica del producto. La igualdad sK = M1
significa que para cualquier D(Sn−1),
kK()()() d ° =
(M1)(l)dμ(l),
donde se entiende en el sentido de análisis para el caso de ≥ 1, (M1)()
continuación. Recordamos la notación
0 = {n, n+ 2, n+ 4..................................................................................................... ..}.
Teorema 5.1. En el caso de la letra • • R®0, las declaraciones siguientes son equivalentes:
a) K. In.............................................................................................................................................................................................................................................................
(b) La transformación de Fourier es una distribución positiva en
(para ♥ > 0, esto puede ser reemplazado por “ · K es un positivo definido
distribución en Rn”);
c) s
1nK Me+(Sn−1);
El teorema es una consecuencia inmediata del teorema 4.1 si el lat-
ter se aplica a f = s
K. Se proporciona otra caracterización útil
por el teorema 4.1 d).
Teorema 5.2. Vamos a R \ #0. Si K. In., entonces por cada i..........................................................................................................
{1, 2,......, n−1} hay una medida μ Me+(Sn−1) de tal manera que sRiK =
Rin−i,. Por el contrario, si
s
K = R
n-i,
para algunos i {1, 2,...........................................................................................................................................................................................................................................................
22 BORIS RUBIN
A pesar de que se llamó "el conjunto de cuerpos", la definición de este conjunto
es puramente analítico y se necesita trabajo adicional para entender qué cuerpos
(en su caso) constituyen realmente la clase In
Los siguientes comentarios serán útiles.
1. El caso > n no es tan interesante, porque por Teorema 5.1(c),
En la ficha de datos se encuentra o vacío (si ((n − ♥)/2) < 0) o coincide con el conjunto.
clase Kn (si ((n−)/2) > 0).
2. En el caso de la sentencia del Tribunal de Justicia de las Comunidades Europeas, el Tribunal de Primera Instancia se pronunció sobre la interpretación de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre los impuestos sobre el volumen de negocios y sobre los impuestos sobre el volumen de negocios.
Ding del espacio (Rn, · K) en L-p, p = ♥; ver Introducción. En el
el marco de este concepto, todos los órganos K
bolas de subespacios n-dimensionales de L”.
3. En caso de que se trate de una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión o de una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión o de una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, se considerará que la empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión es una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión y, en su caso, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión y, en su caso, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión, una empresa de servicios de inversión en el mercado de la Unión.
upK =
· up dμ()
para un poco de μ Me+ (Sn−1). Esta es la conocida representación de Lévy,
caracterizar la incrustación isométrica del espacio (Rn, · K) en Lp;
Véase Lemma 6.4 en [K4]. La declaración b) en el Teorema 5.1 está de acuerdo con
Teorema 1.9. Manteniendo esta terminología, podemos decir lo siguiente:
Proposición 5.3. Let p > −n, p 6= 0. Entonces (Rn, · K) incrusta
isométricamente en Lp si y sólo si K • In−p.
4. En el caso de que el valor de la tinta sea igual o superior al valor de la tinta, el valor de la tinta será igual o superior al valor de la clase de tinta.
de cuerpos de k-intersección; véase Definición 1.7 y Teorema 1.8. Teoremas
5.1 y 5.2 proporcionan nuevas caracterizaciones de esta clase.
Estos comentarios inspiran lo siguiente:
Definición 5.4. Let < n, 6= 0. Se dice que un cuerpo K-Kn es un
Cuerpo de intersección si K In, o, en otras palabras, si hay una medida
μ Me+(Sn−1) de tal manera que sK = M1 si
2lK = M
1+2lμ, de lo contrario.
El resultado del teorema 5.2 para = i = k puede servir como alternativa
definición de cuerpos de intersección k en términos de transformación de Radón. Esto
la definición está de acuerdo con la definición 1.6 e imita la definición 1.2.
Definición 5.5. Vamos k {1, 2,...., n − 1}. Un cuerpo K-Kn es un k-
cuerpo de intersección si hay una medida no negativa μ en Sn−1 tal
(5.2) (Rk
K)•) = (Rn−kμ)•
Gn,k.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 23
La igualdad (5.2) se entiende en el sentido débil según (2.5). Es decir,
en el caso de C(Gn,k) y (η) = (), η Gn,n−k, (5.2) significa
(5.3)
K)•)•)•)•) •) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(R*n−k
)•) dμ()).
5.2. Cuerpos de intersección de cuerpos estelares y cierre en
métrica de marcación. Como mencionamos en Introducción, la clase de intersección
de los cuerpos, que coincide con In-
dial métrica de la clase de cuerpos de intersección de cuerpos estelares. A continuación
ampliamos este resultado a todos los n, 6= 0, en el marco de la
un enfoque único. Recordamos (véase la definición 1.6) que K • Kn es un
Cuerpo de la k-intersección de un cuerpo L • Kn y escribir K = IBk(L) si
(5.4) volk(K â € € ¢) = voln−k(L â € € € € € € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Que IBk,n sea el conjunto de todos los cuerpos K • Kn satisfactorio (5.4) para algunos
L. Kn.
¿Cómo podemos extender la propiedad puramente geométrica (5.4) a no-
valores enteros de k? Con este fin, en primer lugar expresamos (5.4) en términos de
el coseno generalizado se transforma (2.9).
Lemma 5.6. Si K = IBk(L) es infinitamente suave, entonces
(5.5) n-kL =cM
1-n+klkK,
−1M1−kđn−kL,
c = γk−n/2(n− k)/k.
Prueba. Hacemos uso de (3.13), donde establecemos i = k, α = 1 − n + k y
f = ♥kK. Por (3.1), esto da
(5.6) Rk
K = cRn−k,M
1-n+kkK, c =
ηk−n/2 n−k−1
Por otro lado, si K = IBk(L) es infinitamente suave, entonces, según
a (5.4) y la igualdad
(5.7) volk(K â € ¬) =
K) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Tenemos
(5.8) Rk
k n−k−1
(n− k) k−1
Rn−k,
Comparando (5.6) y (5.8), debido a la inyectividad de la transformación del Radón,
Obtenemos la primera igualdad en (5.5). La segunda igualdad se deriva de
el primero por (3.5). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
24 BORIS RUBIN
Las igualdades (5.5) son extensibles a valores no enteros de k. Denotamos
cl,n = l
n/2(n)/
y dejar que se defina sl por (5.1).
Definición 5.7. Let < n, 6= 0; K,L • Kn. Decimos que K es un
Cuerpo de intersección de L y escribir K = IB/23370/(L) si sK=c−1♥,nM1
en el caso de los productos de la partida 6 0 6 = -2l, l -N, y 2lK = M1+2l
Yo, de lo contrario. Los
conjunto de todos los cuerpos de intersección de los cuerpos estelares será denotado por IB/23370/,n.
También denotamos
(5.9) IB,n={K IB
Por (3.5), igualdad s
K = c
1nL es equivalente a
s. c. m., n.m.
1-nK. Ambas igualdades son generalmente entendidas en el sentido
de distribuciones, por ejemplo,
K, Ł) = c
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no,
1), Ł D(Sn−1).
Si K (o L) es suave, entonces s
K()=c
(M)
1 nL ))
cada Sn−1.
Teorema 5.8. Let < n, 6= 0. Si el valor de 6= -2l, l -N, entonces la clase
En el caso de los cuerpos de intersección es el cierre de las clases IBđ,n y IB,n
Cuerpos de intersección de cuerpos estelares en la métrica radial:
(5.10) En la siguiente dirección: cl IBl,n = cl IB,n.
Si el valor de la columna es igual o superior a 2 l, el valor de la columna es igual o superior al valor de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila de la fila « « « « « « « « « « «
Prueba. PASO 1. Primero probamos que en el tiempo. Dejemos que K.o.o. In.o., es decir,
a) s
1, μ Me+(Sn−1), si 6= −2l, l N, y
b) 2lK = M
1+2lμ, de lo contrario.
Nuestro objetivo es definir una secuencia Kj • IB, de tal manera que •Kj → •K en el
C-norm. Considerar la integral de Poisson
K (véase (2.1)), que converge
a K en la C-norm cuando t→ 1. En el caso de la letra a), para cualquier función de ensayo
D(Sn−1)
K,..................................................................................................................................................
K,Πtl) = s
(μ,M
1 ) = s
1tμ, فارسى).
De la misma manera, en el caso de la letra b), tenemos una igualdad puntual (
K )-() =
(M1+2lΠtμ)), Elija Kj para que Kj = Πtj
K, donde está TJ
una secuencia en (0, 1) aproximándose a 1. Claramente, Kj converge a K en el
métrica radial. Por otra parte, Kj IB,n, porque Kj = s
1nLj
y 2lKj = M
1 + 2 ln + 2 lLj, donde los cuerpos Lj están definidos por
En el caso de la letra a) y de la letra c) del apartado 1 del artículo 92, el importe de la multa será igual al importe de la multa prevista en el apartado 1 del artículo 92 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de junio de 1971, por el que se deroga el Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo en lo que respecta a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta ajena y a los trabajadores por cuenta ajena.
= Πtjμ en el caso (b), respectivamente.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 25
Por el contrario, vamos a K cl IB,n, 6= −2,−4,.... Significa que allí
es una secuencia de Kj IB,n tal que lim
K − ♥Kj C(Sn−1) = 0 y
= c−1♥,nM
1nLj, Lj-De+(S)
n−1). Si j → فارسى, entonces para cada
D(Sn−1),
(5.11) s
,M1−n) → sl(K,M1−n)=sl(M1−nK, فارسى).
El lado derecho de (5.11) no es negativo, porque por (3.5), para
todas y cada una de las categorías de «De+» (Sn−1),
,M1−n) = c−1♥,n(M
1nLj,M
1−n) = c−1
, •) ≥ 0.
Por Teorema 9.1, se deduce que s
1-nK es un mea- no negativo
Claro. Lo denotamos por μ. Por (3.5), para cualquier D(Sn−1),
K, Ł) = s/23370/(M
1-nK,M
1) = (μ,M1) = (M1,
i.e., KÃ3n.e...................................................................................................................................................................................... Esto le da a IB,nÃ3rnÃ3n y, por encima, InÃ3n =cl IB,n.
PASO 2. Queda por probar que cl IB,n = cl IB/23370/,n. Desde el IB,n
IBđ,n, entonces cl IB,n,n,cl IB/23370/,n. Para probar la inclusión opuesta,
K. cl IB.,n. y considerar el caso 6 = −2,−4,..... Tenemos que mostrar
que hay una secuencia de cuerpos lisos Kj, que converge a K en
la métrica radial y tal que s
= c−1♥,nM
1nLj para algunos cuerpos
Lj Kn. Ya que K.C.L. IB.N., hay una secuencia K.j. Kn tal que
Kūj K C(Sn−1) = 0 y s
= c−1♥,nM
1n
para algunos cuerpos
Kn. Definimos cuerpos lisos Kj y Lj por
Kj = Π1−1/jl
nLj = Π1−1/jl
donde Π1−1/j representa la integral de Poisson con el parámetro 1 − 1/j.
Desde el punto de vista de los operadores Π1-1/j y M
1 viajar, entonces s
=c−1♥,nM
1nLj,
y por lo tanto, Kj IB,n. Por otro lado, por las propiedades de la
Poisson integral [SW],
Kj −
K ≤ 1−1/jK
K 1−1/jK − K → 0
como j → فارسى. Significa, que K â € ¢ cl IB,n o cl IB/23370/,n â Â cl IB,n. Por lo tanto,
por arriba, cl IB/23370/,n = cl IB,n. En el caso de los ♥ = −2,−4,. .., el argumento es
similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 5.9. Si = −2,−4,. ... no podemos probar la coincidencia de
La prueba de la incrustación cl IB,n
se basa en gran medida en el hecho de que M1 es un isomorfismo de De(Sn−1). Si
= −2,−4,. .., esto no es así, y el operador M?1 tiene un no trivial
núcleo, que consiste en armónicos esféricos de grado > 2l; véase [R1]
para más detalles.
26 BORIS RUBIN
Es interesante traducir el teorema 5,8 para = −p, p > 0, en
el lenguaje de las incrustaciones isométricas. Ignorando un pos no-importante...
factor constante itive y utilizando coordenadas polares, se puede reemplazar el
Equidades s
K = c
1 nL y
K = M
1 + 2 ln + 2 ll en definición
5.7 por
(5.12) upK =
x · up dx, u Sn−1.
Corolario 5.10.
(i) Una unidad de bola de cada subespacio n-dimensional de Lp, puede ser
acoplado en la métrica radial por los cuerpos K, definidos por (5.12), donde L Kn
tiene un límite de C.O.C.
ii) Si, además, p 6 = 2, 4,.........................................................................................................................................................................................................................................................
subespacios dimensionales de Lp, se puede identificar con el cierre en el
métrica radial del conjunto de cuerpos K satisfactorio (5.12) para algunos lisos
cuerpo L. Kn (también se pueden considerar cuerpos arbitrarios L. Kn).
5.3. Secciones centrales de los cuerpos de intersección. Se sabe que
una sección transversal K ° η de un cuerpo K ° Tinta por cualquier centro m-dimensional
plano η es un cuerpo de k-intersección en η siempre que 1 ≤ k < m < n.
hecho se estableció en [Mi1, Proposición 3.17] mediante el uso de Teorema 1.8
y un determinado procedimiento de aproximación. A continuación presentamos más general
los resultados, incluidas las secciones de los cuerpos de intersección k de los cuerpos estelares, y
el caso de no entero k = . Estos resultados son las consecuencias de la
restricción de los teoremas de la sección 3.3.
Teorema 5.11. Dejar 1 ≤ k < m < n, η • Gn,m. Si K = IBk(L) en Rn,
a continuación, K η = IBk(L) en η, donde el cuerpo L está definido por
(5.13) m−k
(u) = ck,m,n
Sn−1®(Ru)
N-kL (w) U
m−k−1 dw,
u • Sn−1 • η, ck,m,n =
(m– k) n−m
2 n - k)
Prueba. Por (5.7) y (3.21) (con f = n-kL ),
= voln−k(L • ) = voln−k(L • ) =
n−k−1
(Rn-k
L )•
c n−k−1
(Rm−kT
L )•
η)(5.14)
m−k−1
(Rm-k
) η) = volm−k(L
como se desee. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 27
Teorema 5.11 tiene la siguiente generalización.
Teorema 5.12. Dejar 1 < m < n, η ° Gn,m y suponer que < m,
6= 0. Si K = IBl(L) en Rn, entonces K η = IBl(L") en η, donde la
cuerpo L está definido por:
(5.15).............................................................................................................................................................................................................................................................
(u) = c
Sn−1®(Ru)
Nótese el nombre de la persona que se encuentra en el país de origen.
m1 dw,
e = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(m− ) n−m
2 n- ♥)
si 6= − 2l, l + N,
η(m−n)/2 n−m/2 en caso contrario.
Por otra parte, si K. In. In. en Rn., entonces K. η. Im. en η.
Prueba. Dejemos que ♥ 6= −2l, l â € N, y dejar que â € ¬ Sn−1 â € η. Por definición 5.7,
K = c
1nL, y el teorema 3.12 (con f = s
K y g =
c - 1-,n-
L ) rendimientos
K(l) = (M)
Sn−1
T [c
L ])(l) = c
(m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m)
Sn−1
),..............................................................................................................................................................................................................................................................
donde?m
= c T
L, c = η
(n-m)/2(m- Por definición
5.7 y (3.20), hemos terminado. En caso de que el valor de la sustancia problema sea inferior o igual al valor de la sustancia problema, el valor de la sustancia problema será igual o superior al valor de la sustancia problema en el caso de que el valor de la sustancia problema sea inferior o igual al valor de la sustancia problema.
2lK () = (M0)
Sn−1
T2lη
(M) = (M)
Sn−1
M+2l
en los que m+2l
= T2lη
L. Esto da (5.15).
Por otra parte, si K. In...........................................................................................................................................................................................................................................................
K = M
1, μ Me+ (Sn−1). Por lo tanto, por Teorema 3.12, hay
una medida contra Me+ (Sn−1 • η) de tal manera que la restricción de sK a
Sn−1 está representado como sK =M1Sn−1. Significa que K I
en η. En el caso de = −2l, l â € N, el argumento es similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. Ejemplos de órganos de intersección
La definición de las clases de las clases In- y IB-,n y de todos los caracteres conocidos.
las zaciones son puramente analíticas. A diferencia del caso = 1, cuando una intersección
cuerpo de un cuerpo estelar está explícitamente definido por un procedimiento geométrico simple
dure, no está claro cómo podemos construir cuerpos de intersección en el
caso general. A continuación damos algunos ejemplos, cuando la función radial
de un cuerpo de intersección se puede determinar explícitamente. Estos ejemplos
utilizar las transformadas de coseno generalizadas.
Ejemplo 6.1. Let < 1, 6= 0. Este caso es el más simple. De hecho,
dada una medida no negativa μ en Sn−1, la intersección pertinente
28 BORIS RUBIN
cuerpo puede ser construido directamente por la fórmula K = M
1, si 6=
-2l, l-N, y 2lK = M1+2lμ, de lo contrario. En otras palabras (cf. (2.11)),
(6.1) K(u) =
· u dμ(♥).
Este hecho (reemplazado por p) es una reformulación del Teorema 6.17
de [K4], que se declaró en el lenguaje de incrustaciones isométricas
y se basa en la caracterización de P. Lévy; véase también Lemma 6.4 y
Teorema 4.11 en [K4].
Ejemplo 6.2. Si n − 3 ≤
cuerpos convexos simétricos en Rn.
Este hecho se debe a Koldobsky [K4, corolario 4.9]. Se puede probar
utilizando una ligera modificación del argumento de [R3, Sec. 7], según se indica a continuación.
Por Teorema 5.1 (c), basta con comprobar que para cualquier o.s. cuerpo convexo
K,M1nK Me+(Sn−1). Esto es obvio en el caso de ≥ n−1. Para manejar
el caso n− 3 ≤ < n− 1, supongamos primero que K es infinitamente suave.
Usando coordenadas polares, para Reα > 0, podemos escribir
(6.2) (Mn−1K)(u) = (α + n− 1) γn(α)
x · u1 dx.
Entonces M1nK se puede realizar como continuación analítica (a.c.) en α =
1 + n del lado derecho de (6.2). Este último puede ser escrito como
I(α) = 2 ( n− 1)γn(α)
t1AK,u(t) dt,
AK,u(t) = voln−1(Ktu+u). Toma de la continuación analítica (véase [GS,
Capítulo 1]), para −2 < α < 0 (que equivale a n−3 ≤ < n−1)
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
a.c.I(α) = c1
t1[AK,u(t)−AK,u(0)] dt.
Del mismo modo, a.c.I(α) en α = −2 (que corresponde a = n − 3) es
K,u(0). Después de [GS], se puede comprobar fácilmente que las constantes c1 y
c2 son negativos. Puesto que K es convexa, ambas continuacións analíticas son
positivo, y por lo tanto M1nK > 0. Si K es un o.s arbitrario. convex
cuerpo, lo aproximamos en la métrica radial por o.s liso. convex
cuerpos Kj. A continuación, para cualquier función de prueba • • D+(Sn−1), por el anterior
paso que tenemos
(M1nK,
) = lim
(Kj,M
(El Presidente declara aprobada la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo con vistas a la adopción de la posición común del Consejo:
= lim
(M1nKj, فارسى) ≥ 0.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 29
Por lo tanto, por Teorema 9.1, M1nK es una medida no negativa y la
la prueba está completa.
Ejemplo 6.3. Si K =
El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si el artículo 2, apartado 1, letra c), del Reglamento n° 1408/71 se opone a la aplicación de la Directiva 77/388/CEE del Consejo, de 17 de diciembre de 1977, Sexta Directiva en materia de armonización de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios, en particular en lo que se refiere a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios, a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios.
Y luego K. In............................................................................................................................................
De hecho, para cualquier función de prueba • • D(Sn−1), por (3.12) (con α = 1)
Tenemos
(K, ) = (
Asunto C-372/99 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de Bélgica Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas Estatuto de los funcionarios de las Comunidades Europeas
N° de cat.: + χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ ± χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ · χ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · χ · χ χ χ χ χ χ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
, Rin−i,)
= c−1(, RiM
1) = c−1(R*i / Comisión de las Comunidades Europeas
,M1), c =
2π(i−1)/2
Esto significa que en el caso de 0 ≤ ≤ i < n y < M+ (Gn,n-i),
(6.3) K =
Rin-i / K = M1, μ = c−1R*i.
Por definición 5.4, esto da el resultado. El caso particular = i
implica la integración en Ini de la clase Znn-i de Zhang; véase Definición
1.5. Esta incrustación se demostró en [K3] y [Mi1] de una manera diferente;
ver también [Mi2], donde se demuestra que Znn-i es un subconjunto adecuado de Ini si
2 ≤ i ≤ n− 2.
Ejemplo 6.4. Si 0 < (i− 1)/2 < ≤ i < n y K = M i para algunos
M+(Sn−1), luego K+ In.
De hecho, por Lemma 3.4 (con α = i− ♥, β = 1− ), K = M i =
M1Ai,1, donde Ai,1 es un operador integral que conserva
se proporciona positividad i− > 1− > 1− n, (i− ) + (1− ) < 2. Esto
es sólo nuestro caso.
Ejemplo 6.5. Uno puede construir los cuerpos K. In. A partir de los cuerpos L. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In. In.
por la fórmula lK = l
L proporcionó 0 < < < n.
De hecho, según la definición 5.4, existe una medida μ â € M+(Sn−1) de modo que
L = M
1. Luego, por Lemma 3.4 (con α = 1 −, β = 1 −),
K =
L = M
1 = M1A1,1, y hemos terminado. Este ejemplo
generaliza el resultado correspondiente de [Mi1, p. 533, Declaración c)],
que se obtuvo de una manera diferente para el caso, cuando
enteros.
Ejemplo 6.6. Vamos.
(6.4) Bnq = {x Rn : xq =
xkq
≤ 1}.
Si es 0 < q ≤ 2, entonces Bnq â € € € € € € € € € (0, n). Si 2 < q,
a continuación, Bnq • In. • si y sólo si • ≥ n. − 3.
30 BORIS RUBIN
Ambas declaraciones se deben a Koldobsky. El primero sigue de
el hecho de que para 0 < q ≤ 2 la transformación de Fourier de xq es un positivo
S ′-distribución (véanse Lemmas 3.6 y 2.27 en [K4]). El segundo estado...
es una reformulación del teorema 4.13 de [K4]. La parte “si” es una
consecuencia del ejemplo 6.2.
7. (q, l)-bolas
En esta sección consideramos un ejemplo más, que se parece a
amplio 6.6, pero no entra en su ámbito de aplicación y requiere un
consideración. Vamos.
x = (x′, x′′) • Rn, x′ • Rn−l =
Rej, x
′′ Rl =
j=n−l+1
Rej,
e1,. .., y siendo vectores de unidad de coordenadas. Considerar el (q, l)-ball
(7.1) Bnq,l = {x : xq,l = (xq + xq)1/q ≤ 1}, q > 0.
Nos preguntamos para qué triples (q, l, n), Bnq, l es un cuerpo de intersección. A
estudiar este problema, necesitamos algo de preparación. Pensemos en el Fourier
integral
(7.2) γq,l(η) =
Ey
eiyà dy, η Rl, q > 0.
La función γq,l(η) es uniformemente continua en R
l y desaparece en
El infinito.
Lemma 7.1. Si es 0 < q ≤ 2, entonces γq,l(η) > 0 para todos los η + Rl.
Prueba. (Cf. [K4, p. 44, para l = 1]). Para η = 0, la declaración es obvia.
Se sabe (véase, por ejemplo, [SW]), que
(7.3) [e−t
)(η) = ηl/2t−l/2e
2/4t, t > 0.
Esto da el resultado para q = 2. Dejar 0 < q < 2. Por el teorema de Bernstein
[F, Capítulo 18, Sec. 4], hay una medida finita no negativa μq en
[0) de modo que e-zq/2 =
e-tz dμq(t), z â € [0,â €]. Sustitúyase z por y2 por
(7.4) ey
e-ty
dμq(t).
Entonces (7.3) rinde
γq,l(η) =
- Hola. - Hola.
e-ty
dμq(t) =
dμq(t)
eiyáe−tyá
= γl/2
t−l/2e
2/4t dμq(t) > 0.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 31
El teorema de Fubini es aplicable aquí, porque, por (7.4),
eiydy
e-ty
dμq =
Ey
dy.
Nuestra siguiente preocupación es el comportamiento de γq,l(η) cuando →. Si q
es incluso, entonces e
es una función de Schwartz y por lo tanto, γq,l es infin-
itely suave y rápidamente disminuyendo. En el caso general, tenemos el
siguiente.
Lemma 7.2. Para cualquier q > 0,
(7.5) lim
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
l+qγq,l(η) = 2l+q
Prueba. Para l = 1, esta declaración se puede encontrar en [PS, Capítulo 3, Prob-
lem 154] y en [K4, p. 45]. En el caso general, la prueba es más
sofisticado y depende de las propiedades de las funciones de Bessel. Por el
fórmula conocida para la transformación de Fourier de una función radial (ver,
Por ejemplo, [SW], escribimos γq,l(η) = I(), donde
I(s) = (2η)l/2s1−l/2
rl/2Jl/2−1(rs) dr
= (2η)l/2s−l
[(rs)l/2Jl/2(rs)] dr.
Integración por rendimientos de piezas
I(s) = q(2η)l/2s−l/2
rl/2+q−1Jl/2(rs) dr.
Cambiando la variable z = sqrq, obtenemos
sl+qI(s) = (2η)l/2A(s1/q), A() =
e-zzzl/2qJl/2(z
1/q) dz.
En realidad tenemos que calcular el límite A0 = lim
A(l). Con este fin, nosotros
invocar las funciones de Hankel H
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de marzo de 2001.
v. z) si z es real
[Er]. Que h v(z) = z
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de marzo de 2001. Esta es una función analítica de un solo valor
en el plano z con corte (, 0). Uso de las propiedades del Bessel
funciones [Er], obtenemos
(7.6) lim
h(z) = 2
( v)/l)i,
(7.7) h/z)...........................................................................................................................................................................................................................................................
2/ z1/2eiz−
( 1
), z → فارسى.
A continuación, escribimos "A" como "A" = "Re"
e-zđhl/2(z
1/q) dz y cambiar la
línea de integración de [0,) a l = {z : z = reiü, r > 0} para
32 BORIS RUBIN
pequeño < πq/2. Por el teorema de Cauchy, debido a (7.6) y (7.7), nosotros
obtener A() = Re
e-zđhl/2(z
1/q) dz. Puesto que para z = reiŁ, hl/2(z
1/q) =
O(1) cuando r = z → 0 y hl/2(z1/q) = O(r(l−1)/2qe−r
1/q sin(l/q)) como
por el teorema de Lebesgue sobre convergencia dominada, obtenemos
A0 = Re
hl/2(z)
1/q) dz. Para evaluar la última integral, utilizamos de nuevo
analyticity y substituyer l. por l.q./2 = {z : z = rei.q./2, r > 0} para obtener
A0 = Re
eiňq/2
hl/2(r)
1/qeiη/2) dr
Para finalizar los cálculos, invocamos la función de McDonald's K v(z) para que
h(z) = z
/H(1)/z) = −
(sea el 1 de julio de 1992) /K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K/K
−iň/2).
Esto da
sin(lq/2)
sl/2+q−1Kl/2(s) ds.
La última integral puede ser evaluada explícitamente por la fórmula 2.16.2 (2)
de [PBM], y obtenemos el resultado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora podemos proceder a estudiar (q, l)-bolas Bnq,l; ver (7.1). Hay
una íntima conexión entre las propiedades geométricas de las bolas Bnq,l
y la transformación de Fourier de la función de poder · pq,l. El caso q = 2
es bien conocido y está asociado con los potenciales de Riesz; véase, por ejemplo, [St]. Los
caso relevante de lnq -balls, que está de acuerdo con l = 1 fue considerado en
Ejemplo 6.6.
Lemma 7.3. Que q > 0, = (, ) Rn, γq,l() y γq,n−l() sea
las funciones de la forma (7.2). Definimos
(7.8) hp,q,l() =
(−p/q)
tn+p−1 γq,n−l
′t) γq,l(
′′t) dt.
i) Dejar 6= 0 y 6= 0. Si q es par, entonces la integral (7.8) es abso-
lútemente convergente para todos los p > −n. De lo contrario, es absolutamente convergente
cuando −n < p < 2q. En estos casos, hp,q,l () es un local integrable
función lejos de los subespacios de coordenadas Rl y Rn−l.
ii) Si −n < p < 0, entonces hp,q,l () L1loc(Rn)S ′(Rn) y (
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
hp,q,l() en el sentido de S ′-distribuciones. Específicamente, en el caso de S(Rn),
(7.9) hp,q,l, = (2η)n · pq,l,.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 33
Prueba. i) Para cualquier 0 < < a,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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hp,q,l (; ) d
(−p/q)
tn+p−1 dt
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
q,n−l (t) d
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
q,l (t) d
(−p/q)
tp−1 dt
tzta
q,n−l (z′) dz′
tzta
q,l (z′′) dz′′
(−p/q)
(...) =
(−p/q)
(I1 + I2).
La primera integral está dominada por
tn+p−1 dt, c =
q,n−l (z′) max
q,l (z′′)
y es finito para p > −n. La segunda integral puede ser estimada por
haciendo uso de Lemma 7.2. Específicamente, si q no es un entero par, entonces
I2 ≤ c
tp−1 dt
zn−l+q
zl+q
tp−2q−1 dt.
Si q es par, entonces γq,l y γq,n−l están disminuyendo rápidamente y I2 ≤
tp−2m−1 dt para cualquier m > 0. Esto da lo que necesitamos.
ii) Si −n < p < 0, se aplica el mismo argumento con • = 0. In
Este caso, I2 no excede de q,n−l1q,l1
tp−1 dt. Esta última es la siguiente:
finito cuando p < 0, porque, por Lemma 7.2, γq,n−l y γq,l son integrables
funciones en los espacios respectivos. Cuando se puede comprobar fácilmente # → # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Cuando # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
que hp,q,l () = O(m) para algunos m > 0, y por lo tanto, hp,q,l S ′(Rn).
Para calcular la transformación de Fourier ( · pq,l), reemplazamos a x
q,l by
la fórmula
xpq,l =
(−p/q)
tp−1 ex
′/tqx′′/tq dt, p < 0,
34 BORIS RUBIN
y note que la transformación de Fourier de la función x→ ex′/tqx′′/tq
es sólo γq,n-l
′t) γq,l
′′t). Entonces
· pq,l)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(2η)nq
(−p/q)
tp−1 dt
′/tqx′′/tqŁ(x) dx
(−p/q)
tn+p−1 dt
γq,n−l
′t) γq,l
′′t) () d.
El intercambio del orden de integración en este argumento puede ser fácil
justificado utilizando la convergencia absoluta de las integrales en estudio.
Teorema 7.4. Si el valor de 0 < q ≤ 2, 0 < l < n, entonces Bnq,l es una intersección
cuerpo para cualquier 0 < < n.
Prueba. Debido a Lemma 7.1, la función (7.8) (con p sustituida por )
es positivo, y por lo tanto, por Lemma 7.3, · q,l representa un positivo
distribución definitiva. Ahora el resultado sigue por Teorema 5.1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Considere el caso q > 2. En este caso Bnq, l es convexo, y, debido a
Ejemplo 6.2, Bnq,l.
Este caso es especialmente intrigante.
Proposición 7.5. Si q > 2 y 0 < < max(n− l, l)− 2, entonces · q,l
no es una distribución definida positiva y, por lo tanto, Bnq, l 6o In
Prueba. Que 0 < ♥ < n− l− 2 y supongamos lo contrario, que Bnq,l â € € €.
Considere la sección de Bnq,l por el plano dimensional (n − l + 1) η =
Ren Rn−l. Por el teorema 5.12, Bnq, l
xnen + xq,l = (xnq + xq)/q
es una distribución definida positiva en η. Por el segundo texto derivado (véase
[K4, Teorema 4.19]) esto es imposible si 0 < < n− l− 2. A similar
la contradicción se puede obtener si se asume 0 < < l− 2 y considerar
la sección de Bnq,l por el plano (l+1)-dimensional Re1 â € Rl. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La Proposición 7.5 puede probarse sin utilizar la segunda derivada
texto y Teorema 5.12 sobre las secciones de los cuerpos de intersección; véase [R4].
Los límites para ♥ parecen ser los mismos.
Problema abierto. Dejar q > 2, l > 1. Es Bnq,l un cuerpo de intersección si
max(n− l, l)− 2 < < n− 3?
Este problema no ocurre en el caso l = 1 como en el ejemplo 6.6.
ÓRGANOS DE INTERSECCIÓN 35
8. El coseno generalizado se transforma y la comparación de
volúmenes
Para 1 < i < n, deje que voli(·) denote la función de volumen i-dimensional.
Supongamos que i es fijo, y dejar A y B ser O.S. cuerpos convexos en Rn
Satisfacción
(8.1) voli(A) ≤ voli(B) Gn,i.
¿Es eso lo que sigue?
(8.2) voln(A) ≤ voln(B)?
Esta pregunta se conoce como el problema de Busemann-Petty generalizada
(GBP); véase [G], [RZ], [Z1].
Teorema 8.1. Si el GBP (8.1)-(8.2) tiene una respuesta afirmativa, entonces
cada cuerpo convexo simétrico de origen liso con curvatura positiva en
n es un cuerpo de (n− i)-intersección.
Prueba. Supongamos que B es un O.S. cuerpo convexo en Rn para que el radial
función B es infinitamente suave, el límite de B tiene una curva positiva
y B/o Inn-i. Por la definición 5.4, hay una función de (Sn−1),
que es negativo en algunos conjuntos simétricos de origen abierto
de tal manera que n−iB = M
1+i−n/23370/. Elegimos una función h • De(Sn−1) así que
que la letra h) se sustituye por el texto siguiente: Definir un O.S.
cuerpo liso A por.iA =.i
B − M1 −ih, > 0. Si el pequeño es lo suficientemente pequeño,
Entonces A es convexa. Desde antes de (3.12), RiM
1-ih = cR0n−i,h ≥ 0, entonces
A ≤ Ri.i.B, que da (8.1). Por otra parte, por (3.5),
(ln-iB, l
B −?iA) =?(M1+i−n?,M1−ih) =?(?, h) < 0,
o (ln-iB, l
B) < (l)
B,
A). Por la desigualdad de Hölder, esto implica voln(B) <
voln(A), que contradice (8.2). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 8.2. Como señalamos en Introducción, el Teorema 8.1 no es nuevo, y
su prueba dada en [K3] se basa en una secuencia de hechos profundos
análisis. La prueba presentada arriba es mucho más elemental y
constructivo. Por ejemplo, nos permite mantener las propiedades de invarianza de
los cuerpos bajo control. Esta ventaja se utilizó esencialmente en nuestro
papel [R4].
El teorema 8.1 y la Proposición 7.5 implican lo siguiente:
Corollary 8.3. Dejar 1 ≤ l ≤ n/2; i > l+2, B = Bn4, l (véase (7.1)). Entonces
Hay un o.s suave. cuerpo convexo A en Rn para que (8.1) mantenga pero (8.2)
falla.
36 BORIS RUBIN
Ajustando l = 1 en esta declaración, obtenemos el conocido Bourgain-
Zhang teorema, que afirma que GBP tiene una respuesta negativa cuando
3 < i < n; véase [BZ], [K4], [RZ] sobre este tema. Para i = 2 e i = 3
(n ≥ 5) el GBP sigue abierto. Respuesta afirmativa en estos casos
se obtuvo en [R4] para los cuerpos que tienen una cierta simetría adicional.
9. Apéndice
Cada distribución positiva F + S ′(Rn) es dada por un no-temperado
medida negativa μ, es decir, F, =
(x)dμ(x); véase, por ejemplo, [GV, p.147]).
Para comodidad del lector, presentamos un hecho similar para la esfera.
Teorema 9.1. Una distribución f • D′(Sn−1) es positiva si y sólo si
existe una medida μ • M+(Sn−1) tal que
(f, ) =
D(Sn−1).
Prueba. Esta afirmación es conocida, sin embargo, no pudimos encontrar precisa ref-
erence y decidió dar una prueba de la conveniencia del lector. Los
La parte “si” es obvia. Para probar la parte de “solo si”, escribimos un test func-
• D(Sn−1) como suma • • • 1+i • 2, donde • 1 = Re, • 2 = Im.
Desde C(Sn−1) ≤ Łj ≤ C(Sn−1), j = 1, 2, y f es positivo, entonces
−(f, 1) C(Sn−1) ≤ (f, Łj) ≤ (f, 1) C(Sn−1),
y, por lo tanto, (f, l) ≤ (f, l) (f, l) ≤ 2(f, 1) C(Sn−1). Desde
D(Sn−1) es denso en C(Sn−1), luego f se extiende como un continuo lineal
funcional en C(Sn−1) y, por el teorema de Riesz, hay un mea-
seguro μ en Sn−1 de tal manera que (f
Para cada uno de ellos: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
C(Sn−1). En particular, (f, ) = (f, ) =
Para cada una de las categorías siguientes:
D(Sn−1). Al tener en cuenta que cada función no negativa
C(Sn−1) se puede aproximar uniformemente por funciones no negativas
D(Sn−1) (por ejemplo, por las integrales de Poisson de
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa.
(f, Łk) ≥ 0.
Esto último significa que μ no es negativo. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Luisiana, Baton Rouge,
LA, 70803 USA
Dirección de correo electrónico: borisr@math.lsu.edu
|
704.0062 | On-line Viterbi Algorithm and Its Relationship to Random Walks | arXiv:0704.0062v1 [cs.DS] 31 Mar 2007
Algoritmo Viterbi en línea y su relación con las caminatas aleatorias
Rastislav Šrámek1, Broňa Brejová2, y Tomáš Vinař2
1 Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad Comenius,
842 48 Bratislava, Eslovaquia, correo electrónico: rasto@ksp.sk
2 Departamento de Estadística Biológica y Biología Computacional, Universidad de Cornell,
Ítaca, NY 14853, EE.UU., correo electrónico: {bb248,tv35''cornell.edu
Resumen. En este artículo, presentamos el algoritmo Viterbi en línea para decodificar Markov oculto
modelos (HMMs) en mucho menor espacio que lineal. Nuestro análisis sobre los HMM de dos estados sugiere que
memoria máxima esperada utilizada para decodificar secuencia de longitud n con estado m HMM puede ser tan bajo
como Ł(m log n), sin una desaceleración significativa en comparación con el algoritmo clásico de Viterbi. Clásico
El algoritmo Viterbi requiere O(mn) espacio, que es poco práctico para el análisis de secuencias de ADN largas (como
como cromosomas genoma humanos completos) y para flujos de datos continuos. También experimentalmente
demostrar el rendimiento del algoritmo Viterbi en línea en un HMM simple para el hallazgo de genes en
secuencias de ADN simuladas y reales.
Palabras clave: modelos ocultos de Markov, algoritmos en línea, algoritmo Viterbi, búsqueda de genes
1 Introducción
Los modelos Markov ocultos (HMMs) son modelos probabilísticos generativos que han tenido éxito
utilizados para la anotación de datos secuenciales, tales como secuencias de ADN y proteínas, textos de languaje natural,
y secuencias de observaciones o mediciones. Sus numerosas aplicaciones incluyen la búsqueda de genes
[1], predicción de la estructura secundaria de proteínas [2] y reconocimiento del habla [3]. El tiempo lineal Viterbi
algoritmo [4] es el algoritmo más utilizado para estas tareas. Desafortunadamente, el espacio requerido
por el algoritmo Viterbi crece linealmente con la longitud de la secuencia (con un alto factor constante),
que lo hace inadecuado para el análisis de secuencias continuas o muy largas. Por ejemplo, ADN
secuencia de un solo cromosoma puede ser cientos de megabases de largo. En este documento, abordamos este tema.
problema al proponer un algoritmo Viterbi en línea que, en promedio, requiere mucho menos memoria y
que puede anotar flujos continuos de datos en línea sin leer la secuencia de entrada completa
Primero.
Un HMM, compuesto por estados y transiciones, es un modelo probabilístico que genera secuencias
sobre un alfabeto dado. En cada paso de este proceso generativo, el estado actual genera un símbolo
de la secuencia según las probabilidades de emisión asociadas a ese estado. Entonces, un extrovertido
transición se elige al azar de acuerdo con la tabla de probabilidad de transición, y esta transición es
seguido al nuevo estado. Este proceso se repite hasta que se genera toda la secuencia.
Los estados en el HMM representan características distintas de las secuencias observadas (como la proteína
secuencias de codificación y no codificación en un genoma), y las probabilidades de emisión en cada estado representan
propiedades estadísticas de estas características. El HMM define así una probabilidad conjunta Pr(X,S) sobre todo
posibles secuencias X y todas las rutas de estado S a través del HMM que podrían generar estas secuencias.
Para anotar una secuencia X dada, queremos recuperar la ruta de estado S que maximiza esta articulación
probabilidad. Por ejemplo, en un HMM con un estado para secuencias de codificación de proteínas, y un estado
para secuencias no codificadas, la ruta de estado más probable marca cada símbolo de la secuencia de entrada
X como codificación de proteínas o no codificación.
http://arxiv.org/abs/0704.0062v1
Para calcular la ruta de estado más probable, utilizamos el algoritmo de programación dinámica Viterbi
[4]. Para cada prefijo X1. .. Xi de la secuencia X dada y para cada estado j, calculamos más
ruta de estado probable que genera este prefijo que termina en el estado j. Almacenamos la probabilidad de esta ruta
en el cuadro P (i, j) y su segundo último estado en el cuadro B (i, j). Estos valores se pueden calcular de izquierda a
derecha, utilizando la recurrencia P (i, j) = maxk{P (i-1, k) · tk(j) · ej(Xi)}, donde tk(j) es la transición
probabilidad de estado k a estado j, y ej(Xi) es la probabilidad de emisión del símbolo i-th
de X en el estado j. El puntero B(i, j) es el valor de k que maximiza P (i, j). Después de la computación
estos valores, podemos recuperar la ruta de estado más probable S = s1,. ..............................................................
como sn = argmaxk{P (n, k)}, y luego siguiendo los punteros traseros B(i, j) de derecha a izquierda (es decir,
si = B(i + 1, si+1)). Para un HMM con m estados y una secuencia X de longitud n, el tiempo de ejecución
del algoritmo de Viterbi es (nm2), y el espacio es (nm).
Este algoritmo es muy adecuado para secuencias y modelos de tamaño moderado. Sin embargo, para anotar
todos los 250 millones de símbolos del cromosoma humano 1 con un gen que encuentra HMM que consiste en cien
estados, necesitaríamos 25 GB de memoria sólo para almacenar los punteros traseros B(i, j). Esto está claro.
poco práctico en la mayoría de las plataformas computacionales.
En la práctica se utilizan varias soluciones para superar este problema. Por ejemplo, la mayoría de las prácticas
Los programas de búsqueda de genes solo procesan secuencias de tamaño limitado. La secuencia de entrada larga se divide en
varias secuencias más cortas que se procesan por separado. Después, los resultados se fusionan y
los conflictos se resuelven heurísticamente. Este enfoque conduce a soluciones subóptimas, especialmente si la
genes que estamos buscando cruzan los límites de la división.
Grice et al. [5] propuso un algoritmo práctico de control que cambia el tiempo de funcionamiento por el espacio.
Dividimos la secuencia de entrada en bloques K de símbolos L, y durante el paso hacia adelante, sólo
mantener la primera columna de cada bloque. Para obtener el camino más probable del estado, recomputamos el último
bloque de columnas L, y utilizar punteros hacia atrás para recuperar los últimos estados L de la ruta más probable, como
así como el último estado del bloque anterior. La información sobre este último estado ahora se puede utilizar para
recomputar la ruta de estado más probable dentro del bloque anterior de la misma manera, y el proceso
se repite para todos los bloques. Puesto que cada valor de P (i, j) se calculará dos veces, esto significa dos veces
ralentización en comparación con el algoritmo Viterbi, pero si establecemos K = L =
n, este algoritmo sólo
requires فارسى(
nm) memoria. Los puntos de control se pueden generalizar aún más para el comercio L-doblar la desaceleración para
memoria de la( L
nm) [6, 7].
En este trabajo, proponemos y analizamos un algoritmo Viterbi en línea que no utiliza fijo
cantidad de memoria para una secuencia dada. En su lugar, la cantidad de memoria varía dependiendo de
las propiedades del HMM y la secuencia de entrada. En el peor de los casos, nuestro algoritmo todavía requiere
(nm) memoria; sin embargo, en la práctica los requisitos son mucho más bajos. Demostramos, al demostrar
analogía a caminatas aleatorias y el uso de los resultados de la teoría de valores extremos, que en casos simples
el espacio esperado para una secuencia de longitud n es tan bajo como Ł(m log n). También experimentalmente
demostrar que los requisitos de memoria son bajos para los HMM más complejos.
2 Algoritmo Viterbi en línea
En nuestro algoritmo, representamos la matriz de punteros B en el algoritmo Viterbi por una estructura de árbol
(véase [4]), con nodo (i, j) para cada posición de secuencia i y cada estado j. Padre del nodo (i, j) es el
nodo (i − 1, B(i, j)). En esta estructura de datos, la ruta de estado más probable es una ruta desde la hoja
nodo (n, j) con la mayor probabilidad P (n, j) a la raíz del árbol (ver Figura 1).
Este árbol se construye a medida que el algoritmo Viterbi progresa de izquierda a derecha. Después de la secuencia de procesamiento
posición i, todos los bordes que no se encuentran en una de las rutas que terminan en un nodo de nivel i pueden ser eliminados;
posiciones de secuencia
Fig. 1. Ejemplo de la estructura del árbol del puntero trasero. Las líneas desbaratadas marcan los bordes que no pueden ser parte de la
el camino más probable del estado. El nodo cuadrado marca el punto de coalescencia de los caminos restantes.
estos bordes no se utilizarán en el camino más probable [8]. Los caminos m restantes representan todos
posibles segmentos iniciales de la ruta de estado más probable. Estos caminos no son necesariamente borde
disjoint; de hecho, a menudo todos los caminos comparten el mismo prefijo hasta algún nodo llamado punto de coalescencia
(véase la figura 1).
A la izquierda del punto de coalescencia, sólo hay un candidato para el segmento inicial de la mayoría
El probable camino del estado. Por lo tanto podemos salir de este segmento y eliminar todos los bordes y nodos de la
árbol hasta el punto de coalescencia. Forney [4] describe un algoritmo que después de procesar símbolos D
de la secuencia de entrada comprueba si se ha alcanzado un punto de coalescencia; en tal caso, el
se obtiene el segmento de la ruta de estado más probable. Si el punto de coalescencia no fue alcanzado,
un segmento inicial potencial se elige heurísticamente. Varios estudios [9, 10] sugieren cómo elegir D
limitar el error esperado causado por tales pasos heurísticos en el contexto de los códigos de convolución.
Aquí mostramos cómo detectar la existencia de un punto de coalescencia dinámicamente sin introducir
gastos generales significativos para todo el cálculo. Mantenemos una versión comprimida de la espalda
árbol puntero, donde omitimos todos los nodos internos que tienen menos de dos hijos. Cualquier camino que consista
de tales nodos se contratarán a un solo borde. Este árbol comprimido tiene m hojas y a lo sumo
m− 1 nodo interno. Cada nodo almacena el número de sus hijos y un puntero en su nodo padre.
También mantenemos una lista enlazada de todos los nodos del árbol comprimido ordenados por la posición de secuencia.
Finalmente, también mantenemos la lista de punteros a todas las hojas.
Al procesar la posición de secuencia k-th en el algoritmo Viterbi, actualizamos el comprimido
árbol de la siguiente manera. Primero, creamos una hoja nueva para cada nodo en la posición i, la vinculamos a su padre (uno de
las primeras hojas), e insértela en la lista enlazada. Una vez creadas estas nuevas hojas, eliminamos
todas las primeras hojas que no tienen hijos, y recursivamente todos sus antepasados que no
Tener hijos.
Finalmente, necesitamos comprimir el nuevo árbol: examinamos todos los nodos de la lista enlazada en orden
de la posición decreciente de la secuencia. Si el nodo tiene cero o un hijo y no es una hoja actual,
Simplemente suprímalo. Para cada hoja o nodo que tiene al menos dos hijos, seguimos los enlaces de los padres
hasta que encontremos su primer antepasado (si lo hay) que tenga al menos dos hijos y enlace el nodo actual
directamente a ese antepasado. Un nodo (l, j) que no tiene un antepasado con al menos dos hijos
es el punto de coalescencia; se convertirá en una nueva raíz. Podemos obtener la ruta de estado más probable
para todas las posiciones de secuencia hasta l, y eliminar todos los resultados de cálculo para estas posiciones de
memoria.
El tiempo de ejecución de esta actualización es O(m) por posición de secuencia, y la representación de la
árbol comprimido toma O(m) espacio. Así, el tiempo de ejecución asintótico del algoritmo de Viterbi es
no aumentada por el mantenimiento del árbol comprimido. Además, hemos puesto en práctica ambas medidas.
el algoritmo Viterbi estándar y nuestra nueva extensión en línea, y las mediciones de tiempo sugieren
que los gastos generales necesarios para las actualizaciones del árbol comprimido sean inferiores al 5%.
El peor espacio requerido por este algoritmo sigue siendo O (nm). Sin embargo, esto rara vez es el caso
para datos realistas; el espacio requerido cambia dinámicamente dependiendo de la entrada. En la siguiente sección,
mostramos que para los HMM simples el espacio máximo esperado requerido para procesar la secuencia de
la longitud n es Ł(m log n). Esto es mucho mejor que los puestos de control, que requieren espacio de •(m)
con un aumento significativo del tiempo de funcionamiento. Conjeturamos que esta tendencia se extiende a más complejos
casos. También presentamos resultados experimentales en un gen que encuentra HMM y secuencias de ADN reales que muestran
que el algoritmo en línea Viterbi conduce a ahorros significativos en la memoria.
Otra ventaja de nuestro algoritmo es que puede construir segmentos iniciales de los más probables
ruta de estado antes de que se lea toda la secuencia de entrada. Esta característica lo hace ideal para el procesamiento en línea
de flujos de señal (tales como lecturas de sensores).
3 Requisitos de memoria del algoritmo Viterbi en línea
En esta sección, analizamos los requisitos de memoria del algoritmo Viterbi en línea. La memoria
utilizado por el algoritmo es variable a lo largo de la ejecución del algoritmo, pero de especial interés
son límites asintóticos en la cantidad máxima esperada de memoria utilizada por el algoritmo mientras que
decodificando una secuencia de longitud n.
Usamos la analogía de las caminatas al azar y los resultados en la teoría de valores extremos para argumentar que para una simetría-
ric HMMs de dos estados, la memoria máxima esperada es •(m log n). También realizamos experimentos.
en un HMM para encontrar genes, y secuencias de ADN reales y simuladas.
3.1 MMH de dos estados simétricos
Considere un HMM de dos estados sobre un alfabeto binario como se muestra en la Figura 2a. Por simplicidad, asumimos
t < 1/2 y e < 1/2. Los punteros traseros entre las posiciones de secuencia i e i+1 pueden formar uno de
las configuraciones i–iii que se muestran en la figura 2b. Denota pA = log P (i, A) y pB = logP (i, B), donde
P (i, j) es la tabla de probabilidades del algoritmo Viterbi. La recurrencia utilizada en el Viterbi
algoritmo implica que la configuración i ocurre cuando log t−log(1−t) ≤ pA−pB ≤ log(1−t)−log t,
la configuración ii ocurre cuando pA−pB ≥ log(1−t)−log t, y la configuración iii ocurre cuando pA−pB ≤
log t− log(1− t). Configuración iv nunca ocurre para t < 1/2.
Tenga en cuenta que para un HMM de dos estados, un punto de coalescencia ocurre cada vez que una de las configuraciones
ii o iii ocurren. Por lo tanto, la memoria utilizada por el HMM es proporcional a la longitud de continuo
secuencia de configuraciones i. Llamaremos a tal secuencia de configuraciones una ejecución.
En primer lugar, analizamos la distribución de longitud de las ejecuciones bajo el supuesto de que la secuencia de entrada
X es una secuencia de i.i.d. uniforme. variables aleatorias binarias. En tal caso, representamos la gestión por un
Caminata aleatoria simétrica correspondiente a una variable aleatoria X = pA−pB
log(1−e)−log e
− (log t− log(1− t)).
Cuando esta variable está dentro del intervalo (0,K), donde K =
log(1−t)−log(t)
log(1−e)−log(e)
, la configuración
i ocurre, y la cantidad pA−pB se actualiza por log(1−e)−log e, si el símbolo en el correspondiente
la posición de la secuencia es 0, o log e− log(1− e), si este símbolo es 1. Estos cambios corresponden a la actualización
el valor de X por +1 o −1.
Cuando X alcanza 0, tenemos un punto de coalescencia en configuración iii, y el pA-pB se inicializa
log t− log(1 − t) ± (log e − log 1 − e), que significa inicialización de X a +1, u otro
0: 1−e
1−t 1−t
1: 1−e
configuración i:
configuración ii:
configuración iii: configuración iv:
a) b)
Fig. 2. a) HMM de dos estados simétricos con dos parámetros: e para las probabilidades de emisión y t para las transiciones
Probabilidades. b) Posibles configuraciones de back-point para el HMM de dos estados.
punto de coalescencia, dependiendo del símbolo en la posición de secuencia correspondiente. El otro caso,
cuando X alcanza K y tenemos un punto de coalescencia en configuración ii, es simétrico.
Ahora podemos aplicar los resultados clásicos de la teoría de las caminatas aleatorias (véase [11, cap.14.3,14.5])
para analizar la duración esperada de las carreras.
Lemma 1. Suponiendo que la secuencia de entrada es uniformemente i.i.d., la longitud esperada de una carrera de un
HMM simétrico de dos estados es K − 1.
Por lo tanto, cuanto más grande es K, más memoria se requiere para decodificar el HMM. El peor caso es
lograda a medida que se aproxima a 1/2. En tal caso, los dos estados son indistinguibles y están en el estado
A es equivalente a estar en el estado B. Utilizando la teoría de las caminatas aleatorias, también podemos caracterizar la
distribución de la longitud de las carreras.
Lemma 2. Que Rl sea el evento de que la longitud de una carrera de un HMM simétrico de dos estados es o bien
2l + 1 o 2l + 2. Entonces, asumiendo que la secuencia de entrada es uniformemente i.i.d., para algunas constantes
b, c > 0:
b · cos2l η
≤ Pr(Rl) ≤ c · cos2l
Prueba. Para una caminata aleatoria simétrica en el intervalo (0,K) con barreras absorbentes y con arranque
punto z, la probabilidad de evento Wz, n que esta caminata aleatoria termina en punto 0 después de n pasos es cero,
si n− z es impar, y la siguiente cantidad, si n− z es uniforme [11, cap.14.5]:
Pr(Wz,n) =
0<v<K/2
cosn−1
Usando la simetría, tenga en cuenta que la probabilidad de que la misma caminata aleatoria termine después de n pasos en la barrera
K es lo mismo que la probabilidad de WK-z,n. Así, si K es impar, podemos decir:
Pr(Rl) = Pr(W1,2l+1) + Pr(WK−1,2l+1)
0<v<K/2
cos2l
+ (−1)v+1 sin
0<v<K/2, v impar
cos2l
Hay a lo sumo K/4 términos en la suma y todos pueden ser delimitados de arriba por cos2l
Por lo tanto, podemos dar ambos límites superior e inferior en Pr(Rl) utilizando sólo el primer término de la suma como
A continuación:
cos2l
≤ Pr(Rl) ≤ cos2l
Del mismo modo, si K es par, podemos decir:
Pr(Rl) = Pr(W1,2l+1) + Pr(WK−1,2l+2)
0<v<K/2
cos2l
1 + (−1)v+1 cos
y por lo tanto tenemos un vínculo similar:
1 + cos
cos2l
≤ Pr(Rl) ≤ 2 cos2l
El lema anterior caracteriza la distribución de longitudes de una sola carrera. Sin embargo, para analizar
requisitos de memoria para una secuencia de longitud n, tenemos que considerar máximo en varias carreras
cuya longitud total es n. Problema similar fue estudiado para las carreras de cabezas en una secuencia de n moneda
lanza [12, 13]. Para los lanzamientos de moneda, la distribución de longitud de las tiradas es geométrica, mientras que en nuestro caso la
las carreras sólo están delimitadas por funciones geométricamente decadentes. Sin embargo, podemos demostrar que la esperada
longitud de la carrera más larga crece logarítmicamente con la longitud de la secuencia, como es el caso de
la moneda lanza.
Lemma 3. Vamos X1,X2,. .. ser una secuencia de i.i.d. variables aleatorias extraídas de una geometría
distribución en descomposición sobre números enteros positivos, es decir, existen constantes a, b, c, a (0, 1), 0 < b ≤ c,
Tal que para todos los enteros k ≥ 1, bak ≤ Pr(Xi > k) ≤ cak.
Que Nn sea el índice más grande de tal manera que
i=1...Nn
Xi ≤ n, y dejar que Yn sea max{X1,X2,. ........................................................................
i=1Xi}. Entonces
E[Yn] = log1/a n+ o(log n) (7)
Prueba. Que Zn = maxi=1...nXn sea el máximo de las primeras n corridas. Claramente, Pr(Zn ≤ k) = Pr(Xi ≤
k)n, y por lo tanto (1− cak)n ≤ Pr(Zn ≤ k) ≤ (1− bak)n para todos los enteros k ≥ log1/a(c).
Límite inferior: Deje tn = log1/a n−
lnn. Si Yn ≤ tn, necesitamos al menos n/tn corre para alcanzar la suma n,
i.e. Nn ≥ n/tn − 1 (descuento de la última ejecución incompleta). Por lo tanto
Pr(Yn ≤ tn) ≤ Pr(Z n
−1 ≤ tn) ≤ (1− batn)
= (1− batn)a
−tnatn ( n
Desde limn® a
tn(n/tn−1) = فارسى y limx→0(1− bx)1/x = e−b, obtenemos limnÃ3Pr(Yn ≤ tn) = 0.
Tenga en cuenta que E[Yn] ≥ tn(1− Pr(Yn ≤ tn)), y así obtenemos el límite deseado.
Límite superior: claramente, Yn ≤ Zn y así E[Yn] ≤ E[Zn]. Que Z ′n sea el máximo de n i.i.d. geométrico
variables aleatorias X ′1,. ..,X
n tal que Pr(X
i ≤ k) = 1− ak.
Compararemos E[Zn] con el valor esperado de la variable Z
n. Sin pérdida de generalidad, c ≥ 1.
Para cualquier x real ≥ log1/a(c) + 1 tenemos:
Pr(Zn ≤ x) ≥ (1− cax®)n
1− axlog1/a(c)
1 - ax-log1/a(c)−1
= Pr(Z ′n ≤ x− log1/a(c)− 1)
= Pr(Z ′n + log1/a(c) + 1 ≤ x)
Esta desigualdad se mantiene incluso para x < log1/a(c) + 1, ya que el lado derecho es cero en tal caso.
Por tanto, E[Zn] ≤ E[Z ′n+log1/a(c)+1] = E[Z ′n]+O(1). El valor esperado de Z ′n es log1/a(n)+o(log n)
[14], lo que demuestra nuestra reclamación. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Utilizando los resultados de Lemma 3 junto con la caracterización de las distribuciones de longitud de ejecución por
Lemma 2, podemos concluir que para los HMM simétricos de dos estados, la memoria máxima esperada
necesario para procesar un i.i.d. uniforme. la secuencia de entrada de la longitud n es (1/ ln(1/ cos(/K)))·ln n+o(log n).
3 Usando la expansión Taylor del término constante a medida que K crece hasta el infinito, 1/ ln(1/ cos(/K)) =
2K2/η2 +O(1), obtenemos que la memoria máxima crece aproximadamente como (2K2/η2) lnn.
La unión asintótica (log n) se puede extender fácilmente a las secuencias que son generadas por
el HMM simétrico, en lugar de i.i.d. uniforme. El proceso subyacente puede describirse como aleatorio
caminar con aproximadamente 2K estados en dos (0,K) líneas, cada línea correspondiente a símbolos de secuencia
generado por uno de los dos estados. La distribución de longitudes de carrera sigue decayendo geométricamente como
requerido por Lemma 3; la base del exponente es el mayor valor propio de la matriz de transición
con estados absorbentes omitidos (véase, por ejemplo, [15, Reclamación 2]).
La situación es más complicada en el caso de los HMM de dos estados no simétricos. Aquí, nuestro
caminatas aleatorias proceden en pasos que son números reales arbitrarios, diferentes en cada dirección. Lo somos.
no conscientes de los resultados que nos ayudarían a analizar directamente las distribuciones de carreras en estos modelos,
Sin embargo, conjeturamos que el tamaño de la carrera más larga sigue siendo فارسى(log n). Tal vez, para obtener límites
en la distribución de la longitud de las carreras, se puede aproximar el comportamiento de tal aleatorio no discreto
camina por un modelo diferente (por ejemplo, [16, cap.7]).
3.2 MMH multiestatales
Nuestra técnica de análisis no se puede extender fácilmente a los HMMs con muchos estados. En los HMM de dos estados,
cada nuevo evento de coalescencia limpia la memoria, y por lo tanto la ejecución del algoritmo puede ser
divididos en carreras más o menos independientes. Un evento carbonescente en un HMM multi-estado resulta en un
árbol no trivial dejado en memoria, a veces con una profundidad sustancial. Por lo tanto, los tamaños de consecutiva
las tiradas ya no son independientes (véase la figura 3a).
3 Omitimos la primera ejecución, que tiene un punto de partida diferente y por lo tanto no sigue la distribución esbozada en
Lemma 2. Sin embargo, la duración esperada de esta ejecución no depende de n y, por lo tanto, contribuye sólo a un orden inferior
término. También omitimos las carreras de longitud una que comienzan fuera del intervalo (0,K); estas carreras contribuyen de nuevo
sólo a los términos de orden inferior del límite inferior.
15,2M 15,3M 15,4M 15,5M
Sección del cromosoma 1
0 5M 10M 15M 20M
Longitud de la secuencia
Genoma humano (35)
HMM generado (100)
I.D.A. al azar (35)
Fig. 3. Requisitos de memoria de un gen que encuentra HMM. a) Longitud real de la tabla utilizada en un segmento de la población humana
cromosoma 1. b) Longitud media máxima de la tabla necesaria para prefijos de secuencias de 20 MB.
Para evaluar los requisitos de memoria de nuestro algoritmo para HMMs multi-estado, tenemos im-
Se puso en práctica el algoritmo y se realizaron varios experimentos, tanto simulados como biológicos.
Quences. Primero, generalizamos los HMM simétricos de la sección anterior a múltiples estados.
El HMM simétrico con estados m emite símbolos sobre el alfabeto m-letter, donde cada estado
emite un símbolo con mayor probabilidad que los otros símbolos. Las probabilidades de transición
están equipados, excepto para las autotransiciones. Hemos probado el algoritmo para m ≤ 6 y secuencias
generado tanto por un i.i.d. uniforme. proceso, y por el propio HMM. Los datos observados son consistentes
con el crecimiento logarítmico de la memoria máxima media necesaria para decodificar una secuencia de longitud
n (datos no mostrados).
También hemos evaluado el algoritmo usando un HMM simplificado para encontrar genes con 265 estados.
Las probabilidades de emisión de los estados se definen utilizando como máximo cadenas Markov de 4o orden, y
la estructura del HMM refleja las propiedades conocidas de los genes (similar a la estructura mostrada en
[17]). El MMH fue entrenado en anotaciones RefSeq de cromosomas humanos 1 y 22.
En el hallazgo de genes, segmentamos la secuencia de ADN de entrada en exones (secuencia de codificación de proteínas en-
tervales), intrones (secuencia no codificante que separa los exones dentro de un gen) y regiones intergénicas (se-
quence separa los genes). La medida común de la precisión es la sensibilidad del exón (cuántos de los exones reales
tenemos éxito y exactamente predicho). La implementación utilizada aquí tiene sensibilidad al exon 37%
sobre el conjunto de pruebas de genes por Guigo et al. [18]. Un buscador de genes realista, como ExonHunter [19], entrenado
en el mismo conjunto de datos alcanza una sensibilidad del 53%. Esta diferencia se debe a las características adicionales que
no se implementan en nuestra prueba, a saber, niveles de contenido GC, distribuciones de longitud no geométrica, y
sofisticados modelos de señales.
Hemos probado el algoritmo en secuencias de 20 MB de largo: regiones del genoma humano,
secuencias simuladas generadas por el HMM, e i.i.d. secuencias. Regiones del genoma humano
han sido elegidos del conjunto hg18 para que no contengan huecos de secuenciación. La distribución para
el i.i.d. las secuencias reflejan la distribución de las bases en el cromosoma humano 1.
Los resultados se muestran en la Figura 3b. La longitud máxima media de la tabla en varios
las muestras parecen crecer más rápido que logarítmicamente con la longitud de la secuencia, aunque
parece estar limitada por una función polilogarítmica. No está claro si el crecimiento más rápido es un
artefacto que desaparecería con secuencias más largas o mayor número de muestras.
El HMM para el hallazgo de genes tiene una estructura especial, con tres copias del estado para los intrones
que tienen las mismas probabilidades de emisión y la misma probabilidad de autotransición. En dos estados
HMM simétricos, probabilidades de emisión similares de los dos estados conducen a un aumento de la longitud de
carreras individuales. Los estados de Intron de un descubridor de genes son un ejemplo extremo de este fenómeno.
Sin embargo, en promedio una tabla de longitud de aproximadamente 100.000 es suficiente para procesar secuencias
de longitud 20 MB, que es una mejora de 200 veces en comparación con el algoritmo trivial Viterbi. In
Además, la longitud del cuadro no excedió de 222.000 en ninguno de los segmentos humanos de 20 MB. As
podemos ver en la Figura 3a, la mayor parte del tiempo el programa mantiene sólo una tabla relativamente corta; el promedio
La longitud de los segmentos humanos es de 11.000. La baja longitud media puede ser de una ventaja significativa
si múltiples procesos comparten la misma memoria.
4 Conclusión
En este artículo, introdujimos el algoritmo Viterbi en línea. Nuestro algoritmo se basa en una detec-
de los puntos de coalescencia en los árboles que representan los caminos del estado bajo consideración de la dinámica
algoritmo de programación. El algoritmo requiere espacio variable que depende del HMM y
sobre las propiedades locales de la secuencia analizada. Para los HMM simétricos de dos estados, hemos mostrado
que la memoria máxima esperada utilizada para el análisis de la secuencia de longitud n es aproximadamente
sólo (2K2/η2) n n. Nuestros experimentos sobre datos simulados y reales sugieren que la asintótica
también se extienden a HMMs multi-estatales, y de hecho, durante la mayor parte del tiempo a lo largo de
la ejecución del algoritmo, mucho menos memoria se utiliza.
Otra ventaja de nuestro algoritmo es que se puede utilizar para el procesamiento en línea de streamed
secuencias; todos los algoritmos anteriores que están garantizados para producir la ruta de estado óptima requieren
toda la secuencia a leer antes de que se pueda iniciar la salida.
Todavía hay muchos problemas abiertos. Sólo hemos sido capaces de analizar el algoritmo para dos-
estados HMM, aunque las tendencias predichas por nuestro análisis parecen generalizarse incluso a casos más complejos.
¿Se puede extender nuestro análisis a HMMs multi-estatales? Al parecer, el diseño de la HMM afecta a la
memoria necesaria para el algoritmo de decodificación; por ejemplo, presencia de estados con emisiones similares
las probabilidades tienden a aumentar los requisitos de memoria. ¿Es posible caracterizar HMMs que
requiere grandes cantidades de memoria para decodificar? ¿Podemos caracterizar los estados que son propensos a servir
¿Como puntos de coalescencia?
Agradecimientos: Los autores agradecen a Richard Durrett por sus útiles discusiones. Últimamente,
han descubierto que el trabajo paralelo sobre este problema también es realizado por otro grupo de investigación [20].
El enfoque de su trabajo está en la implementación de un algoritmo similar a nuestro algoritmo Viterbi en línea
en su buscador de genes, y posibles aplicaciones a la paralelización, mientras que nos centramos en la esperada
análisis espacial.
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| En este artículo, presentamos el algoritmo Viterbi en línea para la decodificación oculta
Modelos Markov (HMMs) en mucho menor espacio que lineal. Nuestro análisis sobre
Los HMM de dos estados sugieren que la memoria máxima esperada utilizada para decodificar
secuencia de longitud $n$ con $m$-estado HMM puede ser tan bajo como $\Theta(m\log n)$,
sin una desaceleración significativa en comparación con el algoritmo clásico de Viterbi.
El algoritmo clásico Viterbi requiere $O(mn)$ espacio, que es poco práctico para
análisis de secuencias de ADN largas (como cromosomas genoma humanos completos) y
para flujos de datos continuos. También demostramos experimentalmente el rendimiento
del algoritmo Viterbi en línea en un HMM simple para el hallazgo de genes en ambos
secuencias de ADN simuladas y reales.
| Introducción
Los modelos Markov ocultos (HMMs) son modelos probabilísticos generativos que han tenido éxito
utilizados para la anotación de datos secuenciales, tales como secuencias de ADN y proteínas, textos de languaje natural,
y secuencias de observaciones o mediciones. Sus numerosas aplicaciones incluyen la búsqueda de genes
[1], predicción de la estructura secundaria de proteínas [2] y reconocimiento del habla [3]. El tiempo lineal Viterbi
algoritmo [4] es el algoritmo más utilizado para estas tareas. Desafortunadamente, el espacio requerido
por el algoritmo Viterbi crece linealmente con la longitud de la secuencia (con un alto factor constante),
que lo hace inadecuado para el análisis de secuencias continuas o muy largas. Por ejemplo, ADN
secuencia de un solo cromosoma puede ser cientos de megabases de largo. En este documento, abordamos este tema.
problema al proponer un algoritmo Viterbi en línea que, en promedio, requiere mucho menos memoria y
que puede anotar flujos continuos de datos en línea sin leer la secuencia de entrada completa
Primero.
Un HMM, compuesto por estados y transiciones, es un modelo probabilístico que genera secuencias
sobre un alfabeto dado. En cada paso de este proceso generativo, el estado actual genera un símbolo
de la secuencia según las probabilidades de emisión asociadas a ese estado. Entonces, un extrovertido
transición se elige al azar de acuerdo con la tabla de probabilidad de transición, y esta transición es
seguido al nuevo estado. Este proceso se repite hasta que se genera toda la secuencia.
Los estados en el HMM representan características distintas de las secuencias observadas (como la proteína
secuencias de codificación y no codificación en un genoma), y las probabilidades de emisión en cada estado representan
propiedades estadísticas de estas características. El HMM define así una probabilidad conjunta Pr(X,S) sobre todo
posibles secuencias X y todas las rutas de estado S a través del HMM que podrían generar estas secuencias.
Para anotar una secuencia X dada, queremos recuperar la ruta de estado S que maximiza esta articulación
probabilidad. Por ejemplo, en un HMM con un estado para secuencias de codificación de proteínas, y un estado
para secuencias no codificadas, la ruta de estado más probable marca cada símbolo de la secuencia de entrada
X como codificación de proteínas o no codificación.
http://arxiv.org/abs/0704.0062v1
Para calcular la ruta de estado más probable, utilizamos el algoritmo de programación dinámica Viterbi
[4]. Para cada prefijo X1. .. Xi de la secuencia X dada y para cada estado j, calculamos más
ruta de estado probable que genera este prefijo que termina en el estado j. Almacenamos la probabilidad de esta ruta
en el cuadro P (i, j) y su segundo último estado en el cuadro B (i, j). Estos valores se pueden calcular de izquierda a
derecha, utilizando la recurrencia P (i, j) = maxk{P (i-1, k) · tk(j) · ej(Xi)}, donde tk(j) es la transición
probabilidad de estado k a estado j, y ej(Xi) es la probabilidad de emisión del símbolo i-th
de X en el estado j. El puntero B(i, j) es el valor de k que maximiza P (i, j). Después de la computación
estos valores, podemos recuperar la ruta de estado más probable S = s1,. ..............................................................
como sn = argmaxk{P (n, k)}, y luego siguiendo los punteros traseros B(i, j) de derecha a izquierda (es decir,
si = B(i + 1, si+1)). Para un HMM con m estados y una secuencia X de longitud n, el tiempo de ejecución
del algoritmo de Viterbi es (nm2), y el espacio es (nm).
Este algoritmo es muy adecuado para secuencias y modelos de tamaño moderado. Sin embargo, para anotar
todos los 250 millones de símbolos del cromosoma humano 1 con un gen que encuentra HMM que consiste en cien
estados, necesitaríamos 25 GB de memoria sólo para almacenar los punteros traseros B(i, j). Esto está claro.
poco práctico en la mayoría de las plataformas computacionales.
En la práctica se utilizan varias soluciones para superar este problema. Por ejemplo, la mayoría de las prácticas
Los programas de búsqueda de genes solo procesan secuencias de tamaño limitado. La secuencia de entrada larga se divide en
varias secuencias más cortas que se procesan por separado. Después, los resultados se fusionan y
los conflictos se resuelven heurísticamente. Este enfoque conduce a soluciones subóptimas, especialmente si la
genes que estamos buscando cruzan los límites de la división.
Grice et al. [5] propuso un algoritmo práctico de control que cambia el tiempo de funcionamiento por el espacio.
Dividimos la secuencia de entrada en bloques K de símbolos L, y durante el paso hacia adelante, sólo
mantener la primera columna de cada bloque. Para obtener el camino más probable del estado, recomputamos el último
bloque de columnas L, y utilizar punteros hacia atrás para recuperar los últimos estados L de la ruta más probable, como
así como el último estado del bloque anterior. La información sobre este último estado ahora se puede utilizar para
recomputar la ruta de estado más probable dentro del bloque anterior de la misma manera, y el proceso
se repite para todos los bloques. Puesto que cada valor de P (i, j) se calculará dos veces, esto significa dos veces
ralentización en comparación con el algoritmo Viterbi, pero si establecemos K = L =
n, este algoritmo sólo
requires فارسى(
nm) memoria. Los puntos de control se pueden generalizar aún más para el comercio L-doblar la desaceleración para
memoria de la( L
nm) [6, 7].
En este trabajo, proponemos y analizamos un algoritmo Viterbi en línea que no utiliza fijo
cantidad de memoria para una secuencia dada. En su lugar, la cantidad de memoria varía dependiendo de
las propiedades del HMM y la secuencia de entrada. En el peor de los casos, nuestro algoritmo todavía requiere
(nm) memoria; sin embargo, en la práctica los requisitos son mucho más bajos. Demostramos, al demostrar
analogía a caminatas aleatorias y el uso de los resultados de la teoría de valores extremos, que en casos simples
el espacio esperado para una secuencia de longitud n es tan bajo como Ł(m log n). También experimentalmente
demostrar que los requisitos de memoria son bajos para los HMM más complejos.
2 Algoritmo Viterbi en línea
En nuestro algoritmo, representamos la matriz de punteros B en el algoritmo Viterbi por una estructura de árbol
(véase [4]), con nodo (i, j) para cada posición de secuencia i y cada estado j. Padre del nodo (i, j) es el
nodo (i − 1, B(i, j)). En esta estructura de datos, la ruta de estado más probable es una ruta desde la hoja
nodo (n, j) con la mayor probabilidad P (n, j) a la raíz del árbol (ver Figura 1).
Este árbol se construye a medida que el algoritmo Viterbi progresa de izquierda a derecha. Después de la secuencia de procesamiento
posición i, todos los bordes que no se encuentran en una de las rutas que terminan en un nodo de nivel i pueden ser eliminados;
posiciones de secuencia
Fig. 1. Ejemplo de la estructura del árbol del puntero trasero. Las líneas desbaratadas marcan los bordes que no pueden ser parte de la
el camino más probable del estado. El nodo cuadrado marca el punto de coalescencia de los caminos restantes.
estos bordes no se utilizarán en el camino más probable [8]. Los caminos m restantes representan todos
posibles segmentos iniciales de la ruta de estado más probable. Estos caminos no son necesariamente borde
disjoint; de hecho, a menudo todos los caminos comparten el mismo prefijo hasta algún nodo llamado punto de coalescencia
(véase la figura 1).
A la izquierda del punto de coalescencia, sólo hay un candidato para el segmento inicial de la mayoría
El probable camino del estado. Por lo tanto podemos salir de este segmento y eliminar todos los bordes y nodos de la
árbol hasta el punto de coalescencia. Forney [4] describe un algoritmo que después de procesar símbolos D
de la secuencia de entrada comprueba si se ha alcanzado un punto de coalescencia; en tal caso, el
se obtiene el segmento de la ruta de estado más probable. Si el punto de coalescencia no fue alcanzado,
un segmento inicial potencial se elige heurísticamente. Varios estudios [9, 10] sugieren cómo elegir D
limitar el error esperado causado por tales pasos heurísticos en el contexto de los códigos de convolución.
Aquí mostramos cómo detectar la existencia de un punto de coalescencia dinámicamente sin introducir
gastos generales significativos para todo el cálculo. Mantenemos una versión comprimida de la espalda
árbol puntero, donde omitimos todos los nodos internos que tienen menos de dos hijos. Cualquier camino que consista
de tales nodos se contratarán a un solo borde. Este árbol comprimido tiene m hojas y a lo sumo
m− 1 nodo interno. Cada nodo almacena el número de sus hijos y un puntero en su nodo padre.
También mantenemos una lista enlazada de todos los nodos del árbol comprimido ordenados por la posición de secuencia.
Finalmente, también mantenemos la lista de punteros a todas las hojas.
Al procesar la posición de secuencia k-th en el algoritmo Viterbi, actualizamos el comprimido
árbol de la siguiente manera. Primero, creamos una hoja nueva para cada nodo en la posición i, la vinculamos a su padre (uno de
las primeras hojas), e insértela en la lista enlazada. Una vez creadas estas nuevas hojas, eliminamos
todas las primeras hojas que no tienen hijos, y recursivamente todos sus antepasados que no
Tener hijos.
Finalmente, necesitamos comprimir el nuevo árbol: examinamos todos los nodos de la lista enlazada en orden
de la posición decreciente de la secuencia. Si el nodo tiene cero o un hijo y no es una hoja actual,
Simplemente suprímalo. Para cada hoja o nodo que tiene al menos dos hijos, seguimos los enlaces de los padres
hasta que encontremos su primer antepasado (si lo hay) que tenga al menos dos hijos y enlace el nodo actual
directamente a ese antepasado. Un nodo (l, j) que no tiene un antepasado con al menos dos hijos
es el punto de coalescencia; se convertirá en una nueva raíz. Podemos obtener la ruta de estado más probable
para todas las posiciones de secuencia hasta l, y eliminar todos los resultados de cálculo para estas posiciones de
memoria.
El tiempo de ejecución de esta actualización es O(m) por posición de secuencia, y la representación de la
árbol comprimido toma O(m) espacio. Así, el tiempo de ejecución asintótico del algoritmo de Viterbi es
no aumentada por el mantenimiento del árbol comprimido. Además, hemos puesto en práctica ambas medidas.
el algoritmo Viterbi estándar y nuestra nueva extensión en línea, y las mediciones de tiempo sugieren
que los gastos generales necesarios para las actualizaciones del árbol comprimido sean inferiores al 5%.
El peor espacio requerido por este algoritmo sigue siendo O (nm). Sin embargo, esto rara vez es el caso
para datos realistas; el espacio requerido cambia dinámicamente dependiendo de la entrada. En la siguiente sección,
mostramos que para los HMM simples el espacio máximo esperado requerido para procesar la secuencia de
la longitud n es Ł(m log n). Esto es mucho mejor que los puestos de control, que requieren espacio de •(m)
con un aumento significativo del tiempo de funcionamiento. Conjeturamos que esta tendencia se extiende a más complejos
casos. También presentamos resultados experimentales en un gen que encuentra HMM y secuencias de ADN reales que muestran
que el algoritmo en línea Viterbi conduce a ahorros significativos en la memoria.
Otra ventaja de nuestro algoritmo es que puede construir segmentos iniciales de los más probables
ruta de estado antes de que se lea toda la secuencia de entrada. Esta característica lo hace ideal para el procesamiento en línea
de flujos de señal (tales como lecturas de sensores).
3 Requisitos de memoria del algoritmo Viterbi en línea
En esta sección, analizamos los requisitos de memoria del algoritmo Viterbi en línea. La memoria
utilizado por el algoritmo es variable a lo largo de la ejecución del algoritmo, pero de especial interés
son límites asintóticos en la cantidad máxima esperada de memoria utilizada por el algoritmo mientras que
decodificando una secuencia de longitud n.
Usamos la analogía de las caminatas al azar y los resultados en la teoría de valores extremos para argumentar que para una simetría-
ric HMMs de dos estados, la memoria máxima esperada es •(m log n). También realizamos experimentos.
en un HMM para encontrar genes, y secuencias de ADN reales y simuladas.
3.1 MMH de dos estados simétricos
Considere un HMM de dos estados sobre un alfabeto binario como se muestra en la Figura 2a. Por simplicidad, asumimos
t < 1/2 y e < 1/2. Los punteros traseros entre las posiciones de secuencia i e i+1 pueden formar uno de
las configuraciones i–iii que se muestran en la figura 2b. Denota pA = log P (i, A) y pB = logP (i, B), donde
P (i, j) es la tabla de probabilidades del algoritmo Viterbi. La recurrencia utilizada en el Viterbi
algoritmo implica que la configuración i ocurre cuando log t−log(1−t) ≤ pA−pB ≤ log(1−t)−log t,
la configuración ii ocurre cuando pA−pB ≥ log(1−t)−log t, y la configuración iii ocurre cuando pA−pB ≤
log t− log(1− t). Configuración iv nunca ocurre para t < 1/2.
Tenga en cuenta que para un HMM de dos estados, un punto de coalescencia ocurre cada vez que una de las configuraciones
ii o iii ocurren. Por lo tanto, la memoria utilizada por el HMM es proporcional a la longitud de continuo
secuencia de configuraciones i. Llamaremos a tal secuencia de configuraciones una ejecución.
En primer lugar, analizamos la distribución de longitud de las ejecuciones bajo el supuesto de que la secuencia de entrada
X es una secuencia de i.i.d. uniforme. variables aleatorias binarias. En tal caso, representamos la gestión por un
Caminata aleatoria simétrica correspondiente a una variable aleatoria X = pA−pB
log(1−e)−log e
− (log t− log(1− t)).
Cuando esta variable está dentro del intervalo (0,K), donde K =
log(1−t)−log(t)
log(1−e)−log(e)
, la configuración
i ocurre, y la cantidad pA−pB se actualiza por log(1−e)−log e, si el símbolo en el correspondiente
la posición de la secuencia es 0, o log e− log(1− e), si este símbolo es 1. Estos cambios corresponden a la actualización
el valor de X por +1 o −1.
Cuando X alcanza 0, tenemos un punto de coalescencia en configuración iii, y el pA-pB se inicializa
log t− log(1 − t) ± (log e − log 1 − e), que significa inicialización de X a +1, u otro
0: 1−e
1−t 1−t
1: 1−e
configuración i:
configuración ii:
configuración iii: configuración iv:
a) b)
Fig. 2. a) HMM de dos estados simétricos con dos parámetros: e para las probabilidades de emisión y t para las transiciones
Probabilidades. b) Posibles configuraciones de back-point para el HMM de dos estados.
punto de coalescencia, dependiendo del símbolo en la posición de secuencia correspondiente. El otro caso,
cuando X alcanza K y tenemos un punto de coalescencia en configuración ii, es simétrico.
Ahora podemos aplicar los resultados clásicos de la teoría de las caminatas aleatorias (véase [11, cap.14.3,14.5])
para analizar la duración esperada de las carreras.
Lemma 1. Suponiendo que la secuencia de entrada es uniformemente i.i.d., la longitud esperada de una carrera de un
HMM simétrico de dos estados es K − 1.
Por lo tanto, cuanto más grande es K, más memoria se requiere para decodificar el HMM. El peor caso es
lograda a medida que se aproxima a 1/2. En tal caso, los dos estados son indistinguibles y están en el estado
A es equivalente a estar en el estado B. Utilizando la teoría de las caminatas aleatorias, también podemos caracterizar la
distribución de la longitud de las carreras.
Lemma 2. Que Rl sea el evento de que la longitud de una carrera de un HMM simétrico de dos estados es o bien
2l + 1 o 2l + 2. Entonces, asumiendo que la secuencia de entrada es uniformemente i.i.d., para algunas constantes
b, c > 0:
b · cos2l η
≤ Pr(Rl) ≤ c · cos2l
Prueba. Para una caminata aleatoria simétrica en el intervalo (0,K) con barreras absorbentes y con arranque
punto z, la probabilidad de evento Wz, n que esta caminata aleatoria termina en punto 0 después de n pasos es cero,
si n− z es impar, y la siguiente cantidad, si n− z es uniforme [11, cap.14.5]:
Pr(Wz,n) =
0<v<K/2
cosn−1
Usando la simetría, tenga en cuenta que la probabilidad de que la misma caminata aleatoria termine después de n pasos en la barrera
K es lo mismo que la probabilidad de WK-z,n. Así, si K es impar, podemos decir:
Pr(Rl) = Pr(W1,2l+1) + Pr(WK−1,2l+1)
0<v<K/2
cos2l
+ (−1)v+1 sin
0<v<K/2, v impar
cos2l
Hay a lo sumo K/4 términos en la suma y todos pueden ser delimitados de arriba por cos2l
Por lo tanto, podemos dar ambos límites superior e inferior en Pr(Rl) utilizando sólo el primer término de la suma como
A continuación:
cos2l
≤ Pr(Rl) ≤ cos2l
Del mismo modo, si K es par, podemos decir:
Pr(Rl) = Pr(W1,2l+1) + Pr(WK−1,2l+2)
0<v<K/2
cos2l
1 + (−1)v+1 cos
y por lo tanto tenemos un vínculo similar:
1 + cos
cos2l
≤ Pr(Rl) ≤ 2 cos2l
El lema anterior caracteriza la distribución de longitudes de una sola carrera. Sin embargo, para analizar
requisitos de memoria para una secuencia de longitud n, tenemos que considerar máximo en varias carreras
cuya longitud total es n. Problema similar fue estudiado para las carreras de cabezas en una secuencia de n moneda
lanza [12, 13]. Para los lanzamientos de moneda, la distribución de longitud de las tiradas es geométrica, mientras que en nuestro caso la
las carreras sólo están delimitadas por funciones geométricamente decadentes. Sin embargo, podemos demostrar que la esperada
longitud de la carrera más larga crece logarítmicamente con la longitud de la secuencia, como es el caso de
la moneda lanza.
Lemma 3. Vamos X1,X2,. .. ser una secuencia de i.i.d. variables aleatorias extraídas de una geometría
distribución en descomposición sobre números enteros positivos, es decir, existen constantes a, b, c, a (0, 1), 0 < b ≤ c,
Tal que para todos los enteros k ≥ 1, bak ≤ Pr(Xi > k) ≤ cak.
Que Nn sea el índice más grande de tal manera que
i=1...Nn
Xi ≤ n, y dejar que Yn sea max{X1,X2,. ........................................................................
i=1Xi}. Entonces
E[Yn] = log1/a n+ o(log n) (7)
Prueba. Que Zn = maxi=1...nXn sea el máximo de las primeras n corridas. Claramente, Pr(Zn ≤ k) = Pr(Xi ≤
k)n, y por lo tanto (1− cak)n ≤ Pr(Zn ≤ k) ≤ (1− bak)n para todos los enteros k ≥ log1/a(c).
Límite inferior: Deje tn = log1/a n−
lnn. Si Yn ≤ tn, necesitamos al menos n/tn corre para alcanzar la suma n,
i.e. Nn ≥ n/tn − 1 (descuento de la última ejecución incompleta). Por lo tanto
Pr(Yn ≤ tn) ≤ Pr(Z n
−1 ≤ tn) ≤ (1− batn)
= (1− batn)a
−tnatn ( n
Desde limn® a
tn(n/tn−1) = فارسى y limx→0(1− bx)1/x = e−b, obtenemos limnÃ3Pr(Yn ≤ tn) = 0.
Tenga en cuenta que E[Yn] ≥ tn(1− Pr(Yn ≤ tn)), y así obtenemos el límite deseado.
Límite superior: claramente, Yn ≤ Zn y así E[Yn] ≤ E[Zn]. Que Z ′n sea el máximo de n i.i.d. geométrico
variables aleatorias X ′1,. ..,X
n tal que Pr(X
i ≤ k) = 1− ak.
Compararemos E[Zn] con el valor esperado de la variable Z
n. Sin pérdida de generalidad, c ≥ 1.
Para cualquier x real ≥ log1/a(c) + 1 tenemos:
Pr(Zn ≤ x) ≥ (1− cax®)n
1− axlog1/a(c)
1 - ax-log1/a(c)−1
= Pr(Z ′n ≤ x− log1/a(c)− 1)
= Pr(Z ′n + log1/a(c) + 1 ≤ x)
Esta desigualdad se mantiene incluso para x < log1/a(c) + 1, ya que el lado derecho es cero en tal caso.
Por tanto, E[Zn] ≤ E[Z ′n+log1/a(c)+1] = E[Z ′n]+O(1). El valor esperado de Z ′n es log1/a(n)+o(log n)
[14], lo que demuestra nuestra reclamación. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Utilizando los resultados de Lemma 3 junto con la caracterización de las distribuciones de longitud de ejecución por
Lemma 2, podemos concluir que para los HMM simétricos de dos estados, la memoria máxima esperada
necesario para procesar un i.i.d. uniforme. la secuencia de entrada de la longitud n es (1/ ln(1/ cos(/K)))·ln n+o(log n).
3 Usando la expansión Taylor del término constante a medida que K crece hasta el infinito, 1/ ln(1/ cos(/K)) =
2K2/η2 +O(1), obtenemos que la memoria máxima crece aproximadamente como (2K2/η2) lnn.
La unión asintótica (log n) se puede extender fácilmente a las secuencias que son generadas por
el HMM simétrico, en lugar de i.i.d. uniforme. El proceso subyacente puede describirse como aleatorio
caminar con aproximadamente 2K estados en dos (0,K) líneas, cada línea correspondiente a símbolos de secuencia
generado por uno de los dos estados. La distribución de longitudes de carrera sigue decayendo geométricamente como
requerido por Lemma 3; la base del exponente es el mayor valor propio de la matriz de transición
con estados absorbentes omitidos (véase, por ejemplo, [15, Reclamación 2]).
La situación es más complicada en el caso de los HMM de dos estados no simétricos. Aquí, nuestro
caminatas aleatorias proceden en pasos que son números reales arbitrarios, diferentes en cada dirección. Lo somos.
no conscientes de los resultados que nos ayudarían a analizar directamente las distribuciones de carreras en estos modelos,
Sin embargo, conjeturamos que el tamaño de la carrera más larga sigue siendo فارسى(log n). Tal vez, para obtener límites
en la distribución de la longitud de las carreras, se puede aproximar el comportamiento de tal aleatorio no discreto
camina por un modelo diferente (por ejemplo, [16, cap.7]).
3.2 MMH multiestatales
Nuestra técnica de análisis no se puede extender fácilmente a los HMMs con muchos estados. En los HMM de dos estados,
cada nuevo evento de coalescencia limpia la memoria, y por lo tanto la ejecución del algoritmo puede ser
divididos en carreras más o menos independientes. Un evento carbonescente en un HMM multi-estado resulta en un
árbol no trivial dejado en memoria, a veces con una profundidad sustancial. Por lo tanto, los tamaños de consecutiva
las tiradas ya no son independientes (véase la figura 3a).
3 Omitimos la primera ejecución, que tiene un punto de partida diferente y por lo tanto no sigue la distribución esbozada en
Lemma 2. Sin embargo, la duración esperada de esta ejecución no depende de n y, por lo tanto, contribuye sólo a un orden inferior
término. También omitimos las carreras de longitud una que comienzan fuera del intervalo (0,K); estas carreras contribuyen de nuevo
sólo a los términos de orden inferior del límite inferior.
15,2M 15,3M 15,4M 15,5M
Sección del cromosoma 1
0 5M 10M 15M 20M
Longitud de la secuencia
Genoma humano (35)
HMM generado (100)
I.D.A. al azar (35)
Fig. 3. Requisitos de memoria de un gen que encuentra HMM. a) Longitud real de la tabla utilizada en un segmento de la población humana
cromosoma 1. b) Longitud media máxima de la tabla necesaria para prefijos de secuencias de 20 MB.
Para evaluar los requisitos de memoria de nuestro algoritmo para HMMs multi-estado, tenemos im-
Se puso en práctica el algoritmo y se realizaron varios experimentos, tanto simulados como biológicos.
Quences. Primero, generalizamos los HMM simétricos de la sección anterior a múltiples estados.
El HMM simétrico con estados m emite símbolos sobre el alfabeto m-letter, donde cada estado
emite un símbolo con mayor probabilidad que los otros símbolos. Las probabilidades de transición
están equipados, excepto para las autotransiciones. Hemos probado el algoritmo para m ≤ 6 y secuencias
generado tanto por un i.i.d. uniforme. proceso, y por el propio HMM. Los datos observados son consistentes
con el crecimiento logarítmico de la memoria máxima media necesaria para decodificar una secuencia de longitud
n (datos no mostrados).
También hemos evaluado el algoritmo usando un HMM simplificado para encontrar genes con 265 estados.
Las probabilidades de emisión de los estados se definen utilizando como máximo cadenas Markov de 4o orden, y
la estructura del HMM refleja las propiedades conocidas de los genes (similar a la estructura mostrada en
[17]). El MMH fue entrenado en anotaciones RefSeq de cromosomas humanos 1 y 22.
En el hallazgo de genes, segmentamos la secuencia de ADN de entrada en exones (secuencia de codificación de proteínas en-
tervales), intrones (secuencia no codificante que separa los exones dentro de un gen) y regiones intergénicas (se-
quence separa los genes). La medida común de la precisión es la sensibilidad del exón (cuántos de los exones reales
tenemos éxito y exactamente predicho). La implementación utilizada aquí tiene sensibilidad al exon 37%
sobre el conjunto de pruebas de genes por Guigo et al. [18]. Un buscador de genes realista, como ExonHunter [19], entrenado
en el mismo conjunto de datos alcanza una sensibilidad del 53%. Esta diferencia se debe a las características adicionales que
no se implementan en nuestra prueba, a saber, niveles de contenido GC, distribuciones de longitud no geométrica, y
sofisticados modelos de señales.
Hemos probado el algoritmo en secuencias de 20 MB de largo: regiones del genoma humano,
secuencias simuladas generadas por el HMM, e i.i.d. secuencias. Regiones del genoma humano
han sido elegidos del conjunto hg18 para que no contengan huecos de secuenciación. La distribución para
el i.i.d. las secuencias reflejan la distribución de las bases en el cromosoma humano 1.
Los resultados se muestran en la Figura 3b. La longitud máxima media de la tabla en varios
las muestras parecen crecer más rápido que logarítmicamente con la longitud de la secuencia, aunque
parece estar limitada por una función polilogarítmica. No está claro si el crecimiento más rápido es un
artefacto que desaparecería con secuencias más largas o mayor número de muestras.
El HMM para el hallazgo de genes tiene una estructura especial, con tres copias del estado para los intrones
que tienen las mismas probabilidades de emisión y la misma probabilidad de autotransición. En dos estados
HMM simétricos, probabilidades de emisión similares de los dos estados conducen a un aumento de la longitud de
carreras individuales. Los estados de Intron de un descubridor de genes son un ejemplo extremo de este fenómeno.
Sin embargo, en promedio una tabla de longitud de aproximadamente 100.000 es suficiente para procesar secuencias
de longitud 20 MB, que es una mejora de 200 veces en comparación con el algoritmo trivial Viterbi. In
Además, la longitud del cuadro no excedió de 222.000 en ninguno de los segmentos humanos de 20 MB. As
podemos ver en la Figura 3a, la mayor parte del tiempo el programa mantiene sólo una tabla relativamente corta; el promedio
La longitud de los segmentos humanos es de 11.000. La baja longitud media puede ser de una ventaja significativa
si múltiples procesos comparten la misma memoria.
4 Conclusión
En este artículo, introdujimos el algoritmo Viterbi en línea. Nuestro algoritmo se basa en una detec-
de los puntos de coalescencia en los árboles que representan los caminos del estado bajo consideración de la dinámica
algoritmo de programación. El algoritmo requiere espacio variable que depende del HMM y
sobre las propiedades locales de la secuencia analizada. Para los HMM simétricos de dos estados, hemos mostrado
que la memoria máxima esperada utilizada para el análisis de la secuencia de longitud n es aproximadamente
sólo (2K2/η2) n n. Nuestros experimentos sobre datos simulados y reales sugieren que la asintótica
también se extienden a HMMs multi-estatales, y de hecho, durante la mayor parte del tiempo a lo largo de
la ejecución del algoritmo, mucho menos memoria se utiliza.
Otra ventaja de nuestro algoritmo es que se puede utilizar para el procesamiento en línea de streamed
secuencias; todos los algoritmos anteriores que están garantizados para producir la ruta de estado óptima requieren
toda la secuencia a leer antes de que se pueda iniciar la salida.
Todavía hay muchos problemas abiertos. Sólo hemos sido capaces de analizar el algoritmo para dos-
estados HMM, aunque las tendencias predichas por nuestro análisis parecen generalizarse incluso a casos más complejos.
¿Se puede extender nuestro análisis a HMMs multi-estatales? Al parecer, el diseño de la HMM afecta a la
memoria necesaria para el algoritmo de decodificación; por ejemplo, presencia de estados con emisiones similares
las probabilidades tienden a aumentar los requisitos de memoria. ¿Es posible caracterizar HMMs que
requiere grandes cantidades de memoria para decodificar? ¿Podemos caracterizar los estados que son propensos a servir
¿Como puntos de coalescencia?
Agradecimientos: Los autores agradecen a Richard Durrett por sus útiles discusiones. Últimamente,
han descubierto que el trabajo paralelo sobre este problema también es realizado por otro grupo de investigación [20].
El enfoque de su trabajo está en la implementación de un algoritmo similar a nuestro algoritmo Viterbi en línea
en su buscador de genes, y posibles aplicaciones a la paralelización, mientras que nos centramos en la esperada
análisis espacial.
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|
704.0063 | Experimental efforts in search of 76Ge Neutrinoless Double Beta Decay | Esfuerzos experimentales en la búsqueda de
- 1 -
Esfuerzos experimentales en busca de 76Ge Neutrinoless Doble Beta Decaimiento
Somnath Choudhury †
Departamento de Física y Meteorología
Instituto Indio de Tecnología, Kharagpur – 721302, India
Resumen
La doble desintegración beta sin neutrones es uno de los enfoques más sensibles en la física de partículas no aceleradoras para tomar
en un régimen de física más allá del modelo estándar. Este artículo es una breve reseña de los experimentos en búsqueda
de doble decaimiento beta sin neutrones de 76Ge. Después de una breve introducción del proceso de doble decaimiento beta de
76Ge, los resultados de los primeros experimentos IGEX y Heidelberg-Moscú que dan indicaciones de la existencia de
posible modo de desintegración beta doble sin neutrones se ha revisado. A continuación, los esfuerzos en curso para fundamentar las primeras conclusiones son:
En el marco de este proyecto, la Comisión presentó al Consejo una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios, así como una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios, así como una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios y de impuestos sobre el volumen de negocios, así como una propuesta de directiva relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros en materia de impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios, impuestos sobre el volumen de negocios,
Se discute el modo de desintegración.
Palabras clave: sin neutrino, partícula Majorana, discriminación en la forma del pulso.
1. Introducción
El doble decaimiento beta sin neutros es uno de los enfoques más sensibles con grandes perspectivas para probar partículas
física más allá del Modelo Estándar. Hay un inmenso alcance para utilizar 0 decaimiento para limitar las masas de neutrinos,
modelos simétricos izquierda-derecha, interacciones que implican ruptura de paridad-R en el modelo supersimétrico y
escenarios de leptoquark, así como número de lepton efectivo violando acoplamientos. Límites experimentales en decaimiento 0
no sólo son complementarios a los experimentos con aceleradores, sino que, al menos en algunos casos, son competitivos o superiores a
los mejores límites de búsqueda directa existentes. La mejora constante de los límites experimentales en la vida media de 0 puede ser
traducido en límites más estrictos en los parámetros de estos nuevos escenarios de física.
En el proceso de desintegración beta un núcleo inestable decae convirtiendo un neutrón en el núcleo a un protón y
emitiendo un electrón y un anti-neutrino. Para que la desintegración beta sea posible el núcleo final debe tener un
mayor energía de unión que el núcleo original. Para algunos núcleos, como el germanio-76 los núcleos con atómico
número uno más alto tienen una energía de unión más pequeña, evitando la desintegración beta de ocurrir. En el caso de:
Germánico-76 los núcleos con el número atómico dos más alto, Selenio-76 tiene una energía de unión más grande, por lo que el
El proceso de "doble desintegración beta" está permitido. En doble desintegración beta dos neutrones en los núcleos se convierten en protones,
y se emiten dos electrones y dos anti-neutrinos. Es el tipo más raro conocido de desintegración radiactiva; fue
observado para sólo diez isótopos. Para algunos núcleos, el proceso se produce como conversión de dos protones a neutrones, con
emisión de dos neutrinos y absorción de dos electrones orbitales (captura doble de electrones). Si la diferencia de masa
entre los átomos padre e hija es más de 1022 keV (dos masas de electrones), otra rama de la
proceso se hace posible, con la captura de un electrón orbital y la emisión de un positrón. Y, por fin, cuando
la diferencia de masa es más de 2044 keV (cuatro masas de electrones), la tercera rama de la descomposición surge, con
emisión de dos positrones ( decaimiento).
Los procesos descritos anteriormente también se conocen como dos neutrino doble beta decaimiento, como dos neutrinos (o anti-
se emiten neutrinos). Si el neutrino es una partícula Majorana, lo que significa que el anti-neutrino y el neutrino son
En realidad la misma partícula entonces es posible que se produzca doble desintegración beta sin neutrinos. En 0 decaimiento el emitido
neutrino es absorbido inmediatamente (como su anti-partícula) por otro nucleón del núcleo, por lo que la cinética total
energía de los dos electrones sería exactamente la diferencia en la energía de unión entre el estado inicial y final
núcleos.
† Ahora en la Universidad de Indiana – Bloomington, EE.UU.
Experimentos se han llevado a cabo y propuesto para buscar el modo de desintegración 0, como su descubrimiento indicaría
que los neutrinos son de hecho partículas Majorana y permiten un cálculo de la masa de neutrinos. Mientras que el dos-neutrino
modo (1.1) está permitido por el Modelo Estándar de la física de partículas, el modo sin neutrinos (0) (1.2) requiere
violación del número de leptón (L=2). Este modo es posible solamente, si el neutrino es una partícula Majorana, es decir. la
neutrino es su propia antipartícula. El doble decaimiento beta, el proceso de decaimiento nuclear más raro conocido, puede ocurrir en diferentes
modos:
_
2 - decadencia : A(Z,N) → A(Z+2, N-2)+2e +2 / (1.1)
Asunto C-372/89: Comisión/Italia.
2 χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 °C : A(Z,N) → A(Z+2, N-2) + 2 χ 1 °C
2. Doble Decaimiento Beta: Un Proceso Raro
El proceso surge en ciertos casos de núcleos pares-A, donde A es el número de masa y es la suma del número de
protones y neutrones (A = Z + N). Para los núcleos pares-A, la fuerza de emparejamiento fuerte entre nucleones como (neutrones
como ser emparejado con otros neutrones en un núcleo dado, con la misma verdad para los protones), la energía de unión de
núcleos pares (número de protones e incluso neutrones) es mayor que el de núcleos impares (odd)
número de protones y neutrones). Este hecho resulta en dos parábolas separadas sobre una trama de energía de unión, una
Parábola para núcleos pares y uno para núcleos impares. En consecuencia, en ocasiones se encuentra una situación en la que dos
los núcleos pares para una masa dada número A son estables contra la desintegración beta ordinaria. Sin embargo, el núcleo más pesado
no es completamente estable y puede decaer al núcleo más ligero a través de la doble desintegración beta normal, un proceso de segundo orden
por lo que la carga nuclear cambia por dos unidades. El estado de suelo de los núcleos pares es 0+ (paridad positiva)
y la transición nuclear es 0+ 0.
Un tipo particular de enfoque experimental que espera determinar si el neutrino es un Majorana masivo
partícula es la búsqueda de doble desintegración beta sin neutrinos. Este tipo de experimento es quizás el único posible.
método para determinar si el neutrino es una partícula de Majorana o Dirac. Mientras que el doble decaimiento beta sin neutrinos tiene
todavía no se ha descubierto experimentalmente, las búsquedas se han llevado a cabo durante muchos años, con muchos
Hoy. De hecho, la próxima generación de experimentos de doble desintegración beta se está diseñando y desarrollando actualmente
e implica un aumento tremendo en la cantidad de material de origen a estudiar (en el orden de media tonelada o
más). En la doble desintegración beta sin neutros, un antineutrino emitido en el primer vértice se absorbe en el segundo como
- 2 -
visto en la figura de abajo o que un neutrino virtual emitido por un neutrón es absorbido por el segundo neutrón
participar en el doble decaimiento beta.
El modo de dos neutrinos está permitido en el modelo estándar. El modo sin neutrinos sólo puede ocurrir si los neutrinos tienen
masas del tipo Majorana. La tasa de desintegración es proporcional a la masa cuadrada. En otras palabras, la mitad de la vida es
inversamente proporcional a la masa cuadrada. Experimentalmente uno puede distinguir los dos modos. En los dos
modo neutrino los electrones quitan sólo una fracción de la energía Q liberada en la decadencia. La suma de energía
espectro es continuo, extendiéndose de 0 a Q. En el modo sin neutrinos la energía total Q es arrastrada por el
electrones, y el espectro de energía suma es un pico centrado en Q, con un ancho dado por la resolución instrumental.
permitido en el modelo estándar de la física es dada por
(2.1)
el intercambio de los neutrinos Majorana en ausencia de diestro
(2.2)
Tily. La energía nuclear
y en el
La tasa de desintegración para el 2 / § desintegración que es
Tasa de decaimiento del proceso que implica
las corrientes pueden expresarse de la siguiente manera:
2/1 ),()00(
MZEGT =→
[ ] 2
2/1 ),()00( =→
mM
MZEGT F
Los M y MGT F son los elementos de matriz nuclear de Gamow-Teller y Fermi transitions respec
elementos atrix de la transición 00+ Gamow-Teller y Fermi para el modo neutrino dos en teorema débil
la perturbación de segundo orden es dada por
- 3 -
(2
n en
iknnjf 0110
4
y es dado por y el operador de transición Gamow-Teller
respectivamente.
completo conjunto ortonormal de estados intermedios excitados se han introducido denot
eutrino modo de desintegración beta doble se ha expresado en términos de transiciones beta única a través de la introducción de
término estados excitados a través de los cuales se produce la transición del estado 0+ inicial al estado 0+ final.
o el modo sin neutrinos, los elementos de la matriz nuclear resultantes de las transiciones de Fermi y Gamow-Teller son:
(2.6)
(2.7)
aquí, R ro=1.2 fm.
el espacio de fase de leptón, y gV y gA son el vector débil y
constantes de acoplamiento xial-vector respectivamente. El <m es el electrón efectivo neutrino ma. Si la luz
j« pocos MeV) el intercambio es el mecanismo dominante en ambos
número de tonelada
mj) y la mezcla
arámetros (
Este posible coste de construcción. Las siguientes secciones revisan los experimentos
3. Germa iment internacional (IGEX)
es un terreno único para investigar la naturaleza y las propiedades del neutrino. Los
tern. A
(2.4)
donde Δ denota la energía media a
n en
ikknnjjf 0110
y el operador de transición Fermi es dado por.
A d ed by. Por lo tanto, los dos
dado por
(2.5)
La función H depende de la distancia entre los nucleones y aproximadamente tiene la forma
w = ro A
1⁄3, un ser el número de masa y
El Tribunal de Justicia decidió:
neutrino (m para el proceso de 0-decadencia y
las corrientes de neutrino son zurdos, entonces la amplitud 0-decay es proporcional al lep
parámetros de iolación. Esta masa efectiva está relacionada con los valores propios de la masa de neutrino ligero (v
p Uej) y es dado por la relación
(2.8)
La masa efectiva de neutrino de luz <m puede ser suprimida por una interferencia destructiva entre los diferentes
contribuciones en la suma de la ecuación (2.8) si se conserva CP. En este caso, la matriz de mezcla cumple la condición
Uej= Uej*.j, donde j = ±i es la paridad CP del majorana neutrino νj. Así pues, se ha insertado el valor absoluto
por conveniencia, ya que la cantidad dentro de ella es cuadrada en ecuación (2.8) y es compleja si se viola CP.
El experimento ideal 0-decay tiene las siguientes características de sueño: el fondo más bajo posible, el mejor
posible resolución de energía, la mayor masa posible del isótopo padre, la eficiencia de detección cerca del 100% para
eventos válidos, una firma única y el bajo
en tal esfuerzo del isótopo 76Ge.
EXPER de nio
El doble decaimiento Beta nuclear
El modo de desintegración sin neutrinos, si existe, proporcionaría una evidencia inequívoca de la naturaleza majoranana de la
neutrino, su masa no cero, y la no conservación del número de leptón. Después de la implicación de la energía solar y
resultados de oscilación atmosférica de neutrinos que los neutrinos tienen masa no cero, el proceso de doble sin neutrinos
Beta Decay se ha convertido en el lugar más relevante para probar la escala de masa de neutrino y su jerarquía
lograr unos límites de sensibilidad elevados de la masa efectiva de neutrinos de electrones de Majorana derivados de la mitad sin neutrinos
la duración del ciclo de vida más baja requerida para estos nuevos objetivos, requerirá un gran número de núcleos de emisores beta dobles, un
ejj Umm
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
jjkfF ErHM 0),(0
0
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ErHM 0.),(00 kj
2) Fi EEΔ = −
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
jj y
∫ =
}2/){
Fi EEE
sin2 qrqR
- 5 -
de este tipo de búsqueda fue el IGEX. El Germánico Internacional
Xperiment (IGEX) fue una búsqueda para el doble decaimiento beta sin neutrinos de 76Ge empleando grandes cantidades de
En la primera fase del experimento tres detectores de 0,7
(la mayoría de los
sitios. Proporcionó un rechazo de ~ 60 % de los acontecimientos en la región de
Espectro IGEX con y sin el rechazo de fondo PSD.
Los detectores IGEX tenían como objetivo inicial la detección del doble decaimiento beta de 76Ge. A finales de 1999
se hicieron algunas modificaciones para adaptar los detectores a la detección a baja energía donde la señal de WIMPs
(Partículas masivas de interacción débil) es relevante. El blindaje, compartido por tres detectores IGEX (2 kg germanio)
detectores isotópicamente enriquecidos al 86% en 76Ge) y el detector COSME, incluido desde el interior hasta el exterior 40 cm
de plomo, una caja de PVC (silicona sellada y rociada con nitrógeno), 2 mm de cadmio, centelleadores de plástico que trabajan en
anticoincidencia con los detectores Ge y 20 cm de polietileno. El blindaje fue modificado en julio de 2001
incluye sólo un detector de germanio de 2 kg dentro de un blindaje de neutrones más eficiente. Estas técnicas de pasivo
fondo muy bajo y una resolución de energía aguda en la región de valor Q, y métodos eficaces para desenredar
señal del ruido. Un ejemplo típico
Detectores de HPG, enriquecidos isotópicamente al 86% en 76Ge.
kg de volumen activo cada uno fueron operados: uno en la mina de oro Homestake (4000 m.e.p.), otro en el Baksan
Observatorio de Neutrino (660 m.e.p.) y el otro en el laboratorio subterráneo de Canfranc (Laboratorio 2 a 1380
m.w.e.). Se obtuvo un límite más bajo conservador en la semivida sin neutrinos de unos 1024 años.
El International Germanium Experiment (IGEX) tomó datos en el Laboratorio Subterráneo de Canfranc en España en
una profundidad de 2450 m.p.e. en una búsqueda de doble decaimiento beta sin neutrinos. Tres detectores de germanio (RG1, RG2
y RG3), de ~2 kg cada uno, enriquecidos al 86% en 76Ge. Se hicieron esfuerzos para reducir parte de la
fondo discriminándolo de la señal esperada en comparación de la forma de los pulsos (PSD) de ambos
tipos de eventos. El método se aplicó a los datos registrados por dos detectores Ge del IGEX, que
produjo uno de los dos mejores límites de sensibilidad de corriente para el parámetro de masa de neutrino de Majorana. En el segundo
se fabricaron tres grandes detectores (2 kg cada uno) (con mejoras derivadas del análisis de los datos de
Fase 1). Están instalados en el laboratorio subterráneo de Canfranc (Laboratorio 3 a 2450 m.e.p.) dentro de un bajo
blindaje de fondo compuesto de 40 cm de plomo, una caja de PVC (silicona sellada y rociada con nitrógeno), 2 mm de
cadmio, 20 cm de polietileno y un veto activo (cenicillos plásticos). Una discriminación en la forma del pulso (PSD)
técnica capaz de distinguir los eventos de un solo sitio (- eventos de desintegración, por ejemplo) de multisitio ev
los acontecimientos de fondo dominantes) se aplican. Nuevos límites de la semivida sin neutrinos y de la masa de neutrinos
el parámetro se obtuvo así de aquí.
En los detectores Ge intrínsecos grandes, los portadores de carga toman 300 - 500 ns para alcanzar sus respectivos electrodos. Estos
Los tiempos de deriva son lo suficientemente largos para que los pulsos actuales se registren a una velocidad de muestreo suficiente. El pulso actual
contribuciones de electrones y agujeros son corrientes de desplazamiento, y por lo tanto dependen de su instantánea
velocidades y ubicaciones. En consecuencia, los acontecimientos que ocurren en un solo sitio (por ejemplo, eventos de decadencia)
características de pulso de corriente asociadas que reflejan la posición en el cristal donde ocurrió el evento. Más
importante, estos eventos de un solo sitio (SSE) con frecuencia tienen formas de pulso que difieren significativamente de aquellos debido a
los eventos de fondo que producen pares de agujeros electrónicos en varios sitios mediante el proceso de dispersión multi-Compton, para
ejemplo (los llamados eventos multisitio (MSE)). En consecuencia, se utilizó el análisis en forma de pulso para distinguir
entre estos dos tipos de deposiciones de energía ya que los eventos DBD pertenecen a la clase SSE de eventos y
depositar energía en un solo sitio en el detector, mientras que la mayoría de los eventos de fondo pertenecen a la clase MSE de
eventos y depositará energía en varios
interés, aceptando el criterio de que aquellos eventos que tienen más de dos lóbulos no pueden ser debido a evento DBD.
- 6 -
blindaje activo, junto con la extrema pureza de los detectores y sus componentes, permitió un bajo
fondo de energía, así como un umbral lo suficientemente bajo que son únicos en este tipo de detectores. Por lo tanto, muy estricto
límites de contorno para secciones transversales y masas de partículas de materia oscura que interactúan con los núcleos de Ge a través de
interacciones independientes se derivaron de aquí. La necesidad de entender y rechazar los antecedentes en Ge-diode
Detector doble-beta experimentos de desintegración dieron lugar así al desarrollo de la técnica de análisis de la forma del pulso en
tales detectores para distinguir los depósitos de energía de un solo lugar de DBD de los depósitos múltiples. A partir de ahora, el
análisis fue extendido por personas DBD a detectores Ge segmentados para estudiar la eficacia de la combinación
segmentación con análisis de la forma del pulso para identificar la multiplicidad de los depósitos de energía.
Los cálculos de IGEX para un límite inferior a la semivida para el modo sin neutrinos donde había menos de
3.1 eventos candidatos (nivel de confianza del 90%) bajo un pico con FWHM = 4 keV y centrado en 2038,56 keV
corresponde a:
los requisitos para un experimento de próxima generación pueden deducirse fácilmente con referencia a (3.1)
donde N es el número de núcleos padres, t es el tiempo de conteo, y c es el límite superior del número de 0-
El recuento de decaimiento es consistente con el fondo observado. Para mejorar la sensibilidad de ‹m por un factor de 100, el
cantidad Nt/c debe incrementarse en un factor de 104. La cantidad N puede ser aumentada por un factor de ~102
sobre los experimentos actuales, de modo que t/c también debe mejorarse en esa cantidad. Puesto que los tiempos prácticos de conteo pueden
sólo se aumentará en un factor de 2 a 4, el fondo debe reducirse en un factor de 25 a 50 por debajo presente
niveles. Estos son aproximadamente los parámetros objetivo de la próxima generación sin neutrino doble-beta decaimiento
experimentos.
Histograma de los datos del IGEX en la región de energía de interés para el decaimiento. Los límites de la semivida y
También se muestra el parámetro de masa de neutrino.
El Efectivo / Masa: La sección de KKDK sobre la masa efectiva de neutrinos (“Vista Crítica al IGEX sin neutrinos”
experimento de decaimiento ouble-beta...” publicado en Phys. Rev. D, vol. 65 (2002) 092007, por H. V. Klapdor-
Kleingrothaus, A. Dietz e I. V. Krivosheina) comienza con: “A partir de su vida media incorrectamente determinada
limitar los autores afirman una gama de masa efectiva de neutrinos de (0,33-1,35) eV.” En respuesta a la colaboración de IGEX,
salió diciendo que KKDK seleccionó sólo los 52,51 mole·years de los datos de IGEX que habían sido sometidos a PSD
y obtenido T1⁄20 v > 7.1×1024 y utilizando el número máximo de conteos, 3.1, de los 117 mole·años completos de datos
, que es erróneo e injustificado. En otro caso, KKDK también decidió utilizar arbitrariamente todos los datos de IGEX
de la cual obtuvieron un límite de T1⁄20/ > 1,1 × 1025 y para el cual no había
justificación científica para seleccionar sólo los datos corregidos por la PSD, por un lado, e ignorar totalmente los corregidos por la PSD
Por otra parte, los datos. En la conclusión de KKDK dice: "el documento IGEX - aparte de la semivida demasiado alta
los límites presentados, como consecuencia de un error aritmético - es bastante incompleto en su presentación ". En respuesta a
este artículo la colaboración de IGEX publicó el artículo “El experimento IGEX revisitado: una respuesta a la crítica
de Klapdor-Kleingrothaus, Dietz y Krivosheina” donde declararon que no había ningún error aritmético
yryrGe 25
76 1057,1
1087.4
>T 0 ( /2/1 1.3)
).2(n0
2/1 =
- 7 -
y que el análisis de los datos publicados de IGEX presentados en KKDK es ilegítimo. Para obtener una mucho más corta
En la semivida, se analizaron arbitrariamente dos ~ mitades de los datos por separado. En lugar de tener 4.88×1025 y
en el numerador (ln2 N.t) utilizaron 2.2×1025 y. Sin embargo, utilizaron el límite superior del 90% CL en el número de conteos
bajo el pico, obtenido por IGEX a partir de todos los datos. En otro análisis, ignoraron el hecho de que 52.51
mole·years se corrigieron con PSD y se trató el conjunto completo de datos no corregidos. Naturalmente, los límites más bajos de
T1/2o/(76Ge) obtenido por estos procedimientos totalmente injustificados es más corto que el obtenido de
analizar el conjunto completo de datos. En este documento se indica en adelante “el límite inferior citado por IGEX, T1/20/ ≥ 1,57 × 1025
años, es correcto y que no hubo error aritmético como se afirma en el artículo Critical View.”
4. El experimento HEIDELBERG - MOSCOW
El experimento Heidelberg-Moscú en el laboratorio subterráneo Gran Sasso se dice ahora que es el más
Sensible experimento de doble desintegración beta sin neutrinos en todo el mundo. Ha contribuido de una manera extraordinaria a la
investigación en la física de neutrinos y, en particular, más allá de la física modelo estándar, y los límites para estos últimos son:
compitiendo con los de los mayores aceleradores de alta energía. El énfasis en la primera indicación para
y se encuentra en el experimento Heidelberg-Moscú viv viv primera evidencia del leptón neutrinoless doble beta deca gi
violación del número y la naturaleza majoranana de los neutrinos. La doble desintegración beta sin neutrinos podría responder
preguntas a la escala absoluta de la masa de neutrino y el carácter fundamental del neutrino si es un
Dirac o una partícula Majorana.
Entrada del túnel de la autopista bajo la montaña Gran Sasso.
Con el apoyo del LNGS se construyó el edificio experimental del experimento entre los pasillos A y B en
Gran Sasso, en el que el primer detector enriquecido 76 76Ge (el primer detector Ge enriquecido de alta pureza en todo el mundo)
fue instalado en julio de 1990. La primera labor de preparación se había llevado a cabo desde 1989 en una tienda provisional en el pabellón C.
ll cantidad de cinco detectores enriquecidos de 76Ge de un total de 11 kg fue finalmente instalado en 1995 y operado desde
Método n
plomo (detectores ## 1,2,3,5). Cada configuración está cubierta con carcasa de robo inoxidable. Non-
el nitrógeno puro dioactivo fue soplado a través de las carcasas para reducir la contribución de la emanación del radón. Para reducir los neutrones
fondo de la carcasa con detectores ##1,2,3,5 fue recubierto con polietileno borado y dos anticoincidencia
Se colocaron placas de centelleador plástico sobre la carcasa con el fin de reducir el componente muón. La configuración era
situado en el laboratorio subterráneo de Gran Sasso, Italia, a una profundidad de 3500 metros de agua equivalente al laboratorio
1996 con una forma de pulso recién desarrollada discriminatio
Los cristales de germanio de alta pureza, enriquecidos por isótopos de germanio-76 hasta el 86%, se utilizan como principales detectores
elementos. Cinco detectores coaxiales con un peso total de 11,5 kg (125 moles en el volumen activo de los detectores) son:
utilizado. Cada detector se encuentra en un criostato separado hecho de cobre electrolítico con bajo contenido de radioactividad
impurezas. La cantidad de otros materiales diseñados (hierro, bronce, aislantes de material ligero) se minimiza en orden
reducir la contribución factible de las impurezas radiactivas al fondo total de los detectores. Los detectores
se encontraban en dos cajas separadas con protección. Uno de ellos, de 270 mm de espesor, está hecho de cobre electrolítico (detector)
#4), el otro consiste en dos capas de plomo – interior -100mm de plomo de alta pureza de grado LCD2 y exterior – 200 mm
de fondo bajo Boliden
reduce la influencia de los rayos cósmicos en las condiciones de fondo del experimento. La electrónica y el sistema de
la recogida de datos permite registrar cada evento: el número (o números) del detector de acción, la amplitud y la forma del pulso,
y el veto anticoincidencia. El experimento Heidelberg-Moscú, con cinco enriquecido 86%-88% tipo p de alta pureza
Los detectores de germanio, de un total de 10,96 kg de volumen activo, utilizaron la mayor fuerza de fuente de todos los doble beta
experimentos en la actualidad, y alcanzó un nivel récord bajo de antecedentes. Los detectores fueron el primer Ge de alta pureza
Detectores jamás producidos. El grado de enriquecimiento fue comprobado por la investigación de pequeñas piezas de Ge después de cristal
producción utilizando el acelerador MP-Tandem de Heidelberg como espectrómetro de masa.
Los detectores, excepto el detector # 4, fueron operados en un blindaje Pb común de 30 cm, que consistía en un interior
blindaje de 10 cm radiopura LC2 Pb de grado seguido de 20 cm de plomo Boliden. Todo el montaje fue colocado en un
caja de acero hermética y rociado con nitrógeno radiopuro para suprimir la contaminación 222Rn del aire. Los
blindaje se mejoró en el curso de la medición. La caja de acero funcionaba desde 1994 centrada dentro de un 10
blindaje de polietileno con carga de boro cm para disminuir el flujo de neutrones desde el exterior. Una anticoincidencia activa
blindaje fue colocado en la parte superior de la configuración desde 1995 para reducir el efecto de muones. Detector # 4 fue instalado en un
montaje separado, que tenía un blindaje interior de 27,5 cm de Cu electrolítico, 20 cm de plomo, y carga de boro
debajo de la caja de acero, pero sin blindaje de muones. La configuración se mantuvo herméticamente cerrada desde entonces.
Estancamiento del detector #5 en febrero de 1995. Desde entonces no hay contaminaciones radiactivas del interior de la
la sensibilidad para la vida media es dada por (4.1)
ent son: resolución de energía, fondo y
e fuerza operada en un doble decaimiento beta
xperimento. El fondo alcanzado para el experimento fue de 0,113 ± 0,007 eventos/kg y keV (en el período 1995-1995).
fue el lim más bajo
blindaje de polietileno
la configuración experimental por el aire y el polvo del túnel podría ocurrir.
8
Con denotando el grado de enriquecimiento, la eficiencia del detector para la detección de un evento beta doble, M
la masa del detector (fuente), la resolución de la energía, B el fondo y t el tiempo de medición, la sensibilidad de
nuestro experimento enriquecido 76Ge de 11 kg corresponde al de un experimento natural de al menos 1,2 toneladas de Ge. Después
enriquecimiento - los otros parámetros más importantes de un experim
fuerza de la fuente. La alta resolución de energía de los detectores Ge de 0.2% o mejor, asegura que no hay fondo para un
Línea 0 del doble decaimiento beta de dos neutrinos en este experimento (5,5 × 10-9 eventos esperados en la energía
2035-2039.1keV), en contraste con la mayoría de los otros enfoques experimentales actuales, donde la energía limitada
la resolución es un grave inconveniente.
La eficacia de los detectores de Ge para la detección de eventos de decaimiento de 0 v ° es cercana al 100%. La fuerza de la fuente en el
El experimento Heidelberg-Moscú de 11kg fue el mayor agrio
~0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. 02/1 Δ TBE
2003) en la región de decaimiento (alrededor de Q®). Esto lo obtuvo en este tipo de experimentos.
9
las estadísticas recopiladas en este experimento durante 13 años de funcionamiento estable es el más grande jamás recopilado en un
presentó un documento sobre “Medición del espectro bienergético
gion alrededor del valor Q de Ge neutrinoless doble-beta decaimiento”. En este trabajo presentaron las mediciones
f el espectro 214Bi de una fuente de 226Ra con un detector de germanio de alta pureza. Su atención fue mayormente
se centró en la región energética alrededor del valor Q de 76Ge neutrinoless doble-beta decaimiento (2039.006 keV). Los
los resultados de la medición están fuertemente relacionados con la primera indicación de doble decaimiento beta sin neutrones de 76Ge. Un
análisis de los datos recogidos durante diez años de mediciones por el experimento Heidelberg-Moscú, en Gran-
Sasso Underground Laboratory, da una primera indicación para el doble decaimiento beta sin neutrones de 76Ge. Un
importante de este análisis es la interpretación de los antecedentes, en la región alrededor del valor Q de la
doble decaimiento beta (2039.006 keV), como si contuviera varios fotopaseos débiles. Se ha sugerido y se ha mostrado
que cuatro de estos picos son producidos por una contaminación del isótopo 214Bi, cuyas líneas están presentes
en todo el espectro de fondo Heidelberg-Moscú.
En este trabajo realizaron una medición de una fuente de 226Ra con un detector de germanio de alta pureza. El objetivo de
este trabajo fue para estudiar la forma espectral de las líneas en la región de energía de 2000 a 2100keV y, la mayoría
importante, para mostrar la diferencia en esta forma espectral al cambiar la posición de la fuente con respecto a
el detector, y para verificar el efecto de TCS (True Coincidencia Summing) para las líneas débiles 214Bi visto en el
El experimento Heidelberg-Moscú. La actividad de la fuente 226Ra es de 95.2kBq. El isótopo 226Ra aparece en el
238U cadena de desintegración natural y de sus decaimientos también se produce 214Bi. El espectro γ de 214Bi es claramente visible en
el espectro medido de 226Ra. 214Bi es un isótopo natural: se produce en la cadena de desintegración natural 238U
a través de la desintegración β de 214Pb y la desintegración alfa de 218At. Con una posterior reacción β, 214Bi decae entonces en
214Po (la relación de ramificación con respecto a la α decaimiento en 210Tl es 99,979%). La decadencia, sin embargo, no conduce
d estado de 214Po, pero a sus estados excitados. De los decaimientos de esos estados excitados a la tierra
se obtiene el bien conocido γ-espectro de 214Bi, que contiene más de cien líneas.
la tabla que figura a continuación, se puede ver en la región de energía alrededor del valor Q de la descomposición 0 (2000-2100keV),
se espera una transición E0 con energía 2016.7keV. La transición E0 puede producir un
Doble experimento de desintegración beta. El experimento tomó datos durante ~ 80% de su tiempo de instalación. El valor Q para
recientemente se determinó con alta precisión la doble desintegración beta sin neutrinos.
Los antecedentes del experimento: (1) actividades primordiales de las cadenas de desintegración natural de 238 232U, Th, y 40K;
(2) radionucleidos antropogénicos, como 137 134 125 207Cs, Cs, Sb, Bi; (3) isótopos cosmogénicos, producidos por activación
debido a los rayos cósmicos durante la producción y el transporte; (4) el espectro de bremsstrahlungs de 210Bi (hija de 210Pb);
(5) dispersión de neutrones elásticos e inelásticos; y (6) eventos directos inducidos por muones.
H.V. Klapdor-Kleingrothaus, O. Chkvorez, I.V. Krivosheina y C. Tomei en el Max-Planck-Institut fur Kernphysik
en el grupo Heidelberg-Moscú 214
directamente al groun
el electrón de conversión o un par electrón-positrón, pero no podía contribuir directamente al espectro γ en el
región de energía considerada si la fuente se encuentra fuera del volumen activo del detector.
0.0502010.71
Intensidad(%)Energía (keV)
0.0782052.94
0,05020889,7
0,0202021,8
0,00582016.7
0.0502010.71
Intensidad(%)Energía (keV)
0,0202021,8
0,00582016.7
0.0782052.94
0,05020889,7
La intensidad de cada línea se define como el número de fotones emitidos, con la energía correspondiente, por 100
decaimientos del nucleido padre. Las consideraciones para la medición fueron la eficiencia del detector (que
depende del tamaño del detector y del detector de fuentes de distancia) y del efecto llamado Verdadera Coincidencia
Summing (TCS). Las vidas de los niveles de excitación atómica son mucho más cortas que el tiempo de resolución de la
detector. Si se emiten dos rayos gamma en cascada, hay cierta probabilidad de que se detecten
- 10 -
lled in
. La medición de Bi
pectro, con un detector de germanio de alta pureza, en la región de energía alrededor del valor Q de 76Ge neutrinoless
se realizó el decaimiento (2039.006keV) con la fuente de 226Ra utilizada para las mediciones posicionadas, en una primera
paso la fuente fue colocada en la parte superior del detector, directamente en contacto con la tapa de cobre (geometría cercana)
y en un segundo paso la fuente se movió a 15 cm de distancia de la tapa del detector (geometría lejana). Los resultados de la
mediciones muestran que, si la fuente está cerca del detector, las intensidades de las líneas Bi débiles en la energía
región 2000 - 2100keV no se encuentran en la misma proporción que la indicada en la Tabla de Isótopos. Los resultados del análisis de la
datos recogidos por el experimento Heidelberg-Moscú con los cinco detectores, dando una primera indicación para el
doble decaimiento beta sin neutrinos de 76Ge, muestra que cuatro líneas 214Bi están presentes en la región de energía de 2000 a
2080keV (muchas otras líneas fuertes del mismo isótopo están presentes en el espectro), debido a la presencia de
bismuto en la configuración experimental, especialmente en el cobre en las proximidades de los cristales de Ge.
Juntos. Si esto sucede, entonces se registrará un pulso que representa la suma de las energías de los dos
fotones individuales, en lugar de dos pulsos separados con energías diferentes. El efecto TCS puede resultar tanto en
menor intensidad de pico para los picos de energía completa y en mayor intensidad de pico para aquellas transiciones cuya energía puede ser
dada por la suma de dos rayos gamma de menor energía. En este caso, las líneas a 2010.7 keV y 2016.7 keV pueden ser
dada por la coincidencia del fotón 609.312 keV (línea más fuerte, intensidad = 46,1%) con el 1401.50keV
fotón (intensidad = 1,27%) o con el fotón 1407,98keV (intensidad = 2,15%). El grado de TCS depende de
la probabilidad de que se detecten simultáneamente dos rayos gamma que es una función
de la geometría del detector y del ángulo sólido subtendido en el detector por la fuente y para esto las intensidades
de las dos líneas mencionadas anteriormente (2010.71keV y 2016.7keV) se espera que dependan de la posición de la
fuente con respecto al detector.
Los espectros de 226Ra γ-ray se midieron utilizando un sistema de espectroscopia de γ-ray basado en un detector HPGe insta
la sala de operaciones del experimento HEIDELBERG-MOSCOW en el Gran Sasso Underground Laboratory, Italia.
El detector coaxial de germanio tenía un diámetro externo de 5,2cm y 4,9cm de altura. La distancia entre el
la parte superior del detector y la tapa de cobre se mantuvo a 3,5 cm. La eficiencia relativa de detección del detector fue
23% y la resolución energética es 3.6keV para el rango de energía 2000-2100keV 214
doble-be
La figura anterior muestra el espectro de suma de los detectores de 76Ge 1,2,3,4 y 5 durante el período de agosto
1990 a mayo de 2003, según consta en el experimento Heidelberg-Moscú.
11
No hay análisis de hipótesis nulas que demuestren que los datos requieren un pico. Además, no se ha realizado ninguna simulación
demostrar que el análisis encuentra correctamente verdaderos picos o que no encontraría picos si ninguno
Existía. Las simulaciones de Monte Carlo de espectros que contienen diferentes números de picos son necesarias para confirmar el
significación de cualquier pico encontrado.
2. Hay tres picos no identificados en la región de análisis que tienen mayor importancia que el 2039-keV
El pico. No se discute el origen de estos picos.
3. No se discute lo sensibles que son las conclusiones a los diferentes modelos matemáticos. Hay un
la publicación anterior de Heidelberg-Moscú que da un límite inferior de 1,9 × 1025 y (nivel de confianza del 90%). Esto es
en conflicto con el “mejor valor” de un papel KDHK más nuevo de 1,5 × 1025 y. Esto indica una dependencia de la
resultados sobre el modelo de análisis y la evaluación de antecedentes.
En este documento se afirma que también deben realizarse otras comprobaciones cruzadas del resultado. Por ejemplo,
no hay discusión de cómo una variación del tamaño de la ventana de análisis elegida afecta la importancia de la
pico hipotético. No existe un análisis relativo de la fuerza máxima de todos los picos de 214Bi. Evaluaciones cuantitativas
debe hacerse en los cuatro picos de 214Bi en la región de interés. No hay ningún estado de la tasa neta de recuento de la
picos distintos del pico 2039-keV. No haber una presentación de todo el espectro, es difícil de comparar
fortalezas relativas de picos. No se discuten los picos de fuerza relativos antes y después del sitio único.
corte de evento.
Por otra parte, el grupo Heidelberg-Moscú afirma que la señal encontrada en Qáš consiste en un solo sitio
eventos y no es una línea γ. La señal no ocurre en los experimentos de Ge no enriquecidos en el emisor beta doble
76Ge, mientras que las líneas de fondo vecinas aparecen consistentemente en estos experimentos. Sobre esta base tradujeron
el número observado de eventos en semividas para la doble desintegración beta sin neutrones.
El experimento Heidelberg-Moscú continuó regularmente desde 1990 hasta 2003. Análisis de los datos completos tomados
con el experimento Heidelberg-Moscú en el período comprendido entre el 2 de agosto de 1990 y el 20 de mayo de 2003. Los
Heidelberg-Moscú 76Ge Experimento -71,7 kg y después de 13 años de operación presenta su masa
Estado del límite de cálculo como m/ (eV) = 0,24 - 0,58 ( 99,997% C.L.) con el mejor valor de 0,4 eV (95% C.L.).
hile una interpretación inequívoca de todos los experimentos de oscilación de neutrinos no es todavía posible, es
bundantemente claro que los neutrinos exhiben propiedades no incluidas en el modelo estándar, a saber, masa y sabor
arco que empleará 500 kg de Ge,
a. El experimento Majorana se propone para un laboratorio subterráneo profundo de EE.UU.,
ERIMENTS. Además, el nuevo detector Ge segmentado
rendimiento yogénico y reducción de los antecedentes y
Los experimentos de Moscú e IGEX utilizaron germanio enriquecido al 86% en Ge y operaron en profundidad
En un artículo de Klapdor-Kleingrothaus, Dietz, Harney, y Krivosheina (en adelante KDHK) la evidencia es
reclamado por cero-neutrino doble-beta decaimiento en 76 Ge. Los datos de alta calidad, en los que se basa esta afirmación, fueron:
compilado por los dos esfuerzos cuidadosos de la colaboración Heidelberg-Moscú, y está bien documentado. Sin embargo, el
análisis en KDHK hace una reclamación extraordinaria, y por lo tanto requiere una fundamentación muy sólida de acuerdo con
otro artículo “Comentario sobre la evidencia de doble decaimiento beta sin neutro” C.E.Aalseth et al. Alegan que:
gran número de cuestiones no se abordaron en el KDHK, algunas de las cuales son:
Se ha presentado un informe sobre la situación de los derechos humanos en la República Democrática del Congo.
5. El experimento MAJORANA propuesto
mezcla. En consecuencia, las búsquedas sensibles para la desintegración de doble beta sin neutrino (0-decay) son más importantes que
Nunca. Experimentos con grandes cantidades de Ge, isotópicamente enriquecidos en 76Ge, han demostrado hasta ahora ser los más
sensible, específicamente los experimentos Heidelberg-Moscú e IGEX con límites más bajos en sensibilidades de semivida
1.9×1025 y 1.6×1025 y respectivamente. Se requerirá una nueva generación de experimentos para que sean significativos
mejora de la sensibilidad, uno de los cuales es el experimento propuesto de Majorana.
El experimento Majorana es una decaimiento de doble beta de la próxima generación.
enriquecido isotópicamente hasta el 86% en Ge, en forma de ~200 detectores en un conjunto cerrado para una granularidad alta.
Cada cristal será segmentado electrónicamente, con cada región equipada con electrónica de análisis en forma de pulso. A
Se predice una sensibilidad a la semivida de 4,2 × 1027 años o < m ~ 0,02 - 0,07 eV, dependiendo de la matriz nuclear
elementos utilizados para interpretar el dato
y requiere muy poca I+D tal como se encuentra sobre los hombros técnicos del experimento IGEX y otros anteriores.
Caída exitosa de doble beta y exp de fondo bajo
tecnología recientemente ha llegado a estar disponible comercialmente, mientras que Pacific Northwest National Laboratory
(PNNL)/Universidad de Carolina del Sur (USC) investigadores han desarrollado nueva discriminación en forma de pulso
técnicas.
Varias configuraciones han sido evaluadas con respecto a cr
Rechazo. Se concentrará en un diseño modular convencional utilizando tecnología de criostato de fondo ultrabaja
desarrollado por IGEX. También utilizará nuevas técnicas de hardware y software de discriminación en forma de pulso
desarrollado por la colaboración Majorana y segmentación de detectores para reducir el fondo. El Heidelberg...
Underground. La proyección para el Majorana es que el fondo se reducirá en un factor de 65 sobre el
primeros resultados IGEX antes del análisis de la forma del pulso (de 0,2 a ~0,003 keV-1
12
germanio limitando el tiempo sobre el suelo después del crecimiento del cristal, selección cuidadosa del material
marcialmente compuesto de múltiples
o o
el mineral de los segmentos independientes. Cuando se encuentran coincidencias, la salida de todos los segmentos del detector es
nly del pico de toda la energía yace encima de una característica sin
kg-1 y-1). Esto ocurrirá principalmente por el
Decaimiento del fondo interno debido a reacciones cosmogénicas de espalda de neutrones que producen 56 58 60Co, Co, Co,
65Zn y 68Ge en el
y criostatos de cobre electroformantes. Uno de los componentes de la reducción de los antecedentes se derivará de la
Segmentación y granularidad de la matriz del detector.
La mayor parte del continuum Compton consiste en scatterings individuales Compton seguidos por escape de los dispersos
rayos gamma, mientras que los eventos de energía completa en las energías típicas de rayos gamma son
secuencias de dispersión seguidas de una absorción fotoeléctrica. Por lo tanto, la relación pico-Compton puede ser
aumentada al exigir que un evento registrado corresponda a más de una interacción dentro del detector antes de su
aceptación. En los detectores de germanio, esta selección se realiza generalmente subdividiendo el detector en
varios segmentos (o la provisión de varios detectores independientes adyacentes) y la búsqueda de pulsos coincidentes de tw
resumidos y grabados. El espectro resultante se compone de
continuum que está muy suprimido y no tiene bordes abruptos de Compton. Nuevos experimentos de Ge no deben ser simplemente
una expansión del volumen de IGEX o Heidelberg-Moscú. Deben tener antecedentes superiores de rechazo y mejor
estabilidad electrónica. La suma de 200 espectros de energía individuales puede dar lugar a una pérdida grave de la resolución de la energía
para el experimento general que puede evitarse segmentando detectores de ge intrínsecos de tipo n, PSD avanzado
técnicas y estabilidad electrónica en la medición.
La figura anterior representa un esquema estándar de segmentación de detectores Ge. Esta es la configuración de la SEGA
detector sometido a pruebas por la colaboración Majorana. Una configuración con segmento seis-azimutal por dos-
geometría axial-segmento se muestra en la figura anterior.
Por lo tanto, se están realizando esfuerzos con el experimento Majorana para la búsqueda de doble decaimiento beta sin neutros que daría
una nueva forma al modelo estándar de la física. Majorana no puede ser simplemente una expansión de volumen de IGEX, pero
debe tener antecedentes superiores de rechazo. Como se demostró concluyentemente que el fondo limitante en al menos
algunos experimentos anteriores han sido la activación cosmogénica del propio germanio, es necesario mitigar
esas fuentes de antecedentes. La actividad cosmogénica afortunadamente tiene ciertos factores que la discriminan de la
señal de interés. Por ejemplo, mientras que 0 -decay depositaría 2 MeV entre dos electrones en un pequeño,
tal vez 1 mm3 volumen, depósitos internos de decaimiento de 60Co alrededor de 318 keV (punto final) en energía beta cerca de la descomposición
átomo, mientras que simultáneamente 1173 keV y 1332 keV gammas pueden depositar energía en otro lugar en el cristal, la mayoría
Probablemente ambos en más de un lugar, para una energía total capaz de alcanzar la región de interés de 2039 keV. A
situación similar existe para la decadencia interna de 68Ge. Así, la multiplicidad de deposición-ubicación distingue la doble beta
decaimiento de la importante cosmogenicidad de larga vida en el germanio. Isótopos como 56 57 58Co, Co, Co y 68Ge son
producido a una velocidad de aproximadamente 1 átomo por día por kilogramo en la superficie de la Tierra. Sólo 60Co y 68Ge tienen ambos
la energía y la semivida que debe preocupar. Para perseguir el parámetro de multiplicidad, en primer lugar, el pulso de corriente del detector
forma lleva con él el registro de la deposición de energía a lo largo de las líneas de campo eléctrico en el cristal, es decir, el radial
13
imensión de detectores cilíndricos. Esta información puede explotarse mediante la discriminación en forma de pulso.
los contactos eléctricos del detector pueden dividirse para producir regiones independientes de carga;
colección. La capacidad de nuevas técnicas para ser fácilmente calibrados para detectores individuales los hace prácticos para
grandes conjuntos de detectores. La calibración de pulsos de un solo sitio se realizó trivialmente al recoger pulsos de
mineral de torio; el rayo gamma 2614,47-keV de 208Tl produce un pico de doble escape en gran parte de un solo sitio en 1592.47
keV. El discriminador PSD fue entonces calibrado a las propiedades del pico de doble escape A ligeramente mejorado
El pico de doble escape se hizo a partir del rayo gamma 26Al de 2938,22-keV. El doble escape aparece en
1916.22 keV, sólo alrededor de 120 keV lejos de la región de interés esperada para 0-decay. Lo obvio y
el uso directo de la discriminación de la forma del pulso y la segmentación es el rechazo de los pulsos cosmogénicos en el germanio
a sí mismo. Sin embargo, el enfoque también debe ser eficaz en los rayos gamma del blindaje y los materiales estructurales.
Los efectos de fondo de los neutrones de alta energía (muón cósmico generado) y baja energía (fisión y
(α,n) de la roca) podría ser protegido por la segmentación y granularidad de los detectores. Estos neutrones podrían
también producen otras actividades no deseadas como la formación de 3H y 14C en nitrógeno de alta y baja energía
neutrones, respectivamente. Afortunadamente, los detectores Majorana no estarán rodeados de nitrógeno a alta densidad.
El GERDA (Asambleo de detectores de GERmanium), que es otra nueva generación de 76Ge doble decaimiento beta
experimento en el Gran Sasso Underground Laboratory, ha proyectado una sensibilidad en la semivida del 0-
modo de desintegración que es menor que el experimento propuesto Majorana. En conclusión, el proyecto Majorana ha sido
diseñado de forma compacta y modular de tal manera que pueda ser construido y operado con alta confianza en el enfoque
y la tecnología. Los primeros años de construcción permitirán emplear métodos de refrigeración alternativos si
tienen una ventaja y deben demostrarse para superar preocupaciones a largo plazo debido a la contaminación de la superficie,
iones inducidos por muones, y difusión. La colaboración Majorana ha realizado un extenso análisis de los pronósticos
los antecedentes y su impacto en la sensibilidad final del experimento. El experimento Majorana representa un
gran aumento de la masa de Ge sobre IGEX con nuevos detectores Ge segmentados y los nuevos sistemas electrónicos para
discriminación en forma de pulso. Su conclusión es que con 500 kg de Ge, enriquecido al 86% en el isótopo 76Ge, el
Majorana matriz que funciona durante 10 años, incluyendo el tiempo de construcción, puede alcanzar un límite inferior en T1/20 v de 4×1027
años. Esto corresponde a un límite superior de < m > de 0,038 ± 0,007eV. Una ventaja de 76 / Ge es que puede
Por lo que se refiere a la aplicación de la directiva, el Parlamento Europeo y el Consejo han adoptado una posición común sobre la propuesta de directiva del Parlamento Europeo y del Consejo relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios.
6 Conclusión
eutrinoless doble beta decaimiento es por lo tanto uno de los enfoques más sensibles con grandes perspectivas para probar pN artículo
Hisics más allá del Modelo Estándar. Las posibilidades de utilizar 0 decaimiento para limitar las masas de neutrino, izquierda–
modelos simétricos ght, escenarios SUSY y leptoquark, así como números de lepton efectivos violando acoplamientos,
han sido revisados. Es una sonda muy sensible al número de leptón que viola términos en el Lagrangian tales como el
Majorana masa de los neutrinos ligeros, acoplamientos débiles diestros que involucran a los neutrinos Majorana pesados, así como
como Higgs y otras interacciones que implican la violación de la conservación de la quiralidad.
14
En busca de doble desintegración beta sin neutrino 76Ge como el material de origen tiene múltiples ventajas. Tiene alta
Resolución (< 4 keV en Qó) sin fondo desde el modo 2 v. Un gran salto en sensibilidad es posible aplicando
Técnicas de fondo ultra-baja y discriminación de señales. Puede haber un enfoque escalonado en el
experimentar con el incremento de la masa objetivo. La fuente y el detector son el mismo material, reduciendo así
fondo y el mantenimiento de la geometría 4η y la única manera de examinar 0 v – DBD reclamación en escala de tiempo corto:
ya que prueba T1/2 y no mü. Las consecuencias de la doble decaída beta sin neutrones son- [1] Número total de Lepton
violación: La consecuencia más importante de la observación de la doble desintegración beta sin neutrinos es que el leptón
el número no se conserva. Esto es fundamental para la física de partículas. [2] Naturaleza Majorana del neutrino: Otro
consecuencia fundamental es que el neutrino es una partícula Majorana. Ambas conclusiones son independientes de
cualquier discusión sobre los elementos de la matriz nuclear. [3] Masa efectiva de neutrinos: El elemento matricial entra cuando derivamos
un valor para la masa efectiva del neutrino - haciendo la suposición más natural que la amplitud del decaimiento 0 es
dominado por el intercambio de un gran neutrino Majorana.
Agradecimientos
Quiero agradecer la colaboración del IGEX, la colaboración Heidelberg-Moscú y la Majorana.
n por haber utilizado la información de los trabajos mentales para redactar esta revisión.
eferencias
oration), Physics Review D (2002)
Lett. A(2002), hep-ph/0202018 C. E.
hed 76Ge en Gran Sasso 1990-2003 Heidelberg-Moscú
o-Kleingrothaus, I.V. Krivosheina, A.Dietz, O.Chkvoretz, Cartas de Física B 586(2004) 198-212.
m el experimento de doble desintegración beta Heidelberg-Moscú”, (Colaboración Heidelberg Moscú),
Eur. Phys. J. A 12, 147-154 (2001).
collaboratio eir exper ef
[1] “Buscar doble desintegración beta sin neutrinos con 76Ge enriquecido en Gran Sasso 1990-2003”, H.V. Klapdor-Kleingrothaus,
I.V. Krivosheina, A. Dietz, O. Chkvorets, Phys. Lett. B 586 (2004) 198 - 212 y hep-ph/0404088.
[2] “Experimentos de desintegración de doble beta de próxima generación: métricas para su evaluación”, F T Avignone III, G S King III y Yu G
Zdesenko, New Journal of Physics 7 (2005)
[3] “Double-beta decaimiento”, Steven R Elliott y Jonathan Engel, J. Phys. G: Física nuclear y de partículas.
[4] “Nuevo potencial físico de doble decaimiento beta y búsqueda de materia oscura”, H.V. Klapdor-Kleingrothaus, H. Pas, Talk
presentado por Heinrich Pas atthe en el 6th Symp. sobre Partículas, Cuerdas y Cosmología (PASCOS’98), Boston, marzo de 1998
[5] H.V. Klapdor-Kleingrothaus et al. Mod. Phys. Lett. A 16 (2001) 2409 - 2420.
[6] H.V. Klapdor-Kleingrothaus, A. Dietz, I.V. Krivosheina, Part. & Nucl. 110(2002)57.
[7] H.V. Klapdor-Kleingrothaus, et al., Nucl. Instr. Meth. 522 A (2004) 371-406 y hep-ph/0403018 y Phys. Lett. B 586
(2004) 198-212.
[8] H.V. Klapdor-Kleingrothaus, A. Dietz, I.V. Krivosheina, Ch. Dorr, C. Tomei, Phys. Lett. B 578 (2004) 54-62 y hep-
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[9] H.V. Klapdor-Kleingrothaus et al., (Colaboración Heidelberg-Moscú.), Eur. Phys. J. A 12(2001)147.
10] “IGEX [ 76Ge experimento de desintegración de doble beta sin neutrones: Perspectivas para experimentos de próxima generación”, C.E.Aalseth et al.,
(El collab IGEX
[11] H.V.Klapdor-Kleingrothaus, A.Dietz, I.V.Krivosheina y O.Chkvorets, Nucl. Instr. Meth. A 522 (2004) 371-406.
[12] “Heidelberg - Moscú Experimento. Primera evidencia para la violación del número de Lepton y el carácter majorana de
Neutrinos” H.V. Klapdor-Kleingrothaus e I.V. Krivosheina
[13] “Buscar un experimento de doble beta sin neutrones con enriquecimiento 76Ge 1990-2003 Heidelberg-Moscú”
H.V.Klapdor-Kleingrothaus, I.V. Krivosheina, A.Dietz, C.Tomei, O.Chkvoretz, H.Strecker hep-ph/0404062 (2004)
[14] “Discriminación de la forma pulsiva en el experimento IGEX”, D. Gonzalez et al, hep-ex/0302018.
[15] “Comentario sobre la evidencia de doble decaimiento beta sin neutros”, Mod. Phys.
Aalseth et al.
[16.] “El experimento IGEX revisitó: una respuesta a la crítica de Klapdor-Kleingrothaus, Dietz y Krivosheina”,
C.E.Aalseth et al. (La colaboración IGEX), nucl-ex/0404036.
[17] “The Majorana 76Ge Double-Beta Decay Project”, The Majorana Collaboration, hep-ex/0201021
[18] H.V. Klapdor-Kleingrothaus, O. Chkvorez, I.V. Krivosheina, C. Tomei, Nucl. Instrum. Meth. A (2003), “Medición
del espectro 214Bi en la región energética alrededor del valor Q de 76Ge neutrinoless doble-beta decaimiento”
[19] “Vista crítica del experimento de desintegración de doble beta sin neutrones IGEX” H. V. Klapdor-Kleingrothaus, A. Dietz e I. V.
Krivosheina, hep-ph/0403056.
[20] “Resultados del experimento de investigación de la doble desintegración beta de Germanium-76 - Datos experimentales de Heidelberg-
Colaboración en Moscú de noviembre de 1995 a agosto de 2001”, A. M. Bakalyarov, A. Ya. Balysh, S.T. Belyaev, V.I. Lebedev, S.V.
Zhukov, Phys.Part.Nucl.Lett. 2 (2005) 77-81, hep-ex/0309016.
[21] “El experimento propuesto Majorana 76Ge doble-beta decaimiento”, The Majorana Collaboration, Nuclear Physics B
138(2005) 217-220.
22] “Buscar doble decaimiento beta sin neutrones con Enric [
Experimento” H.V.Klapd
[23] “Resultados más recientes
| El doble decaimiento beta sin neutros es uno de los enfoques más sensibles en
física de partículas no aceleradora para llevarnos a un régimen de física más allá de la
modelo estándar. Este artículo es una breve revisión de los experimentos en busca de
doble decaimiento beta sin neutrinos de 76Ge. Tras una breve introducción de la
proceso de doble decaimiento beta de 76Ge, los resultados de la primera
experimentos IGEX y Heidelberg-Moscú que dan indicaciones de la existencia
se ha revisado el modo de desintegración doble beta sin neutrinos. Entonces, en curso.
se presentan los primeros resultados y la Majorana
el experimento como un futuro enfoque experimental que permitirá un
se discute el estudio del modo de desintegración sin neutrinos.
| Introducción
El doble decaimiento beta sin neutros es uno de los enfoques más sensibles con grandes perspectivas para probar partículas
física más allá del Modelo Estándar. Hay un inmenso alcance para utilizar 0 decaimiento para limitar las masas de neutrinos,
modelos simétricos izquierda-derecha, interacciones que implican ruptura de paridad-R en el modelo supersimétrico y
escenarios de leptoquark, así como número de lepton efectivo violando acoplamientos. Límites experimentales en decaimiento 0
no sólo son complementarios a los experimentos con aceleradores, sino que, al menos en algunos casos, son competitivos o superiores a
los mejores límites de búsqueda directa existentes. La mejora constante de los límites experimentales en la vida media de 0 puede ser
traducido en límites más estrictos en los parámetros de estos nuevos escenarios de física.
En el proceso de desintegración beta un núcleo inestable decae convirtiendo un neutrón en el núcleo a un protón y
emitiendo un electrón y un anti-neutrino. Para que la desintegración beta sea posible el núcleo final debe tener un
mayor energía de unión que el núcleo original. Para algunos núcleos, como el germanio-76 los núcleos con atómico
número uno más alto tienen una energía de unión más pequeña, evitando la desintegración beta de ocurrir. En el caso de:
Germánico-76 los núcleos con el número atómico dos más alto, Selenio-76 tiene una energía de unión más grande, por lo que el
El proceso de "doble desintegración beta" está permitido. En doble desintegración beta dos neutrones en los núcleos se convierten en protones,
y se emiten dos electrones y dos anti-neutrinos. Es el tipo más raro conocido de desintegración radiactiva; fue
observado para sólo diez isótopos. Para algunos núcleos, el proceso se produce como conversión de dos protones a neutrones, con
emisión de dos neutrinos y absorción de dos electrones orbitales (captura doble de electrones). Si la diferencia de masa
entre los átomos padre e hija es más de 1022 keV (dos masas de electrones), otra rama de la
proceso se hace posible, con la captura de un electrón orbital y la emisión de un positrón. Y, por fin, cuando
la diferencia de masa es más de 2044 keV (cuatro masas de electrones), la tercera rama de la descomposición surge, con
emisión de dos positrones ( decaimiento).
Los procesos descritos anteriormente también se conocen como dos neutrino doble beta decaimiento, como dos neutrinos (o anti-
se emiten neutrinos). Si el neutrino es una partícula Majorana, lo que significa que el anti-neutrino y el neutrino son
En realidad la misma partícula entonces es posible que se produzca doble desintegración beta sin neutrinos. En 0 decaimiento el emitido
neutrino es absorbido inmediatamente (como su anti-partícula) por otro nucleón del núcleo, por lo que la cinética total
energía de los dos electrones sería exactamente la diferencia en la energía de unión entre el estado inicial y final
núcleos.
† Ahora en la Universidad de Indiana – Bloomington, EE.UU.
Experimentos se han llevado a cabo y propuesto para buscar el modo de desintegración 0, como su descubrimiento indicaría
que los neutrinos son de hecho partículas Majorana y permiten un cálculo de la masa de neutrinos. Mientras que el dos-neutrino
modo (1.1) está permitido por el Modelo Estándar de la física de partículas, el modo sin neutrinos (0) (1.2) requiere
violación del número de leptón (L=2). Este modo es posible solamente, si el neutrino es una partícula Majorana, es decir. la
neutrino es su propia antipartícula. El doble decaimiento beta, el proceso de decaimiento nuclear más raro conocido, puede ocurrir en diferentes
modos:
_
2 - decadencia : A(Z,N) → A(Z+2, N-2)+2e +2 / (1.1)
Asunto C-372/89: Comisión/Italia.
2 χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 χ 2 °C : A(Z,N) → A(Z+2, N-2) + 2 χ 1 °C
2. Doble Decaimiento Beta: Un Proceso Raro
El proceso surge en ciertos casos de núcleos pares-A, donde A es el número de masa y es la suma del número de
protones y neutrones (A = Z + N). Para los núcleos pares-A, la fuerza de emparejamiento fuerte entre nucleones como (neutrones
como ser emparejado con otros neutrones en un núcleo dado, con la misma verdad para los protones), la energía de unión de
núcleos pares (número de protones e incluso neutrones) es mayor que el de núcleos impares (odd)
número de protones y neutrones). Este hecho resulta en dos parábolas separadas sobre una trama de energía de unión, una
Parábola para núcleos pares y uno para núcleos impares. En consecuencia, en ocasiones se encuentra una situación en la que dos
los núcleos pares para una masa dada número A son estables contra la desintegración beta ordinaria. Sin embargo, el núcleo más pesado
no es completamente estable y puede decaer al núcleo más ligero a través de la doble desintegración beta normal, un proceso de segundo orden
por lo que la carga nuclear cambia por dos unidades. El estado de suelo de los núcleos pares es 0+ (paridad positiva)
y la transición nuclear es 0+ 0.
Un tipo particular de enfoque experimental que espera determinar si el neutrino es un Majorana masivo
partícula es la búsqueda de doble desintegración beta sin neutrinos. Este tipo de experimento es quizás el único posible.
método para determinar si el neutrino es una partícula de Majorana o Dirac. Mientras que el doble decaimiento beta sin neutrinos tiene
todavía no se ha descubierto experimentalmente, las búsquedas se han llevado a cabo durante muchos años, con muchos
Hoy. De hecho, la próxima generación de experimentos de doble desintegración beta se está diseñando y desarrollando actualmente
e implica un aumento tremendo en la cantidad de material de origen a estudiar (en el orden de media tonelada o
más). En la doble desintegración beta sin neutros, un antineutrino emitido en el primer vértice se absorbe en el segundo como
- 2 -
visto en la figura de abajo o que un neutrino virtual emitido por un neutrón es absorbido por el segundo neutrón
participar en el doble decaimiento beta.
El modo de dos neutrinos está permitido en el modelo estándar. El modo sin neutrinos sólo puede ocurrir si los neutrinos tienen
masas del tipo Majorana. La tasa de desintegración es proporcional a la masa cuadrada. En otras palabras, la mitad de la vida es
inversamente proporcional a la masa cuadrada. Experimentalmente uno puede distinguir los dos modos. En los dos
modo neutrino los electrones quitan sólo una fracción de la energía Q liberada en la decadencia. La suma de energía
espectro es continuo, extendiéndose de 0 a Q. En el modo sin neutrinos la energía total Q es arrastrada por el
electrones, y el espectro de energía suma es un pico centrado en Q, con un ancho dado por la resolución instrumental.
permitido en el modelo estándar de la física es dada por
(2.1)
el intercambio de los neutrinos Majorana en ausencia de diestro
(2.2)
Tily. La energía nuclear
y en el
La tasa de desintegración para el 2 / § desintegración que es
Tasa de decaimiento del proceso que implica
las corrientes pueden expresarse de la siguiente manera:
2/1 ),()00(
MZEGT =→
[ ] 2
2/1 ),()00( =→
mM
MZEGT F
Los M y MGT F son los elementos de matriz nuclear de Gamow-Teller y Fermi transitions respec
elementos atrix de la transición 00+ Gamow-Teller y Fermi para el modo neutrino dos en teorema débil
la perturbación de segundo orden es dada por
- 3 -
(2
n en
iknnjf 0110
4
y es dado por y el operador de transición Gamow-Teller
respectivamente.
completo conjunto ortonormal de estados intermedios excitados se han introducido denot
eutrino modo de desintegración beta doble se ha expresado en términos de transiciones beta única a través de la introducción de
término estados excitados a través de los cuales se produce la transición del estado 0+ inicial al estado 0+ final.
o el modo sin neutrinos, los elementos de la matriz nuclear resultantes de las transiciones de Fermi y Gamow-Teller son:
(2.6)
(2.7)
aquí, R ro=1.2 fm.
el espacio de fase de leptón, y gV y gA son el vector débil y
constantes de acoplamiento xial-vector respectivamente. El <m es el electrón efectivo neutrino ma. Si la luz
j« pocos MeV) el intercambio es el mecanismo dominante en ambos
número de tonelada
mj) y la mezcla
arámetros (
Este posible coste de construcción. Las siguientes secciones revisan los experimentos
3. Germa iment internacional (IGEX)
es un terreno único para investigar la naturaleza y las propiedades del neutrino. Los
tern. A
(2.4)
donde Δ denota la energía media a
n en
ikknnjjf 0110
y el operador de transición Fermi es dado por.
A d ed by. Por lo tanto, los dos
dado por
(2.5)
La función H depende de la distancia entre los nucleones y aproximadamente tiene la forma
w = ro A
1⁄3, un ser el número de masa y
El Tribunal de Justicia decidió:
neutrino (m para el proceso de 0-decadencia y
las corrientes de neutrino son zurdos, entonces la amplitud 0-decay es proporcional al lep
parámetros de iolación. Esta masa efectiva está relacionada con los valores propios de la masa de neutrino ligero (v
p Uej) y es dado por la relación
(2.8)
La masa efectiva de neutrino de luz <m puede ser suprimida por una interferencia destructiva entre los diferentes
contribuciones en la suma de la ecuación (2.8) si se conserva CP. En este caso, la matriz de mezcla cumple la condición
Uej= Uej*.j, donde j = ±i es la paridad CP del majorana neutrino νj. Así pues, se ha insertado el valor absoluto
por conveniencia, ya que la cantidad dentro de ella es cuadrada en ecuación (2.8) y es compleja si se viola CP.
El experimento ideal 0-decay tiene las siguientes características de sueño: el fondo más bajo posible, el mejor
posible resolución de energía, la mayor masa posible del isótopo padre, la eficiencia de detección cerca del 100% para
eventos válidos, una firma única y el bajo
en tal esfuerzo del isótopo 76Ge.
EXPER de nio
El doble decaimiento Beta nuclear
El modo de desintegración sin neutrinos, si existe, proporcionaría una evidencia inequívoca de la naturaleza majoranana de la
neutrino, su masa no cero, y la no conservación del número de leptón. Después de la implicación de la energía solar y
resultados de oscilación atmosférica de neutrinos que los neutrinos tienen masa no cero, el proceso de doble sin neutrinos
Beta Decay se ha convertido en el lugar más relevante para probar la escala de masa de neutrino y su jerarquía
lograr unos límites de sensibilidad elevados de la masa efectiva de neutrinos de electrones de Majorana derivados de la mitad sin neutrinos
la duración del ciclo de vida más baja requerida para estos nuevos objetivos, requerirá un gran número de núcleos de emisores beta dobles, un
ejj Umm
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
jjkfF ErHM 0),(0
0
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ErHM 0.),(00 kj
2) Fi EEΔ = −
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
jj y
∫ =
}2/){
Fi EEE
sin2 qrqR
- 5 -
de este tipo de búsqueda fue el IGEX. El Germánico Internacional
Xperiment (IGEX) fue una búsqueda para el doble decaimiento beta sin neutrinos de 76Ge empleando grandes cantidades de
En la primera fase del experimento tres detectores de 0,7
(la mayoría de los
sitios. Proporcionó un rechazo de ~ 60 % de los acontecimientos en la región de
Espectro IGEX con y sin el rechazo de fondo PSD.
Los detectores IGEX tenían como objetivo inicial la detección del doble decaimiento beta de 76Ge. A finales de 1999
se hicieron algunas modificaciones para adaptar los detectores a la detección a baja energía donde la señal de WIMPs
(Partículas masivas de interacción débil) es relevante. El blindaje, compartido por tres detectores IGEX (2 kg germanio)
detectores isotópicamente enriquecidos al 86% en 76Ge) y el detector COSME, incluido desde el interior hasta el exterior 40 cm
de plomo, una caja de PVC (silicona sellada y rociada con nitrógeno), 2 mm de cadmio, centelleadores de plástico que trabajan en
anticoincidencia con los detectores Ge y 20 cm de polietileno. El blindaje fue modificado en julio de 2001
incluye sólo un detector de germanio de 2 kg dentro de un blindaje de neutrones más eficiente. Estas técnicas de pasivo
fondo muy bajo y una resolución de energía aguda en la región de valor Q, y métodos eficaces para desenredar
señal del ruido. Un ejemplo típico
Detectores de HPG, enriquecidos isotópicamente al 86% en 76Ge.
kg de volumen activo cada uno fueron operados: uno en la mina de oro Homestake (4000 m.e.p.), otro en el Baksan
Observatorio de Neutrino (660 m.e.p.) y el otro en el laboratorio subterráneo de Canfranc (Laboratorio 2 a 1380
m.w.e.). Se obtuvo un límite más bajo conservador en la semivida sin neutrinos de unos 1024 años.
El International Germanium Experiment (IGEX) tomó datos en el Laboratorio Subterráneo de Canfranc en España en
una profundidad de 2450 m.p.e. en una búsqueda de doble decaimiento beta sin neutrinos. Tres detectores de germanio (RG1, RG2
y RG3), de ~2 kg cada uno, enriquecidos al 86% en 76Ge. Se hicieron esfuerzos para reducir parte de la
fondo discriminándolo de la señal esperada en comparación de la forma de los pulsos (PSD) de ambos
tipos de eventos. El método se aplicó a los datos registrados por dos detectores Ge del IGEX, que
produjo uno de los dos mejores límites de sensibilidad de corriente para el parámetro de masa de neutrino de Majorana. En el segundo
se fabricaron tres grandes detectores (2 kg cada uno) (con mejoras derivadas del análisis de los datos de
Fase 1). Están instalados en el laboratorio subterráneo de Canfranc (Laboratorio 3 a 2450 m.e.p.) dentro de un bajo
blindaje de fondo compuesto de 40 cm de plomo, una caja de PVC (silicona sellada y rociada con nitrógeno), 2 mm de
cadmio, 20 cm de polietileno y un veto activo (cenicillos plásticos). Una discriminación en la forma del pulso (PSD)
técnica capaz de distinguir los eventos de un solo sitio (- eventos de desintegración, por ejemplo) de multisitio ev
los acontecimientos de fondo dominantes) se aplican. Nuevos límites de la semivida sin neutrinos y de la masa de neutrinos
el parámetro se obtuvo así de aquí.
En los detectores Ge intrínsecos grandes, los portadores de carga toman 300 - 500 ns para alcanzar sus respectivos electrodos. Estos
Los tiempos de deriva son lo suficientemente largos para que los pulsos actuales se registren a una velocidad de muestreo suficiente. El pulso actual
contribuciones de electrones y agujeros son corrientes de desplazamiento, y por lo tanto dependen de su instantánea
velocidades y ubicaciones. En consecuencia, los acontecimientos que ocurren en un solo sitio (por ejemplo, eventos de decadencia)
características de pulso de corriente asociadas que reflejan la posición en el cristal donde ocurrió el evento. Más
importante, estos eventos de un solo sitio (SSE) con frecuencia tienen formas de pulso que difieren significativamente de aquellos debido a
los eventos de fondo que producen pares de agujeros electrónicos en varios sitios mediante el proceso de dispersión multi-Compton, para
ejemplo (los llamados eventos multisitio (MSE)). En consecuencia, se utilizó el análisis en forma de pulso para distinguir
entre estos dos tipos de deposiciones de energía ya que los eventos DBD pertenecen a la clase SSE de eventos y
depositar energía en un solo sitio en el detector, mientras que la mayoría de los eventos de fondo pertenecen a la clase MSE de
eventos y depositará energía en varios
interés, aceptando el criterio de que aquellos eventos que tienen más de dos lóbulos no pueden ser debido a evento DBD.
- 6 -
blindaje activo, junto con la extrema pureza de los detectores y sus componentes, permitió un bajo
fondo de energía, así como un umbral lo suficientemente bajo que son únicos en este tipo de detectores. Por lo tanto, muy estricto
límites de contorno para secciones transversales y masas de partículas de materia oscura que interactúan con los núcleos de Ge a través de
interacciones independientes se derivaron de aquí. La necesidad de entender y rechazar los antecedentes en Ge-diode
Detector doble-beta experimentos de desintegración dieron lugar así al desarrollo de la técnica de análisis de la forma del pulso en
tales detectores para distinguir los depósitos de energía de un solo lugar de DBD de los depósitos múltiples. A partir de ahora, el
análisis fue extendido por personas DBD a detectores Ge segmentados para estudiar la eficacia de la combinación
segmentación con análisis de la forma del pulso para identificar la multiplicidad de los depósitos de energía.
Los cálculos de IGEX para un límite inferior a la semivida para el modo sin neutrinos donde había menos de
3.1 eventos candidatos (nivel de confianza del 90%) bajo un pico con FWHM = 4 keV y centrado en 2038,56 keV
corresponde a:
los requisitos para un experimento de próxima generación pueden deducirse fácilmente con referencia a (3.1)
donde N es el número de núcleos padres, t es el tiempo de conteo, y c es el límite superior del número de 0-
El recuento de decaimiento es consistente con el fondo observado. Para mejorar la sensibilidad de ‹m por un factor de 100, el
cantidad Nt/c debe incrementarse en un factor de 104. La cantidad N puede ser aumentada por un factor de ~102
sobre los experimentos actuales, de modo que t/c también debe mejorarse en esa cantidad. Puesto que los tiempos prácticos de conteo pueden
sólo se aumentará en un factor de 2 a 4, el fondo debe reducirse en un factor de 25 a 50 por debajo presente
niveles. Estos son aproximadamente los parámetros objetivo de la próxima generación sin neutrino doble-beta decaimiento
experimentos.
Histograma de los datos del IGEX en la región de energía de interés para el decaimiento. Los límites de la semivida y
También se muestra el parámetro de masa de neutrino.
El Efectivo / Masa: La sección de KKDK sobre la masa efectiva de neutrinos (“Vista Crítica al IGEX sin neutrinos”
experimento de decaimiento ouble-beta...” publicado en Phys. Rev. D, vol. 65 (2002) 092007, por H. V. Klapdor-
Kleingrothaus, A. Dietz e I. V. Krivosheina) comienza con: “A partir de su vida media incorrectamente determinada
limitar los autores afirman una gama de masa efectiva de neutrinos de (0,33-1,35) eV.” En respuesta a la colaboración de IGEX,
salió diciendo que KKDK seleccionó sólo los 52,51 mole·years de los datos de IGEX que habían sido sometidos a PSD
y obtenido T1⁄20 v > 7.1×1024 y utilizando el número máximo de conteos, 3.1, de los 117 mole·años completos de datos
, que es erróneo e injustificado. En otro caso, KKDK también decidió utilizar arbitrariamente todos los datos de IGEX
de la cual obtuvieron un límite de T1⁄20/ > 1,1 × 1025 y para el cual no había
justificación científica para seleccionar sólo los datos corregidos por la PSD, por un lado, e ignorar totalmente los corregidos por la PSD
Por otra parte, los datos. En la conclusión de KKDK dice: "el documento IGEX - aparte de la semivida demasiado alta
los límites presentados, como consecuencia de un error aritmético - es bastante incompleto en su presentación ". En respuesta a
este artículo la colaboración de IGEX publicó el artículo “El experimento IGEX revisitado: una respuesta a la crítica
de Klapdor-Kleingrothaus, Dietz y Krivosheina” donde declararon que no había ningún error aritmético
yryrGe 25
76 1057,1
1087.4
>T 0 ( /2/1 1.3)
).2(n0
2/1 =
- 7 -
y que el análisis de los datos publicados de IGEX presentados en KKDK es ilegítimo. Para obtener una mucho más corta
En la semivida, se analizaron arbitrariamente dos ~ mitades de los datos por separado. En lugar de tener 4.88×1025 y
en el numerador (ln2 N.t) utilizaron 2.2×1025 y. Sin embargo, utilizaron el límite superior del 90% CL en el número de conteos
bajo el pico, obtenido por IGEX a partir de todos los datos. En otro análisis, ignoraron el hecho de que 52.51
mole·years se corrigieron con PSD y se trató el conjunto completo de datos no corregidos. Naturalmente, los límites más bajos de
T1/2o/(76Ge) obtenido por estos procedimientos totalmente injustificados es más corto que el obtenido de
analizar el conjunto completo de datos. En este documento se indica en adelante “el límite inferior citado por IGEX, T1/20/ ≥ 1,57 × 1025
años, es correcto y que no hubo error aritmético como se afirma en el artículo Critical View.”
4. El experimento HEIDELBERG - MOSCOW
El experimento Heidelberg-Moscú en el laboratorio subterráneo Gran Sasso se dice ahora que es el más
Sensible experimento de doble desintegración beta sin neutrinos en todo el mundo. Ha contribuido de una manera extraordinaria a la
investigación en la física de neutrinos y, en particular, más allá de la física modelo estándar, y los límites para estos últimos son:
compitiendo con los de los mayores aceleradores de alta energía. El énfasis en la primera indicación para
y se encuentra en el experimento Heidelberg-Moscú viv viv primera evidencia del leptón neutrinoless doble beta deca gi
violación del número y la naturaleza majoranana de los neutrinos. La doble desintegración beta sin neutrinos podría responder
preguntas a la escala absoluta de la masa de neutrino y el carácter fundamental del neutrino si es un
Dirac o una partícula Majorana.
Entrada del túnel de la autopista bajo la montaña Gran Sasso.
Con el apoyo del LNGS se construyó el edificio experimental del experimento entre los pasillos A y B en
Gran Sasso, en el que el primer detector enriquecido 76 76Ge (el primer detector Ge enriquecido de alta pureza en todo el mundo)
fue instalado en julio de 1990. La primera labor de preparación se había llevado a cabo desde 1989 en una tienda provisional en el pabellón C.
ll cantidad de cinco detectores enriquecidos de 76Ge de un total de 11 kg fue finalmente instalado en 1995 y operado desde
Método n
plomo (detectores ## 1,2,3,5). Cada configuración está cubierta con carcasa de robo inoxidable. Non-
el nitrógeno puro dioactivo fue soplado a través de las carcasas para reducir la contribución de la emanación del radón. Para reducir los neutrones
fondo de la carcasa con detectores ##1,2,3,5 fue recubierto con polietileno borado y dos anticoincidencia
Se colocaron placas de centelleador plástico sobre la carcasa con el fin de reducir el componente muón. La configuración era
situado en el laboratorio subterráneo de Gran Sasso, Italia, a una profundidad de 3500 metros de agua equivalente al laboratorio
1996 con una forma de pulso recién desarrollada discriminatio
Los cristales de germanio de alta pureza, enriquecidos por isótopos de germanio-76 hasta el 86%, se utilizan como principales detectores
elementos. Cinco detectores coaxiales con un peso total de 11,5 kg (125 moles en el volumen activo de los detectores) son:
utilizado. Cada detector se encuentra en un criostato separado hecho de cobre electrolítico con bajo contenido de radioactividad
impurezas. La cantidad de otros materiales diseñados (hierro, bronce, aislantes de material ligero) se minimiza en orden
reducir la contribución factible de las impurezas radiactivas al fondo total de los detectores. Los detectores
se encontraban en dos cajas separadas con protección. Uno de ellos, de 270 mm de espesor, está hecho de cobre electrolítico (detector)
#4), el otro consiste en dos capas de plomo – interior -100mm de plomo de alta pureza de grado LCD2 y exterior – 200 mm
de fondo bajo Boliden
reduce la influencia de los rayos cósmicos en las condiciones de fondo del experimento. La electrónica y el sistema de
la recogida de datos permite registrar cada evento: el número (o números) del detector de acción, la amplitud y la forma del pulso,
y el veto anticoincidencia. El experimento Heidelberg-Moscú, con cinco enriquecido 86%-88% tipo p de alta pureza
Los detectores de germanio, de un total de 10,96 kg de volumen activo, utilizaron la mayor fuerza de fuente de todos los doble beta
experimentos en la actualidad, y alcanzó un nivel récord bajo de antecedentes. Los detectores fueron el primer Ge de alta pureza
Detectores jamás producidos. El grado de enriquecimiento fue comprobado por la investigación de pequeñas piezas de Ge después de cristal
producción utilizando el acelerador MP-Tandem de Heidelberg como espectrómetro de masa.
Los detectores, excepto el detector # 4, fueron operados en un blindaje Pb común de 30 cm, que consistía en un interior
blindaje de 10 cm radiopura LC2 Pb de grado seguido de 20 cm de plomo Boliden. Todo el montaje fue colocado en un
caja de acero hermética y rociado con nitrógeno radiopuro para suprimir la contaminación 222Rn del aire. Los
blindaje se mejoró en el curso de la medición. La caja de acero funcionaba desde 1994 centrada dentro de un 10
blindaje de polietileno con carga de boro cm para disminuir el flujo de neutrones desde el exterior. Una anticoincidencia activa
blindaje fue colocado en la parte superior de la configuración desde 1995 para reducir el efecto de muones. Detector # 4 fue instalado en un
montaje separado, que tenía un blindaje interior de 27,5 cm de Cu electrolítico, 20 cm de plomo, y carga de boro
debajo de la caja de acero, pero sin blindaje de muones. La configuración se mantuvo herméticamente cerrada desde entonces.
Estancamiento del detector #5 en febrero de 1995. Desde entonces no hay contaminaciones radiactivas del interior de la
la sensibilidad para la vida media es dada por (4.1)
ent son: resolución de energía, fondo y
e fuerza operada en un doble decaimiento beta
xperimento. El fondo alcanzado para el experimento fue de 0,113 ± 0,007 eventos/kg y keV (en el período 1995-1995).
fue el lim más bajo
blindaje de polietileno
la configuración experimental por el aire y el polvo del túnel podría ocurrir.
8
Con denotando el grado de enriquecimiento, la eficiencia del detector para la detección de un evento beta doble, M
la masa del detector (fuente), la resolución de la energía, B el fondo y t el tiempo de medición, la sensibilidad de
nuestro experimento enriquecido 76Ge de 11 kg corresponde al de un experimento natural de al menos 1,2 toneladas de Ge. Después
enriquecimiento - los otros parámetros más importantes de un experim
fuerza de la fuente. La alta resolución de energía de los detectores Ge de 0.2% o mejor, asegura que no hay fondo para un
Línea 0 del doble decaimiento beta de dos neutrinos en este experimento (5,5 × 10-9 eventos esperados en la energía
2035-2039.1keV), en contraste con la mayoría de los otros enfoques experimentales actuales, donde la energía limitada
la resolución es un grave inconveniente.
La eficacia de los detectores de Ge para la detección de eventos de decaimiento de 0 v ° es cercana al 100%. La fuerza de la fuente en el
El experimento Heidelberg-Moscú de 11kg fue el mayor agrio
~0 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. 02/1 Δ TBE
2003) en la región de decaimiento (alrededor de Q®). Esto lo obtuvo en este tipo de experimentos.
9
las estadísticas recopiladas en este experimento durante 13 años de funcionamiento estable es el más grande jamás recopilado en un
presentó un documento sobre “Medición del espectro bienergético
gion alrededor del valor Q de Ge neutrinoless doble-beta decaimiento”. En este trabajo presentaron las mediciones
f el espectro 214Bi de una fuente de 226Ra con un detector de germanio de alta pureza. Su atención fue mayormente
se centró en la región energética alrededor del valor Q de 76Ge neutrinoless doble-beta decaimiento (2039.006 keV). Los
los resultados de la medición están fuertemente relacionados con la primera indicación de doble decaimiento beta sin neutrones de 76Ge. Un
análisis de los datos recogidos durante diez años de mediciones por el experimento Heidelberg-Moscú, en Gran-
Sasso Underground Laboratory, da una primera indicación para el doble decaimiento beta sin neutrones de 76Ge. Un
importante de este análisis es la interpretación de los antecedentes, en la región alrededor del valor Q de la
doble decaimiento beta (2039.006 keV), como si contuviera varios fotopaseos débiles. Se ha sugerido y se ha mostrado
que cuatro de estos picos son producidos por una contaminación del isótopo 214Bi, cuyas líneas están presentes
en todo el espectro de fondo Heidelberg-Moscú.
En este trabajo realizaron una medición de una fuente de 226Ra con un detector de germanio de alta pureza. El objetivo de
este trabajo fue para estudiar la forma espectral de las líneas en la región de energía de 2000 a 2100keV y, la mayoría
importante, para mostrar la diferencia en esta forma espectral al cambiar la posición de la fuente con respecto a
el detector, y para verificar el efecto de TCS (True Coincidencia Summing) para las líneas débiles 214Bi visto en el
El experimento Heidelberg-Moscú. La actividad de la fuente 226Ra es de 95.2kBq. El isótopo 226Ra aparece en el
238U cadena de desintegración natural y de sus decaimientos también se produce 214Bi. El espectro γ de 214Bi es claramente visible en
el espectro medido de 226Ra. 214Bi es un isótopo natural: se produce en la cadena de desintegración natural 238U
a través de la desintegración β de 214Pb y la desintegración alfa de 218At. Con una posterior reacción β, 214Bi decae entonces en
214Po (la relación de ramificación con respecto a la α decaimiento en 210Tl es 99,979%). La decadencia, sin embargo, no conduce
d estado de 214Po, pero a sus estados excitados. De los decaimientos de esos estados excitados a la tierra
se obtiene el bien conocido γ-espectro de 214Bi, que contiene más de cien líneas.
la tabla que figura a continuación, se puede ver en la región de energía alrededor del valor Q de la descomposición 0 (2000-2100keV),
se espera una transición E0 con energía 2016.7keV. La transición E0 puede producir un
Doble experimento de desintegración beta. El experimento tomó datos durante ~ 80% de su tiempo de instalación. El valor Q para
recientemente se determinó con alta precisión la doble desintegración beta sin neutrinos.
Los antecedentes del experimento: (1) actividades primordiales de las cadenas de desintegración natural de 238 232U, Th, y 40K;
(2) radionucleidos antropogénicos, como 137 134 125 207Cs, Cs, Sb, Bi; (3) isótopos cosmogénicos, producidos por activación
debido a los rayos cósmicos durante la producción y el transporte; (4) el espectro de bremsstrahlungs de 210Bi (hija de 210Pb);
(5) dispersión de neutrones elásticos e inelásticos; y (6) eventos directos inducidos por muones.
H.V. Klapdor-Kleingrothaus, O. Chkvorez, I.V. Krivosheina y C. Tomei en el Max-Planck-Institut fur Kernphysik
en el grupo Heidelberg-Moscú 214
directamente al groun
el electrón de conversión o un par electrón-positrón, pero no podía contribuir directamente al espectro γ en el
región de energía considerada si la fuente se encuentra fuera del volumen activo del detector.
0.0502010.71
Intensidad(%)Energía (keV)
0.0782052.94
0,05020889,7
0,0202021,8
0,00582016.7
0.0502010.71
Intensidad(%)Energía (keV)
0,0202021,8
0,00582016.7
0.0782052.94
0,05020889,7
La intensidad de cada línea se define como el número de fotones emitidos, con la energía correspondiente, por 100
decaimientos del nucleido padre. Las consideraciones para la medición fueron la eficiencia del detector (que
depende del tamaño del detector y del detector de fuentes de distancia) y del efecto llamado Verdadera Coincidencia
Summing (TCS). Las vidas de los niveles de excitación atómica son mucho más cortas que el tiempo de resolución de la
detector. Si se emiten dos rayos gamma en cascada, hay cierta probabilidad de que se detecten
- 10 -
lled in
. La medición de Bi
pectro, con un detector de germanio de alta pureza, en la región de energía alrededor del valor Q de 76Ge neutrinoless
se realizó el decaimiento (2039.006keV) con la fuente de 226Ra utilizada para las mediciones posicionadas, en una primera
paso la fuente fue colocada en la parte superior del detector, directamente en contacto con la tapa de cobre (geometría cercana)
y en un segundo paso la fuente se movió a 15 cm de distancia de la tapa del detector (geometría lejana). Los resultados de la
mediciones muestran que, si la fuente está cerca del detector, las intensidades de las líneas Bi débiles en la energía
región 2000 - 2100keV no se encuentran en la misma proporción que la indicada en la Tabla de Isótopos. Los resultados del análisis de la
datos recogidos por el experimento Heidelberg-Moscú con los cinco detectores, dando una primera indicación para el
doble decaimiento beta sin neutrinos de 76Ge, muestra que cuatro líneas 214Bi están presentes en la región de energía de 2000 a
2080keV (muchas otras líneas fuertes del mismo isótopo están presentes en el espectro), debido a la presencia de
bismuto en la configuración experimental, especialmente en el cobre en las proximidades de los cristales de Ge.
Juntos. Si esto sucede, entonces se registrará un pulso que representa la suma de las energías de los dos
fotones individuales, en lugar de dos pulsos separados con energías diferentes. El efecto TCS puede resultar tanto en
menor intensidad de pico para los picos de energía completa y en mayor intensidad de pico para aquellas transiciones cuya energía puede ser
dada por la suma de dos rayos gamma de menor energía. En este caso, las líneas a 2010.7 keV y 2016.7 keV pueden ser
dada por la coincidencia del fotón 609.312 keV (línea más fuerte, intensidad = 46,1%) con el 1401.50keV
fotón (intensidad = 1,27%) o con el fotón 1407,98keV (intensidad = 2,15%). El grado de TCS depende de
la probabilidad de que se detecten simultáneamente dos rayos gamma que es una función
de la geometría del detector y del ángulo sólido subtendido en el detector por la fuente y para esto las intensidades
de las dos líneas mencionadas anteriormente (2010.71keV y 2016.7keV) se espera que dependan de la posición de la
fuente con respecto al detector.
Los espectros de 226Ra γ-ray se midieron utilizando un sistema de espectroscopia de γ-ray basado en un detector HPGe insta
la sala de operaciones del experimento HEIDELBERG-MOSCOW en el Gran Sasso Underground Laboratory, Italia.
El detector coaxial de germanio tenía un diámetro externo de 5,2cm y 4,9cm de altura. La distancia entre el
la parte superior del detector y la tapa de cobre se mantuvo a 3,5 cm. La eficiencia relativa de detección del detector fue
23% y la resolución energética es 3.6keV para el rango de energía 2000-2100keV 214
doble-be
La figura anterior muestra el espectro de suma de los detectores de 76Ge 1,2,3,4 y 5 durante el período de agosto
1990 a mayo de 2003, según consta en el experimento Heidelberg-Moscú.
11
No hay análisis de hipótesis nulas que demuestren que los datos requieren un pico. Además, no se ha realizado ninguna simulación
demostrar que el análisis encuentra correctamente verdaderos picos o que no encontraría picos si ninguno
Existía. Las simulaciones de Monte Carlo de espectros que contienen diferentes números de picos son necesarias para confirmar el
significación de cualquier pico encontrado.
2. Hay tres picos no identificados en la región de análisis que tienen mayor importancia que el 2039-keV
El pico. No se discute el origen de estos picos.
3. No se discute lo sensibles que son las conclusiones a los diferentes modelos matemáticos. Hay un
la publicación anterior de Heidelberg-Moscú que da un límite inferior de 1,9 × 1025 y (nivel de confianza del 90%). Esto es
en conflicto con el “mejor valor” de un papel KDHK más nuevo de 1,5 × 1025 y. Esto indica una dependencia de la
resultados sobre el modelo de análisis y la evaluación de antecedentes.
En este documento se afirma que también deben realizarse otras comprobaciones cruzadas del resultado. Por ejemplo,
no hay discusión de cómo una variación del tamaño de la ventana de análisis elegida afecta la importancia de la
pico hipotético. No existe un análisis relativo de la fuerza máxima de todos los picos de 214Bi. Evaluaciones cuantitativas
debe hacerse en los cuatro picos de 214Bi en la región de interés. No hay ningún estado de la tasa neta de recuento de la
picos distintos del pico 2039-keV. No haber una presentación de todo el espectro, es difícil de comparar
fortalezas relativas de picos. No se discuten los picos de fuerza relativos antes y después del sitio único.
corte de evento.
Por otra parte, el grupo Heidelberg-Moscú afirma que la señal encontrada en Qáš consiste en un solo sitio
eventos y no es una línea γ. La señal no ocurre en los experimentos de Ge no enriquecidos en el emisor beta doble
76Ge, mientras que las líneas de fondo vecinas aparecen consistentemente en estos experimentos. Sobre esta base tradujeron
el número observado de eventos en semividas para la doble desintegración beta sin neutrones.
El experimento Heidelberg-Moscú continuó regularmente desde 1990 hasta 2003. Análisis de los datos completos tomados
con el experimento Heidelberg-Moscú en el período comprendido entre el 2 de agosto de 1990 y el 20 de mayo de 2003. Los
Heidelberg-Moscú 76Ge Experimento -71,7 kg y después de 13 años de operación presenta su masa
Estado del límite de cálculo como m/ (eV) = 0,24 - 0,58 ( 99,997% C.L.) con el mejor valor de 0,4 eV (95% C.L.).
hile una interpretación inequívoca de todos los experimentos de oscilación de neutrinos no es todavía posible, es
bundantemente claro que los neutrinos exhiben propiedades no incluidas en el modelo estándar, a saber, masa y sabor
arco que empleará 500 kg de Ge,
a. El experimento Majorana se propone para un laboratorio subterráneo profundo de EE.UU.,
ERIMENTS. Además, el nuevo detector Ge segmentado
rendimiento yogénico y reducción de los antecedentes y
Los experimentos de Moscú e IGEX utilizaron germanio enriquecido al 86% en Ge y operaron en profundidad
En un artículo de Klapdor-Kleingrothaus, Dietz, Harney, y Krivosheina (en adelante KDHK) la evidencia es
reclamado por cero-neutrino doble-beta decaimiento en 76 Ge. Los datos de alta calidad, en los que se basa esta afirmación, fueron:
compilado por los dos esfuerzos cuidadosos de la colaboración Heidelberg-Moscú, y está bien documentado. Sin embargo, el
análisis en KDHK hace una reclamación extraordinaria, y por lo tanto requiere una fundamentación muy sólida de acuerdo con
otro artículo “Comentario sobre la evidencia de doble decaimiento beta sin neutro” C.E.Aalseth et al. Alegan que:
gran número de cuestiones no se abordaron en el KDHK, algunas de las cuales son:
Se ha presentado un informe sobre la situación de los derechos humanos en la República Democrática del Congo.
5. El experimento MAJORANA propuesto
mezcla. En consecuencia, las búsquedas sensibles para la desintegración de doble beta sin neutrino (0-decay) son más importantes que
Nunca. Experimentos con grandes cantidades de Ge, isotópicamente enriquecidos en 76Ge, han demostrado hasta ahora ser los más
sensible, específicamente los experimentos Heidelberg-Moscú e IGEX con límites más bajos en sensibilidades de semivida
1.9×1025 y 1.6×1025 y respectivamente. Se requerirá una nueva generación de experimentos para que sean significativos
mejora de la sensibilidad, uno de los cuales es el experimento propuesto de Majorana.
El experimento Majorana es una decaimiento de doble beta de la próxima generación.
enriquecido isotópicamente hasta el 86% en Ge, en forma de ~200 detectores en un conjunto cerrado para una granularidad alta.
Cada cristal será segmentado electrónicamente, con cada región equipada con electrónica de análisis en forma de pulso. A
Se predice una sensibilidad a la semivida de 4,2 × 1027 años o < m ~ 0,02 - 0,07 eV, dependiendo de la matriz nuclear
elementos utilizados para interpretar el dato
y requiere muy poca I+D tal como se encuentra sobre los hombros técnicos del experimento IGEX y otros anteriores.
Caída exitosa de doble beta y exp de fondo bajo
tecnología recientemente ha llegado a estar disponible comercialmente, mientras que Pacific Northwest National Laboratory
(PNNL)/Universidad de Carolina del Sur (USC) investigadores han desarrollado nueva discriminación en forma de pulso
técnicas.
Varias configuraciones han sido evaluadas con respecto a cr
Rechazo. Se concentrará en un diseño modular convencional utilizando tecnología de criostato de fondo ultrabaja
desarrollado por IGEX. También utilizará nuevas técnicas de hardware y software de discriminación en forma de pulso
desarrollado por la colaboración Majorana y segmentación de detectores para reducir el fondo. El Heidelberg...
Underground. La proyección para el Majorana es que el fondo se reducirá en un factor de 65 sobre el
primeros resultados IGEX antes del análisis de la forma del pulso (de 0,2 a ~0,003 keV-1
12
germanio limitando el tiempo sobre el suelo después del crecimiento del cristal, selección cuidadosa del material
marcialmente compuesto de múltiples
o o
el mineral de los segmentos independientes. Cuando se encuentran coincidencias, la salida de todos los segmentos del detector es
nly del pico de toda la energía yace encima de una característica sin
kg-1 y-1). Esto ocurrirá principalmente por el
Decaimiento del fondo interno debido a reacciones cosmogénicas de espalda de neutrones que producen 56 58 60Co, Co, Co,
65Zn y 68Ge en el
y criostatos de cobre electroformantes. Uno de los componentes de la reducción de los antecedentes se derivará de la
Segmentación y granularidad de la matriz del detector.
La mayor parte del continuum Compton consiste en scatterings individuales Compton seguidos por escape de los dispersos
rayos gamma, mientras que los eventos de energía completa en las energías típicas de rayos gamma son
secuencias de dispersión seguidas de una absorción fotoeléctrica. Por lo tanto, la relación pico-Compton puede ser
aumentada al exigir que un evento registrado corresponda a más de una interacción dentro del detector antes de su
aceptación. En los detectores de germanio, esta selección se realiza generalmente subdividiendo el detector en
varios segmentos (o la provisión de varios detectores independientes adyacentes) y la búsqueda de pulsos coincidentes de tw
resumidos y grabados. El espectro resultante se compone de
continuum que está muy suprimido y no tiene bordes abruptos de Compton. Nuevos experimentos de Ge no deben ser simplemente
una expansión del volumen de IGEX o Heidelberg-Moscú. Deben tener antecedentes superiores de rechazo y mejor
estabilidad electrónica. La suma de 200 espectros de energía individuales puede dar lugar a una pérdida grave de la resolución de la energía
para el experimento general que puede evitarse segmentando detectores de ge intrínsecos de tipo n, PSD avanzado
técnicas y estabilidad electrónica en la medición.
La figura anterior representa un esquema estándar de segmentación de detectores Ge. Esta es la configuración de la SEGA
detector sometido a pruebas por la colaboración Majorana. Una configuración con segmento seis-azimutal por dos-
geometría axial-segmento se muestra en la figura anterior.
Por lo tanto, se están realizando esfuerzos con el experimento Majorana para la búsqueda de doble decaimiento beta sin neutros que daría
una nueva forma al modelo estándar de la física. Majorana no puede ser simplemente una expansión de volumen de IGEX, pero
debe tener antecedentes superiores de rechazo. Como se demostró concluyentemente que el fondo limitante en al menos
algunos experimentos anteriores han sido la activación cosmogénica del propio germanio, es necesario mitigar
esas fuentes de antecedentes. La actividad cosmogénica afortunadamente tiene ciertos factores que la discriminan de la
señal de interés. Por ejemplo, mientras que 0 -decay depositaría 2 MeV entre dos electrones en un pequeño,
tal vez 1 mm3 volumen, depósitos internos de decaimiento de 60Co alrededor de 318 keV (punto final) en energía beta cerca de la descomposición
átomo, mientras que simultáneamente 1173 keV y 1332 keV gammas pueden depositar energía en otro lugar en el cristal, la mayoría
Probablemente ambos en más de un lugar, para una energía total capaz de alcanzar la región de interés de 2039 keV. A
situación similar existe para la decadencia interna de 68Ge. Así, la multiplicidad de deposición-ubicación distingue la doble beta
decaimiento de la importante cosmogenicidad de larga vida en el germanio. Isótopos como 56 57 58Co, Co, Co y 68Ge son
producido a una velocidad de aproximadamente 1 átomo por día por kilogramo en la superficie de la Tierra. Sólo 60Co y 68Ge tienen ambos
la energía y la semivida que debe preocupar. Para perseguir el parámetro de multiplicidad, en primer lugar, el pulso de corriente del detector
forma lleva con él el registro de la deposición de energía a lo largo de las líneas de campo eléctrico en el cristal, es decir, el radial
13
imensión de detectores cilíndricos. Esta información puede explotarse mediante la discriminación en forma de pulso.
los contactos eléctricos del detector pueden dividirse para producir regiones independientes de carga;
colección. La capacidad de nuevas técnicas para ser fácilmente calibrados para detectores individuales los hace prácticos para
grandes conjuntos de detectores. La calibración de pulsos de un solo sitio se realizó trivialmente al recoger pulsos de
mineral de torio; el rayo gamma 2614,47-keV de 208Tl produce un pico de doble escape en gran parte de un solo sitio en 1592.47
keV. El discriminador PSD fue entonces calibrado a las propiedades del pico de doble escape A ligeramente mejorado
El pico de doble escape se hizo a partir del rayo gamma 26Al de 2938,22-keV. El doble escape aparece en
1916.22 keV, sólo alrededor de 120 keV lejos de la región de interés esperada para 0-decay. Lo obvio y
el uso directo de la discriminación de la forma del pulso y la segmentación es el rechazo de los pulsos cosmogénicos en el germanio
a sí mismo. Sin embargo, el enfoque también debe ser eficaz en los rayos gamma del blindaje y los materiales estructurales.
Los efectos de fondo de los neutrones de alta energía (muón cósmico generado) y baja energía (fisión y
(α,n) de la roca) podría ser protegido por la segmentación y granularidad de los detectores. Estos neutrones podrían
también producen otras actividades no deseadas como la formación de 3H y 14C en nitrógeno de alta y baja energía
neutrones, respectivamente. Afortunadamente, los detectores Majorana no estarán rodeados de nitrógeno a alta densidad.
El GERDA (Asambleo de detectores de GERmanium), que es otra nueva generación de 76Ge doble decaimiento beta
experimento en el Gran Sasso Underground Laboratory, ha proyectado una sensibilidad en la semivida del 0-
modo de desintegración que es menor que el experimento propuesto Majorana. En conclusión, el proyecto Majorana ha sido
diseñado de forma compacta y modular de tal manera que pueda ser construido y operado con alta confianza en el enfoque
y la tecnología. Los primeros años de construcción permitirán emplear métodos de refrigeración alternativos si
tienen una ventaja y deben demostrarse para superar preocupaciones a largo plazo debido a la contaminación de la superficie,
iones inducidos por muones, y difusión. La colaboración Majorana ha realizado un extenso análisis de los pronósticos
los antecedentes y su impacto en la sensibilidad final del experimento. El experimento Majorana representa un
gran aumento de la masa de Ge sobre IGEX con nuevos detectores Ge segmentados y los nuevos sistemas electrónicos para
discriminación en forma de pulso. Su conclusión es que con 500 kg de Ge, enriquecido al 86% en el isótopo 76Ge, el
Majorana matriz que funciona durante 10 años, incluyendo el tiempo de construcción, puede alcanzar un límite inferior en T1/20 v de 4×1027
años. Esto corresponde a un límite superior de < m > de 0,038 ± 0,007eV. Una ventaja de 76 / Ge es que puede
Por lo que se refiere a la aplicación de la directiva, el Parlamento Europeo y el Consejo han adoptado una posición común sobre la propuesta de directiva del Parlamento Europeo y del Consejo relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros relativas a los impuestos sobre el volumen de negocios y a los impuestos sobre el volumen de negocios.
6 Conclusión
eutrinoless doble beta decaimiento es por lo tanto uno de los enfoques más sensibles con grandes perspectivas para probar pN artículo
Hisics más allá del Modelo Estándar. Las posibilidades de utilizar 0 decaimiento para limitar las masas de neutrino, izquierda–
modelos simétricos ght, escenarios SUSY y leptoquark, así como números de lepton efectivos violando acoplamientos,
han sido revisados. Es una sonda muy sensible al número de leptón que viola términos en el Lagrangian tales como el
Majorana masa de los neutrinos ligeros, acoplamientos débiles diestros que involucran a los neutrinos Majorana pesados, así como
como Higgs y otras interacciones que implican la violación de la conservación de la quiralidad.
14
En busca de doble desintegración beta sin neutrino 76Ge como el material de origen tiene múltiples ventajas. Tiene alta
Resolución (< 4 keV en Qó) sin fondo desde el modo 2 v. Un gran salto en sensibilidad es posible aplicando
Técnicas de fondo ultra-baja y discriminación de señales. Puede haber un enfoque escalonado en el
experimentar con el incremento de la masa objetivo. La fuente y el detector son el mismo material, reduciendo así
fondo y el mantenimiento de la geometría 4η y la única manera de examinar 0 v – DBD reclamación en escala de tiempo corto:
ya que prueba T1/2 y no mü. Las consecuencias de la doble decaída beta sin neutrones son- [1] Número total de Lepton
violación: La consecuencia más importante de la observación de la doble desintegración beta sin neutrinos es que el leptón
el número no se conserva. Esto es fundamental para la física de partículas. [2] Naturaleza Majorana del neutrino: Otro
consecuencia fundamental es que el neutrino es una partícula Majorana. Ambas conclusiones son independientes de
cualquier discusión sobre los elementos de la matriz nuclear. [3] Masa efectiva de neutrinos: El elemento matricial entra cuando derivamos
un valor para la masa efectiva del neutrino - haciendo la suposición más natural que la amplitud del decaimiento 0 es
dominado por el intercambio de un gran neutrino Majorana.
Agradecimientos
Quiero agradecer la colaboración del IGEX, la colaboración Heidelberg-Moscú y la Majorana.
n por haber utilizado la información de los trabajos mentales para redactar esta revisión.
eferencias
oration), Physics Review D (2002)
Lett. A(2002), hep-ph/0202018 C. E.
hed 76Ge en Gran Sasso 1990-2003 Heidelberg-Moscú
o-Kleingrothaus, I.V. Krivosheina, A.Dietz, O.Chkvoretz, Cartas de Física B 586(2004) 198-212.
m el experimento de doble desintegración beta Heidelberg-Moscú”, (Colaboración Heidelberg Moscú),
Eur. Phys. J. A 12, 147-154 (2001).
collaboratio eir exper ef
[1] “Buscar doble desintegración beta sin neutrinos con 76Ge enriquecido en Gran Sasso 1990-2003”, H.V. Klapdor-Kleingrothaus,
I.V. Krivosheina, A. Dietz, O. Chkvorets, Phys. Lett. B 586 (2004) 198 - 212 y hep-ph/0404088.
[2] “Experimentos de desintegración de doble beta de próxima generación: métricas para su evaluación”, F T Avignone III, G S King III y Yu G
Zdesenko, New Journal of Physics 7 (2005)
[3] “Double-beta decaimiento”, Steven R Elliott y Jonathan Engel, J. Phys. G: Física nuclear y de partículas.
[4] “Nuevo potencial físico de doble decaimiento beta y búsqueda de materia oscura”, H.V. Klapdor-Kleingrothaus, H. Pas, Talk
presentado por Heinrich Pas atthe en el 6th Symp. sobre Partículas, Cuerdas y Cosmología (PASCOS’98), Boston, marzo de 1998
[5] H.V. Klapdor-Kleingrothaus et al. Mod. Phys. Lett. A 16 (2001) 2409 - 2420.
[6] H.V. Klapdor-Kleingrothaus, A. Dietz, I.V. Krivosheina, Part. & Nucl. 110(2002)57.
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[8] H.V. Klapdor-Kleingrothaus, A. Dietz, I.V. Krivosheina, Ch. Dorr, C. Tomei, Phys. Lett. B 578 (2004) 54-62 y hep-
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[9] H.V. Klapdor-Kleingrothaus et al., (Colaboración Heidelberg-Moscú.), Eur. Phys. J. A 12(2001)147.
10] “IGEX [ 76Ge experimento de desintegración de doble beta sin neutrones: Perspectivas para experimentos de próxima generación”, C.E.Aalseth et al.,
(El collab IGEX
[11] H.V.Klapdor-Kleingrothaus, A.Dietz, I.V.Krivosheina y O.Chkvorets, Nucl. Instr. Meth. A 522 (2004) 371-406.
[12] “Heidelberg - Moscú Experimento. Primera evidencia para la violación del número de Lepton y el carácter majorana de
Neutrinos” H.V. Klapdor-Kleingrothaus e I.V. Krivosheina
[13] “Buscar un experimento de doble beta sin neutrones con enriquecimiento 76Ge 1990-2003 Heidelberg-Moscú”
H.V.Klapdor-Kleingrothaus, I.V. Krivosheina, A.Dietz, C.Tomei, O.Chkvoretz, H.Strecker hep-ph/0404062 (2004)
[14] “Discriminación de la forma pulsiva en el experimento IGEX”, D. Gonzalez et al, hep-ex/0302018.
[15] “Comentario sobre la evidencia de doble decaimiento beta sin neutros”, Mod. Phys.
Aalseth et al.
[16.] “El experimento IGEX revisitó: una respuesta a la crítica de Klapdor-Kleingrothaus, Dietz y Krivosheina”,
C.E.Aalseth et al. (La colaboración IGEX), nucl-ex/0404036.
[17] “The Majorana 76Ge Double-Beta Decay Project”, The Majorana Collaboration, hep-ex/0201021
[18] H.V. Klapdor-Kleingrothaus, O. Chkvorez, I.V. Krivosheina, C. Tomei, Nucl. Instrum. Meth. A (2003), “Medición
del espectro 214Bi en la región energética alrededor del valor Q de 76Ge neutrinoless doble-beta decaimiento”
[19] “Vista crítica del experimento de desintegración de doble beta sin neutrones IGEX” H. V. Klapdor-Kleingrothaus, A. Dietz e I. V.
Krivosheina, hep-ph/0403056.
[20] “Resultados del experimento de investigación de la doble desintegración beta de Germanium-76 - Datos experimentales de Heidelberg-
Colaboración en Moscú de noviembre de 1995 a agosto de 2001”, A. M. Bakalyarov, A. Ya. Balysh, S.T. Belyaev, V.I. Lebedev, S.V.
Zhukov, Phys.Part.Nucl.Lett. 2 (2005) 77-81, hep-ex/0309016.
[21] “El experimento propuesto Majorana 76Ge doble-beta decaimiento”, The Majorana Collaboration, Nuclear Physics B
138(2005) 217-220.
22] “Buscar doble decaimiento beta sin neutrones con Enric [
Experimento” H.V.Klapd
[23] “Resultados más recientes
|
704.0064 | Nilpotent symmetry invariance in the superfield formulation: the
(non-)Abelian 1-form gauge theories | arXiv:0704.0064v5 [hep-th] 24 Oct 2008
arXiv:0704.0064 [hep-th]
CAS-PHYS-BHU/Preprint
INVESTIGACIÓN NILPOTENTE DE LA SIMMETRÍA EN EL SUPERFIELDO
FORMULACIÓN: TEORÍAS DE GARRO DE 1 FORMULARIO (NO-)BELIAN
R. P. MALIK
Centro de Estudios Avanzados, Departamento de Física,
Universidad Hindú de Banaras, Varanasi - 221 005, (U.P.), India
Correo electrónico: rudra.prakash@hotmail.com; malik@bhu.ac.in
Resumen: Capturamos el off-shell así como el en-shell nilpotente Becchi-Rouet-Stora-
Tyutin (BRST) e invariabilidad de la simetría anti-BRST de las densidades lagrangianas de la
cuatro (3 + 1)-dimensional (4D) (no-)Abelian 1-form calibra teorías dentro del marco
del formalismo supercampo. En particular, proporcionamos las interpretaciones geométricas para (i)
la invarianza de simetría nilpotente anterior, y (ii) las densidades lagrangianas anteriores, en el
lenguaje de las cantidades específicas definidas en el dominio del formalismo supercampo antes mencionado.
Algunos de los puntos sutiles, conectados con las teorías de calibre 4D (no-)Abelian 1-forma, son
clarificado en el marco del formalismo supracampo anterior donde el 4D ordinario
calibrado teorías se consideran en el (4, 2)-supermanifold dimensional parametrizado por el
cuatro coordenadas del espacio-tiempo xμ (con μ = 0, 1, 2, 3) y un par de variables Grassmannianas
y. Uno de los principales resultados de nuestra investigación actual es una gran simplificación
en la comprensión geométrica de la invariabilidad de la simetría nilpotente (anti-)BRST.
Números PACS: 11.15.-q, 12.20.-m, 03.70.+k
Palabras clave: formalismo de Superfield; (no-)Teorías de calibre de 1 forma abelianas; (anti-)
metrias; invarianza de simetría; condición de horizontalidad; interpretaciones geométricas
http://arxiv.org/abs/0704.0064v5
1 Introducción
El enfoque geométrico supercampo [1-8] al formalismo Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST)
es uno de los enfoques más atractivos e intuitivos que nos permite obtener
ideas sobre las estructuras hermosas (pero abstractas matemáticas) que se asocian con
las transformaciones de simetría (anti-)BRST nilpotentes y sus correspondientes generadores.
Estas últimas cantidades juegan un papel muy decisivo en (i) la cuantificación canónica covariante de
las teorías del calibrador, ii) la prueba de la unitariedad de las teorías del calibrador “quantum” en cualquier
orden arbitrario de cálculos perturbadores para un proceso físico dado (que está permitido
por la teoría), iii) la definición de los estados físicos de las teorías calibradoras “quantum”
en el espacio cuántico Hilbert, y (iv) la descripción cohomológica de los estados físicos
del espacio cuántico Hilbert w.r.t. la carga BRST conservada y nilpotent.
Para ser específico, en la formulación de supercampo [1-8] de las teorías 4D 1-forma calibrador, uno
define la super curvatura de 2-formas Fû (2) = d(1)+ i Ã(1)Ã(1) en términos del super exterior
Derivado d? = dx + d + d (con d?
2 = 0) y la conexión super 1-forma Ã(1) en
a (4, 2)-dimensional supermanifold parametrizado por las variables habituales del espacio-tiempo xμ (con
μ = 0, 1, 2, 3) y un par de anticonmutadores (es decir, 2 = 2 = 0, + = 0) Grassmanniano
Variables de los tipos de las utilizadas para calcular el valor de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2. El anterior super 2-forma se equipara posteriormente, debido a la llamada
condición de horizontalidad [1-8], a la curvatura ordinaria 2-forma F (2) = dA(1) + iA(1) فارسى A(1)
definido en el común plano 4D Minkowski espacio tiempo múltiple en términos de lo ordinario
derivado exterior d = dx (con d
2 = 0) y la conexión de 1 forma A(1) = dxμAμ. Los
por encima de la derivada super exterior dū y la conexión super 1-forma Ã(1) son la generalización de
el derivado exterior ordinario 4D d y la conexión de 1 forma A(1) a la (4, 2)-dimensional
supermanifold porque dû → d, Ã(1) → A(1) en el límite (, ) → 0.
La condición de horizontalidad anterior (HC) ha sido referida como la con-
sión en [9] que equivale a establecer igual a cero todos los componentes Grassmannian de
el súper tensor de segundo rango (anti)simétrico que constituye la super curvatura de 2 formas
Fû (2) en el supermanifold (4, 2)-dimensional. Las principales consecuencias, que surgen de
los HC, son (i) la derivación de las transformaciones de simetría (anti-)BRST nilpotentes para
los campos de gálibo y (anti-)ghost de una determinada teoría de gálibo 4D 1-forma, (ii) el geométrico
interpretación de las transformaciones de simetría (anti-)BRST para los campos locales 4D como la
traducción de los supercampos correspondientes a lo largo de las direcciones grassmannianas del su-
permanifold, (iii) la interpretación geométrica de la propiedad nilpotency como un par de
traducciones sucesivas del supercampo a lo largo de una dirección particular de Grassmannian de la
supermanifold, y (iv) la interpretación geométrica de la propiedad anticomputatividad
de las transformaciones de simetría (anti-)BRST para un campo local 4D como la suma de (a)
traducción del supercampo correspondiente en primer lugar a lo largo de la dirección
a lo largo de la dirección, y (b) la traducción del mismo supercampo primero a lo largo de la
-dirección seguida de la traducción a lo largo de la dirección.
Cabe señalar que el HC antes mencionado (es decir, F (2) = F (2)) es válido para los no abelianos (es decir, los no abelianos).
A (1) n)-A (1) n) 6= 0) Teoría del calibre de 1 forma, así como el Abeliano (es decir. A(1)•A(1) = 0) 1-forma
calibrador de la teoría. Como era de esperar, para ambos tipos de teorías, el HC conduce a la derivación de la
transformaciones de simetría (anti-)BRST de nilpotente para los campos de calibrador y (anti-)fantasma de
las respectivas teorías. Ponemos énfasis en el hecho de que el HC no arroja ninguna luz
sobre la derivación de las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST asociadas con
los campos de materia de la interacción 4D (no-)Abelian 1-forma calibre teorías.
En un reciente conjunto de documentos [10-17], la condición HC anterior se ha generalizado, en un
de manera consistente, para calcular las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST
asociado con los campos de materia de un 4D determinado interactuando con la teoría del medidor de 1 forma (junto con
las conocidas transformaciones nilpotentes para los campos calibrador y (anti-)fantasma) sin
estropeando las lindas interpretaciones geométricas de las transformaciones de la simetría (anti-)BRST
(y sus correspondientes generadores) que emergen solamente del HC. Este último enfoque
ha sido bautizado como el enfoque de supercampo aumentado al formalismo BRST donde el
restricciones impuestas a los supercampos (4, 2)-dimensionales son: i) el HC más la invarianza
de la materia (super) Noether corrientes conservadas [10-14], (ii) el HC más la igualdad de
cualquier cantidad (super) conservada [15], iii) el HC más una restricción que deba su origen
a la invariabilidad del calibrador y a los derivados covariantes (super) sobre la materia (super)campos
[16,17], y (iv) una alternativa al HC donde la invarianza del gálibo y la propiedad
de un par de derivados covariantes (super) en los campos de materia (super) (y sus
la conexión con las (super) curvaturas) desempeñan un papel crucial [18-20].
En todos los enfoques anteriores [1-20], sin embargo, la invarianza de las densidades lagrangianas
de las teorías 4D (no-)Abelian 1-form calibrador, bajo la simetría nilpotente (anti-)BRST
transformaciones, todavía no se ha discutido en absoluto. Algunos intentos en esta dirección han
se han hecho en nuestras obras anteriores donde las características topológicas específicas [21,22] de la 2D
libre (no-)Abelian 1-forma calibrado teorías han sido capturados en la formulación de supercampo
[23-25]. En particular, la invarianza de la densidad lagrangiana bajo el nilpotente y
las transformaciones de la simetría (anti-)BRST y (anti-)co-BRST han sido ex-
presionado en términos de los supercampos y los derivados Grassmannian en ellos. Estos son,
Sin embargo, un poco más involucrado en la naturaleza debido a la existencia de un nuevo conjunto de nilpotent
(anti-)co-BRST simetrías en la teoría. Las interpretaciones geométricas para el La-
densidades grangianas y el tensor simétrico de energía-momento (para el
la teoría) también se han proporcionado en el marco de la formulación de supercampo.
El propósito de nuestro presente trabajo es capturar la invariabilidad de la simetría (anti-)BRST de
la densidad lagrangiana de las teorías de calibre 4D (no-)Abelian 1-forma dentro del marco
del enfoque de supercampo al formalismo BRST y para demostrar que la
intentar la invarianza podría ser entendido de una manera muy simple en términos de la traducción
generadores a lo largo de las direcciones Grassmannian de la (4, 2)-dimensional supermanifold en
que se consideran las teorías 4D de ancho ordinario anteriores. Además, la razón detrás de
la existencia (o inexistencia) de cualquier transformación específica de la simetría nilpotente podría
También debe explicarse en el marco del enfoque de supercampo antes mencionado. Demostramos
la singularidad de la existencia de las transformaciones de simetría (anti-)BRST nilpotentes
para la densidad lagrangiana de una teoría de calibre U(1) Abelian 1-forma. Vamos un paso más allá.
y mostrar la existencia de las transformaciones de simetría BRST nilpotent para el
Densidades lagrangianas (cf. (4.1) y (4.4) infra) de la teoría del calibre de 1 formulario no abeliano 4D
y aclarar la no existencia de las transformaciones de simetría anti-BRST para
densidades lagrangianas cíficas en el marco de la formulación supercampo (cf. sección
5 infra). Por último, proporcionamos la base geométrica para la existencia de la off-shell nilpo-
transformaciones de simetría (anti-)BRST (y sus correspondientes
generadores) para las densidades Lagrangianas específicamente definidas (cf. (4.7) y/o (4.8) infra)
de la teoría 4D no-Abelian 1-forma de calibre en el medidor de Feynman.
Los factores motivadores que nos han impulsado a continuar nuestra presente investigación son:
del siguiente modo. En primer lugar y ante todo, a lo mejor de nuestro conocimiento, la propiedad de la simetría
la varianza de una densidad dada de Lagrangian todavía no ha sido capturado en el lenguaje de la
enfoque superfield al formalismo BRST. En segundo lugar, la anterior (anti-) invarianza BRST de la
la teoría nunca se ha demostrado, de la misma manera simplificada, como lo demostramos en nuestro presente
Esforzarse. Las interpretaciones geométricas para (i) la existencia de lo anterior nilpotente
(anti-)Invarianza de la simetría de BRST, y (ii) las condiciones en la cáscara del nilpotente en la cáscara
(anti-)Simetrías BRST, resultan ser bastante transparentes en nuestro trabajo actual. Tercero, nosotros
establecer la singularidad de la existencia de la (anti-)invarianza de la simetría BRST en su
diversas formas. También se explica la inexistencia de la transformación de la simetría específica
en el marco del enfoque de supercampo al formalismo BRST. Por último, nuestro presente
investigación es el primer paso modesto en la dirección para obtener algunas ideas sobre la existencia
de las transformaciones de simetría nilpotent y su invarianza para la forma superior (p.e.
2-forma, 3-forma, etc.) calibrar las teorías en el marco de la formulación de supercampo.
El contenido de nuestro presente documento está organizado de la siguiente manera. En la sección 2, recapitulamos
algunos de los puntos clave conectados con las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST
para la teoría 4D Abelian 1-forma calibre (no teniendo ninguna interacción con los campos de materia) en
la formulación lagrangiana. Las transformaciones de simetría anteriores, así como la simetría
la varianza de las densidades lagrangianas se capturan en el enfoque geométrico supercampo
al formalismo BRST en la sección 3, donde el HC en el supercampo del indicador juega un papel crucial.
La sección 4 trata de los elementos esenciales de la simetría de nilpotente (anti-)BRST transfor-
mations para la teoría 4D no-Abelian 1-forma calibrador en la formulación Lagrangian. Los
el objeto de la sección 5 se refiere a la formulación de supercampos de la simetría
invarianza de las densidades Lagrangianas apropiadas de la forma 4D anterior no-Abeliana 1-
calibrador de la teoría. Finalmente, en la sección 6, resumimos nuestros resultados clave, hacemos algunas conclusiones
observaciones y señalar algunas orientaciones futuras para futuras investigaciones.
2 (Anti-)Simetrías BRST en la teoría abeliana: Formulación lagrangiana
Comencemos con el siguiente (anti-)BRST invariante densidad lagrangiana de la 4D Abelian
Teoría del gálibo de 1 forma* en el gálibo de Feynman [26,27,9]
B = −
F F+ B (A)
B2 − i C̄
μC, (2.1)
En el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o tres ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de dos o tres ruedas.
constituye el 2-forma abeliano F (2) = dA(1) 1
B es el Nakanishi-Lautrup.
campo multiplicador auxiliar y (C̄)C son los anticonmutadores (es decir. C2 = C̄2 = 0, CCC̄C = 0)
(anti-)fantasma campos de la teoría. La densidad de Lagrangian arriba respeta el off-shell nilpo-
tienda [s2(a)b = 0] (anti-)transformaciones de simetría BRST s(a)b (con sbsab + sabsb = 0)
sbAμ = C, sbC = 0, sbC̄ = iB, sbB = 0, sbF
sabAμ = C̄, sabC̄ = 0, sabC = −iB, sabB = 0, sabF® = 0.
(2.2)
Está claro que, bajo las transformaciones de simetría (anti-)BRST s(a)b, la
el tensor de la vatura se encuentra para ser invariante. En otras palabras, el F de 2 formas
2), debido a su
origen al operador cohomológico d = dx, es un objeto invariante (anti-)BRST para el
Abelian U(1) 1-forma de la teoría de calibre y es, por lo tanto, un físicamente significativo (es decir,. calibrador-
invariante) cantidad. Estas observaciones desempeñarán un papel importante en nuestro debate sobre la
horizontalidad condición que se explotaría en el contexto de nuestro enfoque de supercampo
a (anti-) invarianza BRST de las densidades lagrangianas en las secciones 3 y 5 (ver abajo).
Un punto digno de mención, en esta etapa, es la observación de que el calibrador-fijación y Faddeev-
Los términos fantasma Popov se pueden escribir, módulo una derivada total, de la siguiente manera
−i C̄ {(A)
B}], sab
+i C {(A)
sb sab
2.3)
La ecuación anterior establece, de una manera muy sencilla, la invarianza (anti-)BRST de
la densidad 4D lagrangiana (2.1). La simplicidad se debe a (i) la nilpotencia s2(a)b = 0
de las transformaciones de simetría (anti-)BRST, (ii) la propiedad anticomputatividad (es decir,
sbsab + sabsb = 0) de s(a)b, y (iii) la invarianza del término "F" bajo s(a)b.
Como observación secundaria, es interesante observar que el siguiente in-shell (i.e. C = C = 0)
transformaciones de la simetría de sbsabs + sabsbs = 0
sbAμ = C, sbC = 0, sbC̄ = −i(A
μ), s
s?abAμ = C̄, s?abC̄ = 0, s?abC = +i(A)
μ), s
(2.4)
* Adoptamos aquí las anotaciones y convenciones de tal manera que la métrica plana de Minkowski en 4D es = diag
(+1,−1,−1,−1) de modo que AμB
μ = A
μB v = A0B0 − AiBi para dos Aμ y Bμ de 4 vectores no nulos. Los
Índices griegos μ, v...... = 0, 1, 2, 3 e índices latinos i, j, k.... = 1, 2, 3 representan el espacio-tiempo 4D y 3D
direcciones espaciales en el colector espacial 4D Minkowski, respectivamente, y el símbolo = (0)
2 − (eli)
†Seguimos aquí las nociones y convenciones adoptadas en [27]. En su pleno resplandor de gloria, el nilpotente
(anti-) Transformaciones de BRST (A)B son un producto de un parámetro independiente de espacio tiempo anticonmutación
η y s(a)b (es decir, (A)B = ηs(a)b) donde la propiedad nilpotency está codificada en los operadores s(a)b.
son las transformaciones simétricas para la siguiente densidad lagrangiana
b = −
F. F. −
μ)2 − i
μC. (2.5)
Las transformaciones anteriores (2.4) y la densidad lagrangiana (2.5) se han derivado de
(2.2) y (2.1) por la sustitución B = −(A)
μ). Un punto interesante, conectado con el
transformaciones de simetría nilpotente en la cáscara, es expresar el análogo de (2.3) como ‡
C̄ (A)
μ) + i A
μC̄], sśab
C (A)
μ)− i A
sb sab
(2.6)
Cabe señalar que, en el cálculo preciso antes mencionado, hay que tener en cuenta
las condiciones sobre la cáscara (C = C̄ = 0) de modo que, para todos los fines prácticos sс(a)b(A
μ) = 0.
Las transformaciones de simetría (anti-)BRST anteriores (es decir, sr, sr con r = b, ab)
están conectados con los generadores conservados y nilpotent (es decir, Qr, Qr con r = b, ab).
Esta afirmación se puede expresar sucintamente, en la forma matemática, como
sr ♥ = −i [ , Qr ](±), sсr = −i [, Qсr ](±), r = b, ab, (2.7)
donde los subíndices (con las firmas (±)) en el soporte cuadrado están para el soporte
a ser un (anti)commutador, para los campos genéricos = Aμ, C, C̄, B y = Aμ, C, C̄ (de
las densidades lagrangianas (2.1) y (2.5)), siendo de naturaleza (fermiónica)bosónica. Lo anterior
Se ha comprobado que Qr, Qr son anticonmutadores (es decir, anticonmutadores). QbQab+QabQb = 0, Q
y off-shell, así como el nilpotente en-shell [Q2(a)b = 0, Q
(a)b = 0) en la naturaleza, respectivamente.
3 (Anti-) Invarianza de BRST en la teoría Abeliana: formalismo supercampo
En esta sección, explotamos el enfoque geométrico supercampo al formalismo BRST, dotado
con el arsenal teórico de la condición de horizontalidad, para expresar el (anti-)BRST
transformaciones simétricas y las densidades lagrangianas (cf. (2.1) y (2.5)) en términos de
los supercampos definidos en el supermanifold (4, 2)-dimensional. Esta última está parametrizada
por las coordenadas del espacio-tiempo xμ (con μ = 0, 1, 2, 3) y un par de variables Grassmannianas
y. Como consecuencia, la generalización del 4D derivado exterior ordinario d = dx
y la conexión de 1-forma A(1) = dxμAμ(x) en el supermanifold (4, 2)-dimensional, son
d → d? = dxμ + d? + d, d?
2 = 0,
A(1) → Ã(1) = dxμ Bμ(x,
(3.1)
donde la asignación de los campos locales 4D a los supercampos es: Aμ(x) → Bμ(x, , ),
C(x) → F(x, Ł, ) y C̄(x) → F̄(x, Ł, ). La super-expansión de los supercampos, en términos
‡ Ponemos énfasis en el hecho de que (2.6) no puede derivarse directamente de (2.3) por la simple sustitución
B = −(A)
μ). Uno tiene que ser juicioso para deducir la expresión precisa para (2.6). Las razones lógicas
detrás de la derivación de (2.6) se codifican en la formulación supercampo (cf. (3.9) infra).
de los campos básicos, así como de los campos secundarios, son (véase, por ejemplo, [4-7, 10-12]):
Bμ(x, , ) = Aμ(x) + R(x) + Rμ(x) + i Sμ(x),
F(x, Ł, ) = C(x) + i ♥ B̄1(x) + i B1(x) + i s(x),
F̄(x, ♥, ) = C̄(x) + i B̄2(x) + i B2(x) + i ♥ s̄(x).
(3.2)
Se puede ver fácilmente que, en el caso limitante de (, ) → 0, recuperamos nuestro 4D básico
campos (Aμ, C, C̄). Además, en la r.h.s. de la super expansión anterior, el bosónico (es decir,
Aμ, Sμ, B1, B̄1, B2, B̄2) y los campos fermiónicos (Rμ, R, C, C̄, s, s̄) coinciden.
En esta coyuntura, tenemos que recordar nuestras observaciones después de la ecuación (2.2). El nilpotente
(anti-) Las transformaciones de simetría BRST básicamente deben su origen a la cohomología
operador d. Esto se capitaliza en la condición de horizontalidad donde se impone la restricción
d(1) = dA(1) en la conexión super 1-forma Ã(1) que contiene los supercampos definidos en
el supermanifold (4, 2)-dimensional. Esta última condición da lugar a las siguientes relaciones:
(véase, por ejemplo, para más detalles, en nuestras obras anteriores [21-25]):
B1 = B̄2 = s = s̄ = 0, B̄1 + B2 = 0, (3.3)
donde somos libres de elegir los campos secundarios (B2, B̄1) (es decir. B2 = B ♥ B̄1 = − B) en
términos del campo auxiliar Nakanishi-Lautrup B de la densidad invariante Lagrangiana BRST
(2.1). Las otras relaciones, que emergen de la HC anterior (es decir,. d(1) = dA(1)), son
Rμ = C, R = C̄, Sμ = B, B v − Bμ = A v − Aμ. (3.4)
En esta etapa, el tensor de super-curvatura F = Bv − Bμ no es igual a lo ordinario
El tensor de curvatura F. = AAμ como el primero contiene términos dependientes de Grassmannian.
La sustitución de los valores anteriores (cf. 3.3), 3.4) de los campos secundarios, en términos
de los campos básicos y auxiliares de la densidad lagrangiana (2.1), conduce a
B(h)μ (x,, ) = Aμ + C̄ + C + i B,
F (h)(x, Ł, ) = C − i ♥ B, F̄ (h)(x, ♥, ) = C̄ + i B,
(3.5)
donde el superíndice (h) se ha utilizado para denotar que las expansiones anteriores han sido
obtenido después de la aplicación del HC. Se puede ver que, debido a (3.5), obtenemos
/ − B
μ = A/ − Aμ, (3.6)
donde no hay ninguna dependencia de Grassmannian y de los l.h.s.
En el lenguaje de la geometría en el supermanifold (4, 2)-dimensional, las expansiones
(3.5) implican que las transformaciones de la simetría (anti-)BRST s(a)b (y sus correspondientes
generadores Q(a)b) para los campos locales 4D (cf. (2.7)) están conectados con la traducción
generadores (///) porque la traducción de los correspondientes (4, 2)-dimensionales
supercampos, a lo largo de las direcciones Grassmannianas del supermanifold, lo produce. Por lo tanto,
la independencia de Grassmannian del tensor de super curvatura F
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.
μ implica
que el tensor de curvatura en 4D F.o.p. es un (anti-)BRST (i.e. calibrador) cantidad física invariante.
En términos de los supercampos, las ecuaciones (2.3) se pueden expresar como
Lim0
−i F̄ (h) { (B(h)μ +
Lim0
+ iF (h) { (B(h)μ +
Bμ(h)B(h)μ +
F (h) F̄ (h)
(3.7)
Estas ecuaciones son únicas porque no hay otra manera de expresar las ecuaciones anteriores en
términos de los derivados w.r.t. Variables grassmannianas. Por lo tanto, además de (2.3), hay
no es otra posibilidad de expresar los términos de medición-fijación y el fantasma Faddeev-Popov en
el lenguaje de las transformaciones de simetría off-shell (anti-)BRST (2.2). Los
enfoque superfield a la formulación BRST, por lo tanto, establece la singularidad de (2.3).
Para expresar (2.6) en términos de los supercampos, uno tiene que sustituir B = −(A)
μ) en (3,5).
Así, la expansión (3.5), en términos de las transformaciones (2.4), se vuelve§
μ(o)(x, Ł, ) = Aμ + ♥ C̄ + C − i
...............................................................................................................................................................................................................................................................
Aμ + Aμ (s?abAμ) + (s?bAμ) + ♥ (s?bs?abAμ),
(o) (x, Ł, ) = C + i ♥ (A)
μ) C + C (sśabC),
(o) (x,, ) = C̄ − i (A)
μ) C̄ + (sśbC̄).
(3.8)
Observamos que (3.5) y (3.8) son las superexpansiones (después de la aplicación del HC)
que conducen a la derivación de la simetría off-shell nilpotente (anti-)BRST transforma-
ciones s(a)b, así como las transformaciones de la simetría sœ(a)b de la simetría BRST (anti-)
respectivamente, para los campos básicos Aμ, C y C̄ de la teoría.
Los términos fantasma de la densidad lagrangiana (2,5) y Faddeev-Popov
también se expresen en términos de los supercampos (3.8). En otras palabras, (vis-à-vis (3.7)), tenemos
las siguientes ecuaciones que son el análogo de (2.6), a saber;
Lim0
o) (l)
μAμ) + i B
μ(o)
o) )
Lim0
o) (l)
μAμ)− i B
μ(o)
o) )
o) B
μ(o) +
o) F̄
(3.9)
Sabemos que, para todos los fines computacionales prácticos, es esencial tener en cuenta
s‡(a)b(A)
μ) = 0 debido a las condiciones en la cáscara C = C = C = 0. La razón lógica detrás
una restricción de este tipo (es decir, s‡(a)b(A)
μ) = 0) en (2.6) se codifica en el enfoque de supercampo para
El formalismo BRST como se puede ver de cerca (3.9).
La densidad lagrangiana (2.1) se puede expresar, en términos de la (4, 2)-dimensional
supercampos, en las siguientes formas distintas y diferentes
B = −
F(h)(f)(f)
(h) + Lim0
−i F̄ (h)(B(h)μ +
, (3.10)
§Las transformaciones de la simetría de la simetría (anti-)BRST s‡(a)b se pueden obtener también invocando
los supercampos (anti-)chiral en los supermanifolds adecuadamente elegidos (véase, por ejemplo, [23] para más detalles).
B = −
F(h)(f)(f)
(h) + Lim0
+i F (h)(B(h)μ +
, (3.11)
B = −
F(h)(f)(f)
(h) +
Bμ(h)B(h)μ +
F (h) F̄ (h)
. (3.12)
Cabe señalar que el término de energía cinética −(1/4)F
(h) es independiente de la
Variables فارسى y debido a que Fû (h) = F®. De una manera exactamente similar, la densidad lagrangiana de
(2.5) se puede expresar, con la ayuda de la super expansión (3.8), como
b = −
*(o)F
• (h)
o) + Lim0
o) (l)
μAμ) + i B
μ(o)
o) )
, (3.13)
b = −
*(o)F
• (h)
o) + Lim0
o) (l)
μAμ)− i B
μ(0)
o) )
, (3.14)
b = −
*(o)F
• (h)
o) +
o) B
μ(o) +
o) F̄
. (3.15)
La forma de las densidades lagrangianas (e.g. de (3.10) a (3.15)) simplificar la prueba de la
(anti-) invarianza BRST de las densidades lagrangianas en (2.1) y (2.5).
En las formas anteriores (por ejemplo: de (3.10) a (3.12) de la densidad lagrangiana, el BRST
la invarianza sbLB = 0 y la invarianza anti-BRST sabLB = 0 se vuelven muy transparentes
y simple porque existen las siguientes igualdades y mapas, a saber;
B = 0 ♥ Lim0
B = 0, sb Lim0
, s2b = 0
= 0, (3,16)
B = 0 ♥ Lim0
B = 0, sab Lim0
, s2ab = 0
= 0. (3.17)
Del mismo modo, la relación más hermosa (3.12), conduce a la (anti-)invarianza BRST juntos.
Aquí uno tiene que usar la propiedad anticomputatividad sbsab + sabsb = 0 en el lenguaje de
los generadores de traducción (es decir, A lo largo de las direcciones Grassmannianas de la
supermanifold, por su prueba. Esta afirmación se puede expresar matemáticamente como
s(a)bL
B = 0
B = 0, sbsab + sabsb = 0
= 0. (3.18)
De una manera exactamente similar, la invarianza de la simetría de simetría (anti-)BRST (es decir,
s‡(a)bL
b = 0) de la densidad lagrangiana (2.5) también se puede capturar en el lenguaje de la
supercampos si explotamos las expresiones (3.13) a (3.15) para la densidad lagrangiana. En el
último caso, el nilpotente en la cáscara (anti-) la invarianza BRST resulta ser como (3.16), (3.17)
y (3.18) con las sustituciones: s(a)b → s(a)b, L
B → L
b, L
(1,2,3)
B → L
(1,2,3)
Matemáticamente, se captura la invarianza (anti-)BRST de la densidad lagrangiana (2.1)
en las ecuaciones (3.16) a (3.18). En el lenguaje de la geometría en el (4, 2)-dimensional
supermanifold, la (anti-)invarianza BRST corresponde a la independencia de Grassmannian
de las versiones supersimétricas de la densidad lagrangiana (2.1). En otras palabras, la trans-
la relación de las densidades súper lagrangianas (es decir, (3.10) a (3.12), a lo largo de las direcciones de
el supermanifold, es cero. Esta observación capta la invarianza (anti-)BRST de (2.1).
4 (Anti-)Simetrías BRST en la teoría no abeliana: enfoque lagrangiano
Comenzamos con la siguiente densidad invariante BRST Lagrangian, en el indicador Feynman,
para el cuatro (3 + 1)-dimensional no-Abelian 1-forma calibrador teoría¶ (véase, por ejemplo. [26,27,9])
B = −
F - F - + B - (A)
B · B − iC̄ ·D
μC, (4.1)
donde el tensor de curvatura (F) se define a través del F de 2 formas
2)n) = dA(1)n)+iA(1)n)
A (1) n). Aquí la conexión del medidor no-Abeliano de 1-forma es A (1) n) = dxμ(Aμ · T) y el
derivado exterior es d = dx. El campo auxiliar de Nakanishi-Lautrup B = B · T es
requerido para la linealización del término de fijación de gálibo y los campos (anti-)ghost (C̄)C son
esencial para la prueba de la unidad en la teoría. Los últimos campos son fermónicos (es decir.
(Ca)2 = 0, (C̄a)2 = 0, CaCb + CbCa = 0, CaC̄b + C̄bCa = 0, etc.) en la naturaleza.
La densidad anterior de Lagrangian respeta el siguiente nilpotente fuera de la cáscara ((s)
2 = 0)
Transformaciones de simetría BRST s
b, a saber,
b Aμ = DμC, s
b C = −
(C × C), s
b C̄ = iB,
b B = 0, s
b F. = i(F. × C).
(4.2)
Cabe señalar que (i) el tensor de curvatura F· T se transforma aquí bajo el BRST
transformación de la simetría. Sin embargo, se puede comprobar explícitamente que la energía cinética
Término −(1/4)F· · F
• sigue siendo invariante bajo las transformaciones de la simetría BRST, ii)
las transformaciones de simetría anti-BRST nilpotentes correspondientes a las anteriores BRST
las transformaciones simétricas (4.2) no pueden definirse para la densidad lagrangiana (4.1), y
(iii) la versión on-shell de las transformaciones de simetría BRST anteriores es también
posible si sustituimos, en las transformaciones de simetría anteriores, B = −(A
μ). Los
consiguiente (es decir, D
μC = 0) transformaciones de simetría BRST nilpotentes s
b son
b Aμ = DμC, s
b C = −
(C × C),
b C̄ = −i(A)
μ), s
b F. = i(F. × C).
(4.3)
Las transformaciones anteriores de nilpotente on-shell dejan la siguiente densidad lagrangiana
b = −
F • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
μ) · (A
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
μC, (4.4)
¶ Para la teoría del medidor de 1 forma no-Abeliano, las anotaciones utilizadas en el espacio algebraico de Lie son: A · B =
AaBa, (A ×B)a = fabcAbBc, DμC
a = C
a + ifabcAbμC
c • C
a + i(Aμ × C)
a, F. = A. − Aμ +
iAA/, Aμ = Aμ ·T, [T
a, T b] = fabcT c donde los índices latinos a, b, c = 1, 2, 3....N están en la mentira SU(N)
Espacio algebraico. La estructura constante fabc puede ser elegido para ser totalmente antisimétrico para cualquier arbitrario
álgebra de Lie semisimple que incluye también SU(N) (véase, por ejemplo, [27]).
casi-invariante porque se transforma en un derivado total.
Los términos fantasma de las densidades lagrangianas (4.1) y Faddeev-Popov
(4.4) puede ser escrito, módulo un derivado total, como una cantidad exacta BRST en términos de
las transformaciones de simetría BRST off-shell y on-shell (4.2) y (4.3). Esto
la declaración puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:
−i C̄ {(A)
= B · (A)
B · B − i C̄ ·D
μC, (4.5)
C̄ · (A)
μ) + i
μ) · (A
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
μC. (4.6)
Cabe señalar que hay que tener en cuenta s
b (A)
μ) = D
μC = 0 en lo anterior
prueba de la exactitud de la expresión en (4.6).
Las densidades lagrangianas que respetan el nilpotente off-shell (es decir. s
a) b)
2 = 0) y
anticonmutación (s
ab + s
b = 0) (anti-) Las transformaciones de simetría BRST son
1) n)
b = −
F - F - + B - (A)
(B · B + B̄ · B̄)− iC̄ ·D
μC, (4,7)
2) n)
b = −
# F # F # # F # # B # # B # # B # # B # # B # # B # # B # # F # # F # # F # # F # F # # F # # B # # B # # B # # ( A # A # A # F # F # F # # F # # B # # B #
(B · B + B̄ · B̄)− iDμC̄ ·
μC. (4.8)
Aquí los campos auxiliares B y B̄ satisfacen la condición Curci-Ferrari B+B̄ = −(C×C̄) [28,29].
También es evidente, de esta relación, que B ·(A
μ)−iC̄ ·D
μC = −B̄ ·(A)
μ)−iDμC̄
Además, hay que volver a insistir en que las densidades lagrangianas (4.1) y (4.4) sí lo hacen.
no respetar las transformaciones de simetría anti-BRST de ningún tipo. El BRST y anti-
Las transformaciones de simetría BRST, para las densidades Lagrangianas anteriores, son
b Aμ = DμC, s
b C = −
(C × C), s
b C̄ = iB,
b B = 0, s
b F+ = i(F+ × C), s
b B̄ = i(B̄ × C),
(4.9)
ab Aμ = DμC̄, s
ab C̄ = −
(C̄ × C̄), s
ab C = iB̄,
ab B̄ = 0, s
ab F. = i(F. × C̄), s
ab B = i(B × C̄).
(4.10)
Las anteriores transformaciones de simetría off-shell (anti-)BRST dejan el Lagrangian
densidades (4.7) así como (4.8) cuasi-invariantes a medida que se transforman en algunos derivados totales.
Los términos fantasma de las densidades lagrangianas (4.7) y Faddeev-Popov
(4.8) puede ser escrito, de una manera simétrica con respecto a s
b y s
ab, como
Aμ ·A
μ + C · C̄
= B · (A)
(B ·B + B̄ · B̄)− iC̄ ·D
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(B · B + B̄ · B̄)− iDμC̄ ·
(4.11)
Esto demuestra el hecho clave de que los términos anteriores de fijación de ancho de banda y Faddeev-Popov fantasma
son (anti-) BRST invariantes juntos debido a la nilpotencia y anticommutatividad de la
Transformaciones de simetría (anti-)BRST s
(a)b que están presentes en la teoría.
5 (Anti-) invarianza de BRST en la teoría no abeliana: enfoque de supercampo
Para capturar (i) el off-shell, así como el nilpotente (anti-)BRST simetría transfor-
y (ii) la invarianza de las densidades lagrangianas, en el lenguaje del supercampo
enfoque al formalismo BRST, tenemos que considerar la teoría 4D 1-forma no-Abelian calibre
en a (4, 2)-supermanifold dimensional. Como consecuencia, tenemos los siguientes mapas:
d → d? = dxμ + d? + d, d?
2 = 0,
A (1) n) → Ã (1) n) = dxμ(Bμ · T)(x,
(5.1)
donde los supercampos (4, 2)-dimensionales (Bμ ·T,F ·T, F̄ ·T) son las generalizaciones del 4D
campos locales básicos (Aμ ·T, C ·T, C̄ ·T ) de la densidad lagrangiana (4.1), (4.7) y (4.8). Estos
supercampos se pueden ampliar a lo largo de las direcciones Grassmannian del supermanifold, en
términos de los campos 4D básicos, campos auxiliares y campos secundarios como [4,16,19]
(Bμ · T )(x, Ł, ) = (Aμ · T )(x) + (R · T )(x) + (Rμ · T )(x) + i (Sμ · T )(x),
(F · T )(x, Ł, ) = (C · T )(x) + i (B̄1 · T )(x) + i (B1 · T )(x) + i (s · T )(x),
(F̄ · T )(x, Ł, ) = (C̄ · T )(x) + i (B̄2 · T )(x) + i (B2 · T )(x) + i (s̄ · T )(x).
(5.2)
Para determinar las expresiones exactas para los campos secundarios, en términos de lo básico y
campos auxiliares de la teoría, tenemos que explotar el HC. La condición de horizontalidad, para
la teoría del calibre no abeliano es el requisito de la igualdad del Maurer-Cartan
ecuación en los (super) colectores. En otras palabras, la reducción covariante de la super
Curvatura de 2 formas F (2) n) a la curvatura de 2 formas ordinaria (es decir, d(1)(n)+ iÃ(1)(n) فارسى Ã(1)(n) =
dA(1)(n)+ iA(1)(n)•A(1)(n)) lleva a la determinación de los campos secundarios en términos de:
campos básicos y auxiliares de la teoría. Las expansiones consiguientes, en términos de
campos auxiliares, conducen a (i) la derivación de las transformaciones de simetría (anti-)BRST
para los campos básicos de la teoría, y (ii) las interpretaciones geométricas del nilpotente
transformaciones de simetría (anti-)BRST (y sus correspondientes generadores de nilopotentes) para
los campos básicos de la teoría como las traducciones de los supercampos correspondientes a lo largo de la
Direcciones de Grassmannian del supermanifold (4, 2)-dimensional (véase, por ejemplo, [16,19]).
Con las identificaciones B2 = B y B̄1 = B̄, las siguientes relaciones emergen después
la aplicación de la condición de horizontalidad (véase, por ejemplo, [16]):
Rμ = DμC, R = DμC̄, B + B̄ = −(C × C̄), s = i(B̄ × C),
Sμ = DμB +DμC × C
s̄ = −i(B × C̄), B1 = −
(C × C), B̄2 = −
(C̄ × C̄).
(5.3)
• En el resto de nuestro texto actual, utilizaremos las anotaciones taquigráficas para todos los campos, por ejemplo.:
Aμ · T = Aμ, C · T = C, B · T = B, etc., en aras de la brevedad.
La sustitución de las expresiones anteriores, que se obtienen después de la aplicación de la
horizontalidad condición, conduce a las siguientes expansiones
B(h)μ (x, Ł, ) = Aμ + ♥ DμC̄ + DμC + i (DμB + DμC × C̄),
F (h)(x, Ł, ) = C + i ♥ B̄ −
(C × C)− ♥ (B̄ × C),
F̄ (h)(x, Ł, ) = C̄ −
(C̄ × C̄) + i B + ♥ (B × C̄).
(5.4)
Las expansiones anteriores (véase, por ejemplo, nuestras obras anteriores [16,19]) se pueden expresar en términos de la
off-shell nilpotent (anti-) BRST transformaciones de simetría (4.9) y (4.10).
Con la expansión anterior a nuestra disposición, los términos calibrador-fijación y Faddeev-Popov
de la densidad lagrangiana (4.1) se puede escribir, módulo un derivado ordinario total, como
Lim0
−iF̄ (h) · B(h)μ −
F̄ (h) · B
= B · (A)
B · B − i C̄ ·D
μC. (5.5)
Además, se puede ver que, debido a la validez y las consecuencias de la horizontalidad
condición, el tensor de super curvatura F tiene la siguiente forma [16,4]
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. (5.6)
De la relación anterior se desprende claramente que el término de energía cinética del presente 4D
la teoría del calibre 1 no abeliano sigue siendo invariante, a saber;
F(h) · F
(h) = −
F. · F.....................................................................................................................................
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (5.7)
La independencia de Grassmannian de los l.h.s. de (5.7) tiene un significado profundo en cuanto a la física es
concernidos. Implica inmediatamente que el término de energía cinética del calibre no-Abeliano
la teoría es un (anti-)BRST (es decir, calibrador) cantidad física invariante.
En esta coyuntura, vale la pena señalar que también se puede capturar la ecuación
(4.6) en el enfoque superfield al formalismo BRST donde la versión on-shell nilpotente
de las transformaciones de la simetría BRST (es decir, s
b ) desempeña un papel importante. Por este pur-
posar, tenemos que expresar la expansión de supercampo (5.4) para el BRST nilpotente on-shell
transformación de la simetría donde uno tiene que explotar el reemplazo B = −(A)
μ). Con
esta sustitución, la ecuación (5.4) para la expansión de supercampo se convierte en
μ(o)(x, , ) = Aμ + ♥ DμC̄ + DμC + i
...............................................................................................................................................................................................................................................................
o) (x, Ł, ) = C + i ♥ B̄ −
(C × C)− ♥ (B̄ × C),
(o) (x, Ł, ) = C̄ −
(C̄ × C̄)− i (A)
μ)− [(A)
μ)× C̄)].
(5.8)
Ahora, la ecuación (4.6) se puede expresar en términos de los supercampos anteriores, como:
Lim0
o) ·
μAμ) + i B
μ(o) ·
μ) · (A
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(5.9)
Además, cabe señalar que el análogo de (5.6), para el BRST nilpotente
transformación de la simetría (es decir, F.V.F.
(o)), se puede obtener por la sustitución B = −(A)
Una vez más, la igualdad (5.7) permanecería intacta incluso si tenemos en cuenta el
Transformaciones de simetría BRST nilpotent. Por lo tanto, notamos que el término de energía cinética
(es decir, (−(1/4)F • · F = −(1/4)F
• (h)
o) · F
Se mantiene la teoría del gálibo no abeliano.
independiente de las variables Grassmannianas después de la aplicación del HC. Esto
declaración es cierto para el off-shell, así como el nilpotente en la cáscara (anti-)BRST simetría
transformaciones. Físicamente, implica que el término de energía cinética para el campo de medición de
la teoría no abeliana es un (anti-)BRST (es decir. calibrador) cantidad invariante.
La observación clave anterior ayuda a expresar la densidad lagrangiana (4.1) y (4.4)
en términos de los supercampos (obtenidos después de la aplicación de HC), como
B = −
F(h) · F
(h) + Lim0
−iF̄ (h) · B(h)μ −
F̄ (h) · B
b = −
- (o) - (i) - (i) - (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) () () ()) () () (i) () () ()) (i) ()) () () ()) () ()
• (h)
o) + Lim0
o) ·
μAμ) + i B
μ(o) ·
(5.10)
Este resultado, a su vez, simplifica la invarianza BRST de la densidad lagrangiana arriba (4.1)
y (4.4) (describiendo la teoría del calibre no abeliano 4D 1-forma) de la siguiente manera:
Lim0
B = 0 s
B = 0, Lim0
b = 0
b = 0. (5.11)
Esto es una gran simplificación porque las densidades super lagrangianas totales (5.10) permanecen
independiente de la variable Grassmannian. Este resultado clave está codificado en la asignación
b, s
b ) Lim0(/) y la nilpotencia (s
2 = 0, (s
2 = 0, (/)2 = 0.
Se puede comprobar fácilmente que los análogos de (5.5) y (5.9) no pueden expresarse como
el derivado w.r.t. la variable Grassmannian فارسى. Para comprobar esto, uno tiene que explotar el
superexpansiones (5.4) y (5.8) obtenidas después de la aplicación del HC (en el contexto
de la derivación de la off-shell, así como de la simetría BRST en-shell nilpotente transfor-
mations s
b y s
b ). Se puede ver claramente que la operación de la derivada w.r.t. la
Variable de Grassmannian, en cualquier combinación de los supercampos de las expansiones (5.4)
y (5.8), no conduce a la derivación de la r.h.s. de (5.5) y (5.9). En el idioma
del enfoque del supercampo al formalismo BRST, esta es la razón detrás de la no-existencia
de las transformaciones de simetría anti-BRST para las densidades lagrangianas (4.1) y (4.4).
La forma de la calibración-fijación y Faddeev-Popov términos (4.11), expresados en términos de
las transformaciones de simetría BRST y anti-BRST juntos, se pueden representar en el
lenguaje de los supercampos (obtenido después de la aplicación de HC), como
B(h)μ · B
μ(h) + F (h) · F̄ (h)
= B · (A)
(B · B + B̄ · B̄)− iC̄ ·D
(5.12)
Como consecuencia de la expresión anterior, las densidades lagrangianas (4.7) (así como (4.8))
puede ser presentado, en términos de los supercampos, como
(1,2) n)
b = −
F(h) · F(h)+
B(h)μ · B
μ(h) + F (h) · F̄ (h)
. (5.13)
La invarianza BRST y anti-BRST de la densidad supra super lagrangiana (y la de
las densidades ordinarias 4D Lagrangian (4.7) y (4.8) se codifican en el siguiente simple
ecuaciones que se expresan en términos de los generadores traslacionales a lo largo del Grassman-
direcciones nian del supermanifold (4, 2)-dimensional, a saber;
Lim0
(1,2) n)
b = 0 s
1) n)
b = 0, Lim0
(1,2) n)
b = 0 s
2) n)
b = 0.
(5.14)
Esta es una tremenda simplificación de la (anti-)invarianza BRST de la den-
sidades (4.7) y (4.8) en el lenguaje del enfoque supercampo al formalismo BRST. In
otras palabras, si uno es capaz de mostrar la independencia de Grassmannian del super Lagrangian
densidades de la teoría, la (anti-) invarianza BRST de la teoría 4D sigue automáticamente.
En el lenguaje de la geometría en el supermanifold, la (anti-) invarianza BRST de
una densidad 4D Lagrangian es equivalente a la declaración de que la traducción del super
versión de la densidad de Lagrangia arriba, a lo largo de las direcciones Grassmannian de la (4, 2)-
supermanifold dimensional, es cero. Así, la densidad súper lagrangiana de un (anti-)BRST
la teoría invariante 4D es un escalar Lorentz, construido con la ayuda de (4, 2)-dimensional
supercampos (obtenidos después de la aplicación de HC), de manera que, cuando los derivados parciales
w.r.t. las variables Grassmannian ( y ) operan en él, el resultado es cero.
Las propiedades de nilpotencia y anticomputatividad (que se asocian con la
se encuentran las cargas (anti-)BRST y las transformaciones (anti-)BRST de simetría)
capturado muy naturalmente (cf. (3.16)-(3.18) cuando consideramos la formulación de supercampos de
la invarianza (anti-)BRST de la densidad lagrangiana de una determinada teoría del medidor de 1 forma. Nosotros
mencionar, de paso, que también se podría derivar el análogo de las ecuaciones (3.16), (3.17)
y (3.18) para la teoría 4D no-Abelian 1-forma calibrador de una manera directa.
6 Conclusiones
En nuestra presente investigación, nos hemos concentrado principalmente en la invarianza (anti-)BRST
de las densidades lagrangianas de las teorías libres 4D (no-)Abelian 1-forma calibrador (no tener
la interacción con los campos de materia) en el marco del enfoque de supercampo de BRST
formalismo. Hemos sido capaces de proporcionar la base geométrica para la existencia de la
(anti-) Invarianza BRST en las teorías 4D anteriores. Para ser más específicos, hemos sido capaces
para demostrar que la independencia de Grassmannian de la (4, 2)-dimensional super Lagrangian
la densidad, expresada en términos de los supercampos apropiados, es una prueba clara de que hay
una invarianza (anti-)BRST (cf. (3.16), (3.17), (3.18), (5.11), (5.14)) en la teoría 4D.
Si la densidad súper lagrangiana pudiera expresarse como una suma de (i) un Grassmanniano
término independiente, y (ii) un derivado w.r.t. la variable Grassmannian, entonces, el cor-
responder a la densidad 4D Lagrangian respetará automáticamente BRST y/o anti-BRST
invarianza. En la última pieza de la densidad supra super lagrangiana, la derivada podría
ser cualquiera de los dos. O w.r.t. o w.r.t. Los dos juntos. Más concretamente,
i) si el derivado es w.r.t. , la simetría nilpotente correspondería al BRST,
ii) si el derivado es w.r.t. La simetría nilpotenta sería la del anti-BRST
tipo, y (iii) si ambos derivados están presentes juntos, tanto el nilpotent (anti-)BRST
las simetrías estarían presentes juntas (y resultarían ser anticonmutantes).
Para las teorías 4D (no-)Abelian 1-forma calibre, que se consideran en el (4, 2)-
supermanifold dimensional, es el HC en la super conexión de 1-forma Ã(1) que juega un
papel muy importante en la derivación de las transformaciones de la simetría (anti-)BRST. Los
el origen cohomológico de los HC anteriores se encuentra en los (super) derivados exteriores (dś)d.
punto se ha dejado muy claro en nuestros debates después de la off-shell, así como el
transformaciones de simetría (anti-) BRST nilpotentes (2.2), (2.4), (4.2), (4.3), (4.9) y (4.10).
De hecho, es el término completo de energía cinética de las teorías anteriores (debido a su origen a la
operador cohomológico d = dx) que sigue siendo invariante bajo el anterior on-shell así
las transformaciones de simetría off-shell (anti-)BRST.
El HC produce específicamente las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST para
los campos calibrador y (anti-)fantasma debido al hecho de que la conexión super 1-forma
Ã(1)/Ã(1)n) (cf. (3.1) y (5.1)) se construye con un super vector múltiplet (Bμ,F, F̄)
que es la generalización del campo de medición Aμ y los campos (anti-)ghost (C̄)C (de la
ordinario 4D (no-)Abelian 1-forma calibrado teorías) a la (4, 2)-dimensional supermanifold.
Como consecuencia, sólo la simetría de nilpotente y anticonmutación (anti-)BRST transfor-
maciones para los campos locales 4D Aμ, C y C̄ se obtienen cuando el pleno potencial de la HC
se explota en el marco de la formulación supracampo anterior.
Vale la pena señalar que geométricamente las densidades súper lagrangianas, ex-
prensado en términos de los supercampos (4, 2)-dimensionales, son equivalentes a la suma de la
término de energía cinética y las traducciones de algunos supercampos compuestos (obtenido después de la
la aplicación del HC) a lo largo de las direcciones de Grassmannian (es decir, de los (4, 2)-
supermanifold dimensional. Esta observación es claramente diferente de nuestras obras anteriores
sobre el enfoque de supercampo de las teorías 2D (no-)Abelian 1-form calibrador [24,25,23] que son
encontrado para corresponder a las teorías del campo topológico. De hecho, para estas últimas teorías, el
la densidad total super lagrangiana resulta ser una derivada total w.r.t. el Grassmannian
Variables ( y/o ). Es decir, incluso el término de energía cinética de estas últimas teorías,
es capaz de expresarse como la derivada total w.r.t. las variables فارسى y/o.
En nuestro esfuerzo actual, en el marco del enfoque de supercampo del BRST
formalismo, hemos sido capaces de proporcionar (i) la razón lógica detrás de la no-existencia de
las transformaciones de simetría anti-BRST para las densidades lagrangianas (4.1) y (4.4) para
la teoría 4D no-Abelian 1-forma calibrador, (ii) la explicación explícita de la unicidad
de las ecuaciones (2.3) y (2.6) para la teoría 4D Abelian 1-forma calibrador, (iii) la convinc-
prueba de la invarianza del término de fijación de gálibo (p.ej.
s‡(a)b(A)
μ) = 0, s
(a)b(A)
μ) = 0) para las teorías (no-)Abelian 1-form calibrador, y (iv) la
argumentos convincentes a favor de la inexistencia de los análogos exactos de 2.3 y 2.6
la teoría del calibre 1 no-Abeliano. Por lo que sabemos, la explicación lógica...
ciones para los puntos sutiles anteriores (conectados con las teorías del medidor de 1-forma) son completamente
Nuevo. Por lo tanto, los resultados de nuestro trabajo actual son simples, hermosos y originales.
Vale la pena mencionar que nuestra construcción de supercampos y su consiguiente geometría
las interpretaciones no son específicas del calibrador Feynman (que se ha tenido en cuenta
en nuestro esfuerzo actual). Para corroborar esta afirmación, tomamos el caso simple del 4D
Abelian 1-forma calibre teoría y escribir la densidad de Lagrangian (2.1) en el calibre arbitrario
(a),.............................................................................................................................................................................................................................................................
B = −
F F+ B (A)
B2 − i C̄
μC, (6.1)
donde es el parámetro de calibrador. Es elemental comprobar que, en el límite → 1, obtenemos
Respalda nuestra densidad lagrangiana (2.1) para la teoría abeliana en el indicador de Feynman.
El análogo de la ecuación (2.3) (para los términos fantasma calibrador-fijación y Faddeev-Popov
en el caso del calibrador arbitrario) puede expresarse como
−i C̄ {(A)
B}], sab
+i C {(A)
sb sab
(6.2)
La expresión anterior puede ser fácilmente generalizada a los análogos de las ecuaciones (3.10)—
(3.12) en términos de los supercampos tomando la ayuda de (3.8). Por lo tanto, la geométrica inter-
Las pretensiones permanecen intactas incluso en el caso del calibre arbitrario.
De manera similar, para la teoría 4D no-Abelian 1-forma calibrador, las ecuaciones (4.5),
(4.6) y (4.11) pueden generalizarse en el caso del calibre arbitrario y, posteriormente, pueden
se expresarán en términos de supercampos como análogos de (5.5), (5.9) y (5.12). Por último,
podemos obtener los análogos de (5.7), (5.10) y (5.13) que conducirán a la derivación de
los análogos de (5.11) y (5.14). Así, notamos que las interpretaciones geométricas, en el
calibrador arbitrario, sigue siendo el mismo para la teoría 4D (no-)Abelian 1-forma calibrador dentro de la
marco de nuestro enfoque de supercampo al formalismo BRST.
Nuestro trabajo actual se puede generalizar al caso de la interacción 4D (no-)Abelian
Teorías del medidor de 1 forma en las que existe un acoplamiento explícito entre el campo del medidor y
los campos de materia. De hecho, nuestros trabajos anteriores [14-18] podrían resultar bastante útiles en
intentar los problemas anteriores. Nos parece que es la combinación de la HC y
las restricciones, debido a su origen en el derivado covariante (super) sobre la materia (super)
los campos y su íntima conexión con las (super) curvaturas, que jugaría un decisivo
papel en la prueba de la existencia de la (anti-) invarianza de BRST para las teorías de medición anteriores.
Es gratificante afirmar que hemos logrado los objetivos mencionados en nuestro reciente informe.
esfuerzos [30-32]. De hecho, hemos sido capaces de proporcionar la base geométrica para el
existencia de la (anti-)invarianza BRST, en el contexto de la interacción (no-)Abelian
Teorías de calibre 1-forma con Dirac así como campos escalares complejos, dentro del marco
del enfoque de supercampo aumentado al formalismo BRST. Como resulta, aquí también, el
La densidad súper lagrangiana se encuentra independiente de las variables Grassmannianas.
En nuestras obras anteriores [33-35], hemos sido capaces de mostrar la existencia de la nilpotente
(anti-)BRST y (anti-)co-BRST transformaciones de simetría para la 2-forma Abelian 4D libre
calibrador de la teoría. También hemos establecido la naturaleza cuasi-topológica de la misma en [35]. En un reciente
trabajo [36], las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST se han capturado en el
marco de la formulación de supercampo. Sería un muy buen esfuerzo estudiar la
(anti-)BRST y (anti-)co-BRST invarianza de la teoría de dos formas Abelian 4D
el marco de la formulación de supercampos. En la actualidad, esta cuestión y los problemas conexos en
el contexto de la teoría libre 4D Abelian 2-forma calibre están bajo investigación intensiva
y nuestros resultados serían reportados en nuestras próximas publicaciones futuras [37].
Agradecimiento: Apoyo financiero del Departamento de Ciencia y Tecnología
(DST), Gobierno de la India, en virtud de la subvención del SERC para la aprobación de proyectos No: - SR/S2/HEP-
23/2006, se agradece.
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Teoría de dos formas Abelian, hep-th/0702039.
[37] R. P. Malik, en preparación.
| Capturamos el off-shell, así como el nilpotente on-shell
Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST) e invariabilidad de la simetría anti-BRST de la
Densidades lagrangianas de los cuatro (3 + 1)-dimensionales (4D) (no-)Abelian 1-forma
calibra las teorías dentro del marco del formalismo supercampo. En particular,
proporcionamos las interpretaciones geométricas para (i) la simetría nilpotente anterior
la varianza, y (ii) las densidades lagrangianas anteriores, en el idioma de la
cantidades específicas definidas en el ámbito del formalismo supercampo antes mencionado.
Algunos de los puntos sutiles, conectados con el indicador 4D (no-)Abelian 1-forma
teorías, se aclaran en el marco del formalismo supracampo anterior
donde las teorías del medidor ordinario 4D se consideran en el (4, 2)-dimensional
supermanifold parametrizado por las cuatro coordenadas del espacio-tiempo xÃ3mu (con \mu =
0, 1, 2, 3) y un par de variables Grassmannianas \theta y \bar\theta. Uno de
los principales resultados de nuestra investigación actual son una gran simplificación
en la comprensión geométrica de la simetría nilpotente (anti-)BRST
invarianza.
| Introducción
El enfoque geométrico supercampo [1-8] al formalismo Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST)
es uno de los enfoques más atractivos e intuitivos que nos permite obtener
ideas sobre las estructuras hermosas (pero abstractas matemáticas) que se asocian con
las transformaciones de simetría (anti-)BRST nilpotentes y sus correspondientes generadores.
Estas últimas cantidades juegan un papel muy decisivo en (i) la cuantificación canónica covariante de
las teorías del calibrador, ii) la prueba de la unitariedad de las teorías del calibrador “quantum” en cualquier
orden arbitrario de cálculos perturbadores para un proceso físico dado (que está permitido
por la teoría), iii) la definición de los estados físicos de las teorías calibradoras “quantum”
en el espacio cuántico Hilbert, y (iv) la descripción cohomológica de los estados físicos
del espacio cuántico Hilbert w.r.t. la carga BRST conservada y nilpotent.
Para ser específico, en la formulación de supercampo [1-8] de las teorías 4D 1-forma calibrador, uno
define la super curvatura de 2-formas Fû (2) = d(1)+ i Ã(1)Ã(1) en términos del super exterior
Derivado d? = dx + d + d (con d?
2 = 0) y la conexión super 1-forma Ã(1) en
a (4, 2)-dimensional supermanifold parametrizado por las variables habituales del espacio-tiempo xμ (con
μ = 0, 1, 2, 3) y un par de anticonmutadores (es decir, 2 = 2 = 0, + = 0) Grassmanniano
Variables de los tipos de las utilizadas para calcular el valor de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2. El anterior super 2-forma se equipara posteriormente, debido a la llamada
condición de horizontalidad [1-8], a la curvatura ordinaria 2-forma F (2) = dA(1) + iA(1) فارسى A(1)
definido en el común plano 4D Minkowski espacio tiempo múltiple en términos de lo ordinario
derivado exterior d = dx (con d
2 = 0) y la conexión de 1 forma A(1) = dxμAμ. Los
por encima de la derivada super exterior dū y la conexión super 1-forma Ã(1) son la generalización de
el derivado exterior ordinario 4D d y la conexión de 1 forma A(1) a la (4, 2)-dimensional
supermanifold porque dû → d, Ã(1) → A(1) en el límite (, ) → 0.
La condición de horizontalidad anterior (HC) ha sido referida como la con-
sión en [9] que equivale a establecer igual a cero todos los componentes Grassmannian de
el súper tensor de segundo rango (anti)simétrico que constituye la super curvatura de 2 formas
Fû (2) en el supermanifold (4, 2)-dimensional. Las principales consecuencias, que surgen de
los HC, son (i) la derivación de las transformaciones de simetría (anti-)BRST nilpotentes para
los campos de gálibo y (anti-)ghost de una determinada teoría de gálibo 4D 1-forma, (ii) el geométrico
interpretación de las transformaciones de simetría (anti-)BRST para los campos locales 4D como la
traducción de los supercampos correspondientes a lo largo de las direcciones grassmannianas del su-
permanifold, (iii) la interpretación geométrica de la propiedad nilpotency como un par de
traducciones sucesivas del supercampo a lo largo de una dirección particular de Grassmannian de la
supermanifold, y (iv) la interpretación geométrica de la propiedad anticomputatividad
de las transformaciones de simetría (anti-)BRST para un campo local 4D como la suma de (a)
traducción del supercampo correspondiente en primer lugar a lo largo de la dirección
a lo largo de la dirección, y (b) la traducción del mismo supercampo primero a lo largo de la
-dirección seguida de la traducción a lo largo de la dirección.
Cabe señalar que el HC antes mencionado (es decir, F (2) = F (2)) es válido para los no abelianos (es decir, los no abelianos).
A (1) n)-A (1) n) 6= 0) Teoría del calibre de 1 forma, así como el Abeliano (es decir. A(1)•A(1) = 0) 1-forma
calibrador de la teoría. Como era de esperar, para ambos tipos de teorías, el HC conduce a la derivación de la
transformaciones de simetría (anti-)BRST de nilpotente para los campos de calibrador y (anti-)fantasma de
las respectivas teorías. Ponemos énfasis en el hecho de que el HC no arroja ninguna luz
sobre la derivación de las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST asociadas con
los campos de materia de la interacción 4D (no-)Abelian 1-forma calibre teorías.
En un reciente conjunto de documentos [10-17], la condición HC anterior se ha generalizado, en un
de manera consistente, para calcular las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST
asociado con los campos de materia de un 4D determinado interactuando con la teoría del medidor de 1 forma (junto con
las conocidas transformaciones nilpotentes para los campos calibrador y (anti-)fantasma) sin
estropeando las lindas interpretaciones geométricas de las transformaciones de la simetría (anti-)BRST
(y sus correspondientes generadores) que emergen solamente del HC. Este último enfoque
ha sido bautizado como el enfoque de supercampo aumentado al formalismo BRST donde el
restricciones impuestas a los supercampos (4, 2)-dimensionales son: i) el HC más la invarianza
de la materia (super) Noether corrientes conservadas [10-14], (ii) el HC más la igualdad de
cualquier cantidad (super) conservada [15], iii) el HC más una restricción que deba su origen
a la invariabilidad del calibrador y a los derivados covariantes (super) sobre la materia (super)campos
[16,17], y (iv) una alternativa al HC donde la invarianza del gálibo y la propiedad
de un par de derivados covariantes (super) en los campos de materia (super) (y sus
la conexión con las (super) curvaturas) desempeñan un papel crucial [18-20].
En todos los enfoques anteriores [1-20], sin embargo, la invarianza de las densidades lagrangianas
de las teorías 4D (no-)Abelian 1-form calibrador, bajo la simetría nilpotente (anti-)BRST
transformaciones, todavía no se ha discutido en absoluto. Algunos intentos en esta dirección han
se han hecho en nuestras obras anteriores donde las características topológicas específicas [21,22] de la 2D
libre (no-)Abelian 1-forma calibrado teorías han sido capturados en la formulación de supercampo
[23-25]. En particular, la invarianza de la densidad lagrangiana bajo el nilpotente y
las transformaciones de la simetría (anti-)BRST y (anti-)co-BRST han sido ex-
presionado en términos de los supercampos y los derivados Grassmannian en ellos. Estos son,
Sin embargo, un poco más involucrado en la naturaleza debido a la existencia de un nuevo conjunto de nilpotent
(anti-)co-BRST simetrías en la teoría. Las interpretaciones geométricas para el La-
densidades grangianas y el tensor simétrico de energía-momento (para el
la teoría) también se han proporcionado en el marco de la formulación de supercampo.
El propósito de nuestro presente trabajo es capturar la invariabilidad de la simetría (anti-)BRST de
la densidad lagrangiana de las teorías de calibre 4D (no-)Abelian 1-forma dentro del marco
del enfoque de supercampo al formalismo BRST y para demostrar que la
intentar la invarianza podría ser entendido de una manera muy simple en términos de la traducción
generadores a lo largo de las direcciones Grassmannian de la (4, 2)-dimensional supermanifold en
que se consideran las teorías 4D de ancho ordinario anteriores. Además, la razón detrás de
la existencia (o inexistencia) de cualquier transformación específica de la simetría nilpotente podría
También debe explicarse en el marco del enfoque de supercampo antes mencionado. Demostramos
la singularidad de la existencia de las transformaciones de simetría (anti-)BRST nilpotentes
para la densidad lagrangiana de una teoría de calibre U(1) Abelian 1-forma. Vamos un paso más allá.
y mostrar la existencia de las transformaciones de simetría BRST nilpotent para el
Densidades lagrangianas (cf. (4.1) y (4.4) infra) de la teoría del calibre de 1 formulario no abeliano 4D
y aclarar la no existencia de las transformaciones de simetría anti-BRST para
densidades lagrangianas cíficas en el marco de la formulación supercampo (cf. sección
5 infra). Por último, proporcionamos la base geométrica para la existencia de la off-shell nilpo-
transformaciones de simetría (anti-)BRST (y sus correspondientes
generadores) para las densidades Lagrangianas específicamente definidas (cf. (4.7) y/o (4.8) infra)
de la teoría 4D no-Abelian 1-forma de calibre en el medidor de Feynman.
Los factores motivadores que nos han impulsado a continuar nuestra presente investigación son:
del siguiente modo. En primer lugar y ante todo, a lo mejor de nuestro conocimiento, la propiedad de la simetría
la varianza de una densidad dada de Lagrangian todavía no ha sido capturado en el lenguaje de la
enfoque superfield al formalismo BRST. En segundo lugar, la anterior (anti-) invarianza BRST de la
la teoría nunca se ha demostrado, de la misma manera simplificada, como lo demostramos en nuestro presente
Esforzarse. Las interpretaciones geométricas para (i) la existencia de lo anterior nilpotente
(anti-)Invarianza de la simetría de BRST, y (ii) las condiciones en la cáscara del nilpotente en la cáscara
(anti-)Simetrías BRST, resultan ser bastante transparentes en nuestro trabajo actual. Tercero, nosotros
establecer la singularidad de la existencia de la (anti-)invarianza de la simetría BRST en su
diversas formas. También se explica la inexistencia de la transformación de la simetría específica
en el marco del enfoque de supercampo al formalismo BRST. Por último, nuestro presente
investigación es el primer paso modesto en la dirección para obtener algunas ideas sobre la existencia
de las transformaciones de simetría nilpotent y su invarianza para la forma superior (p.e.
2-forma, 3-forma, etc.) calibrar las teorías en el marco de la formulación de supercampo.
El contenido de nuestro presente documento está organizado de la siguiente manera. En la sección 2, recapitulamos
algunos de los puntos clave conectados con las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST
para la teoría 4D Abelian 1-forma calibre (no teniendo ninguna interacción con los campos de materia) en
la formulación lagrangiana. Las transformaciones de simetría anteriores, así como la simetría
la varianza de las densidades lagrangianas se capturan en el enfoque geométrico supercampo
al formalismo BRST en la sección 3, donde el HC en el supercampo del indicador juega un papel crucial.
La sección 4 trata de los elementos esenciales de la simetría de nilpotente (anti-)BRST transfor-
mations para la teoría 4D no-Abelian 1-forma calibrador en la formulación Lagrangian. Los
el objeto de la sección 5 se refiere a la formulación de supercampos de la simetría
invarianza de las densidades Lagrangianas apropiadas de la forma 4D anterior no-Abeliana 1-
calibrador de la teoría. Finalmente, en la sección 6, resumimos nuestros resultados clave, hacemos algunas conclusiones
observaciones y señalar algunas orientaciones futuras para futuras investigaciones.
2 (Anti-)Simetrías BRST en la teoría abeliana: Formulación lagrangiana
Comencemos con el siguiente (anti-)BRST invariante densidad lagrangiana de la 4D Abelian
Teoría del gálibo de 1 forma* en el gálibo de Feynman [26,27,9]
B = −
F F+ B (A)
B2 − i C̄
μC, (2.1)
En el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o tres ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de dos o tres ruedas.
constituye el 2-forma abeliano F (2) = dA(1) 1
B es el Nakanishi-Lautrup.
campo multiplicador auxiliar y (C̄)C son los anticonmutadores (es decir. C2 = C̄2 = 0, CCC̄C = 0)
(anti-)fantasma campos de la teoría. La densidad de Lagrangian arriba respeta el off-shell nilpo-
tienda [s2(a)b = 0] (anti-)transformaciones de simetría BRST s(a)b (con sbsab + sabsb = 0)
sbAμ = C, sbC = 0, sbC̄ = iB, sbB = 0, sbF
sabAμ = C̄, sabC̄ = 0, sabC = −iB, sabB = 0, sabF® = 0.
(2.2)
Está claro que, bajo las transformaciones de simetría (anti-)BRST s(a)b, la
el tensor de la vatura se encuentra para ser invariante. En otras palabras, el F de 2 formas
2), debido a su
origen al operador cohomológico d = dx, es un objeto invariante (anti-)BRST para el
Abelian U(1) 1-forma de la teoría de calibre y es, por lo tanto, un físicamente significativo (es decir,. calibrador-
invariante) cantidad. Estas observaciones desempeñarán un papel importante en nuestro debate sobre la
horizontalidad condición que se explotaría en el contexto de nuestro enfoque de supercampo
a (anti-) invarianza BRST de las densidades lagrangianas en las secciones 3 y 5 (ver abajo).
Un punto digno de mención, en esta etapa, es la observación de que el calibrador-fijación y Faddeev-
Los términos fantasma Popov se pueden escribir, módulo una derivada total, de la siguiente manera
−i C̄ {(A)
B}], sab
+i C {(A)
sb sab
2.3)
La ecuación anterior establece, de una manera muy sencilla, la invarianza (anti-)BRST de
la densidad 4D lagrangiana (2.1). La simplicidad se debe a (i) la nilpotencia s2(a)b = 0
de las transformaciones de simetría (anti-)BRST, (ii) la propiedad anticomputatividad (es decir,
sbsab + sabsb = 0) de s(a)b, y (iii) la invarianza del término "F" bajo s(a)b.
Como observación secundaria, es interesante observar que el siguiente in-shell (i.e. C = C = 0)
transformaciones de la simetría de sbsabs + sabsbs = 0
sbAμ = C, sbC = 0, sbC̄ = −i(A
μ), s
s?abAμ = C̄, s?abC̄ = 0, s?abC = +i(A)
μ), s
(2.4)
* Adoptamos aquí las anotaciones y convenciones de tal manera que la métrica plana de Minkowski en 4D es = diag
(+1,−1,−1,−1) de modo que AμB
μ = A
μB v = A0B0 − AiBi para dos Aμ y Bμ de 4 vectores no nulos. Los
Índices griegos μ, v...... = 0, 1, 2, 3 e índices latinos i, j, k.... = 1, 2, 3 representan el espacio-tiempo 4D y 3D
direcciones espaciales en el colector espacial 4D Minkowski, respectivamente, y el símbolo = (0)
2 − (eli)
†Seguimos aquí las nociones y convenciones adoptadas en [27]. En su pleno resplandor de gloria, el nilpotente
(anti-) Transformaciones de BRST (A)B son un producto de un parámetro independiente de espacio tiempo anticonmutación
η y s(a)b (es decir, (A)B = ηs(a)b) donde la propiedad nilpotency está codificada en los operadores s(a)b.
son las transformaciones simétricas para la siguiente densidad lagrangiana
b = −
F. F. −
μ)2 − i
μC. (2.5)
Las transformaciones anteriores (2.4) y la densidad lagrangiana (2.5) se han derivado de
(2.2) y (2.1) por la sustitución B = −(A)
μ). Un punto interesante, conectado con el
transformaciones de simetría nilpotente en la cáscara, es expresar el análogo de (2.3) como ‡
C̄ (A)
μ) + i A
μC̄], sśab
C (A)
μ)− i A
sb sab
(2.6)
Cabe señalar que, en el cálculo preciso antes mencionado, hay que tener en cuenta
las condiciones sobre la cáscara (C = C̄ = 0) de modo que, para todos los fines prácticos sс(a)b(A
μ) = 0.
Las transformaciones de simetría (anti-)BRST anteriores (es decir, sr, sr con r = b, ab)
están conectados con los generadores conservados y nilpotent (es decir, Qr, Qr con r = b, ab).
Esta afirmación se puede expresar sucintamente, en la forma matemática, como
sr ♥ = −i [ , Qr ](±), sсr = −i [, Qсr ](±), r = b, ab, (2.7)
donde los subíndices (con las firmas (±)) en el soporte cuadrado están para el soporte
a ser un (anti)commutador, para los campos genéricos = Aμ, C, C̄, B y = Aμ, C, C̄ (de
las densidades lagrangianas (2.1) y (2.5)), siendo de naturaleza (fermiónica)bosónica. Lo anterior
Se ha comprobado que Qr, Qr son anticonmutadores (es decir, anticonmutadores). QbQab+QabQb = 0, Q
y off-shell, así como el nilpotente en-shell [Q2(a)b = 0, Q
(a)b = 0) en la naturaleza, respectivamente.
3 (Anti-) Invarianza de BRST en la teoría Abeliana: formalismo supercampo
En esta sección, explotamos el enfoque geométrico supercampo al formalismo BRST, dotado
con el arsenal teórico de la condición de horizontalidad, para expresar el (anti-)BRST
transformaciones simétricas y las densidades lagrangianas (cf. (2.1) y (2.5)) en términos de
los supercampos definidos en el supermanifold (4, 2)-dimensional. Esta última está parametrizada
por las coordenadas del espacio-tiempo xμ (con μ = 0, 1, 2, 3) y un par de variables Grassmannianas
y. Como consecuencia, la generalización del 4D derivado exterior ordinario d = dx
y la conexión de 1-forma A(1) = dxμAμ(x) en el supermanifold (4, 2)-dimensional, son
d → d? = dxμ + d? + d, d?
2 = 0,
A(1) → Ã(1) = dxμ Bμ(x,
(3.1)
donde la asignación de los campos locales 4D a los supercampos es: Aμ(x) → Bμ(x, , ),
C(x) → F(x, Ł, ) y C̄(x) → F̄(x, Ł, ). La super-expansión de los supercampos, en términos
‡ Ponemos énfasis en el hecho de que (2.6) no puede derivarse directamente de (2.3) por la simple sustitución
B = −(A)
μ). Uno tiene que ser juicioso para deducir la expresión precisa para (2.6). Las razones lógicas
detrás de la derivación de (2.6) se codifican en la formulación supercampo (cf. (3.9) infra).
de los campos básicos, así como de los campos secundarios, son (véase, por ejemplo, [4-7, 10-12]):
Bμ(x, , ) = Aμ(x) + R(x) + Rμ(x) + i Sμ(x),
F(x, Ł, ) = C(x) + i ♥ B̄1(x) + i B1(x) + i s(x),
F̄(x, ♥, ) = C̄(x) + i B̄2(x) + i B2(x) + i ♥ s̄(x).
(3.2)
Se puede ver fácilmente que, en el caso limitante de (, ) → 0, recuperamos nuestro 4D básico
campos (Aμ, C, C̄). Además, en la r.h.s. de la super expansión anterior, el bosónico (es decir,
Aμ, Sμ, B1, B̄1, B2, B̄2) y los campos fermiónicos (Rμ, R, C, C̄, s, s̄) coinciden.
En esta coyuntura, tenemos que recordar nuestras observaciones después de la ecuación (2.2). El nilpotente
(anti-) Las transformaciones de simetría BRST básicamente deben su origen a la cohomología
operador d. Esto se capitaliza en la condición de horizontalidad donde se impone la restricción
d(1) = dA(1) en la conexión super 1-forma Ã(1) que contiene los supercampos definidos en
el supermanifold (4, 2)-dimensional. Esta última condición da lugar a las siguientes relaciones:
(véase, por ejemplo, para más detalles, en nuestras obras anteriores [21-25]):
B1 = B̄2 = s = s̄ = 0, B̄1 + B2 = 0, (3.3)
donde somos libres de elegir los campos secundarios (B2, B̄1) (es decir. B2 = B ♥ B̄1 = − B) en
términos del campo auxiliar Nakanishi-Lautrup B de la densidad invariante Lagrangiana BRST
(2.1). Las otras relaciones, que emergen de la HC anterior (es decir,. d(1) = dA(1)), son
Rμ = C, R = C̄, Sμ = B, B v − Bμ = A v − Aμ. (3.4)
En esta etapa, el tensor de super-curvatura F = Bv − Bμ no es igual a lo ordinario
El tensor de curvatura F. = AAμ como el primero contiene términos dependientes de Grassmannian.
La sustitución de los valores anteriores (cf. 3.3), 3.4) de los campos secundarios, en términos
de los campos básicos y auxiliares de la densidad lagrangiana (2.1), conduce a
B(h)μ (x,, ) = Aμ + C̄ + C + i B,
F (h)(x, Ł, ) = C − i ♥ B, F̄ (h)(x, ♥, ) = C̄ + i B,
(3.5)
donde el superíndice (h) se ha utilizado para denotar que las expansiones anteriores han sido
obtenido después de la aplicación del HC. Se puede ver que, debido a (3.5), obtenemos
/ − B
μ = A/ − Aμ, (3.6)
donde no hay ninguna dependencia de Grassmannian y de los l.h.s.
En el lenguaje de la geometría en el supermanifold (4, 2)-dimensional, las expansiones
(3.5) implican que las transformaciones de la simetría (anti-)BRST s(a)b (y sus correspondientes
generadores Q(a)b) para los campos locales 4D (cf. (2.7)) están conectados con la traducción
generadores (///) porque la traducción de los correspondientes (4, 2)-dimensionales
supercampos, a lo largo de las direcciones Grassmannianas del supermanifold, lo produce. Por lo tanto,
la independencia de Grassmannian del tensor de super curvatura F
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.
μ implica
que el tensor de curvatura en 4D F.o.p. es un (anti-)BRST (i.e. calibrador) cantidad física invariante.
En términos de los supercampos, las ecuaciones (2.3) se pueden expresar como
Lim0
−i F̄ (h) { (B(h)μ +
Lim0
+ iF (h) { (B(h)μ +
Bμ(h)B(h)μ +
F (h) F̄ (h)
(3.7)
Estas ecuaciones son únicas porque no hay otra manera de expresar las ecuaciones anteriores en
términos de los derivados w.r.t. Variables grassmannianas. Por lo tanto, además de (2.3), hay
no es otra posibilidad de expresar los términos de medición-fijación y el fantasma Faddeev-Popov en
el lenguaje de las transformaciones de simetría off-shell (anti-)BRST (2.2). Los
enfoque superfield a la formulación BRST, por lo tanto, establece la singularidad de (2.3).
Para expresar (2.6) en términos de los supercampos, uno tiene que sustituir B = −(A)
μ) en (3,5).
Así, la expansión (3.5), en términos de las transformaciones (2.4), se vuelve§
μ(o)(x, Ł, ) = Aμ + ♥ C̄ + C − i
...............................................................................................................................................................................................................................................................
Aμ + Aμ (s?abAμ) + (s?bAμ) + ♥ (s?bs?abAμ),
(o) (x, Ł, ) = C + i ♥ (A)
μ) C + C (sśabC),
(o) (x,, ) = C̄ − i (A)
μ) C̄ + (sśbC̄).
(3.8)
Observamos que (3.5) y (3.8) son las superexpansiones (después de la aplicación del HC)
que conducen a la derivación de la simetría off-shell nilpotente (anti-)BRST transforma-
ciones s(a)b, así como las transformaciones de la simetría sœ(a)b de la simetría BRST (anti-)
respectivamente, para los campos básicos Aμ, C y C̄ de la teoría.
Los términos fantasma de la densidad lagrangiana (2,5) y Faddeev-Popov
también se expresen en términos de los supercampos (3.8). En otras palabras, (vis-à-vis (3.7)), tenemos
las siguientes ecuaciones que son el análogo de (2.6), a saber;
Lim0
o) (l)
μAμ) + i B
μ(o)
o) )
Lim0
o) (l)
μAμ)− i B
μ(o)
o) )
o) B
μ(o) +
o) F̄
(3.9)
Sabemos que, para todos los fines computacionales prácticos, es esencial tener en cuenta
s‡(a)b(A)
μ) = 0 debido a las condiciones en la cáscara C = C = C = 0. La razón lógica detrás
una restricción de este tipo (es decir, s‡(a)b(A)
μ) = 0) en (2.6) se codifica en el enfoque de supercampo para
El formalismo BRST como se puede ver de cerca (3.9).
La densidad lagrangiana (2.1) se puede expresar, en términos de la (4, 2)-dimensional
supercampos, en las siguientes formas distintas y diferentes
B = −
F(h)(f)(f)
(h) + Lim0
−i F̄ (h)(B(h)μ +
, (3.10)
§Las transformaciones de la simetría de la simetría (anti-)BRST s‡(a)b se pueden obtener también invocando
los supercampos (anti-)chiral en los supermanifolds adecuadamente elegidos (véase, por ejemplo, [23] para más detalles).
B = −
F(h)(f)(f)
(h) + Lim0
+i F (h)(B(h)μ +
, (3.11)
B = −
F(h)(f)(f)
(h) +
Bμ(h)B(h)μ +
F (h) F̄ (h)
. (3.12)
Cabe señalar que el término de energía cinética −(1/4)F
(h) es independiente de la
Variables فارسى y debido a que Fû (h) = F®. De una manera exactamente similar, la densidad lagrangiana de
(2.5) se puede expresar, con la ayuda de la super expansión (3.8), como
b = −
*(o)F
• (h)
o) + Lim0
o) (l)
μAμ) + i B
μ(o)
o) )
, (3.13)
b = −
*(o)F
• (h)
o) + Lim0
o) (l)
μAμ)− i B
μ(0)
o) )
, (3.14)
b = −
*(o)F
• (h)
o) +
o) B
μ(o) +
o) F̄
. (3.15)
La forma de las densidades lagrangianas (e.g. de (3.10) a (3.15)) simplificar la prueba de la
(anti-) invarianza BRST de las densidades lagrangianas en (2.1) y (2.5).
En las formas anteriores (por ejemplo: de (3.10) a (3.12) de la densidad lagrangiana, el BRST
la invarianza sbLB = 0 y la invarianza anti-BRST sabLB = 0 se vuelven muy transparentes
y simple porque existen las siguientes igualdades y mapas, a saber;
B = 0 ♥ Lim0
B = 0, sb Lim0
, s2b = 0
= 0, (3,16)
B = 0 ♥ Lim0
B = 0, sab Lim0
, s2ab = 0
= 0. (3.17)
Del mismo modo, la relación más hermosa (3.12), conduce a la (anti-)invarianza BRST juntos.
Aquí uno tiene que usar la propiedad anticomputatividad sbsab + sabsb = 0 en el lenguaje de
los generadores de traducción (es decir, A lo largo de las direcciones Grassmannianas de la
supermanifold, por su prueba. Esta afirmación se puede expresar matemáticamente como
s(a)bL
B = 0
B = 0, sbsab + sabsb = 0
= 0. (3.18)
De una manera exactamente similar, la invarianza de la simetría de simetría (anti-)BRST (es decir,
s‡(a)bL
b = 0) de la densidad lagrangiana (2.5) también se puede capturar en el lenguaje de la
supercampos si explotamos las expresiones (3.13) a (3.15) para la densidad lagrangiana. En el
último caso, el nilpotente en la cáscara (anti-) la invarianza BRST resulta ser como (3.16), (3.17)
y (3.18) con las sustituciones: s(a)b → s(a)b, L
B → L
b, L
(1,2,3)
B → L
(1,2,3)
Matemáticamente, se captura la invarianza (anti-)BRST de la densidad lagrangiana (2.1)
en las ecuaciones (3.16) a (3.18). En el lenguaje de la geometría en el (4, 2)-dimensional
supermanifold, la (anti-)invarianza BRST corresponde a la independencia de Grassmannian
de las versiones supersimétricas de la densidad lagrangiana (2.1). En otras palabras, la trans-
la relación de las densidades súper lagrangianas (es decir, (3.10) a (3.12), a lo largo de las direcciones de
el supermanifold, es cero. Esta observación capta la invarianza (anti-)BRST de (2.1).
4 (Anti-)Simetrías BRST en la teoría no abeliana: enfoque lagrangiano
Comenzamos con la siguiente densidad invariante BRST Lagrangian, en el indicador Feynman,
para el cuatro (3 + 1)-dimensional no-Abelian 1-forma calibrador teoría¶ (véase, por ejemplo. [26,27,9])
B = −
F - F - + B - (A)
B · B − iC̄ ·D
μC, (4.1)
donde el tensor de curvatura (F) se define a través del F de 2 formas
2)n) = dA(1)n)+iA(1)n)
A (1) n). Aquí la conexión del medidor no-Abeliano de 1-forma es A (1) n) = dxμ(Aμ · T) y el
derivado exterior es d = dx. El campo auxiliar de Nakanishi-Lautrup B = B · T es
requerido para la linealización del término de fijación de gálibo y los campos (anti-)ghost (C̄)C son
esencial para la prueba de la unidad en la teoría. Los últimos campos son fermónicos (es decir.
(Ca)2 = 0, (C̄a)2 = 0, CaCb + CbCa = 0, CaC̄b + C̄bCa = 0, etc.) en la naturaleza.
La densidad anterior de Lagrangian respeta el siguiente nilpotente fuera de la cáscara ((s)
2 = 0)
Transformaciones de simetría BRST s
b, a saber,
b Aμ = DμC, s
b C = −
(C × C), s
b C̄ = iB,
b B = 0, s
b F. = i(F. × C).
(4.2)
Cabe señalar que (i) el tensor de curvatura F· T se transforma aquí bajo el BRST
transformación de la simetría. Sin embargo, se puede comprobar explícitamente que la energía cinética
Término −(1/4)F· · F
• sigue siendo invariante bajo las transformaciones de la simetría BRST, ii)
las transformaciones de simetría anti-BRST nilpotentes correspondientes a las anteriores BRST
las transformaciones simétricas (4.2) no pueden definirse para la densidad lagrangiana (4.1), y
(iii) la versión on-shell de las transformaciones de simetría BRST anteriores es también
posible si sustituimos, en las transformaciones de simetría anteriores, B = −(A
μ). Los
consiguiente (es decir, D
μC = 0) transformaciones de simetría BRST nilpotentes s
b son
b Aμ = DμC, s
b C = −
(C × C),
b C̄ = −i(A)
μ), s
b F. = i(F. × C).
(4.3)
Las transformaciones anteriores de nilpotente on-shell dejan la siguiente densidad lagrangiana
b = −
F • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
μ) · (A
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
μC, (4.4)
¶ Para la teoría del medidor de 1 forma no-Abeliano, las anotaciones utilizadas en el espacio algebraico de Lie son: A · B =
AaBa, (A ×B)a = fabcAbBc, DμC
a = C
a + ifabcAbμC
c • C
a + i(Aμ × C)
a, F. = A. − Aμ +
iAA/, Aμ = Aμ ·T, [T
a, T b] = fabcT c donde los índices latinos a, b, c = 1, 2, 3....N están en la mentira SU(N)
Espacio algebraico. La estructura constante fabc puede ser elegido para ser totalmente antisimétrico para cualquier arbitrario
álgebra de Lie semisimple que incluye también SU(N) (véase, por ejemplo, [27]).
casi-invariante porque se transforma en un derivado total.
Los términos fantasma de las densidades lagrangianas (4.1) y Faddeev-Popov
(4.4) puede ser escrito, módulo un derivado total, como una cantidad exacta BRST en términos de
las transformaciones de simetría BRST off-shell y on-shell (4.2) y (4.3). Esto
la declaración puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:
−i C̄ {(A)
= B · (A)
B · B − i C̄ ·D
μC, (4.5)
C̄ · (A)
μ) + i
μ) · (A
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
μC. (4.6)
Cabe señalar que hay que tener en cuenta s
b (A)
μ) = D
μC = 0 en lo anterior
prueba de la exactitud de la expresión en (4.6).
Las densidades lagrangianas que respetan el nilpotente off-shell (es decir. s
a) b)
2 = 0) y
anticonmutación (s
ab + s
b = 0) (anti-) Las transformaciones de simetría BRST son
1) n)
b = −
F - F - + B - (A)
(B · B + B̄ · B̄)− iC̄ ·D
μC, (4,7)
2) n)
b = −
# F # F # # F # # B # # B # # B # # B # # B # # B # # B # # F # # F # # F # # F # F # # F # # B # # B # # B # # ( A # A # A # F # F # F # # F # # B # # B #
(B · B + B̄ · B̄)− iDμC̄ ·
μC. (4.8)
Aquí los campos auxiliares B y B̄ satisfacen la condición Curci-Ferrari B+B̄ = −(C×C̄) [28,29].
También es evidente, de esta relación, que B ·(A
μ)−iC̄ ·D
μC = −B̄ ·(A)
μ)−iDμC̄
Además, hay que volver a insistir en que las densidades lagrangianas (4.1) y (4.4) sí lo hacen.
no respetar las transformaciones de simetría anti-BRST de ningún tipo. El BRST y anti-
Las transformaciones de simetría BRST, para las densidades Lagrangianas anteriores, son
b Aμ = DμC, s
b C = −
(C × C), s
b C̄ = iB,
b B = 0, s
b F+ = i(F+ × C), s
b B̄ = i(B̄ × C),
(4.9)
ab Aμ = DμC̄, s
ab C̄ = −
(C̄ × C̄), s
ab C = iB̄,
ab B̄ = 0, s
ab F. = i(F. × C̄), s
ab B = i(B × C̄).
(4.10)
Las anteriores transformaciones de simetría off-shell (anti-)BRST dejan el Lagrangian
densidades (4.7) así como (4.8) cuasi-invariantes a medida que se transforman en algunos derivados totales.
Los términos fantasma de las densidades lagrangianas (4.7) y Faddeev-Popov
(4.8) puede ser escrito, de una manera simétrica con respecto a s
b y s
ab, como
Aμ ·A
μ + C · C̄
= B · (A)
(B ·B + B̄ · B̄)− iC̄ ·D
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(B · B + B̄ · B̄)− iDμC̄ ·
(4.11)
Esto demuestra el hecho clave de que los términos anteriores de fijación de ancho de banda y Faddeev-Popov fantasma
son (anti-) BRST invariantes juntos debido a la nilpotencia y anticommutatividad de la
Transformaciones de simetría (anti-)BRST s
(a)b que están presentes en la teoría.
5 (Anti-) invarianza de BRST en la teoría no abeliana: enfoque de supercampo
Para capturar (i) el off-shell, así como el nilpotente (anti-)BRST simetría transfor-
y (ii) la invarianza de las densidades lagrangianas, en el lenguaje del supercampo
enfoque al formalismo BRST, tenemos que considerar la teoría 4D 1-forma no-Abelian calibre
en a (4, 2)-supermanifold dimensional. Como consecuencia, tenemos los siguientes mapas:
d → d? = dxμ + d? + d, d?
2 = 0,
A (1) n) → Ã (1) n) = dxμ(Bμ · T)(x,
(5.1)
donde los supercampos (4, 2)-dimensionales (Bμ ·T,F ·T, F̄ ·T) son las generalizaciones del 4D
campos locales básicos (Aμ ·T, C ·T, C̄ ·T ) de la densidad lagrangiana (4.1), (4.7) y (4.8). Estos
supercampos se pueden ampliar a lo largo de las direcciones Grassmannian del supermanifold, en
términos de los campos 4D básicos, campos auxiliares y campos secundarios como [4,16,19]
(Bμ · T )(x, Ł, ) = (Aμ · T )(x) + (R · T )(x) + (Rμ · T )(x) + i (Sμ · T )(x),
(F · T )(x, Ł, ) = (C · T )(x) + i (B̄1 · T )(x) + i (B1 · T )(x) + i (s · T )(x),
(F̄ · T )(x, Ł, ) = (C̄ · T )(x) + i (B̄2 · T )(x) + i (B2 · T )(x) + i (s̄ · T )(x).
(5.2)
Para determinar las expresiones exactas para los campos secundarios, en términos de lo básico y
campos auxiliares de la teoría, tenemos que explotar el HC. La condición de horizontalidad, para
la teoría del calibre no abeliano es el requisito de la igualdad del Maurer-Cartan
ecuación en los (super) colectores. En otras palabras, la reducción covariante de la super
Curvatura de 2 formas F (2) n) a la curvatura de 2 formas ordinaria (es decir, d(1)(n)+ iÃ(1)(n) فارسى Ã(1)(n) =
dA(1)(n)+ iA(1)(n)•A(1)(n)) lleva a la determinación de los campos secundarios en términos de:
campos básicos y auxiliares de la teoría. Las expansiones consiguientes, en términos de
campos auxiliares, conducen a (i) la derivación de las transformaciones de simetría (anti-)BRST
para los campos básicos de la teoría, y (ii) las interpretaciones geométricas del nilpotente
transformaciones de simetría (anti-)BRST (y sus correspondientes generadores de nilopotentes) para
los campos básicos de la teoría como las traducciones de los supercampos correspondientes a lo largo de la
Direcciones de Grassmannian del supermanifold (4, 2)-dimensional (véase, por ejemplo, [16,19]).
Con las identificaciones B2 = B y B̄1 = B̄, las siguientes relaciones emergen después
la aplicación de la condición de horizontalidad (véase, por ejemplo, [16]):
Rμ = DμC, R = DμC̄, B + B̄ = −(C × C̄), s = i(B̄ × C),
Sμ = DμB +DμC × C
s̄ = −i(B × C̄), B1 = −
(C × C), B̄2 = −
(C̄ × C̄).
(5.3)
• En el resto de nuestro texto actual, utilizaremos las anotaciones taquigráficas para todos los campos, por ejemplo.:
Aμ · T = Aμ, C · T = C, B · T = B, etc., en aras de la brevedad.
La sustitución de las expresiones anteriores, que se obtienen después de la aplicación de la
horizontalidad condición, conduce a las siguientes expansiones
B(h)μ (x, Ł, ) = Aμ + ♥ DμC̄ + DμC + i (DμB + DμC × C̄),
F (h)(x, Ł, ) = C + i ♥ B̄ −
(C × C)− ♥ (B̄ × C),
F̄ (h)(x, Ł, ) = C̄ −
(C̄ × C̄) + i B + ♥ (B × C̄).
(5.4)
Las expansiones anteriores (véase, por ejemplo, nuestras obras anteriores [16,19]) se pueden expresar en términos de la
off-shell nilpotent (anti-) BRST transformaciones de simetría (4.9) y (4.10).
Con la expansión anterior a nuestra disposición, los términos calibrador-fijación y Faddeev-Popov
de la densidad lagrangiana (4.1) se puede escribir, módulo un derivado ordinario total, como
Lim0
−iF̄ (h) · B(h)μ −
F̄ (h) · B
= B · (A)
B · B − i C̄ ·D
μC. (5.5)
Además, se puede ver que, debido a la validez y las consecuencias de la horizontalidad
condición, el tensor de super curvatura F tiene la siguiente forma [16,4]
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. (5.6)
De la relación anterior se desprende claramente que el término de energía cinética del presente 4D
la teoría del calibre 1 no abeliano sigue siendo invariante, a saber;
F(h) · F
(h) = −
F. · F.....................................................................................................................................
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (5.7)
La independencia de Grassmannian de los l.h.s. de (5.7) tiene un significado profundo en cuanto a la física es
concernidos. Implica inmediatamente que el término de energía cinética del calibre no-Abeliano
la teoría es un (anti-)BRST (es decir, calibrador) cantidad física invariante.
En esta coyuntura, vale la pena señalar que también se puede capturar la ecuación
(4.6) en el enfoque superfield al formalismo BRST donde la versión on-shell nilpotente
de las transformaciones de la simetría BRST (es decir, s
b ) desempeña un papel importante. Por este pur-
posar, tenemos que expresar la expansión de supercampo (5.4) para el BRST nilpotente on-shell
transformación de la simetría donde uno tiene que explotar el reemplazo B = −(A)
μ). Con
esta sustitución, la ecuación (5.4) para la expansión de supercampo se convierte en
μ(o)(x, , ) = Aμ + ♥ DμC̄ + DμC + i
...............................................................................................................................................................................................................................................................
o) (x, Ł, ) = C + i ♥ B̄ −
(C × C)− ♥ (B̄ × C),
(o) (x, Ł, ) = C̄ −
(C̄ × C̄)− i (A)
μ)− [(A)
μ)× C̄)].
(5.8)
Ahora, la ecuación (4.6) se puede expresar en términos de los supercampos anteriores, como:
Lim0
o) ·
μAμ) + i B
μ(o) ·
μ) · (A
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(5.9)
Además, cabe señalar que el análogo de (5.6), para el BRST nilpotente
transformación de la simetría (es decir, F.V.F.
(o)), se puede obtener por la sustitución B = −(A)
Una vez más, la igualdad (5.7) permanecería intacta incluso si tenemos en cuenta el
Transformaciones de simetría BRST nilpotent. Por lo tanto, notamos que el término de energía cinética
(es decir, (−(1/4)F • · F = −(1/4)F
• (h)
o) · F
Se mantiene la teoría del gálibo no abeliano.
independiente de las variables Grassmannianas después de la aplicación del HC. Esto
declaración es cierto para el off-shell, así como el nilpotente en la cáscara (anti-)BRST simetría
transformaciones. Físicamente, implica que el término de energía cinética para el campo de medición de
la teoría no abeliana es un (anti-)BRST (es decir. calibrador) cantidad invariante.
La observación clave anterior ayuda a expresar la densidad lagrangiana (4.1) y (4.4)
en términos de los supercampos (obtenidos después de la aplicación de HC), como
B = −
F(h) · F
(h) + Lim0
−iF̄ (h) · B(h)μ −
F̄ (h) · B
b = −
- (o) - (i) - (i) - (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) (i) () () ()) () () (i) () () ()) (i) ()) () () ()) () ()
• (h)
o) + Lim0
o) ·
μAμ) + i B
μ(o) ·
(5.10)
Este resultado, a su vez, simplifica la invarianza BRST de la densidad lagrangiana arriba (4.1)
y (4.4) (describiendo la teoría del calibre no abeliano 4D 1-forma) de la siguiente manera:
Lim0
B = 0 s
B = 0, Lim0
b = 0
b = 0. (5.11)
Esto es una gran simplificación porque las densidades super lagrangianas totales (5.10) permanecen
independiente de la variable Grassmannian. Este resultado clave está codificado en la asignación
b, s
b ) Lim0(/) y la nilpotencia (s
2 = 0, (s
2 = 0, (/)2 = 0.
Se puede comprobar fácilmente que los análogos de (5.5) y (5.9) no pueden expresarse como
el derivado w.r.t. la variable Grassmannian فارسى. Para comprobar esto, uno tiene que explotar el
superexpansiones (5.4) y (5.8) obtenidas después de la aplicación del HC (en el contexto
de la derivación de la off-shell, así como de la simetría BRST en-shell nilpotente transfor-
mations s
b y s
b ). Se puede ver claramente que la operación de la derivada w.r.t. la
Variable de Grassmannian, en cualquier combinación de los supercampos de las expansiones (5.4)
y (5.8), no conduce a la derivación de la r.h.s. de (5.5) y (5.9). En el idioma
del enfoque del supercampo al formalismo BRST, esta es la razón detrás de la no-existencia
de las transformaciones de simetría anti-BRST para las densidades lagrangianas (4.1) y (4.4).
La forma de la calibración-fijación y Faddeev-Popov términos (4.11), expresados en términos de
las transformaciones de simetría BRST y anti-BRST juntos, se pueden representar en el
lenguaje de los supercampos (obtenido después de la aplicación de HC), como
B(h)μ · B
μ(h) + F (h) · F̄ (h)
= B · (A)
(B · B + B̄ · B̄)− iC̄ ·D
(5.12)
Como consecuencia de la expresión anterior, las densidades lagrangianas (4.7) (así como (4.8))
puede ser presentado, en términos de los supercampos, como
(1,2) n)
b = −
F(h) · F(h)+
B(h)μ · B
μ(h) + F (h) · F̄ (h)
. (5.13)
La invarianza BRST y anti-BRST de la densidad supra super lagrangiana (y la de
las densidades ordinarias 4D Lagrangian (4.7) y (4.8) se codifican en el siguiente simple
ecuaciones que se expresan en términos de los generadores traslacionales a lo largo del Grassman-
direcciones nian del supermanifold (4, 2)-dimensional, a saber;
Lim0
(1,2) n)
b = 0 s
1) n)
b = 0, Lim0
(1,2) n)
b = 0 s
2) n)
b = 0.
(5.14)
Esta es una tremenda simplificación de la (anti-)invarianza BRST de la den-
sidades (4.7) y (4.8) en el lenguaje del enfoque supercampo al formalismo BRST. In
otras palabras, si uno es capaz de mostrar la independencia de Grassmannian del super Lagrangian
densidades de la teoría, la (anti-) invarianza BRST de la teoría 4D sigue automáticamente.
En el lenguaje de la geometría en el supermanifold, la (anti-) invarianza BRST de
una densidad 4D Lagrangian es equivalente a la declaración de que la traducción del super
versión de la densidad de Lagrangia arriba, a lo largo de las direcciones Grassmannian de la (4, 2)-
supermanifold dimensional, es cero. Así, la densidad súper lagrangiana de un (anti-)BRST
la teoría invariante 4D es un escalar Lorentz, construido con la ayuda de (4, 2)-dimensional
supercampos (obtenidos después de la aplicación de HC), de manera que, cuando los derivados parciales
w.r.t. las variables Grassmannian ( y ) operan en él, el resultado es cero.
Las propiedades de nilpotencia y anticomputatividad (que se asocian con la
se encuentran las cargas (anti-)BRST y las transformaciones (anti-)BRST de simetría)
capturado muy naturalmente (cf. (3.16)-(3.18) cuando consideramos la formulación de supercampos de
la invarianza (anti-)BRST de la densidad lagrangiana de una determinada teoría del medidor de 1 forma. Nosotros
mencionar, de paso, que también se podría derivar el análogo de las ecuaciones (3.16), (3.17)
y (3.18) para la teoría 4D no-Abelian 1-forma calibrador de una manera directa.
6 Conclusiones
En nuestra presente investigación, nos hemos concentrado principalmente en la invarianza (anti-)BRST
de las densidades lagrangianas de las teorías libres 4D (no-)Abelian 1-forma calibrador (no tener
la interacción con los campos de materia) en el marco del enfoque de supercampo de BRST
formalismo. Hemos sido capaces de proporcionar la base geométrica para la existencia de la
(anti-) Invarianza BRST en las teorías 4D anteriores. Para ser más específicos, hemos sido capaces
para demostrar que la independencia de Grassmannian de la (4, 2)-dimensional super Lagrangian
la densidad, expresada en términos de los supercampos apropiados, es una prueba clara de que hay
una invarianza (anti-)BRST (cf. (3.16), (3.17), (3.18), (5.11), (5.14)) en la teoría 4D.
Si la densidad súper lagrangiana pudiera expresarse como una suma de (i) un Grassmanniano
término independiente, y (ii) un derivado w.r.t. la variable Grassmannian, entonces, el cor-
responder a la densidad 4D Lagrangian respetará automáticamente BRST y/o anti-BRST
invarianza. En la última pieza de la densidad supra super lagrangiana, la derivada podría
ser cualquiera de los dos. O w.r.t. o w.r.t. Los dos juntos. Más concretamente,
i) si el derivado es w.r.t. , la simetría nilpotente correspondería al BRST,
ii) si el derivado es w.r.t. La simetría nilpotenta sería la del anti-BRST
tipo, y (iii) si ambos derivados están presentes juntos, tanto el nilpotent (anti-)BRST
las simetrías estarían presentes juntas (y resultarían ser anticonmutantes).
Para las teorías 4D (no-)Abelian 1-forma calibre, que se consideran en el (4, 2)-
supermanifold dimensional, es el HC en la super conexión de 1-forma Ã(1) que juega un
papel muy importante en la derivación de las transformaciones de la simetría (anti-)BRST. Los
el origen cohomológico de los HC anteriores se encuentra en los (super) derivados exteriores (dś)d.
punto se ha dejado muy claro en nuestros debates después de la off-shell, así como el
transformaciones de simetría (anti-) BRST nilpotentes (2.2), (2.4), (4.2), (4.3), (4.9) y (4.10).
De hecho, es el término completo de energía cinética de las teorías anteriores (debido a su origen a la
operador cohomológico d = dx) que sigue siendo invariante bajo el anterior on-shell así
las transformaciones de simetría off-shell (anti-)BRST.
El HC produce específicamente las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST para
los campos calibrador y (anti-)fantasma debido al hecho de que la conexión super 1-forma
Ã(1)/Ã(1)n) (cf. (3.1) y (5.1)) se construye con un super vector múltiplet (Bμ,F, F̄)
que es la generalización del campo de medición Aμ y los campos (anti-)ghost (C̄)C (de la
ordinario 4D (no-)Abelian 1-forma calibrado teorías) a la (4, 2)-dimensional supermanifold.
Como consecuencia, sólo la simetría de nilpotente y anticonmutación (anti-)BRST transfor-
maciones para los campos locales 4D Aμ, C y C̄ se obtienen cuando el pleno potencial de la HC
se explota en el marco de la formulación supracampo anterior.
Vale la pena señalar que geométricamente las densidades súper lagrangianas, ex-
prensado en términos de los supercampos (4, 2)-dimensionales, son equivalentes a la suma de la
término de energía cinética y las traducciones de algunos supercampos compuestos (obtenido después de la
la aplicación del HC) a lo largo de las direcciones de Grassmannian (es decir, de los (4, 2)-
supermanifold dimensional. Esta observación es claramente diferente de nuestras obras anteriores
sobre el enfoque de supercampo de las teorías 2D (no-)Abelian 1-form calibrador [24,25,23] que son
encontrado para corresponder a las teorías del campo topológico. De hecho, para estas últimas teorías, el
la densidad total super lagrangiana resulta ser una derivada total w.r.t. el Grassmannian
Variables ( y/o ). Es decir, incluso el término de energía cinética de estas últimas teorías,
es capaz de expresarse como la derivada total w.r.t. las variables فارسى y/o.
En nuestro esfuerzo actual, en el marco del enfoque de supercampo del BRST
formalismo, hemos sido capaces de proporcionar (i) la razón lógica detrás de la no-existencia de
las transformaciones de simetría anti-BRST para las densidades lagrangianas (4.1) y (4.4) para
la teoría 4D no-Abelian 1-forma calibrador, (ii) la explicación explícita de la unicidad
de las ecuaciones (2.3) y (2.6) para la teoría 4D Abelian 1-forma calibrador, (iii) la convinc-
prueba de la invarianza del término de fijación de gálibo (p.ej.
s‡(a)b(A)
μ) = 0, s
(a)b(A)
μ) = 0) para las teorías (no-)Abelian 1-form calibrador, y (iv) la
argumentos convincentes a favor de la inexistencia de los análogos exactos de 2.3 y 2.6
la teoría del calibre 1 no-Abeliano. Por lo que sabemos, la explicación lógica...
ciones para los puntos sutiles anteriores (conectados con las teorías del medidor de 1-forma) son completamente
Nuevo. Por lo tanto, los resultados de nuestro trabajo actual son simples, hermosos y originales.
Vale la pena mencionar que nuestra construcción de supercampos y su consiguiente geometría
las interpretaciones no son específicas del calibrador Feynman (que se ha tenido en cuenta
en nuestro esfuerzo actual). Para corroborar esta afirmación, tomamos el caso simple del 4D
Abelian 1-forma calibre teoría y escribir la densidad de Lagrangian (2.1) en el calibre arbitrario
(a),.............................................................................................................................................................................................................................................................
B = −
F F+ B (A)
B2 − i C̄
μC, (6.1)
donde es el parámetro de calibrador. Es elemental comprobar que, en el límite → 1, obtenemos
Respalda nuestra densidad lagrangiana (2.1) para la teoría abeliana en el indicador de Feynman.
El análogo de la ecuación (2.3) (para los términos fantasma calibrador-fijación y Faddeev-Popov
en el caso del calibrador arbitrario) puede expresarse como
−i C̄ {(A)
B}], sab
+i C {(A)
sb sab
(6.2)
La expresión anterior puede ser fácilmente generalizada a los análogos de las ecuaciones (3.10)—
(3.12) en términos de los supercampos tomando la ayuda de (3.8). Por lo tanto, la geométrica inter-
Las pretensiones permanecen intactas incluso en el caso del calibre arbitrario.
De manera similar, para la teoría 4D no-Abelian 1-forma calibrador, las ecuaciones (4.5),
(4.6) y (4.11) pueden generalizarse en el caso del calibre arbitrario y, posteriormente, pueden
se expresarán en términos de supercampos como análogos de (5.5), (5.9) y (5.12). Por último,
podemos obtener los análogos de (5.7), (5.10) y (5.13) que conducirán a la derivación de
los análogos de (5.11) y (5.14). Así, notamos que las interpretaciones geométricas, en el
calibrador arbitrario, sigue siendo el mismo para la teoría 4D (no-)Abelian 1-forma calibrador dentro de la
marco de nuestro enfoque de supercampo al formalismo BRST.
Nuestro trabajo actual se puede generalizar al caso de la interacción 4D (no-)Abelian
Teorías del medidor de 1 forma en las que existe un acoplamiento explícito entre el campo del medidor y
los campos de materia. De hecho, nuestros trabajos anteriores [14-18] podrían resultar bastante útiles en
intentar los problemas anteriores. Nos parece que es la combinación de la HC y
las restricciones, debido a su origen en el derivado covariante (super) sobre la materia (super)
los campos y su íntima conexión con las (super) curvaturas, que jugaría un decisivo
papel en la prueba de la existencia de la (anti-) invarianza de BRST para las teorías de medición anteriores.
Es gratificante afirmar que hemos logrado los objetivos mencionados en nuestro reciente informe.
esfuerzos [30-32]. De hecho, hemos sido capaces de proporcionar la base geométrica para el
existencia de la (anti-)invarianza BRST, en el contexto de la interacción (no-)Abelian
Teorías de calibre 1-forma con Dirac así como campos escalares complejos, dentro del marco
del enfoque de supercampo aumentado al formalismo BRST. Como resulta, aquí también, el
La densidad súper lagrangiana se encuentra independiente de las variables Grassmannianas.
En nuestras obras anteriores [33-35], hemos sido capaces de mostrar la existencia de la nilpotente
(anti-)BRST y (anti-)co-BRST transformaciones de simetría para la 2-forma Abelian 4D libre
calibrador de la teoría. También hemos establecido la naturaleza cuasi-topológica de la misma en [35]. En un reciente
trabajo [36], las transformaciones de simetría de nilpotente (anti-)BRST se han capturado en el
marco de la formulación de supercampo. Sería un muy buen esfuerzo estudiar la
(anti-)BRST y (anti-)co-BRST invarianza de la teoría de dos formas Abelian 4D
el marco de la formulación de supercampos. En la actualidad, esta cuestión y los problemas conexos en
el contexto de la teoría libre 4D Abelian 2-forma calibre están bajo investigación intensiva
y nuestros resultados serían reportados en nuestras próximas publicaciones futuras [37].
Agradecimiento: Apoyo financiero del Departamento de Ciencia y Tecnología
(DST), Gobierno de la India, en virtud de la subvención del SERC para la aprobación de proyectos No: - SR/S2/HEP-
23/2006, se agradece.
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[37] R. P. Malik, en preparación.
|
704.0065 | Littlewood-Richardson polynomials | Polinomios Littlewood–Richardson
A. I. Molev
Escuela de Matemáticas y Estadística
Universidad de Sydney, Nueva Gales del Sur 2006, Australia
alexm@maths.usyd.edu.au
Resumen
Introducimos una familia de anillos de funciones simétricas dependiendo de un in-
secuencia finita de parámetros. Una base distinguida de tal anillo se compone de
por análogos de las funciones Schur. Los coeficientes de estructura correspondientes
son polinomios en los parámetros que llamamos el Littlewood-Richardson
polinomios. Damos una regla combinatoria para su cálculo modificando
un resultado anterior de B. Sagan y del autor. La nueva regla proporciona una fórmula
para estos polinomios que es manifiestamente positivo en el sentido de W. Graham.
Aplicamos esta fórmula para el cálculo del producto del equivariante Schu-
clases de bert en Grassmannians que implica una propiedad de estabilidad de la estructura
coeficientes de la tura. La primera fórmula manifiestamente positiva para tal expansión
fue dado por A. Knutson y T. Tao usando combinatoria de puzzles mientras
la propiedad de la estabilidad no era evidente a partir de esa fórmula. También utilizamos el
Polinomios Littlewood–Richardson para describir la regla de multiplicación en el
álgebra de los elementos Casimir para el general lineal Lie álgebra en la base
de los inmanantes cuánticos construidos por A. Okounkov y G. Olshanski.
http://arxiv.org/abs/0704.0065v3
1 Introducción
Let a = (ai), i â € Z ser una secuencia de variables. Considere el anillo de polinomios
Z[a] en las variables ai con coeficientes enteros. Introducir otro conjunto infinito de
variables x = (x1, x2,. .. ) y para cada número entero no negativo n denotar por el anillo
de polinomios simétricos en x1,. .., xn con coeficientes en Z[a]. El anillo es
filtrada por los grados habituales de polinomios en x1,. ...........................................................................................................
tienen el grado cero. El mapa de evaluación
* n : * n → n − 1, P (x1,. .., xn) 7→ P (x1,. .., xn−1, an) (1.1)
es un homomorfismo de anillos filtrados para que podamos definir el anillo de límite inverso
• = lim
N, n → N, 1.2)
donde el límite se toma con respecto a los homomorfismos (1.1) en la categoría de
anillos filtrados. Cuando a se especializa en la secuencia de ceros, esto se reduce a lo habitual
definición del anillo de funciones simétricas; véase, por ejemplo, Macdonald [14]. En ese caso,
una base distinguida de Ł se compone de las funciones de Schur s/23370/(x) parametrizada
por todas las particiones. En el caso general, los análogos respectivos del sl(x) son los siguientes:
funciones de doble Schur s/23370/(xa) que forman una base de Ł sobre Z[a]. Presentamos la
Polinomios de Littlewood–Richardson c(a) como coeficientes de estructura del anillo
en la base de las funciones de doble Schur,
(xa) sμ(xa) =
c(a) s/(xa). (1.3)
En la especialización a = (0) los polinomios c(a) se convierten en el clásico Littlewood–
Coeficiente de Richardson c; véase [12]. Estos son números enteros no negativos notables que
ocupar un lugar destacado en la combinatoria, la teoría de la representación y la geometría; véase
e.g. Fulton [5], Macdonald [14] y Sagan [21].
El resultado principal de este trabajo es una regla combinatoria para el cálculo de la
Polinomios Littlewood–Richardson que proporcionan una fórmula manifiestamente positiva en
el sentido de que c(a) se escribe como un polinomio en las diferencias ai − aj, i < j, con
coeficientes enteros positivos.
Consideramos dos aplicaciones de la regla. Los resultados de Knutson y Tao [9]
implica que bajo una especialización apropiada, los polinomios c(a) describen el
regla de multiplicación para las clases equivariantes Schubert en Grassmannians; véase también
Fulton [6] para un argumento más directo. Que n y N sean enteros no negativos con
n 6 N y dejar Gr(n,N) denotar el Grassmannian del vector n-dimensional sub-
espacios de naftalenos clorados. El toro T = (C*)N actúa naturalmente en Gr(n,N). El equivariante
anillo de cohomología H*T (Gr(n,N)) es un módulo sobre el anillo polinomio Z[t1,. .., tN]
que se puede identificar con H*T ({pt}), el anillo de cohomología equivariante de un punto.
Este módulo tiene una base de las clases equivariantes Schubert parametrizadas por todos
Diagramas contenidos en el rectángulo n×m, m = N − n; véase, por ejemplo, [5, 6]. Entonces
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
d , (1.4)
donde d = c
(a) con la secuencia una especializada por
a−m+1 = −t1, a−m+2 = −t2,. .., an = −tN, (1.5)
mientras que los parámetros restantes ai se establecen en cero (la ti debe ser reemplazada con
yi en la notación de [9]). Los coeficientes d
se dan explícitamente como polinomios
en el ti − tj, i > j, con coeficientes enteros positivos. Esta propiedad de positividad era
establecido por Graham [8] en el contexto general del cálculo equivariante Schubert.
La primera fórmula manifiestamente positiva para los coeficientes en la expansión (1.4) fue
obtenido por Knutson y Tao [9] mediante la combinación de puzzles. Una regla anterior
de Molev y Sagan [17] también calcula d pero carece de la propiedad explícita de positividad.
Nuestra nueva regla implica una propiedad de estabilidad de los coeficientes d (véase el corolario 3.1
infra). Aunque esta propiedad no fue señalada en [9], se puede derivar
directamente de la regla del rompecabezas; véase también Fulton [6] para su interpretación geométrica y
una extensión al cálculo equivariante de Schubert sobre la variedad de banderas.
Como otra aplicación, obtenemos una regla para la expansión del entero positivo de la
producto de dos immanantes cuánticos (virtuales) (o el correspondiente Capelli superior
los operadores) de Okounkov y Olshanski [18, 19]; cf. [17]. Los immanantes cuánticos
Sn son elementos del centro Z(gln) del álgebra envolvente universal U(gln)
parametrizado por particiones con como máximo n partes; véase [18]. Los elementos Sn forma
una base de Z(gln) para que podamos definir los coeficientes f
por la expansión
Sn Sn =
f Sn.
Entonces f = c
(a) para la especialización ai = −i para i • Z. Como n → • este rendimiento
una regla de multiplicación para los immanantes cuánticos virtuales S
definiciones.
Definimos la función de doble Schur s/23370/(xa) como la secuencia del doble Schur
polinomios
s/23370/(x1,. .., xn a), n = 1, 2,..., (1.6)
que son compatibles con respecto a los homomorfismos (1.1),
n : sl(x1,. ........................................................................................................... .................................................................................................................... (1.7)
Los polinomios (1,6) están estrechamente relacionados con el "factorial" o "doble" Schur poli-
nomios s/23370/(xu) con x = (x1,. ., xn). Estos últimos fueron introducidos por Goulden y
Greene [7] y Macdonald [13] como generalización de los polinomios factoriales Schur
de Biedenharn y Louck [1, 2], y también son un caso especial de la doble Schu-
polinomios bert de Lascoux y Schützenberger; véase Lascoux [11]. Seguimos a Chen,
Li y Louck [4] y Fulton [6] y utilizar el nombre “doble polinomios Schur” para
los polinomios relacionados s/23370/(xa) también.
En un detalle más, considere una partición ......................................................................
de los números enteros de tal manera que el valor de los números enteros sea igual o superior a 1 > · · · > ♥n > 0. Identificaremos a ♥ con su diagrama.
representado gráficamente como el array de filas de cajas de unidades justificadas a la izquierda
en la fila superior, 2 cajas en la segunda fila, etc. El número total de casillas en
ser denotado por. El diagrama transpuesto = (1,. .............................................................
p) se obtiene a partir de
aplicar la simetría con respecto a la diagonal principal, de modo que j es el número
de las casillas de la j-ésima columna de la letra l).
Let u = (u1, u2,. .. ) ser una secuencia de variables. Los polinomios sl(xu) pueden ser
definido por
(xu) =
(xT (α) − uT (α)+c(α)), (1.8)
donde T se extiende sobre todos los tableros semiestándar (columna-estricto) de forma con entradas
en {1,...., n}, T (α) es la entrada de T en la casilla α • • y c(α) = j − i es el contenido
de la casilla α = (i, j) de la fila i y de la columna j.
Por reverso de la tabla T nos referiremos a la tabla obtenida rellenando las cajas
con los números 1, 2,......, n de tal manera que las entradas disminuyen débilmente a lo largo
las filas y disminuir estrictamente las columnas. Si α = (i, j) es una caja de
T (α) = T (i, j) denota la entrada de T en la casilla α. Definimos el doble Schur
polinomios s/23370/(xa) por
(xa) =
(xT (α) − aT (α)−c(α)), (1.9)
se resume sobre el reverso T-tableaux. Entonces tenemos
sl(xa) = sl(xu) (1.10)
para las secuencias a y u relacionadas por a-i+1 = ui con i = 1, 2,..... En particular, la
polinomio sl(xa) sólo depende de las variables ai con i 6 n, i Z. La relación
(1.10) se verifica fácilmente sustituyendo xi por xn−i+1 en (1.8) para todos los i = 1,..., n y utilizando
el hecho de que s/23370/(xu) es un polinomio simétrico en x. La propiedad (1.7) de la doble
Los polinomios de Schur son inmediatos de su definición. En la especialización de la
secuencia a con ai = −i, i â € Z, fórmula (1.9) define los polinomios de Schur desplazados
de Okounkov y Olshanski [18, 19] en las variables yi = xi+ i. El uso del reverso
tableaux fue significativo en su estudio de las propiedades de desaparición y estabilidad de
estos polinomios y elementos centrales asociados del álgebra envolvente universal
para el álgebra de Lie gln; véase también la sección 3.2 infra.
Tenga en cuenta que la propiedad de estabilidad (1.7) se extiende a los polinomios Schubert doble
(y al cálculo equivariante de Schubert en el colector de la bandera). Esto sigue fácilmente
de la fórmula Cauchy para los polinomios Schubert (por ejemplo, poner x1 = y1 en [15,
Fórmula en 2.5.5]). En un contexto más general, esto también se señaló en [3].
Los polinomios de doble Schur s/23370/(xa) parametrizados por los diagramas de
La mayoría de n filas forman una base del anillo. Debido a la propiedad de estabilidad (1.7), el
Los polinomios de Littlewood–Richardson c(a) pueden definirse por la expansión (1,3),
donde x se entiende como el conjunto de variables x = (x1,. .., xn) para cualquier entero positivo
n tal que los diagramas , μ y ν tengan como máximo n filas. Esto nos permite trabajar
con un conjunto finito de variables para la determinación de los polinomios c(a). Por
la prueba del teorema principal (Teorema 2.1) seguimos el enfoque general de [17],
utilizando las técnicas de cuadros “prohibidos” y modificar los argumentos correspondientes
para obtener polinomios manifiestamente positivos. Esto se logra mediante la imposición de un
condición de atadura en los tableros prohibidos.
Fue observado por Goulden y Greene [7] y Macdonald [13] que s/23370/(xu),
considerado como una serie de poder formal en los conjuntos infinitos de variables x y u, admite
a Representación “supertableaux”. Demostramos que esta representación tiene su “finito”
contraparte donde x es un conjunto finito de variables. Derivamos la fórmula correspondiente
eligiendo una cierta especialización de la 9a Variación en [13]. Esto representa...
sión conduce a una expresión “supertableau” para los polinomios Littlewood–Richardson
c(a), aunque esa expresión no es manifiestamente positiva, ni estable.
Después de que la primera versión de este documento se completó hemos aprendido de un indepen-
trabajo de abolladura de V. Kreiman [10], donde un Equivariante positivo Littlewood–Richardson
la regla fue dada. Esa regla es equivalente a nuestro Teorema 2.1 aunque la prueba en [10]
es diferente. Además, el papel de Kreiman también proporciona una
entre los puzzles Knutson-Tao y los tableros con barra utilizados en el Teorema 2.1.
Esta obra se inspiró en las conferencias de Bill Fulton [6]. Estoy agradecido a Bill por
estimular los debates.
2 Regla de multiplicación
Deja que R denote una secuencia de diagramas
μ = ♥(0) → ♥(1) → · · · →
en el que ♥ → significa que se obtiene a partir de ♥ añadiendo una caja. Deja que ri denote
el número de fila de la caja añadida al diagrama (i−1). La secuencia r1r2. .. rl es
llamado el símbolo Yamanouchi de R. Introducir el pedido en el conjunto de cajas de
un diagrama ♥ leyéndolos por columnas de izquierda a derecha y de abajo a arriba
en cada columna. Llamamos a esto el orden de la columna. Escribiremos α α β si α (estrictamente)
precede a β con respecto al orden de la columna. Dada una secuencia R, construir la
set T (l,R) de T reversa recubierta con entradas de {1, 2,....................................................................................................................................................................................................................................................
contiene cajas α1,. ............................................
α1 · · · · αl y T (αi) = ri, 1 6 i 6 l.
Distinguiremos las entradas en α1,. ................................................................................... Por lo tanto, un elemento
de T es un par que consiste en un reverso de la tabla y una secuencia escogida de
entradas compatibles con R. Mantendremos la notación T para tal par. Por ejemplo,
dejar que R sea la secuencia
(3, 1) → (3, 2) → (3, 2, 1) → (3, 3, 1) → (4, 3, 1)
para que el símbolo de Yamanouchi sea 2 3 2 1. A continuación, para = (5, 5, 3) lo siguiente prohibido
El tablero pertenece a T (en lo sucesivo, «T»):
Para cada caja α con αi • • • αi+1, 0 6 i 6 l, set • (α) = •
i). Las entradas prohibidas
r1,. ..., rl dividir el cuadro en regiones marcadas por los elementos de la secuencia R,
como se ilustra:
(0) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) ()) (l) (l) () () (l) ()) ()) (l) ()) () () ()
r1 r2
· · ·
Por último, se denominará T a una tabla inversa si
T (1, j) 6 / ′j para todos j = 1,.....
Obsérvese que sólo existe un cuadro limitado si éste es el caso.
Ahora estamos en condiciones de declarar una regla para el cálculo de la Littlewood-
Polinomios Richardson c(a) definidos por (1.3).
Teorema 2.1. El polinomio c(a) es cero a menos que μ ν. Si μ ν entonces
c(a) =
T (α) imprescriptible
aT (α)(α)
T (α)
− aT (α)−c(α)
, (2.2)
sintetizado sobre todas las secuencias R de la forma (2.1) y todos los reversos
T â € ¬ T (, R). Por otra parte, para cada factor que ocurre en la fórmula (2.2) tenemos
(α)T (α) > c(α).
Antes de probar el teorema, señalemos algunas propiedades del Littlewood-
Los polinomios de Richardson que son inmediatos de la regla y considerar algunos exámenes-
ples. El polinomio c(a) es cero, a menos que ambos diagramas ♥ y μ estén contenidos en
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. En este caso c(a) es un polinomio homogéneo en el ai de
grado + −. Si + − = 0 entonces el teorema reproduce una versión
de la regla clásica de Littlewood-Richardson; véase el corolario 2.9 a continuación. Tenga en cuenta también que
por la definición, los polinomios tienen la simetría c(a) = c
(a) que no es
aparente de la regla.
Ejemplo 2.2. Para el producto de las funciones de doble Schur s(2) xa) y s(2,1)(xa)
Tenemos
s(2)xa) s(2,1)(xa) = s(4,1)(xa) + s(3,2)(xa) + s(3,1,1)(xa) + s(2,2,1)(xa)
a−1 − a2 + a−2 − a0
s(3,1)(xa) +
a−1 − a2
s(2,2)(xa)
a−1 − a0
s(2,1,1)(xa) +
a−1 − a2
a−1 − a0
s(2,1)(xa).
Por ejemplo, el coeficiente de s(3,1)(xa) se calcula por la siguiente barra (2)-
tableaux
1 1 1 1 2 1
compatible con la secuencia (2, 1) → (3, 1). Contribuyen respectivamente a−1 − a1,
a−2 − a0, a1 − a2 que resume el coeficiente a−1 − a2 + a−2 − a0. Alternativamente,
utilizando la simetría c(a) = c
(a) podemos calcular el coeficiente de s(3,1)(xa) por
teniendo en cuenta los cuadros prohibidos (2, 1)
compatible con las secuencias (2) → (3) → (3, 1) y (2) → (2, 1) → (3, 1), respec-
Tily. Sus contribuciones al coeficiente son a−2 − a0 y a−1 − a2.
Ejemplo 2.3. Para el cálculo de c
(5,2,2)
(4,2,1)(2,2)
a) tomar = (4, 2, 1), μ = (2, 2) y
v = (5, 2, 2). Tenemos diez secuencias R de la forma (2.1) pero el conjunto T (l,R) contiene
Sólo para tres de ellos. Para la secuencia R1 con el Yamanouchi
símbolo 1 3 3 1 1, el conjunto T (
3 1 1
3 1 1
cuyas contribuciones al polinomio Littlewood–Richardson son (a0 − a3)(a0 − a2)
y (a0 − a3)(a−2 − a1), respectivamente. Para la secuencia R2 con el Yamanouchi
símbolo 1 3 1 3 1, el conjunto T (l,R2) contiene los cuadros delimitados
3 1 1
3 1 1
con las contribuciones respectivas (a0 − a3)(a−4 − a−2) y (a0 − a3)(a−3 − a−1). Por
la secuencia R3 con el símbolo de Yamanouchi 3 1 3 1 1, el conjunto T (
Únicamente el tablero delimitado
3 1 1
con la contribución (a−1 − a3)(a0 − a3). Por lo tanto,
(5,2,2)
(4,2,1)(2,2)
a) = (a0 − a3) (a−4 + a−3 + a0 − a1 − a2 − a3).
Tomando = (2, 2), μ = (4, 2, 1) y ν = (5, 2, 2) obtenemos dos secuencias con el
Símbolos Yamanouchi 1 3 y 3 1. Los conjuntos correspondientes T (l,R) constan de cinco
y cuatro tableaux con barra delimitada, respectivamente, lo que conduce a un poco más largo
cálculo.
Prueba de Teorema 2.1. Presentamos la prueba como una secuencia de lemas. Debido a la
propiedad de estabilidad (1.7), podemos (y vamos) trabajar con un conjunto finito de variables x =
(x1,. ., xn). En consecuencia, las posibles entradas de los cuadros son ahora elementos del conjunto
{1,...., n}. Introducir otra secuencia de variables b = (bi), i + Z, y definir la
Coeficiente de tipo Littlewood–Richardson c(a, b) por la expansión
(xb) sμ(xa) =
c(a, b) s/(xa). 2.3)
Lemma 2.4. El coeficiente c(a, b) es cero a menos que μ ν. Si μ ν entonces
c(a, b) =
T (α) imprescriptible
aT (α)(α)
T (α)
− bT (α)−c(α)
, (2.4)
sintetizado sobre todas las secuencias R de la forma (2.1) y todos los reversos T-tableaux T T (,R).
Prueba. Esto es esencialmente una reformulación del resultado principal de [17] (Teorema 3.1).
Nótese que la suma en (2.4) se hace cargo de todos los cuadros prohibidos T-T (l,R) (no
poco más de los ν-bounded como en (2.2)). En lugar de repetir todo el argumento
de [17], sólo esbozamos los pasos principales de la prueba e indicamos los cambios necesarios
que se hará. Referimos al lector a [17] para los detalles.
Asumimos que todos los diagramas aquí tienen como máximo n filas. En caso de que se trate de una operación de concentración, se considerará que se trata de una operación de concentración o de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración o de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración o de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración. .................................................................................................
tal diagrama, establecemos
a/23370/ = (a11,. ...............................................................................................................
Bajo la correspondencia (1.10) tenemos a. = u. = (u. + n,. ...............................................................................................................
se utilizó la notación en [17].
El punto de partida es el Teorema Desaparecido de [18] cuya prueba fue también repro-
en [17]. Por ese teorema,
sl(a a) = 0 a menos que ♥ l,
sl(a a) =
(i,j)
aii − aj−j+1
La primera reclamación del lema se deriva del Teorema de Desaparición, que también implica
(a, b) = s/23370/(aμ b).
Esto demuestra (2.4) para el caso ν = μ. Ahora suponemos que − > 1 y proceder
por inducción en −. El paso de inducción se basa en la relación de recurrencia
c(a, b) =
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
c(a, b)−
(a, b)
(2.5)
que fue probado en [17, Proposición 3.4]; véase también [9]. Suponga que el diagrama /
se obtiene de μ añadiendo una caja en la fila r.
c(a, b) =
(a/ b)- (aμ b)
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
. (2.6)
Ahora use la definición (1.9) de los polinomios de doble Schur. Desde el n-tuples a/
y aμ sólo difieren en el componente r-th, la relación en el lado derecho de (2.6)
se pueden ampliar teniendo en cuenta las entradas r de la T inversa
Necesitamos la siguiente fórmula, donde estamos pensando en y = (av)r, z = (aμ)r y
mi = bT (α)−c(α) como α corre sobre las cajas de T con T (α) = r en orden de columna:
i=1(y −mi)−
i=1(z −mi)
y − z
(z −m1). .. (z −mj−1)(y −mj+1). .. (y −mk).
El lado derecho de (2.6) puede interpretarse ahora como el lado derecho de (2.4),
donde R es la única secuencia μ → ν y la suma se toma sobre el reverso
T con una entrada prohibida r, como se ilustra:
μ r /
En este caso, el valor de todas las casillas α que preceden a la casilla ocupada por la barra r, y
Para todas las casillas α que siguen a esa casilla en orden de columna. Tenga en cuenta que la
variables y y y z ahora se intercambian en el lado derecho de la expansión anterior,
en comparación con [17] (esto no cambia el polinomio debido a la simetría en y
y z). En consecuencia, el orden de la columna utilizado en [17] es el contrario al orden en
las cajas de.................................................................................
Podemos representar el cálculo anterior de c(a) por la relación “diagramática”
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
μ r ν = ν − μ
Considere ahora el siguiente caso donde − = 2 y aplicar la relación de recurrencia
(2.5). Tenemos tres subcasos: el diagrama / se obtiene a partir de μ mediante la adición de dos cajas
en diferentes filas y columnas; añadiendo dos casillas en la misma fila; o añadiendo
dos casillas en la misma columna. Los dos primeros subcasos se tratan de manera similar
al caso = 1. Se necesita un cuidado adicional para el tercer subcaso en el que
Suponga que ν se obtiene a partir de μ añadiendo las casillas de las filas r y r + 1. Denotar
por el diagrama obtenido de μ añadiendo la caja en la fila r. Luego (2.5) da
c(a, b) =
c(a, b)− c
(a, b)
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Conjunto s = r+1. Exactamente como en el caso = 1, tenemos el siguiente diagrama
relaciones:
# Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!
...................................................................................
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
...................................................................................
Por lo tanto, la fórmula deseada para c(a, b) seguirá si probamos la relación
μ r ν = μ s ν
Construimos una bijección que conserva el peso entre los reversos de barra ♥-tableaux
que están representados por los lados izquierdo y derecho de esta relación diagramática.
Aquí el peso es el producto en el lado derecho de (2.4) correspondiente a un
Tableo cerrado. Deje que tal cuadro con una entrada prohibida r en la caja (i, j) se dé.
Supongamos primero que la caja (i − 1, j) pertenece al diagrama y está ocupado por
s = r+1. Entonces la imagen del tablero bajo el mapa es el mismo cuadro pero el
entrada T (i, j) = r no está prohibido mientras que T (i− 1, j) = r + 1 está prohibido. Desde
(a)r+1 = (aμ)r y T (i− 1, j)− c(i− 1, j) = T (i, j)− c(i, j),
los pesos de los tableros se conservan bajo el mapa.
Supongamos ahora que la entrada en la caja (i − 1, j) es mayor que r + 1, o esto
la caja está fuera del diagrama. Considerar todas las entradas r en la fila i a la izquierda de la caja
(i, j) y supongan que ocupan las cajas (i, j −m), (i, j −m+1),. ., (i, j− 1).
Entonces la imagen del cuadro bajo el mapa es el cuadro obtenido reemplazando
las entradas en cada una de las casillas (i, j −m),. ...........................................................
entrada en la casilla (i, j −m). Los pesos de los tableros se conservan de nuevo.
El mapa inverso se describe de manera similar. Esto da el peso deseado-
preservar la bijección. El argumento general utiliza cálculos similares con el
diagramas y una bijección similar descrita en [17].
Observación 2.5. (i) Una interpretación cohomológica de los coeficientes c(a, b) y sus
el cálculo del rompecabezas se puede encontrar en [9].
ii) La definición (2.3) de los coeficientes c(a, b) puede ampliarse al caso
donde ♥ es un diagrama de sesgo. Lemma 2.4 y su prueba siguen siendo válidas; véase [17].
(iii) En contraste con los polinomios de Littlewood-Richardson c(a), el coeffi-
Los científicos c(a, b) no tienen la propiedad de estabilidad ya que dependen de n.
Lemma 2.4 implica que los polinomios Littlewood-Richardson pueden ser calcu-
lated por (2.4) con b = a, es decir, c(a) = c
(a, a). Nuestra estrategia ahora es mostrar
que (a diferencia de la fórmula del Teorema 3.1 en [17]), la fórmula (2.4) (con b = a) es
“no negativo” en el sentido de que todos los productos distintos de cero que se producen en la fórmula son
polinomios en el ai − aj con i < j. Entonces demostramos que el ν-boundness
condición sirve para eliminar los términos cero no deseados.
Lemma 2.6. Deja que R sea una secuencia de la forma (2.1) y deja que T â € ¬ T (, R). Supón
que
T (α) imprescriptible
aT (α)(α)
T (α)
− aT (α)−c(α)
6= 0. (2.7)
Entonces, (α)
T (α)
> c(α) para todos los α â ¬ con T sin límite (α).
Prueba. Supongamos por el contrario que existe una caja α = (i, j) con una barra
T (i, j) y la condición (i, j) T (i, j) < j − i; la igualdad (i, j) T (i, j) = j − i es
excluido, ya que esto violaría (2.7). Elija una caja de este tipo con el mínimo posible
valor de j. Si todas las entradas T (i, 1),. ..., T (i, j − 1) de T están prohibidos a continuación l(i, j) es
obtenido a partir de μ añadiendo casillas en las filas T (i, 1) > · · · > T (i, j − 1) y, posiblemente,
añadiendo otras cajas. Desde T (i, j − 1) > T (i, j), tenemos T (i, j)T (i, j) > j − 1, a
contradicción. Por lo tanto, al menos una de las entradas T (i, 1),. .., T (i, j−1) debe estar inhabilitado.
Tome tal entrada no prohibida T (i, k) que es la más cercana a T (i, j), es decir, todas las entradas
T (i, k+1),. .., T (i, j − 1) están prohibidos. A continuación, se obtiene el valor de i, j a partir de i, k) mediante la adición de:
casillas en las filas T (i, k + 1) > · · · > T (i, j − 1) y, posiblemente, añadiendo otras casillas.
Por lo tanto,
(i, j)T (i, j) > (i, k)T (i,k) + j − k − 1
lo que implica ♥(i, k)T (i,k) < k − i + 1. Sin embargo, si el valor de la letra (i, k)T (i,k) = k − i, entonces el valor de la letra (i, k)T (i,k) = k −
factor en (2.7) correspondiente a α = (i, k) es cero, lo que es imposible. Por lo tanto
(i, k)T (i,k) < k − i que contradice la elección de j.
Lemma 2.7. Supóngase que R es una secuencia de la forma (2.1) y T â € TM T (♥,R). Si
(2.7) entonces T está limitado.
Prueba. Por Lemma 2.6, para todas las entradas no restringidas T (1, k) de la primera fila del tablero
Esto implica νT (1,k) > k. Si la entrada T (1,j) está prohibida
a continuación, la entrada T (1, k) T (1,k) > k para la entrada T (1, k) más cercana a la izquierda (si existe).
A continuación, ν se obtiene a partir de l(1, k) añadiendo casillas en las filas T (1, k + 1) > · · > T (1, j)
y, posiblemente, añadiendo otras cajas. Esto implica νT (1,j) > j. Por lo tanto, esta desigualdad
se mantiene para todos j = 1,.... Esto es equivalente a la ν-boundness de T.
Lemma 2.8. Supóngase que R es una secuencia de la forma (2.1) y T T (
- Atacado. Entonces, (α)
T (α)
> c(α) para todos los α â ¬ con T sin límite (α).
Prueba. Discutimos por contradicción. Teniendo en cuenta Lemma 2.6, encontramos que para
algunos α = (i, j) con T no embarrada (α) tenemos Conjunto t = T (i, j)
y considerar todas las entradas prohibidas de T (suponiendo que por ahora existen) que son iguales
a t y aparecen a la derecha de la columna j. Puesto que T es un cuadro inverso, estos
entradas t̄ sólo puede ocurrir en las filas 1, 2,..., i. Dejar (r, k) ser la caja con el máximo
columna número k que contiene t̄. Entonces el número total de tales entradas t̄ no
superior a k− j. Esto implica que el número de casillas de la fila t de la
(i, j)t + k − j = k − i. Por consiguiente, el Tribunal de Primera Instancia decidió:
k 6 t − 1. Por otra parte, por la falta de
de T tenemos t = T (r, k) 6 T (1, k) 6 v ′k, una contradicción.
Si ninguna de las casillas a la derecha de la columna j contiene t̄ entonces νt = ♥(i, j)t = j−i.
Sin embargo, por la suposición, /t > /T (1,j) > j, una contradicción.
Esto completa la prueba del teorema.
Por la palabra columna de un cuadro T nos referiremos a la secuencia de todas las entradas de T
escrito en el orden de la columna.
Corollary 2.9. Supongamos que = +. El coeficiente Littlewood–Richardson
c es igual al número de v-bounded reverso ♥-tableaux T cuya palabra de columna coincide
con el símbolo Yamanouchi de una cierta secuencia R de la forma (2.1).
Esto se puede demostrar que es equivalente a una versión bien conocida del Littlewood–
Richardson manda. El corolario 2.9 también se mantiene con la condición de la relación de parentesco bajada;
Véase Lemma 2.7. Por el corolario, c cuenta la cardinalidad de la intersección de dos
conjuntos finitos: el conjunto de palabras de columna de v-bounded reverso ♥-tableaux y el conjunto de
Símbolos Yamanouchi de las secuencias de la forma (2.1).
Observación 2.10. Debido a (1.10), la regla de multiplicación para los polinomios s/23370/(xu) es
obtenido del teorema 2.1 sustituyendo ai por un-i+1 para cada i. Los correspondientes
Los coeficientes son polinomios en el ui-uj, i > j, con coeficientes enteros positivos.
Corolario 2.11. Supongamos que los polinomios c(a) se definen por la expansión
(1.3) con x = (x1,. ., xn). Entonces c
(a) es independiente de n tan pronto como n > >
Además, si n < < / ′1 entonces c
(a) = 0.
Prueba. Esto se deriva de la condición de delimitación en el reverso tableaux.
3 Aplicaciones
3.1 Cálculo equivariante de Schubert en el Grassmannian
Como en la introducción, considerar el anillo de cohomología equivariante H*T (Gr(n,N)) como
un módulo sobre Z[t1,. .., tN ]. Let x1,. .., xn denotan las raíces Chern de la dual S
del subbundle tautológico S del paquete trivial CNGr(n,N) de modo que para el total
Equivariante clase Chern de S que tenemos
cT (S) =
(1- xi).
Luego, debido a [6, Conferencia 8, Proposición 1.1] (véase también [16]), el equivariante Schubert
clases pueden ser expresadas por
= s/23370/(xu), u = (−tN,. .,−t1, 0,... ).
Por lo tanto, Teorema 2.1 da una regla de multiplicación para las clases equivariantes Schubert.
La propiedad de estabilidad correspondiente está implícita en el corolario 2.11.
Corolario 3.1. Tenemos
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
donde
d =
T (α) imprescriptible
tm+T (α)−c(α) − tm+T (α)(α)
T (α)
, (3.1)
sintetizado sobre todas las secuencias R de la forma (2.1) y todos los reversos
T â € ¬ T (, R). En particular, los d son polinomios en el ti− tj, i > j, con positivo
coeficientes enteros. Por otra parte, los coeficientes d, considerados como polinomios en el
variables ai definidas en (1.5), son independientes de n y m, tan pronto como las desigualdades
n > 1 + μ
1 y m > 1 + μ1 de retención.
Ejemplo 3.2. Para cualquier n > 3 y m > 4 tenemos
(2) (2,1) = (4,1) + (3,2) + (3,1,1) + (2,2,1)
+ (tm+2 − tm−1 + tm − tm−2)
+ (tm − tm−1) (2,1,1) + (tm+2 − tm−1) (tm − tm−1) (2,1).
Esto se desprende del ejemplo 2.2.
La primera regla manifiestamente positiva para la expansión de fue dada por Knutson
y Tao [9] usando combinatoria de puzzles. Aunque la propiedad de la estabilidad no era
señalada en [9], puede deducirse directamente de la regla del rompecabezas o mediante la aplicación de la
Bijección que conserva el peso entre los puzzles y los tableros de barra construidos
por Kreiman [10].
3.2 Inmanentes cuánticos y operadores superiores de Capelli
Dejad que gln denote el álgebra lineal general de Lie sobre C. Considerad el centro Z(gln) de
el álgebra envolvente universal U (gln). El álgebra U(gln) está equipado con el
filtración natural. Para todos los n identificamos gln−1 como un subalgebra de gln de una manera habitual
y denotar por glÃ3 el là mite de inducciÃ3n correspondiente
=
Debido a Olshanski [20], existen homomorfismos que preservan la filtración
el : Z(gln) → Z(gln−1), n > 1, (3.2)
que permiten definir el álgebra Z de los elementos virtuales Casimir para la Mentira
álgebra glÃ3 como el là mite inverso
Z = lim
Z(gln), n →
en la categoría de álgebras filtradas.
Los inmanantes cuánticos Sn son elementos del centro Z(gln) del universal
envolviendo álgebra U(gln) parametrizada por los diagramas con como máximo n filas;
Véase [18]. Los elementos Sn forman una base de Z(gln) y son consistentes con el
Homomorfismos Olshanski (3.2) para que
el : Sn 7→ Sn−1, (3.3)
donde suponemos Sn = 0 si el número de filas de
el correspondiente inmanant cuántico virtual S/23370/ se define entonces como la secuencia
S/23370/ = ( Sn n > 0).
Los elementos S/23370/ parametrizados por todos los diagramas forman una base del álgebra Z así
que podemos definir los coeficientes f por la expansión
S/23370/ Sμ =
El Tribunal de Primera Instancia decidió:
Tenga en cuenta que los mismos coeficientes f determinan la regla de multiplicación para el más alto
Operadores Capelli, que se definen como las secuencias de las imágenes de la cuántica
immanants Sn, donde cada imagen se toma bajo una representación natural de gln por
operadores diferenciales; véase [18, 19].
Corolario 3.3. El coeficiente f es cero a menos que μ ν. Si μ ν entonces
f =
T (α) imprescriptible
(α)T (α) − c(α)
, (3.4)
sintetizado sobre todas las secuencias R de la forma (2.1) y todos los reversos
T â € ¬ T (, R). En particular, los f son enteros no negativos.
Prueba. Debido a la propiedad de estabilidad (3.3) de los immanantes cuánticos, es suficiente para
calcular los coeficientes correspondientes para la expansión de los productos Sn Sn.
Las imágenes de los inmanantes cuánticos Sn bajo el isomorfismo Harish-Chandra
se puede identificar con los polinomios dobles Schur s/23370/(xa) donde la secuencia a es
especializado en ai = −i; véase [18]. Por lo tanto, los coeficientes en cuestión coinciden con
las correspondientes especializaciones de los polinomios Littlewood–Richardson c(a).
Ejemplo 3.4. Usando Ejemplo 2.2 obtenemos
S(2) S(2,1) = S(4,1) + S(3,2) + S(3,1,1) + S(2,2,1) + 5 S(3,1) + 3 S(2,2) + S(2,1,1) + 3 S(2,1).
En el transcurso de la prueba del corolario 3.3 también calculamos los coeficientes
para la expansión de los productos Sn Sn para cualquier n. Algunas otras fórmulas para estos
Los coeficientes se obtuvieron en [17]. En particular, se demostró que los f son enteros,
aunque su propiedad de positividad no fue establecida allí.
Nota también que el álgebra de Casimir virtual elementos Z es isomórfico a la
álgebra de funciones simétricas desplazadas ; véase [19]. Este último puede ser considerado como el
la especialización de la empresa (o, más bien, su extensión sobre C) en ai = −i para todos los i • Z.
4 Fórmulas Supertableau para sl(xa) y c
(a)
Aquí obtenemos una regla más para el cálculo del poli de Littlewood-Richardson
nomials c(a). Se basa en una representación supertableau de la doble Schur poli-
nomials s/23370/(xa) que está implícito por los resultados de [13]. Esta representación proporciona
una versión “finita” de las fórmulas supertableau de [7] y [13]; cf. [4].
Fijar un entero positivo n. Para r > 1 conjunto u(r) = (u1,. .., ur) y utilizar la 9a Variación
en [13] con los indeterminados hrs especializados por
hs = hr(u
(n−r−s+1)) si r + s 6 n,
y 0 en caso contrario, donde hr denota el polinomio r-ésimo simétrico completo. Déjanos
escribir /μ(u) para las funciones correspondientes de Schur. Entonces (8.2) y (9.1) en [13] dar
/μ(u) =
/μ
uT (α),
se resume sobre los cuadros semiestándar T de forma /μ, de tal manera que las entradas de la i-a
la fila no exceda de n-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-). Además, utilizando (6.18)
1 y (9.6 ′) en [13] obtenemos
(xu) =
sμ(x) /(−u). (4.5)
Equivalentemente, esto puede ser interpretado como una expresión combinatoria para los polinomios
(xu) en términos de “supertableaux”. Identificar los índices de u con los símbolos
1′, 2′,............................................................................................................................................................................................................................................................
1,.............................................................. .. de tal manera que en cada fila (resp. columna) cada índice de primos es
a la derecha (resp. menos abajo) de cada índice sin precio; los índices sin precio débilmente aumentan
a lo largo de las filas y aumentar estrictamente las columnas; los índices primos aumentan estrictamente
a lo largo de las filas y aumentar débilmente hacia abajo las columnas; índices primos en la columna j
no excedan de n− j + j. La relación (4.5) implica lo siguiente.
Proposición 4.1. Tenemos
(xu) =
T (α) sin ánimo de lucro
xT (α)
T (α) imprimado
(−uT (α)), (4.6)
sintetizado sobre todos los supertableaux T.
Usando (1.10), obtenemos una representación análoga para los polinomios de doble Schur
s/23370/(xa). Una supertableau T inversa se obtiene rellenando en el diagrama de
1Esta fórmula de [13] debe corregirse sustituyendo a(elj+n−j) por a(eli+n−i).
los índices 1,.................................................................................................................................................. .. (incluidos los índices de primos no positivos)
una manera que en cada fila (resp. columna) cada índice de primo es a la derecha (resp.
a continuación) de cada índice sin precio de compra; los índices sin precio de compra disminuyen débilmente a lo largo de las filas y
disminuir estrictamente las columnas; los índices primos disminuyen estrictamente a lo largo de las filas
y disminuir débilmente hacia abajo las columnas; los índices primos en la columna j no son menores que
j − j + 1. La siguiente representación supertableau de los polinomios s/23370/(xa)
sigue de la Proposición 4.1.
Corolario 4.2. Tenemos
(xa) =
T (α) sin ánimo de lucro
xT (α)
T (α) imprimado
(−aT (α)), (4.7)
Resumido en todos los reversos T-supertableaux.
Ejemplo 4.3. Let n = 2 y = (2, 1). Por la definición (1.9),
s(2,1)(xa) = (x2 − a2)(x1 − a0)(x1 − a2) + (x2 − a2)(x2 − a1)(x1 − a2).
Por otro lado, el reverso (2, 1)-supertableaux son
2 0 ′
2 1 ′
2 2 ′
2 0 ′
2 1 ′
2 2 ′
1 0 ′
1 1 ′
1 2 ′
2 ′ 0 ′
2 ′ 1 ′
que producen
s(2,1)(xa) = x
1x2 + x1x
2 − x1x2a2 − x
2a2 − x
1a2 − x1x2a0 − x1x2a1 − x1x2a2
+ x2a0a2 + x2a1a2 + x2a
2 + x1a0a2 + x1a1a2 + x1a
2 − a0a
2 − a1a
Fórmula (4.5) implica una representación supertableau de los coeficientes c(a, b)
y por lo tanto, de los polinomios Littlewood–Richardson c(a). La representación
para este último no es manifiestamente positivo, ni estable; proporciona una expresión para
c(a) como una suma alterna de monomios en el ai. Dada una secuencia R de la forma
(2.1), construir el conjunto de S(
T (,R). Un cuadro T â € ¬ S(,R) debe contener las casillas α1,. ..............................................................
índices r1, r2,. .....................................................................................................................................................
T formado por los índices sin prioridad. Como antes, distinguimos las entradas en α1,. .........................................................
prohibiendo a cada uno de ellos. Para cada caja α con αi • α • αi+1, 0 6 i 6 l, que es
ocupado por un índice sin prioridad, set l(α) = l(i).
Corollario 4.4. Los coeficientes c(a, b) definidos en (2.3) pueden ser dados por
c(a, b) =
T (α) sin ánimo de lucro, sin impedimentos
aT (α)(α)
T (α)
T (α) imprimado
(−bT (α)), (4.8)
sintetizado sobre las secuencias R de la forma (2.1) y el supertableaux T reverso S(,R).
Prueba. Aplicando la fórmula (4.5) podemos reducir el cálculo de c(a, b) a la par-
caso particular de la secuencia b = (0). Ahora (4.8) sigue de Lemma 2.4.
Ejemplo 4.5. Para calcular el polinomio Littlewood–Richardson c
(2,1)
(2,1) (2)
podemos tomar n = 2; ver el corolario 2.11. Compatible con los supertableaux reversos
con la secuencia (2) → (2, 1) son
2 0 ′
2 1 ′
2 2 ′
2 0 ′
2 1 ′
2 2 ′
para que
(2,1)
(2,1) (2)
a) = a2−1 + a−1a1 + a−1a2 − a−1a2 − a1a2 − a
− a−1a0 − a−1a1 − a−1a2 + a0a2 + a1a2 + a
= a2−1 − a−1a0 − a−1a2 + a0a2,
que está de acuerdo con el ejemplo 2.2.
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Introducción
Regla de multiplicación
Aplicaciones
Equivariante cálculo Schubert en el Grassmannian
Inmanentes cuánticos y operadores superiores de Capelli
Fórmulas Supertableau para s(x a) y c(a)
| Introducimos una familia de anillos de funciones simétricas dependiendo de un
secuencia infinita de parámetros. Una base distinguida de tal anillo es
compuesto por análogos de las funciones de Schur. La estructura correspondiente
coeficientes son polinomios en los parámetros que llamamos el
Polinomios Littlewood-Richardson. Damos una regla combinatoria para su
cálculo modificando un resultado anterior de B. Sagan y el autor. El nuevo
regla proporciona una fórmula para estos polinomios que es manifiestamente positivo en
el sentido de W. Graham. Aplicamos esta fórmula para el cálculo de la
producto de clases equivariantes Schubert sobre Grassmannians que implica un
propiedad de estabilidad de los coeficientes de estructura. El primero es manifiestamente positivo
fórmula para tal expansión fue dada por A. Knutson y T. Tao mediante el uso
combinatoria de puzzles mientras que la propiedad de estabilidad no era evidente desde
Esa fórmula. También utilizamos los polinomios Littlewood-Richardson para describir el
regla de multiplicación en el álgebra de los elementos Casimir para el general
álgebra lineal de Lie en la base de los immanantes cuánticos construidos por A.
Okounkov y G. Olshanski.
| Introducción
Let a = (ai), i â € Z ser una secuencia de variables. Considere el anillo de polinomios
Z[a] en las variables ai con coeficientes enteros. Introducir otro conjunto infinito de
variables x = (x1, x2,. .. ) y para cada número entero no negativo n denotar por el anillo
de polinomios simétricos en x1,. .., xn con coeficientes en Z[a]. El anillo es
filtrada por los grados habituales de polinomios en x1,. ...........................................................................................................
tienen el grado cero. El mapa de evaluación
* n : * n → n − 1, P (x1,. .., xn) 7→ P (x1,. .., xn−1, an) (1.1)
es un homomorfismo de anillos filtrados para que podamos definir el anillo de límite inverso
• = lim
N, n → N, 1.2)
donde el límite se toma con respecto a los homomorfismos (1.1) en la categoría de
anillos filtrados. Cuando a se especializa en la secuencia de ceros, esto se reduce a lo habitual
definición del anillo de funciones simétricas; véase, por ejemplo, Macdonald [14]. En ese caso,
una base distinguida de Ł se compone de las funciones de Schur s/23370/(x) parametrizada
por todas las particiones. En el caso general, los análogos respectivos del sl(x) son los siguientes:
funciones de doble Schur s/23370/(xa) que forman una base de Ł sobre Z[a]. Presentamos la
Polinomios de Littlewood–Richardson c(a) como coeficientes de estructura del anillo
en la base de las funciones de doble Schur,
(xa) sμ(xa) =
c(a) s/(xa). (1.3)
En la especialización a = (0) los polinomios c(a) se convierten en el clásico Littlewood–
Coeficiente de Richardson c; véase [12]. Estos son números enteros no negativos notables que
ocupar un lugar destacado en la combinatoria, la teoría de la representación y la geometría; véase
e.g. Fulton [5], Macdonald [14] y Sagan [21].
El resultado principal de este trabajo es una regla combinatoria para el cálculo de la
Polinomios Littlewood–Richardson que proporcionan una fórmula manifiestamente positiva en
el sentido de que c(a) se escribe como un polinomio en las diferencias ai − aj, i < j, con
coeficientes enteros positivos.
Consideramos dos aplicaciones de la regla. Los resultados de Knutson y Tao [9]
implica que bajo una especialización apropiada, los polinomios c(a) describen el
regla de multiplicación para las clases equivariantes Schubert en Grassmannians; véase también
Fulton [6] para un argumento más directo. Que n y N sean enteros no negativos con
n 6 N y dejar Gr(n,N) denotar el Grassmannian del vector n-dimensional sub-
espacios de naftalenos clorados. El toro T = (C*)N actúa naturalmente en Gr(n,N). El equivariante
anillo de cohomología H*T (Gr(n,N)) es un módulo sobre el anillo polinomio Z[t1,. .., tN]
que se puede identificar con H*T ({pt}), el anillo de cohomología equivariante de un punto.
Este módulo tiene una base de las clases equivariantes Schubert parametrizadas por todos
Diagramas contenidos en el rectángulo n×m, m = N − n; véase, por ejemplo, [5, 6]. Entonces
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
d , (1.4)
donde d = c
(a) con la secuencia una especializada por
a−m+1 = −t1, a−m+2 = −t2,. .., an = −tN, (1.5)
mientras que los parámetros restantes ai se establecen en cero (la ti debe ser reemplazada con
yi en la notación de [9]). Los coeficientes d
se dan explícitamente como polinomios
en el ti − tj, i > j, con coeficientes enteros positivos. Esta propiedad de positividad era
establecido por Graham [8] en el contexto general del cálculo equivariante Schubert.
La primera fórmula manifiestamente positiva para los coeficientes en la expansión (1.4) fue
obtenido por Knutson y Tao [9] mediante la combinación de puzzles. Una regla anterior
de Molev y Sagan [17] también calcula d pero carece de la propiedad explícita de positividad.
Nuestra nueva regla implica una propiedad de estabilidad de los coeficientes d (véase el corolario 3.1
infra). Aunque esta propiedad no fue señalada en [9], se puede derivar
directamente de la regla del rompecabezas; véase también Fulton [6] para su interpretación geométrica y
una extensión al cálculo equivariante de Schubert sobre la variedad de banderas.
Como otra aplicación, obtenemos una regla para la expansión del entero positivo de la
producto de dos immanantes cuánticos (virtuales) (o el correspondiente Capelli superior
los operadores) de Okounkov y Olshanski [18, 19]; cf. [17]. Los immanantes cuánticos
Sn son elementos del centro Z(gln) del álgebra envolvente universal U(gln)
parametrizado por particiones con como máximo n partes; véase [18]. Los elementos Sn forma
una base de Z(gln) para que podamos definir los coeficientes f
por la expansión
Sn Sn =
f Sn.
Entonces f = c
(a) para la especialización ai = −i para i • Z. Como n → • este rendimiento
una regla de multiplicación para los immanantes cuánticos virtuales S
definiciones.
Definimos la función de doble Schur s/23370/(xa) como la secuencia del doble Schur
polinomios
s/23370/(x1,. .., xn a), n = 1, 2,..., (1.6)
que son compatibles con respecto a los homomorfismos (1.1),
n : sl(x1,. ........................................................................................................... .................................................................................................................... (1.7)
Los polinomios (1,6) están estrechamente relacionados con el "factorial" o "doble" Schur poli-
nomios s/23370/(xu) con x = (x1,. ., xn). Estos últimos fueron introducidos por Goulden y
Greene [7] y Macdonald [13] como generalización de los polinomios factoriales Schur
de Biedenharn y Louck [1, 2], y también son un caso especial de la doble Schu-
polinomios bert de Lascoux y Schützenberger; véase Lascoux [11]. Seguimos a Chen,
Li y Louck [4] y Fulton [6] y utilizar el nombre “doble polinomios Schur” para
los polinomios relacionados s/23370/(xa) también.
En un detalle más, considere una partición ......................................................................
de los números enteros de tal manera que el valor de los números enteros sea igual o superior a 1 > · · · > ♥n > 0. Identificaremos a ♥ con su diagrama.
representado gráficamente como el array de filas de cajas de unidades justificadas a la izquierda
en la fila superior, 2 cajas en la segunda fila, etc. El número total de casillas en
ser denotado por. El diagrama transpuesto = (1,. .............................................................
p) se obtiene a partir de
aplicar la simetría con respecto a la diagonal principal, de modo que j es el número
de las casillas de la j-ésima columna de la letra l).
Let u = (u1, u2,. .. ) ser una secuencia de variables. Los polinomios sl(xu) pueden ser
definido por
(xu) =
(xT (α) − uT (α)+c(α)), (1.8)
donde T se extiende sobre todos los tableros semiestándar (columna-estricto) de forma con entradas
en {1,...., n}, T (α) es la entrada de T en la casilla α • • y c(α) = j − i es el contenido
de la casilla α = (i, j) de la fila i y de la columna j.
Por reverso de la tabla T nos referiremos a la tabla obtenida rellenando las cajas
con los números 1, 2,......, n de tal manera que las entradas disminuyen débilmente a lo largo
las filas y disminuir estrictamente las columnas. Si α = (i, j) es una caja de
T (α) = T (i, j) denota la entrada de T en la casilla α. Definimos el doble Schur
polinomios s/23370/(xa) por
(xa) =
(xT (α) − aT (α)−c(α)), (1.9)
se resume sobre el reverso T-tableaux. Entonces tenemos
sl(xa) = sl(xu) (1.10)
para las secuencias a y u relacionadas por a-i+1 = ui con i = 1, 2,..... En particular, la
polinomio sl(xa) sólo depende de las variables ai con i 6 n, i Z. La relación
(1.10) se verifica fácilmente sustituyendo xi por xn−i+1 en (1.8) para todos los i = 1,..., n y utilizando
el hecho de que s/23370/(xu) es un polinomio simétrico en x. La propiedad (1.7) de la doble
Los polinomios de Schur son inmediatos de su definición. En la especialización de la
secuencia a con ai = −i, i â € Z, fórmula (1.9) define los polinomios de Schur desplazados
de Okounkov y Olshanski [18, 19] en las variables yi = xi+ i. El uso del reverso
tableaux fue significativo en su estudio de las propiedades de desaparición y estabilidad de
estos polinomios y elementos centrales asociados del álgebra envolvente universal
para el álgebra de Lie gln; véase también la sección 3.2 infra.
Tenga en cuenta que la propiedad de estabilidad (1.7) se extiende a los polinomios Schubert doble
(y al cálculo equivariante de Schubert en el colector de la bandera). Esto sigue fácilmente
de la fórmula Cauchy para los polinomios Schubert (por ejemplo, poner x1 = y1 en [15,
Fórmula en 2.5.5]). En un contexto más general, esto también se señaló en [3].
Los polinomios de doble Schur s/23370/(xa) parametrizados por los diagramas de
La mayoría de n filas forman una base del anillo. Debido a la propiedad de estabilidad (1.7), el
Los polinomios de Littlewood–Richardson c(a) pueden definirse por la expansión (1,3),
donde x se entiende como el conjunto de variables x = (x1,. .., xn) para cualquier entero positivo
n tal que los diagramas , μ y ν tengan como máximo n filas. Esto nos permite trabajar
con un conjunto finito de variables para la determinación de los polinomios c(a). Por
la prueba del teorema principal (Teorema 2.1) seguimos el enfoque general de [17],
utilizando las técnicas de cuadros “prohibidos” y modificar los argumentos correspondientes
para obtener polinomios manifiestamente positivos. Esto se logra mediante la imposición de un
condición de atadura en los tableros prohibidos.
Fue observado por Goulden y Greene [7] y Macdonald [13] que s/23370/(xu),
considerado como una serie de poder formal en los conjuntos infinitos de variables x y u, admite
a Representación “supertableaux”. Demostramos que esta representación tiene su “finito”
contraparte donde x es un conjunto finito de variables. Derivamos la fórmula correspondiente
eligiendo una cierta especialización de la 9a Variación en [13]. Esto representa...
sión conduce a una expresión “supertableau” para los polinomios Littlewood–Richardson
c(a), aunque esa expresión no es manifiestamente positiva, ni estable.
Después de que la primera versión de este documento se completó hemos aprendido de un indepen-
trabajo de abolladura de V. Kreiman [10], donde un Equivariante positivo Littlewood–Richardson
la regla fue dada. Esa regla es equivalente a nuestro Teorema 2.1 aunque la prueba en [10]
es diferente. Además, el papel de Kreiman también proporciona una
entre los puzzles Knutson-Tao y los tableros con barra utilizados en el Teorema 2.1.
Esta obra se inspiró en las conferencias de Bill Fulton [6]. Estoy agradecido a Bill por
estimular los debates.
2 Regla de multiplicación
Deja que R denote una secuencia de diagramas
μ = ♥(0) → ♥(1) → · · · →
en el que ♥ → significa que se obtiene a partir de ♥ añadiendo una caja. Deja que ri denote
el número de fila de la caja añadida al diagrama (i−1). La secuencia r1r2. .. rl es
llamado el símbolo Yamanouchi de R. Introducir el pedido en el conjunto de cajas de
un diagrama ♥ leyéndolos por columnas de izquierda a derecha y de abajo a arriba
en cada columna. Llamamos a esto el orden de la columna. Escribiremos α α β si α (estrictamente)
precede a β con respecto al orden de la columna. Dada una secuencia R, construir la
set T (l,R) de T reversa recubierta con entradas de {1, 2,....................................................................................................................................................................................................................................................
contiene cajas α1,. ............................................
α1 · · · · αl y T (αi) = ri, 1 6 i 6 l.
Distinguiremos las entradas en α1,. ................................................................................... Por lo tanto, un elemento
de T es un par que consiste en un reverso de la tabla y una secuencia escogida de
entradas compatibles con R. Mantendremos la notación T para tal par. Por ejemplo,
dejar que R sea la secuencia
(3, 1) → (3, 2) → (3, 2, 1) → (3, 3, 1) → (4, 3, 1)
para que el símbolo de Yamanouchi sea 2 3 2 1. A continuación, para = (5, 5, 3) lo siguiente prohibido
El tablero pertenece a T (en lo sucesivo, «T»):
Para cada caja α con αi • • • αi+1, 0 6 i 6 l, set • (α) = •
i). Las entradas prohibidas
r1,. ..., rl dividir el cuadro en regiones marcadas por los elementos de la secuencia R,
como se ilustra:
(0) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) ()) (l) (l) () () (l) ()) ()) (l) ()) () () ()
r1 r2
· · ·
Por último, se denominará T a una tabla inversa si
T (1, j) 6 / ′j para todos j = 1,.....
Obsérvese que sólo existe un cuadro limitado si éste es el caso.
Ahora estamos en condiciones de declarar una regla para el cálculo de la Littlewood-
Polinomios Richardson c(a) definidos por (1.3).
Teorema 2.1. El polinomio c(a) es cero a menos que μ ν. Si μ ν entonces
c(a) =
T (α) imprescriptible
aT (α)(α)
T (α)
− aT (α)−c(α)
, (2.2)
sintetizado sobre todas las secuencias R de la forma (2.1) y todos los reversos
T â € ¬ T (, R). Por otra parte, para cada factor que ocurre en la fórmula (2.2) tenemos
(α)T (α) > c(α).
Antes de probar el teorema, señalemos algunas propiedades del Littlewood-
Los polinomios de Richardson que son inmediatos de la regla y considerar algunos exámenes-
ples. El polinomio c(a) es cero, a menos que ambos diagramas ♥ y μ estén contenidos en
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001. En este caso c(a) es un polinomio homogéneo en el ai de
grado + −. Si + − = 0 entonces el teorema reproduce una versión
de la regla clásica de Littlewood-Richardson; véase el corolario 2.9 a continuación. Tenga en cuenta también que
por la definición, los polinomios tienen la simetría c(a) = c
(a) que no es
aparente de la regla.
Ejemplo 2.2. Para el producto de las funciones de doble Schur s(2) xa) y s(2,1)(xa)
Tenemos
s(2)xa) s(2,1)(xa) = s(4,1)(xa) + s(3,2)(xa) + s(3,1,1)(xa) + s(2,2,1)(xa)
a−1 − a2 + a−2 − a0
s(3,1)(xa) +
a−1 − a2
s(2,2)(xa)
a−1 − a0
s(2,1,1)(xa) +
a−1 − a2
a−1 − a0
s(2,1)(xa).
Por ejemplo, el coeficiente de s(3,1)(xa) se calcula por la siguiente barra (2)-
tableaux
1 1 1 1 2 1
compatible con la secuencia (2, 1) → (3, 1). Contribuyen respectivamente a−1 − a1,
a−2 − a0, a1 − a2 que resume el coeficiente a−1 − a2 + a−2 − a0. Alternativamente,
utilizando la simetría c(a) = c
(a) podemos calcular el coeficiente de s(3,1)(xa) por
teniendo en cuenta los cuadros prohibidos (2, 1)
compatible con las secuencias (2) → (3) → (3, 1) y (2) → (2, 1) → (3, 1), respec-
Tily. Sus contribuciones al coeficiente son a−2 − a0 y a−1 − a2.
Ejemplo 2.3. Para el cálculo de c
(5,2,2)
(4,2,1)(2,2)
a) tomar = (4, 2, 1), μ = (2, 2) y
v = (5, 2, 2). Tenemos diez secuencias R de la forma (2.1) pero el conjunto T (l,R) contiene
Sólo para tres de ellos. Para la secuencia R1 con el Yamanouchi
símbolo 1 3 3 1 1, el conjunto T (
3 1 1
3 1 1
cuyas contribuciones al polinomio Littlewood–Richardson son (a0 − a3)(a0 − a2)
y (a0 − a3)(a−2 − a1), respectivamente. Para la secuencia R2 con el Yamanouchi
símbolo 1 3 1 3 1, el conjunto T (l,R2) contiene los cuadros delimitados
3 1 1
3 1 1
con las contribuciones respectivas (a0 − a3)(a−4 − a−2) y (a0 − a3)(a−3 − a−1). Por
la secuencia R3 con el símbolo de Yamanouchi 3 1 3 1 1, el conjunto T (
Únicamente el tablero delimitado
3 1 1
con la contribución (a−1 − a3)(a0 − a3). Por lo tanto,
(5,2,2)
(4,2,1)(2,2)
a) = (a0 − a3) (a−4 + a−3 + a0 − a1 − a2 − a3).
Tomando = (2, 2), μ = (4, 2, 1) y ν = (5, 2, 2) obtenemos dos secuencias con el
Símbolos Yamanouchi 1 3 y 3 1. Los conjuntos correspondientes T (l,R) constan de cinco
y cuatro tableaux con barra delimitada, respectivamente, lo que conduce a un poco más largo
cálculo.
Prueba de Teorema 2.1. Presentamos la prueba como una secuencia de lemas. Debido a la
propiedad de estabilidad (1.7), podemos (y vamos) trabajar con un conjunto finito de variables x =
(x1,. ., xn). En consecuencia, las posibles entradas de los cuadros son ahora elementos del conjunto
{1,...., n}. Introducir otra secuencia de variables b = (bi), i + Z, y definir la
Coeficiente de tipo Littlewood–Richardson c(a, b) por la expansión
(xb) sμ(xa) =
c(a, b) s/(xa). 2.3)
Lemma 2.4. El coeficiente c(a, b) es cero a menos que μ ν. Si μ ν entonces
c(a, b) =
T (α) imprescriptible
aT (α)(α)
T (α)
− bT (α)−c(α)
, (2.4)
sintetizado sobre todas las secuencias R de la forma (2.1) y todos los reversos T-tableaux T T (,R).
Prueba. Esto es esencialmente una reformulación del resultado principal de [17] (Teorema 3.1).
Nótese que la suma en (2.4) se hace cargo de todos los cuadros prohibidos T-T (l,R) (no
poco más de los ν-bounded como en (2.2)). En lugar de repetir todo el argumento
de [17], sólo esbozamos los pasos principales de la prueba e indicamos los cambios necesarios
que se hará. Referimos al lector a [17] para los detalles.
Asumimos que todos los diagramas aquí tienen como máximo n filas. En caso de que se trate de una operación de concentración, se considerará que se trata de una operación de concentración o de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración o de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración o de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración, o de una operación de concentración, si se trata de una operación de concentración. .................................................................................................
tal diagrama, establecemos
a/23370/ = (a11,. ...............................................................................................................
Bajo la correspondencia (1.10) tenemos a. = u. = (u. + n,. ...............................................................................................................
se utilizó la notación en [17].
El punto de partida es el Teorema Desaparecido de [18] cuya prueba fue también repro-
en [17]. Por ese teorema,
sl(a a) = 0 a menos que ♥ l,
sl(a a) =
(i,j)
aii − aj−j+1
La primera reclamación del lema se deriva del Teorema de Desaparición, que también implica
(a, b) = s/23370/(aμ b).
Esto demuestra (2.4) para el caso ν = μ. Ahora suponemos que − > 1 y proceder
por inducción en −. El paso de inducción se basa en la relación de recurrencia
c(a, b) =
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
c(a, b)−
(a, b)
(2.5)
que fue probado en [17, Proposición 3.4]; véase también [9]. Suponga que el diagrama /
se obtiene de μ añadiendo una caja en la fila r.
c(a, b) =
(a/ b)- (aμ b)
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
. (2.6)
Ahora use la definición (1.9) de los polinomios de doble Schur. Desde el n-tuples a/
y aμ sólo difieren en el componente r-th, la relación en el lado derecho de (2.6)
se pueden ampliar teniendo en cuenta las entradas r de la T inversa
Necesitamos la siguiente fórmula, donde estamos pensando en y = (av)r, z = (aμ)r y
mi = bT (α)−c(α) como α corre sobre las cajas de T con T (α) = r en orden de columna:
i=1(y −mi)−
i=1(z −mi)
y − z
(z −m1). .. (z −mj−1)(y −mj+1). .. (y −mk).
El lado derecho de (2.6) puede interpretarse ahora como el lado derecho de (2.4),
donde R es la única secuencia μ → ν y la suma se toma sobre el reverso
T con una entrada prohibida r, como se ilustra:
μ r /
En este caso, el valor de todas las casillas α que preceden a la casilla ocupada por la barra r, y
Para todas las casillas α que siguen a esa casilla en orden de columna. Tenga en cuenta que la
variables y y y z ahora se intercambian en el lado derecho de la expansión anterior,
en comparación con [17] (esto no cambia el polinomio debido a la simetría en y
y z). En consecuencia, el orden de la columna utilizado en [17] es el contrario al orden en
las cajas de.................................................................................
Podemos representar el cálculo anterior de c(a) por la relación “diagramática”
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
μ r ν = ν − μ
Considere ahora el siguiente caso donde − = 2 y aplicar la relación de recurrencia
(2.5). Tenemos tres subcasos: el diagrama / se obtiene a partir de μ mediante la adición de dos cajas
en diferentes filas y columnas; añadiendo dos casillas en la misma fila; o añadiendo
dos casillas en la misma columna. Los dos primeros subcasos se tratan de manera similar
al caso = 1. Se necesita un cuidado adicional para el tercer subcaso en el que
Suponga que ν se obtiene a partir de μ añadiendo las casillas de las filas r y r + 1. Denotar
por el diagrama obtenido de μ añadiendo la caja en la fila r. Luego (2.5) da
c(a, b) =
c(a, b)− c
(a, b)
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Conjunto s = r+1. Exactamente como en el caso = 1, tenemos el siguiente diagrama
relaciones:
# Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!
...................................................................................
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
...................................................................................
Por lo tanto, la fórmula deseada para c(a, b) seguirá si probamos la relación
μ r ν = μ s ν
Construimos una bijección que conserva el peso entre los reversos de barra ♥-tableaux
que están representados por los lados izquierdo y derecho de esta relación diagramática.
Aquí el peso es el producto en el lado derecho de (2.4) correspondiente a un
Tableo cerrado. Deje que tal cuadro con una entrada prohibida r en la caja (i, j) se dé.
Supongamos primero que la caja (i − 1, j) pertenece al diagrama y está ocupado por
s = r+1. Entonces la imagen del tablero bajo el mapa es el mismo cuadro pero el
entrada T (i, j) = r no está prohibido mientras que T (i− 1, j) = r + 1 está prohibido. Desde
(a)r+1 = (aμ)r y T (i− 1, j)− c(i− 1, j) = T (i, j)− c(i, j),
los pesos de los tableros se conservan bajo el mapa.
Supongamos ahora que la entrada en la caja (i − 1, j) es mayor que r + 1, o esto
la caja está fuera del diagrama. Considerar todas las entradas r en la fila i a la izquierda de la caja
(i, j) y supongan que ocupan las cajas (i, j −m), (i, j −m+1),. ., (i, j− 1).
Entonces la imagen del cuadro bajo el mapa es el cuadro obtenido reemplazando
las entradas en cada una de las casillas (i, j −m),. ...........................................................
entrada en la casilla (i, j −m). Los pesos de los tableros se conservan de nuevo.
El mapa inverso se describe de manera similar. Esto da el peso deseado-
preservar la bijección. El argumento general utiliza cálculos similares con el
diagramas y una bijección similar descrita en [17].
Observación 2.5. (i) Una interpretación cohomológica de los coeficientes c(a, b) y sus
el cálculo del rompecabezas se puede encontrar en [9].
ii) La definición (2.3) de los coeficientes c(a, b) puede ampliarse al caso
donde ♥ es un diagrama de sesgo. Lemma 2.4 y su prueba siguen siendo válidas; véase [17].
(iii) En contraste con los polinomios de Littlewood-Richardson c(a), el coeffi-
Los científicos c(a, b) no tienen la propiedad de estabilidad ya que dependen de n.
Lemma 2.4 implica que los polinomios Littlewood-Richardson pueden ser calcu-
lated por (2.4) con b = a, es decir, c(a) = c
(a, a). Nuestra estrategia ahora es mostrar
que (a diferencia de la fórmula del Teorema 3.1 en [17]), la fórmula (2.4) (con b = a) es
“no negativo” en el sentido de que todos los productos distintos de cero que se producen en la fórmula son
polinomios en el ai − aj con i < j. Entonces demostramos que el ν-boundness
condición sirve para eliminar los términos cero no deseados.
Lemma 2.6. Deja que R sea una secuencia de la forma (2.1) y deja que T â € ¬ T (, R). Supón
que
T (α) imprescriptible
aT (α)(α)
T (α)
− aT (α)−c(α)
6= 0. (2.7)
Entonces, (α)
T (α)
> c(α) para todos los α â ¬ con T sin límite (α).
Prueba. Supongamos por el contrario que existe una caja α = (i, j) con una barra
T (i, j) y la condición (i, j) T (i, j) < j − i; la igualdad (i, j) T (i, j) = j − i es
excluido, ya que esto violaría (2.7). Elija una caja de este tipo con el mínimo posible
valor de j. Si todas las entradas T (i, 1),. ..., T (i, j − 1) de T están prohibidos a continuación l(i, j) es
obtenido a partir de μ añadiendo casillas en las filas T (i, 1) > · · · > T (i, j − 1) y, posiblemente,
añadiendo otras cajas. Desde T (i, j − 1) > T (i, j), tenemos T (i, j)T (i, j) > j − 1, a
contradicción. Por lo tanto, al menos una de las entradas T (i, 1),. .., T (i, j−1) debe estar inhabilitado.
Tome tal entrada no prohibida T (i, k) que es la más cercana a T (i, j), es decir, todas las entradas
T (i, k+1),. .., T (i, j − 1) están prohibidos. A continuación, se obtiene el valor de i, j a partir de i, k) mediante la adición de:
casillas en las filas T (i, k + 1) > · · · > T (i, j − 1) y, posiblemente, añadiendo otras casillas.
Por lo tanto,
(i, j)T (i, j) > (i, k)T (i,k) + j − k − 1
lo que implica ♥(i, k)T (i,k) < k − i + 1. Sin embargo, si el valor de la letra (i, k)T (i,k) = k − i, entonces el valor de la letra (i, k)T (i,k) = k −
factor en (2.7) correspondiente a α = (i, k) es cero, lo que es imposible. Por lo tanto
(i, k)T (i,k) < k − i que contradice la elección de j.
Lemma 2.7. Supóngase que R es una secuencia de la forma (2.1) y T â € TM T (♥,R). Si
(2.7) entonces T está limitado.
Prueba. Por Lemma 2.6, para todas las entradas no restringidas T (1, k) de la primera fila del tablero
Esto implica νT (1,k) > k. Si la entrada T (1,j) está prohibida
a continuación, la entrada T (1, k) T (1,k) > k para la entrada T (1, k) más cercana a la izquierda (si existe).
A continuación, ν se obtiene a partir de l(1, k) añadiendo casillas en las filas T (1, k + 1) > · · > T (1, j)
y, posiblemente, añadiendo otras cajas. Esto implica νT (1,j) > j. Por lo tanto, esta desigualdad
se mantiene para todos j = 1,.... Esto es equivalente a la ν-boundness de T.
Lemma 2.8. Supóngase que R es una secuencia de la forma (2.1) y T T (
- Atacado. Entonces, (α)
T (α)
> c(α) para todos los α â ¬ con T sin límite (α).
Prueba. Discutimos por contradicción. Teniendo en cuenta Lemma 2.6, encontramos que para
algunos α = (i, j) con T no embarrada (α) tenemos Conjunto t = T (i, j)
y considerar todas las entradas prohibidas de T (suponiendo que por ahora existen) que son iguales
a t y aparecen a la derecha de la columna j. Puesto que T es un cuadro inverso, estos
entradas t̄ sólo puede ocurrir en las filas 1, 2,..., i. Dejar (r, k) ser la caja con el máximo
columna número k que contiene t̄. Entonces el número total de tales entradas t̄ no
superior a k− j. Esto implica que el número de casillas de la fila t de la
(i, j)t + k − j = k − i. Por consiguiente, el Tribunal de Primera Instancia decidió:
k 6 t − 1. Por otra parte, por la falta de
de T tenemos t = T (r, k) 6 T (1, k) 6 v ′k, una contradicción.
Si ninguna de las casillas a la derecha de la columna j contiene t̄ entonces νt = ♥(i, j)t = j−i.
Sin embargo, por la suposición, /t > /T (1,j) > j, una contradicción.
Esto completa la prueba del teorema.
Por la palabra columna de un cuadro T nos referiremos a la secuencia de todas las entradas de T
escrito en el orden de la columna.
Corollary 2.9. Supongamos que = +. El coeficiente Littlewood–Richardson
c es igual al número de v-bounded reverso ♥-tableaux T cuya palabra de columna coincide
con el símbolo Yamanouchi de una cierta secuencia R de la forma (2.1).
Esto se puede demostrar que es equivalente a una versión bien conocida del Littlewood–
Richardson manda. El corolario 2.9 también se mantiene con la condición de la relación de parentesco bajada;
Véase Lemma 2.7. Por el corolario, c cuenta la cardinalidad de la intersección de dos
conjuntos finitos: el conjunto de palabras de columna de v-bounded reverso ♥-tableaux y el conjunto de
Símbolos Yamanouchi de las secuencias de la forma (2.1).
Observación 2.10. Debido a (1.10), la regla de multiplicación para los polinomios s/23370/(xu) es
obtenido del teorema 2.1 sustituyendo ai por un-i+1 para cada i. Los correspondientes
Los coeficientes son polinomios en el ui-uj, i > j, con coeficientes enteros positivos.
Corolario 2.11. Supongamos que los polinomios c(a) se definen por la expansión
(1.3) con x = (x1,. ., xn). Entonces c
(a) es independiente de n tan pronto como n > >
Además, si n < < / ′1 entonces c
(a) = 0.
Prueba. Esto se deriva de la condición de delimitación en el reverso tableaux.
3 Aplicaciones
3.1 Cálculo equivariante de Schubert en el Grassmannian
Como en la introducción, considerar el anillo de cohomología equivariante H*T (Gr(n,N)) como
un módulo sobre Z[t1,. .., tN ]. Let x1,. .., xn denotan las raíces Chern de la dual S
del subbundle tautológico S del paquete trivial CNGr(n,N) de modo que para el total
Equivariante clase Chern de S que tenemos
cT (S) =
(1- xi).
Luego, debido a [6, Conferencia 8, Proposición 1.1] (véase también [16]), el equivariante Schubert
clases pueden ser expresadas por
= s/23370/(xu), u = (−tN,. .,−t1, 0,... ).
Por lo tanto, Teorema 2.1 da una regla de multiplicación para las clases equivariantes Schubert.
La propiedad de estabilidad correspondiente está implícita en el corolario 2.11.
Corolario 3.1. Tenemos
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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donde
d =
T (α) imprescriptible
tm+T (α)−c(α) − tm+T (α)(α)
T (α)
, (3.1)
sintetizado sobre todas las secuencias R de la forma (2.1) y todos los reversos
T â € ¬ T (, R). En particular, los d son polinomios en el ti− tj, i > j, con positivo
coeficientes enteros. Por otra parte, los coeficientes d, considerados como polinomios en el
variables ai definidas en (1.5), son independientes de n y m, tan pronto como las desigualdades
n > 1 + μ
1 y m > 1 + μ1 de retención.
Ejemplo 3.2. Para cualquier n > 3 y m > 4 tenemos
(2) (2,1) = (4,1) + (3,2) + (3,1,1) + (2,2,1)
+ (tm+2 − tm−1 + tm − tm−2)
+ (tm − tm−1) (2,1,1) + (tm+2 − tm−1) (tm − tm−1) (2,1).
Esto se desprende del ejemplo 2.2.
La primera regla manifiestamente positiva para la expansión de fue dada por Knutson
y Tao [9] usando combinatoria de puzzles. Aunque la propiedad de la estabilidad no era
señalada en [9], puede deducirse directamente de la regla del rompecabezas o mediante la aplicación de la
Bijección que conserva el peso entre los puzzles y los tableros de barra construidos
por Kreiman [10].
3.2 Inmanentes cuánticos y operadores superiores de Capelli
Dejad que gln denote el álgebra lineal general de Lie sobre C. Considerad el centro Z(gln) de
el álgebra envolvente universal U (gln). El álgebra U(gln) está equipado con el
filtración natural. Para todos los n identificamos gln−1 como un subalgebra de gln de una manera habitual
y denotar por glÃ3 el là mite de inducciÃ3n correspondiente
=
Debido a Olshanski [20], existen homomorfismos que preservan la filtración
el : Z(gln) → Z(gln−1), n > 1, (3.2)
que permiten definir el álgebra Z de los elementos virtuales Casimir para la Mentira
álgebra glÃ3 como el là mite inverso
Z = lim
Z(gln), n →
en la categoría de álgebras filtradas.
Los inmanantes cuánticos Sn son elementos del centro Z(gln) del universal
envolviendo álgebra U(gln) parametrizada por los diagramas con como máximo n filas;
Véase [18]. Los elementos Sn forman una base de Z(gln) y son consistentes con el
Homomorfismos Olshanski (3.2) para que
el : Sn 7→ Sn−1, (3.3)
donde suponemos Sn = 0 si el número de filas de
el correspondiente inmanant cuántico virtual S/23370/ se define entonces como la secuencia
S/23370/ = ( Sn n > 0).
Los elementos S/23370/ parametrizados por todos los diagramas forman una base del álgebra Z así
que podemos definir los coeficientes f por la expansión
S/23370/ Sμ =
El Tribunal de Primera Instancia decidió:
Tenga en cuenta que los mismos coeficientes f determinan la regla de multiplicación para el más alto
Operadores Capelli, que se definen como las secuencias de las imágenes de la cuántica
immanants Sn, donde cada imagen se toma bajo una representación natural de gln por
operadores diferenciales; véase [18, 19].
Corolario 3.3. El coeficiente f es cero a menos que μ ν. Si μ ν entonces
f =
T (α) imprescriptible
(α)T (α) − c(α)
, (3.4)
sintetizado sobre todas las secuencias R de la forma (2.1) y todos los reversos
T â € ¬ T (, R). En particular, los f son enteros no negativos.
Prueba. Debido a la propiedad de estabilidad (3.3) de los immanantes cuánticos, es suficiente para
calcular los coeficientes correspondientes para la expansión de los productos Sn Sn.
Las imágenes de los inmanantes cuánticos Sn bajo el isomorfismo Harish-Chandra
se puede identificar con los polinomios dobles Schur s/23370/(xa) donde la secuencia a es
especializado en ai = −i; véase [18]. Por lo tanto, los coeficientes en cuestión coinciden con
las correspondientes especializaciones de los polinomios Littlewood–Richardson c(a).
Ejemplo 3.4. Usando Ejemplo 2.2 obtenemos
S(2) S(2,1) = S(4,1) + S(3,2) + S(3,1,1) + S(2,2,1) + 5 S(3,1) + 3 S(2,2) + S(2,1,1) + 3 S(2,1).
En el transcurso de la prueba del corolario 3.3 también calculamos los coeficientes
para la expansión de los productos Sn Sn para cualquier n. Algunas otras fórmulas para estos
Los coeficientes se obtuvieron en [17]. En particular, se demostró que los f son enteros,
aunque su propiedad de positividad no fue establecida allí.
Nota también que el álgebra de Casimir virtual elementos Z es isomórfico a la
álgebra de funciones simétricas desplazadas ; véase [19]. Este último puede ser considerado como el
la especialización de la empresa (o, más bien, su extensión sobre C) en ai = −i para todos los i • Z.
4 Fórmulas Supertableau para sl(xa) y c
(a)
Aquí obtenemos una regla más para el cálculo del poli de Littlewood-Richardson
nomials c(a). Se basa en una representación supertableau de la doble Schur poli-
nomials s/23370/(xa) que está implícito por los resultados de [13]. Esta representación proporciona
una versión “finita” de las fórmulas supertableau de [7] y [13]; cf. [4].
Fijar un entero positivo n. Para r > 1 conjunto u(r) = (u1,. .., ur) y utilizar la 9a Variación
en [13] con los indeterminados hrs especializados por
hs = hr(u
(n−r−s+1)) si r + s 6 n,
y 0 en caso contrario, donde hr denota el polinomio r-ésimo simétrico completo. Déjanos
escribir /μ(u) para las funciones correspondientes de Schur. Entonces (8.2) y (9.1) en [13] dar
/μ(u) =
/μ
uT (α),
se resume sobre los cuadros semiestándar T de forma /μ, de tal manera que las entradas de la i-a
la fila no exceda de n-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-). Además, utilizando (6.18)
1 y (9.6 ′) en [13] obtenemos
(xu) =
sμ(x) /(−u). (4.5)
Equivalentemente, esto puede ser interpretado como una expresión combinatoria para los polinomios
(xu) en términos de “supertableaux”. Identificar los índices de u con los símbolos
1′, 2′,............................................................................................................................................................................................................................................................
1,.............................................................. .. de tal manera que en cada fila (resp. columna) cada índice de primos es
a la derecha (resp. menos abajo) de cada índice sin precio; los índices sin precio débilmente aumentan
a lo largo de las filas y aumentar estrictamente las columnas; los índices primos aumentan estrictamente
a lo largo de las filas y aumentar débilmente hacia abajo las columnas; índices primos en la columna j
no excedan de n− j + j. La relación (4.5) implica lo siguiente.
Proposición 4.1. Tenemos
(xu) =
T (α) sin ánimo de lucro
xT (α)
T (α) imprimado
(−uT (α)), (4.6)
sintetizado sobre todos los supertableaux T.
Usando (1.10), obtenemos una representación análoga para los polinomios de doble Schur
s/23370/(xa). Una supertableau T inversa se obtiene rellenando en el diagrama de
1Esta fórmula de [13] debe corregirse sustituyendo a(elj+n−j) por a(eli+n−i).
los índices 1,.................................................................................................................................................. .. (incluidos los índices de primos no positivos)
una manera que en cada fila (resp. columna) cada índice de primo es a la derecha (resp.
a continuación) de cada índice sin precio de compra; los índices sin precio de compra disminuyen débilmente a lo largo de las filas y
disminuir estrictamente las columnas; los índices primos disminuyen estrictamente a lo largo de las filas
y disminuir débilmente hacia abajo las columnas; los índices primos en la columna j no son menores que
j − j + 1. La siguiente representación supertableau de los polinomios s/23370/(xa)
sigue de la Proposición 4.1.
Corolario 4.2. Tenemos
(xa) =
T (α) sin ánimo de lucro
xT (α)
T (α) imprimado
(−aT (α)), (4.7)
Resumido en todos los reversos T-supertableaux.
Ejemplo 4.3. Let n = 2 y = (2, 1). Por la definición (1.9),
s(2,1)(xa) = (x2 − a2)(x1 − a0)(x1 − a2) + (x2 − a2)(x2 − a1)(x1 − a2).
Por otro lado, el reverso (2, 1)-supertableaux son
2 0 ′
2 1 ′
2 2 ′
2 0 ′
2 1 ′
2 2 ′
1 0 ′
1 1 ′
1 2 ′
2 ′ 0 ′
2 ′ 1 ′
que producen
s(2,1)(xa) = x
1x2 + x1x
2 − x1x2a2 − x
2a2 − x
1a2 − x1x2a0 − x1x2a1 − x1x2a2
+ x2a0a2 + x2a1a2 + x2a
2 + x1a0a2 + x1a1a2 + x1a
2 − a0a
2 − a1a
Fórmula (4.5) implica una representación supertableau de los coeficientes c(a, b)
y por lo tanto, de los polinomios Littlewood–Richardson c(a). La representación
para este último no es manifiestamente positivo, ni estable; proporciona una expresión para
c(a) como una suma alterna de monomios en el ai. Dada una secuencia R de la forma
(2.1), construir el conjunto de S(
T (,R). Un cuadro T â € ¬ S(,R) debe contener las casillas α1,. ..............................................................
índices r1, r2,. .....................................................................................................................................................
T formado por los índices sin prioridad. Como antes, distinguimos las entradas en α1,. .........................................................
prohibiendo a cada uno de ellos. Para cada caja α con αi • α • αi+1, 0 6 i 6 l, que es
ocupado por un índice sin prioridad, set l(α) = l(i).
Corollario 4.4. Los coeficientes c(a, b) definidos en (2.3) pueden ser dados por
c(a, b) =
T (α) sin ánimo de lucro, sin impedimentos
aT (α)(α)
T (α)
T (α) imprimado
(−bT (α)), (4.8)
sintetizado sobre las secuencias R de la forma (2.1) y el supertableaux T reverso S(,R).
Prueba. Aplicando la fórmula (4.5) podemos reducir el cálculo de c(a, b) a la par-
caso particular de la secuencia b = (0). Ahora (4.8) sigue de Lemma 2.4.
Ejemplo 4.5. Para calcular el polinomio Littlewood–Richardson c
(2,1)
(2,1) (2)
podemos tomar n = 2; ver el corolario 2.11. Compatible con los supertableaux reversos
con la secuencia (2) → (2, 1) son
2 0 ′
2 1 ′
2 2 ′
2 0 ′
2 1 ′
2 2 ′
para que
(2,1)
(2,1) (2)
a) = a2−1 + a−1a1 + a−1a2 − a−1a2 − a1a2 − a
− a−1a0 − a−1a1 − a−1a2 + a0a2 + a1a2 + a
= a2−1 − a−1a0 − a−1a2 + a0a2,
que está de acuerdo con el ejemplo 2.2.
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Introducción
Regla de multiplicación
Aplicaciones
Equivariante cálculo Schubert en el Grassmannian
Inmanentes cuánticos y operadores superiores de Capelli
Fórmulas Supertableau para s(x a) y c(a)
|
704.0066 | Lagrangian quantum field theory in momentum picture. IV. Commutation
relations for free fields | Teoría cuántica del campo lagrangiano
en la imagen del impulso
IV. Relaciones de libre comercio
Bozidar Z. Iliev
* † ‡
Título corto: QFT en imagen de impulso: IV
Producido: → Noviembre 4, 2018
http://www.arXiv.org e-Print archive No. : arXiv:0704.0066[hep-th]
R© TM
Clases de materias:
Teoría del campo cuántico
2000 Números MSC:
81Q99, 81S05, 81T99
2003 Números del PACS:
03.70.+k, 11.10.Ef, 11.10.-z,
11.90.+t, 12.90.+b
Palabras clave:
Relaciones de comunión, Relaciones de anticommutación, Campos cuánticos libres
Relaciones de paracommutación, parafermi y parabose relaciones de conmutación
Relaciones Heisenberg (ecuaciones), ecuaciones Euler-Lagrange, ecuaciones de movimiento
Lagrangians para campos libres, Operador Momentum, Operador Momentum Angular
Operadores de giro y de impulso angular orbital, Orden normal
* Laboratorio de Modelado Matemático en Física, Instituto de Investigación Nuclear y Nuclear
Energía, Academia Búlgara de Ciencias, Boul. Tzarigradsko chaussée 72, 1784 Sofía, Bulgaria
† Dirección de correo electrónico: bozho@inrne.bas.bg
‡URL: http://theo.inrne.bas.bg/óbozho/
http://arxiv.org/abs/0704.0066v1
http://www.arXiv.org
http://arxiv.org/abs/0704.0066
http://theo.inrne.bas.bg/~bozho/
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países de Europa Central y Oriental
Sumario
Introducción 1
2 La imagen del impulso 3
3 Lagrangianos, ecuaciones Euler-Lagrange y variables dinámicas 5
4 Sobre la singularidad de las variables dinámicas 10
5 Relaciones con Heisenberg 14
6 Tipos de posibles relaciones de conmutación 20
6.1 Restricciones relacionadas con el operador de impulso. .................................................................................................... 21
6.2 Restricciones relacionadas con el operador de la tarifa......................................................................................................... 25.................................................................................................................................................
6.3 Restricciones relacionadas con los operadores de impulso angular. ....................................................................................... 27
7 Inferencias 31
8 vectores estatales, valores de vacío y valores medios 37
9 Relaciones de convivencia para varios campos libres que coexisten 43
9.1 Relaciones de comunicación con el operador de momentum. Problemas
y sus posibles soluciones.......................... 44
9.2 Relaciones de comunicación conectadas con la carga y el impulso angular
operadores.................................. 49
9.3 Relaciones de comunicación entre las variables dinámicas............................................................................................................................................................................
9.4 Relaciones de comunión en las condiciones de singularidad.........................................................................................................................................................................................................................................................
10 Conclusión 54
Referencias 55
Este artículo termina en página.......................... 57
Resumen
Posibles relaciones de conmutación (algebraica) en la teoría cuántica lagrangiana de la libertad
Los campos (escalar, espinor y vector) se consideran desde el punto de vista matemático. Como fuentes de
estas relaciones se emplean las ecuaciones/relaciones de Heisenberg para las variables dinámicas
y una condición específica para la singularidad de los operadores de las variables dinámicas (con
respeto a alguna clase de lagrangianos). Las relaciones de paracommutación o algunos su gen-
las borraciones son apuntadas como las más generales que implican la validez de todo Heisenberg
ecuaciones. El cumplimiento simultáneo de las ecuaciones de Heisenberg y la singularidad re-
El requisito se vuelve imposible. Este problema se resuelve a través de una redefinición de la dinámica
variables, similares al procedimiento normal de pedido y que lo contienen como un caso especial. Que
implica cambios correspondientes en las relaciones de conmutación admisibles. La introducción de
el concepto de vacío limita la clase de las posibles relaciones de conmutación;
en particular, la redefinición mencionada de las variables dinámicas se reduce a la normalidad
Ordenando. Como última restricción a esa clase se impone el requisito de la existencia de un
procedimiento eficaz para calcular los valores medios de vacío. La conmutación bilineal estándar
las relaciones se señalan como los únicos conocidos que satisfacen todas las condiciones mencionadas y
no contradigan los datos existentes.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones de comunicación 1
1. Introducción
El tema principal de este trabajo es un análisis de las posibles relaciones de conmutación (algebraica)
en la teoría cuántica lagrangiana1 de los campos libres. Estas relaciones se consideran sólo desde
punto de vista matemático y la consecuencia física de ellos, como las estadísticas de muchos-par-
sistemas ticales, no se investigan.
El método canónico de cuantificación encuentra su origen en el mecan clásico de Hamilton.
ics [9, 10] y naturalmente conduce a las relaciones canónicas (anti)commutación [3, 11,12]. Estos
las relaciones pueden obtenerse de diferentes supuestos (véase, por ejemplo, [1,13-15]) y son uno de los
piedras angulares básicas de la teoría de campo cuántico actual.
Teóricamente hay también posibles relaciones de conmutación no canónica. El mejor
ejemplo conocido de que son las llamadas relaciones de paracommutación [16-18]. Pero, sin embargo,
Parece que ninguna de las partículas/campos actualmente conocidos las obedece.
En el presente trabajo se muestra cómo diferentes clases de relaciones de conmutación, entendido
en un sentido amplio como conexiones algebraicas entre los operadores de creación y/o aniquilación,
surgen del formalismo lagrangiano, cuando se aplica a tres tipos de lagrangianos que describen
campos de escalar, spinor y vectores gratis. Su origen es doble. Una mano, un requisito para
singularidad de las variables dinámicas (que se pueden calcular a partir de lagrangianos que conducen a
idéntica ecuación Euler-Lagrange) implica una serie de relaciones específicas de conmutación. Activar
Por otra parte, cualquiera de las llamadas relaciones/ecuaciones de Heisenberg [3, 11], implica
responder a las relaciones de conmutación; por ejemplo, las relaciones de paracommutación surgen de
las ecuaciones de Heisenberg con respecto al operador de impulso, cuando «carga simétrica» La-
2 La combinación de los dos métodos conduce a fuertes, en general
incompatibilidad, restricciones a los tipos admisibles de relaciones de conmutación.
La introducción del concepto de vacío, combinado con la singularidad mencionada de
los operadores de las variables dinámicas, cambia la situación y requiere una redefinición
de estos operadores de una manera similar a la conocida como el pedido normal [1, 3, 11, 12],
que es su caso especial. Algunos supuestos naturales reducen el primero a la letra uno; en
En particular, de esa manera se excluyen las relaciones de paracommutación. Sin embargo, esto no
reducir las posibles relaciones de conmutación a las canónicas. Además, el requisito
disponer de un procedimiento eficaz para calcular los valores medios de vacío (expectación),
que reducen todos los resultados previsibles en la teoría, pone nuevas restricciones, cuya única realidad
la solución en el momento parece ser las relaciones canónicas estándar (anti)commutación.
El diseño de la obra es el siguiente.
Secc. 2 da una idea de la imagen de impulso del movimiento y discute las relaciones
entre los operadores de creación y aniquilación en ella y en la imagen de Heisenberg. En Secc. 3
se revisan algunos resultados básicos de [13-15], parte de los cuales se pueden encontrar también en documentos como [1,
3, 11, 12]. En particular, la expresión explícita de las variables dinámicas a través de la creación
1 En este artículo consideramos sólo la teoría de campo cuántico lagrangiano (canónico) en el que el cuántico
campos están representados como operadores, llamados operadores de campo, actuando en algún espacio Hilbert, que en general
se desconoce si se estudian los campos de interacción. Estos operadores se supone que satisfacer algunas ecuaciones de
movimiento, de ellos se construyen las cantidades conservadas que cumplen las leyes de conservación, etc. Desde el punto de vista
de la teoría de campo cuántico actual, este enfoque es sólo una etapa preliminar para más o menos riguroso
formulación de la teoría en la que los campos están representados a través de distribuciones valoradas por el operador, un hecho necesario
incluso para la descripción de campos libres. Por otra parte, en direcciones no perturbativas, como constructiva y conformal
teorías de campo, los principales objetos son la media de vacío (expectación) valores de los campos y de éstos son
reconstruyó el espacio Hilbert de los estados y la actuación en él campos. Independientemente de estos hechos, el Lagrangian
(canónico) la teoría cuántica del campo es un componente inherente de la mayoría de las formas de presentación de la cuántica
teoría de campo adoptada explícita o implícitamente en libros como [1-8]. Además, el enfoque lagrangiano es una fuente
de muchas ideas para otras direcciones de la investigación, como la teoría del campo cuántico axiomático [3,7,8].
2 Ordinario [3,11], las relaciones de conmutación se postulan y la validez de las relaciones de Heisenberg es
a continuación, verificado. Seguimos el método opuesto mediante la postulación de las ecuaciones de Heisenberg y, a continuación, en busca de
relaciones de conmutación que son compatibles con ellos.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 2
y los operadores de aniquilación se presentan (sin asumir algunas relaciones de conmutación o
orden normal) y se señala la existencia de una familia de tales variables para un determinado
sistema de ecuaciones Euler-Lagrange para campos libres. El último hecho se analiza en la Secc. 4,
donde se dibujan una serie de sus consecuencias, teniendo un sentido de las relaciones de conmutación.
Las relaciones de Heisenberg y las relaciones de conmutación entre las variables dinámicas
se revisan y analizan en Secc. 5. Se señala que la carta debe ser consecuencias
de los primeros. Argumentos se presentan que la ecuación de Heisenberg sobre
el operador de impulso angular debe dividirse en dos independientes,
partes «orbitales» y «spin», respectivamente.
Secc. 6 contiene un método para asignar las relaciones de conmutación a la equa-Heisenberg
ciones. Se muestra que la ecuación de Heisenberg que implica la parte «orbital» de la
El impulso da lugar a una relación diferencial, no algebraica, de conmutación y la única con-
cering la parte ‘spin’ del momento angular implica un complicado integro-diferencial
conexiones entre los operadores de creación y aniquilación. Se presta especial atención a
las relaciones de paracommutación, cuyo tipo particular son los ordinarios, que garantizan
la validez de las ecuaciones de Heisenberg relativas al operador de impulso. Parcialmente es
se analizó el problema de la compatibilidad de los diferentes tipos de relaciones de conmutación de-
Rived. Se ha demostrado que una cierta generalización de las relaciones de paracommutación asegura la
cumplimiento de todas las relaciones de Heisenberg.
Secc. 7 está dedicado a las consecuencias de las relaciones de conmutación derivadas en la Secc. 6
en las condiciones de singularidad de las variables dinámicas presentadas en la Secc. 4. Gen...
Estos requisitos son incompatibles con las relaciones de conmutación. Superar
el problema, se propone una redefinición de las variables dinámicas a través de un método similar a
(y generalizando) el orden normal. Esto, por supuesto, implica cambios en la conmutación
relaciones, cuyas nuevas versiones resultan compatibles con las condiciones de singularidad
y garantizar la validez de las relaciones de Heisenberg.
El concepto del vacío se introduce en la Secc. 8. Reduce (prácticamente) la redefinición
de los operadores de las variables dinámicas a la obtenida a través del orden normal
procedimiento en la teoría de campo cuántico ordinario, pero, sin suposiciones adicionales,
no reducir las relaciones de conmutación a las estándar bilineales. Como último paso en especificar-
En la medida de lo posible las relaciones de conmutación, introducimos el requisito de la teoría
proporcionar una forma eficaz de calcular los valores medios de vacío de (antinormalmente ordenados)
productos de los operadores de creación y aniquilación a los que se reducen todos los resultados previsibles,
en particular, los valores medios de las variables dinámicas. La conmutación bilineal estándar
la relación parece ser la única que sabe en la actualidad que sobrevive a esa última condición, sin embargo
su singularidad a este respecto no se investiga.
Secc. 9 se ocupa de los mismos problemas que se han descrito anteriormente, pero en el caso de los sistemas que
al menos dos campos cuánticos diferentes. El principal obstáculo es el establecimiento de la permutación
las relaciones entre los operadores de creación/aniquilación en relación con diferentes ámbitos. El argumento es
presentaron que deberían contener conmutadores o anticommutadores de estos operadores.
La mayor parte de las relaciones de conmutación correspondientes están explícitamente escritas y los resultados
obtenido para ser similar a los que se acaban de describir, sólo en la versión «multifield».
La sección 10 cierra el documento resumiendo sus principales resultados.
Los libros [1-3] se utilizarán como trabajos de referencia estándar sobre la teoría cuántica de campos. De
por supuesto, esto es más o menos una selección aleatoria entre el gran número de (texto) libros y
ponencias sobre el tema al que se refiere el lector para más detalles u otros puntos de vista.
Para este fin, por ejemplo, [4, 12,19] o la literatura citada en [1–4,12,19] puede ser útil.
A lo largo de este documento ~ denota la constante del Planck (dividido por 2η), c es la velocidad de
luz en el vacío, y yo representa la unidad imaginaria. Los superíndices † y significan respec-
la conjugación y transposición (de operadores o matrices), el superíndice *
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 3
denota conjugación compleja, y el símbolo • denota composiciones de mapas/operadores.
Por la letra f) o por la letra f) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013
f o ♥
fg (:= 1 para f = g, := 0 para f = g) se denota el símbolo Kronecker
dependiendo de los argumentos f y g, y Łn(y), y Rn, representa el dirac n-dimensional
(y) := (y) para y (y) R.
El espacio-tiempo Minkowski es denotado por M. Los índices griegos van de 0 a dimM −1 =
3. Todos los índices griegos serán elevados y reducidos por medio de la norma 4-dimensional
Tensor métrico Lorentz y su inversa con firma (+ − ). Índices latinos
a, b,. .. correr de 1 a dimM − 1 = 3 y, por lo general, etiquetar los componentes espaciales de algunos
objeto. La convención de síntesis de Einstein sobre índices repetidos en diferentes niveles es
Asumió sobre todo el rango de sus valores.
Por fin, debemos dar una explicación de por qué este trabajo aparece bajo el título general
“Teoría cuántica de campo lagrangia en el cuadro de impulso” cuando en ella todas las consideraciones son
hecho, de hecho, en la imagen de Heisenberg con posible, pero no necesario, el uso de la creación y
los operadores de aniquilación en la imagen del impulso. En primer lugar, esencialmente empleamos el obtenido
en [13-15] expresiones para las variables dinámicas en la imagen de impulso para tres tipos de
Lagrangianos. Los operadores correspondientes en la imagen de Heisenberg, que de hecho se utiliza en este
papel, puede obtenerse mediante un cálculo directo, ya que se realiza parcialmente en, por ejemplo, [1] para uno de los
los tipos mencionados de lagrangianos. El punto importante aquí es que en la imagen de Heisenberg
basta con utilizar sólo el formalismo Lagrangiano estándar, mientras que en la imagen de impulso uno
tiene que suponer la computatividad entre los componentes del operador de momentum y
la validez de las relaciones de Heisenberg para ella (véanse las ecuaciones (2.6) y (2.7)). Desde entonces
el análisis de las relaciones de conmutación que pretendemos hacer el cumplimiento de estas relaciones es
no es necesario (son restricciones subsidiarias al formalismo lagrangiano), el Heisenberg
imagen de movimiento es el natural que tiene que ser utilizado. Por esta razón, la expresión para el
las variables dinámicas obtenidas en [13-15] se utilizarán simplemente como sus contrapartes Heisenberg,
pero expresado a través de los operadores de creación y aniquilación en imagen de impulso. El único
ventaja real uno consigue de esta manera es la estructura más natural del angular orbital
operador de impulso. Como las relaciones de conmutación consideradas a continuación son algebraicas, es
no es esencial en qué imagen de la moción están escritos o investigados.
2. El panorama del impulso
Dado que la imagen de movimiento de impulso se utilizará sólo parcialmente en este trabajo, a continuación se
presentó únicamente su definición y la conexión entre los operadores de creación/aniquilación
en ella y en la foto de Heisenberg. Se pueden encontrar detalles sobre la imagen del impulso
en [20,21] y en las secciones correspondientes dedicadas a él en [13-15].
Consideremos un sistema de campos cuánticos, representado en la imagen de movimiento de Heisenberg
por los operadores de campo i(x) : F → F, i = 1,.........................................................................................................................................
F de estados y dependiendo de un punto x en Minkowski espacio tiempo M. Aquí y en adelante,
todas las cantidades en la imagen de Heisenberg serán marcadas por un tilde (onda) “
símbolos. Que P denota el operador vectorial de impulso del sistema (canónico), definido a través de
el operador tensorial de energía-momento T
P :=
x0=const
TØ0μ(x) d3x. (2.1)
Puesto que este operador es Hermiciano, P = P, el operador
U(x, x0) = exp
(xμ − xμ0 ) P
, (2.2)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 4
donde x0 â € TM es arbitrariamente fijo y x â € TM,3 es unitario, es decir. U†(x0, x) := (U(x, x0))† =
U−1(x, x0) := (U(x, x0))−1 y, a través de las fórmulas
X‡ 7→ X (x) = U(x, x0) ( X̃ ) (2.3)
Ã(x) 7→ A(x) = U(x, x0) • ( Ã(x)) • U−1(x, x0), (2.4)
se da cuenta de la transición a la imagen del impulso. Aquí X‡ es un vector de estado en Hilbert del sistema
espacio de estados F y Ã(x) : F → F es (observable o no) función de operador-valorado de x â € M
que, en particular, pueden ser series de potencia polinómica o convergente en los operadores de campo
i(x); respectivamente X (x) y A(x) son las cantidades correspondientes en la imagen del momento.
En particular, los operadores de campo se transforman como
i(x) 7→ i(x) = U(x, x0) i(x) U−1(x, x0). (2.5)
Aviso, en (2.2) el multiplicador (xμ − xμ0 ) se considera como un parámetro real (en el que P es
lineal). Generalmente, X (x) y A (x) dependen también del punto x0 y, para ser bastante correcto, uno
debe escribir X (x, x0) y A(x, x0) para X (x) y A(x), respectivamente. Sin embargo, en la mayoría
situaciones en el presente trabajo, esta dependencia no es esencial o, de hecho, no se presenta
En absoluto. Por esta razón, no lo indicaremos explícitamente.
El cuadro de impulso es más adecuado en las teorías cuánticas de campo en las que la composición
nents P del operador de impulso se desplazan entre sí y satisfacen el Heisenberg
relaciones/ecuaciones con los operadores sobre el terreno, es decir, cuando P y i(x) satisfagan las relaciones:
[ P, P ] = 0 (2.6)]
[ i(x), P] = i i(x). (2.7)
Aquí [A,B]± := A • B ± B • A, • siendo la composición de los mapas signo, es el commuta-
tor/anticommutador de operadores (o matrices) A y B.
Sin embargo, el cumplimiento de las relaciones (2.6) y (2.7) no será supuesto en este artículo
hasta Sect. 6 (véase también la secc. 5).
Dejar a±s (k) y a
k) ser los operadores de creación/aniquilación de algún campo particular libre
(véase secc. 3 infra para una explicación detallada de la notación). Tenemos las conexiones.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
xμkμ U−1(x, x0) • a±s (k) • U(x, x0)
s (k) = e
xμkμ U−1(x, x0) • as (k) • U(x, x0)
m2c2 + k2 (2.8)
cuya forma explícita es
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
kμa±s (k)
s (k) = e
kμas (k)
m2c2 + k2. (2.9)
Más adelante se asumirá (k) y ã
s k) que se definirá en el cuadro de Heisenberg, indepen-
Dental de a±s (k) y a
s (k), por medio del formalismo Lagrangiano estándar. Lo que concierne
los operadores a±s (k) y a
s (k), los consideraremos como definidos a través de (2.9); esto los hace
independiente de la imagen momentánea del movimiento. El hecho de que los operadores así definidos
a±s (k) y a
s (k) coinciden con los operadores de creación/aniquilación en imagen de impulso
(en las condiciones (2.6) y (2.7)) no será esencial en el texto casi completo.
3 La notación x0, para un punto fijo en M, no debe confundirse con la covariante cero covariante coordenada
μ de x que, después de la convención x / := x
μ, se denota con el mismo símbolo x0. Desde el contexto,
siempre estará claro si x0 se refiere a un punto en M o a la covariante cero de un punto
x M.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 5
3. Lagrangianos, ecuaciones Euler-Lagrange
y variables dinámicas
En [13-15] hemos investigado la teoría de campos cuánticos lagrangianos de escalar respectivamente,
spin 1
y campos libres de vectores. Los principales lagrangianos de los que se deriva son, respectivamente,
(véase loc. cit. o, por ejemplo, [1, 3, 11,12]:
Lsc = Lsc(, ) =−
1 + ( )
m2c4 (x) (x) + 1
1 + ( )
c2~2( (x)) ( (x))
3.1a)
Lsp = Lsp(,
•) =− 1
i~c{
(x)C−1 ( (x))
− ( )
(x))C−1 (x)mc2
(x)C−1 (x)
3.1b)
Lv = Lv( , ) =
1 + ( )
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 + ( )
−(
ü) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—))) (—) (—) (—)) (—) (—) (—)) (—)) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) —) (—) (—) (—) (—) —) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)
μ ) + (
) ( )
3.1c)
Aquí se utiliza la siguiente notación: (x) es un campo escalar, una tilde (onda) sobre un símbolo
significa que está en la imagen de Heisenberg, la daga † denota conjugación ermitaña, :=
( 0, 1, 2, 3) es un campo de 4 espinos,
• := C
:= C( 0) es su carga conjugada con
Siendo las matrices gamma Dirac y la matriz C satisface las ecuaciones C−1C =
y C = −C, Uμ es un campo vectorial, m es la masa del campo (parametro) y la función
(A) :=
1 para A† = A (operador ermitaño)
0 para A† 6= A (operador no ermitaño)
, (3.2)
con A : F → F siendo un operador en los sistemas Hilbert espacio F de estados, se ocupa de
es el campo cargado (no-Hermitano) o neutral (Hermitano, no cargado). Desde un campo de spinor
es una carga uno, tenemos فارسى( ) = 0; a veces por debajo del número 0 = ♥( ) se escribirá
explícitamente para la unificación de la notación.
Hemos explorado también las consecuencias de los ‘cargo conjugado’ lagrangianos
Lsc = Lsc(, ) := Lsc(, ) (3.3a)
Lsp = Lsp(,
(+) := Lsp(
*, ) (3.3b)
Lv = Lv( , ) := Lv(, ), (3.3c)
así como de los lagrangianos ‘simétricos de carga’
Lsc = Lsc(, ) :=
Lsc + Lsc
Lsc(, ) + Lsc(, )
(3.4a)
Lsp = Lsp(,
(+) :=
Lsp + Lsp
Lsp(,
(+) + Lsp(
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(3.4b)
Lv = Lv ( , ) :=
Lv + Lv
Lv( , ) + Lv(, )
. (3.4c)
Es esencial señalar, para un sin masa, m = 0, campo vectorial al formalismo lagrangiano
se añaden como condiciones subsidiarias las condiciones de Lorenz
= 0
μ = 0 (3.5)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 6
sobre las soluciones de las ecuaciones correspondientes de Euler-Lagrange. Además, si lo contrario es
no declarado explícitamente, ninguna otra restricción, como las relaciones (anti)commutación, se supone
que se impondrán a los lagrangianos anteriores. Y una observación técnica, por conveniencia, los campos
, y y su carga conjugada, y, respectivamente, se consideran como
variables de campo independientes.
Que L denota cualquiera de los lagrangianos (3.1) y L (resp. L) el correspondiente
a ella Lagrangian dada vía (3.3) (resp. (3.4)). Físicamente la diferencia entre L y L es
que las partículas para L son antipartículas para L y viceversa. Los dos lagrangianos L
y L no son carga simétrica, es decir. las teorías que surgen de ellos no son invariantes bajo
el cambio de partícula↔antipartícula (o, en términos matemáticos, bajo algunos de los cambios
A menos que se hagan algunas hipótesis adicionales. Contrariamente a
esto, el Lagrangian L es carga simétrica y, en consecuencia, el formalismo en su base
es invariante bajo la partícula de cambio
Las ecuaciones Euler-Lagrange para los lagrangianos L, L y L suceden a la moneda-
cide [13-15]:5
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
( L
()
# # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L.
( L
()
# # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L.
( L
()
= 0, (3.6)
donde χ =,,,
Para el campo escalar, espinor y vector respectivamente.
Desde la creación y aniquilación de los operadores se definen sólo en la base de Euler-La-
Ecuaciones grange [1, 3, 11-15], podemos afirmar que estos operadores son idénticos para el La-
Los granjeros L, L y L. Denominaremos a estos operadores por un ±s (k) y un
s k) con la
convención que a+s (k) (resp. a
s (k)) crea una partícula (resp. antipartículas) con 4-momen-
tum (
m2c2 + k2,k), polarización s (véase más abajo) y carga (−q) (resp. (+q))6 y as (k)
(resp. a-s (k)) aniquila/destruye tal partícula (resp. antipartículas). Aquí y en adelante
k R3 se interpreta como el 3-momento de (anti)partícula y los valores del índice de polarización
s dependen del campo considerado: s = 1 para un campo escalar, s = 1 o s = 1, 2 para respectivamente
sin masa (m = 0) o masivo (m 6 = 0), y s = 1, 2, 3 para un campo vectorial.7
Los modos de campo vectorial sin masa con s = 3 solo pueden entrar en el spin y en el mo- angular orbital
los operadores de menta [15], nosotros, por conveniencia, asumiremos que los índices de polarización s, t,....
tomar los valores de 1 a 2j+1-1- 0m(1− 0j), donde j = 0, 12, 1 es el giro para escalar, espinor
y el campo vectorial, respectivamente, y el valor de 0m := 1 para m = 0 y el valor de 0m := 0 para m 6 = 0;8 si el valor
s = 3 es importante cuando j = 1 y m = 0, se comentará/considerará por separado. De
Por supuesto, los operadores de creación y aniquilación son diferentes para diferentes campos; uno debe
escribir, por ejemplo, ja
(k) para a±s (k), pero no utilizaremos una notación tan complicada y
Asumir que la dependencia de j es implícita.
4 Además, bajo las mismas suposiciones, el Lagrangian L no admite cuantificación vía anticommu-
los tamadores (commutadores) para el campo de giro entero (medio entero), mientras que L y L no hacen la diferencia entre
campos de giro entero y medio entero.
5 Rigurosamente hablando, las ecuaciones Euler-Lagrange para el Lagrangian (3.4b) son identidades como 0 = 0 —
Véase [22]. Sin embargo, a continuación nos ocuparemos de este caso excepcional como se señala en [14].
6 Para un campo neutral, ponemos q = 0.
7 Para mayor comodidad, en [14], tenemos establecido s = 0 si m = 0 y s = 1, 2 si m 6 = 0 para un campo espinor. Para un sin masa
campo vectorial, se puede establecer s = 1, 2, eliminando así el valor «unfísico» s = 3 para m = 0 — véase [1, 11, 15].
En [13], para un campo escalar, la notación
k) y
(k) se utiliza para un ±
k) y a
k), respectivamente.
8 De este modo, el caso (j, s, m) = (1, 3, 0) queda excluido de otras consideraciones; si (j, m) = (1, 0) y
q = 0, el caso considerado más adelante en este trabajo corresponde a un campo electromagnético en el medidor de Coulomb,
como se excluyen los modos con s = 3 [15]. Sin embargo, si el caso (j, s, m) = (1, 3, 0) es importante para algunos
razones, el lector puede obtener fácilmente los resultados correspondientes mediante la aplicación de los de [15].
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 7
A lo largo de este capítulo se usarán con frecuencia las siguientes configuraciones:
0 para el campo escalar
para el campo espinor
1 para campo vectorial
1 para q = 0 (campo neutral (Hermitano))
0 para q 6= 0 (campo cargado (no ermitaño))
(−1)2j =
+1 para el entero j (campos de bose)
−1 para medio entero j (campos fermi)
(3.7)
[A,B]± := [A,B]±1 := A • B ± B • A, (3.8)
donde A y B son operadores en el espacio F de los estados Hilbert del sistema.
Las variables dinámicas correspondientes a L, L y L son, sin embargo, completamente dif-
ferent, a menos que se impongan algunas condiciones adicionales al formalismo lagrangiano [13-15].
En particular, los operadores de impulso P, carga operadores Q, spin operadores S y
los operadores orbitales L, donde = ′, ′′, ′′, para estos lagrangianos son [13-15]:
P =
1 +
2j+10m(10j )
d3kk
m2c2+k2
(k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (a) (k) (k)
(3.9a)
P =
1 +
2j+10m(10j )
d3kk
m2c2+k2
{a+s (k) {as (k) + {a−s (k) {as (k)}
(3.9b)
P =
2 (1 + )
2j+10m(10j )
d3kk
m2c2+k2
{[as (k), a−s (k)] + [a+s (k), as (k)]
(3.9c)
Q = +q
2j+10m(10j)
d3k{as (k) • a−s (k)− •as (k) • a+s (k)} (3.10a)
Q = −q
2j+10m(10j)
d3k{a+s (k) • as (k)− •a−s (k) • as (k)} (3.10b)
Q = 1
2j+10m(10j )
d3k{[as (k), a−s (k)]- [a+s (k), as (k)] (3.10c)
Sс =
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′ k)
+ ss
* (k)a
s k) a+s′(k)
(3.11a)
S =
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s′(k) • a
s k)
+ ss
* (k)a
k) as (k)
(3.11b)
Sс =
(−1)j−1/2j~
2 (1 + )
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)[a)
s k), a
k)]
+ ss
* (k)[a)
s k), a
s′(k)]
(3.11c)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 8
L = x0μ P − x0 ν P
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′ k)
+ lss
* (k)a
s k) a+s′(k)
2 (1 + )
2j+10m(10j )
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• a+s (k)
m2c2+k2
(3.12a)
L = x0μ P − x0 ν P
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s′(k) • a
s k)
+ lss
* (k)a
k) as (k)
2 (1 + )
2j+10m(10j )
a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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as (k)
m2c2+k2
(3.12b)
L = x0μ P − x0 ν P
(−1)j−1/2j~
2 (1 + )
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)[a)
s k), a
k)]
+ lss
* (k)[a)
s k), a
k)]
4(1 + )
2j+10m(10j )
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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as (k) + a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• a+s (k)
m2c2+k2
(3.12c)
Aquí hemos usado la siguiente notación: (−1)n+1/2 := (−1)ni para todos los n+N e i:= +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
B(k) := −
A(k)
B(k) +
A(k) â € kμ
B(k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
B(k)
(3.13)
en el caso de los operadores A(k) y B(k) que dependan de C1 en k,9 y
ss′,±
k) y l)
ss′,±
• (k) son
9 Más en general, si : {F → F} → {F → F} es un mapeo en el espacio del operador sobre Hilbert del sistema
espacio, ponemos A
B := (A) • B + A • • B) para cualquier A,B : F → F. Por lo general [2, 12], esta notación se utiliza
en lugar de =.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 9
algunas funciones de k tales que10
(k) = ss
(k) l
ss′,±
(k) = −lss
(k)
(k) = l
ss′,±
(k) = 0 para j = 0 (campo escalar)
(k) = ss
* (k) =: *
(k) = s
(k) = ss
(k) para j = 1 (campo de vectores)
(k) = −lss
(k) =: l
(k) = −ls
(k) = −lss
(k) para j = 1 (campo de vectores).
(3.14)
En este momento hay que hacer una observación técnica. Las ecuaciones (3.9)–(3.12) fueron de-
rived en [13-15] bajo algunas condiciones adicionales, representadas por ecuaciones (2.6) y (2.7),
que se consideran fuelles en la Secc. 5 y garantizar la eficacia de la
tura de movimiento [21] utilizada en [13-15]. Sin embargo, como se ha demostrado parcialmente, por ejemplo, en [1], cuando el
las cantidades (3.9)–(3.12) se expresan a través de los operadores de creación y aniquilación de Heisenberg
(véase (2.9)), siguen siendo válidos, hasta un factor de fase, y sin hacer el mencionado
suposiciones, es decir, Estas suposiciones son innecesarias cuando se trabaja completamente en Heisenberg pic-
tura. Por esta razón, vamos a considerar (3.9)–(3.12) como consecuencia pura del Lagrangian
formalismo.
Debemos enfatizar, en (3.11) y (3.12) con S y L, = ′, ′′, ′′, se denotan
el giro y orbital, respectivamente, operadores para L, que son el espacio-independiente del tiempo
partes del giro y orbitales, respectivamente, operadores de impulso angular [14, 23]; si el último
los operadores son denotados por S y L
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
con Lagrangian L es [23]
M = L
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* = L + S, * = ′, ′′, * (3,15)
y S = S (y por lo tanto L
(+ = L) if S
Es un operador conservado o, equivalentemente, iff
El tensor canónico de energía momentum del sistema es simétrico.11
Seguir adelante (véase Secc. 6), nos gustaría señalar que las expresiones (3.9c) y, conse-
quently, el Lagrangian L son la base de la cual las relaciones de la paracommutación fueron
primer derivado [16].
Y un último comentario. Arriba hemos expresado las variables dinámicas en la imagen de Heisenberg
a través de los operadores de creación y aniquilación en imagen de impulso. Si uno trabaja completamente en
Imagen de Heisenberg, los operadores (2.9), que representan a los operadores de creación y aniquilación
en la imagen de Heisenberg, debe ser utilizado. Además, en virtud de las ecuaciones
(a±s (k))
† = as (k) (a
s k))
† = as (k) (3.16)
(k)
= s (k)
s (k)
= s (k), (3.17)
algunas de las relaciones relativas a una
s k), por ejemplo. las ecuaciones de Euler-Lagrange y Heisenberg,
son consecuencias de las similares con respecto a a±s (k). En vista de (2.9), consideraremos (3.9)–
(3.12) tal como se obtiene de las expresiones correspondientes en la imagen de Heisenberg haciendo el
sustituciones (k) 7→ a±s (k) y ã
s (k) 7→ as (k). Por lo tanto, (3.9)–(3.12) tendrá, hasta un
factor de fase, un sentido de variables dinámicas en la imagen de Heisenberg expresado a través de la cre-
los operadores de aniquilación en la imagen del impulso.
10 Para la forma explícita de estas funciones, véase [13-15]; véase también la ecuación (6.57) a continuación.
11 En [14,23] los operadores de giros y orbitales están etiquetados con un superíndice izquierdo adicional, que, para la brevedad,
se omite en el presente trabajo, ya que en él sólo estos operadores, no S
• y L.V. • y L.V. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Se tendrá en cuenta. Aviso,
los operadores S
• y L.V. • y L.V. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Por lo general, son dependientes del tiempo, mientras que los orbitales y los giros se conservan, como
un resultado del cual el impulso angular total es también un operador conservado [14,23].
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 10
4. Sobre la singularidad de las variables dinámicas
Let D = Pμ, Q, S-, L- denota una variable dinámica, a saber. el impulso, la carga,
spin, u operador orbital, de un sistema con Lagrangian L. Desde las ecuaciones Euler-Lagrange
para los lagrangianos L′, L′′ y L® coinciden (véase (3.6)), podemos afirmar que cualquier campo satisfactorio
Estas ecuaciones admiten al menos tres clases de operadores conservados, a saber. D′, D′′ y D =
DD′′
.Además, se puede probar que las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangian
Lα,β := αL′ + βL′′ β 6= 0 (4.1)
no dependen de α, β o C y coinciden con (3.6). Por lo tanto existe un parámetro de dos
familia de variables dinámicas conservadas para estas ecuaciones dadas vía
Dα,β := αD′ + βD′′ ≤ β 6= 0. (4.2)
Evidentemente L = L 1
y D = D 1
. Puesto que las ecuaciones Euler-Lagrange (3.6) son lineales
y homogéneo (en los casos considerados), podemos, sin una pérdida de generalidad, restringir el
los parámetros α, β â € C a tal que
• β = 1, (4.3)
que se puede lograr mediante una adecuada renormalización (por un factor ()-1/2) del campo
operadores. Así cualquier campo que satisfaga las ecuaciones Euler-Lagrange (3.6) admite la familia
Dα,β, α + β = 1, de los operadores conservados. Obviamente, esta conclusión es válida si en (4.1) nosotros
sustitúyanse los lagrangianos L′ y L′′ particulares (véanse (3.1) y (3.3) por dos lagrangianos
(de una y las mismas variables de campo) que conducen a ecuaciones idénticas Euler-Lagrange. ¿Cómo...?
siempre, el punto esencial en nuestro caso es que L′ y L′′ no difieren sólo por una divergencia total,
como resultado de los cuales los operadores Dα,β son diferentes para diferentes pares (α, β), β β = 1,12
Puesto que se espera que un sistema físico posea características dinámicas definidas de forma única,
e.g. energía y el momento angular total, y las ecuaciones de Euler-Lagrange se consideran
(en el marco del formalismo lagrangiano) como los que gobiernan la evolución del espacio-tiempo
el sistema considerado, el problema surge cuando los operadores dinámicos Dα,β = 1, son
independientemente de la elección particular de α y β, es decir, del Lagrangian inicial comienza.
El cálculo sencillo muestra que los operadores (4.2), bajo la condición (4.3), son independientes
de los valores particulares de los parámetros α y β si y sólo si
D′ = D′′. (4.4)
Algunas consecuencias de la(s) condición(es) (4.4) se considerarán a continuación, así como posibles formas
por satisfacer estas restricciones al formalismo lagrangiano.
Combinando (3.9)–(3.12) con (4.4), para, respectivamente, D = Pμ, Q, S
campo escalar libre, spinor o vector tiene una única definida dinámica variables si y sólo si
se cumplen las siguientes ecuaciones:
2j+10m(10j )
d3k kμ
m2c2+k2
(k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (k)
• a+s (k) • as (k) • as (k) • a+s (k)
= 0 (4,5)
12 Nota, no hay computatividad o algunas relaciones de conmutación entre los operadores de campo y su carga (o
Hermitiano) conjugado se presuponen, es decir, en este momento, trabajamos en una teoría sin tales relaciones y
orden normal.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 11
2j+10m(10j )
(k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (k)
+ a+s (k) • as (k)− • as (k) • a+s (k)
= 0 (4.6)
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′(k)−
ss′,−
* (k)a
k) as (k)
− ss′, (k)a+s′(k)
s (k) +
ss′,+
* (k)a
s k) a+s′(k)
= 0 (4,7)
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a) a) k) a) l
ss′,−
* (k)a
k) as (k)
− lss′, (k)a+s′(k)
s k) + l
ss′,+
* (k)a
s k) a+s′(k)
2j+10m(10j )
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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Aa-s (k)a-s (k)
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as (k)
−a+s (k)
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•a+s (k)
m2c2+k2
(4.8)
En (4.6) se mantiene el factor constante q como en el caso neutral es igual a cero y,
consecuentemente, la ecuación (4.6) se reduce a identidad.
Dado que las ecuaciones Euler-Lagrange no imponen algunas restricciones a la creación y
operadores de aniquilación, las ecuaciones (4.5)–(4.8) pueden considerarse como condiciones subsidiarias
sobre el formalismo lagrangiano y puede servir como ecuaciones para la determinación (parcial) de la
creación y aniquilación de operadores. El sistema de ecuaciones integrales (4.5)–(4.8) es bastante
complicado y no vamos a investigarlo en el caso general. Abajo lo haremos.
nos limitamos al análisis de sólo aquellas soluciones de (4.5)–(4.8), en su caso, para las cuales la
los integrands en (4.5)–(4.8) desaparecen. Esto significa que reemplazaremos el sistema de
ecuaciones (4.5)–(4.8) con respecto a los operadores de creación y aniquilación con lo siguiente:
sistema de ecuaciones algebraicas (no sumar sobre s y s′ en (4.12) y (4.13)!):
(k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (k) (k) (k) (k) = 0 (4,9)
(k) (k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (a) (k) (k) (k) (a) (k) (k) = 0 si q 6= 0
(4.10)
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k) + •a−s (k)
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as (k)
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as (k)as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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•a+s (k)
m2c2+k2
(4.11)
* (k)a
s k) a-s′(k)−
ss′,−
* (k)a
k) as (k)
− ss′, (k)a+s′(k)
s (k) +
ss′,+
* (k)a
s k) a+s′(k)
= 0 (4,12)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 12
* (k)a
s k) a) a) k) a) l
ss′,−
* (k)a
k) as (k)
− lss′, (k)a+s′(k)
s k) + l
ss′,+
* (k)a
s k) a+s′(k)
= 0 (4,13)
Aquí: s = 1,......, 2j + 1 − 0m(1 − 0j) en (4.9)–(4.11) y s, s′ = 1,...., 2j + 1 − 0m(1 −
1j) en (4.12) y (4.13). (Aviso, en virtud de (3.14), las ecuaciones (4.12) y (4.13) son
válida idénticamente para j = 0, es decir, para campos escalares.) Puesto que todos los índices de polarización entran en (4,5)
y (4.6) en pie de igualdad, no sumamos sobre s en (4.9)–(4.11). Pero en (4.12) y (4.13)
hemos retenido el signo de sumación como los modos con polarización definida no se pueden individualizar
en el caso general. Uno puede obtener versiones más débiles de (4.9)–(4.13) sumando en ellas
sobre los índices de polarización, pero no vamos a considerar estas condiciones a continuación, independientemente de
el hecho de que también garantizan la singularidad de las variables dinámicas.
Al principio, considere las ecuaciones (4.9)–(4.11). Puesto que para un campo neutral, q = 0, tenemos
s (k) = a
k), que significa físicamente coincidencia de partículas y antipartículas del campo,
las ecuaciones (4.9)–(4.11) se mantienen idénticas en este caso.
Consideremos ahora el caso q 6= 0, es decir. el campo investigado que debe imputarse a uno. Usando el
notación estándar (cf. (3.8))
[A,B]η := A •B + ηB •A, (4.14)
para los operadores A y B y η C, reescribimos (4.9) y (4.10) como
[as (k), a
s (k)] − [a+s (k), as (k)] = 0 (4,9′)
[as (k), a
s (k)] + [a
s k), a
s (k)] = 0 si q 6= 0, (4,10′)
que son equivalentes a
[as (k), a
s (k)] = 0 si q 6= 0. (4.15)
Diferenciando (4.15) e insertando el resultado en (4.11), uno puede verificar que (4.11) es
equivalente a
as (k),
• a−s (k)
a+s (k),
as (k)
m2c2+k2
= 0 si q 6= 0, (4.16)
Considere ahora (4.12) y (4.13). Por medio de la taquigrafía (4.14), leen
* (k)[a)
s k), a
(k)] +
ss′,+
* (k)[a)
s k), a
(k)]
= 0 (4,17)
* (k)[a)
s k), a
(k)] + l
ss′,+
* (k)[a)
s k), a
(k)]
= 0. (4.18)
Para un campo escalar, j = 0, estas condiciones se mantienen idénticamente, debido a (3.14). Pero para j 6= 0 ellos
imponer nuevas restricciones al formalismo. En particular, para los campos vectoriales, j = 1 y فارسى = +1
están satisfechos if (véase (3.14))
[as (k), a
(k)] − [as (k), a+s′(k)] − [a
k), a−s (k)] + [a
(k), a+s (k)] = 0. (4.19)
Uno puede satisfacer (4.17) y (4.18) si la siguiente generalización de (4.15) se mantiene
[as (k), a
(k)] = 0. (4.20)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 13
Para spin j = 1
(y, por lo tanto, • = −1 – véase (3.7)), las condiciones (4.12) y (4.13) no pueden
simplificar mucho, pero, si se requiere la desaparición de los coeficientes de operador después de
ss′,±
k) y l)
ss′,±
* (k), se obtiene
as (k) as′(k) = 0 j =
* = −1. (4.21)
Excluidos algunos casos especiales, por ejemplo: campo escalar neutro (q = 0 y j = 0), el equa-
ciones (4.15) y (4.21) son inaceptables desde muchos puntos de vista. El principal de ellos es que ellos
son incompatibles con las relaciones ordinarias de (anti)commutación (véase, por ejemplo, por ejemplo. [1, 11, 12, 18]
o Secc. 6, en particular, ecuaciones (6.13) abajo; por ejemplo, (4.21) significa que los actos de
la creación y aniquilación de (anti)partículas con características idénticas debe ser mutuamente
independiente, lo que contradice la teoría existente y los datos experimentales.
Ahora intentaremos otra manera de lograr la singularidad de las variables dinámicas para
campos libres. Puesto que en (4.9)–(4.13) naturalmente aparecen (anti)commutadores entre la creación y
los operadores de aniquilación y estos (anti)commutadores desaparecen bajo el estándar normal o-
dering [1,11,12,18], se puede suponer que las expresiones normalmente ordenadas de la dinámica
Las variables pueden coincidir. Analicemos este método.
Recordar [1, 3, 11, 12], el operador normal de orden N (para la teoría de campo libre) es un lineal
operador en el espacio de operador del sistema considerado de tal manera que para un producto (composición)
c1 · · · · · cn de n · N creación y/o aniquilación de operadores c1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
(−1)f cα1 · · · · cαn. Aquí (α1,. .., αn) es una permutación de (1,..., n), todos los operadores de creación
parados a la izquierda de todos los aniquiladores, el orden relativo entre la creación/aniquilación
los operadores se conservan, y f es igual al número de transposiciones entre el fermión
operadores (j = 1
) era necesario lograr el orden justo descrito (“orden normal”) de la
los operadores c1 · · · · · cn en cα1 · · · · cαn.13 En particular, esto significa que
a+s (k)
t p)
= a+s (k)
t (p) N
as (k) a−t (p)
= as (k) a−t (p)
a–s k)
t p)
t p) a−s k) N
as (k) a+t (p)
= A+t (p) As (k) (4.22)
y, en consecuencia, tenemos
[as (k), a
t (p)]
= 0 N
[a±s (k), a
t (p)]
= 0, (4,23)
debido a Ł := (−1)2j = ±1 (véase (3.7)). (De hecho, sólo por debajo de las igualdades (4.22) y (4.23),
no se aplicará la definición general de un producto normal.)
Aplicando el operador normal de pedidos a (4.9′), (4.10′), (4.17) y (4.18), nosotros, en vista de
de (4.23), obtener la identidad 0 = 0, lo que significa que las condiciones (4.9), (4.10), (4.12)
y (4.13) se satisfacen idénticamente después del pedido normal. Esto se confirma en la solicitud
de N a (3.9) y (3.10), que resultan respectivamente en (véase (4.22)
N (Pû ) = N (Pû )
1 +
2j+10m(10j )
d3kk
m2c2+k2
(k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (4.24)
13 Hemos modificado ligeramente la definición dada en [1,3,11,12] porque no hay relaciones (anti)commutación son
presentado en nuestra exposición hasta el momento. En este documento no nos ocupamos del problema de la eliminación de
los operadores «no físicos» a±
k) y a
(k) de los operadores de giro y de impulso orbital cuando j = 1; para
los detalles, véase [15], donde se demuestra que, para un campo electromagnético, j = 1 y q = 0, una manera de lograr esto
es añadiendo al número f por encima del número de transposiciones entre a±s (k), s = 1, 2 y a
k) Se necesita
por conseguir un orden normal.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 14
N (Q) = N (Q) = 1
1 +
2j+10m(10j )
d3k{as (k) • a−s (k)− a+s (k) • as (k)}.
(4.25)
Por lo tanto, el pedido normal garantiza la singularidad del impulso y los operadores de carga,
si los redefinimos, respectivamente, como
P := N (P ) Q := N (Q). (4.26)
Poniendo := kμ
− k/ kμ y utilizando (4.22), se puede verificar que
a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
as (k)
= a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
as (k)
as (k)
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a−s (k)
= as (k)
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a−s (k)
a–s k)
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as (k)
= as (k)
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a−s (k)
as (k)
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a+s (k)
= a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
as (k).
(4.27)
Como consecuencia de estas igualdades, la acción de N en los l.h.s. de (4.11) desaparece. Com-
binding este resultado con el hecho mencionado de que el orden normal convierte (4.12) y (4.13)
en las identidades, vemos que el procedimiento normal de pedido asegura también la singularidad de la vuelta
y operadores orbitales si los redefinimos respectivamente como:
S := N (S ) := N (S ) =
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′(k) +
ss′,+
* (k)a
s′(k) • a
s k)
(4.28)
L := N (L) := N (L) = x0μ P − x0 / P +
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′ k) + Łl
ss′,+
* (k)a
k) as (k)
2 (1 + )
2j+10m(10j )
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k)
+ a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
m2c2+k2
(4.29)
donde se aplicó (3.14).
5. Relaciones con Heisenberg
Los operadores conservados, como los operadores de impulso y carga, se identifican a menudo con el
Generadores de las transformaciones correspondientes bajo las cuales el operador de acción es invari-
ant [1, 3, 11, 12]. Esto lleva a una serie de relaciones de conmutación entre los componentes
de estos operadores y entre ellos y los operadores de campo. Las relaciones de la carta
conjunto son conocidos/referidos como las relaciones de Heisenberg o ecuaciones. Ambos tipos de comuta-
las relaciones entre las regiones son de origen geométrico puro y, en consecuencia, son completamente
el formalismo lagrangiano; una de las razones es que la identificación mencionada es, en
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 15
general, inaceptable y se puede llevar a cabo sólo en algún subconjunto de Hilbert del sistema
espacio de los estados [23, 24]. Por lo tanto su validez en una teoría pura lagrangia es cuestionable
y debe verificarse [11]. Sin embargo, las relaciones consideradas son condiciones más débiles que
la identificación de los operadores correspondientes y existen pruebas fehacientes de que estos
las relaciones deben ser válidas en una teoría de campo cuántico realista [1,11]; por ejemplo, la computatividad debe ser
entre el impulso y los operadores de carga (véase más abajo (5.18) expresa el hecho experimental
que el 4-momento y la carga de cualquier sistema son simultáneamente cantidades mensurables.
Se conoce [11], en un enfoque Lagrangiano puro, las ecuaciones de campo, que son generalmente
identificados con el Euler-Lagrange, 14 son las únicas restricciones a los operadores de campo. Además,
estas ecuaciones no determinan exclusivamente los operadores de campo y la letra se puede expresar
a través de los operadores de creación y aniquilación. Puesto que los últimos operadores se quedan completamente
arbitrario por un formalismo lagrangiano puro, uno es libre de imponerles cualquier sistema de
restricciones compatibles. Los ejemplos más conocidos de este tipo son los famosos canónicos
(anti)relaciones de conmutación y su generalización, la llamada paracommutación rela-
ciones [16,18]. En general, el problema de la compatibilidad de dicha filial con el Lagrangian
formalismo sistema de restricciones con, por ejemplo, las relaciones Heisenberg es abierto y
requiere una investigación particular [11]. Por ejemplo, incluso la (anti)commutación canónica
las relaciones para el campo electromagnético en el calibre Coulomb son incompatibles con el Heisenberg
Ecuación que implica el operador de impulso angular (total) a menos que la simetría del calibrador de este
campo se tiene en cuenta [11, § 84]. Sin embargo, las relaciones de (para)commutación son, por
la estructura, compatible con las relaciones de Heisenberg en relación con el operador de impulso (véase [16]
o por debajo del subsecto. 6.1). El enfoque ordinario va a ser impuesto un sistema de ecuaciones sobre
los operadores de creación y aniquilación y, a continuación, comprobar su compatibilidad con, por ejemplo,
las relaciones de Heisenberg. En las próximas secciones investigaremos la situación opuesta:
suponiendo la validez de (algunas de) las ecuaciones de Heisenberg, las posibles restricciones sobre
los operadores de creación y aniquilación serán explorados. Para este propósito, a continuación brevemente
revisar las relaciones de Heisenberg y otras relacionadas con ellos.
Considerar un sistema de campos cuánticos i(x), i = 1,......... N, donde i(x) denotan la
componentes de todos los campos (y sus conjugados ermitaños), y P, Q
impulso, carga y (total) operadores de impulso angular, respectivamente. El Heisenberg
las relaciones/ecuaciones de estos operadores son [1, 3, 11,12]
[ i(x), P] = i~
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(5.1)
[ i(x), Q] = e( i)q i(x) (5.2)
[ i(x), M ] = ix i(x)− x i(x) i~
i′(x). (5.3)
Aquí: q = const es la carga de los campos, e( i) = 0 si
i = i, e( i) = ±1 si
i 6 = i con
e( i)+e(
i ) = 0, y las constantes I
i-Ii = −Ii
i caracterizar las propiedades de transformación
de los operadores de campo bajo 4 rotaciones. (Si Ł( i) 6= 0, es una convención si poner
(( i) = +1 o فارسى( i) = −1 para un i fijo.)
Quisiéramos hacer algunas observaciones sobre (5.3). Desde su r.h.s. es una suma de dos operadores,
la primera (segunda) caracterización de las propiedades de impulso angular orbital puro (spin) de
el sistema considerado, la idea surge para dividir (5.3) en dos ecuaciones independientes, una
involucrando al operador de impulso angular orbital y otro referente al angular de giro
operador de impulso. Esto se apoya en la observación de que, al parecer, no se conoce ningún proceso
para transformar el momentum angular orbital en spin uno y v.v. (sin destruir el
14 Recuerda, hay lagrangianos cuyas ecuaciones clásicas Euler-Lagrange son identidades. Sin embargo, su
tratamiento correcto y riguroso [22] revela que implican ecuaciones de campo que son matemáticamente correctas
y físicamente sensato.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 16
system). Por lo tanto, se puede suponer la existencia de los operadores M
• De tal manera que:
[ i(x), Mсo(x)} = ix i(x)− x i(x)} (5.4)
[ i(x), M
(x) (5.5)
M = M (5.6)
Sin embargo, como demuestran los cálculos particulares [5,14,15], ni el giro (resp. orbital)
ni el giro (resp. orbital) operador de impulso angular es un candidato adecuado para M
(resp. Mûorlö). Si asumimos la validez de (5.1), entonces las ecuaciones (5.4) y (5.5) pueden ser
satisfecho si elegimos
(x) : = xμ P − x/ P (5,7)
(x) = {xμ P − x/ P (5.8)
con M satisfaciendo (5.3). Estos operadores no son los conservados. Esa representación
está de acuerdo con las ecuaciones (3.12), según las cuales el operador (5.7) entra adi-
tily en las expresiones para el operador orbital.15 El sentido físico del operador (5.7)
es que representa el impulso angular orbital del sistema debido a su movimiento como un
Todo. Respectivamente, el operador (5.8) describe el momento angular del sistema como resultado
de su movimiento interno y/o estructura.
Dado que el impulso angular de giro (orbital) está asociado con la estructura (movimiento)
de un sistema, en el operador (5.8) se mezclan el giro y el momento angular orbital. Estos
las cantidades pueden separarse completamente a través de las siguientes representaciones de los operadores
M. M. y M.
En la imagen del impulso (cuando (5.1) se mantiene)
M. = xμ P. − xμP. + Lint. (5.9)
M.P. = M. − (xμ P. − xμ P.μ)− Lint., (5.10)
donde Lint® describe el momento angular orbital «interno» del sistema considerado, y
depende del Lagrangian que hemos empezado. Por lo general dicho, Lint es la parte de la
Operador de impulso angular orbital que contiene derivados de la creación y aniquilación
operadores. En particular, en el caso de los lagrangianos L′, L′′ y L® (véase la secc. 3), las formas explícitas
de los operadores (5.9) y (5.10), respectivamente:
M′ = xμP − x / P
2 (1 + )
2j+10m(10j)
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• a+s (k)
m2c2+k2
(5.11a)
M′′ = xμP − x / P
2 (1 + )
2j+10m(10j)
a+s (k)
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as (k)
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as (k)
m2c2+k2
(5.11b)
15 Esto es evidente en la imagen de impulso del movimiento, en la que xμ representa x0μ en (3,12) — véase [13-15].
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 17
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
4(1 + )
2j+10m(10j)
as (k)
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• a−s (k)
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as (k) + a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• a+s (k)
m2c2+k2
(5.11c)
M′ spoe =
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
(k) + l
ss′,−
* (k))a
s k) a-s′ k)
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
* (k))a
s k) a+s′(k)
(5.12a)
M′′ spoe = l
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
(k) + l
ss′,+
* (k))a
k) as (k)
+ (lss)
* (k) + (e)
ss′,−
* (k))a
k) as (k)
(5.12b)
Más sà =
(−1)j−1/2j~
2 (1 + )
2j+10m(11j)
s,s′=1
(k) + l
ss′,−
(k)[a]
s k), a
s′(k)]
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
(k)[a]
s k), a
k)]
(5.12c)
Obviamente (véase secc. 2), las ecuaciones (5.12) tienen la misma forma en la imagen de Heisenberg en
los términos de los operadores (2.9) (sólo se deben añadir tilos sobre M y a), pero el
ciones (5.11) cambian sustancialmente debido a la existencia de derivados de la creación y
operadores de aniquilación en ellos [13-15]:
M o =
2 (1 + )
2j+10m(10j )
s (k)
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s (k)
m2c2+k2
(5.13c)
A partir de (5.13) y (5.12) es evidente que los operadores M
Se conservarán los datos así definidos.
(contrariamente a (5.7) y (5.8)) y no dependen de la validez de la
ciones (5.1) (contrario a las expresiones (5.11) en el cuadro de impulso).
El problema de si los operadores (5.12) y (5.13) satisfacen las ecuaciones (5.4)
y (5.5), respectivamente, se considerarán en la secc. 6.
Hay una diferencia esencial entre (5.4) y (5.5): la ecuación (5.5) depende de
las propiedades particulares de los operadores i(x) por debajo de 4 rotaciones a través de los coeficientes I
(véase (5.25) infra), mientras que (5.4) no depende de ellos. Esto se refleja explícitamente en (5.11)
y (5.12): el anterior conjunto de ecuaciones es válido independientemente de la naturaleza geométrica de la
campos considerados, mientras que el último depende de él a través de las funciones ‘spin’ (polarización)
ss′,±
k) y l)
ss′,±
* (k). Observaciones similares (5.3), por una parte, y (5.1) y (5.2), sobre
otra mano: la forma particular de (5.3) depende esencialmente de las propiedades geométricas
de i(x) bajo 4 rotaciones, las otras ecuaciones son independientes de ellas.
También hay que señalar, la relación (5.3) no se sostiene para un canon
campo electromagnético en el medidor de Coulomb a menos que algunos términos adicionales que su r.h.s., refleja
la simetría del gálibo del campo, se tendrá en cuenta [11, § 84].
Como se dijo anteriormente, las relaciones (5.1)–(5.3) son de origen geométrico puro. Sin embargo,
la última discusión, concerniente a (5.4)–(5.8), revela que los términos en llaves en (5.3) deben ser
conectado con el operador de impulso en el enfoque (puro) Lagrangian. Más precisamente,
en el fondo de las ecuaciones (3.11a)–(3.12c), la relación de Heisenberg (5.3) debería ser
sustituida por
[ i(x), M ] = xμ[ i(x), P ] − x v [ i(x), P] + i~
* i′(x), (5.14)
que es equivalente a (5.3) si (5.1) es verdad. Una ventaja de la última ecuación es que es válida
en cualquier imagen de movimiento (en la misma forma) mientras que (5.3) sólo se mantiene en la imagen de Heisenberg.16
Obviamente, (5.14) es equivalente a (5.5) con M
El otro tipo de relaciones geométricas mencionadas al principio de esta sección son
conectado con las relaciones básicas que definen el álgebra de Lie del grupo Poincaré [7, pp. 143–
147], [8, secc. 7.1]. Requieren el cumplimiento de las siguientes ecuaciones entre las com-
los ponentes P del impulso y M de los operadores de impulso angular [3, 5, 7, 8]:
[ P, P ] = 0 (5.15)
[M, P] = −i~( P − P). (5.16)
[M, M] = -i~
M − M − M + M
. (5.17)
Nos gustaría prestar atención al signo menos en el multiplicador (-i~) en (5.16) y (5.17)
con respecto a las referencias anteriores, donde i~ se encuentra en lugar de −i~ en estas ecuaciones. Cuándo
16 En otras imágenes de movimiento, por lo general, términos adicionales en la r.h.s. de (5.3) aparecerá, es decir. el funcional
forma de los r.h.s. de (5.3) no es invariante bajo los cambios de la imagen del movimiento, contrariamente a (5.14).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 19
(una representación de) el Lie álgebra del grupo Poincaré se considera, esta diferencia en el
signo es insignificante ya que puede ser absorbido en la definición de M. Sin embargo, el cambio
del signo del operador de momentum angular, M 7→ −M, resultará en el cambio
i~ 7→ ~ i~ en los r.h.s. de (5.3). Esto significa que las ecuaciones (5.15), (5.16) y (5.3), cuando
considerados juntos, requieren una elección adecuada de los signos del multiplicador i~ a su derecha
los lados de la mano como estos signos cambian simultáneamente cuando M es reemplazado con −M. Desde
ecuaciones (5.3), (5.16) y (5.17) sostienen, cuando M se define de acuerdo con el Noether
teorema y las relaciones ordinarias (anti)commutación son válidas [13-15], aceptamos estos
ecuaciones en la forma en que están escritas arriba.
A las relaciones (5.15)–(5.17) deben añadirse las ecuaciones [3, p. 78]
[ Q, P] = 0 (5.18)
[ Q, M ] = 0, (5.19)
que completan el álgebra de observables y expresan, respectivamente, la traducción y
la invarianza rotacional del operador de carga Q; físicamente significan que la carga y
el impulso o la carga y el impulso angular son simultáneamente cantidades medibles.
Dado que las propiedades de giro de un sistema son generalmente independientes de su carga o impulso,
se puede esperar también la validez de las relaciones17
[ S, P] = 0 (5,20)
[ S, Q] = 0. (5.21)
Pero, como el giro describe, en un sentido, algunas de las propiedades rotacionales del sistema,
igualdad como [ S, L] = 0 no es probable que se mantenga. De hecho, las consideraciones en [13-15] revelan
que (5.20) y (5.21), pero no la última ecuación, son verdaderos en el marco del Lagrangian
formalismo con añadido a él relaciones estándar (anti)commutación. Aviso, si (5.20) y (5.21)
entonces, respectivamente, (5.16) y (5.19) son equivalentes a
[ L, P] = −i~( P − P). (5.22)
[ Q., L. ] = 0. (5.23)
Es intuitivamente claro, no todas las relaciones de conmutación (5.1)–(5.3) y (5.15)–(5.21)
son independientes: si Dś denota algunos de los operadores P, Qś, M, S o L y el
conmutadores [ i(x), D], i = 1,..., N, se conocen, entonces, en principio, se puede calcular el
conmutadores [( 1(x),. ........................................................................ .., N (x)) es, por ejemplo, cualquier
función/funcional bilineal en 1(x),. .., N (x); para probar este hecho, uno debe aplicar el
identidad [A,B + C] = [A,B] • C + B • [A,C] un número adecuado de veces. En particular, si
Denomina dos operadores (distintos) de las variables dinámicas, y [ i(x), D̃1]
se conoce, entonces el conmutador [ D1, D2] se puede calcular explícitamente. Por esta razón, nosotros
puede esperar que:
i) La ecuación (5.1) implica (5.15), (5.16), (5.18), (5.20) y (5.22).
ii) La ecuación (5.2) implica (5.18), (5.19), (5.21) y (5.23).
iii) La ecuación (5.3) implica (5.16), (5.17) y (5.19).
Además, (5.3) puede, posiblemente, implicar ecuaciones como (5.17) con S o L forM, con una excepción
de M en los l.h.s., es decir,
[ S, M ] = -i~
# S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S
[ L, M ] = −i~
# L # # L # # L # # L # # L # L # # L # # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L L # L # L # L L # L L # L # L # L # L L # L # L # L # L L L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L
} (5.24)
17 Recordad, S (resp. L) es el giro conservado (resp. operador orbital), no el generalmente no conservado
spin (resp. operador de impulso angular orbital [23].
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países de Europa central y oriental 20
La validez de las aserciones i)–iii) anteriores para campos escalares, espinos y vectores libres, cuando se especifican:
tily
i(x) 7→ (x), (x) Ii
e( ) = 0 e( ) = −e( ) = +1 (5,25a)
i(x) 7→ (x), (x) Ii
7→ I = I = −
e( ) = −e( ) = +1 (5.25b)
i(x) 7→ (x), (x) Ii
7→ I = I = − e( ) = −e( ) = +1,
(5.25c)
donde := i
[, ] con siendo el Dirac γ-Matrices [1, 25], se prueba en [13-15],
respectivamente. Además, en Loc. cit. se demuestra que las ecuaciones (5.24) sostienen para escalar y vector
campos, pero no para un campo de spinor.18
Así, vemos que las relaciones de Heisenberg (5.1)–(5.3) son más fuertes que la conmutación
relaciones (5.15)–(5.23), cuando se impuso al formalismo lagrangiano como restricciones subsidiarias.
6. Tipos de posibles relaciones de conmutación
En un sentido amplio, por una relación de conmutación entenderemos cualquier relación algebraica
entre los operadores de creación y aniquilación impuestos como restricción subsidiaria a la
Formalismo lagrangiano. En un sentido estrecho, las relaciones de conmutación son las ecuaciones (6.13),
con = −1, escrito a continuación y satisfecho por los operadores de creación y aniquilación del osito. As
las relaciones anticonmutaciones se conocen las ecuaciones (6.13), con فارسى = +1, escrito a continuación y
satisfecho por los operadores de creación y aniquilación fermi. Los dos últimos tipos de relaciones
se refieren a menudo como las relaciones de conmutación bilineal [18]. Teóricamente también son posibles
relaciones trilineales de conmutación, siendo un ejemplo las relaciones de paracommutación [16, 18]
representado a continuación por ecuaciones (6.18) (o (6.20)).
En general, las relaciones de conmutación deben ser postuladas. Alternativamente, ellos
podría derivarse de (equivalentes a ellos) diferentes supuestos añadidos al Lagrangian
formalismo. El propósito de esta sección es explorar posibles clases de conmutación
relaciones, que se derivan de algunas restricciones naturales al formalismo lagrangiano que son
consecuencias de las consideraciones de las secciones anteriores. Se prestará especial atención
sobre algunas consecuencias de la carga simétrica Lagrangians como los campos libres poseen tal
simetría [1, 3, 11,12].
Como se señala en la Sección 3, las ecuaciones Euler-Lagrange para los lagrangianos L, L y L
coinciden y, en la teoría cuántica del campo, el papel de estas ecuaciones se debe señalar el
grados independientes de libertad de los campos en la forma de los operadores de creación y aniquilación
a±s (k) y a
s (k) (que son idénticos para L, L y L). Mayor especialización de estos centros
los operadores son proporcionados por las relaciones de conmutación (en sentido amplio) que desempeñan un papel de campo
ecuaciones en esta situación (con respecto a los operadores mencionados).
Antes de continuar, nos gustaría simplificar nuestra notación. Como una variable de giro, s dicen, es
siempre acoplado con un 3-momentum uno, k decir, vamos a utilizar las letras l, m y n para denotar
pares como l = (s,k), m = (t,p) y n = (r, q). Equipados con esta convención, escribiremos,
p. ej., a±l para una
s k) y a
l por a
s k). Nosotros establecemos: lm := st
3(k−p) y un signo de suma como
Debe entenderse como
d3k, donde el rango de la variable de polarización s será
ser claro desde el contexto (véase, por ejemplo, (3.9)–(3.12).
18 El problema de la validez de las aserciones i)–iii) o ecuaciones (5.24) en el caso general de la arbitrariedad
campos (Lagrangians) no es un tema de la presente obra.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 21
6.1. Restricciones relacionadas con el operador de impulso
En primer lugar, examinemos las consecuencias de la relación de Heisenberg (5.1) que implica la
operador de impulso. Puesto que en términos de creación y aniquilación operadores se lee [1,13-15]
[a±s (k), Pμ] = kμa±s (k) [as (k), Pμ] = kμas (k) k0 =
m2c2 + k2, (6.1)
las ecuaciones de campo en términos de los operadores de creación y aniquilación para los lagrangianos (3.1),
(3.3) y (3.4) respectivamente (véanse [13-15] o (6.1) y (3.9)]:
2j+10m(10j )
m2c2+q2
a±s (k), a
t (q) • a−t (q) + • a
t (q) a+t (q)
± (1 + )a±s (k)
d3q = 0
(6.2a)
2j+10m(10j )
m2c2+q2
as (k), a
t (q) • a−t (q) + • a
t (q) a+t (q)
± (1 + )as (k)
d3q = 0
(6.2b)
2j+10m(10j )
m2c2+q2
a±s (k), a
t q) a
t (q) + Ła
t q) a
t q)
± (1 + )a±s (k)
d3q = 0
(6.3a)
2j+10m(10j )
m2c2+q2
as (k), a
t q) a
t (q) + Ła
t q) a
t q)
± (1 + )as (k)
d3q = 0
(6.3b)
2j+10m(10j )
m2c2+q2
a±s (k), [a
t q), a
t (q)] + [a
t q), a
t (q)]
± (1 + )a±s (k)
d3q = 0
(6.4a)
2j+10m(10j)
m2c2+q2
as (k), [a
t q), a
t (q)] + [a
t q), a
t (q)]
± (1 + )as (k)
d3q = 0,
(6.4b)
donde j y ♥ se dan a través de (3.7), se define la función de conmutación generalizada [·, ·]
por (4.14), y los índices de polarización toman los valores
s, t = 1,...........................................................................................................................................................................................................................................................
1 para j = 0 o para j = 1
y m = 0
1, 2 para j = 1
y m 6= 0 o para j = 1 y m = 0
1, 2, 3 para j = 1 y m 6 = 0
(6.5)
Las versiones "b" de las ecuaciones (6.2)–(6.4) son consecuencias de las versiones "a" y la
ecualidades
(a±l)
† = a
l ) = a
l (6.6)
[A,B]η
= η[A†, B†]η para [A,B]η = η[B,A]η η = ±1. (6.7)
Aplicar (6.2)–(6.4) y la identidad
[A,B,C,C] = [A,B,N,N,C,N,N,N,N,N,N,N,N,N = η = ±1 (6,8)]
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 22
para la elección η = −1, se puede demostrar mediante un cálculo directo que
[ P, P ] = 0 [ Q, P] = 0 [ S, P] = 0
[L, P] = −i P − P [M, P] = −i P − P,
(6.9)
donde los operadores P, Q, S, L, y M denotan el momento, la carga, el giro,
operadores de impulso orbital y angular total, respectivamente, del sistema considerado y
se calculan a partir de uno y el mismo Lagrangian inicial. Este resultado confirma la suposición,
hecho en Secc. 5, que la afirmación (i) antes (5.24) se mantiene para los campos investigados aquí.
A continuación estudiaremos sólo aquellas soluciones de (6.2)–(6.4) para las cuales los enteros en ellos
Desaparece, es decir. reemplazaremos los sistemas de ecuaciones integrales (6.2)–(6.4) por el siguiente
sistemas de ecuaciones algebraicas (véase la convención anterior en los índices l y m y no
suma sobre índices repetidos en un mismo nivel:
a±l, a
m a-m + a-am a+m
± (1 + )lma±l = 0 (6,10a)
l, a
m a-m + a-am a+m
± (1 + Ł)lmal = 0 (6,10b)
a±l, a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
± (1 + l)lma±l = 0 (6.11a)
l, a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
± (1 + Ł)lmal = 0 (6.11b)
a±l, [a
m, a
m] + [a
± 2(1 + l)lma±l = 0 (6.12a)
, [am, a
m] + [a
± 2(1 + )lmal = 0. (6.12b)
Parece que estas son las relaciones de conmutación trilineales más generales y sensibles que uno puede
imponer a los operadores de creación y aniquilación.
En primer lugar, debemos mencionar que las relaciones bilineales estándar de conmutación, a saber. [1,
3, 11 a 15]
[a±l, a
m] = 0 [a
l, a
m ] = 0
[al, a
m] = (±1)2j+1lm idF [a
l, a
m ] = (±1)2j+1lm idF
[a±l, a
m ] = 0 [a
l, a
m] = 0
, am ] = (±1)2j+1lm idF [a
, a±m] = (±1)2j+1lm idF, (6.13)
proporcionar una solución de cualquiera de las ecuaciones (6.10)–(6.12) en un sentido que, debido a (3.7)
y (6.8), con η = cualquier conjunto de operadores que satisfagan (6.13) convierte (6.10)–(6.12) en
identidades.
Además, esta conclusión sigue siendo válida también si se tiene en cuenta el pedido normal,
i.e. si, en este caso particular, los cambios
m a+m 7→ a+m
m y a
m â € a
m 7→ am a−m
se fabrican en (6.10)–(6.12).
Ahora vamos a demostrar cómo las relaciones trilineales (6.12) conducen a la paracommuta-
Relaciones con los países en vías de desarrollo. Las ecuaciones (6.12) pueden dividirse en diferentes tipos de conmutación trilineal
las relaciones en infinitas maneras. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones
a±l, [a
± (1 + l)lma±l = 0 (6,14a)
a±l, [a
m, a
± (1 + )lma±l = 0 (6,14b)
, [a+m, a
± (1 + Ł)lmal = 0 (6,14c)
l, [a
m, a
± (1 + Ł)lmal = 0 (6,14d)
proporciona una solución evidente de (6.12). Sin embargo, es un álgebra simple para ser visto que
estas relaciones son incompatibles con las relaciones estándar (anti)commutación (6.13) y,
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 23
en este sentido, no son adecuados como restricciones subsidiarias al formalismo lagrangiano. Por
nuestro propósito, las ecuaciones
a+l, [a
+ 2lma
l = 0 (6,15a)
a+l, [a
m, a
+ 2lma
l = 0 (6,15b)
a–l, [a
− 2lma−l = 0 (6.15c)
a–l, [a
m, a
− 2lma−l = 0 (6,15d)
y su conjugado ermitaño proporciona una solución de (6.12), que es compatible con (6.13),
i.e. Si (6.13) se mantienen, las ecuaciones (6.15) se convierten en identidades.
La idea de la paracuantización está en la siguiente generalización de (6.15)
a+l, [a
+ 2lna
m = 0 (6.16a)
a+l, [a
m, a
+ 2lna
m = 0 (6.16b)
a–l, [a
− 2lma−n = 0 (6.16c)
a–l, [a
m, a
− 2lma−n = 0 (6,16d)
que se reduce a (6.15) para n = m y es una generalización de (6.13) en un sentido que cualquier conjunto
de los operadores que satisfacen (6.13) se convierte en identidades (6.16), lo contrario es generalmente no
válida.19
Supongamos que el campo considerado consiste en un único tipo de partículas, por ejemplo. electrones o
fotones, creados por b
y aniquilado por bl := a
. Entonces la ecuación Hermitiano
conjugado a (6.15a)
[bl, [b
m, bm]] = 2lmbm. (6.17)
Esta es la relación principal a partir de la cual comienza el artículo [16]. La paracommutación básica
las relaciones son [16-18,26]:
[bl, [b
m, bn]lmbn (6.18a)
[bl, [bm, bn]]. = 0. (6.18b)
El primero de ellos es una generalización (versión más fuerte) de (6.17) sustituyendo el segundo índice
m con una arbitraria, decir n, y la segunda se añade (por “manos”) en la teoría como
una suposición adicional. Obviamente, (6.18) son una solución de (6.15) y por lo tanto de (6.12)
en el caso considerado de un campo formado por una sola clase de partículas.
Las ecuaciones (6.15) contienen también la versión relativista de la paracommutación rela-
ciones, cuando debe respetarse la existencia de antipartículas [18, sec. 18.1). De hecho, notando
que las partículas del campo (resp. antipartículas) se crean por b
:= a+
(resp. c
) y
aniquilado por bl := a
(resp. cl := a
), de (6.15) y el Hermitano conjugado a ellos
ecuaciones, obtenemos
[bl, [b
m, bm]lmbm [cl, [c]
m, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm., cm, cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm.
, [c†m, cm]] = −2lmb†m [c
, [b†m, bm]]. = −2lmc†m. (6.19b)
Generalizando estas ecuaciones de una manera similar a la transición de (6.17) a (6.18), nosotros
obtener las relaciones relativistas de paracommutación como (cf. (6.16))
[bl, [b
m, bn]] = 2lmbn [bl, [bm, bn]] = 0 (6,20a)
[cl, [c
m, cn]lcn [cl, [cm, cn]lcn] = 0 (6,20b)
l, [c
m, cn]. = −2lnb†m [c
l, [b
m, bn]. = −2lnc†m. (6.20c)
19 Otras generalizaciones de (6.15) también son posibles, pero no están de acuerdo con (6.13). Además, es fácil
para ser probado, cualquier otro arreglo (no trivial) de los índices en (6.16) es incompatible con (6.13).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 24
Las ecuaciones (6.20a) (resp. (6.20b)) representan las relaciones de paracommutación para las
partículas (resp. antipartículas) como objetos independientes, mientras que (6.20c) describen un relativista puro
efecto de alguna “interacción” (o sus ausencias) entre las partículas del campo y las antipartículas y
fija las relaciones de paracommutación que involucran a los bl’s y cl’s, como se señala en [18, p. 207]
(donde bl es denotado por al y cl por bl). Las relaciones (6.17) y (6.20) para فارسى = +1 (resp.
Se conoce como la parabosa (resp. parafermi) relaciones de conmutación [18]. Esto
la terminología es natural también con respecto a las relaciones de conmutación (6.16), que
se denominarán también las relaciones de paracommutación.
Como se señaló por primera vez en [16], las ecuaciones (6.13) proporcionan una solución de (6.20) (o (6.18) en el
caso no relativista) pero las últimas ecuaciones admiten también un número infinito de otras soluciones.
Además, tomando conjugaciones ermitañas de (algunas de) las ecuaciones (6.18) o (6.20) y
aplicación de identidades jacobi generalizadas, como
α[[A,B]®, C]η + [[A,C]®/, B]®/η − α2[[B,C]/α, A]1/α = 0 6= 0
β[A, [B,C]α, ] + γ[B, [C,A]β, ] + α[C, [A,B]γ, ] = 0 α, β, γ = ±1
[[A,B]η, C]− + [[B,C]η, A]− + [[C,A]η, B]− = 0 η = ±1
[[A,B], [C,D]η]− = [[A,B], C]−,D]η + η[[A,B],D]−, C]1/η η 6= 0,
(6.21)
uno puede obtener una serie de otras relaciones de (para)commutación a las que se refiere el lector
a [16,18,26].
Por supuesto, las relaciones de paracommutación (6.16), en particular (6.18) y (6.20) como su
versiones más fuertes, no dar la solución general de las relaciones trilineales (6.12). Por
ejemplo, uno puede reemplazar (6.12) con las ecuaciones
a+l, [a
m, a
n ]l+ + [a
+ 2,1 + lna
m = 0 (6,22a)
a–l, [a
m, a
n ]l+ + [a
− 2 (1 + l)lma−n = 0. (6.22b)
y su conjugado ermitaño, que en términos de los operadores bl y cl introducido anteriormente
[bl, [b
m, bn] + [c
m, cm]] = 2,1 + lmbn (6,23a)
[cl, [b
m, bn] + [c
m, cm]] = 2 (1 +
y complementar estas relaciones con ecuaciones como (6.18b). Obviamente, las ecuaciones (6.16) con-
ver (6.22) en identidades y, en consecuencia, las relaciones (estándar) de paracommutación (6.20)
proporcionar una solución de (6.23). En la base de (6.23) u otras ecuaciones similares que pueden ser
se obtiene generalizando los de (6.10)–(6.12), más investigación sobre clases particulares de
relaciones trilineales de conmutación se puede hacer, pero, sin embargo, esto no es un tema del presente
trabajo.
Prestemos atención ahora al hecho de que las ecuaciones (6.10), (6.11) y (6.12) son generalmente
diferentes (independientemente de la existencia de algunas conexiones entre sus soluciones). La causa de
Esto es que los operadores de impulso para los Lagrangians L′, L′′ y L® son en general
diferentes a menos que se añadan algunas restricciones adicionales al formalismo lagrangiano (ver
Secc. 4). Una condición necesaria y suficiente para que (6.10)–(6.12) sea idéntica es
[a±l, [a
m, a
m] − [a+m, am ]] = 0, (6.24)
que ciertamente es válido si la condición (4.9′), a saber.
[am, a
m] − [a+m, am ] = 0, (6.25)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 25
garantizar la singularidad del operador de impulso son, espera. Si se adopta la norma
relaciones bilineales de conmutación (6.13), luego (6.25), y por lo tanto (6.24), es idénticamente válida, pero
en el marco, por ejemplo, de las relaciones de paracommutación (6.16) (o (6.20) en otras formas)
las ecuaciones (6.25) deben postularse para garantizar la singularidad del operador de impulso y
por lo tanto de las ecuaciones de campo.
En la base de (6.10) o (6.11) uno puede inventar otros tipos de relaciones de conmutación,
que no serán investigados en este documento porque nos interesaremos principalmente en el
caso cuando (6.10), (6.11) y (6.12) son idénticos (véase (6.24)) o, más generalmente, cuando
Las variables dinámicas son únicas en el sentido apuntado en la Secc. 4.
6.2. Restricciones relacionadas con el operador de la tarifa
Las consecuencias de las relaciones de Heisenberg (5.2), que involucran al operador de la carga por un cargo
campo, q 6= 0 (y, por lo tanto, = 0 – véase (3.7)), se examinará en esta subsección. En términos de
los operadores de creación y aniquilación es equivalente a [1, 13-15]
[a±s (k), Q] = qa±s (k) [as (k), Q] = −qas (k), (6.26)
los valores de los índices de polarización especificados por (6.5). Sustituyendo aquí (3.10), nosotros
ver que, para un campo cargado, las ecuaciones de campo para los lagrangianos L′, L′′ y L® (véase
Secc. 3) respectivamente:
2j+10m(10j )
d3p{[a±s (k), a
t p) a) a) p) a)
t (p) • a+t (p)] − a±s (k)stØ3(k − p)} = 0
(6.27a)
2j+10m(10j )
d3p{[as (k), a
t p) a) a) p) a)
t (p) • a+t (p)] + as (k)
(6.27b)
2j+10m(10j )
d3p{[a±s (k), a+t (p)
t (p)− (a) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)
t (p)] + a
s k)
3(k − p)} = 0
(6.28a)
2j+10m(10j )
d3p{[as (k), a+t (p)
t (p)− (a) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)
t (p)] − as (k)
(6.28b)
2j+10m(10j )
d3p{[a±s (k), [a
t p), a
t (p)]- − [a+t (p), a
t (p)] − 2a±s (k)st3(k − p)} = 0
(6.29a)
2j+10m(10j )
d3p{[as (k), [a
t p), a
t (p)]- − [a+t (p), a
t (p)/23370/] + 2a
s k)
3(k − p)}=0.
(6.29b)
Usando (6.27)–(6.29) y (6.8), con η = ♥ = −1, o simplemente (6.26), uno puede verificar fácilmente
la validez de las ecuaciones
[P, Q] = 0 [L, Q] = 0
[ S, Q. ] = 0 [M., Q. ] = 0,
(6.30)
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donde los operadores P, Q, S, L y M se calculan a partir de uno y el mismo
Lagrangian inicial según (3.9)–(3.12). Este resultado confirma la validez de la afirmación ii)
antes (5.24) para los campos considerados.
Después de las consideraciones anteriores, en relación con el operador de impulso, ahora vamos a
sustituir los sistemas de ecuaciones integrales (6.27)–(6.29) por los siguientes:
sistemas de ecuaciones algebraicas (ecualizando a cero los enteros en (6.27)–(6.29)):
a±l, a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− Alma±l = 0 (6,31a)
, am • a−m • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+ lma
= 0 (6,31b)
a±l, a
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
+ lma
l = 0 (6,32a)
, a+m â € € TM am â € TM am â € TM am
− Almal = 0 (6,32b)
a±l, [a
m, a
[a+m, am]
− 2lma±l = 0 (6,33a)
, [am, a
[a+m, am]
+ 2lma
= 0. (6.33b)
Estas relaciones de conmutación trilineales son similares a (6.10)–(6.12) y, en consecuencia, pueden ser
tratada de manera análoga.
Invocando (6.8), es un álgebra simple a probar que el estándar bilineal commu-
las relaciones de la tensión (6.13) convierten (6.31)–(6.33) en identidades. Así (6.13) son la versión más fuerte
de (6.31)–(6.33) y, en este sentido, cualquier tipo de relaciones de conmutación, que proporcionan un
solución de (6.31)–(6.33) y es compatible con (6.13), es un candidato adecuado para general-
rizing (6.13). Para ilustrar esa idea, procederemos con (6.33) de una manera similar a la
«derivación» de las relaciones de paracommutación a partir del (6.12).
Obviamente, las ecuaciones (cf. (6.14) con = 0, como ahora q 6= 0)
, [a+m, a
m ]] + ♥lma
m = 0 (6,34a)
, [am, a
m]]. − Alma±m = 0 (6,34b)
y su conjugado ermitaño proporcionar una solución de (6.33), pero, como un cálculo directo muestra,
no están de acuerdo con las relaciones estándar (anti)commutación (6.13). Una solución de (6.33)
compatible con (6.13) se da por las ecuaciones (6.15), con = 0 como el campo considerado es
carga uno — véase (3.7). Por lo tanto, las ecuaciones (6.16), con = 0, también proporcionan un compatible
con (6.13) solución de (6.33), de donde inmediatamente sigue que la paracommutación
las relaciones (6.20), con = 0, convertir (6.33) en identidades. Para concluir, podemos decir que el
las relaciones de paracommutación (6.20), en particular su caso especial (6.13),
taneous validez de las relaciones de Heisenberg (5.1) y (5.2) gratis escalar, spinor y vector
campos.
Similarmente a (6.22), uno puede generalizar (6.33) a
a+l, [a
m, a
# [a+m, an ] #
- 2lna+m = 0 (6,35a)
a–l, [a
m, a
# [a+m, an ] #
− 2lma−n = 0. (6.35b)
que las ecuaciones están de acuerdo con (6.13), (6.15), (6.16) y (6.20), pero generalmente no están de acuerdo
con (6.22), con = 0, a menos que las ecuaciones (6.16), con = 0, mantener.
De manera más general, podemos afirmar que (6,33) y (6,12), con ♥ = 0, mantener simultáneamente si
y sólo si (6.15), con = 0, se cumple. Desde aquí, de nuevo, se deduce que el paracommu-
Las relaciones de la tensión garantizan la validez simultánea de (5.1) y (5.2).
Digamos ahora algunas palabras sobre el problema de la singularidad para las ecuaciones de Heisenberg
que impliquen al operador de carga. Los sistemas de ecuaciones (6.31)–(6.33) son idénticos iff
a±l, [a
m, a
m] + [a
M ]
= 0, (6,36)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 27
que, en particular, se cumple si la condición
[am, a
m] + [a
m ] = 0, (6.37)
garantizar la singularidad del operador de carga (véase (4.10′)), es válido. Evidentemente, equa-
ciones (6.36) y (6.24) son compatibles
a+l, [a
m, a
a–l, [a
m, a
= 0 (6,38)
que es una forma más débil de (4.15) asegurando la singularidad simultánea del impulso y
operador de carga.
6.3. Restricciones relacionadas con el operador o operadores de impulso angular
Ahora se investigan las restricciones a los operadores de creación y aniquilación.
que se desprenden de las relaciones de Heisenberg (5.3) relativas al operador de impulso angular.
Pueden obtenerse insertando las ecuaciones (3.11) y (3.12) en (5.3). Tal como se indica
en Secc. 5, las igualdades resultantes, sin embargo, dependen no sólo de la particular Lagrangian
empleados, pero también en la naturaleza geométrica del campo considerado; la última dependencia
ser dado explícitamente vía (5.25) y las funciones de polarización
k) y l)
ss′m±
k) (véase
también (3.14)).
Considerar los términos que contienen derivados en (5.3),
L?or? := i~
i(x). (6.39)
Si
k) Denota la imagen de Fourier de i(x), es decir:
i(x) =
d4ke−
kμxμ
k), (6.40)
la imagen de Fourier de (6.39) es
k). (6.41)
Comparando esta expresión con ecuaciones (3.12), vemos que los términos que contienen derivados
en (3.12) debe ser responsable del término (6.39) en (5.3).20 Por esta razón, debemos suponer
que el operador de momentum M admite una representación
M = M
de tal manera que los explotadores de Mсoró y Mс
• satisfacer las relaciones (5.4) y (5.5), respectivamente.
Así reemplazaremos (5.3) con el sistema más fuerte de ecuaciones (5.4)–(5.5). Además,
admitiremos que la forma explícita de los operadores
Se administran a través de (5.13)
y (5.12) para los campos investigados en el presente trabajo.
Consideremos al principio las relaciones ‘orbitales’ de Heisenberg (5.4), que son independientes
de la particular naturaleza geométrica de los campos estudiados. Sustitución (5.13) y (6.40)
en (5.4), usando eso
(±k), con k2 = m2c2, es una combinación lineal de (k) con clásico,
no valorados por el operador, funciones de k como coeficientes [1, 13–15] e introducción para la brevedad del
operador
(k) := kμ
, (6.43)
20 Los términos proporcionales al operador de impulso en (3.12) desaparecen si la creación y la aniquilación
los operadores (2.9) en la imagen de Heisenberg están empleados (véase también [13-15]).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 28
Llegamos a los siguientes sistemas de ecuaciones integro-diferenciales:
2j+10m(10j )
((p) + (q))([s (k), ã
t (p) t (q)
− t (p) t (q)] )
m2c2+p2
= 2(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.44a)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([ ±s (k), ã
t (p) t (q)
− t (p) t (q)] )
m2c2+p2
= 2(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.44b)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([s (k), t (p) ã
t q)
− t (p) â â Ã
t (q)] )
m2c2+p2
= 2(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.45a)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([ ±s (k), t (p)
t q)
− t (p) â â Ã
t (q)] )
m2c2+p2
= 2(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.45 b)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([s (k), [ã)
t (p), ã
t (q)]
+ [t (p), ã
t (q)]
m2c2+p2
= 4(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.46a)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([ ±s (k), [ã
t (p), ã
t (q)]
+ [t (p), ã
t (q)]
m2c2+p2
= 4(1 + ♥)(k)(ã)
s k)), (6.46b)
donde k0 =
m2c2 + k2 se establece después de realizar las diferenciaciones (véase (6.43)). Sígueme.
En cuanto al procedimiento de las consideraciones anteriores, sustituimos el equa-equa integro-diferencial.
ciones (6.44)–(6.46) con las diferencias siguientes:
((m) + (n))([l, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2,1 + lm
(l)(ã)
l ) (6.47a)
((m)(n))([ã
l, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2 (1+)
(l)(ã)
l ) (6.47b)
((m) + (n))([l, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2,1 + lm
(l)(ã)
) (6.48a)
((m)(n))([ã
l, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2 (1+)
(l)(ã)
l ) (6.48b)
((m) + (n)))[l, [ã
m, ã
n l + + [ã
m, ã
n ]]] )
= 4(1 +
(l)(ã)
l ) (6.49a)
((m) + (n))([ã
, [m, ã
n l + + [ã
m, ã
n ]]] )
= 4(1 +
(l)(ã)
(6.49b)
donde hemos puesto (cf. (6.43))
(l) := (k) = kμ
si l = (s,k) (6,50)
y k0 =
m2c2 + k2 se establece después de realizar las diferenciaciones.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 29
Observación. En lugar de (6.47)–(6.49) se pueden escribir ecuaciones similares en las que el operador
(m) o (n) se suprime y el factor +12 o −
, respectivamente, se añade a su derecha
Lados de la mano. Estas manipulaciones corresponden a una integración por partes de algunos de los términos
en (6.44)–(6.46).
La principal diferencia de las relaciones trilineales obtenidas con respecto a las anteriores
considerado anteriormente es que son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden.
Las relaciones (6.49) concuerdan con las ecuaciones (6.16) en un sentido que si (6.16) mantener,
entonces (6.49) llegar a ser idénticamente válido. De hecho, desde
((m) + (n)))
= −2lm(m)(m)
((m) + (n)))
= +2lm
(m)(ã)
(6.51)
a (6,50), (6,43) y la igualdad
d-(x)
f(x) = (x)df(x)
para una función C1 f, la
Aplicación del operador ((m) + (n)) a (6.16) y posterior ajuste n = m
implica (6.49). En particular, esto significa que las relaciones de paracommutación (6.20) y,
Además, las relaciones estándar (anti)commutación (6.13) convierten (6.49) en identidades.
Por lo tanto las relaciones ‘orbitales’ de Heisenberg (5.4) tienen campos escalares, espinos y vectores
satisfacer las relaciones bilineales o para la conmutación.
Cabe señalar que las relaciones de paracommutación no son la única conmutación trilineal
relaciones que son soluciones de (6.49). Como ejemplo, presentaremos las relaciones trilineales
a+l, [a
a+l, [a
m, a
= −(1 + lna+m (6,52a)
a–l, [a
a–l, [a
m, a
= +(1 +
n, (6.52b)
que se reducen a (6.14) para n = m, no están de acuerdo con (6.13), pero convertir (6.49) en identidades
(véase (6.51)). Otro ejemplo es proporcionado por las ecuaciones (6.22), que son compatibles con
las relaciones de paracommutación y, como resultado de (6.51), convertir (6.49) en identidades. Prima
facie se puede suponer que cualquier solución de (6.12) proporciona una solución de (6.49), pero esto es
No es el caso general. Un contraejemplo es proporcionado por las relaciones de conmutación
a±l, [a
m, a
n ]l+ + [a
± 2,1 + lna±m = 0, (6,53)
que se reducen a (6.12) para n = m, satisfacer (6.49) con l para ã
l, y no satisfacen (6.49)
con l para ã
l (véase (6.51) y cf. (6.22)).
A partir de (5.13) se deduce que el operador M
Una parte comienza si y sólo si (ver (4.11))
((m) + (n))
[m, ã
[m, n ] − [m, n ]
= 0. (6.54)
Esta condición asegura la coincidencia de los sistemas de ecuaciones (6.47), (6.48) y (6.49)
También. Sin embargo, la siguiente condición necesaria y suficiente para la coincidencia de estos
sistemas se expresa por las ecuaciones más débiles
((m) + (n))
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
m, ã
[m, n ] − [m, n ]
= 0. (6.55)
Ahora es el turno para ser considerado el ‘pin’ de las relaciones de Heisenberg (5.5).
Recordemos que los operadores de campo de los campos considerados aquí admiten una representación [13-15]
I = I = I = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % % = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
i p)a
t (p) + v
i p)a
t p)
, (6.56)
donde • es una constante de normalización y v
i (p) son clásicos, no valorados por el operador, complejos
o funciones reales que son linealmente independientes. La definición particular de v
i (p) depende
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 31
sobre la naturaleza geométrica de los i y se puede encontrar en [13-15] (véase también [1]), donde el lector
puede encontrar también una serie de relaciones satisfechas por v
i p). Aquí sólo mencionaremos eso.
i (p) = 1 para un campo escalar y v
i (p) = v
i (p) =: v
i(p) = (v)
i(p))
* para un campo vectorial.
La forma explícita de las funciones de polarización
ss′,±
k) y l)
ss′,±
• k) (véase secc. 3, en
particular (3.14)) a través de v
i k) son [13-15]:
(k) =
(−1)j
j + ♥j0
i k))
∗Iiiv
(k) =
(−1)j
2j + j0
i k))
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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i k),
(6.57)
con la excepción de que
ss′,±
0a (k) =
ss′,±
a0 (k) = 0, a = 1, 2, 3, para un campo espinor, j =
, [14].
Evidentemente, las ecuaciones (3.14) se derivan de los hechos mencionados (véase también (5.25)).
Sustituyendo (6.56) y (5.12) por (5.5), obtenemos los siguientes sistemas de
Ecuaciones (correspondientes, respectivamente, a los lagrangianos L′, L′′ y L®):
(−1)j+1j
1 +
s,s′,t
i p)
(k) + l
ss′,−
(k)[a]
t p), a
s k) a-s′ k)]
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
(k)[a]
t p), a
s k) a+s′(k)]
d3pli
(p)a±t (p) (6.58)
(−1)j+1j
1 +
s,s′,t
i p)
(k) + l
ss′,+
(k)[a]
t p), a
k) as (k)]
+ (lss)
(k) + l
ss′,−
(k)[a]
t p), a
k) as (k)]
d3pli
(p)a±t (p) (6.59)
(−1)j+1j
2 (1 + )
s,s′,t
i p)
(k) + l
ss′,−
(k))
a±t (p), [a
s k), a
k)]
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
(k))
a±t (p), [a
s k), a
k)]
d3pli
(p)a±t (p).
(6.60)
Para la diferencia de todos los sistemas previamente considerados de ecuaciones integrales, como (6.2)–
(6.4), (6.27)–(6.29) y (6.44)–(6.46), los sistemas (6.58)–(6.60) no pueden ser sustituidos por otros
que consiste en ecuaciones algebraicas (o diferenciales). La causa de esta situación es que
en (6.58)–(6.60) entrar en modos de polarización con s y s' arbitrarios y, en general, uno no puede
«diagonalizar» la(s) integrand(s) con respecto a s y s′; además, para un campo vectorial, los modos
con s = s′ no se presentan en absoluto (véase (3.14)). Es por eso que ninguna relación de conmutación puede
se extraigan de (6.58)–(6.60) a menos que se hagan otras suposiciones. Sin entrar en
detalles, a continuación esbozaremos la prueba de la afirmación de que las relaciones de conmutación (6.16)
convertir (6.60) en identidades para campos masivos de spinor y vectores21.
que la paracommutación y las relaciones de conmutación bilineal proporcionan soluciones de (6.60).
Let (6.16) espera. Combinando con (6.60), vemos que este último se divide en las ecuaciones
21 Las ecuaciones (6.58)–(6.60) son identidades para los campos escalares en cuanto a ellos.
i (k) = 1, que
refleja las ausencias de giro para estos campos.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 31
(−1)jj
1 +
i p)
(p) + l
(p)) + (l)
(p) + l
• (p))
a+s (p),
(p)a+s (p) (6.61a)
(−1)j+1j
1 +
i p)
(O, (p) + l
(p)) + (l)
(p) + l
• (p))
a–s (p),
i′ (p)a
s p). (6.61b)
Insertando aquí (6.57), vemos que se necesita la definición explícita de v
i k) y fórmulas para
Sumas como las de la letra k) del punto ii) :=
i k) v)
k))*, que son específicos para cualquier campo en particular y pueden
se encuentra en [13-15]. De esta manera, aplicando (5.25), (3.7) y los resultados mencionados de [13-15],
se puede comprobar la validez de (6.61) para campos masivos de una manera similar a la prueba de (5.3)
en [13-15] para los campos escalar, espinor y vector, respectivamente.
Terminaremos la presente subsección con la observación de que las ecuaciones (4.17) y (4.18),
que junto con (4.15) aseguran la singularidad de los operadores de giro y orbitales, son
condiciones suficientes para la coincidencia de las ecuaciones (6.58), (6.59) y (6.60).
7. Inferencias
Para empezar, resumamos las principales conclusiones de la Secc. 6. Cada uno de los Heisenberg
Ecuaciones (5.1)–(5.3), las ecuaciones (5.3) siendo divididas en (5.4) y (5.5), inducen en un
algunas relaciones que los operadores de creación y aniquilación deben satisfacer. Estos rela-
ciones pueden ser elegidas como trilineales algebraicas en un caso de (5.1) y (5.2) (véase (6.10)–(6.12)
y (6.31)–(6.33), respectivamente). Pero para (5.4) y (5.5) no necesitan ser algebraicos y
son diferenciales en el caso de (5.4) (véase (6.47)–(6.49)) y ecuaciones integrales en el caso de
de (5.5) (véase (6.58)–(6.60)). Se señaló que las relaciones citadas dependen de la
Lagrangian de la que se deriva la teoría, a menos que algunas condiciones escritas explícitamente sostienen
(véase (6.24), (6.37) y (6.55)); en particular, estas condiciones son verdaderas si las ecuaciones (4.9)–
(4.13), garantizando la singularidad de los operadores dinámicos correspondientes, son válidos. Desde
los Lagrangianos ‘de carga simétrica’ (3.4) parecen ser los que mejor describen los campos libres,
las relaciones derivadas de ellas (conmutación) (6.12), (6.33), (6.49) y (6.60) eran
ied en más detalles. Se demostró que las relaciones de conmutación trilineal (6.16) se convierten
en identidades, como resultado de lo cual la misma propiedad posee la paracommutación
las relaciones (6.20) y, en particular, las relaciones de conmutación bilineal (6.13). Ejemplos de tri-
se presentaron relaciones lineales de conmutación, que no son ni ordinarias ni para
de ellos, como (6.14), (6.34) y (6.52), no están de acuerdo con (6.13) y otros, como (6.16),
(6.22) y (6.35), generalizar (6.20) y por lo tanto son compatibles con (6.13). Por fin, fue
demostrado que los conmutadores entre las variables dinámicas (véase (5.15)–(5.23)) son
Definición única si se postula una relación Heisenberg para uno de los operadores que entran en ella.
El objetivo principal de la presente sección es explorar el problema de si todos los
condiciones razonables, mencionadas en las secciones anteriores y que pueden imponerse al
los operadores de creación y aniquilación, pueden sostener o no sostener simultáneamente. Este problema es
sugiere por las fuertes evidencias de que las relaciones (5.1)–(5.3) y (5.15)–(5.23), con una
posible excepción de (5.3) (más precisamente, de (5.5)) en el caso de los sin masa, debe ser válida en
una teoría de campo cuántico realista [1, 3, 7, 8, 11, 12]. Además, a los argumentos en loc. cit., nosotros
se añadirá el requisito de unicidad de las variables dinámicas (véase la secc. 4).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 32
Como se mostró en la Secc. 6, las relaciones (5.1), (5.2), (5.4) y (5.5) son compatibles si
se parte de un Lagrangiano simétrico de carga (véase (3.4), que mejor describe un campo libre
teoría; en particular, las relaciones de conmutación (6.16) (y por lo tanto (6.20) y (6.13)) garantizan
su validez simultánea.22 Por esa razón, investigaremos solamente la conmutación
relaciones para las cuales (5.1), (5.2), (5.4) y (5.5). Se asumirá que deben ser
tales que las ecuaciones (6.10)–(6.12), (6.31)–(6.33), (6.47)–(6.49) y (6.58)–(6.60),
Tily, espera.
Considerar ahora el problema de la singularidad de las variables dinámicas y su consis-
Tency con las relaciones de conmutación que se acaban de mencionar para un campo cargado. Se asumirá
que esta singularidad se garantiza a través de las ecuaciones (4.9)–(4.11).
La ecuación (4.15), a saber.
[am, a
m] = 0, (7.1)
es una condición necesaria y suficiente para la singularidad del impulso y la carga
operadores (véase secc. 4 y la notación introducida al principio de la Secc. 6). Antes
comentando sobre esta relación, nos gustaría derivar algunas consecuencias de ella. Aplicar
en consecuencia (6.8) para η =, (7.1) y la identidad
[A,B,C,C]+ = [A,B,N,N,C,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N.
para η =,, nosotros, a la vista de (7.1), obtener
[a+m, [a
[m]] = [a]
m, [a
m]]+ = (1− Ł)[am, a+m]
[a-m, [a
m, a
m] [4] = [a]
m, [a
m]]+ = فارسى(1 − فارسى)[am, a−m] a−m.
(7.3)
Formando la suma y la diferencia de (6.12a), para = 0, y (6.33a), vemos que el sistema
de ecuaciones que forman es equivalente a
[a+l, [a
m, a
m] [4] = 0 [a
l, [a
m ]]. = 0 (7.4a)
, [a+m, a
m ]] + 2lma
= 0 [a−
, [am, a
m]] − 2lma−l = 0. (7.4b)
Combinando (7.4b), para l = m, con (7.3), obtenemos
(1− )[am, a+m] a+m + 2a+m = 0 فارسى(1− )[am, a−m] a−m − 2a−m = 0. (7.5)
Obviamente, estas ecuaciones se reducen a
a±m = 0 (7.6)
en el caso de los campos de bose como en el caso de los campos de bose فارسى = +1 (véase (3.7)). Puesto que los operadores (7.6) describen un
campo inobservable, o, más precisamente, la ausencia de un campo en absoluto, el resultado obtenido significa
que la teoría considerada no puede describir ningún campo físico realmente existente con spin j = 0, 1.
Esa conclusión debe considerarse una contradicción en la teoría. Para campos de fermi, j = 1
Las ecuaciones (7.5) tienen soluciones diferentes de (7.6) if a±m son degeneradas.
operadores, es decir, con ninguna inversa, en cuyo caso (7.4a) es una consecuencia de (7.5) y (7.1)
(véanse también (6.8) y (7.3).
La fuente de la contradicción anterior está en la ecuación (7.1), que no está de acuerdo con
las relaciones bilineales de conmutación (6.13) y contradice la correlación existente entre
creación y aniquilación de partículas con características idénticas (m = (t,p) en nuestro caso)
como (7.1) puede interpretarse físicamente como la independencia mutua de los actos de creación y
aniquilación de tales partículas [1, § 10.1].
En este punto, hay dos maneras de ‘reparar’ la teoría. Por un lado, uno puede
olvídate de la singularidad de las variables dinámicas (en un sentido de Secc. 4), después de lo cual
22 El(los) caso(s) especial(es) cuando (5.5) no puede sostener un campo sin masa no se considerará a continuación.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 33
el formalismo se puede desarrollar eligiendo, por ejemplo, los lagrangianos simétricos de carga (3.4)
y siguiendo el formalismo habitual de Lagrangian; de hecho, esta es la forma en que la teoría de Parafield es
construir [16,18]. Por otro lado, uno puede tratar de cambiar algo en la base de la teoría
de tal manera que se garantice automáticamente la singularidad de las variables dinámicas.
Seguiremos el segundo método. Como idea rectora, tendremos en mente que la
relaciones bilineales de conmutación (6.13) y la relacionada con ellos procedimiento normal de ordenación
proporcionar una base para la teoría de campo cuántico actual, que describe suficientemente bien
las partículas/campos elementales descubiertos. Sobre este telón de fondo, una extensa exploración de
relaciones de conmutación que son incompatibles con (6.13) sólo se justifica si aparece
algunas evidencias de campos/partículas que se pueden describir a través de ellos. A este respecto,
debe recordarse [17, 18], parece que todas las partículas/campos conocidos se describen vía (6,13)
y ninguno de ellos es un campo/partícula para.
Usando la notación introducida al principio de la Secc. 4, vamos a buscar un lineal
mapping (operador) E en el espacio del operador sobre el espacio Hilbert del sistema F de estados tales
E(D′) = E(D′′). (7.7)
Como se mostró en la Secc. 4, un ejemplo de un operador E es proporcionado por el pedido normal
operador N. Por lo tanto, un operador que satisface (7.7) siempre existe. A cualquier operador de este tipo E
allí corresponde un conjunto de variables dinámicas definidas vía
D = E(D′). (7.8)
Examinemos las propiedades del mapeo E que debe poseer debido a la re-
requisito (7.7).
En primer lugar, como los operadores de las variables dinámicas deben ser ermitaños,
require
= E(B†) (7.9)
para cualquier operador B, lo que implica
D† = D, (7.10)
debido a (3.9)–(3.12) y (7.8).
Como en Secc. 4, vamos a sustituir las ecuaciones integrales así-arrising por la correspondiente alge-
Los brácicos. Por lo tanto, las ecuaciones (4.5)–(4.20) siguen siendo válidas si el operador E se aplica a su
Lados de la mano izquierda.
Considere el caso general de un campo cargado, q 6= 0. Por lo tanto, el análogo de (4.15) lee
[am, a
= 0, (7.11)
que la ecuación asegura la singularidad del impulso y carga a los operadores. Respetuosamente,
la condición (4.11) se transforma en
((m) + (n))
E([am, a−n ])− E([a+m, an ])
= 0, (7,12)
que, por medio de (7.11) puede ser reescrita como (cf. (4.16))
(n)
E([am, a−n ])− E([a+m, an ])
= 0. (7.13)
Al final, las ecuaciones (4.17) y (4.18) ahora deben ser escritas como
* (k) E
[as (k), a
(k)]
+ ss
* (k) E
[as (k), a
(k)]
= 0 (7,14)
* (k) E
[as (k), a
(k)]
+ lss
* (k) E
[as (k), a
(k)]
= 0. (7.15)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 34
Estas ecuaciones pueden ser satisfechas si generalizamos (7.11) a (cf. (4.20))
[as (k), a
(k)]
= 0 (7,16)
para cualquier s y s′. Por fin, la siguiente versión más fuerte de (7.16)
[am, a
n ]
= 0, (7,17)
para cualquier m = (t,p) y n = (r, q), garantiza la validez de (7.14) y (7.15) y por lo tanto de la
singularidad de todas las variables dinámicas.
Ha llegado el momento de llamar la atención sobre las posibles relaciones de conmutación. Reemplazo
D′, D′′, D′′ 7→ D := E(D′) = E(D′′) = E(D′′) da lugar a los cambios correspondientes en la
todo el material de Sect. 6. En particular, los sistemas de relaciones de conmutación (6.10)–
(6.12), (6.31)–(6.33), (6.47)–(6.49) y (6.58)–(6.60) deben sustituirse respectivamente por:23
a±l, E(a
m A-m) + E(am) a+m)
± (1 + )lma±l = 0 (7,18)
a±l, E(a
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
− Alma±l = 0 (7.19)
((m) + (n)))[l, E(ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2,1 + lm
(l)(ã)
(7.20)
(−1)j+1j
1 +
s,s′,t
i p)
(k) + l
ss′,−
(k)[a]
t (p), E(as (k) • a−s′(k))]
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
(k)[a]
t (p), E(as (k) a+s′(k))]
d3pli
i′ (p)a
t p).
(7.21)
Debido a las condiciones de singularidad (7.11)–(7.14), uno puede reescribir los términos E(am am)
en (7.18)–(7.21) en un número de formas equivalentes; por ejemplo: (véase (7.11))
E(am am) = E(am am) =
E([am, am]. (7.22)
Considere el caso general de un campo cargado, q 6 = 0 (y por lo tanto ♥ = 0). El sistema de
ecuaciones (7.18)–(7.19) es entonces equivalente a
, E(am am)
= 0 (7,23a)
, E(am a+m)
+ lma
= 0 (7.23b)
a–l, E(a
m-a-m)
− Alma−l = 0. (7.23c)
Estas relaciones (conmutación) garantizan el cumplimiento simultáneo de la ley de Heisenberg.
ciones (5.1) y (5.2) que implican a los operadores de impulso y carga, respectivamente. Asegurarse de que
también la validez de (7.20), con Ł = 0, y, en consecuencia, de (5.4), generalizamos (7.23) a
a±l, E(a
m an )
= 0 (7,24a)
, E(am a+n )
+ lma
n = 0 (7.24b)
, E(am-a−n)
− Alma−n = 0, (7.24c)
para cualquier l = (s,k), m = (t,p) y n = (t, q) (véase también (6,51)). De la manera señalada en
Secc. 6, se puede verificar que (7.24) para cualquier l = (s,k), m = (t,p) y n = (r,p) implica (7.21)
y por lo tanto (5.5). Por último, para garantizar la validez de todas las condiciones mencionadas y
23 Para ahorrar espacio, no escribimos el conjugado ermitaño de las ecuaciones abajo escritas.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 38
transición adecuada a un caso de campo ermitaño, para el cual q = 0 y = 1 (véase (3.7)),
generalizar (7.24) a
a+l, E(a)
m • a−n )
+ lna
m = 0 (7,25a)
a–l, E(a
m a + n )
− lna−m = 0 (7.25b)
, E(am a+n )
+ lma
n = 0, (7.25c)
, E(am-a−n)
− Alma−n = 0 (7,25d)
donde l, m y n son arbitrarios. Como resultado de (7.17), que asumimos para mantener, y
(véase (3.7)), las ecuaciones (7.25a) y (7.25c) (resp. (7.25b) y (7.25d)) se convierten en idénticos
cuando = 1 (y, por lo tanto, a
l = a
l ); en el caso de los = 0, el sistema (7.25) se reduce a (7.24). Recordando
(−1)2j (véase (3.7)), podemos reescribir (7.25) en una forma más compacta como
a±l, E(a
m an )
+ (±1)2j+1lna±m = 0 (7.26a)
a±l, E(a
m a±n )
− (1)2j+1lma±n = 0. (7.26b)
Puesto que la última ecuación es equivalente a (véase (7.17)) y utilizar que فارسى = (−1)2j)
, E(a±m an )
+ (±1)2j+1lna±m = 0, (7.26b′)
es evidente que las ecuaciones (7.26a) y (7.26b) coinciden para un campo neutral.
Vamos a sacar la moral principal de las consideraciones anteriores: las ecuaciones (7.17) son
condiciones suficientes para la singularidad de las variables dinámicas, mientras que (7.26) son tales
condiciones para la validez de las relaciones de Heisenberg (5.1)–(5.5), en las que la dinámica
las variables se redefinen según (7.8). Por lo tanto, cualquier conjunto de operadores a±
y E, que son
soluciones simultáneas de (7.17) y (7.26), garantizan la singularidad de las variables dinámicas
y al mismo tiempo la validez de las relaciones de Heisenberg.
Considere el problema de la singularidad para las soluciones del sistema de ecuaciones que consiste
de (7.17) y (7.26). Escribiendo (7.17) como
E(am an ) = E(an am ) =
E([am, an)], (7.27)
que se reduce a (7,22) para n = m, y utilizando Ł = (−1)2j (véase (3,7)), se puede verificar que (7,26)
es equivalente a
a+l, E([a)
n]})
+ 2lna
m = 0 (7,28a)
a+l, E([a)
m, a
n]})
+ 2lna
m = 0 (7,28b)
a-l, E([a
n]})
− 2lma−n = 0 (7,28c)
a-l, E([a
m, a
n]})
− 2lma−n = 0. (7.28d)
La similitud entre este sistema de ecuaciones y (6.16) es más que evidente: (7.28) puede
se obtendrán a partir del (6.16) sustituyendo [·, ·] por E([·, ·]).
Como se dijo antes, las relaciones de conmutación bilineal (6.13) y la identificación de
E con el operador normal de pedidos N,
E = N, (7.29)
convertir (7.27)–(7.28) en identidades; invocando (6.8), para η =, el lector puede comprobar
Esto a través de un cálculo directo (véase también (4.23)). Sin embargo, esta no es la única solución posible
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 36
de (7.27)–(7.28). Por ejemplo, si, en el caso particular, se define una orden «antinormal»
operador A como mapeo lineal de tal manera que
A(a+m an ) := an a+m A(am a−n ) := a−n am
A(a-m an ) := a-m an A(am a+n ) := am a+n,
(7.30)
a continuación, las relaciones de conmutación bilineal (6.13) y el ajuste E = A proporcionan una solución
de (7.27)–(7.28); para probar esto, aplicar (6.8) para η =. Evidentemente, una combinación lineal de
N y A, junto con (6.13), también proporciona una solución de (7.27)–(7.28).24 Otra solución
del mismo sistema de ecuaciones es dado por E = id y operadores a±
satisfacción (6.16), en
particular las relaciones de paracommutación (6.20), y una
m a,n = a,n am. El problema
para la solución general de (7.27)–(7.28) con respecto a E y a ±l está abierto en la actualidad.
Vamos a introducir los operadores de números de partículas y antipartículas respectivamente por (ver (7.27),
(7.9) y (3.16))
Nl :=
= E(a+
# A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A #
) = (Nl)† =: N †l
†Nl :=
l, a
= E(al a
l ) = (
†Nl)† =: †Nl†.
(7.31)
Como resultado de las relaciones de conmutación (7.28), con n = m, satisfacen las ecuaciones25
[Nl, a+m]− = Alma+l (7,32a)
[ †Nl, a+m]− = lma+l (7.32b)
[Nl, am]− = lma
l (7.32c)
[ †Nl, am]− = Alma
l. (7.32d)
Combinando (3.9)–(3.12) y (5.11)–(5.13) con (7.8), (7.27) y (7.31), obtenemos lo siguiente
expresiones para los operadores de las variables dinámicas (redefinidas):
P =
1 +
m2c2+k2
(Nl + †Nl) l = (s,k) (7,33)
Q = q
(−Nl + †Nl) (7.34)
S =
(−1)j−1/2j~
1 +
mn, Nnm + Ômn, †Nmn)}
m=(s,k)
n=(s′,k)
(7.35)
L = x0μ P − x0 / P +
(−1)j−1/2j~
1 +
lmn,Nnm + lmn, †Nmn)}
m=(s,k)
n=(s′,k)
2 (1 + )
(l) + (m)
(Nl + †Nl)
m=l=(s,k)
(7.36)
Msp =
(−1)j−1/2j~
1 +
(mn, + lmn, )Nnm + (mn, + lmn, ) †Nmn)}
m=(s,k)
n=(s′,k)
(7.37)
M
2 (1 + )
(l) + (m)
(Nl + †Nl)
m=l=(s,k)
. (7.38)
24 Si admitimos un ±
para satisfacer las relaciones de conmutación bilineal «anomalosas» (8.27) (véase más adelante), es decir: (6.13)
con para y (±1)2j para (±1)2j+1, luego E = N, A también proporciona una solución de (7,27)–(7,28). Sin embargo,
como se demostró en [13-15], las relaciones anómalas de conmutación son rechazadas si se trabaja con el
carga simétrica Lagrangians (3.4).
25 Las ecuaciones (7.32a) y (7.32b) corresponden a (7.28a) y (7.28b), respectivamente, y (7.32c) y (7.32d)
corresponde al conjugado ermitaño a (7.28c) y (7.28d), respectivamente.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 37
Aquí (l) se define a través de (6.50), hemos establecido
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ss′,±
k) l
• := l
ss′,±
(k) para m = (s,k) y n = (s)
′,k), (7.39)
y (véase (7.27))
Nlm :=
[a+l, a
= E(a+l)
m ) = (Nml)† =: N
† Nlm :=
l, a
= E(al a
m) = (
†Nml)† =: †Nml†
(7.40)
son, respectivamente, los operadores de transición de partículas y antipartículas (cf. [26, sec. 1] en un caso de
parafields). Obviamente, tenemos
Nl = Nll †Nl = †Nll. (7.41)
La elección (7.29), evidentemente, reduce (7.33)–(7.36) a (4.24), (4.25), (4.28) y (4.29), respec-
Tily.
En términos de los operadores (7.38), las relaciones de conmutación (7.28) pueden ser equivalentes
reescrita como (véase también (7.9))
[Nlm, a+n ]− = mna+l (7,42a)
[ †Nlm, a+n ]− = mna+l (7.42b)
[Nlm, an]− = mna
(7.42c)
[ † Nlm, an ]− = Nmna
l. (7.42d)
Si m = l, estas relaciones se reducen a (7,32), debido a (7,39).
Terminaremos esta sección con la observación de que las condiciones para la singularidad de
las variables dinámicas y la validez de las relaciones de Heisenberg son bastante generales y
no son suficientes para fijar algunas relaciones de conmutación independientemente de una serie de adicionales
Supuestos hechos para reducir estas condiciones al sistema de ecuaciones (7.27)–(7.28).
8. Vectores estatales, valores de vacío y valores medios
Hasta ahora hemos mirado las relaciones de conmutación sólo desde una visión matemática pura-
punto. De esta manera, haciendo una serie de suposiciones, llegamos al sistema (7.27)–(7.28) de
relaciones de conmutación. Sin embargo, una mayor especialización de este sistema es casi imposible
sin hacer contacto con la física. Para ello, tenemos que recordar [1, 3, 11, 12] que
las cantidades físicamente medibles son los valores medios (expectación) de la dinámica
variables (en algún estado) y las amplitudes de transición entre diferentes estados. Para hacer
algunas conclusiones de esta suposición básica de la teoría cuántica, debemos
dijo cómo los estados se describen como vectores en el espacio de sistemas Hilbert F de los estados, en el que
todos los operadores considerados actuar.
Para ello, necesitaremos la noción del vacío o, más precisamente, la suposición
de la existencia de un estado de vacío único (vector) (conocido también como la condición de no partículas).
Antes de definir rigurosamente este estado, que será denotado por X0, vamos a heurísticamente
analizar las propiedades que debe poseer.
En primer lugar, el vector de estado de vacío X0 debe representar un estado del campo sin ninguna
partículas. A partir de aquí se pueden extraer dos conclusiones: (i) como un campo se piensa como una colección
de partículas y una partícula ‘falta’ debe tener variables dinámicas que desaparecen, las de la
el vacío debe desaparecer también (o, más generalmente, ser constantes finitas, que se pueden establecer igual
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 38
a cero por reescalar los parámetros de alguna teoría) y (ii) desde los operadores a-l y un
Yo soy
interpretado como aquellos que aniquilan una partícula caracterizada por l = (s,k) y carga −q o +q,
respectivamente, y no se puede destruir una partícula ‘ausente’, estos operadores deben transformar
el vacío en el vector cero, que puede interpretarse como una ausencia completa del campo.
Por lo tanto, podemos esperar que
D(X0) = 0 (8.1a)
a–l (X0) = 0 a
l (X0) = 0. (8.1b)
Además, como los operadores a + l y a
Se interpretan como aquellos que crean un carácter de partícula.
teriz por l = (s,k) y carga −q o +q, respectivamente, vectores de estado como a+l (X0) y a
l (X0)
debe corresponder a los estados de 1 partícula. Por supuesto, una condición necesaria para esto es
X0 6= 0, (8.2)
debido a que el vacío puede normalizarse a la unidad,
• X0 X0 = 1, (8.3)
donde : F × F → C es el hermitano escalar (dentro) producto de F. Más generalmente, si
,. ..) es un monomial sólo en i â € N los operadores de creación, el vector
l1l2... := M(a+l1, a
,. . (X0) (8.4)
se puede esperar que describa un estado de i-partículas (con i1 partículas y i2 antipartículas, i1+i2 =
i, donde i1 e i2 son el número de operadores a
l y a
l, respectivamente, en M(a)
,. ..)).
Además, como un campo libre es intuitivamente pensado como una colección de partículas y antipartículas,
es natural suponer que los vectores (8.4) forman una base en el espacio Hilbert F.
la validez de esta suposición depende de las relaciones de conmutación aceptadas; para su prueba,
cuando se adopten las relaciones de paracommutación, véase la prueba de [18, p. 26, teorema I-1].
Aceptando la última suposición y recordando que la amplitud de transición entre dos
los estados se representa a través del producto escalar de los vectores de estado correspondientes a ellos, es
es claro que para el cálculo de tal amplitud es necesario un procedimiento eficaz para
cálculo de los productos escalares de la forma
l1l2...m1m2...:= X0(M(a+l1, a
,. ..)))† M′(a+m1, a
,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
con M y M′ siendo monomios únicamente en los operadores de creación. Del mismo modo, para el cálculo
del valor medio de algún operador dinámico D en un determinado estado, uno debe estar equipado
con un método de cálculo de productos escalares como
l1l2... Dl1m2... := X0(M(a+l1, a
,. ..)))† • D • M′(a+m1, a
,.. .)X0». (8.6)
Suponiendo, por el momento, que el vacío se defina vía (8.1), analicemos (8.1)–(8.6).
Además, se asumirá la validez de (7.27)–(7.28).
A partir de las expresiones (7.8) y (3.9)–(3.12) para las variables dinámicas, está claro que
la condición (8.1a) puede cumplirse si
E(am an )(X0) = 0, (8,7)
que, a la vista de (7.27), es equivalente a cualquiera de las ecuaciones
E(a±m an )(X0) = 0 (8.8a)
E([a±m, an)](X0) = 0. (8.8b)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 39
La ecuación (8.7) es bastante natural ya que expresa la desaparición de todos los modos del vacío
correspondiente a diferentes polarizaciones, 4-momento y carga. Se aceptará aquí.
Después.
Por medio de (8.8) y las relaciones de conmutación (7.28) en la forma (7.42), en particular:
lar (7.32), se puede calcular explícitamente la acción de cualquiera de los operadores (7.33)–(7.38)
en los vectores (8.4): para el propósito uno debe simplemente conmutar a los operadores Nlm (o
Nl = Nll) con los operadores de creación en (8.4) según (7.42) (resp. (7.32)) hasta que
actuar sobre el vacío y, por lo tanto, dar cero, como resultado de (8.8) y (7.42) (resp. (7.32)). In
particular, tenemos las ecuaciones (k0 =
m2c2 + k2):
a+l (X0)
= kμa
l (X0) P
l (X0)
= kμa
l (X0) l = (s,k) (8,9)
= −qa+
(X0) Q
= +qa
(X0) (8.10)
l=(s,k)
(−1)j−1/2j~
1 +
lm, + ml, }
m=(t,k)
a+mm=(t,k)(X0)
l=(s,k)
(−1)j−1/2j~
1 +
# lm, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
m=(t,k)
am m=(t,k)(X0)
(8.11)
l=(s,k)
= (x0 μkν − x0 νkμ)(a+l)(X0)− i~
(l)(a)
(−1)j−1/2j~
1 +
m=(t,k)
a+mm=(t,k)(X0)
l=(s,k)
= (x0 μkν − x0 νkμ)(al)(X0)− i~
(l)(a)
(−1)j−1/2j~
1 +
llm, + lml, }
m=(t,k)
am m=(t,k)(X0)
(8.12)
Msp.
l=(s,k)
(−1)j−1/2j~
1 +
(lm, + llm, )
+ (Δml, + l
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
m=(t,k)
a+mm=(t,k)(X0)
Msp.
l=(s,k)
(−1)j−1/2j~
1 +
(lm, + llm, )
+ (Δml, + l
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
m=(t,k)
am m=(t,k)(X0)
(8.13)
Mûor
l (X0)
= -i~
(l)(ã)
(X0) M
l (X0)
= -i~
(l)(ã)
(X0). (8.14)
Estas ecuaciones y similares, pero más complicadas, con un monómio arbitrario en el
operadores de creación de un+
son la base para la interpretación de partículas de la
teoría de los campos libres. Por ejemplo, en vista de (8.9) y (8.10), los vectores de estado a+l (X0) y
l (X0) se interpretan como aquellas que representan partículas con 4-momento (
m2c2 + k2,k)
y cargas −q y +q, respectivamente; una interpretación multipartículas similar se puede dar a la
vectores generales (8.4) también.
Las ecuaciones (8.9)–(8.12) concuerdan completamente con las similares obtenidas en [13-15] sobre el
base de las relaciones bilineales de conmutación (6.13).
Por medio de (8.7), la expresión (8.6) puede ser representada como una combinación lineal de
términos como (8.5). De hecho, como D es una combinación lineal de términos como E(am an ), por medio de
las relaciones (7.28) podemos conmutar cada uno de estos términos con la creación (resp. aniquilación)
operadores en el monomio M′(a+m1, a
m2,. ..) (resp. (M(a+l1, a
,. ..))† = M′′(a
,. ..))
y así moverlos a la derecha (resp. izquierda) hasta que actúan sobre el vacío X0, dando
el vector cero — véase (8.7). De esta manera los elementos de matriz de las variables dinámicas,
en particular sus valores medios, pueden expresarse como combinaciones lineales de productos escalares
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 40
de la forma (8.5). Por lo tanto, la suposición (8.7) reduce el cálculo de los valores medios
de variables dinámicas a la del valor medio de vacío de un producto (composición)
de los operadores de creación y aniquilación en los que los antiguos operadores están a la derecha de
los últimos. (Tal producto de la creación y los operadores de aniquilación se puede llamar su
Producto «antinormal»; cf. las propiedades (7.30) del operador de pedidos antinormal A.)
Sin embargo, el cálculo de tales valores medios, como (8.5) para los estados
se haga (sobre la base de (7.27)–(7.28), (8.7) y (8.1a)), a menos que
Hecho. Para ello se necesita algún tipo de relación de conmutación por medio de la cual
la creación (resp. aniquilación) los operadores en el r.h.s. de (8.5) se moverá a la izquierda (resp.
derecha) hasta que actúen a la izquierda (resp. derecha) vector de vacío X0; como resultado de esta operación,
las expresiones entre los dos vectores de vacío en (8.5) deben transformarse en un lineal
combinación de términos constantes y tales sin contribución en (8.5). (Ejemplos del último
tipo de términos son E(am a) y normalmente ordenados productos de creación y aniquilación
operadores.) Un procedimiento alternativo puede consistir en definir axiomaticamente los valores de todos
o algunos de los valores medios (8.5) o, más fuerte, la acción explícita de todos o algunos de los
operadores, entrando en la r.h.s. de (8.5), sobre el vacío26. Está claro que ambos regímenes propuestos
debe ser coherente con las relaciones (7.27)–(7.28), (8.1b) y (8.7)–(8.8).
Resumamos el problema que tenemos ante nosotros: el operador E en (7.27)–(7.28) tiene que ser corregido
y un método de cálculo de productos escalares como (8.5) debe proporcionarse
Vector de vacío X0 satisface (8.1b), (8.2), (8.3) y (8.7). Dos posibles formas de exploración
de este problema se han indicado anteriormente.
Considerar el operador E. Suponiendo E(am an) para ser una función solamente de un
m y a
nosotros, en vista de (8.1b), podemos escribir E(am an ) = f±(a
b con b = a−n (señal superior) o
b = a
m (signo inferior) y algunas funciones f
±. Aplicando (7.27), obtenemos (no sumar más de l)
E(am a−l ) = f
+(am, a
l ) a
l E(a)
m â € a
l ) = f
−(a+m, a
l ) a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
E(a
• a+m) = f−(a+m, a
) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Puesto que E es un operador lineal, la expresión E(am an) se convierte en un lineal y homogéneo
función de una
m y a
n, lo que implica inmediatamente f
±(A,B) = A para los operadores A y
B y algunas constantes C. Para la conveniencia futura, asumimos = 1, que puede ser
Logrado a través de una adecuada renormalización de los operadores de creación y aniquilación.27 Así,
las últimas ecuaciones se reducen a
E(am a−l ) = a
m • a − l E(a)
m â € a
) = a+m • a
(8.15a)
E(a-l)
m ) = Ła
m • a − l E(a)
l â € a
m) = Ła
m â € a
l (8.15b)
Evidentemente, estas ecuaciones se convierten (7.27), (8.7) y (8.8) en identidades. Comparando (8.15)
y (4.22), vemos que la identificación
E = N (8,16)
del operador E con el operador normal del pedido N es bastante natural. Sin embargo, para nuestro
los propósitos, esta identificación no es necesaria, ya que sólo las ecuaciones (8.15), no el general
definición de N, se empleará.
26 Tal aproximación se asemeja a la descripción axiomática de la matriz de dispersión [1,7,8].
27 Puesto que = 0 o/y = 0 implica D = 0, debido a (7,8), estos valores están excluidos por razones evidentes.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 41
Como resultado de (8.15), las relaciones de conmutación (7.28) ahora dicen:
[a+l, a
m an ] + Łlna+m = 0 (8.17a)
, am a−n ] + lna+m = 0 (8.17b)
, a+m an ] − lma−n = 0 (8.17c)
[a–l, a
m • a • n • • lma • n = 0. (8.17d)
(En cierto sentido, estas relaciones son ‘la mitad’ de las relaciones de (para)commutación (6.16):
los últimos son una suma de los primeros y los obtenidos de (8.17) a través de los cambios a+m
n â € a+m y a
m A-n 7→ A-n
m ; las últimas relaciones corresponden a (7.28) con E = A, A
ser el operador de pedidos antinormal — véase (7.30). Dicho de otra manera, hasta el reemplazo
a±i 7→
para todos l, las relaciones (8.17) son idénticas a (6.16) para = 0; como se indica en [26, el
observaciones tras el teorema 2 en sec. 1], este es un caso bastante excepcional desde el punto de vista
de la teoría de la paraestadística.) Por medio de (6.8) para η =, uno puede verificar que las ecuaciones (8.17)
estar de acuerdo con las relaciones de conmutación bilineal (6.13), es decir, (6.13) convertir (8.17) en identidades.
Las ecuaciones (8.15) implican las siguientes formas explícitas de los operadores de números (7.31)
y los operadores de transición (7.40):
Nl = a+l
†Nl = al
l (8.18)
Nlm = a+l
† Nlm = al
m. (8.19)
Como resultado de ellos, las ecuaciones (7.33)–(7.36) son simplemente una forma diferente de escritura de (4.24),
(4.25), (4.28) y (4.29), respectivamente.
Volvamos al problema del cálculo de valores medios de vacío de orden antinormal
productos como (8.5). En vista de (8.1b) y (8.3), los más simples de ellos son:
• X0 idF (X0) • • • • X0M±(X0) • • 0 (8,20)
en los que C y M+ (resp. M−) es cualquier monomio de grado no menos de 1 sólo en la
creación (resp. aniquilación) los operadores; por ejemplo, M± = a±l, a
l, a
°a±l2, a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Estas ecuaciones,
con = 1, son otra forma de lo que se llama la estabilidad del vacío: si Xi denota un
Estado i-partícula, i â Nâ Nâ 0}, entonces, en virtud de (8.20) y la interpretación de partículas de (8.4),
Tenemos
• Xi X0® = Łi0, (8.21)
i.e. la única transición no prohibida hacia (desde) el vacío es desde (hacia) el vacío.
En términos más generales, si Xi′,0 y X0,j′′ denotan respectivamente i′-partícula y j′′-antipartícula,
con X0,0 := X0, entonces
Xi′,0 X0,j =
i.e. transiciones entre dos estados que consisten enteramente en partículas y antipartículas, respec-
ticamente, están prohibidos a menos que ambos estados coincidan con el vacío. Ya que estamos tratando con
campos libres, se puede esperar que la amplitud de una transición de un (i′-partícula + j′-an-
tippartícula) estado Xi′,j′ en un (i′′-partícula + j′′-antipartícula) estado Xi′′,j′′ es
Xi′,j Xi′′,j = Łi′ij′j′′, (8.23)
pero, sin embargo, la prueba de esta hipótesis requiere nuevas suposiciones (vide infra).
Tratemos de emplear (8.17) para el cálculo de expresiones como (8.5). Actuando con (8.17)
y su conjugado ermitaño en el vacío, en vista de (8.1b), obtenemos
a+m (−an a+l + Łln idF)(X0) = 0 a
(a-m-a-m-a
− lm idF (X0) = 0
(-a-n-a-n-a+l + ln idF )(X0) = 0 a
n # (am # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a #
l − lm idF (X0) = 0.
(8.24)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 42
Estas equivalencias, así como (8.17), no pueden ayudar directamente a calcular los valores medios de vacío
de los productos antinormales ordenados de los operadores de creación y aniquilación. Pero el equa-
ciones (8.24) sugieren las restricciones28
• a+m(X0) = •lm X0 a−l • a
m (X0) = lm X0
A-I-l-A-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-
m(X0) = lm X0 a
l â € a
m (X0) = lm X0
(8.25)
se añadirá a la definición del vacío. Estas condiciones convierten (8.24) en identidades
y, en este sentido, coinciden con (8.17) y, en consecuencia, con la conmutación bilineal rela-
ciones (6.13). Recordar [16, 18], las relaciones (8,25) son similares a las aceptadas en el parafield
la teoría y coinciden con que para las paraestadísticas de orden p = 1; sin embargo, aquí no sup-
plantear la validez de las relaciones de paracommutación (6.20) (o (6.16)). Equipado con (8,25),
uno es capaz de calcular el r.h.s. de (8.5) para cualquier M monomial (resp. M′) y monomios
M′ (resp. M) de grado 1, degM′ = 1 (resp. degM = 1).29 En efecto, (8.25), (8.1b) y (8.3)
conllevan:
# X0al #
m(X0) = X0a−l
m (X0)
# X0a−l #
m(X0) = X0a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
X0(M(a+l1, a
, · · · )) † • a+m(X0) • • X0(M(a+l1, a
, · · · )) † am (X0) = 0 degM ≥ 2
# X0a−l # M(a)
, am2, · · · · (X0) = X0a
l • M(a)
, am2, · · · (X0) = 0 degM ≥ 2.
(8.26)
De esta ecuación (8.23) para i′ + j′ = 1 (resp. i′′ + j′′ = 1) y arbitrario i′′ y j′′ (resp. i′
y j′) a continuación.
Sin embargo, no es difícil de realizar, el cálculo de (8.5) en casos más generales
que (8.20) y (8.26) no es posible sobre la base de los supuestos hechos hasta ahora.30
este punto, uno es libre tan establecido de manera arbitraria la r.h.s. de (8.5) en el mencionado general
o añadir a (8.17) (y, posiblemente, (8.25)) otras relaciones (conmutación) por medio de
que la r.h.s. de (8.5) que deben calcularse explícitamente; otros enfoques, por ejemplo: un poco de mezcla
de los justos apuntados, para encontrar la forma explícita de (8.5) son evidentemente también posibles.
Puesto que expresiones como (8.5) están directamente conectadas con resultados experimentales observables, la
solo criterio para resolver el problema para calcular las r.h.s. de (8.5) en el caso general
puede ser el acuerdo con los datos experimentales existentes. Como se conoce [1, 3, 11, 12], en
presente (casi?) todos ellos son satisfactorios descritos en el marco de la bilineal
relaciones de conmutación (6.13). Esto significa que, desde el punto de vista físico, la teoría
debe ser considerado como realista si el r.h.s. de (8.5) es el mismo que si (6.13) son válidos
o sea reducible para alguna realización particular de un método de cálculo aceptado,
e.g. si uno acepta algunas relaciones de conmutación, como las de paracommutación, que son
una generalización de (6.13) y reducir a ellos como un caso especial (véase, por ejemplo, (6.20)). Debería
note, las condiciones (8.1b)–(8.3) y (8.25) son suficientes para calcular (8.5) si (6.16),
o sus versiones (6.17) o (6.20), son aceptadas (cf. [16]). Las causas de esa diferencia son:
reemplazos como [a+m, a
n ] 7→ 2a+m®a
n, cuando uno pasa de (6.16) a (8.17); la existencia
de términos como un
n a+ma+l en (6.16) son responsables de la posibilidad de calcular (8.5).
28 Desde los operadores a±
y a
son, en general, degenerados (sin inversas), no podemos decir que (8.24)
implica (8.25).
29 Para degM′ = 0 (resp. degM′ = 0) — véase (8.20).
30 Cabe señalar que las condiciones (8.1b)–(8.3) y (8.25) son suficientes para calcular (8.5) si las rela-
ciones (6.16), o su versión (6.20), se aceptan (cf. [16]). La causa de esa diferencia está en los reemplazos
como [a+m, a
n ] 7→ 2a
m â € a
n, cuando uno pasa de (6.16) a (8.17); la existencia de términos como un
n â € a
m â € a
en (6.16) es responsable de la posibilidad de calcular (8.5), en caso de retención (6.16).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 43
Si aparecen evidencias para eventos para los cuales (8.5) toma otros valores, uno debe buscar, por ejemplo,
para otras relaciones de conmutación que conduzcan a los valores medios deseados. Como ejemplo del último
tipo puede ser apuntado las siguientes relaciones anómalas de conmutación bilineal (cf. (6.13))
, a±m]• = 0 [a
, am ] = 0
[al, a
= (±1)2jlm idF [a
l, a
m = (±1)2jlm idF
[a±l, a
m ]? = 0 [a
l, a
m] = 0
[al, a
m l + = (±1)2jl idF [a
l, a
m]lm idF, (8.27) = (±1)2jlm idF
que deben imponerse después de expresiones como E(am an) se calculan explícitamente. Estos
las relaciones convierten (8.17) y (8.25) en identidades y por sus medios los r.h.s. de (8.5) puede ser
calculado explícitamente, pero, como es bien conocido [1,3,11,12,27] conducen a profundas contradicciones
en la teoría, por lo que debe rechazarse.31
En la actualidad, parece, las relaciones de conmutación bilineal (6.13) son las únicas com-
relaciones de mutación que satisfacen todas las condiciones mencionadas y al mismo tiempo proporcionan
un procedimiento evidente para el cálculo efectivo de todas las expresiones de la forma (8.5). (Además,
para ellos y para las relaciones de paracommutación los vectores (8.4) forman una base, el Fock
base, para el espacio de estados Hilbert del sistema [18].) En este sentido, queremos mencionar
que las relaciones de paracommutación (6.16) (o su versión convencional (6.20)), si se imponen
como restricciones adicionales a la teoría junto con (8.17), reducir en este caso particular
a (6.13) ya que las condiciones (8.25) muestran que estamos tratando con un campo de orden p = 1,
i.e. con un campo ordinario [17,18].32
Terminando esta sección, volvamos a la definición de la X0 vacío. En general,
depende de las relaciones de conmutación adoptadas. Por ejemplo, en un caso de la com-
relaciones de mutación (6.13) consiste en las ecuaciones (8.1a)–(8.3), mientras que en un caso de la
relaciones de paracommutación (6.16) (u otras que generalizan (6.13)) incluye (8.1a)–(8.3)
y (8.25).
9. Relaciones con los países de Europa Central y Oriental
varios campos libres que coexisten
Hasta ahora hemos considerado las relaciones de conmutación para un único campo libre, que puede ser
escalar, o espinor o vector uno. La presente sección se dedica a un tratamiento similar de la
sistema que consiste en varios, no menos de dos, diferentes campos libres. En nuestro contexto, el
los campos pueden diferir por sus masas y/o cargas y/o giros; por ejemplo, el sistema puede consistir en
de campo escalar cargado, campo escalar neutro, campo espinor sin masa, campo espinor masivo y
Campo vectorial neural sin masa. Es a priori evidente, las relaciones de conmutación con respecto a sólo
un ámbito del sistema debería ser el que se examina en las secciones anteriores. El problema es ser
relaciones de conmutación derivadas o postuladas en relación con diferentes ámbitos. Se mostrará, el
El formalismo lagrangiano desarrollado proporciona una base natural para tal investigación y hace
superfluos algunos de los supuestos formulados, por ejemplo, en [17, p. B 1159, columna izquierda] o
en [18, sec. 12.1), donde se exploran sistemas de diferentes paracampos.
Para empezar, introduzcamos una notación adecuada. Con los índices α, β, γ = 1, 2,..., N
se distinguirán los diferentes campos del sistema, con N + N, N ≥ 2, siendo su
número, y las cantidades correspondientes a ellos. Dejar qα y jα ser respectivamente la carga
31 Como se demostró en [13-15], una cuantificación como (8.27) contradice a (es rechazado por) la acusación
Lagrangianos simétricos (3.4).
32 Aviso, como resultado de (8.17), las relaciones (6.16) corresponden a (7.28) para E = A, con A ser el
operador de pedidos antinormales (véase (7.30)).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 44
y el giro del campo α-th. Al igual que (3.7), definimos
jα :=
0 para el campo escalar α-ésimo
para el campo espinor α-th
1 para el campo α-th vector
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 para qα = 0 (campo neutral (Hermitano))
0 para qα 6= 0 (campo cargado (no ermitaño))
:= (−1)2jα =
+1 para el entero jα (campos de bose)
−1 para jα semi-integer (campos fermi)
(9.1)
Supongamos que Lα es el lagrangiano del campo α. Para la definitividad, asumimos Lα para todos
α a ser dado por uno y el mismo conjunto de ecuaciones, a saber. (3.1), o (3.3) o (3.4). Para guardar
algo de espacio, por debajo del caso (3.4), correspondiente a carga simétrica Lagrangians, será
considerado en más detalles; el lector puede explorar otros casos como ejercicios.
Desde el Lagrangian de nuestro sistema de campos libres es
Lα, (9.2)
las variables dinámicas son
Dα (9,3)
y el sistema correspondiente de ecuaciones Euler-Lagrange consiste en el equa-
ciones para cada uno de los campos del sistema (véase (3.6) con Lα para L). Esto permite una introducción
de los operadores independientes de creación y aniquilación para cada campo. Los que para el campo α-th
será denotado por a,sα(k) y una
α,sα(k); aviso, los valores de las variables de polarización
generalmente dependen del campo considerado y, por lo tanto, también están etiquetados con índice
α para el campo α-th. Para la brevedad, utilizaremos los índices colectivos lα, mα y nα, con
lα := (α, sα,k), etc., en términos de los cuales los últimos operadores son a±
y a
, respectivamente. Los
expresiones particulares para los operadores dinámicos Dα se dan vía (3.9)–(3.12) en la que
Deberán introducirse las siguientes modificaciones:
7→ 7→ j 7→ jα 7→ s 7→ sα s′ 7→ s
* (k) 7→ *
αsá,±
k) l
ss′,±
(k) 7→ ls
αsá,±
* (k).
(9.4)
El contenido de las secciones 4 y 5 sigue siendo válido mutatis mutandis, a saber: siempre y cuando el justo
los cambios apuntados (9.4) se hacen y las variables dinámicas (integrales) se entienden en
conformidad con (9.3).
9.1. Relaciones de comunicación relacionadas con el operador de momentum.
Problemas y posibles soluciones
En las secciones 6 a 8, sin embargo, se producen cambios sustanciales; por ejemplo, cuando se pasa de (6.12)
o (6.15) a (6.16). Las examinaremos brevemente en un caso en el que se parte de la acusación.
Lagrangianos simétricos (3.4).
Las relaciones básicas (6.12), que surgen de la relación de Heisenberg (5.1) con respecto a la
operador de impulso, ahora lea (aquí y abajo, no sumar sobre α, y/o β y/o γ si
lo contrario no se indica explícitamente!)
a±lα, [a
] + [a
± (1 + lαmβa±lα = 0 (9.5a)
lα, [a
] + [a
± (1 + lαmβa)
lα = 0. (9.5b)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 45
Es trivial ser visto, las siguientes generalizaciones de (6.14) y (6.15) respectivamente
a±lα, [a
± (1 + )lαmβa±lα = 0 (9.6a)
± (1 + )lαmβa±lα = 0 (9,6b)
lα, [a
± (1 + )lαmβa
lα = 0 (9,6c)
± (1 + )lαmβa
= 0 (9,6d)
a+lα, [a
+ 2lαmβa
lα = 0 (9.7a)
+ 2lαmβa
= 0 (9,7b)
a-lα, [a
− 2lαmβa−lα = 0 (9,7c)
− 2lαmβa−lα = 0 (9,7d)
proporcionar una solución de (9.5) en el sentido de que lo convierten en identidad. Como se dijo en
Secc. 6, las ecuaciones (9.6) (resp. (9.7)) para un solo campo, es decir, para β = α, de acuerdo (resp. no está de acuerdo)
con las relaciones bilineales de conmutación (6.13).
El único problema surge cuando se trata de generalizar, por ejemplo, las relaciones (9.7) de una manera
similar a la transición de (6.15) a (6.16). Su esencia está en la generalización de expres-
sions like [a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
lαmβa
. Al pasar de (6.15) a (6.16), los índices l y
m se cambian para que las ecuaciones obtenidas sean consistentes con (6.13); por supuesto, la
se preservan los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los códigos de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de Pero
la situación con (9.7) es diferente en dos direcciones:
(i) Si cambiamos el par (mβ,mβ) en [a
con (m
β, nγ), entonces con lo que el num-
ber debe ser reemplazado? ¿Con , o o con algo más? Del mismo modo, si el mencionado
cambiado se realiza, con lo que el multiplicador en lαmβa
¿lα debe ser reemplazado? Los
problema es que los números y están relacionados con términos como una
y a±
# A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A #
en el operador de impulso, en su conjunto y no podemos decir si el índice β en y
se origina del primero de segundo índice mβ en estas expresiones.
(ii) Al escribir (mβ, nγ) para (mβ, mβ) (véase el inciso i) supra), entonces vamos a sustituir
con lαmβa
nγ, o lαnγa
, o mβnγa
♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Para un solo campo, γ = β = α, este problema es
resuelto mediante la exigencia de un acuerdo de la generalización resultante (de (6.16) en el particular
caso) con las relaciones de conmutación bilineal (6.13). Por lo tanto, ¿cómo se generalizará (6.13) para
varios, no menos de dos, diferentes campos? Obviamente, aquí nos encontramos con un obstáculo similar a
el descrito en (i) arriba, con el único cambio que debe representar .
Deje queblα y clα denoten algún operador de creación o aniquilación del campo α. Considerar la
problema para generalizar el (anti)commutador [blα, clα ]. Esto significa que estamos buscando
para una sustitución
[blα, clα ] 7→ f±(blα, cmβ ;α, β), (9.8)
cuando las funciones f± sean tales que
f±(blα, cmβ;α, β)
= [blα, clα ]. (9.9)
Desafortunadamente, la condición (9.9) es la única restricción en f± que la teoría de los campos libres
puede proporcionar. Así las funciones f±, sometidas a la ecuación (9.9), se convierten en nuevos parámetros libres
de la teoría cuántica de los diferentes campos libres y es una cuestión de convención cómo elegir / fijar
Ellos.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 46
Se acepta generalmente [18, apéndice F], las funciones f± de tener formularios «máximo»
similares a los (anti)commutadores que generalizan. Más precisamente, las funciones
f±(blα, cmβ ;α, β) = [blα, cmβ ] (9.10)
donde C son tales que
=, (9.11)
generalmente se consideran como los únicos candidatos para f±. Aviso, en (9.10), son funciones en
α y β, no en lα y/o mβ. Además, si asumimos ser función sólo en y,
entonces la forma general de es
= u + (1− u) + vÃ3r(1− ) uá, vÃ3r Ã3 C, (9.12)
debido a (9.1) y (9.11). (En vista de (6.13), el valor = +1 (resp. = −1) corresponde
a la cuantificación a través de conmutadores (resp. anticommutadores) de los campos correspondientes.)
Llamar la atención ahora sobre los números que se originan y se asocian con cada término
[blα, cmα ]. Con cada cambio (9.8) uno puede asociar un reemplazo
7→ g(blα, cmβ ;α, β), (9.13)
donde la función g es tal que
g(blα, cmβ ;α, β)
= • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (9.14)
Por supuesto, la última condición no define g de forma única y, en consecuencia, la función
g, satisfaciendo (9.14), entra en la teoría como un nuevo parámetro libre. Supongamos, como un trabajo
hipótesis similar a (9.10)–(9.11), que g es de la forma
g(blα, cmβ ;α, β) =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
donde son números complejos que sólo pueden depender de α y β y son tales que
=. (9.16)
Además, si suponemos que ser funciones sólo en y, entonces
= x + y + (1 - x â â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
como resultado de (9.1) y (9.16).
Resumamos la discusión anterior. Si suponemos una preservación del algebraico
estructura de las relaciones bilineales de conmutación (6.13) para un sistema de diferentes campos libres,
a continuación, los reemplazos
[blα, clα ] 7→ [blα, cmβ ] = (9.18a)
7→ = (9.18b)
deben hacerse; en consecuencia, las relaciones (6.13) se transforman en:
= 0 [a
= 0
[alα, a
lαmβ idF ×
lα, a
lαmβ idF ×
[a±lα, a
= 0 [a
lα, a
= 0
] = ♥lαmβ idF ×
] = ♥lαmβ idF ×
, (9.19)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 47
donde 1 (resp. ) en
corresponde a la elección de la parte superior (resp. Signos más bajos. Si
Suponemos adicionalmente (resp. ) ser una función sólo en y (resp. en las secciones I, II, III, III, IV, IV, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V
), entonces estos números se definen hasta dos conjuntos de parámetros complejos:
= u + (1− u) + vû(1− ) uû, vû û C (9.20a)
= x + y + (1 - x â â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Una especialización más razonable de y puede ser la suposición de sus rangos
para coincidir con los de y, respectivamente. Como resultado de (9.1), esta suposición es
equivalente a
vâ = -uâ, -uâ + 1, uâ − 1, uâ uâ â ° C (9.21a)
= (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). (9.21b)
Otra restricción admisible en (9.20) puede ser el requisito y ser simétrico,
(, ) = (, ) = (, ) (9.22a)
(, ) = (, ) = (, ), (9.22b)
que significa que los campos α-th y β-th se tratan en pie de igualdad y no hay
a priori manera de numerar algunos de ellos como el «primero» o «segundo».33 En vista de (9.20), el
condiciones (9,22) son equivalentes a
uâ =
v) C (9.23a)
y+ = x+. (9.23b)
Si ambas restricciones (9.21) y (9.23) se imponen a (9.20), entonces la arbitrariedad de
los parámetros de (9.20) se reducen a:
(uâ, uâ ) =
(9.24a)
= (0, 0), (1, 1) (9,24b)
y, para cualquier par fijo (α, β), nos quedamos con los siguientes candidatos para respectivamente
Y :
(+1 + + − ) (9.25a)
(−1 + + + ) (9.25b)
0 :=
α + (9.25c)
1 :=
α + −. (9.25d)
Cuando se consideran campos libres, como en nuestro caso, no hay más argumentos de matemáticas
o la naturaleza física puede ayudar a elegir una combinación particular (, ) de los cuatro
posibles según (9.25) para un par fijo (α, β). Para poner fin a las consideraciones anteriores:
y, tenemos que decir que la elección
(, ) =
+,
0 ) =
(+1 + + − ),
(9.26)
33 Sin embargo, nada puede impedirnos tomar otras decisiones, compatibles con (9.18), en la teoría de la libertad
campos; por ejemplo, uno puede establecer = y = 1
( + ).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 48
se conoce como el caso normal [18, apéndice F]; en él el comportamiento relativo de bose (resp.
fermi) campos es como en el caso de un solo campo, es decir, son cuantificados a través de conmutadores (resp.
anticommutadores) como (, ) = (+1, 0) (resp. (, ) = (−1, 0)), y el de bose y
fermi campo es como en el caso de un solo campo fermi, a saber. la cuantificación es a través de los conmutadores como
(, ) = (+1, 0). Todas las combinaciones entre ♥
± y
Se remiten 0,1 diferentes de (9,26)
como casos anómalos. Por encima suponemos que el par (α, β) a ser fijado. Si α y β son arbitrarios,
el único cambio esencial que esto implica es en (9.25), donde la elección de los subíndices +, −, 0
y 1 puede depender de α y β. En esta situación general, el caso normal se define como el
cuando (9.26) se mantiene para todos los α y β. Todas las demás combinaciones se denominan casos anómalos;
tales son, por ejemplo, los casos en que algunos operadores de fermi y bose satisfacen la anticommutación
relaciones, por ejemplo. (9.19) con = −1 para + = 0, o algunos campos de fermi se someten a
relaciones de conmutación, como (9.19) con = +1 para = = −1. Para algunos detalles sobre esto
, véase, por ejemplo, [18, apéndice F], [7, capítulo 20] y [27, sección 4-4]. Campos/operadores
para el cual = +1 (resp. = −1), con β 6= α, se refieren como parabosa relativa (resp.
parafermi) en la teoría del parafield [17,18]. Se puede transferir esta terminología en el
y llame a los campos/operadores para los cuales = +1 (resp. = −1), con β 6= α, relativo
bose (resp. fermi) campos/operadores.
Además, las relaciones (9.19) se referirán como la conmutación bilineal multicampo rela-
ciones y se asumirá que representan la generalización de la com-
las relaciones de tion (6.13) cuando estamos tratando con varios, no menos de dos, diferentes cuánticos
campos. Los valores particulares de y en ellos son insignificantes en el siguiente; si uno
gustos, uno puede fijarlos como en el caso normal (9.26). Además, incluso la definición (9.19)
de es completamente inesencial en absoluto, como siempre aparece en combinaciones como lαmβ
(véase (9.19) o relaciones similares, como (9.27), que son no evasivas si β = α, pero
entonces = ; por lo que uno puede escribir libremente para en todos estos casos.
Equipados con (9.19) y (9.18), podemos generalizar (9.7) de diferentes maneras. Por ejemplo,
la generalización directa de (6.16) es:
, [a+
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
+ 2lαnγa
= 0 (9,27a)
a+lα, [a
, a-nγ ]
+ 2lαnγa
= 0 (9,27b)
, [a+
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
− 2lαmβa−nγ = 0 (9,27c)
a-lα, [a
, a-nγ ]
− 2lαmβa−nγ = 0. (9.27d)
Sin embargo, generalmente, las relaciones (9.19) no se convierten (9.27) en identidades. La razón es
que una igualdad/identidad como (cf. (6.8))
[blα, cmβ, dnγ ] = [blα, cmβ ] dnγ + cmβ [blα, dnγ ], (9.28)
donde blα, cmβ y dnγ son algunos operadores de creación / aniquilación y
C, puede ser válido
sólo para
= = 1/ ( 6= 0), (9.29)
que, en particular, se cumple si γ = β y = ±1. Por lo tanto, el acuerdo entre (9.19)
y (9.27) depende de la elección concreta de los números . Existen casos en los que incluso
el caso normal (9.26) no puede asegurar (9.19) para convertir (9.27) en identidades; por ejemplo. cuando la
Los campos α-th y β-th son campos de fermión y el campo γ-th es un bosón. Por otra parte, puede
demostrar que (9.19) y (9.27) son compatibles en el caso general si las igualdades inaceptables
como a±
• a±m = 0 espera.
Uno puede llamar (9.27) a las relaciones de paracommutación multicampo como de ellos una correspondencia-
La generalización de (6.18) y/o (6.20) puede derivarse. Para mayor exhaustividad, registraremos
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 49
la versión multicampo de (6.20):
[blα, [b
, bnγ ] ] = 2lαmβbnγ [blα, [bmβ, bnγ ] ] = 0 (9.30a)
[clα, [c
, cnγ ] ] = 2lαmβcnγ [clα, [cmβ, cnγ ] ] = 0 (9.30b)
lα, [c
, cnγ ] ] = −2lαnγb
lα, [b
, bnγ ] ] = −2lαnγc
. (9.30c)
Para más detalles sobre estas relaciones de paracommutación multicampo, se hace referencia al lector [17,
18], donde se considera el caso = = 0.
Dejamos al lector como ejercicio para escribir las versiones multicampo de la commuta-
las relaciones de la Unión (6.22) o (6.23), que proporcionan ejemplos de generalizaciones de (9.7) y, por lo tanto,
de 9.19) y (9.27).
9.2. Relaciones de comunicación relacionadas con la carga y
Operadores de impulso angular
En un caso de varios, no menos de dos, diferentes campos, la conmutación trilineal básica rela-
ciones (6.33), que garantizan la validez de la relación de Heisenberg (5.2) relativa a la carga
operador, léase:
a±lα, [a
− [a+mβ, a
− 2lαmβa±lα = 0 (9,31a)
lα, [a
− [a+mβ, a
+ 2lαmβa
lα = 0. (9.31b)
Por supuesto, estas relaciones sólo se mantienen para aquellos campos que tienen cargos no evasivos, es decir.
en (9.31) se supone (véase (9.1))
* = 0 = 0 ( qαqβ 6= 0). (9.32)
El problema para generalizar (9.31) para estos campos es similar al de (9.7) en el
caso de cargas no discontinuas, = 0. Sin repetir la discusión del Subsect. 9.1,
adoptaremos la regla (9.18) para generalizar las relaciones (anti)commuta-
los operadores de aniquilación de un solo campo. Por sus medios uno puede obtener diferentes general-
ciones de (9.31). Por ejemplo, las relaciones de conmutación.
, a-nγ ] − [a+mβ, a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- 2lαnγa+mβ = 0 (9,33a)
a-lα, [a
, a-nγ ] − [a+mβ, a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- 2lαmβa−nγ = 0 (9,33b)
y sus conjugados ermitaños contienen (9.31) y (6.35) como casos especiales evidentes y están de acuerdo
con (9.19) si γ = β y = +1. Además, la paracommutación multicampo rela-
ciones (9.27) para campos cargados, = = 0, convertir (9.33) en identidades y, en este
sentido, (9.33) de acuerdo con (contener como caso especial) (9.27) para campos cargados. Como ejemplo
de las relaciones de conmutación que no están de acuerdo con (9.27) para los campos cargados y, en consecuencia,
con (9.33), señalaremos los siguientes:
a±lα, [a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
+ lαnγa
= 0 (9,34a)
, a-nγ ]
− lαnγa±mβ = 0, (9,34b)
que son una generalización multicampo de (6.34).
La consideración de las relaciones de conmutación originadas en el «orbital» Heisenberg
la ecuación (5.4) es análoga a la de las mismas relaciones con respecto al operador de carga.
La versión multicampo de (6.49) es:
((mβ) + (nγ))([lα, [ã
, nγ ]
+ [
nγ ] ] )
nγ=mβ
= 4(1 + )lαm
α)•
) (9.35a)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 50
((mβ) + (nγ))([ã
lα, [ã
, nγ ]
+ [
nγ ] ] )
nγ=mβ
= 4(1 + )lαm
α)(ã
lα ) (9,35b)
donde
(l)
α) := (k) = kμ
si lα = (α, sα, k). (9.36)
Aplicando (6.51), con mβ para m y nγ para n, se puede comprobar que el paracom multicampo-
las relaciones de mutación (9.27) convierten (9.35) en identidades y por lo tanto proporcionan una solución de (9.35)
y garantizar la validez de (5.4), cuando se considere el sistema de diferentes campos libres. Un ejemplo
de una solución de (9.35) que no está de acuerdo con (9.27) es proporcionada por el siguiente multicampo
generalización de (6.52):
a+lα, [a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
a+lα, [a
, a-nγ ]
= −(1 + )lαnγa+mβ (9,37a)
a-lα, [a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
a-lα, [a
, a-nγ ]
= +(1 + )lαmβa
nγ, (9.37b)
que proporciona una solución de (9.5). Aviso, la evidente versión multicampo de (6.53) está de acuerdo
con (9.5), pero no está de acuerdo con (9.35) cuando se utilizan los signos inferiores.
Por fin, la exploración multicampo de las relaciones ‘spin’ de Heisenberg (5.5) es un
(véase la versión (9.35) de las consideraciones correspondientes en la segunda parte de la
secc. 6.3. El resultado principal aquí es que las relaciones de conmutación bilineal multicampo (9.19),
, así como sus homólogos para (9.27), garantizar la validez de (5.5).
9.3. Relaciones de comunicación entre las variables dinámicas
El objetivo de esta subsección es discutir/probar las relaciones de conmutación (5.15)–(5.24)
para un sistema de al menos dos campos cuánticos diferentes desde el punto de vista de la conmutación
relaciones consideradas en las subsecciones 9.1 y 9.2.
Para empezar, reescribimos las relaciones de Heisenberg (5.1), (5.2) y (5.4) en términos de
los operadores de creación y aniquilación de un sistema multicampo [1,11]:
, Pμ] = kμa±lα [a
, Pμ] = kμalα (9.38)
[a±lα, Q] = qa
lα [a
lα, Q] = −qa
lα (9.39)
,Mor ] = i(lα)
,Mor ] = i(lα)
, (9.40)
donde lα = (α, sα,k), (lα) se define por (9,36) y k0 =
m2c2 + k2 se establece en (9.38)
y (9.40) (después de las diferencias se realizan en el último caso). Los correspondientes
versión de (5.5) es más complicado y depende del campo en particular considerado (no hacer
¡Suma sobre sα!):
[a,sα(k),Msp] = i~gα
αtα,+
* (k)a
α,tα(k) +
αtα,−
* (k)a
α,tα(k)
α,sα(k),Msp ] = i~hα
αtα,−
* (k)a
α,tα(k) +
αtα,+
* (k)a
α,tα(k)
(9.41)
donde fsα = −1, 0,+1 (dependiendo del campo particular), gα := −hα := 1jjα0 (−1)
jâ € 1 y
sαtα,+
(k) y
sαtα,−
(k) son algunas funciones que dependen fuertemente del campo en particular
considerado, con
sαtα,±
(k) estar relacionado con las funciones de giro (polarización)
sαtα,±
• (k)
(véase (3.14) y (3.11)).34 Como resultado de (5.6), (9.40) y (9.41), uno puede escribir fácilmente el
Las relaciones de Heisenberg (5.3) en una forma similar a (9.38)–(9.41).
34 Si i (k) son las imágenes de Fourier del campo α-th y
i (k) =
i k)ã
α,sα(k) + v
i k)ã
α,sα(k)
, (9.42)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 51
Las relaciones de conmutación en las que interviene el operador de impulso son las siguientes:
[Pμ, P/ ] = 0 [Q, Pμ] = 0
[S., P.] = [M.p., P.] = 0
[L., P. ] = [Mor., P. ] = [M., P. ] = −i P. − P..
(9.45)
Afirmamos que estas ecuaciones son consecuencias de (9.38) y las expresiones explícitas (3.9)–
(3.12) y (5.11)–(5.13) para los operadores de las variables dinámicas de los campos libres con-
en el presente trabajo. De hecho, puesto que (9.38) implica
[b±lα ≤ c
, Pμ] = 0 lα = (α, sα,k), mβ = (β, sβ,k) (9,46a)
[b±lα
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(l
α) c
, Pμ] = ±2(k − k)b±lα α c
, (9.46b)
donde b±lα, c
lα = a
lα, a
lα y
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(l
α) se define a través de (9.36) y (3.13), la verificación de (9.45)
reduce a cálculos algebraicos casi triviales. Además, afirmamos que cualquier sistema de comu-
las relaciones de la tensión consideradas en el subsect. 9.1 implica (9.45): como siempre implican estas relaciones (9.5)
(o versiones multicampo similares de (6.10) y (6.11) en el caso de los lagrangianos (3.1) o (3.3),
) y, a su vez, (9.5) implica (5.1), el resultado requerido sigue de la última
la afirmación y la observación de que (5.1) y (9.38) son equivalentes. Como verificación adicional
de la validez de (9.45), el lector puede probarlos invocando la identidad (6.8) y cualquier
sistema de relaciones de conmutación mencionado en el subsección. 9.1, en particular (9.19) y (9.27).
Las relaciones de conmutación relativas al operador de carga dicen:
[Pμ, Q] = 0 [Q, Q] = 0
[I, Q] = [I, D] = 0
[Mor., Q] = [Msp., Q] = [M., Q] = 0.
(9.47)
Estas ecuaciones son corolarios triviales de (3.9)–(3.12) y (5.11)–(5.13) y la observación
que (9.39) implica
lα â € a
, Q] = [a±lα • a
, Q] = 0 si qα = qβ, (9,48)
debido a (6.8) para η = −1. Dado que cualquiera de los sistemas de relaciones de conmutación mencionados en
Subsecta. 9.2 implica (9.31) (o sistemas de versiones multicampo similares de (6.31) y (6.32), si la
Lagrangians (3.1) o (3.3) son empleados, que es equivalente a (9.39), las ecuaciones (9.47)
mantener si algunos de estos sistemas son válidos. Alternativamente, se puede probar a través de un cálculo directo
que las relaciones de conmutación derivadas del operador de la carga implican la validez de (9.47);
donde v
i (k) son funciones linealmente independientes normalizar a través de la condición
i k)
i (k) =
, (9.43)
con fs
= 1 para jα = 0, 1
y fs
= 0,−1 para (jα, sα) = (1, 3) o (jα, sα) = (1, 1), (1, 2), respectivamente, entonces
(k) :=
i k)
(k) :=
i k)
(9.44)
con Ii
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Además,
(k) =
(k) con la excepción de que
(k) = 0 para
α = 1
y (μ, v) = (a, 0), (0, a) con a = 1, 2, 3.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países de Europa central y oriental 52
para el propósito la identidad (6.8) y las expresiones explícitas para las variables dinámicas vía
los operadores de creación y aniquilación deben ser aplicados.
Por fin, considere las relaciones de conmutación que involucran el diferente impulso angular
operadores:
[P., S. ] = [P., M., M.] = 0
[P., L. ] = [P., Mor. ] = [P., M. ] = +i P. − P.
[Q, L. ] = [Q, S. ] = [Q, Mor. ] = [Q, M. p. ] = [Q. M. ] = 0
[S, M, ] = -i~
# S # # S # # S # # S # S # S # # S # # S # # S # # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S S # S S # S S # S S # S S # S S # S S # S # S # S # S # S # S # S # S # S S # S # S S # S # S S # S S # S S
[Ló,Mó] = -i~
# # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L L # L L # L # L # L # L # L # L # L # L L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L #
[M,M,] = -i~
# M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M
(9.49)
(Los otros conmutadores, que pueden formarse a partir de los diferentes operadores de impulso angular,
son complicadas y no pueden expresarse en forma «cerrada».) La prueba de estas relaciones es
basado en ecuaciones como (véase (9.40) y (6.8))
[blα cmβ,Mor ] = i(lα)
blα • cmβ
lα = (α, sα,k), mβ = (β, sβ,k), (9,50)
con blα, clα = a
lα, a
lα, a
lα, a
lα, y similares, pero más complicados, los que implican el otro
operadores de impulso angular. Por lo general, depende del campo en particular considerado y
se omitirá.
Como se dijo en Subsect. 6.3, las relaciones de Heisenberg sobre el impulso angular
operador(es) no dan lugar a algunas relaciones (algebraicas) de conmutación para la creación y
Operadores de aniquilación. Por esta razón, el único problema es cuál de la conmutación
las relaciones examinadas en las subsecciones 9.1 y 9.2 implican la validez de las ecuaciones (9.49) (o
parte de ellos). La respuesta general de este problema no se conoce, pero, sin embargo, una
cálculo por medio de (9.7), si se mantiene, y (6.8) muestra la validez de (9.49). Desde (9.19)
y (9.27) implican (9.7), esto significa que las relaciones multicampo bilineales y para conmutación
son suficientes para el cumplimiento de (9.49).
Para concluir, dibujemos la moraleja principal del material anterior: el multicampo bilineal
las relaciones de conmutación (9.19) y las relaciones de paracommutación multicampo (9.27) garantizan
la validez de todas las relaciones de conmutación «estándar» (9.45), (9.47) y (9.49) entre el
operadores de las variables dinámicas que caracterizan los campos escalar libre, spinor y vector.
9.4. Relaciones de convivencia en las condiciones de singularidad
Como se ha dicho al final de la introducción de esta sección, los sustitutos (9.4) aseguran la
validez del material de la Secc. 4 en el caso multicampo. Correspondientemente, las consideraciones
en Secc. 7 siguen siendo válidos en este caso a condición de que los cambios
l 7→ lα m 7→ mβ n 7→ nγ
lm 7→ lαmβ = lαmβ
[bm, bm] 7→ [bmβ, bmβ ] [bm, bn] 7→ [bmβ, bnγ ],
(9.51)
con bm (o bmβ ) siendo cualquier operador de creación/aniquilación, y, en algunos casos, (9.4) son
made.35 Sin entrar en detalles, escribiremos los resultados finales.
La versión multicampo de (7.27)–(7.28) es:
E(a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
E([a
, anγ ]) (9.52)
35 Como resultado de (7.11), (7.16) y (7.17), en expresiones como (7.18)–(7.26) debe sustituirse el número
por, donde α y β son los índices de campo correspondientes de los operadores de creación / aniquilación en los que el
el operador E actúa, es decir, * E(bm) * bn) 7→ *
* E(bmβ bnγ ).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 53
a+lα, E([a
nγ ])
+ 2lαnγa
= 0 (9,53a)
, E([a
, a-nγ ] )
+ 2lαnγa
= 0 (9,53b)
a-lα, E([a
nγ ])
− 2lαmβa−nγ = 0 (9,53c)
, E([a
, a-nγ ] )
- 2lαmβa−nγ = 0 (9,53d)
γ =β. (9.53e)
Como se puede esperar, las relaciones (9.53a)–(9.53d) se pueden obtener del paracom multicampo-
relaciones de mutación (9.27) a través de la sustitución [·, ·]• 7→ E([·, ·] ). Debe pagarse de manera especial.
atención en la ecuación (9.53e). Es debido al hecho de que en las expresiones para el dynami-
Las variables cal no entran en «productos cruzados de campo», como un
para β 6= α, y corresponde a
la condición ii) en [17, p. B 1159]. La igualdad (9.53e) es muy importante, ya que sólo selecciona
la parte de las relaciones de paracommutación multicampo «e-transformadas» (9.27)
Patible con las relaciones de conmutación bilineal (9.19) (ver (9.28) y (9.29). Además, (9.53e)
hace (9.53a)–(9.53d) independiente de la definición particular de (véase (9.11)).
Las ecuaciones (9.52) son las únicas restricciones sobre el operador E ; ejemplos de este operador
son proporcionados por el normal (resp. antinormal) operador de pedidos N (resp. A), que tiene la
propiedades (cf. (4.22) (resp. (7.30))
anγ
:= a+
anγ N
• a−nγ
• a−nγ
anγ
:= a
nγ a-mβ N
• a+nγ
:= a+nγ a
(9.54)
anγ
:= a
nγ a+mβ A
• a−nγ
:= a−nγ a
anγ
:= a−
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
• a+nγ
• a+nγ.
(9.55)
El material de Sect. 8 tiene también una variante multicampo que se puede obtener a través de la re-
colocación (9,51) y (9,4). Aquí está un breve resumen de los principales resultados encontrados en que
El operador E debe poseer las propiedades (9.54) y, en este sentido, se puede identificar
con el operador normal de pedidos,
E = N. (9,56)
Como resultado de este hecho y = (véase (9.11)), las relaciones de conmutación (9.53) tomar la
forma definitiva:
a+lα, a
# A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A #
+ ♥lαnβa
= 0 (9,57a)
a+lα, a
+ lαnβa
= 0 (9,57b)
a-lα, a
# A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A #
− lαmβa−nβ = 0 (9,57c)
− lαmβa−nβ = 0 (9,57d)
que es la versión multicampo de (8.17) y corresponde, hasta el reemplazo a ±lα 7→
2a±lα,
a (9.27) con = 0.
El vector de estado de vacío X0 se supone que se define de forma única por las siguientes ecuaciones
(cf. (8.1b)–(8.3)):
a-lα X0 = 0 a
lα X0 = 0 (9,58a)
X0 6= 0 (9,58b)
• X0 X0® = 1 (9,58c)
lα â € a
(X0) = lαmβ X0 a−lα ® a
(X0) = lαmβ X0
(X0) = lαmβ X0 a−lα
(X0) = lαmβ X0.
(9.58d)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 54
El espacio Hilbert F de vectores de estado es una suma directa de los espacios Hilbert Fα de la
diferentes campos y se supone que se extiende por los vectores
... = M(a)
,. . (X0) (9.59)
con M(a+
,. .. ) siendo arbitrario monomial sólo en los operadores de la creación.
Puesto que (9.58a), (9.56) y (9.54) implican la versión multicampo de (8.7), el cálculo de
los valores medios de (8.6), con l1 7→ lα11 etc., de las variables dinámicas se reduce a la
de productos escalares como (cf. (8.5))
lα1
...mβ1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
,. .. )
)† M′(a+
,. .................................................................................................................................
de vectores básicos de la forma (9.59). Por medio de las propiedades básicas (9.58) del vacío,
uno es capaz de calcular las formas más simples de los valores medios de vacío (9.60), a saber. el mul-
versiones de tifield (véase (9.51)) de (8.20) y (8.26). Pero una expresión más general no puede
se calculará por medio de (9.57)–(9.58). Prima facie se puede suponer que el multicampo
relaciones de conmutación (9.19), que aseguran que los vectores (9.59) formen una base del sistema
Hilbert espacio de estados, puede ayudar a calcular de (9.60) en casos más complicados. In
De hecho, este es el caso que funciona perfectamente y cubre los datos experimentales disponibles.
En este sentido, debemos mencionar que la aplicabilidad de (9.19) para el cálculo de (9.60)
está garantizado por la compatibilidad/acuerdo entre (9.19) y (9.57): por medio de (6.8) para
η =, uno puede comprobar que (9.19) se convierte (9.57) en identidades.36
Las relaciones de conmutación (9.57) admiten como solución también la versión multicampo de la
anómalas relaciones de conmutación bilineal (8.27) pero, como hemos dicho antes, conduce a contradic-
ciones y deben ser rechazadas. La existencia de soluciones de (9.57) diferentes de ella y (9.19)
Parece que no se investiga. Si aparece una fecha que no encaja en la descripción por
medios de (9.19), uno debe buscar otras, si las hay, soluciones de (9.57) o compatibles con (9.57)
procedimientos eficaces para calcular valores medios de vacío como (9.60).
10. Conclusión
En este artículo hemos investigado dos fuentes de relaciones de conmutación (algebraica) en el
Teoría cuántica lagrangiana de los campos escalares, espinos y vectores libres: la singularidad de la
Variables dinámicas (momento, carga y momento angular) y el Heisenberg rela-
ciones/ecuaciones para ellos. Si uno ignora el origen anterior, que es el caso ordinario, el
Las relaciones de paracommutación o algunas de sus generalizaciones parecen ser las más adecuadas.
didatos para las relaciones de conmutación más generales que garantizan la validez de todos los Heisenberg
ecuaciones. Sin embargo, la consideración simultánea de las dos fuentes mencionadas revela,
su incompatibilidad en el caso general. La salida de esta situación está en la redefinición
de los operadores de las variables dinámicas, similares al procedimiento normal de ordenación y
conteniendolo como un caso especial. Esta operación garantiza la singularidad de lo nuevo (redefinido)
variables dinámicas y cambia los posibles tipos de relaciones de conmutación. Una vez más, el
relaciones de conmutación, relacionadas con las relaciones de Heisenberg sobre el (redefinido)
operador de impulso, implican la validez de todas las ecuaciones de Heisenberg.
36 Recordar, ecuaciones (9.19) y (9.27), o (9.53a)–(9.53d), para γ 6= β son generalmente incompatibles. Por ejemplo,
con exclusión de algunos casos especiales, como los sistemas que consisten únicamente en campos de fermi (bose) o un campo de fermi (bose), y
número arbitrario de campos de bose (fermi), los únicos operadores que satisfacen (9.19) y (9.27) para γ 6= β y que tienen
la conexión spin-statistics normal son tales que bmβ bnγ = 0, con γ 6 = β y bmβ y cnγ siendo cualquiera
los operadores de creación/aniquilación, lo que, en particular, significa que no hay estados con dos partículas de diferentes
campos pueden existir.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 55
Otras limitaciones a las posibles relaciones de conmutación se derivan de la definición/en-
troducción del concepto de vacío (vacuum state vector). Prácticamente reducen la
redefinición de las variables dinámicas a las obtenidas a través del procedimiento normal de ordenación, que
resulta en la forma explícita (8.17) de las relaciones de conmutación admisibles. En cierto sentido,
Resulta que son ‘la mitad’ de las paracommutaciones. Como último argumento en el camino
para encontrar las relaciones de conmutación ‘única verdad’, requerimos la existencia de procedimiento
para el cálculo de los valores medios de vacío de los productos de creación
operadores de aniquilación, a los que los valores medios de las variables dinámicas y la transición
Se reducen las amplitudes entre los diferentes estados. Hemos señalado que el estándar bilineal
las relaciones de conmutación son, en la actualidad, las únicas conocidas que satisfacen todas las condiciones
impuestos y no contradicen los datos experimentales existentes.
La consideración de un sistema de al menos dos campos cuánticos libres diferentes se encuentra con una nueva
problema: las relaciones generales entre los operadores de creación/aniquilación que
los campos ent pasan a ser indefinidos. La causa de esto es que las relaciones de conmutación para cualquier
campo fijo están bien definidos sólo en el correspondiente a Hilbert subespacio del sistema
Hilbert espacio de los estados y su extensión en todo el espacio, así como la inclusión en
los operadores de creación / aniquilación de otros campos, es una cuestión de convención (cuando libre
se refiere a los campos); esto se refleja formalmente en la estructura de las variables dinámicas
que son sumas de las de los campos individuales incluidos en el sistema objeto de examen.
Sin embargo, hemos presentado argumentos por medio de los cuales el arbitraje a priori existente
en las relaciones de conmutación en las que participan diferentes operadores de campo se puede reducir a la
«estándar»: estas relaciones deben contener conmutadores o anticommutadores de
los operadores de creación/aniquilación que pertenezcan a sectores diferentes. Una teoría de campo libre no puede
hacer la diferencia entre estas dos posibilidades. Aceptando estas posibilidades, el
se consideran las relaciones de conmutación (9.57) para el sistema de varios campos diferentes. Ellos giran.
ser las correspondientes versiones multicampo de las correspondientes a un solo campo. Del mismo modo que el
caso de campo único, las relaciones bilineales estándar de conmutación multicampo parecen ser el único
conocidas que satisfacen todas las restricciones impuestas y están de acuerdo con las existentes
datos.
Agradecimientos
Esta investigación contó con el apoyo parcial del Fondo Nacional de Ciencia de Bulgaria en el marco de la subvención
No. F 1515/2005.
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Introducción
El panorama del impulso
Lagrangianos, ecuaciones Euler-Lagrange y variables dinámicas
Sobre la singularidad de las variables dinámicas
Relaciones con Heisenberg
Tipos de posibles relaciones de conmutación
Restricciones relacionadas con el operador de impulso
Restricciones relacionadas con el operador de la tarifa
Restricciones relacionadas con el operador o operadores de impulso angular
Inferencias
Vectores estatales, valores de vacío y valores medios
Relaciones de convivencia para varios campos libres que coexisten
Relaciones de comunicación relacionadas con el operador de momentum. Problemas y posibles soluciones
Relaciones de comunicación conectadas con los operadores de carga y de impulso angular
Relaciones de comunicación entre las variables dinámicas
Relaciones de convivencia en las condiciones de singularidad
Conclusión
Bibliografía
Este artículo termina en la página
| Posibles relaciones de conmutación (algebraica) en la teoría cuántica lagrangiana
de campos libres (escalar, spinor y vector) se consideran desde matemáticas
punto de vista. Como fuentes de estas relaciones se emplean el Heisenberg
ecuaciones/relaciones para las variables dinámicas y una condición específica para
singularidad de los operadores de las variables dinámicas (con respecto a algunos
clase de Lagrangians). Las relaciones de paracommutación o algunos sus
generalizaciones se señalan como las más generales que implican la validez
de todas las ecuaciones de Heisenberg. El cumplimiento simultáneo del Heisenberg
las ecuaciones y el requisito de unicidad se vuelven imposibles. Este problema es
resuelto a través de una redefinición de las variables dinámicas, similar a la normal
ordenar el procedimiento y contenerlo como un caso especial. Eso implica
cambios correspondientes en las relaciones de conmutación admisibles. Introducción
del concepto de vacío hace estrecha la clase de la posible conmutación
relaciones; en particular, la redefinición mencionada de las variables dinámicas
se reduce a un pedido normal. Como se impone una última restricción a esa clase
el requisito de que exista un procedimiento eficaz para calcular el vacío;
valores medios. Las relaciones bilineales estándar de conmutación son apuntadas como la
sólo los conocidos que satisfacen todas las condiciones mencionadas y no
contradiga a los datos existentes.
| Introducción 1
2 La imagen del impulso 3
3 Lagrangianos, ecuaciones Euler-Lagrange y variables dinámicas 5
4 Sobre la singularidad de las variables dinámicas 10
5 Relaciones con Heisenberg 14
6 Tipos de posibles relaciones de conmutación 20
6.1 Restricciones relacionadas con el operador de impulso. .................................................................................................... 21
6.2 Restricciones relacionadas con el operador de la tarifa......................................................................................................... 25.................................................................................................................................................
6.3 Restricciones relacionadas con los operadores de impulso angular. ....................................................................................... 27
7 Inferencias 31
8 vectores estatales, valores de vacío y valores medios 37
9 Relaciones de convivencia para varios campos libres que coexisten 43
9.1 Relaciones de comunicación con el operador de momentum. Problemas
y sus posibles soluciones.......................... 44
9.2 Relaciones de comunicación conectadas con la carga y el impulso angular
operadores.................................. 49
9.3 Relaciones de comunicación entre las variables dinámicas............................................................................................................................................................................
9.4 Relaciones de comunión en las condiciones de singularidad.........................................................................................................................................................................................................................................................
10 Conclusión 54
Referencias 55
Este artículo termina en página.......................... 57
Resumen
Posibles relaciones de conmutación (algebraica) en la teoría cuántica lagrangiana de la libertad
Los campos (escalar, espinor y vector) se consideran desde el punto de vista matemático. Como fuentes de
estas relaciones se emplean las ecuaciones/relaciones de Heisenberg para las variables dinámicas
y una condición específica para la singularidad de los operadores de las variables dinámicas (con
respeto a alguna clase de lagrangianos). Las relaciones de paracommutación o algunos su gen-
las borraciones son apuntadas como las más generales que implican la validez de todo Heisenberg
ecuaciones. El cumplimiento simultáneo de las ecuaciones de Heisenberg y la singularidad re-
El requisito se vuelve imposible. Este problema se resuelve a través de una redefinición de la dinámica
variables, similares al procedimiento normal de pedido y que lo contienen como un caso especial. Que
implica cambios correspondientes en las relaciones de conmutación admisibles. La introducción de
el concepto de vacío limita la clase de las posibles relaciones de conmutación;
en particular, la redefinición mencionada de las variables dinámicas se reduce a la normalidad
Ordenando. Como última restricción a esa clase se impone el requisito de la existencia de un
procedimiento eficaz para calcular los valores medios de vacío. La conmutación bilineal estándar
las relaciones se señalan como los únicos conocidos que satisfacen todas las condiciones mencionadas y
no contradigan los datos existentes.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones de comunicación 1
1. Introducción
El tema principal de este trabajo es un análisis de las posibles relaciones de conmutación (algebraica)
en la teoría cuántica lagrangiana1 de los campos libres. Estas relaciones se consideran sólo desde
punto de vista matemático y la consecuencia física de ellos, como las estadísticas de muchos-par-
sistemas ticales, no se investigan.
El método canónico de cuantificación encuentra su origen en el mecan clásico de Hamilton.
ics [9, 10] y naturalmente conduce a las relaciones canónicas (anti)commutación [3, 11,12]. Estos
las relaciones pueden obtenerse de diferentes supuestos (véase, por ejemplo, [1,13-15]) y son uno de los
piedras angulares básicas de la teoría de campo cuántico actual.
Teóricamente hay también posibles relaciones de conmutación no canónica. El mejor
ejemplo conocido de que son las llamadas relaciones de paracommutación [16-18]. Pero, sin embargo,
Parece que ninguna de las partículas/campos actualmente conocidos las obedece.
En el presente trabajo se muestra cómo diferentes clases de relaciones de conmutación, entendido
en un sentido amplio como conexiones algebraicas entre los operadores de creación y/o aniquilación,
surgen del formalismo lagrangiano, cuando se aplica a tres tipos de lagrangianos que describen
campos de escalar, spinor y vectores gratis. Su origen es doble. Una mano, un requisito para
singularidad de las variables dinámicas (que se pueden calcular a partir de lagrangianos que conducen a
idéntica ecuación Euler-Lagrange) implica una serie de relaciones específicas de conmutación. Activar
Por otra parte, cualquiera de las llamadas relaciones/ecuaciones de Heisenberg [3, 11], implica
responder a las relaciones de conmutación; por ejemplo, las relaciones de paracommutación surgen de
las ecuaciones de Heisenberg con respecto al operador de impulso, cuando «carga simétrica» La-
2 La combinación de los dos métodos conduce a fuertes, en general
incompatibilidad, restricciones a los tipos admisibles de relaciones de conmutación.
La introducción del concepto de vacío, combinado con la singularidad mencionada de
los operadores de las variables dinámicas, cambia la situación y requiere una redefinición
de estos operadores de una manera similar a la conocida como el pedido normal [1, 3, 11, 12],
que es su caso especial. Algunos supuestos naturales reducen el primero a la letra uno; en
En particular, de esa manera se excluyen las relaciones de paracommutación. Sin embargo, esto no
reducir las posibles relaciones de conmutación a las canónicas. Además, el requisito
disponer de un procedimiento eficaz para calcular los valores medios de vacío (expectación),
que reducen todos los resultados previsibles en la teoría, pone nuevas restricciones, cuya única realidad
la solución en el momento parece ser las relaciones canónicas estándar (anti)commutación.
El diseño de la obra es el siguiente.
Secc. 2 da una idea de la imagen de impulso del movimiento y discute las relaciones
entre los operadores de creación y aniquilación en ella y en la imagen de Heisenberg. En Secc. 3
se revisan algunos resultados básicos de [13-15], parte de los cuales se pueden encontrar también en documentos como [1,
3, 11, 12]. En particular, la expresión explícita de las variables dinámicas a través de la creación
1 En este artículo consideramos sólo la teoría de campo cuántico lagrangiano (canónico) en el que el cuántico
campos están representados como operadores, llamados operadores de campo, actuando en algún espacio Hilbert, que en general
se desconoce si se estudian los campos de interacción. Estos operadores se supone que satisfacer algunas ecuaciones de
movimiento, de ellos se construyen las cantidades conservadas que cumplen las leyes de conservación, etc. Desde el punto de vista
de la teoría de campo cuántico actual, este enfoque es sólo una etapa preliminar para más o menos riguroso
formulación de la teoría en la que los campos están representados a través de distribuciones valoradas por el operador, un hecho necesario
incluso para la descripción de campos libres. Por otra parte, en direcciones no perturbativas, como constructiva y conformal
teorías de campo, los principales objetos son la media de vacío (expectación) valores de los campos y de éstos son
reconstruyó el espacio Hilbert de los estados y la actuación en él campos. Independientemente de estos hechos, el Lagrangian
(canónico) la teoría cuántica del campo es un componente inherente de la mayoría de las formas de presentación de la cuántica
teoría de campo adoptada explícita o implícitamente en libros como [1-8]. Además, el enfoque lagrangiano es una fuente
de muchas ideas para otras direcciones de la investigación, como la teoría del campo cuántico axiomático [3,7,8].
2 Ordinario [3,11], las relaciones de conmutación se postulan y la validez de las relaciones de Heisenberg es
a continuación, verificado. Seguimos el método opuesto mediante la postulación de las ecuaciones de Heisenberg y, a continuación, en busca de
relaciones de conmutación que son compatibles con ellos.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 2
y los operadores de aniquilación se presentan (sin asumir algunas relaciones de conmutación o
orden normal) y se señala la existencia de una familia de tales variables para un determinado
sistema de ecuaciones Euler-Lagrange para campos libres. El último hecho se analiza en la Secc. 4,
donde se dibujan una serie de sus consecuencias, teniendo un sentido de las relaciones de conmutación.
Las relaciones de Heisenberg y las relaciones de conmutación entre las variables dinámicas
se revisan y analizan en Secc. 5. Se señala que la carta debe ser consecuencias
de los primeros. Argumentos se presentan que la ecuación de Heisenberg sobre
el operador de impulso angular debe dividirse en dos independientes,
partes «orbitales» y «spin», respectivamente.
Secc. 6 contiene un método para asignar las relaciones de conmutación a la equa-Heisenberg
ciones. Se muestra que la ecuación de Heisenberg que implica la parte «orbital» de la
El impulso da lugar a una relación diferencial, no algebraica, de conmutación y la única con-
cering la parte ‘spin’ del momento angular implica un complicado integro-diferencial
conexiones entre los operadores de creación y aniquilación. Se presta especial atención a
las relaciones de paracommutación, cuyo tipo particular son los ordinarios, que garantizan
la validez de las ecuaciones de Heisenberg relativas al operador de impulso. Parcialmente es
se analizó el problema de la compatibilidad de los diferentes tipos de relaciones de conmutación de-
Rived. Se ha demostrado que una cierta generalización de las relaciones de paracommutación asegura la
cumplimiento de todas las relaciones de Heisenberg.
Secc. 7 está dedicado a las consecuencias de las relaciones de conmutación derivadas en la Secc. 6
en las condiciones de singularidad de las variables dinámicas presentadas en la Secc. 4. Gen...
Estos requisitos son incompatibles con las relaciones de conmutación. Superar
el problema, se propone una redefinición de las variables dinámicas a través de un método similar a
(y generalizando) el orden normal. Esto, por supuesto, implica cambios en la conmutación
relaciones, cuyas nuevas versiones resultan compatibles con las condiciones de singularidad
y garantizar la validez de las relaciones de Heisenberg.
El concepto del vacío se introduce en la Secc. 8. Reduce (prácticamente) la redefinición
de los operadores de las variables dinámicas a la obtenida a través del orden normal
procedimiento en la teoría de campo cuántico ordinario, pero, sin suposiciones adicionales,
no reducir las relaciones de conmutación a las estándar bilineales. Como último paso en especificar-
En la medida de lo posible las relaciones de conmutación, introducimos el requisito de la teoría
proporcionar una forma eficaz de calcular los valores medios de vacío de (antinormalmente ordenados)
productos de los operadores de creación y aniquilación a los que se reducen todos los resultados previsibles,
en particular, los valores medios de las variables dinámicas. La conmutación bilineal estándar
la relación parece ser la única que sabe en la actualidad que sobrevive a esa última condición, sin embargo
su singularidad a este respecto no se investiga.
Secc. 9 se ocupa de los mismos problemas que se han descrito anteriormente, pero en el caso de los sistemas que
al menos dos campos cuánticos diferentes. El principal obstáculo es el establecimiento de la permutación
las relaciones entre los operadores de creación/aniquilación en relación con diferentes ámbitos. El argumento es
presentaron que deberían contener conmutadores o anticommutadores de estos operadores.
La mayor parte de las relaciones de conmutación correspondientes están explícitamente escritas y los resultados
obtenido para ser similar a los que se acaban de describir, sólo en la versión «multifield».
La sección 10 cierra el documento resumiendo sus principales resultados.
Los libros [1-3] se utilizarán como trabajos de referencia estándar sobre la teoría cuántica de campos. De
por supuesto, esto es más o menos una selección aleatoria entre el gran número de (texto) libros y
ponencias sobre el tema al que se refiere el lector para más detalles u otros puntos de vista.
Para este fin, por ejemplo, [4, 12,19] o la literatura citada en [1–4,12,19] puede ser útil.
A lo largo de este documento ~ denota la constante del Planck (dividido por 2η), c es la velocidad de
luz en el vacío, y yo representa la unidad imaginaria. Los superíndices † y significan respec-
la conjugación y transposición (de operadores o matrices), el superíndice *
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 3
denota conjugación compleja, y el símbolo • denota composiciones de mapas/operadores.
Por la letra f) o por la letra f) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013
f o ♥
fg (:= 1 para f = g, := 0 para f = g) se denota el símbolo Kronecker
dependiendo de los argumentos f y g, y Łn(y), y Rn, representa el dirac n-dimensional
(y) := (y) para y (y) R.
El espacio-tiempo Minkowski es denotado por M. Los índices griegos van de 0 a dimM −1 =
3. Todos los índices griegos serán elevados y reducidos por medio de la norma 4-dimensional
Tensor métrico Lorentz y su inversa con firma (+ − ). Índices latinos
a, b,. .. correr de 1 a dimM − 1 = 3 y, por lo general, etiquetar los componentes espaciales de algunos
objeto. La convención de síntesis de Einstein sobre índices repetidos en diferentes niveles es
Asumió sobre todo el rango de sus valores.
Por fin, debemos dar una explicación de por qué este trabajo aparece bajo el título general
“Teoría cuántica de campo lagrangia en el cuadro de impulso” cuando en ella todas las consideraciones son
hecho, de hecho, en la imagen de Heisenberg con posible, pero no necesario, el uso de la creación y
los operadores de aniquilación en la imagen del impulso. En primer lugar, esencialmente empleamos el obtenido
en [13-15] expresiones para las variables dinámicas en la imagen de impulso para tres tipos de
Lagrangianos. Los operadores correspondientes en la imagen de Heisenberg, que de hecho se utiliza en este
papel, puede obtenerse mediante un cálculo directo, ya que se realiza parcialmente en, por ejemplo, [1] para uno de los
los tipos mencionados de lagrangianos. El punto importante aquí es que en la imagen de Heisenberg
basta con utilizar sólo el formalismo Lagrangiano estándar, mientras que en la imagen de impulso uno
tiene que suponer la computatividad entre los componentes del operador de momentum y
la validez de las relaciones de Heisenberg para ella (véanse las ecuaciones (2.6) y (2.7)). Desde entonces
el análisis de las relaciones de conmutación que pretendemos hacer el cumplimiento de estas relaciones es
no es necesario (son restricciones subsidiarias al formalismo lagrangiano), el Heisenberg
imagen de movimiento es el natural que tiene que ser utilizado. Por esta razón, la expresión para el
las variables dinámicas obtenidas en [13-15] se utilizarán simplemente como sus contrapartes Heisenberg,
pero expresado a través de los operadores de creación y aniquilación en imagen de impulso. El único
ventaja real uno consigue de esta manera es la estructura más natural del angular orbital
operador de impulso. Como las relaciones de conmutación consideradas a continuación son algebraicas, es
no es esencial en qué imagen de la moción están escritos o investigados.
2. El panorama del impulso
Dado que la imagen de movimiento de impulso se utilizará sólo parcialmente en este trabajo, a continuación se
presentó únicamente su definición y la conexión entre los operadores de creación/aniquilación
en ella y en la foto de Heisenberg. Se pueden encontrar detalles sobre la imagen del impulso
en [20,21] y en las secciones correspondientes dedicadas a él en [13-15].
Consideremos un sistema de campos cuánticos, representado en la imagen de movimiento de Heisenberg
por los operadores de campo i(x) : F → F, i = 1,.........................................................................................................................................
F de estados y dependiendo de un punto x en Minkowski espacio tiempo M. Aquí y en adelante,
todas las cantidades en la imagen de Heisenberg serán marcadas por un tilde (onda) “
símbolos. Que P denota el operador vectorial de impulso del sistema (canónico), definido a través de
el operador tensorial de energía-momento T
P :=
x0=const
TØ0μ(x) d3x. (2.1)
Puesto que este operador es Hermiciano, P = P, el operador
U(x, x0) = exp
(xμ − xμ0 ) P
, (2.2)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 4
donde x0 â € TM es arbitrariamente fijo y x â € TM,3 es unitario, es decir. U†(x0, x) := (U(x, x0))† =
U−1(x, x0) := (U(x, x0))−1 y, a través de las fórmulas
X‡ 7→ X (x) = U(x, x0) ( X̃ ) (2.3)
Ã(x) 7→ A(x) = U(x, x0) • ( Ã(x)) • U−1(x, x0), (2.4)
se da cuenta de la transición a la imagen del impulso. Aquí X‡ es un vector de estado en Hilbert del sistema
espacio de estados F y Ã(x) : F → F es (observable o no) función de operador-valorado de x â € M
que, en particular, pueden ser series de potencia polinómica o convergente en los operadores de campo
i(x); respectivamente X (x) y A(x) son las cantidades correspondientes en la imagen del momento.
En particular, los operadores de campo se transforman como
i(x) 7→ i(x) = U(x, x0) i(x) U−1(x, x0). (2.5)
Aviso, en (2.2) el multiplicador (xμ − xμ0 ) se considera como un parámetro real (en el que P es
lineal). Generalmente, X (x) y A (x) dependen también del punto x0 y, para ser bastante correcto, uno
debe escribir X (x, x0) y A(x, x0) para X (x) y A(x), respectivamente. Sin embargo, en la mayoría
situaciones en el presente trabajo, esta dependencia no es esencial o, de hecho, no se presenta
En absoluto. Por esta razón, no lo indicaremos explícitamente.
El cuadro de impulso es más adecuado en las teorías cuánticas de campo en las que la composición
nents P del operador de impulso se desplazan entre sí y satisfacen el Heisenberg
relaciones/ecuaciones con los operadores sobre el terreno, es decir, cuando P y i(x) satisfagan las relaciones:
[ P, P ] = 0 (2.6)]
[ i(x), P] = i i(x). (2.7)
Aquí [A,B]± := A • B ± B • A, • siendo la composición de los mapas signo, es el commuta-
tor/anticommutador de operadores (o matrices) A y B.
Sin embargo, el cumplimiento de las relaciones (2.6) y (2.7) no será supuesto en este artículo
hasta Sect. 6 (véase también la secc. 5).
Dejar a±s (k) y a
k) ser los operadores de creación/aniquilación de algún campo particular libre
(véase secc. 3 infra para una explicación detallada de la notación). Tenemos las conexiones.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
xμkμ U−1(x, x0) • a±s (k) • U(x, x0)
s (k) = e
xμkμ U−1(x, x0) • as (k) • U(x, x0)
m2c2 + k2 (2.8)
cuya forma explícita es
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
kμa±s (k)
s (k) = e
kμas (k)
m2c2 + k2. (2.9)
Más adelante se asumirá (k) y ã
s k) que se definirá en el cuadro de Heisenberg, indepen-
Dental de a±s (k) y a
s (k), por medio del formalismo Lagrangiano estándar. Lo que concierne
los operadores a±s (k) y a
s (k), los consideraremos como definidos a través de (2.9); esto los hace
independiente de la imagen momentánea del movimiento. El hecho de que los operadores así definidos
a±s (k) y a
s (k) coinciden con los operadores de creación/aniquilación en imagen de impulso
(en las condiciones (2.6) y (2.7)) no será esencial en el texto casi completo.
3 La notación x0, para un punto fijo en M, no debe confundirse con la covariante cero covariante coordenada
μ de x que, después de la convención x / := x
μ, se denota con el mismo símbolo x0. Desde el contexto,
siempre estará claro si x0 se refiere a un punto en M o a la covariante cero de un punto
x M.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 5
3. Lagrangianos, ecuaciones Euler-Lagrange
y variables dinámicas
En [13-15] hemos investigado la teoría de campos cuánticos lagrangianos de escalar respectivamente,
spin 1
y campos libres de vectores. Los principales lagrangianos de los que se deriva son, respectivamente,
(véase loc. cit. o, por ejemplo, [1, 3, 11,12]:
Lsc = Lsc(, ) =−
1 + ( )
m2c4 (x) (x) + 1
1 + ( )
c2~2( (x)) ( (x))
3.1a)
Lsp = Lsp(,
•) =− 1
i~c{
(x)C−1 ( (x))
− ( )
(x))C−1 (x)mc2
(x)C−1 (x)
3.1b)
Lv = Lv( , ) =
1 + ( )
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 + ( )
−(
ü) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—))) (—) (—) (—)) (—) (—) (—)) (—)) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) —) (—) (—) (—) (—) —) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—) (—)
μ ) + (
) ( )
3.1c)
Aquí se utiliza la siguiente notación: (x) es un campo escalar, una tilde (onda) sobre un símbolo
significa que está en la imagen de Heisenberg, la daga † denota conjugación ermitaña, :=
( 0, 1, 2, 3) es un campo de 4 espinos,
• := C
:= C( 0) es su carga conjugada con
Siendo las matrices gamma Dirac y la matriz C satisface las ecuaciones C−1C =
y C = −C, Uμ es un campo vectorial, m es la masa del campo (parametro) y la función
(A) :=
1 para A† = A (operador ermitaño)
0 para A† 6= A (operador no ermitaño)
, (3.2)
con A : F → F siendo un operador en los sistemas Hilbert espacio F de estados, se ocupa de
es el campo cargado (no-Hermitano) o neutral (Hermitano, no cargado). Desde un campo de spinor
es una carga uno, tenemos فارسى( ) = 0; a veces por debajo del número 0 = ♥( ) se escribirá
explícitamente para la unificación de la notación.
Hemos explorado también las consecuencias de los ‘cargo conjugado’ lagrangianos
Lsc = Lsc(, ) := Lsc(, ) (3.3a)
Lsp = Lsp(,
(+) := Lsp(
*, ) (3.3b)
Lv = Lv( , ) := Lv(, ), (3.3c)
así como de los lagrangianos ‘simétricos de carga’
Lsc = Lsc(, ) :=
Lsc + Lsc
Lsc(, ) + Lsc(, )
(3.4a)
Lsp = Lsp(,
(+) :=
Lsp + Lsp
Lsp(,
(+) + Lsp(
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(3.4b)
Lv = Lv ( , ) :=
Lv + Lv
Lv( , ) + Lv(, )
. (3.4c)
Es esencial señalar, para un sin masa, m = 0, campo vectorial al formalismo lagrangiano
se añaden como condiciones subsidiarias las condiciones de Lorenz
= 0
μ = 0 (3.5)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 6
sobre las soluciones de las ecuaciones correspondientes de Euler-Lagrange. Además, si lo contrario es
no declarado explícitamente, ninguna otra restricción, como las relaciones (anti)commutación, se supone
que se impondrán a los lagrangianos anteriores. Y una observación técnica, por conveniencia, los campos
, y y su carga conjugada, y, respectivamente, se consideran como
variables de campo independientes.
Que L denota cualquiera de los lagrangianos (3.1) y L (resp. L) el correspondiente
a ella Lagrangian dada vía (3.3) (resp. (3.4)). Físicamente la diferencia entre L y L es
que las partículas para L son antipartículas para L y viceversa. Los dos lagrangianos L
y L no son carga simétrica, es decir. las teorías que surgen de ellos no son invariantes bajo
el cambio de partícula↔antipartícula (o, en términos matemáticos, bajo algunos de los cambios
A menos que se hagan algunas hipótesis adicionales. Contrariamente a
esto, el Lagrangian L es carga simétrica y, en consecuencia, el formalismo en su base
es invariante bajo la partícula de cambio
Las ecuaciones Euler-Lagrange para los lagrangianos L, L y L suceden a la moneda-
cide [13-15]:5
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
( L
()
# # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L.
( L
()
# # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L. # L.
( L
()
= 0, (3.6)
donde χ =,,,
Para el campo escalar, espinor y vector respectivamente.
Desde la creación y aniquilación de los operadores se definen sólo en la base de Euler-La-
Ecuaciones grange [1, 3, 11-15], podemos afirmar que estos operadores son idénticos para el La-
Los granjeros L, L y L. Denominaremos a estos operadores por un ±s (k) y un
s k) con la
convención que a+s (k) (resp. a
s (k)) crea una partícula (resp. antipartículas) con 4-momen-
tum (
m2c2 + k2,k), polarización s (véase más abajo) y carga (−q) (resp. (+q))6 y as (k)
(resp. a-s (k)) aniquila/destruye tal partícula (resp. antipartículas). Aquí y en adelante
k R3 se interpreta como el 3-momento de (anti)partícula y los valores del índice de polarización
s dependen del campo considerado: s = 1 para un campo escalar, s = 1 o s = 1, 2 para respectivamente
sin masa (m = 0) o masivo (m 6 = 0), y s = 1, 2, 3 para un campo vectorial.7
Los modos de campo vectorial sin masa con s = 3 solo pueden entrar en el spin y en el mo- angular orbital
los operadores de menta [15], nosotros, por conveniencia, asumiremos que los índices de polarización s, t,....
tomar los valores de 1 a 2j+1-1- 0m(1− 0j), donde j = 0, 12, 1 es el giro para escalar, espinor
y el campo vectorial, respectivamente, y el valor de 0m := 1 para m = 0 y el valor de 0m := 0 para m 6 = 0;8 si el valor
s = 3 es importante cuando j = 1 y m = 0, se comentará/considerará por separado. De
Por supuesto, los operadores de creación y aniquilación son diferentes para diferentes campos; uno debe
escribir, por ejemplo, ja
(k) para a±s (k), pero no utilizaremos una notación tan complicada y
Asumir que la dependencia de j es implícita.
4 Además, bajo las mismas suposiciones, el Lagrangian L no admite cuantificación vía anticommu-
los tamadores (commutadores) para el campo de giro entero (medio entero), mientras que L y L no hacen la diferencia entre
campos de giro entero y medio entero.
5 Rigurosamente hablando, las ecuaciones Euler-Lagrange para el Lagrangian (3.4b) son identidades como 0 = 0 —
Véase [22]. Sin embargo, a continuación nos ocuparemos de este caso excepcional como se señala en [14].
6 Para un campo neutral, ponemos q = 0.
7 Para mayor comodidad, en [14], tenemos establecido s = 0 si m = 0 y s = 1, 2 si m 6 = 0 para un campo espinor. Para un sin masa
campo vectorial, se puede establecer s = 1, 2, eliminando así el valor «unfísico» s = 3 para m = 0 — véase [1, 11, 15].
En [13], para un campo escalar, la notación
k) y
(k) se utiliza para un ±
k) y a
k), respectivamente.
8 De este modo, el caso (j, s, m) = (1, 3, 0) queda excluido de otras consideraciones; si (j, m) = (1, 0) y
q = 0, el caso considerado más adelante en este trabajo corresponde a un campo electromagnético en el medidor de Coulomb,
como se excluyen los modos con s = 3 [15]. Sin embargo, si el caso (j, s, m) = (1, 3, 0) es importante para algunos
razones, el lector puede obtener fácilmente los resultados correspondientes mediante la aplicación de los de [15].
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 7
A lo largo de este capítulo se usarán con frecuencia las siguientes configuraciones:
0 para el campo escalar
para el campo espinor
1 para campo vectorial
1 para q = 0 (campo neutral (Hermitano))
0 para q 6= 0 (campo cargado (no ermitaño))
(−1)2j =
+1 para el entero j (campos de bose)
−1 para medio entero j (campos fermi)
(3.7)
[A,B]± := [A,B]±1 := A • B ± B • A, (3.8)
donde A y B son operadores en el espacio F de los estados Hilbert del sistema.
Las variables dinámicas correspondientes a L, L y L son, sin embargo, completamente dif-
ferent, a menos que se impongan algunas condiciones adicionales al formalismo lagrangiano [13-15].
En particular, los operadores de impulso P, carga operadores Q, spin operadores S y
los operadores orbitales L, donde = ′, ′′, ′′, para estos lagrangianos son [13-15]:
P =
1 +
2j+10m(10j )
d3kk
m2c2+k2
(k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (a) (k) (k)
(3.9a)
P =
1 +
2j+10m(10j )
d3kk
m2c2+k2
{a+s (k) {as (k) + {a−s (k) {as (k)}
(3.9b)
P =
2 (1 + )
2j+10m(10j )
d3kk
m2c2+k2
{[as (k), a−s (k)] + [a+s (k), as (k)]
(3.9c)
Q = +q
2j+10m(10j)
d3k{as (k) • a−s (k)− •as (k) • a+s (k)} (3.10a)
Q = −q
2j+10m(10j)
d3k{a+s (k) • as (k)− •a−s (k) • as (k)} (3.10b)
Q = 1
2j+10m(10j )
d3k{[as (k), a−s (k)]- [a+s (k), as (k)] (3.10c)
Sс =
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′ k)
+ ss
* (k)a
s k) a+s′(k)
(3.11a)
S =
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s′(k) • a
s k)
+ ss
* (k)a
k) as (k)
(3.11b)
Sс =
(−1)j−1/2j~
2 (1 + )
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)[a)
s k), a
k)]
+ ss
* (k)[a)
s k), a
s′(k)]
(3.11c)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 8
L = x0μ P − x0 ν P
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′ k)
+ lss
* (k)a
s k) a+s′(k)
2 (1 + )
2j+10m(10j )
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• a+s (k)
m2c2+k2
(3.12a)
L = x0μ P − x0 ν P
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s′(k) • a
s k)
+ lss
* (k)a
k) as (k)
2 (1 + )
2j+10m(10j )
a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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as (k)
m2c2+k2
(3.12b)
L = x0μ P − x0 ν P
(−1)j−1/2j~
2 (1 + )
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)[a)
s k), a
k)]
+ lss
* (k)[a)
s k), a
k)]
4(1 + )
2j+10m(10j )
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k)
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as (k) + a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• a+s (k)
m2c2+k2
(3.12c)
Aquí hemos usado la siguiente notación: (−1)n+1/2 := (−1)ni para todos los n+N e i:= +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
B(k) := −
A(k)
B(k) +
A(k) â € kμ
B(k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
B(k)
(3.13)
en el caso de los operadores A(k) y B(k) que dependan de C1 en k,9 y
ss′,±
k) y l)
ss′,±
• (k) son
9 Más en general, si : {F → F} → {F → F} es un mapeo en el espacio del operador sobre Hilbert del sistema
espacio, ponemos A
B := (A) • B + A • • B) para cualquier A,B : F → F. Por lo general [2, 12], esta notación se utiliza
en lugar de =.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 9
algunas funciones de k tales que10
(k) = ss
(k) l
ss′,±
(k) = −lss
(k)
(k) = l
ss′,±
(k) = 0 para j = 0 (campo escalar)
(k) = ss
* (k) =: *
(k) = s
(k) = ss
(k) para j = 1 (campo de vectores)
(k) = −lss
(k) =: l
(k) = −ls
(k) = −lss
(k) para j = 1 (campo de vectores).
(3.14)
En este momento hay que hacer una observación técnica. Las ecuaciones (3.9)–(3.12) fueron de-
rived en [13-15] bajo algunas condiciones adicionales, representadas por ecuaciones (2.6) y (2.7),
que se consideran fuelles en la Secc. 5 y garantizar la eficacia de la
tura de movimiento [21] utilizada en [13-15]. Sin embargo, como se ha demostrado parcialmente, por ejemplo, en [1], cuando el
las cantidades (3.9)–(3.12) se expresan a través de los operadores de creación y aniquilación de Heisenberg
(véase (2.9)), siguen siendo válidos, hasta un factor de fase, y sin hacer el mencionado
suposiciones, es decir, Estas suposiciones son innecesarias cuando se trabaja completamente en Heisenberg pic-
tura. Por esta razón, vamos a considerar (3.9)–(3.12) como consecuencia pura del Lagrangian
formalismo.
Debemos enfatizar, en (3.11) y (3.12) con S y L, = ′, ′′, ′′, se denotan
el giro y orbital, respectivamente, operadores para L, que son el espacio-independiente del tiempo
partes del giro y orbitales, respectivamente, operadores de impulso angular [14, 23]; si el último
los operadores son denotados por S y L
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
con Lagrangian L es [23]
M = L
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* = L + S, * = ′, ′′, * (3,15)
y S = S (y por lo tanto L
(+ = L) if S
Es un operador conservado o, equivalentemente, iff
El tensor canónico de energía momentum del sistema es simétrico.11
Seguir adelante (véase Secc. 6), nos gustaría señalar que las expresiones (3.9c) y, conse-
quently, el Lagrangian L son la base de la cual las relaciones de la paracommutación fueron
primer derivado [16].
Y un último comentario. Arriba hemos expresado las variables dinámicas en la imagen de Heisenberg
a través de los operadores de creación y aniquilación en imagen de impulso. Si uno trabaja completamente en
Imagen de Heisenberg, los operadores (2.9), que representan a los operadores de creación y aniquilación
en la imagen de Heisenberg, debe ser utilizado. Además, en virtud de las ecuaciones
(a±s (k))
† = as (k) (a
s k))
† = as (k) (3.16)
(k)
= s (k)
s (k)
= s (k), (3.17)
algunas de las relaciones relativas a una
s k), por ejemplo. las ecuaciones de Euler-Lagrange y Heisenberg,
son consecuencias de las similares con respecto a a±s (k). En vista de (2.9), consideraremos (3.9)–
(3.12) tal como se obtiene de las expresiones correspondientes en la imagen de Heisenberg haciendo el
sustituciones (k) 7→ a±s (k) y ã
s (k) 7→ as (k). Por lo tanto, (3.9)–(3.12) tendrá, hasta un
factor de fase, un sentido de variables dinámicas en la imagen de Heisenberg expresado a través de la cre-
los operadores de aniquilación en la imagen del impulso.
10 Para la forma explícita de estas funciones, véase [13-15]; véase también la ecuación (6.57) a continuación.
11 En [14,23] los operadores de giros y orbitales están etiquetados con un superíndice izquierdo adicional, que, para la brevedad,
se omite en el presente trabajo, ya que en él sólo estos operadores, no S
• y L.V. • y L.V. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Se tendrá en cuenta. Aviso,
los operadores S
• y L.V. • y L.V. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Por lo general, son dependientes del tiempo, mientras que los orbitales y los giros se conservan, como
un resultado del cual el impulso angular total es también un operador conservado [14,23].
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 10
4. Sobre la singularidad de las variables dinámicas
Let D = Pμ, Q, S-, L- denota una variable dinámica, a saber. el impulso, la carga,
spin, u operador orbital, de un sistema con Lagrangian L. Desde las ecuaciones Euler-Lagrange
para los lagrangianos L′, L′′ y L® coinciden (véase (3.6)), podemos afirmar que cualquier campo satisfactorio
Estas ecuaciones admiten al menos tres clases de operadores conservados, a saber. D′, D′′ y D =
DD′′
.Además, se puede probar que las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangian
Lα,β := αL′ + βL′′ β 6= 0 (4.1)
no dependen de α, β o C y coinciden con (3.6). Por lo tanto existe un parámetro de dos
familia de variables dinámicas conservadas para estas ecuaciones dadas vía
Dα,β := αD′ + βD′′ ≤ β 6= 0. (4.2)
Evidentemente L = L 1
y D = D 1
. Puesto que las ecuaciones Euler-Lagrange (3.6) son lineales
y homogéneo (en los casos considerados), podemos, sin una pérdida de generalidad, restringir el
los parámetros α, β â € C a tal que
• β = 1, (4.3)
que se puede lograr mediante una adecuada renormalización (por un factor ()-1/2) del campo
operadores. Así cualquier campo que satisfaga las ecuaciones Euler-Lagrange (3.6) admite la familia
Dα,β, α + β = 1, de los operadores conservados. Obviamente, esta conclusión es válida si en (4.1) nosotros
sustitúyanse los lagrangianos L′ y L′′ particulares (véanse (3.1) y (3.3) por dos lagrangianos
(de una y las mismas variables de campo) que conducen a ecuaciones idénticas Euler-Lagrange. ¿Cómo...?
siempre, el punto esencial en nuestro caso es que L′ y L′′ no difieren sólo por una divergencia total,
como resultado de los cuales los operadores Dα,β son diferentes para diferentes pares (α, β), β β = 1,12
Puesto que se espera que un sistema físico posea características dinámicas definidas de forma única,
e.g. energía y el momento angular total, y las ecuaciones de Euler-Lagrange se consideran
(en el marco del formalismo lagrangiano) como los que gobiernan la evolución del espacio-tiempo
el sistema considerado, el problema surge cuando los operadores dinámicos Dα,β = 1, son
independientemente de la elección particular de α y β, es decir, del Lagrangian inicial comienza.
El cálculo sencillo muestra que los operadores (4.2), bajo la condición (4.3), son independientes
de los valores particulares de los parámetros α y β si y sólo si
D′ = D′′. (4.4)
Algunas consecuencias de la(s) condición(es) (4.4) se considerarán a continuación, así como posibles formas
por satisfacer estas restricciones al formalismo lagrangiano.
Combinando (3.9)–(3.12) con (4.4), para, respectivamente, D = Pμ, Q, S
campo escalar libre, spinor o vector tiene una única definida dinámica variables si y sólo si
se cumplen las siguientes ecuaciones:
2j+10m(10j )
d3k kμ
m2c2+k2
(k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (k)
• a+s (k) • as (k) • as (k) • a+s (k)
= 0 (4,5)
12 Nota, no hay computatividad o algunas relaciones de conmutación entre los operadores de campo y su carga (o
Hermitiano) conjugado se presuponen, es decir, en este momento, trabajamos en una teoría sin tales relaciones y
orden normal.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 11
2j+10m(10j )
(k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (k)
+ a+s (k) • as (k)− • as (k) • a+s (k)
= 0 (4.6)
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′(k)−
ss′,−
* (k)a
k) as (k)
− ss′, (k)a+s′(k)
s (k) +
ss′,+
* (k)a
s k) a+s′(k)
= 0 (4,7)
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a) a) k) a) l
ss′,−
* (k)a
k) as (k)
− lss′, (k)a+s′(k)
s k) + l
ss′,+
* (k)a
s k) a+s′(k)
2j+10m(10j )
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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Aa-s (k)a-s (k)
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as (k)
−a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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•a+s (k)
m2c2+k2
(4.8)
En (4.6) se mantiene el factor constante q como en el caso neutral es igual a cero y,
consecuentemente, la ecuación (4.6) se reduce a identidad.
Dado que las ecuaciones Euler-Lagrange no imponen algunas restricciones a la creación y
operadores de aniquilación, las ecuaciones (4.5)–(4.8) pueden considerarse como condiciones subsidiarias
sobre el formalismo lagrangiano y puede servir como ecuaciones para la determinación (parcial) de la
creación y aniquilación de operadores. El sistema de ecuaciones integrales (4.5)–(4.8) es bastante
complicado y no vamos a investigarlo en el caso general. Abajo lo haremos.
nos limitamos al análisis de sólo aquellas soluciones de (4.5)–(4.8), en su caso, para las cuales la
los integrands en (4.5)–(4.8) desaparecen. Esto significa que reemplazaremos el sistema de
ecuaciones (4.5)–(4.8) con respecto a los operadores de creación y aniquilación con lo siguiente:
sistema de ecuaciones algebraicas (no sumar sobre s y s′ en (4.12) y (4.13)!):
(k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (k) (k) (k) (k) = 0 (4,9)
(k) (k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (k) (k) (k) (a) (k) (k) (a) (k) (k) (k) (a) (k) (k) = 0 si q 6= 0
(4.10)
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
• a−s (k) + •a−s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
−a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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•a+s (k)
m2c2+k2
(4.11)
* (k)a
s k) a-s′(k)−
ss′,−
* (k)a
k) as (k)
− ss′, (k)a+s′(k)
s (k) +
ss′,+
* (k)a
s k) a+s′(k)
= 0 (4,12)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 12
* (k)a
s k) a) a) k) a) l
ss′,−
* (k)a
k) as (k)
− lss′, (k)a+s′(k)
s k) + l
ss′,+
* (k)a
s k) a+s′(k)
= 0 (4,13)
Aquí: s = 1,......, 2j + 1 − 0m(1 − 0j) en (4.9)–(4.11) y s, s′ = 1,...., 2j + 1 − 0m(1 −
1j) en (4.12) y (4.13). (Aviso, en virtud de (3.14), las ecuaciones (4.12) y (4.13) son
válida idénticamente para j = 0, es decir, para campos escalares.) Puesto que todos los índices de polarización entran en (4,5)
y (4.6) en pie de igualdad, no sumamos sobre s en (4.9)–(4.11). Pero en (4.12) y (4.13)
hemos retenido el signo de sumación como los modos con polarización definida no se pueden individualizar
en el caso general. Uno puede obtener versiones más débiles de (4.9)–(4.13) sumando en ellas
sobre los índices de polarización, pero no vamos a considerar estas condiciones a continuación, independientemente de
el hecho de que también garantizan la singularidad de las variables dinámicas.
Al principio, considere las ecuaciones (4.9)–(4.11). Puesto que para un campo neutral, q = 0, tenemos
s (k) = a
k), que significa físicamente coincidencia de partículas y antipartículas del campo,
las ecuaciones (4.9)–(4.11) se mantienen idénticas en este caso.
Consideremos ahora el caso q 6= 0, es decir. el campo investigado que debe imputarse a uno. Usando el
notación estándar (cf. (3.8))
[A,B]η := A •B + ηB •A, (4.14)
para los operadores A y B y η C, reescribimos (4.9) y (4.10) como
[as (k), a
s (k)] − [a+s (k), as (k)] = 0 (4,9′)
[as (k), a
s (k)] + [a
s k), a
s (k)] = 0 si q 6= 0, (4,10′)
que son equivalentes a
[as (k), a
s (k)] = 0 si q 6= 0. (4.15)
Diferenciando (4.15) e insertando el resultado en (4.11), uno puede verificar que (4.11) es
equivalente a
as (k),
• a−s (k)
a+s (k),
as (k)
m2c2+k2
= 0 si q 6= 0, (4.16)
Considere ahora (4.12) y (4.13). Por medio de la taquigrafía (4.14), leen
* (k)[a)
s k), a
(k)] +
ss′,+
* (k)[a)
s k), a
(k)]
= 0 (4,17)
* (k)[a)
s k), a
(k)] + l
ss′,+
* (k)[a)
s k), a
(k)]
= 0. (4.18)
Para un campo escalar, j = 0, estas condiciones se mantienen idénticamente, debido a (3.14). Pero para j 6= 0 ellos
imponer nuevas restricciones al formalismo. En particular, para los campos vectoriales, j = 1 y فارسى = +1
están satisfechos if (véase (3.14))
[as (k), a
(k)] − [as (k), a+s′(k)] − [a
k), a−s (k)] + [a
(k), a+s (k)] = 0. (4.19)
Uno puede satisfacer (4.17) y (4.18) si la siguiente generalización de (4.15) se mantiene
[as (k), a
(k)] = 0. (4.20)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 13
Para spin j = 1
(y, por lo tanto, • = −1 – véase (3.7)), las condiciones (4.12) y (4.13) no pueden
simplificar mucho, pero, si se requiere la desaparición de los coeficientes de operador después de
ss′,±
k) y l)
ss′,±
* (k), se obtiene
as (k) as′(k) = 0 j =
* = −1. (4.21)
Excluidos algunos casos especiales, por ejemplo: campo escalar neutro (q = 0 y j = 0), el equa-
ciones (4.15) y (4.21) son inaceptables desde muchos puntos de vista. El principal de ellos es que ellos
son incompatibles con las relaciones ordinarias de (anti)commutación (véase, por ejemplo, por ejemplo. [1, 11, 12, 18]
o Secc. 6, en particular, ecuaciones (6.13) abajo; por ejemplo, (4.21) significa que los actos de
la creación y aniquilación de (anti)partículas con características idénticas debe ser mutuamente
independiente, lo que contradice la teoría existente y los datos experimentales.
Ahora intentaremos otra manera de lograr la singularidad de las variables dinámicas para
campos libres. Puesto que en (4.9)–(4.13) naturalmente aparecen (anti)commutadores entre la creación y
los operadores de aniquilación y estos (anti)commutadores desaparecen bajo el estándar normal o-
dering [1,11,12,18], se puede suponer que las expresiones normalmente ordenadas de la dinámica
Las variables pueden coincidir. Analicemos este método.
Recordar [1, 3, 11, 12], el operador normal de orden N (para la teoría de campo libre) es un lineal
operador en el espacio de operador del sistema considerado de tal manera que para un producto (composición)
c1 · · · · · cn de n · N creación y/o aniquilación de operadores c1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
(−1)f cα1 · · · · cαn. Aquí (α1,. .., αn) es una permutación de (1,..., n), todos los operadores de creación
parados a la izquierda de todos los aniquiladores, el orden relativo entre la creación/aniquilación
los operadores se conservan, y f es igual al número de transposiciones entre el fermión
operadores (j = 1
) era necesario lograr el orden justo descrito (“orden normal”) de la
los operadores c1 · · · · · cn en cα1 · · · · cαn.13 En particular, esto significa que
a+s (k)
t p)
= a+s (k)
t (p) N
as (k) a−t (p)
= as (k) a−t (p)
a–s k)
t p)
t p) a−s k) N
as (k) a+t (p)
= A+t (p) As (k) (4.22)
y, en consecuencia, tenemos
[as (k), a
t (p)]
= 0 N
[a±s (k), a
t (p)]
= 0, (4,23)
debido a Ł := (−1)2j = ±1 (véase (3.7)). (De hecho, sólo por debajo de las igualdades (4.22) y (4.23),
no se aplicará la definición general de un producto normal.)
Aplicando el operador normal de pedidos a (4.9′), (4.10′), (4.17) y (4.18), nosotros, en vista de
de (4.23), obtener la identidad 0 = 0, lo que significa que las condiciones (4.9), (4.10), (4.12)
y (4.13) se satisfacen idénticamente después del pedido normal. Esto se confirma en la solicitud
de N a (3.9) y (3.10), que resultan respectivamente en (véase (4.22)
N (Pû ) = N (Pû )
1 +
2j+10m(10j )
d3kk
m2c2+k2
(k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (4.24)
13 Hemos modificado ligeramente la definición dada en [1,3,11,12] porque no hay relaciones (anti)commutación son
presentado en nuestra exposición hasta el momento. En este documento no nos ocupamos del problema de la eliminación de
los operadores «no físicos» a±
k) y a
(k) de los operadores de giro y de impulso orbital cuando j = 1; para
los detalles, véase [15], donde se demuestra que, para un campo electromagnético, j = 1 y q = 0, una manera de lograr esto
es añadiendo al número f por encima del número de transposiciones entre a±s (k), s = 1, 2 y a
k) Se necesita
por conseguir un orden normal.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 14
N (Q) = N (Q) = 1
1 +
2j+10m(10j )
d3k{as (k) • a−s (k)− a+s (k) • as (k)}.
(4.25)
Por lo tanto, el pedido normal garantiza la singularidad del impulso y los operadores de carga,
si los redefinimos, respectivamente, como
P := N (P ) Q := N (Q). (4.26)
Poniendo := kμ
− k/ kμ y utilizando (4.22), se puede verificar que
a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
as (k)
= a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
as (k)
as (k)
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a−s (k)
= as (k)
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a−s (k)
a–s k)
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as (k)
= as (k)
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a−s (k)
as (k)
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a+s (k)
= a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
as (k).
(4.27)
Como consecuencia de estas igualdades, la acción de N en los l.h.s. de (4.11) desaparece. Com-
binding este resultado con el hecho mencionado de que el orden normal convierte (4.12) y (4.13)
en las identidades, vemos que el procedimiento normal de pedido asegura también la singularidad de la vuelta
y operadores orbitales si los redefinimos respectivamente como:
S := N (S ) := N (S ) =
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′(k) +
ss′,+
* (k)a
s′(k) • a
s k)
(4.28)
L := N (L) := N (L) = x0μ P − x0 / P +
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
* (k)a
s k) a-s′ k) + Łl
ss′,+
* (k)a
k) as (k)
2 (1 + )
2j+10m(10j )
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k)
+ a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
m2c2+k2
(4.29)
donde se aplicó (3.14).
5. Relaciones con Heisenberg
Los operadores conservados, como los operadores de impulso y carga, se identifican a menudo con el
Generadores de las transformaciones correspondientes bajo las cuales el operador de acción es invari-
ant [1, 3, 11, 12]. Esto lleva a una serie de relaciones de conmutación entre los componentes
de estos operadores y entre ellos y los operadores de campo. Las relaciones de la carta
conjunto son conocidos/referidos como las relaciones de Heisenberg o ecuaciones. Ambos tipos de comuta-
las relaciones entre las regiones son de origen geométrico puro y, en consecuencia, son completamente
el formalismo lagrangiano; una de las razones es que la identificación mencionada es, en
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 15
general, inaceptable y se puede llevar a cabo sólo en algún subconjunto de Hilbert del sistema
espacio de los estados [23, 24]. Por lo tanto su validez en una teoría pura lagrangia es cuestionable
y debe verificarse [11]. Sin embargo, las relaciones consideradas son condiciones más débiles que
la identificación de los operadores correspondientes y existen pruebas fehacientes de que estos
las relaciones deben ser válidas en una teoría de campo cuántico realista [1,11]; por ejemplo, la computatividad debe ser
entre el impulso y los operadores de carga (véase más abajo (5.18) expresa el hecho experimental
que el 4-momento y la carga de cualquier sistema son simultáneamente cantidades mensurables.
Se conoce [11], en un enfoque Lagrangiano puro, las ecuaciones de campo, que son generalmente
identificados con el Euler-Lagrange, 14 son las únicas restricciones a los operadores de campo. Además,
estas ecuaciones no determinan exclusivamente los operadores de campo y la letra se puede expresar
a través de los operadores de creación y aniquilación. Puesto que los últimos operadores se quedan completamente
arbitrario por un formalismo lagrangiano puro, uno es libre de imponerles cualquier sistema de
restricciones compatibles. Los ejemplos más conocidos de este tipo son los famosos canónicos
(anti)relaciones de conmutación y su generalización, la llamada paracommutación rela-
ciones [16,18]. En general, el problema de la compatibilidad de dicha filial con el Lagrangian
formalismo sistema de restricciones con, por ejemplo, las relaciones Heisenberg es abierto y
requiere una investigación particular [11]. Por ejemplo, incluso la (anti)commutación canónica
las relaciones para el campo electromagnético en el calibre Coulomb son incompatibles con el Heisenberg
Ecuación que implica el operador de impulso angular (total) a menos que la simetría del calibrador de este
campo se tiene en cuenta [11, § 84]. Sin embargo, las relaciones de (para)commutación son, por
la estructura, compatible con las relaciones de Heisenberg en relación con el operador de impulso (véase [16]
o por debajo del subsecto. 6.1). El enfoque ordinario va a ser impuesto un sistema de ecuaciones sobre
los operadores de creación y aniquilación y, a continuación, comprobar su compatibilidad con, por ejemplo,
las relaciones de Heisenberg. En las próximas secciones investigaremos la situación opuesta:
suponiendo la validez de (algunas de) las ecuaciones de Heisenberg, las posibles restricciones sobre
los operadores de creación y aniquilación serán explorados. Para este propósito, a continuación brevemente
revisar las relaciones de Heisenberg y otras relacionadas con ellos.
Considerar un sistema de campos cuánticos i(x), i = 1,......... N, donde i(x) denotan la
componentes de todos los campos (y sus conjugados ermitaños), y P, Q
impulso, carga y (total) operadores de impulso angular, respectivamente. El Heisenberg
las relaciones/ecuaciones de estos operadores son [1, 3, 11,12]
[ i(x), P] = i~
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(5.1)
[ i(x), Q] = e( i)q i(x) (5.2)
[ i(x), M ] = ix i(x)− x i(x) i~
i′(x). (5.3)
Aquí: q = const es la carga de los campos, e( i) = 0 si
i = i, e( i) = ±1 si
i 6 = i con
e( i)+e(
i ) = 0, y las constantes I
i-Ii = −Ii
i caracterizar las propiedades de transformación
de los operadores de campo bajo 4 rotaciones. (Si Ł( i) 6= 0, es una convención si poner
(( i) = +1 o فارسى( i) = −1 para un i fijo.)
Quisiéramos hacer algunas observaciones sobre (5.3). Desde su r.h.s. es una suma de dos operadores,
la primera (segunda) caracterización de las propiedades de impulso angular orbital puro (spin) de
el sistema considerado, la idea surge para dividir (5.3) en dos ecuaciones independientes, una
involucrando al operador de impulso angular orbital y otro referente al angular de giro
operador de impulso. Esto se apoya en la observación de que, al parecer, no se conoce ningún proceso
para transformar el momentum angular orbital en spin uno y v.v. (sin destruir el
14 Recuerda, hay lagrangianos cuyas ecuaciones clásicas Euler-Lagrange son identidades. Sin embargo, su
tratamiento correcto y riguroso [22] revela que implican ecuaciones de campo que son matemáticamente correctas
y físicamente sensato.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 16
system). Por lo tanto, se puede suponer la existencia de los operadores M
• De tal manera que:
[ i(x), Mсo(x)} = ix i(x)− x i(x)} (5.4)
[ i(x), M
(x) (5.5)
M = M (5.6)
Sin embargo, como demuestran los cálculos particulares [5,14,15], ni el giro (resp. orbital)
ni el giro (resp. orbital) operador de impulso angular es un candidato adecuado para M
(resp. Mûorlö). Si asumimos la validez de (5.1), entonces las ecuaciones (5.4) y (5.5) pueden ser
satisfecho si elegimos
(x) : = xμ P − x/ P (5,7)
(x) = {xμ P − x/ P (5.8)
con M satisfaciendo (5.3). Estos operadores no son los conservados. Esa representación
está de acuerdo con las ecuaciones (3.12), según las cuales el operador (5.7) entra adi-
tily en las expresiones para el operador orbital.15 El sentido físico del operador (5.7)
es que representa el impulso angular orbital del sistema debido a su movimiento como un
Todo. Respectivamente, el operador (5.8) describe el momento angular del sistema como resultado
de su movimiento interno y/o estructura.
Dado que el impulso angular de giro (orbital) está asociado con la estructura (movimiento)
de un sistema, en el operador (5.8) se mezclan el giro y el momento angular orbital. Estos
las cantidades pueden separarse completamente a través de las siguientes representaciones de los operadores
M. M. y M.
En la imagen del impulso (cuando (5.1) se mantiene)
M. = xμ P. − xμP. + Lint. (5.9)
M.P. = M. − (xμ P. − xμ P.μ)− Lint., (5.10)
donde Lint® describe el momento angular orbital «interno» del sistema considerado, y
depende del Lagrangian que hemos empezado. Por lo general dicho, Lint es la parte de la
Operador de impulso angular orbital que contiene derivados de la creación y aniquilación
operadores. En particular, en el caso de los lagrangianos L′, L′′ y L® (véase la secc. 3), las formas explícitas
de los operadores (5.9) y (5.10), respectivamente:
M′ = xμP − x / P
2 (1 + )
2j+10m(10j)
as (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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• a−s (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• a+s (k)
m2c2+k2
(5.11a)
M′′ = xμP − x / P
2 (1 + )
2j+10m(10j)
a+s (k)
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as (k)
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as (k)
m2c2+k2
(5.11b)
15 Esto es evidente en la imagen de impulso del movimiento, en la que xμ representa x0μ en (3,12) — véase [13-15].
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 17
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
4(1 + )
2j+10m(10j)
as (k)
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• a−s (k)
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as (k) + a+s (k)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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as (k)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• a+s (k)
m2c2+k2
(5.11c)
M′ spoe =
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
(k) + l
ss′,−
* (k))a
s k) a-s′ k)
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
* (k))a
s k) a+s′(k)
(5.12a)
M′′ spoe = l
(−1)j−1/2j~
1 +
2j+10m(11j)
s,s′=1
(k) + l
ss′,+
* (k))a
k) as (k)
+ (lss)
* (k) + (e)
ss′,−
* (k))a
k) as (k)
(5.12b)
Más sà =
(−1)j−1/2j~
2 (1 + )
2j+10m(11j)
s,s′=1
(k) + l
ss′,−
(k)[a]
s k), a
s′(k)]
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
(k)[a]
s k), a
k)]
(5.12c)
Obviamente (véase secc. 2), las ecuaciones (5.12) tienen la misma forma en la imagen de Heisenberg en
los términos de los operadores (2.9) (sólo se deben añadir tilos sobre M y a), pero el
ciones (5.11) cambian sustancialmente debido a la existencia de derivados de la creación y
operadores de aniquilación en ellos [13-15]:
M o =
2 (1 + )
2j+10m(10j )
s (k)
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s (k)
m2c2+k2
(5.13c)
A partir de (5.13) y (5.12) es evidente que los operadores M
Se conservarán los datos así definidos.
(contrariamente a (5.7) y (5.8)) y no dependen de la validez de la
ciones (5.1) (contrario a las expresiones (5.11) en el cuadro de impulso).
El problema de si los operadores (5.12) y (5.13) satisfacen las ecuaciones (5.4)
y (5.5), respectivamente, se considerarán en la secc. 6.
Hay una diferencia esencial entre (5.4) y (5.5): la ecuación (5.5) depende de
las propiedades particulares de los operadores i(x) por debajo de 4 rotaciones a través de los coeficientes I
(véase (5.25) infra), mientras que (5.4) no depende de ellos. Esto se refleja explícitamente en (5.11)
y (5.12): el anterior conjunto de ecuaciones es válido independientemente de la naturaleza geométrica de la
campos considerados, mientras que el último depende de él a través de las funciones ‘spin’ (polarización)
ss′,±
k) y l)
ss′,±
* (k). Observaciones similares (5.3), por una parte, y (5.1) y (5.2), sobre
otra mano: la forma particular de (5.3) depende esencialmente de las propiedades geométricas
de i(x) bajo 4 rotaciones, las otras ecuaciones son independientes de ellas.
También hay que señalar, la relación (5.3) no se sostiene para un canon
campo electromagnético en el medidor de Coulomb a menos que algunos términos adicionales que su r.h.s., refleja
la simetría del gálibo del campo, se tendrá en cuenta [11, § 84].
Como se dijo anteriormente, las relaciones (5.1)–(5.3) son de origen geométrico puro. Sin embargo,
la última discusión, concerniente a (5.4)–(5.8), revela que los términos en llaves en (5.3) deben ser
conectado con el operador de impulso en el enfoque (puro) Lagrangian. Más precisamente,
en el fondo de las ecuaciones (3.11a)–(3.12c), la relación de Heisenberg (5.3) debería ser
sustituida por
[ i(x), M ] = xμ[ i(x), P ] − x v [ i(x), P] + i~
* i′(x), (5.14)
que es equivalente a (5.3) si (5.1) es verdad. Una ventaja de la última ecuación es que es válida
en cualquier imagen de movimiento (en la misma forma) mientras que (5.3) sólo se mantiene en la imagen de Heisenberg.16
Obviamente, (5.14) es equivalente a (5.5) con M
El otro tipo de relaciones geométricas mencionadas al principio de esta sección son
conectado con las relaciones básicas que definen el álgebra de Lie del grupo Poincaré [7, pp. 143–
147], [8, secc. 7.1]. Requieren el cumplimiento de las siguientes ecuaciones entre las com-
los ponentes P del impulso y M de los operadores de impulso angular [3, 5, 7, 8]:
[ P, P ] = 0 (5.15)
[M, P] = −i~( P − P). (5.16)
[M, M] = -i~
M − M − M + M
. (5.17)
Nos gustaría prestar atención al signo menos en el multiplicador (-i~) en (5.16) y (5.17)
con respecto a las referencias anteriores, donde i~ se encuentra en lugar de −i~ en estas ecuaciones. Cuándo
16 En otras imágenes de movimiento, por lo general, términos adicionales en la r.h.s. de (5.3) aparecerá, es decir. el funcional
forma de los r.h.s. de (5.3) no es invariante bajo los cambios de la imagen del movimiento, contrariamente a (5.14).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 19
(una representación de) el Lie álgebra del grupo Poincaré se considera, esta diferencia en el
signo es insignificante ya que puede ser absorbido en la definición de M. Sin embargo, el cambio
del signo del operador de momentum angular, M 7→ −M, resultará en el cambio
i~ 7→ ~ i~ en los r.h.s. de (5.3). Esto significa que las ecuaciones (5.15), (5.16) y (5.3), cuando
considerados juntos, requieren una elección adecuada de los signos del multiplicador i~ a su derecha
los lados de la mano como estos signos cambian simultáneamente cuando M es reemplazado con −M. Desde
ecuaciones (5.3), (5.16) y (5.17) sostienen, cuando M se define de acuerdo con el Noether
teorema y las relaciones ordinarias (anti)commutación son válidas [13-15], aceptamos estos
ecuaciones en la forma en que están escritas arriba.
A las relaciones (5.15)–(5.17) deben añadirse las ecuaciones [3, p. 78]
[ Q, P] = 0 (5.18)
[ Q, M ] = 0, (5.19)
que completan el álgebra de observables y expresan, respectivamente, la traducción y
la invarianza rotacional del operador de carga Q; físicamente significan que la carga y
el impulso o la carga y el impulso angular son simultáneamente cantidades medibles.
Dado que las propiedades de giro de un sistema son generalmente independientes de su carga o impulso,
se puede esperar también la validez de las relaciones17
[ S, P] = 0 (5,20)
[ S, Q] = 0. (5.21)
Pero, como el giro describe, en un sentido, algunas de las propiedades rotacionales del sistema,
igualdad como [ S, L] = 0 no es probable que se mantenga. De hecho, las consideraciones en [13-15] revelan
que (5.20) y (5.21), pero no la última ecuación, son verdaderos en el marco del Lagrangian
formalismo con añadido a él relaciones estándar (anti)commutación. Aviso, si (5.20) y (5.21)
entonces, respectivamente, (5.16) y (5.19) son equivalentes a
[ L, P] = −i~( P − P). (5.22)
[ Q., L. ] = 0. (5.23)
Es intuitivamente claro, no todas las relaciones de conmutación (5.1)–(5.3) y (5.15)–(5.21)
son independientes: si Dś denota algunos de los operadores P, Qś, M, S o L y el
conmutadores [ i(x), D], i = 1,..., N, se conocen, entonces, en principio, se puede calcular el
conmutadores [( 1(x),. ........................................................................ .., N (x)) es, por ejemplo, cualquier
función/funcional bilineal en 1(x),. .., N (x); para probar este hecho, uno debe aplicar el
identidad [A,B + C] = [A,B] • C + B • [A,C] un número adecuado de veces. En particular, si
Denomina dos operadores (distintos) de las variables dinámicas, y [ i(x), D̃1]
se conoce, entonces el conmutador [ D1, D2] se puede calcular explícitamente. Por esta razón, nosotros
puede esperar que:
i) La ecuación (5.1) implica (5.15), (5.16), (5.18), (5.20) y (5.22).
ii) La ecuación (5.2) implica (5.18), (5.19), (5.21) y (5.23).
iii) La ecuación (5.3) implica (5.16), (5.17) y (5.19).
Además, (5.3) puede, posiblemente, implicar ecuaciones como (5.17) con S o L forM, con una excepción
de M en los l.h.s., es decir,
[ S, M ] = -i~
# S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S
[ L, M ] = −i~
# L # # L # # L # # L # # L # L # # L # # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L L # L # L # L L # L L # L # L # L # L L # L # L # L # L L L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L
} (5.24)
17 Recordad, S (resp. L) es el giro conservado (resp. operador orbital), no el generalmente no conservado
spin (resp. operador de impulso angular orbital [23].
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países de Europa central y oriental 20
La validez de las aserciones i)–iii) anteriores para campos escalares, espinos y vectores libres, cuando se especifican:
tily
i(x) 7→ (x), (x) Ii
e( ) = 0 e( ) = −e( ) = +1 (5,25a)
i(x) 7→ (x), (x) Ii
7→ I = I = −
e( ) = −e( ) = +1 (5.25b)
i(x) 7→ (x), (x) Ii
7→ I = I = − e( ) = −e( ) = +1,
(5.25c)
donde := i
[, ] con siendo el Dirac γ-Matrices [1, 25], se prueba en [13-15],
respectivamente. Además, en Loc. cit. se demuestra que las ecuaciones (5.24) sostienen para escalar y vector
campos, pero no para un campo de spinor.18
Así, vemos que las relaciones de Heisenberg (5.1)–(5.3) son más fuertes que la conmutación
relaciones (5.15)–(5.23), cuando se impuso al formalismo lagrangiano como restricciones subsidiarias.
6. Tipos de posibles relaciones de conmutación
En un sentido amplio, por una relación de conmutación entenderemos cualquier relación algebraica
entre los operadores de creación y aniquilación impuestos como restricción subsidiaria a la
Formalismo lagrangiano. En un sentido estrecho, las relaciones de conmutación son las ecuaciones (6.13),
con = −1, escrito a continuación y satisfecho por los operadores de creación y aniquilación del osito. As
las relaciones anticonmutaciones se conocen las ecuaciones (6.13), con فارسى = +1, escrito a continuación y
satisfecho por los operadores de creación y aniquilación fermi. Los dos últimos tipos de relaciones
se refieren a menudo como las relaciones de conmutación bilineal [18]. Teóricamente también son posibles
relaciones trilineales de conmutación, siendo un ejemplo las relaciones de paracommutación [16, 18]
representado a continuación por ecuaciones (6.18) (o (6.20)).
En general, las relaciones de conmutación deben ser postuladas. Alternativamente, ellos
podría derivarse de (equivalentes a ellos) diferentes supuestos añadidos al Lagrangian
formalismo. El propósito de esta sección es explorar posibles clases de conmutación
relaciones, que se derivan de algunas restricciones naturales al formalismo lagrangiano que son
consecuencias de las consideraciones de las secciones anteriores. Se prestará especial atención
sobre algunas consecuencias de la carga simétrica Lagrangians como los campos libres poseen tal
simetría [1, 3, 11,12].
Como se señala en la Sección 3, las ecuaciones Euler-Lagrange para los lagrangianos L, L y L
coinciden y, en la teoría cuántica del campo, el papel de estas ecuaciones se debe señalar el
grados independientes de libertad de los campos en la forma de los operadores de creación y aniquilación
a±s (k) y a
s (k) (que son idénticos para L, L y L). Mayor especialización de estos centros
los operadores son proporcionados por las relaciones de conmutación (en sentido amplio) que desempeñan un papel de campo
ecuaciones en esta situación (con respecto a los operadores mencionados).
Antes de continuar, nos gustaría simplificar nuestra notación. Como una variable de giro, s dicen, es
siempre acoplado con un 3-momentum uno, k decir, vamos a utilizar las letras l, m y n para denotar
pares como l = (s,k), m = (t,p) y n = (r, q). Equipados con esta convención, escribiremos,
p. ej., a±l para una
s k) y a
l por a
s k). Nosotros establecemos: lm := st
3(k−p) y un signo de suma como
Debe entenderse como
d3k, donde el rango de la variable de polarización s será
ser claro desde el contexto (véase, por ejemplo, (3.9)–(3.12).
18 El problema de la validez de las aserciones i)–iii) o ecuaciones (5.24) en el caso general de la arbitrariedad
campos (Lagrangians) no es un tema de la presente obra.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 21
6.1. Restricciones relacionadas con el operador de impulso
En primer lugar, examinemos las consecuencias de la relación de Heisenberg (5.1) que implica la
operador de impulso. Puesto que en términos de creación y aniquilación operadores se lee [1,13-15]
[a±s (k), Pμ] = kμa±s (k) [as (k), Pμ] = kμas (k) k0 =
m2c2 + k2, (6.1)
las ecuaciones de campo en términos de los operadores de creación y aniquilación para los lagrangianos (3.1),
(3.3) y (3.4) respectivamente (véanse [13-15] o (6.1) y (3.9)]:
2j+10m(10j )
m2c2+q2
a±s (k), a
t (q) • a−t (q) + • a
t (q) a+t (q)
± (1 + )a±s (k)
d3q = 0
(6.2a)
2j+10m(10j )
m2c2+q2
as (k), a
t (q) • a−t (q) + • a
t (q) a+t (q)
± (1 + )as (k)
d3q = 0
(6.2b)
2j+10m(10j )
m2c2+q2
a±s (k), a
t q) a
t (q) + Ła
t q) a
t q)
± (1 + )a±s (k)
d3q = 0
(6.3a)
2j+10m(10j )
m2c2+q2
as (k), a
t q) a
t (q) + Ła
t q) a
t q)
± (1 + )as (k)
d3q = 0
(6.3b)
2j+10m(10j )
m2c2+q2
a±s (k), [a
t q), a
t (q)] + [a
t q), a
t (q)]
± (1 + )a±s (k)
d3q = 0
(6.4a)
2j+10m(10j)
m2c2+q2
as (k), [a
t q), a
t (q)] + [a
t q), a
t (q)]
± (1 + )as (k)
d3q = 0,
(6.4b)
donde j y ♥ se dan a través de (3.7), se define la función de conmutación generalizada [·, ·]
por (4.14), y los índices de polarización toman los valores
s, t = 1,...........................................................................................................................................................................................................................................................
1 para j = 0 o para j = 1
y m = 0
1, 2 para j = 1
y m 6= 0 o para j = 1 y m = 0
1, 2, 3 para j = 1 y m 6 = 0
(6.5)
Las versiones "b" de las ecuaciones (6.2)–(6.4) son consecuencias de las versiones "a" y la
ecualidades
(a±l)
† = a
l ) = a
l (6.6)
[A,B]η
= η[A†, B†]η para [A,B]η = η[B,A]η η = ±1. (6.7)
Aplicar (6.2)–(6.4) y la identidad
[A,B,C,C] = [A,B,N,N,C,N,N,N,N,N,N,N,N,N = η = ±1 (6,8)]
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 22
para la elección η = −1, se puede demostrar mediante un cálculo directo que
[ P, P ] = 0 [ Q, P] = 0 [ S, P] = 0
[L, P] = −i P − P [M, P] = −i P − P,
(6.9)
donde los operadores P, Q, S, L, y M denotan el momento, la carga, el giro,
operadores de impulso orbital y angular total, respectivamente, del sistema considerado y
se calculan a partir de uno y el mismo Lagrangian inicial. Este resultado confirma la suposición,
hecho en Secc. 5, que la afirmación (i) antes (5.24) se mantiene para los campos investigados aquí.
A continuación estudiaremos sólo aquellas soluciones de (6.2)–(6.4) para las cuales los enteros en ellos
Desaparece, es decir. reemplazaremos los sistemas de ecuaciones integrales (6.2)–(6.4) por el siguiente
sistemas de ecuaciones algebraicas (véase la convención anterior en los índices l y m y no
suma sobre índices repetidos en un mismo nivel:
a±l, a
m a-m + a-am a+m
± (1 + )lma±l = 0 (6,10a)
l, a
m a-m + a-am a+m
± (1 + Ł)lmal = 0 (6,10b)
a±l, a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
± (1 + l)lma±l = 0 (6.11a)
l, a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
± (1 + Ł)lmal = 0 (6.11b)
a±l, [a
m, a
m] + [a
± 2(1 + l)lma±l = 0 (6.12a)
, [am, a
m] + [a
± 2(1 + )lmal = 0. (6.12b)
Parece que estas son las relaciones de conmutación trilineales más generales y sensibles que uno puede
imponer a los operadores de creación y aniquilación.
En primer lugar, debemos mencionar que las relaciones bilineales estándar de conmutación, a saber. [1,
3, 11 a 15]
[a±l, a
m] = 0 [a
l, a
m ] = 0
[al, a
m] = (±1)2j+1lm idF [a
l, a
m ] = (±1)2j+1lm idF
[a±l, a
m ] = 0 [a
l, a
m] = 0
, am ] = (±1)2j+1lm idF [a
, a±m] = (±1)2j+1lm idF, (6.13)
proporcionar una solución de cualquiera de las ecuaciones (6.10)–(6.12) en un sentido que, debido a (3.7)
y (6.8), con η = cualquier conjunto de operadores que satisfagan (6.13) convierte (6.10)–(6.12) en
identidades.
Además, esta conclusión sigue siendo válida también si se tiene en cuenta el pedido normal,
i.e. si, en este caso particular, los cambios
m a+m 7→ a+m
m y a
m â € a
m 7→ am a−m
se fabrican en (6.10)–(6.12).
Ahora vamos a demostrar cómo las relaciones trilineales (6.12) conducen a la paracommuta-
Relaciones con los países en vías de desarrollo. Las ecuaciones (6.12) pueden dividirse en diferentes tipos de conmutación trilineal
las relaciones en infinitas maneras. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones
a±l, [a
± (1 + l)lma±l = 0 (6,14a)
a±l, [a
m, a
± (1 + )lma±l = 0 (6,14b)
, [a+m, a
± (1 + Ł)lmal = 0 (6,14c)
l, [a
m, a
± (1 + Ł)lmal = 0 (6,14d)
proporciona una solución evidente de (6.12). Sin embargo, es un álgebra simple para ser visto que
estas relaciones son incompatibles con las relaciones estándar (anti)commutación (6.13) y,
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 23
en este sentido, no son adecuados como restricciones subsidiarias al formalismo lagrangiano. Por
nuestro propósito, las ecuaciones
a+l, [a
+ 2lma
l = 0 (6,15a)
a+l, [a
m, a
+ 2lma
l = 0 (6,15b)
a–l, [a
− 2lma−l = 0 (6.15c)
a–l, [a
m, a
− 2lma−l = 0 (6,15d)
y su conjugado ermitaño proporciona una solución de (6.12), que es compatible con (6.13),
i.e. Si (6.13) se mantienen, las ecuaciones (6.15) se convierten en identidades.
La idea de la paracuantización está en la siguiente generalización de (6.15)
a+l, [a
+ 2lna
m = 0 (6.16a)
a+l, [a
m, a
+ 2lna
m = 0 (6.16b)
a–l, [a
− 2lma−n = 0 (6.16c)
a–l, [a
m, a
− 2lma−n = 0 (6,16d)
que se reduce a (6.15) para n = m y es una generalización de (6.13) en un sentido que cualquier conjunto
de los operadores que satisfacen (6.13) se convierte en identidades (6.16), lo contrario es generalmente no
válida.19
Supongamos que el campo considerado consiste en un único tipo de partículas, por ejemplo. electrones o
fotones, creados por b
y aniquilado por bl := a
. Entonces la ecuación Hermitiano
conjugado a (6.15a)
[bl, [b
m, bm]] = 2lmbm. (6.17)
Esta es la relación principal a partir de la cual comienza el artículo [16]. La paracommutación básica
las relaciones son [16-18,26]:
[bl, [b
m, bn]lmbn (6.18a)
[bl, [bm, bn]]. = 0. (6.18b)
El primero de ellos es una generalización (versión más fuerte) de (6.17) sustituyendo el segundo índice
m con una arbitraria, decir n, y la segunda se añade (por “manos”) en la teoría como
una suposición adicional. Obviamente, (6.18) son una solución de (6.15) y por lo tanto de (6.12)
en el caso considerado de un campo formado por una sola clase de partículas.
Las ecuaciones (6.15) contienen también la versión relativista de la paracommutación rela-
ciones, cuando debe respetarse la existencia de antipartículas [18, sec. 18.1). De hecho, notando
que las partículas del campo (resp. antipartículas) se crean por b
:= a+
(resp. c
) y
aniquilado por bl := a
(resp. cl := a
), de (6.15) y el Hermitano conjugado a ellos
ecuaciones, obtenemos
[bl, [b
m, bm]lmbm [cl, [c]
m, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm, cm., cm, cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm., cm.
, [c†m, cm]] = −2lmb†m [c
, [b†m, bm]]. = −2lmc†m. (6.19b)
Generalizando estas ecuaciones de una manera similar a la transición de (6.17) a (6.18), nosotros
obtener las relaciones relativistas de paracommutación como (cf. (6.16))
[bl, [b
m, bn]] = 2lmbn [bl, [bm, bn]] = 0 (6,20a)
[cl, [c
m, cn]lcn [cl, [cm, cn]lcn] = 0 (6,20b)
l, [c
m, cn]. = −2lnb†m [c
l, [b
m, bn]. = −2lnc†m. (6.20c)
19 Otras generalizaciones de (6.15) también son posibles, pero no están de acuerdo con (6.13). Además, es fácil
para ser probado, cualquier otro arreglo (no trivial) de los índices en (6.16) es incompatible con (6.13).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 24
Las ecuaciones (6.20a) (resp. (6.20b)) representan las relaciones de paracommutación para las
partículas (resp. antipartículas) como objetos independientes, mientras que (6.20c) describen un relativista puro
efecto de alguna “interacción” (o sus ausencias) entre las partículas del campo y las antipartículas y
fija las relaciones de paracommutación que involucran a los bl’s y cl’s, como se señala en [18, p. 207]
(donde bl es denotado por al y cl por bl). Las relaciones (6.17) y (6.20) para فارسى = +1 (resp.
Se conoce como la parabosa (resp. parafermi) relaciones de conmutación [18]. Esto
la terminología es natural también con respecto a las relaciones de conmutación (6.16), que
se denominarán también las relaciones de paracommutación.
Como se señaló por primera vez en [16], las ecuaciones (6.13) proporcionan una solución de (6.20) (o (6.18) en el
caso no relativista) pero las últimas ecuaciones admiten también un número infinito de otras soluciones.
Además, tomando conjugaciones ermitañas de (algunas de) las ecuaciones (6.18) o (6.20) y
aplicación de identidades jacobi generalizadas, como
α[[A,B]®, C]η + [[A,C]®/, B]®/η − α2[[B,C]/α, A]1/α = 0 6= 0
β[A, [B,C]α, ] + γ[B, [C,A]β, ] + α[C, [A,B]γ, ] = 0 α, β, γ = ±1
[[A,B]η, C]− + [[B,C]η, A]− + [[C,A]η, B]− = 0 η = ±1
[[A,B], [C,D]η]− = [[A,B], C]−,D]η + η[[A,B],D]−, C]1/η η 6= 0,
(6.21)
uno puede obtener una serie de otras relaciones de (para)commutación a las que se refiere el lector
a [16,18,26].
Por supuesto, las relaciones de paracommutación (6.16), en particular (6.18) y (6.20) como su
versiones más fuertes, no dar la solución general de las relaciones trilineales (6.12). Por
ejemplo, uno puede reemplazar (6.12) con las ecuaciones
a+l, [a
m, a
n ]l+ + [a
+ 2,1 + lna
m = 0 (6,22a)
a–l, [a
m, a
n ]l+ + [a
− 2 (1 + l)lma−n = 0. (6.22b)
y su conjugado ermitaño, que en términos de los operadores bl y cl introducido anteriormente
[bl, [b
m, bn] + [c
m, cm]] = 2,1 + lmbn (6,23a)
[cl, [b
m, bn] + [c
m, cm]] = 2 (1 +
y complementar estas relaciones con ecuaciones como (6.18b). Obviamente, las ecuaciones (6.16) con-
ver (6.22) en identidades y, en consecuencia, las relaciones (estándar) de paracommutación (6.20)
proporcionar una solución de (6.23). En la base de (6.23) u otras ecuaciones similares que pueden ser
se obtiene generalizando los de (6.10)–(6.12), más investigación sobre clases particulares de
relaciones trilineales de conmutación se puede hacer, pero, sin embargo, esto no es un tema del presente
trabajo.
Prestemos atención ahora al hecho de que las ecuaciones (6.10), (6.11) y (6.12) son generalmente
diferentes (independientemente de la existencia de algunas conexiones entre sus soluciones). La causa de
Esto es que los operadores de impulso para los Lagrangians L′, L′′ y L® son en general
diferentes a menos que se añadan algunas restricciones adicionales al formalismo lagrangiano (ver
Secc. 4). Una condición necesaria y suficiente para que (6.10)–(6.12) sea idéntica es
[a±l, [a
m, a
m] − [a+m, am ]] = 0, (6.24)
que ciertamente es válido si la condición (4.9′), a saber.
[am, a
m] − [a+m, am ] = 0, (6.25)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 25
garantizar la singularidad del operador de impulso son, espera. Si se adopta la norma
relaciones bilineales de conmutación (6.13), luego (6.25), y por lo tanto (6.24), es idénticamente válida, pero
en el marco, por ejemplo, de las relaciones de paracommutación (6.16) (o (6.20) en otras formas)
las ecuaciones (6.25) deben postularse para garantizar la singularidad del operador de impulso y
por lo tanto de las ecuaciones de campo.
En la base de (6.10) o (6.11) uno puede inventar otros tipos de relaciones de conmutación,
que no serán investigados en este documento porque nos interesaremos principalmente en el
caso cuando (6.10), (6.11) y (6.12) son idénticos (véase (6.24)) o, más generalmente, cuando
Las variables dinámicas son únicas en el sentido apuntado en la Secc. 4.
6.2. Restricciones relacionadas con el operador de la tarifa
Las consecuencias de las relaciones de Heisenberg (5.2), que involucran al operador de la carga por un cargo
campo, q 6= 0 (y, por lo tanto, = 0 – véase (3.7)), se examinará en esta subsección. En términos de
los operadores de creación y aniquilación es equivalente a [1, 13-15]
[a±s (k), Q] = qa±s (k) [as (k), Q] = −qas (k), (6.26)
los valores de los índices de polarización especificados por (6.5). Sustituyendo aquí (3.10), nosotros
ver que, para un campo cargado, las ecuaciones de campo para los lagrangianos L′, L′′ y L® (véase
Secc. 3) respectivamente:
2j+10m(10j )
d3p{[a±s (k), a
t p) a) a) p) a)
t (p) • a+t (p)] − a±s (k)stØ3(k − p)} = 0
(6.27a)
2j+10m(10j )
d3p{[as (k), a
t p) a) a) p) a)
t (p) • a+t (p)] + as (k)
(6.27b)
2j+10m(10j )
d3p{[a±s (k), a+t (p)
t (p)− (a) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)
t (p)] + a
s k)
3(k − p)} = 0
(6.28a)
2j+10m(10j )
d3p{[as (k), a+t (p)
t (p)− (a) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p) (p)
t (p)] − as (k)
(6.28b)
2j+10m(10j )
d3p{[a±s (k), [a
t p), a
t (p)]- − [a+t (p), a
t (p)] − 2a±s (k)st3(k − p)} = 0
(6.29a)
2j+10m(10j )
d3p{[as (k), [a
t p), a
t (p)]- − [a+t (p), a
t (p)/23370/] + 2a
s k)
3(k − p)}=0.
(6.29b)
Usando (6.27)–(6.29) y (6.8), con η = ♥ = −1, o simplemente (6.26), uno puede verificar fácilmente
la validez de las ecuaciones
[P, Q] = 0 [L, Q] = 0
[ S, Q. ] = 0 [M., Q. ] = 0,
(6.30)
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donde los operadores P, Q, S, L y M se calculan a partir de uno y el mismo
Lagrangian inicial según (3.9)–(3.12). Este resultado confirma la validez de la afirmación ii)
antes (5.24) para los campos considerados.
Después de las consideraciones anteriores, en relación con el operador de impulso, ahora vamos a
sustituir los sistemas de ecuaciones integrales (6.27)–(6.29) por los siguientes:
sistemas de ecuaciones algebraicas (ecualizando a cero los enteros en (6.27)–(6.29)):
a±l, a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− Alma±l = 0 (6,31a)
, am • a−m • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+ lma
= 0 (6,31b)
a±l, a
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
+ lma
l = 0 (6,32a)
, a+m â € € TM am â € TM am â € TM am
− Almal = 0 (6,32b)
a±l, [a
m, a
[a+m, am]
− 2lma±l = 0 (6,33a)
, [am, a
[a+m, am]
+ 2lma
= 0. (6.33b)
Estas relaciones de conmutación trilineales son similares a (6.10)–(6.12) y, en consecuencia, pueden ser
tratada de manera análoga.
Invocando (6.8), es un álgebra simple a probar que el estándar bilineal commu-
las relaciones de la tensión (6.13) convierten (6.31)–(6.33) en identidades. Así (6.13) son la versión más fuerte
de (6.31)–(6.33) y, en este sentido, cualquier tipo de relaciones de conmutación, que proporcionan un
solución de (6.31)–(6.33) y es compatible con (6.13), es un candidato adecuado para general-
rizing (6.13). Para ilustrar esa idea, procederemos con (6.33) de una manera similar a la
«derivación» de las relaciones de paracommutación a partir del (6.12).
Obviamente, las ecuaciones (cf. (6.14) con = 0, como ahora q 6= 0)
, [a+m, a
m ]] + ♥lma
m = 0 (6,34a)
, [am, a
m]]. − Alma±m = 0 (6,34b)
y su conjugado ermitaño proporcionar una solución de (6.33), pero, como un cálculo directo muestra,
no están de acuerdo con las relaciones estándar (anti)commutación (6.13). Una solución de (6.33)
compatible con (6.13) se da por las ecuaciones (6.15), con = 0 como el campo considerado es
carga uno — véase (3.7). Por lo tanto, las ecuaciones (6.16), con = 0, también proporcionan un compatible
con (6.13) solución de (6.33), de donde inmediatamente sigue que la paracommutación
las relaciones (6.20), con = 0, convertir (6.33) en identidades. Para concluir, podemos decir que el
las relaciones de paracommutación (6.20), en particular su caso especial (6.13),
taneous validez de las relaciones de Heisenberg (5.1) y (5.2) gratis escalar, spinor y vector
campos.
Similarmente a (6.22), uno puede generalizar (6.33) a
a+l, [a
m, a
# [a+m, an ] #
- 2lna+m = 0 (6,35a)
a–l, [a
m, a
# [a+m, an ] #
− 2lma−n = 0. (6.35b)
que las ecuaciones están de acuerdo con (6.13), (6.15), (6.16) y (6.20), pero generalmente no están de acuerdo
con (6.22), con = 0, a menos que las ecuaciones (6.16), con = 0, mantener.
De manera más general, podemos afirmar que (6,33) y (6,12), con ♥ = 0, mantener simultáneamente si
y sólo si (6.15), con = 0, se cumple. Desde aquí, de nuevo, se deduce que el paracommu-
Las relaciones de la tensión garantizan la validez simultánea de (5.1) y (5.2).
Digamos ahora algunas palabras sobre el problema de la singularidad para las ecuaciones de Heisenberg
que impliquen al operador de carga. Los sistemas de ecuaciones (6.31)–(6.33) son idénticos iff
a±l, [a
m, a
m] + [a
M ]
= 0, (6,36)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 27
que, en particular, se cumple si la condición
[am, a
m] + [a
m ] = 0, (6.37)
garantizar la singularidad del operador de carga (véase (4.10′)), es válido. Evidentemente, equa-
ciones (6.36) y (6.24) son compatibles
a+l, [a
m, a
a–l, [a
m, a
= 0 (6,38)
que es una forma más débil de (4.15) asegurando la singularidad simultánea del impulso y
operador de carga.
6.3. Restricciones relacionadas con el operador o operadores de impulso angular
Ahora se investigan las restricciones a los operadores de creación y aniquilación.
que se desprenden de las relaciones de Heisenberg (5.3) relativas al operador de impulso angular.
Pueden obtenerse insertando las ecuaciones (3.11) y (3.12) en (5.3). Tal como se indica
en Secc. 5, las igualdades resultantes, sin embargo, dependen no sólo de la particular Lagrangian
empleados, pero también en la naturaleza geométrica del campo considerado; la última dependencia
ser dado explícitamente vía (5.25) y las funciones de polarización
k) y l)
ss′m±
k) (véase
también (3.14)).
Considerar los términos que contienen derivados en (5.3),
L?or? := i~
i(x). (6.39)
Si
k) Denota la imagen de Fourier de i(x), es decir:
i(x) =
d4ke−
kμxμ
k), (6.40)
la imagen de Fourier de (6.39) es
k). (6.41)
Comparando esta expresión con ecuaciones (3.12), vemos que los términos que contienen derivados
en (3.12) debe ser responsable del término (6.39) en (5.3).20 Por esta razón, debemos suponer
que el operador de momentum M admite una representación
M = M
de tal manera que los explotadores de Mсoró y Mс
• satisfacer las relaciones (5.4) y (5.5), respectivamente.
Así reemplazaremos (5.3) con el sistema más fuerte de ecuaciones (5.4)–(5.5). Además,
admitiremos que la forma explícita de los operadores
Se administran a través de (5.13)
y (5.12) para los campos investigados en el presente trabajo.
Consideremos al principio las relaciones ‘orbitales’ de Heisenberg (5.4), que son independientes
de la particular naturaleza geométrica de los campos estudiados. Sustitución (5.13) y (6.40)
en (5.4), usando eso
(±k), con k2 = m2c2, es una combinación lineal de (k) con clásico,
no valorados por el operador, funciones de k como coeficientes [1, 13–15] e introducción para la brevedad del
operador
(k) := kμ
, (6.43)
20 Los términos proporcionales al operador de impulso en (3.12) desaparecen si la creación y la aniquilación
los operadores (2.9) en la imagen de Heisenberg están empleados (véase también [13-15]).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 28
Llegamos a los siguientes sistemas de ecuaciones integro-diferenciales:
2j+10m(10j )
((p) + (q))([s (k), ã
t (p) t (q)
− t (p) t (q)] )
m2c2+p2
= 2(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.44a)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([ ±s (k), ã
t (p) t (q)
− t (p) t (q)] )
m2c2+p2
= 2(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.44b)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([s (k), t (p) ã
t q)
− t (p) â â Ã
t (q)] )
m2c2+p2
= 2(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.45a)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([ ±s (k), t (p)
t q)
− t (p) â â Ã
t (q)] )
m2c2+p2
= 2(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.45 b)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([s (k), [ã)
t (p), ã
t (q)]
+ [t (p), ã
t (q)]
m2c2+p2
= 4(1 + ♥)(k)(ã)
s k)) (6.46a)
2j+10m(10j )
((p) + (q))([ ±s (k), [ã
t (p), ã
t (q)]
+ [t (p), ã
t (q)]
m2c2+p2
= 4(1 + ♥)(k)(ã)
s k)), (6.46b)
donde k0 =
m2c2 + k2 se establece después de realizar las diferenciaciones (véase (6.43)). Sígueme.
En cuanto al procedimiento de las consideraciones anteriores, sustituimos el equa-equa integro-diferencial.
ciones (6.44)–(6.46) con las diferencias siguientes:
((m) + (n))([l, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2,1 + lm
(l)(ã)
l ) (6.47a)
((m)(n))([ã
l, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2 (1+)
(l)(ã)
l ) (6.47b)
((m) + (n))([l, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2,1 + lm
(l)(ã)
) (6.48a)
((m)(n))([ã
l, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2 (1+)
(l)(ã)
l ) (6.48b)
((m) + (n)))[l, [ã
m, ã
n l + + [ã
m, ã
n ]]] )
= 4(1 +
(l)(ã)
l ) (6.49a)
((m) + (n))([ã
, [m, ã
n l + + [ã
m, ã
n ]]] )
= 4(1 +
(l)(ã)
(6.49b)
donde hemos puesto (cf. (6.43))
(l) := (k) = kμ
si l = (s,k) (6,50)
y k0 =
m2c2 + k2 se establece después de realizar las diferenciaciones.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 29
Observación. En lugar de (6.47)–(6.49) se pueden escribir ecuaciones similares en las que el operador
(m) o (n) se suprime y el factor +12 o −
, respectivamente, se añade a su derecha
Lados de la mano. Estas manipulaciones corresponden a una integración por partes de algunos de los términos
en (6.44)–(6.46).
La principal diferencia de las relaciones trilineales obtenidas con respecto a las anteriores
considerado anteriormente es que son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden.
Las relaciones (6.49) concuerdan con las ecuaciones (6.16) en un sentido que si (6.16) mantener,
entonces (6.49) llegar a ser idénticamente válido. De hecho, desde
((m) + (n)))
= −2lm(m)(m)
((m) + (n)))
= +2lm
(m)(ã)
(6.51)
a (6,50), (6,43) y la igualdad
d-(x)
f(x) = (x)df(x)
para una función C1 f, la
Aplicación del operador ((m) + (n)) a (6.16) y posterior ajuste n = m
implica (6.49). En particular, esto significa que las relaciones de paracommutación (6.20) y,
Además, las relaciones estándar (anti)commutación (6.13) convierten (6.49) en identidades.
Por lo tanto las relaciones ‘orbitales’ de Heisenberg (5.4) tienen campos escalares, espinos y vectores
satisfacer las relaciones bilineales o para la conmutación.
Cabe señalar que las relaciones de paracommutación no son la única conmutación trilineal
relaciones que son soluciones de (6.49). Como ejemplo, presentaremos las relaciones trilineales
a+l, [a
a+l, [a
m, a
= −(1 + lna+m (6,52a)
a–l, [a
a–l, [a
m, a
= +(1 +
n, (6.52b)
que se reducen a (6.14) para n = m, no están de acuerdo con (6.13), pero convertir (6.49) en identidades
(véase (6.51)). Otro ejemplo es proporcionado por las ecuaciones (6.22), que son compatibles con
las relaciones de paracommutación y, como resultado de (6.51), convertir (6.49) en identidades. Prima
facie se puede suponer que cualquier solución de (6.12) proporciona una solución de (6.49), pero esto es
No es el caso general. Un contraejemplo es proporcionado por las relaciones de conmutación
a±l, [a
m, a
n ]l+ + [a
± 2,1 + lna±m = 0, (6,53)
que se reducen a (6.12) para n = m, satisfacer (6.49) con l para ã
l, y no satisfacen (6.49)
con l para ã
l (véase (6.51) y cf. (6.22)).
A partir de (5.13) se deduce que el operador M
Una parte comienza si y sólo si (ver (4.11))
((m) + (n))
[m, ã
[m, n ] − [m, n ]
= 0. (6.54)
Esta condición asegura la coincidencia de los sistemas de ecuaciones (6.47), (6.48) y (6.49)
También. Sin embargo, la siguiente condición necesaria y suficiente para la coincidencia de estos
sistemas se expresa por las ecuaciones más débiles
((m) + (n))
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
m, ã
[m, n ] − [m, n ]
= 0. (6.55)
Ahora es el turno para ser considerado el ‘pin’ de las relaciones de Heisenberg (5.5).
Recordemos que los operadores de campo de los campos considerados aquí admiten una representación [13-15]
I = I = I = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % % = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 % = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
i p)a
t (p) + v
i p)a
t p)
, (6.56)
donde • es una constante de normalización y v
i (p) son clásicos, no valorados por el operador, complejos
o funciones reales que son linealmente independientes. La definición particular de v
i (p) depende
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 31
sobre la naturaleza geométrica de los i y se puede encontrar en [13-15] (véase también [1]), donde el lector
puede encontrar también una serie de relaciones satisfechas por v
i p). Aquí sólo mencionaremos eso.
i (p) = 1 para un campo escalar y v
i (p) = v
i (p) =: v
i(p) = (v)
i(p))
* para un campo vectorial.
La forma explícita de las funciones de polarización
ss′,±
k) y l)
ss′,±
• k) (véase secc. 3, en
particular (3.14)) a través de v
i k) son [13-15]:
(k) =
(−1)j
j + ♥j0
i k))
∗Iiiv
(k) =
(−1)j
2j + j0
i k))
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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i k),
(6.57)
con la excepción de que
ss′,±
0a (k) =
ss′,±
a0 (k) = 0, a = 1, 2, 3, para un campo espinor, j =
, [14].
Evidentemente, las ecuaciones (3.14) se derivan de los hechos mencionados (véase también (5.25)).
Sustituyendo (6.56) y (5.12) por (5.5), obtenemos los siguientes sistemas de
Ecuaciones (correspondientes, respectivamente, a los lagrangianos L′, L′′ y L®):
(−1)j+1j
1 +
s,s′,t
i p)
(k) + l
ss′,−
(k)[a]
t p), a
s k) a-s′ k)]
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
(k)[a]
t p), a
s k) a+s′(k)]
d3pli
(p)a±t (p) (6.58)
(−1)j+1j
1 +
s,s′,t
i p)
(k) + l
ss′,+
(k)[a]
t p), a
k) as (k)]
+ (lss)
(k) + l
ss′,−
(k)[a]
t p), a
k) as (k)]
d3pli
(p)a±t (p) (6.59)
(−1)j+1j
2 (1 + )
s,s′,t
i p)
(k) + l
ss′,−
(k))
a±t (p), [a
s k), a
k)]
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
(k))
a±t (p), [a
s k), a
k)]
d3pli
(p)a±t (p).
(6.60)
Para la diferencia de todos los sistemas previamente considerados de ecuaciones integrales, como (6.2)–
(6.4), (6.27)–(6.29) y (6.44)–(6.46), los sistemas (6.58)–(6.60) no pueden ser sustituidos por otros
que consiste en ecuaciones algebraicas (o diferenciales). La causa de esta situación es que
en (6.58)–(6.60) entrar en modos de polarización con s y s' arbitrarios y, en general, uno no puede
«diagonalizar» la(s) integrand(s) con respecto a s y s′; además, para un campo vectorial, los modos
con s = s′ no se presentan en absoluto (véase (3.14)). Es por eso que ninguna relación de conmutación puede
se extraigan de (6.58)–(6.60) a menos que se hagan otras suposiciones. Sin entrar en
detalles, a continuación esbozaremos la prueba de la afirmación de que las relaciones de conmutación (6.16)
convertir (6.60) en identidades para campos masivos de spinor y vectores21.
que la paracommutación y las relaciones de conmutación bilineal proporcionan soluciones de (6.60).
Let (6.16) espera. Combinando con (6.60), vemos que este último se divide en las ecuaciones
21 Las ecuaciones (6.58)–(6.60) son identidades para los campos escalares en cuanto a ellos.
i (k) = 1, que
refleja las ausencias de giro para estos campos.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 31
(−1)jj
1 +
i p)
(p) + l
(p)) + (l)
(p) + l
• (p))
a+s (p),
(p)a+s (p) (6.61a)
(−1)j+1j
1 +
i p)
(O, (p) + l
(p)) + (l)
(p) + l
• (p))
a–s (p),
i′ (p)a
s p). (6.61b)
Insertando aquí (6.57), vemos que se necesita la definición explícita de v
i k) y fórmulas para
Sumas como las de la letra k) del punto ii) :=
i k) v)
k))*, que son específicos para cualquier campo en particular y pueden
se encuentra en [13-15]. De esta manera, aplicando (5.25), (3.7) y los resultados mencionados de [13-15],
se puede comprobar la validez de (6.61) para campos masivos de una manera similar a la prueba de (5.3)
en [13-15] para los campos escalar, espinor y vector, respectivamente.
Terminaremos la presente subsección con la observación de que las ecuaciones (4.17) y (4.18),
que junto con (4.15) aseguran la singularidad de los operadores de giro y orbitales, son
condiciones suficientes para la coincidencia de las ecuaciones (6.58), (6.59) y (6.60).
7. Inferencias
Para empezar, resumamos las principales conclusiones de la Secc. 6. Cada uno de los Heisenberg
Ecuaciones (5.1)–(5.3), las ecuaciones (5.3) siendo divididas en (5.4) y (5.5), inducen en un
algunas relaciones que los operadores de creación y aniquilación deben satisfacer. Estos rela-
ciones pueden ser elegidas como trilineales algebraicas en un caso de (5.1) y (5.2) (véase (6.10)–(6.12)
y (6.31)–(6.33), respectivamente). Pero para (5.4) y (5.5) no necesitan ser algebraicos y
son diferenciales en el caso de (5.4) (véase (6.47)–(6.49)) y ecuaciones integrales en el caso de
de (5.5) (véase (6.58)–(6.60)). Se señaló que las relaciones citadas dependen de la
Lagrangian de la que se deriva la teoría, a menos que algunas condiciones escritas explícitamente sostienen
(véase (6.24), (6.37) y (6.55)); en particular, estas condiciones son verdaderas si las ecuaciones (4.9)–
(4.13), garantizando la singularidad de los operadores dinámicos correspondientes, son válidos. Desde
los Lagrangianos ‘de carga simétrica’ (3.4) parecen ser los que mejor describen los campos libres,
las relaciones derivadas de ellas (conmutación) (6.12), (6.33), (6.49) y (6.60) eran
ied en más detalles. Se demostró que las relaciones de conmutación trilineal (6.16) se convierten
en identidades, como resultado de lo cual la misma propiedad posee la paracommutación
las relaciones (6.20) y, en particular, las relaciones de conmutación bilineal (6.13). Ejemplos de tri-
se presentaron relaciones lineales de conmutación, que no son ni ordinarias ni para
de ellos, como (6.14), (6.34) y (6.52), no están de acuerdo con (6.13) y otros, como (6.16),
(6.22) y (6.35), generalizar (6.20) y por lo tanto son compatibles con (6.13). Por fin, fue
demostrado que los conmutadores entre las variables dinámicas (véase (5.15)–(5.23)) son
Definición única si se postula una relación Heisenberg para uno de los operadores que entran en ella.
El objetivo principal de la presente sección es explorar el problema de si todos los
condiciones razonables, mencionadas en las secciones anteriores y que pueden imponerse al
los operadores de creación y aniquilación, pueden sostener o no sostener simultáneamente. Este problema es
sugiere por las fuertes evidencias de que las relaciones (5.1)–(5.3) y (5.15)–(5.23), con una
posible excepción de (5.3) (más precisamente, de (5.5)) en el caso de los sin masa, debe ser válida en
una teoría de campo cuántico realista [1, 3, 7, 8, 11, 12]. Además, a los argumentos en loc. cit., nosotros
se añadirá el requisito de unicidad de las variables dinámicas (véase la secc. 4).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 32
Como se mostró en la Secc. 6, las relaciones (5.1), (5.2), (5.4) y (5.5) son compatibles si
se parte de un Lagrangiano simétrico de carga (véase (3.4), que mejor describe un campo libre
teoría; en particular, las relaciones de conmutación (6.16) (y por lo tanto (6.20) y (6.13)) garantizan
su validez simultánea.22 Por esa razón, investigaremos solamente la conmutación
relaciones para las cuales (5.1), (5.2), (5.4) y (5.5). Se asumirá que deben ser
tales que las ecuaciones (6.10)–(6.12), (6.31)–(6.33), (6.47)–(6.49) y (6.58)–(6.60),
Tily, espera.
Considerar ahora el problema de la singularidad de las variables dinámicas y su consis-
Tency con las relaciones de conmutación que se acaban de mencionar para un campo cargado. Se asumirá
que esta singularidad se garantiza a través de las ecuaciones (4.9)–(4.11).
La ecuación (4.15), a saber.
[am, a
m] = 0, (7.1)
es una condición necesaria y suficiente para la singularidad del impulso y la carga
operadores (véase secc. 4 y la notación introducida al principio de la Secc. 6). Antes
comentando sobre esta relación, nos gustaría derivar algunas consecuencias de ella. Aplicar
en consecuencia (6.8) para η =, (7.1) y la identidad
[A,B,C,C]+ = [A,B,N,N,C,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N.
para η =,, nosotros, a la vista de (7.1), obtener
[a+m, [a
[m]] = [a]
m, [a
m]]+ = (1− Ł)[am, a+m]
[a-m, [a
m, a
m] [4] = [a]
m, [a
m]]+ = فارسى(1 − فارسى)[am, a−m] a−m.
(7.3)
Formando la suma y la diferencia de (6.12a), para = 0, y (6.33a), vemos que el sistema
de ecuaciones que forman es equivalente a
[a+l, [a
m, a
m] [4] = 0 [a
l, [a
m ]]. = 0 (7.4a)
, [a+m, a
m ]] + 2lma
= 0 [a−
, [am, a
m]] − 2lma−l = 0. (7.4b)
Combinando (7.4b), para l = m, con (7.3), obtenemos
(1− )[am, a+m] a+m + 2a+m = 0 فارسى(1− )[am, a−m] a−m − 2a−m = 0. (7.5)
Obviamente, estas ecuaciones se reducen a
a±m = 0 (7.6)
en el caso de los campos de bose como en el caso de los campos de bose فارسى = +1 (véase (3.7)). Puesto que los operadores (7.6) describen un
campo inobservable, o, más precisamente, la ausencia de un campo en absoluto, el resultado obtenido significa
que la teoría considerada no puede describir ningún campo físico realmente existente con spin j = 0, 1.
Esa conclusión debe considerarse una contradicción en la teoría. Para campos de fermi, j = 1
Las ecuaciones (7.5) tienen soluciones diferentes de (7.6) if a±m son degeneradas.
operadores, es decir, con ninguna inversa, en cuyo caso (7.4a) es una consecuencia de (7.5) y (7.1)
(véanse también (6.8) y (7.3).
La fuente de la contradicción anterior está en la ecuación (7.1), que no está de acuerdo con
las relaciones bilineales de conmutación (6.13) y contradice la correlación existente entre
creación y aniquilación de partículas con características idénticas (m = (t,p) en nuestro caso)
como (7.1) puede interpretarse físicamente como la independencia mutua de los actos de creación y
aniquilación de tales partículas [1, § 10.1].
En este punto, hay dos maneras de ‘reparar’ la teoría. Por un lado, uno puede
olvídate de la singularidad de las variables dinámicas (en un sentido de Secc. 4), después de lo cual
22 El(los) caso(s) especial(es) cuando (5.5) no puede sostener un campo sin masa no se considerará a continuación.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 33
el formalismo se puede desarrollar eligiendo, por ejemplo, los lagrangianos simétricos de carga (3.4)
y siguiendo el formalismo habitual de Lagrangian; de hecho, esta es la forma en que la teoría de Parafield es
construir [16,18]. Por otro lado, uno puede tratar de cambiar algo en la base de la teoría
de tal manera que se garantice automáticamente la singularidad de las variables dinámicas.
Seguiremos el segundo método. Como idea rectora, tendremos en mente que la
relaciones bilineales de conmutación (6.13) y la relacionada con ellos procedimiento normal de ordenación
proporcionar una base para la teoría de campo cuántico actual, que describe suficientemente bien
las partículas/campos elementales descubiertos. Sobre este telón de fondo, una extensa exploración de
relaciones de conmutación que son incompatibles con (6.13) sólo se justifica si aparece
algunas evidencias de campos/partículas que se pueden describir a través de ellos. A este respecto,
debe recordarse [17, 18], parece que todas las partículas/campos conocidos se describen vía (6,13)
y ninguno de ellos es un campo/partícula para.
Usando la notación introducida al principio de la Secc. 4, vamos a buscar un lineal
mapping (operador) E en el espacio del operador sobre el espacio Hilbert del sistema F de estados tales
E(D′) = E(D′′). (7.7)
Como se mostró en la Secc. 4, un ejemplo de un operador E es proporcionado por el pedido normal
operador N. Por lo tanto, un operador que satisface (7.7) siempre existe. A cualquier operador de este tipo E
allí corresponde un conjunto de variables dinámicas definidas vía
D = E(D′). (7.8)
Examinemos las propiedades del mapeo E que debe poseer debido a la re-
requisito (7.7).
En primer lugar, como los operadores de las variables dinámicas deben ser ermitaños,
require
= E(B†) (7.9)
para cualquier operador B, lo que implica
D† = D, (7.10)
debido a (3.9)–(3.12) y (7.8).
Como en Secc. 4, vamos a sustituir las ecuaciones integrales así-arrising por la correspondiente alge-
Los brácicos. Por lo tanto, las ecuaciones (4.5)–(4.20) siguen siendo válidas si el operador E se aplica a su
Lados de la mano izquierda.
Considere el caso general de un campo cargado, q 6= 0. Por lo tanto, el análogo de (4.15) lee
[am, a
= 0, (7.11)
que la ecuación asegura la singularidad del impulso y carga a los operadores. Respetuosamente,
la condición (4.11) se transforma en
((m) + (n))
E([am, a−n ])− E([a+m, an ])
= 0, (7,12)
que, por medio de (7.11) puede ser reescrita como (cf. (4.16))
(n)
E([am, a−n ])− E([a+m, an ])
= 0. (7.13)
Al final, las ecuaciones (4.17) y (4.18) ahora deben ser escritas como
* (k) E
[as (k), a
(k)]
+ ss
* (k) E
[as (k), a
(k)]
= 0 (7,14)
* (k) E
[as (k), a
(k)]
+ lss
* (k) E
[as (k), a
(k)]
= 0. (7.15)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 34
Estas ecuaciones pueden ser satisfechas si generalizamos (7.11) a (cf. (4.20))
[as (k), a
(k)]
= 0 (7,16)
para cualquier s y s′. Por fin, la siguiente versión más fuerte de (7.16)
[am, a
n ]
= 0, (7,17)
para cualquier m = (t,p) y n = (r, q), garantiza la validez de (7.14) y (7.15) y por lo tanto de la
singularidad de todas las variables dinámicas.
Ha llegado el momento de llamar la atención sobre las posibles relaciones de conmutación. Reemplazo
D′, D′′, D′′ 7→ D := E(D′) = E(D′′) = E(D′′) da lugar a los cambios correspondientes en la
todo el material de Sect. 6. En particular, los sistemas de relaciones de conmutación (6.10)–
(6.12), (6.31)–(6.33), (6.47)–(6.49) y (6.58)–(6.60) deben sustituirse respectivamente por:23
a±l, E(a
m A-m) + E(am) a+m)
± (1 + )lma±l = 0 (7,18)
a±l, E(a
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
− Alma±l = 0 (7.19)
((m) + (n)))[l, E(ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 2,1 + lm
(l)(ã)
(7.20)
(−1)j+1j
1 +
s,s′,t
i p)
(k) + l
ss′,−
(k)[a]
t (p), E(as (k) • a−s′(k))]
+ (lss)
(k) + l
ss′,+
(k)[a]
t (p), E(as (k) a+s′(k))]
d3pli
i′ (p)a
t p).
(7.21)
Debido a las condiciones de singularidad (7.11)–(7.14), uno puede reescribir los términos E(am am)
en (7.18)–(7.21) en un número de formas equivalentes; por ejemplo: (véase (7.11))
E(am am) = E(am am) =
E([am, am]. (7.22)
Considere el caso general de un campo cargado, q 6 = 0 (y por lo tanto ♥ = 0). El sistema de
ecuaciones (7.18)–(7.19) es entonces equivalente a
, E(am am)
= 0 (7,23a)
, E(am a+m)
+ lma
= 0 (7.23b)
a–l, E(a
m-a-m)
− Alma−l = 0. (7.23c)
Estas relaciones (conmutación) garantizan el cumplimiento simultáneo de la ley de Heisenberg.
ciones (5.1) y (5.2) que implican a los operadores de impulso y carga, respectivamente. Asegurarse de que
también la validez de (7.20), con Ł = 0, y, en consecuencia, de (5.4), generalizamos (7.23) a
a±l, E(a
m an )
= 0 (7,24a)
, E(am a+n )
+ lma
n = 0 (7.24b)
, E(am-a−n)
− Alma−n = 0, (7.24c)
para cualquier l = (s,k), m = (t,p) y n = (t, q) (véase también (6,51)). De la manera señalada en
Secc. 6, se puede verificar que (7.24) para cualquier l = (s,k), m = (t,p) y n = (r,p) implica (7.21)
y por lo tanto (5.5). Por último, para garantizar la validez de todas las condiciones mencionadas y
23 Para ahorrar espacio, no escribimos el conjugado ermitaño de las ecuaciones abajo escritas.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 38
transición adecuada a un caso de campo ermitaño, para el cual q = 0 y = 1 (véase (3.7)),
generalizar (7.24) a
a+l, E(a)
m • a−n )
+ lna
m = 0 (7,25a)
a–l, E(a
m a + n )
− lna−m = 0 (7.25b)
, E(am a+n )
+ lma
n = 0, (7.25c)
, E(am-a−n)
− Alma−n = 0 (7,25d)
donde l, m y n son arbitrarios. Como resultado de (7.17), que asumimos para mantener, y
(véase (3.7)), las ecuaciones (7.25a) y (7.25c) (resp. (7.25b) y (7.25d)) se convierten en idénticos
cuando = 1 (y, por lo tanto, a
l = a
l ); en el caso de los = 0, el sistema (7.25) se reduce a (7.24). Recordando
(−1)2j (véase (3.7)), podemos reescribir (7.25) en una forma más compacta como
a±l, E(a
m an )
+ (±1)2j+1lna±m = 0 (7.26a)
a±l, E(a
m a±n )
− (1)2j+1lma±n = 0. (7.26b)
Puesto que la última ecuación es equivalente a (véase (7.17)) y utilizar que فارسى = (−1)2j)
, E(a±m an )
+ (±1)2j+1lna±m = 0, (7.26b′)
es evidente que las ecuaciones (7.26a) y (7.26b) coinciden para un campo neutral.
Vamos a sacar la moral principal de las consideraciones anteriores: las ecuaciones (7.17) son
condiciones suficientes para la singularidad de las variables dinámicas, mientras que (7.26) son tales
condiciones para la validez de las relaciones de Heisenberg (5.1)–(5.5), en las que la dinámica
las variables se redefinen según (7.8). Por lo tanto, cualquier conjunto de operadores a±
y E, que son
soluciones simultáneas de (7.17) y (7.26), garantizan la singularidad de las variables dinámicas
y al mismo tiempo la validez de las relaciones de Heisenberg.
Considere el problema de la singularidad para las soluciones del sistema de ecuaciones que consiste
de (7.17) y (7.26). Escribiendo (7.17) como
E(am an ) = E(an am ) =
E([am, an)], (7.27)
que se reduce a (7,22) para n = m, y utilizando Ł = (−1)2j (véase (3,7)), se puede verificar que (7,26)
es equivalente a
a+l, E([a)
n]})
+ 2lna
m = 0 (7,28a)
a+l, E([a)
m, a
n]})
+ 2lna
m = 0 (7,28b)
a-l, E([a
n]})
− 2lma−n = 0 (7,28c)
a-l, E([a
m, a
n]})
− 2lma−n = 0. (7.28d)
La similitud entre este sistema de ecuaciones y (6.16) es más que evidente: (7.28) puede
se obtendrán a partir del (6.16) sustituyendo [·, ·] por E([·, ·]).
Como se dijo antes, las relaciones de conmutación bilineal (6.13) y la identificación de
E con el operador normal de pedidos N,
E = N, (7.29)
convertir (7.27)–(7.28) en identidades; invocando (6.8), para η =, el lector puede comprobar
Esto a través de un cálculo directo (véase también (4.23)). Sin embargo, esta no es la única solución posible
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 36
de (7.27)–(7.28). Por ejemplo, si, en el caso particular, se define una orden «antinormal»
operador A como mapeo lineal de tal manera que
A(a+m an ) := an a+m A(am a−n ) := a−n am
A(a-m an ) := a-m an A(am a+n ) := am a+n,
(7.30)
a continuación, las relaciones de conmutación bilineal (6.13) y el ajuste E = A proporcionan una solución
de (7.27)–(7.28); para probar esto, aplicar (6.8) para η =. Evidentemente, una combinación lineal de
N y A, junto con (6.13), también proporciona una solución de (7.27)–(7.28).24 Otra solución
del mismo sistema de ecuaciones es dado por E = id y operadores a±
satisfacción (6.16), en
particular las relaciones de paracommutación (6.20), y una
m a,n = a,n am. El problema
para la solución general de (7.27)–(7.28) con respecto a E y a ±l está abierto en la actualidad.
Vamos a introducir los operadores de números de partículas y antipartículas respectivamente por (ver (7.27),
(7.9) y (3.16))
Nl :=
= E(a+
# A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A #
) = (Nl)† =: N †l
†Nl :=
l, a
= E(al a
l ) = (
†Nl)† =: †Nl†.
(7.31)
Como resultado de las relaciones de conmutación (7.28), con n = m, satisfacen las ecuaciones25
[Nl, a+m]− = Alma+l (7,32a)
[ †Nl, a+m]− = lma+l (7.32b)
[Nl, am]− = lma
l (7.32c)
[ †Nl, am]− = Alma
l. (7.32d)
Combinando (3.9)–(3.12) y (5.11)–(5.13) con (7.8), (7.27) y (7.31), obtenemos lo siguiente
expresiones para los operadores de las variables dinámicas (redefinidas):
P =
1 +
m2c2+k2
(Nl + †Nl) l = (s,k) (7,33)
Q = q
(−Nl + †Nl) (7.34)
S =
(−1)j−1/2j~
1 +
mn, Nnm + Ômn, †Nmn)}
m=(s,k)
n=(s′,k)
(7.35)
L = x0μ P − x0 / P +
(−1)j−1/2j~
1 +
lmn,Nnm + lmn, †Nmn)}
m=(s,k)
n=(s′,k)
2 (1 + )
(l) + (m)
(Nl + †Nl)
m=l=(s,k)
(7.36)
Msp =
(−1)j−1/2j~
1 +
(mn, + lmn, )Nnm + (mn, + lmn, ) †Nmn)}
m=(s,k)
n=(s′,k)
(7.37)
M
2 (1 + )
(l) + (m)
(Nl + †Nl)
m=l=(s,k)
. (7.38)
24 Si admitimos un ±
para satisfacer las relaciones de conmutación bilineal «anomalosas» (8.27) (véase más adelante), es decir: (6.13)
con para y (±1)2j para (±1)2j+1, luego E = N, A también proporciona una solución de (7,27)–(7,28). Sin embargo,
como se demostró en [13-15], las relaciones anómalas de conmutación son rechazadas si se trabaja con el
carga simétrica Lagrangians (3.4).
25 Las ecuaciones (7.32a) y (7.32b) corresponden a (7.28a) y (7.28b), respectivamente, y (7.32c) y (7.32d)
corresponde al conjugado ermitaño a (7.28c) y (7.28d), respectivamente.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 37
Aquí (l) se define a través de (6.50), hemos establecido
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ss′,±
k) l
• := l
ss′,±
(k) para m = (s,k) y n = (s)
′,k), (7.39)
y (véase (7.27))
Nlm :=
[a+l, a
= E(a+l)
m ) = (Nml)† =: N
† Nlm :=
l, a
= E(al a
m) = (
†Nml)† =: †Nml†
(7.40)
son, respectivamente, los operadores de transición de partículas y antipartículas (cf. [26, sec. 1] en un caso de
parafields). Obviamente, tenemos
Nl = Nll †Nl = †Nll. (7.41)
La elección (7.29), evidentemente, reduce (7.33)–(7.36) a (4.24), (4.25), (4.28) y (4.29), respec-
Tily.
En términos de los operadores (7.38), las relaciones de conmutación (7.28) pueden ser equivalentes
reescrita como (véase también (7.9))
[Nlm, a+n ]− = mna+l (7,42a)
[ †Nlm, a+n ]− = mna+l (7.42b)
[Nlm, an]− = mna
(7.42c)
[ † Nlm, an ]− = Nmna
l. (7.42d)
Si m = l, estas relaciones se reducen a (7,32), debido a (7,39).
Terminaremos esta sección con la observación de que las condiciones para la singularidad de
las variables dinámicas y la validez de las relaciones de Heisenberg son bastante generales y
no son suficientes para fijar algunas relaciones de conmutación independientemente de una serie de adicionales
Supuestos hechos para reducir estas condiciones al sistema de ecuaciones (7.27)–(7.28).
8. Vectores estatales, valores de vacío y valores medios
Hasta ahora hemos mirado las relaciones de conmutación sólo desde una visión matemática pura-
punto. De esta manera, haciendo una serie de suposiciones, llegamos al sistema (7.27)–(7.28) de
relaciones de conmutación. Sin embargo, una mayor especialización de este sistema es casi imposible
sin hacer contacto con la física. Para ello, tenemos que recordar [1, 3, 11, 12] que
las cantidades físicamente medibles son los valores medios (expectación) de la dinámica
variables (en algún estado) y las amplitudes de transición entre diferentes estados. Para hacer
algunas conclusiones de esta suposición básica de la teoría cuántica, debemos
dijo cómo los estados se describen como vectores en el espacio de sistemas Hilbert F de los estados, en el que
todos los operadores considerados actuar.
Para ello, necesitaremos la noción del vacío o, más precisamente, la suposición
de la existencia de un estado de vacío único (vector) (conocido también como la condición de no partículas).
Antes de definir rigurosamente este estado, que será denotado por X0, vamos a heurísticamente
analizar las propiedades que debe poseer.
En primer lugar, el vector de estado de vacío X0 debe representar un estado del campo sin ninguna
partículas. A partir de aquí se pueden extraer dos conclusiones: (i) como un campo se piensa como una colección
de partículas y una partícula ‘falta’ debe tener variables dinámicas que desaparecen, las de la
el vacío debe desaparecer también (o, más generalmente, ser constantes finitas, que se pueden establecer igual
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 38
a cero por reescalar los parámetros de alguna teoría) y (ii) desde los operadores a-l y un
Yo soy
interpretado como aquellos que aniquilan una partícula caracterizada por l = (s,k) y carga −q o +q,
respectivamente, y no se puede destruir una partícula ‘ausente’, estos operadores deben transformar
el vacío en el vector cero, que puede interpretarse como una ausencia completa del campo.
Por lo tanto, podemos esperar que
D(X0) = 0 (8.1a)
a–l (X0) = 0 a
l (X0) = 0. (8.1b)
Además, como los operadores a + l y a
Se interpretan como aquellos que crean un carácter de partícula.
teriz por l = (s,k) y carga −q o +q, respectivamente, vectores de estado como a+l (X0) y a
l (X0)
debe corresponder a los estados de 1 partícula. Por supuesto, una condición necesaria para esto es
X0 6= 0, (8.2)
debido a que el vacío puede normalizarse a la unidad,
• X0 X0 = 1, (8.3)
donde : F × F → C es el hermitano escalar (dentro) producto de F. Más generalmente, si
,. ..) es un monomial sólo en i â € N los operadores de creación, el vector
l1l2... := M(a+l1, a
,. . (X0) (8.4)
se puede esperar que describa un estado de i-partículas (con i1 partículas y i2 antipartículas, i1+i2 =
i, donde i1 e i2 son el número de operadores a
l y a
l, respectivamente, en M(a)
,. ..)).
Además, como un campo libre es intuitivamente pensado como una colección de partículas y antipartículas,
es natural suponer que los vectores (8.4) forman una base en el espacio Hilbert F.
la validez de esta suposición depende de las relaciones de conmutación aceptadas; para su prueba,
cuando se adopten las relaciones de paracommutación, véase la prueba de [18, p. 26, teorema I-1].
Aceptando la última suposición y recordando que la amplitud de transición entre dos
los estados se representa a través del producto escalar de los vectores de estado correspondientes a ellos, es
es claro que para el cálculo de tal amplitud es necesario un procedimiento eficaz para
cálculo de los productos escalares de la forma
l1l2...m1m2...:= X0(M(a+l1, a
,. ..)))† M′(a+m1, a
,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
con M y M′ siendo monomios únicamente en los operadores de creación. Del mismo modo, para el cálculo
del valor medio de algún operador dinámico D en un determinado estado, uno debe estar equipado
con un método de cálculo de productos escalares como
l1l2... Dl1m2... := X0(M(a+l1, a
,. ..)))† • D • M′(a+m1, a
,.. .)X0». (8.6)
Suponiendo, por el momento, que el vacío se defina vía (8.1), analicemos (8.1)–(8.6).
Además, se asumirá la validez de (7.27)–(7.28).
A partir de las expresiones (7.8) y (3.9)–(3.12) para las variables dinámicas, está claro que
la condición (8.1a) puede cumplirse si
E(am an )(X0) = 0, (8,7)
que, a la vista de (7.27), es equivalente a cualquiera de las ecuaciones
E(a±m an )(X0) = 0 (8.8a)
E([a±m, an)](X0) = 0. (8.8b)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 39
La ecuación (8.7) es bastante natural ya que expresa la desaparición de todos los modos del vacío
correspondiente a diferentes polarizaciones, 4-momento y carga. Se aceptará aquí.
Después.
Por medio de (8.8) y las relaciones de conmutación (7.28) en la forma (7.42), en particular:
lar (7.32), se puede calcular explícitamente la acción de cualquiera de los operadores (7.33)–(7.38)
en los vectores (8.4): para el propósito uno debe simplemente conmutar a los operadores Nlm (o
Nl = Nll) con los operadores de creación en (8.4) según (7.42) (resp. (7.32)) hasta que
actuar sobre el vacío y, por lo tanto, dar cero, como resultado de (8.8) y (7.42) (resp. (7.32)). In
particular, tenemos las ecuaciones (k0 =
m2c2 + k2):
a+l (X0)
= kμa
l (X0) P
l (X0)
= kμa
l (X0) l = (s,k) (8,9)
= −qa+
(X0) Q
= +qa
(X0) (8.10)
l=(s,k)
(−1)j−1/2j~
1 +
lm, + ml, }
m=(t,k)
a+mm=(t,k)(X0)
l=(s,k)
(−1)j−1/2j~
1 +
# lm, # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
m=(t,k)
am m=(t,k)(X0)
(8.11)
l=(s,k)
= (x0 μkν − x0 νkμ)(a+l)(X0)− i~
(l)(a)
(−1)j−1/2j~
1 +
m=(t,k)
a+mm=(t,k)(X0)
l=(s,k)
= (x0 μkν − x0 νkμ)(al)(X0)− i~
(l)(a)
(−1)j−1/2j~
1 +
llm, + lml, }
m=(t,k)
am m=(t,k)(X0)
(8.12)
Msp.
l=(s,k)
(−1)j−1/2j~
1 +
(lm, + llm, )
+ (Δml, + l
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
m=(t,k)
a+mm=(t,k)(X0)
Msp.
l=(s,k)
(−1)j−1/2j~
1 +
(lm, + llm, )
+ (Δml, + l
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
m=(t,k)
am m=(t,k)(X0)
(8.13)
Mûor
l (X0)
= -i~
(l)(ã)
(X0) M
l (X0)
= -i~
(l)(ã)
(X0). (8.14)
Estas ecuaciones y similares, pero más complicadas, con un monómio arbitrario en el
operadores de creación de un+
son la base para la interpretación de partículas de la
teoría de los campos libres. Por ejemplo, en vista de (8.9) y (8.10), los vectores de estado a+l (X0) y
l (X0) se interpretan como aquellas que representan partículas con 4-momento (
m2c2 + k2,k)
y cargas −q y +q, respectivamente; una interpretación multipartículas similar se puede dar a la
vectores generales (8.4) también.
Las ecuaciones (8.9)–(8.12) concuerdan completamente con las similares obtenidas en [13-15] sobre el
base de las relaciones bilineales de conmutación (6.13).
Por medio de (8.7), la expresión (8.6) puede ser representada como una combinación lineal de
términos como (8.5). De hecho, como D es una combinación lineal de términos como E(am an ), por medio de
las relaciones (7.28) podemos conmutar cada uno de estos términos con la creación (resp. aniquilación)
operadores en el monomio M′(a+m1, a
m2,. ..) (resp. (M(a+l1, a
,. ..))† = M′′(a
,. ..))
y así moverlos a la derecha (resp. izquierda) hasta que actúan sobre el vacío X0, dando
el vector cero — véase (8.7). De esta manera los elementos de matriz de las variables dinámicas,
en particular sus valores medios, pueden expresarse como combinaciones lineales de productos escalares
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 40
de la forma (8.5). Por lo tanto, la suposición (8.7) reduce el cálculo de los valores medios
de variables dinámicas a la del valor medio de vacío de un producto (composición)
de los operadores de creación y aniquilación en los que los antiguos operadores están a la derecha de
los últimos. (Tal producto de la creación y los operadores de aniquilación se puede llamar su
Producto «antinormal»; cf. las propiedades (7.30) del operador de pedidos antinormal A.)
Sin embargo, el cálculo de tales valores medios, como (8.5) para los estados
se haga (sobre la base de (7.27)–(7.28), (8.7) y (8.1a)), a menos que
Hecho. Para ello se necesita algún tipo de relación de conmutación por medio de la cual
la creación (resp. aniquilación) los operadores en el r.h.s. de (8.5) se moverá a la izquierda (resp.
derecha) hasta que actúen a la izquierda (resp. derecha) vector de vacío X0; como resultado de esta operación,
las expresiones entre los dos vectores de vacío en (8.5) deben transformarse en un lineal
combinación de términos constantes y tales sin contribución en (8.5). (Ejemplos del último
tipo de términos son E(am a) y normalmente ordenados productos de creación y aniquilación
operadores.) Un procedimiento alternativo puede consistir en definir axiomaticamente los valores de todos
o algunos de los valores medios (8.5) o, más fuerte, la acción explícita de todos o algunos de los
operadores, entrando en la r.h.s. de (8.5), sobre el vacío26. Está claro que ambos regímenes propuestos
debe ser coherente con las relaciones (7.27)–(7.28), (8.1b) y (8.7)–(8.8).
Resumamos el problema que tenemos ante nosotros: el operador E en (7.27)–(7.28) tiene que ser corregido
y un método de cálculo de productos escalares como (8.5) debe proporcionarse
Vector de vacío X0 satisface (8.1b), (8.2), (8.3) y (8.7). Dos posibles formas de exploración
de este problema se han indicado anteriormente.
Considerar el operador E. Suponiendo E(am an) para ser una función solamente de un
m y a
nosotros, en vista de (8.1b), podemos escribir E(am an ) = f±(a
b con b = a−n (señal superior) o
b = a
m (signo inferior) y algunas funciones f
±. Aplicando (7.27), obtenemos (no sumar más de l)
E(am a−l ) = f
+(am, a
l ) a
l E(a)
m â € a
l ) = f
−(a+m, a
l ) a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
E(a
• a+m) = f−(a+m, a
) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Puesto que E es un operador lineal, la expresión E(am an) se convierte en un lineal y homogéneo
función de una
m y a
n, lo que implica inmediatamente f
±(A,B) = A para los operadores A y
B y algunas constantes C. Para la conveniencia futura, asumimos = 1, que puede ser
Logrado a través de una adecuada renormalización de los operadores de creación y aniquilación.27 Así,
las últimas ecuaciones se reducen a
E(am a−l ) = a
m • a − l E(a)
m â € a
) = a+m • a
(8.15a)
E(a-l)
m ) = Ła
m • a − l E(a)
l â € a
m) = Ła
m â € a
l (8.15b)
Evidentemente, estas ecuaciones se convierten (7.27), (8.7) y (8.8) en identidades. Comparando (8.15)
y (4.22), vemos que la identificación
E = N (8,16)
del operador E con el operador normal del pedido N es bastante natural. Sin embargo, para nuestro
los propósitos, esta identificación no es necesaria, ya que sólo las ecuaciones (8.15), no el general
definición de N, se empleará.
26 Tal aproximación se asemeja a la descripción axiomática de la matriz de dispersión [1,7,8].
27 Puesto que = 0 o/y = 0 implica D = 0, debido a (7,8), estos valores están excluidos por razones evidentes.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 41
Como resultado de (8.15), las relaciones de conmutación (7.28) ahora dicen:
[a+l, a
m an ] + Łlna+m = 0 (8.17a)
, am a−n ] + lna+m = 0 (8.17b)
, a+m an ] − lma−n = 0 (8.17c)
[a–l, a
m • a • n • • lma • n = 0. (8.17d)
(En cierto sentido, estas relaciones son ‘la mitad’ de las relaciones de (para)commutación (6.16):
los últimos son una suma de los primeros y los obtenidos de (8.17) a través de los cambios a+m
n â € a+m y a
m A-n 7→ A-n
m ; las últimas relaciones corresponden a (7.28) con E = A, A
ser el operador de pedidos antinormal — véase (7.30). Dicho de otra manera, hasta el reemplazo
a±i 7→
para todos l, las relaciones (8.17) son idénticas a (6.16) para = 0; como se indica en [26, el
observaciones tras el teorema 2 en sec. 1], este es un caso bastante excepcional desde el punto de vista
de la teoría de la paraestadística.) Por medio de (6.8) para η =, uno puede verificar que las ecuaciones (8.17)
estar de acuerdo con las relaciones de conmutación bilineal (6.13), es decir, (6.13) convertir (8.17) en identidades.
Las ecuaciones (8.15) implican las siguientes formas explícitas de los operadores de números (7.31)
y los operadores de transición (7.40):
Nl = a+l
†Nl = al
l (8.18)
Nlm = a+l
† Nlm = al
m. (8.19)
Como resultado de ellos, las ecuaciones (7.33)–(7.36) son simplemente una forma diferente de escritura de (4.24),
(4.25), (4.28) y (4.29), respectivamente.
Volvamos al problema del cálculo de valores medios de vacío de orden antinormal
productos como (8.5). En vista de (8.1b) y (8.3), los más simples de ellos son:
• X0 idF (X0) • • • • X0M±(X0) • • 0 (8,20)
en los que C y M+ (resp. M−) es cualquier monomio de grado no menos de 1 sólo en la
creación (resp. aniquilación) los operadores; por ejemplo, M± = a±l, a
l, a
°a±l2, a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Estas ecuaciones,
con = 1, son otra forma de lo que se llama la estabilidad del vacío: si Xi denota un
Estado i-partícula, i â Nâ Nâ 0}, entonces, en virtud de (8.20) y la interpretación de partículas de (8.4),
Tenemos
• Xi X0® = Łi0, (8.21)
i.e. la única transición no prohibida hacia (desde) el vacío es desde (hacia) el vacío.
En términos más generales, si Xi′,0 y X0,j′′ denotan respectivamente i′-partícula y j′′-antipartícula,
con X0,0 := X0, entonces
Xi′,0 X0,j =
i.e. transiciones entre dos estados que consisten enteramente en partículas y antipartículas, respec-
ticamente, están prohibidos a menos que ambos estados coincidan con el vacío. Ya que estamos tratando con
campos libres, se puede esperar que la amplitud de una transición de un (i′-partícula + j′-an-
tippartícula) estado Xi′,j′ en un (i′′-partícula + j′′-antipartícula) estado Xi′′,j′′ es
Xi′,j Xi′′,j = Łi′ij′j′′, (8.23)
pero, sin embargo, la prueba de esta hipótesis requiere nuevas suposiciones (vide infra).
Tratemos de emplear (8.17) para el cálculo de expresiones como (8.5). Actuando con (8.17)
y su conjugado ermitaño en el vacío, en vista de (8.1b), obtenemos
a+m (−an a+l + Łln idF)(X0) = 0 a
(a-m-a-m-a
− lm idF (X0) = 0
(-a-n-a-n-a+l + ln idF )(X0) = 0 a
n # (am # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a # a #
l − lm idF (X0) = 0.
(8.24)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 42
Estas equivalencias, así como (8.17), no pueden ayudar directamente a calcular los valores medios de vacío
de los productos antinormales ordenados de los operadores de creación y aniquilación. Pero el equa-
ciones (8.24) sugieren las restricciones28
• a+m(X0) = •lm X0 a−l • a
m (X0) = lm X0
A-I-l-A-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-
m(X0) = lm X0 a
l â € a
m (X0) = lm X0
(8.25)
se añadirá a la definición del vacío. Estas condiciones convierten (8.24) en identidades
y, en este sentido, coinciden con (8.17) y, en consecuencia, con la conmutación bilineal rela-
ciones (6.13). Recordar [16, 18], las relaciones (8,25) son similares a las aceptadas en el parafield
la teoría y coinciden con que para las paraestadísticas de orden p = 1; sin embargo, aquí no sup-
plantear la validez de las relaciones de paracommutación (6.20) (o (6.16)). Equipado con (8,25),
uno es capaz de calcular el r.h.s. de (8.5) para cualquier M monomial (resp. M′) y monomios
M′ (resp. M) de grado 1, degM′ = 1 (resp. degM = 1).29 En efecto, (8.25), (8.1b) y (8.3)
conllevan:
# X0al #
m(X0) = X0a−l
m (X0)
# X0a−l #
m(X0) = X0a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
X0(M(a+l1, a
, · · · )) † • a+m(X0) • • X0(M(a+l1, a
, · · · )) † am (X0) = 0 degM ≥ 2
# X0a−l # M(a)
, am2, · · · · (X0) = X0a
l • M(a)
, am2, · · · (X0) = 0 degM ≥ 2.
(8.26)
De esta ecuación (8.23) para i′ + j′ = 1 (resp. i′′ + j′′ = 1) y arbitrario i′′ y j′′ (resp. i′
y j′) a continuación.
Sin embargo, no es difícil de realizar, el cálculo de (8.5) en casos más generales
que (8.20) y (8.26) no es posible sobre la base de los supuestos hechos hasta ahora.30
este punto, uno es libre tan establecido de manera arbitraria la r.h.s. de (8.5) en el mencionado general
o añadir a (8.17) (y, posiblemente, (8.25)) otras relaciones (conmutación) por medio de
que la r.h.s. de (8.5) que deben calcularse explícitamente; otros enfoques, por ejemplo: un poco de mezcla
de los justos apuntados, para encontrar la forma explícita de (8.5) son evidentemente también posibles.
Puesto que expresiones como (8.5) están directamente conectadas con resultados experimentales observables, la
solo criterio para resolver el problema para calcular las r.h.s. de (8.5) en el caso general
puede ser el acuerdo con los datos experimentales existentes. Como se conoce [1, 3, 11, 12], en
presente (casi?) todos ellos son satisfactorios descritos en el marco de la bilineal
relaciones de conmutación (6.13). Esto significa que, desde el punto de vista físico, la teoría
debe ser considerado como realista si el r.h.s. de (8.5) es el mismo que si (6.13) son válidos
o sea reducible para alguna realización particular de un método de cálculo aceptado,
e.g. si uno acepta algunas relaciones de conmutación, como las de paracommutación, que son
una generalización de (6.13) y reducir a ellos como un caso especial (véase, por ejemplo, (6.20)). Debería
note, las condiciones (8.1b)–(8.3) y (8.25) son suficientes para calcular (8.5) si (6.16),
o sus versiones (6.17) o (6.20), son aceptadas (cf. [16]). Las causas de esa diferencia son:
reemplazos como [a+m, a
n ] 7→ 2a+m®a
n, cuando uno pasa de (6.16) a (8.17); la existencia
de términos como un
n a+ma+l en (6.16) son responsables de la posibilidad de calcular (8.5).
28 Desde los operadores a±
y a
son, en general, degenerados (sin inversas), no podemos decir que (8.24)
implica (8.25).
29 Para degM′ = 0 (resp. degM′ = 0) — véase (8.20).
30 Cabe señalar que las condiciones (8.1b)–(8.3) y (8.25) son suficientes para calcular (8.5) si las rela-
ciones (6.16), o su versión (6.20), se aceptan (cf. [16]). La causa de esa diferencia está en los reemplazos
como [a+m, a
n ] 7→ 2a
m â € a
n, cuando uno pasa de (6.16) a (8.17); la existencia de términos como un
n â € a
m â € a
en (6.16) es responsable de la posibilidad de calcular (8.5), en caso de retención (6.16).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 43
Si aparecen evidencias para eventos para los cuales (8.5) toma otros valores, uno debe buscar, por ejemplo,
para otras relaciones de conmutación que conduzcan a los valores medios deseados. Como ejemplo del último
tipo puede ser apuntado las siguientes relaciones anómalas de conmutación bilineal (cf. (6.13))
, a±m]• = 0 [a
, am ] = 0
[al, a
= (±1)2jlm idF [a
l, a
m = (±1)2jlm idF
[a±l, a
m ]? = 0 [a
l, a
m] = 0
[al, a
m l + = (±1)2jl idF [a
l, a
m]lm idF, (8.27) = (±1)2jlm idF
que deben imponerse después de expresiones como E(am an) se calculan explícitamente. Estos
las relaciones convierten (8.17) y (8.25) en identidades y por sus medios los r.h.s. de (8.5) puede ser
calculado explícitamente, pero, como es bien conocido [1,3,11,12,27] conducen a profundas contradicciones
en la teoría, por lo que debe rechazarse.31
En la actualidad, parece, las relaciones de conmutación bilineal (6.13) son las únicas com-
relaciones de mutación que satisfacen todas las condiciones mencionadas y al mismo tiempo proporcionan
un procedimiento evidente para el cálculo efectivo de todas las expresiones de la forma (8.5). (Además,
para ellos y para las relaciones de paracommutación los vectores (8.4) forman una base, el Fock
base, para el espacio de estados Hilbert del sistema [18].) En este sentido, queremos mencionar
que las relaciones de paracommutación (6.16) (o su versión convencional (6.20)), si se imponen
como restricciones adicionales a la teoría junto con (8.17), reducir en este caso particular
a (6.13) ya que las condiciones (8.25) muestran que estamos tratando con un campo de orden p = 1,
i.e. con un campo ordinario [17,18].32
Terminando esta sección, volvamos a la definición de la X0 vacío. En general,
depende de las relaciones de conmutación adoptadas. Por ejemplo, en un caso de la com-
relaciones de mutación (6.13) consiste en las ecuaciones (8.1a)–(8.3), mientras que en un caso de la
relaciones de paracommutación (6.16) (u otras que generalizan (6.13)) incluye (8.1a)–(8.3)
y (8.25).
9. Relaciones con los países de Europa Central y Oriental
varios campos libres que coexisten
Hasta ahora hemos considerado las relaciones de conmutación para un único campo libre, que puede ser
escalar, o espinor o vector uno. La presente sección se dedica a un tratamiento similar de la
sistema que consiste en varios, no menos de dos, diferentes campos libres. En nuestro contexto, el
los campos pueden diferir por sus masas y/o cargas y/o giros; por ejemplo, el sistema puede consistir en
de campo escalar cargado, campo escalar neutro, campo espinor sin masa, campo espinor masivo y
Campo vectorial neural sin masa. Es a priori evidente, las relaciones de conmutación con respecto a sólo
un ámbito del sistema debería ser el que se examina en las secciones anteriores. El problema es ser
relaciones de conmutación derivadas o postuladas en relación con diferentes ámbitos. Se mostrará, el
El formalismo lagrangiano desarrollado proporciona una base natural para tal investigación y hace
superfluos algunos de los supuestos formulados, por ejemplo, en [17, p. B 1159, columna izquierda] o
en [18, sec. 12.1), donde se exploran sistemas de diferentes paracampos.
Para empezar, introduzcamos una notación adecuada. Con los índices α, β, γ = 1, 2,..., N
se distinguirán los diferentes campos del sistema, con N + N, N ≥ 2, siendo su
número, y las cantidades correspondientes a ellos. Dejar qα y jα ser respectivamente la carga
31 Como se demostró en [13-15], una cuantificación como (8.27) contradice a (es rechazado por) la acusación
Lagrangianos simétricos (3.4).
32 Aviso, como resultado de (8.17), las relaciones (6.16) corresponden a (7.28) para E = A, con A ser el
operador de pedidos antinormales (véase (7.30)).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 44
y el giro del campo α-th. Al igual que (3.7), definimos
jα :=
0 para el campo escalar α-ésimo
para el campo espinor α-th
1 para el campo α-th vector
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
1 para qα = 0 (campo neutral (Hermitano))
0 para qα 6= 0 (campo cargado (no ermitaño))
:= (−1)2jα =
+1 para el entero jα (campos de bose)
−1 para jα semi-integer (campos fermi)
(9.1)
Supongamos que Lα es el lagrangiano del campo α. Para la definitividad, asumimos Lα para todos
α a ser dado por uno y el mismo conjunto de ecuaciones, a saber. (3.1), o (3.3) o (3.4). Para guardar
algo de espacio, por debajo del caso (3.4), correspondiente a carga simétrica Lagrangians, será
considerado en más detalles; el lector puede explorar otros casos como ejercicios.
Desde el Lagrangian de nuestro sistema de campos libres es
Lα, (9.2)
las variables dinámicas son
Dα (9,3)
y el sistema correspondiente de ecuaciones Euler-Lagrange consiste en el equa-
ciones para cada uno de los campos del sistema (véase (3.6) con Lα para L). Esto permite una introducción
de los operadores independientes de creación y aniquilación para cada campo. Los que para el campo α-th
será denotado por a,sα(k) y una
α,sα(k); aviso, los valores de las variables de polarización
generalmente dependen del campo considerado y, por lo tanto, también están etiquetados con índice
α para el campo α-th. Para la brevedad, utilizaremos los índices colectivos lα, mα y nα, con
lα := (α, sα,k), etc., en términos de los cuales los últimos operadores son a±
y a
, respectivamente. Los
expresiones particulares para los operadores dinámicos Dα se dan vía (3.9)–(3.12) en la que
Deberán introducirse las siguientes modificaciones:
7→ 7→ j 7→ jα 7→ s 7→ sα s′ 7→ s
* (k) 7→ *
αsá,±
k) l
ss′,±
(k) 7→ ls
αsá,±
* (k).
(9.4)
El contenido de las secciones 4 y 5 sigue siendo válido mutatis mutandis, a saber: siempre y cuando el justo
los cambios apuntados (9.4) se hacen y las variables dinámicas (integrales) se entienden en
conformidad con (9.3).
9.1. Relaciones de comunicación relacionadas con el operador de momentum.
Problemas y posibles soluciones
En las secciones 6 a 8, sin embargo, se producen cambios sustanciales; por ejemplo, cuando se pasa de (6.12)
o (6.15) a (6.16). Las examinaremos brevemente en un caso en el que se parte de la acusación.
Lagrangianos simétricos (3.4).
Las relaciones básicas (6.12), que surgen de la relación de Heisenberg (5.1) con respecto a la
operador de impulso, ahora lea (aquí y abajo, no sumar sobre α, y/o β y/o γ si
lo contrario no se indica explícitamente!)
a±lα, [a
] + [a
± (1 + lαmβa±lα = 0 (9.5a)
lα, [a
] + [a
± (1 + lαmβa)
lα = 0. (9.5b)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 45
Es trivial ser visto, las siguientes generalizaciones de (6.14) y (6.15) respectivamente
a±lα, [a
± (1 + )lαmβa±lα = 0 (9.6a)
± (1 + )lαmβa±lα = 0 (9,6b)
lα, [a
± (1 + )lαmβa
lα = 0 (9,6c)
± (1 + )lαmβa
= 0 (9,6d)
a+lα, [a
+ 2lαmβa
lα = 0 (9.7a)
+ 2lαmβa
= 0 (9,7b)
a-lα, [a
− 2lαmβa−lα = 0 (9,7c)
− 2lαmβa−lα = 0 (9,7d)
proporcionar una solución de (9.5) en el sentido de que lo convierten en identidad. Como se dijo en
Secc. 6, las ecuaciones (9.6) (resp. (9.7)) para un solo campo, es decir, para β = α, de acuerdo (resp. no está de acuerdo)
con las relaciones bilineales de conmutación (6.13).
El único problema surge cuando se trata de generalizar, por ejemplo, las relaciones (9.7) de una manera
similar a la transición de (6.15) a (6.16). Su esencia está en la generalización de expres-
sions like [a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
lαmβa
. Al pasar de (6.15) a (6.16), los índices l y
m se cambian para que las ecuaciones obtenidas sean consistentes con (6.13); por supuesto, la
se preservan los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los códigos de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de los números de Pero
la situación con (9.7) es diferente en dos direcciones:
(i) Si cambiamos el par (mβ,mβ) en [a
con (m
β, nγ), entonces con lo que el num-
ber debe ser reemplazado? ¿Con , o o con algo más? Del mismo modo, si el mencionado
cambiado se realiza, con lo que el multiplicador en lαmβa
¿lα debe ser reemplazado? Los
problema es que los números y están relacionados con términos como una
y a±
# A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A #
en el operador de impulso, en su conjunto y no podemos decir si el índice β en y
se origina del primero de segundo índice mβ en estas expresiones.
(ii) Al escribir (mβ, nγ) para (mβ, mβ) (véase el inciso i) supra), entonces vamos a sustituir
con lαmβa
nγ, o lαnγa
, o mβnγa
♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Para un solo campo, γ = β = α, este problema es
resuelto mediante la exigencia de un acuerdo de la generalización resultante (de (6.16) en el particular
caso) con las relaciones de conmutación bilineal (6.13). Por lo tanto, ¿cómo se generalizará (6.13) para
varios, no menos de dos, diferentes campos? Obviamente, aquí nos encontramos con un obstáculo similar a
el descrito en (i) arriba, con el único cambio que debe representar .
Deje queblα y clα denoten algún operador de creación o aniquilación del campo α. Considerar la
problema para generalizar el (anti)commutador [blα, clα ]. Esto significa que estamos buscando
para una sustitución
[blα, clα ] 7→ f±(blα, cmβ ;α, β), (9.8)
cuando las funciones f± sean tales que
f±(blα, cmβ;α, β)
= [blα, clα ]. (9.9)
Desafortunadamente, la condición (9.9) es la única restricción en f± que la teoría de los campos libres
puede proporcionar. Así las funciones f±, sometidas a la ecuación (9.9), se convierten en nuevos parámetros libres
de la teoría cuántica de los diferentes campos libres y es una cuestión de convención cómo elegir / fijar
Ellos.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 46
Se acepta generalmente [18, apéndice F], las funciones f± de tener formularios «máximo»
similares a los (anti)commutadores que generalizan. Más precisamente, las funciones
f±(blα, cmβ ;α, β) = [blα, cmβ ] (9.10)
donde C son tales que
=, (9.11)
generalmente se consideran como los únicos candidatos para f±. Aviso, en (9.10), son funciones en
α y β, no en lα y/o mβ. Además, si asumimos ser función sólo en y,
entonces la forma general de es
= u + (1− u) + vÃ3r(1− ) uá, vÃ3r Ã3 C, (9.12)
debido a (9.1) y (9.11). (En vista de (6.13), el valor = +1 (resp. = −1) corresponde
a la cuantificación a través de conmutadores (resp. anticommutadores) de los campos correspondientes.)
Llamar la atención ahora sobre los números que se originan y se asocian con cada término
[blα, cmα ]. Con cada cambio (9.8) uno puede asociar un reemplazo
7→ g(blα, cmβ ;α, β), (9.13)
donde la función g es tal que
g(blα, cmβ ;α, β)
= • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (9.14)
Por supuesto, la última condición no define g de forma única y, en consecuencia, la función
g, satisfaciendo (9.14), entra en la teoría como un nuevo parámetro libre. Supongamos, como un trabajo
hipótesis similar a (9.10)–(9.11), que g es de la forma
g(blα, cmβ ;α, β) =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
donde son números complejos que sólo pueden depender de α y β y son tales que
=. (9.16)
Además, si suponemos que ser funciones sólo en y, entonces
= x + y + (1 - x â â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
como resultado de (9.1) y (9.16).
Resumamos la discusión anterior. Si suponemos una preservación del algebraico
estructura de las relaciones bilineales de conmutación (6.13) para un sistema de diferentes campos libres,
a continuación, los reemplazos
[blα, clα ] 7→ [blα, cmβ ] = (9.18a)
7→ = (9.18b)
deben hacerse; en consecuencia, las relaciones (6.13) se transforman en:
= 0 [a
= 0
[alα, a
lαmβ idF ×
lα, a
lαmβ idF ×
[a±lα, a
= 0 [a
lα, a
= 0
] = ♥lαmβ idF ×
] = ♥lαmβ idF ×
, (9.19)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 47
donde 1 (resp. ) en
corresponde a la elección de la parte superior (resp. Signos más bajos. Si
Suponemos adicionalmente (resp. ) ser una función sólo en y (resp. en las secciones I, II, III, III, IV, IV, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V, V
), entonces estos números se definen hasta dos conjuntos de parámetros complejos:
= u + (1− u) + vû(1− ) uû, vû û C (9.20a)
= x + y + (1 - x â â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Una especialización más razonable de y puede ser la suposición de sus rangos
para coincidir con los de y, respectivamente. Como resultado de (9.1), esta suposición es
equivalente a
vâ = -uâ, -uâ + 1, uâ − 1, uâ uâ â ° C (9.21a)
= (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). (9.21b)
Otra restricción admisible en (9.20) puede ser el requisito y ser simétrico,
(, ) = (, ) = (, ) (9.22a)
(, ) = (, ) = (, ), (9.22b)
que significa que los campos α-th y β-th se tratan en pie de igualdad y no hay
a priori manera de numerar algunos de ellos como el «primero» o «segundo».33 En vista de (9.20), el
condiciones (9,22) son equivalentes a
uâ =
v) C (9.23a)
y+ = x+. (9.23b)
Si ambas restricciones (9.21) y (9.23) se imponen a (9.20), entonces la arbitrariedad de
los parámetros de (9.20) se reducen a:
(uâ, uâ ) =
(9.24a)
= (0, 0), (1, 1) (9,24b)
y, para cualquier par fijo (α, β), nos quedamos con los siguientes candidatos para respectivamente
Y :
(+1 + + − ) (9.25a)
(−1 + + + ) (9.25b)
0 :=
α + (9.25c)
1 :=
α + −. (9.25d)
Cuando se consideran campos libres, como en nuestro caso, no hay más argumentos de matemáticas
o la naturaleza física puede ayudar a elegir una combinación particular (, ) de los cuatro
posibles según (9.25) para un par fijo (α, β). Para poner fin a las consideraciones anteriores:
y, tenemos que decir que la elección
(, ) =
+,
0 ) =
(+1 + + − ),
(9.26)
33 Sin embargo, nada puede impedirnos tomar otras decisiones, compatibles con (9.18), en la teoría de la libertad
campos; por ejemplo, uno puede establecer = y = 1
( + ).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 48
se conoce como el caso normal [18, apéndice F]; en él el comportamiento relativo de bose (resp.
fermi) campos es como en el caso de un solo campo, es decir, son cuantificados a través de conmutadores (resp.
anticommutadores) como (, ) = (+1, 0) (resp. (, ) = (−1, 0)), y el de bose y
fermi campo es como en el caso de un solo campo fermi, a saber. la cuantificación es a través de los conmutadores como
(, ) = (+1, 0). Todas las combinaciones entre ♥
± y
Se remiten 0,1 diferentes de (9,26)
como casos anómalos. Por encima suponemos que el par (α, β) a ser fijado. Si α y β son arbitrarios,
el único cambio esencial que esto implica es en (9.25), donde la elección de los subíndices +, −, 0
y 1 puede depender de α y β. En esta situación general, el caso normal se define como el
cuando (9.26) se mantiene para todos los α y β. Todas las demás combinaciones se denominan casos anómalos;
tales son, por ejemplo, los casos en que algunos operadores de fermi y bose satisfacen la anticommutación
relaciones, por ejemplo. (9.19) con = −1 para + = 0, o algunos campos de fermi se someten a
relaciones de conmutación, como (9.19) con = +1 para = = −1. Para algunos detalles sobre esto
, véase, por ejemplo, [18, apéndice F], [7, capítulo 20] y [27, sección 4-4]. Campos/operadores
para el cual = +1 (resp. = −1), con β 6= α, se refieren como parabosa relativa (resp.
parafermi) en la teoría del parafield [17,18]. Se puede transferir esta terminología en el
y llame a los campos/operadores para los cuales = +1 (resp. = −1), con β 6= α, relativo
bose (resp. fermi) campos/operadores.
Además, las relaciones (9.19) se referirán como la conmutación bilineal multicampo rela-
ciones y se asumirá que representan la generalización de la com-
las relaciones de tion (6.13) cuando estamos tratando con varios, no menos de dos, diferentes cuánticos
campos. Los valores particulares de y en ellos son insignificantes en el siguiente; si uno
gustos, uno puede fijarlos como en el caso normal (9.26). Además, incluso la definición (9.19)
de es completamente inesencial en absoluto, como siempre aparece en combinaciones como lαmβ
(véase (9.19) o relaciones similares, como (9.27), que son no evasivas si β = α, pero
entonces = ; por lo que uno puede escribir libremente para en todos estos casos.
Equipados con (9.19) y (9.18), podemos generalizar (9.7) de diferentes maneras. Por ejemplo,
la generalización directa de (6.16) es:
, [a+
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
+ 2lαnγa
= 0 (9,27a)
a+lα, [a
, a-nγ ]
+ 2lαnγa
= 0 (9,27b)
, [a+
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
− 2lαmβa−nγ = 0 (9,27c)
a-lα, [a
, a-nγ ]
− 2lαmβa−nγ = 0. (9.27d)
Sin embargo, generalmente, las relaciones (9.19) no se convierten (9.27) en identidades. La razón es
que una igualdad/identidad como (cf. (6.8))
[blα, cmβ, dnγ ] = [blα, cmβ ] dnγ + cmβ [blα, dnγ ], (9.28)
donde blα, cmβ y dnγ son algunos operadores de creación / aniquilación y
C, puede ser válido
sólo para
= = 1/ ( 6= 0), (9.29)
que, en particular, se cumple si γ = β y = ±1. Por lo tanto, el acuerdo entre (9.19)
y (9.27) depende de la elección concreta de los números . Existen casos en los que incluso
el caso normal (9.26) no puede asegurar (9.19) para convertir (9.27) en identidades; por ejemplo. cuando la
Los campos α-th y β-th son campos de fermión y el campo γ-th es un bosón. Por otra parte, puede
demostrar que (9.19) y (9.27) son compatibles en el caso general si las igualdades inaceptables
como a±
• a±m = 0 espera.
Uno puede llamar (9.27) a las relaciones de paracommutación multicampo como de ellos una correspondencia-
La generalización de (6.18) y/o (6.20) puede derivarse. Para mayor exhaustividad, registraremos
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 49
la versión multicampo de (6.20):
[blα, [b
, bnγ ] ] = 2lαmβbnγ [blα, [bmβ, bnγ ] ] = 0 (9.30a)
[clα, [c
, cnγ ] ] = 2lαmβcnγ [clα, [cmβ, cnγ ] ] = 0 (9.30b)
lα, [c
, cnγ ] ] = −2lαnγb
lα, [b
, bnγ ] ] = −2lαnγc
. (9.30c)
Para más detalles sobre estas relaciones de paracommutación multicampo, se hace referencia al lector [17,
18], donde se considera el caso = = 0.
Dejamos al lector como ejercicio para escribir las versiones multicampo de la commuta-
las relaciones de la Unión (6.22) o (6.23), que proporcionan ejemplos de generalizaciones de (9.7) y, por lo tanto,
de 9.19) y (9.27).
9.2. Relaciones de comunicación relacionadas con la carga y
Operadores de impulso angular
En un caso de varios, no menos de dos, diferentes campos, la conmutación trilineal básica rela-
ciones (6.33), que garantizan la validez de la relación de Heisenberg (5.2) relativa a la carga
operador, léase:
a±lα, [a
− [a+mβ, a
− 2lαmβa±lα = 0 (9,31a)
lα, [a
− [a+mβ, a
+ 2lαmβa
lα = 0. (9.31b)
Por supuesto, estas relaciones sólo se mantienen para aquellos campos que tienen cargos no evasivos, es decir.
en (9.31) se supone (véase (9.1))
* = 0 = 0 ( qαqβ 6= 0). (9.32)
El problema para generalizar (9.31) para estos campos es similar al de (9.7) en el
caso de cargas no discontinuas, = 0. Sin repetir la discusión del Subsect. 9.1,
adoptaremos la regla (9.18) para generalizar las relaciones (anti)commuta-
los operadores de aniquilación de un solo campo. Por sus medios uno puede obtener diferentes general-
ciones de (9.31). Por ejemplo, las relaciones de conmutación.
, a-nγ ] − [a+mβ, a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- 2lαnγa+mβ = 0 (9,33a)
a-lα, [a
, a-nγ ] − [a+mβ, a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- 2lαmβa−nγ = 0 (9,33b)
y sus conjugados ermitaños contienen (9.31) y (6.35) como casos especiales evidentes y están de acuerdo
con (9.19) si γ = β y = +1. Además, la paracommutación multicampo rela-
ciones (9.27) para campos cargados, = = 0, convertir (9.33) en identidades y, en este
sentido, (9.33) de acuerdo con (contener como caso especial) (9.27) para campos cargados. Como ejemplo
de las relaciones de conmutación que no están de acuerdo con (9.27) para los campos cargados y, en consecuencia,
con (9.33), señalaremos los siguientes:
a±lα, [a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
+ lαnγa
= 0 (9,34a)
, a-nγ ]
− lαnγa±mβ = 0, (9,34b)
que son una generalización multicampo de (6.34).
La consideración de las relaciones de conmutación originadas en el «orbital» Heisenberg
la ecuación (5.4) es análoga a la de las mismas relaciones con respecto al operador de carga.
La versión multicampo de (6.49) es:
((mβ) + (nγ))([lα, [ã
, nγ ]
+ [
nγ ] ] )
nγ=mβ
= 4(1 + )lαm
α)•
) (9.35a)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 50
((mβ) + (nγ))([ã
lα, [ã
, nγ ]
+ [
nγ ] ] )
nγ=mβ
= 4(1 + )lαm
α)(ã
lα ) (9,35b)
donde
(l)
α) := (k) = kμ
si lα = (α, sα, k). (9.36)
Aplicando (6.51), con mβ para m y nγ para n, se puede comprobar que el paracom multicampo-
las relaciones de mutación (9.27) convierten (9.35) en identidades y por lo tanto proporcionan una solución de (9.35)
y garantizar la validez de (5.4), cuando se considere el sistema de diferentes campos libres. Un ejemplo
de una solución de (9.35) que no está de acuerdo con (9.27) es proporcionada por el siguiente multicampo
generalización de (6.52):
a+lα, [a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
a+lα, [a
, a-nγ ]
= −(1 + )lαnγa+mβ (9,37a)
a-lα, [a
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
a-lα, [a
, a-nγ ]
= +(1 + )lαmβa
nγ, (9.37b)
que proporciona una solución de (9.5). Aviso, la evidente versión multicampo de (6.53) está de acuerdo
con (9.5), pero no está de acuerdo con (9.35) cuando se utilizan los signos inferiores.
Por fin, la exploración multicampo de las relaciones ‘spin’ de Heisenberg (5.5) es un
(véase la versión (9.35) de las consideraciones correspondientes en la segunda parte de la
secc. 6.3. El resultado principal aquí es que las relaciones de conmutación bilineal multicampo (9.19),
, así como sus homólogos para (9.27), garantizar la validez de (5.5).
9.3. Relaciones de comunicación entre las variables dinámicas
El objetivo de esta subsección es discutir/probar las relaciones de conmutación (5.15)–(5.24)
para un sistema de al menos dos campos cuánticos diferentes desde el punto de vista de la conmutación
relaciones consideradas en las subsecciones 9.1 y 9.2.
Para empezar, reescribimos las relaciones de Heisenberg (5.1), (5.2) y (5.4) en términos de
los operadores de creación y aniquilación de un sistema multicampo [1,11]:
, Pμ] = kμa±lα [a
, Pμ] = kμalα (9.38)
[a±lα, Q] = qa
lα [a
lα, Q] = −qa
lα (9.39)
,Mor ] = i(lα)
,Mor ] = i(lα)
, (9.40)
donde lα = (α, sα,k), (lα) se define por (9,36) y k0 =
m2c2 + k2 se establece en (9.38)
y (9.40) (después de las diferencias se realizan en el último caso). Los correspondientes
versión de (5.5) es más complicado y depende del campo en particular considerado (no hacer
¡Suma sobre sα!):
[a,sα(k),Msp] = i~gα
αtα,+
* (k)a
α,tα(k) +
αtα,−
* (k)a
α,tα(k)
α,sα(k),Msp ] = i~hα
αtα,−
* (k)a
α,tα(k) +
αtα,+
* (k)a
α,tα(k)
(9.41)
donde fsα = −1, 0,+1 (dependiendo del campo particular), gα := −hα := 1jjα0 (−1)
jâ € 1 y
sαtα,+
(k) y
sαtα,−
(k) son algunas funciones que dependen fuertemente del campo en particular
considerado, con
sαtα,±
(k) estar relacionado con las funciones de giro (polarización)
sαtα,±
• (k)
(véase (3.14) y (3.11)).34 Como resultado de (5.6), (9.40) y (9.41), uno puede escribir fácilmente el
Las relaciones de Heisenberg (5.3) en una forma similar a (9.38)–(9.41).
34 Si i (k) son las imágenes de Fourier del campo α-th y
i (k) =
i k)ã
α,sα(k) + v
i k)ã
α,sα(k)
, (9.42)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 51
Las relaciones de conmutación en las que interviene el operador de impulso son las siguientes:
[Pμ, P/ ] = 0 [Q, Pμ] = 0
[S., P.] = [M.p., P.] = 0
[L., P. ] = [Mor., P. ] = [M., P. ] = −i P. − P..
(9.45)
Afirmamos que estas ecuaciones son consecuencias de (9.38) y las expresiones explícitas (3.9)–
(3.12) y (5.11)–(5.13) para los operadores de las variables dinámicas de los campos libres con-
en el presente trabajo. De hecho, puesto que (9.38) implica
[b±lα ≤ c
, Pμ] = 0 lα = (α, sα,k), mβ = (β, sβ,k) (9,46a)
[b±lα
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(l
α) c
, Pμ] = ±2(k − k)b±lα α c
, (9.46b)
donde b±lα, c
lα = a
lα, a
lα y
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(l
α) se define a través de (9.36) y (3.13), la verificación de (9.45)
reduce a cálculos algebraicos casi triviales. Además, afirmamos que cualquier sistema de comu-
las relaciones de la tensión consideradas en el subsect. 9.1 implica (9.45): como siempre implican estas relaciones (9.5)
(o versiones multicampo similares de (6.10) y (6.11) en el caso de los lagrangianos (3.1) o (3.3),
) y, a su vez, (9.5) implica (5.1), el resultado requerido sigue de la última
la afirmación y la observación de que (5.1) y (9.38) son equivalentes. Como verificación adicional
de la validez de (9.45), el lector puede probarlos invocando la identidad (6.8) y cualquier
sistema de relaciones de conmutación mencionado en el subsección. 9.1, en particular (9.19) y (9.27).
Las relaciones de conmutación relativas al operador de carga dicen:
[Pμ, Q] = 0 [Q, Q] = 0
[I, Q] = [I, D] = 0
[Mor., Q] = [Msp., Q] = [M., Q] = 0.
(9.47)
Estas ecuaciones son corolarios triviales de (3.9)–(3.12) y (5.11)–(5.13) y la observación
que (9.39) implica
lα â € a
, Q] = [a±lα • a
, Q] = 0 si qα = qβ, (9,48)
debido a (6.8) para η = −1. Dado que cualquiera de los sistemas de relaciones de conmutación mencionados en
Subsecta. 9.2 implica (9.31) (o sistemas de versiones multicampo similares de (6.31) y (6.32), si la
Lagrangians (3.1) o (3.3) son empleados, que es equivalente a (9.39), las ecuaciones (9.47)
mantener si algunos de estos sistemas son válidos. Alternativamente, se puede probar a través de un cálculo directo
que las relaciones de conmutación derivadas del operador de la carga implican la validez de (9.47);
donde v
i (k) son funciones linealmente independientes normalizar a través de la condición
i k)
i (k) =
, (9.43)
con fs
= 1 para jα = 0, 1
y fs
= 0,−1 para (jα, sα) = (1, 3) o (jα, sα) = (1, 1), (1, 2), respectivamente, entonces
(k) :=
i k)
(k) :=
i k)
(9.44)
con Ii
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Además,
(k) =
(k) con la excepción de que
(k) = 0 para
α = 1
y (μ, v) = (a, 0), (0, a) con a = 1, 2, 3.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países de Europa central y oriental 52
para el propósito la identidad (6.8) y las expresiones explícitas para las variables dinámicas vía
los operadores de creación y aniquilación deben ser aplicados.
Por fin, considere las relaciones de conmutación que involucran el diferente impulso angular
operadores:
[P., S. ] = [P., M., M.] = 0
[P., L. ] = [P., Mor. ] = [P., M. ] = +i P. − P.
[Q, L. ] = [Q, S. ] = [Q, Mor. ] = [Q, M. p. ] = [Q. M. ] = 0
[S, M, ] = -i~
# S # # S # # S # # S # S # S # # S # # S # # S # # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S # S S # S S # S S # S S # S S # S S # S S # S # S # S # S # S # S # S # S # S S # S # S S # S # S S # S S # S S
[Ló,Mó] = -i~
# # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L L # L L # L # L # L # L # L # L # L # L L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L # L #
[M,M,] = -i~
# M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M # M
(9.49)
(Los otros conmutadores, que pueden formarse a partir de los diferentes operadores de impulso angular,
son complicadas y no pueden expresarse en forma «cerrada».) La prueba de estas relaciones es
basado en ecuaciones como (véase (9.40) y (6.8))
[blα cmβ,Mor ] = i(lα)
blα • cmβ
lα = (α, sα,k), mβ = (β, sβ,k), (9,50)
con blα, clα = a
lα, a
lα, a
lα, a
lα, y similares, pero más complicados, los que implican el otro
operadores de impulso angular. Por lo general, depende del campo en particular considerado y
se omitirá.
Como se dijo en Subsect. 6.3, las relaciones de Heisenberg sobre el impulso angular
operador(es) no dan lugar a algunas relaciones (algebraicas) de conmutación para la creación y
Operadores de aniquilación. Por esta razón, el único problema es cuál de la conmutación
las relaciones examinadas en las subsecciones 9.1 y 9.2 implican la validez de las ecuaciones (9.49) (o
parte de ellos). La respuesta general de este problema no se conoce, pero, sin embargo, una
cálculo por medio de (9.7), si se mantiene, y (6.8) muestra la validez de (9.49). Desde (9.19)
y (9.27) implican (9.7), esto significa que las relaciones multicampo bilineales y para conmutación
son suficientes para el cumplimiento de (9.49).
Para concluir, dibujemos la moraleja principal del material anterior: el multicampo bilineal
las relaciones de conmutación (9.19) y las relaciones de paracommutación multicampo (9.27) garantizan
la validez de todas las relaciones de conmutación «estándar» (9.45), (9.47) y (9.49) entre el
operadores de las variables dinámicas que caracterizan los campos escalar libre, spinor y vector.
9.4. Relaciones de convivencia en las condiciones de singularidad
Como se ha dicho al final de la introducción de esta sección, los sustitutos (9.4) aseguran la
validez del material de la Secc. 4 en el caso multicampo. Correspondientemente, las consideraciones
en Secc. 7 siguen siendo válidos en este caso a condición de que los cambios
l 7→ lα m 7→ mβ n 7→ nγ
lm 7→ lαmβ = lαmβ
[bm, bm] 7→ [bmβ, bmβ ] [bm, bn] 7→ [bmβ, bnγ ],
(9.51)
con bm (o bmβ ) siendo cualquier operador de creación/aniquilación, y, en algunos casos, (9.4) son
made.35 Sin entrar en detalles, escribiremos los resultados finales.
La versión multicampo de (7.27)–(7.28) es:
E(a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
E([a
, anγ ]) (9.52)
35 Como resultado de (7.11), (7.16) y (7.17), en expresiones como (7.18)–(7.26) debe sustituirse el número
por, donde α y β son los índices de campo correspondientes de los operadores de creación / aniquilación en los que el
el operador E actúa, es decir, * E(bm) * bn) 7→ *
* E(bmβ bnγ ).
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 53
a+lα, E([a
nγ ])
+ 2lαnγa
= 0 (9,53a)
, E([a
, a-nγ ] )
+ 2lαnγa
= 0 (9,53b)
a-lα, E([a
nγ ])
− 2lαmβa−nγ = 0 (9,53c)
, E([a
, a-nγ ] )
- 2lαmβa−nγ = 0 (9,53d)
γ =β. (9.53e)
Como se puede esperar, las relaciones (9.53a)–(9.53d) se pueden obtener del paracom multicampo-
relaciones de mutación (9.27) a través de la sustitución [·, ·]• 7→ E([·, ·] ). Debe pagarse de manera especial.
atención en la ecuación (9.53e). Es debido al hecho de que en las expresiones para el dynami-
Las variables cal no entran en «productos cruzados de campo», como un
para β 6= α, y corresponde a
la condición ii) en [17, p. B 1159]. La igualdad (9.53e) es muy importante, ya que sólo selecciona
la parte de las relaciones de paracommutación multicampo «e-transformadas» (9.27)
Patible con las relaciones de conmutación bilineal (9.19) (ver (9.28) y (9.29). Además, (9.53e)
hace (9.53a)–(9.53d) independiente de la definición particular de (véase (9.11)).
Las ecuaciones (9.52) son las únicas restricciones sobre el operador E ; ejemplos de este operador
son proporcionados por el normal (resp. antinormal) operador de pedidos N (resp. A), que tiene la
propiedades (cf. (4.22) (resp. (7.30))
anγ
:= a+
anγ N
• a−nγ
• a−nγ
anγ
:= a
nγ a-mβ N
• a+nγ
:= a+nγ a
(9.54)
anγ
:= a
nγ a+mβ A
• a−nγ
:= a−nγ a
anγ
:= a−
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
• a+nγ
• a+nγ.
(9.55)
El material de Sect. 8 tiene también una variante multicampo que se puede obtener a través de la re-
colocación (9,51) y (9,4). Aquí está un breve resumen de los principales resultados encontrados en que
El operador E debe poseer las propiedades (9.54) y, en este sentido, se puede identificar
con el operador normal de pedidos,
E = N. (9,56)
Como resultado de este hecho y = (véase (9.11)), las relaciones de conmutación (9.53) tomar la
forma definitiva:
a+lα, a
# A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A #
+ ♥lαnβa
= 0 (9,57a)
a+lα, a
+ lαnβa
= 0 (9,57b)
a-lα, a
# A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A # A #
− lαmβa−nβ = 0 (9,57c)
− lαmβa−nβ = 0 (9,57d)
que es la versión multicampo de (8.17) y corresponde, hasta el reemplazo a ±lα 7→
2a±lα,
a (9.27) con = 0.
El vector de estado de vacío X0 se supone que se define de forma única por las siguientes ecuaciones
(cf. (8.1b)–(8.3)):
a-lα X0 = 0 a
lα X0 = 0 (9,58a)
X0 6= 0 (9,58b)
• X0 X0® = 1 (9,58c)
lα â € a
(X0) = lαmβ X0 a−lα ® a
(X0) = lαmβ X0
(X0) = lαmβ X0 a−lα
(X0) = lαmβ X0.
(9.58d)
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países y territorios de ultramar 54
El espacio Hilbert F de vectores de estado es una suma directa de los espacios Hilbert Fα de la
diferentes campos y se supone que se extiende por los vectores
... = M(a)
,. . (X0) (9.59)
con M(a+
,. .. ) siendo arbitrario monomial sólo en los operadores de la creación.
Puesto que (9.58a), (9.56) y (9.54) implican la versión multicampo de (8.7), el cálculo de
los valores medios de (8.6), con l1 7→ lα11 etc., de las variables dinámicas se reduce a la
de productos escalares como (cf. (8.5))
lα1
...mβ1
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
,. .. )
)† M′(a+
,. .................................................................................................................................
de vectores básicos de la forma (9.59). Por medio de las propiedades básicas (9.58) del vacío,
uno es capaz de calcular las formas más simples de los valores medios de vacío (9.60), a saber. el mul-
versiones de tifield (véase (9.51)) de (8.20) y (8.26). Pero una expresión más general no puede
se calculará por medio de (9.57)–(9.58). Prima facie se puede suponer que el multicampo
relaciones de conmutación (9.19), que aseguran que los vectores (9.59) formen una base del sistema
Hilbert espacio de estados, puede ayudar a calcular de (9.60) en casos más complicados. In
De hecho, este es el caso que funciona perfectamente y cubre los datos experimentales disponibles.
En este sentido, debemos mencionar que la aplicabilidad de (9.19) para el cálculo de (9.60)
está garantizado por la compatibilidad/acuerdo entre (9.19) y (9.57): por medio de (6.8) para
η =, uno puede comprobar que (9.19) se convierte (9.57) en identidades.36
Las relaciones de conmutación (9.57) admiten como solución también la versión multicampo de la
anómalas relaciones de conmutación bilineal (8.27) pero, como hemos dicho antes, conduce a contradic-
ciones y deben ser rechazadas. La existencia de soluciones de (9.57) diferentes de ella y (9.19)
Parece que no se investiga. Si aparece una fecha que no encaja en la descripción por
medios de (9.19), uno debe buscar otras, si las hay, soluciones de (9.57) o compatibles con (9.57)
procedimientos eficaces para calcular valores medios de vacío como (9.60).
10. Conclusión
En este artículo hemos investigado dos fuentes de relaciones de conmutación (algebraica) en el
Teoría cuántica lagrangiana de los campos escalares, espinos y vectores libres: la singularidad de la
Variables dinámicas (momento, carga y momento angular) y el Heisenberg rela-
ciones/ecuaciones para ellos. Si uno ignora el origen anterior, que es el caso ordinario, el
Las relaciones de paracommutación o algunas de sus generalizaciones parecen ser las más adecuadas.
didatos para las relaciones de conmutación más generales que garantizan la validez de todos los Heisenberg
ecuaciones. Sin embargo, la consideración simultánea de las dos fuentes mencionadas revela,
su incompatibilidad en el caso general. La salida de esta situación está en la redefinición
de los operadores de las variables dinámicas, similares al procedimiento normal de ordenación y
conteniendolo como un caso especial. Esta operación garantiza la singularidad de lo nuevo (redefinido)
variables dinámicas y cambia los posibles tipos de relaciones de conmutación. Una vez más, el
relaciones de conmutación, relacionadas con las relaciones de Heisenberg sobre el (redefinido)
operador de impulso, implican la validez de todas las ecuaciones de Heisenberg.
36 Recordar, ecuaciones (9.19) y (9.27), o (9.53a)–(9.53d), para γ 6= β son generalmente incompatibles. Por ejemplo,
con exclusión de algunos casos especiales, como los sistemas que consisten únicamente en campos de fermi (bose) o un campo de fermi (bose), y
número arbitrario de campos de bose (fermi), los únicos operadores que satisfacen (9.19) y (9.27) para γ 6= β y que tienen
la conexión spin-statistics normal son tales que bmβ bnγ = 0, con γ 6 = β y bmβ y cnγ siendo cualquiera
los operadores de creación/aniquilación, lo que, en particular, significa que no hay estados con dos partículas de diferentes
campos pueden existir.
Bozidar Z. Iliev: QFT en imagen de impulso: IV. Relaciones con los países en desarrollo 55
Otras limitaciones a las posibles relaciones de conmutación se derivan de la definición/en-
troducción del concepto de vacío (vacuum state vector). Prácticamente reducen la
redefinición de las variables dinámicas a las obtenidas a través del procedimiento normal de ordenación, que
resulta en la forma explícita (8.17) de las relaciones de conmutación admisibles. En cierto sentido,
Resulta que son ‘la mitad’ de las paracommutaciones. Como último argumento en el camino
para encontrar las relaciones de conmutación ‘única verdad’, requerimos la existencia de procedimiento
para el cálculo de los valores medios de vacío de los productos de creación
operadores de aniquilación, a los que los valores medios de las variables dinámicas y la transición
Se reducen las amplitudes entre los diferentes estados. Hemos señalado que el estándar bilineal
las relaciones de conmutación son, en la actualidad, las únicas conocidas que satisfacen todas las condiciones
impuestos y no contradicen los datos experimentales existentes.
La consideración de un sistema de al menos dos campos cuánticos libres diferentes se encuentra con una nueva
problema: las relaciones generales entre los operadores de creación/aniquilación que
los campos ent pasan a ser indefinidos. La causa de esto es que las relaciones de conmutación para cualquier
campo fijo están bien definidos sólo en el correspondiente a Hilbert subespacio del sistema
Hilbert espacio de los estados y su extensión en todo el espacio, así como la inclusión en
los operadores de creación / aniquilación de otros campos, es una cuestión de convención (cuando libre
se refiere a los campos); esto se refleja formalmente en la estructura de las variables dinámicas
que son sumas de las de los campos individuales incluidos en el sistema objeto de examen.
Sin embargo, hemos presentado argumentos por medio de los cuales el arbitraje a priori existente
en las relaciones de conmutación en las que participan diferentes operadores de campo se puede reducir a la
«estándar»: estas relaciones deben contener conmutadores o anticommutadores de
los operadores de creación/aniquilación que pertenezcan a sectores diferentes. Una teoría de campo libre no puede
hacer la diferencia entre estas dos posibilidades. Aceptando estas posibilidades, el
se consideran las relaciones de conmutación (9.57) para el sistema de varios campos diferentes. Ellos giran.
ser las correspondientes versiones multicampo de las correspondientes a un solo campo. Del mismo modo que el
caso de campo único, las relaciones bilineales estándar de conmutación multicampo parecen ser el único
conocidas que satisfacen todas las restricciones impuestas y están de acuerdo con las existentes
datos.
Agradecimientos
Esta investigación contó con el apoyo parcial del Fondo Nacional de Ciencia de Bulgaria en el marco de la subvención
No. F 1515/2005.
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Introducción
El panorama del impulso
Lagrangianos, ecuaciones Euler-Lagrange y variables dinámicas
Sobre la singularidad de las variables dinámicas
Relaciones con Heisenberg
Tipos de posibles relaciones de conmutación
Restricciones relacionadas con el operador de impulso
Restricciones relacionadas con el operador de la tarifa
Restricciones relacionadas con el operador o operadores de impulso angular
Inferencias
Vectores estatales, valores de vacío y valores medios
Relaciones de convivencia para varios campos libres que coexisten
Relaciones de comunicación relacionadas con el operador de momentum. Problemas y posibles soluciones
Relaciones de comunicación conectadas con los operadores de carga y de impulso angular
Relaciones de comunicación entre las variables dinámicas
Relaciones de convivencia en las condiciones de singularidad
Conclusión
Bibliografía
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704.0067 | Order of Epitaxial Self-Assembled Quantum Dots: Linear Analysis | Orden de los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales: análisis lineal
Lawrence H. Friedman
4 de noviembre de 2018
Dept. de Ingeniería y Mecánica, Universidad Estatal de Pensilvania, 212 Ciencias de la Tierra y la Ingeniería
Edificio, University Park, Pennsylvania 16802
lfriedman@psu.edu
palabras clave: puntos cuánticos, películas tensadas, crecimiento epitaxial, semiconductores
Resumen
Los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales (SAQD) son de interés para los puntos optoelectrónicos y electrónicos nanoestructurados
dispositivos como láseres, fotodetectores y lógica a nanoescala. El orden espacial y el orden del tamaño de los SAQD son importantes
al desarrollo de dispositivos utilizables. Es probable que estos dos tipos de orden estén fuertemente vinculados; por lo tanto, un estudio de
El orden espacial también tendrá fuertes implicaciones para el orden de tamaño. Aquí un estudio del orden espacial se lleva a cabo utilizando un lineal
análisis de un modelo comúnmente utilizado de formación de SAQD basado en la difusión superficial. Fórmulas analíticas para la altura de la película
funciones de correlación se encuentran que caracterizan orden espacial cuántico punto y longitudes de correlación correspondientes que
orden de cuantificación. Las fluctuaciones aleatorias iniciales a escala atómica resultan en longitudes de correlación relativamente pequeñas (unos dos puntos)
cuando el efecto de un potencial de humectación es insignificante; sin embargo, las longitudes de correlación divergen cuando se permiten SAQDs
formarse a una altura de película casi crítica. El presente trabajo refuerza hallazgos previos sobre anisotropía y orden SAQD
y presenta como mecanismo explícito y transparente para ordenar con las ecuaciones analíticas correspondientes. Además,
La formación SAQD es por su naturaleza un proceso estocástico, y varios aspectos matemáticos con respecto al análisis estadístico
se presentan la formación y el orden SAQD.
1 Introducción
Los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales (SAQD) representan un paso importante en el avance de los semiconductores
fabricación a nanoescala que permitirá avances en optoelectrónica y electrónica. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12] Las aplicaciones optoelectrónicas más frecuentes son láseres de alta eficiencia con longitudes de onda exóticas o fotode-
Tectors. [1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12] Los SAQD son el resultado de una transición del crecimiento en 2D al crecimiento en 3D en
películas epitaxiales como SixGe1-x/Si e InxGa1-xAs/GaAs. Este proceso se conoce como crecimiento de Stranski-Krastanow o
Crecimiento de Volmer-Webber. [13, 1, 14, 15].
En aplicaciones, el orden es un factor clave. Hay dos tipos de orden, espacial y de tamaño. El orden espacial se refiere a
la regularidad de la colocación de puntos SAQD, y es necesario para aplicaciones de nanocircuitos. Orden de tamaño se refiere a la
uniformidad del tamaño SAQD que determina la tensión y/o la cuantificación del nivel de energía de los SAQD. Es razonable.
esperar que este tipo de orden esté vinculado, y es importante entender los factores que determinan el orden SAQD.
Una mayor comprensión debería ayudar en el diseño y simulación de la autoconstrucción espontánea “de abajo arriba” y
dirigido o guiado auto-ensamblaje para mejorar el orden SAQD. [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23] Aquí, una elaboración y
se presenta una nueva aplicación de un análisis lineal del orden SAQD [24]. El trabajo que aquí se informa constituye la base de una
teoría no lineal y modelado del orden SAQD que se informará en el trabajo futuro.
En [24] se informó que se podía calcular una función de correlación utilizando un modelo linealizado de formación de SAQD.
Esta función de correlación incluyó dos longitudes de correlación que podrían utilizarse para describir el orden SAQD. También fue encontrado
que un efecto de un potencial de humectación hipotetizado fue mejorar el orden SAQD cuando el crecimiento se produce cerca de la crítica
Altura de la película para el crecimiento en 3D. Aquí, estos resultados se amplían para crear una teoría linealizada más rigurosa del orden SAQD
que informará teorías no lineales. En particular, el modelo se generaliza a cualquier modelo que combine energía local
efectos tales como la densidad de energía superficial y la desestabilización elástica no local, y el procedimiento para predecir el orden
basado en cualquier teoría lineal con longitudes de onda de pico se presenta. El efecto hipotetizado de la anisotropía elástica en [24]
se verifica con cálculos utilizando la teoría lineal de elasticidad anisotrópica. [25, 26] Detalles como fluctuación estadística
y la convergencia también se abordan junto con una discusión de las posibles formas de términos anisotrópicos lineales en SAQD
se aborda la cinética del crecimiento, y el efecto de un corte a escala atómica en la teoría del continuum. Por último, la orden
el aumento del efecto de crecimiento cerca del umbral crítico se explora con más detalle utilizando cálculos apropiados para
Ge/Si SAQDs.
En la literatura, dos modos de formación de SAQD son generalmente discutidos, el modo de nucleación térmica y el nu-
modo sin escote. [27, 28, 29] En el modo de nucleación térmica, una superficie de película 2D es metaestable, y la formación de
los puntos cuánticos individuales se activan térmicamente. [27]. Este modo de crecimiento conduce a la formación de la cuántica individual
puntos como eventos discretos no relacionados o libremente correlacionados en ubicaciones esencialmente aleatorias. En el modo sin nucleación,
la superficie de la película 2D pasa de estable (o metaestable) a inestable. En este modo, los puntos se forman en todas partes a la vez
Aparece en un principio como una onda cruzada como una perturbación en la superficie de la película 2D y luego madura en reconocimiento-
puntos individuales capaces.[27, 30, 28, 31, 32] Estos dos modos están probablemente conectados a través de un
y el modelo matemático1, y tal vez algo de lo que se observa experimentalmente es de hecho un mecanismo híbrido. In
acuerdo con la intuición, parece que el modo sin nucleación conduce a un patrón de punto más ordenado que el térmico
modo de nucleación que está dominado por la aleatoriedad. 2 Así, el análisis presentado se aplica al modo sin nucleación.
Hay varias implementaciones de modelos de crecimiento sin nucleación [28, 37, 38, 39, 40, 18, 34], aunque hay
también una gran cantidad de elementos comunes entre estos modelos. En particular, todos ellos incluyen un efecto elástico no local y local
energías de superficie y/o energías de humectación locales. Aquí, un análisis lineal del orden cuántico de puntos resultante de esta clase de
se presenta el modelo. Se toma nota en particular de los efectos de las condiciones iniciales estocásticas anisotropía cristalina en general,
Anisotropía elástica en particular, y el efecto de la variación de la altura de la película como parámetro de control tal como se introdujo por primera vez en [33].
Un modelo simple similar a [28, 37, 38, 40, 18] se presenta para producir ejemplos numéricos y explorar los efectos
de la altura media de la película. Al mismo tiempo, se presenta y analiza un modelo más abstracto y general que incluye:
efectos elásticos no locales, y una superficie local combinada y energía de humectación. El modelo lineal con estocástico
las condiciones iniciales y la evolución determinista de la altura de la película allanarán el camino para un análisis más sofisticado
Modelo no lineal de la evolución de la altura de la película estocástica.
Como ya se ha dicho, uno de los objetivos del presente trabajo es seguir explorando el papel de la poten-
tial durante el crecimiento cerca del umbral de estabilidad en la altura de la película. En el análisis se ha incluido un potencial de humectación
y simulaciones en [38, 33, 37, 28]. Aunque un tanto controversial, el potencial de humectación juega un
papel nomenológico. Se asegura de que el crecimiento se lleva a cabo en el modo Stranski-Krastanow: que un crecimiento inestable en 3D
se produce sólo después de que se alcanza un espesor crítico de la capa, y que persiste una capa residual de humectación. Los orígenes físicos
y las consecuencias del potencial de humectación se examinan en [41, 28]. El análisis presentado aquí es utilizable en modelos
que descuidan el potencial humectante simplemente poniéndolo en cero. Otra posibilidad es simplemente que el potencial de humectación
es simplemente una aproximación al efecto estabilizador de la mezcla. [42] Dicho esto, si el potencial de humectación es real, el
El análisis actual muestra que es beneficioso para el orden SAQD crecer cerca del espesor crítico de la capa.
Las fórmulas analíticas presentadas y el análisis lineal están destinados a complementar los modelos numéricos existentes de
Orden SAQD. [43, 37, 44, 45] y para formar una base para el futuro análisis analítico no lineal del orden SAQD. La corriente
los hallazgos concuerdan con trabajos previos sobre los efectos beneficiosos de la anisotropía elástica para mejorar el orden en el plano.
El análisis lineal, por supuesto, representa una simplificación de la evolución de la película, y se aplica sólo a la inicial
etapas de formación de SAQD cuando la superficie de película nominalmente plana se vuelve inestable y transiciones a tres dimensiones
crecimiento. Sin embargo, la pequeña fase de fluctuación superficial del crecimiento del SAQD determina las semillas iniciales de orden o trastorno
en una matriz SAQD; por lo tanto, la pequeña fase de fluctuación debería tener una influencia importante en el resultado final. Más tarde
cuando las fluctuaciones superficiales sean grandes, existe una tendencia natural del SAQDS a ordenar o madurar [33, 37, 46,
39, 47] Los sistemas de pedidos tienden a evolucionar lentamente debido a la desaceleración crítica [39], mientras que la maduración tiende a disminuir
Ordene más adelante. [37] Por lo tanto, es posible que el modelo lineal pudiera, de hecho, producir buenas predicciones del orden SAQD.
La simplificación y linealización facilita el desarrollo de soluciones analíticas que son más transparentes, fáciles
portátil a múltiples sistemas de materiales y no tienen ningún límite efectivo en el tamaño del sistema. Por último, es prácticamente imposible
tener una comprensión completa del modelo no lineal completo sin tener primero una comprensión completa del modelo lineal
comportamiento.
El resto del documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 se presentan los supuestos físicos y matemáticos
1Es probable que haya una transición de estable, a metaestable y finalmente a inestable. El análisis presentado en [33] parece apoyar
una vista en la que la altura de la película actúa como parámetro de control que impulsa la transición. También hay cierta controversia en cuanto a si todo el crecimiento de puntos es
sin nucleación o no. [34, 32]
2Compare varias cifras en [29, 35, 14, 31, 36].
aproximaciones utilizadas para modelar el crecimiento de la película. Sección 3 discute las condiciones iniciales estocásticas y el resultado
funciones de correlación y longitudes de correlación. La sección 4, presenta un procedimiento para estimar el pedido SAQD con un
aplicación a puntos Ge en un sustrato Si. En la sección 5 se presentan las conclusiones, mientras que en los apéndices A a F se presentan las conclusiones adicionales.
detalles de cálculo.
2 Modelado
La formación de SAQDs se modela como un proceso de difusión superficial determinista con condiciones iniciales estocásticas. Los
ecuaciones resultantes y, en última instancia, las funciones de correlación buscadas son diferentes dependiendo de si la película
la superficie se trata como isotrópica unidimensional, isotrópica bidimensional o anisotrópica bidimensional. El 1D
y los casos isotrópicos 2D se discuten primero, y luego se presentan las diferencias esenciales del modelo anisotrópico 2D.
Las condiciones iniciales estocásticas necesitan ser expresadas en términos de las funciones de correlación que también se utilizan para analizar
orden; en consecuencia, la discusión de las condiciones iniciales se aplaza a la Sec. 3.2.
Cabe señalar que los resultados presentados aquí son bastante generales. Ha habido una gran cantidad de trabajo reciente
refinar el modelado de procesos de crecimiento sin nucleación para incorporar varios aspectos fenomenológicos del SAQD
crecimiento. Por ejemplo, la inclusión de la energía superficial dependiente de la orientación [38], la energía superficial dependiente de la tensión [34]
y el modelado explícito de la segregación de las especies atómicas y la difusión entre películas y sustratos. [48] Se presentan dos modelos
Aquí. Uno es un simple ejemplo concreto. Es el modelo más simple que se puede utilizar incluyendo efectos elásticos energía superficial
y la energía de la humectación. El segundo modelo es más abstracto y describe el caso general de una energía potencial local
que depende tanto de la altura de la película como de la altura de la película gradiente. Un efecto que no se examina aquí es el de la mezcla
Simetría de cuatro y dos veces. Tal mezcla puede ocurrir debido a la anisotropía de difusión o a la anisotropía de energía superficial.
(Sec. 2.2.1.2 y apéndice D). Sin embargo, un procedimiento de análisis similar debería funcionar también para estos casos. Generalidades
El procedimiento para su posible aplicación a otros modelos se examina en la sección II. 3.5.
En la siguiente discusión se utilizará la notación de vectores abstractos, por ejemplo. k en lugar de ki, etc. También, porque a veces es
conveniencia computacional para realizar el modelado unidimensional [24, 39, 17, 42], el caso de una superficie unidimensional
con volumen bidimensional se discute junto con el caso de una superficie isotrópica 2D. Para facilitar esta combinación
discusión, la dimensión de la superficie se denotará como d. En Secs. 3.3 y 3.4, d = 1, 2 se sustituirán como
apropiado. Finalmente, gran parte del cálculo implica espacio recíproco. La convención utilizada para las transformadas de Fourier
f(x) =
ddk eik·xfk, y fk = (2η)
ddx e-ik·xf(x)
siguiendo el ejemplo de [28].
2.1 Modelo Isotrópico 1D y 2D
Esta discusión se refiere tanto al modelo 1D como al modelo isotrópico 2D. La formación de SAQDs se modela como un
proceso de difusión de la superficie donde la altura de la película es una función de la posición lateral y el tiempo. El sistema se trata como
Determinista con condiciones iniciales estocásticas. En primer lugar, se presentan las ecuaciones generales no lineales de gobierno. Entonces,
se presenta la forma linealizada. Finalmente, se revisa el comportamiento clave.
El modelo matemático utiliza la altura de la película, H(x, t) como variable dependiente y la posición horizontal x y
tiempo t como las variables independientes. La altura de la película evoluciona con el tiempo debido a la difusión superficial impulsada por una difusión
potencial μ(x, t) y un flujo de nuevo material Q. La velocidad de la superficie es así
vn = nzŁtH = S · DSμ(x, t) +Q (1)
donde nz es el componente vertical de la superficie normal nz = [1 + (H)2]-1/2, S es el gradiente superficial, D es el
Difusividad, y S es la divergencia de la superficie.
2.1.1 Energética
El potencial de difusión μ(x, t) debe producir crecimiento de Stranski-Krastanow. Por lo tanto, debe contener un término elástico que
desestabiliza el crecimiento de la película, un término de energía superficial que estabiliza el crecimiento planar y una energía humectante que asegura una humectación
capa. El potencial de difusión puede derivarse de una energía total libre.
F = Felast + Fsurf. + Fwet
volumen
dV • +
superficie
dAsurf. γ +
DAW (H)
γ es la densidad de energía de la superficie, W (H) es la densidad de energía de humectación. Los
la última integral corresponde a Fwet, y si la integral debe ser tomada sobre la superficie de la película o el sustrato es
ambiguo. El modelo “simple” (Sec. 2.1.1.1) asume que la integral está sobre el sustrato, mientras que el “general”
modelo (Sec. 2.1.1.2) puede dar cabida a ambos casos.
2.1.1.1 forma simple El modelo más simple posible resultados si la integral correspondiente a Fwet se toma sobre el
posiciones laterales x en lugar de sobre la superficie libre real. En términos concretos, se puede utilizar dV = d2xdz y dAsurf. =
1 + (+H(x))2
para obtener la expresión,
volumen
d2xdz [H](x, z) +
x-plano
1 + (+H(x))2
γ + W (H(x))
, (2)
donde el “[H]” indica que la densidad de energía elástica es una función no local de la altura de la película, H. La difusión
μ potencial se puede encontrar, similar a [15], diferenciando F con respecto al movimiento de la superficie (Apéndice A.1),
μ(x) = F/H(x). Lo hago por Eq. 2) (Apéndice A.2),
μ(x) = [(x)− (x) +W ′ (H(x))]. 3)
donde el volumen atómico es (x) es la densidad de energía elástica en la superficie de la película [implícitamente [H] (x,H(x)],
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
H(x)
1 + (+H(x))2
− 1/2}
es la curvatura total de la superficie, y W ′(H) = H(x)W (H(x)) es la
derivado de W (H(x)) evaluado en x.
2.1.1.2 Forma general Cabe señalar que Eq. (3) no es el mismo potencial de difusión utilizado en [38]. La humectación
potencial utilizado allí puede derivarse tomando W (H) como una densidad de energía de la superficie libre, no una densidad en el
X-plano. Expresiones como Eq. (3) y Eq. (1) en [38] forman parte de una clase más grande de modelos de evolución de la superficie con más
o menos el mismo comportamiento lineal.
La superficie y la energía de humectación se pueden combinar e incorporar en una forma más general, con un total libre
Fsw de energía y una densidad de energía libre Fsw(H,H) que depende de la altura de la películaH(x) y la pendiente de la altura de la película o
orientación H(x). La energía libre total es por lo tanto
F = Felast. + Fsw (4)
volumen
d2xdz [H](x, z) +
x-plano
d2xFsw (H(x),+H(x)).
Fsw puede no ser necesariamente la suma de la energía de superficie separada y las contribuciones de energía de humectación. Sólo tiene que ser un
función local deH y â € ¢H. El potencial de difusión correspondiente es
μ(x) =
(x) + F (10)sw (x) · F
sw (x)
, (5)
donde F (mn)sw indica el derivado mth con respecto a H y el derivado nth con respecto a H. F
sw (x) =
* H(x)Fsw (H(x),* H(x)) y cada componente vectorial de F
sw (x) es
F(01)sw (x)
= [*H(x)]
Fsw (H(x), H(x)).
Uno puede obtener los resultados del modelo simple (Eqs. 2) y 3)) mediante el establecimiento
Fsw =
1 + (+H(x))2
γ + W (H(x)). 6)
Un potencial de difusión como Eq. (1) en [38] puede obtenerse mediante ajuste
Fsw =
1 + (+H(x))2
[γ (H(x)) +W (H(x))].
Esto es diferente de Eq. (6) de dos maneras. En primer lugar, la densidad de energía de la superficie depende de la orientación de la superficie. Segundo,
el jacobino, J =
1 + (+H(x))2
multiplica tanto la densidad de energía superficial como el potencial de humectación. A pesar de
estas diferencias, la forma común del potencial de difusión (Eq. 5) entre los diferentes modelos sugiere que
todos pueden conducir a formas y comportamientos lineales similares.
2.1.1.3 Linearización El potencial de difusión está ahora linealizado sobre la altura media de la película H̄. En general, uno
puede controlar la cantidad de material depositado, y por lo tanto la altura media de la película H̄. Por lo tanto, es útil descomponer
H(x) en el valor promedio espacial y las fluctuaciones sobre el promedio. Similar a [28],
H = H h(x, t). 7)..................................................................................................................................................
En el cálculo actual, H̄ se especifica como constante en el tiempo. Esta suposición corresponde físicamente a un depósito rápido
y luego una annea. No es demasiado difícil generalizar a un H̄ dependiente del tiempo, pero eso está más allá del alcance de este
manuscrito. En [38, 49], la deposición y la evaporación se modelan explícitamente.
Todos los términos en μ(x, t) ahora se mantienen sólo en orden lineal en h(x, t). La densidad de energía elástica es un no-local
funcional de h(x, t) [40]; sin embargo, las ecuaciones que generan فارسى(x) son traslacionalmente invariantes. Por lo tanto, es conveniente
utilizar el espacio recíproco para la linealización. La curvatura se linealiza trivialmente como فارسى(x) → 2h(x) en el espacio real o
•k → −k2hk en el espacio recíproco. La energía de deformación elástica linealizada puede encontrarse en el espacio recíproco como en [15]
2mhk, donde M = E/(1 − ν) es el módulo biaxial, E es el módulo Young,
Relación Poisson, y m es la cepa de desajuste película-sustrato. Esta fórmula descuida las posibles diferencias en el modulo elástico
entre la película y el sustrato como en [28], pero también debe aplicarse un método de análisis similar a ese caso. Linealización
Eqs. (3) y (5) en el espacio recíproco, μk es proporcional a hk con un coeficiente de proporcionalidad que depende de k y
μlin,k = f(k, H̄)hk (8)
donde f(k, H̄) para tres casos isotrópicos diferentes, correspondientes a Eqs. 3) y 5), y una forma general abstracta, es
dado por
f(k, H̄) =
−2M(1 + /) 2mk + γk2 + W ′′(H̄)
; caso a (Eq. 3))
−2M(1 + /) 2mk + F 02k2 + F 20
; caso b (Eq. 5))
−ak + bk2 + c; asunto c (general)
. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Debido a la isotropía, f(k, H̄) es independiente de la dirección de k, y sólo el número de onda, k =, aparece en el
Lado derecho. F (20)sw es la segunda derivada de Fsw con respecto a H, y F
sw la segunda derivada de Fsw con
respeto a H. F (20)sw y F
sw dependen sólo de H̄; por lo tanto, son constantes en el presente análisis. Véase el apéndice B.2
para definiciones más precisas y la derivación de f(k, H̄). Usando Eq. (6), produce F (02)sw = γ y F
sw = W ′′(H̄)
que es idéntico al caso simple de Eq. 9), a. Caso c, etiquetado como “general” cuando a, b, y c dependen implícitamente de
H̄ muestra que f(k, H̄) para los casos a y b tienen la misma forma relativamente simple. También hace hincapié en los efectos dinámicos
a diferencia de las causas físicas. Hay un término desestabilizador, −ak, un término de corte de longitud de onda corta, bk2, y un término
que estabiliza todo el espectro, c.
A pesar de la etiqueta “general”, hay, por supuesto, limitaciones a la aplicación de Eqs. 8) y 9). Por ejemplo,
ha habido un trabajo reciente sobre los efectos de las energías superficiales dependientes de la tensión. [34] La segunda forma no puede representar
tal efecto porque la derivación supone que la energía de la superficie sólo depende de las cantidades locales, (H y H)
mientras que el efecto de deformación no es local. Sin embargo, es razonable conjeturar que un análisis más detallado de la
efectos de un término de energía superficial dependiente de la tensión produciría un coeficiente función f(k, H̄) no muy diferente de
el caso c forma “general” de Eq. 9). Por lo tanto, el siguiente análisis puede muy bien aplicarse a este modelo más exótico, pero
Se necesita más estudio para estar seguro.
2.1.2 Dinámica
Como se indica en la sección II. 2.1.1, la dinámica se deriva suponiendo que no hay flujo de nuevo material (Q = 0) y mantener sólo
términos a orden lineal en la fluctuación de altura, h(x, t). Bajo estas suposiciones, Eq. (1) puede descomponerse en un
Tabla 1: Números de onda característicos, tiempos característicos y variables adimensionales asociadas para los tres casos
a la que se hace referencia en Eq. 9).
kc tc α β
caso a 2M(1)
16D/23370/M4(1)4 8m
γW ′′(H̄)
4M2(1)2 4m
Caso b 2M(1)
(F (02)sw )
16D/23370/M4(1)4 8m
F (02)sw F
4M2(1)2 4m
Caso c a/b b3/(D/23370/a4) k/kc cb/a2
ecuación trivial para H̄ y una ecuación para la fluctuación de la altura de la película mediante la inserción de Eq. (7).
dH̄/dt = 0 (10)
(x) = · Dlin(x) (11)
donde μlin(x) es la transformada inversa de Fourier de Eqs. (8) y (9), y depende implícitamente de la altura media de la película
H̄. Tenga en cuenta que la dependencia de tiempo es implícita mientras que la dependencia de coordenadas es explícita. La coordinación explícita
dependencia sirve para distinguir Suponiendo que la difusividad D es constante, la transformación de Fourier de Eq. (11) da
la ecuación diferencial linealizada para la evolución de cada componente de Fourier.
♥thk = −Dk2μk = −Dk2f(k, H̄)hk. (12)
Resolviendo Eq. (12),
hk(t) = hk(0)e
kt; (13)
k = −Dk2f(k, H̄). (14)
La superficie evoluciona en el espacio recíproco como una condición inicial, hk(0) multiplicado por una función de sobre, eÔkt. Por
la mayoría de los valores de H̄, esta función de sobre tiene un pico. A medida que pasa el tiempo, este pico se estrecha y puede ser aproximado por un
Gaussian. Para analizar este comportamiento, se definen las variables adimensionales apropiadas. Entonces, la estabilidad de la película es
Debatida. Por último, se expandió su pico para ayudar a los cálculos analíticos.
El comportamiento dependiente del tiempo de las fluctuaciones de altura de la película se facilita mediante el uso de un número de onda característico,
tiempo característico y variables adimensionales relacionadas. Para el caso "general" c de Eq. 9), la característica wavennum-
ber es kc = a/b, y el tiempo característico es tc = 1/(Dbk4c ) = b3/(Da4). Estas dimensiones características pueden ser
utilizado para definir un vector de onda adimensional, α = k/kc y un parámetro de humedecimiento adimensional β = c/(bk2c ) = cb/a
También se puede definir un tiempo adimensional, = t/tc. Para obtener las escalas características correspondientes para los casos a y
b, uno simplemente tiene que enchufar los sustitutos apropiados para a, b y c y seguir el patrón. Por ejemplo, para el caso
a, hacer la sustitución un → 2M(2 + v) 2m, etc. La Tabla 1 resume estos valores para los tres casos. Para los tres
los casos, f(k, H̄) y la constante de crecimiento k reducir a las formas siguientes:
f(k, H̄) = f(kcα, H̄) = ♥bk2c
α2 + β
k = kcα = t
α2 − β
, (16)
donde α = = k/kc es el número de onda adimensional. Estas formas están trazadas en Figs. 1a y 2. Fig. 1a muestra
f(k, H̄)/bk2c vs. α para una superficie isotrópica o una dimensión. Higos. 2 muestra tcÔk vs. α para un anisotrópico 2D
superficie (Sec. 2.2). Sin embargo, las curvas marcadas 0-0 son idénticas a la relación de dispersión para un isótropo 1D o 2D
superficie (compare Eqs. 9) y (23)).
2.1.3 Picos
La tasa de crecimiento máximo y el número de onda correspondiente k se pueden encontrar en Eq. (16). k tiene un pico en k0 = kcα0
donde
9- 32β
. (17)
Expandiendo k sobre este pico a segundo orden en k − k0,
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
2(k − k0)2
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡0.25!
Incremento de los valores
Figura 1: Prefactores potenciales de difusión adimensional vs. número de onda adimensional. a) La unidimensional o
Caso isotrópico con β = 0,3. b) El caso elástico isotrópico con anisotropía A = 0,1 (véase Eq. (22)).
Incremento de los valores
22,5 ° ° ° ° ° ° ° + 22,5 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Incremento de los valores
22,5 ° ° ° ° ° ° ° + 22,5 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Figura 2: Constante de crecimiento adimensional vs. número de onda adimensional. Curvas son trazados para el elástico
caso anisótropo, pero las curvas marcadas 0o son las mismas que para los casos isotrópicos. En la letra a), β = 0. En b) β = 0,2.
Figura 3: Envoltura exponencial en función de α para β = 0,208 y t/tc = 100. a) Superficie isotrópica 2D. b) 2D
superficie anisotrópica con = 0,1236.
Las dos constantes son
t−1c α
0 (α0 − 2β), (18)
2 = t
c (3α0 − 4β). (19)
Insertando esta aproximación para k en Eq. (13),
hk(t) = hk(0)e
0te−
2Δ2t(k−k0)
. (20)
Los componentes de fluctuación de superficie iniciales individuales crecen con una envoltura en forma de gaussiano. Un ejemplo de esto
el sobre está trazado en la Fig. 3 a). Nótese que en dos dimensiones, el sobre forma un anillo ya que el pico es sobre el
número de onda k0 pero no sobre ningún punto en particular en el plano k.
2.1.4 Estabilidad y potencial de humectación
El crecimiento de Stranski-Krastanow se caracteriza por una transición de un crecimiento bidimensional estable a tres dimensiones inestables
crecimiento una vez que se alcanza una altura crítica Hc. [1] Eqs. (17), (18) y (20) son útiles para analizar la transición de
crecimiento estable a inestable. Para que esta transición ocurra, debe haber algún término estabilizador en la difusión
potencial. En el modelo actual, esto significa que debe haber algún término de energía superficial similar que varía fuertemente con
altura de la película. Esta condición equivale a afirmar que W ′′(H̄) o F 20sw o c (Eq. 9) debe ser bastante grande si H̄ < Hc.
Sin embargo, a medida que H̄ aumenta, estos términos se reducen. Finalmente, cuando H̄ > Hc, este término ya no es capaz de estabilizar
la película contra fluctuaciones de todas las longitudes de onda posibles.
El valor crítico Hc se puede encontrar utilizando el análisis de [33]. Por inspección de Eqs. (8), (9) y (12), modos
con f > 0 aumentan la energía libre total F a medida que crecen; por lo tanto, son estables y se deterioran con el tiempo. Modos con
f < 0 disminuyen la energía libre total F a medida que crecen; por lo tanto, son inestables y crecen con el tiempo. Este crecimiento y
la regla de desintegración se verifica fácilmente mediante la inspección de Eq. (14). Así, el crecimiento estable ocurre cuando f(k, H̄) > 0 para todos los valores de
k, y el crecimiento inestable ocurre cuando f(k, H̄) < 0 para algunos valores de k. Así, la transición de estable a inestable
crecimiento se produce cuando el valor mínimo de f(k, H̄) sólo se convierte en negativo. Usando el mismo análisis dimensional que en
la sección anterior y tras la discusión de [33], se observa que el valor mínimo, fmin = bk2c (β − 1/4),
se produce en kmin/kc = αmin = 1/2. fmin primero se vuelve negativo, y la transición al crecimiento inestable ocurre cuando
el parámetro de humectación adimensional (Tabla 1) cae a un valor crítico, β = 1/4. β > 1/4 de crecimiento 2D estable, y
β < 1/4 de crecimiento 3D inestable. Es razonable suponer que W (H̄), W ′′(H̄), y por lo tanto β son monótonamente positivos
funciones decrecientes de H̄ por lo que la interfaz se vuelve menos importante para los valores grandes de H̄. Por ejemplo, en [50] es
Asumió que W (H) = B/H, donde B es constante. Cuando β → 0, correspondiente a H̄ grande, el caso discutido en [28]
se obtiene. Un análisis similar se puede hacer para los casos b y c una vez que se especifica cómo los términos F (20)sw y F
sw o a, b
y c dependen de H̄.
Usando una forma adivinada para un potencial de humectación, uno puede encontrar la altura crítica de la película Hc al establecer β = 1/4. Aplicar
esta condición para el caso a en Eq. 3)
W ′′(Hc) = γk2c/4.
Utilizando como ejemplo el potencial de humectación de [50], W (H) = B/H,
Hc = 3
8B/(γk2c ) =
8Bγ/(2M(1 + /) 2m)2. (21)
Por el contrario, se puede ajustar un potencial de humectación a un espesor de capa crítica observado o razonable de la misma condición.
Utilizando el ejemplo de humectación potencial de [50],
(2M(1 + /) 2m)
como se indica en [50].3
2.2 2D Caso anisotrópico
La anisotropía cristalina conduce a una relación de dispersión, que es cuantitativa y cualitativamente diferente de la anisotropía cristalina.
Caso isotrópico. Aquí se discute en detalle el efecto de la anisotropía elástica. Otras fuentes de anisotropía son:
la superficie y las energías humectantes. Por ejemplo, en [38] la densidad de energía superficial depende de la orientación que
introduce una posible anisotropía en la relación de dispersión. Posibles fuentes de anisotropía son un elástico anisotrópico
tensor de rigidez, energía superficial dependiente de orientación o potencial de humectación o difusión anisotrópica. Tal como se ha examinado
abajo, la forma de anisotropía a orden lineal en la fluctuación de altura, h, está algo restringida. Se presentan los resultados
para superficies simétricas de 4 veces, es decir, superficies que tienen leyes de evolución dinámica invariantes cuando giran por 90°. Posible
También se discuten las complicaciones derivadas de términos anisotrópicos simétricos de dos veces (con simetría rotacional de 180o). As
para el caso isotrópico, primero se discuten las energías, luego la dinámica, y finalmente la expansión sobre los picos
en la relación de dispersión, k.
2.2.1 Energía
La discusión de la energía tratará primero los efectos de la anisotropía elástica y luego la anisotropía resultante de la superficie
o mojando como términos.
3Este resultado de [50] corresponde a la elección Fsw(H, H) =
1 + (+H)2+W (H). Sin embargo, el modelo numérico de [50] parece
Usar Fsw(H, H) =
1 + (+H)2 [γ(+H) +W (H)]. Esta diferencia debe conducir a una altura crítica ligeramente diferente de la película en su número
modelo de la que predijeron (Eq. (21)).
Figura 4: Parcela de E.k./(M.)
m) para diversos materiales. Los símbolos indican valores calculados utilizando el Apéndice C. Líneas sólidas
son la interpolación (Eq. (22)) utilizando los valores de la tabla 2.
Cuadro 2: Constantes elásticas [51] y valores calculados (véase el apéndice C) para diversos materiales de interés en T = 300K.
c11 c12 c44 M
1011 ergcm3 10
11 erg
cm3 10
11 erg
cm3 10
11 erg
Cuadro 12.60 4,40 6,77 13,93 2,16 1,906 0,1176
Si 16.60 6,40 7,96 18.07 2.22 1.997 0,1005
InAs 8,34 4,54 3,95 7,94 2,70 2,09 0,226
GaAs 11.90 5,34 5,96 12.45 2,15 1,87 0,1302
2.2.1.1 Anisotropía elástica Uno quisiera obtener una simple expresión simbólica para la densidad de energía elástica en
la superficie libre, k, a primer orden en hk para el caso elástico anisótropo. Se pueden encontrar discusiones similares en [25, 26].
Para el caso isótropo, k = −2M(1 + ν) 2mhk. Para el caso anisótropo,
- E-E-E-K-K-K-K.
donde el prefactor E.k. es la disminución de la energía elástica en la superficie por unidad de número de onda (k → 1) y la amplitud de la unidad
(hk → 1). No es constante, pero en su lugar depende de la k, el ángulo que k hace con la dirección x. El caso de una
simetría del cubo tensor de rigidez elástica como para Si se considera donde uno debe especificar tres constantes elásticas c11,
c12 y c44. [51]. El crecimiento en una superficie (100) producirá un prefactor de energía elástico E.K. que es simétrico de cuatro veces
(simétrica sobre las rotaciones por 90°). Un procedimiento similar a [25, 26] basado en un análisis de perturbación de primer orden es
seguido (apéndice C). Una fórmula de interpolación relativamente simple [24] se hipotetiza y luego se verifica numéricamente.
El procedimiento de interpolación, sugerido en [24] utiliza la expansión de orden más baja posible en el sin(lk) y cos(lk)
que tiene la correspondiente simetría cuatriplicada y luego interpola entre k = 0° y k = 45°. Por lo tanto,
E.k. = E.o......................................................................................................................................
1− Un sin2
donde A = (E0--E45-E0-E0-E0-E) es un factor de anisotropía. Esta forma de orden más bajo resulta ser un muy buen ajuste para
cálculos numéricos (Fig. 4). En el cuadro 2 se indican los valores de E0° y A para algunos sistemas de interés. En el elástico
Caso isotrópico, E0o = E45o = 2M(1 + ν) de modo que A = 0.
Hay dos diferencias importantes con respecto al caso elástico isotrópico. La primera es obvia, de la que depende E.K.
orientación angular, Łk. El segundo es que el valor pico de k no es el mismo que para el caso elástico isotrópico
porque en general, E0- 6= 2M(1 + ν). En [24], cuando el objetivo era simplemente investigar el mecanismo mediante el cual
orden de efectos de anisotropía elástica, esta segunda diferencia fue descuidada.
2.2.1.2 Energía de superficie y humectación Anisotropía La energía superficial y el potencial de humectación pueden ser adicionales
fuentes de anisotropía si dependen de la orientación de la superficie de modo que γ → γ(H) o W (H) → W (H,H) (para
ejemplo, [52, 38]). Entonces, a primer orden en h,
μsurf.,k =
γk2 + k · · k
donde es la matriz (2×2) o matriz hessiana que resulta de tomar los segundos derivados de γ(H) con respecto
a los dos componentes de H (Apéndice B.1). Del mismo modo
μwet,k =
W (20) + k · Wû(02) · k
donde W (20) y Wū(02) son los segundos derivados de W (H, ÍH) con respecto a H y ÍH (apéndice B.1). Por
ambos μsurf.,k y μwet,k, el primer término es isotrópico, y el segundo término contiene cualquier posible anisotropía.
El rango de las matrices y Wū(02) restringe enormemente las posibles formas de la anisotropía adicional. Estos
(2 × 2) Las matrices deben ser dos veces simétricas o perfectamente isotrópicas. Por lo tanto, si la energía de la superficie y la humectación
potencial son simétricos cuatro veces como Eok es, entonces
′′ →, un escalar, y Wū(02) → W (02), un escalar, y ninguno de los dos
aporta cualquier anisotropía adicional. Sin embargo, ayudan a estabilizar o desestabilizar aún más la superficie 2D, ya que
añadir términos proporcionales a k2. El efecto de estos términos adicionales es indistinguible del efecto de
valor de la densidad de energía de la superficie, γ. [52, 31]
Debe tenerse en cuenta que la superficie (100) de un diamante o de estructuras de sangrado de zinc permite la anisotropía que es sólo 2
pliegue simétrico (rotación por 180°). Por lo tanto, podrían “romper” la simetría cuádruple que ocurre cuando uno considera
la anisotropía elástica sola. Sin embargo, esta simetría “rompida” es algo dudosa porque incluso el diamante y
las estructuras de la sangría del zinc tienen la simetría del tornillo (las rotaciones por 90° y la traducción en la dirección [100] por la mitad de la celosía
vector). Por lo tanto, si por ejemplo, W (H,H) es anisótropo con simetría doble a orden lineal, debe haber un
oscilación rápida con cambios en la altura de la película H. En el apéndice D, un término similar relacionado con la difusión anisotrópica es
Debatida. No parece haber pruebas de esta doble simetría en el caso de (100) superficies de IV/IV
sistemas como Ge/Si, pero en los sistemas III-V/III-V la simetría cuatriplicada de la superficie (100) puede estar “roto”
de esta manera corresponde a una anisotropía de energía superficial o a una anisotropía de difusión. [53, 54]. Análisis más a fondo
de tales términos con más detalle complicaría enormemente el debate actual, por lo que se deja para la labor futura. La mayoría
de la literatura de modelado evita esta complicación al no incluir la simetría-rotura de la superficie de la sangría de zinc,
por ejemplo [25, 26, 38].
Uno puede realizar un análisis similar de la superficie combinada y el potencial de humectación, Fsw(H,H) (caso b). A lineal
orden el potencial de difusión anisotrópica resultante es (Apéndice B.2)
μsw,k =
F (20)sw + k · F
sw · k
Una vez más, Fū(02)sw es un tensor de rango 2, y todas las mismas consideraciones de simetría se aplican aquí también.
Debido a que los términos anisotrópicos de simetría dual están excluidos de la discusión actual, y los términos isotrópicos
simplemente “renormalizar” la eficacia de la energía superficial, no habrá más consideración de la anisotropía resultante
desde la energía superficial o el potencial de humectación en esta discusión. Se procederá a nuevos cálculos suponiendo que el
la densidad de energía superficial, γ, ni el potencial de humectación, W (H), dependen de H o similar que Fsw (H,
dependencia isotrópica de H. Esta suposición puede hacerse sin afectar a ninguno de los resultados cualitativos.
2.2.1.3 Potencial de difusión total Habiendo prescindido de la discusión de las diversas fuentes de anisotropía, la
potencial de difusión total se indica para el caso de 4 veces la anisotropía elástica simétrica y una superficie completamente isotrópica
energía y potencial de humectación. μk = f(k, H̄) con
f(k, H̄) =
1− Un sin2(2k)
k + γk2 + W ′′(H̄)
; caso a (Eq. 3))
1− Un sin2(2k)
k + F (02)sw k2 + F
; caso b (Eq. 5))
1− Un sin2(2k)
+ bk2 + c ; asunto c (general)
. 23)
Tabla 3: Números de onda característicos, tiempos característicos y variables adimensionales asociadas para los tres casos
a la que se hace referencia en Eq. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
kc tc α β
asunto E0o/γ γ3/(De40) k/kc γW ′′(H̄)/E20
Caso b E0-F
/(DE40) k/kc F
sw /E20
Caso c a/b b3/(D/23370/a4) k/kc cb/a2
2.2.2 Dinámica
La dinámica se rige por la difusión superficial, al igual que en el caso totalmente isotrópico. Se asume que la difusividad
es isotrópica como se hizo para la energía superficial y las energías humectantes; por lo tanto, toda la anisotropía en la evolución de la película
la dinámica proviene de los efectos elásticos solos. Se discute la posibilidad y los efectos de un potencial de difusión anisotrópica
En el apéndice D (véase también [54]). La dependencia del tiempo de las perturbaciones de la superficie simplemente sigue Eqs. (13) y (14),
pero con Eq. (23) utilizado para f(k, H̄). En cuanto al caso isotrópico, los números de onda característicos adecuados (kc) y
escalas de tiempo (tc) se pueden encontrar para cada uno de los tres casos junto con el vector de onda adimensional asociado α y
Parámetro de humectación adimensional β. Estos se enumeran en el cuadro 3. La relación de dispersión se puede expresar en términos
de estas variables adimensionales (α y β), dando
k = kcα = t
1− Un sin2(2k)
− α2 − β
. (24)
El comportamiento de estabilidad es esencialmente el mismo que para el caso isotrópico con una transición que ocurre en β = 1/4 corre-
sponding a H̄ = Hc.
2.2.3 Expansión de los picos
k tiene 4 picos en (k, k) = (k0, γ[n− 1]/2) con k0 = kcα0 (Eq. (17)) y n = 1... 4. En forma de vector, hay cuatro
picos en
kn = k0 (cos(l(n− 1)/2)i + sin(l(n− 1)/2)j).
Similar al caso isotrópico,
n = 0 −
(k − k0)2 −
0(k − nη/2)
donde Eq. (18), = 2 dado por Eq. (19), y
= 8 Aα0t
En términos de los componentes vectoriales paralelos y perpendiculares a kn, k». y k, respectivamente.
n = 0 −
(k − k0)2 −
= cos[η(n − 1)/2]kx + sin[η(n − 1)/2]ky, y k = − sin[η(n − 1)/2]kx + cos[η(n − 1)/2]ky. La hora
evolución de hkin la vecindad de uno de los kn es
hk(t) hk(0)et(0−
2, 2(kk0)
2 - 12k
3 Funciones de correlación
Las funciones de correlación y las constantes asociadas tales como longitudes de correlación pueden ser muy útiles para caracterizar el orden.
En particular, la función de autocorrelación (Eq. (25)) y su transformación de Fourier (Eq. (26)) también conocido como el espectro
función puede dar una muy buena caracterización del orden de puntos (Figs. 6a y c y 5b, e y h). La autocorrelación
función es denotada CA(x) donde x es el vector de diferencia entre dos puntos en el plano x. El espectro
función es una función de k, y se denota CAk. El objetivo aquí es ser capaz de predecir estas dos funciones y
h(nm)
h(nm)
h(nm)
describirlos cuantitativamente de una manera que se puede utilizar para caracterizar el orden SAQD con sólo unos pocos números. El au-
la función de correlación es el resultado de un promedio espacial durante un experimento o una simulación (experimento numérico).
Es regular y repetible porque está estrechamente ligado a la función de correlación y función del espectro que resulta de
un promedio de conjunto (Eqs. X y X). Estos se denotan como C(x) y el espectro Ck, respectivamente. Tenga en cuenta que la
conjunto promedio funciones no tienen un superíndice “A.” Estas funciones de correlación promedio conjunto son útiles
en el análisis de ecuaciones diferenciales estocásticas ordinarias y parciales. [55, 56]. Desde un punto de vista estrictamente técnico,
la media espacial y la media del conjunto no son exactamente las mismas; sin embargo, están lo suficientemente estrechamente conectadas
que es razonable utilizar uno como sustituto del otro (Sec. 3.1 y apéndice 3).
En lo siguiente, se discute el análisis del orden SAQD vía autocorrelación y funciones de correlación (Sec. 3.1).
Luego, se discuten las condiciones iniciales estocásticas (Sec. 3.2). Entonces, la predicción del Fourier se transforma de la
funciones de correlación se discute (Sec. 3.3). Se presentan las funciones de correlación del espacio real (Sec. 3.4). Por último,
hay algunas notas sobre la generalización del método de análisis a cualquier relación de dispersión que tiene picos (Sec. 3.5),
por ejemplo, picos relacionados con la simetría cuatro veces rota o crecimiento en un sustrato mal cortado.
3.1 Funciones de correlación y orden SAQD
Las funciones de autocorrelación son adecuadas para investigar el orden SAQD. La función de autocorrelación se define como
CA(x) =
d2x′ h(Łx + x′)h(x′)∗. (25)
Su transformación de Fourier a veces llamado el espectro [56], función del espectro o espectro de potencia es
CAk =
(2η)d
d2x e−ikxC(x) =
(2η)d
, (26)
donde A es el área proyectada de la película en el plano x − y. Una matriz periódica de SAQDs conduce a una auto-
función de correlación. Una matriz casi periódica conduce a una función de autocorrelación periódica limitada de rango. El conjunto...
media de estas funciones de autocorrelación se puede calcular, y es un buen predictor de un orden SAQD.
3.1.1 Matriz periódica
Considerar una fluctuación de altura perfectamente periódica correspondiente a una celosía perfecta de SAQDs,
h(x) =
exp [ikn · (x− xO)] (27)
más armónico de orden superior, donde los puntos tienen una altura proporcional a h0, N es el grado de simetría, probablemente,
4 o 6 veces, xO es un desplazamiento de origen aleatorio.
kn = k0
2π(n− 1)
i + pecado
2π(n− 1)
En un análisis lineal, los armónicos de orden superior no entran en juego, por lo que se descuidan aquí. En el espacio recíproco,
e-ikn·xOd(k− kn)
más un orden más alto armónico. La función de autocorrelación se encuentra conectando Eq. (27) hacia Eq. (25) y simplificar,
CA(x) =
)2 N.O.
exp [ikn x] (28)
más un orden más alto armónico. En la búsqueda de Eq. (28), la relación
d2x′ ei(km−kn)·x
= Akmkn = (2η)
dd(km − kn) (29)
ha sido utilizado. Es el delta de Kronecker y el delta de Dirac. Eq. (29) será útil cuando sea
necesario para tomar una media de area o suma sobre las funciones de Dirac Delta. En el espacio recíproco,
CAk =
(2η)2
m,n=1
(k− km)(k− kn)
(k− ki) (30)
más armónicos de orden superior, en los que se indica que el valor (A/(2η)d)el valor (k − kn) = (A/(2η)d)el valor (kkn).4. Así, el orden de la celosía SAQD se manifiesta
como funciones periódicas en el espacio real (Eq. (28)) y picos agudos en el espacio recíproco (Eq. (30)).
3.1.2 Array casi periódico
Un array casi periódico muestra desviación del orden perfecto. Esta desviación se muestra por la ampliación de los picos
de la función de espectro, CAk, y por rango de periodicidad limitada de la función de autocorrelación del espacio real, C
A(x).
Estas dos medidas de trastorno están relacionadas naturalmente.
El trastorno en el tamaño del punto lateral tamaño y espaciamiento, el espaciamiento están relacionados entre sí y con la ampliación de la
picos en CAk (Fig. 6.a y c). Antes de la maduración, el tamaño y el orden espacial deben estar relacionados, como el volumen de un punto
debe ser proporcional a la cantidad de material cercano. Si los SAQD tienen un tamaño y espaciado casi uniformes (pico-
distancia de pico) L0, la función de autocorrelación del espacio recíproco se agrupará estrechamente alrededor del número de onda
caracterizar el espaciado de puntos k0 = 2η/L0. Hay un número de tales picos dependiendo de la simetría del sistema
(Fig. 6.a y c), pero considere sólo uno. Dado que el orden no es perfecto, el pico tendrá un ancho finito. En consecuencia,
habrá una dispersión en el tamaño del punto. Dado que L0 = 2η/k0, la dispersión en el espaciado de puntos está relacionada con la dispersión en
Componentes de Fourier (k). Tomando la derivada de la relación espaciado-número de onda y reordenando,
Espaciamiento
Es razonable esperar que el trastorno fraccional en tamaño (el tamaño / el tamaño) es dado por un similar (si no exactamente el mismo)
número.
Otra manera de ver el orden espacial (periodicidad) no es por distancias punto-punto, sino por la distancia sobre la cual la matriz punto
puede ser considerado periódico. Esta periodicidad limitada es evidente en la función de autocorrelación de la altura de la película (Eq. (25) y
Higos. 5.b, e y h). Considere dos puntos distantes. Su posición será completamente descortés, por lo que será completamente
al azar en cuanto a si una posición corresponde a un pico o un valle. Por lo tanto, para una gran diferencia en la posición de la
función de autocorrelación tiende a cero.
CA(xlarge) = 0
Del mismo modo, la fluctuación media cuadrada de la altura de la película puede ser grande de modo que
CA(x = 0) 0.
La distancia sobre la cual la función de autocorrelación, CA(x) decae a 0 es la longitud de correlación, Lcor. Por lo tanto, Lcor
es una medida razonable de orden espacial.
Las dos medidas de orden, el espaciado y el Lcor, están intrínsecamente vinculadas. La conocida regla de Fourier se transforma
establece que el producto del espacio real y los anchos de espacio recíprocos deben ser mayores o iguales a la unidad. Por lo tanto,
• kLcor ≥ 1, o • espaciamiento ≥ 2ηL20/Lcor. Del mismo modo, uno puede esperar que â € œsize â € L2size/Lcor. Por lo tanto, suponiendo que el tamaño de punto
se rige por la cantidad de material cercano, pequeñas dispersiones en tamaño de punto sólo son posibles si hay una correlación larga
longitud.
3.1.3 Conjunto de funciones de correlación / ergodicidad
Los SAQD se siembran por fluctuaciones aleatorias. En consecuencia, cada experimento o simulación debe tratarse como
una posible realización, y la función de autocorrelación será diferente para cada realización. Por lo tanto, para el análisis
4Eq. (29) se ha utilizado para ayudar con la suma
predicciones, uno debe confiar en promedios de conjunto. En [24], se asumió que la correlación media del conjunto
función era una buena descripción de un orden SAQD, una suposición que nació a partir de cálculos numéricos. Ahora,
esta relación se pone en un terreno más sólido. En particular, se encuentra que las funciones de correlación del conjunto proporcionan
buenas estimaciones de la función de correlación automática y función de espectro producida por cualquier realización en particular. En primer lugar,
se demuestra que el valor medio de la fluctuación de la altura de la película es cero. A continuación, el método para calcular el conjunto-
función de autocorrelación promedio y función de espectro se presenta. Se presentan detalles matemáticos adicionales
en el apéndice 3.
3.1.3.1 Fluctuación media Es bastante sencillo demostrar que el conjunto media fluctuación película-altura es
cero. La dinámica de gobierno (Eq. (12) es invariante sobre la sustitución h(x, t) → −h(x, t). Así pues, suponiendo que
uno no sesga las condiciones iniciales las fluctuaciones medias deben ser cero para siempre,
(x, t) = h(x, t) = 0, y hk(t) = 0.
Esta es una situación común, y es más apropiado caracterizar las fluctuaciones de la altura de la película usando los dos puntos
función de correlación (o simplemente “la función de correlación”). [55]
3.1.3.2 Función de Correlación La función de autocorrelación se puede estimar por su promedio de conjunto. Además...
más, este promedio de conjunto es equivalente a la función de correlación que se puede calcular fácilmente analíticamente. Estos
las relaciones primero se discuten para las funciones de correlación del espacio real y luego sus transformadas de Fourier. En primer lugar, la estatis-
se discuten las propiedades ticales de la función de autocorrelación. A continuación, las propiedades estadísticas de la función de espectro.
Por último, el método de los principales resultados se informa aquí, y los detalles de las derivaciones se informan en el apéndice E.
Primero se observa que la función de autocorrelación promediada sobre todas las realizaciones es igual a la correlación del conjunto
función. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
CA(x)
= C(lx), donde C(lx) = h(lx)h(lx)h(lx), (lx), (lx)
donde.. ........................................................................ Eq. (31) asume que el modelo de crecimiento cinematográfico es traslacionalmente invariante.5
Esta relación es afortunada, ya que permite predecir la función de autocorrelación “típica” utilizando herramientas analíticas
que sólo se aplican a los promedios de conjuntos.
En segundo lugar, se observa que como el área que se utiliza para calcular la función de autocorrelación se vuelve grande, el autocor-
función de relación tiende hacia él valor medio,
CA(lx) C(lx) +O[A-1/2], (32)
donde O[A−1/2] indica fluctuaciones estadísticas sobre el valor medio que se hace cada vez más pequeño como el área en
un experimento o el área de simulación en un experimento numérico se hace más grande. Estas fluctuaciones o ruido se extinguen como
A1/2. Por ejemplo, la autocorrelación funciona en Figs. 5.e y h están muy cerca del conjunto promedio autocorre-
funciones de la ración Figs. 5.f y h, pero tienen fluctuaciones aleatorias que son más visibles lejos del origen. Esta propiedad,
que el promedio sobre un parámetro como la posición es equivalente al promedio sobre todas las realizaciones, se conoce como ergodicidad.
Las realizaciones individuales están estrechamente distribuidas acerca de un comportamiento “típico”. Esta distribución estricta da credibilidad a la
noción de que uno puede tener experimentos o simulaciones representativas. Desafortunadamente, la “demostración” de Eq. (32) in
El Apéndice E no es tan general como uno podría desear. Rigurosamente, se aplica cuando los componentes de Fourier de la altura de la película (hk)
son independientes y normalmente se distribuyen; sin embargo, es razonable conjeturar que una relación como Eq. (32) Holds
cuando la distribución estadística de las alturas de película está adecuadamente limitada como la delimitación de CAk juega un importante
papel en las derivaciones.
En el espacio recíproco, se encuentra que la función de conjunto-espectro medio es
= Ck, (33)
donde Ck se define como el prefactor que aparece en la función de correlación de dos puntos del espacio recíproco.
Ckk = # # # # k # # # # Ckk # # # # # # Ckk # # # # # # Ckk # # # # # Ckk # # # # # Ckk # # # # # # # Ckk # # # # # # # # # # # Ckk # # # # # Ckk # # # # # # # # # # Ckkk # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ckkk # # # # # # # # # Ckkk # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d(k− k′) = Ck
(2η)d
Łkk′, (34)
5Una encuesta rápida de la literatura encontrará que, virtualmente todos los modelos de continuum publicados de formación SAQD son traslacionalmente invariantes.
donde Eq. (29) se ha utilizado. Esta forma para la función de correlación de dos puntos en el espacio recíproco ocurre si y solamente
si el sistema es traslacionalmente invariante. Eq. (33) es valioso porque se puede resolver para Ck analíticamente en el lineal
caso o utilizando varias aproximaciones analíticas en el caso no lineal. A diferencia de la función de autocorrelación, el espectro
función fluctúa en gran medida sobre su media. De hecho, las fluctuaciones son alrededor del 100% (Apéndice E.2). Estos grandes
las fluctuaciones resultan en el patrón de motas comúnmente observado para la función del espectro CAk (Figs. 6.a y c). Contraste
este patrón con función de espectro ensamble-media Ck mostrada en Figs. 6.b y d. Estas manchas pueden ser removidas por una
operación de suavizado, y una relación similar a Eq. 32) resultados (apéndice E.2.2). Por último, cabe señalar que
como CAk es la transformación de Fourier de C
A(x), Ck es la transformación de Fourier de C(x) (Apéndice E.1).
3.2 Condiciones iniciales estocásticas
Para modelar o simular la formación de SAQDs, es absolutamente esencial incluir algún tipo de efecto estocástico. Un
inicialmente la película plana h(x, 0) = 0 está en equilibrio inestable. Por lo tanto, para sembrar la formación de puntos cuánticos, es necesario
para perturbar la superficie plana. El método más simple para hacer esto es utilizar condiciones iniciales estocásticas con determinista
evolución. Uno puede suponer tenuemente que el ruido blanco condiciones iniciales no “ses” la evolución final de la
Película. [57] Así, las condiciones iniciales se toman de un conjunto con media cero,
(x, 0) = 0. (35)
y una función de correlación espacial,
C(x,x′, 0) = h(x, 0)h(x′, 0) = 2d (x− x′), (36)
en los que los corchetes................................................................................................................................................ • indicar un promedio de conjunto, • es la amplitud del ruido, y • d(x) es el d−dimensional
Función Dirac Delta. Las condiciones de ruido blanco tienen una amplitud infinita que no es física. Por lo tanto, un mínimo
la modificación se puede hacer para “cortar” las fluctuaciones infinitas.
C(x,x′, 0) =
(2ηb20)
(x− x′)2
En el límite b0 → 0, esta función de correlación vuelve a las funciones de correlación de ruido blanco.
En el espacio recíproco,
Ckk′(0) = hk(0)h*k′(0)
= (2η)−2d
ddx′ e(−ik·x+ik
x′)C(x,x′, 0)
(2η)d
d(k− k′)
Dejando b0 → 0, se obtiene la función de correlación de espacio recíproco ruido blanco. Por lo tanto, la función de espectro inicial
Ck(0) =
(2η)d
La escala atómica tiene una influencia pequeña y de corta duración en la morfología final de la película (Apéndice F), pero el corte
procedimiento es útil para la elección de un valor razonable de 2. Parece razonable elegir â € 2 para que el r.m.s inicial.
fluctuación
C(0, 0) = h(0, 0)h(0, 0)1/2 es una monocapa (1 ML). También, elegir b0 = 1 ML como la escala atómica
corte es
*2 = (2η)d/2(1 ML)2+d, (38)
donde la unidad natural 1 ML depende, por supuesto, del material.
Utilizando condiciones iniciales estocásticas, se pueden integrar condiciones iniciales individuales para obtener muestras representativas
y luego promedio sobre muchas realizaciones, el enfoque de Monte Carlo, o uno puede calcular analíticamente, la estadística
medidas del conjunto. Las medidas estadísticas en conjunto están estrechamente relacionadas con las medidas estadísticas de orden
para una realización individual, por lo que el segundo enfoque se opta por aquí. Por lo tanto, el orden predicho SAQD es en última instancia
en términos de funciones de correlación del conjunto.
3.3 Funciones de correlación recíproca del espacio
La función de correlación de espacio recíproco, Ckk′, y la función de espectro, Ck, se calculan para el isótropo 1D y 2D
y luego para el caso 2D anisótropo. Generalmente Ck incluye las escalas de longitud introducidas en Sec. 2.1.3, así como
el corte a escala atómica b0.
Ckk′ = hk(t)h*k′(t) = e
(Okk′ )t hk(0)hk′(0)
(2η)2
e(Ôkk′ )t−
(k− k′). (39)
Sin mucho error, b0 puede ser descuidado en el exponencial (Apéndice F). Usando Eq. (34), la función del espectro es
a continuación, identificado como
(2η)d
e2đkt. (40)
Ck se calcula ahora para cada modelo: 1D isotrópico, 2D isotrópico y 2D anisotrópico.
3.3.1 Unidimensional
La superficie unidimensional es la más simple, por lo que se trata primero. La función del espectro es simplemente
e20t−
2 (2?2t)(k−k0)
Ck tiene un pico en k = ±k0i. Uno puede leer fácilmente la longitud de la correlación como
Lcor =
2Δ2t = k
2(3α0 − 4β)(t/tc). 41)
para que
e20t−
cor(k−k0)
Esta aproximación es válida cuando k0Lcor 1. En términos de kx,
e20t
cor(kx−k0)
cor(kx+k0)
3.3.2 2D isotrópico
El caso isotrópico 2D es muy similar;
(2η)2
e20t−
cor(k−k0)
, (42)
donde Lcor es el mismo que en Eq. 41). Tiene un máximo que forma un anillo en el plano k como se representa en la Fig. 6.b.
3.3.3 anisotrópico
La función del espectro anisotrópico es
(2η)2
e20t
(kk0)
2 - 12L
, (43)
donde
2t = k
(6α0 − 8β)(t/tc), (44)
2t = k
16 α0(t/tc), (45)
= cos[l(n− 1)/2]kx + sin[l(n− 1)/2]ky, y k = − sin[l(n− 1)/2]kx + cos[l(n− 1)/2]ky y se grafica
en Fig. 6.d. Esta aproximación es válida cuando k0LÃ3 1 y k0LÃ 1.
Figura 6: CAk y Ck para Ge/Si como se explica en Sec. 4. a, b) Superficie isotrópica 2D. Eq. (42) se utiliza para Ck. c, d) 2D
superficie anisotrópica. Eq. (43) se utiliza para Ck.
Figura 7: Superficie isotrópica 1D en el espacio real para Ge/Si como se discute en Sec. 4. a) Ejemplo de h(x) trazado sobre una longitud
de 8Lcor. (b) funciones de correlación de espacio real correspondientes trazadas para rango ±4Lcor. La trama llenada es un ejemplo de
CA(x). Línea sólida esC(x) (Eq. (46).
Hablando vagamente, se puede argumentar que el caso isotrópico es similar a dejar A → 0 en Eq. (45) para que la
longitud de correlación perpendicular es siempre 0 independientemente del tiempo. Un enfoque más conservador sería argumentar que
Para el modelo isótropo, se debe realizar una inspección de las figs. 6 a) y b). Aun así, el resultado más conservador
garantiza que la longitud de correlación perpendicular será siempre la misma que el espaciado de puntos; por lo tanto, siempre será
limitar el orden SAQD al primer vecino más cercano en el mejor de los casos.
3.4 Funciones de correlación real del espacio
Las funciones de correlación del espacio realC(x) ahora se calculan para los casos isotrópicos 1D y 2D y el elástico 2D
Caso anisótropo.
3.4.1 Unidimensional
En una dimensión,
C(x) =
dkx e
ikxÃ3xCk
e20t−
2/L2cor2 cos (k0x). (46)
Por lo tanto, C(x) tiene una periodicidad amortiguada que indica que es imperfectamente periódica (Fig. 7).
3.4.2 Isotrópico en 2D
En dos dimensiones con isotropía elástica,
C(x) =
d2k eikxCk
(2η)2
e20t
dk kei(kÃ3x cos(kx)e−
cor(k−k0)
Realizar la integración angular primero,
C(x) =
e20t
dk kJ0(káx)e
− 12L
cor(k−k0)
donde J0 es la función cero Bessel. En general, esta integral se realiza mejor numéricamente; sin embargo, puede ser
resueltos en dos casos importantes: 0 y Lcor (correspondientes a largos tiempos). En el primer caso,
C(x) =
e20t
dk ke−
cor(k−k0)
Bajo las mismas condiciones que Eq. (42) es válido (k0Lcor 1), el límite inferior de la integral se puede aproximar como
Para que
C(x = 0) =
#2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k
2γLcor
e2o0t. (47)
Esta función da la media de fluctuación de altura de la superficie cuadrada. En el segundo caso, donde Lcor, e-
cor(k−k0)
1/2L−1cor (k − k0), de modo que
C(x) =
#2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k
2γLcor
e10tJ0 (k0°x). (48)
Esta función de correlación es el caso más ordenado para una superficie isotrópica 2D. Se representa en la Fig. 5c.
3.4.3 anisotrópico
Para encontrar la función de correlación del espacio real para el caso elástico anisotrópico, lo mejor es encontrar la contribución de
cada pico y luego suma para que
C(x) =
(2η)2
e20t
Cn(x) (49)
donde
Cn(x) =
d2k eik·xe−
(kk0)
2 - 12L
La x se puede descomponer en las direcciones paralelas y perpendiculares a kn, de modo que la x = cos(
sin(π(n− 1)/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2. Por lo tanto,
Cn(x) =
dkÃ3 e
ikx 12L
(kk0)
* * * * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * e * dk e * dk e * e * dk e * dk e * e * dk e * dk e * dk e * e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ikx 12L
2 (x2/L2x2/L2)eik0x®.
Conectando a Eq. (49),
C(x) =
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
e20t
2 (x2/L2y2/L2) cos(k0x) + e
− 12 (x2/L2y2/L2®) cos(k0y)
. (50)
3.5 Generalización
La dinámica y el análisis aquí utilizados fueron para un modelo específico, pero el procedimiento general para analizar el orden
resultado de un modelo linealizado debe contener para cualquier modelo con picos bien separados en la relación de dispersión, k.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Generar la relación de dispersión, k como alguna función de k.
2. Encontrar los picos en la relación de dispersión, kn, (n = 1... N )
3. Expandir sobre los picos para generar los valores de pico, n, y la matriz local de Hessian,(
*Kikj* *Kikj* *Kikj* *Kikkj* *Kikkj* *Kikkj* *Kikkkj* *Kikkkj* *Kikkkj* *Kikkkj* *Kikkkkj* *Kikkkj* *Kikkkj* *Kkkkkj* *Kkkkkj* *Kkkkkkj* *Kkkkkkj*
La función del espectro es entonces aproximadamente
Ck(t)
(2η)2
Exportación de la sustancia problema
t (k- kn) · Hûn · (k- kn)
. (51)
4. Encuentre los valores propios de la matriz local hessiana, (Hn)I y (Hn)II. Deben ser negativos, si hay un
pico en kn
5. Utilice los valores propios para determinar las longitudes de correlación, (Ln)I =
2 (Hn)I t y (Ln)II =
2 (Hn)II t.
La función de correlación del espacio real es
C(x, t)
(Hn)I (Hn)II
Exportación de la sustancia problema
x · H1n · x
eikn·x. (52)
La “bondad” de estas formas aproximadas requiere que (Ln)
I y (Ln)
II ser mucho menos que el espaciado
entre los picos en la función de correlación para que los gaussianos no se superpongan mucho. Una prueba razonable para
Esta condición de no solapamiento es «kná» (Ln) 1 y «kná» (Ln) II 1, suponiendo que los picos no sean grandes en
número o muy espaciado.
4 Predicciones de orden
Las fórmulas de la función de correlación del espacio real (Eqs. (46), (47) y (50)) y fórmulas de longitud de correlación (Eqs. 41), 44)
y (45) pueden utilizarse ahora para estimar el orden de los SAQD. Ge on Si es elegido para este ejemplo porque este sistema tiene
recibió la mayor atención del trabajo teórico [58, 38, 31, 18, 39, 41, 27, 25, 26 y otros], y es el más simple
ya que implica la difusión de una sola especie. El procedimiento descrito a continuación trata de predecir la cantidad de orden
cuando una fluctuación inicial a escala atómica se convierte en “grande”. Se considera que “grande” es mayor que la escala atómica. Más allá
Este punto, uno esperaría que los términos no lineales llegaran a ser importantes. Se presenta un ejemplo para Ge on Si a 600K to
comparar y contrastar los resultados anisotrópicos 2D con los resultados isotrópicos 1D y isotrópicos 2D. Las predicciones son
también comparado con un cálculo numérico lineal en una cuadrícula de espacio recíproco discreto para probar las aproximaciones realizadas
y para ilustrar la relación entre el perfil de superficie (h(x)), las funciones de autocorrelación del ejemplo (CA(x) y
CAk ) y las funciones de correlación del conjunto (C(x) y Ck). Higos. 6, 7 y 5 muestran estos resultados. Por último, la relación
entre la altura media de la película y el orden se investiga.
4.1 Ge a 600K
Las formulaciones para los tres casos examinados se aplican para Ge/Si a 600K. Las longitudes de correlación son esti-
se apareó para el final del régimen lineal donde las fluctuaciones se hacen grandes (más grandes que la escala atómica). En primer lugar, apropiado
constantes físicas se utilizan para dar la longitud de correlación correspondiente y funciones de correlación vs. tiempo. Estos en...
incluir una altura inicial media de la película H̄ y una amplitud del ruido blanco فارسى (Eq. (38). Estas condiciones iniciales se aproximan
una película al comienzo de una annea que inmediatamente sigue a una deposición rápida. El tamaño del tiempo se encuentra resolviendo para
el momento en que las fluctuaciones medias cuadradas son a escala atómica,
h(x, t)2
= C(x = 0) = 1 ML2. En este punto, el
Se calculan las longitudes de correlación.
Las constantes físicas para el cálculo anisotrópico 2D se toman de la siguiente manera. Las constantes elásticas para Ge a 600 K
son c11 = 1,199 × 1012, c12 = 4,01 × 1011 (de cS = 3,991), c44 = 6,73. [51] Usando aGe = 0,5658nm y
aSi = 0,5431nm, se encuentra que m = 0,0418. Utilizando el procedimiento de (apéndice C), M = 1,332× 1012dyn/cm2.
E0 = 4,96 × 109erg/cm3, y E45 = 4,35 × 109erg/cm3, dando A = 0,1236. El volumen atómico es =
2,27 × 10−23 cm3. La densidad de energía de superficie estimada es γ = 1927 erg/cm2. Se estima el potencial de humectación
mediante la selección de una altura crítica plausible de la superficie, Hc 4 ML = 1,132 nm y el ajuste W (H) = E20+H3c/(8γH) =
2.315 × 10−6/H erg/cm2. El número de onda característico resultante es kc = 0,257 nm−1. La altura inicial de la película es
se considera H̄ = Hc + 0,25 ML = 1,203 nm y luego se permite evolucionar de forma natural. Así, β = 0,208, α0 = 0,5658,
k0 = 0,1456 nm−1, 0 = 0,1192/tc, = 0,864/(k2c tc), = 0,559/(k
c tc), L+ = 0,744k
0 (t/tc)
1/2, y
L = 0,599k
0 (t/tc)
1/2. La difusividad no especificada ha sido absorbida en el tiempo característico tc. De Eq. 38),
+2 = 0,0403 nm4, y Eq. (50) da
C(0) =
1.223× 10−3tc/t
e0.02385t/tc nm2.
La superficie inicial infinitamente áspera sufre un alisado descrito por el factor tc/t. Entonces la superficie se acrecienta debido
a lo exponencial. La rugosidad divergente inicial es un artefacto del ruido blanco no físico con la escala atómica
corte b0 descuidado (Apéndice F). El tiempo para que las fluctuaciones vuelvan a ser “grandes” se encuentra al establecer
C(0) = h2large (53)
donde hlarge = 1 ML = 0,283 nm. Las soluciones son t1 = 0,01527tc o t2 = 430tc. La primera solución se descarta
ya que se debe al ruido blanco no físico. En tlarge = t2, L = 105,8 nm, y L = 85,2 nm. Tomando L como
más limitante, la correlación se extiende alrededor de n = k0L/π = 3.95 islas a través. El espacio recíproco correspondiente
(Eq. (43)) y función de correlación en el espacio real (Eq. (50)) se muestran en las Figs. 6.d y 5.f respectivamente.
Se realiza un experimento numérico correspondiente. Se utiliza una superficie periódica de tamaño l = 96(2η/k0). Aleatorio
condiciones iniciales compatibles con Eq. (38) se utilizan para k-puntos de espacio en una cuadrícula cuadrada limitada por kx, ky = ±2k0.
Se utiliza la relación entre componentes de Fourier discretos y continuos, (hk)discreto = [(2η)d/A]hk. Eqs. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
y (14) se utilizan sin ninguna aproximación adicional para encontrar hk en el momento t = tlarge. El CAk resultante, una porción de
el perfil de altura h(x) y CA(x) están trazados en Figs. 6 c), 5 d) y 5 f), respectivamente.
Se pueden realizar cálculos similares para los casos unidimensionales y bidimensionales elásticos isotrópicos.
Los valores isotrópicos utilizados anteriormente [58, 24] son aproximadamente E = 1,361 × 1012 dyn/cm2 y ~ = 0,198 dando M = E/(1 −
v) = 1,697 × 1012 dyn/cm2 y E = 2M(1 + ν) = 7,10 × 109 erg/cm3. Usando la misma altura crítica de la superficie,
Hc = 4 ML, W (H) = 4,74×10−6/H erg/cm2. El número de onda característico resultante es kc = 0,368 nm−1. Si la
la película se cultiva a H̄ = Hc+0,25 ML = 1,203 nm y luego se permite evolucionar naturalmente, β = 0,208; por lo tanto, α0 = 0,5658,
k0 = 0,208 nm−1, 0 = 0,1192/tc, 2 = 0,864/(k2c tc), y Lcor = 0,744k
0 (t/tc)
1/2. En una dimensión, Eq. (46)
se utiliza para encontrar la fluctuación media de la altura cuadrada. Usando Eq. (38) con d = 1, +2 = 0,0568 nm3, y
C(0, t) = 0,01271(t/tc)
−1/2e0.0238t/tc.
Ajuste C(0, t) = (1 ML)2 = 0,0801 nm2, t1 = 0,0252tc, y t2 = 186,9tc. En t2, Lcor = 48,8 nm, y n =
k0Lcor/π = 3.24, por lo que alrededor de 3 puntos en una fila debe estar bien correlacionado. El cálculo numérico correspondiente de
tamaño l = 96(2η/k0) se realiza. En la Fig. se muestra una porción de h(x), CA(ox) y C(ox). 7. En dos dimensiones,
Eq. (47) se utiliza para encontrar
h(x, t)2
C(0, t) = 9,40× 10−4(t/tc)−1/2e0,0238t/tc.
Ajuste C(0, t) = 0,0801 nm2, t1 = 1,376 × 10−4tc, y t2 = 306tc. En t2, Lcor = 62,4 nm, y n = k0Lcor/
4.14, y se espera que la correlación se extienda alrededor de 4 puntos. Sin embargo, cabe señalar que esta correlación no es
Como una celosía. Los resultados numéricos correspondientes y las funciones de correlación del conjunto se muestran en Figs. 6 y 5.a-c.
4.2 Caso general de β
En [24] se sugirió que permitir que la película evolucionara con β cerca del umbral de estabilidad podría mejorar el SAQD
correlación. Es interesante notar lo que sucede con los diferentes valores de β. Cálculos analíticos y numéricos similares
se realizan para el gran límite de altura de película, β = 0, para la superficie anisotrópica Ge/Si 2D. Para β = 0, tlarge = 40,3 tc,
L = 30.0 nm, y n = k0L/π = 1.84, por lo que se espera que de uno a dos puntos en una fila estén bien correlacionados. h(x)
y las funciones de correlación del espacio real se muestran en Figs. 5g-i. El rango de orden es significativamente menor que en el caso
β = 0,208 (Sec. 4.1). Para Si/Ge a 600K, las predicciones anisotrópicas 2D para el tamaño grande y L se muestran en la Fig. 8. In
general, cuanto más cerca β es al valor crítico 0.25, más larga es la longitud de la correlación. Uno puede manipular la ecuación (53)
para determinar que el tamaño del tubo varía aproximadamente pero no exactamente como (β − 1/4)−1 × ln[h2large
A/(2k2c )]. En consecuencia,
(β − 1/4)−1/2. Por otra parte, la aparición de gran tamaño y 2 dentro del logaritmo muestra que el orden final
las estimaciones no son demasiado sensibles a las conjeturas de 2 y h2large. La divergencia de L con β − 1/4 es inicialmente
es alentador, pero está claro que para los parámetros utilizados para Ge/Si, el control subatómico de la altura de la película es necesario para
producir correlaciones de largo alcance significativamente mejoradas. También a medida que uno se acerca a este umbral, es probable que uno pueda esperar
activación térmica para nuclear los SAQD subcríticos cuyo efecto sobre los SAQD supercríticos es incierto. Ahí está.
debería ser algunos fenómenos interesantes en la H → Hc.
l arge c
l a r g e
k 0L
0
l a r g e
Figura 8: Tlarge y L vs. β para Si/Ge usando el modelo anisótropo 2D como se describe en Sec. 4. Las unidades se normalizan a
tiempo característico tc y número predicho de puntos correlacionados (n = k0L/l).
5 Discusión/Conclusiones
El orden de los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales durante las etapas iniciales de crecimiento se ha estudiado utilizando un
modelo de difusión superficial con condiciones iniciales estocásticas. Se ha demostrado que las funciones de correlación de
Las fluctuaciones de altura de superficie pueden predecirse analíticamente utilizando las correspondientes funciones de correlación media del conjunto.
Estas funciones de correlación se caracterizan por longitudes de correlación que pueden predecirse mediante fórmulas analíticas dadas
ciertos supuestos razonables sobre el potencial de difusión y la altura y la escala lateral de la escala atómica inicial
fluctuaciones aleatorias. Así, el modelo lineal de la evolución de la altura de la superficie de película a través de la difusión de la superficie ha permitido el análisis
predicciones de orden SAQD epitaxial que son válidas para pequeñas fluctuaciones de la altura de la película. ¿Hasta qué punto el grado inicial
de orden persiste en etapas posteriores de crecimiento aún por estudiar, pero el orden de las etapas iniciales sin duda debería tener
una fuerte influencia en los resultados finales. Por otra parte, el análisis lineal debe proporcionar una visión de la menos tratable
Comportamiento no lineal. Estas predicciones del orden SAQD se han utilizado para investigar el papel de la anisotropía cristalina y
altura inicial de la película.
Se ha demostrado que la anisotropía cristalina desempeña un papel importante en la mejora del orden SAQD, como se ha observado en
simulaciones numéricas continuum y simulaciones numéricas atomísticas. [43, 37, 44, 45] Si una simetría cuádruple es
asumido para la dinámica de gobierno, el efecto de la anisotropía cristalina al orden lineal se siente a través de la anisotropía elástica
Solo. Se muestra que la anisotropía elástica es necesaria para producir una estructura similar a una celosía de SAQDs. El espacio mejorado
el orden debe conducir a su vez a un orden de tamaño mejorado, una consecuencia que debe confirmarse con estudios no lineales, pero
Parece ser cierto en base a la literatura actual disponible.
Se ha demostrado que el papel de la altura inicial de la película influye mucho en el orden. Crecimiento cerca de la altura crítica de la película para
la formación de puntos puede mejorar el orden. Esta mejora de orden viene de aumentar la duración de la lineal pequeña-
fase de fluctuación del crecimiento. De hecho, las longitudes de correlación previstas difieren cuando la altura inicial de la película se acerca
la altura crítica de la película desde arriba. El logro de grandes longitudes de correlación en esta mansión es, por supuesto, prácticamente limitado
por la capacidad de controlar las alturas de la película a la precisión subatómica. Además, uno debe tener cuidado al interpretar el
modelo continuo en tal contexto, ya que el efecto de la discreción atómica podría ser mayor a la altura de la película de transición.
Por último, es probable que los efectos aleatorios adicionales de la activación térmica corten efectivamente esta divergencia
cuando la altura crítica de la película se aproxima desde abajo durante la deposición.
Por último, el método presentado puede ser útil como primer paso en el análisis de métodos para mejorar el orden SAQD. Lo es.
Es razonable suponer que en algunas circunstancias las etapas iniciales de crecimiento serán muy importantes, mientras que para otros
No lo haré. Por ejemplo, el trabajo previo sobre el apilamiento vertical parece confirmar el mecanismo de pedido presentado. [44].
El apilamiento vertical no sólo logra la correlación vertical de puntos, pero cada capa es más ordenada horizontalmente que el
uno más abajo. Además, se encontró una “ventana de crecimiento”, por la cual para lograr un orden mejorado, la evolución de cada uno de los
la capa debe terminarse antes de que comience la maduración. La simulación notificada [44] es compatible con el siguiente escenario para SAQD:
desarrollo de orden. El orden se mejora durante la pequeña fase de fluctuación, como se describe aquí. Una vez que las fluctuaciones son
suficientemente grandes, los puntos sembrados evolucionan hacia sus formas de equilibrio. Finalmente, los puntos comienzan a madurar y ordenar
disminuye. El orden se transfiere a través de la tensión a la siguiente capa para que la siguiente capa obtenga una ventaja en su orden inicial.
Así, las múltiples capas de puntos dibujan efectivamente la etapa de crecimiento lineal. Puede ser posible modificar el presente
modelo para predecir la longitud de correlación de cada capa SAQD.
Un potencial de difusión
El potencial de difusión se calcula en términos de la altura de la película H que es una función de las coordenadas en plano x =
xi + yj. Las porciones de energía elástica y superficial del potencial de difusión se pueden encontrar en [15]
μelast(x) = (x), y μsurf = (x),
donde es el volumen atómico, (x) es la densidad de energía elástica en la superficie de la película, γ es la densidad de energía superficial,
es la curvatura total de la superficie. Sin embargo, es necesario incluir otros cálculos:
1. μwet para los dos casos potenciales de humectación, Eq. 3) y 5),
2. y μsurf y μwet cuando la densidad de energía superficial γ y la densidad de energía de humectación W también dependen de la superficie
orientación.
Antes de abordar este caso, se justifica una forma general para el potencial de difusión.
A.1 Formulario general μ = F/H(x)
El potencial de difusión, μ(x), es el cambio en la energía libre, F, cuando una partícula se añade en una posición, x. Tenga en cuenta que μ(x)
y F son energías relativas. Se pueden utilizar para comparar la energía de unión de un sitio en la superficie en comparación
con otro sitio, pero no debe interpretarse como una energía de unión absoluta o energía de formación total de la superficie.
Si una partícula tiene un volumen , entonces el potencial de difusión en x está relacionado con la variación de la energía libre con el volumen,
F = 1
ddxμ(x)V (x), (54)
donde V (x) es la variación de volumen en x. Cálculo de V (x), V =
ddxH(x).Por lo tanto, V (x) = H(x).
Sustituyendo en F (Eq. (54)), F = 1
ddxμ(x)H(x) o μ(x) = F/H(x).
A.2 Modelo simple
A partir de Eq. (2), μ(x) se encuentra tomando el derivado variacional,
μelast.(x) =
H(x)
volumen
ddxdz [H](x, z) = (x)
donde la “[H]” indica que la energía elástica,, es un funcional no local de la altura de la película H, y (x) =
•[H] (x,H(x)), la densidad de energía elástica evaluada por encima de la posición lateral x en la superficie libre (z = H(x)). Véase [15]
para los detalles de la derivación. El potencial de difusión de energía de la superficie es
μsurf.(x,t) =
H(x)
1 + (+H(x))2
= ·
1 + (+H(x))2
γ = (x).
El potencial de difusión de energía de humectación es
μwet(x) =
H(x)
ddxW (H(x))
= W ′(H(x))
Al poner estos tres términos juntos, uno obtiene Eq. 3)
A.3 Modelo general
Considere la forma general para la energía de superficie combinada y el potencial de humectación,
Fsw =
ddxFsw(H(x) + H(x))
como en Eq. (4) para que la energía libre sea una integral sobre el plano x de una densidad de energía que depende de H(x) y
H(x) localmente. El potencial de difusión correspondiente es
μ(x) =
H(x)
F (10) sw (H(x),H(x)) · F
sw (H(x),+H(x))
B Potencial de difusión lineal y anisotropía
El potencial de difusión linealizada μlin, k se encuentra encontrando μ(x) al primer orden en las fluctuaciones de altura (h), para obtener μlin(x)
y luego tomar la transformación de Fourier para obtener μlin,k. La linealización del potencial de difusión isotrópica simple corre-
Acudiendo a Eqs. (2) y (3) fue discutido en Sec. 2.1.1.1. Aquí, el potencial de difusión más general correspondiente
a Eqs (4) y (5) es linealizado y luego aplicado al modelo simple anisótropo y al modelo general anisótropo.
En el presente apéndice se examinan únicamente la superficie y las partes humectantes del potencial de difusión. Véase ref. [15], Sec. 2.2.1.1
y el apéndice C para la discusión de μelast..
B.1 Linear el modelo simple
Considerar un potencial de humectación y potencial de difusión que ambos dependen del gradiente de altura de la película H, H, γ → γ(H)
y W (H) → W (H,H). A partir de Eq. (6) y expandiéndose a segundo orden en la fluctuación de la altura de la película utilizando
H(x) = H h(x) (Eq. 7),
1 + (+H)2
−1/2
γ(H) =
....................................................................................................................
γ + h+ : hh+......................................................................................
= γ + h−
γ (h)2 + : hh+O[h3]
donde γ es γ(0), y los primos indican los derivados con respecto al gradiente de altura de la superficie.
= Hγ(H)H=0, y
′′ = HHγ(H)H=0.
Tomando la derivada con respecto a los resultados en un tensor de rango igual al orden de la derivada porque
un vector (tanque 1 tensor). Tomando el derivado variacional, μsurf.(x) = Fsurf./h(x),
μsurf., lin(x) =
2h(x)− : h(x)
El término con desaparece porque es la divergencia de una constante ( · ). Tomando la inversa transformación de Fourier,
μsurf., lin,k =
k2 + k · · k
hk. (55)
El primer término es isotrópico. El segundo término es parametrizado por un tensor simétrico de rango 2.
Pasando por el mismo proceso, uno encuentra esencialmente el mismo resultado para una energía de humectación dependiente de la orientación.
Los detalles de los pasos están tan cerca de los detalles para la linealización de la forma más general, Fsw(H,H), se aplazan a
(Apéndice B.2). Uno encuentra que
μwet,lin,k =
W (20) + k · Wû(02) · k
. (56)
donde W (mn) =
HW (H,H)H=H̄,H=0 es el m
th y nth derivados de la densidad de energía de humectación con
respeto aH y H evaluado para una película perfectamente plana de altura H̄. W (mn) es un tensor de rango n.
B.1.1 Caso isotrópico
En el caso isotrópico, →, donde es el operador de identidad, y es un escalar. Del mismo modo, Wū(02) →W (02). Uno
así consigue para la superficie combinada y las partes humectantes del potencial de difusión,
μsw,lin,k =
+ +W (02)
k2 + W (20)
Así, en el caso isotrópico, el efecto de orden lineal de introducir una orientación superficial a la energía superficial o
el potencial de humectación es simplemente cambiar la densidad aparente de energía superficial por γ → γ − −W (02).
B.1.2 Caso anisotrópico
La superficie y las partes humectantes del potencial de difusión (Eqs. (55) y (56)) sólo pueden admitir una anisotropía limitada.
Ambos contienen tensores simétricos de rango 2, y Wū(02) en el plano x. Para una superficie bidimensional, esto
significa que pueden tener anisotropía de doble simetría (rotación por 180o) o ninguna en absoluto. Por lo tanto, para el caso
considerado en Sec. 2.2.1.2, anisotropía simétrica cuádruple, la superficie y las partes humectantes del potencial de difusión
debe ser completamente isotrópico. Como se indica en la sección II. 2.2.1.2, la superficie (100) de las estructuras de sangrado de zinc, como la
menciona Ge, Si, InAs y GaAs presentan una situación bastante complicada. Para la simplicidad, se asume aquí que el
las energías de superficie y humectación son al menos cuatro veces simétricas. En consecuencia, son completamente isotrópicos.
Por último, cabe señalar que si Fsw depende de derivados de orden superior, entonces la discusión es en gran medida compli-
y una clase más grande de términos anisotrópicos es admisible. Por ejemplo, whenFsw → Fsw(H,H,H,H,. .. )
se expande sobre H(x) = H̄ a orden cuadrático en h, que contiene tensores de rango 6 y tal vez incluso más alto.
B.2 Linear el modelo general
La parte elástica del potencial de difusión lineal fue discutida en Sec. 2.2.1.1 y apéndice C. Eq. (56) puede ser
encontrado mediante el uso de todos los siguientes pasos con la sustitución Fsw →W. La parte superficial humectante de la difusión po-
tential μ(x) se encuentra expandiendo Fsw a segundo orden en la fluctuación de altura de película, h, y luego tomando la variación
derivado. Expandiendo Fsw alrededor de h = 0 y h = 0,
Fsw(H h,h) = F (00)sw + F
sw h+ F
sw h+ hF
sw h...
· ·
F (20)sw h
F(02)sw : hhh+O[h
Tenga en cuenta que en esta expansión, todos los términos F (mn)sw son constantes con respecto a h y dependen implícitamente de la media
Altura de la película, H̄. El primer índice indica la derivada mth con respecto a h. El segundo índice indica la nth
derivado con respecto a h. Los derivados se evalúan para una superficie perfectamente plana de altura H̄. Por lo tanto,
F (mn)sw =
• HFsw (H,H)H=H̄,H=0.
Puesto que h es un vector en el plano x, F (mn)sw es un tensor de rango n. Tomando la derivada variacional de Fsw =
ddxFsw(H) y mantener los términos en orden h1,
h(x)
= F (10)sw · F
sw + F
sw h ·
Fû(02)sw h
Tenga en cuenta que el término F (00)sw desaparece porque es constante, y el F
sw término desaparece tras la simplificación. Además,
el F (10)sw puede ser descuidado si se impone la condición de que las fluctuaciones de altura de la película no suman o restan material
de la superficie, a saber:
ddx Łh(x, t) = 0. Alternativamente, se puede descartar en previsión de tomar el gradiente
del potencial de difusión, ya que es una constante. El término F(01)sw = 0 por las mismas razones, o porque F
sw es un
constante. Multiplicando por el volumen atómico,
μlin(x) =
F (20)sw h− F
sw : h
. (57)
B.2.1 Caso isotrópico
En el caso isótropo, el Fû(02)sw debe ser proporcional a la identidad de modo que Fû
sw = F
sw ; así,
μsw,lin(x) =
F (20)sw h(x)− F
2h(x)
Tomando la inversa transformación de Fourier de esta ecuación,
μsw,lin,k =
F (20)sw + F
Esto da caso b en Eq. 9).
B.2.2 Caso anisotrópico
Si la superficie es anisotrópica, entonces Fû(02)sw en Eq. (57) es un tensor simétrico de rango 2 en el plano x. Por lo tanto, puede tener dos
distintos valores propios, y automáticamente tiene simetría rotacional de dos veces (rotación por 180o). Si cualquier otra simetría es
Supuestamente, como la simetría de cuatro veces (rotación por 90o), entonces Fû(02)sw debe ser totalmente isotrópica. Tomando el inverso Fourier
transformar,
μsw,lin,k =
F (20)sw + k · F
sw · k
En Eq. (23), caso b, se supone que hay una simetría de cuatro veces, resultando en una superficie humectante parte de la difusión
potencial que es completamente isotrópico.
C Anisotropía elástica
En principio, la energía elástica anisotrópica k se encuentra de la misma manera que la energía elástica isotrópica. [15] El
la película plana, inicialmente en estado de tensión biaxial, es perturbada por una pequeña fluctuación periódica de la superficie de la amplitud h0. Un
se añade un campo elástico adecuado para satisfacer la condición de contorno libre de tracción perturbada en la superficie libre. Por último,
la energía elástica se evalúa en la superficie libre al primer orden en h0. El coeficiente h0 es el que se busca después de k. Los
las ecuaciones mismas son engorrosas y mejor resueltas usando una implementación numérica, por lo que un procedimiento abstracto para
aquí se describe el cálculo de la k. Se encuentra en k = 1 pero arbitrario.
Deje que la superficie tenga una variación de altura
h(x) = h0e
Al primer orden en h0, la superficie normal es
n(x) = −ikh0eikxi + k.
La energía elástica debe calcularse a primer orden en h0. Para encontrar la energía elástica, es necesario encontrar la
perturbando el campo elástico a primer orden en h0.
El estado inicial de estrés no perturbado es
m =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
0 0 0
donde m =
c11 + c12 − 2c212/c11
m. Tenga en cuenta que este estado de estrés es isotrópico en el plano x-y y por lo tanto independiente
de rotaciones sobre el eje vertical. Bajo este estado de estrés, una superficie plana es libre de tracción. Con la perturbación de altura,
la tracción es
tj = (n · m)j = −ikh0M m
ikx. (58)
Junto a encontrar los campos elásticos perturbadores. Estos no son isotrópicos en el plano x − y −, y es necesario tomar
en cuenta el ángulo. En primer lugar, el cijkl tensor de rigidez elástica de 3× 3× 3× 3 se construye para la orientación del cubo de
la matriz compacta 9× 9 cij. La representación del tensor ayuda en la rotación. El tensor de rigidez se gira pasivamente
en el plano x- y- por un ángel Łk,
cijkl(k) =
m,n,p,q=1
R(Ik)imR(Ik)jnR(Ik)kpR(Ik)lqcmnpq
donde
R(Łk) =
cos(k) sin(k) 0− sin(k) cos(·k) 0
0 0 1
Esta rotación pasiva de cijkl es equivalente a la rotación activa del vector de onda k = ki por Łk.
Se encuentra la forma apropiada para el campo de desplazamiento perturbador. Suponga un desplazamiento de la forma
ui(x, y, z) = Uie
k(ixz),
donde puede tener un valor complejo. Las ecuaciones de equilibrio elástico son
i,k,l=1
cijkl(Łk)
ul = 0; j = 1... 3.
Cjl(k, )Ul
k2ek(ixz) = 0 (59)
donde
Cjl(k, ) =
i,k=1
cijkl(k)(ide1 + i3de)(ik1 + k3de).
Factorizando k2ek(ixz), la parte entre paréntesis debe ser idénticamente cero.
Para obtener una solución no trivial, el determinante de Cjl( Se encuentran seis valores complejos de Ł. Los
se descartan los valores de فارسى con Re[l] < 0, ya que los desplazamientos correspondientes explotan como z →. Cada uno de
El resto de los valores de p con p = 1.... 3 se sustituye de nuevo en Cjl( (59) se resuelve para encontrar la
eigenvectores correspondientes, Upl. El desplazamiento total es, por tanto,
ul(x, y, z) = i mh0
k(ixpz),
donde se supone que el campo de desplazamiento elástico perturbador es proporcional a h0 y
poner en para la comodidad. Los coeficientes Ap se pueden encontrar a partir de la condición de límite libre de tracción en la superficie libre.
La fórmula de tracción es
i,k,l=1
nicijkl(k)
ul(x, y, z) = ik mh0
i,k,l,p=1
nicijkl(k)ApU
l (i/23370/k1 +
p/23370/k3)e
k(ixpz) (60)
La tracción ya es proporcional a h0. Por lo tanto, todos los términos en la suma debe mantenerse a cero orden en h0 de modo que
h(x) = 0, y n(x) = k.
Por lo tanto, conectar z = 0 a Eq. (60),
tj = ik mh0
(ic3j1l(
pc3j3l(k))ApU
ikx. (61)
Desde la tracción total (Eqs. (58) y (61)) deben ser cero, los coeficientes Ap se encuentran a partir de
KjpAp = Rj,
donde
Kjp =
(ic3j1l(
pc3j3l(k))U
Rj = M/23370/j1
para j = 1... 3. Vale la pena señalar que sólo para las direcciones de simetría, la cepa es pura
plano-deformación como es para el caso elástico isotrópico.
La energía elástica en la superficie de la película se encuentra para ordenar O(h0). Si el estrés y la tensión se expanden a primer orden en
h0, = 0 + 1, y
. : c. :........................................................................................................
0 : 0 + 0 : ‡1 +O(h
Por lo tanto,
U = U0 + M m (( 1)11 + ( 1)22)
( 1)11 =
= − mkh0
( 1)22 = u2/y = 0. Por lo tanto,
U = U0 − Ekkh0e
donde
E.k. = M.
donde Apand U
1 son implícitamente funciones de Łk. Este procedimiento se ha utilizado para encontrar los valores de E0o y E45o para
Cuadro. 2 y Sec. 4.
D Anisotropía diffusional
En general, la difusividad de la superficie puede depender de la altura de la película H(x) y de la orientación de la superficie
la corriente superficial es
JS(x) = Dū(H(x), H(x)) sμ(x)
donde s es el gradiente de la superficie, y D es un tensor de rango 2 en el espacio bidimensional tangente a la superficie de la película en
x. Linear la corriente superficial alrededor de una superficie plana,
JS(x) = Dś(H̄) lin(x)
donde la difusividad debe evaluarse para h = 0 y h = 0, ya que μlin(x) ya es proporcional a h(x). El lin...
difusividad audida es un tensor simétrico de rango 2 en el plano x-. Por lo tanto, es similar a Fûsw discutido en el Apéndice B.2.2.
Es automáticamente dos veces simetría (rotación por 180o) o es completamente isotrópica. En Eq. (23), cuatro veces
se asume la simetría de la superficie. Por lo tanto, la difusividad debe ser completamente isotrópica; Dū → D, un escalar. Sec-
ciones 2.2.1.2 y el apéndice B.2.2 contienen discusiones sobre las propiedades simétricas de los diversos tensores de rango 2 que
aparecen en las ecuaciones de evolución lineal. Un caso limitado de anisotropía de difusión ha sido modelado a través de Monte cinético
Técnica Carlo. [54]
E Funciones de correlación
E.1 Valores medios
Las ecuaciones (31) y (33) son centrales para el análisis presentado. Aquí, se derivan. La función de correlación de dos puntos...
ciones para un sistema estocástico se introducen. Entonces, el promedio de la función de autocorrelación se toma y expresa
en términos de las funciones de correlación de dos puntos. Por último, este promedio se simplifica utilizando la invarianza traslacional de
el sistema (gobernación de ecuaciones y conjunto de condiciones iniciales).
La función de correlación espacio-espacio real de dos puntos es
C(x,x′) = h(x)h(x′),
y la función de correlación del espacio recíproco es
Ckk′ = hkh*k.
Estos están relacionados por la doble transformación de Fourier,
Ckk′ = 1(2η)2d
ddxddx′ e−ik·x+ik
x′C(x,x′); (62)
C(x,x′) =
ddkddk′ eik·x−ik
x′Ckk′. (63)
Estas funciones de correlación del conjunto se pueden utilizar para dar la función de autocorrelación del conjunto-media y especificaciones-
función trum. En el espacio real,
CA(x)
d2x′ h(x + x′)h()
d2x′ C(x + x′,x′). (64)
(2η)d
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(2η)d
Ckk. (65)
Afortunadamente, la invariabilidad traslacional del sistema simplifica estas relaciones. Inspección de las ecuaciones de gobierno
e invocando la invarianza traslacional de las condiciones iniciales estocásticas, el conjunto resultante y su estadística
las medidas también deben ser traslacionalmente invariantes. Así bajo la traducción por x′,
C(x + x′,x′) = C(x,0) = C(x), (66)
por lo que la variable independiente se reduce a sólo el vector de diferencia x = x − x ′. Esta relación se puede utilizar para
simplificar tanto las relaciones espaciales reales como las recíprocas.
La relación real del espacio simplifica como sigue.Insertar Eq. (66) en Eq. (64),
CA(x)
d2x′ C(x,0) = C(x). (67)
La relación espacial recíproca (Eq. (62)) simplifica la
Ckk′ = Ck
2 k– k′) = Ck
(2η)d
kk′, (68)
donde
(2η)d
d2x e−ikxC(x).
Uno puede ver inmediatamente desde Eq. (67) que Ck es la transformación de Fourier de
CA(x)
= C(x), o se puede conectar
Eq. (68) en Eq. (65), para obtener
= Ck.
E.2 Diferencia y convergencia
La hipótesis ergódica es que una media con respecto a un parámetro como la posición o el tiempo tiende hacia un
Ensamblaje promedio. En este caso,
CAk فارسى
= Ck, (69)
y CA(x)
CA(x)
= C(x).
cuando la superficie es muy grande. El promedio del conjunto es un buen sustituto si la varianza sobre el promedio
desaparece a medida que el área de sustrato A se hace grande. Se encuentra que en el espacio recíproco,
Var(CAk ) =
= C2k. (70)
Por lo tanto, la hipótesis ergódica no se sostiene para CAk. En la práctica, C
k es una versión moteada de Ck (Fig. 6) Sin embargo, si
uno suaviza CAk promediando sobre un pequeño parche en espacio recíproco de tamaño ksmooth = 1 / s, de modo que
CAk (s) =
)d/2
ddk′ e−
k)2CAk′, (71)
luego Var
CAk (s)
disminuye como 1/A. Para los suficientemente grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes.
CAk (s)
Ck, (72)
CAk (s)
ηd/2ds
C2k. (73)
Así, la hipótesis ergódica (Eq. (69)) sólo se mantiene para una versión alisada de CAk.
En el espacio real,
CA(x)
CA(x)
CA(x)
(2η)d
e2ikxC2k + C
, (74)
donde la integral esté limitada (finita) siempre que t > 0 o el corte a escala atómica b0 > 0. Por lo tanto, el ergódico
hipótesis se sostiene para la función de autocorrelación espacio real.
E.2.1 Eq. (70)
En primer lugar,
CAk C
se calcula.
CAk C
(2η)d
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k.
Supongamos que la distribución de hk es gaussiana. También, asumir que h(x) es real para que hkh−k = hk
2. Entonces...
= Ck1Ck2
d(k1 − k4)•d(k2 − k3)......................................................................................................................................................................................................................................................
. ..............................................................
d(k1 + k3)
d(k2 + k4)...
. .................................................................
d(k1 − k2)d(k3 − k4).
Por lo tanto,
CAk C
(2η)d
d(k− k′)
...
. .. +C2k
(k + k′)
+ CkCk′
d(0)
. (75)
= C2k
(+) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
+ CkCk′, (76)
donde Eq. (29) se ha utilizado liberalmente. Configuración k = k′, resulta en Eq. (70).
E.2.2 Eq. (73)
Ahora considere el alisado CAk sobre una longitud de (Eq. (71)). El valor medio es
CAk (s)
)d/2
ddk′ e−
k)2 CAk.
)d/2
ddk′ e−
k)2Ck′.
Para ksmooth lo suficientemente pequeño, (suficientemente grande), Eq. (72) resultados.
Ahora se calcula la varianza de CAk. En primer lugar, es necesario calcular
CAk (s)
CAk (s)
ddk′ e−
k)2............................................................................................................
. . ×
ddk′′ e−
k)2 CAk′CAk.
Usando Eq. (75) y Eq. (29) según sea necesario,
CAk (s)
ddk′ddk′′ e−
k)2e−
k)2
(2η)d
...
· · · ×
(k′ − k′′)
+ C2k
(k′ + k′′)
+ CkCk′
d(0)
k)2C2k′ + e
− 12
s[(kk)2+(kk)2]C2k′
...
· ·
)d/2
ddk′ e−
k)2Ck′
La primera integral está limitada (finito) porque Ck está limitada. Que su valor finito sea denotado I. La segunda integral es
simplemente
CAk (s)
. Así,
Var(CAk) =
2ds I
un valor finito que disminuye como A−1 como se requiere para que la hipótesis ergódica mantenga. Para ksmooth suficientemente pequeño (grande
I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, C, I, C, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, C, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, (73) resultados. Por otra parte, cabe señalar que los grandes recursos necesarios para esta aproximación
también crea un requisito más estricto de que A sea grande.
E.2.3 Eq. (74)
Ahora, considere la función de autocorrelación del espacio real. En primer lugar,
CA(lx)CA(lx)
es necesario.
CA(lx)CA(lx)
ddkddk′ ei(k+k
′)x CAk CAk
Proceder de una manera similar a la sección anterior (haciendo uso de Eqs. (75) y (29) según sea necesario),
CA(lx)CA(lx)
(2η)2d
ddkddk′ ei(k+k
′)x
d(k− k′)
...
· · C2k
(k + k′)
+ CkCk′
d(0)
(2η)d
e2ikxC2k + C
...
· ·
ddk eikxCk
ddk′ eik
xCk
(2η)d
e2ikxC2k + C
CA(x)
Así, Eq. (74) resultados. Para que la varianza esté desapareciendo, la integral en Eq. (74) debe estar limitado (finito). Si el tiempo,
t > 0, la exponencial en Eq. (77) garantiza que la integral está limitada. Para el tiempo t = 0, la integral sólo está limitada
si la escala atómica de corte b0 > 0.
F Corte de la escala atómica
A partir de Eq. 39),
(2η)d
e2kt−
. (77)
El efecto del corte a pequeña escala es a la vez pequeño y de corta duración, ya que sólo funciona para suprimir las fluctuaciones con grandes
Números de onda. Las fluctuaciones más importantes tienen números de onda entre 0 y 2kc. Por lo tanto, el tamaño típico de la
término de corte es aproximadamente b20k
c. Si un tamaño de punto típico o espaciamiento tamaño 10 nm, y una escala atómica típica es 10
−1 nm, un típico
valor para este término es de aproximadamente 10−3 − 10−2. Para calcular el efecto del corte, se puede absorber en el tiempo dependiente
parte con la sustitución
de modo que su efecto sólo dure hasta que se produzca una perturbación con curvatura a escala atómica ( = b0). Así, Eq. (40) es un bien
aproximación.
Agradecimientos
Gracias a L. Fang y C. Kumar por comentarios útiles durante la redacción de este artículo.
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Introducción
Modelado
Modelo Isotrópico 1D y 2D
Energía
forma simple
forma general
Linealización
Dinámica
Límites máximos
Estabilidad y potencial de humectación
2D Caso anisotrópico
Energía
Anisotropía elástica
Anisotropía superficial y de energía humectante
potencial de difusión total
Dinámica
Expansión sobre picos
Funciones de correlación
Funciones de correlación y orden SAQD
Array periódico
Array casi periódico
Ensemble Correlation Functions / ergodicity
Fluctuación media
Función de correlación
Condiciones iniciales estocásticas
Funciones de Correlación del Espacio Recíproco
unidimensional
2D isotrópico
anisotrópico
Funciones de correlación real del espacio
unidimensional
2D isotrópico
anisotrópico
Generalización
Predicciones de orden
Ge a 600K
Caso general de
Discusión/Conclusiones
Potencial de difusión
Formulario general =F/H(x)
Modelo simple
Modelo general
Potencial de difusión lineal y anisotropía
Linear el modelo simple
Caso isotrópico
anisotrópico
Linear el modelo general
Caso isotrópico
anisotrópico
Anisotropía elástica
Anisotropía diffusional
Funciones de correlación
Valores medios
Diferencia y convergencia
Eq. (???)
Eq. (???)
Eq. (???)
Corte de la escala atómica
| Los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales (SAQD) son de interés para
dispositivos optoelectrónicos y electrónicos nanoestructurados, como los láseres,
fotodetectores y lógica de nanoescala. Orden espacial y tamaño de orden de SAQDs son
importante para el desarrollo de dispositivos utilizables. Es probable que estos dos
los tipos de orden están fuertemente vinculados; por lo tanto, un estudio del orden espacial también
tienen fuertes implicaciones para el orden de tamaño. Aquí un estudio del orden espacial es
realizado mediante un análisis lineal de un modelo comúnmente utilizado de formación de SAQD
basado en la difusión de la superficie. Fórmulas analíticas para la correlación película-altura
funciones se encuentran que caracterizan el orden espacial de punto cuántico y
longitudes de correlación correspondientes que cuantifican el orden. Escala atómica inicial
fluctuaciones aleatorias dan lugar a longitudes de correlación relativamente pequeñas (aproximadamente dos
puntos) cuando el efecto de un potencial de humectación es insignificante; sin embargo, la
Las longitudes de correlación divergen cuando se permite que los SAQD se formen a un nivel casi crítico
altura de la película. El presente trabajo refuerza los hallazgos previos sobre anisotropía y
Orden SAQD y presenta como mecanismo explícito y transparente para el pedido con
ecuaciones analíticas correspondientes. Además, la formación de SAQD es por su naturaleza
un proceso estocástico, y varios aspectos matemáticos con respecto a la estadística
se presenta el análisis de la formación y el orden del SAQD.
| Introducción
Los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales (SAQD) representan un paso importante en el avance de los semiconductores
fabricación a nanoescala que permitirá avances en optoelectrónica y electrónica. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12] Las aplicaciones optoelectrónicas más frecuentes son láseres de alta eficiencia con longitudes de onda exóticas o fotode-
Tectors. [1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12] Los SAQD son el resultado de una transición del crecimiento en 2D al crecimiento en 3D en
películas epitaxiales como SixGe1-x/Si e InxGa1-xAs/GaAs. Este proceso se conoce como crecimiento de Stranski-Krastanow o
Crecimiento de Volmer-Webber. [13, 1, 14, 15].
En aplicaciones, el orden es un factor clave. Hay dos tipos de orden, espacial y de tamaño. El orden espacial se refiere a
la regularidad de la colocación de puntos SAQD, y es necesario para aplicaciones de nanocircuitos. Orden de tamaño se refiere a la
uniformidad del tamaño SAQD que determina la tensión y/o la cuantificación del nivel de energía de los SAQD. Es razonable.
esperar que este tipo de orden esté vinculado, y es importante entender los factores que determinan el orden SAQD.
Una mayor comprensión debería ayudar en el diseño y simulación de la autoconstrucción espontánea “de abajo arriba” y
dirigido o guiado auto-ensamblaje para mejorar el orden SAQD. [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23] Aquí, una elaboración y
se presenta una nueva aplicación de un análisis lineal del orden SAQD [24]. El trabajo que aquí se informa constituye la base de una
teoría no lineal y modelado del orden SAQD que se informará en el trabajo futuro.
En [24] se informó que se podía calcular una función de correlación utilizando un modelo linealizado de formación de SAQD.
Esta función de correlación incluyó dos longitudes de correlación que podrían utilizarse para describir el orden SAQD. También fue encontrado
que un efecto de un potencial de humectación hipotetizado fue mejorar el orden SAQD cuando el crecimiento se produce cerca de la crítica
Altura de la película para el crecimiento en 3D. Aquí, estos resultados se amplían para crear una teoría linealizada más rigurosa del orden SAQD
que informará teorías no lineales. En particular, el modelo se generaliza a cualquier modelo que combine energía local
efectos tales como la densidad de energía superficial y la desestabilización elástica no local, y el procedimiento para predecir el orden
basado en cualquier teoría lineal con longitudes de onda de pico se presenta. El efecto hipotetizado de la anisotropía elástica en [24]
se verifica con cálculos utilizando la teoría lineal de elasticidad anisotrópica. [25, 26] Detalles como fluctuación estadística
y la convergencia también se abordan junto con una discusión de las posibles formas de términos anisotrópicos lineales en SAQD
se aborda la cinética del crecimiento, y el efecto de un corte a escala atómica en la teoría del continuum. Por último, la orden
el aumento del efecto de crecimiento cerca del umbral crítico se explora con más detalle utilizando cálculos apropiados para
Ge/Si SAQDs.
En la literatura, dos modos de formación de SAQD son generalmente discutidos, el modo de nucleación térmica y el nu-
modo sin escote. [27, 28, 29] En el modo de nucleación térmica, una superficie de película 2D es metaestable, y la formación de
los puntos cuánticos individuales se activan térmicamente. [27]. Este modo de crecimiento conduce a la formación de la cuántica individual
puntos como eventos discretos no relacionados o libremente correlacionados en ubicaciones esencialmente aleatorias. En el modo sin nucleación,
la superficie de la película 2D pasa de estable (o metaestable) a inestable. En este modo, los puntos se forman en todas partes a la vez
Aparece en un principio como una onda cruzada como una perturbación en la superficie de la película 2D y luego madura en reconocimiento-
puntos individuales capaces.[27, 30, 28, 31, 32] Estos dos modos están probablemente conectados a través de un
y el modelo matemático1, y tal vez algo de lo que se observa experimentalmente es de hecho un mecanismo híbrido. In
acuerdo con la intuición, parece que el modo sin nucleación conduce a un patrón de punto más ordenado que el térmico
modo de nucleación que está dominado por la aleatoriedad. 2 Así, el análisis presentado se aplica al modo sin nucleación.
Hay varias implementaciones de modelos de crecimiento sin nucleación [28, 37, 38, 39, 40, 18, 34], aunque hay
también una gran cantidad de elementos comunes entre estos modelos. En particular, todos ellos incluyen un efecto elástico no local y local
energías de superficie y/o energías de humectación locales. Aquí, un análisis lineal del orden cuántico de puntos resultante de esta clase de
se presenta el modelo. Se toma nota en particular de los efectos de las condiciones iniciales estocásticas anisotropía cristalina en general,
Anisotropía elástica en particular, y el efecto de la variación de la altura de la película como parámetro de control tal como se introdujo por primera vez en [33].
Un modelo simple similar a [28, 37, 38, 40, 18] se presenta para producir ejemplos numéricos y explorar los efectos
de la altura media de la película. Al mismo tiempo, se presenta y analiza un modelo más abstracto y general que incluye:
efectos elásticos no locales, y una superficie local combinada y energía de humectación. El modelo lineal con estocástico
las condiciones iniciales y la evolución determinista de la altura de la película allanarán el camino para un análisis más sofisticado
Modelo no lineal de la evolución de la altura de la película estocástica.
Como ya se ha dicho, uno de los objetivos del presente trabajo es seguir explorando el papel de la poten-
tial durante el crecimiento cerca del umbral de estabilidad en la altura de la película. En el análisis se ha incluido un potencial de humectación
y simulaciones en [38, 33, 37, 28]. Aunque un tanto controversial, el potencial de humectación juega un
papel nomenológico. Se asegura de que el crecimiento se lleva a cabo en el modo Stranski-Krastanow: que un crecimiento inestable en 3D
se produce sólo después de que se alcanza un espesor crítico de la capa, y que persiste una capa residual de humectación. Los orígenes físicos
y las consecuencias del potencial de humectación se examinan en [41, 28]. El análisis presentado aquí es utilizable en modelos
que descuidan el potencial humectante simplemente poniéndolo en cero. Otra posibilidad es simplemente que el potencial de humectación
es simplemente una aproximación al efecto estabilizador de la mezcla. [42] Dicho esto, si el potencial de humectación es real, el
El análisis actual muestra que es beneficioso para el orden SAQD crecer cerca del espesor crítico de la capa.
Las fórmulas analíticas presentadas y el análisis lineal están destinados a complementar los modelos numéricos existentes de
Orden SAQD. [43, 37, 44, 45] y para formar una base para el futuro análisis analítico no lineal del orden SAQD. La corriente
los hallazgos concuerdan con trabajos previos sobre los efectos beneficiosos de la anisotropía elástica para mejorar el orden en el plano.
El análisis lineal, por supuesto, representa una simplificación de la evolución de la película, y se aplica sólo a la inicial
etapas de formación de SAQD cuando la superficie de película nominalmente plana se vuelve inestable y transiciones a tres dimensiones
crecimiento. Sin embargo, la pequeña fase de fluctuación superficial del crecimiento del SAQD determina las semillas iniciales de orden o trastorno
en una matriz SAQD; por lo tanto, la pequeña fase de fluctuación debería tener una influencia importante en el resultado final. Más tarde
cuando las fluctuaciones superficiales sean grandes, existe una tendencia natural del SAQDS a ordenar o madurar [33, 37, 46,
39, 47] Los sistemas de pedidos tienden a evolucionar lentamente debido a la desaceleración crítica [39], mientras que la maduración tiende a disminuir
Ordene más adelante. [37] Por lo tanto, es posible que el modelo lineal pudiera, de hecho, producir buenas predicciones del orden SAQD.
La simplificación y linealización facilita el desarrollo de soluciones analíticas que son más transparentes, fáciles
portátil a múltiples sistemas de materiales y no tienen ningún límite efectivo en el tamaño del sistema. Por último, es prácticamente imposible
tener una comprensión completa del modelo no lineal completo sin tener primero una comprensión completa del modelo lineal
comportamiento.
El resto del documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 se presentan los supuestos físicos y matemáticos
1Es probable que haya una transición de estable, a metaestable y finalmente a inestable. El análisis presentado en [33] parece apoyar
una vista en la que la altura de la película actúa como parámetro de control que impulsa la transición. También hay cierta controversia en cuanto a si todo el crecimiento de puntos es
sin nucleación o no. [34, 32]
2Compare varias cifras en [29, 35, 14, 31, 36].
aproximaciones utilizadas para modelar el crecimiento de la película. Sección 3 discute las condiciones iniciales estocásticas y el resultado
funciones de correlación y longitudes de correlación. La sección 4, presenta un procedimiento para estimar el pedido SAQD con un
aplicación a puntos Ge en un sustrato Si. En la sección 5 se presentan las conclusiones, mientras que en los apéndices A a F se presentan las conclusiones adicionales.
detalles de cálculo.
2 Modelado
La formación de SAQDs se modela como un proceso de difusión superficial determinista con condiciones iniciales estocásticas. Los
ecuaciones resultantes y, en última instancia, las funciones de correlación buscadas son diferentes dependiendo de si la película
la superficie se trata como isotrópica unidimensional, isotrópica bidimensional o anisotrópica bidimensional. El 1D
y los casos isotrópicos 2D se discuten primero, y luego se presentan las diferencias esenciales del modelo anisotrópico 2D.
Las condiciones iniciales estocásticas necesitan ser expresadas en términos de las funciones de correlación que también se utilizan para analizar
orden; en consecuencia, la discusión de las condiciones iniciales se aplaza a la Sec. 3.2.
Cabe señalar que los resultados presentados aquí son bastante generales. Ha habido una gran cantidad de trabajo reciente
refinar el modelado de procesos de crecimiento sin nucleación para incorporar varios aspectos fenomenológicos del SAQD
crecimiento. Por ejemplo, la inclusión de la energía superficial dependiente de la orientación [38], la energía superficial dependiente de la tensión [34]
y el modelado explícito de la segregación de las especies atómicas y la difusión entre películas y sustratos. [48] Se presentan dos modelos
Aquí. Uno es un simple ejemplo concreto. Es el modelo más simple que se puede utilizar incluyendo efectos elásticos energía superficial
y la energía de la humectación. El segundo modelo es más abstracto y describe el caso general de una energía potencial local
que depende tanto de la altura de la película como de la altura de la película gradiente. Un efecto que no se examina aquí es el de la mezcla
Simetría de cuatro y dos veces. Tal mezcla puede ocurrir debido a la anisotropía de difusión o a la anisotropía de energía superficial.
(Sec. 2.2.1.2 y apéndice D). Sin embargo, un procedimiento de análisis similar debería funcionar también para estos casos. Generalidades
El procedimiento para su posible aplicación a otros modelos se examina en la sección II. 3.5.
En la siguiente discusión se utilizará la notación de vectores abstractos, por ejemplo. k en lugar de ki, etc. También, porque a veces es
conveniencia computacional para realizar el modelado unidimensional [24, 39, 17, 42], el caso de una superficie unidimensional
con volumen bidimensional se discute junto con el caso de una superficie isotrópica 2D. Para facilitar esta combinación
discusión, la dimensión de la superficie se denotará como d. En Secs. 3.3 y 3.4, d = 1, 2 se sustituirán como
apropiado. Finalmente, gran parte del cálculo implica espacio recíproco. La convención utilizada para las transformadas de Fourier
f(x) =
ddk eik·xfk, y fk = (2η)
ddx e-ik·xf(x)
siguiendo el ejemplo de [28].
2.1 Modelo Isotrópico 1D y 2D
Esta discusión se refiere tanto al modelo 1D como al modelo isotrópico 2D. La formación de SAQDs se modela como un
proceso de difusión de la superficie donde la altura de la película es una función de la posición lateral y el tiempo. El sistema se trata como
Determinista con condiciones iniciales estocásticas. En primer lugar, se presentan las ecuaciones generales no lineales de gobierno. Entonces,
se presenta la forma linealizada. Finalmente, se revisa el comportamiento clave.
El modelo matemático utiliza la altura de la película, H(x, t) como variable dependiente y la posición horizontal x y
tiempo t como las variables independientes. La altura de la película evoluciona con el tiempo debido a la difusión superficial impulsada por una difusión
potencial μ(x, t) y un flujo de nuevo material Q. La velocidad de la superficie es así
vn = nzŁtH = S · DSμ(x, t) +Q (1)
donde nz es el componente vertical de la superficie normal nz = [1 + (H)2]-1/2, S es el gradiente superficial, D es el
Difusividad, y S es la divergencia de la superficie.
2.1.1 Energética
El potencial de difusión μ(x, t) debe producir crecimiento de Stranski-Krastanow. Por lo tanto, debe contener un término elástico que
desestabiliza el crecimiento de la película, un término de energía superficial que estabiliza el crecimiento planar y una energía humectante que asegura una humectación
capa. El potencial de difusión puede derivarse de una energía total libre.
F = Felast + Fsurf. + Fwet
volumen
dV • +
superficie
dAsurf. γ +
DAW (H)
γ es la densidad de energía de la superficie, W (H) es la densidad de energía de humectación. Los
la última integral corresponde a Fwet, y si la integral debe ser tomada sobre la superficie de la película o el sustrato es
ambiguo. El modelo “simple” (Sec. 2.1.1.1) asume que la integral está sobre el sustrato, mientras que el “general”
modelo (Sec. 2.1.1.2) puede dar cabida a ambos casos.
2.1.1.1 forma simple El modelo más simple posible resultados si la integral correspondiente a Fwet se toma sobre el
posiciones laterales x en lugar de sobre la superficie libre real. En términos concretos, se puede utilizar dV = d2xdz y dAsurf. =
1 + (+H(x))2
para obtener la expresión,
volumen
d2xdz [H](x, z) +
x-plano
1 + (+H(x))2
γ + W (H(x))
, (2)
donde el “[H]” indica que la densidad de energía elástica es una función no local de la altura de la película, H. La difusión
μ potencial se puede encontrar, similar a [15], diferenciando F con respecto al movimiento de la superficie (Apéndice A.1),
μ(x) = F/H(x). Lo hago por Eq. 2) (Apéndice A.2),
μ(x) = [(x)− (x) +W ′ (H(x))]. 3)
donde el volumen atómico es (x) es la densidad de energía elástica en la superficie de la película [implícitamente [H] (x,H(x)],
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
H(x)
1 + (+H(x))2
− 1/2}
es la curvatura total de la superficie, y W ′(H) = H(x)W (H(x)) es la
derivado de W (H(x)) evaluado en x.
2.1.1.2 Forma general Cabe señalar que Eq. (3) no es el mismo potencial de difusión utilizado en [38]. La humectación
potencial utilizado allí puede derivarse tomando W (H) como una densidad de energía de la superficie libre, no una densidad en el
X-plano. Expresiones como Eq. (3) y Eq. (1) en [38] forman parte de una clase más grande de modelos de evolución de la superficie con más
o menos el mismo comportamiento lineal.
La superficie y la energía de humectación se pueden combinar e incorporar en una forma más general, con un total libre
Fsw de energía y una densidad de energía libre Fsw(H,H) que depende de la altura de la películaH(x) y la pendiente de la altura de la película o
orientación H(x). La energía libre total es por lo tanto
F = Felast. + Fsw (4)
volumen
d2xdz [H](x, z) +
x-plano
d2xFsw (H(x),+H(x)).
Fsw puede no ser necesariamente la suma de la energía de superficie separada y las contribuciones de energía de humectación. Sólo tiene que ser un
función local deH y â € ¢H. El potencial de difusión correspondiente es
μ(x) =
(x) + F (10)sw (x) · F
sw (x)
, (5)
donde F (mn)sw indica el derivado mth con respecto a H y el derivado nth con respecto a H. F
sw (x) =
* H(x)Fsw (H(x),* H(x)) y cada componente vectorial de F
sw (x) es
F(01)sw (x)
= [*H(x)]
Fsw (H(x), H(x)).
Uno puede obtener los resultados del modelo simple (Eqs. 2) y 3)) mediante el establecimiento
Fsw =
1 + (+H(x))2
γ + W (H(x)). 6)
Un potencial de difusión como Eq. (1) en [38] puede obtenerse mediante ajuste
Fsw =
1 + (+H(x))2
[γ (H(x)) +W (H(x))].
Esto es diferente de Eq. (6) de dos maneras. En primer lugar, la densidad de energía de la superficie depende de la orientación de la superficie. Segundo,
el jacobino, J =
1 + (+H(x))2
multiplica tanto la densidad de energía superficial como el potencial de humectación. A pesar de
estas diferencias, la forma común del potencial de difusión (Eq. 5) entre los diferentes modelos sugiere que
todos pueden conducir a formas y comportamientos lineales similares.
2.1.1.3 Linearización El potencial de difusión está ahora linealizado sobre la altura media de la película H̄. En general, uno
puede controlar la cantidad de material depositado, y por lo tanto la altura media de la película H̄. Por lo tanto, es útil descomponer
H(x) en el valor promedio espacial y las fluctuaciones sobre el promedio. Similar a [28],
H = H h(x, t). 7)..................................................................................................................................................
En el cálculo actual, H̄ se especifica como constante en el tiempo. Esta suposición corresponde físicamente a un depósito rápido
y luego una annea. No es demasiado difícil generalizar a un H̄ dependiente del tiempo, pero eso está más allá del alcance de este
manuscrito. En [38, 49], la deposición y la evaporación se modelan explícitamente.
Todos los términos en μ(x, t) ahora se mantienen sólo en orden lineal en h(x, t). La densidad de energía elástica es un no-local
funcional de h(x, t) [40]; sin embargo, las ecuaciones que generan فارسى(x) son traslacionalmente invariantes. Por lo tanto, es conveniente
utilizar el espacio recíproco para la linealización. La curvatura se linealiza trivialmente como فارسى(x) → 2h(x) en el espacio real o
•k → −k2hk en el espacio recíproco. La energía de deformación elástica linealizada puede encontrarse en el espacio recíproco como en [15]
2mhk, donde M = E/(1 − ν) es el módulo biaxial, E es el módulo Young,
Relación Poisson, y m es la cepa de desajuste película-sustrato. Esta fórmula descuida las posibles diferencias en el modulo elástico
entre la película y el sustrato como en [28], pero también debe aplicarse un método de análisis similar a ese caso. Linealización
Eqs. (3) y (5) en el espacio recíproco, μk es proporcional a hk con un coeficiente de proporcionalidad que depende de k y
μlin,k = f(k, H̄)hk (8)
donde f(k, H̄) para tres casos isotrópicos diferentes, correspondientes a Eqs. 3) y 5), y una forma general abstracta, es
dado por
f(k, H̄) =
−2M(1 + /) 2mk + γk2 + W ′′(H̄)
; caso a (Eq. 3))
−2M(1 + /) 2mk + F 02k2 + F 20
; caso b (Eq. 5))
−ak + bk2 + c; asunto c (general)
. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Debido a la isotropía, f(k, H̄) es independiente de la dirección de k, y sólo el número de onda, k =, aparece en el
Lado derecho. F (20)sw es la segunda derivada de Fsw con respecto a H, y F
sw la segunda derivada de Fsw con
respeto a H. F (20)sw y F
sw dependen sólo de H̄; por lo tanto, son constantes en el presente análisis. Véase el apéndice B.2
para definiciones más precisas y la derivación de f(k, H̄). Usando Eq. (6), produce F (02)sw = γ y F
sw = W ′′(H̄)
que es idéntico al caso simple de Eq. 9), a. Caso c, etiquetado como “general” cuando a, b, y c dependen implícitamente de
H̄ muestra que f(k, H̄) para los casos a y b tienen la misma forma relativamente simple. También hace hincapié en los efectos dinámicos
a diferencia de las causas físicas. Hay un término desestabilizador, −ak, un término de corte de longitud de onda corta, bk2, y un término
que estabiliza todo el espectro, c.
A pesar de la etiqueta “general”, hay, por supuesto, limitaciones a la aplicación de Eqs. 8) y 9). Por ejemplo,
ha habido un trabajo reciente sobre los efectos de las energías superficiales dependientes de la tensión. [34] La segunda forma no puede representar
tal efecto porque la derivación supone que la energía de la superficie sólo depende de las cantidades locales, (H y H)
mientras que el efecto de deformación no es local. Sin embargo, es razonable conjeturar que un análisis más detallado de la
efectos de un término de energía superficial dependiente de la tensión produciría un coeficiente función f(k, H̄) no muy diferente de
el caso c forma “general” de Eq. 9). Por lo tanto, el siguiente análisis puede muy bien aplicarse a este modelo más exótico, pero
Se necesita más estudio para estar seguro.
2.1.2 Dinámica
Como se indica en la sección II. 2.1.1, la dinámica se deriva suponiendo que no hay flujo de nuevo material (Q = 0) y mantener sólo
términos a orden lineal en la fluctuación de altura, h(x, t). Bajo estas suposiciones, Eq. (1) puede descomponerse en un
Tabla 1: Números de onda característicos, tiempos característicos y variables adimensionales asociadas para los tres casos
a la que se hace referencia en Eq. 9).
kc tc α β
caso a 2M(1)
16D/23370/M4(1)4 8m
γW ′′(H̄)
4M2(1)2 4m
Caso b 2M(1)
(F (02)sw )
16D/23370/M4(1)4 8m
F (02)sw F
4M2(1)2 4m
Caso c a/b b3/(D/23370/a4) k/kc cb/a2
ecuación trivial para H̄ y una ecuación para la fluctuación de la altura de la película mediante la inserción de Eq. (7).
dH̄/dt = 0 (10)
(x) = · Dlin(x) (11)
donde μlin(x) es la transformada inversa de Fourier de Eqs. (8) y (9), y depende implícitamente de la altura media de la película
H̄. Tenga en cuenta que la dependencia de tiempo es implícita mientras que la dependencia de coordenadas es explícita. La coordinación explícita
dependencia sirve para distinguir Suponiendo que la difusividad D es constante, la transformación de Fourier de Eq. (11) da
la ecuación diferencial linealizada para la evolución de cada componente de Fourier.
♥thk = −Dk2μk = −Dk2f(k, H̄)hk. (12)
Resolviendo Eq. (12),
hk(t) = hk(0)e
kt; (13)
k = −Dk2f(k, H̄). (14)
La superficie evoluciona en el espacio recíproco como una condición inicial, hk(0) multiplicado por una función de sobre, eÔkt. Por
la mayoría de los valores de H̄, esta función de sobre tiene un pico. A medida que pasa el tiempo, este pico se estrecha y puede ser aproximado por un
Gaussian. Para analizar este comportamiento, se definen las variables adimensionales apropiadas. Entonces, la estabilidad de la película es
Debatida. Por último, se expandió su pico para ayudar a los cálculos analíticos.
El comportamiento dependiente del tiempo de las fluctuaciones de altura de la película se facilita mediante el uso de un número de onda característico,
tiempo característico y variables adimensionales relacionadas. Para el caso "general" c de Eq. 9), la característica wavennum-
ber es kc = a/b, y el tiempo característico es tc = 1/(Dbk4c ) = b3/(Da4). Estas dimensiones características pueden ser
utilizado para definir un vector de onda adimensional, α = k/kc y un parámetro de humedecimiento adimensional β = c/(bk2c ) = cb/a
También se puede definir un tiempo adimensional, = t/tc. Para obtener las escalas características correspondientes para los casos a y
b, uno simplemente tiene que enchufar los sustitutos apropiados para a, b y c y seguir el patrón. Por ejemplo, para el caso
a, hacer la sustitución un → 2M(2 + v) 2m, etc. La Tabla 1 resume estos valores para los tres casos. Para los tres
los casos, f(k, H̄) y la constante de crecimiento k reducir a las formas siguientes:
f(k, H̄) = f(kcα, H̄) = ♥bk2c
α2 + β
k = kcα = t
α2 − β
, (16)
donde α = = k/kc es el número de onda adimensional. Estas formas están trazadas en Figs. 1a y 2. Fig. 1a muestra
f(k, H̄)/bk2c vs. α para una superficie isotrópica o una dimensión. Higos. 2 muestra tcÔk vs. α para un anisotrópico 2D
superficie (Sec. 2.2). Sin embargo, las curvas marcadas 0-0 son idénticas a la relación de dispersión para un isótropo 1D o 2D
superficie (compare Eqs. 9) y (23)).
2.1.3 Picos
La tasa de crecimiento máximo y el número de onda correspondiente k se pueden encontrar en Eq. (16). k tiene un pico en k0 = kcα0
donde
9- 32β
. (17)
Expandiendo k sobre este pico a segundo orden en k − k0,
- ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No! - ¡No!
2(k − k0)2
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡0.25!
Incremento de los valores
Figura 1: Prefactores potenciales de difusión adimensional vs. número de onda adimensional. a) La unidimensional o
Caso isotrópico con β = 0,3. b) El caso elástico isotrópico con anisotropía A = 0,1 (véase Eq. (22)).
Incremento de los valores
22,5 ° ° ° ° ° ° ° + 22,5 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Incremento de los valores
22,5 ° ° ° ° ° ° ° + 22,5 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
Figura 2: Constante de crecimiento adimensional vs. número de onda adimensional. Curvas son trazados para el elástico
caso anisótropo, pero las curvas marcadas 0o son las mismas que para los casos isotrópicos. En la letra a), β = 0. En b) β = 0,2.
Figura 3: Envoltura exponencial en función de α para β = 0,208 y t/tc = 100. a) Superficie isotrópica 2D. b) 2D
superficie anisotrópica con = 0,1236.
Las dos constantes son
t−1c α
0 (α0 − 2β), (18)
2 = t
c (3α0 − 4β). (19)
Insertando esta aproximación para k en Eq. (13),
hk(t) = hk(0)e
0te−
2Δ2t(k−k0)
. (20)
Los componentes de fluctuación de superficie iniciales individuales crecen con una envoltura en forma de gaussiano. Un ejemplo de esto
el sobre está trazado en la Fig. 3 a). Nótese que en dos dimensiones, el sobre forma un anillo ya que el pico es sobre el
número de onda k0 pero no sobre ningún punto en particular en el plano k.
2.1.4 Estabilidad y potencial de humectación
El crecimiento de Stranski-Krastanow se caracteriza por una transición de un crecimiento bidimensional estable a tres dimensiones inestables
crecimiento una vez que se alcanza una altura crítica Hc. [1] Eqs. (17), (18) y (20) son útiles para analizar la transición de
crecimiento estable a inestable. Para que esta transición ocurra, debe haber algún término estabilizador en la difusión
potencial. En el modelo actual, esto significa que debe haber algún término de energía superficial similar que varía fuertemente con
altura de la película. Esta condición equivale a afirmar que W ′′(H̄) o F 20sw o c (Eq. 9) debe ser bastante grande si H̄ < Hc.
Sin embargo, a medida que H̄ aumenta, estos términos se reducen. Finalmente, cuando H̄ > Hc, este término ya no es capaz de estabilizar
la película contra fluctuaciones de todas las longitudes de onda posibles.
El valor crítico Hc se puede encontrar utilizando el análisis de [33]. Por inspección de Eqs. (8), (9) y (12), modos
con f > 0 aumentan la energía libre total F a medida que crecen; por lo tanto, son estables y se deterioran con el tiempo. Modos con
f < 0 disminuyen la energía libre total F a medida que crecen; por lo tanto, son inestables y crecen con el tiempo. Este crecimiento y
la regla de desintegración se verifica fácilmente mediante la inspección de Eq. (14). Así, el crecimiento estable ocurre cuando f(k, H̄) > 0 para todos los valores de
k, y el crecimiento inestable ocurre cuando f(k, H̄) < 0 para algunos valores de k. Así, la transición de estable a inestable
crecimiento se produce cuando el valor mínimo de f(k, H̄) sólo se convierte en negativo. Usando el mismo análisis dimensional que en
la sección anterior y tras la discusión de [33], se observa que el valor mínimo, fmin = bk2c (β − 1/4),
se produce en kmin/kc = αmin = 1/2. fmin primero se vuelve negativo, y la transición al crecimiento inestable ocurre cuando
el parámetro de humectación adimensional (Tabla 1) cae a un valor crítico, β = 1/4. β > 1/4 de crecimiento 2D estable, y
β < 1/4 de crecimiento 3D inestable. Es razonable suponer que W (H̄), W ′′(H̄), y por lo tanto β son monótonamente positivos
funciones decrecientes de H̄ por lo que la interfaz se vuelve menos importante para los valores grandes de H̄. Por ejemplo, en [50] es
Asumió que W (H) = B/H, donde B es constante. Cuando β → 0, correspondiente a H̄ grande, el caso discutido en [28]
se obtiene. Un análisis similar se puede hacer para los casos b y c una vez que se especifica cómo los términos F (20)sw y F
sw o a, b
y c dependen de H̄.
Usando una forma adivinada para un potencial de humectación, uno puede encontrar la altura crítica de la película Hc al establecer β = 1/4. Aplicar
esta condición para el caso a en Eq. 3)
W ′′(Hc) = γk2c/4.
Utilizando como ejemplo el potencial de humectación de [50], W (H) = B/H,
Hc = 3
8B/(γk2c ) =
8Bγ/(2M(1 + /) 2m)2. (21)
Por el contrario, se puede ajustar un potencial de humectación a un espesor de capa crítica observado o razonable de la misma condición.
Utilizando el ejemplo de humectación potencial de [50],
(2M(1 + /) 2m)
como se indica en [50].3
2.2 2D Caso anisotrópico
La anisotropía cristalina conduce a una relación de dispersión, que es cuantitativa y cualitativamente diferente de la anisotropía cristalina.
Caso isotrópico. Aquí se discute en detalle el efecto de la anisotropía elástica. Otras fuentes de anisotropía son:
la superficie y las energías humectantes. Por ejemplo, en [38] la densidad de energía superficial depende de la orientación que
introduce una posible anisotropía en la relación de dispersión. Posibles fuentes de anisotropía son un elástico anisotrópico
tensor de rigidez, energía superficial dependiente de orientación o potencial de humectación o difusión anisotrópica. Tal como se ha examinado
abajo, la forma de anisotropía a orden lineal en la fluctuación de altura, h, está algo restringida. Se presentan los resultados
para superficies simétricas de 4 veces, es decir, superficies que tienen leyes de evolución dinámica invariantes cuando giran por 90°. Posible
También se discuten las complicaciones derivadas de términos anisotrópicos simétricos de dos veces (con simetría rotacional de 180o). As
para el caso isotrópico, primero se discuten las energías, luego la dinámica, y finalmente la expansión sobre los picos
en la relación de dispersión, k.
2.2.1 Energía
La discusión de la energía tratará primero los efectos de la anisotropía elástica y luego la anisotropía resultante de la superficie
o mojando como términos.
3Este resultado de [50] corresponde a la elección Fsw(H, H) =
1 + (+H)2+W (H). Sin embargo, el modelo numérico de [50] parece
Usar Fsw(H, H) =
1 + (+H)2 [γ(+H) +W (H)]. Esta diferencia debe conducir a una altura crítica ligeramente diferente de la película en su número
modelo de la que predijeron (Eq. (21)).
Figura 4: Parcela de E.k./(M.)
m) para diversos materiales. Los símbolos indican valores calculados utilizando el Apéndice C. Líneas sólidas
son la interpolación (Eq. (22)) utilizando los valores de la tabla 2.
Cuadro 2: Constantes elásticas [51] y valores calculados (véase el apéndice C) para diversos materiales de interés en T = 300K.
c11 c12 c44 M
1011 ergcm3 10
11 erg
cm3 10
11 erg
cm3 10
11 erg
Cuadro 12.60 4,40 6,77 13,93 2,16 1,906 0,1176
Si 16.60 6,40 7,96 18.07 2.22 1.997 0,1005
InAs 8,34 4,54 3,95 7,94 2,70 2,09 0,226
GaAs 11.90 5,34 5,96 12.45 2,15 1,87 0,1302
2.2.1.1 Anisotropía elástica Uno quisiera obtener una simple expresión simbólica para la densidad de energía elástica en
la superficie libre, k, a primer orden en hk para el caso elástico anisótropo. Se pueden encontrar discusiones similares en [25, 26].
Para el caso isótropo, k = −2M(1 + ν) 2mhk. Para el caso anisótropo,
- E-E-E-K-K-K-K.
donde el prefactor E.k. es la disminución de la energía elástica en la superficie por unidad de número de onda (k → 1) y la amplitud de la unidad
(hk → 1). No es constante, pero en su lugar depende de la k, el ángulo que k hace con la dirección x. El caso de una
simetría del cubo tensor de rigidez elástica como para Si se considera donde uno debe especificar tres constantes elásticas c11,
c12 y c44. [51]. El crecimiento en una superficie (100) producirá un prefactor de energía elástico E.K. que es simétrico de cuatro veces
(simétrica sobre las rotaciones por 90°). Un procedimiento similar a [25, 26] basado en un análisis de perturbación de primer orden es
seguido (apéndice C). Una fórmula de interpolación relativamente simple [24] se hipotetiza y luego se verifica numéricamente.
El procedimiento de interpolación, sugerido en [24] utiliza la expansión de orden más baja posible en el sin(lk) y cos(lk)
que tiene la correspondiente simetría cuatriplicada y luego interpola entre k = 0° y k = 45°. Por lo tanto,
E.k. = E.o......................................................................................................................................
1− Un sin2
donde A = (E0--E45-E0-E0-E0-E) es un factor de anisotropía. Esta forma de orden más bajo resulta ser un muy buen ajuste para
cálculos numéricos (Fig. 4). En el cuadro 2 se indican los valores de E0° y A para algunos sistemas de interés. En el elástico
Caso isotrópico, E0o = E45o = 2M(1 + ν) de modo que A = 0.
Hay dos diferencias importantes con respecto al caso elástico isotrópico. La primera es obvia, de la que depende E.K.
orientación angular, Łk. El segundo es que el valor pico de k no es el mismo que para el caso elástico isotrópico
porque en general, E0- 6= 2M(1 + ν). En [24], cuando el objetivo era simplemente investigar el mecanismo mediante el cual
orden de efectos de anisotropía elástica, esta segunda diferencia fue descuidada.
2.2.1.2 Energía de superficie y humectación Anisotropía La energía superficial y el potencial de humectación pueden ser adicionales
fuentes de anisotropía si dependen de la orientación de la superficie de modo que γ → γ(H) o W (H) → W (H,H) (para
ejemplo, [52, 38]). Entonces, a primer orden en h,
μsurf.,k =
γk2 + k · · k
donde es la matriz (2×2) o matriz hessiana que resulta de tomar los segundos derivados de γ(H) con respecto
a los dos componentes de H (Apéndice B.1). Del mismo modo
μwet,k =
W (20) + k · Wû(02) · k
donde W (20) y Wū(02) son los segundos derivados de W (H, ÍH) con respecto a H y ÍH (apéndice B.1). Por
ambos μsurf.,k y μwet,k, el primer término es isotrópico, y el segundo término contiene cualquier posible anisotropía.
El rango de las matrices y Wū(02) restringe enormemente las posibles formas de la anisotropía adicional. Estos
(2 × 2) Las matrices deben ser dos veces simétricas o perfectamente isotrópicas. Por lo tanto, si la energía de la superficie y la humectación
potencial son simétricos cuatro veces como Eok es, entonces
′′ →, un escalar, y Wū(02) → W (02), un escalar, y ninguno de los dos
aporta cualquier anisotropía adicional. Sin embargo, ayudan a estabilizar o desestabilizar aún más la superficie 2D, ya que
añadir términos proporcionales a k2. El efecto de estos términos adicionales es indistinguible del efecto de
valor de la densidad de energía de la superficie, γ. [52, 31]
Debe tenerse en cuenta que la superficie (100) de un diamante o de estructuras de sangrado de zinc permite la anisotropía que es sólo 2
pliegue simétrico (rotación por 180°). Por lo tanto, podrían “romper” la simetría cuádruple que ocurre cuando uno considera
la anisotropía elástica sola. Sin embargo, esta simetría “rompida” es algo dudosa porque incluso el diamante y
las estructuras de la sangría del zinc tienen la simetría del tornillo (las rotaciones por 90° y la traducción en la dirección [100] por la mitad de la celosía
vector). Por lo tanto, si por ejemplo, W (H,H) es anisótropo con simetría doble a orden lineal, debe haber un
oscilación rápida con cambios en la altura de la película H. En el apéndice D, un término similar relacionado con la difusión anisotrópica es
Debatida. No parece haber pruebas de esta doble simetría en el caso de (100) superficies de IV/IV
sistemas como Ge/Si, pero en los sistemas III-V/III-V la simetría cuatriplicada de la superficie (100) puede estar “roto”
de esta manera corresponde a una anisotropía de energía superficial o a una anisotropía de difusión. [53, 54]. Análisis más a fondo
de tales términos con más detalle complicaría enormemente el debate actual, por lo que se deja para la labor futura. La mayoría
de la literatura de modelado evita esta complicación al no incluir la simetría-rotura de la superficie de la sangría de zinc,
por ejemplo [25, 26, 38].
Uno puede realizar un análisis similar de la superficie combinada y el potencial de humectación, Fsw(H,H) (caso b). A lineal
orden el potencial de difusión anisotrópica resultante es (Apéndice B.2)
μsw,k =
F (20)sw + k · F
sw · k
Una vez más, Fū(02)sw es un tensor de rango 2, y todas las mismas consideraciones de simetría se aplican aquí también.
Debido a que los términos anisotrópicos de simetría dual están excluidos de la discusión actual, y los términos isotrópicos
simplemente “renormalizar” la eficacia de la energía superficial, no habrá más consideración de la anisotropía resultante
desde la energía superficial o el potencial de humectación en esta discusión. Se procederá a nuevos cálculos suponiendo que el
la densidad de energía superficial, γ, ni el potencial de humectación, W (H), dependen de H o similar que Fsw (H,
dependencia isotrópica de H. Esta suposición puede hacerse sin afectar a ninguno de los resultados cualitativos.
2.2.1.3 Potencial de difusión total Habiendo prescindido de la discusión de las diversas fuentes de anisotropía, la
potencial de difusión total se indica para el caso de 4 veces la anisotropía elástica simétrica y una superficie completamente isotrópica
energía y potencial de humectación. μk = f(k, H̄) con
f(k, H̄) =
1− Un sin2(2k)
k + γk2 + W ′′(H̄)
; caso a (Eq. 3))
1− Un sin2(2k)
k + F (02)sw k2 + F
; caso b (Eq. 5))
1− Un sin2(2k)
+ bk2 + c ; asunto c (general)
. 23)
Tabla 3: Números de onda característicos, tiempos característicos y variables adimensionales asociadas para los tres casos
a la que se hace referencia en Eq. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
kc tc α β
asunto E0o/γ γ3/(De40) k/kc γW ′′(H̄)/E20
Caso b E0-F
/(DE40) k/kc F
sw /E20
Caso c a/b b3/(D/23370/a4) k/kc cb/a2
2.2.2 Dinámica
La dinámica se rige por la difusión superficial, al igual que en el caso totalmente isotrópico. Se asume que la difusividad
es isotrópica como se hizo para la energía superficial y las energías humectantes; por lo tanto, toda la anisotropía en la evolución de la película
la dinámica proviene de los efectos elásticos solos. Se discute la posibilidad y los efectos de un potencial de difusión anisotrópica
En el apéndice D (véase también [54]). La dependencia del tiempo de las perturbaciones de la superficie simplemente sigue Eqs. (13) y (14),
pero con Eq. (23) utilizado para f(k, H̄). En cuanto al caso isotrópico, los números de onda característicos adecuados (kc) y
escalas de tiempo (tc) se pueden encontrar para cada uno de los tres casos junto con el vector de onda adimensional asociado α y
Parámetro de humectación adimensional β. Estos se enumeran en el cuadro 3. La relación de dispersión se puede expresar en términos
de estas variables adimensionales (α y β), dando
k = kcα = t
1− Un sin2(2k)
− α2 − β
. (24)
El comportamiento de estabilidad es esencialmente el mismo que para el caso isotrópico con una transición que ocurre en β = 1/4 corre-
sponding a H̄ = Hc.
2.2.3 Expansión de los picos
k tiene 4 picos en (k, k) = (k0, γ[n− 1]/2) con k0 = kcα0 (Eq. (17)) y n = 1... 4. En forma de vector, hay cuatro
picos en
kn = k0 (cos(l(n− 1)/2)i + sin(l(n− 1)/2)j).
Similar al caso isotrópico,
n = 0 −
(k − k0)2 −
0(k − nη/2)
donde Eq. (18), = 2 dado por Eq. (19), y
= 8 Aα0t
En términos de los componentes vectoriales paralelos y perpendiculares a kn, k». y k, respectivamente.
n = 0 −
(k − k0)2 −
= cos[η(n − 1)/2]kx + sin[η(n − 1)/2]ky, y k = − sin[η(n − 1)/2]kx + cos[η(n − 1)/2]ky. La hora
evolución de hkin la vecindad de uno de los kn es
hk(t) hk(0)et(0−
2, 2(kk0)
2 - 12k
3 Funciones de correlación
Las funciones de correlación y las constantes asociadas tales como longitudes de correlación pueden ser muy útiles para caracterizar el orden.
En particular, la función de autocorrelación (Eq. (25)) y su transformación de Fourier (Eq. (26)) también conocido como el espectro
función puede dar una muy buena caracterización del orden de puntos (Figs. 6a y c y 5b, e y h). La autocorrelación
función es denotada CA(x) donde x es el vector de diferencia entre dos puntos en el plano x. El espectro
función es una función de k, y se denota CAk. El objetivo aquí es ser capaz de predecir estas dos funciones y
h(nm)
h(nm)
h(nm)
describirlos cuantitativamente de una manera que se puede utilizar para caracterizar el orden SAQD con sólo unos pocos números. El au-
la función de correlación es el resultado de un promedio espacial durante un experimento o una simulación (experimento numérico).
Es regular y repetible porque está estrechamente ligado a la función de correlación y función del espectro que resulta de
un promedio de conjunto (Eqs. X y X). Estos se denotan como C(x) y el espectro Ck, respectivamente. Tenga en cuenta que la
conjunto promedio funciones no tienen un superíndice “A.” Estas funciones de correlación promedio conjunto son útiles
en el análisis de ecuaciones diferenciales estocásticas ordinarias y parciales. [55, 56]. Desde un punto de vista estrictamente técnico,
la media espacial y la media del conjunto no son exactamente las mismas; sin embargo, están lo suficientemente estrechamente conectadas
que es razonable utilizar uno como sustituto del otro (Sec. 3.1 y apéndice 3).
En lo siguiente, se discute el análisis del orden SAQD vía autocorrelación y funciones de correlación (Sec. 3.1).
Luego, se discuten las condiciones iniciales estocásticas (Sec. 3.2). Entonces, la predicción del Fourier se transforma de la
funciones de correlación se discute (Sec. 3.3). Se presentan las funciones de correlación del espacio real (Sec. 3.4). Por último,
hay algunas notas sobre la generalización del método de análisis a cualquier relación de dispersión que tiene picos (Sec. 3.5),
por ejemplo, picos relacionados con la simetría cuatro veces rota o crecimiento en un sustrato mal cortado.
3.1 Funciones de correlación y orden SAQD
Las funciones de autocorrelación son adecuadas para investigar el orden SAQD. La función de autocorrelación se define como
CA(x) =
d2x′ h(Łx + x′)h(x′)∗. (25)
Su transformación de Fourier a veces llamado el espectro [56], función del espectro o espectro de potencia es
CAk =
(2η)d
d2x e−ikxC(x) =
(2η)d
, (26)
donde A es el área proyectada de la película en el plano x − y. Una matriz periódica de SAQDs conduce a una auto-
función de correlación. Una matriz casi periódica conduce a una función de autocorrelación periódica limitada de rango. El conjunto...
media de estas funciones de autocorrelación se puede calcular, y es un buen predictor de un orden SAQD.
3.1.1 Matriz periódica
Considerar una fluctuación de altura perfectamente periódica correspondiente a una celosía perfecta de SAQDs,
h(x) =
exp [ikn · (x− xO)] (27)
más armónico de orden superior, donde los puntos tienen una altura proporcional a h0, N es el grado de simetría, probablemente,
4 o 6 veces, xO es un desplazamiento de origen aleatorio.
kn = k0
2π(n− 1)
i + pecado
2π(n− 1)
En un análisis lineal, los armónicos de orden superior no entran en juego, por lo que se descuidan aquí. En el espacio recíproco,
e-ikn·xOd(k− kn)
más un orden más alto armónico. La función de autocorrelación se encuentra conectando Eq. (27) hacia Eq. (25) y simplificar,
CA(x) =
)2 N.O.
exp [ikn x] (28)
más un orden más alto armónico. En la búsqueda de Eq. (28), la relación
d2x′ ei(km−kn)·x
= Akmkn = (2η)
dd(km − kn) (29)
ha sido utilizado. Es el delta de Kronecker y el delta de Dirac. Eq. (29) será útil cuando sea
necesario para tomar una media de area o suma sobre las funciones de Dirac Delta. En el espacio recíproco,
CAk =
(2η)2
m,n=1
(k− km)(k− kn)
(k− ki) (30)
más armónicos de orden superior, en los que se indica que el valor (A/(2η)d)el valor (k − kn) = (A/(2η)d)el valor (kkn).4. Así, el orden de la celosía SAQD se manifiesta
como funciones periódicas en el espacio real (Eq. (28)) y picos agudos en el espacio recíproco (Eq. (30)).
3.1.2 Array casi periódico
Un array casi periódico muestra desviación del orden perfecto. Esta desviación se muestra por la ampliación de los picos
de la función de espectro, CAk, y por rango de periodicidad limitada de la función de autocorrelación del espacio real, C
A(x).
Estas dos medidas de trastorno están relacionadas naturalmente.
El trastorno en el tamaño del punto lateral tamaño y espaciamiento, el espaciamiento están relacionados entre sí y con la ampliación de la
picos en CAk (Fig. 6.a y c). Antes de la maduración, el tamaño y el orden espacial deben estar relacionados, como el volumen de un punto
debe ser proporcional a la cantidad de material cercano. Si los SAQD tienen un tamaño y espaciado casi uniformes (pico-
distancia de pico) L0, la función de autocorrelación del espacio recíproco se agrupará estrechamente alrededor del número de onda
caracterizar el espaciado de puntos k0 = 2η/L0. Hay un número de tales picos dependiendo de la simetría del sistema
(Fig. 6.a y c), pero considere sólo uno. Dado que el orden no es perfecto, el pico tendrá un ancho finito. En consecuencia,
habrá una dispersión en el tamaño del punto. Dado que L0 = 2η/k0, la dispersión en el espaciado de puntos está relacionada con la dispersión en
Componentes de Fourier (k). Tomando la derivada de la relación espaciado-número de onda y reordenando,
Espaciamiento
Es razonable esperar que el trastorno fraccional en tamaño (el tamaño / el tamaño) es dado por un similar (si no exactamente el mismo)
número.
Otra manera de ver el orden espacial (periodicidad) no es por distancias punto-punto, sino por la distancia sobre la cual la matriz punto
puede ser considerado periódico. Esta periodicidad limitada es evidente en la función de autocorrelación de la altura de la película (Eq. (25) y
Higos. 5.b, e y h). Considere dos puntos distantes. Su posición será completamente descortés, por lo que será completamente
al azar en cuanto a si una posición corresponde a un pico o un valle. Por lo tanto, para una gran diferencia en la posición de la
función de autocorrelación tiende a cero.
CA(xlarge) = 0
Del mismo modo, la fluctuación media cuadrada de la altura de la película puede ser grande de modo que
CA(x = 0) 0.
La distancia sobre la cual la función de autocorrelación, CA(x) decae a 0 es la longitud de correlación, Lcor. Por lo tanto, Lcor
es una medida razonable de orden espacial.
Las dos medidas de orden, el espaciado y el Lcor, están intrínsecamente vinculadas. La conocida regla de Fourier se transforma
establece que el producto del espacio real y los anchos de espacio recíprocos deben ser mayores o iguales a la unidad. Por lo tanto,
• kLcor ≥ 1, o • espaciamiento ≥ 2ηL20/Lcor. Del mismo modo, uno puede esperar que â € œsize â € L2size/Lcor. Por lo tanto, suponiendo que el tamaño de punto
se rige por la cantidad de material cercano, pequeñas dispersiones en tamaño de punto sólo son posibles si hay una correlación larga
longitud.
3.1.3 Conjunto de funciones de correlación / ergodicidad
Los SAQD se siembran por fluctuaciones aleatorias. En consecuencia, cada experimento o simulación debe tratarse como
una posible realización, y la función de autocorrelación será diferente para cada realización. Por lo tanto, para el análisis
4Eq. (29) se ha utilizado para ayudar con la suma
predicciones, uno debe confiar en promedios de conjunto. En [24], se asumió que la correlación media del conjunto
función era una buena descripción de un orden SAQD, una suposición que nació a partir de cálculos numéricos. Ahora,
esta relación se pone en un terreno más sólido. En particular, se encuentra que las funciones de correlación del conjunto proporcionan
buenas estimaciones de la función de correlación automática y función de espectro producida por cualquier realización en particular. En primer lugar,
se demuestra que el valor medio de la fluctuación de la altura de la película es cero. A continuación, el método para calcular el conjunto-
función de autocorrelación promedio y función de espectro se presenta. Se presentan detalles matemáticos adicionales
en el apéndice 3.
3.1.3.1 Fluctuación media Es bastante sencillo demostrar que el conjunto media fluctuación película-altura es
cero. La dinámica de gobierno (Eq. (12) es invariante sobre la sustitución h(x, t) → −h(x, t). Así pues, suponiendo que
uno no sesga las condiciones iniciales las fluctuaciones medias deben ser cero para siempre,
(x, t) = h(x, t) = 0, y hk(t) = 0.
Esta es una situación común, y es más apropiado caracterizar las fluctuaciones de la altura de la película usando los dos puntos
función de correlación (o simplemente “la función de correlación”). [55]
3.1.3.2 Función de Correlación La función de autocorrelación se puede estimar por su promedio de conjunto. Además...
más, este promedio de conjunto es equivalente a la función de correlación que se puede calcular fácilmente analíticamente. Estos
las relaciones primero se discuten para las funciones de correlación del espacio real y luego sus transformadas de Fourier. En primer lugar, la estatis-
se discuten las propiedades ticales de la función de autocorrelación. A continuación, las propiedades estadísticas de la función de espectro.
Por último, el método de los principales resultados se informa aquí, y los detalles de las derivaciones se informan en el apéndice E.
Primero se observa que la función de autocorrelación promediada sobre todas las realizaciones es igual a la correlación del conjunto
función. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
CA(x)
= C(lx), donde C(lx) = h(lx)h(lx)h(lx), (lx), (lx)
donde.. ........................................................................ Eq. (31) asume que el modelo de crecimiento cinematográfico es traslacionalmente invariante.5
Esta relación es afortunada, ya que permite predecir la función de autocorrelación “típica” utilizando herramientas analíticas
que sólo se aplican a los promedios de conjuntos.
En segundo lugar, se observa que como el área que se utiliza para calcular la función de autocorrelación se vuelve grande, el autocor-
función de relación tiende hacia él valor medio,
CA(lx) C(lx) +O[A-1/2], (32)
donde O[A−1/2] indica fluctuaciones estadísticas sobre el valor medio que se hace cada vez más pequeño como el área en
un experimento o el área de simulación en un experimento numérico se hace más grande. Estas fluctuaciones o ruido se extinguen como
A1/2. Por ejemplo, la autocorrelación funciona en Figs. 5.e y h están muy cerca del conjunto promedio autocorre-
funciones de la ración Figs. 5.f y h, pero tienen fluctuaciones aleatorias que son más visibles lejos del origen. Esta propiedad,
que el promedio sobre un parámetro como la posición es equivalente al promedio sobre todas las realizaciones, se conoce como ergodicidad.
Las realizaciones individuales están estrechamente distribuidas acerca de un comportamiento “típico”. Esta distribución estricta da credibilidad a la
noción de que uno puede tener experimentos o simulaciones representativas. Desafortunadamente, la “demostración” de Eq. (32) in
El Apéndice E no es tan general como uno podría desear. Rigurosamente, se aplica cuando los componentes de Fourier de la altura de la película (hk)
son independientes y normalmente se distribuyen; sin embargo, es razonable conjeturar que una relación como Eq. (32) Holds
cuando la distribución estadística de las alturas de película está adecuadamente limitada como la delimitación de CAk juega un importante
papel en las derivaciones.
En el espacio recíproco, se encuentra que la función de conjunto-espectro medio es
= Ck, (33)
donde Ck se define como el prefactor que aparece en la función de correlación de dos puntos del espacio recíproco.
Ckk = # # # # k # # # # Ckk # # # # # # Ckk # # # # # # Ckk # # # # # Ckk # # # # # Ckk # # # # # # # Ckk # # # # # # # # # # # Ckk # # # # # Ckk # # # # # # # # # # Ckkk # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Ckkk # # # # # # # # # Ckkk # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
d(k− k′) = Ck
(2η)d
Łkk′, (34)
5Una encuesta rápida de la literatura encontrará que, virtualmente todos los modelos de continuum publicados de formación SAQD son traslacionalmente invariantes.
donde Eq. (29) se ha utilizado. Esta forma para la función de correlación de dos puntos en el espacio recíproco ocurre si y solamente
si el sistema es traslacionalmente invariante. Eq. (33) es valioso porque se puede resolver para Ck analíticamente en el lineal
caso o utilizando varias aproximaciones analíticas en el caso no lineal. A diferencia de la función de autocorrelación, el espectro
función fluctúa en gran medida sobre su media. De hecho, las fluctuaciones son alrededor del 100% (Apéndice E.2). Estos grandes
las fluctuaciones resultan en el patrón de motas comúnmente observado para la función del espectro CAk (Figs. 6.a y c). Contraste
este patrón con función de espectro ensamble-media Ck mostrada en Figs. 6.b y d. Estas manchas pueden ser removidas por una
operación de suavizado, y una relación similar a Eq. 32) resultados (apéndice E.2.2). Por último, cabe señalar que
como CAk es la transformación de Fourier de C
A(x), Ck es la transformación de Fourier de C(x) (Apéndice E.1).
3.2 Condiciones iniciales estocásticas
Para modelar o simular la formación de SAQDs, es absolutamente esencial incluir algún tipo de efecto estocástico. Un
inicialmente la película plana h(x, 0) = 0 está en equilibrio inestable. Por lo tanto, para sembrar la formación de puntos cuánticos, es necesario
para perturbar la superficie plana. El método más simple para hacer esto es utilizar condiciones iniciales estocásticas con determinista
evolución. Uno puede suponer tenuemente que el ruido blanco condiciones iniciales no “ses” la evolución final de la
Película. [57] Así, las condiciones iniciales se toman de un conjunto con media cero,
(x, 0) = 0. (35)
y una función de correlación espacial,
C(x,x′, 0) = h(x, 0)h(x′, 0) = 2d (x− x′), (36)
en los que los corchetes................................................................................................................................................ • indicar un promedio de conjunto, • es la amplitud del ruido, y • d(x) es el d−dimensional
Función Dirac Delta. Las condiciones de ruido blanco tienen una amplitud infinita que no es física. Por lo tanto, un mínimo
la modificación se puede hacer para “cortar” las fluctuaciones infinitas.
C(x,x′, 0) =
(2ηb20)
(x− x′)2
En el límite b0 → 0, esta función de correlación vuelve a las funciones de correlación de ruido blanco.
En el espacio recíproco,
Ckk′(0) = hk(0)h*k′(0)
= (2η)−2d
ddx′ e(−ik·x+ik
x′)C(x,x′, 0)
(2η)d
d(k− k′)
Dejando b0 → 0, se obtiene la función de correlación de espacio recíproco ruido blanco. Por lo tanto, la función de espectro inicial
Ck(0) =
(2η)d
La escala atómica tiene una influencia pequeña y de corta duración en la morfología final de la película (Apéndice F), pero el corte
procedimiento es útil para la elección de un valor razonable de 2. Parece razonable elegir â € 2 para que el r.m.s inicial.
fluctuación
C(0, 0) = h(0, 0)h(0, 0)1/2 es una monocapa (1 ML). También, elegir b0 = 1 ML como la escala atómica
corte es
*2 = (2η)d/2(1 ML)2+d, (38)
donde la unidad natural 1 ML depende, por supuesto, del material.
Utilizando condiciones iniciales estocásticas, se pueden integrar condiciones iniciales individuales para obtener muestras representativas
y luego promedio sobre muchas realizaciones, el enfoque de Monte Carlo, o uno puede calcular analíticamente, la estadística
medidas del conjunto. Las medidas estadísticas en conjunto están estrechamente relacionadas con las medidas estadísticas de orden
para una realización individual, por lo que el segundo enfoque se opta por aquí. Por lo tanto, el orden predicho SAQD es en última instancia
en términos de funciones de correlación del conjunto.
3.3 Funciones de correlación recíproca del espacio
La función de correlación de espacio recíproco, Ckk′, y la función de espectro, Ck, se calculan para el isótropo 1D y 2D
y luego para el caso 2D anisótropo. Generalmente Ck incluye las escalas de longitud introducidas en Sec. 2.1.3, así como
el corte a escala atómica b0.
Ckk′ = hk(t)h*k′(t) = e
(Okk′ )t hk(0)hk′(0)
(2η)2
e(Ôkk′ )t−
(k− k′). (39)
Sin mucho error, b0 puede ser descuidado en el exponencial (Apéndice F). Usando Eq. (34), la función del espectro es
a continuación, identificado como
(2η)d
e2đkt. (40)
Ck se calcula ahora para cada modelo: 1D isotrópico, 2D isotrópico y 2D anisotrópico.
3.3.1 Unidimensional
La superficie unidimensional es la más simple, por lo que se trata primero. La función del espectro es simplemente
e20t−
2 (2?2t)(k−k0)
Ck tiene un pico en k = ±k0i. Uno puede leer fácilmente la longitud de la correlación como
Lcor =
2Δ2t = k
2(3α0 − 4β)(t/tc). 41)
para que
e20t−
cor(k−k0)
Esta aproximación es válida cuando k0Lcor 1. En términos de kx,
e20t
cor(kx−k0)
cor(kx+k0)
3.3.2 2D isotrópico
El caso isotrópico 2D es muy similar;
(2η)2
e20t−
cor(k−k0)
, (42)
donde Lcor es el mismo que en Eq. 41). Tiene un máximo que forma un anillo en el plano k como se representa en la Fig. 6.b.
3.3.3 anisotrópico
La función del espectro anisotrópico es
(2η)2
e20t
(kk0)
2 - 12L
, (43)
donde
2t = k
(6α0 − 8β)(t/tc), (44)
2t = k
16 α0(t/tc), (45)
= cos[l(n− 1)/2]kx + sin[l(n− 1)/2]ky, y k = − sin[l(n− 1)/2]kx + cos[l(n− 1)/2]ky y se grafica
en Fig. 6.d. Esta aproximación es válida cuando k0LÃ3 1 y k0LÃ 1.
Figura 6: CAk y Ck para Ge/Si como se explica en Sec. 4. a, b) Superficie isotrópica 2D. Eq. (42) se utiliza para Ck. c, d) 2D
superficie anisotrópica. Eq. (43) se utiliza para Ck.
Figura 7: Superficie isotrópica 1D en el espacio real para Ge/Si como se discute en Sec. 4. a) Ejemplo de h(x) trazado sobre una longitud
de 8Lcor. (b) funciones de correlación de espacio real correspondientes trazadas para rango ±4Lcor. La trama llenada es un ejemplo de
CA(x). Línea sólida esC(x) (Eq. (46).
Hablando vagamente, se puede argumentar que el caso isotrópico es similar a dejar A → 0 en Eq. (45) para que la
longitud de correlación perpendicular es siempre 0 independientemente del tiempo. Un enfoque más conservador sería argumentar que
Para el modelo isótropo, se debe realizar una inspección de las figs. 6 a) y b). Aun así, el resultado más conservador
garantiza que la longitud de correlación perpendicular será siempre la misma que el espaciado de puntos; por lo tanto, siempre será
limitar el orden SAQD al primer vecino más cercano en el mejor de los casos.
3.4 Funciones de correlación real del espacio
Las funciones de correlación del espacio realC(x) ahora se calculan para los casos isotrópicos 1D y 2D y el elástico 2D
Caso anisótropo.
3.4.1 Unidimensional
En una dimensión,
C(x) =
dkx e
ikxÃ3xCk
e20t−
2/L2cor2 cos (k0x). (46)
Por lo tanto, C(x) tiene una periodicidad amortiguada que indica que es imperfectamente periódica (Fig. 7).
3.4.2 Isotrópico en 2D
En dos dimensiones con isotropía elástica,
C(x) =
d2k eikxCk
(2η)2
e20t
dk kei(kÃ3x cos(kx)e−
cor(k−k0)
Realizar la integración angular primero,
C(x) =
e20t
dk kJ0(káx)e
− 12L
cor(k−k0)
donde J0 es la función cero Bessel. En general, esta integral se realiza mejor numéricamente; sin embargo, puede ser
resueltos en dos casos importantes: 0 y Lcor (correspondientes a largos tiempos). En el primer caso,
C(x) =
e20t
dk ke−
cor(k−k0)
Bajo las mismas condiciones que Eq. (42) es válido (k0Lcor 1), el límite inferior de la integral se puede aproximar como
Para que
C(x = 0) =
#2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k
2γLcor
e2o0t. (47)
Esta función da la media de fluctuación de altura de la superficie cuadrada. En el segundo caso, donde Lcor, e-
cor(k−k0)
1/2L−1cor (k − k0), de modo que
C(x) =
#2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k0 #2k
2γLcor
e10tJ0 (k0°x). (48)
Esta función de correlación es el caso más ordenado para una superficie isotrópica 2D. Se representa en la Fig. 5c.
3.4.3 anisotrópico
Para encontrar la función de correlación del espacio real para el caso elástico anisotrópico, lo mejor es encontrar la contribución de
cada pico y luego suma para que
C(x) =
(2η)2
e20t
Cn(x) (49)
donde
Cn(x) =
d2k eik·xe−
(kk0)
2 - 12L
La x se puede descomponer en las direcciones paralelas y perpendiculares a kn, de modo que la x = cos(
sin(π(n− 1)/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2. Por lo tanto,
Cn(x) =
dkÃ3 e
ikx 12L
(kk0)
* * * * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * dk e * e * dk e * dk e * e * dk e * dk e * e * dk e * dk e * dk e * e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ikx 12L
2 (x2/L2x2/L2)eik0x®.
Conectando a Eq. (49),
C(x) =
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
e20t
2 (x2/L2y2/L2) cos(k0x) + e
− 12 (x2/L2y2/L2®) cos(k0y)
. (50)
3.5 Generalización
La dinámica y el análisis aquí utilizados fueron para un modelo específico, pero el procedimiento general para analizar el orden
resultado de un modelo linealizado debe contener para cualquier modelo con picos bien separados en la relación de dispersión, k.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Generar la relación de dispersión, k como alguna función de k.
2. Encontrar los picos en la relación de dispersión, kn, (n = 1... N )
3. Expandir sobre los picos para generar los valores de pico, n, y la matriz local de Hessian,(
*Kikj* *Kikj* *Kikj* *Kikkj* *Kikkj* *Kikkj* *Kikkkj* *Kikkkj* *Kikkkj* *Kikkkj* *Kikkkkj* *Kikkkj* *Kikkkj* *Kkkkkj* *Kkkkkj* *Kkkkkkj* *Kkkkkkj*
La función del espectro es entonces aproximadamente
Ck(t)
(2η)2
Exportación de la sustancia problema
t (k- kn) · Hûn · (k- kn)
. (51)
4. Encuentre los valores propios de la matriz local hessiana, (Hn)I y (Hn)II. Deben ser negativos, si hay un
pico en kn
5. Utilice los valores propios para determinar las longitudes de correlación, (Ln)I =
2 (Hn)I t y (Ln)II =
2 (Hn)II t.
La función de correlación del espacio real es
C(x, t)
(Hn)I (Hn)II
Exportación de la sustancia problema
x · H1n · x
eikn·x. (52)
La “bondad” de estas formas aproximadas requiere que (Ln)
I y (Ln)
II ser mucho menos que el espaciado
entre los picos en la función de correlación para que los gaussianos no se superpongan mucho. Una prueba razonable para
Esta condición de no solapamiento es «kná» (Ln) 1 y «kná» (Ln) II 1, suponiendo que los picos no sean grandes en
número o muy espaciado.
4 Predicciones de orden
Las fórmulas de la función de correlación del espacio real (Eqs. (46), (47) y (50)) y fórmulas de longitud de correlación (Eqs. 41), 44)
y (45) pueden utilizarse ahora para estimar el orden de los SAQD. Ge on Si es elegido para este ejemplo porque este sistema tiene
recibió la mayor atención del trabajo teórico [58, 38, 31, 18, 39, 41, 27, 25, 26 y otros], y es el más simple
ya que implica la difusión de una sola especie. El procedimiento descrito a continuación trata de predecir la cantidad de orden
cuando una fluctuación inicial a escala atómica se convierte en “grande”. Se considera que “grande” es mayor que la escala atómica. Más allá
Este punto, uno esperaría que los términos no lineales llegaran a ser importantes. Se presenta un ejemplo para Ge on Si a 600K to
comparar y contrastar los resultados anisotrópicos 2D con los resultados isotrópicos 1D y isotrópicos 2D. Las predicciones son
también comparado con un cálculo numérico lineal en una cuadrícula de espacio recíproco discreto para probar las aproximaciones realizadas
y para ilustrar la relación entre el perfil de superficie (h(x)), las funciones de autocorrelación del ejemplo (CA(x) y
CAk ) y las funciones de correlación del conjunto (C(x) y Ck). Higos. 6, 7 y 5 muestran estos resultados. Por último, la relación
entre la altura media de la película y el orden se investiga.
4.1 Ge a 600K
Las formulaciones para los tres casos examinados se aplican para Ge/Si a 600K. Las longitudes de correlación son esti-
se apareó para el final del régimen lineal donde las fluctuaciones se hacen grandes (más grandes que la escala atómica). En primer lugar, apropiado
constantes físicas se utilizan para dar la longitud de correlación correspondiente y funciones de correlación vs. tiempo. Estos en...
incluir una altura inicial media de la película H̄ y una amplitud del ruido blanco فارسى (Eq. (38). Estas condiciones iniciales se aproximan
una película al comienzo de una annea que inmediatamente sigue a una deposición rápida. El tamaño del tiempo se encuentra resolviendo para
el momento en que las fluctuaciones medias cuadradas son a escala atómica,
h(x, t)2
= C(x = 0) = 1 ML2. En este punto, el
Se calculan las longitudes de correlación.
Las constantes físicas para el cálculo anisotrópico 2D se toman de la siguiente manera. Las constantes elásticas para Ge a 600 K
son c11 = 1,199 × 1012, c12 = 4,01 × 1011 (de cS = 3,991), c44 = 6,73. [51] Usando aGe = 0,5658nm y
aSi = 0,5431nm, se encuentra que m = 0,0418. Utilizando el procedimiento de (apéndice C), M = 1,332× 1012dyn/cm2.
E0 = 4,96 × 109erg/cm3, y E45 = 4,35 × 109erg/cm3, dando A = 0,1236. El volumen atómico es =
2,27 × 10−23 cm3. La densidad de energía de superficie estimada es γ = 1927 erg/cm2. Se estima el potencial de humectación
mediante la selección de una altura crítica plausible de la superficie, Hc 4 ML = 1,132 nm y el ajuste W (H) = E20+H3c/(8γH) =
2.315 × 10−6/H erg/cm2. El número de onda característico resultante es kc = 0,257 nm−1. La altura inicial de la película es
se considera H̄ = Hc + 0,25 ML = 1,203 nm y luego se permite evolucionar de forma natural. Así, β = 0,208, α0 = 0,5658,
k0 = 0,1456 nm−1, 0 = 0,1192/tc, = 0,864/(k2c tc), = 0,559/(k
c tc), L+ = 0,744k
0 (t/tc)
1/2, y
L = 0,599k
0 (t/tc)
1/2. La difusividad no especificada ha sido absorbida en el tiempo característico tc. De Eq. 38),
+2 = 0,0403 nm4, y Eq. (50) da
C(0) =
1.223× 10−3tc/t
e0.02385t/tc nm2.
La superficie inicial infinitamente áspera sufre un alisado descrito por el factor tc/t. Entonces la superficie se acrecienta debido
a lo exponencial. La rugosidad divergente inicial es un artefacto del ruido blanco no físico con la escala atómica
corte b0 descuidado (Apéndice F). El tiempo para que las fluctuaciones vuelvan a ser “grandes” se encuentra al establecer
C(0) = h2large (53)
donde hlarge = 1 ML = 0,283 nm. Las soluciones son t1 = 0,01527tc o t2 = 430tc. La primera solución se descarta
ya que se debe al ruido blanco no físico. En tlarge = t2, L = 105,8 nm, y L = 85,2 nm. Tomando L como
más limitante, la correlación se extiende alrededor de n = k0L/π = 3.95 islas a través. El espacio recíproco correspondiente
(Eq. (43)) y función de correlación en el espacio real (Eq. (50)) se muestran en las Figs. 6.d y 5.f respectivamente.
Se realiza un experimento numérico correspondiente. Se utiliza una superficie periódica de tamaño l = 96(2η/k0). Aleatorio
condiciones iniciales compatibles con Eq. (38) se utilizan para k-puntos de espacio en una cuadrícula cuadrada limitada por kx, ky = ±2k0.
Se utiliza la relación entre componentes de Fourier discretos y continuos, (hk)discreto = [(2η)d/A]hk. Eqs. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
y (14) se utilizan sin ninguna aproximación adicional para encontrar hk en el momento t = tlarge. El CAk resultante, una porción de
el perfil de altura h(x) y CA(x) están trazados en Figs. 6 c), 5 d) y 5 f), respectivamente.
Se pueden realizar cálculos similares para los casos unidimensionales y bidimensionales elásticos isotrópicos.
Los valores isotrópicos utilizados anteriormente [58, 24] son aproximadamente E = 1,361 × 1012 dyn/cm2 y ~ = 0,198 dando M = E/(1 −
v) = 1,697 × 1012 dyn/cm2 y E = 2M(1 + ν) = 7,10 × 109 erg/cm3. Usando la misma altura crítica de la superficie,
Hc = 4 ML, W (H) = 4,74×10−6/H erg/cm2. El número de onda característico resultante es kc = 0,368 nm−1. Si la
la película se cultiva a H̄ = Hc+0,25 ML = 1,203 nm y luego se permite evolucionar naturalmente, β = 0,208; por lo tanto, α0 = 0,5658,
k0 = 0,208 nm−1, 0 = 0,1192/tc, 2 = 0,864/(k2c tc), y Lcor = 0,744k
0 (t/tc)
1/2. En una dimensión, Eq. (46)
se utiliza para encontrar la fluctuación media de la altura cuadrada. Usando Eq. (38) con d = 1, +2 = 0,0568 nm3, y
C(0, t) = 0,01271(t/tc)
−1/2e0.0238t/tc.
Ajuste C(0, t) = (1 ML)2 = 0,0801 nm2, t1 = 0,0252tc, y t2 = 186,9tc. En t2, Lcor = 48,8 nm, y n =
k0Lcor/π = 3.24, por lo que alrededor de 3 puntos en una fila debe estar bien correlacionado. El cálculo numérico correspondiente de
tamaño l = 96(2η/k0) se realiza. En la Fig. se muestra una porción de h(x), CA(ox) y C(ox). 7. En dos dimensiones,
Eq. (47) se utiliza para encontrar
h(x, t)2
C(0, t) = 9,40× 10−4(t/tc)−1/2e0,0238t/tc.
Ajuste C(0, t) = 0,0801 nm2, t1 = 1,376 × 10−4tc, y t2 = 306tc. En t2, Lcor = 62,4 nm, y n = k0Lcor/
4.14, y se espera que la correlación se extienda alrededor de 4 puntos. Sin embargo, cabe señalar que esta correlación no es
Como una celosía. Los resultados numéricos correspondientes y las funciones de correlación del conjunto se muestran en Figs. 6 y 5.a-c.
4.2 Caso general de β
En [24] se sugirió que permitir que la película evolucionara con β cerca del umbral de estabilidad podría mejorar el SAQD
correlación. Es interesante notar lo que sucede con los diferentes valores de β. Cálculos analíticos y numéricos similares
se realizan para el gran límite de altura de película, β = 0, para la superficie anisotrópica Ge/Si 2D. Para β = 0, tlarge = 40,3 tc,
L = 30.0 nm, y n = k0L/π = 1.84, por lo que se espera que de uno a dos puntos en una fila estén bien correlacionados. h(x)
y las funciones de correlación del espacio real se muestran en Figs. 5g-i. El rango de orden es significativamente menor que en el caso
β = 0,208 (Sec. 4.1). Para Si/Ge a 600K, las predicciones anisotrópicas 2D para el tamaño grande y L se muestran en la Fig. 8. In
general, cuanto más cerca β es al valor crítico 0.25, más larga es la longitud de la correlación. Uno puede manipular la ecuación (53)
para determinar que el tamaño del tubo varía aproximadamente pero no exactamente como (β − 1/4)−1 × ln[h2large
A/(2k2c )]. En consecuencia,
(β − 1/4)−1/2. Por otra parte, la aparición de gran tamaño y 2 dentro del logaritmo muestra que el orden final
las estimaciones no son demasiado sensibles a las conjeturas de 2 y h2large. La divergencia de L con β − 1/4 es inicialmente
es alentador, pero está claro que para los parámetros utilizados para Ge/Si, el control subatómico de la altura de la película es necesario para
producir correlaciones de largo alcance significativamente mejoradas. También a medida que uno se acerca a este umbral, es probable que uno pueda esperar
activación térmica para nuclear los SAQD subcríticos cuyo efecto sobre los SAQD supercríticos es incierto. Ahí está.
debería ser algunos fenómenos interesantes en la H → Hc.
l arge c
l a r g e
k 0L
0
l a r g e
Figura 8: Tlarge y L vs. β para Si/Ge usando el modelo anisótropo 2D como se describe en Sec. 4. Las unidades se normalizan a
tiempo característico tc y número predicho de puntos correlacionados (n = k0L/l).
5 Discusión/Conclusiones
El orden de los puntos cuánticos autoensamblados epitaxiales durante las etapas iniciales de crecimiento se ha estudiado utilizando un
modelo de difusión superficial con condiciones iniciales estocásticas. Se ha demostrado que las funciones de correlación de
Las fluctuaciones de altura de superficie pueden predecirse analíticamente utilizando las correspondientes funciones de correlación media del conjunto.
Estas funciones de correlación se caracterizan por longitudes de correlación que pueden predecirse mediante fórmulas analíticas dadas
ciertos supuestos razonables sobre el potencial de difusión y la altura y la escala lateral de la escala atómica inicial
fluctuaciones aleatorias. Así, el modelo lineal de la evolución de la altura de la superficie de película a través de la difusión de la superficie ha permitido el análisis
predicciones de orden SAQD epitaxial que son válidas para pequeñas fluctuaciones de la altura de la película. ¿Hasta qué punto el grado inicial
de orden persiste en etapas posteriores de crecimiento aún por estudiar, pero el orden de las etapas iniciales sin duda debería tener
una fuerte influencia en los resultados finales. Por otra parte, el análisis lineal debe proporcionar una visión de la menos tratable
Comportamiento no lineal. Estas predicciones del orden SAQD se han utilizado para investigar el papel de la anisotropía cristalina y
altura inicial de la película.
Se ha demostrado que la anisotropía cristalina desempeña un papel importante en la mejora del orden SAQD, como se ha observado en
simulaciones numéricas continuum y simulaciones numéricas atomísticas. [43, 37, 44, 45] Si una simetría cuádruple es
asumido para la dinámica de gobierno, el efecto de la anisotropía cristalina al orden lineal se siente a través de la anisotropía elástica
Solo. Se muestra que la anisotropía elástica es necesaria para producir una estructura similar a una celosía de SAQDs. El espacio mejorado
el orden debe conducir a su vez a un orden de tamaño mejorado, una consecuencia que debe confirmarse con estudios no lineales, pero
Parece ser cierto en base a la literatura actual disponible.
Se ha demostrado que el papel de la altura inicial de la película influye mucho en el orden. Crecimiento cerca de la altura crítica de la película para
la formación de puntos puede mejorar el orden. Esta mejora de orden viene de aumentar la duración de la lineal pequeña-
fase de fluctuación del crecimiento. De hecho, las longitudes de correlación previstas difieren cuando la altura inicial de la película se acerca
la altura crítica de la película desde arriba. El logro de grandes longitudes de correlación en esta mansión es, por supuesto, prácticamente limitado
por la capacidad de controlar las alturas de la película a la precisión subatómica. Además, uno debe tener cuidado al interpretar el
modelo continuo en tal contexto, ya que el efecto de la discreción atómica podría ser mayor a la altura de la película de transición.
Por último, es probable que los efectos aleatorios adicionales de la activación térmica corten efectivamente esta divergencia
cuando la altura crítica de la película se aproxima desde abajo durante la deposición.
Por último, el método presentado puede ser útil como primer paso en el análisis de métodos para mejorar el orden SAQD. Lo es.
Es razonable suponer que en algunas circunstancias las etapas iniciales de crecimiento serán muy importantes, mientras que para otros
No lo haré. Por ejemplo, el trabajo previo sobre el apilamiento vertical parece confirmar el mecanismo de pedido presentado. [44].
El apilamiento vertical no sólo logra la correlación vertical de puntos, pero cada capa es más ordenada horizontalmente que el
uno más abajo. Además, se encontró una “ventana de crecimiento”, por la cual para lograr un orden mejorado, la evolución de cada uno de los
la capa debe terminarse antes de que comience la maduración. La simulación notificada [44] es compatible con el siguiente escenario para SAQD:
desarrollo de orden. El orden se mejora durante la pequeña fase de fluctuación, como se describe aquí. Una vez que las fluctuaciones son
suficientemente grandes, los puntos sembrados evolucionan hacia sus formas de equilibrio. Finalmente, los puntos comienzan a madurar y ordenar
disminuye. El orden se transfiere a través de la tensión a la siguiente capa para que la siguiente capa obtenga una ventaja en su orden inicial.
Así, las múltiples capas de puntos dibujan efectivamente la etapa de crecimiento lineal. Puede ser posible modificar el presente
modelo para predecir la longitud de correlación de cada capa SAQD.
Un potencial de difusión
El potencial de difusión se calcula en términos de la altura de la película H que es una función de las coordenadas en plano x =
xi + yj. Las porciones de energía elástica y superficial del potencial de difusión se pueden encontrar en [15]
μelast(x) = (x), y μsurf = (x),
donde es el volumen atómico, (x) es la densidad de energía elástica en la superficie de la película, γ es la densidad de energía superficial,
es la curvatura total de la superficie. Sin embargo, es necesario incluir otros cálculos:
1. μwet para los dos casos potenciales de humectación, Eq. 3) y 5),
2. y μsurf y μwet cuando la densidad de energía superficial γ y la densidad de energía de humectación W también dependen de la superficie
orientación.
Antes de abordar este caso, se justifica una forma general para el potencial de difusión.
A.1 Formulario general μ = F/H(x)
El potencial de difusión, μ(x), es el cambio en la energía libre, F, cuando una partícula se añade en una posición, x. Tenga en cuenta que μ(x)
y F son energías relativas. Se pueden utilizar para comparar la energía de unión de un sitio en la superficie en comparación
con otro sitio, pero no debe interpretarse como una energía de unión absoluta o energía de formación total de la superficie.
Si una partícula tiene un volumen , entonces el potencial de difusión en x está relacionado con la variación de la energía libre con el volumen,
F = 1
ddxμ(x)V (x), (54)
donde V (x) es la variación de volumen en x. Cálculo de V (x), V =
ddxH(x).Por lo tanto, V (x) = H(x).
Sustituyendo en F (Eq. (54)), F = 1
ddxμ(x)H(x) o μ(x) = F/H(x).
A.2 Modelo simple
A partir de Eq. (2), μ(x) se encuentra tomando el derivado variacional,
μelast.(x) =
H(x)
volumen
ddxdz [H](x, z) = (x)
donde la “[H]” indica que la energía elástica,, es un funcional no local de la altura de la película H, y (x) =
•[H] (x,H(x)), la densidad de energía elástica evaluada por encima de la posición lateral x en la superficie libre (z = H(x)). Véase [15]
para los detalles de la derivación. El potencial de difusión de energía de la superficie es
μsurf.(x,t) =
H(x)
1 + (+H(x))2
= ·
1 + (+H(x))2
γ = (x).
El potencial de difusión de energía de humectación es
μwet(x) =
H(x)
ddxW (H(x))
= W ′(H(x))
Al poner estos tres términos juntos, uno obtiene Eq. 3)
A.3 Modelo general
Considere la forma general para la energía de superficie combinada y el potencial de humectación,
Fsw =
ddxFsw(H(x) + H(x))
como en Eq. (4) para que la energía libre sea una integral sobre el plano x de una densidad de energía que depende de H(x) y
H(x) localmente. El potencial de difusión correspondiente es
μ(x) =
H(x)
F (10) sw (H(x),H(x)) · F
sw (H(x),+H(x))
B Potencial de difusión lineal y anisotropía
El potencial de difusión linealizada μlin, k se encuentra encontrando μ(x) al primer orden en las fluctuaciones de altura (h), para obtener μlin(x)
y luego tomar la transformación de Fourier para obtener μlin,k. La linealización del potencial de difusión isotrópica simple corre-
Acudiendo a Eqs. (2) y (3) fue discutido en Sec. 2.1.1.1. Aquí, el potencial de difusión más general correspondiente
a Eqs (4) y (5) es linealizado y luego aplicado al modelo simple anisótropo y al modelo general anisótropo.
En el presente apéndice se examinan únicamente la superficie y las partes humectantes del potencial de difusión. Véase ref. [15], Sec. 2.2.1.1
y el apéndice C para la discusión de μelast..
B.1 Linear el modelo simple
Considerar un potencial de humectación y potencial de difusión que ambos dependen del gradiente de altura de la película H, H, γ → γ(H)
y W (H) → W (H,H). A partir de Eq. (6) y expandiéndose a segundo orden en la fluctuación de la altura de la película utilizando
H(x) = H h(x) (Eq. 7),
1 + (+H)2
−1/2
γ(H) =
....................................................................................................................
γ + h+ : hh+......................................................................................
= γ + h−
γ (h)2 + : hh+O[h3]
donde γ es γ(0), y los primos indican los derivados con respecto al gradiente de altura de la superficie.
= Hγ(H)H=0, y
′′ = HHγ(H)H=0.
Tomando la derivada con respecto a los resultados en un tensor de rango igual al orden de la derivada porque
un vector (tanque 1 tensor). Tomando el derivado variacional, μsurf.(x) = Fsurf./h(x),
μsurf., lin(x) =
2h(x)− : h(x)
El término con desaparece porque es la divergencia de una constante ( · ). Tomando la inversa transformación de Fourier,
μsurf., lin,k =
k2 + k · · k
hk. (55)
El primer término es isotrópico. El segundo término es parametrizado por un tensor simétrico de rango 2.
Pasando por el mismo proceso, uno encuentra esencialmente el mismo resultado para una energía de humectación dependiente de la orientación.
Los detalles de los pasos están tan cerca de los detalles para la linealización de la forma más general, Fsw(H,H), se aplazan a
(Apéndice B.2). Uno encuentra que
μwet,lin,k =
W (20) + k · Wû(02) · k
. (56)
donde W (mn) =
HW (H,H)H=H̄,H=0 es el m
th y nth derivados de la densidad de energía de humectación con
respeto aH y H evaluado para una película perfectamente plana de altura H̄. W (mn) es un tensor de rango n.
B.1.1 Caso isotrópico
En el caso isotrópico, →, donde es el operador de identidad, y es un escalar. Del mismo modo, Wū(02) →W (02). Uno
así consigue para la superficie combinada y las partes humectantes del potencial de difusión,
μsw,lin,k =
+ +W (02)
k2 + W (20)
Así, en el caso isotrópico, el efecto de orden lineal de introducir una orientación superficial a la energía superficial o
el potencial de humectación es simplemente cambiar la densidad aparente de energía superficial por γ → γ − −W (02).
B.1.2 Caso anisotrópico
La superficie y las partes humectantes del potencial de difusión (Eqs. (55) y (56)) sólo pueden admitir una anisotropía limitada.
Ambos contienen tensores simétricos de rango 2, y Wū(02) en el plano x. Para una superficie bidimensional, esto
significa que pueden tener anisotropía de doble simetría (rotación por 180o) o ninguna en absoluto. Por lo tanto, para el caso
considerado en Sec. 2.2.1.2, anisotropía simétrica cuádruple, la superficie y las partes humectantes del potencial de difusión
debe ser completamente isotrópico. Como se indica en la sección II. 2.2.1.2, la superficie (100) de las estructuras de sangrado de zinc, como la
menciona Ge, Si, InAs y GaAs presentan una situación bastante complicada. Para la simplicidad, se asume aquí que el
las energías de superficie y humectación son al menos cuatro veces simétricas. En consecuencia, son completamente isotrópicos.
Por último, cabe señalar que si Fsw depende de derivados de orden superior, entonces la discusión es en gran medida compli-
y una clase más grande de términos anisotrópicos es admisible. Por ejemplo, whenFsw → Fsw(H,H,H,H,. .. )
se expande sobre H(x) = H̄ a orden cuadrático en h, que contiene tensores de rango 6 y tal vez incluso más alto.
B.2 Linear el modelo general
La parte elástica del potencial de difusión lineal fue discutida en Sec. 2.2.1.1 y apéndice C. Eq. (56) puede ser
encontrado mediante el uso de todos los siguientes pasos con la sustitución Fsw →W. La parte superficial humectante de la difusión po-
tential μ(x) se encuentra expandiendo Fsw a segundo orden en la fluctuación de altura de película, h, y luego tomando la variación
derivado. Expandiendo Fsw alrededor de h = 0 y h = 0,
Fsw(H h,h) = F (00)sw + F
sw h+ F
sw h+ hF
sw h...
· ·
F (20)sw h
F(02)sw : hhh+O[h
Tenga en cuenta que en esta expansión, todos los términos F (mn)sw son constantes con respecto a h y dependen implícitamente de la media
Altura de la película, H̄. El primer índice indica la derivada mth con respecto a h. El segundo índice indica la nth
derivado con respecto a h. Los derivados se evalúan para una superficie perfectamente plana de altura H̄. Por lo tanto,
F (mn)sw =
• HFsw (H,H)H=H̄,H=0.
Puesto que h es un vector en el plano x, F (mn)sw es un tensor de rango n. Tomando la derivada variacional de Fsw =
ddxFsw(H) y mantener los términos en orden h1,
h(x)
= F (10)sw · F
sw + F
sw h ·
Fû(02)sw h
Tenga en cuenta que el término F (00)sw desaparece porque es constante, y el F
sw término desaparece tras la simplificación. Además,
el F (10)sw puede ser descuidado si se impone la condición de que las fluctuaciones de altura de la película no suman o restan material
de la superficie, a saber:
ddx Łh(x, t) = 0. Alternativamente, se puede descartar en previsión de tomar el gradiente
del potencial de difusión, ya que es una constante. El término F(01)sw = 0 por las mismas razones, o porque F
sw es un
constante. Multiplicando por el volumen atómico,
μlin(x) =
F (20)sw h− F
sw : h
. (57)
B.2.1 Caso isotrópico
En el caso isótropo, el Fû(02)sw debe ser proporcional a la identidad de modo que Fû
sw = F
sw ; así,
μsw,lin(x) =
F (20)sw h(x)− F
2h(x)
Tomando la inversa transformación de Fourier de esta ecuación,
μsw,lin,k =
F (20)sw + F
Esto da caso b en Eq. 9).
B.2.2 Caso anisotrópico
Si la superficie es anisotrópica, entonces Fû(02)sw en Eq. (57) es un tensor simétrico de rango 2 en el plano x. Por lo tanto, puede tener dos
distintos valores propios, y automáticamente tiene simetría rotacional de dos veces (rotación por 180o). Si cualquier otra simetría es
Supuestamente, como la simetría de cuatro veces (rotación por 90o), entonces Fû(02)sw debe ser totalmente isotrópica. Tomando el inverso Fourier
transformar,
μsw,lin,k =
F (20)sw + k · F
sw · k
En Eq. (23), caso b, se supone que hay una simetría de cuatro veces, resultando en una superficie humectante parte de la difusión
potencial que es completamente isotrópico.
C Anisotropía elástica
En principio, la energía elástica anisotrópica k se encuentra de la misma manera que la energía elástica isotrópica. [15] El
la película plana, inicialmente en estado de tensión biaxial, es perturbada por una pequeña fluctuación periódica de la superficie de la amplitud h0. Un
se añade un campo elástico adecuado para satisfacer la condición de contorno libre de tracción perturbada en la superficie libre. Por último,
la energía elástica se evalúa en la superficie libre al primer orden en h0. El coeficiente h0 es el que se busca después de k. Los
las ecuaciones mismas son engorrosas y mejor resueltas usando una implementación numérica, por lo que un procedimiento abstracto para
aquí se describe el cálculo de la k. Se encuentra en k = 1 pero arbitrario.
Deje que la superficie tenga una variación de altura
h(x) = h0e
Al primer orden en h0, la superficie normal es
n(x) = −ikh0eikxi + k.
La energía elástica debe calcularse a primer orden en h0. Para encontrar la energía elástica, es necesario encontrar la
perturbando el campo elástico a primer orden en h0.
El estado inicial de estrés no perturbado es
m =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
0 0 0
donde m =
c11 + c12 − 2c212/c11
m. Tenga en cuenta que este estado de estrés es isotrópico en el plano x-y y por lo tanto independiente
de rotaciones sobre el eje vertical. Bajo este estado de estrés, una superficie plana es libre de tracción. Con la perturbación de altura,
la tracción es
tj = (n · m)j = −ikh0M m
ikx. (58)
Junto a encontrar los campos elásticos perturbadores. Estos no son isotrópicos en el plano x − y −, y es necesario tomar
en cuenta el ángulo. En primer lugar, el cijkl tensor de rigidez elástica de 3× 3× 3× 3 se construye para la orientación del cubo de
la matriz compacta 9× 9 cij. La representación del tensor ayuda en la rotación. El tensor de rigidez se gira pasivamente
en el plano x- y- por un ángel Łk,
cijkl(k) =
m,n,p,q=1
R(Ik)imR(Ik)jnR(Ik)kpR(Ik)lqcmnpq
donde
R(Łk) =
cos(k) sin(k) 0− sin(k) cos(·k) 0
0 0 1
Esta rotación pasiva de cijkl es equivalente a la rotación activa del vector de onda k = ki por Łk.
Se encuentra la forma apropiada para el campo de desplazamiento perturbador. Suponga un desplazamiento de la forma
ui(x, y, z) = Uie
k(ixz),
donde puede tener un valor complejo. Las ecuaciones de equilibrio elástico son
i,k,l=1
cijkl(Łk)
ul = 0; j = 1... 3.
Cjl(k, )Ul
k2ek(ixz) = 0 (59)
donde
Cjl(k, ) =
i,k=1
cijkl(k)(ide1 + i3de)(ik1 + k3de).
Factorizando k2ek(ixz), la parte entre paréntesis debe ser idénticamente cero.
Para obtener una solución no trivial, el determinante de Cjl( Se encuentran seis valores complejos de Ł. Los
se descartan los valores de فارسى con Re[l] < 0, ya que los desplazamientos correspondientes explotan como z →. Cada uno de
El resto de los valores de p con p = 1.... 3 se sustituye de nuevo en Cjl( (59) se resuelve para encontrar la
eigenvectores correspondientes, Upl. El desplazamiento total es, por tanto,
ul(x, y, z) = i mh0
k(ixpz),
donde se supone que el campo de desplazamiento elástico perturbador es proporcional a h0 y
poner en para la comodidad. Los coeficientes Ap se pueden encontrar a partir de la condición de límite libre de tracción en la superficie libre.
La fórmula de tracción es
i,k,l=1
nicijkl(k)
ul(x, y, z) = ik mh0
i,k,l,p=1
nicijkl(k)ApU
l (i/23370/k1 +
p/23370/k3)e
k(ixpz) (60)
La tracción ya es proporcional a h0. Por lo tanto, todos los términos en la suma debe mantenerse a cero orden en h0 de modo que
h(x) = 0, y n(x) = k.
Por lo tanto, conectar z = 0 a Eq. (60),
tj = ik mh0
(ic3j1l(
pc3j3l(k))ApU
ikx. (61)
Desde la tracción total (Eqs. (58) y (61)) deben ser cero, los coeficientes Ap se encuentran a partir de
KjpAp = Rj,
donde
Kjp =
(ic3j1l(
pc3j3l(k))U
Rj = M/23370/j1
para j = 1... 3. Vale la pena señalar que sólo para las direcciones de simetría, la cepa es pura
plano-deformación como es para el caso elástico isotrópico.
La energía elástica en la superficie de la película se encuentra para ordenar O(h0). Si el estrés y la tensión se expanden a primer orden en
h0, = 0 + 1, y
. : c. :........................................................................................................
0 : 0 + 0 : ‡1 +O(h
Por lo tanto,
U = U0 + M m (( 1)11 + ( 1)22)
( 1)11 =
= − mkh0
( 1)22 = u2/y = 0. Por lo tanto,
U = U0 − Ekkh0e
donde
E.k. = M.
donde Apand U
1 son implícitamente funciones de Łk. Este procedimiento se ha utilizado para encontrar los valores de E0o y E45o para
Cuadro. 2 y Sec. 4.
D Anisotropía diffusional
En general, la difusividad de la superficie puede depender de la altura de la película H(x) y de la orientación de la superficie
la corriente superficial es
JS(x) = Dū(H(x), H(x)) sμ(x)
donde s es el gradiente de la superficie, y D es un tensor de rango 2 en el espacio bidimensional tangente a la superficie de la película en
x. Linear la corriente superficial alrededor de una superficie plana,
JS(x) = Dś(H̄) lin(x)
donde la difusividad debe evaluarse para h = 0 y h = 0, ya que μlin(x) ya es proporcional a h(x). El lin...
difusividad audida es un tensor simétrico de rango 2 en el plano x-. Por lo tanto, es similar a Fûsw discutido en el Apéndice B.2.2.
Es automáticamente dos veces simetría (rotación por 180o) o es completamente isotrópica. En Eq. (23), cuatro veces
se asume la simetría de la superficie. Por lo tanto, la difusividad debe ser completamente isotrópica; Dū → D, un escalar. Sec-
ciones 2.2.1.2 y el apéndice B.2.2 contienen discusiones sobre las propiedades simétricas de los diversos tensores de rango 2 que
aparecen en las ecuaciones de evolución lineal. Un caso limitado de anisotropía de difusión ha sido modelado a través de Monte cinético
Técnica Carlo. [54]
E Funciones de correlación
E.1 Valores medios
Las ecuaciones (31) y (33) son centrales para el análisis presentado. Aquí, se derivan. La función de correlación de dos puntos...
ciones para un sistema estocástico se introducen. Entonces, el promedio de la función de autocorrelación se toma y expresa
en términos de las funciones de correlación de dos puntos. Por último, este promedio se simplifica utilizando la invarianza traslacional de
el sistema (gobernación de ecuaciones y conjunto de condiciones iniciales).
La función de correlación espacio-espacio real de dos puntos es
C(x,x′) = h(x)h(x′),
y la función de correlación del espacio recíproco es
Ckk′ = hkh*k.
Estos están relacionados por la doble transformación de Fourier,
Ckk′ = 1(2η)2d
ddxddx′ e−ik·x+ik
x′C(x,x′); (62)
C(x,x′) =
ddkddk′ eik·x−ik
x′Ckk′. (63)
Estas funciones de correlación del conjunto se pueden utilizar para dar la función de autocorrelación del conjunto-media y especificaciones-
función trum. En el espacio real,
CA(x)
d2x′ h(x + x′)h()
d2x′ C(x + x′,x′). (64)
(2η)d
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(2η)d
Ckk. (65)
Afortunadamente, la invariabilidad traslacional del sistema simplifica estas relaciones. Inspección de las ecuaciones de gobierno
e invocando la invarianza traslacional de las condiciones iniciales estocásticas, el conjunto resultante y su estadística
las medidas también deben ser traslacionalmente invariantes. Así bajo la traducción por x′,
C(x + x′,x′) = C(x,0) = C(x), (66)
por lo que la variable independiente se reduce a sólo el vector de diferencia x = x − x ′. Esta relación se puede utilizar para
simplificar tanto las relaciones espaciales reales como las recíprocas.
La relación real del espacio simplifica como sigue.Insertar Eq. (66) en Eq. (64),
CA(x)
d2x′ C(x,0) = C(x). (67)
La relación espacial recíproca (Eq. (62)) simplifica la
Ckk′ = Ck
2 k– k′) = Ck
(2η)d
kk′, (68)
donde
(2η)d
d2x e−ikxC(x).
Uno puede ver inmediatamente desde Eq. (67) que Ck es la transformación de Fourier de
CA(x)
= C(x), o se puede conectar
Eq. (68) en Eq. (65), para obtener
= Ck.
E.2 Diferencia y convergencia
La hipótesis ergódica es que una media con respecto a un parámetro como la posición o el tiempo tiende hacia un
Ensamblaje promedio. En este caso,
CAk فارسى
= Ck, (69)
y CA(x)
CA(x)
= C(x).
cuando la superficie es muy grande. El promedio del conjunto es un buen sustituto si la varianza sobre el promedio
desaparece a medida que el área de sustrato A se hace grande. Se encuentra que en el espacio recíproco,
Var(CAk ) =
= C2k. (70)
Por lo tanto, la hipótesis ergódica no se sostiene para CAk. En la práctica, C
k es una versión moteada de Ck (Fig. 6) Sin embargo, si
uno suaviza CAk promediando sobre un pequeño parche en espacio recíproco de tamaño ksmooth = 1 / s, de modo que
CAk (s) =
)d/2
ddk′ e−
k)2CAk′, (71)
luego Var
CAk (s)
disminuye como 1/A. Para los suficientemente grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes, para los grandes.
CAk (s)
Ck, (72)
CAk (s)
ηd/2ds
C2k. (73)
Así, la hipótesis ergódica (Eq. (69)) sólo se mantiene para una versión alisada de CAk.
En el espacio real,
CA(x)
CA(x)
CA(x)
(2η)d
e2ikxC2k + C
, (74)
donde la integral esté limitada (finita) siempre que t > 0 o el corte a escala atómica b0 > 0. Por lo tanto, el ergódico
hipótesis se sostiene para la función de autocorrelación espacio real.
E.2.1 Eq. (70)
En primer lugar,
CAk C
se calcula.
CAk C
(2η)d
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k.
Supongamos que la distribución de hk es gaussiana. También, asumir que h(x) es real para que hkh−k = hk
2. Entonces...
= Ck1Ck2
d(k1 − k4)•d(k2 − k3)......................................................................................................................................................................................................................................................
. ..............................................................
d(k1 + k3)
d(k2 + k4)...
. .................................................................
d(k1 − k2)d(k3 − k4).
Por lo tanto,
CAk C
(2η)d
d(k− k′)
...
. .. +C2k
(k + k′)
+ CkCk′
d(0)
. (75)
= C2k
(+) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
+ CkCk′, (76)
donde Eq. (29) se ha utilizado liberalmente. Configuración k = k′, resulta en Eq. (70).
E.2.2 Eq. (73)
Ahora considere el alisado CAk sobre una longitud de (Eq. (71)). El valor medio es
CAk (s)
)d/2
ddk′ e−
k)2 CAk.
)d/2
ddk′ e−
k)2Ck′.
Para ksmooth lo suficientemente pequeño, (suficientemente grande), Eq. (72) resultados.
Ahora se calcula la varianza de CAk. En primer lugar, es necesario calcular
CAk (s)
CAk (s)
ddk′ e−
k)2............................................................................................................
. . ×
ddk′′ e−
k)2 CAk′CAk.
Usando Eq. (75) y Eq. (29) según sea necesario,
CAk (s)
ddk′ddk′′ e−
k)2e−
k)2
(2η)d
...
· · · ×
(k′ − k′′)
+ C2k
(k′ + k′′)
+ CkCk′
d(0)
k)2C2k′ + e
− 12
s[(kk)2+(kk)2]C2k′
...
· ·
)d/2
ddk′ e−
k)2Ck′
La primera integral está limitada (finito) porque Ck está limitada. Que su valor finito sea denotado I. La segunda integral es
simplemente
CAk (s)
. Así,
Var(CAk) =
2ds I
un valor finito que disminuye como A−1 como se requiere para que la hipótesis ergódica mantenga. Para ksmooth suficientemente pequeño (grande
I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, C, I, C, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, C, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, (73) resultados. Por otra parte, cabe señalar que los grandes recursos necesarios para esta aproximación
también crea un requisito más estricto de que A sea grande.
E.2.3 Eq. (74)
Ahora, considere la función de autocorrelación del espacio real. En primer lugar,
CA(lx)CA(lx)
es necesario.
CA(lx)CA(lx)
ddkddk′ ei(k+k
′)x CAk CAk
Proceder de una manera similar a la sección anterior (haciendo uso de Eqs. (75) y (29) según sea necesario),
CA(lx)CA(lx)
(2η)2d
ddkddk′ ei(k+k
′)x
d(k− k′)
...
· · C2k
(k + k′)
+ CkCk′
d(0)
(2η)d
e2ikxC2k + C
...
· ·
ddk eikxCk
ddk′ eik
xCk
(2η)d
e2ikxC2k + C
CA(x)
Así, Eq. (74) resultados. Para que la varianza esté desapareciendo, la integral en Eq. (74) debe estar limitado (finito). Si el tiempo,
t > 0, la exponencial en Eq. (77) garantiza que la integral está limitada. Para el tiempo t = 0, la integral sólo está limitada
si la escala atómica de corte b0 > 0.
F Corte de la escala atómica
A partir de Eq. 39),
(2η)d
e2kt−
. (77)
El efecto del corte a pequeña escala es a la vez pequeño y de corta duración, ya que sólo funciona para suprimir las fluctuaciones con grandes
Números de onda. Las fluctuaciones más importantes tienen números de onda entre 0 y 2kc. Por lo tanto, el tamaño típico de la
término de corte es aproximadamente b20k
c. Si un tamaño de punto típico o espaciamiento tamaño 10 nm, y una escala atómica típica es 10
−1 nm, un típico
valor para este término es de aproximadamente 10−3 − 10−2. Para calcular el efecto del corte, se puede absorber en el tiempo dependiente
parte con la sustitución
de modo que su efecto sólo dure hasta que se produzca una perturbación con curvatura a escala atómica ( = b0). Así, Eq. (40) es un bien
aproximación.
Agradecimientos
Gracias a L. Fang y C. Kumar por comentarios útiles durante la redacción de este artículo.
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Introducción
Modelado
Modelo Isotrópico 1D y 2D
Energía
forma simple
forma general
Linealización
Dinámica
Límites máximos
Estabilidad y potencial de humectación
2D Caso anisotrópico
Energía
Anisotropía elástica
Anisotropía superficial y de energía humectante
potencial de difusión total
Dinámica
Expansión sobre picos
Funciones de correlación
Funciones de correlación y orden SAQD
Array periódico
Array casi periódico
Ensemble Correlation Functions / ergodicity
Fluctuación media
Función de correlación
Condiciones iniciales estocásticas
Funciones de Correlación del Espacio Recíproco
unidimensional
2D isotrópico
anisotrópico
Funciones de correlación real del espacio
unidimensional
2D isotrópico
anisotrópico
Generalización
Predicciones de orden
Ge a 600K
Caso general de
Discusión/Conclusiones
Potencial de difusión
Formulario general =F/H(x)
Modelo simple
Modelo general
Potencial de difusión lineal y anisotropía
Linear el modelo simple
Caso isotrópico
anisotrópico
Linear el modelo general
Caso isotrópico
anisotrópico
Anisotropía elástica
Anisotropía diffusional
Funciones de correlación
Valores medios
Diferencia y convergencia
Eq. (???)
Eq. (???)
Eq. (???)
Corte de la escala atómica
|
704.0068 | A Note About the {Ki(z)} Functions | UNA NOTA SOBRE EL {Ki(z)}
FUNCIONES
Branko J. Malešević
En el artículo [10], A. Petojević verificó las propiedades útiles de las funciones Ki(z)
que generalizan la función factorial izquierda de Kurepa [1]. En esta nota, presentamos
pruebas simplificadas de dos de estos resultados y respondemos a la pregunta abierta
en [10]. Finalmente, discutimos la trascendencia diferencial de las funciones Ki(z).
A. Petojević [7, pág. 3.] considera la familia de funciones:
vMm(s; a, z) =
(−1)k−1
z +m+ 1− k
L[s; 2F1(a, k − z,m+ 2; 1− t)],(1)
para R(z) > v−m−2, donde vÃ3n es un entero positivo; m1, 0, 1, 2,...} es un entero;
s, a, z son variables complejas; L[s;F (t)] es transformada de Laplace y 2F1(a, b, c;x) es
la función hipergeométrica (x < 1). D-.Kurepa ha considerado en los artículos
[1, p. 151.] y [2, p. 297.] una función compleja definida por la integral:
K(z) =
tz − 1
dt,(2)
para R(z)>0. Especialmente, para la funciónK(z) deKurepa, es cierto queK(z)=1M0(1; 1, z),
para R(z)>0, según [10]. Para varios valores de parámetros v, m, s, a, z de (1),
diferentes funciones especiales, tal como se presentan en [10], se obtienen. A. Petojević
en el artículo [10, p. 1640.] la siguiente secuencia de funciones:
Ki(z) =
1M0(1; 1, z + i− 1)− 1M0(1; 1, i− 1)
1M−1(1; 1, i)
en nombre de los Estados miembros y de R(z)i. Sobre la base de la definición que figura en el apartado 3,
dad a través de la función de Kurepa es cierto:
Ki(z) =
(i−1)!
K(z + i− 1)−K(i− 1)
en el caso de las categorías I+N y R(z)i+1. Nótese que K(0)=0 [2, p. 297.] y por lo tanto K1(z)=K(z)
para R(z)>0. Propiedades analíticas y diferenciales algebraicas de la función de Kurepa
K(z) se consideran en los artículos [1 a 12] y en muchos otros artículos. Sobre la base
de declaraciones bien conocidas para la función K(z) de Kurepa, utilizando la representación (4), en
muchos casos podemos obtener pruebas simples para declaraciones análogas para funciones Ki(z).
Por ejemplo, es un hecho bien conocido que es posible continuar analíticamente
función de repa a una función meromórfica con polos simples en puntos enteros z = −1
y z = −m, (m ≥ 3) [2, p. 303.], [3, p. 474.]. Residuos de la función de Kurepa en
estos polos tienen la forma siguiente [2]:
Investigación parcialmente apoyada por el MNTRS, Serbia, Grant No. 144020.
http://arxiv.org/abs/0704.0068v2
2 Branko J. Malešević
z = −1
K(z) = −1 y res
z = −m
K(z) =
(−1)k−1
, (m≥3).5)
Para la función K(z) de Kurepa el punto infinito es una singularidad esencial [3]. Por lo tanto,
sobre la base de (4), cada función Ki(z) es meromórfica con polos simples en entero
puntos z=−i y z=−(i+m), (m≥2). Sobre la base de (4) tenemos:
z = −(i+m)
Ki(z) =
(i−1)!
· res
z = −(i+m)
K(z + i− 1) = 1
(i−1)!
· res
z = −(m+1)
K(z),(6)
donde m = 0 o m ≥ 2. Por lo tanto:
z = −i
Ki(z)=−
(i−1)!
y res
z = −(i+m)
Ki(z)=
(i−1)!
(−1)k−1
, (m≥2).7)..................................................................................................................................................
Para cada función Ki(z) el punto infinito es una singularidad esencial. Por lo tanto, tenemos
Teorema 3.3. de [10]. A continuación, es un hecho bien conocido que para la función de Kurepa
la siguiente relación asintótica K(x) • • (x) es cierta para x real de tal manera que x → •
y en el caso de la función gamma (x) [2, p. 299.] Por consiguiente, en el caso de los productos fijos y reales
xi+1, sobre la base de (4), obtenemos:
Ki(x)
(x+ i− 1)
(i−1)!
· K(i+ x− 1)−K(i− 1)
(x+ i− 1)
(i−1)!
Ki(x)
(x+ i)
(i−1)!
· K(i+ x− 1)−K(i− 1)
(x+ i− 1)•(x+ i− 1)
0.(9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Por lo tanto, obtenemos Teorema 3.6. de [10]. A continuación damos una solución a la apertura
problema declarado en la pregunta 3.7. en [10]. Es decir, la siguiente fórmula en el artículo
[8, p. 35.] se administra:
K(z) =
Ei(1) + i
(−1)z(1 + z)(−z,−1)
,(10)
para los valores z C1,−2,−3,−4,. ..} e i =
−1. En la fórmula anterior Ei(z)
y Ł(z, a) son función gamma integral exponencial e incompleta, respectivamente [8].
A continuación, en el caso de los valores fijos de Í+N y de Í+Ci, −i− 1, −i− 2, −i− 3,...........................................................................................................................................................................................................................................
(4) y (10), obtenemos:
Ki(z) =
(i−1)!
K(z + i− 1)−K(i− 1)
Ei(1) + i
¡e(i−1)!
(−1)z+i−1•(1 + z + i− 1)•(−z − i+ 1,−1)
¡e(i−1)!
−Ei(1) + i
¡e(i−1)!
− (−1)
i - 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1-
¡e(i−1)!
= (−1)ie−1
*(1− i,−1)− (−1)z*(1− i− z,−1)*(i+ z)
(i−1)!
Por lo tanto, la respuesta afirmativa para la pregunta 3.7. de [10] es verdad para complejo
valores de zCi,−i−1,−i−2,−i−3,...}.
Una nota sobre las funciones {Ki(z)i=1 3
Finalmente, al final de esta nota vamos a enfatizar un hecho diferencial-algebraico para
la secuencia de funciones Ki(z). Sobre la base de la fórmula (17) del artículo
[10], podemos concluir que cada función Ki(z) satisface la siguiente repetición re-
(i−1)!Ki(z + 1)− (i−1)!Ki(z) = (z + i). La relación anterior se puede utilizar
verificar la trascendencia diferencial de estas funciones, como se indica en [11, 12].
Por lo tanto, podemos concluir que cada función Ki(z) es un diferencial trascendental
función, es decir, no satisface ninguna ecuación diferencial algebraica sobre el campo de complejo ra-
funciones.
REFERENCIAS
[1] D-. Kurepa: En la función factorial izquierda!n, Mathematica Balkanica 1 (1971), 147−153.
[2] D-. Kurepa: Función factorial izquierda en dominio complejo, Mathematica Balkanica 3 (1973),
297 - 307.
[3] D. Slavić: En la función factorial izquierda del argumento complejo, Mathematica Balkan-
ica 3 (1973), 472-477.
[4] A. Ivić, Ž. Mijajlović: Sobre los problemas de Kurepa en la teoría de los números, Publicaciones de
l’Institut Mathématique, SANU Beograd, 57, (71) (1995), 19 − 28, disponible en:
http://elib.mi.sanu.ac.yu/pages/browse journals.php.
[5] G.V. Milovanović: Expansiones de la función Kurepa, Publications de l’Institut
Mathématique, SANU Beograd 57 (71) (1995), 81 - 90, disponible en la página principal
http://gauss.elfak.ni.ac.yu.
[6] G.V. Milovanović, A. Petojević: Funciones factoriales generalizadas, números y
nomials, Mathematica Balkanica 16 (2002), 113− 130.
[7] A. Petojević: La función vMm(s; a, z) y algunas secuencias conocidas, Diario de
Secuencias internas, artículo 02.1.6, Vol. 5 (2002).
[8] B. Malešević: Algunas consideraciones en relación con la función de Kurepa, Univerzitet u
Beogradu, Publikacije Elektrotehničkog Fakulleta, Serija Matematika, 14 (2003), 26−36,
puede consultarse en http://pefmath.etf.bg.ac.yu/.
[9] B. Malešević: Algunas desigualdades para la función de Kurepa, Journal of Inequalities in
Matemáticas puras y aplicadas, Vol. 5, Cuestión 4, Artículo 84, (2004), disponible en
http://jipam.vu.edu.au/.
[10] A. Petojević: El {Ki(z)}
i=1 funciones, Rocky Mountain Journal de Matemáticas,
Vol. 36, No. 5, (2006), 1637-1650.
[11] Ž. Mijajlović, B. Malešević: Funciones trascendentales diferenciales, aceptadas
en el Boletín de la Sociedad Matemática Belga - Simon Stevin 2007, disponible en
http://arxiv.org/abs/math.GM/0412354.
[12] Ž. Mijajlović, B. Malešević: Propiedades analíticas y diferenciales – algebraicas de
función Gamma, para aparecer en el International Journal of Applied Mathematics &
Estadística
J.Rassias (ed.), Ecuaciones Funcionales, Ecuaciones Integrales, Diferen-
tial Equations & Applications, http://www.ceser.res.in/ijamas/cont/fida.html
Temas especiales dedicados al Tricentenario del Cumpleaños de L. Euler, 2007.
puede consultarse en http://arxiv.org/abs/math.GM/0605430.
Universidad de Belgrado, (recibido: 04/01/2007 )
Facultad de Ingeniería Eléctrica, (Aceptado : 25/05/2007 )
P.O.Box 35-54, 11 120 Belgrado, Serbia
maleh@eunet.yu, maleevic@etf.bg.ac.yu
http://elib.mi.sanu.ac.yu/pages/browse_journals.php
http://gauss.elfak.ni.ac.yu
http://pefmath.etf.bg.ac.yu/
http://jipam.vu.edu.au/
http://arxiv.org/abs/math.GM/0412354
http://www.ceser.res.in/ijamas/cont/fida.html
http://arxiv.org/abs/math.GM/0605430
| En el artículo [Petojevic 2006], A. Petojevi\' c propiedades útiles verificadas
de las funciones $K_{i}(z)$ que generalizan la izquierda de Kurepa [Kurepa 1971]
función factorial. En esta nota, presentamos pruebas simplificadas de dos de estos
resultados y respondemos a la pregunta abierta formulada en [Petojevic 2006]. Por último, nosotros
discutir la trascendencia diferencial de las funciones $K_{i}(z)$.
| UNA NOTA SOBRE EL {Ki(z)}
FUNCIONES
Branko J. Malešević
En el artículo [10], A. Petojević verificó las propiedades útiles de las funciones Ki(z)
que generalizan la función factorial izquierda de Kurepa [1]. En esta nota, presentamos
pruebas simplificadas de dos de estos resultados y respondemos a la pregunta abierta
en [10]. Finalmente, discutimos la trascendencia diferencial de las funciones Ki(z).
A. Petojević [7, pág. 3.] considera la familia de funciones:
vMm(s; a, z) =
(−1)k−1
z +m+ 1− k
L[s; 2F1(a, k − z,m+ 2; 1− t)],(1)
para R(z) > v−m−2, donde vÃ3n es un entero positivo; m1, 0, 1, 2,...} es un entero;
s, a, z son variables complejas; L[s;F (t)] es transformada de Laplace y 2F1(a, b, c;x) es
la función hipergeométrica (x < 1). D-.Kurepa ha considerado en los artículos
[1, p. 151.] y [2, p. 297.] una función compleja definida por la integral:
K(z) =
tz − 1
dt,(2)
para R(z)>0. Especialmente, para la funciónK(z) deKurepa, es cierto queK(z)=1M0(1; 1, z),
para R(z)>0, según [10]. Para varios valores de parámetros v, m, s, a, z de (1),
diferentes funciones especiales, tal como se presentan en [10], se obtienen. A. Petojević
en el artículo [10, p. 1640.] la siguiente secuencia de funciones:
Ki(z) =
1M0(1; 1, z + i− 1)− 1M0(1; 1, i− 1)
1M−1(1; 1, i)
en nombre de los Estados miembros y de R(z)i. Sobre la base de la definición que figura en el apartado 3,
dad a través de la función de Kurepa es cierto:
Ki(z) =
(i−1)!
K(z + i− 1)−K(i− 1)
en el caso de las categorías I+N y R(z)i+1. Nótese que K(0)=0 [2, p. 297.] y por lo tanto K1(z)=K(z)
para R(z)>0. Propiedades analíticas y diferenciales algebraicas de la función de Kurepa
K(z) se consideran en los artículos [1 a 12] y en muchos otros artículos. Sobre la base
de declaraciones bien conocidas para la función K(z) de Kurepa, utilizando la representación (4), en
muchos casos podemos obtener pruebas simples para declaraciones análogas para funciones Ki(z).
Por ejemplo, es un hecho bien conocido que es posible continuar analíticamente
función de repa a una función meromórfica con polos simples en puntos enteros z = −1
y z = −m, (m ≥ 3) [2, p. 303.], [3, p. 474.]. Residuos de la función de Kurepa en
estos polos tienen la forma siguiente [2]:
Investigación parcialmente apoyada por el MNTRS, Serbia, Grant No. 144020.
http://arxiv.org/abs/0704.0068v2
2 Branko J. Malešević
z = −1
K(z) = −1 y res
z = −m
K(z) =
(−1)k−1
, (m≥3).5)
Para la función K(z) de Kurepa el punto infinito es una singularidad esencial [3]. Por lo tanto,
sobre la base de (4), cada función Ki(z) es meromórfica con polos simples en entero
puntos z=−i y z=−(i+m), (m≥2). Sobre la base de (4) tenemos:
z = −(i+m)
Ki(z) =
(i−1)!
· res
z = −(i+m)
K(z + i− 1) = 1
(i−1)!
· res
z = −(m+1)
K(z),(6)
donde m = 0 o m ≥ 2. Por lo tanto:
z = −i
Ki(z)=−
(i−1)!
y res
z = −(i+m)
Ki(z)=
(i−1)!
(−1)k−1
, (m≥2).7)..................................................................................................................................................
Para cada función Ki(z) el punto infinito es una singularidad esencial. Por lo tanto, tenemos
Teorema 3.3. de [10]. A continuación, es un hecho bien conocido que para la función de Kurepa
la siguiente relación asintótica K(x) • • (x) es cierta para x real de tal manera que x → •
y en el caso de la función gamma (x) [2, p. 299.] Por consiguiente, en el caso de los productos fijos y reales
xi+1, sobre la base de (4), obtenemos:
Ki(x)
(x+ i− 1)
(i−1)!
· K(i+ x− 1)−K(i− 1)
(x+ i− 1)
(i−1)!
Ki(x)
(x+ i)
(i−1)!
· K(i+ x− 1)−K(i− 1)
(x+ i− 1)•(x+ i− 1)
0.(9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Por lo tanto, obtenemos Teorema 3.6. de [10]. A continuación damos una solución a la apertura
problema declarado en la pregunta 3.7. en [10]. Es decir, la siguiente fórmula en el artículo
[8, p. 35.] se administra:
K(z) =
Ei(1) + i
(−1)z(1 + z)(−z,−1)
,(10)
para los valores z C1,−2,−3,−4,. ..} e i =
−1. En la fórmula anterior Ei(z)
y Ł(z, a) son función gamma integral exponencial e incompleta, respectivamente [8].
A continuación, en el caso de los valores fijos de Í+N y de Í+Ci, −i− 1, −i− 2, −i− 3,...........................................................................................................................................................................................................................................
(4) y (10), obtenemos:
Ki(z) =
(i−1)!
K(z + i− 1)−K(i− 1)
Ei(1) + i
¡e(i−1)!
(−1)z+i−1•(1 + z + i− 1)•(−z − i+ 1,−1)
¡e(i−1)!
−Ei(1) + i
¡e(i−1)!
− (−1)
i - 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1-
¡e(i−1)!
= (−1)ie−1
*(1− i,−1)− (−1)z*(1− i− z,−1)*(i+ z)
(i−1)!
Por lo tanto, la respuesta afirmativa para la pregunta 3.7. de [10] es verdad para complejo
valores de zCi,−i−1,−i−2,−i−3,...}.
Una nota sobre las funciones {Ki(z)i=1 3
Finalmente, al final de esta nota vamos a enfatizar un hecho diferencial-algebraico para
la secuencia de funciones Ki(z). Sobre la base de la fórmula (17) del artículo
[10], podemos concluir que cada función Ki(z) satisface la siguiente repetición re-
(i−1)!Ki(z + 1)− (i−1)!Ki(z) = (z + i). La relación anterior se puede utilizar
verificar la trascendencia diferencial de estas funciones, como se indica en [11, 12].
Por lo tanto, podemos concluir que cada función Ki(z) es un diferencial trascendental
función, es decir, no satisface ninguna ecuación diferencial algebraica sobre el campo de complejo ra-
funciones.
REFERENCIAS
[1] D-. Kurepa: En la función factorial izquierda!n, Mathematica Balkanica 1 (1971), 147−153.
[2] D-. Kurepa: Función factorial izquierda en dominio complejo, Mathematica Balkanica 3 (1973),
297 - 307.
[3] D. Slavić: En la función factorial izquierda del argumento complejo, Mathematica Balkan-
ica 3 (1973), 472-477.
[4] A. Ivić, Ž. Mijajlović: Sobre los problemas de Kurepa en la teoría de los números, Publicaciones de
l’Institut Mathématique, SANU Beograd, 57, (71) (1995), 19 − 28, disponible en:
http://elib.mi.sanu.ac.yu/pages/browse journals.php.
[5] G.V. Milovanović: Expansiones de la función Kurepa, Publications de l’Institut
Mathématique, SANU Beograd 57 (71) (1995), 81 - 90, disponible en la página principal
http://gauss.elfak.ni.ac.yu.
[6] G.V. Milovanović, A. Petojević: Funciones factoriales generalizadas, números y
nomials, Mathematica Balkanica 16 (2002), 113− 130.
[7] A. Petojević: La función vMm(s; a, z) y algunas secuencias conocidas, Diario de
Secuencias internas, artículo 02.1.6, Vol. 5 (2002).
[8] B. Malešević: Algunas consideraciones en relación con la función de Kurepa, Univerzitet u
Beogradu, Publikacije Elektrotehničkog Fakulleta, Serija Matematika, 14 (2003), 26−36,
puede consultarse en http://pefmath.etf.bg.ac.yu/.
[9] B. Malešević: Algunas desigualdades para la función de Kurepa, Journal of Inequalities in
Matemáticas puras y aplicadas, Vol. 5, Cuestión 4, Artículo 84, (2004), disponible en
http://jipam.vu.edu.au/.
[10] A. Petojević: El {Ki(z)}
i=1 funciones, Rocky Mountain Journal de Matemáticas,
Vol. 36, No. 5, (2006), 1637-1650.
[11] Ž. Mijajlović, B. Malešević: Funciones trascendentales diferenciales, aceptadas
en el Boletín de la Sociedad Matemática Belga - Simon Stevin 2007, disponible en
http://arxiv.org/abs/math.GM/0412354.
[12] Ž. Mijajlović, B. Malešević: Propiedades analíticas y diferenciales – algebraicas de
función Gamma, para aparecer en el International Journal of Applied Mathematics &
Estadística
J.Rassias (ed.), Ecuaciones Funcionales, Ecuaciones Integrales, Diferen-
tial Equations & Applications, http://www.ceser.res.in/ijamas/cont/fida.html
Temas especiales dedicados al Tricentenario del Cumpleaños de L. Euler, 2007.
puede consultarse en http://arxiv.org/abs/math.GM/0605430.
Universidad de Belgrado, (recibido: 04/01/2007 )
Facultad de Ingeniería Eléctrica, (Aceptado : 25/05/2007 )
P.O.Box 35-54, 11 120 Belgrado, Serbia
maleh@eunet.yu, maleevic@etf.bg.ac.yu
http://elib.mi.sanu.ac.yu/pages/browse_journals.php
http://gauss.elfak.ni.ac.yu
http://pefmath.etf.bg.ac.yu/
http://jipam.vu.edu.au/
http://arxiv.org/abs/math.GM/0412354
http://www.ceser.res.in/ijamas/cont/fida.html
http://arxiv.org/abs/math.GM/0605430
|
704.0069 | Dynamical Objects for Cohomologically Expanding Maps | Objetos dinámicos para la cohomología
Expandiendo Mapas.
John W. Robertson
4 de noviembre de 2018
John W. Robertson1
Universidad Estatal de Wichita
Wichita, Kansas 67260-0033
Teléfono: 316-978-3979
Fax: 316-978-3748
robertson@math.wichita.edu
Resumen
El objetivo de este trabajo es construir objetos dinámicos invariantes
para un automatismo (no necesariamente invertible) suave de una mani-
Dobla. Demostramos un resultado que se aprovecha de las diferencias en las tasas de
expansión en los términos de una secuencia cohomológica larga secuencia exacta
para crear elevaciones únicas de subespacios finitos dimensionales invariantes de uno
término de la secuencia a subespacios invariantes del término anterior.
Esto nos permite tomar clases cohomológicas invariantes y bajo el
las circunstancias correctas construyen corrientes únicas de un tipo dado,
Las medidas únicas de un tipo determinado, que representan esas clases y
son invariantes bajo retroceso. Un automapa dinámicamente interesante puede
tener una plétora de medidas invariantes, por lo que las unicidades de la
Las corrientes estructuradas son importantes. Esto significa que si el crecimiento local no es
demasiado grande en comparación con la tasa de crecimiento de la clase cohomológica entonces
la clase cohomológica en expansión da suficientes “ordenes de marqueo”
al sistema para prohibir la formación de cualquier otro tan invariante
1Investigación parcialmente apoyada por una beca ARCS de la Universidad Estatal de Wichita.
corriente del mismo tipo (digamos de algún subsistema dinámico local).
Debido a que usamos subvainas de la gavilla de corrientes damos condiciones
bajo el cual un subhoja tendrá la misma cohomología que la gavilla
que lo contiene. Usando un argumento suavizante esto nos permite mostrar
que la cohomología de la gavilla de las corrientes en cuestión puede ser
Canónicamente identificado con los grupos de cohomología de Rham. Nuestra principal
teorema se puede aplicar tanto en el ajuste liso y holomórfico.
MSC: 37C05, 32H50, 18F20, 55N30
1 Introducción
Nuestro propósito es construir objetos dinámicos invariantes para un automapa f : X →
X de un espacio topológico compacto. Hacemos uso de la cohomología de la vaina y
diferencias en las tasas de expansión en diferentes términos de una secuencia exacta larga
para construir secciones invariantes de una gavilla. Demostraremos que hay en...
corrientes de grado 1 (o corrientes propias) correspondientes a cada expansión
eigenvector de H1(X,R). También mostramos que las sucesivas preimagenes de suffi-
las corrientes de grado uno convergen a una de estas corrientes propias.
Demostramos que si la mayor parte de la expansión f : X → X es “along” un invariante
clase cohomológica v • Hk(X,R) entonces hay una corriente invariante c en que
clase de cohomología y otras corrientes suficientemente regulares en la misma clase
Converger a c bajo sucesivo retroceso.
La cohomología de grupo de Z actuando en un espacio de funciones en X a través de
se ha estudiado en el contexto de los sistemas dinámicos [Kat03]. Esto
El trabajo parece estar relacionado con el nuestro, pero debe ser perseguido en un di-
Rección. Nuestro mapa f no se supone que sea invertible, por lo que no hay necesariamente
a Acción Z, sólo una acción N. Además, utilizamos gavillas en lugar de funciones y
hacer un uso sustancial de las herramientas cohomológicas. Lo que es más importante, estamos a punto de...
particularmente interesado en la construcción de corrientes invariantes, especialmente cuando
la corriente es un sentido único.
Nuestros resultados están motivados por resultados en holo-
dinámica mórfica que muestra la existencia de un único cierre positivo (1, 1) cur-
alquiler bajo una variedad de circunstancias (sólo sobre cualquier documento reciente sobre
La dinámica holomórfica dimensional demuestra tales resultados o hace que essen-
uso de tales resultados, véase, por ejemplo, [FS92], [HOV94], [HOV95], [BS91a], [BS91b],
[BS92], [BLS93], [BS98a], [BS98b], [BS99], [Can01], [McM02], [FS94a], [FS94b],
[FS95b], [FS01], [FS95a], [JW00], [FJ03], [Ued94], [Ued98], [Ued97], y
[DS05]).
Si bien las medidas invariantes han sido un punto focal en la dinámica, parece que
que las corrientes invariantes también tienen un papel importante que desempeñar. Vamos a mostrar bajo
condiciones leves que si algún grado una clase cohomológica de un yo suave
mapa f de un colector compacto es invariante y expandido hay necesariamente
un grado invariante una corriente de cierto tipo que representa esa clase. Nosotros
obtener resultados análogos para las corrientes de mayor grado dados límites en el local
Las tasas de crecimiento de f. La singularidad de estas clases es significativa. Parece
claro que uno podría modificar un mapa localmente cerca de un punto fijo para obtener otro
corrientes invariantes del mismo tipo sin afectar a la topología. Por lo tanto
nuestros resultados también dicen que cualquier modificación local que creó un invariante
la corriente del tipo dado debe violar las condiciones de crecimiento local. En los demás
palabras, siempre y cuando las cosas no crecen demasiado rápido en comparación con la tasa de crecimiento de
la clase de cohomología, la expansión de la clase de cohomología da suficiente
“ordenes de marching” para señalar que ninguna otra clase cohomológica invariante de la
tipo dado puede ser creado por comportamiento dinámico puramente local. Nuestros resultados
dar condiciones explícitas en las que se garantice la singularidad. Por título
una corriente, ninguna restricción a las tasas de crecimiento local es necesaria para nuestros resultados.
2 Cohomomorfismos
Vamos a hacer uso de las gavillas en este artículo. Hay dos def-
iniciones de gavillas en un espacio topológico X, uno como espacio topológico
([Bre97],[GR84]), y uno como functor en la categoría TopX satisfac-
ios axiomas ([Har77],[Wei97]). Puesto que a menudo vamos a querer hacer uso de un
topología en secciones de una vaina A que difiere de la topología que heredan
usando la definición topológica de una vaina, en su lugar usaremos el functor
definición de una gavilla.
Nuestras gavillas siempre serán gavillas de módulos K sobre un campo K fijo.
Requeriremos que K tenga un valor absoluto para el cual K está completo.
Dado un mapa continuo f : X → Y y gavillas A y B en X y
Y, respectivamente, un cohomomorfismo f es una noción generalizada de un retroceso
De B a A a f. Diferentes tipos de objetos geométricos tiran hacia atrás
diferente, y esto nos permite manejar todos los casos a la vez.
Tomamos los siguientes hechos de [Bre97] páginas 14–15.
Definición 1. Si A y B son gavillas enX e Y entonces un "f-cohomomorfismo"
k : B → A es una colección de homomorfismos kU : B(U) → A (f−1(U)), para
U abierto en Y, compatible con restricciones.
Tenga en cuenta que si A es una vaina en X y f : X → Y es continua entonces allí
es un cohomomorfismo canónico f*A ; A donde f*A es la imagen directa de
A, es decir. dado un U-Y abierto, f*A (U) = A (f−1(U)).
Observación. Dado un mapa continuo f : X → Y de los espacios topológicos X y
Y y gavillas A y B en X e Y respectivamente, todos f -cohomomorfismos
f : B ; A se dan por una composición de la forma
j→ f*A
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
donde j : B → f*A es un homomorfismo de la gavilla, y cada tal composición es
visto a un f -cohomomorfismo.
La noción habitual de “un morfismo de gavillas en X” es la misma que un idX
cohomomorfismo de gavillas en X.
2.1 Los cohomomorfismos y los cohomomorfismos.
El functor devuelve las secciones globales de esa gavilla. Dado un morfismo
A → A ′ de las gavillas en X, es sólo el homomorfismo A (X)→ A ′(X).
Teniendo en cuenta las gavillas A y B en X e Y y dada f : X → Y continua
entonces para un cohomomorfismo de la gavilla F : B → Uno define F para ser el
homomorfismo B(Y) → A (X). Esto se extiende para ser un functor en el
categoría de espacios topológicos con una vaina asociada donde se encuentran los morfismos
dado por cohomomorfismos.
3 Secciones Mundiales Invariantes
Fijar un automapa continuo f : X → X de un espacio topológico X. Lo haremos.
estar interesado en f auto cohomomorfismos de gavillas A en X. Como lo haremos
típicamente tienen varias gavillas de interés en X, cada una con un correspondiente
f auto cohomomorfismo, dejamos fA : A ; A ser la notación por defecto para un
f -cohomomorfismo de A.
Supongamos que X es un múltiple y que
p→ B q→ C
es una breve secuencia exacta de gavillas en X. Let f : X → X ser un continuo
auto mapa de X y asumir aún más que se nos da f auto cohomomorfismos
de cada una de estas gavillas y que
// B q
Los viajes. Diremos que un diagrama conmutativo como en (1) es un f auto-
cohomomorfismo de la secuencia A → B → C.
Aplicando el functor a este diagrama, las filas se pueden extender en el
La secuencia normal es larga y exacta. El diagrama resultante es conmutativo ([Bre97]
página 62).
0 // A (X)
C (X)
H1(X,A )
· · ·
0 // A (X)
// B(X)
// C (X)
// H1(X,A )
// · · ·
Se puede pensar en B como proporcionar potenciales locales para los miembros de C y
de A como aquellos potenciales que dan lugar al miembro cero de C.
Se asumirá que el lector está familiarizado con la interpretación H1(X,A)
como clasificación de clases de equivalencia de paquetes con funciones de transición en A.
Con frecuencia nos referiremos a los miembros de H1(X,A) como paquetes. Secciones de
Se supone que dichos paquetes serán suministrados localmente por secciones locales de B,
de modo que cada miembro c de C sea dado localmente por potenciales en B, y
estos potenciales, tomados en conjunto, son una sección del paquete correspondiente
H1(X,A).
Convención 1. Con frecuencia nos referiremos a un miembro v de H1(X,A) como un
, a un miembro c â € ¬ (C ) como un divisor y si â ¬ (c ) = v llamaremos a c a
divisor del paquete v. Creemos que esto aumenta sustancialmente la legibilidad de
el periódico.
Definición 2. El soporte de un divisor c • • • (C ) se define como el com-
la aplicación de la unión de todos los conjuntos abiertos U tal que c
Lemma 3. Si un conjunto abierto U se encuentra fuera del soporte de algunos c â € â € ¬ (C ) entonces
f−1(U) se encuentra fuera del soporte de fC (c)
Prueba. Observamos que por la definición de un f -cohomomorfismo fC : C → C,
desde el cohomomorfismo fC en C (U) es un homomorfismo de C (U) a
C (f−1(U)) y la acción inducida de fC en el caso de C (C ) restringido a U debe estar de acuerdo
con su acción C (U) → C (f−1(U)), entonces si un conjunto abierto U está fuera de la
soporte de c entonces f−1(U) está fuera del soporte de fC (c).
Serán de interés las siguientes condiciones para un v â € H1(X,A ) dado:
Definición 4. Nos referiremos a un paquete v • H1(X,A ) para el cual (H1p)(v) =
0 como si estuviera cerrado.
Tenga en cuenta que esta noción depende de la secuencia exacta A → B → C,
y no sólo en v. Si B es γ acíclico, entonces cada miembro de H1(X,A) está cerrado.
Definición 5. Llamaremos a un paquete v • H1(X,A ) punto base libre si para cada
x x x hay algún divisor c c (C ) asociado a v cuyo soporte hace
no contiene x.
Lemma 6. Si B es suave, X es un espacio topológico regular, y un H1 (X,A )
es un paquete cerrado entonces a es punto base libre.
Prueba. A partir de la secuencia exacta larga hay algunos c′ â € ¬ (C ) con â € ¬ (c′ ) = a
y dado cualquier punto x + X, del hecho de que B
C el germen c'x de c
at x es la imagen bajo qx de algún germen b
x de B) a x. Elegir un abierto
barrio U de x en el que hay algunos b′ B(U) con b′ x = b′′ x. Los
suposición topológica en X implica que hay un barrio V b U
de x. El hecho de que B es suave implica que hay algunos b â € â € â € â € (B) de tal manera que
. A continuación, c = c′ − b â € € € € (C ) tiene â € (c ) = a y x 6â € Supp(c ).
Definición 7. Nos referiremos a un paquete a H1(X,A) tal que fA (a) = a
para algunos C como un eigenbundle.
También nos parece útil introducir una noción relevante de expansividad
de un mapa f : X → X relativa a un punto de base libre de eigenbundle cerrado v
H1(X,A ).
Definición 8. Dado un punto base libre eigenbundle cerrado v H1(X,A )
entonces decimos que f es cohomológicamente expansivo en x para v si para cualquier abierto
barrio U de x y cualquier divisor c â € ¬ (C ) de v, el conjunto U se intersecta la
soporte de fkC (c) para todos los k suficientemente grandes.
Observación. Es un corolario de la definición que el conjunto de puntos en los que
f es cohomológicamente expansivo para v es cerrado y adelante invariante. Si
Supp fkC (c) = f
−k(Supp(c)) para cada c • • • (C) a continuación, el conjunto de cohomolog-
los puntos expansivos son totalmente invariantes.
La noción de ser cohomológicamente expansivo en x para v significa aproximadamente
que bajo iteración por f barrios pequeños U de x siempre crecen para cubrir
suficiente de X que el retroceso del paquete v al conjunto fk(U) es un no trivial
paquete en fk(U) cada vez que k es grande.
Demostramos que si B es suave y X es un espacio métrico compacto entonces algunos
la expansión mínima se lleva a cabo en los puntos donde f es cohomológicamente expansiva
para un eigenbundle cerrado a H1(X,A ).
Utilizamos B (x) para denotar la bola de radio alrededor de x.
Lemma 9. Que X sea un espacio métrico compacto. Si B es suave y v es un cerrado
eigenbundle entonces existe ♥ > 0 tal que para cada > 0 existe
algunos K > 0 tales que si f es cohomológicamente expandiendo en x entonces para cada
k > K, diam fk(B (x)) >
Prueba. El paquete v es punto base libre por Lemma 6. Usando la compacidad nosotros
puede concluir que hay una cubierta abierta finita U1,. ...................................................................................
cada j, Uj es desconectado de Supp cj para algunos cj.» (C ) con »(cj) = v. Nosotros
probará el lema por la contradicción. Deja que sea el número de Lebesgue de la
Cubre U1,. ............................................................. Si el lema es falso hay algunos > 0 y algunos aumentan
secuencia kn y puntos xn en el que f es cohomológicamente expansivo de tal manera que
diam fkn(B (xn)) ≤ para cada n. Al ir a una secuencia si es necesario nosotros
puede asumir que xn converge a un punto x. Dejar U = B 1
(x. ) Vemos que
U â € B (xn) para todos los n grandes y por lo tanto hay un cj de c1,. ........................................................................
fkn(U) está desconectado de Supp cj para infinitamente muchos valores de n.
U es discontinuo de Supp fknC (cj) para infinitamente muchos n, contrariamente a x
Un punto en el que f es cohomológicamente expansivo para v.
Hemos incluido Lemma 9 para mostrar que nuestra noción de expansión cohomológica
es realmente expansivo. Sin embargo, dependiendo de la naturaleza de A, siendo coho-
expansivo puede implicar que los barrios crecen mucho bajo
iteración de hecho. En Lemma 10 mostramos que dado cualquier conjunto cerrado K tal que
el retroceso de un punto fijo libre cerrado eigenbundle a H1(X,A ) a K es un
Un paquete trivial entonces cualquier barrio U de un punto en el que f es cohomolog-
ticamente expandiendo para a es tan expandido bajo iteración que fk(U) 6
todo lo suficientemente grande k. La colección de tales conjuntos K típicamente contiene muy
grandes conjuntos sobre cada punto así que no importa dónde fk(x) es la conclusión que
fk(U) no se encuentra en ninguna intK implica que algunos puntos de fk(U) deben estar muy lejos
de fk(x). El punto es más o menos que grandes iteraciones de cualquier barrio de
x no puede ser contraída homotópicamente a un punto en X.
Lemma 10. Si B es suave, entonces para cualquier conjunto cerrado K â € ¢ X de tal manera que la imagen
de H1(X,A ) → H1(K,A
) es cero, dado cualquier divisor c • • • (C ), hay
Se admite otro divisor c′ (C ) asociado al mismo paquete y c′
fuera del interior de K. En consecuencia, si f es cohomológicamente expansivo
a x x x para algún punto de base libre cerrado eigenbundle a H1 (X,A ) entonces
necesariamente para cualquier barrio U de x, fk(U) 6-intK para todos los k grandes, donde
intK es el interior de K.
Prueba. Usamos el diagrama conmutativo
H0(X,B)
•q //
H0(X,C)
H1(X,A )
H0(K,B
*q // H0(K,C
// 0
que hemos escrito utilizando H0 en lugar de..........................................................................................................................................................................................................................................................
ent espacio es en cada caso. De la exactitud hay algunos β â ¬ H0 (K,B
De tal manera que el valor de la letra c) sea igual o superior al valor de la letra c) del apartado 1 del presente artículo.
. Entonces como B es suave el mapaH0(X,B)→ H0(K,B
es sujetivo por lo que hay algunos b â € ¬ (B) = H0(X,B) de tal manera que b
= β. Entonces
c′ = c − (q)(b) tiene (c′) = (c) y c′
= 0 por lo que Supp(c′) está desconectado de
el interior de K.
Es fácil ver que si f es cohomológicamente expansivo en x â € ~ X para algunos
punto fijo libre cerrado independiente a H1(X,A ) entonces necesariamente para cualquier
barrio U de x, fk(U)• Supp c 6= • para todos los grandes k para cualquier c • • (C ) tales
que ♥(c) = a. Por lo tanto fk(U) no puede estar en el interior de K para cualquier grande
Convención 2. Dejamos que K sea R o C, aunque nuestros teoremas centrales
solo requiere que K sea un campo completo con un valor absoluto.
El siguiente Teorema se aprovecha del hecho de que en una exacta se-
quence los valores propios de los miembros de miembros no adyacentes de la secuencia
no tienen que estar de acuerdo para dar condiciones bajo las cuales uno puede “levantar”
miembros fijos de un período de la secuencia exacta a un miembro fijo de la pre-
Término de cesión. Interpretado como una declaración en el contexto de la cohomología de la capa
podremos utilizar este Teorema para sacar conclusiones dinámicas.
El teorema muestra que cada eigenbundle cerrado del mapa inducido
fA: H
1(X,A) → H1(X,A) con un valor propio suficientemente grande tiene un valor único
divisor invariante asociado c (C ).
Definición 11. Dado cualquier dimensión finita K vector espacio V junto con
un mapa lineal g : V → V y cualquier número real positivo r, dejamos que el r cron-
el subespacio de V en expansión icónica sea el lapso de los subespacios asociados2 a
valores propios de valor absoluto mayor que r. Nos referimos al 1 crónicamente
expandiendo el subespacio simplemente como el subespacio en expansión crónica.
Teorema 12 (Teorema Subespacial Invariante Único). Vamos a asumir la
A continuación:
• f : X → X es un automapa continuo de un espacio topológico X.
• Se nos da un autocohomomorfismo de una secuencia exacta corta de
gavillas en X,
p→ B q→ C
• (B) es un espacio de Banach sobre K, y existe algunos α, d • R>0 tales
que fBk(B) ≤ d · αkÃ3BÃ3r para k à r, B à r, B, B, B, B,
• C es un espacio vectorial topológico sobre K.
• Si una secuencia de divisores converge a otro divisor C
entonces el apoyo de C.O.C. está contenido en el cierre de la unión de la
apoyos de Ci.
• Los mapas son continuos.
• Se nos da una dimensión finita H1(fA) invariante subespacio W de la
α expandiendo crónicamente el subespacio de H1 (X,A ). También requerimos que W
estar constituidos únicamente por bultos cerrados.
2Significado para cada autovector ♥ incluimos no sólo el espacio propio, sino también cada
v • V de tal manera que (g • • · idV ) n(v) = 0 para algún número entero positivo n.
A continuación, dado cualquier mapa lineal K s : W → •(C ) de tal manera que •s = idW hay un
Mapa lineal de K : W → •(B) satisfactorio
• := lim
(en fC )
ksgk = s+ (q) (3)
donde g : W → W es la inversa de H1fA
. Bajo iteración tiran hacia atrás el
reescalonadas de cualquier divisor C • • (C ) de un paquete w • W convergen
hacia el plano invariante de los divisores (W ) (C ). El mapa : W →
(C) es el mapa único que hace el diagrama
wwoo
(C)
// H1(X,A )
wwoo
// (C )
// H1(X,A )
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por último, para cualquier punto de base libre eigenbundle v
el correspondiente divisor invariante (v) (C ) está contenido en el conjunto de
puntos en los que f es cohomológicamente expansivo para v.
Prueba. Tomamos nota de que
(lfC )sg−s
= 0 y por lo que hay un mapa
tales que (q) = (fC )sg − s.
Definir Φ: Hom(W,•(B)) → Hom(W,•(B)) por Φ( Nosotros
demostrará que la secuencia de mapas Φk se contrae exponencialmente en
Hom(W)(B)(B)). Fijar una norma sobre W. La suposición de que W yace en
el subespacio de expansión crónica α de H1(X,A ) implica que existe
algunos β > α y algunos c > 0 tales que â € ¬ g−k(w)â ≤ ckâ € € para k â € N,
W. Esto con la suposición sobre la tasa de expansión de la fB fácilmente
implica que
k(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l(l)(l)(l(l)(l(l)(l)(l)(l)(l(l)(l)(l)(l)(l(l)(l)(l)(l)(l)(l(l)(l(l)(l)(l(l)(l(l)(l)(l(l)(l(l)(l)(l(l)(l(l)(l(l)(l)(l)((l)(l)(l)(l)()())(()))()()()()()(l(l()))())()()(()()()))))()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())))(()()))(()))()()))))())))))((((((((()))))))((((())))((())))(())))(((((((((()))))))(((()))((((((((((())))))))))))()()()((((()))))((((((((())((())))))()())(((()))))))(((((((()))))))
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Por lo tanto Φk es un operador de norma no más que cd
, donde α < β.
Letting lk = + Φ(l) + Φ
2..............................................................................................................................................................................................................................................................
a algún mapa. Se confirma fácilmente que (q)k = (fC )
ksg−k − s. Ecua-
a continuación, se sigue por la continuidad de la letra q).
Las conclusiones sobre el mapa son consecuencias fáciles de su definición.
Para la conclusión final nota que si dejamos W ser el lapso de v entonces
ya hemos demostrado que si C es el miembro invariante único de •(C )
asociado a v entonces para cualquier divisor c′ (C ) que satisfaga (c′) = v dejando
ser el valor propio de v que podemos escribir c′ = فارسى(v) + (q)(b) y la ecuación 3
se convierte en (fC )
kc′/lk = Ł(v) + (lq)(lfB)
kb/23370/k donde el término final va a
cero como k â € (según nuestras suposiciones sobre las tasas de crecimiento de g−1 y â € fB). Por lo tanto
(en fC )
k(c′)/k converge a c = فارسى(v). Si U es cualquier subconjunto abierto de X y si la
soporte de c′ es desconectado de fn(U) para valores arbitrariamente grandes de n, a continuación, el
apoyo de ( > fC )
n(c′) debe estar desconectado de U para valores arbitrariamente grandes de
n. Puesto que, redimensionado, estos convergen a c entonces U debe estar fuera del soporte
de c.
Observación. Aunque no hemos requerido formalmente que X sea compacto, la re-
el requisito de que el "B" sea un espacio Banach hace de este el caso principal en el que
Teorema 12 es apto para tener aplicaciones interesantes.
El teorema 12 muestra que entre todos los miembros de la C representa un coho-
clase de mología en W hay un subespacio lineal invariante único que puede ser
que se identifiquen con W y todos los demás miembros de la C se contraten para ello.
copia invariante de W en el punto C bajo (reescalonado) pullback.
Corolario 13. Supongamos que la hipótesis de Teorema 12 están satisfechos, y
que g : W → W está dominado por un único valor real eigen r > 0 con
eigenvector v. Dejemos que C • • v) sea el divisor invariante único de v. Entonces dado
un divisor C′ de cualquiera de las subcategorías W de las subcategorías FkC reescalonadas sucesivas (C )
′)/rk
convergen a un múltiplo (posiblemente cero) de C.
Prueba. Esto es una consecuencia directa de la ecuación (3).
La suposición de que g : W → W está dominado por un solo simple real
eigenvalue está destinado a manejar la situación más típica, y no es un e-
restricción sential.
Observación. Dado que para un fijo f : X → X la categoría de las gavillas SC A
en X dotado de un f autocohomomorfismo F es una categoría abeliana
con suficientes inyectores, a continuación, el functor Fijo
secciones de A bajo F se dejarán exactas y sus functores derivados derecho deben
ser de interés dinámico. En el caso de que A sea una capa de funciones y
f es invertible esto es sólo cohomología de grupo con el grupo Z actuando sobre
(A) y ha sido objeto de estudio durante algún tiempo (véase, por ejemplo. [Kat03]). Nosotros
anticipar el estudio del caso de las gavillas más generales A y el derecho derivado
los functores de la composición Fijo en un papel futuro, incluido el caso de
Endomorfismos.
3.1 Regularidad y positividad
Típicamente nuestros resultados de regularidad para los miembros del plano invariante
ser más fácilmente descrito en términos de B en lugar de C. Por lo tanto, hacemos
la siguiente definición.
Definición 14. Teniendo en cuenta un subfijo B′ + B diremos un divisor C + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Potenciales locales de B′, si C • • • (q(B′)). Esto es equivalente a exigir que
cada punto x X hay un barrio abierto U y algunos B′ B′(U)
tal que q(B′) = C
La prueba del Teorema 12 proporciona implícitamente un método para probar la regularidad
resultados para los miembros del plano invariante (W ). Hacemos esto explícito como un
corolario (de la prueba).
Corolario 15. Supongamos que se nos da f : X → X y una secuencia exacta corta
de las gavillas A
p→ B q→ C satisfaciendo la hipótesis del Teorema 12. Asumir
que B′ es una subhoja de B y que BfB(B)
′) B′. Dejar C ′ ser la imagen de
B′ under q : B → C. Dejar A ′ A ser el núcleo de q : B → C ′. Asumir
que el mapa canónico H1(X,A ′) → H1(X,A ) es inyector. Asumir que
hay miembros de base w1,. .., wk de W con divisores cada uno de los cuales tiene local
potenciales en B′. Que r sea la inversa del valor absoluto de la mayor
eigenvalue de g−1 (así que para todos los j ≥ 0, g−j es un operador de norma no más
que cr−j para algunos c > 0) Finalmente asumir que para cualquier secuencia de números
aj, j = 0, 1, 2,... tal que aj no es más que una constante veces r−j como
la secuencia exponencialmente decadente
a0 B + a1 (lfB) (B) + a2 (lfB)
2 (B) + · · · (4)
Converge en la estructura espacial de Banach en B a un miembro de B.
A continuación, el mapa : W → • (C ) aterriza en • (C ′ ).
Prueba. Puesto que W yace en el subespacio de expansión crónica α de W entonces necesi-
α/r < 1. Por lo tanto, los términos de la ecuación (4) tienen una disminución exponencial
normas y la serie está decayendo exponencialmente.
Por la suposición de un divisor en C ′ para cada miembro wj de una base
a continuación, el mapa s : W → (C ) en Teorema 12 se puede asumir para aterrizar en C (C ′ ).
Entonces (fC )sg
−1− s aterriza en (C ′) y satisface •(fC )sg−1− s) = 0. Desde
H1(X,A ′) → H1(X,A ) inyecta fácilmente se sigue que para cada wj se puede
elegir (wj) para ser un miembro Bj de B(B)
′. Usando la base w1,. ............................................
g−1 como matriz A, y dejando aij,` ser la entrada ij de A
` (así para cada ij, aij,'es
limitado por una constante veces r) vemos que (wj) = Bj + (fB)(a1j,1B1 +
· · akj,1Bk) + (fB)2(a1j,2B2 + · · akj,2Bk) + · · (fB)`(a1j,`B1 + · ·
akj, 'Bk). Recopilando todos los términos B1, B2, etc... de la mano derecha
lado vemos que ♥ = limkà ° Łk es un miembro de Ł(B
′) y, por lo tanto, la tierra
En el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el artículo 6A.b, en el artículo 6A.b.
La siguiente observación trivial será suficiente para nuestra positividad necesaria
conclusiones.
Observación. Supongamos que tenemos un f autocohomomorfismo de un corto exacto
secuencia de gavillas A
p→ B q→ C satisfaciendo la hipótesis del Teorema 12,
y también un subcasco C ′ ° C de tal manera que
1. C ′ se cierra multiplicando por R>0. Tenga en cuenta que C ′ no es necesariamente
una vaina de módulos K, o incluso de grupos.
2. fC (C
′) C ′
3. El valor de la unidad de medida será igual o superior al valor de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de medida de la unidad de medida de medida de medida de la unidad de medida de medida de medida.
A continuación, para cualquier eigenbundle cerrado v H1(X,A ) con valor propio en K0 y en
el divisor único invariante C, C, C o C de v también
se encuentra en el punto C ′.
Prueba. La prueba es trivial ya que C = limkÃ3(fC )
k(C′)/
el valor propio de v.
4 Cohomología Subhoja
En las aplicaciones de Teorema 12 es común que hay un bien entendido
secuencia exacta de las gavillas
d0→ S1
d1→ S2
d2→ · · · (5)
y que B es un subhoja de Sk para algunos k, A es el núcleo de dk
: B →
Sk+1 y C es la imagen de B en Sk+1. Por otra parte, en estos casos el auto co-
homomorfismo f en A → B → C es inducido por un autocomomorfismo f
de la secuencia (5). Para aplicar el Teorema 12 a estos casos necesitamos
entender el módulo R H1(X,A) y su automapa inducido.
No parece haber una manera computacional útil de extraer un
resolución inyectora de A utilizando subvasos de S0
d0→ S1
d1→ · · · incluso si esto
La última secuencia es acíclica. Considere, por ejemplo, el caso donde para cada n,
Sn es la vaina de corrientes de grado n y B Sk es una vaina de levemente
corrientes regulares. No está claro que uno podría hacer el método de regularización de
[dR84] trabajo para comparar los grupos de cohomología H1(X,A) con deRham porque
su operador de homotopía de cadena A no se limita bien a B ya que dA no
preservar la regularidad. Usamos un truco cohomológico estándar de la gavilla, que nosotros
incluir aquí como una propuesta que necesitaremos y que esperamos ser
comúnmente utilizado en la conjución con el Teorema 12 debido al requisito
que el B sea un espacio de Banach.
Teorema 16 (Cohomología de la Subzona). Supongamos que se nos da una exacta se-
Quence de las gavillas S0
d0→ S1
d1→ S2
d2→ · · · y que B es un subhoja de SK para
algunos k ≥ 1. Dejar A = ker dk
, y B′ ser la preimagen de B bajo dk−1.
Asumir además que para cada j ≥ 1 tenemos Hj(X,B′) = 0, Hj(X,B) = 0
y para cualquier m que satisfaga 0 ≤ m ≤ k − 1 tenemos Hj(X,Sm) = 0 para j ≥ 1.
Entonces para cada n ≥ 1 hay un isomorfismo canónico
Hn(X,A ) = Hn+k(X, ker d0).
Prueba. Si bien este resultado es esencial para nosotros, su prueba es un cohomo estándar.
truco lógico. El primero señala que ker dk−1
= ker dk−1 por la definición de
B′. Uno tiene las secuencias exactas cortas de gavillas:
ker dk−1 → B′ → (dk(B′) = A )
ker dj → Sj → ker dj+1, j = 0,...., k − 2.
Teniendo en cuenta las secuencias exactas largas para estos muestra que los mapas inducidos
Hn(X,A )→ Hn+1(X, ker dk−1) yHn+j(X, ker dk−j)→ Hn+j−1(X, ker dk−j−1)
son isomorfismos para j = 1,...., k−1. Componiendo cada uno de estos iso canónicos...
morfismos da un isomorfismo canónico de Hn(X,A )→ Hn+k(X, ker d0).
Observación. Lo tomamos como claro de la funcionalidad del mapa de la larga
secuencia exacta que dio un cohomomorfismo f-self de S0
d0→ S1
d1→ S2
· · · qué mapas B a sí mismo que el mapa inducido de H1(X,A) se identifica
con el mapa inducido de Hk+1(X, ker d0) a través del isomorfismo anterior.
Necesitaremos una herramienta más para poder hacer un uso eficaz del Teorema 16
para calcular la cohomología de las gavillas de las gavillas de las corrientes.
Definición 17. Por un flujo de intervalo h en un intervalo abierto limitado I â € R nosotros
significará el flujo obtenido mediante la integración de un campo vectorial de la forma
donde es positivo exactamente en I y cero en otros lugares. Utilizamos h(x, t) para denotar
la ubicación de x + R después de seguir el flujo para el tiempo t.
Definición 18. Por n-box en Rn significaremos un subconjunto abierto que es
un producto de n intervalos abiertos limitados I1,. .., In. Por una n-caja en una n
Multiplex dimensional nos referiremos a un n-box que es compatible de forma compacta
en algún parche de coordenadas. Por una subcaja n de una caja n U = I1 × · · · × En nosotros
significa una caja n del formulario I ′1 × · · × I ′n donde I ′k es una subintervalo de Ik
por cada k + 1,..., n.
Definición 19. Por flujo de n-box nos referiremos a la acción Rn h en Rn
que es el producto de los flujos de intervalo n h1(t1),. ........................................................................................................... Eso es.
h(x, t) = (h1(x1, t1),. .., hn(xn, tn)) donde x = (x1,. .., xn), t = (t1,. ...............................................................
y h1,. .., hn son flujos de intervalo en I1,. .., En respectivamente. Nos referimos a la
n-box I1 × · · · × In como soporte abierto del flujo de n-box. A menudo vamos a ht
para denotar el difeomorfismo h(·, t) : Rn → Rn.
Definición 20. Que h sea un flujo de n-box en un n-box B. Vamos a ser un compacto
soporte suave forma de volumen en Rn. Con estos datos definimos un operador
En las formas k lisas de cualquier n caja U que contenga B por
Sh.(l) =
h*t (l)(t) (6)
Decimos Sh, define una rotulación de caja en U, o rotunda U. Omitiremos el
subíndice de Sh,l cuando el significado está claro del contexto. Está claro S()
es soportada compactamente en U si es .
De la definición de S se deduce claramente que si la forma n− k en U entonces
SH.(l)............................................................................................................................................................................................................................................................
- S-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H
donde-H es la familia Ht con el parámetro negado. De esta motivación
Definimos una mancha de una corriente.
Definición 21. Teniendo en cuenta h, la definición de un frotis en una caja n U se define la
frotis en las corrientes en U a través de
< Sh,?(C),? C,S−h,?(?) >.
Lemma 22. Teniendo en cuenta h, la definición de una mancha S en una caja n U entonces d
S(dC) para corrientes C en cualquier subconjunto abierto de U que contenga el soporte abierto
de la mancha. Además, restringido al soporte abierto del frotis, S(C) es un
forma suave en V.
Prueba. Observamos que está claro que d
= S, para los formularios, y
En consecuencia, para las corrientes, a través de la definición.
Porque en el apoyo abierto de la mancha, una mancha es sólo la convolución
con una función suave, entonces vemos que si V es un subconjunto abierto del abierto
soporte de la mancha S en U entonces para cualquier corriente C en U, S(C)
es un suave
forma en V.
Proposición 23. Dejemos que B sea una vaina de corrientes de grado k. Asumir que B
contiene la vaina de formas k lisas en X, y que B(U) se cierra bajo
frotis en cualquier n-caja U â € X. Dejar B′ ser la preimagen bajo d de B en la
vaina de grado k − 1 corrientes. Entonces B′ es suave, y por lo tanto, acíclico.
Prueba. Para demostrar que B′ es suave es suficiente demostrar que B′ es localmente suave
([Bre97] página 69). Dado un n-box U en X por lo tanto, sólo tenemos que mostrar
que si K es un subconjunto cerrado de X en U y si W es un barrio abierto
de K a continuación, dado cualquier miembro B′0 de B
′(W) hay un barrio abierto
W0 W de K y un miembro B′ de B′ (U) de tal manera que B′
= B′0
Elija cualquier par de conjuntos abiertos V1, V2 tal que K b V1 b V2 b W. A continuación,
V2 \ V1 es compacto y por lo tanto puede ser cubierto por finitamente muchos (abierto) n-
subcajas Y1. ............................................................... Por otra parte, estas subcajas se pueden elegir todos para ser
Desconectado de K y mentir dentro de W. Dejar S1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
soporte abierto Y1,. .., YN respectivamente deja B = S1(S2(· · · (SN(B′0)) · · · )).
A continuación, en cada Yj, B se da por una forma k suave. Además, B
= B′0
. Por último,
elegimos una función suave : U → [0, 1] que es uno en un barrio
de V1 y cero en un barrio de U \ V2. A continuación, el B′ actual
se extiende (por cero) a una corriente en todo U. Entonces para cada Yj, B
tiempos de funcionamiento suaves una forma suave. Así d(B′
) es una forma suave y
Figura 1: Una corriente compuesta de submanifolds paralelos manchados y cortados.
yace en B(Yj). Las cajas Yj cubren V2 \ V1. Fuera de V2, B′ es idénticamente cero.
Sabemos que dB-B(W) de Lemma 22. También sabemos que 1 en
un barrio abierto W1 de V1. Así d(B)
) = d(B
) B(W1). Nosotros
por lo tanto, concluir que B′-B′(U) desde su restricción a cada Yj, a W1 y a
U \ V2 es una sección de B′. Dejando W0 = V2 \ (Y1 â € Y2 â € · · · YN) entonces W0 es
un barrio abierto de K, a continuación, W0 W1 así que B′
= B′0 desde
W0 está desconectado del soporte abierto de cada una de las manchas S1,. ............................................................................................... Esto
completa la prueba de que B′ es suave.
La siguiente da una generalización amplia de la ecualivalencia de la co-
homología de corrientes con los grupos de cohomología de Rham. A la del autor
conocimiento, este resultado es nuevo.
Corolario 24. Dejemos que B sea una vaina de corrientes de grado k. Asumir que B con-
contiene la vaina de formas k lisas en X, y que B(U) se cierra bajo
frotis en cualquier n-caja U â € X. Dejando que A sea la capa inferior de d miembros cerrados
de B, entonces
Hm(X,A ) = Hm+k(X,K),
donde K es R o C dependiendo de si permitimos o no valores complejos
corrientes y formas.
Prueba. Esta es una consecuencia inmediata de la Proposición 23 y del Teorema 16.
5 Corrientes Invariantes
Notación 1. Si G es alguna vaina de funciones en un colector orientable suave
X usaremos F k(G) para denotar la vaina de formas k en X con coeficientes
en G. Dejaremos que F kc (G ) sea el subhoja de cerrado (en el sentido de las corrientes)
miembros de F k(G ).
Será conveniente utilizar ya sea el grado o la dimensión de una corriente de-
en el contexto (así como la dimensión y la codimensión son útiles para
Por lo tanto, no nos ceñiremos a uno de estos términos. Lo haremos.
que C k denote la vaina de las corrientes de grado k con el índice escrito arriba
como es típico para la cohomología ya que d aumenta el grado. Nosotros también lo haremos.
escribir Ck para la vaina de la dimensión k corrientes con el índice escrito a continuación
ya que d disminuye la dimensión como es común para la homología. Usamos lo siguiente:
convención para realizar una forma α como una corriente de modo que si α es C1 entonces dα es la
lo mismo si se calcula como una corriente o un formulario.
Definición 25. Dada una forma k α con coeficientes L1 en un n multiforme X
realizamos α como un grado k corriente vía
β 7→ (−1)(
α β
Definición 26. Dado un (posiblemente complejo) no cero deRham cohomología
clase c • HkdeRham(X) con f
*(c) = α · c para algunos escalares α • C nos referiremos
a una corriente C en la misma clase de cohomología como α como una eigencurrente para f si
f*(C) = αC.
Las corrientes empujan naturalmente hacia adelante, en lugar de retroceder. Porque somos
teniendo en cuenta los mapas que no son necesariamente invertibles que necesitamos abordar
cómo se realiza este retroceso. Si f tiene puntos críticos es imposible
definir una operación de retirada continua f * en todas las corrientes de una manera que esté de acuerdo
con casos esperados. Por ejemplo, considere f(x) = x2 y deje Ca ser el
Dimensión una corriente en R con Ca(h(x)dx) = h(a), es decir. Ca es una unidad de masa
vector. A continuación, la pullback f *(Ca) debe ser la suma de las masas unitarias ponderadas
en las dos preimágenes de este vector (al igual que el retroceso de una masa de punto
es una suma de masas de puntos cada una ponderada por multiplicidad), es decir, f *(Ca) =
Caa − Ca
. Sin embargo, estos retrocesos no convergen a una corriente como
a → 0 so f ∗(C0) no está definido. Ya que queremos que f* sea continuo, estamos
obligado a trabajar con corrientes que tienen una regularidad extremadamente leve. Nosotros
Abordar esto en la siguiente sección.
5.1 Formas ágiles y corrientes flexibles
Encontrar un buen conjunto de corrientes para usar para estudiar mapas finitos lisos (no
necesariamente invertible) de colectores compactos resulta ser bastante delicado.
Nuestra solución es primero ampliar nuestra clase de formas para incluir pushforwards (en
el sentido de las corrientes) de las formas a través de una clase apropiada de mapas lisos.
Entonces limitamos nuestra atención a las corrientes que actúan sobre esta clase extendida
de formas.
Esta solución tiene la propiedad muy agradable que se puede adaptar potencialmente
para estudiar directamente la dinámica de otras diversas categorías de
mapas (cambiando simplemente qué formas se consideran ágiles, según
a la clase de mapas utilizados). Será conveniente definir primero lo natural
operador de empuje hacia adelante en los formularios:
Definición 27. Dado un compacto colector orientable X dejamos que SX sea el
categoría de mapas lisos f : X → X de grado no cero y que tienen el
propiedad que el conjunto crítico tiene la medida cero. Usamos el conjunto crítico aquí para
significa los puntos en los que Df no es invertible.
De nuestra definición se deduce que la imagen de cualquier conjunto de medidas positivas
debajo de algunos f • SX tiene una medida positiva.
Definición 28. Dado un colector X orientable compacto, definimos N k para ser
que son una suma finita de corrientes de la forma p*(
p : X → X es un mapa en SX y es una forma de grado k. El pushforward
p*(l) se calcula en el sentido de corrientes.
Más tarde demostraremos que las formas ágiles son también, de hecho, formas de buena fe.
Definición 29. Topologizamos a N k diciendo Łj → ♥ en N k si para lo suficiente
j grande hay mapas f1,. ........................................ ...........................................................................................................
1 °, 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° .........................................................
i fi*(lj) = lj y
i fi*(?i) = (donde pushfor-
los pabellones se toman en el sentido de las corrientes) y para cada i â € 1,..., k, las formas
En el sentido fuerte (es decir, en el sentido de la palabra. todos los derivados convergen de manera uniforme).
Lemma 30. Dado un compacto y orientable múltiple, N k(Y) es un topológico
espacio vectorial.
Prueba. Esto se sigue fácilmente de nuestra definición de la topología.
Ahora definimos el espacio correspondiente de las corrientes.
Definición 31. Definimos la dimensión k corrientes indulgentes Lk(Y) a ser
el dual topológico de N k(Y ). Cada miembro de Lk(Y) es una dimensión k
actual, pero con la estructura añadida de su acción en todas las formas k ágiles. Nosotros
Dale a Lk la topología débil, es decir. Ci → C en Lk iff < Ci,
Escribimos L k para las corrientes indulgentes de grado k.
Definimos las operaciones de productos de cuña con formas lisas como es habitual para
corrientes. Está claro que la dimensión indulgente k corrientes dan una capa en X.
Las siguientes propiedades de formas ágiles también son inmediatamente claras.
Lemma 32. Let f : X → X ser miembro de SX. El pushforward (como
a corriente) de una forma nimble k por f es de nuevo una forma nimble. Además
f*: N
k(X)→ N k(X) es continuo (en la topología de formas ágiles). También
el derivado exterior de una forma ágil (como una corriente) es una forma ágil y
d : N k(X)→ N k+1(X) es continuo.
Los hechos básicos necesarios sobre retirar corrientes indulgentes son entonces
inmediata. Los declaramos aquí:
Lemma 33. Dado f : X → X un miembro de SX el mapa inducido f * en el
es un cohomomorfismo f de las gavillas. Ambas cosas.
f ∗ : L k(X) → L k(X) y d : L k(X) → L k+1(X) son continuas. Por último,
f*d = df*: L k(Y)→ L k+1(X).
Proposición 34. Supongamos que f : X → X es miembro de SX. Deja que R sea el
conjunto regular de f. El teorema R de Sard tiene la medida completa. Desde el conjunto crítico
es compacto entonces R es un subconjunto abierto de X. Desde la preimagen de una medida
cero conjunto tiene la medida cero para los mapas SX entonces f−1(R) es también una medida completa
abierto en X. Hay una operación bien definida f? que mapea k formas en
f−1(R) a k formularios en R. Dado un k formulario β en X, f?(β) se define en cualquier
abrir subconjunto V â € R tal que cada componente U1,. .., Um de mapas f−1(V )
diffeomorphically en V por la fórmula
¿F?(β)
deg f
(β) · i (7)
donde el grado orientado de f
: Ui → V. La pushforward
¿F? cumple:
• f?d = df? (Teniendo en cuenta que f? devuelve una corriente en R)
• f?(1) = 1
• f?(f ∗(β) • α) = β • f?(α)
• (f?)n = (fn)?
• La fórmula
f ∗(β) • α =
β Ł f?(α) (8)
se mantiene para cualquier forma k β con coeficientes L-loc en Y y cualquier suave n-k
forma α en X. Esto justifica el uso de f? para retirar las corrientes. (Parte del
la conclusión es que ambas partes son integrables.)
Prueba. Cada declaración es una consecuencia de la fórmula (7) excepto el integrabil-
ity conclusión para la ecuación (8). Se pueden dar gráficos locales que están delimitados
subconjuntos de Rn y para los que Df permanece limitada uniformemente (sobre cada uno de los
gráficas) y por lo tanto f*(β) será una forma con los coeficientes de Lloc en estas gráficas.
Así, el lado izquierdo de (8) es la integral de una función limitada sobre un
unión finita de gráficos delimitados y por lo tanto es absolutamente integrable. Desde
∗(β) • α) = β • f?(α) basta con demostrar que si γ es una forma n con
Coeficientes de Lloc entonces
f−1(R)
f?(γ). (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
¿Típicamente f?(γ) está sin límites, por lo que tenemos que demostrar que el lado derecho de
(9) es integrable. Sobre cualquier punto x â € TM TM R podemos encontrar un V abierto de tal manera que
cada una de las preimágenes U1,. .., Uk of V es mapeado difeomorficamente en V.
Puesto que X es orientable y n dimensional hay una noción bien definida de la
valor absoluto de una forma n. Entonces...
f?(γ) ≤
deg f
(f
=
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
f−1(V)
NowR está cubierto por muchos conjuntos V y enumerarlos como V0, V1, V2,. ..,
podemos dejar V ′0 = V0, V
1 = V1 \V0, V ′2 = V2 \ (V0+V1),.... Entonces R es la unión
de la colección contable de conjuntos medibles disjuntos V ′j y
f?(γ) =
f?(γ) ≤
f−1(Vj)
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
f−1(R)
Desde
f−1(R)
es finito entonces f?(γ) es una forma L1. Usando exactamente lo mismo
argumento pero con los valores absolutos eliminados y las desigualdades sustituidas
con ecualidades entonces muestra
¿F?(γ) =
f−1(R)
Puesto que R y f−1(R) son de medida abierta y completa, entonces f? es un operador
que toma formas en X y devuelve formas definidas casi en todas partes en
Ahora mostramos que las formas ágiles son formas genuinas.
Lemma 35. Si g : X → X es un mapa en SX y es una forma k suave en X
entonces la actual g*(l) es la corriente de integración contra la forma g?().
Prueba. Si se trata de una forma lisa n − k, entonces por definición < g*(
, g*(l) = (−1)(
(-)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)
¿G?(l)............................................................................................................................................................................................................................................................. (l),.............................................................................................................................................................................................................................................................
por fórmula (8) de la Proposición 34
Como se describe en [Fed69], un producto interior en un espacio vector V puede ser
visto como un isomorfismo ` : V → V ∗ satisfaciendo ciertas propiedades. Los
inverso de ` da el producto interno inducido en V ∗. El hecho de que < v,w
Con la igualdad iff v y w son múltiplos escalares implica que el interior
La norma del producto V* es la misma que la norma del operador V* que actúa sobre V.
El mapa inducido
V* da un producto interior en
Llamamos a esto el producto canónico interior en
V inducido por el prod-
uct en V. Por lo tanto, dada una métrica Riemanniana en X, hay canónica
variando suavemente los productos interiores en
TxX y
T ∗xX para cada x â € ¢ X.
En cualquier punto x x x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos
Dxf® ser la norma del operador de la
función lineal
Dxf :
TxX →
Tf(x)X. Definimos:
DfÃ3r ser
la norma del mapa x 7→
Dxfó. Además, dada una forma de k, definimos
el comass LÃ3loc de lÃ3 ser el L
loc norma de la función x 7→ •
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lo siento.
está claro que las formas k con la norma comass es un espacio Banach. Ahora sí.
mostrar que las formas k con los coeficientes de Lloc son naturalmente corrientes indulgentes.
Comenzamos definiendo la acción sobre formas ágiles.
Definición 36. Dado un n- k forma C con los coeficientes de L-loc que definimos
< C, p*(l) = (−1)(
n−k+1
¿Cómo se llama?(l)
Lemma 37. El espacio F n-k(L-loc) de n-k formas con L
Coeficientes de loc bajo
la norma del comass incluye continuamente en Lk(X) donde la acción de C
F n−k(Lloc) en algunos =
i fi*(i) N
k(X), con cada fi • SX y cada
El valor de F k(C+) viene dado por:
< C,
f ∗i (C)
Prueba. La suposición de que X es compacto significa que cualquier dos Rieman-
Las métricas nian en X son comparables. Escoge uno para que la noción del comass
La norma tiene sentido. El resultado es entonces una consecuencia directa de equa-
tion (8), Lemma 35, y nuestras definiciones.
Observación. De ello se deduce que una corriente con potenciales locales de F k(Lüloc) es también una
Corriente indulgente.
Observación. Dado un miembro C de F k(Lloc) entonces f
*(C) es el mismo si
hecho como una corriente indulgente o como una forma. Esto, junto con el hecho de que df * =
f ∗d justifica la retirada ad hoc de las corrientes positivas cerradas (1, 1) utilizadas de esta manera
con éxito en la dinámica holomórfica. Del mismo modo dC da el mismo resultado
si se calcula como una corriente indulgente o como un formulario si C + F k(C1).
5.2 Hölder Lemmas
Queremos aplicar el corolario 15 para mostrar que cada eigencurrente que con-
struct tiene potenciales d locales (o potenciales ddc en el caso holomórfico) que
son formas con coeficientes continuos Hölder. Para hacer esto necesitaremos
algunos hechos que incluimos aquí para evitar tener que incluir
los resultados de la larización como pensamientos posteriores a nuestros principales teoremas.
Observación. Dejar Hα ser las funciones con coeficientes que son Hölder de
exponente al menos igual a algunos fijos α > 0. Puesto que los difeomorfismos preservan
Hölder exponentes y promedios de funciones Hölder son Hölder entonces tomamos
está claro que el corolario 24 se aplica para demostrar que H1(X,A ′) = H1(X,A )
donde A ′ es los miembros cerrados de F k(Hα)) y A es el grado cerrado k
corrientes.
Lemma 38. Que X sea un colector compacto (real o complejo) con un Rieman-
métrica nian y de dimensión real n. Let f : X → X ser un mapa suave. Entonces
gráficos de coordenadas locales Ui se puede elegir en X (cada uno representa un convexo
subconjunto abierto de Rn) de modo que hay una constante positiva 1 < M por lo que para cualquier
k forma ♥, existen constantes c, C > 0 tales que escribir cada fk*() en cualquier
de los gráficos Ui como
fk*(l) =
akidx
entonces cada función aki satisface
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
y por cada j â € 1,..., n,
aki
≤ C ·Mk.
Prueba. La ecuación (10) es un hecho básico.
El resto es una consecuencia directa de realizar un automapa de un
múltiple como se compone de un montón de mapas entre diferentes coordenadas
parches en Rn. Es decir, se elige una cubierta abierta de parches Ui de X. Cada uno
parche se realiza en Rn como una bola redonda. Pensando en cada parche como tumbado en Rn
entonces podemos encontrar mapas explícitos entre subconjuntos abiertos de Rn de la forma
pij : Ui f−1(Uj)→ Uj. Al encoger cada bola abierta Ui una pequeña cantidad el
los parches resultantes todavía cubren X pero los derivados de los mapas pij son todos ahora
limitado (ya que estamos trabajando en subconjuntos relativamente compactos de
maps pij).
A continuación, dado cualquier x podemos llevar un registro de qué parche fk(x) está en cada vez
y entonces puede realizar el mapa fk(x) como una composición pi1i2 â ¬ pi2i3 â · · â ¬ pik−1ik.
Puesto que cada derivado parcial de cada pij está limitada uniformemente, entonces cualquier parcial
derivado de la composición crece a lo sumo exponencialmente con k y somos
Hecho.
También será útil la siguiente observación:
Lemma 39. Si hay constantes positivas c, C,m,M con m < 1 < M
de tal manera que una secuencia de funciones lisas hk en un conjunto convexo abierto
Satisface
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
y www/23370/hk
< C ·Mk
para todos los k + 0, 1, 2,... a continuación h1+h2+h3+. .. converge a un continuo limitado
función que es Hölder de cualquier exponente α <
log(m)
log(m/M)
Prueba. La prueba es elemental.
5.3 Corrientes autonómicas para la expansión cohomológicamente suave
Llamaremos a una sección V de
TX un campo k-vector. Definimos a V Lloc como
la norma de la función x 7→ â € € ¢ Vxâ € € TM. Si el teorema 12 se aplica a un
mapa dependerá del tamaño de
Dfó. Reemplazar f con un iterado no
afectar la estimación necesaria por lo que hacemos la siguiente definición.
Definición 40. Definimos que el "K" es el límite supremo como j →
D(f j)
j. De ello se deduce que, en el caso de cualquier exponente de Lyapunov,
que Łk ≤ Łk1 ([Fed69] página 33).
Dejamos que B sea la vaina F k−1 (Lüloc). La norma claramente hace que (B)
en un espacio de Banach. Dado un miembro B • • • (B), ya que la norma del operador sobre
TxX es igual a la norma ya definida en
T ∗xX para cada x â € TM X
entonces B es igual a suprema de la norma de la función x 7→ B(Vx)
como V varía en todos los campos de la norma de Lloc k-vector no más de uno.
Teorema 41. Dado f : X → X un mapa en SX para el orientable compacto
multiple X, asumir que c • HkdeRham(X) es una clase de co-homología (usando ei-
la cohomología real o compleja deRham) que es un autorvector de f* con
eigenvalue β. Asumir también que > k−1. Entonces existe un eigen único...
C actual con potenciales locales de F k−1(Lloc) que representan la clase c. Además
C tiene potenciales locales de F k−1(H).
Además, dado cualquier barrio U â € X de cualquier punto en el apoyo de C,
entonces para cada corriente indulgente C′ con potenciales locales F k−1(Lloc) y que
representa la clase de cohomología c y luego fk(U) • Supp C′ 6= • para todos los k grandes.
Supongamos que el mapa lineal f * : HkdeRham(X)→ H
DeRham(X) está dominado
por un solo valor propio real simple r. Dada C′ cualquier corriente que tiene local
Potenciales de F k−1(Lloc) y que representan una clase de cohomología en el
expandiendo crónicamente el subespacio de HkdeRham(X), luego el sucesivo redimensionado
los retrocesos fk*(C′)/rk de C′ convergen a un múltiplo de C en el sentido de indulgente
corrientes (y por lo tanto también en el sentido de corrientes).
Prueba. Dejamos que B = F k−1(L.Loc), A y C sean el kernel y la imagen respec-
ticularmente de B
d→ L k. Por Teorema 24, H1(X,A ) se puede identificar canónicamente
con Hk(X,K). Puesto que B es acíclico entonces cada miembro de H1(X,A) es un
paquete cerrado con respecto a la secuencia exacta corta A → B → C.
De Lemma 33 hay un cohomorfismo f inducido de la ex-
secuencia de acción A
B d→ C. También (C ) es un espacio de corrientes indulgentes por
Lemma 33 y por lo tanto tiene una estructura natural como un espacio vectorial topológico. Si
una secuencia Bi-B-B-Converge a B-B-B-B-B-
Bí.d. =
Por lo tanto, el mapa d : •(B)→ •(C) es continuo.
El cohomomorfismo es fB pullback f
* de formas diferenciales. Fijar cualquier
real α satisfaciendo k−1 < α < es claro de la definición de k−1 que uno
puede elegir una d real > 0 de tal manera que
D(f `) ≤ d para todos ` N.
(B) de B (B) satisface f (B) = supV (B)
D(f)(V))
donde el máximo se toma sobre todos los campos de covectores k V con V ≤ 1.
Sin embargo
D(f `)(V ) es un campo de norma k-covector no más de •
D(f `)®,
Por lo tanto, no se trata de una cuestión de orden, sino de una cuestión de orden.
D(f `) ≤ d · B.
Dada cualquier W en el subespacio de expansión crónica de H
k(X,K),
podemos alterar nuestra elección de α > Łk−1 de modo que W también se encuentra en el α crónicamente
expandiendo el subespacio de Hk(X,K).
Por lo tanto, podemos aplicar Teorema 12 para concluir que hay un (único)
mapa : W → (C ) de tal manera que f = Łf ∗, donde la primera f ∗ es la retirada de
corrientes y la segunda es pullback en Hk(X,K).
De hecho, "W" se encuentra en el espacio de corrientes con potenciales locales de Hölder.
(es decir, F k−1(H) potenciales) aplicando el corolario 15 en combinación con
Observación 5.2, Lemma 38 y Lemma 39. La segunda mitad del Teorema
es una consecuencia de la ecuación (3).
Observación. Teorema 41 da regular grado uno eigencorrientes para cada eigen-
valor de f * : H1(X,K) → H1(X,K) de norma mayor sin requerir
cualquier restricción en el comportamiento local de f. El grado uno eigencurrents
parecen ser, en cierto sentido, más robustos que las corrientes de dimensión inferior,
incluyendo medidas invariantes. Por otra parte, puesto que la codimensión uno cerrado sub-
los colectores son corrientes cerradas con los potenciales locales de F 0(Lüloc) luego sucesivos
preimágenes reescaladas de tales colectores en la clase cohomológica derecha
convergen a la corriente propia.
Observación. El hecho de que las corrientes autonómicas construidas a través de Teorema 41 tienen local
potenciales que son formas no implica su apoyo tiene Lebesgue positivo
medida como el ejemplo clásico de una función monotónica no constante que
es constante en un conjunto de muestras de medida completa.
Observación. El supuesto de que f * : H1deRham(X)→ H
DeRham(X) está dominado
por un solo valor propio real simple r no es esencial, pero sólo destinado a manejar
el caso más simple. De hecho, la prueba realmente muestra que si W yace en el
El subespacio de H se expande crónicamente.
k(X,K) entonces cada corriente en el
el plano invariante de las corrientes tiene potenciales locales de F k−1(H) y
cualquier corriente con clase cohomológica en W con potencial local F k−1(Lloc)
es atraída a فارسى(W ) bajo sucesivo reescalonado pullback.
Dado que las medidas son de particular interés en la dinámica, observamos que H1(X,F n−1(Lloc)) =
Hn(X,K) = K por corolario 24 por lo que hay un valor propio único f* y es
precisamente el grado topológico de f. Obtenemos así:
Corolario 42. Teniendo en cuenta que el nivel 1 < deg f entonces hay una dimensión única
C eigencurrente cero con potenciales F k−1(Lloc) (y de hecho tiene F
k−1(H)
potenciales) y las sucesivas preimagenes reescaladas de cualquier C′ con F k−1 (Lloc)
los potenciales convergen a C. Si además no hay punto x â € ~ X sobre el cual
f es localmente una orientación revirtiendo difeomorfismo entonces C (y todos los demás
miembro de la empresa (W ) es una distribución positiva y, por lo tanto, es una medida de Radon.
Prueba. Desde f ∗ tira hacia atrás de la dimensión cero corrientes (es decir. de distribución) que
son positivos a las distribuciones que son positivas entonces por el corolario 3.1
distribución C es positiva. Por lo tanto, se trata de una medida de Radon (véase, por ejemplo, el caso de Rädon). [HL99]
página 270).
Observación. En el caso de que f esté revirtiendo la orientación en algunas partes de X (pero
no en todas las X) se aplican algunas observaciones especiales. Si sucede eso sucesivamente
imágenes redimensionadas de algún punto convergen a una dimensión cero eigencurrent entonces
ya que las preimagenes de puntos se cuentan con multiplicidad entonces cuando se tira hacia atrás
a través de una porción de X en la que f invierte la orientación el signo de un punto
está volteado. Por lo tanto, en este caso la corriente propia puede no describir tanto
la distribución de las preimágenes como la densidad relativa de las preimágenes contadas
negativamente en comparación con los que cuentan positivamente. Número de efectivos
preimagenes de un punto puede crecer exponencialmente más rápido que el grado de la
en tales casos de modo que la división por el grado no produzca una medida en
el límite a menos que tal “cancelación” tenga lugar en el límite. Uno lo haría.
espera que las corrientes propias correspondientes tienen potenciales locales que son
no de variación limitada en tal caso.
5.4 Eigencurrents para mapas de cobertura suave
Llamaremos a un mapa de cobertura que es localmente un difeomorfismo un suave
mapa de cobertura. Ahora consideramos el caso especial de la auto-cobertura suave
mapas f : X → X de un compacto colector orientable suave X. Mostramos
que en este caso tenemos una colección sustancialmente más amplia de corrientes
sucesivos retrocesos convergen a una corriente propia, aunque necesitamos diferentes
las estimaciones para el teorema 12. Retrocederemos las corrientes empujando
formularios delanteros con f?. Puesto que el conjunto regular de f es todo de X entonces f? es un pozo
operador definido de formas lisas a formas lisas.
Definición 43. Para un mapa que satisface la hipótesis de la Proposición 34 nosotros
definir la operación f * de corrientes en X a corrientes en Y por
< f ∗(C), α C, f?(α) >.
Claramente f* preserva la dimensión de una corriente.
Que Mk−1 sea la vaina para la que Mk−1(U) es el espacio Banach delimitado
operaciones lineales en el espacio de vectores topológicos formado por F k−1(C(U)
con la norma ·. Equivalentemente, Mk−1 es la vaina de la dimensión k − 1
corrientes de masa finita.
Elija una métrica Riemanniana en X. Si f : X → X es una cubierta lisa
a continuación, para cada x x x y cada ` N, Dx(f `) : TxX → Tf`(x)X es invertible.
Dejamos que νk(x, `) sea la norma del operador de la inversa de
TxX k
Tf`(x)X. Definimos νk(`) = supxÃ3X νk(x, `)
1/`. Definimos νk = lim sup νk(`).
La operación de avance iterada f `? : F
k−1(C)(X) → F k1(C)(X)
¿Satisfecho?(l) ≤ νk(`) · · como es fácil de verificar. Si f está en...
vertible entonces νk es un atado en el crecimiento de la k
producto de cuña de la
derivado bajo f−1. En el caso de los no invertibles f, νk representa un límite en el
crecimiento de la cuña kth producto del derivado bajo cualquier secuencia de
ramas sucesivas de f−1.
Teorema 44. Dado f : X → X un mapa de auto-cubrimiento suave y que
c HkdeRham(X) es una clase de cohomología (utilizando real o complejo deR-
cohomología del jamón) que es un autovector para f* con valor propio β. Asumir
También que > @k−1. Entonces existe un C independiente único con local
Mk−1 potenciales que representan la clase c. Además C tiene F local
k−1(C0)
potenciales. En consecuencia, C es una corriente de orden uno.
Además, dado cualquier barrio U â € X de cualquier punto en el apoyo de C, entonces
para cada corriente indulgente C′ con potencial local Mk−1 y que representa
la clase de cohomología c y luego fk(U) • Supp C′ 6= • para todos los k grandes.
Supongamos que el mapa lineal f * : HkdeRham(X)→ H
DeRham(X) está dominado
por un solo valor propio real simple r. Dada C′ cualquier corriente que tiene local
Potenciales de Mk−1 y que representan una clase de cohomología en la
k−1 croni-
cally expandiendo el subespacio de HkdeRham(X), luego los sucesivos retrocesos redimensionados
fk*(C′)/rk de C′ convergen un múltiplo de C.
Prueba. Dejamos que A y C sean el núcleo y la imagen respectivamente de d : Mk−1 →
C k. Desde df? = f?d entonces el retroceso de las corrientes da un cohomomorfismo f
de la secuencia exacta corta de las gavillas A →Mk−1 → C.
Puesto que el Mk−1 es el operador lineal continuo en un espacio vectorial estandarizado
entonces es un espacio Banach. De las observaciones anteriores a la declaración
de Teorema 44 uno concluye que para cualquier α > vk−1 hay una constante d > 0
De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA
Puesto que el C es un espacio de corrientes, es naturalmente un espacio vectorial topológico.
sobre K.
El mapa f ∗ : •(C ) → •(C ) es continuo ya que si Ci → C en •(C ) entonces
< f ∗(Ci), = < Ci, f?C, f?(lc) = < f*(C), (lc) >.
Si Pi → P en Mk−1 (usando la estructura espacial Banach) entonces ·Pi−P® →
0 por suposición a continuación P(dl) − Pi(dl) ≤ P − Pi· · → 0. Por lo tanto
< dPi, > = Pi(dl)→ P(dl) =< dP, l > y por lo tanto concluimos que el mapa
d : •Mk−1 → •(C) es continuo.
Dado cualquier W en el subespacio de expansión crónica de la vk-1 de H
k(X,K),
podemos alterar nuestra elección de α > vk−1 de modo que W también se encuentra en el α crónicamente
expandiendo el subespacio de Hk(X,K).
Por lo tanto, podemos aplicar Teorema 12 para concluir que hay un (único)
mapa : W → (C ) de tal manera que f = Łf ∗, donde la primera f ∗ es la retirada de
corrientes y la segunda es pullback en Hk(X,K).
De hecho, en las corrientes con potencial local continuo por aplica-
por el que se aplica el corolario 15 en relación con la observación 5.2, Lemma 38
y Lemma 39. La segunda mitad del Teorema es una consecuencia del equa-
tion (3).
Proposición 45. Dejar Y ser una codimensión orientada k submanifold de X. Si
la clase cohomológica de Y (como una corriente) se encuentra en el vk−1 expandiéndose crónicamente-
ing subespacio de Hk(X,K) a continuación, las imágenes preescaladas sucesivas de Y con-
al borde del plano invariante de las corrientes (W ). Si f ∗ : Hk(X,K)→ Hk(X,K)
es dominado por un único valor propio real r > νk−1 entonces el sucesivo redimensionado
las preimagenes de Y convergen a un múltiplo (posiblemente cero) de la r eigencurrent.
En particular, si νn -1 < deg f entonces las preimagenes reescaladas sucesivas de cualquier
punto convergen a la medida invariante única con Mn−1 potenciales.
Prueba. Esto sigue inmediatamente del Teorema 44 si mostramos que Y tiene
potenciales locales en Mk−1. Esto es equivalente a mostrar que localmente Y = dP
donde < P, a · para algunos a > 0. Deja que B sea una pelota en Rn y Y0
un avión k en Rn. Entonces hay un k + 1 plano medio P tal que, como corrientes
En U, P = Y0. Por otra parte es claro que < P, a para algunos reales
a > 0. (También hay potenciales locales para Y que se dan por formas con
Coeficientes L1loc. Estos se pueden construir mediante la elección de una proyección
U \ Y0 a una codimensión de un cilindro C con el eje Y0, y la elección de un volumen
forma en C. El potencial local es el pullback ().)
Observación. Al igual que con el teorema 41, el teorema 44 da un grado normal eigencur-
rentas por cada valor propio de f* : H1(X,K)→ H1(X,K) de norma mayor
sin requerir ninguna restricción en el comportamiento local de f. En holomorphic
la dinámica se ha avanzado mucho en la construcción del grado uno eigen-
rentas y luego construir medidas invariantes dinámicamente importantes a través de
un producto de cuña generalizada (véanse las referencias citadas al
Sección 6).
Observación. La prueba de la Proposición 45 podría ser claramente modificada para aplicar a
muchos colectores singulares también.
6 Endomorfismos holomórficos
Ahora limitamos nuestro interés a la dinámica holomórfica. Así todos los colectores
se supone que son complejos colectores y todos los mapas se supone que son holo-
morphic a menos que se indique lo contrario.
Se han estudiado endomorfismos holomórficos de la esfera de Riemann
con gran detalle. Para los endomorfismos gran parte de la teoría todavía está en su ser-
Ginnings. Se ha prestado mucha atención a los automorfismos holomórficos de
C2 [FM89], [FS92], [HOV94], [HOV95], [BS91a], [BS91b], [BS92], [BLS93],
[BS98a], [BS98b], [BS99] o superficies K3 [Can01], [McM02], las principales de-
desarrollos para los endomorfismos han sido en Pn, [FS94a], [FS94b], [FS95b],
[FS01], [FS95a], [JW00], [FJ03], [Ued94], [Ued98], [Ued97]. Reciente significación.
desarrollos cant se han hecho para los endomorfismos de los colectores Kahler
en [DS05]. El documento [DS05] muestra la existencia de corrientes propias (o Green’s
corrientes) para endomorfismos de colectores Kahler en una condición simple
sobre las tasas comparativas de crecimiento del volumen en dos dimensiones diferentes.
También muestran que una suma ponderada específica de un cierre arbitrario positivo
la corriente suave convergerá a la corriente de los Verdes, y que los Verdes
corriente tiene un potencial continuo Hölder. En este escenario nuestro teorema muestra
que las preimagenes arbitrarias (reescaladas) de una clase más amplia de corrientes con-
al borde de la corriente de los Verdes. Se ha demostrado una amplia variedad de resultados
en estas diversas circunstancias, ya sea mostrando la existencia de la invariante cur-
rentas, mostrando convergencia de corrientes a corrientes invariantes, o estudiando la
propiedades de estas corrientes invariantes. Aquí incluimos los resultados que siguen
del método de este documento, que estamos seguros de que se superponen sustancialmente con
los resultados existentes. Presumiblemente nuestro teorema de elevación cohomológica podría ser
utilizado en conjución con el teorema 12 para mostrar la existencia de mayor grado (k, k)
corrientes dadas ciertas limitaciones en las tasas de crecimiento local.
6.1 ddc Cohomología
Que Z sea un complejo colector y que f : Z → Z sea un automapa holomórfico
de Z. Deja que H sea la vaina de las funciones pluriarmónicas, deja que Löloc sea la vaina
de las funciones delimitadas localmente, y dejar que C sea la vaina de las corrientes con local
potenciales en Lóloc, es decir, corrientes locales de la forma dd
cb, para b a delimitados localmente
función. Los miembros de C están cerrados (1, 1) corrientes en Z.
Usando las habituales funciones de retirada, y la retirada inducida en cur-
rentas con potencial funcional (es decir, retirar la corriente tirando hacia atrás su
potenciales locales), entonces obtenemos un autocohomomorfismo de la secuencia exacta
de gavillas
H → LŁloc
ddc→ C. (11)
Observamos que H1(Z,H) es un espacio vectorial finito dimensional R como puede ser
visto de la secuencia exacta larga para la secuencia exacta corta R→ O →H
donde el primer mapa es la inclusión y el segundo toma la parte imaginaria. Los
términos H1(Z,O) → H1(Z,H) → H2(Z,R) dan la dimensión finita
ya que O es una funda analítica coherente (véase, por ejemplo, [Tay02] página 302.
Entonces de Teorema 12 obtenemos:
Corolario 46. Dado v cualquier eigenbundle cerrado de H1(Z,H) para f* con
eigenvalue r > 1, hay un cerrado único (1, 1) actual C tal que limkÃ3 f
k*(C′)/rk
Converge a C para cualquier divisor C′ de v.
Observación. Observamos que los términos “eigenbundle cerrado” y “divisor” en Corol-
lary 46 se entienden usando la secuencia exacta larga para (11).
Podemos aplicar el corolario 15 para demostrar que
Corolario 47. Cualquier tal invariante corriente C así obtenido ha Hölder contin-
potencial local.
Prueba. El resultado se deriva de Lemma 5.2, Lemma 38, el hecho de que
ddc cerrado Las funciones continuas de Hölder son las mismas que el ddc cerrado Lloc
funciones y del corolario 15.
También de la Observación 3.1,
Corolario 48. Si v tiene una sección plurisubarmónica, la actual C es positiva.
7 Resultado a través de secciones invariantes
Declaramos al principio que nuestra construcción de los miembros invariantes de H0(C) para
un autocohomomorfismo de una secuencia exacta corta A → B → C de las gavillas
podría hacerse en términos de encontrar secciones invariantes de paquetes. Ilustramos
esto aquí en un caso específico donde podemos aprovechar la geometría para hacer
nuevas conclusiones. Encontrar una sección invariante de un paquete es equivalente a
encontrar una trivialización invariante del paquete, y vamos a hacer nuestra inicial
declaración en términos de una trivialización.
Que Z sea un colector complejo compacto. Let f : Z → Z ser un holomórfico
Endomorfismo. Let p • H1(Z,H) ser un eigenvector para f • con real eigen-
valor de la norma superior a uno. Si f* tuviera valores propios complejos de
interés, una construcción análoga se puede hacer a la que sigue.
Tomamos nota de que hay un mapa de paquete canónico fœ : f ∗(p) → p que da
el mapa f en el espacio base. Es fácil demostrar que hay un mapa
que es la identidad en el espacio base y toma la forma r 7→ r+ b en el
fibras, donde b es una constante. Lo que es más, el mapa se ve fácilmente ser
único hasta la adición de una constante. A continuación, definir el mapa de : p → p a
ser la composición de
p = f ∗(p) f p.
Entonces fÃ3 es el mapa f en el espacio base y toma la forma r 7→ ♥r + b en
las fibras.
Puesto que cada paquete pluriarmónico es trivial como un paquete suave, entonces nosotros
puede elegir una trivialización suave t : p→ R, es decir. t(a+ r) = (a) + r para cualquier
a P, r, R, donde a+ r se calcula en la fibra que contiene a.
Teorema 49. Hay una trivialización continua única g : p → R tales
que:
g(a+ r) = g(a) + r en el caso de un p+ y r+ R,
g(f®(a)) = · g(a) para un â € p,
Además
g = lim
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
y el límite converge uniformemente. Finalmente, el conjunto cero de g es la imagen de un
sección g : Z → p y es exactamente el conjunto de puntos cuya imagen hacia adelante en
fâ € € TM sigue siendo limitado.
Prueba. Definir una función T : p→ R por
T (a) (e) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)
a)
• • • t(a). • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Tenga en cuenta que T desciende a una función continua bien definida T : Z → R desde
para un r â € R arbitrario uno tiene T (a + r) = t
(a + r)
- t(a + r) =
t(f(a) + r)− · (t(a) + r) = T (a).
Uno señala que puesto que la función T está necesariamente limitada si Z es compacta
a continuación, definir
g(a) t(a) + 1 · T (a) + 2T (f(a)) + 3T (f(a)) + · ·
da una función continua g : p→ R que satisface las dos propiedades anteriores.
Suponga que g1 y g2 son dos de estas funciones. A continuación, g1− g2 : p→ R es un
la función que satisface la letra (a+ r) = (a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra
función continua: p→ R satisfaciendo la función «(f(a))» = «(a). Sin embargo, desde
Se llega a la conclusión de que esto sólo es posible si la M es compacta.
por lo que tiene una imagen compacta en R.
Es fácil comprobar usando la definición de T que k â € € TM t â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
una suma parcial de los primeros términos k de la serie anterior y esto da la
resultados de convergencia. La conclusión sobre la sección g es trivial.
La construcción anterior se puede llevar a través de casi sin modifi-
Para cualquier subespacio de H1(Z,H) en el que f* se está expandiendo. Esto da
una forma alternativa de entender la convergencia de las preimágenes de las secciones.
El punto es que si s es cualquier sección de p, es decir. el potencial de una C actual,
entonces 1
f*(C) es una corriente con potencial que es la preimagen setwise de s
en la letra f) (esto es fácil de confirmar a partir de la construcción de f). Los Verdes
la banalización g muestra que f® está repeliendo uniformemente lejos de la imagen de
la sección invariante g. Por lo tanto, siempre y cuando s está limitada en p, (ni siquiera es necesario
sólo continua), entonces las sucesivas preimagenes de s convergerán uniformemente
a la sección g. Dado que la convergencia uniforme de los potenciales implica convergencia
de las corrientes entonces los retrocesos redistribuidos de una corriente C convergen a la
alquiler con potencial g. Ya tenemos esto como un teorema, por lo que no tenemos
Lo repitió como tal aquí. Este es sólo un enfoque alternativo. Tenga en cuenta que en
el caso en el que Z = P2 [FJ03] ha dado un control mucho más preciso de cuándo
las preimagenes reescaladas sucesivas de una corriente convergerán a la corriente propia.
7.1 Versión de secciones con un paquete amplio invariante
También es interesante considerar el caso especial donde hay una invariante
amplio paquete con valor propio ≥ 2 un entero. Sin pérdida de generalidad
Suponemos que ` es muy amplio. El morfismo de las gavillas log · : O* → H
induce un mapa de paquetes de líneas holomórficas a paquetes pluriarmónicos. Nosotros
let p = log ser el paquete pluriarmónico correspondiente.
Es fácil ver que hay un mapa holomórfico ` → que es de la
forma : z 7→ azđ, a C* en cada fibra y es la identidad en la base
espacio. También hay un mapa holomórfico canónico fû : f*(`) → ` que es un
line bundle map y es f en el espacio base.
A continuación, se define el mapa holomórfico de : â € â €, que es la composición
k→ `k = f ∗(`) f `.
Este mapa es de la forma z 7→ azk en cada fibra y es igual al mapa
f : Z → Z en el espacio base. Dejar denotar ` con su sección cero eliminado,
para que log · : ` → p es un mapa continuo bien definido. Desde la preimagen
de la sección cero de ` debajo de fà es la sección cero entonces fà es un holomorphic
auto mapa de. Es fácil confirmar que fâ ́ : ` → ` se puede volver a escalar de modo que
el diagrama
log
log
Los viajes.
Nuestros Verdes trivialización g : p→ R se puede tirar hacia atrás para dar un verde’s
función G : → R en el paquete perforado. Cumple G(fś(w)) =
G(w) y G(βw) = G(w) + log para w • y β • C*. Ya que g es
una trivialización de un paquete R sobre un espacio compacto, g es apropiado. Desde
log · : → p es apropiado entonces G es apropiado. Por lo tanto, en este escenario uno puede
construir una función de los verdes que es exactamente análogo a la función del verde
construido en Cn+1 para un endomorfismo holomórfico de Pn. Potencialmente uno
podría aprovechar la geometría especial de los paquetes muy amplios para obtener
información sobre la dinámica en esta situación.
8 Bibliografía
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Introducción
Cohomomorfismos
Cohomomorfismos y.
Secciones mundiales invariantes
Regularidad y positividad
Cohomología de la subhoja
Corrientes invariantes
Formas ágiles y corrientes flexibles
Hölder Lemmas
Eigencurrents for Cohomologically Expanding Smooth Maps
Eigencurrents para mapas de cobertura suave
Endomorfismos holomórficos
ddc Cohomología
Resultado a través de secciones invariantes
Versión de secciones con un paquete amplio invariante
Bibliografía
| El objetivo de este trabajo es construir objetos dinámicos invariantes para un (no
necesariamente invertible) self map suave de un colector compacto. Demostramos un
resultado que aprovecha las diferencias en las tasas de expansión en los términos
de una secuencia cohomológica larga y exacta para crear elevaciones únicas de finitos
subespacios dimensionales invariantes de un término de la secuencia a invariantes
subespacios del término anterior. Esto nos permite tomar cohomología invariante
clases y en las circunstancias adecuadas construir corrientes únicas de un determinado
tipo, incluidas las medidas únicas de un tipo determinado, que representan esas clases
y son invariantes bajo retroceso. Un automapa dinámicamente interesante puede tener un
plétora de medidas invariantes, por lo que los unicos de las corrientes construidas es
Es importante. Esto significa que si el crecimiento local no es demasiado grande en comparación con el crecimiento
tasa de la clase cohomológica entonces la clase cohomológica en expansión da
suficientes "órdenes de arbitraje" al sistema para prohibir la formación de cualquier
otros tales corriente invariante del mismo tipo (digamos de algunos dinámicos locales
subsistema). Porque usamos subvainas de la gavilla de corrientes que damos
condiciones bajo las cuales una subhoja tendrá la misma cohomología que la gavilla
que lo contiene. Usando un argumento suavizante esto nos permite mostrar que la gavilla
la cohomología de las corrientes en cuestión puede identificarse canónicamente
con los grupos de cohomología de Rham. Nuestro teorema principal se puede aplicar en ambos
ajuste suave y holomórfico.
| Introducción
Nuestro propósito es construir objetos dinámicos invariantes para un automapa f : X →
X de un espacio topológico compacto. Hacemos uso de la cohomología de la vaina y
diferencias en las tasas de expansión en diferentes términos de una secuencia exacta larga
para construir secciones invariantes de una gavilla. Demostraremos que hay en...
corrientes de grado 1 (o corrientes propias) correspondientes a cada expansión
eigenvector de H1(X,R). También mostramos que las sucesivas preimagenes de suffi-
las corrientes de grado uno convergen a una de estas corrientes propias.
Demostramos que si la mayor parte de la expansión f : X → X es “along” un invariante
clase cohomológica v • Hk(X,R) entonces hay una corriente invariante c en que
clase de cohomología y otras corrientes suficientemente regulares en la misma clase
Converger a c bajo sucesivo retroceso.
La cohomología de grupo de Z actuando en un espacio de funciones en X a través de
se ha estudiado en el contexto de los sistemas dinámicos [Kat03]. Esto
El trabajo parece estar relacionado con el nuestro, pero debe ser perseguido en un di-
Rección. Nuestro mapa f no se supone que sea invertible, por lo que no hay necesariamente
a Acción Z, sólo una acción N. Además, utilizamos gavillas en lugar de funciones y
hacer un uso sustancial de las herramientas cohomológicas. Lo que es más importante, estamos a punto de...
particularmente interesado en la construcción de corrientes invariantes, especialmente cuando
la corriente es un sentido único.
Nuestros resultados están motivados por resultados en holo-
dinámica mórfica que muestra la existencia de un único cierre positivo (1, 1) cur-
alquiler bajo una variedad de circunstancias (sólo sobre cualquier documento reciente sobre
La dinámica holomórfica dimensional demuestra tales resultados o hace que essen-
uso de tales resultados, véase, por ejemplo, [FS92], [HOV94], [HOV95], [BS91a], [BS91b],
[BS92], [BLS93], [BS98a], [BS98b], [BS99], [Can01], [McM02], [FS94a], [FS94b],
[FS95b], [FS01], [FS95a], [JW00], [FJ03], [Ued94], [Ued98], [Ued97], y
[DS05]).
Si bien las medidas invariantes han sido un punto focal en la dinámica, parece que
que las corrientes invariantes también tienen un papel importante que desempeñar. Vamos a mostrar bajo
condiciones leves que si algún grado una clase cohomológica de un yo suave
mapa f de un colector compacto es invariante y expandido hay necesariamente
un grado invariante una corriente de cierto tipo que representa esa clase. Nosotros
obtener resultados análogos para las corrientes de mayor grado dados límites en el local
Las tasas de crecimiento de f. La singularidad de estas clases es significativa. Parece
claro que uno podría modificar un mapa localmente cerca de un punto fijo para obtener otro
corrientes invariantes del mismo tipo sin afectar a la topología. Por lo tanto
nuestros resultados también dicen que cualquier modificación local que creó un invariante
la corriente del tipo dado debe violar las condiciones de crecimiento local. En los demás
palabras, siempre y cuando las cosas no crecen demasiado rápido en comparación con la tasa de crecimiento de
la clase de cohomología, la expansión de la clase de cohomología da suficiente
“ordenes de marching” para señalar que ninguna otra clase cohomológica invariante de la
tipo dado puede ser creado por comportamiento dinámico puramente local. Nuestros resultados
dar condiciones explícitas en las que se garantice la singularidad. Por título
una corriente, ninguna restricción a las tasas de crecimiento local es necesaria para nuestros resultados.
2 Cohomomorfismos
Vamos a hacer uso de las gavillas en este artículo. Hay dos def-
iniciones de gavillas en un espacio topológico X, uno como espacio topológico
([Bre97],[GR84]), y uno como functor en la categoría TopX satisfac-
ios axiomas ([Har77],[Wei97]). Puesto que a menudo vamos a querer hacer uso de un
topología en secciones de una vaina A que difiere de la topología que heredan
usando la definición topológica de una vaina, en su lugar usaremos el functor
definición de una gavilla.
Nuestras gavillas siempre serán gavillas de módulos K sobre un campo K fijo.
Requeriremos que K tenga un valor absoluto para el cual K está completo.
Dado un mapa continuo f : X → Y y gavillas A y B en X y
Y, respectivamente, un cohomomorfismo f es una noción generalizada de un retroceso
De B a A a f. Diferentes tipos de objetos geométricos tiran hacia atrás
diferente, y esto nos permite manejar todos los casos a la vez.
Tomamos los siguientes hechos de [Bre97] páginas 14–15.
Definición 1. Si A y B son gavillas enX e Y entonces un "f-cohomomorfismo"
k : B → A es una colección de homomorfismos kU : B(U) → A (f−1(U)), para
U abierto en Y, compatible con restricciones.
Tenga en cuenta que si A es una vaina en X y f : X → Y es continua entonces allí
es un cohomomorfismo canónico f*A ; A donde f*A es la imagen directa de
A, es decir. dado un U-Y abierto, f*A (U) = A (f−1(U)).
Observación. Dado un mapa continuo f : X → Y de los espacios topológicos X y
Y y gavillas A y B en X e Y respectivamente, todos f -cohomomorfismos
f : B ; A se dan por una composición de la forma
j→ f*A
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
donde j : B → f*A es un homomorfismo de la gavilla, y cada tal composición es
visto a un f -cohomomorfismo.
La noción habitual de “un morfismo de gavillas en X” es la misma que un idX
cohomomorfismo de gavillas en X.
2.1 Los cohomomorfismos y los cohomomorfismos.
El functor devuelve las secciones globales de esa gavilla. Dado un morfismo
A → A ′ de las gavillas en X, es sólo el homomorfismo A (X)→ A ′(X).
Teniendo en cuenta las gavillas A y B en X e Y y dada f : X → Y continua
entonces para un cohomomorfismo de la gavilla F : B → Uno define F para ser el
homomorfismo B(Y) → A (X). Esto se extiende para ser un functor en el
categoría de espacios topológicos con una vaina asociada donde se encuentran los morfismos
dado por cohomomorfismos.
3 Secciones Mundiales Invariantes
Fijar un automapa continuo f : X → X de un espacio topológico X. Lo haremos.
estar interesado en f auto cohomomorfismos de gavillas A en X. Como lo haremos
típicamente tienen varias gavillas de interés en X, cada una con un correspondiente
f auto cohomomorfismo, dejamos fA : A ; A ser la notación por defecto para un
f -cohomomorfismo de A.
Supongamos que X es un múltiple y que
p→ B q→ C
es una breve secuencia exacta de gavillas en X. Let f : X → X ser un continuo
auto mapa de X y asumir aún más que se nos da f auto cohomomorfismos
de cada una de estas gavillas y que
// B q
Los viajes. Diremos que un diagrama conmutativo como en (1) es un f auto-
cohomomorfismo de la secuencia A → B → C.
Aplicando el functor a este diagrama, las filas se pueden extender en el
La secuencia normal es larga y exacta. El diagrama resultante es conmutativo ([Bre97]
página 62).
0 // A (X)
C (X)
H1(X,A )
· · ·
0 // A (X)
// B(X)
// C (X)
// H1(X,A )
// · · ·
Se puede pensar en B como proporcionar potenciales locales para los miembros de C y
de A como aquellos potenciales que dan lugar al miembro cero de C.
Se asumirá que el lector está familiarizado con la interpretación H1(X,A)
como clasificación de clases de equivalencia de paquetes con funciones de transición en A.
Con frecuencia nos referiremos a los miembros de H1(X,A) como paquetes. Secciones de
Se supone que dichos paquetes serán suministrados localmente por secciones locales de B,
de modo que cada miembro c de C sea dado localmente por potenciales en B, y
estos potenciales, tomados en conjunto, son una sección del paquete correspondiente
H1(X,A).
Convención 1. Con frecuencia nos referiremos a un miembro v de H1(X,A) como un
, a un miembro c â € ¬ (C ) como un divisor y si â ¬ (c ) = v llamaremos a c a
divisor del paquete v. Creemos que esto aumenta sustancialmente la legibilidad de
el periódico.
Definición 2. El soporte de un divisor c • • • (C ) se define como el com-
la aplicación de la unión de todos los conjuntos abiertos U tal que c
Lemma 3. Si un conjunto abierto U se encuentra fuera del soporte de algunos c â € â € ¬ (C ) entonces
f−1(U) se encuentra fuera del soporte de fC (c)
Prueba. Observamos que por la definición de un f -cohomomorfismo fC : C → C,
desde el cohomomorfismo fC en C (U) es un homomorfismo de C (U) a
C (f−1(U)) y la acción inducida de fC en el caso de C (C ) restringido a U debe estar de acuerdo
con su acción C (U) → C (f−1(U)), entonces si un conjunto abierto U está fuera de la
soporte de c entonces f−1(U) está fuera del soporte de fC (c).
Serán de interés las siguientes condiciones para un v â € H1(X,A ) dado:
Definición 4. Nos referiremos a un paquete v • H1(X,A ) para el cual (H1p)(v) =
0 como si estuviera cerrado.
Tenga en cuenta que esta noción depende de la secuencia exacta A → B → C,
y no sólo en v. Si B es γ acíclico, entonces cada miembro de H1(X,A) está cerrado.
Definición 5. Llamaremos a un paquete v • H1(X,A ) punto base libre si para cada
x x x hay algún divisor c c (C ) asociado a v cuyo soporte hace
no contiene x.
Lemma 6. Si B es suave, X es un espacio topológico regular, y un H1 (X,A )
es un paquete cerrado entonces a es punto base libre.
Prueba. A partir de la secuencia exacta larga hay algunos c′ â € ¬ (C ) con â € ¬ (c′ ) = a
y dado cualquier punto x + X, del hecho de que B
C el germen c'x de c
at x es la imagen bajo qx de algún germen b
x de B) a x. Elegir un abierto
barrio U de x en el que hay algunos b′ B(U) con b′ x = b′′ x. Los
suposición topológica en X implica que hay un barrio V b U
de x. El hecho de que B es suave implica que hay algunos b â € â € â € â € (B) de tal manera que
. A continuación, c = c′ − b â € € € € (C ) tiene â € (c ) = a y x 6â € Supp(c ).
Definición 7. Nos referiremos a un paquete a H1(X,A) tal que fA (a) = a
para algunos C como un eigenbundle.
También nos parece útil introducir una noción relevante de expansividad
de un mapa f : X → X relativa a un punto de base libre de eigenbundle cerrado v
H1(X,A ).
Definición 8. Dado un punto base libre eigenbundle cerrado v H1(X,A )
entonces decimos que f es cohomológicamente expansivo en x para v si para cualquier abierto
barrio U de x y cualquier divisor c â € ¬ (C ) de v, el conjunto U se intersecta la
soporte de fkC (c) para todos los k suficientemente grandes.
Observación. Es un corolario de la definición que el conjunto de puntos en los que
f es cohomológicamente expansivo para v es cerrado y adelante invariante. Si
Supp fkC (c) = f
−k(Supp(c)) para cada c • • • (C) a continuación, el conjunto de cohomolog-
los puntos expansivos son totalmente invariantes.
La noción de ser cohomológicamente expansivo en x para v significa aproximadamente
que bajo iteración por f barrios pequeños U de x siempre crecen para cubrir
suficiente de X que el retroceso del paquete v al conjunto fk(U) es un no trivial
paquete en fk(U) cada vez que k es grande.
Demostramos que si B es suave y X es un espacio métrico compacto entonces algunos
la expansión mínima se lleva a cabo en los puntos donde f es cohomológicamente expansiva
para un eigenbundle cerrado a H1(X,A ).
Utilizamos B (x) para denotar la bola de radio alrededor de x.
Lemma 9. Que X sea un espacio métrico compacto. Si B es suave y v es un cerrado
eigenbundle entonces existe ♥ > 0 tal que para cada > 0 existe
algunos K > 0 tales que si f es cohomológicamente expandiendo en x entonces para cada
k > K, diam fk(B (x)) >
Prueba. El paquete v es punto base libre por Lemma 6. Usando la compacidad nosotros
puede concluir que hay una cubierta abierta finita U1,. ...................................................................................
cada j, Uj es desconectado de Supp cj para algunos cj.» (C ) con »(cj) = v. Nosotros
probará el lema por la contradicción. Deja que sea el número de Lebesgue de la
Cubre U1,. ............................................................. Si el lema es falso hay algunos > 0 y algunos aumentan
secuencia kn y puntos xn en el que f es cohomológicamente expansivo de tal manera que
diam fkn(B (xn)) ≤ para cada n. Al ir a una secuencia si es necesario nosotros
puede asumir que xn converge a un punto x. Dejar U = B 1
(x. ) Vemos que
U â € B (xn) para todos los n grandes y por lo tanto hay un cj de c1,. ........................................................................
fkn(U) está desconectado de Supp cj para infinitamente muchos valores de n.
U es discontinuo de Supp fknC (cj) para infinitamente muchos n, contrariamente a x
Un punto en el que f es cohomológicamente expansivo para v.
Hemos incluido Lemma 9 para mostrar que nuestra noción de expansión cohomológica
es realmente expansivo. Sin embargo, dependiendo de la naturaleza de A, siendo coho-
expansivo puede implicar que los barrios crecen mucho bajo
iteración de hecho. En Lemma 10 mostramos que dado cualquier conjunto cerrado K tal que
el retroceso de un punto fijo libre cerrado eigenbundle a H1(X,A ) a K es un
Un paquete trivial entonces cualquier barrio U de un punto en el que f es cohomolog-
ticamente expandiendo para a es tan expandido bajo iteración que fk(U) 6
todo lo suficientemente grande k. La colección de tales conjuntos K típicamente contiene muy
grandes conjuntos sobre cada punto así que no importa dónde fk(x) es la conclusión que
fk(U) no se encuentra en ninguna intK implica que algunos puntos de fk(U) deben estar muy lejos
de fk(x). El punto es más o menos que grandes iteraciones de cualquier barrio de
x no puede ser contraída homotópicamente a un punto en X.
Lemma 10. Si B es suave, entonces para cualquier conjunto cerrado K â € ¢ X de tal manera que la imagen
de H1(X,A ) → H1(K,A
) es cero, dado cualquier divisor c • • • (C ), hay
Se admite otro divisor c′ (C ) asociado al mismo paquete y c′
fuera del interior de K. En consecuencia, si f es cohomológicamente expansivo
a x x x para algún punto de base libre cerrado eigenbundle a H1 (X,A ) entonces
necesariamente para cualquier barrio U de x, fk(U) 6-intK para todos los k grandes, donde
intK es el interior de K.
Prueba. Usamos el diagrama conmutativo
H0(X,B)
•q //
H0(X,C)
H1(X,A )
H0(K,B
*q // H0(K,C
// 0
que hemos escrito utilizando H0 en lugar de..........................................................................................................................................................................................................................................................
ent espacio es en cada caso. De la exactitud hay algunos β â ¬ H0 (K,B
De tal manera que el valor de la letra c) sea igual o superior al valor de la letra c) del apartado 1 del presente artículo.
. Entonces como B es suave el mapaH0(X,B)→ H0(K,B
es sujetivo por lo que hay algunos b â € ¬ (B) = H0(X,B) de tal manera que b
= β. Entonces
c′ = c − (q)(b) tiene (c′) = (c) y c′
= 0 por lo que Supp(c′) está desconectado de
el interior de K.
Es fácil ver que si f es cohomológicamente expansivo en x â € ~ X para algunos
punto fijo libre cerrado independiente a H1(X,A ) entonces necesariamente para cualquier
barrio U de x, fk(U)• Supp c 6= • para todos los grandes k para cualquier c • • (C ) tales
que ♥(c) = a. Por lo tanto fk(U) no puede estar en el interior de K para cualquier grande
Convención 2. Dejamos que K sea R o C, aunque nuestros teoremas centrales
solo requiere que K sea un campo completo con un valor absoluto.
El siguiente Teorema se aprovecha del hecho de que en una exacta se-
quence los valores propios de los miembros de miembros no adyacentes de la secuencia
no tienen que estar de acuerdo para dar condiciones bajo las cuales uno puede “levantar”
miembros fijos de un período de la secuencia exacta a un miembro fijo de la pre-
Término de cesión. Interpretado como una declaración en el contexto de la cohomología de la capa
podremos utilizar este Teorema para sacar conclusiones dinámicas.
El teorema muestra que cada eigenbundle cerrado del mapa inducido
fA: H
1(X,A) → H1(X,A) con un valor propio suficientemente grande tiene un valor único
divisor invariante asociado c (C ).
Definición 11. Dado cualquier dimensión finita K vector espacio V junto con
un mapa lineal g : V → V y cualquier número real positivo r, dejamos que el r cron-
el subespacio de V en expansión icónica sea el lapso de los subespacios asociados2 a
valores propios de valor absoluto mayor que r. Nos referimos al 1 crónicamente
expandiendo el subespacio simplemente como el subespacio en expansión crónica.
Teorema 12 (Teorema Subespacial Invariante Único). Vamos a asumir la
A continuación:
• f : X → X es un automapa continuo de un espacio topológico X.
• Se nos da un autocohomomorfismo de una secuencia exacta corta de
gavillas en X,
p→ B q→ C
• (B) es un espacio de Banach sobre K, y existe algunos α, d • R>0 tales
que fBk(B) ≤ d · αkÃ3BÃ3r para k à r, B à r, B, B, B, B,
• C es un espacio vectorial topológico sobre K.
• Si una secuencia de divisores converge a otro divisor C
entonces el apoyo de C.O.C. está contenido en el cierre de la unión de la
apoyos de Ci.
• Los mapas son continuos.
• Se nos da una dimensión finita H1(fA) invariante subespacio W de la
α expandiendo crónicamente el subespacio de H1 (X,A ). También requerimos que W
estar constituidos únicamente por bultos cerrados.
2Significado para cada autovector ♥ incluimos no sólo el espacio propio, sino también cada
v • V de tal manera que (g • • · idV ) n(v) = 0 para algún número entero positivo n.
A continuación, dado cualquier mapa lineal K s : W → •(C ) de tal manera que •s = idW hay un
Mapa lineal de K : W → •(B) satisfactorio
• := lim
(en fC )
ksgk = s+ (q) (3)
donde g : W → W es la inversa de H1fA
. Bajo iteración tiran hacia atrás el
reescalonadas de cualquier divisor C • • (C ) de un paquete w • W convergen
hacia el plano invariante de los divisores (W ) (C ). El mapa : W →
(C) es el mapa único que hace el diagrama
wwoo
(C)
// H1(X,A )
wwoo
// (C )
// H1(X,A )
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por último, para cualquier punto de base libre eigenbundle v
el correspondiente divisor invariante (v) (C ) está contenido en el conjunto de
puntos en los que f es cohomológicamente expansivo para v.
Prueba. Tomamos nota de que
(lfC )sg−s
= 0 y por lo que hay un mapa
tales que (q) = (fC )sg − s.
Definir Φ: Hom(W,•(B)) → Hom(W,•(B)) por Φ( Nosotros
demostrará que la secuencia de mapas Φk se contrae exponencialmente en
Hom(W)(B)(B)). Fijar una norma sobre W. La suposición de que W yace en
el subespacio de expansión crónica α de H1(X,A ) implica que existe
algunos β > α y algunos c > 0 tales que â € ¬ g−k(w)â ≤ ckâ € € para k â € N,
W. Esto con la suposición sobre la tasa de expansión de la fB fácilmente
implica que
k(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l(l)(l)(l(l)(l(l)(l)(l)(l)(l(l)(l)(l)(l)(l(l)(l)(l)(l)(l)(l(l)(l(l)(l)(l(l)(l(l)(l)(l(l)(l(l)(l)(l(l)(l(l)(l(l)(l)(l)((l)(l)(l)(l)()())(()))()()()()()(l(l()))())()()(()()()))))()()()()()()()()()()()()()()()()()()()())))(()()))(()))()()))))())))))((((((((()))))))((((())))((())))(())))(((((((((()))))))(((()))((((((((((())))))))))))()()()((((()))))((((((((())((())))))()())(((()))))))(((((((()))))))
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Por lo tanto Φk es un operador de norma no más que cd
, donde α < β.
Letting lk = + Φ(l) + Φ
2..............................................................................................................................................................................................................................................................
a algún mapa. Se confirma fácilmente que (q)k = (fC )
ksg−k − s. Ecua-
a continuación, se sigue por la continuidad de la letra q).
Las conclusiones sobre el mapa son consecuencias fáciles de su definición.
Para la conclusión final nota que si dejamos W ser el lapso de v entonces
ya hemos demostrado que si C es el miembro invariante único de •(C )
asociado a v entonces para cualquier divisor c′ (C ) que satisfaga (c′) = v dejando
ser el valor propio de v que podemos escribir c′ = فارسى(v) + (q)(b) y la ecuación 3
se convierte en (fC )
kc′/lk = Ł(v) + (lq)(lfB)
kb/23370/k donde el término final va a
cero como k â € (según nuestras suposiciones sobre las tasas de crecimiento de g−1 y â € fB). Por lo tanto
(en fC )
k(c′)/k converge a c = فارسى(v). Si U es cualquier subconjunto abierto de X y si la
soporte de c′ es desconectado de fn(U) para valores arbitrariamente grandes de n, a continuación, el
apoyo de ( > fC )
n(c′) debe estar desconectado de U para valores arbitrariamente grandes de
n. Puesto que, redimensionado, estos convergen a c entonces U debe estar fuera del soporte
de c.
Observación. Aunque no hemos requerido formalmente que X sea compacto, la re-
el requisito de que el "B" sea un espacio Banach hace de este el caso principal en el que
Teorema 12 es apto para tener aplicaciones interesantes.
El teorema 12 muestra que entre todos los miembros de la C representa un coho-
clase de mología en W hay un subespacio lineal invariante único que puede ser
que se identifiquen con W y todos los demás miembros de la C se contraten para ello.
copia invariante de W en el punto C bajo (reescalonado) pullback.
Corolario 13. Supongamos que la hipótesis de Teorema 12 están satisfechos, y
que g : W → W está dominado por un único valor real eigen r > 0 con
eigenvector v. Dejemos que C • • v) sea el divisor invariante único de v. Entonces dado
un divisor C′ de cualquiera de las subcategorías W de las subcategorías FkC reescalonadas sucesivas (C )
′)/rk
convergen a un múltiplo (posiblemente cero) de C.
Prueba. Esto es una consecuencia directa de la ecuación (3).
La suposición de que g : W → W está dominado por un solo simple real
eigenvalue está destinado a manejar la situación más típica, y no es un e-
restricción sential.
Observación. Dado que para un fijo f : X → X la categoría de las gavillas SC A
en X dotado de un f autocohomomorfismo F es una categoría abeliana
con suficientes inyectores, a continuación, el functor Fijo
secciones de A bajo F se dejarán exactas y sus functores derivados derecho deben
ser de interés dinámico. En el caso de que A sea una capa de funciones y
f es invertible esto es sólo cohomología de grupo con el grupo Z actuando sobre
(A) y ha sido objeto de estudio durante algún tiempo (véase, por ejemplo. [Kat03]). Nosotros
anticipar el estudio del caso de las gavillas más generales A y el derecho derivado
los functores de la composición Fijo en un papel futuro, incluido el caso de
Endomorfismos.
3.1 Regularidad y positividad
Típicamente nuestros resultados de regularidad para los miembros del plano invariante
ser más fácilmente descrito en términos de B en lugar de C. Por lo tanto, hacemos
la siguiente definición.
Definición 14. Teniendo en cuenta un subfijo B′ + B diremos un divisor C + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Potenciales locales de B′, si C • • • (q(B′)). Esto es equivalente a exigir que
cada punto x X hay un barrio abierto U y algunos B′ B′(U)
tal que q(B′) = C
La prueba del Teorema 12 proporciona implícitamente un método para probar la regularidad
resultados para los miembros del plano invariante (W ). Hacemos esto explícito como un
corolario (de la prueba).
Corolario 15. Supongamos que se nos da f : X → X y una secuencia exacta corta
de las gavillas A
p→ B q→ C satisfaciendo la hipótesis del Teorema 12. Asumir
que B′ es una subhoja de B y que BfB(B)
′) B′. Dejar C ′ ser la imagen de
B′ under q : B → C. Dejar A ′ A ser el núcleo de q : B → C ′. Asumir
que el mapa canónico H1(X,A ′) → H1(X,A ) es inyector. Asumir que
hay miembros de base w1,. .., wk de W con divisores cada uno de los cuales tiene local
potenciales en B′. Que r sea la inversa del valor absoluto de la mayor
eigenvalue de g−1 (así que para todos los j ≥ 0, g−j es un operador de norma no más
que cr−j para algunos c > 0) Finalmente asumir que para cualquier secuencia de números
aj, j = 0, 1, 2,... tal que aj no es más que una constante veces r−j como
la secuencia exponencialmente decadente
a0 B + a1 (lfB) (B) + a2 (lfB)
2 (B) + · · · (4)
Converge en la estructura espacial de Banach en B a un miembro de B.
A continuación, el mapa : W → • (C ) aterriza en • (C ′ ).
Prueba. Puesto que W yace en el subespacio de expansión crónica α de W entonces necesi-
α/r < 1. Por lo tanto, los términos de la ecuación (4) tienen una disminución exponencial
normas y la serie está decayendo exponencialmente.
Por la suposición de un divisor en C ′ para cada miembro wj de una base
a continuación, el mapa s : W → (C ) en Teorema 12 se puede asumir para aterrizar en C (C ′ ).
Entonces (fC )sg
−1− s aterriza en (C ′) y satisface •(fC )sg−1− s) = 0. Desde
H1(X,A ′) → H1(X,A ) inyecta fácilmente se sigue que para cada wj se puede
elegir (wj) para ser un miembro Bj de B(B)
′. Usando la base w1,. ............................................
g−1 como matriz A, y dejando aij,` ser la entrada ij de A
` (así para cada ij, aij,'es
limitado por una constante veces r) vemos que (wj) = Bj + (fB)(a1j,1B1 +
· · akj,1Bk) + (fB)2(a1j,2B2 + · · akj,2Bk) + · · (fB)`(a1j,`B1 + · ·
akj, 'Bk). Recopilando todos los términos B1, B2, etc... de la mano derecha
lado vemos que ♥ = limkà ° Łk es un miembro de Ł(B
′) y, por lo tanto, la tierra
En el subartículo 6A001.a., en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el subartículo 6A001.b, en el artículo 6A.b, en el artículo 6A.b.
La siguiente observación trivial será suficiente para nuestra positividad necesaria
conclusiones.
Observación. Supongamos que tenemos un f autocohomomorfismo de un corto exacto
secuencia de gavillas A
p→ B q→ C satisfaciendo la hipótesis del Teorema 12,
y también un subcasco C ′ ° C de tal manera que
1. C ′ se cierra multiplicando por R>0. Tenga en cuenta que C ′ no es necesariamente
una vaina de módulos K, o incluso de grupos.
2. fC (C
′) C ′
3. El valor de la unidad de medida será igual o superior al valor de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de la unidad de medida de medida de medida de la unidad de medida de medida de medida de la unidad de medida de medida de medida.
A continuación, para cualquier eigenbundle cerrado v H1(X,A ) con valor propio en K0 y en
el divisor único invariante C, C, C o C de v también
se encuentra en el punto C ′.
Prueba. La prueba es trivial ya que C = limkÃ3(fC )
k(C′)/
el valor propio de v.
4 Cohomología Subhoja
En las aplicaciones de Teorema 12 es común que hay un bien entendido
secuencia exacta de las gavillas
d0→ S1
d1→ S2
d2→ · · · (5)
y que B es un subhoja de Sk para algunos k, A es el núcleo de dk
: B →
Sk+1 y C es la imagen de B en Sk+1. Por otra parte, en estos casos el auto co-
homomorfismo f en A → B → C es inducido por un autocomomorfismo f
de la secuencia (5). Para aplicar el Teorema 12 a estos casos necesitamos
entender el módulo R H1(X,A) y su automapa inducido.
No parece haber una manera computacional útil de extraer un
resolución inyectora de A utilizando subvasos de S0
d0→ S1
d1→ · · · incluso si esto
La última secuencia es acíclica. Considere, por ejemplo, el caso donde para cada n,
Sn es la vaina de corrientes de grado n y B Sk es una vaina de levemente
corrientes regulares. No está claro que uno podría hacer el método de regularización de
[dR84] trabajo para comparar los grupos de cohomología H1(X,A) con deRham porque
su operador de homotopía de cadena A no se limita bien a B ya que dA no
preservar la regularidad. Usamos un truco cohomológico estándar de la gavilla, que nosotros
incluir aquí como una propuesta que necesitaremos y que esperamos ser
comúnmente utilizado en la conjución con el Teorema 12 debido al requisito
que el B sea un espacio de Banach.
Teorema 16 (Cohomología de la Subzona). Supongamos que se nos da una exacta se-
Quence de las gavillas S0
d0→ S1
d1→ S2
d2→ · · · y que B es un subhoja de SK para
algunos k ≥ 1. Dejar A = ker dk
, y B′ ser la preimagen de B bajo dk−1.
Asumir además que para cada j ≥ 1 tenemos Hj(X,B′) = 0, Hj(X,B) = 0
y para cualquier m que satisfaga 0 ≤ m ≤ k − 1 tenemos Hj(X,Sm) = 0 para j ≥ 1.
Entonces para cada n ≥ 1 hay un isomorfismo canónico
Hn(X,A ) = Hn+k(X, ker d0).
Prueba. Si bien este resultado es esencial para nosotros, su prueba es un cohomo estándar.
truco lógico. El primero señala que ker dk−1
= ker dk−1 por la definición de
B′. Uno tiene las secuencias exactas cortas de gavillas:
ker dk−1 → B′ → (dk(B′) = A )
ker dj → Sj → ker dj+1, j = 0,...., k − 2.
Teniendo en cuenta las secuencias exactas largas para estos muestra que los mapas inducidos
Hn(X,A )→ Hn+1(X, ker dk−1) yHn+j(X, ker dk−j)→ Hn+j−1(X, ker dk−j−1)
son isomorfismos para j = 1,...., k−1. Componiendo cada uno de estos iso canónicos...
morfismos da un isomorfismo canónico de Hn(X,A )→ Hn+k(X, ker d0).
Observación. Lo tomamos como claro de la funcionalidad del mapa de la larga
secuencia exacta que dio un cohomomorfismo f-self de S0
d0→ S1
d1→ S2
· · · qué mapas B a sí mismo que el mapa inducido de H1(X,A) se identifica
con el mapa inducido de Hk+1(X, ker d0) a través del isomorfismo anterior.
Necesitaremos una herramienta más para poder hacer un uso eficaz del Teorema 16
para calcular la cohomología de las gavillas de las gavillas de las corrientes.
Definición 17. Por un flujo de intervalo h en un intervalo abierto limitado I â € R nosotros
significará el flujo obtenido mediante la integración de un campo vectorial de la forma
donde es positivo exactamente en I y cero en otros lugares. Utilizamos h(x, t) para denotar
la ubicación de x + R después de seguir el flujo para el tiempo t.
Definición 18. Por n-box en Rn significaremos un subconjunto abierto que es
un producto de n intervalos abiertos limitados I1,. .., In. Por una n-caja en una n
Multiplex dimensional nos referiremos a un n-box que es compatible de forma compacta
en algún parche de coordenadas. Por una subcaja n de una caja n U = I1 × · · · × En nosotros
significa una caja n del formulario I ′1 × · · × I ′n donde I ′k es una subintervalo de Ik
por cada k + 1,..., n.
Definición 19. Por flujo de n-box nos referiremos a la acción Rn h en Rn
que es el producto de los flujos de intervalo n h1(t1),. ........................................................................................................... Eso es.
h(x, t) = (h1(x1, t1),. .., hn(xn, tn)) donde x = (x1,. .., xn), t = (t1,. ...............................................................
y h1,. .., hn son flujos de intervalo en I1,. .., En respectivamente. Nos referimos a la
n-box I1 × · · · × In como soporte abierto del flujo de n-box. A menudo vamos a ht
para denotar el difeomorfismo h(·, t) : Rn → Rn.
Definición 20. Que h sea un flujo de n-box en un n-box B. Vamos a ser un compacto
soporte suave forma de volumen en Rn. Con estos datos definimos un operador
En las formas k lisas de cualquier n caja U que contenga B por
Sh.(l) =
h*t (l)(t) (6)
Decimos Sh, define una rotulación de caja en U, o rotunda U. Omitiremos el
subíndice de Sh,l cuando el significado está claro del contexto. Está claro S()
es soportada compactamente en U si es .
De la definición de S se deduce claramente que si la forma n− k en U entonces
SH.(l)............................................................................................................................................................................................................................................................
- S-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H
donde-H es la familia Ht con el parámetro negado. De esta motivación
Definimos una mancha de una corriente.
Definición 21. Teniendo en cuenta h, la definición de un frotis en una caja n U se define la
frotis en las corrientes en U a través de
< Sh,?(C),? C,S−h,?(?) >.
Lemma 22. Teniendo en cuenta h, la definición de una mancha S en una caja n U entonces d
S(dC) para corrientes C en cualquier subconjunto abierto de U que contenga el soporte abierto
de la mancha. Además, restringido al soporte abierto del frotis, S(C) es un
forma suave en V.
Prueba. Observamos que está claro que d
= S, para los formularios, y
En consecuencia, para las corrientes, a través de la definición.
Porque en el apoyo abierto de la mancha, una mancha es sólo la convolución
con una función suave, entonces vemos que si V es un subconjunto abierto del abierto
soporte de la mancha S en U entonces para cualquier corriente C en U, S(C)
es un suave
forma en V.
Proposición 23. Dejemos que B sea una vaina de corrientes de grado k. Asumir que B
contiene la vaina de formas k lisas en X, y que B(U) se cierra bajo
frotis en cualquier n-caja U â € X. Dejar B′ ser la preimagen bajo d de B en la
vaina de grado k − 1 corrientes. Entonces B′ es suave, y por lo tanto, acíclico.
Prueba. Para demostrar que B′ es suave es suficiente demostrar que B′ es localmente suave
([Bre97] página 69). Dado un n-box U en X por lo tanto, sólo tenemos que mostrar
que si K es un subconjunto cerrado de X en U y si W es un barrio abierto
de K a continuación, dado cualquier miembro B′0 de B
′(W) hay un barrio abierto
W0 W de K y un miembro B′ de B′ (U) de tal manera que B′
= B′0
Elija cualquier par de conjuntos abiertos V1, V2 tal que K b V1 b V2 b W. A continuación,
V2 \ V1 es compacto y por lo tanto puede ser cubierto por finitamente muchos (abierto) n-
subcajas Y1. ............................................................... Por otra parte, estas subcajas se pueden elegir todos para ser
Desconectado de K y mentir dentro de W. Dejar S1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
soporte abierto Y1,. .., YN respectivamente deja B = S1(S2(· · · (SN(B′0)) · · · )).
A continuación, en cada Yj, B se da por una forma k suave. Además, B
= B′0
. Por último,
elegimos una función suave : U → [0, 1] que es uno en un barrio
de V1 y cero en un barrio de U \ V2. A continuación, el B′ actual
se extiende (por cero) a una corriente en todo U. Entonces para cada Yj, B
tiempos de funcionamiento suaves una forma suave. Así d(B′
) es una forma suave y
Figura 1: Una corriente compuesta de submanifolds paralelos manchados y cortados.
yace en B(Yj). Las cajas Yj cubren V2 \ V1. Fuera de V2, B′ es idénticamente cero.
Sabemos que dB-B(W) de Lemma 22. También sabemos que 1 en
un barrio abierto W1 de V1. Así d(B)
) = d(B
) B(W1). Nosotros
por lo tanto, concluir que B′-B′(U) desde su restricción a cada Yj, a W1 y a
U \ V2 es una sección de B′. Dejando W0 = V2 \ (Y1 â € Y2 â € · · · YN) entonces W0 es
un barrio abierto de K, a continuación, W0 W1 así que B′
= B′0 desde
W0 está desconectado del soporte abierto de cada una de las manchas S1,. ............................................................................................... Esto
completa la prueba de que B′ es suave.
La siguiente da una generalización amplia de la ecualivalencia de la co-
homología de corrientes con los grupos de cohomología de Rham. A la del autor
conocimiento, este resultado es nuevo.
Corolario 24. Dejemos que B sea una vaina de corrientes de grado k. Asumir que B con-
contiene la vaina de formas k lisas en X, y que B(U) se cierra bajo
frotis en cualquier n-caja U â € X. Dejando que A sea la capa inferior de d miembros cerrados
de B, entonces
Hm(X,A ) = Hm+k(X,K),
donde K es R o C dependiendo de si permitimos o no valores complejos
corrientes y formas.
Prueba. Esta es una consecuencia inmediata de la Proposición 23 y del Teorema 16.
5 Corrientes Invariantes
Notación 1. Si G es alguna vaina de funciones en un colector orientable suave
X usaremos F k(G) para denotar la vaina de formas k en X con coeficientes
en G. Dejaremos que F kc (G ) sea el subhoja de cerrado (en el sentido de las corrientes)
miembros de F k(G ).
Será conveniente utilizar ya sea el grado o la dimensión de una corriente de-
en el contexto (así como la dimensión y la codimensión son útiles para
Por lo tanto, no nos ceñiremos a uno de estos términos. Lo haremos.
que C k denote la vaina de las corrientes de grado k con el índice escrito arriba
como es típico para la cohomología ya que d aumenta el grado. Nosotros también lo haremos.
escribir Ck para la vaina de la dimensión k corrientes con el índice escrito a continuación
ya que d disminuye la dimensión como es común para la homología. Usamos lo siguiente:
convención para realizar una forma α como una corriente de modo que si α es C1 entonces dα es la
lo mismo si se calcula como una corriente o un formulario.
Definición 25. Dada una forma k α con coeficientes L1 en un n multiforme X
realizamos α como un grado k corriente vía
β 7→ (−1)(
α β
Definición 26. Dado un (posiblemente complejo) no cero deRham cohomología
clase c • HkdeRham(X) con f
*(c) = α · c para algunos escalares α • C nos referiremos
a una corriente C en la misma clase de cohomología como α como una eigencurrente para f si
f*(C) = αC.
Las corrientes empujan naturalmente hacia adelante, en lugar de retroceder. Porque somos
teniendo en cuenta los mapas que no son necesariamente invertibles que necesitamos abordar
cómo se realiza este retroceso. Si f tiene puntos críticos es imposible
definir una operación de retirada continua f * en todas las corrientes de una manera que esté de acuerdo
con casos esperados. Por ejemplo, considere f(x) = x2 y deje Ca ser el
Dimensión una corriente en R con Ca(h(x)dx) = h(a), es decir. Ca es una unidad de masa
vector. A continuación, la pullback f *(Ca) debe ser la suma de las masas unitarias ponderadas
en las dos preimágenes de este vector (al igual que el retroceso de una masa de punto
es una suma de masas de puntos cada una ponderada por multiplicidad), es decir, f *(Ca) =
Caa − Ca
. Sin embargo, estos retrocesos no convergen a una corriente como
a → 0 so f ∗(C0) no está definido. Ya que queremos que f* sea continuo, estamos
obligado a trabajar con corrientes que tienen una regularidad extremadamente leve. Nosotros
Abordar esto en la siguiente sección.
5.1 Formas ágiles y corrientes flexibles
Encontrar un buen conjunto de corrientes para usar para estudiar mapas finitos lisos (no
necesariamente invertible) de colectores compactos resulta ser bastante delicado.
Nuestra solución es primero ampliar nuestra clase de formas para incluir pushforwards (en
el sentido de las corrientes) de las formas a través de una clase apropiada de mapas lisos.
Entonces limitamos nuestra atención a las corrientes que actúan sobre esta clase extendida
de formas.
Esta solución tiene la propiedad muy agradable que se puede adaptar potencialmente
para estudiar directamente la dinámica de otras diversas categorías de
mapas (cambiando simplemente qué formas se consideran ágiles, según
a la clase de mapas utilizados). Será conveniente definir primero lo natural
operador de empuje hacia adelante en los formularios:
Definición 27. Dado un compacto colector orientable X dejamos que SX sea el
categoría de mapas lisos f : X → X de grado no cero y que tienen el
propiedad que el conjunto crítico tiene la medida cero. Usamos el conjunto crítico aquí para
significa los puntos en los que Df no es invertible.
De nuestra definición se deduce que la imagen de cualquier conjunto de medidas positivas
debajo de algunos f • SX tiene una medida positiva.
Definición 28. Dado un colector X orientable compacto, definimos N k para ser
que son una suma finita de corrientes de la forma p*(
p : X → X es un mapa en SX y es una forma de grado k. El pushforward
p*(l) se calcula en el sentido de corrientes.
Más tarde demostraremos que las formas ágiles son también, de hecho, formas de buena fe.
Definición 29. Topologizamos a N k diciendo Łj → ♥ en N k si para lo suficiente
j grande hay mapas f1,. ........................................ ...........................................................................................................
1 °, 1 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° .........................................................
i fi*(lj) = lj y
i fi*(?i) = (donde pushfor-
los pabellones se toman en el sentido de las corrientes) y para cada i â € 1,..., k, las formas
En el sentido fuerte (es decir, en el sentido de la palabra. todos los derivados convergen de manera uniforme).
Lemma 30. Dado un compacto y orientable múltiple, N k(Y) es un topológico
espacio vectorial.
Prueba. Esto se sigue fácilmente de nuestra definición de la topología.
Ahora definimos el espacio correspondiente de las corrientes.
Definición 31. Definimos la dimensión k corrientes indulgentes Lk(Y) a ser
el dual topológico de N k(Y ). Cada miembro de Lk(Y) es una dimensión k
actual, pero con la estructura añadida de su acción en todas las formas k ágiles. Nosotros
Dale a Lk la topología débil, es decir. Ci → C en Lk iff < Ci,
Escribimos L k para las corrientes indulgentes de grado k.
Definimos las operaciones de productos de cuña con formas lisas como es habitual para
corrientes. Está claro que la dimensión indulgente k corrientes dan una capa en X.
Las siguientes propiedades de formas ágiles también son inmediatamente claras.
Lemma 32. Let f : X → X ser miembro de SX. El pushforward (como
a corriente) de una forma nimble k por f es de nuevo una forma nimble. Además
f*: N
k(X)→ N k(X) es continuo (en la topología de formas ágiles). También
el derivado exterior de una forma ágil (como una corriente) es una forma ágil y
d : N k(X)→ N k+1(X) es continuo.
Los hechos básicos necesarios sobre retirar corrientes indulgentes son entonces
inmediata. Los declaramos aquí:
Lemma 33. Dado f : X → X un miembro de SX el mapa inducido f * en el
es un cohomomorfismo f de las gavillas. Ambas cosas.
f ∗ : L k(X) → L k(X) y d : L k(X) → L k+1(X) son continuas. Por último,
f*d = df*: L k(Y)→ L k+1(X).
Proposición 34. Supongamos que f : X → X es miembro de SX. Deja que R sea el
conjunto regular de f. El teorema R de Sard tiene la medida completa. Desde el conjunto crítico
es compacto entonces R es un subconjunto abierto de X. Desde la preimagen de una medida
cero conjunto tiene la medida cero para los mapas SX entonces f−1(R) es también una medida completa
abierto en X. Hay una operación bien definida f? que mapea k formas en
f−1(R) a k formularios en R. Dado un k formulario β en X, f?(β) se define en cualquier
abrir subconjunto V â € R tal que cada componente U1,. .., Um de mapas f−1(V )
diffeomorphically en V por la fórmula
¿F?(β)
deg f
(β) · i (7)
donde el grado orientado de f
: Ui → V. La pushforward
¿F? cumple:
• f?d = df? (Teniendo en cuenta que f? devuelve una corriente en R)
• f?(1) = 1
• f?(f ∗(β) • α) = β • f?(α)
• (f?)n = (fn)?
• La fórmula
f ∗(β) • α =
β Ł f?(α) (8)
se mantiene para cualquier forma k β con coeficientes L-loc en Y y cualquier suave n-k
forma α en X. Esto justifica el uso de f? para retirar las corrientes. (Parte del
la conclusión es que ambas partes son integrables.)
Prueba. Cada declaración es una consecuencia de la fórmula (7) excepto el integrabil-
ity conclusión para la ecuación (8). Se pueden dar gráficos locales que están delimitados
subconjuntos de Rn y para los que Df permanece limitada uniformemente (sobre cada uno de los
gráficas) y por lo tanto f*(β) será una forma con los coeficientes de Lloc en estas gráficas.
Así, el lado izquierdo de (8) es la integral de una función limitada sobre un
unión finita de gráficos delimitados y por lo tanto es absolutamente integrable. Desde
∗(β) • α) = β • f?(α) basta con demostrar que si γ es una forma n con
Coeficientes de Lloc entonces
f−1(R)
f?(γ). (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
¿Típicamente f?(γ) está sin límites, por lo que tenemos que demostrar que el lado derecho de
(9) es integrable. Sobre cualquier punto x â € TM TM R podemos encontrar un V abierto de tal manera que
cada una de las preimágenes U1,. .., Uk of V es mapeado difeomorficamente en V.
Puesto que X es orientable y n dimensional hay una noción bien definida de la
valor absoluto de una forma n. Entonces...
f?(γ) ≤
deg f
(f
=
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
f−1(V)
NowR está cubierto por muchos conjuntos V y enumerarlos como V0, V1, V2,. ..,
podemos dejar V ′0 = V0, V
1 = V1 \V0, V ′2 = V2 \ (V0+V1),.... Entonces R es la unión
de la colección contable de conjuntos medibles disjuntos V ′j y
f?(γ) =
f?(γ) ≤
f−1(Vj)
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
f−1(R)
Desde
f−1(R)
es finito entonces f?(γ) es una forma L1. Usando exactamente lo mismo
argumento pero con los valores absolutos eliminados y las desigualdades sustituidas
con ecualidades entonces muestra
¿F?(γ) =
f−1(R)
Puesto que R y f−1(R) son de medida abierta y completa, entonces f? es un operador
que toma formas en X y devuelve formas definidas casi en todas partes en
Ahora mostramos que las formas ágiles son formas genuinas.
Lemma 35. Si g : X → X es un mapa en SX y es una forma k suave en X
entonces la actual g*(l) es la corriente de integración contra la forma g?().
Prueba. Si se trata de una forma lisa n − k, entonces por definición < g*(
, g*(l) = (−1)(
(-)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)
¿G?(l)............................................................................................................................................................................................................................................................. (l),.............................................................................................................................................................................................................................................................
por fórmula (8) de la Proposición 34
Como se describe en [Fed69], un producto interior en un espacio vector V puede ser
visto como un isomorfismo ` : V → V ∗ satisfaciendo ciertas propiedades. Los
inverso de ` da el producto interno inducido en V ∗. El hecho de que < v,w
Con la igualdad iff v y w son múltiplos escalares implica que el interior
La norma del producto V* es la misma que la norma del operador V* que actúa sobre V.
El mapa inducido
V* da un producto interior en
Llamamos a esto el producto canónico interior en
V inducido por el prod-
uct en V. Por lo tanto, dada una métrica Riemanniana en X, hay canónica
variando suavemente los productos interiores en
TxX y
T ∗xX para cada x â € ¢ X.
En cualquier punto x x x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos x definimos
Dxf® ser la norma del operador de la
función lineal
Dxf :
TxX →
Tf(x)X. Definimos:
DfÃ3r ser
la norma del mapa x 7→
Dxfó. Además, dada una forma de k, definimos
el comass LÃ3loc de lÃ3 ser el L
loc norma de la función x 7→ •
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Lo siento.
está claro que las formas k con la norma comass es un espacio Banach. Ahora sí.
mostrar que las formas k con los coeficientes de Lloc son naturalmente corrientes indulgentes.
Comenzamos definiendo la acción sobre formas ágiles.
Definición 36. Dado un n- k forma C con los coeficientes de L-loc que definimos
< C, p*(l) = (−1)(
n−k+1
¿Cómo se llama?(l)
Lemma 37. El espacio F n-k(L-loc) de n-k formas con L
Coeficientes de loc bajo
la norma del comass incluye continuamente en Lk(X) donde la acción de C
F n−k(Lloc) en algunos =
i fi*(i) N
k(X), con cada fi • SX y cada
El valor de F k(C+) viene dado por:
< C,
f ∗i (C)
Prueba. La suposición de que X es compacto significa que cualquier dos Rieman-
Las métricas nian en X son comparables. Escoge uno para que la noción del comass
La norma tiene sentido. El resultado es entonces una consecuencia directa de equa-
tion (8), Lemma 35, y nuestras definiciones.
Observación. De ello se deduce que una corriente con potenciales locales de F k(Lüloc) es también una
Corriente indulgente.
Observación. Dado un miembro C de F k(Lloc) entonces f
*(C) es el mismo si
hecho como una corriente indulgente o como una forma. Esto, junto con el hecho de que df * =
f ∗d justifica la retirada ad hoc de las corrientes positivas cerradas (1, 1) utilizadas de esta manera
con éxito en la dinámica holomórfica. Del mismo modo dC da el mismo resultado
si se calcula como una corriente indulgente o como un formulario si C + F k(C1).
5.2 Hölder Lemmas
Queremos aplicar el corolario 15 para mostrar que cada eigencurrente que con-
struct tiene potenciales d locales (o potenciales ddc en el caso holomórfico) que
son formas con coeficientes continuos Hölder. Para hacer esto necesitaremos
algunos hechos que incluimos aquí para evitar tener que incluir
los resultados de la larización como pensamientos posteriores a nuestros principales teoremas.
Observación. Dejar Hα ser las funciones con coeficientes que son Hölder de
exponente al menos igual a algunos fijos α > 0. Puesto que los difeomorfismos preservan
Hölder exponentes y promedios de funciones Hölder son Hölder entonces tomamos
está claro que el corolario 24 se aplica para demostrar que H1(X,A ′) = H1(X,A )
donde A ′ es los miembros cerrados de F k(Hα)) y A es el grado cerrado k
corrientes.
Lemma 38. Que X sea un colector compacto (real o complejo) con un Rieman-
métrica nian y de dimensión real n. Let f : X → X ser un mapa suave. Entonces
gráficos de coordenadas locales Ui se puede elegir en X (cada uno representa un convexo
subconjunto abierto de Rn) de modo que hay una constante positiva 1 < M por lo que para cualquier
k forma ♥, existen constantes c, C > 0 tales que escribir cada fk*() en cualquier
de los gráficos Ui como
fk*(l) =
akidx
entonces cada función aki satisface
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
y por cada j â € 1,..., n,
aki
≤ C ·Mk.
Prueba. La ecuación (10) es un hecho básico.
El resto es una consecuencia directa de realizar un automapa de un
múltiple como se compone de un montón de mapas entre diferentes coordenadas
parches en Rn. Es decir, se elige una cubierta abierta de parches Ui de X. Cada uno
parche se realiza en Rn como una bola redonda. Pensando en cada parche como tumbado en Rn
entonces podemos encontrar mapas explícitos entre subconjuntos abiertos de Rn de la forma
pij : Ui f−1(Uj)→ Uj. Al encoger cada bola abierta Ui una pequeña cantidad el
los parches resultantes todavía cubren X pero los derivados de los mapas pij son todos ahora
limitado (ya que estamos trabajando en subconjuntos relativamente compactos de
maps pij).
A continuación, dado cualquier x podemos llevar un registro de qué parche fk(x) está en cada vez
y entonces puede realizar el mapa fk(x) como una composición pi1i2 â ¬ pi2i3 â · · â ¬ pik−1ik.
Puesto que cada derivado parcial de cada pij está limitada uniformemente, entonces cualquier parcial
derivado de la composición crece a lo sumo exponencialmente con k y somos
Hecho.
También será útil la siguiente observación:
Lemma 39. Si hay constantes positivas c, C,m,M con m < 1 < M
de tal manera que una secuencia de funciones lisas hk en un conjunto convexo abierto
Satisface
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
y www/23370/hk
< C ·Mk
para todos los k + 0, 1, 2,... a continuación h1+h2+h3+. .. converge a un continuo limitado
función que es Hölder de cualquier exponente α <
log(m)
log(m/M)
Prueba. La prueba es elemental.
5.3 Corrientes autonómicas para la expansión cohomológicamente suave
Llamaremos a una sección V de
TX un campo k-vector. Definimos a V Lloc como
la norma de la función x 7→ â € € ¢ Vxâ € € TM. Si el teorema 12 se aplica a un
mapa dependerá del tamaño de
Dfó. Reemplazar f con un iterado no
afectar la estimación necesaria por lo que hacemos la siguiente definición.
Definición 40. Definimos que el "K" es el límite supremo como j →
D(f j)
j. De ello se deduce que, en el caso de cualquier exponente de Lyapunov,
que Łk ≤ Łk1 ([Fed69] página 33).
Dejamos que B sea la vaina F k−1 (Lüloc). La norma claramente hace que (B)
en un espacio de Banach. Dado un miembro B • • • (B), ya que la norma del operador sobre
TxX es igual a la norma ya definida en
T ∗xX para cada x â € TM X
entonces B es igual a suprema de la norma de la función x 7→ B(Vx)
como V varía en todos los campos de la norma de Lloc k-vector no más de uno.
Teorema 41. Dado f : X → X un mapa en SX para el orientable compacto
multiple X, asumir que c • HkdeRham(X) es una clase de co-homología (usando ei-
la cohomología real o compleja deRham) que es un autorvector de f* con
eigenvalue β. Asumir también que > k−1. Entonces existe un eigen único...
C actual con potenciales locales de F k−1(Lloc) que representan la clase c. Además
C tiene potenciales locales de F k−1(H).
Además, dado cualquier barrio U â € X de cualquier punto en el apoyo de C,
entonces para cada corriente indulgente C′ con potenciales locales F k−1(Lloc) y que
representa la clase de cohomología c y luego fk(U) • Supp C′ 6= • para todos los k grandes.
Supongamos que el mapa lineal f * : HkdeRham(X)→ H
DeRham(X) está dominado
por un solo valor propio real simple r. Dada C′ cualquier corriente que tiene local
Potenciales de F k−1(Lloc) y que representan una clase de cohomología en el
expandiendo crónicamente el subespacio de HkdeRham(X), luego el sucesivo redimensionado
los retrocesos fk*(C′)/rk de C′ convergen a un múltiplo de C en el sentido de indulgente
corrientes (y por lo tanto también en el sentido de corrientes).
Prueba. Dejamos que B = F k−1(L.Loc), A y C sean el kernel y la imagen respec-
ticularmente de B
d→ L k. Por Teorema 24, H1(X,A ) se puede identificar canónicamente
con Hk(X,K). Puesto que B es acíclico entonces cada miembro de H1(X,A) es un
paquete cerrado con respecto a la secuencia exacta corta A → B → C.
De Lemma 33 hay un cohomorfismo f inducido de la ex-
secuencia de acción A
B d→ C. También (C ) es un espacio de corrientes indulgentes por
Lemma 33 y por lo tanto tiene una estructura natural como un espacio vectorial topológico. Si
una secuencia Bi-B-B-Converge a B-B-B-B-B-
Bí.d. =
Por lo tanto, el mapa d : •(B)→ •(C) es continuo.
El cohomomorfismo es fB pullback f
* de formas diferenciales. Fijar cualquier
real α satisfaciendo k−1 < α < es claro de la definición de k−1 que uno
puede elegir una d real > 0 de tal manera que
D(f `) ≤ d para todos ` N.
(B) de B (B) satisface f (B) = supV (B)
D(f)(V))
donde el máximo se toma sobre todos los campos de covectores k V con V ≤ 1.
Sin embargo
D(f `)(V ) es un campo de norma k-covector no más de •
D(f `)®,
Por lo tanto, no se trata de una cuestión de orden, sino de una cuestión de orden.
D(f `) ≤ d · B.
Dada cualquier W en el subespacio de expansión crónica de H
k(X,K),
podemos alterar nuestra elección de α > Łk−1 de modo que W también se encuentra en el α crónicamente
expandiendo el subespacio de Hk(X,K).
Por lo tanto, podemos aplicar Teorema 12 para concluir que hay un (único)
mapa : W → (C ) de tal manera que f = Łf ∗, donde la primera f ∗ es la retirada de
corrientes y la segunda es pullback en Hk(X,K).
De hecho, "W" se encuentra en el espacio de corrientes con potenciales locales de Hölder.
(es decir, F k−1(H) potenciales) aplicando el corolario 15 en combinación con
Observación 5.2, Lemma 38 y Lemma 39. La segunda mitad del Teorema
es una consecuencia de la ecuación (3).
Observación. Teorema 41 da regular grado uno eigencorrientes para cada eigen-
valor de f * : H1(X,K) → H1(X,K) de norma mayor sin requerir
cualquier restricción en el comportamiento local de f. El grado uno eigencurrents
parecen ser, en cierto sentido, más robustos que las corrientes de dimensión inferior,
incluyendo medidas invariantes. Por otra parte, puesto que la codimensión uno cerrado sub-
los colectores son corrientes cerradas con los potenciales locales de F 0(Lüloc) luego sucesivos
preimágenes reescaladas de tales colectores en la clase cohomológica derecha
convergen a la corriente propia.
Observación. El hecho de que las corrientes autonómicas construidas a través de Teorema 41 tienen local
potenciales que son formas no implica su apoyo tiene Lebesgue positivo
medida como el ejemplo clásico de una función monotónica no constante que
es constante en un conjunto de muestras de medida completa.
Observación. El supuesto de que f * : H1deRham(X)→ H
DeRham(X) está dominado
por un solo valor propio real simple r no es esencial, pero sólo destinado a manejar
el caso más simple. De hecho, la prueba realmente muestra que si W yace en el
El subespacio de H se expande crónicamente.
k(X,K) entonces cada corriente en el
el plano invariante de las corrientes tiene potenciales locales de F k−1(H) y
cualquier corriente con clase cohomológica en W con potencial local F k−1(Lloc)
es atraída a فارسى(W ) bajo sucesivo reescalonado pullback.
Dado que las medidas son de particular interés en la dinámica, observamos que H1(X,F n−1(Lloc)) =
Hn(X,K) = K por corolario 24 por lo que hay un valor propio único f* y es
precisamente el grado topológico de f. Obtenemos así:
Corolario 42. Teniendo en cuenta que el nivel 1 < deg f entonces hay una dimensión única
C eigencurrente cero con potenciales F k−1(Lloc) (y de hecho tiene F
k−1(H)
potenciales) y las sucesivas preimagenes reescaladas de cualquier C′ con F k−1 (Lloc)
los potenciales convergen a C. Si además no hay punto x â € ~ X sobre el cual
f es localmente una orientación revirtiendo difeomorfismo entonces C (y todos los demás
miembro de la empresa (W ) es una distribución positiva y, por lo tanto, es una medida de Radon.
Prueba. Desde f ∗ tira hacia atrás de la dimensión cero corrientes (es decir. de distribución) que
son positivos a las distribuciones que son positivas entonces por el corolario 3.1
distribución C es positiva. Por lo tanto, se trata de una medida de Radon (véase, por ejemplo, el caso de Rädon). [HL99]
página 270).
Observación. En el caso de que f esté revirtiendo la orientación en algunas partes de X (pero
no en todas las X) se aplican algunas observaciones especiales. Si sucede eso sucesivamente
imágenes redimensionadas de algún punto convergen a una dimensión cero eigencurrent entonces
ya que las preimagenes de puntos se cuentan con multiplicidad entonces cuando se tira hacia atrás
a través de una porción de X en la que f invierte la orientación el signo de un punto
está volteado. Por lo tanto, en este caso la corriente propia puede no describir tanto
la distribución de las preimágenes como la densidad relativa de las preimágenes contadas
negativamente en comparación con los que cuentan positivamente. Número de efectivos
preimagenes de un punto puede crecer exponencialmente más rápido que el grado de la
en tales casos de modo que la división por el grado no produzca una medida en
el límite a menos que tal “cancelación” tenga lugar en el límite. Uno lo haría.
espera que las corrientes propias correspondientes tienen potenciales locales que son
no de variación limitada en tal caso.
5.4 Eigencurrents para mapas de cobertura suave
Llamaremos a un mapa de cobertura que es localmente un difeomorfismo un suave
mapa de cobertura. Ahora consideramos el caso especial de la auto-cobertura suave
mapas f : X → X de un compacto colector orientable suave X. Mostramos
que en este caso tenemos una colección sustancialmente más amplia de corrientes
sucesivos retrocesos convergen a una corriente propia, aunque necesitamos diferentes
las estimaciones para el teorema 12. Retrocederemos las corrientes empujando
formularios delanteros con f?. Puesto que el conjunto regular de f es todo de X entonces f? es un pozo
operador definido de formas lisas a formas lisas.
Definición 43. Para un mapa que satisface la hipótesis de la Proposición 34 nosotros
definir la operación f * de corrientes en X a corrientes en Y por
< f ∗(C), α C, f?(α) >.
Claramente f* preserva la dimensión de una corriente.
Que Mk−1 sea la vaina para la que Mk−1(U) es el espacio Banach delimitado
operaciones lineales en el espacio de vectores topológicos formado por F k−1(C(U)
con la norma ·. Equivalentemente, Mk−1 es la vaina de la dimensión k − 1
corrientes de masa finita.
Elija una métrica Riemanniana en X. Si f : X → X es una cubierta lisa
a continuación, para cada x x x y cada ` N, Dx(f `) : TxX → Tf`(x)X es invertible.
Dejamos que νk(x, `) sea la norma del operador de la inversa de
TxX k
Tf`(x)X. Definimos νk(`) = supxÃ3X νk(x, `)
1/`. Definimos νk = lim sup νk(`).
La operación de avance iterada f `? : F
k−1(C)(X) → F k1(C)(X)
¿Satisfecho?(l) ≤ νk(`) · · como es fácil de verificar. Si f está en...
vertible entonces νk es un atado en el crecimiento de la k
producto de cuña de la
derivado bajo f−1. En el caso de los no invertibles f, νk representa un límite en el
crecimiento de la cuña kth producto del derivado bajo cualquier secuencia de
ramas sucesivas de f−1.
Teorema 44. Dado f : X → X un mapa de auto-cubrimiento suave y que
c HkdeRham(X) es una clase de cohomología (utilizando real o complejo deR-
cohomología del jamón) que es un autovector para f* con valor propio β. Asumir
También que > @k−1. Entonces existe un C independiente único con local
Mk−1 potenciales que representan la clase c. Además C tiene F local
k−1(C0)
potenciales. En consecuencia, C es una corriente de orden uno.
Además, dado cualquier barrio U â € X de cualquier punto en el apoyo de C, entonces
para cada corriente indulgente C′ con potencial local Mk−1 y que representa
la clase de cohomología c y luego fk(U) • Supp C′ 6= • para todos los k grandes.
Supongamos que el mapa lineal f * : HkdeRham(X)→ H
DeRham(X) está dominado
por un solo valor propio real simple r. Dada C′ cualquier corriente que tiene local
Potenciales de Mk−1 y que representan una clase de cohomología en la
k−1 croni-
cally expandiendo el subespacio de HkdeRham(X), luego los sucesivos retrocesos redimensionados
fk*(C′)/rk de C′ convergen un múltiplo de C.
Prueba. Dejamos que A y C sean el núcleo y la imagen respectivamente de d : Mk−1 →
C k. Desde df? = f?d entonces el retroceso de las corrientes da un cohomomorfismo f
de la secuencia exacta corta de las gavillas A →Mk−1 → C.
Puesto que el Mk−1 es el operador lineal continuo en un espacio vectorial estandarizado
entonces es un espacio Banach. De las observaciones anteriores a la declaración
de Teorema 44 uno concluye que para cualquier α > vk−1 hay una constante d > 0
De los tipos utilizados en la fabricación de productos de la partida 84.01 del SA
Puesto que el C es un espacio de corrientes, es naturalmente un espacio vectorial topológico.
sobre K.
El mapa f ∗ : •(C ) → •(C ) es continuo ya que si Ci → C en •(C ) entonces
< f ∗(Ci), = < Ci, f?C, f?(lc) = < f*(C), (lc) >.
Si Pi → P en Mk−1 (usando la estructura espacial Banach) entonces ·Pi−P® →
0 por suposición a continuación P(dl) − Pi(dl) ≤ P − Pi· · → 0. Por lo tanto
< dPi, > = Pi(dl)→ P(dl) =< dP, l > y por lo tanto concluimos que el mapa
d : •Mk−1 → •(C) es continuo.
Dado cualquier W en el subespacio de expansión crónica de la vk-1 de H
k(X,K),
podemos alterar nuestra elección de α > vk−1 de modo que W también se encuentra en el α crónicamente
expandiendo el subespacio de Hk(X,K).
Por lo tanto, podemos aplicar Teorema 12 para concluir que hay un (único)
mapa : W → (C ) de tal manera que f = Łf ∗, donde la primera f ∗ es la retirada de
corrientes y la segunda es pullback en Hk(X,K).
De hecho, en las corrientes con potencial local continuo por aplica-
por el que se aplica el corolario 15 en relación con la observación 5.2, Lemma 38
y Lemma 39. La segunda mitad del Teorema es una consecuencia del equa-
tion (3).
Proposición 45. Dejar Y ser una codimensión orientada k submanifold de X. Si
la clase cohomológica de Y (como una corriente) se encuentra en el vk−1 expandiéndose crónicamente-
ing subespacio de Hk(X,K) a continuación, las imágenes preescaladas sucesivas de Y con-
al borde del plano invariante de las corrientes (W ). Si f ∗ : Hk(X,K)→ Hk(X,K)
es dominado por un único valor propio real r > νk−1 entonces el sucesivo redimensionado
las preimagenes de Y convergen a un múltiplo (posiblemente cero) de la r eigencurrent.
En particular, si νn -1 < deg f entonces las preimagenes reescaladas sucesivas de cualquier
punto convergen a la medida invariante única con Mn−1 potenciales.
Prueba. Esto sigue inmediatamente del Teorema 44 si mostramos que Y tiene
potenciales locales en Mk−1. Esto es equivalente a mostrar que localmente Y = dP
donde < P, a · para algunos a > 0. Deja que B sea una pelota en Rn y Y0
un avión k en Rn. Entonces hay un k + 1 plano medio P tal que, como corrientes
En U, P = Y0. Por otra parte es claro que < P, a para algunos reales
a > 0. (También hay potenciales locales para Y que se dan por formas con
Coeficientes L1loc. Estos se pueden construir mediante la elección de una proyección
U \ Y0 a una codimensión de un cilindro C con el eje Y0, y la elección de un volumen
forma en C. El potencial local es el pullback ().)
Observación. Al igual que con el teorema 41, el teorema 44 da un grado normal eigencur-
rentas por cada valor propio de f* : H1(X,K)→ H1(X,K) de norma mayor
sin requerir ninguna restricción en el comportamiento local de f. En holomorphic
la dinámica se ha avanzado mucho en la construcción del grado uno eigen-
rentas y luego construir medidas invariantes dinámicamente importantes a través de
un producto de cuña generalizada (véanse las referencias citadas al
Sección 6).
Observación. La prueba de la Proposición 45 podría ser claramente modificada para aplicar a
muchos colectores singulares también.
6 Endomorfismos holomórficos
Ahora limitamos nuestro interés a la dinámica holomórfica. Así todos los colectores
se supone que son complejos colectores y todos los mapas se supone que son holo-
morphic a menos que se indique lo contrario.
Se han estudiado endomorfismos holomórficos de la esfera de Riemann
con gran detalle. Para los endomorfismos gran parte de la teoría todavía está en su ser-
Ginnings. Se ha prestado mucha atención a los automorfismos holomórficos de
C2 [FM89], [FS92], [HOV94], [HOV95], [BS91a], [BS91b], [BS92], [BLS93],
[BS98a], [BS98b], [BS99] o superficies K3 [Can01], [McM02], las principales de-
desarrollos para los endomorfismos han sido en Pn, [FS94a], [FS94b], [FS95b],
[FS01], [FS95a], [JW00], [FJ03], [Ued94], [Ued98], [Ued97]. Reciente significación.
desarrollos cant se han hecho para los endomorfismos de los colectores Kahler
en [DS05]. El documento [DS05] muestra la existencia de corrientes propias (o Green’s
corrientes) para endomorfismos de colectores Kahler en una condición simple
sobre las tasas comparativas de crecimiento del volumen en dos dimensiones diferentes.
También muestran que una suma ponderada específica de un cierre arbitrario positivo
la corriente suave convergerá a la corriente de los Verdes, y que los Verdes
corriente tiene un potencial continuo Hölder. En este escenario nuestro teorema muestra
que las preimagenes arbitrarias (reescaladas) de una clase más amplia de corrientes con-
al borde de la corriente de los Verdes. Se ha demostrado una amplia variedad de resultados
en estas diversas circunstancias, ya sea mostrando la existencia de la invariante cur-
rentas, mostrando convergencia de corrientes a corrientes invariantes, o estudiando la
propiedades de estas corrientes invariantes. Aquí incluimos los resultados que siguen
del método de este documento, que estamos seguros de que se superponen sustancialmente con
los resultados existentes. Presumiblemente nuestro teorema de elevación cohomológica podría ser
utilizado en conjución con el teorema 12 para mostrar la existencia de mayor grado (k, k)
corrientes dadas ciertas limitaciones en las tasas de crecimiento local.
6.1 ddc Cohomología
Que Z sea un complejo colector y que f : Z → Z sea un automapa holomórfico
de Z. Deja que H sea la vaina de las funciones pluriarmónicas, deja que Löloc sea la vaina
de las funciones delimitadas localmente, y dejar que C sea la vaina de las corrientes con local
potenciales en Lóloc, es decir, corrientes locales de la forma dd
cb, para b a delimitados localmente
función. Los miembros de C están cerrados (1, 1) corrientes en Z.
Usando las habituales funciones de retirada, y la retirada inducida en cur-
rentas con potencial funcional (es decir, retirar la corriente tirando hacia atrás su
potenciales locales), entonces obtenemos un autocohomomorfismo de la secuencia exacta
de gavillas
H → LŁloc
ddc→ C. (11)
Observamos que H1(Z,H) es un espacio vectorial finito dimensional R como puede ser
visto de la secuencia exacta larga para la secuencia exacta corta R→ O →H
donde el primer mapa es la inclusión y el segundo toma la parte imaginaria. Los
términos H1(Z,O) → H1(Z,H) → H2(Z,R) dan la dimensión finita
ya que O es una funda analítica coherente (véase, por ejemplo, [Tay02] página 302.
Entonces de Teorema 12 obtenemos:
Corolario 46. Dado v cualquier eigenbundle cerrado de H1(Z,H) para f* con
eigenvalue r > 1, hay un cerrado único (1, 1) actual C tal que limkÃ3 f
k*(C′)/rk
Converge a C para cualquier divisor C′ de v.
Observación. Observamos que los términos “eigenbundle cerrado” y “divisor” en Corol-
lary 46 se entienden usando la secuencia exacta larga para (11).
Podemos aplicar el corolario 15 para demostrar que
Corolario 47. Cualquier tal invariante corriente C así obtenido ha Hölder contin-
potencial local.
Prueba. El resultado se deriva de Lemma 5.2, Lemma 38, el hecho de que
ddc cerrado Las funciones continuas de Hölder son las mismas que el ddc cerrado Lloc
funciones y del corolario 15.
También de la Observación 3.1,
Corolario 48. Si v tiene una sección plurisubarmónica, la actual C es positiva.
7 Resultado a través de secciones invariantes
Declaramos al principio que nuestra construcción de los miembros invariantes de H0(C) para
un autocohomomorfismo de una secuencia exacta corta A → B → C de las gavillas
podría hacerse en términos de encontrar secciones invariantes de paquetes. Ilustramos
esto aquí en un caso específico donde podemos aprovechar la geometría para hacer
nuevas conclusiones. Encontrar una sección invariante de un paquete es equivalente a
encontrar una trivialización invariante del paquete, y vamos a hacer nuestra inicial
declaración en términos de una trivialización.
Que Z sea un colector complejo compacto. Let f : Z → Z ser un holomórfico
Endomorfismo. Let p • H1(Z,H) ser un eigenvector para f • con real eigen-
valor de la norma superior a uno. Si f* tuviera valores propios complejos de
interés, una construcción análoga se puede hacer a la que sigue.
Tomamos nota de que hay un mapa de paquete canónico fœ : f ∗(p) → p que da
el mapa f en el espacio base. Es fácil demostrar que hay un mapa
que es la identidad en el espacio base y toma la forma r 7→ r+ b en el
fibras, donde b es una constante. Lo que es más, el mapa se ve fácilmente ser
único hasta la adición de una constante. A continuación, definir el mapa de : p → p a
ser la composición de
p = f ∗(p) f p.
Entonces fÃ3 es el mapa f en el espacio base y toma la forma r 7→ ♥r + b en
las fibras.
Puesto que cada paquete pluriarmónico es trivial como un paquete suave, entonces nosotros
puede elegir una trivialización suave t : p→ R, es decir. t(a+ r) = (a) + r para cualquier
a P, r, R, donde a+ r se calcula en la fibra que contiene a.
Teorema 49. Hay una trivialización continua única g : p → R tales
que:
g(a+ r) = g(a) + r en el caso de un p+ y r+ R,
g(f®(a)) = · g(a) para un â € p,
Además
g = lim
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
y el límite converge uniformemente. Finalmente, el conjunto cero de g es la imagen de un
sección g : Z → p y es exactamente el conjunto de puntos cuya imagen hacia adelante en
fâ € € TM sigue siendo limitado.
Prueba. Definir una función T : p→ R por
T (a) (e) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)
a)
• • • t(a). • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Tenga en cuenta que T desciende a una función continua bien definida T : Z → R desde
para un r â € R arbitrario uno tiene T (a + r) = t
(a + r)
- t(a + r) =
t(f(a) + r)− · (t(a) + r) = T (a).
Uno señala que puesto que la función T está necesariamente limitada si Z es compacta
a continuación, definir
g(a) t(a) + 1 · T (a) + 2T (f(a)) + 3T (f(a)) + · ·
da una función continua g : p→ R que satisface las dos propiedades anteriores.
Suponga que g1 y g2 son dos de estas funciones. A continuación, g1− g2 : p→ R es un
la función que satisface la letra (a+ r) = (a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra
función continua: p→ R satisfaciendo la función «(f(a))» = «(a). Sin embargo, desde
Se llega a la conclusión de que esto sólo es posible si la M es compacta.
por lo que tiene una imagen compacta en R.
Es fácil comprobar usando la definición de T que k â € € TM t â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
una suma parcial de los primeros términos k de la serie anterior y esto da la
resultados de convergencia. La conclusión sobre la sección g es trivial.
La construcción anterior se puede llevar a través de casi sin modifi-
Para cualquier subespacio de H1(Z,H) en el que f* se está expandiendo. Esto da
una forma alternativa de entender la convergencia de las preimágenes de las secciones.
El punto es que si s es cualquier sección de p, es decir. el potencial de una C actual,
entonces 1
f*(C) es una corriente con potencial que es la preimagen setwise de s
en la letra f) (esto es fácil de confirmar a partir de la construcción de f). Los Verdes
la banalización g muestra que f® está repeliendo uniformemente lejos de la imagen de
la sección invariante g. Por lo tanto, siempre y cuando s está limitada en p, (ni siquiera es necesario
sólo continua), entonces las sucesivas preimagenes de s convergerán uniformemente
a la sección g. Dado que la convergencia uniforme de los potenciales implica convergencia
de las corrientes entonces los retrocesos redistribuidos de una corriente C convergen a la
alquiler con potencial g. Ya tenemos esto como un teorema, por lo que no tenemos
Lo repitió como tal aquí. Este es sólo un enfoque alternativo. Tenga en cuenta que en
el caso en el que Z = P2 [FJ03] ha dado un control mucho más preciso de cuándo
las preimagenes reescaladas sucesivas de una corriente convergerán a la corriente propia.
7.1 Versión de secciones con un paquete amplio invariante
También es interesante considerar el caso especial donde hay una invariante
amplio paquete con valor propio ≥ 2 un entero. Sin pérdida de generalidad
Suponemos que ` es muy amplio. El morfismo de las gavillas log · : O* → H
induce un mapa de paquetes de líneas holomórficas a paquetes pluriarmónicos. Nosotros
let p = log ser el paquete pluriarmónico correspondiente.
Es fácil ver que hay un mapa holomórfico ` → que es de la
forma : z 7→ azđ, a C* en cada fibra y es la identidad en la base
espacio. También hay un mapa holomórfico canónico fû : f*(`) → ` que es un
line bundle map y es f en el espacio base.
A continuación, se define el mapa holomórfico de : â € â €, que es la composición
k→ `k = f ∗(`) f `.
Este mapa es de la forma z 7→ azk en cada fibra y es igual al mapa
f : Z → Z en el espacio base. Dejar denotar ` con su sección cero eliminado,
para que log · : ` → p es un mapa continuo bien definido. Desde la preimagen
de la sección cero de ` debajo de fà es la sección cero entonces fà es un holomorphic
auto mapa de. Es fácil confirmar que fâ ́ : ` → ` se puede volver a escalar de modo que
el diagrama
log
log
Los viajes.
Nuestros Verdes trivialización g : p→ R se puede tirar hacia atrás para dar un verde’s
función G : → R en el paquete perforado. Cumple G(fś(w)) =
G(w) y G(βw) = G(w) + log para w • y β • C*. Ya que g es
una trivialización de un paquete R sobre un espacio compacto, g es apropiado. Desde
log · : → p es apropiado entonces G es apropiado. Por lo tanto, en este escenario uno puede
construir una función de los verdes que es exactamente análogo a la función del verde
construido en Cn+1 para un endomorfismo holomórfico de Pn. Potencialmente uno
podría aprovechar la geometría especial de los paquetes muy amplios para obtener
información sobre la dinámica en esta situación.
8 Bibliografía
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[Wei97] Charles A. Weibel. Una introducción a la álgebra homológica. Cam...
bridge University Press, 1997.
Introducción
Cohomomorfismos
Cohomomorfismos y.
Secciones mundiales invariantes
Regularidad y positividad
Cohomología de la subhoja
Corrientes invariantes
Formas ágiles y corrientes flexibles
Hölder Lemmas
Eigencurrents for Cohomologically Expanding Smooth Maps
Eigencurrents para mapas de cobertura suave
Endomorfismos holomórficos
ddc Cohomología
Resultado a través de secciones invariantes
Versión de secciones con un paquete amplio invariante
Bibliografía
|
704.007 | Coincidence of the oscillations in the dipole transition and in the
persistent current of narrow quantum rings with two electrons | Coincidencia de las oscilaciones en la transición del dipolo y en la corriente persistente de
anillos cuánticos estrechos con dos electrones
Y. Z. Él y C. G. Bao*
Laboratorio Estatal Clave de Materiales y Tecnologías Optoelectrónicas,
y Departamento de Física, Universidad Sun Yat-Sen, Guangzhou, 510275, P.R. China
La oscilación fraccional Aharnov-Bohm (FABO) de anillos cuánticos estrechos con dos electrones
se ha estudiado y se ha explicado de manera analítica, la evolución del período y
Las amplitudes contra el campo magnético se pueden describir exactamente. Además, la transición del dipolo
del estado del suelo se encontró que tenía esencialmente dos frecuencias, su diferencia aparece como un
oscilación que coincide exactamente con la oscilación de la corriente persistente. Una serie de igualdades relativas a
se han encontrado los parámetros observables y dinámicos.
Números PACS: 73.23.Ra, 78.66.-w
* El autor correspondiente
Anillos cuánticos que contienen sólo unos pocos electrones pueden
se fabriquen ahora en laboratorios1,2. Cuando un magnético
campo B se aplica, fenómenos físicos interesantes, por ejemplo,
Oscilación Aharonov-Bohm (ABO) y ABO fraccional
(FABO) de la energía del estado del suelo (SG) Eo y persis
tienda actual Jo, se han observado
2-4,13. En el...
aspecto mineral, una serie de cálculos basados en
diagonalización5−8, aproximación de la densidad de espín local9,10,
y la difusión del método de Monte Carlo11 han sido
realizado. Estos cálculos pueden, en general,
duce los datos experimentales. Por ejemplo, en el
cálculo de 4-electrón anillo6,11, el período de oscila-
Se ha recuperado la sustancia Φ0/4 encontrada en experimentos (Φ0 =
hc/eisthefluxquantum).
Además de las oscilaciones en Eo y Jo, el oscil-
ión en las propiedades ópticas es notable.16,17. En este
un nuevo tipo de oscilación que se encuentra en el dipolo tran-
Situación de los anillos estrechos de dos electrones (2-e). Los
Fotón emitido (absorbido) de la transición del dipolo de la
GS fue encontrado para tener esencialmente dos energías, su dif-
ferencia es exactamente igual a hJo, donde h es el Planck
constante. En otras palabras, la diferencia de los dos fotones
las energías aparecen como una oscilación que coincide exactamente
la oscilación de Jo. Esta conclusión está aprobada por ambas partes.
cálculo numérico y análisis analítico, según se indica a continuación.
El estrecho anillo 2-e se considera primero como uno-
dimensional, entonces el efecto de la anchura del anillo es
se evaluará más adelante. El hamiltoniano lee
H = T + V12 + HZeeman (1)
G(-i ♥
)2, G = ~
2m*R2
donde m* la masa efectiva, el azimuthal y-
gle del electrón j − th, Φ = ηR2B/Φ0, donde B
es un campo magnético perpendicular al plano del
anillo, V12 la interacción e-e Coulomb, HZeeman =
−SZ la bien conocida energía Zeeman donde está SZ
el componente Z del giro total S, y μ = g
ηR2Φ0
donde g* es el factor g efectivo y μB es el Bohr
magnetón. La interacción se ajusta como 7 V12 =
e2/(2]
d2 +R2 sin2((1 − 2)/2)
−1, donde está el di-
constante eléctrica y el parámetro d se introduce en
explicar el efecto del espesor finito del anillo.
Primero realizamos un cálculo numérico para que todos
las cantidades relacionadas pueden evaluarse cuantitativamente. m* =
0,063me, = 12,4 (para InGaAs), d = 0,05R, y la
Se utilizan unidades meV, nm, Tesla y Φ0. En consecuencia,
G = 604,8/R2, y μ = 33,53/R2.
Un conjunto de funciones de base Łk1k2 = e
i(k1oo1+k2o2)/2o está en-
troceado para diagonalizar el Hamiltoniano, donde k1 y
k2 debe ser enteros para asegurar la periodicidad, la suma de
k1 y k2 es sólo el momento angular orbital total L.
En el caso de S = 0(1), se debe seguir simmetrizando (anti) k1k2.
Cuando se adoptan unas tres mil funciones básicas,
soluciones precisas (al menos seis dígitos efectivos) pueden ser ob-
Enterado. El espectro bajo está trazado en la Fig.1, donde
la oscilación de la energía GS y la transición de la
Momento angular GS Lo se puede ver claramente.
Vamos a C = (2 + 1)/2, y = 2 − 1. Entonces
H = Hcoll +Hint (2)
dondeHcoll =
G(-i ♥
+2Φ)2+HZeeman yHint =
2G(−i ♥
)2+V12, son para el colectivo e interno
mociones, respectivamente. Nuestros resultados numéricos conducen a la
siguientes puntos.
i) Separabilidad: la separabilidad de las dimensiones unidimensionales
anillo es bien conocido5. Sin embargo, para la comodidad de la
La descripción siguiente se resume brevemente de la siguiente manera.
Cada E eigenenergy puede ser exactamente dividido como una suma de
tres términos
E = 1
G(L+ 2Φ)2 + Eint − SZ (3)
donde el primer término es la energía cinética del colectivo
movimiento, Eint es la energía interna.
Puesto que las funciones de base pueden ser reescritas como
http://arxiv.org/abs/0704.0070v1
k1k2 = e
iL/23370/Cei
(k2−k1)
la parte espacial de cada estado independiente es estrictamente separa-
ble como • = 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
eiL Côte d'Ivoire donde se describe la primera parte
el movimiento colectivo, mientras que int es un interno normalizado
estado dependiendo sólo de Ł. En particular, tanto Eint como
No depende de B (o Φ).
0 2 4 6 8
E (meV)
FIG. 1: Niveles bajos de un anillo de 2-e contra Φ/Φ0 en el
Región de la FABO. Cuando Φ/ es positivo, Lo es negativo, el num-
bers por las curvas son −Lo.
ii) Clasificación de la "int": cuando L es par (odd), (k2−
k1)/2 es un entero (medio entero), por lo tanto, el período de
que se indica en el punto 4) es 2η (4η). Por lo tanto, la periodicidad de la
Los estados internos tienen dos opciones. De hecho, la diferencia en
la periodicidad está estrechamente relacionada con la dependencia de la
dominios de las nuevas variables C y C, este punto tiene
se discutió en detalle en ref.[14,15]. Dejar Q = (−1)L,
entonces los cuatro casos (Q,S) = (1,0), (-1,0), (-1,1) y (1,1)
están asociados con cuatro tipos de estados etiquetados por a, b, c,
y d, respectivamente. Los estados internos de Tipo a
se denominen como «a», «a»*, «·····» y el «interno» asociado.
energías como Ea < Ea*, · · · y así sucesivamente. Ejemplos de
La pintura y la pintura se presentan en la figura 2 y se enumeran en la tabla 1.
respectivamente.
Cuadro 1, El nivel interno más bajo y el segundo nivel interno más bajo
energías (en meV ) de Tipo a a d, R = 30nm.
Tipo a b c d
Eint 2.626 4.247 2.630 4.272
E*int 6.342 8.912 6.435 9.158
Debido a la repulsión e-e, una forma de mancuerna (DB), es decir,
Es ventajoso en energía porque los dos
Los electrones están más lejos unos de otros mientras tanto.
Sin embargo, una rotación de esta geometría por η es equivalente
a un intercambio de partículas, estas operaciones
se comieron los factores (−1)L y (−1)S, respectivamente, de la
función de onda. Por lo tanto, la equivalencia lleva a una
tensa, por lo tanto, el DB está permitido sólo para los estados
Tipo a Tipo b
0 90 180 270 360
Tipo c
0 90 180 270 360
Tipo d
FIG. 2: Cuatro tipos de "int" en contra de "", R = 40nm. El más bajo
tres de cada tipo se muestran, el estado superior tiene más nodos.
con L + S par, es decir, sólo para los tipos a y c. Los demás
sabio, los estados tendrían un nodo inherente en el DB
y, por lo tanto, ser más elevado en energía, como se muestra en el cuadro 1,
donde Ea Eb, Ec Ed y Ea Ec. En la figura 2
los patrones de Tipo a son uno-a-uno similar a Tipo c
, todos tienen un pico en el DB. Por el contrario, todos
los de Tipo (b) y (d) tienen el nodo inherente en el
DB. Es notable que los tipos b y c no son continuos
Los períodos de referencia no son iguales a los de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia no son iguales a los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia.
Se encontró que los estados internos de todos los GS son
o bien a o c sin excepciones porque el favorable
DB está permitido en ellos. Cuando el parame dinámico...
En la mayoría de los casos, el número de personas que se encuentran en el país de origen es muy superior al de las personas que se encuentran en el país de origen.
La figura 2 sigue siendo la misma.
Según el punto 3), se elegiría un Lo apropiado para
minimizar la energía GS. Cuando Φ aumenta, Lo un-
dergo transiciones pares en repetidas ocasiones y se convierten en más
negativo como se muestra en la figura 1. Correspondientemente, el total
spin So experimenta transiciones singlet-triplet, y
Aparecen en el GS alternativamente. Sin embargo, debido a la
Efecto Zeeman, cuando Φ es mayor que un valor crítico Φcrit
, sólo So = 1 estados será dominante, y en consecuencia
Sólo el "c" aparecerá en el cuadro de servicios generales. La región Φ < (>) Φcrit
se llama la región de FABO (ABO).
iii) Corriente persistente: Que J1 sea la corriente de la
partícula e1. La expresión de J1 es bien conocida.
5 Sin embargo,
ya que no depende del ángulo azimutal, es igual a
a su media superior a 1o. Así, el total actual J = J1+J2
J = 1
d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.
∗ (−i ♥)
+2Φ)c.c.] 5)
donde g = ~/(m*R2). Uso de los argumentos C y C
y haciendo uso de la separabilidad, la integración
Se pueden realizar C y C. Así que tenemos
J = g(L+ 2Φ)/2η (6)
Esta ecuación demuestra explícitamente el mecanismo
de la oscilación de la corriente persistente, se causa
por la transición paso a paso de L durante el aumento
de Φ. Ejemplos de J se muestran en la Fig.3, donde cada uno
oscilación más fuerte (asociada con un L impar y S = 1
GS) es seguido por una oscilación más débil (asociado con
a L par y S = 0 GS).
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
FIG. 3: La oscilación de la corriente persistente y los dos
energía fotónica de los estados de tierra contra Φ/Φ0 en el
Región de la FABO. La unidad de corriente es 10-5C/R, donde C
es la velocidad de la luz. En el panel más bajo, el cuadrado negro
(círculo blanco) denota (), es decir, la energía associ-
con Lo a Lo + 1 (Lo − 1) transición.
iv) Relaciones entre los Estados internos: Definir
Om = e
im(?1C)+ eim(?2C) = 2 cos(m?/2). Por un...
alisando los datos numéricos, encontramos
Ñ(O1a) = Íb + Ía y Ñ(O1c) = Íd + Íc (7)
donde Ñ es el operador de la normalización, tanto
•c son funciones muy pequeñas y dependen de la dinámica
parámetros muy débiles. Por ejemplo, cuando R varía de 30 a
90, las pesas de A y C varían de 0,0004 a 0,0002.
Son tan pequeñas que de hecho pueden ser descuidadas. Desde
O1 contiene un nodo en el DB, debe causar un cambio de
tipo de a a b, o de c a d. Por lo tanto, no es sorprendente
que (7) se mantiene. Puesto que O1 es el operador del dipolo
transición (véase más adelante), eq.7) establece una norma adicional
de selección como se discutió más adelante.
v) Transición del dipolo: probabilidad de que el dipolo
Sition lee P
(o),± =
(/c)
3R2 A
(o),
2, donde
es la frecuencia del fotón,
= (f)e
±il+1 + e±il+2 (o)®
= L(f), L(o) ±1
int O1
intÃ3 (8)
donde f) y o) denotan los estados final e inicial,
respectivamente, los signos ± se asocian con L(f) =
L(o) ± 1.
Dejemos que el estado inicial sea el GS con Lo, entonces
debe ser a o c dependiendo de Lo es par o impar.
Let α denota el tipo del estado inicial. Sumas adeudadas (7)
int O1
int = (f),α < O1O1 >
1/2, donde
La letra f),α implica que el estado final debe ser b (d) si α = a
(c), de lo contrario la amplitud es cero. Por lo tanto, debido a la
regla ditional de selección eq.(7), la fuerza del dipolo de la
GS se concentra completamente en dos estados finales con
L(f) = L(o) ± 1 y ambos con el mismo estado interno
especificada por eq.(7). En consecuencia, sólo los fotones con
las dos energías
= E(f)± − E(o)
= G[ 1
(1± 2 (Lo + 2Φ)) + /G] (9)
puede ser emitido (absorbido), donde = Eb − Ea o
Ed − Ec dependiendo de α = a o (c). La oscilación
de se traza en el panel más bajo de la Fig.3. Se gira.
fuera que /G depende de R muy débilmente, por lo tanto es
casi proporcional a R-2. En consecuencia, un anillo más pequeño
tendrá una mayor probabilidad de transición con un mayor
energía.
(vi) Región de la FABO: La oscilación en esta región es
Replicado como se muestra en las figuras 1 y 3. Se observa que el cuadro de servicios generales
energía (3), corriente persistente (6), y el fotón ener-
gies (9) todos contienen el factor Lo + 2Φ, por lo que su FABO
están completamente en fase y tienen el mismo mecanismo
causado por la transición de Lo contra Φ. En la figura 1
abscissa Φ se puede dividir en segmentos, en cada uno de los
GS tiene una Lo específica y la energía GS es dada por un
pieza de una curva parabólica. El segmento se llama un
incluso (odd) segmento si Lo es par (odd). En la frontera de
dos segmentos vecinos las dos energías GS son iguales.
De la igualdad y basado en (3), la derecha y la izquierda
límites del segmento con Lo se pueden obtener como
Φ derecha(Lo) = (1−(μ/2G)
2)-1[ 1(Ec−Ea)/G
2Lo+(−1)
Lo(2(Ec−Ea)(Lo−1/2))/G]/4 (10)
Φizquierda(Lo) = (1 − (μ/2G)
2)−1[−1 − μ(Ec − Ea)/G
2Lo − (−1)
Lo(2(Ec − Ea) + μ(Lo + 1/2))/G]/4 (11)
donde Lo ≤ 0 y Φright(Lo) = Φleft(Lo − 1), μ surge
del HZeeman. La longitud del segmento se lee
dLo = Φderecha(Lo) − Φderecha(Lo) = (1 − (μ/2G)
2)-1[1 +
(−1)Lo(2(Ec − Ea) + μLo)/G]/2 (12)
que está relacionado con el período de la FABO. Cuando Φ
aumento, la magnitud de Lo aumentaría. Desde μLo
es negativo, está claro de eq.(12) que la longitud de par
(odd) los segmentos serían más cortos (más largos) cuando Φ
incrementos.
La ubicación de un segmento con un Lo dado puede ser
Φleft(Lo) ≤ Φ ≤ Φright(Lo).
Una vez que la relación entre Lo y los segmentos de Φ es
claro, cada detalle de la FABO puede ser analítico y
exactamente explicado a través del eq.3), 6) y 9). En particular:
lar, el extremo en cada segmento se puede conocer dando
Φ= Φderecha o Φizquierda. Por ejemplo, el máximo cur-
alquiler es g(Lo+2Φderecha)/2η. Por cierto, el mínimo de
la energía GS en el segmento es Emin = Ec
2/8GLo/2
(si So = 1), o simplemente igual a Ea (si S0 = 0).
Se observa que Ec − Ea (cf. Cuadro 1 y μ/G
es 0,0554 en nuestro caso) son ambos pequeños. Cuando Φ es pequeño
la magnitud de Lo sería también pequeña. En este caso
eq.(12) conduce a dLo • 1/2, es decir, el período es de la mitad de
el del ABO normal. De hecho, (12) proporciona un
descripción cuantitativa de la variación del período de
la FABO.
vii) Región ABO: cuando Φ sea suficientemente grande,
Lo se volverá muy negativo, los segmentos pares
desaparecen debido a su longitud dLo ≤ 0. Podemos de-
fine un entero impar crítico Lcrit de modo que dLcrit−1 ≤ 0
mientras que dLcrit+1 > 0, por lo tanto el flujo crítico separa
la región de FABO y ABO puede definirse como
Φcrit = Φizquierda(Lcrit) (13)
Una vez Φ > Φcrit, Lo permanece impar y el sistema mantiene
polarizado. Que IX sea el mayor entero incluso más pequeño
que −(G + 2-Ec − Ea))/μ. Resulta de eq.(12)
que Lcrit = IX + 1. Con nuestros parámetros, Lcrit = −19
y, en consecuencia, Φcrit = 9.003 (véase la figura 1). Ambas cosas.
Lcrit y Φcrit dependen de R muy débil, pero sensiblemente
sobre la masa efectiva m*.
En la región de ABO (Φ > Φcrit), eqs.10) a 12) no
Espera. En cambio tenemos Φ derecha = −(Lo − 1)/2, Φ izquierda =
−(Lo + 1)/2, y dLo = 1. Por lo tanto, el ABO normal re-
tapas. Evaluación a partir de (6), la magnitud de la corriente es
de −g/2η a g/2η (para una comparación, es de −g/4η
a g/4η para anillos de 1-e). De (9) las energías de fotones
es de c −G/2 a c + 3G/2, al mismo tiempo
es de c + 3G/2 a c −G/2.
viii) Relaciones entre las energías fotónicas y otras
cantidades físicas : Debido a (7), las emisiones (absorbidas)
fotón dipolo tiene sólo dos frecuencias, por lo tanto es
significante para definir = ~( − ). Directamente desde
(9) y (6), tenemos
= hJo (14)
donde h es la constante del Planck y Jo es la persis-
la corriente de la tienda de campaña del SG. Para comparar con 1-e anillos, el
este último tiene = 2hJooq.(14) demuestra que el os-
la cilación de y la oscilación de Jo se emparejan
con el otro exactamente, se mantienen estrictamente proporcionales
el uno al otro durante la variación de Φ.
El máximo de medido en el ABO y FABO
regiones, respectivamente, debe decir
()
max = 2G (15)
()
max = 2G(Lo + 2Φderecha) (16)
Obviamente, (15) proporciona una manera de determinar G, m*can
que se obtengan de este modo. (16) puede ser reescrita como
Ec−Ea = (GLo)/2−(2G)/(4G)()
max (17)
Esta ecuación se puede utilizar para determinar Ec −Ea. Piel...
termo, definimos
= ~( + ) = G+ 2 (18)
Una vez que se conoce a G, (18) se puede utilizar para determinar
Eb−Ea y Ed−Ec. Dado que el espectro puede ser generado
desde las energías internas vía (3), las evoluciones de la
el espectro y la corriente persistente frente a Φ puede ser
entendida simplemente midiendo las energías fotónicas.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-0.15
-0.10
-0,05
B (Tesla)
50 a 120 nm
FIG. 4: Evolución de hJo (línea sólida) y (línea punteada)
contra B para un anillo de 2-e con ra = 50 y rb = 120nm
ix) Efecto de la anchura: ahora consideramos un dos-
modelo dimensional en el que los dos electrones son estrictamente
confinado en una región anular por una U(r) potencial, que
es cero si ra < r < rb o es infinito de lo contrario. Bajo
este modelo hemos realizado el cálculo numérico a
obtener y hJo, donde Jo es ahora el angular total
corriente dentro del anillo (de ra a rb). El resultado es
en la figura 4, donde se asumen ra = 50 y rb = 120,
y las dos cantidades son ligeramente diferentes de cada una
otro. Sin embargo, cuando el ancho se vuelve más pequeño, digamos
rb − ra < 30, las dos curvas se superponen. Así (14) obras
no sólo para una dimensión sino también para dos dimensiones
anillos estrechos. Definamos r = ~/
m*()ABmax.
Para anillos unidimensionales y de (15), tenemos r= R,
donde R es el radio del anillo. Para dos dimensiones
anillos, se encontró a partir de nuestro cálculo numérico que
• (rb + ra)/2 si rb − ra < 30. Por ejemplo, cuando rb = 100
y ra = 70, r = 85.03. Cuando rb = 100 y ra = 90, r
=95.00. Así (15) también funciona bien para dos dimensiones
anillos estrechos si la R en G se sustituye por la media
radio.
Se observa que la estructura de la banda y
propiedades de los anillos 2-e ya se han estudiado en de-
cola de Wendler y coautores18. Clasifican el eigen-
estados según su movimiento radial, relativamente angular
movimiento, y rotación colectiva. En nuestro artículo el pariente
movimiento angular se clasifica además en cuatro tipos ac-
atado a las estructuras nodales inherentes y la periodicidad
de sus funciones de onda, es decir, según si el DB
se permite la forma y si la función de la onda es contin-
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • La accesibilidad de la DB resulta ser im-
portante porque afecta decisivamente a las eigenenergias. In
de hecho, la clasificación de los Estados sobre la base de nodales inherentes
se encontró que las estructuras eran cruciales en la física atómica19,
Esto también sería cierto en los sistemas bidimensionales. Piel...
termo, la regla de selección para la transición del dipolo
se ha propuesto en ref.[18]. En nuestro periódico, un adi-
(es decir, eq.7)) se propone además sobre la base de
la posible transición de las estructuras internas. Esta regla
que afectaría seriamente al espectro del dipolo porque el
la emisión (absorción) se concentra así en dos
frecuencias. La diferencia de estas dos frecuencias gira
para ser proporcional a la corriente persistente. Ahí...
la medición de esta diferencia se puede utilizar para
determinar la magnitud de la corriente.
En resumen, hemos estudiado el análisis de la FABO
cial y numéricamente. El formalismo analítico pro-
vide no sólo una base para la comprensión cualitativa, pero
También proporciona una serie de fórmulas para de-
scription. El dominio de Φ se divide en segmentos,
cada uno corresponde a un Lo. Esta división describe ex-
cómo Lo transitaría contra Phi, lo que causa
directamente la FABO. Por lo tanto, la variación del período
y amplitud de la oscilación de la energía GS, persis-
la corriente de la tienda, y las frecuencias de la transición del dipolo en
la región de la FABO se puede describir exactamente. Una serie de
Equidades para relacionar las cantidades físicas y dinámicas
se han encontrado los parámetros. En particular, una nueva oscila-
sión, a saber, la oscilación de se encontró que coincide con
exactamente la oscilación de Jo. Desde las energías fotónicas
se pueden medir con más precisión, otros observables y
los parámetros se pueden determinar a través de la ecua-
corbatas. Desde la separabilidad de los hamiltonianos y los
la existencia de nodos inherentes son comunes, los anteriores de-
la prescripción puede ser más o menos generalizada a N-electrón
anillos, esto merece ser estudiado más a fondo.
Agradecimiento, Este trabajo es apoyado por el
NSFC de China en virtud de las subvenciones 10574163 y 90306016.
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Stat. Sol. B 234, 273 (2002)
8, Z. Barticevic, G. Fuster, y M. Pacheco, Phys.
Rev. B 65, 193307 (2002)
9, M. Ferconi y G. Vignale, Phys. Rev. B 50, 14722
(1994).
10, Li. Serra, M. Barranco, A. Emperador, M. Pi, y
E. Lipparini, Phys. Rev. B 59, 15290 (1999)
11 A. Emperador, F. Pederiva, y E. Lipparini,
Phys. Rev. B 68, 115312 (2003)
12, C.G. Bao, G.M. Huang, Y.M. Liu, Phys. Rev. B
72, 195310 (2005)
13, A.E. Hansen, A. Kristensen, S. Pedersen, C.B.
Sorensen, y P.E. Lindelof, Physica E (Ámsterdam)
12.770 (2002).
14, K. Moulopoulos y M. Constantinou, Phys. Rev.
B. 70, 235327 (2004)
15, J. Planelles, J.I. Climente, y J.L. Movilla,
arXiv:cond-mat/5506691 (2005)
16, J.I. Climente y J. Planelles, Phys. Rev. B 72,
155322 (2005)
17, A.O. Govorov, S.E. Ulloa, K. Karrai y R.J. War...
Burton, Phys. Rev. B 66, 081309 (2002)
18, L. Wendler, V.M. Fomin, A.V. Chaplik, y A.O.
Govorov, Phys. Rev. B 54, 4794 (1996).
19, M.D. Poulsen y L.B. Madsen, Phys. Rev. A 72,
042501 (2005).
http://arxiv.org/abs/cond-mat/5506691
| La oscilación fraccionaria Aharnov-Bohm (FABO) de anillos cuánticos estrechos con
dos electrones han sido estudiados y han sido explicados de una manera analítica, la
la evolución del período y las amplitudes contra el campo magnético puede ser
exactamente descrito. Además, la transición del dipolo del estado del suelo fue
que tienen esencialmente dos frecuencias, su diferencia aparece como un
oscilación que coincide exactamente con la oscilación de la corriente persistente. A
número de igualdades relativas a los observables y los parámetros dinámicos
han sido encontrados.
| Coincidencia de las oscilaciones en la transición del dipolo y en la corriente persistente de
anillos cuánticos estrechos con dos electrones
Y. Z. Él y C. G. Bao*
Laboratorio Estatal Clave de Materiales y Tecnologías Optoelectrónicas,
y Departamento de Física, Universidad Sun Yat-Sen, Guangzhou, 510275, P.R. China
La oscilación fraccional Aharnov-Bohm (FABO) de anillos cuánticos estrechos con dos electrones
se ha estudiado y se ha explicado de manera analítica, la evolución del período y
Las amplitudes contra el campo magnético se pueden describir exactamente. Además, la transición del dipolo
del estado del suelo se encontró que tenía esencialmente dos frecuencias, su diferencia aparece como un
oscilación que coincide exactamente con la oscilación de la corriente persistente. Una serie de igualdades relativas a
se han encontrado los parámetros observables y dinámicos.
Números PACS: 73.23.Ra, 78.66.-w
* El autor correspondiente
Anillos cuánticos que contienen sólo unos pocos electrones pueden
se fabriquen ahora en laboratorios1,2. Cuando un magnético
campo B se aplica, fenómenos físicos interesantes, por ejemplo,
Oscilación Aharonov-Bohm (ABO) y ABO fraccional
(FABO) de la energía del estado del suelo (SG) Eo y persis
tienda actual Jo, se han observado
2-4,13. En el...
aspecto mineral, una serie de cálculos basados en
diagonalización5−8, aproximación de la densidad de espín local9,10,
y la difusión del método de Monte Carlo11 han sido
realizado. Estos cálculos pueden, en general,
duce los datos experimentales. Por ejemplo, en el
cálculo de 4-electrón anillo6,11, el período de oscila-
Se ha recuperado la sustancia Φ0/4 encontrada en experimentos (Φ0 =
hc/eisthefluxquantum).
Además de las oscilaciones en Eo y Jo, el oscil-
ión en las propiedades ópticas es notable.16,17. En este
un nuevo tipo de oscilación que se encuentra en el dipolo tran-
Situación de los anillos estrechos de dos electrones (2-e). Los
Fotón emitido (absorbido) de la transición del dipolo de la
GS fue encontrado para tener esencialmente dos energías, su dif-
ferencia es exactamente igual a hJo, donde h es el Planck
constante. En otras palabras, la diferencia de los dos fotones
las energías aparecen como una oscilación que coincide exactamente
la oscilación de Jo. Esta conclusión está aprobada por ambas partes.
cálculo numérico y análisis analítico, según se indica a continuación.
El estrecho anillo 2-e se considera primero como uno-
dimensional, entonces el efecto de la anchura del anillo es
se evaluará más adelante. El hamiltoniano lee
H = T + V12 + HZeeman (1)
G(-i ♥
)2, G = ~
2m*R2
donde m* la masa efectiva, el azimuthal y-
gle del electrón j − th, Φ = ηR2B/Φ0, donde B
es un campo magnético perpendicular al plano del
anillo, V12 la interacción e-e Coulomb, HZeeman =
−SZ la bien conocida energía Zeeman donde está SZ
el componente Z del giro total S, y μ = g
ηR2Φ0
donde g* es el factor g efectivo y μB es el Bohr
magnetón. La interacción se ajusta como 7 V12 =
e2/(2]
d2 +R2 sin2((1 − 2)/2)
−1, donde está el di-
constante eléctrica y el parámetro d se introduce en
explicar el efecto del espesor finito del anillo.
Primero realizamos un cálculo numérico para que todos
las cantidades relacionadas pueden evaluarse cuantitativamente. m* =
0,063me, = 12,4 (para InGaAs), d = 0,05R, y la
Se utilizan unidades meV, nm, Tesla y Φ0. En consecuencia,
G = 604,8/R2, y μ = 33,53/R2.
Un conjunto de funciones de base Łk1k2 = e
i(k1oo1+k2o2)/2o está en-
troceado para diagonalizar el Hamiltoniano, donde k1 y
k2 debe ser enteros para asegurar la periodicidad, la suma de
k1 y k2 es sólo el momento angular orbital total L.
En el caso de S = 0(1), se debe seguir simmetrizando (anti) k1k2.
Cuando se adoptan unas tres mil funciones básicas,
soluciones precisas (al menos seis dígitos efectivos) pueden ser ob-
Enterado. El espectro bajo está trazado en la Fig.1, donde
la oscilación de la energía GS y la transición de la
Momento angular GS Lo se puede ver claramente.
Vamos a C = (2 + 1)/2, y = 2 − 1. Entonces
H = Hcoll +Hint (2)
dondeHcoll =
G(-i ♥
+2Φ)2+HZeeman yHint =
2G(−i ♥
)2+V12, son para el colectivo e interno
mociones, respectivamente. Nuestros resultados numéricos conducen a la
siguientes puntos.
i) Separabilidad: la separabilidad de las dimensiones unidimensionales
anillo es bien conocido5. Sin embargo, para la comodidad de la
La descripción siguiente se resume brevemente de la siguiente manera.
Cada E eigenenergy puede ser exactamente dividido como una suma de
tres términos
E = 1
G(L+ 2Φ)2 + Eint − SZ (3)
donde el primer término es la energía cinética del colectivo
movimiento, Eint es la energía interna.
Puesto que las funciones de base pueden ser reescritas como
http://arxiv.org/abs/0704.0070v1
k1k2 = e
iL/23370/Cei
(k2−k1)
la parte espacial de cada estado independiente es estrictamente separa-
ble como • = 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
eiL Côte d'Ivoire donde se describe la primera parte
el movimiento colectivo, mientras que int es un interno normalizado
estado dependiendo sólo de Ł. En particular, tanto Eint como
No depende de B (o Φ).
0 2 4 6 8
E (meV)
FIG. 1: Niveles bajos de un anillo de 2-e contra Φ/Φ0 en el
Región de la FABO. Cuando Φ/ es positivo, Lo es negativo, el num-
bers por las curvas son −Lo.
ii) Clasificación de la "int": cuando L es par (odd), (k2−
k1)/2 es un entero (medio entero), por lo tanto, el período de
que se indica en el punto 4) es 2η (4η). Por lo tanto, la periodicidad de la
Los estados internos tienen dos opciones. De hecho, la diferencia en
la periodicidad está estrechamente relacionada con la dependencia de la
dominios de las nuevas variables C y C, este punto tiene
se discutió en detalle en ref.[14,15]. Dejar Q = (−1)L,
entonces los cuatro casos (Q,S) = (1,0), (-1,0), (-1,1) y (1,1)
están asociados con cuatro tipos de estados etiquetados por a, b, c,
y d, respectivamente. Los estados internos de Tipo a
se denominen como «a», «a»*, «·····» y el «interno» asociado.
energías como Ea < Ea*, · · · y así sucesivamente. Ejemplos de
La pintura y la pintura se presentan en la figura 2 y se enumeran en la tabla 1.
respectivamente.
Cuadro 1, El nivel interno más bajo y el segundo nivel interno más bajo
energías (en meV ) de Tipo a a d, R = 30nm.
Tipo a b c d
Eint 2.626 4.247 2.630 4.272
E*int 6.342 8.912 6.435 9.158
Debido a la repulsión e-e, una forma de mancuerna (DB), es decir,
Es ventajoso en energía porque los dos
Los electrones están más lejos unos de otros mientras tanto.
Sin embargo, una rotación de esta geometría por η es equivalente
a un intercambio de partículas, estas operaciones
se comieron los factores (−1)L y (−1)S, respectivamente, de la
función de onda. Por lo tanto, la equivalencia lleva a una
tensa, por lo tanto, el DB está permitido sólo para los estados
Tipo a Tipo b
0 90 180 270 360
Tipo c
0 90 180 270 360
Tipo d
FIG. 2: Cuatro tipos de "int" en contra de "", R = 40nm. El más bajo
tres de cada tipo se muestran, el estado superior tiene más nodos.
con L + S par, es decir, sólo para los tipos a y c. Los demás
sabio, los estados tendrían un nodo inherente en el DB
y, por lo tanto, ser más elevado en energía, como se muestra en el cuadro 1,
donde Ea Eb, Ec Ed y Ea Ec. En la figura 2
los patrones de Tipo a son uno-a-uno similar a Tipo c
, todos tienen un pico en el DB. Por el contrario, todos
los de Tipo (b) y (d) tienen el nodo inherente en el
DB. Es notable que los tipos b y c no son continuos
Los períodos de referencia no son iguales a los de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia no son iguales a los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia de los períodos de referencia.
Se encontró que los estados internos de todos los GS son
o bien a o c sin excepciones porque el favorable
DB está permitido en ellos. Cuando el parame dinámico...
En la mayoría de los casos, el número de personas que se encuentran en el país de origen es muy superior al de las personas que se encuentran en el país de origen.
La figura 2 sigue siendo la misma.
Según el punto 3), se elegiría un Lo apropiado para
minimizar la energía GS. Cuando Φ aumenta, Lo un-
dergo transiciones pares en repetidas ocasiones y se convierten en más
negativo como se muestra en la figura 1. Correspondientemente, el total
spin So experimenta transiciones singlet-triplet, y
Aparecen en el GS alternativamente. Sin embargo, debido a la
Efecto Zeeman, cuando Φ es mayor que un valor crítico Φcrit
, sólo So = 1 estados será dominante, y en consecuencia
Sólo el "c" aparecerá en el cuadro de servicios generales. La región Φ < (>) Φcrit
se llama la región de FABO (ABO).
iii) Corriente persistente: Que J1 sea la corriente de la
partícula e1. La expresión de J1 es bien conocida.
5 Sin embargo,
ya que no depende del ángulo azimutal, es igual a
a su media superior a 1o. Así, el total actual J = J1+J2
J = 1
d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.d.
∗ (−i ♥)
+2Φ)c.c.] 5)
donde g = ~/(m*R2). Uso de los argumentos C y C
y haciendo uso de la separabilidad, la integración
Se pueden realizar C y C. Así que tenemos
J = g(L+ 2Φ)/2η (6)
Esta ecuación demuestra explícitamente el mecanismo
de la oscilación de la corriente persistente, se causa
por la transición paso a paso de L durante el aumento
de Φ. Ejemplos de J se muestran en la Fig.3, donde cada uno
oscilación más fuerte (asociada con un L impar y S = 1
GS) es seguido por una oscilación más débil (asociado con
a L par y S = 0 GS).
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
FIG. 3: La oscilación de la corriente persistente y los dos
energía fotónica de los estados de tierra contra Φ/Φ0 en el
Región de la FABO. La unidad de corriente es 10-5C/R, donde C
es la velocidad de la luz. En el panel más bajo, el cuadrado negro
(círculo blanco) denota (), es decir, la energía associ-
con Lo a Lo + 1 (Lo − 1) transición.
iv) Relaciones entre los Estados internos: Definir
Om = e
im(?1C)+ eim(?2C) = 2 cos(m?/2). Por un...
alisando los datos numéricos, encontramos
Ñ(O1a) = Íb + Ía y Ñ(O1c) = Íd + Íc (7)
donde Ñ es el operador de la normalización, tanto
•c son funciones muy pequeñas y dependen de la dinámica
parámetros muy débiles. Por ejemplo, cuando R varía de 30 a
90, las pesas de A y C varían de 0,0004 a 0,0002.
Son tan pequeñas que de hecho pueden ser descuidadas. Desde
O1 contiene un nodo en el DB, debe causar un cambio de
tipo de a a b, o de c a d. Por lo tanto, no es sorprendente
que (7) se mantiene. Puesto que O1 es el operador del dipolo
transición (véase más adelante), eq.7) establece una norma adicional
de selección como se discutió más adelante.
v) Transición del dipolo: probabilidad de que el dipolo
Sition lee P
(o),± =
(/c)
3R2 A
(o),
2, donde
es la frecuencia del fotón,
= (f)e
±il+1 + e±il+2 (o)®
= L(f), L(o) ±1
int O1
intÃ3 (8)
donde f) y o) denotan los estados final e inicial,
respectivamente, los signos ± se asocian con L(f) =
L(o) ± 1.
Dejemos que el estado inicial sea el GS con Lo, entonces
debe ser a o c dependiendo de Lo es par o impar.
Let α denota el tipo del estado inicial. Sumas adeudadas (7)
int O1
int = (f),α < O1O1 >
1/2, donde
La letra f),α implica que el estado final debe ser b (d) si α = a
(c), de lo contrario la amplitud es cero. Por lo tanto, debido a la
regla ditional de selección eq.(7), la fuerza del dipolo de la
GS se concentra completamente en dos estados finales con
L(f) = L(o) ± 1 y ambos con el mismo estado interno
especificada por eq.(7). En consecuencia, sólo los fotones con
las dos energías
= E(f)± − E(o)
= G[ 1
(1± 2 (Lo + 2Φ)) + /G] (9)
puede ser emitido (absorbido), donde = Eb − Ea o
Ed − Ec dependiendo de α = a o (c). La oscilación
de se traza en el panel más bajo de la Fig.3. Se gira.
fuera que /G depende de R muy débilmente, por lo tanto es
casi proporcional a R-2. En consecuencia, un anillo más pequeño
tendrá una mayor probabilidad de transición con un mayor
energía.
(vi) Región de la FABO: La oscilación en esta región es
Replicado como se muestra en las figuras 1 y 3. Se observa que el cuadro de servicios generales
energía (3), corriente persistente (6), y el fotón ener-
gies (9) todos contienen el factor Lo + 2Φ, por lo que su FABO
están completamente en fase y tienen el mismo mecanismo
causado por la transición de Lo contra Φ. En la figura 1
abscissa Φ se puede dividir en segmentos, en cada uno de los
GS tiene una Lo específica y la energía GS es dada por un
pieza de una curva parabólica. El segmento se llama un
incluso (odd) segmento si Lo es par (odd). En la frontera de
dos segmentos vecinos las dos energías GS son iguales.
De la igualdad y basado en (3), la derecha y la izquierda
límites del segmento con Lo se pueden obtener como
Φ derecha(Lo) = (1−(μ/2G)
2)-1[ 1(Ec−Ea)/G
2Lo+(−1)
Lo(2(Ec−Ea)(Lo−1/2))/G]/4 (10)
Φizquierda(Lo) = (1 − (μ/2G)
2)−1[−1 − μ(Ec − Ea)/G
2Lo − (−1)
Lo(2(Ec − Ea) + μ(Lo + 1/2))/G]/4 (11)
donde Lo ≤ 0 y Φright(Lo) = Φleft(Lo − 1), μ surge
del HZeeman. La longitud del segmento se lee
dLo = Φderecha(Lo) − Φderecha(Lo) = (1 − (μ/2G)
2)-1[1 +
(−1)Lo(2(Ec − Ea) + μLo)/G]/2 (12)
que está relacionado con el período de la FABO. Cuando Φ
aumento, la magnitud de Lo aumentaría. Desde μLo
es negativo, está claro de eq.(12) que la longitud de par
(odd) los segmentos serían más cortos (más largos) cuando Φ
incrementos.
La ubicación de un segmento con un Lo dado puede ser
Φleft(Lo) ≤ Φ ≤ Φright(Lo).
Una vez que la relación entre Lo y los segmentos de Φ es
claro, cada detalle de la FABO puede ser analítico y
exactamente explicado a través del eq.3), 6) y 9). En particular:
lar, el extremo en cada segmento se puede conocer dando
Φ= Φderecha o Φizquierda. Por ejemplo, el máximo cur-
alquiler es g(Lo+2Φderecha)/2η. Por cierto, el mínimo de
la energía GS en el segmento es Emin = Ec
2/8GLo/2
(si So = 1), o simplemente igual a Ea (si S0 = 0).
Se observa que Ec − Ea (cf. Cuadro 1 y μ/G
es 0,0554 en nuestro caso) son ambos pequeños. Cuando Φ es pequeño
la magnitud de Lo sería también pequeña. En este caso
eq.(12) conduce a dLo • 1/2, es decir, el período es de la mitad de
el del ABO normal. De hecho, (12) proporciona un
descripción cuantitativa de la variación del período de
la FABO.
vii) Región ABO: cuando Φ sea suficientemente grande,
Lo se volverá muy negativo, los segmentos pares
desaparecen debido a su longitud dLo ≤ 0. Podemos de-
fine un entero impar crítico Lcrit de modo que dLcrit−1 ≤ 0
mientras que dLcrit+1 > 0, por lo tanto el flujo crítico separa
la región de FABO y ABO puede definirse como
Φcrit = Φizquierda(Lcrit) (13)
Una vez Φ > Φcrit, Lo permanece impar y el sistema mantiene
polarizado. Que IX sea el mayor entero incluso más pequeño
que −(G + 2-Ec − Ea))/μ. Resulta de eq.(12)
que Lcrit = IX + 1. Con nuestros parámetros, Lcrit = −19
y, en consecuencia, Φcrit = 9.003 (véase la figura 1). Ambas cosas.
Lcrit y Φcrit dependen de R muy débil, pero sensiblemente
sobre la masa efectiva m*.
En la región de ABO (Φ > Φcrit), eqs.10) a 12) no
Espera. En cambio tenemos Φ derecha = −(Lo − 1)/2, Φ izquierda =
−(Lo + 1)/2, y dLo = 1. Por lo tanto, el ABO normal re-
tapas. Evaluación a partir de (6), la magnitud de la corriente es
de −g/2η a g/2η (para una comparación, es de −g/4η
a g/4η para anillos de 1-e). De (9) las energías de fotones
es de c −G/2 a c + 3G/2, al mismo tiempo
es de c + 3G/2 a c −G/2.
viii) Relaciones entre las energías fotónicas y otras
cantidades físicas : Debido a (7), las emisiones (absorbidas)
fotón dipolo tiene sólo dos frecuencias, por lo tanto es
significante para definir = ~( − ). Directamente desde
(9) y (6), tenemos
= hJo (14)
donde h es la constante del Planck y Jo es la persis-
la corriente de la tienda de campaña del SG. Para comparar con 1-e anillos, el
este último tiene = 2hJooq.(14) demuestra que el os-
la cilación de y la oscilación de Jo se emparejan
con el otro exactamente, se mantienen estrictamente proporcionales
el uno al otro durante la variación de Φ.
El máximo de medido en el ABO y FABO
regiones, respectivamente, debe decir
()
max = 2G (15)
()
max = 2G(Lo + 2Φderecha) (16)
Obviamente, (15) proporciona una manera de determinar G, m*can
que se obtengan de este modo. (16) puede ser reescrita como
Ec−Ea = (GLo)/2−(2G)/(4G)()
max (17)
Esta ecuación se puede utilizar para determinar Ec −Ea. Piel...
termo, definimos
= ~( + ) = G+ 2 (18)
Una vez que se conoce a G, (18) se puede utilizar para determinar
Eb−Ea y Ed−Ec. Dado que el espectro puede ser generado
desde las energías internas vía (3), las evoluciones de la
el espectro y la corriente persistente frente a Φ puede ser
entendida simplemente midiendo las energías fotónicas.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-0.15
-0.10
-0,05
B (Tesla)
50 a 120 nm
FIG. 4: Evolución de hJo (línea sólida) y (línea punteada)
contra B para un anillo de 2-e con ra = 50 y rb = 120nm
ix) Efecto de la anchura: ahora consideramos un dos-
modelo dimensional en el que los dos electrones son estrictamente
confinado en una región anular por una U(r) potencial, que
es cero si ra < r < rb o es infinito de lo contrario. Bajo
este modelo hemos realizado el cálculo numérico a
obtener y hJo, donde Jo es ahora el angular total
corriente dentro del anillo (de ra a rb). El resultado es
en la figura 4, donde se asumen ra = 50 y rb = 120,
y las dos cantidades son ligeramente diferentes de cada una
otro. Sin embargo, cuando el ancho se vuelve más pequeño, digamos
rb − ra < 30, las dos curvas se superponen. Así (14) obras
no sólo para una dimensión sino también para dos dimensiones
anillos estrechos. Definamos r = ~/
m*()ABmax.
Para anillos unidimensionales y de (15), tenemos r= R,
donde R es el radio del anillo. Para dos dimensiones
anillos, se encontró a partir de nuestro cálculo numérico que
• (rb + ra)/2 si rb − ra < 30. Por ejemplo, cuando rb = 100
y ra = 70, r = 85.03. Cuando rb = 100 y ra = 90, r
=95.00. Así (15) también funciona bien para dos dimensiones
anillos estrechos si la R en G se sustituye por la media
radio.
Se observa que la estructura de la banda y
propiedades de los anillos 2-e ya se han estudiado en de-
cola de Wendler y coautores18. Clasifican el eigen-
estados según su movimiento radial, relativamente angular
movimiento, y rotación colectiva. En nuestro artículo el pariente
movimiento angular se clasifica además en cuatro tipos ac-
atado a las estructuras nodales inherentes y la periodicidad
de sus funciones de onda, es decir, según si el DB
se permite la forma y si la función de la onda es contin-
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • La accesibilidad de la DB resulta ser im-
portante porque afecta decisivamente a las eigenenergias. In
de hecho, la clasificación de los Estados sobre la base de nodales inherentes
se encontró que las estructuras eran cruciales en la física atómica19,
Esto también sería cierto en los sistemas bidimensionales. Piel...
termo, la regla de selección para la transición del dipolo
se ha propuesto en ref.[18]. En nuestro periódico, un adi-
(es decir, eq.7)) se propone además sobre la base de
la posible transición de las estructuras internas. Esta regla
que afectaría seriamente al espectro del dipolo porque el
la emisión (absorción) se concentra así en dos
frecuencias. La diferencia de estas dos frecuencias gira
para ser proporcional a la corriente persistente. Ahí...
la medición de esta diferencia se puede utilizar para
determinar la magnitud de la corriente.
En resumen, hemos estudiado el análisis de la FABO
cial y numéricamente. El formalismo analítico pro-
vide no sólo una base para la comprensión cualitativa, pero
También proporciona una serie de fórmulas para de-
scription. El dominio de Φ se divide en segmentos,
cada uno corresponde a un Lo. Esta división describe ex-
cómo Lo transitaría contra Phi, lo que causa
directamente la FABO. Por lo tanto, la variación del período
y amplitud de la oscilación de la energía GS, persis-
la corriente de la tienda, y las frecuencias de la transición del dipolo en
la región de la FABO se puede describir exactamente. Una serie de
Equidades para relacionar las cantidades físicas y dinámicas
se han encontrado los parámetros. En particular, una nueva oscila-
sión, a saber, la oscilación de se encontró que coincide con
exactamente la oscilación de Jo. Desde las energías fotónicas
se pueden medir con más precisión, otros observables y
los parámetros se pueden determinar a través de la ecua-
corbatas. Desde la separabilidad de los hamiltonianos y los
la existencia de nodos inherentes son comunes, los anteriores de-
la prescripción puede ser más o menos generalizada a N-electrón
anillos, esto merece ser estudiado más a fondo.
Agradecimiento, Este trabajo es apoyado por el
NSFC de China en virtud de las subvenciones 10574163 y 90306016.
.REFERENCIAS
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Bichler, G. Abstreiter, y W. Wegscheider, Phys. Rev.
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9, M. Ferconi y G. Vignale, Phys. Rev. B 50, 14722
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10, Li. Serra, M. Barranco, A. Emperador, M. Pi, y
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12, C.G. Bao, G.M. Huang, Y.M. Liu, Phys. Rev. B
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042501 (2005).
http://arxiv.org/abs/cond-mat/5506691
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704.0071 | Pairwise comparisons of typological profiles (of languages) | Microsoft Word - Comparaciones emparejadas de perfiles tipológicos6.doc
Comparaciones entre pares de perfiles tipológicos
Søren Wichmann
Instituto Max Planck de Antropología Evolutiva y Universidad de Leiden
Eric W. Holman
Universidad de California, Los Ángeles
0. Introducción
Ser raro o “exótico” es un fenómeno relativo. Desde un punto de vista samoano Burushaski es un
lenguaje extremadamente exótico, pero desde el punto de vista de Telugu mucho menos. En esta breve nota nosotros
quieren mirar un cómo diferente y cómo lenguajes similares resultan ser en pares de comparaciones y
el papel que la relación genealógica desempeña en este sentido. Estamos interesados en saber si
hay un punto de corte alto en la cantidad de similitudes de tal manera que podemos estar seguros de que los pares de lenguaje
que tienen más similitudes que Shigh son generalmente se piensa que están relacionados y también si hay
es un corte de punto Lento en el otro extremo de la escala de tal manera que todos los idiomas que tienen menos similitudes que
Se cree que la lentitud no tiene relación. En otras palabras, si un lenguaje es ‘normal’ en relación con algún otro
lenguaje (como Burushaski es a Telugu), esto implica que las dos lenguas están relacionadas de acuerdo
a las clasificaciones comúnmente aceptadas? O, si dos idiomas son mutuamente muy exóticos (como Burushaski
y samoano), ¿significa esto que no se cree que estén relacionados en
¿Clasificaciones?
Los datos que utilizamos, así como la clasificación genealógica, son del Atlas Mundial de
Estructuras lingüísticas (Haspelmath et al., ed., en adelante WALS). Por supuesto, las conclusiones deben ser las siguientes:
visto en relación con este conjunto de datos en particular. Por lo tanto, cuando observamos una cierta cantidad de tipología
similitud entre dos idiomas, esto es estrictamente y sólo similitud en términos de los tipos de características
investigado en WALS. El conjunto de datos incluye 134 características no redundantes, cada una de las cuales tiene de dos
a nueve valores discretos. Todas estas son características tipológicas bastante genéricas. Nuestras conclusiones son también
limitada a la cantidad de datos disponibles. Hemos requerido que para cualquier par de idiomas en nuestra muestra
debe haber 45 o más características atestiguadas para ambos miembros del par (una motivación para esto
el número exacto sigue en breve). Esto ha limitado nuestra muestra a 320 idiomas y 29.810 pares de
lenguajes comparados. Entre estos pares, hay 1.099 que están relacionados de acuerdo con el
Queremos agradecer a Bernard Comrie, Cecil Brown y Dietrich Stauffer los comentarios sobre este manuscrito.
clasificación utilizada en WALS. A partir de ahora sustituimos ‘relacionados’ por los ‘relacionados’ más engorrosos.
según la clasificación WALS». Seguimos esta clasificación porque busca cumplir con un
opinión consensuada.
1. Resultados
En la figura 1 se presentan los resultados generales de la investigación. Como se puede ver, los idiomas más similares
Get, cuanto mayor es la probabilidad es que están relacionados. Las cifras en las que se basa la curva son:
presentado en el cuadro 1. La similitud porcentual se definió como el porcentaje de características certificadas para las que
ambos idiomas tienen el mismo valor. Tenemos parejas binned lenguaje en intervalos del 5% de 10% a
90% de similitud. Para el gráfico de la Figura 1 se utilizó el porcentaje medio de similitud en cada intervalo. Cuadro
1 da alguna información adicional: también muestra cuántos pares de idiomas pertenecen en cada uno
intervalo. Esto es importante para la interpretación de los resultados, como veremos en breve.
Antes de dar nuestra interpretación vamos a explicar por qué hemos elegido el criterio que
los pares de idiomas deben tener 45 o más características certificadas para ambos idiomas. Resulta que para un
criterio de 30 o más características la curva es bastante similar, pero no tan empinada, mostrando menos
dependencia entre la cantidad de similitud y la probabilidad de encontrar pares relacionados. Esto
indica que cuanto menos características uno opera con, más prominente es el muestreo aleatorio
Variabilidad en porcentaje de similitud. Cuando se opere con un criterio de 60 o más características certificadas,
curva se vuelve desigual, lo que indica que el criterio superior pasa demasiado pocos pares para resultados estables.
Esto se hace aún más pronunciado cuando el criterio es 75 o más características. Obviamente, con un
una base de datos más amplia podría aumentarse el número de características consideradas como criterios, pero 45
número que se adapta a los datos disponibles en WALS.
Gráfico 1 La probabilidad de encontrar idiomas relacionados
Probabilidad de encontrar idiomas relacionados
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Porcentaje de similitudes
Cuadro 1 Datos. (%SIM = % de similitud tipológica entre los miembros de los pares; %REL = % de
pares de idiomas relacionados; PAIRS = número de pares de idiomas en rango)
%SIM %REL PAIRS
10,0-14,9 0 11
15,0-19,9 0 91
20,0 a 24,9 0 443
25,0-29,9 0,26 1566
30,0-34,9 0,33 3904
35,0-39,9 0,4 6019
40,0-44,9 1,2 6772
45,0-49,9 3,26 4873
50,0-54,9 6,68 3520
55,0-59,9 15,41 1551
6.0-64.9 23.72 666
65,0-69,9 38,24 238
70,0-74,9 54,26 94
75,0-79,9 61,54 39
80,0-84,9 85 20
85,0-89,9 100 2
90,0-94,9 100 1
Puede ser de interés mencionar los pares de idiomas que caen en la parte inferior y superior
rangos del porcentaje de valores compartidos. Los coleccionistas de trivia lingüística pueden encontrar interesante que
los miembros del par lingüístico más divergente del mundo (en nuestro conjunto de datos), es decir, Tümpisa
Shoshone y Wari’, se encuentran en la misma zona general, a saber, las Américas, que alguien que es
cansado de la lingüística romance debe recurrir a Nivkh y alguien harto de sueco debe visitar
los Koasati cuando buscan algo tan radicalmente diferente como se pone. Listas de los 20 más
En los cuadros 2 y 3 se indican los pares lingüísticos divergentes y los 20 más similares.
Cuadro 2 Los 20 pares lingüísticos más divergentes de la muestra
Idioma A Idioma B Número de
características
comparado
Similitud
Tümpisa
Shoshone
Wari' 48 10,4
Archi Tukang Besi 46 13
Maybrat Limbu
Italian Nivkh 51 13,7
Burushaski Samoan 49 14,3
Tzutujil birmano 49 14,3
Ju'hoan Yup'ik (Central) 56 14.3
Maybrat Tamil 55 14,5
Nubio
(Dongolese)
Acehnese 48 14,6
Sueco Koasati 47 14,9
Klamath Wari' 47 14,9
Kongo Ladakhi
Bashkir Maori 46 15,2
Bereber (Middle)
Atlas)
Waorani 45 15,6
Lango Archi 45 15,6
Archi Thai 45 15,6
Tailandés Retuarã 45 15,6
Ijo (Kolokuma) Kutenai 50 16
Kongo Evenki 56 16,1
Árabe (egipcio) Tümpisa
Shoshone
48 16,7
Cuadro 3 Los 20 pares de idiomas más similares en la muestra
Idioma A Idioma B Relación Número de
características
comparado
Similitud
Lango Luo mismo género 46 80,4
Luvale Zulu del mismo género 97 80,4
Los jemeres vietnamitas de la misma familia,
diferentes géneros
89 80,9
Familias vietnamitas tailandesas diferentes 110 80,9
Khalkha Tuvan misma familia,
diferentes géneros
48 81,3
La misma familia rusa lituana,
diferentes géneros
64 81,3
Griego (Moderno) Búlgaro misma familia,
diferentes géneros
64 81,3
Khmer Thai diferentes familias 91 81,3
El mismo género ruso polaco 71 81.7
El mismo género serbio-croata ruso 45 82.2
Swahili Zulu del mismo género 107 82.2
Dagur turco de la misma familia,
diferentes géneros
46 82,6
Telugu Kannada misma familia,
diferentes géneros
47 83
Kongo Nkore-Kiga mismo género 48 83.3
Alemán holandés del mismo género 56 83.9
El mismo género español italiano 63 84.1
Drehu Iaai del mismo género 46 84,8
Inglés sueco del mismo género 60 85
El mismo género francés italiano 64 85,9
Hindi Panjabi del mismo género 49 91.8
Si bien la Tabla 2 no apunta en ninguna dirección específica y sigue siendo una curiosidad, la Tabla 3 proporciona
fragmentos de información que encajan en el panorama más amplio que emerge de nuestro estudio. Tomamos nota
que dos pares de idiomas no relacionados, vietnamita-tailandeses y jemer-tailandeses, aparecen en esta lista, que
de lo contrario consiste en pares de lenguaje genealógicamente no relacionados. Además, el resto de los pares
representan una mezcla de lenguas relacionadas con diferentes grados (véase Dryer 1992, 2005 para una definición
de «genera»).
Volviendo a la Figura 1 y los datos asociados en la Tabla 1, procederemos a la general
interpretaciones. Nos planteamos la pregunta de si hay algún grado de similitud en los perfiles tipológicos
más allá de lo cual es seguro que las lenguas están relacionadas. La respuesta es positiva, pero sin embargo
Desalentador. Los miembros de los pares de idiomas en la muestra que son 81,5% o más similares son todos
relacionados. Pero sólo 12 pares de idiomas son similares, a pesar del hecho de que hay 1099 pares
de idiomas relacionados en la muestra! Por otro lado, si hay menos de 25% de característica compartida
valores todos los pares de lenguaje no estarán relacionados, y esto va para 545 pares en la muestra. Si se permite
para un margen de error muy pequeño (alrededor del 1%), puede predecir que menos del 40% de la característica compartida
los valores no tienen relación. Eso va para 12.034 pares de idiomas en la muestra - cerca de la mitad de
el total de 29.810. Por lo tanto, la falta de similitud es un buen predictor de la no conexión, pero la presencia de
la similitud es un mal predictor de la relación.
2. ¿Existen formas de mejorar los resultados?
A continuación examinamos la cuestión de si la predicción de la relación podría mejorarse.
de alguna manera. En otros estudios (Holman et al. 2006a,b, Brown et al. 2006) hemos hecho exactas
exploraciones cuantitativas de la relación entre similitudes tipológicas y
distancia entre idiomas. No es de extrañar, cuanto mayor es la proximidad geográfica es entre
lenguajes, más similares tienden a ser (esto va para los idiomas relacionados y no relacionados). Si
uno tiene en cuenta el factor areal, esto podría mover el punto de corte para permitir más precisa
predicciones de la relación. Probar esta estrategia fue infructuoso. No pudimos obtenerlo.
resultados notablemente diferentes mediante el ajuste de la medida de similitud en relación con la distancia geográfica:
La correlación entre medidas ajustadas y no ajustadas fue de 0,96. La razón de esto es probablemente
que la medida de distancia, tal como se indica en la base de datos WALS, identifica la ubicación de un determinado
lenguaje (aproximadamente) con su centro de extensión. Esto significa que algunas lenguas vecinas, tales como
como alemanes y holandeses, son tratados como tener una cierta distancia entre ellos cuando en realidad
no tienen ninguno. Cuanto más extendidos son los idiomas comparados, más grande es este problema.
Puesto que es imposible proporcionar una medida adecuada de las distancias geográficas para 29.810 idiomas
pares, y no sólo recurrir a una medida mecánica de distancia de un punto WALS a
En segundo lugar, no es viable mejorar el punto de corte de tal manera.
Además, las 134 características difieren sensiblemente en la distribución de la rareza y el commonness
entre sus valores. Es posible imaginar que teniendo en cuenta la rareza relativa de la característica
los valores podrían mejorar las predicciones. Una vez más no pudimos obtener resultados notablemente diferentes por
ajuste de la medida de similitud relativa a las diferencias entre las características: la correlación entre
Las medidas ajustadas y no ajustadas fueron de 0,98. La razón probable es que las diferencias entre las características
tienden a salir por término medio en una muestra de al menos 45 características certificadas.
Otra estrategia para tratar de mejorar el poder de la predicción sobre la relación
sería ponderar diferentes características o valores de características según su estabilidad. Tenemos
exploró maneras de medir la estabilidad y han salido con un orden de estabilidad clasificado para WALS
características (Wichmann et al. 2006). Concebiblemente, si las características compartidas entre los idiomas eran
peso por su estabilidad el punto de corte podría ser empujado un poco. Sin embargo, esperamos que el
los resultados serían similares a los resultados para tener en cuenta la rareza, ya que
las características también serían promedio hacia fuera.
Una estrategia final para mejorar los resultados consistiría en tener en cuenta la
características. La literatura tipológica lingüística abunda en afirmaciones sobre la susceptibilidad
a la difusión de ciertas características en contraposición a otras. En la práctica, sin embargo, resulta ser virtualmente
Es imposible definir las áreas y medir la calidad de forma coherente. Una importante contribución de WALS
ha sido para demostrar que la mayoría de las características tipológicas son ‘reales’ en diversos grados. Navegación de los mapas
dejará claro a cualquier persona que casi cualquier característica puede extenderse y que cualquiera que sea las características difusas
son las características que pasan a existir en un área. Por lo tanto, la «arealidad» no es susceptible de cuantificación en
de cualquier manera directa.
3. Par de idiomas desviados
Los resultados reportados en la Figura 1 y la Tabla 1 muestran que hay algunos pares de idiomas que
están relacionados a pesar de mostrar menos del 40% de similitudes, que es el punto donde los pares tienden
abrumadoramente no estar emparentado. Sirve al registro para proporcionar una lista de los pares de
lenguajes que son desviados en el sentido de que muestran menos similitudes que los idiomas relacionados
Normalmente sí. Esta lista figura en el cuadro 4.
Cuadro 4 Idiomas relacionados que tienen perfiles tipológicos inusualmente diferentes (menos del 40%)
similitudes)
Idioma A Idioma B Familia del idioma Número de
características
comparado
Similitud
Luvale Ijo (Kolokuma) Níger-Congo
Zulu Ijo (Kolokuma) Níger-Congo
Maidu
(Noreste)
Tsimshian
(Coast)
Penutiano 48 29,2
Ngiti Koyra Chiini Nilo-Saharan 47 29,8
Yoruba Ijo (Kolokuma) Níger-Congo 51 31,4
Mundari Semelai Austro-Asiatic
Swahili Ijo (Kolokuma) Níger-Congo 50 32
Maung Yidiny Australian 81 32,1
Mundari Khmer Austro-Asiatic 78 32,1
Koyraboro Senni Murle Nilo-Saharan 65 32,3
Koromfe Ijo (Kolokuma) Níger-Congo 49 32,7
Beja Margi Afroasiático 45 33,3
Sango Ijo (Kolokuma) Níger-Congo 51 33,3
Nandi Koyraboro Senni Nilo-Sahariana 47 34
Nandi Koyra Chiini Nilo-Saharan 52 34,6
Marathi Español Indoeuropeo 52 34,6
Margi Amharic Afro-Asiatic 49 34,7
Mundari vietnamita austroasiático 88 35,2
Garo Cantonés Sino-Tibetan 51 35,3
Bereber (Middle)
Atlas)
Kera Afroasiático 65 35,4
Marathí Indoeuropeo irlandés 45 35,6
Paamese Acehnese Austronesian 45 35,6
Limbu Mandarin Sino-Tibetan 45 35,6
Mandarin Bawm Sino-Tibetan 76 36,8
Ijo (Kolokuma) Diola-Fogny Níger-Congo 46 37
Ngiti Nubian
(Dongolese)
Nilosaharianos 54 37
Miwok (Sur)
Sierra)
Tsimshian
(Coast)
Penutiano 62 37,1
Mundari Khmu' Austro-Asiatic 70 37,1
Bagirmi Nubian
(Dongolese)
Nilo-Sahariana 64 37,5
Beja Hausa Afroasiático
Koromfe Kisi Níger-Congo
Yidiny Tiwi Australian 90 37,8
Limbu Meithei Sino-Tibetan 45 37,8
Kera Amharic Afro-Asiatic 50 38
Zulu Yoruba Níger-Congo 104 38,5
Beja Kera Afroasiático 57 38,6
Ngiyambaa Maranungku Australian 74 39,2
Malgache Acehnese Austronesian 56 39,3
Ngiti Nandi Nilo-Sahariana 48 39,6
Lugbara Lango Nilo-Saharan 53 39,6
Fur Ngiti Nilo-Saharan 58 39,7
Expertos en las diferentes familias involucradas seguramente tendrán buenas explicaciones para estos desviados
casos. En algunos casos un par puede en realidad no pertenecer a la misma familia, como en el caso de grandes y grandes
las familias australianas y nilosaharianas. En otros casos, tales como:
los dos pares con Marathi, una amplia separación temporal y geográfica y
la interacción con los diferentes tipos de lenguajes puede conspirar para hacer que un par relacionado se destaque como
inusualmente diferente. En cualquier caso, medir la cantidad de similitud tipológica proporciona una pista de que
‘algo está pasando’, ya sea que la clasificación sea potencialmente incorrecta o que el contacto con el lenguaje sea pesado.
Envuelto. Así que el método de comparar perfiles tipológicos es potencialmente útil para alguien
el deseo de investigar el comportamiento de los diferentes idiomas dentro de una familia propuesta.
4. Conclusiones
Los resultados mencionados en la presente nota fueron, en parte, sorprendentes y, en parte, inesperados. Gráfico 1
mostró una estrecha correlación entre la relación y la similitud tipológica. Esto es lo que teníamos.
esperada. Pero también esperábamos encontrar alguna cantidad mínima de similitud tipológica entre
pares de idiomas que bastarían para predecir que dos idiomas están relacionados. Resultó ser el
caso, sin embargo, que la cantidad de similitud necesaria para hacer esta predicción es tan alta (81,5%) que
Sólo unos pocos pares de idiomas califican. En la práctica, esto significa que características tipológicas como las de
WALS no son útiles para identificar la relación entre los idiomas cuando se trata de comparaciones de
(cuando se comparan grupos de idiomas, la situación puede ser diferente, pero este problema es
más allá del ámbito de aplicación del presente documento). En el otro extremo de la escala encontramos que la disimilitud tipológica
es un buen predictor de la no conexión: con sólo un pequeño margen de error se puede predecir que
lenguajes que tienen 60% o más diferencias no están relacionados de acuerdo con el WALS
clasificación. Nuestro hallazgo de que una cierta cantidad de diferencias tipológicas se puede utilizar para predecir
que los idiomas no se consideran comúnmente relacionados significa que las diferencias tipológicas son un
criterio para medir los límites del método comparativo tradicional.
Si bien no fue sorprendente encontrar una correlación entre la relación y la
la cantidad de diferencias tipológicas entre los pares de idiomas, este hallazgo puede sin embargo dirigirnos en
nuevas direcciones. Presumiblemente hay una correlación entre la cantidad de vocabulario básico compartido
y la parentesco también. Si es así, la cantidad de vocabulario básico compartido y la cantidad de tipología
la similitud también debe estar correlacionada, e incluso puede ser posible empezar a considerar si hay
es tal cosa como un ‘reloj tipológico’ tal que el tiempo de separación de las lenguas de un determinado
La familia puede inferirse de la cantidad de diferencias tipológicas dentro de la familia. El hecho de que
lenguajes no relacionados pueden ser tan similar tipológicamente como los relacionados indica que para un ‘tipo
reloj’ para funcionar razonablemente bien, varios pares de comparación se debe hacer. ¿Cómo, en la práctica, esto
el tipo de metodología que se podría desarrollar sería un tema para futuras investigaciones.
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ayudar a los lingüistas: avances recientes y perspectivas de más. Documento presentado en el
conferencia “Lengua y física”, Varsovia, 11-15 de septiembre de 2006.
| No hay resumen dado; compara pares de idiomas del Atlas Mundial de la Lengua
Estructuras.
| Introducción
Ser raro o “exótico” es un fenómeno relativo. Desde un punto de vista samoano Burushaski es un
lenguaje extremadamente exótico, pero desde el punto de vista de Telugu mucho menos. En esta breve nota nosotros
quieren mirar un cómo diferente y cómo lenguajes similares resultan ser en pares de comparaciones y
el papel que la relación genealógica desempeña en este sentido. Estamos interesados en saber si
hay un punto de corte alto en la cantidad de similitudes de tal manera que podemos estar seguros de que los pares de lenguaje
que tienen más similitudes que Shigh son generalmente se piensa que están relacionados y también si hay
es un corte de punto Lento en el otro extremo de la escala de tal manera que todos los idiomas que tienen menos similitudes que
Se cree que la lentitud no tiene relación. En otras palabras, si un lenguaje es ‘normal’ en relación con algún otro
lenguaje (como Burushaski es a Telugu), esto implica que las dos lenguas están relacionadas de acuerdo
a las clasificaciones comúnmente aceptadas? O, si dos idiomas son mutuamente muy exóticos (como Burushaski
y samoano), ¿significa esto que no se cree que estén relacionados en
¿Clasificaciones?
Los datos que utilizamos, así como la clasificación genealógica, son del Atlas Mundial de
Estructuras lingüísticas (Haspelmath et al., ed., en adelante WALS). Por supuesto, las conclusiones deben ser las siguientes:
visto en relación con este conjunto de datos en particular. Por lo tanto, cuando observamos una cierta cantidad de tipología
similitud entre dos idiomas, esto es estrictamente y sólo similitud en términos de los tipos de características
investigado en WALS. El conjunto de datos incluye 134 características no redundantes, cada una de las cuales tiene de dos
a nueve valores discretos. Todas estas son características tipológicas bastante genéricas. Nuestras conclusiones son también
limitada a la cantidad de datos disponibles. Hemos requerido que para cualquier par de idiomas en nuestra muestra
debe haber 45 o más características atestiguadas para ambos miembros del par (una motivación para esto
el número exacto sigue en breve). Esto ha limitado nuestra muestra a 320 idiomas y 29.810 pares de
lenguajes comparados. Entre estos pares, hay 1.099 que están relacionados de acuerdo con el
Queremos agradecer a Bernard Comrie, Cecil Brown y Dietrich Stauffer los comentarios sobre este manuscrito.
clasificación utilizada en WALS. A partir de ahora sustituimos ‘relacionados’ por los ‘relacionados’ más engorrosos.
según la clasificación WALS». Seguimos esta clasificación porque busca cumplir con un
opinión consensuada.
1. Resultados
En la figura 1 se presentan los resultados generales de la investigación. Como se puede ver, los idiomas más similares
Get, cuanto mayor es la probabilidad es que están relacionados. Las cifras en las que se basa la curva son:
presentado en el cuadro 1. La similitud porcentual se definió como el porcentaje de características certificadas para las que
ambos idiomas tienen el mismo valor. Tenemos parejas binned lenguaje en intervalos del 5% de 10% a
90% de similitud. Para el gráfico de la Figura 1 se utilizó el porcentaje medio de similitud en cada intervalo. Cuadro
1 da alguna información adicional: también muestra cuántos pares de idiomas pertenecen en cada uno
intervalo. Esto es importante para la interpretación de los resultados, como veremos en breve.
Antes de dar nuestra interpretación vamos a explicar por qué hemos elegido el criterio que
los pares de idiomas deben tener 45 o más características certificadas para ambos idiomas. Resulta que para un
criterio de 30 o más características la curva es bastante similar, pero no tan empinada, mostrando menos
dependencia entre la cantidad de similitud y la probabilidad de encontrar pares relacionados. Esto
indica que cuanto menos características uno opera con, más prominente es el muestreo aleatorio
Variabilidad en porcentaje de similitud. Cuando se opere con un criterio de 60 o más características certificadas,
curva se vuelve desigual, lo que indica que el criterio superior pasa demasiado pocos pares para resultados estables.
Esto se hace aún más pronunciado cuando el criterio es 75 o más características. Obviamente, con un
una base de datos más amplia podría aumentarse el número de características consideradas como criterios, pero 45
número que se adapta a los datos disponibles en WALS.
Gráfico 1 La probabilidad de encontrar idiomas relacionados
Probabilidad de encontrar idiomas relacionados
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Porcentaje de similitudes
Cuadro 1 Datos. (%SIM = % de similitud tipológica entre los miembros de los pares; %REL = % de
pares de idiomas relacionados; PAIRS = número de pares de idiomas en rango)
%SIM %REL PAIRS
10,0-14,9 0 11
15,0-19,9 0 91
20,0 a 24,9 0 443
25,0-29,9 0,26 1566
30,0-34,9 0,33 3904
35,0-39,9 0,4 6019
40,0-44,9 1,2 6772
45,0-49,9 3,26 4873
50,0-54,9 6,68 3520
55,0-59,9 15,41 1551
6.0-64.9 23.72 666
65,0-69,9 38,24 238
70,0-74,9 54,26 94
75,0-79,9 61,54 39
80,0-84,9 85 20
85,0-89,9 100 2
90,0-94,9 100 1
Puede ser de interés mencionar los pares de idiomas que caen en la parte inferior y superior
rangos del porcentaje de valores compartidos. Los coleccionistas de trivia lingüística pueden encontrar interesante que
los miembros del par lingüístico más divergente del mundo (en nuestro conjunto de datos), es decir, Tümpisa
Shoshone y Wari’, se encuentran en la misma zona general, a saber, las Américas, que alguien que es
cansado de la lingüística romance debe recurrir a Nivkh y alguien harto de sueco debe visitar
los Koasati cuando buscan algo tan radicalmente diferente como se pone. Listas de los 20 más
En los cuadros 2 y 3 se indican los pares lingüísticos divergentes y los 20 más similares.
Cuadro 2 Los 20 pares lingüísticos más divergentes de la muestra
Idioma A Idioma B Número de
características
comparado
Similitud
Tümpisa
Shoshone
Wari' 48 10,4
Archi Tukang Besi 46 13
Maybrat Limbu
Italian Nivkh 51 13,7
Burushaski Samoan 49 14,3
Tzutujil birmano 49 14,3
Ju'hoan Yup'ik (Central) 56 14.3
Maybrat Tamil 55 14,5
Nubio
(Dongolese)
Acehnese 48 14,6
Sueco Koasati 47 14,9
Klamath Wari' 47 14,9
Kongo Ladakhi
Bashkir Maori 46 15,2
Bereber (Middle)
Atlas)
Waorani 45 15,6
Lango Archi 45 15,6
Archi Thai 45 15,6
Tailandés Retuarã 45 15,6
Ijo (Kolokuma) Kutenai 50 16
Kongo Evenki 56 16,1
Árabe (egipcio) Tümpisa
Shoshone
48 16,7
Cuadro 3 Los 20 pares de idiomas más similares en la muestra
Idioma A Idioma B Relación Número de
características
comparado
Similitud
Lango Luo mismo género 46 80,4
Luvale Zulu del mismo género 97 80,4
Los jemeres vietnamitas de la misma familia,
diferentes géneros
89 80,9
Familias vietnamitas tailandesas diferentes 110 80,9
Khalkha Tuvan misma familia,
diferentes géneros
48 81,3
La misma familia rusa lituana,
diferentes géneros
64 81,3
Griego (Moderno) Búlgaro misma familia,
diferentes géneros
64 81,3
Khmer Thai diferentes familias 91 81,3
El mismo género ruso polaco 71 81.7
El mismo género serbio-croata ruso 45 82.2
Swahili Zulu del mismo género 107 82.2
Dagur turco de la misma familia,
diferentes géneros
46 82,6
Telugu Kannada misma familia,
diferentes géneros
47 83
Kongo Nkore-Kiga mismo género 48 83.3
Alemán holandés del mismo género 56 83.9
El mismo género español italiano 63 84.1
Drehu Iaai del mismo género 46 84,8
Inglés sueco del mismo género 60 85
El mismo género francés italiano 64 85,9
Hindi Panjabi del mismo género 49 91.8
Si bien la Tabla 2 no apunta en ninguna dirección específica y sigue siendo una curiosidad, la Tabla 3 proporciona
fragmentos de información que encajan en el panorama más amplio que emerge de nuestro estudio. Tomamos nota
que dos pares de idiomas no relacionados, vietnamita-tailandeses y jemer-tailandeses, aparecen en esta lista, que
de lo contrario consiste en pares de lenguaje genealógicamente no relacionados. Además, el resto de los pares
representan una mezcla de lenguas relacionadas con diferentes grados (véase Dryer 1992, 2005 para una definición
de «genera»).
Volviendo a la Figura 1 y los datos asociados en la Tabla 1, procederemos a la general
interpretaciones. Nos planteamos la pregunta de si hay algún grado de similitud en los perfiles tipológicos
más allá de lo cual es seguro que las lenguas están relacionadas. La respuesta es positiva, pero sin embargo
Desalentador. Los miembros de los pares de idiomas en la muestra que son 81,5% o más similares son todos
relacionados. Pero sólo 12 pares de idiomas son similares, a pesar del hecho de que hay 1099 pares
de idiomas relacionados en la muestra! Por otro lado, si hay menos de 25% de característica compartida
valores todos los pares de lenguaje no estarán relacionados, y esto va para 545 pares en la muestra. Si se permite
para un margen de error muy pequeño (alrededor del 1%), puede predecir que menos del 40% de la característica compartida
los valores no tienen relación. Eso va para 12.034 pares de idiomas en la muestra - cerca de la mitad de
el total de 29.810. Por lo tanto, la falta de similitud es un buen predictor de la no conexión, pero la presencia de
la similitud es un mal predictor de la relación.
2. ¿Existen formas de mejorar los resultados?
A continuación examinamos la cuestión de si la predicción de la relación podría mejorarse.
de alguna manera. En otros estudios (Holman et al. 2006a,b, Brown et al. 2006) hemos hecho exactas
exploraciones cuantitativas de la relación entre similitudes tipológicas y
distancia entre idiomas. No es de extrañar, cuanto mayor es la proximidad geográfica es entre
lenguajes, más similares tienden a ser (esto va para los idiomas relacionados y no relacionados). Si
uno tiene en cuenta el factor areal, esto podría mover el punto de corte para permitir más precisa
predicciones de la relación. Probar esta estrategia fue infructuoso. No pudimos obtenerlo.
resultados notablemente diferentes mediante el ajuste de la medida de similitud en relación con la distancia geográfica:
La correlación entre medidas ajustadas y no ajustadas fue de 0,96. La razón de esto es probablemente
que la medida de distancia, tal como se indica en la base de datos WALS, identifica la ubicación de un determinado
lenguaje (aproximadamente) con su centro de extensión. Esto significa que algunas lenguas vecinas, tales como
como alemanes y holandeses, son tratados como tener una cierta distancia entre ellos cuando en realidad
no tienen ninguno. Cuanto más extendidos son los idiomas comparados, más grande es este problema.
Puesto que es imposible proporcionar una medida adecuada de las distancias geográficas para 29.810 idiomas
pares, y no sólo recurrir a una medida mecánica de distancia de un punto WALS a
En segundo lugar, no es viable mejorar el punto de corte de tal manera.
Además, las 134 características difieren sensiblemente en la distribución de la rareza y el commonness
entre sus valores. Es posible imaginar que teniendo en cuenta la rareza relativa de la característica
los valores podrían mejorar las predicciones. Una vez más no pudimos obtener resultados notablemente diferentes por
ajuste de la medida de similitud relativa a las diferencias entre las características: la correlación entre
Las medidas ajustadas y no ajustadas fueron de 0,98. La razón probable es que las diferencias entre las características
tienden a salir por término medio en una muestra de al menos 45 características certificadas.
Otra estrategia para tratar de mejorar el poder de la predicción sobre la relación
sería ponderar diferentes características o valores de características según su estabilidad. Tenemos
exploró maneras de medir la estabilidad y han salido con un orden de estabilidad clasificado para WALS
características (Wichmann et al. 2006). Concebiblemente, si las características compartidas entre los idiomas eran
peso por su estabilidad el punto de corte podría ser empujado un poco. Sin embargo, esperamos que el
los resultados serían similares a los resultados para tener en cuenta la rareza, ya que
las características también serían promedio hacia fuera.
Una estrategia final para mejorar los resultados consistiría en tener en cuenta la
características. La literatura tipológica lingüística abunda en afirmaciones sobre la susceptibilidad
a la difusión de ciertas características en contraposición a otras. En la práctica, sin embargo, resulta ser virtualmente
Es imposible definir las áreas y medir la calidad de forma coherente. Una importante contribución de WALS
ha sido para demostrar que la mayoría de las características tipológicas son ‘reales’ en diversos grados. Navegación de los mapas
dejará claro a cualquier persona que casi cualquier característica puede extenderse y que cualquiera que sea las características difusas
son las características que pasan a existir en un área. Por lo tanto, la «arealidad» no es susceptible de cuantificación en
de cualquier manera directa.
3. Par de idiomas desviados
Los resultados reportados en la Figura 1 y la Tabla 1 muestran que hay algunos pares de idiomas que
están relacionados a pesar de mostrar menos del 40% de similitudes, que es el punto donde los pares tienden
abrumadoramente no estar emparentado. Sirve al registro para proporcionar una lista de los pares de
lenguajes que son desviados en el sentido de que muestran menos similitudes que los idiomas relacionados
Normalmente sí. Esta lista figura en el cuadro 4.
Cuadro 4 Idiomas relacionados que tienen perfiles tipológicos inusualmente diferentes (menos del 40%)
similitudes)
Idioma A Idioma B Familia del idioma Número de
características
comparado
Similitud
Luvale Ijo (Kolokuma) Níger-Congo
Zulu Ijo (Kolokuma) Níger-Congo
Maidu
(Noreste)
Tsimshian
(Coast)
Penutiano 48 29,2
Ngiti Koyra Chiini Nilo-Saharan 47 29,8
Yoruba Ijo (Kolokuma) Níger-Congo 51 31,4
Mundari Semelai Austro-Asiatic
Swahili Ijo (Kolokuma) Níger-Congo 50 32
Maung Yidiny Australian 81 32,1
Mundari Khmer Austro-Asiatic 78 32,1
Koyraboro Senni Murle Nilo-Saharan 65 32,3
Koromfe Ijo (Kolokuma) Níger-Congo 49 32,7
Beja Margi Afroasiático 45 33,3
Sango Ijo (Kolokuma) Níger-Congo 51 33,3
Nandi Koyraboro Senni Nilo-Sahariana 47 34
Nandi Koyra Chiini Nilo-Saharan 52 34,6
Marathi Español Indoeuropeo 52 34,6
Margi Amharic Afro-Asiatic 49 34,7
Mundari vietnamita austroasiático 88 35,2
Garo Cantonés Sino-Tibetan 51 35,3
Bereber (Middle)
Atlas)
Kera Afroasiático 65 35,4
Marathí Indoeuropeo irlandés 45 35,6
Paamese Acehnese Austronesian 45 35,6
Limbu Mandarin Sino-Tibetan 45 35,6
Mandarin Bawm Sino-Tibetan 76 36,8
Ijo (Kolokuma) Diola-Fogny Níger-Congo 46 37
Ngiti Nubian
(Dongolese)
Nilosaharianos 54 37
Miwok (Sur)
Sierra)
Tsimshian
(Coast)
Penutiano 62 37,1
Mundari Khmu' Austro-Asiatic 70 37,1
Bagirmi Nubian
(Dongolese)
Nilo-Sahariana 64 37,5
Beja Hausa Afroasiático
Koromfe Kisi Níger-Congo
Yidiny Tiwi Australian 90 37,8
Limbu Meithei Sino-Tibetan 45 37,8
Kera Amharic Afro-Asiatic 50 38
Zulu Yoruba Níger-Congo 104 38,5
Beja Kera Afroasiático 57 38,6
Ngiyambaa Maranungku Australian 74 39,2
Malgache Acehnese Austronesian 56 39,3
Ngiti Nandi Nilo-Sahariana 48 39,6
Lugbara Lango Nilo-Saharan 53 39,6
Fur Ngiti Nilo-Saharan 58 39,7
Expertos en las diferentes familias involucradas seguramente tendrán buenas explicaciones para estos desviados
casos. En algunos casos un par puede en realidad no pertenecer a la misma familia, como en el caso de grandes y grandes
las familias australianas y nilosaharianas. En otros casos, tales como:
los dos pares con Marathi, una amplia separación temporal y geográfica y
la interacción con los diferentes tipos de lenguajes puede conspirar para hacer que un par relacionado se destaque como
inusualmente diferente. En cualquier caso, medir la cantidad de similitud tipológica proporciona una pista de que
‘algo está pasando’, ya sea que la clasificación sea potencialmente incorrecta o que el contacto con el lenguaje sea pesado.
Envuelto. Así que el método de comparar perfiles tipológicos es potencialmente útil para alguien
el deseo de investigar el comportamiento de los diferentes idiomas dentro de una familia propuesta.
4. Conclusiones
Los resultados mencionados en la presente nota fueron, en parte, sorprendentes y, en parte, inesperados. Gráfico 1
mostró una estrecha correlación entre la relación y la similitud tipológica. Esto es lo que teníamos.
esperada. Pero también esperábamos encontrar alguna cantidad mínima de similitud tipológica entre
pares de idiomas que bastarían para predecir que dos idiomas están relacionados. Resultó ser el
caso, sin embargo, que la cantidad de similitud necesaria para hacer esta predicción es tan alta (81,5%) que
Sólo unos pocos pares de idiomas califican. En la práctica, esto significa que características tipológicas como las de
WALS no son útiles para identificar la relación entre los idiomas cuando se trata de comparaciones de
(cuando se comparan grupos de idiomas, la situación puede ser diferente, pero este problema es
más allá del ámbito de aplicación del presente documento). En el otro extremo de la escala encontramos que la disimilitud tipológica
es un buen predictor de la no conexión: con sólo un pequeño margen de error se puede predecir que
lenguajes que tienen 60% o más diferencias no están relacionados de acuerdo con el WALS
clasificación. Nuestro hallazgo de que una cierta cantidad de diferencias tipológicas se puede utilizar para predecir
que los idiomas no se consideran comúnmente relacionados significa que las diferencias tipológicas son un
criterio para medir los límites del método comparativo tradicional.
Si bien no fue sorprendente encontrar una correlación entre la relación y la
la cantidad de diferencias tipológicas entre los pares de idiomas, este hallazgo puede sin embargo dirigirnos en
nuevas direcciones. Presumiblemente hay una correlación entre la cantidad de vocabulario básico compartido
y la parentesco también. Si es así, la cantidad de vocabulario básico compartido y la cantidad de tipología
la similitud también debe estar correlacionada, e incluso puede ser posible empezar a considerar si hay
es tal cosa como un ‘reloj tipológico’ tal que el tiempo de separación de las lenguas de un determinado
La familia puede inferirse de la cantidad de diferencias tipológicas dentro de la familia. El hecho de que
lenguajes no relacionados pueden ser tan similar tipológicamente como los relacionados indica que para un ‘tipo
reloj’ para funcionar razonablemente bien, varios pares de comparación se debe hacer. ¿Cómo, en la práctica, esto
el tipo de metodología que se podría desarrollar sería un tema para futuras investigaciones.
Bibliografía
Brown, Cecil H., Eric W. Holman, Christian Schulze, Dietrich Stauffer y Søren Wichmann.
2006. Son similitudes entre los idiomas de las Américas debido a la difusión o
¿Patrimonio? Una exploración de la evidencia de WALS. Documento presentado en la conferencia
“Genes and Languages”, Universidad de California Santa Bárbara, 8-10 de septiembre,
2006.
Dryer, Matthew S. 1992. Las correlaciones de orden de palabras de Greenberg. Idioma 68:81-138.
Dryer, Matthew S. 2005. “Lista de lenguajes genealógicos”, en El Atlas Mundial de Estructuras Lingüísticas,
editado por Martin Haspelmath, Matthew S. Dryer, David Gil, y Bernard Comrie, pp.
584-643. Oxford: Oxford University Press.
Haspelmath, Martin, Matthew S. Dryer, David Gil, y Bernard Comrie (eds.). 2005. El mundo
Atlas de estructuras lingüísticas. Oxford: Oxford University Press.
Holman, Eric W., Dietrich Stauffer, Christian Schulze y Søren Wichmann. 2006. Sobre la relación
entre la diversidad estructural y la distancia geográfica entre lenguas: observaciones
y simulaciones por ordenador. (Versión revisada en revisión para la Tipología Lingüística).
Holman, Eric W., Søren Wichmann y Cecil H. Brown. 2006. Difusión lingüística y cultural en
una perspectiva comparativa. Presentada.
Wichmann, Søren, Eric W. Holman, & Hans-Jörg Bibiko. 2006. Cómo pueden las simulaciones por ordenador
ayudar a los lingüistas: avances recientes y perspectivas de más. Documento presentado en el
conferencia “Lengua y física”, Varsovia, 11-15 de septiembre de 2006.
|
704.0072 | The decomposition method and Maple procedure for finding first integrals
of nonlinear PDEs of any order with any number of independent variables | El método de descomposición y el procedimiento de Maple
para encontrar las primeras integrales de PDE no lineales
de cualquier orden con cualquier número de variables independientes
Yu. N. Kosovtsov
Lviv Radio Engineering Research Institute, Ucrania
Correo electrónico: kosovtsov@escort.lviv.net
Resumen
En este documento proponemos un método aparentemente nuevo para encontrar solu-
ciones de algunos tipos de PDE no lineales en forma cerrada. El método es
basado en la descomposición de los operadores no lineales sobre la secuencia de los operadores
de orden inferior. Se muestra que el proceso de descomposición puede ser realizado por
procedimiento(s) iterativo(s), cada uno de los cuales se reduce a la solución de algunos
sistema(s) auxiliar(es) de PDE para una variable dependiente. Además, encontramos
de esta manera la expresión explícita de la(s) PDE(s) de primer orden para la primera inte-
gral de PDE inicial descompuestable. Notablemente que esta PDE de primer orden
es lineal si la PDE inicial es lineal en sus derivados más altos.
El método desarrollado se aplica en el procedimiento de Maple, que puede
realmente resolver muchos de los PDE de orden diferente con diferente número de in-
variables dependientes. Ejemplos de ECP con su cálculo general
soluciones demuestran un potencial del método para la resolución automática de
PDE no lineales.
1 Introducción
Ecuaciones diferenciales parciales no lineales (PDE) juegan un papel muy importante en muchos
campos de las matemáticas, la física, la química y la biología, y numerosas aplicaciones
ciones. Si para las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales (ODEs) uno puede observar
progreso incontestable en su solución automática, la situación para no lineal
Las ECP parecen casi desesperadas.
A pesar del hecho de que varios métodos para resolver PDE no lineales han sido
se desarrolló en 19-20 siglos como los grupos adecuados de transformaciones, tales como
transformaciones de puntos o de contacto, sustituciones diferenciales y trans-
las formaciones, etc., el método más poderoso para la integración explícita de la segunda
orden PDEs no lineales en dos variables independientes sigue siendo el método de Dar-
boux [1]-[4]. El método original de Darboux (como ya Darboux declaró en [1])
es extensible en principio a ecuaciones de todos los órdenes en un número arbitrario de
variables independientes, incluso a los sistemas de ecuaciones; sin embargo, en [1]-[2] y sub-
trabajos posteriores de muchos autores, los cálculos detallados se realizaron sólo
http://arxiv.org/abs/0704.072v1
para una sola ecuación de segundo orden con una dependiente y dos independientes
variables.
El método de Darboux se refinó en los últimos años para que fuera más preciso y eficaz.
forma científica (aunque no completamente algorítmica) [5]-[8] y referencias en ella.
Sin embargo, estos enfoques sufren de gran complejidad y son necesarios para utilizarlos.
Algunos trucos.
Hubo algunos intentos parcialmente exitosos de ampliar las variantes modernas de
el método Darboux basado en el método de cascada de Laplace en PDE de orden superior
y PDE en el espacio de más de dos variables independientes [10]-[13] pero
también sufren de gran complejidad.
Hay un enfoque original del problema, basado en el tipo especial
del cambio local de variables que conduce a la reducción del orden de la PDE inicial,
propuesta en [14], que es adecuado para problemas de grandes dimensiones pero de
clase especial, sin embargo.
En este artículo proponemos un método aparentemente nuevo para encontrar soluciones
de algunos tipos de PDE no lineales en forma cerrada. El método se basa en
la descomposición de los operadores no lineales en la secuencia de los operadores de órdenes inferiores. Lo siento.
se muestra que el proceso de descomposición puede realizarse mediante procedimientos iterativos, cada uno
paso de la cual se reduce a la solución de algunos sistemas auxiliares PDE para uno
Variable dependiente. Por otra parte, encontramos de esta manera la expresión explícita de la
PDE(s) de primer orden para la primera integral de PDE inicial descompuestable. Extraordinariamente
que esta PDE de primer orden es lineal si la PDE inicial es lineal en sus derivados más altos.
El método desarrollado se implementa en el procedimiento de Maple, que puede realmente
resolver muchos de los PDE de orden diferente con diferente número de vari-
Capaz. Ejemplos de PDE con sus soluciones generales calculadas demuestran un
potencial del método para la resolución automática de PDEs no lineales.
2 Bases del método
2.1 PDE descompuestables
La PDE no lineal de segundo orden más simple para w = w(t, x)
se puede transformar fácilmente a la siguiente forma descompuesta
) = 0, (2)
de la cual podemos obtener sin dificultad la solución general a la PDE (1) en
Dos pasos. El primer paso nos da
d ln(G(x))
, (3)
donde G(x) es una función arbitraria. Y luego, resolver la ecuación (3) en el
segundo paso, obtenemos
w(t, x) = F (t)G(x), (4)
donde F (t) es una función arbitraria más.
Las principales observaciones sobre el análisis de los motivos de la solvabilidad de la PDE
(1) por el método anterior son que
1. El PDE (1) es “decomposable”, es decir, puede ser representado como un composi-
ciones de operadores diferenciales sucesivos de tipo (5) (no necesariamente lineales). Lo es.
claro que este tipo de descomposición se puede hacer para algunas PDE de cualquier orden
y con cualquier número de variables independientes de la siguiente manera
D1(w) = u1,
D2(u1) = u2,
5...............................................................................................
Dn(un−1) = 0,
donde ~x = (x1,. .., xm), w = w(~x), ui = ui(~x) y
Di(u) = Vi(~x, u,
,. ..,
Suponiendo que Vi son funciones arbitrarias, y la eliminación de ui por sub-
las instituciones en el sistema (5), obtenemos una familia de PDE para w de n o orden
Dn(Dn−1(. D1(w). )) = 0. 6)
que son “descompuestables” y, en principio, sus soluciones generales o particulares
puede obtenerse mediante la integración del sistema split (5). La PDE (6) no es lineal si
al menos uno de los operadores Di no es lineal. No todos los PDE admiten tal repre-
envío. Y en casos positivos tal representación no es única en general.
Tenga en cuenta que, de hecho, Di no tiene que ser el diferencial de primer orden
operadores. Por lo tanto, el procedimiento de composición para el n o orden PDE, cuando n > 2 puede
ser como sigue:
(w) = u,
(u) = 0, (7)
donde n1, n2 son enteros y n1 + n2 = n, w = w(~x), u = u(~x), y (k ≤ j)
i (u) = Vi(~x, u,
,. ..,
. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
m k1km=k≤j
,. ..,
La representación tardía nos permite llevar a cabo la descomposición de la PDE o
orden de reducción gradualmente poco a poco.
Hay que subrayar aquí que, en general, las representaciones (5) y (7) pueden tener
diferente significado. Por ejemplo, algunas ECP no admiten representación (5)
pero permita el formulario (7) con ambos DEs solvables.
2. Cada paso del proceso de resolución de PDE descompuesto se enfrenta con el
necesidad de resolver la ecuación diferencial Di(ui−1) = ui (o D
i (ui−1) = ui), así que todos
tales DEs deben ser solvables. Tenga en cuenta que sólo el primer paso Dn(un−1) = 0 está libre de
funciones arbitrarias.
Así que una de las estrategias de resolución de PDEs puede ser la siguiente. En primer lugar, nosotros
tratar de descomponer la PDE dada. Para ello tenemos que resolver las correspondientes
sistema PDE auxiliar no lineal para funciones desconocidas Vi, es suficiente para
encontrar una solución particular aquí. Y, si tiene éxito, entonces, decidir entre
las variantes, tratar de resolver cada DE que surja de la cadena (5). Obstáculo principal
aquí, comenzando en el segundo paso se acaba de mencionar la necesidad de resolver DEs con
funciones arbitrarias. Hay un círculo suficientemente estrecho de solvable (en el sentido de
las soluciones generales) DEs con una función arbitraria como parámetro.
Otro enfoque (clasificación) puede basarse en el uso de sólo solvable
DEs. Es decir, podemos formar una composición de diferencial solvable sucesivo
los operadores y como resultado obtener una familia de PDEs solvables. Tal camino lleva a
familias extensas no triviales para diferentes tipos de ECP no lineales que general
las soluciones pueden expresarse en forma cerrada. Pero de esta manera nos encontramos con un
dificultades para circunscribir integralmente a esas familias y se ven obligadas a considerar
- Subfamilias particulares. Sin embargo, produce un amplio campo de PDE para los métodos
pruebas [15].
2.2 Algoritmo de descomposición para PDEs descompuestables
Para el orden nth PDE, cuando n > 2 hay algunos enfoques ligeramente diferentes
que están dictadas por los objetivos del problema. Si el objetivo es descomponerse dado
operador no lineal entonces tenemos que utilizar el esquema (7) con n1 = 1, n2 = n− 1.
Y a la inversa tenemos que utilizar el esquema (7) con n1 = n − 1, n2 = 1 si la
objetivo es resolver dada la PDE. El último procedimiento en algunas características se asemeja a la
técnicas bien conocidas de reducción del orden de las ODE, por ejemplo, por el primer método integral. De
Por supuesto, es posible utilizar casos intermedios.
Todos los casos anteriores se pueden tratar de la misma manera que consideramos a continuación, pero
cada uno de ellos conduce a sistemas auxiliares PDE de diferente orden, es decir n2+1, con
complejidad de cálculo correspondiente.
En la secuela vamos a considerar para la brevedad sólo el caso con n1 = n−1, n2 = 1,
como más práctico para la resolución de PDEs.
Consideremos la descomposición del tipo (7) con Dn−1
w) como solución
de la siguiente ecuación con respecto a u = u(~x)
J(u, ~x, w,
,. ..,
. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
m k1km=k≤n−1
,. ..,
N - 1w
) = 0 (8)
D2(u) = V (~x, u,
,. ..,
). (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Si sustituye u = Dn−1
(w) en (9) obtenemos PDE descompuestable n-o orden
V (~x, U0, Ux1,. .., Uxm) = 0, (10)
donde (utilizamos por debajo de la siguiente notación w = W0 y
.....xx
= Wk1,...,km)
(w) = U0, (11)
Wk1,...,km
,...,k*
= Uxi (i = 1,...m), (12)
donde k*j = kj + 1 si j = i y k
j = kj de lo contrario, y se supone que
diferenciaciones en suma se llevan a cabo en todos los W indizados que participan en
Aquí podemos introducir U0 y Ux1,. .., Uxm como nuevas variables independientes
si expresa m variables del conjunto {Wk1,...,km} con k1 + · · km = n utilizando
sistema lineal (12).
Suponiendo que dado PDE de orden n
F (~x, w,
,. ..,
. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
m k1km=k≤n
,. ..,
) = 0 (13)
es descomposable, recibimos, que después de la sustitución de las nuevas variables, izquierda-
el lado de la mano de la PDE dada debe convertirse en (10) con un poco de V.
Lado izquierdo de la PDE dada expresada en nuevas variables es el primer orden
diferencia de expresión con respecto a
J(U0, ~x,W0,W1,0,...,0,...,Wk1,...,km k1km=k≤n−1,. ...............................................................
y no debe depender de todos los W s indizados, es decir, derivados de F expresados en
nuevas variables con respecto a todas las W s indexadas son iguales a cero. Secuencia de
tales derivados de F equiparados a cero forman un sistema PDE de segundo orden para J.
Por lo tanto, una solución (particular también) el sistema PDE da posible expresión de
operador diferencial Dn−1
(w) a través de (8) y el operador diferencial D2(u) por
sustitución de la solución de J por el lado izquierdo de la PDE dada expresada en nuevo
variables.
Por supuesto, hay problemas en los que se requiere una descomposición del operador
Sólo. Pero en la mayoría de los casos la descomposición obtenida está destinada a encontrar soluciones
para una PDE dada. Si en la descomposición obtenida la PDE D2(u) correspondiente = 0
es solvable, luego la sustitución de u obtenida en J expresada en variables originales
nos da una primera integral (ver su definición en la subsección siguiente) de la PDE dada.
Es fácil ver que para PDEs descomposables la primera integral es un diferencial
ecuación, por lo que podemos tratar de resolverlo o para encontrar una primera integral para esta nueva DE (o
descomponerlo) por el esquema descrito anteriormente hasta que lleguemos al primer orden
Cabe destacar que, en el enfoque que se examina, la conclusión
las integrales pueden hacerse de manera más directa y eficaz.
2.3 Ecuación diferencial para la primera integral de decomposable
La primera integral I de la PDE es una expresión, que implica una función arbitraria
tion, que es equivalente en cierto sentido a la PDE dada. La primera integral
desaparece en el conjunto de soluciones de la PDE dada. Y (de acuerdo con [4]) todos
las consecuencias diferenciales de la ecuación I = 0 coinciden con
las consecuencias de la PDE dada (por ejemplo, la eliminación de la función arbitraria conduce
a la PDE dada).
Nuestro objetivo aquí es encontrar PDE para la primera integral de una PDE descompuesta. A
lo primero que tenemos que tener en cuenta que u(~x) es la solución de la
PDE correspondiente
V (~x, u,
,. ..,
) = 0,
así u(~x) depende sólo de ~x pero de ninguna manera en W s indexados. En segundo lugar, el depen-
En este caso, la variable de abollamiento, a saber:
J(u(~x), ~x,W0,W1,0,...,0,...,Wk1,...,km k1km=k≤n−1,. ...............................................................
de la PDE dada (13) expresada en nuevas variables no dependen de Ux1,. .., Uxm
y es una primera integral de la PDE dada.
Si ahora considerar u(~x) como una función desconocida, podemos denotar la primera integral
I(~x,W0,W1,0,...,0,...,Wk1,...,km k1km=k≤n−1,. ...............................................................
J(u(~x), ~x,W0,W1,0,...,0,...,Wk1,...,km k1km=k≤n−1,. ...............................................................
y en lugar de (12) en la forma
Wk1,...,km
,...,k*
= −Uxi
(i = 1,... m)
Llegamos al siguiente sistema
Wk1,...,km
,...,k*
= 0 (i = 1,...m). (14)
Si expresa m variables del conjunto {Wk1,...,km} con k1 + · · km = n (en
menos uno de los cuales es real para PDE dado - tenga en cuenta que hay algunas variantes
aquí como regla, para que podamos obtener algunas PDE consistentes en esta etapa) utilizando lineal
sistema (14) y sustituirlos en la PDE dada (13) recibimos un primer pedido
(incluso lineal si PDE (13) es lineal en sus derivados más altos) PDE con respecto a
primera integral I. Y sólo queda resolver este PDE(s) para encontrar una primera integral
de la PDE dada.
Nota, dado que PDE es descomposable iff existe una solución de tal primer orden
PDE(s).
3 Ejemplos
Facilitar los cálculos necesarios en el proceso de encontrar las primeras integrales I
han aplicado el método descrito anteriormente en el prototipo del procedimiento de Maple
reducir el orden PDE (véase el apéndice). Se dan los datos de entrada del procedimiento
PDE de cualquier orden y variable dependiente de la PDE con cualquier número de
variables independientes. El procedimiento intenta encontrar la(s) primera(s) integral(es) de la entrada
PDE lineal o no lineal.
El procedimiento de arce incorporado pdsolve se utiliza dentro de mi procedimiento para resolver
la PDE de primer orden para la primera integral. Como diferentes versiones de Maple tienen diferentes
Capacidades de resolución de PDE por lo que la salida depende de la versión de Maple. En lo siguiente:
ejemplos me refiero a Maple 11.
El procedimiento reducir orden PDE es capaz de encontrar las primeras integrales para muchos
PDEs lineales y no lineales conocidas y desconocidas. Aquí damos ejemplos de
PDE para las que es posible encontrar finalmente sus soluciones generales. Más examen...
ples se puede encontrar en la colección de PDE no lineales solvables [15].
3.1 PDE de segundo orden con dos variables independientes
Para PDE (w = w(t, x))
−kw− bc
= 0 (15)
con un 6= 0 y 4ak − b2 6= 0 el procedimiento reduce las salidas de orden PDE el
después de la primera integral
I = F1
4ak − b2 − 2 arctan
c+ 2a.a.w.
4ak − b2
4ak − b2
con función arbitraria F1.
La ODE I = 0 se puede resolver y se obtiene (después de alguna mano simplifica-
ciones y edición) la siguiente solución general a (15)
w(t, x) =
exp(t)
b2 − 4ak)F (x)(b +
b2 − 4ak)−
b2 − 4ak + b
1 + exp(t)
b2 − 4ak)F (x)
G(t)} exp
exp(t)
b2 − 4ak)F (x)(b +
b2 − 4ak)−
b2 − 4ak + b
1 + exp(t)
b2 − 4ak)F (x)
donde F (x) y G(t) son funciones arbitrarias.
3.2 PDE de segundo orden con cuatro variables independientes
Para PDE
* x 1x 4x 4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x3x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4xx4x4x4x4xx4xx4xx4xxx4xxxx4xxx4xxx4xxx4xxxxx4xxxxx4xx4xx4xxx4xxx4xxx4x
* x 2 x 4 *
* * x 3 x 4 *
+ C0 + B1
C1(A1
+B1w +B0)+
C2(A1
+B1w +B0)
2 = 0, (16)
donde w = w(x1, x2, x3, x4) y Ai, Bi, Ci son constantes, el procedimiento re-
duce las salidas de orden PDE la primera integral siguiente
I = F1
x1, x2, x3, x4 +
2 arcán
2C2(A1
+B1w +B0) + C1
4C0C2 − C21
4C0C2 − C21
con función arbitraria F1.
La PDE I = 0 se puede resolver y se obtiene la siguiente solución general
a (16)
w(x1, x2, x3, x4) =
2A1C2
exp(−B1x1
)2B0C2 + C1 + tan[
4C0C2 − C21
+G(, (A2, +A1x2A2x1), (A3, +A1x3A3x1))]
4C0C2 − C21 )d
+ exp(−B1x1
)F [(A1x2 − A2x1), (A1x3 −A3x1), x4],
donde F (t1, t2, t3) y G(t1, t2, t3) son funciones arbitrarias, c es con-
Stant.
3.3 PDE de tercer orden con dos variables independientes
Para PDE (w = w(t, x))
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
- 2w. - 2w. - 2w.
- ¿Qué? - ¿Qué?
− aw3 = 0 (17)
el procedimiento reduce las salidas de orden PDE las primeras integrales siguientes
I1 = F1
− axw2), 1
ax2w2 + 2w(
− x
) + 2x
I2 = F1
− atw2 −
con función arbitraria F1.
Podemos formar algunos PDE de I1 y para resolverlos podemos repetir el proceso
de reducción de orden con el procedimiento de reducción de orden PDE. El ODE I2 = 0 puede
se resuelven directamente y se obtiene de cualquier manera la siguiente solución general a
w(t, x) = F (t) exp
− xH(t) + x
G(x)dx −
xG(x)dx
donde F (t), H (t) y G (x) son funciones arbitrarias.
3.4 PDE de cuarto orden con dos variables independientes
Para PDE (w = w(t, x))
2x2
− 2w2
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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− 2oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
= 0 (18)
el procedimiento reduce las salidas de orden PDE las primeras integrales siguientes
I1 = F1(t,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− 2w.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
− x
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
w − 2x
I2 = F1(x,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
w + 2
− t
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
w − 2t
con función arbitraria F1.
La riqueza de las primeras integrales aquí nos permite operar con ellas en muchos
de diferentes maneras. Aparte de dicha reducción de orden posterior podemos, para
ejemplo, de
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− 2w.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
w + 2
= F (x)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
] = G(x),
donde F (x) y G(x) son funciones arbitrarias, eliminar algebraicamente mezclado
derivados y obtener la siguiente ODE
+ [tF (x)−G(x)]w2 = 0,
que da la solución general a (18)
w(t, x) = H(t) exp
xF (x) dx − tx
F (x) dx+
G(x) dx −
xG(x) dx + xK(t)
donde F (x), H (t), G (x) y K (t) son funciones arbitrarias.
4 Conclusión
El método que se ha considerado anteriormente es lo suficientemente eficiente para resolver la descomposición
PDE de orden relativamente alto con muchas variables independientes. El principal
la limitación aquí se refiere a las capacidades para resolver los primeros auxiliares correspondientes
ordenar PDE para las primeras integrales.
Una adaptabilidad del método a las PDE que no son descomposables, pero
todavía no se han resuelto las soluciones generales que pueden expresarse en forma cerrada.
Pero se puede mostrar en ejemplos que hay algunas maneras de extender el método
para algunos tipos de PDE. Estos enfoques merecen un estudio más a fondo
en otra publicación.
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[11] U. Dini, Sopra una classe di equazioni a derivate parziali di secondordine
con un numero qualunque di variabili. Atti Acc. Naz. dei Lincei. Mem.
Classe fis., mat., nat. (ser. 5), v. 4, 1901, pág. 121178. También Opere v. III, pág.
489566.
[12] U. Dini, Sopra una classe di equazioni a derivate parziali di secondordine.
Atti Acc. Naz. dei Lincei. Mem. Classe fis., mat., nat. (ser. 5) v. 4, 1902,
p. 431467. También Opere v. III, pág. 613660.
[13] S.P. Tsarev, En la factorización y solución de par-
Ecuaciones diferenciales de tial. http://arxiv.org/abs/cs.SC/0609075, 2006.
[14] V.M. Boyko, W.I. Fushchych, la reducción del orden y las soluciones generales de
algunas clases de ecuaciones diferenciales parciales, Informes sobre matemáticas. Phys., V.
41, No. 3, pp. 311-318, 1998.
[15] Yu.N. Kosovtsov, Las soluciones generales de algunos segundos no lineales
y PDE de tercer orden con parámetros constantes y no constantes.
http://arxiv.org/abs/math-ph/0609003, 2006.
http://www.numdam.org/
http://arxiv.org/abs/cs.SC/0609075
http://arxiv.org/abs/math-ph/0609003
5 Apéndice.
Procedimiento de arce reducir orden PDE
reducir el orden PDE:=proc(pde,unk)
local B,W,N,NN,ARG,acargs,i,M,pde0,DN,IND,IND2,IND3,IND4,ARGS,SUB,SUB0,
Z0,Bargs,EQS,XXX,WW,BB,PP,pdeI,IV,s,AN;
opción «Copyright (c) 2006-2007 por Yuri N. Kosovtsov. Todos los derechos reservados.».
N:=PDETools[diforden](op(1,[selectremove(tiene,indets(pde,función),unk)]);
NN:=op(1,[selectremove(has,op(1,[selectremove(has,indets(pde,function),unk)]),diff)];
ARG:=[op(unk)];
acargs: = ;
para i de 1 a nops (ARG)
Si PDETools[difforder](NN,op(i,ARG))=0 entonces acargs:=acargs union {op(i,ARG)}
fi; od;
acargs:=convert(acargs,list);
M:=op(0,unk)(op(acargs));
si type(pde,equation)=true entonces
pde0:=lhs(subs(unk=M,pde))-rhs(subs(unk=M,pde)) pde0:=subs(unk=M,pde)
DN:=[seq(seq(i,i=1..nops(acargs)),j=1..N)];
IND:=seq(op(combinat[elegir](DN,i)),i=1..N);
IND2:=seq(op(combinat[elegir](DN,i)),i=1..N-2);
IND3:=op(combinat[elegir](DN,N-1));
IND4:=op(combinat[elegir](DN,N));
ARGS:=op(unk),M,seq(convert(D[op(op(i,[IND2]))](op(0,unk))
(op(acargs)),diff),i=1..nops([IND2]);
SUB:={M=W[0],seq(convert(D[op(op(i,[IND]))](op(0,unk))
(op(acargs)),diff)=W[op(op(i,[IND])],i=1..nops([IND])}};
SUB0:={W[0]=op(0,unk)(op(ARG)),
sigs(W[op(op(i,[IND]))]=subs(M=op(0,unk)(op(ARG)),
convert(D[op(op(i,[IND]))](op(0,unk))(op(acargs)),diff)),i=1.nops([IND])};
Z0:=B(ARGS,seq(convert(D[op(op(i,[IND3]))](op(0,unk)))(op(acargs)),diff),
i=1..nops([IND3]));
Bargs:=op(indets(subs(SUB,Z0),nombre));
EQS:=convert(subs(SUB,{seq(diff(Z0,op(i,acargs))=0,i=1..nops(acargs))}),diff);
XXX:={seq(W[op(op(i,[IND4]))],i=1.nops([IND4])};
WW:=seleccionar(tipo,indets(subs(SUB,pde0)), ’nombre’)intersecar
{seq(W[op(op(i,[IND4]))],i=1.nops([IND4])};
BB:=select(tiene,combinat[elegir](XXX, nops(acargs)),WW;
PP:=;
pdeI:={seq({subs(subs(resuelto(EQS,op(i,BB)),subs(SUB,pde0))},i=1..nops(BB))};
IV:={seq(W[op(op(i,[IND4]))],i=1.nops([IND4])};
para s de 1 a nops(pdeI) hacer
AN:=pdsolve(op(s,pdeI),{B},ivars=IV);
para i de 1 a nops(AN)
si op(0,lhs(op(i,AN)))=B entonces
PP:= unión PP {rhs(op(i,AN))}
captura:
el intento final;
PP:=subs(SUB0,PP);
DEVOLUCIÓN (PP);
fin del procedimiento:
Secuencia de llamada: reducir el orden PDE (PDE, f(~x));
PDE - ecuación diferencial parcial;
f(~x) - función indeterminada con sus argumentos.
Introducción
Bases del método
PDE descompuestables
Algoritmo de descomposición para PDEs descompuestables
Ecuación diferencial para la primera integral de PDE descompuestables
Ejemplos
PDE de segundo orden con dos variables independientes
PDE de segundo orden con cuatro variables independientes
PDE de tercer orden con dos variables independientes
PDE de cuarto orden con dos variables independientes
Conclusión
Apéndice. Procedimiento de arce reducir_PDE_orden
| En este documento proponemos un método aparentemente nuevo para encontrar soluciones de
algunos tipos de PDE no lineales en forma cerrada. El método se basa en
la descomposición de los operadores no lineales en la secuencia de los operadores de órdenes inferiores.
Se demuestra que el proceso de descomposición puede realizarse mediante procedimientos iterativos,
cada paso de la cual se reduce a la solución de algunos sistemas auxiliares de PDE para
una variable dependiente. Por otra parte, encontramos de esta manera la expresión explícita
de la(s) PDE(s) de primer orden para la primera integral de PDE inicial descompuestable.
Notablemente que esta PDE de primer orden es lineal si PDE inicial es lineal en su
Derivados más altos.
El método desarrollado se implementa en el procedimiento de Maple, que puede realmente
resolver muchos de los PDE de orden diferentes con diferente número de independientes
variables. Ejemplos de PDE con sus soluciones generales calculadas demuestran
un potencial del método para la resolución automática de PDEs no lineales.
| Introducción
Ecuaciones diferenciales parciales no lineales (PDE) juegan un papel muy importante en muchos
campos de las matemáticas, la física, la química y la biología, y numerosas aplicaciones
ciones. Si para las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales (ODEs) uno puede observar
progreso incontestable en su solución automática, la situación para no lineal
Las ECP parecen casi desesperadas.
A pesar del hecho de que varios métodos para resolver PDE no lineales han sido
se desarrolló en 19-20 siglos como los grupos adecuados de transformaciones, tales como
transformaciones de puntos o de contacto, sustituciones diferenciales y trans-
las formaciones, etc., el método más poderoso para la integración explícita de la segunda
orden PDEs no lineales en dos variables independientes sigue siendo el método de Dar-
boux [1]-[4]. El método original de Darboux (como ya Darboux declaró en [1])
es extensible en principio a ecuaciones de todos los órdenes en un número arbitrario de
variables independientes, incluso a los sistemas de ecuaciones; sin embargo, en [1]-[2] y sub-
trabajos posteriores de muchos autores, los cálculos detallados se realizaron sólo
http://arxiv.org/abs/0704.072v1
para una sola ecuación de segundo orden con una dependiente y dos independientes
variables.
El método de Darboux se refinó en los últimos años para que fuera más preciso y eficaz.
forma científica (aunque no completamente algorítmica) [5]-[8] y referencias en ella.
Sin embargo, estos enfoques sufren de gran complejidad y son necesarios para utilizarlos.
Algunos trucos.
Hubo algunos intentos parcialmente exitosos de ampliar las variantes modernas de
el método Darboux basado en el método de cascada de Laplace en PDE de orden superior
y PDE en el espacio de más de dos variables independientes [10]-[13] pero
también sufren de gran complejidad.
Hay un enfoque original del problema, basado en el tipo especial
del cambio local de variables que conduce a la reducción del orden de la PDE inicial,
propuesta en [14], que es adecuado para problemas de grandes dimensiones pero de
clase especial, sin embargo.
En este artículo proponemos un método aparentemente nuevo para encontrar soluciones
de algunos tipos de PDE no lineales en forma cerrada. El método se basa en
la descomposición de los operadores no lineales en la secuencia de los operadores de órdenes inferiores. Lo siento.
se muestra que el proceso de descomposición puede realizarse mediante procedimientos iterativos, cada uno
paso de la cual se reduce a la solución de algunos sistemas auxiliares PDE para uno
Variable dependiente. Por otra parte, encontramos de esta manera la expresión explícita de la
PDE(s) de primer orden para la primera integral de PDE inicial descompuestable. Extraordinariamente
que esta PDE de primer orden es lineal si la PDE inicial es lineal en sus derivados más altos.
El método desarrollado se implementa en el procedimiento de Maple, que puede realmente
resolver muchos de los PDE de orden diferente con diferente número de vari-
Capaz. Ejemplos de PDE con sus soluciones generales calculadas demuestran un
potencial del método para la resolución automática de PDEs no lineales.
2 Bases del método
2.1 PDE descompuestables
La PDE no lineal de segundo orden más simple para w = w(t, x)
se puede transformar fácilmente a la siguiente forma descompuesta
) = 0, (2)
de la cual podemos obtener sin dificultad la solución general a la PDE (1) en
Dos pasos. El primer paso nos da
d ln(G(x))
, (3)
donde G(x) es una función arbitraria. Y luego, resolver la ecuación (3) en el
segundo paso, obtenemos
w(t, x) = F (t)G(x), (4)
donde F (t) es una función arbitraria más.
Las principales observaciones sobre el análisis de los motivos de la solvabilidad de la PDE
(1) por el método anterior son que
1. El PDE (1) es “decomposable”, es decir, puede ser representado como un composi-
ciones de operadores diferenciales sucesivos de tipo (5) (no necesariamente lineales). Lo es.
claro que este tipo de descomposición se puede hacer para algunas PDE de cualquier orden
y con cualquier número de variables independientes de la siguiente manera
D1(w) = u1,
D2(u1) = u2,
5...............................................................................................
Dn(un−1) = 0,
donde ~x = (x1,. .., xm), w = w(~x), ui = ui(~x) y
Di(u) = Vi(~x, u,
,. ..,
Suponiendo que Vi son funciones arbitrarias, y la eliminación de ui por sub-
las instituciones en el sistema (5), obtenemos una familia de PDE para w de n o orden
Dn(Dn−1(. D1(w). )) = 0. 6)
que son “descompuestables” y, en principio, sus soluciones generales o particulares
puede obtenerse mediante la integración del sistema split (5). La PDE (6) no es lineal si
al menos uno de los operadores Di no es lineal. No todos los PDE admiten tal repre-
envío. Y en casos positivos tal representación no es única en general.
Tenga en cuenta que, de hecho, Di no tiene que ser el diferencial de primer orden
operadores. Por lo tanto, el procedimiento de composición para el n o orden PDE, cuando n > 2 puede
ser como sigue:
(w) = u,
(u) = 0, (7)
donde n1, n2 son enteros y n1 + n2 = n, w = w(~x), u = u(~x), y (k ≤ j)
i (u) = Vi(~x, u,
,. ..,
. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
m k1km=k≤j
,. ..,
La representación tardía nos permite llevar a cabo la descomposición de la PDE o
orden de reducción gradualmente poco a poco.
Hay que subrayar aquí que, en general, las representaciones (5) y (7) pueden tener
diferente significado. Por ejemplo, algunas ECP no admiten representación (5)
pero permita el formulario (7) con ambos DEs solvables.
2. Cada paso del proceso de resolución de PDE descompuesto se enfrenta con el
necesidad de resolver la ecuación diferencial Di(ui−1) = ui (o D
i (ui−1) = ui), así que todos
tales DEs deben ser solvables. Tenga en cuenta que sólo el primer paso Dn(un−1) = 0 está libre de
funciones arbitrarias.
Así que una de las estrategias de resolución de PDEs puede ser la siguiente. En primer lugar, nosotros
tratar de descomponer la PDE dada. Para ello tenemos que resolver las correspondientes
sistema PDE auxiliar no lineal para funciones desconocidas Vi, es suficiente para
encontrar una solución particular aquí. Y, si tiene éxito, entonces, decidir entre
las variantes, tratar de resolver cada DE que surja de la cadena (5). Obstáculo principal
aquí, comenzando en el segundo paso se acaba de mencionar la necesidad de resolver DEs con
funciones arbitrarias. Hay un círculo suficientemente estrecho de solvable (en el sentido de
las soluciones generales) DEs con una función arbitraria como parámetro.
Otro enfoque (clasificación) puede basarse en el uso de sólo solvable
DEs. Es decir, podemos formar una composición de diferencial solvable sucesivo
los operadores y como resultado obtener una familia de PDEs solvables. Tal camino lleva a
familias extensas no triviales para diferentes tipos de ECP no lineales que general
las soluciones pueden expresarse en forma cerrada. Pero de esta manera nos encontramos con un
dificultades para circunscribir integralmente a esas familias y se ven obligadas a considerar
- Subfamilias particulares. Sin embargo, produce un amplio campo de PDE para los métodos
pruebas [15].
2.2 Algoritmo de descomposición para PDEs descompuestables
Para el orden nth PDE, cuando n > 2 hay algunos enfoques ligeramente diferentes
que están dictadas por los objetivos del problema. Si el objetivo es descomponerse dado
operador no lineal entonces tenemos que utilizar el esquema (7) con n1 = 1, n2 = n− 1.
Y a la inversa tenemos que utilizar el esquema (7) con n1 = n − 1, n2 = 1 si la
objetivo es resolver dada la PDE. El último procedimiento en algunas características se asemeja a la
técnicas bien conocidas de reducción del orden de las ODE, por ejemplo, por el primer método integral. De
Por supuesto, es posible utilizar casos intermedios.
Todos los casos anteriores se pueden tratar de la misma manera que consideramos a continuación, pero
cada uno de ellos conduce a sistemas auxiliares PDE de diferente orden, es decir n2+1, con
complejidad de cálculo correspondiente.
En la secuela vamos a considerar para la brevedad sólo el caso con n1 = n−1, n2 = 1,
como más práctico para la resolución de PDEs.
Consideremos la descomposición del tipo (7) con Dn−1
w) como solución
de la siguiente ecuación con respecto a u = u(~x)
J(u, ~x, w,
,. ..,
. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
m k1km=k≤n−1
,. ..,
N - 1w
) = 0 (8)
D2(u) = V (~x, u,
,. ..,
). (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Si sustituye u = Dn−1
(w) en (9) obtenemos PDE descompuestable n-o orden
V (~x, U0, Ux1,. .., Uxm) = 0, (10)
donde (utilizamos por debajo de la siguiente notación w = W0 y
.....xx
= Wk1,...,km)
(w) = U0, (11)
Wk1,...,km
,...,k*
= Uxi (i = 1,...m), (12)
donde k*j = kj + 1 si j = i y k
j = kj de lo contrario, y se supone que
diferenciaciones en suma se llevan a cabo en todos los W indizados que participan en
Aquí podemos introducir U0 y Ux1,. .., Uxm como nuevas variables independientes
si expresa m variables del conjunto {Wk1,...,km} con k1 + · · km = n utilizando
sistema lineal (12).
Suponiendo que dado PDE de orden n
F (~x, w,
,. ..,
. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
m k1km=k≤n
,. ..,
) = 0 (13)
es descomposable, recibimos, que después de la sustitución de las nuevas variables, izquierda-
el lado de la mano de la PDE dada debe convertirse en (10) con un poco de V.
Lado izquierdo de la PDE dada expresada en nuevas variables es el primer orden
diferencia de expresión con respecto a
J(U0, ~x,W0,W1,0,...,0,...,Wk1,...,km k1km=k≤n−1,. ...............................................................
y no debe depender de todos los W s indizados, es decir, derivados de F expresados en
nuevas variables con respecto a todas las W s indexadas son iguales a cero. Secuencia de
tales derivados de F equiparados a cero forman un sistema PDE de segundo orden para J.
Por lo tanto, una solución (particular también) el sistema PDE da posible expresión de
operador diferencial Dn−1
(w) a través de (8) y el operador diferencial D2(u) por
sustitución de la solución de J por el lado izquierdo de la PDE dada expresada en nuevo
variables.
Por supuesto, hay problemas en los que se requiere una descomposición del operador
Sólo. Pero en la mayoría de los casos la descomposición obtenida está destinada a encontrar soluciones
para una PDE dada. Si en la descomposición obtenida la PDE D2(u) correspondiente = 0
es solvable, luego la sustitución de u obtenida en J expresada en variables originales
nos da una primera integral (ver su definición en la subsección siguiente) de la PDE dada.
Es fácil ver que para PDEs descomposables la primera integral es un diferencial
ecuación, por lo que podemos tratar de resolverlo o para encontrar una primera integral para esta nueva DE (o
descomponerlo) por el esquema descrito anteriormente hasta que lleguemos al primer orden
Cabe destacar que, en el enfoque que se examina, la conclusión
las integrales pueden hacerse de manera más directa y eficaz.
2.3 Ecuación diferencial para la primera integral de decomposable
La primera integral I de la PDE es una expresión, que implica una función arbitraria
tion, que es equivalente en cierto sentido a la PDE dada. La primera integral
desaparece en el conjunto de soluciones de la PDE dada. Y (de acuerdo con [4]) todos
las consecuencias diferenciales de la ecuación I = 0 coinciden con
las consecuencias de la PDE dada (por ejemplo, la eliminación de la función arbitraria conduce
a la PDE dada).
Nuestro objetivo aquí es encontrar PDE para la primera integral de una PDE descompuesta. A
lo primero que tenemos que tener en cuenta que u(~x) es la solución de la
PDE correspondiente
V (~x, u,
,. ..,
) = 0,
así u(~x) depende sólo de ~x pero de ninguna manera en W s indexados. En segundo lugar, el depen-
En este caso, la variable de abollamiento, a saber:
J(u(~x), ~x,W0,W1,0,...,0,...,Wk1,...,km k1km=k≤n−1,. ...............................................................
de la PDE dada (13) expresada en nuevas variables no dependen de Ux1,. .., Uxm
y es una primera integral de la PDE dada.
Si ahora considerar u(~x) como una función desconocida, podemos denotar la primera integral
I(~x,W0,W1,0,...,0,...,Wk1,...,km k1km=k≤n−1,. ...............................................................
J(u(~x), ~x,W0,W1,0,...,0,...,Wk1,...,km k1km=k≤n−1,. ...............................................................
y en lugar de (12) en la forma
Wk1,...,km
,...,k*
= −Uxi
(i = 1,... m)
Llegamos al siguiente sistema
Wk1,...,km
,...,k*
= 0 (i = 1,...m). (14)
Si expresa m variables del conjunto {Wk1,...,km} con k1 + · · km = n (en
menos uno de los cuales es real para PDE dado - tenga en cuenta que hay algunas variantes
aquí como regla, para que podamos obtener algunas PDE consistentes en esta etapa) utilizando lineal
sistema (14) y sustituirlos en la PDE dada (13) recibimos un primer pedido
(incluso lineal si PDE (13) es lineal en sus derivados más altos) PDE con respecto a
primera integral I. Y sólo queda resolver este PDE(s) para encontrar una primera integral
de la PDE dada.
Nota, dado que PDE es descomposable iff existe una solución de tal primer orden
PDE(s).
3 Ejemplos
Facilitar los cálculos necesarios en el proceso de encontrar las primeras integrales I
han aplicado el método descrito anteriormente en el prototipo del procedimiento de Maple
reducir el orden PDE (véase el apéndice). Se dan los datos de entrada del procedimiento
PDE de cualquier orden y variable dependiente de la PDE con cualquier número de
variables independientes. El procedimiento intenta encontrar la(s) primera(s) integral(es) de la entrada
PDE lineal o no lineal.
El procedimiento de arce incorporado pdsolve se utiliza dentro de mi procedimiento para resolver
la PDE de primer orden para la primera integral. Como diferentes versiones de Maple tienen diferentes
Capacidades de resolución de PDE por lo que la salida depende de la versión de Maple. En lo siguiente:
ejemplos me refiero a Maple 11.
El procedimiento reducir orden PDE es capaz de encontrar las primeras integrales para muchos
PDEs lineales y no lineales conocidas y desconocidas. Aquí damos ejemplos de
PDE para las que es posible encontrar finalmente sus soluciones generales. Más examen...
ples se puede encontrar en la colección de PDE no lineales solvables [15].
3.1 PDE de segundo orden con dos variables independientes
Para PDE (w = w(t, x))
−kw− bc
= 0 (15)
con un 6= 0 y 4ak − b2 6= 0 el procedimiento reduce las salidas de orden PDE el
después de la primera integral
I = F1
4ak − b2 − 2 arctan
c+ 2a.a.w.
4ak − b2
4ak − b2
con función arbitraria F1.
La ODE I = 0 se puede resolver y se obtiene (después de alguna mano simplifica-
ciones y edición) la siguiente solución general a (15)
w(t, x) =
exp(t)
b2 − 4ak)F (x)(b +
b2 − 4ak)−
b2 − 4ak + b
1 + exp(t)
b2 − 4ak)F (x)
G(t)} exp
exp(t)
b2 − 4ak)F (x)(b +
b2 − 4ak)−
b2 − 4ak + b
1 + exp(t)
b2 − 4ak)F (x)
donde F (x) y G(t) son funciones arbitrarias.
3.2 PDE de segundo orden con cuatro variables independientes
Para PDE
* x 1x 4x 4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x3x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4x4xx4x4x4x4xx4xx4xx4xxx4xxxx4xxx4xxx4xxx4xxxxx4xxxxx4xx4xx4xxx4xxx4xxx4x
* x 2 x 4 *
* * x 3 x 4 *
+ C0 + B1
C1(A1
+B1w +B0)+
C2(A1
+B1w +B0)
2 = 0, (16)
donde w = w(x1, x2, x3, x4) y Ai, Bi, Ci son constantes, el procedimiento re-
duce las salidas de orden PDE la primera integral siguiente
I = F1
x1, x2, x3, x4 +
2 arcán
2C2(A1
+B1w +B0) + C1
4C0C2 − C21
4C0C2 − C21
con función arbitraria F1.
La PDE I = 0 se puede resolver y se obtiene la siguiente solución general
a (16)
w(x1, x2, x3, x4) =
2A1C2
exp(−B1x1
)2B0C2 + C1 + tan[
4C0C2 − C21
+G(, (A2, +A1x2A2x1), (A3, +A1x3A3x1))]
4C0C2 − C21 )d
+ exp(−B1x1
)F [(A1x2 − A2x1), (A1x3 −A3x1), x4],
donde F (t1, t2, t3) y G(t1, t2, t3) son funciones arbitrarias, c es con-
Stant.
3.3 PDE de tercer orden con dos variables independientes
Para PDE (w = w(t, x))
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
- 2w. - 2w. - 2w.
- ¿Qué? - ¿Qué?
− aw3 = 0 (17)
el procedimiento reduce las salidas de orden PDE las primeras integrales siguientes
I1 = F1
− axw2), 1
ax2w2 + 2w(
− x
) + 2x
I2 = F1
− atw2 −
con función arbitraria F1.
Podemos formar algunos PDE de I1 y para resolverlos podemos repetir el proceso
de reducción de orden con el procedimiento de reducción de orden PDE. El ODE I2 = 0 puede
se resuelven directamente y se obtiene de cualquier manera la siguiente solución general a
w(t, x) = F (t) exp
− xH(t) + x
G(x)dx −
xG(x)dx
donde F (t), H (t) y G (x) son funciones arbitrarias.
3.4 PDE de cuarto orden con dos variables independientes
Para PDE (w = w(t, x))
2x2
− 2w2
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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− 2oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
= 0 (18)
el procedimiento reduce las salidas de orden PDE las primeras integrales siguientes
I1 = F1(t,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− 2w.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
− x
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
w − 2x
I2 = F1(x,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
w + 2
− t
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
w − 2t
con función arbitraria F1.
La riqueza de las primeras integrales aquí nos permite operar con ellas en muchos
de diferentes maneras. Aparte de dicha reducción de orden posterior podemos, para
ejemplo, de
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
− 2w.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
w + 2
= F (x)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
] = G(x),
donde F (x) y G(x) son funciones arbitrarias, eliminar algebraicamente mezclado
derivados y obtener la siguiente ODE
+ [tF (x)−G(x)]w2 = 0,
que da la solución general a (18)
w(t, x) = H(t) exp
xF (x) dx − tx
F (x) dx+
G(x) dx −
xG(x) dx + xK(t)
donde F (x), H (t), G (x) y K (t) son funciones arbitrarias.
4 Conclusión
El método que se ha considerado anteriormente es lo suficientemente eficiente para resolver la descomposición
PDE de orden relativamente alto con muchas variables independientes. El principal
la limitación aquí se refiere a las capacidades para resolver los primeros auxiliares correspondientes
ordenar PDE para las primeras integrales.
Una adaptabilidad del método a las PDE que no son descomposables, pero
todavía no se han resuelto las soluciones generales que pueden expresarse en forma cerrada.
Pero se puede mostrar en ejemplos que hay algunas maneras de extender el método
para algunos tipos de PDE. Estos enfoques merecen un estudio más a fondo
en otra publicación.
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[12] U. Dini, Sopra una classe di equazioni a derivate parziali di secondordine.
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y PDE de tercer orden con parámetros constantes y no constantes.
http://arxiv.org/abs/math-ph/0609003, 2006.
http://www.numdam.org/
http://arxiv.org/abs/cs.SC/0609075
http://arxiv.org/abs/math-ph/0609003
5 Apéndice.
Procedimiento de arce reducir orden PDE
reducir el orden PDE:=proc(pde,unk)
local B,W,N,NN,ARG,acargs,i,M,pde0,DN,IND,IND2,IND3,IND4,ARGS,SUB,SUB0,
Z0,Bargs,EQS,XXX,WW,BB,PP,pdeI,IV,s,AN;
opción «Copyright (c) 2006-2007 por Yuri N. Kosovtsov. Todos los derechos reservados.».
N:=PDETools[diforden](op(1,[selectremove(tiene,indets(pde,función),unk)]);
NN:=op(1,[selectremove(has,op(1,[selectremove(has,indets(pde,function),unk)]),diff)];
ARG:=[op(unk)];
acargs: = ;
para i de 1 a nops (ARG)
Si PDETools[difforder](NN,op(i,ARG))=0 entonces acargs:=acargs union {op(i,ARG)}
fi; od;
acargs:=convert(acargs,list);
M:=op(0,unk)(op(acargs));
si type(pde,equation)=true entonces
pde0:=lhs(subs(unk=M,pde))-rhs(subs(unk=M,pde)) pde0:=subs(unk=M,pde)
DN:=[seq(seq(i,i=1..nops(acargs)),j=1..N)];
IND:=seq(op(combinat[elegir](DN,i)),i=1..N);
IND2:=seq(op(combinat[elegir](DN,i)),i=1..N-2);
IND3:=op(combinat[elegir](DN,N-1));
IND4:=op(combinat[elegir](DN,N));
ARGS:=op(unk),M,seq(convert(D[op(op(i,[IND2]))](op(0,unk))
(op(acargs)),diff),i=1..nops([IND2]);
SUB:={M=W[0],seq(convert(D[op(op(i,[IND]))](op(0,unk))
(op(acargs)),diff)=W[op(op(i,[IND])],i=1..nops([IND])}};
SUB0:={W[0]=op(0,unk)(op(ARG)),
sigs(W[op(op(i,[IND]))]=subs(M=op(0,unk)(op(ARG)),
convert(D[op(op(i,[IND]))](op(0,unk))(op(acargs)),diff)),i=1.nops([IND])};
Z0:=B(ARGS,seq(convert(D[op(op(i,[IND3]))](op(0,unk)))(op(acargs)),diff),
i=1..nops([IND3]));
Bargs:=op(indets(subs(SUB,Z0),nombre));
EQS:=convert(subs(SUB,{seq(diff(Z0,op(i,acargs))=0,i=1..nops(acargs))}),diff);
XXX:={seq(W[op(op(i,[IND4]))],i=1.nops([IND4])};
WW:=seleccionar(tipo,indets(subs(SUB,pde0)), ’nombre’)intersecar
{seq(W[op(op(i,[IND4]))],i=1.nops([IND4])};
BB:=select(tiene,combinat[elegir](XXX, nops(acargs)),WW;
PP:=;
pdeI:={seq({subs(subs(resuelto(EQS,op(i,BB)),subs(SUB,pde0))},i=1..nops(BB))};
IV:={seq(W[op(op(i,[IND4]))],i=1.nops([IND4])};
para s de 1 a nops(pdeI) hacer
AN:=pdsolve(op(s,pdeI),{B},ivars=IV);
para i de 1 a nops(AN)
si op(0,lhs(op(i,AN)))=B entonces
PP:= unión PP {rhs(op(i,AN))}
captura:
el intento final;
PP:=subs(SUB0,PP);
DEVOLUCIÓN (PP);
fin del procedimiento:
Secuencia de llamada: reducir el orden PDE (PDE, f(~x));
PDE - ecuación diferencial parcial;
f(~x) - función indeterminada con sus argumentos.
Introducción
Bases del método
PDE descompuestables
Algoritmo de descomposición para PDEs descompuestables
Ecuación diferencial para la primera integral de PDE descompuestables
Ejemplos
PDE de segundo orden con dos variables independientes
PDE de segundo orden con cuatro variables independientes
PDE de tercer orden con dos variables independientes
PDE de cuarto orden con dos variables independientes
Conclusión
Apéndice. Procedimiento de arce reducir_PDE_orden
|
704.0074 | Injective Morita contexts (revisited) | Contextos de Morita inyectores (revisados)
Dedicado al Prof. Robert Wisbauer
J. Y. Abuhlail* S. K. Nauman
Departamento de Matemáticas y Estadística Departamento de Matemáticas
King Fahd University of Petroleum King AbdulAziz University
& Minerales, Box # 5046 P.O.Box 80203
31261 Dhahran (KSA) 21589 Jeddah (KSA)
abuhlail@kfupm.edu.sa synakhaled@hotmail.com
Resumen
Este artículo es una exposición de los llamados contextos inyectores Morita (en los que
los morfismos bimódulos de conexión son inyectores) y Morita α-contextos (en los que
los bimódulos de conexión disfrutan de una cierta proyectividad local en el sentido de Zimmermann-
Huisgen). Motivado por situaciones en las que sólo un rastro ideal está en acción, o
la compatibilidad entre los morfismos bimódulos no es necesaria, introducimos el
nociones de los semicontextos de Morita y datos de Morita, e investigarlos. Injetivo
Los datos de Morita se utilizarán (con la ayuda de módulos estáticos y adstáticos) para establecer
equivalencias entre algunas subcategorías intersectantes relacionadas con las subcategorías de
egories de módulos que son localizados o colocalizados por los ideales traza de un datum Morita.
Terminamos con aplicaciones de α-contexto de Morita a ∗-módulos y derecho inyector
amplios contextos Morita.
1 Introducción
Contextos Morita, en general, y contextos Morita (semi-)stricto (con
Los morfismos bilineales de nectación, en particular, fueron ampliamente estudiados y desarrollados expo-
nencialmente durante las últimas décadas (e.g. [AGH-Z1997]). Sin embargo, sinceramente sentimos que
hay una brecha en la literatura sobre contextos de Morita inyectable (es decir. Los pacientes que presentan una infección por inyec-
nectación de morfismos bilineales). Aparte de los resultados de [Nau1994-a], [Nau1994-b] (donde
el segundo autor inicialmente exploró esta noción) y de una aplicación a Grothendieck
grupos en el reciente trabajo ([Nau2004]), parece que los contextos inyectores Morita no fueron
estudiado sistemáticamente en absoluto.
∗Autor correspondiente
http://arxiv.org/abs/0704.0074v2
Hemos observado que en varios resultados de ([Nau1993], [Nau1994-a] y [Nau1994-b])
relacionados con los contextos Morita, sólo se utiliza un rastro ideal. Observando este hecho, presentamos
las nociones de los semicontextos de Morita y los datos de Morita e investigarlos. Varios resultados
se demuestra entonces para semicontextos de Morita inyectable y/o datos de Morita inyectable.
Considerar un Morita datum M = (T, S, P,Q,<,>T, <,>S), sin necesariamente compat-
morfismos bimódulos <,>T : P S Q→ T y <,>S: QT P → S. Decimos que M es
inyector, if <,>T y <,>S son inyectores, y ser un α-datum de Morita, if
dobles emparejamientos Pl := (Q, TP ), Pr := (Q,PS), Ql := (P, SQ) y Qr := (P,QT ) satisfacen
la condición α (que está estrechamente relacionada con la noción de proyectividad local en el sentido de
Zimmermann-Huisgen [Z-H1976]). La condición α se introdujo en [AG-TL2001] y
Investigado posteriormente por el primer autor en [Abu2005].
Mientras que los contextos unitarios (semi-)stricto Morita inducen equivalencias entre todo el mod-
categorías ule de los anillos en consideración, mostramos en este artículo cómo inyector Morita
(semi)contextos y datos de Morita inyectores desempeñan un papel importante en el establecimiento de equiva-
entre subcategorías de módulos que se intersecan de forma adecuada (por ejemplo: intersecciones
de subcategorías localizadas/colocalizadas por los ideales traza de un datum Morita con sub-
categorías de módulos estáticos/adstáticos, etc.). Nuestras principales aplicaciones además de equiv-
alences relacionadas con la teoría de la localización-colocalización Kato-Ohtake-Müller (desarrollada en
[Kat1978], [KO1979] y [Mül1974]), serán a los módulos * (introducidos por Menini y Or-
satti [MO1989]) y a contextos de Morita (introducidos por F. Castaño Iglesias y
J. Gómez-Torrecillas [C-IG-T1995]).
La mayoría de nuestros resultados se indicarán para los módulos de la izquierda, mientras que deriva las versiones “dual” para
módulos de la derecha se deja al lector interesado. Además, para los contextos Morita, algunos resultados
son declarados/probados para sólo uno de los semicontextos Morita, como los correspondientes a
el segundo semicontexto puede obtenerse de manera análoga. Para la comodidad del lector, nosotros
trató de hacer el papel autónomo, para que pueda servir de referencia sobre Morita inyectora
(semi-)contextos y sus aplicaciones. En este sentido, y en aras de la integridad,
han incluido algunos resultados anteriores de los autores que (en la mayoría de los casos) se proporcionan
con nuevas pruebas más cortas, o se obtienen en condiciones más débiles.
Este documento está organizado de la siguiente manera: Después de esta breve introducción, damos en la sección 2
algunos preliminares, incluyendo las propiedades básicas de los pares α duales, que juegan un papel central
papel en el resto de la obra. Las nociones de los semicontextos de Morita y los datos de Morita son
en la sección 3, donde aclaramos sus relaciones con los emparejamientos duales y los llamados
RNGs elementales. Los contextos injetivos Morita (semi-) aparecen en la Sección 4, donde estudiamos
su interacción con los pares α duales y proporcionar algunos ejemplos y un contraejemplo.
En la Sección 5 incluimos algunas observaciones sobre módulos estáticos y adstáticos y el uso
para obtener equivalencias entre las subcategorías de módulos relacionadas
a un contexto Morita (semi-). En la última sección, se presentan más aplicaciones, principalmente para
subcategorías de módulos localizados o colocalizados por un oligoide ideal de un inyector
Morita (semi-)contexto, a ∗-módulos y a contextos de Morita inyectora de ancho derecho.
2 Preliminares
A lo largo de todo, R denota un anillo conmutativo con 1R 6= 0R y A,A
′, B, B′ son unitarios
Álgebras-R. Hemos reservado el término “anillo” para un anillo asociativo con un multiplicador
unidad, y vamos a utilizar el término “rng” para un anillo asociativo general (no necesariamente con
unidad). Se supone que todos los módulos sobre anillos son unitarios, y se asumen morfismos de anillos
respetar las unidades multiplicativas. Si T y S son categorías, entonces escribimos T ≤ S (T ≤ S)
significa que T es una subcategoría (completo) de S, y T S para indicar que T y S son
equivalente.
Rngs y sus módulos
2.1. Por un A-rng (T, μT ), nos referimos a un (A,A)-bimódulo T con un (A,A)-bilineal mor-
phism μT : T A T → T, tal que μT (μT A idT ) = μT (idT A μT ). Llamamos a un A-rng
(T, μT ) un anillo A, si existe además un (A,A)-morfismo bilineal ηT : A → T,
llamado el mapa de unidad, de tal manera que μT (ηT A idT ) =
T y μT (idT A ηT ) =
T (donde
AA T
T y T A A
T son los isomorfismos canónicos). Por lo tanto, un anillo-A es un unitario
A-rng; y un A-rng es (aproximadamente hablando) un A-ring no necesariamente con unidad.
2.2. Un morfismo de rngs: (T : A) → (T ′ : A′) consiste en un morfismo de R-álgebras
: A→ A′ y un (A,A)-morfismo bilineal : T → T ′, de tal manera que μT
(A,A′)
(T ′,T ′)
(A) =
T (donde χ
(A,A′)
(T ′,T ′)
: T ′ A T
′ → T ′ A′ T
′ es el mapa canónico inducido por ). Por RNG
denotamos la categoría de ngs asociativos con morfismos siendo rng morfismos, y
por URNG < RNG la subcategoría (no llena) de anillos unitarios con morfismos siendo el
morfismos en RNG que respetan las unidades multiplicativas.
2.3. Let (T, μT ) ser un A-rng. Por un T -módulo izquierdo nos referimos a un A-módulo izquierdo N con un izquierdo
Morfismo A-lineal ♥NT : T AN → N, de tal manera que
T • (μT A idN) = •
T # (idT # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
T ). Por
izquierda T -módulosM,N, llamamos a la izquierda A-morfismo lineal f :M → N a T -morfismo lineal,
if f(tm) = tf(m) para todos los t â € T. La categoría de T -módulos izquierdos y T -morfismos lineales izquierdos
es denotado por TM. La categoría MT del derecho T -módulos se define análogamente. Let (T : A)
y (T ′ : A′) ser rngs. Llamamos un (A,A′)-bimódulo N a (T, T′)-bimódulo, iff (N,
un T -módulo izquierdo y (N, NT ′) es un T a la derecha
′-módulo, de tal manera que
T A′ idT ′) =
(idT A
T ′). Para (T, T
′)-bimódulosM,N, llamamos un (A,A′)-morfismo bilineal f :M → N
(T, T ′)-bilineal, siempre que f sea izquierda T -lineal y derecha T ′-lineal. La categoría de (T, T ′)-
Los bimódulos se designan por TMT ′. En particular, para cualquier A-rng T, un izquierdo (derecha) T -módulo
M tiene una estructura canónica de un módulo S unitario derecho (izquierda), donde S := End(TM)
(S := End(MT )); y además, con esta estructura M se convierte en un (T, S)-bimódulo (un
(S, T )-bimódulo).
Observación 2.4. Del mismo modo, uno puede definir ngs sobre el suelo arbitrario (no necesariamente unitario)
rngs y rng morfismos entre ellos. Además, se pueden definir (bi)módulos sobre tales
rngs y (bi)morfismos lineales entre ellos.
Notación. Que T sea un A-rng. Escribimos TU (UT) para denotar que U es una izquierda (derecha) T -
módulo. Para una izquierda (derecha) T -módulo TU, consideramos el conjunto
* U:= HomT−(U, T) (U
Hom−T (U, T )) de todos los morfismos T-lineales izquierdos (derecha) de U a T con la derecha canónica
(izquierda) Estructura del módulo T.
Generadores y cogeneradores
Definición 2.5. Que T sea un A-rng. Para un T -módulo TU izquierdo considere la siguiente sub-
clases de TM :
Gen(TU) := {TV â € € ~ un conjunto â € y una secuencia exacta U
• → V → 0};
Cogen(TU) := {TW â € € € € € € € € {TW â € € € € {TW â € € € {TW â € € {TW â € € {TW = {TW } Un conjunto â € y una secuencia exacta 0 → W → U
Pres(TU) := {TV sets 1,2 y una secuencia exacta U
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Copres(TU) := {TW â € € € € € TM € TM € TM € TM € TM € TM TM = {TW â € TM TM # TM # TM # TM # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
• 1 → U2};
Un T -módulo izquierdo en Gen(TU) (respectivamente Cogen(TU), Pres(TU), Copres(TU)) se dice que
Generado en U (respectivamente cogenerado en U, presentado en U, presentado en U). Además,
decimos que TU es un generador (respectivamente cogenerador, presentador, copresentador), iff
Gen(TU) = TM (respectivamente Cogen(TU) = TM, Pres(TU) = TM, Copres(TU) = TM).
Dobles emparejamientos α
En lo que sigue recordamos la definición y las propiedades de los pares α duales introducidos
en [AG-TL2001, definición 2.3.] y estudió más a fondo en [Abu2005].
2.6. Que T sea un A-rng. Un doble izquierdo T -pairing Pl = (V, TW ) consiste en un izquierdo T -módulo
W y una derecha T -módulo V con una derecha T -morfismo lineal....................................................................................
∗W (equivalente
a izquierda T -morfismo lineal χPl : W → V
*). Para los emparejamientos de doble izquierda Pl = (V, TW ), P
l = (V
′), un morfismo de apareamientos de doble izquierda (, ) : (V ′,W ′) → (V,W ) consiste en un triple
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
′, T ′W
donde : V → V ′ y فارسى : W ′ → W son T -lineal y : T → T ′ es un morfismo de rngs,
tales que, teniendo en cuenta los mapas inducidos <,>T : V ×W → T y <,>T ′: V
′ ×W ′ → T ′ nosotros
< فارسى(v), w′ >T ′= فارسى(< v, (w)
′) > T ) para todos los v • V y w
′ W ′. 1)..........................................................................................................................................................
Los emparejamientos de doble izquierda con los morfismos definidos anteriormente construyen una categoría, que denotamos
por Pl. Con Pl(T) ≤ Pl denotamos la subcategoría completa de emparejamientos T duales. La categoría
Pr de emparejamientos de doble derecha y su subcategoría completa Pr(T) ≤ Pr de emparejamientos de doble derecha T son
definida análogamente.
Observación 2.7. El lector debe ser advertido de que (en general) para un rng T no conmutativo
y un doble izquierdo T -pairing Pl = (V, TW ), el siguiente mapa inducido por la derecha T -lineal
morfismo Pl : V →
<,>T : V ×W → T, < v, w >T := ♥Pl(v)(w)
no es necesariamente T -balanceado, y por lo tanto no induce (en general) un mapa V T W → T. En
de hecho, para todos v. V., w. W. y t. T.
< vt, w > = ♥Pl(vt)(w) = [lp(v)t](w) = [lp(v)(w)]t = < v,w >T t;
< v, tw > = l(v)(tw) = t[l(v)(w)] = t < v, w > T.
2.8. Que T sea un A-rng, N, W quede T -módulos e identifique NW con el conjunto de todos
mapeo de W a N. Considerando N con la topología discreta y NW con el producto
topología, la topología relativa inducida en HomT−(W,N) N
W es una topología lineal (llamada
la topología finita), para la cual la base de los barrios de 0 es dada por el conjunto de
submódulos de anihilador:
Bf (0) := {F
(HomT−(W,N)) F = {w1,..., wk} W es un subconjunto finito},
donde
F(HomT−(W,N)) := {f HomT−(W,N)) f(W) = 0}.
2.9. Dejar T ser un A-rng, Pl = (V, TW ) un doble izquierdo T -pairing y considerar para cada derecha
T -módulo UT el siguiente mapa canónico
U : U T W → Hom−T (V, U),
ui T wi 7→ [v 7→
ui < v,wi > T ]. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Decimos que Pl = (V, TW ) Pl(T ) satisface la condición de izquierda α (o es una doble izquierda α-
emparejamiento), if α
U es inyectable para cada T -módulo derecho UT. Por P
l (T ) ≤ Pl(T ) denotamos la
subcategoría completa de los emparejamientos de doble izquierda T que satisfacen la condición de α izquierda. La subcategoría completa
de α-pairings de doble derecha Pαr (T ) ≤ Pr(T ) se define análogamente.
Definición 2.10. Dejar T ser un A-rng, Pl = (V, TW ) ser un doble izquierdo T -pairing y considerar
Pl : V →
∗W y α
V : V T W → Fin (VT ).
Decimos que PL(T) es PL(T)
Denso, iff Pl(V)
∗W es denso (w.r.t. la topología finita en *W TW );
inyectable (resp. semiestricto, estricto), iff α
V es inyector (resp. sujetivo, bijetivo);
no degenerado, if V
∗W y W
V ∗ canónicamente.
2.11. Que T sea un A-rng. Llamamos a un T -módulo W localmente proyectiva (en el sentido de B.
Zimmermann-Huisgen [Z-H1976]), iff para cada diagrama de módulos T
0 // F
g
■ //W
// N // 0
con filas exactas y generado finitamente T -submódulo F W : para cada T -morfismo lineal
g : W → N, existe un morfismo T -lineal g′ : W → L, de tal manera que g =
Para las pruebas de las siguientes propiedades básicas de módulos proyectivas locales y duales
α-pairings véanse [Abu2005] y [Z-H1976]:
Proposición 2.12. Que T sea un anillo A y Pl = (V, TW ) Pl(T ).
1. El T -módulo izquierdo TW es localmente proyectivo si y sólo si (
*W,W) es un emparejamiento α.
2. El T -módulo izquierdo TW es localmente proyectiva, if para cualquier subconjunto finito {w1,..., wk} W,
existe {(fi, w?i)}
i=1
∗W ×W tal que wj =
fi(wj)wсi para todos j = 1,..., k.
3. Si TW es localmente proyectiva, entonces TW es plana y T-cogenerated.
4. Si P.P.P.
l (T ), entonces TW es localmente proyectiva.
5. Si TW es localmente proyectiva y P (V )
# W es denso, entonces Pl # P
l (T ).
6. Supongamos que el TT es un cogenerador inyector. Entonces, Pl-P.
l (T ) si y sólo si TW es local
Proyectativo y Pl(V )
∗W es densa.
7. Si T es un anillo QF, entonces Pl â € P
l (T ) si y sólo si TW es proyectiva y W
V ∗.
El siguiente resultado completa la buena observación [BW2003, 42.13.] sobre a nivel local
módulos proyectivos:
Proposición 2.13. Dejar T ser un anillo, TW un T -módulo izquierdo, S := End(TW )
op y considere
el morfismo canónico (S, S)-bilineal
[,]W:
∗W T W → End(TW ), f T w 7→ [w
1. TW se genera finitamente proyectiva si y sólo si [, ]W es sujetivo.
2. TW es localmente proyectiva si y sólo si Im([, ]W ) End(TW ) es denso.
Prueba. 1. Esto sigue por [Fai1981, 12.8.].
2. Suponga que TW es localmente proyectiva y considere para cada T -módulo N izquierda el canónico
mapeo
[,]WN :
* W T N → HomT (W,N), f T n 7→ [w
A continuación, por [BW2003, 42.13.], que Im([, ]WN ) HomT (W,N) es denso. In
particular, ajuste N = W concluimos que Im([, ]W ) End(TW ) es denso. Activar
la otra mano, asumir Im([, ]W ) End(TW ) es denso. Entonces para cada subconjunto finito
{w1,..., wk} W, existe
¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!
∗W T W con
wj = idW (wj) = [,]W (
g?i T w?i (wj) =
g?i(wj)w?i para j = 1,..., k.
Se sigue entonces por la Proposición 2.12 “2” que TW es localmente proyectiva.
3 Contextos de Morita (Semi)
Notamos, en las pruebas de algunos resultados sobre equivalencias entre subcategorías de
categorías de módulos asociados a un contexto Morita dado, que no se hace uso de la com-
patibilidad entre los morfismos bimódulos de conexión (o incluso que sólo un rastro ideal
se utiliza y por lo que sólo uno de los dos morfismos bilineales está realmente en acción). Algunos resultados de
Este tipo apareció, por ejemplo, en [Nau1993], [Nau1994-a] y [Nau1994-b]. Además,
en nuestras consideraciones se formarán algunos contextos Morita para ngs asociativos arbitrarios
(es decir, no necesariamente anillos unitarios). Estas consideraciones nos motivan a hacer lo siguiente:
definiciones generales:
3.1. Por un semi-contexto Morita nos referimos a una tupla
mT = ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T, I), (3)
donde T es un A-rng, S es un B-rng, P es un (T, S)-bimódulo, Q es un (S, T )-bimódulo,
<,>T : P S Q → T es un (T, T )-morfismo bilineal e I := Im(<,>T ) T (llamado el
traza ideal asociado a mT ). Dejamos caer los anillos de tierra A, B y el rastro ideal I T,
si no están explícitamente en acción. Si mT (3) es un semicontexto Morita y T, S son unitarios
anillos, luego llamamos a mT un semi-contexto unitario Morita.
3.2. Let mT = ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T), mT ′ = ((T)
′ : A′), (S ′ : B′), P′, Q′, <,>T ′)
Semi-contextos de Morita. Por un morfismo de Morita semi-contextos de mT a mT ′ nosotros
significa un conjunto de morfismos de cuatro veces
((β : ), (γ :
donde (β : ) : (T : A) → (T ′ : A′) y (γ : ) : (S : B) → (S ′ : B′) son morfismos de rng,
* : P → P ′ es (T, S)-bilineal y * : Q→ Q′ es (S, T )-bilineal, de tal manera que
β(< p, q > T ) =<
Note que consideramos P ′ como un (T, S)-bimódulo y Q′ como un (S, T)-bimódulo con acciones
inducido por el morfismo de las ngs (β : Por MSC denotamos la categoría
de los semicontextos Morita con morfismos definidos anteriormente, y por UMSC < MSC la
Subcategoría de semicontextos unitarios Morita.
Los semicontextos de Morita están estrechamente relacionados con los dobles emparejamientos en el sentido de [Abu2005]:
3.3. Dejar (T, S, P, Q,<,>T ) MSC y considerar los isomorfismos canónicos de Abelian
grupos
Hom(S,T)(Q,
Hom(T,T)(P S Q, T)
Hom(T,S)(P,Q
Esto significa que tenemos dos dobles T -pairings Pl := (Q, TP ) Pl(T ) y Qr := (P, QT )
Pr(T ), inducido por los morfismos canónicos T -lineales
*Pl:=*
−1(<,>T) : Q→
∗P y Qr := فارسى(<,>T ) : P → Q
Por otro lado, dejar (S, T,Q, P,<,>S) MSC y considerar los isomorfismos canónicos
de los grupos abelianos
Hom(S,T)(Q,P)
Hom(S,S)(QT P,S)
Hom(T,S)(P,
Entonces tenemos dos pares S duales Pr := (Q,PS) • Pr(S) y Ql := (P, SQ) • Pl(S),
inducidos por los morfismos canónicos
• Pr := • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1(<,>S) : Q→ P
* y Qr :=.
′(<,>S) : P →
3.4. Por datum Morita nos referimos a una tupla
M = (T: A), (S: B), P, Q,<,>T, <,>S, I, J), (4)
donde se encuentran los siguientes semicontextos Morita.
MT := ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T, I) y MS := ((S : B), (T : A), Q, P,<,>S, J) (5)
Si, además, los morfismos bilineales <,>T : P S Q → T y < −, >S: Q T P → S son
compatible, en el sentido de que
< q, p > S q
′ = q < p, q′ > T y p < q, p
′ > S =< p, q > T p
′ P, p′ P, q, q′ Q, (6)
Luego llamamos contexto M a Morita. Si T, S en un dato Morita (contexto) M son unitarios,
Luego llamamos a M un dato unitario Morita (contexto).
3.5. LetM = ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T, <,>S) yM
′ = ((T ′ : A′), (S ′ : B′), P ′, Q′, <
,>T ′, <,>S′) ser contextos Morita. Extendiendo [Ami1971, página 275], queremos decir por un mor-
phism de Morita contextos de M a M′ un conjunto de cuatro veces de mapas
((β : ), (γ :
donde (β : ) : (T : A) → (T ′ : A′), (γ : ) : (S : B) → (S ′ : B′) son morfismos de rng,
* : P → P ′ es (T, S)-bilineal y * : Q→ Q′ es (S, T )-bilineal, de tal manera que
β(< p, q > T ) =<
Por MC denotamos la categoría de contextos Morita con morfismos definidos como arriba, y
por UMC <MC la subcategoría (no llena) de contextos unitarios Morita.
Ejemplo 3.6. Si R es conmutativo, entonces cualquier semicontexto de Morita (R,R, P,Q,<,>R) produce
a Contexto Morita (R,R, P,Q,<,>R, [, ]R), donde [, ]R := QR P P R Q
R.
3.7. Llamamos a Morita semi-contexto mT = (T, S, P, Q,<,>T ) semi-derivado (derivado),
iff S := Fin (TP )
op (y Q = ∗P ). Llamamos a un datum Morita, o un contexto Morita, M =
(T, S, P,Q,<,>T, <,>S) semiderivado (derivado), iff S = End(TP )
op, o T = End(PS)
(S = Fin(TP )
op y Q = ∗P, o T = End(PS) y Q = P
Observación 3.8. A continuación [Cae1998, 1.2.] (sin embargo, dejando caer la condición de que el bilineal
mapa <,>T : P SQ→ T es supjetivo), Morita semi-contextos (T, S, P,Q,T ) en nuestro sentido
fueron llamados pares duales en [Ver2006]. Sin embargo, creemos que la terminología que estamos usando es más
informativo y evita la confusión con otras nociones de emparejamientos duales en la literatura (e.g.
los estudiados por el primer autor en [Abu2005]). La razón de esta terminología específica
(es decir, Morita semi-contextos) es que cada contexto Morita contiene dos semi-contextos Morita
como claro de la definición; y que cualquier semi-contexto Morita se puede extender a un (no
necesariamente unitario) Morita contexto de una manera natural como se explica a continuación.
RNGs elementales
En lo que sigue demostramos cómo construir nuevos contextos Morita (semi-) de un determinado
Semi-contexto de Morita. Estas construcciones se inspiran en la noción de ngs elementales en
[Cae1998, 1.2.] (y [Ver2006, Observación 3.8.¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
Lemma 3.9. Let mT := ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T ) MSC.
1. El (T, T)-bimódulo T := P S Q tiene una estructura de un T -rng (A-rng) con multipli-
catión
(pS q) ·T (p
′ S q
′) :=< p, q > T p
′ S q
′ P, p′ P, q, q′ Q,
tal que <,>T : T → T es un morfismo de A-rngs, P es un (T, S)-bimódulo y Q es
un (S,T)-bimódulo, donde
(pS q) pū := p, q > T pū y qū (pS q) := qū < p, q > T.
Además, tenemos morfismos de T-rngs (A-rngs)
* : T → End(PS), pS q 7→ [pū 7 p, q > T pū];
: T → Fin(SQ)
op, pS q 7→ [q 7→ q < p, q > T ],
((T: A), (S: B), P, Q, idT) MSC y tenemos un morfismo de semicontextos Morita
(<,>T, idS,, idP, idQ) : (T, S, P,Q, idT) → (T, S, P,Q,<,>T).
2. El (S, S)-bimódulo S := QT P tiene una estructura de un S-rng (B-rng) con multipli-
catión
(qT p) ·S (q
′ T p
′) := q < p, q′ > T T p
′ = qT < p, q
′ >T p
′ P, p′ P, q, q′ Q,
tal que <,>S: S → S es un morfismo de B-rngs, P es un (T,S)-bimódulo y Q es
un (S, T )-bimódulo, donde
p. (q T p) := p., q > T p y (q T p) q := q < p, qū > T.
Además, tenemos morfismos de S-rngs (B-rngs)
: S → Fin (TP )
op, q T p 7→ [p 7 p, q > T p],
Φ : S → End(QT ), q T p 7→ [q
y M := ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T, idS) es un contexto Morita.
Observaciones 3.10. 1. Dado (S: B), (T: A), Q, P,<,>S) MSC, el (S, S)-bimódulo
S := QT P se convierte en un S-rng con multiplicación
(q T p) ·S (q
′ T p
′) :=< q, p > S q
′ T p
′ P, p′ P, q, q′ Q;
y el (T, T)-bimódulo T := P S Q se convierte en un T -rng con multiplicación
(pS q) ·T (p
S q
′) := p < q, p′ > S S q
′ = pS < q, p
′ > S q
′ P, p′ P, q, q′ Q.
Resultados análogos a los de Lemma 3.9 se pueden obtener para el S-rng S y el
T -rng T.
2. Dado un semicontexto de Morita (T, S, P,Q,<,>T) varias condiciones equivalentes para el
T -rng T := P S Q para ser unitario y los módulos TP, QT para ser firme se puede encontrar en
[Ver2006, Teorema 3.3.]. Resultados análogos pueden ser formulados para el S-rng QT P
y los módulos S PS, SQ correspondientes a cualquier (S, T,Q, P,<,>S) MSC.
Proposición 3.11. 1. Dejar mT = (T, S, P, Q,<,>T ) • UMSC y asumir el A-rng
T := P S Q para ser unitario. Si <,>T : T → T respeta las unidades (y mT es inyector),
entonces <,>T es sujetivo (T
T como anillos A).
2. Dejar mS = (S, T,Q, P,<,>S) • UMSC y asumir el B-rng S := Q S P a
Ser unitario. Si <,>S: S → S respeta las unidades (y mS es inyector), entonces <,>S es
sujetivo (S
S como anillos B).
3. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) UMC y asumir los rngs T := P S Q, T,
S := QS P para ser unitario. Si <,>T : P S Q → T y <,>S: S → S respetar las unidades,
entonces T
T como A-ring, S
S como anillos B y tenemos equivalencias de categorías
TM S.M. (y MT S.M.).
Prueba. Suponga que T es unitaria con 1T =
pi S qi. Si <,>T respeta las unidades, entonces nosotros
< pi, qi > T= 1T, y así para cualquier t â € T obtenemos t = t1T =
t < pi, qi > T=
< tpi, qi > TÃ3n Im(<,>T ). Uno puede probar "2" análogamente. En cuanto a “3”, está bien
conocido que un contexto unitario Morita con morfismos de bimódulos de conexión surjetivo es
estricta (por ejemplo, [Fai1981, 12.7.), por lo tanto T
T, S
S. Las equivalencias de categorías
TM TM ♦ SM SM (y MT MT MS MS) siguen entonces por el clásico Morita
Teoría (por ejemplo: [Fai1981, cap. 12]).
Definición 3.12. Dejar que T sea un A-rng, VT un T -módulo derecho y considerar para cada izquierda
T -módulo TL el aniquilador
annL(VT ) := {l L V T l = 0}.
Siguiendo [AF1974, Ejercicios 19], decimos que VT es L-fiel, iff ann
L(VT ) = 0; y
completamente fiel, if VT es L-fiel para cada T -módulo SL izquierda. Del mismo modo, podemos
definir completamente fiel T -módulos de izquierda.
En condiciones adecuadas, el siguiente resultado caracteriza los datos de Morita, que
son contextos Morita:
Proposición 3.13. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) sea un dato de Morita.
1. Si M â € TM TM, entonces S
S y T
T como rngs.
2. Suponga que el TP es Q-fiel y el QT es P-fiel. Entonces M • MC si y sólo si S
y T
T como rngs.
Prueba. 1. Obvio.
2. Suponga que S
S y T
T como rngs. Si p â € TM p y q, q′ â € TM Q son arbitrarios, entonces tenemos
para cualquier p..........................................................................................................................................................................
< q, p > S q
′ T p = (q T p) ·S (q
′ T p) = (q T p) ·S (q
′ T p) = q < p, q
′ >T T p,
por lo tanto < q, p > S q
′ − q < p, q′ > T¡nQ(P) = 0 (puesto que TP es Q-fiel), es decir,
< q, p > S q
′ = q < p, q′ > T para todos los p ≤ P y q, q
′ • Q. Asumiendo que QT es P-fiel,
uno puede probar análogamente que < p, q > T p
′ = p < q, p′ > S para todas las p, p
′ P y
Q. En consecuencia, M es un contexto Morita.
4 Contextos de Morita (Semi-) Injetivo
Definición 4.1. Llamamos a Morita semi-contexto mT = (T, S, P, Q,<,>T, I) :
inyectable (resp. semi-estricto, estricto), iff <,>T : P S Q→ T es inyector (resp. surjec-
tivo, bijetivo);
no degenerado, if Q ∗P y P Q* canónicamente;
Morita α-semi-contexto, iff Pl := (Q, TP ) P
l (T ) y Qr := (P,QT )
r (T ).
Notación. Por MSCα ≤ MSC (UMSCα ≤ UMSC) denotamos la subcategoría completa de
(unital) Morita semi-contextos que satisfacen la α-condición. Por otra parte, denotamos por IMSC ≤
MSC (IUMSC ≤ UMSC) la subcategoría completa de semicontextos de Morita inyectables (unitales).
Definición 4.2. Decimos un dato Morita (contexto) M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) :
es inyector (resp. semi-estricto, estricto), iff <,>T : PSQ→ T y <,>S: QT P → S
son inyectables (resp. sujetivo, bijetivo);
no es degenerado, if Q ∗P, P Q*, Q P* y P ∗Q canónicamente;
cumple la condición α izquierda, iffPl := (Q, TP ) P
l (T ) y Ql := (P, SQ)
l (S);
cumple la condición α derecha, if Qr := (P,QT ) P
r (T ) y pr := (Q,PS)
Pαr (S);
cumple la condición α, o M es un Morita α-datum (Morita α-contexto), if M
satisface tanto la izquierda como la derecha α-condiciones.
Notación. Por MCαl < MC (UMC)
l < UMC) denotamos la subcategoría completa de Morita
contextos que satisfagan la condición α de la izquierda, y por MCαr < MC (UMC)
r < UMC) el completo
subcategoría de contextos Morita (unitales) que satisfacen la condición α derecha. Por otra parte, nos fijamos
α := MCαl
r y UMC
α := UMCαl
Lemma 4.3. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) • MC. Considere el semi- Morita
context MS := (S, T,Q, P,<,>S), los emparejamientos duales Pl := (Q, TP ) Pl(T ), Qr :=
Pr(T) y los morfismos canónicos de los anillos
P : S → Fin (TP )
op y Q : S → End(QT ).
1. Si Qr es inyector (semi-estricto), entonces la EM es inyectora (?P : S → End(TP )
op es un
morfismo subjetivo de B-rngs).
2. Supongamos que PS es fiel y que Qr sea semi-estricto. Entonces S End (TP )
op (un isomor-
El phisma de los anillos B unitarios) y de la EM es estricto.
3. Si Pl es inyector (semi-estricto), entonces la EM es inyectora (
morfismo tivo de los B-rngs).
4. Supongamos que SQ es fiel y que Pl es semi-estricto. Entonces S End(QT) (un isomorfismo
de los anillos B unitarios) y la EM es estricta.
Prueba. Solo demostramos “1” y “2”, ya que “3” y “4” pueden probarse análogamente.
Considere el siguiente diagrama de mariposas con morfismos canónicos
QT Q
∗P T P
QT P
idQTŁQr
llYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
T idP
22eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
uujjj
Hom−T (
∗P,Q)
(?Pl,Q)
Hom−T (Q
*, P )
(Qr,P )
ttjjjj
**TTT
Fin (QT ) Fin (TP )
qi T pi QT P ser arbitrario. Por cada p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o.
[(Qr, P ) α
qi T pi)](p) =
< p, qi > T pi
p < qi, pi > S
= P (
< qi, pi > S (p)
= (l+P <,>S)(
qi T pi (p),
i.e. α
P := (Qr, P ) α
P =...................................................................................................................................................................
[, ]iP (Pl T idP )(
qi T pi)](p) =
Pl(qi)(p)pi
< p, qi > T pi
p < qi, pi > S
= P (
< qi, pi > S (p)
= [(lp <,>S)]
qi T pi)](p),
i.e. [, ] pp <, >............................................................................................................................................. Por otro lado, por cada Q que tenemos
((Pl, Q ) α
qi T pi (q) =
qi < pi, q > T
< qi, pi > S)q
= Q(
< qi, pi > S)(q
= (l+Q+ <,>S)(
qi T pi),
i.e. α
Q := (Pl, Q) • α
P = P = P = P <, > S y
([, ]rQ • (idQ T •Qr))(
qi T pi)](q) =
qiŁQr(pi)(q)
qi < pi, q > T
< qi, pi > S q
= Q(
< qi, pi > S)(q
= [(l+Q+ <,>S()]
qi T pi)](q),
i.e. [, ]rQ (idQ T Qr) = ♥Q <,>S. Por lo tanto, el Diagrama (7) es conmutativo.
(1) Sigue directamente de las suposiciones y la igualdad α
P = P <,>S.
(2) Que PS sea fiel, de modo que el mapa canónico izquierdo S-lineal P : S → Fin (TP )
es inyector. Asumir ahora que Qr es semi-estricto. Entonces P es sujetivo por “1”, de dónde
Bijetivo. Puesto que los anillos de endomorfismos son unitarios, concluimos que S End(TP)
op es un
Unital B-ring también (con unidad 1P (idP )). Por otra parte, la subjetividad de α
P =.................................................................................................
implica que <,>S es sujetivo (puesto que ♥P es inyector), digamos 1S =
< qj, pj > S para algunos
{(qśj, pśj)}J Q× P. Para cualquier
qi T pi Ker(<,>S), tenemos entonces
qi T pi = (
qi T pi) · 1S =
(Qi T pi) (
< q.j, p.j. > S)
qi T pi < qj, pj > S =
qiT < pi, qj > T pj
qi < pi, qj > T T pj =
< qi, pi > S qj T pj
< qi, pi > S)qśj T pśj = 0,
i.e. <,>S es inyector, de donde un isomorfismo.
El siguiente resultado muestra que los α-contextos de Morita son inyectores:
Corollario 4.4. MCαl-MC
r ≤ IMC.
Ejemplo 4.5. Que mT = (T, S, P, Q,<,>T ) sea un semicontexto Morita no degenerado. Si
T es un anillo QF y el T -módulos TP, QT son proyectivas, entonces por Proposición 2.12 “7”
Pl := (Q, TP ) P
l (T ) y Qr := (P,QT )
r (T ) (es decir, mT es una Morita α-semi-
context, whence inyective). Por otro lado, dejar que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) sea un
datum de Morita no degenerado. Si T, S son anillos QF y los módulos TP, QT, PS, SQ son
proyectiva, entonces M es un Morita α-datum (de dónde inyector).
Cada contexto unitario semi-estricto Morita es inyector (de donde es estricto, por ejemplo. [Fai1981, 12.7................................................................................................................................................................................................................................................................
El siguiente ejemplo, que es una modificación de [Lam1999, Ejemplo 18.30]), muestra que
lo contrario no es necesariamente cierto:
Ejemplo 4.6. Que T = M2(Z2) sea el anillo de 2 x 2 matrices con entradas en Z2. Note que
T es un idempotente, y que eTe Z2 como anillos. Establecer
P := Te = {
a′, c′ Z2} y Q := eT = {
a, b Z2}.
Entonces P = Te es un (T, eTe)-bimódulo y Q = eT es un (eTe, T )-bimódulo. Por otra parte, nosotros
tener un contexto Morita
Me = (T, eTe, T e,, eT, <,>T, <. >eTe),
donde se encuentran los mapas bilineales de conexión
<,>T : TeeTe eT → T,
a′a a′b
c′a c′b
<,>eTe : eT T Te → eTe
aa′ + bc′ 0
Los cálculos inmediatos muestran que <,>T es inyector pero no surjetivo (como
Im(<,>T)) y que <,>eTe es de hecho un isomorfismo. Esto significa que Me es un inyector
Contexto Morita que no es semi-estricto (de donde no es estricto).
Definición 4.7. Que T sea un rng y I T un ideal. Por cada T -módulo de TV de la izquierda considerar
el mapa canónico T -lineal
I, V : V → HomT (I, V ), v 7→ [t 7→ tv].
Decimos que T I es fuertemente V -fiel, if annV (I) := Ker(I,V ) := 0. Por otra parte, decimos que es
fuertemente fiel, si T I es V - fiel para cada T -módulo de TV izquierda. Fuerte fidelidad de I
w.r.t. derecho T -módulos se pueden definir análogamente.
Observación 4.8. Que T sea un rng, I T un ideal y TU un ideal a la izquierda. Está claro que Ann
U(IT )
annU(I) := Ker(I,U). Por lo tanto, si T I es fuertemente U-fiel, entonces es U-fiel (que
justifica nuestra terminología). En particular, si T I es fuertemente fiel, entonces IT es completamente
Fiel.
Los α-contextos de Morita son inyectables por el corolario 4.4. El siguiente resultado da un
Conversación parcial:
Lemma 4.9. Dejar M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) MC y asumir el Morita semi-
context MS := (S, T,Q, P,<,>S, J) es inyector.
1. Si SJ es muy fiel, entonces Qr := (P,QT )
r (T ).
2. Si JS es muy fiel, entonces Pl := (Q, TP ) P
l (T ).
Prueba. Sólo demostramos “1”, ya que “2” puede probarse de manera similar. Suponga que la EM es inyectora y
considerar para cada U T -módulo izquierdo el siguiente diagrama
QT U
•J,QT U ((QQ)
HomT−(P, U)
•Q,Uuukkk
HomS−(J,QT U)
donde para todos f • HomT−(P, U) y
< qj, pj >
•Q,U(f)(
< qj, pj > S) :=
qj T f(pj).
Entonces tenemos para cada
{C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF}
< qj, pj >
(+Q,U + α
q?i T i(s) =
qj T [α
q?i T i)](pj)
qj T
< pj, q
qjT < pj, q
qj < pj, q
< qj, pj > S q
= J,QTU(
q?i T i(s),
i.e. diagrama (8) es conmutativo. Si SJ es fuertemente fiel, entonces Ker (J,QTU) = annQTU(J) =
0, por lo tanto J,QTU es inyector y se deduce entonces que α
U es inyector.
Proposición 4.10. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) IMC. Si T I, IT, SJ y JS
son muy fieles, entonces M â â € TM TM TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
5 Equivalencias de categorías
En esta sección se ofrecen algunas aplicaciones de los semi-)contextos de Morita inyectables y en-
datos de Morita a equivalencias entre subcategorías adecuadas de módulos
la teoría de la localización-colocalización Kato-Müller-Ohtake (como se desarrolló en (por ejemplo, [Kat1978],
[KO1979], [Mül1974]). Todos los anillos, de ahí todos los contextos y datos Morita (semi-) en esta sección
son unitarios.
Módulos estáticos y adstáticos
5.1. ([C-IG-TW2003]) Que A y B sean dos categorías completas de Abelian, R:
A → B un agente covariante aditivo con contiguo izquierdo L : B → A y dejar
• : LR → 1A y η : 1B → RL
ser las transformaciones naturales inducidas (llamadas la counidad y la unidad de la unión,
respectivamente). Relacionado con el par contiguo (L,R) son dos subcategorías completas de A y B:
Stat(R) := {X+A LR(X)
X} y Adstat(R) := {Y B Y
RL(Y)},
cuyos miembros se llaman objetos R-estáticos y objetos R-adstáticos, respectivamente. Lo es.
evidente (de la definición) que tenemos equivalencia de categorías Stat(R) Adstat(R).
Una situación típica, en la que los objetos estáticos y adstáticos surgen naturalmente es la
A continuación:
5.2. Dejemos que T, S sean anillos, TUS a (T, S)-bimódulo y consideremos los functores covariantes
HIU := HomT (U,−) : TM → SM y T
U := U S − : SM → TM.
Es bien sabido que (TlU,H
U) es un par contiguo de functores covariantes a través de la
isomorfismos
HomT (U S M,N) HomS(M,HomT (U,N)) para todos los M-SM y N-TM
y las transformaciones naturales
lU : U S HomT (U,−) → 1TM y η
U : 1SM → HomT (U, U S −)
rendimiento por cada TK y SL los morfismos canónicos
lU,K : U S HomT (U,K) → K y η
U,L : L→ HomT (U, U S L). (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Llamamos al HIU-static modulos U-static w.r.t. S y conjunto
Statl(TUS) := Stat(H
U) = {TK U S HomT−(U,K)
K};
y el HIU-adstatico módulos U-adstatico w.r.t. S y conjunto
Adstatl(TUS) := Adstat(H
U) = {SL L
HomT−(U, U S L)}.
Para [Nau1990a] y [Nau1990b], hay equivalencias de categorías
Statl(TUS) Adstat
l(TUS). (10)
Por otro lado, uno puede definir las subcategorías completas Statr(TUS) Adstat
r(TUS) :
Statr(TUS) := {KS Hom−S(U,K)T U K};
Adstatr(TUS) := {LT L Hom−S(U, LT U)}.
En particular, el establecimiento
Stat(TU) := Stat
l(TUEnd(TU)op); Adstat(TU) := Adstat
l(TUEnd(TU)op);
Stat(US) := Stat
r(End(SU)US); Adstat(US) := Adstat
r(Fin(SU)US),
existen equivalencias de categorías:
Stat(TU) Adstat(TU) y Stat(US) Adstat(US). (11)
Observación 5.3. La teoría de los módulos estáticos y adstáticos se desarrolló en una serie de documentos
por el segundo autor (ver las referencias). También fueron considerados por varios otros
autores (por ejemplo: [Alp1990], [CF2004]). Para otras terminologías utilizadas por diferentes autores, la
lector interesado puede referirse a un tratamiento integral del tema por R. Wisbauer
en [Wis2000].
Subcategorías de intersección
Varias subcategorías intersectantes relacionadas con contextos Morita fueron introducidas en
la literatura (p. ej. [Nau1993], [Nau1994-b]). En lo que sigue introducimos más y
mostrar que muchos de estos coinciden, si uno comienza con un semi-contexto de Morita inyectable.
Por otra parte, otros resultados sobre equivalencias entre algunas subcategorías intersectantes relacionadas
a un contexto de Morita inyector se reencuadrará por arbitrario (no necesariamente compatible)
datos de Morita inyectables.
Definición 5.4. 1. Para un derecho T -módulo X, un T -submódulo X ′ X se llama K-puro
para algunos T -módulo izquierdo TK, iff la siguiente secuencia de los grupos Abelian es exacta
0 → X ′ T K → X T K → X/X
′ T K → 0;
2. Para un T -módulo Y izquierdo, un T -submódulo Y ′ Y se llama L-copure para algunos izquierda
T -módulo TL, si la siguiente secuencia de grupos Abelianos es exacta
0 → HomT (Y/Y)
′, L) → HomT (Y, L) → HomT (Y
′, L) → 0.
Definición 5.5. (Comparar [KO1979, Teoremas 1.3., 2.3.]) Que T sea un anillo, I T an
ideal, U a la izquierda T -módulo y considerar los morfismos canónicos T -lineal
I,U : U → HomT (I, U) y I,U : I T U → U.
1. Decimos que la TU es divisible en I, si es superjetiva (equivalente a if UI = U).
2. Decimos que U.U. está localizado, si U.
HomT (I, U) canónicamente (equivalente si T I es
fuerte U-fiel y T I T es U-copure).
3. Nosotros decimos una izquierda T -modulo U es I-colocalizado, if ITU
U canónicamente (equivalente,
if TU es I-divisible y IT T es U-puro).
Notación. Para un anillo T, un ideal I T, y con morfismos siendo los canónicos,
nos fijamos
ID := {TU UI = U}; FI := {TU U HomT−(I, U)};
IL := {TU U HomT (I, U}; IC := {TU I T U U};
DI := {UT UI = U}; FI := {UT U Hom−T (I, U)};
LI := {UT U HomT (I, U}; CI := {UT U T I U};.
El siguiente resultado se debe a T. Kato, K. Ohtake y B. Müller (e.g. [Mül1974],
[Kat1978], [KO1979]:
Proposición 5.6. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) UMC. Entonces hay equiv-
alences de categorías
CI, CI, CJ, IL, JL y LI, LJ.
5.7. Dejar mT = (T, S, P,Q,<,>T, I) • UMSC y considerar los dobles emparejamientos Pl := (Q,
TP ) Pl(T ) y Qr := (P,QT ) Pr(T ). Para cada izquierda (derecha) T -módulo U considerar la
Morfismo canónico S-lineal inducido por <,>T :
U : QT U → HomT−(P, U) (α
U : U T P → Hom−T (Q,U)).
Definimos
Dl(mT ) := {TU QT U
HomT−(P, U)};
Dr(mT) := {UT U T P
Hom−T (Q,U)}.
Por otra parte, set
Ul(mT ) := Stat
l(TPS) •Adstat
l(SQT ); Ur(mT ) := Stat
r(SQT ) •Adstat
r(TPS);
Vl(mT ) := Stat
l(TPS) • Dl(mT ); Vr(mT ) := Stat
r(SQT ) • Dr(mT );
Vl(mT ) := IC • Dl(mT ); Vr(mT ) := CI • Dr(mT );
Vál(mT ) := Vl(mT )à l; Vár(mT ) := Vr(mT ) à l ;
Wl(mT ) := Adstat
l(SQT ) Dl(mT ); Wr(mT ) := Adstat
r(TPS) • Dr(mT );
Wl(mT ) := IL (Dl(mT ); Wr(mT ) := LI (Dr(mT );
l(mT ) := Wl(mT )• IC; r(mT ) := Wr(mT ) • CI ;
Xl(mT ) := Vl(mT ) / Wl(mT ); Xr(mT ) := Vr(mT ) / Wr(mT );
Xl(mT ) := Vl(mT ) • Wl(mT ); Xr(mT ) := Vr(mT ) • Wr(mT ).
X * l (mT ) := {S(QT U) V Xl(mT )}; X
r (mT ) := {(U T P )S V Xr(mT )};
l (mT ) := {S(QT U) V Xl(mT )}; X
r(mT ) := {(U T P )S V Xr(mT )}.
Dado mS = (S, T,Q, P,<,>S, J) • UMSC se puede definir análogamente, el correspondiente
la intersección de las subcategorías de SM y EM.
Como consecuencia inmediata de la Proposición 5.6 obtenemos
Corollary 5.8. Dejar que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J)
ciated Morita semicontextos MT y MS (5).
1. Si IC ≤ Dl(MT ) y JC ≤ Dl(MS), entonces Vl(MT ) Vl(MS). Del mismo modo, si IC ≤
Dr(MT ) y CJ ≤ Dr(MS), luego Vr(MT ) Vr(MS).
2. Si IL ≤ Dl(MT ) y JL ≤ Dl(MS), entonces Wl(MT ) Wl(MS ). Del mismo modo, si LI ≤
Dr(MT ) y LJ ≤ Dr(MS), luego Wr(MT ) Wr(MS).
A partir de un contexto Morita, se obtuvo el siguiente resultado en [Nau1993,
Teorema 3.2.]. Repetimos el resultado de una arbitraria (no necesariamente compatible) Morita
datum y bosqueja su prueba:
Lemma 5.9. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) sea un dato unitario de Morita y con-
sider los semicontextos Morita asociados MT y MS en (5). Entonces hay equivalencias
de categorías
Xl(MT)
HomT−(P,−)
HomS−(Q,−)
Xl(MS) y Xr(MT)
Hom−T (Q,−)
Hom−S(P,−)
Xr(MS).
Prueba. Dejemos que la televisión sea Xl(MT). Por el Estado de equivalencia
l(TPS)
HomT (P,−)
• Adstatl(TPS) en 5,2
tienen HomT−(P, V )
l (TPS). Por otra parte, V Dl(M), por lo tanto HomT−(P, V ) QT V
canónicamente y se deduce entonces de la equivalencia Adstatl(SQT )
• Statl(SQT) que
HomT−(P, V )
l(SQT ). Además, tenemos los siguientes isomorfismos naturales:
P S HomT−(P, V ) V HomS−(Q,QT V ) HomS−(Q,HomT−(P, V )), (13)
i.e. HomT−(P, V ) • Dl(MS). En consecuencia, HomT−(P, V ) Xl(MS). Además, (13)
produce un isomorfismo natural V HomS−(Q,HomT−(P, V)). Analógicamente, uno puede mostrar para
Todos losW Xl(MS) que HomS-(Q,W) Xl(MT) y queW HomT-(P,HomS-(Q,W))
Naturalmente. En consecuencia, Xl(MT ) Xl(MS ). Las equivalencias Xr(MT ) Xr(MS) pueden
ser probado análogamente.
Proposición 5.10. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) sea una Morita inyectora unitaria
datum y considerar los semicontextos Morita asociados MT y MS en (5).
1. Existen equivalencias de categorías
Statl(T IT ) Adstat
l(T IT ); Stat
l(SJS) فارسى Adstat
l(SJS);
Statr(T IT ) Adstat
r(T IT ); Stat
r(SJS) • Adstat
r(SJS).
2. Si Statl(T IT ) ≤ X
l (EM) y Stat
l(SJS) ≤ X
l (MT ), entonces hay equivalencias de
categorías
Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT )
l(SJS) y Adstat
l (T IT ) Adstat
l(SJS).
3. Si Statr(T IT ) ≤ X
r (EM) y Stat
r(SJS) ≤ X
r (MT ), entonces hay equivalencias de
categorías
Statr(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat
r(SJS) y Adstat
r(T IT ) Adstat
r(SJS).
Prueba. Para probar “1”, note que como M es un dato inyector Morita, P S Q
y QT P
J como bimódulos y por lo tanto las cuatro equivalencias de categorías resultan de 5.2.
Para probar “2”, se puede utilizar un argumento similar al de [Nau1994-b, Teorema 3.9.] a
mostrar que la inclusión Statl(T IT ) = Stat
l(T (P S Q)T ) ≤ X
l (EM) implica Stat
l(T IT ) =
Statl(T (P S Q)T ) = Xl(MT ) y que el Stat de inclusión
l(SJS) = estadística
l(S(Q T P )S) ≤
X * l (MT ) implica Stat
l(SJS) = estadística
l(S(Q T P )S) = Xl(MS). El resultado sigue entonces por
Lemma 5.9. La prueba de "3" es análoga a la de "2".
En el caso de los semicontextos de Morita inyectables, se muestran varias subcategorías en (12)
el resultado siguiente es igual:
Teorema 5.11. Let mT = (T, S, P, Q,<,>T, I) • IUMS. Entonces
1. Vl(mT ) = Vl(mT ), Wl(mT ) = Wl(mT ), de dónde
(mT ) = l(mT ) = Xl(mT ) = Xl(mT ) = ICDl(mT )
l (mT ) = X
l (mT ).
2. Vr(mT ) = Vr(mT ), Wr(mT ) = Wr(mT ), de dónde
(mT ) = r(mT ) = Xr(mT ) = Xr(mT ) = CIDr(mT )LI y X
r (mT ) = X
r(mT ).
Prueba. Demostramos que sólo “1” como “2” puede probarse análogamente. Asumir que el Morita semi-
context mT = (T, S, P, Q,<,>T, I) es inyector. Por nuestra suposición que tenemos para cada
V • Dl(mT ) el diagrama conmutativo
P S (QT V )
idPS(α
(P S Q) T V
<,>TT idV
P S HomT−(P, V )
// V I T V I, V
Entonces se hace obvio que iP,V : P S HomT (P, V ) → V es un isomorfismo si y sólo
i I,V : I T V → V es un isomorfismo. En consecuencia
V(mT ) = Dl(mT )
l(TPS) = Dl(mT ) • IC = V(mT ).
Por otro lado, tenemos para cada V Dl(mT) el siguiente diagrama conmutativo
HomS−(Q,HomT−(P, V ))
// HomT−(P S Q, V )
HomS−(Q,QT V )
// HomT−(I, V )
(<,>T,V)
Se deduce entonces que ηilP,L : V → HomS(Q,Q T P ) es un isomorfismo si y sólo si
I, V : V → HomT (I, V ) es un isomorfismo. En consecuencia,
W(mT ) = Dl(mT ) Adstat
l(TPS) = Dl(mT ) I L = W(mT ).
Por otra parte, tenemos
IL = IL = IL = IL = IL = IL = IL = IL + IL + IL + IL + IL + IL + IL + IL + IL
= IC Wl(mT ) = IC Wl(mT ) = l(mT ).
Por otro lado, tenemos
Xl(mT ) = Vl(mT ) Wl(mT ) = Vl(mT ) Wl(mT ) = Xl(mT )
y por lo tanto las equivalencias VÃ l(mT ) = l(mT ) = Xl(mT ) = Xl(mT ) y X
l (mT ) = X
l (mT ) son
establecido.
Además de establecer varias otras equivalencias de subcategorías intersectantes,
los siguientes resultados replantean la equivalencia de las categorías V.........................................................................................................................................................................................................................................................
4.9.] para un datum de Morita inyector arbitrario (no necesariamente compatible):
Teorema 5.12. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) sea un dato de Morita inyector y
considerar los semicontextos asociados Morita MT y MS (5).
1. Las siguientes subcategorías son mutuamente equivalentes:
(MT ) = l(MT ) = Xl(MT ) = Xl(MT ) • Xl(MS ) = Xl(MS ) = l(MS ) = V°l(MS ).
2. Si Vl(MT ) ≤ IL y Wl(MS) ≤ JC, entonces Vl(MT ) Wl(MS). Si Wl(MT ) ≤ IC
y Vl(MS) ≤ JL, luego Wl(MT) • Vl(MS).
3. Las siguientes subcategorías son mutuamente equivalentes:
Vór(MT ) = r(MT ) = Xr(MT ) = Xr(MT ) Xr(MS) = Xr(MS) = r(MS) = Vór(MS).
4. Si Vr(MT ) ≤ LI y Wr(MT ) ≤ CJ, entonces Vr(MT ) Wr(MS ). Si Wr(MT ) ≤ CJ
y Vr(MS) ≤ LI, luego Vr(MS) Wr(MT ).
Prueba. Por Lemma 5.9, Xl(MT ) Xl(MS) y así “ 1” sigue por Teorema 5.11. Si
Vl(MT) ≤ IL y Wl(MS) ≤ JC, entonces tenemos
Vl(MT ) = Vl(MT ) • IL = Vl(MT ) • l(MS) = Wl(MS) • JC = Wl(MS).
Por otra parte, si Wl(MT ) ≤ IL y Vl(MS) ≤ JC, entonces
Wl(MT ) = Wl(MT ) • IC = l(MT ) • V°l(MS) = Vl(MS) • JL = Vl(MS).
Así que hemos establecido “2”. Los resultados de “3” y “4” pueden obtenerse de manera análoga.
6 Más aplicaciones
En esta sección final damos más aplicaciones de Morita α-(semi-)contextos y
Contextos de Morita (semi-) inyectora. Todos los anillos en esta sección son unitarios, de donde todo Morita
Los contextos son unitarios. Además, para cualquier anillo T denotamos con TE un arbitrario, pero
Cogenerador inyector fijo en TM.
Notación. Que T sea un anillo A. Para cualquier TV T -módulo izquierda, establecemos
#V := HomT (V, TE). Si
Además, TVS es un (T, S)-bimódulo para algunos B-ring S, entonces consideramos
S V con la izquierda
Estructura del módulo S inducida por la de VS.
Lemma 6.1. (Comparar [Col1990, Lemma 3.2.[CF2004, Lemmas 2.1.2., 2.1.3.]) Deja que T sea
A-ring, S a B-ring y TVS a (T, S)-bimódulo,
1. Un T -módulo izquierdo TK es V -generado si y sólo si el morfismo canónico T -lineal
V S HomT (V,K) → K (18)
es sujetivo. Por otra parte, V S W Pres(TV) Gen(TV) por cada S-módulo izquierdo
2. A la izquierda S-módulo SL es
S V -cogenado si y sólo si el morfismo canónico S-lineal
ηlv,L : L→ HomT (V, V S L) (19)
es inyector. Por otra parte, HomT (V,M) Copres(
S V ) Cogen(
S V ) por cada izquierda
T -módulo TM.
Observación 6.2. Que T sea un anillo A, S un anillo B y TVS a (T, S)-bimódulo. Note que para
cualquier S-módulo SL izquierda que tenemos
annL(VS) := {l L V S l = 0} = Ker(η
V, L),
de donde (por Lemma 6.1 “2” ) VS es fiel a L si y sólo si SL es
S V -cogenada. De ello se desprende:
entonces que VS es completamente fiel si y sólo si
S V es un cogenerador.
Localización y colocalización
En lo que sigue aclaramos las relaciones entre módulos estáticos (adstáticos) y subcate-
gories colocalizados (localizados) por un ideal traza de un contexto Morita que satisface la condición α.
Recuerde que para cualquier TPS (T, S)-bimódulo tenemos por Lemma 6.1:
Statl(TPS) Gen(TP) y Adstat
l(TPS) Cogen(
S P ). (20)
Teorema 6.3. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) UMC. Entonces tenemos
IC ID Gen (TP ). (21)
Asumir Pr := (Q,PS)
r (S). Entonces
1. Gen(TP ) = estadística
l(TPS) IF.
2. Si Gen(TP) IC, entonces IC = ID = Gen(TP) = Stat
l (TPS).
3. Si Qr := (P,QT )
r (T ), entonces T I TT es puro y IC = ID.
Prueba. Para cada T-módulo TK izquierdo, considere el siguiente diagrama con mor-
phismos y let α2 := I,K • •
P, K. Es fácil ver que ambos rectángulos y los dos a la derecha
triángulos viajan:
P S QT K
idPSα
<,>TT idK
P S HomT (P,K)
HomT (P,K)/
HomS(Q,HomT (P,K))
HomT (P S Q,K)
I T K
// HomT (I,K)
(<,>T,K)
Se deduce directamente de las definiciones que IC ID y Stat
l(TPS) Gen(TP ). Si TK
es I-divisible, entonces I,K® <,>T T idK = فارسى
P,K • idP S α
K es sujetivo, de donde
es sujetivo y concluimos que TK es P-generado por Lemma 6.1 “1”. En consecuencia,
ID Gen(TP).
Asume ahora que Pr â € P
r (S). Teniendo en cuenta el mapa canónico ♥Q : T → Fin(SQ)
el mapa.........................................................................................................................
Q es inyector y por lo tanto el mapa bilineal <,>T es inyector (es decir,
P S Q
I). Definir α1 := (idP S α
K ) (<,>T T idK)
−1, de modo que los triángulos izquierdos
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Note que αPr
HomT (P,K)
es inyector y la computatividad de la parte superior derecha
triángulo en el Diagrama (22) implica que α2 es inyector (de dónde
P,K es inyector por la
computatividad del triángulo inferior derecho).
1. Si K Statl(TPS), entonces la computatividad del triángulo derecho inferior (22) y el
la inyectividad de α2 muestra que I,K es inyectable; por lo tanto, Stat
l(TPS) IF. Por otro lado
mano, si TK es P -generado, a continuación,
P,K es sujetivo por Lemma 6.1 (1), por lo tanto, bijetivo,
i.e. K • Statl(TPS). En consecuencia, Gen(TP ) = Stat
l (TPS).
2. Esto se desprende directamente de las inclusiones de (21) y “1”.
3. Asumir Qr := (P,QT )
r (T ). Desde el principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio de la igualdad de trato entre hombres y mujeres
r (S), sigue por analogía a Propo-
posición 2.12 “3” que PS es plana, por lo tanto idP S α
K es inyector. La computatividad de
el triángulo superior izquierdo en el Diagrama (22) implica entonces que α1 es inyector, de ahí I,K
es inyector por conmutatividad del triángulo inferior izquierdo (es decir, T I TT es K-puro). Si
TK es divisible, entonces K T I
K (es decir, K â € ¢ IC).
Teorema 6.4. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) UMC. Entonces tenemos
JL JF Cogen(
S P ) y Adstat
l(TPS) Cogen(
S P ).
Asumir Qr := (P,QT )
r (T ). Entonces
1. JS SS es puro y JC Cogen(
S P ).
2. Si pr := (Q,PS) + P
r (S), entonces JL Adstat
l(TPS) Cogen(
S P ) JF.
3. Si Pr • P
r (S) y Cogen(
S P ) JL, entonces JL = Cogen(
S P ) = Adstat
l (TPS).
Prueba. Para cada S-módulo derecho L considerar el diagrama conmutativo con canónico
morfismos y dejar que α3 sea tan definido, que los triángulos izquierdos se convierten en conmutativos
J S L
J,L //
J,L // HomS(J,L)
(<,>S,L)
HomS(QT P, L)
QT P S L
(<,>S)S idL
// HomT (P, P S L)
HomT (P,HomS(Q,L))
Por definición JL JF y Adstat
l(TPS) Cogen(
S P ). Si SL, JF, entonces J,L es inyector
y se sigue por la computatividad del rectángulo derecho en el diagrama (23) que ηlP,L es inyector,
Por lo tanto, SL es
S P-cogenerado por Lemma 6.1 “2”. En consecuencia, JF Cogen(
S P ).
Asumir ahora que Qr P
r (T ). Luego se deduce de Lemma 4.3 que <,>S es inyector
(por lo tanto QT P
J) y por lo tanto α4 := (pueden (<,>S, L))
-1 (P, αPrL) es inyector.
1. Dado que el α3 es inyector, también es inyector por cada SL, es decir. JS SS es puro. Si SL...............................................................................................
JC, entonces se deduce de la computatividad del rectángulo izquierdo en el Diagrama (23) que
ηlP,L es inyector, por lo tanto L • Cogen(
S P ) por Lemma 6.1 (2).
2. Asume que Pr â € P
r (S), de modo que α4 sea inyector. Si SL, JL, entonces J,L es un
isomorfismo, por lo tanto ηlP,L es sujetivo (note que α4 es inyector). En consecuencia,
JL Adstat
l (TPS).
3. Esto se desprende directamente de los supuestos y “2”.
∗-Módulos
Al final de esta sección, fijamos un anillo unitario T, un T -módulo TP izquierdo y set S :=
Fin (TP )
Definición 6.5. ([MO1989]) Llamamos TP a ∗-módulo, iff Gen(TP ) Cogen(
S P ).
Observación 6.6. J. Trlifaj [Trl1994] demostró que todos los módulos ∗ se generan finitamente.
Por definición, Statl(TPS) ≤ TM y Adstat
l(TPS) ≤ SM son los subcat-
egos entre los cuales la adjunción (P S −,HomT (P,−)) induce una equivalencia. Activar
por otra parte, Lemma 6.1 muestra que Gen(TP ) ≤ TM y Cogen(
S P ) ≤ SM son los
las subcategorías más grandes (véase [Col1990, sección 3] para más detalles). Esto sugiere que el
siguiente observación:
Proposición 6.7. ([Xin1999, Lemma 2.3.]) Tenemos
TP es un -módulo • Stat(TP ) = Gen(TP ) y Adstat(TP ) = Cogen(
S P ).
Definición 6.8. Un T -módulo izquierdo TU se dice que es
semi-
- Cuasi-proyección (abbr. s-
-cuasi-projetivo), iff para cualquier T -módulo izquierdo
TV Pres(TU) y cualquier presentación en U
U () → U ()
′) → V → 0
de TV (en su caso), la siguiente secuencia inducida es exacta:
HomT (U, U
→ HomT (U, U)
()) → HomT (U, V ) → 0;
débilmente...
- Cuasi-proyección (abbr. w-
-cuasi-projetivo), iff para cualquier T izquierda -
módulo TV y cualquier secuencia exacta corta
0 → K → U
′) → V → 0
con K • Gen(TU) (en su caso), la siguiente secuencia inducida es exacta:
0 → HomT (U,K) → HomT (U, U
()) → HomT (U, V ) → 0;
auto-tirado, si TU es w-
-cuasi-proyección y Gen(TU) = Pres(TU);
- autoestático, si cualquier suma directa U () es U -estático.
(self)-pequeño, if HomT (U,−) se desplaza con sumas directas (de TU);
Proposición 6.9. Suponga que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) es un contexto unitario Morita.
1. Si pr := (Q,PS) + P
r (S), a continuación:
a) Gen(TP ) = estadística
l(TPS);
b ) existe una equivalencia de las categorías Gen(TP ) Cop(
S P );
c) TP es
-self-static y Statl(TPS) se cierra bajo módulos factoriales.
d) Gen(TP ) = Pres(TP );
2. En caso de que se trate de M • UMCαr y Cogen(
S P ) JL, entonces:
a) Gen(TP ) = estadística
l(TPS) y Cogen(
S P ) = Adstat
l(TPS);
b) existe una equivalencia de las categorías Cogen(
S P ) Gén(TP );
c) El TP es un módulo ∗;
d) El TP es autotensible y autopequeño.
Prueba. 1. Si Pr • P
r (S), entonces se deduce por Teorema 6.3 que Gen(TP ) = Stat
l(TPS),
que es equivalente a cada uno de "b" y "c" por [Wis2000, 4.4.] y a “d” por [Wis2000,
4.3.].
2. De los supuestos, Teoremas 6.3, 6.4 y 5.2, se desprende que Gen(TP ) = Stat
l(TPS)
Adstatl(TPS) = Cogen(
S P ), de dónde Gen(TP ) Cogen(
S P ) (que es la definición
de ∗-módulos). Por lo tanto “a” â € “b” â € “c”. La equivalencia “a” â € “d” es evidente por
[Wis2000, corolario 4.7.] y hemos terminado.
Contextos amplios de Morita
Los contextos de amplia Morita fueron introducidos por F. Castaño Iglesias y J. Gómez-Torrecillas
[C-IG-T1995] y [C-IG-T1996] como una extensión de los contextos clásicos de Morita a Abelian
categorías.
Definición 6.10. Que A y B sean categorías Abelianas. Una derecha (izquierda) amplia Morita
contexto entre A y B es un dato Wr = (G,A,B,F, η,
a la derecha (izquierda) los functores covariantes exactos y η : F ° G 1A, η : G ° F 1B (η : 1A
F G, : 1B G F ) son transformaciones naturales, de tal manera que para cada par de objetos
(A,B) • A× B las condiciones de compatibilidad G(ηA) = G(A) y F (ηB) = ηF (B).
Definición 6.11. Que A y B sean categorías Abelianas y W = (G,A,B,F, η,
(izquierda) amplio contexto Morita. Llamamos a W inyector (respectivamente semi-estricto, estricto), if η
y son monomorfismos (respectivamente epimorfismos, isomorfismos)
Observaciones 6.12. Let W = (G,A,B,F, η,
1. Sigue por [CDN2005, Proposiciones 1.1., 1.4.] que si η o l es un epimorfismo
(monomorfismo), entonces W es estricto, de donde A Ł B.
2. El parecido de los contextos de Morita inyectora izquierda ancha es con el Morita-Takeuchi
contextos para los comodulos de las coagnebras, es decir, los denominados datos de preequivalencia para cate-
los comódulos introducidos en [Tak1977] (véase [C-IG-T1998] para más detalles).
Contextos inyectivos de Morita de derecha amplia
En un trabajo reciente [CDN2005, 5.1.], Chifan, et. al. (para las categorías de módulos)
relación entre los contextos clásicos de Morita y los contextos de Morita. Por la conve-
nience del lector y para referencia posterior, incluimos en lo que sigue una breve descripción
de esta relación.
6.13. Que T, S sean anillos, A := TM y B := SM. Asociado a cada contexto Morita
M = (T, S, P,Q,<,>T, <,>S) es un amplio contexto Morita de la siguiente manera: Definir G : A B : F
por G(−) = Q T − y F (−) = P S −. Luego hay transformaciones naturales η :
F G 1
Y: G. F. 1
De tal manera que para cada TV y WS:
ηV : P S (QT V ) → V,
pi S (qi T vi) 7→
< pi, qi > T vi,
W : QT (P S W ) → W,
qi T (pi S wi) 7→
< qi, pi > S wi.
Entonces el datum Wr(M) := (G, TM, SM, F, η,
A la inversa, dejar que T ′, S ′ sean dos anillos y W ′r = (G
′, T ′M, S′M, F
′,, ) ser un ancho derecho
Contexto Morita entre T ′M y S′M de tal manera que el funcionamiento exacto correcto G
′ : T ′M
S′M : F
′ viajar con sumas directas. Por los teoremas de Watts (por ejemplo: [Gol1979]), existe un
(T, S)-bimódulo P ′ (por ejemplo: F ′(S ′) de tal manera que F ′ P S′ −, un (S, T)-bimódulo Q
′ de modo que
G′ Q′ T ′ − y deben existir dos formas bilineales
<,>T ′: P
′ S′ Q
′ → T ′ y <,>S′: Q
′ T ′ P
′ → S ′,
de tal manera que las transformaciones naturales : F ′ G′ → 1
,. : G′............................................................................
son dados por
V ′(p
′ S′ q
′ T ′ v
′) =< p′, q′ > T ′ v
′ y ′W ′(q)
′ T p
′ S w
′) =< q′, p′ > S′ w
para todos los V ′ ̃ T ′M, W
′ S′M, p
′ P ′, Q′, V′, V′, W′, W′, W′, Q′, V′ y W′. Se puede demostrar que
de esta manera se obtiene un contexto Morita M′ = M′(W ′r) := (T
′, S ′, P ′, Q′, <,>T ′, <,>S′).
Por otra parte, resulta que dado un contexto amplio Morita Wr, tenemos Wr Wr(M(Wr)).
El siguiente resultado aclara la relación entre los contextos inyectores de Morita y
contextos de Morita.
Teorema 6.14. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) sea un contexto Morita, A := TM, B :=
SM y considerar el contexto de Morita de ancho derecho inducido Wr(M) := (G,A,B,F, η, l).
1. Si Wr(M) es un contexto de Morita inyectora de ancho derecho, entonces M es un Morita inyectora
contexto.
2. Si M • UMCαr, entonces Wr(M) es un contexto de Morita inyector de ancho derecho.
Prueba. 1. Que Wr(M) sea un contexto de Morita inyectora de ancho derecho. Entonces, en particular,
<,>T= ηT y <,>S= M es un contexto de Morita inyectable.
2. Supongamos que M satisface la condición α correcta. Supongamos que existe algo de televisión y
pi S (qi T vi) Ker (ηV ). Entonces para cualquier q â € TM TM Q que tenemos
0 = q T ηV (
(pi S qi)T vi) =
qT < pi, qi > T vi
q < pi, qi > T T vi =
< q, pi > S qi T vi
< q, pi > S (qi T vi) = α
pi S (qi T vi)(q).
Desde el Pr := (Q,PS)
r (S), el morfismo α
es inyector y así
piS (qiT)
vi) = 0, es decir, ηV es inyector. Analógicamente, supongamos
qi T (pi S wi) Ker(lW).
Entonces para cualquier p â € TM p que tenemos
0 = pS W (
qi T (pi S wi) =
pS < qi, pi > S wi
p < qi, pi > S Swi =
< p, qi > T pi S wi
< p, qi > T (pi S wi) = α
qi T (pi S wi)(p).
Desde Qr := (P,QT )
r (T ), el morfismo α
es inyector y así
qi T
(pi S wi) = 0, es decir, W es inyector. Consecuentemente, el derecho inducido Morita
Context Wr(M) es inyector.
Agradecimiento: Los autores agradecen al árbitro su lectura cuidadosa de
el documento y para las sugerencias, comentarios y correcciones fructíferos, que ayudaron en
mejorar varias partes del documento. Por otra parte, reconocen la excelente investigación
y el apoyo de sus respectivas instituciones, la Universidad Rey Fahd de
Petróleo y Minerales y la Universidad Rey AbdulAziz.
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Introducción
Preliminares
Morita (Semi)contextos
Injetivo Morita (Semi-)Contextos
Equivalencias de categorías
Más aplicaciones
| Este artículo es una exposición de los llamados contextos inyectores Morita (en
que los morfismos bimódulos de conexión son inyectores) y Morita
$\alpha$contexts (en los que los bimódulos de conexión disfrutan de algunos locales
proyectividad en el sentido de Zimmermann-Huisgen). Motivados por situaciones en
que sólo un rastro ideal está en acción, o la compatibilidad entre el
morfismos bimódulos no es necesario, introducimos las nociones de Morita
semi-contextos y datos Morita, e investigarlos. Los datos de Injetivo Morita
utilizar (con la ayuda de módulos estáticos y adstáticos) para establecer
equivalencias entre algunas subcategorías intersectantes relacionadas con subcategorías
de módulos localizados o colocalizados por los ideales traza de un datum Morita.
Terminamos con aplicaciones de Morita $\alpha$-contextos a $\ast$-módulos y
contextos de Morita.
| Introducción
Contextos Morita, en general, y contextos Morita (semi-)stricto (con
Los morfismos bilineales de nectación, en particular, fueron ampliamente estudiados y desarrollados expo-
nencialmente durante las últimas décadas (e.g. [AGH-Z1997]). Sin embargo, sinceramente sentimos que
hay una brecha en la literatura sobre contextos de Morita inyectable (es decir. Los pacientes que presentan una infección por inyec-
nectación de morfismos bilineales). Aparte de los resultados de [Nau1994-a], [Nau1994-b] (donde
el segundo autor inicialmente exploró esta noción) y de una aplicación a Grothendieck
grupos en el reciente trabajo ([Nau2004]), parece que los contextos inyectores Morita no fueron
estudiado sistemáticamente en absoluto.
∗Autor correspondiente
http://arxiv.org/abs/0704.0074v2
Hemos observado que en varios resultados de ([Nau1993], [Nau1994-a] y [Nau1994-b])
relacionados con los contextos Morita, sólo se utiliza un rastro ideal. Observando este hecho, presentamos
las nociones de los semicontextos de Morita y los datos de Morita e investigarlos. Varios resultados
se demuestra entonces para semicontextos de Morita inyectable y/o datos de Morita inyectable.
Considerar un Morita datum M = (T, S, P,Q,<,>T, <,>S), sin necesariamente compat-
morfismos bimódulos <,>T : P S Q→ T y <,>S: QT P → S. Decimos que M es
inyector, if <,>T y <,>S son inyectores, y ser un α-datum de Morita, if
dobles emparejamientos Pl := (Q, TP ), Pr := (Q,PS), Ql := (P, SQ) y Qr := (P,QT ) satisfacen
la condición α (que está estrechamente relacionada con la noción de proyectividad local en el sentido de
Zimmermann-Huisgen [Z-H1976]). La condición α se introdujo en [AG-TL2001] y
Investigado posteriormente por el primer autor en [Abu2005].
Mientras que los contextos unitarios (semi-)stricto Morita inducen equivalencias entre todo el mod-
categorías ule de los anillos en consideración, mostramos en este artículo cómo inyector Morita
(semi)contextos y datos de Morita inyectores desempeñan un papel importante en el establecimiento de equiva-
entre subcategorías de módulos que se intersecan de forma adecuada (por ejemplo: intersecciones
de subcategorías localizadas/colocalizadas por los ideales traza de un datum Morita con sub-
categorías de módulos estáticos/adstáticos, etc.). Nuestras principales aplicaciones además de equiv-
alences relacionadas con la teoría de la localización-colocalización Kato-Ohtake-Müller (desarrollada en
[Kat1978], [KO1979] y [Mül1974]), serán a los módulos * (introducidos por Menini y Or-
satti [MO1989]) y a contextos de Morita (introducidos por F. Castaño Iglesias y
J. Gómez-Torrecillas [C-IG-T1995]).
La mayoría de nuestros resultados se indicarán para los módulos de la izquierda, mientras que deriva las versiones “dual” para
módulos de la derecha se deja al lector interesado. Además, para los contextos Morita, algunos resultados
son declarados/probados para sólo uno de los semicontextos Morita, como los correspondientes a
el segundo semicontexto puede obtenerse de manera análoga. Para la comodidad del lector, nosotros
trató de hacer el papel autónomo, para que pueda servir de referencia sobre Morita inyectora
(semi-)contextos y sus aplicaciones. En este sentido, y en aras de la integridad,
han incluido algunos resultados anteriores de los autores que (en la mayoría de los casos) se proporcionan
con nuevas pruebas más cortas, o se obtienen en condiciones más débiles.
Este documento está organizado de la siguiente manera: Después de esta breve introducción, damos en la sección 2
algunos preliminares, incluyendo las propiedades básicas de los pares α duales, que juegan un papel central
papel en el resto de la obra. Las nociones de los semicontextos de Morita y los datos de Morita son
en la sección 3, donde aclaramos sus relaciones con los emparejamientos duales y los llamados
RNGs elementales. Los contextos injetivos Morita (semi-) aparecen en la Sección 4, donde estudiamos
su interacción con los pares α duales y proporcionar algunos ejemplos y un contraejemplo.
En la Sección 5 incluimos algunas observaciones sobre módulos estáticos y adstáticos y el uso
para obtener equivalencias entre las subcategorías de módulos relacionadas
a un contexto Morita (semi-). En la última sección, se presentan más aplicaciones, principalmente para
subcategorías de módulos localizados o colocalizados por un oligoide ideal de un inyector
Morita (semi-)contexto, a ∗-módulos y a contextos de Morita inyectora de ancho derecho.
2 Preliminares
A lo largo de todo, R denota un anillo conmutativo con 1R 6= 0R y A,A
′, B, B′ son unitarios
Álgebras-R. Hemos reservado el término “anillo” para un anillo asociativo con un multiplicador
unidad, y vamos a utilizar el término “rng” para un anillo asociativo general (no necesariamente con
unidad). Se supone que todos los módulos sobre anillos son unitarios, y se asumen morfismos de anillos
respetar las unidades multiplicativas. Si T y S son categorías, entonces escribimos T ≤ S (T ≤ S)
significa que T es una subcategoría (completo) de S, y T S para indicar que T y S son
equivalente.
Rngs y sus módulos
2.1. Por un A-rng (T, μT ), nos referimos a un (A,A)-bimódulo T con un (A,A)-bilineal mor-
phism μT : T A T → T, tal que μT (μT A idT ) = μT (idT A μT ). Llamamos a un A-rng
(T, μT ) un anillo A, si existe además un (A,A)-morfismo bilineal ηT : A → T,
llamado el mapa de unidad, de tal manera que μT (ηT A idT ) =
T y μT (idT A ηT ) =
T (donde
AA T
T y T A A
T son los isomorfismos canónicos). Por lo tanto, un anillo-A es un unitario
A-rng; y un A-rng es (aproximadamente hablando) un A-ring no necesariamente con unidad.
2.2. Un morfismo de rngs: (T : A) → (T ′ : A′) consiste en un morfismo de R-álgebras
: A→ A′ y un (A,A)-morfismo bilineal : T → T ′, de tal manera que μT
(A,A′)
(T ′,T ′)
(A) =
T (donde χ
(A,A′)
(T ′,T ′)
: T ′ A T
′ → T ′ A′ T
′ es el mapa canónico inducido por ). Por RNG
denotamos la categoría de ngs asociativos con morfismos siendo rng morfismos, y
por URNG < RNG la subcategoría (no llena) de anillos unitarios con morfismos siendo el
morfismos en RNG que respetan las unidades multiplicativas.
2.3. Let (T, μT ) ser un A-rng. Por un T -módulo izquierdo nos referimos a un A-módulo izquierdo N con un izquierdo
Morfismo A-lineal ♥NT : T AN → N, de tal manera que
T • (μT A idN) = •
T # (idT # A # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
T ). Por
izquierda T -módulosM,N, llamamos a la izquierda A-morfismo lineal f :M → N a T -morfismo lineal,
if f(tm) = tf(m) para todos los t â € T. La categoría de T -módulos izquierdos y T -morfismos lineales izquierdos
es denotado por TM. La categoría MT del derecho T -módulos se define análogamente. Let (T : A)
y (T ′ : A′) ser rngs. Llamamos un (A,A′)-bimódulo N a (T, T′)-bimódulo, iff (N,
un T -módulo izquierdo y (N, NT ′) es un T a la derecha
′-módulo, de tal manera que
T A′ idT ′) =
(idT A
T ′). Para (T, T
′)-bimódulosM,N, llamamos un (A,A′)-morfismo bilineal f :M → N
(T, T ′)-bilineal, siempre que f sea izquierda T -lineal y derecha T ′-lineal. La categoría de (T, T ′)-
Los bimódulos se designan por TMT ′. En particular, para cualquier A-rng T, un izquierdo (derecha) T -módulo
M tiene una estructura canónica de un módulo S unitario derecho (izquierda), donde S := End(TM)
(S := End(MT )); y además, con esta estructura M se convierte en un (T, S)-bimódulo (un
(S, T )-bimódulo).
Observación 2.4. Del mismo modo, uno puede definir ngs sobre el suelo arbitrario (no necesariamente unitario)
rngs y rng morfismos entre ellos. Además, se pueden definir (bi)módulos sobre tales
rngs y (bi)morfismos lineales entre ellos.
Notación. Que T sea un A-rng. Escribimos TU (UT) para denotar que U es una izquierda (derecha) T -
módulo. Para una izquierda (derecha) T -módulo TU, consideramos el conjunto
* U:= HomT−(U, T) (U
Hom−T (U, T )) de todos los morfismos T-lineales izquierdos (derecha) de U a T con la derecha canónica
(izquierda) Estructura del módulo T.
Generadores y cogeneradores
Definición 2.5. Que T sea un A-rng. Para un T -módulo TU izquierdo considere la siguiente sub-
clases de TM :
Gen(TU) := {TV â € € ~ un conjunto â € y una secuencia exacta U
• → V → 0};
Cogen(TU) := {TW â € € € € € € € € {TW â € € € € {TW â € € € {TW â € € {TW â € € {TW = {TW } Un conjunto â € y una secuencia exacta 0 → W → U
Pres(TU) := {TV sets 1,2 y una secuencia exacta U
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Copres(TU) := {TW â € € € € € TM € TM € TM € TM € TM € TM TM = {TW â € TM TM # TM # TM # TM # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
• 1 → U2};
Un T -módulo izquierdo en Gen(TU) (respectivamente Cogen(TU), Pres(TU), Copres(TU)) se dice que
Generado en U (respectivamente cogenerado en U, presentado en U, presentado en U). Además,
decimos que TU es un generador (respectivamente cogenerador, presentador, copresentador), iff
Gen(TU) = TM (respectivamente Cogen(TU) = TM, Pres(TU) = TM, Copres(TU) = TM).
Dobles emparejamientos α
En lo que sigue recordamos la definición y las propiedades de los pares α duales introducidos
en [AG-TL2001, definición 2.3.] y estudió más a fondo en [Abu2005].
2.6. Que T sea un A-rng. Un doble izquierdo T -pairing Pl = (V, TW ) consiste en un izquierdo T -módulo
W y una derecha T -módulo V con una derecha T -morfismo lineal....................................................................................
∗W (equivalente
a izquierda T -morfismo lineal χPl : W → V
*). Para los emparejamientos de doble izquierda Pl = (V, TW ), P
l = (V
′), un morfismo de apareamientos de doble izquierda (, ) : (V ′,W ′) → (V,W ) consiste en un triple
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
′, T ′W
donde : V → V ′ y فارسى : W ′ → W son T -lineal y : T → T ′ es un morfismo de rngs,
tales que, teniendo en cuenta los mapas inducidos <,>T : V ×W → T y <,>T ′: V
′ ×W ′ → T ′ nosotros
< فارسى(v), w′ >T ′= فارسى(< v, (w)
′) > T ) para todos los v • V y w
′ W ′. 1)..........................................................................................................................................................
Los emparejamientos de doble izquierda con los morfismos definidos anteriormente construyen una categoría, que denotamos
por Pl. Con Pl(T) ≤ Pl denotamos la subcategoría completa de emparejamientos T duales. La categoría
Pr de emparejamientos de doble derecha y su subcategoría completa Pr(T) ≤ Pr de emparejamientos de doble derecha T son
definida análogamente.
Observación 2.7. El lector debe ser advertido de que (en general) para un rng T no conmutativo
y un doble izquierdo T -pairing Pl = (V, TW ), el siguiente mapa inducido por la derecha T -lineal
morfismo Pl : V →
<,>T : V ×W → T, < v, w >T := ♥Pl(v)(w)
no es necesariamente T -balanceado, y por lo tanto no induce (en general) un mapa V T W → T. En
de hecho, para todos v. V., w. W. y t. T.
< vt, w > = ♥Pl(vt)(w) = [lp(v)t](w) = [lp(v)(w)]t = < v,w >T t;
< v, tw > = l(v)(tw) = t[l(v)(w)] = t < v, w > T.
2.8. Que T sea un A-rng, N, W quede T -módulos e identifique NW con el conjunto de todos
mapeo de W a N. Considerando N con la topología discreta y NW con el producto
topología, la topología relativa inducida en HomT−(W,N) N
W es una topología lineal (llamada
la topología finita), para la cual la base de los barrios de 0 es dada por el conjunto de
submódulos de anihilador:
Bf (0) := {F
(HomT−(W,N)) F = {w1,..., wk} W es un subconjunto finito},
donde
F(HomT−(W,N)) := {f HomT−(W,N)) f(W) = 0}.
2.9. Dejar T ser un A-rng, Pl = (V, TW ) un doble izquierdo T -pairing y considerar para cada derecha
T -módulo UT el siguiente mapa canónico
U : U T W → Hom−T (V, U),
ui T wi 7→ [v 7→
ui < v,wi > T ]. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Decimos que Pl = (V, TW ) Pl(T ) satisface la condición de izquierda α (o es una doble izquierda α-
emparejamiento), if α
U es inyectable para cada T -módulo derecho UT. Por P
l (T ) ≤ Pl(T ) denotamos la
subcategoría completa de los emparejamientos de doble izquierda T que satisfacen la condición de α izquierda. La subcategoría completa
de α-pairings de doble derecha Pαr (T ) ≤ Pr(T ) se define análogamente.
Definición 2.10. Dejar T ser un A-rng, Pl = (V, TW ) ser un doble izquierdo T -pairing y considerar
Pl : V →
∗W y α
V : V T W → Fin (VT ).
Decimos que PL(T) es PL(T)
Denso, iff Pl(V)
∗W es denso (w.r.t. la topología finita en *W TW );
inyectable (resp. semiestricto, estricto), iff α
V es inyector (resp. sujetivo, bijetivo);
no degenerado, if V
∗W y W
V ∗ canónicamente.
2.11. Que T sea un A-rng. Llamamos a un T -módulo W localmente proyectiva (en el sentido de B.
Zimmermann-Huisgen [Z-H1976]), iff para cada diagrama de módulos T
0 // F
g
■ //W
// N // 0
con filas exactas y generado finitamente T -submódulo F W : para cada T -morfismo lineal
g : W → N, existe un morfismo T -lineal g′ : W → L, de tal manera que g =
Para las pruebas de las siguientes propiedades básicas de módulos proyectivas locales y duales
α-pairings véanse [Abu2005] y [Z-H1976]:
Proposición 2.12. Que T sea un anillo A y Pl = (V, TW ) Pl(T ).
1. El T -módulo izquierdo TW es localmente proyectivo si y sólo si (
*W,W) es un emparejamiento α.
2. El T -módulo izquierdo TW es localmente proyectiva, if para cualquier subconjunto finito {w1,..., wk} W,
existe {(fi, w?i)}
i=1
∗W ×W tal que wj =
fi(wj)wсi para todos j = 1,..., k.
3. Si TW es localmente proyectiva, entonces TW es plana y T-cogenerated.
4. Si P.P.P.
l (T ), entonces TW es localmente proyectiva.
5. Si TW es localmente proyectiva y P (V )
# W es denso, entonces Pl # P
l (T ).
6. Supongamos que el TT es un cogenerador inyector. Entonces, Pl-P.
l (T ) si y sólo si TW es local
Proyectativo y Pl(V )
∗W es densa.
7. Si T es un anillo QF, entonces Pl â € P
l (T ) si y sólo si TW es proyectiva y W
V ∗.
El siguiente resultado completa la buena observación [BW2003, 42.13.] sobre a nivel local
módulos proyectivos:
Proposición 2.13. Dejar T ser un anillo, TW un T -módulo izquierdo, S := End(TW )
op y considere
el morfismo canónico (S, S)-bilineal
[,]W:
∗W T W → End(TW ), f T w 7→ [w
1. TW se genera finitamente proyectiva si y sólo si [, ]W es sujetivo.
2. TW es localmente proyectiva si y sólo si Im([, ]W ) End(TW ) es denso.
Prueba. 1. Esto sigue por [Fai1981, 12.8.].
2. Suponga que TW es localmente proyectiva y considere para cada T -módulo N izquierda el canónico
mapeo
[,]WN :
* W T N → HomT (W,N), f T n 7→ [w
A continuación, por [BW2003, 42.13.], que Im([, ]WN ) HomT (W,N) es denso. In
particular, ajuste N = W concluimos que Im([, ]W ) End(TW ) es denso. Activar
la otra mano, asumir Im([, ]W ) End(TW ) es denso. Entonces para cada subconjunto finito
{w1,..., wk} W, existe
¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!
∗W T W con
wj = idW (wj) = [,]W (
g?i T w?i (wj) =
g?i(wj)w?i para j = 1,..., k.
Se sigue entonces por la Proposición 2.12 “2” que TW es localmente proyectiva.
3 Contextos de Morita (Semi)
Notamos, en las pruebas de algunos resultados sobre equivalencias entre subcategorías de
categorías de módulos asociados a un contexto Morita dado, que no se hace uso de la com-
patibilidad entre los morfismos bimódulos de conexión (o incluso que sólo un rastro ideal
se utiliza y por lo que sólo uno de los dos morfismos bilineales está realmente en acción). Algunos resultados de
Este tipo apareció, por ejemplo, en [Nau1993], [Nau1994-a] y [Nau1994-b]. Además,
en nuestras consideraciones se formarán algunos contextos Morita para ngs asociativos arbitrarios
(es decir, no necesariamente anillos unitarios). Estas consideraciones nos motivan a hacer lo siguiente:
definiciones generales:
3.1. Por un semi-contexto Morita nos referimos a una tupla
mT = ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T, I), (3)
donde T es un A-rng, S es un B-rng, P es un (T, S)-bimódulo, Q es un (S, T )-bimódulo,
<,>T : P S Q → T es un (T, T )-morfismo bilineal e I := Im(<,>T ) T (llamado el
traza ideal asociado a mT ). Dejamos caer los anillos de tierra A, B y el rastro ideal I T,
si no están explícitamente en acción. Si mT (3) es un semicontexto Morita y T, S son unitarios
anillos, luego llamamos a mT un semi-contexto unitario Morita.
3.2. Let mT = ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T), mT ′ = ((T)
′ : A′), (S ′ : B′), P′, Q′, <,>T ′)
Semi-contextos de Morita. Por un morfismo de Morita semi-contextos de mT a mT ′ nosotros
significa un conjunto de morfismos de cuatro veces
((β : ), (γ :
donde (β : ) : (T : A) → (T ′ : A′) y (γ : ) : (S : B) → (S ′ : B′) son morfismos de rng,
* : P → P ′ es (T, S)-bilineal y * : Q→ Q′ es (S, T )-bilineal, de tal manera que
β(< p, q > T ) =<
Note que consideramos P ′ como un (T, S)-bimódulo y Q′ como un (S, T)-bimódulo con acciones
inducido por el morfismo de las ngs (β : Por MSC denotamos la categoría
de los semicontextos Morita con morfismos definidos anteriormente, y por UMSC < MSC la
Subcategoría de semicontextos unitarios Morita.
Los semicontextos de Morita están estrechamente relacionados con los dobles emparejamientos en el sentido de [Abu2005]:
3.3. Dejar (T, S, P, Q,<,>T ) MSC y considerar los isomorfismos canónicos de Abelian
grupos
Hom(S,T)(Q,
Hom(T,T)(P S Q, T)
Hom(T,S)(P,Q
Esto significa que tenemos dos dobles T -pairings Pl := (Q, TP ) Pl(T ) y Qr := (P, QT )
Pr(T ), inducido por los morfismos canónicos T -lineales
*Pl:=*
−1(<,>T) : Q→
∗P y Qr := فارسى(<,>T ) : P → Q
Por otro lado, dejar (S, T,Q, P,<,>S) MSC y considerar los isomorfismos canónicos
de los grupos abelianos
Hom(S,T)(Q,P)
Hom(S,S)(QT P,S)
Hom(T,S)(P,
Entonces tenemos dos pares S duales Pr := (Q,PS) • Pr(S) y Ql := (P, SQ) • Pl(S),
inducidos por los morfismos canónicos
• Pr := • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1(<,>S) : Q→ P
* y Qr :=.
′(<,>S) : P →
3.4. Por datum Morita nos referimos a una tupla
M = (T: A), (S: B), P, Q,<,>T, <,>S, I, J), (4)
donde se encuentran los siguientes semicontextos Morita.
MT := ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T, I) y MS := ((S : B), (T : A), Q, P,<,>S, J) (5)
Si, además, los morfismos bilineales <,>T : P S Q → T y < −, >S: Q T P → S son
compatible, en el sentido de que
< q, p > S q
′ = q < p, q′ > T y p < q, p
′ > S =< p, q > T p
′ P, p′ P, q, q′ Q, (6)
Luego llamamos contexto M a Morita. Si T, S en un dato Morita (contexto) M son unitarios,
Luego llamamos a M un dato unitario Morita (contexto).
3.5. LetM = ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T, <,>S) yM
′ = ((T ′ : A′), (S ′ : B′), P ′, Q′, <
,>T ′, <,>S′) ser contextos Morita. Extendiendo [Ami1971, página 275], queremos decir por un mor-
phism de Morita contextos de M a M′ un conjunto de cuatro veces de mapas
((β : ), (γ :
donde (β : ) : (T : A) → (T ′ : A′), (γ : ) : (S : B) → (S ′ : B′) son morfismos de rng,
* : P → P ′ es (T, S)-bilineal y * : Q→ Q′ es (S, T )-bilineal, de tal manera que
β(< p, q > T ) =<
Por MC denotamos la categoría de contextos Morita con morfismos definidos como arriba, y
por UMC <MC la subcategoría (no llena) de contextos unitarios Morita.
Ejemplo 3.6. Si R es conmutativo, entonces cualquier semicontexto de Morita (R,R, P,Q,<,>R) produce
a Contexto Morita (R,R, P,Q,<,>R, [, ]R), donde [, ]R := QR P P R Q
R.
3.7. Llamamos a Morita semi-contexto mT = (T, S, P, Q,<,>T ) semi-derivado (derivado),
iff S := Fin (TP )
op (y Q = ∗P ). Llamamos a un datum Morita, o un contexto Morita, M =
(T, S, P,Q,<,>T, <,>S) semiderivado (derivado), iff S = End(TP )
op, o T = End(PS)
(S = Fin(TP )
op y Q = ∗P, o T = End(PS) y Q = P
Observación 3.8. A continuación [Cae1998, 1.2.] (sin embargo, dejando caer la condición de que el bilineal
mapa <,>T : P SQ→ T es supjetivo), Morita semi-contextos (T, S, P,Q,T ) en nuestro sentido
fueron llamados pares duales en [Ver2006]. Sin embargo, creemos que la terminología que estamos usando es más
informativo y evita la confusión con otras nociones de emparejamientos duales en la literatura (e.g.
los estudiados por el primer autor en [Abu2005]). La razón de esta terminología específica
(es decir, Morita semi-contextos) es que cada contexto Morita contiene dos semi-contextos Morita
como claro de la definición; y que cualquier semi-contexto Morita se puede extender a un (no
necesariamente unitario) Morita contexto de una manera natural como se explica a continuación.
RNGs elementales
En lo que sigue demostramos cómo construir nuevos contextos Morita (semi-) de un determinado
Semi-contexto de Morita. Estas construcciones se inspiran en la noción de ngs elementales en
[Cae1998, 1.2.] (y [Ver2006, Observación 3.8.¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
Lemma 3.9. Let mT := ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T ) MSC.
1. El (T, T)-bimódulo T := P S Q tiene una estructura de un T -rng (A-rng) con multipli-
catión
(pS q) ·T (p
′ S q
′) :=< p, q > T p
′ S q
′ P, p′ P, q, q′ Q,
tal que <,>T : T → T es un morfismo de A-rngs, P es un (T, S)-bimódulo y Q es
un (S,T)-bimódulo, donde
(pS q) pū := p, q > T pū y qū (pS q) := qū < p, q > T.
Además, tenemos morfismos de T-rngs (A-rngs)
* : T → End(PS), pS q 7→ [pū 7 p, q > T pū];
: T → Fin(SQ)
op, pS q 7→ [q 7→ q < p, q > T ],
((T: A), (S: B), P, Q, idT) MSC y tenemos un morfismo de semicontextos Morita
(<,>T, idS,, idP, idQ) : (T, S, P,Q, idT) → (T, S, P,Q,<,>T).
2. El (S, S)-bimódulo S := QT P tiene una estructura de un S-rng (B-rng) con multipli-
catión
(qT p) ·S (q
′ T p
′) := q < p, q′ > T T p
′ = qT < p, q
′ >T p
′ P, p′ P, q, q′ Q,
tal que <,>S: S → S es un morfismo de B-rngs, P es un (T,S)-bimódulo y Q es
un (S, T )-bimódulo, donde
p. (q T p) := p., q > T p y (q T p) q := q < p, qū > T.
Además, tenemos morfismos de S-rngs (B-rngs)
: S → Fin (TP )
op, q T p 7→ [p 7 p, q > T p],
Φ : S → End(QT ), q T p 7→ [q
y M := ((T : A), (S : B), P, Q,<,>T, idS) es un contexto Morita.
Observaciones 3.10. 1. Dado (S: B), (T: A), Q, P,<,>S) MSC, el (S, S)-bimódulo
S := QT P se convierte en un S-rng con multiplicación
(q T p) ·S (q
′ T p
′) :=< q, p > S q
′ T p
′ P, p′ P, q, q′ Q;
y el (T, T)-bimódulo T := P S Q se convierte en un T -rng con multiplicación
(pS q) ·T (p
S q
′) := p < q, p′ > S S q
′ = pS < q, p
′ > S q
′ P, p′ P, q, q′ Q.
Resultados análogos a los de Lemma 3.9 se pueden obtener para el S-rng S y el
T -rng T.
2. Dado un semicontexto de Morita (T, S, P,Q,<,>T) varias condiciones equivalentes para el
T -rng T := P S Q para ser unitario y los módulos TP, QT para ser firme se puede encontrar en
[Ver2006, Teorema 3.3.]. Resultados análogos pueden ser formulados para el S-rng QT P
y los módulos S PS, SQ correspondientes a cualquier (S, T,Q, P,<,>S) MSC.
Proposición 3.11. 1. Dejar mT = (T, S, P, Q,<,>T ) • UMSC y asumir el A-rng
T := P S Q para ser unitario. Si <,>T : T → T respeta las unidades (y mT es inyector),
entonces <,>T es sujetivo (T
T como anillos A).
2. Dejar mS = (S, T,Q, P,<,>S) • UMSC y asumir el B-rng S := Q S P a
Ser unitario. Si <,>S: S → S respeta las unidades (y mS es inyector), entonces <,>S es
sujetivo (S
S como anillos B).
3. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) UMC y asumir los rngs T := P S Q, T,
S := QS P para ser unitario. Si <,>T : P S Q → T y <,>S: S → S respetar las unidades,
entonces T
T como A-ring, S
S como anillos B y tenemos equivalencias de categorías
TM S.M. (y MT S.M.).
Prueba. Suponga que T es unitaria con 1T =
pi S qi. Si <,>T respeta las unidades, entonces nosotros
< pi, qi > T= 1T, y así para cualquier t â € T obtenemos t = t1T =
t < pi, qi > T=
< tpi, qi > TÃ3n Im(<,>T ). Uno puede probar "2" análogamente. En cuanto a “3”, está bien
conocido que un contexto unitario Morita con morfismos de bimódulos de conexión surjetivo es
estricta (por ejemplo, [Fai1981, 12.7.), por lo tanto T
T, S
S. Las equivalencias de categorías
TM TM ♦ SM SM (y MT MT MS MS) siguen entonces por el clásico Morita
Teoría (por ejemplo: [Fai1981, cap. 12]).
Definición 3.12. Dejar que T sea un A-rng, VT un T -módulo derecho y considerar para cada izquierda
T -módulo TL el aniquilador
annL(VT ) := {l L V T l = 0}.
Siguiendo [AF1974, Ejercicios 19], decimos que VT es L-fiel, iff ann
L(VT ) = 0; y
completamente fiel, if VT es L-fiel para cada T -módulo SL izquierda. Del mismo modo, podemos
definir completamente fiel T -módulos de izquierda.
En condiciones adecuadas, el siguiente resultado caracteriza los datos de Morita, que
son contextos Morita:
Proposición 3.13. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) sea un dato de Morita.
1. Si M â € TM TM, entonces S
S y T
T como rngs.
2. Suponga que el TP es Q-fiel y el QT es P-fiel. Entonces M • MC si y sólo si S
y T
T como rngs.
Prueba. 1. Obvio.
2. Suponga que S
S y T
T como rngs. Si p â € TM p y q, q′ â € TM Q son arbitrarios, entonces tenemos
para cualquier p..........................................................................................................................................................................
< q, p > S q
′ T p = (q T p) ·S (q
′ T p) = (q T p) ·S (q
′ T p) = q < p, q
′ >T T p,
por lo tanto < q, p > S q
′ − q < p, q′ > T¡nQ(P) = 0 (puesto que TP es Q-fiel), es decir,
< q, p > S q
′ = q < p, q′ > T para todos los p ≤ P y q, q
′ • Q. Asumiendo que QT es P-fiel,
uno puede probar análogamente que < p, q > T p
′ = p < q, p′ > S para todas las p, p
′ P y
Q. En consecuencia, M es un contexto Morita.
4 Contextos de Morita (Semi-) Injetivo
Definición 4.1. Llamamos a Morita semi-contexto mT = (T, S, P, Q,<,>T, I) :
inyectable (resp. semi-estricto, estricto), iff <,>T : P S Q→ T es inyector (resp. surjec-
tivo, bijetivo);
no degenerado, if Q ∗P y P Q* canónicamente;
Morita α-semi-contexto, iff Pl := (Q, TP ) P
l (T ) y Qr := (P,QT )
r (T ).
Notación. Por MSCα ≤ MSC (UMSCα ≤ UMSC) denotamos la subcategoría completa de
(unital) Morita semi-contextos que satisfacen la α-condición. Por otra parte, denotamos por IMSC ≤
MSC (IUMSC ≤ UMSC) la subcategoría completa de semicontextos de Morita inyectables (unitales).
Definición 4.2. Decimos un dato Morita (contexto) M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) :
es inyector (resp. semi-estricto, estricto), iff <,>T : PSQ→ T y <,>S: QT P → S
son inyectables (resp. sujetivo, bijetivo);
no es degenerado, if Q ∗P, P Q*, Q P* y P ∗Q canónicamente;
cumple la condición α izquierda, iffPl := (Q, TP ) P
l (T ) y Ql := (P, SQ)
l (S);
cumple la condición α derecha, if Qr := (P,QT ) P
r (T ) y pr := (Q,PS)
Pαr (S);
cumple la condición α, o M es un Morita α-datum (Morita α-contexto), if M
satisface tanto la izquierda como la derecha α-condiciones.
Notación. Por MCαl < MC (UMC)
l < UMC) denotamos la subcategoría completa de Morita
contextos que satisfagan la condición α de la izquierda, y por MCαr < MC (UMC)
r < UMC) el completo
subcategoría de contextos Morita (unitales) que satisfacen la condición α derecha. Por otra parte, nos fijamos
α := MCαl
r y UMC
α := UMCαl
Lemma 4.3. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) • MC. Considere el semi- Morita
context MS := (S, T,Q, P,<,>S), los emparejamientos duales Pl := (Q, TP ) Pl(T ), Qr :=
Pr(T) y los morfismos canónicos de los anillos
P : S → Fin (TP )
op y Q : S → End(QT ).
1. Si Qr es inyector (semi-estricto), entonces la EM es inyectora (?P : S → End(TP )
op es un
morfismo subjetivo de B-rngs).
2. Supongamos que PS es fiel y que Qr sea semi-estricto. Entonces S End (TP )
op (un isomor-
El phisma de los anillos B unitarios) y de la EM es estricto.
3. Si Pl es inyector (semi-estricto), entonces la EM es inyectora (
morfismo tivo de los B-rngs).
4. Supongamos que SQ es fiel y que Pl es semi-estricto. Entonces S End(QT) (un isomorfismo
de los anillos B unitarios) y la EM es estricta.
Prueba. Solo demostramos “1” y “2”, ya que “3” y “4” pueden probarse análogamente.
Considere el siguiente diagrama de mariposas con morfismos canónicos
QT Q
∗P T P
QT P
idQTŁQr
llYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
T idP
22eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
uujjj
Hom−T (
∗P,Q)
(?Pl,Q)
Hom−T (Q
*, P )
(Qr,P )
ttjjjj
**TTT
Fin (QT ) Fin (TP )
qi T pi QT P ser arbitrario. Por cada p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o. p.o.
[(Qr, P ) α
qi T pi)](p) =
< p, qi > T pi
p < qi, pi > S
= P (
< qi, pi > S (p)
= (l+P <,>S)(
qi T pi (p),
i.e. α
P := (Qr, P ) α
P =...................................................................................................................................................................
[, ]iP (Pl T idP )(
qi T pi)](p) =
Pl(qi)(p)pi
< p, qi > T pi
p < qi, pi > S
= P (
< qi, pi > S (p)
= [(lp <,>S)]
qi T pi)](p),
i.e. [, ] pp <, >............................................................................................................................................. Por otro lado, por cada Q que tenemos
((Pl, Q ) α
qi T pi (q) =
qi < pi, q > T
< qi, pi > S)q
= Q(
< qi, pi > S)(q
= (l+Q+ <,>S)(
qi T pi),
i.e. α
Q := (Pl, Q) • α
P = P = P = P <, > S y
([, ]rQ • (idQ T •Qr))(
qi T pi)](q) =
qiŁQr(pi)(q)
qi < pi, q > T
< qi, pi > S q
= Q(
< qi, pi > S)(q
= [(l+Q+ <,>S()]
qi T pi)](q),
i.e. [, ]rQ (idQ T Qr) = ♥Q <,>S. Por lo tanto, el Diagrama (7) es conmutativo.
(1) Sigue directamente de las suposiciones y la igualdad α
P = P <,>S.
(2) Que PS sea fiel, de modo que el mapa canónico izquierdo S-lineal P : S → Fin (TP )
es inyector. Asumir ahora que Qr es semi-estricto. Entonces P es sujetivo por “1”, de dónde
Bijetivo. Puesto que los anillos de endomorfismos son unitarios, concluimos que S End(TP)
op es un
Unital B-ring también (con unidad 1P (idP )). Por otra parte, la subjetividad de α
P =.................................................................................................
implica que <,>S es sujetivo (puesto que ♥P es inyector), digamos 1S =
< qj, pj > S para algunos
{(qśj, pśj)}J Q× P. Para cualquier
qi T pi Ker(<,>S), tenemos entonces
qi T pi = (
qi T pi) · 1S =
(Qi T pi) (
< q.j, p.j. > S)
qi T pi < qj, pj > S =
qiT < pi, qj > T pj
qi < pi, qj > T T pj =
< qi, pi > S qj T pj
< qi, pi > S)qśj T pśj = 0,
i.e. <,>S es inyector, de donde un isomorfismo.
El siguiente resultado muestra que los α-contextos de Morita son inyectores:
Corollario 4.4. MCαl-MC
r ≤ IMC.
Ejemplo 4.5. Que mT = (T, S, P, Q,<,>T ) sea un semicontexto Morita no degenerado. Si
T es un anillo QF y el T -módulos TP, QT son proyectivas, entonces por Proposición 2.12 “7”
Pl := (Q, TP ) P
l (T ) y Qr := (P,QT )
r (T ) (es decir, mT es una Morita α-semi-
context, whence inyective). Por otro lado, dejar que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) sea un
datum de Morita no degenerado. Si T, S son anillos QF y los módulos TP, QT, PS, SQ son
proyectiva, entonces M es un Morita α-datum (de dónde inyector).
Cada contexto unitario semi-estricto Morita es inyector (de donde es estricto, por ejemplo. [Fai1981, 12.7................................................................................................................................................................................................................................................................
El siguiente ejemplo, que es una modificación de [Lam1999, Ejemplo 18.30]), muestra que
lo contrario no es necesariamente cierto:
Ejemplo 4.6. Que T = M2(Z2) sea el anillo de 2 x 2 matrices con entradas en Z2. Note que
T es un idempotente, y que eTe Z2 como anillos. Establecer
P := Te = {
a′, c′ Z2} y Q := eT = {
a, b Z2}.
Entonces P = Te es un (T, eTe)-bimódulo y Q = eT es un (eTe, T )-bimódulo. Por otra parte, nosotros
tener un contexto Morita
Me = (T, eTe, T e,, eT, <,>T, <. >eTe),
donde se encuentran los mapas bilineales de conexión
<,>T : TeeTe eT → T,
a′a a′b
c′a c′b
<,>eTe : eT T Te → eTe
aa′ + bc′ 0
Los cálculos inmediatos muestran que <,>T es inyector pero no surjetivo (como
Im(<,>T)) y que <,>eTe es de hecho un isomorfismo. Esto significa que Me es un inyector
Contexto Morita que no es semi-estricto (de donde no es estricto).
Definición 4.7. Que T sea un rng y I T un ideal. Por cada T -módulo de TV de la izquierda considerar
el mapa canónico T -lineal
I, V : V → HomT (I, V ), v 7→ [t 7→ tv].
Decimos que T I es fuertemente V -fiel, if annV (I) := Ker(I,V ) := 0. Por otra parte, decimos que es
fuertemente fiel, si T I es V - fiel para cada T -módulo de TV izquierda. Fuerte fidelidad de I
w.r.t. derecho T -módulos se pueden definir análogamente.
Observación 4.8. Que T sea un rng, I T un ideal y TU un ideal a la izquierda. Está claro que Ann
U(IT )
annU(I) := Ker(I,U). Por lo tanto, si T I es fuertemente U-fiel, entonces es U-fiel (que
justifica nuestra terminología). En particular, si T I es fuertemente fiel, entonces IT es completamente
Fiel.
Los α-contextos de Morita son inyectables por el corolario 4.4. El siguiente resultado da un
Conversación parcial:
Lemma 4.9. Dejar M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) MC y asumir el Morita semi-
context MS := (S, T,Q, P,<,>S, J) es inyector.
1. Si SJ es muy fiel, entonces Qr := (P,QT )
r (T ).
2. Si JS es muy fiel, entonces Pl := (Q, TP ) P
l (T ).
Prueba. Sólo demostramos “1”, ya que “2” puede probarse de manera similar. Suponga que la EM es inyectora y
considerar para cada U T -módulo izquierdo el siguiente diagrama
QT U
•J,QT U ((QQ)
HomT−(P, U)
•Q,Uuukkk
HomS−(J,QT U)
donde para todos f • HomT−(P, U) y
< qj, pj >
•Q,U(f)(
< qj, pj > S) :=
qj T f(pj).
Entonces tenemos para cada
{C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF} {C:$00FF}
< qj, pj >
(+Q,U + α
q?i T i(s) =
qj T [α
q?i T i)](pj)
qj T
< pj, q
qjT < pj, q
qj < pj, q
< qj, pj > S q
= J,QTU(
q?i T i(s),
i.e. diagrama (8) es conmutativo. Si SJ es fuertemente fiel, entonces Ker (J,QTU) = annQTU(J) =
0, por lo tanto J,QTU es inyector y se deduce entonces que α
U es inyector.
Proposición 4.10. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) IMC. Si T I, IT, SJ y JS
son muy fieles, entonces M â â € TM TM TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
5 Equivalencias de categorías
En esta sección se ofrecen algunas aplicaciones de los semi-)contextos de Morita inyectables y en-
datos de Morita a equivalencias entre subcategorías adecuadas de módulos
la teoría de la localización-colocalización Kato-Müller-Ohtake (como se desarrolló en (por ejemplo, [Kat1978],
[KO1979], [Mül1974]). Todos los anillos, de ahí todos los contextos y datos Morita (semi-) en esta sección
son unitarios.
Módulos estáticos y adstáticos
5.1. ([C-IG-TW2003]) Que A y B sean dos categorías completas de Abelian, R:
A → B un agente covariante aditivo con contiguo izquierdo L : B → A y dejar
• : LR → 1A y η : 1B → RL
ser las transformaciones naturales inducidas (llamadas la counidad y la unidad de la unión,
respectivamente). Relacionado con el par contiguo (L,R) son dos subcategorías completas de A y B:
Stat(R) := {X+A LR(X)
X} y Adstat(R) := {Y B Y
RL(Y)},
cuyos miembros se llaman objetos R-estáticos y objetos R-adstáticos, respectivamente. Lo es.
evidente (de la definición) que tenemos equivalencia de categorías Stat(R) Adstat(R).
Una situación típica, en la que los objetos estáticos y adstáticos surgen naturalmente es la
A continuación:
5.2. Dejemos que T, S sean anillos, TUS a (T, S)-bimódulo y consideremos los functores covariantes
HIU := HomT (U,−) : TM → SM y T
U := U S − : SM → TM.
Es bien sabido que (TlU,H
U) es un par contiguo de functores covariantes a través de la
isomorfismos
HomT (U S M,N) HomS(M,HomT (U,N)) para todos los M-SM y N-TM
y las transformaciones naturales
lU : U S HomT (U,−) → 1TM y η
U : 1SM → HomT (U, U S −)
rendimiento por cada TK y SL los morfismos canónicos
lU,K : U S HomT (U,K) → K y η
U,L : L→ HomT (U, U S L). (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Llamamos al HIU-static modulos U-static w.r.t. S y conjunto
Statl(TUS) := Stat(H
U) = {TK U S HomT−(U,K)
K};
y el HIU-adstatico módulos U-adstatico w.r.t. S y conjunto
Adstatl(TUS) := Adstat(H
U) = {SL L
HomT−(U, U S L)}.
Para [Nau1990a] y [Nau1990b], hay equivalencias de categorías
Statl(TUS) Adstat
l(TUS). (10)
Por otro lado, uno puede definir las subcategorías completas Statr(TUS) Adstat
r(TUS) :
Statr(TUS) := {KS Hom−S(U,K)T U K};
Adstatr(TUS) := {LT L Hom−S(U, LT U)}.
En particular, el establecimiento
Stat(TU) := Stat
l(TUEnd(TU)op); Adstat(TU) := Adstat
l(TUEnd(TU)op);
Stat(US) := Stat
r(End(SU)US); Adstat(US) := Adstat
r(Fin(SU)US),
existen equivalencias de categorías:
Stat(TU) Adstat(TU) y Stat(US) Adstat(US). (11)
Observación 5.3. La teoría de los módulos estáticos y adstáticos se desarrolló en una serie de documentos
por el segundo autor (ver las referencias). También fueron considerados por varios otros
autores (por ejemplo: [Alp1990], [CF2004]). Para otras terminologías utilizadas por diferentes autores, la
lector interesado puede referirse a un tratamiento integral del tema por R. Wisbauer
en [Wis2000].
Subcategorías de intersección
Varias subcategorías intersectantes relacionadas con contextos Morita fueron introducidas en
la literatura (p. ej. [Nau1993], [Nau1994-b]). En lo que sigue introducimos más y
mostrar que muchos de estos coinciden, si uno comienza con un semi-contexto de Morita inyectable.
Por otra parte, otros resultados sobre equivalencias entre algunas subcategorías intersectantes relacionadas
a un contexto de Morita inyector se reencuadrará por arbitrario (no necesariamente compatible)
datos de Morita inyectables.
Definición 5.4. 1. Para un derecho T -módulo X, un T -submódulo X ′ X se llama K-puro
para algunos T -módulo izquierdo TK, iff la siguiente secuencia de los grupos Abelian es exacta
0 → X ′ T K → X T K → X/X
′ T K → 0;
2. Para un T -módulo Y izquierdo, un T -submódulo Y ′ Y se llama L-copure para algunos izquierda
T -módulo TL, si la siguiente secuencia de grupos Abelianos es exacta
0 → HomT (Y/Y)
′, L) → HomT (Y, L) → HomT (Y
′, L) → 0.
Definición 5.5. (Comparar [KO1979, Teoremas 1.3., 2.3.]) Que T sea un anillo, I T an
ideal, U a la izquierda T -módulo y considerar los morfismos canónicos T -lineal
I,U : U → HomT (I, U) y I,U : I T U → U.
1. Decimos que la TU es divisible en I, si es superjetiva (equivalente a if UI = U).
2. Decimos que U.U. está localizado, si U.
HomT (I, U) canónicamente (equivalente si T I es
fuerte U-fiel y T I T es U-copure).
3. Nosotros decimos una izquierda T -modulo U es I-colocalizado, if ITU
U canónicamente (equivalente,
if TU es I-divisible y IT T es U-puro).
Notación. Para un anillo T, un ideal I T, y con morfismos siendo los canónicos,
nos fijamos
ID := {TU UI = U}; FI := {TU U HomT−(I, U)};
IL := {TU U HomT (I, U}; IC := {TU I T U U};
DI := {UT UI = U}; FI := {UT U Hom−T (I, U)};
LI := {UT U HomT (I, U}; CI := {UT U T I U};.
El siguiente resultado se debe a T. Kato, K. Ohtake y B. Müller (e.g. [Mül1974],
[Kat1978], [KO1979]:
Proposición 5.6. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) UMC. Entonces hay equiv-
alences de categorías
CI, CI, CJ, IL, JL y LI, LJ.
5.7. Dejar mT = (T, S, P,Q,<,>T, I) • UMSC y considerar los dobles emparejamientos Pl := (Q,
TP ) Pl(T ) y Qr := (P,QT ) Pr(T ). Para cada izquierda (derecha) T -módulo U considerar la
Morfismo canónico S-lineal inducido por <,>T :
U : QT U → HomT−(P, U) (α
U : U T P → Hom−T (Q,U)).
Definimos
Dl(mT ) := {TU QT U
HomT−(P, U)};
Dr(mT) := {UT U T P
Hom−T (Q,U)}.
Por otra parte, set
Ul(mT ) := Stat
l(TPS) •Adstat
l(SQT ); Ur(mT ) := Stat
r(SQT ) •Adstat
r(TPS);
Vl(mT ) := Stat
l(TPS) • Dl(mT ); Vr(mT ) := Stat
r(SQT ) • Dr(mT );
Vl(mT ) := IC • Dl(mT ); Vr(mT ) := CI • Dr(mT );
Vál(mT ) := Vl(mT )à l; Vár(mT ) := Vr(mT ) à l ;
Wl(mT ) := Adstat
l(SQT ) Dl(mT ); Wr(mT ) := Adstat
r(TPS) • Dr(mT );
Wl(mT ) := IL (Dl(mT ); Wr(mT ) := LI (Dr(mT );
l(mT ) := Wl(mT )• IC; r(mT ) := Wr(mT ) • CI ;
Xl(mT ) := Vl(mT ) / Wl(mT ); Xr(mT ) := Vr(mT ) / Wr(mT );
Xl(mT ) := Vl(mT ) • Wl(mT ); Xr(mT ) := Vr(mT ) • Wr(mT ).
X * l (mT ) := {S(QT U) V Xl(mT )}; X
r (mT ) := {(U T P )S V Xr(mT )};
l (mT ) := {S(QT U) V Xl(mT )}; X
r(mT ) := {(U T P )S V Xr(mT )}.
Dado mS = (S, T,Q, P,<,>S, J) • UMSC se puede definir análogamente, el correspondiente
la intersección de las subcategorías de SM y EM.
Como consecuencia inmediata de la Proposición 5.6 obtenemos
Corollary 5.8. Dejar que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J)
ciated Morita semicontextos MT y MS (5).
1. Si IC ≤ Dl(MT ) y JC ≤ Dl(MS), entonces Vl(MT ) Vl(MS). Del mismo modo, si IC ≤
Dr(MT ) y CJ ≤ Dr(MS), luego Vr(MT ) Vr(MS).
2. Si IL ≤ Dl(MT ) y JL ≤ Dl(MS), entonces Wl(MT ) Wl(MS ). Del mismo modo, si LI ≤
Dr(MT ) y LJ ≤ Dr(MS), luego Wr(MT ) Wr(MS).
A partir de un contexto Morita, se obtuvo el siguiente resultado en [Nau1993,
Teorema 3.2.]. Repetimos el resultado de una arbitraria (no necesariamente compatible) Morita
datum y bosqueja su prueba:
Lemma 5.9. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) sea un dato unitario de Morita y con-
sider los semicontextos Morita asociados MT y MS en (5). Entonces hay equivalencias
de categorías
Xl(MT)
HomT−(P,−)
HomS−(Q,−)
Xl(MS) y Xr(MT)
Hom−T (Q,−)
Hom−S(P,−)
Xr(MS).
Prueba. Dejemos que la televisión sea Xl(MT). Por el Estado de equivalencia
l(TPS)
HomT (P,−)
• Adstatl(TPS) en 5,2
tienen HomT−(P, V )
l (TPS). Por otra parte, V Dl(M), por lo tanto HomT−(P, V ) QT V
canónicamente y se deduce entonces de la equivalencia Adstatl(SQT )
• Statl(SQT) que
HomT−(P, V )
l(SQT ). Además, tenemos los siguientes isomorfismos naturales:
P S HomT−(P, V ) V HomS−(Q,QT V ) HomS−(Q,HomT−(P, V )), (13)
i.e. HomT−(P, V ) • Dl(MS). En consecuencia, HomT−(P, V ) Xl(MS). Además, (13)
produce un isomorfismo natural V HomS−(Q,HomT−(P, V)). Analógicamente, uno puede mostrar para
Todos losW Xl(MS) que HomS-(Q,W) Xl(MT) y queW HomT-(P,HomS-(Q,W))
Naturalmente. En consecuencia, Xl(MT ) Xl(MS ). Las equivalencias Xr(MT ) Xr(MS) pueden
ser probado análogamente.
Proposición 5.10. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) sea una Morita inyectora unitaria
datum y considerar los semicontextos Morita asociados MT y MS en (5).
1. Existen equivalencias de categorías
Statl(T IT ) Adstat
l(T IT ); Stat
l(SJS) فارسى Adstat
l(SJS);
Statr(T IT ) Adstat
r(T IT ); Stat
r(SJS) • Adstat
r(SJS).
2. Si Statl(T IT ) ≤ X
l (EM) y Stat
l(SJS) ≤ X
l (MT ), entonces hay equivalencias de
categorías
Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT ) • Statl(T IT )
l(SJS) y Adstat
l (T IT ) Adstat
l(SJS).
3. Si Statr(T IT ) ≤ X
r (EM) y Stat
r(SJS) ≤ X
r (MT ), entonces hay equivalencias de
categorías
Statr(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat(T IT ) • Stat
r(SJS) y Adstat
r(T IT ) Adstat
r(SJS).
Prueba. Para probar “1”, note que como M es un dato inyector Morita, P S Q
y QT P
J como bimódulos y por lo tanto las cuatro equivalencias de categorías resultan de 5.2.
Para probar “2”, se puede utilizar un argumento similar al de [Nau1994-b, Teorema 3.9.] a
mostrar que la inclusión Statl(T IT ) = Stat
l(T (P S Q)T ) ≤ X
l (EM) implica Stat
l(T IT ) =
Statl(T (P S Q)T ) = Xl(MT ) y que el Stat de inclusión
l(SJS) = estadística
l(S(Q T P )S) ≤
X * l (MT ) implica Stat
l(SJS) = estadística
l(S(Q T P )S) = Xl(MS). El resultado sigue entonces por
Lemma 5.9. La prueba de "3" es análoga a la de "2".
En el caso de los semicontextos de Morita inyectables, se muestran varias subcategorías en (12)
el resultado siguiente es igual:
Teorema 5.11. Let mT = (T, S, P, Q,<,>T, I) • IUMS. Entonces
1. Vl(mT ) = Vl(mT ), Wl(mT ) = Wl(mT ), de dónde
(mT ) = l(mT ) = Xl(mT ) = Xl(mT ) = ICDl(mT )
l (mT ) = X
l (mT ).
2. Vr(mT ) = Vr(mT ), Wr(mT ) = Wr(mT ), de dónde
(mT ) = r(mT ) = Xr(mT ) = Xr(mT ) = CIDr(mT )LI y X
r (mT ) = X
r(mT ).
Prueba. Demostramos que sólo “1” como “2” puede probarse análogamente. Asumir que el Morita semi-
context mT = (T, S, P, Q,<,>T, I) es inyector. Por nuestra suposición que tenemos para cada
V • Dl(mT ) el diagrama conmutativo
P S (QT V )
idPS(α
(P S Q) T V
<,>TT idV
P S HomT−(P, V )
// V I T V I, V
Entonces se hace obvio que iP,V : P S HomT (P, V ) → V es un isomorfismo si y sólo
i I,V : I T V → V es un isomorfismo. En consecuencia
V(mT ) = Dl(mT )
l(TPS) = Dl(mT ) • IC = V(mT ).
Por otro lado, tenemos para cada V Dl(mT) el siguiente diagrama conmutativo
HomS−(Q,HomT−(P, V ))
// HomT−(P S Q, V )
HomS−(Q,QT V )
// HomT−(I, V )
(<,>T,V)
Se deduce entonces que ηilP,L : V → HomS(Q,Q T P ) es un isomorfismo si y sólo si
I, V : V → HomT (I, V ) es un isomorfismo. En consecuencia,
W(mT ) = Dl(mT ) Adstat
l(TPS) = Dl(mT ) I L = W(mT ).
Por otra parte, tenemos
IL = IL = IL = IL = IL = IL = IL = IL + IL + IL + IL + IL + IL + IL + IL + IL
= IC Wl(mT ) = IC Wl(mT ) = l(mT ).
Por otro lado, tenemos
Xl(mT ) = Vl(mT ) Wl(mT ) = Vl(mT ) Wl(mT ) = Xl(mT )
y por lo tanto las equivalencias VÃ l(mT ) = l(mT ) = Xl(mT ) = Xl(mT ) y X
l (mT ) = X
l (mT ) son
establecido.
Además de establecer varias otras equivalencias de subcategorías intersectantes,
los siguientes resultados replantean la equivalencia de las categorías V.........................................................................................................................................................................................................................................................
4.9.] para un datum de Morita inyector arbitrario (no necesariamente compatible):
Teorema 5.12. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) sea un dato de Morita inyector y
considerar los semicontextos asociados Morita MT y MS (5).
1. Las siguientes subcategorías son mutuamente equivalentes:
(MT ) = l(MT ) = Xl(MT ) = Xl(MT ) • Xl(MS ) = Xl(MS ) = l(MS ) = V°l(MS ).
2. Si Vl(MT ) ≤ IL y Wl(MS) ≤ JC, entonces Vl(MT ) Wl(MS). Si Wl(MT ) ≤ IC
y Vl(MS) ≤ JL, luego Wl(MT) • Vl(MS).
3. Las siguientes subcategorías son mutuamente equivalentes:
Vór(MT ) = r(MT ) = Xr(MT ) = Xr(MT ) Xr(MS) = Xr(MS) = r(MS) = Vór(MS).
4. Si Vr(MT ) ≤ LI y Wr(MT ) ≤ CJ, entonces Vr(MT ) Wr(MS ). Si Wr(MT ) ≤ CJ
y Vr(MS) ≤ LI, luego Vr(MS) Wr(MT ).
Prueba. Por Lemma 5.9, Xl(MT ) Xl(MS) y así “ 1” sigue por Teorema 5.11. Si
Vl(MT) ≤ IL y Wl(MS) ≤ JC, entonces tenemos
Vl(MT ) = Vl(MT ) • IL = Vl(MT ) • l(MS) = Wl(MS) • JC = Wl(MS).
Por otra parte, si Wl(MT ) ≤ IL y Vl(MS) ≤ JC, entonces
Wl(MT ) = Wl(MT ) • IC = l(MT ) • V°l(MS) = Vl(MS) • JL = Vl(MS).
Así que hemos establecido “2”. Los resultados de “3” y “4” pueden obtenerse de manera análoga.
6 Más aplicaciones
En esta sección final damos más aplicaciones de Morita α-(semi-)contextos y
Contextos de Morita (semi-) inyectora. Todos los anillos en esta sección son unitarios, de donde todo Morita
Los contextos son unitarios. Además, para cualquier anillo T denotamos con TE un arbitrario, pero
Cogenerador inyector fijo en TM.
Notación. Que T sea un anillo A. Para cualquier TV T -módulo izquierda, establecemos
#V := HomT (V, TE). Si
Además, TVS es un (T, S)-bimódulo para algunos B-ring S, entonces consideramos
S V con la izquierda
Estructura del módulo S inducida por la de VS.
Lemma 6.1. (Comparar [Col1990, Lemma 3.2.[CF2004, Lemmas 2.1.2., 2.1.3.]) Deja que T sea
A-ring, S a B-ring y TVS a (T, S)-bimódulo,
1. Un T -módulo izquierdo TK es V -generado si y sólo si el morfismo canónico T -lineal
V S HomT (V,K) → K (18)
es sujetivo. Por otra parte, V S W Pres(TV) Gen(TV) por cada S-módulo izquierdo
2. A la izquierda S-módulo SL es
S V -cogenado si y sólo si el morfismo canónico S-lineal
ηlv,L : L→ HomT (V, V S L) (19)
es inyector. Por otra parte, HomT (V,M) Copres(
S V ) Cogen(
S V ) por cada izquierda
T -módulo TM.
Observación 6.2. Que T sea un anillo A, S un anillo B y TVS a (T, S)-bimódulo. Note que para
cualquier S-módulo SL izquierda que tenemos
annL(VS) := {l L V S l = 0} = Ker(η
V, L),
de donde (por Lemma 6.1 “2” ) VS es fiel a L si y sólo si SL es
S V -cogenada. De ello se desprende:
entonces que VS es completamente fiel si y sólo si
S V es un cogenerador.
Localización y colocalización
En lo que sigue aclaramos las relaciones entre módulos estáticos (adstáticos) y subcate-
gories colocalizados (localizados) por un ideal traza de un contexto Morita que satisface la condición α.
Recuerde que para cualquier TPS (T, S)-bimódulo tenemos por Lemma 6.1:
Statl(TPS) Gen(TP) y Adstat
l(TPS) Cogen(
S P ). (20)
Teorema 6.3. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) UMC. Entonces tenemos
IC ID Gen (TP ). (21)
Asumir Pr := (Q,PS)
r (S). Entonces
1. Gen(TP ) = estadística
l(TPS) IF.
2. Si Gen(TP) IC, entonces IC = ID = Gen(TP) = Stat
l (TPS).
3. Si Qr := (P,QT )
r (T ), entonces T I TT es puro y IC = ID.
Prueba. Para cada T-módulo TK izquierdo, considere el siguiente diagrama con mor-
phismos y let α2 := I,K • •
P, K. Es fácil ver que ambos rectángulos y los dos a la derecha
triángulos viajan:
P S QT K
idPSα
<,>TT idK
P S HomT (P,K)
HomT (P,K)/
HomS(Q,HomT (P,K))
HomT (P S Q,K)
I T K
// HomT (I,K)
(<,>T,K)
Se deduce directamente de las definiciones que IC ID y Stat
l(TPS) Gen(TP ). Si TK
es I-divisible, entonces I,K® <,>T T idK = فارسى
P,K • idP S α
K es sujetivo, de donde
es sujetivo y concluimos que TK es P-generado por Lemma 6.1 “1”. En consecuencia,
ID Gen(TP).
Asume ahora que Pr â € P
r (S). Teniendo en cuenta el mapa canónico ♥Q : T → Fin(SQ)
el mapa.........................................................................................................................
Q es inyector y por lo tanto el mapa bilineal <,>T es inyector (es decir,
P S Q
I). Definir α1 := (idP S α
K ) (<,>T T idK)
−1, de modo que los triángulos izquierdos
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Note que αPr
HomT (P,K)
es inyector y la computatividad de la parte superior derecha
triángulo en el Diagrama (22) implica que α2 es inyector (de dónde
P,K es inyector por la
computatividad del triángulo inferior derecho).
1. Si K Statl(TPS), entonces la computatividad del triángulo derecho inferior (22) y el
la inyectividad de α2 muestra que I,K es inyectable; por lo tanto, Stat
l(TPS) IF. Por otro lado
mano, si TK es P -generado, a continuación,
P,K es sujetivo por Lemma 6.1 (1), por lo tanto, bijetivo,
i.e. K • Statl(TPS). En consecuencia, Gen(TP ) = Stat
l (TPS).
2. Esto se desprende directamente de las inclusiones de (21) y “1”.
3. Asumir Qr := (P,QT )
r (T ). Desde el principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio del principio de la igualdad de trato entre hombres y mujeres
r (S), sigue por analogía a Propo-
posición 2.12 “3” que PS es plana, por lo tanto idP S α
K es inyector. La computatividad de
el triángulo superior izquierdo en el Diagrama (22) implica entonces que α1 es inyector, de ahí I,K
es inyector por conmutatividad del triángulo inferior izquierdo (es decir, T I TT es K-puro). Si
TK es divisible, entonces K T I
K (es decir, K â € ¢ IC).
Teorema 6.4. Let M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S, I, J) UMC. Entonces tenemos
JL JF Cogen(
S P ) y Adstat
l(TPS) Cogen(
S P ).
Asumir Qr := (P,QT )
r (T ). Entonces
1. JS SS es puro y JC Cogen(
S P ).
2. Si pr := (Q,PS) + P
r (S), entonces JL Adstat
l(TPS) Cogen(
S P ) JF.
3. Si Pr • P
r (S) y Cogen(
S P ) JL, entonces JL = Cogen(
S P ) = Adstat
l (TPS).
Prueba. Para cada S-módulo derecho L considerar el diagrama conmutativo con canónico
morfismos y dejar que α3 sea tan definido, que los triángulos izquierdos se convierten en conmutativos
J S L
J,L //
J,L // HomS(J,L)
(<,>S,L)
HomS(QT P, L)
QT P S L
(<,>S)S idL
// HomT (P, P S L)
HomT (P,HomS(Q,L))
Por definición JL JF y Adstat
l(TPS) Cogen(
S P ). Si SL, JF, entonces J,L es inyector
y se sigue por la computatividad del rectángulo derecho en el diagrama (23) que ηlP,L es inyector,
Por lo tanto, SL es
S P-cogenerado por Lemma 6.1 “2”. En consecuencia, JF Cogen(
S P ).
Asumir ahora que Qr P
r (T ). Luego se deduce de Lemma 4.3 que <,>S es inyector
(por lo tanto QT P
J) y por lo tanto α4 := (pueden (<,>S, L))
-1 (P, αPrL) es inyector.
1. Dado que el α3 es inyector, también es inyector por cada SL, es decir. JS SS es puro. Si SL...............................................................................................
JC, entonces se deduce de la computatividad del rectángulo izquierdo en el Diagrama (23) que
ηlP,L es inyector, por lo tanto L • Cogen(
S P ) por Lemma 6.1 (2).
2. Asume que Pr â € P
r (S), de modo que α4 sea inyector. Si SL, JL, entonces J,L es un
isomorfismo, por lo tanto ηlP,L es sujetivo (note que α4 es inyector). En consecuencia,
JL Adstat
l (TPS).
3. Esto se desprende directamente de los supuestos y “2”.
∗-Módulos
Al final de esta sección, fijamos un anillo unitario T, un T -módulo TP izquierdo y set S :=
Fin (TP )
Definición 6.5. ([MO1989]) Llamamos TP a ∗-módulo, iff Gen(TP ) Cogen(
S P ).
Observación 6.6. J. Trlifaj [Trl1994] demostró que todos los módulos ∗ se generan finitamente.
Por definición, Statl(TPS) ≤ TM y Adstat
l(TPS) ≤ SM son los subcat-
egos entre los cuales la adjunción (P S −,HomT (P,−)) induce una equivalencia. Activar
por otra parte, Lemma 6.1 muestra que Gen(TP ) ≤ TM y Cogen(
S P ) ≤ SM son los
las subcategorías más grandes (véase [Col1990, sección 3] para más detalles). Esto sugiere que el
siguiente observación:
Proposición 6.7. ([Xin1999, Lemma 2.3.]) Tenemos
TP es un -módulo • Stat(TP ) = Gen(TP ) y Adstat(TP ) = Cogen(
S P ).
Definición 6.8. Un T -módulo izquierdo TU se dice que es
semi-
- Cuasi-proyección (abbr. s-
-cuasi-projetivo), iff para cualquier T -módulo izquierdo
TV Pres(TU) y cualquier presentación en U
U () → U ()
′) → V → 0
de TV (en su caso), la siguiente secuencia inducida es exacta:
HomT (U, U
→ HomT (U, U)
()) → HomT (U, V ) → 0;
débilmente...
- Cuasi-proyección (abbr. w-
-cuasi-projetivo), iff para cualquier T izquierda -
módulo TV y cualquier secuencia exacta corta
0 → K → U
′) → V → 0
con K • Gen(TU) (en su caso), la siguiente secuencia inducida es exacta:
0 → HomT (U,K) → HomT (U, U
()) → HomT (U, V ) → 0;
auto-tirado, si TU es w-
-cuasi-proyección y Gen(TU) = Pres(TU);
- autoestático, si cualquier suma directa U () es U -estático.
(self)-pequeño, if HomT (U,−) se desplaza con sumas directas (de TU);
Proposición 6.9. Suponga que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) es un contexto unitario Morita.
1. Si pr := (Q,PS) + P
r (S), a continuación:
a) Gen(TP ) = estadística
l(TPS);
b ) existe una equivalencia de las categorías Gen(TP ) Cop(
S P );
c) TP es
-self-static y Statl(TPS) se cierra bajo módulos factoriales.
d) Gen(TP ) = Pres(TP );
2. En caso de que se trate de M • UMCαr y Cogen(
S P ) JL, entonces:
a) Gen(TP ) = estadística
l(TPS) y Cogen(
S P ) = Adstat
l(TPS);
b) existe una equivalencia de las categorías Cogen(
S P ) Gén(TP );
c) El TP es un módulo ∗;
d) El TP es autotensible y autopequeño.
Prueba. 1. Si Pr • P
r (S), entonces se deduce por Teorema 6.3 que Gen(TP ) = Stat
l(TPS),
que es equivalente a cada uno de "b" y "c" por [Wis2000, 4.4.] y a “d” por [Wis2000,
4.3.].
2. De los supuestos, Teoremas 6.3, 6.4 y 5.2, se desprende que Gen(TP ) = Stat
l(TPS)
Adstatl(TPS) = Cogen(
S P ), de dónde Gen(TP ) Cogen(
S P ) (que es la definición
de ∗-módulos). Por lo tanto “a” â € “b” â € “c”. La equivalencia “a” â € “d” es evidente por
[Wis2000, corolario 4.7.] y hemos terminado.
Contextos amplios de Morita
Los contextos de amplia Morita fueron introducidos por F. Castaño Iglesias y J. Gómez-Torrecillas
[C-IG-T1995] y [C-IG-T1996] como una extensión de los contextos clásicos de Morita a Abelian
categorías.
Definición 6.10. Que A y B sean categorías Abelianas. Una derecha (izquierda) amplia Morita
contexto entre A y B es un dato Wr = (G,A,B,F, η,
a la derecha (izquierda) los functores covariantes exactos y η : F ° G 1A, η : G ° F 1B (η : 1A
F G, : 1B G F ) son transformaciones naturales, de tal manera que para cada par de objetos
(A,B) • A× B las condiciones de compatibilidad G(ηA) = G(A) y F (ηB) = ηF (B).
Definición 6.11. Que A y B sean categorías Abelianas y W = (G,A,B,F, η,
(izquierda) amplio contexto Morita. Llamamos a W inyector (respectivamente semi-estricto, estricto), if η
y son monomorfismos (respectivamente epimorfismos, isomorfismos)
Observaciones 6.12. Let W = (G,A,B,F, η,
1. Sigue por [CDN2005, Proposiciones 1.1., 1.4.] que si η o l es un epimorfismo
(monomorfismo), entonces W es estricto, de donde A Ł B.
2. El parecido de los contextos de Morita inyectora izquierda ancha es con el Morita-Takeuchi
contextos para los comodulos de las coagnebras, es decir, los denominados datos de preequivalencia para cate-
los comódulos introducidos en [Tak1977] (véase [C-IG-T1998] para más detalles).
Contextos inyectivos de Morita de derecha amplia
En un trabajo reciente [CDN2005, 5.1.], Chifan, et. al. (para las categorías de módulos)
relación entre los contextos clásicos de Morita y los contextos de Morita. Por la conve-
nience del lector y para referencia posterior, incluimos en lo que sigue una breve descripción
de esta relación.
6.13. Que T, S sean anillos, A := TM y B := SM. Asociado a cada contexto Morita
M = (T, S, P,Q,<,>T, <,>S) es un amplio contexto Morita de la siguiente manera: Definir G : A B : F
por G(−) = Q T − y F (−) = P S −. Luego hay transformaciones naturales η :
F G 1
Y: G. F. 1
De tal manera que para cada TV y WS:
ηV : P S (QT V ) → V,
pi S (qi T vi) 7→
< pi, qi > T vi,
W : QT (P S W ) → W,
qi T (pi S wi) 7→
< qi, pi > S wi.
Entonces el datum Wr(M) := (G, TM, SM, F, η,
A la inversa, dejar que T ′, S ′ sean dos anillos y W ′r = (G
′, T ′M, S′M, F
′,, ) ser un ancho derecho
Contexto Morita entre T ′M y S′M de tal manera que el funcionamiento exacto correcto G
′ : T ′M
S′M : F
′ viajar con sumas directas. Por los teoremas de Watts (por ejemplo: [Gol1979]), existe un
(T, S)-bimódulo P ′ (por ejemplo: F ′(S ′) de tal manera que F ′ P S′ −, un (S, T)-bimódulo Q
′ de modo que
G′ Q′ T ′ − y deben existir dos formas bilineales
<,>T ′: P
′ S′ Q
′ → T ′ y <,>S′: Q
′ T ′ P
′ → S ′,
de tal manera que las transformaciones naturales : F ′ G′ → 1
,. : G′............................................................................
son dados por
V ′(p
′ S′ q
′ T ′ v
′) =< p′, q′ > T ′ v
′ y ′W ′(q)
′ T p
′ S w
′) =< q′, p′ > S′ w
para todos los V ′ ̃ T ′M, W
′ S′M, p
′ P ′, Q′, V′, V′, W′, W′, W′, Q′, V′ y W′. Se puede demostrar que
de esta manera se obtiene un contexto Morita M′ = M′(W ′r) := (T
′, S ′, P ′, Q′, <,>T ′, <,>S′).
Por otra parte, resulta que dado un contexto amplio Morita Wr, tenemos Wr Wr(M(Wr)).
El siguiente resultado aclara la relación entre los contextos inyectores de Morita y
contextos de Morita.
Teorema 6.14. Que M = (T, S, P, Q,<,>T, <,>S) sea un contexto Morita, A := TM, B :=
SM y considerar el contexto de Morita de ancho derecho inducido Wr(M) := (G,A,B,F, η, l).
1. Si Wr(M) es un contexto de Morita inyectora de ancho derecho, entonces M es un Morita inyectora
contexto.
2. Si M • UMCαr, entonces Wr(M) es un contexto de Morita inyector de ancho derecho.
Prueba. 1. Que Wr(M) sea un contexto de Morita inyectora de ancho derecho. Entonces, en particular,
<,>T= ηT y <,>S= M es un contexto de Morita inyectable.
2. Supongamos que M satisface la condición α correcta. Supongamos que existe algo de televisión y
pi S (qi T vi) Ker (ηV ). Entonces para cualquier q â € TM TM Q que tenemos
0 = q T ηV (
(pi S qi)T vi) =
qT < pi, qi > T vi
q < pi, qi > T T vi =
< q, pi > S qi T vi
< q, pi > S (qi T vi) = α
pi S (qi T vi)(q).
Desde el Pr := (Q,PS)
r (S), el morfismo α
es inyector y así
piS (qiT)
vi) = 0, es decir, ηV es inyector. Analógicamente, supongamos
qi T (pi S wi) Ker(lW).
Entonces para cualquier p â € TM p que tenemos
0 = pS W (
qi T (pi S wi) =
pS < qi, pi > S wi
p < qi, pi > S Swi =
< p, qi > T pi S wi
< p, qi > T (pi S wi) = α
qi T (pi S wi)(p).
Desde Qr := (P,QT )
r (T ), el morfismo α
es inyector y así
qi T
(pi S wi) = 0, es decir, W es inyector. Consecuentemente, el derecho inducido Morita
Context Wr(M) es inyector.
Agradecimiento: Los autores agradecen al árbitro su lectura cuidadosa de
el documento y para las sugerencias, comentarios y correcciones fructíferos, que ayudaron en
mejorar varias partes del documento. Por otra parte, reconocen la excelente investigación
y el apoyo de sus respectivas instituciones, la Universidad Rey Fahd de
Petróleo y Minerales y la Universidad Rey AbdulAziz.
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Introducción
Preliminares
Morita (Semi)contextos
Injetivo Morita (Semi-)Contextos
Equivalencias de categorías
Más aplicaciones
|
704.0075 | Strong decays of charmed baryons | Fuertes decaimientos de bariones encantados
Chong Chen, Xiao-Lin Chen, Xiang Liu,* Wei-Zhen Deng y Shi-Lin Zhu†
Departamento de Física, Universidad de Pekín, Beijing, 100871, China
(Fecha: 29 de octubre de 2018)
Ha habido importantes avances experimentales en el sector de los bariones pesados en el pasado.
años. Estudiamos las fuertes decaimientos de la onda S, la onda P, la onda D y el encanto radialmente excitado
bariones usando el modelo 3P0. Después de comparar el patrón de desintegración calculado y la anchura total con
los datos disponibles, discutimos la posible estructura interna y los números cuánticos de los encantados
Bariones observados recientemente.
Números PACS: 13.30.Eg, 12.39.Jh
I. INTRODUCCIÓN
Babar y Belle colaboraron con sev-
Eral emocionado bariones encantados:?c(2880, 2940)
(2980, 3077)
+0 y c(2768)
0 el año pasado [1, 2, 3, 4, 5],
que inspiró varias investigaciones de estos estados
en la literatura [6, 7, 8, 9]. Recopilamos el experimento.
información de estos hadrones observados recientemente en la Tabla
I. Sus números cuánticos no han sido determinados.
excepto el artículo 2880 del Reglamento (CE) n.o 2880/2009.
+. Con el fin de entender su estructura...
ciones que utilizan la información experimental actual, nosotros
estudiar el fuerte patrón de decadencia de los emocionados encantados
bariones sistemáticamente en este trabajo. En las últimas décadas,
ha habido algunos trabajos de investigación sobre los bariones pesados
[8, 11, 12].
Los números cuánticos y los anchos de decaimiento de la onda S y
algunos bariones encantados de onda P son conocidos [13]. Nosotros primero.
Analizar sistemáticamente sus fuertes decaimientos en el marco-
trabajo del modelo de decaimiento fuerte 3P0. En consecuencia, uno
puede extraer los parámetros y estimar la exactitud de
el modelo 3P0 cuando se aplica en el baryon encantado
sistema. A continuación, vamos un paso más allá y ampliar el
el mismo formalismo para estudiar los patrones de decadencia de estos nuevos
bariones encantados?c(2880, 2940)
(2980, 3077)+,0 un-
der diferentes asignaciones de sus números cuánticos. Af-
comparación de los resultados teóricos con los resultados disponibles
datos experimentales, podemos aprender su cuántico favorable
números y asignaciones en el modelo quark.
Masa y Ancho del Estado (MeV) Canales de decaimiento en experimentos Otras informaciones
2881,5 ± 0,3, < 8 [10]
2881,9 ± 0,1± 0,5, 5,8± 1,5± 1,1 [1] D0p
JP favorece 5
* c(2880)
2881,2 ± 0,2+0,4
−0,3, 5,5
−0,5 ± 0,4 [2]
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
c (2520)
(c(2520)
(lc(2455))
= 0,225 ± 0,062 ± 0,025 [2]
2939. ± 1,3 ± 1,0, 17,5 ± 5,2 ± 5,9 [1] D0pÃ3c(2940)
2937,9 ± 1,0+1,8
−0,4, 10± 4± 5 [2] c(2455)
0,,−
2967,1 ± 1,9± 1,0, 23,6± 2,8± 1,3 [3] c K
c(2980)
2978.5 ± 2,1± 2,0, 43,5± 7,5± 7,0 [4] c K
* c(2980)
0 2977,1 ± 8,8± 3,5, 43,5 [4] c K
3076,4 ± 0,7± 0,3, 6,2± 1,6± 0,5 [3] c K
c(3077)
3076,7 ± 0,9± 0,5, 6,2± 1,2± 0,8 [4] c K
* c(3077)
0 3082,8 ± 1,8± 1,5, 5,2± 3,1± 1,8 [4] c K
c(2768)
0 2768,3 ± 3,0 [5] 0cγ J
P = 3
CUADRO I: Resumen de los bariones encantados recientemente observados por las colaboraciones de Babar y Belle.
Muy recientemente la colaboración de los CDF informó de cuatro par-
ticles [14, 15], que son consistentes con b y
predicho en el modelo quark [16]. Sus masas son
= 5808+2,0−2,3± 1,7 MeV, M
= 5816+1,0−1,0± 1,7MeV,
= 5829+1,6−1,8±1,7,M
= 5837+2,1−1,9±1,7MeV. Los
http://arxiv.org/abs/0704.0075v3
división de masa entre Łb y
b fue discutido en Refs.
[17, 18] mientras que las fuertes decaimientos de
b se estudiaron en
Ref. [19]. Como subproducto, también calculamos el fuerte
decaimientos de ♥
b y otros bariones de fondo de onda S en este
trabajo.
El presente documento está organizado de la siguiente manera. Damos un cortocircuito el...
orética de la onda S, la onda P y la onda D encantada
baryons e introducir nuestras anotaciones para ellos en la sección
II. A continuación, ofrecemos una breve revisión del modelo 3P0 en la sección
III. Presentamos las fuertes amplitudes de decadencia de los encantados
Bariones en la Sección IV. La sección V es los resultados numéricos.
La última sección es nuestra discusión y conclusión. Algunos
Las fórmulas largas se recogen en el apéndice.
II. DE LAS NOTIFICACIONES Y CONVENCIONES DE
CHARMED BARYON
Primero presentamos nuestras anotaciones para los emocionados
Bariones encantados. Dentro de un baryon encantado hay uno
encanto quark y dos quarks ligeros (u, d o s). Pertenece
al sabor simétrico 6F o antisimétrico 3̄F
representación (véase Fig. 1). Para la Ola S encantada
bariones, la función total de la onda de color-spin y
La función de onda de color debe ser simétrica y antisimétrica.
ric, respectivamente. De ahí el giro de los dos quarks ligeros
es S=1 para 6F o S=0 para 3̄F. El impulso angular
y la paridad de los bariones encantados de onda S son JP = 1
6F y J
P = 1
por 3¢F. Los nombres de la onda S
Los bariones encantados están listados en la Fig. 1, donde usamos el
estrella a denotar 3
baryons y el primo para denotar el
JP = 1
bariones en la representación 6F.
c (ssc)
(*)++
c (uuc)
c ddc)
′(*)0
c (dsc)
c (udc)
′(*)+
c (usc)
0c(dsc)
c (udc)
c (usc)
FIG. 1: Los multiplets de sabor SU(3) de bariones encantados
In Fig. 2 Presentamos nuestras anotaciones y convenciones
para los bariones encantados de la onda P. l. es el angular orbital.
momentum entre los dos quarks de luz, mientras que l♥ denota
el momento angular orbital entre el quark encanto
y el sistema de quark de dos luces. Usamos el prime para
la etiqueta de los baryons de la 6F en la representación y el
tilde para discriminar a los bariones con l
con 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
La notación para los bariones encantados de onda D es más
complicado (véase Fig. 3). Además de la flor, lz y lz
a) 1 = 0, 1 = 1
b) 1 = 1, 1 = 0
Jl = 1: Łc1(
) c1(
Jl = 0: c0(
) c0(
Jl = 2: Łc2(
) c2(
fS(6): L = 1 Sq1q2 = 1
fA(3̄): L = 1 Sq1q2 = 0 =
) c1(
Jl = 1: c1(
) c1(
Jl = 0: c0(
) c0(
Jl = 2: c2(
) c2(
fA(3̄): L = 1 Sq1q2 = 1
fS(6): L = 1 Sq1q2 = 0 =
) c1(
FIG. 2: Las anotaciones para los bariones encantados de la onda P. fS(6F )
y fA(3̄F) denotan la representación de sabor SU(3). Sq1q2 es
el giro total de los dos quarks ligeros. L denota el total
momentum angular orbital del sistema de baryon encantado.
definido arriba, utilizamos el sombrero y comprobar para denotar el
bariones encantados con l = 2 y l = 1 respectivamente. Por
los bariones con l = 1 y l = 1, usamos el super-
script L para denotar el momento angular total diferente
en LcJl,
y LcJl.
III. LAS
MODELO 3P0
El modelo 3P0 fue propuesto por primera vez por Micu [20] y
más desarrollada por Yaouanc et al. más tarde [21, 22, 23].
Ahora este modelo es ampliamente utilizado para estudiar las fuertes decaimientos
de hadrones [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31].
Según este modelo, un par de quarks con JPC =
0++ se crea a partir del vacío cuando un hadron decae,
que se muestra en la Fig. 4 para el proceso de decaimiento de los bariones
A → B + C. El nuevo par qq̄ creado a partir del vacío
junto con el qqq dentro del baryon inicial re-
grupo en el meson saliente y baryon a través del quark
proceso de reorganización. En el límite no relativista, el
operador de transición está escrito como
T = −3γ
1 m; 1 m
d3k4 d
3(k4 + k5)
k4 − k5
χ451, −m
4i(k4) d
5j(k5) (1)
donde i y j son los índices de color del quark creado
y anti-cuarco. * 450 = (u dd̄ + ss̄)/
3 y 450 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
para el sabor y color singlet respectivamente. χ451, -m es para
a) 1 = 0, 1 = 2
b) 1 ° = 2, 1 ° = 0
Jl = 2: Łc2(
) c2(
Jl = 1: Łc1(
) c1(
Jl = 3: c3(
) c3(
fS(6): L = 2 Sq1q2 = 1
fA(3̄): L = 2 Sq1q2 = 0 =
) c2(
Jl = 2: c2(
) c2(
Jl = 1: c1(
) c1(
Jl = 3: c3(
) c3(
fS(6): L = 2 Sq1q2 = 1
fA(3̄): L = 2 Sq1q2 = 0 =
) c2(
c) 1 = 1, 1 = 1
Jl = 1:
) 1c1(
Jl = 0:
) 1c0(
Jl = 2:
) 1c2(
L = 1 Sq1q2 = 1
L = 0 Sq1q2 = 1 =
) 0c1(
)fA(3̄)
Jl = 2:
) 2c2(
Jl = 1:
) 2c1(
Jl = 3:
) 2c3(
L = 2 Sq1q2 = 1
L = 0 Sq1q2 = 0 =
) 0c0(
L = 1 Sq1q2 = 0 =
) 1c1(
L = 2 Sq1q2 = 0 =
) 2c2(
fS(6)
FIG. 3: Las anotaciones para los bariones encantados de la onda D.
el estado del trillizo de giro. Ym1 (k) Es un sólido
polinomio armónico correspondiente al quark de la onda p
par. γ es una constante adimensional relacionada con la fuerza
de la creación del par quark del vacío, que fue
extraídos mediante ajuste a los datos. El estado de Hadron y Meson
se definen como respectivamente de acuerdo con la definición de
FIG. 4: El proceso de desintegración de A → B + C en el modelo 3P0.
Estado simulado [32]
A(nA2SA+1LA JAMJA)
MLA, MSA
LAMLASAMSA JAMJA
d3k1d
3(k1 + k2 + k3−PA)
nALAMLA(k1,k2,k3)χ
SAMSA
A123A A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A123 A2
q1(k1)q2(k2)q3(k3)®,
B(nB2SB+1LB JBMJB)(PB)
MLB,MSB
# LBMLBSBMSB # # JBMJB #
d3kad
3(ka + kb−PB)•nBLBMLB(ka,kb)
abSBMSB
B qa(ka)q̄b(kb)® (3)
y satisfacer la condición de normalización
•A(PA)A(P′A) = 2EA•3(PA −P)
•B(PB)B(P′B) = 2EB/23370/3(PB −P
B). 4)
Los subíndices 1, 2, 3 denotan los quarks de los padres
hadron A. a y b se refieren al quark y antiquark dentro
el mesón B, respectivamente. ki(i = 1, 2, 3) son los momen-
tum de quarks en hadron A. ka y kb son el impulso
del quark y del antiquark en el mesón B. PA(B) representa
el impulso del Estado A(B). SA(B) y JA(B)
el giro total y el impulso angular total del estado
A(B).
La matriz S se define como
I = I − i2 (Ef − Ei)MMJAMJBMJC. 5)
La amplitud de helicidad del proceso A→ B + C en el
centro del marco de masa del mesón A es
MMJAMJBMJC (A→ BC)
8EAEBEC γ
MLA, MSA,
MLB,MSB,
MLC,MSC,m
LAMLASAMSA JAMJA
LBMLBSBMSB JBMJB LCMLCSCMSC JCMJC
1 m; 1 −m 0 0· 235SCMSC χ
SBMSB
123SAMSAχ
235C 14B 123A 450
MLA,m
MLB,MLC
p) (6)
donde la integral espacial I
MLA,m
MLB,MLC
(p) se define como
MLA,m
MLB,MLC
d3k1d
3(k4 + k5)
3(k1 + k2 + k3 −PA)♥3(k1 + k4 −PB)
3(k2 + k3 + k5 −PC)
nBLBMLB(k1,k4)
nCLCMLC
(k2,k3,k5)
nALAMLA(k1,k2,k3) Y
(k4 − k5
. 7)..................................................................................................................................................
235SCMSC χ
SBMSB
123SAMSAχ
1 - mâ y 235C 14B 123A 450
indicar el elemento de matriz de giro y sabor respectivamente.
El ancho de desintegración del proceso A→ B + C es
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2JA + 1
MJA,MJB,MJC
MMJAMJBMJC
donde p es el impulso de la hija baryon en
el centro del marco de masa del padre. s = 1/(1 +
factor estadístico necesario si B y C son idénticos
partículas.
IV. LOS DÍAS FUERTES DE CARMED
BARYON
De acuerdo con el modelo 3P0, la descomposición ocurre a través de
la recombinación de los cinco quarks de la inicial
Baryon encantado y el par de quark creado. Así que
son tres formas de reagrupación:
A(q1, q2, c3) + P(q4, q̄5) → B(q2, q4, c3) + C(q1, q̄5), (8)
A(q1, q2, c3) + P(q4, q̄5) → B(q1, q4, c3) + C(q2, q̄5), (9)
A(q1, q2, c3) + P(q4, q̄5) → B(q1, q2, q4) + C(c3, q̄5)(10)
donde qi y c3 denotan el quark de luz y el quark de encanto
respectivamente.
Cuando el emocionado barión encantado decae en un
Baryon encantado más un meson ligero como se muestra en Eq. (8)
y (9), la amplitud de desintegración total lee
MMJAMJBMJC
= −2γ
8EAEBEC
m1,m3,m4,m
J12M12; s3m3JAMJAl
s1m1; s2m2S1 2m1 2o J14M14; s3m3JB MJB l
LBMLB ; S1 4m1 4J14M14s1m1; s4m4S1 4m1 41m; 1 −m00â °s4m4; s5m51 −m
LC MLC; SC MC JC MJCs2m2; s5m5SCMC ×
1,4,3
1,2,3
A â € × I
MLA,m
MLB,MLC
(p), (11)
donde el prefactor 2 delante de γ surge del hecho
que la amplitud del Eq. 8) Es lo mismo que
de Eq. 9).
La superposición integral en el espacio de impulso es
MLA,m
MLB,MLC
= 3 (PB − PC)
d3p1d
B(l.B., m.B., l.B., m.B.)
C(LC MLC)Ym1
(p4 − p5
(A,m,A,m,A).
Ya que todos los hadrones en los estados finales son onda-S en este
trabajo, eq. (12) puede expresarse además como
MLA,m
MLB,MLC
= 3(PB −PC)Π(lA,mA,lA,mA,m), (13)
donde hemos usado el func de onda oscilador armónico...
ciones para el mesón y el barón. Las expresiones
de Π (lA,mA,lA,mA,m) para las desintegraciones de la onda S, P-
los bariones encantados de onda y onda D se recogen en el
Apéndice. También movemos las largas expresiones de mo-
integración del espacio mentum de onda S, onda P y onda D
Bariones encantados en el Apéndice.
V. RESULTADOS NUMÉRICAS
Los anchos de desintegración de los bariones encantados de la 3P0
modelo implican varios parámetros: la fuerza de quark
par creación de vacío γ, el valor R en el armónico
función de la onda oscilante del meson y el
funciones de onda baryon. Seguimos la convención de Ref.
[34] y tomar γ = 13,4, que se considera como un universal
parámetro en el modelo 3P0. El valor R de η y K
mesones es 2,1 GeV−1 [34] mientras que es R = 2,3 GeV−1 para
el mesón D [35]. • = = 0,5 GeV para el protón y
* [31]. Para los bariones encantados de onda S, los parámetros
y en las funciones de onda del oscilador armónico puede ser
fijado para reproducir la división de masa a través del contacto
término en el modelo potencial [33]. Sus valores son =
0.6 GeV y = 0.6 GeV. Para la onda P y la onda D
bariones encantados, y se espera que se encuentran en el
rango 0,5 ± 0,7 GeV. En el siguiente, nuestro número
los resultados se obtienen con los valores típicos = =
0.6 GeV.
Los fuertes anchos de decadencia de la onda S encantada
baryons,+,0c (2455),
,+,0
c (2520) y
c (2645)
se enumeran en el cuadro II. En consecuencia, las anchuras de desintegración de
Los bariones de fondo de onda S se presentan en la Tabla III. Sé...
causa B, B, B
b y.........................................................................................................................................
b no se han observado hasta ahora, su
las masas se toman de la estimación teórica en Ref.
[36], que son mob = 5805.7 MeV, m
= 5950 MeV
y m
= 5966,1 MeV.
El número cuántico y la estructura interna de la
después de los bariones encantados de la onda P c (2593),
c (2625),
,0c (2790) y
c (2815) son relativamente conocidos exper-
imentalmente [13]. Sus fuertes modos de desintegración y anchos
del modelo 3P0 se recogen en la Tabla IV. El quan-
El número de tum de c (2800) todavía es desconocido [13]. Por lo tanto
bajo diferentes asignaciones de la onda P de c (2800), nosotros
presentar el fuerte decaimiento anchos de su posible decaimiento
modos en la Tabla V. En el límite de quark pesado, el pro-
c (2800) → c está prohibido si c (2800) es
asignado como c1(
), c1(
), c1(
) y c1(
que se observa en nuestro cálculo como se puede ver desde
Cuadro V.
* c(2880)
+ y C(2940)
+ se observan en el invariante
espectro de masa de D0p [1]. La primera excitación radial de
No decae en D
0p del modelo 3P0. Por lo tanto
la posibilidad de que se aplique el artículo 2880
+ y C(2940)
+ ser un radial
se excluye la excitación. Calculamos sus fuertes decaimientos
Asumiendo que son bariones encantados con la onda D. Resultados
se muestran en los cuadros VI y VII.
Con la paridad positiva, se pueden obtener los siguientes valores: (2980)+,0 y (3077)+,0
ser o los primeros bariones encantados radialmente o el
Los bariones encantados de la onda D. Con diferentes supuestos de:
sus números cuánticos presentamos su fuerte decadencia
anchos en los cuadros VIII, IX y Fig. 8.
Los resultados numéricos dependen de los parámetros
y en las funciones de onda oscilante armónica de
los bariones encantados. Nosotros ilustramos tal dependencia.
en Figs. 5, 6 y 7 usando varios típicos chan-
nels: c (2455) → c, c (2593) → c (2455)
y c (2880) → c (2520), donde c (2455),
c (2593) y
c (2880) son onda S, onda P y onda D
Bariones, respectivamente.
0,70 0,50
(GeV
(GeV)
FIG. 5: La variación de la anchura de desintegración de c (2455) →
c η
+ con y.
0,70 0,56
FIG. 6: La variación de la anchura de desintegración de c (2593) →
c (2455)
- con y. Aquí.
c (2593) se asigna
como C1(
0,640
(GeV)
FIG. 7: La variación de la anchura de desintegración de c (2880) →
c (2520)
- con y. Aquí.
c (2880) se asigna
como Łc2(
CUADRO II: Los fuertes anchos de desintegración de la onda S encantada
baryons,+,0c (2455),
,+,0
c (2520) y
c (2645).
Aquí todos los resultados están en unidades de MeV.
Anchura del canal JP Ancho total (exp) [13]
c (2455)
c η
+ 1,24 2,23 ± 0,30
c (2455)
c η
0 1,40 < 4,6
0c(2455)
c η
− 1,24 2,2± 0,40
c (2520)
c η
+ 11,9 14,9 ± 1,9
c (2520)
c η
0 12,1 < 17
0c (2520)
c η
− 11,9 16,1 ± 2,1
c (2645)
c η
0 0,64
c (2645)
+ 0,49
< 3.1
0c (2645)
c η
− 0,54
0c (2645)
0 0,54
< 5,5
VI. DEBATE Y CONCLUSIÓN
En la actualidad todavía es demasiado difícil calcular el fuerte
anchuras de desintegración de hadrones de los primeros principios de QCD.
Para este propósito, alguna fuerte decadencia fenomenológica
modelos propuestos como el modelo 3P0, tubo de flujo
modelo, regla de suma QCD, retícula QCD etc, entre los cuales
sólo los dos primeros enfoques se pueden aplicar a los
Decaimientos de hadrones excitados. En gran medida, la predic-
ciones de los modelos 3P0 y de tubos de flujo están aproximadamente de acuerdo
el uno con el otro.
CUADRO III: Los fuertes anchos de desintegración del fondo de la onda S
baryons
b, •
b y.........................................................................................................................................
b. Aquí todos los resultados están en unidades
de MeV.
Anchura del canal JP Resultados experimentales [14]
+ 3.5
− 4.7
+ 7,5
− 9.2
0.10 -
0.85 -
CUADRO IV: Los anchos de desintegración de los bariones encantados de onda P
c (2593, 2625) y
c (2790, 2815) con la estructura fija
y asignaciones de números cuánticos. Aquí todos los resultados están en
unidades de MeV.
Canal de Asignación de la Exp [13]
c η
− 3.4
c η
0 6,4
c (2593) Łc1(
+ 3.4
3.6+2.0
c η
− 1,9× 10−3 < 0,10
c η
0 2,6× 10−3 < 1,9
c (2625)............................................................................................................................................................................................................................................................
+ 1,9× 10−3 < 0,10
c η
0 5,0
c (2790) c1(
0c η
+ 4.9
c η
− 5.2
*0c(2790) *c1(
0c η
0 5.1
c η
0 2.7
c (2815) c1(
0c η
+ 2.6
< 3,5
c η
− 2.7
*0c(2815) *c1(
0c η
0 2.8
< 6.5
El modelo 3P0 posee incertidumbres inherentes [21, 29]
34]. En algunos casos, el resultado del modelo 3P0 puede
ser un factor de 2 + 3 fuera de la anchura experimental. El un-
fuente de certeza del modelo 3P0 surge de la fuerza
de la creación del par quark del vacío γ, el aprox-
de la no-relatividad, y asumiendo el simple har-
funciones de onda radial del oscilador monico para los hadrones.
Incluso con la incertidumbre anterior, el modelo 3P0 sigue siendo
el marco más sistemático, eficaz y ampliamente utilizado
para estudiar el hadron fuertes decaimientos.
En este trabajo, hemos calculado la fuerte decadencia
anchos de bariones encantados utilizando el modelo 3P0. Nuestro
los resultados numéricos no dependen en gran medida del
eters y como se muestra en las Figs. 5, 6 y 7. Por lo tanto, la
a continuación, las características cualitativas y las conclusiones siguen siendo las siguientes:
sentialmente sin cambios con variaciones razonables de
Nuestros resultados para los bariones encantados de la onda S
,+,0c (2455),
,+,0
c (2520) y
c (2645)
aproximadamente coherente con los datos experimentales dentro de la
incertidumbre inherente del modelo 3P0. Como subproducto,
también hemos calculado las fuertes decaimientos de b y
CUADRO V: Las anchuras de desintegración de c (2800) en dif-
ferent P-wave encantadas tareas de bariones. R =
,++c η
+,0/,++c
+,0. La anchura total de c (2800) es
75+22
−17 MeV [13]. Aquí todos los resultados están en unidades de MeV.
Asignación c π
+,++c
+,0,++c
) 307 0,0 0,0 -
) 0,0 296 0,4 740
) 0,0 0,7 220 3× 10−3
) 8,1 1,3 0,3 4,3
) 8,1 0,6 0,5 1,2
c1(
) 0,0 75 69 1,1
c1(
) 0,0 75 69 1,1
observado recientemente por CDF Collaboration. El número
los resultados también son consistentes con los valores experimentales.
El ancho de desintegración de P-wave baryon c (2593) es de tres
veces más grande que el valor experimental. Con el
gran incertidumbre experimental y la inherente a la
la incertidumbre orética del modelo 3P0, tal como
La desviación sigue siendo aceptable. Los anchos de desintegración de
c (2625) y
c (2790, 2815) son compatibles con el
límite superior experimental. Comparando nuestros resultados
con la anchura total experimental, tendemos a excluir
el Łc0(
) asignación para c (2800). Desde el
c (2800) se observa en
+ canal [37], hay
Sólo quedan dos asignaciones para c (2800), es decir. *c2(
o Łc2(
). Información más experimental, como la
relación
[c (2800)
c (2800)
,++
c,0]
será de gran ayuda en la disua-
minación del número cuántico de c (2800).
También hemos calculado los fuertes anchos de decaimiento de
recientemente observados (2880, 2940)
+, (2980, 3077)+,0 as-
sumando que son candidatos de los bariones encantados de onda D.
Nos encontramos con que la única posible asignación de?c(2880)
2c3(
) después de considerar tanto su anchura de desintegración total y
la proporción (cη)
±)/
±), que está muy bien de acuerdo con
la indicación del experimento de Belle de que?c(2880)
+ fa-
vors JP = 5
por el análisis de la distribución angular
Por desgracia, la información del experimento sobre el
* c(2940)
+ (2980, 3077)+,0 es escasa en la actualidad. Desde
sus anchos de desintegración calculados, sólo podemos excluir algunos
tareas marcadas con cruces en las tablas
VII, VIII y IX. Las relaciones de la anchura de desintegración de...........................................................................................................................................................................................................................................................
•(2980, 3077)+,0 del modelo 3P0 será útil en
la identificación de sus números cuánticos en el fu-
dad, ya que la incertidumbre inherente anula en gran medida.
También hemos discutido las fuertes decaimientos de
(2980, 3077)+,0 asumiendo que son excitaciones radiales.
Desafortunadamente los resultados numéricos en la Fig. 8 dependen
bastante fuerte en el nodo de la función de onda espacial
que está relacionado con los parámetros del oscil armónico
funciones de onda de lator como se muestra en la Fig. 8. No podemos.
para sacar conclusiones contundentes aquí.
Apéndice
A. Las funciones de onda oscilante armónica utilizadas en
nuestro cálculo
Para el barón encantado de la onda S,
(0, 0, 0, 0) = 33/4 (
4 exp
Para el barión encantado de la onda P,
•(1,m, 0, 0) = −i 33/4
)1/2(
1/α2
Ym1 (pl)
, (15)
(0, 0, 1,m) = −i 33/4
)1/2( 1
Ym1 (p/23370/)
. 16)
Para el barón encantado de la onda D,
(2,m, 0, 0) = 33/4
)1/2( 1
Ym2 (pl)
,(17)
(0, 0, 2, m) = 33/4
)1/2( 1
Ym2 (p/23370/)
,(18)
•(1,m, 1,m′) = −33/4
)1/2( 1
Ym1 (pl)
)1/2( 1
1 (p/23370/)
× exp
. (19)
Aquí Yml (p) es el sólido polinomio armónico.
La función de onda de estado de tierra de meson es
(0, 0) =
R2(p2 − p5)2
. (20)
La función de onda de la primera radialmente excitada
baryon encantado (no, no) dice como
*(1, 0)
= 33/4
η2
(0, 1)
= 33/4
η2
en los que nl y nl denotan el número cuántico radial
entre los dos quarks ligeros y entre el quark pesado y
los dos quarks ligeros respectivamente. Aquí p =
(p1−p2)
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(p1 + p2 − 2p3) para las expresiones anteriores.
Todas las funciones de onda del oscilador armónico anteriores pueden ser
normalizados como
dp1dp2dp32 = 1.
B. El impulso de la integración espacial
El impulso de la integración espacial
Π (lA,mA,lA,mA,m) incluye:
Para el encanto de la onda S baryon decaimiento,
Π(0, 0, 0, 0, 0) = p 0,0. (21)
Para el encanto de la onda P baryon decaimiento,
Π(0, 0, 1, 0, 0) =
f2p2 −
0,1,
Π(0, 0, 1, 1, 1) = Π(0, 0, 1,-1, 1) =
0,1,
Π(1, 0, 0, 0, 0) =
p2 + 1
41,1f1
â € ¢ 1,0,
Π(1, 1, 0, 0,−1) = Π(1,-1, 0, 0, 1) = p2 1,0.
Para el encanto de la onda D baryon decaimiento,
Π(0, 0, 2, 0, 0) = − f2
β p3 + p
0,2,
Π(0, 0, 2, 1,-1) = Π(0, 0, 2,-1, 1) =
p0,2,
Π(2, 0, 0, 0, 0) = −2
(2p3 +
p
1f1
2,0 libras esterlinas,
Π(2, 1, 0, 0,−1) = Π(2,−1, 0, 0, 1)
1f1
2,0 libras esterlinas,
Π(1, 0, 1, 0, 0) =
p3 + 1
β +
41,1f1
)p f2
1f1
1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-, 1-1, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-
Π(1, 1, 1,-1, 0) = Π(1,-1, 1, 0) =
41,1f1
1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-, 1-1, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-
Π(1, 0, 1, 1, -1) = Π(1, 0, 1, -1) =
p
1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-1, 1-, 1-1, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-, 1-
Π(1, 1, 1, 0,−1) = Π(1,-1, 1, 0, 1)
41,1f1
(+)× f2
1-1.
Por la fuerte decadencia de la excitación radial, la
Las integrales del espacio mentum denotadas como Π(nl, nl) son:
Π(0, 1) =
4α2lf
k − 3β
2f21α
0,0,0,
Π(1, 0) =
(2k3 −
3 2
k − 2
0,0.
donde
R2, ♥2 = −
R2, 4 =
5 ° = −(
12α2
f1 = 3 −
, f2 = 5 −
2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(2-etil)-2-(4-etil)-2-(4-etil)-2-(1-etil)-2-(1-etil)-2-(1-etil)-2-(1-etil)-2-(4-(-il)-2-(4-(-il)-2-(-il)-2-(-il)-2-il)-2-(-1-il)-2-il-(-1-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il-il
f3 = ♥6 −
..............................................................
41,1f1
β = (1 +)
2f2 − 2
34f1 + 21f2
1f1
0,0 = (
× exp
− (f3 −
)p2
0,1 = (
− (f3 −
)p2
• 1,0 = (
− (f3 −
)p2
0,2 = (
− (f3 −
)p2
2,0 = (
− (f3 −
)p2
â € 1,1 = (
− (f3 −
)p2
− ( 3
En las expresiones anteriores, p lee como
p =
(m2A − (mB +mC)2)(m2A − (mB −mC)2)
Agradecimientos
C.C. Gracias W.J. Fu por la ayuda en el numeri-
cálculo de cal e Y.R. Liu y B. Zhang para ser útiles
debates. Este proyecto contó con el apoyo de
Fundación de Ciencias Naturales de China en virtud de subvenciones
10421503 y 10625521, Ministerio de Educación de China
y la Fundación China de Ciencias Postdoctorales (No.
20060400376).
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http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607042
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0608055
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0612332
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0609195
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0606166
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0606015
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0703257
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0701056
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0701056
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0307243
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0611306
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0611221
CUADRO VI: Las anchuras de desintegración de c (2880) con diferentes asignaciones de onda D. Todos los resultados están en unidades de MeV.
Asignación 0,+,++c η
+,0,− 0,+,++c
+,0,−
(c)
D0p Observación
) 7,8 0,9 0,11 0,0 ×
) 0,06 5,34 89 0,0 ×
c2(
) 78,3 59,1 0,75 0,0 ×
c2(
) 78,3 59,1 0,75 0,0 ×
0c1(
) 0,9 2,3 2,6 2,3 ×
0c1(
) 0,22 6,0 27 2,3 ×
1c0(
) 132 144 1,1 0,0 ×
1c1(
) 66,3 18,0 0,27 150 ×
1c1(
) 16,5 45,0 2,7 150 ×
1c2(
) 82,8 9,0 0,10 0,0 ×
1c2(
) 0,0 54,1 − 0,0 ×
2c1(
) 25,7 8,1 0,32 64 ×
2c1(
) 6,5 20,4 3,1 64 ×
2c2(
) 57,9 14,2 0,24 0,0 ×
2c2(
) 9,4 47,1 5,0 0,0 ×
2c3(
) 10,8 5,5 0,51 12
2c3(
) 6,1 7,4 1,2 12 ×
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http://arxiv.org/abs/hep-ph/0609013
CUADRO VII: Las anchuras de desintegración de c (2940) con diferentes asignaciones de onda D. Aquí todos los resultados están en unidades de MeV.
Asignación 0,+,++c η
+,0,− 0,+,++c
+,0,−
(c)
D0p Observación
) 11,7 9,1 0,77 0,0 ×
) 0,2 9,1 46 0,0 ×
c2(
) 170 150 0,88 0,0 ×
c2(
) 170 150 0,88 0,0 ×
0c1(
) 2,2 0,5 0,23 11
0c1(
) 0,6 1,4 2,3 12
1c0(
) 212 259 1,2 0,0 ×
1c1(
) 106 32,4 0,31 340 ×
1c1(
) 26,5 81,0 3,1 340 ×
1c2(
) 142 16,2 0,11 0,0 ×
1c2(
) 0,0 97,0 − 0,0 ×
2c1(
) 34,5 12,6 0,37 95 ×
2c1(
) 8,6 31,7 3.7 95 ×
2c2(
) 77,7 27,7 0,36 0,0 ×
2c2(
) 19,5 75,6 3,9 0,0 ×
2c3(
) 22,2 12,9 0,58 49 ×
2c3(
) 12,4 17,5 1,4 49 ×
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
(GeV)
(3077):
(1/2+) con (n =1, n =0)
0,4 0,6 0,8 1,0
(3077):
(1/2+) con (n = 0, n = 1)
(GeV)
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
(GeV)
(3077): '
(1/2+) con (n =1, n =0)
a) b) c)
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
(GeV)
(3077): '
(1/2+) con (n = 0, n = 1)
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
(3077):
(3/2+) con (n = 1, n = 0)
(GeV)
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
(3077):
(3/2+) con (n = 0, n = 1)
(GeV)
d) e) f)
FIG. 8: La dependencia de la anchura total de desintegración de c(3077) en el parámetro o si c(3077) es una excitación radial. In
estas cifras, fijamos = 0.6 GeV para el caso con n♥ = 1, y = 0.6 GeV para n/23370/ = 1. La situación de la República Checa (2980) en el
La excitación radial es muy similar.
CUADRO VIII: Las anchuras de desintegración de c (2980) con diferentes asignaciones de onda D. Aquí todos los resultados están en unidades de MeV.
Asignación
+ 0c η
+ 0c η
+ c k
− c k̄
0 Observación
) 0,0 1,1 0,11 0,37 0,0 ×
) 0,0 0,12 × 10−2 0,67 0,11 × 10−3 0,0 ×
c1(
) 4,4 0,72 0,18 0,25 5,3
c1(
) 4,4 0,18 0,46 0,062 5,3
c2(
) 0,0 0,16 0,17 0,56 0,0 ×
c2(
) 0,0 0,47 × 10−2 1,0 0,71 × 10−4 0,0 ×
c3(
) 0,054 0,53 × 10−2 0,14 × 10−2 0,82 × 10−4 0,053 ×
c3(
) 0,054 0,30 × 10−2 0,19 × 10−2 0,46 × 10−4 0,053 ×
c2(
) 0,0 9,5 6,1 0,61 0,0
c2(
) 0,0 9,5 6,1 0,61 0,0
c1(
) 74 6,3 1,0 0,40 78 ×
c1(
) 74 1,6 2,5 0,10 78 ×
c2(
) 0,0 14 4,5 0,91 0,0
c2(
) 0,0 6,3 7,1 0,40 0,0
c3(
) 48 7,2 2,9 0,46 50 ×
c3(
) 48 4,1 3,9 0,26 50 ×
) 0,0 0,30 1,4 1,3 0,0 ×
0c1(
) 1,0 0,40 0,46 1,7 0,46 ×
0c1(
) 1,0 0,10 1,2 0,43 0,46 ×
) 0,0 18 4,4 5,5 0,0
) 0,0 4,5 11 1,4 0,0
1c0(
) 0,0 18 18 5,5 0,0
1c1(
) 62 9,1 2,2 2,8 72 ×
1c1(
) 62 2,3 5,5 0,69 72 ×
1c2(
) 0,0 11 1,1 0,34 0,0 ×
1c2(
) 0,0 0,0 6,6 0,0 0,0 ×
) 0,0 5,6 1,8 2,4 0,0
) 0,0 1,7 4,32 0,24 0,0
2c1(
) 19 3,7 1,1 1,6 23
2c1(
) 19 0,93 2,6 0,40 23
2c2(
) 0,0 8,4 1,7 0,36 0,0
2c2(
) 0,0 1,2 6,0 0,16 0,0
2c3(
) 8,1 1,3 60 0,19 8,7 ×
2c3(
) 8,1 0,75 0,81 0,10 8,7
CUADRO IX: Las anchuras de desintegración de c (3077) con diferentes asignaciones de onda D. Aquí todos los resultados están en unidades de MeV.
Asignación
+ 0c η
+ 0c η
+ c k
− c k
− c k̄
0 D Observación
) 0,0 2,1 0,30 0,73 0,054 0,0 0,0
) 0,0 0,037 1,7 0,42 × 10−2 0,32 0,0 0,0
c1(
) 7,0 1,4 0,46 0,49 0,089 4,4 3,2
c1(
) 7,0 0,36 1,1 0,12 0,22 4,4 3,2
c2(
) 0,0 3,2 0,43 1,1 0,081 0,0 0,0
c2(
) 0,0 0,025 × 10−2 2,5 0,28 × 10−2 0,48 0,0 0,0 ×
c3(
) 0,19 0,029 0,012 0,32 × 10−2 0,32× 10−3 0,12 0,026 ×
c3(
) 0,19 0,016 × 10−3 0,016 0,18 × 10−2 0,44× 10−3 0,12 0,026 ×
c2(
) 0,0 34 29 6,0 2,0 0,0 0,0 ×
c2(
) 0,0 34 29 6,0 2,0 0,0 0,0 ×
c1(
) 201 23 4,8 4,0 0,33 130 38 ×
c1(
) 201 5,7 12 1,0 0,83 130 38 ×
c2(
) 0,0 51 22 8,9 1,5 0,0 0,0 ×
c2(
) 0,0 23 34 4,0 2,3 0,0 0,0 ×
c3(
) 129 26 14 4,5 0,94 84 25 ×
c3(
) 129 15 19 2.6 0,13 84 25 ×
) 0,0 0,69 0,13 0,29 1,2 0,0 0,0
0c1(
) 15 0,92 0,044 0,39 0,38 11 0,64× 10−3 ×
0c1(
) 15 0,23 0,11 0,096 0,96 11 0,64× 10−3 ×
) 0,0 39 12 12 0,21 0,0 0,0 ×
) 0,0 9,9 30 3,0 5,2 0,0 0,0 ×
1c0(
) 0,0 39 47 12 8,3 0,0 0,0 ×
1c1(
) 110 20 5,9 6,1 1,0 69 42 ×
1c1(
) 110 5,0 15 1,5 2,6 69 42 ×
1c2(
) 0,0 25 3,0 7,6 0,52 0,0 0,0 ×
1c2(
) 0,0 0,0 18 0,0 3,1 0,0 0,0 ×
) 0,0 9,2 6,0 3,9 0,75 0,0 0,0
) 0,0 5,8 10 1,1 2,1 0,0 0,0
2c1(
) 22 6,1 2,3 2,6 0,54 14 15 ×
2c1(
) 22 1,5 5,6 0,64 1,3 14 15 ×
2c2(
) 0,0 14 5,2 5,8 0,77 0,0 0,0 ×
2c2(
) 0,0 3,9 14 0,74 3,0 0,0 0,0 ×
2c3(
) 21 4,4 2,5 0,85 0,23 14 4,3 ×
2c3(
) 21 2,5 3,4 0,48 0,31 14 4,3 ×
Introducción
Las anotaciones y convenciones de baryon encantado
El modelo 3P0
Las fuertes decaimientos del barón encantado
Resultados numéricos
Debate y conclusión
Apéndice
Las funciones de onda oscilante armónica utilizadas en nuestro cálculo
El impulso de la integración espacial
Agradecimientos
Bibliografía
| Se han realizado importantes progresos experimentales en el sector de los bariones pesados
en los últimos años. Estudiamos las fuertes decaimientos de la onda S, onda P,
La onda D y los bariones con encanto radialmente excitados usando el modelo $^3P_0$. Después
comparar el patrón de desintegración calculado y la anchura total con los datos disponibles,
Discutimos la posible estructura interna y los números cuánticos de aquellos encantados
Bariones observados recientemente.
| Introducción
Las anotaciones y convenciones de baryon encantado
El modelo 3P0
Las fuertes decaimientos del barón encantado
Resultados numéricos
Debate y conclusión
Apéndice
Las funciones de onda oscilante armónica utilizadas en nuestro cálculo
El impulso de la integración espacial
Agradecimientos
Bibliografía
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704.0076 | CP violation in beauty decays | 27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
Revista Internacional de Física Moderna A
c© World Scientific Publishing Company
VIOLACIÓN DE LA PC EN LOS DECENIOS DE BELLEZA*
MICHAEL GRONAU
Departamento de Física, Technion – Instituto de Tecnología de Israel
32000 Haifa (Israel)
gronau@physics.technion.ac.il
Se discuten las pruebas de precisión del modelo Kobayashi-Maskawa de violación del PC, señalando
posibles firmas para otras fuentes de violación de la CP y para un nuevo cambio de sabor
operadores. Se resume el estado actual de las pruebas más precisas.
Palabras Clave: violación de CP; CKM; Nueva Física.
PACS Nos.: 13.25.Hw, 11.30.Er, 12.15.Ji, 14.40.Nd
1. Introducción
Tomó treinta y siete años desde el descubrimiento de un pequeño PC violando el efecto del orden.
10−3 inKL → 1 a una primera observación de un desglose de la simetría de CP fuera
el extraño sistema meson. Una gran asimetría PC de orden uno entre las tasas de
Las desintegraciones iniciales de B0 y B̄0 fueron medidas en el verano de 2001 por el Babar y
Belle Collaborations.2 Se había previsto una asimetría considerable, aunque menor.
20 años antes 3 en el marco del modelo Kobayashi-Maskawa (KM)
,4 en ausencia de información crucial sobre los acoplamientos de quark b. Los
se observó asimetría en una medición dependiente del tiempo, como se sugiere,5 gracias
a la larga vida útil B0 y la gran mezcla B0-B̄0.6 La asimetría medida,
por el que se fija (en el convenio de la fase estándar7) el seno de la fase 2β
2arg(VtbV
(td) del cuádruple superior dominado por B
Amplitud de mezcla 0-B̄0, fue encontrado para
estar de acuerdo con otras determinaciones de Cabibbo-Kobayasi-Maskawa
(CKM) parámetros8,9 incluyendo una medición precisa reciente de la mezcla de Bs-Bs.
Esto demostró que la fase γ de la MKC (........................................................................................................................................................................................................................................................
para dar cuenta de la asimetría cosmológica de los bariones observada,11 es el dominante
fuente de violación de PC en procesos de cambio de sabor. Con esta confirmación la siguiente
La cuestión apremiante se convirtió en si las pequeñas contribuciones más allá del marco CKM
se producen en la PC que viola los procesos de cambio de sabor, y si tales efectos pueden ser
observado en decaimientos de belleza.
Una manera de responder a esta pregunta es mediante el exceso de restricción de la unidad CKM
triangulo a través de mediciones precisas de conservación de CP relacionadas con las longitudes de la
* Basado parcialmente en las conversaciones de examen celebradas en conferencias recientes.
http://arxiv.org/abs/0704.0076v2
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2 M. Gronau
lados del triángulo. Una forma alternativa y más directa, centrándose en el origen
de la violación de la PC en el marco de CKM, es medir β y γ en una variedad de B
modos de desintegración. Diferentes valores obtenidos de asimetrías en varios procesos, o
los valores distintos de los impuestos por otras limitaciones, podrían proporcionar
nuevas fuentes de violación de la CP y de nuevas interacciones que cambien el sabor. Tales fases
y las interacciones ocurren en el Hamiltoniano de baja energía eficaz de las extensiones de la
Modelo estándar (SM), incluidos los modelos basados en la supersimetría12.
En esta presentación nos centraremos en este último enfoque basado principalmente en
asimetrías de la PC, utilizando también información complementaria sobre las tasas de decaimiento de la B hadrónica
que se espera que estén relacionados entre sí en el marco de la gestión de los conocimientos básicos. En el
siguiente sección se esbozan varios de los procesos más relevantes y el teórico
herramientas aplicadas para sus estudios, citando numerosos artículos donde estas ideas tienen
se han propuesto inicialmente y en los que se pueden encontrar más detalles13.
5 describir una serie de métodos en algún detalle, resumiendo al final de cada uno
sección de la situación experimental actual. En la sección 6 se examinan varias pruebas para NP
efectos, mientras que la sección 7 concluye.
2. Procesos, métodos y nuevos efectos físicos
Mientras que probar el origen KM de la violación de PC en la mayoría de las decasiones B hadrónicas requiere
separación de efectos de interacción fuertes y débiles, en unos pocos “modos dorados”
Metries no se ven afectados por interacciones fuertes. Por ejemplo, el decaimiento B0 → J/KS
está dominado por un solo nivel de árbol quark transición b̄ → c̄cs̄, hasta una corrección
menor que una fracción de un porcentaje.14,15,16,17 Así, las asimetrías medidas
en este proceso y en otros decaimientos dominados por b̄ → c̄cs̄ ya han proporcionado un
medición bastante precisa del pecado 2β,18,19,20
sin 2β = 0,678± 0,025. 1)..........................................................................................................................................................
Este valor permite dos soluciones para β a 21,3° y 68,7°. Depende del tiempo y...
estudios gulares de B0 → J/K*0,21 y análisis de Dalitz dependientes del tiempo de B0 →
Dh0 (D → KS, h0 =
segunda solución a un alto nivel de confianza, lo que implica
β = (21,3± 1,0)®. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Dado que B0 → J/IKS procede a través de una transición de quark favorable a CKM, contribu-
ciones a la amplitud de desintegración de la física en una escala más alta se espera que sea
muy pequeño, potencialmente identificable por una pequeña asimetría directa en este proceso o en
B+ → J/K+.23
Otro proceso en el que la determinación de una fase débil no se ve afectada
por interacciones fuertes es B+ → DK+, procediendo a través de amplitudes a nivel de árbol
b̄ → c̄us̄ y b̄ → ūcs̄. La interferencia de estas dos amplitudes, de D̄0 y D0
que siempre puede decaer a un estado final hadrónico común, conduce a tasas de decaimiento y
una asimetría de PC que mide muy limpiamente la fase relativa γ entre estos
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La violación de la PC en la belleza decae 3
Amplitudes.24,25 El truco aquí radica en reconocer las medidas que producen
esta cantidad fundamental de PC-violante. Se espera que la física más allá del SM tenga
un efecto insignificante en esta determinación de γ que se basa en la interferencia de dos
Amplitudes de árboles.
B decae en pares de mesons sin encanto, como B → • (o B → •) y
B → Kη (o B → K), implican contribuciones tanto de árbol como de pingüino ampli-
Tudes que llevan diferentes fases débiles y fuertes.14,26,27 Contrariamente al caso
de B → DK, la determinación de β y γ utilizando asimetrías de PC en el encanto sin B
decaimientos implica dos aspectos correlacionados que deben ser considerados: su dependencia
sobre la dinámica de interacción fuerte y su sensibilidad a la potencial Nueva Física (NP)
efectos. Esta sensibilidad se deriva de la CKM y supresión de lazo de pingüino am-
plitudes, lo que implica que las nuevas partículas pesadas en el rango de masa TeV,
El bosón W y el cuádruple superior en el bucle del pingüino, pueden tener efectos considerables.28. In
orden de reclamar pruebas para la física más allá del SM a partir de una determinación de β y
γ en estos procesos uno debe manejar primero la cuestión de la dinámica. Hay dos.
enfoques para tratar la dinámica de decaimientos hadrónicos sin encanto B:
(1) Estudiar sistemáticamente los efectos de interacción fuertes en el marco de QCD.
(2) Identificar por simetría observables que no dependen de la dinámica QCD.
El primer enfoque se enfrenta a la dificultad de tener que tratar con precisión la distancia larga
efectos del QCD, incluidas las interacciones en el estado final. Progresos teóricos notables
se ha hecho recientemente en la prueba de un orden principal (en 1/mb) fórmula de factorización
para estas amplitudes en un enfoque teórico eficaz de quark pesado para perturbar
QCD.29,30,31 Sin embargo, sigue habiendo diferencias entre las formas de tratar en
Ent se acerca el conteo de potencia, la escala de los coeficientes Wilson, punto final quark dis-
funciones de atribución de mesons ligeros, y contribuciones no perturbativas del encanto
loops.32 Además, los parámetros de entrada no perturbativos en estos cálculos implican
incertidumbres no insignificantes. Estos parámetros incluyen factores de forma pesados a ligeros
a pequeña transferencia de impulso, amplitudes de distribución del cono-luz, y la media
fracción de impulso inverso del quark del espectador en el mesón B. El resultado
inexactitudes en el cálculo de magnitudes y fases fuertes de amplitudes
determinación precisa de γ a partir de las tasas de decaimiento medidas y las asimetrías de CP. Además,
las tasas y asimetrías calculadas no pueden proporcionar un caso claro para la física
el SM en los casos en que los resultados de un cálculo se desvíen ligeramente de la
medidas.
En el segundo enfoque se aplica la simetría isospin para obtener relaciones entre
varias amplitudes de decaimiento. Por ejemplo, usando el comportamiento distinto bajo isospin de
operadores de árboles y pingüinos que contribuyen en B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
permite una determinación de γ o α () = η − β − γ. 33 El mismo análisis
se aplica en decaimientos B a pares de mesons polarizados longitudinalmente. En caso de que una
observable relacionado con la amplitud del pingüino subdominante no se mide con
suficiente precisión, puede sustituirse en el análisis por un SU(3) potenciado por CKM.
observable relacionado, en el que una gran incertidumbre teórica se traduce en un pequeño
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error en γ. La precisión de este método se incrementa mediante la inclusión de las contribuciones de
mayor orden de amplitudes de pingüinos electrodébil, que están relacionados por el isóspino con el árbol
Amplitudes.34,35 Con estadísticas suficientes también se debe tener en cuenta isospin-
la ruptura de las correcciones de orden (md-mu)/•QCD • 0,02,36,37 y un efecto causado por
la anchura del meson.38 Un análisis similar propuesto para la extracción de γ en B → Kη 39,40
requiere el uso de sabor SU(3) en lugar de isospin para la relación electrodébil pingüino con-
Atribuciones y amplitudes de los árboles.35,41 Mientras que el sabor SU(3) generalmente se supone que es
por las correcciones de orden (ms − md)/QCD • 0,3, en este caso particular a
receta más precisa para la ruptura SU(3) es proporcionada por la factorización QCD, reduciendo
la incertidumbre teórica en γ a sólo unos pocos grados.42
Las caries de Charmless B, que son sensibles a la física más allá del SM 28, proporcionan un
laboratorio rico para estudiar varias firmas de NP. Una gran variedad de teorías tienen
se han estudiado en este contexto, incluyendo modelos supersimétricos, modelos
Acoplamientos Z o Z ′ que cambian el sabor a nivel de los árboles, modelos con tres calibres anómalos
acoplamientos de bosón y otros modelos que impliquen un dipolo cromomagnético mejorado
operador.43,44 Los siguientes efectos han sido estudiados y serán discutidos en
Sección 6 en forma independiente del modelo:
(1) Dentro del SM, los tres valores de γ extraídos de B →, B → K
B+ → DK+ son iguales. Como explicaremos, se espera que estos tres valores sean
diferentes en las extensiones del SM con nuevos operadores de baja energía de cuatro fermiones
comportándose como I = 3/2 en B → y como I = 1 en B → K
(2) Otras firmas de grandes dimensiones I = 1 operador que contribuye a
B → Kη son violaciones de las reglas de suma de isospin, manteniendo en el SM para ambas tasas de desintegración
y CP asimetrías en estas decaimientos.45,46,47
(3) asimetrías dependientes del tiempo en B0 → η0KS, B0 → ΦKS y B0 → KS
y en otros b → s decaimientos dominados por pingüinos pueden diferir sustancialmente de la
asymmetry sin 2β symt, predicho aproximadamente en el SM.26,43,48 Significativo
Se esperan desviaciones en los modelos que involucran anómalos S = 1 operadores comportándose
como I = 0 o I = 1.
(4) Una pregunta interesante, que puede proporcionar una pista a la nueva base
Física una vez que se observan desviaciones de las predicciones SM, es cómo diagnosticar la
valor de I en operadores de NP que contribuyen a S = 1 decaídas sin encanto B. Lo haremos.
discutir una respuesta a esta pregunta que se ha propuesto recientemente49.
3. Determinando γ en B → DK
En esta sección vamos a discutir en cierta longitud un método bastante rico y muy preciso
para determinar γ en los procesos del formulario B → D(*)K(*), que utiliza ambos cargos
y neutrales mesons B y una gran variedad de estados finales. Se basa en una idea amplia
que cualquier mezcla coherente de un estado que implica un D̄0 de b̄ → c̄us̄ y un estado
con D0 de b̄ → ūcs̄ puede decaer a un estado final común.24,25 La interferencia
entre los dos canales, B → D(*)0K(*), D0 → fD y B → D̄(*)0K(*), D̄0 →
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La violación de la PC en la belleza decae 5
fD, implica la diferencia de fase débil γ, que se puede determinar con un alto
precisión teórica utilizando una elección adecuada de medidas. Efectos de D0-D̄0
Aunque algunos de estos procesos son estadísticamente limitados,
combinarlos juntos se espera que reduzca el error experimental en γ. In
Además de (cuasi) dos cuerpos B decaimientos, el D o D* en el estado final puede ser
acompañado de cualquier estado final multi-cuerpo con números cuánticos de un kaon.25
Cada proceso en esta gran clase de decaimientos B neutros y cargados se caracteriza
por dos pares de parámetros, describiendo relaciones complejas de amplitudes para D0 y D̄0
para los dos pasos de la cadena de desintegración (utilizamos una convención rB, rf ≥ 0, 0 ≤
A(B → D(*)0K(*)
A(B → D̄(*)0K(*)
= rBe
i(lB),
A(D0 → fD)
A(D̄0 → fD)
= rfe
e.............................................................................................................. 3)
En decaimientos de tres cuerpos de los mesons B y D, tales como B → DK
pares de parámetros ( rB, ♥B) y ( rf, f ) son funciones de dos correspondientes
Variables Dalitz que describen la cinemática de las decaimientos de los tres cuerpos anteriores. Los
la sensibilidad de determinar γ depende de rB y rf porque esta determinación se basa en
en una interferencia de amplitudes D0 y D̄0. Para los modos de desintegración D con rf + 1 (ver
la sensibilidad aumenta con la magnitud de rB.
Para cada una de las ocho subclases de procesos, B+,0 → D(*)K(*)+,0, uno puede
estudiar una variedad de estados finales en decaimientos D neutros. Los estados fD pueden ser divididos
en cuatro familias, que se distinguen cualitativamente por sus parámetros (rf,
Eq. 3):
(1) fD = CP-eigenstato
24,25,51 (K+K−,KS
0, etc.); rf = 1, f = 0, η.
(2) fD = estado sin sabor pero no CP
52 (K+K,KK−, etc.); rf = O(1).
(3) fD = estado del sabor
53 (K,K0, etc.); rf â € tan2 â € c.
(4) fD = estado de autoconjugación de 3 cuerpos
54 (KSη)
); rf, Łf varían a través del Dalitz
avión.
En la primera familia, los estados CP-odd ocurren en decaimientos D0 y D̄0 favorecidos por Cabibbo,
mientras que los estados CP-even ocurren en decaimientos aislados de Cabibbo-suprimidos. La segunda familia
de estados se produce en decaimientos solos de Cabibbo-suprimido, la tercera familia se produce en
Cabibbo-favorecido D̄0 decaes y en doble Cabibbo-suprimido D0 decaes, mientras que
el último estado es formalmente un modo favorito de Cabibbo para D0 y D̄0.
Los parámetros rB y B en B → D(*)K(*) dependen de si el mesón B
es cargado o neutral, y puede diferir para K vs K*,55 y para D vs D*, donde un
D* neutral se puede observar en D* → Dη0 o D* → Dγ.56 La relación rB implica
a factor CKM VubVcs/VcbVus 0.4 en tanto decaídas B+ y B0, y un color-
factor de supresión en decaimientos B+, mientras que en B0 decae b̄ → c̄us̄ y b̄ → ūcs̄
Las amplitudes están suprimidas por el color. Una estimación aproximada del factor de supresión de color en
estas decaimientos pueden obtenerse a partir de la supresión de color medida en
CKM-favorecido decaimientos, B → Dl,D,Dl,D, donde la supresión se encuentra a
estar en el rango 0,3 − 0,5.57 Por lo tanto, se espera rB(B0) 0.4, rB(B+) = (0,3 −
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0.5)rB(B
0) en todos los procesos B+,0 → D(*)K(*)+,0. Tomamos nota de que tres cuerpos B+
las desintegraciones, tales como B+ → D0K0, no son suprimidas por el color, haciendo estos procesos
ventajosa por su valor potencialmente grande de rB que varía en el espacio de fase.
58,59
La comparación anterior de rB(B)
+) y rB(B
0) pueden cuantificarse con mayor precisión
mediante la expresión de los cuatro ratios rB(B
0)/rB(B
+) en B → D(*)K(*) en términos de
cocientes rocales de magnitudes conocidas de amplitudes:60
0 → D(*)K(*)0
rB(B+ → D(*)K(*)+)
B+ → D̄(*)0K(*)+)
B0 → D̄(*)0K(*)0
. 4)
Esto se deriva de una aproximación,
A(B0 → D(*)0K(*)0) A(B+ → D(*)0K(*)+), (5)
donde los procesos B0 y B+ están relacionados entre sí sustituyendo a un espectador
D quark por un quark u. Mientras que formalmente Eq. (5) no es una predicción de isospin, puede
se obtiene utilizando una relación de triángulo isóspino61,
A(B0 → D(*)0K(*)0) = A(B+ → D(*)0K(*)+) +A(B+ → D(*)+K(*)0), (6)
y descuidando la segunda amplitud en el lado derecho que es “puro
Esta amplitud se espera que sea suprimida por un factor de cuatro o
cinco relativas a las otras dos amplitudes que aparecen en (6) que son de color-suprimido.
Las pruebas para este tipo de supresión se proporcionan por las proporciones correspondientes de CKM-
Amplitudes favorecidas57 A(B0 → D−s K+)/
2A(D̄0η0) = 0,23 ± 0,03, A(B0 →
Ds K
2A(D0η0) < 0,24.
Aplicando Eq. (4) a las relaciones de ramificación medidas,57,63 se encuentra
rB(B+)
B → DK B → DK* B → D*K B → D*K*
2,9± 0,4 3,7± 0,3 > 2,2 > 3,0 (7)
Esto concuerda con los valores de rB(B)
0) Cerca de 0,4 y rB(B
+) entre 0,1 y 0,2. Nota
que a pesar de los mayores valores esperados de rB en B
0 decaimientos, desde el punto
de la vista de las estadísticas por sí solas (sin considerar la cuestión del etiquetado del sabor y
la eficiencia de la detección de un KS en B
0 → D(*)K0), las desintegraciones B+ y B0 pueden
Comparablemente cuando se estudia γ. Esto se deriva de (5) porque el error estadístico en
γ escala aproximadamente como la inversa de la más pequeña de las dos amplitudes interferentes.
Ahora vamos a discutir la manera real por la cual γ se puede determinar utilizando
por separado tres de las familias de los estados finales antes mencionados fD. Lo haremos los hombres...
ventajas y desventajas en cada caso. Para ilustrar el método nosotros
tendrá en cuenta B+ → fDK+. También resumiremos la situación actual de estos países.
mediciones en los ocho modos de desintegración B+,0 → D(*)K(*)+,0.
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3.1. fD = CP-eigenstatos
Uno considera cuatro observables consistentes en dos tasas de decaimiento promedio de la carga para
estados de PC impares, normalizados por la tasa de descomposición en un estado de sabor D0,
RCP±
(DCP±K)
−) + •(DCP±K
(D0K−)
, (8)
y dos asimetrías del PC para estados pares e impares del PC,
ACP± فارسى
(DCP±K)
-) - - (DCP±K+)
(DCP±K−) + (DCP±K+)
. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Con el fin de evitar la dependencia de RCP± de los errores en D
Coeficiente de ramificación de 0 y DCP
mediciones se utiliza una definición de RCP± en términos de ratios de ramificación de decaimiento B
Las cuatro observaciones RCP± y ACP± proporcionan
tres ecuaciones independientes para rB, B y γ,
RCP± = 1 + r
B ± 2rB cos B cos γ, (10)
ACP± = ±2rB sin B sin γ/RCP±. (11)
Mientras que en principio este es el método más simple y más preciso para extraer
γ, hasta una ambigüedad discreta, en la práctica este método es sensible a r2B, porque
(RCP+ + RCP−)/2 = 1 + r
B. Esto se vuelve muy difícil para las caries B cargadas
donde se espera rB + 0,1 - 0,2, pero puede ser factible para decaimientos B neutros donde
rB 0.4. Una firma obvia para un valor no cero de rB sería observar un
diferencia entre RCP+ y RCP− que es lineal en esta cantidad.
Los estudios de B+ → DCPK+, B+ → DCPK y B+ → D*CPK+ han sido auto-
recientemente, 64,65,66 cada uno consta de unas pocas decenas de eventos. Una diferencia que no sea cero
RCP+ −RCP− a 2,6 desviaciones estándar, medida en B+ → DCPK,64 es prob-
dad de una fluctuación estadística. Se prevé una diferencia mayor en B0 → DCPK*0,
como se espera que el valor de rB en este proceso sea tres o cuatro veces mayor que
en B+ → DK. [Véase Eq. 7)] Se requieren estadísticas más altas para una medición de γ
utilizando este método.
3.2. fD = estado del sabor
Considerar un estado de sabor fD en Cabibbo-favorecido D̄
0 decaimientos, accesibles también doblemente
Cabibbo-suprimido decaimientos D0, de tal manera que uno tiene rf tan2 Łc en Eq. (3). Uno
estudia la relación de dos tasas de decaimiento medias por carga, para decaimientos en f̄DK y fDK,
(fDK)
−) + (f̄DK
(f̄DK−) + (fDK+)
, (12)
y la asimetría de PC,
(fDK)
−)− (f̄DK+)
(fDK−) + (f̄DK+)
. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
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8 M. Gronau
Estos observables son dados por
Rf = r
B + r
f + 2 rB rf cos(lB − lf ) cos γ, (14)
Af = 2 r rf sin(lB − lf ) sin γ/Rf, (15)
donde se ha descuidado una corrección multiplicativa 1 + O(rBrf ) + 1,01 en (14).
Estos dos observables involucran tres incógnitas, rB, Uno asume
rf debe ser dada por la relación medida de doble supresor de Cabibbo y de Cabibbo-
favoreció las relaciones de ramificación. Por lo tanto, uno necesita al menos dos estados de sabor, fD y f
para el cual dos pares de observables (Rf, Af ) y (Rf ′, Af ′) proporcionan cuatro ecuaciones
para las cuatro incógnitas, rB, Las fuertes diferencias de fase.f,.f ′
realmente se puede medir en una fábrica de encanto,67 reduciendo así el número de
Desconocidos a tres.
Mientras que la tasa de decaimiento en el numerador de Rf es bastante baja, la asimetría Af
puede ser grande para valores pequeños de rB alrededor de 0,1, ya que implica dos amplitudes con
a magnitud relativa rf/rB.
Hasta ahora, sólo se han medido límites superiores para Rf, lo que implica límites superiores
sobre rB en varios procesos, rB(B
+ → DK+) < 0,2,68,69,70 rB(B+ → D*K+) <
0.2,68 r(B+ → DK) < 0,4,71 y rB(B0 → DK*0) < 0,4,63,72
las tensiones sobre el rB en los tres primeros procesos se han obtenido mediante el estudio de decaimientos D
en los estados CP-eigen y en el estado KS
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Uso de rB(B
0 → DK*0)/rB(B+ →
DK) = 3,7 ± 0,3 en (7) y asumiendo que rB(B+ → DK) no es menor
que alrededor de 0,1, se puede llegar a la conclusión de que una medición no cero de rB(B
0 → DK*0)
debe medirse pronto. La firma de los eventos B0 → D0K*0 sería de dos
Kaons con cargos opuestos.
3.3. fD = KS
La amplitud para B+ → (KS)DK+ es una función de las dos masas invariantes
variables, m2
(pKS + p)2, y puede ser escrito como
A(B+ → (KS)DK+) = f(m2+,m2−) + rBei(B)f(m2−,m2+). 16)
En B- decaimiento se sustituye m+ ↔ m−, γ →. La función f puede ser escrita como a
suma de una veintena de contribuciones resonantes y no resonantes modeladas para describir
la amplitud para el sabor marcado D̄0 → KS que se mide por separado.73,74
Esto introduce una incertidumbre dependiente del modelo en el análisis. Usando la medida
función f como entrada y ajuste de las velocidades para B± → (KS)DK± a la
parámetros, rB, B y γ, uno entonces determina estos tres parámetros.
La ventaja de usar D → KS decae sobre los estados de CP y sabor es
ser favorecidos por Cabibbo e involucrar a las regiones en el espacio de fase con un potencial grande
interferencia entre las amplitudes de decaimiento D0 y D̄0. La principal desventaja es la
incertidumbre introducida mediante el modelado de la función f.
Dos análisis recientes de estadísticas comparables realizados por Belle y Babar, que combinan
B± → DK±, B± → D*K± y B± → DK, valores obtenidos 73 γ = [53+15
−18 ± 3±
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La violación del PC en la belleza decae 9
9(modelo)] y γ = [92±41±11±12(modelo)]
proceso B+ → D(KS)K*, también estudiado por el mismo grupo,75.] Los errores más grandes en
el segundo análisis se correlaciona con valores más pequeños de los parámetros extraídos rB
en comparación con los extraídos en el primer estudio. Los errores dependientes del modelo
puede reducirse mediante el estudio en CLEO-c de las decaimientos DCP± → KS, proporcionando
más información sobre fases fuertes en decaimientos D.67
Conclusión: El valor actual más preciso de γ es γ = [53+15
−18 ± 3± 9 (modelo)]
obtenido de B± → D(*)K(*)± utilizando D → KS. Estos errores pueden reducirse
en el futuro combinando el estudio de todos los modos de desintegración D en B+,0 → D(*)K(*)+,0.
El deterioro B0 → DK*0 parece tener un alto potencial debido a su esperado
gran valor de rB. Decaimientos B
0 → D(*)K0 también puede ser útil, ya que han sido
se muestra para proporcionar información sobre γ sin la necesidad de etiquetado de sabor de la inicial
B0.60,76
4. La determinación actual más precisa de γ: B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
4.1. B → •
La amplitud para B0 → contiene dos términos, convencionalmente denotado “árbol”
(T ) y "penguin" (P ) amplitudes, 14,26 que implican una fase débil de PC-violante γ
y una fase fuerte de conservación de la PC, respectivamente:
A(B0 → ) = T eiγ + P ei (17)
Tasas de decaimiento dependientes del tiempo, para un B0 inicial o un B
, son dadas por
•(B0(t)/B
(t) → ) = et [1± C cosmt S sinmt], (18)
donde
S =
2Im()
1 + 2
, C =
1− 2
1 + 2
......................................................................................
0 → )
A(B0 → )
. (19)
Uno tiene14
S = pecado 2 2P/T cos2α sin(β + α) cos ♥ +O(P/T 2),
C = 2P/T sin(β + α) sin ♥ +O(P/T 2). (20)
Esto nos dice dos cosas:
(1) La desviación de S del pecado 2α y la magnitud de C aumentan con
P/T, que se puede estimar que es P/T 0.5 comparando B →
dominada por los pingüinos B → tasas Kπ.77
(2) , S y C son insuficientes para la determinación de T, P, ♥ y γ (o α).
Se puede obtener más información sobre estas cantidades mediante la aplicación de isospin sym-
métrica a todos los decaimientos B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Con el fin de llevar a cabo un análisis isospin,33 se utiliza el hecho de que los tres
física B → • amplitudes de desintegración y las tres B̄ → • amplitudes de desintegración,
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dependiendo de cada uno de dos amplitudes de isóspino, obedecer las relaciones triangulares de la forma,
A(B0 → )/
2 +A(B0 → η0η0)−A(B+ → 0) = 0. (21)
Además, la amplitud del pingüino es pura I = 1/2; de ahí el I = 3/2 am-
plitud lleva una fase semanal γ, A(B+ → 0) = e2iγA(B− → 0). Definir...
La diferencia entre αeff y α es entonces determinada por
un ángulo entre los lados correspondientes de los dos triángulos isóspinos que comparten un com-
an base, A(B+ → 0) = A(B− → 0). Una ambigüedad de signo en αeff − α es
resueltas mediante dos características independientes del modelo que se confirman experimentalmente,
≤ 1, ≤ η/2. Esto implica α < αeff.78
Tabla I. Coeficiente de ramificación y asimetrías de PC en B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Modo de descomposición Razón de ramificación (10-6) ACP = −C S
B0 → 5,16± 0,22 0,38 ± 0,07 −0,61± 0,08
B+ → 0 5,7± 0,4 0,04 ± 0,05
B0 → η0η0 1,31± 0,21 0,36
+0,33
−0,31
B0 → 23.1
0,11 ± 0,13 −0,06± 0,18
B+ → 0 18,2± 3,0 −0,08± 0,13
B0 →............................................................................................................................................
Coeficiente de ramificación medio de la CP actual y asimetrías de la CP para B → y
En el cuadro I,20 se indican las desintegraciones de los países ACP • − C en el caso de las desintegraciones de los países ACP a los países ACP.
estados. En los dos últimos años se ha logrado un impresionante progreso experimental.
años en la extracción de un valor preciso para αeff, αeff = (110,6)
−3.2)
- Sí. Sin embargo, el er-
ror en αeff − α utilizando los triángulos isospin es todavía grande. Un límite superior, dado por
Tasas medias de CP y una asimetría directa de CP en B0 →,79,80
co 2 (αeff − α) ≥
+ 0 − 00
)2 − 0
0
1 - C2
, (22)
da lugar a 0 < αeff − α < 31 ° a 1 °. Añadiendo en cuadratura el error en αeff y el
incertidumbre en eff, esto implica α = (95± 16) o γ = (64± 16) por. A similar
El valor central, pero un error menor, α = (97± 11), ha sido reportado recientemente por el
Belle Collaboration.81 La posibilidad de que un pingüino amplitud en B0 →
puede conducir a una gran asimetría de PC S para valores de α cerca de 90° donde el pecado 2α = 0 fue
hace quince años82.
La unión en αeff − α puede mejorarse considerablemente midiendo un no cero
Asimetría directa de CP en B0 → Esta asimetría puede demostrarse que es grande y
positivo (véase Eq. (46) in Sec. 5.2), implicando una tasa grande para B̄0 pero una tasa pequeña para
B0. Es decir, el triángulo (21) se espera ser aplastado, mientras que el triángulo B̄ es
más o menos igual de lado.
Una manera alternativa de tratar la amplitud del pingüino en B0 → es por
combinando dentro del sabor SU(3) la tasa de decaimiento y asimetrías en este proceso con
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La violación del PC en la belleza decae 11
Tasas y asimetrías en B0 → K0 o B0 → K.77 La relación de S = 1 y
Se considera que las amplitudes de los árboles en estos procesos, con exclusión de los factores CKM, son:
dada por fK/fη suponiendo la factorización, mientras que la relación de pingüino correspondiente
Las amplitudes pueden variar en ±0,22 alrededor de una. Una actualización actual de esto más bien
análisis conservador obtiene 83
γ = (73± 4+10)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
donde el primer error es experimental, mientras que el segundo se debe a una incertidumbre
en ruptura SU(3). Una discusión de SU(3) los factores de ruptura relacionados B0 → y
B0 → K está incluido en la sección 5.2.
4.2. B → •
Análisis angulares de los piones en decaimientos han demostrado que B0 → está dominado
casi 100% por polarización longitudinal 20. Esto simplifica el análisis de isospin de
Las asimetrías de CP en estas decaimientos a volverse similar a B0 →. La ventaja
de B → • sobre B → • es el pequeño valor relativo de (
En comparación con los demás países de la Unión Europea, la tasa de crecimiento de la industria de la Unión aumentó en un 5 % en comparación con los demás países de la Unión Europea.
) y (
0) (véase el cuadro I), indicando un P/T más pequeño en B → (P/T <
0,3 8) que en B0 → (P/T 0,5 77). Eq. (22) conduce a un límite superior en
αeff − α en B → â €, 0 < αeff − α < 17 â € (a 1 Las asimetrías para el longitudinal
En el cuadro I se indica αeff = (91,7)
−5.2)
- Sí. Por lo tanto, se encuentra α = (83 ± 10), o
γ = (76± 10)• añadiendo errores en la cuadratura.
Una unión más fuerte en P/T en B0 →, llevando a un valor más preciso de γ,
puede obtenerse relacionando este proceso con B+ → K*0 dentro del sabor SU(3). 84
Se utiliza la razón de ramificación y la fracción de la tasa longitudinal medida para esto
proceso 20, (
K*0) = (9,2 ± 1,5) × 10−6, fL(K*0) = 0,48 ± 0,08, para normalizar
la amplitud del pingüino en B0 →. Incluida una incertidumbre conservadora de
SU(3) rotura y amplitudes más pequeñas, se encuentra un valor
γ = (71.4+5,8)
−1,7)
* (24)
donde el primer error es experimental y el segundo teórico.
El pequeño error teórico actual en γ requiere incluir efectos de ruptura de isospin
en estudios basados en la simetría de isospina. El efecto de las amplitudes del pingüino electrodébil
sobre los análisis de isospin de B → y B → se ha calculado y se ha encontrado
para mover γ ligeramente más alto por una cantidad EWP = 1,5
- 34,35 - Otras correcciones,
pertinentes a los métodos utilizados en los sectores de la leche y de los productos lácteos, incluida la mezcla, la mezcla y la
pequeña I = 1 contribución permitida por el ancho, son cada uno más pequeño que uno
grado.36,37,38
Conclusión: Tomar un promedio de los dos valores de γ en (23) y (24) obtenidos
de B0 → y B0 →, incluido el EWP antes mencionado
corrección, se encuentra
γ = (73.5± 5.7)•. (25)
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Un tercer método de medición γ (o α) en análisis Dalitz dependientes del tiempo de B0 →
()0 implica un error mucho mayor,85 y tiene un pequeño efecto en el promedio general
valor de la fase débil. Observamos que el pecado γ está cerca de uno y su error relativo
es sólo 3%, el mismo que el error relativo en el pecado 2β y ligeramente menor que el
error relativo en el sinβ.
5. Tasas, asimetrías, y γ en B → K
5.1. Extraer γ en B → K
Los cuatro decaimientos B0 → K, B0 → K0ň0, B+ → K0, B+ → K0 implican
un potencial de extracción de γ, siempre que uno sea sensible a la interferencia entre
un pingüino isoescalar dominante amplitud y un pequeño árbol amplitud que contribuye
a estos procesos. Esta idea ha llevado a numerosas sugerencias para determinar γ en
Estas desintegraciones comienzan con una propuesta hecha en 1994.86,87 Una interferencia entre
Las amplitudes de pingüinos y árboles pueden identificarse de dos maneras:
(1) Dos diferentes B correctamente normalizados → Kη tasas.
(2) Asimetrías directas de PC no nulas.
Cuadro II Ratios de ramificación y asimetrías en B → K
Modo de descomposición Razón de ramificación (10-6) ACP
B0 → K 19,4± 0,6 −0,097± 0,012
B+ → K0 12,8± 0,6 0,047± 0,026
B+ → K0 23,1± 1,0 0,009± 0,025
B0 → K0η0 10,0± 0,6 −0,12± 0,11
Las relaciones de ramificación actuales y las asimetrías de PC se resumen en el cuadro II.20
ratios de tasas, calculados utilizando la relación de las vidas de B+ y B0, /0 = 1,076±
0,008,20 son:
R • • (B)
0 → K)
(B+ → K0)
= 0,90± 0,05,
2o(B+ → K0)
(B+ → K0)
= 1,11± 0,07,
(B0 → K)
2-(B0 → K0η0) = 0,97± 0,07. 26)
La mayor desviación respecto a la primera, observada en la relación R a 2
alegando pruebas inequívocas de una contribución no penguiniana. Un límite superior,
R < 0,965 a un nivel de confianza del 90%, implicaría γ ≤ 79° utilizando sin2 γ ≤ R,88
que descuida sin embargo “color-suprimido” EWP contribuciones.89 Como vamos a argumentar
ahora, estas contribuciones y las amplitudes de los árboles “color-suprimidos” en realidad no son
Suprimida como ingenuamente esperada.
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La violación del PC en la belleza decae 13
La asimetría no cero medida en B0 → K proporciona la primera evidencia para
una interferencia entre las amplitudes del pingüino (P ′) y del árbol (T ′) con una rel-
ativa fase fuerte. Tal interferencia ocurre también en B+ → K0 donde no
se ha observado asimetría. Un supuesto de que otras contribuciones a la
En el caso de los países de la Europa central y oriental, el hecho de que los países de la Europa central y oriental se encuentren en una situación de desventaja económica y social no ha suscitado dudas sobre la validez de la política exterior y de seguridad común y de seguridad común y de la política exterior y de seguridad común, así como sobre el hecho de que los países de la Europa central y de seguridad común se encuentren en una situación en la que la Unión Europea se encuentra en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que, por ejemplo, los países de la Europa central y oriental, los países de la región de la región de la región de la Europa central.
Marco CKM. De hecho, una amplitud de árbol suprimida de color (C′), también ocurre en
B+ → K0,86 resuelve este “puzzle” si esta amplitud es comparable en magnitud
a T ′. De hecho, varios estudios han demostrado que este es el caso, 90,91,92,93,94
la aplicación de que las amplitudes de EWP suprimidas por el color y favorecidas por el color son comparables
magnitudes.35 Para la consistencia entre las dos asimetrías de CP en B0 → K
y B+ → K0, la fuerte diferencia de fase entre C′ y T′ debe ser negativa
y no puede ser muy pequeño.95 Esto parece estar en contraste con los cálculos de QCD
utilizando un teorema de factorización.29,31,94
La pequeña asimetría ACP (B
+ → K0) implica límites en el seno de la
fuerte diferencia de fase c entre T
′ +C′ y P ′. El coseno de esta fase afecta
Rc − 1 que implica las tasas de descomposición para B+ → K0 y B+ → K0. Una pregunta
estudiado recientemente es si los dos límites superiores en pecado c y cos c son con-
insistentes entre sí o, tal vez, indican los efectos de la NP. Se demostró la coherencia
mediante la prueba de una norma relativa a la suma que afecta a los países ACP (B)
+ → K0) y Rc − 1, en el que un elec-
La amplitud del pingüino troweak (EWP) juega un papel importante. Ahora vamos a presentar un
prueba de la regla de la suma, que puede proporcionar información importante sobre γ.95
Las dos amplitudes para B+ → K0,K0 se dan en términos de topología
contribuciones, incluidas P ′, T ′ y C′,
A(B+ → K0) = (P ′ − 1
P ′CEW ) +A
A(B+ → K0) = (P ′ − 1
P ′CEW ) + (T
′ + P ′CEW ) + (C
′ + P ′EW ) + A
′, (27)
donde P ′EW y P
EW son contribuciones de EWP favorables al color y suprimidas por el color.
La pequeña amplitud de aniquilación A′ y una pequeña contribución u quark a P ′ involv-
Se descuidará un factor CKM V*ubVus (V*ubVus/V*cbVcs = 0,02). Evidencia de
la pequeñez de estos términos se puede encontrar en la pequeña asimetría de CP medida para
B+ → K0. Las grandes condiciones requerirían redispersión y una fase considerable y fuerte
diferencia entre estos términos y P ′.
La simetría SU(3) del sabor se refiere a I = 1, I(Kπ) = 3/2 pingüino electrodébil y
Amplitudes de los árboles a través de una proporción calculable
35,41,
T ′ + C′ + P ′EW + P
EW = (T
′ + C′(1 − EW e-iγ),
EW = −
c9 + c10
c1 + c2
V ∗tbVts
V*ubVus
= 0,60± 0,05. (28)
El error en EW está dominado por la incertidumbre actual en Vub/Vcb = 0.104±
0,007 57, incluyendo también un error menor de ruptura SU(3) estimado usando QCD
factorización. Eqs. (27) y (28) implican 96
Rc = 1− 2rc cos c(cos γ − EW) + r2c (1− 2EW cos γ + 2EW), (29)
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ACP (B
+ → K0) = −2rc sin c sin γ/Rc, (30)
donde rc T ′ + C/P ′ − 13P
EW y C es la fuerte diferencia de fase entre
T ′ + C′ y P ′ − 1
P ′CEW.
El parámetro rc es calculable en términos de tasas de decaimiento medidas, utilizando
ken sabor SU(3) que relaciona T ′ + C′ y T + C dominando B+ → 0 por una
factor de factorización fK/f
+ → 0),87
T ′ + C =
A(B+ → 0). 31)
Utilizando las relaciones de ramificación de los cuadros I y II, se encuentra
B+ → 0)
B+ → K0)
= 0,198± 0,008. (32)
El error en rc no incluye una incertidumbre de asumir la factorización para
SU(3) rotura en T ′ + C′. Si bien esta suposición debe mantenerse bien para T ′, puede
no ser una buena aproximación para C′ que, como hemos mencionado, es comparable en
magnitud a T ′ y lleva una fase fuerte relativa a ella. Por lo tanto, uno debe permitir un
10% error teórico cuando se utiliza la factorización para la relación B → K
Amplitudes T + C, de modo que
rc = 0,20± 0,01 (exp)± 0,02 (th). 33)
Eliminación de la cc en Eqs. (29) y (30) manteniendo términos lineales en rc,
uno encuentra
Rc − 1
cos γ − EW
ACP (B
+ → K0)
sin γ
= (2rc)
2 + O(r3c ). (34)
Esta regla de suma implica que al menos uno de los dos términos cuyos cuadrados ocurren en
el lado izquierdo debe ser considerable, del orden de 2rc = 0,4. El segundo mandato,
ACP (B+ → K0)/ sin γ, es ya más pequeño que 0.1, utilizando la corriente 2
γ y ACP (B+ → K0). Por lo tanto, el primer término debe proporcionar un
contribución. Para Rc 1, esto implica γ arccos ♥EW (53.1± 3.5). Este rango es
expandido mediante la inclusión de errores en Rc y ACP (B
+ → K0). Por ejemplo, una
Rc unida < 1,1 implicaría un límite superior importante, γ < 70
- Sí. En la actualidad, uno solo
obtiene un límite superior γ ≤ 88° al nivel de confianza del 90%.95 Este límite es consistente
con el valor obtenido en (25) a partir de B → y B →, pero no es competitivo
con esta última precisión.
Conclusión: La limitación actual obtenida de Rc y ACP (B
+ → K0) es
γ ≤ 88° al nivel de confianza del 90%. Otras mejoras en la medición de las Rc
(que, de hecho, puede estar muy cerca de uno) se requiere para lograr una precisión
en γ comparable a la obtenida en B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (Conclusión relativa a la
diferentes asimetrías de CP medidas en B0 → K y B+ → K0 se dará
al final de la subsección siguiente.)
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación del PC en la belleza decae 15
5.2. Relaciones de simetría para las tasas y asimetrías B → K
Las dos características siguientes implican reglas de suma bastante precisas en el marco de CKM,
tanto para las tasas de decaimiento de B → Kη como para las asimetrías de CP:
(1) La amplitud dominante del pingüino es I = 0.
(2) Las cuatro amplitudes de desintegración obedecen a una relación lineal de isóspino,39
A(K)−A(K0)−
2A(K0) +
2A(K0η0). (35)
Una consecuencia inmediata de estas características son dos reglas de suma isospin, que
mantener hasta los términos que son cuadráticos en pequeñas proporciones de no pingüinos a pingüino
amplitudes, 45,46,47
* (K) + (K0) = 2* (K0) + 2* (K0ň0), (36)
(K) + (K0) = 2°(K0) + 2°(K0ň0), (37)
donde
*(Kl) *(B̄ → K) *(B → Kl) *(B → Kl). 38)
Las correcciones cuadráticas a (36) se han calculado en el SM y se han encontrado para
ser un poco por ciento.97,98,99 Este es el nivel esperado en general para la ruptura de isospin
las correcciones que, por lo tanto, deben considerarse también. Las dos características anteriores implican
que estas correcciones I = 1 son suprimidas por una pequeña proporción de no pingüinos a
las amplitudes del pingüino y por lo tanto son insignificantes100. De hecho, esta regla de suma
experimentalmente dentro de un error del 5%.101 Uno espera que la otra regla de suma (37) mantenga
a una precisión similar.
La regla de la suma de la asimetría de la tasa de CP (37), que relaciona las cuatro asimetrías del PC, conduce
a una predicción de la asimetría en B0 → K0η0 en términos de los otros tres
asimetrías que se han medido con mayor precisión,
ACP (B
0 → K0η0) = −0,140± 0,043. (39)
Si bien este valor es coherente con el experimento (véase el cuadro II), mayor precisión en
Esta medición de asimetría es necesaria para probar esta predicción sencilla.
Relaciones entre las asimetrías de la PC en B → Kη y B →
sabor aproximado SU(3) simetría de QCD 102 no se espera que se mantenga como pre-
cisely como las relaciones isospin, pero todavía puede ser interesante y útil. Un importante
la cuestión relevante para tales relaciones es cómo incluir los efectos de ruptura SU(3), que
se espera que se sitúe en un nivel del 20-30%. Aquí queremos discutir dos SU(3) rela-
ciones propuestas hace doce años,103.104 una de las cuales se mantiene experimentalmente en
expectación, proporcionando alguna lección sobre la ruptura SU(3), mientras que el otro tiene un
implicación interesante para futuras aplicaciones del análisis de isospin en B →.
Una prueba más conveniente de las relaciones SU(3) se basa en el uso de un diagrama
aproximación, en la que los diagramas con las topologías de sabor dadas sustituyen SU(3) reducida
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16 M. Gronau
En este lenguaje, las amplitudes para B0 decaen en pares de
los piones cargados o neutros, y los pares de η cargados o neutros y K, están dados por:
−A(B0 → ) = T + (P + 2P CEW /3) + E + PA,
2A(B0 → η0η0) = C − (P − PEW − PEW /3)− E − PA,
−A(B0 → K) = T ′ + (P ′ + 2P ′CEW /3),
2A(B0 → K0η0) = C′ − (P ′ − P ′EW − P ′CEW /3). (40)
La combinación E + PA, que representa el intercambio y la aniquilación pingüino topolo-
gies, se espera que sea 1/mb-suprimido en relación con T y C,
31,62 como se ha demostrado
por la pequeña razón de ramificación medida para B0 → K+K−.20 Este término será
descuidado.
Expresando amplitudes topológicas en términos de factores CKM, SU(3)-invariante
amplitudes y SU(3) fases fuertes invariantes, se puede escribir
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T ′ V ∗ubVusT + Puc, P ′ + 2P ′ceW /3
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C′ V ∗ubVusC − Puc, P ′ − P ′EW − P ′ceW /3 فارسى V ∗tbVtsPûtcei.
Unidad de la matriz CKM, V*cbVcd(s) = −V*tbVtd(s) − V*ubVud(s), se ha utilizado
para absorber en T (
′) y C(
′) término pingüino Puc Pu-Pc multiplicando V*ubVud(s),
mientras que Ptc-Pt-Pc-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps
contribuciones. Uso de la identidad
Im (V ∗ubVudVtbV
td) = −Im (V ∗ubVusVtbV ∗ts), (42)
Uno encuentra103,104
(B0 → K) = (B0 → ) (43)
(B0 → K0η0) = (B0 → η0η0), (44)
en el caso de los productos de la categoría C, la diferencia de la tasa de PC definida en el punto 38).
Productos de cotización de las relaciones de ramificación y asimetrías de los cuadros I y II,
Eq. (43) dice
− 1,88± 0,24 = − 1,96± 0,37. (45)
Esta relación SU(3) funciona bien y no requiere romper SU(3). Una ruptura SU(3)
factor fK/fη en T pero no en P, o en T y P, están actualmente excluidos en una
nivel de 1,0o, o 1,75o. Mediciones de asimetría CP más precisas en B0 → K
y B0 → son necesarios para determinar el patrón de la ruptura SU(3) en el árbol
y las amplitudes del pingüino.
Utilizando la predicción (39) de la regla de suma de asimetría B → K, Eq. (44) predice
ACP (B
0 → η0η0) = 1,07± 0,38. (46)
El error está dominado por los errores actuales en las asimetrías CP para B+ → K0
y B+ → K0, y en menor medida por el error en (
0,0,0. SU(3) irrupción
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La violación del PC en la belleza decae 17
Las amplitudes podrían modificar esta predicción por un factor fη/fK si este factor se aplica a
C, y menos probable por (fη/fK)2. Una gran asimetría positiva del PC, favorecida en los tres
los casos, afectarán las aplicaciones futuras del análisis de isospin en B →. Implica
que mientras que el triángulo de B̄ isóspin es aproximadamente igual-lados, el triángulo B es aplastado.
Una ambigüedad doble en el valor de γ desaparece en el límite de un triángulo plano B.24
Conclusión: La regla de la suma de isospin para B → tasas de decaimiento Kπ se mantiene bien, mientras que el
La norma de la suma de la asimetría de PC predice ACP (B
0 → K0η0) = −0.140±0.043. Los diferentes
las asimetrías en B0 → K y B+ → K0 pueden explicarse por una amplitud
C′ comparable a T ′ y que implique una fase fuerte negativa relativa, y debe
no ser considerado un “puzzle”. Una relación SU(3) para B0 → y B0 → Kň CP
las asimetrías funcionan bien para los modos cargados. La relación correspondiente para neutral
los modos predicen una gran asimetría positiva en B0 → Mejora de la asimetría
las mediciones pueden proporcionar pruebas para los factores de ruptura SU(3).
6. Pruebas para efectos pequeños de la nueva física
6.1. Valores de γ
Hemos descrito tres maneras de extraer un valor para γ dependiendo de la interferencia
de distintos pares de amplitudes de quark, (b → cūs, b → uc̄s), (b → cc̄s, b → uūs) y
(b → cc̄d, b → uūd). Los tres pares proporcionan un patrón específico para la violación de CP en
el marco CKM, que se espera que se viole en muchas extensiones de la
SM. El valor bastante preciso de γ (25) extraído de B → â € TM, â € TM, es consistente
con limitaciones a γ de las mediciones de conservación de PC relacionadas con los lados de la
Triángulo de unitaridad:8,9 Los valores de γ obtenidos en B → D(*)K(*) y B → K
son consistentes con los extraídos en B → â € TM, â €, â €, pero todavía no son suficientemente
precisa para la prueba de pequeños efectos NP en decaimientos sin encanto B. Otros experimentos
Se requieren mejoras, en particular en los dos primeros tipos de procesos.
Aunque no se espera que el valor de γ en B → D(*)K*) se vea afectado por NP,
las otras dos clases de procesos que involucran los bucles del pingüino son susceptibles a tales
efectos. La extracción de γ en B → • • • supone que γ es la fase de un • I =
Amplitud del árbol 3/2, mientras que se incluye una contribución adicional de I = 3/2 EWP
utilizando isospin. El valor extraído podría ser modificado por un nuevo I = 3/2 efectivo
operador que se origina en la física más allá del SM, pero no por un nuevo I = 1/2 operador.
Del mismo modo, el valor de γ extraído en B → K
operador, pero no por un nuevo operador I = 0, porque la amplitud (28), jugando
un papel esencial en este método, es puro I = 1.
6.2. B → Regla de la suma de K
Charmless S = 1 B y Bs decaimientos son particularmente sensibles a los efectos NP, como
nuevas partículas pesadas en el rango de masa de TeV pueden reemplazar el bosón W y
quark en el bucle del pingüino dominando estas amplitudes.28 La regla de la suma (36) para
B → Las tasas de decaimiento de Kπ proporcionan una prueba para tales efectos. Sin embargo, como hemos argumentado
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a partir de consideraciones isospin, sólo se ve afectado por las amplitudes cuadráticas I = 1
incluidas las contribuciones de la Policía Nacional. Pequeñas amplitudes de NP, contribuyendo cuadráticamente a
la regla de suma, no puede separarse de las correcciones SM, que son por sí mismas en
un nivel de unos pocos por ciento. Este es el nivel al que la regla de suma ya ha sido
probado. Discutiremos a continuación para obtener pruebas que muestren que las contribuciones potenciales de NP
a S = 1 decaimientos sin encanto debe ser suprimido por aproximadamente un orden de magnitud
relativa a las amplitudes de pingüinos b→ s dominantes.
6.3. Valores de S,C en S = 1 B0 → decaimientos de fCP
Una clase de b → s pingüinos dominados B0 decae a CP-eigenstatos ha recientemente en-
prestó considerable atención. Esto incluye los estados finalesXKS yXKL, dondeX =
, η0,, , f0,
0,K+K−,KSKS,
0η0, para las que se midieron asimetrías CPS
y C se citan en el cuadro III. [Las asimetrías S y C = −ACP fueron de-
multado en (18) por B0 →. Modos observados con KL en los estados finales obedecen
ηCP (XKL) = CP (XKS).] En estos procesos, un valor S = CP pecado 2β (para los estados
Cuadro III Asimetrías S y C en B0 → XKS.
X (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
CP S 0,39± 0,18 0,33± 0,21 0,61± 0,07 0,48± 0,24 0,42 ± 0,17
C 0,01± 0,13 0,12± 0,11 −0,09± 0,06 −0,21± 0,19 −0,02± 0,13
X l0 K+K− KSKS η
CP S 0,20± 0,57 0,58
+0.18
−0.13
0,58± 0,20 −0,72± 0,71
C 0,64± 0,46 0,15± 0,09 −0,14± 0,15 0,23± 0,54
con CP-eigenvalue ηCP ) aproximadamente.
26,43 Estas predicciones implican
incertidumbres hadrónicas a un nivel de varios por ciento, de orden de 2, 0.2. Lo ha sido.
hace algún tiempo105 que es difícil separar a estos hadronic uncer-
de las contribuciones de NP a las amplitudes de desintegración si estas últimas son
Pequeño. En la próxima subsección discutiremos evidencia experimental indirecta que muestra
que las contribuciones de NP a S y C deben ser pequeñas. Correcciones a S = CP sin 2β
y los valores para las asimetrías C se han calculado en el SM utilizando métodos
basado en la factorización QCD106,107 y el sabor SU(3),90,108,109 y fueron encontrados para
estar entre unos pocos por ciento hasta por encima del diez por ciento dentro de las incertidumbres hadrónicas.
Mientras que la desviación de S de CP sin 2β es dependiente del proceso, un genérico
resultado ha sido probado hace mucho tiempo para S y C, a la primera orden en c/p,14
Sin 2β = 2 • S • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
cos 2β sin γ cosŁ,
C = 2
pecado γ pecado. (47)
Aquí p y c son pingüinos y las amplitudes de los árboles suprimidas de color que implican un pequeño ra-
tio y fase relativa débil y fuerte γ y, respectivamente. Esto implica que la S > 0
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La violación del PC en la belleza decae 19
para < π/2, que se puede argumentar para varias de las decaimientos anteriores utilizando QCD
argumentos106,107 o SU(3) encaja.109 (Nota que mientras que p es medible en ciertos
Las tasas de decaimiento hasta las correcciones de primer orden, c y implican una incertidumbre hadrónica considerable-
vínculos en los cálculos de QCD.) En contraste con esta expectativa, los valores centrales mea-
seguro de que el S es negativo para todas las decaimientos. (Véase el cuadro III.) En consecuencia, se encuentra un
valor medio sin 2βeff = 0,53±0,05,20 para ser comparado con sin 2β = 0,678±0,025.
Dos mediciones que parecen particularmente interesantes son: CPSKS = 0,39±0,18,
donde se espera una corrección positiva de unos pocos por ciento al pecado 2β en el SM,106,107
y CPSη0KS = 0,33± 0,21, donde una corrección positiva bastante grande al pecado 2β es
espera cambiar esta asimetría a un valor justo por encima de 0,8,90
Mientras que el valor promedio actual del pecado 2βeff es tentador, errores experimentales
en S y C debe reducirse aún más para hacer un claro caso de la física más allá de la
SM. Suponiendo que la discrepancia entre las medidas mejoradas y el
Los valores tardíos de S y C persisten más allá de las incertidumbres teóricas, pueden
vide una pista a la Nueva Física subyacente? Dado que muchos modelos podrían dar lugar a
una discrepancia, 28,43,44 uno buscaría firmas que caracterizaran clases de modelos
en lugar de estudiar los efectos en modelos específicos. Una forma de clasificar las extensiones
de la SM es por el comportamiento isospin de los nuevos operadores eficaces que contribuyen a
b→ transiciones sqq̄.
6.4. Diagnóstico de I+D para nuevos operadores de Física
Operadores de cuatro cuartetos en el Hamiltoniano efectivo asociado con NP en b → sqq̄
las transiciones pueden ser isoescalar o isovector operadores. Ahora discutiremos un estudio.
propuesta recientemente para aislar a I = 0 o I = 1 operadores, determinando así
las amplitudes NP correspondientes y las fases violatorias de CP.49 Demostraremos que desde S
y C en los procesos anteriores combinen I = 0 o I = 1 contribuciones, separando
estas contribuciones requieren también el uso de información de otras dos asimetrías,
que son proporcionados por procesos de desintegración reflejados en isospin.
Dos S = 1 proceso de desintegración sin encanto B (o Bs), relacionados por la reflexión isospin,
RI : u ↔ d, ū ↔ −d̄, siempre se puede expresar en términos de común I = 0 y
I = 1 amplitudes B y A en la forma:
A(B+ → f) = B + A, A(B0 → RIf) = ±(B-A). (48)
Una prueba de esta relación utiliza un cambio de signo de los coeficientes Clebsch-Gordan subm↔
−m.49 La descripción (48) se aplica, en particular, a los pares de procesos que implican
todos los modos de desintegración B0 enumerados en el cuadro III, y los modos de desintegración B+ en los que los estados finales
se obtienen por reflexión de isospin de los modos de desintegración B0 correspondientes. Tasas de desintegración
para pares de procesos de desintegración B reflectados por isospin, y para decaimientos B̄ a los correspondientes
Por lo tanto, los estados finales conjugados son dados por (omitimos inesencial común
factores cinemáticos),
= B +A2, 0 = B − A2,
= B̄ + 2, 0̄ = B̄ − 2. (49)
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Las amplitudes B̄ y están relacionadas con B y A por un cambio en el signo de todos los débiles
fases, mientras que las fases fuertes se mantienen sin cambios.
Para cada par de procesos se definen cuatro asimetrías: una isospin-dependiente
Asimetría conservante de PC,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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, (50)
dos asimetrías violatorias de la CP para B+ y B0,
A+CP
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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, - C - A0CP - C - A0CP - C - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
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, (51)
y la asimetría dependiente del tiempo S en B0 decae,
1 + 2
, ηCP
B̄ −
e−2iβ, (52)
En el Modelo Estándar, la amplitud isoescalar B contiene un pingüino dominante
contribución, BP, con un factor CKM V
cbVcs. La amplitud isoescalar residual,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
y la amplitud A, consisten cada una de las contribuciones más pequeñas que BP por alrededor de un
orden de magnitud29,30,31,32,86 Estas contribuciones incluyen términos con mucho
menor CKM factor V*ubVus, y una mayor amplitud electrodébil del pingüino con
CKM factor V ∗tbVts. Por lo tanto, uno espera
B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B. (54)
En consecuencia, las asimetrías AI, A
Se espera que el CP y el S.A. sean pequeños, de
Dere 2A/B y 2B/BP. Por el contrario, las contribuciones potencialmente importantes a BB
y A de NP, comparable a BP, lo más probable es que conduzca a grandes asimetrías
de orden uno. Una excepción poco probable es el caso cuando tanto BB/BP como A/BP son
puramente imaginario, o casi puramente imaginario. Para ello sería necesario contar con un presupuesto muy especial.
cumstancias como el ajuste fino en modelos específicos. Excluidas las cancelaciones entre
las contribuciones del NP y del SM tanto en las asimetrías de conservación de la PC como en las de violación de la PC,
pruebas para la jerarquía (54) se convierten en pruebas para la pequeñez del potencial correspondiente
Contribuciones de la NP a B y A.
Existe amplia información experimental que muestra que las asimetrías A+CP
son pequeños en procesos relacionados por la reflexión isospina a los modos de desintegración en la Tabla III.
Los límites superiores de las magnitudes de la mayoría de las asimetrías se sitúan en un nivel de diez o quince
porcentaje [por ejemplo, A+CP (K
) = 0,034±0,044,A+CP (K) = 0,031±0,026], mientras que otros
puede ser tan grande como veinte o treinta por ciento [A+CP (K
0) = 0,31+0,11
−0.10]. Valores similares
se han medido para las asimetrías de isospin AI [por ejemplo, AI(K)
) = −0,037± 0,077,
) = −0,001± 0,033, AI(K0) = −0,16± 0,10].49 Dado que estos dos tipos
de las asimetrías son de orden 2B/BP y 2A/BP, esto confirma la jerarquía
(54), que puede suponerse que se mantiene también en presencia de NP.
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación del PC en la belleza decae 21
Tomaremos por convención la amplitud dominante del pingüino BP para tener un cero
fase débil y una fase cero fuerte, remitiéndose a todas las demás fases fuertes. Escribiendo
B = BP B, B̄ = BP B̄, (55)
y la ampliación de las cuatro asimetrías al orden principal en BB/BP o A/BP, uno tiene
S = cos 2β
Im(A)
− Im(B̄ B)
, (56)
Re(A)
, (57)
A+CP =
Re(A)
Re(B̄ B)
, (58)
A0CP = −
Re(A)
Re(B̄ B)
. (59)
Las cuatro asimetrías proporcionan la siguiente información:
• Las contribuciones de I = 0 y I = 1 en asimetrías de PC se separan
tomando sumas y diferencias,
I = 0CP
(A+CP + A)
CP ) =
Re(B̄ B)
, (60)
I = 1 Pc
(A+CP-A)
CP ) =
Re(A)
. (61)
• La ReA/BP y la Re•/BP pueden separarse utilizando información de A•I=1CP
y AI.
• S se rige por una parte imaginaria de una combinación de I = 0 y I =
1 términos que no pueden separarse en decaimientos B. Tal separación es posible.
en Bs decae a pares de decaimientos reflejados en isospin, por ejemplo. Bs → K+K−, KSKS
o Bs → KK,K*0K0, donde 2β en la definición de S (47) está ahora
reemplazado por la pequeña fase de mezcla Bs-Bs.
Se puede dar un paso más bajo el supuesto de que las fases fuertes como:
sociadas con amplitudes NP son pequeñas en relación a las del SM y pueden ser
Esta suposición, que debe ser confrontada con datos, es razonable.
porque el rescattering de una b → scc̄ principal amplitud es probablemente la fuente principal
de fases fuertes, mientras que redispersión de una menor b → sqq̄ amplitud NP es entonces
un efecto de segundo orden. En la convención (55), donde se establece la fase fuerte de BP
igual a cero, B y A tienen la misma fase fuerte de CP-conservador.
Fases de violación de la CP B y de la CP A, respectivamente,
* B = BeieïB, A = AeieïA. (62)
Dado que las cuatro asimetrías (56)-(59) son de primer orden en pequeñas proporciones de amplitudes,
uno puede tomar BP en su expresión para ser dada por la raíz cuadrada de o 0,
por lo tanto descuidando los términos de segundo orden. Estos cuatro observables pueden entonces ser mostrados a
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
22 M. Gronau
determinar A, A y B sinB.49 La combinación B y cosB añade coherentemente
a la presión arterial y no puede fijarse de forma independiente.
Las amplitudes B y A consisten en SM dependiente del proceso y NP potencial
contribuciones. Suponiendo que el primero sea calculable, ya sea utilizando métodos basados en
en la factorización QCD o mediante ajuste dentro del sabor SU(3) éstos y otros decaimiento B
tasas y asimetrías, las cuatro asimetrías determinan la magnitud y la CP
fase infractora de una amplitud de I = 1 NP y la parte imaginaria de una amplitud de I = 0 NP
Amplitud. En algunos casos, por ejemplo, B → • K o B → KS, límites superiores estrictos en
Las contribuciones de SM a B y Amay bastan si algunas de las cuatro asimetrías medidas
son más grandes de lo permitido por estos límites. En el par B+ → K0, B0 → K0η0,
las cuatro asimetrías medidas [utilizando el valor predicho (39), son AI = 0,087 ±
0,038, I-A=0CP = −0,047± 0,025, I-A=1CP = 0,094± 0,025, S = −0,35± 0,21. Algunos
la reducción de errores es necesaria para una aplicación útil de este método.
Conclusión: Existe amplia evidencia experimental en pares de isospin-reflejado
b → s decaimientos dominados por pingüinos que las amplitudes potenciales de NP deben ser pequeñas.
Suponiendo que estas amplitudes implican fases fuertes insignificantes, y suponiendo que
pequeñas contribuciones SM no pingüinos son calculables o pueden ser estrictamente limitada, uno
puede determinar la magnitud y la fase de violación de la PC de un NP I = 1 amplitud,
y la parte imaginaria de un NP I = 0 amplitud en cada par de isospin-reflejado
se decae.
6.5. Pruebas nulas o casi nulas
No hemos discutido las pruebas nulas del marco CKM.111 Evidencia para la física
más allá del Modelo Estándar puede aparecer como (pequeñas) asimetrías no nulas en pro-
cestos en los que se prevé que serán extremadamente pequeños en el marco de la gestión de los conocimientos. A
bien conocido ejemplo es B+ → 0, donde la asimetría de CP se espera que sea un
pequeña fracción de un porcentaje incluyendo amplitudes de EWP.34,35 Sólo hemos discutido
decaimientos exclusivos de hadronic B, donde los cálculos de QCD implican incertidumbre hadronic-
corbatas. Existe un cálculo más robusto para la asimetría directa de CP en la inclusión
Decaimientos radiativos B → Xsγ, que se encuentra por debajo del uno por ciento.112 La corriente
El límite superior de esta asimetría es al menos un orden de magnitud mayor.113
Asimetrías dependientes del tiempo en decaimientos radiativos B0 → KSη0γ, para un KSη0
masa invariante en la región de K* y para una gama de masa invariante más amplia,
esta región, son interesantes porque prueban la helicidad de los fotones, predicho para ser
dominantemente diestro en decaimientos B0 y zurdo en decaimientos B̄0 105,114 La
la asimetría, suprimida por ms/mb, se espera que sea de varios por ciento en el SM,
y puede ser muy grande en extensiones donde se permite spin-flip en b → sγ. Mientras
argumentos dimensionales parecen indicar una posible asimetría más grande en el SM,
de los cálculos de orden QCD/mb 10,115 utilizando QCD116 y QCD perturbativos
factorización117 encontrar asimetrías de unos pocos por ciento. Los valores medios actuales,
para la región de K* y para una mayor gama de masas invariantes, incluida esta región,
S(KSη
0)K) = −0,28 ± 0,26 y S(KSη0γ) = −0,09 ± 0,24,20,118
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La violación del PC en la belleza decae 23
las garantías deben ser mejoradas para llegar a ser sensibles al nivel previsto en
el SM, o para proporcionar evidencia para la física más allá del SM.
7. Resumen
El Modelo Estándar pasó con gran éxito numerosas pruebas en el sector del sabor,
incluyendo una variedad de mediciones de asimetrías de PC relacionadas con las fases de CKM
β y γ. Pequeña potencial Nuevas correcciones Físicas pueden ocurrir en S = 0 y S =
1 amplitudes de pingüinos, que afectan a la extracción de γ y modifican la CP-violación
y las asimetrías dependientes de isospin en S = 1 decaídas B0 y relacionadas con la isospin B+
se decae. Se requiere una precisión superior a la alcanzada hasta ahora para reclamar pruebas de
tales efectos y para la clasificación de su estructura de isospin.
Estudios similares se pueden realizar con mesons Bs producidos en colisionadores de hadron
y en e+e− colisionadores que se ejecutan en la resonancia de 5S. La dependencia temporal en Bs →
D-s K
+ y Bs → J/ o Bs → J/ medidas γ y la pequeña fase de la
Bs-B̄s mezclando amplitud.
Comparación de la dependencia temporal y el análisis angular
Bs → J/ con b → s procesos dominados por pingüinos incluyendo Bs →,Bs →
KK, Bs → K*0K0 proporciona una búsqueda metódica de efectos potenciales NP. Trabajo
En Bs decaimientos acaba de comenzar en el Tevatron.
120 Uno está a la espera de la primera
los resultados del LHC.
Agradecimientos
Agradezco a numerosos colaboradores, en particular a Jonathan Rosner,
La colaboración continuó sin interrupción durante muchos años. Este trabajo fue sup-
Portado en parte por la Fundación Científica Israelí bajo la subvención No. 1052/04 y por
la Fundación Germano-Israelí en virtud de la subvención No. I-781-55.14/2003.
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en el que Vub y Vtd son complejos, mientras que todos los demás elementos de la matriz CKM son reales a un
Buena aproximación.
8. J. Charles y otros [Colaboración CKMfitter], eConf C060409, 043 (2006),
presentar periódicamente los resultados actualizados en el sitio en la Web http://www.slac.
stanford.edu/xorg/ckmfitter/.
http://www.slac
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
24 M. Gronau
9. M. Bona y otros [UTfit Collaboration], JHEP 0610, 081 (2006), presentación actualizada
resultados periódicos en el sitio en la Web http://www.utfit.org/.
10. V. M. Abazov y otros [Colaboración D0], Phys. Rev. Lett. 97, 021802 (2006); A. Abu-
lencia et al. [Colaboración CDF], Phys. Rev. Lett. 97, 242003 (2006).
11. Para un examen reciente véase A. D. Dolgov, arXiv:hep-ph/0511213.
12. Véase, por ejemplo, E. Gabrielli, A. Masiero y L. Silvestrini, Phys. Lett. B 374, 80 (1996).
13. Esta revisión, que es sólo 27 página de largo (el número de letras del alfabeto hebreo)
incluye 120 referencias, como dice una bendición judía “¡Que vivas hasta los 120!”
corto para incluir otros cientos o miles de documentos relevantes. Me disculpo con ellos.
muchos autores.
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puede consultarse en http://www.slac.stanford.edu/xorg/hfag/.
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(2004); C. W. Bauer, D. Pirjol, I. Z. Rothstein e I. W. Stewart, Phys. Rev. D 72,
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G. Martinelli, M. Pierini y L. Silvestrini, Phys. Lett. B 515, 33 (2001).
33. M. Gronau y D. London, Phys. Rev. Lett. 65, 3381 (1990).
34. A. J. Buras y R. Fleischer, Eur. Phys. J. C 11, 93 (1999).
35. M. Gronau, D. Pirjol y T. M. Yan, Phys. Rev. D 60, 034021 (1999) [Erratum-ibid.
D 69, 119901 (2004)].
36. S. Gardner, Phys. Rev. D 59, 077502 (1999); S. Gardner, Phys. Rev. D 72, 034015
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37. M. Gronau y J. Zupan, Phys. Rev. D 71, 074017 (2005).
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http://www.utfit.org/
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0511213
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0610120
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607107
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0608039
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0603003
http://www.slac.stanford.edu/xorg/hfag/
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607105
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación del PC en la belleza decae 25
40. Véase, sin embargo, N. G. Deshpande y X. G. He, Phys. Rev. Lett. 74, 26 (1995) [Erratum-
ibíd. 74, 4099 (1995)].
41. M. Neubert y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 441, 403 (1998); Phys. Rev. Lett. 81,
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Man, M. Neubert y A. L. Kagan, JHEP 9910, 029 (1999); X. G. He, C. L. Hsueh
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C. W. Chiang, P. Langacker y H. S. Lee, Phys. Lett. B 580, 186 (2004); ibíd. 598,
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46. D. Atwood y A. Soni, Phys. Rev. D 58, 036005 (1998); M. Gronau, Phys. Lett. B
627, 82 (2005).
47. Una regla de suma que implica tres asimetrías, basada en la expectativa de que la asimetría
en B+ → K0 debe ser muy pequeño, se discute en M. Gronau y J. L. Rosner,
Phys. Rev. D 71, 074019 (2005).
48. D. London y A. Soni, Phys. Lett. B 407, 61 (1997).
49. M. Gronau y J. L. Rosner, arXiv:hep-ph/0702193, que se publicarán en Phys. Rev.
50. Y. Grossman, A. Soffer y J. Zupan, Phys. Rev. D 72, 031501 (2005). Evidencia de
La mezcla 0-D̄0 ha sido reportada recientemente, B. Aubert et al. [Colaboración BABAR],
arXiv:hep-ex/0703020; K. Abe et al. [Belle Collaboration], arXiv:hep-ex/0703036.
51. Sr. Gronau, Phys. Rev. D 58, 037301 (1998).
52. Y. Grossman, Z. Ligeti y A. Soffer, Phys. Rev. D 67, 071301 (2003)
53. D. Atwood, I. Dunietz y A. Soni, Phys. Rev. Lett. 78, 3257 (1997); D. Atwood,
I. Dunietz y A. Soni, Phys. Rev. D 63, 036005 (2001).
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80. Para dos límites algo más débiles, que están incluidos en este límite, véase Y. Grossman
y H. R. Quinn, Phys. Rev. D 58, 017504 (1998); J. Charles, Phys. Rev. D 59, 054007
(1999).
81. H. Ishino et al. [Belle Collaboration], BELLE-PREPRINT-2006-33.
82. Sr. Gronau, Phys. Lett. B 300, 163 (1993).
83. M. Gronau y J. L. Rosner, trabajan en curso.
84. M. Beneke, M. Gronau, J. Rohrer y M. Spranger, Phys. Lett. B 638, 68 (2006).
85. A. E. Snyder y H. R. Quinn, Phys. Rev. D 48, 2139 (1993); A. Kusaka y otros
[Belle Collaboration], arXiv:hep-ex/0701015; B. Aubert et al. [Colaboración BABAR],
arXiv:hep-ex/0703008.
86. M. Gronau, O. F. Hernández, D. London y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 50, 4529
(1994); ibíd., 52, 6374 (1995).
87. M. Gronau, J. L. Rosner y D. London, Phys. Rev. Lett. 73, 21 (1994).
88. R. Fleischer y T. Mannel, Phys. Rev. D 57, 2752 (1998).
89. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 57, 6843 (1998).
90. C. W. Chiang, M. Gronau, J. L. Rosner y D. A. Suprun, Phys. Rev. D 70, 034020
(2004).
91. S. Baek, P. Hamel, D. London, A. Datta y D. A. Suprun, Phys. Rev. D 71, 057502
(2005).
92. A. J. Buras, R. Fleischer, S. Recksiegel y F. Schwab, Phys. Rev. Lett. 92, 101804
(2004).
93. H. n. Li, S. Mishima y A. I. Sanda, Phys. Rev. D 72, 114005 (2005).
94. M. Beneke y S. Jager, Nucl. Phys. B 751, 160 (2006).
95. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 644, 237 (2007).
96. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 65, 013004 (2002); [Erratum-ibid. D 65,
079901 (2002).
97. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 572, 43 (2003).
98. M. Beneke y M. Neubert, Nucl. Phys. B 675, 333 (2003).
99. C. W. Bauer, I. Z. Rothstein e I. W. Stewart, Phys. Rev. D 74, 034010 (2006).
100. M. Gronau, Y. Grossman, G. Raz y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 635, 207 (2006).
101. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 74, 057503 (2006).
102. D. Zeppenfeld, Z. Phys. C 8, 77 (1981); M. J. Savage y M. B. Sabio, Phys. Rev. D
39, 3346 (1989) [Erratum-ibid. D 40, 3127 (1989)]; L. L. Chau, H. Y. Cheng, W. K. Sze,
H. Yao y B. Tseng, Phys. Rev. D 43, 2176 (1991). [Erratum-ibid. D 58, 019902
(1998)].
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0508048
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607065
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0408108
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607104
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0507101
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0702011
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0701015
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0703008
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación del PC en la belleza decae 27
103. N. G. Deshpande y X. G. He, Phys. Rev. Lett. 75, 1703 (1995); X. G. He, Eur.
Phys. J. C 9, 443 (1999).
104. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. Lett. 76, 1200 (1996); A. S. Dighe,
M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 54, 3309 (1996).
105. D. Atwood, M. Gronau y A. Soni, Phys. Rev. Lett. 79, 185 (1997).
106. Sr. Beneke, Phys. Lett. B 620, 143 (2005).
107. H. Y. Cheng, C. K. Chua y A. Soni, Phys. Rev. D 72, 014006 (2005); H. Y. Cheng,
C. K. Chua y A. Soni, Phys. Rev. D 72, 094003 (2005).
108. Y. Grossman, Z. Ligeti, Y. Nir y H. Quinn, Phys. Rev. D 68, 015004 (2003);
G. Engelhard, Y. Nir y G. Raz, Phys. Rev. D 72, 075013 (2005); G. Engelhard y
G. Raz, Phys. Rev. D 72, 114017 (2005).
109. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 564, 90 (2003); C. W. Chiang, M. Gronau
y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 68, 074012 (2003); C. W. Chiang, M. Gronau, Z. Luo,
J. L. Rosner y D. A. Suprun, Phys. Rev. D 69, 034001 (2004); M. Gronau, J. L. Ros-
ner y J. Zupan, Phys. Lett. B 596, 107 (2004); M. Gronau, J. L. Rosner y J. Zupan,
Phys. Rev. D 74, 093003 (2006).
110. A. Datta y D. London, Phys. Lett. B 595, 453 (2004); S. Baek, P. Hamel, D. Lon-
Don, A. Datta y D. A. Suprun, Phys. Rev. D 71, 057502 (2005); A. Datta, M. Im-
beault, D. London, V. Page, N. Sinha y R. Sinha, Phys. Rev. D 71, 096002 (2005).
111. T. Gershon y A. Soni, J. Phys. G 33, 479 (2007).
112. J. M. Soares, Nucl. Phys. B 367, 575 (1991); A. L. Kagan y M. Neubert, Phys.
Rev. D 58, 094012 (1998).
113. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], Phys. Rev. Lett. 93, 021804 (2004); Phys.
Rev. Lett. 97, 171803 (2006); S. Nishida y otros [Colaboración Belle], Phys. Rev. Lett.
93, 031803 (2004).
114. D. Atwood, T. Gershon, M. Hazumi y A. Soni, Phys. Rev. D 71, 076003 (2005).
115. B. Grinstein, Y. Grossman, Z. Ligeti y D. Pirjol, Phys. Rev. D 71, 011504 (2005);
B. Grinstein y D. Pirjol, Phys. Rev. D 73, 014013 (2006).
116. M. Matsumori y A. I. Sanda, Phys. Rev. D 73, 114022 (2006).
117. P. Ball y R. Zwicky, Phys. Lett. B 642, 478 (2006).
118. B. Aubert y otros [Colaboración BaBar], Phys. Rev. D 72, 051103 (2005); Y. Ushiroda
et al. [Belle Collaboration], Phys. Rev. D 74, 111104 (2006).
119. R. Aleksan, I. Dunietz y B. Kayser, Z. Phys. C 54, 653 (1992).
120. M. Paulini, arXiv:hep-ex/0702047; G. Punzi [Colaboración CDF - Run II],
arXiv:hep-ex/0703029.
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0702047
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0703029
| Se discuten las pruebas de precisión del modelo Kobayashi-Maskawa de violación del PC,
señalando posibles firmas de otras fuentes de violación de la CP y de nuevas
Operadores que cambian el sabor. El estado actual de las pruebas más precisas es
Resumen.
| Introducción
Tomó treinta y siete años desde el descubrimiento de un pequeño PC violando el efecto del orden.
10−3 inKL → 1 a una primera observación de un desglose de la simetría de CP fuera
el extraño sistema meson. Una gran asimetría PC de orden uno entre las tasas de
Las desintegraciones iniciales de B0 y B̄0 fueron medidas en el verano de 2001 por el Babar y
Belle Collaborations.2 Se había previsto una asimetría considerable, aunque menor.
20 años antes 3 en el marco del modelo Kobayashi-Maskawa (KM)
,4 en ausencia de información crucial sobre los acoplamientos de quark b. Los
se observó asimetría en una medición dependiente del tiempo, como se sugiere,5 gracias
a la larga vida útil B0 y la gran mezcla B0-B̄0.6 La asimetría medida,
por el que se fija (en el convenio de la fase estándar7) el seno de la fase 2β
2arg(VtbV
(td) del cuádruple superior dominado por B
Amplitud de mezcla 0-B̄0, fue encontrado para
estar de acuerdo con otras determinaciones de Cabibbo-Kobayasi-Maskawa
(CKM) parámetros8,9 incluyendo una medición precisa reciente de la mezcla de Bs-Bs.
Esto demostró que la fase γ de la MKC (........................................................................................................................................................................................................................................................
para dar cuenta de la asimetría cosmológica de los bariones observada,11 es el dominante
fuente de violación de PC en procesos de cambio de sabor. Con esta confirmación la siguiente
La cuestión apremiante se convirtió en si las pequeñas contribuciones más allá del marco CKM
se producen en la PC que viola los procesos de cambio de sabor, y si tales efectos pueden ser
observado en decaimientos de belleza.
Una manera de responder a esta pregunta es mediante el exceso de restricción de la unidad CKM
triangulo a través de mediciones precisas de conservación de CP relacionadas con las longitudes de la
* Basado parcialmente en las conversaciones de examen celebradas en conferencias recientes.
http://arxiv.org/abs/0704.0076v2
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
2 M. Gronau
lados del triángulo. Una forma alternativa y más directa, centrándose en el origen
de la violación de la PC en el marco de CKM, es medir β y γ en una variedad de B
modos de desintegración. Diferentes valores obtenidos de asimetrías en varios procesos, o
los valores distintos de los impuestos por otras limitaciones, podrían proporcionar
nuevas fuentes de violación de la CP y de nuevas interacciones que cambien el sabor. Tales fases
y las interacciones ocurren en el Hamiltoniano de baja energía eficaz de las extensiones de la
Modelo estándar (SM), incluidos los modelos basados en la supersimetría12.
En esta presentación nos centraremos en este último enfoque basado principalmente en
asimetrías de la PC, utilizando también información complementaria sobre las tasas de decaimiento de la B hadrónica
que se espera que estén relacionados entre sí en el marco de la gestión de los conocimientos básicos. En el
siguiente sección se esbozan varios de los procesos más relevantes y el teórico
herramientas aplicadas para sus estudios, citando numerosos artículos donde estas ideas tienen
se han propuesto inicialmente y en los que se pueden encontrar más detalles13.
5 describir una serie de métodos en algún detalle, resumiendo al final de cada uno
sección de la situación experimental actual. En la sección 6 se examinan varias pruebas para NP
efectos, mientras que la sección 7 concluye.
2. Procesos, métodos y nuevos efectos físicos
Mientras que probar el origen KM de la violación de PC en la mayoría de las decasiones B hadrónicas requiere
separación de efectos de interacción fuertes y débiles, en unos pocos “modos dorados”
Metries no se ven afectados por interacciones fuertes. Por ejemplo, el decaimiento B0 → J/KS
está dominado por un solo nivel de árbol quark transición b̄ → c̄cs̄, hasta una corrección
menor que una fracción de un porcentaje.14,15,16,17 Así, las asimetrías medidas
en este proceso y en otros decaimientos dominados por b̄ → c̄cs̄ ya han proporcionado un
medición bastante precisa del pecado 2β,18,19,20
sin 2β = 0,678± 0,025. 1)..........................................................................................................................................................
Este valor permite dos soluciones para β a 21,3° y 68,7°. Depende del tiempo y...
estudios gulares de B0 → J/K*0,21 y análisis de Dalitz dependientes del tiempo de B0 →
Dh0 (D → KS, h0 =
segunda solución a un alto nivel de confianza, lo que implica
β = (21,3± 1,0)®. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Dado que B0 → J/IKS procede a través de una transición de quark favorable a CKM, contribu-
ciones a la amplitud de desintegración de la física en una escala más alta se espera que sea
muy pequeño, potencialmente identificable por una pequeña asimetría directa en este proceso o en
B+ → J/K+.23
Otro proceso en el que la determinación de una fase débil no se ve afectada
por interacciones fuertes es B+ → DK+, procediendo a través de amplitudes a nivel de árbol
b̄ → c̄us̄ y b̄ → ūcs̄. La interferencia de estas dos amplitudes, de D̄0 y D0
que siempre puede decaer a un estado final hadrónico común, conduce a tasas de decaimiento y
una asimetría de PC que mide muy limpiamente la fase relativa γ entre estos
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación de la PC en la belleza decae 3
Amplitudes.24,25 El truco aquí radica en reconocer las medidas que producen
esta cantidad fundamental de PC-violante. Se espera que la física más allá del SM tenga
un efecto insignificante en esta determinación de γ que se basa en la interferencia de dos
Amplitudes de árboles.
B decae en pares de mesons sin encanto, como B → • (o B → •) y
B → Kη (o B → K), implican contribuciones tanto de árbol como de pingüino ampli-
Tudes que llevan diferentes fases débiles y fuertes.14,26,27 Contrariamente al caso
de B → DK, la determinación de β y γ utilizando asimetrías de PC en el encanto sin B
decaimientos implica dos aspectos correlacionados que deben ser considerados: su dependencia
sobre la dinámica de interacción fuerte y su sensibilidad a la potencial Nueva Física (NP)
efectos. Esta sensibilidad se deriva de la CKM y supresión de lazo de pingüino am-
plitudes, lo que implica que las nuevas partículas pesadas en el rango de masa TeV,
El bosón W y el cuádruple superior en el bucle del pingüino, pueden tener efectos considerables.28. In
orden de reclamar pruebas para la física más allá del SM a partir de una determinación de β y
γ en estos procesos uno debe manejar primero la cuestión de la dinámica. Hay dos.
enfoques para tratar la dinámica de decaimientos hadrónicos sin encanto B:
(1) Estudiar sistemáticamente los efectos de interacción fuertes en el marco de QCD.
(2) Identificar por simetría observables que no dependen de la dinámica QCD.
El primer enfoque se enfrenta a la dificultad de tener que tratar con precisión la distancia larga
efectos del QCD, incluidas las interacciones en el estado final. Progresos teóricos notables
se ha hecho recientemente en la prueba de un orden principal (en 1/mb) fórmula de factorización
para estas amplitudes en un enfoque teórico eficaz de quark pesado para perturbar
QCD.29,30,31 Sin embargo, sigue habiendo diferencias entre las formas de tratar en
Ent se acerca el conteo de potencia, la escala de los coeficientes Wilson, punto final quark dis-
funciones de atribución de mesons ligeros, y contribuciones no perturbativas del encanto
loops.32 Además, los parámetros de entrada no perturbativos en estos cálculos implican
incertidumbres no insignificantes. Estos parámetros incluyen factores de forma pesados a ligeros
a pequeña transferencia de impulso, amplitudes de distribución del cono-luz, y la media
fracción de impulso inverso del quark del espectador en el mesón B. El resultado
inexactitudes en el cálculo de magnitudes y fases fuertes de amplitudes
determinación precisa de γ a partir de las tasas de decaimiento medidas y las asimetrías de CP. Además,
las tasas y asimetrías calculadas no pueden proporcionar un caso claro para la física
el SM en los casos en que los resultados de un cálculo se desvíen ligeramente de la
medidas.
En el segundo enfoque se aplica la simetría isospin para obtener relaciones entre
varias amplitudes de decaimiento. Por ejemplo, usando el comportamiento distinto bajo isospin de
operadores de árboles y pingüinos que contribuyen en B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
permite una determinación de γ o α () = η − β − γ. 33 El mismo análisis
se aplica en decaimientos B a pares de mesons polarizados longitudinalmente. En caso de que una
observable relacionado con la amplitud del pingüino subdominante no se mide con
suficiente precisión, puede sustituirse en el análisis por un SU(3) potenciado por CKM.
observable relacionado, en el que una gran incertidumbre teórica se traduce en un pequeño
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
4 M. Gronau
error en γ. La precisión de este método se incrementa mediante la inclusión de las contribuciones de
mayor orden de amplitudes de pingüinos electrodébil, que están relacionados por el isóspino con el árbol
Amplitudes.34,35 Con estadísticas suficientes también se debe tener en cuenta isospin-
la ruptura de las correcciones de orden (md-mu)/•QCD • 0,02,36,37 y un efecto causado por
la anchura del meson.38 Un análisis similar propuesto para la extracción de γ en B → Kη 39,40
requiere el uso de sabor SU(3) en lugar de isospin para la relación electrodébil pingüino con-
Atribuciones y amplitudes de los árboles.35,41 Mientras que el sabor SU(3) generalmente se supone que es
por las correcciones de orden (ms − md)/QCD • 0,3, en este caso particular a
receta más precisa para la ruptura SU(3) es proporcionada por la factorización QCD, reduciendo
la incertidumbre teórica en γ a sólo unos pocos grados.42
Las caries de Charmless B, que son sensibles a la física más allá del SM 28, proporcionan un
laboratorio rico para estudiar varias firmas de NP. Una gran variedad de teorías tienen
se han estudiado en este contexto, incluyendo modelos supersimétricos, modelos
Acoplamientos Z o Z ′ que cambian el sabor a nivel de los árboles, modelos con tres calibres anómalos
acoplamientos de bosón y otros modelos que impliquen un dipolo cromomagnético mejorado
operador.43,44 Los siguientes efectos han sido estudiados y serán discutidos en
Sección 6 en forma independiente del modelo:
(1) Dentro del SM, los tres valores de γ extraídos de B →, B → K
B+ → DK+ son iguales. Como explicaremos, se espera que estos tres valores sean
diferentes en las extensiones del SM con nuevos operadores de baja energía de cuatro fermiones
comportándose como I = 3/2 en B → y como I = 1 en B → K
(2) Otras firmas de grandes dimensiones I = 1 operador que contribuye a
B → Kη son violaciones de las reglas de suma de isospin, manteniendo en el SM para ambas tasas de desintegración
y CP asimetrías en estas decaimientos.45,46,47
(3) asimetrías dependientes del tiempo en B0 → η0KS, B0 → ΦKS y B0 → KS
y en otros b → s decaimientos dominados por pingüinos pueden diferir sustancialmente de la
asymmetry sin 2β symt, predicho aproximadamente en el SM.26,43,48 Significativo
Se esperan desviaciones en los modelos que involucran anómalos S = 1 operadores comportándose
como I = 0 o I = 1.
(4) Una pregunta interesante, que puede proporcionar una pista a la nueva base
Física una vez que se observan desviaciones de las predicciones SM, es cómo diagnosticar la
valor de I en operadores de NP que contribuyen a S = 1 decaídas sin encanto B. Lo haremos.
discutir una respuesta a esta pregunta que se ha propuesto recientemente49.
3. Determinando γ en B → DK
En esta sección vamos a discutir en cierta longitud un método bastante rico y muy preciso
para determinar γ en los procesos del formulario B → D(*)K(*), que utiliza ambos cargos
y neutrales mesons B y una gran variedad de estados finales. Se basa en una idea amplia
que cualquier mezcla coherente de un estado que implica un D̄0 de b̄ → c̄us̄ y un estado
con D0 de b̄ → ūcs̄ puede decaer a un estado final común.24,25 La interferencia
entre los dos canales, B → D(*)0K(*), D0 → fD y B → D̄(*)0K(*), D̄0 →
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación de la PC en la belleza decae 5
fD, implica la diferencia de fase débil γ, que se puede determinar con un alto
precisión teórica utilizando una elección adecuada de medidas. Efectos de D0-D̄0
Aunque algunos de estos procesos son estadísticamente limitados,
combinarlos juntos se espera que reduzca el error experimental en γ. In
Además de (cuasi) dos cuerpos B decaimientos, el D o D* en el estado final puede ser
acompañado de cualquier estado final multi-cuerpo con números cuánticos de un kaon.25
Cada proceso en esta gran clase de decaimientos B neutros y cargados se caracteriza
por dos pares de parámetros, describiendo relaciones complejas de amplitudes para D0 y D̄0
para los dos pasos de la cadena de desintegración (utilizamos una convención rB, rf ≥ 0, 0 ≤
A(B → D(*)0K(*)
A(B → D̄(*)0K(*)
= rBe
i(lB),
A(D0 → fD)
A(D̄0 → fD)
= rfe
e.............................................................................................................. 3)
En decaimientos de tres cuerpos de los mesons B y D, tales como B → DK
pares de parámetros ( rB, ♥B) y ( rf, f ) son funciones de dos correspondientes
Variables Dalitz que describen la cinemática de las decaimientos de los tres cuerpos anteriores. Los
la sensibilidad de determinar γ depende de rB y rf porque esta determinación se basa en
en una interferencia de amplitudes D0 y D̄0. Para los modos de desintegración D con rf + 1 (ver
la sensibilidad aumenta con la magnitud de rB.
Para cada una de las ocho subclases de procesos, B+,0 → D(*)K(*)+,0, uno puede
estudiar una variedad de estados finales en decaimientos D neutros. Los estados fD pueden ser divididos
en cuatro familias, que se distinguen cualitativamente por sus parámetros (rf,
Eq. 3):
(1) fD = CP-eigenstato
24,25,51 (K+K−,KS
0, etc.); rf = 1, f = 0, η.
(2) fD = estado sin sabor pero no CP
52 (K+K,KK−, etc.); rf = O(1).
(3) fD = estado del sabor
53 (K,K0, etc.); rf â € tan2 â € c.
(4) fD = estado de autoconjugación de 3 cuerpos
54 (KSη)
); rf, Łf varían a través del Dalitz
avión.
En la primera familia, los estados CP-odd ocurren en decaimientos D0 y D̄0 favorecidos por Cabibbo,
mientras que los estados CP-even ocurren en decaimientos aislados de Cabibbo-suprimidos. La segunda familia
de estados se produce en decaimientos solos de Cabibbo-suprimido, la tercera familia se produce en
Cabibbo-favorecido D̄0 decaes y en doble Cabibbo-suprimido D0 decaes, mientras que
el último estado es formalmente un modo favorito de Cabibbo para D0 y D̄0.
Los parámetros rB y B en B → D(*)K(*) dependen de si el mesón B
es cargado o neutral, y puede diferir para K vs K*,55 y para D vs D*, donde un
D* neutral se puede observar en D* → Dη0 o D* → Dγ.56 La relación rB implica
a factor CKM VubVcs/VcbVus 0.4 en tanto decaídas B+ y B0, y un color-
factor de supresión en decaimientos B+, mientras que en B0 decae b̄ → c̄us̄ y b̄ → ūcs̄
Las amplitudes están suprimidas por el color. Una estimación aproximada del factor de supresión de color en
estas decaimientos pueden obtenerse a partir de la supresión de color medida en
CKM-favorecido decaimientos, B → Dl,D,Dl,D, donde la supresión se encuentra a
estar en el rango 0,3 − 0,5.57 Por lo tanto, se espera rB(B0) 0.4, rB(B+) = (0,3 −
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
6 M. Gronau
0.5)rB(B
0) en todos los procesos B+,0 → D(*)K(*)+,0. Tomamos nota de que tres cuerpos B+
las desintegraciones, tales como B+ → D0K0, no son suprimidas por el color, haciendo estos procesos
ventajosa por su valor potencialmente grande de rB que varía en el espacio de fase.
58,59
La comparación anterior de rB(B)
+) y rB(B
0) pueden cuantificarse con mayor precisión
mediante la expresión de los cuatro ratios rB(B
0)/rB(B
+) en B → D(*)K(*) en términos de
cocientes rocales de magnitudes conocidas de amplitudes:60
0 → D(*)K(*)0
rB(B+ → D(*)K(*)+)
B+ → D̄(*)0K(*)+)
B0 → D̄(*)0K(*)0
. 4)
Esto se deriva de una aproximación,
A(B0 → D(*)0K(*)0) A(B+ → D(*)0K(*)+), (5)
donde los procesos B0 y B+ están relacionados entre sí sustituyendo a un espectador
D quark por un quark u. Mientras que formalmente Eq. (5) no es una predicción de isospin, puede
se obtiene utilizando una relación de triángulo isóspino61,
A(B0 → D(*)0K(*)0) = A(B+ → D(*)0K(*)+) +A(B+ → D(*)+K(*)0), (6)
y descuidando la segunda amplitud en el lado derecho que es “puro
Esta amplitud se espera que sea suprimida por un factor de cuatro o
cinco relativas a las otras dos amplitudes que aparecen en (6) que son de color-suprimido.
Las pruebas para este tipo de supresión se proporcionan por las proporciones correspondientes de CKM-
Amplitudes favorecidas57 A(B0 → D−s K+)/
2A(D̄0η0) = 0,23 ± 0,03, A(B0 →
Ds K
2A(D0η0) < 0,24.
Aplicando Eq. (4) a las relaciones de ramificación medidas,57,63 se encuentra
rB(B+)
B → DK B → DK* B → D*K B → D*K*
2,9± 0,4 3,7± 0,3 > 2,2 > 3,0 (7)
Esto concuerda con los valores de rB(B)
0) Cerca de 0,4 y rB(B
+) entre 0,1 y 0,2. Nota
que a pesar de los mayores valores esperados de rB en B
0 decaimientos, desde el punto
de la vista de las estadísticas por sí solas (sin considerar la cuestión del etiquetado del sabor y
la eficiencia de la detección de un KS en B
0 → D(*)K0), las desintegraciones B+ y B0 pueden
Comparablemente cuando se estudia γ. Esto se deriva de (5) porque el error estadístico en
γ escala aproximadamente como la inversa de la más pequeña de las dos amplitudes interferentes.
Ahora vamos a discutir la manera real por la cual γ se puede determinar utilizando
por separado tres de las familias de los estados finales antes mencionados fD. Lo haremos los hombres...
ventajas y desventajas en cada caso. Para ilustrar el método nosotros
tendrá en cuenta B+ → fDK+. También resumiremos la situación actual de estos países.
mediciones en los ocho modos de desintegración B+,0 → D(*)K(*)+,0.
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La violación del PC en la belleza decae 7
3.1. fD = CP-eigenstatos
Uno considera cuatro observables consistentes en dos tasas de decaimiento promedio de la carga para
estados de PC impares, normalizados por la tasa de descomposición en un estado de sabor D0,
RCP±
(DCP±K)
−) + •(DCP±K
(D0K−)
, (8)
y dos asimetrías del PC para estados pares e impares del PC,
ACP± فارسى
(DCP±K)
-) - - (DCP±K+)
(DCP±K−) + (DCP±K+)
. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Con el fin de evitar la dependencia de RCP± de los errores en D
Coeficiente de ramificación de 0 y DCP
mediciones se utiliza una definición de RCP± en términos de ratios de ramificación de decaimiento B
Las cuatro observaciones RCP± y ACP± proporcionan
tres ecuaciones independientes para rB, B y γ,
RCP± = 1 + r
B ± 2rB cos B cos γ, (10)
ACP± = ±2rB sin B sin γ/RCP±. (11)
Mientras que en principio este es el método más simple y más preciso para extraer
γ, hasta una ambigüedad discreta, en la práctica este método es sensible a r2B, porque
(RCP+ + RCP−)/2 = 1 + r
B. Esto se vuelve muy difícil para las caries B cargadas
donde se espera rB + 0,1 - 0,2, pero puede ser factible para decaimientos B neutros donde
rB 0.4. Una firma obvia para un valor no cero de rB sería observar un
diferencia entre RCP+ y RCP− que es lineal en esta cantidad.
Los estudios de B+ → DCPK+, B+ → DCPK y B+ → D*CPK+ han sido auto-
recientemente, 64,65,66 cada uno consta de unas pocas decenas de eventos. Una diferencia que no sea cero
RCP+ −RCP− a 2,6 desviaciones estándar, medida en B+ → DCPK,64 es prob-
dad de una fluctuación estadística. Se prevé una diferencia mayor en B0 → DCPK*0,
como se espera que el valor de rB en este proceso sea tres o cuatro veces mayor que
en B+ → DK. [Véase Eq. 7)] Se requieren estadísticas más altas para una medición de γ
utilizando este método.
3.2. fD = estado del sabor
Considerar un estado de sabor fD en Cabibbo-favorecido D̄
0 decaimientos, accesibles también doblemente
Cabibbo-suprimido decaimientos D0, de tal manera que uno tiene rf tan2 Łc en Eq. (3). Uno
estudia la relación de dos tasas de decaimiento medias por carga, para decaimientos en f̄DK y fDK,
(fDK)
−) + (f̄DK
(f̄DK−) + (fDK+)
, (12)
y la asimetría de PC,
(fDK)
−)− (f̄DK+)
(fDK−) + (f̄DK+)
. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
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8 M. Gronau
Estos observables son dados por
Rf = r
B + r
f + 2 rB rf cos(lB − lf ) cos γ, (14)
Af = 2 r rf sin(lB − lf ) sin γ/Rf, (15)
donde se ha descuidado una corrección multiplicativa 1 + O(rBrf ) + 1,01 en (14).
Estos dos observables involucran tres incógnitas, rB, Uno asume
rf debe ser dada por la relación medida de doble supresor de Cabibbo y de Cabibbo-
favoreció las relaciones de ramificación. Por lo tanto, uno necesita al menos dos estados de sabor, fD y f
para el cual dos pares de observables (Rf, Af ) y (Rf ′, Af ′) proporcionan cuatro ecuaciones
para las cuatro incógnitas, rB, Las fuertes diferencias de fase.f,.f ′
realmente se puede medir en una fábrica de encanto,67 reduciendo así el número de
Desconocidos a tres.
Mientras que la tasa de decaimiento en el numerador de Rf es bastante baja, la asimetría Af
puede ser grande para valores pequeños de rB alrededor de 0,1, ya que implica dos amplitudes con
a magnitud relativa rf/rB.
Hasta ahora, sólo se han medido límites superiores para Rf, lo que implica límites superiores
sobre rB en varios procesos, rB(B
+ → DK+) < 0,2,68,69,70 rB(B+ → D*K+) <
0.2,68 r(B+ → DK) < 0,4,71 y rB(B0 → DK*0) < 0,4,63,72
las tensiones sobre el rB en los tres primeros procesos se han obtenido mediante el estudio de decaimientos D
en los estados CP-eigen y en el estado KS
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Uso de rB(B
0 → DK*0)/rB(B+ →
DK) = 3,7 ± 0,3 en (7) y asumiendo que rB(B+ → DK) no es menor
que alrededor de 0,1, se puede llegar a la conclusión de que una medición no cero de rB(B
0 → DK*0)
debe medirse pronto. La firma de los eventos B0 → D0K*0 sería de dos
Kaons con cargos opuestos.
3.3. fD = KS
La amplitud para B+ → (KS)DK+ es una función de las dos masas invariantes
variables, m2
(pKS + p)2, y puede ser escrito como
A(B+ → (KS)DK+) = f(m2+,m2−) + rBei(B)f(m2−,m2+). 16)
En B- decaimiento se sustituye m+ ↔ m−, γ →. La función f puede ser escrita como a
suma de una veintena de contribuciones resonantes y no resonantes modeladas para describir
la amplitud para el sabor marcado D̄0 → KS que se mide por separado.73,74
Esto introduce una incertidumbre dependiente del modelo en el análisis. Usando la medida
función f como entrada y ajuste de las velocidades para B± → (KS)DK± a la
parámetros, rB, B y γ, uno entonces determina estos tres parámetros.
La ventaja de usar D → KS decae sobre los estados de CP y sabor es
ser favorecidos por Cabibbo e involucrar a las regiones en el espacio de fase con un potencial grande
interferencia entre las amplitudes de decaimiento D0 y D̄0. La principal desventaja es la
incertidumbre introducida mediante el modelado de la función f.
Dos análisis recientes de estadísticas comparables realizados por Belle y Babar, que combinan
B± → DK±, B± → D*K± y B± → DK, valores obtenidos 73 γ = [53+15
−18 ± 3±
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La violación del PC en la belleza decae 9
9(modelo)] y γ = [92±41±11±12(modelo)]
proceso B+ → D(KS)K*, también estudiado por el mismo grupo,75.] Los errores más grandes en
el segundo análisis se correlaciona con valores más pequeños de los parámetros extraídos rB
en comparación con los extraídos en el primer estudio. Los errores dependientes del modelo
puede reducirse mediante el estudio en CLEO-c de las decaimientos DCP± → KS, proporcionando
más información sobre fases fuertes en decaimientos D.67
Conclusión: El valor actual más preciso de γ es γ = [53+15
−18 ± 3± 9 (modelo)]
obtenido de B± → D(*)K(*)± utilizando D → KS. Estos errores pueden reducirse
en el futuro combinando el estudio de todos los modos de desintegración D en B+,0 → D(*)K(*)+,0.
El deterioro B0 → DK*0 parece tener un alto potencial debido a su esperado
gran valor de rB. Decaimientos B
0 → D(*)K0 también puede ser útil, ya que han sido
se muestra para proporcionar información sobre γ sin la necesidad de etiquetado de sabor de la inicial
B0.60,76
4. La determinación actual más precisa de γ: B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
4.1. B → •
La amplitud para B0 → contiene dos términos, convencionalmente denotado “árbol”
(T ) y "penguin" (P ) amplitudes, 14,26 que implican una fase débil de PC-violante γ
y una fase fuerte de conservación de la PC, respectivamente:
A(B0 → ) = T eiγ + P ei (17)
Tasas de decaimiento dependientes del tiempo, para un B0 inicial o un B
, son dadas por
•(B0(t)/B
(t) → ) = et [1± C cosmt S sinmt], (18)
donde
S =
2Im()
1 + 2
, C =
1− 2
1 + 2
......................................................................................
0 → )
A(B0 → )
. (19)
Uno tiene14
S = pecado 2 2P/T cos2α sin(β + α) cos ♥ +O(P/T 2),
C = 2P/T sin(β + α) sin ♥ +O(P/T 2). (20)
Esto nos dice dos cosas:
(1) La desviación de S del pecado 2α y la magnitud de C aumentan con
P/T, que se puede estimar que es P/T 0.5 comparando B →
dominada por los pingüinos B → tasas Kπ.77
(2) , S y C son insuficientes para la determinación de T, P, ♥ y γ (o α).
Se puede obtener más información sobre estas cantidades mediante la aplicación de isospin sym-
métrica a todos los decaimientos B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Con el fin de llevar a cabo un análisis isospin,33 se utiliza el hecho de que los tres
física B → • amplitudes de desintegración y las tres B̄ → • amplitudes de desintegración,
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10 M. Gronau
dependiendo de cada uno de dos amplitudes de isóspino, obedecer las relaciones triangulares de la forma,
A(B0 → )/
2 +A(B0 → η0η0)−A(B+ → 0) = 0. (21)
Además, la amplitud del pingüino es pura I = 1/2; de ahí el I = 3/2 am-
plitud lleva una fase semanal γ, A(B+ → 0) = e2iγA(B− → 0). Definir...
La diferencia entre αeff y α es entonces determinada por
un ángulo entre los lados correspondientes de los dos triángulos isóspinos que comparten un com-
an base, A(B+ → 0) = A(B− → 0). Una ambigüedad de signo en αeff − α es
resueltas mediante dos características independientes del modelo que se confirman experimentalmente,
≤ 1, ≤ η/2. Esto implica α < αeff.78
Tabla I. Coeficiente de ramificación y asimetrías de PC en B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Modo de descomposición Razón de ramificación (10-6) ACP = −C S
B0 → 5,16± 0,22 0,38 ± 0,07 −0,61± 0,08
B+ → 0 5,7± 0,4 0,04 ± 0,05
B0 → η0η0 1,31± 0,21 0,36
+0,33
−0,31
B0 → 23.1
0,11 ± 0,13 −0,06± 0,18
B+ → 0 18,2± 3,0 −0,08± 0,13
B0 →............................................................................................................................................
Coeficiente de ramificación medio de la CP actual y asimetrías de la CP para B → y
En el cuadro I,20 se indican las desintegraciones de los países ACP • − C en el caso de las desintegraciones de los países ACP a los países ACP.
estados. En los dos últimos años se ha logrado un impresionante progreso experimental.
años en la extracción de un valor preciso para αeff, αeff = (110,6)
−3.2)
- Sí. Sin embargo, el er-
ror en αeff − α utilizando los triángulos isospin es todavía grande. Un límite superior, dado por
Tasas medias de CP y una asimetría directa de CP en B0 →,79,80
co 2 (αeff − α) ≥
+ 0 − 00
)2 − 0
0
1 - C2
, (22)
da lugar a 0 < αeff − α < 31 ° a 1 °. Añadiendo en cuadratura el error en αeff y el
incertidumbre en eff, esto implica α = (95± 16) o γ = (64± 16) por. A similar
El valor central, pero un error menor, α = (97± 11), ha sido reportado recientemente por el
Belle Collaboration.81 La posibilidad de que un pingüino amplitud en B0 →
puede conducir a una gran asimetría de PC S para valores de α cerca de 90° donde el pecado 2α = 0 fue
hace quince años82.
La unión en αeff − α puede mejorarse considerablemente midiendo un no cero
Asimetría directa de CP en B0 → Esta asimetría puede demostrarse que es grande y
positivo (véase Eq. (46) in Sec. 5.2), implicando una tasa grande para B̄0 pero una tasa pequeña para
B0. Es decir, el triángulo (21) se espera ser aplastado, mientras que el triángulo B̄ es
más o menos igual de lado.
Una manera alternativa de tratar la amplitud del pingüino en B0 → es por
combinando dentro del sabor SU(3) la tasa de decaimiento y asimetrías en este proceso con
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación del PC en la belleza decae 11
Tasas y asimetrías en B0 → K0 o B0 → K.77 La relación de S = 1 y
Se considera que las amplitudes de los árboles en estos procesos, con exclusión de los factores CKM, son:
dada por fK/fη suponiendo la factorización, mientras que la relación de pingüino correspondiente
Las amplitudes pueden variar en ±0,22 alrededor de una. Una actualización actual de esto más bien
análisis conservador obtiene 83
γ = (73± 4+10)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
donde el primer error es experimental, mientras que el segundo se debe a una incertidumbre
en ruptura SU(3). Una discusión de SU(3) los factores de ruptura relacionados B0 → y
B0 → K está incluido en la sección 5.2.
4.2. B → •
Análisis angulares de los piones en decaimientos han demostrado que B0 → está dominado
casi 100% por polarización longitudinal 20. Esto simplifica el análisis de isospin de
Las asimetrías de CP en estas decaimientos a volverse similar a B0 →. La ventaja
de B → • sobre B → • es el pequeño valor relativo de (
En comparación con los demás países de la Unión Europea, la tasa de crecimiento de la industria de la Unión aumentó en un 5 % en comparación con los demás países de la Unión Europea.
) y (
0) (véase el cuadro I), indicando un P/T más pequeño en B → (P/T <
0,3 8) que en B0 → (P/T 0,5 77). Eq. (22) conduce a un límite superior en
αeff − α en B → â €, 0 < αeff − α < 17 â € (a 1 Las asimetrías para el longitudinal
En el cuadro I se indica αeff = (91,7)
−5.2)
- Sí. Por lo tanto, se encuentra α = (83 ± 10), o
γ = (76± 10)• añadiendo errores en la cuadratura.
Una unión más fuerte en P/T en B0 →, llevando a un valor más preciso de γ,
puede obtenerse relacionando este proceso con B+ → K*0 dentro del sabor SU(3). 84
Se utiliza la razón de ramificación y la fracción de la tasa longitudinal medida para esto
proceso 20, (
K*0) = (9,2 ± 1,5) × 10−6, fL(K*0) = 0,48 ± 0,08, para normalizar
la amplitud del pingüino en B0 →. Incluida una incertidumbre conservadora de
SU(3) rotura y amplitudes más pequeñas, se encuentra un valor
γ = (71.4+5,8)
−1,7)
* (24)
donde el primer error es experimental y el segundo teórico.
El pequeño error teórico actual en γ requiere incluir efectos de ruptura de isospin
en estudios basados en la simetría de isospina. El efecto de las amplitudes del pingüino electrodébil
sobre los análisis de isospin de B → y B → se ha calculado y se ha encontrado
para mover γ ligeramente más alto por una cantidad EWP = 1,5
- 34,35 - Otras correcciones,
pertinentes a los métodos utilizados en los sectores de la leche y de los productos lácteos, incluida la mezcla, la mezcla y la
pequeña I = 1 contribución permitida por el ancho, son cada uno más pequeño que uno
grado.36,37,38
Conclusión: Tomar un promedio de los dos valores de γ en (23) y (24) obtenidos
de B0 → y B0 →, incluido el EWP antes mencionado
corrección, se encuentra
γ = (73.5± 5.7)•. (25)
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12 M. Gronau
Un tercer método de medición γ (o α) en análisis Dalitz dependientes del tiempo de B0 →
()0 implica un error mucho mayor,85 y tiene un pequeño efecto en el promedio general
valor de la fase débil. Observamos que el pecado γ está cerca de uno y su error relativo
es sólo 3%, el mismo que el error relativo en el pecado 2β y ligeramente menor que el
error relativo en el sinβ.
5. Tasas, asimetrías, y γ en B → K
5.1. Extraer γ en B → K
Los cuatro decaimientos B0 → K, B0 → K0ň0, B+ → K0, B+ → K0 implican
un potencial de extracción de γ, siempre que uno sea sensible a la interferencia entre
un pingüino isoescalar dominante amplitud y un pequeño árbol amplitud que contribuye
a estos procesos. Esta idea ha llevado a numerosas sugerencias para determinar γ en
Estas desintegraciones comienzan con una propuesta hecha en 1994.86,87 Una interferencia entre
Las amplitudes de pingüinos y árboles pueden identificarse de dos maneras:
(1) Dos diferentes B correctamente normalizados → Kη tasas.
(2) Asimetrías directas de PC no nulas.
Cuadro II Ratios de ramificación y asimetrías en B → K
Modo de descomposición Razón de ramificación (10-6) ACP
B0 → K 19,4± 0,6 −0,097± 0,012
B+ → K0 12,8± 0,6 0,047± 0,026
B+ → K0 23,1± 1,0 0,009± 0,025
B0 → K0η0 10,0± 0,6 −0,12± 0,11
Las relaciones de ramificación actuales y las asimetrías de PC se resumen en el cuadro II.20
ratios de tasas, calculados utilizando la relación de las vidas de B+ y B0, /0 = 1,076±
0,008,20 son:
R • • (B)
0 → K)
(B+ → K0)
= 0,90± 0,05,
2o(B+ → K0)
(B+ → K0)
= 1,11± 0,07,
(B0 → K)
2-(B0 → K0η0) = 0,97± 0,07. 26)
La mayor desviación respecto a la primera, observada en la relación R a 2
alegando pruebas inequívocas de una contribución no penguiniana. Un límite superior,
R < 0,965 a un nivel de confianza del 90%, implicaría γ ≤ 79° utilizando sin2 γ ≤ R,88
que descuida sin embargo “color-suprimido” EWP contribuciones.89 Como vamos a argumentar
ahora, estas contribuciones y las amplitudes de los árboles “color-suprimidos” en realidad no son
Suprimida como ingenuamente esperada.
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación del PC en la belleza decae 13
La asimetría no cero medida en B0 → K proporciona la primera evidencia para
una interferencia entre las amplitudes del pingüino (P ′) y del árbol (T ′) con una rel-
ativa fase fuerte. Tal interferencia ocurre también en B+ → K0 donde no
se ha observado asimetría. Un supuesto de que otras contribuciones a la
En el caso de los países de la Europa central y oriental, el hecho de que los países de la Europa central y oriental se encuentren en una situación de desventaja económica y social no ha suscitado dudas sobre la validez de la política exterior y de seguridad común y de seguridad común y de la política exterior y de seguridad común, así como sobre el hecho de que los países de la Europa central y de seguridad común se encuentren en una situación en la que la Unión Europea se encuentra en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que los países de la Europa central y oriental se encuentran en una situación en la que, por ejemplo, los países de la Europa central y oriental, los países de la región de la región de la región de la Europa central.
Marco CKM. De hecho, una amplitud de árbol suprimida de color (C′), también ocurre en
B+ → K0,86 resuelve este “puzzle” si esta amplitud es comparable en magnitud
a T ′. De hecho, varios estudios han demostrado que este es el caso, 90,91,92,93,94
la aplicación de que las amplitudes de EWP suprimidas por el color y favorecidas por el color son comparables
magnitudes.35 Para la consistencia entre las dos asimetrías de CP en B0 → K
y B+ → K0, la fuerte diferencia de fase entre C′ y T′ debe ser negativa
y no puede ser muy pequeño.95 Esto parece estar en contraste con los cálculos de QCD
utilizando un teorema de factorización.29,31,94
La pequeña asimetría ACP (B
+ → K0) implica límites en el seno de la
fuerte diferencia de fase c entre T
′ +C′ y P ′. El coseno de esta fase afecta
Rc − 1 que implica las tasas de descomposición para B+ → K0 y B+ → K0. Una pregunta
estudiado recientemente es si los dos límites superiores en pecado c y cos c son con-
insistentes entre sí o, tal vez, indican los efectos de la NP. Se demostró la coherencia
mediante la prueba de una norma relativa a la suma que afecta a los países ACP (B)
+ → K0) y Rc − 1, en el que un elec-
La amplitud del pingüino troweak (EWP) juega un papel importante. Ahora vamos a presentar un
prueba de la regla de la suma, que puede proporcionar información importante sobre γ.95
Las dos amplitudes para B+ → K0,K0 se dan en términos de topología
contribuciones, incluidas P ′, T ′ y C′,
A(B+ → K0) = (P ′ − 1
P ′CEW ) +A
A(B+ → K0) = (P ′ − 1
P ′CEW ) + (T
′ + P ′CEW ) + (C
′ + P ′EW ) + A
′, (27)
donde P ′EW y P
EW son contribuciones de EWP favorables al color y suprimidas por el color.
La pequeña amplitud de aniquilación A′ y una pequeña contribución u quark a P ′ involv-
Se descuidará un factor CKM V*ubVus (V*ubVus/V*cbVcs = 0,02). Evidencia de
la pequeñez de estos términos se puede encontrar en la pequeña asimetría de CP medida para
B+ → K0. Las grandes condiciones requerirían redispersión y una fase considerable y fuerte
diferencia entre estos términos y P ′.
La simetría SU(3) del sabor se refiere a I = 1, I(Kπ) = 3/2 pingüino electrodébil y
Amplitudes de los árboles a través de una proporción calculable
35,41,
T ′ + C′ + P ′EW + P
EW = (T
′ + C′(1 − EW e-iγ),
EW = −
c9 + c10
c1 + c2
V ∗tbVts
V*ubVus
= 0,60± 0,05. (28)
El error en EW está dominado por la incertidumbre actual en Vub/Vcb = 0.104±
0,007 57, incluyendo también un error menor de ruptura SU(3) estimado usando QCD
factorización. Eqs. (27) y (28) implican 96
Rc = 1− 2rc cos c(cos γ − EW) + r2c (1− 2EW cos γ + 2EW), (29)
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14 M. Gronau
ACP (B
+ → K0) = −2rc sin c sin γ/Rc, (30)
donde rc T ′ + C/P ′ − 13P
EW y C es la fuerte diferencia de fase entre
T ′ + C′ y P ′ − 1
P ′CEW.
El parámetro rc es calculable en términos de tasas de decaimiento medidas, utilizando
ken sabor SU(3) que relaciona T ′ + C′ y T + C dominando B+ → 0 por una
factor de factorización fK/f
+ → 0),87
T ′ + C =
A(B+ → 0). 31)
Utilizando las relaciones de ramificación de los cuadros I y II, se encuentra
B+ → 0)
B+ → K0)
= 0,198± 0,008. (32)
El error en rc no incluye una incertidumbre de asumir la factorización para
SU(3) rotura en T ′ + C′. Si bien esta suposición debe mantenerse bien para T ′, puede
no ser una buena aproximación para C′ que, como hemos mencionado, es comparable en
magnitud a T ′ y lleva una fase fuerte relativa a ella. Por lo tanto, uno debe permitir un
10% error teórico cuando se utiliza la factorización para la relación B → K
Amplitudes T + C, de modo que
rc = 0,20± 0,01 (exp)± 0,02 (th). 33)
Eliminación de la cc en Eqs. (29) y (30) manteniendo términos lineales en rc,
uno encuentra
Rc − 1
cos γ − EW
ACP (B
+ → K0)
sin γ
= (2rc)
2 + O(r3c ). (34)
Esta regla de suma implica que al menos uno de los dos términos cuyos cuadrados ocurren en
el lado izquierdo debe ser considerable, del orden de 2rc = 0,4. El segundo mandato,
ACP (B+ → K0)/ sin γ, es ya más pequeño que 0.1, utilizando la corriente 2
γ y ACP (B+ → K0). Por lo tanto, el primer término debe proporcionar un
contribución. Para Rc 1, esto implica γ arccos ♥EW (53.1± 3.5). Este rango es
expandido mediante la inclusión de errores en Rc y ACP (B
+ → K0). Por ejemplo, una
Rc unida < 1,1 implicaría un límite superior importante, γ < 70
- Sí. En la actualidad, uno solo
obtiene un límite superior γ ≤ 88° al nivel de confianza del 90%.95 Este límite es consistente
con el valor obtenido en (25) a partir de B → y B →, pero no es competitivo
con esta última precisión.
Conclusión: La limitación actual obtenida de Rc y ACP (B
+ → K0) es
γ ≤ 88° al nivel de confianza del 90%. Otras mejoras en la medición de las Rc
(que, de hecho, puede estar muy cerca de uno) se requiere para lograr una precisión
en γ comparable a la obtenida en B → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (Conclusión relativa a la
diferentes asimetrías de CP medidas en B0 → K y B+ → K0 se dará
al final de la subsección siguiente.)
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La violación del PC en la belleza decae 15
5.2. Relaciones de simetría para las tasas y asimetrías B → K
Las dos características siguientes implican reglas de suma bastante precisas en el marco de CKM,
tanto para las tasas de decaimiento de B → Kη como para las asimetrías de CP:
(1) La amplitud dominante del pingüino es I = 0.
(2) Las cuatro amplitudes de desintegración obedecen a una relación lineal de isóspino,39
A(K)−A(K0)−
2A(K0) +
2A(K0η0). (35)
Una consecuencia inmediata de estas características son dos reglas de suma isospin, que
mantener hasta los términos que son cuadráticos en pequeñas proporciones de no pingüinos a pingüino
amplitudes, 45,46,47
* (K) + (K0) = 2* (K0) + 2* (K0ň0), (36)
(K) + (K0) = 2°(K0) + 2°(K0ň0), (37)
donde
*(Kl) *(B̄ → K) *(B → Kl) *(B → Kl). 38)
Las correcciones cuadráticas a (36) se han calculado en el SM y se han encontrado para
ser un poco por ciento.97,98,99 Este es el nivel esperado en general para la ruptura de isospin
las correcciones que, por lo tanto, deben considerarse también. Las dos características anteriores implican
que estas correcciones I = 1 son suprimidas por una pequeña proporción de no pingüinos a
las amplitudes del pingüino y por lo tanto son insignificantes100. De hecho, esta regla de suma
experimentalmente dentro de un error del 5%.101 Uno espera que la otra regla de suma (37) mantenga
a una precisión similar.
La regla de la suma de la asimetría de la tasa de CP (37), que relaciona las cuatro asimetrías del PC, conduce
a una predicción de la asimetría en B0 → K0η0 en términos de los otros tres
asimetrías que se han medido con mayor precisión,
ACP (B
0 → K0η0) = −0,140± 0,043. (39)
Si bien este valor es coherente con el experimento (véase el cuadro II), mayor precisión en
Esta medición de asimetría es necesaria para probar esta predicción sencilla.
Relaciones entre las asimetrías de la PC en B → Kη y B →
sabor aproximado SU(3) simetría de QCD 102 no se espera que se mantenga como pre-
cisely como las relaciones isospin, pero todavía puede ser interesante y útil. Un importante
la cuestión relevante para tales relaciones es cómo incluir los efectos de ruptura SU(3), que
se espera que se sitúe en un nivel del 20-30%. Aquí queremos discutir dos SU(3) rela-
ciones propuestas hace doce años,103.104 una de las cuales se mantiene experimentalmente en
expectación, proporcionando alguna lección sobre la ruptura SU(3), mientras que el otro tiene un
implicación interesante para futuras aplicaciones del análisis de isospin en B →.
Una prueba más conveniente de las relaciones SU(3) se basa en el uso de un diagrama
aproximación, en la que los diagramas con las topologías de sabor dadas sustituyen SU(3) reducida
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16 M. Gronau
En este lenguaje, las amplitudes para B0 decaen en pares de
los piones cargados o neutros, y los pares de η cargados o neutros y K, están dados por:
−A(B0 → ) = T + (P + 2P CEW /3) + E + PA,
2A(B0 → η0η0) = C − (P − PEW − PEW /3)− E − PA,
−A(B0 → K) = T ′ + (P ′ + 2P ′CEW /3),
2A(B0 → K0η0) = C′ − (P ′ − P ′EW − P ′CEW /3). (40)
La combinación E + PA, que representa el intercambio y la aniquilación pingüino topolo-
gies, se espera que sea 1/mb-suprimido en relación con T y C,
31,62 como se ha demostrado
por la pequeña razón de ramificación medida para B0 → K+K−.20 Este término será
descuidado.
Expresando amplitudes topológicas en términos de factores CKM, SU(3)-invariante
amplitudes y SU(3) fases fuertes invariantes, se puede escribir
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
T ′ V ∗ubVusT + Puc, P ′ + 2P ′ceW /3
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
C′ V ∗ubVusC − Puc, P ′ − P ′EW − P ′ceW /3 فارسى V ∗tbVtsPûtcei.
Unidad de la matriz CKM, V*cbVcd(s) = −V*tbVtd(s) − V*ubVud(s), se ha utilizado
para absorber en T (
′) y C(
′) término pingüino Puc Pu-Pc multiplicando V*ubVud(s),
mientras que Ptc-Pt-Pc-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps-Ps
contribuciones. Uso de la identidad
Im (V ∗ubVudVtbV
td) = −Im (V ∗ubVusVtbV ∗ts), (42)
Uno encuentra103,104
(B0 → K) = (B0 → ) (43)
(B0 → K0η0) = (B0 → η0η0), (44)
en el caso de los productos de la categoría C, la diferencia de la tasa de PC definida en el punto 38).
Productos de cotización de las relaciones de ramificación y asimetrías de los cuadros I y II,
Eq. (43) dice
− 1,88± 0,24 = − 1,96± 0,37. (45)
Esta relación SU(3) funciona bien y no requiere romper SU(3). Una ruptura SU(3)
factor fK/fη en T pero no en P, o en T y P, están actualmente excluidos en una
nivel de 1,0o, o 1,75o. Mediciones de asimetría CP más precisas en B0 → K
y B0 → son necesarios para determinar el patrón de la ruptura SU(3) en el árbol
y las amplitudes del pingüino.
Utilizando la predicción (39) de la regla de suma de asimetría B → K, Eq. (44) predice
ACP (B
0 → η0η0) = 1,07± 0,38. (46)
El error está dominado por los errores actuales en las asimetrías CP para B+ → K0
y B+ → K0, y en menor medida por el error en (
0,0,0. SU(3) irrupción
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La violación del PC en la belleza decae 17
Las amplitudes podrían modificar esta predicción por un factor fη/fK si este factor se aplica a
C, y menos probable por (fη/fK)2. Una gran asimetría positiva del PC, favorecida en los tres
los casos, afectarán las aplicaciones futuras del análisis de isospin en B →. Implica
que mientras que el triángulo de B̄ isóspin es aproximadamente igual-lados, el triángulo B es aplastado.
Una ambigüedad doble en el valor de γ desaparece en el límite de un triángulo plano B.24
Conclusión: La regla de la suma de isospin para B → tasas de decaimiento Kπ se mantiene bien, mientras que el
La norma de la suma de la asimetría de PC predice ACP (B
0 → K0η0) = −0.140±0.043. Los diferentes
las asimetrías en B0 → K y B+ → K0 pueden explicarse por una amplitud
C′ comparable a T ′ y que implique una fase fuerte negativa relativa, y debe
no ser considerado un “puzzle”. Una relación SU(3) para B0 → y B0 → Kň CP
las asimetrías funcionan bien para los modos cargados. La relación correspondiente para neutral
los modos predicen una gran asimetría positiva en B0 → Mejora de la asimetría
las mediciones pueden proporcionar pruebas para los factores de ruptura SU(3).
6. Pruebas para efectos pequeños de la nueva física
6.1. Valores de γ
Hemos descrito tres maneras de extraer un valor para γ dependiendo de la interferencia
de distintos pares de amplitudes de quark, (b → cūs, b → uc̄s), (b → cc̄s, b → uūs) y
(b → cc̄d, b → uūd). Los tres pares proporcionan un patrón específico para la violación de CP en
el marco CKM, que se espera que se viole en muchas extensiones de la
SM. El valor bastante preciso de γ (25) extraído de B → â € TM, â € TM, es consistente
con limitaciones a γ de las mediciones de conservación de PC relacionadas con los lados de la
Triángulo de unitaridad:8,9 Los valores de γ obtenidos en B → D(*)K(*) y B → K
son consistentes con los extraídos en B → â € TM, â €, â €, pero todavía no son suficientemente
precisa para la prueba de pequeños efectos NP en decaimientos sin encanto B. Otros experimentos
Se requieren mejoras, en particular en los dos primeros tipos de procesos.
Aunque no se espera que el valor de γ en B → D(*)K*) se vea afectado por NP,
las otras dos clases de procesos que involucran los bucles del pingüino son susceptibles a tales
efectos. La extracción de γ en B → • • • supone que γ es la fase de un • I =
Amplitud del árbol 3/2, mientras que se incluye una contribución adicional de I = 3/2 EWP
utilizando isospin. El valor extraído podría ser modificado por un nuevo I = 3/2 efectivo
operador que se origina en la física más allá del SM, pero no por un nuevo I = 1/2 operador.
Del mismo modo, el valor de γ extraído en B → K
operador, pero no por un nuevo operador I = 0, porque la amplitud (28), jugando
un papel esencial en este método, es puro I = 1.
6.2. B → Regla de la suma de K
Charmless S = 1 B y Bs decaimientos son particularmente sensibles a los efectos NP, como
nuevas partículas pesadas en el rango de masa de TeV pueden reemplazar el bosón W y
quark en el bucle del pingüino dominando estas amplitudes.28 La regla de la suma (36) para
B → Las tasas de decaimiento de Kπ proporcionan una prueba para tales efectos. Sin embargo, como hemos argumentado
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18 M. Gronau
a partir de consideraciones isospin, sólo se ve afectado por las amplitudes cuadráticas I = 1
incluidas las contribuciones de la Policía Nacional. Pequeñas amplitudes de NP, contribuyendo cuadráticamente a
la regla de suma, no puede separarse de las correcciones SM, que son por sí mismas en
un nivel de unos pocos por ciento. Este es el nivel al que la regla de suma ya ha sido
probado. Discutiremos a continuación para obtener pruebas que muestren que las contribuciones potenciales de NP
a S = 1 decaimientos sin encanto debe ser suprimido por aproximadamente un orden de magnitud
relativa a las amplitudes de pingüinos b→ s dominantes.
6.3. Valores de S,C en S = 1 B0 → decaimientos de fCP
Una clase de b → s pingüinos dominados B0 decae a CP-eigenstatos ha recientemente en-
prestó considerable atención. Esto incluye los estados finalesXKS yXKL, dondeX =
, η0,, , f0,
0,K+K−,KSKS,
0η0, para las que se midieron asimetrías CPS
y C se citan en el cuadro III. [Las asimetrías S y C = −ACP fueron de-
multado en (18) por B0 →. Modos observados con KL en los estados finales obedecen
ηCP (XKL) = CP (XKS).] En estos procesos, un valor S = CP pecado 2β (para los estados
Cuadro III Asimetrías S y C en B0 → XKS.
X (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
CP S 0,39± 0,18 0,33± 0,21 0,61± 0,07 0,48± 0,24 0,42 ± 0,17
C 0,01± 0,13 0,12± 0,11 −0,09± 0,06 −0,21± 0,19 −0,02± 0,13
X l0 K+K− KSKS η
CP S 0,20± 0,57 0,58
+0.18
−0.13
0,58± 0,20 −0,72± 0,71
C 0,64± 0,46 0,15± 0,09 −0,14± 0,15 0,23± 0,54
con CP-eigenvalue ηCP ) aproximadamente.
26,43 Estas predicciones implican
incertidumbres hadrónicas a un nivel de varios por ciento, de orden de 2, 0.2. Lo ha sido.
hace algún tiempo105 que es difícil separar a estos hadronic uncer-
de las contribuciones de NP a las amplitudes de desintegración si estas últimas son
Pequeño. En la próxima subsección discutiremos evidencia experimental indirecta que muestra
que las contribuciones de NP a S y C deben ser pequeñas. Correcciones a S = CP sin 2β
y los valores para las asimetrías C se han calculado en el SM utilizando métodos
basado en la factorización QCD106,107 y el sabor SU(3),90,108,109 y fueron encontrados para
estar entre unos pocos por ciento hasta por encima del diez por ciento dentro de las incertidumbres hadrónicas.
Mientras que la desviación de S de CP sin 2β es dependiente del proceso, un genérico
resultado ha sido probado hace mucho tiempo para S y C, a la primera orden en c/p,14
Sin 2β = 2 • S • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
cos 2β sin γ cosŁ,
C = 2
pecado γ pecado. (47)
Aquí p y c son pingüinos y las amplitudes de los árboles suprimidas de color que implican un pequeño ra-
tio y fase relativa débil y fuerte γ y, respectivamente. Esto implica que la S > 0
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La violación del PC en la belleza decae 19
para < π/2, que se puede argumentar para varias de las decaimientos anteriores utilizando QCD
argumentos106,107 o SU(3) encaja.109 (Nota que mientras que p es medible en ciertos
Las tasas de decaimiento hasta las correcciones de primer orden, c y implican una incertidumbre hadrónica considerable-
vínculos en los cálculos de QCD.) En contraste con esta expectativa, los valores centrales mea-
seguro de que el S es negativo para todas las decaimientos. (Véase el cuadro III.) En consecuencia, se encuentra un
valor medio sin 2βeff = 0,53±0,05,20 para ser comparado con sin 2β = 0,678±0,025.
Dos mediciones que parecen particularmente interesantes son: CPSKS = 0,39±0,18,
donde se espera una corrección positiva de unos pocos por ciento al pecado 2β en el SM,106,107
y CPSη0KS = 0,33± 0,21, donde una corrección positiva bastante grande al pecado 2β es
espera cambiar esta asimetría a un valor justo por encima de 0,8,90
Mientras que el valor promedio actual del pecado 2βeff es tentador, errores experimentales
en S y C debe reducirse aún más para hacer un claro caso de la física más allá de la
SM. Suponiendo que la discrepancia entre las medidas mejoradas y el
Los valores tardíos de S y C persisten más allá de las incertidumbres teóricas, pueden
vide una pista a la Nueva Física subyacente? Dado que muchos modelos podrían dar lugar a
una discrepancia, 28,43,44 uno buscaría firmas que caracterizaran clases de modelos
en lugar de estudiar los efectos en modelos específicos. Una forma de clasificar las extensiones
de la SM es por el comportamiento isospin de los nuevos operadores eficaces que contribuyen a
b→ transiciones sqq̄.
6.4. Diagnóstico de I+D para nuevos operadores de Física
Operadores de cuatro cuartetos en el Hamiltoniano efectivo asociado con NP en b → sqq̄
las transiciones pueden ser isoescalar o isovector operadores. Ahora discutiremos un estudio.
propuesta recientemente para aislar a I = 0 o I = 1 operadores, determinando así
las amplitudes NP correspondientes y las fases violatorias de CP.49 Demostraremos que desde S
y C en los procesos anteriores combinen I = 0 o I = 1 contribuciones, separando
estas contribuciones requieren también el uso de información de otras dos asimetrías,
que son proporcionados por procesos de desintegración reflejados en isospin.
Dos S = 1 proceso de desintegración sin encanto B (o Bs), relacionados por la reflexión isospin,
RI : u ↔ d, ū ↔ −d̄, siempre se puede expresar en términos de común I = 0 y
I = 1 amplitudes B y A en la forma:
A(B+ → f) = B + A, A(B0 → RIf) = ±(B-A). (48)
Una prueba de esta relación utiliza un cambio de signo de los coeficientes Clebsch-Gordan subm↔
−m.49 La descripción (48) se aplica, en particular, a los pares de procesos que implican
todos los modos de desintegración B0 enumerados en el cuadro III, y los modos de desintegración B+ en los que los estados finales
se obtienen por reflexión de isospin de los modos de desintegración B0 correspondientes. Tasas de desintegración
para pares de procesos de desintegración B reflectados por isospin, y para decaimientos B̄ a los correspondientes
Por lo tanto, los estados finales conjugados son dados por (omitimos inesencial común
factores cinemáticos),
= B +A2, 0 = B − A2,
= B̄ + 2, 0̄ = B̄ − 2. (49)
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
20 M. Gronau
Las amplitudes B̄ y están relacionadas con B y A por un cambio en el signo de todos los débiles
fases, mientras que las fases fuertes se mantienen sin cambios.
Para cada par de procesos se definen cuatro asimetrías: una isospin-dependiente
Asimetría conservante de PC,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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, (50)
dos asimetrías violatorias de la CP para B+ y B0,
A+CP
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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, - C - A0CP - C - A0CP - C - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP - A0CP
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
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, (51)
y la asimetría dependiente del tiempo S en B0 decae,
1 + 2
, ηCP
B̄ −
e−2iβ, (52)
En el Modelo Estándar, la amplitud isoescalar B contiene un pingüino dominante
contribución, BP, con un factor CKM V
cbVcs. La amplitud isoescalar residual,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
y la amplitud A, consisten cada una de las contribuciones más pequeñas que BP por alrededor de un
orden de magnitud29,30,31,32,86 Estas contribuciones incluyen términos con mucho
menor CKM factor V*ubVus, y una mayor amplitud electrodébil del pingüino con
CKM factor V ∗tbVts. Por lo tanto, uno espera
B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B., B. (54)
En consecuencia, las asimetrías AI, A
Se espera que el CP y el S.A. sean pequeños, de
Dere 2A/B y 2B/BP. Por el contrario, las contribuciones potencialmente importantes a BB
y A de NP, comparable a BP, lo más probable es que conduzca a grandes asimetrías
de orden uno. Una excepción poco probable es el caso cuando tanto BB/BP como A/BP son
puramente imaginario, o casi puramente imaginario. Para ello sería necesario contar con un presupuesto muy especial.
cumstancias como el ajuste fino en modelos específicos. Excluidas las cancelaciones entre
las contribuciones del NP y del SM tanto en las asimetrías de conservación de la PC como en las de violación de la PC,
pruebas para la jerarquía (54) se convierten en pruebas para la pequeñez del potencial correspondiente
Contribuciones de la NP a B y A.
Existe amplia información experimental que muestra que las asimetrías A+CP
son pequeños en procesos relacionados por la reflexión isospina a los modos de desintegración en la Tabla III.
Los límites superiores de las magnitudes de la mayoría de las asimetrías se sitúan en un nivel de diez o quince
porcentaje [por ejemplo, A+CP (K
) = 0,034±0,044,A+CP (K) = 0,031±0,026], mientras que otros
puede ser tan grande como veinte o treinta por ciento [A+CP (K
0) = 0,31+0,11
−0.10]. Valores similares
se han medido para las asimetrías de isospin AI [por ejemplo, AI(K)
) = −0,037± 0,077,
) = −0,001± 0,033, AI(K0) = −0,16± 0,10].49 Dado que estos dos tipos
de las asimetrías son de orden 2B/BP y 2A/BP, esto confirma la jerarquía
(54), que puede suponerse que se mantiene también en presencia de NP.
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La violación del PC en la belleza decae 21
Tomaremos por convención la amplitud dominante del pingüino BP para tener un cero
fase débil y una fase cero fuerte, remitiéndose a todas las demás fases fuertes. Escribiendo
B = BP B, B̄ = BP B̄, (55)
y la ampliación de las cuatro asimetrías al orden principal en BB/BP o A/BP, uno tiene
S = cos 2β
Im(A)
− Im(B̄ B)
, (56)
Re(A)
, (57)
A+CP =
Re(A)
Re(B̄ B)
, (58)
A0CP = −
Re(A)
Re(B̄ B)
. (59)
Las cuatro asimetrías proporcionan la siguiente información:
• Las contribuciones de I = 0 y I = 1 en asimetrías de PC se separan
tomando sumas y diferencias,
I = 0CP
(A+CP + A)
CP ) =
Re(B̄ B)
, (60)
I = 1 Pc
(A+CP-A)
CP ) =
Re(A)
. (61)
• La ReA/BP y la Re•/BP pueden separarse utilizando información de A•I=1CP
y AI.
• S se rige por una parte imaginaria de una combinación de I = 0 y I =
1 términos que no pueden separarse en decaimientos B. Tal separación es posible.
en Bs decae a pares de decaimientos reflejados en isospin, por ejemplo. Bs → K+K−, KSKS
o Bs → KK,K*0K0, donde 2β en la definición de S (47) está ahora
reemplazado por la pequeña fase de mezcla Bs-Bs.
Se puede dar un paso más bajo el supuesto de que las fases fuertes como:
sociadas con amplitudes NP son pequeñas en relación a las del SM y pueden ser
Esta suposición, que debe ser confrontada con datos, es razonable.
porque el rescattering de una b → scc̄ principal amplitud es probablemente la fuente principal
de fases fuertes, mientras que redispersión de una menor b → sqq̄ amplitud NP es entonces
un efecto de segundo orden. En la convención (55), donde se establece la fase fuerte de BP
igual a cero, B y A tienen la misma fase fuerte de CP-conservador.
Fases de violación de la CP B y de la CP A, respectivamente,
* B = BeieïB, A = AeieïA. (62)
Dado que las cuatro asimetrías (56)-(59) son de primer orden en pequeñas proporciones de amplitudes,
uno puede tomar BP en su expresión para ser dada por la raíz cuadrada de o 0,
por lo tanto descuidando los términos de segundo orden. Estos cuatro observables pueden entonces ser mostrados a
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22 M. Gronau
determinar A, A y B sinB.49 La combinación B y cosB añade coherentemente
a la presión arterial y no puede fijarse de forma independiente.
Las amplitudes B y A consisten en SM dependiente del proceso y NP potencial
contribuciones. Suponiendo que el primero sea calculable, ya sea utilizando métodos basados en
en la factorización QCD o mediante ajuste dentro del sabor SU(3) éstos y otros decaimiento B
tasas y asimetrías, las cuatro asimetrías determinan la magnitud y la CP
fase infractora de una amplitud de I = 1 NP y la parte imaginaria de una amplitud de I = 0 NP
Amplitud. En algunos casos, por ejemplo, B → • K o B → KS, límites superiores estrictos en
Las contribuciones de SM a B y Amay bastan si algunas de las cuatro asimetrías medidas
son más grandes de lo permitido por estos límites. En el par B+ → K0, B0 → K0η0,
las cuatro asimetrías medidas [utilizando el valor predicho (39), son AI = 0,087 ±
0,038, I-A=0CP = −0,047± 0,025, I-A=1CP = 0,094± 0,025, S = −0,35± 0,21. Algunos
la reducción de errores es necesaria para una aplicación útil de este método.
Conclusión: Existe amplia evidencia experimental en pares de isospin-reflejado
b → s decaimientos dominados por pingüinos que las amplitudes potenciales de NP deben ser pequeñas.
Suponiendo que estas amplitudes implican fases fuertes insignificantes, y suponiendo que
pequeñas contribuciones SM no pingüinos son calculables o pueden ser estrictamente limitada, uno
puede determinar la magnitud y la fase de violación de la PC de un NP I = 1 amplitud,
y la parte imaginaria de un NP I = 0 amplitud en cada par de isospin-reflejado
se decae.
6.5. Pruebas nulas o casi nulas
No hemos discutido las pruebas nulas del marco CKM.111 Evidencia para la física
más allá del Modelo Estándar puede aparecer como (pequeñas) asimetrías no nulas en pro-
cestos en los que se prevé que serán extremadamente pequeños en el marco de la gestión de los conocimientos. A
bien conocido ejemplo es B+ → 0, donde la asimetría de CP se espera que sea un
pequeña fracción de un porcentaje incluyendo amplitudes de EWP.34,35 Sólo hemos discutido
decaimientos exclusivos de hadronic B, donde los cálculos de QCD implican incertidumbre hadronic-
corbatas. Existe un cálculo más robusto para la asimetría directa de CP en la inclusión
Decaimientos radiativos B → Xsγ, que se encuentra por debajo del uno por ciento.112 La corriente
El límite superior de esta asimetría es al menos un orden de magnitud mayor.113
Asimetrías dependientes del tiempo en decaimientos radiativos B0 → KSη0γ, para un KSη0
masa invariante en la región de K* y para una gama de masa invariante más amplia,
esta región, son interesantes porque prueban la helicidad de los fotones, predicho para ser
dominantemente diestro en decaimientos B0 y zurdo en decaimientos B̄0 105,114 La
la asimetría, suprimida por ms/mb, se espera que sea de varios por ciento en el SM,
y puede ser muy grande en extensiones donde se permite spin-flip en b → sγ. Mientras
argumentos dimensionales parecen indicar una posible asimetría más grande en el SM,
de los cálculos de orden QCD/mb 10,115 utilizando QCD116 y QCD perturbativos
factorización117 encontrar asimetrías de unos pocos por ciento. Los valores medios actuales,
para la región de K* y para una mayor gama de masas invariantes, incluida esta región,
S(KSη
0)K) = −0,28 ± 0,26 y S(KSη0γ) = −0,09 ± 0,24,20,118
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La violación del PC en la belleza decae 23
las garantías deben ser mejoradas para llegar a ser sensibles al nivel previsto en
el SM, o para proporcionar evidencia para la física más allá del SM.
7. Resumen
El Modelo Estándar pasó con gran éxito numerosas pruebas en el sector del sabor,
incluyendo una variedad de mediciones de asimetrías de PC relacionadas con las fases de CKM
β y γ. Pequeña potencial Nuevas correcciones Físicas pueden ocurrir en S = 0 y S =
1 amplitudes de pingüinos, que afectan a la extracción de γ y modifican la CP-violación
y las asimetrías dependientes de isospin en S = 1 decaídas B0 y relacionadas con la isospin B+
se decae. Se requiere una precisión superior a la alcanzada hasta ahora para reclamar pruebas de
tales efectos y para la clasificación de su estructura de isospin.
Estudios similares se pueden realizar con mesons Bs producidos en colisionadores de hadron
y en e+e− colisionadores que se ejecutan en la resonancia de 5S. La dependencia temporal en Bs →
D-s K
+ y Bs → J/ o Bs → J/ medidas γ y la pequeña fase de la
Bs-B̄s mezclando amplitud.
Comparación de la dependencia temporal y el análisis angular
Bs → J/ con b → s procesos dominados por pingüinos incluyendo Bs →,Bs →
KK, Bs → K*0K0 proporciona una búsqueda metódica de efectos potenciales NP. Trabajo
En Bs decaimientos acaba de comenzar en el Tevatron.
120 Uno está a la espera de la primera
los resultados del LHC.
Agradecimientos
Agradezco a numerosos colaboradores, en particular a Jonathan Rosner,
La colaboración continuó sin interrupción durante muchos años. Este trabajo fue sup-
Portado en parte por la Fundación Científica Israelí bajo la subvención No. 1052/04 y por
la Fundación Germano-Israelí en virtud de la subvención No. I-781-55.14/2003.
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Buena aproximación.
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presentar periódicamente los resultados actualizados en el sitio en la Web http://www.slac.
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http://www.slac
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11. Para un examen reciente véase A. D. Dolgov, arXiv:hep-ph/0511213.
12. Véase, por ejemplo, E. Gabrielli, A. Masiero y L. Silvestrini, Phys. Lett. B 374, 80 (1996).
13. Esta revisión, que es sólo 27 página de largo (el número de letras del alfabeto hebreo)
incluye 120 referencias, como dice una bendición judía “¡Que vivas hasta los 120!”
corto para incluir otros cientos o miles de documentos relevantes. Me disculpo con ellos.
muchos autores.
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Phys. B 512, 3 (1998) [Erratum-ibid. B 531, 656 (1998)]; M. Ciuchini, E. Franco,
G. Martinelli, M. Pierini y L. Silvestrini, Phys. Lett. B 515, 33 (2001).
33. M. Gronau y D. London, Phys. Rev. Lett. 65, 3381 (1990).
34. A. J. Buras y R. Fleischer, Eur. Phys. J. C 11, 93 (1999).
35. M. Gronau, D. Pirjol y T. M. Yan, Phys. Rev. D 60, 034021 (1999) [Erratum-ibid.
D 69, 119901 (2004)].
36. S. Gardner, Phys. Rev. D 59, 077502 (1999); S. Gardner, Phys. Rev. D 72, 034015
(2005).
37. M. Gronau y J. Zupan, Phys. Rev. D 71, 074017 (2005).
38. A. F. Falk, Z. Ligeti, Y. Nir y H. Quinn, Phys. Rev. D 69, 011502 (2004).
39. Y. Nir y H. R. Quinn, Phys. Rev. Lett. 67, 541 (1991); H. J. Lipkin, Y. Nir,
H. R. Quinn y A. Snyder, Phys. Rev. D 44, 1454 (1991); M. Gronau, Phys. Lett. B
265, 389 (1991);
http://www.utfit.org/
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0511213
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0610120
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607107
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0608039
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0603003
http://www.slac.stanford.edu/xorg/hfag/
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607105
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación del PC en la belleza decae 25
40. Véase, sin embargo, N. G. Deshpande y X. G. He, Phys. Rev. Lett. 74, 26 (1995) [Erratum-
ibíd. 74, 4099 (1995)].
41. M. Neubert y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 441, 403 (1998); Phys. Rev. Lett. 81,
5076 (1998).
42. M. Neubert, JHEP 9902, 014 (1999); M. Beneke y S. Jager, hep-ph/0610322.
43. Y. Grossman y M. P. Worah, Phys. Lett. B 395, 241 (1997).
44. M. Ciuchini, E. Franco, G. Martinelli, A. Masiero y L. Silvestrini, Phys. Rev. Lett.
79, 978 (1997); R. Barbieri y A. Strumia, Nucl. Phys. B 508, 3 (1997); S. A. Abel,
W. N. Cottingham y yo. B. Whittingham, Phys. Rev. D 58, 073006 (1998); Y.
Man, M. Neubert y A. L. Kagan, JHEP 9910, 029 (1999); X. G. He, C. L. Hsueh
y J. Q. Shi, Phys. Rev. Lett. 84, 18 (2000); G. Hiller, Phys. Rev. D 66, 071502
(2002); N. G. Deshpande y D. K. Ghosh, Phys. Lett. B 593, 135 (2004); V. Barger,
C. W. Chiang, P. Langacker y H. S. Lee, Phys. Lett. B 580, 186 (2004); ibíd. 598,
218 (2004).
45. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 59, 113002 (1999); H. J. Lipkin, Phys.
Lett. B 445, 403 (1999).
46. D. Atwood y A. Soni, Phys. Rev. D 58, 036005 (1998); M. Gronau, Phys. Lett. B
627, 82 (2005).
47. Una regla de suma que implica tres asimetrías, basada en la expectativa de que la asimetría
en B+ → K0 debe ser muy pequeño, se discute en M. Gronau y J. L. Rosner,
Phys. Rev. D 71, 074019 (2005).
48. D. London y A. Soni, Phys. Lett. B 407, 61 (1997).
49. M. Gronau y J. L. Rosner, arXiv:hep-ph/0702193, que se publicarán en Phys. Rev.
50. Y. Grossman, A. Soffer y J. Zupan, Phys. Rev. D 72, 031501 (2005). Evidencia de
La mezcla 0-D̄0 ha sido reportada recientemente, B. Aubert et al. [Colaboración BABAR],
arXiv:hep-ex/0703020; K. Abe et al. [Belle Collaboration], arXiv:hep-ex/0703036.
51. Sr. Gronau, Phys. Rev. D 58, 037301 (1998).
52. Y. Grossman, Z. Ligeti y A. Soffer, Phys. Rev. D 67, 071301 (2003)
53. D. Atwood, I. Dunietz y A. Soni, Phys. Rev. Lett. 78, 3257 (1997); D. Atwood,
I. Dunietz y A. Soni, Phys. Rev. D 63, 036005 (2001).
54. A. Giri, Y. Grossman, A. Soffer y J. Zupan, Phys. Rev. D 68, 054018 (2003);
A. Bondar, Actas de la reunión especial de análisis del BINP sobre análisis de datos, 24-26
Septiembre de 2002, no publicado.
55. I. Dunietz, Phys. Lett. B 270, 75 (1991).
56. A. Bondar y T. Gershon, Phys. Rev. D 70, 091503 (2004).
57. W. M. Yao et al. [Grupo de Datos de Partículas], J. Phys. G 33, 1 (2006).
58. R. Aleksan, T. C. Petersen y A. Soffer, Phys. Rev. D 67, 096002 (2003).
59. Sr. Gronau, Phys. Lett. B 557, 198 (2003).
60. M. Gronau, Y. Grossman, N. Shuhmaher, A. Soffer y J. Zupan, Phys. Rev. D 69,
113003 (2004).
61. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 439, 171 (1998); Z. z. Xing, Phys. Rev.
D 58, 093005 (1998); J. H. Jang y P. Ko, Phys. Rev. D 58, 111302 (1998).
62. B. Blok, M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. Lett. 78, 3999 (1997).
63. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], Phys. Rev. D 74, 031101 (2006).
64. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], Phys. Rev. D 72, 071103 (2005).
65. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], Phys. Rev. D 73, 051105 (2006).
66. K. Abe y otros [Colaboración Belle], Phys. Rev. D 73, 051106 (2006).
67. J. P. Silva y A. Soffer, Phys. Rev. D 61, 112001 (2000); M. Gronau, Y. Grossman
y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 508, 37 (2001).
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0610322
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0702193
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0703020
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0703036
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
26 M. Gronau
68. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], Phys. Rev. D 72, 032004 (2005).
69. K. Abe y otros [Belle Collaboration], arXiv:hep-ex/0508048.
70. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], arXiv:hep-ex/0607065.
71. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], Phys. Rev. D 72, 071104 (2005).
72. Véase también P. Krokovny y otros [Belle Collaboration], Phys. Rev. Lett. 90, 141802 (2003);
K. Abe y otros [Belle Collaboration], arXiv:hep-ex/0408108.
73. A. Poluektov y otros [Belle Collaboration], Phys. Rev. D 73, 112009 (2006).
74. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], arXiv:hep-ex/0607104. Véase también B. Aubert
et al. [Colaboración BABAR], Phys. Rev. Lett. 95, 121802 (2005).
75. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], arXiv:hep-ex/0507101.
76. M. Gronau, Y. Grossman, Z. Surujon y J. Zupan, arXiv:hep-ph/0702011, a ser
publicado en Phys. Lett. B.
77. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 595, 339 (2004).
78. M. Gronau, E. Lunghi y D. Wyler, Phys. Lett. B 606, 95 (2005).
79. M. Gronau, D. London, N. Sinha y R. Sinha, Phys. Lett. B 514, 315 (2001).
80. Para dos límites algo más débiles, que están incluidos en este límite, véase Y. Grossman
y H. R. Quinn, Phys. Rev. D 58, 017504 (1998); J. Charles, Phys. Rev. D 59, 054007
(1999).
81. H. Ishino et al. [Belle Collaboration], BELLE-PREPRINT-2006-33.
82. Sr. Gronau, Phys. Lett. B 300, 163 (1993).
83. M. Gronau y J. L. Rosner, trabajan en curso.
84. M. Beneke, M. Gronau, J. Rohrer y M. Spranger, Phys. Lett. B 638, 68 (2006).
85. A. E. Snyder y H. R. Quinn, Phys. Rev. D 48, 2139 (1993); A. Kusaka y otros
[Belle Collaboration], arXiv:hep-ex/0701015; B. Aubert et al. [Colaboración BABAR],
arXiv:hep-ex/0703008.
86. M. Gronau, O. F. Hernández, D. London y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 50, 4529
(1994); ibíd., 52, 6374 (1995).
87. M. Gronau, J. L. Rosner y D. London, Phys. Rev. Lett. 73, 21 (1994).
88. R. Fleischer y T. Mannel, Phys. Rev. D 57, 2752 (1998).
89. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 57, 6843 (1998).
90. C. W. Chiang, M. Gronau, J. L. Rosner y D. A. Suprun, Phys. Rev. D 70, 034020
(2004).
91. S. Baek, P. Hamel, D. London, A. Datta y D. A. Suprun, Phys. Rev. D 71, 057502
(2005).
92. A. J. Buras, R. Fleischer, S. Recksiegel y F. Schwab, Phys. Rev. Lett. 92, 101804
(2004).
93. H. n. Li, S. Mishima y A. I. Sanda, Phys. Rev. D 72, 114005 (2005).
94. M. Beneke y S. Jager, Nucl. Phys. B 751, 160 (2006).
95. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 644, 237 (2007).
96. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 65, 013004 (2002); [Erratum-ibid. D 65,
079901 (2002).
97. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 572, 43 (2003).
98. M. Beneke y M. Neubert, Nucl. Phys. B 675, 333 (2003).
99. C. W. Bauer, I. Z. Rothstein e I. W. Stewart, Phys. Rev. D 74, 034010 (2006).
100. M. Gronau, Y. Grossman, G. Raz y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 635, 207 (2006).
101. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 74, 057503 (2006).
102. D. Zeppenfeld, Z. Phys. C 8, 77 (1981); M. J. Savage y M. B. Sabio, Phys. Rev. D
39, 3346 (1989) [Erratum-ibid. D 40, 3127 (1989)]; L. L. Chau, H. Y. Cheng, W. K. Sze,
H. Yao y B. Tseng, Phys. Rev. D 43, 2176 (1991). [Erratum-ibid. D 58, 019902
(1998)].
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0508048
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607065
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0408108
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0607104
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0507101
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0702011
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0701015
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0703008
27 de octubre de 2018 17:34 WSPC/INSTRUCCIÓN FILE CP-review
La violación del PC en la belleza decae 27
103. N. G. Deshpande y X. G. He, Phys. Rev. Lett. 75, 1703 (1995); X. G. He, Eur.
Phys. J. C 9, 443 (1999).
104. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. Lett. 76, 1200 (1996); A. S. Dighe,
M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 54, 3309 (1996).
105. D. Atwood, M. Gronau y A. Soni, Phys. Rev. Lett. 79, 185 (1997).
106. Sr. Beneke, Phys. Lett. B 620, 143 (2005).
107. H. Y. Cheng, C. K. Chua y A. Soni, Phys. Rev. D 72, 014006 (2005); H. Y. Cheng,
C. K. Chua y A. Soni, Phys. Rev. D 72, 094003 (2005).
108. Y. Grossman, Z. Ligeti, Y. Nir y H. Quinn, Phys. Rev. D 68, 015004 (2003);
G. Engelhard, Y. Nir y G. Raz, Phys. Rev. D 72, 075013 (2005); G. Engelhard y
G. Raz, Phys. Rev. D 72, 114017 (2005).
109. M. Gronau y J. L. Rosner, Phys. Lett. B 564, 90 (2003); C. W. Chiang, M. Gronau
y J. L. Rosner, Phys. Rev. D 68, 074012 (2003); C. W. Chiang, M. Gronau, Z. Luo,
J. L. Rosner y D. A. Suprun, Phys. Rev. D 69, 034001 (2004); M. Gronau, J. L. Ros-
ner y J. Zupan, Phys. Lett. B 596, 107 (2004); M. Gronau, J. L. Rosner y J. Zupan,
Phys. Rev. D 74, 093003 (2006).
110. A. Datta y D. London, Phys. Lett. B 595, 453 (2004); S. Baek, P. Hamel, D. Lon-
Don, A. Datta y D. A. Suprun, Phys. Rev. D 71, 057502 (2005); A. Datta, M. Im-
beault, D. London, V. Page, N. Sinha y R. Sinha, Phys. Rev. D 71, 096002 (2005).
111. T. Gershon y A. Soni, J. Phys. G 33, 479 (2007).
112. J. M. Soares, Nucl. Phys. B 367, 575 (1991); A. L. Kagan y M. Neubert, Phys.
Rev. D 58, 094012 (1998).
113. B. Aubert y otros [Colaboración BABAR], Phys. Rev. Lett. 93, 021804 (2004); Phys.
Rev. Lett. 97, 171803 (2006); S. Nishida y otros [Colaboración Belle], Phys. Rev. Lett.
93, 031803 (2004).
114. D. Atwood, T. Gershon, M. Hazumi y A. Soni, Phys. Rev. D 71, 076003 (2005).
115. B. Grinstein, Y. Grossman, Z. Ligeti y D. Pirjol, Phys. Rev. D 71, 011504 (2005);
B. Grinstein y D. Pirjol, Phys. Rev. D 73, 014013 (2006).
116. M. Matsumori y A. I. Sanda, Phys. Rev. D 73, 114022 (2006).
117. P. Ball y R. Zwicky, Phys. Lett. B 642, 478 (2006).
118. B. Aubert y otros [Colaboración BaBar], Phys. Rev. D 72, 051103 (2005); Y. Ushiroda
et al. [Belle Collaboration], Phys. Rev. D 74, 111104 (2006).
119. R. Aleksan, I. Dunietz y B. Kayser, Z. Phys. C 54, 653 (1992).
120. M. Paulini, arXiv:hep-ex/0702047; G. Punzi [Colaboración CDF - Run II],
arXiv:hep-ex/0703029.
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0702047
http://arxiv.org/abs/hep-ex/0703029
|
704.0077 | Universal Forces and the Dark Energy Problem | arXiv:0704.0077v1 [physics.gen-ph] 1 Apr 2007
LAS FUERZAS UNIVERSALES Y LA OSCURIDAD
PROBLEMA DE ENERGÍA
AFSAR ABBAS
Centro de Física Teórica
JMI, Jamia Nagar, Nueva Delhi - 110025, India
(dirección de correo electrónico: safsarabbas@gmail.com)
Resumen
El problema de la Energía Oscura nos está obligando a reexaminar nuestros modelos y nuestros
comprensión de la relatividad y espacio-tiempo. Aquí una idea novedosa de Fundamen...
Se introducen las Fuerzas Tal. Esto nos permite percibir la Teoría General de
La relatividad y la ecuación de Einstein de una nueva pesrpectiva. Además de
proporcionarnos una mejor comprensión del espacio y el tiempo, será
mostró cómo conduce a una resolución del problema de la Energía Oscura.
http://arxiv.org/abs/0704.0077v1
La Energía Oscura es sin duda el problema más desconcertante en física y como...
tronomia hoy [1]. Todo tipo de propuestas para resolver el problema se están poniendo
de cara al futuro, pero no estamos ni mucho menos cerca de una solución de las cuestiones de que se trata. En este
el autor sugiere la incorporación de un nuevo concepto en nuestra comprensión
la naturaleza y que ayuda a explicar el problema de la Energía Oscura y
tiene el potencial de proporcionarnos una mejor comprensión de la Naturaleza.
El nuevo concepto se llama “Fuerza Universal”. Fue propuesto por primera vez por
filósofo-científico Hans Reichenbach [2]. Aunque este concepto novedoso era
realmente sugerido en lo que puede ser llamado como el contexto filosófico, aquí
el autor quisiera hacer hincapié en la forma en que lo mismo puede ser utilizado como un
herramienta poderosa en el contexto físico también. En realidad vamos a ver que
tenemos que mejorar sobre la idea original de Reichenbach [3] en un significativo
para poder usarlo en física y astronomía. En cuanto a lo que son los cambios
necesario se discutiría a continuación después de la idea original de la
Se introducen las fuerzas de Reichenbach.
Para los escépticos que pueden creer que la filosofía de la ciencia no tiene nada que ver
la ciencia en sí misma, se puede señalar que uno nunca pierde
por estar abierto a las ideas de cualquier parte. Obviamente, el único
criterios sería la pertinencia y la aplicabilidad adecuada de la idea en cualquier
ciencia de la que uno está hablando. Una reciente Conferencia en curso [4] atestiguaría
a este hecho. En el caso del enigma de la Energía Oscura, en el que no
incluso saber dónde estamos, este punto se vuelve aún más pertinente.
Dentro de la disciplina de la filosofía de la ciencia el concepto de Fuerza Universal
de Reichenbach ha tenido reacciones mixtas. Mientras que algunos filósofos han sido
apoyo al concepto [5,6,7], algunos otros han sido críticos de él [8,9,10].
No vamos a profundizar demasiado en las cuestiones filosóficas de la misma, como
que nos alejaría más de nuestro propósito principal aquí y que es
ver cómo utilizar correctamente el concepto como científicos. Por lo tanto, utilizaremos
Únicamente los puntos que se consideren pertinentes para nuestro propósito aquí. Lo siento.
bastaría mencionar aquí lo que Rudolf Carnap ha declarado en el
Introducción del libro de Reichenbach [3]. Él llamó al concepto como ”... de grande
interés por la metodología de la física, pero lo que hasta ahora no ha recibido la
la atención que merece”. En este documento trataremos de rectificar este fracaso.
de apreciar el concepto de la Fuerza Universal, aunque en cierta medida
forma alterada y mejorada.
Reichenbach define dos tipos de fuerzas -Fuerzas Diferenciales y Univers-
Sal Forces. Se puede señalar que el término “fuerza” aquí no debe ser
tomado estrictamente como se define en la física, pero en un marco amplio y general.
De hecho, Carnap ha sugerido que el término “efecto” en lugar de “fuerza”
mejor servir a la finalidad [5] y que permite su uso en diferentes marco-
funciona. Por lo tanto, para ajustarse a la práctica aceptada, aunque en este documento
vamos a seguir utilizando el término “Fuerza Universal” el lector puede hacer bien
recordar que lo que realmente queremos decir es “Efecto Universal”.
Uno llama a una fuerza Differetial si actúa de manera diferente en diferentes sustancias. Lo siento.
se llama Universal si es cuantitativamente lo mismo para todas las sustancias [3,5].
Si calientamos una varilla de longitud inicial l0 de la temperatura inicial T0 a la temperatura
T entonces su longitud se da como
l = l0[1 + β(T − T0)] (1)
donde β el coeficiente de expansión térmica es diferente para diferentes
materiales. Por lo tanto, esta es una Fuerza Diferencial. Ahora el factor de corrección debido
a la influencia de la gravitación en la longitud de la varilla es
l = l0[1− C
(+) (2)
Aquí la varilla se coloca a una distancia r del sol cuya masa es m y
el ángulo de la varilla con respecto a la línea sol a la varilla. C es un universal
constante (en CGS unidad C= 3,7 x 10−29 ). Como esto actúa de la misma manera
para cualquier material de masa m, la gravedad es una Fuerza Universal según lo anterior
definición.
Reichenbach también da una definición general de las Fuerzas Universales [3,p
12] como: 1) que afectan a todos los materiales de la misma manera y 2) que
No hay paredes aislantes en su contra. Vimos más arriba que la gravedad es una fuerza tal,
De hecho, la gravedad es una fuerza universal por excelencia. Afecta a toda la materia.
de la misma manera. La igualdad de las masas gravitacionales e inerciales es
lo que asegura esto físicamente. Si las masas gravitacionales e inerciales no fueran
encontrado igual, entonces uno no habría sido capaz de visualizar los caminos
de puntos de masa que caen libremente como geodésicos en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.
En ese caso, diferentes geodésicos habrían resultado de diferentes materiales
de puntos de masa [3].
Por lo tanto, el efecto universal de la gravitación en los diferentes tipos de measur-
ing instrumentos es definir una única geometría para todos ellos. Lo he visto.
manera, se puede decir que la gravedad está geometrizada. “No es teoría de la gravitación
que se convierte en geometría, pero es la geometría que se convierte en la experiencia de la
campo gravitacional” [3, p. 256]. ¿Por qué el planeta sigue el camino curvado?
No porque es actuado por una fuerza, sino porque el espacio-tiempo curvado
¡Múltiple lo deja sin otra opción!
De modo que, según la teoría de la relatividad de Einstein, no se habla de un cambio
producido por el campo gravitacional en los instrumentos de medida, pero teniendo en cuenta
los instrumentos de medida como libres de cualquier fuerza deformadora. Gravedad siendo un
Fuerza Universal, en la Teoría de la Relatividad de Einstein, básicamente desaparece
y se sustituye por geometría.
De hecho, Reichenbach [3, p. 22] muestra cómo se puede dar una
nición de la varilla rígida - las mismas varillas rígidas que son necesarias en la relatividad a
medir todas las longitudes. "Las varillas rígidas son cuerpos sólidos que no se ven afectados por
Fuerzas Diferenciales, o con respecto a las cuales la influencia de las Fuerzas Diferenciales
ha sido eliminado por las correcciones; las Fuerzas Universales son ignoradas. Lo hacemos.
no descuidar las Fuerzas Universales. Los ponemos a cero por definición. Sin
tal regla un cuerpo rígido no puede ser definido.” De hecho, esta regla también ayuda en
definir un sistema cerrado también.
Todo esto fue formalizado en términos de un teorema por Reichenbach [3, p 33]
THEOREM............................................................................................................
Dada la geometría G0 a la que se ajustan los instrumentos de medida,
podemos imaginar una Fuerza Universal F que afecta a los instrumentos en tales
una manera de que la geometría real es una geometría arbitraria G, mientras que el ob-
desviación servida de G se debe a la deformación universal de la medición
instrumentos”.
G0 + F = G (3)
Por lo tanto, sólo la combinación G0+F es testable. Según el principio de Reichenbach:
Cípulo uno prefiere la teoría en la que ponemos F=0. Si aceptamos Reichenbach
principio de poner la fuerza universal de gravedad a cero, entonces el arbitra-
la elección del procedimiento de medición se evita y la cuestión de
la estructura geométrica del espacio físico tiene una respuesta única
minado por medición física. Es este principio que Carnap elogia
altamente [5, p. 171], ” Siempre que hay un sistema de física en el que un cierto
efecto universal se afirma por una ley que especifica en qué condiciones en
¿Qué cantidad ocurre el efecto, entonces la teoría debe ser transformada para que
la cantidad de efecto se reduciría a cero. Esto es lo que hizo Einstein.
con respecto a la contracción y expansión de los cuerpos en el campo gravitacional.”
lado izquierdo de la ecuación de Einstein (abajo) da la relevante no-Euclideon
geometría
Gl = 8ηG T (4)
En el caso de la gravedad, y en tanto como la Teoría de la Relatividad de Einstein-
ity ha sido bien probado experimentalmente, tratamos el concepto anterior también
puesto empíricamente. Pero de este éxito único Reichenbach generaliza esto
como principio fundamental para todos los casos en que puedan surgir fuerzas universales. As
Los estados de Carnap [5, p. 171], ” Cada vez que se encuentran efectos universales en la física,
Reichenbach sostuvo que siempre es posible eliminarlos por demanda.
transformación capaz de la teoría; tal transformación debe ser hecha porque
de la simplicidad general que resultaría. Este es un principio general útil,
merecer más atención de la que ha recibido. Se aplica no sólo a la relativ-
la teoría, pero también a las situaciones que pueden surgir en el futuro en el que otros
pueden observarse efectos universales. Sin la adopción de esta regla allí
no es manera de dar una respuesta única a la pregunta - ¿cuál es la estructura de
espacio?”.
Como tal Reichenbach sigue adelante y trata de aplicar este principio de elimi-
nación de las Fuerzas Universales a otro efecto universal que él encuentra y que
se deriva de consideraciones de topología (como una consideración adicional sobre
y por encima de la geometría ) del espacio-tiempo del universo.
El teorema se limita a hablar de la geometría del espacio-tiempo
Sólo. No tiene en cuenta las cuestiones topológicas específicas que puedan surgir.
Para tener en cuenta la topología del espacio-tiempo tendremos que ampliar la
dijo el teorema apropiadamente.
¿Qué sería una experiencia si el espacio tuviera diferentes propiedades topológicas.
Para hacer el punto de partida Reichenbach considera un torus-space [3, p 63]. Esto
es bastante detallado y extenso. No obstante, con el fin de simplificar la
y acortando la discusión aquí vamos a hablar de un ser bidimensional
que vive en la superficie de una esfera. Sus medidas le dicen que sí. Pero en
A pesar de esto, insiste en que vive en un avión. De hecho, puede hacerlo según lo previsto.
nuestra discusión de arriba si él se limita a las relaciones métricas solamente. Con
Una Fuerza Universal apropiada puede justificar vivir en un avión. Pero
la superficie de una esfera es topológicamente diferente de la de un plano. En una
esfera si comienza en un punto X y va a una gira mundial que puede volver
al mismo punto X. Pero esto es imposible en un avión. Y por lo tanto a la cuenta
para volver al “mismo punto” tiene que mantener que en el avión
él realmente ha vuelto a un punto Y diferente - que aunque es idéntico
a X en todos los demás aspectos. Una opción para él es aceptar que es en realidad
Viviendo en una esfera. Sin embargo, si todavía quiere mantener su posición de que
es vivir en un avión entonces él tiene que explicar en cuanto a cómo el punto Y es físicamente
idéntico al punto X a pesar de que X e Y son diferentes y distintos
puntos de espacio. De hecho, puede hacerlo visualizando una fuerza ficticia como un
efecto de algún tipo de “armonía preestablecida” [3, p. 65] proponiendo que
todo lo que ocurre en X también ocurre en el punto Y. Como afectaría a todos
materia de la misma manera que esto corresponde a una Fuerza/Efecto Universal como
según la definición de Reichenbach.
Esta interdependencia de los puntos correspondientes, que es esencial en
“preestablecido” la armonía no puede ser interpretada como causalidad ordinaria, como
no requiere tiempo ordinario para transmitirlo y tampoco se propaga
continuamente a través del espacio intermedio. Por lo tanto, no hay causalidad misteriosa
conexión entre los puntos X y Y. Por lo tanto, esto implica necesariamente
proponer una “anomalía causal” [3, p. 65]. En resumen, conectar diferentes topolo-
gies a través de un efecto universal ficticio de la “armonía pre-establecida”
sórdidos llamamientos para la introducción de “anomalías causales”. Llama a esta nueva hipótesis
La fuerza universal como A y el teorema se extienden para leer
G0 + F + A = G (5)
donde en el lado derecho hemos dado una G mayúscula diferente que
se reduce a G del teorema original, cuando A se establece igual a cero.
Ahora bien, según la ley de Reichenbach de preferir esa realidad física en la que
todas las Fuerzas Universales son puestas a cero, él aboga por poner A a cero. Él
señaló que esto tiene la ventaja de retener la “causalidad ” física
en nuestra ciencia, Esto toma como un éxito de su metodología. Según Re-
ichenbach [3, p 65] ” El principio de causalidad es uno de sus (física) sagrados
leyes, que no abandonará a la ligera; la armonía preestablecida, sin embargo, es
, incompatible con esta ley ".
Sin embargo, como la dicha ’ anomalía causal ’ es de origen topológico no podemos
Asegúrese de qué manera se manifestará físicamente. Además no lo hará
la Fuerza/Efecto Universal de la “armonía preestablecida” compensan por ella en
¿De alguna manera? Así que lo que uno está diciendo es que es posible que Reichenbach
se equivocó al poner todas las Fuerzas Universales a cero. Estaba bien poner F a
cero que justificó la interpretación geométrica de la gravedad. Pero en el caso
de esta nueva Fuerza Universal topológica que realmente no sabemos lo suficiente y
no nos rijamos por ningún prejuicio teórico y dejemos que la Naturaleza decida
en cuanto a lo que está sucediendo. Por decirlo así, veamos la cosmología moderna para ver
si está vomitando nuevas Fuerzas Universales que puedan identificarse con
nuestra “armonía preestablecida” aquí.
Para entender esto veamos la Ecuación de Einstein dada arriba.
Harvey y Schucking [11] corrigiendo por el error de Einstein en la comprensión
el papel del término cosmológico ♥ han derivado la ecuación más general
de la moción que se ha de presentar
Índice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de efecto»).
Demostraron que [11] la Constante Cosmológica de arriba proporciona un
nueva fuerza repulsiva proporcional a la masa m, repeliendo cada partícula de masa
m con una fuerza
F = mc2
x (7)
Datos recientes [1] sobre es lo que lleva a la crisis de la Energía Oscura.
Claramente esta fuerza repulsiva es una nueva Fuerza Universal según nuestra
definición y por lo tanto se ajusta al aspecto de la “armonía preestablecida” de
la “anomalía causal”. Por lo tanto, vemos que, de hecho, según los datos recientes sobre
acelerando el universo hemos tropezado con esta nueva Fuerza Universal que
es de origen topológico. Por lo tanto, la fuente de energía oscura se debe a ”causal
anomalía” que surge de la estructura topológica única de nuestro universo. Esto
resuelve el misterio del origen de la Energía Oscura.
Así que nos gustaría enfatizar que es el universo acelerador (y
por lo tanto la Energía Oscura) que nos está obligando a aceptar la incorporación de
esta “anomalía causal” de origen topológico. Implicaciones de este nuevo concepto
en física ahora tienen que ser explorados.
Nótese que según el Teorema de cuando se pone F a cero entonces se obtiene
la debida Geometría no euclidiana de la ecuación de Einstein. Pero ahora
saber que la estructura completa es la suma de esta geometría no euclidiana más A
, la nueva Fuerza Universal ( según el teorema modificado arriba) y esto es
lo que el universo acelerado nos está obligando a aceptar. Esto es lo que llamamos
mayúscula G supra. Creemos que los datos de DASI sobre el valor 0 están cerca de uno y
por lo tanto, mostrar que el Universo es plano [1] es consistente con el capital G ser
igual a G+ A. En principio, al igual que en el teorema original
añadir una Fuerza Universal F a la geometría no euclidiana de Einstein para obtener un
geometría euclidiana físicamente relevante, así que de la misma manera dado un no-
La geometría euclidiana de Einstein puede añadir una Fuerza Universal apropiada
A para proporcionar un universo plano. Y esto es exactamente lo que el capital G nos está diciendo.
Así, la planitud observada del universo puede ser tratada como un éxito de la
nueva idea propuesta aquí.
Uno quisiera preguntar de qué otra manera la incorporación de este
¿La nueva anomalía causal puede ayudarnos a entender mejor a la Naturaleza? Will
proporciona nuevas perspectivas como respuestas a puzzles mecánicos cuánticos de
saltos cuánticos, no-localidad, etc. Se trata de cuestiones abiertas que deben abordarse en
futuro.
REFERENCIAS
1. M S Turner, “Hacer sentido de la nueva cosmología”, Int J Mod Phys,
A17S1 (2002) 180-196
2. Hans Reichenbach (1891-1953) puede llamarse propiamente filósofo.
científico. Como filósofo líder de la ciencia fue fundador del Berlín
Círculo y defensor del positivismo lógico. Entre sus maestros estaba David
Hilbert, Max Planck, Max Born y Albert Einstein. Escribió extensamente.
sobre la teoría de la probabilidad, la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.
Sus escritos filosóficos tienen un claro toque científico en ellos, mucho
similar a la de Descartes, Leibniz y Huygens.
3. H Reichenbach, “La filosofía del espacio y el tiempo”, Dover, Nueva York
(1957) (edición original alemana de 1928)
4. C Callender y N Huggett, ” Física cumple con la filosofía en el Planck
scale”, Cambridge University Press, Reino Unido (2001)
5. R Carnap, "Una introducción a la filosofía de la ciencia", Libros Básicos,
Nueva York (1966)
6. E Nagel, "La estructura de la ciencia", Routledge y Kegan Paul, Lon-
don (1961)
7. D Dieks, “Gravitation as a Universal Force”, Syntesis, 73 (1987)
381-397
8. B Ellis, “Universal and Differential Forces”, Brit J Phil Sc, 14 (1963)
177-194
9. Un Gruenbaum, “Problemas filosóficos del espacio y del tiempo”, Dordrecht,
Holanda; D Reidel (1973) o Alfred A Knopf, Nueva York (1963)
10. R Torretti, “Relatividad y geometría”, Pergamon Press (1983)
11. Un Harvey y E Schucking, ”el error de Einstein y la cosmología
constante”, Am J Phys, 68 (2000) 723-727
| El problema de la Energía Oscura nos está obligando a reexaminar nuestros modelos y nuestros
comprensión de la relatividad y espacio-tiempo. Aquí una idea novedosa de fundamental
Se introducen fuerzas. Esto nos permite percibir la Teoría General de
Relatividad y Ecuación de Einstein de una nueva pesrpectiva. Además de
proporcionarnos una mejor comprensión del espacio y el tiempo, se mostrará
cómo lleva a una resolución del problema de la Energía Oscura.
| Introducción del libro de Reichenbach [3]. Él llamó al concepto como ”... de grande
interés por la metodología de la física, pero lo que hasta ahora no ha recibido la
la atención que merece”. En este documento trataremos de rectificar este fracaso.
de apreciar el concepto de la Fuerza Universal, aunque en cierta medida
forma alterada y mejorada.
Reichenbach define dos tipos de fuerzas -Fuerzas Diferenciales y Univers-
Sal Forces. Se puede señalar que el término “fuerza” aquí no debe ser
tomado estrictamente como se define en la física, pero en un marco amplio y general.
De hecho, Carnap ha sugerido que el término “efecto” en lugar de “fuerza”
mejor servir a la finalidad [5] y que permite su uso en diferentes marco-
funciona. Por lo tanto, para ajustarse a la práctica aceptada, aunque en este documento
vamos a seguir utilizando el término “Fuerza Universal” el lector puede hacer bien
recordar que lo que realmente queremos decir es “Efecto Universal”.
Uno llama a una fuerza Differetial si actúa de manera diferente en diferentes sustancias. Lo siento.
se llama Universal si es cuantitativamente lo mismo para todas las sustancias [3,5].
Si calientamos una varilla de longitud inicial l0 de la temperatura inicial T0 a la temperatura
T entonces su longitud se da como
l = l0[1 + β(T − T0)] (1)
donde β el coeficiente de expansión térmica es diferente para diferentes
materiales. Por lo tanto, esta es una Fuerza Diferencial. Ahora el factor de corrección debido
a la influencia de la gravitación en la longitud de la varilla es
l = l0[1− C
(+) (2)
Aquí la varilla se coloca a una distancia r del sol cuya masa es m y
el ángulo de la varilla con respecto a la línea sol a la varilla. C es un universal
constante (en CGS unidad C= 3,7 x 10−29 ). Como esto actúa de la misma manera
para cualquier material de masa m, la gravedad es una Fuerza Universal según lo anterior
definición.
Reichenbach también da una definición general de las Fuerzas Universales [3,p
12] como: 1) que afectan a todos los materiales de la misma manera y 2) que
No hay paredes aislantes en su contra. Vimos más arriba que la gravedad es una fuerza tal,
De hecho, la gravedad es una fuerza universal por excelencia. Afecta a toda la materia.
de la misma manera. La igualdad de las masas gravitacionales e inerciales es
lo que asegura esto físicamente. Si las masas gravitacionales e inerciales no fueran
encontrado igual, entonces uno no habría sido capaz de visualizar los caminos
de puntos de masa que caen libremente como geodésicos en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.
En ese caso, diferentes geodésicos habrían resultado de diferentes materiales
de puntos de masa [3].
Por lo tanto, el efecto universal de la gravitación en los diferentes tipos de measur-
ing instrumentos es definir una única geometría para todos ellos. Lo he visto.
manera, se puede decir que la gravedad está geometrizada. “No es teoría de la gravitación
que se convierte en geometría, pero es la geometría que se convierte en la experiencia de la
campo gravitacional” [3, p. 256]. ¿Por qué el planeta sigue el camino curvado?
No porque es actuado por una fuerza, sino porque el espacio-tiempo curvado
¡Múltiple lo deja sin otra opción!
De modo que, según la teoría de la relatividad de Einstein, no se habla de un cambio
producido por el campo gravitacional en los instrumentos de medida, pero teniendo en cuenta
los instrumentos de medida como libres de cualquier fuerza deformadora. Gravedad siendo un
Fuerza Universal, en la Teoría de la Relatividad de Einstein, básicamente desaparece
y se sustituye por geometría.
De hecho, Reichenbach [3, p. 22] muestra cómo se puede dar una
nición de la varilla rígida - las mismas varillas rígidas que son necesarias en la relatividad a
medir todas las longitudes. "Las varillas rígidas son cuerpos sólidos que no se ven afectados por
Fuerzas Diferenciales, o con respecto a las cuales la influencia de las Fuerzas Diferenciales
ha sido eliminado por las correcciones; las Fuerzas Universales son ignoradas. Lo hacemos.
no descuidar las Fuerzas Universales. Los ponemos a cero por definición. Sin
tal regla un cuerpo rígido no puede ser definido.” De hecho, esta regla también ayuda en
definir un sistema cerrado también.
Todo esto fue formalizado en términos de un teorema por Reichenbach [3, p 33]
THEOREM............................................................................................................
Dada la geometría G0 a la que se ajustan los instrumentos de medida,
podemos imaginar una Fuerza Universal F que afecta a los instrumentos en tales
una manera de que la geometría real es una geometría arbitraria G, mientras que el ob-
desviación servida de G se debe a la deformación universal de la medición
instrumentos”.
G0 + F = G (3)
Por lo tanto, sólo la combinación G0+F es testable. Según el principio de Reichenbach:
Cípulo uno prefiere la teoría en la que ponemos F=0. Si aceptamos Reichenbach
principio de poner la fuerza universal de gravedad a cero, entonces el arbitra-
la elección del procedimiento de medición se evita y la cuestión de
la estructura geométrica del espacio físico tiene una respuesta única
minado por medición física. Es este principio que Carnap elogia
altamente [5, p. 171], ” Siempre que hay un sistema de física en el que un cierto
efecto universal se afirma por una ley que especifica en qué condiciones en
¿Qué cantidad ocurre el efecto, entonces la teoría debe ser transformada para que
la cantidad de efecto se reduciría a cero. Esto es lo que hizo Einstein.
con respecto a la contracción y expansión de los cuerpos en el campo gravitacional.”
lado izquierdo de la ecuación de Einstein (abajo) da la relevante no-Euclideon
geometría
Gl = 8ηG T (4)
En el caso de la gravedad, y en tanto como la Teoría de la Relatividad de Einstein-
ity ha sido bien probado experimentalmente, tratamos el concepto anterior también
puesto empíricamente. Pero de este éxito único Reichenbach generaliza esto
como principio fundamental para todos los casos en que puedan surgir fuerzas universales. As
Los estados de Carnap [5, p. 171], ” Cada vez que se encuentran efectos universales en la física,
Reichenbach sostuvo que siempre es posible eliminarlos por demanda.
transformación capaz de la teoría; tal transformación debe ser hecha porque
de la simplicidad general que resultaría. Este es un principio general útil,
merecer más atención de la que ha recibido. Se aplica no sólo a la relativ-
la teoría, pero también a las situaciones que pueden surgir en el futuro en el que otros
pueden observarse efectos universales. Sin la adopción de esta regla allí
no es manera de dar una respuesta única a la pregunta - ¿cuál es la estructura de
espacio?”.
Como tal Reichenbach sigue adelante y trata de aplicar este principio de elimi-
nación de las Fuerzas Universales a otro efecto universal que él encuentra y que
se deriva de consideraciones de topología (como una consideración adicional sobre
y por encima de la geometría ) del espacio-tiempo del universo.
El teorema se limita a hablar de la geometría del espacio-tiempo
Sólo. No tiene en cuenta las cuestiones topológicas específicas que puedan surgir.
Para tener en cuenta la topología del espacio-tiempo tendremos que ampliar la
dijo el teorema apropiadamente.
¿Qué sería una experiencia si el espacio tuviera diferentes propiedades topológicas.
Para hacer el punto de partida Reichenbach considera un torus-space [3, p 63]. Esto
es bastante detallado y extenso. No obstante, con el fin de simplificar la
y acortando la discusión aquí vamos a hablar de un ser bidimensional
que vive en la superficie de una esfera. Sus medidas le dicen que sí. Pero en
A pesar de esto, insiste en que vive en un avión. De hecho, puede hacerlo según lo previsto.
nuestra discusión de arriba si él se limita a las relaciones métricas solamente. Con
Una Fuerza Universal apropiada puede justificar vivir en un avión. Pero
la superficie de una esfera es topológicamente diferente de la de un plano. En una
esfera si comienza en un punto X y va a una gira mundial que puede volver
al mismo punto X. Pero esto es imposible en un avión. Y por lo tanto a la cuenta
para volver al “mismo punto” tiene que mantener que en el avión
él realmente ha vuelto a un punto Y diferente - que aunque es idéntico
a X en todos los demás aspectos. Una opción para él es aceptar que es en realidad
Viviendo en una esfera. Sin embargo, si todavía quiere mantener su posición de que
es vivir en un avión entonces él tiene que explicar en cuanto a cómo el punto Y es físicamente
idéntico al punto X a pesar de que X e Y son diferentes y distintos
puntos de espacio. De hecho, puede hacerlo visualizando una fuerza ficticia como un
efecto de algún tipo de “armonía preestablecida” [3, p. 65] proponiendo que
todo lo que ocurre en X también ocurre en el punto Y. Como afectaría a todos
materia de la misma manera que esto corresponde a una Fuerza/Efecto Universal como
según la definición de Reichenbach.
Esta interdependencia de los puntos correspondientes, que es esencial en
“preestablecido” la armonía no puede ser interpretada como causalidad ordinaria, como
no requiere tiempo ordinario para transmitirlo y tampoco se propaga
continuamente a través del espacio intermedio. Por lo tanto, no hay causalidad misteriosa
conexión entre los puntos X y Y. Por lo tanto, esto implica necesariamente
proponer una “anomalía causal” [3, p. 65]. En resumen, conectar diferentes topolo-
gies a través de un efecto universal ficticio de la “armonía pre-establecida”
sórdidos llamamientos para la introducción de “anomalías causales”. Llama a esta nueva hipótesis
La fuerza universal como A y el teorema se extienden para leer
G0 + F + A = G (5)
donde en el lado derecho hemos dado una G mayúscula diferente que
se reduce a G del teorema original, cuando A se establece igual a cero.
Ahora bien, según la ley de Reichenbach de preferir esa realidad física en la que
todas las Fuerzas Universales son puestas a cero, él aboga por poner A a cero. Él
señaló que esto tiene la ventaja de retener la “causalidad ” física
en nuestra ciencia, Esto toma como un éxito de su metodología. Según Re-
ichenbach [3, p 65] ” El principio de causalidad es uno de sus (física) sagrados
leyes, que no abandonará a la ligera; la armonía preestablecida, sin embargo, es
, incompatible con esta ley ".
Sin embargo, como la dicha ’ anomalía causal ’ es de origen topológico no podemos
Asegúrese de qué manera se manifestará físicamente. Además no lo hará
la Fuerza/Efecto Universal de la “armonía preestablecida” compensan por ella en
¿De alguna manera? Así que lo que uno está diciendo es que es posible que Reichenbach
se equivocó al poner todas las Fuerzas Universales a cero. Estaba bien poner F a
cero que justificó la interpretación geométrica de la gravedad. Pero en el caso
de esta nueva Fuerza Universal topológica que realmente no sabemos lo suficiente y
no nos rijamos por ningún prejuicio teórico y dejemos que la Naturaleza decida
en cuanto a lo que está sucediendo. Por decirlo así, veamos la cosmología moderna para ver
si está vomitando nuevas Fuerzas Universales que puedan identificarse con
nuestra “armonía preestablecida” aquí.
Para entender esto veamos la Ecuación de Einstein dada arriba.
Harvey y Schucking [11] corrigiendo por el error de Einstein en la comprensión
el papel del término cosmológico ♥ han derivado la ecuación más general
de la moción que se ha de presentar
Índice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea y de los Estados miembros de la Unión Europea (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de gases de efecto invernadero») (en lo sucesivo, «las emisiones de efecto»).
Demostraron que [11] la Constante Cosmológica de arriba proporciona un
nueva fuerza repulsiva proporcional a la masa m, repeliendo cada partícula de masa
m con una fuerza
F = mc2
x (7)
Datos recientes [1] sobre es lo que lleva a la crisis de la Energía Oscura.
Claramente esta fuerza repulsiva es una nueva Fuerza Universal según nuestra
definición y por lo tanto se ajusta al aspecto de la “armonía preestablecida” de
la “anomalía causal”. Por lo tanto, vemos que, de hecho, según los datos recientes sobre
acelerando el universo hemos tropezado con esta nueva Fuerza Universal que
es de origen topológico. Por lo tanto, la fuente de energía oscura se debe a ”causal
anomalía” que surge de la estructura topológica única de nuestro universo. Esto
resuelve el misterio del origen de la Energía Oscura.
Así que nos gustaría enfatizar que es el universo acelerador (y
por lo tanto la Energía Oscura) que nos está obligando a aceptar la incorporación de
esta “anomalía causal” de origen topológico. Implicaciones de este nuevo concepto
en física ahora tienen que ser explorados.
Nótese que según el Teorema de cuando se pone F a cero entonces se obtiene
la debida Geometría no euclidiana de la ecuación de Einstein. Pero ahora
saber que la estructura completa es la suma de esta geometría no euclidiana más A
, la nueva Fuerza Universal ( según el teorema modificado arriba) y esto es
lo que el universo acelerado nos está obligando a aceptar. Esto es lo que llamamos
mayúscula G supra. Creemos que los datos de DASI sobre el valor 0 están cerca de uno y
por lo tanto, mostrar que el Universo es plano [1] es consistente con el capital G ser
igual a G+ A. En principio, al igual que en el teorema original
añadir una Fuerza Universal F a la geometría no euclidiana de Einstein para obtener un
geometría euclidiana físicamente relevante, así que de la misma manera dado un no-
La geometría euclidiana de Einstein puede añadir una Fuerza Universal apropiada
A para proporcionar un universo plano. Y esto es exactamente lo que el capital G nos está diciendo.
Así, la planitud observada del universo puede ser tratada como un éxito de la
nueva idea propuesta aquí.
Uno quisiera preguntar de qué otra manera la incorporación de este
¿La nueva anomalía causal puede ayudarnos a entender mejor a la Naturaleza? Will
proporciona nuevas perspectivas como respuestas a puzzles mecánicos cuánticos de
saltos cuánticos, no-localidad, etc. Se trata de cuestiones abiertas que deben abordarse en
futuro.
REFERENCIAS
1. M S Turner, “Hacer sentido de la nueva cosmología”, Int J Mod Phys,
A17S1 (2002) 180-196
2. Hans Reichenbach (1891-1953) puede llamarse propiamente filósofo.
científico. Como filósofo líder de la ciencia fue fundador del Berlín
Círculo y defensor del positivismo lógico. Entre sus maestros estaba David
Hilbert, Max Planck, Max Born y Albert Einstein. Escribió extensamente.
sobre la teoría de la probabilidad, la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.
Sus escritos filosóficos tienen un claro toque científico en ellos, mucho
similar a la de Descartes, Leibniz y Huygens.
3. H Reichenbach, “La filosofía del espacio y el tiempo”, Dover, Nueva York
(1957) (edición original alemana de 1928)
4. C Callender y N Huggett, ” Física cumple con la filosofía en el Planck
scale”, Cambridge University Press, Reino Unido (2001)
5. R Carnap, "Una introducción a la filosofía de la ciencia", Libros Básicos,
Nueva York (1966)
6. E Nagel, "La estructura de la ciencia", Routledge y Kegan Paul, Lon-
don (1961)
7. D Dieks, “Gravitation as a Universal Force”, Syntesis, 73 (1987)
381-397
8. B Ellis, “Universal and Differential Forces”, Brit J Phil Sc, 14 (1963)
177-194
9. Un Gruenbaum, “Problemas filosóficos del espacio y del tiempo”, Dordrecht,
Holanda; D Reidel (1973) o Alfred A Knopf, Nueva York (1963)
10. R Torretti, “Relatividad y geometría”, Pergamon Press (1983)
11. Un Harvey y E Schucking, ”el error de Einstein y la cosmología
constante”, Am J Phys, 68 (2000) 723-727
|
704.0078 | Linear perturbations of matched spacetimes: the gauge problem and
background symmetries | Perturbaciones lineales de los espacios-tiempos emparejados:
problema de calibre y simetrías de fondo
Marc Mars*, Filipe C. Mena® y Raül Vera‡
* Facultad de Ciencias, Universidad de Salamanca,
Plaza de la Merced s/n, 37008 Salamanca, España
Departamento de Matemáticas, Universidade do Minho,
Campus de Gualtar, 4710 Braga, Portugal
• Instituto de Matemáticas, Universidad de Oxford,
24-29 St Giles’, Oxford OX1 3LB, Reino Unido
‡Fisika Teorikoaren Saila, Euskal Herriko
Unibertsitatea, Apt. 644, Bilbao 48080, País Vasco, España
12 de junio de 2018
Resumen
Presentamos una revisión crítica sobre el estudio de las perturbaciones lineales de emparejados
espaciotiempos incluyendo problemas de medición. Analizamos la libertad introducida en el
Adecuado por la presencia de simetrías de fondo y revis-
caso particular de simetría esférica en n-dimensiones. Este análisis incluye ajustes
con capas de contorno como modelos de mundo de salvado y cosmologías de cáscara.
Números PACS: 0420, 0240
1 Introducción
Un aspecto importante en cualquier teoría gravitacional geométrica es el análisis de cómo corresponder
dos tiempos espaciales. Esto es cierto en particular para la Relatividad General y su perturbación
teoría. A pesar de la relevancia y madurez de la teoría de emparejamiento uno a menudo encuentra papeles
cuando no se utilicen correctamente las condiciones correspondientes. La mayoría de las dificultades surgen de
el hecho de que las condiciones de correspondencia se impongan en sistemas de coordinación específicos en un
la manera que no es completamente independiente de la coordinación. Más concretamente, emparejar dos
espaciotiempos requiere identificar los límites de forma puntual, y a veces esta identificación
se hace implícitamente mediante la fijación de coordenadas espacio-tiempo, sin prestar suficiente atención a la
el hecho de que resolver la coincidencia implica encontrar una identificación de la frontera y que
Esto no debe fijarse a priori.
En la teoría de la perturbación este problema también surge, y se complica por el hecho
que los campos a comparar (como la métrica perturbada) son dependientes del calibrador. Por lo tanto, en
Además de las opciones a priori de identificación de la frontera, también existe el problema
http://arxiv.org/abs/0704.0078v1
que los indicadores particulares se utilizan a menudo. Se puede argumentar que la teoría del emparejamiento debe
ser independiente del calibrador y por lo tanto se puede realizar en cualquier calibrador. Esto es cierto, pero
sólo cuando se tenga el debido cuidado para garantizar que la elección del calibrador no restrinja, a priori,
la identificación perturbada de los límites.
Sólo se ha logrado una descripción completa de las condiciones de coincidencia linealizada
recientemente por Carter y Battye [5] e independientemente por Mukohyama [6]. A la segunda orden,
las condiciones de coincidencia se han encontrado recientemente en [7]. A pesar de estos documentos, creemos que
que aún persiste cierta confusión sobre el terreno, en particular con respecto al calibrador existente
formulaciones invariantes. El objetivo de este documento es tratar de aclarar estas cuestiones. En orden
para hacer eso, vamos a discutir críticamente algunos de los enfoques propuestos en la literatura
tratando de dejar en claro cuáles son las suposiciones implícitas hechas y en qué medida son
lo justificaron.
Los primeros documentos que discuten la teoría de la coincidencia perturbada son, por lo que sabemos,
los artículos clásicos de Gerlach y Sengupta [2, 3]. Sin embargo, como se explica a continuación,
descripción de la teoría de coincidencia perturbada contiene imprecisiones, y por lo tanto vamos a
empezar a discutir su enfoque señalando las dificultades que encuentran. Un primer intento
para justificar las alegaciones de [2, 3] se debe a Marten-Gara y Gundlach [4], que proponen una
diferentes, pero sin embargo estrechamente relacionados conjunto de condiciones lineales de coincidencia. Apuntar
la suposición implícita hecha por estos autores también nos ayudará a tratar de explicar el
sutilezas inherentes a la perturbada teoría de emparejamiento.
En [6] las condiciones de coincidencia lineal se describen para los fondos arbitrarios,
perturbaciones e hipersuperficies coincidentes, y luego se aplica al caso de dos antecedentes
espacio con un alto grado de simetría, es decir, aquellos que admiten un grupo máximo de
isometrías que actúan sobre la codimensión dos submanifolds espaciados (e.g. esféricamente simétrica
espaciotiempos). Con el fin de simplificar las condiciones de coincidencia, Mukohyama deriva un conjunto de
las condiciones correspondientes a las denominadas invariantes de doble calibre. Sin embargo, una brecha surge en su
Conclusiones finales como conjunto de condiciones presentadas para las cantidades invariantes de calibre doble
para el emparejamiento lineal de los espacios-tiempo sólo se muestran las condiciones necesarias.
El análisis de la suficiencia afecta directamente a la cuestión que estamos tratando de subrayar en este contexto.
papel, por lo que dedicamos una sección para aclarar este punto, donde mostramos cómo estas condiciones
no son suficientes, hablando de forma estrepitosa. Desde las condiciones coincidentes en términos de doble
calibrado invariantes son ampliamente utilizados en la literatura, consideramos importante para cerrar este
brecha. Por otra parte, las construcciones de calibre invariantes cantidades utilizando armónico esférico
los decompositos dejan fuera los sectores l = 0 y l = 1. Discutiremos esta cuestión y su
consecuencias.
El documento se organiza de la siguiente manera. Comenzamos por resumir la coincidencia perturbada
condiciones en la sección 2, donde también se describe la libertad de calibrador en cuestión. Entonces, el
procedimientos utilizados en los documentos clásicos [2, 3], junto con las justificaciones y
la evolución de la situación en [4] se revisa en la sección 3. La sección 4 se centra en las consecuencias de
la existencia de simetrías en la configuración de fondo, que tendrán relevancia
en nuestra discusión final. La sección 5 tiene tres subsecciones. El primero está dedicado a
presentar brevemente el procedimiento y los resultados examinados en [6], en particular en el caso de
fondos esféricamente simétricos. En la segunda subsección analizamos la suficiencia
de las condiciones de coincidencia invariantes de calibre doble en [6]. La última subsección está dedicada
al estudio de la libertad dejada en la perturbación de la hipersuperficie correspondiente una vez
las perturbaciones métricas se han fijado a ambos lados. Terminamos con un apéndice donde
expresiones explícitas para las discontinuidades de las segundas formas fundamentales perturbadas en
la caja esférica está indicada. Algunas de estas expresiones se utilizan en el texto principal.
2 Coincidencia lineal
En esta sección describimos la libertad de calibrador implicada en la coincidencia lineal de espacio-tiempo
y resumir las condiciones de coincidencia perturbadas.
2.1 Libertad de medición
El propósito de la teoría de emparejamiento es construir un nuevo espacio-tiempo de dos espacios-tiempo
M± con límite al encontrar un difeomorfismo adecuado entre los límites que
permite su identificación puntual. En particular, el espacio-tiempo emparejado no puede
se cree que existe de antemano. Otro aspecto a tener en cuenta es que la coincidencia
las condiciones implican exclusivamente tensores en el límite identificado y, por lo tanto, cualquier coordi-
El sistema nate en M± es igualmente válido. Esto es bien conocido, pero sigue siendo fuente de confusión.
A veces.
En la teoría de coincidencias perturbadas, no sólo las métricas están perturbadas, sino también la coincidencia-
Las hipersuperficies pueden estar deformadas. Además, en cuanto a la métrica, la “desviación” de la
emparejar la hipersuperficie es también una cantidad dependiente del medidor. Esto se puede entender mejor
Viendo las perturbaciones como derivados (a = 0) de una familia de un parámetro de espacio-
veces (Más, g
* ) con límite *...........................................................................................................................
*............................................................................... Es conveniente incrustar M
• dentro de un colector más grande
(sin límite) V â € para aclarar la discusión. A priori, los colectores (M
En la mayoría de los casos, se trata de un grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación en que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que viven en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que viven en la misma situación.
completamente distinto, por lo que no tiene sentido hablar directamente de los derivados. Es necesario
identificar primero los diferentes colectores de modo que un único punto p se refiera a un punto en cada uno
de los colectores. Obviamente, hay infinitas maneras de identificar los colectores, todos ellos
igual de válido a priori. Esta libertad conduce a la dependencia de medida de la perturbada met-
ric (y de cualquier otro tensor geométricamente definido). La identificación anterior puede, o puede
no, cartografiar los límites entre ellos. A priori, un punto en
0 puede ser mapeado,
para 6= 0, a un punto sobre , a un punto interior a MÃ o a un punto exterior a MÃ (dentro
la extensión V) que no forma parte del colector. ¿Cómo podemos entonces tomar derivados
¿Con respecto a los puntos posteriores? Dado que sólo se necesitan derivados en el valor de 0, re-
la restricción de los valores infinitesimales de la palabra "" no implica ninguna pérdida de la generalidad. Entonces, si para algunos pequeños
*, un punto q * * 0 es mapeado al exterior de Mâ, se sigue de diferenciabilidad con
respeto a Ł que q es mapeado, para el valor inverso, a un punto interior a M. Por lo tanto,
Las perturbaciones pueden definirse en el límite tomando un derivado lateral, es decir. tomar
límites → 0, con una restricción de signo en (c.f. [7] para una discusión alternativa).
Sin embargo, una cuestión importante sigue siendo: ¿Cómo describir la deformación de la
límite 0? Como un conjunto de puntos cada límite
Mapas, con la identificación anterior,
en una hipersuperficie del espacio tiempo de fondo, que llamamos . En general, este
hipersuperficie no coincidirá con 0 y bien puede tocarlo o cruzarlo. Esto nos da
una idea de cómo el límite es deformado, pero sólo como un subconjunto, no en sentido objetivo. En orden
para saber cómo el límite realmente se mueve dentro del fondo, tenemos que prescribir un
a priori una identificación puntual de 0 con
*............................................................................... Esta identificación es completamente diferente.
e independiente de la descrita anteriormente en relación con los puntos espaciales, e implica
sólo los puntos en los límites. Como antes, hay infinitamente muchas maneras de identificar la
límites, y esto define una libertad de segundo indicador, que implica los objetos intrínsecamente
definido en el límite. Esta libertad de calibrador se denominará calibrador de hipersuperficie, como
opuesta al calibrador de espacio-tiempo habitual descrito anteriormente.
Con ambas identificaciones elegidas, la deformación del límite dentro de la espalda-
tierra ya se puede describir: Fijar un punto q en el límite de fondo 0. Los
la identificación de los límites define un punto q
*, por cada *. El iden del espacio-
la tificación toma este punto q.o y lo mapea en un punto q.o del fondo M.
0 (quizás)
después de una restricción de la señal en la letra a). Obviamente q pertenece a la hipersuperficie perturbada
*............................................................................... Nosotros
tener, por lo tanto, no sólo una deformación de la hipersuperficie de fondo como un conjunto de puntos,
pero también información puntual. Sólo queda tomar el vector tangente de la curva
q at Ł = 0, es decir, ~Z
+ = dq
=0 que codifica completamente la deformación del emparejamiento
hipersuperficie como se ve desde el espacio tiempo de fondo. Dos observaciones finales están en orden:
(i) ~Z+ se define exclusivamente en 0, no se define ni requiere ninguna extensión de la misma y (ii)
~Z+ depende tanto del espacio-tiempo como de los medidores de hipersuperficie, ya que su curva definitoria es
construidas utilizando ambas identificaciones. Sin embargo, la descomposición ~Z+ = Qn 0+ +
~T+, donde
~n 0+ es la unidad normal de
0 (supuestos no nulos en cualquier lugar) y
~T+ es tangente a él, gira
de que Q+ depende del indicador de espacio-tiempo pero no del indicador de hipersuperficie. Esto
es porque el cambio del medidor de hipersuperficie reorganiza los puntos dentro de cada , pero
no puede modificar ninguno de ellos como un conjunto de puntos.
Tensores definidos intrínsecamente en los límites son completamente no afectados por el
la identificación del tiempo espacial y, por lo tanto, son invariantes en la transformación del ancho de tiempo espacial
ciones. Recuerde que las condiciones de coincidencia implican sólo objetos intrínsecos a la coincidencia-
ing hipersuperficies. Dado que las condiciones de coincidencia perturbadas son, formalmente, sólo su
derivados, se deduce por construcción que las condiciones de coincidencia perturbadas deben ser
calibrador invariante en las transformaciones del calibrador espacial. Esto puede parecer sorprendente al principio.
vista, ya que las condiciones de coincidencia deben implicar la métrica perturbada, que es, obviamente,
calibrador dependiente. Sin embargo, las condiciones resultan ser independientes de medida, ya que
también implican el vector de deformación ~Z+, que es el indicador de espacio-tiempo dependiente. Este vector
Por lo tanto, es de fundamental importancia y debe tenerse en cuenta en
el enfoque del problema, como veremos a continuación.
2.2 Condiciones coincidentes
Let (M±0, g
0 ) ser tiempos espaciales en n-dimensionales con límites no nulos
0. Coincidiendo con ellos
requiere una identificación de los límites, es decir, un par de incrustaciones : 0 M±0
con (0) =
0, en el que el punto 0 es una copia abstracta de cualquiera de los límites. Vamos.
(i, j,. .. = 1,...., n−1) ser un sistema de coordenadas en 0. Se obtienen vectores tangentes a 0
por ei =
(α, β,. .. = 0,..., n − 1). También hay una unidad única (hasta orientación)
vectores normales n
α a los límites. Los elegimos para que si n
α puntos hacia
M+ entonces n
α puntos fuera de M− o viceversa. La primera y la segunda fundamentales son:
simplemente q(0)ij
± ei e
, K(0)ij
± = −n(0)e
i e
j. Las condiciones correspondientes
(en ausencia de proyectiles) requieren la igualdad de las formas fundamentales primera y segunda
el 0, es decir,
q(0)ij
+ = q(0)ij
−, K(0)ij
+ = K(0)ij
−. 1)..........................................................................................................................................................
Bajo una perturbación de la métrica de fondo g±pert = g
(0)± + g(1)± y del emparejamiento
hipersuperficies a través de ~Z± = Q± ~n(0)± + ~T
±, las condiciones de coincidencia serán perturbativamente
satisfecho si y solo si [6]
q(1)+ij = q
ij, K
ij = K
ij, (2)
q(1)ij
± = L~T±q
± + 2Q±K(0)ij
± + ei e
±, (3)
K(1)ij
± = L~T±K
± − •DiDjQ± +Q±(−n(0)± μn
e
±K(0)
g 1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
βK(0)ij
± − n(0)± μS
(1)
j, (4)
en los que = n
(0)α, D es el derivado covariante de (, q(0)±) y S(1)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(1)
g(1) g(1)
En estas ecuaciones, Q± y ~T± son cantidades a priori desconocidas y cumpliendo la
condiciones de coincidencia requiere demostrar que dos vectores ~Z± existen de tal manera que (2) se cumplen.
La libertad del ancho de tiempo espacial puede ser explotada para fijar uno o ambos vectores ~Z± a priori,
pero esto debe evitarse (o al menos analizarse cuidadosamente) si el gálibo espacial adicional
se toman decisiones, con el fin de no restringir a priori las posibles coincidencias. Con respecto a la
calibrador de hipersuperficie, esto se puede utilizar para fijar uno de los vectores ~T+ o ~T−, pero no ambos.
Como ya se ha subrayado, las condiciones lineales de emparejamiento son por espacio-tiempo de construcción
calibrador invariante (de hecho cada uno de los tensores q(1)ij
±, K(1)ij
± es). Por otra parte, el conjunto de
condiciones (2) son calibrador de hipersuperficie invariante, siempre que el fondo es correctamente
emparejado, desde [6] bajo tal transformación de calibrador dada por el vector en 0, q
se transforma como q(1)ij + L q(0)ij, y de manera similar para K(1)ij.
3 Sobre los formalismos invariantes del indicador espacial anterior
El primer intento de derivar un formalismo general para las condiciones de emparejamiento en linealizado
la gravedad es, a nuestro conocimiento, debido a Gerlach y Sengupta [2]. Su enfoque se basa en
en la descripción de la hipersuperficie correspondiente como un conjunto de niveles de una función f definida
en el espacio-tiempo. Suponiendo que los conjuntos de niveles {f = const} sean temporales, un campo similar al espacio
Las normales unitarias se definen como nμ = (g
(f,αf,β)
−1/2f,μ. Las condiciones de emparejamiento no perturbadas
corresponden a la continuidad en todas partes (en particular a lo largo de ) de los tensores
No obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 107, apartado 1, letra a), del Tratado.
que son las versiones espacio-tiempo de la primera y segunda formas fundamentales introducidas
arriba. Siendo f definido en todas partes, tiene sentido perturbarlo con el fin de describir el
variación de la hipersuperficie correspondiente. Obviamente, al perturbar f uno también perturba nμ.
Las condiciones de correspondencia perturbadas propuestas en [2] deben decir:
(q)+ = qq(q)−, qq(KÍ)+ = qq(KÍ)−, (6)
donde qβ
α es el proyector en el, significa perturbación y + y − denotar el
cantidades calculadas a ambos lados de la hipersuperficie correspondiente. Estos expres...
los iones implican las proyecciones de las perturbaciones de qâ € y Kâ € sobre â €. La necesidad de
1Abusaremos un poco de la notación y nos referiremos a los vectores en 0 y sus imágenes en el espacio-tiempo con
el mismo símbolo. El significado debe estar claro desde el contexto.
teniendo en cuenta que sólo los componentes proyectados están justificados en [2] ya que la
ciones deben ser intrínsecas a las hipersuperficies correspondientes. Sin embargo, Gerlach y Sengupta
las condiciones (6) no son invariantes.
Dado que el principal interés en [2, 3] se refiere a fondos esféricamente simétricos, este
“ambiguidad” se fija en ese caso encontrando combinaciones invariantes adecuadas de
las condiciones lineales de coincidencia, que resultan para dar un conjunto correcto de necesarios
condiciones de emparejamiento perturbadas en simetría esférica. Sin embargo, cabe destacar que:
los autores consideran que estos indicadores invariantes subconjunto también son suficientes, sin más
justificación.
Sabemos por la discusión en la Secc. 2.1 supra que (6) no puede ser correcto ya que conduce
a un conjunto de condiciones dependientes del calibrador. Dado que, por otra parte, la propuesta (6) puede
Parece verosímil, es de interés señalar dónde, y en qué sentido, no es correcto.
La primera fuente de problemas viene de suponer que el espacio-tiempo emparejado se da
De antemano. De hecho, qâ € y Kâ € son tensores del espacio-tiempo y sólo pueden existir (y ser
continua) una vez que se construye el espacio-tiempo emparejado. Pero este es precisamente el propósito
de las condiciones coincidentes, por lo que las condiciones se vuelven circulares. Otro aspecto de lo mismo
problema es que sólo se puede hablar de continuidad una vez que la identificación puntual de
los límites son elegidos. Pero un conjunto de niveles de una función define sólo un conjunto de puntos y no
la forma en que deben identificarse esos puntos. Una tercera instancia de la misma cuestión es que el tensor
los componentes deben expresarse en alguna base, por ejemplo: un sistema común de coordinación que abarque
A ambos lados de la línea. Pero de nuevo esto no se puede asumir a priori. Tiene que ser construido.
Mencionemos, sin embargo, que una vez que la identificación puntual de los límites es
elegido, el uso de tensores espacio-tiempo se permite siempre que finalmente se proyectan en
la hipersuperficie. En ese sentido, y cuando se utiliza correctamente, el uso de índices de tiempo espacial puede
simplificar algunos cálculos notablemente (véase Carter y Battye, [5] donde se utiliza esta notación
para derivar las condiciones de coincidencia perturbadas).
Además de este aspecto (que ya afecta a la coincidencia de fondo) el perturbado
las ecuaciones (6) sufren de un problema adicional. Perturbaciones (q) (p) y (K) (p)
en un punto p en el fondo puede definirse tomando -derivados en p fijo y = 0
de los tensores correspondientes (definidos por los puntos g) y f). Para cada valor de فارسى, el emparejamiento
las condiciones imponen la continuidad de qÃ3r(l) y KÃ3r(l) en todas partes (con la advertencia ya
se menciona en relación con la identificación de los límites). Sin embargo, la continuidad de â € (qâ €)
y en p sólo se aplicarían los derivados de las funciones continuas con respecto a
a un parámetro externo eran necesariamente continuos (en nuestro caso, la derivada con
el respeto a la ley), lo cual no es cierto en general. Un ejemplo trivial es dado por la función
u(, x) = x +, whith x R. Para cada esta función es continua. Sin embargo, el
la derivada con respecto a la palabra «derivado» no existe ni siquiera en x = 0, «derivado» = 0. Esto refleja el hecho de que
restar tensores continuos en un punto de espacio-tiempo fijo p conduce a objetos que no necesitan
ser continuo. Este es, de hecho, el problema principal de (6) como condiciones lineales de coincidencia.
Surge una pregunta inmediata: ¿Por qué el indicador invariante subconjunto de condi-
ciones encontradas en [2, 3] para fondos esféricamente simétricos correctos? Con el fin de entender
Esto, vamos a reescribir (6) usando el formalismo de la sección 2.2. En primer lugar, ya que â € (nαnβ)
contener, al menos, un n libre
α, tenemos
(q)± = qqg(1)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 7)..................................................................................................................................................
2A lo largo de este indicador de sección se referirá al indicador de espacio-tiempo. Sólo aparecerán medidores de hipersuperficie
brevemente hacia el final de la sección.
Por otra parte, un cálculo simple da (nβ) = (nβ) − S(1) n
μ y â € (qâ > ) =
−g(1)n(0)μ n(0)β + g(0)(nμ)n
(0)(nβ). Estos, junto con las propiedades estándar
del proyector, conducen a
(K)± =
a(0)/qμ
(nα) + qq(nβ)− qqS(1) n
±, (8)
donde a
El Tribunal de Primera Instancia decidió: En general, estas expresiones no están de acuerdo con (3) y (4).
Sin embargo, cuando los medidores se eligen de modo que ~Z± = 0, entonces
la hipersuperficie correspondiente no está perturbada como se ve desde el fondo. En consecuencia
(f) n(0)α en, lo que implica (nα)
α para alguna función h. Imponer ~n() a
ser unidad para todas las correcciones h =
β. Insertar en (8) las condiciones correspondientes (6)
llegar a ser
βg(1)
βg(1)
, (9)
n(0)α n
β K- − qμ
n(0)α n
β K- − qμ
que están de acuerdo con (2) (con la excepción de que (9) se refiere a tensores espaciales y (2) son
se define en el punto ). Dado que Gerlach y Sengupta derivan un subconjunto de calibrador invariante
condiciones fuera de (6) en el caso esféricamente simétrico y sus condiciones son correctas en
un indicador, se deduce que el subconjunto invariante es correcto en cualquier indicador. Esta es la razón
por qué los resultados en [2, 3] que implican fondos esféricamente simétricos resultan estar bien.
El progreso sustancial en el problema de la coincidencia lineal fue realizado por Martn-Gara
y Gundlach [4]. Estos autores señalaron la falta de justificación en [2, 3] para la elección
de (6) como condiciones correspondientes. También se argumentó que, en el caso de los tiempos espaciales con límites,
sólo tiene sentido para definir las perturbaciones mediante el uso de medidores donde la coincidencia perturbada
hipersuperficie se asigna a la hipersuperficie que coincide con el fondo. Perturbaciones en este
calibrador, llamado “calibrador de superficie” (no debe confundirse con calibrador de hipersuperficie) se denota
por, y su propiedad definitoria es f = 0. La idea era escribir la coincidencia.
condiciones en este indicador y luego transformarse en cualquier otro indicador si es necesario. Como se ha notado
por los autores, el medidor de superficie no es único ya que todavía hay tres grados de libertad
a la izquierda, que corresponden a las tres direcciones tangentes a فارسى.
Una observación pertinente hecha en [4] fue que la continuidad de las perturbaciones tensoriales
puede depender de la posición del índice en los tensores. Los autores argumentan que los tensores
verdaderamente intrínsecos a las hipersuperficies son qâ, Kâ (con índices de arriba) y proponer la
después de las condiciones de coincidencia perturbadas
(qó)+ = (qó)−, (Kó)+ = (Kó)−, (10)
que se demuestra que se convierten exactamente (9). Esto muestra la equivalencia de ambos pro-
propuestas en el gálibo de superficie, como se indica explícitamente en [4]. Esto justifica parcialmente la validez de
ambos se aproximan en el medidor de superficie. Sin embargo, la justificación no es completa porque
del tema que debatimos a continuación.
De hecho, las condiciones (10) todavía conllevan una suposición implícita que debe aclararse.
Como ya se ha subrayado, las condiciones de coincidencia perturbadas tienen dos inherentes e independientes
grados de libertad de calibrador. El enfoque de Marten-Gara y Gundlach implica sólo
objetos espacio-tiempo, y por lo tanto sólo pueden notar la libertad del indicador espacio-tiempo. Esto lleva
a una declaración incorrecta en [4], ya que no es cierto que las condiciones lineales de coincidencia
leer (10) en cualquier medidor de superficie. Condiciones (10) sólo serán válidas cuando el espaciotiempo
calibrador mapas pares de puntos de fondo (identificados, a través de la coincidencia de fondo) a pares
de puntos en los límites perturbados que también se identifican a través de la coincidencia.
Observe que no todos los medidores de superficie tienen esta propiedad. En términos explícitos, esto significa que
los vectores ~Z± deben (i) tener solamente componentes tangenciales (por lo que estamos en el medidor de superficie)
y ii) tienen los mismos componentes cuando se escriben en términos de una base intrínseca de 0-0. In
términos menos precisos, pero más intuitivos, condición (ii) establece que ~Z+ y ~Z− son los mismos
vector, es decir, que los medidores en ambas regiones se eligen de tal manera que el desplazamiento de
un punto fijo de la hipersuperficie de fondo es idéntico en ambas regiones (los desplazados
punto, por supuesto, se queda en la hipersuperficie no perturbada, debido a la elección de la superficie
calibrador). Observe finalmente que si Q± = 0 y ~T+ = ~T−, entonces la coincidencia linealizada
las condiciones (2) realmente se reducen a las condiciones (9), una vez que estas últimas se proyectan en el artículo 9. Esto
muestra la corrección de los enfoques de Gerlach y Sengupta y Martn-Gara y
Gundlach en calibres especiales.
4 Libertad de emparejamiento debido a las simetrías
Dedicamos esta sección al estudio de las consecuencias de la existencia de antecedentes
simetrías en coincidencias de espacio-tiempo perturbadas.
La existencia de simetrías en la configuración de fondo introduce dos cuestiones
que es importante tener en cuenta: el primero corresponde a la libertad en
introducido por el procedimiento de emparejamiento, al preservar las simetrías, en el fondo
nivel [9], c.f. [10] para una solicitud. La segunda cuestión corresponde a las consecuencias
que las simetrías en la configuración de fondo pueden tener en la perturbación de la
Coincidiendo.
Hay que subrayar aquí que la arbitrariedad introducida por la presencia de simetrías
en la configuración de fondo es completamente independiente de la hipersuperficie y
libertad de calibrador de tiempo espacial. Sin embargo, esa arbitrariedad es dependiente del indicador y, por lo tanto,
una elección del medidor se puede hacer para eliminarlo. Como vamos a mostrar, una isometría en el fondo
implica que hay una dirección a lo largo de la cual la diferencia [~T] • ~T+ ~T− no puede ser
determinado por las ecuaciones de coincidencia perturbadas. Pero, como hemos discutido al final
de la sección 2, uno podría eventualmente elegir parte de los medidores de espacio-tiempo (si hay
libertad izquierda) para arreglar [~T ]. Tenga en cuenta, finalmente, que un cambio de calibrador de hipersuperficie deja [~T]
invariante.
4.1 Sometimientos
Consideraremos ahora la presencia de isometrías en la configuración de fondo. Así que,
supongamos que uno de los lados, digamos (M+0, g
(0)+), admite una isometría generada por
el Campo de vector de matar tangente a la frontera 0. La conmutación de la Mentira
derivado y el retroceso implica [9]
Lq
+ = ei e
j Lg
0 = 0,
que significa que es un vector de matanza de (0, q
+). Esto implica de la expresión (3)
que q(1)ij
+ es invariante bajo la transformación ~T+ → ~T+ + 0.
En cuanto a K(1)ij
+, a partir de su expresión (4), está de nuevo claro que la transformación anterior
ciones de ~T+ dejarán K(1)ij
+ invariante proporcionado LK(0)ij+ = 0. Pero este es precisamente el
caso ya que es un vector de matar ortogonal a n
+, lo que implica Ln
+
= 0, y
por lo tanto
LK
+ = ei e
j L(n
+ )0 = ei e
j Ln
+ 0 = 0.
Por supuesto, todo este debate también se aplica a la parte (−).
Combinación de la invarianza de q(1)ij
± y K(1)ij
± conduce al hecho de que el
primer orden perturbado emparejar condiciones son invariantes bajo un cambio de los vectores
~T± a lo largo de la dirección de cualquier isometría de la configuración de fondo (conservado por
el emparejamiento). Entonces, como se esperaba, cuando las simetrías están presentes la coincidencia linealizada
condiciones no pueden determinar la diferencia [~T] completamente: dejan indeterminado el
relativa (entre los dos lados) deformación de la hipersuperficie a lo largo de la dirección de
la simetría. Tenga en cuenta que, sin embargo, la forma de la hipersuperficie perturbada es completamente
determinado, ya que es impulsado por Q±.
El panorama general es el siguiente: en el nivel de fondo tenemos la arbitrariedad de
la identificación de 0 con
0 [9], que puede ser visto como un “deslizante” entre
0 y
0. La perturbación añade a esto un cambio arbitrario de la deformación de la coincidencia
hipersuperficie a cada lado a lo largo de las órbitas del grupo isométrico. Como ejemplo, en
la descripción de los cuerpos compactos estacionarios y aximétricos que se examina en [10, 9],
deslizamiento de fondo corresponde a una rotación constante arbitraria del interior con
respeto al exterior. Tenga en cuenta que, en ese caso, esta rotación sólo es relevante porque
el exterior se toma para ser asintóticamente plano. Como resultado, dos interiores idénticos pueden,
en principio, dan lugar a dos exteriores que difieren por una rotación constante de la tasa [10]. Los
cambio de la deformación superficial llevaría, en principio, a una rotación constante arbitraria
a lo largo de la coordenada axial de la deformación superficial del cuerpo. Del mismo modo, dos idénticos
las perturbaciones en el interior del cuerpo pueden producir dos perturbaciones diferentes en el
exterior, que puede diferir por una rotación relativa constante de la velocidad. Una elección del espacio-tiempo
calibrador podría utilizarse para relacionar las deformaciones dentro y fuera. Sin embargo, esto puede
interferir con otras fijaciones de gálibo que puedan haberse hecho.
5 fondos n-dimensionales esféricamente simétricos
En esta sección repasaremos la teoría de Mukohyama para el emparejamiento lineal en el especial
caso de simetría esférica. Resultados similares [6] se mantienen para los fondos admitiendo isometría
grupos de dimensión (n−1)(n−2)/2 que actúan en dos órbitas de codimensión no nula
topología (estrictamente hablando las órbitas necesitan ser compactas).
5.1 El enfoque de Mukohyama
Concentrándose en uno de los dos espacios-tiempo a igualar, ya sea + o −, consideramos un
métrica de fondo esféricamente simétrica de la forma
αdxβ = γabdx
adxb + r2
Ad-B, (11)
donde γab (a, b,.. = 0, 1) es una métrica bidimensional Lorentziana (dependiendo únicamente de {xa}),
r > 0 es una función de {xa}, y
con coordenadas A} (A,B,. .. = 2, 3,..., n− 1).
Una hipersuperficie de fondo general esféricamente simétrica puede ser dada en parametría
forma como
0 := {x0 = Z(0)0(l}), x1 = Z(0)1(l}, {A = A}, (12)
donde i} =, A} es un sistema de coordenadas en 0 adaptado a la simetría esférica.
Los vectores tangentes a Ł0 leídos
~e♥ =
Z(0)0°x0 +
Z(0)1°x1
, ~eŁA = A 0, (13)
donde punto es derivado w.r.t. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Con N2 aeđbγab0, de modo que = 1 ( = −1)
corresponde a una hipersuperficie temporal (espacial), la unidad normal a 0 lee
(0) =
− det γ
− Z(0)1dx0 + Z(0)0dx1
, (14)
donde la elección del signo de N corresponde a la elección de la orientación de lo normal. Los
métrica inducida por el fondo y segunda forma fundamental en el punto 0 debe decir
q(0)ijd
idÃ3j = N2dÃ32 + r20Ã3ABÃ3dádádádádádádáb, (15)
K(0)ijd
idÃ3j = N2KdÃ32 + r2K0
donde
K-0)b, K̄ = n
(0) axa ln r.
De ello se deduce que las condiciones de correspondencia de los antecedentes (1) son las siguientes:
N2+ = N
0 = r20, K+ = K−, K = K. (17)
Utilizando (3) y (4) ahora podríamos calcular las perturbaciones de primer orden q(1)ij y K
ij en
términos de las cantidades anteriores y ~Z (o equivalentemente Q y ~T ), c.f. Eqs. (45) y (46)
en [6]. Recordemos (véase la subsección 2.2) que mientras que los tensores individuales q(1)ij y K
no son invariantes del medidor de hipersuperficie, sus diferencias respectivas de los lados + y −
(es decir, las condiciones lineales de coincidencia) son. Esos tensores dependen de la hipersuperficie
calibrador a través de los vectores tangentes ~T+ y ~T−, que bajo un cambio de calibrador transforma
simplemente añadiendo el vector de ancho de banda. Se deduce que sólo su diferencia [~T] puede aparecer
en las condiciones de coincidencia linealizada. En consecuencia, hay tres grados de libertad
que no se puede fijar por las ecuaciones, pero se puede fijar mediante la elección de la hipersuperficie
calibrador, por ejemplo para establecer ~T+. Por lo tanto, las condiciones de coincidencia lineal se pueden ver en
como ecuaciones para la diferencia [~T] así como para Q+ y Q−, es decir. por cinco objetos. Si estos
ecuaciones admiten soluciones, entonces la coincidencia lineal es posible y es imposible
De lo contrario.
Mukohyama enfatiza la conveniencia de buscar cantidades invariantes de doble calibre
para escribir las condiciones de coincidencia lineal, sin embargo las condiciones de coincidencia son
ya medir invariante (tanto para el espaciotiempo como para los indicadores de hipersuperficies). Buscando
calibrado invariante combinaciones en cada lado equivale a escribir ecuaciones donde la dif-
vector de la diferencia [~T] simplemente cae. De hecho, en muchos casos, conocer el valor de dicho vector
en un emparejamiento específico no es interesante. En ese sentido, el uso de doble calibre invariante
las cantidades son útiles ya que reduce el número de ecuaciones a analizar. Sin embargo, queremos
hacer hincapié en que esto no está relacionado con la obtención de calibrado invariante ecuaciones lineales de coincidencia.
Sólo está relacionado con no resolver para la información superflua. De hecho, un conjunto de ecuaciones
donde también Q+ y Q− han desaparecido sería aún más conveniente desde este punto
de vista, siempre que uno no esté interesado en saber cómo las hipersuperficies se deforman en
el indicador específico de espacio-tiempo que se esté utilizando.
Puesto que el uso de doble calibre invariante condiciones coincidentes se utiliza ampliamente, vamos a
recordar sus ingredientes principales con el fin de discutir si realmente son equivalentes al conjunto completo
de ecuaciones lineales coincidentes y en qué sentido.
A tal fin, Mukohyama [6] descompone los tensores de perturbación q(1)ij y K
ij en
términos de escalar Y, vector VA y armónicos tensores TAB en la esfera, como
q(1)ijd
idÃ3j =
(l00Y dl
2 + (Y )T(Y )ABd
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2(T)0V(T)A + (L)0V(L)A)d
[l(T )T(T )AB + (LT )T(LT )AB + (LL)T(LL)AB)d
Ad. B. (18)
K(1)ijd
idÃ3j =
(l 00Y dl
2 + (Y ) T(Y ) ABd
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2(T)0V(T)A + (L)0V(L)A)d
• (T ) • (T ) • (T ) • (LT ) • (LT ) • (LT ) • (LL ) • (LL ) • (LL )
Ad. B. (19)
donde todos los coeficientes escalares dependen sólo de . Cada coeficiente en la descomposición
tiene índices l y m que se han bajado por simplicidad notarial. Note que
cada uno de los coeficientes se define en el intervalo de l’s que aparece en el correspondiente
sumatorio. Por la construcción, cada uno de los dos son invariantes espacio-tiempo (pero
no hipersuperficie-gauge invariante). Para l ≥ 2 pueden incluso escribirse [6] explícitamente
en términos de cantidad invariante de espacio-tiempo. De la misma manera, el doble calibre-
las cantidades invariantes presentadas en [6], se definen únicamente para l ≥ 2 [excepto k(T)0, que también es
definido para l = 1), y debe decir
l ≥ 2 : f00 ° ° 00 − 2N
l ≥ 2 : f (Y ) + N−2
r20
k2l (LL),
l ≥ 2 : f0 (T )0 − r20
r−20(LT )
l ≥ 2 : f(T )
l ≥ 2 : k00 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
l ≥ 1 : k(T )0 (T )0 (T )0 − K(T )0, (20)
l ≥ 2 : k(L)0 • • (L)0 +
(K − K̄)(L)0 +
(K + K̄)
r20(r−20Ô(LL))
l ≥ 2 : k(LT ) Ł • (LT ) − K (LT ),
l ≥ 2 : k(LL) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
l ≥ 2 : k(Y ) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
l ≥ 2 : k(T ) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3Los rangos de l’s no se explicitan en [6] para incluir también la homogeneidad no compacta
espacios, donde el índice l es continuo. Sin embargo, para discutir la suficiencia de las ecuaciones tenemos que ser
precisa en el rango de validez de cada ecuación.
donde k2l = l(l + n− 3) y
l ≥ 2 : χ (L)0 − r20(r−20Ô(LL)).
Las propiedades ortogonales de los armónicos escalares, vectores y tensores implican que
las equivalencias de los coeficientes de la letra l) y de la letra m) para cada l y m es equivalente a la igualdad de los coeficientes de la letra d) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 y del apartado 2 del artículo 3 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71.
los tensores de perturbación (18) y (19) a ambos lados de la línea 0. Así, recordando la notación
[f ] f0 − f0, las ecuaciones
l ≥ 0 : [l00] = [l(Y )] = 0
l ≥ 1 : [(L)0] = [(T)0] = 0
l ≥ 2 : [(T )] = [(LT )] = [(LL)] = 0
l ≥ 0 : [00] = [(Y )] = 0
l ≥ 1 : [(L)0] = [(T)0] = 0
l ≥ 2 : [(T )] = [(LT )] = [(LL)] = 0
son equivalentes a (2) y, por lo tanto, corresponden exactamente a la condi-
ciones en este entorno. Note que cada una de las igualdades en (21) y (22) es de hecho una
ecuación para cada l y m en el intervalo adecuado. Sin embargo, nos referiremos a ellos simplemente
como ecuaciones.
Las condiciones de coincidencia lineales plenas implican obviamente las siguientes igualdades en
términos de las cantidades invariantes de doble calibre (20),
l ≥ 2 : [f00] = [f ] = [f0] = [f(T)] = 0 (23)
l ≥ 1 : [k(T)0] = 0
l ≥ 2 : [k00] = [k(Y )] = [k(L)0] = [k(LL)] = [k(LT )] = [k(T )] = 0.
Si estas ecuaciones pueden ser consideradas como el conjunto completo de condiciones lineales de coincidencia
o no requiere estudiar su suficiencia, es decir si implican (21)-(22) o no. Esto
punto no se menciona en [6] y de hecho la respuesta resulta ser negativa, aunque
de una manera suave, como lo discutimos en la siguiente subsección.
5.2 Sobre la suficiencia de la continuidad de la
variantes
Recordemos que el cumplimiento de las condiciones de coincidencia requiere encontrar dos ~Z± tales que
(21)-(22) se satisfacen. Por lo tanto, la cuestión clave para el emparejamiento es demostrar la existencia de
vectores de deformación ~Z± de modo que todas las ecuaciones se mantienen.
Un argumento de plausibilidad a favor de la suficiencia de (23)-(24) proviene de la simple
conteo de ecuaciones. De hecho, como ya se ha discutido, las condiciones de coincidencia lineal son
espaciotiempo e calibrador de hipersuperficie invariante y por lo tanto sólo puede implicar la diferencia
vector [~T], es decir, tres cantidades. Desde la construcción de doble calibrado invariantes cantidades en
cada lado elimina este vector, el número de ecuaciones debe ser reducido exactamente por
tres si han de seguir siendo equivalentes al conjunto original. Esto es precisamente lo que sucede.
a medida que pasamos de las ecuaciones originales de quince en (21)-(22) a once ecuaciones en
23) a 24). Este argumento, sin embargo, no es concluyente, tanto porque no es riguroso y
porque cada ecuación en esas expresiones es, de hecho, un conjunto de ecuaciones dependiendo de l
y m, y el rango de l cambios con las ecuaciones. Analicemos, pues, esta cuestión.
en detalle. En particular, tenemos que discutir cuáles son las consecuencias de la no existencia
de variables invariantes de doble calibre para l = 0 y l = 1 (excepto para k(T )0 que existe para
l = 1), algo no mencionado en [6].
Comencemos por encontrar expresiones explícitas para la validez de en toda la gama de l. As
en [6], nos descomponemos g(1) en armónicos como
g(1)dx
αdxβ =
(habY dx
adxb + h(Y )T(Y )ABd
A.D.A.B.)
2 h(T)aV(T)A + h(L)aV(L)A)dx
(h(T )T(T )AB + h(LT )T(LT )AB + h(LL)T(LL)AB)d
Ad. B. (25)
y ~Z como
zaY dx
[z(T)V(T)A + z(L)V(L)A)d
QY n(0) − N−2z
[z(T)V(T)A + z(L)V(L)A)d
A, (26)
lo que implica Tαdx
l=0(N−2z
l=1(z(T)V(T)A + z(L)V(L)A)d
A. Inserción
estas expresiones en (2) y la expansión en armónicos esféricos es fácil de
l ≥ 0 : [00] = 0 [h] + 2[Q]N2K + 2N
N−1[z♥]
l ≥ 1 : [(L)0] = 0 [zl] + [h(L)l] + r20(r−20[z(L)]) = 0, (27)
l ≥ 2 : [(LL)] = 0 [z(L)] + [h(LL)] = 0, (28)
l ≥ 0 : [(Y )] = 0 [h(Y )] + 2[Q]r20K̄ − N−2[z/23370/](r20)−
k2l [z(L)] = 0,
l ≥ 1 : [(T )0] = 0 [h(T )] + r20(r−20[z(T )]) = 0,
l ≥ 2 : [(LT )] = 0 [z(T )] + [h(LT )] = 0, (29)
l ≥ 2 : [(T )] = 0 [h(T )] = 0,
donde [h], [h(L)♥], etc. denotar e.o.p.
b[hab], e
a[h(L)a], etc. Más tarde también escribiremos
abajo las expresiones explícitas para (22), pero no son necesarias en esta subsección.
Es obvio por la forma de f ’s y de (20) que el conjunto de ecuaciones (21)-(22) son
equivalente a (23)-(24) junto con
l ≥ 2 : [(L)0] = [(LT )] = [(LL)] = 0 (30)
l = 0, 1 : [l00] = [l(Y )] = 0
l = 1 : [(L)0] = [(T)0] = 0
l = 0, 1 : [00] = [(Y )] = 0
l = 1 : [(L)0] = 0.
La suficiencia de la doble medición de Mukohyama invariante condiciones de coincidencia seguiría si
Estas ecuaciones sirven exclusivamente para determinar la discontinuidad [~T], es decir. [z] para l ≥ 0
y [z(T)], [z(L)] para l ≥ 1. Ahora, las expresiones explícitas (27), (29), (28) muestran que (30)
determinar de manera única [z/23370/], [z(T )] y [z(L)] para l ≥ 2. Por lo tanto, restringido al sector l ≥ 2
Las condiciones de coincidencia invariantes de calibre doble de Mukoyama pueden considerarse equivalentes
al conjunto completo de condiciones de coincidencia. Tomando todos l en cuenta, sin embargo, las ecuaciones
resulta que no es suficiente. Para mostrar esto, es suficiente para mostrar una ecuación que implica
la discontinuidad de las perturbaciones métricas de fondo y [Q] (pero no [~T ]) que mantiene
como consecuencia del conjunto completo de condiciones de correspondencia (21)-(22), pero no como consecuencia
de 23) a 24). Usando el hecho de que cada l = 1 expresión se refiere a n − 1 objetos (uno para
cada m), el número de ecuaciones en (31)-(32) es 7n− 3, mientras que el número de unkuwns en
[~T] aún no determinado por (30), es decir. [z/23370/] para l = 0, 1 y [z(T )], [z(L)] para l = 1 es 3n − 2,
que es más pequeño. Por lo tanto, cabe esperar que (31), (32) impliquen condiciones en las que
estas variables no aparecen. Esto puede hacerse explícito, por ejemplo, mediante la combinación de
[00]l=0 = 0 con [(Y )]l=0 = 0 que rinde
l = 0 : [h] + 2[Q]N
2K + 2N
(r20)
[h(Y )] + 2[Q]r
# 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄
Cuando sea (r)
20) 6= 0. (Si (r20) = 0 es suficiente con considerar [(Y )]l=0 = 0.) Esto
la relación es suficiente para demostrar que la continuidad de las variables invariantes doble-gama de
Mukohyama no es suficiente para garantizar la existencia de la coincidencia perturbada. Por supuesto,
esto no invalida el enfoque de Mukohyama de ninguna manera, lo que sigue siendo interesante
y útil. Sólo significa que, al utilizar este enfoque para resolver coincidencias lineales,
uno todavía necesita mirar más cuidadosamente en el sector l = 0 y l = 1 para asegurarse de que
las ecuaciones restantes (31) y (32) mantienen.
Por otro lado, las ecuaciones (31), (32) no determinan completamente [~T ]. La variable
[z(T )]l=1 sólo aparece en [(T )0]l=1 = 0, en el término (r
−20 [z(T)]). Como resultado de ello, el
las condiciones coincidentes no fijan [z(T )]l=1 completamente, pero hasta un factor constante veces
r20 (para cada m). Recordando que V(T )AdA para l = 1 corresponden a los tres asesinatos
vectores en la esfera, esta constante arbitraria (para cada m) explica la adición a
[~T] de un vector asesino arbitrario de la esfera. Esto está de acuerdo con el debate.
en la sección 4. Dedicamos la subsección siguiente para completar el estudio de la libertad
izquierda en el juego.
5.3 Libertad en el emparejamiento
Como ya se ha subrayado, resolver el emparejamiento lineal equivale a encontrar la perturbación
vectores ~Z+ y ~Z−. Supongamos ahora que una coincidencia lineal entre dos dado de vuelta-
los terrenos y las perturbaciones se han hecho. Es natural preguntar qué es lo más general.
coincidencia entre esos dos espacios, es decir, cuál es la solución más general para ~Z+ y ~Z−
de las condiciones correspondientes. Geométricamente, esto significa encontrar todas las deformas posibles.
ciones de la hipersuperficie de emparejamiento 0 que permiten emparejar los dos espacios.
Dado que este problema es de interés no sólo cuando se imponen las condiciones de plena correspondencia
pero también en situaciones en las que están presentes capas de materia (p. ej. en el mundo del salvado o la concha
cosmologías) para que se permitan saltos en las segundas formas fundamentales, analizaremos
Esta cuestión se plantea en dos etapas. En primer lugar, vamos a estudiar las ecuaciones que implican el perturbado primero
formas fundamentales y determinará la libertad que admiten. En un segundo paso nosotros
escribirá las condiciones adicionales que vienen de la igualdad de la segunda fundamental
formas.
Por lo tanto, consideremos dos configuraciones de perturbación de la misma coincidencia de fondo
y denotar sus respectivos conjuntos de variables de diferencia en 0 como [f] y [f]
′ para cualquier dado
Ahora, definiremos la diferencia entre las dos configuraciones como < f
[f ]′ − [f ] para cualquier variable f. La suposición de que la perturbación en cada lado es fija
de una vez por todas implica < g(1) > 0. Estamos asumiendo que la coincidencia linealizada
las condiciones se satisfacen en cada caso, y así podemos restarlas. La linealidad implica que
las diferencias de las ecuaciones de coincidencia lineal se convierten en ecuaciones para la diferencia
vector < ~Z >. La solución general de estas ecuaciones determina claramente la libertad en
la deformación de la superficie exagerada.
La diferencia de las ecuaciones en (21) para las dos configuraciones usando < g(1) = 0
dar el siguiente conjunto de ecuaciones
l ≥ 0 : < 00 > 0 → < Q > N2K +N
N−1 < z >
= 0, (33)
l ≥ 1 : < (L)0 = 0 → < z/23370/ > +r20(r−20 < z(L) >) = 0, (34)
l ≥ 2 : < (LL) = 0 → < z(L) = 0, (35)
l ≥ 0 : < (Y ) = 0 → 2 < Q > r20K̄ − N−2 < z > (r20)
k2l < z(L) = 0, (36)
l ≥ 1 : < (T)0 = 0 → (r−20 < z(T) >) = 0, (37)
l ≥ 2 : < (LT ) = 0 → < z(T ) > 0, (38)
l ≥ 2 : < (T ) = 0 → 0 = 0.
Expresiones (35) y (38) determinan fácilmente < z(L) >l≥2=< z(T) >l≥2= 0, que sub-
constituido en (34) da < zel > l≥2= 0. Como resultado, (36) para l ≥ 2 conduce a < Q > l ≥ 2 = 0.
Claramente todas las ecuaciones para l ≥ 2 ahora están satisfechas. Ahora nos concentramos en la l = 1
ecuaciones. Ecuación (37) implica que < z(T) >l=1= ar
20, donde una es una constante para cada uno
m. Combinando ecuaciones (33), (34) y (36) para l = 1 obtenemos la siguiente ecuación
para r−20 < z(L) >l=1,
K2♥(r−20 < z(L) >l=1) +
(2K̄ + K)(ln r0)− K lnN
−20 < z(L) >l=1)
r−20 < z(L) >l=1=0, (39)
mientras que (34) y (33) determinan < zel > l= 1 y < Q > l= 1 respectivamente (siempre K 6= 0,
que se produce de forma genérica). Las dos ecuaciones para l = 0 se pueden reordenar en
K(N−1 < z/23370/ > l=0) + N−1 < z/23370/ > l=0 K ln(r0) = 0 (40)
más la ecuación (33) para l = 0, que determina < Q > l = 0.
Resumiendo, hemos encontrado que la libertad en la deformación de la hipersuperficie
compatible con las condiciones lineales de correspondencia que implican la primera forma fundamental
[~Z]′ − [~Z] =
< Q > Y ~n(0) − N−2 < z
+am~V
(T ) + r
−20 < z(L) >l=1,m ~V m(L),
donde r−20 < z(L) > l=1,m, satisfacen (39), < z/23370/ > l=0 satisfacen (40) y el resto de la
las variables están completamente determinadas como se ha descrito anteriormente. El término en am corresponde
a añadir vectores Killing en la esfera, algo ya discutido en la Sección 4. Los
resto de términos implican combinaciones (con funciones) de los vectores de matanza conformal en
la esfera y los vectores tangenciales a lo largo de ♥. Tenga en cuenta que los coeficientes de la conformación
Matar (es decir. < z(L) > l=1,m ) determinan todo el resto de los coeficientes l = 1. En particular
cuando < z(L) >l=1,m desaparece, entonces todos los términos l = 1 desaparecen y la libertad se vuelve
radialmente simétrico.
Ahora añadimos al análisis la diferencia de las ecuaciones en (22). Debido al hecho
que todos los coeficientes en < ~Z > desaparecen para l ≥ 2 sólo necesitamos considerar las ecuaciones para
l = 0, 1, es decir, 32). Remitimos al lector al Apéndice A para las expresiones explícitas de (32)
en términos de perturbaciones métricas y ~Z. Por el bien de la integridad también incluimos
todas las expresiones explícitas de (22) en el Apéndice A. La diferencia de ecuaciones (32), véase
(44)-(46), cuando < g(1) = 0 leído
l = 0, 1 : < 00 > = 0 • (41)
− < QR(γ)dbac > n
(0)dn(0)ae
c − 2 < Q > +
2 < Q > < Q > K2N2
KN2(N−2 < zel >)− (K < zel >) = 0,
l = 1 : < Ł(L)0 > 0 > 0 â € (42)
< Q > K < z > < Q > ln(r0) + r20K(r−20 < z(L) >) = 0
l = 0, 1 : < فارسى(Y ) = 0 • (43)
N−2(r
20) ( < Q > +K < z >) +
< Qn(0)an(0)bÃ3r2 >
N−2e
a < zđn
(0)bóbóar2 > +
l(l + n− 3)
* < Q > −2K̄ < z(L) >
Se puede comprobar que en general estas ecuaciones sobredeterminan las ecuaciones anteriores,
i.e. (39) y (40), aunque puede haber casos particulares para los que son compatibles.
Por lo tanto, genéricamente, implicarán que < z(L) > l=1,m= 0 y < z/23370/ > l=0= 0, y
de ahí que todas las demás variables desaparezcan, < zel > l=1,m=< Q > l=1,m= 0, < zel > l=0=<
Q > l=0= 0, de modo que la única libertad que queda es dada por
[~Z]′ − [~Z] = am~V m(T).
La constatación de los casos particulares en los que las ecuaciones (39)-(43) son compatibles es sencilla.
pero tedioso y no se llevará a cabo explícitamente aquí.
Agradecimientos
FM y MM agradecen a CRUP(Portugal)/MCT(España) la subvención E-113/04. FM gracias FCT
(Portugal) para la subvención SFRH/BPD/12137/2003 y CMAT, Universidad de Minho, para la
babor. MM contó con el apoyo de los proyectos FIS2006-05319 del Ministerio de
Educación y Tecnología y SA010CO de la Junta de Castilla y León. Se apoyó el tratamiento con RV
por el IRCSET irlandés, Ref. PD/2002/108, y ahora está financiado por el Gobierno Vasco
Ref. BFI05.335.
A Apéndice
En aras de la integridad dedicamos este apéndice a presentar las expresiones explícitas
22) en términos de perturbaciones métricas y ~Z, que dice
l ≥ 0 : [00] = 0 • (44)
N2K[hnn]−
n(0)ae
c(2c[hab]a[hbc])− [QR(γ)dbac]n
(0)dn(0)ae
2♥[Q] +
2[Q]− [Q]K2N2 − KN2(N−2[zl])− (K[zl]) = 0,
l ≥ 1 : [(L)0] = 0 • (45)
[hnll] −
n(0)ae
b) [l]a]- (l)b)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)-(l)- (l)- (l)- (l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l-)- (l-)- (l-)- (l-)- (l-)- (l-)- (l-)- (l-)
+([Q] + [h(L)n]) ln(r0) + r20K(r−20[z(L)]) = 0
l ≥ 0 : [(Y )] = 0 (46)
r20K̄[hnn] +
N−2(r
20) ([hn♥] + [Q] +K[z/23370/]) +
[n(0)aŁah(Y)]
[Qn(0)an(0)bÃ3r2]−
N−2e
a[zđn
2) b) b) b) c) c) c) c) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
l(l + n− 3)
[h(L)n] + [Q]− 2K̄[z(L)]
l ≥ 1 : [(T )0] = 0
n(0)ae
b(lb[h(T )a]− Ła[h(T )b]) + [h(T )n] ln(r0) + r20K(r−20[z(T )]) = 0,
l ≥ 2 : [(LT ] = 0 • −
[h(T )n] +
n(0)aŁa[h(LT )] + K̄[z(T )] = 0,
l ≥ 2 : [(LT ] = 0 • −
[h(L)n] +
n(0)aŁa[h(LL)] + K̄[z(L)]−
[Q] = 0,
l ≥ 2 : [(T) = 0 •
n(0)aŁa[h(T )] = 0.
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branes y cuerdas” Phys. Lett. B35 29-35
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variables invariantes” Clase. Quantum Grav. 17 4777-4797
[7] Mars M (2005) Clase “Perturbaciones de primer y segundo orden de hipersuperficies”. Quan...
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condiciones de unión” Clase. Quantum Grav. 10 1865-1897
[9] Vera R (2002) Clase “Conservación de la simetría”. Quantum Grav. 19 5249-5264
[10] Mars M y Senovilla J M M (1998) “Sobre la construcción de modelos globales que describen
cuerpos giratorios; singularidad del campo gravitatorio exterior” Mod. Phys. Lett. A13
1509-1519
Introducción
Coincidencia lineal
Libertad de medición
Condiciones coincidentes
En los formalismos invariantes anteriores del indicador espacial
Libertad de emparejamiento debido a las simetrías
Isometries
Fondos n-dimensionales esféricamente simétricos
El acercamiento de Mukohyama
Sobre la suficiencia de la continuidad de las invariantes de doble calibre
Libertad en el emparejamiento
Apéndice
| Presentamos una revisión crítica sobre el estudio de las perturbaciones lineales de
coincide con el espacio-tiempo incluyendo problemas de medición. Analizamos la libertad introducida
en la perturbada coincidencia por la presencia de simetrías de fondo y revisitar
el caso particular de la simetría esférica en las dimensiones n. Este análisis
incluye ajustes con capas de límite como modelos de mundo de salvado y shell
cosmologías.
| Introducción
Un aspecto importante en cualquier teoría gravitacional geométrica es el análisis de cómo corresponder
dos tiempos espaciales. Esto es cierto en particular para la Relatividad General y su perturbación
teoría. A pesar de la relevancia y madurez de la teoría de emparejamiento uno a menudo encuentra papeles
cuando no se utilicen correctamente las condiciones correspondientes. La mayoría de las dificultades surgen de
el hecho de que las condiciones de correspondencia se impongan en sistemas de coordinación específicos en un
la manera que no es completamente independiente de la coordinación. Más concretamente, emparejar dos
espaciotiempos requiere identificar los límites de forma puntual, y a veces esta identificación
se hace implícitamente mediante la fijación de coordenadas espacio-tiempo, sin prestar suficiente atención a la
el hecho de que resolver la coincidencia implica encontrar una identificación de la frontera y que
Esto no debe fijarse a priori.
En la teoría de la perturbación este problema también surge, y se complica por el hecho
que los campos a comparar (como la métrica perturbada) son dependientes del calibrador. Por lo tanto, en
Además de las opciones a priori de identificación de la frontera, también existe el problema
http://arxiv.org/abs/0704.0078v1
que los indicadores particulares se utilizan a menudo. Se puede argumentar que la teoría del emparejamiento debe
ser independiente del calibrador y por lo tanto se puede realizar en cualquier calibrador. Esto es cierto, pero
sólo cuando se tenga el debido cuidado para garantizar que la elección del calibrador no restrinja, a priori,
la identificación perturbada de los límites.
Sólo se ha logrado una descripción completa de las condiciones de coincidencia linealizada
recientemente por Carter y Battye [5] e independientemente por Mukohyama [6]. A la segunda orden,
las condiciones de coincidencia se han encontrado recientemente en [7]. A pesar de estos documentos, creemos que
que aún persiste cierta confusión sobre el terreno, en particular con respecto al calibrador existente
formulaciones invariantes. El objetivo de este documento es tratar de aclarar estas cuestiones. En orden
para hacer eso, vamos a discutir críticamente algunos de los enfoques propuestos en la literatura
tratando de dejar en claro cuáles son las suposiciones implícitas hechas y en qué medida son
lo justificaron.
Los primeros documentos que discuten la teoría de la coincidencia perturbada son, por lo que sabemos,
los artículos clásicos de Gerlach y Sengupta [2, 3]. Sin embargo, como se explica a continuación,
descripción de la teoría de coincidencia perturbada contiene imprecisiones, y por lo tanto vamos a
empezar a discutir su enfoque señalando las dificultades que encuentran. Un primer intento
para justificar las alegaciones de [2, 3] se debe a Marten-Gara y Gundlach [4], que proponen una
diferentes, pero sin embargo estrechamente relacionados conjunto de condiciones lineales de coincidencia. Apuntar
la suposición implícita hecha por estos autores también nos ayudará a tratar de explicar el
sutilezas inherentes a la perturbada teoría de emparejamiento.
En [6] las condiciones de coincidencia lineal se describen para los fondos arbitrarios,
perturbaciones e hipersuperficies coincidentes, y luego se aplica al caso de dos antecedentes
espacio con un alto grado de simetría, es decir, aquellos que admiten un grupo máximo de
isometrías que actúan sobre la codimensión dos submanifolds espaciados (e.g. esféricamente simétrica
espaciotiempos). Con el fin de simplificar las condiciones de coincidencia, Mukohyama deriva un conjunto de
las condiciones correspondientes a las denominadas invariantes de doble calibre. Sin embargo, una brecha surge en su
Conclusiones finales como conjunto de condiciones presentadas para las cantidades invariantes de calibre doble
para el emparejamiento lineal de los espacios-tiempo sólo se muestran las condiciones necesarias.
El análisis de la suficiencia afecta directamente a la cuestión que estamos tratando de subrayar en este contexto.
papel, por lo que dedicamos una sección para aclarar este punto, donde mostramos cómo estas condiciones
no son suficientes, hablando de forma estrepitosa. Desde las condiciones coincidentes en términos de doble
calibrado invariantes son ampliamente utilizados en la literatura, consideramos importante para cerrar este
brecha. Por otra parte, las construcciones de calibre invariantes cantidades utilizando armónico esférico
los decompositos dejan fuera los sectores l = 0 y l = 1. Discutiremos esta cuestión y su
consecuencias.
El documento se organiza de la siguiente manera. Comenzamos por resumir la coincidencia perturbada
condiciones en la sección 2, donde también se describe la libertad de calibrador en cuestión. Entonces, el
procedimientos utilizados en los documentos clásicos [2, 3], junto con las justificaciones y
la evolución de la situación en [4] se revisa en la sección 3. La sección 4 se centra en las consecuencias de
la existencia de simetrías en la configuración de fondo, que tendrán relevancia
en nuestra discusión final. La sección 5 tiene tres subsecciones. El primero está dedicado a
presentar brevemente el procedimiento y los resultados examinados en [6], en particular en el caso de
fondos esféricamente simétricos. En la segunda subsección analizamos la suficiencia
de las condiciones de coincidencia invariantes de calibre doble en [6]. La última subsección está dedicada
al estudio de la libertad dejada en la perturbación de la hipersuperficie correspondiente una vez
las perturbaciones métricas se han fijado a ambos lados. Terminamos con un apéndice donde
expresiones explícitas para las discontinuidades de las segundas formas fundamentales perturbadas en
la caja esférica está indicada. Algunas de estas expresiones se utilizan en el texto principal.
2 Coincidencia lineal
En esta sección describimos la libertad de calibrador implicada en la coincidencia lineal de espacio-tiempo
y resumir las condiciones de coincidencia perturbadas.
2.1 Libertad de medición
El propósito de la teoría de emparejamiento es construir un nuevo espacio-tiempo de dos espacios-tiempo
M± con límite al encontrar un difeomorfismo adecuado entre los límites que
permite su identificación puntual. En particular, el espacio-tiempo emparejado no puede
se cree que existe de antemano. Otro aspecto a tener en cuenta es que la coincidencia
las condiciones implican exclusivamente tensores en el límite identificado y, por lo tanto, cualquier coordi-
El sistema nate en M± es igualmente válido. Esto es bien conocido, pero sigue siendo fuente de confusión.
A veces.
En la teoría de coincidencias perturbadas, no sólo las métricas están perturbadas, sino también la coincidencia-
Las hipersuperficies pueden estar deformadas. Además, en cuanto a la métrica, la “desviación” de la
emparejar la hipersuperficie es también una cantidad dependiente del medidor. Esto se puede entender mejor
Viendo las perturbaciones como derivados (a = 0) de una familia de un parámetro de espacio-
veces (Más, g
* ) con límite *...........................................................................................................................
*............................................................................... Es conveniente incrustar M
• dentro de un colector más grande
(sin límite) V â € para aclarar la discusión. A priori, los colectores (M
En la mayoría de los casos, se trata de un grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación en que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que viven en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que se encuentran en la misma situación que el grupo de personas que viven en la misma situación.
completamente distinto, por lo que no tiene sentido hablar directamente de los derivados. Es necesario
identificar primero los diferentes colectores de modo que un único punto p se refiera a un punto en cada uno
de los colectores. Obviamente, hay infinitas maneras de identificar los colectores, todos ellos
igual de válido a priori. Esta libertad conduce a la dependencia de medida de la perturbada met-
ric (y de cualquier otro tensor geométricamente definido). La identificación anterior puede, o puede
no, cartografiar los límites entre ellos. A priori, un punto en
0 puede ser mapeado,
para 6= 0, a un punto sobre , a un punto interior a MÃ o a un punto exterior a MÃ (dentro
la extensión V) que no forma parte del colector. ¿Cómo podemos entonces tomar derivados
¿Con respecto a los puntos posteriores? Dado que sólo se necesitan derivados en el valor de 0, re-
la restricción de los valores infinitesimales de la palabra "" no implica ninguna pérdida de la generalidad. Entonces, si para algunos pequeños
*, un punto q * * 0 es mapeado al exterior de Mâ, se sigue de diferenciabilidad con
respeto a Ł que q es mapeado, para el valor inverso, a un punto interior a M. Por lo tanto,
Las perturbaciones pueden definirse en el límite tomando un derivado lateral, es decir. tomar
límites → 0, con una restricción de signo en (c.f. [7] para una discusión alternativa).
Sin embargo, una cuestión importante sigue siendo: ¿Cómo describir la deformación de la
límite 0? Como un conjunto de puntos cada límite
Mapas, con la identificación anterior,
en una hipersuperficie del espacio tiempo de fondo, que llamamos . En general, este
hipersuperficie no coincidirá con 0 y bien puede tocarlo o cruzarlo. Esto nos da
una idea de cómo el límite es deformado, pero sólo como un subconjunto, no en sentido objetivo. En orden
para saber cómo el límite realmente se mueve dentro del fondo, tenemos que prescribir un
a priori una identificación puntual de 0 con
*............................................................................... Esta identificación es completamente diferente.
e independiente de la descrita anteriormente en relación con los puntos espaciales, e implica
sólo los puntos en los límites. Como antes, hay infinitamente muchas maneras de identificar la
límites, y esto define una libertad de segundo indicador, que implica los objetos intrínsecamente
definido en el límite. Esta libertad de calibrador se denominará calibrador de hipersuperficie, como
opuesta al calibrador de espacio-tiempo habitual descrito anteriormente.
Con ambas identificaciones elegidas, la deformación del límite dentro de la espalda-
tierra ya se puede describir: Fijar un punto q en el límite de fondo 0. Los
la identificación de los límites define un punto q
*, por cada *. El iden del espacio-
la tificación toma este punto q.o y lo mapea en un punto q.o del fondo M.
0 (quizás)
después de una restricción de la señal en la letra a). Obviamente q pertenece a la hipersuperficie perturbada
*............................................................................... Nosotros
tener, por lo tanto, no sólo una deformación de la hipersuperficie de fondo como un conjunto de puntos,
pero también información puntual. Sólo queda tomar el vector tangente de la curva
q at Ł = 0, es decir, ~Z
+ = dq
=0 que codifica completamente la deformación del emparejamiento
hipersuperficie como se ve desde el espacio tiempo de fondo. Dos observaciones finales están en orden:
(i) ~Z+ se define exclusivamente en 0, no se define ni requiere ninguna extensión de la misma y (ii)
~Z+ depende tanto del espacio-tiempo como de los medidores de hipersuperficie, ya que su curva definitoria es
construidas utilizando ambas identificaciones. Sin embargo, la descomposición ~Z+ = Qn 0+ +
~T+, donde
~n 0+ es la unidad normal de
0 (supuestos no nulos en cualquier lugar) y
~T+ es tangente a él, gira
de que Q+ depende del indicador de espacio-tiempo pero no del indicador de hipersuperficie. Esto
es porque el cambio del medidor de hipersuperficie reorganiza los puntos dentro de cada , pero
no puede modificar ninguno de ellos como un conjunto de puntos.
Tensores definidos intrínsecamente en los límites son completamente no afectados por el
la identificación del tiempo espacial y, por lo tanto, son invariantes en la transformación del ancho de tiempo espacial
ciones. Recuerde que las condiciones de coincidencia implican sólo objetos intrínsecos a la coincidencia-
ing hipersuperficies. Dado que las condiciones de coincidencia perturbadas son, formalmente, sólo su
derivados, se deduce por construcción que las condiciones de coincidencia perturbadas deben ser
calibrador invariante en las transformaciones del calibrador espacial. Esto puede parecer sorprendente al principio.
vista, ya que las condiciones de coincidencia deben implicar la métrica perturbada, que es, obviamente,
calibrador dependiente. Sin embargo, las condiciones resultan ser independientes de medida, ya que
también implican el vector de deformación ~Z+, que es el indicador de espacio-tiempo dependiente. Este vector
Por lo tanto, es de fundamental importancia y debe tenerse en cuenta en
el enfoque del problema, como veremos a continuación.
2.2 Condiciones coincidentes
Let (M±0, g
0 ) ser tiempos espaciales en n-dimensionales con límites no nulos
0. Coincidiendo con ellos
requiere una identificación de los límites, es decir, un par de incrustaciones : 0 M±0
con (0) =
0, en el que el punto 0 es una copia abstracta de cualquiera de los límites. Vamos.
(i, j,. .. = 1,...., n−1) ser un sistema de coordenadas en 0. Se obtienen vectores tangentes a 0
por ei =
(α, β,. .. = 0,..., n − 1). También hay una unidad única (hasta orientación)
vectores normales n
α a los límites. Los elegimos para que si n
α puntos hacia
M+ entonces n
α puntos fuera de M− o viceversa. La primera y la segunda fundamentales son:
simplemente q(0)ij
± ei e
, K(0)ij
± = −n(0)e
i e
j. Las condiciones correspondientes
(en ausencia de proyectiles) requieren la igualdad de las formas fundamentales primera y segunda
el 0, es decir,
q(0)ij
+ = q(0)ij
−, K(0)ij
+ = K(0)ij
−. 1)..........................................................................................................................................................
Bajo una perturbación de la métrica de fondo g±pert = g
(0)± + g(1)± y del emparejamiento
hipersuperficies a través de ~Z± = Q± ~n(0)± + ~T
±, las condiciones de coincidencia serán perturbativamente
satisfecho si y solo si [6]
q(1)+ij = q
ij, K
ij = K
ij, (2)
q(1)ij
± = L~T±q
± + 2Q±K(0)ij
± + ei e
±, (3)
K(1)ij
± = L~T±K
± − •DiDjQ± +Q±(−n(0)± μn
e
±K(0)
g 1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
βK(0)ij
± − n(0)± μS
(1)
j, (4)
en los que = n
(0)α, D es el derivado covariante de (, q(0)±) y S(1)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(1)
g(1) g(1)
En estas ecuaciones, Q± y ~T± son cantidades a priori desconocidas y cumpliendo la
condiciones de coincidencia requiere demostrar que dos vectores ~Z± existen de tal manera que (2) se cumplen.
La libertad del ancho de tiempo espacial puede ser explotada para fijar uno o ambos vectores ~Z± a priori,
pero esto debe evitarse (o al menos analizarse cuidadosamente) si el gálibo espacial adicional
se toman decisiones, con el fin de no restringir a priori las posibles coincidencias. Con respecto a la
calibrador de hipersuperficie, esto se puede utilizar para fijar uno de los vectores ~T+ o ~T−, pero no ambos.
Como ya se ha subrayado, las condiciones lineales de emparejamiento son por espacio-tiempo de construcción
calibrador invariante (de hecho cada uno de los tensores q(1)ij
±, K(1)ij
± es). Por otra parte, el conjunto de
condiciones (2) son calibrador de hipersuperficie invariante, siempre que el fondo es correctamente
emparejado, desde [6] bajo tal transformación de calibrador dada por el vector en 0, q
se transforma como q(1)ij + L q(0)ij, y de manera similar para K(1)ij.
3 Sobre los formalismos invariantes del indicador espacial anterior
El primer intento de derivar un formalismo general para las condiciones de emparejamiento en linealizado
la gravedad es, a nuestro conocimiento, debido a Gerlach y Sengupta [2]. Su enfoque se basa en
en la descripción de la hipersuperficie correspondiente como un conjunto de niveles de una función f definida
en el espacio-tiempo. Suponiendo que los conjuntos de niveles {f = const} sean temporales, un campo similar al espacio
Las normales unitarias se definen como nμ = (g
(f,αf,β)
−1/2f,μ. Las condiciones de emparejamiento no perturbadas
corresponden a la continuidad en todas partes (en particular a lo largo de ) de los tensores
No obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 107, apartado 1, letra a), del Tratado.
que son las versiones espacio-tiempo de la primera y segunda formas fundamentales introducidas
arriba. Siendo f definido en todas partes, tiene sentido perturbarlo con el fin de describir el
variación de la hipersuperficie correspondiente. Obviamente, al perturbar f uno también perturba nμ.
Las condiciones de correspondencia perturbadas propuestas en [2] deben decir:
(q)+ = qq(q)−, qq(KÍ)+ = qq(KÍ)−, (6)
donde qβ
α es el proyector en el, significa perturbación y + y − denotar el
cantidades calculadas a ambos lados de la hipersuperficie correspondiente. Estos expres...
los iones implican las proyecciones de las perturbaciones de qâ € y Kâ € sobre â €. La necesidad de
1Abusaremos un poco de la notación y nos referiremos a los vectores en 0 y sus imágenes en el espacio-tiempo con
el mismo símbolo. El significado debe estar claro desde el contexto.
teniendo en cuenta que sólo los componentes proyectados están justificados en [2] ya que la
ciones deben ser intrínsecas a las hipersuperficies correspondientes. Sin embargo, Gerlach y Sengupta
las condiciones (6) no son invariantes.
Dado que el principal interés en [2, 3] se refiere a fondos esféricamente simétricos, este
“ambiguidad” se fija en ese caso encontrando combinaciones invariantes adecuadas de
las condiciones lineales de coincidencia, que resultan para dar un conjunto correcto de necesarios
condiciones de emparejamiento perturbadas en simetría esférica. Sin embargo, cabe destacar que:
los autores consideran que estos indicadores invariantes subconjunto también son suficientes, sin más
justificación.
Sabemos por la discusión en la Secc. 2.1 supra que (6) no puede ser correcto ya que conduce
a un conjunto de condiciones dependientes del calibrador. Dado que, por otra parte, la propuesta (6) puede
Parece verosímil, es de interés señalar dónde, y en qué sentido, no es correcto.
La primera fuente de problemas viene de suponer que el espacio-tiempo emparejado se da
De antemano. De hecho, qâ € y Kâ € son tensores del espacio-tiempo y sólo pueden existir (y ser
continua) una vez que se construye el espacio-tiempo emparejado. Pero este es precisamente el propósito
de las condiciones coincidentes, por lo que las condiciones se vuelven circulares. Otro aspecto de lo mismo
problema es que sólo se puede hablar de continuidad una vez que la identificación puntual de
los límites son elegidos. Pero un conjunto de niveles de una función define sólo un conjunto de puntos y no
la forma en que deben identificarse esos puntos. Una tercera instancia de la misma cuestión es que el tensor
los componentes deben expresarse en alguna base, por ejemplo: un sistema común de coordinación que abarque
A ambos lados de la línea. Pero de nuevo esto no se puede asumir a priori. Tiene que ser construido.
Mencionemos, sin embargo, que una vez que la identificación puntual de los límites es
elegido, el uso de tensores espacio-tiempo se permite siempre que finalmente se proyectan en
la hipersuperficie. En ese sentido, y cuando se utiliza correctamente, el uso de índices de tiempo espacial puede
simplificar algunos cálculos notablemente (véase Carter y Battye, [5] donde se utiliza esta notación
para derivar las condiciones de coincidencia perturbadas).
Además de este aspecto (que ya afecta a la coincidencia de fondo) el perturbado
las ecuaciones (6) sufren de un problema adicional. Perturbaciones (q) (p) y (K) (p)
en un punto p en el fondo puede definirse tomando -derivados en p fijo y = 0
de los tensores correspondientes (definidos por los puntos g) y f). Para cada valor de فارسى, el emparejamiento
las condiciones imponen la continuidad de qÃ3r(l) y KÃ3r(l) en todas partes (con la advertencia ya
se menciona en relación con la identificación de los límites). Sin embargo, la continuidad de â € (qâ €)
y en p sólo se aplicarían los derivados de las funciones continuas con respecto a
a un parámetro externo eran necesariamente continuos (en nuestro caso, la derivada con
el respeto a la ley), lo cual no es cierto en general. Un ejemplo trivial es dado por la función
u(, x) = x +, whith x R. Para cada esta función es continua. Sin embargo, el
la derivada con respecto a la palabra «derivado» no existe ni siquiera en x = 0, «derivado» = 0. Esto refleja el hecho de que
restar tensores continuos en un punto de espacio-tiempo fijo p conduce a objetos que no necesitan
ser continuo. Este es, de hecho, el problema principal de (6) como condiciones lineales de coincidencia.
Surge una pregunta inmediata: ¿Por qué el indicador invariante subconjunto de condi-
ciones encontradas en [2, 3] para fondos esféricamente simétricos correctos? Con el fin de entender
Esto, vamos a reescribir (6) usando el formalismo de la sección 2.2. En primer lugar, ya que â € (nαnβ)
contener, al menos, un n libre
α, tenemos
(q)± = qqg(1)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 7)..................................................................................................................................................
2A lo largo de este indicador de sección se referirá al indicador de espacio-tiempo. Sólo aparecerán medidores de hipersuperficie
brevemente hacia el final de la sección.
Por otra parte, un cálculo simple da (nβ) = (nβ) − S(1) n
μ y â € (qâ > ) =
−g(1)n(0)μ n(0)β + g(0)(nμ)n
(0)(nβ). Estos, junto con las propiedades estándar
del proyector, conducen a
(K)± =
a(0)/qμ
(nα) + qq(nβ)− qqS(1) n
±, (8)
donde a
El Tribunal de Primera Instancia decidió: En general, estas expresiones no están de acuerdo con (3) y (4).
Sin embargo, cuando los medidores se eligen de modo que ~Z± = 0, entonces
la hipersuperficie correspondiente no está perturbada como se ve desde el fondo. En consecuencia
(f) n(0)α en, lo que implica (nα)
α para alguna función h. Imponer ~n() a
ser unidad para todas las correcciones h =
β. Insertar en (8) las condiciones correspondientes (6)
llegar a ser
βg(1)
βg(1)
, (9)
n(0)α n
β K- − qμ
n(0)α n
β K- − qμ
que están de acuerdo con (2) (con la excepción de que (9) se refiere a tensores espaciales y (2) son
se define en el punto ). Dado que Gerlach y Sengupta derivan un subconjunto de calibrador invariante
condiciones fuera de (6) en el caso esféricamente simétrico y sus condiciones son correctas en
un indicador, se deduce que el subconjunto invariante es correcto en cualquier indicador. Esta es la razón
por qué los resultados en [2, 3] que implican fondos esféricamente simétricos resultan estar bien.
El progreso sustancial en el problema de la coincidencia lineal fue realizado por Martn-Gara
y Gundlach [4]. Estos autores señalaron la falta de justificación en [2, 3] para la elección
de (6) como condiciones correspondientes. También se argumentó que, en el caso de los tiempos espaciales con límites,
sólo tiene sentido para definir las perturbaciones mediante el uso de medidores donde la coincidencia perturbada
hipersuperficie se asigna a la hipersuperficie que coincide con el fondo. Perturbaciones en este
calibrador, llamado “calibrador de superficie” (no debe confundirse con calibrador de hipersuperficie) se denota
por, y su propiedad definitoria es f = 0. La idea era escribir la coincidencia.
condiciones en este indicador y luego transformarse en cualquier otro indicador si es necesario. Como se ha notado
por los autores, el medidor de superficie no es único ya que todavía hay tres grados de libertad
a la izquierda, que corresponden a las tres direcciones tangentes a فارسى.
Una observación pertinente hecha en [4] fue que la continuidad de las perturbaciones tensoriales
puede depender de la posición del índice en los tensores. Los autores argumentan que los tensores
verdaderamente intrínsecos a las hipersuperficies son qâ, Kâ (con índices de arriba) y proponer la
después de las condiciones de coincidencia perturbadas
(qó)+ = (qó)−, (Kó)+ = (Kó)−, (10)
que se demuestra que se convierten exactamente (9). Esto muestra la equivalencia de ambos pro-
propuestas en el gálibo de superficie, como se indica explícitamente en [4]. Esto justifica parcialmente la validez de
ambos se aproximan en el medidor de superficie. Sin embargo, la justificación no es completa porque
del tema que debatimos a continuación.
De hecho, las condiciones (10) todavía conllevan una suposición implícita que debe aclararse.
Como ya se ha subrayado, las condiciones de coincidencia perturbadas tienen dos inherentes e independientes
grados de libertad de calibrador. El enfoque de Marten-Gara y Gundlach implica sólo
objetos espacio-tiempo, y por lo tanto sólo pueden notar la libertad del indicador espacio-tiempo. Esto lleva
a una declaración incorrecta en [4], ya que no es cierto que las condiciones lineales de coincidencia
leer (10) en cualquier medidor de superficie. Condiciones (10) sólo serán válidas cuando el espaciotiempo
calibrador mapas pares de puntos de fondo (identificados, a través de la coincidencia de fondo) a pares
de puntos en los límites perturbados que también se identifican a través de la coincidencia.
Observe que no todos los medidores de superficie tienen esta propiedad. En términos explícitos, esto significa que
los vectores ~Z± deben (i) tener solamente componentes tangenciales (por lo que estamos en el medidor de superficie)
y ii) tienen los mismos componentes cuando se escriben en términos de una base intrínseca de 0-0. In
términos menos precisos, pero más intuitivos, condición (ii) establece que ~Z+ y ~Z− son los mismos
vector, es decir, que los medidores en ambas regiones se eligen de tal manera que el desplazamiento de
un punto fijo de la hipersuperficie de fondo es idéntico en ambas regiones (los desplazados
punto, por supuesto, se queda en la hipersuperficie no perturbada, debido a la elección de la superficie
calibrador). Observe finalmente que si Q± = 0 y ~T+ = ~T−, entonces la coincidencia linealizada
las condiciones (2) realmente se reducen a las condiciones (9), una vez que estas últimas se proyectan en el artículo 9. Esto
muestra la corrección de los enfoques de Gerlach y Sengupta y Martn-Gara y
Gundlach en calibres especiales.
4 Libertad de emparejamiento debido a las simetrías
Dedicamos esta sección al estudio de las consecuencias de la existencia de antecedentes
simetrías en coincidencias de espacio-tiempo perturbadas.
La existencia de simetrías en la configuración de fondo introduce dos cuestiones
que es importante tener en cuenta: el primero corresponde a la libertad en
introducido por el procedimiento de emparejamiento, al preservar las simetrías, en el fondo
nivel [9], c.f. [10] para una solicitud. La segunda cuestión corresponde a las consecuencias
que las simetrías en la configuración de fondo pueden tener en la perturbación de la
Coincidiendo.
Hay que subrayar aquí que la arbitrariedad introducida por la presencia de simetrías
en la configuración de fondo es completamente independiente de la hipersuperficie y
libertad de calibrador de tiempo espacial. Sin embargo, esa arbitrariedad es dependiente del indicador y, por lo tanto,
una elección del medidor se puede hacer para eliminarlo. Como vamos a mostrar, una isometría en el fondo
implica que hay una dirección a lo largo de la cual la diferencia [~T] • ~T+ ~T− no puede ser
determinado por las ecuaciones de coincidencia perturbadas. Pero, como hemos discutido al final
de la sección 2, uno podría eventualmente elegir parte de los medidores de espacio-tiempo (si hay
libertad izquierda) para arreglar [~T ]. Tenga en cuenta, finalmente, que un cambio de calibrador de hipersuperficie deja [~T]
invariante.
4.1 Sometimientos
Consideraremos ahora la presencia de isometrías en la configuración de fondo. Así que,
supongamos que uno de los lados, digamos (M+0, g
(0)+), admite una isometría generada por
el Campo de vector de matar tangente a la frontera 0. La conmutación de la Mentira
derivado y el retroceso implica [9]
Lq
+ = ei e
j Lg
0 = 0,
que significa que es un vector de matanza de (0, q
+). Esto implica de la expresión (3)
que q(1)ij
+ es invariante bajo la transformación ~T+ → ~T+ + 0.
En cuanto a K(1)ij
+, a partir de su expresión (4), está de nuevo claro que la transformación anterior
ciones de ~T+ dejarán K(1)ij
+ invariante proporcionado LK(0)ij+ = 0. Pero este es precisamente el
caso ya que es un vector de matar ortogonal a n
+, lo que implica Ln
+
= 0, y
por lo tanto
LK
+ = ei e
j L(n
+ )0 = ei e
j Ln
+ 0 = 0.
Por supuesto, todo este debate también se aplica a la parte (−).
Combinación de la invarianza de q(1)ij
± y K(1)ij
± conduce al hecho de que el
primer orden perturbado emparejar condiciones son invariantes bajo un cambio de los vectores
~T± a lo largo de la dirección de cualquier isometría de la configuración de fondo (conservado por
el emparejamiento). Entonces, como se esperaba, cuando las simetrías están presentes la coincidencia linealizada
condiciones no pueden determinar la diferencia [~T] completamente: dejan indeterminado el
relativa (entre los dos lados) deformación de la hipersuperficie a lo largo de la dirección de
la simetría. Tenga en cuenta que, sin embargo, la forma de la hipersuperficie perturbada es completamente
determinado, ya que es impulsado por Q±.
El panorama general es el siguiente: en el nivel de fondo tenemos la arbitrariedad de
la identificación de 0 con
0 [9], que puede ser visto como un “deslizante” entre
0 y
0. La perturbación añade a esto un cambio arbitrario de la deformación de la coincidencia
hipersuperficie a cada lado a lo largo de las órbitas del grupo isométrico. Como ejemplo, en
la descripción de los cuerpos compactos estacionarios y aximétricos que se examina en [10, 9],
deslizamiento de fondo corresponde a una rotación constante arbitraria del interior con
respeto al exterior. Tenga en cuenta que, en ese caso, esta rotación sólo es relevante porque
el exterior se toma para ser asintóticamente plano. Como resultado, dos interiores idénticos pueden,
en principio, dan lugar a dos exteriores que difieren por una rotación constante de la tasa [10]. Los
cambio de la deformación superficial llevaría, en principio, a una rotación constante arbitraria
a lo largo de la coordenada axial de la deformación superficial del cuerpo. Del mismo modo, dos idénticos
las perturbaciones en el interior del cuerpo pueden producir dos perturbaciones diferentes en el
exterior, que puede diferir por una rotación relativa constante de la velocidad. Una elección del espacio-tiempo
calibrador podría utilizarse para relacionar las deformaciones dentro y fuera. Sin embargo, esto puede
interferir con otras fijaciones de gálibo que puedan haberse hecho.
5 fondos n-dimensionales esféricamente simétricos
En esta sección repasaremos la teoría de Mukohyama para el emparejamiento lineal en el especial
caso de simetría esférica. Resultados similares [6] se mantienen para los fondos admitiendo isometría
grupos de dimensión (n−1)(n−2)/2 que actúan en dos órbitas de codimensión no nula
topología (estrictamente hablando las órbitas necesitan ser compactas).
5.1 El enfoque de Mukohyama
Concentrándose en uno de los dos espacios-tiempo a igualar, ya sea + o −, consideramos un
métrica de fondo esféricamente simétrica de la forma
αdxβ = γabdx
adxb + r2
Ad-B, (11)
donde γab (a, b,.. = 0, 1) es una métrica bidimensional Lorentziana (dependiendo únicamente de {xa}),
r > 0 es una función de {xa}, y
con coordenadas A} (A,B,. .. = 2, 3,..., n− 1).
Una hipersuperficie de fondo general esféricamente simétrica puede ser dada en parametría
forma como
0 := {x0 = Z(0)0(l}), x1 = Z(0)1(l}, {A = A}, (12)
donde i} =, A} es un sistema de coordenadas en 0 adaptado a la simetría esférica.
Los vectores tangentes a Ł0 leídos
~e♥ =
Z(0)0°x0 +
Z(0)1°x1
, ~eŁA = A 0, (13)
donde punto es derivado w.r.t. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Con N2 aeđbγab0, de modo que = 1 ( = −1)
corresponde a una hipersuperficie temporal (espacial), la unidad normal a 0 lee
(0) =
− det γ
− Z(0)1dx0 + Z(0)0dx1
, (14)
donde la elección del signo de N corresponde a la elección de la orientación de lo normal. Los
métrica inducida por el fondo y segunda forma fundamental en el punto 0 debe decir
q(0)ijd
idÃ3j = N2dÃ32 + r20Ã3ABÃ3dádádádádádádáb, (15)
K(0)ijd
idÃ3j = N2KdÃ32 + r2K0
donde
K-0)b, K̄ = n
(0) axa ln r.
De ello se deduce que las condiciones de correspondencia de los antecedentes (1) son las siguientes:
N2+ = N
0 = r20, K+ = K−, K = K. (17)
Utilizando (3) y (4) ahora podríamos calcular las perturbaciones de primer orden q(1)ij y K
ij en
términos de las cantidades anteriores y ~Z (o equivalentemente Q y ~T ), c.f. Eqs. (45) y (46)
en [6]. Recordemos (véase la subsección 2.2) que mientras que los tensores individuales q(1)ij y K
no son invariantes del medidor de hipersuperficie, sus diferencias respectivas de los lados + y −
(es decir, las condiciones lineales de coincidencia) son. Esos tensores dependen de la hipersuperficie
calibrador a través de los vectores tangentes ~T+ y ~T−, que bajo un cambio de calibrador transforma
simplemente añadiendo el vector de ancho de banda. Se deduce que sólo su diferencia [~T] puede aparecer
en las condiciones de coincidencia linealizada. En consecuencia, hay tres grados de libertad
que no se puede fijar por las ecuaciones, pero se puede fijar mediante la elección de la hipersuperficie
calibrador, por ejemplo para establecer ~T+. Por lo tanto, las condiciones de coincidencia lineal se pueden ver en
como ecuaciones para la diferencia [~T] así como para Q+ y Q−, es decir. por cinco objetos. Si estos
ecuaciones admiten soluciones, entonces la coincidencia lineal es posible y es imposible
De lo contrario.
Mukohyama enfatiza la conveniencia de buscar cantidades invariantes de doble calibre
para escribir las condiciones de coincidencia lineal, sin embargo las condiciones de coincidencia son
ya medir invariante (tanto para el espaciotiempo como para los indicadores de hipersuperficies). Buscando
calibrado invariante combinaciones en cada lado equivale a escribir ecuaciones donde la dif-
vector de la diferencia [~T] simplemente cae. De hecho, en muchos casos, conocer el valor de dicho vector
en un emparejamiento específico no es interesante. En ese sentido, el uso de doble calibre invariante
las cantidades son útiles ya que reduce el número de ecuaciones a analizar. Sin embargo, queremos
hacer hincapié en que esto no está relacionado con la obtención de calibrado invariante ecuaciones lineales de coincidencia.
Sólo está relacionado con no resolver para la información superflua. De hecho, un conjunto de ecuaciones
donde también Q+ y Q− han desaparecido sería aún más conveniente desde este punto
de vista, siempre que uno no esté interesado en saber cómo las hipersuperficies se deforman en
el indicador específico de espacio-tiempo que se esté utilizando.
Puesto que el uso de doble calibre invariante condiciones coincidentes se utiliza ampliamente, vamos a
recordar sus ingredientes principales con el fin de discutir si realmente son equivalentes al conjunto completo
de ecuaciones lineales coincidentes y en qué sentido.
A tal fin, Mukohyama [6] descompone los tensores de perturbación q(1)ij y K
ij en
términos de escalar Y, vector VA y armónicos tensores TAB en la esfera, como
q(1)ijd
idÃ3j =
(l00Y dl
2 + (Y )T(Y )ABd
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2(T)0V(T)A + (L)0V(L)A)d
[l(T )T(T )AB + (LT )T(LT )AB + (LL)T(LL)AB)d
Ad. B. (18)
K(1)ijd
idÃ3j =
(l 00Y dl
2 + (Y ) T(Y ) ABd
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2(T)0V(T)A + (L)0V(L)A)d
• (T ) • (T ) • (T ) • (LT ) • (LT ) • (LT ) • (LL ) • (LL ) • (LL )
Ad. B. (19)
donde todos los coeficientes escalares dependen sólo de . Cada coeficiente en la descomposición
tiene índices l y m que se han bajado por simplicidad notarial. Note que
cada uno de los coeficientes se define en el intervalo de l’s que aparece en el correspondiente
sumatorio. Por la construcción, cada uno de los dos son invariantes espacio-tiempo (pero
no hipersuperficie-gauge invariante). Para l ≥ 2 pueden incluso escribirse [6] explícitamente
en términos de cantidad invariante de espacio-tiempo. De la misma manera, el doble calibre-
las cantidades invariantes presentadas en [6], se definen únicamente para l ≥ 2 [excepto k(T)0, que también es
definido para l = 1), y debe decir
l ≥ 2 : f00 ° ° 00 − 2N
l ≥ 2 : f (Y ) + N−2
r20
k2l (LL),
l ≥ 2 : f0 (T )0 − r20
r−20(LT )
l ≥ 2 : f(T )
l ≥ 2 : k00 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
l ≥ 1 : k(T )0 (T )0 (T )0 − K(T )0, (20)
l ≥ 2 : k(L)0 • • (L)0 +
(K − K̄)(L)0 +
(K + K̄)
r20(r−20Ô(LL))
l ≥ 2 : k(LT ) Ł • (LT ) − K (LT ),
l ≥ 2 : k(LL) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
l ≥ 2 : k(Y ) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
l ≥ 2 : k(T ) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3Los rangos de l’s no se explicitan en [6] para incluir también la homogeneidad no compacta
espacios, donde el índice l es continuo. Sin embargo, para discutir la suficiencia de las ecuaciones tenemos que ser
precisa en el rango de validez de cada ecuación.
donde k2l = l(l + n− 3) y
l ≥ 2 : χ (L)0 − r20(r−20Ô(LL)).
Las propiedades ortogonales de los armónicos escalares, vectores y tensores implican que
las equivalencias de los coeficientes de la letra l) y de la letra m) para cada l y m es equivalente a la igualdad de los coeficientes de la letra d) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 y del apartado 2 del artículo 3 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71.
los tensores de perturbación (18) y (19) a ambos lados de la línea 0. Así, recordando la notación
[f ] f0 − f0, las ecuaciones
l ≥ 0 : [l00] = [l(Y )] = 0
l ≥ 1 : [(L)0] = [(T)0] = 0
l ≥ 2 : [(T )] = [(LT )] = [(LL)] = 0
l ≥ 0 : [00] = [(Y )] = 0
l ≥ 1 : [(L)0] = [(T)0] = 0
l ≥ 2 : [(T )] = [(LT )] = [(LL)] = 0
son equivalentes a (2) y, por lo tanto, corresponden exactamente a la condi-
ciones en este entorno. Note que cada una de las igualdades en (21) y (22) es de hecho una
ecuación para cada l y m en el intervalo adecuado. Sin embargo, nos referiremos a ellos simplemente
como ecuaciones.
Las condiciones de coincidencia lineales plenas implican obviamente las siguientes igualdades en
términos de las cantidades invariantes de doble calibre (20),
l ≥ 2 : [f00] = [f ] = [f0] = [f(T)] = 0 (23)
l ≥ 1 : [k(T)0] = 0
l ≥ 2 : [k00] = [k(Y )] = [k(L)0] = [k(LL)] = [k(LT )] = [k(T )] = 0.
Si estas ecuaciones pueden ser consideradas como el conjunto completo de condiciones lineales de coincidencia
o no requiere estudiar su suficiencia, es decir si implican (21)-(22) o no. Esto
punto no se menciona en [6] y de hecho la respuesta resulta ser negativa, aunque
de una manera suave, como lo discutimos en la siguiente subsección.
5.2 Sobre la suficiencia de la continuidad de la
variantes
Recordemos que el cumplimiento de las condiciones de coincidencia requiere encontrar dos ~Z± tales que
(21)-(22) se satisfacen. Por lo tanto, la cuestión clave para el emparejamiento es demostrar la existencia de
vectores de deformación ~Z± de modo que todas las ecuaciones se mantienen.
Un argumento de plausibilidad a favor de la suficiencia de (23)-(24) proviene de la simple
conteo de ecuaciones. De hecho, como ya se ha discutido, las condiciones de coincidencia lineal son
espaciotiempo e calibrador de hipersuperficie invariante y por lo tanto sólo puede implicar la diferencia
vector [~T], es decir, tres cantidades. Desde la construcción de doble calibrado invariantes cantidades en
cada lado elimina este vector, el número de ecuaciones debe ser reducido exactamente por
tres si han de seguir siendo equivalentes al conjunto original. Esto es precisamente lo que sucede.
a medida que pasamos de las ecuaciones originales de quince en (21)-(22) a once ecuaciones en
23) a 24). Este argumento, sin embargo, no es concluyente, tanto porque no es riguroso y
porque cada ecuación en esas expresiones es, de hecho, un conjunto de ecuaciones dependiendo de l
y m, y el rango de l cambios con las ecuaciones. Analicemos, pues, esta cuestión.
en detalle. En particular, tenemos que discutir cuáles son las consecuencias de la no existencia
de variables invariantes de doble calibre para l = 0 y l = 1 (excepto para k(T )0 que existe para
l = 1), algo no mencionado en [6].
Comencemos por encontrar expresiones explícitas para la validez de en toda la gama de l. As
en [6], nos descomponemos g(1) en armónicos como
g(1)dx
αdxβ =
(habY dx
adxb + h(Y )T(Y )ABd
A.D.A.B.)
2 h(T)aV(T)A + h(L)aV(L)A)dx
(h(T )T(T )AB + h(LT )T(LT )AB + h(LL)T(LL)AB)d
Ad. B. (25)
y ~Z como
zaY dx
[z(T)V(T)A + z(L)V(L)A)d
QY n(0) − N−2z
[z(T)V(T)A + z(L)V(L)A)d
A, (26)
lo que implica Tαdx
l=0(N−2z
l=1(z(T)V(T)A + z(L)V(L)A)d
A. Inserción
estas expresiones en (2) y la expansión en armónicos esféricos es fácil de
l ≥ 0 : [00] = 0 [h] + 2[Q]N2K + 2N
N−1[z♥]
l ≥ 1 : [(L)0] = 0 [zl] + [h(L)l] + r20(r−20[z(L)]) = 0, (27)
l ≥ 2 : [(LL)] = 0 [z(L)] + [h(LL)] = 0, (28)
l ≥ 0 : [(Y )] = 0 [h(Y )] + 2[Q]r20K̄ − N−2[z/23370/](r20)−
k2l [z(L)] = 0,
l ≥ 1 : [(T )0] = 0 [h(T )] + r20(r−20[z(T )]) = 0,
l ≥ 2 : [(LT )] = 0 [z(T )] + [h(LT )] = 0, (29)
l ≥ 2 : [(T )] = 0 [h(T )] = 0,
donde [h], [h(L)♥], etc. denotar e.o.p.
b[hab], e
a[h(L)a], etc. Más tarde también escribiremos
abajo las expresiones explícitas para (22), pero no son necesarias en esta subsección.
Es obvio por la forma de f ’s y de (20) que el conjunto de ecuaciones (21)-(22) son
equivalente a (23)-(24) junto con
l ≥ 2 : [(L)0] = [(LT )] = [(LL)] = 0 (30)
l = 0, 1 : [l00] = [l(Y )] = 0
l = 1 : [(L)0] = [(T)0] = 0
l = 0, 1 : [00] = [(Y )] = 0
l = 1 : [(L)0] = 0.
La suficiencia de la doble medición de Mukohyama invariante condiciones de coincidencia seguiría si
Estas ecuaciones sirven exclusivamente para determinar la discontinuidad [~T], es decir. [z] para l ≥ 0
y [z(T)], [z(L)] para l ≥ 1. Ahora, las expresiones explícitas (27), (29), (28) muestran que (30)
determinar de manera única [z/23370/], [z(T )] y [z(L)] para l ≥ 2. Por lo tanto, restringido al sector l ≥ 2
Las condiciones de coincidencia invariantes de calibre doble de Mukoyama pueden considerarse equivalentes
al conjunto completo de condiciones de coincidencia. Tomando todos l en cuenta, sin embargo, las ecuaciones
resulta que no es suficiente. Para mostrar esto, es suficiente para mostrar una ecuación que implica
la discontinuidad de las perturbaciones métricas de fondo y [Q] (pero no [~T ]) que mantiene
como consecuencia del conjunto completo de condiciones de correspondencia (21)-(22), pero no como consecuencia
de 23) a 24). Usando el hecho de que cada l = 1 expresión se refiere a n − 1 objetos (uno para
cada m), el número de ecuaciones en (31)-(32) es 7n− 3, mientras que el número de unkuwns en
[~T] aún no determinado por (30), es decir. [z/23370/] para l = 0, 1 y [z(T )], [z(L)] para l = 1 es 3n − 2,
que es más pequeño. Por lo tanto, cabe esperar que (31), (32) impliquen condiciones en las que
estas variables no aparecen. Esto puede hacerse explícito, por ejemplo, mediante la combinación de
[00]l=0 = 0 con [(Y )]l=0 = 0 que rinde
l = 0 : [h] + 2[Q]N
2K + 2N
(r20)
[h(Y )] + 2[Q]r
# 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄ # 20K̄
Cuando sea (r)
20) 6= 0. (Si (r20) = 0 es suficiente con considerar [(Y )]l=0 = 0.) Esto
la relación es suficiente para demostrar que la continuidad de las variables invariantes doble-gama de
Mukohyama no es suficiente para garantizar la existencia de la coincidencia perturbada. Por supuesto,
esto no invalida el enfoque de Mukohyama de ninguna manera, lo que sigue siendo interesante
y útil. Sólo significa que, al utilizar este enfoque para resolver coincidencias lineales,
uno todavía necesita mirar más cuidadosamente en el sector l = 0 y l = 1 para asegurarse de que
las ecuaciones restantes (31) y (32) mantienen.
Por otro lado, las ecuaciones (31), (32) no determinan completamente [~T ]. La variable
[z(T )]l=1 sólo aparece en [(T )0]l=1 = 0, en el término (r
−20 [z(T)]). Como resultado de ello, el
las condiciones coincidentes no fijan [z(T )]l=1 completamente, pero hasta un factor constante veces
r20 (para cada m). Recordando que V(T )AdA para l = 1 corresponden a los tres asesinatos
vectores en la esfera, esta constante arbitraria (para cada m) explica la adición a
[~T] de un vector asesino arbitrario de la esfera. Esto está de acuerdo con el debate.
en la sección 4. Dedicamos la subsección siguiente para completar el estudio de la libertad
izquierda en el juego.
5.3 Libertad en el emparejamiento
Como ya se ha subrayado, resolver el emparejamiento lineal equivale a encontrar la perturbación
vectores ~Z+ y ~Z−. Supongamos ahora que una coincidencia lineal entre dos dado de vuelta-
los terrenos y las perturbaciones se han hecho. Es natural preguntar qué es lo más general.
coincidencia entre esos dos espacios, es decir, cuál es la solución más general para ~Z+ y ~Z−
de las condiciones correspondientes. Geométricamente, esto significa encontrar todas las deformas posibles.
ciones de la hipersuperficie de emparejamiento 0 que permiten emparejar los dos espacios.
Dado que este problema es de interés no sólo cuando se imponen las condiciones de plena correspondencia
pero también en situaciones en las que están presentes capas de materia (p. ej. en el mundo del salvado o la concha
cosmologías) para que se permitan saltos en las segundas formas fundamentales, analizaremos
Esta cuestión se plantea en dos etapas. En primer lugar, vamos a estudiar las ecuaciones que implican el perturbado primero
formas fundamentales y determinará la libertad que admiten. En un segundo paso nosotros
escribirá las condiciones adicionales que vienen de la igualdad de la segunda fundamental
formas.
Por lo tanto, consideremos dos configuraciones de perturbación de la misma coincidencia de fondo
y denotar sus respectivos conjuntos de variables de diferencia en 0 como [f] y [f]
′ para cualquier dado
Ahora, definiremos la diferencia entre las dos configuraciones como < f
[f ]′ − [f ] para cualquier variable f. La suposición de que la perturbación en cada lado es fija
de una vez por todas implica < g(1) > 0. Estamos asumiendo que la coincidencia linealizada
las condiciones se satisfacen en cada caso, y así podemos restarlas. La linealidad implica que
las diferencias de las ecuaciones de coincidencia lineal se convierten en ecuaciones para la diferencia
vector < ~Z >. La solución general de estas ecuaciones determina claramente la libertad en
la deformación de la superficie exagerada.
La diferencia de las ecuaciones en (21) para las dos configuraciones usando < g(1) = 0
dar el siguiente conjunto de ecuaciones
l ≥ 0 : < 00 > 0 → < Q > N2K +N
N−1 < z >
= 0, (33)
l ≥ 1 : < (L)0 = 0 → < z/23370/ > +r20(r−20 < z(L) >) = 0, (34)
l ≥ 2 : < (LL) = 0 → < z(L) = 0, (35)
l ≥ 0 : < (Y ) = 0 → 2 < Q > r20K̄ − N−2 < z > (r20)
k2l < z(L) = 0, (36)
l ≥ 1 : < (T)0 = 0 → (r−20 < z(T) >) = 0, (37)
l ≥ 2 : < (LT ) = 0 → < z(T ) > 0, (38)
l ≥ 2 : < (T ) = 0 → 0 = 0.
Expresiones (35) y (38) determinan fácilmente < z(L) >l≥2=< z(T) >l≥2= 0, que sub-
constituido en (34) da < zel > l≥2= 0. Como resultado, (36) para l ≥ 2 conduce a < Q > l ≥ 2 = 0.
Claramente todas las ecuaciones para l ≥ 2 ahora están satisfechas. Ahora nos concentramos en la l = 1
ecuaciones. Ecuación (37) implica que < z(T) >l=1= ar
20, donde una es una constante para cada uno
m. Combinando ecuaciones (33), (34) y (36) para l = 1 obtenemos la siguiente ecuación
para r−20 < z(L) >l=1,
K2♥(r−20 < z(L) >l=1) +
(2K̄ + K)(ln r0)− K lnN
−20 < z(L) >l=1)
r−20 < z(L) >l=1=0, (39)
mientras que (34) y (33) determinan < zel > l= 1 y < Q > l= 1 respectivamente (siempre K 6= 0,
que se produce de forma genérica). Las dos ecuaciones para l = 0 se pueden reordenar en
K(N−1 < z/23370/ > l=0) + N−1 < z/23370/ > l=0 K ln(r0) = 0 (40)
más la ecuación (33) para l = 0, que determina < Q > l = 0.
Resumiendo, hemos encontrado que la libertad en la deformación de la hipersuperficie
compatible con las condiciones lineales de correspondencia que implican la primera forma fundamental
[~Z]′ − [~Z] =
< Q > Y ~n(0) − N−2 < z
+am~V
(T ) + r
−20 < z(L) >l=1,m ~V m(L),
donde r−20 < z(L) > l=1,m, satisfacen (39), < z/23370/ > l=0 satisfacen (40) y el resto de la
las variables están completamente determinadas como se ha descrito anteriormente. El término en am corresponde
a añadir vectores Killing en la esfera, algo ya discutido en la Sección 4. Los
resto de términos implican combinaciones (con funciones) de los vectores de matanza conformal en
la esfera y los vectores tangenciales a lo largo de ♥. Tenga en cuenta que los coeficientes de la conformación
Matar (es decir. < z(L) > l=1,m ) determinan todo el resto de los coeficientes l = 1. En particular
cuando < z(L) >l=1,m desaparece, entonces todos los términos l = 1 desaparecen y la libertad se vuelve
radialmente simétrico.
Ahora añadimos al análisis la diferencia de las ecuaciones en (22). Debido al hecho
que todos los coeficientes en < ~Z > desaparecen para l ≥ 2 sólo necesitamos considerar las ecuaciones para
l = 0, 1, es decir, 32). Remitimos al lector al Apéndice A para las expresiones explícitas de (32)
en términos de perturbaciones métricas y ~Z. Por el bien de la integridad también incluimos
todas las expresiones explícitas de (22) en el Apéndice A. La diferencia de ecuaciones (32), véase
(44)-(46), cuando < g(1) = 0 leído
l = 0, 1 : < 00 > = 0 • (41)
− < QR(γ)dbac > n
(0)dn(0)ae
c − 2 < Q > +
2 < Q > < Q > K2N2
KN2(N−2 < zel >)− (K < zel >) = 0,
l = 1 : < Ł(L)0 > 0 > 0 â € (42)
< Q > K < z > < Q > ln(r0) + r20K(r−20 < z(L) >) = 0
l = 0, 1 : < فارسى(Y ) = 0 • (43)
N−2(r
20) ( < Q > +K < z >) +
< Qn(0)an(0)bÃ3r2 >
N−2e
a < zđn
(0)bóbóar2 > +
l(l + n− 3)
* < Q > −2K̄ < z(L) >
Se puede comprobar que en general estas ecuaciones sobredeterminan las ecuaciones anteriores,
i.e. (39) y (40), aunque puede haber casos particulares para los que son compatibles.
Por lo tanto, genéricamente, implicarán que < z(L) > l=1,m= 0 y < z/23370/ > l=0= 0, y
de ahí que todas las demás variables desaparezcan, < zel > l=1,m=< Q > l=1,m= 0, < zel > l=0=<
Q > l=0= 0, de modo que la única libertad que queda es dada por
[~Z]′ − [~Z] = am~V m(T).
La constatación de los casos particulares en los que las ecuaciones (39)-(43) son compatibles es sencilla.
pero tedioso y no se llevará a cabo explícitamente aquí.
Agradecimientos
FM y MM agradecen a CRUP(Portugal)/MCT(España) la subvención E-113/04. FM gracias FCT
(Portugal) para la subvención SFRH/BPD/12137/2003 y CMAT, Universidad de Minho, para la
babor. MM contó con el apoyo de los proyectos FIS2006-05319 del Ministerio de
Educación y Tecnología y SA010CO de la Junta de Castilla y León. Se apoyó el tratamiento con RV
por el IRCSET irlandés, Ref. PD/2002/108, y ahora está financiado por el Gobierno Vasco
Ref. BFI05.335.
A Apéndice
En aras de la integridad dedicamos este apéndice a presentar las expresiones explícitas
22) en términos de perturbaciones métricas y ~Z, que dice
l ≥ 0 : [00] = 0 • (44)
N2K[hnn]−
n(0)ae
c(2c[hab]a[hbc])− [QR(γ)dbac]n
(0)dn(0)ae
2♥[Q] +
2[Q]− [Q]K2N2 − KN2(N−2[zl])− (K[zl]) = 0,
l ≥ 1 : [(L)0] = 0 • (45)
[hnll] −
n(0)ae
b) [l]a]- (l)b)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)- (l)-(l)- (l)- (l)- (l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l)-(l-)- (l-)- (l-)- (l-)- (l-)- (l-)- (l-)- (l-)
+([Q] + [h(L)n]) ln(r0) + r20K(r−20[z(L)]) = 0
l ≥ 0 : [(Y )] = 0 (46)
r20K̄[hnn] +
N−2(r
20) ([hn♥] + [Q] +K[z/23370/]) +
[n(0)aŁah(Y)]
[Qn(0)an(0)bÃ3r2]−
N−2e
a[zđn
2) b) b) b) c) c) c) c) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
l(l + n− 3)
[h(L)n] + [Q]− 2K̄[z(L)]
l ≥ 1 : [(T )0] = 0
n(0)ae
b(lb[h(T )a]− Ła[h(T )b]) + [h(T )n] ln(r0) + r20K(r−20[z(T )]) = 0,
l ≥ 2 : [(LT ] = 0 • −
[h(T )n] +
n(0)aŁa[h(LT )] + K̄[z(T )] = 0,
l ≥ 2 : [(LT ] = 0 • −
[h(L)n] +
n(0)aŁa[h(LL)] + K̄[z(L)]−
[Q] = 0,
l ≥ 2 : [(T) = 0 •
n(0)aŁa[h(T )] = 0.
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[10] Mars M y Senovilla J M M (1998) “Sobre la construcción de modelos globales que describen
cuerpos giratorios; singularidad del campo gravitatorio exterior” Mod. Phys. Lett. A13
1509-1519
Introducción
Coincidencia lineal
Libertad de medición
Condiciones coincidentes
En los formalismos invariantes anteriores del indicador espacial
Libertad de emparejamiento debido a las simetrías
Isometries
Fondos n-dimensionales esféricamente simétricos
El acercamiento de Mukohyama
Sobre la suficiencia de la continuidad de las invariantes de doble calibre
Libertad en el emparejamiento
Apéndice
|
704.0079 | Operator algebras associated with unitary commutation relations | 7 Álgebras Operadoras Asociadas con Unitarias
Relaciones con los países de la AELC
Stephen C. Power†
Universidad de Lancaster
Departamento de Matemáticas y Estadística
Lancaster, Reino Unido LA1 4YF
Correo electrónico: s.power@lancaster.ac.uk
Baruch Solel‡
Technion
Departamento de Matemáticas
Haifa 32000, Israel
Correo electrónico: mabaruch@techunix.technion.ac.il
25 de noviembre de 2021
*2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 47L55, 47L30, 47L75, 46L05.
† La SCP está respaldada por la subvención EPSRC EP/E002625/1
‡BS cuenta con el apoyo del Fondo para la promoción de la investigación en el
Subvención EPSRC EP/E002625/1
http://arxiv.org/abs/0704.0079v1
Resumen
Definimos álgebras de operador no autoadjunto con generadores
Le1,. .., Len, Lf1,. ................................................................................................................................
ciones de la forma
LeiLfj =
ui,j,k,lflLek
donde u = (ui,j,k,l) es una matriz unitaria nm × nm. Estos álgebras,
que generalizan los álgebras analíticas Toeplitz de los gráficos de rango 2 con
un vértice único, se clasifican hasta isomorfismo isométrico en términos de
la matriz u.
1 Introducción
El cambio unilateral en el complejo espacio separable Hilbert genera dos
álgebras del operador mental, a saber, la norma cerrada (unital) álgebra y el
topología de operador débil álgebra cerrada. El primero es naturalmente isomórfico a
el álgebra de disco de las funciones holomórficas en la unidad de disco, continua a la
límite, mientras que este último es isomórfico a H. La libertad de no conmutar
generalizaciones multivariables de estos álgebras surgen de la libre no com-
silenciar los turnos Le1,. .., Len dada por los operadores de creación de izquierda en el Fock
espacio Fn =
k=0(Cn)k. Aquí los álgebras de operador generados, denotado
Un y Ln para la norma y las topologías débiles, se conocen como el no commu-
álgebra discal tativa y el álgebra freesemigroup. Se han estudiado
extensamente con respecto a la estructura del álgebra del operador, teoría de la representación
y la teoría del operador multivariable de las contracciones de filas. Véase, por ejemplo,
[2] [9].
Generalizaciones de rango superior de estos álgebras surgen cuando se considera
varias familias de grupos electrógenos libremente no conmutantes entre los que hay
relaciones de conmutación. En el presente documento consideramos una forma muy general
de esas relaciones, a saber:
LeiLfj =
ui,j,k,lflLek
donde Le1,. .., Len y Lf1,. .., Lfm son libremente sin conmutación y u = (ui,j,k,l)
es una matriz unitaria nm×nm. Los álgebras de operador asociados se denotan
Au y Lu y los clasificamos hasta varias formas de isomorfismo en términos
de las matrices unitarias u. Estas relaciones unitarias surgieron originalmente en el
texto del teorema general de dilatación probado en Solel ([12], [13]) para dos filas
contracciones [T1 · · ·Tn] y [S1 · · ·Sm] que satisfacen la conmutación unitaria
relaciones.
Para n = m = 1, tenemos u = [α] con = 1 y Au es el subalgebra de
la rotación C*-álgebra para las relaciones uv = αvu. Cuando u es una permutación
matriz unitaria que surge de una permutación en Snm entonces las relaciones son
los asociados con un único gráfico de rango vértice 2 en el sentido de Kumjian
y Pask, y los álgebras en este caso se han considerado en Kribs y
Potencia [5] y Potencia [10]. En particular, en [10] se demostró que hay 9
álgebras del operador A.O. derivadas de las 24 permutaciones en el caso n = m = 2. In
contraste, vemos a continuación en la sección 6 que para general 2 por 2 unitarios u allí
son incontables muchas clases de isomorfismo de las relaciones unitarias álgebras
Au expresado en términos de una parametrización real de nueve pliegues de isomorfismo
tipos.
Los álgebras son fácilmente definidos; son determinados por la izquierda regular
representación del semigrupo F cuyos generadores son e1,. .., en, f1,. ............................................................................
con sujeción a las relaciones eifj = flek, en la que Ł(i, j) = (k, l). Por otra parte
la relación unitaria álgebras Au se generan de los operadores de la creación sobre una
Espacio Fock clasificado en Z2+
• Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) y con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC)
identificación u : Cn Cm → Cm Cn. En particular, Au es una representación
del álgebra tensor no autoadjunta de la correspondencia de rango 2 (o del producto
sistema sobre N2) en el sentido de [13]. Véase también [3]
En los principales resultados, resumidos en parte en el Teorema 5.10, vemos que si
Au y Av son isomórficos entonces las dos familias de generadores tienen coincidencia-
, ing cardenalidades. Además, si n 6= m entonces los álgebras son isomórficos si
y sólo si los unitarios u, v en Mnm(C) son equivalentes unitarios por un unitario
A B en Mn(C) Mm(C). Como en [10] llamamos a este producto equiv unitario-
alence (con respecto a la descomposición del producto tensor fijo). El caso
n = m admite una posibilidad adicional, en vista de la posibilidad de generador
intercambio de isomorfismos, a saber, que u, son producto equivalente unitario,
donde i,j,k,l = v̄l,k,j,i.
El teorema se demuestra de la siguiente manera. Después de algunos preliminares que identificamos, en
Sección 3, el espacio de caracteres M(Au) y el conjunto de w*-continuous charac-
Ters en Lu. Estos son subconjuntos del producto de bola de unidad cerrada Bn × Bm que
se asocian con una variedad Vu en C
n×Cm determinado por u. Entonces definimos
el núcleo Ł0u, un subconjunto cerrado del espacio de caracteres realizado u =M(Au), y
identificamos esto intrínsecamente (algebraicamente) en términos de representaciones de Au
en T2, el álgebra de matrices triangulares superiores en M2(C). La importancia
del núcleo es que somos capaces de demostrar que el interior es un mínimo automor-
phism subconjunto invariante en el que los automorfismos actúan de forma transitoria. Esto permite
para inferir la existencia de isomorfismos clasificados de los isomorfismos generales.
Para construir automorfismos repasamos primero, en la Sección 4, la con-
estructuración de una acción unitaria del grupo de la Mentira U(1, n) en el Cuntz álgebraOn
y el operador álgebras An y Ln. Esto proporciona, en particular, unitarias
automorfismos, para α Bn, que actúan de forma transitoria en el interior de la bola,
Bn, del espacio de carácter de An. Para estos automorfismos unitarios explícitos
de la copia ei-generada de An en Au, establecemos la conmutación unitaria re-
laciones para las tuplas (Le1),. ........................................................................ .., Lfm, cuando (α, 0) es
un punto en el núcleo. Esto nos permite definir automorfismos unitarios naturales
de Au sí mismo, y en el teorema 4.8 el interior relativo del núcleo es identi-
fied como un automorfismo invariante en el espacio Gelfand. En la sección
5 determinamos los isomorfismos clasificados y bigrado en términos de producto
equivalencia unitaria. Para ello observamos que tales isomorfismos inducen
un mapa biholomórfico que conserva el origen entre los núcleos de los núcleos de los núcleos y de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos
v y
que estos mapas, por un Lemma de Schwarz generalizado, son implementados por un
producto unitario. Luego probamos el principal teorema de clasificación.
En la sección 6 analizamos en detalle el caso n = m = 2 y consideramos la
caso especial de unidades de permutación.
Finalmente, en la Sección 7 mostramos que el álgebra Au está contenido en un tensor
álgebra T+(X), asociada con una correspondencia X como en [7]. Por otra parte, en
menos cuando n 6= m, cada automorfismo de Au se extiende a un automorfismo
de T+(X). La ventaja del álgebra tensor es que su representación
teoría es conocida ([7]), mientras que este no es el caso todavía para el álgebra Au.
2 Preliminares
Fijar dos espacios finitos de Hilbert E = Cn y F = Cm y a
mn unitaria × mn matriz u. Las filas y columnas de u están indizadas por
{1,.............................................................................................................................................................................................................................................................
matriz suponemos que {1,...., n} × {1,...., m} se ordena lexicográficamente
(de modo que, por ejemplo, la segunda fila es la fila indizada por (1, 2)). Nosotros también.
fijar las bases ortonormales {ei} y {fj} para E y F respectivamente y la matriz
u se utiliza para identificar E F con F E a través de la ecuación
ei fj =
u(i,j),(k,l)fl ek. 1)..........................................................................................................................................................
Equivalentemente, escribimos
fl ek =
ū(i,j),(k,l)ei fj. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Por cada k, l â € N, escribimos X(k, l) para Ek Fl. Usando una aplicación successive...
ciones de (1), podemos identificar X(k, l) con Ek1 Fl1 Ek2 · · · Flr
cuando k =
ki y l =
Que F(n,m,u) sea el espacio Fock dado por la suma directa del espacio Hilbert
X(k, l) =
Ek Fl,
y, para e-E y f-F, escriba Le y Lf para los operadores de “desplazamiento”
Leei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl = eei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl
Lfei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl = fei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl
donde, en la última ecuación, utilizamos (1) para identificar el vector resultante como un
vector de Ek F(l+1).
El semigrupo unitario generado por {I, Le, Lf : e â E, f â F} es
denotado F+u y el álgebra que genera denotado C[F
u ]. El cierre de la norma
de C[F+u ] se escribirá Au y su cierre en la topología del operador débil*
se escribirá Lu. En particular, los álgebras L.o y A.o estudiados en [10] son
los álgebras Lu y Au para u que es una matriz de permutación.
Los resultados de la sección 2 en [5] también se mantienen aquí con cambios menores. Cada
A Lu es el límite (en la topología del operador fuerte) de sus sumas Cesaro
P(A) =
(1 a k)
)Φk(A)
donde Φk(A) se encuentra en Lu y es “apoyado” en
l El F(k−l). De hecho,
que Qk sea la proyección de F(n,m,u) en
(k−l), forman la
Grupo unitario de un parámetro {Ut} definido por Ut :=
k=0 e
iktQk y set
γt = AdUt. Entonces t}tÃ3r es una acción w*-continua de R en L(F(n,m,u))
que normaliza tanto Au y Lu y
Φk(a) =
e-iktγt(a)dt
para todos los a L(F(n,m, u)). Entonces Φk deja Lu invariante.
Podemos definir el álgebra Ru generada por los cambios de derecha Re y Rf
definido por
Reei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl = ei1ei2 · eikfj1fj2 · fjle
Rfei1ei2 · eikfj1fj2 · fil = ei1ei2 · eikfj1fj2 · filf.
Las técnicas de la prueba de la Proposición 2.3 de [5] se pueden aplicar aquí a
mostrar que el conmutante de Ru es Lu. También, mapeo ei1 ei2 · · · eik
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Operador unitario
W : F(n,m,u) → F(n,m,u*)
por la que se aplica una equivalencia unitaria de Lu y Ru*. De hecho, es fácil de
comprobar que ReiW = WLei y RfjW = WLfj para cada i, j. Para ver que la
la relación de conmutación en el rango es dada por u*, aplicar W a (2) para obtener (en
el rango de W ) ek fl =
i,j ū(i,j),(k,l)fj ei =
i, j(u)
*) k, l), i, j) fj ei que
es la ecuación (1) con u* en lugar de u.
Como en [5], concluimos que (Lu)′ = Ru y (Lu)′′ = Lu.
3 El espacio de carácter y su núcleo
En la siguiente propuesta describimos la estructura de los espacios de carácter
M(Lu) y M(Au) (equipados con la topología débil*). Resultados similares
se obtuvieron en [5] para álgebras definidas para gráficos de rango superior y en [2] para
álgebras analíticas de Toeplitz. (Véase también [10].)
Será conveniente escribir
Vu = {(z, w) • Cn × Cm : ziwj =
u(i, j), (k,l)zkwl } (3)
(Bn × Bm) (4)
donde Bn es la bola de unidad abierta de C
n. Nos referimos a Vu como la variedad asociada
con usted.
Proposición 3.1 (1) Las funciones multiplicativas lineales en C[F+u] están en
correspondencia uno-a-uno con puntos (z, w) en Vu.
(2) M(Au) es homeomórfico a Łu.
(3) Para (z, w) â € ¢u, escriba α(z,w) para el carácter correspondiente de Au.
Entonces α(z,w) se extiende a una w
* carácter continuo en Lu si y sólo si
z, w) Bn × Bm.
Prueba. La parte 1) sigue inmediatamente de (1). Fijar α M(Au) y
escribir zi = α(Lei), 1 ≤ i ≤ n, y wi = α(Lfj), 1 ≤ j ≤ m.
multiplicatividad y linealidad de α y (1), se sigue que (z, w) Vu. Desde
α es contractivo y mapas
i aiLei to
i aizi, de lo que se deduce que el valor ≤ 1 y
Del mismo modo, no se aplica ≤ 1. Por lo tanto (z, w) # # # # # # # # Así (z, w) # # # # # # #
Para la otra dirección, fijar primero (z, w) â € ¢u con â € € € € < 1 y â € € € € € < 1.
Se deduce de la definición de Łu y de (1) que (z, w) define un lineal
y el mapa multiplicativo α en el álgebra C[F+u] de tal manera que Lei está mapeado en
zi y α(Lfj) = wj. Abusando ligeramente de la notación, escribimos α(x) para α(Lx) para
cada x Ek Fl. También, para i = (i1,. .., ik) y j = (j1,. .., jl), escribimos
eifj para ei1 · · · eik fj1 · · · fjl. Estos elementos forman una ortonormal
base para Ek Fl y ahora establecemos
α(eifj)eifj • F(X).
Si pi ≥ 0 y p1 +. .. + pn = k entonces hay k!p1! términos ei1 · · · · eik
con α(ei1 · · · eik) = z
2 · · · z
k. De ello se deduce que
i (ei)2 =
i=(i1,...,ik)
(ei1)2 · · · (eik)2. Por lo tanto
w2 =
i, j, k, l
(eifj)2 = (1− â € € ~ 2)−1(1− â € € ~ 2)−1 â € ~
Tenga en cuenta que, por cada x Ek Fl,
x, w = α(x).
Por lo tanto, para E, x, L*ew = Lex, w = α(ex) = α(e)α(x) = (e)wα, x
y, de manera similar, x, L*fw = (f)wα, x para f F. Así wα, L*ew =
α(e)α(wα) = α(e)
(eifj)2 = α(e)w2. Del mismo modo, wα, L*fw =
α(f)α(wα) = α(f)
(eifj)2 = α(f)w2 para f F. Por lo tanto, si escribimos
# Entonces # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Entonces # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
α(x) = «Lx»,
por cada x Ek Fl (por cada k, l). Esto muestra que α es contractivo
y es continuo. Por lo tanto, podemos extenderlo a un elemento de M(Lu),
también denotado α.
El análisis de arriba muestra que la imagen del mapa α 7→ (z, w)
definido anteriormente (onM(Au)) contiene Vu®(Bn×Bm). Puesto que M(Au) es compacto
y el mapa es w*-continuous, su imagen contiene (y, por lo tanto, es igual a)
Esto completa la prueba de (2). Para completar la prueba de (3), necesitamos
para demostrar que, si (z, w)
w*-carácter continuo en Lu, a continuación, "zá" < 1 y "wá" < 1.
Para esto, escriba L para el subalgebra w* cerrado de Lu generado por {Le :
e E} {I}. Let P ser la proyección de F(E, F, u) en F(E) = C
E (E E) · · · · ·. Entonces PLP = PLuP y el mapa T 7→ PTP, es un
isomorfismo continuo de L hacia PLuP. Este último álgebra es unitariamente
equivalente al álgebra Ln estudiado en [2]. Carácter continuo de Lu
da lugar, por lo tanto, a un carácter continuo en Ln. Se deriva de [2],
Teorema 2.3] que z Bn. Del mismo modo, uno muestra que w â € Bm. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Para indicar el siguiente resultado, primero escribimos u(i,j) para la matriz n×m cuya
k, l-entrada es u(i, j), (k, l). Así, la fila (i, j) de u proporciona las filas n de u(i, j).
A continuación, computamos
u(i,j),(k,l)zkwl =
u(i,j),(k,l)wl)zk =
(u(i,j)w)kzk = u(i,j)w, z.
Escribir Ei,j para la matriz n×m cuya i, j-entrada es 1 y todas las demás entradas son
0 (de modo que Ei,jw, z = ziwj) y escriba C(i,j) para la matriz u(i,j)−Ei,j. Entonces
el cálculo anterior produce lo siguiente.
Lemma 3.2 Con C(i,j) definido como anterior, tenemos
Vu = {(z, w) • Cn × Cm : • C(i, j)w, z = 0, para todos los i, j}.
Definición 3.3 El núcleo de la u es el subconjunto dado por
Bn × Bm : C(i,j)w = 0, Ct(i,j)z = 0 para todos los i, j}.
Arreglar (z, w) Tenemos u(i,j)w = Ei,jw para todos i, j. Así, por cada k,
u(i,j),(k,l)wl = Łi,kwj (6)
(en los casos en que el valor de la letra i),k es 1 si es i = k y 0 si no es así) y, para el valor de a1, a2,. ..................................
k,l u(i,j),(k,l)akwl = aiwj. Por lo tanto, si dejamos que
i) ser el vector en Cmn definido
por w
(k,l)
= Kk, lwl, tenemos uw
i) = wū(i). Del mismo modo, para z, tenemos
u(i,j),(k,l)zk = Łj,lzi (7)
y para escalares b1,. ..., bm tenemos
k,l u(i,j),(k,l)blzk = bjzi. Por lo tanto, escribir zū(j)
para el vector definido por (z?(j))(k,l) =?l,jzk, tenemos uz?(j) = z?(j). El vector
w?(i) en Cnm = Cn Cm es también expresable como?i w donde 1,. ..............................................................
la base estándar de Cn, y, de manera similar, zū(j) = z Łj. Por lo tanto, obtenemos
Lemma 3.4, que será útil en la sección 6.
Tomamos nota también de la siguiente fórmula de acompañamiento. Suponga (z, w) â € ¢0u.
Entonces, como hemos señalado anteriormente, uzū(j) = zū(j) y, por lo tanto, u
* zū(j) = zū(j). Escribiendo esto
explícitamente, tenemos, para todos i, j, l,
u(k,l),(i,j)z̄k = Łj,lz̄i. (8)
Lemma 3.4 Let (z, w) Ser un vector en el núcleo Ł0u. Entonces
i) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} Ker(u-I).
En particular,
(i) Si el núcleo contiene un vector (z, w) con z 6= 0, entonces dim(Ker(u-I)) ≥
(ii) Si el núcleo contiene un vector (z, w) con w 6= 0 entonces dim(Ker(u-I)) ≥
(iii) Si el núcleo contiene un vector (z, w) con z 6= 0 y w 6= 0, entonces
dim(Ker(u− I)) ≥ m+ n− 1.
Ahora caracterizamos el núcleo de una manera algebraica en términos de repre-
sentaciones en el álgebra T2 de matrices triangulares superiores 2×2. Observamos
que las representaciones del nido como estas han demostrado ser útiles en el algebraico
estructura teoría de álgebra no autoadjunta [?], [11].
Vamos a : C[F+u ] → T2 con
(T ) =
1,1(T ) 1,2(T )
0...............................................................................................................
Entonces?1,1 y?2,2 son caracteres y?1,2 es una funcionalidad lineal que satisface
1 (TS) = 1 (T )1,2 (S) + 1 (T )2,2 (S) (9)
para T, S, C[F+u ].
Ahora nos limitamos al caso en el que?1,1 =?2,2. Por la Proposición 3.1(1)
ambos están asociados con un punto (z, w) en Vu. De lo que se deduce de (9) que:
está determinado por sus valores en Lei y Lfj. Ajustar el valor de la letra a) del punto 1.2 (Lei) y el valor de μj =
(Lfj), nos asociamos con cada homomorfismo (como se discutió más arriba) a
cuádruple (z, w, , μ) donde (z, w) Vu y, para cada i, j,
ziμj + ♥iwj =
u(i, j), (k, l)) (wlđk + μlzk). (10)
(La última ecuación sigue de (1)). Usando (5) podemos escribir la última ecuación
u(i,j)w, u(i,j)μ, z = ziμj + Łiwj = Ei,jw, Ei,jμ, z.
Es decir,
C(i,j)w, , Ct(i,j)z = 0. (11)
El siguiente lema se deriva ahora de la definición del núcleo.
Lemma 3.5 Un punto (z, w)
Cn × Cm define un homomorfismo : C[F+u ] → T2 tal que
(Lei) =
zi ♥i
(Lfj ) =
wj μj
Para todos i, j.
4 Automorfismos de Ln y Lu
Primero derivamos los automorfismos unitarios de Ln y An asociados con
U(1, n). Estos fueron obtenidos por Voiculescu [14] en el marco de la Cuntz-
álgebra Toeplitz. Sin embargo, los automorfismos se limitan a una acción de U(1, n)
en el álgebra semigrupo libre. El resultado es bastante fundamental, siendo un
versión dimensional superior del conocido grupo de automorfismo Möbius en
¡Hó! ¡Hó! ¡Hó! Para la comodidad del lector ofrecemos pruebas completas. See also the
la discusión en Davidson y Pitts [2], y en [1], [10].
Lemma 4.1 Let α Bn y escribir
i) x0 = (1− 2)−1/2,
ii) η = x0α, y
iii) X1 = (ICn +
∗)1/2.
(1) 2 = x02 − 1,
(2) X1η = x0η, y
(3) X21 = I +
En particular, la matriz X =
satisface X*JX = J, donde J =
Prueba. Parte (1) es un cálculo fácil y parte (3) sigue de la
definición de X1. Para (2), tenga en cuenta que X
1η = (I +
*)η = η + 2η = x20η
y, por cada , X1 = . Supóngase X1η = aη +. Entonces
x20η = X
1η = a
2η + فارسى y se deduce que a = x0 (como X1 ≥ 0) y • = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El lema presenta matrices específicas (X1 no es negativo) en U(1, n) asso-
ciated con puntos en la bola abierta. Se puede comprobar de manera similar (véase [2] o [10] para
ejemplo) que la forma general de una matriz Z en U(1, n) es Z =
η2 Z1
donde
1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 1 = 1
Z1η1 = z̄0η2, Z
1η2 = z0η1,
Z*1Z1 = En + η1η
1, Z1Z
1 = En + η2η
Es estas ecuaciones que son equivalentes a la ecuación de matriz única Z*JZ =
Es bien sabido que el mapa X definido en Bn por
(+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+)) (+)) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)))) (+) (+) (+))) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)
X1° η
x0 +,
, Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn.
es un automorfismo de Bn con inversa X-1. Véase Lemma 4.9 de [2] y Lemma
8.1 de [10], por ejemplo. Hacemos uso de esto en la prueba de Voiculescu
Teorema abajo.
Let L1,. ...............................................................
Cn escribir L. =
iLi. Recuerde que el espacio de caracteres M(An) es naturalmente
identificable con la bola cerrada B̄n, con ♥ en esta bola que proporciona un carácter
para el cual (Li) = ♥i. La prueba es una versión reducida de la anterior
en el caso de M(A/23370/).
Teorema 4.2 Dejar que α Bn y que X1, x0, η y X se asocien con α como
en Lemma 4.1. Entonces
(i) hay un automorfismo X de Ln tal que
(L) = (x0I + Lη)
−1(LX1) +, I), (12)
(ii) el automorfismo inverso 1X es X−1 y X
−1 es la matriz en
U(1, n) asociado con,
(iii) hay una UX unitaria en Fn tal que para un An,
UXa+0 = (a)(x0I + Lη)
y X(a) = UXaU
Prueba. Deja que Fn sea el espacio Fock para Ln, In = IFn, y deja que L
[En L1 · · ·Ln] visto como un operador de (CÃ3 Cn)Fn = Fn à (Cn Fn)
a Fn. Entonces
(L1L*1 +. .. LnL*n) = P0
donde P0 es la proyección vectorial de vacío de Fn a C. También, desde XJX =
J, tenemos
(J I)L = L(X In)J I)X In)L = [Y0 Y1](J I)[Y0 Y1]*
donde
[Y0 Y1] = [En L]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
η
Así Y0Y
0 − Y1Y ∗1 = P0. También
Y0 = x0 In + L(η In) = x0In + Lη,
Y1 = η
* In + L(X1 In) = In + [LX1e1. .. LX1en]
donde, aquí, e1,. ...............................................................
El operador V = Y −10 Y1 es una isometría de fila [V1 · · · Vn], desde Cn Fn hasta
Fn con defecto 1. Para ver esto computamos
I − V V ∗ = I − Y − 10 Y1Y * 1 Y 10 = I − Y − 10 (−P0 + Y0Y ∗ 0 ) Y 10
= I + Y −10 P0Y
0 − I = •
0 = Y
0 + 0 = (x0In + Lη)
-1 = 0 = x
(x-10 Lη)
Y así
0 = x02
x02j2j =
x20 − 2
Teniendo en cuenta la trayectoria t → tα para 0 ≤ t ≤ 1 y la trayectoria correspondiente de
parcial isometries V se deduce de la estabilidad del índice de Fredholm que el
índice de V y L coinciden y de hecho V es una isometría de fila. Así V1,. .., Vn
son isometrias con rangos ortogonales.
Ahora tenemos un homomorfismo de álgebra contractivo An → L(Fn) determin-
minado por la correspondencia Lei → Vi, i = 1,..., n. De hecho es un álgebra
endomorfismo : An → An. De hecho, para â € = (â € 1,. ..........................................................
(L) =
iVi =
0 Y1(ei In)
(x0 en + Lη)
−1( In + [LX1e1. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
= (x0In + Lη)
−1(, In + LX1).
Hasta ahora hemos seguido la prueba de Voiculescu [14]. El siguiente argumento:
muestra que • es un automorfismo y es una alternativa al cálculo
propuesta en [14]. El cálculo muestra que
X =
Tenemos
(x0 en + Lη)-1(, en + LX1)
= (x0 +, )−1(, X1, ) = (L)
donde
X*1o + η
x0 +,
X1° η
x0 +,
= lX(l).
Escribir X para el endomorfismo contractivo de An como construido
arriba. De ello se deduce que la composición Φ = X−1 â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €.
endomorfismo que, por las observaciones que preceden a la declaración de la
rem, induce el mapa de identidad en el espacio de carácter, de modo que = 1
para todos los miembros del grupo Bn. Tal mapa debe ser la identidad. De hecho, supongamos que
tienen la representación de la serie de Fourier 1(Le1) = a1Le1 +. ...............................................................................................................
donde X es una serie con términos de grado total superior a uno. De ello se desprende:
t-l(t,0,...,0)(Φ
−1(Le1)) = a1
mientras
t-1-0(t,0,...,0)(Le1) = 1.
Dado que el mapa inducido es la identidad, tenemos a1 = 1 y ak = 0 para k ≥ 2.
De esta manera vemos que la imagen de cada Li tiene la forma Li+Ti donde Ti tiene
sólo los términos de grado total superior a uno. Ya que Lio es ortogonal a Tio
y 1(Li) es una contracción, tenemos 1 ≥ 1(Li)+0+2 =
• Li • 2 + Ti • 0 • 2 = 1 + Ti • 0 • 2. Por lo tanto Ti-0 = 0 y, en consecuencia, Ti = 0
y por lo tanto la composición Φ es el mapa de identidad.
Finalmente, demostramos que se implementa unitariamente. Definir UX en An-0
por UXa-0 = Xa-a)-
0 = X(a)(x0I + Lη)
− 1 + 0 para un + A. Ya que X es un
automorfismo, (UXa)b-0 = UXab-0 = UXa)-a)-Xb-b-
0 = X (a) UXb+0, para
a, b • An, y se deduce que UXa = • X(a)UX, como transformaciones lineales en
el espacio denso Aná0.
Ahora, V = [V1,. .., Vn] es una isometría de fila con espacio de defecto que se extiende
El mapa UX mapea a Li0 a X(Li)
0 = Vi®
0 y, si w = w(e1,. .., en) es
una palabra en e1,. .., en, entonces
UX®w = UXw(L1,. ...., Ln )........................................................................................................................................................................................................................................................ ...............................................................
0 = w(V1,. ...........................................................
Puesto que V es una isometría de fila y 0 es un vector de errante unidad para V, sigue
que {w(V1,. .., Vn)0} es un conjunto ortonormal. Por lo tanto, UX es una isometría. Desde
El rango de UX contiene UXAn-0 = X(An)0 = An(x0I + Lη)−1-0 = An-0
Vemos que la UX es unitaria. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 4.3 Con los mismos cálculos que en la prueba anterior y ligeramente
más notación, se puede mostrar que cada matriz invertible Z • U(1, n) define
un automorfismo Z y que Z → Z es una acción de U(1, n) en An y,
en particular, Z-X = Z-X-X. Además, Z → UZ es una representación unitaria
de U(1, n) implementando esto como indica el siguiente cálculo.
Let W =
ser la matriz en U(1, n) asociada con β • Bn
como en Lemma 4.1. Entonces
UXUWa+0 = UX((a)(w0 + L
− 1 + 0)
= ((a)(w0 + L)
−1)(x0In + Lη)
= ((a))(w0 + L)
−1)(x0In + Lη)
= XW (a)(w0 + L.)
−1)(x0In + Lη)
= XW (a)[w0In + (x0In + Lη)
−1(LX1• +, In)]
(x0in + Lη)
= XW (a)[w0x0In + w0Lη + LX1• +, In)]
= XW (a)[(w0x0In +, )In + L0X1
Uno comprueba fácilmente que esto es lo mismo que UXW (a)+0
Es evidente por el último teorema y su prueba de que el auto unitario-
morfismos de An y Ln de forma transitoria en el subconjunto abierto Bn asociado
con los personajes continuos de la estrella débil. Demostraremos que una versión de
esto sostiene para la relación unitaria álgebras con respecto al núcleo abierto de
el espacio de carácter. Como un primer paso para la construcción de automorfismos de Au
obtener las relaciones unitarias de conmutación para los n-tuples (Le1),. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
y [Lf1,. .., Lfm ] para ciertos automorfismos • de la copia de An en Au.
Lemma 4.4 Suponga (z, w) (Bn×Bm). Escribir α para z̄ y dejar :=
ser como en (12). A continuación, por cada 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m,
(Lei)Lfj =
u(i, j), (k, l) Lfl.(Lek). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Prueba. Escribe Y para y β para (x0 + 1)
−1. Desde X21 = I +
X1 = I +
* = I + βY e Y = (Yi,j) donde Yi,j = ηij = x
0z̄izj. Ahora sí.
calcular
(X1ei)fj = eifj +
βYt,ietfj = eifj +
t,k,l
βYt,iu(t,j),(k,l)flek
u(i,j),(k,l)flek +
t,k,l
βx20z̄tziu(t,j),(k,l)flek
u(i,j),(k,l)flek + βx
t,k,l
z̄tu(t,j),(k,l)flek.
Usando la ecuación del núcleo (8), la última expresión es igual a
u(i,j),(k,l)flek + βx
♥j,lz̄kflek
u(i,j),(k,l)flek + βx
z̄kfjek
u(i,j),(k,l)flek + βx
Z̄kflek.
Usando la ecuación del núcleo (7), esto es igual a
u(i,j),(k,l)flek + βx
u(i,j),(t,l)zt)z̄kflek
u(i,j),(k,l)flek + βx
k, l, t
u(i,j),(k,l)zkz̄tflet
u(i,j),(k,l)flek + β
k, l, t
u(i,j),(k,l)Yt,kflet
u(i,j),(k,l)flek + β
u(i,j),(k,l)flY ek
u(i, j), (k, l)flX1ek.
LX1eiLfj =
u(i,j),(k,l)LflX1ek. (14)
A continuación, computamos
i z̄ieifj =
i,k,l u(i,j),(k,l)z̄iflek. Usando (8), esto es igual
k,l Łj,lz̄kflek =
k zskfjek. Por lo tanto
z̄ieifj =
zsifjei (15)
y, por lo tanto, Lη se desplaza con Lfj. De ello se deduce que
Lfj (x0I − Lη)−1 = (x0I − Lη)−1Lfj. 16)
Tenemos, usando (14) y (16),
(x0I − Lη)−1LX1eiLfj =
u(i,j),(k,l)(x0I − Lη)−1LflLX1ek
u(i,j),(k,l)Lfl(x0I − Lη)
-1LX1ek.
Además, aplicando (7) y (16), obtenemos
(x0I − Lη)−11, Lfj = ziLfj (x0I − Lη)−1
(x0I − Lη)
u(i,j),(k,l)zkLfl(x0I − Lη)
Restando las dos últimas ecuaciones, obtenemos (13). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollario 4.5 En la notación de Lemma 4.4, por cada i, j,
L*fjŁ(Lei) =
u(i,l), (k,j)(Lek)L
Prueba. De lo expuesto en el considerando 13 se deduce que la letra (Lei)lfl =
k,t u(i,l),(k,t)Lft
Cada i, l. Por lo tanto, para i, j, l,
L*fjř(Lei)LflL
u(i,l),(k,t)L
Lft®(Lek)L
u(i,l),(k,t)
u(i,l), (k,j)(Lek)L
Resumiendo sobre l, tenemos
L*fjŁ(Lei)(
u(i,l), (k,j)(Lek)L
l LFIL
= I − P donde P es la proyección en el subespacio C
E. (E. E.)...................................................................................................... Tenga en cuenta que P se deja invariante bajo los operadores en
el álgebra generada por {Lei: 1 ≤ i ≤ n} y, en particular, por {Lei: 1 ≤ i ≤ n}.
Por lo tanto, L*fjŁ(Lei)P = L
(Lei)P = 0 =
k,l u(i,l), (k,j)
P. Esto
completa la prueba del corolario. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 4.6 Suponga (z, w) # #0u # (Bn × Bm). Entonces hay un auto-
morfismo z de Au que se implementa unitariamente y tal que, por cada
X â € TM au,
α(0,w)(
z (X)) = α(z,w)(X) (17)
donde α(z,w) es el carácter asociado con (z, w) por la Proposición 3.1.
Prueba. Que U sea el operador unitario que implemente la aplicación de. Podemos ver
F(n,m, u) como la suma
F(n,m, u) =
Fk F(E)
donde F(E) = Câ € (EE) · · ·. Ahora dejamos que V sea el operador unitario.
cuya restricción a Fk F(E) es Ik U (donde Ik es el operador de identidad
en Fk). Es fácil comprobar que, para cada fj,
V LfjV
* = Lfj.
Ahora, arréglame. Demostraremos, por inducción, que, por cada k y cada â € ~
Fk F(E),
(Ik U)Lei = (Lei)(Ik U). (18)
Para k = 0 esto es sólo el hecho de que U implementa . Supón que sabemos esto.
para k y fijar fj â € ¢ F. Entonces, para â â € TM Fk F(E) tenemos,
(Ik+1 U)LeiLfj =
u(i,j),(k,l)(Ik+1 U)LflLek®
u(i,j),(k,l)Lfl(Ik U)Lek®.
Aplicando la hipótesis de inducción, esto es igual a
k, l u(i, j), (k, l) Lfl
U)®. Usando (13), se trata de "Lfj" (Ik U) = "Lei" (Ik U). Desde
F(k+1) F(E) se extiende por elementos de la forma Lfj® (como arriba) la
La igualdad es lo que sigue. De las relaciones de Lemma 4.4 se deduce que el mapa
z : X → V XV * define un endomorfismo unitario de Au. Ya que es un
automorfismo de Un se deduce que z da el automorfismo deseado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Claramente, en la Proposición 4.6, podemos intercambiar z y w para obtener el siguiente...
ing, donde z,w = zw.
Proposición 4.7 Suponga (z, w) (Bn ×Bm). Entonces hay un unitario
automorfismo, z,w de Lu que es un homeomorfismo con respecto a la
w*-topologías y que se limita a un automorfismo de Au. Por otra parte, para
cada X â € ¢ Lu,
α(0,0)
z,w(X)) = α(z,w)(X) (19)
donde α(z,w) es el carácter asociado con (z, w) como en la Proposición 3.1.
Un automorfismo de Au, define un mapa en el espacio de carácter de Au,
a saber, 7→ 1. Así que usando la Proposición 3.1 tenemos un homeomorfismo
de Łu. También, ya que el Bn × Bm (Bn × Bm) es el interior de los mapas
(Bn × Bm) sobre sí mismo.
Similarmente, si es un automorfismo de Lu que es un homeomorfismo con
respeto a la w*-topologías, entonces es un homeomorfismo de
En el siguiente teorema identificamos el interior relativo del núcleo como el
órbita de (0, 0) bajo el grupo de mapas asociados con los automorfismos.
Teorema 4.8 Para (z, w) Bn×Bm las siguientes condiciones son equivalentes.
(1) (z, w) â € ¢0u.
(2) Existe un automorfismo completamente isométrico de Lu que es un
homeomorfismo con respecto a las topologías
automorfismo de Au, tal que (0, 0) = (z, w).
(3) Existe un automorfismo algebraico de Au tal que (0, 0) =
(z, w).
Prueba. La prueba que (1) implica (2) viene de la Proposición 4.7. Claramente.
2) implica 3). Queda por demostrar que (3) implica (1).
Teniendo en cuenta un punto (z, w) â € ¢u, vimos en Lemma 3.5 que, por cada (?, μ)
satisfaciendo (11) hay un homomorfismo........... : C[F
u ] → T2. Para (z, w) =
(0, 0) la ecuación (11) se mantiene para cada par (, μ). A partir de 0,0,μ, μ desaparece de un
subespacio dimensional finito, es un homomorfismo limitado. De hecho, para
Cada uno de los subartículos 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C00.b., 1C00.b., 1C00.b., 1C00.b., 1C00.
Teniendo en cuenta lo siguiente: (z, w) como en (3), por cada Cn × Cm,
es un homomorfismo en C[F+u] y, por lo tanto, es de la forma de algunos
(único) (, ) satisfactorio (11). Escriba (, μ) = (, ) y tenga en cuenta que esto
define un mapa continuo. Para demostrar la continuidad, supongamos (ln, μn) → (ln, μ)
y escriben en el caso de los puntos 0,0,9,9 y 9 en el caso de los puntos 0,0,9,9 y μ. Entonces (usando la estimación en el
la norma de.0.0.0.μ) hay algo M tal que......................................................................................................................................................................................................................................................
Por cada "Y" C[F+u], "N" (Y) → "(Y"). Ahora arreglar X â € TM au y â € > 0. Hay
algunos Y C[F+u ] tales que X − Y ≤ â â € TM y hay algunos N tales que para
n ≥ N n(Y )− Por lo tanto, para tal n, n(X)−
Configurando X = (Lei), obtenemos
n → y similar para.
Si (z, w) no se encuentra en Ł0u, entonces el conjunto de todos los (, μ) satisfactorio (11) es un subespacio
de Cn ×Cm de dimensión estrictamente inferior a n+m y, como se indica anteriormente,
contiene la imagen continua (debajo del mapa inyector) de Cn × Cm.
Esto es imposible. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5 álgebras isomórficas
En esta sección encontraremos las condiciones para álgebras Au y Av ser (isomet-
rical) isomórfico. La caracterización también se aplica a la estrella débil cerrada
álgebras Lu.
Comenzamos considerando un tipo especial de isomorfismo. Ahora lo haremos.
asumir que el conjunto {n,m} para ambos álgebras es el mismo. De hecho, por inter-
cambiar E y F, podemos asumir que las dimensiones correspondientes son el
igual y los álgebras se definen en F(n,m, u) y F(n,m, v) respectivamente.
Esta hipótesis estará en vigor en el debate que figura a continuación hasta el final del período de sesiones.
Lemma 5.5.
El álgebra Au lleva un Z2 +-grading natural, con el (k, l) etiquetado sub-
espacio que se extiende por los productos de la forma Lei1Lei2. .. LeikLfi1Lfi2. Lfil.
Además, la longitud total de estos operadores proporciona un grado natural de Z+. Nota
que un isomorfismo de álgebra : Au → Av que respeta el grado Z+ es
determinado por un mapa lineal entre los tramos de los generadores
Le1,. .., Len, Lf1,. ................................................................. Aquí usamos la misma notación para los generadores
de Au y Av. Tal isomorfismo será llamado calificado.
Ahora consideramos dos tipos de isomorfismos clasificados, a saber, bien bi-
clasificados, como en la definición siguiente, o, en el caso n = m,
cambiar la etiqueta de los generadores.
Definición 5.1 i) Isomorfismo : Au → Se dice que Av es bigraded
isomorfismo si hay matrices unitarias A (n × n) y B (m × m)
de tal manera que
(Lei) =
ai,jLej, Ł(Lfk) =
bk, lfl.
ii) Si m = n y • es un isomorfismo calificado de tal manera que
(Lei) =
ai,jLfj, Ł(Lfk) =
bk, lLel
para n × n matrices unitarias A y B, entonces decimos que
intercambio de isomorfismo.
Escribimos A, B para el isomorfismo bigrado (como en (i)) y A, B para el
isomorfismo de intercambio clasificado.
Abusando de la notación, escribimos "(ei)" =
j ai,jej en lugar de فارسى(Lei) =
j ai, jLej
para un isomorfismo bigrado (y de manera similar para las otras expresiones).
Para las matrices de permutación unitarias se demostró el siguiente lema en [10,
Teorema 5.1 iii)].
Lemma 5.2 (i) Si A,B es un isomorfismo bigrado entonces
(A B)v = u(AB) (20)
donde AB es la matriz mn×mn cuya entrada (i, j), (k, l) es ai,kbj,l.
(ii) Si m = n y A,B es un isomorfismo de intercambio clasificado entonces
(A B) = u(AB) (21)
donde (i,j),(k,l) = v̄(l,k),(j,i).
Prueba. Suponga que es un isomorfismo bigraded. Por i, j,
(i fj) = (
ai,kek) (
bj,lfl) =
(A B)(i,j),(k,l)ek fl =
k,l,r,t
(A B)(i,j),(k,l)v(k,l),(r,t)ft er =
(A B)v)i,j),(r,t)ft er.
Por otra parte,
*(ei fj) = *(ei fj)
u(i,j),(k,l)fl ek) =
k, l, t, r
u(i,j),(k,l)bl,tak,rft er =
(u(AB))(i,j),(r,t)ft er.
Esto prueba la ecuación (20). Un argumento similar se puede utilizar para verificar la ecuación
(21). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición 5.3 Si u, v son matrices unitarias mn×mn y existen matrices unitarias
matrices A y B satisfactorias (20), decimos que u y v son producto unitario
equivalente.
Ahora supongamos que A y B son matrices unitarias satisfactorias (20). Los
el mismo cálculo que en Lemma 5.2 muestra que WA,B : E u F → E v F
definido por
WA,B(ei fj) =
(A B)(i,j),(k,l)ek fl
es un operador unitario bien definido. Aquí la notación E u F indica que
esto es E F como un subespacio de F(n,m,u). De la misma manera, se define una unidad
operador, también denotado WA,B, de E
k Fl en F(n,m,u) a Ek Fl en
F(n,m, v) por
WA,B(ei1 · · · eik fj1 · · · fjl) =
ai1,r1 · · · aik,rkbj1,t1 · · bjl,tler1 · · · · erk ft1 · · · · ftl.
Esto da un operador unitario bien definido
WA,B : F(n,m,u) → F(n,m,v).
Lemma 5.4 Por cada i, j, escribir Aei =
k ai,kek y Bfj =
I bj, lfl.
Entonces, para g1, g2,. .., gr in {e1,. .., en, f1,. .., fm},
WA,B(g1 g2 · · · gr) = Cg1 Cg2 · · · Cgr (22)
donde Cgi = Agi si gi • {e1,. ..., en} y Cgi = Bgi if gi • {f1,. .., fm}.
Prueba. Si los gi’s son ordenados de tal manera que los primeros son de E y el
los vectores siguientes son de F, entonces el resultado es claro de la definición de
WA, B. Ya que podemos conseguir cualquier otro acuerdo empezando con uno de estos
los pares gl e intercambiantes gl, gl+1 sucesivamente (con gl â € {e1,. ...............................................................
gl+1 ≤ {f1,. .., fm}), basta con demostrar que si (22) se mantiene para un determinado
el arreglo de e s y f s y aplicamos tal intercambio, entonces todavía
Espera. Por lo tanto, suponemos gl = ek, gl + 1 = fs y escribimos g
′ = g1 · · · gl−1,
g′′ = gl+2 · · · gr, Cg′ = Cg1 · · · Cgl−1 y Cg′′ = Cgl+2 · · · Cgr
y computar
WA,B(g)
′ fs ek g′′) = WA,B(
ū(i,j),(k,s)g
′ ei fj g′′).
Usando nuestra suposición, esto es igual a
ū(i,j),(k,s)Cg
′ (
ai,tet) (
bj,qfq) Cg′′ =
i, j, t, q
ū(i,j),(k,s)ai,tbj,qCg
′ et fq Cg′′ =
i,j,t,q,d,p
ū(i,j),(k,s)ai,tbj,qv(t,q),(d,p)Cg
′ fp ed Cg′′ =
(u*)(k,s),(i,j)(A B)(i,j),(t,q)v(t,q),(d,p)Cg′ fp ed Cg′′ =
(A B)(k,s),(d,p)Cg′ fp ed Cg′′ =
ak,dbs,pCg
′ fp ed Cg′′ =
Cg′ Bfs Aek Cg′′
completando la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente lema fue probado en [10, Sección 7] y muestra que el
condiciones necesarias de Lemma 5.2 son también condiciones suficientes en AB para
la existencia de un isomorfismo de aplicación unitaria.........................................................................................................................................................................................................................................................
Lemma 5.5 Para matrices unitarias A,B satisfactorias (20) y X
X 7→WA,BXW*A,B
es el isomorfismo bigraded A,B : Au → Av. Por otra parte, A, B se extiende a
un isomorfismo unitario Lu → Lv, y declaraciones similares se mantiene para graduado
intercambio de isomorfismos (cuando m = n).
Prueba. Bastará con mostrar la igualdad
A,B(X)WA,B = WA,BX
para X = Lei y para X = Lfj. Dejar X = Lfj y aplicar ambos lados de la
ecuation to ei1 · · · · eik fj1 · · · fjl. Usando Lemma 5.4, obtenemos
A, B (Lfj) WA, B (ei1 · · · eik fj1 · · · fjl)
Bj,rLfr (Aei1 · · · · Aeik Bfj1 · · · Bfjl)
= Bfj Aei1 · · · Aeik Bfj1 · · · Bfjl
=WA,B(fj ei1 · · · eik fj1 · · · fjl)
=WA,BLfj (ei1 · · · eik fj1 · · · fjl).
Esto demuestra la igualdad para X = Lfj. La prueba para X = Lei es similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En este punto dejamos de suponer que el conjunto {n,m} es el mismo para
ambos álgebras y escribir {n′, m para las dimensiones asociadas con Av. Nosotros
Verá en la Proposición 5.8 (y Observación 5.11(i)) que, si los álgebras son
isomórfico, entonces necesariamente {n,m} = {n′, m.
Dado un isomorfismo : Au → Av obtenemos un homeomorfismo : ♥u →
(como en la discusión anterior al Teorema 4.8). Los argumentos utilizados en
la prueba del Teorema 4.8 para demostrar que la parte (3) implica la parte (1) se aplica también
a los isomorfismos y por lo tanto, (0, 0)
Proposición 5.6 Let : Au → Av ser un isomorfismo (algebraico). Entonces
u) =
v y (l)
u (Bn × Bm) = (Bn × Bm) = (Bn × Bm).
Prueba. Arreglar (z, w) en Ł0u y utilizar el teorema 4.8 para obtener un automorfismo Φ
de tal manera que (0, 0) = (z, w). Pero entonces (0, 0) = (z, w) y, como nosotros
anotado anteriormente, esto implica que (z, w) Ł0v. De ello se deduce que (l0u) (l0v)
y, aplicando esto a 1, el lema sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 5.7 El mapa es un mapa biholomorfico.
Prueba. Las funciones de coordenadas para son (z, w) 7→ α(z,w)(1(ei)) (y
(z, w) 7→ α(z,w)(1(fj)) donde α(z,w) es el carácter asociado con (z, w)
por la Proposición 3.1. Por cada Y C[F+v ], α(z,w)(Y) es un polinomio en (z, w)
(para (z, w) y, por lo tanto, una función analítica. Cada X â € TM av es una norma
límite de elementos en C[F+v ] y, por lo tanto, α(z,w)(X) es una función analítica siendo
un límite uniforme de funciones analíticas en subconjuntos compactos de v. Por lo tanto, para
cada (z, w), hay una serie de poder que converge en algunos, no vacío,
circular, barrioC de (z, w) que representa α(z,w)(X) enCv. Tomando
para X los operadores 1(ei) y
−1(fj), vemos que ♥ es analítico. Lo mismo
los argumentos se aplican a 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Los hechos en la siguiente proposición obtenidos en [10] en el caso de
matrices de permutación.
Proposición 5.8 Let : Au → Av ser un isomorfismo algebraico y let
: Łu → v ser el mapa asociado entre los espacios de carácter. Supón
(0, 0) = (0, 0). Entonces tenemos lo siguiente.
(1) {n,m} = {n′, m y asumiremos que n = n′ y m = m′
(intercambiando E y F y cambiando u a u* si es necesario).
(2) Hay matrices unitarias U (n×n) y V (m×m) tales que (z, w) =
(Uz, V w) para (z, w) (Si n = m también es posible que (z, w) =
(V w, Uz).
(3) Si es un isomorfismo isométrico, entonces es un isomorfismo bigrado.
(O, si m = n, puede ser un isomorfismo de intercambio calificado).
Prueba. La prueba de la Proposición 6.3 en [10] dando (1) y (2) en el
caso de permutación se basa esencialmente en el lema de Schwarz para holomorphic
mapa desde el disco de la unidad. Se aplica sin cambios en el caso de las unidades
matrices.
Para (3) podemos asumir m = m′ y n = n′. De (2) tenemos para cada uno
Φ(Lei) = LUei +X donde X es una suma de términos de orden superior. Dado que Φ(Lei) es un
contracción y LUei es una isometría que sigue, como en la prueba de Voiculescu
teorema, que X = 0. Del mismo modo, Φ(Lfj ) = LV fj y se deduce que Φ es
Bigraded. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Puesto que cada isomorfismo calificado satisface (0, 0) = (0, 0), concluimos
lo siguiente.
Corolario 5.9 Cada isomorfismo isométrico graduado es bigrado si n 6= m
y de lo contrario es bigranded o es un isomorfismo de intercambio gradual.
Teorema 5.10 Las siguientes declaraciones son equivalentes para matrices unitarias
u, v en Mn(C)Mm(C).
(i) Hay un isomorfismo isométrico : Au → Av.
(ii) Hay un isomorfismo isométrico graduado de : Au → Av.
iii) Las matrices u, v son equivalentes unitarios del producto o (en el caso n = m)
las matrices u, son equivalentes unitarios del producto, donde (i,j),(k,l) = v̄(l,k),(j,i).
(iv) Hay un isomorfismo isométrico w*-continuo : Lu → Lv.
Prueba. Dado en i), let (z, w) = (0, 0). Por la Proposición 5.6 (z, w)
el interior de 0v. Por Teorema 4.8 hay un automor completamente isométrico-
phism Φ ofAv tales que (0, 0) = (z, w) y, por lo tanto, 1(0, 0) = (0, 0).
Por Proposición 5.8, 1 es un isomorfismo isométrico gradual y (ii) sostiene.
Lemma 5.2 muestra que (ii) implica (iii) y Lemma 5.5 que (iii) implica (i).
Por último, (iii) implica (iv) sigue de Lemma 5.5, y (iv) implica (ii) es
totalmente similar a (i) implica (ii). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 5.11 El argumento al principio de la prueba del Teorema 5.10
muestra que, siempre que Au y Av son isomórficos, tenemos {n,m} = {n′, m.
Teorema 5.12 Para n 6= m los automorfismos isométricos de Au son de la
forma A, Bz,w donde (z, w) Ł0u y (AB)u = u(AB). En el caso n = m
los automorfismos isométricos incluyen, además, los de la forma A,BŁz,w
donde (A B) = u(A B).
6 Casos especiales
6.1 El caso n = m = 2
Incluso en las dimensiones bajas n = m = 2 hay muchas clases de isomorfismo
y casos especiales. Tenga en cuenta que la clase de equivalencia unitaria del producto orbita O(u)
de la matriz unitaria 4×4 u toma la forma
O(u) = {(AB)u(AB)*: A,B • SU2(C)},
y por lo tanto las clases de equivalencia unitaria del producto están parametrised por el conjunto de
órbitas, U4(C)/Ad(SU2(C)×SU2(C)). Este set admite una parametrisa de 10 veces...
ciones, ya que, como se comprueba fácilmente, U4(C) y SU2(C)×SU2(C) son algebraicas reales
variedades de dimensión 16 y 6, respectivamente. De ello se deduce que la isometría isométrica
tipos de morfismo de los álgebras Au admitir una 10 parametrización real, con
coincidencias sólo para pares O(u), O(v) con u =
Ahora examinamos algunos casos especiales con más detalle. Let d = dimKer (u-I).
Caso I: d = 0
Por cada (z, w) B2 × B2, tenemos (z, w)
(z1w1, z1w2, z2w1, z2w2)
t se encuentra en Ker(u-I). Por lo tanto, en el caso I, Łu es tan pequeño como
posible y es igual a
(B2 × {0}) ({0} × B2).
De Lemma 3.4 se desprende que, en este caso,
(0, 0)}.
Por Proposición 5.8 cada automorfismo isométrico de Au es calificado y el
Automorfismos isométricos de Au se dan por pares (A,B) de matrices unitarias
Tal que A B o bien se desplaza con u o entrelaza u y.
Caso II: d = 1
Cuando d = 1 sigue siendo de Lemma 3.4 que
(0, 0) = {(0, 0)}
pero ahora es posible para usted ser más grande que Łmin. De hecho, si el no cero
vector (a, b, c, d)t que abarca Ker(u-I) satisface ad 6=bc entonces
si ad = bc entonces la matriz
es de primer grado y puede ser escrito como
(z1, z2)
t(w1, w2). Por lo tanto, (z, w) Vu y Vu contiene algunos (z, w) con non
z cero y w.
Dado que el valor de la sustancia activa {(0, 0)} sigue siendo cierto que los isomorfismos isométricos y auto-
morfismos de estos álgebras se clasifican.
Caso III: d = 2
Cuando d = 2 es posible que 0u contendrá vectores no cero (z, w) pero, como
Lemma 3.4 muestra, no contiene un vector con z 6= 0 y w 6= 0.
Todas las otras posibilidades pueden ocurrir. Por ejemplo, escriba u1, u2 y u3 para el
tres matrices diagonales:
u1 = diag(1,−1,−1,1), u2 = diag(1,−1,1,−1)
u3 = diag(1, 1,-1,-1).
Usando la definición del núcleo, vemos fácilmente que
0 = {0, 0)} {0, 0)}
= {0, 0, w1, 0): w1 ≤ 1}
En el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o tres ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas.
Por lo tanto, los únicos automorfismos isométricos de Au1 se clasifican, la isomet-
automorfismos ric de Au2 se forman por componer automorfismos graduales
con automorfismos del tipo descrito en la Proposición 4.7 (con z = (0, 0)
y w = (w1, 0)). Del mismo modo, para los automorfismos de Au3, utilizamos Proposi-
tion 4.6.
Caso IV: d = 3
En este caso podemos obtener una parametrización explícita de dos veces de la
los tipos de isomorfismo del álgebra Au.
Cada matriz unitaria de 4×4 u con dim(Ker(u-I)) = 3 está determinada por
una unidad autovector x y su (diferente de 1) valor propio. Así que ux = ♥x,
* x = 1, * = 1 y * 6 = 1. Suponga que u y v son equivalentes unitarios de producto;
es decir
(A B)u = v(AB)
para matrices unitarias A,B, y escribir x, para la unidad eigenvector y eigen-
valor de u. (Por supuesto, x se determina sólo hasta un múltiplo por un escalar
del valor absoluto 1). Entonces y = (A B)x es una unidad autovector de v con
eigenvalue ♥. Para vectores unitarios x, y (en C4) escribimos x â € y si hay unitario
(2 × 2) matrices A,B con y = (A B)x. Para la declaración de la siguiente
Lemma recuerda que las entradas de los vectores x e y en C4 son indexadas por
{i, j): 1 ≤ i, j ≤ 2}.
Lemma 6.1 Para un vector x = {x(i,j)} en C4, escriba c(x) para la matriz 2×2
c(x) =
x(1,1) x(1,2)
x(2,1) x(2,2)
Entonces x y si y sólo si hay matrices unitarias A,B tales que c(x) =
Ac(y)B. (En este caso, escribiremos c(x) • c(y).)
Prueba. Supongamos y = (AB)x para algunas matrices unitarias A = (ai,j) y B =
(bi, j). Entonces c(y)i,j = y(i,j) =
(A B)(i,j),(k,l)x(k,l) =
k,l ai,kbj,lc(x)k,l =
[Ac(x)B)i,j. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Usando la descomposición polar c(x) = U c(x) y diagonalizando c(x) =
V*, nos encontramos con que c(x)
= c(y) donde y = (a, 0, 0, d)
y a, d ≥ 0. Entonces a, d (los valores propios de c(x)) se determinan de forma única
una vez que los elegimos de tal manera que a ≤ d y, si x = 1, entonces a2 + d2 = 1
(de modo que 0 ≤ a ≤ 1/
2 y a determina d). De esta manera, nos asociamos a
cada matriz unitaria u como superior a un par (a, ) con 0 ≤ a ≤ 1/
2, 6= 1
y = 1. Utilizando Lemma 6.1 y la discusión anterior, tenemos el
siguiente.
Corollario 6.2 Por cada matriz unitaria 4×4 u con dim(Ker(u-I)) = 3,
hay números (con = 1 y 6= 1) y a (0 ≤ a ≤ 1/)
2) tales
que u y v son equivalentes unitarios del producto si y sólo si tienen el mismo
a, ♥.
Prueba. Dejar u y v ser matrices unitarias con dim(Ker(u-I)) = 3 y dejar
(a), (b), (μ) ser los pares asociados a u y v (respectivamente) como anteriormente. También
escribir x para la unidad autovector de u asociado al valor de eigen y dejar y
ser la unidad autovectora de v asociada a μ.
Supongamos que u y v son producto unitariamente equivalente. Entonces son unitarios.
Equivalente y, por lo tanto, = μ. Escribir (AB)u = v(AB) para matrices unitarias
A, B. Como vimos arriba, y puede ser elegido para ser (A B)x de modo que x y y,
por Lemma 6.1, c(x) o c(y). De ello se desprende que a = b.
A la inversa, supongamos que a = b y = μ. Entonces c(x) • c(y) y, por lo tanto,
x y para que podamos escribir y = (AB)x para algunas matrices unitarias A,B. Escribiendo
v′ = (AB)u(AB)*, encontramos que y es la unidad autovectora de v′ asociada
a.............................................................................................................. Así v = v′, completando la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Por cada a, como en el corolario 6.2 dejamos u(a, ♥) ser los siguientes 4 × 4
matriz.
u(a, ) =
( 1)a2 + 1 0 0 ( 1)a(1− a2)1/2
0 1 0 0
0 0 1 0
( 1)a(1− a2)1/2 0 0
Es un cálculo sencillo para verificar que dim(Ker(u-I)) = 3 y
que ♥ es un valor propio de u(a, ) con el vector propio (a, 0, 0, (1− a2)1/2)t.
el par asociado a u(a,
Corollario 6.3 Cada matriz u con dim(Ker(u-I)) = 3 es producto unitario
equivalente a una matriz única de la forma u(a, ) (con 0 ≤ a ≤ 1/
2, = 1
y 6= 1).
Usando la definición del núcleo, inmediatamente obtenemos lo siguiente.
Proposición 6.4 Si a = 0, = 1,
{(z1, z2, w1, 0) : z • B2; w1 ≤ 1} • {(z1, 0, w1, w2) : w • B2; z1 ≤ 1},
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
Si a 6= 0 entonces
(a) = {(z1, z2, w1, w2) : az1w1 + (1− a2)1/2z2w2 = 0, (z, w) • B2 × B2}
(a) = {0, 0)}.
Prueba. El espacio (a) se compone de puntos (z, w) para los que
(z1w1, z1w2, z2w1, z2w2)
t = u(a, )(z1w1, z1w2, z2w1, z2w2)
es decir, por lo que
(( 1)a2 + 1)z1w1 + ( 1)a(1− a2)1/2z2w2 = z1w1,
( 1)a(1− a2)1/2z1w1 + ( 1)a2)z2w2 = z2w2.
Si a = 0 esto implica z2w2 = 0, mientras que si a 6 = 0 entonces (z1w1, 0, 0, z2w2) es un fijo
vector para u(a, ) y así para algunos escalares μ (z1w1, z2w2) = μ((1− a2)1/2,−a).
A continuación se describen las descripciones de la letra a) de la letra a).
De la definición del núcleo y el hecho de que aquí C12 = C21 = 0 y
C11 =
( 1) 0
0 ( 1)a (1− a2)1/2
C22 =
( 1)a(1− a2)1/2 0
0 ( 1) + ( 1)a2
Vemos que para a = 0 tenemos w2 = z2 = 0 mientras que para a 6 = 0, z1 = z2 = w1 =
w2 = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Recordemos que, para una matriz unitaria de 4 × 4 v definimos la matriz por
(i,j),(k,l) = v̄(l,k),(j,i) y mostró (Corollary 5.10) que Au y Av son isomet-
ricamente isomórfico si y sólo si u y v o u y son producto unitario
equivalente.
Ahora, es fácil de comprobar que •(a, •) = u(a, ) y así, utilizando Proposi-
tion 3.3 y resultados anteriores, obtenemos lo siguiente.
Teorema 6.5 Let 0 ≤ a, b ≤ 1/
2, = = 1, , μ 6= 1. Entonces
(1) Au(a,) y Au(b,μ) son isomórficas isométricamente si y sólo si a = b y
es igual a μ o.
(2) Cuando un 6 = 0 los automorfismos isométricos de Au(0,
(3) Si a = 0 entonces hay isomorfismos isométricos que no se clasifican
Caso V: d = 4
Este es el caso donde u = I. Tenemos "U" = "U"
u = Bn×Bm y el isométrico
automorfismos se obtienen componiendo automorfismos clasificados y el
automorfismos descritos por la Proposición 4.6, Proposición 4.7.
6.2 álgebras de relación unitaria de permutación
Con más estructura asumida para la clase de unitarios u puede ser posible
derivar una clasificación adecuada más definitiva de los álgebras Au. Nosotros
indicar esto ahora para la clase de los unitarios de permutación. Un debate más completo
está en [10].
Let • • S4, visto como una permutación del conjunto de productos {1, 2} × {1, 2} =
{11, 12, 21, 22}. Asociar con la matriz U. = u(i,j), (k,l) donde u(i,j), (k,l) =
1 si (k, l) = (i, j) y es cero de lo contrario. Si el producto S4 es conjugado con el producto S4 en
la sensación de que ♥ = 1 con en S2×S2, entonces se deduce que u
producto equivalente unitariamente. Por lo tanto, sólo necesitamos considerar la conjugación de productos
clases. Resulta que estas clases son las mismas que el producto unitario
clases de equivalencia de las matrices u.
Puede ser útil ver una permutación en Snm como una permutación de la
entradas de una matriz rectangular n ×m, ya que la conjugabilidad del producto corresponde
a la conjugación a través de permutaciones de fila y permutaciones de columna. Con-
sidering esto para n = m = 2 uno puede verificar en primer lugar que hay a lo sumo
9 tipos de isomorfismo para los álgebras Atheta correspondientes a lo siguiente
permutaciones:
*1 = id, *2 = (11, 12), *3 = (11, 22),
4a = (11, 22, 12), 4b =
4a = (11, 12, 22), 5a = ((11, 12), (21, 22)),
6 = ((11, 22), (12, 21)), 7 = (11, 12, 22, 21), 8 = (11, 12, 21, 22).
Los espacios de Gelfand de los álgebras A. (y L.) distinguen todos estos al-
gébras, excepto los pares 4a, 4b} y 7, 8}. Sin embargo, se puede verificar
en ambos casos que ni el par u, v ni el par u, son producto unitario
equivalente. El teorema 5.10 se aplica ahora para obtener el siguiente resultado de [10].
Teorema 6.6 Para n = m = 2 hay 9 clases de isomorfismo isométrico para
los álgebras Ao y para los álgebras Lo.
A un gráfico de rango más alto (, d) en el sentido de Kumjian y Pask [6] se puede
asociado al álgebra no autoadjunta Toeplitz A. L., como en Kribs y Power [5].
En el único vértice rango 2 caso es fácil ver que Ao es igual al álgebra
Au para alguna matriz de permutación u = en Snm. Así teorema 5.10 clasifica
estos álgebras en términos de equivalencia unitaria de producto restringido a Snm como
declarado formalmente en el siguiente teorema. En el caso del rango 2, esto es significativo.
mejora de los resultados en [10] que, aunque abarca el rango general,
fueron restringidos al caso de núcleo trivial para el espacio de caracteres. Con la
permutación para la matriz de permutación (que corresponde al generador
(intercambio) tenemos:
Teorema 6.7 Que el 1 y el 2 sean vértice único 2-graphs con relaciones de-
Terminado por las permutaciones 1 y 2. A continuación, el rango 2 grafo álgebras
El ao1, el ao2 son isomórficos isométricamente si y solamente si el par de ao1, el ao2 o el
par 1, 2 son producto equivalente unitario
Es natural esperar que como en el caso (2, 2) producto equiva unitario
lence se corresponderá con la conjugación del producto.
7 Au como subalgebra de un álgebra tensor
Dejar En ser la extensión Toeplitz del álgebra de Cuntz On y escribir H para
el espacio Fock asociado con E (es decir, H = C â € E â € (E E) â € · · ·).
Tenga en cuenta que En actúa naturalmente en H (por los operadores de “cambio” o “creación”
Li = Lei, 1 ≤ i ≤ n). De hecho, Le1,. .., Len genera En como álgebra C*.
Considere también el espacio F(F)H = H(FH)(FF)H) · ·. Esto
espacio es isomórfico a F(E, F, u) y escribimos w : F(F)H → F(E, F, u)
para el isomorfismo. Será conveniente escribir wk para la restricción de
w a la suma FkH (que es un isomorfismo en su imagen). Nota
que, para una k fija, {w*kLeiwk: 1 ≤ i ≤ n} es un conjunto de n isometrias con
rangos ortogonales. Así define una representación de En sobre FkH (con
πk(Lei) = w
kLeiwk). (Tenga en cuenta que estamos utilizando Lei para los operadores de creación
tanto en H como en F (E, F, u). Esto no debe causar confusión). Nosotros también.
escribir para la representación
k k de En en F(F )H (donde
representación de En on H).
Que X sea el espacio de la columna Cm(En). Este es un modulo C* sobre En. As a
espacio vectorial es la suma directa de m copias de En. La acción del módulo correcto
de En en X es dada por (ai) · b = (aib) y el producto interior valorado es
• (ai), (bi) • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
i bi. Por cada 1 ≤ i ≤ n, escribimos S‡i para el operador en
L(X) definida por
Sсi(aj)
j=1 = (
u(i, j), (k, l)Lekaj)
Tenga en cuenta que
u(i, j), (k, l)Lekaj)
l=1, (
j′,k′
u(i,j′),(k′,l)Lek′ bj′)
l=1 =
j,j′,k,k′,l
ū(i,j),(k,l)a
Lek′ bj′u(i,j′),(k′,l) =
(uu**)(i,j′),(i,j)a
jbj′ =
a*jbj
= (aj), (bj′).
Por lo tanto Sœi es una isometría. Un cálculo similar muestra que estas isometrias
tienen rangos ortogonales y, por lo tanto, esta familia define un ∗-homomorfismo
En → L(X), con ♥(Lei) = Sœi, 1 ≤ i ≤ n, haciendo X a C*-correspondencia
sobre En (en el sentido de [8] y [7]). Una vez que tengamos una correspondencia podemos
formXX y, más generalmente, Xk. Recordar que para definir XX se define
la forma sesquilinear "xy, xy = "y", "x, x)y sobre el tensor algebraico"
producto y luego permite que X X sea la terminación de Hausdorff. La acción correcta
de En en X X es (x y) · a = x (y · a) y la acción izquierda es dada por el
mapa 2.
*2(a)(x y)=*(a)x y.
La definición de Xk es similar (y el mapa de acción de la izquierda es denotado Łk)
Para k = 0 establecemos X0 = En y فارسى0 se define por multiplicación izquierda. También
escribir para
k k, la acción izquierda de En en F(X).
Uno puede entonces definir el espacio HilbertXkEnH definiendo el sesquilin-
forma de la oreja xh, yká = h, x, yká (x, y Xk) y la aplicación de la Hausdorff
Completar.
Ahora defina el mapa
v : X En H → F H
mediante el ajuste
v(ai) h) =
Fi aih.
Es sencillo comprobar que este mapa es un espacio bien definido Hilbert
isomorfismo. Por inducción, también definimos mapas vk : X
kEn H → FkH
vk+1(aj) z) =
fj vk(k(aj) IH)z) (23)
para z Xk En H y v0 es el mapa de identidad de En En H (que es
isomórfico a H) y F0 H = H. Supongamos que vk es un espacio Hilbert
Isomorfismo de Xk En H en Fk H y calcular, para (aj), (bj) X
y z, z′ Xk H,
Vkk+1(aj)z), vk+1(bj)z) =
fjvk(()k(aj)IH)z), fjvk()k(bj′)IH)z′
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa será igual al valor de los vehículos de motor de encendido por chispa y de los vehículos de motor de encendido por chispa.
(a*jbj) IH)z′) =
*(aj) z, (bj) z.
Así, por inducción, cada mapa vk es un isomorfismo espacial Hilbert y, sum-
Ming up, tenemos un isomorfismo espacial Hilbert
v. :=
F(X)En H → F(F)H.
Lemma 7.1 v- es un isomorfismo espacial Hilbert y entrelaza las acciones
de En. Es decir,
) = (a)(a)(iH) = (a)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*(*)(*)(*(*)(*(*)(*(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*(*)(*)(*)(*(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*
para un "En".
Prueba. Demostramos que, por cada p ≥ 0 y un En, tenemos
vp (a) IH) = vp (a) vp. (24)
La prueba se procederá por inducción en p. Para p = 0 esto está claro así que ahora
Asumir que se mantiene para p. Para 1 ≤ i ≤ n, (aj) X y z XpH, tenemos
vp+1((lp+1(lei) IH)(aj) z)) = vp+1(lp)(lp)(j) z) =
l,k,j u(i,j),(k,l)fl
vp((p(Lekaj) IH)z). Usando la hipótesis de inducción, esto es igual a
l,k,j
u(i,j),(k,l)fl lp(Lek)lp(aj)vpz =
l,k,j
u(i,j),(k,l)fl w*pLekwp?p(aj)vpz =
l,k,j
u(i,j),(k,l)fl eklp(aj)vpz = w
ei fj p(aj)vpz =
p+1(Lei)w
fj ?p(aj)vpz.
Usando la hipótesis de inducción de nuevo, obtenemos ♥p+1(Lei)w
j fjvp(p(aj)
IH)z) = p+1(Lei)vp+1(aj)z). Esto demuestra (24) para p+1 y los generadores
de En. Puesto que tanto el p+1 como el vp+1 (p+1(·)IH)v*p+1 son homomorfismos, (24)
se mantiene para p + 1 y cada una de las en, completando el paso de inducción. Así, (24)
se mantiene para cada p y esto implica la declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Escriba l para el vector (aj) en X de tal manera que al = I y aj = 0 si l 6= j.
El álgebra tensor T+(X) es generado por los operadores Tl (donde Tl es el
el operador de creación en F(X) asociado con Łl) y la C*-álgebra (En).
Este último álgebra es generado (como C*-álgebra) por los operadores (Li)
donde {Li} es el conjunto de generadores de En.
Tenemos
Lemma 7.2 Por cada 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m y k ≥ 0,
(i) con vk ((Li) IH) = Lei () con vk.
(ii) con vk+1 (Tj IH) = Lfj
Prueba. La parte i) se deriva de (24) y la parte ii) de (23) (con
de j)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Recordando que w V es un operador unitario cartografiando F(X) H en
F(E, F, u), tenemos
Teorema 7.3 (1) El álgebra Au es unitariamente isomórfico a la (norm
cerrado) subalgebra del tensor álgebra T+(X) que se genera por
(Li), Tđj: 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}.
(2) El subalgebra (norma cerrada) de B(F(E, F, u)) que se genera por
{Lei, L*ei, Lfj: 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m } es unitariamente isomórfico a la
álgebra tensora T+(X) (y contiene Au).
(2) El subalgebra (norma cerrada) de B(F(E, F, u)) que se genera por
{Lei, L*fj, Lfj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m } es unitariamente isomórfico a un
álgebra tensora T+(Y) (y contiene Au).
Prueba. Las partes (1) y (2) siguen de Lemma 7.2. Para la parte 3), nota
que se puede intercambiar los roles de E y F. Más precisamente, se define
el C*-módulo Y sobre Em a ser Y = Cn(Em) y la acción izquierda de Em en
Y por ŁY (Lfl)(bk)
k=1 = (
j,k ū(i,j),(k,l)Lfjbk)
i=1. Esto hace Y en una C
correspondencia sobre Em y el resto de la prueba procede en líneas similares
como en los párrafos anteriores. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Supongamos que m = 1. Entonces X es la correspondencia asociada con el
automorfismo α de En dado por la asignación de Ti a
j=1 ui,jTj (note que u, en
este caso, es una matriz de n × n). El álgebra tensora T+(X) es el análisis
producto cruzado En Z+ y Au es unitariamente isomórfico a la subalgebra
de este producto cruzado analítico que se puede escribir An Z+. Uno también puede
incrustar Au en T+(Y) (como en el corolario 7.3(3)). Aquí Em es simplemente el (clásico)
álgebra T e Y de Toeplitz = Cn(T ) con Y (Tz)(bk)k = (
k ūi,kTzbk)i (donde
Tz es el generador de T ).
Nota 7.4 Dado que los automorfismos "z,w y "A,B" de Au son ambos uni-
se pueden extender a T+(X). Es fácil comprobar que
cartografian T+(X) en sí mismos y, por lo tanto, son automorfismos de T+(X). Por lo tanto,
al menos cuando n 6= m, cada automorfismo de Au se puede extender a un auto-
morfismo del álgebra tensor T+(X) que lo contiene (ver Teorema 5.12).
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[4] E. Katsoulis, D.W. Kribs, Isomorfismos de álgebras asociados con di-
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http://arxiv.org/abs/math/0604630
http://arxiv.org/abs/math/0504129
Introducción
Preliminares
El espacio de carácter y su núcleo
Automorfismos de Ln y Lu
álgebras isomórficas
Casos especiales
El caso n=m=2
álgebras de relación unitaria de permutación
Au como subalgebra de un álgebra tensor
| Definimos álgebras de operador no autoadjunto con generadores $L_{e_1},...,
L_{e_n}, L_{f_1},...,L_{f_m}$ sujeto a las relaciones de conmutación unitaria de
el formulario \[ L_{e_i}L_{f_j} = \sum_{k,l} u_{i,j,k,l} L_{f_l}L_{e_k} donde $u=
(u_{i,j,k,l})$ es una matriz unitaria de $nm \times nm$. Estos álgebras, que
generalizar las álgebras analíticas de Toeplitz de gráficos de rango 2 con una sola
vértice, se clasifican hasta isomorfismo isométrico en términos de la matriz $u$.
| Introducción
El cambio unilateral en el complejo espacio separable Hilbert genera dos
álgebras del operador mental, a saber, la norma cerrada (unital) álgebra y el
topología de operador débil álgebra cerrada. El primero es naturalmente isomórfico a
el álgebra de disco de las funciones holomórficas en la unidad de disco, continua a la
límite, mientras que este último es isomórfico a H. La libertad de no conmutar
generalizaciones multivariables de estos álgebras surgen de la libre no com-
silenciar los turnos Le1,. .., Len dada por los operadores de creación de izquierda en el Fock
espacio Fn =
k=0(Cn)k. Aquí los álgebras de operador generados, denotado
Un y Ln para la norma y las topologías débiles, se conocen como el no commu-
álgebra discal tativa y el álgebra freesemigroup. Se han estudiado
extensamente con respecto a la estructura del álgebra del operador, teoría de la representación
y la teoría del operador multivariable de las contracciones de filas. Véase, por ejemplo,
[2] [9].
Generalizaciones de rango superior de estos álgebras surgen cuando se considera
varias familias de grupos electrógenos libremente no conmutantes entre los que hay
relaciones de conmutación. En el presente documento consideramos una forma muy general
de esas relaciones, a saber:
LeiLfj =
ui,j,k,lflLek
donde Le1,. .., Len y Lf1,. .., Lfm son libremente sin conmutación y u = (ui,j,k,l)
es una matriz unitaria nm×nm. Los álgebras de operador asociados se denotan
Au y Lu y los clasificamos hasta varias formas de isomorfismo en términos
de las matrices unitarias u. Estas relaciones unitarias surgieron originalmente en el
texto del teorema general de dilatación probado en Solel ([12], [13]) para dos filas
contracciones [T1 · · ·Tn] y [S1 · · ·Sm] que satisfacen la conmutación unitaria
relaciones.
Para n = m = 1, tenemos u = [α] con = 1 y Au es el subalgebra de
la rotación C*-álgebra para las relaciones uv = αvu. Cuando u es una permutación
matriz unitaria que surge de una permutación en Snm entonces las relaciones son
los asociados con un único gráfico de rango vértice 2 en el sentido de Kumjian
y Pask, y los álgebras en este caso se han considerado en Kribs y
Potencia [5] y Potencia [10]. En particular, en [10] se demostró que hay 9
álgebras del operador A.O. derivadas de las 24 permutaciones en el caso n = m = 2. In
contraste, vemos a continuación en la sección 6 que para general 2 por 2 unitarios u allí
son incontables muchas clases de isomorfismo de las relaciones unitarias álgebras
Au expresado en términos de una parametrización real de nueve pliegues de isomorfismo
tipos.
Los álgebras son fácilmente definidos; son determinados por la izquierda regular
representación del semigrupo F cuyos generadores son e1,. .., en, f1,. ............................................................................
con sujeción a las relaciones eifj = flek, en la que Ł(i, j) = (k, l). Por otra parte
la relación unitaria álgebras Au se generan de los operadores de la creación sobre una
Espacio Fock clasificado en Z2+
• Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) y con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC) • Relaciones con los países de Europa central y oriental (AELC)
identificación u : Cn Cm → Cm Cn. En particular, Au es una representación
del álgebra tensor no autoadjunta de la correspondencia de rango 2 (o del producto
sistema sobre N2) en el sentido de [13]. Véase también [3]
En los principales resultados, resumidos en parte en el Teorema 5.10, vemos que si
Au y Av son isomórficos entonces las dos familias de generadores tienen coincidencia-
, ing cardenalidades. Además, si n 6= m entonces los álgebras son isomórficos si
y sólo si los unitarios u, v en Mnm(C) son equivalentes unitarios por un unitario
A B en Mn(C) Mm(C). Como en [10] llamamos a este producto equiv unitario-
alence (con respecto a la descomposición del producto tensor fijo). El caso
n = m admite una posibilidad adicional, en vista de la posibilidad de generador
intercambio de isomorfismos, a saber, que u, son producto equivalente unitario,
donde i,j,k,l = v̄l,k,j,i.
El teorema se demuestra de la siguiente manera. Después de algunos preliminares que identificamos, en
Sección 3, el espacio de caracteres M(Au) y el conjunto de w*-continuous charac-
Ters en Lu. Estos son subconjuntos del producto de bola de unidad cerrada Bn × Bm que
se asocian con una variedad Vu en C
n×Cm determinado por u. Entonces definimos
el núcleo Ł0u, un subconjunto cerrado del espacio de caracteres realizado u =M(Au), y
identificamos esto intrínsecamente (algebraicamente) en términos de representaciones de Au
en T2, el álgebra de matrices triangulares superiores en M2(C). La importancia
del núcleo es que somos capaces de demostrar que el interior es un mínimo automor-
phism subconjunto invariante en el que los automorfismos actúan de forma transitoria. Esto permite
para inferir la existencia de isomorfismos clasificados de los isomorfismos generales.
Para construir automorfismos repasamos primero, en la Sección 4, la con-
estructuración de una acción unitaria del grupo de la Mentira U(1, n) en el Cuntz álgebraOn
y el operador álgebras An y Ln. Esto proporciona, en particular, unitarias
automorfismos, para α Bn, que actúan de forma transitoria en el interior de la bola,
Bn, del espacio de carácter de An. Para estos automorfismos unitarios explícitos
de la copia ei-generada de An en Au, establecemos la conmutación unitaria re-
laciones para las tuplas (Le1),. ........................................................................ .., Lfm, cuando (α, 0) es
un punto en el núcleo. Esto nos permite definir automorfismos unitarios naturales
de Au sí mismo, y en el teorema 4.8 el interior relativo del núcleo es identi-
fied como un automorfismo invariante en el espacio Gelfand. En la sección
5 determinamos los isomorfismos clasificados y bigrado en términos de producto
equivalencia unitaria. Para ello observamos que tales isomorfismos inducen
un mapa biholomórfico que conserva el origen entre los núcleos de los núcleos de los núcleos y de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos de los núcleos
v y
que estos mapas, por un Lemma de Schwarz generalizado, son implementados por un
producto unitario. Luego probamos el principal teorema de clasificación.
En la sección 6 analizamos en detalle el caso n = m = 2 y consideramos la
caso especial de unidades de permutación.
Finalmente, en la Sección 7 mostramos que el álgebra Au está contenido en un tensor
álgebra T+(X), asociada con una correspondencia X como en [7]. Por otra parte, en
menos cuando n 6= m, cada automorfismo de Au se extiende a un automorfismo
de T+(X). La ventaja del álgebra tensor es que su representación
teoría es conocida ([7]), mientras que este no es el caso todavía para el álgebra Au.
2 Preliminares
Fijar dos espacios finitos de Hilbert E = Cn y F = Cm y a
mn unitaria × mn matriz u. Las filas y columnas de u están indizadas por
{1,.............................................................................................................................................................................................................................................................
matriz suponemos que {1,...., n} × {1,...., m} se ordena lexicográficamente
(de modo que, por ejemplo, la segunda fila es la fila indizada por (1, 2)). Nosotros también.
fijar las bases ortonormales {ei} y {fj} para E y F respectivamente y la matriz
u se utiliza para identificar E F con F E a través de la ecuación
ei fj =
u(i,j),(k,l)fl ek. 1)..........................................................................................................................................................
Equivalentemente, escribimos
fl ek =
ū(i,j),(k,l)ei fj. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Por cada k, l â € N, escribimos X(k, l) para Ek Fl. Usando una aplicación successive...
ciones de (1), podemos identificar X(k, l) con Ek1 Fl1 Ek2 · · · Flr
cuando k =
ki y l =
Que F(n,m,u) sea el espacio Fock dado por la suma directa del espacio Hilbert
X(k, l) =
Ek Fl,
y, para e-E y f-F, escriba Le y Lf para los operadores de “desplazamiento”
Leei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl = eei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl
Lfei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl = fei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl
donde, en la última ecuación, utilizamos (1) para identificar el vector resultante como un
vector de Ek F(l+1).
El semigrupo unitario generado por {I, Le, Lf : e â E, f â F} es
denotado F+u y el álgebra que genera denotado C[F
u ]. El cierre de la norma
de C[F+u ] se escribirá Au y su cierre en la topología del operador débil*
se escribirá Lu. En particular, los álgebras L.o y A.o estudiados en [10] son
los álgebras Lu y Au para u que es una matriz de permutación.
Los resultados de la sección 2 en [5] también se mantienen aquí con cambios menores. Cada
A Lu es el límite (en la topología del operador fuerte) de sus sumas Cesaro
P(A) =
(1 a k)
)Φk(A)
donde Φk(A) se encuentra en Lu y es “apoyado” en
l El F(k−l). De hecho,
que Qk sea la proyección de F(n,m,u) en
(k−l), forman la
Grupo unitario de un parámetro {Ut} definido por Ut :=
k=0 e
iktQk y set
γt = AdUt. Entonces t}tÃ3r es una acción w*-continua de R en L(F(n,m,u))
que normaliza tanto Au y Lu y
Φk(a) =
e-iktγt(a)dt
para todos los a L(F(n,m, u)). Entonces Φk deja Lu invariante.
Podemos definir el álgebra Ru generada por los cambios de derecha Re y Rf
definido por
Reei1ei2 · eikfj1fj2 · fjl = ei1ei2 · eikfj1fj2 · fjle
Rfei1ei2 · eikfj1fj2 · fil = ei1ei2 · eikfj1fj2 · filf.
Las técnicas de la prueba de la Proposición 2.3 de [5] se pueden aplicar aquí a
mostrar que el conmutante de Ru es Lu. También, mapeo ei1 ei2 · · · eik
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Operador unitario
W : F(n,m,u) → F(n,m,u*)
por la que se aplica una equivalencia unitaria de Lu y Ru*. De hecho, es fácil de
comprobar que ReiW = WLei y RfjW = WLfj para cada i, j. Para ver que la
la relación de conmutación en el rango es dada por u*, aplicar W a (2) para obtener (en
el rango de W ) ek fl =
i,j ū(i,j),(k,l)fj ei =
i, j(u)
*) k, l), i, j) fj ei que
es la ecuación (1) con u* en lugar de u.
Como en [5], concluimos que (Lu)′ = Ru y (Lu)′′ = Lu.
3 El espacio de carácter y su núcleo
En la siguiente propuesta describimos la estructura de los espacios de carácter
M(Lu) y M(Au) (equipados con la topología débil*). Resultados similares
se obtuvieron en [5] para álgebras definidas para gráficos de rango superior y en [2] para
álgebras analíticas de Toeplitz. (Véase también [10].)
Será conveniente escribir
Vu = {(z, w) • Cn × Cm : ziwj =
u(i, j), (k,l)zkwl } (3)
(Bn × Bm) (4)
donde Bn es la bola de unidad abierta de C
n. Nos referimos a Vu como la variedad asociada
con usted.
Proposición 3.1 (1) Las funciones multiplicativas lineales en C[F+u] están en
correspondencia uno-a-uno con puntos (z, w) en Vu.
(2) M(Au) es homeomórfico a Łu.
(3) Para (z, w) â € ¢u, escriba α(z,w) para el carácter correspondiente de Au.
Entonces α(z,w) se extiende a una w
* carácter continuo en Lu si y sólo si
z, w) Bn × Bm.
Prueba. La parte 1) sigue inmediatamente de (1). Fijar α M(Au) y
escribir zi = α(Lei), 1 ≤ i ≤ n, y wi = α(Lfj), 1 ≤ j ≤ m.
multiplicatividad y linealidad de α y (1), se sigue que (z, w) Vu. Desde
α es contractivo y mapas
i aiLei to
i aizi, de lo que se deduce que el valor ≤ 1 y
Del mismo modo, no se aplica ≤ 1. Por lo tanto (z, w) # # # # # # # # Así (z, w) # # # # # # #
Para la otra dirección, fijar primero (z, w) â € ¢u con â € € € € < 1 y â € € € € € < 1.
Se deduce de la definición de Łu y de (1) que (z, w) define un lineal
y el mapa multiplicativo α en el álgebra C[F+u] de tal manera que Lei está mapeado en
zi y α(Lfj) = wj. Abusando ligeramente de la notación, escribimos α(x) para α(Lx) para
cada x Ek Fl. También, para i = (i1,. .., ik) y j = (j1,. .., jl), escribimos
eifj para ei1 · · · eik fj1 · · · fjl. Estos elementos forman una ortonormal
base para Ek Fl y ahora establecemos
α(eifj)eifj • F(X).
Si pi ≥ 0 y p1 +. .. + pn = k entonces hay k!p1! términos ei1 · · · · eik
con α(ei1 · · · eik) = z
2 · · · z
k. De ello se deduce que
i (ei)2 =
i=(i1,...,ik)
(ei1)2 · · · (eik)2. Por lo tanto
w2 =
i, j, k, l
(eifj)2 = (1− â € € ~ 2)−1(1− â € € ~ 2)−1 â € ~
Tenga en cuenta que, por cada x Ek Fl,
x, w = α(x).
Por lo tanto, para E, x, L*ew = Lex, w = α(ex) = α(e)α(x) = (e)wα, x
y, de manera similar, x, L*fw = (f)wα, x para f F. Así wα, L*ew =
α(e)α(wα) = α(e)
(eifj)2 = α(e)w2. Del mismo modo, wα, L*fw =
α(f)α(wα) = α(f)
(eifj)2 = α(f)w2 para f F. Por lo tanto, si escribimos
# Entonces # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Entonces # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
α(x) = «Lx»,
por cada x Ek Fl (por cada k, l). Esto muestra que α es contractivo
y es continuo. Por lo tanto, podemos extenderlo a un elemento de M(Lu),
también denotado α.
El análisis de arriba muestra que la imagen del mapa α 7→ (z, w)
definido anteriormente (onM(Au)) contiene Vu®(Bn×Bm). Puesto que M(Au) es compacto
y el mapa es w*-continuous, su imagen contiene (y, por lo tanto, es igual a)
Esto completa la prueba de (2). Para completar la prueba de (3), necesitamos
para demostrar que, si (z, w)
w*-carácter continuo en Lu, a continuación, "zá" < 1 y "wá" < 1.
Para esto, escriba L para el subalgebra w* cerrado de Lu generado por {Le :
e E} {I}. Let P ser la proyección de F(E, F, u) en F(E) = C
E (E E) · · · · ·. Entonces PLP = PLuP y el mapa T 7→ PTP, es un
isomorfismo continuo de L hacia PLuP. Este último álgebra es unitariamente
equivalente al álgebra Ln estudiado en [2]. Carácter continuo de Lu
da lugar, por lo tanto, a un carácter continuo en Ln. Se deriva de [2],
Teorema 2.3] que z Bn. Del mismo modo, uno muestra que w â € Bm. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Para indicar el siguiente resultado, primero escribimos u(i,j) para la matriz n×m cuya
k, l-entrada es u(i, j), (k, l). Así, la fila (i, j) de u proporciona las filas n de u(i, j).
A continuación, computamos
u(i,j),(k,l)zkwl =
u(i,j),(k,l)wl)zk =
(u(i,j)w)kzk = u(i,j)w, z.
Escribir Ei,j para la matriz n×m cuya i, j-entrada es 1 y todas las demás entradas son
0 (de modo que Ei,jw, z = ziwj) y escriba C(i,j) para la matriz u(i,j)−Ei,j. Entonces
el cálculo anterior produce lo siguiente.
Lemma 3.2 Con C(i,j) definido como anterior, tenemos
Vu = {(z, w) • Cn × Cm : • C(i, j)w, z = 0, para todos los i, j}.
Definición 3.3 El núcleo de la u es el subconjunto dado por
Bn × Bm : C(i,j)w = 0, Ct(i,j)z = 0 para todos los i, j}.
Arreglar (z, w) Tenemos u(i,j)w = Ei,jw para todos i, j. Así, por cada k,
u(i,j),(k,l)wl = Łi,kwj (6)
(en los casos en que el valor de la letra i),k es 1 si es i = k y 0 si no es así) y, para el valor de a1, a2,. ..................................
k,l u(i,j),(k,l)akwl = aiwj. Por lo tanto, si dejamos que
i) ser el vector en Cmn definido
por w
(k,l)
= Kk, lwl, tenemos uw
i) = wū(i). Del mismo modo, para z, tenemos
u(i,j),(k,l)zk = Łj,lzi (7)
y para escalares b1,. ..., bm tenemos
k,l u(i,j),(k,l)blzk = bjzi. Por lo tanto, escribir zū(j)
para el vector definido por (z?(j))(k,l) =?l,jzk, tenemos uz?(j) = z?(j). El vector
w?(i) en Cnm = Cn Cm es también expresable como?i w donde 1,. ..............................................................
la base estándar de Cn, y, de manera similar, zū(j) = z Łj. Por lo tanto, obtenemos
Lemma 3.4, que será útil en la sección 6.
Tomamos nota también de la siguiente fórmula de acompañamiento. Suponga (z, w) â € ¢0u.
Entonces, como hemos señalado anteriormente, uzū(j) = zū(j) y, por lo tanto, u
* zū(j) = zū(j). Escribiendo esto
explícitamente, tenemos, para todos i, j, l,
u(k,l),(i,j)z̄k = Łj,lz̄i. (8)
Lemma 3.4 Let (z, w) Ser un vector en el núcleo Ł0u. Entonces
i) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} Ker(u-I).
En particular,
(i) Si el núcleo contiene un vector (z, w) con z 6= 0, entonces dim(Ker(u-I)) ≥
(ii) Si el núcleo contiene un vector (z, w) con w 6= 0 entonces dim(Ker(u-I)) ≥
(iii) Si el núcleo contiene un vector (z, w) con z 6= 0 y w 6= 0, entonces
dim(Ker(u− I)) ≥ m+ n− 1.
Ahora caracterizamos el núcleo de una manera algebraica en términos de repre-
sentaciones en el álgebra T2 de matrices triangulares superiores 2×2. Observamos
que las representaciones del nido como estas han demostrado ser útiles en el algebraico
estructura teoría de álgebra no autoadjunta [?], [11].
Vamos a : C[F+u ] → T2 con
(T ) =
1,1(T ) 1,2(T )
0...............................................................................................................
Entonces?1,1 y?2,2 son caracteres y?1,2 es una funcionalidad lineal que satisface
1 (TS) = 1 (T )1,2 (S) + 1 (T )2,2 (S) (9)
para T, S, C[F+u ].
Ahora nos limitamos al caso en el que?1,1 =?2,2. Por la Proposición 3.1(1)
ambos están asociados con un punto (z, w) en Vu. De lo que se deduce de (9) que:
está determinado por sus valores en Lei y Lfj. Ajustar el valor de la letra a) del punto 1.2 (Lei) y el valor de μj =
(Lfj), nos asociamos con cada homomorfismo (como se discutió más arriba) a
cuádruple (z, w, , μ) donde (z, w) Vu y, para cada i, j,
ziμj + ♥iwj =
u(i, j), (k, l)) (wlđk + μlzk). (10)
(La última ecuación sigue de (1)). Usando (5) podemos escribir la última ecuación
u(i,j)w, u(i,j)μ, z = ziμj + Łiwj = Ei,jw, Ei,jμ, z.
Es decir,
C(i,j)w, , Ct(i,j)z = 0. (11)
El siguiente lema se deriva ahora de la definición del núcleo.
Lemma 3.5 Un punto (z, w)
Cn × Cm define un homomorfismo : C[F+u ] → T2 tal que
(Lei) =
zi ♥i
(Lfj ) =
wj μj
Para todos i, j.
4 Automorfismos de Ln y Lu
Primero derivamos los automorfismos unitarios de Ln y An asociados con
U(1, n). Estos fueron obtenidos por Voiculescu [14] en el marco de la Cuntz-
álgebra Toeplitz. Sin embargo, los automorfismos se limitan a una acción de U(1, n)
en el álgebra semigrupo libre. El resultado es bastante fundamental, siendo un
versión dimensional superior del conocido grupo de automorfismo Möbius en
¡Hó! ¡Hó! ¡Hó! Para la comodidad del lector ofrecemos pruebas completas. See also the
la discusión en Davidson y Pitts [2], y en [1], [10].
Lemma 4.1 Let α Bn y escribir
i) x0 = (1− 2)−1/2,
ii) η = x0α, y
iii) X1 = (ICn +
∗)1/2.
(1) 2 = x02 − 1,
(2) X1η = x0η, y
(3) X21 = I +
En particular, la matriz X =
satisface X*JX = J, donde J =
Prueba. Parte (1) es un cálculo fácil y parte (3) sigue de la
definición de X1. Para (2), tenga en cuenta que X
1η = (I +
*)η = η + 2η = x20η
y, por cada , X1 = . Supóngase X1η = aη +. Entonces
x20η = X
1η = a
2η + فارسى y se deduce que a = x0 (como X1 ≥ 0) y • = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El lema presenta matrices específicas (X1 no es negativo) en U(1, n) asso-
ciated con puntos en la bola abierta. Se puede comprobar de manera similar (véase [2] o [10] para
ejemplo) que la forma general de una matriz Z en U(1, n) es Z =
η2 Z1
donde
1 = 2 = 2 = 2 = 2 = 1 = 1
Z1η1 = z̄0η2, Z
1η2 = z0η1,
Z*1Z1 = En + η1η
1, Z1Z
1 = En + η2η
Es estas ecuaciones que son equivalentes a la ecuación de matriz única Z*JZ =
Es bien sabido que el mapa X definido en Bn por
(+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+)) (+)) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)) (+) (+)) (+) (+) (+) (+)))) (+) (+) (+))) (+) (+) (+) (+) (+)) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)
X1° η
x0 +,
, Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn., Bn.
es un automorfismo de Bn con inversa X-1. Véase Lemma 4.9 de [2] y Lemma
8.1 de [10], por ejemplo. Hacemos uso de esto en la prueba de Voiculescu
Teorema abajo.
Let L1,. ...............................................................
Cn escribir L. =
iLi. Recuerde que el espacio de caracteres M(An) es naturalmente
identificable con la bola cerrada B̄n, con ♥ en esta bola que proporciona un carácter
para el cual (Li) = ♥i. La prueba es una versión reducida de la anterior
en el caso de M(A/23370/).
Teorema 4.2 Dejar que α Bn y que X1, x0, η y X se asocien con α como
en Lemma 4.1. Entonces
(i) hay un automorfismo X de Ln tal que
(L) = (x0I + Lη)
−1(LX1) +, I), (12)
(ii) el automorfismo inverso 1X es X−1 y X
−1 es la matriz en
U(1, n) asociado con,
(iii) hay una UX unitaria en Fn tal que para un An,
UXa+0 = (a)(x0I + Lη)
y X(a) = UXaU
Prueba. Deja que Fn sea el espacio Fock para Ln, In = IFn, y deja que L
[En L1 · · ·Ln] visto como un operador de (CÃ3 Cn)Fn = Fn à (Cn Fn)
a Fn. Entonces
(L1L*1 +. .. LnL*n) = P0
donde P0 es la proyección vectorial de vacío de Fn a C. También, desde XJX =
J, tenemos
(J I)L = L(X In)J I)X In)L = [Y0 Y1](J I)[Y0 Y1]*
donde
[Y0 Y1] = [En L]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
η
Así Y0Y
0 − Y1Y ∗1 = P0. También
Y0 = x0 In + L(η In) = x0In + Lη,
Y1 = η
* In + L(X1 In) = In + [LX1e1. .. LX1en]
donde, aquí, e1,. ...............................................................
El operador V = Y −10 Y1 es una isometría de fila [V1 · · · Vn], desde Cn Fn hasta
Fn con defecto 1. Para ver esto computamos
I − V V ∗ = I − Y − 10 Y1Y * 1 Y 10 = I − Y − 10 (−P0 + Y0Y ∗ 0 ) Y 10
= I + Y −10 P0Y
0 − I = •
0 = Y
0 + 0 = (x0In + Lη)
-1 = 0 = x
(x-10 Lη)
Y así
0 = x02
x02j2j =
x20 − 2
Teniendo en cuenta la trayectoria t → tα para 0 ≤ t ≤ 1 y la trayectoria correspondiente de
parcial isometries V se deduce de la estabilidad del índice de Fredholm que el
índice de V y L coinciden y de hecho V es una isometría de fila. Así V1,. .., Vn
son isometrias con rangos ortogonales.
Ahora tenemos un homomorfismo de álgebra contractivo An → L(Fn) determin-
minado por la correspondencia Lei → Vi, i = 1,..., n. De hecho es un álgebra
endomorfismo : An → An. De hecho, para â € = (â € 1,. ..........................................................
(L) =
iVi =
0 Y1(ei In)
(x0 en + Lη)
−1( In + [LX1e1. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
= (x0In + Lη)
−1(, In + LX1).
Hasta ahora hemos seguido la prueba de Voiculescu [14]. El siguiente argumento:
muestra que • es un automorfismo y es una alternativa al cálculo
propuesta en [14]. El cálculo muestra que
X =
Tenemos
(x0 en + Lη)-1(, en + LX1)
= (x0 +, )−1(, X1, ) = (L)
donde
X*1o + η
x0 +,
X1° η
x0 +,
= lX(l).
Escribir X para el endomorfismo contractivo de An como construido
arriba. De ello se deduce que la composición Φ = X−1 â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €.
endomorfismo que, por las observaciones que preceden a la declaración de la
rem, induce el mapa de identidad en el espacio de carácter, de modo que = 1
para todos los miembros del grupo Bn. Tal mapa debe ser la identidad. De hecho, supongamos que
tienen la representación de la serie de Fourier 1(Le1) = a1Le1 +. ...............................................................................................................
donde X es una serie con términos de grado total superior a uno. De ello se desprende:
t-l(t,0,...,0)(Φ
−1(Le1)) = a1
mientras
t-1-0(t,0,...,0)(Le1) = 1.
Dado que el mapa inducido es la identidad, tenemos a1 = 1 y ak = 0 para k ≥ 2.
De esta manera vemos que la imagen de cada Li tiene la forma Li+Ti donde Ti tiene
sólo los términos de grado total superior a uno. Ya que Lio es ortogonal a Tio
y 1(Li) es una contracción, tenemos 1 ≥ 1(Li)+0+2 =
• Li • 2 + Ti • 0 • 2 = 1 + Ti • 0 • 2. Por lo tanto Ti-0 = 0 y, en consecuencia, Ti = 0
y por lo tanto la composición Φ es el mapa de identidad.
Finalmente, demostramos que se implementa unitariamente. Definir UX en An-0
por UXa-0 = Xa-a)-
0 = X(a)(x0I + Lη)
− 1 + 0 para un + A. Ya que X es un
automorfismo, (UXa)b-0 = UXab-0 = UXa)-a)-Xb-b-
0 = X (a) UXb+0, para
a, b • An, y se deduce que UXa = • X(a)UX, como transformaciones lineales en
el espacio denso Aná0.
Ahora, V = [V1,. .., Vn] es una isometría de fila con espacio de defecto que se extiende
El mapa UX mapea a Li0 a X(Li)
0 = Vi®
0 y, si w = w(e1,. .., en) es
una palabra en e1,. .., en, entonces
UX®w = UXw(L1,. ...., Ln )........................................................................................................................................................................................................................................................ ...............................................................
0 = w(V1,. ...........................................................
Puesto que V es una isometría de fila y 0 es un vector de errante unidad para V, sigue
que {w(V1,. .., Vn)0} es un conjunto ortonormal. Por lo tanto, UX es una isometría. Desde
El rango de UX contiene UXAn-0 = X(An)0 = An(x0I + Lη)−1-0 = An-0
Vemos que la UX es unitaria. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 4.3 Con los mismos cálculos que en la prueba anterior y ligeramente
más notación, se puede mostrar que cada matriz invertible Z • U(1, n) define
un automorfismo Z y que Z → Z es una acción de U(1, n) en An y,
en particular, Z-X = Z-X-X. Además, Z → UZ es una representación unitaria
de U(1, n) implementando esto como indica el siguiente cálculo.
Let W =
ser la matriz en U(1, n) asociada con β • Bn
como en Lemma 4.1. Entonces
UXUWa+0 = UX((a)(w0 + L
− 1 + 0)
= ((a)(w0 + L)
−1)(x0In + Lη)
= ((a))(w0 + L)
−1)(x0In + Lη)
= XW (a)(w0 + L.)
−1)(x0In + Lη)
= XW (a)[w0In + (x0In + Lη)
−1(LX1• +, In)]
(x0in + Lη)
= XW (a)[w0x0In + w0Lη + LX1• +, In)]
= XW (a)[(w0x0In +, )In + L0X1
Uno comprueba fácilmente que esto es lo mismo que UXW (a)+0
Es evidente por el último teorema y su prueba de que el auto unitario-
morfismos de An y Ln de forma transitoria en el subconjunto abierto Bn asociado
con los personajes continuos de la estrella débil. Demostraremos que una versión de
esto sostiene para la relación unitaria álgebras con respecto al núcleo abierto de
el espacio de carácter. Como un primer paso para la construcción de automorfismos de Au
obtener las relaciones unitarias de conmutación para los n-tuples (Le1),. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
y [Lf1,. .., Lfm ] para ciertos automorfismos • de la copia de An en Au.
Lemma 4.4 Suponga (z, w) (Bn×Bm). Escribir α para z̄ y dejar :=
ser como en (12). A continuación, por cada 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m,
(Lei)Lfj =
u(i, j), (k, l) Lfl.(Lek). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Prueba. Escribe Y para y β para (x0 + 1)
−1. Desde X21 = I +
X1 = I +
* = I + βY e Y = (Yi,j) donde Yi,j = ηij = x
0z̄izj. Ahora sí.
calcular
(X1ei)fj = eifj +
βYt,ietfj = eifj +
t,k,l
βYt,iu(t,j),(k,l)flek
u(i,j),(k,l)flek +
t,k,l
βx20z̄tziu(t,j),(k,l)flek
u(i,j),(k,l)flek + βx
t,k,l
z̄tu(t,j),(k,l)flek.
Usando la ecuación del núcleo (8), la última expresión es igual a
u(i,j),(k,l)flek + βx
♥j,lz̄kflek
u(i,j),(k,l)flek + βx
z̄kfjek
u(i,j),(k,l)flek + βx
Z̄kflek.
Usando la ecuación del núcleo (7), esto es igual a
u(i,j),(k,l)flek + βx
u(i,j),(t,l)zt)z̄kflek
u(i,j),(k,l)flek + βx
k, l, t
u(i,j),(k,l)zkz̄tflet
u(i,j),(k,l)flek + β
k, l, t
u(i,j),(k,l)Yt,kflet
u(i,j),(k,l)flek + β
u(i,j),(k,l)flY ek
u(i, j), (k, l)flX1ek.
LX1eiLfj =
u(i,j),(k,l)LflX1ek. (14)
A continuación, computamos
i z̄ieifj =
i,k,l u(i,j),(k,l)z̄iflek. Usando (8), esto es igual
k,l Łj,lz̄kflek =
k zskfjek. Por lo tanto
z̄ieifj =
zsifjei (15)
y, por lo tanto, Lη se desplaza con Lfj. De ello se deduce que
Lfj (x0I − Lη)−1 = (x0I − Lη)−1Lfj. 16)
Tenemos, usando (14) y (16),
(x0I − Lη)−1LX1eiLfj =
u(i,j),(k,l)(x0I − Lη)−1LflLX1ek
u(i,j),(k,l)Lfl(x0I − Lη)
-1LX1ek.
Además, aplicando (7) y (16), obtenemos
(x0I − Lη)−11, Lfj = ziLfj (x0I − Lη)−1
(x0I − Lη)
u(i,j),(k,l)zkLfl(x0I − Lη)
Restando las dos últimas ecuaciones, obtenemos (13). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollario 4.5 En la notación de Lemma 4.4, por cada i, j,
L*fjŁ(Lei) =
u(i,l), (k,j)(Lek)L
Prueba. De lo expuesto en el considerando 13 se deduce que la letra (Lei)lfl =
k,t u(i,l),(k,t)Lft
Cada i, l. Por lo tanto, para i, j, l,
L*fjř(Lei)LflL
u(i,l),(k,t)L
Lft®(Lek)L
u(i,l),(k,t)
u(i,l), (k,j)(Lek)L
Resumiendo sobre l, tenemos
L*fjŁ(Lei)(
u(i,l), (k,j)(Lek)L
l LFIL
= I − P donde P es la proyección en el subespacio C
E. (E. E.)...................................................................................................... Tenga en cuenta que P se deja invariante bajo los operadores en
el álgebra generada por {Lei: 1 ≤ i ≤ n} y, en particular, por {Lei: 1 ≤ i ≤ n}.
Por lo tanto, L*fjŁ(Lei)P = L
(Lei)P = 0 =
k,l u(i,l), (k,j)
P. Esto
completa la prueba del corolario. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 4.6 Suponga (z, w) # #0u # (Bn × Bm). Entonces hay un auto-
morfismo z de Au que se implementa unitariamente y tal que, por cada
X â € TM au,
α(0,w)(
z (X)) = α(z,w)(X) (17)
donde α(z,w) es el carácter asociado con (z, w) por la Proposición 3.1.
Prueba. Que U sea el operador unitario que implemente la aplicación de. Podemos ver
F(n,m, u) como la suma
F(n,m, u) =
Fk F(E)
donde F(E) = Câ € (EE) · · ·. Ahora dejamos que V sea el operador unitario.
cuya restricción a Fk F(E) es Ik U (donde Ik es el operador de identidad
en Fk). Es fácil comprobar que, para cada fj,
V LfjV
* = Lfj.
Ahora, arréglame. Demostraremos, por inducción, que, por cada k y cada â € ~
Fk F(E),
(Ik U)Lei = (Lei)(Ik U). (18)
Para k = 0 esto es sólo el hecho de que U implementa . Supón que sabemos esto.
para k y fijar fj â € ¢ F. Entonces, para â â € TM Fk F(E) tenemos,
(Ik+1 U)LeiLfj =
u(i,j),(k,l)(Ik+1 U)LflLek®
u(i,j),(k,l)Lfl(Ik U)Lek®.
Aplicando la hipótesis de inducción, esto es igual a
k, l u(i, j), (k, l) Lfl
U)®. Usando (13), se trata de "Lfj" (Ik U) = "Lei" (Ik U). Desde
F(k+1) F(E) se extiende por elementos de la forma Lfj® (como arriba) la
La igualdad es lo que sigue. De las relaciones de Lemma 4.4 se deduce que el mapa
z : X → V XV * define un endomorfismo unitario de Au. Ya que es un
automorfismo de Un se deduce que z da el automorfismo deseado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Claramente, en la Proposición 4.6, podemos intercambiar z y w para obtener el siguiente...
ing, donde z,w = zw.
Proposición 4.7 Suponga (z, w) (Bn ×Bm). Entonces hay un unitario
automorfismo, z,w de Lu que es un homeomorfismo con respecto a la
w*-topologías y que se limita a un automorfismo de Au. Por otra parte, para
cada X â € ¢ Lu,
α(0,0)
z,w(X)) = α(z,w)(X) (19)
donde α(z,w) es el carácter asociado con (z, w) como en la Proposición 3.1.
Un automorfismo de Au, define un mapa en el espacio de carácter de Au,
a saber, 7→ 1. Así que usando la Proposición 3.1 tenemos un homeomorfismo
de Łu. También, ya que el Bn × Bm (Bn × Bm) es el interior de los mapas
(Bn × Bm) sobre sí mismo.
Similarmente, si es un automorfismo de Lu que es un homeomorfismo con
respeto a la w*-topologías, entonces es un homeomorfismo de
En el siguiente teorema identificamos el interior relativo del núcleo como el
órbita de (0, 0) bajo el grupo de mapas asociados con los automorfismos.
Teorema 4.8 Para (z, w) Bn×Bm las siguientes condiciones son equivalentes.
(1) (z, w) â € ¢0u.
(2) Existe un automorfismo completamente isométrico de Lu que es un
homeomorfismo con respecto a las topologías
automorfismo de Au, tal que (0, 0) = (z, w).
(3) Existe un automorfismo algebraico de Au tal que (0, 0) =
(z, w).
Prueba. La prueba que (1) implica (2) viene de la Proposición 4.7. Claramente.
2) implica 3). Queda por demostrar que (3) implica (1).
Teniendo en cuenta un punto (z, w) â € ¢u, vimos en Lemma 3.5 que, por cada (?, μ)
satisfaciendo (11) hay un homomorfismo........... : C[F
u ] → T2. Para (z, w) =
(0, 0) la ecuación (11) se mantiene para cada par (, μ). A partir de 0,0,μ, μ desaparece de un
subespacio dimensional finito, es un homomorfismo limitado. De hecho, para
Cada uno de los subartículos 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C0010.b., 1C00.b., 1C00.b., 1C00.b., 1C00.b., 1C00.
Teniendo en cuenta lo siguiente: (z, w) como en (3), por cada Cn × Cm,
es un homomorfismo en C[F+u] y, por lo tanto, es de la forma de algunos
(único) (, ) satisfactorio (11). Escriba (, μ) = (, ) y tenga en cuenta que esto
define un mapa continuo. Para demostrar la continuidad, supongamos (ln, μn) → (ln, μ)
y escriben en el caso de los puntos 0,0,9,9 y 9 en el caso de los puntos 0,0,9,9 y μ. Entonces (usando la estimación en el
la norma de.0.0.0.μ) hay algo M tal que......................................................................................................................................................................................................................................................
Por cada "Y" C[F+u], "N" (Y) → "(Y"). Ahora arreglar X â € TM au y â € > 0. Hay
algunos Y C[F+u ] tales que X − Y ≤ â â € TM y hay algunos N tales que para
n ≥ N n(Y )− Por lo tanto, para tal n, n(X)−
Configurando X = (Lei), obtenemos
n → y similar para.
Si (z, w) no se encuentra en Ł0u, entonces el conjunto de todos los (, μ) satisfactorio (11) es un subespacio
de Cn ×Cm de dimensión estrictamente inferior a n+m y, como se indica anteriormente,
contiene la imagen continua (debajo del mapa inyector) de Cn × Cm.
Esto es imposible. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5 álgebras isomórficas
En esta sección encontraremos las condiciones para álgebras Au y Av ser (isomet-
rical) isomórfico. La caracterización también se aplica a la estrella débil cerrada
álgebras Lu.
Comenzamos considerando un tipo especial de isomorfismo. Ahora lo haremos.
asumir que el conjunto {n,m} para ambos álgebras es el mismo. De hecho, por inter-
cambiar E y F, podemos asumir que las dimensiones correspondientes son el
igual y los álgebras se definen en F(n,m, u) y F(n,m, v) respectivamente.
Esta hipótesis estará en vigor en el debate que figura a continuación hasta el final del período de sesiones.
Lemma 5.5.
El álgebra Au lleva un Z2 +-grading natural, con el (k, l) etiquetado sub-
espacio que se extiende por los productos de la forma Lei1Lei2. .. LeikLfi1Lfi2. Lfil.
Además, la longitud total de estos operadores proporciona un grado natural de Z+. Nota
que un isomorfismo de álgebra : Au → Av que respeta el grado Z+ es
determinado por un mapa lineal entre los tramos de los generadores
Le1,. .., Len, Lf1,. ................................................................. Aquí usamos la misma notación para los generadores
de Au y Av. Tal isomorfismo será llamado calificado.
Ahora consideramos dos tipos de isomorfismos clasificados, a saber, bien bi-
clasificados, como en la definición siguiente, o, en el caso n = m,
cambiar la etiqueta de los generadores.
Definición 5.1 i) Isomorfismo : Au → Se dice que Av es bigraded
isomorfismo si hay matrices unitarias A (n × n) y B (m × m)
de tal manera que
(Lei) =
ai,jLej, Ł(Lfk) =
bk, lfl.
ii) Si m = n y • es un isomorfismo calificado de tal manera que
(Lei) =
ai,jLfj, Ł(Lfk) =
bk, lLel
para n × n matrices unitarias A y B, entonces decimos que
intercambio de isomorfismo.
Escribimos A, B para el isomorfismo bigrado (como en (i)) y A, B para el
isomorfismo de intercambio clasificado.
Abusando de la notación, escribimos "(ei)" =
j ai,jej en lugar de فارسى(Lei) =
j ai, jLej
para un isomorfismo bigrado (y de manera similar para las otras expresiones).
Para las matrices de permutación unitarias se demostró el siguiente lema en [10,
Teorema 5.1 iii)].
Lemma 5.2 (i) Si A,B es un isomorfismo bigrado entonces
(A B)v = u(AB) (20)
donde AB es la matriz mn×mn cuya entrada (i, j), (k, l) es ai,kbj,l.
(ii) Si m = n y A,B es un isomorfismo de intercambio clasificado entonces
(A B) = u(AB) (21)
donde (i,j),(k,l) = v̄(l,k),(j,i).
Prueba. Suponga que es un isomorfismo bigraded. Por i, j,
(i fj) = (
ai,kek) (
bj,lfl) =
(A B)(i,j),(k,l)ek fl =
k,l,r,t
(A B)(i,j),(k,l)v(k,l),(r,t)ft er =
(A B)v)i,j),(r,t)ft er.
Por otra parte,
*(ei fj) = *(ei fj)
u(i,j),(k,l)fl ek) =
k, l, t, r
u(i,j),(k,l)bl,tak,rft er =
(u(AB))(i,j),(r,t)ft er.
Esto prueba la ecuación (20). Un argumento similar se puede utilizar para verificar la ecuación
(21). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición 5.3 Si u, v son matrices unitarias mn×mn y existen matrices unitarias
matrices A y B satisfactorias (20), decimos que u y v son producto unitario
equivalente.
Ahora supongamos que A y B son matrices unitarias satisfactorias (20). Los
el mismo cálculo que en Lemma 5.2 muestra que WA,B : E u F → E v F
definido por
WA,B(ei fj) =
(A B)(i,j),(k,l)ek fl
es un operador unitario bien definido. Aquí la notación E u F indica que
esto es E F como un subespacio de F(n,m,u). De la misma manera, se define una unidad
operador, también denotado WA,B, de E
k Fl en F(n,m,u) a Ek Fl en
F(n,m, v) por
WA,B(ei1 · · · eik fj1 · · · fjl) =
ai1,r1 · · · aik,rkbj1,t1 · · bjl,tler1 · · · · erk ft1 · · · · ftl.
Esto da un operador unitario bien definido
WA,B : F(n,m,u) → F(n,m,v).
Lemma 5.4 Por cada i, j, escribir Aei =
k ai,kek y Bfj =
I bj, lfl.
Entonces, para g1, g2,. .., gr in {e1,. .., en, f1,. .., fm},
WA,B(g1 g2 · · · gr) = Cg1 Cg2 · · · Cgr (22)
donde Cgi = Agi si gi • {e1,. ..., en} y Cgi = Bgi if gi • {f1,. .., fm}.
Prueba. Si los gi’s son ordenados de tal manera que los primeros son de E y el
los vectores siguientes son de F, entonces el resultado es claro de la definición de
WA, B. Ya que podemos conseguir cualquier otro acuerdo empezando con uno de estos
los pares gl e intercambiantes gl, gl+1 sucesivamente (con gl â € {e1,. ...............................................................
gl+1 ≤ {f1,. .., fm}), basta con demostrar que si (22) se mantiene para un determinado
el arreglo de e s y f s y aplicamos tal intercambio, entonces todavía
Espera. Por lo tanto, suponemos gl = ek, gl + 1 = fs y escribimos g
′ = g1 · · · gl−1,
g′′ = gl+2 · · · gr, Cg′ = Cg1 · · · Cgl−1 y Cg′′ = Cgl+2 · · · Cgr
y computar
WA,B(g)
′ fs ek g′′) = WA,B(
ū(i,j),(k,s)g
′ ei fj g′′).
Usando nuestra suposición, esto es igual a
ū(i,j),(k,s)Cg
′ (
ai,tet) (
bj,qfq) Cg′′ =
i, j, t, q
ū(i,j),(k,s)ai,tbj,qCg
′ et fq Cg′′ =
i,j,t,q,d,p
ū(i,j),(k,s)ai,tbj,qv(t,q),(d,p)Cg
′ fp ed Cg′′ =
(u*)(k,s),(i,j)(A B)(i,j),(t,q)v(t,q),(d,p)Cg′ fp ed Cg′′ =
(A B)(k,s),(d,p)Cg′ fp ed Cg′′ =
ak,dbs,pCg
′ fp ed Cg′′ =
Cg′ Bfs Aek Cg′′
completando la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente lema fue probado en [10, Sección 7] y muestra que el
condiciones necesarias de Lemma 5.2 son también condiciones suficientes en AB para
la existencia de un isomorfismo de aplicación unitaria.........................................................................................................................................................................................................................................................
Lemma 5.5 Para matrices unitarias A,B satisfactorias (20) y X
X 7→WA,BXW*A,B
es el isomorfismo bigraded A,B : Au → Av. Por otra parte, A, B se extiende a
un isomorfismo unitario Lu → Lv, y declaraciones similares se mantiene para graduado
intercambio de isomorfismos (cuando m = n).
Prueba. Bastará con mostrar la igualdad
A,B(X)WA,B = WA,BX
para X = Lei y para X = Lfj. Dejar X = Lfj y aplicar ambos lados de la
ecuation to ei1 · · · · eik fj1 · · · fjl. Usando Lemma 5.4, obtenemos
A, B (Lfj) WA, B (ei1 · · · eik fj1 · · · fjl)
Bj,rLfr (Aei1 · · · · Aeik Bfj1 · · · Bfjl)
= Bfj Aei1 · · · Aeik Bfj1 · · · Bfjl
=WA,B(fj ei1 · · · eik fj1 · · · fjl)
=WA,BLfj (ei1 · · · eik fj1 · · · fjl).
Esto demuestra la igualdad para X = Lfj. La prueba para X = Lei es similar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En este punto dejamos de suponer que el conjunto {n,m} es el mismo para
ambos álgebras y escribir {n′, m para las dimensiones asociadas con Av. Nosotros
Verá en la Proposición 5.8 (y Observación 5.11(i)) que, si los álgebras son
isomórfico, entonces necesariamente {n,m} = {n′, m.
Dado un isomorfismo : Au → Av obtenemos un homeomorfismo : ♥u →
(como en la discusión anterior al Teorema 4.8). Los argumentos utilizados en
la prueba del Teorema 4.8 para demostrar que la parte (3) implica la parte (1) se aplica también
a los isomorfismos y por lo tanto, (0, 0)
Proposición 5.6 Let : Au → Av ser un isomorfismo (algebraico). Entonces
u) =
v y (l)
u (Bn × Bm) = (Bn × Bm) = (Bn × Bm).
Prueba. Arreglar (z, w) en Ł0u y utilizar el teorema 4.8 para obtener un automorfismo Φ
de tal manera que (0, 0) = (z, w). Pero entonces (0, 0) = (z, w) y, como nosotros
anotado anteriormente, esto implica que (z, w) Ł0v. De ello se deduce que (l0u) (l0v)
y, aplicando esto a 1, el lema sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 5.7 El mapa es un mapa biholomorfico.
Prueba. Las funciones de coordenadas para son (z, w) 7→ α(z,w)(1(ei)) (y
(z, w) 7→ α(z,w)(1(fj)) donde α(z,w) es el carácter asociado con (z, w)
por la Proposición 3.1. Por cada Y C[F+v ], α(z,w)(Y) es un polinomio en (z, w)
(para (z, w) y, por lo tanto, una función analítica. Cada X â € TM av es una norma
límite de elementos en C[F+v ] y, por lo tanto, α(z,w)(X) es una función analítica siendo
un límite uniforme de funciones analíticas en subconjuntos compactos de v. Por lo tanto, para
cada (z, w), hay una serie de poder que converge en algunos, no vacío,
circular, barrioC de (z, w) que representa α(z,w)(X) enCv. Tomando
para X los operadores 1(ei) y
−1(fj), vemos que ♥ es analítico. Lo mismo
los argumentos se aplican a 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Los hechos en la siguiente proposición obtenidos en [10] en el caso de
matrices de permutación.
Proposición 5.8 Let : Au → Av ser un isomorfismo algebraico y let
: Łu → v ser el mapa asociado entre los espacios de carácter. Supón
(0, 0) = (0, 0). Entonces tenemos lo siguiente.
(1) {n,m} = {n′, m y asumiremos que n = n′ y m = m′
(intercambiando E y F y cambiando u a u* si es necesario).
(2) Hay matrices unitarias U (n×n) y V (m×m) tales que (z, w) =
(Uz, V w) para (z, w) (Si n = m también es posible que (z, w) =
(V w, Uz).
(3) Si es un isomorfismo isométrico, entonces es un isomorfismo bigrado.
(O, si m = n, puede ser un isomorfismo de intercambio calificado).
Prueba. La prueba de la Proposición 6.3 en [10] dando (1) y (2) en el
caso de permutación se basa esencialmente en el lema de Schwarz para holomorphic
mapa desde el disco de la unidad. Se aplica sin cambios en el caso de las unidades
matrices.
Para (3) podemos asumir m = m′ y n = n′. De (2) tenemos para cada uno
Φ(Lei) = LUei +X donde X es una suma de términos de orden superior. Dado que Φ(Lei) es un
contracción y LUei es una isometría que sigue, como en la prueba de Voiculescu
teorema, que X = 0. Del mismo modo, Φ(Lfj ) = LV fj y se deduce que Φ es
Bigraded. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Puesto que cada isomorfismo calificado satisface (0, 0) = (0, 0), concluimos
lo siguiente.
Corolario 5.9 Cada isomorfismo isométrico graduado es bigrado si n 6= m
y de lo contrario es bigranded o es un isomorfismo de intercambio gradual.
Teorema 5.10 Las siguientes declaraciones son equivalentes para matrices unitarias
u, v en Mn(C)Mm(C).
(i) Hay un isomorfismo isométrico : Au → Av.
(ii) Hay un isomorfismo isométrico graduado de : Au → Av.
iii) Las matrices u, v son equivalentes unitarios del producto o (en el caso n = m)
las matrices u, son equivalentes unitarios del producto, donde (i,j),(k,l) = v̄(l,k),(j,i).
(iv) Hay un isomorfismo isométrico w*-continuo : Lu → Lv.
Prueba. Dado en i), let (z, w) = (0, 0). Por la Proposición 5.6 (z, w)
el interior de 0v. Por Teorema 4.8 hay un automor completamente isométrico-
phism Φ ofAv tales que (0, 0) = (z, w) y, por lo tanto, 1(0, 0) = (0, 0).
Por Proposición 5.8, 1 es un isomorfismo isométrico gradual y (ii) sostiene.
Lemma 5.2 muestra que (ii) implica (iii) y Lemma 5.5 que (iii) implica (i).
Por último, (iii) implica (iv) sigue de Lemma 5.5, y (iv) implica (ii) es
totalmente similar a (i) implica (ii). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 5.11 El argumento al principio de la prueba del Teorema 5.10
muestra que, siempre que Au y Av son isomórficos, tenemos {n,m} = {n′, m.
Teorema 5.12 Para n 6= m los automorfismos isométricos de Au son de la
forma A, Bz,w donde (z, w) Ł0u y (AB)u = u(AB). En el caso n = m
los automorfismos isométricos incluyen, además, los de la forma A,BŁz,w
donde (A B) = u(A B).
6 Casos especiales
6.1 El caso n = m = 2
Incluso en las dimensiones bajas n = m = 2 hay muchas clases de isomorfismo
y casos especiales. Tenga en cuenta que la clase de equivalencia unitaria del producto orbita O(u)
de la matriz unitaria 4×4 u toma la forma
O(u) = {(AB)u(AB)*: A,B • SU2(C)},
y por lo tanto las clases de equivalencia unitaria del producto están parametrised por el conjunto de
órbitas, U4(C)/Ad(SU2(C)×SU2(C)). Este set admite una parametrisa de 10 veces...
ciones, ya que, como se comprueba fácilmente, U4(C) y SU2(C)×SU2(C) son algebraicas reales
variedades de dimensión 16 y 6, respectivamente. De ello se deduce que la isometría isométrica
tipos de morfismo de los álgebras Au admitir una 10 parametrización real, con
coincidencias sólo para pares O(u), O(v) con u =
Ahora examinamos algunos casos especiales con más detalle. Let d = dimKer (u-I).
Caso I: d = 0
Por cada (z, w) B2 × B2, tenemos (z, w)
(z1w1, z1w2, z2w1, z2w2)
t se encuentra en Ker(u-I). Por lo tanto, en el caso I, Łu es tan pequeño como
posible y es igual a
(B2 × {0}) ({0} × B2).
De Lemma 3.4 se desprende que, en este caso,
(0, 0)}.
Por Proposición 5.8 cada automorfismo isométrico de Au es calificado y el
Automorfismos isométricos de Au se dan por pares (A,B) de matrices unitarias
Tal que A B o bien se desplaza con u o entrelaza u y.
Caso II: d = 1
Cuando d = 1 sigue siendo de Lemma 3.4 que
(0, 0) = {(0, 0)}
pero ahora es posible para usted ser más grande que Łmin. De hecho, si el no cero
vector (a, b, c, d)t que abarca Ker(u-I) satisface ad 6=bc entonces
si ad = bc entonces la matriz
es de primer grado y puede ser escrito como
(z1, z2)
t(w1, w2). Por lo tanto, (z, w) Vu y Vu contiene algunos (z, w) con non
z cero y w.
Dado que el valor de la sustancia activa {(0, 0)} sigue siendo cierto que los isomorfismos isométricos y auto-
morfismos de estos álgebras se clasifican.
Caso III: d = 2
Cuando d = 2 es posible que 0u contendrá vectores no cero (z, w) pero, como
Lemma 3.4 muestra, no contiene un vector con z 6= 0 y w 6= 0.
Todas las otras posibilidades pueden ocurrir. Por ejemplo, escriba u1, u2 y u3 para el
tres matrices diagonales:
u1 = diag(1,−1,−1,1), u2 = diag(1,−1,1,−1)
u3 = diag(1, 1,-1,-1).
Usando la definición del núcleo, vemos fácilmente que
0 = {0, 0)} {0, 0)}
= {0, 0, w1, 0): w1 ≤ 1}
En el caso de los vehículos de motor de dos o tres ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o tres ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas.
Por lo tanto, los únicos automorfismos isométricos de Au1 se clasifican, la isomet-
automorfismos ric de Au2 se forman por componer automorfismos graduales
con automorfismos del tipo descrito en la Proposición 4.7 (con z = (0, 0)
y w = (w1, 0)). Del mismo modo, para los automorfismos de Au3, utilizamos Proposi-
tion 4.6.
Caso IV: d = 3
En este caso podemos obtener una parametrización explícita de dos veces de la
los tipos de isomorfismo del álgebra Au.
Cada matriz unitaria de 4×4 u con dim(Ker(u-I)) = 3 está determinada por
una unidad autovector x y su (diferente de 1) valor propio. Así que ux = ♥x,
* x = 1, * = 1 y * 6 = 1. Suponga que u y v son equivalentes unitarios de producto;
es decir
(A B)u = v(AB)
para matrices unitarias A,B, y escribir x, para la unidad eigenvector y eigen-
valor de u. (Por supuesto, x se determina sólo hasta un múltiplo por un escalar
del valor absoluto 1). Entonces y = (A B)x es una unidad autovector de v con
eigenvalue ♥. Para vectores unitarios x, y (en C4) escribimos x â € y si hay unitario
(2 × 2) matrices A,B con y = (A B)x. Para la declaración de la siguiente
Lemma recuerda que las entradas de los vectores x e y en C4 son indexadas por
{i, j): 1 ≤ i, j ≤ 2}.
Lemma 6.1 Para un vector x = {x(i,j)} en C4, escriba c(x) para la matriz 2×2
c(x) =
x(1,1) x(1,2)
x(2,1) x(2,2)
Entonces x y si y sólo si hay matrices unitarias A,B tales que c(x) =
Ac(y)B. (En este caso, escribiremos c(x) • c(y).)
Prueba. Supongamos y = (AB)x para algunas matrices unitarias A = (ai,j) y B =
(bi, j). Entonces c(y)i,j = y(i,j) =
(A B)(i,j),(k,l)x(k,l) =
k,l ai,kbj,lc(x)k,l =
[Ac(x)B)i,j. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Usando la descomposición polar c(x) = U c(x) y diagonalizando c(x) =
V*, nos encontramos con que c(x)
= c(y) donde y = (a, 0, 0, d)
y a, d ≥ 0. Entonces a, d (los valores propios de c(x)) se determinan de forma única
una vez que los elegimos de tal manera que a ≤ d y, si x = 1, entonces a2 + d2 = 1
(de modo que 0 ≤ a ≤ 1/
2 y a determina d). De esta manera, nos asociamos a
cada matriz unitaria u como superior a un par (a, ) con 0 ≤ a ≤ 1/
2, 6= 1
y = 1. Utilizando Lemma 6.1 y la discusión anterior, tenemos el
siguiente.
Corollario 6.2 Por cada matriz unitaria 4×4 u con dim(Ker(u-I)) = 3,
hay números (con = 1 y 6= 1) y a (0 ≤ a ≤ 1/)
2) tales
que u y v son equivalentes unitarios del producto si y sólo si tienen el mismo
a, ♥.
Prueba. Dejar u y v ser matrices unitarias con dim(Ker(u-I)) = 3 y dejar
(a), (b), (μ) ser los pares asociados a u y v (respectivamente) como anteriormente. También
escribir x para la unidad autovector de u asociado al valor de eigen y dejar y
ser la unidad autovectora de v asociada a μ.
Supongamos que u y v son producto unitariamente equivalente. Entonces son unitarios.
Equivalente y, por lo tanto, = μ. Escribir (AB)u = v(AB) para matrices unitarias
A, B. Como vimos arriba, y puede ser elegido para ser (A B)x de modo que x y y,
por Lemma 6.1, c(x) o c(y). De ello se desprende que a = b.
A la inversa, supongamos que a = b y = μ. Entonces c(x) • c(y) y, por lo tanto,
x y para que podamos escribir y = (AB)x para algunas matrices unitarias A,B. Escribiendo
v′ = (AB)u(AB)*, encontramos que y es la unidad autovectora de v′ asociada
a.............................................................................................................. Así v = v′, completando la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Por cada a, como en el corolario 6.2 dejamos u(a, ♥) ser los siguientes 4 × 4
matriz.
u(a, ) =
( 1)a2 + 1 0 0 ( 1)a(1− a2)1/2
0 1 0 0
0 0 1 0
( 1)a(1− a2)1/2 0 0
Es un cálculo sencillo para verificar que dim(Ker(u-I)) = 3 y
que ♥ es un valor propio de u(a, ) con el vector propio (a, 0, 0, (1− a2)1/2)t.
el par asociado a u(a,
Corollario 6.3 Cada matriz u con dim(Ker(u-I)) = 3 es producto unitario
equivalente a una matriz única de la forma u(a, ) (con 0 ≤ a ≤ 1/
2, = 1
y 6= 1).
Usando la definición del núcleo, inmediatamente obtenemos lo siguiente.
Proposición 6.4 Si a = 0, = 1,
{(z1, z2, w1, 0) : z • B2; w1 ≤ 1} • {(z1, 0, w1, w2) : w • B2; z1 ≤ 1},
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
Si a 6= 0 entonces
(a) = {(z1, z2, w1, w2) : az1w1 + (1− a2)1/2z2w2 = 0, (z, w) • B2 × B2}
(a) = {0, 0)}.
Prueba. El espacio (a) se compone de puntos (z, w) para los que
(z1w1, z1w2, z2w1, z2w2)
t = u(a, )(z1w1, z1w2, z2w1, z2w2)
es decir, por lo que
(( 1)a2 + 1)z1w1 + ( 1)a(1− a2)1/2z2w2 = z1w1,
( 1)a(1− a2)1/2z1w1 + ( 1)a2)z2w2 = z2w2.
Si a = 0 esto implica z2w2 = 0, mientras que si a 6 = 0 entonces (z1w1, 0, 0, z2w2) es un fijo
vector para u(a, ) y así para algunos escalares μ (z1w1, z2w2) = μ((1− a2)1/2,−a).
A continuación se describen las descripciones de la letra a) de la letra a).
De la definición del núcleo y el hecho de que aquí C12 = C21 = 0 y
C11 =
( 1) 0
0 ( 1)a (1− a2)1/2
C22 =
( 1)a(1− a2)1/2 0
0 ( 1) + ( 1)a2
Vemos que para a = 0 tenemos w2 = z2 = 0 mientras que para a 6 = 0, z1 = z2 = w1 =
w2 = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Recordemos que, para una matriz unitaria de 4 × 4 v definimos la matriz por
(i,j),(k,l) = v̄(l,k),(j,i) y mostró (Corollary 5.10) que Au y Av son isomet-
ricamente isomórfico si y sólo si u y v o u y son producto unitario
equivalente.
Ahora, es fácil de comprobar que •(a, •) = u(a, ) y así, utilizando Proposi-
tion 3.3 y resultados anteriores, obtenemos lo siguiente.
Teorema 6.5 Let 0 ≤ a, b ≤ 1/
2, = = 1, , μ 6= 1. Entonces
(1) Au(a,) y Au(b,μ) son isomórficas isométricamente si y sólo si a = b y
es igual a μ o.
(2) Cuando un 6 = 0 los automorfismos isométricos de Au(0,
(3) Si a = 0 entonces hay isomorfismos isométricos que no se clasifican
Caso V: d = 4
Este es el caso donde u = I. Tenemos "U" = "U"
u = Bn×Bm y el isométrico
automorfismos se obtienen componiendo automorfismos clasificados y el
automorfismos descritos por la Proposición 4.6, Proposición 4.7.
6.2 álgebras de relación unitaria de permutación
Con más estructura asumida para la clase de unitarios u puede ser posible
derivar una clasificación adecuada más definitiva de los álgebras Au. Nosotros
indicar esto ahora para la clase de los unitarios de permutación. Un debate más completo
está en [10].
Let • • S4, visto como una permutación del conjunto de productos {1, 2} × {1, 2} =
{11, 12, 21, 22}. Asociar con la matriz U. = u(i,j), (k,l) donde u(i,j), (k,l) =
1 si (k, l) = (i, j) y es cero de lo contrario. Si el producto S4 es conjugado con el producto S4 en
la sensación de que ♥ = 1 con en S2×S2, entonces se deduce que u
producto equivalente unitariamente. Por lo tanto, sólo necesitamos considerar la conjugación de productos
clases. Resulta que estas clases son las mismas que el producto unitario
clases de equivalencia de las matrices u.
Puede ser útil ver una permutación en Snm como una permutación de la
entradas de una matriz rectangular n ×m, ya que la conjugabilidad del producto corresponde
a la conjugación a través de permutaciones de fila y permutaciones de columna. Con-
sidering esto para n = m = 2 uno puede verificar en primer lugar que hay a lo sumo
9 tipos de isomorfismo para los álgebras Atheta correspondientes a lo siguiente
permutaciones:
*1 = id, *2 = (11, 12), *3 = (11, 22),
4a = (11, 22, 12), 4b =
4a = (11, 12, 22), 5a = ((11, 12), (21, 22)),
6 = ((11, 22), (12, 21)), 7 = (11, 12, 22, 21), 8 = (11, 12, 21, 22).
Los espacios de Gelfand de los álgebras A. (y L.) distinguen todos estos al-
gébras, excepto los pares 4a, 4b} y 7, 8}. Sin embargo, se puede verificar
en ambos casos que ni el par u, v ni el par u, son producto unitario
equivalente. El teorema 5.10 se aplica ahora para obtener el siguiente resultado de [10].
Teorema 6.6 Para n = m = 2 hay 9 clases de isomorfismo isométrico para
los álgebras Ao y para los álgebras Lo.
A un gráfico de rango más alto (, d) en el sentido de Kumjian y Pask [6] se puede
asociado al álgebra no autoadjunta Toeplitz A. L., como en Kribs y Power [5].
En el único vértice rango 2 caso es fácil ver que Ao es igual al álgebra
Au para alguna matriz de permutación u = en Snm. Así teorema 5.10 clasifica
estos álgebras en términos de equivalencia unitaria de producto restringido a Snm como
declarado formalmente en el siguiente teorema. En el caso del rango 2, esto es significativo.
mejora de los resultados en [10] que, aunque abarca el rango general,
fueron restringidos al caso de núcleo trivial para el espacio de caracteres. Con la
permutación para la matriz de permutación (que corresponde al generador
(intercambio) tenemos:
Teorema 6.7 Que el 1 y el 2 sean vértice único 2-graphs con relaciones de-
Terminado por las permutaciones 1 y 2. A continuación, el rango 2 grafo álgebras
El ao1, el ao2 son isomórficos isométricamente si y solamente si el par de ao1, el ao2 o el
par 1, 2 son producto equivalente unitario
Es natural esperar que como en el caso (2, 2) producto equiva unitario
lence se corresponderá con la conjugación del producto.
7 Au como subalgebra de un álgebra tensor
Dejar En ser la extensión Toeplitz del álgebra de Cuntz On y escribir H para
el espacio Fock asociado con E (es decir, H = C â € E â € (E E) â € · · ·).
Tenga en cuenta que En actúa naturalmente en H (por los operadores de “cambio” o “creación”
Li = Lei, 1 ≤ i ≤ n). De hecho, Le1,. .., Len genera En como álgebra C*.
Considere también el espacio F(F)H = H(FH)(FF)H) · ·. Esto
espacio es isomórfico a F(E, F, u) y escribimos w : F(F)H → F(E, F, u)
para el isomorfismo. Será conveniente escribir wk para la restricción de
w a la suma FkH (que es un isomorfismo en su imagen). Nota
que, para una k fija, {w*kLeiwk: 1 ≤ i ≤ n} es un conjunto de n isometrias con
rangos ortogonales. Así define una representación de En sobre FkH (con
πk(Lei) = w
kLeiwk). (Tenga en cuenta que estamos utilizando Lei para los operadores de creación
tanto en H como en F (E, F, u). Esto no debe causar confusión). Nosotros también.
escribir para la representación
k k de En en F(F )H (donde
representación de En on H).
Que X sea el espacio de la columna Cm(En). Este es un modulo C* sobre En. As a
espacio vectorial es la suma directa de m copias de En. La acción del módulo correcto
de En en X es dada por (ai) · b = (aib) y el producto interior valorado es
• (ai), (bi) • = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
i bi. Por cada 1 ≤ i ≤ n, escribimos S‡i para el operador en
L(X) definida por
Sсi(aj)
j=1 = (
u(i, j), (k, l)Lekaj)
Tenga en cuenta que
u(i, j), (k, l)Lekaj)
l=1, (
j′,k′
u(i,j′),(k′,l)Lek′ bj′)
l=1 =
j,j′,k,k′,l
ū(i,j),(k,l)a
Lek′ bj′u(i,j′),(k′,l) =
(uu**)(i,j′),(i,j)a
jbj′ =
a*jbj
= (aj), (bj′).
Por lo tanto Sœi es una isometría. Un cálculo similar muestra que estas isometrias
tienen rangos ortogonales y, por lo tanto, esta familia define un ∗-homomorfismo
En → L(X), con ♥(Lei) = Sœi, 1 ≤ i ≤ n, haciendo X a C*-correspondencia
sobre En (en el sentido de [8] y [7]). Una vez que tengamos una correspondencia podemos
formXX y, más generalmente, Xk. Recordar que para definir XX se define
la forma sesquilinear "xy, xy = "y", "x, x)y sobre el tensor algebraico"
producto y luego permite que X X sea la terminación de Hausdorff. La acción correcta
de En en X X es (x y) · a = x (y · a) y la acción izquierda es dada por el
mapa 2.
*2(a)(x y)=*(a)x y.
La definición de Xk es similar (y el mapa de acción de la izquierda es denotado Łk)
Para k = 0 establecemos X0 = En y فارسى0 se define por multiplicación izquierda. También
escribir para
k k, la acción izquierda de En en F(X).
Uno puede entonces definir el espacio HilbertXkEnH definiendo el sesquilin-
forma de la oreja xh, yká = h, x, yká (x, y Xk) y la aplicación de la Hausdorff
Completar.
Ahora defina el mapa
v : X En H → F H
mediante el ajuste
v(ai) h) =
Fi aih.
Es sencillo comprobar que este mapa es un espacio bien definido Hilbert
isomorfismo. Por inducción, también definimos mapas vk : X
kEn H → FkH
vk+1(aj) z) =
fj vk(k(aj) IH)z) (23)
para z Xk En H y v0 es el mapa de identidad de En En H (que es
isomórfico a H) y F0 H = H. Supongamos que vk es un espacio Hilbert
Isomorfismo de Xk En H en Fk H y calcular, para (aj), (bj) X
y z, z′ Xk H,
Vkk+1(aj)z), vk+1(bj)z) =
fjvk(()k(aj)IH)z), fjvk()k(bj′)IH)z′
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa será igual al valor de los vehículos de motor de encendido por chispa y de los vehículos de motor de encendido por chispa.
(a*jbj) IH)z′) =
*(aj) z, (bj) z.
Así, por inducción, cada mapa vk es un isomorfismo espacial Hilbert y, sum-
Ming up, tenemos un isomorfismo espacial Hilbert
v. :=
F(X)En H → F(F)H.
Lemma 7.1 v- es un isomorfismo espacial Hilbert y entrelaza las acciones
de En. Es decir,
) = (a)(a)(iH) = (a)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*(*)(*)(*(*)(*(*)(*(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*(*)(*)(*)(*(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*(*)(*)(*)(*)(*)(*
para un "En".
Prueba. Demostramos que, por cada p ≥ 0 y un En, tenemos
vp (a) IH) = vp (a) vp. (24)
La prueba se procederá por inducción en p. Para p = 0 esto está claro así que ahora
Asumir que se mantiene para p. Para 1 ≤ i ≤ n, (aj) X y z XpH, tenemos
vp+1((lp+1(lei) IH)(aj) z)) = vp+1(lp)(lp)(j) z) =
l,k,j u(i,j),(k,l)fl
vp((p(Lekaj) IH)z). Usando la hipótesis de inducción, esto es igual a
l,k,j
u(i,j),(k,l)fl lp(Lek)lp(aj)vpz =
l,k,j
u(i,j),(k,l)fl w*pLekwp?p(aj)vpz =
l,k,j
u(i,j),(k,l)fl eklp(aj)vpz = w
ei fj p(aj)vpz =
p+1(Lei)w
fj ?p(aj)vpz.
Usando la hipótesis de inducción de nuevo, obtenemos ♥p+1(Lei)w
j fjvp(p(aj)
IH)z) = p+1(Lei)vp+1(aj)z). Esto demuestra (24) para p+1 y los generadores
de En. Puesto que tanto el p+1 como el vp+1 (p+1(·)IH)v*p+1 son homomorfismos, (24)
se mantiene para p + 1 y cada una de las en, completando el paso de inducción. Así, (24)
se mantiene para cada p y esto implica la declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Escriba l para el vector (aj) en X de tal manera que al = I y aj = 0 si l 6= j.
El álgebra tensor T+(X) es generado por los operadores Tl (donde Tl es el
el operador de creación en F(X) asociado con Łl) y la C*-álgebra (En).
Este último álgebra es generado (como C*-álgebra) por los operadores (Li)
donde {Li} es el conjunto de generadores de En.
Tenemos
Lemma 7.2 Por cada 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m y k ≥ 0,
(i) con vk ((Li) IH) = Lei () con vk.
(ii) con vk+1 (Tj IH) = Lfj
Prueba. La parte i) se deriva de (24) y la parte ii) de (23) (con
de j)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Recordando que w V es un operador unitario cartografiando F(X) H en
F(E, F, u), tenemos
Teorema 7.3 (1) El álgebra Au es unitariamente isomórfico a la (norm
cerrado) subalgebra del tensor álgebra T+(X) que se genera por
(Li), Tđj: 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}.
(2) El subalgebra (norma cerrada) de B(F(E, F, u)) que se genera por
{Lei, L*ei, Lfj: 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m } es unitariamente isomórfico a la
álgebra tensora T+(X) (y contiene Au).
(2) El subalgebra (norma cerrada) de B(F(E, F, u)) que se genera por
{Lei, L*fj, Lfj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m } es unitariamente isomórfico a un
álgebra tensora T+(Y) (y contiene Au).
Prueba. Las partes (1) y (2) siguen de Lemma 7.2. Para la parte 3), nota
que se puede intercambiar los roles de E y F. Más precisamente, se define
el C*-módulo Y sobre Em a ser Y = Cn(Em) y la acción izquierda de Em en
Y por ŁY (Lfl)(bk)
k=1 = (
j,k ū(i,j),(k,l)Lfjbk)
i=1. Esto hace Y en una C
correspondencia sobre Em y el resto de la prueba procede en líneas similares
como en los párrafos anteriores. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Supongamos que m = 1. Entonces X es la correspondencia asociada con el
automorfismo α de En dado por la asignación de Ti a
j=1 ui,jTj (note que u, en
este caso, es una matriz de n × n). El álgebra tensora T+(X) es el análisis
producto cruzado En Z+ y Au es unitariamente isomórfico a la subalgebra
de este producto cruzado analítico que se puede escribir An Z+. Uno también puede
incrustar Au en T+(Y) (como en el corolario 7.3(3)). Aquí Em es simplemente el (clásico)
álgebra T e Y de Toeplitz = Cn(T ) con Y (Tz)(bk)k = (
k ūi,kTzbk)i (donde
Tz es el generador de T ).
Nota 7.4 Dado que los automorfismos "z,w y "A,B" de Au son ambos uni-
se pueden extender a T+(X). Es fácil comprobar que
cartografian T+(X) en sí mismos y, por lo tanto, son automorfismos de T+(X). Por lo tanto,
al menos cuando n 6= m, cada automorfismo de Au se puede extender a un auto-
morfismo del álgebra tensor T+(X) que lo contiene (ver Teorema 5.12).
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http://arxiv.org/abs/math/0604630
http://arxiv.org/abs/math/0504129
Introducción
Preliminares
El espacio de carácter y su núcleo
Automorfismos de Ln y Lu
álgebras isomórficas
Casos especiales
El caso n=m=2
álgebras de relación unitaria de permutación
Au como subalgebra de un álgebra tensor
|
704.008 | Shaping the Globular Cluster Mass Function by Stellar-Dynamical
Evaporation | EL VIAJE ASTROFÍSICO, 679:1272–1287, 2008 JUNIO 1
Tipografía preimpresa utilizando el estilo LATEX emularapj v. 08/22/09
COMPARTIENDO LA FUNCIÓN GLOBULAR EN MASA POR EVOLUCIÓN ESTELLAR Y DINÁMICA
DEAN E. MCLAUGHLIN1,2 Y S. MICHAEL FALL3,4
The Astrophysical Journal, 679:1272–1287, 1 de junio de 2008
RESUMEN
Demostramos que la función de masa del cúmulo globular (GCMF) en la Vía Láctea depende de la media masa del cúmulo
Densidad,?h, en el sentido de que la masa de volumen de negocios MTO aumenta con?h mientras que la anchura de la GCMF disminuye.
Argumentamos que esta es la firma esperada de la lenta erosión de una función de masa que inicialmente se elevó hacia baja
masas, predominantemente a través de la evaporación en racimo impulsada por la relajación interna de dos cuerpos. Nos parece excelente.
el acuerdo entre el GCMF observado, incluida su dependencia de la densidad interna rhoh,
c, y la distancia Galactocéntrica rgc, y un modelo simple en el que las tasas de pérdida de masa impulsadas por la relajación
de los racimos se aproximan por −dM/dt = μev
h. En particular, recuperamos la conocida insensibilidad
de MTO a rgc. Esta característica no se deriva de una "universalidad" literal de la masa de volumen de negocios de la GCMF, sino más bien
a partir de una variación significativa de MTO con?h—el resultado esperado de la disrupción del clúster impulsada por la relajación—
más scatter significativo en la h como una función de rgc. Nuestras conclusiones son las mismas si las tasas de evaporación son
se supone que dependen en cambio del volumen medio o densidades superficiales de los cúmulos dentro de sus radios mareales, como
μev
t o μev
t — prescripciones alternativas que estén motivadas físicamente pero que impliquen propiedades de racimo
(l) que no están tan bien definidos o tan fácilmente observables como l. En todos los casos, la normalización de μev
que se requiere para adaptarse a la GCMF implica vidas de racimo que están dentro de la gama de valores estándar (aunque
hacia el extremo inferior de esta gama). Nuestro análisis no depende de ninguna suposición o información sobre
anisotropía de velocidad en el sistema de cúmulos globulares.
Títulos temáticos: galaxias: cúmulos estelares — cúmulos globulares: general
1. INTRODUCCIÓN
Las funciones de masa de los sistemas de cúmulos estelares proporcionan un
Portant punto de referencia para los intentos de entender la
nección entre viejos cúmulos globulares (GCs) y los jóvenes
cúmulos masivos que se forman en los estallidos estelares locales y la galaxia merg-
ers. Cuando se exprese como el número por unidad de masa logarítmica,
dN/d log M, la función de masa GC (GCMF) es
por un pico, o por un volumen de negocios, a una masa de MTO • 1–2× 10
que es empíricamente muy similar en la mayoría de las galaxias. Por...
Trast, las funciones de masa de los clusters jóvenes no muestran tal fea-
en lugar de subir monótonamente hacia las masas bajas sobre
la gama completa observada (106 Mâ & M & 10
4 millones en el mejor...
los casos estudiados), de una manera bien descrita por una ley de poder,
dN/d log M M1 con β 2 (por ejemplo, Zhang & Fall 1999).
Al mismo tiempo, para M > MTO alto, viejos GCMFs
se asemejan mucho a las funciones de masa de los cúmulos jóvenes, y
de nubes moleculares en la Vía Láctea y otras galaxias
(Harris & Pudritz 1994; Elmegreen & Efremov 1997); y
es bien sabido que una serie de procesos dinámicos
hacer que los cúmulos estelares pierdan masa y puedan conducir a su com-
gran destrucción mientras orbitan durante un tiempo Hubble en el
Pozos potenciales de sus galaxias matrices (por ejemplo, Fall & Rees)
1977; Caputo & Castellani 1984; Aguilar, Hut, & Ostriker
1988; Chernoff & Weinberg 1990; Gnedin & Ostriker 1997;
Murali & Weinberg 1997). Por lo tanto, es natural pedir
si los picos de los GCMF pueden explicarse por la
1 Dept. de Física y Astronomía, Universidad de Leicester, Universidad
Road, Leicester, UK LE1 7RH
2 Dirección permanente: Grupo de Astrofísica, Lennard-Jones Lab-
oratorios, Universidad de Keele, Keele, Staffordshire, UK ST5 5BG;
dem@astro.keele.ac.uk
3 Instituto de Estudios Avanzados, Einstein Drive, Princeton, NJ 08450
4 Dirección permanente: Space Telescope Science Institute, 3700 San Martin
Drive, Baltimore, MD 21218; fall@stsci.edu
sión sobre muchos Gyr de globulares de la distribución de masa inicial
ciones similares a las de los grupos jóvenes por debajo del objetivo a medio plazo
así como arriba.
Nuestro principal propósito en este documento es establecer e inter-
pret un aspecto del GCMF Galáctico que aparece fundamen-
ha pasado desapercibida en gran medida hasta la fecha: dN/d log M ha
una fuerte y sistemática dependencia de la media masa de
sity, 3M/8ňr
h (rh es el radio de media masa de racimo), en
la sensación de que la masa de volumen de negocios MTO aumenta y la anchura
de la distribución disminuye con el aumento de la h. Como se observó
hechos, éstos deben ser explicados por cualquier teoría del GCMF. Nosotros
argumentan aquí que son una firma esperada de dinam lento-
evolución ica de una función de masa que inicialmente aumentó
hacia M < MTO, si la pérdida de masa a largo plazo
ing GCs ha sido dominado por la fuga estelar debido a la interna,
relajación de dos cuerpos (a la que nos referimos a partir de ahora como
evaporación impulsada por la relajación o simplemente evaporación).
Fall & Zhang (2001; en adelante FZ01) explicar en detalle por qué
la evaporación de los clusters domina la evolución a largo
forma de masa baja de GCMF observables. Brevemente, estelar evolu...
ciones (a través de supernovas y vientos) el mismo frac-
sión de masa de todos los grupos de una edad dada, y por lo tanto no puede
cambiar la forma de dN/d log M (a menos que
se invocan las dicciones; cf. Vesperini & Zepf 2003). Mientras tanto,
para GCs como los que han sobrevivido durante un tiempo Hubble en
la Vía Láctea, la pérdida de masa de los choques gravitacionales dur-
En general, los cruces en disco y los pasajes de protuberancia son menores que
que debido a la evaporación de M < MTO (FZ01; Prieto & Gnedin
2006).5
Como discutimos más adelante en el §2 a continuación, la evaporación de tidally
5 Es posible que existiese una población pasada de GCs con
o concentraciones, o tal vez en órbitas extremas, que fueron destruidas en
menos que un tiempo Hubble por choques o evolución estelar. Nuestra discusión sí.
no cubren tales grupos.
http://arxiv.org/abs/0704.0080v4
2 McLAUGHLIN & FALL
los ingresos limitados de los conglomerados a una tasa, μev-dM/dt, es decir, ap-
aproximadamente constante en el tiempo y determinada principalmente por
densidad de racimo. FZ01 muestra que una constante tasa de pérdida de masa
conduce a una escala de ley de potencia dN/d log M â € M1 con β → 0
(correspondiente a una distribución plana de los conglomerados por unidad de
masa del oído) a M < μevt suficientemente bajo en la masa evolucionada
función de CG coeval que comenzó con cualquier ini no trivial
tial dN/d log M0.
6 Para acomodar esto cuando dN/d log M0
originalmente aumentó hacia las masas bajas como una ley de poder, un
pico dependiente del tiempo debe desarrollarse en el GCMF en una masa
de orden MTO(t) ≤ μevt (FZ01). Pero entonces, ya que μev depende
fundamentalmente en la densidad de racimo, también debe MTO.
Una escala de β 0 power-law por debajo de la masa de volumen de negocios tiene
confirmados directamente en los GCMF de la Vía Láctea
(FZ01) y el gigante elíptico M87 (Waters et al. 2006), mientras que
Jordán et al. (2007) muestran que es consistente con dN/d log M
datos para 89 galaxias del cúmulo de Virgo, y es evidente en
observaciones de algunos otros GCMF (por ejemplo, en el Sombrero
galaxia, M104; Spitler et al. 2006). En cuanto al pico en sí,
Se observan viejos CG (por ejemplo, Jordán et al. 2005) para tener más bien
densidades similares en promedio — y, por lo tanto,
μev—en galaxias con luminosidad total muy diferente y
Tipos Hubble. (En la medida en que las densidades de racimo se establecen por mareas,
esto está probablemente relacionado con la variación leve de la galaxia media
densidad con luminosidad total; véase FZ01, y también Jordán et al.
2007.) Así, un origen evolutivo dominado por la evaporación
para un volumen de negocios en el GCMF parece ser coherente con
el hecho bien conocido de que la escala de masa MTO generalmente dif-
fers muy poco entre las galaxias (por ejemplo, Harris 2001; Jordán et al.
2006).
Si esta imagen es básicamente correcta, implica que, incluso
aunque MTO puede parecer casi universal al considerar
las funciones de masa global de sistemas GC enteros, de hecho el
GCMF de submuestras de racimos con edades similares pero con
Las densidades feroces deben tener diferentes volúmenes de negocios. En §2, nosotros
Mostrar—trabajando para la definitividad y la observación relativamente fácil-
la capacidad con la densidad de media masa, que es el caso para
globulares en la Vía Láctea. Nos ajustamos al log de dN/d M observado
para GCs en contenedores de diferentes?h con modelos suponiendo que
(1) la distribución inicial aumentó como una β = 2 ley de poder en
masas bajas y (2) las tasas de pérdida de masa de grupos individuales
se puede estimar a partir de sus densidades de media masa por la regla
μev
h. En §3 discutimos la validez de esta prescripción
para μev, que es ciertamente aproximado pero captura el principal
dependencia física de la pérdida de masa impulsada por la relajación. En par-
en particular, mostramos que las leyes alternativas de pérdida de masa μev
y μev
t —donde?t y?t son el volumen medio y
densidades de superficie en el interior de radios de mareas de racimo, conducidas a modelos para
el GCMF que son esencialmente indistinguibles de los
a base de μev
h. La normalización de μev necesaria para adaptarse
la GCMF observada implica vidas de racimo que están dentro de
Un factor de 2 (quizás ligeramente en el lado bajo, si el ini-
exponente de la ley de poder tial en las masas bajas fue β = 2) de típico
valores en teorías y simulaciones de la relajación de dos cuerpos en
CGs regularmente limitados.
También mostramos en §2 que cuando las densidades observadas de
clusters divididos se utilizan en nuestros modelos para predecir GCMFs
en diferentes cubos de radio Galactocéntrico (rgc), se ajustan a la
6 A lo largo de este trabajo, utilizamos “inicial” para significar en un tiempo relativamente temprano
en el desarrollo de clusters de larga vida, después de que hayan disper-
Nants de sus nubes de gas natal, sobrevivió a la mayor parte de la masa de la evolución estelar
pérdida, y entrar en el equilibrio virial en el campo de mareas de una galaxia.
variación mucho más débil de dN/d log M y MTO como funciones
de rgc, que es bien conocido en la Vía Láctea y otros grandes
galaxias (véase Harris 2001; Harris, Harris, & McLaughlin
1998; Barmby, Huchra, & Brodie 2001; Vesperini et al. 2003;
Jordán et al. 2007). Del mismo modo, la aplicación de nuestros modelos a la
GCs en dos contenedores de concentración central, con sólo el mea-
garantía de la h de los clusters en cada submuestra como entrada, basta
para tener en cuenta las diferencias observadas anteriormente entre la masa
funciones de los globulares galácticos de baja y alta concentración
(Smith & Burkert 2002). La característica más fundamental de la
Por lo tanto, el GCMF parece ser su dependencia de
sidad, que puede ser entendido al menos cualitativamente (e incluso
cuantitativamente, dentro de un factor de 2) en términos de evaporación
la interrupción del cluster dominada.
Existe una percepción generalizada de que si el GCMF evolucionaba
poco a poco de una creciente ley de poder en las masas bajas, luego un débil
o variación nula de MTO con rgc sólo se puede lograr en GC
sistemas con una velocidad de distribución fuertemente anisotrópica radialmente
ciones, que no se observan (ver especialmente Vesperini et al.
2003). Esta aparente incongruencia se ha citado para
Algunos intentos recientes de identificar un mecanismo por el que
un pico “universal” en el MTO 10
5 millones podrían haber sido im-
impreso en el GCMF en el momento de la formación de racimos, o
muy poco después, y poco afectado por el
destrucción de CG de menor masa (por ejemplo, Vesperini & Zepf 2003);
Parmentier & Gilmore 2007). Sin embargo, dado el verdadero suc-
de un escenario evolutivo dominado por la evaporación para
el origen del OMP, tal como se resume anteriormente y se añade a continuación,
sería prematuro rechazar la idea a favor de requerir un
el origen cercano a la formación, únicamente sobre la base de las dificultades con
Cinemática GC. (Y, en cualquier caso, orientado a la formación mod-
els ahora debe ser reconsiderado a la luz de la no-universalidad
de MTO en función de la densidad de cluster.)
No estamos preocupados en este artículo con la anisotropía de velocidad
en los sistemas GC, porque sólo predecimos una evaporación-
dN/d log M evolucionado en función de la densidad de racimo (y la edad)
y tomar la distribución observada de.h versus rgc en el lácteo
Manera como un dado, para mostrar consistencia con el ser observado-
havior de MTO en función de rgc. La mayoría de los otros modelos (FZ01;
Vesperini et al. 2003; y referencias en ellos) predicen dinam-
los CGMF evolucionaron directamente en términos de rgc, y en
así que se ven obligados también a derivar las dependencias teóricas del cluster
densidad en rgc. Es sólo en esta etapa que la GC orbital distri-
butiones entran en el problema, y luego sólo en conjunción con
varias otras suposiciones y simplificaciones. A medida que discutimos
más adelante en el § 3, la velocidad de GC sesgada radialmente distribu-
ciones que aparecen en tales modelos bien podrían ser consecuencias
de uno o más de estos otros supuestos, en lugar de
principal hipótesis sobre la evaporación dominada por el GCMF evolu-
tion.
2. EL CGMF GALÁCTICO COMO FUNCIÓN DE
DENSIDAD DE LOS CLUSTRADORES
En esta sección definimos y modelamos la dependencia de
el GCMF Galáctico en densidad de racimo. Primero, describimos
la dependencia que se espera surja de la evaporación-
la evolución dominada.
Relajación de dos cuerpos en un CG regularmente limitado conduce a un
tasa de pérdida de masa más o menos constante, μev -dM/dt constante
con el tiempo. Por lo tanto, la masa total del clúster disminuye
mately linealmente, como M(t) M0 evt. Este comportamiento es exacto.
en algunos modelos clásicos de la evolución del GC (Hénon 1961) y
se encuentra como una buena aproximación en la mayoría de los otros calcula-
ciones (por ejemplo, Lee & Ostriker 1987; Chernoff & Weinberg 1990;
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 3
Vesperini & Heggie 1997; Gnedin, Lee, & Ostriker 1999;
Baumgardt 2001; Giersz 2001; Baumgardt & Makino 2003;
Trenti, Heggie, & Hut 2007). El resultado proviene de una variedad
de métodos computacionales (semianalítica, Fokker-Planck,
Monte Carlo, y simulación de cuerpo-N) aplicado a los clústeres con
diferentes condiciones iniciales (densidades y concentraciones)
diferentes tipos de órbitas (circular y excéntrica; con y con
fuera de choques gravitacionales externos) y con diferentes internos
procesos e ingredientes (con o sin especificaciones de masa estelar
tra, binarios y agujeros negros centrales). Para estar seguros, desviaciones
de la linealidad perfecta en M(t) ocurren, pero estos son generalmente
pequeño, especialmente lejos de los extremos de la evolución,
Es decir, para 0.9 & M(t)/M0 y 0.1, y descuidando que asuman
una dM/dt aproximadamente constante es totalmente adecuado para
nuestros propósitos.
Cuando los choques gravitacionales son subdominantes a la relajación...
la evaporación impulsada, como generalmente parecen ser para
CG existentes, trabajan para aumentar la tasa de pérdida de masa μev
ligeramente sin alterar la linealidad básica de M(t) (por ejemplo,
Vesperini & Heggie 1997; Gnedin, Lee, & Ostriker 1999; ver
También figura 1 de la FZ01). Una escala de masa dependiente del tiempo
μevt se asocia naturalmente con cualquier sistema de coeval
clusters que tienen una tasa de pérdida de masa común: todos aquellos con inicial
M0 ≤ se interrumpen por el tiempo t, y se sustituyen por el rem-
Nants de objetos que comenzaron con M0. Como hemos mencionado
en §1, si el GCMF inicial aumentaba hacia masas bajas como un
la ley de poder, entonces está estrechamente relacionado con un pico en la evolución
distribución, que finalmente disminuye hacia baja M
como dN/d log M + M1 con β = 0 (FZ01).
En teoría estándar (por ejemplo, Spitzer 1987; Binney & Tremaine)
1987, sección 8.3), la vida útil de un grupo contra la evaporación.
ión es un múltiplo de su tiempo de relajación de dos cuerpos, trlx. Por
una masa total M de estrellas dentro de un radio r, esta escala a la primera
orden (ignorando una débil dependencia de la masa en el
arithm) como trlx(r)
3) 1 / 2 · M / 1/ 2, donde M/r3. En una
clúster concentrado con gradiente de densidad interna, trlx(r)
Por supuesto, varía a lo largo de todo el grupo, y la re-
tiempo de laxación es un promedio de los valores locales (ver la
discusión temprana por el Rey 1958). Esto todavía puede ser escrito como
trlx M/l
1/2, con M la masa total del clúster y
densidad de referencia priate. Entonces tenemos para la instantánea
Tasa de pérdida de masa, μev -dM/dt · M/trlx · 1/2. En la medida en que esto
es aproximadamente constante en el tiempo, un GCMF que evoluciona a partir de un
β > 1 ley de poder en las masas bajas debe, por lo tanto, de-
desarrollar un pico en una masa que depende de la densidad y la edad de los racimos
a través del parámetro ?1/2t.
En este contexto, queda por determinar la mejor medida posible.
Una elección estándar en la literatura, y la que incluso...
tual hacer para derivar nuestros principales resultados en este documento, es el
densidad media de la masa πh = 3M/8ηr
h. Sin embargo, en una marea constante
campo, la densidad media dentro del radio de marea de un cúmulo es
constante por definición, y por lo tanto la elección de.........................................................................................................................................................................................................................................................
la forma más sencilla de garantizar que μev
1/2 y μev constante en
el tiempo es mutuamente consistente. De hecho, King (1966) encontró de
cálculos directos de la velocidad de escape en cada radio dentro de su
modelos estándar (reducidos de Maxwellian), que el coeficiente
en μev
t es sólo una función débil de la densidad interna
estructura (concentración) de los modelos, y por lo tanto sólo un débil
función del tiempo para un clúster que evoluciona casi estáticamente a través de
una serie de modelos de este tipo.
La regla μev
t se utiliza habitualmente para establecer la masa de GC-
tasas de pérdida en los modelos para la evolución dinámica del GCMF,
a pesar de que estos estudios normalmente expresan μev inmediatamente en
términos de pericentros orbitales, rp, más a menudo al asumir
r−2p como para GCs en galaxias cuya masa total distribuye fol-
baja una esfera isotérmica singular (por ejemplo, Vesperini 1997, 1998,
2000, 2001; Vesperini et al. 2003; Baumgardt 1998; FZ01).
Esto evita cualquier examen explícito del GCMF como
función de la densidad de cluster, que es nuestro objetivo principal en este pa-
per. Pero se hace en parte porque los radios de marea son los más
de todos los parámetros estructurales para los CG en el
Vía Láctea (su definición teórica es imprecisa y su
estimación empírica es altamente dependiente del modelo y sensible
a datos de brillo de baja superficie), y son extremadamente dif-
Ficulto si no imposible de medir en galaxias distantes. Nosotros
se ocupan de esto aquí, centrándose en el GCMF como una función de
densidad de clusters dentro de los menos ambiguos, empíricamente apuesta-
ter radio de media masa determinado y más robusto, preguntando cómo
modelos simples con μev
h tarifa contra los datos.
Toma de μev
h en lugar de μev
t, lo que hacemos a
construir evaporación-evolucionada modelo GCMFs en §2.2, es la mayoría
apropiada si la relación entre el valor y la hora es la misma para todas las agrupaciones y
constante en el tiempo. Este es el caso del modelo de Hénon (1961)
CG evolución, y en este límite (adoptado por FZ01 en su
modelos para el GCMF Galáctico) nuestro análisis es rigurosamente jus-
Tified. Sin embargo, las agrupaciones reales no son homólogas (
fers entre clusters) y no evolucionan de forma auto-similar (
puede variar en el tiempo, incluso si no lo hace). La suposición clave en
nuestros modelos son que μev es aproximadamente independiente del tiempo
para cualquier GC, que está bien fundado en cualquier caso. Usando cur-
Alquilar los valores para estimar μev, no suponemos que la mitad-
densidades de masa también son constantes, pero en efecto utilizamos una sola
número para que todos los CG representen una gama de (t/h)
1/2. Equiv-
alently, ignoramos una dependencia de la concentración del clúster en
la normalización de μev
h. Como discutimos más adelante en el §3,
es razonable descuidar esta complicación en una primera aprox-
En el caso de las importaciones procedentes de la República Popular Democrática de Corea, el importe de las importaciones procedentes de la República Popular Democrática de Corea se estima en un 10 %.
1/2 varía mucho menos entre Galáctico
Globulares que los que hacen por separado. Demostramos esto.
de manera explícita repitiendo nuestro análisis con la palabra «h» sustituida por «t» y
recuperar esencialmente los mismos resultados para el GCMF.
En §3 también discutimos algunos resultados recientes, que indican
que la escala de tiempo para la evaporación impulsada por la relajación depende
con una potencia ligeramente inferior a la lineal del trlx (Baumgardt 2001);
Baumgardt & Makino 2003). Señalamos que esto implica
que μev puede aumentar como una potencia modesta de la media sur-
la densidad facial de un clúster, así como (o, en un
caso, en lugar de) la densidad de volumen habitual. Sin embargo, mostramos
en detalle que hacer los cambios apropiados a lo largo de la
el resto de la presente sección para reflejar esta posibilidad no
cambiar cualquiera de nuestras conclusiones.
2.1. Datos
La figura 1 muestra la distribución de la masa frente a la media masa
densidad y contra el radio Galactocéntrico para 146 Vía Láctea
CG en el catálogo de Harris (1996),7 junto con el
Atribución de Łh versus rgc que une las dos parcelas de masa. Los
El catálogo de Harris en realidad registra el absoluto V magni-
Tudes de los GCs. Obtenemos masas de estos por aplicación-
en el modelo de población-síntesis cocientes masa-luz
Calculado por McLaughlin & van der Marel (2005) para indi-
clusters viduales basados en sus metalicidades y un supuesto
edad de 13 años Gyr. Sin embargo, primero multiplicamos todo el
Versión del 7 de febrero de 2003; véase http://physwww.mcmaster.ca/harris/mwgc.dat.
http://physwww.mcmaster.ca/~harris/mwgc.dat
4 McLAUGHLIN & FALL
FIG. 1.— Izquierda: Masa versus densidad tridimensional de media masa,
h, y contra el radio Galactocéntrico, rgc, para 146 GC Vía Láctea en el
catálogo de Harris (1996). La línea discontinua en el primer panel es M
h, un lugar de vida aproximadamente constante contra la evaporación. Derecha: Media masa
densidad versus rgc para los mismos clusters.
Los valores de McLaughlin & van der Marel V por un factor de 0,8 tan
en cuanto a obtener una mediana V 1,5MÃ3L
Al final,
8 consistentes
con estimaciones dinámicas directas (véase McLaughlin 2000 y
McLaughlin & van der Marel 2005; también Barmby et al. 2007).
Al asignar las relaciones masa-luz a los GCs de esta manera, nosotros
permitir las diferencias esperadas entre los grupos con diferen-
ent metalicities. Nuestra aplicación de un factor correctivo para
los valores de población-síntesis, "popV", es motivado empiri-
cally por el hecho de que su distribución entre Galáctica GCs
es fuertemente alcanzado alrededor de una mediana popV 1,9 MÃ3L
# Mientras... #
los observados (dinámicos) de la dinV se encuentran en un rango bastante estrecho
alrededor de dynV 1,5 millones de libras
(McLaughlin & van der Marel)
2005). Sin embargo, vale la pena señalar que el tamaño de
por lo tanto es similar a lo que se encuentra en algunas simulaciones numéricas
de la relajación de dos cuerpos durante un tiempo Hubble en clusters con un
espectro de masas estelares (por ejemplo, Baumgardt y Makino 2003).
En este tipo de simulaciones, el valor de DynV cae por debajo del valor de DynV.
V debido a la preferencia-
fuga cial de estrellas de baja masa con alta M*/L* individual
(los modelos de población-síntesis no incorporan esta o ninguna
otro efecto estelar-dinámico). Así, una mediana dynV <
puede ser en sí una firma de evaporación de racimos. Podríamos
entonces también esperar que los clusters más dinámicamente evolucionados — que
es, aquellos con tiempos de relajación más cortos—podrían tener sistemat-
coeficientes icónicamente más bajos de dynV /
V. Sin embargo, este es un relativamente
efecto pequeño, que no está bien cuantificado teóricamente y
no es claramente evidente en los datos reales (los números publicados por
McLaughlin & van der Marel 2005 no muestran ningún corre-
la relación entre
V y trh para globulares galácticos). Nosotros
Por lo tanto, proceder, como se ha dicho, con una sola........................................................................................................................................................................................................................................................
V = 0,8
Asumido para todos los GCs.
Harris (1996) da el radio de media luz proyectado Rh para
141 de los clusters con una masa estimada de esta manera, y para
estos obtenemos el radio tridimensional de media masa de
la regla general rh = (4/3)Rh (Spitzer 1987), que asume
no hay segregación interna en masa. Los cinco objetos restantes tienen
estimaciones de masa pero sin mediciones de tamaño. A cada uno de ellos
clusters, asignamos un rh igual al valor medio para aquellos
de los otros 141 GCs que tienen masas dentro de un factor dos de la
uno con rh desconocido. En todos los casos, la densidad de media masa es
8 A lo largo de este papel, utilizamos bx para denotar la mediana de cualquier cantidad x.
3M/8ňr
El panel más a la izquierda de la Figura 1 muestra inmediatamente que
la distribución masiva del clúster tiene una fuerte dependencia de
densidad media de la masa: la mediana de Má aumenta con
la dispersión en el logaritmo M, es decir, la anchura del GCMF,
Disminución. El primero de estos puntos está relacionado con el hecho de que
rh se correlaciona mal con M (por ejemplo, Djorgovski y Meylan 1994;
McLaughlin 2000). El segundo punto, que la dispersión de
dN/d log M disminuye con el aumento de?h, está detrás del hallazgo-
ing (Kavelaars & Hanes 1997; Gnedin 1997) que el GCMF
es más amplio en radios Galactocéntricos muy grandes. Volvemos a esto.
en §2.2.
Una preocupación natural, al conspirar M contra
hecho aquí, es que cualquier correlación aparente sólo podría ser un
reflejo trivial de la definición
h. Esto puede parecer
especialmente preocupante porque, como acabamos de mencionar, es
conocido que el tamaño no se correlaciona especialmente bien con la masa
para GCs en la Vía Láctea (o, de hecho, en otras galaxias).
Sin embargo, la falta de una estrecha correlación M-rh no implica
que todos los GCs tienen la misma rh, incluso dentro de lo inevitable
errores de medición. La dispersión raíz-media-cuadrado (rms) de
log rh sobre su valor promedio es ±0,3 para los GC Galácticos, y
la propagación de 68 percentiles en log rh es ligeramente superior a 0,5,
o más que un factor de 3 en términos lineales (de los datos en
Harris 1996; véase, por ejemplo, la figura 8 de McLaughlin 2000). Esto
se compara con un error de medición aleatoria rms (de forma,
χ2 incertidumbres de montaje) de • (log rh) • 0,05, es decir, alrededor del 10%
error ativo; y un error sistemático de medición rms (es decir,
diferencias en la rh inferidas de la instalación de diferentes estructuras
modelos a un solo cluster) de tal vez ♥(log rh). 0,03;véase
McLaughlin & van der Marel (2005). La mayor parte de la dispersión en
las parcelas de radio de media luz observado versus la masa es, por lo tanto,
real y contiene información física. El panel de la izquierda
de la Figura 1 muestra esta información en una forma que destaca
tendencias generales claras y no triviales que requieren una explicación física.
La línea discontinua en la trama de masa contra trazas de densidad
la proporcionalidad M............................................................................................
h, o el Sr.
h = constante. En la medida en que
el tiempo de relajación de media masa es escalas como trh
1/2, y
en la medida en que μev â € M/trh â € €
h se aproxima a la av-
velocidad de eliminación de la pérdida de masa impulsada por la relajación, esta línea es una de
igual tiempo de evaporación. Que un lugar así tiene límites agradables
la envolvente inferior de la distribución de clusters observada es
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 5
CUADRO 1
MILKY WAY CG PROPIEDADES EN BINDAS DE DENSIDAD Y RADIO GALACTOCENTRICO
Bin N b.h.
brgc a Mmin Mmax bM
a MTO
[Mâr pc−3] [kpc] [Mâr] [Már] [Már] [Már] [Már]
Papeleras
0,034 ≤ πh ≤ 76,5 millones de libras esterlinas
−3 48 8,48 12,9 5,63× 102 8,84× 105 4.12× 104 3,98× 104
78,8 ≤ lH ≤ 526 M® pc
−3 49 232 5,6 8,37× 103 1,67× 106 1,22× 105 1,58× 105
579 ≤ h ≤ 5,65× 10
4 M® pc−3 49 973 3,2 1,93× 104 1,30× 106 2,82× 105 2,88× 105
rgc bins
0,6 ≤ rgc ≤ 3,2 kpc 47 597 1,9 4,47× 103 1,02× 106 1.15× 105 2,14× 105
3.3 ≤ rgc ≤ 9,4 kpc 50 261 5,2 2,02× 103 1,67× 106 1,27× 105 1,66× 105
9,6 ≤ rgc ≤ 123 kpc 49 18,4 18,3 5,63× 102 1,30× 106 7,42× 104 8,71× 104
a La notación bx representa la mediana de la cantidad x.
b MTO es la masa máxima del modelo GCMFs trazada por las curvas sólidas en cada panel de la Figura 2, que
se dan por la ecuación (3) del texto con β = 2, Mc = 10
6 Más, e individual, dado por el observado
de cada grupo a través de la ecuación (4).
sí mismo un fuerte indicio de que la relajación impulsada por la interrupción de los cúmulos
ha modificado significativamente el GCMF a bajas masas (re-
llama que Mr3h = constante define un lado de la CG “sur-
triángulo vival” cuando se refunde la trama M–Ôh como rh versus M:
Fall & Rees 1977; Okazaki & Tosa 1995; Ostriker & Gnedin
1997; Gnedin & Ostriker 1997). También es una prueba más.
que la débil correlación de rh observado con M se debe a sig-
diferencias nificantes y reales en los radios de racimo, ya que si r
intrínsecamente lo mismo para todos los GCs, entonces veríamos M..........................................................................................................................................................
En lugar de eso.
El panel medio de la Figura 1 muestra el resultado bien conocido
que la masa típica de GC depende débilmente si en absoluto de Galacto-
radio céntrico, al menos hasta rgc grande y 30–40 kpc, donde hay
son demasiado pocos grupos para discernir cualquier tendencia. El panel de la derecha
de la cifra muestra por qué esto es cierto a pesar de que el GCMF
depende significativamente de la densidad de los clusters: aunque hay un
correlación entre la densidad de media masa y la po-
la gran dispersión alrededor de él es tal que convolviendo la
M observado versus h con los resultados observados de h versus rgc
en una dependencia casi nula de M en rgc.
Ahora dividimos la muestra GC en la Figura 1 aproximadamente en
terceras, de dos maneras diferentes: primero sobre la base de la media masa
densidad, y segundo por radio Galactocéntrico. Estas medidas se adoptarán de conformidad con lo dispuesto en el apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CE) n° 1224/2009.
rgc bins se definen en la tabla 1, que también da una
estadísticas mary para los globulares en cada submuestra. Contamos
los clusters en cada submuestra en aproximadamente 10 cubos de ancho igual
de log M para obtener representaciones histográficas de dN/d log M,
en primer lugar como una función de?h y, a continuación, como una función de rgc. Estos
Los puntos de la Figura 2 muestran los GCMF con barras de error
indicando incertidumbres estándar de Poisson. Las curvas en el
modelo de trazas de figuras GCMFs, que describimos en §2.2. Por
el momento, es importante tener en cuenta que la curva discontinua es la
lo mismo en cada panel, aparte de pequeñas diferencias en
y es proporcional al GCMF para toda la muestra
de 146 GCs. (En el panel medio-izquierda de la Figura 2, que
a los clusters distribuidos estrechamente alrededor de la mediana de
todo el sistema GC, la curva de rayas es coincidente con el
curva sólida que se ejecuta a través de los datos.)
Los paneles izquierdos de la Figura 2 muestran directamente que
GCMF es alcanzado para los cúmulos en cualquier densidad, y que la masa
de la cumbre aumenta sistemáticamente con la hora (véase también el último
columna del cuadro 1, pero tenga en cuenta que las masas de volumen de negocios allí
se refieren al modelo GCMF que desarrollamos a continuación). El sta-
la importancia tistica de esto es muy alta, y cualitativamente
es el comportamiento esperado si MTO debe su existencia al cluster
la interrupción a un ritmo que aumenta con el tiempo, como es el caso con
evaporación impulsada por la relajación.
Los paneles a la derecha de la figura 2 confirman una vez más que
el pico de masa GCMF es una función muy débil de Galactocen-
tric posición. De hecho, las distribuciones observadas en los dos rgc
los cubos dentro de 10 kpc son estadísticamente indistinguibles en su
total, y la diferencia principal en mayor rgc & 10 kpc es un
proporción ligeramente superior de los cúmulos de baja masa en lugar de un
gran cambio en el MTO. Todo esto es consistente con el pri-
la dependencia de la GCMF es que en?h, desde la Fig-
ure 1 muestra que la distribución de la densidad GC no es sensible a
Posición Galactocéntrica para rgc. 10–20 kpc pero tiene un sustan-
cola de baja densidad en radios más grandes (con un
GCMF, como se ve en el panel superior izquierdo de la figura 2.
2.2. Modelos simples
Ahora evaluamos más cuantitativamente si estos resultados
son consistentes con la evolución dominada por la evaporación de la
GCMF de una distribución inicial como la observada para
clusters jóvenes en el universo local. Nosotros modelamos el tiempo...
evolución de la distribución de M versus
no intenten esto para la distribución de lh sobre rgc—los detalles
de los cuales probablemente dependen de una complicada interacción entre
el campo de mareas de la Galaxia, el presente y pasado orbital pa-
rameters de clusters, y la no homología estructural de GCs.
Para comparar nuestros modelos con el actual GCMF como una función de
rgc, simplemente los calculamos usando el?h observado de indi-
cúmulos viduales en diferentes rangos de radio Galactocéntrico.
Suponemos que el GCMF inicial era independiente de clus-
densidad superior, y que todos los globulares que sobreviven hasta el día de hoy
han estado perdiendo masa durante el tiempo pasado Hubble en constante
Tasas. Utilizamos la densidad actual de media masa de cada clúster
para estimar μev
h. Como hemos discutido antes, un
La mayoría de los cálculos indican que la relación tiempo-independienteμev es
de la relajación de dos cuerpos en GCs finamente limitados. Damos más
detallada, a posteriori justificación en el § 3 para el uso de
que otras medidas plausibles de densidad de racimo, para estimar
Considere primero un grupo de CG coeval con una masa inicial
función dN/d log M0 y una masa única, independiente del tiempo-
tasa de pérdida μev. La masa de cada clúster disminuye linealmente como
M(t) = M0 evt, y en cualquier momento posterior cada uno ha perdido el mismo
M(t) = μevt. FZ01 muestra rigurosamente que en
6 McLAUGHLIN & FALL
FIG. 2.— GCMF en función de la densidad de la media masa,
h (paneles de la izquierda), y en función del radio Galactocéntrico, rgc (paneles de la derecha), para 146 Milky
Manera GCs en el catálogo de Harris (1996). La curva discontinua en todos los casos es una función Schechter evolucionada para todo el sistema GC (Jordán et al. 2007): ecuación
(3) con β = 2, Mc = 106 M®, y 2.3×105 M® para todos los conglomerados (a partir de la ecuación [4] y una mediana bh = 246 M® pc
−3), dando un pico en MTO = 1,6×10
5 millones de libras esterlinas.
Las curvas sólidas son los CGMF predichos por la ecuación (3) con β = 2 y Mc = 106 M® pero individuales dados por el observado de cada clúster (ecuación [4]) en
los diferentes submuestras.
en este caso, los GCMF evolucionados e iniciales están relacionados por
d log M
d log M0
(M )
d log (M )
. 1)..........................................................................................................................................................
Esta es la base de la afirmación de que las escalas de función de masa
genéricamente como dN/d log M • M+1 (a β = 0 ley de potencia) a baja
suficiente M(t)—es decir, para los restos sobrevivientes de clus-
ters con M0 —sólo siempre y cuando la distribución inicial fue
no una función delta.
Seguimos FZ01 (véase también Jordán et al. 2007) en la adopción de una
La función de Schechter (1976) para el GCMF inicial:
dN/d log M0 â € M
0 exp
−M0/Mc
. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Con β 2, esta distribución describe la masa de la ley de poder
funciones de clusters masivos jóvenes en sistemas como el Anten-
galaxias nae (por ejemplo, Zhang & Fall 1999). Un corte exponencial...
apagado en Mc â € 10
En general, 6 millones de euros son coherentes con esos datos.
aunque no siempre lo exijan; aquí lo requerimos
principalmente para coincidir con la curvatura observada en las masas altas en el viejo
GCMFs (por ejemplo, Burkert & Smith 2000; Jordán et al. 2007).
La combinación de ecuaciones (1) y (2) da la probabilidad de
sity que un único GC con tasa de evaporación conocida y la edad tiene
una masa instantánea M. El GCMF dependiente del tiempo de un
el sistema de CGs N con un rango de μev (o edades, o ambos) es
entonces sólo la suma de todas estas densidades de probabilidad individuales:
d log M
[M i]
M i
. 3)
En este caso, las pérdidas totales de masa pueden diferir de las pérdidas de masa (μevt)i = (μevt)i
ter a cluster (es decir, la edad de un CG único), pero tanto β como
Se supone que Mc es constante, independiente de..........................................................................................................................................................................................................................................................
Lar.9 Dadas cada año, las normalizacións Ai en la ecuación (3) son
definido de modo que la integral sobre d log M de cada término en el
La suma es la unidad.
Jordán et al. (2007) han introducido una especialización de
ecuación (3) en la que todos los clusters tienen el mismo valor. Se refieren a:
a esto como una función Schechter evolucionada y describir su prop-
(incluida una fórmula para el volumen de negocios)
masa de MTO en función de • y Mc) para el caso β = 2. Toma.
Sólo observamos que, a edades muy jóvenes o para la masa lenta-
las tasas de pérdida, de tal manera que "Mc" y sólo el bajo-masa, el poder-
parte de la ley de la GCMF inicial está significativamente erosionada, cualquiera
La función de Schechter evolucionada tiene un pico en el MTO /(β − 1)
(para β > 1). A medida que aumenta el volumen de negocios en relación con Mc, el volumen de negocios en
en primer lugar aumenta proporcionalmente y la anchura de la distribución
(ya que el final de alta masa en M & MTO es en gran medida
sin cambios). Para Mc grande, sin embargo, el pico está limitado
arriba por MTO →Mc y la anchura se aproxima a un límite inferior.
Por lo tanto, la dependencia de MTO en • es más débil que lineal cuando
Mc es finito en el GCMF inicial de la ecuación (2). Cualquier pico en
la ecuación completa (3) para un sistema de GCs con individual
valores es una media de N diferentes volúmenes de negocios y debe ser cal-
culado numéricamente.
En su modelado del sistema de la Vía Láctea GC, FZ01 ef-
9 Tenga en cuenta que Mc parece asumir diferentes valores en los GCMF de otros
galaxias, variando sistemáticamente con la luminosidad total Lgal (Jordán et al.
2007). Las razones de esto no están claras, como es el origen de esta escala de masa en
el primer lugar.
10 El aumento de MTO y la disminución de la anchura total de dN/d log M
para aumentar • eventualmente saturar cuando la pérdida de masa por GC es tan alta
que afecta a los clusters en la parte exponencial de la función inicial de Schechter
GCMF. Esto se debe a que dN/d log M • M+1 exp(−M/Mc) es un auto-similar
solución a la ecuación (1).
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 7
fectivamente calcular las funciones de masa del tipo (3)—basadas en
las mismas condiciones iniciales y evolución dinámica—con un
distribución de los valores de • determinados por el parámetro orbital
ters de racimos en un logaritmo idealizado, esférico y estático-
potencial mic Galaxy (utilizado tanto para fijar μev en términos de clus-
la densidad de las mareas y estimar la pérdida de masa adicional debida
a los choques gravitacionales). Jordán et al. (2007) se ajustan a los datos del GCMF
en la Vía Láctea y decenas de galaxias del cúmulo de Virgo con
su versión de la ecuación (3) en la que todos los GCs tienen la misma
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, estiman la pérdida de masa dinámica de typi-
clusters cal en estos sistemas. Aquí, construimos modelos para
la Vía Láctea GCMF utilizando los valores de
se observaron densidades de media masa de CG individuales.
Adoptamos β = 2 para el índice inicial de leyes de baja masa
en la ecuación (2), que lleva a la ecuación (3) para el
dN/d log M. Jordán et al. (2007) han instalado el
GCMF Galáctico con una función de Schechter evolucionada asumiendo
β = 2 y una sola para todos los globulares sobrevivientes. Ellos
encontrar Mc 10
6 millones de euros y = 2,3× 10
5 millones de libras esterlinas. Usamos este valor
de Mc en la ecuación (3) y asociamos con la pérdida de masa
de clusters en la densidad media de media masa de todo el GC
sistema, que es h = 246 millones de libras esterlinas
−3 de los datos de la Figura 1.
Puesto que estamos asumiendo que = μevt
h t para los CG coeval,
por lo tanto, estipulamos
* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M*
h/M· pc
−3)1/2 (4)
para globulares con arbitrariedades. Asumiendo una edad de GC típica de
t = 13 Gyr, esto corresponde a una tasa de pérdida de masa de
μev 1100 millones de dólares de los EE.UU.
− 1 (l/m/m/pc−3
. 5)
En §3 discutimos las vidas de los clusters implícitas por este valor
de μev. Enfatizamos aquí que la escala de μev y
con
h sigue bastante genéricamente de nuestra hipótesis de
la evolución de los clusters dominada por la evaporación, mientras que la
Los coeficientes en las ecuaciones (4) y (5) son específicos para el assump-
de β = 2 para el índice de poder-ley en las masas bajas en el
GCMF inicial.
La curva de rayas que se muestra en cada panel de la Figura 2 es
la evolución de la función Schechter instalada en todo el GCMF de
la Vía Láctea por Jordán et al. (2007). Esto tiene un pico en
MTO 1.6× 10
5 Más (magnitud MV −7.4 para un V típico -
banda relación masa-luz de 1,5 en unidades solares) y da una muy
buena descripción del dN/d log M observado en el medio
Densidad bin, 79. 530 millones de libras esterlinas
−3, y en los dos ra-
dius bins, rgc ≤ 9,4 kpc. Esto se espera, ya que la mediana
densidad de media masa en cada una de estas submuestras de racimo es muy
cerca de la mediana a nivel de todo el sistema h = 246 millones de libras esterlinas
−3 (ver Ta-
ble 1). Incluso en el rgc bin más exterior, un Kolmogorov-Smirnov
(KS) prueba sólo rechaza marginalmente el modelo de línea rayada (en
el nivel de 95%), porque esta submuestra todavía incluye muchos
GCs en o cerca de la mediana global h (ver Figura 1). Por...
Trast, el GCMF medio es fuertemente rechazado como un modelo para
los CG de densidad más baja y más alta en el lado izquierdo de
Figura 2: las probabilidades KS de que estos datos se extraigan de
En ambos casos, la distribución es <10−4. Esto es también
se espera ya que, por construcción, estos contenedores sólo contienen clus-
ters con densidades muy lejos de la mediana del GC completo
sistema, para el cual la masa total perdida por evaporación debe ser
significativamente diferente de la típica = (h).
Las curvas sólidas en la Figura 2, que son diferentes en
ery panel, son las superposiciones de muchos diferentes evolucionaron
Las funciones de Schechter, como en la ecuación (3), con valores distintos de
dada por la ecuación (4) utilizando la?h observada de cada cluster en
la submuestra correspondiente. Estos modelos proporcionan excel-
Coincidencias prestadas al logaritmo dN/d M observado en cada?h y rgc
con χ2 < 1,3 por grado de libertad en todos los casos. Esto es
el principal resultado de este documento.
La última columna del cuadro 1 indica la masa de MTO en la que
cada uno del modelo sólido GCMFs en los picos de la Figura 2. Tomamos nota
que estos volúmenes de negocios aumentan más o menos como MTO
0,3–0,4
h para
nuestros encuadernaciones específicas en?h y rgc, algo más superficial que
el
h Escalado de la tasa de pérdida de masa en racimo que define la
modelos. Esto se debe, en parte, a que el promedio es superior a
volumen de negocios real implicado por la suma de muchos evolucionó
Schechter funciona en cada cubo del GC, y en parte porque—como
que discutimos justo después de la ecuación (3)—la masa de rotación de cualquier
una función de Schechter evolucionada no puede aumentar indefinidamente en
proporción directa con respecto a los países de Europa Central y Oriental
h, pero tiene un límite superior estricto de
MTO ≤ Mc.
Nuestros modelos son naturalmente consistentes con el hecho de que el
El GCMF es más estrecho para los cúmulos con densidades más altas. Esto
es evidente en los paneles de la mano izquierda de la figura 2; en el
la conmoción inmediatamente después de la ecuación (3), describimos cómo
sigue del aumento de MTO con • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
h por un pecado...
gle evolución de la función Schechter. Además, la superposi-
de muchas de estas funciones con función independiente, dependiente de la densidad
Los volúmenes de negocios y las anchuras dan lugar a una ampliación de los GCMF en el caso de los subconjuntos.
muestras que abarquen mayores rangos de................................................................................................................................................................ Esto tiene en cuenta, en particular, los siguientes aspectos:
ular para la anchura de la función de masa en rgc ≥ 9,4 kpc. Los
Los globulares a estos radios tienen 0,034 ≤
3 millones de libras esterlinas
correspondiente a funciones individuales Schechter evolucionadas con
volumen de negocios a 2,7× 103. MTO. 4,0× 10
5 millones de libras esterlinas. La composición...
ite GCMF en el panel inferior derecho de la figura 2 es, por tanto,
extremadamente amplio y muestra un pico muy plano, tal que
todos los OMP no pueden establecerse precisamente a partir de los datos por sí solos.
Esto explica los hallazgos de Kavelaars & Hanes (1997), que
señaló que el GCMF de la tercera parte más externa del
El sistema de clústers de vías tiene un volumen de negocios que es estadísticamente consis-
tienda con el promedio de Galaxia completa, pero una dispersión más grande (ver
También Gnedin 1997).
Por último, si el GCMF evolucionó dinámicamente desde el
ciones similares a las que hemos adoptado, a continuación, los datos y
modelos en los paneles de la izquierda de la figura 2 argumentan en contra
la noción de que los choques gravitacionales externos, en lugar de
la relajación ternal de dos cuerpos, fueron los principales responsables de
dando forma al actual GCMF. Esto es porque la masa...
tasa de pérdida causada únicamente por choques, −dM/dt = μsh
difiere significativamente de la causada por la evaporación sola,
−dM/dt = μev
h. La dependencia directa de μsh de
asegura que los choques se vuelven progresivamente menos importantes
a la evaporación a medida que los racimos pierden masa (a una determinada hora), y
En consecuencia, no es probable que los choques hayan tenido mucho efecto en
el GCMF observado para M < MTO. Además, la inversa
la dependencia de μsh en la h es contraria a la dependencia directa
de MTO en la hora indicada en la figura 2. Los diferentes papeles jugados
por choques y evaporación en la configuración del GCMF observado son
más ampliamente discutido por FZ01. Tomamos nota aquí de que la gravedad
choques pueden haber sido importantes en la destrucción muy masiva
o clusters de muy baja densidad temprano en la historia de nuestra Galaxia.
2.3. Otras propiedades del clúster
Si la forma actual del GCMF es fundamentalmente la re-
sulf de la interrupción a largo plazo del cluster según una pérdida de masa
8 McLAUGHLIN & FALL
regla como μev
h, entonces debe ser posible reproducir
la distribución en función de cualquier otro atributo de cluster por
utilización de la hora de los GC individuales observados en las ecuaciones (3) y
(4) para construir el modelo dN/d log M para submuestras de la Galáctica
sistema de cluster definido por ese atributo, como hicimos para el rgc
Encuadernación de §2.2. Aquí exploramos un ejemplo en el que dif-
ferencias en los GCMF de dos grupos de globulares se pueden ver
de este modo seguir las diferencias en sus distribuciones.
Smith & Burkert (2002) han demostrado que la función de masa
de globulares galácticos con concentraciones del modelo King (1966)
c < 0,99 tiene un pico menos masivo que el de c ≥ 0,99. [Aquí
c Log(rt/r0), donde rt es el radio de marea instalado y r0 un núcleo
escala.] Además, encuentran que una ley de poder se ajusta a la baja-
c GCMF justo debajo de su pico devuelve dN/d log M • M+0.5—
menor que el M+1 esperado genéricamente para una pérdida de masa
tasa que es constante en el tiempo, pero confirman que este último
la pendiente se aplica para el GCMF a c ≥ 0,99. Discuten sobre diversos temas.
opciones para explicar estos resultados, incluida una sugerencia de que, si
las funciones de masa de los grupos de baja y alta concentración,
ters evolucionó lentamente de la misma, joven-cluster–como inicial
distribución, entonces la ley de pérdida de masa para los CG bajos en c puede tener
difería de eso para los cúmulos de alta c. Sin embargo, no dan
explicación física de tal diferencia, y podemos mostrar
ahora que no se requiere ninguna.
El panel superior de la figura 3 de la concentración de parcelas contra
densidad de media masa para los mismos 146 GC de la figura 1;
círculos llenos distinguen 24 racimos con c < 0,99. Ahí está.
es una especie de correlación entre c y?h, que o bien de-
rives de o causa la correlación más conocida entre c
y M (por ejemplo, Djorgovski & Meylan 1994; McLaughlin 2000).
El punto importante aquí es que la distribución de la
establecer valores más bajos y tener una mayor dispersión a c < 0,99.
Después de la discusión en §2.2, esperamos, por lo tanto, que la
de baja concentración GCMF para tener un MTO más pequeño, un
forma alrededor del pico, y un ancho completo más grande que el alto-
concentración GCMF.
El panel inferior de la Figura 3 muestra los GCMF para c < 0,99
(círculos llenos) y c ≥ 0,99 (círculos abiertos). Las curvas son
otra vez dada por la ecuación (3) con β = 2, Mc = 10
6 millones de euros, y en-
dividual • calculado a partir del grupo observado h a través de
Ecuación (4). Estos modelos pico en MTO 4.3× 10
para la submuestra c < 0,99 pero en MTO 1,8× 10
5 millones de libras esterlinas
c ≥ 0,99, en su totalidad como resultado de las diferentes zonas afectadas.
El ancho más grande de dN/d log M y su pendiente más superficial en
cualquier M. 105 M® para los GCs de baja concentración son también
claro, en las curvas del modelo, así como los datos. Está más lejos.
evidente que no se observan globulares galácticos de baja c
con M & 2× 105 M®, por encima del volumen de negocios nominal de la totalidad
GCMF (como señaló Smith & Burkert 2002). Pero esto no es...
levantamiento, dado que hay tan pocos cúmulos de baja concentración
en total y se espera que estén dominados por la baja masa
objetos debido a su densidad generalmente baja. Por lo tanto, la
curva sólida en la Figura 3 predice tal vez 3 clus de masa alta-
ters con c < 0,99, donde no se encuentra ninguno.
La variación aparente de la Vía Láctea GCMF con
Por lo tanto, la concentración ternal es coherente con la misma
modelo basado en la densidad para la evaporación dinámica dominada
evolución que comparamos con dN/d log M en función de
En el apartado 2.2. Para demostrar esto, hemos hecho uso de la
densidades exactamente como se observa dentro de las dos concentraciones
cubos indicados en la Figura 3—así como también tomamos
de los datos para GCs en diferentes rangos de rgc a construir
modelos para la comparación con el logaritmo de dN/d M observado en el
FIG. 3.- Arriba: Parámetro de concentración en función de la densidad de media masa
por 146 GC galácticos. La línea de puntos en c 2,5 proviene de la práctica de
asignar este valor a los clusters de núcleo colapsado en el catálogo Harris (1996)
y sus fuentes. Abajo: Datos y modelos del GCMF (eqs. [3] y [4]) para 24
clusters con c < 0,99 (círculos llenos y curva sólida) y 122 clusters con
c ≥ 0,99 (círculos abiertos y curva discontinua).
Paneles a la derecha de la Figura 2. Por supuesto, esto no es lo mismo.
como explicación de la distribución de.h versus rgc o c.
sin duda sería de interés en su propio derecho, pero está más allá de
el alcance de nuestro trabajo aquí.
3. DEBATE
En esta sección, primero mostramos que la tasa de pérdida de masa en equa-
tion (5) supra implica vidas de clústeres que se comparan favorablemente
con los esperados de la evaporación impulsada por la relajación. Entonces
Discutimos por qué es razonable aproximarse a μev
el primer lugar. Por último, abordamos la cuestión de la posible
flict, en algunos otros modelos para la evaporación dominada por el GCMF
evolución, entre la casi constante de MTO como función
de rgc y la cinemática observada de los sistemas GC.
3.1. Cluster Lifetimes
El tiempo de interrupción de un CG con masa M y una constante
tasa de pérdida de masa μev es sólo tdis = M/μev. Es conveniente,
a efectos de comparación con los tiempos de evaporación en el
la literatura, para normalizar tdis al tiempo de relajación de un
cluster en su radio de media masa. En general, esto es trh =
0,138M1/2r
G1/2m* ln (γM/m*)
, donde m* es la media
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 9
Masa estelar. Para grupos de estrellas con una sola masa,
m* 0,7 millones de euros y γ 0,4 son apropiados (Spitzer 1987;
Binney & Tremaine 1987, ecuación [8-72]), en cuyo caso
ecuación (5) para μev de nuestro modelado GCMF implica
μevtrh
0,57 millones/m + 0,57 millones + 0,55 millones + 0,55 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones
0,57× 105
. 6)
Los cúmulos con espectros de masa estelares realistas tendrán un poco
diferentes valores de m* y una menor γ en el cálculo de
el tiempo de relajación (Giersz & Heggie 1996), que cambia
el valor numérico de tdis/trh algo pero no altera
escalas.
Obtuvimos la normalización de μev...............................................................................................................................................
h en §2.2 por
Adecuación a GCMF observados construida mediante la aplicación de un spe-
relación masa-luz cífica V a cada clúster, con modelos como-
sumando un formulario específico para el log inicial dN/d M0. Por lo tanto,
el resultado en la ecuación (6) depende tanto de la mediana V
y en el índice de poder-ley β en las masas bajas en el original
Función Schechter GCMF. El escalonamiento neto, para
o cúmulos de masas múltiples, es
tdis/trh
V (β − 1)
−1. 7)..................................................................................................................................................
Para ver la dependencia de esta vida sin dimensiones en
V, note que requerimos μev V para adaptarse a las pérdidas de masa
de conglomerados con una distribución dada de luminosidades (el di-
rect observables), mientras que M/trh es proporcional a
V (L/r)
1/2. Por lo tanto, tdis/trh (M/trh)/μev
V. La
Coeficiente masa-luz adoptado en este artículo, con un valor medio
V 1,5 millones de libras esterlinas
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
ciones (§2.1).
Para entender la dependencia de β en la ecuación (7), recordar
en primer lugar que los coeficientes en nuestras expresiones para y μev
como funciones de la Comisión (eqs. [4] y [5]) seguidos de
ing β = 2 para el exponente de la ley de poder en las masas bajas en el
GCMF inicial (ecuación [2]). Como mencionamos justo después
Ecuación (3), la masa de rotación de una función de Schechter evolucionada
con cualquier β > 1 es MTO /(β − 1) en el límite de baja
# # # # # # # # # # # # # # # # #
h, y MTO → Mc para muy alto. En este sentido,
las mayores limitaciones observacionales a la normalización
de y μev provienen de los cúmulos de baja densidad. Todos los demás
las cosas que son iguales, su GCMF se puede reproducir con β 6= 2
si se multiplican (β − 1) el valor de la sustancia problema por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema (β − 1), en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que se multiplique por el valor de la sustancia problema (β − 1), en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema (β − 1), en el caso de que se multiplique por el valor de la sustancia problema de la sustancia problema. Por lo tanto,
tdis 1/μev 1/( 1). Observaciones de jóvenes masa-
ters (por ejemplo, Zhang & Fall 1999) indican que β está cerca de 2; pero si
era un poco más superficial, entonces las vidas de los racimos que inferimos
de la antigua GCMF aumentaría en consecuencia. Incluso un rela-
El cambio de menor importancia a β = 1,5 duplicaría tdis/trh a partir de 10 libras esterlinas.
a 20 libras esterlinas.
En el modelo de Hénon (1961) para cúmulos de una sola masa
la evolución auto-similar (coeficiente fijo de densidades medias en el período comprendido entre el 1 de enero y el 31 de diciembre de 1990)
en el lado de los radios de mareas y medias masas) en un campo de mareas
constante en el tiempo), un cluster pierde el 4,5% de su masa restante
cada tiempo de relajación de media masa. El tiempo para completar el disrup-
Por lo tanto, es tdis/trh = 1/0.045 22. En el caso de las sustancias no homológicas
clústeres en un campo estacionario de mareas, tdis/trh es una función de central
concentración y puede diferir del valor Hénon por factores
de unos dos. De la calcula unidimensional de Fokker-Planck...
ciones, Gnedin & Ostriker (1997) encontrar tdis/trh 10–40 para King
(1966) clusters modelo con valores c similares a los encontrados en
CG reales y con choques gravitacionales suprimidos (ver su
Figura 6). Así, aunque el tiempo de evaporación en la ecuación
(6) puede ser un poco más corto de lo que se suele encontrar en teoreti-
Cal cálculos, es sin duda dentro de la gama de tales calcu-
Laciones. Por otra parte, las hipótesis de un campo de marea constante y
una sola masa estelar en Hénon (1961) y Gnedin & Ostriker
(1997) son importantes. Parte de la diferencia entre el tipo-
la vida útil en estos tratamientos teóricos particulares y
nuestra estimación de tdis/trh de la GCMF es que la primera
no incluyen choques gravitacionales, que pueden haberse acelerado
un poco la evolución de los clusters reales (aunque
una vez más que los choques no parecen haber dominado en general
la evolución de los GC Galácticos existentes y no se espera
afectar a la independencia temporal básica de la pérdida neta de masa
rate; ver Vesperini & Heggie 1997, Gnedin, Lee, & Ostriker
1999, FZ01, y Prieto & Gnedin 2006). Un espectro de...
las masas lar en los clusters también pueden haber contribuido a un
aumento de la tasa de evaporación sobre los valores de una sola masa (por ejemplo,
Johnstone 1993; Lee & Goodman 1995).
Estimaciones de los tiempos de evaporación de otros números
métodos y para los modelos de cúmulos multimasa puede ser más bien
sensible a las técnicas e insumos computacionales detallados
suposiciones y aproximaciones, y diferencias aproximadamente
el nivel de factor de dos en tdis/trh entre diferentes análisis
no son infrecuentes; ver, por ejemplo, Vesperini & Heggie (1997),
Takahashi & Portegies Zwart (1998, 2000), Baumgardt
(2001), Joshi, Nave, & Rasio (2001), Giersz (2001), y
Baumgardt & Makino (2003). Por lo tanto, aunque las vidas
en estos estudios tienden a ser ampliamente comparables a los de
Hénon (1961) y Gnedin & Ostriker (1997), notablemente
valores más cortos ocurren en algunos modelos. En cualquier caso, nosotros
son alentados por la coherencia a dentro de los factores de dos o
tres entre estimaciones de tdis o μev por tan muy diferentes
métodos—uno puramente observacional, basado en la masa
funciones de los sistemas de clúster; el otro puramente teórico,
basado en modelos idealizados para la evolución del individuo
clusters, sobre todo porque cada método implica varios
entradas y parámetros inciertos.
3.2. Aproximación de μev
3.2.1. Media masa versus Densidad de marea
El tiempo de interrupción adimensional en la ecuación (6) es inde-
pendent de cualquier propiedad de clúster que no sea el registro de Coulomb-
arithm porque hemos usado densidades de media masa de GC para esti-
mate tdis = M/μev
h, mientras que trh también escala como M/
Sin embargo, como hemos mencionado anteriormente, el Fokker-Planck calcu-
las laciones de Gnedin & Ostriker (1997) demuestran en particular que
tdis/trh es en realidad una función de concentración central, c, para
King (1966) clusters modelo en campos de mareas estables. La constante
de proporcionalidad en μev
h por lo tanto también debe depender
sobre c, un detalle que hemos descuidado hasta este punto. Mostramos
ahora que esto no ha sesgado ninguno de nuestros análisis o afectado a nuestra
conclusiones.
La curva punteada en la Figura 4 ilustra la dependencia de
tdis/trh en c para modelos King de una sola masa, según la ecuación
(30) de Gnedin & Ostriker (1997). La curva sólida es propor-
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1/2 = (r3t /2r)
1/2, que hemos calculado
en función de c para estos modelos y multiplicado por un
stant para comparar directamente con tdis/trh. Evidentemente, hay un
equidad aproximada tdis/trh 2.15(lh/lt)
1/2, que se mantiene en
dentro de <15% en el intervalo de concentraciones que se muestra en
ure 4 (obsérvese que todos los GC galácticos excepto 6 tienen 0,7 ≤ c ≤ 2,5,
correspondientes a los potenciales centrales 3.W0. 11). Por lo tanto, si el
10 McLAUGHLIN & FALL
FIG. 4.— Dependencia de tdis/trh (línea punteada; de Gnedin & Ostriker
1997) y (l/t )
1/2 (línea sólida; después de escalar por un factor de 2,15)
concentración tral para cúmulos monomasa modelo King. En el rango de c
se muestra, que incluye casi todos los globulares galácticos, el propor-
tionality tdis/trh
1/2 se mantiene dentro de más del 15%. Por lo tanto, a este
nivel de precisión el tiempo de evaporación tdis es aproximadamente el mismo múltiplo de
t para clusters con cualquier perfil de densidad interna.
El tiempo de evaporación está escrito como tdis? trh(?h/?t)
1/2-M/
a continuación, la constante de proporcionalidad en la tasa de pérdida de masa μev
M/tdis...........................................................................
t debe ser casi independiente de c. De hecho, King
(1966) concluyó originalmente, a partir de argumentos bastante básicos, que
la tasa de evaporación de un cluster con una baja-Maxwellian
la distribución de la velocidad tomaría la forma μev
t con
sólo una dependencia débil de c. Una concentración esencialmente-
escalado independiente de μev con
t también se encuentra en N-
simulaciones corporales de cúmulos de masa multimasa de tamaño limitado (por ejemplo,
Vesperini & Heggie 1997) y por lo tanto no es un artefacto de
Supuestos específicos de los cálculos del Rey (1966) o
Gnedin & Ostriker (1997).
Esto sugiere que podría haber sido más natural para spec-
Tasas de evaporación del cluster ify proporcionales a
t en lugar de
h al desarrollar nuestros modelos GCMF en §2. Para cualquier clus...
ter en un campo de marea constante, con una constante?t, tal elección
También habría sido automáticamente coherente con un ap-
μev aproximadamente independiente del tiempo y la
dependencia M(t) del oído que hemos adoptado a lo largo de todo este
papel. Como discutimos al principio del §2, nuestro deci-
sión de trabajar con la Comisión, en lugar de con la Comisión, fue motivada por la
El hecho de que la densidad de media masa está mucho mejor definida en prin-
cipulado y más exactamente observado en la práctica. Nunca...
menos, reescritura μev
t como μev (t/h)
1/2 ×
h makes
claro que la validez de nuestros modelos, con un coeficiente fijo
en μev
h, depende de la medida en que las variaciones en
(El Parlamento aprueba la resolución legislativa)
1/2 se puede ignorar con seguridad.
La figura 4 muestra que todo el rango de valores posibles para
(El Parlamento aprueba la resolución legislativa)
1/2 en racimos modelo King con c ≥ 0,7 es sólo un factor
de 4 entre mínimo y máximo. Por lo tanto, utilizar
un valor único e intermedio de esta relación de densidad para describir
todos los GC (o un GC único que evoluciona en el tiempo a través de una serie de
modelos de King cuasi-estáticos)—que hemos hecho efectivamente
mediante el uso de un ajuste GCMF para normalizar los valores de los valores de los valores de referencia y de los valores μev en las ecuaciones (4)
y (5)—nunca debe estar en error por más de un factor de 2 o
Así que. Esta es una inexactitud relativamente pequeña, dado que
Las densidades de GC oscilan entre cuatro y cinco órdenes de magnitud.
Para confirmar más directamente que nuestros modelos con μev
son buenas aproximaciones a la evolución del GCMF bajo una masa
Derecho de la pérdida
t, hemos repetido el análisis de §2 en su totalidad
pero utilizando las densidades de CG (derivadas de los valores de
rt listada por Harris 1996 en lugar de?h a lo largo de todo. Todos nuestros
Persisten los principales resultados.
Por ejemplo, los dos paneles de la Figura 5, que son analo-
gous a los paneles más a la izquierda y a la derecha de la figura 1 anterior, mostrar
que (1) la distribución masiva de GC tiene una clara dependencia de
con un sobre inferior que está bien emparejado por una línea de
tiempo de evaporación constante,
t (la línea discontinua en el
gráfico); y (2) aunque la dispersión en la distribución de
sobre el radio Galactocéntrico es más pequeño que el scatter en
Sus rgc, sigue siendo significativo. Porque la distribución M-rgc
Ahora se puede ver como la convolución de la distribución
con la distribución t–rgc, el scatter en t versus rgc es
otra vez crítica en la explicación de la dependencia débil o nula de la
GCMF en el radio Galactocéntrico. (La distribución M–rgc es,
por supuesto, sin cambios de lo que se muestra en el panel medio de
Gráfico 1)11
La Figura 6 muestra la Vía Láctea GCMF para globulares en tres
cubos de densidad de marea igualmente poblados (definidos como
los paneles izquierdos de la parcela) y en los mismos tres cubos de
Radio Galactocéntrico que usamos en el §2.2 anterior. Nuestro mod-
els para estas distribuciones se basan como antes en la ecuación (3)
con β = 2, pero ahora la masa total perdida de cualquier CG es
se apareó de su densidad de marea en lugar de su densidad de media masa.
Específicamente, tomamos
• = 2,1× 105 M • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
? t/M? pc
−3)1/2. (8)
El coeficiente numérico en la ecuación (8) es tal que da un
• idéntica a la de la ecuación (4) para un CG con h/t = 210,
que es el valor medio de esta relación de densidad para los 146 GCs
en el catálogo Harris (1996).
Como en la Figura 2, la curva de rayas en cada panel de la Figura
6 es el mismo, que representa un ajuste a la media dN/d log M de
todo el sistema galáctico GC. Por lo tanto, está inmediatamente claro
que la masa máxima del GCMF aumenta significativamente, y
sistemáticamente con el aumento, al igual que lo hace con el aumento
ing?............................................................................................................................................. Mientras tanto, las curvas sólidas son submuestra-específicas
modelo GCMFs, obtenido utilizando la densidad de mareas observada
de cada cluster en cualquier?t o rgc bin para especificar
ues a través de la ecuación (8) para cada uno de la función de Schechter evolucionado-
ciones en la suma de la ecuación (3). Como era de esperar, hay
no hay diferencia apreciable, en términos de los ajustes a cualquiera de los ob-
servía a los GCMF, entre estos modelos basados en la evaporación
Tasas μev
t y nuestros modelos originales con μev
3.2.2. Evaporación retardada
Otra posible preocupación proviene de argumentos recientes
(véase especialmente Baumgardt 2001; Baumgardt & Makino 2003)
11 Como también fue el caso de nuestras parcelas anteriores que involucran a?h en la Figura 1,
la dispersión y la estructura en ambos paneles de la Figura 5 son reales, ya que los rms
dispersión de log rt sobre las líneas de mejor ajuste a cualquiera de log M o log rgc es 0,3–0,35
mientras que las barras de error rms basadas en incertidumbres de ajuste formal están en el rango
Para una variedad de modelos (McLaughlin & van der Marel
2005).
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 11
FIG. 5.— Parcelas de dispersión de la masa M versus densidad media dentro del radio de mareas (por ejemplo, 3M/4ηr3t) y de la masa M versus el radio Galactocéntrico rgc, para 146 GC galácticos
del catálogo Harris (1996). Estas parcelas son análogas a los paneles más a la izquierda y a la derecha de la Figura 1. La línea discontinua en el gráfico de la izquierda traza la relación
M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # # M # # # M # # # # M # # # # M # # # M # # # # M # # # # # M # # # # M # # # # M # # # # # # # # # # # # # M # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
t, que define un locus de tiempo de evaporación constante para μev
FIG. 6.— GCMF observado (puntos, con barras de error de Poisson) y modelos (curvas) en función de la densidad media de cluster dentro del radio de marea,
paneles de mano), y en función del radio Galactocéntrico, rgc (paneles de la derecha). La curva discontinua en cada panel es una función de Schechter evolucionada que representa
todo el sistema GC: ecuación (3) con β = 2, Mc = 106 Mâ €, y un único â € €, común a todos los clusters, evaluado a partir de la ecuación (8) utilizando la mediana de todos los 146
GCs galácticos. Las curvas sólidas son modelos subsample-específicos utilizando la ecuación (3) con β = 2 y Mc = 106 Mâ € pero un valor diferente â € para cada clúster (obtenido
a partir de la ecuación [8] utilizando estimaciones observacionales individuales de.t ) en cualquier.t o rgc bin.
12 McLAUGHLIN & FALL
que el tiempo total de evaporación de un cluster tidally limitado
no es simplemente un múltiplo de una relajación interna de dos cuerpos
time, trlx
3)1/2, pero depende de trlx y el cruce
time tcr • (M/r)
3)-1/2 a través de la combinación tdis
con x < 1. La tasa de pérdida de masa μev M/tdis entonces escala como
M3/2−xr−3/2, que para x 6 = 1 difiere de las tasas μev
y μev
que hemos adoptado hasta ahora. Sin embargo, nuestro
Los modelos del GCMF siguen siendo significativos, porque postulan tdis
txrlxt
c implica una dependencia de μev en una medida de clúster
densidad que es, una vez más, bien aproximado por
h para
GCs galácticos. Antes de mostrar esto, discutimos brevemente el
las razones y las pruebas de una posible dependencia de
trlx y tcr.
Si se supone que las estrellas escapan de un cúmulo tan pronto como
han alcanzado energías por encima de algún valor crítico como resultado
de la relajación de dos cuerpos, a continuación, tdis trlx se espera (y con-
reafirmado por simulaciones de cuerpo-N; por ejemplo, Baumgardt 2001). ¿Cómo...?
siempre, el comportamiento más complicado puede surgir cuando escapar no
sólo depende de que las estrellas satisfagan tal criterio energético, pero
también requiere que crucen un límite espacial. Entonces, al-
aunque las estrellas todavía están dispersas para casi-y arriba-escapar
energías en la escala de tiempo trlx, que requieren algunos adicionales
Es hora de dejar el grupo. Esta escala de tiempo de escape es
fundamentalmente relacionado con tcr (pero también depende de los detalles de
las órbitas estelares, el campo de marea exterior, y la forma de
la superficie de energía cero). Cuanto más tiempo extra, el
mayor es la probabilidad de que más encuentros con atado
estrellas de racimo pueden dispersar cualquier escape potencial hacia abajo
para sub-escapar energías. El resultado neto es una desaceleración (“re-
retraso”) de la tasa global de evaporación (Chandrasekhar
1942; King 1959; Takahashi & Portegies Zwart 1998, 2000;
Fukushige & Heggie 2000; Baumgardt 2001)
En el caso de que la duración del cluster tdis, por un factor que puede ser ex-
pected para aumentar con la relación tcr/trlx. Si este factor escala como
(tcr/trlx)
1−x para algunos x < 1, luego tdis trlx (tcr/trlx)
1−x = txrlxt
Si bien puede esperarse un retraso de la evaporación de este tipo
para que ocurra en algún nivel en todos los grupos, hay
los efectos que probablemente no se capturen adecuadamente
por una simple re-parametrización de las vidas como tdis
En particular, es poco probable que esta expresión pueda
racimos de todas las masas con un solo valor de x < 1. Desde
tcr/trlx M
−1, los cúmulos muy masivos tienen tcr trlx, y las estrellas
esparcido a más que las energías de escape por la cruz de relajación
el límite de mareas efectivamente instantáneamente—implicando que
el tdis estándar Trlx, o x→ 1, se aplica en el límite de alta masa.
De hecho, si este no fuera el caso, y una x fija < 1 mantenido para todos
M, entonces un tdis no físico < trlx obtendría a lo suficientemente alto
masas; véase Baumgardt (2001) para más discusión. Unfor-
"muy masivo" no está bien cuantificado en este contexto,
y todavía no está claro si un solo valor de x es exacto para el
todo el régimen de masas de GC. Hasta ahora, se ha comprobado directamente
sólo para las masas iniciales de cluster por debajo del pico actual de la
GCMF.
También vale la pena señalar que el análisis y las simulaciones
miento de la Unión Europea en el ámbito de la seguridad y la salud en el lugar de trabajo, así como en el ámbito de la seguridad y la salud en el lugar de trabajo.
órbitas angulares o moderadamente excéntricas en potenciales galácticos que
son estáticas y esféricas. Esto significa que cualquier marea perturba-
ciones que sienten las estrellas dentro de los cúmulos son relativamente débiles y/o
lento en comparación con sus propios períodos orbitales, lo que lleva a casi
respuestas adiabáticas o al menos no impulsivas. En más realis...
tic situaciones, el potencial galáctico dependería del tiempo
y no esféricas y podría haber otras perturbaciones de las mareas.
bations, incluidos los choques de disco y de protuberancia. Estas perturbaciones
en algunos casos podría acelerar la fuga de
estrellas de los cúmulos y así contrarrestar el retardo ef-
Afectar hasta cierto punto. Por lo tanto, es necesario un estudio más a fondo para de-
termine el régimen de validez de la fórmula tdis
c y
su posible modificación fuera de este régimen.
Mientras tanto, Baumgardt (2001) y
Baumgardt & Makino (2003; en adelante BM03)
esta fórmula a las vidas de un conjunto de n-cuerpo clusters
con masas iniciales M0. 7 × 10
4 MÃ3s y varios diferentes
concentraciones iniciales y excentricidades orbitales. BM03 a
primero escribe tdis en términos de los tiempos de relajación y cruce
de racimos en sus radios de media masa, de modo que
(M/r)
−1/2, y tdis
x−1/2r
h (ver su ecuación
[5]). Sin embargo, inmediatamente toman un factor de (rt/rh)
a partir de la normalización de esta escala — en efecto para obtener
tdis â € M
x−1/2r
t con una constante diferente de proporcionalidad—
y luego utilizar una simple definición del radio de marea (su
ecuación [1], r3t = GMr
c, que es apropiado para una
órbita circular de radio rp en un potencial logarítmico con
velocidad circular Vc; ver Innanen, Harris, & Webbink 1983)
para obtener la vida útil total de un clúster en función de su
masa inicial, distancia perigaláctica, y Vc (su ecuación
[7]). Un único exponente x 0,75 y una sola normalización
en esta función entonces suficiente para predecir dentro del 10% de la
vida útil de los clusters simulados, independientemente de su inicial
concentraciones. Por implicación, si trlx y tcr se fija en rh
en lugar de rt, entonces tdis tendría una concentración adicional
dependencia, relacionada con la relación (rt/rh)
3/2—muy similar a
lo que discutimos en §3.2.1 para el caso x = 1.
Ahora reexaminamos la Vía Láctea GCMF en términos de
esta prescripción para la evaporación retardada (teniendo en cuenta la
las advertencias mencionadas anteriormente). Para evitar cualquier dependencia explícita
en la concentración, también nos centramos en el radio de marea y escribir
tdis â € M
x−1/2r
t para general x ≤ 1; pero no sustituimos una
fórmula específica para el potencial y la órbita de rt en términos de rp y
propiedades galácticas como Vc. En su lugar, para mantener el énfasis...
Sis enteramente en densidades de cluster, re-escribimos la escala de la
vida útil en términos de la densidad media de la superficie dentro de la marea
radio, t M/ηr
t, y la densidad de volumen correspondiente
πt = 3M/4ηr
t. Esto conduce a tdis
−3(1−x)
−2(x−3/4)
t, que
entonces implica
μev-dM/dt-m/tdis
3(1−x)
2 x-3/4)
t. (9)
Claramente, el estándar μev
T, que ya tenemos dis-
cussed, se recupera para x = 1; mientras que para x = 0,75, tenemos el
igual de sencillo μev â € € TM
BM03 encuentra que, incluso con la evaporación retardada implícita
por x 0,75, las masas de sus cúmulos simulados todavía de-
arruga aproximadamente linealmente con el tiempo después de la evolución estelar
efectos (que sólo son importantes para los primeros 108 años) son
separados; ver especialmente su Figura 6, ecuación (12), y
debate conexo. Por lo tanto, si el GCMF inicialmente se elevó hacia
bajas masas y ha sido erosionado por lento, impulsado por la relajación
destrucción de racimos, entonces en esta descripción modificada de eva-
podría esperarse que la función de masa actual dependiera
fundamentalmente sobre el t y no sobre el t o sobre el t. Pero porque M(t)
todavía disminuye casi linealmente con t, sólo ahora con μev
para cada clúster, la forma del GCMF evolucionado y su de-
pendence en la t debe parecerse a nuestros resultados anteriores para la h y
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 13
Hemos confirmado esta expectativa repitiendo todo nuestro
análisis en §2 de nuevo, ahora utilizando μev
t al grupo estimado
Tasas de pérdida de masa. Al igual que antes, calculamos a partir de los datos en
el catálogo Harris (1996), aunque adviertemos una vez más
que los radios de mareas, y por lo tanto los derivados, son más inciertos
que rh y?h.
Figura 7, que debe compararse con las figuras 1 y 5
arriba, muestra que la masa promedio del GC Galáctico aumenta
sistemáticamente con el t; que el sobre inferior de la M–
distribución se describe bien por M â € € TM
t (la línea discontinua en
el panel izquierdo de la Figura 7), que es un locus de constante
vida útil frente a la evaporación para μev
t ; y que el scat-
en la distribución del clúster t frente a
dius (panel derecho de la figura) es sustancial, según sea necesario
para tener en cuenta la correlación casi inexistente entre M
y rgc.
El lado izquierdo de la Figura 8 muestra las funciones de masa
de globulares en tres cubos de Łt, tal como se define en cada panel.
El lado derecho de la figura muestra dN/d log M en el
los mismos tres intervalos de rgc que en las figuras 2 y 6 anteriores. As
en esas parcelas anteriores, la curva despuntada en todos los paneles de la figura
8 es un modelo GCMF con los mismos parámetros en cada caso,
representando la función de masa de todo el sistema galáctico GC-
Tem. Una vez más, en comparación con el promedio de ATM, el
La masa del volumen de negocios es significativamente inferior en el caso de las agrupaciones más bajas
En el caso de los clusters en la papelera más alta, el valor de la papelera es igual o superior al de los clusters en la papelera más alta, mientras que en el caso de los clusters, el valor de la papelera es superior al de los clusters en la papelera más alta, mientras que en el caso de los clusters, el valor de la papelera es superior al de los clusters en la papelera más alta, mientras que en el caso de los clusters en la papelera más alta, el valor de la papelera es superior al de los clusters en la papelera más alta.
la anchura de dN/d log M disminuye notablemente a medida que aumenta el valor.
Las curvas sólidas en la Figura 8 son de nuevo diferentes en cada
panel. Son las sumas de evaporación-evolucionada Schechter
funciones como en la ecuación (3), con el habitual β = 2 supuesto
pero con pérdidas de masa totales estimadas individualmente para cada GC
en cualquier contenedor de datos o rgc con arreglo a los datos de datos
t en lugar de • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
h • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
t. Sin embargo, resulta que no es necesario
para cambiar la normalización de la
h en la ecuación (4) a
lograr una buena adaptación al GCMF observado en función de
t o rgc. Por lo tanto, en la Figura 8 simplemente hemos utilizado
* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M*
t/M ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° r ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
−2)3/4. (10)
Los ajustes de estos modelos, basados en tdis
cr con x
0.75, son indistinguibles de los ajustes de nuestro mod-
els basado en el tdis estándar trlx, es decir, x = 1. (Tenemos con-
reafirmado que la adopción individual dado por la ecuación [10] también
reproduce los GCMF de GCs de baja y alta concentración
en la figura 3, tanto como antes.) Fue algo inesperado.
que la ecuación (10) y la ecuación (4) deben tener el mismo n-
coeficiente merical, pero observamos que esto sigue empíricamente
por el hecho de que la medida de los GCs galácticos
son consistentes con la simple casi-igualdad,
(l/m/m/pc)
−2)1,5 en la media. Esto se ilustra en la figura 9,
que también muestra que hay una dispersión significativa sobre la re-
12 Sin embargo, esta dispersión no se correlaciona con la clus-
masa ter o radio Galactocéntrico. Desde un punto de vista pragmático:
vista, por lo tanto,
h y فارسى
T están lo suficientemente cerca como para intercambiar...
capaz para nuestros propósitos, y no hay ninguna diferencia práctica ser-
12 Aunque puede ser sólo una coincidencia que la constante de la proporción -
de la calidad en la Comunidad Europea de la Energía Atómica y en la Comunidad Europea de la Energía Atómica y en la Comunidad Europea de la Energía Atómica y en la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica
t está tan cerca de la unidad, la escala básica se sostiene porque
la combinación de la correlación observada entre la masa del clúster y
centro (Djorgovski & Meylan 1994; McLaughlin 2000) con el
La dependencia de rt/rh en c en los modelos de King lleva aproximadamente a (rt/rh) M
entre los modelos GCMF basados en una u otra medida de
Densidad GC.
Una comprobación más de esto es verificar que la tasa de pérdida de masa
asociado con la ecuación (10) está aproximadamente en consonancia con que
implicado por las simulaciones de N-cuerpo apuntando a x = 0,75 en el
En primer lugar. Por lo tanto, comparamos la tasa
μev = /(13 Gyr) 1100 M Gyr
−1 (t/Mo) pc
−2)3/4 (11)
a una fórmula implícita en BM03. Comenzando con su equa-
tion (7) para el tdis de por vida en función del clúster inicial
distancia de masa y perigaláctica y velocidad circular en un loga-
potencial halo rítmico; utilizando su x = 0,75 y su normal-
lización de 1,91× 106 años, multiplicada como en su ecuación (9)
por (1 + e) para permitir órbitas excéntricas con apo- y peri-
distancias galácticas relacionadas con e • (ra − rp)/(ra + rp); insértese:
ing su ecuación (1) para rt ; tomando la masa media de clus-
estrellas ter a ser m* = 0,55 millones, como lo hacen; utilizando γ = 0,02 como
lo hacen en el logaritmo de Coulomb, ln(γM0/m*); y definir
t,0 M0/ηr
t,0 (el subíndice 0 que denota los valores iniciales),
obtener
μev(BM03)
0,7M0
1 + e
Más Gyr
0,036M0/M®
0,036× 105
3/4 (
Más pc−2
Esto es apropiado para los racimos que simplemente llenan sus lóbulos de Roche
en perigalácticon, que es donde se especifica el punto 0. El factor
de 0,7 en la primera igualdad representa la pérdida de masa debido a la estelar
evolución en las simulaciones BM03, que, como se discute,
puede tratarse como si hubiera ocurrido casi inmediatamente y en
lleno al principio de la vida de un grupo.
Nuestro μev basado en GCMF es un factor de • 2 más rápido que el N-
valor corporal de los cúmulos en órbitas circulares (con e = 0 y en
los campos de mareas constantes) en las simulaciones; y nuestro μev sigue siendo
dentro de un factor de alrededor de tres de la tasa de N-cuerpo para los grupos en
órbitas excéntricas con e = 0,5 en BM03 (e 0,5–0,6 es típico
para los trazadores con una distribución de velocidad isotrópica en un logaritmo-
potencial mic; van den Bosch et al. 1999). Esto es muy similar.
a la comparación de vidas en §3.1 para nuestros modelos originales
a base de μev
h. Además, nuestra nueva estimación de μev y
que en BM03 todavía están sujetos a su propia incertidumbre,
ata y refleja diferentes idealizaciones y suposiciones. Por
Por ejemplo, nuestra tasa sigue dependiendo de la expo-
nent β en las masas bajas en el GCMF inicial, como se discutió después
ecuación (7); mientras que la tasa de BM03 todavía descuida grav-
choques itacionales de los cruces de disco y los pasajes por un dis-
bulbo galáctico de hormigón, y puede ser, además, sesgado bajo para
M0 > 10
5 Mâ € si x > 0,75 a tales masas. Todo esto—no
por mencionar una vez más las grandes incertidumbres y el posible sistema
acs en las estimaciones de los radios de marea necesarios para calcular
hace el acuerdo cercano entre ecuaciones (11) y (12)
más sorprendente que cualquier discrepancia aparente.
En resumen, a pesar de la relación μev
h constante
en el tiempo es rigurosamente correcto sólo en circunscripciones más bien específicas
posturas, nuestros modelos GCMF basados en él en § 2 son buenos proxies,
en todos los aspectos, para modelos basados en otras características plausibles
zaciones de pérdida de masa de racimo impulsada por la relajación. Este resultado será el siguiente:
probablemente sea importante para futuros estudios de las funciones de masa de
sistemas de clúster extragaláctico, donde bien puede ser necesario
14 McLAUGHLIN & FALL
FIG. 7.— Parcelas de dispersión de la masa M versus densidad media de la superficie dentro del radio de mareas (t M/ηr2t ) y de t versus radio rgc Galactocéntrico, para 146 Galácticos
GCs del catálogo Harris (1996). Estas parcelas son análogas a los paneles izquierdo y derecho de la Figura 1, y los dos paneles de la Figura 5. La línea divisoria en
la trama de la izquierda traza la relación M â € ¬
t, que define un locus de tiempo de evaporación constante para μev
FIG. 8.— GCMF observado (puntos, con barras de error de Poisson) y modelos (curvas) en función de la densidad media de la superficie dentro del radio de marea,
paneles de mano), y en función del radio Galactocéntrico, rgc (paneles de la derecha). La curva discontinua en cada panel es una función de Schechter evolucionada que representa
todo el sistema GC: ecuación (3) con β = 2, Mc = 106 Mâ €, y un único â € €, común a todos los grupos, evaluados a partir de la ecuación (10) utilizando la mediana bâ € t de todos
146 GC galácticos. Las curvas sólidas son modelos subsample-específicos utilizando la ecuación (3) con β = 2 y Mc = 106 Mâ € pero un valor diferente â € para cada clúster (obtenido
a partir de la ecuación [10] utilizando estimaciones observacionales individuales de t ) en cualquier contenedor de t o rgc.
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 15
FIG. 9.- Densidad de media masa,..........................................................................................................................................................................................................................................................
h, contra la densidad superficial media
sity en el interior del radio de mareas, t = M/ηr2t, para 146 clusters con datos en Harris
(1996). La línea recta es?h =?
adoptar procedimientos basados en el derecho y no en el derecho o en el derecho
de la dificultad o imposibilidad de estimar los radios mareales.
3.3. MTO versus rgc, y anisotropía de velocidad en sistemas GC
En este artículo hemos modelado directamente dN/d log M como un
función sólo de la densidad y la edad GC, y se utilizó el observado
(o «t », o «t ») de agrupaciones en rangos relativamente estrechos de Galac-
posición tocéntrica para demostrar que tales modelos son consistentes con
la casi constante actual del GCMF en función de rgc.
La mayoría de los otros modelos en la literatura para evaporación dominada
La evolución del GCMF, ya sea en la Vía Láctea o en otras galaxias,
en lugar de predecir la distribución explícitamente como una función de rgc en
en cualquier momento. Por lo tanto, necesitan, en efecto, derivar teóricamente
relaciones densidad-posición para cúmulos en galaxias al lado
sus principales cálculos del GCMF. Esto generalmente comienza con el
adopción de potenciales analíticos para describir el
s de GCs. Tomando estas para ser esféricas y estáticas para un Hub-
ble time permite el uso de fórmulas estándar de limitación de mareas
escribir densidades GC ab initio en términos de la (fijo) peri-
centros rp de órbitas únicas en los potenciales adoptados. Cluster
Tiempos de relajación y tasas de pérdida de masa μev luego seguir como func-
ciones de rp también. Finalmente, masa inicial específica, espacio, y
las distribuciones de velocidad (o excentricidad orbital) se eligen para
sistemas GC enteros, de modo que en todos los tiempos posteriores se sabe lo que
la evolución dinámica dN/d log M es para globulares con cualquier
solo rp; cuántos cúmulos con un rp dado sobreviven; y lo que
las distribuciones de rp y todas las propiedades de clúster dependientes son
en cualquier posición instantánea rgc.
En este enfoque, si el GCMF comenzó con un aumento de la ley de poder
hacia las masas bajas y su pico actual se debe enteramente a clus-
En el caso de que se produzca una interrupción del tratamiento, se espera una dependencia de MTO en rp en
general, porque las densidades de los GCs tidally limitados disminuyen
con aumento de rp. Por lo tanto, los modelos en estas líneas que como
sume la distribución orbital de un sistema GC para ser el mismo
en todos los radios en una galaxia (es decir, que el promedio de tiempo de los ra-
tio rgc/rp es independiente de la posición)
cultivo en la contabilidad de la débil o no correlación observada
entre el MTO y el presente rgc en galaxias grandes. Esto es partic...
ulularmente un problema si se asume que el GCMF inicial era un
ley de poder puro, con el mismo índice en las masas arbitrariamente altas
como bajo (por ejemplo, Baumgardt 1998; Vesperini 2001). Es poten-
menos preocupante si dN/d log M comenzó como Schechter
función con un corte exponencial en masas M > Mc, como
hemos asumido, desde entonces, la existencia de un alto estricto
MTO unido ≤ Mc (§2.2) significa que la dependencia de un
MTO evolucionada por evaporación en rp y rgc debe saturarse para pequeñas
suficientes radios galactocéntricos (densidades de GC lo suficientemente altas). Incluso
así, los modelos “libres de escala” de FZ01, en el que Mc 10
y todos los GCs en una Vía Láctea-como el potencial de la galaxia tienen el
el mismo promedio de tiempo rgc/rp, todavía predice un gradiente en MTO ver-
Sus rgc que es más fuerte de lo observado.
FZ01 demostró que, si dejaban todas sus otras suposiciones
sin cambios, a continuación, una dependencia de la masa máxima del GCMF en rgc
podría ser borrado efectivamente por un radial adecuadamente variable
anisotropía de velocidad en el sistema GC inicial. Por lo tanto, en su
“Eddington” modela la excentricidad de un clúster típico o...
bit aumenta con la distancia galactocéntrica (el promedio de tiempo de
rgc/rp aumenta con el radio), de tal manera que los globulares se diseminan sobre
una gama más amplia de rgc actuales puede tener rp y
ciated MTO. Sin embargo, el gradiente inicial de velocidad-anisotropía
los datos requeridos para adaptarse específicamente a la Vía Láctea GCMF
marginalmente consistente con la cinemática observada del CG
sistema (por ejemplo, Dinescu, Girard, & van Altena 1999)13.
Quently, Vesperini et al. (2003) construidas de manera similar en términos generales
modelos para el GCMF del Virgo elíptico M87 y con-
ocluyó que allí, también, una anisotropía de velocidad radial variable es
necesario para que coincida con el MTO observado versus rgc; pero el modelo
anisotropía perfil en este caso es claramente inconsistente con el
distribución de velocidad verdadera del sistema GC, que se observa
ser isotrópico a gran rgc (Romanowsky y Kochanek
2001; Côté y otros 2001).
Estos resultados sugieren sin duda que falta algún elemento
en los modelos GCMF orientados a la rgc desarrollados como se ha indicado anteriormente.
Pero no significan que la culpa esté en el hipoteto principal.
esis, que la diferencia entre las funciones de masa de los jóvenes
clusters y viejos GCs se debe a los efectos de la lenta, relajación-
En este último caso, se produjo una perturbación provocada. Cualquier conclusión sobre
la anisotropía de velocidad depende de la totalidad de los pasos
conectar las densidades y posiciones de los clusters; y es possi-
ble que se produzcan cambios razonables en uno o más de estos
los modelos podrían ser compatibles con el
servía cinemáticas de GCs tanto en la Vía Láctea como en el M87,
sin abandonar una imagen física básica de la evaporación-
la evolución dominada por el GCMF, que de otro modo es un éxito
Una cuestión es que los modelos anteriores siempre han especificado
las tasas de evaporación a priori como funciones de densidad de racimo (o
pericentro bital), normalmente normalizando μev para que tdis/trh 20–
40 como en los tratamientos estándar de relajación de dos cuerpos. ¿Cómo...?
siempre, después de nuestra discusión en §3.1 y §3.2, parecería
vale la pena investigar estos modelos con μev aumentado en
fijas para permitir tdis/trh 10 (si β 2 para la masa baja)
parte de la ley-poder de la GCMF inicial).
FZ01 y Vesperini et al. (2003) ambos consideran la velocidad des-
Atribuciones parametrizadas por un radio de anisotropía galactocéntrica,
RA, dentro de la cual un sistema de clúster es esencialmente isotrópico
y más allá de la cual está cada vez más dominada por radiales o
13 El hecho de que los cúmulos en órbitas radiales se interrumpan preferentemente disminuye
cualquier inconsistencia entre la anisotropía radial requerida en la
distribución y limitaciones observacionales en la distribución de la velocidad actual
tion.
16 McLAUGHLIN & FALL
partes. En estos términos, la dificultad con los modelos publicados
es que, para reproducir la insensibilidad observada de MTO a rgc
una normalización estándar de μev, que requieren valores de
AR que son menores de lo permitido por las observaciones (especialmente
para M87). Aumentar la RA a valores más realistas, manteniendo
La normalización de la μev fija lleva a un robustecimiento de la
dient in MTO: las órbitas de los GCs en rgc pequeño. AR permanece
estrechamente isotrópico y el típico rp y MTO son esencialmente
sin cambios, mientras que a grandes distancias galactocéntricas la clus-
las órbitas ter son, por término medio, menos radiales que antes, con
rp, densidades más bajas, y menor evolución de MTO para un rgc dado.
Este efecto se ilustra, por ejemplo, en la Figura 9 de la FZ01.
Sin embargo, puede compensarse al menos en parte por el aumento de
ing μev por un factor común para todos los CG, con el nuevo, más grande
RA fijo, si se supone que la función de masa inicial ha sido
una función Schechter en lugar de una ley de poder pura extender-
, a las masas arbitrariamente altas. Una tasa de evaporación más rápida
entonces conducirá a un (aproximadamente) aumento proporcional de la
la masa máxima de GCMF evolucionada para los CG con
sidades, es decir, las grandes rgc y rp; pero el aumento de los OTM
será más pequeño, y con el tiempo incluso insignificante, para
de densidad en rgc progresivamente más pequeños—de nuevo porque
El MTO crece menos que linealmente con μev
h cuando hay
un límite superior MTO < Mc debido a un corte exponencial en el
inicial dN/d log M0. Por lo tanto, el efecto cualitativo de aumentar
la normalización de μev en modelos con CG radialmente variable
la anisotropía de velocidad es debilitar la cantidad de órbita radial
sesgo requerido para adaptarse a un MTO observado frente a rgc.
Otro punto, enfatizado por FZ01, tiene que ver con el
Suposición inicial estándar de que los GCs orbitan en galaxias que
son perfectamente estáticas y esféricas. En realidad, las galaxias crecen
jerárquicamente. En este caso, incluso si los valores de μev no son
cambiado, gran parte de la carga para el debilitamiento o borrado de
cualquier gradientes iniciales en MTO frente a rgc puede ser transferido desde
velocidad anisotropía a la evolución dependiente del tiempo de la
Las galaxias mismas. Relajación violenta, fusiones importantes, y
eventos de acreción más pequeños todo el trabajo para mover los clusters entre
diferentes partes de galaxias y entre diferentes progenitores,
scrambling y combinación de cualquier número de pericentro–densidad–
Relaciones de MTO. Cualquier dependencia de la posición en el CG
y en el MTO mismo para la galaxia final son por lo tanto
de ser más débil, más disperso y más difícil de re-
tarde con precisión a una distribución de velocidad de clúster que en el
caso de un potencial monolítico, no evolutivo. Permitiendo
un potencial de galaxias no esféricas tendría cualitativamente el
el mismo efecto, porque en este caso cada clúster explora un rango
de pericentros y diferentes campos máximos de mareas en cada uno de los
sus órbitas.
En esta situación, puede ser importante preguntar cómo evapora-
ciones pueden ser aproximadamente constantes en el tiempo, de modo que
las masas de racimo todavía disminuyen aproximadamente linealmente con t como
nuestros modelos asumen—si el campo de marea alrededor de un GC dado
cambios significativos a lo largo del tiempo. Por lo tanto, considere primero un sistema
Tem de GCs en un solo potencial estático de galaxias. La masa...
curva de evolución para cada clúster es aproximadamente una recta
línea, M(t) M0 evt, con μev dependiendo de alguna medida
de densidad interna, que puede ser
h,
t, o
t. El av-
curva de evolución de masas para todo el sistema de clusters
es también aproximadamente lineal, M(t) M0Ã3 − evÃ3t. Si ahora
una fusión u otro acontecimiento que reorganice los cúmulos de la galaxia,
entonces después del evento las tasas de pérdida masiva de algunos clusters
ser más altos que antes y las tasas de otros clusters serán
más bajo que antes. Sin embargo, si la densidad media de la galaxia
como un todo es más o menos lo mismo después del evento que antes, entonces
así también será el promedio de las densidades de GC, debido a
limitación de las mareas. El promedio eva
h â € (digamos) va a diferir
incluso menos entre los sistemas previos y posteriores a la fusión. Por lo tanto, al-
aunque utilizando densidades instantáneas para estimar el pasado μev
de clusters individuales pueden errar en la parte alta para algunos clus-
ters y en el lado bajo para otros, estos errores serán promedio
hasta un sesgo neto pequeño o incluso cero. La aproximación
μev constante en el tiempo en nuestros modelos GCMF entonces todavía será
válida en la media, y la media de la dependencia de suf-
El gran número de cúmulos seguirá siendo aproximadamente lineal.
Cabe esperar que este tipo de hipótesis se refiera, como mínimo, a:
a galaxias que evolucionan en el plano fundamental, ya que
implica una conexión entre el total (bariónico más oscuro)
masas y velocidades circulares de las galaxias, de la forma Mgal V
o Mgal V
c. Por el teorema virial, las densidades medias
escala como?gal? V
2, y por lo tanto.......................................................................................................................................
gal o.gal............................................................................................................................................................................................................................................................
Chica.
En la medida en que hár à r à galo para los GCs, el sistema de av-
# Erage # # # # # # # # Erage # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Erage # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
h. Por lo tanto, no debe cambiar drásticamente
incluso después de una gran fusión entre dos planos fundamentales
galaxias; a lo sumo, la relación de final a inicial evará será
aproximadamente de orden la potencia −1/4 de la relación de final a ini-
Tial Mgal. Tenga en cuenta que esta línea de razonamiento está estrechamente relacionada con
que fue aplicado por FZ01 para explicar la pequeña galaxia observada-
a-galaxia diferencias en las masas medias de volumen de negocios de la totalidad
Los sistemas GC (aunque existen diferencias no nulas, y pueden
ser acomodado en este tipo de argumentos; véase Jordán et al.
2006, 2007).
Una exploración completa de cuestiones como estas, sobre el amplio
gama de ingredientes en los modelos actuales GC-plus-galaxy,
lo más probable es que requieran grandes simulaciones de cuerpo-N en un conjunto realista,
cosmología fría de la materia oscura. Hasta que se puedan llevar a cabo,
es nuestra opinión que la cinemática de los sistemas de cúmulos globulares
no puede ser utilizado como restricciones laterales decisivas en las teorías para el
GCMF.
4. CONCLUSIONES
Hemos demostrado que la función de masa dN/d log M de glob-
Los cúmulos de la Vía Láctea dependen significativamente de
densidad ter de media masa,?h, con el pico o la masa de volumen de negocios MTO
aumento y disminución de la anchura de la distribución como?h
incrementos. Este comportamiento se espera si el GCMF inicialmente
aumentó hacia las masas por debajo de la actual escala de volumen de negocios, como el
funciones de masa de los sistemas de clúster jóvenes como ese en la An-
las galaxias tennae lo hacen, y ha evolucionado a su forma actual a través de
el lento agotamiento de los cúmulos de baja masa a lo largo de los plazos de Gyr,
principalmente a través de la evaporación impulsada por la relajación. El hecho de que
MTO aumenta con la densidad de racimo favorece la evaporación
choques gravitacionales externos como el mecanismo principal de
de baja masa, ya que las tasas de pérdida de masa asso-
ciadas con choques dependen inversamente de la densidad de los clusters y
directamente en masa de racimo. Nuestros resultados, por lo tanto, se suman a previ-
en apoyo de una interpretación del GCMF en
los términos de la evolución dominada por la evaporación, basados en el hecho
que dN/d log M escalas como M1 con β 0 en la masa baja
límite (Fall & Zhang 2001).
El GCMF observado en función de la h se ajusta bien
por modelos simples en los que la distribución inicial fue
a Función Schechter, dN/d log M0
0 exp
−M0/Mc
con β = 2 y Mc 10
6 millones de euros asumidos, y en los que los grupos
han estado perdiendo masa durante un tiempo Hubble en aproximadamente constante
las tasas que pueden estimarse a partir de su
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 17
sidades como μev
h. Hemos demostrado que, aunque este pre-
La inscripción es aproximada, captura la principal dependencia física.
dence de la evaporación impulsada por la relajación. En particular, lleva a cabo
a los modelos GCMF que sean totalmente coherentes con los re-
sulfatación a partir de caracterizaciones alternativas de las tasas de evaporación
en términos de densidades de mareas en racimo o densidades de superficie medias
(§3.2). La normalización de μev a una determinada hora (o t, o t)
requerido para adaptarse a la GCMF implica la duración total de los clústeres que
están dentro del rango de las vidas típicamente obtenidas en teoret-
estudios de relajación de dos cuerpos, aunque nuestros valores pueden
ser ligeramente más cortos que los teóricos si la masa baja,
power-law parte de la función inicial de masa de racimo fue tan empinada
como hemos supuesto.
Toma de clusters en varios cubos de concentración central c
y el radio Galactocéntrico rgc y utilizando su (individual) ob-
Densidades servidas como entrada directa a nuestros modelos produce dinam-
las funciones de c y rgc que están de acuerdo
bien con todos los datos. Esto otra vez indica que la más divertida...
la dependencia física mental en el GCMF es que en clus-
densidad superior. Además, nuestros modelos para dN/d log M versus
rgc obtenida de esta manera son coherentes, en particular, con el
bien conocida insensibilidad de la masa máxima del GCMF a Galac-
posición tocéntrica. Esto se ve a continuación de un significativo
variación de la MTO con?h (o?t, o?t)—debido en nuestro análisis
a la evaporación dominada por la perturbación de los clústeres, combinada con
dispersión sustancial en las densidades de GC en cualquier Galactocéntrico
posición.
No hemos invocado una distribución anisotrópica de la velocidad GC.
para explicar la débil variación observada de los OTM con rgc;
De hecho, no hemos hecho predicciones ni suposiciones
sobre la anisotropía de velocidad. Hemos subrayado que,
cuando la anisotropía de velocidad entra en otras dinámicas a largo plazo
modelos de evolución para el GCMF, es sólo en conjunción con
varias hipótesis adicionales interrelacionadas formuladas como parte de
mayores esfuerzos para derivar las relaciones de densidad teórica-rgc para
GCs—que no hemos intentado hacer aquí. El aparato...
la necesidad en algunos modelos actuales de un fuerte sesgo hacia
órbitas de cúmulo de alta excentricidad para explicar la casi constante
de MTO frente a rgc bien podría evitarse cambiando uno o
más suposiciones accesorias en los modelos, sin tener que
descartar la idea subyacente de que el pico y la forma de baja masa
de la GCMF son el resultado de la relajación impulsado por el clúster dis-
Ruptura.
Es evidente que será de interés probar y afinar las principales
ideas en este artículo a través de la modelización de los GCMF en otros
galaxias. Por el momento, por lo menos, al hacerlo, se re-
la estimación de las tasas aproximadas de pérdida de masa utilizando
densidades de media masa de racimo en lugar de cantidades de mareas, sim-
ply porque los radios semiligeros GC se pueden medir con precisión
en muchos sistemas más allá del grupo local, mientras que las mareas
Los radios son mucho más dependientes de los modelos y difíciles de
Servir. Chandar, Fall, & McLaughlin (2007) han
muestra que la masa máxima del GCMF en el Sombrero
galaxia (M104) se incrementa con?h de una manera que es razonable
bien descrito por sumas de funciones evolucionadas Schechter (1976)
como en los modelos presentados en este trabajo. Debería ser rela-
muy sencillo para realizar estudios similares en otros lugares cercanos
galaxias.
Agradecemos a Michele Trenti, Douglas Heggie, Bill Harris, Ru-
pali Chandar, y Bruce Elmegreen para discusiones útiles
y comentarios. SMF reconoce el apoyo de la
Brose Monell Foundation y de la NASA beca AR-09539.1-
A, premiado por el Instituto de Ciencias del Telescopio Espacial, que es
operado por AURA, Inc., en virtud del contrato NAS5-2655 de la NASA.
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http://arxiv.org/abs/astro-ph/0608069
| Demostramos que la función de masa globular (GCMF) en la Vía Láctea
depende de la densidad de media masa de racimo (rho_h) en el sentido de que el volumen de negocios
masa M_TO aumenta con rho_h mientras que el ancho del GCMF disminuye. Discutimos
que esta es la firma esperada de la erosión lenta de una función de masa que
inicialmente subió hacia las masas bajas, predominantemente a través de la evaporación de racimos
impulsado por la relajación interna de dos cuerpos. Nos encontramos con un excelente acuerdo entre el
GCMF observado - incluyendo su dependencia de la densidad interna rho_h, central
concentración c, y distancia Galactocéntrica r_gc -- y un modelo simple en
que las tasas de pérdida de masa impulsadas por la relajación de las agrupaciones se aproximan por
-dM/dt = mu_ev ~ rho_hë1/2}. En particular, recuperamos el conocido
insensibilidad de M_TO a r_gc. Esta característica no se deriva de un literal
``universalidad'' de la masa de volumen de negocios del GCMF, pero más bien de una
variación de M_TO con rho_h -- el resultado esperado de la relajación
cluster disruption -- más dispersión significativa en rho_h como función de r_gc.
Nuestras conclusiones son las mismas si se supone que las tasas de evaporación dependen
en su lugar en el volumen medio o densidades superficiales de los cúmulos dentro de sus mareas
radii, como mu_ev ~ rho_t1/2} o mu_ev ~ Sigma_t3/4} -- alternativa
prescripciones que estén motivadas físicamente pero que impliquen propiedades de racimo
(rho_t y Sigma_t) que no están tan bien definidos o tan fácilmente observables como
rho_h. En todos los casos, la normalización de mu_ev necesaria para adaptarse al GCMF
implica la vida útil de los clústeres dentro del rango de valores estándar
(aunque cayendo hacia el extremo inferior de este rango). Nuestro análisis no
depende de cualquier suposición o información sobre la anisotropía de la velocidad en el
Sistema de cúmulos globulares.
| EL VIAJE ASTROFÍSICO, 679:1272–1287, 2008 JUNIO 1
Tipografía preimpresa utilizando el estilo LATEX emularapj v. 08/22/09
COMPARTIENDO LA FUNCIÓN GLOBULAR EN MASA POR EVOLUCIÓN ESTELLAR Y DINÁMICA
DEAN E. MCLAUGHLIN1,2 Y S. MICHAEL FALL3,4
The Astrophysical Journal, 679:1272–1287, 1 de junio de 2008
RESUMEN
Demostramos que la función de masa del cúmulo globular (GCMF) en la Vía Láctea depende de la media masa del cúmulo
Densidad,?h, en el sentido de que la masa de volumen de negocios MTO aumenta con?h mientras que la anchura de la GCMF disminuye.
Argumentamos que esta es la firma esperada de la lenta erosión de una función de masa que inicialmente se elevó hacia baja
masas, predominantemente a través de la evaporación en racimo impulsada por la relajación interna de dos cuerpos. Nos parece excelente.
el acuerdo entre el GCMF observado, incluida su dependencia de la densidad interna rhoh,
c, y la distancia Galactocéntrica rgc, y un modelo simple en el que las tasas de pérdida de masa impulsadas por la relajación
de los racimos se aproximan por −dM/dt = μev
h. En particular, recuperamos la conocida insensibilidad
de MTO a rgc. Esta característica no se deriva de una "universalidad" literal de la masa de volumen de negocios de la GCMF, sino más bien
a partir de una variación significativa de MTO con?h—el resultado esperado de la disrupción del clúster impulsada por la relajación—
más scatter significativo en la h como una función de rgc. Nuestras conclusiones son las mismas si las tasas de evaporación son
se supone que dependen en cambio del volumen medio o densidades superficiales de los cúmulos dentro de sus radios mareales, como
μev
t o μev
t — prescripciones alternativas que estén motivadas físicamente pero que impliquen propiedades de racimo
(l) que no están tan bien definidos o tan fácilmente observables como l. En todos los casos, la normalización de μev
que se requiere para adaptarse a la GCMF implica vidas de racimo que están dentro de la gama de valores estándar (aunque
hacia el extremo inferior de esta gama). Nuestro análisis no depende de ninguna suposición o información sobre
anisotropía de velocidad en el sistema de cúmulos globulares.
Títulos temáticos: galaxias: cúmulos estelares — cúmulos globulares: general
1. INTRODUCCIÓN
Las funciones de masa de los sistemas de cúmulos estelares proporcionan un
Portant punto de referencia para los intentos de entender la
nección entre viejos cúmulos globulares (GCs) y los jóvenes
cúmulos masivos que se forman en los estallidos estelares locales y la galaxia merg-
ers. Cuando se exprese como el número por unidad de masa logarítmica,
dN/d log M, la función de masa GC (GCMF) es
por un pico, o por un volumen de negocios, a una masa de MTO • 1–2× 10
que es empíricamente muy similar en la mayoría de las galaxias. Por...
Trast, las funciones de masa de los clusters jóvenes no muestran tal fea-
en lugar de subir monótonamente hacia las masas bajas sobre
la gama completa observada (106 Mâ & M & 10
4 millones en el mejor...
los casos estudiados), de una manera bien descrita por una ley de poder,
dN/d log M M1 con β 2 (por ejemplo, Zhang & Fall 1999).
Al mismo tiempo, para M > MTO alto, viejos GCMFs
se asemejan mucho a las funciones de masa de los cúmulos jóvenes, y
de nubes moleculares en la Vía Láctea y otras galaxias
(Harris & Pudritz 1994; Elmegreen & Efremov 1997); y
es bien sabido que una serie de procesos dinámicos
hacer que los cúmulos estelares pierdan masa y puedan conducir a su com-
gran destrucción mientras orbitan durante un tiempo Hubble en el
Pozos potenciales de sus galaxias matrices (por ejemplo, Fall & Rees)
1977; Caputo & Castellani 1984; Aguilar, Hut, & Ostriker
1988; Chernoff & Weinberg 1990; Gnedin & Ostriker 1997;
Murali & Weinberg 1997). Por lo tanto, es natural pedir
si los picos de los GCMF pueden explicarse por la
1 Dept. de Física y Astronomía, Universidad de Leicester, Universidad
Road, Leicester, UK LE1 7RH
2 Dirección permanente: Grupo de Astrofísica, Lennard-Jones Lab-
oratorios, Universidad de Keele, Keele, Staffordshire, UK ST5 5BG;
dem@astro.keele.ac.uk
3 Instituto de Estudios Avanzados, Einstein Drive, Princeton, NJ 08450
4 Dirección permanente: Space Telescope Science Institute, 3700 San Martin
Drive, Baltimore, MD 21218; fall@stsci.edu
sión sobre muchos Gyr de globulares de la distribución de masa inicial
ciones similares a las de los grupos jóvenes por debajo del objetivo a medio plazo
así como arriba.
Nuestro principal propósito en este documento es establecer e inter-
pret un aspecto del GCMF Galáctico que aparece fundamen-
ha pasado desapercibida en gran medida hasta la fecha: dN/d log M ha
una fuerte y sistemática dependencia de la media masa de
sity, 3M/8ňr
h (rh es el radio de media masa de racimo), en
la sensación de que la masa de volumen de negocios MTO aumenta y la anchura
de la distribución disminuye con el aumento de la h. Como se observó
hechos, éstos deben ser explicados por cualquier teoría del GCMF. Nosotros
argumentan aquí que son una firma esperada de dinam lento-
evolución ica de una función de masa que inicialmente aumentó
hacia M < MTO, si la pérdida de masa a largo plazo
ing GCs ha sido dominado por la fuga estelar debido a la interna,
relajación de dos cuerpos (a la que nos referimos a partir de ahora como
evaporación impulsada por la relajación o simplemente evaporación).
Fall & Zhang (2001; en adelante FZ01) explicar en detalle por qué
la evaporación de los clusters domina la evolución a largo
forma de masa baja de GCMF observables. Brevemente, estelar evolu...
ciones (a través de supernovas y vientos) el mismo frac-
sión de masa de todos los grupos de una edad dada, y por lo tanto no puede
cambiar la forma de dN/d log M (a menos que
se invocan las dicciones; cf. Vesperini & Zepf 2003). Mientras tanto,
para GCs como los que han sobrevivido durante un tiempo Hubble en
la Vía Láctea, la pérdida de masa de los choques gravitacionales dur-
En general, los cruces en disco y los pasajes de protuberancia son menores que
que debido a la evaporación de M < MTO (FZ01; Prieto & Gnedin
2006).5
Como discutimos más adelante en el §2 a continuación, la evaporación de tidally
5 Es posible que existiese una población pasada de GCs con
o concentraciones, o tal vez en órbitas extremas, que fueron destruidas en
menos que un tiempo Hubble por choques o evolución estelar. Nuestra discusión sí.
no cubren tales grupos.
http://arxiv.org/abs/0704.0080v4
2 McLAUGHLIN & FALL
los ingresos limitados de los conglomerados a una tasa, μev-dM/dt, es decir, ap-
aproximadamente constante en el tiempo y determinada principalmente por
densidad de racimo. FZ01 muestra que una constante tasa de pérdida de masa
conduce a una escala de ley de potencia dN/d log M â € M1 con β → 0
(correspondiente a una distribución plana de los conglomerados por unidad de
masa del oído) a M < μevt suficientemente bajo en la masa evolucionada
función de CG coeval que comenzó con cualquier ini no trivial
tial dN/d log M0.
6 Para acomodar esto cuando dN/d log M0
originalmente aumentó hacia las masas bajas como una ley de poder, un
pico dependiente del tiempo debe desarrollarse en el GCMF en una masa
de orden MTO(t) ≤ μevt (FZ01). Pero entonces, ya que μev depende
fundamentalmente en la densidad de racimo, también debe MTO.
Una escala de β 0 power-law por debajo de la masa de volumen de negocios tiene
confirmados directamente en los GCMF de la Vía Láctea
(FZ01) y el gigante elíptico M87 (Waters et al. 2006), mientras que
Jordán et al. (2007) muestran que es consistente con dN/d log M
datos para 89 galaxias del cúmulo de Virgo, y es evidente en
observaciones de algunos otros GCMF (por ejemplo, en el Sombrero
galaxia, M104; Spitler et al. 2006). En cuanto al pico en sí,
Se observan viejos CG (por ejemplo, Jordán et al. 2005) para tener más bien
densidades similares en promedio — y, por lo tanto,
μev—en galaxias con luminosidad total muy diferente y
Tipos Hubble. (En la medida en que las densidades de racimo se establecen por mareas,
esto está probablemente relacionado con la variación leve de la galaxia media
densidad con luminosidad total; véase FZ01, y también Jordán et al.
2007.) Así, un origen evolutivo dominado por la evaporación
para un volumen de negocios en el GCMF parece ser coherente con
el hecho bien conocido de que la escala de masa MTO generalmente dif-
fers muy poco entre las galaxias (por ejemplo, Harris 2001; Jordán et al.
2006).
Si esta imagen es básicamente correcta, implica que, incluso
aunque MTO puede parecer casi universal al considerar
las funciones de masa global de sistemas GC enteros, de hecho el
GCMF de submuestras de racimos con edades similares pero con
Las densidades feroces deben tener diferentes volúmenes de negocios. En §2, nosotros
Mostrar—trabajando para la definitividad y la observación relativamente fácil-
la capacidad con la densidad de media masa, que es el caso para
globulares en la Vía Láctea. Nos ajustamos al log de dN/d M observado
para GCs en contenedores de diferentes?h con modelos suponiendo que
(1) la distribución inicial aumentó como una β = 2 ley de poder en
masas bajas y (2) las tasas de pérdida de masa de grupos individuales
se puede estimar a partir de sus densidades de media masa por la regla
μev
h. En §3 discutimos la validez de esta prescripción
para μev, que es ciertamente aproximado pero captura el principal
dependencia física de la pérdida de masa impulsada por la relajación. En par-
en particular, mostramos que las leyes alternativas de pérdida de masa μev
y μev
t —donde?t y?t son el volumen medio y
densidades de superficie en el interior de radios de mareas de racimo, conducidas a modelos para
el GCMF que son esencialmente indistinguibles de los
a base de μev
h. La normalización de μev necesaria para adaptarse
la GCMF observada implica vidas de racimo que están dentro de
Un factor de 2 (quizás ligeramente en el lado bajo, si el ini-
exponente de la ley de poder tial en las masas bajas fue β = 2) de típico
valores en teorías y simulaciones de la relajación de dos cuerpos en
CGs regularmente limitados.
También mostramos en §2 que cuando las densidades observadas de
clusters divididos se utilizan en nuestros modelos para predecir GCMFs
en diferentes cubos de radio Galactocéntrico (rgc), se ajustan a la
6 A lo largo de este trabajo, utilizamos “inicial” para significar en un tiempo relativamente temprano
en el desarrollo de clusters de larga vida, después de que hayan disper-
Nants de sus nubes de gas natal, sobrevivió a la mayor parte de la masa de la evolución estelar
pérdida, y entrar en el equilibrio virial en el campo de mareas de una galaxia.
variación mucho más débil de dN/d log M y MTO como funciones
de rgc, que es bien conocido en la Vía Láctea y otros grandes
galaxias (véase Harris 2001; Harris, Harris, & McLaughlin
1998; Barmby, Huchra, & Brodie 2001; Vesperini et al. 2003;
Jordán et al. 2007). Del mismo modo, la aplicación de nuestros modelos a la
GCs en dos contenedores de concentración central, con sólo el mea-
garantía de la h de los clusters en cada submuestra como entrada, basta
para tener en cuenta las diferencias observadas anteriormente entre la masa
funciones de los globulares galácticos de baja y alta concentración
(Smith & Burkert 2002). La característica más fundamental de la
Por lo tanto, el GCMF parece ser su dependencia de
sidad, que puede ser entendido al menos cualitativamente (e incluso
cuantitativamente, dentro de un factor de 2) en términos de evaporación
la interrupción del cluster dominada.
Existe una percepción generalizada de que si el GCMF evolucionaba
poco a poco de una creciente ley de poder en las masas bajas, luego un débil
o variación nula de MTO con rgc sólo se puede lograr en GC
sistemas con una velocidad de distribución fuertemente anisotrópica radialmente
ciones, que no se observan (ver especialmente Vesperini et al.
2003). Esta aparente incongruencia se ha citado para
Algunos intentos recientes de identificar un mecanismo por el que
un pico “universal” en el MTO 10
5 millones podrían haber sido im-
impreso en el GCMF en el momento de la formación de racimos, o
muy poco después, y poco afectado por el
destrucción de CG de menor masa (por ejemplo, Vesperini & Zepf 2003);
Parmentier & Gilmore 2007). Sin embargo, dado el verdadero suc-
de un escenario evolutivo dominado por la evaporación para
el origen del OMP, tal como se resume anteriormente y se añade a continuación,
sería prematuro rechazar la idea a favor de requerir un
el origen cercano a la formación, únicamente sobre la base de las dificultades con
Cinemática GC. (Y, en cualquier caso, orientado a la formación mod-
els ahora debe ser reconsiderado a la luz de la no-universalidad
de MTO en función de la densidad de cluster.)
No estamos preocupados en este artículo con la anisotropía de velocidad
en los sistemas GC, porque sólo predecimos una evaporación-
dN/d log M evolucionado en función de la densidad de racimo (y la edad)
y tomar la distribución observada de.h versus rgc en el lácteo
Manera como un dado, para mostrar consistencia con el ser observado-
havior de MTO en función de rgc. La mayoría de los otros modelos (FZ01;
Vesperini et al. 2003; y referencias en ellos) predicen dinam-
los CGMF evolucionaron directamente en términos de rgc, y en
así que se ven obligados también a derivar las dependencias teóricas del cluster
densidad en rgc. Es sólo en esta etapa que la GC orbital distri-
butiones entran en el problema, y luego sólo en conjunción con
varias otras suposiciones y simplificaciones. A medida que discutimos
más adelante en el § 3, la velocidad de GC sesgada radialmente distribu-
ciones que aparecen en tales modelos bien podrían ser consecuencias
de uno o más de estos otros supuestos, en lugar de
principal hipótesis sobre la evaporación dominada por el GCMF evolu-
tion.
2. EL CGMF GALÁCTICO COMO FUNCIÓN DE
DENSIDAD DE LOS CLUSTRADORES
En esta sección definimos y modelamos la dependencia de
el GCMF Galáctico en densidad de racimo. Primero, describimos
la dependencia que se espera surja de la evaporación-
la evolución dominada.
Relajación de dos cuerpos en un CG regularmente limitado conduce a un
tasa de pérdida de masa más o menos constante, μev -dM/dt constante
con el tiempo. Por lo tanto, la masa total del clúster disminuye
mately linealmente, como M(t) M0 evt. Este comportamiento es exacto.
en algunos modelos clásicos de la evolución del GC (Hénon 1961) y
se encuentra como una buena aproximación en la mayoría de los otros calcula-
ciones (por ejemplo, Lee & Ostriker 1987; Chernoff & Weinberg 1990;
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 3
Vesperini & Heggie 1997; Gnedin, Lee, & Ostriker 1999;
Baumgardt 2001; Giersz 2001; Baumgardt & Makino 2003;
Trenti, Heggie, & Hut 2007). El resultado proviene de una variedad
de métodos computacionales (semianalítica, Fokker-Planck,
Monte Carlo, y simulación de cuerpo-N) aplicado a los clústeres con
diferentes condiciones iniciales (densidades y concentraciones)
diferentes tipos de órbitas (circular y excéntrica; con y con
fuera de choques gravitacionales externos) y con diferentes internos
procesos e ingredientes (con o sin especificaciones de masa estelar
tra, binarios y agujeros negros centrales). Para estar seguros, desviaciones
de la linealidad perfecta en M(t) ocurren, pero estos son generalmente
pequeño, especialmente lejos de los extremos de la evolución,
Es decir, para 0.9 & M(t)/M0 y 0.1, y descuidando que asuman
una dM/dt aproximadamente constante es totalmente adecuado para
nuestros propósitos.
Cuando los choques gravitacionales son subdominantes a la relajación...
la evaporación impulsada, como generalmente parecen ser para
CG existentes, trabajan para aumentar la tasa de pérdida de masa μev
ligeramente sin alterar la linealidad básica de M(t) (por ejemplo,
Vesperini & Heggie 1997; Gnedin, Lee, & Ostriker 1999; ver
También figura 1 de la FZ01). Una escala de masa dependiente del tiempo
μevt se asocia naturalmente con cualquier sistema de coeval
clusters que tienen una tasa de pérdida de masa común: todos aquellos con inicial
M0 ≤ se interrumpen por el tiempo t, y se sustituyen por el rem-
Nants de objetos que comenzaron con M0. Como hemos mencionado
en §1, si el GCMF inicial aumentaba hacia masas bajas como un
la ley de poder, entonces está estrechamente relacionado con un pico en la evolución
distribución, que finalmente disminuye hacia baja M
como dN/d log M + M1 con β = 0 (FZ01).
En teoría estándar (por ejemplo, Spitzer 1987; Binney & Tremaine)
1987, sección 8.3), la vida útil de un grupo contra la evaporación.
ión es un múltiplo de su tiempo de relajación de dos cuerpos, trlx. Por
una masa total M de estrellas dentro de un radio r, esta escala a la primera
orden (ignorando una débil dependencia de la masa en el
arithm) como trlx(r)
3) 1 / 2 · M / 1/ 2, donde M/r3. En una
clúster concentrado con gradiente de densidad interna, trlx(r)
Por supuesto, varía a lo largo de todo el grupo, y la re-
tiempo de laxación es un promedio de los valores locales (ver la
discusión temprana por el Rey 1958). Esto todavía puede ser escrito como
trlx M/l
1/2, con M la masa total del clúster y
densidad de referencia priate. Entonces tenemos para la instantánea
Tasa de pérdida de masa, μev -dM/dt · M/trlx · 1/2. En la medida en que esto
es aproximadamente constante en el tiempo, un GCMF que evoluciona a partir de un
β > 1 ley de poder en las masas bajas debe, por lo tanto, de-
desarrollar un pico en una masa que depende de la densidad y la edad de los racimos
a través del parámetro ?1/2t.
En este contexto, queda por determinar la mejor medida posible.
Una elección estándar en la literatura, y la que incluso...
tual hacer para derivar nuestros principales resultados en este documento, es el
densidad media de la masa πh = 3M/8ηr
h. Sin embargo, en una marea constante
campo, la densidad media dentro del radio de marea de un cúmulo es
constante por definición, y por lo tanto la elección de.........................................................................................................................................................................................................................................................
la forma más sencilla de garantizar que μev
1/2 y μev constante en
el tiempo es mutuamente consistente. De hecho, King (1966) encontró de
cálculos directos de la velocidad de escape en cada radio dentro de su
modelos estándar (reducidos de Maxwellian), que el coeficiente
en μev
t es sólo una función débil de la densidad interna
estructura (concentración) de los modelos, y por lo tanto sólo un débil
función del tiempo para un clúster que evoluciona casi estáticamente a través de
una serie de modelos de este tipo.
La regla μev
t se utiliza habitualmente para establecer la masa de GC-
tasas de pérdida en los modelos para la evolución dinámica del GCMF,
a pesar de que estos estudios normalmente expresan μev inmediatamente en
términos de pericentros orbitales, rp, más a menudo al asumir
r−2p como para GCs en galaxias cuya masa total distribuye fol-
baja una esfera isotérmica singular (por ejemplo, Vesperini 1997, 1998,
2000, 2001; Vesperini et al. 2003; Baumgardt 1998; FZ01).
Esto evita cualquier examen explícito del GCMF como
función de la densidad de cluster, que es nuestro objetivo principal en este pa-
per. Pero se hace en parte porque los radios de marea son los más
de todos los parámetros estructurales para los CG en el
Vía Láctea (su definición teórica es imprecisa y su
estimación empírica es altamente dependiente del modelo y sensible
a datos de brillo de baja superficie), y son extremadamente dif-
Ficulto si no imposible de medir en galaxias distantes. Nosotros
se ocupan de esto aquí, centrándose en el GCMF como una función de
densidad de clusters dentro de los menos ambiguos, empíricamente apuesta-
ter radio de media masa determinado y más robusto, preguntando cómo
modelos simples con μev
h tarifa contra los datos.
Toma de μev
h en lugar de μev
t, lo que hacemos a
construir evaporación-evolucionada modelo GCMFs en §2.2, es la mayoría
apropiada si la relación entre el valor y la hora es la misma para todas las agrupaciones y
constante en el tiempo. Este es el caso del modelo de Hénon (1961)
CG evolución, y en este límite (adoptado por FZ01 en su
modelos para el GCMF Galáctico) nuestro análisis es rigurosamente jus-
Tified. Sin embargo, las agrupaciones reales no son homólogas (
fers entre clusters) y no evolucionan de forma auto-similar (
puede variar en el tiempo, incluso si no lo hace). La suposición clave en
nuestros modelos son que μev es aproximadamente independiente del tiempo
para cualquier GC, que está bien fundado en cualquier caso. Usando cur-
Alquilar los valores para estimar μev, no suponemos que la mitad-
densidades de masa también son constantes, pero en efecto utilizamos una sola
número para que todos los CG representen una gama de (t/h)
1/2. Equiv-
alently, ignoramos una dependencia de la concentración del clúster en
la normalización de μev
h. Como discutimos más adelante en el §3,
es razonable descuidar esta complicación en una primera aprox-
En el caso de las importaciones procedentes de la República Popular Democrática de Corea, el importe de las importaciones procedentes de la República Popular Democrática de Corea se estima en un 10 %.
1/2 varía mucho menos entre Galáctico
Globulares que los que hacen por separado. Demostramos esto.
de manera explícita repitiendo nuestro análisis con la palabra «h» sustituida por «t» y
recuperar esencialmente los mismos resultados para el GCMF.
En §3 también discutimos algunos resultados recientes, que indican
que la escala de tiempo para la evaporación impulsada por la relajación depende
con una potencia ligeramente inferior a la lineal del trlx (Baumgardt 2001);
Baumgardt & Makino 2003). Señalamos que esto implica
que μev puede aumentar como una potencia modesta de la media sur-
la densidad facial de un clúster, así como (o, en un
caso, en lugar de) la densidad de volumen habitual. Sin embargo, mostramos
en detalle que hacer los cambios apropiados a lo largo de la
el resto de la presente sección para reflejar esta posibilidad no
cambiar cualquiera de nuestras conclusiones.
2.1. Datos
La figura 1 muestra la distribución de la masa frente a la media masa
densidad y contra el radio Galactocéntrico para 146 Vía Láctea
CG en el catálogo de Harris (1996),7 junto con el
Atribución de Łh versus rgc que une las dos parcelas de masa. Los
El catálogo de Harris en realidad registra el absoluto V magni-
Tudes de los GCs. Obtenemos masas de estos por aplicación-
en el modelo de población-síntesis cocientes masa-luz
Calculado por McLaughlin & van der Marel (2005) para indi-
clusters viduales basados en sus metalicidades y un supuesto
edad de 13 años Gyr. Sin embargo, primero multiplicamos todo el
Versión del 7 de febrero de 2003; véase http://physwww.mcmaster.ca/harris/mwgc.dat.
http://physwww.mcmaster.ca/~harris/mwgc.dat
4 McLAUGHLIN & FALL
FIG. 1.— Izquierda: Masa versus densidad tridimensional de media masa,
h, y contra el radio Galactocéntrico, rgc, para 146 GC Vía Láctea en el
catálogo de Harris (1996). La línea discontinua en el primer panel es M
h, un lugar de vida aproximadamente constante contra la evaporación. Derecha: Media masa
densidad versus rgc para los mismos clusters.
Los valores de McLaughlin & van der Marel V por un factor de 0,8 tan
en cuanto a obtener una mediana V 1,5MÃ3L
Al final,
8 consistentes
con estimaciones dinámicas directas (véase McLaughlin 2000 y
McLaughlin & van der Marel 2005; también Barmby et al. 2007).
Al asignar las relaciones masa-luz a los GCs de esta manera, nosotros
permitir las diferencias esperadas entre los grupos con diferen-
ent metalicities. Nuestra aplicación de un factor correctivo para
los valores de población-síntesis, "popV", es motivado empiri-
cally por el hecho de que su distribución entre Galáctica GCs
es fuertemente alcanzado alrededor de una mediana popV 1,9 MÃ3L
# Mientras... #
los observados (dinámicos) de la dinV se encuentran en un rango bastante estrecho
alrededor de dynV 1,5 millones de libras
(McLaughlin & van der Marel)
2005). Sin embargo, vale la pena señalar que el tamaño de
por lo tanto es similar a lo que se encuentra en algunas simulaciones numéricas
de la relajación de dos cuerpos durante un tiempo Hubble en clusters con un
espectro de masas estelares (por ejemplo, Baumgardt y Makino 2003).
En este tipo de simulaciones, el valor de DynV cae por debajo del valor de DynV.
V debido a la preferencia-
fuga cial de estrellas de baja masa con alta M*/L* individual
(los modelos de población-síntesis no incorporan esta o ninguna
otro efecto estelar-dinámico). Así, una mediana dynV <
puede ser en sí una firma de evaporación de racimos. Podríamos
entonces también esperar que los clusters más dinámicamente evolucionados — que
es, aquellos con tiempos de relajación más cortos—podrían tener sistemat-
coeficientes icónicamente más bajos de dynV /
V. Sin embargo, este es un relativamente
efecto pequeño, que no está bien cuantificado teóricamente y
no es claramente evidente en los datos reales (los números publicados por
McLaughlin & van der Marel 2005 no muestran ningún corre-
la relación entre
V y trh para globulares galácticos). Nosotros
Por lo tanto, proceder, como se ha dicho, con una sola........................................................................................................................................................................................................................................................
V = 0,8
Asumido para todos los GCs.
Harris (1996) da el radio de media luz proyectado Rh para
141 de los clusters con una masa estimada de esta manera, y para
estos obtenemos el radio tridimensional de media masa de
la regla general rh = (4/3)Rh (Spitzer 1987), que asume
no hay segregación interna en masa. Los cinco objetos restantes tienen
estimaciones de masa pero sin mediciones de tamaño. A cada uno de ellos
clusters, asignamos un rh igual al valor medio para aquellos
de los otros 141 GCs que tienen masas dentro de un factor dos de la
uno con rh desconocido. En todos los casos, la densidad de media masa es
8 A lo largo de este papel, utilizamos bx para denotar la mediana de cualquier cantidad x.
3M/8ňr
El panel más a la izquierda de la Figura 1 muestra inmediatamente que
la distribución masiva del clúster tiene una fuerte dependencia de
densidad media de la masa: la mediana de Má aumenta con
la dispersión en el logaritmo M, es decir, la anchura del GCMF,
Disminución. El primero de estos puntos está relacionado con el hecho de que
rh se correlaciona mal con M (por ejemplo, Djorgovski y Meylan 1994;
McLaughlin 2000). El segundo punto, que la dispersión de
dN/d log M disminuye con el aumento de?h, está detrás del hallazgo-
ing (Kavelaars & Hanes 1997; Gnedin 1997) que el GCMF
es más amplio en radios Galactocéntricos muy grandes. Volvemos a esto.
en §2.2.
Una preocupación natural, al conspirar M contra
hecho aquí, es que cualquier correlación aparente sólo podría ser un
reflejo trivial de la definición
h. Esto puede parecer
especialmente preocupante porque, como acabamos de mencionar, es
conocido que el tamaño no se correlaciona especialmente bien con la masa
para GCs en la Vía Láctea (o, de hecho, en otras galaxias).
Sin embargo, la falta de una estrecha correlación M-rh no implica
que todos los GCs tienen la misma rh, incluso dentro de lo inevitable
errores de medición. La dispersión raíz-media-cuadrado (rms) de
log rh sobre su valor promedio es ±0,3 para los GC Galácticos, y
la propagación de 68 percentiles en log rh es ligeramente superior a 0,5,
o más que un factor de 3 en términos lineales (de los datos en
Harris 1996; véase, por ejemplo, la figura 8 de McLaughlin 2000). Esto
se compara con un error de medición aleatoria rms (de forma,
χ2 incertidumbres de montaje) de • (log rh) • 0,05, es decir, alrededor del 10%
error ativo; y un error sistemático de medición rms (es decir,
diferencias en la rh inferidas de la instalación de diferentes estructuras
modelos a un solo cluster) de tal vez ♥(log rh). 0,03;véase
McLaughlin & van der Marel (2005). La mayor parte de la dispersión en
las parcelas de radio de media luz observado versus la masa es, por lo tanto,
real y contiene información física. El panel de la izquierda
de la Figura 1 muestra esta información en una forma que destaca
tendencias generales claras y no triviales que requieren una explicación física.
La línea discontinua en la trama de masa contra trazas de densidad
la proporcionalidad M............................................................................................
h, o el Sr.
h = constante. En la medida en que
el tiempo de relajación de media masa es escalas como trh
1/2, y
en la medida en que μev â € M/trh â € €
h se aproxima a la av-
velocidad de eliminación de la pérdida de masa impulsada por la relajación, esta línea es una de
igual tiempo de evaporación. Que un lugar así tiene límites agradables
la envolvente inferior de la distribución de clusters observada es
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 5
CUADRO 1
MILKY WAY CG PROPIEDADES EN BINDAS DE DENSIDAD Y RADIO GALACTOCENTRICO
Bin N b.h.
brgc a Mmin Mmax bM
a MTO
[Mâr pc−3] [kpc] [Mâr] [Már] [Már] [Már] [Már]
Papeleras
0,034 ≤ πh ≤ 76,5 millones de libras esterlinas
−3 48 8,48 12,9 5,63× 102 8,84× 105 4.12× 104 3,98× 104
78,8 ≤ lH ≤ 526 M® pc
−3 49 232 5,6 8,37× 103 1,67× 106 1,22× 105 1,58× 105
579 ≤ h ≤ 5,65× 10
4 M® pc−3 49 973 3,2 1,93× 104 1,30× 106 2,82× 105 2,88× 105
rgc bins
0,6 ≤ rgc ≤ 3,2 kpc 47 597 1,9 4,47× 103 1,02× 106 1.15× 105 2,14× 105
3.3 ≤ rgc ≤ 9,4 kpc 50 261 5,2 2,02× 103 1,67× 106 1,27× 105 1,66× 105
9,6 ≤ rgc ≤ 123 kpc 49 18,4 18,3 5,63× 102 1,30× 106 7,42× 104 8,71× 104
a La notación bx representa la mediana de la cantidad x.
b MTO es la masa máxima del modelo GCMFs trazada por las curvas sólidas en cada panel de la Figura 2, que
se dan por la ecuación (3) del texto con β = 2, Mc = 10
6 Más, e individual, dado por el observado
de cada grupo a través de la ecuación (4).
sí mismo un fuerte indicio de que la relajación impulsada por la interrupción de los cúmulos
ha modificado significativamente el GCMF a bajas masas (re-
llama que Mr3h = constante define un lado de la CG “sur-
triángulo vival” cuando se refunde la trama M–Ôh como rh versus M:
Fall & Rees 1977; Okazaki & Tosa 1995; Ostriker & Gnedin
1997; Gnedin & Ostriker 1997). También es una prueba más.
que la débil correlación de rh observado con M se debe a sig-
diferencias nificantes y reales en los radios de racimo, ya que si r
intrínsecamente lo mismo para todos los GCs, entonces veríamos M..........................................................................................................................................................
En lugar de eso.
El panel medio de la Figura 1 muestra el resultado bien conocido
que la masa típica de GC depende débilmente si en absoluto de Galacto-
radio céntrico, al menos hasta rgc grande y 30–40 kpc, donde hay
son demasiado pocos grupos para discernir cualquier tendencia. El panel de la derecha
de la cifra muestra por qué esto es cierto a pesar de que el GCMF
depende significativamente de la densidad de los clusters: aunque hay un
correlación entre la densidad de media masa y la po-
la gran dispersión alrededor de él es tal que convolviendo la
M observado versus h con los resultados observados de h versus rgc
en una dependencia casi nula de M en rgc.
Ahora dividimos la muestra GC en la Figura 1 aproximadamente en
terceras, de dos maneras diferentes: primero sobre la base de la media masa
densidad, y segundo por radio Galactocéntrico. Estas medidas se adoptarán de conformidad con lo dispuesto en el apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CE) n° 1224/2009.
rgc bins se definen en la tabla 1, que también da una
estadísticas mary para los globulares en cada submuestra. Contamos
los clusters en cada submuestra en aproximadamente 10 cubos de ancho igual
de log M para obtener representaciones histográficas de dN/d log M,
en primer lugar como una función de?h y, a continuación, como una función de rgc. Estos
Los puntos de la Figura 2 muestran los GCMF con barras de error
indicando incertidumbres estándar de Poisson. Las curvas en el
modelo de trazas de figuras GCMFs, que describimos en §2.2. Por
el momento, es importante tener en cuenta que la curva discontinua es la
lo mismo en cada panel, aparte de pequeñas diferencias en
y es proporcional al GCMF para toda la muestra
de 146 GCs. (En el panel medio-izquierda de la Figura 2, que
a los clusters distribuidos estrechamente alrededor de la mediana de
todo el sistema GC, la curva de rayas es coincidente con el
curva sólida que se ejecuta a través de los datos.)
Los paneles izquierdos de la Figura 2 muestran directamente que
GCMF es alcanzado para los cúmulos en cualquier densidad, y que la masa
de la cumbre aumenta sistemáticamente con la hora (véase también el último
columna del cuadro 1, pero tenga en cuenta que las masas de volumen de negocios allí
se refieren al modelo GCMF que desarrollamos a continuación). El sta-
la importancia tistica de esto es muy alta, y cualitativamente
es el comportamiento esperado si MTO debe su existencia al cluster
la interrupción a un ritmo que aumenta con el tiempo, como es el caso con
evaporación impulsada por la relajación.
Los paneles a la derecha de la figura 2 confirman una vez más que
el pico de masa GCMF es una función muy débil de Galactocen-
tric posición. De hecho, las distribuciones observadas en los dos rgc
los cubos dentro de 10 kpc son estadísticamente indistinguibles en su
total, y la diferencia principal en mayor rgc & 10 kpc es un
proporción ligeramente superior de los cúmulos de baja masa en lugar de un
gran cambio en el MTO. Todo esto es consistente con el pri-
la dependencia de la GCMF es que en?h, desde la Fig-
ure 1 muestra que la distribución de la densidad GC no es sensible a
Posición Galactocéntrica para rgc. 10–20 kpc pero tiene un sustan-
cola de baja densidad en radios más grandes (con un
GCMF, como se ve en el panel superior izquierdo de la figura 2.
2.2. Modelos simples
Ahora evaluamos más cuantitativamente si estos resultados
son consistentes con la evolución dominada por la evaporación de la
GCMF de una distribución inicial como la observada para
clusters jóvenes en el universo local. Nosotros modelamos el tiempo...
evolución de la distribución de M versus
no intenten esto para la distribución de lh sobre rgc—los detalles
de los cuales probablemente dependen de una complicada interacción entre
el campo de mareas de la Galaxia, el presente y pasado orbital pa-
rameters de clusters, y la no homología estructural de GCs.
Para comparar nuestros modelos con el actual GCMF como una función de
rgc, simplemente los calculamos usando el?h observado de indi-
cúmulos viduales en diferentes rangos de radio Galactocéntrico.
Suponemos que el GCMF inicial era independiente de clus-
densidad superior, y que todos los globulares que sobreviven hasta el día de hoy
han estado perdiendo masa durante el tiempo pasado Hubble en constante
Tasas. Utilizamos la densidad actual de media masa de cada clúster
para estimar μev
h. Como hemos discutido antes, un
La mayoría de los cálculos indican que la relación tiempo-independienteμev es
de la relajación de dos cuerpos en GCs finamente limitados. Damos más
detallada, a posteriori justificación en el § 3 para el uso de
que otras medidas plausibles de densidad de racimo, para estimar
Considere primero un grupo de CG coeval con una masa inicial
función dN/d log M0 y una masa única, independiente del tiempo-
tasa de pérdida μev. La masa de cada clúster disminuye linealmente como
M(t) = M0 evt, y en cualquier momento posterior cada uno ha perdido el mismo
M(t) = μevt. FZ01 muestra rigurosamente que en
6 McLAUGHLIN & FALL
FIG. 2.— GCMF en función de la densidad de la media masa,
h (paneles de la izquierda), y en función del radio Galactocéntrico, rgc (paneles de la derecha), para 146 Milky
Manera GCs en el catálogo de Harris (1996). La curva discontinua en todos los casos es una función Schechter evolucionada para todo el sistema GC (Jordán et al. 2007): ecuación
(3) con β = 2, Mc = 106 M®, y 2.3×105 M® para todos los conglomerados (a partir de la ecuación [4] y una mediana bh = 246 M® pc
−3), dando un pico en MTO = 1,6×10
5 millones de libras esterlinas.
Las curvas sólidas son los CGMF predichos por la ecuación (3) con β = 2 y Mc = 106 M® pero individuales dados por el observado de cada clúster (ecuación [4]) en
los diferentes submuestras.
en este caso, los GCMF evolucionados e iniciales están relacionados por
d log M
d log M0
(M )
d log (M )
. 1)..........................................................................................................................................................
Esta es la base de la afirmación de que las escalas de función de masa
genéricamente como dN/d log M • M+1 (a β = 0 ley de potencia) a baja
suficiente M(t)—es decir, para los restos sobrevivientes de clus-
ters con M0 —sólo siempre y cuando la distribución inicial fue
no una función delta.
Seguimos FZ01 (véase también Jordán et al. 2007) en la adopción de una
La función de Schechter (1976) para el GCMF inicial:
dN/d log M0 â € M
0 exp
−M0/Mc
. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Con β 2, esta distribución describe la masa de la ley de poder
funciones de clusters masivos jóvenes en sistemas como el Anten-
galaxias nae (por ejemplo, Zhang & Fall 1999). Un corte exponencial...
apagado en Mc â € 10
En general, 6 millones de euros son coherentes con esos datos.
aunque no siempre lo exijan; aquí lo requerimos
principalmente para coincidir con la curvatura observada en las masas altas en el viejo
GCMFs (por ejemplo, Burkert & Smith 2000; Jordán et al. 2007).
La combinación de ecuaciones (1) y (2) da la probabilidad de
sity que un único GC con tasa de evaporación conocida y la edad tiene
una masa instantánea M. El GCMF dependiente del tiempo de un
el sistema de CGs N con un rango de μev (o edades, o ambos) es
entonces sólo la suma de todas estas densidades de probabilidad individuales:
d log M
[M i]
M i
. 3)
En este caso, las pérdidas totales de masa pueden diferir de las pérdidas de masa (μevt)i = (μevt)i
ter a cluster (es decir, la edad de un CG único), pero tanto β como
Se supone que Mc es constante, independiente de..........................................................................................................................................................................................................................................................
Lar.9 Dadas cada año, las normalizacións Ai en la ecuación (3) son
definido de modo que la integral sobre d log M de cada término en el
La suma es la unidad.
Jordán et al. (2007) han introducido una especialización de
ecuación (3) en la que todos los clusters tienen el mismo valor. Se refieren a:
a esto como una función Schechter evolucionada y describir su prop-
(incluida una fórmula para el volumen de negocios)
masa de MTO en función de • y Mc) para el caso β = 2. Toma.
Sólo observamos que, a edades muy jóvenes o para la masa lenta-
las tasas de pérdida, de tal manera que "Mc" y sólo el bajo-masa, el poder-
parte de la ley de la GCMF inicial está significativamente erosionada, cualquiera
La función de Schechter evolucionada tiene un pico en el MTO /(β − 1)
(para β > 1). A medida que aumenta el volumen de negocios en relación con Mc, el volumen de negocios en
en primer lugar aumenta proporcionalmente y la anchura de la distribución
(ya que el final de alta masa en M & MTO es en gran medida
sin cambios). Para Mc grande, sin embargo, el pico está limitado
arriba por MTO →Mc y la anchura se aproxima a un límite inferior.
Por lo tanto, la dependencia de MTO en • es más débil que lineal cuando
Mc es finito en el GCMF inicial de la ecuación (2). Cualquier pico en
la ecuación completa (3) para un sistema de GCs con individual
valores es una media de N diferentes volúmenes de negocios y debe ser cal-
culado numéricamente.
En su modelado del sistema de la Vía Láctea GC, FZ01 ef-
9 Tenga en cuenta que Mc parece asumir diferentes valores en los GCMF de otros
galaxias, variando sistemáticamente con la luminosidad total Lgal (Jordán et al.
2007). Las razones de esto no están claras, como es el origen de esta escala de masa en
el primer lugar.
10 El aumento de MTO y la disminución de la anchura total de dN/d log M
para aumentar • eventualmente saturar cuando la pérdida de masa por GC es tan alta
que afecta a los clusters en la parte exponencial de la función inicial de Schechter
GCMF. Esto se debe a que dN/d log M • M+1 exp(−M/Mc) es un auto-similar
solución a la ecuación (1).
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 7
fectivamente calcular las funciones de masa del tipo (3)—basadas en
las mismas condiciones iniciales y evolución dinámica—con un
distribución de los valores de • determinados por el parámetro orbital
ters de racimos en un logaritmo idealizado, esférico y estático-
potencial mic Galaxy (utilizado tanto para fijar μev en términos de clus-
la densidad de las mareas y estimar la pérdida de masa adicional debida
a los choques gravitacionales). Jordán et al. (2007) se ajustan a los datos del GCMF
en la Vía Láctea y decenas de galaxias del cúmulo de Virgo con
su versión de la ecuación (3) en la que todos los GCs tienen la misma
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, estiman la pérdida de masa dinámica de typi-
clusters cal en estos sistemas. Aquí, construimos modelos para
la Vía Láctea GCMF utilizando los valores de
se observaron densidades de media masa de CG individuales.
Adoptamos β = 2 para el índice inicial de leyes de baja masa
en la ecuación (2), que lleva a la ecuación (3) para el
dN/d log M. Jordán et al. (2007) han instalado el
GCMF Galáctico con una función de Schechter evolucionada asumiendo
β = 2 y una sola para todos los globulares sobrevivientes. Ellos
encontrar Mc 10
6 millones de euros y = 2,3× 10
5 millones de libras esterlinas. Usamos este valor
de Mc en la ecuación (3) y asociamos con la pérdida de masa
de clusters en la densidad media de media masa de todo el GC
sistema, que es h = 246 millones de libras esterlinas
−3 de los datos de la Figura 1.
Puesto que estamos asumiendo que = μevt
h t para los CG coeval,
por lo tanto, estipulamos
* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M*
h/M· pc
−3)1/2 (4)
para globulares con arbitrariedades. Asumiendo una edad de GC típica de
t = 13 Gyr, esto corresponde a una tasa de pérdida de masa de
μev 1100 millones de dólares de los EE.UU.
− 1 (l/m/m/pc−3
. 5)
En §3 discutimos las vidas de los clusters implícitas por este valor
de μev. Enfatizamos aquí que la escala de μev y
con
h sigue bastante genéricamente de nuestra hipótesis de
la evolución de los clusters dominada por la evaporación, mientras que la
Los coeficientes en las ecuaciones (4) y (5) son específicos para el assump-
de β = 2 para el índice de poder-ley en las masas bajas en el
GCMF inicial.
La curva de rayas que se muestra en cada panel de la Figura 2 es
la evolución de la función Schechter instalada en todo el GCMF de
la Vía Láctea por Jordán et al. (2007). Esto tiene un pico en
MTO 1.6× 10
5 Más (magnitud MV −7.4 para un V típico -
banda relación masa-luz de 1,5 en unidades solares) y da una muy
buena descripción del dN/d log M observado en el medio
Densidad bin, 79. 530 millones de libras esterlinas
−3, y en los dos ra-
dius bins, rgc ≤ 9,4 kpc. Esto se espera, ya que la mediana
densidad de media masa en cada una de estas submuestras de racimo es muy
cerca de la mediana a nivel de todo el sistema h = 246 millones de libras esterlinas
−3 (ver Ta-
ble 1). Incluso en el rgc bin más exterior, un Kolmogorov-Smirnov
(KS) prueba sólo rechaza marginalmente el modelo de línea rayada (en
el nivel de 95%), porque esta submuestra todavía incluye muchos
GCs en o cerca de la mediana global h (ver Figura 1). Por...
Trast, el GCMF medio es fuertemente rechazado como un modelo para
los CG de densidad más baja y más alta en el lado izquierdo de
Figura 2: las probabilidades KS de que estos datos se extraigan de
En ambos casos, la distribución es <10−4. Esto es también
se espera ya que, por construcción, estos contenedores sólo contienen clus-
ters con densidades muy lejos de la mediana del GC completo
sistema, para el cual la masa total perdida por evaporación debe ser
significativamente diferente de la típica = (h).
Las curvas sólidas en la Figura 2, que son diferentes en
ery panel, son las superposiciones de muchos diferentes evolucionaron
Las funciones de Schechter, como en la ecuación (3), con valores distintos de
dada por la ecuación (4) utilizando la?h observada de cada cluster en
la submuestra correspondiente. Estos modelos proporcionan excel-
Coincidencias prestadas al logaritmo dN/d M observado en cada?h y rgc
con χ2 < 1,3 por grado de libertad en todos los casos. Esto es
el principal resultado de este documento.
La última columna del cuadro 1 indica la masa de MTO en la que
cada uno del modelo sólido GCMFs en los picos de la Figura 2. Tomamos nota
que estos volúmenes de negocios aumentan más o menos como MTO
0,3–0,4
h para
nuestros encuadernaciones específicas en?h y rgc, algo más superficial que
el
h Escalado de la tasa de pérdida de masa en racimo que define la
modelos. Esto se debe, en parte, a que el promedio es superior a
volumen de negocios real implicado por la suma de muchos evolucionó
Schechter funciona en cada cubo del GC, y en parte porque—como
que discutimos justo después de la ecuación (3)—la masa de rotación de cualquier
una función de Schechter evolucionada no puede aumentar indefinidamente en
proporción directa con respecto a los países de Europa Central y Oriental
h, pero tiene un límite superior estricto de
MTO ≤ Mc.
Nuestros modelos son naturalmente consistentes con el hecho de que el
El GCMF es más estrecho para los cúmulos con densidades más altas. Esto
es evidente en los paneles de la mano izquierda de la figura 2; en el
la conmoción inmediatamente después de la ecuación (3), describimos cómo
sigue del aumento de MTO con • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
h por un pecado...
gle evolución de la función Schechter. Además, la superposi-
de muchas de estas funciones con función independiente, dependiente de la densidad
Los volúmenes de negocios y las anchuras dan lugar a una ampliación de los GCMF en el caso de los subconjuntos.
muestras que abarquen mayores rangos de................................................................................................................................................................ Esto tiene en cuenta, en particular, los siguientes aspectos:
ular para la anchura de la función de masa en rgc ≥ 9,4 kpc. Los
Los globulares a estos radios tienen 0,034 ≤
3 millones de libras esterlinas
correspondiente a funciones individuales Schechter evolucionadas con
volumen de negocios a 2,7× 103. MTO. 4,0× 10
5 millones de libras esterlinas. La composición...
ite GCMF en el panel inferior derecho de la figura 2 es, por tanto,
extremadamente amplio y muestra un pico muy plano, tal que
todos los OMP no pueden establecerse precisamente a partir de los datos por sí solos.
Esto explica los hallazgos de Kavelaars & Hanes (1997), que
señaló que el GCMF de la tercera parte más externa del
El sistema de clústers de vías tiene un volumen de negocios que es estadísticamente consis-
tienda con el promedio de Galaxia completa, pero una dispersión más grande (ver
También Gnedin 1997).
Por último, si el GCMF evolucionó dinámicamente desde el
ciones similares a las que hemos adoptado, a continuación, los datos y
modelos en los paneles de la izquierda de la figura 2 argumentan en contra
la noción de que los choques gravitacionales externos, en lugar de
la relajación ternal de dos cuerpos, fueron los principales responsables de
dando forma al actual GCMF. Esto es porque la masa...
tasa de pérdida causada únicamente por choques, −dM/dt = μsh
difiere significativamente de la causada por la evaporación sola,
−dM/dt = μev
h. La dependencia directa de μsh de
asegura que los choques se vuelven progresivamente menos importantes
a la evaporación a medida que los racimos pierden masa (a una determinada hora), y
En consecuencia, no es probable que los choques hayan tenido mucho efecto en
el GCMF observado para M < MTO. Además, la inversa
la dependencia de μsh en la h es contraria a la dependencia directa
de MTO en la hora indicada en la figura 2. Los diferentes papeles jugados
por choques y evaporación en la configuración del GCMF observado son
más ampliamente discutido por FZ01. Tomamos nota aquí de que la gravedad
choques pueden haber sido importantes en la destrucción muy masiva
o clusters de muy baja densidad temprano en la historia de nuestra Galaxia.
2.3. Otras propiedades del clúster
Si la forma actual del GCMF es fundamentalmente la re-
sulf de la interrupción a largo plazo del cluster según una pérdida de masa
8 McLAUGHLIN & FALL
regla como μev
h, entonces debe ser posible reproducir
la distribución en función de cualquier otro atributo de cluster por
utilización de la hora de los GC individuales observados en las ecuaciones (3) y
(4) para construir el modelo dN/d log M para submuestras de la Galáctica
sistema de cluster definido por ese atributo, como hicimos para el rgc
Encuadernación de §2.2. Aquí exploramos un ejemplo en el que dif-
ferencias en los GCMF de dos grupos de globulares se pueden ver
de este modo seguir las diferencias en sus distribuciones.
Smith & Burkert (2002) han demostrado que la función de masa
de globulares galácticos con concentraciones del modelo King (1966)
c < 0,99 tiene un pico menos masivo que el de c ≥ 0,99. [Aquí
c Log(rt/r0), donde rt es el radio de marea instalado y r0 un núcleo
escala.] Además, encuentran que una ley de poder se ajusta a la baja-
c GCMF justo debajo de su pico devuelve dN/d log M • M+0.5—
menor que el M+1 esperado genéricamente para una pérdida de masa
tasa que es constante en el tiempo, pero confirman que este último
la pendiente se aplica para el GCMF a c ≥ 0,99. Discuten sobre diversos temas.
opciones para explicar estos resultados, incluida una sugerencia de que, si
las funciones de masa de los grupos de baja y alta concentración,
ters evolucionó lentamente de la misma, joven-cluster–como inicial
distribución, entonces la ley de pérdida de masa para los CG bajos en c puede tener
difería de eso para los cúmulos de alta c. Sin embargo, no dan
explicación física de tal diferencia, y podemos mostrar
ahora que no se requiere ninguna.
El panel superior de la figura 3 de la concentración de parcelas contra
densidad de media masa para los mismos 146 GC de la figura 1;
círculos llenos distinguen 24 racimos con c < 0,99. Ahí está.
es una especie de correlación entre c y?h, que o bien de-
rives de o causa la correlación más conocida entre c
y M (por ejemplo, Djorgovski & Meylan 1994; McLaughlin 2000).
El punto importante aquí es que la distribución de la
establecer valores más bajos y tener una mayor dispersión a c < 0,99.
Después de la discusión en §2.2, esperamos, por lo tanto, que la
de baja concentración GCMF para tener un MTO más pequeño, un
forma alrededor del pico, y un ancho completo más grande que el alto-
concentración GCMF.
El panel inferior de la Figura 3 muestra los GCMF para c < 0,99
(círculos llenos) y c ≥ 0,99 (círculos abiertos). Las curvas son
otra vez dada por la ecuación (3) con β = 2, Mc = 10
6 millones de euros, y en-
dividual • calculado a partir del grupo observado h a través de
Ecuación (4). Estos modelos pico en MTO 4.3× 10
para la submuestra c < 0,99 pero en MTO 1,8× 10
5 millones de libras esterlinas
c ≥ 0,99, en su totalidad como resultado de las diferentes zonas afectadas.
El ancho más grande de dN/d log M y su pendiente más superficial en
cualquier M. 105 M® para los GCs de baja concentración son también
claro, en las curvas del modelo, así como los datos. Está más lejos.
evidente que no se observan globulares galácticos de baja c
con M & 2× 105 M®, por encima del volumen de negocios nominal de la totalidad
GCMF (como señaló Smith & Burkert 2002). Pero esto no es...
levantamiento, dado que hay tan pocos cúmulos de baja concentración
en total y se espera que estén dominados por la baja masa
objetos debido a su densidad generalmente baja. Por lo tanto, la
curva sólida en la Figura 3 predice tal vez 3 clus de masa alta-
ters con c < 0,99, donde no se encuentra ninguno.
La variación aparente de la Vía Láctea GCMF con
Por lo tanto, la concentración ternal es coherente con la misma
modelo basado en la densidad para la evaporación dinámica dominada
evolución que comparamos con dN/d log M en función de
En el apartado 2.2. Para demostrar esto, hemos hecho uso de la
densidades exactamente como se observa dentro de las dos concentraciones
cubos indicados en la Figura 3—así como también tomamos
de los datos para GCs en diferentes rangos de rgc a construir
modelos para la comparación con el logaritmo de dN/d M observado en el
FIG. 3.- Arriba: Parámetro de concentración en función de la densidad de media masa
por 146 GC galácticos. La línea de puntos en c 2,5 proviene de la práctica de
asignar este valor a los clusters de núcleo colapsado en el catálogo Harris (1996)
y sus fuentes. Abajo: Datos y modelos del GCMF (eqs. [3] y [4]) para 24
clusters con c < 0,99 (círculos llenos y curva sólida) y 122 clusters con
c ≥ 0,99 (círculos abiertos y curva discontinua).
Paneles a la derecha de la Figura 2. Por supuesto, esto no es lo mismo.
como explicación de la distribución de.h versus rgc o c.
sin duda sería de interés en su propio derecho, pero está más allá de
el alcance de nuestro trabajo aquí.
3. DEBATE
En esta sección, primero mostramos que la tasa de pérdida de masa en equa-
tion (5) supra implica vidas de clústeres que se comparan favorablemente
con los esperados de la evaporación impulsada por la relajación. Entonces
Discutimos por qué es razonable aproximarse a μev
el primer lugar. Por último, abordamos la cuestión de la posible
flict, en algunos otros modelos para la evaporación dominada por el GCMF
evolución, entre la casi constante de MTO como función
de rgc y la cinemática observada de los sistemas GC.
3.1. Cluster Lifetimes
El tiempo de interrupción de un CG con masa M y una constante
tasa de pérdida de masa μev es sólo tdis = M/μev. Es conveniente,
a efectos de comparación con los tiempos de evaporación en el
la literatura, para normalizar tdis al tiempo de relajación de un
cluster en su radio de media masa. En general, esto es trh =
0,138M1/2r
G1/2m* ln (γM/m*)
, donde m* es la media
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 9
Masa estelar. Para grupos de estrellas con una sola masa,
m* 0,7 millones de euros y γ 0,4 son apropiados (Spitzer 1987;
Binney & Tremaine 1987, ecuación [8-72]), en cuyo caso
ecuación (5) para μev de nuestro modelado GCMF implica
μevtrh
0,57 millones/m + 0,57 millones + 0,55 millones + 0,55 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones/m + 0,5 millones + 0,5 millones + 0,5 millones
0,57× 105
. 6)
Los cúmulos con espectros de masa estelares realistas tendrán un poco
diferentes valores de m* y una menor γ en el cálculo de
el tiempo de relajación (Giersz & Heggie 1996), que cambia
el valor numérico de tdis/trh algo pero no altera
escalas.
Obtuvimos la normalización de μev...............................................................................................................................................
h en §2.2 por
Adecuación a GCMF observados construida mediante la aplicación de un spe-
relación masa-luz cífica V a cada clúster, con modelos como-
sumando un formulario específico para el log inicial dN/d M0. Por lo tanto,
el resultado en la ecuación (6) depende tanto de la mediana V
y en el índice de poder-ley β en las masas bajas en el original
Función Schechter GCMF. El escalonamiento neto, para
o cúmulos de masas múltiples, es
tdis/trh
V (β − 1)
−1. 7)..................................................................................................................................................
Para ver la dependencia de esta vida sin dimensiones en
V, note que requerimos μev V para adaptarse a las pérdidas de masa
de conglomerados con una distribución dada de luminosidades (el di-
rect observables), mientras que M/trh es proporcional a
V (L/r)
1/2. Por lo tanto, tdis/trh (M/trh)/μev
V. La
Coeficiente masa-luz adoptado en este artículo, con un valor medio
V 1,5 millones de libras esterlinas
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
ciones (§2.1).
Para entender la dependencia de β en la ecuación (7), recordar
en primer lugar que los coeficientes en nuestras expresiones para y μev
como funciones de la Comisión (eqs. [4] y [5]) seguidos de
ing β = 2 para el exponente de la ley de poder en las masas bajas en el
GCMF inicial (ecuación [2]). Como mencionamos justo después
Ecuación (3), la masa de rotación de una función de Schechter evolucionada
con cualquier β > 1 es MTO /(β − 1) en el límite de baja
# # # # # # # # # # # # # # # # #
h, y MTO → Mc para muy alto. En este sentido,
las mayores limitaciones observacionales a la normalización
de y μev provienen de los cúmulos de baja densidad. Todos los demás
las cosas que son iguales, su GCMF se puede reproducir con β 6= 2
si se multiplican (β − 1) el valor de la sustancia problema por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema (β − 1), en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que se multiplique por el valor de la sustancia problema (β − 1), en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema, en el caso de que la sustancia problema se multiplique por el valor de la sustancia problema (β − 1), en el caso de que se multiplique por el valor de la sustancia problema de la sustancia problema. Por lo tanto,
tdis 1/μev 1/( 1). Observaciones de jóvenes masa-
ters (por ejemplo, Zhang & Fall 1999) indican que β está cerca de 2; pero si
era un poco más superficial, entonces las vidas de los racimos que inferimos
de la antigua GCMF aumentaría en consecuencia. Incluso un rela-
El cambio de menor importancia a β = 1,5 duplicaría tdis/trh a partir de 10 libras esterlinas.
a 20 libras esterlinas.
En el modelo de Hénon (1961) para cúmulos de una sola masa
la evolución auto-similar (coeficiente fijo de densidades medias en el período comprendido entre el 1 de enero y el 31 de diciembre de 1990)
en el lado de los radios de mareas y medias masas) en un campo de mareas
constante en el tiempo), un cluster pierde el 4,5% de su masa restante
cada tiempo de relajación de media masa. El tiempo para completar el disrup-
Por lo tanto, es tdis/trh = 1/0.045 22. En el caso de las sustancias no homológicas
clústeres en un campo estacionario de mareas, tdis/trh es una función de central
concentración y puede diferir del valor Hénon por factores
de unos dos. De la calcula unidimensional de Fokker-Planck...
ciones, Gnedin & Ostriker (1997) encontrar tdis/trh 10–40 para King
(1966) clusters modelo con valores c similares a los encontrados en
CG reales y con choques gravitacionales suprimidos (ver su
Figura 6). Así, aunque el tiempo de evaporación en la ecuación
(6) puede ser un poco más corto de lo que se suele encontrar en teoreti-
Cal cálculos, es sin duda dentro de la gama de tales calcu-
Laciones. Por otra parte, las hipótesis de un campo de marea constante y
una sola masa estelar en Hénon (1961) y Gnedin & Ostriker
(1997) son importantes. Parte de la diferencia entre el tipo-
la vida útil en estos tratamientos teóricos particulares y
nuestra estimación de tdis/trh de la GCMF es que la primera
no incluyen choques gravitacionales, que pueden haberse acelerado
un poco la evolución de los clusters reales (aunque
una vez más que los choques no parecen haber dominado en general
la evolución de los GC Galácticos existentes y no se espera
afectar a la independencia temporal básica de la pérdida neta de masa
rate; ver Vesperini & Heggie 1997, Gnedin, Lee, & Ostriker
1999, FZ01, y Prieto & Gnedin 2006). Un espectro de...
las masas lar en los clusters también pueden haber contribuido a un
aumento de la tasa de evaporación sobre los valores de una sola masa (por ejemplo,
Johnstone 1993; Lee & Goodman 1995).
Estimaciones de los tiempos de evaporación de otros números
métodos y para los modelos de cúmulos multimasa puede ser más bien
sensible a las técnicas e insumos computacionales detallados
suposiciones y aproximaciones, y diferencias aproximadamente
el nivel de factor de dos en tdis/trh entre diferentes análisis
no son infrecuentes; ver, por ejemplo, Vesperini & Heggie (1997),
Takahashi & Portegies Zwart (1998, 2000), Baumgardt
(2001), Joshi, Nave, & Rasio (2001), Giersz (2001), y
Baumgardt & Makino (2003). Por lo tanto, aunque las vidas
en estos estudios tienden a ser ampliamente comparables a los de
Hénon (1961) y Gnedin & Ostriker (1997), notablemente
valores más cortos ocurren en algunos modelos. En cualquier caso, nosotros
son alentados por la coherencia a dentro de los factores de dos o
tres entre estimaciones de tdis o μev por tan muy diferentes
métodos—uno puramente observacional, basado en la masa
funciones de los sistemas de clúster; el otro puramente teórico,
basado en modelos idealizados para la evolución del individuo
clusters, sobre todo porque cada método implica varios
entradas y parámetros inciertos.
3.2. Aproximación de μev
3.2.1. Media masa versus Densidad de marea
El tiempo de interrupción adimensional en la ecuación (6) es inde-
pendent de cualquier propiedad de clúster que no sea el registro de Coulomb-
arithm porque hemos usado densidades de media masa de GC para esti-
mate tdis = M/μev
h, mientras que trh también escala como M/
Sin embargo, como hemos mencionado anteriormente, el Fokker-Planck calcu-
las laciones de Gnedin & Ostriker (1997) demuestran en particular que
tdis/trh es en realidad una función de concentración central, c, para
King (1966) clusters modelo en campos de mareas estables. La constante
de proporcionalidad en μev
h por lo tanto también debe depender
sobre c, un detalle que hemos descuidado hasta este punto. Mostramos
ahora que esto no ha sesgado ninguno de nuestros análisis o afectado a nuestra
conclusiones.
La curva punteada en la Figura 4 ilustra la dependencia de
tdis/trh en c para modelos King de una sola masa, según la ecuación
(30) de Gnedin & Ostriker (1997). La curva sólida es propor-
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1/2 = (r3t /2r)
1/2, que hemos calculado
en función de c para estos modelos y multiplicado por un
stant para comparar directamente con tdis/trh. Evidentemente, hay un
equidad aproximada tdis/trh 2.15(lh/lt)
1/2, que se mantiene en
dentro de <15% en el intervalo de concentraciones que se muestra en
ure 4 (obsérvese que todos los GC galácticos excepto 6 tienen 0,7 ≤ c ≤ 2,5,
correspondientes a los potenciales centrales 3.W0. 11). Por lo tanto, si el
10 McLAUGHLIN & FALL
FIG. 4.— Dependencia de tdis/trh (línea punteada; de Gnedin & Ostriker
1997) y (l/t )
1/2 (línea sólida; después de escalar por un factor de 2,15)
concentración tral para cúmulos monomasa modelo King. En el rango de c
se muestra, que incluye casi todos los globulares galácticos, el propor-
tionality tdis/trh
1/2 se mantiene dentro de más del 15%. Por lo tanto, a este
nivel de precisión el tiempo de evaporación tdis es aproximadamente el mismo múltiplo de
t para clusters con cualquier perfil de densidad interna.
El tiempo de evaporación está escrito como tdis? trh(?h/?t)
1/2-M/
a continuación, la constante de proporcionalidad en la tasa de pérdida de masa μev
M/tdis...........................................................................
t debe ser casi independiente de c. De hecho, King
(1966) concluyó originalmente, a partir de argumentos bastante básicos, que
la tasa de evaporación de un cluster con una baja-Maxwellian
la distribución de la velocidad tomaría la forma μev
t con
sólo una dependencia débil de c. Una concentración esencialmente-
escalado independiente de μev con
t también se encuentra en N-
simulaciones corporales de cúmulos de masa multimasa de tamaño limitado (por ejemplo,
Vesperini & Heggie 1997) y por lo tanto no es un artefacto de
Supuestos específicos de los cálculos del Rey (1966) o
Gnedin & Ostriker (1997).
Esto sugiere que podría haber sido más natural para spec-
Tasas de evaporación del cluster ify proporcionales a
t en lugar de
h al desarrollar nuestros modelos GCMF en §2. Para cualquier clus...
ter en un campo de marea constante, con una constante?t, tal elección
También habría sido automáticamente coherente con un ap-
μev aproximadamente independiente del tiempo y la
dependencia M(t) del oído que hemos adoptado a lo largo de todo este
papel. Como discutimos al principio del §2, nuestro deci-
sión de trabajar con la Comisión, en lugar de con la Comisión, fue motivada por la
El hecho de que la densidad de media masa está mucho mejor definida en prin-
cipulado y más exactamente observado en la práctica. Nunca...
menos, reescritura μev
t como μev (t/h)
1/2 ×
h makes
claro que la validez de nuestros modelos, con un coeficiente fijo
en μev
h, depende de la medida en que las variaciones en
(El Parlamento aprueba la resolución legislativa)
1/2 se puede ignorar con seguridad.
La figura 4 muestra que todo el rango de valores posibles para
(El Parlamento aprueba la resolución legislativa)
1/2 en racimos modelo King con c ≥ 0,7 es sólo un factor
de 4 entre mínimo y máximo. Por lo tanto, utilizar
un valor único e intermedio de esta relación de densidad para describir
todos los GC (o un GC único que evoluciona en el tiempo a través de una serie de
modelos de King cuasi-estáticos)—que hemos hecho efectivamente
mediante el uso de un ajuste GCMF para normalizar los valores de los valores de los valores de referencia y de los valores μev en las ecuaciones (4)
y (5)—nunca debe estar en error por más de un factor de 2 o
Así que. Esta es una inexactitud relativamente pequeña, dado que
Las densidades de GC oscilan entre cuatro y cinco órdenes de magnitud.
Para confirmar más directamente que nuestros modelos con μev
son buenas aproximaciones a la evolución del GCMF bajo una masa
Derecho de la pérdida
t, hemos repetido el análisis de §2 en su totalidad
pero utilizando las densidades de CG (derivadas de los valores de
rt listada por Harris 1996 en lugar de?h a lo largo de todo. Todos nuestros
Persisten los principales resultados.
Por ejemplo, los dos paneles de la Figura 5, que son analo-
gous a los paneles más a la izquierda y a la derecha de la figura 1 anterior, mostrar
que (1) la distribución masiva de GC tiene una clara dependencia de
con un sobre inferior que está bien emparejado por una línea de
tiempo de evaporación constante,
t (la línea discontinua en el
gráfico); y (2) aunque la dispersión en la distribución de
sobre el radio Galactocéntrico es más pequeño que el scatter en
Sus rgc, sigue siendo significativo. Porque la distribución M-rgc
Ahora se puede ver como la convolución de la distribución
con la distribución t–rgc, el scatter en t versus rgc es
otra vez crítica en la explicación de la dependencia débil o nula de la
GCMF en el radio Galactocéntrico. (La distribución M–rgc es,
por supuesto, sin cambios de lo que se muestra en el panel medio de
Gráfico 1)11
La Figura 6 muestra la Vía Láctea GCMF para globulares en tres
cubos de densidad de marea igualmente poblados (definidos como
los paneles izquierdos de la parcela) y en los mismos tres cubos de
Radio Galactocéntrico que usamos en el §2.2 anterior. Nuestro mod-
els para estas distribuciones se basan como antes en la ecuación (3)
con β = 2, pero ahora la masa total perdida de cualquier CG es
se apareó de su densidad de marea en lugar de su densidad de media masa.
Específicamente, tomamos
• = 2,1× 105 M • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
? t/M? pc
−3)1/2. (8)
El coeficiente numérico en la ecuación (8) es tal que da un
• idéntica a la de la ecuación (4) para un CG con h/t = 210,
que es el valor medio de esta relación de densidad para los 146 GCs
en el catálogo Harris (1996).
Como en la Figura 2, la curva de rayas en cada panel de la Figura
6 es el mismo, que representa un ajuste a la media dN/d log M de
todo el sistema galáctico GC. Por lo tanto, está inmediatamente claro
que la masa máxima del GCMF aumenta significativamente, y
sistemáticamente con el aumento, al igual que lo hace con el aumento
ing?............................................................................................................................................. Mientras tanto, las curvas sólidas son submuestra-específicas
modelo GCMFs, obtenido utilizando la densidad de mareas observada
de cada cluster en cualquier?t o rgc bin para especificar
ues a través de la ecuación (8) para cada uno de la función de Schechter evolucionado-
ciones en la suma de la ecuación (3). Como era de esperar, hay
no hay diferencia apreciable, en términos de los ajustes a cualquiera de los ob-
servía a los GCMF, entre estos modelos basados en la evaporación
Tasas μev
t y nuestros modelos originales con μev
3.2.2. Evaporación retardada
Otra posible preocupación proviene de argumentos recientes
(véase especialmente Baumgardt 2001; Baumgardt & Makino 2003)
11 Como también fue el caso de nuestras parcelas anteriores que involucran a?h en la Figura 1,
la dispersión y la estructura en ambos paneles de la Figura 5 son reales, ya que los rms
dispersión de log rt sobre las líneas de mejor ajuste a cualquiera de log M o log rgc es 0,3–0,35
mientras que las barras de error rms basadas en incertidumbres de ajuste formal están en el rango
Para una variedad de modelos (McLaughlin & van der Marel
2005).
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 11
FIG. 5.— Parcelas de dispersión de la masa M versus densidad media dentro del radio de mareas (por ejemplo, 3M/4ηr3t) y de la masa M versus el radio Galactocéntrico rgc, para 146 GC galácticos
del catálogo Harris (1996). Estas parcelas son análogas a los paneles más a la izquierda y a la derecha de la Figura 1. La línea discontinua en el gráfico de la izquierda traza la relación
M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # M # # # # M # # # M # # # # M # # # # M # # # M # # # # M # # # # # M # # # # M # # # # M # # # # # # # # # # # # # M # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
t, que define un locus de tiempo de evaporación constante para μev
FIG. 6.— GCMF observado (puntos, con barras de error de Poisson) y modelos (curvas) en función de la densidad media de cluster dentro del radio de marea,
paneles de mano), y en función del radio Galactocéntrico, rgc (paneles de la derecha). La curva discontinua en cada panel es una función de Schechter evolucionada que representa
todo el sistema GC: ecuación (3) con β = 2, Mc = 106 Mâ €, y un único â € €, común a todos los clusters, evaluado a partir de la ecuación (8) utilizando la mediana de todos los 146
GCs galácticos. Las curvas sólidas son modelos subsample-específicos utilizando la ecuación (3) con β = 2 y Mc = 106 Mâ € pero un valor diferente â € para cada clúster (obtenido
a partir de la ecuación [8] utilizando estimaciones observacionales individuales de.t ) en cualquier.t o rgc bin.
12 McLAUGHLIN & FALL
que el tiempo total de evaporación de un cluster tidally limitado
no es simplemente un múltiplo de una relajación interna de dos cuerpos
time, trlx
3)1/2, pero depende de trlx y el cruce
time tcr • (M/r)
3)-1/2 a través de la combinación tdis
con x < 1. La tasa de pérdida de masa μev M/tdis entonces escala como
M3/2−xr−3/2, que para x 6 = 1 difiere de las tasas μev
y μev
que hemos adoptado hasta ahora. Sin embargo, nuestro
Los modelos del GCMF siguen siendo significativos, porque postulan tdis
txrlxt
c implica una dependencia de μev en una medida de clúster
densidad que es, una vez más, bien aproximado por
h para
GCs galácticos. Antes de mostrar esto, discutimos brevemente el
las razones y las pruebas de una posible dependencia de
trlx y tcr.
Si se supone que las estrellas escapan de un cúmulo tan pronto como
han alcanzado energías por encima de algún valor crítico como resultado
de la relajación de dos cuerpos, a continuación, tdis trlx se espera (y con-
reafirmado por simulaciones de cuerpo-N; por ejemplo, Baumgardt 2001). ¿Cómo...?
siempre, el comportamiento más complicado puede surgir cuando escapar no
sólo depende de que las estrellas satisfagan tal criterio energético, pero
también requiere que crucen un límite espacial. Entonces, al-
aunque las estrellas todavía están dispersas para casi-y arriba-escapar
energías en la escala de tiempo trlx, que requieren algunos adicionales
Es hora de dejar el grupo. Esta escala de tiempo de escape es
fundamentalmente relacionado con tcr (pero también depende de los detalles de
las órbitas estelares, el campo de marea exterior, y la forma de
la superficie de energía cero). Cuanto más tiempo extra, el
mayor es la probabilidad de que más encuentros con atado
estrellas de racimo pueden dispersar cualquier escape potencial hacia abajo
para sub-escapar energías. El resultado neto es una desaceleración (“re-
retraso”) de la tasa global de evaporación (Chandrasekhar
1942; King 1959; Takahashi & Portegies Zwart 1998, 2000;
Fukushige & Heggie 2000; Baumgardt 2001)
En el caso de que la duración del cluster tdis, por un factor que puede ser ex-
pected para aumentar con la relación tcr/trlx. Si este factor escala como
(tcr/trlx)
1−x para algunos x < 1, luego tdis trlx (tcr/trlx)
1−x = txrlxt
Si bien puede esperarse un retraso de la evaporación de este tipo
para que ocurra en algún nivel en todos los grupos, hay
los efectos que probablemente no se capturen adecuadamente
por una simple re-parametrización de las vidas como tdis
En particular, es poco probable que esta expresión pueda
racimos de todas las masas con un solo valor de x < 1. Desde
tcr/trlx M
−1, los cúmulos muy masivos tienen tcr trlx, y las estrellas
esparcido a más que las energías de escape por la cruz de relajación
el límite de mareas efectivamente instantáneamente—implicando que
el tdis estándar Trlx, o x→ 1, se aplica en el límite de alta masa.
De hecho, si este no fuera el caso, y una x fija < 1 mantenido para todos
M, entonces un tdis no físico < trlx obtendría a lo suficientemente alto
masas; véase Baumgardt (2001) para más discusión. Unfor-
"muy masivo" no está bien cuantificado en este contexto,
y todavía no está claro si un solo valor de x es exacto para el
todo el régimen de masas de GC. Hasta ahora, se ha comprobado directamente
sólo para las masas iniciales de cluster por debajo del pico actual de la
GCMF.
También vale la pena señalar que el análisis y las simulaciones
miento de la Unión Europea en el ámbito de la seguridad y la salud en el lugar de trabajo, así como en el ámbito de la seguridad y la salud en el lugar de trabajo.
órbitas angulares o moderadamente excéntricas en potenciales galácticos que
son estáticas y esféricas. Esto significa que cualquier marea perturba-
ciones que sienten las estrellas dentro de los cúmulos son relativamente débiles y/o
lento en comparación con sus propios períodos orbitales, lo que lleva a casi
respuestas adiabáticas o al menos no impulsivas. En más realis...
tic situaciones, el potencial galáctico dependería del tiempo
y no esféricas y podría haber otras perturbaciones de las mareas.
bations, incluidos los choques de disco y de protuberancia. Estas perturbaciones
en algunos casos podría acelerar la fuga de
estrellas de los cúmulos y así contrarrestar el retardo ef-
Afectar hasta cierto punto. Por lo tanto, es necesario un estudio más a fondo para de-
termine el régimen de validez de la fórmula tdis
c y
su posible modificación fuera de este régimen.
Mientras tanto, Baumgardt (2001) y
Baumgardt & Makino (2003; en adelante BM03)
esta fórmula a las vidas de un conjunto de n-cuerpo clusters
con masas iniciales M0. 7 × 10
4 MÃ3s y varios diferentes
concentraciones iniciales y excentricidades orbitales. BM03 a
primero escribe tdis en términos de los tiempos de relajación y cruce
de racimos en sus radios de media masa, de modo que
(M/r)
−1/2, y tdis
x−1/2r
h (ver su ecuación
[5]). Sin embargo, inmediatamente toman un factor de (rt/rh)
a partir de la normalización de esta escala — en efecto para obtener
tdis â € M
x−1/2r
t con una constante diferente de proporcionalidad—
y luego utilizar una simple definición del radio de marea (su
ecuación [1], r3t = GMr
c, que es apropiado para una
órbita circular de radio rp en un potencial logarítmico con
velocidad circular Vc; ver Innanen, Harris, & Webbink 1983)
para obtener la vida útil total de un clúster en función de su
masa inicial, distancia perigaláctica, y Vc (su ecuación
[7]). Un único exponente x 0,75 y una sola normalización
en esta función entonces suficiente para predecir dentro del 10% de la
vida útil de los clusters simulados, independientemente de su inicial
concentraciones. Por implicación, si trlx y tcr se fija en rh
en lugar de rt, entonces tdis tendría una concentración adicional
dependencia, relacionada con la relación (rt/rh)
3/2—muy similar a
lo que discutimos en §3.2.1 para el caso x = 1.
Ahora reexaminamos la Vía Láctea GCMF en términos de
esta prescripción para la evaporación retardada (teniendo en cuenta la
las advertencias mencionadas anteriormente). Para evitar cualquier dependencia explícita
en la concentración, también nos centramos en el radio de marea y escribir
tdis â € M
x−1/2r
t para general x ≤ 1; pero no sustituimos una
fórmula específica para el potencial y la órbita de rt en términos de rp y
propiedades galácticas como Vc. En su lugar, para mantener el énfasis...
Sis enteramente en densidades de cluster, re-escribimos la escala de la
vida útil en términos de la densidad media de la superficie dentro de la marea
radio, t M/ηr
t, y la densidad de volumen correspondiente
πt = 3M/4ηr
t. Esto conduce a tdis
−3(1−x)
−2(x−3/4)
t, que
entonces implica
μev-dM/dt-m/tdis
3(1−x)
2 x-3/4)
t. (9)
Claramente, el estándar μev
T, que ya tenemos dis-
cussed, se recupera para x = 1; mientras que para x = 0,75, tenemos el
igual de sencillo μev â € € TM
BM03 encuentra que, incluso con la evaporación retardada implícita
por x 0,75, las masas de sus cúmulos simulados todavía de-
arruga aproximadamente linealmente con el tiempo después de la evolución estelar
efectos (que sólo son importantes para los primeros 108 años) son
separados; ver especialmente su Figura 6, ecuación (12), y
debate conexo. Por lo tanto, si el GCMF inicialmente se elevó hacia
bajas masas y ha sido erosionado por lento, impulsado por la relajación
destrucción de racimos, entonces en esta descripción modificada de eva-
podría esperarse que la función de masa actual dependiera
fundamentalmente sobre el t y no sobre el t o sobre el t. Pero porque M(t)
todavía disminuye casi linealmente con t, sólo ahora con μev
para cada clúster, la forma del GCMF evolucionado y su de-
pendence en la t debe parecerse a nuestros resultados anteriores para la h y
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 13
Hemos confirmado esta expectativa repitiendo todo nuestro
análisis en §2 de nuevo, ahora utilizando μev
t al grupo estimado
Tasas de pérdida de masa. Al igual que antes, calculamos a partir de los datos en
el catálogo Harris (1996), aunque adviertemos una vez más
que los radios de mareas, y por lo tanto los derivados, son más inciertos
que rh y?h.
Figura 7, que debe compararse con las figuras 1 y 5
arriba, muestra que la masa promedio del GC Galáctico aumenta
sistemáticamente con el t; que el sobre inferior de la M–
distribución se describe bien por M â € € TM
t (la línea discontinua en
el panel izquierdo de la Figura 7), que es un locus de constante
vida útil frente a la evaporación para μev
t ; y que el scat-
en la distribución del clúster t frente a
dius (panel derecho de la figura) es sustancial, según sea necesario
para tener en cuenta la correlación casi inexistente entre M
y rgc.
El lado izquierdo de la Figura 8 muestra las funciones de masa
de globulares en tres cubos de Łt, tal como se define en cada panel.
El lado derecho de la figura muestra dN/d log M en el
los mismos tres intervalos de rgc que en las figuras 2 y 6 anteriores. As
en esas parcelas anteriores, la curva despuntada en todos los paneles de la figura
8 es un modelo GCMF con los mismos parámetros en cada caso,
representando la función de masa de todo el sistema galáctico GC-
Tem. Una vez más, en comparación con el promedio de ATM, el
La masa del volumen de negocios es significativamente inferior en el caso de las agrupaciones más bajas
En el caso de los clusters en la papelera más alta, el valor de la papelera es igual o superior al de los clusters en la papelera más alta, mientras que en el caso de los clusters, el valor de la papelera es superior al de los clusters en la papelera más alta, mientras que en el caso de los clusters, el valor de la papelera es superior al de los clusters en la papelera más alta, mientras que en el caso de los clusters en la papelera más alta, el valor de la papelera es superior al de los clusters en la papelera más alta.
la anchura de dN/d log M disminuye notablemente a medida que aumenta el valor.
Las curvas sólidas en la Figura 8 son de nuevo diferentes en cada
panel. Son las sumas de evaporación-evolucionada Schechter
funciones como en la ecuación (3), con el habitual β = 2 supuesto
pero con pérdidas de masa totales estimadas individualmente para cada GC
en cualquier contenedor de datos o rgc con arreglo a los datos de datos
t en lugar de • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
h • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
t. Sin embargo, resulta que no es necesario
para cambiar la normalización de la
h en la ecuación (4) a
lograr una buena adaptación al GCMF observado en función de
t o rgc. Por lo tanto, en la Figura 8 simplemente hemos utilizado
* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M* = 1,45× 104 M*
t/M ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° r ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
−2)3/4. (10)
Los ajustes de estos modelos, basados en tdis
cr con x
0.75, son indistinguibles de los ajustes de nuestro mod-
els basado en el tdis estándar trlx, es decir, x = 1. (Tenemos con-
reafirmado que la adopción individual dado por la ecuación [10] también
reproduce los GCMF de GCs de baja y alta concentración
en la figura 3, tanto como antes.) Fue algo inesperado.
que la ecuación (10) y la ecuación (4) deben tener el mismo n-
coeficiente merical, pero observamos que esto sigue empíricamente
por el hecho de que la medida de los GCs galácticos
son consistentes con la simple casi-igualdad,
(l/m/m/pc)
−2)1,5 en la media. Esto se ilustra en la figura 9,
que también muestra que hay una dispersión significativa sobre la re-
12 Sin embargo, esta dispersión no se correlaciona con la clus-
masa ter o radio Galactocéntrico. Desde un punto de vista pragmático:
vista, por lo tanto,
h y فارسى
T están lo suficientemente cerca como para intercambiar...
capaz para nuestros propósitos, y no hay ninguna diferencia práctica ser-
12 Aunque puede ser sólo una coincidencia que la constante de la proporción -
de la calidad en la Comunidad Europea de la Energía Atómica y en la Comunidad Europea de la Energía Atómica y en la Comunidad Europea de la Energía Atómica y en la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Comunidad Europea de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica de la Energía Atómica
t está tan cerca de la unidad, la escala básica se sostiene porque
la combinación de la correlación observada entre la masa del clúster y
centro (Djorgovski & Meylan 1994; McLaughlin 2000) con el
La dependencia de rt/rh en c en los modelos de King lleva aproximadamente a (rt/rh) M
entre los modelos GCMF basados en una u otra medida de
Densidad GC.
Una comprobación más de esto es verificar que la tasa de pérdida de masa
asociado con la ecuación (10) está aproximadamente en consonancia con que
implicado por las simulaciones de N-cuerpo apuntando a x = 0,75 en el
En primer lugar. Por lo tanto, comparamos la tasa
μev = /(13 Gyr) 1100 M Gyr
−1 (t/Mo) pc
−2)3/4 (11)
a una fórmula implícita en BM03. Comenzando con su equa-
tion (7) para el tdis de por vida en función del clúster inicial
distancia de masa y perigaláctica y velocidad circular en un loga-
potencial halo rítmico; utilizando su x = 0,75 y su normal-
lización de 1,91× 106 años, multiplicada como en su ecuación (9)
por (1 + e) para permitir órbitas excéntricas con apo- y peri-
distancias galácticas relacionadas con e • (ra − rp)/(ra + rp); insértese:
ing su ecuación (1) para rt ; tomando la masa media de clus-
estrellas ter a ser m* = 0,55 millones, como lo hacen; utilizando γ = 0,02 como
lo hacen en el logaritmo de Coulomb, ln(γM0/m*); y definir
t,0 M0/ηr
t,0 (el subíndice 0 que denota los valores iniciales),
obtener
μev(BM03)
0,7M0
1 + e
Más Gyr
0,036M0/M®
0,036× 105
3/4 (
Más pc−2
Esto es apropiado para los racimos que simplemente llenan sus lóbulos de Roche
en perigalácticon, que es donde se especifica el punto 0. El factor
de 0,7 en la primera igualdad representa la pérdida de masa debido a la estelar
evolución en las simulaciones BM03, que, como se discute,
puede tratarse como si hubiera ocurrido casi inmediatamente y en
lleno al principio de la vida de un grupo.
Nuestro μev basado en GCMF es un factor de • 2 más rápido que el N-
valor corporal de los cúmulos en órbitas circulares (con e = 0 y en
los campos de mareas constantes) en las simulaciones; y nuestro μev sigue siendo
dentro de un factor de alrededor de tres de la tasa de N-cuerpo para los grupos en
órbitas excéntricas con e = 0,5 en BM03 (e 0,5–0,6 es típico
para los trazadores con una distribución de velocidad isotrópica en un logaritmo-
potencial mic; van den Bosch et al. 1999). Esto es muy similar.
a la comparación de vidas en §3.1 para nuestros modelos originales
a base de μev
h. Además, nuestra nueva estimación de μev y
que en BM03 todavía están sujetos a su propia incertidumbre,
ata y refleja diferentes idealizaciones y suposiciones. Por
Por ejemplo, nuestra tasa sigue dependiendo de la expo-
nent β en las masas bajas en el GCMF inicial, como se discutió después
ecuación (7); mientras que la tasa de BM03 todavía descuida grav-
choques itacionales de los cruces de disco y los pasajes por un dis-
bulbo galáctico de hormigón, y puede ser, además, sesgado bajo para
M0 > 10
5 Mâ € si x > 0,75 a tales masas. Todo esto—no
por mencionar una vez más las grandes incertidumbres y el posible sistema
acs en las estimaciones de los radios de marea necesarios para calcular
hace el acuerdo cercano entre ecuaciones (11) y (12)
más sorprendente que cualquier discrepancia aparente.
En resumen, a pesar de la relación μev
h constante
en el tiempo es rigurosamente correcto sólo en circunscripciones más bien específicas
posturas, nuestros modelos GCMF basados en él en § 2 son buenos proxies,
en todos los aspectos, para modelos basados en otras características plausibles
zaciones de pérdida de masa de racimo impulsada por la relajación. Este resultado será el siguiente:
probablemente sea importante para futuros estudios de las funciones de masa de
sistemas de clúster extragaláctico, donde bien puede ser necesario
14 McLAUGHLIN & FALL
FIG. 7.— Parcelas de dispersión de la masa M versus densidad media de la superficie dentro del radio de mareas (t M/ηr2t ) y de t versus radio rgc Galactocéntrico, para 146 Galácticos
GCs del catálogo Harris (1996). Estas parcelas son análogas a los paneles izquierdo y derecho de la Figura 1, y los dos paneles de la Figura 5. La línea divisoria en
la trama de la izquierda traza la relación M â € ¬
t, que define un locus de tiempo de evaporación constante para μev
FIG. 8.— GCMF observado (puntos, con barras de error de Poisson) y modelos (curvas) en función de la densidad media de la superficie dentro del radio de marea,
paneles de mano), y en función del radio Galactocéntrico, rgc (paneles de la derecha). La curva discontinua en cada panel es una función de Schechter evolucionada que representa
todo el sistema GC: ecuación (3) con β = 2, Mc = 106 Mâ €, y un único â € €, común a todos los grupos, evaluados a partir de la ecuación (10) utilizando la mediana bâ € t de todos
146 GC galácticos. Las curvas sólidas son modelos subsample-específicos utilizando la ecuación (3) con β = 2 y Mc = 106 Mâ € pero un valor diferente â € para cada clúster (obtenido
a partir de la ecuación [10] utilizando estimaciones observacionales individuales de t ) en cualquier contenedor de t o rgc.
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 15
FIG. 9.- Densidad de media masa,..........................................................................................................................................................................................................................................................
h, contra la densidad superficial media
sity en el interior del radio de mareas, t = M/ηr2t, para 146 clusters con datos en Harris
(1996). La línea recta es?h =?
adoptar procedimientos basados en el derecho y no en el derecho o en el derecho
de la dificultad o imposibilidad de estimar los radios mareales.
3.3. MTO versus rgc, y anisotropía de velocidad en sistemas GC
En este artículo hemos modelado directamente dN/d log M como un
función sólo de la densidad y la edad GC, y se utilizó el observado
(o «t », o «t ») de agrupaciones en rangos relativamente estrechos de Galac-
posición tocéntrica para demostrar que tales modelos son consistentes con
la casi constante actual del GCMF en función de rgc.
La mayoría de los otros modelos en la literatura para evaporación dominada
La evolución del GCMF, ya sea en la Vía Láctea o en otras galaxias,
en lugar de predecir la distribución explícitamente como una función de rgc en
en cualquier momento. Por lo tanto, necesitan, en efecto, derivar teóricamente
relaciones densidad-posición para cúmulos en galaxias al lado
sus principales cálculos del GCMF. Esto generalmente comienza con el
adopción de potenciales analíticos para describir el
s de GCs. Tomando estas para ser esféricas y estáticas para un Hub-
ble time permite el uso de fórmulas estándar de limitación de mareas
escribir densidades GC ab initio en términos de la (fijo) peri-
centros rp de órbitas únicas en los potenciales adoptados. Cluster
Tiempos de relajación y tasas de pérdida de masa μev luego seguir como func-
ciones de rp también. Finalmente, masa inicial específica, espacio, y
las distribuciones de velocidad (o excentricidad orbital) se eligen para
sistemas GC enteros, de modo que en todos los tiempos posteriores se sabe lo que
la evolución dinámica dN/d log M es para globulares con cualquier
solo rp; cuántos cúmulos con un rp dado sobreviven; y lo que
las distribuciones de rp y todas las propiedades de clúster dependientes son
en cualquier posición instantánea rgc.
En este enfoque, si el GCMF comenzó con un aumento de la ley de poder
hacia las masas bajas y su pico actual se debe enteramente a clus-
En el caso de que se produzca una interrupción del tratamiento, se espera una dependencia de MTO en rp en
general, porque las densidades de los GCs tidally limitados disminuyen
con aumento de rp. Por lo tanto, los modelos en estas líneas que como
sume la distribución orbital de un sistema GC para ser el mismo
en todos los radios en una galaxia (es decir, que el promedio de tiempo de los ra-
tio rgc/rp es independiente de la posición)
cultivo en la contabilidad de la débil o no correlación observada
entre el MTO y el presente rgc en galaxias grandes. Esto es partic...
ulularmente un problema si se asume que el GCMF inicial era un
ley de poder puro, con el mismo índice en las masas arbitrariamente altas
como bajo (por ejemplo, Baumgardt 1998; Vesperini 2001). Es poten-
menos preocupante si dN/d log M comenzó como Schechter
función con un corte exponencial en masas M > Mc, como
hemos asumido, desde entonces, la existencia de un alto estricto
MTO unido ≤ Mc (§2.2) significa que la dependencia de un
MTO evolucionada por evaporación en rp y rgc debe saturarse para pequeñas
suficientes radios galactocéntricos (densidades de GC lo suficientemente altas). Incluso
así, los modelos “libres de escala” de FZ01, en el que Mc 10
y todos los GCs en una Vía Láctea-como el potencial de la galaxia tienen el
el mismo promedio de tiempo rgc/rp, todavía predice un gradiente en MTO ver-
Sus rgc que es más fuerte de lo observado.
FZ01 demostró que, si dejaban todas sus otras suposiciones
sin cambios, a continuación, una dependencia de la masa máxima del GCMF en rgc
podría ser borrado efectivamente por un radial adecuadamente variable
anisotropía de velocidad en el sistema GC inicial. Por lo tanto, en su
“Eddington” modela la excentricidad de un clúster típico o...
bit aumenta con la distancia galactocéntrica (el promedio de tiempo de
rgc/rp aumenta con el radio), de tal manera que los globulares se diseminan sobre
una gama más amplia de rgc actuales puede tener rp y
ciated MTO. Sin embargo, el gradiente inicial de velocidad-anisotropía
los datos requeridos para adaptarse específicamente a la Vía Láctea GCMF
marginalmente consistente con la cinemática observada del CG
sistema (por ejemplo, Dinescu, Girard, & van Altena 1999)13.
Quently, Vesperini et al. (2003) construidas de manera similar en términos generales
modelos para el GCMF del Virgo elíptico M87 y con-
ocluyó que allí, también, una anisotropía de velocidad radial variable es
necesario para que coincida con el MTO observado versus rgc; pero el modelo
anisotropía perfil en este caso es claramente inconsistente con el
distribución de velocidad verdadera del sistema GC, que se observa
ser isotrópico a gran rgc (Romanowsky y Kochanek
2001; Côté y otros 2001).
Estos resultados sugieren sin duda que falta algún elemento
en los modelos GCMF orientados a la rgc desarrollados como se ha indicado anteriormente.
Pero no significan que la culpa esté en el hipoteto principal.
esis, que la diferencia entre las funciones de masa de los jóvenes
clusters y viejos GCs se debe a los efectos de la lenta, relajación-
En este último caso, se produjo una perturbación provocada. Cualquier conclusión sobre
la anisotropía de velocidad depende de la totalidad de los pasos
conectar las densidades y posiciones de los clusters; y es possi-
ble que se produzcan cambios razonables en uno o más de estos
los modelos podrían ser compatibles con el
servía cinemáticas de GCs tanto en la Vía Láctea como en el M87,
sin abandonar una imagen física básica de la evaporación-
la evolución dominada por el GCMF, que de otro modo es un éxito
Una cuestión es que los modelos anteriores siempre han especificado
las tasas de evaporación a priori como funciones de densidad de racimo (o
pericentro bital), normalmente normalizando μev para que tdis/trh 20–
40 como en los tratamientos estándar de relajación de dos cuerpos. ¿Cómo...?
siempre, después de nuestra discusión en §3.1 y §3.2, parecería
vale la pena investigar estos modelos con μev aumentado en
fijas para permitir tdis/trh 10 (si β 2 para la masa baja)
parte de la ley-poder de la GCMF inicial).
FZ01 y Vesperini et al. (2003) ambos consideran la velocidad des-
Atribuciones parametrizadas por un radio de anisotropía galactocéntrica,
RA, dentro de la cual un sistema de clúster es esencialmente isotrópico
y más allá de la cual está cada vez más dominada por radiales o
13 El hecho de que los cúmulos en órbitas radiales se interrumpan preferentemente disminuye
cualquier inconsistencia entre la anisotropía radial requerida en la
distribución y limitaciones observacionales en la distribución de la velocidad actual
tion.
16 McLAUGHLIN & FALL
partes. En estos términos, la dificultad con los modelos publicados
es que, para reproducir la insensibilidad observada de MTO a rgc
una normalización estándar de μev, que requieren valores de
AR que son menores de lo permitido por las observaciones (especialmente
para M87). Aumentar la RA a valores más realistas, manteniendo
La normalización de la μev fija lleva a un robustecimiento de la
dient in MTO: las órbitas de los GCs en rgc pequeño. AR permanece
estrechamente isotrópico y el típico rp y MTO son esencialmente
sin cambios, mientras que a grandes distancias galactocéntricas la clus-
las órbitas ter son, por término medio, menos radiales que antes, con
rp, densidades más bajas, y menor evolución de MTO para un rgc dado.
Este efecto se ilustra, por ejemplo, en la Figura 9 de la FZ01.
Sin embargo, puede compensarse al menos en parte por el aumento de
ing μev por un factor común para todos los CG, con el nuevo, más grande
RA fijo, si se supone que la función de masa inicial ha sido
una función Schechter en lugar de una ley de poder pura extender-
, a las masas arbitrariamente altas. Una tasa de evaporación más rápida
entonces conducirá a un (aproximadamente) aumento proporcional de la
la masa máxima de GCMF evolucionada para los CG con
sidades, es decir, las grandes rgc y rp; pero el aumento de los OTM
será más pequeño, y con el tiempo incluso insignificante, para
de densidad en rgc progresivamente más pequeños—de nuevo porque
El MTO crece menos que linealmente con μev
h cuando hay
un límite superior MTO < Mc debido a un corte exponencial en el
inicial dN/d log M0. Por lo tanto, el efecto cualitativo de aumentar
la normalización de μev en modelos con CG radialmente variable
la anisotropía de velocidad es debilitar la cantidad de órbita radial
sesgo requerido para adaptarse a un MTO observado frente a rgc.
Otro punto, enfatizado por FZ01, tiene que ver con el
Suposición inicial estándar de que los GCs orbitan en galaxias que
son perfectamente estáticas y esféricas. En realidad, las galaxias crecen
jerárquicamente. En este caso, incluso si los valores de μev no son
cambiado, gran parte de la carga para el debilitamiento o borrado de
cualquier gradientes iniciales en MTO frente a rgc puede ser transferido desde
velocidad anisotropía a la evolución dependiente del tiempo de la
Las galaxias mismas. Relajación violenta, fusiones importantes, y
eventos de acreción más pequeños todo el trabajo para mover los clusters entre
diferentes partes de galaxias y entre diferentes progenitores,
scrambling y combinación de cualquier número de pericentro–densidad–
Relaciones de MTO. Cualquier dependencia de la posición en el CG
y en el MTO mismo para la galaxia final son por lo tanto
de ser más débil, más disperso y más difícil de re-
tarde con precisión a una distribución de velocidad de clúster que en el
caso de un potencial monolítico, no evolutivo. Permitiendo
un potencial de galaxias no esféricas tendría cualitativamente el
el mismo efecto, porque en este caso cada clúster explora un rango
de pericentros y diferentes campos máximos de mareas en cada uno de los
sus órbitas.
En esta situación, puede ser importante preguntar cómo evapora-
ciones pueden ser aproximadamente constantes en el tiempo, de modo que
las masas de racimo todavía disminuyen aproximadamente linealmente con t como
nuestros modelos asumen—si el campo de marea alrededor de un GC dado
cambios significativos a lo largo del tiempo. Por lo tanto, considere primero un sistema
Tem de GCs en un solo potencial estático de galaxias. La masa...
curva de evolución para cada clúster es aproximadamente una recta
línea, M(t) M0 evt, con μev dependiendo de alguna medida
de densidad interna, que puede ser
h,
t, o
t. El av-
curva de evolución de masas para todo el sistema de clusters
es también aproximadamente lineal, M(t) M0Ã3 − evÃ3t. Si ahora
una fusión u otro acontecimiento que reorganice los cúmulos de la galaxia,
entonces después del evento las tasas de pérdida masiva de algunos clusters
ser más altos que antes y las tasas de otros clusters serán
más bajo que antes. Sin embargo, si la densidad media de la galaxia
como un todo es más o menos lo mismo después del evento que antes, entonces
así también será el promedio de las densidades de GC, debido a
limitación de las mareas. El promedio eva
h â € (digamos) va a diferir
incluso menos entre los sistemas previos y posteriores a la fusión. Por lo tanto, al-
aunque utilizando densidades instantáneas para estimar el pasado μev
de clusters individuales pueden errar en la parte alta para algunos clus-
ters y en el lado bajo para otros, estos errores serán promedio
hasta un sesgo neto pequeño o incluso cero. La aproximación
μev constante en el tiempo en nuestros modelos GCMF entonces todavía será
válida en la media, y la media de la dependencia de suf-
El gran número de cúmulos seguirá siendo aproximadamente lineal.
Cabe esperar que este tipo de hipótesis se refiera, como mínimo, a:
a galaxias que evolucionan en el plano fundamental, ya que
implica una conexión entre el total (bariónico más oscuro)
masas y velocidades circulares de las galaxias, de la forma Mgal V
o Mgal V
c. Por el teorema virial, las densidades medias
escala como?gal? V
2, y por lo tanto.......................................................................................................................................
gal o.gal............................................................................................................................................................................................................................................................
Chica.
En la medida en que hár à r à galo para los GCs, el sistema de av-
# Erage # # # # # # # # Erage # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Erage # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
h. Por lo tanto, no debe cambiar drásticamente
incluso después de una gran fusión entre dos planos fundamentales
galaxias; a lo sumo, la relación de final a inicial evará será
aproximadamente de orden la potencia −1/4 de la relación de final a ini-
Tial Mgal. Tenga en cuenta que esta línea de razonamiento está estrechamente relacionada con
que fue aplicado por FZ01 para explicar la pequeña galaxia observada-
a-galaxia diferencias en las masas medias de volumen de negocios de la totalidad
Los sistemas GC (aunque existen diferencias no nulas, y pueden
ser acomodado en este tipo de argumentos; véase Jordán et al.
2006, 2007).
Una exploración completa de cuestiones como estas, sobre el amplio
gama de ingredientes en los modelos actuales GC-plus-galaxy,
lo más probable es que requieran grandes simulaciones de cuerpo-N en un conjunto realista,
cosmología fría de la materia oscura. Hasta que se puedan llevar a cabo,
es nuestra opinión que la cinemática de los sistemas de cúmulos globulares
no puede ser utilizado como restricciones laterales decisivas en las teorías para el
GCMF.
4. CONCLUSIONES
Hemos demostrado que la función de masa dN/d log M de glob-
Los cúmulos de la Vía Láctea dependen significativamente de
densidad ter de media masa,?h, con el pico o la masa de volumen de negocios MTO
aumento y disminución de la anchura de la distribución como?h
incrementos. Este comportamiento se espera si el GCMF inicialmente
aumentó hacia las masas por debajo de la actual escala de volumen de negocios, como el
funciones de masa de los sistemas de clúster jóvenes como ese en la An-
las galaxias tennae lo hacen, y ha evolucionado a su forma actual a través de
el lento agotamiento de los cúmulos de baja masa a lo largo de los plazos de Gyr,
principalmente a través de la evaporación impulsada por la relajación. El hecho de que
MTO aumenta con la densidad de racimo favorece la evaporación
choques gravitacionales externos como el mecanismo principal de
de baja masa, ya que las tasas de pérdida de masa asso-
ciadas con choques dependen inversamente de la densidad de los clusters y
directamente en masa de racimo. Nuestros resultados, por lo tanto, se suman a previ-
en apoyo de una interpretación del GCMF en
los términos de la evolución dominada por la evaporación, basados en el hecho
que dN/d log M escalas como M1 con β 0 en la masa baja
límite (Fall & Zhang 2001).
El GCMF observado en función de la h se ajusta bien
por modelos simples en los que la distribución inicial fue
a Función Schechter, dN/d log M0
0 exp
−M0/Mc
con β = 2 y Mc 10
6 millones de euros asumidos, y en los que los grupos
han estado perdiendo masa durante un tiempo Hubble en aproximadamente constante
las tasas que pueden estimarse a partir de su
COMPARTIR EL CGMF POR EVAPORACIÓN 17
sidades como μev
h. Hemos demostrado que, aunque este pre-
La inscripción es aproximada, captura la principal dependencia física.
dence de la evaporación impulsada por la relajación. En particular, lleva a cabo
a los modelos GCMF que sean totalmente coherentes con los re-
sulfatación a partir de caracterizaciones alternativas de las tasas de evaporación
en términos de densidades de mareas en racimo o densidades de superficie medias
(§3.2). La normalización de μev a una determinada hora (o t, o t)
requerido para adaptarse a la GCMF implica la duración total de los clústeres que
están dentro del rango de las vidas típicamente obtenidas en teoret-
estudios de relajación de dos cuerpos, aunque nuestros valores pueden
ser ligeramente más cortos que los teóricos si la masa baja,
power-law parte de la función inicial de masa de racimo fue tan empinada
como hemos supuesto.
Toma de clusters en varios cubos de concentración central c
y el radio Galactocéntrico rgc y utilizando su (individual) ob-
Densidades servidas como entrada directa a nuestros modelos produce dinam-
las funciones de c y rgc que están de acuerdo
bien con todos los datos. Esto otra vez indica que la más divertida...
la dependencia física mental en el GCMF es que en clus-
densidad superior. Además, nuestros modelos para dN/d log M versus
rgc obtenida de esta manera son coherentes, en particular, con el
bien conocida insensibilidad de la masa máxima del GCMF a Galac-
posición tocéntrica. Esto se ve a continuación de un significativo
variación de la MTO con?h (o?t, o?t)—debido en nuestro análisis
a la evaporación dominada por la perturbación de los clústeres, combinada con
dispersión sustancial en las densidades de GC en cualquier Galactocéntrico
posición.
No hemos invocado una distribución anisotrópica de la velocidad GC.
para explicar la débil variación observada de los OTM con rgc;
De hecho, no hemos hecho predicciones ni suposiciones
sobre la anisotropía de velocidad. Hemos subrayado que,
cuando la anisotropía de velocidad entra en otras dinámicas a largo plazo
modelos de evolución para el GCMF, es sólo en conjunción con
varias hipótesis adicionales interrelacionadas formuladas como parte de
mayores esfuerzos para derivar las relaciones de densidad teórica-rgc para
GCs—que no hemos intentado hacer aquí. El aparato...
la necesidad en algunos modelos actuales de un fuerte sesgo hacia
órbitas de cúmulo de alta excentricidad para explicar la casi constante
de MTO frente a rgc bien podría evitarse cambiando uno o
más suposiciones accesorias en los modelos, sin tener que
descartar la idea subyacente de que el pico y la forma de baja masa
de la GCMF son el resultado de la relajación impulsado por el clúster dis-
Ruptura.
Es evidente que será de interés probar y afinar las principales
ideas en este artículo a través de la modelización de los GCMF en otros
galaxias. Por el momento, por lo menos, al hacerlo, se re-
la estimación de las tasas aproximadas de pérdida de masa utilizando
densidades de media masa de racimo en lugar de cantidades de mareas, sim-
ply porque los radios semiligeros GC se pueden medir con precisión
en muchos sistemas más allá del grupo local, mientras que las mareas
Los radios son mucho más dependientes de los modelos y difíciles de
Servir. Chandar, Fall, & McLaughlin (2007) han
muestra que la masa máxima del GCMF en el Sombrero
galaxia (M104) se incrementa con?h de una manera que es razonable
bien descrito por sumas de funciones evolucionadas Schechter (1976)
como en los modelos presentados en este trabajo. Debería ser rela-
muy sencillo para realizar estudios similares en otros lugares cercanos
galaxias.
Agradecemos a Michele Trenti, Douglas Heggie, Bill Harris, Ru-
pali Chandar, y Bruce Elmegreen para discusiones útiles
y comentarios. SMF reconoce el apoyo de la
Brose Monell Foundation y de la NASA beca AR-09539.1-
A, premiado por el Instituto de Ciencias del Telescopio Espacial, que es
operado por AURA, Inc., en virtud del contrato NAS5-2655 de la NASA.
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http://arxiv.org/abs/astro-ph/0608069
|
704.0081 | Quantum Deformations of Relativistic Symmetries | Deformaciones cuánticas de las asimetrías relativistas*
V.N. Tolstoi†
Instituto de Física Nuclear, Universidad Estatal de Moscú,
119 992 Moscú, Rusia; correo electrónico: tolstoy@nucl-th.sinp.msu.ru
Resumen
Discutimos deformaciones cuánticas de D = 4 álgebras de Lorentz y Poincaré. In
el caso de Poincaré álgebra se muestra que casi todas las matrices r clásicas de S. Za-
clasificación krzewski corresponden a deformaciones retorcidas de Abelian y jordano
tipos. Una parte de los giros correspondientes a las matrices r de la clasificación Zakrzewski
se dan en forma explícita.
1 Introducción
Las deformaciones cuánticas de las simetrías relativistas son descritas por Hopf-algebraic
deformaciones de álgebras de Lorentz y Poincaré. Tales deformaciones cuánticas son clasificadas
por Lorentz y Poincaré Poisson estructuras. Estas estructuras Poisson dadas por el clásico
Las matrices r ya fueron clasificadas hace algún tiempo por S. Zakrzewski en [1] para los Lorentz
álgebra y en [2] para el álgebra de Poincaré. En el caso del álgebra de Lorentz una completa
lista de matrices r clásicas implica las cuatro fórmulas independientes y la correspondiente
Las deformaciones cuánticas en diferentes formas ya fueron discutidas en la literatura (ver [3, 4, 5,
6, 7]). En el caso de Poincaré álgebra la lista total de las matrices r clásicas, que satisfacen
la ecuación clásica homogénea Yang-Baxter, consiste en 20 casos que tienen varios
números de parámetros libres. El análisis de estas veinte soluciones muestra que cada una de ellas
puede ser presentado como una suma de r-Matrices subordinadas que casi todos son de Abelian
y tipos jordanos. Una parte de los giros correspondientes a las matrices r de Zakrzewski
La clasificación se da en forma explícita.
2 Preliminares
Que r sea una r-matriz clásica de un Lie álgebra g, es decir. r â € € TM
G y r satisface a la clásica
Ecuación Yang-Baxter (CYBE)
[r12, r13 + r23] + [r13, r23] = , (2.1)
* Charla invitada en el XXII Simposio Max Born “Quantum, Super and Twistrors”, del 27 al 29 de septiembre,
2006 Wroclaw (Polonia), en honor de Jerzy Lukierski.
†Apoyado por las subvenciones RFBR-05-01-0101086 y FNRA NT05-241455GIPM.
http://arxiv.org/abs/0704.081v1
donde el elemento g-invariante es el elemento g, el elemento g-invariante es el elemento g-invariante, el elemento g-invariante es el elemento g-invariante, el elemento g-invariante es el elemento g-invariante, el elemento g-invariante es el elemento g-invariante.
g)g. Consideramos dos tipos de la clásica
R-Matrices y giros correspondientes.
Que la r-matriz clásica r = rA tenga la forma
xi Ł yi, (2.2)
donde todos los elementos xi, yi (i = 1,..., n) se desplazan entre sí. Tal r-matriz es
llamada de tipo Abelian. El giro correspondiente se da de la siguiente manera:
= exp
= exp
xi Ł yi
. 2.3)
Este torcer dos-tensor F := Fr
satisface la ecuación del cociclo
F 12( id)(F) = F 23(id)(F), (2.4)
y la condición de normalización “unitaria”
( id)(F ) = (id)(F ) = 1. (2.5)
El elemento de torsión F define una deformación del álgebra envolvente universal U(g)
considerado como un álgebra Hopf. El nuevo coproducto deformado y el antipodo se dan como
a continuación
•(F)(a) = F•(a)F−1, S(F)(a) = uS(a)u−1 (2.6)
para cualquier U(g), en el que •(a) sea un coproducto antes de torcer, y u =
i S(f)
i ) si
Deje que la r-matriz clásica r = rJ() tenga la forma
rJ() =
x/ y/o y/o
, (2.7)
cuando los elementos x/, y/ ( v = 0, 1,.............................................................................................................................................................
[x0, y0] = y0, [x0, xi] = (1− ti)xi, [x0, yi] = tiyi,
[xi, yj] = Łijy0, [xi, xj] = [yi, yj] = 0, [y0, xj] = [y0, yj] = 0,
(2.8)
(i, j = 1,..., n), (ti • C). Tal r-matriz se llama de tipo jordano. Los correspondientes
twist se da como sigue [8, 9]
= exp
xi yi e
−2ti
exp(2x0 ), (2.9)
1Aquí entrar en el parámetro deformación es una cuestión de conveniencia.
2Es fácil verificar que el dos-tensor (2.7) satisface de hecho el clásico homogéneo Yang-Baxter
ecuation (2.1) (con ♥ = 0), si los elementos x v, y v (v = 0, 1,..., n) están sujetos a las relaciones (2.8).
en los que := 1
ln(1 + y0).
Que r sea una r-matriz arbitraria de g. Denotamos un soporte de r por Sup(r)4. Los
la siguiente definición es útil.
Definición 2.1 Que r1 y r2 sean dos matrices r clásicas arbitrarias. Nosotros decimos que r2 es
subordinado a r1, r1 r2, si فارسىr1(Sup(r2)) = 0, es decir,
(x) := [x 1 + 1 x, r1] = 0, (2.10)
Si r1 r2 entonces r = r1 + r2 es también una matriz r clásica (véase [15]). La subordinación
nos permite construir una secuencia correcta de cuantificaciones. Por ejemplo, si la r-matriz
de tipo jordano (2.7) está subordinado a la matriz r de tipo abeliano (2.2), rA rJ,
entonces el giro total correspondiente a la r-matriz resultante r = rA+ rJ se da como sigue
Fr = Fr
. (2.11)
La definición ulterior también es útil.
Definición 2.2 Un álgebra de álgebra de Hopf de torsión de dos tensores, que cumple las condiciones
(2.4) y (2.5), se llama localmente r-simétrica si la expansión de Fr() en los poderes de la
deformación del parámetro • tiene la forma
Fr() = 1 + c r + O()
2). .. (2.12)
donde r es una r-matriz clásica, y c es un coeficiente numérico, c 6= 0.
Es evidente que el giro Abeliano (2.3) es globalmente r-simétrico y el giro de Jordania
tipo (2.9) no satisface la relación (2.12), es decir, no es localmente r-simétrico.
3 Deformaciones cuánticas del álgebra de Lorentz
Los resultados de esta sección en diferentes formas ya fueron discutidos en la literatura (ver
[3, 4, 5, 6, 7]).
La base canónica clásica del álgebra de D = 4 Lorentz, o(3, 1), se puede describir
por seis generadores antihermitanos (h, e±, h
′, e) que cumplan los requisitos siguientes:
relaciones de conmutación5:
[h, e±] = ±e±, [e+, e−] = 2h, (3.1)
[h, e] = ±e
±, [h
′, e±] = ±e
±, [e±, e
] = ±2h
′, (3.2)
[h′, e] = e±, [e
−] = −2h, (3.3)
y además
x* = −x ( > x > o(3, 1)). (3.4)
3Los giros correspondientes para Lie álgebras sl(n), so(n) y sp(2n) fueron construidos en primer lugar en el
documentos [10, 11, 12, 13].
4El soporte Sup(r) es una subalgebra de g generada por los elementos {xi, yi} si r =
xi. Yi.
5Puesto que el verdadero álgebra de Lie o(3, 1) es la realización estándar de la compleja Lie sl(2,C) estas relaciones
son fáciles de obtener de las relaciones de definición para sl(2,C), es decir. de (3.1).
Una lista completa de matrices r clásicas que describen todas las estructuras de Poisson y generan
Las deformaciones cuánticas para o(3, 1) implican las cuatro fórmulas independientes [1]:
r1 = α e+ h, (3.5)
r2 = α (e+ فارسى h− e
+ h
′) + 2β e e+, (3.6)
r3 = α (e
+ • e− + e+ • e
−) + β (e+ • e− − e
+ e
-) - 2γ h - h
′, (3.7)
r4 = α
e e− + e+ e
− − 2h
± e+ فارسى e
+. (3.8)
Si las matrices R universales de las deformaciones cuánticas correspondientes a la clásica
r-Matrices (3.5)–(3.8) son unitarias entonces estas r-Matrices son anti-Hermitanos, es decir.
r*j = −rj (j = 1, 2, 3, 4). (3.9)
Por lo tanto, la operación ∗ (3.4) debe elevarse al producto tensor o(3, 1) o(3, 1).
Hay dos variantes de este levantamiento: directo y volteado, a saber,
(x y)* = x* y* (* − directo), (3.10)
(x y)* = y* x* (* − volteado). (3.11)
Vemos que si el levantamiento “directo” de la operación ∗ (3.4) se utiliza entonces todos los parámetros en
(3.5)–(3.8) son puramente imaginarios. En el caso de la elevación “flojada” (3.11) todos los parámetros
en (3.5)–(3.8) son reales.
Las dos primeras matrices r (3.5) y (3.6) satisfacen el CYBE homogéneo y son
de tipo jordano. Si asumimos (3.10), las deformaciones cuánticas correspondientes fueron
descrito en detalle en el documento [6] y son enteros definidos por el giro de Jordania
tipo:
= exp (h
ln(1 + αe+) (3.12)
para la matriz r (3.5), y
= exp
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
exp (h − h′ ♥), (3.13)
(1 + αe+)
2+ (αe)
, = arctan
1 + αe+
(3.14)
para la matriz r (3.6). Hay que recordar que los giros (3.12) y (3.13) no son
localmente r-simétrico. Se obtuvo un giro localmente r-simétrico para la matriz r (3.5) en
[14] y tiene la siguiente fórmula complicada:
= exp
• (h)−
sinhαe+
ee++ eαe h
sinhαe+
(e+)
sinh(e+)
, (3.15)
donde es un coproducto primitivo.
Las dos últimas matrices r (3.7) y (3.8) satisfacen el CYBE no homogéneo (modificado)
y se pueden obtener fácilmente de las soluciones del álgebra compleja o(4,C)
sl(2,C)® sl(2,C) que describe la complejidad de o(3, 1). De hecho, vamos a presentar
la base compleja del álgebra de Lorentz (o(3, 1) sl(2;C) sl(2,C)) descrito por dos
Grupos móviles de generadores complejos:
(h + ıh′), E1± =
(e± + ıe
±), (3.16)
(h– ıh′), E2± =
(e± − ıe
±), (3.17)
que satisfacen las relaciones (comparar con (3.1))
[Hk, Ek±] = ±Ek±, [Ek+, Ek−] = 2Hk (k = 1, 2). (3.18)
La operación ∗ que describe la estructura real actúa sobre los generadoresHk, y Ek± (k = 1, 2)
del siguiente modo:
H*1 = −H2, E
1± = −E2±, H
2 = −H1, E
2± = −E1±. (3.19)
La r-matriz clásica r3, (3.7) y r4, (3.8), en términos de la base compleja (3.16), (3.17)
tomar la forma
r3 = r
1 + r
r′3 := 2(β + )E1+ E1− + 2(β − )E2+ E2−,
r′′3 := 4 H2 فارسىH1,
(3.20)
r4 = r
4 + r
r′4 := 2(E1+
r′′4 := 4E1 + E2+
(3.21)
Por el bien de la comodidad introducimos el parámetro 6o en r′′4. Cabe señalar que
r′3, r
3 y r
4 son ellos mismos r-Matrices clásicas. Vemos que la r-matriz r
3 es simplemente
una suma de dos matrices r estándar de sl(2;C), que cumplan la condición antihermitana
r* = −r. Analógicamente, no es difícil ver que la r-matriz r4 corresponde a un Belavin-
Drinfeld triple [15] para el Lie álgebra sl(2;C) sl(2,C)). De hecho, aplicando el Cartan
automorfismo E2± → E2, H2 → −H2 vemos que esto es realmente correcto (véase también [16]).
Primero describimos la deformación cuántica correspondiente a la r-matriz clásica r3
(3.20). Puesto que la r-matriz r′′3 es Abeliano y está subordinado a r
3 por lo tanto el álgebra
o(3, 1) se cuantifica en primer lugar en la dirección r′3 y luego un giro Abeliano correspondiente
a la r-matriz r′′3 se aplica. Presentamos las anotaciones complejas z± := β ±. Lo siento.
debe tenerse en cuenta que z− = z
+ si los parámetros α y β son reales, y z− = −z
los parámetros α y β son imaginarios puros. De la estructura de la r-matriz clásica r′3
se deduce que una deformación cuántica Ur′
(o(3, 1)) es una combinación de dos q-analógicos de
U(sl(2;C)) con el parámetro qz
y qz
, donde qz
:= exp z±. Por lo tanto Ur′3(o(3, 1))
(sl(2;C))Uq
(sl(2;C)) y los generadores estándar q±H1z
, E1± y q
, E2± satisfacer
6Podemos reducir este parámetro a a ± 1
por automorfismo de o(4,C).
las siguientes relaciones de definición no evasivas
qH1z+ E1± = q
E1± q
, [E1+, E1−] =
q2H1z+ − q
qz+ − q
, (3.22)
qH2z− E2± = q
E2± q
, [E2+, E2−] =
q2H2z− − q
qz− − q
. (3.23)
En este caso, el coproducto.................................................................................................................................................
y antipodio Sr′
para los generadores q±H1z
, E1± y q
E2± puede ser dado por las fórmulas:
(q±H1z+ ) = q
q±H1z+, Łr′1
(E1±) = E1± q
+ q−H1z+ E1±, (3.24)
(q±H2z− ) = q
q±H2z−, Łr′1
(E2±) = E2± q
+ q−H2z− E2±, (3.25)
(q±H1z+ ) = q
, Sr′
(E1±) = −q
E1±, (3.26)
(q±H2z
) = qH2z−, Sr′1
(E2±) = −q
E2±. (3.27)
El ∗-involución que describe la estructura real en los generadores (3.8) se puede adaptar a
los generadores cuánticos de la siguiente manera:
(q±H1z+ )
* = qH2
, E*1± = −E2±, (q
)* = qH1
, E*2± = −E1±, (3.28)
y hay salida dos ∗-liftings: directo y volteado, a saber,
(a b)* = a* b* (* − directo), (3.29)
(a b)* = b* a* (* − volteado) (3.30)
para cualquier a b Ur′
(o(3, 1)) Ur′
(o(3, 1)), donde la involución ∗-directa corresponde a
el caso de los parámetros imaginarios puros α, β y la involución ∗-flancada corresponde
al caso de los parámetros de deformación reales α, β. Hay que subrayar que el Hopf
estructura en Ur′
(o(3, 1)) cumplen las condiciones de consistencia con arreglo a la ∗-involución
a*) = (r′
a)*, Sr′
((Sr′
(a*)*) = a
(o(3, 1)). (3.31)
Ahora consideramos la deformación del álgebra cuántica Ur′
(o(3, 1)) (cuan-
tización de U(o(3, 1)) correspondiente a la r-matriz adicional r′′3, (3.20). Desde el
Los generadores H1 y H2 tienen el coproducto trivial
(Hk) = Hk 1 + 1Hk (k = 1, 2), (3.32)
por lo tanto el dos-tensor unitario
:= qH1•H2 (F
= F−1
) (3.33)
satisface la condición de cociclo (2.4) y la condición de normalización “unitaria” (2.5). Por lo tanto
la deformación completa correspondiente a la r-matriz r3 es la deformación retorcida de
(o(3, 1)), es decir, el coproducto resultante
se presenta como sigue:
(x) = Fr′′
x)F−1
(lx Ur′
(o(3, 1)). (3.34)
y en este caso el antipode resultante Sr
no cambia, Sr.
. Aplicando el
torciendo dos-tensor (3.33) a las fórmulas (3.24) y (3.25) obtenemos
(q±H1z+ ) = q
q±H1z+, Łr′1(q
) = q±H2z− q
, (3.35)
(E1+) = E1+ q
qH2 + q
q−H2 E1+, (3.36)
(E1−) = E1− q
q−H2 + q
qH2 E1−, (3.37)
(E2+) = E2+ q
q−H1 + q
qH1 E2+, (3.38)
(E2−) = E2− q
qH1 + q
q−H1 E2−. (3.39)
A continuación, describimos la deformación cuántica correspondiente a la r-matriz clásica r4
(3.21). Desde la r-matriz r′4(α) := r
4 es un caso particular de r3(α, β, γ):= r3, a saber:
r′4(α) = r3(α, β = 0, γ = α), por lo tanto una deformación cuántica correspondiente a la r-
matriz r′4 se obtiene del caso anterior mediante el ajuste β = 0, γ = α, y tenemos la
a partir de las fórmulas siguientes para los coproductos
) = q
(k = 1, 2), (3.40)
(E1+) = E1+ q
H1+H2
+ q−H1−H2
E1+, (3.41)
(E1−) = E1− q
H1−H2
+ q−H1+H2
E1−, (3.42)
(E2+) = E2+ q
−H1−H2
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # q #
H1+H2
E2+, (3.43)
(E2−) = E2− q
H1−H2
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # q #
−H1+H2
E2−, (3.44)
donde establecemos :=.
Considere el dos-tensor
:= exp
E1+q
H1+H2
E2+q
H1+H2
. (3.45)
Usar propiedades de q-exponenciales (ver [17]) no es difícil verificar que Fr′′
Cumple la co-
ecuación de ciclo (2.4). Así, la cuantificación correspondiente a la r-matriz r4 es la torcida
q-deformación Ur′
(o(3, 1)). Fórmulas explícitas de los coproductos
(·) = F
·)F−1
y antípodas Sr4(·) en las bases complejas y reales de Cartan-Weyl de Ur′4(o(3, 1)) será
presentado en el documento saliente [7].
4 Deformaciones cuánticas del álgebra de Poincare
El álgebra de Poincaré P(3, 1) del espacio-tiempo de 4 dimensiones es generado por 10 elementos:
el álgebra de Lorentz de seis dimensiones o(3, 1) con los generadores Mi, Ni (i = 1, 2, 3):
[Mi, Mj] = ijk Mk, [Mi, Nj] = ijk Nk, [Ni, Nj] = ijk Mk, (4.1)
y el cuatro-momenta Pj, P0 (j = 1, 2, 3) con las relaciones de conmutación estándar:
[Mj, Pk] = jkl Pl, [Mj, P0] = 0, (4.2)
[Nj, Pk] = jk P0, [Nj, P0] = Pj. (4.3)
Los generadores físicos del álgebra de Lorentz, Mi, Ni (i = 1, 2, 3), están relacionados con el
Base canónica h, h′, e±, e
± como se indica a continuación
h = ıN3, e± = ı(N1 ± M2), (4.4)
h′ = M3, e
± = ı(±N2 −M1). (4.5)
El subalgebra generado por el cuatro-momenta Pj, P0 (j = 1, 2, 3) será denotado por P
y también establecemos P± := P0 ± P3.
S. Zakrzewski ha demostrado en [2] que cada r-matriz clásica, r • P(3, 1) • P(3, 1), tiene
una descomposición
r = a+ b+ c, (4.6)
en los que a) P) P), b) o) 3, 1) P), c) o) 3, 1) • o) 3, 1) satisfacen las siguientes relaciones:
[[c, c]] = 0, (4,7)
[[b, c]] = 0, (4.8)
2[[a, c]] + [[b, b]] = t
[[a, b]] = 0. (4.10)
Aquí [[·, ·]] significa el soporte Schouten. Por otra parte una lista total de las matrices r clásicas
Para el caso c 6= 0 y también para el caso c = 0, se encontró t = 0.7 Se demostró que
hay quince soluciones para el caso c = 0, t = 0, y seis soluciones para el caso c 6 = 0
donde sólo hay una solución para t 6= 0. Así Zakrzewski encontró veinte R-Matrices que
satisfacer la ecuación clásica homogénea Yang-Baxter (t = 0 en (4,9). Análisis de los mismos
veinte soluciones muestran que cada una de ellas puede presentarse como una suma de r-
matrices que casi todas son de tipo abeliano y jordano. Por lo tanto estas R-Matrices
corresponden a deformaciones retorcidas del álgebra de Poincaré P(3, 1). Te presentamos aquí.
r-Matrices sólo para el caso c 6= 0, t = 0:
r1 = γh
′ h+ α(P+ P− − P1 فارسى P2), (4.11)
r2 = γe
+ • e+ + β1(e+ • P1 − e
+ P2 + h P+) + β2h
′ P+, (4.12)
r3 = γe
+ • e+ + β(e+ • P1 − e
+ P2 + h P+) + αP1 P+, (4.13)
r4 = γ(e)
+ e+ e+ e+ P1+ e
+ (α1P1+ α2P2), (4.14)
r5 = γ1(h فارسى e+ − h
′ E) + γ2e+ e
+. (4.15)
La primera r-matriz r1 es una suma de dos matrices subordinadas Abelian r-matrices
r1 := r
1 + r
1, r
1 r
r′1 = α(P+ فارسى P− − P1 فارسى P2), r
1 := γh
′ Ł h.
(4.16)
Por lo tanto el giro total que define la cuantificación en la dirección a esta r-matriz es el
pedido de dos twits Abelian
= Fr′′
= exp
γh′ h
α(P+ • P− − P1 • P2)
. (4.17)
7La clasificación de las matrices r para el caso c = 0, t 6 = 0 es un problema abierto hasta ahora.
La segunda matriz r2 es una suma de tres matrices r subordinadas donde dos de ellas
son de tipo abeliano y uno es de tipo jordano
r2 := r
3 + r
2 + r
2, r
2 r
2 r
r′2 := β1(e+ فارسى P1 − e
+ P2 + h P+),
r′′2 := γe
+ e+, r
2 := β2h
′ P+....................................................................................
(4.18)
El giro correspondiente está dado por las siguientes fórmulas:
= Fr.............................................................................................................
, (4.19)
donde
= exp
β1(e+ P1 − e
+ P2)
exp(2h ),
= exp(γe فارسى e+), Fró2 = exp(β2h
′ ).
(4.20)
Aquí y abajo establecemos :=
ln(1 + β1P+).
La tercera matriz r3 es una suma de dos matrices r subordinadas donde una es de Abelian
tipo y otro es una r-matriz más complicada que llamamos mixto jordano-abeliano
r3 := r
3 + r
3, r
3 r
r′3 := β1(e+ فارسى P1 − e
+ P2 + h P+) + αP1 P+,
r′′3 := γe
+ e+.
(4.21)
El giro correspondiente está dado por las siguientes fórmulas:
= Fr′′
, (4.22)
donde
= exp
β1(e+ P1 − e
+ P2)
exp(αP1 ) exp(2h ),
= exp(γe فارسى e+).
(4.23)
La cuarta matriz r4 es una suma de dos matrices r subordinadas de tipo Abeliano
r4 := r
4 + r
4, r
4 r
r′4 := P+ فارسى (α1P1 + P2),
r′′4 := γ(e
+ − P1) (e+ + P2).
(4.24)
El giro correspondiente está dado por las siguientes fórmulas:
= Fr′′
, (4.25)
donde
= exp
(P+ (α1P1 + α2P2)
= exp
γ(e − P1) (e+ + P2)
(4.26)
La quinta r-matriz r5 es la r-matriz del álgebra de Lorentz, (3.6), y la correspondencia-
ing twist es dado por la fórmula (3.13).
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arXiv:hep-th/0604146
http://xxx.lanl.gov/abs/math.QA/0402433
http://xxx.lanl.gov/abs/math.QA/0701079
Introducción
Preliminares
Deformaciones cuánticas del álgebra de Lorentz
Deformaciones cuánticas del álgebra de Poincare
| Discutimos deformaciones cuánticas de D=4 Lorentz y álgebras de Poincare. In
el caso de Poincare álgebra se muestra que casi todas las matrices r clásicas
de la clasificación de S. Zakrzewski corresponden a deformaciones retorcidas de Abelian
y tipos jordanos. Una parte de los giros correspondientes a las matrices r de
La clasificación de Zakrzewski se da en forma explícita.
| Introducción
Las deformaciones cuánticas de las simetrías relativistas son descritas por Hopf-algebraic
deformaciones de álgebras de Lorentz y Poincaré. Tales deformaciones cuánticas son clasificadas
por Lorentz y Poincaré Poisson estructuras. Estas estructuras Poisson dadas por el clásico
Las matrices r ya fueron clasificadas hace algún tiempo por S. Zakrzewski en [1] para los Lorentz
álgebra y en [2] para el álgebra de Poincaré. En el caso del álgebra de Lorentz una completa
lista de matrices r clásicas implica las cuatro fórmulas independientes y la correspondiente
Las deformaciones cuánticas en diferentes formas ya fueron discutidas en la literatura (ver [3, 4, 5,
6, 7]). En el caso de Poincaré álgebra la lista total de las matrices r clásicas, que satisfacen
la ecuación clásica homogénea Yang-Baxter, consiste en 20 casos que tienen varios
números de parámetros libres. El análisis de estas veinte soluciones muestra que cada una de ellas
puede ser presentado como una suma de r-Matrices subordinadas que casi todos son de Abelian
y tipos jordanos. Una parte de los giros correspondientes a las matrices r de Zakrzewski
La clasificación se da en forma explícita.
2 Preliminares
Que r sea una r-matriz clásica de un Lie álgebra g, es decir. r â € € TM
G y r satisface a la clásica
Ecuación Yang-Baxter (CYBE)
[r12, r13 + r23] + [r13, r23] = , (2.1)
* Charla invitada en el XXII Simposio Max Born “Quantum, Super and Twistrors”, del 27 al 29 de septiembre,
2006 Wroclaw (Polonia), en honor de Jerzy Lukierski.
†Apoyado por las subvenciones RFBR-05-01-0101086 y FNRA NT05-241455GIPM.
http://arxiv.org/abs/0704.081v1
donde el elemento g-invariante es el elemento g, el elemento g-invariante es el elemento g-invariante, el elemento g-invariante es el elemento g-invariante, el elemento g-invariante es el elemento g-invariante, el elemento g-invariante es el elemento g-invariante.
g)g. Consideramos dos tipos de la clásica
R-Matrices y giros correspondientes.
Que la r-matriz clásica r = rA tenga la forma
xi Ł yi, (2.2)
donde todos los elementos xi, yi (i = 1,..., n) se desplazan entre sí. Tal r-matriz es
llamada de tipo Abelian. El giro correspondiente se da de la siguiente manera:
= exp
= exp
xi Ł yi
. 2.3)
Este torcer dos-tensor F := Fr
satisface la ecuación del cociclo
F 12( id)(F) = F 23(id)(F), (2.4)
y la condición de normalización “unitaria”
( id)(F ) = (id)(F ) = 1. (2.5)
El elemento de torsión F define una deformación del álgebra envolvente universal U(g)
considerado como un álgebra Hopf. El nuevo coproducto deformado y el antipodo se dan como
a continuación
•(F)(a) = F•(a)F−1, S(F)(a) = uS(a)u−1 (2.6)
para cualquier U(g), en el que •(a) sea un coproducto antes de torcer, y u =
i S(f)
i ) si
Deje que la r-matriz clásica r = rJ() tenga la forma
rJ() =
x/ y/o y/o
, (2.7)
cuando los elementos x/, y/ ( v = 0, 1,.............................................................................................................................................................
[x0, y0] = y0, [x0, xi] = (1− ti)xi, [x0, yi] = tiyi,
[xi, yj] = Łijy0, [xi, xj] = [yi, yj] = 0, [y0, xj] = [y0, yj] = 0,
(2.8)
(i, j = 1,..., n), (ti • C). Tal r-matriz se llama de tipo jordano. Los correspondientes
twist se da como sigue [8, 9]
= exp
xi yi e
−2ti
exp(2x0 ), (2.9)
1Aquí entrar en el parámetro deformación es una cuestión de conveniencia.
2Es fácil verificar que el dos-tensor (2.7) satisface de hecho el clásico homogéneo Yang-Baxter
ecuation (2.1) (con ♥ = 0), si los elementos x v, y v (v = 0, 1,..., n) están sujetos a las relaciones (2.8).
en los que := 1
ln(1 + y0).
Que r sea una r-matriz arbitraria de g. Denotamos un soporte de r por Sup(r)4. Los
la siguiente definición es útil.
Definición 2.1 Que r1 y r2 sean dos matrices r clásicas arbitrarias. Nosotros decimos que r2 es
subordinado a r1, r1 r2, si فارسىr1(Sup(r2)) = 0, es decir,
(x) := [x 1 + 1 x, r1] = 0, (2.10)
Si r1 r2 entonces r = r1 + r2 es también una matriz r clásica (véase [15]). La subordinación
nos permite construir una secuencia correcta de cuantificaciones. Por ejemplo, si la r-matriz
de tipo jordano (2.7) está subordinado a la matriz r de tipo abeliano (2.2), rA rJ,
entonces el giro total correspondiente a la r-matriz resultante r = rA+ rJ se da como sigue
Fr = Fr
. (2.11)
La definición ulterior también es útil.
Definición 2.2 Un álgebra de álgebra de Hopf de torsión de dos tensores, que cumple las condiciones
(2.4) y (2.5), se llama localmente r-simétrica si la expansión de Fr() en los poderes de la
deformación del parámetro • tiene la forma
Fr() = 1 + c r + O()
2). .. (2.12)
donde r es una r-matriz clásica, y c es un coeficiente numérico, c 6= 0.
Es evidente que el giro Abeliano (2.3) es globalmente r-simétrico y el giro de Jordania
tipo (2.9) no satisface la relación (2.12), es decir, no es localmente r-simétrico.
3 Deformaciones cuánticas del álgebra de Lorentz
Los resultados de esta sección en diferentes formas ya fueron discutidos en la literatura (ver
[3, 4, 5, 6, 7]).
La base canónica clásica del álgebra de D = 4 Lorentz, o(3, 1), se puede describir
por seis generadores antihermitanos (h, e±, h
′, e) que cumplan los requisitos siguientes:
relaciones de conmutación5:
[h, e±] = ±e±, [e+, e−] = 2h, (3.1)
[h, e] = ±e
±, [h
′, e±] = ±e
±, [e±, e
] = ±2h
′, (3.2)
[h′, e] = e±, [e
−] = −2h, (3.3)
y además
x* = −x ( > x > o(3, 1)). (3.4)
3Los giros correspondientes para Lie álgebras sl(n), so(n) y sp(2n) fueron construidos en primer lugar en el
documentos [10, 11, 12, 13].
4El soporte Sup(r) es una subalgebra de g generada por los elementos {xi, yi} si r =
xi. Yi.
5Puesto que el verdadero álgebra de Lie o(3, 1) es la realización estándar de la compleja Lie sl(2,C) estas relaciones
son fáciles de obtener de las relaciones de definición para sl(2,C), es decir. de (3.1).
Una lista completa de matrices r clásicas que describen todas las estructuras de Poisson y generan
Las deformaciones cuánticas para o(3, 1) implican las cuatro fórmulas independientes [1]:
r1 = α e+ h, (3.5)
r2 = α (e+ فارسى h− e
+ h
′) + 2β e e+, (3.6)
r3 = α (e
+ • e− + e+ • e
−) + β (e+ • e− − e
+ e
-) - 2γ h - h
′, (3.7)
r4 = α
e e− + e+ e
− − 2h
± e+ فارسى e
+. (3.8)
Si las matrices R universales de las deformaciones cuánticas correspondientes a la clásica
r-Matrices (3.5)–(3.8) son unitarias entonces estas r-Matrices son anti-Hermitanos, es decir.
r*j = −rj (j = 1, 2, 3, 4). (3.9)
Por lo tanto, la operación ∗ (3.4) debe elevarse al producto tensor o(3, 1) o(3, 1).
Hay dos variantes de este levantamiento: directo y volteado, a saber,
(x y)* = x* y* (* − directo), (3.10)
(x y)* = y* x* (* − volteado). (3.11)
Vemos que si el levantamiento “directo” de la operación ∗ (3.4) se utiliza entonces todos los parámetros en
(3.5)–(3.8) son puramente imaginarios. En el caso de la elevación “flojada” (3.11) todos los parámetros
en (3.5)–(3.8) son reales.
Las dos primeras matrices r (3.5) y (3.6) satisfacen el CYBE homogéneo y son
de tipo jordano. Si asumimos (3.10), las deformaciones cuánticas correspondientes fueron
descrito en detalle en el documento [6] y son enteros definidos por el giro de Jordania
tipo:
= exp (h
ln(1 + αe+) (3.12)
para la matriz r (3.5), y
= exp
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
exp (h − h′ ♥), (3.13)
(1 + αe+)
2+ (αe)
, = arctan
1 + αe+
(3.14)
para la matriz r (3.6). Hay que recordar que los giros (3.12) y (3.13) no son
localmente r-simétrico. Se obtuvo un giro localmente r-simétrico para la matriz r (3.5) en
[14] y tiene la siguiente fórmula complicada:
= exp
• (h)−
sinhαe+
ee++ eαe h
sinhαe+
(e+)
sinh(e+)
, (3.15)
donde es un coproducto primitivo.
Las dos últimas matrices r (3.7) y (3.8) satisfacen el CYBE no homogéneo (modificado)
y se pueden obtener fácilmente de las soluciones del álgebra compleja o(4,C)
sl(2,C)® sl(2,C) que describe la complejidad de o(3, 1). De hecho, vamos a presentar
la base compleja del álgebra de Lorentz (o(3, 1) sl(2;C) sl(2,C)) descrito por dos
Grupos móviles de generadores complejos:
(h + ıh′), E1± =
(e± + ıe
±), (3.16)
(h– ıh′), E2± =
(e± − ıe
±), (3.17)
que satisfacen las relaciones (comparar con (3.1))
[Hk, Ek±] = ±Ek±, [Ek+, Ek−] = 2Hk (k = 1, 2). (3.18)
La operación ∗ que describe la estructura real actúa sobre los generadoresHk, y Ek± (k = 1, 2)
del siguiente modo:
H*1 = −H2, E
1± = −E2±, H
2 = −H1, E
2± = −E1±. (3.19)
La r-matriz clásica r3, (3.7) y r4, (3.8), en términos de la base compleja (3.16), (3.17)
tomar la forma
r3 = r
1 + r
r′3 := 2(β + )E1+ E1− + 2(β − )E2+ E2−,
r′′3 := 4 H2 فارسىH1,
(3.20)
r4 = r
4 + r
r′4 := 2(E1+
r′′4 := 4E1 + E2+
(3.21)
Por el bien de la comodidad introducimos el parámetro 6o en r′′4. Cabe señalar que
r′3, r
3 y r
4 son ellos mismos r-Matrices clásicas. Vemos que la r-matriz r
3 es simplemente
una suma de dos matrices r estándar de sl(2;C), que cumplan la condición antihermitana
r* = −r. Analógicamente, no es difícil ver que la r-matriz r4 corresponde a un Belavin-
Drinfeld triple [15] para el Lie álgebra sl(2;C) sl(2,C)). De hecho, aplicando el Cartan
automorfismo E2± → E2, H2 → −H2 vemos que esto es realmente correcto (véase también [16]).
Primero describimos la deformación cuántica correspondiente a la r-matriz clásica r3
(3.20). Puesto que la r-matriz r′′3 es Abeliano y está subordinado a r
3 por lo tanto el álgebra
o(3, 1) se cuantifica en primer lugar en la dirección r′3 y luego un giro Abeliano correspondiente
a la r-matriz r′′3 se aplica. Presentamos las anotaciones complejas z± := β ±. Lo siento.
debe tenerse en cuenta que z− = z
+ si los parámetros α y β son reales, y z− = −z
los parámetros α y β son imaginarios puros. De la estructura de la r-matriz clásica r′3
se deduce que una deformación cuántica Ur′
(o(3, 1)) es una combinación de dos q-analógicos de
U(sl(2;C)) con el parámetro qz
y qz
, donde qz
:= exp z±. Por lo tanto Ur′3(o(3, 1))
(sl(2;C))Uq
(sl(2;C)) y los generadores estándar q±H1z
, E1± y q
, E2± satisfacer
6Podemos reducir este parámetro a a ± 1
por automorfismo de o(4,C).
las siguientes relaciones de definición no evasivas
qH1z+ E1± = q
E1± q
, [E1+, E1−] =
q2H1z+ − q
qz+ − q
, (3.22)
qH2z− E2± = q
E2± q
, [E2+, E2−] =
q2H2z− − q
qz− − q
. (3.23)
En este caso, el coproducto.................................................................................................................................................
y antipodio Sr′
para los generadores q±H1z
, E1± y q
E2± puede ser dado por las fórmulas:
(q±H1z+ ) = q
q±H1z+, Łr′1
(E1±) = E1± q
+ q−H1z+ E1±, (3.24)
(q±H2z− ) = q
q±H2z−, Łr′1
(E2±) = E2± q
+ q−H2z− E2±, (3.25)
(q±H1z+ ) = q
, Sr′
(E1±) = −q
E1±, (3.26)
(q±H2z
) = qH2z−, Sr′1
(E2±) = −q
E2±. (3.27)
El ∗-involución que describe la estructura real en los generadores (3.8) se puede adaptar a
los generadores cuánticos de la siguiente manera:
(q±H1z+ )
* = qH2
, E*1± = −E2±, (q
)* = qH1
, E*2± = −E1±, (3.28)
y hay salida dos ∗-liftings: directo y volteado, a saber,
(a b)* = a* b* (* − directo), (3.29)
(a b)* = b* a* (* − volteado) (3.30)
para cualquier a b Ur′
(o(3, 1)) Ur′
(o(3, 1)), donde la involución ∗-directa corresponde a
el caso de los parámetros imaginarios puros α, β y la involución ∗-flancada corresponde
al caso de los parámetros de deformación reales α, β. Hay que subrayar que el Hopf
estructura en Ur′
(o(3, 1)) cumplen las condiciones de consistencia con arreglo a la ∗-involución
a*) = (r′
a)*, Sr′
((Sr′
(a*)*) = a
(o(3, 1)). (3.31)
Ahora consideramos la deformación del álgebra cuántica Ur′
(o(3, 1)) (cuan-
tización de U(o(3, 1)) correspondiente a la r-matriz adicional r′′3, (3.20). Desde el
Los generadores H1 y H2 tienen el coproducto trivial
(Hk) = Hk 1 + 1Hk (k = 1, 2), (3.32)
por lo tanto el dos-tensor unitario
:= qH1•H2 (F
= F−1
) (3.33)
satisface la condición de cociclo (2.4) y la condición de normalización “unitaria” (2.5). Por lo tanto
la deformación completa correspondiente a la r-matriz r3 es la deformación retorcida de
(o(3, 1)), es decir, el coproducto resultante
se presenta como sigue:
(x) = Fr′′
x)F−1
(lx Ur′
(o(3, 1)). (3.34)
y en este caso el antipode resultante Sr
no cambia, Sr.
. Aplicando el
torciendo dos-tensor (3.33) a las fórmulas (3.24) y (3.25) obtenemos
(q±H1z+ ) = q
q±H1z+, Łr′1(q
) = q±H2z− q
, (3.35)
(E1+) = E1+ q
qH2 + q
q−H2 E1+, (3.36)
(E1−) = E1− q
q−H2 + q
qH2 E1−, (3.37)
(E2+) = E2+ q
q−H1 + q
qH1 E2+, (3.38)
(E2−) = E2− q
qH1 + q
q−H1 E2−. (3.39)
A continuación, describimos la deformación cuántica correspondiente a la r-matriz clásica r4
(3.21). Desde la r-matriz r′4(α) := r
4 es un caso particular de r3(α, β, γ):= r3, a saber:
r′4(α) = r3(α, β = 0, γ = α), por lo tanto una deformación cuántica correspondiente a la r-
matriz r′4 se obtiene del caso anterior mediante el ajuste β = 0, γ = α, y tenemos la
a partir de las fórmulas siguientes para los coproductos
) = q
(k = 1, 2), (3.40)
(E1+) = E1+ q
H1+H2
+ q−H1−H2
E1+, (3.41)
(E1−) = E1− q
H1−H2
+ q−H1+H2
E1−, (3.42)
(E2+) = E2+ q
−H1−H2
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # q #
H1+H2
E2+, (3.43)
(E2−) = E2− q
H1−H2
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # q #
−H1+H2
E2−, (3.44)
donde establecemos :=.
Considere el dos-tensor
:= exp
E1+q
H1+H2
E2+q
H1+H2
. (3.45)
Usar propiedades de q-exponenciales (ver [17]) no es difícil verificar que Fr′′
Cumple la co-
ecuación de ciclo (2.4). Así, la cuantificación correspondiente a la r-matriz r4 es la torcida
q-deformación Ur′
(o(3, 1)). Fórmulas explícitas de los coproductos
(·) = F
·)F−1
y antípodas Sr4(·) en las bases complejas y reales de Cartan-Weyl de Ur′4(o(3, 1)) será
presentado en el documento saliente [7].
4 Deformaciones cuánticas del álgebra de Poincare
El álgebra de Poincaré P(3, 1) del espacio-tiempo de 4 dimensiones es generado por 10 elementos:
el álgebra de Lorentz de seis dimensiones o(3, 1) con los generadores Mi, Ni (i = 1, 2, 3):
[Mi, Mj] = ijk Mk, [Mi, Nj] = ijk Nk, [Ni, Nj] = ijk Mk, (4.1)
y el cuatro-momenta Pj, P0 (j = 1, 2, 3) con las relaciones de conmutación estándar:
[Mj, Pk] = jkl Pl, [Mj, P0] = 0, (4.2)
[Nj, Pk] = jk P0, [Nj, P0] = Pj. (4.3)
Los generadores físicos del álgebra de Lorentz, Mi, Ni (i = 1, 2, 3), están relacionados con el
Base canónica h, h′, e±, e
± como se indica a continuación
h = ıN3, e± = ı(N1 ± M2), (4.4)
h′ = M3, e
± = ı(±N2 −M1). (4.5)
El subalgebra generado por el cuatro-momenta Pj, P0 (j = 1, 2, 3) será denotado por P
y también establecemos P± := P0 ± P3.
S. Zakrzewski ha demostrado en [2] que cada r-matriz clásica, r • P(3, 1) • P(3, 1), tiene
una descomposición
r = a+ b+ c, (4.6)
en los que a) P) P), b) o) 3, 1) P), c) o) 3, 1) • o) 3, 1) satisfacen las siguientes relaciones:
[[c, c]] = 0, (4,7)
[[b, c]] = 0, (4.8)
2[[a, c]] + [[b, b]] = t
[[a, b]] = 0. (4.10)
Aquí [[·, ·]] significa el soporte Schouten. Por otra parte una lista total de las matrices r clásicas
Para el caso c 6= 0 y también para el caso c = 0, se encontró t = 0.7 Se demostró que
hay quince soluciones para el caso c = 0, t = 0, y seis soluciones para el caso c 6 = 0
donde sólo hay una solución para t 6= 0. Así Zakrzewski encontró veinte R-Matrices que
satisfacer la ecuación clásica homogénea Yang-Baxter (t = 0 en (4,9). Análisis de los mismos
veinte soluciones muestran que cada una de ellas puede presentarse como una suma de r-
matrices que casi todas son de tipo abeliano y jordano. Por lo tanto estas R-Matrices
corresponden a deformaciones retorcidas del álgebra de Poincaré P(3, 1). Te presentamos aquí.
r-Matrices sólo para el caso c 6= 0, t = 0:
r1 = γh
′ h+ α(P+ P− − P1 فارسى P2), (4.11)
r2 = γe
+ • e+ + β1(e+ • P1 − e
+ P2 + h P+) + β2h
′ P+, (4.12)
r3 = γe
+ • e+ + β(e+ • P1 − e
+ P2 + h P+) + αP1 P+, (4.13)
r4 = γ(e)
+ e+ e+ e+ P1+ e
+ (α1P1+ α2P2), (4.14)
r5 = γ1(h فارسى e+ − h
′ E) + γ2e+ e
+. (4.15)
La primera r-matriz r1 es una suma de dos matrices subordinadas Abelian r-matrices
r1 := r
1 + r
1, r
1 r
r′1 = α(P+ فارسى P− − P1 فارسى P2), r
1 := γh
′ Ł h.
(4.16)
Por lo tanto el giro total que define la cuantificación en la dirección a esta r-matriz es el
pedido de dos twits Abelian
= Fr′′
= exp
γh′ h
α(P+ • P− − P1 • P2)
. (4.17)
7La clasificación de las matrices r para el caso c = 0, t 6 = 0 es un problema abierto hasta ahora.
La segunda matriz r2 es una suma de tres matrices r subordinadas donde dos de ellas
son de tipo abeliano y uno es de tipo jordano
r2 := r
3 + r
2 + r
2, r
2 r
2 r
r′2 := β1(e+ فارسى P1 − e
+ P2 + h P+),
r′′2 := γe
+ e+, r
2 := β2h
′ P+....................................................................................
(4.18)
El giro correspondiente está dado por las siguientes fórmulas:
= Fr.............................................................................................................
, (4.19)
donde
= exp
β1(e+ P1 − e
+ P2)
exp(2h ),
= exp(γe فارسى e+), Fró2 = exp(β2h
′ ).
(4.20)
Aquí y abajo establecemos :=
ln(1 + β1P+).
La tercera matriz r3 es una suma de dos matrices r subordinadas donde una es de Abelian
tipo y otro es una r-matriz más complicada que llamamos mixto jordano-abeliano
r3 := r
3 + r
3, r
3 r
r′3 := β1(e+ فارسى P1 − e
+ P2 + h P+) + αP1 P+,
r′′3 := γe
+ e+.
(4.21)
El giro correspondiente está dado por las siguientes fórmulas:
= Fr′′
, (4.22)
donde
= exp
β1(e+ P1 − e
+ P2)
exp(αP1 ) exp(2h ),
= exp(γe فارسى e+).
(4.23)
La cuarta matriz r4 es una suma de dos matrices r subordinadas de tipo Abeliano
r4 := r
4 + r
4, r
4 r
r′4 := P+ فارسى (α1P1 + P2),
r′′4 := γ(e
+ − P1) (e+ + P2).
(4.24)
El giro correspondiente está dado por las siguientes fórmulas:
= Fr′′
, (4.25)
donde
= exp
(P+ (α1P1 + α2P2)
= exp
γ(e − P1) (e+ + P2)
(4.26)
La quinta r-matriz r5 es la r-matriz del álgebra de Lorentz, (3.6), y la correspondencia-
ing twist es dado por la fórmula (3.13).
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http://arxiv.org/abs/q-al/9602001
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0301033
arXiv:hep-th/0604146
http://xxx.lanl.gov/abs/math.QA/0402433
http://xxx.lanl.gov/abs/math.QA/0701079
Introducción
Preliminares
Deformaciones cuánticas del álgebra de Lorentz
Deformaciones cuánticas del álgebra de Poincare
|
704.0082 | Matter-Wave Bright Solitons with a Finite Background in Spinor
Bose-Einstein Condensates | arXiv:0704.0082v1 [cond-mat.other] 1 Apr 2007
Conjunto de tipos con jpsj2.cls <ver.1.2> Papel Completo
Solitones brillantes con fondo finito en spinor
Condensados de Bose-Einstein
Tetsuo Kurosaki* y Miki Wadati
Departamento de Física, Escuela de Posgrado en Ciencias, Universidad de Tokio, Tokio 113-0033
Investigamos las propiedades dinámicas de los solitones brillantes con un fondo finito en el
F = 1 condensado de espinor Bose-Einstein (BEC), basado en un modelo de espinor integrado que
es equivalente a la ecuación no lineal de Schrödinger con una no linealidad autoenfocada.
Aplicamos el método de dispersión inversa formulado para las condiciones límite no evasivas.
Las soluciones de soliton resultantes pueden ser consideradas como una generalización de los que se desvanecen
condiciones de frontera. Las soluciones de un solo solito se derivan de manera explícita. De acuerdo con
los comportamientos en el infinito, se clasifican en dos tipos, tipo de domain-wall (DW) y
Tipo de cambio de fase (PS). El tipo DW implica el estado ferromagnético con giro total no nulo
y el tipo PS implica el estado polar, donde el giro total asciende a cero. Nosotros también.
Discutir colisiones de dos solitones. En particular, el fenómeno de spin-mixing se confirma en un
colisión con el tipo DW. Los resultados son consistentes con los de los estudios anteriores
para los solitones brillantes bajo condiciones límite de desaparición y los solitones oscuros. Como resultado, nosotros
establecer la robustez y la utilidad de los solitones múltiples de onda de materia en el spinor
BECs.
PALABRAS CLAVE: condensado spinor Bose-Einstein, grados internos de libertad, matriz no lineal
Ecuación Schrödinger, modelo integrable, soliton brillante, límite no evasivo
condición, ecuación Gross-Pitaevskii multicomponente, acoplamiento de intercambio de giro,
conmutación de giros
* Dirección de correo electrónico: kurosaki@monet.phys.s.u-tokyo.ac.jp
http://arxiv.org/abs/0704.0082v1
J. Phys. Soc. Jpn. Papel completo
1. Introducción
En 2002, los solitones brillantes de la onda de la materia en casi una dimensión (1D) Bose-Einstein conden-
sates (BECs) fueron observados experimentalmente.1, 2) Solitones brillantes propagan en la mayoría de los casos con
Amplitudes mucho mayores que los solitones oscuros3, 4) y se espera que tengan el potencial de
diversas aplicaciones como el transporte coherente y la interferometría de átomos. Propagación de soliton
en BEC puede ser descrito por la ecuación Gross-Pitaevskii (GP). La ecuación GP, llamada la
La ecuación no lineal de Schrödinger (NLS) en ciencia no lineal, es integrable y tiene soliton solu-
ciones en un sistema unidimensional y uniforme. Avances experimentales y teóricos recientes
sobre los solitones brillantes de onda materia son revisados, por ejemplo, en ref. 5.
La creación experimental de solitones de ondas de materia se ha logrado hasta ahora sólo para
componente BEC. Es, sin embargo, muy interesante considerar la propagación del soliton en BEC
con grados internos de libertad, así llamado, spinor BEC. Cuando BEC de átomos alcalinos ultrafríos
está atrapado exclusivamente por medios ópticos, el giro hiperfino de los átomos permanece liberado. Los
spinor BEC se realizó de tal manera.6–8) Los grados internos de libertad dotan a los solitones con
una multiplicidad. Los múltiples solitones mostrarán una rica variedad de dinámicas. Aquí, nos centramos en
el sistema de bosón en el estado de rotación F = 1 hiperfina, ejemplificado por 23Na, 39K y 87Rb. Los
Ecuación GP multicomponente para F = 1 spinor BEC se convierte en un modelo integrable en especial
puntos, que es matemáticamente equivalente a la ecuación NLS de la matriz. Un modelo integrable
con una no linealidad auto-enfocada permite realizar un análisis exacto a través de la dispersión inversa-
Método de ing (ISM) para la ecuación NLS de la matriz.9) En particular, soluciones de soliton brillante bajo
se obtienen las condiciones límite de desaparición (VBC), cuyas propiedades se investigan en refs.
10 y 11. Últimamente, el ISM para la ecuación NLS de la matriz bajo
12) Solitones oscuros en la F = 1 espinor BEC se puede investigar
mediante la aplicación del ISM en el marco de NVBC a un modelo integrable con una autodescentralización no lineal
ity.13) Aunque el ISM bajo NVBC está dedicado principalmente al caso de autodescentramiento, observamos
que esta técnica es también aplicable a un modelo integrable con una no linealidad autoenfocada,
que nos hace disponibles para soluciones de soliton brillantes con un fondo finito.
En este artículo, el detalle de los solitones brillantes de onda de materia en el cuasi-1D F = 1 spinor BEC
se investiga más a fondo, sobre la base de un modelo integrable. Consideramos brillante el spinor de ondas de materia
Solitos viajando sobre un fondo finito del condensado. Anotamos explícitamente nuevo
soluciones de soliton, y verificar que las soluciones de soliton obtenidas tienen las mismas propiedades
en comparación con los que no tienen antecedentes. En las configuraciones experimentales habituales, los condensados
son confinados en un régimen de tamaño finito, y los solitones brillantes de la onda de la materia acompañarán un
Fondo finito. El estudio que se da en este documento es significativo en circunstancias tan realistas.
El documento se organiza de la siguiente manera. En § 2, la ecuación GP para cuasi-1D F = 1 spinor BEC
se introduce. En particular, se presenta el modelo integrable. Allí, las interacciones entre
dos átomos se supone que son inter-atómico atractivo y ferromagnético, que conducen a brillante
J. Phys. Soc. Jpn. Papel completo
Solitos. En § 3, el método de dispersión inversa en condiciones de límite no discontinuas es
aplicado al modelo integrable. Esta aplicación conduce a soluciones de soliton brillante con un finito
antecedentes. También se proporcionan varias cantidades conservadas del modelo. Soluciones de un solo solito
se investigan en § 4. Los estados de giro de uno-solitons son clasificados, asumiendo que discreto
Los valores propios son puramente imaginarios. Las soluciones de dos solitones se discuten en el § 5. La última sección,
El artículo 6 está dedicado a las observaciones finales.
2. Ecuación GP para F = 1 Espinor Bose-Einstein Condensados
Para BEC de átomos alcalinos ultrafríos, la teoría del campo medio funciona bien, porque casi todos
los átomos entran en condensación y el condensado es diluido. En este documento, nos ocupamos de la
sistema cuasi-unidimensional. Los átomos en el estado de rotación F = 1 hiperfina tienen tres magnéticos
subestados etiquetados por el número cuántico magnético mF = 1, 0,−1. El sistema es charac-
terizado por un operador de campo vectorial con los componentes correspondientes a cada subestado,
= (1, 0, 1)
T, satisfaciendo las relaciones de conmutación a tiempo igual:
[(x, t),
(x′, t)] = (x− x′), (1)
donde los subíndices α, β toman el 1, 0,−1. En el marco de la teoría de campo medio para BEC,
el campo cuántico se sustituye por el parámetro de orden:
Φ(x, t) (x, t) = (Φ1(x, t),Φ0(x, t),1(x, t))T. (2)
Φ(x, t) se llama a menudo la función de onda de condensado spinor, que se normaliza al total
número de átomos NT:
dx(x, t)Φ(x, t) = NT. 3)
La función de onda condensada spinor obedece a un conjunto de ecuaciones de evolución acopladas, a saber, el
Ecuación GP multicomponente:
itΦ1 = −
2xΦ1 + (c̄0 + c̄2)
12 + 02
+(c̄0 − c̄2)12Φ1 + c21Φ20,
itΦ0 = −
2xΦ0 + (c̄0 + c̄2)
12 + 12
+ c̄002Φ0 + 2c̄20Φ11,
it1 = −
2x1 + (c̄0 + c̄2)
12 + 02
+(c̄0 − c̄2)121 + c̄21Φ20, (4)
donde c̄0 = (0 + 22)/3 y c̄2 = (2 − 0)/3 denotan constantes de acoplamiento 1D efectivas para la
el campo medio y la interacción de intercambio de giro, respectivamente. Aquí, el acoplamiento efectivo 1D
constantes f son dadas por
f =
4~2af
1 - Caf/a
, (5)
J. Phys. Soc. Jpn. Papel completo
donde af son las longitudes de dispersión de la onda s en el spin f canal hyperfine total, a es el
tamaño del estado transversal del suelo, m es la masa atómica, y C = (1/2) 1.46. Tenga en cuenta que
uno puede cambiar los valores de c̄0 y c̄2 afinando a.
La ecuación (4) se obtiene de la siguiente manera. La interacción entre dos átomos en la F = 1
estado de spin hyperfine tiene una forma,15, 16)
(x1 − x2) = (x1 − x2)
c̄0 + c̄2Fâ € 1 · Fâ € 2
, (6)
donde Fó es el operador de spin. La energía Gross-Pitaevskii funcional es así dado por
EGP[Φ] =
x +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
, (7)
donde los subíndices repetidos (α, β,, = 1, 0,−1) deben resumirse y f = (fx, fy, fz)T
con fi(i = x, y, z) 3× 3 matrices de spin-1. Entonces, el principio variacional: it(x, t) =
♥EGP[Φ]/
α(x, t), para α = 1, 0,−1, produce eq. 4).
Un hecho importante es que eq. (4) posee un punto completamente integrable cuando c̄0 = c̄2
−c < 0, equivalente, 20 = 2 > 0,10, 11) Esta condición se realiza cuando
a = 3C
2a0 + a2
, (8)
suponiendo que a0a2(a2−a0) > 0 se mantenga. La situación corresponde a atractivo (c̄0 < 0) y fer-
interacción magnética (c̄2 < 0). Cuando cambiamos la función de onda por Φ = (1,
2-0, 1)
y medir el tiempo y la longitud en unidades de t̄ = ~a/c y x̄ = ~
a/2mc, respectivamente, podemos
reescribir eq. (4) con c̄0 = c̄2 فارسى −c < 0 en la forma adimensional,
1 = 2 x 1 − 2 = 1 = 2 = 1 + 2 = 1 = 2 = 1 = 20,
1 = 2 = 2 = 2 = 1 + 2 + 2 + 1 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ) 1 ) 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 = 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) = 1 = 1 ) 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ) 1 ) 1 ) 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
1 = 2x1 − 2(12 + 202)1 − 2120. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Entonces, eq. (9) se considera equivalente a una versión de matriz 2×2 de la ecuación NLS con una
no linealidad autoenfocada:
iŁtQ+ ♥
xQ+ 2QQ
†Q = O, (10)
con una identificación,
*1 *0
*0 1*
. (11)
La ecuación NLS (10) de la matriz es integrable en el sentido de que el problema de valor inicial puede
ser resuelto a través del método de dispersión inversa.9, 12) La integrabilidad de las ecuaciones reducidas
(9) se demuestra de este modo automáticamente. Por lo tanto, hemos derivado el modelo espinor integrable. Otro
punto integrable de eq. (4) es c̄0 = c̄2 c > 0, es decir, la ecuación NLS matriz con un auto-
13) Soluciones especiales para las constantes genéricas de acoplamiento c̄0, c̄2 se dan en
ref. 17.
J. Phys. Soc. Jpn. Papel completo
3. Solitarios brillantes con fondo finito
Consideramos soluciones de soliton brillantes del modelo integrable (9) bajo NVBC, mientras que
los que están bajo VBC se estudian en refs. 10 y 11. Resumimos brevemente los resultados de la inversa
método de dispersión para eq. (9) con NVBC.12)
Definimos las condiciones límite no evasivas como
Q(x, t) → Q±, x→ •,
±Q± = Q±Q
± =
0I, (12)
donde Ł0 es una constante real positiva y denota una matriz de 2 × 2 unidades. Tenga en cuenta que la desaparición
las condiciones de frontera se recuperan como 0 → 0. Análisis del ISM bajo rendimientos NVBC
la forma estándar de las soluciones múltiples de soliton de la ecuación NLS de matriz 2 × 2 con una
no linealidad autoenfocada (10) como
Q(x, t) = 0 e
I + 2i(I · · · I
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Aquí, una matriz compleja de 2 × 2 Πj se llama la matriz de polarización. S es una matriz 2N × 2N
definido por
Sij =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
♥ijI +
i(i + j)
En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa deberá ser igual o superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1 ≤ i, j ≤ N, (14)
donde ♥j es un eigenvalue discreto complejo para el estado consolidado y
j +
1/2 con
Se requiere para el ISM bajo NVBC que un Riemann de dos hojas
la superficie se introduce adecuadamente, debido a una función de doble valor. La fase de la
onda portadora, (x, t), viene dada por
(x, t) = kx− (k2 − 220)t+ , (15)
y la función de coordenadas es dada por
χj • χj(x, t) = 2i•j(x− 2(j) + k)t). 16)
La solución anterior es la solución de M(= N/2)-solitón. El ISM bajo NVBC para el auto-
El caso de enfoque resulta en pares de valores propios discretos correspondientes a cada hoja de Riemann.
La restricción se debe imponer a la j y a la j (j = 1, · · ·, N) de tal manera que la 2l-1 = 2l y
2l−1 = 2l para l = 1, · · ·, N/2. Al mismo tiempo, Πj debe cerciorarse de que Π2l−1 = Π
Para nuestra reducción al modelo integrable para F = 1 spinor BEC, debemos hacer el
Q potencial simétrico, notando eq. (11). La simetría de Q se refleja naturalmente en Πj.
Cuando tomamos cada Πj para ser simétrico en eq. (13), soluciones de soliton del modelo integrable
(9) con arreglo a la norma NVBC.
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La forma (13) es la forma estándar de soluciones de soliton en el sentido de que el límite
se supone que el valor en x→ • • eχj → 0 debe fijarse como
Q(x, t) e-i/23370/(x,t) → (17)
El modelo spinor, sin embargo, permite la transformación SU(2) de las soluciones, si se mantienen
Simétrica. Para ser concreto, dejemos que U sea una matriz unitaria de 2×2. Cuando Q es una solución de eq. (10)
con eq. (11), entonces
Q′ = UQUT, (18)
es también una solución. Asumiendo que Q es la forma estándar (13), el límite x→ de Q′ se convierte en
Q′ e-iŁ(x,t) → (19)
Q = UUT es la así llamada descomposición de Cholesky. Las condiciones arbitrarias de la frontera Q
que no sea eq. (17) se realizan así a través de la transformación SU(2). Por otra parte, la
comportamiento en el límite x → • varía dependiendo de si detΠ = 0 o no, que será
discutido más tarde para el caso de un solo soliton.
Hay otro concepto importante sobre un modelo integrable. Debido a la integrabilidad,
el modelo tiene las infinitas leyes de conservación, que restringen la dinámica del sistema en un
forma esencial. Varias cantidades conservadas, relacionadas con las cantidades físicas del sistema,
se enumeran a continuación:
Número total : N̄T =
dx n̄(x, t),
n̄(x, t) = tr (Q†Q)− tr (QQ±). (20)
Giro total : FT =
dx f(x, t),
f(x, t) = tr (QQ). (21)
Momento total : P̄T =
dx p̄(x, t),
p̄(x, t) = −i~[tr (Q†Qx)− tr (QQ±,x)]. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Energía total : •T =
dx ē(x, t),
ē(x, t) = c[tr (Q†xQx −Q†QQ†Q)
−tr (Q,xQ±,x −Q
±Q±)]. 23)
Aquí, = (Ox, Oy, Oz)
T son las matrices Pauli. Para evitar la divergencia de integrales, debemos
restar la contribución del fondo de las cantidades físicas, excepto el giro total,
a los que los antecedentes no contribuyen explícitamente. Estas sustracciones se enfatizan
por las barras en las densidades y cantidades conservadas. Densidad de giro local f = (fx, fy, fz)
es covariante bajo la transformación SU(2) (18), mientras que las otras densidades como n̄(x, t),
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p̄(x, t) y ē(x, t) son invariantes. El giro macroscópico total se dirige a hacer frente a un arbitrario
dirección por la rotación de giro global. La simetría SU(2) del sistema causa la energía
estados degenerados de solitarios para esta rotación de giro.
4. Soluciones de un solo sólotón
En esta sección, se investigan las soluciones de un solo soliton del modelo integrador de espinor (9) en
Detalle. Podemos derivar la forma explícita de soluciones de un solo soliton estableciendo N = 2 (M = 1) en
la fórmula (13). El cálculo es complicado pero sencillo. El resultado es el siguiente:
Q = 0 e
(x,t)
I + 2i
, (24)
donde detS es dado por
detS =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+eχ1\2\2\1\2
+ /1 /2( tr 2 − 1)
+e2x1/21
2 detΠ + e
2 x 2 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22
1 det. II
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+e2χ1+2χ22det2, (25)
y T es una matriz de 2× 2 tal que
T = eχ1111
2 e
χ2212 χ22 χ22 χ22 χ22 χ2
− eχ12112
1 trΠ · + 2 tr μ(tr2 − 1)I
• e2x1μ122 detΠ · I · e2x2μ221 det · I
+e2x1\2\2\2 detΠ
+21 Π
† tr · I
+eχ1+2χ21 detΠ
■ 22 trΠ · I
- e2x1+2x2x2 (+1 + +2) det2 · I. 26)
Explicamos los significados físicos de las anotaciones. La fase de la onda portadora es dada por
(x, t) = kx− (k2 − 220)t+ . (27)
Let lj y lj = (l)
j +
1/2 para j = 1, 2 ser constantes complejas que satisfagan
2 y
*1 = 2. Sin la pérdida de la generalidad, suponemos que (el 1, el 1) ((el 2, el 2)) pertenece a la parte superior
(inferior) Hoja de Riemann, que se caracteriza de tal manera que Im
χj(x, t) se expresa en términos de
χ1 • χ1 (x, t) = 2i • 1(x− 2( 1 + k)t), (28)
χ2 • χ2 (x, t) = 2i • 2(x− 2 • 2 + k) t). 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenga en cuenta que χ1 = χ
2 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Reχ denota así la coordenada del sobre soliton,
mientras que Imχ implica la fase de automodulación. La matriz de polarización Π es un 2×2 simétrico
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matriz. En este caso, la normalización en un sentido de la norma cuadrada se impone a Π como una cuestión de
comodidad:
, 22 + 2 + 2 = 1. (30)
Los otros parámetros son las funciones oportunas de los subartículos 0, 1 y 2 del Reglamento (UE) n.o 1303/2013:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, μ = i0
* 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + + 2 + 1 + 1 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
* 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + + 2 + + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2
, νj =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, = ν1 v2 − μ2, j = νj − μ, (31)
para j = 1, 2. Enumeramos el significado de cada parámetro de la siguiente manera:
k : número de onda de la onda portadora del soliton.
: amplitud de la onda portadora del soliton.
(x, t) : fase de la onda portadora del soliton.
Re χ (x, t) : coordenada del sobre del soliton.
Im χ (x, t) : fase de automodificación del soliton.
Π : matriz de polarización simétrica del soliton.
Las ecuaciones (24)-(26) son nuevas soluciones de soliton que nunca habían sido escritas explícitamente
en las literaturas. Si tomamos el límite de desvanecimiento 0 → 0, 1 y 2 convergen en 1 y 2,
respectivamente. Entonces,
· 2kR
Πe(χR/2) + (‡yy) eχR/2detΠ
e-(2χR) + 1 + e2χRdet2
eiχI, (32)
con anotaciones
e./2..................................................................................................................................................
, (33)
χR • χR(x, t) = kR(x− 2kI t)−, (34)
χI (x, t) = kIx+ (k2R − k2I )t, (35)
cada uno de los cuales posee la siguiente correspondencia, respectivamente:
kR = −2Im...........................................................................................................................................................................................................................................................
kI = 2Relâ1 + k, (37)
* = − ln(41). 38)
Las ecuaciones (32)-(35) son las mismas formas que las que figuran en ref. 11, excepto un factor de fase. Esta estafa...
la secuencia es natural pero no trivial, porque la fórmula de los solitos bajo VBC9 es bastante
diferente de lo que bajo NVBC (13), en particular, en la forma de la matriz S. En realidad, la
El desplazamiento inicial puede cambiarse arbitrariamente, independientemente de la eq. 38), por el cambio paralelo
de la posición x. Hemos demostrado que las soluciones de soliton (24)-(26) pueden ser consideradas como un
forma general de soluciones de soliton brillantes, incluyendo el caso de VBC.
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4.1 Clasificación por las condiciones de los límites
Demostraremos que hay dos tipos de soluciones de un solo solito dependiendo de la frontera.
condiciones, detΠ = 0 o detΠ 6 = 0. Clasificación similar sobre las condiciones de los límites
también existe para los solitones oscuros.13) Los ejemplos de instantáneas de perfiles de densidad de un solo soliton son:
se muestra en la Fig. 1. La fila superior es para detΠ = 0, y la fila inferior es para detΠ 6 = 0. Los
forma de sobre solitons parece una ola localmente oscilante en lugar de, literalmente, una ola solitaria,
debido a la automodulación debido a la velocidad compleja.
Para detΠ = 0, las condiciones límite del formulario estándar (24)-(26) son:
Q e-i-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e
Q e-i-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e
I - 2i - 1 trΠ - Π
† + 2 trΠ
† · μ(tr2 − 1)I
+ /1 /2( tr 2 − 1)
, x→ â € TM. (39)
Los valores límite de izquierda y derecha difieren no sólo en la fase mundial, sino también en la población
de cada componente, en general. Es decir, esas son las condiciones de límite rotado SU(2).
En la fila superior de la Fig. 1, vemos que el sobre soliton de cada componente forma la
forma de dominio-wall (DW), aunque no se manifiesta en la densidad total del número.
Por otro lado, para detΠ 6= 0, las condiciones de límite son
Q e-i-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e
Q e-i-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e
1− 2i
+1 +2 +2 +1 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 + + 2 + + 2 + + 2 + + 2 + + + 2 + 2 + 2 + + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + + + + + 2 + 2 + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + 2 + + + + + + + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + + 2 +
I, x→ â € ¬. (40)
En contraste con el caso de que detΠ = 0, ambos valores límite son matrices diagonales, y sólo
el cambio de fase (PS) ocurre. Es decir, esas son las condiciones de límite rotado U(1).
Por las razones anteriores, llamamos a las soluciones de un solo soliton el tipo DW para detΠ = 0, y el
Tipo PS para detΠ 6= 0. Observa lo siguiente; el perfil de densidad de giro del tipo DW sugiere
que el giro total no es cero, mientras que el de tipo PS es dipolo-forma, lo que implica que el total
spin equivale a cero. Ver el panel derecho de la Fig. 1. Esta observación se solidificará en § 4.3.
4.2 Caso de valores propios discretos puramente imaginarios
El ISM realizado en las hojas de Riemann implica una función de doble valor de la espectral
parámetro, y por lo general representa una representación muy complicada de soluciones N -soliton
incluso para N = 1, como se ve en eqs. (24)-(26). Para simplificar una representación explícita, es
Conveniente asumir que Łj y Łj son puramente imaginarios.
18) Se utiliza un enfoque similar
para el análisis de soluciones de N-solitón de la ecuación derivada NLS bajo NVBC.20)
Si tomamos un par de valores propios discretos como
(l'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1', 1'a, 1'a, 1', 1'a, 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1'a, 1', 1'a, 1', 1'a, 1'a, 1', 1', 1'a, 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1'
donde los números reales positivos son de tal manera que
En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
1 (42)
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a) b) c)
Fig. 1. Snapshots de perfiles de densidad de uno-soliton. La fila superior está trazada para detΠ = 0 en el momento
t = 0, con k = 0, 0 = 1, 1 = 1+i, 1 = 1,27+0,79i (χ(x, t) = −(1,57−2,54i)x− (8,23−1,94i)t)
y Π =
4/5 2/5
2/5 1/5
. La fila inferior está trazada para detΠ 6= 0 en el momento t = 0, con la
los mismos parámetros, excepto Π =
2 2/5
2/5 3/(5)
. El panel izquierdo (a) representa la densidad local
para cada componente, 12 (línea sólida), 02 (línea de cadena) y 12 (línea punteada). El panel central
b) representa la densidad de número local n, donde se incluye la contribución de los antecedentes. Los
panel derecho (c) representa las densidades locales de giro, fx (línea sólida) y fz (línea punteada). Fy desaparece
idénticamente debido a la elección de una matriz real Π.
Obtenemos una forma relativamente simple de soluciones de un solo soliton como
Q = 0 e
(x,t)
I + 2i
, (43)
detS = 1−
(tr Π(t) + tr(t)) + e2χP
trΠ(t)2
(detΠ(t) + det(t)−
tr(t)detΠ(t) + trΠ(t)det(t)
e4χP detΠ(t)2, (44)
2i T =
2 Π(t)2 − 1) e2χP + 2e2χP
detΠ(t) +
det(t)
tr (t)detΠ(t) +
trΠ(t)det(t)
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−2() + () eχP + 2
e2xP tr(t) + 2
e3xP det(t)
-2(-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-)
e2χP trΠ(t) + 2
e3χP detΠ(t)
(t), (45)
donde la coordenada del sobre soliton es dada por
χP (x, t) = −20(x− 2kt), (46)
y la dependencia temporal de la modulación de fase está integrada en la matriz de polarización,
a saber,
Π (t) Π (e) (e) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (47)
Cuando tomamos el límite de 0 a 0 con 0 a 0 y 0 a 0 se mantiene finito en eqs. (43)-(45), Q converge
a la forma de eqs. (32)-(35), que acompaña a los parámetros kR = −2
− En (41 ° 0 ° ° ° )....................................................................................................................................................................................................................................................... Aquí, kR y kI son parámetros libres independientes, aparte de la inicial trivial
Desplazamiento. En este sentido, a pesar de la reducción, todavía podemos considerar la forma de una
soluciones de soliton (43)-(45) como forma general de las incluidas en VBC.
También podemos tomar otro límite. Es decir, consideramos la reducción al componente único
caso. Si nos fijamos
k = 0, Π =
ei..............................................................................................................................................................................................................................................................
, (48)
el componente (1,1) de Q se convierte en
Q11 · e−i(2
= 0 - 2 - 0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
0t+ فارسى)
Cos(20x+) cos(420t+)
, (49)
en los que se indica el valor de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de CO2 en el caso de las emisiones de CO2. La forma (49) fue dada en ref. 18. Así verificamos que nuestras soluciones de soliton
son también la generalización de aquellos para la ecuación NLS de un solo componente bajo NVBC.19)
4.3 Estado de giro
En esta subsección, discutimos los estados de giro de soluciones de un solo-soliton con una espalda finita-
tierra, calculando el giro total. La ley de conservación garantiza que obtenemos el
giro total FT de la integración en el momento arbitrario. Por lo tanto, podemos seleccionar el tiempo para que el
el cálculo se hace más fácil. Nos concentramos en el caso de un eigenval discreto puramente imaginario.
ues. Como resultado, vemos que el tipo DW está asociado con el estado ferromagnético, mientras que
el tipo PS está asociado con el estado polar. Soluciones de un solo solo-solito para des-
Los valores propios del hormigón (43)-(45) incluyen los que están bajo VBC, aparte de un desplazamiento inicial, y
Por lo tanto, la clasificación sobre los estados de giro que se presentan a continuación es más amplia que la realizada
antes de 10, 11)
4.3.1 Estado ferromagnético
Para detΠ = 0 (tipo DW), sustituimos eqs. (43)-(45) en eq. (21) y calcular el total
Gira. El tiempo t′ tal que trΠ(t′) + tr(t′) = 0 sea adecuado para el cálculo. El resultado es
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de la siguiente manera:
FT = 4-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0
(β + γ)}
− 2Im(β − γ)}
(2 − 2)
.............................................
+ 2
, (50)
con el módulo
F T2 = (40)2 (51)
El número total de las partículas transformadas en un soliton, N̄T, se calcula por eq. (20),
N̄T = 4-0-, (52)
y el rango del valor tomado por F T2 se expresa en términos de N̄T,
N̄2T ≤ F T2 ≤ N̄2T + (4-0)2. (53)
Tenga en cuenta que, en el límite de desvanecimiento 0 → 0, el módulo de la vuelta total es siempre igual a
el número total de las partículas, a saber, F T → NT.
Con giro total no nulo, el tipo DW de los solitones pertenece al estado ferromagnético.
Dado que las interacciones ferromagnéticas interatómicas se suponen aquí, los solitones tienden a tomar la
estado ferromagnético o tipo DW. En varios contextos de la física, los muros de dominio son topo-
Solitones lógicos relacionados con la ruptura de la simetría. Aquí, resultando de los muros de dominio,
la entidad magnética emerge como la simetría espontáneamente rota. Es digno de notar
que el caso N̄T < FT puede suceder. El fondo es spinless, pero su estado interno de giro
parece estar afectado por el hecho de que el soliton ferromagnético corre sobre el fondo.
De este modo, el fondo contribuye al giro total.
4.3.2 Estado polar
Si detΠ 6= 0 (tipo PS), los solitones muestran la otra propiedad magnética. El tiempo t′ tal
que detΠ(t′) = det(t′) > 0 es adecuado para el análisis. Después de largos cálculos, el local
densidad de giro en el momento se deriva como
= 820 e
−32(χP ′)
β − γ
* e2(χP ′) sinh(χP ′)
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
sinh(2χP ′)
((tr (t′))2 − tr Π(t′)2) + 4°detΠ(t′) + 2°(tr Π(t′)2 − 1)
sinh(χP ′)
+h.c., (54)
fy = 32
-3UIM(β − γ)2(χP ′)
Sinh(2χP ′)− (trΠ(t′) + tr(t′)) sinh(χP ′)
, (55)
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en el que (χP ′) es una función par de χP ′, χP ′(x, t) es una coordenada de desplazamiento paralelo, y
constante:
(χP ′) 2 cosh(2xP ′)−
2 e
(trΠ(t′) + tr (t′)) cosh(χP ′)
*2 + trΠ(t′)2
2detΠ(t′)
, (56)
χP ′ χP + UL = −20(x2kt′) + UL, (57)
# En... #
(detΠ(t′))1/2
. (58)
Tenga en cuenta que fx y fz comparten la misma forma funcional. Cada componente del giro local anterior
densidad es una función impar de χP ′ y, en particular, tiene el nodo en el mismo punto x0 tal
que χP ′(x0, t
′) = 0, a saber, x0 = 2kt
′ + (2-oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
−1ou. En consecuencia, el giro total asciende a
cero:
dxf(χP ′) = (0, 0, 0)
T. (59)
Por esta razón, el tipo PS de los solitarios, en promedio, pertenece al estado polar.15)
5. Colisión de dos solitones
Procedemos a la discusión de las colisiones de dos solitones en el modelo espinor integrable (9).
Las soluciones de dos solitones se obtienen estableciendo N = 4 (M = 2) en la fórmula (13). Ahí está.
existen dos valores propios discretos independientes y matrices de polarización simétrica, respectivamente,
Es decir, 1 ° = 1 ° °
2 y Π1 = Π
2 para uno de los solitones,
4 y Π3 = Π
4 para el otro. Cada uno
el soliton se separa en t =. Entonces, un dos-soliton es asintóticamente dos uno-solitons. Los
clasificación de soluciones de un solo solito basado en los valores de los determinantes de la polarización
Por lo tanto, las matrices, examinadas en la sección anterior, son válidas para las soluciones de dos solitones.
La derivación de la forma explícita es más complicada que en el caso de un solo soliton
soluciones. Para la ecuación NLS derivada bajo NVBC, soluciones explícitas de dos solitones y
se han obtenido analíticamente cambios en las posiciones del soliton debidos a colisiones entre los solitones,
en el caso de valores propios puramente imaginarios, donde la complejidad del cálculo es considerablemente
Esta estrategia, sin embargo, no se encuentra en nuestra ecuación NLS bajo NVBC. Los
la razón se entiende a partir de eq. 46). En el modelo espinor, los valores propios puramente imaginarios dan
dos solitones con la misma velocidad 2k, y no chocan entre sí. En consecuencia,
no podemos investigar las propiedades de las colisiones para valores propios discretos puramente imaginarios.
Nadie ha estudiado soluciones explícitas multi-solitón de la ecuación NLS bajo NVBC, incluso en
el caso de un solo componente, debido a la complejidad computacional.
Aquí, mostramos gráficamente los comportamientos característicos de dos colisiones de soliton en el
modelo spinor, mediante el uso de las soluciones exactas dadas por el ISM. Refiriéndose a ellos, llevamos
fuera de las discusiones cualitativas. Aunque los gráficos presentados se representan para el
parámetros, se observan mucho los mismos comportamientos para parámetros arbitrariamente seleccionados.
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La figura 2 ilustra el comportamiento de una colisión mutua entre dos tipos de PS, donde
detΠ1 6= 0 y detΠ3 6= 0. Se puede ver que, en los tres componentes, ambos solitones re-
sus formas antes y después de la colisión, que es la propiedad común con los solitarios
en el caso de un solo componente. En este sentido, la colisión PS-PS soliton es esencialmente equivalente a
Colisión de dos solitones de la ecuación NLS de un solo componente.
La figura 3 ilustra el comportamiento de una colisión mutua entre el tipo DW y el tipo PS,
donde detΠ1 = 0 y detΠ3 6 = 0. El comportamiento de las colisiones entre el tipo DW y el tipo PS es
cualitativamente ajeno a eso entre dos tipos de PS. Se observa que, en el tipo PS, gran parte de
la población que inicialmente habita el subestado hiperfino F = 1,mF = ±1 se transfiere a
el subestado hiperfino F = 1,mF = 0 debido a la colisión. En cambio, en el tipo de DW, tales
la transferencia de spin no se produce, y la forma de la pared del dominio se preserva contra la colisión. Esto
El fenómeno puede interpretarse de la siguiente manera. DW tipo, con giro no cero, puede afectar a la interna
estado de giro del tipo PS, mientras que el tipo PS, que se espera que tenga cero giro en total, no
afectan al estado interno de rotación del tipo DW. Este tipo de fenómeno de giro-transferencia, llamado el
spin-switching, ha sido predicho por primera vez para el caso de VBC.11) Debido a las leyes de conservación,
el número total, el giro total y así sucesivamente son invariantes durante todo el proceso de colisión.
Se permite la mezcla de población entre los grados internos de libertad, en la medida en que la conservación
las leyes no son violadas. El spin-switching es uno de los procesos dinámicos que hacen que el
Espinoso solitons más interesante.
Por último, para una colisión mutua entre dos tipos de DW, donde detΠ1 = detΠ3 = 0, la
se espera que las formas de ambos solitos sean deformadas por la colisión ya que cada soliton lleva
giro total no nulo. De hecho, la drástica mezcla de población se ve en la Fig. 4, que muestra un ejemplo
de este tipo de colisiones. Uno encuentra que los muros de dominio “repelen” en la región de colisión, más bien
que chocar.
a) b) c)
Fig. 2. Parcelas de densidad de 12 (a), 02 (b) y 12 (c) para una colisión mutua entre dos tipos de PS.
Los parámetros utilizados aquí son k = 1, 0 = 1, 1 = 1,03i, 3 = 1,05 + i, Π1 =
2 i/2
i/2 0
0 i/2
i/2 1/
. La velocidad del soliton derecho (izquierda) en movimiento es de 2.00 (−3.41). La colisión
se lleva a cabo en t = 0.
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a) b) c)
Fig. 3. Las parcelas de densidad de 12 (a), 02 (b) y 12 (c) para una colisión mutua entre DW-
tipo y tipo PS. Los parámetros utilizados aquí son los mismos que los de la Fig. 2, a excepción de:
2i/3 −1/3
, Π3 =
0-1/
. El soliton derecho (izquierda) en movimiento es de tipo DW
(tipo PS).
a) b) c)
# 2 #2 #2 #1 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #
t t t
x x x
Fig. 4. Las parcelas de densidad de 12 (a), 02 (b) y 12 (c) para una colisión mutua entre dos DW-
tipos. Los parámetros utilizados aquí son los mismos que los de la Fig. 2, excepto Π1 =
1/2 i/2
i/2 −1/2
. Los valores más de 2 son de color blanco.
6. Observaciones finales
En este artículo, hemos investigado las propiedades dinámicas de los solitones brillantes de ondas de materia
con un fondo finito en el condensado de F = 1 espinor Bose-Einstein. Para realizar nuestro anal...
Ysis concretamente, hemos explotado un modelo espinor integrable con una no linealidad auto-enfocada
y el método de dispersión inversa en condiciones de límite no desvanecimiento. La situación
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que los solitones de onda de materia se encuentran en un fondo finito encaja con los experimentos.
Las soluciones de un solo solito se derivan explícitamente y se estudian en detalle. Desde el punto de vista de la
vista matemática, ofrecen formas generales de soluciones de soliton brillante de la ecuación NLS.
Hemos confirmado que nuestras soluciones de un solo solito incluyen las obtenidas en las obras anteriores.
Las soluciones de un solo solito se clasifican en dos tipos por la diferencia de las condiciones de frontera;
Tipo DW y tipo PS. Los perfiles de densidad de giro de un solo soliton varían dependiendo de
ary conditions. En el caso de valores propios discretos puramente imaginarios, hemos mostrado analíticamente
que el tipo DW está en el estado ferromagnético, mientras que el tipo PS está en el estado polar. El exis...
tence de dos propiedades magnéticas distintas para las soluciones de un solo soliton también da lugar a fascinante
fenómenos en el caso de colisiones de dos solitones, por ejemplo, el cambio de giro. Lo anterior
los resultados para los solitones brillantes con un fondo finito concuerdan con los de los solitones brillantes bajo
VBC10, 11) y solitones oscuros.13)
Siguen existiendo varios problemas. Es deseable extender nuestro análisis al caso de la
valores propios discretos. Cálculos de las cantidades conservadas distintas de la rotación total
también son necesarios. (En el apéndice figura un enfoque.) Además, deseamos investigar
propiedades analíticas de las soluciones generales de N-soliton bajo NVBC en el modelo espinor. No hace falta.
para decir, cálculos demasiado complicados son inevitables para los problemas anteriores. El resto
los problemas deben ser discutidos en otra parte.
Concluimos que las propiedades de los solitones múltiples de la materia-onda en los BECs espinores
son interesantes y deben ser útiles en diversas aplicaciones. Solitarios brillantes son preferibles a
solitones oscuros para aplicaciones, debido a la ventaja en la distancia de propagación. Esperamos
que nuestro análisis contribuye a iluminar las propiedades dinámicas de los solitones en el spinor
BECs, que deberían demostrarse experimentalmente en un futuro próximo.
Reconocimiento
Uno de los autores (TK) reconoce al Dr. J. Ieda y al Dr. M. Uchiyama por su valiosa
comentarios y discusiones.
Apéndice: Varias cantidades conservadas de soluciones de un solo solito
Las cantidades conservadas nos ayudan a entender la dinámica del sistema. En este ap-
pendix, calculamos el número total, el giro total, el impulso total y el total
energía del modelo spinor. Asumimos que, además de puramente imaginario eigen discreto
valores, Π es una matriz simétrica real de 2×2. La condición de que Π es una matriz simétrica real
es inherente al caso de autodescentramiento, es decir, los solitarios oscuros.12)
Para Π =, las soluciones de un solo solito de valores autóctonos discretos puramente imaginarios (43)-(45) ser-
viene la siguiente forma en t = t′ = (4n− 1) ........................................................................
Q = 0 e
(x,t)
I + 4i........................................................................................................................................
Πe−(χP
′/2) + (yy) eχP
′/2detΠ
e-(2χP
′) + 1 + e2χP
(det.Π)2
, (A·1)
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donde e
′/2 concierne a la población de la zona del euro. Este formulario es adecuado para los cálculos, ya que la parte imaginaria está separada
del verdadero. Se puede ver claramente que las soluciones de un solo solito bajo VBC (32) están localizadas
sobre un fondo finito en la forma (A·1). Tenga en cuenta que la forma de la pared de dominio se pierde incluso para
detΠ = 0 allí.
Varias cantidades conservadas de los solitones (A·1) se calculan mediante el uso de eqs. (20)-(23).
Los resultados de detΠ = 0 se dan por
N̄T = 40, (A·2)
FT = N̄T
2α(β + γ)
β2 − γ2
, F T = N̄T, (A·3)
P̄T = N̄T~k, (A·4)
T = N̄Tc
(k2 − 220)−
, (A·5)
y los de detΠ 6= 0 se dan por
N̄T = 8 siguientes, (A·6)
FT = (0, 0, 0)
T, (A·7)
P̄T = N̄T~k, (A·8)
T = N̄Tc
(k2 − 220)−
. (A·9)
Es intrigante que, para la amplitud fija y el eigenvalue discreto, N̄T, P̄T y
El tipo PS (detΠ 6= 0) tiene sólo dos valores como los del tipo DW (detΠ = 0), respectivamente.
Esto nos permite interpretar que el tipo PS de los solitones es un estado de unión de los dos tipos DW
de solitones. Además, para la amplitud fija y el número total, la energía total
El tipo DW es inferior al del tipo PS: DWT − PST = − N̄3Tc/16 < 0, lo que sugiere que
el tipo DW es físicamente preferible. Este resultado es consistente con el ferromagnético interatómico
interacción, es decir, c̄2 < 0.
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Bibliografía
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7) D. M. Stamper-Kurn, M. R. Andrews, A. P. Chikkatur, S. Inouye, H.-J. Miesner, J. Stenger y
W. Ketterle: Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 2027.
8) H.-J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn, J. Stenger, S. Inouye, A. P. Chikkatur y W. Ketterle: Phys.
Rev. Lett. 82 (1999) 2228.
9) T. Tsuchida y M. Wadati: J. Phys. Soc. Jpn. 67 (1998) 1175.
10) J. Ieda, T. Miyakawa y M. Wadati: Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 194102.
11) J. Ieda, T. Miyakawa y M. Wadati: J. Phys. Soc. Jpn. 73 (2004) 2996.
12) J. Ieda, M. Uchiyama y M. Wadati: J. Matemáticas. Phys. 48 (2007) 013507.
13) M. Uchiyama, J. Ieda y M. Wadati: J. Phys. Soc. Jpn. 75 (2006) 064002.
14) M. Olshanii: Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 938.
15) T.-L. Ho: Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 742.
16) T. Ohmi y K. Machida: J. Phys. Soc. Jpn. 67 (1998) 1822.
17) M. Wadati y N. Tsuchida: J. Phys. Soc. Jpn. 75 (2006) 014301.
18) T. Kawata y H. Inoue: J. Phys. Soc. Jpn. 44 (1978) 1722.
19) In ref. 18, el lado derecho del eq. (49) es 0+200· · · · ·. Tememos que exista un error de impresión.
de la señal.
20) X.-J. Chen, J. Yang y W. K. Lam: J. Phys. A 39 (2006) 3263.
18/18
| Investigamos las propiedades dinámicas de los solitones brillantes con un finito
fondo en el condensado de F=1 espinor Bose-Einstein (BEC), basado en un
Modelo espinor integrable que es equivalente a la matriz no lineal
Ecuación de Schr\"{o}dinger con una no linealidad auto-enfocada. Aplicamos el
método de dispersión inversa formulado para las condiciones límite no desvanecimiento. Los
las soluciones de soliton resultantes pueden considerarse como una generalización de las
la desaparición de las condiciones de frontera. Las soluciones de un solo solito se derivan en un explicitado
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De acuerdo con los comportamientos en el infinito, se clasifican en
dos tipos, tipo de dominio-wall (DW) y tipo de desplazamiento de fase (PS). El tipo DW implica
el estado ferromagnético con giro total no nulo y el tipo PS implica el
estado polar, donde el giro total asciende a cero. También discutimos dos soliton
colisiones. En particular, el fenómeno de spin-mixing se confirma en un
colisión con el tipo DW. Los resultados son coherentes con los de
estudios previos para solitones brillantes en condiciones límite de desaparición y
Solitarios oscuros. Como resultado, establecemos la robustez y la utilidad de
los solitones múltiples de ondas de materia en los BECs de espino.
| Introducción
En 2002, los solitones brillantes de la onda de la materia en casi una dimensión (1D) Bose-Einstein conden-
sates (BECs) fueron observados experimentalmente.1, 2) Solitones brillantes propagan en la mayoría de los casos con
Amplitudes mucho mayores que los solitones oscuros3, 4) y se espera que tengan el potencial de
diversas aplicaciones como el transporte coherente y la interferometría de átomos. Propagación de soliton
en BEC puede ser descrito por la ecuación Gross-Pitaevskii (GP). La ecuación GP, llamada la
La ecuación no lineal de Schrödinger (NLS) en ciencia no lineal, es integrable y tiene soliton solu-
ciones en un sistema unidimensional y uniforme. Avances experimentales y teóricos recientes
sobre los solitones brillantes de onda materia son revisados, por ejemplo, en ref. 5.
La creación experimental de solitones de ondas de materia se ha logrado hasta ahora sólo para
componente BEC. Es, sin embargo, muy interesante considerar la propagación del soliton en BEC
con grados internos de libertad, así llamado, spinor BEC. Cuando BEC de átomos alcalinos ultrafríos
está atrapado exclusivamente por medios ópticos, el giro hiperfino de los átomos permanece liberado. Los
spinor BEC se realizó de tal manera.6–8) Los grados internos de libertad dotan a los solitones con
una multiplicidad. Los múltiples solitones mostrarán una rica variedad de dinámicas. Aquí, nos centramos en
el sistema de bosón en el estado de rotación F = 1 hiperfina, ejemplificado por 23Na, 39K y 87Rb. Los
Ecuación GP multicomponente para F = 1 spinor BEC se convierte en un modelo integrable en especial
puntos, que es matemáticamente equivalente a la ecuación NLS de la matriz. Un modelo integrable
con una no linealidad auto-enfocada permite realizar un análisis exacto a través de la dispersión inversa-
Método de ing (ISM) para la ecuación NLS de la matriz.9) En particular, soluciones de soliton brillante bajo
se obtienen las condiciones límite de desaparición (VBC), cuyas propiedades se investigan en refs.
10 y 11. Últimamente, el ISM para la ecuación NLS de la matriz bajo
12) Solitones oscuros en la F = 1 espinor BEC se puede investigar
mediante la aplicación del ISM en el marco de NVBC a un modelo integrable con una autodescentralización no lineal
ity.13) Aunque el ISM bajo NVBC está dedicado principalmente al caso de autodescentramiento, observamos
que esta técnica es también aplicable a un modelo integrable con una no linealidad autoenfocada,
que nos hace disponibles para soluciones de soliton brillantes con un fondo finito.
En este artículo, el detalle de los solitones brillantes de onda de materia en el cuasi-1D F = 1 spinor BEC
se investiga más a fondo, sobre la base de un modelo integrable. Consideramos brillante el spinor de ondas de materia
Solitos viajando sobre un fondo finito del condensado. Anotamos explícitamente nuevo
soluciones de soliton, y verificar que las soluciones de soliton obtenidas tienen las mismas propiedades
en comparación con los que no tienen antecedentes. En las configuraciones experimentales habituales, los condensados
son confinados en un régimen de tamaño finito, y los solitones brillantes de la onda de la materia acompañarán un
Fondo finito. El estudio que se da en este documento es significativo en circunstancias tan realistas.
El documento se organiza de la siguiente manera. En § 2, la ecuación GP para cuasi-1D F = 1 spinor BEC
se introduce. En particular, se presenta el modelo integrable. Allí, las interacciones entre
dos átomos se supone que son inter-atómico atractivo y ferromagnético, que conducen a brillante
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Solitos. En § 3, el método de dispersión inversa en condiciones de límite no discontinuas es
aplicado al modelo integrable. Esta aplicación conduce a soluciones de soliton brillante con un finito
antecedentes. También se proporcionan varias cantidades conservadas del modelo. Soluciones de un solo solito
se investigan en § 4. Los estados de giro de uno-solitons son clasificados, asumiendo que discreto
Los valores propios son puramente imaginarios. Las soluciones de dos solitones se discuten en el § 5. La última sección,
El artículo 6 está dedicado a las observaciones finales.
2. Ecuación GP para F = 1 Espinor Bose-Einstein Condensados
Para BEC de átomos alcalinos ultrafríos, la teoría del campo medio funciona bien, porque casi todos
los átomos entran en condensación y el condensado es diluido. En este documento, nos ocupamos de la
sistema cuasi-unidimensional. Los átomos en el estado de rotación F = 1 hiperfina tienen tres magnéticos
subestados etiquetados por el número cuántico magnético mF = 1, 0,−1. El sistema es charac-
terizado por un operador de campo vectorial con los componentes correspondientes a cada subestado,
= (1, 0, 1)
T, satisfaciendo las relaciones de conmutación a tiempo igual:
[(x, t),
(x′, t)] = (x− x′), (1)
donde los subíndices α, β toman el 1, 0,−1. En el marco de la teoría de campo medio para BEC,
el campo cuántico se sustituye por el parámetro de orden:
Φ(x, t) (x, t) = (Φ1(x, t),Φ0(x, t),1(x, t))T. (2)
Φ(x, t) se llama a menudo la función de onda de condensado spinor, que se normaliza al total
número de átomos NT:
dx(x, t)Φ(x, t) = NT. 3)
La función de onda condensada spinor obedece a un conjunto de ecuaciones de evolución acopladas, a saber, el
Ecuación GP multicomponente:
itΦ1 = −
2xΦ1 + (c̄0 + c̄2)
12 + 02
+(c̄0 − c̄2)12Φ1 + c21Φ20,
itΦ0 = −
2xΦ0 + (c̄0 + c̄2)
12 + 12
+ c̄002Φ0 + 2c̄20Φ11,
it1 = −
2x1 + (c̄0 + c̄2)
12 + 02
+(c̄0 − c̄2)121 + c̄21Φ20, (4)
donde c̄0 = (0 + 22)/3 y c̄2 = (2 − 0)/3 denotan constantes de acoplamiento 1D efectivas para la
el campo medio y la interacción de intercambio de giro, respectivamente. Aquí, el acoplamiento efectivo 1D
constantes f son dadas por
f =
4~2af
1 - Caf/a
, (5)
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donde af son las longitudes de dispersión de la onda s en el spin f canal hyperfine total, a es el
tamaño del estado transversal del suelo, m es la masa atómica, y C = (1/2) 1.46. Tenga en cuenta que
uno puede cambiar los valores de c̄0 y c̄2 afinando a.
La ecuación (4) se obtiene de la siguiente manera. La interacción entre dos átomos en la F = 1
estado de spin hyperfine tiene una forma,15, 16)
(x1 − x2) = (x1 − x2)
c̄0 + c̄2Fâ € 1 · Fâ € 2
, (6)
donde Fó es el operador de spin. La energía Gross-Pitaevskii funcional es así dado por
EGP[Φ] =
x +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
, (7)
donde los subíndices repetidos (α, β,, = 1, 0,−1) deben resumirse y f = (fx, fy, fz)T
con fi(i = x, y, z) 3× 3 matrices de spin-1. Entonces, el principio variacional: it(x, t) =
♥EGP[Φ]/
α(x, t), para α = 1, 0,−1, produce eq. 4).
Un hecho importante es que eq. (4) posee un punto completamente integrable cuando c̄0 = c̄2
−c < 0, equivalente, 20 = 2 > 0,10, 11) Esta condición se realiza cuando
a = 3C
2a0 + a2
, (8)
suponiendo que a0a2(a2−a0) > 0 se mantenga. La situación corresponde a atractivo (c̄0 < 0) y fer-
interacción magnética (c̄2 < 0). Cuando cambiamos la función de onda por Φ = (1,
2-0, 1)
y medir el tiempo y la longitud en unidades de t̄ = ~a/c y x̄ = ~
a/2mc, respectivamente, podemos
reescribir eq. (4) con c̄0 = c̄2 فارسى −c < 0 en la forma adimensional,
1 = 2 x 1 − 2 = 1 = 2 = 1 + 2 = 1 = 2 = 1 = 20,
1 = 2 = 2 = 2 = 1 + 2 + 2 + 1 = 2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ) 1 ) 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 = 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) = 1 = 1 ) 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ) 1 ) 1 ) 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
1 = 2x1 − 2(12 + 202)1 − 2120. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Entonces, eq. (9) se considera equivalente a una versión de matriz 2×2 de la ecuación NLS con una
no linealidad autoenfocada:
iŁtQ+ ♥
xQ+ 2QQ
†Q = O, (10)
con una identificación,
*1 *0
*0 1*
. (11)
La ecuación NLS (10) de la matriz es integrable en el sentido de que el problema de valor inicial puede
ser resuelto a través del método de dispersión inversa.9, 12) La integrabilidad de las ecuaciones reducidas
(9) se demuestra de este modo automáticamente. Por lo tanto, hemos derivado el modelo espinor integrable. Otro
punto integrable de eq. (4) es c̄0 = c̄2 c > 0, es decir, la ecuación NLS matriz con un auto-
13) Soluciones especiales para las constantes genéricas de acoplamiento c̄0, c̄2 se dan en
ref. 17.
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3. Solitarios brillantes con fondo finito
Consideramos soluciones de soliton brillantes del modelo integrable (9) bajo NVBC, mientras que
los que están bajo VBC se estudian en refs. 10 y 11. Resumimos brevemente los resultados de la inversa
método de dispersión para eq. (9) con NVBC.12)
Definimos las condiciones límite no evasivas como
Q(x, t) → Q±, x→ •,
±Q± = Q±Q
± =
0I, (12)
donde Ł0 es una constante real positiva y denota una matriz de 2 × 2 unidades. Tenga en cuenta que la desaparición
las condiciones de frontera se recuperan como 0 → 0. Análisis del ISM bajo rendimientos NVBC
la forma estándar de las soluciones múltiples de soliton de la ecuación NLS de matriz 2 × 2 con una
no linealidad autoenfocada (10) como
Q(x, t) = 0 e
I + 2i(I · · · I
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Aquí, una matriz compleja de 2 × 2 Πj se llama la matriz de polarización. S es una matriz 2N × 2N
definido por
Sij =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
♥ijI +
i(i + j)
En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa deberá ser igual o superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1 ≤ i, j ≤ N, (14)
donde ♥j es un eigenvalue discreto complejo para el estado consolidado y
j +
1/2 con
Se requiere para el ISM bajo NVBC que un Riemann de dos hojas
la superficie se introduce adecuadamente, debido a una función de doble valor. La fase de la
onda portadora, (x, t), viene dada por
(x, t) = kx− (k2 − 220)t+ , (15)
y la función de coordenadas es dada por
χj • χj(x, t) = 2i•j(x− 2(j) + k)t). 16)
La solución anterior es la solución de M(= N/2)-solitón. El ISM bajo NVBC para el auto-
El caso de enfoque resulta en pares de valores propios discretos correspondientes a cada hoja de Riemann.
La restricción se debe imponer a la j y a la j (j = 1, · · ·, N) de tal manera que la 2l-1 = 2l y
2l−1 = 2l para l = 1, · · ·, N/2. Al mismo tiempo, Πj debe cerciorarse de que Π2l−1 = Π
Para nuestra reducción al modelo integrable para F = 1 spinor BEC, debemos hacer el
Q potencial simétrico, notando eq. (11). La simetría de Q se refleja naturalmente en Πj.
Cuando tomamos cada Πj para ser simétrico en eq. (13), soluciones de soliton del modelo integrable
(9) con arreglo a la norma NVBC.
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La forma (13) es la forma estándar de soluciones de soliton en el sentido de que el límite
se supone que el valor en x→ • • eχj → 0 debe fijarse como
Q(x, t) e-i/23370/(x,t) → (17)
El modelo spinor, sin embargo, permite la transformación SU(2) de las soluciones, si se mantienen
Simétrica. Para ser concreto, dejemos que U sea una matriz unitaria de 2×2. Cuando Q es una solución de eq. (10)
con eq. (11), entonces
Q′ = UQUT, (18)
es también una solución. Asumiendo que Q es la forma estándar (13), el límite x→ de Q′ se convierte en
Q′ e-iŁ(x,t) → (19)
Q = UUT es la así llamada descomposición de Cholesky. Las condiciones arbitrarias de la frontera Q
que no sea eq. (17) se realizan así a través de la transformación SU(2). Por otra parte, la
comportamiento en el límite x → • varía dependiendo de si detΠ = 0 o no, que será
discutido más tarde para el caso de un solo soliton.
Hay otro concepto importante sobre un modelo integrable. Debido a la integrabilidad,
el modelo tiene las infinitas leyes de conservación, que restringen la dinámica del sistema en un
forma esencial. Varias cantidades conservadas, relacionadas con las cantidades físicas del sistema,
se enumeran a continuación:
Número total : N̄T =
dx n̄(x, t),
n̄(x, t) = tr (Q†Q)− tr (QQ±). (20)
Giro total : FT =
dx f(x, t),
f(x, t) = tr (QQ). (21)
Momento total : P̄T =
dx p̄(x, t),
p̄(x, t) = −i~[tr (Q†Qx)− tr (QQ±,x)]. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Energía total : •T =
dx ē(x, t),
ē(x, t) = c[tr (Q†xQx −Q†QQ†Q)
−tr (Q,xQ±,x −Q
±Q±)]. 23)
Aquí, = (Ox, Oy, Oz)
T son las matrices Pauli. Para evitar la divergencia de integrales, debemos
restar la contribución del fondo de las cantidades físicas, excepto el giro total,
a los que los antecedentes no contribuyen explícitamente. Estas sustracciones se enfatizan
por las barras en las densidades y cantidades conservadas. Densidad de giro local f = (fx, fy, fz)
es covariante bajo la transformación SU(2) (18), mientras que las otras densidades como n̄(x, t),
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p̄(x, t) y ē(x, t) son invariantes. El giro macroscópico total se dirige a hacer frente a un arbitrario
dirección por la rotación de giro global. La simetría SU(2) del sistema causa la energía
estados degenerados de solitarios para esta rotación de giro.
4. Soluciones de un solo sólotón
En esta sección, se investigan las soluciones de un solo soliton del modelo integrador de espinor (9) en
Detalle. Podemos derivar la forma explícita de soluciones de un solo soliton estableciendo N = 2 (M = 1) en
la fórmula (13). El cálculo es complicado pero sencillo. El resultado es el siguiente:
Q = 0 e
(x,t)
I + 2i
, (24)
donde detS es dado por
detS =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+eχ1\2\2\1\2
+ /1 /2( tr 2 − 1)
+e2x1/21
2 detΠ + e
2 x 2 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22 / 22
1 det. II
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+e2χ1+2χ22det2, (25)
y T es una matriz de 2× 2 tal que
T = eχ1111
2 e
χ2212 χ22 χ22 χ22 χ22 χ2
− eχ12112
1 trΠ · + 2 tr μ(tr2 − 1)I
• e2x1μ122 detΠ · I · e2x2μ221 det · I
+e2x1\2\2\2 detΠ
+21 Π
† tr · I
+eχ1+2χ21 detΠ
■ 22 trΠ · I
- e2x1+2x2x2 (+1 + +2) det2 · I. 26)
Explicamos los significados físicos de las anotaciones. La fase de la onda portadora es dada por
(x, t) = kx− (k2 − 220)t+ . (27)
Let lj y lj = (l)
j +
1/2 para j = 1, 2 ser constantes complejas que satisfagan
2 y
*1 = 2. Sin la pérdida de la generalidad, suponemos que (el 1, el 1) ((el 2, el 2)) pertenece a la parte superior
(inferior) Hoja de Riemann, que se caracteriza de tal manera que Im
χj(x, t) se expresa en términos de
χ1 • χ1 (x, t) = 2i • 1(x− 2( 1 + k)t), (28)
χ2 • χ2 (x, t) = 2i • 2(x− 2 • 2 + k) t). 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenga en cuenta que χ1 = χ
2 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Reχ denota así la coordenada del sobre soliton,
mientras que Imχ implica la fase de automodulación. La matriz de polarización Π es un 2×2 simétrico
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matriz. En este caso, la normalización en un sentido de la norma cuadrada se impone a Π como una cuestión de
comodidad:
, 22 + 2 + 2 = 1. (30)
Los otros parámetros son las funciones oportunas de los subartículos 0, 1 y 2 del Reglamento (UE) n.o 1303/2013:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, μ = i0
* 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + + 2 + 1 + 1 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
* 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + + 2 + + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2
, νj =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, = ν1 v2 − μ2, j = νj − μ, (31)
para j = 1, 2. Enumeramos el significado de cada parámetro de la siguiente manera:
k : número de onda de la onda portadora del soliton.
: amplitud de la onda portadora del soliton.
(x, t) : fase de la onda portadora del soliton.
Re χ (x, t) : coordenada del sobre del soliton.
Im χ (x, t) : fase de automodificación del soliton.
Π : matriz de polarización simétrica del soliton.
Las ecuaciones (24)-(26) son nuevas soluciones de soliton que nunca habían sido escritas explícitamente
en las literaturas. Si tomamos el límite de desvanecimiento 0 → 0, 1 y 2 convergen en 1 y 2,
respectivamente. Entonces,
· 2kR
Πe(χR/2) + (‡yy) eχR/2detΠ
e-(2χR) + 1 + e2χRdet2
eiχI, (32)
con anotaciones
e./2..................................................................................................................................................
, (33)
χR • χR(x, t) = kR(x− 2kI t)−, (34)
χI (x, t) = kIx+ (k2R − k2I )t, (35)
cada uno de los cuales posee la siguiente correspondencia, respectivamente:
kR = −2Im...........................................................................................................................................................................................................................................................
kI = 2Relâ1 + k, (37)
* = − ln(41). 38)
Las ecuaciones (32)-(35) son las mismas formas que las que figuran en ref. 11, excepto un factor de fase. Esta estafa...
la secuencia es natural pero no trivial, porque la fórmula de los solitos bajo VBC9 es bastante
diferente de lo que bajo NVBC (13), en particular, en la forma de la matriz S. En realidad, la
El desplazamiento inicial puede cambiarse arbitrariamente, independientemente de la eq. 38), por el cambio paralelo
de la posición x. Hemos demostrado que las soluciones de soliton (24)-(26) pueden ser consideradas como un
forma general de soluciones de soliton brillantes, incluyendo el caso de VBC.
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4.1 Clasificación por las condiciones de los límites
Demostraremos que hay dos tipos de soluciones de un solo solito dependiendo de la frontera.
condiciones, detΠ = 0 o detΠ 6 = 0. Clasificación similar sobre las condiciones de los límites
también existe para los solitones oscuros.13) Los ejemplos de instantáneas de perfiles de densidad de un solo soliton son:
se muestra en la Fig. 1. La fila superior es para detΠ = 0, y la fila inferior es para detΠ 6 = 0. Los
forma de sobre solitons parece una ola localmente oscilante en lugar de, literalmente, una ola solitaria,
debido a la automodulación debido a la velocidad compleja.
Para detΠ = 0, las condiciones límite del formulario estándar (24)-(26) son:
Q e-i-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e
Q e-i-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e
I - 2i - 1 trΠ - Π
† + 2 trΠ
† · μ(tr2 − 1)I
+ /1 /2( tr 2 − 1)
, x→ â € TM. (39)
Los valores límite de izquierda y derecha difieren no sólo en la fase mundial, sino también en la población
de cada componente, en general. Es decir, esas son las condiciones de límite rotado SU(2).
En la fila superior de la Fig. 1, vemos que el sobre soliton de cada componente forma la
forma de dominio-wall (DW), aunque no se manifiesta en la densidad total del número.
Por otro lado, para detΠ 6= 0, las condiciones de límite son
Q e-i-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e
Q e-i-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e
1− 2i
+1 +2 +2 +1 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 + + 2 + + 2 + + 2 + + 2 + + + 2 + 2 + 2 + + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + + + + + 2 + 2 + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + 2 + + + + + + + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + + 2 +
I, x→ â € ¬. (40)
En contraste con el caso de que detΠ = 0, ambos valores límite son matrices diagonales, y sólo
el cambio de fase (PS) ocurre. Es decir, esas son las condiciones de límite rotado U(1).
Por las razones anteriores, llamamos a las soluciones de un solo soliton el tipo DW para detΠ = 0, y el
Tipo PS para detΠ 6= 0. Observa lo siguiente; el perfil de densidad de giro del tipo DW sugiere
que el giro total no es cero, mientras que el de tipo PS es dipolo-forma, lo que implica que el total
spin equivale a cero. Ver el panel derecho de la Fig. 1. Esta observación se solidificará en § 4.3.
4.2 Caso de valores propios discretos puramente imaginarios
El ISM realizado en las hojas de Riemann implica una función de doble valor de la espectral
parámetro, y por lo general representa una representación muy complicada de soluciones N -soliton
incluso para N = 1, como se ve en eqs. (24)-(26). Para simplificar una representación explícita, es
Conveniente asumir que Łj y Łj son puramente imaginarios.
18) Se utiliza un enfoque similar
para el análisis de soluciones de N-solitón de la ecuación derivada NLS bajo NVBC.20)
Si tomamos un par de valores propios discretos como
(l'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1'a, 1', 1'a, 1'a, 1', 1'a, 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1'a, 1', 1'a, 1', 1'a, 1'a, 1', 1', 1'a, 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1', 1'
donde los números reales positivos son de tal manera que
En el caso de los vehículos de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
1 (42)
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a) b) c)
Fig. 1. Snapshots de perfiles de densidad de uno-soliton. La fila superior está trazada para detΠ = 0 en el momento
t = 0, con k = 0, 0 = 1, 1 = 1+i, 1 = 1,27+0,79i (χ(x, t) = −(1,57−2,54i)x− (8,23−1,94i)t)
y Π =
4/5 2/5
2/5 1/5
. La fila inferior está trazada para detΠ 6= 0 en el momento t = 0, con la
los mismos parámetros, excepto Π =
2 2/5
2/5 3/(5)
. El panel izquierdo (a) representa la densidad local
para cada componente, 12 (línea sólida), 02 (línea de cadena) y 12 (línea punteada). El panel central
b) representa la densidad de número local n, donde se incluye la contribución de los antecedentes. Los
panel derecho (c) representa las densidades locales de giro, fx (línea sólida) y fz (línea punteada). Fy desaparece
idénticamente debido a la elección de una matriz real Π.
Obtenemos una forma relativamente simple de soluciones de un solo soliton como
Q = 0 e
(x,t)
I + 2i
, (43)
detS = 1−
(tr Π(t) + tr(t)) + e2χP
trΠ(t)2
(detΠ(t) + det(t)−
tr(t)detΠ(t) + trΠ(t)det(t)
e4χP detΠ(t)2, (44)
2i T =
2 Π(t)2 − 1) e2χP + 2e2χP
detΠ(t) +
det(t)
tr (t)detΠ(t) +
trΠ(t)det(t)
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−2() + () eχP + 2
e2xP tr(t) + 2
e3xP det(t)
-2(-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-) - (-)
e2χP trΠ(t) + 2
e3χP detΠ(t)
(t), (45)
donde la coordenada del sobre soliton es dada por
χP (x, t) = −20(x− 2kt), (46)
y la dependencia temporal de la modulación de fase está integrada en la matriz de polarización,
a saber,
Π (t) Π (e) (e) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (47)
Cuando tomamos el límite de 0 a 0 con 0 a 0 y 0 a 0 se mantiene finito en eqs. (43)-(45), Q converge
a la forma de eqs. (32)-(35), que acompaña a los parámetros kR = −2
− En (41 ° 0 ° ° ° )....................................................................................................................................................................................................................................................... Aquí, kR y kI son parámetros libres independientes, aparte de la inicial trivial
Desplazamiento. En este sentido, a pesar de la reducción, todavía podemos considerar la forma de una
soluciones de soliton (43)-(45) como forma general de las incluidas en VBC.
También podemos tomar otro límite. Es decir, consideramos la reducción al componente único
caso. Si nos fijamos
k = 0, Π =
ei..............................................................................................................................................................................................................................................................
, (48)
el componente (1,1) de Q se convierte en
Q11 · e−i(2
= 0 - 2 - 0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
0t+ فارسى)
Cos(20x+) cos(420t+)
, (49)
en los que se indica el valor de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de las emisiones de CO2 en el caso de CO2 en el caso de las emisiones de CO2. La forma (49) fue dada en ref. 18. Así verificamos que nuestras soluciones de soliton
son también la generalización de aquellos para la ecuación NLS de un solo componente bajo NVBC.19)
4.3 Estado de giro
En esta subsección, discutimos los estados de giro de soluciones de un solo-soliton con una espalda finita-
tierra, calculando el giro total. La ley de conservación garantiza que obtenemos el
giro total FT de la integración en el momento arbitrario. Por lo tanto, podemos seleccionar el tiempo para que el
el cálculo se hace más fácil. Nos concentramos en el caso de un eigenval discreto puramente imaginario.
ues. Como resultado, vemos que el tipo DW está asociado con el estado ferromagnético, mientras que
el tipo PS está asociado con el estado polar. Soluciones de un solo solo-solito para des-
Los valores propios del hormigón (43)-(45) incluyen los que están bajo VBC, aparte de un desplazamiento inicial, y
Por lo tanto, la clasificación sobre los estados de giro que se presentan a continuación es más amplia que la realizada
antes de 10, 11)
4.3.1 Estado ferromagnético
Para detΠ = 0 (tipo DW), sustituimos eqs. (43)-(45) en eq. (21) y calcular el total
Gira. El tiempo t′ tal que trΠ(t′) + tr(t′) = 0 sea adecuado para el cálculo. El resultado es
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de la siguiente manera:
FT = 4-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0
(β + γ)}
− 2Im(β − γ)}
(2 − 2)
.............................................
+ 2
, (50)
con el módulo
F T2 = (40)2 (51)
El número total de las partículas transformadas en un soliton, N̄T, se calcula por eq. (20),
N̄T = 4-0-, (52)
y el rango del valor tomado por F T2 se expresa en términos de N̄T,
N̄2T ≤ F T2 ≤ N̄2T + (4-0)2. (53)
Tenga en cuenta que, en el límite de desvanecimiento 0 → 0, el módulo de la vuelta total es siempre igual a
el número total de las partículas, a saber, F T → NT.
Con giro total no nulo, el tipo DW de los solitones pertenece al estado ferromagnético.
Dado que las interacciones ferromagnéticas interatómicas se suponen aquí, los solitones tienden a tomar la
estado ferromagnético o tipo DW. En varios contextos de la física, los muros de dominio son topo-
Solitones lógicos relacionados con la ruptura de la simetría. Aquí, resultando de los muros de dominio,
la entidad magnética emerge como la simetría espontáneamente rota. Es digno de notar
que el caso N̄T < FT puede suceder. El fondo es spinless, pero su estado interno de giro
parece estar afectado por el hecho de que el soliton ferromagnético corre sobre el fondo.
De este modo, el fondo contribuye al giro total.
4.3.2 Estado polar
Si detΠ 6= 0 (tipo PS), los solitones muestran la otra propiedad magnética. El tiempo t′ tal
que detΠ(t′) = det(t′) > 0 es adecuado para el análisis. Después de largos cálculos, el local
densidad de giro en el momento se deriva como
= 820 e
−32(χP ′)
β − γ
* e2(χP ′) sinh(χP ′)
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
sinh(2χP ′)
((tr (t′))2 − tr Π(t′)2) + 4°detΠ(t′) + 2°(tr Π(t′)2 − 1)
sinh(χP ′)
+h.c., (54)
fy = 32
-3UIM(β − γ)2(χP ′)
Sinh(2χP ′)− (trΠ(t′) + tr(t′)) sinh(χP ′)
, (55)
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en el que (χP ′) es una función par de χP ′, χP ′(x, t) es una coordenada de desplazamiento paralelo, y
constante:
(χP ′) 2 cosh(2xP ′)−
2 e
(trΠ(t′) + tr (t′)) cosh(χP ′)
*2 + trΠ(t′)2
2detΠ(t′)
, (56)
χP ′ χP + UL = −20(x2kt′) + UL, (57)
# En... #
(detΠ(t′))1/2
. (58)
Tenga en cuenta que fx y fz comparten la misma forma funcional. Cada componente del giro local anterior
densidad es una función impar de χP ′ y, en particular, tiene el nodo en el mismo punto x0 tal
que χP ′(x0, t
′) = 0, a saber, x0 = 2kt
′ + (2-oOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
−1ou. En consecuencia, el giro total asciende a
cero:
dxf(χP ′) = (0, 0, 0)
T. (59)
Por esta razón, el tipo PS de los solitarios, en promedio, pertenece al estado polar.15)
5. Colisión de dos solitones
Procedemos a la discusión de las colisiones de dos solitones en el modelo espinor integrable (9).
Las soluciones de dos solitones se obtienen estableciendo N = 4 (M = 2) en la fórmula (13). Ahí está.
existen dos valores propios discretos independientes y matrices de polarización simétrica, respectivamente,
Es decir, 1 ° = 1 ° °
2 y Π1 = Π
2 para uno de los solitones,
4 y Π3 = Π
4 para el otro. Cada uno
el soliton se separa en t =. Entonces, un dos-soliton es asintóticamente dos uno-solitons. Los
clasificación de soluciones de un solo solito basado en los valores de los determinantes de la polarización
Por lo tanto, las matrices, examinadas en la sección anterior, son válidas para las soluciones de dos solitones.
La derivación de la forma explícita es más complicada que en el caso de un solo soliton
soluciones. Para la ecuación NLS derivada bajo NVBC, soluciones explícitas de dos solitones y
se han obtenido analíticamente cambios en las posiciones del soliton debidos a colisiones entre los solitones,
en el caso de valores propios puramente imaginarios, donde la complejidad del cálculo es considerablemente
Esta estrategia, sin embargo, no se encuentra en nuestra ecuación NLS bajo NVBC. Los
la razón se entiende a partir de eq. 46). En el modelo espinor, los valores propios puramente imaginarios dan
dos solitones con la misma velocidad 2k, y no chocan entre sí. En consecuencia,
no podemos investigar las propiedades de las colisiones para valores propios discretos puramente imaginarios.
Nadie ha estudiado soluciones explícitas multi-solitón de la ecuación NLS bajo NVBC, incluso en
el caso de un solo componente, debido a la complejidad computacional.
Aquí, mostramos gráficamente los comportamientos característicos de dos colisiones de soliton en el
modelo spinor, mediante el uso de las soluciones exactas dadas por el ISM. Refiriéndose a ellos, llevamos
fuera de las discusiones cualitativas. Aunque los gráficos presentados se representan para el
parámetros, se observan mucho los mismos comportamientos para parámetros arbitrariamente seleccionados.
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La figura 2 ilustra el comportamiento de una colisión mutua entre dos tipos de PS, donde
detΠ1 6= 0 y detΠ3 6= 0. Se puede ver que, en los tres componentes, ambos solitones re-
sus formas antes y después de la colisión, que es la propiedad común con los solitarios
en el caso de un solo componente. En este sentido, la colisión PS-PS soliton es esencialmente equivalente a
Colisión de dos solitones de la ecuación NLS de un solo componente.
La figura 3 ilustra el comportamiento de una colisión mutua entre el tipo DW y el tipo PS,
donde detΠ1 = 0 y detΠ3 6 = 0. El comportamiento de las colisiones entre el tipo DW y el tipo PS es
cualitativamente ajeno a eso entre dos tipos de PS. Se observa que, en el tipo PS, gran parte de
la población que inicialmente habita el subestado hiperfino F = 1,mF = ±1 se transfiere a
el subestado hiperfino F = 1,mF = 0 debido a la colisión. En cambio, en el tipo de DW, tales
la transferencia de spin no se produce, y la forma de la pared del dominio se preserva contra la colisión. Esto
El fenómeno puede interpretarse de la siguiente manera. DW tipo, con giro no cero, puede afectar a la interna
estado de giro del tipo PS, mientras que el tipo PS, que se espera que tenga cero giro en total, no
afectan al estado interno de rotación del tipo DW. Este tipo de fenómeno de giro-transferencia, llamado el
spin-switching, ha sido predicho por primera vez para el caso de VBC.11) Debido a las leyes de conservación,
el número total, el giro total y así sucesivamente son invariantes durante todo el proceso de colisión.
Se permite la mezcla de población entre los grados internos de libertad, en la medida en que la conservación
las leyes no son violadas. El spin-switching es uno de los procesos dinámicos que hacen que el
Espinoso solitons más interesante.
Por último, para una colisión mutua entre dos tipos de DW, donde detΠ1 = detΠ3 = 0, la
se espera que las formas de ambos solitos sean deformadas por la colisión ya que cada soliton lleva
giro total no nulo. De hecho, la drástica mezcla de población se ve en la Fig. 4, que muestra un ejemplo
de este tipo de colisiones. Uno encuentra que los muros de dominio “repelen” en la región de colisión, más bien
que chocar.
a) b) c)
Fig. 2. Parcelas de densidad de 12 (a), 02 (b) y 12 (c) para una colisión mutua entre dos tipos de PS.
Los parámetros utilizados aquí son k = 1, 0 = 1, 1 = 1,03i, 3 = 1,05 + i, Π1 =
2 i/2
i/2 0
0 i/2
i/2 1/
. La velocidad del soliton derecho (izquierda) en movimiento es de 2.00 (−3.41). La colisión
se lleva a cabo en t = 0.
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a) b) c)
Fig. 3. Las parcelas de densidad de 12 (a), 02 (b) y 12 (c) para una colisión mutua entre DW-
tipo y tipo PS. Los parámetros utilizados aquí son los mismos que los de la Fig. 2, a excepción de:
2i/3 −1/3
, Π3 =
0-1/
. El soliton derecho (izquierda) en movimiento es de tipo DW
(tipo PS).
a) b) c)
# 2 #2 #2 #1 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #2 #
t t t
x x x
Fig. 4. Las parcelas de densidad de 12 (a), 02 (b) y 12 (c) para una colisión mutua entre dos DW-
tipos. Los parámetros utilizados aquí son los mismos que los de la Fig. 2, excepto Π1 =
1/2 i/2
i/2 −1/2
. Los valores más de 2 son de color blanco.
6. Observaciones finales
En este artículo, hemos investigado las propiedades dinámicas de los solitones brillantes de ondas de materia
con un fondo finito en el condensado de F = 1 espinor Bose-Einstein. Para realizar nuestro anal...
Ysis concretamente, hemos explotado un modelo espinor integrable con una no linealidad auto-enfocada
y el método de dispersión inversa en condiciones de límite no desvanecimiento. La situación
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que los solitones de onda de materia se encuentran en un fondo finito encaja con los experimentos.
Las soluciones de un solo solito se derivan explícitamente y se estudian en detalle. Desde el punto de vista de la
vista matemática, ofrecen formas generales de soluciones de soliton brillante de la ecuación NLS.
Hemos confirmado que nuestras soluciones de un solo solito incluyen las obtenidas en las obras anteriores.
Las soluciones de un solo solito se clasifican en dos tipos por la diferencia de las condiciones de frontera;
Tipo DW y tipo PS. Los perfiles de densidad de giro de un solo soliton varían dependiendo de
ary conditions. En el caso de valores propios discretos puramente imaginarios, hemos mostrado analíticamente
que el tipo DW está en el estado ferromagnético, mientras que el tipo PS está en el estado polar. El exis...
tence de dos propiedades magnéticas distintas para las soluciones de un solo soliton también da lugar a fascinante
fenómenos en el caso de colisiones de dos solitones, por ejemplo, el cambio de giro. Lo anterior
los resultados para los solitones brillantes con un fondo finito concuerdan con los de los solitones brillantes bajo
VBC10, 11) y solitones oscuros.13)
Siguen existiendo varios problemas. Es deseable extender nuestro análisis al caso de la
valores propios discretos. Cálculos de las cantidades conservadas distintas de la rotación total
también son necesarios. (En el apéndice figura un enfoque.) Además, deseamos investigar
propiedades analíticas de las soluciones generales de N-soliton bajo NVBC en el modelo espinor. No hace falta.
para decir, cálculos demasiado complicados son inevitables para los problemas anteriores. El resto
los problemas deben ser discutidos en otra parte.
Concluimos que las propiedades de los solitones múltiples de la materia-onda en los BECs espinores
son interesantes y deben ser útiles en diversas aplicaciones. Solitarios brillantes son preferibles a
solitones oscuros para aplicaciones, debido a la ventaja en la distancia de propagación. Esperamos
que nuestro análisis contribuye a iluminar las propiedades dinámicas de los solitones en el spinor
BECs, que deberían demostrarse experimentalmente en un futuro próximo.
Reconocimiento
Uno de los autores (TK) reconoce al Dr. J. Ieda y al Dr. M. Uchiyama por su valiosa
comentarios y discusiones.
Apéndice: Varias cantidades conservadas de soluciones de un solo solito
Las cantidades conservadas nos ayudan a entender la dinámica del sistema. En este ap-
pendix, calculamos el número total, el giro total, el impulso total y el total
energía del modelo spinor. Asumimos que, además de puramente imaginario eigen discreto
valores, Π es una matriz simétrica real de 2×2. La condición de que Π es una matriz simétrica real
es inherente al caso de autodescentramiento, es decir, los solitarios oscuros.12)
Para Π =, las soluciones de un solo solito de valores autóctonos discretos puramente imaginarios (43)-(45) ser-
viene la siguiente forma en t = t′ = (4n− 1) ........................................................................
Q = 0 e
(x,t)
I + 4i........................................................................................................................................
Πe−(χP
′/2) + (yy) eχP
′/2detΠ
e-(2χP
′) + 1 + e2χP
(det.Π)2
, (A·1)
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J. Phys. Soc. Jpn. Papel completo
donde e
′/2 concierne a la población de la zona del euro. Este formulario es adecuado para los cálculos, ya que la parte imaginaria está separada
del verdadero. Se puede ver claramente que las soluciones de un solo solito bajo VBC (32) están localizadas
sobre un fondo finito en la forma (A·1). Tenga en cuenta que la forma de la pared de dominio se pierde incluso para
detΠ = 0 allí.
Varias cantidades conservadas de los solitones (A·1) se calculan mediante el uso de eqs. (20)-(23).
Los resultados de detΠ = 0 se dan por
N̄T = 40, (A·2)
FT = N̄T
2α(β + γ)
β2 − γ2
, F T = N̄T, (A·3)
P̄T = N̄T~k, (A·4)
T = N̄Tc
(k2 − 220)−
, (A·5)
y los de detΠ 6= 0 se dan por
N̄T = 8 siguientes, (A·6)
FT = (0, 0, 0)
T, (A·7)
P̄T = N̄T~k, (A·8)
T = N̄Tc
(k2 − 220)−
. (A·9)
Es intrigante que, para la amplitud fija y el eigenvalue discreto, N̄T, P̄T y
El tipo PS (detΠ 6= 0) tiene sólo dos valores como los del tipo DW (detΠ = 0), respectivamente.
Esto nos permite interpretar que el tipo PS de los solitones es un estado de unión de los dos tipos DW
de solitones. Además, para la amplitud fija y el número total, la energía total
El tipo DW es inferior al del tipo PS: DWT − PST = − N̄3Tc/16 < 0, lo que sugiere que
el tipo DW es físicamente preferible. Este resultado es consistente con el ferromagnético interatómico
interacción, es decir, c̄2 < 0.
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J. Phys. Soc. Jpn. Papel completo
Bibliografía
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18) T. Kawata y H. Inoue: J. Phys. Soc. Jpn. 44 (1978) 1722.
19) In ref. 18, el lado derecho del eq. (49) es 0+200· · · · ·. Tememos que exista un error de impresión.
de la señal.
20) X.-J. Chen, J. Yang y W. K. Lam: J. Phys. A 39 (2006) 3263.
18/18
|
704.0083 | Why there is something rather than nothing (out of everything)? | ¿Por qué hay algo más que nada (de todo)?
A.O.Barvinsky
Departamento de Teoría, Instituto de Física Lebedev, Leninsky Prospect 53, 119991 Moscú, Rusia
La trayectoria integral sobre geometrías euclidianas para la matriz de densidad recientemente sugerida de la
El universo se muestra para describir un conjunto microcanónico en la cosmología cuántica. Este conjunto
corresponde a una distribución uniforme (peso uno) en el espacio de fase de las variables físicas verdaderas, pero
en términos de la geometría espacio-tiempo observable se pico sobre complejos sillín-puntos de la
Lorentzian camino integral. Están representados por los instantones cosmológicos recientemente obtenidos
limitado a un rango limitado de la constante cosmológica. Cosmologías inflacionarias generadas por estos
instantones en etapas tardías de expansión experimentan aceleración cuya escala de baja energía puede ser alcanzada
dentro del concepto de dimensiones adicionales en evolución dinámica. Por lo tanto, junto con los límites
rango de la constante cosmológica temprana, este conjunto cosmológico sugiere el mecanismo de
limitar el paisaje de la vacua de cuerda y, simultáneamente, una posible solución a la energía oscura
problema en la forma de la decadencia cuasi-equilibrio del estado microcanónico del Universo.
Números PACS: 04.60.Gw, 04.62.+v, 98.80.Bp, 98.80.Qc
La gravedad cuántica euclidiana (EQG) es un pato cojo en
física moderna de partículas y cosmología. Después de su suma...
mit a principios y finales de los años ochenta (en forma de
propuestas lógicas de función de onda [1, 2] y universos de bebés
boom [3]) el interés en esta teoría declinó gradualmente,
especialmente, en el contexto cosmológico, donde el problema de
las condiciones iniciales cuánticas fueron sustituidas por la
el concepto de inflación estocástica [4]. EQG no pudo soportar la
carga de la indefinición de la gravitación euclidiana
acción [5] y el debate cosmológico del túnel vs.
propuestas sin fronteras [6].
Por lo tanto, una matriz de densidad EQG recientemente sugerido de la
Universo [7] no se cree que sea un candidato viable
para el estado inicial del Universo, a pesar de que evita
la catástrofe infrarroja de la pequeña constante cosmológica
, genera un conjunto de universos en el limitado
y sugiere un mecanismo de selección fuerte
para el paisaje de vacua de cuerda [7, 8]. Aquí queremos
justificar este resultado al derivarlo de los primeros principios de
Gravedad cuántica lorenziana aplicada a una microcanónica
conjunto de modelos cosmológicos cerrados.
Las propiedades térmicas en la cosmología cuántica [9] están en
corporativo por un estado físico mixto, que es dinam-
Es más preferible que un estado puro de Hartle...
Tipo Hawking. Esto sigue de la trayectoria integral para
la suma estadística del GCE [7, 8]. Puede ser lanzado en el
forma de la integral sobre un minisuperespacio del lapso
función N(l) y factor de escala a(l) de cerrado espacialmente
FRW métrica ds2 = N2(
e =
periódica
D[ a,N] eE [ a,N], (1)
eE [ a,N ] =
periódica
(x) e-SE [ a,N ;♥(x) ]. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Aquí E [ a, N ] es la acción efectiva euclidiana de todos
campos de “materia” inhomogéneos que incluyen también
Perturbaciones ric en el fondo minisuperespacio Φ(x) =
(l)(x), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l). SE [a,N ;♥(x)] es el clas-
la acción Eucidea, y la integración se extiende por encima de
campos riodicos en el espacio-tiempo euclidiano con una
tiempo registrado (de la topología S1 × S3).
Para campos de materia libre, acoplados de forma conforme a grav-
ity (que se supone que está dominando en el sistema
) la acción efectiva tiene la forma [7] E [ a,N ] =
d NL(a, a′) + F (η), a′ Aquí NL(a, a′) es
el efectivo lagrangiano de su parte local, incluyendo el
término clásico Einstein (con la constante cosmológica
• = 3H2) y la contribución de la anomalía conformal
de campos cuánticos y su energía de vacío (Casimir),
L(a, a′) = −aa′2−a+H2a3+B
. 3)
F (η) es la energía libre de su cuasi-equilibrio excita-
ciones con la temperatura dada por la inversa de la
tiempo de conformidad η =
n.d.a. Este es un bosón típico o
suma de fermión F (η) = ±
1 e
sobre el campo oscil-
Lators con energías, en una unidad de 3 esferas. Trabajamos en
unidades de mP = (3η/4G)
1/2, y B es el disuasorio constante-
minado por el coeficiente del término Gauss-Bonnet en el
anomalía general conformal de todos los campos (x).
Semiclasicamente la integral (1) está dominada por la
puntos de sillín — soluciones de la ecuación de Friedmann
− H2 − C
, (4)
modificado por el término cuántico B y el término de radiación
C/a4 con la constante C satisfaciendo el bootstrap equa-
ión C = B/2 + dF (η)/dη. Tales soluciones representan
instantons de tipo guirnalda que existen sólo en el limitado
rango 0 < Łmin < < 3m
P/B [7, 8] y eliminar el
catástrofe infrarroja de = 0. El período de estos cuasi-
las instantáneas térmicas no son un parámetro que pueda especificarse libremente,
pero como una función de...................................................................................................................................... Ahí...
Esto no es un conjunto canónico.
Contrariamente a la construcción anterior, la densidad ma-
trix que abogamos aquí es dado por el camino canónico
integral de la gravedad cuántica Lorentziana. Su núcleo en el
http://arxiv.org/abs/0704.0083v2
representación de 3-métricas y campos de materia
bajo como q lee
(q+, q−) = e
q(t±)= q±
D[ q, p,N] e
dt (p qNμHμ)
, (5)
donde la integración se extiende sobre historias de fase-espacio
variables (q(t), p(t) que interpolan entre q± a t± y
los multiplicadores Lagrange de las restricciones gravitacionales
Hμ = Hμ(q, p) — Caída y cambio de funcionesN(t) = N
μ(t).
La medida D[ q, p,N ] incluye el factor de fijación del calibrador
que contiene la función delta (χ) =
μ (χ)
μ) de gálibo
condiciones y el factor fantasma [10, 11] (condensado
índice μ incluye también etiquetas espaciales continuas). Lo es.
importante que el rango de integración de Nμ
N < N < N > >, (6) < N < N > > < N > > < N > >, (6) < N < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N < N > < N < N > < N < N > < N < N > < N < N < N > < N < N > < N > < N < N > < N < N < N > < N > < N < N < N < N > < N < N < N < N < N > < N < N < N > < N > > < N < N < N > > > < N < N < N < N < N > < N > > < N > > > > > > > > < N > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < < < < < < < < < < < < < < < > > > > > > > > > > > > > > > > > >
es tal que genera en el integrand el delta-
funciones de estas limitaciones (H) =
μ (Hμ). As a
consecuencia el kernel (5) satisface el conjunto de quantum
Restricciones Dirac — Ecuaciones Wheeler-DeWitt
q, Ł/i/23370/q
( q, q− ) = 0, (7)
y la matriz de densidad (5) puede considerarse un operador
delta-función de estas limitaciones
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(
”. (8)
Esta notación no debe ser entendida literalmente porque
esta función múltiple delta no está bien definida, para el
operadores no conmutan y forman una cuasi-álgebra
con funciones de estructura no discontinuas. Por otra parte, ex-
la realización del operador del acto no se conoce excepto el
primeras dos órdenes de una ~-expansión semiclásica [12]. Por...
No necesitamos una forma precisa de estos problemas.
tirantes, porque vamos a proceder con su trayectoria-integral
soluciones bien ajustadas a la perturbación semiclásica
teoría. Esta estrategia no se extiende más allá de lo habitual.
consideraciones teóricas de campo cuando la ruta integral es
Considerado más fundamental que el Schrodinger equa-
sión con los problemas de igualdad de tiempo divergentes
conmutadores, pedidos de operador, etc.
La esencia misma de nuestra propuesta es la interpretación
de (5) y (8) como matriz de densidad de un microcanonical
conjunto en cosmología cuántica espacialmente cerrada. Un sim-
plest analogía es la matriz de densidad de un sin restricciones
sistema que tiene un Hamiltonian conservado en el micro-
Estado canónico con una energía fija E, ( − E).
La principal distinción de (8) de este caso es que espacialmente
cosmología cerrada no tiene libremente especifi-
Estantes de movimiento como la energía u otras cargas globales.
Más bien tiene como constantes de movimiento el Hamiltoniano y
restricciones de impulso Hμ, todas ellas con un valor particular
— cero. Por lo tanto, la expresión (8) puede ser considerada
como un candidato más general y natural para el cuántico
el estado del Universo cerrado. A continuación confirmamos este hecho
al demostrar que en el sector físico la correspondencia
La suma estadística es sólo una distribución uniforme (con
un peso unitario) integral sobre todo el espacio de fase de verdad
grados físicos de libertad. Por lo tanto, esto es una suma sobre
Todo. Sin embargo, en términos de la cantidad observable
lazos, como la geometría espacio-tiempo, esta distribución resulta
a ser alcanzado no trivialmente alrededor de un conjunto particular de uni-
versos. Semiclasicamente esta distribución es dada por el
Matriz de densidad EQG y los instantones sillín-punto de
el tipo anterior [7].
De la normalización de la matriz de densidad en el
espacio físico Hilbert la suma estadística sigue como el
ruta integral
1 = Trphys =
q, Ł/i/23370/q
(q, q′)
periódica
D[ q, p,N] e i
dt(p qNμHμ), (9)
donde la integración se desarrolla periódicamente en el tiempo histo-
ciones de q = q(t). Aquí μ
q, Ł/i/23370/q
= es el mea-
seguro que distingue el producto interior físico en
el espacio de soluciones de las ecuaciones Wheeler-DeWitt
(12) = 12 de la del espacio de cuadrado-
funciones integrables, 12 =
dq 12. Esta medida
incluye la función delta de las condiciones del gálibo unitario
y un factor de operador construido con la ayuda de la pertinente
determinante fantasma [12].
Por otro lado, en términos del espacio de fase física
variables la ruta integral Faddeev-Popov es igual a [10, 11]
D[ q, p,N] e i
dt (p qNμHμ)
DqphysDpphys e
dt (pphys qàphys−Hphys(t))
= Trphys
T e-i
dd phys(t)
, (10)
donde T denota el orden cronológico. Aquí la
física Hamiltonian Hphys(t) y su operador realiza-
phys(t) sólo se eliminan en los calibradores unitarios ex-
en función del tiempo [12],
μ(q, p, t) 6= 0. En estática
calibradores, tχ
μ = 0, se desvanecen idénticamente, porque en el spa-
cosmología cerrada tially el Hamiltoniano completo se reduce a
la combinación de limitaciones.
La ruta integral (10) es calibrado-independiente sobre-concha
[10, 11] y coincide con eso en el medidor estático.
Por lo tanto, de Eqs.(9)-(10) con phys = 0, el sta-
suma tistica de nuestro conjunto microcanonico es igual a
e = Trphys Iphys =
dqphys dpphys
= suma sobre todo. (11)
Esta última instalación, no modulada por ningún no-
densidad trivial de los estados, es un resultado de la covarianza general
y la naturaleza cerrada del Universo, carente de
constantes confiables de movimiento. El volumen integral de la totalidad
espacio de fase física, cuya estructura y topología es
no conocida, es muy no trivial. Sin embargo, a continuación mostramos
que semiclasicamente está determinado por métodos EQG
y apoyado por instantones de [7] que abarcan un límite
rango de la constante cosmológica.
La integración sobre momenta en (9) produce un lagrangiano
ruta integral con una medida y acción pertinente
e =
D[ q,N] eisL[ q, N ]. (12)
La integración se extiende a través de campos periódicos (no se indica ex-
plícitamente pero asumido en todas partes abajo) incluso a pesar de la
Firma lorenziana del espacio-tiempo subyacente. Sim...
A la luz del procedimiento de [7, 8] que dio lugar a 1) a 2) en
el caso euclidiano, nos descomponemos [ q,N ] en un min-
isuperspace [ aL(t), NL(t) ] y la “materia”
, el subíndice L que indica su Lorentzian na-
tura. Con una descomposición pertinente de la medida
D[ q,N ] = D[ aL, NL ]×Dl(x), la suma microcanónica
toma la forma
e =
D[ aL, NL] e
[ aL, NL ], (13)
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = ; = = = = = = = ; ; = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
DL(x) e
iSL[ aL, NL;l(x)], (14)
donde LL, NL es una acción efectiva de Lorentzia. Los
punto estacionario de (13) es una solución del equa-
ión L/lNL(t) = 0. En el calibrador NL = 1 se lee como
una versión lorenziana de la ecuación euclidiana (4) y
la ecuación bootstrap para la constante de radiación C con
el Wick rotado = él, a() = aL(t), η = i
dt/aL(t).
Sin embargo, con estas identificaciones C resulta ser
puramente imaginario (en vista de la naturaleza compleja de la
energía libre F (i
dd/aL)). Por lo tanto, no hay solu-
ciones existen en el espacio-tiempo con una métrica real de Lorentzia.
Por el contrario, tales soluciones existen en el euclidiano
espacio tiempo. Alternativamente, este último se puede obtener con
la variable de tiempo inalterada t = , aL(t) = a(), pero
con la función de lapso rotado Wick
NL = −iN, iSL[ aL, NL;L] = −SE[ a,N ; ]. (15)
En el indicador N = 1 (NL = −i) estas soluciones exactamente
coinciden con los instantes de [7]. Los correspondientes
puntos de silla de montar de (13) puede ser alcanzado deformando el
contorno de integración (6) de NL en el plano complejo a
pasar a través del punto NL = −i y reetiquetar el real
Lorentzian t con el Euclidiano ♥. En términos de la Unión Europea
clidiano N(), a() y (x) las integrales (13) y (14)
tomar la forma de las integrales de ruta (1) y (2) en EQG,
[ a, N ] = E [ a, N ]. 16)
Sin embargo, el contorno de integración para el euclidiano N(
va desde −iŁ hasta +iŁ a través del punto de sillín N = 1.
Esta es la fuente de la rotación conformal en Euclidiano
gravedad cuántica, que está llamada a resolver el problema de
sin límites de la acción gravitacional y con eficacia
hace de los instantones una naturaleza térmica, aunque
se originan en el conjunto microcanónico. Esto
mecanismo aplica la justificación del GCE a partir de
cuantificación canónica de la gravedad [14] (véase también [15] en
contexto de agujero negro).
Para mostrar esto calculamos (1) en un bucle aprox-
imatación con la medida heredada de la canónica
path integral (5) D[ a,N ] = DaDN μ[ a,N ] [χ ] DetQ.
Aquí μ[ a,N ] es una medida local determinada por el La-
grangiano NL(a, a′), (3), en la parte local de ŁE [a,N],
μ1−loop =
(NL)
N a2a′2
D = a′2(a2 −B +B a′2). (17)
El factor Faddeev-Popov [χ ] DetQ contiene un indicador
condición χ = χ(a,N) fijación de la dif-
feomorfismo,............................................................................................................................................................................................................................................................
el mal f = f(l) tiene la forma fN N̄(l) − N(l) = ,
a) = f/N, y Q = Q(d/d
operador fantasma determinado por la transformación del medidor
de χ(a,N), fχ = Q(d/d
El modo conformal de las perturbaciones
N = N0 en el fondo de la silla de montar (etiquetado
abajo por cero, a = a0 + ♥a, N = N0 + N) origii-
nates de la imposición del calibrador de fondo χ(a,N) =
N − (N0/a0) En este indicador Q = a(d/d/23370/)a−1, y
la parte cuadrática de la E toma la forma [13]
E = −
3ηm2P
, (18)
donde D es dada por (17). Como se sabe a partir de [7] para el
≥ a2− > B (a− es el giro-
punto de ing con el valor más pequeño de a0(l), de modo que D > 0
en todas partes excepto en los puntos de inflexión donde D degener-
come a cero. Por lo tanto, el valor de 0 para el real, pero el valor de
La integración gaussiana corre a lo largo de los ejes imaginarios y
produce el determinante funcional del operador positivo
— el núcleo de la forma cuadrática (18)
e1−loop = e0 DetQ0
D/a′2
= e0×Det
)]-1/2
En vista de las condiciones periódicas de los límites para
ators sus determinantes se cancelan mutuamente (su cero
modos a ser eliminados porque corresponden a la
Simetría de matanza conformal de los instantones FRW) [13].
Por lo tanto, la contribución del modo conformal re-
duce a la selección de instantons con un tiempo fijo pe-
riod, dotándolos efectivamente de una naturaleza termal.
Como se sugiere en [7, 8, 16] estos instantáneos sirven como
condiciones iniciales para los universos inflacionarios que evolucionan
según la versión lorenziana de Eq.4) y, con retraso
etapas, tienen dos ramas de una aceleración cosmológica
con escalas Hubble H2
= (m2P /B)(1±(1−2BH2)1/2). Si
la inicial • = 3H2 es un campo de Inflaton compuesto que decae
al final de la inflación, entonces una de las ramas sub-
acelera con H2+ = 2m
P/B. Esto está determinado.
por la nueva escala de gravedad cuántica sugerida en [8] – la
límite superior de la gama instanton, máxima = 3m
P /B.
Para emparejar el modelo con la inflación y la energía oscura
fenómeno, uno necesita B del orden de la inflación
escala en el Universo muy temprano y B 10120 ahora, así que
que este parámetro debería ser efectivamente una función cada vez mayor
ciones de tiempo.
Esta imagen parece encajar en la teoría de cuerdas en su baja-
nivel energético-teorético de campo. Entonces, con un rango limitado
de la Vacua, podría limitar el paisaje de la cuerda vacua
[7, 8]. Por otra parte, la teoría de cuerdas tiene una meca cualitativa-
nism para promover la constante B al nivel de un mod-
uli variable creciendo indefinidamente con el tamaño en evolución
R(t) de dimensiones adicionales. En efecto, B como coeficiente en
la anomalía general conformal del quantum de 4 dimensiones
los campos básicamente cuenta su número N, B â € N. En el
La teoría de Kaluza-Klein (KK) y la teoría de cuerdas
Los campos de 4 dimensiones surgen como modos de KK y de bobinado con
las masas [17]
m2n,w =
R2 (19)
(enumerado por el KK y los números de bobinado), que
romper su simetría conformal. Estos modos siguen siendo
aproximadamente conformalmente invariante siempre y cuando su
las masas son mucho más pequeñas que la curvatura del espacio-tiempo,
m2n,w + H2+ + m2P /N. Por lo tanto, el número de
Los modos mal invariantes cambian con R. Estimaciones simples
mostrar que para los modos puros de KK (w = 0, n ≤ N) su num-
ber crece con R como N ® (mPR)2/3, mientras que para puro
modos de bobinado (n = 0, w ≤ N) su número crece con
la R decreciente como N â € (mPâ €/R)2/3. Por lo tanto, el efecto
de crecimiento indefinido B es posible para ambos escenarios
con dimensiones adicionales en expansión o contracción. En el
primer caso esta es la torre creciente de superhorizon KK
modos que hacen la escala del horizonte H+ = mP
2/B
mP /(mPR)
1/3 Disminución indefinida con R → فارسى. In
el segundo caso esta es la torre de superhorizon sinuoso
modos que hacen que esta escala de aceleración disminuya con
la R decreciente como H+ • mP (R/mP®)1/3. Este efecto
es lo suficientemente flexible como para dar cabida a la actual ac-
escala de aceleración H0 + 10-60mP (aunque, por el precio de
afinación de un enorme coeficiente de expansión o con-
tracción de R). Esto da un nuevo mecanismo de energía oscura
impulsado por la anomalía conformal y trascendiendo la
fases inflacionarias y de dominación de la materia, empezando por
el estado de la distribución microcanónica.
En resumen, dentro de un conjunto mínimo de supuestos
(la equipamiento en el espacio de fase física (11),
parece que tenemos el mecanismo de limitar la
paisaje de vacua de cuerda y obtener la evolución completa de
el Universo como un cuasi-equilibrio decaimiento de su
estado microcanónico. Por lo tanto, contrariamente a las anticipaciones
de Sidney Coleman, “no hay nada más que
Algo” [3], se puede decir que algo (más bien
que Nada) viene de Todo.
El autor agradece a O. Andreev, C. Deffayet, A. Kamen-
shchik, J.Khoury, H.Tye, A.Tseytlin, I.Tyutin y
B.Voronov por discusiones de reflexión y espe-
cialmente Andrei Linde, este trabajo ha aparecido como un...
respuesta intencionada a su descontento con el EQG
dicciones. El trabajo contó con el apoyo de la subvención RFBR 05-
02-17661, la subvención LSS 4401.2006.2 y la subvención SFB 375
en la Universidad Ludwig-Maximilians de Múnich.
[1] J.B.Hartle y S.W.Hawking, Phys.Rev. D28, 2960
(1983); S.W.Hawking, Nucl. Phys. B 239, 257 (1984).
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Rev. D 30, 509 (1984).
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[4] A.A.Starobinsky, en Teoría de Campo, Gravedad Cuántica y
Cuerdas, 107 (eds. H.De Vega y N.Sánchez, Springer,
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mology (Harwood, Chur, Suiza, 1990).
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[7] A.O.Barvinsky y A.Yu.Kamenshchik, J. Cosmol. Como...
Tropart. Phys. 09, 014 (2006), hep-th/0605132.
[8] A.O.Barvinsky y A.Yu.Kamenshchik, Phys. Rev. D74,
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estadísticas cuánticas, 67 (eds. I.Batalin et al, Hilger, Bris-
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[15] D. Brown y J.W. York, Jr., Phys. Rev. D 47, 1420
(1993), gr-qc/9209014.
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[17] J. Polchinski, Teoría de Cuerdas (Cambridge University Press,
Cambridge, 1998).
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9804051
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9812027
http://arxiv.org/abs/hep-th/0605132
http://arxiv.org/abs/hep-th/0611206
http://arxiv.org/abs/hep-th/0505104
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9612003
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9209014
http://arxiv.org/abs/hep-th/0701201
| El camino integral sobre geometrías euclidianas para el recientemente sugerido
matriz de densidad del Universo se muestra para describir un conjunto microcanónico
en cosmología cuántica. Este conjunto corresponde a un uniforme (peso uno)
distribución en el espacio de fase de las variables físicas verdaderas, pero en términos de la
geometría espacio-tiempo observable es pico sobre complejos sillín-puntos de la
{\em Lorentzian} camino integral. Están representados por el recién obtenido
instantones cosmológicos limitados a un rango limitado de la cosmología
constante. Cosmologías inflacionarias generadas por estos instantones en etapas tardías
de expansión se someten a aceleración cuya escala de baja energía se puede alcanzar dentro de
el concepto de dimensiones adicionales en evolución dinámica. Por lo tanto, junto con el
rango limitado de la constante cosmológica temprana, este conjunto cosmológico
sugiere el mecanismo de limitar el paisaje de vacua de cuerda y,
al mismo tiempo, una posible solución al problema de la energía oscura en forma de
el decaimiento cuasi-equilibrio del estado microcanónico del Universo.
| ¿Por qué hay algo más que nada (de todo)?
A.O.Barvinsky
Departamento de Teoría, Instituto de Física Lebedev, Leninsky Prospect 53, 119991 Moscú, Rusia
La trayectoria integral sobre geometrías euclidianas para la matriz de densidad recientemente sugerida de la
El universo se muestra para describir un conjunto microcanónico en la cosmología cuántica. Este conjunto
corresponde a una distribución uniforme (peso uno) en el espacio de fase de las variables físicas verdaderas, pero
en términos de la geometría espacio-tiempo observable se pico sobre complejos sillín-puntos de la
Lorentzian camino integral. Están representados por los instantones cosmológicos recientemente obtenidos
limitado a un rango limitado de la constante cosmológica. Cosmologías inflacionarias generadas por estos
instantones en etapas tardías de expansión experimentan aceleración cuya escala de baja energía puede ser alcanzada
dentro del concepto de dimensiones adicionales en evolución dinámica. Por lo tanto, junto con los límites
rango de la constante cosmológica temprana, este conjunto cosmológico sugiere el mecanismo de
limitar el paisaje de la vacua de cuerda y, simultáneamente, una posible solución a la energía oscura
problema en la forma de la decadencia cuasi-equilibrio del estado microcanónico del Universo.
Números PACS: 04.60.Gw, 04.62.+v, 98.80.Bp, 98.80.Qc
La gravedad cuántica euclidiana (EQG) es un pato cojo en
física moderna de partículas y cosmología. Después de su suma...
mit a principios y finales de los años ochenta (en forma de
propuestas lógicas de función de onda [1, 2] y universos de bebés
boom [3]) el interés en esta teoría declinó gradualmente,
especialmente, en el contexto cosmológico, donde el problema de
las condiciones iniciales cuánticas fueron sustituidas por la
el concepto de inflación estocástica [4]. EQG no pudo soportar la
carga de la indefinición de la gravitación euclidiana
acción [5] y el debate cosmológico del túnel vs.
propuestas sin fronteras [6].
Por lo tanto, una matriz de densidad EQG recientemente sugerido de la
Universo [7] no se cree que sea un candidato viable
para el estado inicial del Universo, a pesar de que evita
la catástrofe infrarroja de la pequeña constante cosmológica
, genera un conjunto de universos en el limitado
y sugiere un mecanismo de selección fuerte
para el paisaje de vacua de cuerda [7, 8]. Aquí queremos
justificar este resultado al derivarlo de los primeros principios de
Gravedad cuántica lorenziana aplicada a una microcanónica
conjunto de modelos cosmológicos cerrados.
Las propiedades térmicas en la cosmología cuántica [9] están en
corporativo por un estado físico mixto, que es dinam-
Es más preferible que un estado puro de Hartle...
Tipo Hawking. Esto sigue de la trayectoria integral para
la suma estadística del GCE [7, 8]. Puede ser lanzado en el
forma de la integral sobre un minisuperespacio del lapso
función N(l) y factor de escala a(l) de cerrado espacialmente
FRW métrica ds2 = N2(
e =
periódica
D[ a,N] eE [ a,N], (1)
eE [ a,N ] =
periódica
(x) e-SE [ a,N ;♥(x) ]. 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
Aquí E [ a, N ] es la acción efectiva euclidiana de todos
campos de “materia” inhomogéneos que incluyen también
Perturbaciones ric en el fondo minisuperespacio Φ(x) =
(l)(x), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l), (l). SE [a,N ;♥(x)] es el clas-
la acción Eucidea, y la integración se extiende por encima de
campos riodicos en el espacio-tiempo euclidiano con una
tiempo registrado (de la topología S1 × S3).
Para campos de materia libre, acoplados de forma conforme a grav-
ity (que se supone que está dominando en el sistema
) la acción efectiva tiene la forma [7] E [ a,N ] =
d NL(a, a′) + F (η), a′ Aquí NL(a, a′) es
el efectivo lagrangiano de su parte local, incluyendo el
término clásico Einstein (con la constante cosmológica
• = 3H2) y la contribución de la anomalía conformal
de campos cuánticos y su energía de vacío (Casimir),
L(a, a′) = −aa′2−a+H2a3+B
. 3)
F (η) es la energía libre de su cuasi-equilibrio excita-
ciones con la temperatura dada por la inversa de la
tiempo de conformidad η =
n.d.a. Este es un bosón típico o
suma de fermión F (η) = ±
1 e
sobre el campo oscil-
Lators con energías, en una unidad de 3 esferas. Trabajamos en
unidades de mP = (3η/4G)
1/2, y B es el disuasorio constante-
minado por el coeficiente del término Gauss-Bonnet en el
anomalía general conformal de todos los campos (x).
Semiclasicamente la integral (1) está dominada por la
puntos de sillín — soluciones de la ecuación de Friedmann
− H2 − C
, (4)
modificado por el término cuántico B y el término de radiación
C/a4 con la constante C satisfaciendo el bootstrap equa-
ión C = B/2 + dF (η)/dη. Tales soluciones representan
instantons de tipo guirnalda que existen sólo en el limitado
rango 0 < Łmin < < 3m
P/B [7, 8] y eliminar el
catástrofe infrarroja de = 0. El período de estos cuasi-
las instantáneas térmicas no son un parámetro que pueda especificarse libremente,
pero como una función de...................................................................................................................................... Ahí...
Esto no es un conjunto canónico.
Contrariamente a la construcción anterior, la densidad ma-
trix que abogamos aquí es dado por el camino canónico
integral de la gravedad cuántica Lorentziana. Su núcleo en el
http://arxiv.org/abs/0704.0083v2
representación de 3-métricas y campos de materia
bajo como q lee
(q+, q−) = e
q(t±)= q±
D[ q, p,N] e
dt (p qNμHμ)
, (5)
donde la integración se extiende sobre historias de fase-espacio
variables (q(t), p(t) que interpolan entre q± a t± y
los multiplicadores Lagrange de las restricciones gravitacionales
Hμ = Hμ(q, p) — Caída y cambio de funcionesN(t) = N
μ(t).
La medida D[ q, p,N ] incluye el factor de fijación del calibrador
que contiene la función delta (χ) =
μ (χ)
μ) de gálibo
condiciones y el factor fantasma [10, 11] (condensado
índice μ incluye también etiquetas espaciales continuas). Lo es.
importante que el rango de integración de Nμ
N < N < N > >, (6) < N < N > > < N > > < N > >, (6) < N < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N > < N < N > < N < N > < N < N > < N < N > < N < N < N > < N < N > < N > < N < N > < N < N < N > < N > < N < N < N < N > < N < N < N < N < N > < N < N < N > < N > > < N < N < N > > > < N < N < N < N < N > < N > > < N > > > > > > > > < N > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < < < < < < < < < < < < < < < > > > > > > > > > > > > > > > > > >
es tal que genera en el integrand el delta-
funciones de estas limitaciones (H) =
μ (Hμ). As a
consecuencia el kernel (5) satisface el conjunto de quantum
Restricciones Dirac — Ecuaciones Wheeler-DeWitt
q, Ł/i/23370/q
( q, q− ) = 0, (7)
y la matriz de densidad (5) puede considerarse un operador
delta-función de estas limitaciones
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(
”. (8)
Esta notación no debe ser entendida literalmente porque
esta función múltiple delta no está bien definida, para el
operadores no conmutan y forman una cuasi-álgebra
con funciones de estructura no discontinuas. Por otra parte, ex-
la realización del operador del acto no se conoce excepto el
primeras dos órdenes de una ~-expansión semiclásica [12]. Por...
No necesitamos una forma precisa de estos problemas.
tirantes, porque vamos a proceder con su trayectoria-integral
soluciones bien ajustadas a la perturbación semiclásica
teoría. Esta estrategia no se extiende más allá de lo habitual.
consideraciones teóricas de campo cuando la ruta integral es
Considerado más fundamental que el Schrodinger equa-
sión con los problemas de igualdad de tiempo divergentes
conmutadores, pedidos de operador, etc.
La esencia misma de nuestra propuesta es la interpretación
de (5) y (8) como matriz de densidad de un microcanonical
conjunto en cosmología cuántica espacialmente cerrada. Un sim-
plest analogía es la matriz de densidad de un sin restricciones
sistema que tiene un Hamiltonian conservado en el micro-
Estado canónico con una energía fija E, ( − E).
La principal distinción de (8) de este caso es que espacialmente
cosmología cerrada no tiene libremente especifi-
Estantes de movimiento como la energía u otras cargas globales.
Más bien tiene como constantes de movimiento el Hamiltoniano y
restricciones de impulso Hμ, todas ellas con un valor particular
— cero. Por lo tanto, la expresión (8) puede ser considerada
como un candidato más general y natural para el cuántico
el estado del Universo cerrado. A continuación confirmamos este hecho
al demostrar que en el sector físico la correspondencia
La suma estadística es sólo una distribución uniforme (con
un peso unitario) integral sobre todo el espacio de fase de verdad
grados físicos de libertad. Por lo tanto, esto es una suma sobre
Todo. Sin embargo, en términos de la cantidad observable
lazos, como la geometría espacio-tiempo, esta distribución resulta
a ser alcanzado no trivialmente alrededor de un conjunto particular de uni-
versos. Semiclasicamente esta distribución es dada por el
Matriz de densidad EQG y los instantones sillín-punto de
el tipo anterior [7].
De la normalización de la matriz de densidad en el
espacio físico Hilbert la suma estadística sigue como el
ruta integral
1 = Trphys =
q, Ł/i/23370/q
(q, q′)
periódica
D[ q, p,N] e i
dt(p qNμHμ), (9)
donde la integración se desarrolla periódicamente en el tiempo histo-
ciones de q = q(t). Aquí μ
q, Ł/i/23370/q
= es el mea-
seguro que distingue el producto interior físico en
el espacio de soluciones de las ecuaciones Wheeler-DeWitt
(12) = 12 de la del espacio de cuadrado-
funciones integrables, 12 =
dq 12. Esta medida
incluye la función delta de las condiciones del gálibo unitario
y un factor de operador construido con la ayuda de la pertinente
determinante fantasma [12].
Por otro lado, en términos del espacio de fase física
variables la ruta integral Faddeev-Popov es igual a [10, 11]
D[ q, p,N] e i
dt (p qNμHμ)
DqphysDpphys e
dt (pphys qàphys−Hphys(t))
= Trphys
T e-i
dd phys(t)
, (10)
donde T denota el orden cronológico. Aquí la
física Hamiltonian Hphys(t) y su operador realiza-
phys(t) sólo se eliminan en los calibradores unitarios ex-
en función del tiempo [12],
μ(q, p, t) 6= 0. En estática
calibradores, tχ
μ = 0, se desvanecen idénticamente, porque en el spa-
cosmología cerrada tially el Hamiltoniano completo se reduce a
la combinación de limitaciones.
La ruta integral (10) es calibrado-independiente sobre-concha
[10, 11] y coincide con eso en el medidor estático.
Por lo tanto, de Eqs.(9)-(10) con phys = 0, el sta-
suma tistica de nuestro conjunto microcanonico es igual a
e = Trphys Iphys =
dqphys dpphys
= suma sobre todo. (11)
Esta última instalación, no modulada por ningún no-
densidad trivial de los estados, es un resultado de la covarianza general
y la naturaleza cerrada del Universo, carente de
constantes confiables de movimiento. El volumen integral de la totalidad
espacio de fase física, cuya estructura y topología es
no conocida, es muy no trivial. Sin embargo, a continuación mostramos
que semiclasicamente está determinado por métodos EQG
y apoyado por instantones de [7] que abarcan un límite
rango de la constante cosmológica.
La integración sobre momenta en (9) produce un lagrangiano
ruta integral con una medida y acción pertinente
e =
D[ q,N] eisL[ q, N ]. (12)
La integración se extiende a través de campos periódicos (no se indica ex-
plícitamente pero asumido en todas partes abajo) incluso a pesar de la
Firma lorenziana del espacio-tiempo subyacente. Sim...
A la luz del procedimiento de [7, 8] que dio lugar a 1) a 2) en
el caso euclidiano, nos descomponemos [ q,N ] en un min-
isuperspace [ aL(t), NL(t) ] y la “materia”
, el subíndice L que indica su Lorentzian na-
tura. Con una descomposición pertinente de la medida
D[ q,N ] = D[ aL, NL ]×Dl(x), la suma microcanónica
toma la forma
e =
D[ aL, NL] e
[ aL, NL ], (13)
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = ; = = = = = = = ; ; = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
DL(x) e
iSL[ aL, NL;l(x)], (14)
donde LL, NL es una acción efectiva de Lorentzia. Los
punto estacionario de (13) es una solución del equa-
ión L/lNL(t) = 0. En el calibrador NL = 1 se lee como
una versión lorenziana de la ecuación euclidiana (4) y
la ecuación bootstrap para la constante de radiación C con
el Wick rotado = él, a() = aL(t), η = i
dt/aL(t).
Sin embargo, con estas identificaciones C resulta ser
puramente imaginario (en vista de la naturaleza compleja de la
energía libre F (i
dd/aL)). Por lo tanto, no hay solu-
ciones existen en el espacio-tiempo con una métrica real de Lorentzia.
Por el contrario, tales soluciones existen en el euclidiano
espacio tiempo. Alternativamente, este último se puede obtener con
la variable de tiempo inalterada t = , aL(t) = a(), pero
con la función de lapso rotado Wick
NL = −iN, iSL[ aL, NL;L] = −SE[ a,N ; ]. (15)
En el indicador N = 1 (NL = −i) estas soluciones exactamente
coinciden con los instantes de [7]. Los correspondientes
puntos de silla de montar de (13) puede ser alcanzado deformando el
contorno de integración (6) de NL en el plano complejo a
pasar a través del punto NL = −i y reetiquetar el real
Lorentzian t con el Euclidiano ♥. En términos de la Unión Europea
clidiano N(), a() y (x) las integrales (13) y (14)
tomar la forma de las integrales de ruta (1) y (2) en EQG,
[ a, N ] = E [ a, N ]. 16)
Sin embargo, el contorno de integración para el euclidiano N(
va desde −iŁ hasta +iŁ a través del punto de sillín N = 1.
Esta es la fuente de la rotación conformal en Euclidiano
gravedad cuántica, que está llamada a resolver el problema de
sin límites de la acción gravitacional y con eficacia
hace de los instantones una naturaleza térmica, aunque
se originan en el conjunto microcanónico. Esto
mecanismo aplica la justificación del GCE a partir de
cuantificación canónica de la gravedad [14] (véase también [15] en
contexto de agujero negro).
Para mostrar esto calculamos (1) en un bucle aprox-
imatación con la medida heredada de la canónica
path integral (5) D[ a,N ] = DaDN μ[ a,N ] [χ ] DetQ.
Aquí μ[ a,N ] es una medida local determinada por el La-
grangiano NL(a, a′), (3), en la parte local de ŁE [a,N],
μ1−loop =
(NL)
N a2a′2
D = a′2(a2 −B +B a′2). (17)
El factor Faddeev-Popov [χ ] DetQ contiene un indicador
condición χ = χ(a,N) fijación de la dif-
feomorfismo,............................................................................................................................................................................................................................................................
el mal f = f(l) tiene la forma fN N̄(l) − N(l) = ,
a) = f/N, y Q = Q(d/d
operador fantasma determinado por la transformación del medidor
de χ(a,N), fχ = Q(d/d
El modo conformal de las perturbaciones
N = N0 en el fondo de la silla de montar (etiquetado
abajo por cero, a = a0 + ♥a, N = N0 + N) origii-
nates de la imposición del calibrador de fondo χ(a,N) =
N − (N0/a0) En este indicador Q = a(d/d/23370/)a−1, y
la parte cuadrática de la E toma la forma [13]
E = −
3ηm2P
, (18)
donde D es dada por (17). Como se sabe a partir de [7] para el
≥ a2− > B (a− es el giro-
punto de ing con el valor más pequeño de a0(l), de modo que D > 0
en todas partes excepto en los puntos de inflexión donde D degener-
come a cero. Por lo tanto, el valor de 0 para el real, pero el valor de
La integración gaussiana corre a lo largo de los ejes imaginarios y
produce el determinante funcional del operador positivo
— el núcleo de la forma cuadrática (18)
e1−loop = e0 DetQ0
D/a′2
= e0×Det
)]-1/2
En vista de las condiciones periódicas de los límites para
ators sus determinantes se cancelan mutuamente (su cero
modos a ser eliminados porque corresponden a la
Simetría de matanza conformal de los instantones FRW) [13].
Por lo tanto, la contribución del modo conformal re-
duce a la selección de instantons con un tiempo fijo pe-
riod, dotándolos efectivamente de una naturaleza termal.
Como se sugiere en [7, 8, 16] estos instantáneos sirven como
condiciones iniciales para los universos inflacionarios que evolucionan
según la versión lorenziana de Eq.4) y, con retraso
etapas, tienen dos ramas de una aceleración cosmológica
con escalas Hubble H2
= (m2P /B)(1±(1−2BH2)1/2). Si
la inicial • = 3H2 es un campo de Inflaton compuesto que decae
al final de la inflación, entonces una de las ramas sub-
acelera con H2+ = 2m
P/B. Esto está determinado.
por la nueva escala de gravedad cuántica sugerida en [8] – la
límite superior de la gama instanton, máxima = 3m
P /B.
Para emparejar el modelo con la inflación y la energía oscura
fenómeno, uno necesita B del orden de la inflación
escala en el Universo muy temprano y B 10120 ahora, así que
que este parámetro debería ser efectivamente una función cada vez mayor
ciones de tiempo.
Esta imagen parece encajar en la teoría de cuerdas en su baja-
nivel energético-teorético de campo. Entonces, con un rango limitado
de la Vacua, podría limitar el paisaje de la cuerda vacua
[7, 8]. Por otra parte, la teoría de cuerdas tiene una meca cualitativa-
nism para promover la constante B al nivel de un mod-
uli variable creciendo indefinidamente con el tamaño en evolución
R(t) de dimensiones adicionales. En efecto, B como coeficiente en
la anomalía general conformal del quantum de 4 dimensiones
los campos básicamente cuenta su número N, B â € N. En el
La teoría de Kaluza-Klein (KK) y la teoría de cuerdas
Los campos de 4 dimensiones surgen como modos de KK y de bobinado con
las masas [17]
m2n,w =
R2 (19)
(enumerado por el KK y los números de bobinado), que
romper su simetría conformal. Estos modos siguen siendo
aproximadamente conformalmente invariante siempre y cuando su
las masas son mucho más pequeñas que la curvatura del espacio-tiempo,
m2n,w + H2+ + m2P /N. Por lo tanto, el número de
Los modos mal invariantes cambian con R. Estimaciones simples
mostrar que para los modos puros de KK (w = 0, n ≤ N) su num-
ber crece con R como N ® (mPR)2/3, mientras que para puro
modos de bobinado (n = 0, w ≤ N) su número crece con
la R decreciente como N â € (mPâ €/R)2/3. Por lo tanto, el efecto
de crecimiento indefinido B es posible para ambos escenarios
con dimensiones adicionales en expansión o contracción. En el
primer caso esta es la torre creciente de superhorizon KK
modos que hacen la escala del horizonte H+ = mP
2/B
mP /(mPR)
1/3 Disminución indefinida con R → فارسى. In
el segundo caso esta es la torre de superhorizon sinuoso
modos que hacen que esta escala de aceleración disminuya con
la R decreciente como H+ • mP (R/mP®)1/3. Este efecto
es lo suficientemente flexible como para dar cabida a la actual ac-
escala de aceleración H0 + 10-60mP (aunque, por el precio de
afinación de un enorme coeficiente de expansión o con-
tracción de R). Esto da un nuevo mecanismo de energía oscura
impulsado por la anomalía conformal y trascendiendo la
fases inflacionarias y de dominación de la materia, empezando por
el estado de la distribución microcanónica.
En resumen, dentro de un conjunto mínimo de supuestos
(la equipamiento en el espacio de fase física (11),
parece que tenemos el mecanismo de limitar la
paisaje de vacua de cuerda y obtener la evolución completa de
el Universo como un cuasi-equilibrio decaimiento de su
estado microcanónico. Por lo tanto, contrariamente a las anticipaciones
de Sidney Coleman, “no hay nada más que
Algo” [3], se puede decir que algo (más bien
que Nada) viene de Todo.
El autor agradece a O. Andreev, C. Deffayet, A. Kamen-
shchik, J.Khoury, H.Tye, A.Tseytlin, I.Tyutin y
B.Voronov por discusiones de reflexión y espe-
cialmente Andrei Linde, este trabajo ha aparecido como un...
respuesta intencionada a su descontento con el EQG
dicciones. El trabajo contó con el apoyo de la subvención RFBR 05-
02-17661, la subvención LSS 4401.2006.2 y la subvención SFB 375
en la Universidad Ludwig-Maximilians de Múnich.
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http://arxiv.org/abs/gr-qc/9804051
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9812027
http://arxiv.org/abs/hep-th/0605132
http://arxiv.org/abs/hep-th/0611206
http://arxiv.org/abs/hep-th/0505104
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9612003
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9209014
http://arxiv.org/abs/hep-th/0701201
|
704.0086 | Clustering in a stochastic model of one-dimensional gas | Agrupamiento en un modelo estocástico de gas unidimensional
Los Anales de Probabilidad Aplicada
2008, Vol. 18, No. 3, 1026-1058
DOI: 10.1214/07-AAP481
c© Instituto de Estadística Matemática, 2008
INCLUYE EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE
GAS DE UN DIMENSIONAL
Por Vladislav V. Vysotsky1
Universidad Estatal de San Petersburgo
Damos un análisis cuantitativo del agrupamiento en un modelo estocástico
de gas unidimensional. En el tiempo cero, el gas consiste en n idéntico
partículas que se distribuyen aleatoriamente en la línea real y tienen cero
velocidades iniciales. Partículas comienzan a moverse bajo las fuerzas del mutuo
atracción. Cuando las partículas chocan, se pegan formando una nueva
partícula, llamada cluster, cuya masa y velocidad están definidas por las leyes
de la conservación.
Estamos interesados en el comportamiento asintótico de Kn(t) como nó,
donde Kn(t) indica el número de grupos en el momento t en el sistema
con n partículas iniciales. Nuestro principal resultado es un teorema de límite funcional
para Kn(t). Su prueba se basa en la propiedad de localización descubierta
del proceso de agregación, que establece que el comportamiento de cada uno
la partícula es esencialmente definida por el movimiento de las partículas vecinas.
1. Introducción.
1.1. Descripción del modelo. Damos un análisis cuantitativo de clus-
en un modelo estocástico de gas unidimensional. En el tiempo cero, el gas
consiste en n partículas de punto, cada una de la masa 1
. Estas partículas están...
domly distribuido en la línea real y tienen cero velocidades iniciales. Partículas
comienzan a moverse bajo las fuerzas de la atracción mutua. Cuando dos o más
las partículas chocan, se pegan formando una nueva partícula, llamada cluster,
cuya masa y velocidad están definidas por las leyes de masa e impulso
conservación. Entre colisiones, partículas se mueven de acuerdo a las leyes de
Mecánica newtoniana.
Suponemos que la fuerza de la atracción mutua no depende de
e iguala el producto de las masas. Esta suposición es natural para
Recibido en marzo de 2007; revisado en septiembre de 2007.
1Apoyado en parte por las subvenciones NSh-4222.2006.1 y DFG-RFBR 436 RUS
113/773/0-1(R).
Clasificaciones de temas AMS 2000. Primaria 60K35, 82C22; secundaria 60F17, 70F99.
Palabras y frases clave. Partículas pegajosas, sistemas de partículas, partículas gravitantes, número
de clusters, agregación, adhesión.
Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el
Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada,
2008, Vol. 18, No. 3, 1026-1058. Esta reimpresión difiere de la original en
paginación y detalle tipográfico.
http://arxiv.org/abs/0704.086v2
http://www.imstat.org/aap/
http://dx.doi.org/10.1214/07-AAP481
http://www.imstat.org
http://www.ams.org/msc/
http://www.imstat.org
http://www.imstat.org/aap/
http://dx.doi.org/10.1214/07-AAP481
2 V. V. VYSOTSKY
modelos unidimensionales porque, por la ley Gauss aplicada al flujo de la
campo gravitacional, la gravitación es proporcional a la distancia a la potencia
una dimensión menos del espacio. En cualquier momento, la aceleración de un
por lo tanto, la partícula es igual a la diferencia de masas situadas a la derecha y a la
a la izquierda de la partícula.
Normalmente se describen las posiciones iniciales aleatorias de las partículas (véase [8, 16,
25]) por los siguientes modelos naturales: en el modelo uniforme, n partículas son
independiente y uniformemente diseminado en [0,1]; en el modelo Poisson, partículas
se encuentran en el punto 1
S2,. ..,
Sn, donde Si es un exponencial estándar
Caminar al azar. En otras palabras, las partículas se encuentran en los puntos de los primeros saltos n
de un proceso Poisson con intensidad n.
Estos dos modelos son los más naturales e interesantes; llamémoslos
los principales modelos de posiciones iniciales. Sin embargo, veremos ese comportamiento
del modelo de Poisson se define esencialmente por la independencia de
nes entre partículas y no por el tipo particular de distancias»
distribución. Por lo tanto, es de gran interés matemático para el general-
iza el modelo Poisson mediante la introducción de la i.d. modelo, donde “i.d.”
para “distancias independientes”, según se indica a continuación. Partículas se encuentran inicialmente en
S2,. ..,
Sn, donde Si es un paseo aleatorio positivo cuyo no negativo
i.i.d. incrementos Xi satisfacen la condición de normalización EXi = 1. Tenga en cuenta que
si procedemos al límite como nÃ3, consideramos un sistema de masa total uno,
que consiste, más o menos hablando, en partículas infinitesimales homogéneamente
spread on [0,1]; esto es cierto para todos los modelos mencionados de posiciones iniciales.
El interés matemático en los sistemas de partículas pegajosas surge principalmente de
las relaciones entre estos sistemas y algunos ecuales diferenciales parciales no lineales
ciones procedentes de la mecánica de fluidos, por ejemplo, la ecuación de Burgers.
Estas ecuaciones admiten la interpretación en términos de partículas pegajosas; ver Gur-
batov et al. [10], Brenier y Grenier [4] o E, Rykov y Sinaí [6]. Pegajoso
Los modelos de partículas también se utilizan para la resolución numérica de otras diferencias parciales.
ecuaciones tiales; véase Chertock et al. [5] para explicaciones y referencias adicionales.
Con el paso del tiempo, las partículas se acumulan en cúmulos. Los clústeres son cada vez más grandes y
mayor mientras que el número de clusters disminuye hasta que se fusionan en un solo
clúster que contiene todas las partículas iniciales. Este proceso de agregación de masa es
fuertemente relacionados con la coalescencia aditiva; véase Bertoin [2] y Giraud [9]
para los resultados y referencias más recientes.
El proceso de agregación se asemeja a la formación de una estrella de dispersión
polvo espacial y partículas pegajosas modelos de hecho tienen relaciones con la astrofísica.
Es conveniente aclarar estas relaciones, ya que no son tan directas y
causar un montón de malentendidos.
Se sabe que la distribución de galaxias en el universo es muy inho-
mogenética y las regiones de alta densidad forman una estructura celular peculiar.
El primer intento de entender la formación de tales estructuras se hizo
INCLUYE EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 3
en 1970 por Zeldovich. La mayor parte de la masa en el universo se cree que ex-
ist en forma de partículas que prácticamente no chocan entre sí
e interactuar sólo gravitacionalmente, por ejemplo, neutrinos. En su modelo, Zel...
dovich considerado un medio inicialmente homogéneo sin colisión de partículas
movimiento por inercia pura; la interacción gravitacional fue quitada por un
un cambio de tiempo adecuado. Demostró que las singularidades, es decir, el re-
giones de muy alta densidad de partículas, llamados “pancakes”, aparecen incluso si
las velocidades iniciales de las partículas forman un campo de velocidad suave.
El modelo aproximado de Zeldovich, sin embargo, no explica la formación de
la estructura celular de la materia. Su aproximación no toma en ac-
cuenta que las partículas que golpean un “pancake” se ven obstaculizadas por su fuerte gravedad-
campo y empezar a oscilar dentro de la “pancake” en lugar de volar lejos.
Aunque esta adhesión gravitacional de partículas sin colisión no es precisamente
la misma que la verdadera pegadura, el modelo de partículas pegajosas sirve como una razón-
Aproximación capaz. A continuación se analizó el efecto de la adhesión gravitacional
por el uso de la ecuación Burgers; Gurbatov, Saichev y Shandarin pro-
lo planteó en 1984 para ampliar la aproximación de Zeldovich, que es inválido después de
formación de “panqueques”.
El modelo de partículas pegajosas se menciona directamente en Gurbatov et al. [11];
un estudio exhaustivo de la formación de la estructura a gran escala del Universo
tura se puede encontrar en Shandarin y Zeldovich [23].
1.2. Declaración del problema y de los resultados. En general, el problema
es describir el proceso de agregación de masa. ¿Qué tan rápido es? ¡Qué grande!
¿Los grupos son? ¿Dónde aparecen los cúmulos más intensamente, y así sucesivamente?
Numerosos trabajos sobre el modelo (por ejemplo, [8, 14, 16, 20, 25]) están dedicados a
descripción probabilística de varias propiedades del proceso de agregación como
el número de partículas iniciales n tiende al infinito. Por lo tanto, el comportamiento de un
sistema típico que consiste en un gran número de partículas se estudia.
En este artículo, estamos interesados en el comportamiento asintótico de Kn(t), que
indica el número de racimos en el momento t en el sistema con n partículas iniciales.
Esta variable es una función de paso aleatorio decreciente que satisface Kn(0) = n
y Kn(t) = 1 para t ≥ T lastn, donde T lastn denota el momento del último
Colisión. Mientras calculamos Kn(t), también contamos las partículas iniciales que tienen
no experimentó ninguna colisión; en otras palabras, Kn(t) es el número total de
partículas existentes en el momento t.
Es muy importante conocer el comportamiento de Kn(t). Esto nos da un profundo
comprensión del proceso de agregación desde el tamaño medio de un grupo
en el momento t es n
Kn(t)
Al principio damos un breve ejemplo determinista. Supongamos que las partículas son
situado en el punto 1
,. .., n
, es decir, Si = i. Por cálculos simples, encontramos
que no habría ninguna colisión antes de t= 1. En el momento t= 1, todos
V. V. VYSOTSKY
las partículas se pegan simultáneamente, por lo tanto Kn(t) = n para 0 ≤ t < 1 y
Kn(t) = 1 para t≥ 1.
Sin embargo, cuando las posiciones iniciales son aleatorias, el proceso de agregación
se comporta de manera totalmente diferente. En [25], el autor probó el siguiente estado:
mento.
Hecho 1. Existe una función determinista a(t) tal que tanto en el
Poisson y los modelos uniformes de posiciones iniciales, para cualquier t≥ 0, tenemos
Kn(t)
P a(t), n.1)..........................................................................................................................................................
La función a(t) es continua, a(0) = 1, y a(t) = 0 para t≥ 1. Conjec-
, sobre la base de simulaciones numéricas, que a(t) = 1− t2 para 0≤ t≤ 1.
La relación a(t) = 0 para t > 1 no es una sorpresa porque sabemos de
Giraud [8] que tanto en el Poisson como en los modelos uniformes, T duran
P 1 (la
constante de límite es tan “bien” debido a la escala adecuada del modelo). Por lo tanto,
decimos que el momento t=1 es crítico; note que este momento coincide
con el momento de la colisión total en el modelo determinista.
El objetivo de este trabajo es reforzar el resultado de [25]. Nosotros, los primeros gen...
Borra el hecho 1 y pruébalo para la identificación. modelo. Veremos [relaciones (19)
y (27) más abajo] que a(t) es igual a la probabilidad de un determinado evento que
se expresa en términos de Xi. Además, probaremos que a(t) depende de la
distribución común de Xi como sigue: a(t) = 1 en [0,
μ), donde
μ := sup{y :P{Xi < y}= 0};
a(t) (0,1) el (,1); y a(t) = 0 el (1,").
Además, los recientes resultados del autor [26] nos permiten probar el
conjetura del hecho 1 que aPoiss(t) = aUnif(t) = 1− t2 para 0≤ t≤ 1. Ahí está.
es un contraste increíble entre la simplicidad de esta fórmula y el duro
cálculos que uno necesita obtener. Es notable que ahora sepamos el
función límite a(t) para los principales modelos de posiciones iniciales.
Nuestro principal objetivo es mejorar (1) encontrando el próximo término en el asymp-
totics de Kn(t). El resultado es la siguiente declaración, donde el estándar
símbolo
D denota convergencia débil y D denota el espacio Skorohod.
Teorema 1. En la identificación. modelo con Xi continuo satisfaciendo EX
para algunos γ > 4, existe un proceso Gaussiano centrado K(·) en [0,1) tales
Kn(·)− na(·)
DK(·) en D[0,1−
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 5
como n→ فارسى. El proceso K(·) depende de la distribución de Xi. Esta pro-
el cesto satisface K(0) = 0 y tiene trayectorias continuas a.s. La covarianza
función R(s, t) de K(·) es continua en [0,1)2, R(s, t)> 0 en (,1)2, y
R(s, t) = 0 en [0,1)2 \ (,1)2.
En el modelo uniforme, (2) se mantiene para algún proceso Gaussiano centrado KUnif(·)
el [0,1). Este proceso satisface KUnif(0) = 0 y tiene a.s. trayectoria continua-
Ries. La función de covarianza RUnif(s, t) de KUnif(·) es continua en [0,1)2,
y RUnif(s), t =RPoiss(s), t)− s2t2.
Así, el Poisson y los modelos uniformes conducen a diferentes procesos de límite
KPOiss(·) y KUnif(·), aunque aPoiss(·) = aUnif(·).
Como corolario inmediato del Teorema 1 (véase Billingsley [3], sección 15),
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
Kn(t)− na(t)
DN (0, 2(t)), n(3)
para cualquier t < 1, donde 2(t) := R(t, t). Es posible demostrar que en el i.d.
modelo, (3) se mantiene para todos t 6= 1 bajo la condición menos restrictiva EX2i,
con 2(t) = 0 para t > 1; no se requiere continuidad de Xi.
También estudiamos la convergencia del lado izquierdo de (3) en la crítica
momento t= 1. Aparentemente, el límite no es gaussiano, pero esto complicado
problema está relacionado con una conjetura curiosa, pero difícilmente demostrable sobre integrado
Camina al azar. En vista de esta no-Gaussianity, parece imposible probar
cualquier versión extendida del Teorema 1 que describe la débil convergencia de
trayectorias en todo el intervalo [0,1]; nos referimos a la sección 7 para más información
debate.
Terminamos esta subsección con una nota sobre el escalado. En nuestro modelo, las masas
de partículas son iguales a 1
y las distancias entre ellos son del orden
. Reescalemos la identificación. modelo multiplicando todas las masas y distancias
por n: el sistema de partículas de masa uno cada una, situado inicialmente en puntos
S1 − S[n/2], S2 − S[n/2],. .., Sn − S[n/2], se llama el modelo en expansión. Los
las partículas se desplazan por S[n/2] porque queremos que el sistema se expanda “llenando”
la totalidad de la línea como nÃ3r, en lugar de solamente la media línea positiva.
Todos los resultados de nuestro trabajo son válidos para el modelo en expansión. Esto no lo es.
inesperado porque el cambio no produce ningún cambio y el cambio de escala
de masas es equivalente a la contracción del tiempo por n veces mientras que el escalado
de distancias es equivalente a la expansión del tiempo por n veces. Nos referimos a la
leer la sección 2 abajo o Lifshits y Shi [16] para argumentos rigurosos.
1.3. Organización del documento. En la sección 2 describimos un método general
que se utiliza para estudiar sistemas de partículas pegajosas. Este método se aplica para
estudiando la identificación. modelo en la Sección 3, donde investigamos algunas propiedades de
6 V. V. VYSOTSKY
el proceso de agregación. Demostraremos que el proceso de agregación es altamente
local, es decir, el comportamiento de una partícula es esencialmente definido por el movimiento
de partículas vecinas. Esta propiedad de localización sugiere que podríamos utilizar
limitar los teoremas para variables débilmente dependientes para probar tanto el hecho 1 como
Teorema 1 para la identificación. modelo; esto se hará en la Sección 4. Entonces lo haremos.
probar el teorema 1 para el modelo uniforme en la sección 5. En la Sección 6 estudiamos
el número de clusters en el momento crítico t = 1. Algunas preguntas abiertas
se examinan en la sección 7.
2. Método de los baricentros. En esta sección describimos brevemente el método
de los baricentros, que es la principal herramienta utilizada para estudiar los sistemas de
ticles; también es aplicable a modelos más generales en los que las partículas podrían
tienen velocidades iniciales no nulas y diferentes masas. El método de los baricentros
fue introducido independientemente por E, Rykov y Sinaí [6] y Martin y
Piasecki [20].
Comencemos con varias definiciones. Siempre numeramos partículas de
izquierda a derecha e identificar las partículas con sus números. Un bloque de partículas es
un conjunto no vacío J â € [1, n] que consiste en números consecutivos. Por ejemplo,
el bloque (i, i+k] consiste en partículas i+1,. .., i+k. Tenga en cuenta que no hay
cualquier relación entre bloques y cúmulos: por ejemplo, las partículas de un bloque
podría estar contenido en diferentes grupos y estos grupos podrían incluso contener
partículas que no pertenecen al bloque.
Es conveniente suponer que las partículas iniciales no desaparecen en las colisiones
pero siguen existiendo en los clusters creados. A continuación, la coordenada xi,n(t) de una
partícula i podría definirse como la coordenada de un clúster que contiene la
partícula en el tiempo t. El segundo subíndice n siempre indica el número de
partículas iniciales; omitiremos este subíndice tan a menudo como sea posible.
Por xJ(t) := J 1
xi(t) denotar la posición del baricentro de una
bloque J en el momento t. Además, definir
x*J(t) := xJ(0) +
donde M
J := n
−1(n −maxjóJ) y M (L)J:= n−1(minjóJ −1) son las
masas tal de partículas situadas a la derecha y a la izquierda del bloque J,
respectivamente.
Un bloque está libre de la derecha hasta el tiempo t si, hasta este momento, el bloque
las partículas no chocaron con las partículas localizadas inicialmente a la derecha del
Bloqueo. Definimos de manera similar bloques que están libres de la izquierda y decir que un
bloque es libre hasta el tiempo t si está libre tanto de la derecha como de la izquierda.
La siguiente declaración juega el papel clave en el análisis de partículas pegajosas
sistemas. El baricentro de un bloque libre se mueve como una partícula imaginaria
la tensión de todas las partículas del bloque juntas en el baricentro inicial. En una
de manera más precisa y general, decimos lo siguiente.
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 7
Proposición 1. Si un bloque J está libre de la derecha (resp. izquierda) hasta el tiempo
t, entonces xJ(s) ≥ x*J(s) para s ≤ [0, t] [resp. xJ(s)≤ x*J(s)]. Si un bloque J es libre
hasta el tiempo t, entonces xJ(s) = x
J(s) para s â € [0, t].
Esta afirmación se puede encontrar, por ejemplo, en Lifshits y Shi [16],
Proposición 4.1. La prueba fácil se basa en la propiedad de la conservación de
impulso.
El momento en que una partícula j se pega con su lado derecho vecino
j + 1 se llama el tiempo de fusión Tj,n de la partícula j. En otras palabras, Tj,n
es el primer momento cuando las partículas j y j + 1 están contenidas en un
cluster; aquí j [1, n− 1]. Proposición 4.3 de Lifshits y Shi [16], que
se indica a continuación, nos da una manera de calcular Tj,n.
Proposición 2. Por cada j â € [1, n− 1], tenemos
Tj,n = min
j<k≤n
0≤l<j
{s≥ 0 :x*(j,k](s) = x*(l,j](s)}.4)
Así, Tj,n se expresa por medio de baricentros. Tenga en cuenta que desde
x*(j,k](s)− x*(l,j](s) = x(j,k](0)− x(l,j](0)−
s2,(5)
cada una de las ecuaciones x*
(j,k]
s) = x*
(l, j)
s) tiene una solución única no negativa.
También mencionamos que en el momento Tj,n aparece un cluster que consiste en
las partículas l+1,. .., k, donde k y l son minimizadores del lado derecho
de (4).
Demostraremos la Proposición 2 ya que la prueba es simple y perfectamente ilus-
trate el sentido del método de los baricentros.
Prueba de la Proposición 2. Para cualquier u < Tj,n, las partículas j y j + 1
están contenidos en diferentes grupos. Por lo tanto, por cada l < j, el bloque [l, j]
está libre de la derecha hasta el tiempo u, y para cada k > j, el bloque [j + 1, k]
está libre de la izquierda. Por la Proposición 1,
x*(l,j](u)≤ x(l,j](u)≤ xj(u)<xj+1(u)
≤ x(j,k](u)≤ x*(j,k](u),
y puesto que, por (5), la función x*
(j,k]
s) - x*
(l, j)
(s) está disminuyendo para s≥ 0,
concluir que
u s≥ 0 :x*(j,k](s) = x*(l,j](s)}.
Tomando el mínimo sobre k, l y tomando el máximo sobre u, obtenemos Tj,n ≤
miná · ·.
V. V. VYSOTSKY
Demostremos la última desigualdad en la otra dirección. Por la definición de
Tj,n, existe un l < j y un k > j tal que los bloques (l, j] y (j, k] son
libre hasta el tiempo Tj,n (los cúmulos que contienen partículas de estos bloques chocan
exactamente en el momento Tj,n). En vista de la Proposición 1,
x*(l,j)(Tj,n) = x(l,j)(Tj,n) = x(j,k)(Tj,n) = x
j,k](Tj,n);
por lo tanto Tj,n = {s≥ 0 :x*(j,k](s) = x
(l, j)
(s)} y Tj,n ≥min· ·. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3. Estudio de la identificación. modelo. La propiedad de localización. Al principio, tenga en cuenta que
Kn(t) = 1+
1{t<Ti,n}(6)
porque el número total de clusters disminuye en uno a cada momento Ti,n.
Esta representación desempeña el papel clave en la investigación de Kn(t). Claramente,
tenemos que estudiar las propiedades del Ti de r.v.,n para demostrar el límite de los teoremas para
Kn(t); este estudio se realizará en esta sección.
3.1. El estudio inicial. Simplifiquemos la representación para Tj,n de
Proposición 2. En esta sección consideramos la identificación. modelo de posiciones iniciales,
donde xj,n(0) =
Sj. Recuerda que Sj es un paseo al azar con i.i.d. incrementos
{Xj}jÃ3z (necesitaremos las variables {Xj}j≤0 más tarde).
Reescribir la distancia inicial entre barycenters como
x(j,k](0)− x(l,j](0)
i=j+1
j − l
i=l+1
i=j+1
(Si − Sj+1) +
j − l
i=l+1
(Sj − Si) + (Sj+1 − Sj)
k−j−1
(Sj+i+1 − Sj+1) +
j − l
j−l−1
(Sj − Sj−i) +Xj+1
Vamos a estar de acuerdo en que
:= 0. Además, por
x(j,k](0)− x(l,j](0)
k−j−1
j+i+1
m=j+2
j − l
j−l−1
m=j−i+1
Xm +Xj+1
k−j−1
(k− j − i)Xj+i+1
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 9
j − l
j−l−1
(j − l− i)Xj−i+1 +Xj+1
y (5), tenemos
x*(j,k](s)− x*(l,j](s) =
Fk−j,j,j−l(s),
donde
Fp,j,q(s) :=
(p− i)Xj+i+1
(q − i)Xj−i+1 +Xj+1 −
(para p, q ≥ 1 y j • Z). Ahora, por la Proposición 2, obtenemos
Tj,n = min
j<k≤n
0≤l<j
{s≥ 0 :Fk−j,j,j−l(s) = 0}
= min
1≤k≤n−j
1≤l≤j
{s≥ 0 :Fk,j,l(s) = 0}.(8)
Tenga en cuenta que Fp,j,q(0) ≥ 0 para todos los p, j, q y Fp,j,q(s) está disminuyendo para s ≥ 0.
Esta función también podría ser escrita en la forma más conveniente:
Fp,j,q(s) =
(p− i)(Xj+i+1 − s2)
(q − i)(Xj−i+1 − s2) + (Xj+1 − s2).
3.2. Propiedad de localización del proceso de agregación. Vemos que Tj,n
es una función de X2,. ..,Xn; en otras palabras, es necesario conocer el
distancias entre todas las partículas n para encontrar Tj,n. El proceso de agregación es
realmente altamente local, es decir, el valor de Tj,n es esencialmente definido por el
distancias iniciales entre partículas vecinas {i} de j para las cuales j − i es pequeño
Suficiente.
Para hacer esta declaración rigurosa, tenemos que introducir el siguiente no-
tación. Vamos a poner
j := min
1≤k,l≤M
{s≥ 0 :Fk,j,l(s) = 0},j • Z,M • N,
que se expresa en términos de las variables {Xij−iM solamente. Además, definir
Tj := inf
k,l≥1
{s≥ 0 :Fk,j,l(s) = 0},j • Z,
10 V. V. VYSOTSKY
que es, en cierto sentido, el tiempo de fusión en un sistema infinito apropiado
de partículas. El lector podría construir tal sistema considerando el límite
del modelo en expansión, véase la Sección 1.
Está claro que
Tj ≤ Tj,n ≤ T (jŁn−j)j,j,n ≤ N,j ≤ n,(10)
en los que se denotan, respectivamente, el mínimo y el máximo, y
Tj ≤ T (M)j, j â € € Z,M â € N.(11)
Vamos a estimar la tasa de la convergencia de P{Tj 6= T (M)j } a cero como la
“radius del barrio” M tiende al infinito. Por lo tanto, podríamos “medir”
la localidad antes mencionada del proceso de agregación. De hecho, para (10), nosotros
tiene P{Tj,n 6= T (M)j } ≤ P{Tj 6= T
j } para cualquier n-N, j ≤ n, y M ≤ j-n-j.
Lemma 1. Supongamos que EX
i para algunos γ ≥ 1. Entonces existe un no-
funciones decrecientes de tal manera que
max(P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
•,P{Tj 6= T
j, T
j ≤ t})≤ (t)M
1(12)
para cualquier t â € (0,1), j â € Z, y M â € N. Por otra parte, para cualquier t < 1, la mano izquierda
lado de (12) es o (M1).
Prueba. Vamos a estimar la primera probabilidad en el lado izquierdo de
(12). Por propiedades de Fk,j,l(·) y definiciones de T (M)j y de Tj,
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
= P{Tj < t≤ T
k,l≥1
Fk,j,l(t)< 0, min
1≤k,l≤M
Fk,j,l(t)≥ 0
Por (9), esta expresión no depende de j, y poner j :=−1,
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
(k− i) (Xi − t2)
+ inf
(l− i) (X−i − t2) + (X0 − t2) < 0,
1≤k≤M
(k− i) (Xi − t2)
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 11
+ min
1≤l≤M
(l− i)(X−i − t2) + (X0 − t2)≥ 0
Luego comparamos las desigualdades en los aparatos ortopédicos y obtenemos
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
(k− i)(Xi − t2)< min
1≤k≤M
(k− i) (Xi − t2)
(Si − it2)< min
1≤k≤M
(Si − it2)
(Si − it2)< min
k1,M}
(Si − it2)
Ahora reescribir el evento en la última línea como
•k >M : 1
(Si − it2)<min
(Si − it2)
•k >M : 1
(Si − it2)
(Si − it2)<min
(Si − it2)
Análisis de ambos casos 0≤ 1
i=1 (Si − it2) y 0> 1M
i=1 (Si − it2), nosotros
concluir que el hecho considerado implica
•k >M : 1
(Si − it2)< 0
k >M :
(Si − it2)< 0
Claramente, esto último implica
i≥M :Si − it2 < 0}=
por lo tanto, combinando todas las estimaciones juntos, obtenemos
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
≤ ≤ 2P
.(13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenga en cuenta que obtuvimos (13) sin ninguna suposición sobre los momentos de Xi.
Ahora estimamos el lado derecho de (13); recuerde que EXi = 1. Entonces
la primera parte de (12) inmediatamente sigue del resultado clásico de Baum
y Katz [1] (véase su Teorema 3 y Lemma):
V. V. VYSOTSKY
Hecho 2. Si EXi = a y EXi para algunos γ ≥ 1, entonces
= o(k1), k
para cualquiera de los dos tipos siguientes:........................................................................................................................................................................................................................................................... Además, la serie
k=1P{supi≥k Sii − a converge
para todos los > 0 si γ = 2.
La estimación de la segunda probabilidad en el lado izquierdo de (12) es
completamente análogo, ya que
{Tj 6= T (M)j, T
j ≤ t}
= {Tj < T (M)j ≤ t}
1≤k,l
Fk,j,l(T
j ) < 0, min
1≤k,l≤M
Fk,j,l(T
j ) = 0, T
j ≤ t
Pusimos j :=−1, repetir las estimaciones, y obtener
P{Tj 6= T (M)j, T
j ≤ t} ≤ 2Pi≥M :Si − i[T
< 0, T
−1 ≤ t}
en lugar de (13). La parte derecha no excede de 2Pi≥M : Si − it2 <
0}, por lo tanto
P{Tj 6= T (M)j, T
j ≤ t} ≤ 2P
.(14)
3.3. La función de distribución de T0 en el modelo Poisson. Es increíble.
que en el modelo Poisson, la función de distribución de T0 se puede encontrar
explícitamente. Esto es importante porque por (27) abajo, la función límite a(t)
es igual a P{T0 > t} para el i.d. modelo. También, en la prueba de Teorema 1 para el
modelo uniforme, necesitaremos aPoiss(t) = P{TPoiss0 ≥ t}
y tienen una segunda derivada continua.
Lemma 2. En el modelo Poisson, para 0≤ t≤ 1, tenemos
P{T0 ≥ t}= 1− t2.(15)
Además, para t≥ 0, n≥ 2, y 1≤ j ≤ n− 1, tenemos
P{Tj,n ≥ t}= et
1≤k≤j
(Si − it2)≥ 0
1≤k≤n−j
(Si − it2)≥ 0
donde Si es una caminata aleatoria exponencial estándar.
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 13
Prueba. Comenzamos con (16). Por (8), (9) y propiedades de Fk,j,l(·),
P{Tj,n ≥ t}= P
1≤k≤n−j
1≤l≤j
Fk,j,l(t)≥ 0
1≤k≤n−j
(k− i)(Xj+i+1 − t2)(17)
+ min
1≤l≤j
(l− i)(Xj−i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0
En el lado derecho de la última igualdad, por Y denotan el primer mínimo
y por denotan el segundo.
Supongamos que X es un r.v. exponencial estándar, Z es un r.v. no negativo, y
que X y Z son independientes; entonces
P{Z ≤X}=
P{Z ≤ x}e−x dx
E1{Z≤x}e
−x dx= E
1{Z≤x}e
−x dx= Ee−Z.
Por lo tanto en vista de la independencia de Y, , Xj+1 obtenemos
P{Y + +Xj+1 − t2 ≥ 0}= EEYt
EeY−t
Eet
y, por lo tanto,
P{Tj,n ≥ t}= et
P{Y +Xj+1 − t2 ≥ 0} · P +Xj+1 − t2 ≥ 0}.
Ahora, por
P +Xj+1 − t2 ≥ 0}
1≤l≤j
(l− i)(Xj−i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0
1≤l≤j
(l− i)(Xi+1 − t2) + l(X1 − t2)
1≤l≤j
(l− i+1)(Xi − t2)≥ 0
concluimos la prueba de (16). De hecho, la expresión en la última línea es igual a
la primera probabilidad en el lado derecho de (16).
14 V. VYSOTSKY
Ahora probemos (15). De la definición de T0 y T
0 vemos que
1{t≤T (k)
} → 1{t≤T0} a.s. como k; luego por (16),
P{T0 ≥ t}= et
(Si − it2)≥ 0
Entonces tenemos que comprobar que
(Si − it)≥ 0
1− te−t/2
para 0 ≤ t ≤ 1. Los complicados cálculos de esta probabilidad requieren más
luego diez páginas. Por lo tanto, se separaron en papel independiente [26].
Aunque estos cálculos parecen ser técnicos, se basan en
ideas originales. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3.4. Algunas propiedades de las variables Ti. En esta subsección demostramos
varias propiedades importantes del Ti de r.v..
1. La secuencia Ti es estacionaria.
Prueba. Esta afirmación se desprende inmediatamente de la definición de Ti y
la estacionalidad de Xi, que son i.i.d.
2. La función de distribución común de Ti está definida por
P{Ti ≥ t}= P
(k− i) (Xi − t2)
+ inf
(l− i)(X−i − t2) + (X0 − t2)≥ 0
Prueba. Esta fórmula se deriva de (9).
3. Tenemos P ≤ Ti ≤ 1} = 1 mientras que sup{y :P{Ti < y} = 0} =
μ y
inf{y :P{Ti < y} = 1} = 1; recuerde que μ = sup{y :P{Xi < y} = 0}. En addi-
tion, si 0<DXi, entonces P{Ti = 1}= 0.
Prueba. Primero, P ≤ Ti} = 1 es trivial, porque ambos infima en (19) son
no positivo.
En segundo lugar, fijar una t≥ 1 y considerar P{Ti ≥ t}. Teniendo en cuenta que la infima
en (19) no son positivos, obtenemos
P{Ti ≥ t} ≤ P
(k− i)(Xi − t2) + (X0 − t2)≥ 0
Entonces por los mismos argumentos que en (18),
P{Ti ≥ t} ≤ P
(k − i+1)(Xi − t2)≥ 0
(Si − it2)≥ 0
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 15
Por la ley fuerte de los números grandes, esta probabilidad es cero para todos t > 1.
Si t= 1 y 0<DXi, entonces
(Si − i)≥ 0
= lim
1≤k≤n
(Si − i)≥ 0
= lim
1≤k≤n
Si − i
y del principio de invarianza, obtenemos
P{Ti ≥ 1} ≤ P
0≤s≤1
W (u)du ≥ 0
Se deriva de la asintótica de pequeñas probabilidades de desviación unilateral de
un proceso Wiener integrado, véase (43) y (44) infra, que la última expres-
sión es igual a cero.
En tercer lugar, sup{y :P{Ti < y}= 0}=
μ e inf{y :P{Ti < y}= 1} = 1 seguir
si demostramos que para cualquier t < EXi = 1, la distribución común de la i.i.d.
infima en (19) tiene un átomo en cero. Pero tenemos
(k− i)(Xi − t2) = 0
(Si − it2) = 0
y podría ser demostrado a través de la ley fuerte de los grandes números que el último
la probabilidad es estrictamente positiva para todos t < 1.
4. Supongamos que Xi es continuo. Entonces T
j y Tj, n son continuas para cualquier
j, k,n y la distribución común de Tj podría tener un átomo sólo en 1. In
Además, si EX2i, entonces Tj son continuos.
Prueba. Por (7) y (8),
Tj,n = min
1≤k≤n−j
1≤l≤j
H(k, j, l),(20)
donde
H(p, j, q) :=
(p− i)Xj+i+1 +
(q − i)Xj−i+1 +Xj+1
Por lo tanto Tj, n es continuo como mínimo de un número finito de continuo
r.v.’s. La T
j también son continuas porque T
= Tk,2k.
16 V. V. VYSOTSKY
Ahora demostramos la continuidad de Tj. Por propiedad 3, sólo queda a
verificar que P{Tj ≥ t} es continuo en [0,0]. Pero P{T (k)j ≥ t} − P{Tj ≥ t}=
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (k)
• y teniendo en cuenta (13),
0≤t≤s
P{T (k)j ≥ tP{Tj ≥ t ≤ sup
0≤t≤s
por cada s < 1 = EXi. La última expresión tiende a cero por la ley fuerte
de grandes cantidades; entonces P{Tj ≥ t} es continuo en [0, s] como límite uniforme
de funciones continuas P{T (k)j ≥ t}. Puesto que s < 1 es arbitrario, P{Tj ≥ t} es
continua el [0,0].
5. La cov(1{s≤T0},1{t≤Tk}) tiende a cero como k® para todos los s, t [0,0]. Si,
Además, EX
i para algunos γ > 1, entonces para cualquier s, t â € [0,1] y k â € N,
Tenemos
cov(1{s≤T0},1{t≤Tk}) ≤ 2
γ(l(s) + (t))k1.(21)
Prueba. La idea es aproximar 1{s≤T0} y 1{t≤Tk} por 1{s≤T (k/2)0 }
1{t≤T (k/2)
}, respectivamente; aquí por k/2 nos referimos a k/2, donde xm
Z :m ≥ x}. Nótese que 1{s≤T (k/2)0 }
y 1{t≤T (k/2)
} son independientes porque el
primero es una función de {Xi}i≤k/2 mientras que el segundo es una función de {Xi}i≥k/2+1.
Entonces tenemos
cov(1{s≤T0},1{t≤Tk})
= cov(1{s≤T0},1{t≤Tk})− cov(1{s≤T (k/2)
},1{t≤T (k/2)
≤ E(1{s≤T0}1{t≤Tk} − 1{s≤T (k/2)
}1{t≤T (k/2)
+ E(1{s≤T0} − 1{s≤T (k/2)
}) E(1{t≤Tk} − 1{t≤T (k/2)
})(22)
= P{1{s≤T0}1{t≤Tk} 6= 1{s≤T (k/2)
}1{t≤T (k/2)
+ P{1{s≤T0} 6= 1{s≤T (k/2)0 P{1{t≤Tk} 6= 1{t≤T (k/2)k }
P{1{s≤T0}1{t≤Tk} 6= 1{s≤T (k/2)
}1{t≤T (k/2)
≤ P{1{s≤T0} 6= 1{s≤T (k/2)
} 1{t≤Tk} 6= 1{t≤T (k/2)
Por lo tanto, el resultado sigue de Lemma 1.
6. El r.v.’s {Ti}iÓZ, {T (k)i }iÓZ, y {Ti,n}
i=1 están asociados ; el autor
Le debe esta observación a M.A. Lifshits.
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 17
Prueba. Recordemos en primer lugar la definición y algunas propiedades básicas de como
variables sociadas. R.v.’s â € 1,. ...............................................................................
funciones no decrecientes f, g :Rm →R, es cierto que
cov(f(+1,. .............................................................. .....................................................................................................................
(suponiendo que el lado izquierdo está bien definido). Un conjunto infinito de r.v. es
asociado si algún subconjunto finito de sus variables está asociado.
Las siguientes condiciones de asociación suficientes son bien conocidas; véase [7].
a) Se asocian variables independientes.
b) Funciones no decrecientes en función de la coordinación (del número finito de
) de los r.v. asociados están asociados.
(c) Si las variables â € 1,k,. .................................. ..,
(m,k)
D (1,. ............................................................... .........................................
(d) Si dos conjuntos de variables asociadas son independientes, entonces la unión de
estos conjuntos también están asociados.
Entonces {Ti,n}n−1i=1 se asocian para cada n por (a), (b) y (20). Analo...
Dios mío, {T (k)i }iZ se asocian para cada k. Finalmente, desde T
i → Ti a.s. como
k para cada i, c) asegura la asociación de {Ti}iZ.
7. Para cualquier s, t â € R y k â € Z,
cov(1{T0≤s},1{Tk≤t})≥ 0.23)
Prueba. Esta desigualdad se deriva de la cov(1{T0≤s},1{Tk≤t}) = cov(1{s<T0},
1{t<Tk}), la asociación de T0, Tk y (b).
8. Si EX
i para algunos γ ≥ 2, entonces la secuencia estacionaria min{Ti, t}
se mezcla fuertemente para cualquier t < 1 y sus coeficientes de mezcla fuerte α(k)
satisfacer α(k) = o(k2).
Prueba. Recordemos que los r.v. estacionarios están mezclando fuertemente si α(k)→ 0 como
k», donde α(k) son los coeficientes de mezcla fuerte definidos como
α(k) := sup
A-F-F-B-F
P(AB)− P(A)P(B);
aquí F0® := (0, 1,. .......................................................... ..) son los algebras de
“pasado” y “futuro”, respectivamente. Se ve fácilmente que
α(k)≤ sup
0≤f,g≤1
cov(f(0, 1,. ................................................................. ..)),(24)
donde el máximo se hace cargo de las funciones de Borel f, g :R/23370/ → [0,1].
Vamos a estimar α(k) de la misma manera que estimamos el lado izquierdo
de (21). Fijar algunas funciones de Borel f, g : R. → [0,1]. Nos aproximamos a la
variables de la “pasada” T0o t, T−1o t, T−2o t,. .. por T (k/2)0
(k/2+1)
-1 -1 t,
(k/2+2)
-2 - t,. ..., respectivamente; y para las variables del “futuro,” nosotros
18 V. V. VYSOTSKY
utilizar la aproximación análoga. Ahora, f(T)
(k/2)
0 t, T
(k/2+1)
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - ...............................................................
(k/2)
k Ł t, T
(k/2+1)
k+1 فارسى t,. ..) son independientes porque la primera es una función
de {Xi}i≤k/2 y el segundo es una función de {Xi}i≥k/2+1. Luego discutimos en
de la misma manera que en (22) para obtener
cov(f(T0 • t, T−1 • t,...................................................................................................... ..), g(Tk t, Tk+1 t,. ......................................................................................
(T-i-t) 6= (T (k/2+i)-i-i-t)
(Tk+i t) 6= (T (k/2+i)k+i t)
i=k/2
P{(T0 Ł t) 6= (T (i)0 Ł t)}.
Ahora, por la fórmula de probabilidad total, tenemos
P{(T0 Ł t) 6= (T (i)0 Ł t)}
= P{(T0 Ł t) 6= (T (i)0 Ł t), T
0 ≥ t P{(T0 Ł t) 6= (T
0 t), T
0 < t}
≤ P{1{t≤T0} 6= 1{t≤T (i)
P{T0 6= T
0, T
0 ≤ t}
y combinando todas las estimaciones, por Lemma 1 (24) y arbitrariedad
de f y g, obtenemos α(k)≤ 8
i=k/2 o(i)
1) = o(k2) si γ > 2. Para γ = 2, nosotros
obtener α(k)≤ 16
i=k/2 P{inf i≥M Sii < t
2}= o(1) usando el mismo argumento y
aplicación (13), (14), y hecho 2 en lugar de Lemma 1.
3.5. La última colisión. Terminamos esta sección con una declaración sobre el
convergencia de los momentos de la última colisión.
Proposición 3. En la identificación. modelo, T lastn
P 1 como n si EX2i.
Este resultado es bien conocido por el modelo Poisson; véase Giraud [8].
Prueba de la Proposición 3. Primero probemos que P{T dura ≥ t 0 como
nâ € para todos los t > 1. Desde T lastn =max1≤j≤n−1Tj,n, tenemos
P{T duran ≥ t} ≤
P{Tj,n ≥ t}.(25)
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 19
Al tener en cuenta que los mínimos en (17) no son positivos y
argumentando como en (18),
P{Tj,n ≥ t} ≤ P
1≤k≤jÃ3n−j
(k− i)(Xj+i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0
1≤k≤jÃ3n−j
(k− i+1)(Xi − t2)≥ 0
1≤k≤n/2
(Si − it2)≥ 0
Afirmamos que (sin ninguna suposición sobre los momentos de Xi)
P{Tj,n ≥ t} ≤ P
i≥(t−1)/4tn
1 + t2
;(26)
recuerda que t > 1. Claramente, (26) sigue si comprobamos que
1≤k≤n/2
(Si − it2)≥ 0
i≥(t−1)/4tn
1 + t2
Asume lo contrario; entonces, por la no negatividad de Si,
(Si − it2) =
(Si − it2) +
i=cn+1
(Si − it2)
(Scn − it2) +
i=cn+1
1 + t2
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
donde c := t−1
. Estimamos la última expresión con
cnScn −
(cn)2
t2 − (n/2)
2 − (cn)2
2 − 1
n2 − 1/4− c
2 − 1
Es fácil comprobar que el lado derecho es negativo, por lo que tenemos un
contradicción.
Luego a partir de (25), (26) y hecho 2 se deduce que P{T dura ≥ t} =
i=1 o(cn)
−1) = o(1) para todos los t > 1.
Ahora vamos a probar que P{T duran < t} → 0 como n → • para todos t < 1. Desde
T lastn =max1≤j≤n−1Tj,n, estimamos
P{T duran < t} ≤ P
n,n < t
P{1{t≤TjŁn,n} 6= 1{t≤T (
20 V. V. VYSOTSKY
En vista de (10) y Lemma 1, la suma es
j=1 o(n)
−1/2) = o(1), por lo tanto
Queda por comprobar que la primera probabilidad en la última línea tiende a cero.
Para un n fijo, todos T
son independientes porque cada uno es una función de
{Xij?n−in/2 (para ser exactos, de Xj?nn/2+2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... Por lo tanto,
n−1{T (
n/2 /.............................................................................................................................................................................................................................................................
< t} ≤ P
n−1{T0 < t},
que tiende a cero; de hecho, P{T0 < tâ ° 1 por la propiedad 3, Sección 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4. Pruebas del hecho 1 y el teorema 1 para el i.d. modelo. Recordemos que el
número de clusters Kn(t) es dado por (6). Nuestra idea es estudiar.
i=1 1{t<Ti}
en lugar de
i=1 1{t<Ti,n}: Nos ocupamos de una sola secuencia Ti y evitar
considerando la matriz triangular Ti,n.
Vamos a probar el hecho 1 para la identificación. modelo. Demostramos (1) para t 6= 1 sin
cualquier suposición adicional sobre Xi; para t = 1, requerimos EX
i < فارسى. Los
las propiedades de la función límite a(t) se estudiaron en la sección 3.4, Propiedades
3 y 4.
Prueba de hecho 1. Pusimos
a(t) := P{T0 > t}.(27)
Primero probemos (1) para todos t < 1. Basta con comprobar que
Kn(t)
1{t<Ti}
P 0, n.(28)
De hecho, la secuencia estacionaria 1{t<Ti} satisface la ley de los grandes números por
Propiedad 5, Sección 3.4, y el conocido resultado de S. N. Bernstein:
Hecho 3. La ley de los grandes números se sostiene para r.v. ́i si existe un
secuencia r(k)→ 0 tal que cov(i, j)≤ r(i− j) para todos i, j N.
Por (6),
Kn(t)
1{t<Ti}
(1{t<Ti,n} − 1{t<Ti}),
donde usamos (10) para obtener la no negatividad del lado derecho. Entonces
(28) inmediatamente sigue de la desigualdad de Chebyshev siempre que la
la expectativa del lado derecho tiende a cero. Mediante el uso (10), obtenemos
E(1{t<Ti,n} − 1{t<Ti})≤
(E1{t<T (iŁn−i)
} − E1{t<Ti})
P{1{t<Ti} 6= 1{t<t<T (iŁn−i)
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 21
que es 2
i=1 o(1) = o(1) por Lemma 1. Para ser muy preciso, Lemma 1
se ocupa de indicadores ligeramente diferentes, pero podemos estimar
probabilidad repitiendo la prueba de Lemma 1 palabra por palabra (o simplemente use
Propiedad 4, sección 3.4).
Ahora comprobamos que (1) se mantiene para todos t > 1. Uso (26) da E
Kn(t)
i=1 P{Ti,n > t} → 0
Kn(t)
P a(t) = 0 sigue de la
Desigualdad de Chebyshev.
Queda por comprobar que (1) se mantiene para t = 1 si EX2i <
la prueba. Si DXi = 0, entonces la situación es determinista, este caso fue
descrita en la Introducción. Aquí siempre tenemos Kn(1) = 1 y (1) es cierto.
Si 0<DXi, entonces por propiedad 3 de la sección 3.4, tenemos a(1) = 0 y
P{T0 = 1} = 0; en consecuencia, a(t) = P{T0 > t} es continuo en t= 1. Entonces
(1) es cierto para t = 1 desde 0 <
Kn(1)
≤ Kn(t)
P a(t) para cualquier t(0,1) y
a(t)→ a(1) = 0 como t 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora probamos el Teorema 1 para la identificación. modelo. Pensamos en D[0,1] como de un
espacio métrico separable equipado con la métrica de Skorohod d, que induce
la topología de Skorohod.
Prueba de Teorema 1. Al principio, probamos (2). En vista de la representación
(6) para Kn(t), la relación (2) sigue de la relación
0≤t≤1
1{t<Ti,n} −
1{t<Ti}
P 0 para todas las categorías (0,1)(29)
y la existencia de un proceso Gaussiano centrado K(·) en [0,1) tal que
1{t<Ti} −na(t)
DK(·) en D[0,1− (30)
De hecho, si Yn
D Y y d(Yn, Y ′n)
P 0 para algunos elementos aleatorios Yn, Y ′n, Y
del espacio métrico separableD[0,1], entonces Y ′n
D Y ; recuerda que d(Yn, Y ′n)≤
supta[0,1] Yn(t)− Y ′n(t).
Comenzamos con (29). Basta con demostrar que la expectativa de la
El lado izquierdo tiende a cero. Dado que el máximo de una suma no es superior a
la suma de suprema, vamos a comprobar que
E sup
0≤t≤1
1{t<Ti,n} − 1{t<Ti 0 para todos (0,1).31)
Por (10), tenemos
E sup
0≤t≤1
1{t<Ti,n} − 1{t<Ti ≤ E sup
0≤t≤1
1 {t<T (iŁn−i)
} − 1{t<Ti})
22 V. V. VYSOTSKY
= P{Ti 6= T (i?n−i)i, Ti ≤ 1−
= P{Ti 6= T (i?n−i)i, T
(i.n.i.)
i < 1−
+ P{1{1Ti} 6= 1{1T (i-i)
donde la última igualdad se obtuvo a través de la fórmula de probabilidad total.
Combinando las estimaciones y utilizando Lemma 1,
E sup
0≤t≤1
1{t<Ti,n} −1{t<Ti
≤ 2(1)
(i) n− i)1 = 4
i1.
La última expresión es O(n3/2) y (31), que implica (29), sigue.
Ahora probemos (30). Siempre y cuando
Un(t) :=−
1 {t<Ti} − na(t)
1 {Ti≤t} − (1− a(t))
el Un(·) es el proceso empírico del Ti estacionario r.v. con el continuo
función de distribución común 1− a(t). Por K(·) D=−K(·), (30) es equivalente
a la existencia de un proceso Gaussiano centrado K(·) en [0,1) tal que
Un(·)
DK(·) en D[0,1− (32)
Usaremos el siguiente resultado de Lin y Lu [17], Sección 12 en
convergencia de los procesos empíricos. Atribuyen esta declaración a Q.-M.
Shao, que lo publicó en 1986, en chino.
Hecho 4. Dejemos que sea una secuencia de estacionario mezclando fuertemente r.v. dis-
tributo en [0,1], y dejar que F sea la función de distribución común de i.
Supóngase que F (x) = x en [0,1] (es decir, que los se distribuyen uniformemente) y la co-
Eficiencias de la mezcla fuerte de la secuencia F (i) disminuyen como O(k)
−(2°))
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > A continuación, los procesos empíricos de la
borde en D[0,1] a un proceso Gaussiano centrado con la función de covarianza
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas.
Observación. El proceso gaussiano límite es a.s. continuo en [0,1]. Hecho 4
también es cierto si F es una función de distribución continua arbitraria.
La continuidad a.s. del proceso de límite podría ser concluido por un compar-
de la prueba de Lin y Lu [17] con la prueba de Teorema 22.1 de
Billingsley [3]. Las declaraciones y las pruebas de estos teoremas son idénticas,
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 23
Pero Lin y Lu no dicen la continuidad mientras Billingsley lo hace. Además,
ya que F (i) se distribuye uniformemente en [0,1] si F es continua, el hecho 4 sostiene
verdadero para cada F continua; vea la prueba de Teorema 22.1 por Billingsley [3]
para explicaciones.
Recordemos que tenemos que demostrar la convergencia del proceso empírico de
Ti. Parece que el Ti de r.v. no están mezclando fuertemente; pero min{Ti,1− son
mezcla fuerte debido a la propiedad 8, sección 3.4. Estas variables no son
continua y por lo que tenemos que arreglarlos. Vamos a arreglar un (0,1), y dejar que αi
ser i.i.d. r.v. es independiente de todo Ti y, por ejemplo, se distribuye uniformemente en [0, ♥];
definimos T‡i := min{Ti,1− 1{Ti≥1i.
Las variables estacionarias T‡i se distribuyen en [0,1], su
función de atribución G es continua, y los coeficientes de mezcla fuerte
Disminución de G(Ti) como o(k)
2). La prueba de la última declaración es la misma
como prueba de la propiedad 8 de la sección 3.4. De hecho, aproximar el vari-
powers G(T̃0), G(T1),. .. del “pasado” por G(T
(k/2)
0 ),G(T
(k/2+1)
−1 ),. .. donde
i := min{T
i,1− 1{T (m)
≥1i; utilizar la aproximación análoga
para las variables del “futuro”; y luego repetir palabra por palabra el ar-
comentarios de la prueba anterior.
Ahora, recordando que γ > 4, vemos que Tûi satisfacer las suposiciones de hecho 4,
con la única diferencia de que su distribución no es uniforme. Por n(·)
denotan el proceso empírico de T‡i; claramente, n(·) coincide con el proceso empírico
proceso Un(·) de Ti en [0,1− فارسى]. Por la observación al hecho 4, llegamos a la conclusión de que
primero,
n(·)
D Kś(·) en D[0,1],(33)
donde Kś(·) es un proceso Gaussiano centrado con la función de covarianza
R贸(s, t) :=
cov(1{T0≤s},1{Ti≤t})
y, en segundo lugar, las trayectorias de Kś(·) son a.s. continuas en [0,1].
[Existe una prueba más simple y elegante de (33). Nótese que {T
se asocian como funciones no decrecientes en función de las coordenadas de los r.v. asociados
{Ti, αi}iZ, véanse los apartados a), b) y d) de la propiedad 6, sección 3.4. Entonces podemos
obtener (33) aplicando el resultado de Louhichi [18] sobre la convergencia de
procesos de r.v. asociado estacionario i en lugar de utilizar el hecho 4. Esta es la...
orem solo requiere cov(F (+0), F (+k)) = O(k)
-(4)), que podría probarse
análogamente a la propiedad 5, sección 3.4. Así evitamos el complicado esti-
maciones de los fuertes coeficientes de mezcla, y la prueba de (33) se convierte en
mucho más simple. El único problema es que esta prueba requiere γ > 5.
También tomamos nota de que la continuidad de A.S. de Kś(·) podría demostrarse directamente,
sin referirse a la prueba del hecho 4. Los argumentos deben ser los mismos
como en la prueba de la continuidad de KUnif(·) en la sección 5.]
24 V. V. VYSOTSKY
Definir
R(s), t(s) :=
cov(1{T0≤s},1{Ti≤t}),(34)
que es, evidentemente, igual a Rū(s, t) en [0,1 − Ł]2. Puesto que R(s), t) es positivo
definited y فارسى > 0 es arbitrario, la función R(s, t) es positiva definida en
[0,1)2. Por lo tanto, por Lifshits [15], Sección 4, existe un Gaussian centrado
procesar K(·) en [0,1) con la función de covarianza R(s, t). Las trayectorias
de K(·) son a.s. continuos en [0,1) por K(·) D= K(·) en [0,1], arbitrariedad
de 0, y la continuidad a.s. de K.(·) en [0,1].
Por último, por (33), n(·) = Un(·) en [0,1−
la continuidad a.s. de Kс(·), obtenemos (32). Puesto que (32) implica (30), concluimos
la prueba de (2).
Sólo quedan por probar las propiedades declaradas de R(s, t). La continuidad
de la función de distribución conjunta de las variables continuas T0 y Ti implica
que la cov(1{T0≤s},1{Ti≤t}) es continua en [0,1)
2 por cada i ≥ 0. Entonces, en
vista de (21), R(s, t) es continua en [0,1)2 como suma de convergencia uniforme
serie de funciones continuas.
La estricta positividad de R(s, t) en (
μ,1)2 sigue trivialmente de (34), (23)
y cov(1{T0≤s},1{T0≤t}) = a(s≤ t)(1−a(s≤ t)) > 0; la última desigualdad mantiene
por propiedad 3, sección 3.4. El R(s, t) = 0 en [0,1)2 \ (,1)2 sigue de
P{Ti ≤
= 0, que contiene las propiedades 3 y 4 de la sección 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observamos que (3) se mantiene para t 6= 1 bajo la condición menos restrictiva EX2i <
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para t < 1, la prueba es casi la misma: Por (29), que es cierto para γ > 3/2,
concluimos que (3) se mantiene si la secuencia asociada estacionaria 1{t<Ti}
satisface el teorema del límite central. Luego nos referimos al teorema del límite central
para secuencias estacionarias asociadas de Newman [21]; su teorema requiere
sólo R(t, t), es decir, la convergencia del lado derecho de (34). Esto
condición se sostiene por (13) y hecho 2. Para t > 1, la relación (3) es verdadera con
2(t) = 0 debido a la Proposición 3.
Finalmente, tenga en cuenta que el proceso K(·) está asociado, es decir, el r.v.’s
{K(t)}t[0,1) están asociados. De hecho, por (6), la propiedad 6 de la sección 3.4,
y Condición (b) de la misma Propiedad 6, los procesos
Kn(·)−na(·)
asociado para cada n. Entonces K(·) está asociado por (2) y (c), Propiedad 6.
5. Prueba de Teorema 1 para el modelo uniforme. Existe un simple
método que permite extender los resultados del modelo Poisson al uniforme
modelo y vise versa. El método se basa en la siguiente declaración (ver
Karlin [13], sección 9.1).
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 25
Hecho 5. Deja que Si sea un caminar exponencial al azar. Entonces para cualquier k ≥ 1, nosotros
,. ..,
= (U1,k,U2,k,. .,Uk,k),(35)
donde Ui,k son las estadísticas de orden de k i.i.d. r.v. se distribuye uniformemente en
[0,1]. Por otra parte, el vector aleatorio en el lado izquierdo de (35) es indepen-
abolladura de Sk+1.
Por lo tanto, si xPoissj,n (0) =
Sj son las posiciones iniciales de las partículas en el
Modelo Poisson, entonces para las posiciones iniciales de partículas en el modelo uniforme,
tenemos xUnifj,n (0) =
· xPoissj,n (0). Por Proposición 2 y (5), concluimos
TUnifj,n = β
Poiss
j,n, βn :=
,(36)
y por lo tanto, utilizando (6), obtenemos
KUnifn (t) =K
Poiss
n (βnt).(37)
Tenga en cuenta que el proceso KUnifn (·) y el r.v. βn son independientes ya que val-
ues del proceso se definen por xUnif1,n (0),. .., x
n,n (0), que son mutuamente
independiente de βn por hecho 5.
Ahora probamos el Teorema 1 para el modelo uniforme.
Prueba de Teorema 1. Denotar
Yn(t) :=
KUnifn (t)− na(t)
, Zn(t) :=
n(a(t)− a(βnt));
subrayamos que Yn(·) y Zn(·) son independientes.
Arreglar un 0,1). En primer lugar, se deriva de (2) para el modelo Poisson y (37)
Yn(·) +Zn(·)
DKPoiss(·) en D[0,1− ].38)
De hecho, el proceso Yn(·) +Zn(·) se obtiene a partir de 1
Poiss
n (·)− na(·)) por
el cambio aleatorio de tiempo t 7→ βnt; y desde nt− tC[0,1]
P 0, tenemos
Yn(·) +Zn(·),
KPOISSN (·)− na(·)
P 0
por la definición de la métrica de Skorohod d.
En segundo lugar, del hecho 1, (15) y (27) se deduce que aUnif(t) = aPoiss(t) =
P{TPoiss0 ≥ t}= 1− t2 para 0≤ t≤ 1, y por el teorema del límite central,
Zn(t)
D t2η en D[0,1− Ł],(39)
26 V. V. VYSOTSKY
donde η es un estándar Gaussian r.v.
Afirmamos que (38), la independencia de Yn(·) y Zn(·), y (39)
la débil convergencia de Yn(·) en D[0,1− فارسى]. Vamos a comprobar la opresión de
Yn(·) y la convergencia de sus distribuciones finitas-dimensionales.
La estrechez de Yn(·) en D[0,1− ] se deriva de Yn(·) = (Yn(·)+Zn(·)−
Zn(·), (38), y (39). De hecho, por el teorema de Prokhorov, (38) y (39) rendimiento
que ambas secuencias Yn(·) + Zn(·) y −Zn(·) están ajustadas. Pero las trayectorias
de −Zn(·) son a.s. continua debido a la continuidad de a(·), y el
la tensión se deriva de la continuidad de la adición + :D×C →D y el hecho
que bajo cualquier mapeo continuo, la imagen de un conjunto compacto es también un
Conjunto compacto.
Ahora estudiamos la convergencia de las distribuciones dimensionales finitas de Yn(·).
Recordemos que la función característica de un vector Gaussiano centrado en Rm
es e−1/2(Ru,u), donde u Rm y R es la matriz de covarianza del vector.
Entonces (38), la independencia de Yn(·) y Zn(·), y (39) dan que para el
funciones características de todas las distribuciones finitas-dimensionales de Yn(·), nosotros
Eei(Yn(t),u) e−1/2({R)
Poiss(tj,tk)−t2j t
j,k=1
,(40)
donde u â € TMm, t= (t1,. ..., tm) [01,]m, e Yn(t) := (Yn(t1),. ., Yn(tm)).
Insistimos en que (40) es cierto para cada t â € [0,1− ¬]m desde los procesos de límite
en (38) y (39) tienen trayectorias continuas.
Vemos que la matriz {RPoiss(tj, tk)− t2j t2k}mj,k=1 es positiva definida para
cualquier t = (t1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
el lado izquierdo de (40) no exceda de uno. Poniendo
RUnif(s), t :=RPoiss(s, t)− s2t2,
tenemos {RPoiss(tj, tk)− t2j t2k}mj,k=1 = {RUnif(tj, tk)}mj,k=1; entonces la función
RUnif(s, t) es positivo definido en [0,1)2 puesto que > 0 es arbitrario. Por lo tanto, por
Lifshits [15], Sección 4, RUnif(s, t) es la función de covarianza de algunos centrados
Proceso gaussiano KUnif(·) en [0,0].
Así pues, se demuestra la relación (2). Ahora verifique que KUnif(·) C[0,1− فارسى] a.s. a
concluir la prueba de Teorema 1 para el modelo uniforme.
Para este propósito, vamos a probar que a.s., trayectorias de Yn(·) tienen saltos
de la talla 1
Sólo. De hecho, los saltos de Yn(·) coinciden con los saltos de
KUnifn (·), cuyos saltos son de tamaño 1
6= TUnifj2,n para
1 ≤ j1 6 = j2 ≤ n − 1. Para (36), necesitamos verificar que TPoissj1,n 6= T
Poiss
para 1 ≤ j1 6 = j2 ≤ n − 1. Esta relación sigue de (20) si H(k1, j1, l1) 6=
H(k2, j2, l2) a.s. para j1 6= j2 y k1, k2, l1, l2 ≥ 1. La última a.s. ninguna calidad es
obvio porque si la igualdad se mantiene verdadera, entonces un cierto lineal no trivial
combinación de i.i.d. Xi exponencial es igual a cero.
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 27
Entonces existe a.s. continuum n(·) tal que supta[0,1] n(t)−Yn(t) ≤
a.s.; consecuentemente, d(n, Yn) ≤ 1n a.s. Entonces por Yn(·)
D KUnif(·), nosotros
También tienen n(·)
DKUnif(·). Pero 1 = lim inf Pn(·) C} ≤ P{KUnif(·) C}
ya que C D está cerrado en la topología de Skorohod, por lo tanto, a.s., KUnif(·) es
continua en [0,1− فارسى].
Dado que el término «0,1)» es arbitrario, a.s., KUnif(·) es continuo en su conjunto.
val [0,1). El RUnif(s, t) =RPoiss(s, t)− s2t2 es continuo en [0,1)2 porque
RPoiss(s, t) es. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. El número de grupos en el momento crítico. Ahora giramos nuestro
atención al número de clusters en el momento crítico t = 1. Lo somos.
interesado en el comportamiento de
Kn(1)− na(1)
Kn(1)
que es el lado izquierdo de (3) en t = 1; aquí tenemos un (1) = 0 bajo
EX2i, véase Propiedad 3, Sección 3.4.
No sabemos si esta secuencia es débilmente convergente, pero esperamos que
Lo es. También tenemos una ingenua suposición de que su límite es gaussiano porque el límite
en Teorema 1 es gaussiano. En vista de Kn(1) ≥ 1, este límite débil conjeturado
es no negativo, por lo tanto es gaussiano si y sólo si es idénticamente igual a
cero. Sin embargo, los resultados de esta sección muestran que el límite no es cero, por lo tanto
nuestra suposición sobre Gaussianity falla.
El estudio de la convergencia de
Kn(1)
Es bastante complicado. Por lo tanto, en este
sección, consideramos sólo el modelo Poisson. Primero, probemos lo siguiente:
declaración.
Proposición 4. En el modelo de Poisson, tenemos limnàP{Kn(1) =
1 + 0.
Prueba. Por un lado, Kn(1) = 1 es equivalente a T
n;Poiss ≤ 1, donde
T lastn;Poiss denota el momento de la última colisión en el modelo Poisson. Activar
por otra parte, un resultado de Giraud [8] indica que en el modelo uniforme,
n(T lastn;Unif − 1)
D sup
0≤x≤1
W (y)dy −
W (y)dy
=: ,
donde
W (·) es un puente browniano. Ahora, por (36), tenemos T lastn;Unif = 1n T lastn;Poiss,
por lo tanto
n(1n T
n;Poiss − 1)
Dó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó.41)
28 V. V. VYSOTSKY
Pero desde el teorema del límite central y la ley de los grandes números,
n(1n − 1) =−
Sn+1 − n
Sn+1(
Sn+1 +
D η
,(42)
donde η es un estándar Gaussian r.v. y Si es un estándar exponencial-
dom caminar que define las posiciones iniciales de las partículas. Desde entonces, en vista del hecho 5,
T lastn;Unif = β
n;Poiss y βn son independientes, de (41), (42), y la ley
de grandes cantidades se deduce que
n(T lastn;Poiss − 1)
D ♥ − η
= +
en los que los Estados miembros son independientes. Por lo tanto,
P{Kn(1) = 1}= lim
P{T lastn;Poiss ≤ 1}= P
La principal ventaja del modelo Poisson es que, por Lemma 2 y Prop-
4, sección 3.4 tenemos P{Tj,n > 1}= epjpn−j, donde
pk := P
1≤m≤k
(Si − ESi)≥ 0
y Si es una caminata aleatoria exponencial estándar. Decimos que la secuencia de
r.v.’s
i=1(Si−ESi) es una caminata aleatoria integrada. En la prueba de la propiedad
3, Sección 3.4, hemos mostrado que pk → 0 como k». Por lo tanto, es razonable
para decir que pk son las pequeñas probabilidades de desviación unilateral de un integrado
Caminata aleatoria centrada.
Necesitamos obtener la asintótica de pk → 0 para continuar el estudio de
convergencia de las
Kn(1)
. Desafortunadamente, los resultados del resto de esta sección
dependen completamente de la corrección de la siguiente conjetura.
Conjetura 1. Tenemos pk c1k-1/4 como kâ € para algunos c1 â € (0, €).
Las simulaciones muestran que la conjetura es verdadera y c1 • 0.36. El más débil
forma pk k−1/4 de la conjetura 1 fue probado por el Sinaí [22], pero sólo para inte-
Simétrico rallado Bernoulli camina al azar. También es interesante observar que,
por McKean [19], las pequeñas probabilidades de desviación unilateral de un
El proceso de Wiener tiene el mismo orden que T:
0≤s≤T
W (u)du1
• c2T−1/4(43)
para algunos c2 â € (0,â €). El lado izquierdo de (43) es una pequeña desviación unilateral
probabilidad desde
0≤s≤T
W (u)du1
0≤s≤1
W (u)duT−3/2
.(44)
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 29
Para ser precisos, McKean estaba interesado en un problema más general, y
se requieren algunos cálculos para obtener (43) de sus resultados. Por lo tanto,
Además, nos referimos a Isozaki y Watanabe [12] que declaran (43) explic-
Por supuesto.
Por los resultados mencionados anteriormente, también suponemos que la conjetura 1 es
verdadero para otras caminatas aleatorias centradas integradas que satisfacen algún momento
condiciones.
Ahora somos capaces de demostrar el siguiente resultado sobre la convergencia de
Kn(1)
Proposición 5. Supongamos que la conjetura 1 es cierta. Luego en el Poisson
modelo, tenemos
Kn(1)
= c3, sup
Kn(1)
(45)
para algunos c3 â € € TM € TM ; la secuencia Kn(1) â € TM es ajustada y uniformemente integrable;
y el límite de cualquier subsecuencia débilmente convergente de
Kn(1)
toma el valor cero
con probabilidad positiva, pero no es idénticamente igual a cero.
Las simulaciones numéricas muestran que
Kn(1)
es débilmente convergente y que este
La convergencia es bastante rápida. En la Figura 1 presentamos la distribución (empírica)
función de
Kn(1)
para n = 10.000. Desde las simulaciones realizadas para n =
40.000 mostraron una diferencia apenas perceptible, esta función parece ser un
buen candidato para la función de distribución del límite conjeturado.
Note que si debilitamos la Conjetura 1 a pk k−1/4, entonces Proposición 5
sigue siendo cierto con la única diferencia que E
Kn(1)
Prueba de la Proposición 5. Comenzamos con la convergencia de la ex-
pectoración. Por un lado, por (6) y Lemma 2,
Kn(1)
pipn−i,
y, por otra parte,
i−1/4(n− i)−1/4 = 1
)-1/4(
)-1/4
B(3/4,3/4)
como la suma integral de la función Beta. Luego se sigue de la conjetura 1 y
argumentos estándar de que E
Kn(1)
converge a c3 := ec
1B(3/4,3/4) > 0.
V. V. VYSOTSKY
Fig. 1. La función de distribución de
Kn(1)
para n= 10.000.
Ahora comprobamos el límite uniforme de E(
Kn(1)
)2. Por (6) es suficiente
para demostrar que
i,j=1,i 6=j
P{Ti,n > 1, Tj,n > 1.(46)
Supongamos que i < j; entonces usando (8) y las propiedades de Fk,j,l(·), obtenemos
P{Ti,n > 1, Tj,n > 1}= P
1≤k≤n−i
1≤l≤i
Fk,i,l(1) > 0, min
1≤k≤n−j
1≤l≤j
Fk,j,l(1)> 0
1≤k≤(j−i)/2
1≤l≤i
Fk,i,l(1) > 0, min
1≤k≤n−j
1≤l≤(j−i)/2
Fk,j,l(1)> 0
donde por (j − i)/2 nos referimos a (j − i)/2». Los mínimos en la última expres-
ión son independientes como funciones de {Xm}m≤(i+j)/2 y {Xm}m≥(i+j)/2+1,
respectivamente; por lo tanto
P{Ti,n > 1, Tj,n > 1} ≤ P
1≤k≤(j−i)/2
1≤l≤i
Fk,i,l(1)> 0
1≤k≤n−j
1≤l≤(j−i)/2
Fk,j,l(1)> 0
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 31
= P{Ti,i+(j−i)/2 > 1} · P{T(j−i)/2,n−j+(j−i)/2 > 1}
= e2pip
(j-i)/2pn−j,
donde la primera igualdad se deriva de (8) y la segunda de Lemma 2.
Recordando la conjetura 1, obtenemos
i,j=1,i 6=j
P{Ti,n > 1, Tj,n > 1} ≤
i,j=1,i 6=j
e2pip
j−i/2pn−j
i,j=1,i 6=j
i−1/4j − i/21/2(n− j)−1/4
i,j=1,i 6=j
) - 1 - 4 - 4
−1/2(
)-1/4
para algunos c > 0. La última expresión es una suma integral convergente a
x−1/4x− y1/2(1− y)−1/4 dxdy,
y es un ejercicio simple para comprobar que la integral es finita. Concluye así:
46).
La integrabilidad uniforme de
Kn(1)
sigue de la segunda relación de
(45), véase Billingsley [3], sección 5, y la rigidez se deriva del uniforme
la integrabilidad.
Por último, supongamos que
Kni(1)
Para algunas subsecuencias ni → y algunas
r.v. - Sí. A continuación, Eâ = c3 > 0 por la integrabilidad uniforme y (45), y por lo tanto
• no es idénticamente igual a cero. Pero la distribución de tiene un átomo en
cero desde por la Proposición 4 y propiedades de convergencia débil,
P = 0}= lim
P ≤
≥ lim
lim sup
Kni(1)
≥ lim
P{Kni(1) = 1+ 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
7. Preguntas abiertas. 1. El número de grupos temáticos en el momento crítico
t= 1.
Aquí la pregunta principal es si la conjetura 1 es cierta. Incluso por sí mismo, esto
El problema vale la pena estudiar.
Pero incluso si Conjetura 1 es verdad, todavía no tenemos una prueba de debilidad
convergencia de las
Kn(1)
, sólo se sabe que esta secuencia es estrecha. El autor
32 V. V. VYSOTSKY
cree firmemente, basándose en simulaciones numéricas, que el límite existe. Lo siento.
sería interesante encontrar este límite conjeturado, que debería ser no trivial
por la Proposición 5, en forma explícita.
2. La escasa convergencia de las
Kn(·)−na(·)
en todo el intervalo [0,1].
Es muy natural preguntar si es posible fortalecer el Teorema 1 por
prueba de la escasa convergencia de las
Kn(·)−na(·)
en D[0,1]. Esto es complicado.
problema nos devuelve de nuevo a la pregunta 1 porque la débil convergencia de
Kn(·)−na(·)
en D[0,1] implica la débil convergencia de
Kn(1)−na(1)
Kn(1)
, ver
Billingsley [3], sección 15. Pero incluso si
Kn(1)
convergen, su límite débil K(1)
no es gaussiano, de ahí el proceso límite K(·), que es gaussiano en [0,1),
ya no es gaussiano en [0,1]. Por lo tanto, es dudoso que el Teorema 1 es
verdadero en D[0,1]; por lo menos, uno debe proporcionar una prueba completamente diferente de
el presentado. Además, no está claro cómo definir el finito-dimensional
distribuciones de la K(·) no gaussiana en [0,1] porque las simulaciones muestran
que K(1) no sería independiente con K(t) para t < 1.
3. El número de cúmulos en el gas caliente.
En el caso presentado, las velocidades iniciales de partículas son cero. Este modelo es de...
diez llamado el gas frío de acuerdo a su cero temperatura inicial. Presentamos
un nuevo modelo que indica que las velocidades iniciales de las partículas son anv1, anv2,. .............................................................................
donde vi son algunos i.i.d. r.v. y a es una secuencia de normalización
Stants. Este modelo, llamado el gas caliente, fue estudiado en muchos artículos, para
ejemplo, [14, 16, 20, 25].
Es de gran interés estudiar el comportamiento de Kn(t) en el gas caliente.
En [25], el autor probó que en el caso de base donde un = 1 para todos n y
Ev2i, tenemos
Kn(t)
P 0 para todos los t > 0. La pregunta es encontrar un...
sión de Kn(t) que conduce a algún límite no trivial. Es evidente que esta normalización
nes, pero es muy posible que haya un efecto de fase
Situación similar a la descubierta por Lifshits y Shi [16]: Si una son pequeñas
suficiente, entonces el gas tiene una temperatura baja y la normalización es la
igual que en el gas frío. Si una son lo suficientemente grandes, como en el caso básico de un 1,
entonces la normalización y el comportamiento del gas difieren completamente de la
el caso del gas frío.
El autor cree que la propiedad de localización, que se describe en
La sección 3 podría ser útil en un estudio de estas cuestiones.
También es interesante comparar el comportamiento de Kn(1) en el
los gases fríos; en el gas caliente, el momento t= 1 juega el mismo “crítico”
papel como en el gas frío, ver Lifshits y Shi [16]. La variable Kn(1) fue
estudiados por Suidan [24], que consideró el gas caliente con un
posiciones iniciales minísticas de partículas (sus posiciones iniciales fueron 1
,. .., n
Para este caso, Suidan encontró la distribución de Kn(1) y mostró que
EKn(1)® logn. Recordemos que en el caso presentado, EKn(1)® c3
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 33
4. El número de cúmulos en sistemas balísticos de partículas pegajosas.
Un modelo de partículas pegajosas se llama balístico si evoluciona de acuerdo con el
leyes introducidas en el artículo 1, pero en ausencia de gravitación. Tales modelos
son, en cierto sentido, más naturales que gravitacionales porque el ba-
suposición de que la gravitación no depende de la distancia es a veces
Confundiendo. Sin embargo, un artículo inédito de Lifshits y Kuoza muestra que
ciertos modelos gravitacionales y balísticos están estrechamente conectados.
Parece interesante estudiar el número de clusters en el modelo balístico.
El autor no conoce ningún resultado en este campo.
Agradecimientos. Estoy agradecido a mi asesor Mikhail A. Lifshits por
llamar mi atención sobre el tema y por su guía. También doy las gracias a la
árbitros anónimos para leer cuidadosamente este artículo y comentarios útiles.
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Facultad de Matemáticas y Mecánica
Universidad Estatal de San Petersburgo
Bibliotechnaya pl. 2
Stary Peterhof 198504
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Correo electrónico: vlad.vysotsky@gmail.com
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2092206
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1472736
http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2118859
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http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2221711
mailto:vlad.vysotsky@gmail.com
Introducción
Descripción del modelo
Declaración del problema y de los resultados
Organización del documento
Método de los baricentros
Estudio de la identificación. modelo. La propiedad de localización
El estudio inicial
Propiedad de localización del proceso de agregación
La función de distribución de T0 en el modelo Poisson
Algunas propiedades de las variables Ti
La última colisión
Pruebas del hecho 1 y el teorema 1 para el i.d. modelo
Prueba de Teorema 1 para el modelo uniforme
El número de grupos temáticos en el momento crítico
Abrir preguntas
Agradecimientos
Bibliografía
Dirección del autor
| Damos un análisis cuantitativo del agrupamiento en un modelo estocástico de
gas unidimensional. En el tiempo cero, el gas consiste en $n$ partículas idénticas
que se distribuyen aleatoriamente en la línea real y tienen cero velocidades iniciales.
Las partículas comienzan a moverse bajo las fuerzas de la atracción mutua. Cuando las partículas
chocan, se pegan formando una nueva partícula, llamada cluster, cuya masa
y la velocidad están definidas por las leyes de conservación. Estamos interesados en el
comportamiento asintótico de $K_n(t)$ como $n\to \infty$, donde $K_n(t)$ denota la
número de cúmulos en el momento $t$ en el sistema con $n$ partículas iniciales. Nuestro
el resultado principal es un teorema de límite funcional para $K_n(t)$. Su prueba se basa en
la propiedad de localización descubierta del proceso de agregación, que establece
que el comportamiento de cada partícula es esencialmente definido por el movimiento de
Partículas vecinas.
| Introducción.
1.1. Descripción del modelo. Damos un análisis cuantitativo de clus-
en un modelo estocástico de gas unidimensional. En el tiempo cero, el gas
consiste en n partículas de punto, cada una de la masa 1
. Estas partículas están...
domly distribuido en la línea real y tienen cero velocidades iniciales. Partículas
comienzan a moverse bajo las fuerzas de la atracción mutua. Cuando dos o más
las partículas chocan, se pegan formando una nueva partícula, llamada cluster,
cuya masa y velocidad están definidas por las leyes de masa e impulso
conservación. Entre colisiones, partículas se mueven de acuerdo a las leyes de
Mecánica newtoniana.
Suponemos que la fuerza de la atracción mutua no depende de
e iguala el producto de las masas. Esta suposición es natural para
Recibido en marzo de 2007; revisado en septiembre de 2007.
1Apoyado en parte por las subvenciones NSh-4222.2006.1 y DFG-RFBR 436 RUS
113/773/0-1(R).
Clasificaciones de temas AMS 2000. Primaria 60K35, 82C22; secundaria 60F17, 70F99.
Palabras y frases clave. Partículas pegajosas, sistemas de partículas, partículas gravitantes, número
de clusters, agregación, adhesión.
Se trata de una reimpresión electrónica del artículo original publicado por el
Instituto de Estadística Matemática en Los Anales de Probabilidad Aplicada,
2008, Vol. 18, No. 3, 1026-1058. Esta reimpresión difiere de la original en
paginación y detalle tipográfico.
http://arxiv.org/abs/0704.086v2
http://www.imstat.org/aap/
http://dx.doi.org/10.1214/07-AAP481
http://www.imstat.org
http://www.ams.org/msc/
http://www.imstat.org
http://www.imstat.org/aap/
http://dx.doi.org/10.1214/07-AAP481
2 V. V. VYSOTSKY
modelos unidimensionales porque, por la ley Gauss aplicada al flujo de la
campo gravitacional, la gravitación es proporcional a la distancia a la potencia
una dimensión menos del espacio. En cualquier momento, la aceleración de un
por lo tanto, la partícula es igual a la diferencia de masas situadas a la derecha y a la
a la izquierda de la partícula.
Normalmente se describen las posiciones iniciales aleatorias de las partículas (véase [8, 16,
25]) por los siguientes modelos naturales: en el modelo uniforme, n partículas son
independiente y uniformemente diseminado en [0,1]; en el modelo Poisson, partículas
se encuentran en el punto 1
S2,. ..,
Sn, donde Si es un exponencial estándar
Caminar al azar. En otras palabras, las partículas se encuentran en los puntos de los primeros saltos n
de un proceso Poisson con intensidad n.
Estos dos modelos son los más naturales e interesantes; llamémoslos
los principales modelos de posiciones iniciales. Sin embargo, veremos ese comportamiento
del modelo de Poisson se define esencialmente por la independencia de
nes entre partículas y no por el tipo particular de distancias»
distribución. Por lo tanto, es de gran interés matemático para el general-
iza el modelo Poisson mediante la introducción de la i.d. modelo, donde “i.d.”
para “distancias independientes”, según se indica a continuación. Partículas se encuentran inicialmente en
S2,. ..,
Sn, donde Si es un paseo aleatorio positivo cuyo no negativo
i.i.d. incrementos Xi satisfacen la condición de normalización EXi = 1. Tenga en cuenta que
si procedemos al límite como nÃ3, consideramos un sistema de masa total uno,
que consiste, más o menos hablando, en partículas infinitesimales homogéneamente
spread on [0,1]; esto es cierto para todos los modelos mencionados de posiciones iniciales.
El interés matemático en los sistemas de partículas pegajosas surge principalmente de
las relaciones entre estos sistemas y algunos ecuales diferenciales parciales no lineales
ciones procedentes de la mecánica de fluidos, por ejemplo, la ecuación de Burgers.
Estas ecuaciones admiten la interpretación en términos de partículas pegajosas; ver Gur-
batov et al. [10], Brenier y Grenier [4] o E, Rykov y Sinaí [6]. Pegajoso
Los modelos de partículas también se utilizan para la resolución numérica de otras diferencias parciales.
ecuaciones tiales; véase Chertock et al. [5] para explicaciones y referencias adicionales.
Con el paso del tiempo, las partículas se acumulan en cúmulos. Los clústeres son cada vez más grandes y
mayor mientras que el número de clusters disminuye hasta que se fusionan en un solo
clúster que contiene todas las partículas iniciales. Este proceso de agregación de masa es
fuertemente relacionados con la coalescencia aditiva; véase Bertoin [2] y Giraud [9]
para los resultados y referencias más recientes.
El proceso de agregación se asemeja a la formación de una estrella de dispersión
polvo espacial y partículas pegajosas modelos de hecho tienen relaciones con la astrofísica.
Es conveniente aclarar estas relaciones, ya que no son tan directas y
causar un montón de malentendidos.
Se sabe que la distribución de galaxias en el universo es muy inho-
mogenética y las regiones de alta densidad forman una estructura celular peculiar.
El primer intento de entender la formación de tales estructuras se hizo
INCLUYE EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 3
en 1970 por Zeldovich. La mayor parte de la masa en el universo se cree que ex-
ist en forma de partículas que prácticamente no chocan entre sí
e interactuar sólo gravitacionalmente, por ejemplo, neutrinos. En su modelo, Zel...
dovich considerado un medio inicialmente homogéneo sin colisión de partículas
movimiento por inercia pura; la interacción gravitacional fue quitada por un
un cambio de tiempo adecuado. Demostró que las singularidades, es decir, el re-
giones de muy alta densidad de partículas, llamados “pancakes”, aparecen incluso si
las velocidades iniciales de las partículas forman un campo de velocidad suave.
El modelo aproximado de Zeldovich, sin embargo, no explica la formación de
la estructura celular de la materia. Su aproximación no toma en ac-
cuenta que las partículas que golpean un “pancake” se ven obstaculizadas por su fuerte gravedad-
campo y empezar a oscilar dentro de la “pancake” en lugar de volar lejos.
Aunque esta adhesión gravitacional de partículas sin colisión no es precisamente
la misma que la verdadera pegadura, el modelo de partículas pegajosas sirve como una razón-
Aproximación capaz. A continuación se analizó el efecto de la adhesión gravitacional
por el uso de la ecuación Burgers; Gurbatov, Saichev y Shandarin pro-
lo planteó en 1984 para ampliar la aproximación de Zeldovich, que es inválido después de
formación de “panqueques”.
El modelo de partículas pegajosas se menciona directamente en Gurbatov et al. [11];
un estudio exhaustivo de la formación de la estructura a gran escala del Universo
tura se puede encontrar en Shandarin y Zeldovich [23].
1.2. Declaración del problema y de los resultados. En general, el problema
es describir el proceso de agregación de masa. ¿Qué tan rápido es? ¡Qué grande!
¿Los grupos son? ¿Dónde aparecen los cúmulos más intensamente, y así sucesivamente?
Numerosos trabajos sobre el modelo (por ejemplo, [8, 14, 16, 20, 25]) están dedicados a
descripción probabilística de varias propiedades del proceso de agregación como
el número de partículas iniciales n tiende al infinito. Por lo tanto, el comportamiento de un
sistema típico que consiste en un gran número de partículas se estudia.
En este artículo, estamos interesados en el comportamiento asintótico de Kn(t), que
indica el número de racimos en el momento t en el sistema con n partículas iniciales.
Esta variable es una función de paso aleatorio decreciente que satisface Kn(0) = n
y Kn(t) = 1 para t ≥ T lastn, donde T lastn denota el momento del último
Colisión. Mientras calculamos Kn(t), también contamos las partículas iniciales que tienen
no experimentó ninguna colisión; en otras palabras, Kn(t) es el número total de
partículas existentes en el momento t.
Es muy importante conocer el comportamiento de Kn(t). Esto nos da un profundo
comprensión del proceso de agregación desde el tamaño medio de un grupo
en el momento t es n
Kn(t)
Al principio damos un breve ejemplo determinista. Supongamos que las partículas son
situado en el punto 1
,. .., n
, es decir, Si = i. Por cálculos simples, encontramos
que no habría ninguna colisión antes de t= 1. En el momento t= 1, todos
V. V. VYSOTSKY
las partículas se pegan simultáneamente, por lo tanto Kn(t) = n para 0 ≤ t < 1 y
Kn(t) = 1 para t≥ 1.
Sin embargo, cuando las posiciones iniciales son aleatorias, el proceso de agregación
se comporta de manera totalmente diferente. En [25], el autor probó el siguiente estado:
mento.
Hecho 1. Existe una función determinista a(t) tal que tanto en el
Poisson y los modelos uniformes de posiciones iniciales, para cualquier t≥ 0, tenemos
Kn(t)
P a(t), n.1)..........................................................................................................................................................
La función a(t) es continua, a(0) = 1, y a(t) = 0 para t≥ 1. Conjec-
, sobre la base de simulaciones numéricas, que a(t) = 1− t2 para 0≤ t≤ 1.
La relación a(t) = 0 para t > 1 no es una sorpresa porque sabemos de
Giraud [8] que tanto en el Poisson como en los modelos uniformes, T duran
P 1 (la
constante de límite es tan “bien” debido a la escala adecuada del modelo). Por lo tanto,
decimos que el momento t=1 es crítico; note que este momento coincide
con el momento de la colisión total en el modelo determinista.
El objetivo de este trabajo es reforzar el resultado de [25]. Nosotros, los primeros gen...
Borra el hecho 1 y pruébalo para la identificación. modelo. Veremos [relaciones (19)
y (27) más abajo] que a(t) es igual a la probabilidad de un determinado evento que
se expresa en términos de Xi. Además, probaremos que a(t) depende de la
distribución común de Xi como sigue: a(t) = 1 en [0,
μ), donde
μ := sup{y :P{Xi < y}= 0};
a(t) (0,1) el (,1); y a(t) = 0 el (1,").
Además, los recientes resultados del autor [26] nos permiten probar el
conjetura del hecho 1 que aPoiss(t) = aUnif(t) = 1− t2 para 0≤ t≤ 1. Ahí está.
es un contraste increíble entre la simplicidad de esta fórmula y el duro
cálculos que uno necesita obtener. Es notable que ahora sepamos el
función límite a(t) para los principales modelos de posiciones iniciales.
Nuestro principal objetivo es mejorar (1) encontrando el próximo término en el asymp-
totics de Kn(t). El resultado es la siguiente declaración, donde el estándar
símbolo
D denota convergencia débil y D denota el espacio Skorohod.
Teorema 1. En la identificación. modelo con Xi continuo satisfaciendo EX
para algunos γ > 4, existe un proceso Gaussiano centrado K(·) en [0,1) tales
Kn(·)− na(·)
DK(·) en D[0,1−
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 5
como n→ فارسى. El proceso K(·) depende de la distribución de Xi. Esta pro-
el cesto satisface K(0) = 0 y tiene trayectorias continuas a.s. La covarianza
función R(s, t) de K(·) es continua en [0,1)2, R(s, t)> 0 en (,1)2, y
R(s, t) = 0 en [0,1)2 \ (,1)2.
En el modelo uniforme, (2) se mantiene para algún proceso Gaussiano centrado KUnif(·)
el [0,1). Este proceso satisface KUnif(0) = 0 y tiene a.s. trayectoria continua-
Ries. La función de covarianza RUnif(s, t) de KUnif(·) es continua en [0,1)2,
y RUnif(s), t =RPoiss(s), t)− s2t2.
Así, el Poisson y los modelos uniformes conducen a diferentes procesos de límite
KPOiss(·) y KUnif(·), aunque aPoiss(·) = aUnif(·).
Como corolario inmediato del Teorema 1 (véase Billingsley [3], sección 15),
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
Kn(t)− na(t)
DN (0, 2(t)), n(3)
para cualquier t < 1, donde 2(t) := R(t, t). Es posible demostrar que en el i.d.
modelo, (3) se mantiene para todos t 6= 1 bajo la condición menos restrictiva EX2i,
con 2(t) = 0 para t > 1; no se requiere continuidad de Xi.
También estudiamos la convergencia del lado izquierdo de (3) en la crítica
momento t= 1. Aparentemente, el límite no es gaussiano, pero esto complicado
problema está relacionado con una conjetura curiosa, pero difícilmente demostrable sobre integrado
Camina al azar. En vista de esta no-Gaussianity, parece imposible probar
cualquier versión extendida del Teorema 1 que describe la débil convergencia de
trayectorias en todo el intervalo [0,1]; nos referimos a la sección 7 para más información
debate.
Terminamos esta subsección con una nota sobre el escalado. En nuestro modelo, las masas
de partículas son iguales a 1
y las distancias entre ellos son del orden
. Reescalemos la identificación. modelo multiplicando todas las masas y distancias
por n: el sistema de partículas de masa uno cada una, situado inicialmente en puntos
S1 − S[n/2], S2 − S[n/2],. .., Sn − S[n/2], se llama el modelo en expansión. Los
las partículas se desplazan por S[n/2] porque queremos que el sistema se expanda “llenando”
la totalidad de la línea como nÃ3r, en lugar de solamente la media línea positiva.
Todos los resultados de nuestro trabajo son válidos para el modelo en expansión. Esto no lo es.
inesperado porque el cambio no produce ningún cambio y el cambio de escala
de masas es equivalente a la contracción del tiempo por n veces mientras que el escalado
de distancias es equivalente a la expansión del tiempo por n veces. Nos referimos a la
leer la sección 2 abajo o Lifshits y Shi [16] para argumentos rigurosos.
1.3. Organización del documento. En la sección 2 describimos un método general
que se utiliza para estudiar sistemas de partículas pegajosas. Este método se aplica para
estudiando la identificación. modelo en la Sección 3, donde investigamos algunas propiedades de
6 V. V. VYSOTSKY
el proceso de agregación. Demostraremos que el proceso de agregación es altamente
local, es decir, el comportamiento de una partícula es esencialmente definido por el movimiento
de partículas vecinas. Esta propiedad de localización sugiere que podríamos utilizar
limitar los teoremas para variables débilmente dependientes para probar tanto el hecho 1 como
Teorema 1 para la identificación. modelo; esto se hará en la Sección 4. Entonces lo haremos.
probar el teorema 1 para el modelo uniforme en la sección 5. En la Sección 6 estudiamos
el número de clusters en el momento crítico t = 1. Algunas preguntas abiertas
se examinan en la sección 7.
2. Método de los baricentros. En esta sección describimos brevemente el método
de los baricentros, que es la principal herramienta utilizada para estudiar los sistemas de
ticles; también es aplicable a modelos más generales en los que las partículas podrían
tienen velocidades iniciales no nulas y diferentes masas. El método de los baricentros
fue introducido independientemente por E, Rykov y Sinaí [6] y Martin y
Piasecki [20].
Comencemos con varias definiciones. Siempre numeramos partículas de
izquierda a derecha e identificar las partículas con sus números. Un bloque de partículas es
un conjunto no vacío J â € [1, n] que consiste en números consecutivos. Por ejemplo,
el bloque (i, i+k] consiste en partículas i+1,. .., i+k. Tenga en cuenta que no hay
cualquier relación entre bloques y cúmulos: por ejemplo, las partículas de un bloque
podría estar contenido en diferentes grupos y estos grupos podrían incluso contener
partículas que no pertenecen al bloque.
Es conveniente suponer que las partículas iniciales no desaparecen en las colisiones
pero siguen existiendo en los clusters creados. A continuación, la coordenada xi,n(t) de una
partícula i podría definirse como la coordenada de un clúster que contiene la
partícula en el tiempo t. El segundo subíndice n siempre indica el número de
partículas iniciales; omitiremos este subíndice tan a menudo como sea posible.
Por xJ(t) := J 1
xi(t) denotar la posición del baricentro de una
bloque J en el momento t. Además, definir
x*J(t) := xJ(0) +
donde M
J := n
−1(n −maxjóJ) y M (L)J:= n−1(minjóJ −1) son las
masas tal de partículas situadas a la derecha y a la izquierda del bloque J,
respectivamente.
Un bloque está libre de la derecha hasta el tiempo t si, hasta este momento, el bloque
las partículas no chocaron con las partículas localizadas inicialmente a la derecha del
Bloqueo. Definimos de manera similar bloques que están libres de la izquierda y decir que un
bloque es libre hasta el tiempo t si está libre tanto de la derecha como de la izquierda.
La siguiente declaración juega el papel clave en el análisis de partículas pegajosas
sistemas. El baricentro de un bloque libre se mueve como una partícula imaginaria
la tensión de todas las partículas del bloque juntas en el baricentro inicial. En una
de manera más precisa y general, decimos lo siguiente.
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 7
Proposición 1. Si un bloque J está libre de la derecha (resp. izquierda) hasta el tiempo
t, entonces xJ(s) ≥ x*J(s) para s ≤ [0, t] [resp. xJ(s)≤ x*J(s)]. Si un bloque J es libre
hasta el tiempo t, entonces xJ(s) = x
J(s) para s â € [0, t].
Esta afirmación se puede encontrar, por ejemplo, en Lifshits y Shi [16],
Proposición 4.1. La prueba fácil se basa en la propiedad de la conservación de
impulso.
El momento en que una partícula j se pega con su lado derecho vecino
j + 1 se llama el tiempo de fusión Tj,n de la partícula j. En otras palabras, Tj,n
es el primer momento cuando las partículas j y j + 1 están contenidas en un
cluster; aquí j [1, n− 1]. Proposición 4.3 de Lifshits y Shi [16], que
se indica a continuación, nos da una manera de calcular Tj,n.
Proposición 2. Por cada j â € [1, n− 1], tenemos
Tj,n = min
j<k≤n
0≤l<j
{s≥ 0 :x*(j,k](s) = x*(l,j](s)}.4)
Así, Tj,n se expresa por medio de baricentros. Tenga en cuenta que desde
x*(j,k](s)− x*(l,j](s) = x(j,k](0)− x(l,j](0)−
s2,(5)
cada una de las ecuaciones x*
(j,k]
s) = x*
(l, j)
s) tiene una solución única no negativa.
También mencionamos que en el momento Tj,n aparece un cluster que consiste en
las partículas l+1,. .., k, donde k y l son minimizadores del lado derecho
de (4).
Demostraremos la Proposición 2 ya que la prueba es simple y perfectamente ilus-
trate el sentido del método de los baricentros.
Prueba de la Proposición 2. Para cualquier u < Tj,n, las partículas j y j + 1
están contenidos en diferentes grupos. Por lo tanto, por cada l < j, el bloque [l, j]
está libre de la derecha hasta el tiempo u, y para cada k > j, el bloque [j + 1, k]
está libre de la izquierda. Por la Proposición 1,
x*(l,j](u)≤ x(l,j](u)≤ xj(u)<xj+1(u)
≤ x(j,k](u)≤ x*(j,k](u),
y puesto que, por (5), la función x*
(j,k]
s) - x*
(l, j)
(s) está disminuyendo para s≥ 0,
concluir que
u s≥ 0 :x*(j,k](s) = x*(l,j](s)}.
Tomando el mínimo sobre k, l y tomando el máximo sobre u, obtenemos Tj,n ≤
miná · ·.
V. V. VYSOTSKY
Demostremos la última desigualdad en la otra dirección. Por la definición de
Tj,n, existe un l < j y un k > j tal que los bloques (l, j] y (j, k] son
libre hasta el tiempo Tj,n (los cúmulos que contienen partículas de estos bloques chocan
exactamente en el momento Tj,n). En vista de la Proposición 1,
x*(l,j)(Tj,n) = x(l,j)(Tj,n) = x(j,k)(Tj,n) = x
j,k](Tj,n);
por lo tanto Tj,n = {s≥ 0 :x*(j,k](s) = x
(l, j)
(s)} y Tj,n ≥min· ·. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3. Estudio de la identificación. modelo. La propiedad de localización. Al principio, tenga en cuenta que
Kn(t) = 1+
1{t<Ti,n}(6)
porque el número total de clusters disminuye en uno a cada momento Ti,n.
Esta representación desempeña el papel clave en la investigación de Kn(t). Claramente,
tenemos que estudiar las propiedades del Ti de r.v.,n para demostrar el límite de los teoremas para
Kn(t); este estudio se realizará en esta sección.
3.1. El estudio inicial. Simplifiquemos la representación para Tj,n de
Proposición 2. En esta sección consideramos la identificación. modelo de posiciones iniciales,
donde xj,n(0) =
Sj. Recuerda que Sj es un paseo al azar con i.i.d. incrementos
{Xj}jÃ3z (necesitaremos las variables {Xj}j≤0 más tarde).
Reescribir la distancia inicial entre barycenters como
x(j,k](0)− x(l,j](0)
i=j+1
j − l
i=l+1
i=j+1
(Si − Sj+1) +
j − l
i=l+1
(Sj − Si) + (Sj+1 − Sj)
k−j−1
(Sj+i+1 − Sj+1) +
j − l
j−l−1
(Sj − Sj−i) +Xj+1
Vamos a estar de acuerdo en que
:= 0. Además, por
x(j,k](0)− x(l,j](0)
k−j−1
j+i+1
m=j+2
j − l
j−l−1
m=j−i+1
Xm +Xj+1
k−j−1
(k− j − i)Xj+i+1
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 9
j − l
j−l−1
(j − l− i)Xj−i+1 +Xj+1
y (5), tenemos
x*(j,k](s)− x*(l,j](s) =
Fk−j,j,j−l(s),
donde
Fp,j,q(s) :=
(p− i)Xj+i+1
(q − i)Xj−i+1 +Xj+1 −
(para p, q ≥ 1 y j • Z). Ahora, por la Proposición 2, obtenemos
Tj,n = min
j<k≤n
0≤l<j
{s≥ 0 :Fk−j,j,j−l(s) = 0}
= min
1≤k≤n−j
1≤l≤j
{s≥ 0 :Fk,j,l(s) = 0}.(8)
Tenga en cuenta que Fp,j,q(0) ≥ 0 para todos los p, j, q y Fp,j,q(s) está disminuyendo para s ≥ 0.
Esta función también podría ser escrita en la forma más conveniente:
Fp,j,q(s) =
(p− i)(Xj+i+1 − s2)
(q − i)(Xj−i+1 − s2) + (Xj+1 − s2).
3.2. Propiedad de localización del proceso de agregación. Vemos que Tj,n
es una función de X2,. ..,Xn; en otras palabras, es necesario conocer el
distancias entre todas las partículas n para encontrar Tj,n. El proceso de agregación es
realmente altamente local, es decir, el valor de Tj,n es esencialmente definido por el
distancias iniciales entre partículas vecinas {i} de j para las cuales j − i es pequeño
Suficiente.
Para hacer esta declaración rigurosa, tenemos que introducir el siguiente no-
tación. Vamos a poner
j := min
1≤k,l≤M
{s≥ 0 :Fk,j,l(s) = 0},j • Z,M • N,
que se expresa en términos de las variables {Xij−iM solamente. Además, definir
Tj := inf
k,l≥1
{s≥ 0 :Fk,j,l(s) = 0},j • Z,
10 V. V. VYSOTSKY
que es, en cierto sentido, el tiempo de fusión en un sistema infinito apropiado
de partículas. El lector podría construir tal sistema considerando el límite
del modelo en expansión, véase la Sección 1.
Está claro que
Tj ≤ Tj,n ≤ T (jŁn−j)j,j,n ≤ N,j ≤ n,(10)
en los que se denotan, respectivamente, el mínimo y el máximo, y
Tj ≤ T (M)j, j â € € Z,M â € N.(11)
Vamos a estimar la tasa de la convergencia de P{Tj 6= T (M)j } a cero como la
“radius del barrio” M tiende al infinito. Por lo tanto, podríamos “medir”
la localidad antes mencionada del proceso de agregación. De hecho, para (10), nosotros
tiene P{Tj,n 6= T (M)j } ≤ P{Tj 6= T
j } para cualquier n-N, j ≤ n, y M ≤ j-n-j.
Lemma 1. Supongamos que EX
i para algunos γ ≥ 1. Entonces existe un no-
funciones decrecientes de tal manera que
max(P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
•,P{Tj 6= T
j, T
j ≤ t})≤ (t)M
1(12)
para cualquier t â € (0,1), j â € Z, y M â € N. Por otra parte, para cualquier t < 1, la mano izquierda
lado de (12) es o (M1).
Prueba. Vamos a estimar la primera probabilidad en el lado izquierdo de
(12). Por propiedades de Fk,j,l(·) y definiciones de T (M)j y de Tj,
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
= P{Tj < t≤ T
k,l≥1
Fk,j,l(t)< 0, min
1≤k,l≤M
Fk,j,l(t)≥ 0
Por (9), esta expresión no depende de j, y poner j :=−1,
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
(k− i) (Xi − t2)
+ inf
(l− i) (X−i − t2) + (X0 − t2) < 0,
1≤k≤M
(k− i) (Xi − t2)
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 11
+ min
1≤l≤M
(l− i)(X−i − t2) + (X0 − t2)≥ 0
Luego comparamos las desigualdades en los aparatos ortopédicos y obtenemos
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
(k− i)(Xi − t2)< min
1≤k≤M
(k− i) (Xi − t2)
(Si − it2)< min
1≤k≤M
(Si − it2)
(Si − it2)< min
k1,M}
(Si − it2)
Ahora reescribir el evento en la última línea como
•k >M : 1
(Si − it2)<min
(Si − it2)
•k >M : 1
(Si − it2)
(Si − it2)<min
(Si − it2)
Análisis de ambos casos 0≤ 1
i=1 (Si − it2) y 0> 1M
i=1 (Si − it2), nosotros
concluir que el hecho considerado implica
•k >M : 1
(Si − it2)< 0
k >M :
(Si − it2)< 0
Claramente, esto último implica
i≥M :Si − it2 < 0}=
por lo tanto, combinando todas las estimaciones juntos, obtenemos
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (M)
≤ ≤ 2P
.(13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenga en cuenta que obtuvimos (13) sin ninguna suposición sobre los momentos de Xi.
Ahora estimamos el lado derecho de (13); recuerde que EXi = 1. Entonces
la primera parte de (12) inmediatamente sigue del resultado clásico de Baum
y Katz [1] (véase su Teorema 3 y Lemma):
V. V. VYSOTSKY
Hecho 2. Si EXi = a y EXi para algunos γ ≥ 1, entonces
= o(k1), k
para cualquiera de los dos tipos siguientes:........................................................................................................................................................................................................................................................... Además, la serie
k=1P{supi≥k Sii − a converge
para todos los > 0 si γ = 2.
La estimación de la segunda probabilidad en el lado izquierdo de (12) es
completamente análogo, ya que
{Tj 6= T (M)j, T
j ≤ t}
= {Tj < T (M)j ≤ t}
1≤k,l
Fk,j,l(T
j ) < 0, min
1≤k,l≤M
Fk,j,l(T
j ) = 0, T
j ≤ t
Pusimos j :=−1, repetir las estimaciones, y obtener
P{Tj 6= T (M)j, T
j ≤ t} ≤ 2Pi≥M :Si − i[T
< 0, T
−1 ≤ t}
en lugar de (13). La parte derecha no excede de 2Pi≥M : Si − it2 <
0}, por lo tanto
P{Tj 6= T (M)j, T
j ≤ t} ≤ 2P
.(14)
3.3. La función de distribución de T0 en el modelo Poisson. Es increíble.
que en el modelo Poisson, la función de distribución de T0 se puede encontrar
explícitamente. Esto es importante porque por (27) abajo, la función límite a(t)
es igual a P{T0 > t} para el i.d. modelo. También, en la prueba de Teorema 1 para el
modelo uniforme, necesitaremos aPoiss(t) = P{TPoiss0 ≥ t}
y tienen una segunda derivada continua.
Lemma 2. En el modelo Poisson, para 0≤ t≤ 1, tenemos
P{T0 ≥ t}= 1− t2.(15)
Además, para t≥ 0, n≥ 2, y 1≤ j ≤ n− 1, tenemos
P{Tj,n ≥ t}= et
1≤k≤j
(Si − it2)≥ 0
1≤k≤n−j
(Si − it2)≥ 0
donde Si es una caminata aleatoria exponencial estándar.
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 13
Prueba. Comenzamos con (16). Por (8), (9) y propiedades de Fk,j,l(·),
P{Tj,n ≥ t}= P
1≤k≤n−j
1≤l≤j
Fk,j,l(t)≥ 0
1≤k≤n−j
(k− i)(Xj+i+1 − t2)(17)
+ min
1≤l≤j
(l− i)(Xj−i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0
En el lado derecho de la última igualdad, por Y denotan el primer mínimo
y por denotan el segundo.
Supongamos que X es un r.v. exponencial estándar, Z es un r.v. no negativo, y
que X y Z son independientes; entonces
P{Z ≤X}=
P{Z ≤ x}e−x dx
E1{Z≤x}e
−x dx= E
1{Z≤x}e
−x dx= Ee−Z.
Por lo tanto en vista de la independencia de Y, , Xj+1 obtenemos
P{Y + +Xj+1 − t2 ≥ 0}= EEYt
EeY−t
Eet
y, por lo tanto,
P{Tj,n ≥ t}= et
P{Y +Xj+1 − t2 ≥ 0} · P +Xj+1 − t2 ≥ 0}.
Ahora, por
P +Xj+1 − t2 ≥ 0}
1≤l≤j
(l− i)(Xj−i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0
1≤l≤j
(l− i)(Xi+1 − t2) + l(X1 − t2)
1≤l≤j
(l− i+1)(Xi − t2)≥ 0
concluimos la prueba de (16). De hecho, la expresión en la última línea es igual a
la primera probabilidad en el lado derecho de (16).
14 V. VYSOTSKY
Ahora probemos (15). De la definición de T0 y T
0 vemos que
1{t≤T (k)
} → 1{t≤T0} a.s. como k; luego por (16),
P{T0 ≥ t}= et
(Si − it2)≥ 0
Entonces tenemos que comprobar que
(Si − it)≥ 0
1− te−t/2
para 0 ≤ t ≤ 1. Los complicados cálculos de esta probabilidad requieren más
luego diez páginas. Por lo tanto, se separaron en papel independiente [26].
Aunque estos cálculos parecen ser técnicos, se basan en
ideas originales. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3.4. Algunas propiedades de las variables Ti. En esta subsección demostramos
varias propiedades importantes del Ti de r.v..
1. La secuencia Ti es estacionaria.
Prueba. Esta afirmación se desprende inmediatamente de la definición de Ti y
la estacionalidad de Xi, que son i.i.d.
2. La función de distribución común de Ti está definida por
P{Ti ≥ t}= P
(k− i) (Xi − t2)
+ inf
(l− i)(X−i − t2) + (X0 − t2)≥ 0
Prueba. Esta fórmula se deriva de (9).
3. Tenemos P ≤ Ti ≤ 1} = 1 mientras que sup{y :P{Ti < y} = 0} =
μ y
inf{y :P{Ti < y} = 1} = 1; recuerde que μ = sup{y :P{Xi < y} = 0}. En addi-
tion, si 0<DXi, entonces P{Ti = 1}= 0.
Prueba. Primero, P ≤ Ti} = 1 es trivial, porque ambos infima en (19) son
no positivo.
En segundo lugar, fijar una t≥ 1 y considerar P{Ti ≥ t}. Teniendo en cuenta que la infima
en (19) no son positivos, obtenemos
P{Ti ≥ t} ≤ P
(k− i)(Xi − t2) + (X0 − t2)≥ 0
Entonces por los mismos argumentos que en (18),
P{Ti ≥ t} ≤ P
(k − i+1)(Xi − t2)≥ 0
(Si − it2)≥ 0
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 15
Por la ley fuerte de los números grandes, esta probabilidad es cero para todos t > 1.
Si t= 1 y 0<DXi, entonces
(Si − i)≥ 0
= lim
1≤k≤n
(Si − i)≥ 0
= lim
1≤k≤n
Si − i
y del principio de invarianza, obtenemos
P{Ti ≥ 1} ≤ P
0≤s≤1
W (u)du ≥ 0
Se deriva de la asintótica de pequeñas probabilidades de desviación unilateral de
un proceso Wiener integrado, véase (43) y (44) infra, que la última expres-
sión es igual a cero.
En tercer lugar, sup{y :P{Ti < y}= 0}=
μ e inf{y :P{Ti < y}= 1} = 1 seguir
si demostramos que para cualquier t < EXi = 1, la distribución común de la i.i.d.
infima en (19) tiene un átomo en cero. Pero tenemos
(k− i)(Xi − t2) = 0
(Si − it2) = 0
y podría ser demostrado a través de la ley fuerte de los grandes números que el último
la probabilidad es estrictamente positiva para todos t < 1.
4. Supongamos que Xi es continuo. Entonces T
j y Tj, n son continuas para cualquier
j, k,n y la distribución común de Tj podría tener un átomo sólo en 1. In
Además, si EX2i, entonces Tj son continuos.
Prueba. Por (7) y (8),
Tj,n = min
1≤k≤n−j
1≤l≤j
H(k, j, l),(20)
donde
H(p, j, q) :=
(p− i)Xj+i+1 +
(q − i)Xj−i+1 +Xj+1
Por lo tanto Tj, n es continuo como mínimo de un número finito de continuo
r.v.’s. La T
j también son continuas porque T
= Tk,2k.
16 V. V. VYSOTSKY
Ahora demostramos la continuidad de Tj. Por propiedad 3, sólo queda a
verificar que P{Tj ≥ t} es continuo en [0,0]. Pero P{T (k)j ≥ t} − P{Tj ≥ t}=
P{1{t≤Tj} 6= 1{t≤T (k)
• y teniendo en cuenta (13),
0≤t≤s
P{T (k)j ≥ tP{Tj ≥ t ≤ sup
0≤t≤s
por cada s < 1 = EXi. La última expresión tiende a cero por la ley fuerte
de grandes cantidades; entonces P{Tj ≥ t} es continuo en [0, s] como límite uniforme
de funciones continuas P{T (k)j ≥ t}. Puesto que s < 1 es arbitrario, P{Tj ≥ t} es
continua el [0,0].
5. La cov(1{s≤T0},1{t≤Tk}) tiende a cero como k® para todos los s, t [0,0]. Si,
Además, EX
i para algunos γ > 1, entonces para cualquier s, t â € [0,1] y k â € N,
Tenemos
cov(1{s≤T0},1{t≤Tk}) ≤ 2
γ(l(s) + (t))k1.(21)
Prueba. La idea es aproximar 1{s≤T0} y 1{t≤Tk} por 1{s≤T (k/2)0 }
1{t≤T (k/2)
}, respectivamente; aquí por k/2 nos referimos a k/2, donde xm
Z :m ≥ x}. Nótese que 1{s≤T (k/2)0 }
y 1{t≤T (k/2)
} son independientes porque el
primero es una función de {Xi}i≤k/2 mientras que el segundo es una función de {Xi}i≥k/2+1.
Entonces tenemos
cov(1{s≤T0},1{t≤Tk})
= cov(1{s≤T0},1{t≤Tk})− cov(1{s≤T (k/2)
},1{t≤T (k/2)
≤ E(1{s≤T0}1{t≤Tk} − 1{s≤T (k/2)
}1{t≤T (k/2)
+ E(1{s≤T0} − 1{s≤T (k/2)
}) E(1{t≤Tk} − 1{t≤T (k/2)
})(22)
= P{1{s≤T0}1{t≤Tk} 6= 1{s≤T (k/2)
}1{t≤T (k/2)
+ P{1{s≤T0} 6= 1{s≤T (k/2)0 P{1{t≤Tk} 6= 1{t≤T (k/2)k }
P{1{s≤T0}1{t≤Tk} 6= 1{s≤T (k/2)
}1{t≤T (k/2)
≤ P{1{s≤T0} 6= 1{s≤T (k/2)
} 1{t≤Tk} 6= 1{t≤T (k/2)
Por lo tanto, el resultado sigue de Lemma 1.
6. El r.v.’s {Ti}iÓZ, {T (k)i }iÓZ, y {Ti,n}
i=1 están asociados ; el autor
Le debe esta observación a M.A. Lifshits.
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 17
Prueba. Recordemos en primer lugar la definición y algunas propiedades básicas de como
variables sociadas. R.v.’s â € 1,. ...............................................................................
funciones no decrecientes f, g :Rm →R, es cierto que
cov(f(+1,. .............................................................. .....................................................................................................................
(suponiendo que el lado izquierdo está bien definido). Un conjunto infinito de r.v. es
asociado si algún subconjunto finito de sus variables está asociado.
Las siguientes condiciones de asociación suficientes son bien conocidas; véase [7].
a) Se asocian variables independientes.
b) Funciones no decrecientes en función de la coordinación (del número finito de
) de los r.v. asociados están asociados.
(c) Si las variables â € 1,k,. .................................. ..,
(m,k)
D (1,. ............................................................... .........................................
(d) Si dos conjuntos de variables asociadas son independientes, entonces la unión de
estos conjuntos también están asociados.
Entonces {Ti,n}n−1i=1 se asocian para cada n por (a), (b) y (20). Analo...
Dios mío, {T (k)i }iZ se asocian para cada k. Finalmente, desde T
i → Ti a.s. como
k para cada i, c) asegura la asociación de {Ti}iZ.
7. Para cualquier s, t â € R y k â € Z,
cov(1{T0≤s},1{Tk≤t})≥ 0.23)
Prueba. Esta desigualdad se deriva de la cov(1{T0≤s},1{Tk≤t}) = cov(1{s<T0},
1{t<Tk}), la asociación de T0, Tk y (b).
8. Si EX
i para algunos γ ≥ 2, entonces la secuencia estacionaria min{Ti, t}
se mezcla fuertemente para cualquier t < 1 y sus coeficientes de mezcla fuerte α(k)
satisfacer α(k) = o(k2).
Prueba. Recordemos que los r.v. estacionarios están mezclando fuertemente si α(k)→ 0 como
k», donde α(k) son los coeficientes de mezcla fuerte definidos como
α(k) := sup
A-F-F-B-F
P(AB)− P(A)P(B);
aquí F0® := (0, 1,. .......................................................... ..) son los algebras de
“pasado” y “futuro”, respectivamente. Se ve fácilmente que
α(k)≤ sup
0≤f,g≤1
cov(f(0, 1,. ................................................................. ..)),(24)
donde el máximo se hace cargo de las funciones de Borel f, g :R/23370/ → [0,1].
Vamos a estimar α(k) de la misma manera que estimamos el lado izquierdo
de (21). Fijar algunas funciones de Borel f, g : R. → [0,1]. Nos aproximamos a la
variables de la “pasada” T0o t, T−1o t, T−2o t,. .. por T (k/2)0
(k/2+1)
-1 -1 t,
(k/2+2)
-2 - t,. ..., respectivamente; y para las variables del “futuro,” nosotros
18 V. V. VYSOTSKY
utilizar la aproximación análoga. Ahora, f(T)
(k/2)
0 t, T
(k/2+1)
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - ...............................................................
(k/2)
k Ł t, T
(k/2+1)
k+1 فارسى t,. ..) son independientes porque la primera es una función
de {Xi}i≤k/2 y el segundo es una función de {Xi}i≥k/2+1. Luego discutimos en
de la misma manera que en (22) para obtener
cov(f(T0 • t, T−1 • t,...................................................................................................... ..), g(Tk t, Tk+1 t,. ......................................................................................
(T-i-t) 6= (T (k/2+i)-i-i-t)
(Tk+i t) 6= (T (k/2+i)k+i t)
i=k/2
P{(T0 Ł t) 6= (T (i)0 Ł t)}.
Ahora, por la fórmula de probabilidad total, tenemos
P{(T0 Ł t) 6= (T (i)0 Ł t)}
= P{(T0 Ł t) 6= (T (i)0 Ł t), T
0 ≥ t P{(T0 Ł t) 6= (T
0 t), T
0 < t}
≤ P{1{t≤T0} 6= 1{t≤T (i)
P{T0 6= T
0, T
0 ≤ t}
y combinando todas las estimaciones, por Lemma 1 (24) y arbitrariedad
de f y g, obtenemos α(k)≤ 8
i=k/2 o(i)
1) = o(k2) si γ > 2. Para γ = 2, nosotros
obtener α(k)≤ 16
i=k/2 P{inf i≥M Sii < t
2}= o(1) usando el mismo argumento y
aplicación (13), (14), y hecho 2 en lugar de Lemma 1.
3.5. La última colisión. Terminamos esta sección con una declaración sobre el
convergencia de los momentos de la última colisión.
Proposición 3. En la identificación. modelo, T lastn
P 1 como n si EX2i.
Este resultado es bien conocido por el modelo Poisson; véase Giraud [8].
Prueba de la Proposición 3. Primero probemos que P{T dura ≥ t 0 como
nâ € para todos los t > 1. Desde T lastn =max1≤j≤n−1Tj,n, tenemos
P{T duran ≥ t} ≤
P{Tj,n ≥ t}.(25)
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 19
Al tener en cuenta que los mínimos en (17) no son positivos y
argumentando como en (18),
P{Tj,n ≥ t} ≤ P
1≤k≤jÃ3n−j
(k− i)(Xj+i+1 − t2) +Xj+1 − t2 ≥ 0
1≤k≤jÃ3n−j
(k− i+1)(Xi − t2)≥ 0
1≤k≤n/2
(Si − it2)≥ 0
Afirmamos que (sin ninguna suposición sobre los momentos de Xi)
P{Tj,n ≥ t} ≤ P
i≥(t−1)/4tn
1 + t2
;(26)
recuerda que t > 1. Claramente, (26) sigue si comprobamos que
1≤k≤n/2
(Si − it2)≥ 0
i≥(t−1)/4tn
1 + t2
Asume lo contrario; entonces, por la no negatividad de Si,
(Si − it2) =
(Si − it2) +
i=cn+1
(Si − it2)
(Scn − it2) +
i=cn+1
1 + t2
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
donde c := t−1
. Estimamos la última expresión con
cnScn −
(cn)2
t2 − (n/2)
2 − (cn)2
2 − 1
n2 − 1/4− c
2 − 1
Es fácil comprobar que el lado derecho es negativo, por lo que tenemos un
contradicción.
Luego a partir de (25), (26) y hecho 2 se deduce que P{T dura ≥ t} =
i=1 o(cn)
−1) = o(1) para todos los t > 1.
Ahora vamos a probar que P{T duran < t} → 0 como n → • para todos t < 1. Desde
T lastn =max1≤j≤n−1Tj,n, estimamos
P{T duran < t} ≤ P
n,n < t
P{1{t≤TjŁn,n} 6= 1{t≤T (
20 V. V. VYSOTSKY
En vista de (10) y Lemma 1, la suma es
j=1 o(n)
−1/2) = o(1), por lo tanto
Queda por comprobar que la primera probabilidad en la última línea tiende a cero.
Para un n fijo, todos T
son independientes porque cada uno es una función de
{Xij?n−in/2 (para ser exactos, de Xj?nn/2+2,. ............................................................................................................................................................................................................................................................... Por lo tanto,
n−1{T (
n/2 /.............................................................................................................................................................................................................................................................
< t} ≤ P
n−1{T0 < t},
que tiende a cero; de hecho, P{T0 < tâ ° 1 por la propiedad 3, Sección 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4. Pruebas del hecho 1 y el teorema 1 para el i.d. modelo. Recordemos que el
número de clusters Kn(t) es dado por (6). Nuestra idea es estudiar.
i=1 1{t<Ti}
en lugar de
i=1 1{t<Ti,n}: Nos ocupamos de una sola secuencia Ti y evitar
considerando la matriz triangular Ti,n.
Vamos a probar el hecho 1 para la identificación. modelo. Demostramos (1) para t 6= 1 sin
cualquier suposición adicional sobre Xi; para t = 1, requerimos EX
i < فارسى. Los
las propiedades de la función límite a(t) se estudiaron en la sección 3.4, Propiedades
3 y 4.
Prueba de hecho 1. Pusimos
a(t) := P{T0 > t}.(27)
Primero probemos (1) para todos t < 1. Basta con comprobar que
Kn(t)
1{t<Ti}
P 0, n.(28)
De hecho, la secuencia estacionaria 1{t<Ti} satisface la ley de los grandes números por
Propiedad 5, Sección 3.4, y el conocido resultado de S. N. Bernstein:
Hecho 3. La ley de los grandes números se sostiene para r.v. ́i si existe un
secuencia r(k)→ 0 tal que cov(i, j)≤ r(i− j) para todos i, j N.
Por (6),
Kn(t)
1{t<Ti}
(1{t<Ti,n} − 1{t<Ti}),
donde usamos (10) para obtener la no negatividad del lado derecho. Entonces
(28) inmediatamente sigue de la desigualdad de Chebyshev siempre que la
la expectativa del lado derecho tiende a cero. Mediante el uso (10), obtenemos
E(1{t<Ti,n} − 1{t<Ti})≤
(E1{t<T (iŁn−i)
} − E1{t<Ti})
P{1{t<Ti} 6= 1{t<t<T (iŁn−i)
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 21
que es 2
i=1 o(1) = o(1) por Lemma 1. Para ser muy preciso, Lemma 1
se ocupa de indicadores ligeramente diferentes, pero podemos estimar
probabilidad repitiendo la prueba de Lemma 1 palabra por palabra (o simplemente use
Propiedad 4, sección 3.4).
Ahora comprobamos que (1) se mantiene para todos t > 1. Uso (26) da E
Kn(t)
i=1 P{Ti,n > t} → 0
Kn(t)
P a(t) = 0 sigue de la
Desigualdad de Chebyshev.
Queda por comprobar que (1) se mantiene para t = 1 si EX2i <
la prueba. Si DXi = 0, entonces la situación es determinista, este caso fue
descrita en la Introducción. Aquí siempre tenemos Kn(1) = 1 y (1) es cierto.
Si 0<DXi, entonces por propiedad 3 de la sección 3.4, tenemos a(1) = 0 y
P{T0 = 1} = 0; en consecuencia, a(t) = P{T0 > t} es continuo en t= 1. Entonces
(1) es cierto para t = 1 desde 0 <
Kn(1)
≤ Kn(t)
P a(t) para cualquier t(0,1) y
a(t)→ a(1) = 0 como t 1. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora probamos el Teorema 1 para la identificación. modelo. Pensamos en D[0,1] como de un
espacio métrico separable equipado con la métrica de Skorohod d, que induce
la topología de Skorohod.
Prueba de Teorema 1. Al principio, probamos (2). En vista de la representación
(6) para Kn(t), la relación (2) sigue de la relación
0≤t≤1
1{t<Ti,n} −
1{t<Ti}
P 0 para todas las categorías (0,1)(29)
y la existencia de un proceso Gaussiano centrado K(·) en [0,1) tal que
1{t<Ti} −na(t)
DK(·) en D[0,1− (30)
De hecho, si Yn
D Y y d(Yn, Y ′n)
P 0 para algunos elementos aleatorios Yn, Y ′n, Y
del espacio métrico separableD[0,1], entonces Y ′n
D Y ; recuerda que d(Yn, Y ′n)≤
supta[0,1] Yn(t)− Y ′n(t).
Comenzamos con (29). Basta con demostrar que la expectativa de la
El lado izquierdo tiende a cero. Dado que el máximo de una suma no es superior a
la suma de suprema, vamos a comprobar que
E sup
0≤t≤1
1{t<Ti,n} − 1{t<Ti 0 para todos (0,1).31)
Por (10), tenemos
E sup
0≤t≤1
1{t<Ti,n} − 1{t<Ti ≤ E sup
0≤t≤1
1 {t<T (iŁn−i)
} − 1{t<Ti})
22 V. V. VYSOTSKY
= P{Ti 6= T (i?n−i)i, Ti ≤ 1−
= P{Ti 6= T (i?n−i)i, T
(i.n.i.)
i < 1−
+ P{1{1Ti} 6= 1{1T (i-i)
donde la última igualdad se obtuvo a través de la fórmula de probabilidad total.
Combinando las estimaciones y utilizando Lemma 1,
E sup
0≤t≤1
1{t<Ti,n} −1{t<Ti
≤ 2(1)
(i) n− i)1 = 4
i1.
La última expresión es O(n3/2) y (31), que implica (29), sigue.
Ahora probemos (30). Siempre y cuando
Un(t) :=−
1 {t<Ti} − na(t)
1 {Ti≤t} − (1− a(t))
el Un(·) es el proceso empírico del Ti estacionario r.v. con el continuo
función de distribución común 1− a(t). Por K(·) D=−K(·), (30) es equivalente
a la existencia de un proceso Gaussiano centrado K(·) en [0,1) tal que
Un(·)
DK(·) en D[0,1− (32)
Usaremos el siguiente resultado de Lin y Lu [17], Sección 12 en
convergencia de los procesos empíricos. Atribuyen esta declaración a Q.-M.
Shao, que lo publicó en 1986, en chino.
Hecho 4. Dejemos que sea una secuencia de estacionario mezclando fuertemente r.v. dis-
tributo en [0,1], y dejar que F sea la función de distribución común de i.
Supóngase que F (x) = x en [0,1] (es decir, que los se distribuyen uniformemente) y la co-
Eficiencias de la mezcla fuerte de la secuencia F (i) disminuyen como O(k)
−(2°))
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > A continuación, los procesos empíricos de la
borde en D[0,1] a un proceso Gaussiano centrado con la función de covarianza
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo, salvo en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, y en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, en el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas.
Observación. El proceso gaussiano límite es a.s. continuo en [0,1]. Hecho 4
también es cierto si F es una función de distribución continua arbitraria.
La continuidad a.s. del proceso de límite podría ser concluido por un compar-
de la prueba de Lin y Lu [17] con la prueba de Teorema 22.1 de
Billingsley [3]. Las declaraciones y las pruebas de estos teoremas son idénticas,
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 23
Pero Lin y Lu no dicen la continuidad mientras Billingsley lo hace. Además,
ya que F (i) se distribuye uniformemente en [0,1] si F es continua, el hecho 4 sostiene
verdadero para cada F continua; vea la prueba de Teorema 22.1 por Billingsley [3]
para explicaciones.
Recordemos que tenemos que demostrar la convergencia del proceso empírico de
Ti. Parece que el Ti de r.v. no están mezclando fuertemente; pero min{Ti,1− son
mezcla fuerte debido a la propiedad 8, sección 3.4. Estas variables no son
continua y por lo que tenemos que arreglarlos. Vamos a arreglar un (0,1), y dejar que αi
ser i.i.d. r.v. es independiente de todo Ti y, por ejemplo, se distribuye uniformemente en [0, ♥];
definimos T‡i := min{Ti,1− 1{Ti≥1i.
Las variables estacionarias T‡i se distribuyen en [0,1], su
función de atribución G es continua, y los coeficientes de mezcla fuerte
Disminución de G(Ti) como o(k)
2). La prueba de la última declaración es la misma
como prueba de la propiedad 8 de la sección 3.4. De hecho, aproximar el vari-
powers G(T̃0), G(T1),. .. del “pasado” por G(T
(k/2)
0 ),G(T
(k/2+1)
−1 ),. .. donde
i := min{T
i,1− 1{T (m)
≥1i; utilizar la aproximación análoga
para las variables del “futuro”; y luego repetir palabra por palabra el ar-
comentarios de la prueba anterior.
Ahora, recordando que γ > 4, vemos que Tûi satisfacer las suposiciones de hecho 4,
con la única diferencia de que su distribución no es uniforme. Por n(·)
denotan el proceso empírico de T‡i; claramente, n(·) coincide con el proceso empírico
proceso Un(·) de Ti en [0,1− فارسى]. Por la observación al hecho 4, llegamos a la conclusión de que
primero,
n(·)
D Kś(·) en D[0,1],(33)
donde Kś(·) es un proceso Gaussiano centrado con la función de covarianza
R贸(s, t) :=
cov(1{T0≤s},1{Ti≤t})
y, en segundo lugar, las trayectorias de Kś(·) son a.s. continuas en [0,1].
[Existe una prueba más simple y elegante de (33). Nótese que {T
se asocian como funciones no decrecientes en función de las coordenadas de los r.v. asociados
{Ti, αi}iZ, véanse los apartados a), b) y d) de la propiedad 6, sección 3.4. Entonces podemos
obtener (33) aplicando el resultado de Louhichi [18] sobre la convergencia de
procesos de r.v. asociado estacionario i en lugar de utilizar el hecho 4. Esta es la...
orem solo requiere cov(F (+0), F (+k)) = O(k)
-(4)), que podría probarse
análogamente a la propiedad 5, sección 3.4. Así evitamos el complicado esti-
maciones de los fuertes coeficientes de mezcla, y la prueba de (33) se convierte en
mucho más simple. El único problema es que esta prueba requiere γ > 5.
También tomamos nota de que la continuidad de A.S. de Kś(·) podría demostrarse directamente,
sin referirse a la prueba del hecho 4. Los argumentos deben ser los mismos
como en la prueba de la continuidad de KUnif(·) en la sección 5.]
24 V. V. VYSOTSKY
Definir
R(s), t(s) :=
cov(1{T0≤s},1{Ti≤t}),(34)
que es, evidentemente, igual a Rū(s, t) en [0,1 − Ł]2. Puesto que R(s), t) es positivo
definited y فارسى > 0 es arbitrario, la función R(s, t) es positiva definida en
[0,1)2. Por lo tanto, por Lifshits [15], Sección 4, existe un Gaussian centrado
procesar K(·) en [0,1) con la función de covarianza R(s, t). Las trayectorias
de K(·) son a.s. continuos en [0,1) por K(·) D= K(·) en [0,1], arbitrariedad
de 0, y la continuidad a.s. de K.(·) en [0,1].
Por último, por (33), n(·) = Un(·) en [0,1−
la continuidad a.s. de Kс(·), obtenemos (32). Puesto que (32) implica (30), concluimos
la prueba de (2).
Sólo quedan por probar las propiedades declaradas de R(s, t). La continuidad
de la función de distribución conjunta de las variables continuas T0 y Ti implica
que la cov(1{T0≤s},1{Ti≤t}) es continua en [0,1)
2 por cada i ≥ 0. Entonces, en
vista de (21), R(s, t) es continua en [0,1)2 como suma de convergencia uniforme
serie de funciones continuas.
La estricta positividad de R(s, t) en (
μ,1)2 sigue trivialmente de (34), (23)
y cov(1{T0≤s},1{T0≤t}) = a(s≤ t)(1−a(s≤ t)) > 0; la última desigualdad mantiene
por propiedad 3, sección 3.4. El R(s, t) = 0 en [0,1)2 \ (,1)2 sigue de
P{Ti ≤
= 0, que contiene las propiedades 3 y 4 de la sección 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observamos que (3) se mantiene para t 6= 1 bajo la condición menos restrictiva EX2i <
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Para t < 1, la prueba es casi la misma: Por (29), que es cierto para γ > 3/2,
concluimos que (3) se mantiene si la secuencia asociada estacionaria 1{t<Ti}
satisface el teorema del límite central. Luego nos referimos al teorema del límite central
para secuencias estacionarias asociadas de Newman [21]; su teorema requiere
sólo R(t, t), es decir, la convergencia del lado derecho de (34). Esto
condición se sostiene por (13) y hecho 2. Para t > 1, la relación (3) es verdadera con
2(t) = 0 debido a la Proposición 3.
Finalmente, tenga en cuenta que el proceso K(·) está asociado, es decir, el r.v.’s
{K(t)}t[0,1) están asociados. De hecho, por (6), la propiedad 6 de la sección 3.4,
y Condición (b) de la misma Propiedad 6, los procesos
Kn(·)−na(·)
asociado para cada n. Entonces K(·) está asociado por (2) y (c), Propiedad 6.
5. Prueba de Teorema 1 para el modelo uniforme. Existe un simple
método que permite extender los resultados del modelo Poisson al uniforme
modelo y vise versa. El método se basa en la siguiente declaración (ver
Karlin [13], sección 9.1).
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 25
Hecho 5. Deja que Si sea un caminar exponencial al azar. Entonces para cualquier k ≥ 1, nosotros
,. ..,
= (U1,k,U2,k,. .,Uk,k),(35)
donde Ui,k son las estadísticas de orden de k i.i.d. r.v. se distribuye uniformemente en
[0,1]. Por otra parte, el vector aleatorio en el lado izquierdo de (35) es indepen-
abolladura de Sk+1.
Por lo tanto, si xPoissj,n (0) =
Sj son las posiciones iniciales de las partículas en el
Modelo Poisson, entonces para las posiciones iniciales de partículas en el modelo uniforme,
tenemos xUnifj,n (0) =
· xPoissj,n (0). Por Proposición 2 y (5), concluimos
TUnifj,n = β
Poiss
j,n, βn :=
,(36)
y por lo tanto, utilizando (6), obtenemos
KUnifn (t) =K
Poiss
n (βnt).(37)
Tenga en cuenta que el proceso KUnifn (·) y el r.v. βn son independientes ya que val-
ues del proceso se definen por xUnif1,n (0),. .., x
n,n (0), que son mutuamente
independiente de βn por hecho 5.
Ahora probamos el Teorema 1 para el modelo uniforme.
Prueba de Teorema 1. Denotar
Yn(t) :=
KUnifn (t)− na(t)
, Zn(t) :=
n(a(t)− a(βnt));
subrayamos que Yn(·) y Zn(·) son independientes.
Arreglar un 0,1). En primer lugar, se deriva de (2) para el modelo Poisson y (37)
Yn(·) +Zn(·)
DKPoiss(·) en D[0,1− ].38)
De hecho, el proceso Yn(·) +Zn(·) se obtiene a partir de 1
Poiss
n (·)− na(·)) por
el cambio aleatorio de tiempo t 7→ βnt; y desde nt− tC[0,1]
P 0, tenemos
Yn(·) +Zn(·),
KPOISSN (·)− na(·)
P 0
por la definición de la métrica de Skorohod d.
En segundo lugar, del hecho 1, (15) y (27) se deduce que aUnif(t) = aPoiss(t) =
P{TPoiss0 ≥ t}= 1− t2 para 0≤ t≤ 1, y por el teorema del límite central,
Zn(t)
D t2η en D[0,1− Ł],(39)
26 V. V. VYSOTSKY
donde η es un estándar Gaussian r.v.
Afirmamos que (38), la independencia de Yn(·) y Zn(·), y (39)
la débil convergencia de Yn(·) en D[0,1− فارسى]. Vamos a comprobar la opresión de
Yn(·) y la convergencia de sus distribuciones finitas-dimensionales.
La estrechez de Yn(·) en D[0,1− ] se deriva de Yn(·) = (Yn(·)+Zn(·)−
Zn(·), (38), y (39). De hecho, por el teorema de Prokhorov, (38) y (39) rendimiento
que ambas secuencias Yn(·) + Zn(·) y −Zn(·) están ajustadas. Pero las trayectorias
de −Zn(·) son a.s. continua debido a la continuidad de a(·), y el
la tensión se deriva de la continuidad de la adición + :D×C →D y el hecho
que bajo cualquier mapeo continuo, la imagen de un conjunto compacto es también un
Conjunto compacto.
Ahora estudiamos la convergencia de las distribuciones dimensionales finitas de Yn(·).
Recordemos que la función característica de un vector Gaussiano centrado en Rm
es e−1/2(Ru,u), donde u Rm y R es la matriz de covarianza del vector.
Entonces (38), la independencia de Yn(·) y Zn(·), y (39) dan que para el
funciones características de todas las distribuciones finitas-dimensionales de Yn(·), nosotros
Eei(Yn(t),u) e−1/2({R)
Poiss(tj,tk)−t2j t
j,k=1
,(40)
donde u â € TMm, t= (t1,. ..., tm) [01,]m, e Yn(t) := (Yn(t1),. ., Yn(tm)).
Insistimos en que (40) es cierto para cada t â € [0,1− ¬]m desde los procesos de límite
en (38) y (39) tienen trayectorias continuas.
Vemos que la matriz {RPoiss(tj, tk)− t2j t2k}mj,k=1 es positiva definida para
cualquier t = (t1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
el lado izquierdo de (40) no exceda de uno. Poniendo
RUnif(s), t :=RPoiss(s, t)− s2t2,
tenemos {RPoiss(tj, tk)− t2j t2k}mj,k=1 = {RUnif(tj, tk)}mj,k=1; entonces la función
RUnif(s, t) es positivo definido en [0,1)2 puesto que > 0 es arbitrario. Por lo tanto, por
Lifshits [15], Sección 4, RUnif(s, t) es la función de covarianza de algunos centrados
Proceso gaussiano KUnif(·) en [0,0].
Así pues, se demuestra la relación (2). Ahora verifique que KUnif(·) C[0,1− فارسى] a.s. a
concluir la prueba de Teorema 1 para el modelo uniforme.
Para este propósito, vamos a probar que a.s., trayectorias de Yn(·) tienen saltos
de la talla 1
Sólo. De hecho, los saltos de Yn(·) coinciden con los saltos de
KUnifn (·), cuyos saltos son de tamaño 1
6= TUnifj2,n para
1 ≤ j1 6 = j2 ≤ n − 1. Para (36), necesitamos verificar que TPoissj1,n 6= T
Poiss
para 1 ≤ j1 6 = j2 ≤ n − 1. Esta relación sigue de (20) si H(k1, j1, l1) 6=
H(k2, j2, l2) a.s. para j1 6= j2 y k1, k2, l1, l2 ≥ 1. La última a.s. ninguna calidad es
obvio porque si la igualdad se mantiene verdadera, entonces un cierto lineal no trivial
combinación de i.i.d. Xi exponencial es igual a cero.
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 27
Entonces existe a.s. continuum n(·) tal que supta[0,1] n(t)−Yn(t) ≤
a.s.; consecuentemente, d(n, Yn) ≤ 1n a.s. Entonces por Yn(·)
D KUnif(·), nosotros
También tienen n(·)
DKUnif(·). Pero 1 = lim inf Pn(·) C} ≤ P{KUnif(·) C}
ya que C D está cerrado en la topología de Skorohod, por lo tanto, a.s., KUnif(·) es
continua en [0,1− فارسى].
Dado que el término «0,1)» es arbitrario, a.s., KUnif(·) es continuo en su conjunto.
val [0,1). El RUnif(s, t) =RPoiss(s, t)− s2t2 es continuo en [0,1)2 porque
RPoiss(s, t) es. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. El número de grupos en el momento crítico. Ahora giramos nuestro
atención al número de clusters en el momento crítico t = 1. Lo somos.
interesado en el comportamiento de
Kn(1)− na(1)
Kn(1)
que es el lado izquierdo de (3) en t = 1; aquí tenemos un (1) = 0 bajo
EX2i, véase Propiedad 3, Sección 3.4.
No sabemos si esta secuencia es débilmente convergente, pero esperamos que
Lo es. También tenemos una ingenua suposición de que su límite es gaussiano porque el límite
en Teorema 1 es gaussiano. En vista de Kn(1) ≥ 1, este límite débil conjeturado
es no negativo, por lo tanto es gaussiano si y sólo si es idénticamente igual a
cero. Sin embargo, los resultados de esta sección muestran que el límite no es cero, por lo tanto
nuestra suposición sobre Gaussianity falla.
El estudio de la convergencia de
Kn(1)
Es bastante complicado. Por lo tanto, en este
sección, consideramos sólo el modelo Poisson. Primero, probemos lo siguiente:
declaración.
Proposición 4. En el modelo de Poisson, tenemos limnàP{Kn(1) =
1 + 0.
Prueba. Por un lado, Kn(1) = 1 es equivalente a T
n;Poiss ≤ 1, donde
T lastn;Poiss denota el momento de la última colisión en el modelo Poisson. Activar
por otra parte, un resultado de Giraud [8] indica que en el modelo uniforme,
n(T lastn;Unif − 1)
D sup
0≤x≤1
W (y)dy −
W (y)dy
=: ,
donde
W (·) es un puente browniano. Ahora, por (36), tenemos T lastn;Unif = 1n T lastn;Poiss,
por lo tanto
n(1n T
n;Poiss − 1)
Dó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó, Ó.41)
28 V. V. VYSOTSKY
Pero desde el teorema del límite central y la ley de los grandes números,
n(1n − 1) =−
Sn+1 − n
Sn+1(
Sn+1 +
D η
,(42)
donde η es un estándar Gaussian r.v. y Si es un estándar exponencial-
dom caminar que define las posiciones iniciales de las partículas. Desde entonces, en vista del hecho 5,
T lastn;Unif = β
n;Poiss y βn son independientes, de (41), (42), y la ley
de grandes cantidades se deduce que
n(T lastn;Poiss − 1)
D ♥ − η
= +
en los que los Estados miembros son independientes. Por lo tanto,
P{Kn(1) = 1}= lim
P{T lastn;Poiss ≤ 1}= P
La principal ventaja del modelo Poisson es que, por Lemma 2 y Prop-
4, sección 3.4 tenemos P{Tj,n > 1}= epjpn−j, donde
pk := P
1≤m≤k
(Si − ESi)≥ 0
y Si es una caminata aleatoria exponencial estándar. Decimos que la secuencia de
r.v.’s
i=1(Si−ESi) es una caminata aleatoria integrada. En la prueba de la propiedad
3, Sección 3.4, hemos mostrado que pk → 0 como k». Por lo tanto, es razonable
para decir que pk son las pequeñas probabilidades de desviación unilateral de un integrado
Caminata aleatoria centrada.
Necesitamos obtener la asintótica de pk → 0 para continuar el estudio de
convergencia de las
Kn(1)
. Desafortunadamente, los resultados del resto de esta sección
dependen completamente de la corrección de la siguiente conjetura.
Conjetura 1. Tenemos pk c1k-1/4 como kâ € para algunos c1 â € (0, €).
Las simulaciones muestran que la conjetura es verdadera y c1 • 0.36. El más débil
forma pk k−1/4 de la conjetura 1 fue probado por el Sinaí [22], pero sólo para inte-
Simétrico rallado Bernoulli camina al azar. También es interesante observar que,
por McKean [19], las pequeñas probabilidades de desviación unilateral de un
El proceso de Wiener tiene el mismo orden que T:
0≤s≤T
W (u)du1
• c2T−1/4(43)
para algunos c2 â € (0,â €). El lado izquierdo de (43) es una pequeña desviación unilateral
probabilidad desde
0≤s≤T
W (u)du1
0≤s≤1
W (u)duT−3/2
.(44)
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS UNO-DIMENSIONAL 29
Para ser precisos, McKean estaba interesado en un problema más general, y
se requieren algunos cálculos para obtener (43) de sus resultados. Por lo tanto,
Además, nos referimos a Isozaki y Watanabe [12] que declaran (43) explic-
Por supuesto.
Por los resultados mencionados anteriormente, también suponemos que la conjetura 1 es
verdadero para otras caminatas aleatorias centradas integradas que satisfacen algún momento
condiciones.
Ahora somos capaces de demostrar el siguiente resultado sobre la convergencia de
Kn(1)
Proposición 5. Supongamos que la conjetura 1 es cierta. Luego en el Poisson
modelo, tenemos
Kn(1)
= c3, sup
Kn(1)
(45)
para algunos c3 â € € TM € TM ; la secuencia Kn(1) â € TM es ajustada y uniformemente integrable;
y el límite de cualquier subsecuencia débilmente convergente de
Kn(1)
toma el valor cero
con probabilidad positiva, pero no es idénticamente igual a cero.
Las simulaciones numéricas muestran que
Kn(1)
es débilmente convergente y que este
La convergencia es bastante rápida. En la Figura 1 presentamos la distribución (empírica)
función de
Kn(1)
para n = 10.000. Desde las simulaciones realizadas para n =
40.000 mostraron una diferencia apenas perceptible, esta función parece ser un
buen candidato para la función de distribución del límite conjeturado.
Note que si debilitamos la Conjetura 1 a pk k−1/4, entonces Proposición 5
sigue siendo cierto con la única diferencia que E
Kn(1)
Prueba de la Proposición 5. Comenzamos con la convergencia de la ex-
pectoración. Por un lado, por (6) y Lemma 2,
Kn(1)
pipn−i,
y, por otra parte,
i−1/4(n− i)−1/4 = 1
)-1/4(
)-1/4
B(3/4,3/4)
como la suma integral de la función Beta. Luego se sigue de la conjetura 1 y
argumentos estándar de que E
Kn(1)
converge a c3 := ec
1B(3/4,3/4) > 0.
V. V. VYSOTSKY
Fig. 1. La función de distribución de
Kn(1)
para n= 10.000.
Ahora comprobamos el límite uniforme de E(
Kn(1)
)2. Por (6) es suficiente
para demostrar que
i,j=1,i 6=j
P{Ti,n > 1, Tj,n > 1.(46)
Supongamos que i < j; entonces usando (8) y las propiedades de Fk,j,l(·), obtenemos
P{Ti,n > 1, Tj,n > 1}= P
1≤k≤n−i
1≤l≤i
Fk,i,l(1) > 0, min
1≤k≤n−j
1≤l≤j
Fk,j,l(1)> 0
1≤k≤(j−i)/2
1≤l≤i
Fk,i,l(1) > 0, min
1≤k≤n−j
1≤l≤(j−i)/2
Fk,j,l(1)> 0
donde por (j − i)/2 nos referimos a (j − i)/2». Los mínimos en la última expres-
ión son independientes como funciones de {Xm}m≤(i+j)/2 y {Xm}m≥(i+j)/2+1,
respectivamente; por lo tanto
P{Ti,n > 1, Tj,n > 1} ≤ P
1≤k≤(j−i)/2
1≤l≤i
Fk,i,l(1)> 0
1≤k≤n−j
1≤l≤(j−i)/2
Fk,j,l(1)> 0
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 31
= P{Ti,i+(j−i)/2 > 1} · P{T(j−i)/2,n−j+(j−i)/2 > 1}
= e2pip
(j-i)/2pn−j,
donde la primera igualdad se deriva de (8) y la segunda de Lemma 2.
Recordando la conjetura 1, obtenemos
i,j=1,i 6=j
P{Ti,n > 1, Tj,n > 1} ≤
i,j=1,i 6=j
e2pip
j−i/2pn−j
i,j=1,i 6=j
i−1/4j − i/21/2(n− j)−1/4
i,j=1,i 6=j
) - 1 - 4 - 4
−1/2(
)-1/4
para algunos c > 0. La última expresión es una suma integral convergente a
x−1/4x− y1/2(1− y)−1/4 dxdy,
y es un ejercicio simple para comprobar que la integral es finita. Concluye así:
46).
La integrabilidad uniforme de
Kn(1)
sigue de la segunda relación de
(45), véase Billingsley [3], sección 5, y la rigidez se deriva del uniforme
la integrabilidad.
Por último, supongamos que
Kni(1)
Para algunas subsecuencias ni → y algunas
r.v. - Sí. A continuación, Eâ = c3 > 0 por la integrabilidad uniforme y (45), y por lo tanto
• no es idénticamente igual a cero. Pero la distribución de tiene un átomo en
cero desde por la Proposición 4 y propiedades de convergencia débil,
P = 0}= lim
P ≤
≥ lim
lim sup
Kni(1)
≥ lim
P{Kni(1) = 1+ 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
7. Preguntas abiertas. 1. El número de grupos temáticos en el momento crítico
t= 1.
Aquí la pregunta principal es si la conjetura 1 es cierta. Incluso por sí mismo, esto
El problema vale la pena estudiar.
Pero incluso si Conjetura 1 es verdad, todavía no tenemos una prueba de debilidad
convergencia de las
Kn(1)
, sólo se sabe que esta secuencia es estrecha. El autor
32 V. V. VYSOTSKY
cree firmemente, basándose en simulaciones numéricas, que el límite existe. Lo siento.
sería interesante encontrar este límite conjeturado, que debería ser no trivial
por la Proposición 5, en forma explícita.
2. La escasa convergencia de las
Kn(·)−na(·)
en todo el intervalo [0,1].
Es muy natural preguntar si es posible fortalecer el Teorema 1 por
prueba de la escasa convergencia de las
Kn(·)−na(·)
en D[0,1]. Esto es complicado.
problema nos devuelve de nuevo a la pregunta 1 porque la débil convergencia de
Kn(·)−na(·)
en D[0,1] implica la débil convergencia de
Kn(1)−na(1)
Kn(1)
, ver
Billingsley [3], sección 15. Pero incluso si
Kn(1)
convergen, su límite débil K(1)
no es gaussiano, de ahí el proceso límite K(·), que es gaussiano en [0,1),
ya no es gaussiano en [0,1]. Por lo tanto, es dudoso que el Teorema 1 es
verdadero en D[0,1]; por lo menos, uno debe proporcionar una prueba completamente diferente de
el presentado. Además, no está claro cómo definir el finito-dimensional
distribuciones de la K(·) no gaussiana en [0,1] porque las simulaciones muestran
que K(1) no sería independiente con K(t) para t < 1.
3. El número de cúmulos en el gas caliente.
En el caso presentado, las velocidades iniciales de partículas son cero. Este modelo es de...
diez llamado el gas frío de acuerdo a su cero temperatura inicial. Presentamos
un nuevo modelo que indica que las velocidades iniciales de las partículas son anv1, anv2,. .............................................................................
donde vi son algunos i.i.d. r.v. y a es una secuencia de normalización
Stants. Este modelo, llamado el gas caliente, fue estudiado en muchos artículos, para
ejemplo, [14, 16, 20, 25].
Es de gran interés estudiar el comportamiento de Kn(t) en el gas caliente.
En [25], el autor probó que en el caso de base donde un = 1 para todos n y
Ev2i, tenemos
Kn(t)
P 0 para todos los t > 0. La pregunta es encontrar un...
sión de Kn(t) que conduce a algún límite no trivial. Es evidente que esta normalización
nes, pero es muy posible que haya un efecto de fase
Situación similar a la descubierta por Lifshits y Shi [16]: Si una son pequeñas
suficiente, entonces el gas tiene una temperatura baja y la normalización es la
igual que en el gas frío. Si una son lo suficientemente grandes, como en el caso básico de un 1,
entonces la normalización y el comportamiento del gas difieren completamente de la
el caso del gas frío.
El autor cree que la propiedad de localización, que se describe en
La sección 3 podría ser útil en un estudio de estas cuestiones.
También es interesante comparar el comportamiento de Kn(1) en el
los gases fríos; en el gas caliente, el momento t= 1 juega el mismo “crítico”
papel como en el gas frío, ver Lifshits y Shi [16]. La variable Kn(1) fue
estudiados por Suidan [24], que consideró el gas caliente con un
posiciones iniciales minísticas de partículas (sus posiciones iniciales fueron 1
,. .., n
Para este caso, Suidan encontró la distribución de Kn(1) y mostró que
EKn(1)® logn. Recordemos que en el caso presentado, EKn(1)® c3
INCLUSIÓN EN UN MODELO ESTOCÁSTICO DE GAS DE UN DIMENSIONAL 33
4. El número de cúmulos en sistemas balísticos de partículas pegajosas.
Un modelo de partículas pegajosas se llama balístico si evoluciona de acuerdo con el
leyes introducidas en el artículo 1, pero en ausencia de gravitación. Tales modelos
son, en cierto sentido, más naturales que gravitacionales porque el ba-
suposición de que la gravitación no depende de la distancia es a veces
Confundiendo. Sin embargo, un artículo inédito de Lifshits y Kuoza muestra que
ciertos modelos gravitacionales y balísticos están estrechamente conectados.
Parece interesante estudiar el número de clusters en el modelo balístico.
El autor no conoce ningún resultado en este campo.
Agradecimientos. Estoy agradecido a mi asesor Mikhail A. Lifshits por
llamar mi atención sobre el tema y por su guía. También doy las gracias a la
árbitros anónimos para leer cuidadosamente este artículo y comentarios útiles.
REFERENCIAS
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34 V. V. VYSOTSKY
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Departamento de Teoría de la Probabilidad
y Estadística Matemática
Facultad de Matemáticas y Mecánica
Universidad Estatal de San Petersburgo
Bibliotechnaya pl. 2
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Rusia
Correo electrónico: vlad.vysotsky@gmail.com
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Introducción
Descripción del modelo
Declaración del problema y de los resultados
Organización del documento
Método de los baricentros
Estudio de la identificación. modelo. La propiedad de localización
El estudio inicial
Propiedad de localización del proceso de agregación
La función de distribución de T0 en el modelo Poisson
Algunas propiedades de las variables Ti
La última colisión
Pruebas del hecho 1 y el teorema 1 para el i.d. modelo
Prueba de Teorema 1 para el modelo uniforme
El número de grupos temáticos en el momento crítico
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Agradecimientos
Bibliografía
Dirección del autor
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704.0087 | Approximate solutions to the Dirichlet problem for harmonic maps between
hyperbolic spaces | SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DEL DIRICHLET
PARA MAPAS ARMONICAS ENTRE ESPACIOS HIPERBÓLICOS
DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN
Resumen. Nuestro principal resultado en este trabajo es el siguiente: Dado Hm, Hn
espacios hiperbólicos de m dimensional ≥ 2 y n correspondientes, y
Función del titular f = (f1,..., fn−1) :..................................................................................................................................
aries de Hm y Hn. Entonces para cada â € > 0 existe un mapa armónico
u : Hm → Hn que es continuo hasta el límite (en el sentido de Eu-
clidiano) y uHm = (f
1,..., fn−1,...........................................................................................................................................................................................................................................................
1. Introducción
Que Hm y Hn sean espacios hiperbólicos con dimensiones m ≥ 2 y n corresponden-
Ingly. Para mayor comodidad, utilizamos los modelos de espacio de la mitad superior para Hm y Hn. Así que
Hm = {(x1,..., xm) • IRm : xm > 0}, Hn = {(y1,..., yn) • IRn : yn > 0} con
métricas
d2Hm =
(xm)2
(dx1)2 +...+ (dxm)2),
d2Hn =
(yn)2
((dy1)2 +...+ (dyn)2).
Así que los campos de tensión de u = (y1,..., yn) es
• = (xm)2
< 0y
α,0y
n >),
para 1 ≤ α ≤ n− 1 y
N(u) = (xm)2
2 − 0y
n2)),
donde 0 es el gradiente euclidiano y 0 es el Laplaciano euclidiano.
Un mapa de C2 u : Hm → Hn se llama un mapa armónico si (u)s = 0 para todos s =
1, 2,..., n. La literatura sobre mapas armónicos entre los colectores Riemannianos son
abundante, nos referimos a los lectores a la obra clásica [4].
Uno de los problemas interesantes para los mapas armónicos es el de la prob Dirichlet
lem en el infinito: dados los límites geométricos de Hm y Hn y
dado un mapa continuo f : M → N (aquí la continuidad se entiende en el sentido
Fecha: 22 de octubre de 2018.
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 53A35.
Palabras y frases clave. Problemas de Dirichlet; Funciones armónicas; Espacios hiperbólicos.
Este trabajo se ha iniciado cuando el segundo autor estaba en el Departamento de matemáticas,
Universidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Vietnam. Le gustaría dar las gracias al profesor Dang.
Duc Trong por sus muchas ayudas invaluables. También desea expresar su agradecimiento a
El profesor F. Helein, el profesor R. Schoen y el Sr. Le Quang Nam por su generosa ayuda.
http://arxiv.org/abs/0704.0087v2
2 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN
de Euclidiano), hay un mapa armónico u : Hm → Hn tal que en el sentido euclidiano
u es continuo hasta el límite ♥Hm y toma valor límite f?
Para este problema con algunos más requisitos para la suavidad de f, hay
muchos resultados. En tres documentos [8], [9] y [7], Li y Tam establecieron la existencia
y la unicidad de una función armónica u que es C1 hasta el límite y tiene
valor límite f, siempre que f sea C1. Pero para los tipos más generales de f, de acuerdo con
nuestro conocimiento, no hay respuesta a la existencia de una solución u.
En este trabajo establecemos la existencia de soluciones aproximadas al Dirichlet
problema para mapas armónicos entre dos espacios hiperbólicos con límites prescritos-
ary value. Más explícitamente, demostramos el siguiente resultado:
Teorema 1. Let f : Hm → Hn ser un límite uniformemente continuo. Permitir funciones
g) ser como en la sección 2. Asumir que
t−1g(t)dt < فارسى, en particular, este
la condición se cumple si f es Holder continuo. Para cada > 0, existe un
mapa armónico o : H
m → Hn que es continuo hasta el límite ♥Hm y
uHm = (f
1,..., fn−1,...........................................................................................................................................................................................................................................................
Nuestra estrategia para probar este resultado es la siguiente: Primero, construimos una inicial
mapa, es decir, un mapa C2 v = (v1,..., vn−1, vn) : Hm → Hn que tiene valor límite
f para cualquier mapa continuo f : Hm → Hn. Para este paso seguimos las ideas en
[9], con algunos cambios: Puesto que la función f no necesita diferenciable, podemos
no tomar vn como en [9], y la función vn de la nuestra es una función de una variable xm.
Entonces, utilizamos esta función para producir mapas armónicos uâ € : H
m → Hn que toma
valor límite (f1,..., fn−1, vn + ) por cada ≤ > 0.
2. Mapas iniciales
En esta parte, utilizamos las técnicas en [9] para construir buenos mapas iniciales v tener
el mapa f : ♥Hm → ♥Hn como el valor límite.
Let f : IRm−1 → IRn−1 ser una función limitada uniformemente continua. Vamos.
g : Hm → (0.•) ser C2, limitada y
g(x′, xm) = 0,
uniformemente en x′.
Denotamos por v = {f, g} : Hm → Hn la extensión de f definida como sigue
vα(x′, xm) =
xmfα(y′)
(x′ − y2 + (xm)2)m/2
para 1 ≤ α ≤ n− 1 y
vn(x′, xm) = g(x′, xm).
Por resultados en [9] (pp. 628-630) tenemos
(i) v es C2 y hasta el límite dado por xm = 0 es continuo.
ii) Si 1 ≤ α ≤ n− 1 entonces
xm0v
= 0,
uniformemente en x′.
Además, según las estimaciones de las ECP elípticas (véase el Teorema 2.10 en [5]),
vα está limitado, existen constantes C > 0 tales que
(2.1) max{(xm)3D3v, (xm)2D2v, (xm)0v
≤ C.
SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS3
Pusimos
g(r) = sup
x′,yIRm−1, xyr
f(y′)− f(x′),
(r) =
s2 + r2
g(s)ds.
Dado que g es monotona, se deduce que g es Lebesgue medible. Por otra parte, puesto que g es
Limitado, vemos que.... está bien definido.
Usando coordenadas polares con el centro en x′ vemos que existe una constante
C > 0 de tal manera que
IRm−1
xmf(y′)− f(x′)
(x′ − y2 + (xm)2)m/2
≤ C(xm),
para todos los x′ • IRm−1.
Como f es uniformemente continua vemos que
g(r) = 0.
Ahora lo mostramos.
(xm) = 0.
De hecho, para cualquier â € > 0, encontramos â € > 0 tales que
g(s) ≤ ≤,
si es 0 < s ≤ . Por lo tanto, si K = sup
sÍR g(s) tenemos
(r) =
s2 + r2
g(s)ds+
s2 + r2
g(s)ds
s2 + r2
s2 + r2
= arctan(l/r) +K(l/2− arctan(l/r)).
Dejando r → 0 vemos que
lim sup
(r) ≤ /2.
Puesto que â > 0 es arbitrario, vemos que
(r) = 0.
Por lo tanto, si ponemos v = {f, {xm)} vemos que v es una extensión de f.
tener el siguiente resultado:
Lemma 1. Let f :?Hm →?Hn ser no constante, uniformemente continuo y
Delimitado. Ponga v = {f, Ł(xm)} como arriba. Entonces v es suave, hasta el límite
es continuo, vIRm−1 = f y existe C > 0 tal que para x
m cerca de 0 we
(v)2 ≤ C.
4 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN
Prueba. Por la sección 6 en [9] tenemos
(xm)0v
≤ C3(x
donde 1 ≤ α ≤ n− 1 y C3 es una constante positiva.
El cálculo directo da
(r) =
s2 − r2
(s2 + r2)2
g(s)ds,
فارسى”(r) =
(s2 + r2)2
g(s)ds+
−4r(s2 − r2)
(s2 + r2)3
g(s)ds.
maxr(r), r2
donde C4 es una constante.
Dado que g está aumentando, g′ existe casi en todas partes y g′ ≥ 0. Utilización de la integración
por partes, teniendo en cuenta que d
s2+r2
) = s
(s2+r2)2
, tenemos
(r) =
s2 − r2
(s2 + r2)2
g(s)ds
s2 + r2
g(s)0 +
s2 + r2
g′(s)ds
s2 + r2
g′(s)ds.
Diferenciando el último término por encima de la igualdad obtenemos
(r) = −
(s2 + r2)2
g′(s)ds.
Dado que f no es constante vemos fácilmente que g′ 6o 0 (de hecho, no necesitamos esto
restricción ya que podemos añadir g con una función positiva no constante, por ejemplo
xm)1/2 ). Por lo tanto, desde g′ ≥ 0, se deduce de las igualdades por encima de que
(r) > 0,
rl»(r) ≤ C5
′(r),
donde C5 es una constante positiva. A continuación, utilice la fórmula para el campo de tensión que somos
Hecho. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3. Prueba de Teorema 1
Prueba. Fijo ≤ > 0. Definimos vÃ3r : H
m → Hn como sigue:
vâr(x) = (v)
1(x), v2(x),..., vn−1(x),
Para cada una de las indicaciones siguientes: a) o b) o c) : c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c o c o c o c o c o c o c) o c o c o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o
m k = {x
m > → En el mapa armónico
Tomando el valor vâr en.
Por la desigualdad (2.1) en [2] y las propiedades de v y vâ € (véase Lemma 1) tenemos
•HmdHn(uá,uá,uá, vá) ≥ (vá) ≥ −C
(xm)
* (xm) + (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(xm),
para todos x , y aquí C es una constante de Lemma 1.
SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS5
Alegamos que la función
•(r) =
u−2o(u) du ds
está bien definido para r ≥ 0. De hecho, el uso de la fórmula para
•(r) =
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
u−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds.
Puesto que el integrand no es negativo, usando el teorema de Fubini tenemos
u−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds =
u−1(u2 + t2)−1g(t)du dt ds
log(1 +
)g(t)dt ds
log(1 +
)g(t)ds dt
2 arctan( t
)t2 + r log(1 + t
g(t)dt.
Ahora, puesto que g(t) está limitado tenemos
2 arctan( t
g(t)dt
es convergente. Fijo r ≥ 0, cerca de t = 0 tenemos
r log(1 + t
g(t) فارسى t−1g(t),
y cuando t→
r log(1 + t
g(t) فارسى t−3g(t),
por lo tanto, puesto que g(t) está limitado y la suposición de que
t−1g(t) converge, nuestra reclamación
está verificado.
Utilizamos el mismo.... para denotar la función......................................................................................................................................................................................................................................................
para x = (x1,..., xm−1, xm) Ahora tenemos (r) =
u -2° du > 0 y
(r) = −r−2(r), ya que m ≥ 2 tenemos
•Hm((x)) = −(x)
m)2[”(xm)−
(m–2)
(xm)] ≥ −(xm)2
Por lo tanto
• Hm (dHn(u»,.........................................................................................................................................................................................................................................................
(+) ≥ 0,
para x . Por lo tanto, por principio máximo tenemos
≤ C
(xm).
Esto se refiere a dHn(u®,ü, v®) es independiente de , por lo tanto, mediante argumentos estándar (véase el apartado 2 del artículo 85 del Tratado CE).
la prueba de Teorema 6.4 en [9]) tenemos un mapa armónico u. : H
m → Hn que es
el posterior límite de uooo,oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo. Por otra parte, para todos x H
M tenemos
dHn(u, v) ≤ C
(xm).
6 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN
Por lo tanto
dHn(uÃ3r, vár) = 0,
que muestra que u® es continuo hasta el límite y toma valor de límite
1,..., xm−1, 0) = (f1, f2,..., fn−1, ). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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Dirección de correo electrónico: dmduc@hcmuns.edu.vn
Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Rawles Hall, Bloomington, IN 47405
Dirección de correo electrónico: truongt@indiana.edu
1. Introducción
2. Mapas iniciales
3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
Bibliografía
| Nuestro principal resultado en este documento es el siguiente: Dado $H^m, H^n$ hiperbólico
espacios dimensionales de $m$ y $n$ correspondientes, y dada una función Holder
$f=(s^1,...,fn-1}):\parcial H^m\to \parcial H^n$ entre límites geométricos
de $H^m$ y $H^n$. Entonces por cada $\epsilon >0$ existe un mapa armónico
$u:H^m\to H^n$ que es continuo hasta el límite (en el sentido de
Euclidiana) y $u_{parcial H^m}=(f^1,...,fÃ3n-1},\epsilon)$.
| Introducción
Que Hm y Hn sean espacios hiperbólicos con dimensiones m ≥ 2 y n corresponden-
Ingly. Para mayor comodidad, utilizamos los modelos de espacio de la mitad superior para Hm y Hn. Así que
Hm = {(x1,..., xm) • IRm : xm > 0}, Hn = {(y1,..., yn) • IRn : yn > 0} con
métricas
d2Hm =
(xm)2
(dx1)2 +...+ (dxm)2),
d2Hn =
(yn)2
((dy1)2 +...+ (dyn)2).
Así que los campos de tensión de u = (y1,..., yn) es
• = (xm)2
< 0y
α,0y
n >),
para 1 ≤ α ≤ n− 1 y
N(u) = (xm)2
2 − 0y
n2)),
donde 0 es el gradiente euclidiano y 0 es el Laplaciano euclidiano.
Un mapa de C2 u : Hm → Hn se llama un mapa armónico si (u)s = 0 para todos s =
1, 2,..., n. La literatura sobre mapas armónicos entre los colectores Riemannianos son
abundante, nos referimos a los lectores a la obra clásica [4].
Uno de los problemas interesantes para los mapas armónicos es el de la prob Dirichlet
lem en el infinito: dados los límites geométricos de Hm y Hn y
dado un mapa continuo f : M → N (aquí la continuidad se entiende en el sentido
Fecha: 22 de octubre de 2018.
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 53A35.
Palabras y frases clave. Problemas de Dirichlet; Funciones armónicas; Espacios hiperbólicos.
Este trabajo se ha iniciado cuando el segundo autor estaba en el Departamento de matemáticas,
Universidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Vietnam. Le gustaría dar las gracias al profesor Dang.
Duc Trong por sus muchas ayudas invaluables. También desea expresar su agradecimiento a
El profesor F. Helein, el profesor R. Schoen y el Sr. Le Quang Nam por su generosa ayuda.
http://arxiv.org/abs/0704.0087v2
2 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN
de Euclidiano), hay un mapa armónico u : Hm → Hn tal que en el sentido euclidiano
u es continuo hasta el límite ♥Hm y toma valor límite f?
Para este problema con algunos más requisitos para la suavidad de f, hay
muchos resultados. En tres documentos [8], [9] y [7], Li y Tam establecieron la existencia
y la unicidad de una función armónica u que es C1 hasta el límite y tiene
valor límite f, siempre que f sea C1. Pero para los tipos más generales de f, de acuerdo con
nuestro conocimiento, no hay respuesta a la existencia de una solución u.
En este trabajo establecemos la existencia de soluciones aproximadas al Dirichlet
problema para mapas armónicos entre dos espacios hiperbólicos con límites prescritos-
ary value. Más explícitamente, demostramos el siguiente resultado:
Teorema 1. Let f : Hm → Hn ser un límite uniformemente continuo. Permitir funciones
g) ser como en la sección 2. Asumir que
t−1g(t)dt < فارسى, en particular, este
la condición se cumple si f es Holder continuo. Para cada > 0, existe un
mapa armónico o : H
m → Hn que es continuo hasta el límite ♥Hm y
uHm = (f
1,..., fn−1,...........................................................................................................................................................................................................................................................
Nuestra estrategia para probar este resultado es la siguiente: Primero, construimos una inicial
mapa, es decir, un mapa C2 v = (v1,..., vn−1, vn) : Hm → Hn que tiene valor límite
f para cualquier mapa continuo f : Hm → Hn. Para este paso seguimos las ideas en
[9], con algunos cambios: Puesto que la función f no necesita diferenciable, podemos
no tomar vn como en [9], y la función vn de la nuestra es una función de una variable xm.
Entonces, utilizamos esta función para producir mapas armónicos uâ € : H
m → Hn que toma
valor límite (f1,..., fn−1, vn + ) por cada ≤ > 0.
2. Mapas iniciales
En esta parte, utilizamos las técnicas en [9] para construir buenos mapas iniciales v tener
el mapa f : ♥Hm → ♥Hn como el valor límite.
Let f : IRm−1 → IRn−1 ser una función limitada uniformemente continua. Vamos.
g : Hm → (0.•) ser C2, limitada y
g(x′, xm) = 0,
uniformemente en x′.
Denotamos por v = {f, g} : Hm → Hn la extensión de f definida como sigue
vα(x′, xm) =
xmfα(y′)
(x′ − y2 + (xm)2)m/2
para 1 ≤ α ≤ n− 1 y
vn(x′, xm) = g(x′, xm).
Por resultados en [9] (pp. 628-630) tenemos
(i) v es C2 y hasta el límite dado por xm = 0 es continuo.
ii) Si 1 ≤ α ≤ n− 1 entonces
xm0v
= 0,
uniformemente en x′.
Además, según las estimaciones de las ECP elípticas (véase el Teorema 2.10 en [5]),
vα está limitado, existen constantes C > 0 tales que
(2.1) max{(xm)3D3v, (xm)2D2v, (xm)0v
≤ C.
SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS3
Pusimos
g(r) = sup
x′,yIRm−1, xyr
f(y′)− f(x′),
(r) =
s2 + r2
g(s)ds.
Dado que g es monotona, se deduce que g es Lebesgue medible. Por otra parte, puesto que g es
Limitado, vemos que.... está bien definido.
Usando coordenadas polares con el centro en x′ vemos que existe una constante
C > 0 de tal manera que
IRm−1
xmf(y′)− f(x′)
(x′ − y2 + (xm)2)m/2
≤ C(xm),
para todos los x′ • IRm−1.
Como f es uniformemente continua vemos que
g(r) = 0.
Ahora lo mostramos.
(xm) = 0.
De hecho, para cualquier â € > 0, encontramos â € > 0 tales que
g(s) ≤ ≤,
si es 0 < s ≤ . Por lo tanto, si K = sup
sÍR g(s) tenemos
(r) =
s2 + r2
g(s)ds+
s2 + r2
g(s)ds
s2 + r2
s2 + r2
= arctan(l/r) +K(l/2− arctan(l/r)).
Dejando r → 0 vemos que
lim sup
(r) ≤ /2.
Puesto que â > 0 es arbitrario, vemos que
(r) = 0.
Por lo tanto, si ponemos v = {f, {xm)} vemos que v es una extensión de f.
tener el siguiente resultado:
Lemma 1. Let f :?Hm →?Hn ser no constante, uniformemente continuo y
Delimitado. Ponga v = {f, Ł(xm)} como arriba. Entonces v es suave, hasta el límite
es continuo, vIRm−1 = f y existe C > 0 tal que para x
m cerca de 0 we
(v)2 ≤ C.
4 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN
Prueba. Por la sección 6 en [9] tenemos
(xm)0v
≤ C3(x
donde 1 ≤ α ≤ n− 1 y C3 es una constante positiva.
El cálculo directo da
(r) =
s2 − r2
(s2 + r2)2
g(s)ds,
فارسى”(r) =
(s2 + r2)2
g(s)ds+
−4r(s2 − r2)
(s2 + r2)3
g(s)ds.
maxr(r), r2
donde C4 es una constante.
Dado que g está aumentando, g′ existe casi en todas partes y g′ ≥ 0. Utilización de la integración
por partes, teniendo en cuenta que d
s2+r2
) = s
(s2+r2)2
, tenemos
(r) =
s2 − r2
(s2 + r2)2
g(s)ds
s2 + r2
g(s)0 +
s2 + r2
g′(s)ds
s2 + r2
g′(s)ds.
Diferenciando el último término por encima de la igualdad obtenemos
(r) = −
(s2 + r2)2
g′(s)ds.
Dado que f no es constante vemos fácilmente que g′ 6o 0 (de hecho, no necesitamos esto
restricción ya que podemos añadir g con una función positiva no constante, por ejemplo
xm)1/2 ). Por lo tanto, desde g′ ≥ 0, se deduce de las igualdades por encima de que
(r) > 0,
rl»(r) ≤ C5
′(r),
donde C5 es una constante positiva. A continuación, utilice la fórmula para el campo de tensión que somos
Hecho. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
3. Prueba de Teorema 1
Prueba. Fijo ≤ > 0. Definimos vÃ3r : H
m → Hn como sigue:
vâr(x) = (v)
1(x), v2(x),..., vn−1(x),
Para cada una de las indicaciones siguientes: a) o b) o c) : c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c) o c o c o c o c o c o c o c) o c o c o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o d o
m k = {x
m > → En el mapa armónico
Tomando el valor vâr en.
Por la desigualdad (2.1) en [2] y las propiedades de v y vâ € (véase Lemma 1) tenemos
•HmdHn(uá,uá,uá, vá) ≥ (vá) ≥ −C
(xm)
* (xm) + (+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(xm),
para todos x , y aquí C es una constante de Lemma 1.
SOLUCIONES APROXIMADAS AL PROBLEMA DIRICLETA PARA LOS MAPAS ARMONICOS ENTRE ESPACIOS HIPERÓLICOS5
Alegamos que la función
•(r) =
u−2o(u) du ds
está bien definido para r ≥ 0. De hecho, el uso de la fórmula para
•(r) =
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
u−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds.
Puesto que el integrand no es negativo, usando el teorema de Fubini tenemos
u−1(u2 + t2)−1g(t)dt du ds =
u−1(u2 + t2)−1g(t)du dt ds
log(1 +
)g(t)dt ds
log(1 +
)g(t)ds dt
2 arctan( t
)t2 + r log(1 + t
g(t)dt.
Ahora, puesto que g(t) está limitado tenemos
2 arctan( t
g(t)dt
es convergente. Fijo r ≥ 0, cerca de t = 0 tenemos
r log(1 + t
g(t) فارسى t−1g(t),
y cuando t→
r log(1 + t
g(t) فارسى t−3g(t),
por lo tanto, puesto que g(t) está limitado y la suposición de que
t−1g(t) converge, nuestra reclamación
está verificado.
Utilizamos el mismo.... para denotar la función......................................................................................................................................................................................................................................................
para x = (x1,..., xm−1, xm) Ahora tenemos (r) =
u -2° du > 0 y
(r) = −r−2(r), ya que m ≥ 2 tenemos
•Hm((x)) = −(x)
m)2[”(xm)−
(m–2)
(xm)] ≥ −(xm)2
Por lo tanto
• Hm (dHn(u»,.........................................................................................................................................................................................................................................................
(+) ≥ 0,
para x . Por lo tanto, por principio máximo tenemos
≤ C
(xm).
Esto se refiere a dHn(u®,ü, v®) es independiente de , por lo tanto, mediante argumentos estándar (véase el apartado 2 del artículo 85 del Tratado CE).
la prueba de Teorema 6.4 en [9]) tenemos un mapa armónico u. : H
m → Hn que es
el posterior límite de uooo,oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo. Por otra parte, para todos x H
M tenemos
dHn(u, v) ≤ C
(xm).
6 DUONG MINH DUC Y TRUONG TRUNG TUYEN
Por lo tanto
dHn(uÃ3r, vár) = 0,
que muestra que u® es continuo hasta el límite y toma valor de límite
1,..., xm−1, 0) = (f1, f2,..., fn−1, ). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Bibliografía
[1] Shiu-Yuen Cheng, Teorema de Liouville para mapas armónicos, Proc. Symp. Matemáticas puras. 36, 1980,
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[2] Wei-Yue Ding y Youde Wang, mapas armónicos del hombre Riemanniano no compacto
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[3] Duong Minh Duc y Alberto Verjovsky, Mapas armónicos adecuados con límite Lipschitz
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Matemáticas. 86 (1), 1964, pp. 109–160.
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variete riemannienne, C. R. Acad. Sci. París 312 (1), 1991, 591–596.
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[8] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos apropiados, Anales de
Matemáticas 137, 1993, pp. 167-201.
[9] Peter Li y Luen-Fai Tam, Unicidad y regularidad de los mapas armónicos adecuados II, Indiana
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[10] Richard Schoen y Shing Tung Yau, acciones de grupo compacto y la topología de los colectores
con curvatura no positiva, Topología 18, 1979, 361-380.
Departamento de Matemáticas, Universidad de Ciencias Naturales, ciudad de Hochiminh, Viet Nam
Dirección de correo electrónico: dmduc@hcmuns.edu.vn
Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana, Rawles Hall, Bloomington, IN 47405
Dirección de correo electrónico: truongt@indiana.edu
1. Introducción
2. Mapas iniciales
3. ¿Prueba del teorema?♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪
Bibliografía
|
704.0088 | Some new experimental photonic flame effect features | EFECTO FOTÓNICO DEL FLAME
ALGUNOS NUEVOS EFECTOS FOTONICOS EXPERIMENTALES
CARACTERÍSTICAS
N.V.Tcherniega
P.N.Lebedev Physical Institute, RAS
Leninskii pr., 53, 119991, Moscú, Rusia
tchera@sci.lebedev.ru
Resumen
Los resultados de las características espectrales, energéticas y temporales de la radiación en el
se presenta la presencia del efecto fotónico de la llama. Opalo artificial posado en la placa de Cu en el
temperatura del punto de ebullición de nitrógeno líquido (77 K) irradiado por láser de rubí de nanosegundo
pulso produce luminiscencia a largo plazo con una duración de hasta diez segundos con una fina estructura
espectro en la parte antistocks del espectro. Manifestación analógica de luminiscencia visible
El tiempo de retraso apareció en otras muestras de los ópalos artificiales colocados en la misma placa. En el caso
del ópalo infiltrado con diferentes líquidos no lineales el umbral de la luminiscencia es
reducción y la dispersión espacial del área de emisión brillante en la superficie del ópalo está siendo
cambiado. En el caso de la colocación de los líquidos no lineales congelados en la placa Cu azul a largo plazo
luminiscencia brillante tuvo lugar en las especies congeladas de los líquidos. Características temporales de
Esta luminiscencia es casi la misma que en las matrices de ópalos.
Palabras clave: efecto de llama fotónica, luminiscencia óptica, excitación, ópalo artificial, espectro
1. Introducción
En [1-3] se encontró un nuevo efecto llamado efecto fotónico de la llama y algunas de sus propiedades fueron:
estudiados. Este efecto está determinado por las propiedades de los cristales fotónicos.
Los cristales fotónicos han atraído gran atención desde los primeros documentos relativos a
estructuras [4-6]. Uno de los cristales fotónicos más importantes son los ópalos artificiales – uno mismo –
estructuras ensambladas compuestas por esferas SiO2 organizando celosía cúbica centrada en la cara. El tamaño
de tales esferas que varían entre 200 nm y 400 nm y define los parámetros de la cara-
retícula cúbica centrada y el bandgap fotónico. La posibilidad de infiltración de ópalos con diferentes
medio da lugar a un procesamiento eficaz de las propiedades de la luz que propoga a través de la
cristal. Los huecos en las estructuras de ópalos pueden ser llenados con semiconductores, superconductores,
materiales ferromagnéticos, medio fluorescente [7] y este hecho da una gran posibilidad de
las aplicaciones de dichas estructuras a la optoelectrónica. El estudio de las propiedades ópticas lineales de
la brecha de banda fotónica ha sido la tarea de muchos trabajos teóricos y experimentales y todavía
sigue siendo la tarea que debe investigarse [7,8]. La descripción teórica del campo electromagnético
dentro de las estructuras de cristal fotónico (obtenido por método de matriz de transferencia [9] o modo acoplado)
la teoría [10]) da una imagen clara del espectro transmitido y reflejado, electromagnético
distribución del campo dentro del cristal y su dependencia de los parámetros del fotónico
estructura cristalina (valores del período, número de períodos, contraste del índice de refracción). Grandes valores de
la localización del campo electromagnético en algunas regiones conducen a la expectativa de los fuertes
mejora de la interacción de la materia de onda no lineal en comparación con los cristales a granel. Segundo
En [11,12] se investigó la generación armónica en diferentes tipos de cristales fotónicos. Apropiadamente.
El cristal fotónico elegido presenta refracción negativa en algunas condiciones [13]. Algunas características de
la dispersión de Raman estimulada en la estructura fotónica unidimensional se consideraron en [14].
Tratamiento mecánico completamente cuántico de la generación de fotones enredados en fotónico no lineal
los cristales en el proceso de conversión descendente se realizaron en [15]. Propiedades de la brecha de banda fotónica
que son demostrados por cristales fotónicos están siendo utilizados activamente para la investigación de
Interacción foton-excitón [16]. Modos acústicos excitados en bolas SiO2 que componen ópalo
cristal fotónico muestran el efecto de la cuantificación de los modos de fonón [17] y son la razón de
dispersión globular estimulada [3]. Características específicas de la propagación de ondas acústicas en el
estructuras fotónicas conducen a la posibilidad de que el rayo ultrasónico divergente se enfoque en un
mailto:tchera@mail1.lebedev.ru
punto focal estrecho con una gran profundidad focal [18]. Oscilaciones paramétricas ópticas a través de cuatro ondas
mezcla en cristales fotónicos isotrópicos muestra la posibilidad de un procesamiento eficaz de la frecuencia
[19].
El objetivo de este trabajo es dar una breve revisión de los resultados [1-3] y estudiar el comportamiento colectivo
de varios cristales fotónicos. Los cristales se posan en la placa Cu a la temperatura del líquido
nitrógeno. Uno de los cristales fotónicos está iluminado por el pulso láser y la luz láser está enfocada
en este único cristal. El fenómeno que observamos es la aparición de luminiscencia de
otros cristales fotónicos. La duración de la luminiscencia de otros cristales que son espacialmente
separado con el cristal iluminado por el pulso láser es del orden de los segundos. La aparición de
la luminiscencia tiene lugar con algún tiempo de retraso, respectivamente, en el pulso láser. La forma de
estos puntos de luz en los otros cristales y sus movimientos lentos a lo largo del cristal recuerda a un pequeño
Punto de llama. Esto nos inspiró a dar el nombre de “llama fotónica” al efecto observado. En el caso
de cubrir la superficie de la placa de Cu con líquido (acetona, etanol, agua) después de la PFE
excitación en el ópalo situado en esta placa luminiscencia azul se ve en el líquido congelado.
Las características temporales de esta luminiscencia son el sme como para el cristal de un solo ópalo. Los
el papel se organiza de la siguiente manera. En Sec.2 la configuración experimental, láser, los cristales fotónicos
(opalos artificiales) utilizados en el experimento se describen. En el artículo 3, el “efecto de llama fotónica”
se discute en el experimento. En la sección 4 las perspectivas y posibles explicaciones son:
Presentado.
2. Cristales fotónicos y láser utilizados en experimentos.
Uno de los cristales fotónicos tridimensionales más prometedores es el ópalo artificial. El ópalo es un
cristal con retícula cúbica centrada en la cara que consiste en las esferas de SiO2 empaquetadas de cerca monodisperso
con diámetro de unos cientos de nanómetros. Debido al contraste del índice de refracción (ratio
nSiO2/nair) es alrededor de 1,45 el espacio completo de la banda fotónica no existe, pero el fotónico
Se produce pseudo-gap. Las cavidades vacías entre estos glóbulos tienen octaedros y tetraedros
forma. Es posible investigar tanto los ópalos iniciales (Matrices de ópalo) como los nanocompuestos, en los que
las cavidades están llenas de materiales orgánicos o inorgánicos, por ejemplo, semiconductores,
superconductores, sustancias ferromagnéticas, dieléctricos, con diferentes tipos de
Fig.1. Aparición común de un cristal fotónico globular, construido con partículas esféricas (glóbulos)
no linealidades y así sucesivamente. Vacíos de llenado del cristal fotónico con materiales diferentes
índice de refracción se puede procesar eficazmente los parámetros del pseudogap fotónico.
Pulso gigante láser rubí (de 694,3 nm, de 20 ns, Emax = 0,3 J, ancho espectral de la luz inicial -
0,015 cm-1.) se ha utilizado como fuente de excitación. Emocionante luz se ha centrado en el
material por lentes con diferentes longitudes focales (50, 90 y 150 mm). Las muestras de ópalo
los cristales utilizados tenían el tamaño de 3x5x5mm y se cortaban en paralelo al plano (111) (véase la Fig.2).
El ángulo de incidencia del rayo láser en el plano (111) varió de 0 a 600. Muestra
distancia del sistema de enfoque y la energía de luz emocionante fueron diferentes en diferentes carreras de la
experimento. Esto dio la posibilidad de hacer mediciones para diferentes densidad de potencia en el
entrada de la muestra y para una distribución de campo diferente dentro de la muestra. Cristales de ópalo
compuesta de las esferas de amorfosa envasadas de cerca con un diámetro de 200 nm, 230 nm, 250 nm y
Se investigaron los nanocompuestos (cristales de ópalo con huecos llenos de acetona o etanol).
z
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[111] x
Fig.2. El esquema de iluminar la muestra. Plano XY corresponde a la superficie de la placa CU.
3.Características de la “llama fotónica”
Se colocaron cristales de ópalo en la placa de Cu, que se colocó en la célula con nitrógeno líquido (ver
Fig.3). El número de cristales varió de 1 a 5. La distancia (d) entre los cristales era de la
orden de varios centímetros (valor máximo de d fue de 5 centímetros y fue determinado por el
Cu tamaño de la placa). Uno de los cristales fue iluminado por el pulso láser enfocado. En el caso de la
Alcanzó la luminiscencia visible (azul). La duración de la luminiscencia fue
de 1 a 12 segundos y parecía una mancha inhomogénea que cambiaba su distribución espacial y
posición en la superficie del cristal durante este tiempo.
N2 líquido
Ópalo
luz emocionante
d
opal Cu
Fig.3. Puesta en marcha experimental.
Los parámetros de la luminiscencia (duración, umbral) fueron determinados por la geometría
características de la iluminación y el contraste del índice de refracción de la muestra. Para optimizar
geometría de la excitación el umbral de densidad de potencia para el cristal de ópalo fue 0,12 Gw/cm2, para
Cristales de ópalo rellenos de etanol – 0,05 Gw/cm2, para cristal de ópalo rellenos de acetona - 0,03
Gw/cm2. Distribución temporal típica de la luminiscencia medida para la parte del cristal
En la Fig.4 se muestra el brillo más intenso. El mismo comportamiento es típico para todos
casos de luminiscencia en estas condiciones de excitación, pero el valor de la luminiscencia
la duración fluctuó de un disparo a otro.
a) b)
Fig.4. Distribución temporal de la luminiscencia visible.
La duración de la luminiscencia fluctuó de 1 a 12 segundos y se demostró
estructura oscilante. En algunos casos, la distribución temporal tuvo un máximo al principio de
la luminiscencia en algunos casos – mínimo. Fig.4 a) y b) muestran la luminiscencia de la pureza
matriz opal de la casi la misma duración en las mismas condiciones geométricas y energéticas de
excitación cerca del umbral de excitación (0.12 Gw/cm2). El comienzo de las medidas
corresponde a un retraso de 0,3 s después del lanzamiento del láser (la duración del pulso del láser es de 20 ns).
Espectro de emisión secundario observado en el efecto fotónico de la llama se ha investigado con
la ayuda de la configuración que se muestra en la Fig.5.
12
11 10
9
8
1
3 4 2
6 7
Fig. 5.La configuración experimental para el estudio del espectro de EPI. 1- láser rubí; 2 lentes; 3, 4, 5 – fotónico
cristales; 7 – célula con nitrógeno líquido 6 – placa de Cu; 8 – guía de ondas de fibra; 9 – minicromador;
10 – ordenador; 11 – cámara; 12 – ordenador.
Espectro de la luz emitida por cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de la luz de bombeo son
se muestra en la Fig. 6 a) y b)
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
643I,
, nm
200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
, nm
a b
Fig. 6. Espectro de emisión secundario de un cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de luz láser:
a - I = 0,12 GW/cm2, b - I = 0,14 GW/cm2.
El espectro consistía en las líneas afiladas con longitudes de onda: 429,0, 453,0, 489.0, 555,0, 643,0 nm,
que corresponde al rango espectral antistokes para la línea emocionante 694.3 nm. Intensidad de las líneas en
el espectro dependía fuertemente de la intensidad de bombeo láser, que era evidencia de
tipo estimulado de la emisión de radiación.
En el caso de varios cristales colocados en la placa de Cu, sólo uno de ellos fue irradiado por el
Pulso láser. La luminiscencia tuvo lugar en este cristal en el caso del umbral que alcanzaba. Brillante
brillante de los otros cristales comenzó con algún retraso de tiempo después del lanzamiento del láser. El valor de este retraso
(y la intensidad de la luminiscencia) fue determinada por la posición espacial de los cristales en
el plato. El robo de la abeja de la pantalla puesta entre los cristales (con el fin de evitar la irradiación de la
cristales por la luz dispersada por el cristal excitado por el láser) no detuvo la aparición de la
luminiscencia si la distancia entre la placa Cu y la pantalla era superior a 0,5 mm. Los
duración de la luminiscencia fue del orden de varios segundos y el comportamiento temporal fue como
se muestra en la Fig.4. Las características típicas de tal distribución eran la existencia de máximo y grande
Plato con valor casi constante de la intensidad.
Con el fin de mostrar el papel del material de la placa utilizada repetimos estas medidas
con placas del mismo tamaño pero hechas de acero y quarz sobre las que se colocaron cristales de ópalo
como en los experimentos anteriores. Luminiscencia del mismo tipo en el cristal irradiado tomado
lugar, pero no se observó la luminiscencia de las otras muestras situadas en estas placas.
El efecto también fue determinado por el ángulo de incidencia (fig.2). Para las muestras utilizadas:
valor del ángulo fue elegido experimentalmente para lograr el valor máximo de la
luminiscencia (Vale la pena mencionar que este valor difería de 0 y era alrededor de 400). Más fácil la
El efecto se emocionó en las muestras no procesadas. En la Fig.5 se puede ver la luminiscencia del
cristales situados a la distancia de aproximadamente 1 centímetro del cristal que fue irradiado.
Fig.7 Luminiscencia visible de los cristales de ópalo en el caso de la irradiación de uno de ellos (la
cristal irradiado se puede ver por la luz roja brillante; en la imagen izquierda era el cristal en el
centro, en la imagen de la derecha era el cristal a la izquierda). Imagen de la izquierda corresponde a la caja
donde los cristales son infiltrados por la acetona. Imagen derecha corresponde al caso del ópalo
cristales sin infiltración.
En el caso de la gran energía láser (varias veces más el umbral) o si el cristal era
irradiado por varios pulsos láser el ópalo puede ser destruido y las partes del cristal producen
la luminiscencia con las propiedades espectrales y temporales descritas anteriormente (Fig.8).
Fig.8 Cristal de ópalo es destruido y 3 piezas grandes y varias piezas pequeñas están pasando a
producir la luminiscencia.
Con el fin de aclarar el papel de la superficie de la placa Cu en el transporte de energía entre el
cristales se realizó el siguiente experimento: la matriz de ópalo puro colocado en la placa de Cu fue
irradiado por el pulso láser de rubí y demostró una fuerte luminiscencia que duraba unos segundos
con las propiedades descritas anteriormente (Fig.9)
Fig.9 Luminiscencia de la matriz de un único ópalo
El siguiente paso fue cubrir la superficie de la placa de Cu con el líquido (se hicieron experimentos
con agua, acetón o etanol). El espesor del líquido congelado en la superficie de la placa era de aproximadamente
1 mm. El tamaño transversal del líquido congelado era de aproximadamente 1 cm. Después de iluminar el cristal
por el pulso láser rubí la luminiscencia del cristal aparece la luminiscencia azul brillante de
Aparecen las especies congeladas del líquido utilizado. Las características temporales de la luminiscencia en
cristal y en el líquido congelado son aproximadamente iguales (la duración de la luminiscencia es de
varios segundos). La luminiscencia del líquido congelado continúa a pesar de poner la pantalla
entre el cristal y el líquido. Muestra que la luminiscencia del líquido no es un reflejo
de la luz que es emmitida por el cristal. Fig.10 muestra la luminiscencia del cristal y el
líquido congelado (en este caso era agua). Las imágenes fueron hechas con el intervalo de 1 segundo
el uno entre el otro. El acetón y el etanol demuestran un comportamiento análogo. Los
luminiscencia de la zona cubierta de líquido congelado se produce incluso si esta zona está a la distancia
la explicación de la luminiscencia azul del cristal irradiado.
líquido congelado se puede hacer de varias maneras y para aclarar las razones de esta luminiscencia
la apariencia es necesario producir experimentos adicionales. La intensidad del láser en el
experimentos es de aproximadamente 0,12 Gw/cm2, y la gran mejora de este campo debido a Mie –
resonancia [20] simultánea con el efecto de interferencia causado por la estructura del ópalo
matricial puede conducir a la mejora de campo extremadamente grande que puede desempeñar un papel importante en este
efecto.
Fig.10 Luminiscencia de la matriz de ópalos (punto redondo brillante) y líquido congelado (punto azul grande)
en la superficie de la placa Cu.
4. Conclusiones.
En este artículo informamos sobre algunas nuevas características del efecto fotónico de la llama. El principal
las características de la FEP son:
- En la excitación del cristal de ópalo artificial que se coloca en la placa de Cu en el
temperatura del nitrógeno líquido por el pulso láser rubí del nanosegundo de largo alcance
la luminiscencia óptica continua se produce en el caso de que el umbral del proceso sea
Alcanzado;
- En el caso de varios cristales de ópalo que se ponen en la placa de Cu mientras uno de ellos está siendo
la luminiscencia visible brillante irradiada se produce en todas las muestras;
- Se ha determinado el comportamiento temporal y los umbrales de la luminiscencia. Fotónico
cristales infiltrados con diferentes líquidos no lineales y sin infiltración han sido
investigada. Transporte investigado de la excitación entre las muestras separadas espacialmente
por la longitud de varios centímetros da la posibilidad de las aplicaciones prácticas de
PFE;
- La luminiscencia azul del líquido congelado en la superficie de la placa Cu tiene lugar en la
precense del efecto fotónico de la llama;
El efecto fotónico de la llama puede tener una explicación diferente. Probablemente se juega un papel esencial.
por propiedades plasmáticas. El lento transporte de las excitaciones del cristal irradiado a otros
Los cristales fotónicos se pueden asociar con ondas sonoras creadas debido a la interacción del pulso láser con
la muestra. El mecanismo de excitón y las guías de ondas superficiales en la superficie de la placa Cu también pueden
desempeñar un papel importante. Se comprobó que el cambio de las propiedades de la superficie de la placa era
conduce al cambio del efecto fotónico de la llama. Retirar la capa oxidada de la placa cambiada
el umbral PFE. La luminiscencia de los líquidos congelados en la superficie de la placa de Cu muestra
el importante papel de la mejora del campo electromagnético debido a la resonancia Mie y Bragg
Difracción en la celosía de cristal fotónico. La mejora del campo electromagnético puede conducir a
producción de plasma láser, aceleración de electrones y producción de rayos X.
Bibliografía
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20.G.Mie, Ann. Phys., (Berlín), 25, 377, (1908)
| Los resultados de las características espectrales, energéticas y temporales de
se presenta radiación en presencia del efecto fotónico de la llama.
Opalo artificial colocado en la placa de Cu a la temperatura de ebullición de nitrógeno líquido
El punto (77 K) irradiado por el pulso láser de rubí de nanosegundo produce
término luminiscencia con una duración de hasta diez segundos con una estructura fina
espectro en la parte antistocks del espectro. Análogo visible
luminiscencia manifestando el tiempo de retraso apareció en otras muestras de la
Opalos colocados en el mismo plato. En el caso del ópalo infiltrado con
diferentes líquidos no lineales se reduce el umbral de la luminiscencia y
la dispersión espacial del área de emisión brillante en la superficie del ópalo es
cambiándose. En el caso de la colocación de los líquidos no lineales congelados en el
La luminiscencia azul brillante a largo plazo de la placa Cu tuvo lugar en las especies congeladas de
los líquidos. Las características temporales de esta luminiscencia son casi las mismas
como en las matrices de ópalos.
| Introducción
En [1-3] se encontró un nuevo efecto llamado efecto fotónico de la llama y algunas de sus propiedades fueron:
estudiados. Este efecto está determinado por las propiedades de los cristales fotónicos.
Los cristales fotónicos han atraído gran atención desde los primeros documentos relativos a
estructuras [4-6]. Uno de los cristales fotónicos más importantes son los ópalos artificiales – uno mismo –
estructuras ensambladas compuestas por esferas SiO2 organizando celosía cúbica centrada en la cara. El tamaño
de tales esferas que varían entre 200 nm y 400 nm y define los parámetros de la cara-
retícula cúbica centrada y el bandgap fotónico. La posibilidad de infiltración de ópalos con diferentes
medio da lugar a un procesamiento eficaz de las propiedades de la luz que propoga a través de la
cristal. Los huecos en las estructuras de ópalos pueden ser llenados con semiconductores, superconductores,
materiales ferromagnéticos, medio fluorescente [7] y este hecho da una gran posibilidad de
las aplicaciones de dichas estructuras a la optoelectrónica. El estudio de las propiedades ópticas lineales de
la brecha de banda fotónica ha sido la tarea de muchos trabajos teóricos y experimentales y todavía
sigue siendo la tarea que debe investigarse [7,8]. La descripción teórica del campo electromagnético
dentro de las estructuras de cristal fotónico (obtenido por método de matriz de transferencia [9] o modo acoplado)
la teoría [10]) da una imagen clara del espectro transmitido y reflejado, electromagnético
distribución del campo dentro del cristal y su dependencia de los parámetros del fotónico
estructura cristalina (valores del período, número de períodos, contraste del índice de refracción). Grandes valores de
la localización del campo electromagnético en algunas regiones conducen a la expectativa de los fuertes
mejora de la interacción de la materia de onda no lineal en comparación con los cristales a granel. Segundo
En [11,12] se investigó la generación armónica en diferentes tipos de cristales fotónicos. Apropiadamente.
El cristal fotónico elegido presenta refracción negativa en algunas condiciones [13]. Algunas características de
la dispersión de Raman estimulada en la estructura fotónica unidimensional se consideraron en [14].
Tratamiento mecánico completamente cuántico de la generación de fotones enredados en fotónico no lineal
los cristales en el proceso de conversión descendente se realizaron en [15]. Propiedades de la brecha de banda fotónica
que son demostrados por cristales fotónicos están siendo utilizados activamente para la investigación de
Interacción foton-excitón [16]. Modos acústicos excitados en bolas SiO2 que componen ópalo
cristal fotónico muestran el efecto de la cuantificación de los modos de fonón [17] y son la razón de
dispersión globular estimulada [3]. Características específicas de la propagación de ondas acústicas en el
estructuras fotónicas conducen a la posibilidad de que el rayo ultrasónico divergente se enfoque en un
mailto:tchera@mail1.lebedev.ru
punto focal estrecho con una gran profundidad focal [18]. Oscilaciones paramétricas ópticas a través de cuatro ondas
mezcla en cristales fotónicos isotrópicos muestra la posibilidad de un procesamiento eficaz de la frecuencia
[19].
El objetivo de este trabajo es dar una breve revisión de los resultados [1-3] y estudiar el comportamiento colectivo
de varios cristales fotónicos. Los cristales se posan en la placa Cu a la temperatura del líquido
nitrógeno. Uno de los cristales fotónicos está iluminado por el pulso láser y la luz láser está enfocada
en este único cristal. El fenómeno que observamos es la aparición de luminiscencia de
otros cristales fotónicos. La duración de la luminiscencia de otros cristales que son espacialmente
separado con el cristal iluminado por el pulso láser es del orden de los segundos. La aparición de
la luminiscencia tiene lugar con algún tiempo de retraso, respectivamente, en el pulso láser. La forma de
estos puntos de luz en los otros cristales y sus movimientos lentos a lo largo del cristal recuerda a un pequeño
Punto de llama. Esto nos inspiró a dar el nombre de “llama fotónica” al efecto observado. En el caso
de cubrir la superficie de la placa de Cu con líquido (acetona, etanol, agua) después de la PFE
excitación en el ópalo situado en esta placa luminiscencia azul se ve en el líquido congelado.
Las características temporales de esta luminiscencia son el sme como para el cristal de un solo ópalo. Los
el papel se organiza de la siguiente manera. En Sec.2 la configuración experimental, láser, los cristales fotónicos
(opalos artificiales) utilizados en el experimento se describen. En el artículo 3, el “efecto de llama fotónica”
se discute en el experimento. En la sección 4 las perspectivas y posibles explicaciones son:
Presentado.
2. Cristales fotónicos y láser utilizados en experimentos.
Uno de los cristales fotónicos tridimensionales más prometedores es el ópalo artificial. El ópalo es un
cristal con retícula cúbica centrada en la cara que consiste en las esferas de SiO2 empaquetadas de cerca monodisperso
con diámetro de unos cientos de nanómetros. Debido al contraste del índice de refracción (ratio
nSiO2/nair) es alrededor de 1,45 el espacio completo de la banda fotónica no existe, pero el fotónico
Se produce pseudo-gap. Las cavidades vacías entre estos glóbulos tienen octaedros y tetraedros
forma. Es posible investigar tanto los ópalos iniciales (Matrices de ópalo) como los nanocompuestos, en los que
las cavidades están llenas de materiales orgánicos o inorgánicos, por ejemplo, semiconductores,
superconductores, sustancias ferromagnéticas, dieléctricos, con diferentes tipos de
Fig.1. Aparición común de un cristal fotónico globular, construido con partículas esféricas (glóbulos)
no linealidades y así sucesivamente. Vacíos de llenado del cristal fotónico con materiales diferentes
índice de refracción se puede procesar eficazmente los parámetros del pseudogap fotónico.
Pulso gigante láser rubí (de 694,3 nm, de 20 ns, Emax = 0,3 J, ancho espectral de la luz inicial -
0,015 cm-1.) se ha utilizado como fuente de excitación. Emocionante luz se ha centrado en el
material por lentes con diferentes longitudes focales (50, 90 y 150 mm). Las muestras de ópalo
los cristales utilizados tenían el tamaño de 3x5x5mm y se cortaban en paralelo al plano (111) (véase la Fig.2).
El ángulo de incidencia del rayo láser en el plano (111) varió de 0 a 600. Muestra
distancia del sistema de enfoque y la energía de luz emocionante fueron diferentes en diferentes carreras de la
experimento. Esto dio la posibilidad de hacer mediciones para diferentes densidad de potencia en el
entrada de la muestra y para una distribución de campo diferente dentro de la muestra. Cristales de ópalo
compuesta de las esferas de amorfosa envasadas de cerca con un diámetro de 200 nm, 230 nm, 250 nm y
Se investigaron los nanocompuestos (cristales de ópalo con huecos llenos de acetona o etanol).
z
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[111] x
Fig.2. El esquema de iluminar la muestra. Plano XY corresponde a la superficie de la placa CU.
3.Características de la “llama fotónica”
Se colocaron cristales de ópalo en la placa de Cu, que se colocó en la célula con nitrógeno líquido (ver
Fig.3). El número de cristales varió de 1 a 5. La distancia (d) entre los cristales era de la
orden de varios centímetros (valor máximo de d fue de 5 centímetros y fue determinado por el
Cu tamaño de la placa). Uno de los cristales fue iluminado por el pulso láser enfocado. En el caso de la
Alcanzó la luminiscencia visible (azul). La duración de la luminiscencia fue
de 1 a 12 segundos y parecía una mancha inhomogénea que cambiaba su distribución espacial y
posición en la superficie del cristal durante este tiempo.
N2 líquido
Ópalo
luz emocionante
d
opal Cu
Fig.3. Puesta en marcha experimental.
Los parámetros de la luminiscencia (duración, umbral) fueron determinados por la geometría
características de la iluminación y el contraste del índice de refracción de la muestra. Para optimizar
geometría de la excitación el umbral de densidad de potencia para el cristal de ópalo fue 0,12 Gw/cm2, para
Cristales de ópalo rellenos de etanol – 0,05 Gw/cm2, para cristal de ópalo rellenos de acetona - 0,03
Gw/cm2. Distribución temporal típica de la luminiscencia medida para la parte del cristal
En la Fig.4 se muestra el brillo más intenso. El mismo comportamiento es típico para todos
casos de luminiscencia en estas condiciones de excitación, pero el valor de la luminiscencia
la duración fluctuó de un disparo a otro.
a) b)
Fig.4. Distribución temporal de la luminiscencia visible.
La duración de la luminiscencia fluctuó de 1 a 12 segundos y se demostró
estructura oscilante. En algunos casos, la distribución temporal tuvo un máximo al principio de
la luminiscencia en algunos casos – mínimo. Fig.4 a) y b) muestran la luminiscencia de la pureza
matriz opal de la casi la misma duración en las mismas condiciones geométricas y energéticas de
excitación cerca del umbral de excitación (0.12 Gw/cm2). El comienzo de las medidas
corresponde a un retraso de 0,3 s después del lanzamiento del láser (la duración del pulso del láser es de 20 ns).
Espectro de emisión secundario observado en el efecto fotónico de la llama se ha investigado con
la ayuda de la configuración que se muestra en la Fig.5.
12
11 10
9
8
1
3 4 2
6 7
Fig. 5.La configuración experimental para el estudio del espectro de EPI. 1- láser rubí; 2 lentes; 3, 4, 5 – fotónico
cristales; 7 – célula con nitrógeno líquido 6 – placa de Cu; 8 – guía de ondas de fibra; 9 – minicromador;
10 – ordenador; 11 – cámara; 12 – ordenador.
Espectro de la luz emitida por cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de la luz de bombeo son
se muestra en la Fig. 6 a) y b)
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
643I,
, nm
200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
, nm
a b
Fig. 6. Espectro de emisión secundario de un cristal fotónico para diferentes densidad de potencia de luz láser:
a - I = 0,12 GW/cm2, b - I = 0,14 GW/cm2.
El espectro consistía en las líneas afiladas con longitudes de onda: 429,0, 453,0, 489.0, 555,0, 643,0 nm,
que corresponde al rango espectral antistokes para la línea emocionante 694.3 nm. Intensidad de las líneas en
el espectro dependía fuertemente de la intensidad de bombeo láser, que era evidencia de
tipo estimulado de la emisión de radiación.
En el caso de varios cristales colocados en la placa de Cu, sólo uno de ellos fue irradiado por el
Pulso láser. La luminiscencia tuvo lugar en este cristal en el caso del umbral que alcanzaba. Brillante
brillante de los otros cristales comenzó con algún retraso de tiempo después del lanzamiento del láser. El valor de este retraso
(y la intensidad de la luminiscencia) fue determinada por la posición espacial de los cristales en
el plato. El robo de la abeja de la pantalla puesta entre los cristales (con el fin de evitar la irradiación de la
cristales por la luz dispersada por el cristal excitado por el láser) no detuvo la aparición de la
luminiscencia si la distancia entre la placa Cu y la pantalla era superior a 0,5 mm. Los
duración de la luminiscencia fue del orden de varios segundos y el comportamiento temporal fue como
se muestra en la Fig.4. Las características típicas de tal distribución eran la existencia de máximo y grande
Plato con valor casi constante de la intensidad.
Con el fin de mostrar el papel del material de la placa utilizada repetimos estas medidas
con placas del mismo tamaño pero hechas de acero y quarz sobre las que se colocaron cristales de ópalo
como en los experimentos anteriores. Luminiscencia del mismo tipo en el cristal irradiado tomado
lugar, pero no se observó la luminiscencia de las otras muestras situadas en estas placas.
El efecto también fue determinado por el ángulo de incidencia (fig.2). Para las muestras utilizadas:
valor del ángulo fue elegido experimentalmente para lograr el valor máximo de la
luminiscencia (Vale la pena mencionar que este valor difería de 0 y era alrededor de 400). Más fácil la
El efecto se emocionó en las muestras no procesadas. En la Fig.5 se puede ver la luminiscencia del
cristales situados a la distancia de aproximadamente 1 centímetro del cristal que fue irradiado.
Fig.7 Luminiscencia visible de los cristales de ópalo en el caso de la irradiación de uno de ellos (la
cristal irradiado se puede ver por la luz roja brillante; en la imagen izquierda era el cristal en el
centro, en la imagen de la derecha era el cristal a la izquierda). Imagen de la izquierda corresponde a la caja
donde los cristales son infiltrados por la acetona. Imagen derecha corresponde al caso del ópalo
cristales sin infiltración.
En el caso de la gran energía láser (varias veces más el umbral) o si el cristal era
irradiado por varios pulsos láser el ópalo puede ser destruido y las partes del cristal producen
la luminiscencia con las propiedades espectrales y temporales descritas anteriormente (Fig.8).
Fig.8 Cristal de ópalo es destruido y 3 piezas grandes y varias piezas pequeñas están pasando a
producir la luminiscencia.
Con el fin de aclarar el papel de la superficie de la placa Cu en el transporte de energía entre el
cristales se realizó el siguiente experimento: la matriz de ópalo puro colocado en la placa de Cu fue
irradiado por el pulso láser de rubí y demostró una fuerte luminiscencia que duraba unos segundos
con las propiedades descritas anteriormente (Fig.9)
Fig.9 Luminiscencia de la matriz de un único ópalo
El siguiente paso fue cubrir la superficie de la placa de Cu con el líquido (se hicieron experimentos
con agua, acetón o etanol). El espesor del líquido congelado en la superficie de la placa era de aproximadamente
1 mm. El tamaño transversal del líquido congelado era de aproximadamente 1 cm. Después de iluminar el cristal
por el pulso láser rubí la luminiscencia del cristal aparece la luminiscencia azul brillante de
Aparecen las especies congeladas del líquido utilizado. Las características temporales de la luminiscencia en
cristal y en el líquido congelado son aproximadamente iguales (la duración de la luminiscencia es de
varios segundos). La luminiscencia del líquido congelado continúa a pesar de poner la pantalla
entre el cristal y el líquido. Muestra que la luminiscencia del líquido no es un reflejo
de la luz que es emmitida por el cristal. Fig.10 muestra la luminiscencia del cristal y el
líquido congelado (en este caso era agua). Las imágenes fueron hechas con el intervalo de 1 segundo
el uno entre el otro. El acetón y el etanol demuestran un comportamiento análogo. Los
luminiscencia de la zona cubierta de líquido congelado se produce incluso si esta zona está a la distancia
la explicación de la luminiscencia azul del cristal irradiado.
líquido congelado se puede hacer de varias maneras y para aclarar las razones de esta luminiscencia
la apariencia es necesario producir experimentos adicionales. La intensidad del láser en el
experimentos es de aproximadamente 0,12 Gw/cm2, y la gran mejora de este campo debido a Mie –
resonancia [20] simultánea con el efecto de interferencia causado por la estructura del ópalo
matricial puede conducir a la mejora de campo extremadamente grande que puede desempeñar un papel importante en este
efecto.
Fig.10 Luminiscencia de la matriz de ópalos (punto redondo brillante) y líquido congelado (punto azul grande)
en la superficie de la placa Cu.
4. Conclusiones.
En este artículo informamos sobre algunas nuevas características del efecto fotónico de la llama. El principal
las características de la FEP son:
- En la excitación del cristal de ópalo artificial que se coloca en la placa de Cu en el
temperatura del nitrógeno líquido por el pulso láser rubí del nanosegundo de largo alcance
la luminiscencia óptica continua se produce en el caso de que el umbral del proceso sea
Alcanzado;
- En el caso de varios cristales de ópalo que se ponen en la placa de Cu mientras uno de ellos está siendo
la luminiscencia visible brillante irradiada se produce en todas las muestras;
- Se ha determinado el comportamiento temporal y los umbrales de la luminiscencia. Fotónico
cristales infiltrados con diferentes líquidos no lineales y sin infiltración han sido
investigada. Transporte investigado de la excitación entre las muestras separadas espacialmente
por la longitud de varios centímetros da la posibilidad de las aplicaciones prácticas de
PFE;
- La luminiscencia azul del líquido congelado en la superficie de la placa Cu tiene lugar en la
precense del efecto fotónico de la llama;
El efecto fotónico de la llama puede tener una explicación diferente. Probablemente se juega un papel esencial.
por propiedades plasmáticas. El lento transporte de las excitaciones del cristal irradiado a otros
Los cristales fotónicos se pueden asociar con ondas sonoras creadas debido a la interacción del pulso láser con
la muestra. El mecanismo de excitón y las guías de ondas superficiales en la superficie de la placa Cu también pueden
desempeñar un papel importante. Se comprobó que el cambio de las propiedades de la superficie de la placa era
conduce al cambio del efecto fotónico de la llama. Retirar la capa oxidada de la placa cambiada
el umbral PFE. La luminiscencia de los líquidos congelados en la superficie de la placa de Cu muestra
el importante papel de la mejora del campo electromagnético debido a la resonancia Mie y Bragg
Difracción en la celosía de cristal fotónico. La mejora del campo electromagnético puede conducir a
producción de plasma láser, aceleración de electrones y producción de rayos X.
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704.0089 | A general approach to statistical modeling of physical laws:
nonparametric regression | Un enfoque general de la modelización estadística de las leyes físicas:
regresión no paramétrica
Igor Grabec*
Facultad de Ingeniería Mecánica, Universidad de Liubliana,
Aškerčeva 6, PP 394, 1001 Liubliana, Eslovenia†
(Fecha: 26 de octubre de 2018)
Resumen
El modelado estadístico de leyes físicas experimentales se basa en la función de densidad de probabilidad
de las variables medidas. Se expresa mediante datos experimentales a través de un estimador del núcleo. El núcleo
se determina objetivamente mediante la dispersión de datos durante la calibración de la configuración experimental. A
la ley física, que relaciona las variables medidas, se extrae óptimamente de los datos experimentales por
el estimador medio condicional. Se deriva directamente del estimador del núcleo y corresponde
a una regresión general no paramétrica. El método propuesto queda demostrado por la modelización de un
volver mapa de datos caóticos ruidosos. En este ejemplo, la regresión no paramétrica se utiliza para predecir
un valor futuro de las series cronológicas caóticas del presente. El error predictor medio se utiliza en
la definición de calidad predictora, mientras que la redundancia se expresa por la distancia cuadrada media
entre puntos de datos. Ambas estadísticas se utilizan en una nueva definición de función de costo predictor. Desde
el mínimo de la función de coste del predictor, se estima un número adecuado de datos en el modelo.
Números PACS: 02.50.-r,07.05.-t,05.45.-a,89.90.+n,84.35.+i,06.20.DK
* También en Amanova, Kantetova 75, 1001, Liubliana, Eslovenia.
†Dirección electrónica: igor.grabec@fs.uni-lj.si; URL: http://www.fs.uni-lj.si/lasin/
http://arxiv.org/abs/0704.0089v1
mailto:igor.grabec@fs.uni-lj.si
http://www.fs.uni-lj.si/lasin/
I. INTRODUCCIÓN
Una tarea básica de la descripción física de los fenómenos naturales es expresar las relaciones entre
datos experimentales sobre variables medidas en términos de leyes físicas [1]. Desde el corre...
el modelado analítico sponding depende esencialmente de la intuición del explorador que realiza
, una ambigüedad rodea esta tarea básica y, por lo tanto, se plantea la cuestión de cómo podría ser
Evitado. Este problema adquiere una importancia práctica fundamental a la hora de desarrollar
sistemas electrónicos flexibles para el modelado automático de leyes físicas [2]. La ambigüedad podría
evitar que se encuentre un método objetivo único de modelización que tenga en cuenta
propiedades comunes de las observaciones experimentales y de las transiciones a partir de datos experimentales
a modelos. El objetivo de este artículo es mostrar cómo un método de este tipo podría ser desarrollado a partir de
principios básicos de probabilidad y estadísticas, así como para demostrar un ejemplo de su
aplicabilidad.
Una propiedad común de todas las exploraciones experimentales es que cada experimento corresponde a
a un proceso que va de la preparación a la ejecución. Si queremos un experimento seleccionado
para dar cualquier información sobre el fenómeno en observación, a continuación, el resultado de la
el experimento no podrá determinarse de antemano, es decir, varios resultados del experimento deben
Es posible. La siguiente propiedad común es la repetibilidad de los experimentos. En consecuencia, a
la correcta presentación de las observaciones experimentales requiere el uso de una distribución de ex-
los resultados perimentales y esto debe estar relacionado con el concepto de probabilidad. La probabilidad
la distribución es, por lo tanto, una base común para la descripción de las propiedades naturales en términos
de datos experimentales [3], mientras que la transición de los datos experimentales a un análisis ex-
la presión de la función de distribución de probabilidad correspondiente es el problema crucial de
modelar. Una solución objetiva de este problema representa el modelado estadístico de la prob-
función de distribución de capacidad por un estimador de núcleo no paramétrico si el núcleo está determinado
mediante una calibración de la configuración experimental [4, 5, 6]. Con este fin, el teorema central de
la teoría de la probabilidad y el principio de la entropía máxima proporcionan una ruta bastante general a la
especificación de la función del núcleo del estimador. En este caso, un examen físico experimental
ley, que representa una relación entre variables observadas, también se puede expresar generalmente
aplicando la teoría de los estimadores estadísticos óptimos. El resultado no paramétrico de la re-
la regresión es la media condicional (CA), que se puede extraer automáticamente de la
función de densidad de probabilidad (PDF) de los datos experimentales en un sistema de medición. Los
enfoque completo para modelar así parece objetivo, independiente de la intuición de la
observador y, en consecuencia, aplicable en general a la ejecución automática. Debido a estos...
propiedades venientes, CA es ampliamente aplicable en diversos campos de las ciencias naturales y técnicas
Ya se ha propuesto una expresión no paramétrica del PDF por el estimador del núcleo
por Parzen [7, 8], pero las debilidades de su propuesta son que la función del núcleo es arbitrariamente
introducido, y que hay una suposición de que su anchura debe disminuir a cero cuando el
número de datos se aumenta a infinito. Para evitar esta debilidad, especificamos el núcleo
función objetivamente mediante la dispersión de la salida del sistema de medición durante la calibración
[7, 8]. La única ambigüedad en la expresión del PDF se relaciona entonces con el número de
datos experimentales, que según la hipótesis de Parzen no deberían ser limitados. Desde un
número infinito de experimentos no se puede realizar, surge una pregunta fundamental:
“Cuántos experimentos es razonable realizar para explorar el fenómeno
¿por una configuración experimental dada?" Intuitivamente, podemos concluir que es razonable
repetir experimentos durante el tiempo que aporten nueva información. Sin embargo, con un aumento
número de experimentos, los puntos de datos adquiridos se concentran cada vez más en el
espacio de muestra y, en consecuencia, la repetición de los experimentos se vuelve redundante. Esto
se observa cuando las distancias entre los puntos de datos se vuelven comparables a la anchura del núcleo
función. Este razonamiento llevó recientemente a una especificación de una función de coste de la información C
[4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13]. Para ello, la indeterminación de las mediciones fue la primera
se expresa en términos de entropía de la información, que condujo a la definición de la
información I y la redundancia R de los experimentos. Utilizando estas estadísticas, la información
la función de coste se expresó por la diferencia C = R - I. Desde la posición de su mínimo,
un número adecuado de experimentos puede entonces determinarse objetivamente [4, 5, 6].
La estimación de la función de coste de la información está relacionada con el cálculo de integrales, que
es inconveniente en un caso multivariado. Por lo tanto, otra estadística, con propiedades similares
pero se busca un cálculo más simple. Puesto que se ha demostrado anteriormente que la pre-
dictor calidad exhibe propiedades similares a la información experimental, lo utilizamos aquí
en la definición de la función de coste predictor. Desde su mínimo, un número adecuado de
También se pueden estimar los experimentos. Si esto se utiliza como un número adecuado para la adaptación de
la regresión no paramétrica a los datos proporcionados por los experimentos, el modelado de la corre-
sponding la ley física se puede realizar automáticamente en un sistema de adquisición de datos de la
Una configuración experimental. Para demostrar esta posibilidad, primero describimos brevemente el nonpara-
regresión métrica y luego recurrir a la definición de la calidad del predictor, redundancia y
función de coste. Las propiedades de todas las estadísticas se demuestran posteriormente en la modelización de
un mapa de retorno correspondiente a un proceso caótico ruidoso.
II. FUNDAMENTALES DEL MODELO NO PARAMÉTRICO
A. Descripción de la función del núcleo
Consideremos un fenómeno que puede ser descrito por sólo dos variables conjuntas, ya que el
La generalización a un caso multivariado es directa. Un único resultado de la medición conjunta
es representado por la pareja z = (x, y). A continuación suponemos que el fenómeno puede ser
caracterizado estadísticamente por la repetición de mediciones que producen puntos de muestra zn = (xn, yn)
en el intervalo de unión de un instrumento de dos canales S
= Sx Sy.
Dado que los instrumentos están generalmente sujetos a perturbaciones estocásticas, los resultados de
las mediciones están dispersas incluso durante la repetición de la calibración [9]. La dispersión puede ser
descrito por los datos proporcionados por una serie de calibraciones simultáneas repetidas de ambos
canales de instrumentos. Para este fin, tenemos que realizar una medición conjunta en un
objeto que representa dos unidades físicas ux y uy que denotamos juntos por la unidad conjunta
u = (ux, uy). La dispersión de las salidas del instrumento durante la calibración se caracteriza por
conjunto PDF (zu), que llamamos la función de dispersión (SF) [2, 4, 9]. Cuando la interacción
entre ambos canales es insignificante, el SF es dado por el producto (zu) = (xux)(yuy).
Sin pérdida de generalidad, consideramos más adelante un caso con canales iguales que están sujetos
a perturbaciones aleatorias mutuamente independientes que no dependen de u. En tales casos,
el teorema del límite central de la teoría de la probabilidad, así como el principio de la entropía máxima,
Sugiere que expresemos el SF de un canal particular por la función gaussiana:
g(x− ux, ) =
− (x− ux)
Los parámetros ux, representan el valor medio y la desviación estándar de la señal x en la cal-
ibración y puede estimarse estadísticamente a partir de datos dados. La junta SF se determina entonces
por el producto (z− u) = g(x− ux,
Cuando se reportan resultados experimentales, los experimentalistas más a menudo sólo especifican
us y desviaciones estándar de las variables durante la calibración. El principio de la entropía máxima
nos dice que, en tales casos, la función gaussiana es la mejor opción para SF [2, 9].
B. Estimación no paramétrica del PDF correspondiente a los datos experimentales
Cuando realizamos una sola medición, obtenemos una muestra z1 = (x1, y1) que representa
el valor medio de z durante la medición y, por lo tanto, expresamos el PDF como (z−z1) =
* (x − x1) * (y − y1). Cuando repetimos las mediciones N veces, obtenemos un conjunto de muestras
{zi, 1 ≤ i ≤ N}, por el cual modelamos el PDF conjunto por la media estadística:
f(z) =
(z- zi) (2)
que representa el estimador del núcleo.
Propiedades de los componentes particulares x, y se describen por los PDF marginales
f(x), f(y). Se obtienen a partir del PDF conjunto por integración con respecto a un com-
pont, por ejemplo:
f(x) =
f(z)dy =
• (x− xi). 3)
Para modelar leyes naturales, lo más importante es el PDF condicional de la variable y en
un valor dado de x, definido como:
f(yx) =
(z− zi)
(x− xj)
C. Estimación de una ley física
Distribuciones de datos experimentales conjuntos, por ejemplo los que se muestran en la Fig. 1, a menudo se parecen
una cresta a lo largo de alguna línea hipotética yo(x), que queremos extraer de los datos dados
de una manera óptima. Para este fin, seleccionamos de un conjunto de datos conjuntos sólo aquellos que
pertenecen a algunas x seleccionadas. Estos datos conjuntos generalmente muestran varios valores de y que nosotros
tratar de representar por un solo valor llamado el predictor de la variable y de un valor x dado.
Consideramos como un predictor óptimo del yo hipotético el valor yp en el que la media
El error de predicción cuadrada es mínimo:
E[(yp − y)2x] = min(yp). 5)
0 0.1
0,2 0,3
0,4 0,5
0,6 0,7
0,8 0,9
FIG. 1: El PDF f(z) conjunto utilizado para demostrar las propiedades de la media condicional
Estimador.
Aquí E[. . x] denota la operación del promedio estadístico en la condición dada x. El mini-
mamá satisface la ecuación: dE[(yp − y)2x]/dyp = 0 que produce como el yp predictor óptimo
la media condicional:
yp(x) = E[yx] =
y f(yx) dy (6)
Usando Eq. (4), obtenemos para el promedio condicional la expansión:
yp(x) =
(x− xi, )
*(x− xj, *)
yiBi(x). 7)..................................................................................................................................................
Los coeficientes de esta expansión son valores de muestra yi, mientras que las funciones de base son
Bi(x) =
(x− xi, )
*(x− xj, *)
, (8)
y cumplan las siguientes condiciones:
Bi(x) = 1, 0 ≤ Bi(x) ≤ 1. (9)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Las funciones de base Bi(x) pueden interpretarse como una medida normalizada de similitud entre
el valor dado de x y su valor de muestra xi. En una x dada, el valor de la muestra ym contribuye
más al valor estimado yp(x) cuyo valor de muestra complementario xm es más similar a
El cálculo de yp(x) corresponde a un recuerdo asociativo de elementos memorizados, que
es propiedad de una inteligencia. Por lo tanto, el estimador yp(x) podría tratarse como una base
para el desarrollo de una inteligencia de máquina basada en el modelado de leyes naturales. Los
media condicional dada en Eq. 7 de hecho corresponde a una función de base radial normalizada
red neuronal que es equivalente a un perceptrón multicapa - el paradigma básico utilizado en
la teoría de las redes neuronales artificiales [2, 21].
III. CARACTERÍSTICAS DEL MODELO
A. Calidad de los predictores
Un predictor mapea la variable estocástica x a una nueva variable estocástica yp que genera-
ally difiere de la variable y. Cuando las variables x, y están relacionadas por alguna hipotética
la ley física yo(x) y el ruido de medición es pequeño, la primera y la segunda estadística mo-
E[y − yp], E[(y − yp)2] del error de predicción también son pequeños. El segundo momento
es: E[(y − yp)2] = Var(y) + Var(yp) − 2Cov(y, yp) + [m(y) − m(yp)]2, donde E,m,Var,Cov
indicar la media estadística, el valor medio, la varianza y la covarianza, respectivamente. En el caso de:
variables estadísticamente independientes y yp con valores medios iguales, los dos últimos términos son
cero y obtenemos: E[(y − yp)2] = Var(y) + Var(yp). Con respecto a esta relación, definimos
la calidad del predictor relativamente por la fórmula
Q = 1− E[(y − yp)
Var(y) + Var(yp)
2Cov(y, yp)
Var(y) + Var(yp)
− [m(y)−m(yp)]
Var(y) + Var(yp)
La calidad es 1 si la predicción es exacta: yp = y, mientras que es 0 si y yp son estadísticamente
independiente y tienen los mismos valores medios. La calidad Q puede ser negativa si m(y) 6= m(yp).
Para el predictor definido por el promedio condicional yp(x) =
y f(yx) dy, nosotros analíticamente
obtener las equivalencias: m(y) = m(yp) y Cov(y, yp) = Var(yp), que producen
2Var(yp)
Var(y) + Var(yp)
. (11)
A partir de la definición de la media condicional, sigue 0 ≤ Var(yp) ≤ Var(y) y, por lo tanto,
0 ≤ Q ≤ 1. Esta desigualdad no necesita ser cumplida exactamente si la CA se estima estadísticamente a partir de
un número finito de muestras.
Con un N en aumento, generalmente esperamos que la CA estimada estadísticamente por Eq. 7)..................................................................................................................................................
representa cada vez mejor la ley física gobernante y, en consecuencia, que el corre-
sponding predictor calidad Q en promedio aumenta a un determinado valor límite. Como se ha mencionado
antes, un aumento ilimitado en el número de experimentos es experimentalmente imposible
y, en consecuencia, se plantea la cuestión de cómo determinar un número adecuado de datos
que dará una estimación juiciosa de la ley gobernante.
B. Función de redundancia y costo predictor
Para responder a la última pregunta, hemos analizado varios casos experimentales que han
nos mostró que, con un número creciente de muestras experimentales, el valor del predictor
calidad generalmente se estabiliza cuando la distancia entre los puntos de datos se hace similar a la
anchura de la función de dispersión. Por lo tanto, no es razonable superar significativamente
el número correspondiente de datos. Esto se puede lograr si una proporción de
se considera la medida de la distancia entre los puntos de datos vecinos. Con este fin, nosotros
introducir el valor medio de la distancia cuadrada mínima entre los puntos de datos................................................................................................................................................
E[min{(xi−xj)2+(yi−yj)2)}; i = 1.... N, j = 1... N, ], y definir una medida de redundancia
de datos por la variable relativa:
R = 2N
Dado que el 2 se compone de dos términos que denotan las contribuciones de los componentes x e y, a
el factor 2 se utiliza en el nominador. La fracción 2o2/o2 representa un aumento medio de
redundancia que se asigna a la adquisición de un nuevo punto de datos. Con el fin de tener en cuenta
adquisición de cuentas de puntos de datos N, factor N se utiliza más. Con respecto a esto, nosotros
introducir la función de coste predictor por la suma:
C = R−Q+ 1
E[(y − yp)2]
Var(y) + Var(yp)
. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
La constante 1 se inserta en la primera fila para obtener una expresión más simple
en la segunda fila de Eq. 13. Del mismo modo que la definición del coste de la información
función dada en [5, 6], la función de coste se expresa aquí en una forma relativa compuesta
de dos términos: el primero corresponde a la redundancia de experimentos por inexactitud
mediciones mientras que la segunda representa la influencia de la adquisición de información sobre
el fenómeno por medio de experimentos. Con un número creciente de muestras N, la redundancia
en promedio aumenta mientras que el segundo plazo disminuye con el error decreciente. Por lo tanto,
la función de coste C muestra un mínimo en algún No que representa un número adecuado de datos
necesaria para la modelización de la ley física que rige el fenómeno explorado. Sin embargo,
la influencia del primer término se convierte en predominante cuando la distancia entre los puntos de datos
se vuelve esencialmente más pequeño que el ancho de la función de dispersión.
IV. EJEMPLO
Para demostrar las propiedades del estimador de CA, utilizamos los datos generados por un
mapa de retorno caótico corrupcionado por ruido con el espolón Sx = (0, 1). Este ejemplo se usa porque
casos similares aparecen a menudo en el análisis de series temporales caóticas [2, 14]. El problema básico
en tal análisis es extraer el mapa de retorno de un registro dado de series temporales que
está influenciado por el ruido aditivo de origen instrumental. En nuestro caso, aplicamos analíticamente
datos determinados para establecer una comparación entre el material físico original y el extraído
y hacer posible una reproducción objetiva del método completo. Lo básico
la ley que rige se da aquí por el mapa logístico:
χn+1 = 3,8xn(1- χn), (14)
mientras que el valor inicial χ1 es arbitrario seleccionado a partir del intervalo (0, 1) utilizando un
ator. Para los valores de las series caóticas generadas, el ruido gaussiano / de valor medio cero y
Se añade la desviación estándar = 0,1 para simular un ruido aditivo de medición. El iter-
solución ativa de Eq. 14 entonces produce una serie de valores caóticos dañados ruido: xn = χn + νn.
La figura 2 muestra dos registros de una serie de este tipo que se utilizaron en el modelado y ensayo de la
método propuesto.
De la serie {xn ;n = 1...}, se obtienen las muestras conjuntas de las variables básicas x, y
tratando el valor sucesivo de xn como la variable dependiente: yn = xn+1. El generador
De este modo, la norma describe analíticamente los datos:
xn = χn + νn
yn = xn+1, (15)
mientras que la ley que rige es dada por yo = 3.8 x(1−x). Los puntos de muestra {xn, yn ; n = 1...N}
se distribuyen a lo largo de la parábola correspondiente en el espacio de muestra. De acuerdo con nuestro
tratamiento previo, la desviación estándar corresponde a la anchura del instrumento
función scattering. El PDF de la articulación se muestra en la Fig. 1 es determinado por el estimador del núcleo
0 5 10 15 20 25 30
FIG. 2: Registros de lo básico – (X), y la prueba – (Xt) el ruido corrompió las series caóticas.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
ENSAYO DE CA PREDICTOR
FIG. 3: Pruebas del predictor de CA. Los gráficos representan la ley que rige yo y los datos básicos y –
(últimos dos: · · · ; ∗ ∗ )*), prueba y datos predichos yp – (segundos medios: + + + ;
error Er = yp − yt – (abajo: ). Las dos parábolas superiores se desplazan sucesivamente por 0,35
en la dirección vertical para una mejor visualización.
Eq. (2) utilizando 200 datos, mientras que un conjunto reducido de 30 datos se utiliza también para demostrar
las propiedades del estimador medio condicional. Los datos obtenidos del caos puro
el generador son mostrados por yo · â € en la parábola superior de la Fig. 3, mientras que el ruido básico corrugado
los datos y* se muestran por puntos dispersos alrededor de puntos de datos puros.
El estimador medio condicional se obtiene insertando datos de los datos básicos
0 5 10 15 20 25 30
ERROR DE PREDICTOR SQUARE
FIG. 4: Error medio de predicción cuadrada E[(y − yp)2] en función del número de datos N.
en Eq. (7). Para demostrar su rendimiento, además generamos con diferentes
semillas de generadores aleatorios un conjunto de Nt = 60 datos de ensayo {xt,i,yt,i}. Basado en datos xt,i de
este conjunto, los valores correspondientes de yp,i son predichos por el estimador de CA. El ensayo y
Los datos predichos se muestran en la Fig. 3 por el medio dos conjuntos de puntos (+ + + y â â € € €.
El error de predicción Er = yp − yt, calculado a partir de ambos conjuntos de datos, se presenta por
en la parte inferior de la Fig. 3. Diferencias relativamente pequeñas entre los puntos predichos y los puntos de ensayo
indican que las propiedades de la ley que rige yo(x) son adecuadamente modeladas por la CA
Estimador. Para confirmar esta conclusión cualitativa, a continuación analizamos las propiedades de las estadísticas
E[(ye − yt)2], Q, Ł2, R, C dependiendo del número de datos N utilizados en el modelado. Los
número de datos de ensayo se mantiene constante Nt = 60 durante el cálculo de estas estadísticas. Propiedades
del modelo estadístico de la ley rectora depende de conjuntos de muestras utilizadas en el modelado
y pruebas. Para demostrar esta dependencia, repetimos el modelado y pruebas tres
tiempos utilizando varios conjuntos de muestras estadísticas.
El error medio del predictor cuadrado E[(y − yp)2] se presenta en la Fig. 4 frente al número de
muestras N. Su valor varía estadísticamente pero, en promedio, disminuye con el aumento
número N. Las fluctuaciones estadísticas son mayores a pequeña N y dependen significativamente de las muestras
utilizado en el modelado. Sin embargo, con el aumento de N, las fluctuaciones estadísticas son cada vez menores
pronunciado. Si el número de muestras de ensayo Nt es mucho mayor que el número de muestras N,
cambiar el conjunto de muestras de ensayo no influye significativamente en las propiedades de
estadísticas, que es el caso en nuestra demostración. Esta es la razón por la que usamos el valor
0 5 10 15 20 25 30
CALIDAD DEL PREDICTOR
FIG. 5: Calidad predictor Q en función del número de datos N.
Nt = 60.
La calidad del predictor Q, determinada a partir del error de predicción, se presenta en la Fig. 5
en comparación con el número de muestras N. Para cada conjunto de datos las fluctuaciones estadísticas disminuyen con
aumentar N para que las cualidades calculadas a partir de diferentes conjuntos de datos converjan al mismo límite
valor. Con el aumento de N, las curvas determinadas a partir de diferentes conjuntos de datos
mately en N+11. La calidad está allí â ¬ 0,97 y sube a â ¬ 0,98 en N = 30. En N+11,
la diferencia entre las curvas obtenidas de diferentes conjuntos de datos es de aproximadamente dos órdenes
de magnitud menor que la calidad correspondiente. Con respecto a estas propiedades, nosotros
podría conjeturar que en el presente caso unos 11 valores de datos ya proporcionan un juicio
modelización de la ley de gobierno yo(x) por el predictor de CA.
Para confirmar nuestra última conjetura, nos dirigimos a la determinación de la función de costo predictor.
Para este propósito, primero analicemos las propiedades de la distancia cuadrada media entre los datos
puntos 2 y siguientes. El gráfico correspondiente, mostrado en la Fig. 6, indica que el 2 es bastante monótonamente
Disminución con el número de muestras con la dependencia aproximada de â € 1/N.
En consecuencia, la redundancia correspondiente R está aumentando con N similarmente como N2.
Esta conclusión está confirmada por el gráfico de la Fig. 7.
Siguiendo la definición dada por Eq. 13, obtenemos del error estimado y el
redundancia de la función de coste predictor C mostrada en la Fig. 8. Su mínimo no es muy favorable.
Anunciado. De varios conjuntos de datos estadísticos, obtenemos las estimaciones del valor mínimo
Co = 0,033±0,006. El número correspondiente no = 10±2 confirma nuestra conjetura anterior
0 5 10 15 20 25 30
MSD ENTRE PUNTOS DE DATOS
FIG. 6: Media de la distancia cuadrada entre los puntos de datos فارسى2 en función del número de datos N.
0 5 10 15 20 25 30
RESPONSABILIDAD
FIG. 7: Redundancia R en función del número de datos N.
a partir del análisis de la calidad del predictor.
Con un número creciente de muestras N, la calidad Q(N) del predictor de CA muestra
una convergencia a algún valor límite Q.o que caracteriza la calidad máxima hipotética de
propuesta de modelización estadística no paramétrica. Este valor límite aumenta generalmente con el
Disminución de la anchura de dispersión . En relación con esto, el valor mínimo de la función de coste es dimin-
ished y se lleva a cabo en un No más grande ; por ejemplo en = 0,005 obtenemos Co = 0,018 ± 0,003
y no = 14± 3. No obstante, el valor límite de la calidad de Q° es inferior a 1 si se trata de
finito. Esto significa que no es posible determinar exactamente el derecho físico que rige
0 5 10 15 20 25 30
FUNCIÓN DE LOS GASTOS DEL PREDICTOR
FIG. 8: Función de coste predictor C en función del número de datos N.
y = yo(x) de los datos articulares obtenidos por un instrumento influenciado por alteraciones estocásticas.
V. DEBATE
Nuestro método de estimación de leyes naturales a partir de datos dados puede ser simplemente generalizado a
casos multivariables sustituyendo los vectores correspondientes para las variables x, y. Semejante modelización
ya se ha aplicado en una variedad de ejemplos derivados de la física [15], técnica
[2, 16], económico [2, 16] y ambientes médicos [2, 17, 18]. Particularmente en el ámbito económico
ambientes médicos, fenómenos se caracterizan a menudo por muchas variables que podrían
ser informativo o perturbador. Debido a la complejidad de estos casos, por lo general hay
existe poca o ninguna información sobre una posible función que podría describir el gobierno
ley. En relación con esto, los investigadores se enfrentan al problema de cómo definir la complejidad
y reducirlo mediante la extracción de variables informativas de un conjunto dado [19]. Junto a la mutua
información, la calidad del predictor también podría aplicarse para este fin. Por ejemplo, tiene
recientemente demostrado en el campo de la medicina cómo un análisis de la calidad predictor puede proporcionar
para un ordenamiento de variables y la extracción de un conjunto que produce un predictor óptimo de
el proceso de curación de la enfermedad [17, 18]. Este análisis hace posible seguir avanzando hacia la consecución de los objetivos de desarrollo del Milenio.
los orígenes de la enfermedad tratada.
El valor del número adecuado No, tal como se define por el mínimo de función de coste predictor,
podría interpretarse como una medida de la complejidad de un modelo predictor adecuado. Lo es.
importante que esta medida depende sólo de la exactitud de la observación y las propiedades de
el fenómeno representado por datos experimentales dados.
En relación con el ejemplo demostrado aquí, surge una conclusión importante
sobre la descripción de los fenómenos naturales por las leyes físicas en la forma y = yo(x). As
mientras se considere que una ley de este tipo es la única base para la descripción del fenómeno,
no es suficiente para una descripción completa, ya que no se proporciona información sobre la
propiedades del espacio de muestreo de los datos conjuntos. Consideremos un ejemplo bien conocido: la ley
m = V que relaciona la masa m, el volumen V y la densidad de un objeto. Esto
la ley no incluye la restricción m ≥ 0, y en este aspecto no está completa. Similar,
pero mucho más complejo, se encuentran ejemplos al tratar fenómenos caóticos y su
Atractores extraños [14]. Por ejemplo, la ley que se aplica aquí es un caso especial de la ley
χn+1 = aχn(1 − χn), con un ser constante. Dependiendo del valor de a y el
valor inicial χ1, la serie n ;n = 1...} muestra valores grandes del parámetro n →
• un espacio de muestra discreto o continuo. Por otra parte, en el caso continuo, el
espacio de muestra puede estar compuesto de intervalos desconectados que difícilmente podrían predecirse
analíticamente. Similar, pero aún más engorrosa, es la situación si consideramos caótica
procesos con parámetros continuos. En consecuencia, aparece una ley gobernante y = yo(x)
incompleta para la descripción del fenómeno. La deficiencia más sobresaliente es que
no incluye información sobre la estructura del espacio de muestra correspondiente al
fenómeno observado. Esta deficiencia no aparece si consideramos como base para modelar
la función de densidad de probabilidad y estimarla no paramétricamente, directamente a partir de medidas
datos conjuntos. La extracción de una ley que describe una relación entre variables puede entonces ser
generalmente se realiza utilizando el estimador medio condicional. Sin embargo, las aplicaciones de
leyes paramétricas simples, como m = V, son de enorme importancia para las ciencias analíticas
y no esperamos que los modelos no paramétricos propuestos puedan sustituirlos,
aunque son convenientes para aplicaciones directas. En consecuencia, se plantea la cuestión de:
cómo encontrar un vínculo unívoco entre ambos paradigmas de modelado.
VI. CONCLUSIONES
Nuestro enfoque indica que el estimador de núcleo introducido objetivamente proporciona un
modelización estadística no paramétrica de un fenómeno explorado cuantitativamente. Desde que no
se requiere información previa sobre la forma de la ley física que rige, el modelo
puede ser realizado automáticamente por un ordenador en un sistema de medición. La propuesta
función de coste predictor C permite estimar el número adecuado No de datos necesarios para
el modelado. Propiedades de la función de costo predictor se asemejan a las del costo de la información
función [5, 6], pero su estimación es mucho más simple. Las propiedades de la extracción
modelo de la ley rectora puede ser descrito cuantitativamente por la calidad predictor Q y
redundancia R de los datos de los que se extrae la ley aplicable. Esta ley representa
la distribución de la variable y a un valor x dado por un único valor predicho yp(x).
Tal representación comprimida corresponde generalmente a la creación de información sobre
el fenómeno explorado [5, 6]. Esto contrasta con la pérdida de información causada por
Alteraciones estocásticas en los canales de transmisión de señal [20]. Si la extracción de información
de las observaciones se considera como una base de la inteligencia natural [21, 22], a continuación, un sistema
que puedan estimar una ley física a partir de datos medidos de forma autónoma deben ser tratados como
una unidad inteligente. Esta interpretación proporciona una base común para un tratamiento unificado
de las ciencias experimentales y de la inteligencia natural o artificial [2, 21, 22].
Agradecimientos
Este trabajo contó con el apoyo del Ministerio de Educación Superior, Ciencia y Tecnología
de la República de Eslovenia y de la UE – COST.
[1] R. Feynman, El carácter del derecho físico (The MIT Press,Cambridge, MA, 1994).
[2] I. Grabec y W. Sachse, Synergetics of Measurement, Prediction and Control (Springer-
Verlag, Berlín, 1997).
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[5] I. Grabec, Eur. Phys. J. B 48, 279 (2005), (DOI: 10.1140/epjb/e2005-00391-0).
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Nueva York, 1973), Ch. 4.
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[10] J. Risanen, Complejidad, Entropía y Física de la Información (Addison-Wesley, 1990), ed.
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[15] S. Mandelj, I. Grabec y E. Govekar, Int. J. Bifurcación y Caos 11, 2731 (2001).
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[18] I. Grabec, I. Ferkolj y D. Grošelj, Proc. de la 2a Conferencia Internacional sobre
Inteligencia en Medicina y Salud, Lisboa, (CIMED-2005 Proceedings, ISBN: 0-86341-
520-2,IEE, 2005), ed. J. M. Fonseca, 311-316
[19] C. H. Bennett, Complejidad, Entropía y Física de la Información (Addison-Wesley, 1990),
ed. W. H. Zurek, 137-148.
[20] C. E. Shannon y W. Weaver, La Teoría Matemática de la Comunicación (Univ. de Illinois
Press, Urbana, 1949).
[21] S. Haykin, Neural Networks, Una Fundación Integral (Mcmillan College Publishing)
Company, Nueva York, 1994)
[22] D. J. C. MacKay Teoría de la Información, Inferencia y Algoritmos de Aprendizaje (Cambridge Uni-
versity Press, Cambridge, Reino Unido, 2003)
http://arxiv.org/abs/cs/0612027
Introducción
Fundamentos del modelado no paramétrico
Descripción de la función del núcleo
Estimación no paramétrica de PDF correspondiente a datos experimentales
Estimación de una ley física
Características del modelo
Calidad del predictor
Función de redundancia y costo predictor
Ejemplo
Discusión
Conclusiones
Agradecimientos
Bibliografía
| El modelo estadístico de las leyes físicas experimentales se basa en el
función de densidad de probabilidad de las variables medidas. Se expresa por:
datos experimentales a través de un estimador del núcleo. El núcleo se determina objetivamente
mediante la dispersión de datos durante la calibración de la configuración experimental. Un físico
la ley, que relaciona las variables medidas, se extrae óptimamente de los experimentos
datos por el estimador medio condicional. Se deriva directamente de la
kernel estimator y corresponde a una regresión general no paramétrica. Los
método propuesto se demuestra mediante el modelado de un mapa de retorno de ruido
datos caóticos. En este ejemplo, la regresión no paramétrica se utiliza para predecir
un valor futuro de las series cronológicas caóticas del presente. El predictor medio
error se utiliza en la definición de la calidad predictor, mientras que la redundancia es
expresado por la distancia cuadrada media entre los puntos de datos. Ambas estadísticas son:
utilizado en una nueva definición de función de coste predictor. Desde el mínimo de la
función de coste predictor, se estima un número adecuado de datos en el modelo.
| Introducción
Fundamentos del modelado no paramétrico
Descripción de la función del núcleo
Estimación no paramétrica de PDF correspondiente a datos experimentales
Estimación de una ley física
Características del modelo
Calidad del predictor
Función de redundancia y costo predictor
Ejemplo
Discusión
Conclusiones
Agradecimientos
Bibliografía
|
704.009 | Real Options for Project Schedules (ROPS) | ASA_0.1.ps
Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
Lester Ingber
Investigación Lester Ingber
Ashland Oregon
ingber@ingber.com, ingber@alumni.caltech.edu
http://www.ingber.com/
Resumen
Las opciones reales para los planes de proyectos (ROPS) tienen tres conchas recursivas de muestreo/optimización. Un exterior
Optimiza los parámetros de los Planes Estratégicos de Optimización de Analización Simulada Adaptativa (ASA)
que contiene varios proyectos que contienen tareas ordenadas. Distribución de probabilidad de las muestras de capa intermedia
de las duraciones de las tareas. Un caparazón interior muestra distribuciones de probabilidad de costos de tareas. PATHTREE es
utilizado para desarrollar opciones en los horarios. Los algoritmos utilizados para operar en dimensiones de riesgo (TRD) son:
aplicada para desarrollar un análisis de riesgo relativo entre los proyectos.
PALABRAS CLAVE: opciones; recocido simulado; gestión de riesgos; cópula; no lineal; estadística
† L. Ingber, “Real Options for Project Schedules (ROPS)”, Report 2007:ROPS, Lester Ingber Research,
Ashland, OR, 2007. URL http://www.ingber.com/markets07_rops.pdf.
$Id: markets07_rops,v 1.22 2007/04/01 14:32:24 ingber Exp ingber $
Lester Ingber - 2 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
1. Introducción
Este documento es una breve descripción de una metodología de opciones de desarrollo (en el sentido de opciones financieras,
por ejemplo, con todos los griegos), que se aplicará en colaboración con Michael Bowman, como primer ejemplo para
programando un proyecto masivo del Ejército de EE.UU., Future Combat Systems (FCS) [1].
El objetivo principal es desarrollar opciones reales para proyectos no financieros, como se ha señalado en otros anteriores.
documentos [3,4,12]. Los datos y algunas orientaciones sobre su uso han sido comunicados en un estudio previo de FCS [2,5].
Se ha hecho hincapié en la necesidad de contar con instrumentos para programar y fijar los precios de un proyecto tan complejo como éste.
Recomendaciones para la adopción de medidas ejecutivas en un informe de la Oficina General de Contabilidad de los Estados Unidos (GAO) sobre
FCS [14], y también hacen hincapié en la necesidad de gestión de los planes de negocio de FCS [13].
2. Objetivos
A giv en Plan resultados en S(t), el dinero asignado por el cliente/gobierno se define en términos de Proyectos
Si(t),
S(t) =
Si(t)
donde ai(t) puede ser algunas restricciones programadas. PATHTREE procesa un árbol de probabilidad desarrollado sobre
la vida del plan T, dividido en N nodos a veces {tn}, cada uno con la longitud media de la época dt [11]. Opciones
incluyendo a todos los griegos, familiarizados con los mercados financieros, se calculan para medios no lineales bastante arbitrarios y
varianzas del ruido multiplicativo [6,9]. Esta capacidad de procesar funciones no lineales en probabilidad
las distribuciones son esenciales para las aplicaciones del mundo real.
Cada tarea tiene una gama de duraciones, con Ai no cero, con un desembolso de fondos utilizados, definiendo Si(tn).
Cualquier tarea dependiente de una tarea completa es esclavizada a sus precursores.
Desarrollamos la densidad de probabilidad condicional del Plan (CPD) en términos de costos diferenciados, dS,
P(S ± dS; tn + dt S; tn)
P es modelado/casado/adaptado a la forma funcional
P(S ± dS; tn + dt S; tn) = (2η g
2 exp(−Ldt)
(dS − fdt)2
(2g2dt2)
donde f y g son función no lineal de costo S y tiempo t. La función de varianza g2 absorbe el múltiple
Coste de la tarea y programación de los spreads estadísticos, para determinar P(dS, t), dando lugar a la naturaleza estocástica de
dólares gastados en el Plan.
Un giv en Project i con Task k tiene una duración media iik, con un coste medio Sik. La difusión en dS tiene dos
componentes que surgen de: (1) una duración estocástica alrededor de la duración media, y (2) una propagación estocástica
de dólares medios alrededor de un desembolso determinista en un momento dado. Diferentes asimétricas de ancho finito
las distribuciones se utilizan para duraciones y costes. Por ejemplo, la distribución creada para Adaptive
Simulated Annealing (ASA) [8], originalmente llamado Very Fast Simulated Re-annealing [7], es un anaranjado finito
distribución con forma determinada por un parámetro “temperatura” q. Para cada estado (ya sea duración o
coste): (a) Una elección binaria aleatoria puede ser mayor o menor que la media, utilizando cualquier relación de
probabilidades seleccionadas por el cliente. (b) A continuación, se utiliza una distribución ASA en el lado elegido. Cada lado
tiene un q diferente, cada uno cayendo de la media. Esto se ilustra y se describe más adelante en la Fig. 1.
Al final del árbol en un momento T (T también puede ser un parámetro), hay un costo total en cada nodo S(T ),
llamó a una “huelga” final en el lenguaje financiero. (Una huelga final también puede aparecer en cualquier nodo antes de T debido a
cancelación del proyecto utilizando un tipo particular de alternativa de horario.) Trabajando hacia atrás, opciones
se calculan en el momento t0. Los griegos (derivados funcionales de la opción) evalúan la sensibilidad a las diversas
variables, por ejemplo, como las discutidas en documentos anteriores [12], pero aquí entregamos números precisos basados en
la mayor cantidad de información del mundo real disponible.
Lester Ingber - 3 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
-1 -0,5 0 0,5 1
AAS (q = 0,1)
1/(2 * (abs(y) + q) * log(1 + 1/q))
Fig. 1. La distribución ASA se puede utilizar para desarrollar distribuciones asimétricas de rango finito
a partir de la cual se puede elegir un valor para un determinado estado de duración o coste. a) Un binario aleatorio
la distribución se selecciona para una media inferior o superior a la media, utilizando cualquier relación de probabilidades
seleccionado por el cliente. Cada lado de la media tiene su propia temperatura q. Aquí un ASA distri-
butión se da para q = 0,1. El rango se puede escalar a cualquier intervalo finito y la media
colocado dentro de este rango. b) Una distribución aleatoria uniforme selecciona un valor de [-1,1], y
un valor ASA normalizado se lee para el estado dado.
3. Datos
Los siguientes datos se utilizan para elaborar el Plan CPD. Cada tarea que tengo
a) un costo asignado previsto, Ci
b) un calendario previsto, Ti
c) un documento del programa del país con una anchura estadística de los fondos gastados, SWSi
d) una distribución con una anchura estadística de duración, SWTi
e) una gama de duraciones, RTi
f) una serie de costes, RSI
Es necesario prever las suposiciones de los expertos para las letras c) a f) del prototipo de estudio.
A giv en Plan debe ser construido entre todas las tareas, especificando el orden de las tareas, por ejemplo, obedeciendo a cualquier
Limitaciones secuenciales entre las tareas.
4. Tres conchas recursivas
4.1. Concha exterior
Puede haber varios parámetros en el Proyecto, por ejemplo, como coeficientes de variables en medios y varianzas de
otro departamento de policía. Estos están optimizados en una carcasa exterior utilizando ASA [8]. Este producto final, incluido
Los estados MULTI_MIN devueltos por ASA, dan al cliente flexibilidad para aplicar durante un proyecto completo [12]. Nosotros
puede desear minimizar el costo / T, o (CostOverrun - CostInitial) / T, etc.
Lester Ingber - 4 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
4.2. Concha intermedia
Para obtener el Plan CPD, un caparazón medio de los estados de Monte Carlo (MC) se generan a partir de recursivo
cálculos. Una Weibull o alguna otra distribución finita asimétrica puede ser utilizada para duraciones de tareas.
Para un estado de giv en el medio externo, un estado de MC tiene duraciones y desembolsos medios de costes definidos para
cada una de las tareas.
4.3. Concha interior
En cada momento, para cada tarea, el costo diferenciado ((Sik(t + dt) − Sik(t)) se somete a una cáscara interna
variación estocástica, por ejemplo, alguna distribución finita asimétrica. Los costes netos dSik(t) de cada proyecto i y
La tarea k se añade para definir dS(t) para el Plan. El costo interno de la cáscara CPD se vuelve a aplicar muchas veces para obtener un
conjunto de {dS} en cada momento.
5. Opciones reales
5.1. Opciones del plan
Una vez completado el muestreo MC externo, se generan histogramas de dS(t) del Plan y
dS(t)/S(t − dt) en cada momento t. Los histogramas se normalizan en cada momento para dar P(dS, t). En cada momento
t, los datos que representan P son “curve-fit” a la forma de Eq. (0), donde f y g son funciones necesarias para obtener
buen ajuste, por ejemplo, coeficientes de ajuste de los parámetros {x}
f = x f 0 + x f 1S + x f 2S
2 +..................................................................................................
g = xg0 + xg1S + xg2S
2 +..................................................................................................
En cada momento t, las funciones f y g se ajustan a la función ln((P(dS, t)), que incluye el prefactor
que contiene g y la función L que puede ser visto como un padé aproximado de estos polinomios.
Limitaciones complejas como funciones de Sik(t) pueden incorporarse fácilmente en este enfoque, por ejemplo, debido a la regularidad
exámenes realizados por agencias de financiación o ejecutivos. Estos P son entrada en PATHTREE para calcular las opciones para un
una estrategia o un plan dados.
5.2. Gestión de riesgos de las opciones de proyectos
Si se desea una cierta medida de riesgo entre los proyectos, entonces durante los cálculos de MC desarrollados para el top-
plan de nivel, conjuntos de costos diferenciados para cada proyecto, dSi(t) y dSi(t)/Si(t − dt), almacenados de cada uno de los
Tareas del proyecto. A continuación, se desarrollan histogramas y proyectos CPD, similares al desarrollo de la
Plan CPD. Se aplica un análisis de cópulas, codificado en TRD para la gestión de riesgos de los mercados financieros.
desarrollar un análisis de riesgo relativo entre estos proyectos [10]. En ese análisis, los CPD marginales del proyecto
todos se transforman en espacios gaussianos, donde tiene sentido calcular covarianzas y correlaciones.
Un rastro de auditoría de los espacios originales del Proyecto permite analizar el riesgo dependiente de las colas del Proyecto
Departamentos de policía.
6. Aplicaciones genéricas
ROPS se puede aplicar a cualquier programación compleja de tareas similares al proyecto FCS. La necesidad de
Los organismos gubernamentales encargados de planificar y supervisar esos proyectos de gran envergadura son cada vez más difíciles y
necesario [15]. Muchas grandes empresas tienen proyectos similares y requisitos similares para gestionar su
proyectos complejos.
Lester Ingber - 5 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
Bibliografía
[1] M. Bowman y L. Ingber, “Opciones reales para los futuros sistemas de combate del ejército estadounidense”, informe
2007:ROFCS, Lester Ingber Research, Ashland, OR, 2007.
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[5] R. Grose, ««Programación de proyectos con limitaciones de costes con duración de las tareas y costes que pueden aumentar
con el tiempo: Demostrado con los futuros sistemas de combate del Ejército de los Estados Unidos’, Tesis, Posgrado Naval
Escuela, Monterey, CA, 2004. [URL http://www.stormingmedia.us/75/7594/A759424.html]
[6] J.C. Hull, Opciones, Futuros y Otros Derivados, 4a Edición (Prentice Hall, Upper Saddle River,
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[7] L. Ingber, «Renanalización simulada muy rápida», Mathl. Comput. Modelado 12, 967-973 (1989).
[URL http://www.ingber.com/asa89_vfsr.pdf]
[8] L. Ingber, «Adaptive Simulated Annealing (ASA),» Código C de optimización global, Alumnos de Caltech
Asociación, Pasadena, CA, 1993. [URL http://www.ingber.com/#ASA-CODE]
[9] L. Ingber, «Mecánica estadística de las carteras de opciones», Informe 2002:SMPO, Lester Ingber
Investigación, Chicago, IL, 2002. [URL http://www.ingber.com/markets02_portfolio.pdf]
[10] L. Ingber, «Trading in Risk Dimensions (TRD),» Report 2005:TRD, Lester Ingber Research,
Ashland, OR, 2005.
[11] L. Ingber, C. Chen, R.P. Mondescu, D. Muzzall, y M. Renedo, ‘‘algoritmo de árbol de probabilidad para
procesos de difusión general,’ Phys. Rev. E 64, 056702-056707 (2001). [URL
http://www.ingber.com/path01_pathtree.pdf]
[12] K.J. Leslie y M.P. Michaels, ‘El verdadero poder de las opciones reales’, McKinsey Quarterly 4-22 (1997).
[http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK97_3.pdf]
[13] Oficina General de Contabilidad, ‘“Los riesgos futuros del sistema de combate subrayan la importancia de
Informe GAO-07-672T, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-
bin/getrpt?GAO-07-672T]
[14] Oficina General de Contabilidad, ‘Decisiones clave que deben tomarse sobre el futuro sistema de combate’, informe
GAO-07-376, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-
bin/getrpt?GAO-07-376]
[15] B. Wysocki, Jr, ‘¿Es el gobierno estadounidense ‘Externalizar su cerebro’?’, Wall Street Journal 30 de marzo, 1
(2007).
| Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS) tiene tres recursivo
Conchas de muestreo/optimización. Un revestimiento exterior adaptativo simulado (ASA)
shell optimiza los parámetros de los planes estratégicos que contienen múltiples
Proyectos que contienen tareas ordenadas. Una probabilidad de las muestras intermedias de la cáscara
distribuciones de duraciones de tareas. Una probabilidad de las muestras interiores de la cáscara
distribución de los costes de las tareas. PATHTREE se utiliza para desarrollar opciones sobre
los algoritmos utilizados para el trading en las dimensiones de riesgo (TRD) se aplican a
desarrollar un análisis de riesgo relativo entre los proyectos.
| Introducción
Este documento es una breve descripción de una metodología de opciones de desarrollo (en el sentido de opciones financieras,
por ejemplo, con todos los griegos), que se aplicará en colaboración con Michael Bowman, como primer ejemplo para
programando un proyecto masivo del Ejército de EE.UU., Future Combat Systems (FCS) [1].
El objetivo principal es desarrollar opciones reales para proyectos no financieros, como se ha señalado en otros anteriores.
documentos [3,4,12]. Los datos y algunas orientaciones sobre su uso han sido comunicados en un estudio previo de FCS [2,5].
Se ha hecho hincapié en la necesidad de contar con instrumentos para programar y fijar los precios de un proyecto tan complejo como éste.
Recomendaciones para la adopción de medidas ejecutivas en un informe de la Oficina General de Contabilidad de los Estados Unidos (GAO) sobre
FCS [14], y también hacen hincapié en la necesidad de gestión de los planes de negocio de FCS [13].
2. Objetivos
A giv en Plan resultados en S(t), el dinero asignado por el cliente/gobierno se define en términos de Proyectos
Si(t),
S(t) =
Si(t)
donde ai(t) puede ser algunas restricciones programadas. PATHTREE procesa un árbol de probabilidad desarrollado sobre
la vida del plan T, dividido en N nodos a veces {tn}, cada uno con la longitud media de la época dt [11]. Opciones
incluyendo a todos los griegos, familiarizados con los mercados financieros, se calculan para medios no lineales bastante arbitrarios y
varianzas del ruido multiplicativo [6,9]. Esta capacidad de procesar funciones no lineales en probabilidad
las distribuciones son esenciales para las aplicaciones del mundo real.
Cada tarea tiene una gama de duraciones, con Ai no cero, con un desembolso de fondos utilizados, definiendo Si(tn).
Cualquier tarea dependiente de una tarea completa es esclavizada a sus precursores.
Desarrollamos la densidad de probabilidad condicional del Plan (CPD) en términos de costos diferenciados, dS,
P(S ± dS; tn + dt S; tn)
P es modelado/casado/adaptado a la forma funcional
P(S ± dS; tn + dt S; tn) = (2η g
2 exp(−Ldt)
(dS − fdt)2
(2g2dt2)
donde f y g son función no lineal de costo S y tiempo t. La función de varianza g2 absorbe el múltiple
Coste de la tarea y programación de los spreads estadísticos, para determinar P(dS, t), dando lugar a la naturaleza estocástica de
dólares gastados en el Plan.
Un giv en Project i con Task k tiene una duración media iik, con un coste medio Sik. La difusión en dS tiene dos
componentes que surgen de: (1) una duración estocástica alrededor de la duración media, y (2) una propagación estocástica
de dólares medios alrededor de un desembolso determinista en un momento dado. Diferentes asimétricas de ancho finito
las distribuciones se utilizan para duraciones y costes. Por ejemplo, la distribución creada para Adaptive
Simulated Annealing (ASA) [8], originalmente llamado Very Fast Simulated Re-annealing [7], es un anaranjado finito
distribución con forma determinada por un parámetro “temperatura” q. Para cada estado (ya sea duración o
coste): (a) Una elección binaria aleatoria puede ser mayor o menor que la media, utilizando cualquier relación de
probabilidades seleccionadas por el cliente. (b) A continuación, se utiliza una distribución ASA en el lado elegido. Cada lado
tiene un q diferente, cada uno cayendo de la media. Esto se ilustra y se describe más adelante en la Fig. 1.
Al final del árbol en un momento T (T también puede ser un parámetro), hay un costo total en cada nodo S(T ),
llamó a una “huelga” final en el lenguaje financiero. (Una huelga final también puede aparecer en cualquier nodo antes de T debido a
cancelación del proyecto utilizando un tipo particular de alternativa de horario.) Trabajando hacia atrás, opciones
se calculan en el momento t0. Los griegos (derivados funcionales de la opción) evalúan la sensibilidad a las diversas
variables, por ejemplo, como las discutidas en documentos anteriores [12], pero aquí entregamos números precisos basados en
la mayor cantidad de información del mundo real disponible.
Lester Ingber - 3 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
-1 -0,5 0 0,5 1
AAS (q = 0,1)
1/(2 * (abs(y) + q) * log(1 + 1/q))
Fig. 1. La distribución ASA se puede utilizar para desarrollar distribuciones asimétricas de rango finito
a partir de la cual se puede elegir un valor para un determinado estado de duración o coste. a) Un binario aleatorio
la distribución se selecciona para una media inferior o superior a la media, utilizando cualquier relación de probabilidades
seleccionado por el cliente. Cada lado de la media tiene su propia temperatura q. Aquí un ASA distri-
butión se da para q = 0,1. El rango se puede escalar a cualquier intervalo finito y la media
colocado dentro de este rango. b) Una distribución aleatoria uniforme selecciona un valor de [-1,1], y
un valor ASA normalizado se lee para el estado dado.
3. Datos
Los siguientes datos se utilizan para elaborar el Plan CPD. Cada tarea que tengo
a) un costo asignado previsto, Ci
b) un calendario previsto, Ti
c) un documento del programa del país con una anchura estadística de los fondos gastados, SWSi
d) una distribución con una anchura estadística de duración, SWTi
e) una gama de duraciones, RTi
f) una serie de costes, RSI
Es necesario prever las suposiciones de los expertos para las letras c) a f) del prototipo de estudio.
A giv en Plan debe ser construido entre todas las tareas, especificando el orden de las tareas, por ejemplo, obedeciendo a cualquier
Limitaciones secuenciales entre las tareas.
4. Tres conchas recursivas
4.1. Concha exterior
Puede haber varios parámetros en el Proyecto, por ejemplo, como coeficientes de variables en medios y varianzas de
otro departamento de policía. Estos están optimizados en una carcasa exterior utilizando ASA [8]. Este producto final, incluido
Los estados MULTI_MIN devueltos por ASA, dan al cliente flexibilidad para aplicar durante un proyecto completo [12]. Nosotros
puede desear minimizar el costo / T, o (CostOverrun - CostInitial) / T, etc.
Lester Ingber - 4 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
4.2. Concha intermedia
Para obtener el Plan CPD, un caparazón medio de los estados de Monte Carlo (MC) se generan a partir de recursivo
cálculos. Una Weibull o alguna otra distribución finita asimétrica puede ser utilizada para duraciones de tareas.
Para un estado de giv en el medio externo, un estado de MC tiene duraciones y desembolsos medios de costes definidos para
cada una de las tareas.
4.3. Concha interior
En cada momento, para cada tarea, el costo diferenciado ((Sik(t + dt) − Sik(t)) se somete a una cáscara interna
variación estocástica, por ejemplo, alguna distribución finita asimétrica. Los costes netos dSik(t) de cada proyecto i y
La tarea k se añade para definir dS(t) para el Plan. El costo interno de la cáscara CPD se vuelve a aplicar muchas veces para obtener un
conjunto de {dS} en cada momento.
5. Opciones reales
5.1. Opciones del plan
Una vez completado el muestreo MC externo, se generan histogramas de dS(t) del Plan y
dS(t)/S(t − dt) en cada momento t. Los histogramas se normalizan en cada momento para dar P(dS, t). En cada momento
t, los datos que representan P son “curve-fit” a la forma de Eq. (0), donde f y g son funciones necesarias para obtener
buen ajuste, por ejemplo, coeficientes de ajuste de los parámetros {x}
f = x f 0 + x f 1S + x f 2S
2 +..................................................................................................
g = xg0 + xg1S + xg2S
2 +..................................................................................................
En cada momento t, las funciones f y g se ajustan a la función ln((P(dS, t)), que incluye el prefactor
que contiene g y la función L que puede ser visto como un padé aproximado de estos polinomios.
Limitaciones complejas como funciones de Sik(t) pueden incorporarse fácilmente en este enfoque, por ejemplo, debido a la regularidad
exámenes realizados por agencias de financiación o ejecutivos. Estos P son entrada en PATHTREE para calcular las opciones para un
una estrategia o un plan dados.
5.2. Gestión de riesgos de las opciones de proyectos
Si se desea una cierta medida de riesgo entre los proyectos, entonces durante los cálculos de MC desarrollados para el top-
plan de nivel, conjuntos de costos diferenciados para cada proyecto, dSi(t) y dSi(t)/Si(t − dt), almacenados de cada uno de los
Tareas del proyecto. A continuación, se desarrollan histogramas y proyectos CPD, similares al desarrollo de la
Plan CPD. Se aplica un análisis de cópulas, codificado en TRD para la gestión de riesgos de los mercados financieros.
desarrollar un análisis de riesgo relativo entre estos proyectos [10]. En ese análisis, los CPD marginales del proyecto
todos se transforman en espacios gaussianos, donde tiene sentido calcular covarianzas y correlaciones.
Un rastro de auditoría de los espacios originales del Proyecto permite analizar el riesgo dependiente de las colas del Proyecto
Departamentos de policía.
6. Aplicaciones genéricas
ROPS se puede aplicar a cualquier programación compleja de tareas similares al proyecto FCS. La necesidad de
Los organismos gubernamentales encargados de planificar y supervisar esos proyectos de gran envergadura son cada vez más difíciles y
necesario [15]. Muchas grandes empresas tienen proyectos similares y requisitos similares para gestionar su
proyectos complejos.
Lester Ingber - 5 - Opciones reales para los planes de proyectos (ROPS)
Bibliografía
[1] M. Bowman y L. Ingber, “Opciones reales para los futuros sistemas de combate del ejército estadounidense”, informe
2007:ROFCS, Lester Ingber Research, Ashland, OR, 2007.
[2] G.G. Brown, R.T. Grose y R.A. Koyak, ‘Estimando el costo total del programa a largo plazo,
tecnología, proyecto de alto riesgo con duraciones de tareas y costes que pueden aumentar con el tiempo,’ Militar
Investigación de Operaciones 11, 41-62 (2006). [URL
http://www.nps.navy.mil/orfacpag/resumePages/papers/Brownpa/Estimating_total_
programa_cost.pdf]
[3] T.E. Copeland y P.T. Keenan, ‘Hacer reales las opciones’, McKinsey Quarterly 128-141 (1998).
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http://www.oft.osd.mil/library/library_files/trends_205_transforma-
tion_trends_9_june%202003_issue.pdf]
[5] R. Grose, ««Programación de proyectos con limitaciones de costes con duración de las tareas y costes que pueden aumentar
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Escuela, Monterey, CA, 2004. [URL http://www.stormingmedia.us/75/7594/A759424.html]
[6] J.C. Hull, Opciones, Futuros y Otros Derivados, 4a Edición (Prentice Hall, Upper Saddle River,
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[7] L. Ingber, «Renanalización simulada muy rápida», Mathl. Comput. Modelado 12, 967-973 (1989).
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[8] L. Ingber, «Adaptive Simulated Annealing (ASA),» Código C de optimización global, Alumnos de Caltech
Asociación, Pasadena, CA, 1993. [URL http://www.ingber.com/#ASA-CODE]
[9] L. Ingber, «Mecánica estadística de las carteras de opciones», Informe 2002:SMPO, Lester Ingber
Investigación, Chicago, IL, 2002. [URL http://www.ingber.com/markets02_portfolio.pdf]
[10] L. Ingber, «Trading in Risk Dimensions (TRD),» Report 2005:TRD, Lester Ingber Research,
Ashland, OR, 2005.
[11] L. Ingber, C. Chen, R.P. Mondescu, D. Muzzall, y M. Renedo, ‘‘algoritmo de árbol de probabilidad para
procesos de difusión general,’ Phys. Rev. E 64, 056702-056707 (2001). [URL
http://www.ingber.com/path01_pathtree.pdf]
[12] K.J. Leslie y M.P. Michaels, ‘El verdadero poder de las opciones reales’, McKinsey Quarterly 4-22 (1997).
[http://faculty.fuqua.duke.edu/ ̃charvey/Teaching/BA456_2006/McK97_3.pdf]
[13] Oficina General de Contabilidad, ‘“Los riesgos futuros del sistema de combate subrayan la importancia de
Informe GAO-07-672T, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-
bin/getrpt?GAO-07-672T]
[14] Oficina General de Contabilidad, ‘Decisiones clave que deben tomarse sobre el futuro sistema de combate’, informe
GAO-07-376, GAO, Washington DC, 2007. [URL http://www.gao.gov/cgi-
bin/getrpt?GAO-07-376]
[15] B. Wysocki, Jr, ‘¿Es el gobierno estadounidense ‘Externalizar su cerebro’?’, Wall Street Journal 30 de marzo, 1
(2007).
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704.0091 | Groups with finitely many conjugacy classes and their automorphisms | GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN Y
SUS AUTOMÓRFICOS
ASHOT MINASYAN
Resumen. Combinamos métodos clásicos de teoría de grupos combinatoria con
la teoría de la pequeña cancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos para construir
grupos sin torsión finitamente generados que tienen sólo finitamente muchas clases de
conjugar elementos. Por otra parte, presentamos varios resultados relativos a la integración
nes en estos grupos.
Como otra aplicación de estas técnicas, demostramos que cada cuenta
grupo C se puede realizar como un grupo de automorfismos externos de un grupo N,
donde N es un grupo finitamente generado que tiene la propiedad de Kazhdan (T) y
que contiene exactamente dos clases de conjugación.
1. Introducción
Empezaremos con
Definición. Supongamos que n ≥ 2 es un entero. Diremos que un grupo M tiene el
propiedad (nCC) si hay exactamente n clases de conjugación de elementos en M.
Tenga en cuenta que un grupo M tiene (2CC) si y sólo si hay dos elementos no triviales
conjugado en M. Para dos elementos x, y de algún grupo G, escribiremos x
• y si x
y y son conjugados en G, y x
Y si no lo son.
Para un grupo G, denote por η(G) el conjunto de todos los órdenes finitos de elementos de G. A
El teorema clásico de G. Higman, B. Neumann y H. Neumann ([8]) afirma que
cada grupo contable G puede ser incrustado en un contable (pero infinitamente gen-
grupo M, en el que se conjugan dos elementos del mismo orden y
η(M) = η(G).
Para cualquier entero n ≥ 2, tome G = Z/2n−2Z e incruste G en un grupo contable
M según el teorema de arriba. A continuación, tarjeta(l(M)) = tarjeta(l(G)) = n − 1.
Puesto que, además, M siempre contendrá un elemento de orden infinito, el teorema
de Higman-Neumann-Neumann implica que G ha (nCC).
Otra forma de construir grupos infinitos con muchas clases de conjugación finitamente
fue sugerido por S. Ivanov [15, Thm. 41,2], que mostró para cada lo suficientemente grande
prime p hay un infinito 2-generado groupMp de exponente p poseyendo exactamente p
clases de conjugación. El groupMp se construye como un límite directo de la palabra hiperbólica
grupos, y, como se indica en [21], es imposible obtener un grupo infinito con (2CC)
de la misma manera.
En el reciente artículo [21] D. Osin desarrolló una teoría de la pequeña cancelación sobre
grupos relativamente hiperbólicos y lo utilizaron para obtener el siguiente resultado notable:
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 20F65, 20E45, 20F28.
Palabras y frases clave. Clases de Conjugación, Grupos Relativamente Hiperbólicos, Auto-
Grupos de phism.
Este trabajo contó con el apoyo de la Fundación Nacional Suiza para la Ciencia, Subvención #PP002-68627.
http://arxiv.org/abs/0704.0091v2
2 ASHOT MINASYAN
Teorema 1.1 ([21], Thm. 1.1). Cualquier grupo contable G puede ser incrustado en un
Grupo M 2-generado de tal manera que cualesquiera dos elementos del mismo orden son conjugados
En M y en M η(M) = η(G).
Aplicando este teorema al grupo G = Z/2n−2Z uno puede mostrar que para cada uno
número entero n ≥ 2 existe un grupo de 2 generaciones con (nCC). Y cuando n = 2 nos
Obtener un grupo libre de torsión 2 generados que tiene exactamente dos clases de conjugación.
La presencia de elementos de orden finito en las construcciones anteriores fue impor-
tant, porque si dos elementos tienen órdenes diferentes, nunca pueden ser conjugados.
Por lo tanto, naturalmente, uno puede preguntar lo siguiente
Pregunta 1. ¿Existen grupos libres de torsión (generados finalmente) con (nCC),
para cualquier entero n ≥ 3?
Tenga en cuenta que si G es el grupo generado finitamente con (2CC) construido por Osin,
entonces la potencia directa m-th Gm de G es también un grupo sin torsión finitamente generado
que satisface (2mCC). Pero ¿qué pasa si queremos lograr un grupo libre de torsión con
(3CC)? Con este propósito se podría llegar a
Pregunta 2. Supongamos que G es un grupo libre de torsión contable y x, y G son
no conjugar. ¿Es posible incrustar G en un groupM, que tiene (3CC), de modo que
x e y permanecer sin conjugar en M?
Desafortunadamente, la respuesta a la pregunta 2 es negativa como el siguiente ejemplo:
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ejemplo 1. Considere el grupo
(1.1) G1 = a, t tat
−1 = a−1
que es isomórfico al producto semidirecto no trivial Z Z. Tenga en cuenta que G1 es
sin torsión, y t no se conjuga a t−1 en G1 porque t t
−1 en el infinito
grupo cíclico â € € TM que es canónicamente isomórfico al cociente de G1 por el normal
cierre de una. Sin embargo, si G1 está integrado en un grupo M (3CC), es fácil de ver
que cada elemento de M se conjugará a su inversa (de hecho, si y M \ {1}
y y
y−1 entonces y
# A-1, para algunos # # # 1, # 1 #, por lo tanto y #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
contradicción). En particular, t
• t−1.
Se puede dar un análogo del ejemplo anterior para cada n ≥ 3 – ver Sección 3. Esto
ejemplo muestra que, para obtener un resultado positivo, uno tendría que fortalecer
las suposiciones de la pregunta 2.
Deja que G sea un grupo. Se dice que dos elementos x, y G son commensurables si hay
existen k, l • Z \ {0} de tal manera que xk es conjugado a yl. Usaremos la notación x
si x e y son commensurables en G. En el caso de que x no es commensurable con
Y escribiremos x
6o y. Observar que la conmensurabilidad, así como la conjugación, define
una relación de equivalencia sobre el conjunto de elementos de G. Es algo sorprendente que
si se sustituyen las palabras “no-conjugar” por las palabras “no-commensurable” en
Pregunta 2, la respuesta se vuelve positiva:
Corollary 1.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n + N, n ≥ 2,
y x1,. .................................................................. Entonces existe un
el grupo M y un homomorfismo inyector : G→M tal que
1. M es libre de torsión y se genera por dos elementos;
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 3
2. M ha (nCC);
3. M es 2-boundedly simple;
4. los elementos فارسى(x1),. ....(xn−1) son no commensurables por pares en M.
Recordemos que se dice que un grupo G es k-boundedly simple si para cualquier x, y G \ {1}
existen l ≤ k y g1,. ..., gl • G de tal manera que x = g1yg
1 · · · glyg
l en G. Un grupo
se llama limitedly simple si es k-boundedly simple para algunos k N. Evidentemente
cada grupo limitadamente simple es simple; lo contrario no es cierto en general. Por
ejemplo, el grupo de alternancia infinita A...........................................................................................................................................................................................................................................................
porque la conjugación preserva el tipo de descomposición de una permutación en
un producto de ciclos. Los primeros ejemplos de sin torsión finitamente generada delimitadamente
grupos simples fueron construidos por A. Muranov (véase [12, Thm. 2], [13, Thm. 1]).
El corolario 1.2 es una consecuencia inmediata de un teorema más general 3.5 que
se demostrará en la sección 3.
Aplicando el corolario 1.2 al grupo G = F (x1,. .., xn−1), que es libre en el
set {x1,. .., xn−1}, y sus elementos no comparables x1,. .., xn−1, obtenemos un
Respuesta positiva a la pregunta 1:
Corollary 1.3. Para cada entero n ≥ 3 existe un 2-boundedly libre de torsión
grupo simple satisfactorio (nCC) y generado por dos elementos.
(En el caso de que n = 2 la declaración anterior fue obtenida por Osin en [21,
Cor. 1.3].) De hecho, para cualquier grupo H (generado finalmente) libre de torsión podemos establecer
G = H ∗ F (x1,. .., xn−1), y luego utilizar el corolario 1.2 para incrustar G en un grupo M
disfrutar de las propiedades 1 - 4 de su reclamación. Puesto que hay un continuum de par
Grupos libres de torsión no isomórficos ([4]), y un grupo generado finitamente
puede contener como máximo muchos de los diferentes subgrupos de 2 generaciones, esto muestra
que debe haber continuamente muchos grupos no isomórficos por pares satisfactorios
propiedades 1− 3 del corolario 1.2.
Recuerde que el rango de rango (G) de un grupo G es el número mínimo de elementos re-
demanda para generar G. En la Sección 4 mostramos cómo la teoría clásica de las extensiones HNN
permite construir diferentes incrustaciones en grupos (infinitamente generados) que tienen
finitamente muchas clases de elementos conjugados, y en la Sección 5 utilizamos los resultados de Osin
(de [21]) con respecto a los cocientes de grupos relativamente hiperbólicos para demostrar
Teorema 1.4. Que H sea un grupo contable libre de torsión y que M H sea un no-
subgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un sin torsión
grupo Q, que posee un subgrupo normal N Q, tal que
• Q = H ·N y H •N =M (de ahí Q/N = H/M);
• N tiene (2CC);
• x, y Q \ {1}, x
Si y sólo si (x)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
es el homomorfismo natural;
• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.
Este teorema implica que si Q/N = H/M tiene exactamente (n− 1) clases de conjugación
(por ejemplo, si es finito), entonces el grupo Q tendrá (nCC) y no será simple
(si n ≥ 3). Por lo tanto, se puede utilizar para construir grupos (nCC) de una manera recursiva.
También permite obtener incrustaciones de grupos libres de torsión contables en (nCC)-
grupos, que no pudimos conseguir usando el corolario 1.2. Por ejemplo, como vimos en
Ejemplo 1, el grupo fundamental de la botella Klein G1, dado por (1.1), no puede
estar incrustado en un grupo M (3CC) de modo que t
t−1. Sin embargo, con 4 conjugaciones
4 ASHOT MINASYAN
clases esto ya es posible: ver corolario 5.5 en la sección 5. La idea es como
a continuación: el grupo G1 puede ser mapeado en Z/3Z de tal manera que las imágenes de
los elementos t y t−1 son distintos. Que M sea el núcleo de este homomorfismo.
Uno puede aplicar el Teorema 1.4 al par (G1,M) para obtener la incrustación requerida
de G1 en un grupo Q. Y como Z/3Z tiene exactamente 3 clases de conjugación, el grupo
Q tendrá (4CC).
Una aplicación de Teorema 1.4 al caso cuando H = Z y M = 2ZH también
proporciona una respuesta afirmativa a una pregunta de A. Izosov de [9, Q. 11,42], preguntando
si existe un grupo Q libre de torsión (3CC) que contenga un subgrupo normal
N del índice 2.
El objetivo de la segunda parte de este artículo es mostrar que cada grupo contable
puede ser realizado como un grupo de automorfismos externos de algunos finitamente generados (2CC)-
grupo. Este problema tiene algunos antecedentes históricos: en [11] T. Matumoto demostró
que cada grupo es un grupo de automorfismos externos de algún grupo (en contraste,
hay grupos, por ejemplo, Z, que no son grupos de automorfismo completo de ningún grupo); M.
Droste, M. Giraudet, R. Göbel ([7]) demostraron que para cada grupo C existe
un grupo simple S tal que Out(S) = C; I. Bumagina y D. Sabio en [3] probó
que cada grupo contable C es isomórfico a Out(N) donde N es un 2-generado
subgrupo de un grupo contable C′(1/6), y si, además, C se presenta finitamente
entonces uno puede elegir N para ser residualmente finito.
En la Sección 6 establecemos algunas declaraciones útiles sobre los caminos en el Cayley
gráfico de un grupo relativamente hiperbólico G, y aplicarlos en la sección 7 para obtener
pequeños cocientes de cancelación de G que cumplen ciertas condiciones. Por último, en la sección
8 probamos lo siguiente:
Teorema 1.5. Que C sea un grupo contable arbitrario. Entonces por cada no-elemen-
Sin torsión tardía palabra hiperbólica grupo F1 existe un grupo libre de torsión N sat-
isfiting las siguientes propiedades:
• N es un cociente de F1 de 2 generaciones;
• N tiene (2CC);
• Fuera (N) = C.
La principal diferencia entre este teorema y el resultado de [3] es que
El grupo N está libre de torsión y es simple. Por otra parte, si se aplica Teorema 1.5 a la
caso cuando F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión con la propiedad de Kazhdan (T) (y
recuerda que cada cociente de un grupo con la propiedad (T) también tiene (T)), uno conseguirá
Corollary 1.6. Para cualquier grupo contable C hay un grupo N de 2 generaciones tales
que N tiene (2CC) y la propiedad de Kazhdan (T), y Out(N) C.
La razón por la propiedad de Kazhdan (T) es interesante en este contexto es el
pregunta de [6, p. 134] que preguntó si existen grupos que satisfagan
propiedad (T) y tienen infinitos grupos de automorfismo externo (puede ser motivado
por un teorema de F. Paulin [22] que afirma que el grupo de automorfismo exterior es
finito para cualquier grupo hiperbólico palabra con la propiedad (T)). Respuestas positivas a esto
la pregunta fue obtenida (utilizando diferentes métodos) por Y. Ollivier y D. Wise [14],
Y. de Cornulier [5], e I. Belegradek y D. Osin [2]. Corollary 1.6 no sólo
muestra que el grupo de automorfismos externos de un grupo N con la propiedad (T)
puede ser infinito, pero también demuestra que no hay ninguna restricción en
Fuera (N).
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 5
Agradecimientos. El autor desea agradecer a D. Osin su fructífera labor.
Golpes y estímulos.
2. Grupos relativamente hiperbólicos
Supongamos que G es un grupo, {H es una colección fija de subgrupos de G (llamado
subgrupos periféricos), y X es un subconjunto de G. El subconjunto X se llama
generar el conjunto de G con respecto a {H si G es generado por X
H/23370/. In
este caso G un cociente del producto libre
F = (H/23370/) ∗ F (X ),
donde F (X ) es el grupo libre con base X. Dejar R ser un subconjunto de F tal que el
núcleo del epimorfismo natural F → G es el cierre normal de R en el grupo
F ; entonces diremos que G tiene una presentación relativa
(2.1) X, H R = 1, R + R®.
Si los conjuntos X y R son finitos, se dice que la presentación relativa (2.1) es finita.
Conjunto H =
(H/23370/ \ {1}). Se dice que una presentación relativa finita (2.1) satisface un
desigualdad isoperimétrica relativa lineal si existe C > 0 tal que, por cada palabra
w en el alfabeto X â € ¢ H (por conveniencia, vamos a asumir aún más que X−1 = X )
representa la identidad en el grupo G, uno tiene
f−1i R
i fi,
con igualdad en el grupo F, donde Ri-R, fi-F, para i = 1,...................................................................................................................................................................................................................................................
donde la palabra "w" es la longitud de la palabra "w".
La siguiente definición se debe a Osin (véase [20]:
Definición. el grupo G se llama hiperbólico relativo a (la
subgrupos) {H, si G admite una presentación relativa finita (2.1) satisfaciendo un
desigualdad isoperimétrica relativa lineal.
Esta definición es independiente de la elección del conjunto de generación finita X y
el conjunto finito R en (2.1) (véase [20]). También quisiéramos señalar que, en general,
no requiere que el grupo G se genere finitamente, lo que será importante en
Este periódico. La definición implica inmediatamente los siguientes hechos básicos:
Observación 2.1 ([20]). a) Que {H sea una familia arbitraria de grupos. Entonces el
producto libre G = H♥ será hiperbólico relativo a {H.
(b) Cualquier palabra grupo hiperbólico (en el sentido de Gromov) es relativo hiperbólico
a la familia 1o, donde {1} denota el subgrupo trivial.
Recuerde que un grupo H se llama elemental si tiene un subgrupo cíclico de finito
índice. Más adelante en esta sección asumiremos que G es un grupo no elemental
hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H.
Un elemento g G se dice que es parabólico si se conjuga a un elemento de H
para un poco de """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" De lo contrario g se dice que es hiperbólico. Dado un subgrupo S ≤ G,
denotar por S0 el conjunto de todos los elementos hiperbólicos de S de orden infinito.
Lemma 2.2 ([17], Thm. 4.3, Cor. 1.7). Por cada g de G0 las siguientes condiciones:
Espera.
6 ASHOT MINASYAN
1) El elemento g está contenido en un subgrupo elemental máximo único EG(g)
de G, donde
2.2) EG(g) = {f) G : fg
nf−1 = g±n para algunos n+N}.
2) El grupo G es hiperbólico en relación con la colección {H {EG(g)}.
Recordemos que un subgrupo no trivial H ≤ G se llama no normal si por cada g
G \H, H • gHg−1 = {1}. El siguiente lema es un caso especial de Teorema 1.4 de
[20]:
Lemma 2.3. Para cualquiera de los siguientes tipos de productos, la intersección de los productos de la sección H y de los productos de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y de la sección G de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y la sección G de la sección G de la sección H y la sección G de la sección G de la sección G de la sección G de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección
−1 es
finito. En caso de que se produzca un cambio de dirección en la dirección de la dirección del vehículo, la dirección del vehículo deberá indicarse en la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo y en la dirección de la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo.
−1 es finito. In
En particular, si G está libre de torsión, entonces He es anormal (siempre que He 6 = {1}).
Lemma 2.4 ([20], Thm. 2.40). Supongamos que un grupo G es relativo hiperbólico
a una colección de subgrupos {H {S1,. .., Sm}, donde S1,. .., Sm son palabra
hiperbólico (en el sentido ordinario no-relativo). Entonces G es hiperbólico relativo a
{H.
Lemma 2.5 ([19], Cor. 1.4). Let G ser un grupo que es hiperbólico relativo a un
recogida de subgrupos {H {K}. Supongamos que K se genera finitamente y
Hay un monomorfismo α : K → H v para algunos ν. Luego la extensión HNN
G, t txt−1 = α(x), x â € € € TM es hiperbólico con respecto a {H.
En [21] Osin introdujo la siguiente noción: un subgrupo S ≤ G es adecuado si
existen dos elementos g1, g2 + S
0 tales que g1
6-g2 y EG(g1)-EG(g2) = {1}.
Para cualquier S ≤ G con S0 6 =
2.3 EG(S) =
EG(g)
que es obviamente un subgrupo de G normalizado por S. Tenga en cuenta que EG(S) = {1} si la
El subgrupo S es adecuado en G. Como se muestra en [1, Lemma 3.3], si S no es elemental
y S0 6= فارسى entonces EG(S) es el subgrupo finito máximo único de G normalizado por
Lemma 2.6. Dejar {H ser una familia de grupos y dejar que F sea una torsión libre de no-
palabra elemental grupo hiperbólico. Entonces el producto libre G = (H♥) * F es
hiperbólico relativo a {H y F es un subgrupo adecuado de G.
Prueba. De hecho, G es hiperbólico relativo a {H por Observación 2.1 y Lemma
2.4. Dado que F no es elemental, hay elementos de orden infinito x, y F tales
que x
(véase, por ejemplo, [16, Lemma 3.2]). Evidentemente, x e y son hiperbólicos
elementos de G que no son comparables entre sí, y los subgrupos
EG(x) = FE (x) ≤ F, EG(y) = FE (y) ≤ F son cíclicos (como subgrupos elementales de una
grupo libre de torsión). Por lo tanto EG(x) • EG(y) = {1}, y por lo tanto F es adecuado en G.
Lemma 2.7 ([21], Lemma 2.3). Supongamos que G es un grupo hiperbólico relativo a un
familia de subgrupos {H y S ≤ G es un subgrupo adecuado. Entonces uno puede encontrar
infinitamente muchos elementos no commensurables (en G) g1, g2, · · · S
0 de los cuales:
que EG(gi) • EG(gj) = {1} para todos los i 6= j.
El siguiente teorema fue probado por Osin en [21] utilizando la teoría de la pequeña
cancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos, y representa nuestra herramienta principal para
la obtención de nuevos cocientes de estos grupos con una serie de propiedades prescritas:
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 7
Teorema 2.8 ([21], Thm. 2.4). Dejar G ser un grupo sin torsión hiperbólico relativo a
una colección de subgrupos {H, dejar que S sea un subgrupo adecuado de G, y dejar que T, U
ser subconjuntos finitos arbitrarios de G. Entonces existe un grupo G1 y un epimorfismo
η : G→ G1 tales que:
i) La restricción de η a
U es inyector, y el grupo G1 es hy-
perbólica relativa a la colección (H♥);
(ii) por cada T, tenemos η(t) η(S);
iii) η(S) es un subgrupo adecuado de G1;
iv) El G1 está exento de torsión;
(v) el núcleo ker(η) de η es generado (como subgrupo normal de G) por un finito
colección de elementos pertenecientes a T · S.
Hemos cambiado ligeramente la formulación original del teorema anterior de
[21], exigiendo la inyectividad en V =
U (en lugar de justo
H/23370/)
y añadiendo el último punto relativo a los generadores del núcleo. Esta última
se desprende de la forma explícita de las relaciones, impuestas a G (véase la prueba de
Thm. 2.4 en [21]), y el primero – de la parte 2 de Lemma 5.1 en [21] y el hecho
que cualquier elemento de V tiene longitud (en el alfabeto X + H) como máximo N, donde
N = máx.
3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente
Lemma 3.1. Dejar que G sea un grupo y dejar que x1, x2, x3, x4 G sean elementos de orden infinito
tal que x1
xi, i = 2, 3, 4. Let H = G, t tx3t
−1 = x4® ser la extensión HNN
de G con subgrupos cíclicos asociados generados por x3 y x4. Entonces x1
6° x2.
Prueba. Argumentando por contradicción, asumir que hxl1h
−1xm2 = 1 para algunas h • H,
l,m Z \ {0}. El elemento h tiene una presentación reducida del formulario
h = g0t
1g1t
2 libras esterlinas. .....................................................................................................................
donde g0,. ............................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................
gj/ x3° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j > 0, j+1 < 0
gj/ x4° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j < 0, j+1 > 0
Por los supuestos, x1
6o x2 por lo tanto k ≥ 1, y en el grupo H tenemos
(3.1) hxl1h
−1xm2 = g0t
1g1t
2 libras esterlinas. .......................................................................................................................................................................................
k. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
1 gœ0 = 1,
donde g0 = g
2 G. Por Britton’s Lemma (véase [10, IV.2]), el lado izquierdo
en (3.1) no se puede reducir, y esto sólo puede suceder si gkx
k pertenece a cualquiera de los dos
* x 3 o x 4 en G, lo que contradice las suposiciones. Por lo tanto, el lema es
probado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición. Supongamos que G es un grupo y Xi G, i I, es una familia de subconjuntos.
Diremos que Xi, yo, soy independiente si ningún elemento de Xi es commensurable.
con un elemento de Xj siempre que i 6= j, i, j+ I.
Lemma 3.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n+ N, n ≥ 2, y
Los subconjuntos no vacíos Xi G \ {1}, i = 1,...., n− 1, son independientes en G. Entonces G
puede ser (isomórficamente) incrustado en un grupo libre de torsión M
forma en que M tiene (nCC) y los subconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecen independientes en
8 ASHOT MINASYAN
Prueba. Para cada i = 1,...., n− 1, fijar un elemento xi â € Xi. Primero incrustamos G en un
grupo G1 libre de torsión contable de tal manera que para cada elemento no trivial g G allí
exist i {1,............................................................................................................................................................................................................................................................
−1 = xj en G1, y los subconjuntos Xi,
i = 1,...., n− 1, permanecer independiente en G1.
Let g1, g2,. .. ser una enumeración de todos los elementos no triviales de G. Conjunto G(0) = G
y supongamos que ya hemos construido el grupo G(k), que contiene G, así que
que para cada l {1,...........................................................................................................................................................................................................................................................
conjugado en G(k) a xj, y Xi, i = 1,...., n− 1, son independientes en G(k).
Supongamos, al principio, que gk+1 es commensurable en G(k) con un elemento de Xj
para un poco de j. Entonces gk+1
6° h por cada h °
i=1,i6=j
Xi. Definir G(k + 1) como la
Extensión de HNN â ¬ G(k), tk+1 â ¬ tk+1gk+1t
k+1 = xjÃ3. Por Lemma 3.1 los subconjuntos Xi,
i = 1,...., n− 1, permanecerá independiente en G(k + 1).
Así podemos asumir que gk+1 no es commensurable con ningún elemento de
i=1 Xi en G(k). Según las hipótesis de inducción se puede aplicar Lemma 3.1
a la extensión HNN
G(k + 1) = + G(k), tk+1 + tk+1gk+1t
k+1 = x1
para ver que los subconjuntos Xi-G ≤ G(k + 1), i = 1,...., n − 1, son independientes en
G(k + 1).
Ahora, setG1 =
k=0G(k). Evidentemente G1 tiene las propiedades requeridas. En el mismo
de manera, se puede incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2 para que cada no-
elemento trivial de G1 se conjugará a xi en G2, para algunos i • {1,....., n − 1},
y los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, continúan siendo independientes en G2.
Procediendo así obtenemos el grupo deseadoM =
s=1Gs. Por la construcción...
tion, M es un grupo contable libre de torsión que tiene exactamente n clases de conjugación:
[1], [x1],. ., [xn−1]. Los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, son independientes en M porque
son independientes en Gs para cada s â € N.
Corolario 3.3. En Lemma 3.2 se puede añadir que el groupM es 2-boundedly simple.
Prueba. Dejar un grupo contable sin torsión G y sus subconjuntos independientes no vacíos
Xi, i = 1,..., n− 1, sea como en Lemma 3.2. Let F = F (a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1) ser
el grupo libre con el conjunto de generación libre {a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1}, y considerar
Para cada i = 1,..................................................................................................................................
X̄i = Xi {ai, a
j = 1,.............................................................................................................................................................................................................................................................
donde [aj, bi] = ajbia
i. Uso de las propiedades universales de los grupos libres y libres
productos uno puede ver fácilmente que los subconjuntos X̄i, i = 1,...., n− 1, son independientes
en â € € TM.
Ahora aplicamos Lemma 3.2 para encontrar un grupo libre de torsión (nCC) M, con-
...............................................................................................................................................................................................................................................................
implica que para cualquier i dado = 1,...., n− 1, cualesquiera dos elementos de X̄i se conjugan en
M. Para x arbitrario, y M \ {1} existen i, j {1,....., n − 1} de tal manera que x
y y
# AJ. # Si i = j entonces x
- Sí. De lo contrario, y
• a−1j y x
[aj, bi] que
es un producto de dos conjugados de aj, y, por lo tanto, de y. Por lo tanto, el grupo M es
2-boundedly simple, y desde G ≤ ≤ ≤ M, el corolario se demuestra. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 9
A continuación se muestra un caso particular (libre de torsión) de un teorema demostrado por Osin en [21, Thm.
2.6]:
Lemma 3.4. Cualquier grupo libre de torsión S puede ser integrado en un 2-generado
grupo M de modo que S es anormal en M y cada elemento de M se conjuga a un
elemento de S en M.
Prueba. Después de la prueba de Osin de Teorema 2.6 de [21], vemos que el requerido
grupo M se puede construir como un límite inductivo de grupos relativamente hiperbólicos
G(i), i+N. Más precisamente, un conjunto G(0) = S* F2, donde F2 es un grupo libre de
rango 2, +0 = idG(0) : G(0) → G(0), y para cada i +N se construye un grupo
G(i) y un epimorfismo : G(0) → G(i) de modo que i es inyector en S, G(i) es
libre de torsión e hiperbólico en relación con i(S)}, y i factores a través de i−1. Los
El grupo M se define como el límite directo de (G(i), i) como i →, es decir, Q = G(0)/N
donde N =
N ker(i). Por Lemma 2.3, i(S) es anormal en G(i), por lo tanto la
la imagen de S también será anormal en M.
Teorema 3.5. Que G sea un grupo contable libre de torsión, n + N, n ≥ 2, y no-
Los subconjuntos vacíos Xi G \ {1}, i = 1,...., n − 1, ser independiente en G. Entonces G puede
estar incrustado en un grupo libre de torsión M de 2 generaciones que tiene (nCC), de modo que el
subconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecer independiente en M. Además, se puede elegir M
ser 2-boundedly simple.
Prueba. En primer lugar, de acuerdo con el corolario 3.3, podemos incrustar el grupo G en un contable
grupo S libre de torsión tal que S tiene (nCC) y es 2-boundedly simple, y Xi,
i = 1,...., n − 1, son independientes en S. En segundo lugar, aplicamos Lemma 3.4 para encontrar la
Grupo M de su reclamación. Elegir cualquier i, j • {1,....., n − 1}, i 6= j, y
x Xi, y Xj. Si x e y fueran commensurables en M, la malnormalidad de S sería
implica que x e y deben ser commensurables en S, contradiciendo la construcción.
Por lo tanto Xi, i = 1,..., n − 1, son independientes en M. Puesto que cada elemento de M es
conjugado a un elemento de S, es evidente que M tiene (nCC), es libre de torsión y
2-boundedly simple. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.6. Una prueba más directa de Teorema 3.5, no utilizando Lemma 3.4, puede ser
extraída de la prueba del Teorema 5.1 (véase la sección 5), aplicada al caso cuando
H = M.
Es fácil ver que el teorema 3.5 implica inmediatamente corolario 1.2 que fue
formulado en la Introducción. Como se prometió, ahora damos un contraejemplo a
Pregunta 2 (formulada en la introducción) para cualquier n ≥ 3.
Ejemplo 2. Dejar G2 = a, t tat
−1 = a2® ser el grupo Baumslag-Solitar BS(1, 2).
EntoncesG2 es libre de torsión, y los elementos t
2, t4,. .., t2
son pares no conjugados
en G2 (ya que esto se mantiene en el cociente de G2 por el cierre normal de a). Supón
que G2 está integrado en un grupo M que tiene (nCC) de modo que t
2, t4,. .., t2
par no conjugar en M. Luego t2,. .., t2
es la lista de representantes de todos
clases de conjugación no trivial de M. Por lo tanto existen k, l • {1,....., n− 1} tales
que t
y a
. En consecuencia
y t2
por lo tanto k = l = n− 1 según los supuestos. Pero esto da resultados.
n−1 M
* t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2
10 ASHOT MINASYAN
lo que implica que t2
T4, lo que contradice nuestras suposiciones.
Por lo tanto, G2 no puede integrarse en un grupo M (nCC) de tal manera que
t2,. .., t2
permanecer por pares no conjugados en M.
4. Subgrupos normales con (nCC)
Si M es un subgrupo normal de un grupo H, H actúa naturalmente sobre M por
Jugación. Diremos que esta acción preserva las clases de conjugación de M si
cualquier h H y a M existe b M de tal manera que hah−1 = bab−1.
Lemma 4.1. Que G sea un grupo libre de torsión, N G y x1,. ..............................................................
ser elementos no commensurables (en G) por pares. Entonces existe una partición
N \ {1} =
k=1Xk de N \ {1} en una unión (disjunta) de subconjuntos G-independientes
X1,. ................................................. Además, cada subconjunto Xk
será invariante bajo conjugación por elementos de G.
Prueba. Desde
Se trata de una relación de equivalencia en Gâ 1}, se puede encontrar la correspondiente
descomposición: G \ {1} =
JJ Yj, donde Yj es una clase de equivalencia para cada JJ.
Para cada k = 1,..., l, existe j(k) • J de tal manera que xk • Yj(k). Tenga en cuenta que
j(k) 6= j(m) si k 6= m desde xk
6° xm.
Nota J ′ = J \ {j(1). ...............................................................
X1 = Yj(1) N,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Yj N.
Evidentemente N+1} =
k=1Xk, X1,. .., Xl son subconjuntos independientes de G y xk Xk
para cada k = 1,...., l. La propiedad final sigue de la construcción ya que para cualquier
a G y j J tenemos aYja
−1 = Yj y aNa
−1 = N.
Lemma 4.2. Para cada grupo contable C y cada n+N, n ≥ 2, existe un
grupo H libre de torsión contable que tiene un subgrupo normal M H tal que
i) M satisface (nCC);
ii) El M es 2 veces simple;
iii) la acción natural de H sobre M preserva las clases de conjugación de M;
iv) H/M = C.
Prueba. Que H ′0 sea el grupo libre de rango contable infinito. Elegir N
0 para que
H ′0/N
• C. Let F = F (x1,. .., xn−1) denotan el grupo libre libremente generado por
x1,. .., xn−1. Definir H0 = H
0 ∗ F y dejar que N0 sea el cierre normal de N
0 â € F en
H0. Evidentemente, H0/N0 = H
= C y los elementos x1,. ..................................................................................................
par de no-commensurable en H0.
Por Lemma 4.1, se puede elegir una partición de N0 \ {1} en la unión de H0-
subconjuntos independientes:
N0 \ {1} =
de modo que xk X0k para cada k = 1,...., n− 1.
Por corolario 3.3 existe un grupo sencillo sin torsión de dos límites
M1 con la propiedad (nCC) que contiene una copia de N0, tal que los subconjuntos X0k,
k = 1, 2,...., n − 1, son independientes en M1. Nota por H1 = H0 ∗N0 M1
producto amalgamado de H0 y M1 a lo largo de N0, y dejar que N1 sea el cierre normal
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 11
de M1 en H1. Tenga en cuenta que H1 es libre de torsión como un producto amalgamado de dos
grupos libres de torsión ([10, IV.2.7]).
Tenemos que verificar que los elementos x1,. .., xn−1 son pares no-commen-
asegurable en H1. De hecho, si un â ¬ X0k y b â ¬ X0l, k 6= l, se conjugan en H1 entonces
debe existir y1,. ............................................................................................................... ...................................................................................
z0y1 · · zt−1ytztaz
t−1 · · · y
Supongamos que t es mínimo posible con esta propiedad. Como conjugación por elementos
de H0 conserva X0k y X0l, podemos asumir que z0, zt = 1. Por lo tanto
y1z1 · · · zt−1ytay
t−1 · · · z
−1 H1= 1.
Por las propiedades de los productos amalgamados (véase [10, Ch. IV]), el lado izquierdo
en esta igualdad no se puede reducir, en consecuencia
t N0 \ {1} =
k=1 X0k.
Pero entonces ittay
t X0k por las propiedades de M1, contradiciendo la minimalidad de t.
Por lo tanto, hemos demostrado que xk
6° xl cuando k 6= l.
Supongamos que el grupoHi = Hi−1*Ni−1Mi, i ≥ 1, ya ha sido construido,
para que
0) Hi es contable y libre de torsión;
1) Ni−1 Hi−1;
2) Hi−1 = H0 ·Ni−1 y H0 •Ni−1 = N0;
3) Mi satisface (nCC);
4) x1,. .., xn−1 no son comparables en pareja en Hi.
Deja que Ni sea el cierre normal de Mi in Hi. Debido a la condición 4) y
Lemma 4.1, se puede encontrar una partición de Ni \ {1} en una unión de Hi-independiente
subconjuntos:
Ni \ {1} =
de modo que xk Xik para cada k = 1,...., n − 1. Por Lemma 3.2 hay una cuenta
grupo un Mi+1, con (nCC), que contiene una copia de Ni, en el que los subconjuntos Xik,
i = 1,...., n− 1, permanecen independientes. Set Hi+1 = Hi ∗Ni Mi+1. Ahora, es fácil de
verificar que los análogos de las condiciones 0)-3) mantienen para Hi+1 y
(4.1) Ni−1 ≤Mi ≤Ni ≤Mi+1.
El análogo de la condición 4) es cierto en Hi+1 por las mismas consideraciones que antes
(en el caso de H1).
Definir el grupo H =
i=1Hi y su subgrupo M =
i=1Ni. Observar que
la condición 0) implica que H está libre de torsión, condición 1) implica que M es
normal en H, y 2) implica que H = H0 ·M y H0 â € M = N0. Por lo tanto H/M =
H0/(H0-M) = C. Aplicando (4.1) obtenemosM =
i=1Mi, y por lo tanto, por las condiciones
3), 4) disfruta de la propiedad (nCC): cada elemento de M será un conjugado de xk
para algunos k {1,...., n− 1}. Desde x1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
simple, entonces así será M. Finalmente, 4) implica que xk
xl cuando k 6= l,
y, en consecuencia, la acción natural de H sobre M preserva sus clases de conjugación.
Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 4.3. Suponga que G es un grupo, N G, A, B ≤ G y : A → B es
un isomorfismo de tal manera que a) a n (es decir, las imágenes canónicas de a y a) en
12 ASHOT MINASYAN
G/N coinciden) para cada una de las A. Let L = â € ¢ G, t â € € TM tat−1 = â € (a), â € a â € Aâ € ser el
HNN-extensión de G con subgrupos asociados A y B, y dejar que K sea el normal
el cierre de N.N., t. en L. A continuación G.K. = N.
Prueba. Esta afirmación se deriva fácilmente de la propiedad universal de las extensiones HNN
y se deja como un ejercicio para el lector. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El próximo lema nos permitirá construir grupos (nCC) que no sean simples:
Lemma 4.4. Supongamos que H es un grupo contable libre de torsión y MH es un no-
subgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un contable
grupo G libre de torsión que posee un subgrupo normal K G tal que
1) G = HK y H + K = M ;
2) x, y G \ {1}, x) = y) si y sólo si h K tal que x = hyh−1,
donde : G → G/K es el homomorfismo natural; en particular, K
tener (2CC);
3) x, y G \ {1}, x
Si y sólo si (x)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Prueba. Elija un conjunto de representantes Z • H de cosets de H módulo M, en tal
forma en que cada coset está representado por un elemento único de Z y 1 /».
DefinirG(0)=H yK(0)=M. Enumerar los elementos de G(0)+1}: g1, g2,. ...
Primero incrustamos el grupo G(0) en un grupo sin torsión contable G1, que tiene un
subgrupo normal K1 G1, de tal manera que G1 = HK1, H K1 =M y para cada i ≥ 0
hay ti K1 y zi Z satisfactoria tigit
i = zi.
Supongamos que el grupo G(j), j ≥ 0, y K(j) G(j),
ya se han construido de modo que H ≤ G(j), G(j) = HK(j), H ≤ K(j) = M
y, si j ≥ 1, tjgjt
j = zj para algunos tj â € K(j) y zj â € Z. El grupo G(j+1),
que contenga G(j), se define como la siguiente extensión de HNN:
G(j + 1) = G(j), tj+1 tj+1gj+1t
j+1 = zj+1
donde zj+1 â € ¢ Z â € H es el representante único que satisface gj+1 â € zj+1K(j) en
G(j). Denota por K(j+1)G(j+1) el cierre normal de K(j), tj+1® en G(j+1).
Evidentemente, el grupo G(j + 1) es contable y libre de torsión, H ≤ G(j) ≤ G(j + 1),
G(j + 1) = HK(j + 1) y H (j + 1) = H (j) K(j) = M por Lemma 4.3.
Ahora, es fácil verificar que el grupo G1 =
j=0G(j) y su subgrupo normal
j=0K(j) disfrutar de las propiedades requeridas.
De la misma manera podemos incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2, que
tiene un subgrupo normal K2G2, de modo que G2 = HK2, HK2 =M y cada elemento
de G1 \ {1} se conjuga en G2 a un elemento correspondiente de Z. Desempeñar este tipo de actividades
un procedimiento infinitamente muchas veces logramos el grupo G =
i=1Gi y normal
subgrupo K =
i=1Ki G que satisfacen las afirmaciones 1) y 2) del lema. Lo es.
fácil de ver que la reclamación 2) implica 3), por lo que la prueba está terminada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5. Añadiendo generación finita
Teorema 5.1. Supongamos que H es un grupo libre de torsión contable y M es un no-
subgrupo normal trivial de H. Dejar F ser un arbitrario no elemental sin torsión
Grupo hiperbólico de palabras. Entonces existe un grupo Q sin torsión contable, que contiene
H, y un subgrupo normal N Q con las siguientes propiedades:
1. H es anormal en Q;
2. Q = H ·N y N •H =M ;
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 13
3. N es un cociente de F ;
4. el centralizador CQ(N) de N en Q es trivial;
5. por cada q â € TM a Q hay z â € TM a H tal que q
Prueba. El grupo Q se construirá como un límite directo de relativamente hiperbólico
grupos.
Paso 0. Set G(0) = H*F y F (0) = F ; entonces G(0) es hiperbólico relativo a su
El subgrupo H y F (0) es un subgrupo adecuado de G(0) por Lemma 2.6. LetN(0)G(0)
ser el cierre normal del subgrupo M,F en G(0). Evidentemente G(0) = H ·N(0)
y H N(0) = M. Enumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. ...................................................................................................
G(0): {q0, q1, q2,. .. }, de tal manera que g0 = q0 = 1.
Pasos 0-i. Suponga que los grupos G(j), j = 0,...., i, i ≥ 0, ya han sido
construido, de modo que
1o. para cada 1 ≤ j ≤ i hay un epimorfismo j−1 : G(j−1) → G(j) que es
inyective on (la imagen de) H en G(j − 1). Nota F (j) = j−1(F (j − 1)),
N(j) = j−1(N(j − 1));
2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤
G(j) es un subgrupo adecuado, j = 0,..., i;
3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M, j = 0,.... i;
4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j), j = 0,..., i;
5o. existe zj H tal que q̄j
* zj, j = 0,.... i, donde q̄j es la imagen
de qj en G(j).
Paso i+1. Que qâ € € € G(i), € i+1 € N(i) sean las imágenes de qi+1 y gi+1 en G(i).
Primero construimos el grupo G(i+1/2), su subgrupo normal Ki+1 y su elemento
ti+1 como se indica a continuación.
Si para algunos f • G(i), f q • i+ 1f
−1 = z + H, luego set G(i + 1/2) = G(i), Ki+1 =
N(i)G(i + 1/2) y ti+1 = 1.
De lo contrario, qÍñi+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i). Dado que G(i) es
libre de torsión, el subgrupo elemental EG(i)(qÍ+1) es cíclico, por lo que EG(i)(qÍ+1) = hx
para algunos h â € TM H y x â € N(i) (por 3â €), y qâ € i+1 = (hx)
m para algunos m â € ¢ Z. Ahora, por
Lemma 2.2, G(i) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1
y dejar que G(i + 1/2) sea la siguiente extensión HNN de G(i):
G(i + 1/2) = «G(i), ti+1 » ti+1(hx)t
i+1 = hyâ.
El grupo G(i+ 1/2) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.
Verifiquemos ahora que el subgrupo F (i) es adecuado en G (i + 1/2). De hecho,
de acuerdo con Lemma 2.7, hay dos elementos hiperbólicos f1, f2 o F (i) de infinito
orden en G(i) tal que fl
6° hx, fl
6o hi, l = 1, 2, y f1
6o f2. Entonces
G(i+1/2)
6o f2 de Lemma 3.1. Queda por comprobar que fl es un elemento hiperbólico
de G(i + 1/2) para cada l = 1, 2. Elija un elemento arbitrario w â € ¢ H y observar
que fl
6o w (ya que H es anormal en G(i) por Lemma 2.3, un poder no trivial de
fl se conjuga a un elemento de H si y sólo si fl se conjuga a un elemento de
H en G(i), pero este último es imposible porque fl es hiperbólico en G(i)). Aplicar
Lemma 3.1 de nuevo, tenemos que fl
G(i+1/2)
Por lo tanto f1, f2 o f (i) son
elementos hiperbólicos de orden infinito en G(i+1/2). La intersección EG(i+1/2)(f1)
14 ASHOT MINASYAN
EG(i+1/2)(f2) debe ser finito, ya que estos grupos son prácticamente cíclicos (por Lemma 2.2),
y f1 no se puede comparar con f2 en G(i+1/2). Pero G(i+ 1/2) está libre de torsión,
Por lo tanto, EG(i+1/2)(f1) (EG(i+1/2)(f2) = {1}. Por lo tanto, F (i) es un subgrupo adecuado de
G(i+ 1/2).
Lemma 4.3 asegura que H-Ki+1 =M donde Ki+1 G(i + 1/2) es el normal
el cierre de «N(i), ti+1», en G(i + 1/2). Por último, tenga en cuenta que
ti+1qçói+1t
i+1 = ti+1(hx)
mt−1i+1 = (hi)
m = z + H en G(i + 1/2).
Ahora, que el grupo G(i+ 1/2) se ha construido, set Ti+1 = i+1, ti+1}
Ki+1 y definir G(i+1) como sigue. Desde Ti+1 ·F (i) • Ki+1 G(i+1/2), podemos
aplicar el teorema 2.8 para encontrar un grupo G(i+1) y un epimorfismo : G(i+1/2) →
G(i + 1) de tal manera que Łi es inyector en H, G(i + 1) es libre de torsión e hiperbólico
en relación con (la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}
subgrupo de G(i + 1), y ker(eli) ≤ Ki+1. Denotan la restricción de los derechos de
G(i). A continuación, el valor de G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1) porque G(i + 1/2) fue generado por
G (i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 (i) (F (i)) ≤ (i) (G (i)). Ahora,
después de definir F (i+1) = «i(F (i)», N(i+1) = «i(N(i)»), i+1 = «i(i+1)» (i+1)
y zi+1 = i(z) • H, vemos que las condiciones 1
En el caso que nos ocupa, cabe señalar que el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso que nos ocupa, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 2, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71.
cuando j = i+1. Las propiedades G(i+1) = H ·N(i+1) y N(i+1)G(i+1) son
consecuencias inmediatas de sus análogos para G(i) y N(i). Por último, observar que
1i (H-N(i+1)) = H · ker(
H N (i) · ker (l)
· ker(i)
H-Ki+1
· ker(i) =M · ker(i).
Por lo tanto H N (i+ 1) = M y la condición 3 ° se mantiene para G (i + 1).
Dejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que
F () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Entonces Q es
libre de torsión por 2°, N Q, Q = H · N y H °N = M por 3°. N ≤ F () por 4 °,
y 5o implica la condición 5 de la reclamación.
Desde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico
imagen de F (0) = F.
Para cualquier i, j â € N â € €, i < j, tenemos un epimorfismo natural â € € : G(i) → G(j)
De tal manera que si i < j < k entonces فارسىjk â â € € € € = â € € € € € €. Tome cualquier g de G(0). Desde F = F (0)
se genera finitamente, utilizando las propiedades de los límites directos uno puede mostrar que si
w = + 0 + g + CQ(F) en Q, luego + 0j(g) + + CG(j) (F (j)) para algunos j + N. Pero
CG(j)(F (j)) ≤ EG(j)(F (j)) = {1} (por fórmulas (2.2) y (2.3)) porque F (j) es
un subgrupo adecuado de G(j), por lo tanto w =
0j(g)
= 1, es decir, CQ(F) =
CQ(N) = {1}. Esto concluye la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente declaración es bien conocida:
Lemma 5.2. Asumir G es un grupo y N G es un subgrupo normal tal que
CG(N) N, donde CG(N) es el centralizador de N en G. Entonces el cociente-grupo
G/N se incrusta en el grupo de automorfismo externo Out(N).
Prueba. La acción de G sobre N por conjugación induce un homomorfismo natural
Desde G hasta el grupo de automorfismo Aut(N) de N. Puesto que Ł(N) es exactamente el
grupo de automorfismos internos Inn(N) de N, se puede definir un nuevo homomorfismo
: G/N → Out(N) = Aut(N)/Inn(N) de la manera natural: (gN) = (g)Inn(N)
por cada gN + G/N. Queda por comprobar que es inyector, es decir, si g G \N entonces
(gN) 6=1 in Out(N); o, equivalentemente, (g) / Inn(N). De hecho, de lo contrario no hay
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 15
existiría un N tal que ghg−1 = aha−1 por cada h N, por lo tanto N 6 a−1g
CG(N), contradiciendo los supuestos. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Tenga en cuenta que para un grupo arbitrario N, cualquier subgrupo C ≤ Out(N) actúa naturalmente
sobre el conjunto de clases de conjugación C(N) del grupo N.
Teorema 5.3. Para cualquier n° N, n ≥ 2, y un grupo contable arbitrario C, C puede
ser incrustado isomórficamente en el grupo de automorfismo externo Out(N) de un grupo
N que cumplan las condiciones siguientes:
• N está libre de torsión;
• N se genera por dos elementos;
• N tiene (nCC) y la acción natural de C sobre C(N) es trivial;
• N es 2-boundedly simple.
Prueba. Por Lemma 4.2 podemos encontrar un grupo libre de torsión H y su normal
Subgrupo M que disfruta de las propiedades i) a iv) de su reclamación. Ahora, si F denota
el grupo libre de rango 2, podemos obtener un grupo libre de torsión contable Q juntos
con su subgrupo normal N que cumplen las condiciones 1-5 de la declaración de
Teorema 5.1.
Entonces N es libre de torsión y generado por dos elementos (como cociente de F ).
La condición 2 implica que Q/N = H/M = C y, por 4 y Lemma 5.2, C incrusta
dentro del grupo Out(N).
Usando la propiedad 5, por cada g â € N podemos encontrar u â € Q y z â € H tales que
ugu−1 = z â € N â € H = M. Desde Q = HN, hay h â € H y x â € N
tal que u = hx. Desde z, h−1zh M y la acción de H sobre M conserva
las clases de conjugación de M, hay r â € M tal que rh−1zhr−1 = z, por lo tanto
z = rh−1ugu−1(rh−1)−1 = rxgx−1r−1, donde v = rx â N. Así para cada g â N
hay v â € N tal que vgv−1 â € M. Evidentemente, esto implica que N es también 2 -
Delimitadamente simple. Como M ha (nCC), el número de clases de conjugación en N
ser a lo sumo n.
Supongamos que x1, x2 M y x1
x2. Entonces x1
x2 (por la propiedad (iii) de
la reclamación de Lemma 4.2), y como H es anormal en Q obtenemos x1
x2. Por lo tanto
x2, es decir, N también disfruta (nCC).
El hecho de que la acción natural de C sobre C(N) es trivial se deriva de la misma
propiedad para la acción de H en C(M) y la malnormalidad de H en Q. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora, procedamos con el
Prueba de Teorema 1.4. Primero aplicamos Lemma 4.4 para construir un grupo G y un
Subgrupo normal K G según su reclamación. Ahora, por Teorema 5.1, hay un
grupoQ, teniendo un subgrupo normal NQ tal que G es anormal en Q, Q = GN,
G N = K, rango (N) ≤ 2 (si se toma el grupo libre de rango 2 como F ) y cada
el elemento q • Q se conjuga (en Q) a un elemento de G. Por la reclamación 2) de Lemma 4.4,
K tiene (2CC), y un argumento, similar al utilizado en la prueba de Teorema
5.3, muestra que N también tendrá (2CC). En consecuencia, rango(N) > 1 porque N es
libre de torsión, por lo tanto rango (N) = 2.
Desde G = HK y H â € TM K = M tenemos Q = HKN = HN y H â € N =
H •K =M. Puesto que Q/N = H/M y N pueden ser generados por dos elementos, podemos
concluir que rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.
16 ASHOT MINASYAN
Considerar arbitraria x, y Q \ {1} y suponer que فارسى(x)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por el teorema
5.1, hay w, z G \ {1} de tal manera que x
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* z. Por lo tanto (w)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
por lo tanto las imágenes de w y z en G/K también se conjugan. En la reclamación 3) de Lemma
4.4, w
z, lo que implica x
- Sí. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 1.4 proporciona una forma alternativa de obtener grupos libres de torsión que
tienen finitamente muchas clases de conjugación: para cualquier grupo contable C podemos elegir
un grupo libre H de rango contable y un subgrupo normal {1} 6= M H de modo que
H/M = C, y luego aplicar el teorema 1.4 al par (H,M) para obtener
Corollary 5.4. Asumir que n+N, n ≥ 2, y C es un grupo contable que
contiene exactamente (n− 1) clases distintas de conjugación. Entonces existe una libertad de torsión.
grupo Q y N Q tales que
• Q/N = C;
• N tiene (2CC) y Q tiene (nCC);
• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(C) + 2.
Corollary 5.5. El grupo G1, dado por presentación (1.1), puede ser isomórficamente
incrustado en un grupo Q sin torsión de 2 generaciones que satisface (4CC) de tal manera
que t
t−1.
Prueba. Denotar por K el núcleo del homomorfismo : G1 → Z3, para el cual
*(a) = 0 y *(t) = 1, donde Z3 es el grupo de enteros módulo 3. Ahora, aplíquese.
Teorema 1.4 al par (G1,K) para encontrar el grupo Q, que contiene G1, y el normal
Subgrupo N Q de su reclamación. Puesto que Q/N = G1/K = Z3 tiene (3CC), el grupo
Q tendrá (4CC). También tenemos t
t−1 porque las imágenes de t y t−1 no son
conjugado en Q/N.
Elija un elemento q1 • Q \ N. A continuación, q2 = q
1 N \ {1} y puesto que N es 2
genera y tiene (2CC), hay q3 â € N tal que N = â € € TM q2, q3â € en Q. Como Q/N
es generado por la imagen de q1, el grupo Q será generado por {q1, q2, q3}, y,
En consecuencia, por {q1, q3}. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente
Que G sea un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H,
y dejar que X sea un conjunto de generación relativo simetrizado finito de G. Denote H =
(H/23370/ \ {1}).
Para una ruta combinatoria p en el gráfico de Cayley (G,X,H) (de G con respeto
p−, p+, L(p) y lab(p) denotarán el punto inicial, el punto final,
la longitud (es decir, el número de bordes) y la etiqueta de p respectivamente. p−1 will
ser el camino obtenido de p siguiéndolo en la dirección contraria. Además, si
es un subconjunto de G y g ≤ G, entonces g se utilizará para denotar la longitud de una
palabra más corta en 1 que representa g.
Utilizaremos la siguiente terminología de [20]. Supongamos que q es una ruta en
(G,X,H). Un subpath p de q se llama un componente H
simplemente un componente) de q, si la etiqueta de p es una palabra en el alfabeto H/23370/ \ {1} y
p no está contenido en un subpath más grande de q con esta propiedad.
Dos componentes p1, p2 de una ruta q en •(G,X • H) se llaman conectados si
son los componentes de la misma de la misma y existe una ruta c en la de la misma (G,X,H)
conectar un vértice de p1 a un vértice de p2 de manera que el laboratorio(c) se componga enteramente de letras
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 17
de H/23370/. En términos algebraicos esto significa que todos los vértices de p1 y p2 pertenecen a la
el mismo coset gH♥ para un determinado g â € ¬ G. Siempre podemos suponer c para tener longitud en
La mayoría de 1, ya que cada elemento no trivial de H.O. está incluido en el conjunto de generadores. Un
El componente p de una ruta q se llama aislado si ningún otro componente de la ruta de q es
conectado a p.
La siguiente declaración es un caso particular de Lemma 2.27 de [20];
muéstralo de una forma ligeramente más general, como aparece en [18, Lemma 2.7]:
Lemma 6.1. Supongamos que un grupo G es hiperbólico relativo a una familia de subgrupos
{H. Entonces existe un subconjunto finito de G y una constante de K N tal
que lo siguiente se mantiene. Let q ser un ciclo en G, X H, p1,. ..............................................................
de componentes aislados de q y g1,. ...............................................................
Lab(p1),. ..,Lab(pk) respectivamente. Entonces g1,. ..., gk pertenecen al subgrupo ≤ G
y las longitudes de la palabra de gi con respecto a
gi ≤ KL(q).
Definición. Supóngase que m (N y N) es un subconjunto finito de G. Define W(l,m) a
ser el conjunto de todas las palabras W sobre el alfabeto X â € ¢ H que tienen la siguiente forma:
W فارسى x0h0x1h1. .. xlhlxl+1,
donde l • Z, l ≥ −2 (si l = −2 entonces W es la palabra vacía; si l = −1 entonces W • x0),
hi y xi se consideran letras únicas y
1) xi • X • 1}, i = 0,..., l + 1, y para cada i = 0,..., l, existe • i) •
De los cuales: hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos.
2) en caso de que la letra i) de la letra i) = la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i).
3) i = 0,...., l.......................................................................................................................................................................................................................................................
Elija el subconjunto finito G y la constante K > 0 de acuerdo con la reclamación
de Lemma 6.1.
Recordemos que se dice que un camino q en •(G,X • H) es sin retroceso si todo de
sus componentes están aislados.
Lemma 6.2. Dejar q ser un camino en el gráfico de Cayley (G,X,H) con Lab(q)
W(,m) y m ≥ 5K. Entonces q es sin retroceso.
Prueba. Asumir lo contrario a la reclamación. Entonces uno puede elegir un camino q proveyendo
un contraejemplo de la longitud más pequeña posible. Así si p1,. ...............................................................
utive) lista de todos los componentes de q entonces l ≥ 2, p1 y pl debe estar conectado H -
componentes, para algunos , los componentes p2,. ..., pl−1 debe ser aislado, y q
comienza con p1 y termina con pl. Desde Lab(q) â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Si l = 2 entonces la (X {1})-letra entre p1 y p2 pertenecería a H
contradiciendo la propiedad 2) de la definición de W(l,m).
Por lo tanto l ≥ 3. Dado que p1 y pl están conectados, existe una ruta v en
H) entre (pl)− y (p1)+ con Lab(v) H (así podemos asumir que L(v) ≤ 1).
Denotar por qâ € el subpath de q comenzando con (p1)+ y terminando con (pl)−. Tenga en cuenta que
L(q+) = L(q)−2 ≤ 2l−3, y p2,. ..., pl−1 es la lista de componentes de q®, todos los cuales
están aislados. Si uno de ellos estuviera conectado a v implicaría que está conectado
a p1 contradiciendo con la minimalidad de q. Por lo tanto, el ciclo o = qv posee
18 ASHOT MINASYAN
k = l − 2 ≥ 1 componentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................
Consecuentemente, aplicando Lemma 6.1 se obtiene que hi , i = 1,..., k, y
hi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + 1) ≤ K(2l− 2).
Por la condición 3) de la definición de W(l,m) uno tiene hi > m ≥ 5K para
cada i = 1,..., k. Por lo tanto
k · 5K ≤
hi ≤ K(2l− 2), o 5 ≤
2l − 2
que contradice la desigualdad k ≥ l − 2. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición. Considerar un ciclo arbitrario o = rqr′q′ en Ł(G,X H), donde Lab(q)
y Lab(q′) pertenecen a W(,m). Dejar p ser un componente de q (o q′). Diremos
que p es regular si no es un componente aislado de o. Si m ≥ 5K y, por tanto, q y
q′ son sin retroceso por Lemma 6.2, esto significa que p está conectado
a algún componente de q′ (respectivamente q), o a un componente de r o r′.
Lemma 6.3. En las anotaciones anteriores, suponga que m ≥ 7K y denote C =
max{L(r),L(r′)}. Entonces
a) si C ≤ 1 cada componente de q o q′ es regular;
(b) si C ≥ 2 entonces cada uno de q y q′ puede tener como máximo 4C componentes que son
No es normal.
c) si l es el número de componentes de q, entonces al menos (l− 6C) de componentes
de q están conectados a componentes de q′; y dos componentes distintos de q
no se puede conectar al mismo componente de q′. Similarmente para q′.
Prueba. Asumir lo contrario a (a). Entonces uno puede elegir un ciclo o = rqr′q′ con
L(r),L(r′) ≤ 1, con al menos un componente aislado en q o q′, y de manera que
L(q) + L(q′) es mínimo. Es evidente que esta última condición implica que cada componente
de q o q′ es un componente aislado de o. Por lo tanto q y q′ juntos contienen k
distintos componentes aislados de o, que representan elementos h1,. ......................................................
k ≥ 1 y k ≥ (L(q) − 1)/2 + (L(q′) − 1)/2. Aplicando Lemma 6.1 obtenemos
hola , i = 1,...., k, y
hi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + L(q)
′) + 2).
Recordemos que hi > m ≥ 7K por la propiedad 3) de la definición de W(l,m).
Por lo tanto
i=1 hi ≥ k · 7K, lo que implica
L(q′)
L(q)− 1
L(q′)− 1
que da lugar a una contradicción.
Demostremos (b). Supongamos que C ≥ 2 y q contiene más de 4C aislados
componentes de o. Examinaremos dos casos:
Caso 1. No hay ningún componente de q conectado a un componente de q′. Entonces un com-
el ponente de q o q′ sólo puede ser regular si está conectado a un componente de r o r′.
Puesto que, por Lemma 6.2, q y q′ son sin retroceso, dos componentes distintos
de q o q′ no se puede conectar al mismo componente de r (o r′). Por lo tanto q y
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 19
q′ juntos pueden contener como máximo 2C componentes regulares. Así el ciclo o tiene k
componentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................
k ≥ (L(q)−1)/2+(L(q′)−1)/2−2C. Por Lemma 6.1, hola para cada i = 1,..., k,
i=1 hi ≤ K(L(q) + L(q)
′) + 2C). Una vez más podemos utilizar la propiedad 3)
de la definición de W(l,m) para lograr
L(q′)
L(q)− 1
L(q′)− 1
− 2C + 1 + 3C
L(q)− 1
L(q′)− 1
≤ 2 +
dando lugar a una contradicción.
Caso 2. La ruta q tiene al menos un componente que está conectado a un com-
poniente de q′. Let p1,. .., pl denota la secuencia de todos los componentes de q. Por parte
a), si ps y pt, 1 ≤ s ≤ t ≤ l, están conectados a componentes de q
′, entonces para cualquier
j, s ≤ j ≤ t, pj está conectado a algún componente de q
′ (porque q es sin espalda-
seguimiento por Lemma 6.2). Podemos tomar s (respectivamente t) para ser mínimos (respectivamente
máximo) posible. En consecuencia p1,. .., ps−1, pt+1,. .., pl contendrá el conjunto de
todos los componentes aislados de o que pertenecen a q, y ninguno de estos componentes
estar conectado a un componente de q′.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que s− 1 ≥ 4C/2 = 2C. Puesto que ps es
conectado a algún componente p′ de q′, existe una ruta v en
v− = (ps)−, v+ = p
+, Lab(v) â € H â € {1}, L(v) ≤ 1. Deje q̄ (respectivamente q̄
′) denotar
el subpath de q (respectivamente q′) de q− a (ps)− (respectivamente de p
+ a q
Considere un nuevo ciclo ō = rq̄vq. Razonando como antes, uno puede demostrar que ō tiene k
componentes aislados, donde k ≥ 2C ≥ 4 y k ≥ (L(q̄)−1)/2+(L(q)−1)/2−C−1.
Ahora, una aplicación de Lemma 6.1 al ciclo ō junto con la propiedad 3) de
la definición de W(l,m) conducirá a una contradicción como antes.
Por simetría, la declaración (b) del lema también es válida para q′.
La reclamación c) se deriva de b) y de la estimación L(r) + L(r′) ≤ 2C porque si
dos componentes diferentes p y p̄ de q fueron conectados al mismo componente de
algún camino en #(G,X #H), entonces p y p̄ también estarían conectados el uno con el otro,
que contradiría a Lemma 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 6.4. En las anotaciones anteriores, m ≥ 7K, C = max{L(r), L(r′)}, y
let p1,. .., pl, p
1,.., p
l′ ser las listas consecutivas de los componentes de q y q
Si l ≥ 12max{C, 1} + 2, entonces hay índices s, t, s′ N tales que
1 ≤ s ≤ 6C + 1, l − 6max{C, 1} ≤ t ≤ l y para cada i {0, 1,...., t − s}, la
componente ps+i de q está conectado al componente p
si de q
Prueba. Por parte (c) de Lemma 6.3, existen ≤ 6C +1 tales que el componente
ps está conectado a un componente p
s′ para algunos s
{1,.................................................................................................................. Por lo tanto hay un camino
r1 entre (p
s′)+ y (ps)+ con L(r1) ≤ 1. Considerar un nuevo ciclo o1 = r1q1r
donde q1 es el segmento de q de (ps)+ a q+ = r
− y q
1 es el segmento de q
de q = r
+ a (p
s′)+.
Observe que ps+1,. .., pl es la lista de todos los componentes de q1 y l−s ≥ l−6C−1 ≥
6max{1, C 1, por lo tanto, de acuerdo con la parte (c) de Lemma 6.3 aplicado a o1, hay
t ≥ l − 6max{1, C} > s de tal manera que pt esté conectado a p
t′ por medio de una trayectoria r
donde s′ + 1 ≤ t′ ≤ l′, (r′1)− = (pt)+, (r
1)+ = (p
t′)+ y L(r
1) ≤ 1. Considerar
20 ASHOT MINASYAN
si′ p
Gráfico 1
el ciclo o2 = r1q2r
2 en los que q2 y q
2 son los segmentos de q1 y q
1 de
(ps)+ = (r1)+ a (pt)+ y a partir de (p)
t′)+ a (p
s′)+ = (r1)− respectivamente (fig. 1).
Tenga en cuenta que ps+1,. .., pt es la lista de todos los componentes de q2 y p
s1,. .., p
t′ es la
lista de todos los componentes de q′2
. El ciclo o2 cumple los supuestos de la parte a) de
Lemma 6.3, por lo tanto para cada i {1,........................................................................................................................................................................................................................................................
de tal manera que ps+i está conectado a p
si′ (ps+i no se puede conectar a r1 [r
1] porque en
este caso estaría conectado a ps [pt], pero q es sin retroceso por Lemma
6.2).
Queda por demostrar que i′ = i para cada i. De hecho, si i′ < i para algunos
i {1,....., t − s} entonces se puede considerar el ciclo o3 = r1q3r
3, donde q3 y
q′3 son segmentos de q2 y q
2 de (q2)− = (r1)+ a (ps+i)+ y de (p)
si′ )+ a
(q′2)+ = (r1)−, respectivamente, y (r
3)− = (q3)+, (r
3)+ = (q
3)−, L(r
3) ≤ 1. De acuerdo
a la parte a) de Lemma 6.3, cada uno de los componentes ps+1,. ..., ps+i de q3 debe ser
conectado a uno de p′s1,. .., p
si′. Por lo tanto, ya que i
′ < i, dos componentes distintos
de q3 se conectará al mismo componente de q
, que es imposible por parte
c) de Lemma 6.3.
La desigualdad i′ > i llevaría a una contradicción después de una aplicación de un
argumento simétrico a q′3. Por lo tanto i
′ = i y se demuestra el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 6.5. En las anotaciones anteriores, deje m ≥ 7K y C = max{L(r),L(r′)}. Por
cualquier número entero positivo d existe una constante L = L(C, d) N tal que si L(q) ≥ L
entonces hay d componentes consecutivos ps,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
s′,. .., p
sd−1 de
q1, de modo que ps+i está conectado a p
si para cada i = 0,...., d− 1.
Prueba. Elija la constante L de modo que (L − 1)/2 ≥ 12max{C, 1} + 2 + d.
p1,. .., pl ser la lista consecutiva de todos los componentes de q. Desde Lab(q)
tienen l ≥ (L − 1)/2 (debido a la forma de cualquier palabra de W(,m)). Así podemos
aplicar Lemma 6.4 para encontrar índices s, t de su reclamación. Por la elección de s y t, y
la estimación en l, tenemos t− s ≥ d+ 1, dando la declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollary 6.6. Dejar G ser un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos adecuados
{H. Suponga que un â € TM â € TM, para algunos â € â € TM, es un elemento de orden infinito,
y x1, x2 â € ¬ G \ H0. Entonces existe k â € N tal que g = a
k1x1a
k2x2 es un
elemento hiperbólico de orden infinito en G cuando k1, k2 ≥ k.
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 21
Prueba. Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que x1, x2 x, desde relativa
hiperbólica no depende de la elección del conjunto de generación relativo finito
([20, Thm. 2.34]). Elija el subconjunto finito
de acuerdo con la reclamación de Lemma 6.1, y set m = 7K. Como el orden de una es infinito,
No hay k â € N tal que ak
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
≥ k. Asumir
que k1, k2 ≥ k.
Supongamos, en primer lugar, que gl = 1 para algunos l N. Considere el ciclo o = rqr′q′ en
(G,X,H) donde q− = q+ = 1, Lab(q) • (a)
k1x1a
k2x2)
l • W(,m) (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
se consideran como letras únicas del alfabeto X H) y r, r′, q′ son vías triviales
(consiste en un solo punto). Luego, por parte (a) de Lemma 6.3, cada componente de
q debe ser regular en o, lo que es imposible ya que q es sin retroceso según
a Lemma 6.2. Por lo tanto g tiene orden infinito en G.
Supongamos, ahora, que existe â â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
−1 = u.
Nota C = yXH. Puesto que el elemento u â € ¢ G tiene un orden infinito, existe l â € TM N tales
que 2l ≥ 6C+2 y ul / {h : h ≤ m}. La igualdad yg
ly−1u−l = 1 da
la altura del ciclo o = rqr′q′ en فارسى(G,X»,H), donde r y r′ son carriles de longitud C cuya
las etiquetas representan y en G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q)
k1x1a
k2x2)
l.o W.o.m.,
r = q+, q
− = r
+ = y(a)
k1x1a
k2x2)
ly−1 y Lab(q′) u−l (l) W(,m), L(q′) = 1.
Por parte c) de Lemma 6.3, al menos 2l − 6C ≥ 2 componentes distintos de q
estar conectado a componentes distintos de q′, lo que es imposible ya que q′ tiene sólo uno
componente. La contradicción muestra que g debe ser un elemento hiperbólico de G.
Lemma 6.7. Que G sea un grupo hiperbólico libre de torsión relativo a una familia de
Subgrupos {H, a {H°0 \ {1}, para algunos {0 â °, y t, u â € G \Hœ0. Supón
que existe kÃ3r â n de tal manera que para cada k ≥ kÃ3r el elemento g1 = a
ktakt−1
es conmensurable con g2 = a
kuaku−1 en G. Luego hay β, γ
Tal que u = γt, βa1 = a, 1aγ = a.
Prueba. Cambiando el conjunto de generación relativo finito X de G, si es necesario, podemos
Asumir que t, u, t−1, u−1 X. Deja que el subconjunto finito de G y G y la constante
K N se elegirá de acuerdo con Lemma 6.1. Definir m = 7K y suponer que k es
lo suficientemente grande como para satisfacer ak/ {h : h ≤ m}.
Dado que g1 y g2 son commensurables, existen l, l
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
ygl2y
−1 = gl
1. Let C = yXÃ3H, d = 8 y L = L(C, d) ser la constante de Lemma
6.5. Sin pérdida de generalidad, asumir que 4l ≥ L. Considere el ciclo o = rqr′q′
(G,X,H) de manera que r y r′ sean vías de longitud C cuyas etiquetas representen y
en G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q)
kuaku−1)l â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € €..................................................................................................................................................................................................................................
q = r
+ = yg
−1, Lab(q′) فارسى (aktakt−1)l
• W(,m), L(q′) = 4l′.
Ahora, por Lemma 6.5, hay subtrayectorias q? = p1s1p2s2p3s3p4 de q y q?
4 de q
1 tal que el Lab(pi)
k, Lab(p′i)
k, i = 1, 2, 3, 4, para
algunos de ellos (que depende del signo de l′), laboratorio(s1), laboratorio(s3), u,
Laboratorio(s2)
−1, Lab(s′1) • Lab(s)
3) t
*, Lab(s′2) * t
, para algunos 1, 1}, y
pi está conectado a p
i para cada i = 1, 2, 3, 4. Por lo tanto existen caminos
p1, p2, p3, p4 cuyas etiquetas representan, respectivamente, los elementos α, β, γ,
que (p01) = (p1)+, (p1)+ = (p
1)+, (p̃2)− = (p
2)+, (p2)+ = (p2)+, (p3)− = (p3)−,
(p̃3)+ = (p
3) -, (p04) - = (p
4)−, (p̃4)+ = (p4)− (ver Fig. 2).
Los ciclos s−11 pœ1s
2p‡2p
2, s2pс3s
p‡2 y s
3 pœ3p
El 3p4 da lugar a la creación de una sociedad de la información en la que la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información y la sociedad de la información.
la bajada de las equivalencias en el grupo G:
u = αtaakβa−k, u = γt y u = a−kγakt.
22 ASHOT MINASYAN
p1 s1 p2 s2 p3 s3 p4
p′1 s
p. 1 p. 2 p. 3 p. 4
ak u ak u−1 ak u
a-ka-ka-ka-ka-k
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Gráfico 2
Consecuentemente, recordando que Hl0 es anormal (Lemma 2.3) y que t
# Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # # Nos # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
βak1ak = t1αtà â â € â € â € â € â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
H/23370/0t
• = {1}, y
ak1akγ = t1t â € â € â € â € TM t
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
= {1}.
(6.1) βak1 = ak y 1akγ = ak
para algunos β = β(k), γ = γ(k) Tenga en cuenta que
la prueba funciona para cualquier k suficientemente grande, por lo tanto podemos encontrar dos mutuamente
Números enteros positivos primos k, k′ con las propiedades anteriores de tal manera que â € (k) = â € (k′) = â € €
Denota = β(k′) y γ(k′), luego γt = u = t,
lo que implica
1 = t
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
= {1}.
Por lo tanto = β, = γ,
(6.2) βak
1 = ak
y 1ak
γ = ak
Queda por observar que, puesto que k y k′ son mutuamente primos, las fórmulas (6.1)
y (6.2) juntos rinden
βa1 = a y 1aγ = a,
q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos
Dejar G ser un grupo generado por un subconjunto A G y dejar O ser el conjunto de todos
palabras en el alfabeto A±1, que son triviales en G. Entonces G tiene una presentación de la
el siguiente formulario:
(7.1) G = â € A â € Oâ € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Dado un conjunto simetrizado de palabras R sobre el alfabeto A, considere el grupo G1
definido por
(7.2) G1 = â € A â € O â € Râ € = â € G â € Râ €
Durante la prueba del resultado principal de esta sección utilizamos presentaciones (7.2) (o,
Equivalentemente, los conjuntos de retablos adicionales R) que satisfacen el
la condición de cancelación C1(, μ, , c, ). En el caso de los grupos hiperbólicos de la palabra esto
condición fue sugerido por Ol'shanskii en [16], y se generalizó después a
grupos hiperbólicos relativamente por Osin en [21]. Para la definición y la teoría detallada
remitimos al lector al artículo [21], ya que sólo utilizaremos las propiedades, que fueron
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 23
ya establecido allí. La siguiente observación es una consecuencia inmediata
de la definición:
Observación 7.1. Dejar que las constantes (j, μj, , c, /23370/j, j = 1, 2, satisfagan 0 < ≤ 1, 0 ≤ فارسى1 ≤
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Si la presentación (7.2) disfruta de la condición
A continuación, también goza de la condición C1(2, μ2, 2, c, 2), y de la condición C1(1, 1, 1, c, 1).
También asumiremos que el lector está familiarizado con la noción de un van Kampen
diagrama sobre la presentación del grupo (7.2) (véase [10, cap. V] o [15, Ch. 4]). Dejad en paz.
Tal diagrama. Una célula Π de • se llama una célula-R si la etiqueta de su contorno de contorno
(es decir, la palabra escrita en él comenzando con algún vértice en el sentido contrario a las agujas del reloj
dirección) pertenece a R.
Considerar una ruta cerrada simple o = rqr′q′ en un diagrama
(7.2), de tal manera que q es un subcamino del ciclo límite de una célula R Π y q′ es un
subpath de. Dejado denotar el subdiagrama de la o. Asumiendo que
No tiene agujeros, ni células-R y L(r), L(r′) ≤
subdiagrama de Π a. La razón L(q)/L() se denominará grado de contigüidad
de Π a y denotado (Π,, ).
Un diagrama se dice que se reduce si tiene un número mínimo de células-R entre todos
los diagramas con la misma etiqueta de contorno.
Si G es un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados
un conjunto de generación relativo finito X, entonces G es generado por el conjunto A = X •
(Hola)
{1}), y el gráfico de Cayley (G,A) es un espacio métrico hiperbólico [20, Cor. 2.54].
En cuanto a cada condición de cancelación pequeña, la declaración principal de la teoría es
el siguiente análogo de Lemma de Greendlinger, alegando la existencia de una célula,
gran parte de cuyo contorno se encuentra en el límite del diagrama de van Kampen.
Lemma 7.2 ([21], Cor. 4.4. Supongamos que el grupo G es generado por un subconjunto A
tal que el gráfico de Cayley (G,A) es hiperbólico. Entonces para cualquier 0 < ≤ 1 hay
μ0 > 0 de tal manera que para cualquier μ â € (0, μ0] y c ≥ 0 haya â € 0 ≥ 0 y â € 0 > 0 con la
después de la propiedad.
Que la presentación simetrizada (7.2) satisfaga la condición C1(0, μ, , c, 0).
Además, vamos a ser un diagrama reducido de van Kampen sobre G1 cuyo contorno de contorno
es (l, c)-cuasigeodésico en G. Entonces, a condición de que tiene una célula-R, existe una célula-R
Π en los Estados miembros y en un subdiagrama de contiguidad de los Estados miembros de la Comunidad, de Π a, de modo que:
(Π,l, ) > 1− 23μ.
La aplicación principal de esta pequeña condición particular de cancelación es
Lemma 7,3 ([21], Lemmas 5.1 y 6.3). Para cualquier 0 < ≤ 1, c ≥ 0 y N > 0
existen μ1 > 0,1, 1 ≥ 0 y 1 > 0 de tal manera que para cualquier conjunto de palabras simetrizadas
R que cumplan las condiciones siguientes: C1(1, μ1, 1, c, 1)-condición:
1. El grupo G1 definido por (7.2) es hiperbólico en relación con la colección de
imágenes (Hola)}iI bajo el homomorfismo natural η : G→ G1.
2. La restricción de η al subconjunto de elementos que tienen longitud como máximo N con
el respeto a A es inyector.
3. Cualquier elemento que tiene un orden finito en G1 es una imagen de un elemento de
orden finito en G.
A continuación se muestra el lema principal de esta sección que más tarde se utilizará para probar
Teorema 1.5.
24 ASHOT MINASYAN
Lemma 7.4. Supongamos que G es un grupo hiperbólico libre de torsión en relación con una familia
de los subgrupos adecuados {Hi}iI, X es un conjunto de generación relativa finita de G, S es un adecuado
El subgrupo de G y U-G es un subconjunto finito. Supón que yo, un Hi0 \ {1}
y v1, v2+G son elementos hiperbólicos que no son comparables entre sí.
Entonces existe una palabra W (x, y) sobre el alfabeto {x, y} de tal manera que lo siguiente es
Cierto.
Denotar w1 = W (a, v1) G, w2 = W (a, v2) G, y dejar que w2 sea el normal
cierre de w2 en G, G1 = G/w2 y η : G → G1 ser el epimorfismo natural.
• η es inyector en {H • U y G1 es hiperbólico en relación con la familia
(H/23370/);
• η(S) es un subgrupo adecuado de G1;
• G1 está libre de torsión;
• η(w1) 6= 1.
Prueba. Por Lemma 2.7 hay elementos hiperbólicos v3, v4 S tal que vi
6o vj si
1 ≤ i < j ≤ 4. Entonces por Lemma 2.2, el grupo G es hiperbólico relativo a lo finito
Recolección de subgrupos
j=1{EG(vj)}, y generado por el conjunto
A = X
EG(vj)
\ {1}.
Let G y K N denotar el subconjunto finito y la constante lograda después de un
aplicación de Lemma 6.1 a esta nueva colección de subgrupos periféricos.
Definir m = 7K, = 1/3, c = 2 y N = maxuA : u U} + 1. Elegir
μj > 0, Łj ≥ 0 y /23370/j > 0, j = 0, 1, según las alegaciones de Lemmas 7,2
y 7.3. Dejemos que L = L(C, d) > 0 sea la constante dada por
Lemma 6.5 donde C = 0 y d = 2. Es evidente que existe n o N tal que, para
μ = (3 11)/n, uno tiene
0 < μ ≤ min0, μ1}, 2n(1− 23μ) > L, y 2n > max0,
F() =
h : h ≤ max{K(32 70),m}
Puesto que el subconjunto F () es finito, podemos encontrar k • N de tal manera que ak
1, v
2 / F(♥)
cuando k′ ≥ k. Considere la palabra
W (x, y) فارسى xkykxk+1yk+1. .. xk+n−1yk+n−1.
Que wj G sea el elemento representado por la palabraW (a, vj) en G, j = 1, 2, y que
R es el conjunto de todos los cambios cíclicos de W (a, v2) y sus inversas. Por Lemma 2.3, Hi0
EG(v2) = {1} porque G está libre de torsión, por lo tanto por [21, Thm. 7.5] la presentación
(7.2) cumple la condición C1( siguientes, μ, 1/3, 2, 2n), y por lo tanto, mediante la Observación 7.1,
cumple las condiciones C1(0, μ, 1/3, 2,0) y C1(1, μ1, 1/3, 2,1).
Observe que w1 6= 1 en G porque, de lo contrario, habría existido un cerrado
ruta q en Ł(G,A) etiquetada con la palabra W (a, v1), y, por parte (a) de Lemma 6.3,
todos los componentes de q habrían sido regulares en el ciclo o = rqr′q′ (donde r, r′, q′
son caminos triviales), lo que es obviamente imposible.
Denotar G1 = G/w2 y dejar η : G → G1 ser el epimorfismo natural. Entonces,
de acuerdo con Lemma 7.3, el grupo G1 es libre de torsión, hiperbólico relativo a
# Hola # # I # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I #
j=1(EG(vj))} y η es inyector en el conjunto
¡Hola!
j=1 EG(vj)
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 25
U (porque la longitud en A de cualquier elemento de este conjunto es como máximo N). Desde cualquier
grupo elemental es palabra hiperbólica, G1 es también hiperbólica relativa a (Hola)}iI
(por Lemma 2.4) y η(v3), η(v4) η(S) se convierten en elementos hiperbólicos de infinito o-
der en G1, que no son comparables entre sí (por Lemma 2.3). Por lo tanto
EG1(η(v3)) • EG2(η(v4)) = {1} (recordemos que estos subgrupos son cíclicos por Lemma
2.2 y porque G1 está libre de torsión), y, por consiguiente, η(S) es un subgrupo adecuado
de G1.
Supongamos que η(w1) = 1. Por Lemma de van Kampen existe una reducción
diagrama plano sobre la presentación (7.2) con la palabra W (a, v1) escrita en su
límite. SinceW (a, v1)
6 = 1, posee al menos una célula-R. Fue probado en [21,
Lemma 7.1] que cualquier camino en •(G,A) etiquetado por W (a, v1) es (1/3, 2)-cuasigeodésico,
por lo tanto, podemos aplicar Lemma 7.2 para encontrar una R-célula Π de....................................................................................................................................................................................................................................................
(que no contienen R-células) entre Π y de tal manera que (Π,,) >
1− 23μ. Por lo tanto, existe un ciclo o = rqr′q′ en Ł(G,A) de tal manera que q está etiquetado por un
subpalabra de (un cambio cíclico de) W (a, v2), q
′ está etiquetada con una subpalabra de (un cambio cíclico
de) W (a, v1)
±1, L(r), L(r′) ≤ 0 = C y
L(q) > (1− 23μ) · L() = (1− 23μ) · 2n > L.
En particular, Lab(q), Lab(q′) Por lo tanto, podemos aplicar Lemma 6.5 a
encontrar dos componentes consecutivos de q que están conectados a algunos componentes de
q′. Debido a la forma de la palabra W (a, v2), uno de los
EG(v2)-componente, pero q
′ puede tener sólo EG(v1)- o Hi0 -componentes. Esto da resultados
una contradicción porque EG(v2) 6= EG(v1) y EG(v2) 6= Hi0. Por lo tanto η(w1) 6= 1 en
G1, y la prueba está completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)
Lemma 8.1. Existe una palabra R(x, y) sobre el alfabeto de dos letras {x, y} tales
que cada palabra libre de torsión no elemental del grupo hiperbólico F1 tiene un no-elemen-
tary torsion-free palabra cociente hiperbólico F que se genera por dos elementos a, b
F satisfactoria
(8.1) R(a, b)
6= 1, R(a−1, b−1)
= 1, R(b, a)
= 1, R(b−1, a−1)
Prueba. Considere la palabra
R(x, y) فارسى xy101x2y102. x100y200.
Denotar por F (a, b) el grupo libre con los generadores libres a, b. Vamos.
R1 = {R(a, b), R(a)
−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)},
y R2 ser el conjunto de todas las permutaciones cíclicas de palabras de R
1. Es fácil de ver.
que el conjunto R2 satisface la condición clásica de cancelación pequeña C
′(1/8) (véase [10,
Ch. V]). Denotar por Ñ el cierre normal del juego
R3 = {R(a)
−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)}
en F (a, b). Dado que la simetría de R3 también satisface C
′(1/8), el grupo F
F (a, b)/Ñ está libre de torsión ([10, Thm. V.10.1]) grupo de palabras hiperbólicas (porque
tiene una presentación finita para la cual la función Dehn es lineal por [10, Thm. V.4.4])
de tal manera que
R(a, b)
6= 1 pero R(a−1, b−1)
= R(b, a)
= R(b−1, a−1)
26 ASHOT MINASYAN
De hecho, si la palabra R(a, b) eran triviales en Fû entonces, por Lemma de Greendlinger [10,
Thm. V.4.4], que contendría más de la mitad de un
R3 como subpalabra, lo que contradice el hecho de que R2 disfruta de C
′(1/8).
El grupo F‡ no es elemental porque cada grupo elemental libre de torsión es
cíclico, por lo tanto, abeliano, pero en cualquier grupo abeliano la relación R(a−1, b−1) = 1 implica
R(a, b) = 1.
Ahora, el producto libre Gś = Fś ∗F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión. Sus subgrupos
Fū y F1 no son elementales, por lo tanto, según un teorema de Ol'shanskii [16,
Thm. 2], existe una palabra no elemental sin torsión hiperbólica grupo F y
a homomorfismo
F. Por lo tanto F es un cociente de F1, los elementos a, b generar F
y disfrutar de las relaciones requeridas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora estamos listos para probar el Teorema 1.5.
Prueba de Teorema 1.5. El argumento será similar al que se usó para probar el...
orem 5.1.
En primer lugar, establecer n = 2 y aplicar Lemma 4.2 para encontrar un grupo libre de torsión H
y un subgrupo normal M H, donde H/M = C y M tiene (2CC) (alternativamente,
uno podría comenzar con un grupo libre H ′ y M ′ H ′ de tal manera que H ′/M ′ C, y luego
aplicar Lemma 4.4 al par (H ′,M ′) para obtener H y M con estas propiedades).
Considere la palabra R(x, y) y el grupo hiperbólico libre de torsión F, generado por
los elementos a, b • F que satisfacen (8.1), dados por Lemma 8.1. Nota G(−2) =
H* F y dejar que N(−2) sea el cierre normal de M, F en G(−2), F (−2) = F,
R(−2) = {R(a, b)} – un subconjunto finito de F (−2). Por Lemma 2.6, G(−2) será
hiperbólico en relación con el subgrupo H, G(−2) = H ·N(−2), H •N(−2) =M y
F (−2) será un subgrupo adecuado de G(−2).
El elemento a F (−2) será hiperbólico en G(−2) y desde el grupo G(−2)
es libre de torsión, el subgrupo elemental máximo EG(−2)(a) será cíclico generado
por algún elemento h−2x−2, donde h−2 â € H, x−2 â € N(−2).
Elija y -2 â € M de modo que h -2y -2 6= 1. Por Lemmas 2.2 y 2.5, la HNN-
extensión
G(−3/2) = •G(−2), t−1 • t−1h−2x−2t
−1 = h−2y−2
es hiperbólico en relación con H. Como en la prueba de Teorema 5.1, se puede verificar que F (−3)
es un subgrupo adecuado de G(−3/2), y aplicar Teorema 2.8 para encontrar un epimorfismo
2 : G(−3/2) → G(−1) de tal manera que G(−1) es un grupo sin torsión hiperbólico relativo
a 2(H), 2 es inyector en H (−2) y 2(t−1) F (−1) donde F (−1) =
2(F (−2)) es un subgrupo adecuado de G(−1). Por lo tanto 2(G(−2)) = G(−1) como
G(−3/2) fue generado por G(−2) y t−1.
Nota N(−1) = 2(N(−2)), R(−1) = 2(R(−2)) y 2 = 2G(−2):
G(−2) G(−1). Uno puede mostrar queG(−1) = H ·N(−1) yH •N(−1) =M usando
los mismos argumentos que en la prueba de Teorema 5.1. Según la construcción,
Tenemos
2(t−1)2(a)2(t)
−1) = η(t−1at
-1) - N(−1) - H = M
en G(−1), por lo tanto, puesto que la conjugación por 2(t−1) es un automorfismo interno
de F (−1), podemos suponer que F (−1) es generada por a−1 y b−1, donde a−1 â € M
y R(a−1, b−1) 6= 1 en F (−1) (porque 2(R(a, b)) 6= 1 en F (−1)).
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 27
Ahora, si b−1 no es un elemento hiperbólico de G(−1), es decir, si b−1
G(−1)
C para algunos
c H, luego c N(−1)H = M, y puesto que M tiene (2CC) podemos encontrar s−1 G(−1)
tal que b−1 = s−1a−1s
−1. En este caso definimos G(0) = G(−1), N(0) = N(−1),
F (0) = F (−1), R(0) = R(−1), a0 = a−1, s0 = s−1 y 1 = idG(−1).
De lo contrario, si b−1 es hiperbólico en G(−1), entonces construimos el grupo G(0),
y un epimorfismo 1 : G(−1) → G(0) de una manera análoga, para asegurarse de que
1 es inyector en H R(−1), G(0) sin torsión e hiperbólico relativo a (la
imagen de) H, F (0) = 1(F (−1)) es un subgrupo adecuado de G(0), G(0) = H ·N(0)
y H N(0) = M donde N(0) = 1(N(−1)), y b0 = s0a0s
0 en G(0) donde
b0 = 1(b−1), a0 = 1(a−1) para algunos s0 • G(0)
Enumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. . }, y de G(0): {q0, q1, q2,. .. },
así que g0 = q0 = 1.
Los grupos G(j) junto con N(j)G(j), F (j) ≤ G(j), subconjuntos finitos R(j)
G(j), y los elementos aj, sj • G(j), j = 1, 2,...., que construiremos satisfarán
las siguientes propiedades:
1o. para cada j • N hay un epimorfismo •j−1 : G(j − 1) → G(j) que es
inyectora de H+R(j− 1). F (j) = j−1(F (j − 1)), N(j) = j−1(N(j − 1)),
aj = •j−1(aj−1) •M, sj = •j−1(sj−1) • G(j);
2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤
G(j) es un subgrupo adecuado generado por aj y sjajs
3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M ;
4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j);
5o. existe zj H tal que q̄j
* zj, donde q̄j es la imagen de qj en G(j);
6o. si j ≥ 1, q̄j−1 â ¬ G(j − 1) \H y para cada kâ ¬ N hay k ≥ kâ € de tal manera que
akj−1sj−1a
G(j−1)
6o akj−1q̄j−1a
j−1q̄
j−1, entonces hay una palabra Rj−1(x, y)
sobre el alfabeto de dos letras {x, y} que satisface
R(j) j−1
Rj−1(aj−1, sj−1aj−1s
6= 1 y
Rj−1(aj−1, q̄j−1aj−1q̄
=1 en G(j).
Supongamos que los grupos G(0),. .., G(i) ya se han definido. El grupo
G(i+1) se construirá en tres pasos.
En primer lugar, supóngase que q̄i • G(i) \ H y para cada kâ · N hay k ≥ kâ ° tal que
aki sia
6o aki q̄ia
i. Obsérvese que si / H porque, de lo contrario, uno podría
tener F (i) H, lo que es imposible, ya que F (i) es adecuado en G (i). Por lo tanto, por
Corollary 6.6, podemos suponer que k es tan grande que los elementos v1 = a
i sia
y v2 = a
i q̄ia
i son hiperbólicos en G(i). Aplicando Lemma 7.4 podemos encontrar un
palabra W (x, y) sobre {x, y} tal que el grupo G(i+1/3) = G(i)/W (ai, v2) y
el epimorfismo natural η : G(i) → G(i + 1/3) satisfacen lo siguiente: η es inyector
en H • R(i), G(i + 1/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de)
H, η(F (i)) ≤ G(i + 1/3) es un subgrupo adecuado, y η(W (ai, v1)) 6= 1. Definir la
palabra Ri(x, y) • W (x, x
kyk). Entonces Ri(ai, siais
i ) = W (ai, v1), Ri(ai, q̄iaiq̄
i ) =
W (ai, v2) en G(i), por lo tanto
Ri(ai, siais
6= 1 y η
Ri(ai, q̄iaiq̄
= 1 en G(i + 1/3).
28 ASHOT MINASYAN
Si, por otro lado, q̄i H o hay kâr â € N tal que por cada k ≥ kâ € uno tiene
aki sia
فارسى aki q̄ia
i, entonces definimos G(i+1/3) = G(i), η : G(i) → G(i+1/3)
ser el homomorfismo idéntico y Ri(x, y) ser la palabra vacía.
Denotar las imágenes de gi+1 y qi+1 en G(i + 1/3) y Qí+1 en G(i + 1/3)
η(N(i)), FÃ3r (i) = η(F (i)) y RÃ3r(i) = η
R(i) {Ri(ai, siais)
. Entonces, usando 3o,
Obtenemos G(i + 1/3) = H · N+(i) y H+N+(i) = M porque ker(η) ≤ N(i) (como
ai, q̄iaiq̄
i) N(i)).
Ahora construimos el grupo G(i + 2/3) exactamente de la misma manera que el grupo
G(i+ 1/2) fue construido durante la prueba de Teorema 5.1.
Si para algunos f • G(i + 1/3), f q • i + 1f
−1 = z • H, luego set G(i + 2/3) = G(i),
Ki+1 = No(i)G(i + 2/3) y ti+1 = 1.
De lo contrario, qáši+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i + 1/3). Desde
G(i + 1/3) es libre de torsión, uno tiene EG(i+1/3)(qáñi+1) = áhxÃ3n para algunos h à H y
x â € € TM Nâ € (i), y hay m â € € TM Z tal que qâ € i + 1 = (hx)
m. Ahora, por Lemma 2.2,
G(i + 1/3) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1 y
que G(i+ 2/3) sea la siguiente extensión HNN de G(i + 1/3):
G(i + 2/3) = G(i + 1/3), ti+1 ti+1(hx)t
i+1 = hyâ.
El grupo G(i + 2/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.
Se puede demostrar que F® (i) es un subgrupo adecuado de G(i + 2/3) de la misma manera que
durante la prueba de Teorema 5.1. Lemma 4.3 asegura que H-Ki+1 = M donde
Ki+1 G(i+2/3) es el cierre normal de â € € TM nâ € (i), ti+1â € en G(i+2/3). Por último, nota
ti+1qçói+1t
i+1 = ti+1(hx)
mt−1i+1 = (hi)
m = z + H en G(i + 2/3).
Definir Ti+1 = i+1, ti+1} Ki+1. El grupo G(i + 1) se construye a partir de
G(i+2/3) de la siguiente manera. Desde Ti+1 · Fâ € (i) · Ki+1G(i+2/3), podemos aplicar el teorema
2.8 para encontrar un grupo G(i + 1) y un epimorfismo : G(i + 2/3) → G(i + 1) tales
que el i es inyector en el H-R-i, G-i-+1 está libre de torsión e hiperbólico en relación con el
(la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}
de G(i + 1), y ker(Łi) ≤ Ki+1. Denota por : G(i) → G(i + 1) la composición
No. No. No. No. No. No. No. No. No. No. No. A continuación, se genera G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1 porque G(i + 2/3)
por G(i) y ti+1, y según la construcción, ti+1
Ahora, después de definir F (i+1) = i(F (i)), N(i+1) = i(N(i)), R(i+1) = i(R®(i)),
i+1 = i(i+1) F (i+1) y zi+1 = i(z) H, vemos que las condiciones 1
5o período de sesiones
mantener en el caso cuando j = i + 1, como en la prueba de Teorema 5.1. La última propiedad
6o sigue de la forma en que construimos el grupo G(i + 1/3).
Dejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que
F () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Vamos a, b,
y ser las imágenes de a0, b0 y s0 en Q respectivamente. A continuación, b. = s............................................................................................................
*, Q
está libre de torsión por 2°, N Q, Q = H ·N y H °N =M por 3°, N ≤ F () por 4°.
Por lo tanto, Q/N = H/M = C.
Desde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico
imagen de F (0) = F, y, en consecuencia, es un cociente de F1. Por 5
# Para cualquier q # N
hay z • H y p • Q de tal manera que pqp−1 = z. En consecuencia z • H • N = M.
Elija x â € N y h â € H para que p = hx. Puesto que M tiene (2CC) y h−1zh M,
hay y M tal que yh−1zhy−1 = z, por lo tanto (yx)q(yx)−1 = z M y
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 29
Por lo tanto, cada elemento q de N se conjugará (en N) a un
elemento de M, y como M tiene (2CC), por lo tanto el grupo N también tendrá (2CC).
La propiedad que CQ(N) = {1} se puede establecer de la misma manera que en
Teorema 5.1. Por lo tanto, el homomorfismo natural Q → Aut(N) es inyector. Lo siento.
sigue siendo para demostrar que es sujetivo, es decir, para cada Aut (N) hay g Q
tal que فارسى(x) = gxg−1 por cada x • N. Puesto que todos los elementos no triviales de N son
conjugado, después de componer Ł con un automorfismo interno de N, podemos asumir
eso es, a) = a). Por otra parte, existen qÃ3n à n y i à n de tal manera que
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
La imagen de Q es la imagen de Q en Q. Tenga en cuenta que sâ € / € H porque
si G(i) \ H para cada i(i) N. Esto implica que H es un subgrupo adecuado de N,
Por lo tanto, se trata de una medida que no se aplica a las importaciones procedentes de la República Popular China.
• ≤ Q, y • a • H. Por lo tanto
q̄i G(i) \H.
Ahora tenemos que considerar dos posibilidades.
Caso 1: para cada kÃ3r à r N hay k ≥ kà r tal que
aki sia
6o aki q̄ia
Entonces hay una palabra Ri(x, y) tal que la propiedad 6
Se mantiene para j = i + 1. Y,
ya que cada j es inyector en {1} Rj (por 2
•), llegamos a la conclusión de que
Ri(a), s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a)
6 = 1 y Ri(a),q
(+ ) = 1 en Q,
lo que contradice la inyectividad de............................................................................................................... Por lo tanto, el Caso 1 es imposible.
Caso 2: las suposiciones del Caso 1 fallan. Entonces podemos usar Lemma 6.7 para encontrar
β, γ H y, 1, 1} de tal manera que q̄i = γs
iβ, βaiβ
−1 = ai y γ
−1aiγ = a
en G(i). Denotar por la imagen γ en Q, y para cualquier y Q dejar que Cy sea el
automorfismo de N definido por Cy(x) = yxy
−1 para todas las x + N.
Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* y * b ) = q ) a q ) q ) a q ) b )..................................................................................................................................................................................................................................................
= s
por lo tanto
Aut(N) Cs1°
a- 7→ s-a
• = b
Índice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018
7→ a
Pero N no tiene tales automorfismos porque R (a), b), 6 = 1 y R (b)
(+) = 1 in
N (ya que N es un cociente de F y 1 6= R(a0, b0) R(0) en G(0)).
Por lo tanto = 1. Del mismo modo, = 1, ya que de lo contrario obtendríamos una contradicción
con el hecho de que R(a−1•, b
* ) = 1 en N. Por lo tanto.
Aut(N) C1°
a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a-
Índice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018
• 7→ sznaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
* = b. = b...........................................................................................................................................
Y ya que a• y b• generan N concluimos que para todos x • N, • (x) = gxg
donde g = Q. Por lo tanto, el homomorfismo natural de Q a Aut (N) es bijetivo,
lo que implica que Out(N) = Aut(N)/Inn(N) + Q/N = C. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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Springer, Nueva York, 1991.
Facultad de Matemáticas, Universidad de Southampton, Highfield, Southampton, SO17
1BJ, Reino Unido.
Dirección de correo electrónico: aminasyan@gmail.com
http://arxiv.org/abs/math/0411039
1. Introducción
2. Grupos relativamente hiperbólicos
3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente
4. Subgrupos normales con (nCC)
5. Añadiendo generación finita
6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente
7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos
8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)
Bibliografía
| Combinamos métodos clásicos de teoría de grupos combinatoria con la teoría de
pequeñas cancelaciones sobre grupos relativamente hiperbólicos para construir finitamente
grupos libres de torsión generados que sólo tienen finitamente muchas clases de conjugado
elementos. Por otra parte, presentamos varios resultados relativos a las incorporaciones en
grupos.
Como otra aplicación de estas técnicas, demostramos que cada cuenta
grupo $C$ se puede realizar como un grupo de automorfismos externos de un grupo $N$,
donde $N$ es un grupo finitamente generado que tiene la propiedad de Kazhdan (T) y
que contiene exactamente dos clases de conjugación.
| Introducción
Empezaremos con
Definición. Supongamos que n ≥ 2 es un entero. Diremos que un grupo M tiene el
propiedad (nCC) si hay exactamente n clases de conjugación de elementos en M.
Tenga en cuenta que un grupo M tiene (2CC) si y sólo si hay dos elementos no triviales
conjugado en M. Para dos elementos x, y de algún grupo G, escribiremos x
• y si x
y y son conjugados en G, y x
Y si no lo son.
Para un grupo G, denote por η(G) el conjunto de todos los órdenes finitos de elementos de G. A
El teorema clásico de G. Higman, B. Neumann y H. Neumann ([8]) afirma que
cada grupo contable G puede ser incrustado en un contable (pero infinitamente gen-
grupo M, en el que se conjugan dos elementos del mismo orden y
η(M) = η(G).
Para cualquier entero n ≥ 2, tome G = Z/2n−2Z e incruste G en un grupo contable
M según el teorema de arriba. A continuación, tarjeta(l(M)) = tarjeta(l(G)) = n − 1.
Puesto que, además, M siempre contendrá un elemento de orden infinito, el teorema
de Higman-Neumann-Neumann implica que G ha (nCC).
Otra forma de construir grupos infinitos con muchas clases de conjugación finitamente
fue sugerido por S. Ivanov [15, Thm. 41,2], que mostró para cada lo suficientemente grande
prime p hay un infinito 2-generado groupMp de exponente p poseyendo exactamente p
clases de conjugación. El groupMp se construye como un límite directo de la palabra hiperbólica
grupos, y, como se indica en [21], es imposible obtener un grupo infinito con (2CC)
de la misma manera.
En el reciente artículo [21] D. Osin desarrolló una teoría de la pequeña cancelación sobre
grupos relativamente hiperbólicos y lo utilizaron para obtener el siguiente resultado notable:
2000 Clasificación de Materias Matemáticas. 20F65, 20E45, 20F28.
Palabras y frases clave. Clases de Conjugación, Grupos Relativamente Hiperbólicos, Auto-
Grupos de phism.
Este trabajo contó con el apoyo de la Fundación Nacional Suiza para la Ciencia, Subvención #PP002-68627.
http://arxiv.org/abs/0704.0091v2
2 ASHOT MINASYAN
Teorema 1.1 ([21], Thm. 1.1). Cualquier grupo contable G puede ser incrustado en un
Grupo M 2-generado de tal manera que cualesquiera dos elementos del mismo orden son conjugados
En M y en M η(M) = η(G).
Aplicando este teorema al grupo G = Z/2n−2Z uno puede mostrar que para cada uno
número entero n ≥ 2 existe un grupo de 2 generaciones con (nCC). Y cuando n = 2 nos
Obtener un grupo libre de torsión 2 generados que tiene exactamente dos clases de conjugación.
La presencia de elementos de orden finito en las construcciones anteriores fue impor-
tant, porque si dos elementos tienen órdenes diferentes, nunca pueden ser conjugados.
Por lo tanto, naturalmente, uno puede preguntar lo siguiente
Pregunta 1. ¿Existen grupos libres de torsión (generados finalmente) con (nCC),
para cualquier entero n ≥ 3?
Tenga en cuenta que si G es el grupo generado finitamente con (2CC) construido por Osin,
entonces la potencia directa m-th Gm de G es también un grupo sin torsión finitamente generado
que satisface (2mCC). Pero ¿qué pasa si queremos lograr un grupo libre de torsión con
(3CC)? Con este propósito se podría llegar a
Pregunta 2. Supongamos que G es un grupo libre de torsión contable y x, y G son
no conjugar. ¿Es posible incrustar G en un groupM, que tiene (3CC), de modo que
x e y permanecer sin conjugar en M?
Desafortunadamente, la respuesta a la pregunta 2 es negativa como el siguiente ejemplo:
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ejemplo 1. Considere el grupo
(1.1) G1 = a, t tat
−1 = a−1
que es isomórfico al producto semidirecto no trivial Z Z. Tenga en cuenta que G1 es
sin torsión, y t no se conjuga a t−1 en G1 porque t t
−1 en el infinito
grupo cíclico â € € TM que es canónicamente isomórfico al cociente de G1 por el normal
cierre de una. Sin embargo, si G1 está integrado en un grupo M (3CC), es fácil de ver
que cada elemento de M se conjugará a su inversa (de hecho, si y M \ {1}
y y
y−1 entonces y
# A-1, para algunos # # # 1, # 1 #, por lo tanto y #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
contradicción). En particular, t
• t−1.
Se puede dar un análogo del ejemplo anterior para cada n ≥ 3 – ver Sección 3. Esto
ejemplo muestra que, para obtener un resultado positivo, uno tendría que fortalecer
las suposiciones de la pregunta 2.
Deja que G sea un grupo. Se dice que dos elementos x, y G son commensurables si hay
existen k, l • Z \ {0} de tal manera que xk es conjugado a yl. Usaremos la notación x
si x e y son commensurables en G. En el caso de que x no es commensurable con
Y escribiremos x
6o y. Observar que la conmensurabilidad, así como la conjugación, define
una relación de equivalencia sobre el conjunto de elementos de G. Es algo sorprendente que
si se sustituyen las palabras “no-conjugar” por las palabras “no-commensurable” en
Pregunta 2, la respuesta se vuelve positiva:
Corollary 1.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n + N, n ≥ 2,
y x1,. .................................................................. Entonces existe un
el grupo M y un homomorfismo inyector : G→M tal que
1. M es libre de torsión y se genera por dos elementos;
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 3
2. M ha (nCC);
3. M es 2-boundedly simple;
4. los elementos فارسى(x1),. ....(xn−1) son no commensurables por pares en M.
Recordemos que se dice que un grupo G es k-boundedly simple si para cualquier x, y G \ {1}
existen l ≤ k y g1,. ..., gl • G de tal manera que x = g1yg
1 · · · glyg
l en G. Un grupo
se llama limitedly simple si es k-boundedly simple para algunos k N. Evidentemente
cada grupo limitadamente simple es simple; lo contrario no es cierto en general. Por
ejemplo, el grupo de alternancia infinita A...........................................................................................................................................................................................................................................................
porque la conjugación preserva el tipo de descomposición de una permutación en
un producto de ciclos. Los primeros ejemplos de sin torsión finitamente generada delimitadamente
grupos simples fueron construidos por A. Muranov (véase [12, Thm. 2], [13, Thm. 1]).
El corolario 1.2 es una consecuencia inmediata de un teorema más general 3.5 que
se demostrará en la sección 3.
Aplicando el corolario 1.2 al grupo G = F (x1,. .., xn−1), que es libre en el
set {x1,. .., xn−1}, y sus elementos no comparables x1,. .., xn−1, obtenemos un
Respuesta positiva a la pregunta 1:
Corollary 1.3. Para cada entero n ≥ 3 existe un 2-boundedly libre de torsión
grupo simple satisfactorio (nCC) y generado por dos elementos.
(En el caso de que n = 2 la declaración anterior fue obtenida por Osin en [21,
Cor. 1.3].) De hecho, para cualquier grupo H (generado finalmente) libre de torsión podemos establecer
G = H ∗ F (x1,. .., xn−1), y luego utilizar el corolario 1.2 para incrustar G en un grupo M
disfrutar de las propiedades 1 - 4 de su reclamación. Puesto que hay un continuum de par
Grupos libres de torsión no isomórficos ([4]), y un grupo generado finitamente
puede contener como máximo muchos de los diferentes subgrupos de 2 generaciones, esto muestra
que debe haber continuamente muchos grupos no isomórficos por pares satisfactorios
propiedades 1− 3 del corolario 1.2.
Recuerde que el rango de rango (G) de un grupo G es el número mínimo de elementos re-
demanda para generar G. En la Sección 4 mostramos cómo la teoría clásica de las extensiones HNN
permite construir diferentes incrustaciones en grupos (infinitamente generados) que tienen
finitamente muchas clases de elementos conjugados, y en la Sección 5 utilizamos los resultados de Osin
(de [21]) con respecto a los cocientes de grupos relativamente hiperbólicos para demostrar
Teorema 1.4. Que H sea un grupo contable libre de torsión y que M H sea un no-
subgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un sin torsión
grupo Q, que posee un subgrupo normal N Q, tal que
• Q = H ·N y H •N =M (de ahí Q/N = H/M);
• N tiene (2CC);
• x, y Q \ {1}, x
Si y sólo si (x)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
es el homomorfismo natural;
• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.
Este teorema implica que si Q/N = H/M tiene exactamente (n− 1) clases de conjugación
(por ejemplo, si es finito), entonces el grupo Q tendrá (nCC) y no será simple
(si n ≥ 3). Por lo tanto, se puede utilizar para construir grupos (nCC) de una manera recursiva.
También permite obtener incrustaciones de grupos libres de torsión contables en (nCC)-
grupos, que no pudimos conseguir usando el corolario 1.2. Por ejemplo, como vimos en
Ejemplo 1, el grupo fundamental de la botella Klein G1, dado por (1.1), no puede
estar incrustado en un grupo M (3CC) de modo que t
t−1. Sin embargo, con 4 conjugaciones
4 ASHOT MINASYAN
clases esto ya es posible: ver corolario 5.5 en la sección 5. La idea es como
a continuación: el grupo G1 puede ser mapeado en Z/3Z de tal manera que las imágenes de
los elementos t y t−1 son distintos. Que M sea el núcleo de este homomorfismo.
Uno puede aplicar el Teorema 1.4 al par (G1,M) para obtener la incrustación requerida
de G1 en un grupo Q. Y como Z/3Z tiene exactamente 3 clases de conjugación, el grupo
Q tendrá (4CC).
Una aplicación de Teorema 1.4 al caso cuando H = Z y M = 2ZH también
proporciona una respuesta afirmativa a una pregunta de A. Izosov de [9, Q. 11,42], preguntando
si existe un grupo Q libre de torsión (3CC) que contenga un subgrupo normal
N del índice 2.
El objetivo de la segunda parte de este artículo es mostrar que cada grupo contable
puede ser realizado como un grupo de automorfismos externos de algunos finitamente generados (2CC)-
grupo. Este problema tiene algunos antecedentes históricos: en [11] T. Matumoto demostró
que cada grupo es un grupo de automorfismos externos de algún grupo (en contraste,
hay grupos, por ejemplo, Z, que no son grupos de automorfismo completo de ningún grupo); M.
Droste, M. Giraudet, R. Göbel ([7]) demostraron que para cada grupo C existe
un grupo simple S tal que Out(S) = C; I. Bumagina y D. Sabio en [3] probó
que cada grupo contable C es isomórfico a Out(N) donde N es un 2-generado
subgrupo de un grupo contable C′(1/6), y si, además, C se presenta finitamente
entonces uno puede elegir N para ser residualmente finito.
En la Sección 6 establecemos algunas declaraciones útiles sobre los caminos en el Cayley
gráfico de un grupo relativamente hiperbólico G, y aplicarlos en la sección 7 para obtener
pequeños cocientes de cancelación de G que cumplen ciertas condiciones. Por último, en la sección
8 probamos lo siguiente:
Teorema 1.5. Que C sea un grupo contable arbitrario. Entonces por cada no-elemen-
Sin torsión tardía palabra hiperbólica grupo F1 existe un grupo libre de torsión N sat-
isfiting las siguientes propiedades:
• N es un cociente de F1 de 2 generaciones;
• N tiene (2CC);
• Fuera (N) = C.
La principal diferencia entre este teorema y el resultado de [3] es que
El grupo N está libre de torsión y es simple. Por otra parte, si se aplica Teorema 1.5 a la
caso cuando F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión con la propiedad de Kazhdan (T) (y
recuerda que cada cociente de un grupo con la propiedad (T) también tiene (T)), uno conseguirá
Corollary 1.6. Para cualquier grupo contable C hay un grupo N de 2 generaciones tales
que N tiene (2CC) y la propiedad de Kazhdan (T), y Out(N) C.
La razón por la propiedad de Kazhdan (T) es interesante en este contexto es el
pregunta de [6, p. 134] que preguntó si existen grupos que satisfagan
propiedad (T) y tienen infinitos grupos de automorfismo externo (puede ser motivado
por un teorema de F. Paulin [22] que afirma que el grupo de automorfismo exterior es
finito para cualquier grupo hiperbólico palabra con la propiedad (T)). Respuestas positivas a esto
la pregunta fue obtenida (utilizando diferentes métodos) por Y. Ollivier y D. Wise [14],
Y. de Cornulier [5], e I. Belegradek y D. Osin [2]. Corollary 1.6 no sólo
muestra que el grupo de automorfismos externos de un grupo N con la propiedad (T)
puede ser infinito, pero también demuestra que no hay ninguna restricción en
Fuera (N).
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 5
Agradecimientos. El autor desea agradecer a D. Osin su fructífera labor.
Golpes y estímulos.
2. Grupos relativamente hiperbólicos
Supongamos que G es un grupo, {H es una colección fija de subgrupos de G (llamado
subgrupos periféricos), y X es un subconjunto de G. El subconjunto X se llama
generar el conjunto de G con respecto a {H si G es generado por X
H/23370/. In
este caso G un cociente del producto libre
F = (H/23370/) ∗ F (X ),
donde F (X ) es el grupo libre con base X. Dejar R ser un subconjunto de F tal que el
núcleo del epimorfismo natural F → G es el cierre normal de R en el grupo
F ; entonces diremos que G tiene una presentación relativa
(2.1) X, H R = 1, R + R®.
Si los conjuntos X y R son finitos, se dice que la presentación relativa (2.1) es finita.
Conjunto H =
(H/23370/ \ {1}). Se dice que una presentación relativa finita (2.1) satisface un
desigualdad isoperimétrica relativa lineal si existe C > 0 tal que, por cada palabra
w en el alfabeto X â € ¢ H (por conveniencia, vamos a asumir aún más que X−1 = X )
representa la identidad en el grupo G, uno tiene
f−1i R
i fi,
con igualdad en el grupo F, donde Ri-R, fi-F, para i = 1,...................................................................................................................................................................................................................................................
donde la palabra "w" es la longitud de la palabra "w".
La siguiente definición se debe a Osin (véase [20]:
Definición. el grupo G se llama hiperbólico relativo a (la
subgrupos) {H, si G admite una presentación relativa finita (2.1) satisfaciendo un
desigualdad isoperimétrica relativa lineal.
Esta definición es independiente de la elección del conjunto de generación finita X y
el conjunto finito R en (2.1) (véase [20]). También quisiéramos señalar que, en general,
no requiere que el grupo G se genere finitamente, lo que será importante en
Este periódico. La definición implica inmediatamente los siguientes hechos básicos:
Observación 2.1 ([20]). a) Que {H sea una familia arbitraria de grupos. Entonces el
producto libre G = H♥ será hiperbólico relativo a {H.
(b) Cualquier palabra grupo hiperbólico (en el sentido de Gromov) es relativo hiperbólico
a la familia 1o, donde {1} denota el subgrupo trivial.
Recuerde que un grupo H se llama elemental si tiene un subgrupo cíclico de finito
índice. Más adelante en esta sección asumiremos que G es un grupo no elemental
hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H.
Un elemento g G se dice que es parabólico si se conjuga a un elemento de H
para un poco de """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" De lo contrario g se dice que es hiperbólico. Dado un subgrupo S ≤ G,
denotar por S0 el conjunto de todos los elementos hiperbólicos de S de orden infinito.
Lemma 2.2 ([17], Thm. 4.3, Cor. 1.7). Por cada g de G0 las siguientes condiciones:
Espera.
6 ASHOT MINASYAN
1) El elemento g está contenido en un subgrupo elemental máximo único EG(g)
de G, donde
2.2) EG(g) = {f) G : fg
nf−1 = g±n para algunos n+N}.
2) El grupo G es hiperbólico en relación con la colección {H {EG(g)}.
Recordemos que un subgrupo no trivial H ≤ G se llama no normal si por cada g
G \H, H • gHg−1 = {1}. El siguiente lema es un caso especial de Teorema 1.4 de
[20]:
Lemma 2.3. Para cualquiera de los siguientes tipos de productos, la intersección de los productos de la sección H y de los productos de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y de la sección G de la sección H, la intersección de los productos de la sección H y la sección G de la sección G de la sección H y la sección G de la sección G de la sección G de la sección G de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección B de la sección
−1 es
finito. En caso de que se produzca un cambio de dirección en la dirección de la dirección del vehículo, la dirección del vehículo deberá indicarse en la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo y en la dirección de la dirección de la dirección de la dirección de la homologación de tipo de vehículo.
−1 es finito. In
En particular, si G está libre de torsión, entonces He es anormal (siempre que He 6 = {1}).
Lemma 2.4 ([20], Thm. 2.40). Supongamos que un grupo G es relativo hiperbólico
a una colección de subgrupos {H {S1,. .., Sm}, donde S1,. .., Sm son palabra
hiperbólico (en el sentido ordinario no-relativo). Entonces G es hiperbólico relativo a
{H.
Lemma 2.5 ([19], Cor. 1.4). Let G ser un grupo que es hiperbólico relativo a un
recogida de subgrupos {H {K}. Supongamos que K se genera finitamente y
Hay un monomorfismo α : K → H v para algunos ν. Luego la extensión HNN
G, t txt−1 = α(x), x â € € € TM es hiperbólico con respecto a {H.
En [21] Osin introdujo la siguiente noción: un subgrupo S ≤ G es adecuado si
existen dos elementos g1, g2 + S
0 tales que g1
6-g2 y EG(g1)-EG(g2) = {1}.
Para cualquier S ≤ G con S0 6 =
2.3 EG(S) =
EG(g)
que es obviamente un subgrupo de G normalizado por S. Tenga en cuenta que EG(S) = {1} si la
El subgrupo S es adecuado en G. Como se muestra en [1, Lemma 3.3], si S no es elemental
y S0 6= فارسى entonces EG(S) es el subgrupo finito máximo único de G normalizado por
Lemma 2.6. Dejar {H ser una familia de grupos y dejar que F sea una torsión libre de no-
palabra elemental grupo hiperbólico. Entonces el producto libre G = (H♥) * F es
hiperbólico relativo a {H y F es un subgrupo adecuado de G.
Prueba. De hecho, G es hiperbólico relativo a {H por Observación 2.1 y Lemma
2.4. Dado que F no es elemental, hay elementos de orden infinito x, y F tales
que x
(véase, por ejemplo, [16, Lemma 3.2]). Evidentemente, x e y son hiperbólicos
elementos de G que no son comparables entre sí, y los subgrupos
EG(x) = FE (x) ≤ F, EG(y) = FE (y) ≤ F son cíclicos (como subgrupos elementales de una
grupo libre de torsión). Por lo tanto EG(x) • EG(y) = {1}, y por lo tanto F es adecuado en G.
Lemma 2.7 ([21], Lemma 2.3). Supongamos que G es un grupo hiperbólico relativo a un
familia de subgrupos {H y S ≤ G es un subgrupo adecuado. Entonces uno puede encontrar
infinitamente muchos elementos no commensurables (en G) g1, g2, · · · S
0 de los cuales:
que EG(gi) • EG(gj) = {1} para todos los i 6= j.
El siguiente teorema fue probado por Osin en [21] utilizando la teoría de la pequeña
cancelación sobre grupos relativamente hiperbólicos, y representa nuestra herramienta principal para
la obtención de nuevos cocientes de estos grupos con una serie de propiedades prescritas:
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 7
Teorema 2.8 ([21], Thm. 2.4). Dejar G ser un grupo sin torsión hiperbólico relativo a
una colección de subgrupos {H, dejar que S sea un subgrupo adecuado de G, y dejar que T, U
ser subconjuntos finitos arbitrarios de G. Entonces existe un grupo G1 y un epimorfismo
η : G→ G1 tales que:
i) La restricción de η a
U es inyector, y el grupo G1 es hy-
perbólica relativa a la colección (H♥);
(ii) por cada T, tenemos η(t) η(S);
iii) η(S) es un subgrupo adecuado de G1;
iv) El G1 está exento de torsión;
(v) el núcleo ker(η) de η es generado (como subgrupo normal de G) por un finito
colección de elementos pertenecientes a T · S.
Hemos cambiado ligeramente la formulación original del teorema anterior de
[21], exigiendo la inyectividad en V =
U (en lugar de justo
H/23370/)
y añadiendo el último punto relativo a los generadores del núcleo. Esta última
se desprende de la forma explícita de las relaciones, impuestas a G (véase la prueba de
Thm. 2.4 en [21]), y el primero – de la parte 2 de Lemma 5.1 en [21] y el hecho
que cualquier elemento de V tiene longitud (en el alfabeto X + H) como máximo N, donde
N = máx.
3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente
Lemma 3.1. Dejar que G sea un grupo y dejar que x1, x2, x3, x4 G sean elementos de orden infinito
tal que x1
xi, i = 2, 3, 4. Let H = G, t tx3t
−1 = x4® ser la extensión HNN
de G con subgrupos cíclicos asociados generados por x3 y x4. Entonces x1
6° x2.
Prueba. Argumentando por contradicción, asumir que hxl1h
−1xm2 = 1 para algunas h • H,
l,m Z \ {0}. El elemento h tiene una presentación reducida del formulario
h = g0t
1g1t
2 libras esterlinas. .....................................................................................................................
donde g0,. ............................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................
gj/ x3° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j > 0, j+1 < 0
gj/ x4° si 1 ≤ j ≤ k − 1 y j < 0, j+1 > 0
Por los supuestos, x1
6o x2 por lo tanto k ≥ 1, y en el grupo H tenemos
(3.1) hxl1h
−1xm2 = g0t
1g1t
2 libras esterlinas. .......................................................................................................................................................................................
k. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
1 gœ0 = 1,
donde g0 = g
2 G. Por Britton’s Lemma (véase [10, IV.2]), el lado izquierdo
en (3.1) no se puede reducir, y esto sólo puede suceder si gkx
k pertenece a cualquiera de los dos
* x 3 o x 4 en G, lo que contradice las suposiciones. Por lo tanto, el lema es
probado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición. Supongamos que G es un grupo y Xi G, i I, es una familia de subconjuntos.
Diremos que Xi, yo, soy independiente si ningún elemento de Xi es commensurable.
con un elemento de Xj siempre que i 6= j, i, j+ I.
Lemma 3.2. Suponga que G es un grupo libre de torsión contable, n+ N, n ≥ 2, y
Los subconjuntos no vacíos Xi G \ {1}, i = 1,...., n− 1, son independientes en G. Entonces G
puede ser (isomórficamente) incrustado en un grupo libre de torsión M
forma en que M tiene (nCC) y los subconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecen independientes en
8 ASHOT MINASYAN
Prueba. Para cada i = 1,...., n− 1, fijar un elemento xi â € Xi. Primero incrustamos G en un
grupo G1 libre de torsión contable de tal manera que para cada elemento no trivial g G allí
exist i {1,............................................................................................................................................................................................................................................................
−1 = xj en G1, y los subconjuntos Xi,
i = 1,...., n− 1, permanecer independiente en G1.
Let g1, g2,. .. ser una enumeración de todos los elementos no triviales de G. Conjunto G(0) = G
y supongamos que ya hemos construido el grupo G(k), que contiene G, así que
que para cada l {1,...........................................................................................................................................................................................................................................................
conjugado en G(k) a xj, y Xi, i = 1,...., n− 1, son independientes en G(k).
Supongamos, al principio, que gk+1 es commensurable en G(k) con un elemento de Xj
para un poco de j. Entonces gk+1
6° h por cada h °
i=1,i6=j
Xi. Definir G(k + 1) como la
Extensión de HNN â ¬ G(k), tk+1 â ¬ tk+1gk+1t
k+1 = xjÃ3. Por Lemma 3.1 los subconjuntos Xi,
i = 1,...., n− 1, permanecerá independiente en G(k + 1).
Así podemos asumir que gk+1 no es commensurable con ningún elemento de
i=1 Xi en G(k). Según las hipótesis de inducción se puede aplicar Lemma 3.1
a la extensión HNN
G(k + 1) = + G(k), tk+1 + tk+1gk+1t
k+1 = x1
para ver que los subconjuntos Xi-G ≤ G(k + 1), i = 1,...., n − 1, son independientes en
G(k + 1).
Ahora, setG1 =
k=0G(k). Evidentemente G1 tiene las propiedades requeridas. En el mismo
de manera, se puede incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2 para que cada no-
elemento trivial de G1 se conjugará a xi en G2, para algunos i • {1,....., n − 1},
y los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, continúan siendo independientes en G2.
Procediendo así obtenemos el grupo deseadoM =
s=1Gs. Por la construcción...
tion, M es un grupo contable libre de torsión que tiene exactamente n clases de conjugación:
[1], [x1],. ., [xn−1]. Los subconjuntos Xi, i = 1,..., n− 1, son independientes en M porque
son independientes en Gs para cada s â € N.
Corolario 3.3. En Lemma 3.2 se puede añadir que el groupM es 2-boundedly simple.
Prueba. Dejar un grupo contable sin torsión G y sus subconjuntos independientes no vacíos
Xi, i = 1,..., n− 1, sea como en Lemma 3.2. Let F = F (a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1) ser
el grupo libre con el conjunto de generación libre {a1,. .., an−1, b1,. .., bn−1}, y considerar
Para cada i = 1,..................................................................................................................................
X̄i = Xi {ai, a
j = 1,.............................................................................................................................................................................................................................................................
donde [aj, bi] = ajbia
i. Uso de las propiedades universales de los grupos libres y libres
productos uno puede ver fácilmente que los subconjuntos X̄i, i = 1,...., n− 1, son independientes
en â € € TM.
Ahora aplicamos Lemma 3.2 para encontrar un grupo libre de torsión (nCC) M, con-
...............................................................................................................................................................................................................................................................
implica que para cualquier i dado = 1,...., n− 1, cualesquiera dos elementos de X̄i se conjugan en
M. Para x arbitrario, y M \ {1} existen i, j {1,....., n − 1} de tal manera que x
y y
# AJ. # Si i = j entonces x
- Sí. De lo contrario, y
• a−1j y x
[aj, bi] que
es un producto de dos conjugados de aj, y, por lo tanto, de y. Por lo tanto, el grupo M es
2-boundedly simple, y desde G ≤ ≤ ≤ M, el corolario se demuestra. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 9
A continuación se muestra un caso particular (libre de torsión) de un teorema demostrado por Osin en [21, Thm.
2.6]:
Lemma 3.4. Cualquier grupo libre de torsión S puede ser integrado en un 2-generado
grupo M de modo que S es anormal en M y cada elemento de M se conjuga a un
elemento de S en M.
Prueba. Después de la prueba de Osin de Teorema 2.6 de [21], vemos que el requerido
grupo M se puede construir como un límite inductivo de grupos relativamente hiperbólicos
G(i), i+N. Más precisamente, un conjunto G(0) = S* F2, donde F2 es un grupo libre de
rango 2, +0 = idG(0) : G(0) → G(0), y para cada i +N se construye un grupo
G(i) y un epimorfismo : G(0) → G(i) de modo que i es inyector en S, G(i) es
libre de torsión e hiperbólico en relación con i(S)}, y i factores a través de i−1. Los
El grupo M se define como el límite directo de (G(i), i) como i →, es decir, Q = G(0)/N
donde N =
N ker(i). Por Lemma 2.3, i(S) es anormal en G(i), por lo tanto la
la imagen de S también será anormal en M.
Teorema 3.5. Que G sea un grupo contable libre de torsión, n + N, n ≥ 2, y no-
Los subconjuntos vacíos Xi G \ {1}, i = 1,...., n − 1, ser independiente en G. Entonces G puede
estar incrustado en un grupo libre de torsión M de 2 generaciones que tiene (nCC), de modo que el
subconjuntos Xi, i = 1,...., n− 1, permanecer independiente en M. Además, se puede elegir M
ser 2-boundedly simple.
Prueba. En primer lugar, de acuerdo con el corolario 3.3, podemos incrustar el grupo G en un contable
grupo S libre de torsión tal que S tiene (nCC) y es 2-boundedly simple, y Xi,
i = 1,...., n − 1, son independientes en S. En segundo lugar, aplicamos Lemma 3.4 para encontrar la
Grupo M de su reclamación. Elegir cualquier i, j • {1,....., n − 1}, i 6= j, y
x Xi, y Xj. Si x e y fueran commensurables en M, la malnormalidad de S sería
implica que x e y deben ser commensurables en S, contradiciendo la construcción.
Por lo tanto Xi, i = 1,..., n − 1, son independientes en M. Puesto que cada elemento de M es
conjugado a un elemento de S, es evidente que M tiene (nCC), es libre de torsión y
2-boundedly simple. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.6. Una prueba más directa de Teorema 3.5, no utilizando Lemma 3.4, puede ser
extraída de la prueba del Teorema 5.1 (véase la sección 5), aplicada al caso cuando
H = M.
Es fácil ver que el teorema 3.5 implica inmediatamente corolario 1.2 que fue
formulado en la Introducción. Como se prometió, ahora damos un contraejemplo a
Pregunta 2 (formulada en la introducción) para cualquier n ≥ 3.
Ejemplo 2. Dejar G2 = a, t tat
−1 = a2® ser el grupo Baumslag-Solitar BS(1, 2).
EntoncesG2 es libre de torsión, y los elementos t
2, t4,. .., t2
son pares no conjugados
en G2 (ya que esto se mantiene en el cociente de G2 por el cierre normal de a). Supón
que G2 está integrado en un grupo M que tiene (nCC) de modo que t
2, t4,. .., t2
par no conjugar en M. Luego t2,. .., t2
es la lista de representantes de todos
clases de conjugación no trivial de M. Por lo tanto existen k, l • {1,....., n− 1} tales
que t
y a
. En consecuencia
y t2
por lo tanto k = l = n− 1 según los supuestos. Pero esto da resultados.
n−1 M
* t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2, * t2
10 ASHOT MINASYAN
lo que implica que t2
T4, lo que contradice nuestras suposiciones.
Por lo tanto, G2 no puede integrarse en un grupo M (nCC) de tal manera que
t2,. .., t2
permanecer por pares no conjugados en M.
4. Subgrupos normales con (nCC)
Si M es un subgrupo normal de un grupo H, H actúa naturalmente sobre M por
Jugación. Diremos que esta acción preserva las clases de conjugación de M si
cualquier h H y a M existe b M de tal manera que hah−1 = bab−1.
Lemma 4.1. Que G sea un grupo libre de torsión, N G y x1,. ..............................................................
ser elementos no commensurables (en G) por pares. Entonces existe una partición
N \ {1} =
k=1Xk de N \ {1} en una unión (disjunta) de subconjuntos G-independientes
X1,. ................................................. Además, cada subconjunto Xk
será invariante bajo conjugación por elementos de G.
Prueba. Desde
Se trata de una relación de equivalencia en Gâ 1}, se puede encontrar la correspondiente
descomposición: G \ {1} =
JJ Yj, donde Yj es una clase de equivalencia para cada JJ.
Para cada k = 1,..., l, existe j(k) • J de tal manera que xk • Yj(k). Tenga en cuenta que
j(k) 6= j(m) si k 6= m desde xk
6° xm.
Nota J ′ = J \ {j(1). ...............................................................
X1 = Yj(1) N,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Yj N.
Evidentemente N+1} =
k=1Xk, X1,. .., Xl son subconjuntos independientes de G y xk Xk
para cada k = 1,...., l. La propiedad final sigue de la construcción ya que para cualquier
a G y j J tenemos aYja
−1 = Yj y aNa
−1 = N.
Lemma 4.2. Para cada grupo contable C y cada n+N, n ≥ 2, existe un
grupo H libre de torsión contable que tiene un subgrupo normal M H tal que
i) M satisface (nCC);
ii) El M es 2 veces simple;
iii) la acción natural de H sobre M preserva las clases de conjugación de M;
iv) H/M = C.
Prueba. Que H ′0 sea el grupo libre de rango contable infinito. Elegir N
0 para que
H ′0/N
• C. Let F = F (x1,. .., xn−1) denotan el grupo libre libremente generado por
x1,. .., xn−1. Definir H0 = H
0 ∗ F y dejar que N0 sea el cierre normal de N
0 â € F en
H0. Evidentemente, H0/N0 = H
= C y los elementos x1,. ..................................................................................................
par de no-commensurable en H0.
Por Lemma 4.1, se puede elegir una partición de N0 \ {1} en la unión de H0-
subconjuntos independientes:
N0 \ {1} =
de modo que xk X0k para cada k = 1,...., n− 1.
Por corolario 3.3 existe un grupo sencillo sin torsión de dos límites
M1 con la propiedad (nCC) que contiene una copia de N0, tal que los subconjuntos X0k,
k = 1, 2,...., n − 1, son independientes en M1. Nota por H1 = H0 ∗N0 M1
producto amalgamado de H0 y M1 a lo largo de N0, y dejar que N1 sea el cierre normal
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 11
de M1 en H1. Tenga en cuenta que H1 es libre de torsión como un producto amalgamado de dos
grupos libres de torsión ([10, IV.2.7]).
Tenemos que verificar que los elementos x1,. .., xn−1 son pares no-commen-
asegurable en H1. De hecho, si un â ¬ X0k y b â ¬ X0l, k 6= l, se conjugan en H1 entonces
debe existir y1,. ............................................................................................................... ...................................................................................
z0y1 · · zt−1ytztaz
t−1 · · · y
Supongamos que t es mínimo posible con esta propiedad. Como conjugación por elementos
de H0 conserva X0k y X0l, podemos asumir que z0, zt = 1. Por lo tanto
y1z1 · · · zt−1ytay
t−1 · · · z
−1 H1= 1.
Por las propiedades de los productos amalgamados (véase [10, Ch. IV]), el lado izquierdo
en esta igualdad no se puede reducir, en consecuencia
t N0 \ {1} =
k=1 X0k.
Pero entonces ittay
t X0k por las propiedades de M1, contradiciendo la minimalidad de t.
Por lo tanto, hemos demostrado que xk
6° xl cuando k 6= l.
Supongamos que el grupoHi = Hi−1*Ni−1Mi, i ≥ 1, ya ha sido construido,
para que
0) Hi es contable y libre de torsión;
1) Ni−1 Hi−1;
2) Hi−1 = H0 ·Ni−1 y H0 •Ni−1 = N0;
3) Mi satisface (nCC);
4) x1,. .., xn−1 no son comparables en pareja en Hi.
Deja que Ni sea el cierre normal de Mi in Hi. Debido a la condición 4) y
Lemma 4.1, se puede encontrar una partición de Ni \ {1} en una unión de Hi-independiente
subconjuntos:
Ni \ {1} =
de modo que xk Xik para cada k = 1,...., n − 1. Por Lemma 3.2 hay una cuenta
grupo un Mi+1, con (nCC), que contiene una copia de Ni, en el que los subconjuntos Xik,
i = 1,...., n− 1, permanecen independientes. Set Hi+1 = Hi ∗Ni Mi+1. Ahora, es fácil de
verificar que los análogos de las condiciones 0)-3) mantienen para Hi+1 y
(4.1) Ni−1 ≤Mi ≤Ni ≤Mi+1.
El análogo de la condición 4) es cierto en Hi+1 por las mismas consideraciones que antes
(en el caso de H1).
Definir el grupo H =
i=1Hi y su subgrupo M =
i=1Ni. Observar que
la condición 0) implica que H está libre de torsión, condición 1) implica que M es
normal en H, y 2) implica que H = H0 ·M y H0 â € M = N0. Por lo tanto H/M =
H0/(H0-M) = C. Aplicando (4.1) obtenemosM =
i=1Mi, y por lo tanto, por las condiciones
3), 4) disfruta de la propiedad (nCC): cada elemento de M será un conjugado de xk
para algunos k {1,...., n− 1}. Desde x1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
simple, entonces así será M. Finalmente, 4) implica que xk
xl cuando k 6= l,
y, en consecuencia, la acción natural de H sobre M preserva sus clases de conjugación.
Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 4.3. Suponga que G es un grupo, N G, A, B ≤ G y : A → B es
un isomorfismo de tal manera que a) a n (es decir, las imágenes canónicas de a y a) en
12 ASHOT MINASYAN
G/N coinciden) para cada una de las A. Let L = â € ¢ G, t â € € TM tat−1 = â € (a), â € a â € Aâ € ser el
HNN-extensión de G con subgrupos asociados A y B, y dejar que K sea el normal
el cierre de N.N., t. en L. A continuación G.K. = N.
Prueba. Esta afirmación se deriva fácilmente de la propiedad universal de las extensiones HNN
y se deja como un ejercicio para el lector. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El próximo lema nos permitirá construir grupos (nCC) que no sean simples:
Lemma 4.4. Supongamos que H es un grupo contable libre de torsión y MH es un no-
subgrupo normal trivial. Entonces H puede ser incrustado isomórficamente en un contable
grupo G libre de torsión que posee un subgrupo normal K G tal que
1) G = HK y H + K = M ;
2) x, y G \ {1}, x) = y) si y sólo si h K tal que x = hyh−1,
donde : G → G/K es el homomorfismo natural; en particular, K
tener (2CC);
3) x, y G \ {1}, x
Si y sólo si (x)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Prueba. Elija un conjunto de representantes Z • H de cosets de H módulo M, en tal
forma en que cada coset está representado por un elemento único de Z y 1 /».
DefinirG(0)=H yK(0)=M. Enumerar los elementos de G(0)+1}: g1, g2,. ...
Primero incrustamos el grupo G(0) en un grupo sin torsión contable G1, que tiene un
subgrupo normal K1 G1, de tal manera que G1 = HK1, H K1 =M y para cada i ≥ 0
hay ti K1 y zi Z satisfactoria tigit
i = zi.
Supongamos que el grupo G(j), j ≥ 0, y K(j) G(j),
ya se han construido de modo que H ≤ G(j), G(j) = HK(j), H ≤ K(j) = M
y, si j ≥ 1, tjgjt
j = zj para algunos tj â € K(j) y zj â € Z. El grupo G(j+1),
que contenga G(j), se define como la siguiente extensión de HNN:
G(j + 1) = G(j), tj+1 tj+1gj+1t
j+1 = zj+1
donde zj+1 â € ¢ Z â € H es el representante único que satisface gj+1 â € zj+1K(j) en
G(j). Denota por K(j+1)G(j+1) el cierre normal de K(j), tj+1® en G(j+1).
Evidentemente, el grupo G(j + 1) es contable y libre de torsión, H ≤ G(j) ≤ G(j + 1),
G(j + 1) = HK(j + 1) y H (j + 1) = H (j) K(j) = M por Lemma 4.3.
Ahora, es fácil verificar que el grupo G1 =
j=0G(j) y su subgrupo normal
j=0K(j) disfrutar de las propiedades requeridas.
De la misma manera podemos incrustar G1 en un grupo sin torsión contable G2, que
tiene un subgrupo normal K2G2, de modo que G2 = HK2, HK2 =M y cada elemento
de G1 \ {1} se conjuga en G2 a un elemento correspondiente de Z. Desempeñar este tipo de actividades
un procedimiento infinitamente muchas veces logramos el grupo G =
i=1Gi y normal
subgrupo K =
i=1Ki G que satisfacen las afirmaciones 1) y 2) del lema. Lo es.
fácil de ver que la reclamación 2) implica 3), por lo que la prueba está terminada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5. Añadiendo generación finita
Teorema 5.1. Supongamos que H es un grupo libre de torsión contable y M es un no-
subgrupo normal trivial de H. Dejar F ser un arbitrario no elemental sin torsión
Grupo hiperbólico de palabras. Entonces existe un grupo Q sin torsión contable, que contiene
H, y un subgrupo normal N Q con las siguientes propiedades:
1. H es anormal en Q;
2. Q = H ·N y N •H =M ;
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIA 13
3. N es un cociente de F ;
4. el centralizador CQ(N) de N en Q es trivial;
5. por cada q â € TM a Q hay z â € TM a H tal que q
Prueba. El grupo Q se construirá como un límite directo de relativamente hiperbólico
grupos.
Paso 0. Set G(0) = H*F y F (0) = F ; entonces G(0) es hiperbólico relativo a su
El subgrupo H y F (0) es un subgrupo adecuado de G(0) por Lemma 2.6. LetN(0)G(0)
ser el cierre normal del subgrupo M,F en G(0). Evidentemente G(0) = H ·N(0)
y H N(0) = M. Enumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. ...................................................................................................
G(0): {q0, q1, q2,. .. }, de tal manera que g0 = q0 = 1.
Pasos 0-i. Suponga que los grupos G(j), j = 0,...., i, i ≥ 0, ya han sido
construido, de modo que
1o. para cada 1 ≤ j ≤ i hay un epimorfismo j−1 : G(j−1) → G(j) que es
inyective on (la imagen de) H en G(j − 1). Nota F (j) = j−1(F (j − 1)),
N(j) = j−1(N(j − 1));
2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤
G(j) es un subgrupo adecuado, j = 0,..., i;
3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M, j = 0,.... i;
4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j), j = 0,..., i;
5o. existe zj H tal que q̄j
* zj, j = 0,.... i, donde q̄j es la imagen
de qj en G(j).
Paso i+1. Que qâ € € € G(i), € i+1 € N(i) sean las imágenes de qi+1 y gi+1 en G(i).
Primero construimos el grupo G(i+1/2), su subgrupo normal Ki+1 y su elemento
ti+1 como se indica a continuación.
Si para algunos f • G(i), f q • i+ 1f
−1 = z + H, luego set G(i + 1/2) = G(i), Ki+1 =
N(i)G(i + 1/2) y ti+1 = 1.
De lo contrario, qÍñi+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i). Dado que G(i) es
libre de torsión, el subgrupo elemental EG(i)(qÍ+1) es cíclico, por lo que EG(i)(qÍ+1) = hx
para algunos h â € TM H y x â € N(i) (por 3â €), y qâ € i+1 = (hx)
m para algunos m â € ¢ Z. Ahora, por
Lemma 2.2, G(i) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1
y dejar que G(i + 1/2) sea la siguiente extensión HNN de G(i):
G(i + 1/2) = «G(i), ti+1 » ti+1(hx)t
i+1 = hyâ.
El grupo G(i+ 1/2) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.
Verifiquemos ahora que el subgrupo F (i) es adecuado en G (i + 1/2). De hecho,
de acuerdo con Lemma 2.7, hay dos elementos hiperbólicos f1, f2 o F (i) de infinito
orden en G(i) tal que fl
6° hx, fl
6o hi, l = 1, 2, y f1
6o f2. Entonces
G(i+1/2)
6o f2 de Lemma 3.1. Queda por comprobar que fl es un elemento hiperbólico
de G(i + 1/2) para cada l = 1, 2. Elija un elemento arbitrario w â € ¢ H y observar
que fl
6o w (ya que H es anormal en G(i) por Lemma 2.3, un poder no trivial de
fl se conjuga a un elemento de H si y sólo si fl se conjuga a un elemento de
H en G(i), pero este último es imposible porque fl es hiperbólico en G(i)). Aplicar
Lemma 3.1 de nuevo, tenemos que fl
G(i+1/2)
Por lo tanto f1, f2 o f (i) son
elementos hiperbólicos de orden infinito en G(i+1/2). La intersección EG(i+1/2)(f1)
14 ASHOT MINASYAN
EG(i+1/2)(f2) debe ser finito, ya que estos grupos son prácticamente cíclicos (por Lemma 2.2),
y f1 no se puede comparar con f2 en G(i+1/2). Pero G(i+ 1/2) está libre de torsión,
Por lo tanto, EG(i+1/2)(f1) (EG(i+1/2)(f2) = {1}. Por lo tanto, F (i) es un subgrupo adecuado de
G(i+ 1/2).
Lemma 4.3 asegura que H-Ki+1 =M donde Ki+1 G(i + 1/2) es el normal
el cierre de «N(i), ti+1», en G(i + 1/2). Por último, tenga en cuenta que
ti+1qçói+1t
i+1 = ti+1(hx)
mt−1i+1 = (hi)
m = z + H en G(i + 1/2).
Ahora, que el grupo G(i+ 1/2) se ha construido, set Ti+1 = i+1, ti+1}
Ki+1 y definir G(i+1) como sigue. Desde Ti+1 ·F (i) • Ki+1 G(i+1/2), podemos
aplicar el teorema 2.8 para encontrar un grupo G(i+1) y un epimorfismo : G(i+1/2) →
G(i + 1) de tal manera que Łi es inyector en H, G(i + 1) es libre de torsión e hiperbólico
en relación con (la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}
subgrupo de G(i + 1), y ker(eli) ≤ Ki+1. Denotan la restricción de los derechos de
G(i). A continuación, el valor de G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1) porque G(i + 1/2) fue generado por
G (i) y ti+1, y según la construcción, ti+1 (i) (F (i)) ≤ (i) (G (i)). Ahora,
después de definir F (i+1) = «i(F (i)», N(i+1) = «i(N(i)»), i+1 = «i(i+1)» (i+1)
y zi+1 = i(z) • H, vemos que las condiciones 1
En el caso que nos ocupa, cabe señalar que el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso que nos ocupa, el Tribunal de Primera Instancia ha incumplido las obligaciones que le incumben en virtud del artículo 2, apartado 1, del Reglamento (CEE) n° 1408/71.
cuando j = i+1. Las propiedades G(i+1) = H ·N(i+1) y N(i+1)G(i+1) son
consecuencias inmediatas de sus análogos para G(i) y N(i). Por último, observar que
1i (H-N(i+1)) = H · ker(
H N (i) · ker (l)
· ker(i)
H-Ki+1
· ker(i) =M · ker(i).
Por lo tanto H N (i+ 1) = M y la condición 3 ° se mantiene para G (i + 1).
Dejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que
F () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Entonces Q es
libre de torsión por 2°, N Q, Q = H · N y H °N = M por 3°. N ≤ F () por 4 °,
y 5o implica la condición 5 de la reclamación.
Desde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico
imagen de F (0) = F.
Para cualquier i, j â € N â € €, i < j, tenemos un epimorfismo natural â € € : G(i) → G(j)
De tal manera que si i < j < k entonces فارسىjk â â € € € € = â € € € € € €. Tome cualquier g de G(0). Desde F = F (0)
se genera finitamente, utilizando las propiedades de los límites directos uno puede mostrar que si
w = + 0 + g + CQ(F) en Q, luego + 0j(g) + + CG(j) (F (j)) para algunos j + N. Pero
CG(j)(F (j)) ≤ EG(j)(F (j)) = {1} (por fórmulas (2.2) y (2.3)) porque F (j) es
un subgrupo adecuado de G(j), por lo tanto w =
0j(g)
= 1, es decir, CQ(F) =
CQ(N) = {1}. Esto concluye la prueba. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
La siguiente declaración es bien conocida:
Lemma 5.2. Asumir G es un grupo y N G es un subgrupo normal tal que
CG(N) N, donde CG(N) es el centralizador de N en G. Entonces el cociente-grupo
G/N se incrusta en el grupo de automorfismo externo Out(N).
Prueba. La acción de G sobre N por conjugación induce un homomorfismo natural
Desde G hasta el grupo de automorfismo Aut(N) de N. Puesto que Ł(N) es exactamente el
grupo de automorfismos internos Inn(N) de N, se puede definir un nuevo homomorfismo
: G/N → Out(N) = Aut(N)/Inn(N) de la manera natural: (gN) = (g)Inn(N)
por cada gN + G/N. Queda por comprobar que es inyector, es decir, si g G \N entonces
(gN) 6=1 in Out(N); o, equivalentemente, (g) / Inn(N). De hecho, de lo contrario no hay
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 15
existiría un N tal que ghg−1 = aha−1 por cada h N, por lo tanto N 6 a−1g
CG(N), contradiciendo los supuestos. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Tenga en cuenta que para un grupo arbitrario N, cualquier subgrupo C ≤ Out(N) actúa naturalmente
sobre el conjunto de clases de conjugación C(N) del grupo N.
Teorema 5.3. Para cualquier n° N, n ≥ 2, y un grupo contable arbitrario C, C puede
ser incrustado isomórficamente en el grupo de automorfismo externo Out(N) de un grupo
N que cumplan las condiciones siguientes:
• N está libre de torsión;
• N se genera por dos elementos;
• N tiene (nCC) y la acción natural de C sobre C(N) es trivial;
• N es 2-boundedly simple.
Prueba. Por Lemma 4.2 podemos encontrar un grupo libre de torsión H y su normal
Subgrupo M que disfruta de las propiedades i) a iv) de su reclamación. Ahora, si F denota
el grupo libre de rango 2, podemos obtener un grupo libre de torsión contable Q juntos
con su subgrupo normal N que cumplen las condiciones 1-5 de la declaración de
Teorema 5.1.
Entonces N es libre de torsión y generado por dos elementos (como cociente de F ).
La condición 2 implica que Q/N = H/M = C y, por 4 y Lemma 5.2, C incrusta
dentro del grupo Out(N).
Usando la propiedad 5, por cada g â € N podemos encontrar u â € Q y z â € H tales que
ugu−1 = z â € N â € H = M. Desde Q = HN, hay h â € H y x â € N
tal que u = hx. Desde z, h−1zh M y la acción de H sobre M conserva
las clases de conjugación de M, hay r â € M tal que rh−1zhr−1 = z, por lo tanto
z = rh−1ugu−1(rh−1)−1 = rxgx−1r−1, donde v = rx â N. Así para cada g â N
hay v â € N tal que vgv−1 â € M. Evidentemente, esto implica que N es también 2 -
Delimitadamente simple. Como M ha (nCC), el número de clases de conjugación en N
ser a lo sumo n.
Supongamos que x1, x2 M y x1
x2. Entonces x1
x2 (por la propiedad (iii) de
la reclamación de Lemma 4.2), y como H es anormal en Q obtenemos x1
x2. Por lo tanto
x2, es decir, N también disfruta (nCC).
El hecho de que la acción natural de C sobre C(N) es trivial se deriva de la misma
propiedad para la acción de H en C(M) y la malnormalidad de H en Q. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora, procedamos con el
Prueba de Teorema 1.4. Primero aplicamos Lemma 4.4 para construir un grupo G y un
Subgrupo normal K G según su reclamación. Ahora, por Teorema 5.1, hay un
grupoQ, teniendo un subgrupo normal NQ tal que G es anormal en Q, Q = GN,
G N = K, rango (N) ≤ 2 (si se toma el grupo libre de rango 2 como F ) y cada
el elemento q • Q se conjuga (en Q) a un elemento de G. Por la reclamación 2) de Lemma 4.4,
K tiene (2CC), y un argumento, similar al utilizado en la prueba de Teorema
5.3, muestra que N también tendrá (2CC). En consecuencia, rango(N) > 1 porque N es
libre de torsión, por lo tanto rango (N) = 2.
Desde G = HK y H â € TM K = M tenemos Q = HKN = HN y H â € N =
H •K =M. Puesto que Q/N = H/M y N pueden ser generados por dos elementos, podemos
concluir que rango(Q) ≤ rango(H/M) + 2.
16 ASHOT MINASYAN
Considerar arbitraria x, y Q \ {1} y suponer que فارسى(x)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Por el teorema
5.1, hay w, z G \ {1} de tal manera que x
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* z. Por lo tanto (w)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
por lo tanto las imágenes de w y z en G/K también se conjugan. En la reclamación 3) de Lemma
4.4, w
z, lo que implica x
- Sí. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 1.4 proporciona una forma alternativa de obtener grupos libres de torsión que
tienen finitamente muchas clases de conjugación: para cualquier grupo contable C podemos elegir
un grupo libre H de rango contable y un subgrupo normal {1} 6= M H de modo que
H/M = C, y luego aplicar el teorema 1.4 al par (H,M) para obtener
Corollary 5.4. Asumir que n+N, n ≥ 2, y C es un grupo contable que
contiene exactamente (n− 1) clases distintas de conjugación. Entonces existe una libertad de torsión.
grupo Q y N Q tales que
• Q/N = C;
• N tiene (2CC) y Q tiene (nCC);
• rango(N) = 2 y rango(Q) ≤ rango(C) + 2.
Corollary 5.5. El grupo G1, dado por presentación (1.1), puede ser isomórficamente
incrustado en un grupo Q sin torsión de 2 generaciones que satisface (4CC) de tal manera
que t
t−1.
Prueba. Denotar por K el núcleo del homomorfismo : G1 → Z3, para el cual
*(a) = 0 y *(t) = 1, donde Z3 es el grupo de enteros módulo 3. Ahora, aplíquese.
Teorema 1.4 al par (G1,K) para encontrar el grupo Q, que contiene G1, y el normal
Subgrupo N Q de su reclamación. Puesto que Q/N = G1/K = Z3 tiene (3CC), el grupo
Q tendrá (4CC). También tenemos t
t−1 porque las imágenes de t y t−1 no son
conjugado en Q/N.
Elija un elemento q1 • Q \ N. A continuación, q2 = q
1 N \ {1} y puesto que N es 2
genera y tiene (2CC), hay q3 â € N tal que N = â € € TM q2, q3â € en Q. Como Q/N
es generado por la imagen de q1, el grupo Q será generado por {q1, q2, q3}, y,
En consecuencia, por {q1, q3}. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente
Que G sea un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados {H,
y dejar que X sea un conjunto de generación relativo simetrizado finito de G. Denote H =
(H/23370/ \ {1}).
Para una ruta combinatoria p en el gráfico de Cayley (G,X,H) (de G con respeto
p−, p+, L(p) y lab(p) denotarán el punto inicial, el punto final,
la longitud (es decir, el número de bordes) y la etiqueta de p respectivamente. p−1 will
ser el camino obtenido de p siguiéndolo en la dirección contraria. Además, si
es un subconjunto de G y g ≤ G, entonces g se utilizará para denotar la longitud de una
palabra más corta en 1 que representa g.
Utilizaremos la siguiente terminología de [20]. Supongamos que q es una ruta en
(G,X,H). Un subpath p de q se llama un componente H
simplemente un componente) de q, si la etiqueta de p es una palabra en el alfabeto H/23370/ \ {1} y
p no está contenido en un subpath más grande de q con esta propiedad.
Dos componentes p1, p2 de una ruta q en •(G,X • H) se llaman conectados si
son los componentes de la misma de la misma y existe una ruta c en la de la misma (G,X,H)
conectar un vértice de p1 a un vértice de p2 de manera que el laboratorio(c) se componga enteramente de letras
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 17
de H/23370/. En términos algebraicos esto significa que todos los vértices de p1 y p2 pertenecen a la
el mismo coset gH♥ para un determinado g â € ¬ G. Siempre podemos suponer c para tener longitud en
La mayoría de 1, ya que cada elemento no trivial de H.O. está incluido en el conjunto de generadores. Un
El componente p de una ruta q se llama aislado si ningún otro componente de la ruta de q es
conectado a p.
La siguiente declaración es un caso particular de Lemma 2.27 de [20];
muéstralo de una forma ligeramente más general, como aparece en [18, Lemma 2.7]:
Lemma 6.1. Supongamos que un grupo G es hiperbólico relativo a una familia de subgrupos
{H. Entonces existe un subconjunto finito de G y una constante de K N tal
que lo siguiente se mantiene. Let q ser un ciclo en G, X H, p1,. ..............................................................
de componentes aislados de q y g1,. ...............................................................
Lab(p1),. ..,Lab(pk) respectivamente. Entonces g1,. ..., gk pertenecen al subgrupo ≤ G
y las longitudes de la palabra de gi con respecto a
gi ≤ KL(q).
Definición. Supóngase que m (N y N) es un subconjunto finito de G. Define W(l,m) a
ser el conjunto de todas las palabras W sobre el alfabeto X â € ¢ H que tienen la siguiente forma:
W فارسى x0h0x1h1. .. xlhlxl+1,
donde l • Z, l ≥ −2 (si l = −2 entonces W es la palabra vacía; si l = −1 entonces W • x0),
hi y xi se consideran letras únicas y
1) xi • X • 1}, i = 0,..., l + 1, y para cada i = 0,..., l, existe • i) •
De los cuales: hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos, hellos.
2) en caso de que la letra i) de la letra i) = la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i) de la letra i).
3) i = 0,...., l.......................................................................................................................................................................................................................................................
Elija el subconjunto finito G y la constante K > 0 de acuerdo con la reclamación
de Lemma 6.1.
Recordemos que se dice que un camino q en •(G,X • H) es sin retroceso si todo de
sus componentes están aislados.
Lemma 6.2. Dejar q ser un camino en el gráfico de Cayley (G,X,H) con Lab(q)
W(,m) y m ≥ 5K. Entonces q es sin retroceso.
Prueba. Asumir lo contrario a la reclamación. Entonces uno puede elegir un camino q proveyendo
un contraejemplo de la longitud más pequeña posible. Así si p1,. ...............................................................
utive) lista de todos los componentes de q entonces l ≥ 2, p1 y pl debe estar conectado H -
componentes, para algunos , los componentes p2,. ..., pl−1 debe ser aislado, y q
comienza con p1 y termina con pl. Desde Lab(q) â € € € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Si l = 2 entonces la (X {1})-letra entre p1 y p2 pertenecería a H
contradiciendo la propiedad 2) de la definición de W(l,m).
Por lo tanto l ≥ 3. Dado que p1 y pl están conectados, existe una ruta v en
H) entre (pl)− y (p1)+ con Lab(v) H (así podemos asumir que L(v) ≤ 1).
Denotar por qâ € el subpath de q comenzando con (p1)+ y terminando con (pl)−. Tenga en cuenta que
L(q+) = L(q)−2 ≤ 2l−3, y p2,. ..., pl−1 es la lista de componentes de q®, todos los cuales
están aislados. Si uno de ellos estuviera conectado a v implicaría que está conectado
a p1 contradiciendo con la minimalidad de q. Por lo tanto, el ciclo o = qv posee
18 ASHOT MINASYAN
k = l − 2 ≥ 1 componentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................
Consecuentemente, aplicando Lemma 6.1 se obtiene que hi , i = 1,..., k, y
hi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + 1) ≤ K(2l− 2).
Por la condición 3) de la definición de W(l,m) uno tiene hi > m ≥ 5K para
cada i = 1,..., k. Por lo tanto
k · 5K ≤
hi ≤ K(2l− 2), o 5 ≤
2l − 2
que contradice la desigualdad k ≥ l − 2. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Definición. Considerar un ciclo arbitrario o = rqr′q′ en Ł(G,X H), donde Lab(q)
y Lab(q′) pertenecen a W(,m). Dejar p ser un componente de q (o q′). Diremos
que p es regular si no es un componente aislado de o. Si m ≥ 5K y, por tanto, q y
q′ son sin retroceso por Lemma 6.2, esto significa que p está conectado
a algún componente de q′ (respectivamente q), o a un componente de r o r′.
Lemma 6.3. En las anotaciones anteriores, suponga que m ≥ 7K y denote C =
max{L(r),L(r′)}. Entonces
a) si C ≤ 1 cada componente de q o q′ es regular;
(b) si C ≥ 2 entonces cada uno de q y q′ puede tener como máximo 4C componentes que son
No es normal.
c) si l es el número de componentes de q, entonces al menos (l− 6C) de componentes
de q están conectados a componentes de q′; y dos componentes distintos de q
no se puede conectar al mismo componente de q′. Similarmente para q′.
Prueba. Asumir lo contrario a (a). Entonces uno puede elegir un ciclo o = rqr′q′ con
L(r),L(r′) ≤ 1, con al menos un componente aislado en q o q′, y de manera que
L(q) + L(q′) es mínimo. Es evidente que esta última condición implica que cada componente
de q o q′ es un componente aislado de o. Por lo tanto q y q′ juntos contienen k
distintos componentes aislados de o, que representan elementos h1,. ......................................................
k ≥ 1 y k ≥ (L(q) − 1)/2 + (L(q′) − 1)/2. Aplicando Lemma 6.1 obtenemos
hola , i = 1,...., k, y
hi ≤ KL(o) ≤ K(L(q) + L(q)
′) + 2).
Recordemos que hi > m ≥ 7K por la propiedad 3) de la definición de W(l,m).
Por lo tanto
i=1 hi ≥ k · 7K, lo que implica
L(q′)
L(q)− 1
L(q′)− 1
que da lugar a una contradicción.
Demostremos (b). Supongamos que C ≥ 2 y q contiene más de 4C aislados
componentes de o. Examinaremos dos casos:
Caso 1. No hay ningún componente de q conectado a un componente de q′. Entonces un com-
el ponente de q o q′ sólo puede ser regular si está conectado a un componente de r o r′.
Puesto que, por Lemma 6.2, q y q′ son sin retroceso, dos componentes distintos
de q o q′ no se puede conectar al mismo componente de r (o r′). Por lo tanto q y
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 19
q′ juntos pueden contener como máximo 2C componentes regulares. Así el ciclo o tiene k
componentes aislados, que representan los elementos h1,. .......................................................................................
k ≥ (L(q)−1)/2+(L(q′)−1)/2−2C. Por Lemma 6.1, hola para cada i = 1,..., k,
i=1 hi ≤ K(L(q) + L(q)
′) + 2C). Una vez más podemos utilizar la propiedad 3)
de la definición de W(l,m) para lograr
L(q′)
L(q)− 1
L(q′)− 1
− 2C + 1 + 3C
L(q)− 1
L(q′)− 1
≤ 2 +
dando lugar a una contradicción.
Caso 2. La ruta q tiene al menos un componente que está conectado a un com-
poniente de q′. Let p1,. .., pl denota la secuencia de todos los componentes de q. Por parte
a), si ps y pt, 1 ≤ s ≤ t ≤ l, están conectados a componentes de q
′, entonces para cualquier
j, s ≤ j ≤ t, pj está conectado a algún componente de q
′ (porque q es sin espalda-
seguimiento por Lemma 6.2). Podemos tomar s (respectivamente t) para ser mínimos (respectivamente
máximo) posible. En consecuencia p1,. .., ps−1, pt+1,. .., pl contendrá el conjunto de
todos los componentes aislados de o que pertenecen a q, y ninguno de estos componentes
estar conectado a un componente de q′.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que s− 1 ≥ 4C/2 = 2C. Puesto que ps es
conectado a algún componente p′ de q′, existe una ruta v en
v− = (ps)−, v+ = p
+, Lab(v) â € H â € {1}, L(v) ≤ 1. Deje q̄ (respectivamente q̄
′) denotar
el subpath de q (respectivamente q′) de q− a (ps)− (respectivamente de p
+ a q
Considere un nuevo ciclo ō = rq̄vq. Razonando como antes, uno puede demostrar que ō tiene k
componentes aislados, donde k ≥ 2C ≥ 4 y k ≥ (L(q̄)−1)/2+(L(q)−1)/2−C−1.
Ahora, una aplicación de Lemma 6.1 al ciclo ō junto con la propiedad 3) de
la definición de W(l,m) conducirá a una contradicción como antes.
Por simetría, la declaración (b) del lema también es válida para q′.
La reclamación c) se deriva de b) y de la estimación L(r) + L(r′) ≤ 2C porque si
dos componentes diferentes p y p̄ de q fueron conectados al mismo componente de
algún camino en #(G,X #H), entonces p y p̄ también estarían conectados el uno con el otro,
que contradiría a Lemma 6.2. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 6.4. En las anotaciones anteriores, m ≥ 7K, C = max{L(r), L(r′)}, y
let p1,. .., pl, p
1,.., p
l′ ser las listas consecutivas de los componentes de q y q
Si l ≥ 12max{C, 1} + 2, entonces hay índices s, t, s′ N tales que
1 ≤ s ≤ 6C + 1, l − 6max{C, 1} ≤ t ≤ l y para cada i {0, 1,...., t − s}, la
componente ps+i de q está conectado al componente p
si de q
Prueba. Por parte (c) de Lemma 6.3, existen ≤ 6C +1 tales que el componente
ps está conectado a un componente p
s′ para algunos s
{1,.................................................................................................................. Por lo tanto hay un camino
r1 entre (p
s′)+ y (ps)+ con L(r1) ≤ 1. Considerar un nuevo ciclo o1 = r1q1r
donde q1 es el segmento de q de (ps)+ a q+ = r
− y q
1 es el segmento de q
de q = r
+ a (p
s′)+.
Observe que ps+1,. .., pl es la lista de todos los componentes de q1 y l−s ≥ l−6C−1 ≥
6max{1, C 1, por lo tanto, de acuerdo con la parte (c) de Lemma 6.3 aplicado a o1, hay
t ≥ l − 6max{1, C} > s de tal manera que pt esté conectado a p
t′ por medio de una trayectoria r
donde s′ + 1 ≤ t′ ≤ l′, (r′1)− = (pt)+, (r
1)+ = (p
t′)+ y L(r
1) ≤ 1. Considerar
20 ASHOT MINASYAN
si′ p
Gráfico 1
el ciclo o2 = r1q2r
2 en los que q2 y q
2 son los segmentos de q1 y q
1 de
(ps)+ = (r1)+ a (pt)+ y a partir de (p)
t′)+ a (p
s′)+ = (r1)− respectivamente (fig. 1).
Tenga en cuenta que ps+1,. .., pt es la lista de todos los componentes de q2 y p
s1,. .., p
t′ es la
lista de todos los componentes de q′2
. El ciclo o2 cumple los supuestos de la parte a) de
Lemma 6.3, por lo tanto para cada i {1,........................................................................................................................................................................................................................................................
de tal manera que ps+i está conectado a p
si′ (ps+i no se puede conectar a r1 [r
1] porque en
este caso estaría conectado a ps [pt], pero q es sin retroceso por Lemma
6.2).
Queda por demostrar que i′ = i para cada i. De hecho, si i′ < i para algunos
i {1,....., t − s} entonces se puede considerar el ciclo o3 = r1q3r
3, donde q3 y
q′3 son segmentos de q2 y q
2 de (q2)− = (r1)+ a (ps+i)+ y de (p)
si′ )+ a
(q′2)+ = (r1)−, respectivamente, y (r
3)− = (q3)+, (r
3)+ = (q
3)−, L(r
3) ≤ 1. De acuerdo
a la parte a) de Lemma 6.3, cada uno de los componentes ps+1,. ..., ps+i de q3 debe ser
conectado a uno de p′s1,. .., p
si′. Por lo tanto, ya que i
′ < i, dos componentes distintos
de q3 se conectará al mismo componente de q
, que es imposible por parte
c) de Lemma 6.3.
La desigualdad i′ > i llevaría a una contradicción después de una aplicación de un
argumento simétrico a q′3. Por lo tanto i
′ = i y se demuestra el lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 6.5. En las anotaciones anteriores, deje m ≥ 7K y C = max{L(r),L(r′)}. Por
cualquier número entero positivo d existe una constante L = L(C, d) N tal que si L(q) ≥ L
entonces hay d componentes consecutivos ps,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
s′,. .., p
sd−1 de
q1, de modo que ps+i está conectado a p
si para cada i = 0,...., d− 1.
Prueba. Elija la constante L de modo que (L − 1)/2 ≥ 12max{C, 1} + 2 + d.
p1,. .., pl ser la lista consecutiva de todos los componentes de q. Desde Lab(q)
tienen l ≥ (L − 1)/2 (debido a la forma de cualquier palabra de W(,m)). Así podemos
aplicar Lemma 6.4 para encontrar índices s, t de su reclamación. Por la elección de s y t, y
la estimación en l, tenemos t− s ≥ d+ 1, dando la declaración del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollary 6.6. Dejar G ser un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos adecuados
{H. Suponga que un â € TM â € TM, para algunos â € â € TM, es un elemento de orden infinito,
y x1, x2 â € ¬ G \ H0. Entonces existe k â € N tal que g = a
k1x1a
k2x2 es un
elemento hiperbólico de orden infinito en G cuando k1, k2 ≥ k.
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 21
Prueba. Sin la pérdida de la generalidad podemos asumir que x1, x2 x, desde relativa
hiperbólica no depende de la elección del conjunto de generación relativo finito
([20, Thm. 2.34]). Elija el subconjunto finito
de acuerdo con la reclamación de Lemma 6.1, y set m = 7K. Como el orden de una es infinito,
No hay k â € N tal que ak
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
≥ k. Asumir
que k1, k2 ≥ k.
Supongamos, en primer lugar, que gl = 1 para algunos l N. Considere el ciclo o = rqr′q′ en
(G,X,H) donde q− = q+ = 1, Lab(q) • (a)
k1x1a
k2x2)
l • W(,m) (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
se consideran como letras únicas del alfabeto X H) y r, r′, q′ son vías triviales
(consiste en un solo punto). Luego, por parte (a) de Lemma 6.3, cada componente de
q debe ser regular en o, lo que es imposible ya que q es sin retroceso según
a Lemma 6.2. Por lo tanto g tiene orden infinito en G.
Supongamos, ahora, que existe â â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
−1 = u.
Nota C = yXH. Puesto que el elemento u â € ¢ G tiene un orden infinito, existe l â € TM N tales
que 2l ≥ 6C+2 y ul / {h : h ≤ m}. La igualdad yg
ly−1u−l = 1 da
la altura del ciclo o = rqr′q′ en فارسى(G,X»,H), donde r y r′ son carriles de longitud C cuya
las etiquetas representan y en G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q)
k1x1a
k2x2)
l.o W.o.m.,
r = q+, q
− = r
+ = y(a)
k1x1a
k2x2)
ly−1 y Lab(q′) u−l (l) W(,m), L(q′) = 1.
Por parte c) de Lemma 6.3, al menos 2l − 6C ≥ 2 componentes distintos de q
estar conectado a componentes distintos de q′, lo que es imposible ya que q′ tiene sólo uno
componente. La contradicción muestra que g debe ser un elemento hiperbólico de G.
Lemma 6.7. Que G sea un grupo hiperbólico libre de torsión relativo a una familia de
Subgrupos {H, a {H°0 \ {1}, para algunos {0 â °, y t, u â € G \Hœ0. Supón
que existe kÃ3r â n de tal manera que para cada k ≥ kÃ3r el elemento g1 = a
ktakt−1
es conmensurable con g2 = a
kuaku−1 en G. Luego hay β, γ
Tal que u = γt, βa1 = a, 1aγ = a.
Prueba. Cambiando el conjunto de generación relativo finito X de G, si es necesario, podemos
Asumir que t, u, t−1, u−1 X. Deja que el subconjunto finito de G y G y la constante
K N se elegirá de acuerdo con Lemma 6.1. Definir m = 7K y suponer que k es
lo suficientemente grande como para satisfacer ak/ {h : h ≤ m}.
Dado que g1 y g2 son commensurables, existen l, l
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
ygl2y
−1 = gl
1. Let C = yXÃ3H, d = 8 y L = L(C, d) ser la constante de Lemma
6.5. Sin pérdida de generalidad, asumir que 4l ≥ L. Considere el ciclo o = rqr′q′
(G,X,H) de manera que r y r′ sean vías de longitud C cuyas etiquetas representen y
en G, r− = 1, q− = r+ = y, Lab(q)
kuaku−1)l â € € € € € € € € € € € € € € € € € € € € €. € €..................................................................................................................................................................................................................................
q = r
+ = yg
−1, Lab(q′) فارسى (aktakt−1)l
• W(,m), L(q′) = 4l′.
Ahora, por Lemma 6.5, hay subtrayectorias q? = p1s1p2s2p3s3p4 de q y q?
4 de q
1 tal que el Lab(pi)
k, Lab(p′i)
k, i = 1, 2, 3, 4, para
algunos de ellos (que depende del signo de l′), laboratorio(s1), laboratorio(s3), u,
Laboratorio(s2)
−1, Lab(s′1) • Lab(s)
3) t
*, Lab(s′2) * t
, para algunos 1, 1}, y
pi está conectado a p
i para cada i = 1, 2, 3, 4. Por lo tanto existen caminos
p1, p2, p3, p4 cuyas etiquetas representan, respectivamente, los elementos α, β, γ,
que (p01) = (p1)+, (p1)+ = (p
1)+, (p̃2)− = (p
2)+, (p2)+ = (p2)+, (p3)− = (p3)−,
(p̃3)+ = (p
3) -, (p04) - = (p
4)−, (p̃4)+ = (p4)− (ver Fig. 2).
Los ciclos s−11 pœ1s
2p‡2p
2, s2pс3s
p‡2 y s
3 pœ3p
El 3p4 da lugar a la creación de una sociedad de la información en la que la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información, la sociedad de la información y la sociedad de la información.
la bajada de las equivalencias en el grupo G:
u = αtaakβa−k, u = γt y u = a−kγakt.
22 ASHOT MINASYAN
p1 s1 p2 s2 p3 s3 p4
p′1 s
p. 1 p. 2 p. 3 p. 4
ak u ak u−1 ak u
a-ka-ka-ka-ka-k
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Gráfico 2
Consecuentemente, recordando que Hl0 es anormal (Lemma 2.3) y que t
# Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # Nos # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # Nos # # # # Nos # # # # # Nos # # # Nos # # # # # Nos # # # # # # # # Nos # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
βak1ak = t1αtà â â € â € â € â € â € â € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
H/23370/0t
• = {1}, y
ak1akγ = t1t â € â € â € â € TM t
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
= {1}.
(6.1) βak1 = ak y 1akγ = ak
para algunos β = β(k), γ = γ(k) Tenga en cuenta que
la prueba funciona para cualquier k suficientemente grande, por lo tanto podemos encontrar dos mutuamente
Números enteros positivos primos k, k′ con las propiedades anteriores de tal manera que â € (k) = â € (k′) = â € €
Denota = β(k′) y γ(k′), luego γt = u = t,
lo que implica
1 = t
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
= {1}.
Por lo tanto = β, = γ,
(6.2) βak
1 = ak
y 1ak
γ = ak
Queda por observar que, puesto que k y k′ son mutuamente primos, las fórmulas (6.1)
y (6.2) juntos rinden
βa1 = a y 1aγ = a,
q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos
Dejar G ser un grupo generado por un subconjunto A G y dejar O ser el conjunto de todos
palabras en el alfabeto A±1, que son triviales en G. Entonces G tiene una presentación de la
el siguiente formulario:
(7.1) G = â € A â € Oâ € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
Dado un conjunto simetrizado de palabras R sobre el alfabeto A, considere el grupo G1
definido por
(7.2) G1 = â € A â € O â € Râ € = â € G â € Râ €
Durante la prueba del resultado principal de esta sección utilizamos presentaciones (7.2) (o,
Equivalentemente, los conjuntos de retablos adicionales R) que satisfacen el
la condición de cancelación C1(, μ, , c, ). En el caso de los grupos hiperbólicos de la palabra esto
condición fue sugerido por Ol'shanskii en [16], y se generalizó después a
grupos hiperbólicos relativamente por Osin en [21]. Para la definición y la teoría detallada
remitimos al lector al artículo [21], ya que sólo utilizaremos las propiedades, que fueron
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 23
ya establecido allí. La siguiente observación es una consecuencia inmediata
de la definición:
Observación 7.1. Dejar que las constantes (j, μj, , c, /23370/j, j = 1, 2, satisfagan 0 < ≤ 1, 0 ≤ فارسى1 ≤
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no deberá exceder del 50 % del precio franco fábrica del vehículo. Si la presentación (7.2) disfruta de la condición
A continuación, también goza de la condición C1(2, μ2, 2, c, 2), y de la condición C1(1, 1, 1, c, 1).
También asumiremos que el lector está familiarizado con la noción de un van Kampen
diagrama sobre la presentación del grupo (7.2) (véase [10, cap. V] o [15, Ch. 4]). Dejad en paz.
Tal diagrama. Una célula Π de • se llama una célula-R si la etiqueta de su contorno de contorno
(es decir, la palabra escrita en él comenzando con algún vértice en el sentido contrario a las agujas del reloj
dirección) pertenece a R.
Considerar una ruta cerrada simple o = rqr′q′ en un diagrama
(7.2), de tal manera que q es un subcamino del ciclo límite de una célula R Π y q′ es un
subpath de. Dejado denotar el subdiagrama de la o. Asumiendo que
No tiene agujeros, ni células-R y L(r), L(r′) ≤
subdiagrama de Π a. La razón L(q)/L() se denominará grado de contigüidad
de Π a y denotado (Π,, ).
Un diagrama se dice que se reduce si tiene un número mínimo de células-R entre todos
los diagramas con la misma etiqueta de contorno.
Si G es un grupo hiperbólico relativo a una familia de subgrupos apropiados
un conjunto de generación relativo finito X, entonces G es generado por el conjunto A = X •
(Hola)
{1}), y el gráfico de Cayley (G,A) es un espacio métrico hiperbólico [20, Cor. 2.54].
En cuanto a cada condición de cancelación pequeña, la declaración principal de la teoría es
el siguiente análogo de Lemma de Greendlinger, alegando la existencia de una célula,
gran parte de cuyo contorno se encuentra en el límite del diagrama de van Kampen.
Lemma 7.2 ([21], Cor. 4.4. Supongamos que el grupo G es generado por un subconjunto A
tal que el gráfico de Cayley (G,A) es hiperbólico. Entonces para cualquier 0 < ≤ 1 hay
μ0 > 0 de tal manera que para cualquier μ â € (0, μ0] y c ≥ 0 haya â € 0 ≥ 0 y â € 0 > 0 con la
después de la propiedad.
Que la presentación simetrizada (7.2) satisfaga la condición C1(0, μ, , c, 0).
Además, vamos a ser un diagrama reducido de van Kampen sobre G1 cuyo contorno de contorno
es (l, c)-cuasigeodésico en G. Entonces, a condición de que tiene una célula-R, existe una célula-R
Π en los Estados miembros y en un subdiagrama de contiguidad de los Estados miembros de la Comunidad, de Π a, de modo que:
(Π,l, ) > 1− 23μ.
La aplicación principal de esta pequeña condición particular de cancelación es
Lemma 7,3 ([21], Lemmas 5.1 y 6.3). Para cualquier 0 < ≤ 1, c ≥ 0 y N > 0
existen μ1 > 0,1, 1 ≥ 0 y 1 > 0 de tal manera que para cualquier conjunto de palabras simetrizadas
R que cumplan las condiciones siguientes: C1(1, μ1, 1, c, 1)-condición:
1. El grupo G1 definido por (7.2) es hiperbólico en relación con la colección de
imágenes (Hola)}iI bajo el homomorfismo natural η : G→ G1.
2. La restricción de η al subconjunto de elementos que tienen longitud como máximo N con
el respeto a A es inyector.
3. Cualquier elemento que tiene un orden finito en G1 es una imagen de un elemento de
orden finito en G.
A continuación se muestra el lema principal de esta sección que más tarde se utilizará para probar
Teorema 1.5.
24 ASHOT MINASYAN
Lemma 7.4. Supongamos que G es un grupo hiperbólico libre de torsión en relación con una familia
de los subgrupos adecuados {Hi}iI, X es un conjunto de generación relativa finita de G, S es un adecuado
El subgrupo de G y U-G es un subconjunto finito. Supón que yo, un Hi0 \ {1}
y v1, v2+G son elementos hiperbólicos que no son comparables entre sí.
Entonces existe una palabra W (x, y) sobre el alfabeto {x, y} de tal manera que lo siguiente es
Cierto.
Denotar w1 = W (a, v1) G, w2 = W (a, v2) G, y dejar que w2 sea el normal
cierre de w2 en G, G1 = G/w2 y η : G → G1 ser el epimorfismo natural.
• η es inyector en {H • U y G1 es hiperbólico en relación con la familia
(H/23370/);
• η(S) es un subgrupo adecuado de G1;
• G1 está libre de torsión;
• η(w1) 6= 1.
Prueba. Por Lemma 2.7 hay elementos hiperbólicos v3, v4 S tal que vi
6o vj si
1 ≤ i < j ≤ 4. Entonces por Lemma 2.2, el grupo G es hiperbólico relativo a lo finito
Recolección de subgrupos
j=1{EG(vj)}, y generado por el conjunto
A = X
EG(vj)
\ {1}.
Let G y K N denotar el subconjunto finito y la constante lograda después de un
aplicación de Lemma 6.1 a esta nueva colección de subgrupos periféricos.
Definir m = 7K, = 1/3, c = 2 y N = maxuA : u U} + 1. Elegir
μj > 0, Łj ≥ 0 y /23370/j > 0, j = 0, 1, según las alegaciones de Lemmas 7,2
y 7.3. Dejemos que L = L(C, d) > 0 sea la constante dada por
Lemma 6.5 donde C = 0 y d = 2. Es evidente que existe n o N tal que, para
μ = (3 11)/n, uno tiene
0 < μ ≤ min0, μ1}, 2n(1− 23μ) > L, y 2n > max0,
F() =
h : h ≤ max{K(32 70),m}
Puesto que el subconjunto F () es finito, podemos encontrar k • N de tal manera que ak
1, v
2 / F(♥)
cuando k′ ≥ k. Considere la palabra
W (x, y) فارسى xkykxk+1yk+1. .. xk+n−1yk+n−1.
Que wj G sea el elemento representado por la palabraW (a, vj) en G, j = 1, 2, y que
R es el conjunto de todos los cambios cíclicos de W (a, v2) y sus inversas. Por Lemma 2.3, Hi0
EG(v2) = {1} porque G está libre de torsión, por lo tanto por [21, Thm. 7.5] la presentación
(7.2) cumple la condición C1( siguientes, μ, 1/3, 2, 2n), y por lo tanto, mediante la Observación 7.1,
cumple las condiciones C1(0, μ, 1/3, 2,0) y C1(1, μ1, 1/3, 2,1).
Observe que w1 6= 1 en G porque, de lo contrario, habría existido un cerrado
ruta q en Ł(G,A) etiquetada con la palabra W (a, v1), y, por parte (a) de Lemma 6.3,
todos los componentes de q habrían sido regulares en el ciclo o = rqr′q′ (donde r, r′, q′
son caminos triviales), lo que es obviamente imposible.
Denotar G1 = G/w2 y dejar η : G → G1 ser el epimorfismo natural. Entonces,
de acuerdo con Lemma 7.3, el grupo G1 es libre de torsión, hiperbólico relativo a
# Hola # # I # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I # # I #
j=1(EG(vj))} y η es inyector en el conjunto
¡Hola!
j=1 EG(vj)
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 25
U (porque la longitud en A de cualquier elemento de este conjunto es como máximo N). Desde cualquier
grupo elemental es palabra hiperbólica, G1 es también hiperbólica relativa a (Hola)}iI
(por Lemma 2.4) y η(v3), η(v4) η(S) se convierten en elementos hiperbólicos de infinito o-
der en G1, que no son comparables entre sí (por Lemma 2.3). Por lo tanto
EG1(η(v3)) • EG2(η(v4)) = {1} (recordemos que estos subgrupos son cíclicos por Lemma
2.2 y porque G1 está libre de torsión), y, por consiguiente, η(S) es un subgrupo adecuado
de G1.
Supongamos que η(w1) = 1. Por Lemma de van Kampen existe una reducción
diagrama plano sobre la presentación (7.2) con la palabra W (a, v1) escrita en su
límite. SinceW (a, v1)
6 = 1, posee al menos una célula-R. Fue probado en [21,
Lemma 7.1] que cualquier camino en •(G,A) etiquetado por W (a, v1) es (1/3, 2)-cuasigeodésico,
por lo tanto, podemos aplicar Lemma 7.2 para encontrar una R-célula Π de....................................................................................................................................................................................................................................................
(que no contienen R-células) entre Π y de tal manera que (Π,,) >
1− 23μ. Por lo tanto, existe un ciclo o = rqr′q′ en Ł(G,A) de tal manera que q está etiquetado por un
subpalabra de (un cambio cíclico de) W (a, v2), q
′ está etiquetada con una subpalabra de (un cambio cíclico
de) W (a, v1)
±1, L(r), L(r′) ≤ 0 = C y
L(q) > (1− 23μ) · L() = (1− 23μ) · 2n > L.
En particular, Lab(q), Lab(q′) Por lo tanto, podemos aplicar Lemma 6.5 a
encontrar dos componentes consecutivos de q que están conectados a algunos componentes de
q′. Debido a la forma de la palabra W (a, v2), uno de los
EG(v2)-componente, pero q
′ puede tener sólo EG(v1)- o Hi0 -componentes. Esto da resultados
una contradicción porque EG(v2) 6= EG(v1) y EG(v2) 6= Hi0. Por lo tanto η(w1) 6= 1 en
G1, y la prueba está completa. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)
Lemma 8.1. Existe una palabra R(x, y) sobre el alfabeto de dos letras {x, y} tales
que cada palabra libre de torsión no elemental del grupo hiperbólico F1 tiene un no-elemen-
tary torsion-free palabra cociente hiperbólico F que se genera por dos elementos a, b
F satisfactoria
(8.1) R(a, b)
6= 1, R(a−1, b−1)
= 1, R(b, a)
= 1, R(b−1, a−1)
Prueba. Considere la palabra
R(x, y) فارسى xy101x2y102. x100y200.
Denotar por F (a, b) el grupo libre con los generadores libres a, b. Vamos.
R1 = {R(a, b), R(a)
−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)},
y R2 ser el conjunto de todas las permutaciones cíclicas de palabras de R
1. Es fácil de ver.
que el conjunto R2 satisface la condición clásica de cancelación pequeña C
′(1/8) (véase [10,
Ch. V]). Denotar por Ñ el cierre normal del juego
R3 = {R(a)
−1, b−1), R(b, a), R(b−1, a−1)}
en F (a, b). Dado que la simetría de R3 también satisface C
′(1/8), el grupo F
F (a, b)/Ñ está libre de torsión ([10, Thm. V.10.1]) grupo de palabras hiperbólicas (porque
tiene una presentación finita para la cual la función Dehn es lineal por [10, Thm. V.4.4])
de tal manera que
R(a, b)
6= 1 pero R(a−1, b−1)
= R(b, a)
= R(b−1, a−1)
26 ASHOT MINASYAN
De hecho, si la palabra R(a, b) eran triviales en Fû entonces, por Lemma de Greendlinger [10,
Thm. V.4.4], que contendría más de la mitad de un
R3 como subpalabra, lo que contradice el hecho de que R2 disfruta de C
′(1/8).
El grupo F‡ no es elemental porque cada grupo elemental libre de torsión es
cíclico, por lo tanto, abeliano, pero en cualquier grupo abeliano la relación R(a−1, b−1) = 1 implica
R(a, b) = 1.
Ahora, el producto libre Gś = Fś ∗F1 es un grupo hiperbólico libre de torsión. Sus subgrupos
Fū y F1 no son elementales, por lo tanto, según un teorema de Ol'shanskii [16,
Thm. 2], existe una palabra no elemental sin torsión hiperbólica grupo F y
a homomorfismo
F. Por lo tanto F es un cociente de F1, los elementos a, b generar F
y disfrutar de las relaciones requeridas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora estamos listos para probar el Teorema 1.5.
Prueba de Teorema 1.5. El argumento será similar al que se usó para probar el...
orem 5.1.
En primer lugar, establecer n = 2 y aplicar Lemma 4.2 para encontrar un grupo libre de torsión H
y un subgrupo normal M H, donde H/M = C y M tiene (2CC) (alternativamente,
uno podría comenzar con un grupo libre H ′ y M ′ H ′ de tal manera que H ′/M ′ C, y luego
aplicar Lemma 4.4 al par (H ′,M ′) para obtener H y M con estas propiedades).
Considere la palabra R(x, y) y el grupo hiperbólico libre de torsión F, generado por
los elementos a, b • F que satisfacen (8.1), dados por Lemma 8.1. Nota G(−2) =
H* F y dejar que N(−2) sea el cierre normal de M, F en G(−2), F (−2) = F,
R(−2) = {R(a, b)} – un subconjunto finito de F (−2). Por Lemma 2.6, G(−2) será
hiperbólico en relación con el subgrupo H, G(−2) = H ·N(−2), H •N(−2) =M y
F (−2) será un subgrupo adecuado de G(−2).
El elemento a F (−2) será hiperbólico en G(−2) y desde el grupo G(−2)
es libre de torsión, el subgrupo elemental máximo EG(−2)(a) será cíclico generado
por algún elemento h−2x−2, donde h−2 â € H, x−2 â € N(−2).
Elija y -2 â € M de modo que h -2y -2 6= 1. Por Lemmas 2.2 y 2.5, la HNN-
extensión
G(−3/2) = •G(−2), t−1 • t−1h−2x−2t
−1 = h−2y−2
es hiperbólico en relación con H. Como en la prueba de Teorema 5.1, se puede verificar que F (−3)
es un subgrupo adecuado de G(−3/2), y aplicar Teorema 2.8 para encontrar un epimorfismo
2 : G(−3/2) → G(−1) de tal manera que G(−1) es un grupo sin torsión hiperbólico relativo
a 2(H), 2 es inyector en H (−2) y 2(t−1) F (−1) donde F (−1) =
2(F (−2)) es un subgrupo adecuado de G(−1). Por lo tanto 2(G(−2)) = G(−1) como
G(−3/2) fue generado por G(−2) y t−1.
Nota N(−1) = 2(N(−2)), R(−1) = 2(R(−2)) y 2 = 2G(−2):
G(−2) G(−1). Uno puede mostrar queG(−1) = H ·N(−1) yH •N(−1) =M usando
los mismos argumentos que en la prueba de Teorema 5.1. Según la construcción,
Tenemos
2(t−1)2(a)2(t)
−1) = η(t−1at
-1) - N(−1) - H = M
en G(−1), por lo tanto, puesto que la conjugación por 2(t−1) es un automorfismo interno
de F (−1), podemos suponer que F (−1) es generada por a−1 y b−1, donde a−1 â € M
y R(a−1, b−1) 6= 1 en F (−1) (porque 2(R(a, b)) 6= 1 en F (−1)).
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 27
Ahora, si b−1 no es un elemento hiperbólico de G(−1), es decir, si b−1
G(−1)
C para algunos
c H, luego c N(−1)H = M, y puesto que M tiene (2CC) podemos encontrar s−1 G(−1)
tal que b−1 = s−1a−1s
−1. En este caso definimos G(0) = G(−1), N(0) = N(−1),
F (0) = F (−1), R(0) = R(−1), a0 = a−1, s0 = s−1 y 1 = idG(−1).
De lo contrario, si b−1 es hiperbólico en G(−1), entonces construimos el grupo G(0),
y un epimorfismo 1 : G(−1) → G(0) de una manera análoga, para asegurarse de que
1 es inyector en H R(−1), G(0) sin torsión e hiperbólico relativo a (la
imagen de) H, F (0) = 1(F (−1)) es un subgrupo adecuado de G(0), G(0) = H ·N(0)
y H N(0) = M donde N(0) = 1(N(−1)), y b0 = s0a0s
0 en G(0) donde
b0 = 1(b−1), a0 = 1(a−1) para algunos s0 • G(0)
Enumerar todos los elementos de N(0): {g0, g1, g2,. . }, y de G(0): {q0, q1, q2,. .. },
así que g0 = q0 = 1.
Los grupos G(j) junto con N(j)G(j), F (j) ≤ G(j), subconjuntos finitos R(j)
G(j), y los elementos aj, sj • G(j), j = 1, 2,...., que construiremos satisfarán
las siguientes propiedades:
1o. para cada j • N hay un epimorfismo •j−1 : G(j − 1) → G(j) que es
inyectora de H+R(j− 1). F (j) = j−1(F (j − 1)), N(j) = j−1(N(j − 1)),
aj = •j−1(aj−1) •M, sj = •j−1(sj−1) • G(j);
2o.............................................................................................................................................. G(j) está libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de) H, y F (j) ≤
G(j) es un subgrupo adecuado generado por aj y sjajs
3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 3o ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° G(j) = H ·N(j), N(j)G(j) y H •N(j) =M ;
4o. la imagen natural j de gj en G(j) pertenece a F (j);
5o. existe zj H tal que q̄j
* zj, donde q̄j es la imagen de qj en G(j);
6o. si j ≥ 1, q̄j−1 â ¬ G(j − 1) \H y para cada kâ ¬ N hay k ≥ kâ € de tal manera que
akj−1sj−1a
G(j−1)
6o akj−1q̄j−1a
j−1q̄
j−1, entonces hay una palabra Rj−1(x, y)
sobre el alfabeto de dos letras {x, y} que satisface
R(j) j−1
Rj−1(aj−1, sj−1aj−1s
6= 1 y
Rj−1(aj−1, q̄j−1aj−1q̄
=1 en G(j).
Supongamos que los grupos G(0),. .., G(i) ya se han definido. El grupo
G(i+1) se construirá en tres pasos.
En primer lugar, supóngase que q̄i • G(i) \ H y para cada kâ · N hay k ≥ kâ ° tal que
aki sia
6o aki q̄ia
i. Obsérvese que si / H porque, de lo contrario, uno podría
tener F (i) H, lo que es imposible, ya que F (i) es adecuado en G (i). Por lo tanto, por
Corollary 6.6, podemos suponer que k es tan grande que los elementos v1 = a
i sia
y v2 = a
i q̄ia
i son hiperbólicos en G(i). Aplicando Lemma 7.4 podemos encontrar un
palabra W (x, y) sobre {x, y} tal que el grupo G(i+1/3) = G(i)/W (ai, v2) y
el epimorfismo natural η : G(i) → G(i + 1/3) satisfacen lo siguiente: η es inyector
en H • R(i), G(i + 1/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con (la imagen de)
H, η(F (i)) ≤ G(i + 1/3) es un subgrupo adecuado, y η(W (ai, v1)) 6= 1. Definir la
palabra Ri(x, y) • W (x, x
kyk). Entonces Ri(ai, siais
i ) = W (ai, v1), Ri(ai, q̄iaiq̄
i ) =
W (ai, v2) en G(i), por lo tanto
Ri(ai, siais
6= 1 y η
Ri(ai, q̄iaiq̄
= 1 en G(i + 1/3).
28 ASHOT MINASYAN
Si, por otro lado, q̄i H o hay kâr â € N tal que por cada k ≥ kâ € uno tiene
aki sia
فارسى aki q̄ia
i, entonces definimos G(i+1/3) = G(i), η : G(i) → G(i+1/3)
ser el homomorfismo idéntico y Ri(x, y) ser la palabra vacía.
Denotar las imágenes de gi+1 y qi+1 en G(i + 1/3) y Qí+1 en G(i + 1/3)
η(N(i)), FÃ3r (i) = η(F (i)) y RÃ3r(i) = η
R(i) {Ri(ai, siais)
. Entonces, usando 3o,
Obtenemos G(i + 1/3) = H · N+(i) y H+N+(i) = M porque ker(η) ≤ N(i) (como
ai, q̄iaiq̄
i) N(i)).
Ahora construimos el grupo G(i + 2/3) exactamente de la misma manera que el grupo
G(i+ 1/2) fue construido durante la prueba de Teorema 5.1.
Si para algunos f • G(i + 1/3), f q • i + 1f
−1 = z • H, luego set G(i + 2/3) = G(i),
Ki+1 = No(i)G(i + 2/3) y ti+1 = 1.
De lo contrario, qáši+1 es un elemento hiperbólico de orden infinito en G(i + 1/3). Desde
G(i + 1/3) es libre de torsión, uno tiene EG(i+1/3)(qáñi+1) = áhxÃ3n para algunos h à H y
x â € € TM Nâ € (i), y hay m â € € TM Z tal que qâ € i + 1 = (hx)
m. Ahora, por Lemma 2.2,
G(i + 1/3) es hiperbólico relativo a {H, hx. Elija y â € M para que hy 6= 1 y
que G(i+ 2/3) sea la siguiente extensión HNN de G(i + 1/3):
G(i + 2/3) = G(i + 1/3), ti+1 ti+1(hx)t
i+1 = hyâ.
El grupo G(i + 2/3) es libre de torsión e hiperbólico en relación con H por Lemma 2.5.
Se puede demostrar que F® (i) es un subgrupo adecuado de G(i + 2/3) de la misma manera que
durante la prueba de Teorema 5.1. Lemma 4.3 asegura que H-Ki+1 = M donde
Ki+1 G(i+2/3) es el cierre normal de â € € TM nâ € (i), ti+1â € en G(i+2/3). Por último, nota
ti+1qçói+1t
i+1 = ti+1(hx)
mt−1i+1 = (hi)
m = z + H en G(i + 2/3).
Definir Ti+1 = i+1, ti+1} Ki+1. El grupo G(i + 1) se construye a partir de
G(i+2/3) de la siguiente manera. Desde Ti+1 · Fâ € (i) · Ki+1G(i+2/3), podemos aplicar el teorema
2.8 para encontrar un grupo G(i + 1) y un epimorfismo : G(i + 2/3) → G(i + 1) tales
que el i es inyector en el H-R-i, G-i-+1 está libre de torsión e hiperbólico en relación con el
(la imagen de) H, i(i+1), Łi(ti+1)}
de G(i + 1), y ker(Łi) ≤ Ki+1. Denota por : G(i) → G(i + 1) la composición
No. No. No. No. No. No. No. No. No. No. No. A continuación, se genera G(i) = G(i) = G(i) = G(i) + 1 porque G(i + 2/3)
por G(i) y ti+1, y según la construcción, ti+1
Ahora, después de definir F (i+1) = i(F (i)), N(i+1) = i(N(i)), R(i+1) = i(R®(i)),
i+1 = i(i+1) F (i+1) y zi+1 = i(z) H, vemos que las condiciones 1
5o período de sesiones
mantener en el caso cuando j = i + 1, como en la prueba de Teorema 5.1. La última propiedad
6o sigue de la forma en que construimos el grupo G(i + 1/3).
Dejar que Q = G() sea el límite directo de la secuencia (G(i), i) como i → , y dejar que
F () y N = N() serán los límites de los subgrupos correspondientes. Vamos a, b,
y ser las imágenes de a0, b0 y s0 en Q respectivamente. A continuación, b. = s............................................................................................................
*, Q
está libre de torsión por 2°, N Q, Q = H ·N y H °N =M por 3°, N ≤ F () por 4°.
Por lo tanto, Q/N = H/M = C.
Desde F (0) ≤ N(0) obtenemos F () ≤ N. Así N = F () es un homomórfico
imagen de F (0) = F, y, en consecuencia, es un cociente de F1. Por 5
# Para cualquier q # N
hay z • H y p • Q de tal manera que pqp−1 = z. En consecuencia z • H • N = M.
Elija x â € N y h â € H para que p = hx. Puesto que M tiene (2CC) y h−1zh M,
hay y M tal que yh−1zhy−1 = z, por lo tanto (yx)q(yx)−1 = z M y
GRUPOS CON MUCHAS CLASES DE CONJUGACIÓN 29
Por lo tanto, cada elemento q de N se conjugará (en N) a un
elemento de M, y como M tiene (2CC), por lo tanto el grupo N también tendrá (2CC).
La propiedad que CQ(N) = {1} se puede establecer de la misma manera que en
Teorema 5.1. Por lo tanto, el homomorfismo natural Q → Aut(N) es inyector. Lo siento.
sigue siendo para demostrar que es sujetivo, es decir, para cada Aut (N) hay g Q
tal que فارسى(x) = gxg−1 por cada x • N. Puesto que todos los elementos no triviales de N son
conjugado, después de componer Ł con un automorfismo interno de N, podemos asumir
eso es, a) = a). Por otra parte, existen qÃ3n à n y i à n de tal manera que
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
La imagen de Q es la imagen de Q en Q. Tenga en cuenta que sâ € / € H porque
si G(i) \ H para cada i(i) N. Esto implica que H es un subgrupo adecuado de N,
Por lo tanto, se trata de una medida que no se aplica a las importaciones procedentes de la República Popular China.
• ≤ Q, y • a • H. Por lo tanto
q̄i G(i) \H.
Ahora tenemos que considerar dos posibilidades.
Caso 1: para cada kÃ3r à r N hay k ≥ kà r tal que
aki sia
6o aki q̄ia
Entonces hay una palabra Ri(x, y) tal que la propiedad 6
Se mantiene para j = i + 1. Y,
ya que cada j es inyector en {1} Rj (por 2
•), llegamos a la conclusión de que
Ri(a), s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a) s(a)
6 = 1 y Ri(a),q
(+ ) = 1 en Q,
lo que contradice la inyectividad de............................................................................................................... Por lo tanto, el Caso 1 es imposible.
Caso 2: las suposiciones del Caso 1 fallan. Entonces podemos usar Lemma 6.7 para encontrar
β, γ H y, 1, 1} de tal manera que q̄i = γs
iβ, βaiβ
−1 = ai y γ
−1aiγ = a
en G(i). Denotar por la imagen γ en Q, y para cualquier y Q dejar que Cy sea el
automorfismo de N definido por Cy(x) = yxy
−1 para todas las x + N.
Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # Si # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* y * b ) = q ) a q ) q ) a q ) b )..................................................................................................................................................................................................................................................
= s
por lo tanto
Aut(N) Cs1°
a- 7→ s-a
• = b
Índice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018
7→ a
Pero N no tiene tales automorfismos porque R (a), b), 6 = 1 y R (b)
(+) = 1 in
N (ya que N es un cociente de F y 1 6= R(a0, b0) R(0) en G(0)).
Por lo tanto = 1. Del mismo modo, = 1, ya que de lo contrario obtendríamos una contradicción
con el hecho de que R(a−1•, b
* ) = 1 en N. Por lo tanto.
Aut(N) C1°
a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- a- 7→ a- 7→ a- 7→ a-
Índice de las emisiones de gases de efecto invernadero de los Estados miembros de la Unión Europea a partir del 1 de enero de 2018
• 7→ sznaoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
* = b. = b...........................................................................................................................................
Y ya que a• y b• generan N concluimos que para todos x • N, • (x) = gxg
donde g = Q. Por lo tanto, el homomorfismo natural de Q a Aut (N) es bijetivo,
lo que implica que Out(N) = Aut(N)/Inn(N) + Q/N = C. Q.e.d. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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Facultad de Matemáticas, Universidad de Southampton, Highfield, Southampton, SO17
1BJ, Reino Unido.
Dirección de correo electrónico: aminasyan@gmail.com
http://arxiv.org/abs/math/0411039
1. Introducción
2. Grupos relativamente hiperbólicos
3. Grupos con muchas clases de conjugación finitamente
4. Subgrupos normales con (nCC)
5. Añadiendo generación finita
6. Combinación de caminos en grupos hiperbólicos relativamente
7. Pequeña cancelación en grupos relativamente hiperbólicos
8. Cada grupo es un grupo de automorfismos externos de un grupo (2CC)
Bibliografía
|
704.0092 | Energy density for chiral lattice fermions with chemical potential | Densidad de energía para fermiones de celosía quiral con potencial químico
Christof Gattringera y Ludovit Liptakb
Institut für Physik, FB Theoretische Physik, Universität Graz,
Universitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria
Instituto de Física, Academia Eslovaca de Ciencias,
Dúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava 45, República Eslovaca
Estudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición a densidad finita. En particular, nosotros
calcular la densidad de energía en función del potencial químico y la temperatura. Se muestra
que superponen los fermiones con el potencial químico se aproximan al comportamiento continuo correcto.
Números PACS: 11.15.Ha, 12.38.Gc
I. INTRODUCCIÓN
Durante las dos últimas décadas la teoría del medidor de celosía fue
convertido en una poderosa herramienta cualitativa para el análisis
QCD. Este progreso se debe, en parte, a los avances en la
los algoritmos y la tecnología informática, pero también en la
Se hicieron importantes avances en el lado conceptual. La mayoría
entre ellos se destaca la correcta aplicación de
simetría quiral en la celosía basada en el Ginsparg-
Ecuación Wilson para el operador de Dirac [1].
Una aplicación de las técnicas de celosía que ha visto un
mucha atención en los últimos años, es el estudio de QCD en
temperatura finita. La puesta en práctica de la
potencial químico μ, necesario para tal análisis, es
Sin embargo, no es sencillo. Es bien sabido [2], que
una introducción ingenua conduce a μ2/a2 contribuciones que
divergen en el límite continuo cuando el espaciado de celosía
a se envía a cero. Para las formulaciones más tradicionales, tales
como los Wilson o escalonados operadores Dirac, el problema
se ha resuelto mediante la introducción del potencial químico en
del mismo modo que el 4-componente del campo de gálibo.
Una aplicación satisfactoria del potencial químico
tial debe ser compatible con la simetría quiral en el
celosía basada en la ecuación de Ginsparg-Wilson. Cuándo
intento de introducir el potencial químico en el
sólo la solución de la ecuación de Ginsparg-Wilson saber en
forma cerrada, el operador de solapamiento [3], un potencial prob-
lem superficies rápidamente: definir la función de signo de un no-
matriz hermitana. En [4] Bloch y Wettig propusieron un
solución basada en una continuación analítica del signo
función en el plano complejo. Se demostró, que el
eigenvalue espectros de esta construcción coinciden con la expec-
tas de la teoría de matriz aleatoria.
En esta carta analizamos la propuesta [4] más adelante
y estudiar la densidad de energía de la superposición libre y sin masa
fermiones con potencial químico. La dependencia de la
densidad de energía en μ y la temperatura T permite un
análisis detallado de la formulación de celosía en la guarida finita
sity. De particular interés será la cuestión de si
la continuación analítica de la función de signo produce
términos μ2/a2 divergentes. Nuestro estudio indica la ausencia
de tales contribuciones y nos encontramos con que el μ y T de-
la pendencia de la densidad de energía se aborda correctamente.
II. ESTABLECIMIENTO DE LA CÁLCULO
La superposición de Dirac operador D(μ) para los fermiones con un
potencial químico μ se administra como
D(μ) =
[1− γ5 signH(μ)],
H(μ) = γ5 [1− aDW (μ)]. 1)..........................................................................................................................................................
La función de signo puede definirse a través del espectral
teorema para matrices. DW (μ) denota el Wilson habitual
Operador de Dirac,
DW(μ)x,y = 1
* x, y − (2)
Uj(x)Łx,y +
Uj(x− )x,y
U4(x)e
μa4ox+4o,y −
U4(x−4Ã3)†ea4Ã3x−4Ã3,y.
Para uso posterior distinguimos entre el espaciado de celosía
a en dirección espacial y la constante temporal de celosía
a4. Las condiciones periódicas de los límites se utilizan en el espacio
instrucciones, mientras que en la dirección del tiempo aplicamos antiperiódico
condiciones de frontera. El potencial químico μ es cou-
pled en la forma exponencial habitual [2].
Para la desaparición μ el operador Wilson Dirac es γ5-
hermitano, es decir, γ5DW (0)γ5 = DW (0)
†. Esto implica que
H(0) es una matriz hermitana. Tan pronto como el químico po-
μ tential se enciende, la γ5-hermicidad ya no se mantiene, y
H(μ) es una matriz general no hermitana. Este hecho tiene
dos consecuencias importantes: En primer lugar, los valores propios de
H(μ) ya no son reales y la función de signo para
número plex tiene que ser definido en la representación espectral
ión del signoH(μ). En segundo lugar, la representación espectral
tiene que ser formulado usando autovectores de izquierda y derecha.
Este último problema se tratará más adelante cuando se des-
la evaluación de la señalH(μ). Para la función de signo
de un número complejo utilizamos la continuación analítica
propuesta en [4] y definir la función de signo a través del
signo de la parte real
signo (x+ iy) = signo (x). 3)
http://arxiv.org/abs/0704.0092v2
Lo observable que estudiamos aquí es la densidad de energía.
definido como
•(μ) =
• H = 1
H e (HN)
= (4)
E(HN)
= − 1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Aquí H es el Hamiltoniano del sistema, N denota el
número operador y β = 1/T es la temperatura inversa
(en nuestras unidades la constante de Boltzmann k se establece en k = 1).
Los derivados de la segunda línea se toman de tal manera que
= c = const.
El resultado continuo para la densidad de energía restada
de fermiones libres sin masa (véase, por ejemplo, [5])
•(μ)− •(0) = μ
μ2T 2. 5)
Cuando se trabaja en la celosía, el inverso tempera-
β es dada por la extensión de la celosía en 4 direcciones, es decir,
β = N4a4. Por lo tanto la derivada en (4) se convierte en
N−14 Ł/Ła4. La función de partición Z es dada por la
fermión determinante detD que escribimos como el prod-
uct sobre todos los valores propios. Por lo tanto, encontramos
• (μ) = − 1
En detD
a4μ=c
= − 1
a4μ=c
= − 1
a4μ=c
. 6)
III. EVALUACIÓN DE LOS EGENVALUES
De acuerdo con (6), para la evaluación de
los valores del operador de Dirac D tienen que ser computados.
Esto se hace en tres pasos: Primero traemos el Dirac oper-
ator para fermiones libres a forma diagonal de 4 × 4 bloques, utilizando
La transformación de Fourier. Posteriormente, la representación espectral
la centrifugación se aplica a los 4 x 4 bloques de H para evaluar
signo H. Finalmente los valores propios de los bloques de D son
computado y sumando sobre el momento discretoa
todos los valores propios se obtienen.
Siguiendo esta estrategia, se encuentra para el Trans-Fourier
forma de H,
= γ5h5 + iγ5
h/, (7)
h5 = 1−
[1− cos(apj)]−
[1− cos(a4(p4 − iμ))],
hj = − sin(apj) para j = 1, 2, 3,
h4 = −
sin(a4(p4 − iμ)). (8)
Los momentos espaciales se dan por pj = 2ηkj/aN,
donde N es el número de puntos de celosía en el espacio
direcciones y kj = 0, 1... N − 1. El momento en el tiempo...
dirección p4 = η(2k4 + 1)/a4N4, k4 = 0, 1... N4 − 1.
La diagonalización restante de es similar a la
construcción de las funciones de eigen izquierda y derecha para el
Operador libre de Dirac. Uno encuentra que tiene dos diferentes,
valores propios doblemente degenerados
α1 = α2 = + s, α3 = α4 = − s, s =
h2 + h25, (9)
donde h2 =
/. Las correspondientes izquierdas y derechas.
eigenvectores, lj y rj son administrados por
l1 = l
1 [ + s1], l2 = l
2 [ + s1],
l3 = l
3 [ − s1], l4 = l
4 [ − s1],
r1 = [ + s1]r
1, r2 = [ + s1]r
r3 = [ − s1]r(0)3, r4 = [ − s1]r
4. (10)
Los espintores constantes l
j, r
j are (T es transposición)
1 = r
(0) T
1 = c (1, 0, 0, 0), l
2 = r
(0) T
2 = c (0, 1, 0, 0),
3 = r
(0) T
3 = c (0, 0, 1, 0), l
4 = r
(0) T
4 = c (0, 0, 0, 1).
La constante c = (2s + h5)
−1/2 asegura el correcto
normalización, de tal manera que los autovectores obedecen lirj = Łij.
Usando estos autovectores y el teorema espectral nosotros
encontrar para el signo el resultado simple
signo =
sign (lj) rj lj =
signo(s)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (12)
Conectando esto de nuevo a la fórmula de superposición (1) y di-
agonalizando el problema restante 4 × 4 uno encuentra dos
diferentes valores propios para el operador de solapamiento en un determinado
impulso,
1− signo (
h2 + h25 )h5 ± i
h2 + h25
, (13)
donde cada uno de los dos valores propios es doblemente degenerado.
La dependencia de impulso entra a través de la compo-
nents h/, h5 definidos en (8). En la suma espectral (6) la la-
bel n se ejecuta sobre todos los momentosa y los valores propios en fijo
impulso tal como se da en (13). El derivado necesario
con respecto a a4 es fácil de calcular en cerrado
forma, y la suma espectral (6) se puede resumir
Mericalmente. El argumento de la función de signo no puede ser-
vienen puramente imaginarios en una celosía finita, y no-como
los términos ocurren. Observamos, que después de tomar la derivada
con respecto a a4, establecemos a = a4 = 1, es decir, todos los resultados
Estamos presentes en las unidades de celosía.
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
/ 4η
FIG. 1: Densidad de energía (μ)(0) en función de μ4 (todos
en unidades de celosía). Los símbolos (conectados para guiar el ojo)
son para varios tamaños de celosía, la línea discontinua es el continuum
resultado.
IV. RESULTADOS
Comenzamos la discusión de nuestros resultados con la Fig. 1,
donde se muestra la densidad de energía restada (μ)− (0)
en función de μ4 para tres volúmenes de celosía diferentes. Por
esas retículas todos los 4 lados tienen igual longitud, es decir, en el
límite termodinámico corresponden a cero tempera-
tura. Por lo tanto, según (5), esperamos los datos (sim-
Bols in Fig. 1) aproximarse a la forma continua μ4/4η2
(línea bañada) como el volumen 4-d se envía al infinito.
La figura muestra claramente que los datos de celosía son pre-
dominantemente lineal cuando se traza frente a μ4 y que para
pequeños μ se acercan a la curva de continuum cuando el
el volumen se incrementa. Sin embargo, es obvio que también en
nuestra celosía más grande todavía queda una discrepancia para más grande
μ. En particular se encuentra una ligera curvatura hacia arriba, un
efecto de discretización que aquí, desde el espaciado de celosía
es sólo la extensión de celosía inversa, es también un tamaño finito
efecto. Además, para el pequeño μ se espera ver finito
las correcciones de temperatura de acuerdo con (5).
Para estudiar estas correcciones de temperatura finitas
sistemáticamente, analizamos celosías con tempo corto...
la extensión ral, es decir, las celosías con temperatura no disuelta.
Fig. 2 muestra los resultados correspondientes, donde de nuevo
trazar la densidad de energía restada en función de μ4.
La celosía con la extensión temporal más corta, 1283×8,
que corresponde a la temperatura más grande, muestra un
curvatura clara. Esta curvatura se debe a la T 2μ2/2
término en (5), que aparece como una raíz cuadrada cuando se trazó
como función de μ4. El efecto es visible también para el otro
retículas, pero se vuelve menos pronunciado como el temporal
se aumenta la extensión, es decir, se baja la temperatura T.
Con el fin de estudiar este efecto cuantitativamente, encajamos
resultados finitos de la temperatura a la forma continua (5) más
dos términos incluso en μ que parametrizan los efectos de corte
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
x 12
x 16
x 24
FIG. 2: Densidad de energía (μ) − (0) en función de μ4,
ahora para retículas de temperatura finitas (todas en unidades de retícula).
se observa en la Fig. 1. La función de ajuste es dada por
2 + c4 μ
4 + c6 μ
6 + c8 μ
8. (14)
Debido a (5) el coeficiente del término cuadrático debe
escala con la temperatura tal que uno espera
c2 T 2/2 = N−24 /2. (15)
El coeficiente para el término cuartico debe ser constante,
c4 â € € = 0,02533. 16)
Los resultados de la adecuación a los datos utilizados en la Fig. 2, y para
la celosía más grande de la Fig. 1 se presentan en el cuadro 1.
La tabla muestra que con el aumento de N4 los dos phys-
los parámetros c2 y c4 se aproximan a la val-
se espera de la fórmula de continuum (5): c2 obtiene
más cerca de N−24 /2, como se indica en la segunda columna, y c4
aproximaciones 1/4η2 = 0,02533. Para el tem finito más grande...
retícula de peratura 1283×24 la discrepancia se reduce al 9 %
/2 c2 c4 c6 c8
8 0,007812 0,010125 0,01519 0,010 -0,021
12 0,003472 0,004125 0,03178 0,023 -0,013
16 0,001953 0,002192 0,02803 0,029 -0,015
24 0,000868 0,000947 0,02587 0,025 -0,030
128 0.000030 0,000032 0,02543 0,015 0,016
CUADRO I: Resultados de los ajustes al formulario (14). El espacio
volumen es siempre 1283. Se da la extensión temporal N4
en la primera columna. En la segunda columna enumeramos el corre-
valor sponding de N−2
/2 que es lo que se espera para el
coeficiente de ajuste c2 en la tercera columna. El coeficiente c4 en
se espera que la cuarta columna se aproxime al valor constante
1/4η2 = 0,02533.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
-0,05
Overlap, 128
Wilson, 128
FIG. 3: La relación entre el valor de μ (μ) y el valor de μ (0)/μ4 en función del valor de μ (en
unidades de celosía). Comparamos los resultados de la superposición con los de
de los fermiones Wilson.
para c2, y 2 % para c4. La discrepancia más grande para los pequeños
N4 se puede entender como un efecto de discretización, ya que el
espaciamiento temporal de la celosía a4 está relacionado con la ex- temporal
tensión a través de a4 = 1/N4 y por lo tanto mayor N4 implica un
menor a4. Para la comparación también mostramos los resultados de ajuste
para la celosía 1284, que corresponde a cero temple-
ature. Allí encontramos un excelente acuerdo (menos del 1%)
(discreción) para el parámetro c4, que rige la
término en T = 0. La imagen general obtenida del ajuste
resultados es que se superponen los fermiones con el potencial químico
se reproducen muy bien tanto, el término μ4, así como la fi-
contribución de temperatura de nite T 2μ2/2. Concluimos que
la continuación analítica de la función de signo no en-
artefactos de celosía troduce, como el término μ2/a2 conocido
estar presente en una aplicación ingenua del producto químico
potencial.
En el paso final de nuestro análisis estudiamos la discretiza-
ión para valores mayores de μ y comparar la re-
los datos del operador Wilson estándar. In
Fig. 3 graficamos la relación ((μ)− (0))/μ4 en función de
μ. En el continuum en T = 0 esta relación tiene el valor
1/4η2 = 0,02533 indicado por la línea horizontal. Por
pequeños μ, hasta aproximadamente μ + 0,7, los datos de Wilson y la superposición
caen uno encima del otro. Por muy pequeño μ tanto opera-
tors muestran un aumento prominente que es un finito sobrante
efecto de la temperatura, que para la relación ((μ) − (0))/μ4
aparece como un término 1/μ2. En el intervalo entre μ = 0,1
y 0.5 los datos están cerca del valor continuo. Sé...
hace 0.5 los efectos de discretización inician y el solapamiento
y los resultados de Wilson comienzan a diferir. Una comparación con
la parcela equivalente en [6], donde los resultados de
otros operadores de celosía Dirac fueron presentados, muestra que
los efectos de discontinuidad del operador de solapamiento en general
μ son comparables a otras formulaciones.
V. RESUMEN
En este artículo hemos analizado la densidad de energía de
el operador de superposición en el potencial químico finito. Sígueme.
ing [4], se implementó la función de signo en el solapamiento
a través del teorema espectral utilizando el análisis continuo
sión de la señal en el plano complejo. Los restados
se analizó la densidad de energía (μ) − (0) para determinar si
retículas de cero temperaturas. Adecuados de los datos muestran que el
se aproxima el comportamiento continuo esperado. No hay rastro
de términos no físicos μ2/a2. Concluimos que
los fermiones de superposición con potencial químico [4] proporcionan ambos elementos,
simetría quiral y la descripción correcta de los fermiones
a densidad finita.
Agradecimientos: Agradecemos a Leonard Fister,
Gabriele Jaritz, Christian Lang, Stefan Olejnik, Tilo
Wettig, y Florian Wodlei para discutir y comprobar...
Algunos de nuestros cálculos. Este trabajo cuenta con el apoyo de
el Organismo Eslovaco de Asistencia en Ciencia y Tecnología
en virtud del contrato No. APVT–51–005704, y el austriaco
Servicio de cambio ÖAD.
[1] P. H. Ginsparg y K. G. Wilson, Phys. Rev. D 25, 2649
(1982).
[2] P. Hasenfratz y F. Karsch, Phys. Lett. B 125, 308
(1983).
[3] R. Narayanan y H. Neuberger, Nucl. Phys. B 443, 305
(1995); H. Neuberger, Phys. Lett. B 417, 141 (1998).
[4] J. Bloch y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 97, 012003
(2006); J. Bloch y T. Wettig, contribución a Lattice
2006 (hep-lat/0609020).
[5] J. Kapusta, Teoría del campo de temperatura fina, Cambridge
University Press, Cambridge (1989).
[6] W. Bietenholz y U. J. Wiese, Phys. Lett. B 426, 114
(1998).
http://arxiv.org/abs/hep-lat/0609020
| Estudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición en finitos
densidad. En particular, calculamos la densidad de energía en función de la
potencial químico y la temperatura. Se muestra que se superponen los fermiones con
potencial químico reproduce el comportamiento continuo correcto.
| Densidad de energía para fermiones de celosía quiral con potencial químico
Christof Gattringera y Ludovit Liptakb
Institut für Physik, FB Theoretische Physik, Universität Graz,
Universitätsplatz 5, 8010 Graz, Austria
Instituto de Física, Academia Eslovaca de Ciencias,
Dúbravská cesta 9, 845 11 Bratislava 45, República Eslovaca
Estudiamos una formulación recientemente propuesta de fermiones de superposición a densidad finita. En particular, nosotros
calcular la densidad de energía en función del potencial químico y la temperatura. Se muestra
que superponen los fermiones con el potencial químico se aproximan al comportamiento continuo correcto.
Números PACS: 11.15.Ha, 12.38.Gc
I. INTRODUCCIÓN
Durante las dos últimas décadas la teoría del medidor de celosía fue
convertido en una poderosa herramienta cualitativa para el análisis
QCD. Este progreso se debe, en parte, a los avances en la
los algoritmos y la tecnología informática, pero también en la
Se hicieron importantes avances en el lado conceptual. La mayoría
entre ellos se destaca la correcta aplicación de
simetría quiral en la celosía basada en el Ginsparg-
Ecuación Wilson para el operador de Dirac [1].
Una aplicación de las técnicas de celosía que ha visto un
mucha atención en los últimos años, es el estudio de QCD en
temperatura finita. La puesta en práctica de la
potencial químico μ, necesario para tal análisis, es
Sin embargo, no es sencillo. Es bien sabido [2], que
una introducción ingenua conduce a μ2/a2 contribuciones que
divergen en el límite continuo cuando el espaciado de celosía
a se envía a cero. Para las formulaciones más tradicionales, tales
como los Wilson o escalonados operadores Dirac, el problema
se ha resuelto mediante la introducción del potencial químico en
del mismo modo que el 4-componente del campo de gálibo.
Una aplicación satisfactoria del potencial químico
tial debe ser compatible con la simetría quiral en el
celosía basada en la ecuación de Ginsparg-Wilson. Cuándo
intento de introducir el potencial químico en el
sólo la solución de la ecuación de Ginsparg-Wilson saber en
forma cerrada, el operador de solapamiento [3], un potencial prob-
lem superficies rápidamente: definir la función de signo de un no-
matriz hermitana. En [4] Bloch y Wettig propusieron un
solución basada en una continuación analítica del signo
función en el plano complejo. Se demostró, que el
eigenvalue espectros de esta construcción coinciden con la expec-
tas de la teoría de matriz aleatoria.
En esta carta analizamos la propuesta [4] más adelante
y estudiar la densidad de energía de la superposición libre y sin masa
fermiones con potencial químico. La dependencia de la
densidad de energía en μ y la temperatura T permite un
análisis detallado de la formulación de celosía en la guarida finita
sity. De particular interés será la cuestión de si
la continuación analítica de la función de signo produce
términos μ2/a2 divergentes. Nuestro estudio indica la ausencia
de tales contribuciones y nos encontramos con que el μ y T de-
la pendencia de la densidad de energía se aborda correctamente.
II. ESTABLECIMIENTO DE LA CÁLCULO
La superposición de Dirac operador D(μ) para los fermiones con un
potencial químico μ se administra como
D(μ) =
[1− γ5 signH(μ)],
H(μ) = γ5 [1− aDW (μ)]. 1)..........................................................................................................................................................
La función de signo puede definirse a través del espectral
teorema para matrices. DW (μ) denota el Wilson habitual
Operador de Dirac,
DW(μ)x,y = 1
* x, y − (2)
Uj(x)Łx,y +
Uj(x− )x,y
U4(x)e
μa4ox+4o,y −
U4(x−4Ã3)†ea4Ã3x−4Ã3,y.
Para uso posterior distinguimos entre el espaciado de celosía
a en dirección espacial y la constante temporal de celosía
a4. Las condiciones periódicas de los límites se utilizan en el espacio
instrucciones, mientras que en la dirección del tiempo aplicamos antiperiódico
condiciones de frontera. El potencial químico μ es cou-
pled en la forma exponencial habitual [2].
Para la desaparición μ el operador Wilson Dirac es γ5-
hermitano, es decir, γ5DW (0)γ5 = DW (0)
†. Esto implica que
H(0) es una matriz hermitana. Tan pronto como el químico po-
μ tential se enciende, la γ5-hermicidad ya no se mantiene, y
H(μ) es una matriz general no hermitana. Este hecho tiene
dos consecuencias importantes: En primer lugar, los valores propios de
H(μ) ya no son reales y la función de signo para
número plex tiene que ser definido en la representación espectral
ión del signoH(μ). En segundo lugar, la representación espectral
tiene que ser formulado usando autovectores de izquierda y derecha.
Este último problema se tratará más adelante cuando se des-
la evaluación de la señalH(μ). Para la función de signo
de un número complejo utilizamos la continuación analítica
propuesta en [4] y definir la función de signo a través del
signo de la parte real
signo (x+ iy) = signo (x). 3)
http://arxiv.org/abs/0704.0092v2
Lo observable que estudiamos aquí es la densidad de energía.
definido como
•(μ) =
• H = 1
H e (HN)
= (4)
E(HN)
= − 1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Aquí H es el Hamiltoniano del sistema, N denota el
número operador y β = 1/T es la temperatura inversa
(en nuestras unidades la constante de Boltzmann k se establece en k = 1).
Los derivados de la segunda línea se toman de tal manera que
= c = const.
El resultado continuo para la densidad de energía restada
de fermiones libres sin masa (véase, por ejemplo, [5])
•(μ)− •(0) = μ
μ2T 2. 5)
Cuando se trabaja en la celosía, el inverso tempera-
β es dada por la extensión de la celosía en 4 direcciones, es decir,
β = N4a4. Por lo tanto la derivada en (4) se convierte en
N−14 Ł/Ła4. La función de partición Z es dada por la
fermión determinante detD que escribimos como el prod-
uct sobre todos los valores propios. Por lo tanto, encontramos
• (μ) = − 1
En detD
a4μ=c
= − 1
a4μ=c
= − 1
a4μ=c
. 6)
III. EVALUACIÓN DE LOS EGENVALUES
De acuerdo con (6), para la evaluación de
los valores del operador de Dirac D tienen que ser computados.
Esto se hace en tres pasos: Primero traemos el Dirac oper-
ator para fermiones libres a forma diagonal de 4 × 4 bloques, utilizando
La transformación de Fourier. Posteriormente, la representación espectral
la centrifugación se aplica a los 4 x 4 bloques de H para evaluar
signo H. Finalmente los valores propios de los bloques de D son
computado y sumando sobre el momento discretoa
todos los valores propios se obtienen.
Siguiendo esta estrategia, se encuentra para el Trans-Fourier
forma de H,
= γ5h5 + iγ5
h/, (7)
h5 = 1−
[1− cos(apj)]−
[1− cos(a4(p4 − iμ))],
hj = − sin(apj) para j = 1, 2, 3,
h4 = −
sin(a4(p4 − iμ)). (8)
Los momentos espaciales se dan por pj = 2ηkj/aN,
donde N es el número de puntos de celosía en el espacio
direcciones y kj = 0, 1... N − 1. El momento en el tiempo...
dirección p4 = η(2k4 + 1)/a4N4, k4 = 0, 1... N4 − 1.
La diagonalización restante de es similar a la
construcción de las funciones de eigen izquierda y derecha para el
Operador libre de Dirac. Uno encuentra que tiene dos diferentes,
valores propios doblemente degenerados
α1 = α2 = + s, α3 = α4 = − s, s =
h2 + h25, (9)
donde h2 =
/. Las correspondientes izquierdas y derechas.
eigenvectores, lj y rj son administrados por
l1 = l
1 [ + s1], l2 = l
2 [ + s1],
l3 = l
3 [ − s1], l4 = l
4 [ − s1],
r1 = [ + s1]r
1, r2 = [ + s1]r
r3 = [ − s1]r(0)3, r4 = [ − s1]r
4. (10)
Los espintores constantes l
j, r
j are (T es transposición)
1 = r
(0) T
1 = c (1, 0, 0, 0), l
2 = r
(0) T
2 = c (0, 1, 0, 0),
3 = r
(0) T
3 = c (0, 0, 1, 0), l
4 = r
(0) T
4 = c (0, 0, 0, 1).
La constante c = (2s + h5)
−1/2 asegura el correcto
normalización, de tal manera que los autovectores obedecen lirj = Łij.
Usando estos autovectores y el teorema espectral nosotros
encontrar para el signo el resultado simple
signo =
sign (lj) rj lj =
signo(s)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (12)
Conectando esto de nuevo a la fórmula de superposición (1) y di-
agonalizando el problema restante 4 × 4 uno encuentra dos
diferentes valores propios para el operador de solapamiento en un determinado
impulso,
1− signo (
h2 + h25 )h5 ± i
h2 + h25
, (13)
donde cada uno de los dos valores propios es doblemente degenerado.
La dependencia de impulso entra a través de la compo-
nents h/, h5 definidos en (8). En la suma espectral (6) la la-
bel n se ejecuta sobre todos los momentosa y los valores propios en fijo
impulso tal como se da en (13). El derivado necesario
con respecto a a4 es fácil de calcular en cerrado
forma, y la suma espectral (6) se puede resumir
Mericalmente. El argumento de la función de signo no puede ser-
vienen puramente imaginarios en una celosía finita, y no-como
los términos ocurren. Observamos, que después de tomar la derivada
con respecto a a4, establecemos a = a4 = 1, es decir, todos los resultados
Estamos presentes en las unidades de celosía.
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
/ 4η
FIG. 1: Densidad de energía (μ)(0) en función de μ4 (todos
en unidades de celosía). Los símbolos (conectados para guiar el ojo)
son para varios tamaños de celosía, la línea discontinua es el continuum
resultado.
IV. RESULTADOS
Comenzamos la discusión de nuestros resultados con la Fig. 1,
donde se muestra la densidad de energía restada (μ)− (0)
en función de μ4 para tres volúmenes de celosía diferentes. Por
esas retículas todos los 4 lados tienen igual longitud, es decir, en el
límite termodinámico corresponden a cero tempera-
tura. Por lo tanto, según (5), esperamos los datos (sim-
Bols in Fig. 1) aproximarse a la forma continua μ4/4η2
(línea bañada) como el volumen 4-d se envía al infinito.
La figura muestra claramente que los datos de celosía son pre-
dominantemente lineal cuando se traza frente a μ4 y que para
pequeños μ se acercan a la curva de continuum cuando el
el volumen se incrementa. Sin embargo, es obvio que también en
nuestra celosía más grande todavía queda una discrepancia para más grande
μ. En particular se encuentra una ligera curvatura hacia arriba, un
efecto de discretización que aquí, desde el espaciado de celosía
es sólo la extensión de celosía inversa, es también un tamaño finito
efecto. Además, para el pequeño μ se espera ver finito
las correcciones de temperatura de acuerdo con (5).
Para estudiar estas correcciones de temperatura finitas
sistemáticamente, analizamos celosías con tempo corto...
la extensión ral, es decir, las celosías con temperatura no disuelta.
Fig. 2 muestra los resultados correspondientes, donde de nuevo
trazar la densidad de energía restada en función de μ4.
La celosía con la extensión temporal más corta, 1283×8,
que corresponde a la temperatura más grande, muestra un
curvatura clara. Esta curvatura se debe a la T 2μ2/2
término en (5), que aparece como una raíz cuadrada cuando se trazó
como función de μ4. El efecto es visible también para el otro
retículas, pero se vuelve menos pronunciado como el temporal
se aumenta la extensión, es decir, se baja la temperatura T.
Con el fin de estudiar este efecto cuantitativamente, encajamos
resultados finitos de la temperatura a la forma continua (5) más
dos términos incluso en μ que parametrizan los efectos de corte
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
x 12
x 16
x 24
FIG. 2: Densidad de energía (μ) − (0) en función de μ4,
ahora para retículas de temperatura finitas (todas en unidades de retícula).
se observa en la Fig. 1. La función de ajuste es dada por
2 + c4 μ
4 + c6 μ
6 + c8 μ
8. (14)
Debido a (5) el coeficiente del término cuadrático debe
escala con la temperatura tal que uno espera
c2 T 2/2 = N−24 /2. (15)
El coeficiente para el término cuartico debe ser constante,
c4 â € € = 0,02533. 16)
Los resultados de la adecuación a los datos utilizados en la Fig. 2, y para
la celosía más grande de la Fig. 1 se presentan en el cuadro 1.
La tabla muestra que con el aumento de N4 los dos phys-
los parámetros c2 y c4 se aproximan a la val-
se espera de la fórmula de continuum (5): c2 obtiene
más cerca de N−24 /2, como se indica en la segunda columna, y c4
aproximaciones 1/4η2 = 0,02533. Para el tem finito más grande...
retícula de peratura 1283×24 la discrepancia se reduce al 9 %
/2 c2 c4 c6 c8
8 0,007812 0,010125 0,01519 0,010 -0,021
12 0,003472 0,004125 0,03178 0,023 -0,013
16 0,001953 0,002192 0,02803 0,029 -0,015
24 0,000868 0,000947 0,02587 0,025 -0,030
128 0.000030 0,000032 0,02543 0,015 0,016
CUADRO I: Resultados de los ajustes al formulario (14). El espacio
volumen es siempre 1283. Se da la extensión temporal N4
en la primera columna. En la segunda columna enumeramos el corre-
valor sponding de N−2
/2 que es lo que se espera para el
coeficiente de ajuste c2 en la tercera columna. El coeficiente c4 en
se espera que la cuarta columna se aproxime al valor constante
1/4η2 = 0,02533.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
-0,05
Overlap, 128
Wilson, 128
FIG. 3: La relación entre el valor de μ (μ) y el valor de μ (0)/μ4 en función del valor de μ (en
unidades de celosía). Comparamos los resultados de la superposición con los de
de los fermiones Wilson.
para c2, y 2 % para c4. La discrepancia más grande para los pequeños
N4 se puede entender como un efecto de discretización, ya que el
espaciamiento temporal de la celosía a4 está relacionado con la ex- temporal
tensión a través de a4 = 1/N4 y por lo tanto mayor N4 implica un
menor a4. Para la comparación también mostramos los resultados de ajuste
para la celosía 1284, que corresponde a cero temple-
ature. Allí encontramos un excelente acuerdo (menos del 1%)
(discreción) para el parámetro c4, que rige la
término en T = 0. La imagen general obtenida del ajuste
resultados es que se superponen los fermiones con el potencial químico
se reproducen muy bien tanto, el término μ4, así como la fi-
contribución de temperatura de nite T 2μ2/2. Concluimos que
la continuación analítica de la función de signo no en-
artefactos de celosía troduce, como el término μ2/a2 conocido
estar presente en una aplicación ingenua del producto químico
potencial.
En el paso final de nuestro análisis estudiamos la discretiza-
ión para valores mayores de μ y comparar la re-
los datos del operador Wilson estándar. In
Fig. 3 graficamos la relación ((μ)− (0))/μ4 en función de
μ. En el continuum en T = 0 esta relación tiene el valor
1/4η2 = 0,02533 indicado por la línea horizontal. Por
pequeños μ, hasta aproximadamente μ + 0,7, los datos de Wilson y la superposición
caen uno encima del otro. Por muy pequeño μ tanto opera-
tors muestran un aumento prominente que es un finito sobrante
efecto de la temperatura, que para la relación ((μ) − (0))/μ4
aparece como un término 1/μ2. En el intervalo entre μ = 0,1
y 0.5 los datos están cerca del valor continuo. Sé...
hace 0.5 los efectos de discretización inician y el solapamiento
y los resultados de Wilson comienzan a diferir. Una comparación con
la parcela equivalente en [6], donde los resultados de
otros operadores de celosía Dirac fueron presentados, muestra que
los efectos de discontinuidad del operador de solapamiento en general
μ son comparables a otras formulaciones.
V. RESUMEN
En este artículo hemos analizado la densidad de energía de
el operador de superposición en el potencial químico finito. Sígueme.
ing [4], se implementó la función de signo en el solapamiento
a través del teorema espectral utilizando el análisis continuo
sión de la señal en el plano complejo. Los restados
se analizó la densidad de energía (μ) − (0) para determinar si
retículas de cero temperaturas. Adecuados de los datos muestran que el
se aproxima el comportamiento continuo esperado. No hay rastro
de términos no físicos μ2/a2. Concluimos que
los fermiones de superposición con potencial químico [4] proporcionan ambos elementos,
simetría quiral y la descripción correcta de los fermiones
a densidad finita.
Agradecimientos: Agradecemos a Leonard Fister,
Gabriele Jaritz, Christian Lang, Stefan Olejnik, Tilo
Wettig, y Florian Wodlei para discutir y comprobar...
Algunos de nuestros cálculos. Este trabajo cuenta con el apoyo de
el Organismo Eslovaco de Asistencia en Ciencia y Tecnología
en virtud del contrato No. APVT–51–005704, y el austriaco
Servicio de cambio ÖAD.
[1] P. H. Ginsparg y K. G. Wilson, Phys. Rev. D 25, 2649
(1982).
[2] P. Hasenfratz y F. Karsch, Phys. Lett. B 125, 308
(1983).
[3] R. Narayanan y H. Neuberger, Nucl. Phys. B 443, 305
(1995); H. Neuberger, Phys. Lett. B 417, 141 (1998).
[4] J. Bloch y T. Wettig, Phys. Rev. Lett. 97, 012003
(2006); J. Bloch y T. Wettig, contribución a Lattice
2006 (hep-lat/0609020).
[5] J. Kapusta, Teoría del campo de temperatura fina, Cambridge
University Press, Cambridge (1989).
[6] W. Bietenholz y U. J. Wiese, Phys. Lett. B 426, 114
(1998).
http://arxiv.org/abs/hep-lat/0609020
|
704.0093 | Aspects of Electron-Phonon Self-Energy Revealed from Angle-Resolved
Photoemission Spectroscopy | Aspectos de la autoenergía electron-phonón revelados desde ángulos resueltos
Espectroscopia de fotoemisión
W.S. Lee,1 S. Johnston,2 T.P. Devereaux,2 y Z.-X. Shen1
Departamento de Física, Física Aplicada y Stanford Synchrotron
Laboratorio de radiación, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305
Departamento de Física, Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, Canadá N2L 3G1
(Fecha: 4 de noviembre de 2018)
La contribución de celosía a la auto-energía electrónica en óxidos correlacionados complejos es una fascinante
tema que últimamente ha estimulado discusiones animadas. Expectativas de la autoenergía electrón-fonón
efectos para materiales más simples, como Pd y Al, han dado lugar a
óxidos correlacionados. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser la
origen de ciertos efectos de auto-energía vistos en superconductores de alta Tc cuprate a través del ángulo resuelto pho-
los experimentos de emisión (ARPES), incluida la dependencia de la temperatura, la dependencia de dopaje de la
efectos de renormalización, dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y sustitución de impurezas.
Demostramos que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos argumentos no son
Bien fundado.
Números PACS: Los PACS válidos aparecen aquí
I. INTRODUCCIÓN
El mecanismo de emparejamiento microscópico de la alta Tc
la superconductividad sigue siendo una cuestión sin resolver
después de veinte años de su descubrimiento. Observaciones de la Comisión
una torcedura alrededor de 40-70 meV en la dispersión de la banda
a lo largo de la diagonal de la zona de Brillouin (nodal diec-
y una estructura de pico-dip-hump (PDH) en la zona
límite por espectroscopia de fotoemisión con resolución angular
(ARPES)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 han dibujado mucho
de atención reciente, ya que pueden arrojar algo de luz sobre esto
problema. Aunque se ha establecido un acuerdo
que la estructura de torcedura y PDH son firmas de la
electrones acoplados a un modo bosónico agudo, todavía es
fuertemente debatido sobre el origen de este modo bosónico.
Influenciado por el hecho de que el cuprato de alta Tc es un dopado
antiferromagnético aislante, una creencia común es que este
El modo bosónico tiene un origen magnético2,3,4,5,6,7,8,9. ¿Cómo...?
una visión alternativa es que el electrón-fonón cou-
plong en tal doped-aislador puede ser muy fuerte y
anómalos debido a una serie de efectos inusuales, tales
como la mala selección, la estructura compleja, así como el
terplay con correlaciones. De hecho, el oxígeno relacionado op-
Se han invocado los fonones ticales para explicar el tem-
peratura y dependencia dopante de la renormalización
efectos10,11,12,13,14. Esta idea de que los fonones son principalmente
responsable de esta renormalización de la banda de baja energía
El efecto observado por ARPES ha estimulado un intenso debate.
Actualmente no hay consenso sobre si un fonón, un conjunto
de los fonones, o un modo magnético es la causa principal de
la renormalización de la banda.
Como se ha mencionado, algunas razones importantes para invocar
la interpretación fonónica de los datos de ARPES son:
presencia de una escala de energía universal en todos los materiales
dopaje10,15, especialmente en el estado normal de
Materiales Tc muy bajos
16; el fuerte inferido momen-
dependencia de tum11,14; la existencia de múltiples bosónicos
los acoplamientos de modo12 y la disminución de la cou-
resistencia a los flecos con aumento del dopaje, interpretado como un
efecto de cribado, especialmente para los fonones con autovectores
a lo largo del eje c13. Sin embargo, todavía existe una creencia generalizada
que los fonones no son responsables de las características de torcedura. In
las siguientes secciones, con una mirada completa en todos
datos experimentales, así como algunas simulaciones recientes,
abordar algunas de las críticas que han sido comúnmente
utilizado para argumentar en contra de la interpretación fonónica. Estos
incluyen la dependencia de la temperatura y el dopaje de la
efectos de renormalización, dispersión entre bandas para bicapa
el sistema, y los experimentos ARPES sobre la impureza substi-
Cristal Bi2212, Bi2Sr2Ca(Cu2−xMx)O8+ con M
= Zn o Ni. Nuestro objetivo es aclarar estos conceptos erróneos.
como se debe a la simplificación excesiva de los efectos de electrón-
acoplamiento de fonón en cupratos, así como otros fuertemente
óxidos metálicos de transición correlacionados.
II. ASPECTOS DEL ELECTRÓN-PHONON
AUTOENERGIA
A. Depende de la temperatura
En el tratamiento estándar del acoplamiento electrón-fonón
efectos, la temperatura de Debye establece una característica tem-
escala de peratura, que está muy por encima de Tc en
materiales superconductores. Sin embargo en los cuprates y
otros sistemas de energía baja Fermi, estas dos escalas de energía
puede ser comparable. Como resultado, la temperatura de depen-
dence de las autoenergias inducidas por el fonón puede ser muy diferente-
a partir de la de los superconductores convencionales. Accord-
a las mediciones de ARPES en el sistema Bi2212, el
renormalización de la banda en la región antinodal (peak-dip-
estructura jorobada) muestra una superconductividad dramática-
mejora inducida cuando el sistema pasa por un
transición de fase del estado normal al supercon-
estado de conductos. Se ha argumentado que sólo un modo que
emerge en el estado superconductor y desaparece en
http://arxiv.org/abs/0704.0093v1
el estado normal puede explicar esta temperatura-dependiente
efecto de renormalización2,3,4,5. Phonons son por lo tanto ex-
Suprimida.
La nitidez de los efectos de la renormalización debido a
El acoplamiento electrón-fonón es fuerte temperatura de depen-
abolladura, dada por el hecho de que Tc de bi2212 óptimamente dopado
está cerca de 100K. Para demostrar esta temperatura de-
Pendencia, consideramos el estado normal (120 K) y su-
estado perconductor (10 K) de un superconductor de onda d
acoplado a 36 meV B1g, 55meV oxígeno A1g, y 70
MeV respirando fonones14,17. El electrón-fonón cou-
pling para el B1g y los fonones respiratorios son los utilizados
en Ref. 14. Los modos A1g implican movimientos del eje c de
ambos oxígenos planos y apicales, y tienen dos ramas
alrededor de 55 y 80 meV. El electrón-fonón apical cou-
pling, derivado en Ref. 17, implica un cargo-transferencia desde
el ápice de oxígeno en el plano CuO2 a través de los Cu 4s o-
Bital, el mismo camino que da lugar a la división de dos capas-
ting. Sin embargo, para la simplicidad, el electrón-fonón apical
el acoplamiento se trata como una constante en los cálculos pre-
enviado en este periódico. La razón para incluir tres modos
en el cálculo se inspiró en el éxito anterior de
el cálculo de dos modos11, así como el reciente discov-
ery del acoplamiento de modo múltiple12,13. Para este cálculo,
la estructura de banda de unión apretada descrita en Ref. 19
ha sido utilizado. La parte real y la parte imaginaria de la
autoenergía (k, ) y las funciones espectrales A(k, ) at
k = (0, η) se obtienen entonces dentro del acoplamiento débil Eliash-
berg formalismo14 y conspirado en la Fig. 1. Detalles de la
los cálculos se presentan en el apéndice.
A alta temperatura, tanto Re. (k,...) como Im. (k,.........................................................................................................................................
no exhibe una característica de renormalización nítida como se muestra
por las curvas discontinuas en la Fig. 1 a) y fig. 1 b), respec-
Tily. Esto demuestra que la ampliación térmica
efecto mancha las características nítidas de la renormalización; en
adicional, ampliando los efectos debido a muchos cuerpos adicionales
efectos mancharían las características de la renormalización piel-
ther. Por lo tanto, uno no debe esperar a observar cualquier agudo
características de renormalización a k = (0, η) en el estado normal
(+ 100K) del acoplamiento electrón-fonón. En el su-
perconducting state, las características de renormalización de la
la auto-energía se vuelve mucho más aguda, debido a la menor
efecto de ampliación mal, así como la apertura de un su-
Perconducting gap. Consistente con el dopado óptimo
Bi2212 y Bi2223 mediciones2,4,11,18, la estructura PDH
ión de la función espectral a k = (0, η) surge a baja
la temperatura y desaparece a alta temperatura (ni-
mal estado), como se ilustra en la Fig. 1 c) y fig. 1 d),
respectivamente. Mientras que este comportamiento es generalmente esperado
para cualquier fonón, notamos que, además, la auto-energía
de acoplamientos electrón-fonón que involucran a momen-
transferencias dentro de y entre regiones antinodales de
la superficie de Fermi, como el ápice A1g y los fonones B1g,
se mejoran en gran medida para todos los puntos k debido a la gran
densidad de las mejoras del estado en estas regiones a través de la
apertura de una brecha de onda D. Un detallado impulso depen-
dence de los efectos de renormalización en el estado normal
y estado superconductor debido al acoplamiento a la B1g
FIG. 1: La (a) parte real calculada, Re., (b) imaginaria
parte de la auto-energía, Im., y el espectral correspondiente
funciones, A(k) en c) estado normal y d) superconductores
Estado. Un extra de 5 meV se añade a la parte imaginaria de la
autoenergía en simulación de 120K para dar cuenta de la térmica
ampliación de la vida de las cuasi-partículas. La ubicación de
este cálculo se indica en la entrada de (a) por un punto rojo con
una curva roja que representa el FS. Los conjuntos de las letras c) y d) son los siguientes:
datos del sistema Bi2223 con dopaje óptimo (Tc=110K) tomados en
el estado normal (120K) y el estado superconductor(25K)18,
respectivamente.
fonón ha sido discutido en Ref. 11 y Ref. 14. Piel...
termorre, tanto el torbellino de dispersión como la estructura PDH-
en la región nodal se han observado claramente en
el estado normal cuando se mide a baja temperatura
en muestras con una Tc inferior
16. Esto brinda más apoyo
a la renormalización fuertemente dependiente de la temperatura
características debidas al acoplamiento electrón-fonón.
B. Dependencia de Dopaje
Otra declaración problemática contra el fonón
El escenario se deriva de la aparente fuerte dependencia de dopaje.
dence de la posición de torcedura y la fuerza. Basado en el
sabiduría para los metales buenos convencionales, los fonones deben
no tienen una fuerte dependencia del dopaje, ya sea en la frecuencia
del modo o de la fuerza del acoplamiento. Esto es
no es necesario válido para aisladores en capas, dopados con
fuertes efectos de correlación, tales como cupratos donde dop-
ing cambia dramáticamente la metalicidad y el abil-
ity de electrones a las fluctuaciones de carga de la pantalla. Nosotros primero.
note que muchos experimentos en varios cuprates han re-
Anomalías dependientes del dopaje fuertemente portadas para varias
fonones, lo que implica una fuerte dependencia dopante e-p
acoplamiento para estos fonones. Por ejemplo, de inelástico
mediciones de dispersión de neutrones, el modo de respiración,
modo de semi-respiración, y los modos de enlace-estiramiento ex-
• prohibir la dependencia prominente del dopaje de la dispersión y
renormalizaciones ergy20,21. En Raman y especificaciones infrarrojas...
FIG. 2: Las tramas de intensidad de las (a) funciones espectrales con-
a la convolución de la resolución y b) a las especificaciones complicadas de la resolución
funciones tral en el estado superconductor (10K) a lo largo de la
dirección nodal, como se indica en la entrada de (b) por el azul
línea. Las curvas negras son la dispersión de banda extraída de
las posiciones máximas de las curvas de distribución del momento,
que cortan las funciones espectrales a una energía fija. El MDC-
dispersiones derivadas en (a) muestra tres “subkinks” afilados debido
al acoplamiento a los tres modos de fonón utilizados en el modelo;
mientras que en (b) los subkinks son lavados por el instru-
efecto de resolución que deja una simple torcedura aparente en el
dispersión de la banda. La línea blanca despejada ilustra el desnudo
banda para la extracción de Reel se muestra en la Fig. 3 a).
troscopía, las formas de línea Fano de los modos de fonón en B1g
y la simetría B1u muestran fuertes dependencias de dopaje
Además, la fuerza del cambio de energía fonónica y
linewidth variación a través de Tc también cambia fuertemente con
dopaje23.
En segundo lugar, la dependencia dopante de la renormalización
efectos en la auto-energía electrónica es sofisticado como en
ferred por dos estudios recientes de ARPES. Una es la observación...
ión de múltiples acoplamientos de modo bosónico a lo largo del nodal
dirección12. El otro es la dependencia dopaje de la
Efecto de cribado c-eje en el acoplamiento entre el elec-
tron y c-axis fonones. Según lo propuesto por Meevasana et
13,24 y Devereaux et al.17, para cou-
ploling a longitudes de onda largas, el cribado se vuelve más
eficaz para reducir la resistencia al acoplamiento cuando la c-
la conductividad del eje se vuelve más metálica. Teniendo en cuenta estos
dos resultados más la variación de la brecha de superconductores
magnitud con dopaje, la dependencia dopaje de la
La energía de torcedura es muy complicada en Bi2212 cuya super-
la realización de la brecha tiene una energía comparable a algunos de los
¡Fonones!
In Fig. 2, presentamos la parcela de intensidad de calculado
Funciones espectrales que demuestran una dependencia del dopaje
de la distorsión de la dispersión en el estado superconductor. Los
El tamaño de la brecha superconductora se fijó en 40, 20 y 10
meV para los sistemas óptimamente dopados y más superdotados-
Tems. Además, la fuerza de acoplamiento de la respiración
modo, cuyo acoplamiento apreciable es sólo para la onda corta-
las longitudes y las grandes transferencias de impulso20,21,
FIG. 3: (a) El Re. extraido de la Fig. 2 a) (líneas puntiagudas)
y Fig. 2 b) (líneas sólidas) restando una banda lineal desnuda
(línea bañada en la Fig. 2 a)) de la dispersión de la banda. El ar-
las filas indican las posiciones máximas de la
"único" aparente torcedura en la dispersión de la banda es generalmente de-
multado. b) Resumen de la dependencia del dopaje
energía de torcedura y la energía de modo aparente extraída por como-
sumando un único escenario de modo.
cambiado para nuestra simulación de dependencia de dopaje; mientras que, un
función de filtro, •2/(•22sc) con diferente valor del eje c
la frecuencia de cribado se aplica a los fonones del eje c
(B1g y A1g), para simular la cou-
resistencia al apriete debido al cambio del cribado del eje c
efecto13,24. Tomamos nota de que, aunque se trata de una simplificación
sión, representa el comportamiento general de la detección de
sideraciones para los fonones que involucran pequeñas momen-
Transferencias tumorales. Se ha estudiado a fondo la posibilidad de realizar exámenes de detección.
dada en Ref. 17 y Ref. 24. Además, un componente
0.005+ Se añade eV 2 en la parte imaginaria de la auto-
energía para imitar el tiempo de vida cuasipartícula que se amplía
debido a la interacción electrón-electrón.
Como se muestra en la Fig. 2 a), el acoplamiento a un fonón múltiple
los modos inducen varias “subkinks” en la dispersión. Los
las posiciones de estos subkinks corresponden en su mayor parte a la en-
ergies de fonones más la brecha máxima de onda d SC,
Incluso a través de ella no hay ninguna brecha a lo largo de la di-
Rección. Esto es porque al calcular la auto-energía,
una necesidad de integrar las contribuciones de la totalidad
zona, que hace que los electrones en la región nodal “sienten”
la presencia de la brecha. Además, revelado por el ex-
Trazado real-parte de la auto-energía, Re. (curvas clavadas
en Fig. 3 (a)), la característica dominante en el
el caso es inducido por el modo B1g de 36 meV, mientras que para el OD1
y OD2, las características del modo A1g de 55 meV y
El modo de respiración de 70 meV supera gradualmente el peso del con-
Atribución del modo B1g. Esto demuestra que
el cambio de la magnitud de la brecha SC y el aumento
efecto de cribado a estos fonones debido a un aumento
dopaje altera la fuerza relativa de las subkinks causadas
por diferentes modos.
Para simular los datos experimentales, envolvimos la
funciones espectrales mostradas en la Fig. 2 a) con un
Resolución instrumental de ARPES: 12,5 meV en energía res-
olución y 0,012 η/a en la resolución del impulso. Como illus...
trated in Fig. 2 b) y las curvas sólidas
en Fig. 3(a)), las subcocinas son menos obvias y se vuelven
una curva “single” ampliada en la dispersión que es
de la energía de la fea dominante del fonon...
tura determinada por la posición máxima de la
(las flechas en la Fig. 3 a)). La dependencia del dopaje de
la posición de torcedura se resume como los símbolos sólidos en
Fig. 3 b). Asumiendo un escenario de modo único, uno puede
obtener la “dependencia dopante” de la energía de modo por
restando el tamaño de la brecha SC. Sin embargo, observamos que
esta energía extraída del modo “aparente” no coincide con
cualquiera de los modos utilizados en el modelo; en su lugar, es un av-
eliminación entre las características dominantes (símbolos abiertos en
Fig. 3 b). Claramente, ya que la energía de torcedura es una suma de la
brecha superconductora y un espectro de modos bosónicos,
no debe tomarse como una medida precisa de la
energía de cualquier modo bosónico en particular. Esto arroja dudas.
al análisis de las propiedades dependientes del dopaje de la
torcedura en la dispersión de la banda nodal basada en el sencillo
Escenario de acoplamiento de modo bosónico7,8. Lo que es más importante,
esto ilustra la naturaleza compleja de los efectos de celosía en
Estos óxidos.
C. Dispersión entre bandas
Borisenko et al.8,9 observaron que la tasa de dispersión
de las bandas de unión y antibono a lo largo del nodal
la dirección se cruzan cerca de la energía de la Van
La singularidad de Hove, sugiriendo una fuerte dispersión entre bandas...
entre las bandas de unión y antibonos. Ellos
arguyó que sólo un modo con simetría “odd”, como
modo de resonancia de spin, puede mediar tal scat inter-banda-
tering. La cuestión de si los fonones pueden inducir tales
La dispersión interbanda también ha sido elevada por estos au-
Thors.
En primer lugar, tomamos nota de que, recientemente, la alta energía y el impulso
Experimentos de resolución ARPES en Bi2212 utilizando
los fotones ergy( <10 eV) han resuelto mejor el bicapa
dividirse en el punto nodal25. Sin embargo, como se muestra en la Fig.
2 de Ref. 25, la tasa de dispersión de la unión y anti-
banda de enlace no exhibe un comportamiento cruzado como
reportado por Borisenko en al.. La inconsistencia de la
Los datos entre los dos grupos implican que más experiencia
Se requiere un mejor análisis para verificar si
este efecto de dispersión entre bandas es genuino.
En segundo lugar, empíricamente, se ha conocido desde hace más de 15 años
que el acoplamiento electrón-fonón entre bandas en las copas
es muy grande. La evidencia viene de la fuerte resolución...
perfiles nance de muchos fonones activos Raman, que dis-
jugar grandes variaciones de intensidad26. Por lo general, esto no es suficiente.
se mantuvo como resultado de un fuerte acoplamiento entre bandas, por lo que
Los fonones pueden ser traídos y sacados de resonancias vía tun-
la energía fotónica incidente27. Puesto que, en general,
Los fonones también pueden proporcionar impulso para dispersar electrones
a lo largo del eje c, la dispersión inter bicapa directa puede ocurrir
que implica la mezcla de diferentes simetrías de los fonones.
Esto se puede ver de una manera simplificada, incluso si nosotros primero
descuidar la dispersión directa de la banda y considerar una bicapa
sistema acoplado a c-eje fonones. Para qz = 0, un simple
La clasificación de los modos de eje c es posible:
k,,α=1,2
(k)c
k,α,
ck,α, +
t(k)
k,1,eck,2,e + h.c.
K,q,l,α=1,2, v.
g/,α(k, q)
k+q,α,
a(−q) + a
+ h.c.
, (1)
donde α es el índice para los estados electrónicos de diferentes
las capas, en la letra k) del punto 1 = en la letra k) del punto 2, en la letra k) del punto 1, se describe el salto de los elec-
trons entre dos capas, y el índice / puede ser o bien
modos de eje c activo gerade o ungerade, con simetría
clasificación con respecto al desplazamiento eigenvec-
hasta el centro de inversión de la celda, representado en la Fig.
4. Después de diagonalizar los dos primeros términos por canónico
transformación, el acoplamiento electrón-fonón puede ser re-
fundida como
(g, u)
k,q,
g(g,u)(k, q)
a(g,u)(q) + a
(g, u)
k+q,+,ck,(+,−),
k+q,−,ck,(−,+),
+ h.c.
..(2)
Hemos utilizado el c+ y c− para el par y impar
combinación lineal de c1 y c2, y subíndice g y u
para el modo gerade y ungerade, respectivamente. Por lo tanto
para qz = 0, donde esta clasificación es posible, ger-
Los fonones de ade inducen la dispersión intrabanda (incluso chan-
nel), mientras que los fonones de ungerade median el inter-
proceso de dispersión de banda (odd canal) incluso sin di-
acoplamiento de electrones y fonones rectos a través de las capas. Sin embargo, para
qz = η/c, la clasificación invierte, donde los modos gerade
se convierten en ungerade y viceversa, como se ilustra en la figura 4.
Por lo tanto, incluso en este caso simple, modos a diferentes qz con-
tributo tanto a la dispersión intra y interbanda, y el
peso neto del acoplamiento que aparece en la energía de sí mismo es
Por lo tanto, la Comisión considera que, en la medida en que se trata de una cuestión de interés común, la Comisión no puede adoptar una decisión en el sentido de la letra b) del apartado 1 del artículo 92 del Tratado.
g(k, q). Puesto que la auto-energía generalmente implica sumas
sobre qz, y acoplamiento directo de electrones en la posición adyacente-
Es evidente que los fonones no son insignificantes, la interbanda
fenómenos de dispersión no se puede utilizar para argumentar en contra
FIG. 4: La ilustración de la gerade y ungerade c−axis
¡Fonones! El eigenmodo del gerade (úñerade) phonones
es uniforme (odd) con respecto al plano de espejo entre dos
CuO2 capas a qz = 0, mientras que su definición se intercambió a qz =
η/c. Los círculos negro, gris y blanco representan el Cu, Ca,
y O átomos, respectivamente.
los fonones son importantes para los estados electrónicos.
También agregamos una observación sobre el electrón-
Enganche de fonón derivado de mediciones Raman28
en YBa2Cu3O7 y Bi-2212 en comparación con los obtenidos
de ARPES. Mientras que uno ingenuamente podría esperar el cou-
Para que sean comparables entre Raman y ARPES, re-
dad de que esta situación es extraordinariamente diferente si la cou-
PLING es fuertemente dependiente del momento y siempre que corre-
las laciones son apreciables. Desde Raman mide los fonones
con transferencia neta de impulso cero y ARPES implica una
suma sobre todas las transferencias, una diferencia considerable de acoplamiento puede
ser discernible. Este es específicamente el caso para el B1g
fonón, donde la dispersión implica transferencias de impulso
a través de los cuellos de la superficie de Fermi cerca (η, 0)14, más
potenciado a través de correlaciones29, aporta una fuerte contribución
al electrón auto-energía que está ausente en el fonón auto-
energías. Por otra parte, un análisis de la regla de suma presentado en Ref.
30 destaca en general cómo electrón y fonón auto-
las energías pueden ser cualitativamente diferentes en
Sistemas lateados.
D. Experimentos ARPES en Zn y Ni sustituidos
Bi2212
En esta sección, comentamos sobre experimentos recientes
sobre los efectos de la renormalización en Zn y Ni substi-
Tuted Bi2212 cristal31,32. La fuerza del renor agudo...
malizaciones en estos cristales sustituidos se encuentra para ser
Debilitado en comparación con los cristales prístinos. Desde el
propiedades magnéticas se modifican previsiblemente debido a la
Cu sustitución por estas impurezas, los autores con-
ocluyó que los efectos agudos de la renormalización son inducidos
por modos magnéticos, no por fonones.
De hecho, un examen detenido de los datos publicados por V.
B. Zabolotnyy y otros 31 y K. Terashima y otros 32
que la propiedad magnética no es la única modificación
debido a la sustitución por Zn y Ni. En primer lugar, aunque
ambos conjuntos de datos son consistentes en la región antinodal
donde la fuerza de la renormalización de la banda es re-
, son inconsistentes entre sí en la torcedura
fuerza a lo largo de la dirección nodal. En el conjunto de datos de V.
B. Zabolotnyy et al., la fuerza de torcedura es más débil en el
Muestras de dopaje Zn o Ni, mientras que no hay detectables
cambio en el conjunto de datos comunicados por K. Terashima y otros.
En segundo lugar, los datos de K. Terashima et al. (Fig. 1 d)-
f) en Ref. 32) sugieren que la estructura bicapa-dividir-
tura es mucho más clara en los cristales prístinos que en el
Cristales de Zn y Ni dopados. Puesto que los autores han dictaminado
la posibilidad de una diferencia significativa en el nivel de dopaje
entre los cristales prístinos y los dopados por impurezas,
variación de la visibilidad tinte de la estructura bicapa implica
un cambio relacionado con la impureza en la estructura electrónica.
A partir de estas dos observaciones sobre sus datos, implica
que no sólo las propiedades magnéticas podrían cambiar, el
estructura de banda y comportamiento de dispersión también podría ser
afectados debido a estas impurezas. Es posible que
estos cambios de las estructuras electrónicas podrían “debilitar”
las características de renormalización observadas en el ARPES
espectro. Además, observamos que la fuerza de
el acoplamiento electrón-fonón también podría ser modificado por el
impurezas sustituidas: esto puede inferirse del
cambio de la forma de línea del espectro Fano del B1g 340
cm−1 fonón en Raman espectral para Zn dopado YBCO33
YBCO34 y Th-doped como resultado de un aumento de la
Ancho de línea de fonón debido a la dispersión de impurezas. Por lo tanto,
Los experimentos con Ni y Zn sustituyeron a los gritos de Bi2212.
Los tals son experimentos inconclusivos para distinguir el fonón
y los modos magnéticos como el origen de la renormalización
efectos.
III. CONCLUSIÓN
Hemos demostrado que la temperatura y el dopaje de-
pendencia de los efectos de renormalización, banda interbanda
dispersión, y los resultados de Zn y Ni dopado materiales
puede ser entendido en el marco del electrón-fonón
acoplamiento. Por otro lado, las cuestiones que lo hacen
no es plausible para el afilado ser de origen spin, es-
pecialmente el modo de resonancia de giro, permanecen: i) el casi
escala de energía constante en función del dopaje en pequeñas
gap system12; ii) los múltiples modos12; iii) la presencia
de torcedura clara en el estado normal4,13,16 iv) el detalle
acuerdo entre B1g phonon explicación basada en el
modo de acoplamiento en función del impulso11,14, mientras que
la resonancia de giro con peso espectral minúsculo (2%) es un-
Es probable que dé una explicación tanto para el nódulo como para la antin-
renormalización odal; v) la evidencia acumulada para
efecto polaron de celosía en undopado y profundamente bajo-
sistemas dopados35,36. Con estas debilidades del giro
interpretación de resonancia, efecto de celosía es más plausible
explicación de los efectos de la renormalización. Sigue siendo un
la posibilidad de que la spin-fluctuación y otros fuertes cor-
efectos de relación también son muy importantes para determinar la
estructura electrónica de los cuprates; probablemente contribuyen a
una suave renormalización de la banda y puede ser más
relevante para la energía de unión superior. Sin embargo, opti-
Los fonones cal son el origen más probable para el renor-
efectos de malización debidos a modos agudos cercanos a 40-70 meV,
que también se apoya en la reciente conclusión de STM
experimentos 37,38.
Agradecimientos
W.S. Lee reconoce el apoyo de SSRL que
es operado por la Oficina de Ciencias Básicas de la Energía de la DOE,
División de Ciencia Química y Ciencia de los Materiales
contrato DE-AC02-76SF00515. T. P. Devereaux
agradecen el apoyo de NSERC, subvención ONR
N00014-05-1-0127 y la Fundación A. von Humboldt.
APÉNDICE A: BASE MIGDAL-ELIASHBERG
ENFOQUE
En los cálculos presentados aquí, evaluamos elec-
autoenergias tronicas y funciones espectrales vía Migdal-
Tratamiento de Eliashberg, como se explica en Ref. 39. Los
la función de Green vestido en el estado superconductor es
dada en la notación de Nambu por
• (k, •) =
C(k, ) 0 + [(k) + χ(k, )]3 + (k, )1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (A1)
a partir de la cual la función espectral sigue A(k, •) = − 1
G′′1,1(k, فارسى) como se muestra en las Figs. 1c,1d, y 2. El impulso...
componentes dependientes de la energía propia Nambu se dan como generalizaciones de los que se encuentran en Ref. 39:
•Z2(k, •) =
g/(k,p− k)
[nb() + nf(Ep)][
+[nb() + nf (−Ep)][
χ2(k, ) = −
g/(k,p− k)
[nb() + nf (Ep)][
+[nb() + nf (−Ep)][
*2(k, *) =
g/(k,p− k)
[nb() + nf (Ep)][
+[nb() + nf(−Ep)][
donde / denota el índice de modo fonón, y nf y nb
son los factores de ocupación de Fermi y Bose. g(k,q) son
los correspondientes acoplamientos electrón-fonón para modo
ü, en la referencia14 para los modos de respiración y B1g.
Elegimos modelar el acoplamiento A1g a través de un impulso
acoplamiento independiente. Más detalles se pueden encontrar en
Ref. 17.
1 P. V. Bogdanov, A. Lanzara, S. A. Kellar, X. J. Zhou, E.
D. Lu, W. J. Zheng, G. Gu, J.-I. Shimoyama, K. Kishio,
H. Ikeda, R. Yoshizaki, Z. Hussain y Z. X. Shen, Phys.
Rev. Lett. 85, 2581 (2000).
2 A. Kaminski, M. Randeria, J. C. Campuzano, M. R. Nor-
hombre, H. Fretwell, J. Mesot, T. Sato, T. Takahashi, y K.
Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 86, 1070 (2001).
3 T. K. Kim, A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, A. Koitzsch,
M. Knupfer, H. Berger, y J. Fink, Phys. Rev. Lett. 91,
167002 (2003).
4 T. Sato, H. Matsui, T. Takahashi, H. Ding, H.-B. Yang,
S.-C. Wang, T. Fujii, T. Watanabe, A. Matsuda, T.
Terashima, y K. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 91, 157003
(2003).
5 M. R. Norman, H. Ding, J. C. Campuzano, T. Takeuchi,
M. Randeria, T. Yokoya, T. Takahashi, T. Mochiku, y
K. Kadowaki, Phys. Rev. Lett. 79, 3506 (1997).
6 A. D. Gromko, A. V. Fedorov, Y.-D. Chuang, J. D. Ko-
Ralek, Y. Aiura, Y. Yamaguchi, K. Oka, Yoichi Ando, y
D. S. Dessau Phys. Rev. B 68, 174520 (2003)
7 A. A. Kordyuk, S. V. Borisenko, V. B. Zabolotnyy, J. Geck,
M. Knupfer, J. Fink, B. Büchner, C. T. Lin, B. Keimer, H.
Berger, A.V. Pan, Seiki Komiya, y Yoichi Ando, Phys.
Rev. Lett. 97, 017002(2006).
8 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, V. Zabolotnyy, J. Geck,
D. Inosov, A. Koitzsch, J. Fink, M. Knupfer, B. Büchner,
V. Hinkov, C. T. Lin, B. Keimer, T. Wolf, S. G. Chi-
uzbăian, L. Patthey, y R. Follath, Phys. Rev. Lett. 96,
117004 (2006).
9 S. V. Borisenko, A. A. Kordyuk, A. Koitzsch, J. Fink, J.
Geck, V. Zabolotnyy, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,
M. Falub, M. Shi, J. Krempasky, y L. Patthey, Phys.
Rev. Lett. 96, 067001 (2006).
10 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, S. A. Kellar, D.
L. Feng, E. D. Lu, T. Yoshida, H. Eisaki, A. Fujimori, K.
Kishio, J.-I. Shimoyama, T. Noda, S. Uchida, Z. Hussain,
Z.-X. Shen, Nature (Londres) 412, 510 (2001).
11 T. Cuk, F. Baumberger, D. H. Lu, N. Ingle, X. J. Zhou,
H. Eisaki, N. Kaneko, Z. Hussain, T. P. Devereaux, N. Na-
Gaosa, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 93, 117003 (2004).
12 X. J. Zhou, Junren Shi, T. Yoshida, T. Cuk, W. L. Yang,
V. Brouet, J. Nakamura, N. Mannella, Seiki Komiya,
Yoichi Ando, F. Zhou, W. X. Ti, J. W. Xiong, Z. X. Zhao,
T. Sasagawa, T. Kakeshita, H. Eisaki, S. Uchida, A. Fu-
jimori, Zhenyu Zhang, E. W. Plummer, R. B. Laughlin,
Z. Hussain, y Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 95, 117001
(2005).
13 W. Meevasana, N. J. C. Ingle, D. H. Lu, J. R. Shi, F.
Baumberger, K. M. Shen, W. S. Lee, T. Cuk, H. Eisaki,
T. P. Devereaux, N. Nagaosa, J. Zaanen y Z.-X. Shen,
Phys. Rev. Lett. 96, 157003 (2006).
14 T. P. Devereaux, T. Cuk, Z.-X. Shen, y N. Nagaosa,
Phys. Rev. Lett. 93, 117004 (2004).
15 X.J. Zhou, T. Yoshida, A. Lanzara, P.V. Bogdanov, S.A.
Kellar, K.M. Shen, W.L. Yang, F. Ronning, T. Sasagawa,
T. Kakeshita, T. Noda, H. Eisaki, S. Uchida, C.T. Lin, F.
Zhou, J.W. Xiong, W.X. Ti, Z.X. Zhao, A. Fujimori, Z.
Hussain, y Z.-X. Shen, Nature 423, 398 (2003).
16 A. Lanzara, P. V. Bogdanov, X. J. Zhou, N. Kaneko,
H. Eisaki, M. Greven, Z. Hussain y Z. - X. Shen,
cond-mat/0412178.
17 T. P. Devereaux, Z.-X. Shen, N. Nagaosa, y J. Zaanen,
preimpresión.
18 W.S. Lee et al., inédito.
19 M. Eschrig y M. R. Norman, Phys. Rev. B 67, 144503
(2003).
20 L. Pintschovius, Phys. stat. Sol. b) 242, 30 (2005), y
las referencias aquí.
21 D. Reznik, L. Pintschovius, M. Ito, S. Likubo, M. Sato,
H. Goka, M. Fujita, K. Yamada, G. D. Gu y J. M.
Tranquada, Nature 440, 1170 (2006).
22 M. Opel, R. Hackl, T. P. Devereaux, A. Virosztek y
A. Zawadowski, A. Erb y E. Walker, H. Berger y L.
Forró, Phys. Rev. B 60, 9836 (1999); C. Bernhard, D.
Munzar, A. Golnik, C. T. Lin, A. Wittlin, J. Humliček,
y M. Cardona, ibíd. 61, 618-626 (2000).
23 E. Altendorf, X. K. Chen, J. C. Irwin, R. Liang y W.
N. Hardy, Phys. Rev. B 47, 8140(1993); K. C. Hewitt,
X. K. Chen, C. Roch, J. Chrzanowski, J. C. Irwin, E. H.
Altendorf, R. Liang, D. Bonn y W. N. Hardy, ibíd. 69
064514(2004).
24 W. Meevasana, T. P. Devereaux, N. Nagaosa, Z.-X. Shen,
y J. Zaanen, Phys. Rev. B 74, 174524 (2006).
25 T. Yamasaki, K. Yamazaki, A. Ino, M. Arita, H. Na-
Matame, M. Taniguchi, A. Fujimori, Z.-X. Shen, M.
Ishikado, y S. Uchida, cond-mat/0603006.
26 E. T. Heyen, S. N. Rashkeev, I. I. Mazin, O. K. Andersen,
R. Liu, M. Cardona, y O. Jepsen, Phys. Rev. Lett. 65,
3048-3051 (1990); B. Friedl, C. Thomsen, H.-U. Haber...
Meier, y M. Cardona, Comunidad de Estado Sólido. 78, 291
(1991); D. Reznik, S.L. Cooper, M.V. Klein, W.C. Lee,
D.M. Ginsberg, A.A. Maksimov, A.V. Puchkov, I.I. Tar-
Takovskii, y S-W. Cheong, Phys. Rev. B 48, 7624 (1993);
M. Kang, G. Blumberg, M. V. Klein y N. N. Kolesnikov
Phys. Rev. Lett. 77, 4434 (1996); X. Zhou, M. Cardona,
D. Colson, y V. Viallet, Phys. Rev. B 55, 12 770 (1997);
V.G. Hadjiev, X. Zhou, T. Strohm, M. Cardona, Q.M. Lin,
y C.W. Chu, ibíd. 58, 1043 (1998).
27 Véase, por ejemplo, E. Ya. Sherman y C. Ambrosch-Draxl, Phys.
Rev. B 62, 9713 (2000), y sus referencias.
28 Considerando Y-123 y Bi-2212, la anterior medida Raman-
Cuando se ajusta a un perfil de Fano, se indica que B1g cou-
plong en Y-123 es más apreciable que en Bi-2212, que
se cree que se debe a los diferentes ambientes electrostáticos
alrededor de los aviones CuO2. [T.P. Devereaux, A.
Virosztek, A. Zawadowski, M. Opel, P.F. Müller, C. Hoff...
mann, R. Philipp, R. Nemetschek, R. Hackl, H. Berger, L.
Forro, A. Erb, y E. Walker, Solid State Commun. 108,
407 (1998)]. Esto en ese momento fue apoyado por electrostática
cálculos del campo de cristal orientado al eje c en Y-123
[J. Li y J. Ladik, Solid State Commun. 95, 35 (1995)],
pero no se habían realizado cálculos para Bi2212. Una re-
examen de los datos de Raman indican que la extracción
el acoplamiento para Bi-2212 puede verse afectado por inhomo-
geneidad de las líneas fonónicas en Bi-2212 en comparación con Y-123, como
bien a las diferencias en el fondo electrónico B1g. Mientras
Se estimó que el valor de la sustancia problema era de 0,0013, con inhomogeneidad de la sustancia problema.
línea fonónica se tiene en cuenta junto con una opción diferente
de antecedentes, puede obtenerse un valor de 0,02, comparable
a Y-123. Esto está respaldado por cálculos recientes de Ewald
para Bi-2212, que da un valor de campo de cristal local 1.25
eV/cm, comparable a la obtenida para Y-123.
29 Carsten Honerkamp, Henry C. Fu y Dung-Hai Lee,
cond-mat/0605161.
30 O. Rösch, y O. Gunnarsson, Phys. Rev. Lett. 93,
237001(2004); O. Rösch, G. Sangiovanni, y O. Gunnars-
hijo, cond-mat/0607612.
31 V. B. Zabolotnyy, S.V. Borisenko, A. A. Kordyuk, J. Fink,
J. Geck, A. Koitzsch, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,
A. Erb, C. T. Lin, B. Keimer y R. Follath, Phys. Rev.
Lett. 96, 037003 (2006).
32 K. Terashima, H. Matsui, D. Hashimoto, T. Sato, T. Taka-
hashi, H. Ding, T. Yamamoto y K. Kadowaki, Naturaleza
Física 2, 27 (2006).
33 M. Limonov, D. Shantsev, S. Tajima y A. Yamanaka,
Phys. Rev. B 65, 024515 (2001).
34 E. Altendorf, J. C. Irwin, W. N. Hardy y R. Liang,
Physica C 185-189, 1375 (1991).
35 K.M. Shen, F. Ronning, D.H. Lu, W.S. Lee, N.J.C. Ingle,
W. Meevasana, F. Baumberger, A. Damascelli, N.P. Ar-
Mitage, L.L. Miller, Y. Kohsaka, M. Azuma, M. Takano, H.
Takagi, y Z.-X. Shen, Phys, Rev. Lett. 93, 267002(2004)
36 O. Rösch, O. Gunnarsson, X. J. Zhou, T. Yoshida, T.
Sasagawa, A. Fujimori, Z. Hussain, Z.-X. Shen, y S.
Uchida, Phys. Rev. Lett. 95, 227002 (2005).
37 Jinho Lee, K. Fujita, K. McElroy, J. A. Slezak, M. Wang,
Y. Aiura, H. Bando, M. Ishikado, T. Masui, J.-X. Zhu, A.
V. Balatsky, H. Eisaki, S. Uchida y J. C. Davis, Nature
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0412178
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0603006
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0605161
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0607612
442, 546(2006).
38 Jian-Xin Zhu, A. V. Balatsky, T. P. Devereaux, Qimiao
Si, J. Lee, K. McElroy, y J. C. Davis, Phys. Rev. B 73,
014511(2006); cond-mat/5507621.
39 D. J. Scalapino, en Superconductividad, Vol. 1, editado por R.
Parks, Dekker, 1969.
http://arxiv.org/abs/cond-mat/5507621
| Contribución de celosía a la auto-energía electrónica en complejo correlacionado
óxidos es un tema fascinante que últimamente ha estimulado discusiones animadas.
Expectativas de efectos de autoenergía electrón-fonón para materiales más simples, tales como:
como Pd y Al, han resultado en varios conceptos erróneos en fuertemente correlacionados
óxidos. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser
el origen de ciertos efectos de auto-energía vistos en alto-$T_c$ cuprate
superconductores mediante experimentos de fotoemisión resuelta por ángulo (ARPES), incluidos:
dependencia de la temperatura, dependencia de dopaje de los efectos de renormalización,
la dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y la sustitución de impurezas. Nosotros
muestra que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos
los argumentos no están bien fundados.
| Aspectos de la autoenergía electron-phonón revelados desde ángulos resueltos
Espectroscopia de fotoemisión
W.S. Lee,1 S. Johnston,2 T.P. Devereaux,2 y Z.-X. Shen1
Departamento de Física, Física Aplicada y Stanford Synchrotron
Laboratorio de radiación, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305
Departamento de Física, Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, Canadá N2L 3G1
(Fecha: 4 de noviembre de 2018)
La contribución de celosía a la auto-energía electrónica en óxidos correlacionados complejos es una fascinante
tema que últimamente ha estimulado discusiones animadas. Expectativas de la autoenergía electrón-fonón
efectos para materiales más simples, como Pd y Al, han dado lugar a
óxidos correlacionados. Aquí analizamos una serie de argumentos que afirman que los fonones no pueden ser la
origen de ciertos efectos de auto-energía vistos en superconductores de alta Tc cuprate a través del ángulo resuelto pho-
los experimentos de emisión (ARPES), incluida la dependencia de la temperatura, la dependencia de dopaje de la
efectos de renormalización, dispersión entre bandas en los sistemas bicapa, y sustitución de impurezas.
Demostramos que a la luz de pruebas experimentales y simulaciones detalladas, estos argumentos no son
Bien fundado.
Números PACS: Los PACS válidos aparecen aquí
I. INTRODUCCIÓN
El mecanismo de emparejamiento microscópico de la alta Tc
la superconductividad sigue siendo una cuestión sin resolver
después de veinte años de su descubrimiento. Observaciones de la Comisión
una torcedura alrededor de 40-70 meV en la dispersión de la banda
a lo largo de la diagonal de la zona de Brillouin (nodal diec-
y una estructura de pico-dip-hump (PDH) en la zona
límite por espectroscopia de fotoemisión con resolución angular
(ARPES)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 han dibujado mucho
de atención reciente, ya que pueden arrojar algo de luz sobre esto
problema. Aunque se ha establecido un acuerdo
que la estructura de torcedura y PDH son firmas de la
electrones acoplados a un modo bosónico agudo, todavía es
fuertemente debatido sobre el origen de este modo bosónico.
Influenciado por el hecho de que el cuprato de alta Tc es un dopado
antiferromagnético aislante, una creencia común es que este
El modo bosónico tiene un origen magnético2,3,4,5,6,7,8,9. ¿Cómo...?
una visión alternativa es que el electrón-fonón cou-
plong en tal doped-aislador puede ser muy fuerte y
anómalos debido a una serie de efectos inusuales, tales
como la mala selección, la estructura compleja, así como el
terplay con correlaciones. De hecho, el oxígeno relacionado op-
Se han invocado los fonones ticales para explicar el tem-
peratura y dependencia dopante de la renormalización
efectos10,11,12,13,14. Esta idea de que los fonones son principalmente
responsable de esta renormalización de la banda de baja energía
El efecto observado por ARPES ha estimulado un intenso debate.
Actualmente no hay consenso sobre si un fonón, un conjunto
de los fonones, o un modo magnético es la causa principal de
la renormalización de la banda.
Como se ha mencionado, algunas razones importantes para invocar
la interpretación fonónica de los datos de ARPES son:
presencia de una escala de energía universal en todos los materiales
dopaje10,15, especialmente en el estado normal de
Materiales Tc muy bajos
16; el fuerte inferido momen-
dependencia de tum11,14; la existencia de múltiples bosónicos
los acoplamientos de modo12 y la disminución de la cou-
resistencia a los flecos con aumento del dopaje, interpretado como un
efecto de cribado, especialmente para los fonones con autovectores
a lo largo del eje c13. Sin embargo, todavía existe una creencia generalizada
que los fonones no son responsables de las características de torcedura. In
las siguientes secciones, con una mirada completa en todos
datos experimentales, así como algunas simulaciones recientes,
abordar algunas de las críticas que han sido comúnmente
utilizado para argumentar en contra de la interpretación fonónica. Estos
incluyen la dependencia de la temperatura y el dopaje de la
efectos de renormalización, dispersión entre bandas para bicapa
el sistema, y los experimentos ARPES sobre la impureza substi-
Cristal Bi2212, Bi2Sr2Ca(Cu2−xMx)O8+ con M
= Zn o Ni. Nuestro objetivo es aclarar estos conceptos erróneos.
como se debe a la simplificación excesiva de los efectos de electrón-
acoplamiento de fonón en cupratos, así como otros fuertemente
óxidos metálicos de transición correlacionados.
II. ASPECTOS DEL ELECTRÓN-PHONON
AUTOENERGIA
A. Depende de la temperatura
En el tratamiento estándar del acoplamiento electrón-fonón
efectos, la temperatura de Debye establece una característica tem-
escala de peratura, que está muy por encima de Tc en
materiales superconductores. Sin embargo en los cuprates y
otros sistemas de energía baja Fermi, estas dos escalas de energía
puede ser comparable. Como resultado, la temperatura de depen-
dence de las autoenergias inducidas por el fonón puede ser muy diferente-
a partir de la de los superconductores convencionales. Accord-
a las mediciones de ARPES en el sistema Bi2212, el
renormalización de la banda en la región antinodal (peak-dip-
estructura jorobada) muestra una superconductividad dramática-
mejora inducida cuando el sistema pasa por un
transición de fase del estado normal al supercon-
estado de conductos. Se ha argumentado que sólo un modo que
emerge en el estado superconductor y desaparece en
http://arxiv.org/abs/0704.0093v1
el estado normal puede explicar esta temperatura-dependiente
efecto de renormalización2,3,4,5. Phonons son por lo tanto ex-
Suprimida.
La nitidez de los efectos de la renormalización debido a
El acoplamiento electrón-fonón es fuerte temperatura de depen-
abolladura, dada por el hecho de que Tc de bi2212 óptimamente dopado
está cerca de 100K. Para demostrar esta temperatura de-
Pendencia, consideramos el estado normal (120 K) y su-
estado perconductor (10 K) de un superconductor de onda d
acoplado a 36 meV B1g, 55meV oxígeno A1g, y 70
MeV respirando fonones14,17. El electrón-fonón cou-
pling para el B1g y los fonones respiratorios son los utilizados
en Ref. 14. Los modos A1g implican movimientos del eje c de
ambos oxígenos planos y apicales, y tienen dos ramas
alrededor de 55 y 80 meV. El electrón-fonón apical cou-
pling, derivado en Ref. 17, implica un cargo-transferencia desde
el ápice de oxígeno en el plano CuO2 a través de los Cu 4s o-
Bital, el mismo camino que da lugar a la división de dos capas-
ting. Sin embargo, para la simplicidad, el electrón-fonón apical
el acoplamiento se trata como una constante en los cálculos pre-
enviado en este periódico. La razón para incluir tres modos
en el cálculo se inspiró en el éxito anterior de
el cálculo de dos modos11, así como el reciente discov-
ery del acoplamiento de modo múltiple12,13. Para este cálculo,
la estructura de banda de unión apretada descrita en Ref. 19
ha sido utilizado. La parte real y la parte imaginaria de la
autoenergía (k, ) y las funciones espectrales A(k, ) at
k = (0, η) se obtienen entonces dentro del acoplamiento débil Eliash-
berg formalismo14 y conspirado en la Fig. 1. Detalles de la
los cálculos se presentan en el apéndice.
A alta temperatura, tanto Re. (k,...) como Im. (k,.........................................................................................................................................
no exhibe una característica de renormalización nítida como se muestra
por las curvas discontinuas en la Fig. 1 a) y fig. 1 b), respec-
Tily. Esto demuestra que la ampliación térmica
efecto mancha las características nítidas de la renormalización; en
adicional, ampliando los efectos debido a muchos cuerpos adicionales
efectos mancharían las características de la renormalización piel-
ther. Por lo tanto, uno no debe esperar a observar cualquier agudo
características de renormalización a k = (0, η) en el estado normal
(+ 100K) del acoplamiento electrón-fonón. En el su-
perconducting state, las características de renormalización de la
la auto-energía se vuelve mucho más aguda, debido a la menor
efecto de ampliación mal, así como la apertura de un su-
Perconducting gap. Consistente con el dopado óptimo
Bi2212 y Bi2223 mediciones2,4,11,18, la estructura PDH
ión de la función espectral a k = (0, η) surge a baja
la temperatura y desaparece a alta temperatura (ni-
mal estado), como se ilustra en la Fig. 1 c) y fig. 1 d),
respectivamente. Mientras que este comportamiento es generalmente esperado
para cualquier fonón, notamos que, además, la auto-energía
de acoplamientos electrón-fonón que involucran a momen-
transferencias dentro de y entre regiones antinodales de
la superficie de Fermi, como el ápice A1g y los fonones B1g,
se mejoran en gran medida para todos los puntos k debido a la gran
densidad de las mejoras del estado en estas regiones a través de la
apertura de una brecha de onda D. Un detallado impulso depen-
dence de los efectos de renormalización en el estado normal
y estado superconductor debido al acoplamiento a la B1g
FIG. 1: La (a) parte real calculada, Re., (b) imaginaria
parte de la auto-energía, Im., y el espectral correspondiente
funciones, A(k) en c) estado normal y d) superconductores
Estado. Un extra de 5 meV se añade a la parte imaginaria de la
autoenergía en simulación de 120K para dar cuenta de la térmica
ampliación de la vida de las cuasi-partículas. La ubicación de
este cálculo se indica en la entrada de (a) por un punto rojo con
una curva roja que representa el FS. Los conjuntos de las letras c) y d) son los siguientes:
datos del sistema Bi2223 con dopaje óptimo (Tc=110K) tomados en
el estado normal (120K) y el estado superconductor(25K)18,
respectivamente.
fonón ha sido discutido en Ref. 11 y Ref. 14. Piel...
termorre, tanto el torbellino de dispersión como la estructura PDH-
en la región nodal se han observado claramente en
el estado normal cuando se mide a baja temperatura
en muestras con una Tc inferior
16. Esto brinda más apoyo
a la renormalización fuertemente dependiente de la temperatura
características debidas al acoplamiento electrón-fonón.
B. Dependencia de Dopaje
Otra declaración problemática contra el fonón
El escenario se deriva de la aparente fuerte dependencia de dopaje.
dence de la posición de torcedura y la fuerza. Basado en el
sabiduría para los metales buenos convencionales, los fonones deben
no tienen una fuerte dependencia del dopaje, ya sea en la frecuencia
del modo o de la fuerza del acoplamiento. Esto es
no es necesario válido para aisladores en capas, dopados con
fuertes efectos de correlación, tales como cupratos donde dop-
ing cambia dramáticamente la metalicidad y el abil-
ity de electrones a las fluctuaciones de carga de la pantalla. Nosotros primero.
note que muchos experimentos en varios cuprates han re-
Anomalías dependientes del dopaje fuertemente portadas para varias
fonones, lo que implica una fuerte dependencia dopante e-p
acoplamiento para estos fonones. Por ejemplo, de inelástico
mediciones de dispersión de neutrones, el modo de respiración,
modo de semi-respiración, y los modos de enlace-estiramiento ex-
• prohibir la dependencia prominente del dopaje de la dispersión y
renormalizaciones ergy20,21. En Raman y especificaciones infrarrojas...
FIG. 2: Las tramas de intensidad de las (a) funciones espectrales con-
a la convolución de la resolución y b) a las especificaciones complicadas de la resolución
funciones tral en el estado superconductor (10K) a lo largo de la
dirección nodal, como se indica en la entrada de (b) por el azul
línea. Las curvas negras son la dispersión de banda extraída de
las posiciones máximas de las curvas de distribución del momento,
que cortan las funciones espectrales a una energía fija. El MDC-
dispersiones derivadas en (a) muestra tres “subkinks” afilados debido
al acoplamiento a los tres modos de fonón utilizados en el modelo;
mientras que en (b) los subkinks son lavados por el instru-
efecto de resolución que deja una simple torcedura aparente en el
dispersión de la banda. La línea blanca despejada ilustra el desnudo
banda para la extracción de Reel se muestra en la Fig. 3 a).
troscopía, las formas de línea Fano de los modos de fonón en B1g
y la simetría B1u muestran fuertes dependencias de dopaje
Además, la fuerza del cambio de energía fonónica y
linewidth variación a través de Tc también cambia fuertemente con
dopaje23.
En segundo lugar, la dependencia dopante de la renormalización
efectos en la auto-energía electrónica es sofisticado como en
ferred por dos estudios recientes de ARPES. Una es la observación...
ión de múltiples acoplamientos de modo bosónico a lo largo del nodal
dirección12. El otro es la dependencia dopaje de la
Efecto de cribado c-eje en el acoplamiento entre el elec-
tron y c-axis fonones. Según lo propuesto por Meevasana et
13,24 y Devereaux et al.17, para cou-
ploling a longitudes de onda largas, el cribado se vuelve más
eficaz para reducir la resistencia al acoplamiento cuando la c-
la conductividad del eje se vuelve más metálica. Teniendo en cuenta estos
dos resultados más la variación de la brecha de superconductores
magnitud con dopaje, la dependencia dopaje de la
La energía de torcedura es muy complicada en Bi2212 cuya super-
la realización de la brecha tiene una energía comparable a algunos de los
¡Fonones!
In Fig. 2, presentamos la parcela de intensidad de calculado
Funciones espectrales que demuestran una dependencia del dopaje
de la distorsión de la dispersión en el estado superconductor. Los
El tamaño de la brecha superconductora se fijó en 40, 20 y 10
meV para los sistemas óptimamente dopados y más superdotados-
Tems. Además, la fuerza de acoplamiento de la respiración
modo, cuyo acoplamiento apreciable es sólo para la onda corta-
las longitudes y las grandes transferencias de impulso20,21,
FIG. 3: (a) El Re. extraido de la Fig. 2 a) (líneas puntiagudas)
y Fig. 2 b) (líneas sólidas) restando una banda lineal desnuda
(línea bañada en la Fig. 2 a)) de la dispersión de la banda. El ar-
las filas indican las posiciones máximas de la
"único" aparente torcedura en la dispersión de la banda es generalmente de-
multado. b) Resumen de la dependencia del dopaje
energía de torcedura y la energía de modo aparente extraída por como-
sumando un único escenario de modo.
cambiado para nuestra simulación de dependencia de dopaje; mientras que, un
función de filtro, •2/(•22sc) con diferente valor del eje c
la frecuencia de cribado se aplica a los fonones del eje c
(B1g y A1g), para simular la cou-
resistencia al apriete debido al cambio del cribado del eje c
efecto13,24. Tomamos nota de que, aunque se trata de una simplificación
sión, representa el comportamiento general de la detección de
sideraciones para los fonones que involucran pequeñas momen-
Transferencias tumorales. Se ha estudiado a fondo la posibilidad de realizar exámenes de detección.
dada en Ref. 17 y Ref. 24. Además, un componente
0.005+ Se añade eV 2 en la parte imaginaria de la auto-
energía para imitar el tiempo de vida cuasipartícula que se amplía
debido a la interacción electrón-electrón.
Como se muestra en la Fig. 2 a), el acoplamiento a un fonón múltiple
los modos inducen varias “subkinks” en la dispersión. Los
las posiciones de estos subkinks corresponden en su mayor parte a la en-
ergies de fonones más la brecha máxima de onda d SC,
Incluso a través de ella no hay ninguna brecha a lo largo de la di-
Rección. Esto es porque al calcular la auto-energía,
una necesidad de integrar las contribuciones de la totalidad
zona, que hace que los electrones en la región nodal “sienten”
la presencia de la brecha. Además, revelado por el ex-
Trazado real-parte de la auto-energía, Re. (curvas clavadas
en Fig. 3 (a)), la característica dominante en el
el caso es inducido por el modo B1g de 36 meV, mientras que para el OD1
y OD2, las características del modo A1g de 55 meV y
El modo de respiración de 70 meV supera gradualmente el peso del con-
Atribución del modo B1g. Esto demuestra que
el cambio de la magnitud de la brecha SC y el aumento
efecto de cribado a estos fonones debido a un aumento
dopaje altera la fuerza relativa de las subkinks causadas
por diferentes modos.
Para simular los datos experimentales, envolvimos la
funciones espectrales mostradas en la Fig. 2 a) con un
Resolución instrumental de ARPES: 12,5 meV en energía res-
olución y 0,012 η/a en la resolución del impulso. Como illus...
trated in Fig. 2 b) y las curvas sólidas
en Fig. 3(a)), las subcocinas son menos obvias y se vuelven
una curva “single” ampliada en la dispersión que es
de la energía de la fea dominante del fonon...
tura determinada por la posición máxima de la
(las flechas en la Fig. 3 a)). La dependencia del dopaje de
la posición de torcedura se resume como los símbolos sólidos en
Fig. 3 b). Asumiendo un escenario de modo único, uno puede
obtener la “dependencia dopante” de la energía de modo por
restando el tamaño de la brecha SC. Sin embargo, observamos que
esta energía extraída del modo “aparente” no coincide con
cualquiera de los modos utilizados en el modelo; en su lugar, es un av-
eliminación entre las características dominantes (símbolos abiertos en
Fig. 3 b). Claramente, ya que la energía de torcedura es una suma de la
brecha superconductora y un espectro de modos bosónicos,
no debe tomarse como una medida precisa de la
energía de cualquier modo bosónico en particular. Esto arroja dudas.
al análisis de las propiedades dependientes del dopaje de la
torcedura en la dispersión de la banda nodal basada en el sencillo
Escenario de acoplamiento de modo bosónico7,8. Lo que es más importante,
esto ilustra la naturaleza compleja de los efectos de celosía en
Estos óxidos.
C. Dispersión entre bandas
Borisenko et al.8,9 observaron que la tasa de dispersión
de las bandas de unión y antibono a lo largo del nodal
la dirección se cruzan cerca de la energía de la Van
La singularidad de Hove, sugiriendo una fuerte dispersión entre bandas...
entre las bandas de unión y antibonos. Ellos
arguyó que sólo un modo con simetría “odd”, como
modo de resonancia de spin, puede mediar tal scat inter-banda-
tering. La cuestión de si los fonones pueden inducir tales
La dispersión interbanda también ha sido elevada por estos au-
Thors.
En primer lugar, tomamos nota de que, recientemente, la alta energía y el impulso
Experimentos de resolución ARPES en Bi2212 utilizando
los fotones ergy( <10 eV) han resuelto mejor el bicapa
dividirse en el punto nodal25. Sin embargo, como se muestra en la Fig.
2 de Ref. 25, la tasa de dispersión de la unión y anti-
banda de enlace no exhibe un comportamiento cruzado como
reportado por Borisenko en al.. La inconsistencia de la
Los datos entre los dos grupos implican que más experiencia
Se requiere un mejor análisis para verificar si
este efecto de dispersión entre bandas es genuino.
En segundo lugar, empíricamente, se ha conocido desde hace más de 15 años
que el acoplamiento electrón-fonón entre bandas en las copas
es muy grande. La evidencia viene de la fuerte resolución...
perfiles nance de muchos fonones activos Raman, que dis-
jugar grandes variaciones de intensidad26. Por lo general, esto no es suficiente.
se mantuvo como resultado de un fuerte acoplamiento entre bandas, por lo que
Los fonones pueden ser traídos y sacados de resonancias vía tun-
la energía fotónica incidente27. Puesto que, en general,
Los fonones también pueden proporcionar impulso para dispersar electrones
a lo largo del eje c, la dispersión inter bicapa directa puede ocurrir
que implica la mezcla de diferentes simetrías de los fonones.
Esto se puede ver de una manera simplificada, incluso si nosotros primero
descuidar la dispersión directa de la banda y considerar una bicapa
sistema acoplado a c-eje fonones. Para qz = 0, un simple
La clasificación de los modos de eje c es posible:
k,,α=1,2
(k)c
k,α,
ck,α, +
t(k)
k,1,eck,2,e + h.c.
K,q,l,α=1,2, v.
g/,α(k, q)
k+q,α,
a(−q) + a
+ h.c.
, (1)
donde α es el índice para los estados electrónicos de diferentes
las capas, en la letra k) del punto 1 = en la letra k) del punto 2, en la letra k) del punto 1, se describe el salto de los elec-
trons entre dos capas, y el índice / puede ser o bien
modos de eje c activo gerade o ungerade, con simetría
clasificación con respecto al desplazamiento eigenvec-
hasta el centro de inversión de la celda, representado en la Fig.
4. Después de diagonalizar los dos primeros términos por canónico
transformación, el acoplamiento electrón-fonón puede ser re-
fundida como
(g, u)
k,q,
g(g,u)(k, q)
a(g,u)(q) + a
(g, u)
k+q,+,ck,(+,−),
k+q,−,ck,(−,+),
+ h.c.
..(2)
Hemos utilizado el c+ y c− para el par y impar
combinación lineal de c1 y c2, y subíndice g y u
para el modo gerade y ungerade, respectivamente. Por lo tanto
para qz = 0, donde esta clasificación es posible, ger-
Los fonones de ade inducen la dispersión intrabanda (incluso chan-
nel), mientras que los fonones de ungerade median el inter-
proceso de dispersión de banda (odd canal) incluso sin di-
acoplamiento de electrones y fonones rectos a través de las capas. Sin embargo, para
qz = η/c, la clasificación invierte, donde los modos gerade
se convierten en ungerade y viceversa, como se ilustra en la figura 4.
Por lo tanto, incluso en este caso simple, modos a diferentes qz con-
tributo tanto a la dispersión intra y interbanda, y el
peso neto del acoplamiento que aparece en la energía de sí mismo es
Por lo tanto, la Comisión considera que, en la medida en que se trata de una cuestión de interés común, la Comisión no puede adoptar una decisión en el sentido de la letra b) del apartado 1 del artículo 92 del Tratado.
g(k, q). Puesto que la auto-energía generalmente implica sumas
sobre qz, y acoplamiento directo de electrones en la posición adyacente-
Es evidente que los fonones no son insignificantes, la interbanda
fenómenos de dispersión no se puede utilizar para argumentar en contra
FIG. 4: La ilustración de la gerade y ungerade c−axis
¡Fonones! El eigenmodo del gerade (úñerade) phonones
es uniforme (odd) con respecto al plano de espejo entre dos
CuO2 capas a qz = 0, mientras que su definición se intercambió a qz =
η/c. Los círculos negro, gris y blanco representan el Cu, Ca,
y O átomos, respectivamente.
los fonones son importantes para los estados electrónicos.
También agregamos una observación sobre el electrón-
Enganche de fonón derivado de mediciones Raman28
en YBa2Cu3O7 y Bi-2212 en comparación con los obtenidos
de ARPES. Mientras que uno ingenuamente podría esperar el cou-
Para que sean comparables entre Raman y ARPES, re-
dad de que esta situación es extraordinariamente diferente si la cou-
PLING es fuertemente dependiente del momento y siempre que corre-
las laciones son apreciables. Desde Raman mide los fonones
con transferencia neta de impulso cero y ARPES implica una
suma sobre todas las transferencias, una diferencia considerable de acoplamiento puede
ser discernible. Este es específicamente el caso para el B1g
fonón, donde la dispersión implica transferencias de impulso
a través de los cuellos de la superficie de Fermi cerca (η, 0)14, más
potenciado a través de correlaciones29, aporta una fuerte contribución
al electrón auto-energía que está ausente en el fonón auto-
energías. Por otra parte, un análisis de la regla de suma presentado en Ref.
30 destaca en general cómo electrón y fonón auto-
las energías pueden ser cualitativamente diferentes en
Sistemas lateados.
D. Experimentos ARPES en Zn y Ni sustituidos
Bi2212
En esta sección, comentamos sobre experimentos recientes
sobre los efectos de la renormalización en Zn y Ni substi-
Tuted Bi2212 cristal31,32. La fuerza del renor agudo...
malizaciones en estos cristales sustituidos se encuentra para ser
Debilitado en comparación con los cristales prístinos. Desde el
propiedades magnéticas se modifican previsiblemente debido a la
Cu sustitución por estas impurezas, los autores con-
ocluyó que los efectos agudos de la renormalización son inducidos
por modos magnéticos, no por fonones.
De hecho, un examen detenido de los datos publicados por V.
B. Zabolotnyy y otros 31 y K. Terashima y otros 32
que la propiedad magnética no es la única modificación
debido a la sustitución por Zn y Ni. En primer lugar, aunque
ambos conjuntos de datos son consistentes en la región antinodal
donde la fuerza de la renormalización de la banda es re-
, son inconsistentes entre sí en la torcedura
fuerza a lo largo de la dirección nodal. En el conjunto de datos de V.
B. Zabolotnyy et al., la fuerza de torcedura es más débil en el
Muestras de dopaje Zn o Ni, mientras que no hay detectables
cambio en el conjunto de datos comunicados por K. Terashima y otros.
En segundo lugar, los datos de K. Terashima et al. (Fig. 1 d)-
f) en Ref. 32) sugieren que la estructura bicapa-dividir-
tura es mucho más clara en los cristales prístinos que en el
Cristales de Zn y Ni dopados. Puesto que los autores han dictaminado
la posibilidad de una diferencia significativa en el nivel de dopaje
entre los cristales prístinos y los dopados por impurezas,
variación de la visibilidad tinte de la estructura bicapa implica
un cambio relacionado con la impureza en la estructura electrónica.
A partir de estas dos observaciones sobre sus datos, implica
que no sólo las propiedades magnéticas podrían cambiar, el
estructura de banda y comportamiento de dispersión también podría ser
afectados debido a estas impurezas. Es posible que
estos cambios de las estructuras electrónicas podrían “debilitar”
las características de renormalización observadas en el ARPES
espectro. Además, observamos que la fuerza de
el acoplamiento electrón-fonón también podría ser modificado por el
impurezas sustituidas: esto puede inferirse del
cambio de la forma de línea del espectro Fano del B1g 340
cm−1 fonón en Raman espectral para Zn dopado YBCO33
YBCO34 y Th-doped como resultado de un aumento de la
Ancho de línea de fonón debido a la dispersión de impurezas. Por lo tanto,
Los experimentos con Ni y Zn sustituyeron a los gritos de Bi2212.
Los tals son experimentos inconclusivos para distinguir el fonón
y los modos magnéticos como el origen de la renormalización
efectos.
III. CONCLUSIÓN
Hemos demostrado que la temperatura y el dopaje de-
pendencia de los efectos de renormalización, banda interbanda
dispersión, y los resultados de Zn y Ni dopado materiales
puede ser entendido en el marco del electrón-fonón
acoplamiento. Por otro lado, las cuestiones que lo hacen
no es plausible para el afilado ser de origen spin, es-
pecialmente el modo de resonancia de giro, permanecen: i) el casi
escala de energía constante en función del dopaje en pequeñas
gap system12; ii) los múltiples modos12; iii) la presencia
de torcedura clara en el estado normal4,13,16 iv) el detalle
acuerdo entre B1g phonon explicación basada en el
modo de acoplamiento en función del impulso11,14, mientras que
la resonancia de giro con peso espectral minúsculo (2%) es un-
Es probable que dé una explicación tanto para el nódulo como para la antin-
renormalización odal; v) la evidencia acumulada para
efecto polaron de celosía en undopado y profundamente bajo-
sistemas dopados35,36. Con estas debilidades del giro
interpretación de resonancia, efecto de celosía es más plausible
explicación de los efectos de la renormalización. Sigue siendo un
la posibilidad de que la spin-fluctuación y otros fuertes cor-
efectos de relación también son muy importantes para determinar la
estructura electrónica de los cuprates; probablemente contribuyen a
una suave renormalización de la banda y puede ser más
relevante para la energía de unión superior. Sin embargo, opti-
Los fonones cal son el origen más probable para el renor-
efectos de malización debidos a modos agudos cercanos a 40-70 meV,
que también se apoya en la reciente conclusión de STM
experimentos 37,38.
Agradecimientos
W.S. Lee reconoce el apoyo de SSRL que
es operado por la Oficina de Ciencias Básicas de la Energía de la DOE,
División de Ciencia Química y Ciencia de los Materiales
contrato DE-AC02-76SF00515. T. P. Devereaux
agradecen el apoyo de NSERC, subvención ONR
N00014-05-1-0127 y la Fundación A. von Humboldt.
APÉNDICE A: BASE MIGDAL-ELIASHBERG
ENFOQUE
En los cálculos presentados aquí, evaluamos elec-
autoenergias tronicas y funciones espectrales vía Migdal-
Tratamiento de Eliashberg, como se explica en Ref. 39. Los
la función de Green vestido en el estado superconductor es
dada en la notación de Nambu por
• (k, •) =
C(k, ) 0 + [(k) + χ(k, )]3 + (k, )1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
, (A1)
a partir de la cual la función espectral sigue A(k, •) = − 1
G′′1,1(k, فارسى) como se muestra en las Figs. 1c,1d, y 2. El impulso...
componentes dependientes de la energía propia Nambu se dan como generalizaciones de los que se encuentran en Ref. 39:
•Z2(k, •) =
g/(k,p− k)
[nb() + nf(Ep)][
+[nb() + nf (−Ep)][
χ2(k, ) = −
g/(k,p− k)
[nb() + nf (Ep)][
+[nb() + nf (−Ep)][
*2(k, *) =
g/(k,p− k)
[nb() + nf (Ep)][
+[nb() + nf(−Ep)][
donde / denota el índice de modo fonón, y nf y nb
son los factores de ocupación de Fermi y Bose. g(k,q) son
los correspondientes acoplamientos electrón-fonón para modo
ü, en la referencia14 para los modos de respiración y B1g.
Elegimos modelar el acoplamiento A1g a través de un impulso
acoplamiento independiente. Más detalles se pueden encontrar en
Ref. 17.
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22 M. Opel, R. Hackl, T. P. Devereaux, A. Virosztek y
A. Zawadowski, A. Erb y E. Walker, H. Berger y L.
Forró, Phys. Rev. B 60, 9836 (1999); C. Bernhard, D.
Munzar, A. Golnik, C. T. Lin, A. Wittlin, J. Humliček,
y M. Cardona, ibíd. 61, 618-626 (2000).
23 E. Altendorf, X. K. Chen, J. C. Irwin, R. Liang y W.
N. Hardy, Phys. Rev. B 47, 8140(1993); K. C. Hewitt,
X. K. Chen, C. Roch, J. Chrzanowski, J. C. Irwin, E. H.
Altendorf, R. Liang, D. Bonn y W. N. Hardy, ibíd. 69
064514(2004).
24 W. Meevasana, T. P. Devereaux, N. Nagaosa, Z.-X. Shen,
y J. Zaanen, Phys. Rev. B 74, 174524 (2006).
25 T. Yamasaki, K. Yamazaki, A. Ino, M. Arita, H. Na-
Matame, M. Taniguchi, A. Fujimori, Z.-X. Shen, M.
Ishikado, y S. Uchida, cond-mat/0603006.
26 E. T. Heyen, S. N. Rashkeev, I. I. Mazin, O. K. Andersen,
R. Liu, M. Cardona, y O. Jepsen, Phys. Rev. Lett. 65,
3048-3051 (1990); B. Friedl, C. Thomsen, H.-U. Haber...
Meier, y M. Cardona, Comunidad de Estado Sólido. 78, 291
(1991); D. Reznik, S.L. Cooper, M.V. Klein, W.C. Lee,
D.M. Ginsberg, A.A. Maksimov, A.V. Puchkov, I.I. Tar-
Takovskii, y S-W. Cheong, Phys. Rev. B 48, 7624 (1993);
M. Kang, G. Blumberg, M. V. Klein y N. N. Kolesnikov
Phys. Rev. Lett. 77, 4434 (1996); X. Zhou, M. Cardona,
D. Colson, y V. Viallet, Phys. Rev. B 55, 12 770 (1997);
V.G. Hadjiev, X. Zhou, T. Strohm, M. Cardona, Q.M. Lin,
y C.W. Chu, ibíd. 58, 1043 (1998).
27 Véase, por ejemplo, E. Ya. Sherman y C. Ambrosch-Draxl, Phys.
Rev. B 62, 9713 (2000), y sus referencias.
28 Considerando Y-123 y Bi-2212, la anterior medida Raman-
Cuando se ajusta a un perfil de Fano, se indica que B1g cou-
plong en Y-123 es más apreciable que en Bi-2212, que
se cree que se debe a los diferentes ambientes electrostáticos
alrededor de los aviones CuO2. [T.P. Devereaux, A.
Virosztek, A. Zawadowski, M. Opel, P.F. Müller, C. Hoff...
mann, R. Philipp, R. Nemetschek, R. Hackl, H. Berger, L.
Forro, A. Erb, y E. Walker, Solid State Commun. 108,
407 (1998)]. Esto en ese momento fue apoyado por electrostática
cálculos del campo de cristal orientado al eje c en Y-123
[J. Li y J. Ladik, Solid State Commun. 95, 35 (1995)],
pero no se habían realizado cálculos para Bi2212. Una re-
examen de los datos de Raman indican que la extracción
el acoplamiento para Bi-2212 puede verse afectado por inhomo-
geneidad de las líneas fonónicas en Bi-2212 en comparación con Y-123, como
bien a las diferencias en el fondo electrónico B1g. Mientras
Se estimó que el valor de la sustancia problema era de 0,0013, con inhomogeneidad de la sustancia problema.
línea fonónica se tiene en cuenta junto con una opción diferente
de antecedentes, puede obtenerse un valor de 0,02, comparable
a Y-123. Esto está respaldado por cálculos recientes de Ewald
para Bi-2212, que da un valor de campo de cristal local 1.25
eV/cm, comparable a la obtenida para Y-123.
29 Carsten Honerkamp, Henry C. Fu y Dung-Hai Lee,
cond-mat/0605161.
30 O. Rösch, y O. Gunnarsson, Phys. Rev. Lett. 93,
237001(2004); O. Rösch, G. Sangiovanni, y O. Gunnars-
hijo, cond-mat/0607612.
31 V. B. Zabolotnyy, S.V. Borisenko, A. A. Kordyuk, J. Fink,
J. Geck, A. Koitzsch, M. Knupfer, B. Büchner, H. Berger,
A. Erb, C. T. Lin, B. Keimer y R. Follath, Phys. Rev.
Lett. 96, 037003 (2006).
32 K. Terashima, H. Matsui, D. Hashimoto, T. Sato, T. Taka-
hashi, H. Ding, T. Yamamoto y K. Kadowaki, Naturaleza
Física 2, 27 (2006).
33 M. Limonov, D. Shantsev, S. Tajima y A. Yamanaka,
Phys. Rev. B 65, 024515 (2001).
34 E. Altendorf, J. C. Irwin, W. N. Hardy y R. Liang,
Physica C 185-189, 1375 (1991).
35 K.M. Shen, F. Ronning, D.H. Lu, W.S. Lee, N.J.C. Ingle,
W. Meevasana, F. Baumberger, A. Damascelli, N.P. Ar-
Mitage, L.L. Miller, Y. Kohsaka, M. Azuma, M. Takano, H.
Takagi, y Z.-X. Shen, Phys, Rev. Lett. 93, 267002(2004)
36 O. Rösch, O. Gunnarsson, X. J. Zhou, T. Yoshida, T.
Sasagawa, A. Fujimori, Z. Hussain, Z.-X. Shen, y S.
Uchida, Phys. Rev. Lett. 95, 227002 (2005).
37 Jinho Lee, K. Fujita, K. McElroy, J. A. Slezak, M. Wang,
Y. Aiura, H. Bando, M. Ishikado, T. Masui, J.-X. Zhu, A.
V. Balatsky, H. Eisaki, S. Uchida y J. C. Davis, Nature
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0412178
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0603006
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0605161
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0607612
442, 546(2006).
38 Jian-Xin Zhu, A. V. Balatsky, T. P. Devereaux, Qimiao
Si, J. Lee, K. McElroy, y J. C. Davis, Phys. Rev. B 73,
014511(2006); cond-mat/5507621.
39 D. J. Scalapino, en Superconductividad, Vol. 1, editado por R.
Parks, Dekker, 1969.
http://arxiv.org/abs/cond-mat/5507621
|
704.0094 | Timing and Lensing of the Colliding Bullet Clusters: barely enough time
and gravity to accelerate the bullet | arXiv:0704.0094v1 [astro-ph] 2 Abr 2007
Calendario y lente de los cúmulos de balas de colisión: apenas el tiempo y la gravedad suficientes
para acelerar la bala
HongSheng Zhao
Universidad de St Andrews, Scottish University Physics Alliances, KY16 9SS, Reino Unido
Presentamos restricciones semianalíticas sobre la cantidad de materia oscura en la galaxia de bala fusionada
clúster usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local. Consideramos que las órbitas de partículas en potencial
modelos que se ajusten a los datos de lente. Modelos de CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana son
encontrado con una masa total MCDM = 1 × 10
Más de DM Frío: la bala subhalo se puede mover con
VDM = 3000 kms
−1, y el gas de rayos X “bullet” puede moverse con Vgas = 4200 kms
−1. Estos son
casi las velocidades máximas que se aceleran por la gravedad de dos halos de CDM truncados en una
Tiempo Hubble incluso sin la presión del carnero. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de
las barras de error para la velocidad del gas de bala (5000− 5400 kms−1), y el gas de bala no estaría atado
por el halo del sub-cluster para el tiempo del Hubble. Modelos con VDM 4500 kms
Vgas invocaría
gran cantidad poco realista MCDM = 7× 10
Mâs de CDM para un clúster que contenga solamente â € 10
Más de
Gas. Nuestros resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de 4500 kms-1 es fácil
obtenido en el modelo de lente relativista MONDian de Angus et al. (2007). Sin embargo, MONDian
modelo con materia oscura caliente MHDM ≤ 0,6×10
Modelo Mó y CDM con una masa de halo ≤ 1×10
son apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.
Números PACS: 98.10.+z, 98.62.Dm, 95.35.+d; sometidos a la revisión física D, publicaciones rápidas
I. POTENCIAL DE TIMING
El tiempo es una técnica única para establecer el caso para
halos de materia oscura, primero y más a través explorado en
el contexto del grupo local (Kahn & Woljter 1959,
Fich & Tremaine 1991, Peebles 1989, Inga & Saha 1998).
En su versión más simple, el Grupo Local consiste en:
Vía Láctea y M31 como dos masas puntuales aisladas, que
se formaron cerca el uno del otro, se separaron debido al Hub-
ble expansión, y se desaceleró y se movió hacia cada uno
otros hasta su velocidad actual: 120 km s−1 y sepa-
ración (unos 700 kpc) debido a su gravedad mutua. Los
la edad del universo fija el límite superior en el período de
este par de galaxias, de ahí la masa total del par a través de
La tercera ley de Kepler asume la gravedad newtoniana.
El tiempo también encuentra una aplicación oportuna en el par de
la fusión de cúmulos de galaxias 1E0657-56 en corrimiento al rojo z = 0,3,
que es en gran parte una gran analogía extra-galáctica de la
Sistema M31-MW. El sub-cluster, llamado la “bulleta”,
Actualmente penetra 400-700 kpc a través de la masa principal.
ter con una velocidad aparente de 4750+710
−550 kms
−1 (Marke-
vitch 2006). El gas de rayos X de la bala (cantidad
2×1013M®) colisiona con el gas de rayos X del clus principal.
ter (con el gas total de hasta 1014M®) y forma un Mach-3
cono en frente de la “bulleta”. Los dos grupos tienen en
mínimo cuatro centros diferentes, que se compensan por 400 kpc
entre el par de centros de gas de rayos X y por 700 kpc
entre el par de centros estrella-luz, que coincide
con los centros de lente gravitacional y (materia oscura)
centros potenciales (Clowe et al. 2006). La penetración
velocidad es inusualmente alta, difícil para la cosmología estándar a
explicar estadísticamente (Hayashi & White 2006), y modi-
* Dirección electrónica: hz4@st-andrews.ac.uk
se ha sugerido la ley de fuerza fied (Farrar & Rosen 2006,
Angus et al. 2007).
El método de tiempo se aplica en la gravedad MONDian
así como Newtonian. Al igual que la lente, el tiempo es simplemente un
método sobre la limitación de la distribución potencial, y es
sólo indirectamente relacionado con la distribución de la materia. En este
Letra que modelamos los cúmulos de bala como un par de timadores de masa.
centraciones formadas en alto corrimiento al rojo, y establecer restricciones en
su fuerza mutua utilizando el simple hecho de que su radial
período de oscilación debe estar cerca de la edad del universo
a z = 0,3. Comprobamos la consistencia con el lente
señal del clúster y dar interpretaciones en términos de
CDM estándar y MOND.
Primero podemos entender la velocidad de la bala.
más analíticamente en escenarios simplificados. Aproximación de la
dos grupos como puntos de masas fijas M1 y M2 en una
órbita frontal, podemos aplicar el tiempo MW-M31 habitual
argumentación. La masa total M0 = M1 + M2 es constante.
El período orbital radial se calcula a partir de
T = 2
∫ rmax
V r)
, (1)
r3max
, Newtonian p = 2 (2)
2γrmax
, profundo-MONDiano, p = 1 (3)
K−n/2r
máx., para una K/r
p gravedad, (4)
donde rmax es el apocentro y está relacionado con el presente
Velocidad relativa V (r) a la separación r = 700 kpc por energía
http://arxiv.org/abs/0704.0094v1
conservación
V r)2
= −GM0
Newtonian (5)
= V 2M (ln rmax − ln r) profundo−MONDian (6)
r1−p − r1−pmax
K/(1− p) para una gravedad K/rp,(7)
donde VM =
(GM0a0)
1/4 es el cir-
velocidad angular de dos puntos de masa, a0 es igual a uno
Angstrom por segundo cuadrado y es el MOND
escala de aceleración, y el adimensional
3M1M2
• 0,81 • 1 (cf. Mil...
grom 1994, Zhao 2007, en preparación) para una masa típica
relación.
Las predicciones para la simple grav de newtoniano Keplerian-
ity se dan en la Fig. 1; el caso más sutil para un MON-
Dian cluster se discute en la sección final. Configurando el
período orbital T = 10Gyrs, la edad del universo en
el corrimiento al rojo del racimo, los rendimientos actuales V â € 3200 km s−1 en
Newtoniano para una masa combinada normal de M1 + M2 =
(0.7− 1)× 1015M® para los clusters, que es aproximadamente 7-10
veces su contenido de gas bariónico (+ 1014M+) para Newto-
universo nian de = 0,3 materia oscura fría. De acuerdo
con Farrar & Rosen y Hayashi & White, el sim-
el argumento de cronometración sugiere que las velocidades de halo oscuro
de 4750 km s−1, tan alto como el gas de rayos X
requieren halos con masas de oscuridad irrealmente más grandes
materia, 1016M, un orden de magnitud más que
lo que implica una relación baryon-oscuro universal. Como una cordura
comprobar, suponiendo un grupo local convencional 3× 1012M®
masa de materia oscura Fig.1 predice la velocidad relativa de
100 km/s para el sistema M31-MW en la separación 700
kpc después de 14 Gyrs, consistente con la observación (Binney
& Tremaine 1987).
Estos argumentos analíticos, aunque sencillos, son
no es preciso habida cuenta de sus suposiciones de simplificación. Por una vez,
los clusters no se forman inmediatamente en el infinito del shift rojo, y
la masa de racimo y el tamaño podrían crecer con el tiempo gradual-
lly. Más importante es ese punto masa halo newtoniano
modelos están lejos de encajar los datos de lente débil de la
1E0657-56. Un potencial Newtoniano poco profundo lo hace
aún más difícil acelerar la bala. Por otro lado
mano, Angus, Shan, Zhao, Famaey (2007) muestran que allí
son potenciales inspirados en MOND que se adaptan a la lente. Como com-
En su conclusión, el mismo potencial es profundo
lo suficiente como para que un V = 4750 km s−1 “bulleta” esté
órbita de apocenter rmax de unos pocos Mpc, por lo que los dos clus-
ters podría acelerarse por gravedad mutua a partir de un cero
velocidad apocentro a 4750 km/s dentro de la vida de los cúmulos-
Tiempo. Esta línea de pensamiento fue explorada más a fondo por el
estudio numérico más sistemático de Angus & McGaugh
(2007).
Nuestro papel es un spin-off de estas obras y las obras
de Hayashi & White y Farrar & Rosen. Enfatizamos
la unificación de la perspectiva de tiempo semianalítica
y la perspectiva de lente, y el objetivo de obtener robusto
limitaciones al potencial, sin limitarse a
Velocidad de las balas de rayos X
Baryon
12,5 13 13,5 14 14,5 15
Registro (masa combinada)
FIG. 1: Masa dinámica predicha analíticamente cronológicamente vs.
velocidad relativa de dos objetos separados por 700 kpc después de 10±
4 Giros (tres líneas en orden creciente para aumentar el tiempo)
Asumiendo el potencial kepleriano de las masas puntuales. Tres verticales
las líneas indican la típica masa Halo del Grupo Local, la masa Baryónica
en cúmulos de galaxias, y las masas de halo más masivas del MDL. Tres
líneas horizontales indican la barra de error de la velocidad de la radiografía
Gas “bullet”.
teoría de la gravedad específica o candidata a materia oscura.
Hacia la finalización de este trabajo, estamos hechos
por la preimpresión de Springel & Farrar (2007) que el
bala no observada DM halo podría estar moviéndose más lento que
se observó gas de rayos X despojado. Estos autores, también
como preimpresión de Milosovic et al. (2007), destacó el
efecto de la presión hidrodinámica, que no vamos a ser
capaz de modelar aquí de forma realista. Pero para abordar la velocidad
diferencias, en lugar de tratar el gas de rayos X como un ”bullestic
partícula”. Argumentamos que nuestra hipotética parte balística...
debe moverse lo suficientemente lento como para estar atado a las proximidades de la
subhalo antes de la colisión, pero se mueve un poco más rápido
más de 4700
−550 kms
ahora, ya que no experimenta
la presión del gas. Este modelo sigue el espíritu
de los modelos clásicos de tiempo de la separación de la Gran
y pequeñas nubes de Magallanes y la corriente de Magallanes
(Lin & Lynden-Bell 1982).
II. 3D POTENCIAL DE LA PRESTACIÓN
El mapa de cizallamiento de lente débil de Clowe et al. (2006)
ha sido equipado por Angus et al. (2007) utilizando un cuatro-
potencial analítico componente cada uno es esférico, pero
en diferentes centros. Para nuestro propósito redistribuimos la
componentes menores y simplificar el potencial en dos
componentes centrados en el centroide móvil de la galaxia
luz del clúster principal con la actual coordi espacial
nates r1(t) = (−564,−176, 0) galaxia kpc y subcluster
centroide r2(t) = (145, 0, 0) kpc; el origen de las coordenadas es
establecido en el punto más brillante actual de la “boleta” de rayos X
gas; actualmente el cúmulo está en z = 0,3 o tiempo cósmico
t = 10Gyrs. También aplicamos un truncamiento Keplerian a la
potencial más allá del radio de truncación rt. Así que el siguiente...
Se adopta el potencial 3D para el grupo 1E0657-56 en
tiempo t,
Φ(X,Y, Z, t) = (1800 km s−1)2 (r− r1) (8)
+ (1270 km s−1)2 (r− r2),
* (r − ri(t)) = ln
r − ri(t)
180 kpc
+ cst, r < rt(9)
= − r
r− ri(t)
, r ≥ rt(t) = C × t,(10)
donde r?t? r
+1802
es garantizar un continuo y suave
transición del potencial a través del radio de truncación rt.
El rt de truncamiento evoluciona con el tiempo, ya que un pre-cluster
región se derrumba gradualmente después del big bang, y su
límite y masa total crece con el tiempo hasta que alcanza
el tamaño de un clúster. En interés de la simplicidad más bien
que rigor, utilizamos un modelo lineal rt = C × t, donde C
es una constante de la unidad kpc/Gyr.
Para comprobar que el potencial simplificado sigue siendo consis-
tienda con datos de lente débil, recomputamos el débil 3D
convergencia de lente (Taylor et al. 2004) para las fuentes en
distancia D(0, zs) en el shift rojo zs,
(X,Y, zs) =
i=X,Y
∫ D(0,zs)
2D(z, zs)
(ΦiΦ)dZ
donde las integraciones en backets cuadrados son la deflec-
ángulos de tion para una fuente en zs, y el lente usrual
distancia efectiva está relacionada con las distancias de movimiento
por D(z, zs) = (1 + z)
−1Dś(z)
1 - Dś(z)
D(zs)
= 587 Mpc es
para el grupo de balas z = 0,3 fuentes de lente en zs = 1;
la distancia aumenta en un factor 1.3 a 1.6 para la fuente
Redshifts de 3 a infinito. En la figura 2 se muestra la predicción
a lo largo de la línea que une los dos centros oscuros; el resultado
es insensible al radio de truncación del racimo siempre y cuando
rt ≥ 1000kpc actualmente. El modelo de lente predice un
señal entre la de los datos de lente débil de Clowe
et al., y datos de lente fuerte de Bradac et al. Lo es.
se sabe que estos dos conjuntos de datos son algo discrepantes
el uno al otro. Así que el ajuste aquí es razonable. El método
es la deproyección es esencialmente similar a la decomposi-
método de tion de Bradac et al. cuya suposición explícita
de la gravedad Einsteiniana es, sin embargo, innecesario.
Lo importante aquí es que en cuanto a deproject-
En cuanto a las posibilidades mencionadas anteriormente, ninguna suposición es la siguiente:
necesaria en la teoría de la gravedad, siempre y cuando los rayos de luz fol-
geodésicos bajos, una característica construida en la mayoría de la grav-
ity teoría. Del mismo modo, las órbitas de las partículas masivas son también
(diferente) geodésicos en estas teorías. El significado de
potencial en tales teorías es que el potencial (escalado por
a factor 2/c2) representa perturbaciones métricas en el plano
espacio-tiempo, especialmente al g00(cdt)
2 = −(1+ 2Φ
)cdt)2
término, por lo que el Christoffel i00 XiΦ, se puede mostrar
–1200 –1000 –800 –600 –400 –200 0 200 400
X/kpc
FIG. 2: Convergencia prevista de los racimos de balas (reescalada para
fuentes en el infinito) a lo largo de la línea Y = 0.3X + cst connect-
nuestros dos potenciales centroides. El modelo predice una lente
señal entre la de los datos observados de lente débil de
fuentes en zs = 1 (Clowe et al, extremo inferior de las barras de error) y
la lente débil unida y la lente fuerte (zs = 3) datos
(Bradc et al. parte superior de las barras de error); el desajuste de estos
En la actualidad no se han resuelto dos conjuntos de datos.
que las ecuaciones geodésicas tienen la misma forma que Ein-
steiniano en el límite del campo débil: d
R فارسى −(1 + v
)RΦ,
donde R es el par de coordenadas espaciales perpendiculares
a la velocidad instantánea v; las trayectorias de los rayos de luz
se desvían dos veces más por la perturbación métrica
2Φ/c2 como los de partículas de baja velocidad.
III. ORBITACIONES DE LOS CULTIVOS DE COLLIDACIÓN
Ahora usamos este potencial para predecir la velocidad relativa
de los dos grupos. Esto es posible usando el clásico
argumento de tiempo, en el estilo de Kahn & Wolter (159),
Fich & Tremaine (1991) y Voltonen et al. (1998);
posponemos los modelos de acción menos rigurosos (Pee-
bles 1989, Schmoldt & Saha 1998) para más tarde investiga-
ciones, ya que éstas requieren modelar una relación cosmológica
concentraciones constantes y otras concentraciones de masa a lo largo del orbital
la trayectoria de los cúmulos de balas, que tienen problemas técnicos en
gravedad no newtoniana. Rastreamos las órbitas de los dos
centroides de los potenciales de acuerdo con la ecuación de
movimiento d
= (ri). Asignamos diferentes relativas ve-
velocidad actual (a z = 0,3), e integrar hacia atrás
en el tiempo y requieren los dos centroides del potencial ser
juntos a la vez hace 10 Gyrs. Las mociones son:
principalmente en el plano del cielo, pero permitimos para 600 km/s
componente de velocidad relativa en la línea de visión. Claramente.
en tiempos más tempranos cuando t es pequeño, los dos centroides son
bien separados en comparación con sus tamaños, por lo que se mueven en
el creciente potencial de Keplerian entre sí. En Lat-
ter veces los centroides se acercaron y se mueven en el núcleo
Potencial isotérmico.
Vamos a considerar modelos con un truncado normal
rt = C × t = 1000 kpc en el momento t = 10 Gyrs. Nosotros también.
considerar modelos con un truncamiento muy grande C × t =
10000 kpc. En el lenguaje del MDL, el truncado
significa el radio virial del halo. El presente in-
velocidad de escape constante del modelo puede ser com-
puesto por Vesc =
−2Φ(X,Y,Z, t). Nos encontramos con Vesc
4200− 4500 km s−1 en la región central de la zona más profunda
modelo potencial con una truncación actual 1000 kpc. Los
velocidad de escape aumenta a Vesc 5700 km s−1 para los modelos
con una truncación presente de 10000 kpc.
Fig. 3 muestra las órbitas predichas para diferentes presentes
velocidades relativas VDM = dr2dt −
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entre los modelos
con un truncado normal, encontramos VDM + 2950 km s−1; a
modelo con velocidad relativa VDM < 2800 kms
− 1
predecir un cruce orbital no físico en alto corrimiento al rojo,
mientras que los modelos con VDM > 3000 kms
−1 predeciría
que los dos centroides potenciales nunca estuvieron cerca en alto
Desplazamiento al rojo.
Las velocidades de halo más grandes sólo son posibles en modelos
con un truncado muy grande. Si la velocidad relativa es
4200 km s−1 < VDM < 4750 km s
−1 entre dos clus-
ter centroides de gravedad, entonces la truncación debe ser tan grande
como 10Mpc en z = 0,3.
También rastreamos la órbita de la bala de gas de rayos X...
traide como partícula trazadora en el poten bicéntrico anterior.
Tial. Buscamos órbitas donde la bala de rayos X gas
estar siempre ligado a un miembro del sistema binario
ya que la presión del ariete en una colisión hidrodinámica es
es poco probable que sea tan eficiente para expulsar el gas de rayos X fuera de
Pozos potenciales tanto de los grupos principales como de los subgrupos. Esto
significa que la velocidad de la bala no debe exceder en gran medida el
presente velocidad de escape instantánea del modelo, que es
4200 - 4500 km s-1 en la región central de la profundidad
potencial de un modelo con una truncación presente 1000 kpc.
La velocidad de escape aumenta a 5700 km s−1 para los modelos
con una truncación presente de 10000 kpc. El modelo con
el truncado normal es marginalmente consistente con el
Vgas a la velocidad del gas servido: 4750+710−550 kms
−1. El problema
sería más grave si el potencial se hiciera
más superficial por un truncado aún más pequeño. La velocidad del gas
es menos un problema en los modelos con truncamiento más grande.
En resumen, la velocidad actual y los datos de lente son eas-
ier explicado con modelos potenciales de trun muy grandes
catión. Los modelos con truncamiento normal tienen más pequeños
poder gravitacional, sólo puede acelerar el subhalo a
3000 km s−1 en 10 Gyrs. Modelos con trun CDM normal
cation sólo puede acelerar la nube de gas de rayos X de la bala a
4200-4400 km s-1, la velocidad de escape, marginalmente con-
insistente con las observaciones.
Los resultados de simulación anteriores son sensibles al presente
la separación de los grupos temáticos, pero no es sensible a la actual direc-
ión del vector de velocidad. Efectos no modelados, tales como:
fricción dinámica asociada a un halo vivo reducirá
VDM predicho para el mismo potencial, pero el efecto
es leve ya que la colisión real es breve • 0,1− 0,3Gyrs
y el factor exp(−M2/2) en las fórmulas de Chandrasekhar
Curva 1
Curva 2
Curva 3
Curva 4
Curva 9
Curva 10
Curva 11
V_DM=2850
C=100
C=100
V_DM=2950
C=1000
V_DM=4200
C=1000kpc/Gyr
V_DM=4750 km/s
–2000
–4000 –2000 0 2000 4000
X kpc
FIG. 3: La órbita del subcluster de balas de gases de rayos X (rojo,
con Vgas actual = 5400 kms
−1 para los 10 Gyrs en el pasado,
y rosa: para el futuro 4 Gyrs), y las órbitas de la
halo de racimo principal tapado (daños azules) y subahalo (negro)
dashes) en el potencial (eqs. 8-10) determinado por lente
datos; los guiones indican la longitud recorrida en 0,5 Gyrs pasos. No
Para estos cálculos se necesita una asunción explícita de la gravedad.
ciones. Órbitas con diferente velocidad relativa actual de halo VDM
y la tasa de crecimiento del halo C se muestran después de un cambio vertical para
claridad. El tiempo requiere la velocidad relativa actual del clúster
entre 2800 kms-1 < VDM < 3000 kms
−1 para poten-
tiales de truncación normal (paneles más bajos donde el clúster
el truncado crece de cero a C × 10Gyr = 1000 kpc), y
4200 kms−1 < VDM < 4750 kms
−1 para potenciales con
truncado (dos paneles superiores donde el truncado de racimo
crece de cero a C × 10 Gyr = 10000 kpc).
reduce bruscamente la fricción dinámica para un cuerpo supersónico,
donde M + 2− 3 es el número Mach de la bala.
IV. NEWTONIAN Y MONDIAN SIGNIFICACIONES
DEL MODELO POTENCIAL
Asumiendo la gravedad newtoniana los modelos con normal
truncamiento rt = 1Mpc en t = 10Gyrs corresponden a clus-
Masas ter (oscuras) de M1 = 0,745 × 1015M® y M2 =
0,345×1015M®; el truncado más grande rt = 10Mpc corre-
sponds a M1 = 7,45×1015M® y M2 = 3,45×1015M®
en Newtonian. Todos estos modelos encajan en la lente.
Interpretado en la gravedad MONDiana, la truncación
es debido al efecto de campo externo y el fondo cósmico
así que para hacer el potencial de MOND finito por lo tanto escapable
(Famaey, Bruneton, Zhao 2007). Más allá de la trun...
radio catiónico, el potencial de MOND se vuelve casi Kep-
Lerian. Los modelos MONDian, insensibles a la
ión, tendría masas solamente M1 = 0,66 × 1015M • y
M2 = 0,16 × 1015M®. Estas masas son aún más altas.
que su contenido bariónico 1014M, lo que implica la
necesidad, por ejemplo, de neutrinos masivos; densidad de neutrinos
es demasiado bajo en galaxias para afectar a los ajustes normales de MONDian a
curvas de rotación de la galaxia, pero es lo suficientemente alto para doblar la luz
y orbita significativamente en escala 1Mpc. El neutrino-a-
ración de barión, aproximadamente 7:1 en el grupo de balas,
Sería una suposición razonable para un uni-
Versículo con materia oscura caliente de 0,04 más 2eV neutrinos
(Sanders 2003, Pointecoute &
Silk 2005, Skordis et al. 2006, Angus et al. 2007). Los
cantidad de materia oscura caliente inferida aquí es la misma que
Angus et al. (2007) ya que sus posibles parámetros son:
fijado por los mismos datos de lente.
V. CONCLUSIÓN
En resumen, un conjunto consistente de lentes simples y dinam-
Se encuentra el modelo ical del cúmulo de balas. El presente
velocidades relativas entre las galaxias de los dos cúmulos es pre-
dictado para ser VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM +
4500 km s−1 en μHDM (MOND + Materia Oscura Caliente) si
los dos racimos nacieron cerca unos de otros 10 Gyrs
hace; ambos modelos asumen cerca de la relación gas-DM universal
en racimos, es decir, aproximadamente (0,6 − 1) × 1015M® Caliente o frío
DM. Modelando el gas de rayos X de la bala como partícula balística,
encontramos la partícula de gas con velocidad de Vgas = 4200km/s
(en el extremo inferior de la velocidad observada)
potencial del subcluster para la mayor parte del Hubble
tiempo para ambos modelos anteriores, insensibles a la preferencia
de la ley de la gravedad. Pero si el futuro relativo propio mo-
Las mediciones de la velocidad de la galaxia del subcluster son como
alta como VDM = 4500 km/s, o la velocidad del gas es tan alta como
Vgas 5400 km s−1, entonces los modelos newtonianos necesitarían
para invocar los halos DM de 7×1015M® inverosímiles alrededor de 1014M®
[20] Angus, G.W. & McGaugh S.D. 2007, astrof/0703xxx
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| Presentamos restricciones semi-analíticas sobre la cantidad de materia oscura en el
fusionando el cúmulo de galaxias de bala usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local.
Consideramos órbitas de partículas en modelos potenciales que se ajustan a los datos de lente.
Modelos CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana se encuentran con un
masa total M_{CDM} = 1 x 10~15}Sol de DM frío: el subhalo de bala se puede mover
con V_{DM}=3000km/s, y el gas de rayos X "bullet" se puede mover con
V_{gas}=4200km/s. Estas son casi las velocidades máximas que son
acelerable por la gravedad de dos halos truncados del MDL en un tiempo Hubble incluso
sin la presión del ariete. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de
las barras de error para la velocidad del gas de bala (5000-5400km/s), y el gas de bala
no estaría atado por el halo del sub-cluster por el tiempo del Hubble. Modelos con
V_{DM 4500km/s ~ V_{gas} invocaría una gran cantidad poco realista M_{CDM}=7x
10~15}El Sol del MDL para un clúster que contiene sólo ~ 10~14}El Sol del gas. Nuestro
los resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de
$4500\kms$ se obtiene fácilmente en el modelo relativista de lente MONDian de
Angus et al. (2007). Sin embargo, modelo MONDian con poca materia oscura caliente
$M_{HDM} \le 0.6\times 10â € 15â € msun$ y modelo CDM con una pequeña masa de halo $\le
1\tiempos 10°15°msun$ son apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.
| arXiv:0704.0094v1 [astro-ph] 2 Abr 2007
Calendario y lente de los cúmulos de balas de colisión: apenas el tiempo y la gravedad suficientes
para acelerar la bala
HongSheng Zhao
Universidad de St Andrews, Scottish University Physics Alliances, KY16 9SS, Reino Unido
Presentamos restricciones semianalíticas sobre la cantidad de materia oscura en la galaxia de bala fusionada
clúster usando los clásicos argumentos de tiempo del Grupo Local. Consideramos que las órbitas de partículas en potencial
modelos que se ajusten a los datos de lente. Modelos de CDM marginalmente consistentes en la gravedad newtoniana son
encontrado con una masa total MCDM = 1 × 10
Más de DM Frío: la bala subhalo se puede mover con
VDM = 3000 kms
−1, y el gas de rayos X “bullet” puede moverse con Vgas = 4200 kms
−1. Estos son
casi las velocidades máximas que se aceleran por la gravedad de dos halos de CDM truncados en una
Tiempo Hubble incluso sin la presión del carnero. La coherencia se rompe si uno adopta el extremo superior de
las barras de error para la velocidad del gas de bala (5000− 5400 kms−1), y el gas de bala no estaría atado
por el halo del sub-cluster para el tiempo del Hubble. Modelos con VDM 4500 kms
Vgas invocaría
gran cantidad poco realista MCDM = 7× 10
Mâs de CDM para un clúster que contenga solamente â € 10
Más de
Gas. Nuestros resultados son generalizables más allá de la Relatividad General, por ejemplo, una velocidad de 4500 kms-1 es fácil
obtenido en el modelo de lente relativista MONDian de Angus et al. (2007). Sin embargo, MONDian
modelo con materia oscura caliente MHDM ≤ 0,6×10
Modelo Mó y CDM con una masa de halo ≤ 1×10
son apenas consistentes con los datos de lente y velocidad.
Números PACS: 98.10.+z, 98.62.Dm, 95.35.+d; sometidos a la revisión física D, publicaciones rápidas
I. POTENCIAL DE TIMING
El tiempo es una técnica única para establecer el caso para
halos de materia oscura, primero y más a través explorado en
el contexto del grupo local (Kahn & Woljter 1959,
Fich & Tremaine 1991, Peebles 1989, Inga & Saha 1998).
En su versión más simple, el Grupo Local consiste en:
Vía Láctea y M31 como dos masas puntuales aisladas, que
se formaron cerca el uno del otro, se separaron debido al Hub-
ble expansión, y se desaceleró y se movió hacia cada uno
otros hasta su velocidad actual: 120 km s−1 y sepa-
ración (unos 700 kpc) debido a su gravedad mutua. Los
la edad del universo fija el límite superior en el período de
este par de galaxias, de ahí la masa total del par a través de
La tercera ley de Kepler asume la gravedad newtoniana.
El tiempo también encuentra una aplicación oportuna en el par de
la fusión de cúmulos de galaxias 1E0657-56 en corrimiento al rojo z = 0,3,
que es en gran parte una gran analogía extra-galáctica de la
Sistema M31-MW. El sub-cluster, llamado la “bulleta”,
Actualmente penetra 400-700 kpc a través de la masa principal.
ter con una velocidad aparente de 4750+710
−550 kms
−1 (Marke-
vitch 2006). El gas de rayos X de la bala (cantidad
2×1013M®) colisiona con el gas de rayos X del clus principal.
ter (con el gas total de hasta 1014M®) y forma un Mach-3
cono en frente de la “bulleta”. Los dos grupos tienen en
mínimo cuatro centros diferentes, que se compensan por 400 kpc
entre el par de centros de gas de rayos X y por 700 kpc
entre el par de centros estrella-luz, que coincide
con los centros de lente gravitacional y (materia oscura)
centros potenciales (Clowe et al. 2006). La penetración
velocidad es inusualmente alta, difícil para la cosmología estándar a
explicar estadísticamente (Hayashi & White 2006), y modi-
* Dirección electrónica: hz4@st-andrews.ac.uk
se ha sugerido la ley de fuerza fied (Farrar & Rosen 2006,
Angus et al. 2007).
El método de tiempo se aplica en la gravedad MONDian
así como Newtonian. Al igual que la lente, el tiempo es simplemente un
método sobre la limitación de la distribución potencial, y es
sólo indirectamente relacionado con la distribución de la materia. En este
Letra que modelamos los cúmulos de bala como un par de timadores de masa.
centraciones formadas en alto corrimiento al rojo, y establecer restricciones en
su fuerza mutua utilizando el simple hecho de que su radial
período de oscilación debe estar cerca de la edad del universo
a z = 0,3. Comprobamos la consistencia con el lente
señal del clúster y dar interpretaciones en términos de
CDM estándar y MOND.
Primero podemos entender la velocidad de la bala.
más analíticamente en escenarios simplificados. Aproximación de la
dos grupos como puntos de masas fijas M1 y M2 en una
órbita frontal, podemos aplicar el tiempo MW-M31 habitual
argumentación. La masa total M0 = M1 + M2 es constante.
El período orbital radial se calcula a partir de
T = 2
∫ rmax
V r)
, (1)
r3max
, Newtonian p = 2 (2)
2γrmax
, profundo-MONDiano, p = 1 (3)
K−n/2r
máx., para una K/r
p gravedad, (4)
donde rmax es el apocentro y está relacionado con el presente
Velocidad relativa V (r) a la separación r = 700 kpc por energía
http://arxiv.org/abs/0704.0094v1
conservación
V r)2
= −GM0
Newtonian (5)
= V 2M (ln rmax − ln r) profundo−MONDian (6)
r1−p − r1−pmax
K/(1− p) para una gravedad K/rp,(7)
donde VM =
(GM0a0)
1/4 es el cir-
velocidad angular de dos puntos de masa, a0 es igual a uno
Angstrom por segundo cuadrado y es el MOND
escala de aceleración, y el adimensional
3M1M2
• 0,81 • 1 (cf. Mil...
grom 1994, Zhao 2007, en preparación) para una masa típica
relación.
Las predicciones para la simple grav de newtoniano Keplerian-
ity se dan en la Fig. 1; el caso más sutil para un MON-
Dian cluster se discute en la sección final. Configurando el
período orbital T = 10Gyrs, la edad del universo en
el corrimiento al rojo del racimo, los rendimientos actuales V â € 3200 km s−1 en
Newtoniano para una masa combinada normal de M1 + M2 =
(0.7− 1)× 1015M® para los clusters, que es aproximadamente 7-10
veces su contenido de gas bariónico (+ 1014M+) para Newto-
universo nian de = 0,3 materia oscura fría. De acuerdo
con Farrar & Rosen y Hayashi & White, el sim-
el argumento de cronometración sugiere que las velocidades de halo oscuro
de 4750 km s−1, tan alto como el gas de rayos X
requieren halos con masas de oscuridad irrealmente más grandes
materia, 1016M, un orden de magnitud más que
lo que implica una relación baryon-oscuro universal. Como una cordura
comprobar, suponiendo un grupo local convencional 3× 1012M®
masa de materia oscura Fig.1 predice la velocidad relativa de
100 km/s para el sistema M31-MW en la separación 700
kpc después de 14 Gyrs, consistente con la observación (Binney
& Tremaine 1987).
Estos argumentos analíticos, aunque sencillos, son
no es preciso habida cuenta de sus suposiciones de simplificación. Por una vez,
los clusters no se forman inmediatamente en el infinito del shift rojo, y
la masa de racimo y el tamaño podrían crecer con el tiempo gradual-
lly. Más importante es ese punto masa halo newtoniano
modelos están lejos de encajar los datos de lente débil de la
1E0657-56. Un potencial Newtoniano poco profundo lo hace
aún más difícil acelerar la bala. Por otro lado
mano, Angus, Shan, Zhao, Famaey (2007) muestran que allí
son potenciales inspirados en MOND que se adaptan a la lente. Como com-
En su conclusión, el mismo potencial es profundo
lo suficiente como para que un V = 4750 km s−1 “bulleta” esté
órbita de apocenter rmax de unos pocos Mpc, por lo que los dos clus-
ters podría acelerarse por gravedad mutua a partir de un cero
velocidad apocentro a 4750 km/s dentro de la vida de los cúmulos-
Tiempo. Esta línea de pensamiento fue explorada más a fondo por el
estudio numérico más sistemático de Angus & McGaugh
(2007).
Nuestro papel es un spin-off de estas obras y las obras
de Hayashi & White y Farrar & Rosen. Enfatizamos
la unificación de la perspectiva de tiempo semianalítica
y la perspectiva de lente, y el objetivo de obtener robusto
limitaciones al potencial, sin limitarse a
Velocidad de las balas de rayos X
Baryon
12,5 13 13,5 14 14,5 15
Registro (masa combinada)
FIG. 1: Masa dinámica predicha analíticamente cronológicamente vs.
velocidad relativa de dos objetos separados por 700 kpc después de 10±
4 Giros (tres líneas en orden creciente para aumentar el tiempo)
Asumiendo el potencial kepleriano de las masas puntuales. Tres verticales
las líneas indican la típica masa Halo del Grupo Local, la masa Baryónica
en cúmulos de galaxias, y las masas de halo más masivas del MDL. Tres
líneas horizontales indican la barra de error de la velocidad de la radiografía
Gas “bullet”.
teoría de la gravedad específica o candidata a materia oscura.
Hacia la finalización de este trabajo, estamos hechos
por la preimpresión de Springel & Farrar (2007) que el
bala no observada DM halo podría estar moviéndose más lento que
se observó gas de rayos X despojado. Estos autores, también
como preimpresión de Milosovic et al. (2007), destacó el
efecto de la presión hidrodinámica, que no vamos a ser
capaz de modelar aquí de forma realista. Pero para abordar la velocidad
diferencias, en lugar de tratar el gas de rayos X como un ”bullestic
partícula”. Argumentamos que nuestra hipotética parte balística...
debe moverse lo suficientemente lento como para estar atado a las proximidades de la
subhalo antes de la colisión, pero se mueve un poco más rápido
más de 4700
−550 kms
ahora, ya que no experimenta
la presión del gas. Este modelo sigue el espíritu
de los modelos clásicos de tiempo de la separación de la Gran
y pequeñas nubes de Magallanes y la corriente de Magallanes
(Lin & Lynden-Bell 1982).
II. 3D POTENCIAL DE LA PRESTACIÓN
El mapa de cizallamiento de lente débil de Clowe et al. (2006)
ha sido equipado por Angus et al. (2007) utilizando un cuatro-
potencial analítico componente cada uno es esférico, pero
en diferentes centros. Para nuestro propósito redistribuimos la
componentes menores y simplificar el potencial en dos
componentes centrados en el centroide móvil de la galaxia
luz del clúster principal con la actual coordi espacial
nates r1(t) = (−564,−176, 0) galaxia kpc y subcluster
centroide r2(t) = (145, 0, 0) kpc; el origen de las coordenadas es
establecido en el punto más brillante actual de la “boleta” de rayos X
gas; actualmente el cúmulo está en z = 0,3 o tiempo cósmico
t = 10Gyrs. También aplicamos un truncamiento Keplerian a la
potencial más allá del radio de truncación rt. Así que el siguiente...
Se adopta el potencial 3D para el grupo 1E0657-56 en
tiempo t,
Φ(X,Y, Z, t) = (1800 km s−1)2 (r− r1) (8)
+ (1270 km s−1)2 (r− r2),
* (r − ri(t)) = ln
r − ri(t)
180 kpc
+ cst, r < rt(9)
= − r
r− ri(t)
, r ≥ rt(t) = C × t,(10)
donde r?t? r
+1802
es garantizar un continuo y suave
transición del potencial a través del radio de truncación rt.
El rt de truncamiento evoluciona con el tiempo, ya que un pre-cluster
región se derrumba gradualmente después del big bang, y su
límite y masa total crece con el tiempo hasta que alcanza
el tamaño de un clúster. En interés de la simplicidad más bien
que rigor, utilizamos un modelo lineal rt = C × t, donde C
es una constante de la unidad kpc/Gyr.
Para comprobar que el potencial simplificado sigue siendo consis-
tienda con datos de lente débil, recomputamos el débil 3D
convergencia de lente (Taylor et al. 2004) para las fuentes en
distancia D(0, zs) en el shift rojo zs,
(X,Y, zs) =
i=X,Y
∫ D(0,zs)
2D(z, zs)
(ΦiΦ)dZ
donde las integraciones en backets cuadrados son la deflec-
ángulos de tion para una fuente en zs, y el lente usrual
distancia efectiva está relacionada con las distancias de movimiento
por D(z, zs) = (1 + z)
−1Dś(z)
1 - Dś(z)
D(zs)
= 587 Mpc es
para el grupo de balas z = 0,3 fuentes de lente en zs = 1;
la distancia aumenta en un factor 1.3 a 1.6 para la fuente
Redshifts de 3 a infinito. En la figura 2 se muestra la predicción
a lo largo de la línea que une los dos centros oscuros; el resultado
es insensible al radio de truncación del racimo siempre y cuando
rt ≥ 1000kpc actualmente. El modelo de lente predice un
señal entre la de los datos de lente débil de Clowe
et al., y datos de lente fuerte de Bradac et al. Lo es.
se sabe que estos dos conjuntos de datos son algo discrepantes
el uno al otro. Así que el ajuste aquí es razonable. El método
es la deproyección es esencialmente similar a la decomposi-
método de tion de Bradac et al. cuya suposición explícita
de la gravedad Einsteiniana es, sin embargo, innecesario.
Lo importante aquí es que en cuanto a deproject-
En cuanto a las posibilidades mencionadas anteriormente, ninguna suposición es la siguiente:
necesaria en la teoría de la gravedad, siempre y cuando los rayos de luz fol-
geodésicos bajos, una característica construida en la mayoría de la grav-
ity teoría. Del mismo modo, las órbitas de las partículas masivas son también
(diferente) geodésicos en estas teorías. El significado de
potencial en tales teorías es que el potencial (escalado por
a factor 2/c2) representa perturbaciones métricas en el plano
espacio-tiempo, especialmente al g00(cdt)
2 = −(1+ 2Φ
)cdt)2
término, por lo que el Christoffel i00 XiΦ, se puede mostrar
–1200 –1000 –800 –600 –400 –200 0 200 400
X/kpc
FIG. 2: Convergencia prevista de los racimos de balas (reescalada para
fuentes en el infinito) a lo largo de la línea Y = 0.3X + cst connect-
nuestros dos potenciales centroides. El modelo predice una lente
señal entre la de los datos observados de lente débil de
fuentes en zs = 1 (Clowe et al, extremo inferior de las barras de error) y
la lente débil unida y la lente fuerte (zs = 3) datos
(Bradc et al. parte superior de las barras de error); el desajuste de estos
En la actualidad no se han resuelto dos conjuntos de datos.
que las ecuaciones geodésicas tienen la misma forma que Ein-
steiniano en el límite del campo débil: d
R فارسى −(1 + v
)RΦ,
donde R es el par de coordenadas espaciales perpendiculares
a la velocidad instantánea v; las trayectorias de los rayos de luz
se desvían dos veces más por la perturbación métrica
2Φ/c2 como los de partículas de baja velocidad.
III. ORBITACIONES DE LOS CULTIVOS DE COLLIDACIÓN
Ahora usamos este potencial para predecir la velocidad relativa
de los dos grupos. Esto es posible usando el clásico
argumento de tiempo, en el estilo de Kahn & Wolter (159),
Fich & Tremaine (1991) y Voltonen et al. (1998);
posponemos los modelos de acción menos rigurosos (Pee-
bles 1989, Schmoldt & Saha 1998) para más tarde investiga-
ciones, ya que éstas requieren modelar una relación cosmológica
concentraciones constantes y otras concentraciones de masa a lo largo del orbital
la trayectoria de los cúmulos de balas, que tienen problemas técnicos en
gravedad no newtoniana. Rastreamos las órbitas de los dos
centroides de los potenciales de acuerdo con la ecuación de
movimiento d
= (ri). Asignamos diferentes relativas ve-
velocidad actual (a z = 0,3), e integrar hacia atrás
en el tiempo y requieren los dos centroides del potencial ser
juntos a la vez hace 10 Gyrs. Las mociones son:
principalmente en el plano del cielo, pero permitimos para 600 km/s
componente de velocidad relativa en la línea de visión. Claramente.
en tiempos más tempranos cuando t es pequeño, los dos centroides son
bien separados en comparación con sus tamaños, por lo que se mueven en
el creciente potencial de Keplerian entre sí. En Lat-
ter veces los centroides se acercaron y se mueven en el núcleo
Potencial isotérmico.
Vamos a considerar modelos con un truncado normal
rt = C × t = 1000 kpc en el momento t = 10 Gyrs. Nosotros también.
considerar modelos con un truncamiento muy grande C × t =
10000 kpc. En el lenguaje del MDL, el truncado
significa el radio virial del halo. El presente in-
velocidad de escape constante del modelo puede ser com-
puesto por Vesc =
−2Φ(X,Y,Z, t). Nos encontramos con Vesc
4200− 4500 km s−1 en la región central de la zona más profunda
modelo potencial con una truncación actual 1000 kpc. Los
velocidad de escape aumenta a Vesc 5700 km s−1 para los modelos
con una truncación presente de 10000 kpc.
Fig. 3 muestra las órbitas predichas para diferentes presentes
velocidades relativas VDM = dr2dt −
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entre los modelos
con un truncado normal, encontramos VDM + 2950 km s−1; a
modelo con velocidad relativa VDM < 2800 kms
− 1
predecir un cruce orbital no físico en alto corrimiento al rojo,
mientras que los modelos con VDM > 3000 kms
−1 predeciría
que los dos centroides potenciales nunca estuvieron cerca en alto
Desplazamiento al rojo.
Las velocidades de halo más grandes sólo son posibles en modelos
con un truncado muy grande. Si la velocidad relativa es
4200 km s−1 < VDM < 4750 km s
−1 entre dos clus-
ter centroides de gravedad, entonces la truncación debe ser tan grande
como 10Mpc en z = 0,3.
También rastreamos la órbita de la bala de gas de rayos X...
traide como partícula trazadora en el poten bicéntrico anterior.
Tial. Buscamos órbitas donde la bala de rayos X gas
estar siempre ligado a un miembro del sistema binario
ya que la presión del ariete en una colisión hidrodinámica es
es poco probable que sea tan eficiente para expulsar el gas de rayos X fuera de
Pozos potenciales tanto de los grupos principales como de los subgrupos. Esto
significa que la velocidad de la bala no debe exceder en gran medida el
presente velocidad de escape instantánea del modelo, que es
4200 - 4500 km s-1 en la región central de la profundidad
potencial de un modelo con una truncación presente 1000 kpc.
La velocidad de escape aumenta a 5700 km s−1 para los modelos
con una truncación presente de 10000 kpc. El modelo con
el truncado normal es marginalmente consistente con el
Vgas a la velocidad del gas servido: 4750+710−550 kms
−1. El problema
sería más grave si el potencial se hiciera
más superficial por un truncado aún más pequeño. La velocidad del gas
es menos un problema en los modelos con truncamiento más grande.
En resumen, la velocidad actual y los datos de lente son eas-
ier explicado con modelos potenciales de trun muy grandes
catión. Los modelos con truncamiento normal tienen más pequeños
poder gravitacional, sólo puede acelerar el subhalo a
3000 km s−1 en 10 Gyrs. Modelos con trun CDM normal
cation sólo puede acelerar la nube de gas de rayos X de la bala a
4200-4400 km s-1, la velocidad de escape, marginalmente con-
insistente con las observaciones.
Los resultados de simulación anteriores son sensibles al presente
la separación de los grupos temáticos, pero no es sensible a la actual direc-
ión del vector de velocidad. Efectos no modelados, tales como:
fricción dinámica asociada a un halo vivo reducirá
VDM predicho para el mismo potencial, pero el efecto
es leve ya que la colisión real es breve • 0,1− 0,3Gyrs
y el factor exp(−M2/2) en las fórmulas de Chandrasekhar
Curva 1
Curva 2
Curva 3
Curva 4
Curva 9
Curva 10
Curva 11
V_DM=2850
C=100
C=100
V_DM=2950
C=1000
V_DM=4200
C=1000kpc/Gyr
V_DM=4750 km/s
–2000
–4000 –2000 0 2000 4000
X kpc
FIG. 3: La órbita del subcluster de balas de gases de rayos X (rojo,
con Vgas actual = 5400 kms
−1 para los 10 Gyrs en el pasado,
y rosa: para el futuro 4 Gyrs), y las órbitas de la
halo de racimo principal tapado (daños azules) y subahalo (negro)
dashes) en el potencial (eqs. 8-10) determinado por lente
datos; los guiones indican la longitud recorrida en 0,5 Gyrs pasos. No
Para estos cálculos se necesita una asunción explícita de la gravedad.
ciones. Órbitas con diferente velocidad relativa actual de halo VDM
y la tasa de crecimiento del halo C se muestran después de un cambio vertical para
claridad. El tiempo requiere la velocidad relativa actual del clúster
entre 2800 kms-1 < VDM < 3000 kms
−1 para poten-
tiales de truncación normal (paneles más bajos donde el clúster
el truncado crece de cero a C × 10Gyr = 1000 kpc), y
4200 kms−1 < VDM < 4750 kms
−1 para potenciales con
truncado (dos paneles superiores donde el truncado de racimo
crece de cero a C × 10 Gyr = 10000 kpc).
reduce bruscamente la fricción dinámica para un cuerpo supersónico,
donde M + 2− 3 es el número Mach de la bala.
IV. NEWTONIAN Y MONDIAN SIGNIFICACIONES
DEL MODELO POTENCIAL
Asumiendo la gravedad newtoniana los modelos con normal
truncamiento rt = 1Mpc en t = 10Gyrs corresponden a clus-
Masas ter (oscuras) de M1 = 0,745 × 1015M® y M2 =
0,345×1015M®; el truncado más grande rt = 10Mpc corre-
sponds a M1 = 7,45×1015M® y M2 = 3,45×1015M®
en Newtonian. Todos estos modelos encajan en la lente.
Interpretado en la gravedad MONDiana, la truncación
es debido al efecto de campo externo y el fondo cósmico
así que para hacer el potencial de MOND finito por lo tanto escapable
(Famaey, Bruneton, Zhao 2007). Más allá de la trun...
radio catiónico, el potencial de MOND se vuelve casi Kep-
Lerian. Los modelos MONDian, insensibles a la
ión, tendría masas solamente M1 = 0,66 × 1015M • y
M2 = 0,16 × 1015M®. Estas masas son aún más altas.
que su contenido bariónico 1014M, lo que implica la
necesidad, por ejemplo, de neutrinos masivos; densidad de neutrinos
es demasiado bajo en galaxias para afectar a los ajustes normales de MONDian a
curvas de rotación de la galaxia, pero es lo suficientemente alto para doblar la luz
y orbita significativamente en escala 1Mpc. El neutrino-a-
ración de barión, aproximadamente 7:1 en el grupo de balas,
Sería una suposición razonable para un uni-
Versículo con materia oscura caliente de 0,04 más 2eV neutrinos
(Sanders 2003, Pointecoute &
Silk 2005, Skordis et al. 2006, Angus et al. 2007). Los
cantidad de materia oscura caliente inferida aquí es la misma que
Angus et al. (2007) ya que sus posibles parámetros son:
fijado por los mismos datos de lente.
V. CONCLUSIÓN
En resumen, un conjunto consistente de lentes simples y dinam-
Se encuentra el modelo ical del cúmulo de balas. El presente
velocidades relativas entre las galaxias de los dos cúmulos es pre-
dictado para ser VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM + 2900 km s−1 en CDM y VDM +
4500 km s−1 en μHDM (MOND + Materia Oscura Caliente) si
los dos racimos nacieron cerca unos de otros 10 Gyrs
hace; ambos modelos asumen cerca de la relación gas-DM universal
en racimos, es decir, aproximadamente (0,6 − 1) × 1015M® Caliente o frío
DM. Modelando el gas de rayos X de la bala como partícula balística,
encontramos la partícula de gas con velocidad de Vgas = 4200km/s
(en el extremo inferior de la velocidad observada)
potencial del subcluster para la mayor parte del Hubble
tiempo para ambos modelos anteriores, insensibles a la preferencia
de la ley de la gravedad. Pero si el futuro relativo propio mo-
Las mediciones de la velocidad de la galaxia del subcluster son como
alta como VDM = 4500 km/s, o la velocidad del gas es tan alta como
Vgas 5400 km s−1, entonces los modelos newtonianos necesitarían
para invocar los halos DM de 7×1015M® inverosímiles alrededor de 1014M®
[20] Angus, G.W. & McGaugh S.D. 2007, astrof/0703xxx
[20] Angus G.W., Shan H, Zhao H., Famaey B., 2007, ApJ,
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Prensa de la Universidad de Princeton, Princeton, Nueva Jersey, Ch.7
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ph/0608408 (B06)
[6] Clowe D., Bradac M., González A.H., et al., 2006,astro-
ph/0608407 (C06)
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704.0095 | Geometry of Locally Compact Groups of Polynomial Growth and Shape of
Large Balls | GEOMETRÍA DE LOS GRUPOS DE
CRECIMIENTO POLINOMIAL Y FORMA DE BALLAS GRANDES.
EMMANUEL BREUILLARD
Resumen. Demostramos que cualquier grupo G localmente compacto con crecimiento polinomio
es débilmente commensurable a algunos simplemente conectado grupo de Lie solvable S, el
La sombra de la mentira de G. Luego estudiamos la forma de las bolas grandes y mostrar, generaliz-
trabajo de P. Pansu, que después de una adecuada renormalización, convergen a
un conjunto compacto limitador, que es isométrico a la bola de la unidad para un invariante izquierdo
métrica subFinsler en la llamada nilshadow graduada de S. Como subproductos, nosotros
obtener asintóticos para el volumen de bolas grandes, demostramos que las bolas son Folner
y por lo tanto que el teorema ergódico tiene para todos los promedios de la bola. A lo largo del camino
También respondemos negativamente a una pregunta de Burago y Margulis [7] sobre la asintótica
métricas de palabras y recuperar algunos resultados de Stoll [33] de la racionalidad del crecimiento
serie de grupos de Heisenberg.
Sumario
1. INTRODUCCIÓN 1
2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie 12
3. El nilshadow 19
4. métricas periódicas 23
5. Reducción al caso de nilpotente 27
6. El caso de los nilpotentes 31
7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados 39
8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia 47
9. Apéndice: los grupos Heisenberg 52
Referencias 55
1. Introducción
1.1. Grupos con crecimiento polinomio. Dejar G ser un grupo localmente compacto con
izquierda Haar medida volG. Asumiremos que G es generada por un sim-
métrica subconjunto. Clásicamente, G se dice que tiene crecimiento polinomio si existe
C > 0 y k > 0 de tal manera que para cualquier entero n ≥ 1
volG(
n) ≤ C · nk,
Fecha: abril de 2012.
http://arxiv.org/abs/0704.0095v2
2 EMMANUEL BREUILLARD
donde n = . · Es el conjunto de productos n-fold. Otra opción sólo sería
cambiar la constante C, pero no la naturaleza polinómica del atado. Uno de los
las consecuencias del análisis realizado en este trabajo es el siguiente teorema:
Teorema 1.1 (Volumen asintótico). Let G ser un grupo localmente compacto con poli-
crecimiento nominal y un subconjunto de generación simétrica compacta de G. Luego hay
existe c() > 0 y un entero d(G) ≥ 0 dependiendo de G solamente de tal manera que la
en espera de lo siguiente:
volG(
nd(G)
= c(l)
Esto extiende el resultado principal de Pansu [27]. El entero d(G) coincide con
el exponente de crecimiento de un grupo de Lie nilpotente calificado naturalmente asociado, el
cono asintótico de G, y se da por la fórmula Bass-Guivarc'h (4) a continuación.
La constante c(l) se interpretará como el volumen de la bola de unidad de un sub-
métrica de Riemannian Finsler en este grupo de mentiras nilpotentes. Teorema 1.1 es un by-
producto de nuestro estudio del comportamiento asintótico de pseudodistancias periódicas en G,
que son pseudodistancias que son invariantes bajo un subgrupo cocompacto de G y
satisfacer un tipo débil de la existencia de axioma geodésico (véase la definición 4.1).
Nuestra primera tarea es obtener una mejor comprensión de la estructura de local compacto
grupos de crecimiento polinomio. Guivarc’h [21] demostró que los grupos compactos locales
de crecimiento polinomio son amenizables y unimodular y que cada compactamente
Generado1 subgrupo cerrado también tiene crecimiento polinomio.
Guivarc’h [21] y Jenkins [15] también caracterizaron grupos de Lie conectados con
crecimiento polinomio: un grupo de Lie conectado tiene crecimiento polinomio si y sólo si
es de tipo (R), es decir, si para todos x • Lie(S), ad(x) sólo tiene puramente imaginario
valores propios. Estos grupos son solvable-por-compacto y cualquier nilpotente conectado
El grupo de mentiras es de tipo (R).
Es mucho más difícil caracterizar grupos discretos con crecimiento polinomio,
y esto se hizo en un célebre periódico de Gromov [17], demostrando que son
Prácticamente nilpotente. Losert [24] generalizó el método de prueba de Gromov y mostró
que se aplicó con poca modificación a los grupos arbitrarios localmente compactos con
crecimiento polinomio. En particular, mostró que contienen un compacto normal
subgrupo módulo que el cociente es un (no necesariamente conectado) grupo de mentira.
Demostraremos el siguiente refinamiento.
Teorema 1.2 (Sombra de mentira). Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio
crecimiento. Entonces existe un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado S
de tipo (R), que es débilmente commensurable a G. Llamamos a tal grupo de la Mentira una Mentira
sombra de G.
Se dice que dos grupos compactos locales son débilmente comparables si, hasta
modificando por un núcleo compacto, tienen un subgrupo de cocompacto cerrado común.
Más precisamente, demostraremos que, para algunos subgrupos compactos normalesK, G/K tiene
1De hecho, de la teoría de la estructura Gromov-Losert se deduce que cada subgrupo cerrado es
generado de forma compacta.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 3
un subgrupo de cocompacto H/K que puede ser integrado como un cerrado y cocompacto
subgrupo de un grupo de Lie solvable S conectado y simplemente conectado de tipo (R).
Debemos ser conscientes de que ser débilmente commensurable no es una equivalencia
relación entre grupos localmente compactos (a diferencia de los grupos finitos).
Además, la sombra de Lie S no es única hasta el isomorfismo (e.g. Z3 es un
co-compacto celosía en tanto R3 y la cubierta universal del grupo de movimientos de
el avión).
No podemos sustituir la palabra solvable por la palabra nilpotente en el teo-
rem. Referimos al lector al Ejemplo 7.9 para un ejemplo de un solvable conectado
Grupo de mentiras de tipo (R) sin subgrupos normales compactos, que no admite co-
subgrupo compacto de nilpotente. De hecho, esto es típico de los grupos de Lie de tipo (R). Así que
en el caso general localmente compacto (o sólo el caso de Lie) grupos de polinomio
crecimiento puede ser genuinamente no nilpotent, a diferencia de lo que sucede en el caso discreto.
Hay diferencias importantes entre el caso discreto y el caso general.
Por ejemplo, demostraremos que no se puede esperar una tasa de convergencia en Teorema.
1.1 cuando G es solvable no nilpotente, mientras que alguna tasa de polinomio siempre se mantiene en
el caso discreto nilpotente [9].
Teorema 1.2 nos permitirá reducir la mayoría de las preguntas geométricas sobre localmente
grupos compactos de crecimiento polinomio, y en particular la prueba de Teorema
1.1, al caso de grupo Lie conectado. Observe también que Teorema 1.2 subsume
Teorema de Gromov sobre el crecimiento polinomio, porque no es difícil ver que un
retícula cocompacta en un grupo de Lie solvable de crecimiento polinomio debe ser virtualmente
nilpotente (véase la Observación 7.8). Por supuesto, en la prueba que hacemos uso de Gromov’s
teorema, en su forma generalizada para grupos localmente compactos debido a Losert. El resto
de la prueba combina las ideas de Y. Guivarc’h, D. Mostow y una integración crucial
Teorema de H.C. Wang. Se da en el párrafo 7.1 y es en gran medida independiente de
el resto del periódico.
1.2. Formas asintóticas. La parte principal del documento está dedicada al asymp-
comportamiento tótico de pseudodistancias periódicas en G. Referimos al lector a la definición
4.1 para la definición precisa de este término, basta con decir ahora que es una clase de
pseudodistancias que contiene tanto métricas de palabra invariantes a la izquierda en G y geodésica
métricas en G que son invariantes a la izquierda en el subgrupo de cocompacto de G.
Teorema 1.2 nos permite asumir que G es un subgrupo cocompacto de un simple
el grupo S de Solvable Lie conectado, y en lugar de ver pseudodistancias en G,
vamos a ver pseudodistancias en S que son invariantes de izquierda bajo un co-compacto
Subgrupo H. Una consecuencia directa más precisa del Teorema 1.2 es la siguiente:
Proposición 1.3. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y
una métrica periódica sobre G. Entonces (G,?) es (1, C)-cuasi-isométrico a (S,?S) para algunos
finito C > 0, donde S es un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado de
tipo (R) y ♥S alguna métrica periódica en S.
Recuerde que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) se llaman (1, C)-cuasi-isométrico
si existe un mapa : X → Y de tal manera que cualquier y Y está a la distancia a lo sumo C
de algún elemento en la imagen de ♥ y si dY (
′)) − dX(x, x
′) ≤ C para
todos x, x′ â € ¢ X.
4 EMMANUEL BREUILLARD
En el caso cuando S es Rd y H es Zd, es un ejercicio simple para demostrar que cualquier
pseudodistancia periódica es asintótica a una norma en Rd, es decir. (e, x)/ (x) → 1
x → #, donde # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(e, nx) es una norma bien definida en Rd. Burago en [6]
mostró un resultado mucho más fino, a saber, que si
está limitado cuando x rangos sobre Rd.Cuando S es un grupo de mentira nilpotente y H una celosía
en S, entonces Pansu demostró en su tesis [27], que un resultado similar sostiene, a saber:
(e, x)/ x → 1 para algunos (único sólo después de la elección de un grupo de un parámetro de
dilaciones) homogéneo cuasi-norma x en el grupo de la mentira nilpotente. Sin embargo, nosotros
mostrar en la sección 8, que no es cierto en general que?(e, x) − x permanece limitada,
incluso para grupos nilpotentes finitamente generados, respondiendo así a una pregunta de Burago
(véase también Gromov [20]). Nuestro propósito principal aquí será extender el resultado de Pansu
a grupos de Lie solvables de crecimiento polinomio.
Como fue notado por primera vez por Guivarc’h en su tesis [21], cuando se trata de geométrico
propiedades de grupos de Lie solvable, es útil considerar la llamada nilshadow de
el grupo, una construcción introducida por primera vez por Auslander y Green en [2]. Accord-
a esta construcción, es posible modificar el producto Lie sobre S en un
manera, por así decirlo quitando la parte semisimple de la acción en el nilradical,
con el fin de convertir S en un grupo nilpotent Lie, su nilshadow SN. Las dos mentiras
los grupos tienen el mismo colector subyacente, que es diffeomorphic a Rn, sólo un
diferente producto de mentira. También comparten la misma medida de Haar. Este “semisimple
parte” es un subgrupo relativamente compacto conmutativo T (S) de automorfismos de S,
imagen de S bajo un homomorfismo T : S → Aut(S). El nuevo producto g * h es
definido de la siguiente manera retorciendo el antiguo g · h por medio de T (S),
(1) g ∗ h := g · T (g−1)h
Los dos grupos S y SN son fácilmente vistos como cuasi-isométricos, y es por eso que cualquier
grupo localmente compacto de crecimiento polinomio G es cuasi-isométrico a algunos nilpotente
Grupo de mentiras. En particular, sus conos asintóticos son bi-Lipschitz. La asintótica
cono de un grupo de mentira nilpotente es un cierto grupo de mentira nilpotente calificado asociado
dotado de una distancia geodésica invariante izquierda (o grupo Carnot). Los clasificados
grupo asociado a SN se llamará el nilshadow grado de S. Sección 3 será
dedicada a la construcción y las propiedades básicas de la nilshadow y su clasificación
grupo.
En este artículo, estamos tratando con una relación más fina que la cuasi-isometría. Lo haremos.
estar interesado en cuando dos distancias invariantes izquierdas (o periódicas) son asintóticas2
(en el sentido de que
d1(e,g)
d2(e,g)
→ 1 cuando g → فارسى). En particular, por cada localidad
grupo compacto G con crecimiento polinomio, identificaremos su cono asintótico
hasta isometría y no sólo hasta cuasi-isometría o equivalencia bi-Lipschitz (véase
Corollary 1.9 infra). Uno de nuestros principales resultados es el siguiente:
2Sin embargo, una relación de equivalencia más fina es (1, C)-cuasi-isometría, es decir. estar a una distancia limitada en
métrica Gromov-Hausdorff; clasificar métricas periódicas hasta este tipo de equivalencia es mucho
Más fuerte.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 5
Teorema 1.4 (Teorema principal). Deja que S sea un grupo de Lie solvable simplemente conectado
con crecimiento polinomio. Que se haga una pseudodistancia periódica en S, que está en...
variante bajo un subgrupo de cocompacto H de S (véase Def. 4.1). En el múltiple S,
uno puede poner una nueva estructura de grupo de Lie, que convierte S en una mentira nilpotente estratificada
grupo, el nilshadow graduado de S, y un subFinsler métrica d(x, y) en S que es
izquierda-invariante para esta nueva estructura de grupo tal que
(e, g)
d-(e, g)
como g → en S. Por otra parte, cada automorfismo en T (H) es una isometría de d.
El lector que desee ver una simple ilustración de este teorema puede ir directamente
a la subsección 8.1, donde hemos tratado en detalle un ejemplo específico de
métrica sobre la cobertura universal de los grupos de movimientos del plano.
La nueva estructura estratificada de grupo de nilpotent Lie en S dada por el grado
nilshadow viene con una familia de un parámetro de las llamadas dilaciones homogéneas
t}t>0. También viene con un grupo adicional de automorfismos, a saber, la imagen
de H bajo el homomorfismo T. Esto produce automorfismos de S para ambos el
estructura de grupo original en S y la nueva estructura de grupo nilshadow graduada.
Por otra parte las dilaciones t}t>0 son automorfismos de la nilshadow grado y
se desplazan con T (H).
Una métrica subFinsler es una distancia geodésica que se define exactamente como subRie-
se definen las métricas de manian (o Carnot-Carateodory) en los grupos Carnot (véase, por ejemplo,
[25]), excepto que la norma utilizada para calcular la longitud de las trayectorias horizontales no es
necesariamente una norma euclidiana. Remitimos al lector a la sección 2.1 para obtener información precisa.
definición.
En Teorema 1.4, la métrica subFinsler de d.o.o. se deja invariante para la nueva Lie struc-
en S y también es invariante bajo todos los automorfismos en T (H) (estos
un grupo conmutativo relativamente compacto de automorfismos). Por otra parte satisface
la siguiente ley de escala agradable:
d-() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( > () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
La prueba de Teorema 1.4 se divide en dos pasos importantes. La primera es una reducción.
al caso de nilpotente y se realiza en la sección 5. Usando un doble promedio
de la pseudodistancia sobre K := T (H) y S/H, construimos un asso-
ciated pseudodistancia, que es periódica para la estructura de nilshadow en S (es decir.
izquierda-invariante por un subgrupo de cocompacto para esta estructura), y demostramos que
es asintótico al original. Esto reduce el problema a grupos de mentiras nilpotentes.
La clave de esta reducción es la siguiente observación crucial:
tomorfismos de S inducen sólo una distorsión sublineal, obligando a la métrica a ser
asintóticamente invariante bajo T (H). El segundo paso de la prueba supone que
S es nilpotente. Esta parte se trata en la sección 6 y es esencialmente una reforma.
sión de los argumentos utilizados por Pansu en [27].
6 EMMANUEL BREUILLARD
Incidentemente, destacamos el hecho de que la generalidad en la que se trata la Sección 6
(es decir, Para general geodésico groseramente, e incluso asintóticamente geodésico periódico met-
rics) es necesario para demostrar incluso el caso más básico (es decir, métricas de palabras) de Teorema
1.4 para grupos solvables no nilopotentes. Así que incluso si sólo estábamos interesados en el
asintóticos de métricas de palabras invariantes izquierdas en un grupo de Lie solvable de polinomios
crecimiento S, todavía necesitaríamos entender las asintóticas de arbitraria groseramente
geodésico izquierda invariantes distancias (y no sólo métricas de la palabra!) sobre la mentira nilpotente
grupos. Esto se debe a que la nueva pseudodistancia obtenida por promedio, véase (30),
ya no es una palabra métrica.
La métrica subFinsler (e, x) en el teorema anterior es inducida por un cierto
T (H)-invariante norma en el primer estrato m1 de la nilshadow grado (que
es T (H)-invariante subespacio complementario del subalgebra conmutador de la
nilshadow). Esta norma puede describirse de manera más bien explícita de la siguiente manera.
Recordemos que tenemos3 un mapa canónico η1 : S → m1, que es un grupo homomor-
phism para las estructuras nilshadow y nilshadow graduadas. Entonces:
{v) m1, {v} ≤ 1} =
CvxHull
η1(h)
(e, h)
, h • H\F
donde el lado derecho es la intersección sobre todos los subconjuntos compactos F de S de
el casco convexo cerrado de los puntos
La Figura 1 da una ilustración de la forma límite correspondiente a la palabra
métrica en el grupo discreto de 3 dimensiones de Heisenberg con generadores estándar.
Explicamos en el Apéndice cómo se puede calcular explícitamente la geodesia de la
métrica límite y la forma límite en este ejemplo.
Cuando S en sí mismo es nilpotente para empezar y es (en restricción a H) la
métrica de palabra asociada a un conjunto de generación compacta simétrica de H (es decir,
(e, h) := inf{n(n) N;h(n)
n}), la norma anterior adopta la siguiente forma sencilla:
(2) {v · m1, ·v ≤ 1} = CvxHull ·1(), · · · ·
Por ejemplo, en el caso especial cuando H es un sin torsión finitamente generado nilpo-
grupo de tiendas con set de generación y S es su cierre Malcev, la bola de unidad
El poliedro de m1 es un poliedro de m1. Esta fue la descripción de Pansu en
[27].
Sin embargo cuando S no es nilpotente, y está equipado con una palabra métrica sobre
un subgrupo de cocompacto, a continuación, la determinación de la forma límite, es decir, el de-
terminación de la norma límite · en el nilshadow abelianizado, es mucho más
Difícil. Claramente · es K-invariante y es una simple observación de que la unidad
la bola para · está siempre contenida en el casco convexo de la K-órbita de
3El subespacio m1 se puede identificar con el nilshadow abelianizado (o abelianizado graduado
nilshadow) identificando primero el nilshadow con su álgebra de Lie a través del mapa exponencial y
entonces proyectando módulo el subalgebra conmutador. El mapa no depende de la elección
implicado en la construcción de la nilshadow. Véase también la Observación 3.7.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 7
Sin embargo, la bola de la unidad es típicamente más pequeña que eso (a menos que K-invariante
para empezar).
En general, sería interesante determinar si existe una
descripción de la forma límite de una métrica de palabra arbitraria en un grupo de Lie solvable
con crecimiento polinomio. Remitimos al lector a la Sección 8 y al párrafo 8.2 para una
ejemplo de una clase de métricas de palabras en la cubierta universal del grupo de movimientos
del plano, para el cual fuimos capaces de calcular la forma límite.
Otro subproducto del Teorema 1.4 es el siguiente resultado.
Corollario 1.5 (forma asintótica). Deja que S sea una mentira solvable simplemente conectada
grupo con crecimiento polinomio y H un subgrupo cocompacto. Vamos a ser un H-
pseudodistancia periódica en S. Luego en la métrica de Hausdorff,
(Bl(t)) = C,
donde C es un T (H)-invariante barrio compacto de la identidad en S, B
la bola de radio t en S y t}t>0 es un grupo de un parámetro de dilaciones en S
(equipado con la estructura de nilshadow graduada). Por otra parte, C = {g â € ¬ S, dâ € (e, g) ≤ 1}
es la bola unitaria de la métrica límite subFinsler de Teorema 1.4.
Prueba. Por el teorema 1.4, por cada > 0 tenemos Bd(tt) B
si t es lo suficientemente grande. Desde el 1 de enero de 1999
(Bd.(t)) = C, para todos t > 0, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Combinando esto con Teorema 1.2, también obtenemos el siguiente corolario, de los cuales
Teorema 1.1 es sólo un caso especial con la palabra métrica asociada a la gen-
Juego de borraduras.
Corolario 1.6 (Volumen asintótico). Supongamos que G es un grupo localmente compacto
con crecimiento polinomio y es una pseudodistancia periódica en G. Let Bl(t) be
la bola de radio t en G, es decir, (t) = {x â € G, ¬(e, x) ≤ t}, entonces existe un
constante c(l) > 0 tal que exista el siguiente límite:
3) lim
volG(Bl(t))
td(G)
= c(l)
Aquí d(G) es el entero d(SN), la llamada dimensión homogénea de la
Nilshadow SN de una sombra de mentira S de G (obtenido por Teorema 1.2), y es dada por
la fórmula Bass-Guivarc’h:
(4) d(SN ) =
dim(Ck(SN ))
donde {Ck(SN)}k es la serie central descendente de SN.
El límite c(l) es igual al volumen volS(C) de la forma límite C de Corollary
1.5 una vez que hacemos la elección correcta de la medida de Haar en una sombra de mentira S de G.
explicamos esta elección. Recordemos que según Teorema 1.2, G/K admite una co-
subgrupo compacto H/K que incorpora cocompactamente en S. A partir de un Haar
medida volG en G, obtenemos una medida Haar en G/K después de fijar la medida Haar
de K para ser de la masa total 1, y entonces podemos elegir una medida de Haar en H / K así
que el cociente compacto G/H tiene volumen 1. Finalmente elegimos la medida Haar
8 EMMANUEL BREUILLARD
Gráfico 1 La forma asintótica de las bolas grandes en el gráfico de Cayley
del grupo Heisenberg H(Z) = x, y[x, [x, y]] = [y, [x, y]] = 1
visto en coordenadas exponenciales.
en S para que el otro cociente compacto S/(H/K) tenga volumen 1. Esto da la
medidas deseadas Haar volS tales que c(l) = volS(C).
Tenga en cuenta que la medida de Haar en S también es invariante en el grupo de automor-
phisms T (S) y por lo tanto se deja invariante para la estructura de nilshadow en S. Es también
izquierda invariante para la estructura de nilshadow graduada. En ambas coordenadas exponenciales
del primer tipo (en SN ) y del segundo tipo (como en Lemma 3.10), medida Haar
es sólo la medida de Lebesgue.
En el caso del grupo discreto Heisenberg de dimensión 3 equipado con el
métrica de palabra dada por los generadores estándar, es posible computar el con-
stant c(l) y el volumen de la forma límite como se muestra en la Figura 1. En este caso, el
volumen es 31
(véase el apéndice). El grupo 5-dimensional de Heisenberg también puede ser
trabajado y el volumen de su forma límite (asociado a la palabra métrica dada
por generadores estándar) es igual a 2009
21870
log 2
32805
. El hecho de que este número es
trascendental implica que la serie de crecimiento de este grupo, es decir. el poder formal
Serie
n≥0 Bl(n)z
n no es algebraico en el sentido de que no es una solución de un
ecuación polinómica con funciones racionales en C(z) como coeficientes (véase [33, Prop.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 9
3.3.]). Esto fue observado por Stoll en [33] por medios combinatorios más directos.
Stoll también muestra allí el hecho interesante de que la serie de crecimiento puede ser racional
para algunas otras opciones de generar conjuntos en el grupo 5-dimensional Heisenberg.
Así que la racionalidad de la serie de crecimiento depende del conjunto generador.
Otra característica interesante es la invarianza asintótica:
Corollario 1.7 (invarianza asintótica). Deja que S sea un solvable simplemente conectado
Mentira de grupo con crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en S. Let * ser
el nuevo producto Lie en S dado por la estructura del grupo nilshadow (o el grado
estructura del grupo de nilshadow). A continuación,?(e, g ∗ x)/?(e, x) → 1 como x → • por cada
g) S.
Esto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ es el nilshadow calificado
el producto, y del teorema 6.2 infra en el caso ∗ es el grupo nilshadow struc-
tura.
Vale la pena observar que en general no podemos reemplazar ∗ por el ordinario
producto en S. De hecho, por ejemplo S = R R2 ser la cubierta universal de la
grupo de movimientos del plano euclidiano, entonces S, como su nilshadow R3, admite
una celosía Z3. El cociente S/e es diffeomórfico al 3-torus R3/Z3 y
es fácil encontrar métricas Riemannianas en este toro para que su elevación a R3 no es
invariante en rotación alrededor del eje z. De ahí esta métrica, vista en la Mentira
grupo S no será asintóticamente invariante bajo la traducción izquierda por elementos de
S. Sin embargo, si la métrica es izquierda-invariante y no sólo periódica, entonces tenemos
el siguiente corolario de la prueba del Teorema 1.4.
Corollario 1.8 (las pseudodistancias izquierdistas son asintóticas a subFinsler met-
rics). Dejar S ser un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de crecimiento polinomio y
ser una pseudodistancia periódica en S que es invariante bajo todas las traducciones a la izquierda por
elementos de S (por ejemplo: una métrica geodésica gruesamente invariante a la izquierda en S). Entonces, ahí está.
es una métrica subFinsler izquierda-invariante d en S que es asintótica a
(e,g)
d(e,g)
→ 1 como g → • •.
Ya hemos mencionado anteriormente que la determinación de la forma límite exacta de una palabra
métrica en S es una tarea difícil. En consecuencia, también lo es la tarea de decir cuándo dos
distintas métricas de palabras son asintóticas. La declaración anterior dice que en cualquier caso
Cada métrica de palabra en S es asintótica a alguna métrica subFinsler invariante izquierda. Así que
el conjunto de posibles formas límite no es más rico para las métricas de palabras que para la variable izquierda
métricas subFinsler.
Observamos que en el caso de grupos de mentiras nilpotentes (donde K es trivial), Teorema
1.4 muestra que cada métrica periódica es asintótica a una métrica invariante izquierda. Lo es.
todavía un problema abierto para determinar si cada métrica periódica groseramente geodésica
está a una distancia limitada de una métrica invariante izquierda (este es el teorema de Burago en
n, más sobre ello a continuación).
Los teoremas 1.2 y 1.4 nos permiten describir el cono asintótico de (G,
pseudodistancia periódica en cualquier grupo localmente compacto con crecimiento polinomio.
10 EMMANUEL BREUILLARD
Corolario 1.9 (cono asintótico). Dejar G ser un grupo localmente compacto con polino-
crecimiento mial y una pseudodistancia periódica en G. A continuación, la secuencia de
espacios métricos {(G, 1
En la topología de Gromov-Hausdorff converge n ≥ 1. Los
límite es el espacio métrico (N, d», e), donde N es un grado simplemente conectado nilpo-
tienda Mentira de grupo y de una métrica invariante izquierda subFinsler en N. Por otra parte la Mentira
El grupo N es (hasta isomorfismo) independiente de El espacio (N, d.o.p.) es isométrico.
a “el cono asintótico” asociado a (G, Este cono asintótico es independiente
de la elección del ultrafiltro utilizado para definirlo.
Este corolario es una generalización del teorema de Pansu (10) en [27]. Nos referimos a
el lector del libro [18] para las definiciones del cono asintótico y el
Convergencia Gromov-Hausdorff. Debatimos en la sección 8 la velocidad de convergencia
(en la métrica Gromov-Hausdorff) en este teorema y sus corolarios sobre volumen
crecimiento. En particular, hay una diferencia importante entre el caso discreto nilpotente
y el caso Solvable no nilpotente. En el primero, se puede encontrar una tasa de polinomio
de convergencia [9], mientras que en este último no existe tal tipo en general (véase Teorema
8.1).
1.3. Folner sets y teoría ergódica. Una consecuencia del corolario 1.6 es que
secuencias de bolas con el radio que va al infinito son secuencias Folner, a saber:
Corolario 1.10. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y
Seudodistancia periódica en G. Dejemos que Bl(t) sea la bola de radio t en G. Entonces
{B/23370/(t)}t>0 forman una familia Folner de subconjuntos de G a saber, para cualquier conjunto compacto F
en G, tenemos ( denota la diferencia simétrica)
5) lim
volG(FB(t)B(t)
volG(Bl(t))
Prueba. En efecto, para algunos c > dependiendo de F.
Por lo tanto (5) sigue de (3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Esto resuelve el llamado “problema de localización” de Greenleaf para el local compacto
grupos de crecimiento polinomio (véase [16]), es decir, por la que se determina si las facultades de
un conjunto generador compacto n}n forma una secuencia Folner. Al mismo tiempo,
implica que el teorema ergódico para G-acciones se mantiene a lo largo de cualquier secuencia de bolas
con el radio que va al infinito.
Teorema 1.11. (Teorema Ergódico) Let se le da un grupo G localmente compacto con
crecimiento polinomio junto con un G-espacio X mensurable dotado de un G-
miden la probabilidad ergódica invariante m. Dejemos ser una pseudodistancia periódica en
A continuación, para cualquier p, 1 ≤ p <
función f • Lp(X,m) tenemos
volG(Bl(t))
Bl(t)
f(gx)dg =
para m-casi cada x X y también en Lp (X,m).
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 11
De hecho, el corolario 1.10 arriba, era el “bloque perdido” en la prueba de la ergódica
teorema en grupos de crecimiento polinomio. Hasta ahora y que yo sepa, Corollary
1.10 y Teorema 1.11 sólo se conocían a lo largo de alguna secuencia de bolas {B(tn)}n
elegido de modo que (5) se mantenga (véase, por ejemplo, [10] o [34]). Esta cuestión se planteó a continuación:
mi atención por A. Nevo y fue mi motivación inicial para el presente trabajo. Nosotros
remítase al lector al documento de la encuesta de A. Nevo [26] Sección 5.
Más tarde resultó que el mero hecho de que las bolas son Folner en un polinomio dado
crecimiento local grupo compacto también se puede derivar del hecho de que estos grupos son
duplicación de espacios métricos (que es un resultado más fácil que la asintótica precisa
vol(ln) cn
d(G) probado en este documento y sólo requiere límites inferiores y superiores
del formulario c1n
d(G) ≤ vol(ln) ≤ c2n
d(G)). Esto fue observado por R. Tessera
[35] que redescubrió un lindo argumento de Colding y Minicozzi [11, Lemma 3.3.]
mostrando que el volumen de las esferas ♥n+1 \ ♥n es a lo sumo algunos O(n) veces el
el volumen de la bola ln, donde ln > 0 es una constante positiva dependiendo solamente de la
doblando constante la métrica de la palabra inducida por en G.
En [9], damos un mejor límite superior (que depende sólo de la clase de nilpotencia
y no en la constante de duplicación) para el volumen de esferas en el caso de finitamente
grupos de nilpotentes generados. Esto se hace mostrando el siguiente término de error en
la asintótica del volumen de las bolas: tenemos vol(ln) = cln
d(G)+O(nd(G)ár ),
donde αr > 0 depende sólo de la clase de nilpotency r de G. Referimos al lector a
Sección 8 y preimpresión [9] para más información al respecto. Sólo notamos aquí.
que aunque el anterior enfriamiento-Minicozzi-Tessera límite superior en el volumen de
esferas se sostiene generalmente para todos los grupos localmente compactos G con crecimiento polinomio,
a menos que G es nilpotente, no hay término de error en general en la asintótica de la
volumen de bolas. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña se da en §8.1.
1.4. Una conjetura de Burago y Margulis. En [7] D. Burago y G. Margulis
conjeturado que cualquier métrica de dos palabras en un grupo finitamente generado que son
asintótico (en el sentido de que
1(e,γ)
2(e,γ)
tiende a 1 en el infinito) debe estar en un límite
distancia unos de otros (en el sentido de que 1(e, γ) − γ2(e, γ) = O(1)). Esto
se mantiene para los grupos abelianos. Un resultado análogo fue probado por Abels y Margulis
para métricas de palabras en grupos reductivos [1]. S. Krat [23] estableció esta propiedad
para métricas de palabras en el grupo Heisenberg H3(Z). Sin embargo, utilizando el Teorema 1.4
(que en este caso particular de grupos nilpotentes finitamente generados es sólo de Pansu
teorema [27]) mostraremos en la sección 8.3 que hay contraejemplos y
muestra dos métricas de palabras en H3(Z) × Z que son asintóticas y sin embargo no están en
una distancia limitada. Para más información sobre este contraejemplo, y cómo
modificar la conjetura de Burago y Margulis, nos referimos al lector interesado a
1.5. Organización del documento. Las secciones 2 a 4 están dedicadas a los preliminares. In
Sección 2 presentamos la teoría básica nilpotente como se puede encontrar en Guivarc’h
tesis [21]. En particular, una prueba completa de la fórmula Bass-Guivarc’h se da. In
Sección 3, recordamos la construcción de la nilshadow de un grupo Solvable Lie.
12 EMMANUEL BREUILLARD
En la Sección 4 establecemos los axiomas y las propiedades básicas de la distancia (pseudo)
funciones que se estudian en este artículo.
Las secciones 5-7 contienen el núcleo de la prueba de los principales teoremas. En la sección 5,
asumir que G es un grupo simplemente conectado Solvable Lie y reducir el problema a
el caso de los nilpotentes. En la Sección 6, suponemos que G es un simple nilpotente conectado.
Mentir grupo y probar Teorema 1.4 en este caso siguiendo la estrategia utilizada por Pansu
en [27]. En la Sección 7, probamos el Teorema 1.2 para grupos generales localmente compactos
y reducir la prueba de los resultados de la introducción al caso de la Mentira.
En la última sección hacemos más comentarios sobre la velocidad de convergencia.
En particular, damos ejemplos que responden negativamente a la pregunta antes mencionada
de Burago y Margulis.
El Apéndice está dedicado a los grupos discretos de la dimensión 3 de Heisenberg y
5. Calculamos sus bolas límite, explicamos la Figura 1, y recuperamos el resultado principal de
Stoll [33].
El lector que está principalmente interesado en el caso de grupo nilpotent puede leer directamente
Sección 6 mientras se mantiene un ojo en las secciones 2 y 4 para las anotaciones de antecedentes y
hechos elementales.
Por último, vamos a mencionar que los resultados y métodos de este documento fueron en gran medida
inspirado en las obras de Y. Guivarc’h [21] y P. Pansu [27].
1.6. Nota Bene. Una versión de este artículo distribuida desde 2007. El actual ver-
sión contiene esencialmente el mismo material, sólo la exposición se ha mejorado
y varios argumentos un tanto vagos han sido sustituidos por pruebas completas
(en particular en las secciones 3 y 7). Este retraso se debe al hecho de que yo estaba planeando...
ning durante mucho tiempo para mejorar la sección 6 y mostrar un término de error en el volumen
asintótica de las bolas en grupos nilpotentes. E. Le Donne y yo nos las arreglamos recientemente para
lograr esto y ahora se ha convertido en un documento conjunto independiente [9].
2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie
En esta sección, revisamos el material de antecedentes necesario sobre la mentira nilpotente
grupos. En el párrafo 2.4, damos algunas propiedades cruciales de la homogeneidad
normas y reproducir algunos lemas originalmente debido a Y. Guivarc’h que será
utilizado en la secuela. Mientras tanto, probamos la fórmula Bass-Guivarc'h para el de-
grado de crecimiento polinomio de grupos de mentira nilpotente, siguiendo el original de Guivarc’h
argumentación.
2.1. métricas del Carno-Carateosorio. Deja que G sea un grupo de Lie conectado con Lie
álgebra g y dejar m1 ser un subespacio vectorial de g. Denotamos por una norma en m1.
Ahora recordamos la definición de una métrica Carnot-Carathéodory invariante a la izquierda también
llamada métrica subFinsler en G. Let x, y G. Consideramos todas las posibles piezas
senderos lisos : [0, 1] → G que va de â € (0) = x a â € (1) = y. Que (u) sea el
vector tangente que es arrastrado de vuelta a la identidad por una traducción izquierda, es decir.
= (u) · (u)
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 13
donde (u) g y la notación (u) · (u) significa la imagen de (u) bajo
el diferencial en la identidad de la traducción izquierda por el elemento de grupo (u).
Decimos que el camino es horizontal si el vector (u) pertenece a m1 para todos
u â € [0, 1]. Denotamos por H el conjunto de caminos horizontales lisos por pieza. Los
La métrica Carnot-Carathéodory asociada a la norma se define por:
d(x, y) = inf{
(u)
du, â € H, â € (0) = x, â € (1) = y}
donde el infimum se toma sobre todos los senderos lisos a partes : [0, 1] → N con
*(0) = x, *(1) = y que son horizontales en el sentido de que *(u) * m1 para todas las u. Si
Es una norma euclidiana, la d(x, y) métrica también se llama subRiemanniano. En este
papel, sin embargo, la norma normalmente no será euclidiana (puede ser poliedro
como en el caso de las métricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados) y d(x, y)
sólo será SubFinsler. Si m1 = g, y es un euclidiano (resp. Arbitraria) norma
en g, entonces d es simplemente el habitual invariante de izquierda Riemannian (resp. métrica de Finsler)
asociado a .
Teorema de Chow (por ejemplo: [19] o [25]) nos dice que d(x, y) es finito para todos x y
y en G si y sólo si el vector subespacio m1, junto con todos los paréntesis de elementos
de m1, genera el álgebra completa de Lie g. Si esta condición se cumple, entonces d es un
distancia en G que induce la topología original de G.
En este artículo, sólo nos preocuparemos por las métricas Carnot-Caratheodory sobre
una simple conexión nilpotent Lie grupo N. En la secuela, cada vez que hablamos de un
métrica Carnot-Carathéodory en N, nos referimos a uno que está asociado a una norma
en un subespacio m1 de tal manera que n = m1.» [n, n] donde n = Lie(N). Es fácil de comprobar
que cualquiera de tales m1 genera el álgebra de Lie n.
Observación 2.1. Vamos a observar aquí que para tal d métrica en N, tenemos el
después de la descripción de la bola de unidad para
{v) m1 {v} ≤ 1} =
η1(x)
d(e, x)
, x â â € ¢ Nâ € e}
donde η1 es la proyección lineal de n (identificada con N via exp) a m1 con
kernel [n, n]. De hecho, η1 da lugar a un homomorfismo de N al espacio vectorial
m1. Y si es un camino horizontal de e a x, a continuación, la aplicación de η1 a (6) que
get d
η1((u)) =
′(u), por lo tanto η1(x) =
(u)du. Por lo tanto 1(x) ≤ d(e, x) con
igualdad si x â € m1.
2.2. Dilaciones en un grupo de mentira nilpotente y el grupo calificado asociado.
Ahora nos centramos en el caso de grupos de mentiras nilpotentes simplemente conectados. Dejad en paz a N.
tal grupo con Lie álgebra n y clase de nilpotency r.
análisis de estos grupos, nos referimos al lector al libro [12]. El exponencial
mapa es un difeomorfismo entre n y N. La mayoría de las veces, si x n, vamos a
anotación de abuso y denotar el elemento de grupo exp(x) simplemente por x. Denotamos
por {Cp(n)}p la serie descendente central para n, es decir, C
p+1(n) = [n, Cp(n)] con
C0(n) = n y Cr(n) = {0}.
14 EMMANUEL BREUILLARD
Dejar (mp)p≥1 ser una colección de subespacios vectoriales de n tal que para cada p ≥ 1,
7) Cp−1(n) = Cp(n)®mp.
Entonces n = p ≥ 1mp y en esta descomposición, cualquier elemento x en n (o N por abuso
de notación) se escribirá en la forma
ηp(x)
donde γp(x) es la proyección lineal sobre mp.
A tal descomposición se asocia un grupo de dilaciones de un parámetro (t)t>0.
Estos son los endomorfismos lineales de n definidos por
t(x) = t
para cualquier mp x y para cada p. Por el contrario, el grupo de un parámetro (t)t≥0
determina los (mp)p≥1’s ya que aparecen como espacios propios de cada uno, t 6= 1. Los
las dilaciones no conservan a priori el soporte de la mentira en n. Este es el caso si y
sólo si
(8) [mp,mq] mp+q
para cada p y q (donde [mp,mq] es el subespacio extendido por todos los conmutadores de
elementos de mp con elementos de mq). Si (8) se mantiene, decimos que el (mp)p≥1 forma un
estratificación del álgebra de Lie n, y que n es una mentira estratificada (o homogénea)
álgebra. Es un ejercicio para comprobar que (8) es equivalente a requerir [m1,mp] = mp+1
para todos los p.
Si (8) no se sostiene, sin embargo, podemos considerar una nueva estructura de álgebra de Lie en
el espacio vectorial real n definiendo el nuevo soporte de Lie como [x, y]
si x â € TM y y â € mq. Este nuevo álgebra de Lie no es estratificado y tiene el mismo
el espacio vectorial subyacente como n. Denotamos por N.O. el asociado simplemente conectado
Grupo de mentiras. Por otra parte el (t)t>0 forman un grupo de un parámetro de los automorfismos de
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De hecho el soporte original de la Mentira [x, y] en n se puede deformar continuamente a
[x, y]• a través de una familia continua de estructuras de álgebra de Lie mediante el ajuste
(9) [x, y]t = 1
([.tx,.tty])
y dejando t → â € €. Tenga en cuenta que, a la inversa, si los Łt son automorfismos de n,
entonces [x, y] =
El álgebra de Lie graduada asociada a n es por definición
gr(n) =
Cp(n)/Cp+1(n)
dotado con el soporte de Lie inducido a partir de la de n. El mapa de cociente mp →
Cp(n)/Cp+1(n) da lugar a un isomorfismo lineal entre n y gr(n), que es
a Isomorfismo de álgebra de mentira entre la nueva estructura de álgebra de Lie n.a. y gr.a.
Por lo tanto estratificado Lie estructuras de álgebra inducidas por una elección de sub-
los espacios (mp)p≥1 como en (7) son todos isomórficos a gr(n).
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 15
En N.O. las métricas sub-invariantes izquierdas de Finsler d.O. asociadas a una elección de norma
en m1 son de especial interés. El grupo de un parámetro de dilaciones t}t es un
automorfismo de N.o y que
(10) d..............................................................................................................................................................................................................................................................
para cualquier x, y â € Nâ € TM. El espacio métrico (N, d) se llama grupo Carnot.
Si, por otro lado, el simple nilpotent Lie groupN no está estratificado,
a continuación, el grupo de dilaciones asociado a una elección de vector suplementario
subespacios mi como en (7) no consistirá en automorfismos de N y la relación
(10) no aguantará.
Tenga en cuenta también que si se nos dan dos opciones diferentes de subespacios suplementarios
mi’s y m
i es como en (7), a continuación, la izquierda-invariante Carnot-Carateosorio métricas en
los grupos de Lie estratificados correspondientes son isométricos si y sólo si (m1, ) y
(m′1,
) son isométricos (un isomorfismo lineal de m1 a m
1 que envía a
se extiende a una isometría de los dos grupos Carnot).
2.3. La fórmula Campbell-Hausdorff. El mapa exponencial exp : n → N
es un difeomorfismo. En la secuela, a menudo abusaremos de la notación e identificaremos a N
y n sin previo aviso. En particular, para dos elementos x e y de n (o
N equivalente) xy denotará su producto en N, mientras que x + y denota la suma
en n. Dejar que sea un grupo de un parámetro de dilaciones asociadas a una elección de
subespacios suplementarios mi como en (7). Denotamos la estratificación correspondiente
Lie álgebra por n.o como arriba y el grupo de Lie por N.o. El producto en N.O. es:
denotado por x* y. Las dilaciones son automorfismos.
La fórmula Campbell-Hausdorff (véase [12]) permite dar una forma más precisa de
el producto en N. Dejar que (ei)1≤i≤d sea una base de n adaptada a la descomposición en
mi's, es decir, mi = span{ej, ej mi}. Dejar x = x1e1 +...+ xded el correspondiente
descomposición de un elemento x n. A continuación, definir el grado di = deg(ei) a ser el
más grande j tal que ei C
j−1(n). Si α = (α1,..., αd) N
d es un multi-índice, a continuación, dejar
dα = deg(e1)α1 +...+ deg(ed)αd.
La fórmula Campbell-Hausdorff rinde
(11) (xy)i = xi + yi +
Cα,βx
donde Cα,β son constantes reales y la suma es sobre todos los multi-índices α y β tales
que dα + dβ ≤ deg(ei), dα ≥ 1 y dβ ≥ 1.
A partir de (9), es fácil dar la forma de la ley de grupo de Lie estratificada asociada:
(12) (x* y)i = xi + yi +
Cα,βx
donde la suma se limita a los α y β tales que dα + dβ = deg(ei),
dα ≥ 1 y dβ ≥ 1.
2.4. Casi-normas homogéneas y el teorema de Guivarc’h en polinomio
crecimiento. Dejar n ser un finito dimensión real nilpotente Lie álgebra y considerar un
descomposición
n = m1
16 EMMANUEL BREUILLARD
por subespacios vectoriales suplementarios como en (7). Dejemos que el parámetro (t)t>0 sea el único parámetro
grupo de dilaciones asociadas a esta descomposición, es decir, t(x) = t
ix si x mi.
Ahora introducimos la siguiente definición.
Definición 2.2 (Homogénea cuasinorma). Una función continua · : n → R+
se llama una cuasinorma homogénea asociada a las dilaciones (t)t, si satisface
las siguientes propiedades:
i) x = 0 x = 0.
ii) t(x) = tx para todos los t > 0.
Ejemplo 2.3. (1) Quasi-norms del tipo supremamum, es decir: x = maxp p(x)
donde p son normas ordinarias en el espacio vectorial mp y πp es la proyección en
mp como arriba.
(2) x = d(e, x), donde d es una métrica Carnot-Carathéodory en una estratificación
grupo de mentira nilpotente (como muestra la relación (10).
Claramente, una cuasi-norma está determinada por su esfera de radio 1 y dos cuasi-
normas (que son homogéneas con respecto al mismo grupo de dilaciones)
siempre equivalente en el sentido de que
1 ≤ 2 ≤ c 1
para alguna constante c > 0 (de hecho, por continuidad, · 2 admite un máximo en el
“esfera” x1 = 1}). Si las dos cuasinormas son homogéneas con respecto a
dos semi-grupos distintos de dilaciones, a continuación, las desigualdades (13) siguen manteniendo
fuera de un barrio de 0, pero puede fallar cerca de 0.
Las cuasinormas homogéneas satisfacen las siguientes propiedades:
Proposición 2.4. Que · sea una cuasi-norma homogénea en n, entonces hay
constantes C,C1, C2 > 0 tales que
a) xi ≤ C · x
deg(ei) si x = x1e1 +...+ xnen en una base adaptada (ei)i.
b) x−1 ≤ C · x.
(c) x+ y ≤ C · (x y)
(d) xy ≤ C1(x y) + C2.
Las propiedades (a), (b) y (c) son directas por el hecho de que x = maxp p(x)
es una cuasinorma homogénea y de (13). d) Justifica el término “cuasi-
norma” y sigue de Lemma 2.5 abajo. Puede ser un problema que la constante
C1 en (d) no puede ser igual a 1. De hecho, esta es la razón por la que usamos la palabra cuasi-norma
en lugar de simplemente norma, porque no se requiere el triángulo desigualdad axioma a
Espera. Sin embargo, el siguiente lema de Guivarc’h es a menudo un buen remedio
a esta situación. Que p sea una norma arbitraria en el espacio vectorial mp.
Lemma 2.5. (Guivarc’h, [21] lemme II.1) Let فارسى > 0. Hasta escalar cada p
en una norma proporcional p p (p > 0) si es necesario, la cuasinorma x =
maxp p(x)
Satisface
(14) xy ≤ x
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 17
Para todas las x, y N. Si N es estratificado con respecto a (?t)t podemos tomar? = 0.
Este lema es crucial también para la computación de la asintótica gruesa del volumen
crecimiento. Para la comodidad del lector, reproducimos aquí el argumento de Guivarc’h,
que se basa en la fórmula Campbell-Hausdorff (11).
Prueba. Arreglamos Ł1 = 1 y vamos a dar una condición en el Łi de modo que (14)
Espera. Los Łi’s serán tomados para ser más y más pequeños a medida que yo aumente. Nos pusimos
x = maxp p(x)
y dejar que x = maxp p
para cualquier r-tupla de Łi.
Queremos que para cualquier índice p ≤ r,
(15) p p p(xy)p ≤ (x + y + )
Para (11) tenemos γp(xy) = γp(x) + γp(y) + Pp(x, y) donde Pp es un mapa polinomio
en mp dependiendo únicamente de los ηi(x) y ηi(y) con i ≤ p− 1 de tal manera que
Pp(x, y) ≤ Cp
l,m≥1,l+m≤p
Mp−1(x)
lMp−1(y)
donde Mk(x) := maxi≤k i(x)
i y Cp > 0 es una constante dependiendo de Pp y
sobre las normas i. Desde 0, cuando se expande el lado derecho de (15) todos
términos de la forma xly
con l +m ≤ p aparecen con algún coeficiente positivo,
Di: "L,m". Los términos x
y y
aparecen con coeficiente 1 y no causan problemas
ya que siempre tenemos p p(x)p ≤ x
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, para
(15) para sostener, es suficiente que
pCpMp−1(x)
lMp−1(y)
El valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto
Para todos los l y m restantes. Sin embargo, claramente Mk(x) ≤?k · x donde?k :=
maxi≤k{1/
i } ≥ 1. Por lo tanto, una condición suficiente para (15) mantener es
en la que = min l,m. Dado que el valor de p−1 depende únicamente de los primeros valores de p−1 de los
es obvio que tal conjunto de condiciones puede ser cumplido por un r-tuple adecuado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 2.6. La constante C2 en Propiedad (d) anterior se puede tomar como 0 cuando N
es estratificado con respecto a los mi (es decir. los automorfismos de los ts son), como es fácil
visto después de cambiar x e y en su imagen debajo de Y a la inversa, si C2 = 0
para alguna casi-norma Homogénea en N, entonces N admite una estratificación. De hecho,
a partir de (11) y (12), vemos que si no son automorfismos, entonces uno puede
encontrar x, y N tal que, cuando t es lo suficientemente pequeño, t(xy) −
(r−1)/r
para algunos c > 0. Sin embargo, combinando Propiedades (c) y Propiedad (d) con C2 = 0
arriba debemos tener t(xy)− Łt(x)/23370/t(y) = O(t) cerca de t = 0. Una contradicción.
El lema de Guivarc’h nos permite mostrar:
Teorema 2.7. (Guivarc’h ibíd.) Vamos a ser un barrio compacto de la identidad
en un grupo N y (x, y) = inf{n ≥ 1, x
−1y ~ ~ ~ ~ n}.
18 EMMANUEL BREUILLARD
Entonces para cualquier cuasi-norma homogénea · en N, hay una constante C > 0 tal
x ≤ (e, x) ≤ Cx C
Prueba. Desde cualquier dos cuasi-normas homogéneas (w.r.t el mismo un-parámetro
grupo de dilaciones) son equivalentes, es suficiente para hacer la prueba de uno de ellos,
por lo que consideramos la cuasi-norma obtenida en Lemma 2.5 con la propiedad adicional
(14). El límite inferior en (16) es una consecuencia directa de (14) y se puede tomar
allí C a ser maxx, x + فارسى. Para el límite superior, basta con mostrar
que hay C # N tal que para todos n # N, si #x ≤ n entonces x #Cn. A
lograr esto, procedemos por inducción de la longitud de nilpotencia de N. El resultado
está claro cuando N es abeliana. De lo contrario, por inducción obtenemos C0 N tal que
x = 1 ·... · · C0n · z en los que • i • • y z • C
r−1(N) siempre que x ≤ n. Por lo tanto
z ≤ xC0n ·max
i C0 · n ≤ C1n para alguna otra constante C1 · N. Así que
han reducido el problema a x = z mr = C
r−1(N) que es central en N. Nosotros
tener z = zn
1 donde z1 = z/n ≤ C1. Puesto que ♥ es un barrio de la identidad
en N, el conjunto U de todos los productos de al menos dim(mr) conmutadores simples de longitud
r de elementos en ♥ es un barrio de la identidad en Cr−1(N) (e.g. Véase [19],
p113). De ello se deduce que hay una constante C2 N tal que z1 está en U
C2, de ahí la
producto de como máximo C2 dim(mr) simples conmutadores. Entonces hemos terminado porque z
será igual al mismo producto de los conmutadores donde cada letra xi...................................................................................................................
se sustituye por xni. Este último hecho se deriva del siguiente lema:
Lemma 2.8. Que G sea un grupo nilpotente de clase nilpotency r y n1,..., nr ser
enteros positivos. A continuación, para cualquier x1,..., xr G
1, [x
2, [..., x
r ]...] = [x1, [x2, [..., xr]...]
n1·...·nr
Para probar el lema basta con utilizar la inducción y el siguiente hecho obvio:
si [x, y] se desplaza a x e y entonces [xn, y] = [x, y]n.
Finalmente, obtenemos:
Corollary 2.9. Dejemos que ♥ sea un barrio compacto de la identidad en N. Entonces allí
son constantes positivas C1 y C2 de tal manera que para todos los n+N,
d ≤ volN ()
n) ≤ C2n
donde d es dada por la fórmula Bass-Guivarc’h:
(17) d =
i · dimmi
Prueba. Por Teorema 2.7, es suficiente estimar el volumen de la cuasi-norma
pelotas. Por homogeneidad de la cuasi-norma, tenemos volN{x, x ≤ t} = t
dvolN{x, x ≤
1}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 2.10. El uso del teorema de Malcev permite, como Guivarc'h ob-
servido, para deducir inmediatamente que el resultado análogo tiene para prácticamente nilpotente
grupos finitos generados. Este hecho que también fue probado independientemente por H. Bass
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 19
[3] por un argumento combinatorio directo. Véase también el apéndice de Tetas de Gromov
por [17]. De hecho, el Teorema 2.7 de Guivarc’h parece haber sido redescubierto varios
en los últimos 40 años, incluyendo por Pansu en su tesis [27], el último ejemplo
de ese ser [22].
3. El nilshadow
El objetivo de esta sección es introducir el nilshadow de un simplemente conectado
Solvable Lie grupo G. Asumimos que G tiene crecimiento polinomio, aunque
Esta última suposición no es necesaria para casi todo lo que hacemos en esta sección.
La única declaración que se utilizará después en el papel (en la sección 5) es:
Lemma 3.12 infra. El lector familiarizado con el nilshadow puede saltar directamente a
la declaración de este lema y omitir la próxima discusión.
3.1. Construcción del nilshadow. El nilshadow de G es un simple conectado
nilpotent Lie grupo GN, que se asocia a G de una manera natural. Esta noción
fue introducido por primera vez por Auslander y Green en [2] en su estudio de los flujos en
Solvmanifolds. Lo definieron como el radical unipotente de una división semi-simple
G. Sin embargo, vamos a seguir un enfoque diferente para su construcción por
trabajando primero en el nivel de álgebra de Lie. Referimos al lector al libro [13] donde
Este enfoque ha sido adoptado.
Dejar g ser un álgebra de Lie real solucionable y n el nilradical de g.Tenemos [g, g] n.
Si x g, escribimos ad(x) = ads(x) + adn(x) la descomposición jordana de ad(x) en
GL(g). Desde ad(x) • Der(g), el espacio de derivaciones de g, y Der(g) es la Mentira
álgebra del grupo algebraico Aut(g), los componentes jordanos ads(x) y adn(x)
también pertenecen a Der(g). Por otra parte, para cada x g, ads(x) envía g en n (porque
así lo hace ad(x) y ads(x) es un polinomio en ad(x)). Que h sea una subalgebra de Cartan
de g, a saber, un subalgebra autonormalizante nilpotente. Recordemos que la imagen de
a Cartan subalgebra por un sujetivo Lie homomorfismo álgebra es de nuevo un coche-
Tan subalgebra. Ahora como g/n es abeliano, se sigue que h mapas en g/n, es decir.
h+ n = g. Por otra parte ads(x)h = 0 si x h, porque h es nilpotente.
Ahora elegir cualquier vector real subespacio v de h en suma directa con n. A continuación, el
se mantienen dos condiciones:
i) vâr n = g.
ii) ads(x)(y) = 0 para todas las x, y â € v.
De los incisos i) y ii), se desprende fácilmente que los anuncios (x) se desplazan con ad(y), ad(y) y
adn(y), para todas las x, y en v. Tenemos:
Lemma 3.1. El mapa v → Der(g) definido por x 7→ ads(x) es un álgebra de Lie
homomorfismo.
Prueba. Primero vamos a comprobar que este mapa es lineal. Vamos a x, y v. v. Por el anterior
ads(y) y ads(x) viajan entre sí (de ahí que su suma sea semi-simple) y
viajar con adn(x)+adn(y). De la singularidad de la descomposición de Jordania
20 EMMANUEL BREUILLARD
Queda por comprobar que adn(x)+adn(y) es nilpotente si x, y en v. Para ver esto, aplicar
la siguiente observación obvia dos veces a a = adn(x) y V = ad(n) primero y luego a
a = adn(y) y V = span{adn(x), ad(ad(y))
nx), n ≥ 1} : Que V sea un nilpotente
subespacio de GL(g) y una GL(g) nilpotente, es decir, V n = 0 y am = 0 para algunos
n,m N y asumir [a, V] V. Entonces (a+V )nm = 0.
El hecho de que este mapa es un homomorfismo Lie álgebra sigue fácilmente de la
hecho de que todos los anuncios (x), x v v conmutarse entre sí y con [g, g] n.
Definimos un nuevo soporte de Lie en g estableciendo:
(18) [x, y]N = [x, y]− ads(xv)(y) + ads(yv)(x)
donde xv es la proyección lineal de x en v de acuerdo con la suma directa vÃ3n = g.
La identidad de Jacobi es verificada por un cálculo directo donde lo siguiente:
hecho es necesario: anuncios (ads(x)(y)) = 0 para todos x, y g. Esto se sostiene porque, como nosotros sólo
vis, ads(x)(g) (n) para todos los x â € g, y ads(a) = 0 si un â € n.
Definición 3.2. Que gN sea el espacio vectorial g dotado con el nuevo álgebra de Lie
estructura [·, ·]N dada por (18). El Nilshadow GN de G se define como el simple
grupo de mentira conectado con Lie álgebra gN.
Es fácil comprobar que gN es un álgebra nilpotent Lie. Para ver esto, tenga en cuenta primero que
[gN, gN ]N â n, y si x â gN e y â n, entonces [x, y]N = (adn(xv) + ad(xn)(y).
Sin embargo, adn(xv) + ad(xn) es un endomorfismo nilpotente de n como sigue de la
la misma observación utilizada en la prueba de Lemma 3.1. Por lo tanto, gN es un nilpotente.
El producto nilshadow Lie en GN será denotado por * con el fin de distinguir
lo del producto Lie original en G. En la secuela, identificaremos a menudo G (resp.
GN ) con su Lie álgebra g (resp. gN) a través de su respectivo mapa exponencial. Desde
el espacio subyacente de gN era g en sí mismo, esto da una identificación (aunque no
un isomorfismo de grupo) entre G y GN. Entonces el producto Nilshadow Lie puede
se expresarán en términos del producto original de la manera siguiente:
g* h = g · (T (g−1)h)
Aquí T es el grupo Lie homomorfismo G → Aut(G) inducido por lo anterior
elección del subespacio suplementario v como se indica a continuación.
(19) T (ea)(eb) = exp(eads(av)b)
En otras palabras, T es el único homomorfismo grupo Lie cuyo diferencial
en la identidad está el homomorfismo Lie álgebra deT : g → Der(g) dado por
deT (a)(b) = ads(av)b, es decir, la composición del mapa v → Der(g) de
Lemma 3.1 con la proyección lineal g → g/n v.
Es fácil comprobar que esta definición del nuevo producto es compatible con
la definición del nuevo soporte Lie.
También se puede comprobar que dos opciones de espacios suplementarios v como por encima de rendimiento
Estructuras isomórficas de la Mentira (véase [13, cap. III]). Por lo tanto, por el abuso del lenguaje, nosotros
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 21
hablar de la nilshadow de g, cuando nos referimos a la estructura de la mentira en G inducido por un
elección de v como anteriormente.
El siguiente ejemplo muestra varias de las características de una Lie solvable típica
grupo de crecimiento polinomio.
Ejemplo 3.3 (Nilshadow de un producto semidirecto). Let G = R R
n donde
GLn(R) es un subgrupo de un parámetro dado por GLn(R)
A es alguna matriz en Mn(R) y A = Como +Au es su descomposición de Jordania, dando
subir a kt = exp(tAs) y ut = exp(tAu). El grupo G es diffeomórfico a R
por lo tanto simplemente conectado. Si todos los valores propios de As son puramente imaginarios, entonces G tiene
crecimiento polinomio. Sin embargo G no es nilpotente a menos que As = 0. Así que vamos a asumir
que ni As ni Au es cero. Entonces el Nilshadow GN es el producto semi-directo
Ru R
n donde ut es la parte unipotente de Łt.
Es fácil calcular la dimensión homogénea de G (o GN) en términos de
dimensión de los bloques jordanos de Au. Si nk es el número de bloques de Jordania de Au
del tamaño k, entonces
d(G) = 1 +
k(k + 1)
3.2. Propiedades básicas de la nilshadow. Ahora enumeramos en forma de unos pocos
lemas algunas propiedades básicas de la nilshadow.
Lemma 3.4. La imagen de T : G → Aut(G) es abeliana y relativamente compacta.
Por otra parte, T (g)h) = T (h) para cualquier g.
Prueba. Dado que G tiene crecimiento polinomio es de tipo (R) por el teorema de Guivarc’h.
Por lo tanto, todos los anuncios (x) tienen valores propios puramente imaginarios. De ello se deduce que K es compacto.
Puesto que los factores T a través del nilradical, su imagen es abeliana. La última igualdad
sigue a partir de (19) y el hecho de que "x", "y" g, ads(ads(x)(y)) = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 3.5. T (G) también pertenece a Aut (GN ) y T es un homomorfismo de grupo
GN → Aut (GN ).
Prueba. La primera afirmación se deriva de (19) y el hecho de que deT es una derivación
de gN como se puede comprobar a partir de (18) y el hecho de que x, y g, ads(ads(x)(y)) = 0.
La segunda afirmación se deriva entonces de Lemma 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Denotamos por K el cierre de T (G) en Aut (G) = Aut (g).
Lemma 3.6 (K-action on gN ). K conserva v y actúa trivialmente en ella. También
conserva los ideales n y la serie descendente central {Ci(gN)}i de gN.
Prueba. Basta comprobar que los anuncios (v) preservan n y C
i(gN ). Conserva n
porque ad(x) conserva n para todos los x â € g. Conserva Ci(gN ) porque actúa como un
derivación de gN como ya hemos comprobado en la prueba de Lemma 3.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.7 (Bien definido de η1). También es fácil comprobar desde la definición
del soporte de nilshadow que el subálgebra conmutador [gN, gN] y, de hecho, cada uno
término de la serie descendente central Ci(gN ) es un ideal en g y no depende
sobre la elección del subespacio suplementario v utilizado para definir el soporte de nilshadow.
22 EMMANUEL BREUILLARD
En particular, el mapa de proyección η1 : gN → gN/[gN, gN ] es un lineal bien definido
mapa en g = gN (es decir, independientemente de la elección implicada en la construcción de
el soporte de la mentira de nilshadow).
Lemma 3.8 (Mapa Exponencial). Los respectivos mapas exponenciales exp : g → G
y expN : gN → GN coinciden en n y en v.
Prueba. Puesto que los dos productos de Lie coinciden en N = exp(n), también lo hacen sus exponenciales
mapa. Para la segunda afirmación, tenga en cuenta que T (e-tv)v = v para cada v v porque
ads(x)(y) = 0 para todas las x, y. De ello se deduce que {e)
tv}t es un subgrupo de un parámetro
para ambas estructuras de Lie, por lo tanto es igual a {expN (tv)}t.
Observación 3.9 (Surjetividad del mapa exponencial). El mapa exponencial no es
siempre un difeomorfismo, como el ejemplo de la cubierta universal del grupo E
de movimientos del plano muestra (de hecho, cualquier subgrupo de 1 parámetro de E es
subgrupo de traducción o un subgrupo de rotación, pero el subgrupo de rotación es compacto
por lo tanto un toro, por lo que su elevación contendrá el centro (discreto) de E, por lo tanto se perderá
cada elevación de una traducción no trivial). De hecho, es fácil ver que si g es la mentira
álgebra de un grupo solvable (no-nilpotente) Lie de crecimiento polinomio, luego g mapas
Suryctively en el álgebra de la mentira de E. Por lo tanto, para un solvable simplemente conectado y
grupo de mentira no-nilpotente del crecimiento polinomio, el mapa exponencial nunca está en.
Sin embargo, su imagen es fácilmente vista como densa.
Sin embargo, las coordenadas exponenciales del segundo tipo se comportan bien. Tenga en cuenta que
[gN, gN] N.
Lemma 3.10 (Coordenadas exponenciales del segundo tipo). Dejar {Ci(gN)}i≥0
ser la serie descendente central de gN (con C
1 gN ) = [gN, gN ]) y pick lineal
subespacios mi en gN tal que C
i(gN ) = mi (+ C)
i−1(gN ) para i ≥ 2. Deja que yo sea un
subespacio suplementario de C1(gN) en n. Definir coordenadas exponenciales de la
segundo tipo mediante el ajuste
Sr....m2 v → G
(r,..., 1, v) 7→ expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v)
Este mapa es un difeomorfismo. Por otra parte, expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v) =
Para todas las opciones de v. v. y de mi.
Prueba. Por Lemma 3.8 los mapas exponenciales de G y GN coinciden en n y en v.
Además g* h = g · h cuando g pertenece a la exp(n) nilradical de G. Por lo tanto
expN (r)*...........................................................................................................................................................................................................................................................
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
La restricción del mapa a n es un difeomorfismo en exp(n), porque este mapa
y sus inversos son mapas polinomios explícitos (las coordenadas de los
tipo, ver el libro [12]). Ahora el mapa n â € v → G enviar (n, v) a en · ev es un
difeomorfismo, porque G está simplemente conectado y por lo tanto el grupo cociente
G/ exp(n) isomórfico a un espacio vectorial y por lo tanto a exp(v). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 3.11 (“Bi-invariante” métrica Riemanniana). Existe un Riemanniano
métrica en G que se deja invariante bajo ambas estructuras de Lie.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 23
Prueba. De hecho, basta con recoger un producto escalar en g que es invariante bajo el
subgrupo compacto K = T (G) • Aut(g). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Identificamos K = {T (g), g {G} con su imagen en Aut(g) bajo el canónico
isomorfismo entre Aut(G) y Aut(g). Recordemos que, según Lemma 3.6,
la serie descendente central de gN es invariante en ads(x) para todos x â € v y
consiste en ideales de g. Lo mismo se sostiene para n. Se deduce que estos subespacios lineales
también invariante bajo K. Sin embargo, como K es compacto, su acción en g es completamente
Reducible. Por lo tanto, hemos demostrado:
Lemma 3.12 (estratificación K-invariante de la nilshadow). Let g ser el álgebra de Lie
de un simplemente conectado Lie grupo G con el crecimiento polinomio. Deja que gN sea el nilshadow
álgebra de mentira obtenida a partir de una división g = nov como se indica anteriormente (es decir, n es el nilradical y
v satisface ads(x)(y) = 0 para cada x, y â € v). Let K := {T (g), g â € € G} â € € TM Aut (G),
donde T se define por (19). Luego hay una elección de subespacios lineales mi y l
de tal manera que
(20) gN = Sr. .. m2............................................................................................................................................................................................................................................................
donde cada término es K-invariante, m1 := l+V y la serie descendente central de
gN satisface C
i(gN ) = mi (+ C)
i−1 (gN ). Por otra parte, la acción en K se puede leer
sobre las coordenadas exponenciales de segundo tipo en esta descomposición, a saber:
#... # # E # # # E # # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E #
= k(eñr) ·... · k(eñ0) = ek(ñr) ·... · ek(ñ0)
= expN (k(r)) ∗... ∗ expN (k(0))
4. métricas periódicas
En esta sección, a menos que se indique lo contrario, G denotará una
Grupo pactado.
4.1. Definiciones. Por una pseudodistancia (o métrica) en un espacio topológico X, nosotros
media de una función : X × X → R+ que satisface las siguientes condiciones :.(x, y) =.(y, x) y.(x, z) ≤
Para cualquier trillizo de puntos de X. Sin embargo, el valor de x, y puede ser igual a 0
incluso si x 6= y.
Requeriremos que nuestras pseudodistancias se limiten localmente, lo que significa que la
imagen debajo de ♥ de cualquier subconjunto compacto de G × G es un subconjunto limitado de R+. A
evitar los casos irrelevantes (por ejemplo, en el caso de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los de los de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos
el mapa y 7→ ♥(e, y) es un mapa adecuado, es decir, la preimagen de un conjunto limitado es
limitado (no pedimos que el mapa sea continuo). Cuando se delimita el límite local
entonces es apropiado si y sólo si y 7→ ♥(x, y) es apropiado para cualquier x G.
Se dice que una pseudodistancia en G es asintóticamente geodésica si por cada فارسى > 0
existe s > 0 de tal manera que para cualquier x, y G se puede encontrar una secuencia de puntos
x1 = x, x2,..., xn = y en G de tal manera que
(xi, xi+1) ≤ (1 +
y ♥(xi, xi+1) ≤ s para todos los i = 1,..., n − 1.
24 EMMANUEL BREUILLARD
Vamos a considerar exclusivamente pseudodistancias en un grupo G que son invariantes
debajo de las traducciones de la izquierda por todos los elementos de un subgrupo cerrado fijo y cocompacto
H de G, lo que significa que para todas las x, y G y todas las h H, H (hx, hy) = x, y.
Combinando todos los axiomas anteriores, establecemos la siguiente definición.
Definición 4.1. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Una pseudodistancia en G
se dice que es una métrica periódica (o métrica periódica H) si satisface lo siguiente
propiedades:
(i) es invariante en las traducciones a la izquierda por un subgrupo cerrado de cocompactos H.
ii) sea localmente limitada y adecuada.
iii) Es geodésica asintóticamente.
Observación 4.2. La suposición de que es simétrico, es decir. * (x, y) = * (y, x) está aquí.
sólo por el bien de la simplicidad, y la mayoría de lo que se demuestra en este documento puede ser
hecho sin esta hipótesis.
4.2. Propiedades básicas. Vamos a ser una métrica periódica en G y H algunos co-compacto
subgrupo de G. Las siguientes propiedades son straighforward.
1) Se encuentra a una distancia limitada de su restricción a H. Esto significa que si F
es un dominio fundamental limitado para H en G y para una x arbitraria + G, si hx
denota el elemento de H tal que x hxF, entonces (x, y)− ♥(hx, hi) ≤ C para
alguna constante C > 0.
(2) Łt > 0 existe un subconjunto compacto Kt de G de tal manera que,
x−1y Kt. Y a la inversa, si K es un subconjunto compacto de G, t(K) > 0 s.t.
x−1y • K (x, y) ≤ t(K).
(3) Si el valor de x, y) ≥ s, el valor de xi en (21) puede elegirse de tal manera que s ≤
(xi, xi+1) ≤ 2s (se puede tomar un subconjunto adecuado del xi original).
(4) La restricción de la letra H × H es una pseudodistancia periódica en la letra H.
significa que el xi en (21) puede ser elegido en H.
(5) Por el contrario, dada la pseudodistancia periódica H sobre H, es posible extender
a una pseudodistancia periódica en G mediante el ajuste de.(x, y) =.(hx, hi) donde x =
hxF para algunos dominios fundamentales limitados F para H en G.
4.3. Ejemplos. Demos algunos ejemplos de pseudodistancias periódicas.
(1) Let ser un grupo de nilpotente sin torsión finitamente generado que está incrustado
como subgrupo discreto cocompacto de un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado.
Teniendo en cuenta un conjunto de generación simétrica finita S de........................................................................................................................................................................................................................................................
métrica de la palabra dS en فارسى que da lugar a una métrica periódica en N dada por ♥(x, y) =
dS(γx, γy) donde x γxF y y γyF si F es algún dominio fundamental fijo para
En el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva.
(2) Otro ejemplo, dado en [27], es el siguiente. Deja que N/ sea un nilmanifold con
la cobertura universal N y el grupo fundamental N. Dejar g ser una métrica Riemanniana en
N.O.B. Puede ser elevado a la cubierta universal y por lo tanto da lugar a un Riemannian
métrica g? en N. Esta métrica es invariante, apropiada y delimitada localmente. Ya que..................................................................................................................
cocompacto en N, es fácil comprobar que también es geodésico asintóticamente por lo tanto
periódica.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 25
(3) Cualquier métrica de la palabra en G. Es decir, si es una generación simétrica compacta
subconjunto de G, let (x) = inf{n ≥ 1, x
n}. A continuación, define ♥(x, y) = (x
−1y).
Claramente es una pseudodistancia (aunque no una distancia) y es G-invariante en el
izquierda, también es apropiada, localmente limitada y asintóticamente geodésica, por lo tanto periódica.
(4) Si G es un grupo de Lie conectado, cualquier métrica de Riemanniana invariante izquierda en G.
Aquí de nuevo H = G y obtenemos una distancia periódica. Del mismo modo, cualquier invariante izquierda
La métrica Carnot-Carathéodory en G servirá.
Observación 4.3 (el teorema de Berestovski). Según un resultado de Berestovski [5]
cada distancia geodésica izquierda-invariante en un grupo de Lie conectado es un subFinsler
métrica tal como se define en el punto 2.1.
4.4. Equivalencia absoluta entre pseudodistancias invariantes. Lo siguiente:
la proposición es básica:
Proposición 4.4. Dejemos que el 1 y el 2 sean dos pseudodistancias periódicas en G.
es una constante C > 0 de tal manera que para todos x, y G
C ≤ 1(x, y) ≤ C2(x, y) ≤ C2(x, y) + C
Prueba. Claramente es suficiente probar el límite superior. Let s > 0 ser el número cor-
responder a la elección = 1 en (21) para 2. A partir de 4.2 (2), existe un pacto
subconjunto Ks en G de tal manera que.a2(x, y) ≤ 2s.a x
-1a - K2s, y hay una constante
t = t(K2s) > 0 tales que x
-1a -2 K2s -1(x, y) ≤ t. Let C = max{2t/s, t}, y
que x, y â € € TM G. Si?2(x, y) ≤ s entonces?1(x, y) ≤ t por lo que el lado derecho de (22) sostiene.
Si el valor de 2(x, y) ≥ s entonces, a partir de (21) y 4.2 (3), obtenemos una secuencia de xis en G de x
a y tales que s ≤ ♥2(xi, xi+1) ≤ 2s y
2 (xi, xi+1) ≤ 2(x, y). De ello se desprende:
que?1(xi, xi+1) ≤ t para todos los i. Por lo tanto, el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y)
1(xi, xi+1) ≤ Nt ≤
tÿ2(x, y)
y el lado derecho de (22) sostiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En el caso particular cuando G = N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado,
la distancia al origen x 7→ (e, x) es también groseramente equivalente a cualquier homogeneidad
neous cuasi-norm en N. Tenemos,
Proposición 4.5. Supongamos que N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Dejad en paz a la gente.
una pseudodistancia periódica sobre N y · ser una cuasi-norma homogénea, entonces allí
existe C > 0 de tal manera que para todos x â € N
x−1y − C ≤ 1(x, y) ≤ Cx
−1y C
Por otra parte, si se trata de una pseudodistancia periódica en el grupo nilpotente estratificado N
asociado a N, entonces de nuevo, hay una constante C > 0 tal que
C ≤ 1(e, x)− C ≤ 1(e, x) ≤ 2(e, x) + C
La propuesta se deriva inmediatamente del teorema de Guivarc’h (véase el corolario 2.7.
arriba), la equivalencia de cuasinormas homogéneas, y el hecho de que invariante de izquierda
Las métricas de Carnot-Carateodory en N.O. son normas cuasi homogéneas. Sin embargo,
Dado que las estructuras de grupo de N y N9 difieren, (24) en general no pueden ser sustituidas.
por la relación más fuerte (22) como los ejemplos simples muestran.
26 EMMANUEL BREUILLARD
La siguiente propuesta es de importancia fundamental para el estudio de las métricas sobre
Grupos de mentiras de crecimiento polinomio:
Proposición 4.6. Deja que G sea un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de polinomio
crecimiento y GN su nilshadow. Seamos seudodistancias periódicas arbitrarias.
sobre G y GN, respectivamente. Entonces hay una constante C > 0 tal que para todos
x, y â € TM G
N (x, y)− C ≤ (x, y) ≤ C/23370/N (x, y) + C
Prueba. De acuerdo con la Proposición 4.4, es suficiente mostrar (25) para alguna elección de
métricas periódicas en G y GN. Pero en Lemma 3.11 construimos un Riemanniano
métrica en G que se deja invariante para G y GN. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4.5. Invarianza derecha bajo un subgrupo compacto. Aquí verificamos que, dado
un subgrupo compacto de G, cualquier métrica periódica se encuentra a una distancia limitada de otro
métrica periódica que es invariante a la derecha por este subgrupo compacto. Deja K
ser un subgrupo compacto de G y una pseudodistancia periódica en G.
con la ayuda de la medida Haar normalizada en K para obtener:
(26) K(x, y) =
(xk1, yk2)dk1dk2
A continuación, se mantiene lo siguiente:
Lemma 4.7. Hay una constante C0 > 0 dependiendo sólo de ♥ y K de tal manera que
para todos los k1, k2 K y todos los x, y G
(27) (xk1, yk2)− ♥(x, y) ≤ C0
Prueba. A partir de 4.2 (2), t = t(K) > 0 s.t. (x, xk) ≤ t. Aplicando la
Triángulo de desigualdad, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Por lo tanto obtenemos:
Proposición 4.8. La pseudodistancia K es periódica y se encuentra en un
Desde el 1 de enero de 1985. En particular, como x tiende a infinito en G el siguiente límite se mantiene
(28) lim
K(e, x)
(e, x)
Prueba. A partir de Lemma 4.7 y 4.2 (3), es fácil comprobar que
toticalmente geodésico, y periódico. La integración (27) nos da que K está en un límite
La distancia entre los países de la Comunidad y los países de la Europa central y oriental es evidente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Si K es normal en G, obtenemos así una métrica periódica de K en G/K de tal manera que
K(p(x), p(y)) se encuentra a una distancia limitada de x, y, donde p es el mapa de cocientes
G→ G/K.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 27
5. Reducción al caso de nilpotente
En esta sección, G denota un grupo de polinomios Solvable Lie simplemente conectado
crecimiento. Vamos a reducir la prueba de los teoremas de la introducción
al caso de un G nilpotent. Esto se realiza mostrando que cualquier
pseudodistancia en G es asintótica a alguna pseudodistancia periódica asociada
N en el Nilshadow GN. Lo declaramos en la Proposición 5.1 a continuación.
El paso clave en la prueba es la Proposición 5.2 a continuación, que muestra la asintótica
la invarianza de.. bajo la "parte semisimple" de G. El hecho crucial allí es que el
desplazamiento de un punto distante bajo un automorfismo unipotente fijo es insignificante
en comparación con la distancia de la identidad (véase Lemmas 5.4, 5.5), de modo que la
acción de la parte semisimple de los elementos grandes puede ser simplemente aproximado por
su acción por la traducción izquierda.
5.1. Invarianza asintótica bajo un grupo compacto de automorfismos
de G. El resultado principal de esta sección es el siguiente. Deja que G sea un conectado y
simplemente conectado grupo Solvable Lie con crecimiento polinomio y GN su nilshadow
(véase la sección 3).
Proposición 5.1. Que H sea un subgrupo cerrado de cocompacto de G y un H-
pseudodistancia periódica (véase la definición 4.1) en G. Existe un subconjunto cerrado HK
que contiene H, que es un subgrupo de cocompacto para G y GN, y un HK-
periódica (para ambas estructuras de mentira) pseudodistancia
(29) lim
K(e, x)
(e, x)
El subgrupo cerrado HK se considerará el cierre del grupo generado
por todos los elementos de la forma k(h), donde h pertenece a H y k pertenece a la
cierre K en el grupo Aut(G) de la imagen de H bajo el homomorfismo
T : G → Aut(G) introducido en la sección 3. Es fácil comprobar desde la definición
del producto nilshadow (1) que se trata de un subgrupo tanto en G como en su
Nilshadow GN.
La nueva pseudodistancia K se define de la siguiente manera, utilizando un doble promedio
procedimiento:
(30) K(x, y) :=
(gk(x), gk(y))dkdμ(g)
Aquí la medida μ es la medida Haar normalizada en el espacio de coset H\HK
y dk es la medida Haar normalizada en el grupo compacto K. Recordemos que
todos los subgrupos cerrados de S son unimodulares (ya que tienen crecimiento polinomio por
[21][Lemme I.3.]). De ahí la existencia de medidas invariantes en los espacios coset.
Una parte esencial de la prueba de la Proposición 5.1 está incluida en la siguiente
declaración:
28 EMMANUEL BREUILLARD
Proposición 5.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en G que es invariante
bajo un subgrupo de cocompacto H. Entonces ♥ es asintóticamente invariante bajo el
acción de K = {T (h), h {H} Aut(G). Es decir, (uniforme) para todos los k ° K,
(31) lim
(e, k(x))
(e, x)
La prueba de la Proposición 5.2 se divide en dos pasos. Primero mostramos que lo es.
lo suficiente para demostrar (31) para un denso subconjunto de k’s. Esto es una consecuencia de lo siguiente:
declaración de continuidad:
Lemma 5.3. Deja فارسى > 0, entonces hay un barrio U de la identidad en K tales
que, para todos los k â € ¢ U,
limx
(x, k(x))
(e, x)
Entonces mostramos que la acción de T (g) se puede aproximar por la conjugación
por g, esencialmente porque la parte unipotente de esta conjugación no se mueve x
mucho cuando x está lejos. Este es el contenido del siguiente lema:
Lemma 5.4. Que sea una pseudodistancia periódica en G que es invariante bajo
un subgrupo de cocompacto H. A continuación, para cualquier فارسى > 0, y cualquier subconjunto compacto F en H
hay s0 > 0 tal que
(e, T (h)x) − (e, hx) ≤ (e, x)
para cualquier h • F y tan pronto como •(e, x) > s0.
Prueba de la Proposición 5.2 módulo Lemmas (5.3) y (5.4):
ser H-invariante, por cada h â € H, tenemos (e, h−1x)/?(e, x) → 1. La prueba de
la proposición sigue inmediatamente de la combinación de los dos últimos
Lemas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5.2. Prueba de Lemmas (5.3) y (5.4). Elegimos los subespacios K-invariantes mi’s
y l del nilshadow gN de g como en Lemma 3.12 de la sección 3. En particular
gN = Sr. ...............................................................................................................................................
donde cada término es K-invariante, n = [gN, gN ] l y C
i(gN ) = mi (+ C)
i−1 (gN ).
Por otra parte, t(x) = t
ix si x â € mi (aquí m1 = lâ € v).
También establecemos v(x) = maxi i
i if x = expN (r) ∗. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
i > 0 y d0 = 1. Y dejamos que x := maxi-xi
1/di si x = xr +. ...........................................................................................................
por encima de la descomposición directa de la suma.
Nótese que · es una cuasi-norma de los t-homógenos. Además, es sencillo
verificar (utilizando la fórmula Campbell-Hausdorff (12) y la Proposición 2.4) que
v(x) ≤ CxC para alguna constante C > 0. En particular:
de los restos delimitados
como x se vuelve grande.
Prueba de Lemma 5.3. Combinando las Proposiciones 4.5 y 4.6, hay una constante
C > 0 De tal manera que para todos x, y â € € TM G,?(x, y) ≤ Cx1 * y + C. Por lo tanto tenemos
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 29
reducido a probar la declaración para · en lugar de ♥, a saber, es suficiente para mostrar
que x1 ∗ k(x) se vuelve insignificante comparado con x como x va al infinito y k
tiende a 1.
De la fórmula Campbell-Baker-Hausdorff (11) y (12) se desprende que, si
x, y GN y x, y son O(t), entonces 1
x ∗ y) − 1
x) * 1
(y) = O(t−1/r), y
Similarmente 1
(x1 *. * xm) − 1
x1) ∗. ...............................................................................................
(xm) = Om(t
−1/r), para m elementos
xi con xi = O(t). Por lo tanto, al escribir x = expN (r) ∗... ∗ expN (0), y el ajuste
t = x, obtenemos así que la cantidad siguiente
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(x1* k(x)−
0≤i≤r
expN (−t
−di®i)*
0≤i≤r
expN (t
−dr−ik(r−i))
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
es un O(t−1/r). De hecho, recuerden de Lemma 3.12 que k(x) = expN (k(r))*...*
expN (k(+0)). A medida que x se hace más grande, cada t
−diñái permanece en un subconjunto compacto de mi.
Por lo tanto, como k tiende a la identidad en K, cada t-dik(i) se vuelve uniformemente cerca
a t-diÃ3ri independientemente de la elecciÃ3n de x Ã3 GN siempre y cuando t = xà es grande. Los
El resultado es el siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Prueba de Lemma 5.4. Recordemos que hx = h* T (h)x para todas las x, h • G (véase (1).
Por la desigualdad del triángulo es suficiente con atar Ł(y, h* y), donde y = T (h)x.
De las Proposiciones 4.5 y 4.6,...........................................................................................................................................................................................................................................................
constantes a la cuasi-norma homogénea ·. Por lo tanto, el Lemma sigue de la
A continuación:
Lemma 5.5. Que N sea un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado y que · sea una
norma homogénea sobre N asociada a un grupo de dilaciones de 1 parámetro
Para cualquiera de los dos subconjuntos compactos F de N, hay una constante s2 > 0
de tal manera que
x−1gx ≤ x
para todos los g de F y tan pronto como x > s2.
Prueba. Recordemos, como en la prueba del último lema, que para cualquier c1 > 0 hay
a c2 > 0 Tal que si t > 1 y x, y N son tales que x, y ≤ c1t, entonces
xy)− 1
x) * 1
(y) ≤ c2t
−1/r. En particular, si establecemos t = x, entonces
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(x−1gx)− 1
x)–1 ∗ 1
g) ∗ 1
≤ c2t−1/r
Por otro lado, como g permanece en el conjunto compacto F, 1
(g) tiende uniformemente a
la identidad cuando t = x va a la infinidad, y 1
(x) permanece en un conjunto compacto.
Por continuidad, vemos que 1
x)–1 ∗ 1
g) ∗ 1
(x) se vuelve arbitrariamente pequeño como t
incrementos. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
30 EMMANUEL BREUILLARD
5.3. Prueba de la Proposición 5.1. Primero probamos el siguiente estado de continuidad:
mento:
Lemma 5.6. Seamos una pseudodistancia periódica en G y فارسى > 0. Entonces, ahí está.
existe un barrio de la identidad U en G y s3 > 0 tal que
1--(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(--)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(--(-)-(-)-(--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(e, gx)
(e, x)
≤ 1 +
tan pronto como g (U) y (e, x) > s3.
Prueba. Deja que N sea una métrica de Riemanniano invariante a la izquierda en el GN de nilshadow.
• (e, x)− • (e, gx) ≤ • (x, gx) ≤ • (x, g* x) + • (g* x, gx)
Sin embargo, en algunos casos C > 0, por la Proposición 4.6. Por otra parte, por
(1) tenemos gx = g* T (g)x. Por lo tanto
(e, x) − (e, gx) ≤ C/23370/N (x, g* x) + C/23370/N (x, T (g)x) + 2C
Para completar la prueba, aplicamos Lemmas 5.5 y 5.3 en el lado derecho de arriba.
Procedemos con la prueba de la Proposición 5.1. Let L ser el conjunto de todos g G
De tal manera que el punto (e, gx)/el punto (e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito en G. Claramente L es un
El subgrupo de G. Lemma 5.6 muestra que L está cerrada. La invarianza H de las garantías
que L contiene H. Además, la Proposición 5.2 implica que L es invariante bajo K.
En consecuencia, L contiene HK, el subgrupo cerrado generado por todos los k(h), k+K,
h. H. Esto, junto con la Proposición 5.2, concede una convergencia
integrand en (29). Convergencia de la integral sigue mediante la aplicación de Lebesgue
Teorema de convergencia dominado.
El hecho de que K es invariante bajo la multiplicación izquierda por H e invariante bajo
La precomposición por automorfismos de K asegura que K es invariante bajo *-
multiplicación izquierda por cualquier elemento h H, donde * es la multiplicación en el
Nilshadow GN. Por otra parte, comprobamos que T (g) • K si g • HK, por lo tanto HK es un
subgrupo de GN. Es claramente cocompacto en GN también (si F es compacto y HF = G
entonces H * FK = G donde FK es la unión de todos los k(F ), k • K).
Claramente K es apropiado y localmente limitado, así que para terminar la prueba, nosotros
Sólo hay que comprobar que K es geodésico asintóticamente. Por la invarianza H de la letra K) y de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia,
ya que H es cocompacto en G, es suficiente para exhibir un pseudogeodésico entre e
y un punto x â € H. Dejar x = z1 ·... ·zn con zi â € H y
(e, zi) ≤ (1) (e, x).
Fijar un dominio fundamental compacto F para H en HK para que la integración en (29)
sobre H\HK se sustituye por la integración sobre F. Luego para algunos constante CF > 0
tienen (g, gz) − ♥(e, gz) ≤ CF para g F y z H. Por otra parte, se deduce de
Proposición 5.2, Lemma 5.6 y el hecho de que HK
(32) l(e, gk(z)) ≤ (1 + ♥) · l(e, z)
para todos los g de F, k de K y tan pronto como z de G es lo suficientemente grande. Fijar s lo suficientemente grande
de modo que CF ≤ فارسىs y que (32) se mantenga cuando (e, z) ≥ s. Como ya se ha observado en
la discusión siguiente a la definición 4.1 (propiedad 4.2 (3)) podemos tomar la
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 31
que s
≤ (e, zi) ≤ s. A continuación, nCF ≤ nsl ≤ 3(e, x). Finalmente conseguimos para...................................................................................................................
x lo suficientemente grande
K(e, zi) ≤ CFn+ (1 + )
2o(e, x)
≤ CFn+ (1 + )
3K(e, x)
≤ 1 + 10 °) · K(e, x)
donde hemos utilizado la convergencia?K/ 1 que acabamos de probar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. El caso de los nilpotentes
En esta sección, probamos el Teorema 1.4 y sus corolarios expresados en el Intro-
la inducción para un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Básicamente seguimos a Pansu’s
argumento de [27], aunque nuestro enfoque difiere algo en su presentación.
A lo largo de la sección, el grupo Nilpotent Lie será denotado por N, y su Mentira
álgebra por n.
Que m1 sea cualquier subespacio vectorial de n de tal manera que n = m1 â € [n, n]. Dejemos que η1 el
proyección lineal asociada de n a m1. Dejar que H sea un subgrupo de cocompacto cerrado
de N. A cada pseudodistancia H-periódica en N asociamos una norma 0 en
m1 que es la norma cuya bola unidad se define como el casco convexo cerrado de todos
los elementos η1(h)/l(e, h) para todos los elementos h(h)}. En otras palabras,
(33) E := {x â € m1, â € € > 0 ≤ 1} = CvxHull
η1(h)
(e, h)
, h â â € TM â TM â TM â TM â TM â TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
El conjunto E es claramente un subconjunto convexo de m1 que es simétrico alrededor de 0 (desde
es simétrico). Para comprobar que E es de hecho la bola unitaria de la norma sobre m1 permanece
para ver que E está limitada y que 0 se encuentra en su interior. El primer hecho es el siguiente:
inmediatamente desde (23) y Ejemplo 2.3. Si 0 no se encuentra en el interior de E,
entonces E debe estar contenido en un subespacio adecuado de m1, contradiciendo el hecho de que
H es cocompacto en N.
Tomando grandes poderes hn, vemos que podemos reemplazar el conjunto H e} en el anterior
definición por cualquier barrio de infinito en H. Del mismo modo, es fácil ver que
se mantiene lo siguiente:
Proposición 6.1. Para s > 0 dejar Es ser el casco convexo cerrado de todos η1(x)/l(e, x)
con x N y x > s. A continuación E =
s>0Es.
Prueba. Debido a que es H-periódico, tenemos ♥(e, hn) ≤ n/23370/(e, h) para todos los n+N y h+H.
Esto muestra E â € TM
s>0Es. La inclusión opuesta se deriva fácilmente del hecho de que
Se encuentra a una distancia limitada de su restricción a H, es decir. a partir del punto 4.2 (1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora elegimos un conjunto de subespacios suplementarios (mi) comenzando con m1 como en
Párrafo 2.2. Esto define un nuevo producto de la Mentira * en N de modo que N = (N, *) es
estratificado. Entonces podemos considerar la métrica de Carnot-Carathéodory invariante *-izquierda
asociado a la norma 0 tal como se define en el párrafo 2.1 sobre el nilpotente estratificado
Grupo de mentiras N. En esta sección, probaremos el teorema 1.4 para grupos nilpotentes en
el siguiente formulario:
32 EMMANUEL BREUILLARD
Teorema 6.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en N y d- el Carnot-
métrica de caratheodory definida arriba, entonces como x tiende a infinito en N
(34) lim
(e, x)
d-(e, x)
Nótese que la variable de la izquierda es para el producto de la Mentira, pero no para la Mentira original.
producto en N.
Antes de ir más lejos, vamos a sacar algunas consecuencias simples.
(1) En el Teorema 6.2 podemos reemplazar a d(e, x) por d(e, x), donde d es la izquierda
métrica invariante del Carno-Carateosorio en N (en lugar de N
norma 0 (en contraposición a la norma d, que es ∗-invariante de izquierda). Por lo tanto, d y d son
asintótico. Esto se desprende de la combinación de Teorema 6.2 y Observación 2.1.
2) Observar que la elección de m1 fue arbitraria. Por lo tanto, dos Carnot-Carathéodory
métricas correspondientes a dos opciones diferentes de un subespacio suplementario m1
con la misma norma inducida en n/[n, n], son equivalentes asintóticamente (es decir, su
la relación tiende a 1), y de hecho isométrica (véase la Observación 2.1). Por el contrario, si dos
Las métricas Carnot-Carathéodory están asociadas al mismo subespacio suplementario
m1 y son equivalentes asintóticamente, deben ser iguales. Esto muestra que el
conjunto de todas las normas posibles sobre el espacio vectorial cociente n/[n, n] está en
el conjunto de todas las clases de equivalencia asintótica de las métricas Carnot-Carathéodory en
(3) Como otra consecuencia vemos que si un local limitado propio y asymp-
seudodistancia izquierda invariante toticalmente geodésica en N también es homogénea con
por lo que respecta al grupo de 1 parámetro (t)t (es decir, Entonces tiene que ser
de la forma "(x, y)" = "(e), "(x)"
−1y) donde d.o. es una métrica Carnot-Carathéodory en
6.1. Volumen asintótico. Teorema 6.2 también produce una fórmula para el asintótico
volumen de bolas de gran radio. Vamos a fijar una medida de Haar en N (por ejemplo
La medida Lebesgue sobre n da lugar a una medida Haar sobre N en virtud de la exp). Desde el día de la reunión.
es homogéneo, es sencillo calcular el volumen de un d-ball:
vol({x N, d(e, x) ≤ t}) = t
d(N)vol({x â € N, dâ € (e, x) ≤ 1})
donde d(N) =
i≥1 dim(C)
i(n)) es la dimensión homogénea de N. Para un pseu-
dodistancia como en la declaración de Teorema 6.2, podemos definir el vol asintótico
el volumen de la bola de unidad para el Carnot-Carathéodory asociado
métricas d...................................................................................................................................................................
AsV ol() = vol({x N, d(e, x) ≤ 1})
Entonces obtenemos como corolario inmediato del Teorema 6.2:
Corolario 6.3. Dejemos que sea pseudodistancia periódica en N. Entonces
td(N)
vol({x N, (e, x) ≤ t}) = AsV ol() > 0
Por último, si se trata de un grupo arbitrario nilpotente finitamente generado, tenemos que tomar
cuidado de los elementos de torsión. Forman un subgrupo finito normal T y aplican
Teorema 6.2 a /T, obtenemos:
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 33
Corolario 6.4. Let S ser un conjunto de generación simétrica finita de la bola y Sn
de radio n es la palabra métrica de S asociada a S, entonces
nd(N)
#Sn = #T ·
AsV ol(lS)
vol(N/)
donde N es el cierre de Malcev de • = •/T, el cociente libre de torsión de •, y dS
es la palabra pseudodistancia asociada a S, la proyección de S en.
Por otra parte, es posible ser un poco más preciso sobre AsV ol(lS). De hecho,
la norma 0 sobre m1 utilizado para definir el límite Carnot-Carathéodory distance d
asociado a S es una norma poliédrica simple definida por
x ≤ 1} = CvxHull (γ1(s), s S)
De manera más general, las siguientes reservas. Dejar que H sea cualquier subgrupo cerrado, cocompacto
de N. Elija una medida Haar en H para que volN (N/H) = 1. Rendimientos del teorema 6.2:
Corolario 6.5. Vamos a ser un compacto simétrico (es decir. Barrio de
la identidad, que genera H. Dejar 0 ser la norma en m1 cuya bola unidad es
CvxHull1()} y dejar que dŁ sea la correspondiente métrica Carnot-Carathéodory en
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces tenemos el siguiente límite en la topología de Hausdorff
(ln) = {g + N, d{e, g) ≤ 1}
volH(
nd(N)
= volN ({g N, d(e, g) ≤ 1})
6.2. Esquema de la prueba. Primero diseñamos algunos lemas estándar sobre la pieza...
aproximaciones prudentes de las vías horizontales (Lemmas 6.6, 6.7, 6.10). Entonces se muestra
(Lemma 6.11) que el producto original en N y el producto en el
grupo de la mentira calificada son asintóticos entre sí, es decir, si (?t)t es un 1-parámetro
grupo de dilaciones de N, luego después de la renormalización por 1
, el producto de O(t)
elementos que se encuentran en algún subconjunto limitado de N, está muy cerca de la renormalización
producto de los mismos elementos en el grupo de la Mentira graduada N. Esta es la razón por la que todos los com-
las aplicaciones debido al hecho de que N no puede ser calificado a priori y los
no ser automorfismos desaparecen cuando se mira la geometría a gran escala de la
grupo. Por último, observamos (Lemma 6.13), como se desprende de la propia definición de
la unidad de bola E para la norma límite 0, que cualquier vector en el límite de E,
se puede aproximar, después de volver a normalizar por 1
por algún elemento x â € TM N acostado en
un anillo fijo s(1 − ) ≤ (e, x) ≤ s(1 + ). Esto nos permite afirmar que cualquier
La geodésica-cuasi da lugar, después de la renormalización, a una di-geodésica (esto da la
límite inferior en el teorema 6.2). Y viceversa, que cualquier d-geodésico puede ser ap-
proximalmente uniformemente por algunos geodésicos renormalizados
encuadernado en Teorema 6.2).
34 EMMANUEL BREUILLARD
6.3. Lemas preliminares.
Lemma 6.6. Que G sea un grupo de Mentira y que e sea una norma euclidiana sobre la Mentira
álgebra de G y de(·, ·) la métrica izquierda invariante Riemanniana asociada en G.
Que K sea un subconjunto compacto de G. Luego hay una constante C0 = C0(de,K) > 0
De modo que cuando de(e, u) ≤ 1 y x, y
de(xu, yu)− de(x, y) ≤ C0de(x, y)de(e, u)
Prueba. La prueba se reduce al caso cuando u y x-1y están en un barrio pequeño
de e. Entonces la desigualdad se reduce a lo siguiente:
algunos c > 0 y cada X,Y en Lie(G). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 6.7. Dejar G ser un grupo de la mentira, dejar ser alguna norma en el álgebra de la mentira de
G y dejar de(·, ·) ser una métrica riemanniana invariante izquierda en G. Entonces para cada
L > 0 hay una constante C = C(de, , L) > 0 con la siguiente propiedad.
Supóngase: [0, 1] → G son dos caminos lisos en el grupo de la Mentira G
con â € 1(0) = â € 2(0) = e. Let â €
i • Lie(G) ser el vector tangente tirado hacia atrás en el
identidad por una traducción a la izquierda de G. Asumir que supta[0,1]
1 t) ≤ L, y que
1(t)−
2 t) ° dt ≤ °. Entonces
≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > > > > > 1 > 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > > > > >
Prueba. La función f(t) = de(1(t), 2(t)) es lisa a trozos. Para el pequeño dt nosotros
puede escribir, utilizando Lemma 6.6
f(t+ dt)− f(t) ≤ de(1(t)
1 t)dt, 1 t)
2(t)dt) + de(1(t)
2 t)dt, 2 t)
2(t)dt)− f(t) + o(dt)
1(t)− 2(t)
DT+ C0f(t)
2(t)dt
+ o(dt)
≤ (t)dt +C0Lf(t)dt+ o(dt)
en los que Ł(t) = 1(t)−
2 t)oe. En otras palabras,
f ′(t) ≤ (t) + C0Lf(t)
Dado que f(0) = 0, el lema de Gronwall implica que f(1) ≤ eC0L
(s)e−C0Lsds ≤ C.
A partir de ahora, tomaremos a G como el estratificado grupo de Nilpotent Lie, y
de(·, ·) denotará una métrica de Riemanniana invariante izquierda en N, mientras que d(·, ·) es una izquierda
métrica de Carnot-Carateodory Finsler invariante en N.o asociado a alguna norma
en m1.
Observación 6.8. Hay c0 > 0 tal que c
0 de(e, x) ≤ d(e, x) ≤ c0de(e, x)
r en a
barrio de e. Por lo tanto, en la situación del lema se obtiene dâ € (â € 1, â € 2(1)) ≤
r para alguna otra constante C1 = C1(L, d.o., de).
Lemma 6.9. Let N â € N y dN (x, y) ser la función en Nâ € definido en el
de la siguiente manera:
dN (x, y) = inf{
(u)
HPL(N), (0) = x, ((1) = y}
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 35
donde HPL(N) es el conjunto de trayectorias horizontales que son lineales a trozos con en
la mayoría de los N posibles valores para. A continuación, tenemos dN → de forma uniforme en compacto
subconjuntos de N.O.
Prueba. Tenga en cuenta que se desprende del teorema de Chow (p. ej. Véase [25] o [19]) que allí
existe K0 â € N tal que A := supdâ(e,x)=1 dK0(e,x) <. Por otra parte, ya que pieza-
los caminos lineales sabios son densos en L1, sigue por ejemplo de Lemma 6.7 que para
cada x fijo, dn(e, x) → d•(e, x). Tenemos que demostrar que dN (e, x) → d(e, x) uni-
Formalmente en x satisfaciendo d.(e, x) = 1. Por contradicción, supongamos que hay una secuencia
(xn)n de tal manera que, en algunos casos, se destinen a la categoría D(e, xn) = 1 y a la categoría dn(e, xn) ≥ 1 + 0. Podemos
asumir que (xn)n converge para decir x. Dejar que yn = x
−1 *xn y tn = d(e, yn). Entonces
dK0(e, yn) = tndK0(e, 1
(yn)) ≤ Atn. Así dn(e, xn) ≤ dn(e, x) + dn(e, yn) ≤
dn(e, x) + Atn tan pronto como n ≥ K0. Como n tiende a........................................................................... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Este lema indica la siguiente notación. En el caso de los países de la Europa central y oriental, el número de países de la Europa central y oriental será el más elevado de los países de la Europa central y oriental.
primer número entero de tal manera que 1 ≤ dN(e, x) ≤ 1 + para todas las x con d(e, x) = 1. Entonces nosotros
tener:
Lemma 6.10. Por cada x â € Nâ € con dâ € (e, x) = 1, y todos â € > 0 existe un
ruta : [0, 1] → N.O. en HPL(N.O.) con velocidad unitaria (es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 1) tales que (0) = e
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
′ tiene como máximo una discontinuidad en cualquier subintervalo de
[0, 1] de longitud.
Prueba. Sabemos que hay una ruta en HPL(NŁ) que conecta e a x con la longitud
l ≤ 1 + فارسى. Reparar el camino para que tenga velocidad de unidad, obtenemos un camino
•0 : [0, l] → N.O. en HPL(N.O.) con d.O.(x, +0(1)) = d.O.(+0(l), +0(1)) ≤. La deriva...
tivo 0 es constante en a lo sumo N♥ diferentes intervalos dicen [ui, ui+1). Quitemos
todos estos intervalos de longitud ≤ r/N, fundiéndolos en un intervalo adyacente
y vamos a cambiar el valor de 0 en estos intervalos al valor en el adja-
Intervalo de céntimos (no importa si elegimos el intervalo a la izquierda o en el
a la derecha). Obtenemos una nueva ruta : [0, 1] → N
Tal que tiene a lo sumo una discontinuidad en cualquier subintervalo de [0, 1] de longitud
........................................................................................................................................................................................... Además
(t)− 0(t)
r. Por Lemma 6.7 y Observación 6.3, nosotros
que tengan, por lo tanto, ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1)
Lemma 6.11 (Aproximación horizontal de senderos). Que x*y denote la
producto dentro del grupo estratificado Lie N y x · y el producto ordinario en N.
Dejar n • N y t ≥ n. A continuación, para cualquier subconjunto compacto K de N, y cualquier x1,..., xn
elementos de K, tenemos
de(l) 1
(x1 ·... · xn),
(x1 ∗... ∗ xn)) ≤ c1
de(l) 1
(x1 ∗... ∗ xn),
(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c2
36 EMMANUEL BREUILLARD
donde c1, c2 dependen de K y de solamente.
Prueba. Dejar ser una norma en el álgebra de la mentira de N. Para k = 1,..., n dejar zk =
x1 ·... ·xk−1 y yk = xk+1 *...*xn. Puesto que todos los xis pertenecen a K, se deriva de (24)
que tan pronto como t ≥ n, todos los
zk) y 1
(yk) para k = 1,..., n permanecer en un conjunto limitado
dependiendo sólo de K. Comparando (12) y (11), vemos que cuando y = O(1)
y 1
(x) = O(1), tenemos
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
xy)− 1
x ∗ y)
= O(
Por otra parte, a partir de (12) es fácil verificar ese derecho *-multiplicación por un
elemento limitado es Lipschitz para y la constante Lipschitz se limita localmente.
Se deduce que hay una constante C1 > 0 (dependiendo sólo de K y ) tales
que para todos los k ≤ n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(zk · xk) ∗ yk)− 1
(zk * xk * yk)
≤ C1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(zk · xk)− 1
(zk ∗ xk)
Aplicando n veces la relación (35) con x = x1 ·... · xk−1 e y = xk, finalmente
obtener 1
(x1 ·... · xn)− 1
(x1 ∗... ∗ xn)
= O(
) = O(
donde O() depende sólo de K. Por otro lado, utilizando (11), es otro simple
verificación para comprobar que si x, y se encuentran en un conjunto limitado, entonces 1
de(x, y) ≤ â € ~ x− yâ €
≤ c2de(x, y) para algunas constantes c2 > 0. La primera desigualdad sigue.
Para la segunda desigualdad, aplicamos Lemma 6.7 a las rutas de salida
en e y con derivado igual a [ k
, k+1
) a no 1
xk) en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n».
η1(xk)
para 2 libras esterlinas.
Lo conseguimos.
de(l) 1
(x1 ∗... ∗ xn),
(η1(x1)*...* η1(xn)) = O(
Observación 6.12. De la Observación 6.3 vemos que si reemplazamos de por d
Lemma, obtenemos el mismo resultado con 1
sustituida por t−
Lemma 6.13 (Aproximación en el grupo abelianizado). Recuerde que 0 es el
norma sobre m1 definida en (33). Para cualquier فارسى > 0, existe s0 > 0 tal que para cada
s > s0 y cada v â € m1 de tal manera que â € € TM = 1, existe h â € H tal que
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -)
y
η1(h)
(e, h)
Prueba. Deja que se arregle فارسى > 0. Considerando una red finita en E, vemos que existe
un subconjunto simétrico finito {g1,..., gp} de Häe} de tal manera que, si consideramos el cerrado
convex casco de F = {fi = η1(gi)/l(e, gi)i = 1,..., p} y la norma asociada
en m1, entonces 0 ≤ ≤ (1 + 2) 0. Hasta la reducción de F si es necesario, podemos
asumir que fi = 1 para todos i’s. También podemos suponer que el fi de generar m1 como
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 37
un espacio vectorial. La esfera {x, x = 1} es un poliedro simétrico en m1 y a
cada una de sus facetas corresponde d = vértices dim(m1) yace en F y forma un vector
base de m1. Let f1,..., fd, digamos, ser tales vértices para una faceta dada. Si x m1 es de la
forma x =
i=1 ♥ifi con ♥i ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ d entonces vemos que x =
i=1 ♥i,
porque el casco convexo de f1,..., fd es precisamente esa faceta, por lo tanto se encuentra en la esfera
{x, x = 1}.
Ahora vamos a v m1, v0 = 1, y vamos a > 0. La televisión de media línea, t > 0, llega a la
esfera {x, x = 1} en un punto. Este punto pertenece a alguna faceta y allí
son d elementos linealmente independientes de F, digamos f1,..., fd, los vértices de esa faceta,
tal que este punto pertenece al casco convexo de f1,..., fd. El punto sv entonces miente
en el cono convexo generado por η1(g1),..., η1(gd). Por otra parte, hay una constante
Índices de las emisiones de gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero, según se indica en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]
max1≤i≤p l(e, gi)) de forma que
sv −
Ninnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
para algunos enteros no negativos n1,..., nd dependiendo de s > 0. Por lo tanto
n(e, gi) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Ninnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(sv + CŁ)
≤ 1 + 2
≤ 1 + 3
donde la última desigualdad se mantiene tan pronto como s > C
Ahora vamos a h = g
1 ·... · g
d H. Tenemos η1(h) =
i=1 niη1(gi)
(e, h) ≥ 1(h)0 ≥ s−
Además
(e, h) ≤
n(e, gi) ≤ s(1 + 3
Cambiando a "decir" a "decir"
y, por ejemplo, el número de personas menores de 1 año
, obtenemos el resultado deseado con s0() =
max1≤i≤p l(e, gi). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6.4. Prueba de Teorema 6.2. Tenemos que mostrar que como x→ • en N
1 ≤ lim
(e, x)
d-(e, x)
≤ lim
(e, x)
d-(e, x)
Primera nota que es suficiente para probar los límites para x â € ¢ H. Esto sigue de
(4.2) (1).
Comencemos con el límite inferior. Nos fijamos en la definición de 0 y s = s()
de una métrica geodésica asintótica (véase el punto 21). Sabemos por 4.2 (3) y (4) que
tan pronto como se encuentre x1,..., xn en H con s ≤ ♥(e, xi) ≤ 2s tales que
xi y
(e, xi) ≤ (1 + Let t = dŁ(e, x), entonces n ≤
(e, x),
por lo tanto n ≤ C
t donde C es una constante que depende únicamente de C (véase el punto 23). Podemos
38 EMMANUEL BREUILLARD
a continuación, aplicar Lemma 6.11 (y la observación siguiente) para obtener, como t ≥ n tan pronto como
s() ≥ C,
d-(l)-(l)-(l)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)
(x), 1
(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c
Pero para cada i tenemos 1(xi)+0 ≤ ♥(e, xi) por definición de la norma, por lo tanto
t = d(e, x) ≤
1(xi)+0(x, π1(x1) ∗... 1(xn)) ≤ (1+
Puesto que Ł fue arbitrario, dejando t→ ♥ obtenemos
(e, x)
d-(e, x)
Pasamos ahora al límite superior. Let t = dŁ(e, x) y فارسى > 0. De acuerdo con
Lemma 6.10, hay un camino lineal horizontal por partes (u)}u[0,1] con unidad
velocidad de tal modo que d() 1
(x), • 1)) ≤ C2 y sin intervalo de longitud ≥
contiene
más de un cambio de dirección. Dejad que Lemma 6.13 dé s0() y asumid
t > s0(
r)N.O.
r. Dividimos [0, 1] en n subintervalos de longitud u1,..., de tal manera que
es constante igual a yi en la subintervalo i-th y s0(
r) ≤ tui ≤ 2s0
r). Nosotros
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lemma 6.13 produce puntos xi â € H tales que
yi −
η1(xi)
≤ ♥
y (e, xi) [(1 −
r)tui, (1 +
r)tui] (obsérvese que tui > s0(
r)). Vamos a ser el
trazo lineal a partir de piezas [0, 1] → No con las mismas discontinuidades
valor yi se sustituye por
η1(xi)
. Luego, según Lemma 6.7, d...... (....................................................................................................................................................................................................................................................
Desde el punto de vista de la letra e) del punto xi) ≤ 4s0
r) para cada i, podemos aplicar Lemma 6.11 (y la observación
y ver que si y = x1 ·... · xn,
d()(1), 1
(y)) ≤ c′1()t
Por lo tanto, d() 1
(x), 1
(y)) ≤ (C2+C)c
1(l)t
r y ♥(e, y) ≤
(e, xi) ≤ 1
Sin embargo, el valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto
(x−1y)) + C ′ ≤ t(Cd
(x), 1
(y)) + o............................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto
(e, x) ≤ t+ o(t)
Observación 6.14. En el último argumento usamos el hecho de que
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(xu)− 1
(x ∗ u)
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
) si 1
x) y 1
(u) están limitados, con el fin de obtener para y = xu,
d-(e, 1-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)
(u)) ≤ d
(x), 1
(xu)) + d
(xu), 1
(x ∗ u))
≤ d.o.p.
(x), 1
(y)) + o(1).
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 39
7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados
En esta sección, probamos el Teorema 1.2 y completamos la prueba del Teorema 1.4
y sus corolarios. Comenzamos con lo último.
Prueba de Teorema 1.4. Es la combinación de la Proposición 5.1, que reduce la
problema a los grupos nilpotent Lie, y Teorema 6.2, que trata el caso nilpotent.
Sólo queda por justificar la última afirmación de que el d- es invariante en virtud de la T (H).
Ya queK = T (H) estabilizam1 (véase Lemma 3.12 para la definición dem1) y actúa
por automorfismos de la estructura nilpotente (nilshadow) (Lemma 3.5), dada la
k K, la métrica dŁ(k(x), k(y)) no es otra cosa que el invariante izquierdo subFinsler
métrica en el nilshadow asociado a la norma â € € TM k(v)â € para v â € m1 (si â € € ~ € ~ € ~ ~ denota
la norma asociada a d.o.p.).
Sin embargo, d.o. es asintóticamente invariante bajo K, debido a la Proposición 5.1.
Es decir, dÃ3(e, k(x))/dÃ3(e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito. Por último, d(e, v) =
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Dos normas asintóticas en un vector
El espacio siempre es igual. De ello se deduce que las normas sobre m1 coinciden entre sí.
Por lo tanto, de la letra e), k (x) = d(e, k (x)) para todas las x â € S, como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Prueba del corolario 1.8. En primer lugar, algunas observaciones iniciales (véase también la Observación 2.1). Si d es
una métrica subFinlser invariante izquierda en un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado
inducido por una norma sobre un subespacio suplementario m1 del conmutador
subálgebra, entonces se deriva de la definición misma de las métricas subFinsler (ver
Párrafo 2.1) que el 1 de enero es 1-Lipschitz entre el grupo Lie y la abelianización
de ella dotada de la norma, es decir, 1(x) ≤ d(e, x), con la igualdad si x m1.
A partir de esto y considerando la definición de la norma límite en (33), concluimos
que coincide con la norma límite de d. En particular el teorema 6.2 implica
que d es asintótico a la métrica invariante ∗-izquierda subFinsler d
la misma norma en el grupo de Lie calificado (No,*).
Ahora podemos probar el corolario 1.8. Por la observación anterior, el límite métrica d
en la nilshadow graduada de S es asintótica a la métrica subFinsler d inducida
por la misma norma, en el mismo (K-invariante) subespacio suplementario m1
del subalgebra conmutador de la nilshadow, y que se deja invariante para
la estructura de nilshadow en S. Sin embargo, se deduce de Teorema 1.4 que d
y la norma son K-invariantes. Esto implica que d también es invariante a la izquierda
con respecto a la estructura de grupo de Lie original de S. De hecho, por (1), podemos
escribir d(gx, gy) = d(g* (T (g)x), g* (T (g)y)) = d(T (g)x, T (g)y) = d(x, y), donde *
denota esta vez la estructura del producto nilshadow. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Prueba del corolario 1.7. Esto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ de-
señala el producto nilshadow clasificado. Si ∗ denota la estructura del grupo de nilshadow,
entonces se desprende de Teorema 6.2 y la observación que acabamos de hacer en la prueba de
Corollary 1.8 (véase también la Observación 2.1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
7.1. Prueba de Teorema 1.2. Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio
crecimiento. Demostraremos que G tiene un subgrupo K normal compacto de tal manera que G/K
40 EMMANUEL BREUILLARD
contiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que se puede realizar como una co-
subgrupo compacto de un grupo de tipo Solvable Lie conectado y simplemente conectado
(R) (es decir, de crecimiento polinomio). La prueba seguirá en varios pasos.
(a) Primero mostramos que hasta la modificación por un subgrupo compacto normal, podemos
asumir que G es un grupo de mentiras cuyo componente conectado de la identidad no tiene
subgrupo normal compacto. De hecho, se deriva del refinamiento de Gromov por parte de Losert
teorema ([24] Teorema 2) que existe un subgrupo compacto normal K de G
tal que G/K es un grupo de mentiras. Así que ahora podemos asumir que G es un grupo de mentiras (no
necesariamente conectados) de crecimiento polinomio. El componente conectado G0 de G
es un grupo de Lie conectado de crecimiento polinomio. Recordemos el siguiente hecho clásico:
Lemma 7.1. Cada grupo de Lie conectado tiene un compacto compacto único normal
subgrupo. Por singularidad debe ser un subgrupo de Lie característico.
Prueba. Claramente si K1 y K2 son subgrupos normales compactos, entonces K1K2 es de nuevo
un subgrupo compacto normal. Considerando G/K, donde K es una normal compacta
subgrupo de la dimensión máxima, podemos suponer que G no tiene compacta normal
subgrupo de dimensión positiva. Pero cada subgrupo normal finito de un
El grupo es central. Por lo tanto, el grupo cerrado generado por todos los subgrupos normales finitos es
contenido en el centro de G. El centro es un subgrupo abeliano de Lie, es decir. isomórfico
a un producto de un espacio vectorial Rn, un toro Rm/Zm, un grupo abeliano libre Zk y un
grupo abeliano finito. En tal grupo, claramente hay un compacto máximo único
subgrupo (a saber, el producto del grupo finito y el toro). También es normal,
y máximo en G.
El subgrupo normal compacto máximo de G0 es un subgrupo de Lie característico
de G0. Por lo tanto, es normal en G y podemos modificar por ella. Por lo tanto, tenemos
muestra que todos los grupos compactos locales (generados compactamente) con polinomios
crecimiento admite un cociente por un subgrupo normal compacto, que es un grupo de mentira G
cuyo componente conectado de la identidad G0 tiene crecimiento polinomio y con-
no contiene ningún subgrupo normal compacto. Ahora vamos a demostrar que un cierto co-compacto
subgrupo de G tiene la propiedad de inserción de Teorema 1.2.
b) En segundo lugar, mostramos que, hasta pasar a un subgrupo de cocompacto, podemos
asumir que el componente G0 conectado es solvable. Para este propósito, que Q sea
el radical solvable de G0, es decir, el subgrupo máximo conectado normal de Lie
de G0. Tenga en cuenta que es un subgrupo característico de G0 y, por lo tanto, normal en G.
Además, G0/Q es un grupo de mentiras semisimple. Dado que G0 tiene crecimiento polinomio,
De ello se desprende que G0/Q debe ser compacto. Considerar la acción de G por conjugación en
G0/Q, es decir, el mapa : G→ Aut(G0/Q). Puesto que G0/Q es compacto semisimple,
su grupo de automorfismos es también un grupo compacto de Lie. En particular, el núcleo
es un subgrupo cocompacto de G.
El componente conectado de la identidad de Aut(G0/Q) es en sí mismo semisimple y
por lo tanto tiene centro finito. Sin embargo, la imagen del componente conectado (ker فارسى)0
de que en G0/Q módulo Q es central. Por lo tanto, debe ser trivial. Tenemos
se muestra que (ker)0 está contenido en Q y por lo tanto es solvable. Por otra parte (ker )0
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 41
no tiene un subgrupo normal compacto, porque de lo contrario su compacto normal máximo
El subgrupo, que es característico en (ker)0, sería normal en G (note que (ker)0
es normal en G).
Cambio de G en el subgrupo de cocompacto kers, por lo tanto, podemos asumir que
G0 es solvable, de crecimiento polinomio, y no tiene una sub-
grupo. El grupo G/G0 es discreto, generado finitamente, y tiene crecimiento polinomio.
Por el teorema de Gromov, debe ser prácticamente nilpotente, en particular virtualmente poli-
cíclico.
(c) Finalmente demostramos la siguiente proposición.
Proposición 7.2. Dejar G ser un grupo de mentira tal que su componente conectado de la
identidad G0 es solvable, no admite subgrupo normal compacto, y con G/G0 virtu-
Ally policíclico. Entonces G tiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que puede ser incrustado
como un subgrupo de cocompacto cerrado de una mentira solvable conectada y simplemente conectada
grupo.
La prueba de esta proposición es principalmente una aplicación de un teorema de H.C.
Wang, que es una amplia generalización del teorema integrador de Malcev para la torsión
grupos nilpotentes generados finitamente libres. El teorema de Wang [36] declara que cualquier S-
grupo puede ser incrustado como un subgrupo de cocompacto cerrado de un real simplemente conectado
Grupo de Lie Solvable lineal con sólo finitamente muchos componentes conectados. Wang
define un grupo S como cualquier verdadero grupo de Lie G, que admite un subgrupo normal
Un tal que G/A se genera finitamente abelian y A es un nilpotente libre de torsión
Grupo de mentiras cuyo grupo de componentes conectados se genera finitamente. En particular
cualquier grupo S tiene un índice finito (de ahí cocompacto) subgrupo que se incrusta como un
subgrupo de cocompacto en un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado.
Para probar la Proposición 7.2, basta, por lo tanto, establecer que G tiene un
cocompacto S-group.
Recordamos en primer lugar el siguiente simple hecho:
Lemma 7.3. Cada subgrupo cerrado F de un grupo de Lie solvable conectado S es
topológicamente generado finitamente.
Prueba. Argumentamos por inducción sobre la dimensión de S. Claramente hay una epi-
morfismo η : S → R. Por hipótesis de inducción F ker η es topológicamente finita
generado. La imagen de F es un subgrupo de R. Sin embargo, cada subgrupo de R
contiene uno o dos elementos, cuyo subgrupo que generan tiene el mismo
cierre como subgrupo original. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
A continuación mostramos la existencia de un nilradical.
Lemma 7.4. Que G sea como en la Proposición 7.2. Entonces G tiene un máximo único
subgrupo normal de nilpotente GN.
Prueba. El subgrupo generado por cualquiera de los dos subgrupos normales de
grupo dado es en sí mismo nilpotente (lema de Fitting, ver, por ejemplo. [30][5.2.8]). Dejad en paz a GN.
el cierre del subgrupo generado por todos los subgrupos nilpotent de G. Necesitamos
para demostrar que la GN es nilpotente. Para esto es claramente suficiente para demostrar que es
42 EMMANUEL BREUILLARD
topológicamente generado finitamente (porque cualquier subgrupo de GN generado finitamente es
nilpotente por la observación que acabamos de hacer). Puesto que G/G0 es virtualmente policíclico, cada
El subgrupo se genera finitamente ([29][4.2]). Por lo tanto, es suficiente para demostrar que
GN â € ¢ G0 se genera topológicamente finitamente. Esto sigue de Lemma 7.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Incidentemente, observamos que el componente conectado de la identidad (GN )0
coincide con el nilradicalN de G0 (es el máximo normal nilpotente conectado
subgrupo de G0.
Ahora afirmamos lo siguiente:
Lemma 7.5. El grupo cociente G/GN es prácticamente abeliano.
La prueba de este lema se inspira en la prueba del hecho, debido a Malcev,
que los grupos policíclicos tienen un subgrupo de índice finito con conmutador nilpotente
subgrupo (por ejemplo, Véase [30] [15,1.6]).
Prueba. Demostraremos que G tiene un índice finito subgrupo normal cuyo conmutador
El subgrupo es nilpotente. Esto implica claramente el lema, para este subgrupo nilpotente
será normal, por lo tanto, contenido en GN.
Primero observamos que el grupo G admite una serie normal finita Gm ≤ Gm−1 ≤
. .. ≤ G1 = G, donde cada Gi es un subgrupo normal cerrado de G tal que Gi/Gi+1
es finito, o isomórfico a Zn, Rn o Rn/Zn. Esto lo ve elegir uno de los
Gi es el componente G0 conectado y luego tratar G/G0 y G0 por separado.
El primero sigue de la definición de un grupo policíclico (G/G0 tiene una
subgrupo policíclico de índice finito). Mientras que para G0, observe que su N nilradical es
un grupo de nilpotent Lie conectado y simplemente conectado y admite tal serie
de los subgrupos característicos (escoger la serie descendente central), y G0/N es un
abeliano conectado grupo Lie, por lo tanto isomórfico al producto directo de un toro
n/Zn y un grupo vectorial Rn. La parte del toro es característica en G0/N, de ahí su
la preimagen en G0 es normal en G.
El grupo G actúa por conjugación en cada cociente parcial Qi := Gi/Gi+1. Esto
da un mapa G → Aut(Qi). Ahora tenga en cuenta que para probar nuestro lema, es
suficiente para demostrar que para cada i, hay un subgrupo índice finito de G
El subgrupo de mutantes mapea a un subgrupo de nilpotente de Aut(Qi). De hecho, la toma de la
intersección de esos subgrupos índice finito, obtenemos un índice finito subgrupos normales
cuyo subgrupo conmutador actúa nilpotently en cada Qi, por lo tanto es en sí mismo nilpotent
(suficientes conmutadores desaparecerán).
Ahora Aut(Qi) es finito (si Qi es finito), o isomórfico a GLn(Z) (en caso de que
Qi es o bien Z
n o Rn/Zn) o a GLn(R) (cuando Qi R
n). La imagen de G en
Aut(Qi) es un subgrupo solvable. Sin embargo, cada subgrupo solvable de GLn(R)
contiene un subgrupo índice finito, cuyo subgrupo conmutador es unipotenciante (de ahí que
nilpotente). Esto sigue del teorema de Kolchin, por ejemplo, que un conectado
subgrupo algebraico solvable de GLn(C) es triangularizable. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En la secuela asumimos que G/G0 es policíclico libre de torsión. Es legítimo.
para hacerlo en la prueba de la Proposición 7.2, porque cada grupo virtualmente policíclico
tiene un subgrupo policíclico libre de torsión de índice finito (véase, por ejemplo, [29][Lemma 4.6]).
Ahora afirmamos lo siguiente:
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 43
Lemma 7.6. GN está libre de torsión.
Prueba. Dado que G/G0 está libre de torsión, es suficiente para probar que GN-G0 es torsión-
libre. Sin embargo, el conjunto de elementos de torsión en GN forma un subgrupo de GN (si x, y son
torsión, entonces xy es demasiado porque â € TM x, yâ € es nilpotente). Claramente es una característica
subgrupo de GN. Por lo tanto, su intersección con G0 es normal en G0. Tomando el
cierre, obtenemos un nilpotente cerrado subgrupo normal T de G0 que contiene un
Denso conjunto de elementos de torsión. Recordemos que G0 no tiene un subgrupo compacto normal.
De esto se deduce rápidamente que T es trivial, porque primero debe ser discreto (la
componente conectado T0 es compacto y normal en G0), por lo tanto finitamente generado
(por Lemma 7.3), por lo tanto hecho de elementos de torsión. Pero una torsión finitamente generada
El grupo nilpotente es finito. Una vez más, puesto que G0 no tiene un subgrupo normal compacto, T debe
ser trivial, y GN es libre de torsión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora observe que el grupo de componentes conectados de GN, a saber GN/(GN )0
se genera finitamente. De hecho, puesto que G/G0 se genera finitamente (como cualquier policíclico
grupo), es suficiente para demostrar que (G0 GN )/(GN )0 se genera finitamente, pero esto
se desprende del hecho de que G0-GN se genera topológicamente finitamente (Lemma 7.3).
Ya casi hemos terminado. Tenga en cuenta que G se genera topológicamente finitamente (Lemma
7.3), por lo tanto, también lo es G/GN. Por Lemma 7.5 G/GN es prácticamente abeliano, por lo que ha
un índice finito subgrupo normal isomórfico a Zn × Rm. De ello se deduce que G/GN
tiene un subgrupo de cocompacto isomórfico a un grupo abeliano libre Zn+m. Por lo tanto, después
cambiar G por un subgrupo de cocompacto, obtenemos que G es una extensión de GN (a
grupo de mentira sin torsión nilpotente con grupo finitamente generado de com-
ponents) por un grupo abeliano libre finitamente generado. Por lo tanto, es un grupo S en el
terminología de Wang [36]. Aplicamos el teorema de Wang y esto termina la prueba de
Proposición 7.2.
(d) Ahora podemos concluir la prueba del Teorema 1.2. Por a) y b)
un cociente por un grupo compacto que admite un subgrupo de cocompacto satisfactorio
las suposiciones de la Proposición 7.2. Por lo tanto, para concluir la prueba sólo queda
para verificar que el grupo simplemente conectado Solvable Lie en el que un co-compacto
El subgrupo de incrustaciones G/K tiene crecimiento polinomio (es decir, es de tipo (R)). Pero esto
sigue del siguiente lema (véase [21][Thm. I.2]).
Lemma 7,7. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Entonces G tiene crecimiento polinomio si
y sólo si algunos (resp. an) subgrupo cocompacto de la misma tiene crecimiento polinomio.
Prueba. Primero se comprueba que G se genera compactamente si y sólo si algunos (resp.
an) subgrupo de cocompacto es. Esto es por el mismo argumento que muestra que
subgrupos índice finitos de un grupo finito generado se generan finitamente. In
en particular, si es un conjunto de generación simétrica compacta de G y H es un co-compacto
subgrupo, entonces no hay n0 â € N tal que â €
n0H = G. Entonces H â ¬ 3n0 genera
Si G tiene crecimiento polinomio y H es cualquier subgrupo cerrado de generación compacta,
entonces H tiene crecimiento polinomio. En efecto (véase [21][Tm I.2]), si
pact generating set para H, y K un barrio compacto de la identidad en G,
44 EMMANUEL BREUILLARD
volG(K)volH(
H) ≤ volH(KK
−1 H)volG(
Esta desigualdad sigue integrando sobre una medida Haar izquierda de G la función
(x) :=
−1x)dh, donde dh es una medida Haar izquierda en H. Esta integral
es igual al lado izquierdo de la ecuación mostrada arriba, mientras que es puntual
limitado por volH(xK
−1 H) dentro de HK y por cero fuera de HK.
En la otra dirección, si H tiene crecimiento polinomio, entonces G también tiene, porque
se puede escribir lán lán lán HK para un conjunto de generación compacta lán H de H y algunos
barrio compacto K de la identidad en G (ver Proposición 4.4). Entonces el
resultado de la siguiente desigualdad:
volH(lH)volG(l
HK) ≤ volH(
H )volG(
H K),
que es una consecuencia directa del hecho de que la función
(x) :=
(h−1x)dh,
donde dh es una medida izquierda Haar onH, satisface
(x)dx = volH(
H )volG(
por una parte y está limitada abajo por volH(
HK en el
otra mano. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Tenga en cuenta que la prueba anterior sería un poco más fácil si ya sabíamos que ambos
G y H eran unimodulares, en cuyo caso G/H tiene una medida invariante. Pero
sabemos esto sólo a posteriori, porque la condición de crecimiento polinomio implica
unimodularidad ([21]).
Consideraciones similares muestran que G tiene crecimiento polinomio si y sólo si G/K
tiene crecimiento polinomio, dado cualquier subgrupo K compacto normal (p. ej. Véase [21].
Terminamos este párrafo con una observación y un ejemplo, que mencionamos en
la Introducción.
Observación 7.8 (Los subgrupos discretos son prácticamente nilpotentes). Supongamos que..........................................................................................................................
subgrupo de un grupo de Lie solvable conectado de tipo (R) (es decir, de crecimiento polinomio).
A continuación, es prácticamente nilpotente. De hecho, un argumento similar al de Lemma 7.3 muestra
que cada subgrupo de... se genera finitamente. De ello se deduce que es policíclico. ¿Cómo...?
nunca Wolf [37] demostró que los grupos policíclicos con crecimiento polinomio son virtualmente
Nilpotente.
Ejemplo 7.9 (Un grupo sin subgrupo de cocompacto nilpotente). Deja que G sea el
Grupo de Lie Solvable conectado G = R (R2 × R2), donde R actúa como uno denso-
subgrupo de parámetros de SO(2,R) × SO(2,R). Entonces G es de tipo (R). No tiene
subgrupo compacto. Y no tiene ningún subgrupo de cocompacto nilpotente. De hecho, supongamos que H
es un subgrupo cerrado de cocompacto nilpotente. Entonces tiene un centro no trivial. Por lo tanto
hay un elemento de no identidad cuyo centralizador es co-compacto en G. Sin embargo un
simple examen de los posibles centralizadores de elementos de G muestra que ninguno
de ellos es cocompacto.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 45
7.2. Prueba del corolario 1.6 y el teorema 1.1. Deja que G sea una arbitraria a nivel local
grupo compacto de crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en G.
Reclamación 1: El corolario 1.6 se refiere a un subgrupo cocompacto H de G, si y únicamente
si se mantiene para G. Por Lemma 7.7, los grupos G y H son unimodulares, y por lo tanto
G/H lleva un radón G-invariante medida volG/H, que es finito ya que H es co-
compacto. Ahora deja que F sea un dominio Borel fundamental limitado para H dentro de G. Y
que se haga la pseudodistancia periódica en G inducida por la restricción de H, que
es.(x, y) :=.(hx, hi) donde hx es el elemento único de H de tal manera que x • hxF. Por
4.2 Los apartados 1 y 4, los apartados 1 y 4 y los apartados 1 y 2 se encuentran a una distancia limitada entre sí. En particular,
Bl(r-C) Bl(r) Bl(r) Bl(r+C). Por lo tanto, si el límite (3) se mantiene para.........................................................................................................................................................................................................................................................
- Con el mismo límite. No obstante, en los casos en que se trate de Bl(r) = {x) G, {e, hx) ≤ r} = Bl(r) F
Por lo tanto, volG(Bl(r)) = volH(Bl(r)) · volG/H(F).
Por 4.2 (4), H es una pseudodistancia periódica en H. Así que el resultado se mantiene para (H, H)
si y sólo si se mantiene para (G, l). Por el contrario, si.................................................................................................................................................
en H, entonces?0(x, y) :=?0(hx, hi) es una pseudodistancia periódica en G, por lo tanto de nuevo
volG(Bl0(r)) = volH(Bl0(r)) · volG(F) y el resultado se mantendrá para (H, °0) si y
sólo si se mantiene para (G, 0).
Reclamación 2: Si el corolario 1.6 se mantiene para G/K, donde K es algo compacto normal
subgrupo, entonces se mantiene para G también. De hecho, si se trata de una pseudodistancia periódica en
G, entonces el K-promedio K, tal como se define en (26), está a una distancia limitada de G
según Lemma 4.7. Ahora K induce una pseudodistancia periódica K en G/K
Por consiguiente, volG(BlK (r)) = volG/K(BlK (r)) · volK(K). Y
si el límite (3) se mantiene para KK, también se mantiene para KK, por lo tanto también para KK.
Así, la discusión anterior combinada con el Teorema 1.2 reduce el corolario 1.6 a
el caso en el que G está simplemente conectada y solvable, que se trató en la sección 5;
y 6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
7.3. Prueba de la Proposición 1.3 y del corolario 1.9.
Prueba de la Proposición 1.3. Decimos que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) son
a una distancia limitada si son (1, C)-cuasi-isométrico para algunos finitos C. Esto es
una relación de equivalencia. Ahora si es H-periódico con H co-compacto, entonces (G,
está a una distancia limitada de (H, H). Por lo tanto, podemos asumir que H = G, es decir.
que se deja invariante en G.
Ahora Teorema 1.2 da la existencia de un subgrupo compacto normal K, un co-
subgrupo compacto H que contiene K y un grupo de Lie solvable simplemente conectado S
de tal manera que el H/K sea isomórfico a un subgrupo cocompacto de S.
Lemma 4.7 muestra que (G,
se define como en (26). Ahora K induce una métrica periódica invariante izquierda en G/K,
y (G/K, K) está claramente a una distancia limitada de (G, K). Ahora por 4.2, su
la restricción a H/K está a una distancia limitada y se deja invariante. Ahora nos ponemos
S(s1, s2) =
K(h1, h2), donde (dado un dominio fundamental limitado F para el
46 EMMANUEL BREUILLARD
acción izquierda de H/K en S) hola es el elemento único de H/K de tal manera que si hiF.
Es evidente que entonces (S, S) está a una distancia limitada de (H/K,
K). Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Tomamos nota de que nuestra construcción de S aquí depende del estabilizador de la G.
Ciertamente no todas las opciones de Lie sombra se puede utilizar para todas las métricas periódicas (pensar
que R3 es una sombra de mentira de la cobertura universal del grupo de movimientos del plano).
Tal vez se pueda elegir uno solo para todos, pero no lo hemos comprobado.
Prueba del corolario 1.9. La Proposición 1.3 reduce la prueba a una métrica periódica
en un grupo simplemente conectado de Lie Solvable S. Dejad la métrica subFinsler en S
(invariante izquierda para la estructura de grupo de nilshadow graduada SN ) según lo indicado por Teorema
1.4. Let t}t es el grupo de dilaciones en el nilshadow grado SN de S según se define
en la sección 3. Por definición de la topología de Gromov-Hausdorff apuntada (véase [18]),
es suficiente para probar el
Reclamación. La cantidad siguiente
*(s1, s2)− *(l)
s1), 1
(s2))
converge a cero ya que n tiende a ser uniforme para todos los s1, s2 en una bola de radio O(n)
para la métrica.
Ahora esto sigue en tres pasos. En primer lugar, se encuentra a una distancia limitada de su
restricción al estabilizador (cocompacto) H de 4.2 (1), 4.2 (4)). Entonces
para h1, h2 â € ¢ H, podemos escribir ¬(h1, h2) = ¬(e, h
1 h2). Sin embargo, la Proposición 5.1
implica la existencia de otra distancia periódica en S, que es invariante
debajo de las traducciones a la izquierda por elementos de H para la estructura original de Lie y
la estructura de nilshadow Lie en S, de tal manera que
(e,x)
K(e,x)
tiende a 1 como x tiende a
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, K(e, h
1 h2) = K(h1, h2) = K(e, h
1 h2), donde * es el nilshadow
producto en S. Por lo tanto 1
(h1, h2)−
K(e, h
1 h2) tiende a cero uniformemente como h1
y h2 varían en una bola de radio O(n) para
Finalmente el teorema 6.2 implica que 1
K(e, h
1 h2) −
(e, h)
1 h2) tiende a
cero y la reclamación sigue, como se comprueba de la fórmula Campbell Hausdorff
comparando (11) y (12) como lo hicimos en (35), que
(l) (l)
(h1), 1
h2)) − de(e, 1
(h11 h2)
Converge a cero.
El hecho de que el grupo nilpotent Lie calificado no depende (hasta isomor-
phismo) en la métrica periódica, pero sólo en el grupo localmente compacto G fol-
los mínimos del teorema de Pansu [28] que si dos grupos de Carnot (es decir, una calificación simplemente
grupo nilpotente Lie conectado dotado de métrica subRiemanniana izquierda-invariante
inducido por una norma en un subespacio suplementario al subalgebra conmutador)
son bi-Lipschitz, los grupos subyacentes de la Mentira deben ser isomórficos. Este hecho profundo
se basa en el teorema generalizado de Rademacher de Pansu, véase [28]. De hecho, dos diferen-
Las métricas periódicas de G1 y G2 son cuasi-isométricas (véase la Proposición 4.4),
y por lo tanto sus conos asintóticos son bi-Lipschitz (y bi-Lipschitz a cualquier Carnot
métrica de grupo en el mismo grupo clasificado, por (13)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 47
8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia
Bajo ninguna otra suposición sobre la pseudodistancia periódica, la velocidad de
La convergencia en el volumen asintótico puede hacerse arbitrariamente pequeña. Esto es
fácilmente visto si consideramos ejemplos del siguiente tipo: definimos ♥(x, y) = x−y
x− y en R donde α (0, 1). Es periódico y vol(Bl(t)) = t− t
α + o(tα).
Sin embargo, muchos ejemplos naturales de métricas periódicas, tales como métricas de palabras o
Las métricas riemannianas, son de hecho groseramente geodésicas. Se dice una pseudodistancia en G.
para ser groseramente geodésico, si hay una constante C > 0 de tal manera que cualquier dos puntos puede
estar conectado por un C-coarse geodésico, es decir, para cualquier x, y G hay un mapa
g : [0, t] → G con t = x, y), g(0) = x y g(t) = y, de tal manera que
(g(u), g(v)) − u− v ≤ C
para todos u, v â € [0, t].
Este es un requisito más fuerte que decir que es geodésico asintóticamente
(véase 21). Esta noción es invariante bajo isometría gruesa. En el caso de G
es abeliano, D. Burago [6] demostró el hermoso hecho de que cualquier groseramente geodésico
métrica periódica en G está a una distancia limitada de su norma asintótica. In
volG(Bl(t)) = c · t
d+O(td−1) en este caso. En el notable artículo [32],
M. Stoll demostró que tal término de error en O(td−1) se mantiene para cualquier finitamente generado
Grupo nilpotente de 2 pasos. Si O(td−1) es el término de error correcto para cualquier finitamente
grupo nilpotente generado sigue siendo una pregunta abierta.
El ejemplo a continuación muestra por el contrario que en un grupo arbitrario de mentiras de
crecimiento polinomio no se puede esperar un término de error universal.
Teorema 8.1. Que Łn > 0 sea una secuencia arbitraria de números positivos que tienden
a 0. Entonces existe un grupo G de crecimiento polinomio de grado 3 y un compacto
Set de generación de energía en G y c > 0 de tal manera que
volG(
c · n3
≤ 1−
se mantiene para infinitamente muchos n, aunque 1
volG(
n) → 1 como n→.
El ejemplo que damos a continuación es un producto semi-directo de Z por R2 y la métrica
es una palabra métrica. Sin embargo, muchos ejemplos similares se pueden construir tan pronto como
el mapa T : G → K definido en el punto 5.1 en el que no está. Por ejemplo, uno puede
considerar métricas riemannianas invariantes izquierdas en G = R · (R2 × R2) donde R actúa
por medio de un subgrupo denso de un parámetro del S1 × S1 de 2torros. Incidentemente, esto
grupo G es conocido como el grupo Mautner y es un ejemplo de un grupo salvaje en
teoría de la representación.
8.1. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña. En este párrafo describimos
el ejemplo de Teorema 8.1. Dejar Gα = Z · R
2 donde la acción de Z es dada por
la rotación Rα del ángulo â € ¬, α â € [0, 1). El grupo Gα es cuasi-isométrico a R
y por lo tanto de crecimiento polinomio de orden 3 y es cocompacto en el análogo
grupo de mentiras definido G = R R
2. Su nilshadow es isomórfico a R3. El punto es
48 EMMANUEL BREUILLARD
Gráfico 2 La unión de los dos conos, con base en el disco de radio
2, representa el límite de la forma de las bolas en el grupo Z R2,
donde Z actúa por una rotación irracional, con el conjunto de generación =
{(±1, 0, 0)} {(0, x1, x2),
x21 + x
2 ≤ 1}.
que si α es un número Liouville convenientemente elegido, entonces las bolas en Gα no será
bien aproximado por las bolas de la norma límite.
Los elementos de Gα se escriben (k, x) donde k â € Z y x â € R
2. Dejemos que "xá"
x21+x
ser una norma euclidiana en R2, y dejar que sea el conjunto de generación compacta simétrica
Indicado por {(±1, 0)(0, x), â € x ≤ 1}. Induce una palabra métrica en G. Se sigue
de Teorema 1.4 y la definición de la norma asintótica que (e, (k, x)) es
asintótico a la norma en R3 dada por?0(e, (k, x)) := k + â € € ~ xâ € ~ 0 donde â € ~ xâ € es
la norma invariante de rotación en R2 definida por â € € TM xâ €
(x21 + x
2). La bola de la unidad de
0 es el casco convexo de la unión de todas las imágenes de la bola de unidad de bajo todo
rotaciones Rkα, k â € Z.
Vamos a elegir α como un número de Liouville adecuado para que (36) se mantiene. Vamos.
N = 4 ° n)
1/3 y elegir α de modo que lo siguiente se mantiene para infinitamente muchos n’s:
(37) d(kα,Z +
) ≥ 2
para todos k Z, k ≤ n. Esto se ve fácilmente ser posible si elegimos α de la forma
1/3ni para algunas secuencias de aumento de vacío adecuadas de (ni)i.
Tenga en cuenta que, ya que â € € > x, tenemos â € € >. Que Sn sea la pieza de R
2 definido
por Sn = ≤ Łn} donde فارسى es el ángulo entre el punto x y el eje vertical
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 49
Re2. Alegamos que si x â € ¬ Sn, ¬0(e, (k, x)) ≤ n y n satisface (37), entonces
(e, (k, x)) ≥ k (1 +
) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
De la reclamación se desprende fácilmente que volG(l)
n) ≤ (1− n) · volG(B0(n)). Además
volG(Bl0(n)) = c · n
3 + O(n2), donde c = 4
si el volG es administrado por la Lebesgue
medida.
Prueba de reclamación. Aquí está la idea de probar la reclamación. Para encontrar un camino corto entre
la identidad y un punto en el eje vertical, tenemos que girar por un Rkα tal que
kα está cerca de 1
, por lo tanto subir de (0, 0) a (k, 0) en primer lugar, por lo que la vertical
dirección más corta. Sin embargo, si (37) se mantiene, la dirección vertical no se puede hacer como
corto como podría después de la rotación por cualquiera de los Rkα con k ≤ n.
Nótese que si el valor de la letra (e), (k, x)) ≤ n, k ≤ n y (e, (k, x)) ≥ kinf
# Rkiαxi #
donde el infimum se toma en todas las rutas x1,..., xN tal que x =
xi y todos
rotaciones Rkiα con ki ≤ n. Tenga en cuenta que si ♥n es lo suficientemente pequeño y (37) sostiene
entonces por cada x â € ¢ Sn tenemos â € € ¢ Rkαxâ € ≥ (1 + € €.
n) x0. Por otra parte
* x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
â € € TM € € € TM € € € € TM € € € TM € € TM € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Por lo tanto
Rkiαxi® ≥
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Rkiαxi
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# Rkiαxi #
≥ (1 + 2n)
in
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
cos(ln)
in
0 cos(i)
≥ (1 +)
) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
8.2. Forma límite para métricas de palabras más generales en grupos Solvable Lie
de crecimiento polinomio. La determinación de la forma límite de la palabra métrica
en el párrafo 8.1 es posible debido a la naturaleza bastante simple de la
Listo. En general, utilizando la identidad (véase 1))
38) 1 ·............................................................................................................................................................................................................................................................ . · m = • 1 * (T (1) • 2) ∗.................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... .......................................................................................
es fácil comprobar que la bola de la unidad de la norma límite · induciendo el límite
métrica de subFinsler d.o.p. en el nilshadow asociado a una métrica de palabra dada con
el conjunto de generación se contiene en el K-órbita del casco convexo de la proyección
a la nilshadow abelianizada, a saber, el casco convexo de K ·
En el ejemplo del párrafo 8.1, incluso teníamos igualdad entre los dos. ¿Cómo...?
En general, esto no es así. Por ejemplo, la forma límite es siempre K-
invariante, pero claramente la forma límite asociada a un conjunto generador
con el asociado con un conjugado g-g-1 de él, mientras que el casco convexo de la
Las órbitas K respectivas pueden no ser las mismas.
Por supuesto, si el conjunto de generación es K-invariante para empezar, entonces ♥n = n
y estamos de vuelta en el caso nilpotent, donde sabemos que la bola de unidad de la
límite norma es sólo el casco convexo de la proyección del conjunto generador a la
abelianización. En general, sin embargo, es un problema difícil para determinar el
50 EMMANUEL BREUILLARD
forma asintótica precisa de una métrica de la palabra en un grupo de Lie solvable general con
crecimiento polinomio, y no parece haber una descripción simple análoga a lo que
Tenemos en el caso Nilpotent.
Incluso en el ejemplo anterior Gα = ZR
2, o en la cobertura universal del grupo
de los movimientos del plano (en el que Gα incrusta co-compactamente), no es tan simple.
En general, la forma se determina resolviendo un problema de optimización en el que
uno tiene que encontrar la ruta que maximiza las coordenadas del punto final. In
para ilustrar esto, tratamos sin pruebas el siguiente ejemplo simple.
Suponga que ♥ es un barrio compacto simétrico de la identidad en Gα = ZR
del formulario = (0,0,0,0) â € € (1,0,0) â € € (1,0,0) â € € € (1,0,0) â € € € €
−1, en los que siguientes puntos:
2. Entonces el
límite de la forma de la palabra métrica asociado a ♥ es el cuerpo sólido (rotacionalmente
simétrica alrededor del eje vertical como en la Figura 2) hecha de dos copias (superior y
inferior) de un cono truncado con base de disco (0,R2) de radio max{r0, r1} y
superior (resp. inferior) un disco en el plano (1,R2) (resp. (−1,R2)) de radio r2, donde
los radios son dados por
r0 = máx. x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, },, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,
diam(1),
donde el diámetro de diam (1 y r2 es dado por la integral
(39) r2 =
máx.
donde (el 1) es la proyección ortogonal en el eje x de la imagen de
2 por a
rotación del ángulo alrededor del origen. De hecho, es convexo (nota que r2 ≤ r1).
Por ejemplo, si se hace de un solo punto, entonces la forma límite es la misma
como en el párrafo anterior y como en la figura 2, a saber, dos copias de un cono.
Sin embargo, si se compone de dos puntos {a, b}, entonces la parte superior de la forma límite
será un cono truncado con un disco superior de radio r2 =
A-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-b-a-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-.
(que es el
resultado del cálculo de la integral anterior).
Expliquemos brevemente la fórmula (39). Un camino de longitud n alcanzar el más alto
z-coordenada en Gα es una palabra de la forma (1, 1) ·. . · (1, n), con Í ·i â € € · 1. Por
(38) esta palabra es igual a
Ri−1α Łi).
Aquí se puede tomar cualquier valor en el valor 1. Con el fin de maximizar la norma de la segunda
coordenada, o equivalente (por invarianza de rotación) su coordenada x, uno tiene que
elegir en cada etapa de tal manera que la coordenada x de R
α • i es
maximizado. Fórmula (39) se deriva ahora del hecho de que {Ri−1α }1≤i≤n se convierte en
equidistribuido en SO(2,R) como n tiende a infinito.
Para mostrar que max{r0, r1} es el radio del disco base y más
generalmente que la forma límite no es más grande que este doble cono truncado, uno
necesita discutir más a fondo considerando todos los caminos posibles de la forma (-1, -1) ·. .....................................................
En los casos en que se trate de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A,
Se prescribe.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 51
8.3. Distancia limitada versus métricas asintóticas. En este párrafo nosotros y...
RESPUESTA A UNA CUESTIÓN DE D. Burago y G. Margulis (véase [7]). Basado en el caso Abelian
y el caso reductivo (Abels-Margulis [1]), Burago y Margulis habían conjeturado
que cada dos métricas de palabras asintóticas deben estar a una distancia limitada. Damos
debajo de un contraejemplo a esto. Primero damos un ejemplo (A) de una mentira nilpotente
grupo dotado de dos métricas de subFinsler invariantes izquierdas
# Que son... #
asintótico el uno al otro, es decir. d-(e, x)/d
• (e, x) → 1 como x → • pero de tal manera que
(e, x)− d
*(e, x) no está limitada uniformemente. Luego exhibimos (B) una palabra conocida...
ric que no está a una distancia limitada de cualquier cuasinorma homogénea. Finalmente
estos ejemplos también producen (C) dos métricas de palabras........................................................................................................................................................................................................................................................
grupo nilpotente generado que son asintóticos pero no a una distancia limitada.
Nótese que el grupo Gα con 0 y del último párrafo también proporciona
un ejemplo de métricas asintóticas que no están a una distancia limitada (pero esto
grupo no fue discreto).
(A) Dejar que N = R × H3(R) donde H3 es el grupo clásico de Heisenberg y
Z ×H3(Z) una celosía en N. En el Lie álgebra n = RV h3 elegimos dos diferentes
subespacios suplementarios de [n, n] = RZ, es decir, m1 = span{V,X,Y} y m
span{V + Z,X,Y }, donde h3 es el álgebra de Lie de H3(R) a través de X,Y y
Z = [X,Y ].Consideramos la L1-norm en m1 (resp. m
1) correspondiente a la base
(V,X,Y) (resp. (V + Z,X, Y )). Ambas normas inducen la misma norma en n/[n, n].
Dan lugar a la izquierda invariante Carnot-Carateodory Finsler métricas en N, decir
(resp. d
(+)). Utilizamos las coordenadas (v, x, y, z) = exp(vV + xX + yY + zZ).
De acuerdo con la Observación (2) después del Teorema 6.2, d.a. y d.a.
Son asintóticos. Vamos.
nos muestran que no están a una distancia limitada. En primer lugar observar que, desde V
(v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z)) donde dH3 es el Carnot-
métrica de Carateodory Finsler en H3(R) definida por la norma L
1-norm en la
span{X,Y}. Del mismo modo d(e, (v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z − v))). En caso de que se produzca un cambio en la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión, se considerará que la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión es la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión y, en su caso, la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión.
d estaban a una distancia limitada, tendríamos un C > 0 tal que para todos t > 0
(t; (0, 0, t)) − t ≤ C
Por lo tanto dH3(e, (0, 0, t)) ≤ C, que es una contradicción.
(B) Ahora deje ♥ = {(1; (0, 0, 1))±1, (1; (0, 0,−1))±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0)±1}
ser un conjunto generativo para la palabra métrica asociada a ella. Dejemos que
una cuasinorma homogénea sobre N que está a una distancia limitada de, es decir,
(e, g) − g está limitado. Entonces · es asintótico a, por lo tanto es igual a la
Carnot-Carateodory Finsler métrica d asintótica a y homogénea con
respeto al mismo grupo de parámetros de dilaciones t}t>0. Dejar m1 = {v • n,
* t(v) = tv}. Entonces d es inducido por alguna norma 0 en m1, cuya bola unidad es
según el teorema 1.4 por el casco convexo de las proyecciones a m1 de la
Grupos electrógenos en A. Hay un vector único en m1 de la forma V +z0Z. Su 0-norm
es 1 y d(e, (1; (0, 0, z0))) = 1. Sin embargo d(e, (v; (x, y, z))) = v dH3(e, (x, y, z −
vz0)). Desde (e, (n; (0, 0, n)) = n, obtenemos
d(e, (n; (0, 0, n)) − (e, (n; (0, 0, n)) = dH3(e, (0, 0, n(1 − z0)))
52 EMMANUEL BREUILLARD
Si esto está limitado, esto fuerza z0 = 1. Pero podemos repetir el mismo argumento con
(n; (0, 0,-n)) que forzaría z0 = −1. Una contradicción.
(C) Let ahora:= {(1; (0, 0, 0))
±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0))±1} y 2
métrica de la palabra asociada en la palabra. Entonces otra vez y 2 son asintóticos por Teorema
6.2 porque el casco convexo de su módulo de proyección coincide con la coordenada z.
Sin embargo 2 es una métrica de producto, a saber, tenemos 2(e, (v; (x, y, z))) = v +
(e, (x, y, z)), en el que ♥ es la métrica de la palabra en el grupo discreto de Heisenberg H3(Z)
con generadores estándar {(1, 0, 0)±1, (0, 1, 0)±1}. En particular
(e, (n; (0, 0, n))) − 2(e, (n; (0, 0, n)) = ♥(e, (0, 0, n))
que no tiene límite.
Observación 8.2 (Una geodésica anormal). Referimos al lector a [9] para más información sobre
Estos ejemplos. En particular, mostramos allí que el 1 y el 2 supra no son (1, C)-
cuasi-isométrico para cualquier C > 0. El fenómeno clave detrás de este ejemplo es
la presencia de una geodésica anormal (véase [25]), es decir, el grupo de un parámetro;
{t; (0, 0, 0))}t.
Observación 8.3 (Velocidad de convergencia en el caso de los nilpotentes). La velocidad lenta phe-
Nomenon en Teorema 8.1 se basó fundamentalmente en la presencia de un semisim no trivial
ple parte en Gα ; esto no ocurre en grupos nilpotentes. En [9], mostramos que para
métricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados, la convergencia en Teorema
6.2 tiene una velocidad de polinomio con un término de error al menos tan bueno como O(dŁ(e, x)
3r ),
donde r es la clase de nilpotencia. Conjeturamos allí que el exponente óptimo es 1
Esto implica afinar cuantitativamente las estimaciones de la prueba de Teorema antes mencionada
9. Apéndice: los grupos Heisenberg
Aquí mostramos cómo calcular la forma asintótica de las bolas en el Heisenberg
Los grupos H3(Z) y H5(Z) y su volumen, dando así otro enfoque a la
el resultado principal de Stoll [33]. El término principal para el crecimiento de H3(Z) es racional
para todos los grupos electrógenos (Prop. 9.1 infra), mientras que en H5(Z) con su norma
generar conjunto, es trascendental. Esto explica cómo se hizo nuestra Figura 1
(compare con el impar [22] Fig. 1).
9.1. Grupo 3-dim Heisenberg. Consideremos en primer lugar el grupo Heisenberg
H3(Z) = a, b[a, [a, b]] = [b, [a, b]] = 1.
Lo vemos como la celosía generada por a = exp(X) y b = exp(Y) en el real
Grupo Heisenberg H3(R) con Lie álgebra h3 generada por X,Y y abarcada por
X, Y, Z = [X, Y ]. Dejar ser la métrica de la palabra estándar en H3(Z) asociado a
el conjunto generador = {a±1, b±1}. Según Teorema 1.4, la forma límite de
la n-bola n en H3(Z) coincide con la unidad de bola C3 = {g H3(R), d(e, g) ≤
1} para la métrica de Carnot-Carateodoría do inducida en H3(R) por la l
1-norm
* x X + yY 0 = x en m1 = span{X,Y } h3.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 53
Computar esta bola de unidad es una tarea bastante simple. Cambiar los roles de X
e Y, vemos que C3 es invariante bajo la reflexión z 7→ −z. Entonces claramente C3 es
de la forma {xX + yY + zZ, con x y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}. Cambiar X a
−X e Y a −Y, obtenemos las simetrías z(x, y) = z(−x, y) = z(x,−y) = z(y, x).
Por lo tanto, al determinar z(x, y), podemos asumir 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x+ y ≤ 1.
La siguiente observación bien conocida es crucial para calcular z(x, y). Si el valor de
ruta horizontal en H3(R) a partir de id, a continuación, (t) = exp(x(t)X+y(t)Y +z(t)Z),
donde (t) = x(t)X + y(t)Y y z(t) es el área de “balayage” del
ruta {x(s)X + y(s)Y }0≤s≤t y el acorde que une 0 a x(t)X + y(t)Y.
Por lo tanto, z(x, y) es dada por la solución al “problema isoperimétrico dido”
(véase [25]: encontrar una ruta en el plano X,Y entre 0 y xX + yY de 0-longitud 1
que maximiza el “área de albañilería”. Puesto que 0 es la l
1-norm en el plano X, Y,
como es bien conocido (véase [8]), tales curvas extremas son dadas por arcos de cuadrado con
lados paralelos a los ejes X, Y. Por lo tanto, hay una dicotomía: el arco del cuadrado
tiene 3 o 4 lados (puede tener 1 o 2 lados, pero estos están incluidos están limitando
casos de los anteriores).
Si hay 3 lados, tienen longitud l, x e y + l con y + l ≤ x. Por lo tanto
1 = l+ x+ y + l y z(x, y) = lx+ 1
xy. Por lo tanto, esto ocurre cuando y ≤ 3x − 1
y entonces tenemos z(x, y) =
x(1−x)
Si hay 4 lados, tienen longitud l, x+ u, y + l y u, con l+ y = x+ u.
Por lo tanto 1 = 2l + 2u + x + y y z(x, y) = (l + y) (x + u) −
. Esto ocurre cuando
y ≥ 3x− 1 y luego tenemos z(x, y) =
(1+x+y)2
Por lo tanto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 y x+ y ≤ 1
(40) z(x, y) = 1y≤3x−1
x(1− x)
+ 1y>3x−1
(1 + x + y)2
La unidad de bola C3 dibujada en la Figura 1 es el cuerpo sólido C3 = {xX + yY + zZ, con
x y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}.
Un cálculo simple muestra que vol(C3) =
en el Lebesgue medida dxdydz.
Puesto que H3(Z) se ve fácilmente tener co-volumen 1 para esta medida de Haar en H3(R)
(en realidad, {xX+yY +zZ, x â € [0, 1), y â € [0, 1), z â € [0, 1)} es un dominio fundamental),
De ello se deduce que
#(ln)
= vol(C3) =
Así recuperamos un resultado bien conocido (véase [4], [31] donde incluso la serie de crecimiento completa
se calcula y se demuestra que es racional).
También se puede determinar exactamente qué puntos de la esfera de C3 se unen a id
por un camino geodésico horizontal único. El lector comprobará fácilmente esa singularidad
falla exactamente en los puntos (x, y,±z(x, y)) con x < 1
y y = 0, o y < 1
x = 0, o bien en los puntos (x, y, z) con x y = 1 y z < z(x, y).
El método anterior también da el siguiente resultado.
54 EMMANUEL BREUILLARD
Proposición 9.1. Let ser cualquier conjunto de generación simétrica para H3(Z). Entonces el
coeficiente principal en #(ln) es racional, es decir.
#(ln)
es un número racional.
Prueba. Sólo esbozamos la prueba aquí. Podemos aplicar el método anterior y com-
pute r como el volumen de la unidad CC-ball C(l) del límite CC-metric d-
multado en Teorema 1.4. Puesto que sabemos lo que es la norma en el (x, y)-plano
m1 = espano X, Y â € que genera dâ € (es la norma poligonal dada por el con-
vex casco de los puntos de ♥), podemos calcular C() explícitamente. Necesitamos saber.
la solución al problema isoperimétrico de Dido para en m1, y como es bien conocido
(véase [8]) se da por líneas poligonales del polígono dual rotado por 90o. Desde
el polígono que define está hecho de líneas racionales (puntos en tienen entero coordi-
nates), cualquier vector con coordenadas racionales tiene racional -longitud, y el dual
El polígono también es racional. Las ecuaciones que definen z(x, y) tendrán por lo tanto sólo
coeficientes racionales, y z(x, y) se dará por separado por una cuadrática racional
forma en x e y, donde las piezas son triángulos racionales en el plano (x, y). Los
Por lo tanto, el volumen total de C() será racional. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
9.2. Grupo de 5-dim Heisenberg. El grupo HeisenbergH5(Z) es el
atendido por a1, b1, a2, b2, c con relaciones c = [a1, b1] = [a2, b2], a1 y b1
a2 y b2 y c es central. Let = {a
i, b
i, i = 1, 2}. Describamos el límite.
la forma de Łn. Una vez más, vemos H5(Z) como una celosía de co-volumen 1 en el grupo H5(R)
con Lie álgebra h5 extendida por X1, Y1X2, Y2 y Z = [Xi, Yi]. Por Teorema 1.4,
la forma límite es la unidad de bola C5 para la métrica Carnot-Caratheodory en H5(R)
inducidos por la l1-norm x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2+0 = x1 y1 x2 y2.
Desde X1, Y1 conmutar con X2, Y2, en cualquier camino horizontal lineal en
H5(R), podemos intercambiar las piezas tangentes a X1 o Y1 con las tangentes a X2 o
Y2 sin cambiar el punto final de la ruta. Por lo tanto, en caso de que la expresión «(t)» = exp(x1(t)X1 +
y1(t)Y1 + x2(t)X2 + y2(t)Y2 + z(t)Z) es una ruta horizontal, luego z(t) = z1(t) +
z2(t), donde zi(t), i = 1, 2, es el “área de balayage” de la curva plana {xi(s)Xi +
yi(s)Yi}0≤s≤t.
Puesto que, al igual que para H3(Z), conocemos la curva maximizando esta área, podemos
calcular la bola de unidad C5 explícitamente. En coordenadas exponenciales tomará la
forma C5 = {exp(x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2 + zZ), x1 y1 x2 y2 ≤ 1 y
z ≤ z(x1, y1, x2, y2)}. Luego z(x1, y1, x2, y2) = sup0≤t≤1{zt(x1, y1)+ z1−t(x2, y2)},
donde zt(x, y) es el “área de balayage” máximo de una trayectoria de longitud t entre 0
y xX+yY. Es fácil ver que zt(x, y) = t
2z(x/t, y/t) donde z es dada por (40).
Por lo tanto zt es una función cuadrática a partes de t. De nuevo z(x1, y1, x2, y2) es invariante
bajo cambiar los signos del xi,yi, y el intercambio de x e y, o bien el intercambio
1 y 2. Así pues, podemos suponer que la mentira del xi,yi en D = {0 ≤ yi ≤ xi ≤ 1 y
x1+y1+x2+y2 ≤ 1, y x2−y2 ≥ x1−y1}. Por lo tanto, podemos determinar explícitamente
el supremamum z(x1, y1, x2, y2), que después de algunos cálculos sencillos toma
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 55
En D el siguiente formulario:
z(x1, y1, x2, y2) = 1Amax{d1, d2 1B max{d1, c1 1C max{c1, c2}
donde d1 =
(1−x1− y1−x2), c1 =
(1+x1+ y1−x2− y2)
x2y2−x1y1
y d2 y c2 se obtienen de d1 y c1 mediante el intercambio de los índices 1 y 2. Los
los conjuntos A, B y C forman la siguiente partición de D: A = D • {m ≤ x1 − y1},
B = D • {x1 − y1 < m < x2 − y2} y C = D • {x2 − y2 ≤ m}, donde m =
(1 − x1 − x2 − y1 − y2)/2.
Puesto que C5 tiene una forma tan explícita, es posible calcular su volumen. El hecho
que z(x1, y1, x2, y2) es dada por el máximo de dos formas cuadráticas
hace que el cálculo de la integral sea algo engorroso pero tratable. Nuestro
Las ecuaciones coinciden (¡por desgracia!) con los de Stoll (apéndice de [33]), donde
Calculó el término principal de la asintótica de #(ln) por un método diferente. Stoll
calculó que integral y obtenido
#(ln)
= vol(C5) =
21870
log(2)
32805
que es trascendental. También es fácil ver por este método que si cambiamos
el conjunto de generación a 0 = {a
2 }, entonces obtenemos un volumen racional. Por lo tanto
la racionalidad de la serie de crecimiento de H5(Z) depende de la elección de
set, que es el teorema de Stoll.
Una ventaja de nuestro método es que también puede aplicarse a la generación de
Sets. El caso de los grupos de Heisenberg de mayor dimensión con la gen-
conjunto de borrado es análogo: la función z({xi}, {yi}) se define de nuevo por partes como
el máximo de muchas formas cuadráticas explícitas finitas en una partición lineal de la
Bola de 1 unidad
xi yi ≤ 1.
Agradecimientos. Me gustaría agradecer a Amos Nevo por su hospitalidad en el
Technion de Haifa en diciembre de 2005, donde se llevó a cabo parte de este trabajo, y
para desencadenar mi interés en este problema mostrándome las posibles implicaciones
de Teorema 1.1 a Teoría Ergódica. Mi agradecimiento también se debe a V. Losert por
señalando una inexactitud en mi primera prueba de Teorema 1.2 y para su otro
comentarios sobre el manuscrito. Finalmente doy las gracias a Y. de Cornulier, M. Duchin, E. Le
Donne, Y. Guivarc’h, A. Mohammadi, P. Pansu y R. Tessera para varios útiles
conversaciones.
Bibliografía
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Dirección de correo electrónico: emmanuel.breuillard@math.u-psud.fr
Université Paris-Sud 11, Laboratoire de Mathématiques, 91405 Orsay, Francia
1. Introducción
2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie
3. El nilshadow
4. métricas periódicas
5. Reducción al caso de nilpotente
6. El caso de los nilpotentes
7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados
8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia
9. Apéndice: los grupos Heisenberg
Bibliografía
| Obtenemos asintóticos para el volumen de grandes bolas en una arbitraria localmente
Grupo compacto G con crecimiento polinomio. Esto se hace a través de un estudio de la
geometría de G y una generalización de la tesis de P. Pansu. En particular, mostramos
que cualquier tal G es débilmente commensurable a algunos simplemente conectado Solvable Mentira
grupo S, la sombra de la mentira de G. También mostramos que las bolas grandes en G tienen un
forma asintótica, es decir, después de una adecuada renormalización, convergen a una
limitar el conjunto compacto que puede ser interpretado geométricamente. Luego debatimos
la velocidad de convergencia, tratar algunos ejemplos y dar una aplicación a
Teoría ergódica. También respondemos a una pregunta de Burago sobre la izquierda invariante
métricas y recuperar algunos resultados de Stoll sobre la irracionalidad de las series de crecimiento
de grupos nilpotentes.
| Introducción
1.1. Grupos con crecimiento polinomio. Dejar G ser un grupo localmente compacto con
izquierda Haar medida volG. Asumiremos que G es generada por un sim-
métrica subconjunto. Clásicamente, G se dice que tiene crecimiento polinomio si existe
C > 0 y k > 0 de tal manera que para cualquier entero n ≥ 1
volG(
n) ≤ C · nk,
Fecha: abril de 2012.
http://arxiv.org/abs/0704.0095v2
2 EMMANUEL BREUILLARD
donde n = . · Es el conjunto de productos n-fold. Otra opción sólo sería
cambiar la constante C, pero no la naturaleza polinómica del atado. Uno de los
las consecuencias del análisis realizado en este trabajo es el siguiente teorema:
Teorema 1.1 (Volumen asintótico). Let G ser un grupo localmente compacto con poli-
crecimiento nominal y un subconjunto de generación simétrica compacta de G. Luego hay
existe c() > 0 y un entero d(G) ≥ 0 dependiendo de G solamente de tal manera que la
en espera de lo siguiente:
volG(
nd(G)
= c(l)
Esto extiende el resultado principal de Pansu [27]. El entero d(G) coincide con
el exponente de crecimiento de un grupo de Lie nilpotente calificado naturalmente asociado, el
cono asintótico de G, y se da por la fórmula Bass-Guivarc'h (4) a continuación.
La constante c(l) se interpretará como el volumen de la bola de unidad de un sub-
métrica de Riemannian Finsler en este grupo de mentiras nilpotentes. Teorema 1.1 es un by-
producto de nuestro estudio del comportamiento asintótico de pseudodistancias periódicas en G,
que son pseudodistancias que son invariantes bajo un subgrupo cocompacto de G y
satisfacer un tipo débil de la existencia de axioma geodésico (véase la definición 4.1).
Nuestra primera tarea es obtener una mejor comprensión de la estructura de local compacto
grupos de crecimiento polinomio. Guivarc’h [21] demostró que los grupos compactos locales
de crecimiento polinomio son amenizables y unimodular y que cada compactamente
Generado1 subgrupo cerrado también tiene crecimiento polinomio.
Guivarc’h [21] y Jenkins [15] también caracterizaron grupos de Lie conectados con
crecimiento polinomio: un grupo de Lie conectado tiene crecimiento polinomio si y sólo si
es de tipo (R), es decir, si para todos x • Lie(S), ad(x) sólo tiene puramente imaginario
valores propios. Estos grupos son solvable-por-compacto y cualquier nilpotente conectado
El grupo de mentiras es de tipo (R).
Es mucho más difícil caracterizar grupos discretos con crecimiento polinomio,
y esto se hizo en un célebre periódico de Gromov [17], demostrando que son
Prácticamente nilpotente. Losert [24] generalizó el método de prueba de Gromov y mostró
que se aplicó con poca modificación a los grupos arbitrarios localmente compactos con
crecimiento polinomio. En particular, mostró que contienen un compacto normal
subgrupo módulo que el cociente es un (no necesariamente conectado) grupo de mentira.
Demostraremos el siguiente refinamiento.
Teorema 1.2 (Sombra de mentira). Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio
crecimiento. Entonces existe un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado S
de tipo (R), que es débilmente commensurable a G. Llamamos a tal grupo de la Mentira una Mentira
sombra de G.
Se dice que dos grupos compactos locales son débilmente comparables si, hasta
modificando por un núcleo compacto, tienen un subgrupo de cocompacto cerrado común.
Más precisamente, demostraremos que, para algunos subgrupos compactos normalesK, G/K tiene
1De hecho, de la teoría de la estructura Gromov-Losert se deduce que cada subgrupo cerrado es
generado de forma compacta.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 3
un subgrupo de cocompacto H/K que puede ser integrado como un cerrado y cocompacto
subgrupo de un grupo de Lie solvable S conectado y simplemente conectado de tipo (R).
Debemos ser conscientes de que ser débilmente commensurable no es una equivalencia
relación entre grupos localmente compactos (a diferencia de los grupos finitos).
Además, la sombra de Lie S no es única hasta el isomorfismo (e.g. Z3 es un
co-compacto celosía en tanto R3 y la cubierta universal del grupo de movimientos de
el avión).
No podemos sustituir la palabra solvable por la palabra nilpotente en el teo-
rem. Referimos al lector al Ejemplo 7.9 para un ejemplo de un solvable conectado
Grupo de mentiras de tipo (R) sin subgrupos normales compactos, que no admite co-
subgrupo compacto de nilpotente. De hecho, esto es típico de los grupos de Lie de tipo (R). Así que
en el caso general localmente compacto (o sólo el caso de Lie) grupos de polinomio
crecimiento puede ser genuinamente no nilpotent, a diferencia de lo que sucede en el caso discreto.
Hay diferencias importantes entre el caso discreto y el caso general.
Por ejemplo, demostraremos que no se puede esperar una tasa de convergencia en Teorema.
1.1 cuando G es solvable no nilpotente, mientras que alguna tasa de polinomio siempre se mantiene en
el caso discreto nilpotente [9].
Teorema 1.2 nos permitirá reducir la mayoría de las preguntas geométricas sobre localmente
grupos compactos de crecimiento polinomio, y en particular la prueba de Teorema
1.1, al caso de grupo Lie conectado. Observe también que Teorema 1.2 subsume
Teorema de Gromov sobre el crecimiento polinomio, porque no es difícil ver que un
retícula cocompacta en un grupo de Lie solvable de crecimiento polinomio debe ser virtualmente
nilpotente (véase la Observación 7.8). Por supuesto, en la prueba que hacemos uso de Gromov’s
teorema, en su forma generalizada para grupos localmente compactos debido a Losert. El resto
de la prueba combina las ideas de Y. Guivarc’h, D. Mostow y una integración crucial
Teorema de H.C. Wang. Se da en el párrafo 7.1 y es en gran medida independiente de
el resto del periódico.
1.2. Formas asintóticas. La parte principal del documento está dedicada al asymp-
comportamiento tótico de pseudodistancias periódicas en G. Referimos al lector a la definición
4.1 para la definición precisa de este término, basta con decir ahora que es una clase de
pseudodistancias que contiene tanto métricas de palabra invariantes a la izquierda en G y geodésica
métricas en G que son invariantes a la izquierda en el subgrupo de cocompacto de G.
Teorema 1.2 nos permite asumir que G es un subgrupo cocompacto de un simple
el grupo S de Solvable Lie conectado, y en lugar de ver pseudodistancias en G,
vamos a ver pseudodistancias en S que son invariantes de izquierda bajo un co-compacto
Subgrupo H. Una consecuencia directa más precisa del Teorema 1.2 es la siguiente:
Proposición 1.3. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y
una métrica periódica sobre G. Entonces (G,?) es (1, C)-cuasi-isométrico a (S,?S) para algunos
finito C > 0, donde S es un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado de
tipo (R) y ♥S alguna métrica periódica en S.
Recuerde que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) se llaman (1, C)-cuasi-isométrico
si existe un mapa : X → Y de tal manera que cualquier y Y está a la distancia a lo sumo C
de algún elemento en la imagen de ♥ y si dY (
′)) − dX(x, x
′) ≤ C para
todos x, x′ â € ¢ X.
4 EMMANUEL BREUILLARD
En el caso cuando S es Rd y H es Zd, es un ejercicio simple para demostrar que cualquier
pseudodistancia periódica es asintótica a una norma en Rd, es decir. (e, x)/ (x) → 1
x → #, donde # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(e, nx) es una norma bien definida en Rd. Burago en [6]
mostró un resultado mucho más fino, a saber, que si
está limitado cuando x rangos sobre Rd.Cuando S es un grupo de mentira nilpotente y H una celosía
en S, entonces Pansu demostró en su tesis [27], que un resultado similar sostiene, a saber:
(e, x)/ x → 1 para algunos (único sólo después de la elección de un grupo de un parámetro de
dilaciones) homogéneo cuasi-norma x en el grupo de la mentira nilpotente. Sin embargo, nosotros
mostrar en la sección 8, que no es cierto en general que?(e, x) − x permanece limitada,
incluso para grupos nilpotentes finitamente generados, respondiendo así a una pregunta de Burago
(véase también Gromov [20]). Nuestro propósito principal aquí será extender el resultado de Pansu
a grupos de Lie solvables de crecimiento polinomio.
Como fue notado por primera vez por Guivarc’h en su tesis [21], cuando se trata de geométrico
propiedades de grupos de Lie solvable, es útil considerar la llamada nilshadow de
el grupo, una construcción introducida por primera vez por Auslander y Green en [2]. Accord-
a esta construcción, es posible modificar el producto Lie sobre S en un
manera, por así decirlo quitando la parte semisimple de la acción en el nilradical,
con el fin de convertir S en un grupo nilpotent Lie, su nilshadow SN. Las dos mentiras
los grupos tienen el mismo colector subyacente, que es diffeomorphic a Rn, sólo un
diferente producto de mentira. También comparten la misma medida de Haar. Este “semisimple
parte” es un subgrupo relativamente compacto conmutativo T (S) de automorfismos de S,
imagen de S bajo un homomorfismo T : S → Aut(S). El nuevo producto g * h es
definido de la siguiente manera retorciendo el antiguo g · h por medio de T (S),
(1) g ∗ h := g · T (g−1)h
Los dos grupos S y SN son fácilmente vistos como cuasi-isométricos, y es por eso que cualquier
grupo localmente compacto de crecimiento polinomio G es cuasi-isométrico a algunos nilpotente
Grupo de mentiras. En particular, sus conos asintóticos son bi-Lipschitz. La asintótica
cono de un grupo de mentira nilpotente es un cierto grupo de mentira nilpotente calificado asociado
dotado de una distancia geodésica invariante izquierda (o grupo Carnot). Los clasificados
grupo asociado a SN se llamará el nilshadow grado de S. Sección 3 será
dedicada a la construcción y las propiedades básicas de la nilshadow y su clasificación
grupo.
En este artículo, estamos tratando con una relación más fina que la cuasi-isometría. Lo haremos.
estar interesado en cuando dos distancias invariantes izquierdas (o periódicas) son asintóticas2
(en el sentido de que
d1(e,g)
d2(e,g)
→ 1 cuando g → فارسى). En particular, por cada localidad
grupo compacto G con crecimiento polinomio, identificaremos su cono asintótico
hasta isometría y no sólo hasta cuasi-isometría o equivalencia bi-Lipschitz (véase
Corollary 1.9 infra). Uno de nuestros principales resultados es el siguiente:
2Sin embargo, una relación de equivalencia más fina es (1, C)-cuasi-isometría, es decir. estar a una distancia limitada en
métrica Gromov-Hausdorff; clasificar métricas periódicas hasta este tipo de equivalencia es mucho
Más fuerte.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 5
Teorema 1.4 (Teorema principal). Deja que S sea un grupo de Lie solvable simplemente conectado
con crecimiento polinomio. Que se haga una pseudodistancia periódica en S, que está en...
variante bajo un subgrupo de cocompacto H de S (véase Def. 4.1). En el múltiple S,
uno puede poner una nueva estructura de grupo de Lie, que convierte S en una mentira nilpotente estratificada
grupo, el nilshadow graduado de S, y un subFinsler métrica d(x, y) en S que es
izquierda-invariante para esta nueva estructura de grupo tal que
(e, g)
d-(e, g)
como g → en S. Por otra parte, cada automorfismo en T (H) es una isometría de d.
El lector que desee ver una simple ilustración de este teorema puede ir directamente
a la subsección 8.1, donde hemos tratado en detalle un ejemplo específico de
métrica sobre la cobertura universal de los grupos de movimientos del plano.
La nueva estructura estratificada de grupo de nilpotent Lie en S dada por el grado
nilshadow viene con una familia de un parámetro de las llamadas dilaciones homogéneas
t}t>0. También viene con un grupo adicional de automorfismos, a saber, la imagen
de H bajo el homomorfismo T. Esto produce automorfismos de S para ambos el
estructura de grupo original en S y la nueva estructura de grupo nilshadow graduada.
Por otra parte las dilaciones t}t>0 son automorfismos de la nilshadow grado y
se desplazan con T (H).
Una métrica subFinsler es una distancia geodésica que se define exactamente como subRie-
se definen las métricas de manian (o Carnot-Carateodory) en los grupos Carnot (véase, por ejemplo,
[25]), excepto que la norma utilizada para calcular la longitud de las trayectorias horizontales no es
necesariamente una norma euclidiana. Remitimos al lector a la sección 2.1 para obtener información precisa.
definición.
En Teorema 1.4, la métrica subFinsler de d.o.o. se deja invariante para la nueva Lie struc-
en S y también es invariante bajo todos los automorfismos en T (H) (estos
un grupo conmutativo relativamente compacto de automorfismos). Por otra parte satisface
la siguiente ley de escala agradable:
d-() () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( > () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
La prueba de Teorema 1.4 se divide en dos pasos importantes. La primera es una reducción.
al caso de nilpotente y se realiza en la sección 5. Usando un doble promedio
de la pseudodistancia sobre K := T (H) y S/H, construimos un asso-
ciated pseudodistancia, que es periódica para la estructura de nilshadow en S (es decir.
izquierda-invariante por un subgrupo de cocompacto para esta estructura), y demostramos que
es asintótico al original. Esto reduce el problema a grupos de mentiras nilpotentes.
La clave de esta reducción es la siguiente observación crucial:
tomorfismos de S inducen sólo una distorsión sublineal, obligando a la métrica a ser
asintóticamente invariante bajo T (H). El segundo paso de la prueba supone que
S es nilpotente. Esta parte se trata en la sección 6 y es esencialmente una reforma.
sión de los argumentos utilizados por Pansu en [27].
6 EMMANUEL BREUILLARD
Incidentemente, destacamos el hecho de que la generalidad en la que se trata la Sección 6
(es decir, Para general geodésico groseramente, e incluso asintóticamente geodésico periódico met-
rics) es necesario para demostrar incluso el caso más básico (es decir, métricas de palabras) de Teorema
1.4 para grupos solvables no nilopotentes. Así que incluso si sólo estábamos interesados en el
asintóticos de métricas de palabras invariantes izquierdas en un grupo de Lie solvable de polinomios
crecimiento S, todavía necesitaríamos entender las asintóticas de arbitraria groseramente
geodésico izquierda invariantes distancias (y no sólo métricas de la palabra!) sobre la mentira nilpotente
grupos. Esto se debe a que la nueva pseudodistancia obtenida por promedio, véase (30),
ya no es una palabra métrica.
La métrica subFinsler (e, x) en el teorema anterior es inducida por un cierto
T (H)-invariante norma en el primer estrato m1 de la nilshadow grado (que
es T (H)-invariante subespacio complementario del subalgebra conmutador de la
nilshadow). Esta norma puede describirse de manera más bien explícita de la siguiente manera.
Recordemos que tenemos3 un mapa canónico η1 : S → m1, que es un grupo homomor-
phism para las estructuras nilshadow y nilshadow graduadas. Entonces:
{v) m1, {v} ≤ 1} =
CvxHull
η1(h)
(e, h)
, h • H\F
donde el lado derecho es la intersección sobre todos los subconjuntos compactos F de S de
el casco convexo cerrado de los puntos
La Figura 1 da una ilustración de la forma límite correspondiente a la palabra
métrica en el grupo discreto de 3 dimensiones de Heisenberg con generadores estándar.
Explicamos en el Apéndice cómo se puede calcular explícitamente la geodesia de la
métrica límite y la forma límite en este ejemplo.
Cuando S en sí mismo es nilpotente para empezar y es (en restricción a H) la
métrica de palabra asociada a un conjunto de generación compacta simétrica de H (es decir,
(e, h) := inf{n(n) N;h(n)
n}), la norma anterior adopta la siguiente forma sencilla:
(2) {v · m1, ·v ≤ 1} = CvxHull ·1(), · · · ·
Por ejemplo, en el caso especial cuando H es un sin torsión finitamente generado nilpo-
grupo de tiendas con set de generación y S es su cierre Malcev, la bola de unidad
El poliedro de m1 es un poliedro de m1. Esta fue la descripción de Pansu en
[27].
Sin embargo cuando S no es nilpotente, y está equipado con una palabra métrica sobre
un subgrupo de cocompacto, a continuación, la determinación de la forma límite, es decir, el de-
terminación de la norma límite · en el nilshadow abelianizado, es mucho más
Difícil. Claramente · es K-invariante y es una simple observación de que la unidad
la bola para · está siempre contenida en el casco convexo de la K-órbita de
3El subespacio m1 se puede identificar con el nilshadow abelianizado (o abelianizado graduado
nilshadow) identificando primero el nilshadow con su álgebra de Lie a través del mapa exponencial y
entonces proyectando módulo el subalgebra conmutador. El mapa no depende de la elección
implicado en la construcción de la nilshadow. Véase también la Observación 3.7.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 7
Sin embargo, la bola de la unidad es típicamente más pequeña que eso (a menos que K-invariante
para empezar).
En general, sería interesante determinar si existe una
descripción de la forma límite de una métrica de palabra arbitraria en un grupo de Lie solvable
con crecimiento polinomio. Remitimos al lector a la Sección 8 y al párrafo 8.2 para una
ejemplo de una clase de métricas de palabras en la cubierta universal del grupo de movimientos
del plano, para el cual fuimos capaces de calcular la forma límite.
Otro subproducto del Teorema 1.4 es el siguiente resultado.
Corollario 1.5 (forma asintótica). Deja que S sea una mentira solvable simplemente conectada
grupo con crecimiento polinomio y H un subgrupo cocompacto. Vamos a ser un H-
pseudodistancia periódica en S. Luego en la métrica de Hausdorff,
(Bl(t)) = C,
donde C es un T (H)-invariante barrio compacto de la identidad en S, B
la bola de radio t en S y t}t>0 es un grupo de un parámetro de dilaciones en S
(equipado con la estructura de nilshadow graduada). Por otra parte, C = {g â € ¬ S, dâ € (e, g) ≤ 1}
es la bola unitaria de la métrica límite subFinsler de Teorema 1.4.
Prueba. Por el teorema 1.4, por cada > 0 tenemos Bd(tt) B
si t es lo suficientemente grande. Desde el 1 de enero de 1999
(Bd.(t)) = C, para todos t > 0, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Combinando esto con Teorema 1.2, también obtenemos el siguiente corolario, de los cuales
Teorema 1.1 es sólo un caso especial con la palabra métrica asociada a la gen-
Juego de borraduras.
Corolario 1.6 (Volumen asintótico). Supongamos que G es un grupo localmente compacto
con crecimiento polinomio y es una pseudodistancia periódica en G. Let Bl(t) be
la bola de radio t en G, es decir, (t) = {x â € G, ¬(e, x) ≤ t}, entonces existe un
constante c(l) > 0 tal que exista el siguiente límite:
3) lim
volG(Bl(t))
td(G)
= c(l)
Aquí d(G) es el entero d(SN), la llamada dimensión homogénea de la
Nilshadow SN de una sombra de mentira S de G (obtenido por Teorema 1.2), y es dada por
la fórmula Bass-Guivarc’h:
(4) d(SN ) =
dim(Ck(SN ))
donde {Ck(SN)}k es la serie central descendente de SN.
El límite c(l) es igual al volumen volS(C) de la forma límite C de Corollary
1.5 una vez que hacemos la elección correcta de la medida de Haar en una sombra de mentira S de G.
explicamos esta elección. Recordemos que según Teorema 1.2, G/K admite una co-
subgrupo compacto H/K que incorpora cocompactamente en S. A partir de un Haar
medida volG en G, obtenemos una medida Haar en G/K después de fijar la medida Haar
de K para ser de la masa total 1, y entonces podemos elegir una medida de Haar en H / K así
que el cociente compacto G/H tiene volumen 1. Finalmente elegimos la medida Haar
8 EMMANUEL BREUILLARD
Gráfico 1 La forma asintótica de las bolas grandes en el gráfico de Cayley
del grupo Heisenberg H(Z) = x, y[x, [x, y]] = [y, [x, y]] = 1
visto en coordenadas exponenciales.
en S para que el otro cociente compacto S/(H/K) tenga volumen 1. Esto da la
medidas deseadas Haar volS tales que c(l) = volS(C).
Tenga en cuenta que la medida de Haar en S también es invariante en el grupo de automor-
phisms T (S) y por lo tanto se deja invariante para la estructura de nilshadow en S. Es también
izquierda invariante para la estructura de nilshadow graduada. En ambas coordenadas exponenciales
del primer tipo (en SN ) y del segundo tipo (como en Lemma 3.10), medida Haar
es sólo la medida de Lebesgue.
En el caso del grupo discreto Heisenberg de dimensión 3 equipado con el
métrica de palabra dada por los generadores estándar, es posible computar el con-
stant c(l) y el volumen de la forma límite como se muestra en la Figura 1. En este caso, el
volumen es 31
(véase el apéndice). El grupo 5-dimensional de Heisenberg también puede ser
trabajado y el volumen de su forma límite (asociado a la palabra métrica dada
por generadores estándar) es igual a 2009
21870
log 2
32805
. El hecho de que este número es
trascendental implica que la serie de crecimiento de este grupo, es decir. el poder formal
Serie
n≥0 Bl(n)z
n no es algebraico en el sentido de que no es una solución de un
ecuación polinómica con funciones racionales en C(z) como coeficientes (véase [33, Prop.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 9
3.3.]). Esto fue observado por Stoll en [33] por medios combinatorios más directos.
Stoll también muestra allí el hecho interesante de que la serie de crecimiento puede ser racional
para algunas otras opciones de generar conjuntos en el grupo 5-dimensional Heisenberg.
Así que la racionalidad de la serie de crecimiento depende del conjunto generador.
Otra característica interesante es la invarianza asintótica:
Corollario 1.7 (invarianza asintótica). Deja que S sea un solvable simplemente conectado
Mentira de grupo con crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en S. Let * ser
el nuevo producto Lie en S dado por la estructura del grupo nilshadow (o el grado
estructura del grupo de nilshadow). A continuación,?(e, g ∗ x)/?(e, x) → 1 como x → • por cada
g) S.
Esto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ es el nilshadow calificado
el producto, y del teorema 6.2 infra en el caso ∗ es el grupo nilshadow struc-
tura.
Vale la pena observar que en general no podemos reemplazar ∗ por el ordinario
producto en S. De hecho, por ejemplo S = R R2 ser la cubierta universal de la
grupo de movimientos del plano euclidiano, entonces S, como su nilshadow R3, admite
una celosía Z3. El cociente S/e es diffeomórfico al 3-torus R3/Z3 y
es fácil encontrar métricas Riemannianas en este toro para que su elevación a R3 no es
invariante en rotación alrededor del eje z. De ahí esta métrica, vista en la Mentira
grupo S no será asintóticamente invariante bajo la traducción izquierda por elementos de
S. Sin embargo, si la métrica es izquierda-invariante y no sólo periódica, entonces tenemos
el siguiente corolario de la prueba del Teorema 1.4.
Corollario 1.8 (las pseudodistancias izquierdistas son asintóticas a subFinsler met-
rics). Dejar S ser un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de crecimiento polinomio y
ser una pseudodistancia periódica en S que es invariante bajo todas las traducciones a la izquierda por
elementos de S (por ejemplo: una métrica geodésica gruesamente invariante a la izquierda en S). Entonces, ahí está.
es una métrica subFinsler izquierda-invariante d en S que es asintótica a
(e,g)
d(e,g)
→ 1 como g → • •.
Ya hemos mencionado anteriormente que la determinación de la forma límite exacta de una palabra
métrica en S es una tarea difícil. En consecuencia, también lo es la tarea de decir cuándo dos
distintas métricas de palabras son asintóticas. La declaración anterior dice que en cualquier caso
Cada métrica de palabra en S es asintótica a alguna métrica subFinsler invariante izquierda. Así que
el conjunto de posibles formas límite no es más rico para las métricas de palabras que para la variable izquierda
métricas subFinsler.
Observamos que en el caso de grupos de mentiras nilpotentes (donde K es trivial), Teorema
1.4 muestra que cada métrica periódica es asintótica a una métrica invariante izquierda. Lo es.
todavía un problema abierto para determinar si cada métrica periódica groseramente geodésica
está a una distancia limitada de una métrica invariante izquierda (este es el teorema de Burago en
n, más sobre ello a continuación).
Los teoremas 1.2 y 1.4 nos permiten describir el cono asintótico de (G,
pseudodistancia periódica en cualquier grupo localmente compacto con crecimiento polinomio.
10 EMMANUEL BREUILLARD
Corolario 1.9 (cono asintótico). Dejar G ser un grupo localmente compacto con polino-
crecimiento mial y una pseudodistancia periódica en G. A continuación, la secuencia de
espacios métricos {(G, 1
En la topología de Gromov-Hausdorff converge n ≥ 1. Los
límite es el espacio métrico (N, d», e), donde N es un grado simplemente conectado nilpo-
tienda Mentira de grupo y de una métrica invariante izquierda subFinsler en N. Por otra parte la Mentira
El grupo N es (hasta isomorfismo) independiente de El espacio (N, d.o.p.) es isométrico.
a “el cono asintótico” asociado a (G, Este cono asintótico es independiente
de la elección del ultrafiltro utilizado para definirlo.
Este corolario es una generalización del teorema de Pansu (10) en [27]. Nos referimos a
el lector del libro [18] para las definiciones del cono asintótico y el
Convergencia Gromov-Hausdorff. Debatimos en la sección 8 la velocidad de convergencia
(en la métrica Gromov-Hausdorff) en este teorema y sus corolarios sobre volumen
crecimiento. En particular, hay una diferencia importante entre el caso discreto nilpotente
y el caso Solvable no nilpotente. En el primero, se puede encontrar una tasa de polinomio
de convergencia [9], mientras que en este último no existe tal tipo en general (véase Teorema
8.1).
1.3. Folner sets y teoría ergódica. Una consecuencia del corolario 1.6 es que
secuencias de bolas con el radio que va al infinito son secuencias Folner, a saber:
Corolario 1.10. Dejar G ser un grupo localmente compacto con crecimiento polinomio y
Seudodistancia periódica en G. Dejemos que Bl(t) sea la bola de radio t en G. Entonces
{B/23370/(t)}t>0 forman una familia Folner de subconjuntos de G a saber, para cualquier conjunto compacto F
en G, tenemos ( denota la diferencia simétrica)
5) lim
volG(FB(t)B(t)
volG(Bl(t))
Prueba. En efecto, para algunos c > dependiendo de F.
Por lo tanto (5) sigue de (3). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Esto resuelve el llamado “problema de localización” de Greenleaf para el local compacto
grupos de crecimiento polinomio (véase [16]), es decir, por la que se determina si las facultades de
un conjunto generador compacto n}n forma una secuencia Folner. Al mismo tiempo,
implica que el teorema ergódico para G-acciones se mantiene a lo largo de cualquier secuencia de bolas
con el radio que va al infinito.
Teorema 1.11. (Teorema Ergódico) Let se le da un grupo G localmente compacto con
crecimiento polinomio junto con un G-espacio X mensurable dotado de un G-
miden la probabilidad ergódica invariante m. Dejemos ser una pseudodistancia periódica en
A continuación, para cualquier p, 1 ≤ p <
función f • Lp(X,m) tenemos
volG(Bl(t))
Bl(t)
f(gx)dg =
para m-casi cada x X y también en Lp (X,m).
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 11
De hecho, el corolario 1.10 arriba, era el “bloque perdido” en la prueba de la ergódica
teorema en grupos de crecimiento polinomio. Hasta ahora y que yo sepa, Corollary
1.10 y Teorema 1.11 sólo se conocían a lo largo de alguna secuencia de bolas {B(tn)}n
elegido de modo que (5) se mantenga (véase, por ejemplo, [10] o [34]). Esta cuestión se planteó a continuación:
mi atención por A. Nevo y fue mi motivación inicial para el presente trabajo. Nosotros
remítase al lector al documento de la encuesta de A. Nevo [26] Sección 5.
Más tarde resultó que el mero hecho de que las bolas son Folner en un polinomio dado
crecimiento local grupo compacto también se puede derivar del hecho de que estos grupos son
duplicación de espacios métricos (que es un resultado más fácil que la asintótica precisa
vol(ln) cn
d(G) probado en este documento y sólo requiere límites inferiores y superiores
del formulario c1n
d(G) ≤ vol(ln) ≤ c2n
d(G)). Esto fue observado por R. Tessera
[35] que redescubrió un lindo argumento de Colding y Minicozzi [11, Lemma 3.3.]
mostrando que el volumen de las esferas ♥n+1 \ ♥n es a lo sumo algunos O(n) veces el
el volumen de la bola ln, donde ln > 0 es una constante positiva dependiendo solamente de la
doblando constante la métrica de la palabra inducida por en G.
En [9], damos un mejor límite superior (que depende sólo de la clase de nilpotencia
y no en la constante de duplicación) para el volumen de esferas en el caso de finitamente
grupos de nilpotentes generados. Esto se hace mostrando el siguiente término de error en
la asintótica del volumen de las bolas: tenemos vol(ln) = cln
d(G)+O(nd(G)ár ),
donde αr > 0 depende sólo de la clase de nilpotency r de G. Referimos al lector a
Sección 8 y preimpresión [9] para más información al respecto. Sólo notamos aquí.
que aunque el anterior enfriamiento-Minicozzi-Tessera límite superior en el volumen de
esferas se sostiene generalmente para todos los grupos localmente compactos G con crecimiento polinomio,
a menos que G es nilpotente, no hay término de error en general en la asintótica de la
volumen de bolas. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña se da en §8.1.
1.4. Una conjetura de Burago y Margulis. En [7] D. Burago y G. Margulis
conjeturado que cualquier métrica de dos palabras en un grupo finitamente generado que son
asintótico (en el sentido de que
1(e,γ)
2(e,γ)
tiende a 1 en el infinito) debe estar en un límite
distancia unos de otros (en el sentido de que 1(e, γ) − γ2(e, γ) = O(1)). Esto
se mantiene para los grupos abelianos. Un resultado análogo fue probado por Abels y Margulis
para métricas de palabras en grupos reductivos [1]. S. Krat [23] estableció esta propiedad
para métricas de palabras en el grupo Heisenberg H3(Z). Sin embargo, utilizando el Teorema 1.4
(que en este caso particular de grupos nilpotentes finitamente generados es sólo de Pansu
teorema [27]) mostraremos en la sección 8.3 que hay contraejemplos y
muestra dos métricas de palabras en H3(Z) × Z que son asintóticas y sin embargo no están en
una distancia limitada. Para más información sobre este contraejemplo, y cómo
modificar la conjetura de Burago y Margulis, nos referimos al lector interesado a
1.5. Organización del documento. Las secciones 2 a 4 están dedicadas a los preliminares. In
Sección 2 presentamos la teoría básica nilpotente como se puede encontrar en Guivarc’h
tesis [21]. En particular, una prueba completa de la fórmula Bass-Guivarc’h se da. In
Sección 3, recordamos la construcción de la nilshadow de un grupo Solvable Lie.
12 EMMANUEL BREUILLARD
En la Sección 4 establecemos los axiomas y las propiedades básicas de la distancia (pseudo)
funciones que se estudian en este artículo.
Las secciones 5-7 contienen el núcleo de la prueba de los principales teoremas. En la sección 5,
asumir que G es un grupo simplemente conectado Solvable Lie y reducir el problema a
el caso de los nilpotentes. En la Sección 6, suponemos que G es un simple nilpotente conectado.
Mentir grupo y probar Teorema 1.4 en este caso siguiendo la estrategia utilizada por Pansu
en [27]. En la Sección 7, probamos el Teorema 1.2 para grupos generales localmente compactos
y reducir la prueba de los resultados de la introducción al caso de la Mentira.
En la última sección hacemos más comentarios sobre la velocidad de convergencia.
En particular, damos ejemplos que responden negativamente a la pregunta antes mencionada
de Burago y Margulis.
El Apéndice está dedicado a los grupos discretos de la dimensión 3 de Heisenberg y
5. Calculamos sus bolas límite, explicamos la Figura 1, y recuperamos el resultado principal de
Stoll [33].
El lector que está principalmente interesado en el caso de grupo nilpotent puede leer directamente
Sección 6 mientras se mantiene un ojo en las secciones 2 y 4 para las anotaciones de antecedentes y
hechos elementales.
Por último, vamos a mencionar que los resultados y métodos de este documento fueron en gran medida
inspirado en las obras de Y. Guivarc’h [21] y P. Pansu [27].
1.6. Nota Bene. Una versión de este artículo distribuida desde 2007. El actual ver-
sión contiene esencialmente el mismo material, sólo la exposición se ha mejorado
y varios argumentos un tanto vagos han sido sustituidos por pruebas completas
(en particular en las secciones 3 y 7). Este retraso se debe al hecho de que yo estaba planeando...
ning durante mucho tiempo para mejorar la sección 6 y mostrar un término de error en el volumen
asintótica de las bolas en grupos nilpotentes. E. Le Donne y yo nos las arreglamos recientemente para
lograr esto y ahora se ha convertido en un documento conjunto independiente [9].
2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie
En esta sección, revisamos el material de antecedentes necesario sobre la mentira nilpotente
grupos. En el párrafo 2.4, damos algunas propiedades cruciales de la homogeneidad
normas y reproducir algunos lemas originalmente debido a Y. Guivarc’h que será
utilizado en la secuela. Mientras tanto, probamos la fórmula Bass-Guivarc'h para el de-
grado de crecimiento polinomio de grupos de mentira nilpotente, siguiendo el original de Guivarc’h
argumentación.
2.1. métricas del Carno-Carateosorio. Deja que G sea un grupo de Lie conectado con Lie
álgebra g y dejar m1 ser un subespacio vectorial de g. Denotamos por una norma en m1.
Ahora recordamos la definición de una métrica Carnot-Carathéodory invariante a la izquierda también
llamada métrica subFinsler en G. Let x, y G. Consideramos todas las posibles piezas
senderos lisos : [0, 1] → G que va de â € (0) = x a â € (1) = y. Que (u) sea el
vector tangente que es arrastrado de vuelta a la identidad por una traducción izquierda, es decir.
= (u) · (u)
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 13
donde (u) g y la notación (u) · (u) significa la imagen de (u) bajo
el diferencial en la identidad de la traducción izquierda por el elemento de grupo (u).
Decimos que el camino es horizontal si el vector (u) pertenece a m1 para todos
u â € [0, 1]. Denotamos por H el conjunto de caminos horizontales lisos por pieza. Los
La métrica Carnot-Carathéodory asociada a la norma se define por:
d(x, y) = inf{
(u)
du, â € H, â € (0) = x, â € (1) = y}
donde el infimum se toma sobre todos los senderos lisos a partes : [0, 1] → N con
*(0) = x, *(1) = y que son horizontales en el sentido de que *(u) * m1 para todas las u. Si
Es una norma euclidiana, la d(x, y) métrica también se llama subRiemanniano. En este
papel, sin embargo, la norma normalmente no será euclidiana (puede ser poliedro
como en el caso de las métricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados) y d(x, y)
sólo será SubFinsler. Si m1 = g, y es un euclidiano (resp. Arbitraria) norma
en g, entonces d es simplemente el habitual invariante de izquierda Riemannian (resp. métrica de Finsler)
asociado a .
Teorema de Chow (por ejemplo: [19] o [25]) nos dice que d(x, y) es finito para todos x y
y en G si y sólo si el vector subespacio m1, junto con todos los paréntesis de elementos
de m1, genera el álgebra completa de Lie g. Si esta condición se cumple, entonces d es un
distancia en G que induce la topología original de G.
En este artículo, sólo nos preocuparemos por las métricas Carnot-Caratheodory sobre
una simple conexión nilpotent Lie grupo N. En la secuela, cada vez que hablamos de un
métrica Carnot-Carathéodory en N, nos referimos a uno que está asociado a una norma
en un subespacio m1 de tal manera que n = m1.» [n, n] donde n = Lie(N). Es fácil de comprobar
que cualquiera de tales m1 genera el álgebra de Lie n.
Observación 2.1. Vamos a observar aquí que para tal d métrica en N, tenemos el
después de la descripción de la bola de unidad para
{v) m1 {v} ≤ 1} =
η1(x)
d(e, x)
, x â â € ¢ Nâ € e}
donde η1 es la proyección lineal de n (identificada con N via exp) a m1 con
kernel [n, n]. De hecho, η1 da lugar a un homomorfismo de N al espacio vectorial
m1. Y si es un camino horizontal de e a x, a continuación, la aplicación de η1 a (6) que
get d
η1((u)) =
′(u), por lo tanto η1(x) =
(u)du. Por lo tanto 1(x) ≤ d(e, x) con
igualdad si x â € m1.
2.2. Dilaciones en un grupo de mentira nilpotente y el grupo calificado asociado.
Ahora nos centramos en el caso de grupos de mentiras nilpotentes simplemente conectados. Dejad en paz a N.
tal grupo con Lie álgebra n y clase de nilpotency r.
análisis de estos grupos, nos referimos al lector al libro [12]. El exponencial
mapa es un difeomorfismo entre n y N. La mayoría de las veces, si x n, vamos a
anotación de abuso y denotar el elemento de grupo exp(x) simplemente por x. Denotamos
por {Cp(n)}p la serie descendente central para n, es decir, C
p+1(n) = [n, Cp(n)] con
C0(n) = n y Cr(n) = {0}.
14 EMMANUEL BREUILLARD
Dejar (mp)p≥1 ser una colección de subespacios vectoriales de n tal que para cada p ≥ 1,
7) Cp−1(n) = Cp(n)®mp.
Entonces n = p ≥ 1mp y en esta descomposición, cualquier elemento x en n (o N por abuso
de notación) se escribirá en la forma
ηp(x)
donde γp(x) es la proyección lineal sobre mp.
A tal descomposición se asocia un grupo de dilaciones de un parámetro (t)t>0.
Estos son los endomorfismos lineales de n definidos por
t(x) = t
para cualquier mp x y para cada p. Por el contrario, el grupo de un parámetro (t)t≥0
determina los (mp)p≥1’s ya que aparecen como espacios propios de cada uno, t 6= 1. Los
las dilaciones no conservan a priori el soporte de la mentira en n. Este es el caso si y
sólo si
(8) [mp,mq] mp+q
para cada p y q (donde [mp,mq] es el subespacio extendido por todos los conmutadores de
elementos de mp con elementos de mq). Si (8) se mantiene, decimos que el (mp)p≥1 forma un
estratificación del álgebra de Lie n, y que n es una mentira estratificada (o homogénea)
álgebra. Es un ejercicio para comprobar que (8) es equivalente a requerir [m1,mp] = mp+1
para todos los p.
Si (8) no se sostiene, sin embargo, podemos considerar una nueva estructura de álgebra de Lie en
el espacio vectorial real n definiendo el nuevo soporte de Lie como [x, y]
si x â € TM y y â € mq. Este nuevo álgebra de Lie no es estratificado y tiene el mismo
el espacio vectorial subyacente como n. Denotamos por N.O. el asociado simplemente conectado
Grupo de mentiras. Por otra parte el (t)t>0 forman un grupo de un parámetro de los automorfismos de
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. De hecho el soporte original de la Mentira [x, y] en n se puede deformar continuamente a
[x, y]• a través de una familia continua de estructuras de álgebra de Lie mediante el ajuste
(9) [x, y]t = 1
([.tx,.tty])
y dejando t → â € €. Tenga en cuenta que, a la inversa, si los Łt son automorfismos de n,
entonces [x, y] =
El álgebra de Lie graduada asociada a n es por definición
gr(n) =
Cp(n)/Cp+1(n)
dotado con el soporte de Lie inducido a partir de la de n. El mapa de cociente mp →
Cp(n)/Cp+1(n) da lugar a un isomorfismo lineal entre n y gr(n), que es
a Isomorfismo de álgebra de mentira entre la nueva estructura de álgebra de Lie n.a. y gr.a.
Por lo tanto estratificado Lie estructuras de álgebra inducidas por una elección de sub-
los espacios (mp)p≥1 como en (7) son todos isomórficos a gr(n).
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 15
En N.O. las métricas sub-invariantes izquierdas de Finsler d.O. asociadas a una elección de norma
en m1 son de especial interés. El grupo de un parámetro de dilaciones t}t es un
automorfismo de N.o y que
(10) d..............................................................................................................................................................................................................................................................
para cualquier x, y â € Nâ € TM. El espacio métrico (N, d) se llama grupo Carnot.
Si, por otro lado, el simple nilpotent Lie groupN no está estratificado,
a continuación, el grupo de dilaciones asociado a una elección de vector suplementario
subespacios mi como en (7) no consistirá en automorfismos de N y la relación
(10) no aguantará.
Tenga en cuenta también que si se nos dan dos opciones diferentes de subespacios suplementarios
mi’s y m
i es como en (7), a continuación, la izquierda-invariante Carnot-Carateosorio métricas en
los grupos de Lie estratificados correspondientes son isométricos si y sólo si (m1, ) y
(m′1,
) son isométricos (un isomorfismo lineal de m1 a m
1 que envía a
se extiende a una isometría de los dos grupos Carnot).
2.3. La fórmula Campbell-Hausdorff. El mapa exponencial exp : n → N
es un difeomorfismo. En la secuela, a menudo abusaremos de la notación e identificaremos a N
y n sin previo aviso. En particular, para dos elementos x e y de n (o
N equivalente) xy denotará su producto en N, mientras que x + y denota la suma
en n. Dejar que sea un grupo de un parámetro de dilaciones asociadas a una elección de
subespacios suplementarios mi como en (7). Denotamos la estratificación correspondiente
Lie álgebra por n.o como arriba y el grupo de Lie por N.o. El producto en N.O. es:
denotado por x* y. Las dilaciones son automorfismos.
La fórmula Campbell-Hausdorff (véase [12]) permite dar una forma más precisa de
el producto en N. Dejar que (ei)1≤i≤d sea una base de n adaptada a la descomposición en
mi's, es decir, mi = span{ej, ej mi}. Dejar x = x1e1 +...+ xded el correspondiente
descomposición de un elemento x n. A continuación, definir el grado di = deg(ei) a ser el
más grande j tal que ei C
j−1(n). Si α = (α1,..., αd) N
d es un multi-índice, a continuación, dejar
dα = deg(e1)α1 +...+ deg(ed)αd.
La fórmula Campbell-Hausdorff rinde
(11) (xy)i = xi + yi +
Cα,βx
donde Cα,β son constantes reales y la suma es sobre todos los multi-índices α y β tales
que dα + dβ ≤ deg(ei), dα ≥ 1 y dβ ≥ 1.
A partir de (9), es fácil dar la forma de la ley de grupo de Lie estratificada asociada:
(12) (x* y)i = xi + yi +
Cα,βx
donde la suma se limita a los α y β tales que dα + dβ = deg(ei),
dα ≥ 1 y dβ ≥ 1.
2.4. Casi-normas homogéneas y el teorema de Guivarc’h en polinomio
crecimiento. Dejar n ser un finito dimensión real nilpotente Lie álgebra y considerar un
descomposición
n = m1
16 EMMANUEL BREUILLARD
por subespacios vectoriales suplementarios como en (7). Dejemos que el parámetro (t)t>0 sea el único parámetro
grupo de dilaciones asociadas a esta descomposición, es decir, t(x) = t
ix si x mi.
Ahora introducimos la siguiente definición.
Definición 2.2 (Homogénea cuasinorma). Una función continua · : n → R+
se llama una cuasinorma homogénea asociada a las dilaciones (t)t, si satisface
las siguientes propiedades:
i) x = 0 x = 0.
ii) t(x) = tx para todos los t > 0.
Ejemplo 2.3. (1) Quasi-norms del tipo supremamum, es decir: x = maxp p(x)
donde p son normas ordinarias en el espacio vectorial mp y πp es la proyección en
mp como arriba.
(2) x = d(e, x), donde d es una métrica Carnot-Carathéodory en una estratificación
grupo de mentira nilpotente (como muestra la relación (10).
Claramente, una cuasi-norma está determinada por su esfera de radio 1 y dos cuasi-
normas (que son homogéneas con respecto al mismo grupo de dilaciones)
siempre equivalente en el sentido de que
1 ≤ 2 ≤ c 1
para alguna constante c > 0 (de hecho, por continuidad, · 2 admite un máximo en el
“esfera” x1 = 1}). Si las dos cuasinormas son homogéneas con respecto a
dos semi-grupos distintos de dilaciones, a continuación, las desigualdades (13) siguen manteniendo
fuera de un barrio de 0, pero puede fallar cerca de 0.
Las cuasinormas homogéneas satisfacen las siguientes propiedades:
Proposición 2.4. Que · sea una cuasi-norma homogénea en n, entonces hay
constantes C,C1, C2 > 0 tales que
a) xi ≤ C · x
deg(ei) si x = x1e1 +...+ xnen en una base adaptada (ei)i.
b) x−1 ≤ C · x.
(c) x+ y ≤ C · (x y)
(d) xy ≤ C1(x y) + C2.
Las propiedades (a), (b) y (c) son directas por el hecho de que x = maxp p(x)
es una cuasinorma homogénea y de (13). d) Justifica el término “cuasi-
norma” y sigue de Lemma 2.5 abajo. Puede ser un problema que la constante
C1 en (d) no puede ser igual a 1. De hecho, esta es la razón por la que usamos la palabra cuasi-norma
en lugar de simplemente norma, porque no se requiere el triángulo desigualdad axioma a
Espera. Sin embargo, el siguiente lema de Guivarc’h es a menudo un buen remedio
a esta situación. Que p sea una norma arbitraria en el espacio vectorial mp.
Lemma 2.5. (Guivarc’h, [21] lemme II.1) Let فارسى > 0. Hasta escalar cada p
en una norma proporcional p p (p > 0) si es necesario, la cuasinorma x =
maxp p(x)
Satisface
(14) xy ≤ x
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 17
Para todas las x, y N. Si N es estratificado con respecto a (?t)t podemos tomar? = 0.
Este lema es crucial también para la computación de la asintótica gruesa del volumen
crecimiento. Para la comodidad del lector, reproducimos aquí el argumento de Guivarc’h,
que se basa en la fórmula Campbell-Hausdorff (11).
Prueba. Arreglamos Ł1 = 1 y vamos a dar una condición en el Łi de modo que (14)
Espera. Los Łi’s serán tomados para ser más y más pequeños a medida que yo aumente. Nos pusimos
x = maxp p(x)
y dejar que x = maxp p
para cualquier r-tupla de Łi.
Queremos que para cualquier índice p ≤ r,
(15) p p p(xy)p ≤ (x + y + )
Para (11) tenemos γp(xy) = γp(x) + γp(y) + Pp(x, y) donde Pp es un mapa polinomio
en mp dependiendo únicamente de los ηi(x) y ηi(y) con i ≤ p− 1 de tal manera que
Pp(x, y) ≤ Cp
l,m≥1,l+m≤p
Mp−1(x)
lMp−1(y)
donde Mk(x) := maxi≤k i(x)
i y Cp > 0 es una constante dependiendo de Pp y
sobre las normas i. Desde 0, cuando se expande el lado derecho de (15) todos
términos de la forma xly
con l +m ≤ p aparecen con algún coeficiente positivo,
Di: "L,m". Los términos x
y y
aparecen con coeficiente 1 y no causan problemas
ya que siempre tenemos p p(x)p ≤ x
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, para
(15) para sostener, es suficiente que
pCpMp−1(x)
lMp−1(y)
El valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto
Para todos los l y m restantes. Sin embargo, claramente Mk(x) ≤?k · x donde?k :=
maxi≤k{1/
i } ≥ 1. Por lo tanto, una condición suficiente para (15) mantener es
en la que = min l,m. Dado que el valor de p−1 depende únicamente de los primeros valores de p−1 de los
es obvio que tal conjunto de condiciones puede ser cumplido por un r-tuple adecuado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 2.6. La constante C2 en Propiedad (d) anterior se puede tomar como 0 cuando N
es estratificado con respecto a los mi (es decir. los automorfismos de los ts son), como es fácil
visto después de cambiar x e y en su imagen debajo de Y a la inversa, si C2 = 0
para alguna casi-norma Homogénea en N, entonces N admite una estratificación. De hecho,
a partir de (11) y (12), vemos que si no son automorfismos, entonces uno puede
encontrar x, y N tal que, cuando t es lo suficientemente pequeño, t(xy) −
(r−1)/r
para algunos c > 0. Sin embargo, combinando Propiedades (c) y Propiedad (d) con C2 = 0
arriba debemos tener t(xy)− Łt(x)/23370/t(y) = O(t) cerca de t = 0. Una contradicción.
El lema de Guivarc’h nos permite mostrar:
Teorema 2.7. (Guivarc’h ibíd.) Vamos a ser un barrio compacto de la identidad
en un grupo N y (x, y) = inf{n ≥ 1, x
−1y ~ ~ ~ ~ n}.
18 EMMANUEL BREUILLARD
Entonces para cualquier cuasi-norma homogénea · en N, hay una constante C > 0 tal
x ≤ (e, x) ≤ Cx C
Prueba. Desde cualquier dos cuasi-normas homogéneas (w.r.t el mismo un-parámetro
grupo de dilaciones) son equivalentes, es suficiente para hacer la prueba de uno de ellos,
por lo que consideramos la cuasi-norma obtenida en Lemma 2.5 con la propiedad adicional
(14). El límite inferior en (16) es una consecuencia directa de (14) y se puede tomar
allí C a ser maxx, x + فارسى. Para el límite superior, basta con mostrar
que hay C # N tal que para todos n # N, si #x ≤ n entonces x #Cn. A
lograr esto, procedemos por inducción de la longitud de nilpotencia de N. El resultado
está claro cuando N es abeliana. De lo contrario, por inducción obtenemos C0 N tal que
x = 1 ·... · · C0n · z en los que • i • • y z • C
r−1(N) siempre que x ≤ n. Por lo tanto
z ≤ xC0n ·max
i C0 · n ≤ C1n para alguna otra constante C1 · N. Así que
han reducido el problema a x = z mr = C
r−1(N) que es central en N. Nosotros
tener z = zn
1 donde z1 = z/n ≤ C1. Puesto que ♥ es un barrio de la identidad
en N, el conjunto U de todos los productos de al menos dim(mr) conmutadores simples de longitud
r de elementos en ♥ es un barrio de la identidad en Cr−1(N) (e.g. Véase [19],
p113). De ello se deduce que hay una constante C2 N tal que z1 está en U
C2, de ahí la
producto de como máximo C2 dim(mr) simples conmutadores. Entonces hemos terminado porque z
será igual al mismo producto de los conmutadores donde cada letra xi...................................................................................................................
se sustituye por xni. Este último hecho se deriva del siguiente lema:
Lemma 2.8. Que G sea un grupo nilpotente de clase nilpotency r y n1,..., nr ser
enteros positivos. A continuación, para cualquier x1,..., xr G
1, [x
2, [..., x
r ]...] = [x1, [x2, [..., xr]...]
n1·...·nr
Para probar el lema basta con utilizar la inducción y el siguiente hecho obvio:
si [x, y] se desplaza a x e y entonces [xn, y] = [x, y]n.
Finalmente, obtenemos:
Corollary 2.9. Dejemos que ♥ sea un barrio compacto de la identidad en N. Entonces allí
son constantes positivas C1 y C2 de tal manera que para todos los n+N,
d ≤ volN ()
n) ≤ C2n
donde d es dada por la fórmula Bass-Guivarc’h:
(17) d =
i · dimmi
Prueba. Por Teorema 2.7, es suficiente estimar el volumen de la cuasi-norma
pelotas. Por homogeneidad de la cuasi-norma, tenemos volN{x, x ≤ t} = t
dvolN{x, x ≤
1}. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 2.10. El uso del teorema de Malcev permite, como Guivarc'h ob-
servido, para deducir inmediatamente que el resultado análogo tiene para prácticamente nilpotente
grupos finitos generados. Este hecho que también fue probado independientemente por H. Bass
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 19
[3] por un argumento combinatorio directo. Véase también el apéndice de Tetas de Gromov
por [17]. De hecho, el Teorema 2.7 de Guivarc’h parece haber sido redescubierto varios
en los últimos 40 años, incluyendo por Pansu en su tesis [27], el último ejemplo
de ese ser [22].
3. El nilshadow
El objetivo de esta sección es introducir el nilshadow de un simplemente conectado
Solvable Lie grupo G. Asumimos que G tiene crecimiento polinomio, aunque
Esta última suposición no es necesaria para casi todo lo que hacemos en esta sección.
La única declaración que se utilizará después en el papel (en la sección 5) es:
Lemma 3.12 infra. El lector familiarizado con el nilshadow puede saltar directamente a
la declaración de este lema y omitir la próxima discusión.
3.1. Construcción del nilshadow. El nilshadow de G es un simple conectado
nilpotent Lie grupo GN, que se asocia a G de una manera natural. Esta noción
fue introducido por primera vez por Auslander y Green en [2] en su estudio de los flujos en
Solvmanifolds. Lo definieron como el radical unipotente de una división semi-simple
G. Sin embargo, vamos a seguir un enfoque diferente para su construcción por
trabajando primero en el nivel de álgebra de Lie. Referimos al lector al libro [13] donde
Este enfoque ha sido adoptado.
Dejar g ser un álgebra de Lie real solucionable y n el nilradical de g.Tenemos [g, g] n.
Si x g, escribimos ad(x) = ads(x) + adn(x) la descomposición jordana de ad(x) en
GL(g). Desde ad(x) • Der(g), el espacio de derivaciones de g, y Der(g) es la Mentira
álgebra del grupo algebraico Aut(g), los componentes jordanos ads(x) y adn(x)
también pertenecen a Der(g). Por otra parte, para cada x g, ads(x) envía g en n (porque
así lo hace ad(x) y ads(x) es un polinomio en ad(x)). Que h sea una subalgebra de Cartan
de g, a saber, un subalgebra autonormalizante nilpotente. Recordemos que la imagen de
a Cartan subalgebra por un sujetivo Lie homomorfismo álgebra es de nuevo un coche-
Tan subalgebra. Ahora como g/n es abeliano, se sigue que h mapas en g/n, es decir.
h+ n = g. Por otra parte ads(x)h = 0 si x h, porque h es nilpotente.
Ahora elegir cualquier vector real subespacio v de h en suma directa con n. A continuación, el
se mantienen dos condiciones:
i) vâr n = g.
ii) ads(x)(y) = 0 para todas las x, y â € v.
De los incisos i) y ii), se desprende fácilmente que los anuncios (x) se desplazan con ad(y), ad(y) y
adn(y), para todas las x, y en v. Tenemos:
Lemma 3.1. El mapa v → Der(g) definido por x 7→ ads(x) es un álgebra de Lie
homomorfismo.
Prueba. Primero vamos a comprobar que este mapa es lineal. Vamos a x, y v. v. Por el anterior
ads(y) y ads(x) viajan entre sí (de ahí que su suma sea semi-simple) y
viajar con adn(x)+adn(y). De la singularidad de la descomposición de Jordania
20 EMMANUEL BREUILLARD
Queda por comprobar que adn(x)+adn(y) es nilpotente si x, y en v. Para ver esto, aplicar
la siguiente observación obvia dos veces a a = adn(x) y V = ad(n) primero y luego a
a = adn(y) y V = span{adn(x), ad(ad(y))
nx), n ≥ 1} : Que V sea un nilpotente
subespacio de GL(g) y una GL(g) nilpotente, es decir, V n = 0 y am = 0 para algunos
n,m N y asumir [a, V] V. Entonces (a+V )nm = 0.
El hecho de que este mapa es un homomorfismo Lie álgebra sigue fácilmente de la
hecho de que todos los anuncios (x), x v v conmutarse entre sí y con [g, g] n.
Definimos un nuevo soporte de Lie en g estableciendo:
(18) [x, y]N = [x, y]− ads(xv)(y) + ads(yv)(x)
donde xv es la proyección lineal de x en v de acuerdo con la suma directa vÃ3n = g.
La identidad de Jacobi es verificada por un cálculo directo donde lo siguiente:
hecho es necesario: anuncios (ads(x)(y)) = 0 para todos x, y g. Esto se sostiene porque, como nosotros sólo
vis, ads(x)(g) (n) para todos los x â € g, y ads(a) = 0 si un â € n.
Definición 3.2. Que gN sea el espacio vectorial g dotado con el nuevo álgebra de Lie
estructura [·, ·]N dada por (18). El Nilshadow GN de G se define como el simple
grupo de mentira conectado con Lie álgebra gN.
Es fácil comprobar que gN es un álgebra nilpotent Lie. Para ver esto, tenga en cuenta primero que
[gN, gN ]N â n, y si x â gN e y â n, entonces [x, y]N = (adn(xv) + ad(xn)(y).
Sin embargo, adn(xv) + ad(xn) es un endomorfismo nilpotente de n como sigue de la
la misma observación utilizada en la prueba de Lemma 3.1. Por lo tanto, gN es un nilpotente.
El producto nilshadow Lie en GN será denotado por * con el fin de distinguir
lo del producto Lie original en G. En la secuela, identificaremos a menudo G (resp.
GN ) con su Lie álgebra g (resp. gN) a través de su respectivo mapa exponencial. Desde
el espacio subyacente de gN era g en sí mismo, esto da una identificación (aunque no
un isomorfismo de grupo) entre G y GN. Entonces el producto Nilshadow Lie puede
se expresarán en términos del producto original de la manera siguiente:
g* h = g · (T (g−1)h)
Aquí T es el grupo Lie homomorfismo G → Aut(G) inducido por lo anterior
elección del subespacio suplementario v como se indica a continuación.
(19) T (ea)(eb) = exp(eads(av)b)
En otras palabras, T es el único homomorfismo grupo Lie cuyo diferencial
en la identidad está el homomorfismo Lie álgebra deT : g → Der(g) dado por
deT (a)(b) = ads(av)b, es decir, la composición del mapa v → Der(g) de
Lemma 3.1 con la proyección lineal g → g/n v.
Es fácil comprobar que esta definición del nuevo producto es compatible con
la definición del nuevo soporte Lie.
También se puede comprobar que dos opciones de espacios suplementarios v como por encima de rendimiento
Estructuras isomórficas de la Mentira (véase [13, cap. III]). Por lo tanto, por el abuso del lenguaje, nosotros
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 21
hablar de la nilshadow de g, cuando nos referimos a la estructura de la mentira en G inducido por un
elección de v como anteriormente.
El siguiente ejemplo muestra varias de las características de una Lie solvable típica
grupo de crecimiento polinomio.
Ejemplo 3.3 (Nilshadow de un producto semidirecto). Let G = R R
n donde
GLn(R) es un subgrupo de un parámetro dado por GLn(R)
A es alguna matriz en Mn(R) y A = Como +Au es su descomposición de Jordania, dando
subir a kt = exp(tAs) y ut = exp(tAu). El grupo G es diffeomórfico a R
por lo tanto simplemente conectado. Si todos los valores propios de As son puramente imaginarios, entonces G tiene
crecimiento polinomio. Sin embargo G no es nilpotente a menos que As = 0. Así que vamos a asumir
que ni As ni Au es cero. Entonces el Nilshadow GN es el producto semi-directo
Ru R
n donde ut es la parte unipotente de Łt.
Es fácil calcular la dimensión homogénea de G (o GN) en términos de
dimensión de los bloques jordanos de Au. Si nk es el número de bloques de Jordania de Au
del tamaño k, entonces
d(G) = 1 +
k(k + 1)
3.2. Propiedades básicas de la nilshadow. Ahora enumeramos en forma de unos pocos
lemas algunas propiedades básicas de la nilshadow.
Lemma 3.4. La imagen de T : G → Aut(G) es abeliana y relativamente compacta.
Por otra parte, T (g)h) = T (h) para cualquier g.
Prueba. Dado que G tiene crecimiento polinomio es de tipo (R) por el teorema de Guivarc’h.
Por lo tanto, todos los anuncios (x) tienen valores propios puramente imaginarios. De ello se deduce que K es compacto.
Puesto que los factores T a través del nilradical, su imagen es abeliana. La última igualdad
sigue a partir de (19) y el hecho de que "x", "y" g, ads(ads(x)(y)) = 0. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 3.5. T (G) también pertenece a Aut (GN ) y T es un homomorfismo de grupo
GN → Aut (GN ).
Prueba. La primera afirmación se deriva de (19) y el hecho de que deT es una derivación
de gN como se puede comprobar a partir de (18) y el hecho de que x, y g, ads(ads(x)(y)) = 0.
La segunda afirmación se deriva entonces de Lemma 3.4. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Denotamos por K el cierre de T (G) en Aut (G) = Aut (g).
Lemma 3.6 (K-action on gN ). K conserva v y actúa trivialmente en ella. También
conserva los ideales n y la serie descendente central {Ci(gN)}i de gN.
Prueba. Basta comprobar que los anuncios (v) preservan n y C
i(gN ). Conserva n
porque ad(x) conserva n para todos los x â € g. Conserva Ci(gN ) porque actúa como un
derivación de gN como ya hemos comprobado en la prueba de Lemma 3.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.7 (Bien definido de η1). También es fácil comprobar desde la definición
del soporte de nilshadow que el subálgebra conmutador [gN, gN] y, de hecho, cada uno
término de la serie descendente central Ci(gN ) es un ideal en g y no depende
sobre la elección del subespacio suplementario v utilizado para definir el soporte de nilshadow.
22 EMMANUEL BREUILLARD
En particular, el mapa de proyección η1 : gN → gN/[gN, gN ] es un lineal bien definido
mapa en g = gN (es decir, independientemente de la elección implicada en la construcción de
el soporte de la mentira de nilshadow).
Lemma 3.8 (Mapa Exponencial). Los respectivos mapas exponenciales exp : g → G
y expN : gN → GN coinciden en n y en v.
Prueba. Puesto que los dos productos de Lie coinciden en N = exp(n), también lo hacen sus exponenciales
mapa. Para la segunda afirmación, tenga en cuenta que T (e-tv)v = v para cada v v porque
ads(x)(y) = 0 para todas las x, y. De ello se deduce que {e)
tv}t es un subgrupo de un parámetro
para ambas estructuras de Lie, por lo tanto es igual a {expN (tv)}t.
Observación 3.9 (Surjetividad del mapa exponencial). El mapa exponencial no es
siempre un difeomorfismo, como el ejemplo de la cubierta universal del grupo E
de movimientos del plano muestra (de hecho, cualquier subgrupo de 1 parámetro de E es
subgrupo de traducción o un subgrupo de rotación, pero el subgrupo de rotación es compacto
por lo tanto un toro, por lo que su elevación contendrá el centro (discreto) de E, por lo tanto se perderá
cada elevación de una traducción no trivial). De hecho, es fácil ver que si g es la mentira
álgebra de un grupo solvable (no-nilpotente) Lie de crecimiento polinomio, luego g mapas
Suryctively en el álgebra de la mentira de E. Por lo tanto, para un solvable simplemente conectado y
grupo de mentira no-nilpotente del crecimiento polinomio, el mapa exponencial nunca está en.
Sin embargo, su imagen es fácilmente vista como densa.
Sin embargo, las coordenadas exponenciales del segundo tipo se comportan bien. Tenga en cuenta que
[gN, gN] N.
Lemma 3.10 (Coordenadas exponenciales del segundo tipo). Dejar {Ci(gN)}i≥0
ser la serie descendente central de gN (con C
1 gN ) = [gN, gN ]) y pick lineal
subespacios mi en gN tal que C
i(gN ) = mi (+ C)
i−1(gN ) para i ≥ 2. Deja que yo sea un
subespacio suplementario de C1(gN) en n. Definir coordenadas exponenciales de la
segundo tipo mediante el ajuste
Sr....m2 v → G
(r,..., 1, v) 7→ expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v)
Este mapa es un difeomorfismo. Por otra parte, expN (r) ∗. * expN (1) * expN (v) =
Para todas las opciones de v. v. y de mi.
Prueba. Por Lemma 3.8 los mapas exponenciales de G y GN coinciden en n y en v.
Además g* h = g · h cuando g pertenece a la exp(n) nilradical de G. Por lo tanto
expN (r)*...........................................................................................................................................................................................................................................................
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
La restricción del mapa a n es un difeomorfismo en exp(n), porque este mapa
y sus inversos son mapas polinomios explícitos (las coordenadas de los
tipo, ver el libro [12]). Ahora el mapa n â € v → G enviar (n, v) a en · ev es un
difeomorfismo, porque G está simplemente conectado y por lo tanto el grupo cociente
G/ exp(n) isomórfico a un espacio vectorial y por lo tanto a exp(v). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 3.11 (“Bi-invariante” métrica Riemanniana). Existe un Riemanniano
métrica en G que se deja invariante bajo ambas estructuras de Lie.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 23
Prueba. De hecho, basta con recoger un producto escalar en g que es invariante bajo el
subgrupo compacto K = T (G) • Aut(g). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Identificamos K = {T (g), g {G} con su imagen en Aut(g) bajo el canónico
isomorfismo entre Aut(G) y Aut(g). Recordemos que, según Lemma 3.6,
la serie descendente central de gN es invariante en ads(x) para todos x â € v y
consiste en ideales de g. Lo mismo se sostiene para n. Se deduce que estos subespacios lineales
también invariante bajo K. Sin embargo, como K es compacto, su acción en g es completamente
Reducible. Por lo tanto, hemos demostrado:
Lemma 3.12 (estratificación K-invariante de la nilshadow). Let g ser el álgebra de Lie
de un simplemente conectado Lie grupo G con el crecimiento polinomio. Deja que gN sea el nilshadow
álgebra de mentira obtenida a partir de una división g = nov como se indica anteriormente (es decir, n es el nilradical y
v satisface ads(x)(y) = 0 para cada x, y â € v). Let K := {T (g), g â € € G} â € € TM Aut (G),
donde T se define por (19). Luego hay una elección de subespacios lineales mi y l
de tal manera que
(20) gN = Sr. .. m2............................................................................................................................................................................................................................................................
donde cada término es K-invariante, m1 := l+V y la serie descendente central de
gN satisface C
i(gN ) = mi (+ C)
i−1 (gN ). Por otra parte, la acción en K se puede leer
sobre las coordenadas exponenciales de segundo tipo en esta descomposición, a saber:
#... # # E # # # E # # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E # E #
= k(eñr) ·... · k(eñ0) = ek(ñr) ·... · ek(ñ0)
= expN (k(r)) ∗... ∗ expN (k(0))
4. métricas periódicas
En esta sección, a menos que se indique lo contrario, G denotará una
Grupo pactado.
4.1. Definiciones. Por una pseudodistancia (o métrica) en un espacio topológico X, nosotros
media de una función : X × X → R+ que satisface las siguientes condiciones :.(x, y) =.(y, x) y.(x, z) ≤
Para cualquier trillizo de puntos de X. Sin embargo, el valor de x, y puede ser igual a 0
incluso si x 6= y.
Requeriremos que nuestras pseudodistancias se limiten localmente, lo que significa que la
imagen debajo de ♥ de cualquier subconjunto compacto de G × G es un subconjunto limitado de R+. A
evitar los casos irrelevantes (por ejemplo, en el caso de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los de los de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos ( de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos de los casos
el mapa y 7→ ♥(e, y) es un mapa adecuado, es decir, la preimagen de un conjunto limitado es
limitado (no pedimos que el mapa sea continuo). Cuando se delimita el límite local
entonces es apropiado si y sólo si y 7→ ♥(x, y) es apropiado para cualquier x G.
Se dice que una pseudodistancia en G es asintóticamente geodésica si por cada فارسى > 0
existe s > 0 de tal manera que para cualquier x, y G se puede encontrar una secuencia de puntos
x1 = x, x2,..., xn = y en G de tal manera que
(xi, xi+1) ≤ (1 +
y ♥(xi, xi+1) ≤ s para todos los i = 1,..., n − 1.
24 EMMANUEL BREUILLARD
Vamos a considerar exclusivamente pseudodistancias en un grupo G que son invariantes
debajo de las traducciones de la izquierda por todos los elementos de un subgrupo cerrado fijo y cocompacto
H de G, lo que significa que para todas las x, y G y todas las h H, H (hx, hy) = x, y.
Combinando todos los axiomas anteriores, establecemos la siguiente definición.
Definición 4.1. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Una pseudodistancia en G
se dice que es una métrica periódica (o métrica periódica H) si satisface lo siguiente
propiedades:
(i) es invariante en las traducciones a la izquierda por un subgrupo cerrado de cocompactos H.
ii) sea localmente limitada y adecuada.
iii) Es geodésica asintóticamente.
Observación 4.2. La suposición de que es simétrico, es decir. * (x, y) = * (y, x) está aquí.
sólo por el bien de la simplicidad, y la mayoría de lo que se demuestra en este documento puede ser
hecho sin esta hipótesis.
4.2. Propiedades básicas. Vamos a ser una métrica periódica en G y H algunos co-compacto
subgrupo de G. Las siguientes propiedades son straighforward.
1) Se encuentra a una distancia limitada de su restricción a H. Esto significa que si F
es un dominio fundamental limitado para H en G y para una x arbitraria + G, si hx
denota el elemento de H tal que x hxF, entonces (x, y)− ♥(hx, hi) ≤ C para
alguna constante C > 0.
(2) Łt > 0 existe un subconjunto compacto Kt de G de tal manera que,
x−1y Kt. Y a la inversa, si K es un subconjunto compacto de G, t(K) > 0 s.t.
x−1y • K (x, y) ≤ t(K).
(3) Si el valor de x, y) ≥ s, el valor de xi en (21) puede elegirse de tal manera que s ≤
(xi, xi+1) ≤ 2s (se puede tomar un subconjunto adecuado del xi original).
(4) La restricción de la letra H × H es una pseudodistancia periódica en la letra H.
significa que el xi en (21) puede ser elegido en H.
(5) Por el contrario, dada la pseudodistancia periódica H sobre H, es posible extender
a una pseudodistancia periódica en G mediante el ajuste de.(x, y) =.(hx, hi) donde x =
hxF para algunos dominios fundamentales limitados F para H en G.
4.3. Ejemplos. Demos algunos ejemplos de pseudodistancias periódicas.
(1) Let ser un grupo de nilpotente sin torsión finitamente generado que está incrustado
como subgrupo discreto cocompacto de un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado.
Teniendo en cuenta un conjunto de generación simétrica finita S de........................................................................................................................................................................................................................................................
métrica de la palabra dS en فارسى que da lugar a una métrica periódica en N dada por ♥(x, y) =
dS(γx, γy) donde x γxF y y γyF si F es algún dominio fundamental fijo para
En el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva, en el párrafo 2 de la parte dispositiva.
(2) Otro ejemplo, dado en [27], es el siguiente. Deja que N/ sea un nilmanifold con
la cobertura universal N y el grupo fundamental N. Dejar g ser una métrica Riemanniana en
N.O.B. Puede ser elevado a la cubierta universal y por lo tanto da lugar a un Riemannian
métrica g? en N. Esta métrica es invariante, apropiada y delimitada localmente. Ya que..................................................................................................................
cocompacto en N, es fácil comprobar que también es geodésico asintóticamente por lo tanto
periódica.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 25
(3) Cualquier métrica de la palabra en G. Es decir, si es una generación simétrica compacta
subconjunto de G, let (x) = inf{n ≥ 1, x
n}. A continuación, define ♥(x, y) = (x
−1y).
Claramente es una pseudodistancia (aunque no una distancia) y es G-invariante en el
izquierda, también es apropiada, localmente limitada y asintóticamente geodésica, por lo tanto periódica.
(4) Si G es un grupo de Lie conectado, cualquier métrica de Riemanniana invariante izquierda en G.
Aquí de nuevo H = G y obtenemos una distancia periódica. Del mismo modo, cualquier invariante izquierda
La métrica Carnot-Carathéodory en G servirá.
Observación 4.3 (el teorema de Berestovski). Según un resultado de Berestovski [5]
cada distancia geodésica izquierda-invariante en un grupo de Lie conectado es un subFinsler
métrica tal como se define en el punto 2.1.
4.4. Equivalencia absoluta entre pseudodistancias invariantes. Lo siguiente:
la proposición es básica:
Proposición 4.4. Dejemos que el 1 y el 2 sean dos pseudodistancias periódicas en G.
es una constante C > 0 de tal manera que para todos x, y G
C ≤ 1(x, y) ≤ C2(x, y) ≤ C2(x, y) + C
Prueba. Claramente es suficiente probar el límite superior. Let s > 0 ser el número cor-
responder a la elección = 1 en (21) para 2. A partir de 4.2 (2), existe un pacto
subconjunto Ks en G de tal manera que.a2(x, y) ≤ 2s.a x
-1a - K2s, y hay una constante
t = t(K2s) > 0 tales que x
-1a -2 K2s -1(x, y) ≤ t. Let C = max{2t/s, t}, y
que x, y â € € TM G. Si?2(x, y) ≤ s entonces?1(x, y) ≤ t por lo que el lado derecho de (22) sostiene.
Si el valor de 2(x, y) ≥ s entonces, a partir de (21) y 4.2 (3), obtenemos una secuencia de xis en G de x
a y tales que s ≤ ♥2(xi, xi+1) ≤ 2s y
2 (xi, xi+1) ≤ 2(x, y). De ello se desprende:
que?1(xi, xi+1) ≤ t para todos los i. Por lo tanto, el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y) ≤ el valor de la sustancia problema (x, x, y)
1(xi, xi+1) ≤ Nt ≤
tÿ2(x, y)
y el lado derecho de (22) sostiene. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En el caso particular cuando G = N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado,
la distancia al origen x 7→ (e, x) es también groseramente equivalente a cualquier homogeneidad
neous cuasi-norm en N. Tenemos,
Proposición 4.5. Supongamos que N es un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Dejad en paz a la gente.
una pseudodistancia periódica sobre N y · ser una cuasi-norma homogénea, entonces allí
existe C > 0 de tal manera que para todos x â € N
x−1y − C ≤ 1(x, y) ≤ Cx
−1y C
Por otra parte, si se trata de una pseudodistancia periódica en el grupo nilpotente estratificado N
asociado a N, entonces de nuevo, hay una constante C > 0 tal que
C ≤ 1(e, x)− C ≤ 1(e, x) ≤ 2(e, x) + C
La propuesta se deriva inmediatamente del teorema de Guivarc’h (véase el corolario 2.7.
arriba), la equivalencia de cuasinormas homogéneas, y el hecho de que invariante de izquierda
Las métricas de Carnot-Carateodory en N.O. son normas cuasi homogéneas. Sin embargo,
Dado que las estructuras de grupo de N y N9 difieren, (24) en general no pueden ser sustituidas.
por la relación más fuerte (22) como los ejemplos simples muestran.
26 EMMANUEL BREUILLARD
La siguiente propuesta es de importancia fundamental para el estudio de las métricas sobre
Grupos de mentiras de crecimiento polinomio:
Proposición 4.6. Deja que G sea un grupo simplemente conectado de Lie Solvable de polinomio
crecimiento y GN su nilshadow. Seamos seudodistancias periódicas arbitrarias.
sobre G y GN, respectivamente. Entonces hay una constante C > 0 tal que para todos
x, y â € TM G
N (x, y)− C ≤ (x, y) ≤ C/23370/N (x, y) + C
Prueba. De acuerdo con la Proposición 4.4, es suficiente mostrar (25) para alguna elección de
métricas periódicas en G y GN. Pero en Lemma 3.11 construimos un Riemanniano
métrica en G que se deja invariante para G y GN. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4.5. Invarianza derecha bajo un subgrupo compacto. Aquí verificamos que, dado
un subgrupo compacto de G, cualquier métrica periódica se encuentra a una distancia limitada de otro
métrica periódica que es invariante a la derecha por este subgrupo compacto. Deja K
ser un subgrupo compacto de G y una pseudodistancia periódica en G.
con la ayuda de la medida Haar normalizada en K para obtener:
(26) K(x, y) =
(xk1, yk2)dk1dk2
A continuación, se mantiene lo siguiente:
Lemma 4.7. Hay una constante C0 > 0 dependiendo sólo de ♥ y K de tal manera que
para todos los k1, k2 K y todos los x, y G
(27) (xk1, yk2)− ♥(x, y) ≤ C0
Prueba. A partir de 4.2 (2), t = t(K) > 0 s.t. (x, xk) ≤ t. Aplicando la
Triángulo de desigualdad, hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Por lo tanto obtenemos:
Proposición 4.8. La pseudodistancia K es periódica y se encuentra en un
Desde el 1 de enero de 1985. En particular, como x tiende a infinito en G el siguiente límite se mantiene
(28) lim
K(e, x)
(e, x)
Prueba. A partir de Lemma 4.7 y 4.2 (3), es fácil comprobar que
toticalmente geodésico, y periódico. La integración (27) nos da que K está en un límite
La distancia entre los países de la Comunidad y los países de la Europa central y oriental es evidente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Si K es normal en G, obtenemos así una métrica periódica de K en G/K de tal manera que
K(p(x), p(y)) se encuentra a una distancia limitada de x, y, donde p es el mapa de cocientes
G→ G/K.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 27
5. Reducción al caso de nilpotente
En esta sección, G denota un grupo de polinomios Solvable Lie simplemente conectado
crecimiento. Vamos a reducir la prueba de los teoremas de la introducción
al caso de un G nilpotent. Esto se realiza mostrando que cualquier
pseudodistancia en G es asintótica a alguna pseudodistancia periódica asociada
N en el Nilshadow GN. Lo declaramos en la Proposición 5.1 a continuación.
El paso clave en la prueba es la Proposición 5.2 a continuación, que muestra la asintótica
la invarianza de.. bajo la "parte semisimple" de G. El hecho crucial allí es que el
desplazamiento de un punto distante bajo un automorfismo unipotente fijo es insignificante
en comparación con la distancia de la identidad (véase Lemmas 5.4, 5.5), de modo que la
acción de la parte semisimple de los elementos grandes puede ser simplemente aproximado por
su acción por la traducción izquierda.
5.1. Invarianza asintótica bajo un grupo compacto de automorfismos
de G. El resultado principal de esta sección es el siguiente. Deja que G sea un conectado y
simplemente conectado grupo Solvable Lie con crecimiento polinomio y GN su nilshadow
(véase la sección 3).
Proposición 5.1. Que H sea un subgrupo cerrado de cocompacto de G y un H-
pseudodistancia periódica (véase la definición 4.1) en G. Existe un subconjunto cerrado HK
que contiene H, que es un subgrupo de cocompacto para G y GN, y un HK-
periódica (para ambas estructuras de mentira) pseudodistancia
(29) lim
K(e, x)
(e, x)
El subgrupo cerrado HK se considerará el cierre del grupo generado
por todos los elementos de la forma k(h), donde h pertenece a H y k pertenece a la
cierre K en el grupo Aut(G) de la imagen de H bajo el homomorfismo
T : G → Aut(G) introducido en la sección 3. Es fácil comprobar desde la definición
del producto nilshadow (1) que se trata de un subgrupo tanto en G como en su
Nilshadow GN.
La nueva pseudodistancia K se define de la siguiente manera, utilizando un doble promedio
procedimiento:
(30) K(x, y) :=
(gk(x), gk(y))dkdμ(g)
Aquí la medida μ es la medida Haar normalizada en el espacio de coset H\HK
y dk es la medida Haar normalizada en el grupo compacto K. Recordemos que
todos los subgrupos cerrados de S son unimodulares (ya que tienen crecimiento polinomio por
[21][Lemme I.3.]). De ahí la existencia de medidas invariantes en los espacios coset.
Una parte esencial de la prueba de la Proposición 5.1 está incluida en la siguiente
declaración:
28 EMMANUEL BREUILLARD
Proposición 5.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en G que es invariante
bajo un subgrupo de cocompacto H. Entonces ♥ es asintóticamente invariante bajo el
acción de K = {T (h), h {H} Aut(G). Es decir, (uniforme) para todos los k ° K,
(31) lim
(e, k(x))
(e, x)
La prueba de la Proposición 5.2 se divide en dos pasos. Primero mostramos que lo es.
lo suficiente para demostrar (31) para un denso subconjunto de k’s. Esto es una consecuencia de lo siguiente:
declaración de continuidad:
Lemma 5.3. Deja فارسى > 0, entonces hay un barrio U de la identidad en K tales
que, para todos los k â € ¢ U,
limx
(x, k(x))
(e, x)
Entonces mostramos que la acción de T (g) se puede aproximar por la conjugación
por g, esencialmente porque la parte unipotente de esta conjugación no se mueve x
mucho cuando x está lejos. Este es el contenido del siguiente lema:
Lemma 5.4. Que sea una pseudodistancia periódica en G que es invariante bajo
un subgrupo de cocompacto H. A continuación, para cualquier فارسى > 0, y cualquier subconjunto compacto F en H
hay s0 > 0 tal que
(e, T (h)x) − (e, hx) ≤ (e, x)
para cualquier h • F y tan pronto como •(e, x) > s0.
Prueba de la Proposición 5.2 módulo Lemmas (5.3) y (5.4):
ser H-invariante, por cada h â € H, tenemos (e, h−1x)/?(e, x) → 1. La prueba de
la proposición sigue inmediatamente de la combinación de los dos últimos
Lemas. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
5.2. Prueba de Lemmas (5.3) y (5.4). Elegimos los subespacios K-invariantes mi’s
y l del nilshadow gN de g como en Lemma 3.12 de la sección 3. En particular
gN = Sr. ...............................................................................................................................................
donde cada término es K-invariante, n = [gN, gN ] l y C
i(gN ) = mi (+ C)
i−1 (gN ).
Por otra parte, t(x) = t
ix si x â € mi (aquí m1 = lâ € v).
También establecemos v(x) = maxi i
i if x = expN (r) ∗. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
i > 0 y d0 = 1. Y dejamos que x := maxi-xi
1/di si x = xr +. ...........................................................................................................
por encima de la descomposición directa de la suma.
Nótese que · es una cuasi-norma de los t-homógenos. Además, es sencillo
verificar (utilizando la fórmula Campbell-Hausdorff (12) y la Proposición 2.4) que
v(x) ≤ CxC para alguna constante C > 0. En particular:
de los restos delimitados
como x se vuelve grande.
Prueba de Lemma 5.3. Combinando las Proposiciones 4.5 y 4.6, hay una constante
C > 0 De tal manera que para todos x, y â € € TM G,?(x, y) ≤ Cx1 * y + C. Por lo tanto tenemos
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 29
reducido a probar la declaración para · en lugar de ♥, a saber, es suficiente para mostrar
que x1 ∗ k(x) se vuelve insignificante comparado con x como x va al infinito y k
tiende a 1.
De la fórmula Campbell-Baker-Hausdorff (11) y (12) se desprende que, si
x, y GN y x, y son O(t), entonces 1
x ∗ y) − 1
x) * 1
(y) = O(t−1/r), y
Similarmente 1
(x1 *. * xm) − 1
x1) ∗. ...............................................................................................
(xm) = Om(t
−1/r), para m elementos
xi con xi = O(t). Por lo tanto, al escribir x = expN (r) ∗... ∗ expN (0), y el ajuste
t = x, obtenemos así que la cantidad siguiente
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(x1* k(x)−
0≤i≤r
expN (−t
−di®i)*
0≤i≤r
expN (t
−dr−ik(r−i))
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
es un O(t−1/r). De hecho, recuerden de Lemma 3.12 que k(x) = expN (k(r))*...*
expN (k(+0)). A medida que x se hace más grande, cada t
−diñái permanece en un subconjunto compacto de mi.
Por lo tanto, como k tiende a la identidad en K, cada t-dik(i) se vuelve uniformemente cerca
a t-diÃ3ri independientemente de la elecciÃ3n de x Ã3 GN siempre y cuando t = xà es grande. Los
El resultado es el siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Prueba de Lemma 5.4. Recordemos que hx = h* T (h)x para todas las x, h • G (véase (1).
Por la desigualdad del triángulo es suficiente con atar Ł(y, h* y), donde y = T (h)x.
De las Proposiciones 4.5 y 4.6,...........................................................................................................................................................................................................................................................
constantes a la cuasi-norma homogénea ·. Por lo tanto, el Lemma sigue de la
A continuación:
Lemma 5.5. Que N sea un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado y que · sea una
norma homogénea sobre N asociada a un grupo de dilaciones de 1 parámetro
Para cualquiera de los dos subconjuntos compactos F de N, hay una constante s2 > 0
de tal manera que
x−1gx ≤ x
para todos los g de F y tan pronto como x > s2.
Prueba. Recordemos, como en la prueba del último lema, que para cualquier c1 > 0 hay
a c2 > 0 Tal que si t > 1 y x, y N son tales que x, y ≤ c1t, entonces
xy)− 1
x) * 1
(y) ≤ c2t
−1/r. En particular, si establecemos t = x, entonces
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(x−1gx)− 1
x)–1 ∗ 1
g) ∗ 1
≤ c2t−1/r
Por otro lado, como g permanece en el conjunto compacto F, 1
(g) tiende uniformemente a
la identidad cuando t = x va a la infinidad, y 1
(x) permanece en un conjunto compacto.
Por continuidad, vemos que 1
x)–1 ∗ 1
g) ∗ 1
(x) se vuelve arbitrariamente pequeño como t
incrementos. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
30 EMMANUEL BREUILLARD
5.3. Prueba de la Proposición 5.1. Primero probamos el siguiente estado de continuidad:
mento:
Lemma 5.6. Seamos una pseudodistancia periódica en G y فارسى > 0. Entonces, ahí está.
existe un barrio de la identidad U en G y s3 > 0 tal que
1--(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-)-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(--)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-(-)-(-)-(-(-)-(-)-(--(-)-(-)-(--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(e, gx)
(e, x)
≤ 1 +
tan pronto como g (U) y (e, x) > s3.
Prueba. Deja que N sea una métrica de Riemanniano invariante a la izquierda en el GN de nilshadow.
• (e, x)− • (e, gx) ≤ • (x, gx) ≤ • (x, g* x) + • (g* x, gx)
Sin embargo, en algunos casos C > 0, por la Proposición 4.6. Por otra parte, por
(1) tenemos gx = g* T (g)x. Por lo tanto
(e, x) − (e, gx) ≤ C/23370/N (x, g* x) + C/23370/N (x, T (g)x) + 2C
Para completar la prueba, aplicamos Lemmas 5.5 y 5.3 en el lado derecho de arriba.
Procedemos con la prueba de la Proposición 5.1. Let L ser el conjunto de todos g G
De tal manera que el punto (e, gx)/el punto (e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito en G. Claramente L es un
El subgrupo de G. Lemma 5.6 muestra que L está cerrada. La invarianza H de las garantías
que L contiene H. Además, la Proposición 5.2 implica que L es invariante bajo K.
En consecuencia, L contiene HK, el subgrupo cerrado generado por todos los k(h), k+K,
h. H. Esto, junto con la Proposición 5.2, concede una convergencia
integrand en (29). Convergencia de la integral sigue mediante la aplicación de Lebesgue
Teorema de convergencia dominado.
El hecho de que K es invariante bajo la multiplicación izquierda por H e invariante bajo
La precomposición por automorfismos de K asegura que K es invariante bajo *-
multiplicación izquierda por cualquier elemento h H, donde * es la multiplicación en el
Nilshadow GN. Por otra parte, comprobamos que T (g) • K si g • HK, por lo tanto HK es un
subgrupo de GN. Es claramente cocompacto en GN también (si F es compacto y HF = G
entonces H * FK = G donde FK es la unión de todos los k(F ), k • K).
Claramente K es apropiado y localmente limitado, así que para terminar la prueba, nosotros
Sólo hay que comprobar que K es geodésico asintóticamente. Por la invarianza H de la letra K) y de la letra b) del apartado 1 del artículo 3 del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (CEE) n° 1408/71 del Consejo, de 17 de diciembre de 1971, relativo a la aplicación de los regímenes de seguridad social a los trabajadores por cuenta ajena, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia, a los trabajadores por cuenta propia y a los trabajadores por cuenta propia,
ya que H es cocompacto en G, es suficiente para exhibir un pseudogeodésico entre e
y un punto x â € H. Dejar x = z1 ·... ·zn con zi â € H y
(e, zi) ≤ (1) (e, x).
Fijar un dominio fundamental compacto F para H en HK para que la integración en (29)
sobre H\HK se sustituye por la integración sobre F. Luego para algunos constante CF > 0
tienen (g, gz) − ♥(e, gz) ≤ CF para g F y z H. Por otra parte, se deduce de
Proposición 5.2, Lemma 5.6 y el hecho de que HK
(32) l(e, gk(z)) ≤ (1 + ♥) · l(e, z)
para todos los g de F, k de K y tan pronto como z de G es lo suficientemente grande. Fijar s lo suficientemente grande
de modo que CF ≤ فارسىs y que (32) se mantenga cuando (e, z) ≥ s. Como ya se ha observado en
la discusión siguiente a la definición 4.1 (propiedad 4.2 (3)) podemos tomar la
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 31
que s
≤ (e, zi) ≤ s. A continuación, nCF ≤ nsl ≤ 3(e, x). Finalmente conseguimos para...................................................................................................................
x lo suficientemente grande
K(e, zi) ≤ CFn+ (1 + )
2o(e, x)
≤ CFn+ (1 + )
3K(e, x)
≤ 1 + 10 °) · K(e, x)
donde hemos utilizado la convergencia?K/ 1 que acabamos de probar. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6. El caso de los nilpotentes
En esta sección, probamos el Teorema 1.4 y sus corolarios expresados en el Intro-
la inducción para un grupo de mentira nilpotente simplemente conectado. Básicamente seguimos a Pansu’s
argumento de [27], aunque nuestro enfoque difiere algo en su presentación.
A lo largo de la sección, el grupo Nilpotent Lie será denotado por N, y su Mentira
álgebra por n.
Que m1 sea cualquier subespacio vectorial de n de tal manera que n = m1 â € [n, n]. Dejemos que η1 el
proyección lineal asociada de n a m1. Dejar que H sea un subgrupo de cocompacto cerrado
de N. A cada pseudodistancia H-periódica en N asociamos una norma 0 en
m1 que es la norma cuya bola unidad se define como el casco convexo cerrado de todos
los elementos η1(h)/l(e, h) para todos los elementos h(h)}. En otras palabras,
(33) E := {x â € m1, â € € > 0 ≤ 1} = CvxHull
η1(h)
(e, h)
, h â â € TM â TM â TM â TM â TM â TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
El conjunto E es claramente un subconjunto convexo de m1 que es simétrico alrededor de 0 (desde
es simétrico). Para comprobar que E es de hecho la bola unitaria de la norma sobre m1 permanece
para ver que E está limitada y que 0 se encuentra en su interior. El primer hecho es el siguiente:
inmediatamente desde (23) y Ejemplo 2.3. Si 0 no se encuentra en el interior de E,
entonces E debe estar contenido en un subespacio adecuado de m1, contradiciendo el hecho de que
H es cocompacto en N.
Tomando grandes poderes hn, vemos que podemos reemplazar el conjunto H e} en el anterior
definición por cualquier barrio de infinito en H. Del mismo modo, es fácil ver que
se mantiene lo siguiente:
Proposición 6.1. Para s > 0 dejar Es ser el casco convexo cerrado de todos η1(x)/l(e, x)
con x N y x > s. A continuación E =
s>0Es.
Prueba. Debido a que es H-periódico, tenemos ♥(e, hn) ≤ n/23370/(e, h) para todos los n+N y h+H.
Esto muestra E â € TM
s>0Es. La inclusión opuesta se deriva fácilmente del hecho de que
Se encuentra a una distancia limitada de su restricción a H, es decir. a partir del punto 4.2 (1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora elegimos un conjunto de subespacios suplementarios (mi) comenzando con m1 como en
Párrafo 2.2. Esto define un nuevo producto de la Mentira * en N de modo que N = (N, *) es
estratificado. Entonces podemos considerar la métrica de Carnot-Carathéodory invariante *-izquierda
asociado a la norma 0 tal como se define en el párrafo 2.1 sobre el nilpotente estratificado
Grupo de mentiras N. En esta sección, probaremos el teorema 1.4 para grupos nilpotentes en
el siguiente formulario:
32 EMMANUEL BREUILLARD
Teorema 6.2. Vamos a ser una pseudodistancia periódica en N y d- el Carnot-
métrica de caratheodory definida arriba, entonces como x tiende a infinito en N
(34) lim
(e, x)
d-(e, x)
Nótese que la variable de la izquierda es para el producto de la Mentira, pero no para la Mentira original.
producto en N.
Antes de ir más lejos, vamos a sacar algunas consecuencias simples.
(1) En el Teorema 6.2 podemos reemplazar a d(e, x) por d(e, x), donde d es la izquierda
métrica invariante del Carno-Carateosorio en N (en lugar de N
norma 0 (en contraposición a la norma d, que es ∗-invariante de izquierda). Por lo tanto, d y d son
asintótico. Esto se desprende de la combinación de Teorema 6.2 y Observación 2.1.
2) Observar que la elección de m1 fue arbitraria. Por lo tanto, dos Carnot-Carathéodory
métricas correspondientes a dos opciones diferentes de un subespacio suplementario m1
con la misma norma inducida en n/[n, n], son equivalentes asintóticamente (es decir, su
la relación tiende a 1), y de hecho isométrica (véase la Observación 2.1). Por el contrario, si dos
Las métricas Carnot-Carathéodory están asociadas al mismo subespacio suplementario
m1 y son equivalentes asintóticamente, deben ser iguales. Esto muestra que el
conjunto de todas las normas posibles sobre el espacio vectorial cociente n/[n, n] está en
el conjunto de todas las clases de equivalencia asintótica de las métricas Carnot-Carathéodory en
(3) Como otra consecuencia vemos que si un local limitado propio y asymp-
seudodistancia izquierda invariante toticalmente geodésica en N también es homogénea con
por lo que respecta al grupo de 1 parámetro (t)t (es decir, Entonces tiene que ser
de la forma "(x, y)" = "(e), "(x)"
−1y) donde d.o. es una métrica Carnot-Carathéodory en
6.1. Volumen asintótico. Teorema 6.2 también produce una fórmula para el asintótico
volumen de bolas de gran radio. Vamos a fijar una medida de Haar en N (por ejemplo
La medida Lebesgue sobre n da lugar a una medida Haar sobre N en virtud de la exp). Desde el día de la reunión.
es homogéneo, es sencillo calcular el volumen de un d-ball:
vol({x N, d(e, x) ≤ t}) = t
d(N)vol({x â € N, dâ € (e, x) ≤ 1})
donde d(N) =
i≥1 dim(C)
i(n)) es la dimensión homogénea de N. Para un pseu-
dodistancia como en la declaración de Teorema 6.2, podemos definir el vol asintótico
el volumen de la bola de unidad para el Carnot-Carathéodory asociado
métricas d...................................................................................................................................................................
AsV ol() = vol({x N, d(e, x) ≤ 1})
Entonces obtenemos como corolario inmediato del Teorema 6.2:
Corolario 6.3. Dejemos que sea pseudodistancia periódica en N. Entonces
td(N)
vol({x N, (e, x) ≤ t}) = AsV ol() > 0
Por último, si se trata de un grupo arbitrario nilpotente finitamente generado, tenemos que tomar
cuidado de los elementos de torsión. Forman un subgrupo finito normal T y aplican
Teorema 6.2 a /T, obtenemos:
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 33
Corolario 6.4. Let S ser un conjunto de generación simétrica finita de la bola y Sn
de radio n es la palabra métrica de S asociada a S, entonces
nd(N)
#Sn = #T ·
AsV ol(lS)
vol(N/)
donde N es el cierre de Malcev de • = •/T, el cociente libre de torsión de •, y dS
es la palabra pseudodistancia asociada a S, la proyección de S en.
Por otra parte, es posible ser un poco más preciso sobre AsV ol(lS). De hecho,
la norma 0 sobre m1 utilizado para definir el límite Carnot-Carathéodory distance d
asociado a S es una norma poliédrica simple definida por
x ≤ 1} = CvxHull (γ1(s), s S)
De manera más general, las siguientes reservas. Dejar que H sea cualquier subgrupo cerrado, cocompacto
de N. Elija una medida Haar en H para que volN (N/H) = 1. Rendimientos del teorema 6.2:
Corolario 6.5. Vamos a ser un compacto simétrico (es decir. Barrio de
la identidad, que genera H. Dejar 0 ser la norma en m1 cuya bola unidad es
CvxHull1()} y dejar que dŁ sea la correspondiente métrica Carnot-Carathéodory en
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Entonces tenemos el siguiente límite en la topología de Hausdorff
(ln) = {g + N, d{e, g) ≤ 1}
volH(
nd(N)
= volN ({g N, d(e, g) ≤ 1})
6.2. Esquema de la prueba. Primero diseñamos algunos lemas estándar sobre la pieza...
aproximaciones prudentes de las vías horizontales (Lemmas 6.6, 6.7, 6.10). Entonces se muestra
(Lemma 6.11) que el producto original en N y el producto en el
grupo de la mentira calificada son asintóticos entre sí, es decir, si (?t)t es un 1-parámetro
grupo de dilaciones de N, luego después de la renormalización por 1
, el producto de O(t)
elementos que se encuentran en algún subconjunto limitado de N, está muy cerca de la renormalización
producto de los mismos elementos en el grupo de la Mentira graduada N. Esta es la razón por la que todos los com-
las aplicaciones debido al hecho de que N no puede ser calificado a priori y los
no ser automorfismos desaparecen cuando se mira la geometría a gran escala de la
grupo. Por último, observamos (Lemma 6.13), como se desprende de la propia definición de
la unidad de bola E para la norma límite 0, que cualquier vector en el límite de E,
se puede aproximar, después de volver a normalizar por 1
por algún elemento x â € TM N acostado en
un anillo fijo s(1 − ) ≤ (e, x) ≤ s(1 + ). Esto nos permite afirmar que cualquier
La geodésica-cuasi da lugar, después de la renormalización, a una di-geodésica (esto da la
límite inferior en el teorema 6.2). Y viceversa, que cualquier d-geodésico puede ser ap-
proximalmente uniformemente por algunos geodésicos renormalizados
encuadernado en Teorema 6.2).
34 EMMANUEL BREUILLARD
6.3. Lemas preliminares.
Lemma 6.6. Que G sea un grupo de Mentira y que e sea una norma euclidiana sobre la Mentira
álgebra de G y de(·, ·) la métrica izquierda invariante Riemanniana asociada en G.
Que K sea un subconjunto compacto de G. Luego hay una constante C0 = C0(de,K) > 0
De modo que cuando de(e, u) ≤ 1 y x, y
de(xu, yu)− de(x, y) ≤ C0de(x, y)de(e, u)
Prueba. La prueba se reduce al caso cuando u y x-1y están en un barrio pequeño
de e. Entonces la desigualdad se reduce a lo siguiente:
algunos c > 0 y cada X,Y en Lie(G). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Lemma 6.7. Dejar G ser un grupo de la mentira, dejar ser alguna norma en el álgebra de la mentira de
G y dejar de(·, ·) ser una métrica riemanniana invariante izquierda en G. Entonces para cada
L > 0 hay una constante C = C(de, , L) > 0 con la siguiente propiedad.
Supóngase: [0, 1] → G son dos caminos lisos en el grupo de la Mentira G
con â € 1(0) = â € 2(0) = e. Let â €
i • Lie(G) ser el vector tangente tirado hacia atrás en el
identidad por una traducción a la izquierda de G. Asumir que supta[0,1]
1 t) ≤ L, y que
1(t)−
2 t) ° dt ≤ °. Entonces
≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 ≤ 1 > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > > > > > 1 > 1 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > 1 > > > > 1 > > > > >
Prueba. La función f(t) = de(1(t), 2(t)) es lisa a trozos. Para el pequeño dt nosotros
puede escribir, utilizando Lemma 6.6
f(t+ dt)− f(t) ≤ de(1(t)
1 t)dt, 1 t)
2(t)dt) + de(1(t)
2 t)dt, 2 t)
2(t)dt)− f(t) + o(dt)
1(t)− 2(t)
DT+ C0f(t)
2(t)dt
+ o(dt)
≤ (t)dt +C0Lf(t)dt+ o(dt)
en los que Ł(t) = 1(t)−
2 t)oe. En otras palabras,
f ′(t) ≤ (t) + C0Lf(t)
Dado que f(0) = 0, el lema de Gronwall implica que f(1) ≤ eC0L
(s)e−C0Lsds ≤ C.
A partir de ahora, tomaremos a G como el estratificado grupo de Nilpotent Lie, y
de(·, ·) denotará una métrica de Riemanniana invariante izquierda en N, mientras que d(·, ·) es una izquierda
métrica de Carnot-Carateodory Finsler invariante en N.o asociado a alguna norma
en m1.
Observación 6.8. Hay c0 > 0 tal que c
0 de(e, x) ≤ d(e, x) ≤ c0de(e, x)
r en a
barrio de e. Por lo tanto, en la situación del lema se obtiene dâ € (â € 1, â € 2(1)) ≤
r para alguna otra constante C1 = C1(L, d.o., de).
Lemma 6.9. Let N â € N y dN (x, y) ser la función en Nâ € definido en el
de la siguiente manera:
dN (x, y) = inf{
(u)
HPL(N), (0) = x, ((1) = y}
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 35
donde HPL(N) es el conjunto de trayectorias horizontales que son lineales a trozos con en
la mayoría de los N posibles valores para. A continuación, tenemos dN → de forma uniforme en compacto
subconjuntos de N.O.
Prueba. Tenga en cuenta que se desprende del teorema de Chow (p. ej. Véase [25] o [19]) que allí
existe K0 â € N tal que A := supdâ(e,x)=1 dK0(e,x) <. Por otra parte, ya que pieza-
los caminos lineales sabios son densos en L1, sigue por ejemplo de Lemma 6.7 que para
cada x fijo, dn(e, x) → d•(e, x). Tenemos que demostrar que dN (e, x) → d(e, x) uni-
Formalmente en x satisfaciendo d.(e, x) = 1. Por contradicción, supongamos que hay una secuencia
(xn)n de tal manera que, en algunos casos, se destinen a la categoría D(e, xn) = 1 y a la categoría dn(e, xn) ≥ 1 + 0. Podemos
asumir que (xn)n converge para decir x. Dejar que yn = x
−1 *xn y tn = d(e, yn). Entonces
dK0(e, yn) = tndK0(e, 1
(yn)) ≤ Atn. Así dn(e, xn) ≤ dn(e, x) + dn(e, yn) ≤
dn(e, x) + Atn tan pronto como n ≥ K0. Como n tiende a........................................................................... - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Este lema indica la siguiente notación. En el caso de los países de la Europa central y oriental, el número de países de la Europa central y oriental será el más elevado de los países de la Europa central y oriental.
primer número entero de tal manera que 1 ≤ dN(e, x) ≤ 1 + para todas las x con d(e, x) = 1. Entonces nosotros
tener:
Lemma 6.10. Por cada x â € Nâ € con dâ € (e, x) = 1, y todos â € > 0 existe un
ruta : [0, 1] → N.O. en HPL(N.O.) con velocidad unitaria (es decir, * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
= 1) tales que (0) = e
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
′ tiene como máximo una discontinuidad en cualquier subintervalo de
[0, 1] de longitud.
Prueba. Sabemos que hay una ruta en HPL(NŁ) que conecta e a x con la longitud
l ≤ 1 + فارسى. Reparar el camino para que tenga velocidad de unidad, obtenemos un camino
•0 : [0, l] → N.O. en HPL(N.O.) con d.O.(x, +0(1)) = d.O.(+0(l), +0(1)) ≤. La deriva...
tivo 0 es constante en a lo sumo N♥ diferentes intervalos dicen [ui, ui+1). Quitemos
todos estos intervalos de longitud ≤ r/N, fundiéndolos en un intervalo adyacente
y vamos a cambiar el valor de 0 en estos intervalos al valor en el adja-
Intervalo de céntimos (no importa si elegimos el intervalo a la izquierda o en el
a la derecha). Obtenemos una nueva ruta : [0, 1] → N
Tal que tiene a lo sumo una discontinuidad en cualquier subintervalo de [0, 1] de longitud
........................................................................................................................................................................................... Además
(t)− 0(t)
r. Por Lemma 6.7 y Observación 6.3, nosotros
que tengan, por lo tanto, ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1), ≤ (C1 + 1)
Lemma 6.11 (Aproximación horizontal de senderos). Que x*y denote la
producto dentro del grupo estratificado Lie N y x · y el producto ordinario en N.
Dejar n • N y t ≥ n. A continuación, para cualquier subconjunto compacto K de N, y cualquier x1,..., xn
elementos de K, tenemos
de(l) 1
(x1 ·... · xn),
(x1 ∗... ∗ xn)) ≤ c1
de(l) 1
(x1 ∗... ∗ xn),
(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c2
36 EMMANUEL BREUILLARD
donde c1, c2 dependen de K y de solamente.
Prueba. Dejar ser una norma en el álgebra de la mentira de N. Para k = 1,..., n dejar zk =
x1 ·... ·xk−1 y yk = xk+1 *...*xn. Puesto que todos los xis pertenecen a K, se deriva de (24)
que tan pronto como t ≥ n, todos los
zk) y 1
(yk) para k = 1,..., n permanecer en un conjunto limitado
dependiendo sólo de K. Comparando (12) y (11), vemos que cuando y = O(1)
y 1
(x) = O(1), tenemos
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
xy)− 1
x ∗ y)
= O(
Por otra parte, a partir de (12) es fácil verificar ese derecho *-multiplicación por un
elemento limitado es Lipschitz para y la constante Lipschitz se limita localmente.
Se deduce que hay una constante C1 > 0 (dependiendo sólo de K y ) tales
que para todos los k ≤ n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(zk · xk) ∗ yk)− 1
(zk * xk * yk)
≤ C1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(zk · xk)− 1
(zk ∗ xk)
Aplicando n veces la relación (35) con x = x1 ·... · xk−1 e y = xk, finalmente
obtener 1
(x1 ·... · xn)− 1
(x1 ∗... ∗ xn)
= O(
) = O(
donde O() depende sólo de K. Por otro lado, utilizando (11), es otro simple
verificación para comprobar que si x, y se encuentran en un conjunto limitado, entonces 1
de(x, y) ≤ â € ~ x− yâ €
≤ c2de(x, y) para algunas constantes c2 > 0. La primera desigualdad sigue.
Para la segunda desigualdad, aplicamos Lemma 6.7 a las rutas de salida
en e y con derivado igual a [ k
, k+1
) a no 1
xk) en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n» en el caso de las letras «1» y «n».
η1(xk)
para 2 libras esterlinas.
Lo conseguimos.
de(l) 1
(x1 ∗... ∗ xn),
(η1(x1)*...* η1(xn)) = O(
Observación 6.12. De la Observación 6.3 vemos que si reemplazamos de por d
Lemma, obtenemos el mismo resultado con 1
sustituida por t−
Lemma 6.13 (Aproximación en el grupo abelianizado). Recuerde que 0 es el
norma sobre m1 definida en (33). Para cualquier فارسى > 0, existe s0 > 0 tal que para cada
s > s0 y cada v â € m1 de tal manera que â € € TM = 1, existe h â € H tal que
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -) ( -)
y
η1(h)
(e, h)
Prueba. Deja que se arregle فارسى > 0. Considerando una red finita en E, vemos que existe
un subconjunto simétrico finito {g1,..., gp} de Häe} de tal manera que, si consideramos el cerrado
convex casco de F = {fi = η1(gi)/l(e, gi)i = 1,..., p} y la norma asociada
en m1, entonces 0 ≤ ≤ (1 + 2) 0. Hasta la reducción de F si es necesario, podemos
asumir que fi = 1 para todos i’s. También podemos suponer que el fi de generar m1 como
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 37
un espacio vectorial. La esfera {x, x = 1} es un poliedro simétrico en m1 y a
cada una de sus facetas corresponde d = vértices dim(m1) yace en F y forma un vector
base de m1. Let f1,..., fd, digamos, ser tales vértices para una faceta dada. Si x m1 es de la
forma x =
i=1 ♥ifi con ♥i ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ d entonces vemos que x =
i=1 ♥i,
porque el casco convexo de f1,..., fd es precisamente esa faceta, por lo tanto se encuentra en la esfera
{x, x = 1}.
Ahora vamos a v m1, v0 = 1, y vamos a > 0. La televisión de media línea, t > 0, llega a la
esfera {x, x = 1} en un punto. Este punto pertenece a alguna faceta y allí
son d elementos linealmente independientes de F, digamos f1,..., fd, los vértices de esa faceta,
tal que este punto pertenece al casco convexo de f1,..., fd. El punto sv entonces miente
en el cono convexo generado por η1(g1),..., η1(gd). Por otra parte, hay una constante
Índices de las emisiones de gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero y de los gases de efecto invernadero, según se indica en el anexo I del Reglamento (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo [2]
max1≤i≤p l(e, gi)) de forma que
sv −
Ninnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
para algunos enteros no negativos n1,..., nd dependiendo de s > 0. Por lo tanto
n(e, gi) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Ninnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(sv + CŁ)
≤ 1 + 2
≤ 1 + 3
donde la última desigualdad se mantiene tan pronto como s > C
Ahora vamos a h = g
1 ·... · g
d H. Tenemos η1(h) =
i=1 niη1(gi)
(e, h) ≥ 1(h)0 ≥ s−
Además
(e, h) ≤
n(e, gi) ≤ s(1 + 3
Cambiando a "decir" a "decir"
y, por ejemplo, el número de personas menores de 1 año
, obtenemos el resultado deseado con s0() =
max1≤i≤p l(e, gi). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
6.4. Prueba de Teorema 6.2. Tenemos que mostrar que como x→ • en N
1 ≤ lim
(e, x)
d-(e, x)
≤ lim
(e, x)
d-(e, x)
Primera nota que es suficiente para probar los límites para x â € ¢ H. Esto sigue de
(4.2) (1).
Comencemos con el límite inferior. Nos fijamos en la definición de 0 y s = s()
de una métrica geodésica asintótica (véase el punto 21). Sabemos por 4.2 (3) y (4) que
tan pronto como se encuentre x1,..., xn en H con s ≤ ♥(e, xi) ≤ 2s tales que
xi y
(e, xi) ≤ (1 + Let t = dŁ(e, x), entonces n ≤
(e, x),
por lo tanto n ≤ C
t donde C es una constante que depende únicamente de C (véase el punto 23). Podemos
38 EMMANUEL BREUILLARD
a continuación, aplicar Lemma 6.11 (y la observación siguiente) para obtener, como t ≥ n tan pronto como
s() ≥ C,
d-(l)-(l)-(l)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)-(b)
(x), 1
(η1(x1) ∗...* η1(xn))) ≤ c
Pero para cada i tenemos 1(xi)+0 ≤ ♥(e, xi) por definición de la norma, por lo tanto
t = d(e, x) ≤
1(xi)+0(x, π1(x1) ∗... 1(xn)) ≤ (1+
Puesto que Ł fue arbitrario, dejando t→ ♥ obtenemos
(e, x)
d-(e, x)
Pasamos ahora al límite superior. Let t = dŁ(e, x) y فارسى > 0. De acuerdo con
Lemma 6.10, hay un camino lineal horizontal por partes (u)}u[0,1] con unidad
velocidad de tal modo que d() 1
(x), • 1)) ≤ C2 y sin intervalo de longitud ≥
contiene
más de un cambio de dirección. Dejad que Lemma 6.13 dé s0() y asumid
t > s0(
r)N.O.
r. Dividimos [0, 1] en n subintervalos de longitud u1,..., de tal manera que
es constante igual a yi en la subintervalo i-th y s0(
r) ≤ tui ≤ 2s0
r). Nosotros
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lemma 6.13 produce puntos xi â € H tales que
yi −
η1(xi)
≤ ♥
y (e, xi) [(1 −
r)tui, (1 +
r)tui] (obsérvese que tui > s0(
r)). Vamos a ser el
trazo lineal a partir de piezas [0, 1] → No con las mismas discontinuidades
valor yi se sustituye por
η1(xi)
. Luego, según Lemma 6.7, d...... (....................................................................................................................................................................................................................................................
Desde el punto de vista de la letra e) del punto xi) ≤ 4s0
r) para cada i, podemos aplicar Lemma 6.11 (y la observación
y ver que si y = x1 ·... · xn,
d()(1), 1
(y)) ≤ c′1()t
Por lo tanto, d() 1
(x), 1
(y)) ≤ (C2+C)c
1(l)t
r y ♥(e, y) ≤
(e, xi) ≤ 1
Sin embargo, el valor de todas las materias utilizadas no exceda del 50 % del precio franco fábrica del producto
(x−1y)) + C ′ ≤ t(Cd
(x), 1
(y)) + o............................................................................................................................................................................................................................................................ Por lo tanto
(e, x) ≤ t+ o(t)
Observación 6.14. En el último argumento usamos el hecho de que
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(xu)− 1
(x ∗ u)
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
) si 1
x) y 1
(u) están limitados, con el fin de obtener para y = xu,
d-(e, 1-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)-(e)
(u)) ≤ d
(x), 1
(xu)) + d
(xu), 1
(x ∗ u))
≤ d.o.p.
(x), 1
(y)) + o(1).
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 39
7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados
En esta sección, probamos el Teorema 1.2 y completamos la prueba del Teorema 1.4
y sus corolarios. Comenzamos con lo último.
Prueba de Teorema 1.4. Es la combinación de la Proposición 5.1, que reduce la
problema a los grupos nilpotent Lie, y Teorema 6.2, que trata el caso nilpotent.
Sólo queda por justificar la última afirmación de que el d- es invariante en virtud de la T (H).
Ya queK = T (H) estabilizam1 (véase Lemma 3.12 para la definición dem1) y actúa
por automorfismos de la estructura nilpotente (nilshadow) (Lemma 3.5), dada la
k K, la métrica dŁ(k(x), k(y)) no es otra cosa que el invariante izquierdo subFinsler
métrica en el nilshadow asociado a la norma â € € TM k(v)â € para v â € m1 (si â € € ~ € ~ € ~ ~ denota
la norma asociada a d.o.p.).
Sin embargo, d.o. es asintóticamente invariante bajo K, debido a la Proposición 5.1.
Es decir, dÃ3(e, k(x))/dÃ3(e, x) tiende a 1 como x tiende a infinito. Por último, d(e, v) =
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo. Dos normas asintóticas en un vector
El espacio siempre es igual. De ello se deduce que las normas sobre m1 coinciden entre sí.
Por lo tanto, de la letra e), k (x) = d(e, k (x)) para todas las x â € S, como se afirma. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Prueba del corolario 1.8. En primer lugar, algunas observaciones iniciales (véase también la Observación 2.1). Si d es
una métrica subFinlser invariante izquierda en un grupo N de mentira nilpotente simplemente conectado
inducido por una norma sobre un subespacio suplementario m1 del conmutador
subálgebra, entonces se deriva de la definición misma de las métricas subFinsler (ver
Párrafo 2.1) que el 1 de enero es 1-Lipschitz entre el grupo Lie y la abelianización
de ella dotada de la norma, es decir, 1(x) ≤ d(e, x), con la igualdad si x m1.
A partir de esto y considerando la definición de la norma límite en (33), concluimos
que coincide con la norma límite de d. En particular el teorema 6.2 implica
que d es asintótico a la métrica invariante ∗-izquierda subFinsler d
la misma norma en el grupo de Lie calificado (No,*).
Ahora podemos probar el corolario 1.8. Por la observación anterior, el límite métrica d
en la nilshadow graduada de S es asintótica a la métrica subFinsler d inducida
por la misma norma, en el mismo (K-invariante) subespacio suplementario m1
del subalgebra conmutador de la nilshadow, y que se deja invariante para
la estructura de nilshadow en S. Sin embargo, se deduce de Teorema 1.4 que d
y la norma son K-invariantes. Esto implica que d también es invariante a la izquierda
con respecto a la estructura de grupo de Lie original de S. De hecho, por (1), podemos
escribir d(gx, gy) = d(g* (T (g)x), g* (T (g)y)) = d(T (g)x, T (g)y) = d(x, y), donde *
denota esta vez la estructura del producto nilshadow. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Prueba del corolario 1.7. Esto sigue inmediatamente del Teorema 1.4, cuando ∗ de-
señala el producto nilshadow clasificado. Si ∗ denota la estructura del grupo de nilshadow,
entonces se desprende de Teorema 6.2 y la observación que acabamos de hacer en la prueba de
Corollary 1.8 (véase también la Observación 2.1). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
7.1. Prueba de Teorema 1.2. Dejar G ser un grupo localmente compacto de polinomio
crecimiento. Demostraremos que G tiene un subgrupo K normal compacto de tal manera que G/K
40 EMMANUEL BREUILLARD
contiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que se puede realizar como una co-
subgrupo compacto de un grupo de tipo Solvable Lie conectado y simplemente conectado
(R) (es decir, de crecimiento polinomio). La prueba seguirá en varios pasos.
(a) Primero mostramos que hasta la modificación por un subgrupo compacto normal, podemos
asumir que G es un grupo de mentiras cuyo componente conectado de la identidad no tiene
subgrupo normal compacto. De hecho, se deriva del refinamiento de Gromov por parte de Losert
teorema ([24] Teorema 2) que existe un subgrupo compacto normal K de G
tal que G/K es un grupo de mentiras. Así que ahora podemos asumir que G es un grupo de mentiras (no
necesariamente conectados) de crecimiento polinomio. El componente conectado G0 de G
es un grupo de Lie conectado de crecimiento polinomio. Recordemos el siguiente hecho clásico:
Lemma 7.1. Cada grupo de Lie conectado tiene un compacto compacto único normal
subgrupo. Por singularidad debe ser un subgrupo de Lie característico.
Prueba. Claramente si K1 y K2 son subgrupos normales compactos, entonces K1K2 es de nuevo
un subgrupo compacto normal. Considerando G/K, donde K es una normal compacta
subgrupo de la dimensión máxima, podemos suponer que G no tiene compacta normal
subgrupo de dimensión positiva. Pero cada subgrupo normal finito de un
El grupo es central. Por lo tanto, el grupo cerrado generado por todos los subgrupos normales finitos es
contenido en el centro de G. El centro es un subgrupo abeliano de Lie, es decir. isomórfico
a un producto de un espacio vectorial Rn, un toro Rm/Zm, un grupo abeliano libre Zk y un
grupo abeliano finito. En tal grupo, claramente hay un compacto máximo único
subgrupo (a saber, el producto del grupo finito y el toro). También es normal,
y máximo en G.
El subgrupo normal compacto máximo de G0 es un subgrupo de Lie característico
de G0. Por lo tanto, es normal en G y podemos modificar por ella. Por lo tanto, tenemos
muestra que todos los grupos compactos locales (generados compactamente) con polinomios
crecimiento admite un cociente por un subgrupo normal compacto, que es un grupo de mentira G
cuyo componente conectado de la identidad G0 tiene crecimiento polinomio y con-
no contiene ningún subgrupo normal compacto. Ahora vamos a demostrar que un cierto co-compacto
subgrupo de G tiene la propiedad de inserción de Teorema 1.2.
b) En segundo lugar, mostramos que, hasta pasar a un subgrupo de cocompacto, podemos
asumir que el componente G0 conectado es solvable. Para este propósito, que Q sea
el radical solvable de G0, es decir, el subgrupo máximo conectado normal de Lie
de G0. Tenga en cuenta que es un subgrupo característico de G0 y, por lo tanto, normal en G.
Además, G0/Q es un grupo de mentiras semisimple. Dado que G0 tiene crecimiento polinomio,
De ello se desprende que G0/Q debe ser compacto. Considerar la acción de G por conjugación en
G0/Q, es decir, el mapa : G→ Aut(G0/Q). Puesto que G0/Q es compacto semisimple,
su grupo de automorfismos es también un grupo compacto de Lie. En particular, el núcleo
es un subgrupo cocompacto de G.
El componente conectado de la identidad de Aut(G0/Q) es en sí mismo semisimple y
por lo tanto tiene centro finito. Sin embargo, la imagen del componente conectado (ker فارسى)0
de que en G0/Q módulo Q es central. Por lo tanto, debe ser trivial. Tenemos
se muestra que (ker)0 está contenido en Q y por lo tanto es solvable. Por otra parte (ker )0
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 41
no tiene un subgrupo normal compacto, porque de lo contrario su compacto normal máximo
El subgrupo, que es característico en (ker)0, sería normal en G (note que (ker)0
es normal en G).
Cambio de G en el subgrupo de cocompacto kers, por lo tanto, podemos asumir que
G0 es solvable, de crecimiento polinomio, y no tiene una sub-
grupo. El grupo G/G0 es discreto, generado finitamente, y tiene crecimiento polinomio.
Por el teorema de Gromov, debe ser prácticamente nilpotente, en particular virtualmente poli-
cíclico.
(c) Finalmente demostramos la siguiente proposición.
Proposición 7.2. Dejar G ser un grupo de mentira tal que su componente conectado de la
identidad G0 es solvable, no admite subgrupo normal compacto, y con G/G0 virtu-
Ally policíclico. Entonces G tiene un subgrupo de cocompacto cerrado, que puede ser incrustado
como un subgrupo de cocompacto cerrado de una mentira solvable conectada y simplemente conectada
grupo.
La prueba de esta proposición es principalmente una aplicación de un teorema de H.C.
Wang, que es una amplia generalización del teorema integrador de Malcev para la torsión
grupos nilpotentes generados finitamente libres. El teorema de Wang [36] declara que cualquier S-
grupo puede ser incrustado como un subgrupo de cocompacto cerrado de un real simplemente conectado
Grupo de Lie Solvable lineal con sólo finitamente muchos componentes conectados. Wang
define un grupo S como cualquier verdadero grupo de Lie G, que admite un subgrupo normal
Un tal que G/A se genera finitamente abelian y A es un nilpotente libre de torsión
Grupo de mentiras cuyo grupo de componentes conectados se genera finitamente. En particular
cualquier grupo S tiene un índice finito (de ahí cocompacto) subgrupo que se incrusta como un
subgrupo de cocompacto en un grupo de Lie solvable conectado y simplemente conectado.
Para probar la Proposición 7.2, basta, por lo tanto, establecer que G tiene un
cocompacto S-group.
Recordamos en primer lugar el siguiente simple hecho:
Lemma 7.3. Cada subgrupo cerrado F de un grupo de Lie solvable conectado S es
topológicamente generado finitamente.
Prueba. Argumentamos por inducción sobre la dimensión de S. Claramente hay una epi-
morfismo η : S → R. Por hipótesis de inducción F ker η es topológicamente finita
generado. La imagen de F es un subgrupo de R. Sin embargo, cada subgrupo de R
contiene uno o dos elementos, cuyo subgrupo que generan tiene el mismo
cierre como subgrupo original. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
A continuación mostramos la existencia de un nilradical.
Lemma 7.4. Que G sea como en la Proposición 7.2. Entonces G tiene un máximo único
subgrupo normal de nilpotente GN.
Prueba. El subgrupo generado por cualquiera de los dos subgrupos normales de
grupo dado es en sí mismo nilpotente (lema de Fitting, ver, por ejemplo. [30][5.2.8]). Dejad en paz a GN.
el cierre del subgrupo generado por todos los subgrupos nilpotent de G. Necesitamos
para demostrar que la GN es nilpotente. Para esto es claramente suficiente para demostrar que es
42 EMMANUEL BREUILLARD
topológicamente generado finitamente (porque cualquier subgrupo de GN generado finitamente es
nilpotente por la observación que acabamos de hacer). Puesto que G/G0 es virtualmente policíclico, cada
El subgrupo se genera finitamente ([29][4.2]). Por lo tanto, es suficiente para demostrar que
GN â € ¢ G0 se genera topológicamente finitamente. Esto sigue de Lemma 7.3. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Incidentemente, observamos que el componente conectado de la identidad (GN )0
coincide con el nilradicalN de G0 (es el máximo normal nilpotente conectado
subgrupo de G0.
Ahora afirmamos lo siguiente:
Lemma 7.5. El grupo cociente G/GN es prácticamente abeliano.
La prueba de este lema se inspira en la prueba del hecho, debido a Malcev,
que los grupos policíclicos tienen un subgrupo de índice finito con conmutador nilpotente
subgrupo (por ejemplo, Véase [30] [15,1.6]).
Prueba. Demostraremos que G tiene un índice finito subgrupo normal cuyo conmutador
El subgrupo es nilpotente. Esto implica claramente el lema, para este subgrupo nilpotente
será normal, por lo tanto, contenido en GN.
Primero observamos que el grupo G admite una serie normal finita Gm ≤ Gm−1 ≤
. .. ≤ G1 = G, donde cada Gi es un subgrupo normal cerrado de G tal que Gi/Gi+1
es finito, o isomórfico a Zn, Rn o Rn/Zn. Esto lo ve elegir uno de los
Gi es el componente G0 conectado y luego tratar G/G0 y G0 por separado.
El primero sigue de la definición de un grupo policíclico (G/G0 tiene una
subgrupo policíclico de índice finito). Mientras que para G0, observe que su N nilradical es
un grupo de nilpotent Lie conectado y simplemente conectado y admite tal serie
de los subgrupos característicos (escoger la serie descendente central), y G0/N es un
abeliano conectado grupo Lie, por lo tanto isomórfico al producto directo de un toro
n/Zn y un grupo vectorial Rn. La parte del toro es característica en G0/N, de ahí su
la preimagen en G0 es normal en G.
El grupo G actúa por conjugación en cada cociente parcial Qi := Gi/Gi+1. Esto
da un mapa G → Aut(Qi). Ahora tenga en cuenta que para probar nuestro lema, es
suficiente para demostrar que para cada i, hay un subgrupo índice finito de G
El subgrupo de mutantes mapea a un subgrupo de nilpotente de Aut(Qi). De hecho, la toma de la
intersección de esos subgrupos índice finito, obtenemos un índice finito subgrupos normales
cuyo subgrupo conmutador actúa nilpotently en cada Qi, por lo tanto es en sí mismo nilpotent
(suficientes conmutadores desaparecerán).
Ahora Aut(Qi) es finito (si Qi es finito), o isomórfico a GLn(Z) (en caso de que
Qi es o bien Z
n o Rn/Zn) o a GLn(R) (cuando Qi R
n). La imagen de G en
Aut(Qi) es un subgrupo solvable. Sin embargo, cada subgrupo solvable de GLn(R)
contiene un subgrupo índice finito, cuyo subgrupo conmutador es unipotenciante (de ahí que
nilpotente). Esto sigue del teorema de Kolchin, por ejemplo, que un conectado
subgrupo algebraico solvable de GLn(C) es triangularizable. Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
En la secuela asumimos que G/G0 es policíclico libre de torsión. Es legítimo.
para hacerlo en la prueba de la Proposición 7.2, porque cada grupo virtualmente policíclico
tiene un subgrupo policíclico libre de torsión de índice finito (véase, por ejemplo, [29][Lemma 4.6]).
Ahora afirmamos lo siguiente:
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 43
Lemma 7.6. GN está libre de torsión.
Prueba. Dado que G/G0 está libre de torsión, es suficiente para probar que GN-G0 es torsión-
libre. Sin embargo, el conjunto de elementos de torsión en GN forma un subgrupo de GN (si x, y son
torsión, entonces xy es demasiado porque â € TM x, yâ € es nilpotente). Claramente es una característica
subgrupo de GN. Por lo tanto, su intersección con G0 es normal en G0. Tomando el
cierre, obtenemos un nilpotente cerrado subgrupo normal T de G0 que contiene un
Denso conjunto de elementos de torsión. Recordemos que G0 no tiene un subgrupo compacto normal.
De esto se deduce rápidamente que T es trivial, porque primero debe ser discreto (la
componente conectado T0 es compacto y normal en G0), por lo tanto finitamente generado
(por Lemma 7.3), por lo tanto hecho de elementos de torsión. Pero una torsión finitamente generada
El grupo nilpotente es finito. Una vez más, puesto que G0 no tiene un subgrupo normal compacto, T debe
ser trivial, y GN es libre de torsión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Ahora observe que el grupo de componentes conectados de GN, a saber GN/(GN )0
se genera finitamente. De hecho, puesto que G/G0 se genera finitamente (como cualquier policíclico
grupo), es suficiente para demostrar que (G0 GN )/(GN )0 se genera finitamente, pero esto
se desprende del hecho de que G0-GN se genera topológicamente finitamente (Lemma 7.3).
Ya casi hemos terminado. Tenga en cuenta que G se genera topológicamente finitamente (Lemma
7.3), por lo tanto, también lo es G/GN. Por Lemma 7.5 G/GN es prácticamente abeliano, por lo que ha
un índice finito subgrupo normal isomórfico a Zn × Rm. De ello se deduce que G/GN
tiene un subgrupo de cocompacto isomórfico a un grupo abeliano libre Zn+m. Por lo tanto, después
cambiar G por un subgrupo de cocompacto, obtenemos que G es una extensión de GN (a
grupo de mentira sin torsión nilpotente con grupo finitamente generado de com-
ponents) por un grupo abeliano libre finitamente generado. Por lo tanto, es un grupo S en el
terminología de Wang [36]. Aplicamos el teorema de Wang y esto termina la prueba de
Proposición 7.2.
(d) Ahora podemos concluir la prueba del Teorema 1.2. Por a) y b)
un cociente por un grupo compacto que admite un subgrupo de cocompacto satisfactorio
las suposiciones de la Proposición 7.2. Por lo tanto, para concluir la prueba sólo queda
para verificar que el grupo simplemente conectado Solvable Lie en el que un co-compacto
El subgrupo de incrustaciones G/K tiene crecimiento polinomio (es decir, es de tipo (R)). Pero esto
sigue del siguiente lema (véase [21][Thm. I.2]).
Lemma 7,7. Deja que G sea un grupo localmente compacto. Entonces G tiene crecimiento polinomio si
y sólo si algunos (resp. an) subgrupo cocompacto de la misma tiene crecimiento polinomio.
Prueba. Primero se comprueba que G se genera compactamente si y sólo si algunos (resp.
an) subgrupo de cocompacto es. Esto es por el mismo argumento que muestra que
subgrupos índice finitos de un grupo finito generado se generan finitamente. In
en particular, si es un conjunto de generación simétrica compacta de G y H es un co-compacto
subgrupo, entonces no hay n0 â € N tal que â €
n0H = G. Entonces H â ¬ 3n0 genera
Si G tiene crecimiento polinomio y H es cualquier subgrupo cerrado de generación compacta,
entonces H tiene crecimiento polinomio. En efecto (véase [21][Tm I.2]), si
pact generating set para H, y K un barrio compacto de la identidad en G,
44 EMMANUEL BREUILLARD
volG(K)volH(
H) ≤ volH(KK
−1 H)volG(
Esta desigualdad sigue integrando sobre una medida Haar izquierda de G la función
(x) :=
−1x)dh, donde dh es una medida Haar izquierda en H. Esta integral
es igual al lado izquierdo de la ecuación mostrada arriba, mientras que es puntual
limitado por volH(xK
−1 H) dentro de HK y por cero fuera de HK.
En la otra dirección, si H tiene crecimiento polinomio, entonces G también tiene, porque
se puede escribir lán lán lán HK para un conjunto de generación compacta lán H de H y algunos
barrio compacto K de la identidad en G (ver Proposición 4.4). Entonces el
resultado de la siguiente desigualdad:
volH(lH)volG(l
HK) ≤ volH(
H )volG(
H K),
que es una consecuencia directa del hecho de que la función
(x) :=
(h−1x)dh,
donde dh es una medida izquierda Haar onH, satisface
(x)dx = volH(
H )volG(
por una parte y está limitada abajo por volH(
HK en el
otra mano. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Tenga en cuenta que la prueba anterior sería un poco más fácil si ya sabíamos que ambos
G y H eran unimodulares, en cuyo caso G/H tiene una medida invariante. Pero
sabemos esto sólo a posteriori, porque la condición de crecimiento polinomio implica
unimodularidad ([21]).
Consideraciones similares muestran que G tiene crecimiento polinomio si y sólo si G/K
tiene crecimiento polinomio, dado cualquier subgrupo K compacto normal (p. ej. Véase [21].
Terminamos este párrafo con una observación y un ejemplo, que mencionamos en
la Introducción.
Observación 7.8 (Los subgrupos discretos son prácticamente nilpotentes). Supongamos que..........................................................................................................................
subgrupo de un grupo de Lie solvable conectado de tipo (R) (es decir, de crecimiento polinomio).
A continuación, es prácticamente nilpotente. De hecho, un argumento similar al de Lemma 7.3 muestra
que cada subgrupo de... se genera finitamente. De ello se deduce que es policíclico. ¿Cómo...?
nunca Wolf [37] demostró que los grupos policíclicos con crecimiento polinomio son virtualmente
Nilpotente.
Ejemplo 7.9 (Un grupo sin subgrupo de cocompacto nilpotente). Deja que G sea el
Grupo de Lie Solvable conectado G = R (R2 × R2), donde R actúa como uno denso-
subgrupo de parámetros de SO(2,R) × SO(2,R). Entonces G es de tipo (R). No tiene
subgrupo compacto. Y no tiene ningún subgrupo de cocompacto nilpotente. De hecho, supongamos que H
es un subgrupo cerrado de cocompacto nilpotente. Entonces tiene un centro no trivial. Por lo tanto
hay un elemento de no identidad cuyo centralizador es co-compacto en G. Sin embargo un
simple examen de los posibles centralizadores de elementos de G muestra que ninguno
de ellos es cocompacto.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 45
7.2. Prueba del corolario 1.6 y el teorema 1.1. Deja que G sea una arbitraria a nivel local
grupo compacto de crecimiento polinomio y una pseudodistancia periódica en G.
Reclamación 1: El corolario 1.6 se refiere a un subgrupo cocompacto H de G, si y únicamente
si se mantiene para G. Por Lemma 7.7, los grupos G y H son unimodulares, y por lo tanto
G/H lleva un radón G-invariante medida volG/H, que es finito ya que H es co-
compacto. Ahora deja que F sea un dominio Borel fundamental limitado para H dentro de G. Y
que se haga la pseudodistancia periódica en G inducida por la restricción de H, que
es.(x, y) :=.(hx, hi) donde hx es el elemento único de H de tal manera que x • hxF. Por
4.2 Los apartados 1 y 4, los apartados 1 y 4 y los apartados 1 y 2 se encuentran a una distancia limitada entre sí. En particular,
Bl(r-C) Bl(r) Bl(r) Bl(r+C). Por lo tanto, si el límite (3) se mantiene para.........................................................................................................................................................................................................................................................
- Con el mismo límite. No obstante, en los casos en que se trate de Bl(r) = {x) G, {e, hx) ≤ r} = Bl(r) F
Por lo tanto, volG(Bl(r)) = volH(Bl(r)) · volG/H(F).
Por 4.2 (4), H es una pseudodistancia periódica en H. Así que el resultado se mantiene para (H, H)
si y sólo si se mantiene para (G, l). Por el contrario, si.................................................................................................................................................
en H, entonces?0(x, y) :=?0(hx, hi) es una pseudodistancia periódica en G, por lo tanto de nuevo
volG(Bl0(r)) = volH(Bl0(r)) · volG(F) y el resultado se mantendrá para (H, °0) si y
sólo si se mantiene para (G, 0).
Reclamación 2: Si el corolario 1.6 se mantiene para G/K, donde K es algo compacto normal
subgrupo, entonces se mantiene para G también. De hecho, si se trata de una pseudodistancia periódica en
G, entonces el K-promedio K, tal como se define en (26), está a una distancia limitada de G
según Lemma 4.7. Ahora K induce una pseudodistancia periódica K en G/K
Por consiguiente, volG(BlK (r)) = volG/K(BlK (r)) · volK(K). Y
si el límite (3) se mantiene para KK, también se mantiene para KK, por lo tanto también para KK.
Así, la discusión anterior combinada con el Teorema 1.2 reduce el corolario 1.6 a
el caso en el que G está simplemente conectada y solvable, que se trató en la sección 5;
y 6. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
7.3. Prueba de la Proposición 1.3 y del corolario 1.9.
Prueba de la Proposición 1.3. Decimos que dos espacios métricos (X, dX ) y (Y, dY ) son
a una distancia limitada si son (1, C)-cuasi-isométrico para algunos finitos C. Esto es
una relación de equivalencia. Ahora si es H-periódico con H co-compacto, entonces (G,
está a una distancia limitada de (H, H). Por lo tanto, podemos asumir que H = G, es decir.
que se deja invariante en G.
Ahora Teorema 1.2 da la existencia de un subgrupo compacto normal K, un co-
subgrupo compacto H que contiene K y un grupo de Lie solvable simplemente conectado S
de tal manera que el H/K sea isomórfico a un subgrupo cocompacto de S.
Lemma 4.7 muestra que (G,
se define como en (26). Ahora K induce una métrica periódica invariante izquierda en G/K,
y (G/K, K) está claramente a una distancia limitada de (G, K). Ahora por 4.2, su
la restricción a H/K está a una distancia limitada y se deja invariante. Ahora nos ponemos
S(s1, s2) =
K(h1, h2), donde (dado un dominio fundamental limitado F para el
46 EMMANUEL BREUILLARD
acción izquierda de H/K en S) hola es el elemento único de H/K de tal manera que si hiF.
Es evidente que entonces (S, S) está a una distancia limitada de (H/K,
K). Hemos terminado. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Tomamos nota de que nuestra construcción de S aquí depende del estabilizador de la G.
Ciertamente no todas las opciones de Lie sombra se puede utilizar para todas las métricas periódicas (pensar
que R3 es una sombra de mentira de la cobertura universal del grupo de movimientos del plano).
Tal vez se pueda elegir uno solo para todos, pero no lo hemos comprobado.
Prueba del corolario 1.9. La Proposición 1.3 reduce la prueba a una métrica periódica
en un grupo simplemente conectado de Lie Solvable S. Dejad la métrica subFinsler en S
(invariante izquierda para la estructura de grupo de nilshadow graduada SN ) según lo indicado por Teorema
1.4. Let t}t es el grupo de dilaciones en el nilshadow grado SN de S según se define
en la sección 3. Por definición de la topología de Gromov-Hausdorff apuntada (véase [18]),
es suficiente para probar el
Reclamación. La cantidad siguiente
*(s1, s2)− *(l)
s1), 1
(s2))
converge a cero ya que n tiende a ser uniforme para todos los s1, s2 en una bola de radio O(n)
para la métrica.
Ahora esto sigue en tres pasos. En primer lugar, se encuentra a una distancia limitada de su
restricción al estabilizador (cocompacto) H de 4.2 (1), 4.2 (4)). Entonces
para h1, h2 â € ¢ H, podemos escribir ¬(h1, h2) = ¬(e, h
1 h2). Sin embargo, la Proposición 5.1
implica la existencia de otra distancia periódica en S, que es invariante
debajo de las traducciones a la izquierda por elementos de H para la estructura original de Lie y
la estructura de nilshadow Lie en S, de tal manera que
(e,x)
K(e,x)
tiende a 1 como x tiende a
- ¡No! - ¡No, no, no, no, no, no, no! - ¡No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Por lo tanto, K(e, h
1 h2) = K(h1, h2) = K(e, h
1 h2), donde * es el nilshadow
producto en S. Por lo tanto 1
(h1, h2)−
K(e, h
1 h2) tiende a cero uniformemente como h1
y h2 varían en una bola de radio O(n) para
Finalmente el teorema 6.2 implica que 1
K(e, h
1 h2) −
(e, h)
1 h2) tiende a
cero y la reclamación sigue, como se comprueba de la fórmula Campbell Hausdorff
comparando (11) y (12) como lo hicimos en (35), que
(l) (l)
(h1), 1
h2)) − de(e, 1
(h11 h2)
Converge a cero.
El hecho de que el grupo nilpotent Lie calificado no depende (hasta isomor-
phismo) en la métrica periódica, pero sólo en el grupo localmente compacto G fol-
los mínimos del teorema de Pansu [28] que si dos grupos de Carnot (es decir, una calificación simplemente
grupo nilpotente Lie conectado dotado de métrica subRiemanniana izquierda-invariante
inducido por una norma en un subespacio suplementario al subalgebra conmutador)
son bi-Lipschitz, los grupos subyacentes de la Mentira deben ser isomórficos. Este hecho profundo
se basa en el teorema generalizado de Rademacher de Pansu, véase [28]. De hecho, dos diferen-
Las métricas periódicas de G1 y G2 son cuasi-isométricas (véase la Proposición 4.4),
y por lo tanto sus conos asintóticos son bi-Lipschitz (y bi-Lipschitz a cualquier Carnot
métrica de grupo en el mismo grupo clasificado, por (13)). - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 47
8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia
Bajo ninguna otra suposición sobre la pseudodistancia periódica, la velocidad de
La convergencia en el volumen asintótico puede hacerse arbitrariamente pequeña. Esto es
fácilmente visto si consideramos ejemplos del siguiente tipo: definimos ♥(x, y) = x−y
x− y en R donde α (0, 1). Es periódico y vol(Bl(t)) = t− t
α + o(tα).
Sin embargo, muchos ejemplos naturales de métricas periódicas, tales como métricas de palabras o
Las métricas riemannianas, son de hecho groseramente geodésicas. Se dice una pseudodistancia en G.
para ser groseramente geodésico, si hay una constante C > 0 de tal manera que cualquier dos puntos puede
estar conectado por un C-coarse geodésico, es decir, para cualquier x, y G hay un mapa
g : [0, t] → G con t = x, y), g(0) = x y g(t) = y, de tal manera que
(g(u), g(v)) − u− v ≤ C
para todos u, v â € [0, t].
Este es un requisito más fuerte que decir que es geodésico asintóticamente
(véase 21). Esta noción es invariante bajo isometría gruesa. En el caso de G
es abeliano, D. Burago [6] demostró el hermoso hecho de que cualquier groseramente geodésico
métrica periódica en G está a una distancia limitada de su norma asintótica. In
volG(Bl(t)) = c · t
d+O(td−1) en este caso. En el notable artículo [32],
M. Stoll demostró que tal término de error en O(td−1) se mantiene para cualquier finitamente generado
Grupo nilpotente de 2 pasos. Si O(td−1) es el término de error correcto para cualquier finitamente
grupo nilpotente generado sigue siendo una pregunta abierta.
El ejemplo a continuación muestra por el contrario que en un grupo arbitrario de mentiras de
crecimiento polinomio no se puede esperar un término de error universal.
Teorema 8.1. Que Łn > 0 sea una secuencia arbitraria de números positivos que tienden
a 0. Entonces existe un grupo G de crecimiento polinomio de grado 3 y un compacto
Set de generación de energía en G y c > 0 de tal manera que
volG(
c · n3
≤ 1−
se mantiene para infinitamente muchos n, aunque 1
volG(
n) → 1 como n→.
El ejemplo que damos a continuación es un producto semi-directo de Z por R2 y la métrica
es una palabra métrica. Sin embargo, muchos ejemplos similares se pueden construir tan pronto como
el mapa T : G → K definido en el punto 5.1 en el que no está. Por ejemplo, uno puede
considerar métricas riemannianas invariantes izquierdas en G = R · (R2 × R2) donde R actúa
por medio de un subgrupo denso de un parámetro del S1 × S1 de 2torros. Incidentemente, esto
grupo G es conocido como el grupo Mautner y es un ejemplo de un grupo salvaje en
teoría de la representación.
8.1. Un ejemplo con velocidad arbitrariamente pequeña. En este párrafo describimos
el ejemplo de Teorema 8.1. Dejar Gα = Z · R
2 donde la acción de Z es dada por
la rotación Rα del ángulo â € ¬, α â € [0, 1). El grupo Gα es cuasi-isométrico a R
y por lo tanto de crecimiento polinomio de orden 3 y es cocompacto en el análogo
grupo de mentiras definido G = R R
2. Su nilshadow es isomórfico a R3. El punto es
48 EMMANUEL BREUILLARD
Gráfico 2 La unión de los dos conos, con base en el disco de radio
2, representa el límite de la forma de las bolas en el grupo Z R2,
donde Z actúa por una rotación irracional, con el conjunto de generación =
{(±1, 0, 0)} {(0, x1, x2),
x21 + x
2 ≤ 1}.
que si α es un número Liouville convenientemente elegido, entonces las bolas en Gα no será
bien aproximado por las bolas de la norma límite.
Los elementos de Gα se escriben (k, x) donde k â € Z y x â € R
2. Dejemos que "xá"
x21+x
ser una norma euclidiana en R2, y dejar que sea el conjunto de generación compacta simétrica
Indicado por {(±1, 0)(0, x), â € x ≤ 1}. Induce una palabra métrica en G. Se sigue
de Teorema 1.4 y la definición de la norma asintótica que (e, (k, x)) es
asintótico a la norma en R3 dada por?0(e, (k, x)) := k + â € € ~ xâ € ~ 0 donde â € ~ xâ € es
la norma invariante de rotación en R2 definida por â € € TM xâ €
(x21 + x
2). La bola de la unidad de
0 es el casco convexo de la unión de todas las imágenes de la bola de unidad de bajo todo
rotaciones Rkα, k â € Z.
Vamos a elegir α como un número de Liouville adecuado para que (36) se mantiene. Vamos.
N = 4 ° n)
1/3 y elegir α de modo que lo siguiente se mantiene para infinitamente muchos n’s:
(37) d(kα,Z +
) ≥ 2
para todos k Z, k ≤ n. Esto se ve fácilmente ser posible si elegimos α de la forma
1/3ni para algunas secuencias de aumento de vacío adecuadas de (ni)i.
Tenga en cuenta que, ya que â € € > x, tenemos â € € >. Que Sn sea la pieza de R
2 definido
por Sn = ≤ Łn} donde فارسى es el ángulo entre el punto x y el eje vertical
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 49
Re2. Alegamos que si x â € ¬ Sn, ¬0(e, (k, x)) ≤ n y n satisface (37), entonces
(e, (k, x)) ≥ k (1 +
) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
De la reclamación se desprende fácilmente que volG(l)
n) ≤ (1− n) · volG(B0(n)). Además
volG(Bl0(n)) = c · n
3 + O(n2), donde c = 4
si el volG es administrado por la Lebesgue
medida.
Prueba de reclamación. Aquí está la idea de probar la reclamación. Para encontrar un camino corto entre
la identidad y un punto en el eje vertical, tenemos que girar por un Rkα tal que
kα está cerca de 1
, por lo tanto subir de (0, 0) a (k, 0) en primer lugar, por lo que la vertical
dirección más corta. Sin embargo, si (37) se mantiene, la dirección vertical no se puede hacer como
corto como podría después de la rotación por cualquiera de los Rkα con k ≤ n.
Nótese que si el valor de la letra (e), (k, x)) ≤ n, k ≤ n y (e, (k, x)) ≥ kinf
# Rkiαxi #
donde el infimum se toma en todas las rutas x1,..., xN tal que x =
xi y todos
rotaciones Rkiα con ki ≤ n. Tenga en cuenta que si ♥n es lo suficientemente pequeño y (37) sostiene
entonces por cada x â € ¢ Sn tenemos â € € ¢ Rkαxâ € ≥ (1 + € €.
n) x0. Por otra parte
* x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
â € € TM € € € TM € € € € TM € € € TM € € TM € € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM Por lo tanto
Rkiαxi® ≥
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Rkiαxi
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# Rkiαxi #
≥ (1 + 2n)
in
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
cos(ln)
in
0 cos(i)
≥ (1 +)
) · • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
8.2. Forma límite para métricas de palabras más generales en grupos Solvable Lie
de crecimiento polinomio. La determinación de la forma límite de la palabra métrica
en el párrafo 8.1 es posible debido a la naturaleza bastante simple de la
Listo. En general, utilizando la identidad (véase 1))
38) 1 ·............................................................................................................................................................................................................................................................ . · m = • 1 * (T (1) • 2) ∗.................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... .......................................................................................
es fácil comprobar que la bola de la unidad de la norma límite · induciendo el límite
métrica de subFinsler d.o.p. en el nilshadow asociado a una métrica de palabra dada con
el conjunto de generación se contiene en el K-órbita del casco convexo de la proyección
a la nilshadow abelianizada, a saber, el casco convexo de K ·
En el ejemplo del párrafo 8.1, incluso teníamos igualdad entre los dos. ¿Cómo...?
En general, esto no es así. Por ejemplo, la forma límite es siempre K-
invariante, pero claramente la forma límite asociada a un conjunto generador
con el asociado con un conjugado g-g-1 de él, mientras que el casco convexo de la
Las órbitas K respectivas pueden no ser las mismas.
Por supuesto, si el conjunto de generación es K-invariante para empezar, entonces ♥n = n
y estamos de vuelta en el caso nilpotent, donde sabemos que la bola de unidad de la
límite norma es sólo el casco convexo de la proyección del conjunto generador a la
abelianización. En general, sin embargo, es un problema difícil para determinar el
50 EMMANUEL BREUILLARD
forma asintótica precisa de una métrica de la palabra en un grupo de Lie solvable general con
crecimiento polinomio, y no parece haber una descripción simple análoga a lo que
Tenemos en el caso Nilpotent.
Incluso en el ejemplo anterior Gα = ZR
2, o en la cobertura universal del grupo
de los movimientos del plano (en el que Gα incrusta co-compactamente), no es tan simple.
En general, la forma se determina resolviendo un problema de optimización en el que
uno tiene que encontrar la ruta que maximiza las coordenadas del punto final. In
para ilustrar esto, tratamos sin pruebas el siguiente ejemplo simple.
Suponga que ♥ es un barrio compacto simétrico de la identidad en Gα = ZR
del formulario = (0,0,0,0) â € € (1,0,0) â € € (1,0,0) â € € € (1,0,0) â € € € €
−1, en los que siguientes puntos:
2. Entonces el
límite de la forma de la palabra métrica asociado a ♥ es el cuerpo sólido (rotacionalmente
simétrica alrededor del eje vertical como en la Figura 2) hecha de dos copias (superior y
inferior) de un cono truncado con base de disco (0,R2) de radio max{r0, r1} y
superior (resp. inferior) un disco en el plano (1,R2) (resp. (−1,R2)) de radio r2, donde
los radios son dados por
r0 = máx. x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, },, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x,
diam(1),
donde el diámetro de diam (1 y r2 es dado por la integral
(39) r2 =
máx.
donde (el 1) es la proyección ortogonal en el eje x de la imagen de
2 por a
rotación del ángulo alrededor del origen. De hecho, es convexo (nota que r2 ≤ r1).
Por ejemplo, si se hace de un solo punto, entonces la forma límite es la misma
como en el párrafo anterior y como en la figura 2, a saber, dos copias de un cono.
Sin embargo, si se compone de dos puntos {a, b}, entonces la parte superior de la forma límite
será un cono truncado con un disco superior de radio r2 =
A-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-a-b-b-a-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-.
(que es el
resultado del cálculo de la integral anterior).
Expliquemos brevemente la fórmula (39). Un camino de longitud n alcanzar el más alto
z-coordenada en Gα es una palabra de la forma (1, 1) ·. . · (1, n), con Í ·i â € € · 1. Por
(38) esta palabra es igual a
Ri−1α Łi).
Aquí se puede tomar cualquier valor en el valor 1. Con el fin de maximizar la norma de la segunda
coordenada, o equivalente (por invarianza de rotación) su coordenada x, uno tiene que
elegir en cada etapa de tal manera que la coordenada x de R
α • i es
maximizado. Fórmula (39) se deriva ahora del hecho de que {Ri−1α }1≤i≤n se convierte en
equidistribuido en SO(2,R) como n tiende a infinito.
Para mostrar que max{r0, r1} es el radio del disco base y más
generalmente que la forma límite no es más grande que este doble cono truncado, uno
necesita discutir más a fondo considerando todos los caminos posibles de la forma (-1, -1) ·. .....................................................
En los casos en que se trate de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A o de un producto de la clase A,
Se prescribe.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 51
8.3. Distancia limitada versus métricas asintóticas. En este párrafo nosotros y...
RESPUESTA A UNA CUESTIÓN DE D. Burago y G. Margulis (véase [7]). Basado en el caso Abelian
y el caso reductivo (Abels-Margulis [1]), Burago y Margulis habían conjeturado
que cada dos métricas de palabras asintóticas deben estar a una distancia limitada. Damos
debajo de un contraejemplo a esto. Primero damos un ejemplo (A) de una mentira nilpotente
grupo dotado de dos métricas de subFinsler invariantes izquierdas
# Que son... #
asintótico el uno al otro, es decir. d-(e, x)/d
• (e, x) → 1 como x → • pero de tal manera que
(e, x)− d
*(e, x) no está limitada uniformemente. Luego exhibimos (B) una palabra conocida...
ric que no está a una distancia limitada de cualquier cuasinorma homogénea. Finalmente
estos ejemplos también producen (C) dos métricas de palabras........................................................................................................................................................................................................................................................
grupo nilpotente generado que son asintóticos pero no a una distancia limitada.
Nótese que el grupo Gα con 0 y del último párrafo también proporciona
un ejemplo de métricas asintóticas que no están a una distancia limitada (pero esto
grupo no fue discreto).
(A) Dejar que N = R × H3(R) donde H3 es el grupo clásico de Heisenberg y
Z ×H3(Z) una celosía en N. En el Lie álgebra n = RV h3 elegimos dos diferentes
subespacios suplementarios de [n, n] = RZ, es decir, m1 = span{V,X,Y} y m
span{V + Z,X,Y }, donde h3 es el álgebra de Lie de H3(R) a través de X,Y y
Z = [X,Y ].Consideramos la L1-norm en m1 (resp. m
1) correspondiente a la base
(V,X,Y) (resp. (V + Z,X, Y )). Ambas normas inducen la misma norma en n/[n, n].
Dan lugar a la izquierda invariante Carnot-Carateodory Finsler métricas en N, decir
(resp. d
(+)). Utilizamos las coordenadas (v, x, y, z) = exp(vV + xX + yY + zZ).
De acuerdo con la Observación (2) después del Teorema 6.2, d.a. y d.a.
Son asintóticos. Vamos.
nos muestran que no están a una distancia limitada. En primer lugar observar que, desde V
(v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z)) donde dH3 es el Carnot-
métrica de Carateodory Finsler en H3(R) definida por la norma L
1-norm en la
span{X,Y}. Del mismo modo d(e, (v; (x, y, z))) = v + dH3(e, (x, y, z − v))). En caso de que se produzca un cambio en la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión, se considerará que la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión es la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión y, en su caso, la fecha de entrada en vigor de la presente Decisión.
d estaban a una distancia limitada, tendríamos un C > 0 tal que para todos t > 0
(t; (0, 0, t)) − t ≤ C
Por lo tanto dH3(e, (0, 0, t)) ≤ C, que es una contradicción.
(B) Ahora deje ♥ = {(1; (0, 0, 1))±1, (1; (0, 0,−1))±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0)±1}
ser un conjunto generativo para la palabra métrica asociada a ella. Dejemos que
una cuasinorma homogénea sobre N que está a una distancia limitada de, es decir,
(e, g) − g está limitado. Entonces · es asintótico a, por lo tanto es igual a la
Carnot-Carateodory Finsler métrica d asintótica a y homogénea con
respeto al mismo grupo de parámetros de dilaciones t}t>0. Dejar m1 = {v • n,
* t(v) = tv}. Entonces d es inducido por alguna norma 0 en m1, cuya bola unidad es
según el teorema 1.4 por el casco convexo de las proyecciones a m1 de la
Grupos electrógenos en A. Hay un vector único en m1 de la forma V +z0Z. Su 0-norm
es 1 y d(e, (1; (0, 0, z0))) = 1. Sin embargo d(e, (v; (x, y, z))) = v dH3(e, (x, y, z −
vz0)). Desde (e, (n; (0, 0, n)) = n, obtenemos
d(e, (n; (0, 0, n)) − (e, (n; (0, 0, n)) = dH3(e, (0, 0, n(1 − z0)))
52 EMMANUEL BREUILLARD
Si esto está limitado, esto fuerza z0 = 1. Pero podemos repetir el mismo argumento con
(n; (0, 0,-n)) que forzaría z0 = −1. Una contradicción.
(C) Let ahora:= {(1; (0, 0, 0))
±1, (0; (1, 0, 0))±1, (0; (0, 1, 0))±1} y 2
métrica de la palabra asociada en la palabra. Entonces otra vez y 2 son asintóticos por Teorema
6.2 porque el casco convexo de su módulo de proyección coincide con la coordenada z.
Sin embargo 2 es una métrica de producto, a saber, tenemos 2(e, (v; (x, y, z))) = v +
(e, (x, y, z)), en el que ♥ es la métrica de la palabra en el grupo discreto de Heisenberg H3(Z)
con generadores estándar {(1, 0, 0)±1, (0, 1, 0)±1}. En particular
(e, (n; (0, 0, n))) − 2(e, (n; (0, 0, n)) = ♥(e, (0, 0, n))
que no tiene límite.
Observación 8.2 (Una geodésica anormal). Referimos al lector a [9] para más información sobre
Estos ejemplos. En particular, mostramos allí que el 1 y el 2 supra no son (1, C)-
cuasi-isométrico para cualquier C > 0. El fenómeno clave detrás de este ejemplo es
la presencia de una geodésica anormal (véase [25]), es decir, el grupo de un parámetro;
{t; (0, 0, 0))}t.
Observación 8.3 (Velocidad de convergencia en el caso de los nilpotentes). La velocidad lenta phe-
Nomenon en Teorema 8.1 se basó fundamentalmente en la presencia de un semisim no trivial
ple parte en Gα ; esto no ocurre en grupos nilpotentes. En [9], mostramos que para
métricas de palabras en grupos nilpotentes finitamente generados, la convergencia en Teorema
6.2 tiene una velocidad de polinomio con un término de error al menos tan bueno como O(dŁ(e, x)
3r ),
donde r es la clase de nilpotencia. Conjeturamos allí que el exponente óptimo es 1
Esto implica afinar cuantitativamente las estimaciones de la prueba de Teorema antes mencionada
9. Apéndice: los grupos Heisenberg
Aquí mostramos cómo calcular la forma asintótica de las bolas en el Heisenberg
Los grupos H3(Z) y H5(Z) y su volumen, dando así otro enfoque a la
el resultado principal de Stoll [33]. El término principal para el crecimiento de H3(Z) es racional
para todos los grupos electrógenos (Prop. 9.1 infra), mientras que en H5(Z) con su norma
generar conjunto, es trascendental. Esto explica cómo se hizo nuestra Figura 1
(compare con el impar [22] Fig. 1).
9.1. Grupo 3-dim Heisenberg. Consideremos en primer lugar el grupo Heisenberg
H3(Z) = a, b[a, [a, b]] = [b, [a, b]] = 1.
Lo vemos como la celosía generada por a = exp(X) y b = exp(Y) en el real
Grupo Heisenberg H3(R) con Lie álgebra h3 generada por X,Y y abarcada por
X, Y, Z = [X, Y ]. Dejar ser la métrica de la palabra estándar en H3(Z) asociado a
el conjunto generador = {a±1, b±1}. Según Teorema 1.4, la forma límite de
la n-bola n en H3(Z) coincide con la unidad de bola C3 = {g H3(R), d(e, g) ≤
1} para la métrica de Carnot-Carateodoría do inducida en H3(R) por la l
1-norm
* x X + yY 0 = x en m1 = span{X,Y } h3.
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 53
Computar esta bola de unidad es una tarea bastante simple. Cambiar los roles de X
e Y, vemos que C3 es invariante bajo la reflexión z 7→ −z. Entonces claramente C3 es
de la forma {xX + yY + zZ, con x y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}. Cambiar X a
−X e Y a −Y, obtenemos las simetrías z(x, y) = z(−x, y) = z(x,−y) = z(y, x).
Por lo tanto, al determinar z(x, y), podemos asumir 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, x+ y ≤ 1.
La siguiente observación bien conocida es crucial para calcular z(x, y). Si el valor de
ruta horizontal en H3(R) a partir de id, a continuación, (t) = exp(x(t)X+y(t)Y +z(t)Z),
donde (t) = x(t)X + y(t)Y y z(t) es el área de “balayage” del
ruta {x(s)X + y(s)Y }0≤s≤t y el acorde que une 0 a x(t)X + y(t)Y.
Por lo tanto, z(x, y) es dada por la solución al “problema isoperimétrico dido”
(véase [25]: encontrar una ruta en el plano X,Y entre 0 y xX + yY de 0-longitud 1
que maximiza el “área de albañilería”. Puesto que 0 es la l
1-norm en el plano X, Y,
como es bien conocido (véase [8]), tales curvas extremas son dadas por arcos de cuadrado con
lados paralelos a los ejes X, Y. Por lo tanto, hay una dicotomía: el arco del cuadrado
tiene 3 o 4 lados (puede tener 1 o 2 lados, pero estos están incluidos están limitando
casos de los anteriores).
Si hay 3 lados, tienen longitud l, x e y + l con y + l ≤ x. Por lo tanto
1 = l+ x+ y + l y z(x, y) = lx+ 1
xy. Por lo tanto, esto ocurre cuando y ≤ 3x − 1
y entonces tenemos z(x, y) =
x(1−x)
Si hay 4 lados, tienen longitud l, x+ u, y + l y u, con l+ y = x+ u.
Por lo tanto 1 = 2l + 2u + x + y y z(x, y) = (l + y) (x + u) −
. Esto ocurre cuando
y ≥ 3x− 1 y luego tenemos z(x, y) =
(1+x+y)2
Por lo tanto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 y x+ y ≤ 1
(40) z(x, y) = 1y≤3x−1
x(1− x)
+ 1y>3x−1
(1 + x + y)2
La unidad de bola C3 dibujada en la Figura 1 es el cuerpo sólido C3 = {xX + yY + zZ, con
x y ≤ 1 y z ≤ z(x, y)}.
Un cálculo simple muestra que vol(C3) =
en el Lebesgue medida dxdydz.
Puesto que H3(Z) se ve fácilmente tener co-volumen 1 para esta medida de Haar en H3(R)
(en realidad, {xX+yY +zZ, x â € [0, 1), y â € [0, 1), z â € [0, 1)} es un dominio fundamental),
De ello se deduce que
#(ln)
= vol(C3) =
Así recuperamos un resultado bien conocido (véase [4], [31] donde incluso la serie de crecimiento completa
se calcula y se demuestra que es racional).
También se puede determinar exactamente qué puntos de la esfera de C3 se unen a id
por un camino geodésico horizontal único. El lector comprobará fácilmente esa singularidad
falla exactamente en los puntos (x, y,±z(x, y)) con x < 1
y y = 0, o y < 1
x = 0, o bien en los puntos (x, y, z) con x y = 1 y z < z(x, y).
El método anterior también da el siguiente resultado.
54 EMMANUEL BREUILLARD
Proposición 9.1. Let ser cualquier conjunto de generación simétrica para H3(Z). Entonces el
coeficiente principal en #(ln) es racional, es decir.
#(ln)
es un número racional.
Prueba. Sólo esbozamos la prueba aquí. Podemos aplicar el método anterior y com-
pute r como el volumen de la unidad CC-ball C(l) del límite CC-metric d-
multado en Teorema 1.4. Puesto que sabemos lo que es la norma en el (x, y)-plano
m1 = espano X, Y â € que genera dâ € (es la norma poligonal dada por el con-
vex casco de los puntos de ♥), podemos calcular C() explícitamente. Necesitamos saber.
la solución al problema isoperimétrico de Dido para en m1, y como es bien conocido
(véase [8]) se da por líneas poligonales del polígono dual rotado por 90o. Desde
el polígono que define está hecho de líneas racionales (puntos en tienen entero coordi-
nates), cualquier vector con coordenadas racionales tiene racional -longitud, y el dual
El polígono también es racional. Las ecuaciones que definen z(x, y) tendrán por lo tanto sólo
coeficientes racionales, y z(x, y) se dará por separado por una cuadrática racional
forma en x e y, donde las piezas son triángulos racionales en el plano (x, y). Los
Por lo tanto, el volumen total de C() será racional. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
9.2. Grupo de 5-dim Heisenberg. El grupo HeisenbergH5(Z) es el
atendido por a1, b1, a2, b2, c con relaciones c = [a1, b1] = [a2, b2], a1 y b1
a2 y b2 y c es central. Let = {a
i, b
i, i = 1, 2}. Describamos el límite.
la forma de Łn. Una vez más, vemos H5(Z) como una celosía de co-volumen 1 en el grupo H5(R)
con Lie álgebra h5 extendida por X1, Y1X2, Y2 y Z = [Xi, Yi]. Por Teorema 1.4,
la forma límite es la unidad de bola C5 para la métrica Carnot-Caratheodory en H5(R)
inducidos por la l1-norm x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2+0 = x1 y1 x2 y2.
Desde X1, Y1 conmutar con X2, Y2, en cualquier camino horizontal lineal en
H5(R), podemos intercambiar las piezas tangentes a X1 o Y1 con las tangentes a X2 o
Y2 sin cambiar el punto final de la ruta. Por lo tanto, en caso de que la expresión «(t)» = exp(x1(t)X1 +
y1(t)Y1 + x2(t)X2 + y2(t)Y2 + z(t)Z) es una ruta horizontal, luego z(t) = z1(t) +
z2(t), donde zi(t), i = 1, 2, es el “área de balayage” de la curva plana {xi(s)Xi +
yi(s)Yi}0≤s≤t.
Puesto que, al igual que para H3(Z), conocemos la curva maximizando esta área, podemos
calcular la bola de unidad C5 explícitamente. En coordenadas exponenciales tomará la
forma C5 = {exp(x1X1 + y1Y1 + x2X2 + y2Y2 + zZ), x1 y1 x2 y2 ≤ 1 y
z ≤ z(x1, y1, x2, y2)}. Luego z(x1, y1, x2, y2) = sup0≤t≤1{zt(x1, y1)+ z1−t(x2, y2)},
donde zt(x, y) es el “área de balayage” máximo de una trayectoria de longitud t entre 0
y xX+yY. Es fácil ver que zt(x, y) = t
2z(x/t, y/t) donde z es dada por (40).
Por lo tanto zt es una función cuadrática a partes de t. De nuevo z(x1, y1, x2, y2) es invariante
bajo cambiar los signos del xi,yi, y el intercambio de x e y, o bien el intercambio
1 y 2. Así pues, podemos suponer que la mentira del xi,yi en D = {0 ≤ yi ≤ xi ≤ 1 y
x1+y1+x2+y2 ≤ 1, y x2−y2 ≥ x1−y1}. Por lo tanto, podemos determinar explícitamente
el supremamum z(x1, y1, x2, y2), que después de algunos cálculos sencillos toma
FORMA ASIMPTÓTICA DE BALLAS EN GRUPOS CON CRECIMIENTO POLINOMIAL 55
En D el siguiente formulario:
z(x1, y1, x2, y2) = 1Amax{d1, d2 1B max{d1, c1 1C max{c1, c2}
donde d1 =
(1−x1− y1−x2), c1 =
(1+x1+ y1−x2− y2)
x2y2−x1y1
y d2 y c2 se obtienen de d1 y c1 mediante el intercambio de los índices 1 y 2. Los
los conjuntos A, B y C forman la siguiente partición de D: A = D • {m ≤ x1 − y1},
B = D • {x1 − y1 < m < x2 − y2} y C = D • {x2 − y2 ≤ m}, donde m =
(1 − x1 − x2 − y1 − y2)/2.
Puesto que C5 tiene una forma tan explícita, es posible calcular su volumen. El hecho
que z(x1, y1, x2, y2) es dada por el máximo de dos formas cuadráticas
hace que el cálculo de la integral sea algo engorroso pero tratable. Nuestro
Las ecuaciones coinciden (¡por desgracia!) con los de Stoll (apéndice de [33]), donde
Calculó el término principal de la asintótica de #(ln) por un método diferente. Stoll
calculó que integral y obtenido
#(ln)
= vol(C5) =
21870
log(2)
32805
que es trascendental. También es fácil ver por este método que si cambiamos
el conjunto de generación a 0 = {a
2 }, entonces obtenemos un volumen racional. Por lo tanto
la racionalidad de la serie de crecimiento de H5(Z) depende de la elección de
set, que es el teorema de Stoll.
Una ventaja de nuestro método es que también puede aplicarse a la generación de
Sets. El caso de los grupos de Heisenberg de mayor dimensión con la gen-
conjunto de borrado es análogo: la función z({xi}, {yi}) se define de nuevo por partes como
el máximo de muchas formas cuadráticas explícitas finitas en una partición lineal de la
Bola de 1 unidad
xi yi ≤ 1.
Agradecimientos. Me gustaría agradecer a Amos Nevo por su hospitalidad en el
Technion de Haifa en diciembre de 2005, donde se llevó a cabo parte de este trabajo, y
para desencadenar mi interés en este problema mostrándome las posibles implicaciones
de Teorema 1.1 a Teoría Ergódica. Mi agradecimiento también se debe a V. Losert por
señalando una inexactitud en mi primera prueba de Teorema 1.2 y para su otro
comentarios sobre el manuscrito. Finalmente doy las gracias a Y. de Cornulier, M. Duchin, E. Le
Donne, Y. Guivarc’h, A. Mohammadi, P. Pansu y R. Tessera para varios útiles
conversaciones.
Bibliografía
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se pliega, J. Geometría diferencial, 2 (1968), p. 421–446.
Dirección de correo electrónico: emmanuel.breuillard@math.u-psud.fr
Université Paris-Sud 11, Laboratoire de Mathématiques, 91405 Orsay, Francia
1. Introducción
2. Quasi-norms y la geometría de los grupos nilpotent Lie
3. El nilshadow
4. métricas periódicas
5. Reducción al caso de nilpotente
6. El caso de los nilpotentes
7. G localmente compacto y pruebas de los principales resultados
8. Distancias geodésicas extremas y velocidad de convergencia
9. Apéndice: los grupos Heisenberg
Bibliografía
|
704.0096 | Much ado about 248 | Mucho ado sobre 248
M.C. Nucci y P.G.L. Leach*
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Perugia,
06123 Perugia, Italia
Resumen
En esta nota presentamos tres representaciones de una mentira de 248 dimensiones
álgebra, a saber, el álgebra de las simetrías Lie punto admitido por un sistema
de cinco ecuaciones diferenciales ordinarias triviales cada uno de orden cuarenta y cuatro, que
admitido por un sistema de siete ecuaciones diferenciales triviales ordinarias cada uno
de la orden veintiocho y la admitida por una diferencia trivial ordinaria
ecuación de orden doscientos cuarenta y cuatro.
1 Introducción
Un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias cada uno de orden M > 1,
k = fk(u
j, t), j, k = 1, n, s = 0,M − 1, (1)
tiene un número variable de simetrías de puntos de Lie dependiendo de la estructura de
las funciones fk. La dimensión máxima D del álgebra del punto de mentira admitido
las simetrías pueden ser obtenidas por el formulæ [9]
D = n2 + 4n + 3 (2)
D = n2 + Mn + 3. 3)
Algunos números explícitos se dan en la Tabla 1.
Recientemente la elaboración de los elementos de la Lie álgebra, E8, de orden 248 ha
se anunció de diversas maneras [3, 7, 13, 17, 16] en los serios medios de comunicación populares. El au-
fuente toriativa es el Atlas de Grupos y Representaciones de Mentira [2] que se financia
por la Fundación Nacional de Ciencia a través del Instituto Americano de Matemáticas
[1]. Los resultados del cálculo E8 fueron anunciados en una charla en el MIT por David
Vogan el lunes 19 de marzo de 2007, y los detalles se pueden encontrar en [15]. El Atlas
de Grupos de Mentira y Representaciones es un proyecto para poner a disposición
representaciones de grupos semisimples de Mentira sobre campos reales y p-ádicos. Particular
importancia es el problema de la dualidad unitaria, es decir, la clasificación de todos los
representaciones unitarias reducibles de un determinado grupo de Lie. El objetivo del Atlas de la Mentira
* Discurso permanente: Facultad de Ciencias Matemáticas, Campus Westville, Universidad de
KwaZulu-Natal, Durban 4000, República de Sudáfrica
http://arxiv.org/abs/0704.0096v1
Tabla 1: : La dimensión máxima del álgebra de las simetrías de puntos de Lie admitidas
para sistemas de ecuaciones de orden variable (horizontal) y número (vertical).
M 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 8 7 8 9 10 11 12 13 14
2 15 13 15 17 19 21 23 25 27
3 24 21 24 27 30 33 36 39 42
4 35 31 35 39 43 47 51 55 59
5 48 43 48 53 58 63 68 73 78
6 63 57 63 69 75 81 87 93 99
7 80 73 80 87 94 101 108 115 122
8 99 91 99 107 115 123 131 139 147
9 120 111 120 129 138 147 156 165 174
10 143 133 143 153 163 173 183 193 203
Grupos y Representaciones es clasificar el dual unitario de un verdadero grupo de Lie, G,
por ordenador. Un paso en esta dirección es calcular las representaciones admisibles
de G, incluidos sus polinomios Kazhdan-Lusztig-Vogan. El cálculo para E8
fue una prueba importante de la tecnología. Mientras que el cálculo es un impresionante
el logro, es sólo un pequeño paso hacia el dual unitario y no debe ser
clasificado como tan importante como la obra original de Kazhdan, Lusztig, Vogan, Beilinson,
Bernstein et al. (Vea, por ejemplo, [4, 5, 6, 11, 12, 14, 18, 8].) Sin embargo, el resultado
se consideró adecuado para una campaña concertada de publicidad para aumentar
conciencia de las matemáticas en la comunidad en general:
“Symmetrie ist möglicherweise das erfolgreichste Prinzip der Physik überhaupt” [7].
“Un grupo de chercheurs américains et européens, parmi lesquels on trouve deux
Français, est parvenu à décoder une des structures les plus vastes de l’histoire des
mathématiques” [13].
“Puede ser que algún día este cálculo pueda ayudar a los físicos a entender el
universo” [17].
“Dieciocho matemáticos pasaron cuatro años y 77 horas de supercomputadora compu-
ciones para describir esta estructura” [16].
En esta nota demostramos tres representaciones de un Lie álgebra de dimensión
248. Los dos pasamos cuatro horas y 77 segundos de cálculo de bolsillo
para describir estas tres estructuras.
2 Tres sistemas simples
Para D = 248 fórmula (2) no tiene soluciones integrales y por lo tanto no hay sistema
de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden de simetría máxima que poseen un
álgebra dimensional de sus simetrías de punto de mentira1. Sobre la fórmula (3) los factores
de 248-3=245 son 1, 5 y 7 (49 está fuera de duda porque 492 > 245). En consecuencia
1¿Es éste otro ejemplo de la singularidad intrínseca de la Mecánica Clásica?
los posibles valores de n son 1, 5 y 7. Los valores correspondientes de M son 244, 44 y 28,
respectivamente. Los sistemas de simetría máxima se obtienen fácilmente como uno simplemente
Así, los sistemas que construimos son las representaciones más simples de
la clase de equivalencia bajo la transformación puntual de sistemas de ecuaciones de máxima
Simetría.
En primer lugar, consideramos el siguiente sistema:
k = 0, k = 1, 5. 4)
Es fácil demostrar que este sistema sencillo admite un álgebra de 248 dimensiones de su
Simetrías de puntos de mentira desde 52 + 5 · 44 + 3 = 248. El álgebra es generada por el
operadores
•1 = t
2t + 43t
i=1 uiŁui,
2 ° = t ° t,
3 °C = 1 °C,
•i,k = kukui,k = 1, 5, i = 1, 5
•i+5,s = t
s/23370/ui, s = 0, 43, i = 1, 5.
En segundo lugar, consideramos el sistema
u(28)r = 0, r = 1, 7. 6)
Este sistema igualmente simple admite un álgebra de 248 dimensiones (72+7 · 28+ 3 = 248)
de sus simetrías de puntos de Lie generadas por
•1 = t
2t + 27t
j=1 uj?uj,
2 ° = t ° t,
3 °C = 1 °C,
• j,r = urlj, r = 1, 7, j = 1, 7
*j+7,n = t
nŁuj, n = 0, 27, j = 1, 7.
En tercer lugar y finalmente la ecuación escalar,
u(244) = 0, (8)
admite un álgebra Lie de 248 dimensiones (12+1 ·244+3 = 248) de sus simetrías puntuales
generado por los operadores
•1 = t
2T + 243tuu,
2 ° = t ° t,
3 °C = 1 °C,
4 °C = uüu,
N+5 = t
No, n = 0, 243.
3 Conclusión
Hemos demostrado tres representaciones de Lie álgebras de la dimensión 248 que
es la dimensión de E8. Aunque los álgebras que presentamos no son simples, su
método de construcción es. La razón de esta simplicidad es que usamos represen-
tas para sistemas de ecuaciones de simetría máxima. No negamos que sea más grande.
sistemas, ya sea en orden o número, de menos de simetría máxima podría posiblemente
tienen un álgebra de dimensión 248, pero incluso en el supuesto de que tales sistemas
ser lineal la complejidad del cálculo se vuelve inmensa [10] y derrota al
propósito de la presente nota.
Tenga en cuenta que hemos utilizado las formas más simples para los generadores de los álgebras de
los tres sistemas, (4), (6) y (8), para nuestro interés principal es la demostración de
la existencia de los álgebras. Normalmente uno usaría combinaciones que reflejan
estructuras subalgebraicas. Por ejemplo en el caso de (8) para el cual el álgebra es
obviamente sl(250, IR) se sustituiría 2 por 2 = 2tte +243uu para subrayar el
estructura subalgebraica {sl(2, IR)} {A1} {sl(2, IR)} {s 244A1} {sl(2, IR)} {sl(2, IR) {s2A} {s1} {s244A1}, en la que {sl(2, IR) {s1} {s1} {s1} {s1} {s1} {s1 {s1} {s1} {s1(2, IR) {s1}
la representación de sl(2, IR), •4 refleja la homogeneidad de la ecuación en el depen-
variable de abolladura y el subalgebra abeliana de 244 elementos se compone de la solución
simetrías, llamadas así porque las funciones del coeficiente son soluciones de (8).
Agradecimientos
PGLL agradece a la Universidad de Kwazulu-Natal su continuo apoyo.
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http://aimath.org/E8/
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http://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece
Introducción
Tres sistemas simples
Conclusión
| En esta nota presentamos tres representaciones de una mentira de 248 dimensiones
álgebra, a saber, el álgebra de las simetrías Lie punto admitido por un sistema de
cinco ecuaciones diferenciales ordinarias triviales cada uno de orden cuarenta y cuatro, que
admitido por un sistema de siete ecuaciones diferenciales triviales ordinarias cada uno de
orden veintiocho y que admitido por una diferencia trivial ordinaria
ecuación de orden doscientos cuarenta y cuatro.
| Introducción
Un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias cada uno de orden M > 1,
k = fk(u
j, t), j, k = 1, n, s = 0,M − 1, (1)
tiene un número variable de simetrías de puntos de Lie dependiendo de la estructura de
las funciones fk. La dimensión máxima D del álgebra del punto de mentira admitido
las simetrías pueden ser obtenidas por el formulæ [9]
D = n2 + 4n + 3 (2)
D = n2 + Mn + 3. 3)
Algunos números explícitos se dan en la Tabla 1.
Recientemente la elaboración de los elementos de la Lie álgebra, E8, de orden 248 ha
se anunció de diversas maneras [3, 7, 13, 17, 16] en los serios medios de comunicación populares. El au-
fuente toriativa es el Atlas de Grupos y Representaciones de Mentira [2] que se financia
por la Fundación Nacional de Ciencia a través del Instituto Americano de Matemáticas
[1]. Los resultados del cálculo E8 fueron anunciados en una charla en el MIT por David
Vogan el lunes 19 de marzo de 2007, y los detalles se pueden encontrar en [15]. El Atlas
de Grupos de Mentira y Representaciones es un proyecto para poner a disposición
representaciones de grupos semisimples de Mentira sobre campos reales y p-ádicos. Particular
importancia es el problema de la dualidad unitaria, es decir, la clasificación de todos los
representaciones unitarias reducibles de un determinado grupo de Lie. El objetivo del Atlas de la Mentira
* Discurso permanente: Facultad de Ciencias Matemáticas, Campus Westville, Universidad de
KwaZulu-Natal, Durban 4000, República de Sudáfrica
http://arxiv.org/abs/0704.0096v1
Tabla 1: : La dimensión máxima del álgebra de las simetrías de puntos de Lie admitidas
para sistemas de ecuaciones de orden variable (horizontal) y número (vertical).
M 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 8 7 8 9 10 11 12 13 14
2 15 13 15 17 19 21 23 25 27
3 24 21 24 27 30 33 36 39 42
4 35 31 35 39 43 47 51 55 59
5 48 43 48 53 58 63 68 73 78
6 63 57 63 69 75 81 87 93 99
7 80 73 80 87 94 101 108 115 122
8 99 91 99 107 115 123 131 139 147
9 120 111 120 129 138 147 156 165 174
10 143 133 143 153 163 173 183 193 203
Grupos y Representaciones es clasificar el dual unitario de un verdadero grupo de Lie, G,
por ordenador. Un paso en esta dirección es calcular las representaciones admisibles
de G, incluidos sus polinomios Kazhdan-Lusztig-Vogan. El cálculo para E8
fue una prueba importante de la tecnología. Mientras que el cálculo es un impresionante
el logro, es sólo un pequeño paso hacia el dual unitario y no debe ser
clasificado como tan importante como la obra original de Kazhdan, Lusztig, Vogan, Beilinson,
Bernstein et al. (Vea, por ejemplo, [4, 5, 6, 11, 12, 14, 18, 8].) Sin embargo, el resultado
se consideró adecuado para una campaña concertada de publicidad para aumentar
conciencia de las matemáticas en la comunidad en general:
“Symmetrie ist möglicherweise das erfolgreichste Prinzip der Physik überhaupt” [7].
“Un grupo de chercheurs américains et européens, parmi lesquels on trouve deux
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“Puede ser que algún día este cálculo pueda ayudar a los físicos a entender el
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“Dieciocho matemáticos pasaron cuatro años y 77 horas de supercomputadora compu-
ciones para describir esta estructura” [16].
En esta nota demostramos tres representaciones de un Lie álgebra de dimensión
248. Los dos pasamos cuatro horas y 77 segundos de cálculo de bolsillo
para describir estas tres estructuras.
2 Tres sistemas simples
Para D = 248 fórmula (2) no tiene soluciones integrales y por lo tanto no hay sistema
de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden de simetría máxima que poseen un
álgebra dimensional de sus simetrías de punto de mentira1. Sobre la fórmula (3) los factores
de 248-3=245 son 1, 5 y 7 (49 está fuera de duda porque 492 > 245). En consecuencia
1¿Es éste otro ejemplo de la singularidad intrínseca de la Mecánica Clásica?
los posibles valores de n son 1, 5 y 7. Los valores correspondientes de M son 244, 44 y 28,
respectivamente. Los sistemas de simetría máxima se obtienen fácilmente como uno simplemente
Así, los sistemas que construimos son las representaciones más simples de
la clase de equivalencia bajo la transformación puntual de sistemas de ecuaciones de máxima
Simetría.
En primer lugar, consideramos el siguiente sistema:
k = 0, k = 1, 5. 4)
Es fácil demostrar que este sistema sencillo admite un álgebra de 248 dimensiones de su
Simetrías de puntos de mentira desde 52 + 5 · 44 + 3 = 248. El álgebra es generada por el
operadores
•1 = t
2t + 43t
i=1 uiŁui,
2 ° = t ° t,
3 °C = 1 °C,
•i,k = kukui,k = 1, 5, i = 1, 5
•i+5,s = t
s/23370/ui, s = 0, 43, i = 1, 5.
En segundo lugar, consideramos el sistema
u(28)r = 0, r = 1, 7. 6)
Este sistema igualmente simple admite un álgebra de 248 dimensiones (72+7 · 28+ 3 = 248)
de sus simetrías de puntos de Lie generadas por
•1 = t
2t + 27t
j=1 uj?uj,
2 ° = t ° t,
3 °C = 1 °C,
• j,r = urlj, r = 1, 7, j = 1, 7
*j+7,n = t
nŁuj, n = 0, 27, j = 1, 7.
En tercer lugar y finalmente la ecuación escalar,
u(244) = 0, (8)
admite un álgebra Lie de 248 dimensiones (12+1 ·244+3 = 248) de sus simetrías puntuales
generado por los operadores
•1 = t
2T + 243tuu,
2 ° = t ° t,
3 °C = 1 °C,
4 °C = uüu,
N+5 = t
No, n = 0, 243.
3 Conclusión
Hemos demostrado tres representaciones de Lie álgebras de la dimensión 248 que
es la dimensión de E8. Aunque los álgebras que presentamos no son simples, su
método de construcción es. La razón de esta simplicidad es que usamos represen-
tas para sistemas de ecuaciones de simetría máxima. No negamos que sea más grande.
sistemas, ya sea en orden o número, de menos de simetría máxima podría posiblemente
tienen un álgebra de dimensión 248, pero incluso en el supuesto de que tales sistemas
ser lineal la complejidad del cálculo se vuelve inmensa [10] y derrota al
propósito de la presente nota.
Tenga en cuenta que hemos utilizado las formas más simples para los generadores de los álgebras de
los tres sistemas, (4), (6) y (8), para nuestro interés principal es la demostración de
la existencia de los álgebras. Normalmente uno usaría combinaciones que reflejan
estructuras subalgebraicas. Por ejemplo en el caso de (8) para el cual el álgebra es
obviamente sl(250, IR) se sustituiría 2 por 2 = 2tte +243uu para subrayar el
estructura subalgebraica {sl(2, IR)} {A1} {sl(2, IR)} {s 244A1} {sl(2, IR)} {sl(2, IR) {s2A} {s1} {s244A1}, en la que {sl(2, IR) {s1} {s1} {s1} {s1} {s1} {s1 {s1} {s1} {s1(2, IR) {s1}
la representación de sl(2, IR), •4 refleja la homogeneidad de la ecuación en el depen-
variable de abolladura y el subalgebra abeliana de 244 elementos se compone de la solución
simetrías, llamadas así porque las funciones del coeficiente son soluciones de (8).
Agradecimientos
PGLL agradece a la Universidad de Kwazulu-Natal su continuo apoyo.
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http://www.timesonline.co.uk/tol/news/uk/science/article1533648.ece
Introducción
Tres sistemas simples
Conclusión
|
704.0097 | Conformal Field Theory and Operator Algebras | Teoría de campo formal
y álgebras operadoras
Yasuyuki Kawahigashi
Departamento de Ciencias Matemáticas
Universidad de Tokio, Komaba, Tokio, 153-8914, Japón
Correo electrónico: yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp
Resumen
Examinamos los recientes avances en el enfoque algebraico de los operadores
teoría cuántica formal del campo. Nuestro énfasis está en el uso de la representación
teoría en teoría de clasificación. Esto se basa en una serie de trabajos conjuntos
con R. Longo.
1 Introducción
Una aproximación matemáticamente rigurosa a la teoría cuántica del campo basada en
álgebras erator se llama una teoría de campo cuántico algebraico. Tiene un largo
historia desde obras pioneras de Araki, Haag, Kastker. (Véase [22]
tratamiento eral de la teoría del campo cuántico algebraico.) Esta teoría funciona en
Espacios Minkowski en cualquier dimensión espacio-tiempo, y ha habido algunos
resultados recientes en tiempos de espacio curvos o incluso tiempos de espacio no conmutativos. In
el caso del espacio Minkowski de 1+1-dimensional con simetría espacial superior-
intentar, simetría conformal, tenemos teoría de campo conformal y allí tenemos
hemos visto muchos nuevos acontecimientos en los últimos años, por lo que examinamos tales resultados
Aquí. Nuestro énfasis está en los aspectos teóricos de la representación de la teoría y
hacemos varias comparaciones con otro matemáticamente riguroso y más
enfoque reciente a la teoría de campo conformal, es decir, la teoría del operador de vértice
álgebras.
* Con el apoyo en parte de la JSPS.
http://arxiv.org/abs/0704.0097v1
En términos aproximados, un estudio matemático de la teoría cuántica del campo es un
estudio de los campos de Wightman, que son cierto tipo de operador valorado distri-
butiones en un espacio-tiempo con covarianza con respecto a un espacio-tiempo dado
grupo de simetría. Tenemos axiomas matemáticamente rigurosos para tal Wight-
campos humanos, pero involucran distribuciones y operadores sin límites, por lo que estos
causar varios tipos de dificultad técnica. En contraste, en el quan algebraico-
teoría del campo de tum, nuestro objeto fundamental es una red de álgebras de von Neumann
de operadores lineales limitados en un espacio de Hilbert. (Véase [46] para
ory de von Neumann álgebras.) Problemas técnicos en los ámbitos de definición
Los operadores no vinculados no surgen en este enfoque.
Una idea básica es la siguiente. Supongamos que tenemos un campo Wightman Φ en un
espacio tiempo. Fijar una región limitada O en el tiempo espacial y considerar una prueba
función con soporte contenido en O. Entonces el emparejamiento, produce
un operador (sin límite). Tenemos muchos Φ y ♥ para una O fija y obtener
muchos operadores sin límite de tal emparejamiento. Entonces consideramos un von Neu-
álgebra mann de operadores lineales limitados en este espacio Hilbert generado
por parte de estos operadores sin límites. (Por ejemplo, si tenemos un auto-adjunto un-
operadores limitados, consideramos sus proyecciones espectrales que son, obviamente,
todo delimitado. De esta manera, sólo tratamos con operadores limitados.) Esto es...
considerado como un álgebra de von Neumann generada por observables en el espaciotiempo
región O. Un álgebra de von Neumann es un álgebra de operadores lineales delimitados
que está cerrado bajo la operación contigua y el operador fuerte topol-
Ogy. De esta manera, tenemos una familia {A(O)} de von Neumann álgebras en el
el mismo espacio de Hilbert parametrizado por las regiones del espacio-tiempo. Desde el espacio-tiempo
las regiones hacen una red con respecto a la orden de inclusión, llamamos a tal familia un
red de álgebras de von Neumann. Ahora olvidamos los campos de Wightman y consideramos
sólo una red de álgebras de von Neumann. Tenemos algunas propiedades esperadas para
tales redes de von Neumann álgebras de una consideración física, y ahora
usamos estas propiedades como axiomas. Así que nuestro objeto matemático es una red de
von Neumann álgebras sujetas a ciertos conjuntos de axiomas. Nuestra matemática
objetivo es estudiar tales redes de von Neumann álgebras.
2 Teoría de Campo Cuántico Conformal
Primero explicamos la formulación de la teoría de campo cuántico conformal completa en el
1 + 1-dimensional Minkowski espacio en teoría de campo cuántico algebraico. As a
región del espacio tiempo O arriba, es suficiente considerar sólo los rectángulos abiertos O
con bordes paralelos a t = ± x en el espacio de Minkowski (1 + 1)-dim. De esta manera,
Obtenemos una familia {A(O)} de álgebras de operador parametrizadas por espaciotiempo
regiones O (rectángulos). Con el fin de realizar la simetría conformal, tenemos que
hacer una compactación parcial del espacio Minkowski de 1+1-dimensional. Si
dos rectángulos son espacios como separados, entonces no tenemos interacciones entre
incluso a la velocidad de la luz, por lo que nuestro axioma requiere que el correspondiente
dos álgebras de von Neumann se viajan entre sí. Esta es la localidad
axioma. Dado que este no es nuestro objeto principal en este documento, omitimos los detalles de la
otros axiomas. Véase [29] para más detalles.
A continuación explicamos brevemente que la teoría de campo conformal de la frontera puede ser han-
se desplomó dentro del mismo marco. Ahora consideramos el medio-espacio {(x, t)
x > 0} en el espacio 1+1-dimensional Minkowski y sólo rectángulos O con-
en este medio-espacio. De esta manera, tenemos una red similar de von Neumann
álgebras {A(O)} parametrizadas con rectángulos en el medio espacio. Véase [38]
para los detalles completos de los axiomas.
Si tenemos una red de álgebras de von Neumann sobre el 1 + 1-dimensional
Minkowski espacio, podemos restringir la red de von Neumann álgebras a dos
teorías de campo conformal quiral sobre los conos de luz {x = ±t}. De esta manera, nosotros
tienen dos redes de von Neumann álgebras en el compactado S1 como descripción
de dos teorías de campo conformal quiral. Puesto que esta red es nuestra principal matemática
objeto en este artículo, damos un conjunto completo de axiomas. (Véase [29] para más detalles sobre esto
procedimiento de “restricción”.)
Ahora nuestro “tiempo espacial” es S1 y una “región espacio-tiempo” es un intervalo I,
lo que significa un subconjunto abierto no vacío y no denso de S1. Tenemos
una familia {A(I)} de von Neumann álgebras en un espacio fijo Hilbert H.
von Neumann álgebras son simples y tales álgebras de von Neumann se llaman
factores, por lo que la familia {A(I)} satisfacer los axiomas de abajo se llama una red de
factores (o una red conformal local irreductible de factores, estrictamente hablando).
En realidad, el conjunto de intervalos en S1 no está dirigido con respecto a inclusiones,
Por lo tanto, la terminología neta no es matemáticamente apropiada, pero se utiliza ampliamente.
1. (isotonía) Para los intervalos I1+I2, tenemos A(I1)+A(I2).
2. (localidad) Para intervalos I1, I2 con I1+I2 = فارسى, tenemos [A(I1),A(I2)] = 0
3. (Möbius covarianza) Existe un repre-
Se envía U de PSL(2,R) sobre H que satisfaga U(g)A(I)U(g)* = A(gI) para
cualquier g • PSL(2,R) y cualquier intervalo I.
4. (positividad de la energía) El generador de la rotación de un parámetro sub-
grupo de U, llamado el conformal Hamiltoniano, es positivo.
5. (existencia del vacío) Existe una unidad U -invariante vector
H, llamado el vector de vacío, y el álgebra de von Neumann
I+S1 A(I)
generado por todos los A(I) es B(H).
6. (covarianza formal) Existe una representación unitaria proyectiva
U de Diff(S1) en H ampliando la representación unitaria de PSL(2,R)
de tal manera que para todos los intervalos yo, tenemos
U(g)A(I)U(g)* = A(gI), g • Diff(S1),
U(g)AU(g)* = A, A (I), g (Diff(I ′),
donde Diff(S1) es el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación
de S1 y Diff(I ′) es el grupo de difeomorfismos g de S1 con g(t) = t
para todos los t â € I.
El axioma de isotonía es natural porque tenemos más funciones de prueba (o más
observables) para un intervalo mayor. El axioma de la localidad toma esta forma simple en
S1. La elección de la simetría espacio-tiempo no es única, y podemos utilizar la
Simetría de Poincaré en el espacio de Minkowski o la covarianza de Möbius en S1,
por ejemplo, pero en la teoría de campo conformal, utilizamos la simetría conformal,
lo que significa covarianza de difeomorfismo como arriba. Este conjunto de axiomas implican
varias condiciones agradables como la propiedad Reeh-Schlieder, el Bisognano-
Propiedad Wichmann y la dualidad Haag. Véase [28] y las referencias correspondientes a
detalles.
En la situación habitual, todos los álgebras de von Neumann A(I) son isomórficos
al denominado factor Araki-Woods tipo III1 para todas las redes A y todos los intervalos
I. Así que cada álgebra de von Neumann no contiene ninguna información sobre
la teoría de campo conformal, pero es la posición relativa del von Neumann
álgebras en la familia que codifica la información física de la teoría.
(Es similar a la teoría de los subfactores de Jones donde estudiamos una posición relativa
de un factor en otro.)
Al final de esta sección, comparamos nuestra formulación de conformal
teoría cuántica de campo con otro enfoque matemáticamente riguroso, el-
ORY de álgebras de operador de vértice. Un álgebra operador de vértice es un algebraico
axiomatización de los campos de Wightman en S1, llamados operadores de vértice. Si nosotros
tener una distribución de operador valorada en S1, su expansión de Fourier debe dar
Contablemente muchos (posiblemente sin límite) operadores como los coeficientes de Fourier.
Bajo la llamada correspondencia estado-campo, cualquier vector en el espacio de
“estados” debe dar una distribución valorada por el operador, un “campo” cuántico, y
su expansión de Fourier da cuenta de muchos operadores. De esta manera, un vector
debe dar considerablemente muchos operadores en el espacio de estos vectores. En los demás
palabras, para dos vectores v, w tenemos considerablemente muchas operaciones binarias v(n)w,
n-Z, la acción del n-ésimo operador dada por v en w. Una axiomatización
de esta idea da una noción de álgebra operadora de vértice. (Véase [16] para más información
definición. Hay una noción ligeramente más débil de un álgebra vértice. Véase [27]
para su definición precisa y resultados conexos.) En teoría del operador de vértice
álgebra, se considera un espacio vectorial de estados sin un producto interior y
Incluso cuando tenemos un producto interno definido positivo, se considera que este vec-
espacio sin completar. Aquí en comparación con las redes de factores, estamos
interesado en el caso en el que tenemos productos internos definitivos positivos en el
espacios de estados. Decimos que tal álgebra operadora de vértice es unitaria.
Tanto de un álgebra (unitaria) operador de vértice y una red de factores
debe describir una teoría de campo conformal quiral. Así que operador vértice unitario
álgebras y redes de factores deben estar en una correspondencia bijectiva, al menos
bajo algunas “buenas” condiciones adicionales, pero ningún teorema general ha sido
conocido por tal correspondencia, aunque hay un progreso reciente debido a S.
Carpi y M. Weiner. Sin embargo, si tenemos una construcción o una idea en uno
A menudo podemos “traducir” al otro lado, aunque puede ser altamente no-
trivial desde un punto de vista técnico. Fuentes fundamentales de las construcciones para
álgebras operador de vértice son álgebras afín Kac-Moody y celosías integrales.
Las construcciones correspondientes para redes de factores han sido realizadas por A.
Wassermann [47] y sus estudiantes, y Dong-Xu [12], respectivamente, después de la
construcción inicial de Buchholz-Mack-Todorov [5]. Si tenemos ejemplos con
algunas propiedades agradables, a menudo podemos construir nuevos ejemplos de ellos, y
como tales métodos de construcciones de álgebras operador de vértice, tenemos simples
extensiones actuales, la construcción de coset, y la construcción de orbifold. Los
simples extensiones de corriente para redes de factores son simplemente productos cruzados por
DHR-automorfismos y fácil de realizar. (Ver la siguiente sección para una noción
de DHR-endomorfismos.) Las construcciones de coset y orbifold para redes de
los factores han sido estudiados en detalle por F. Xu [50, 51, 52].
Para redes de factores, hemos introducido una nueva construcción de ejemplos
en [28] basado en la noción de sistemas Q de Longo [36]. Otros ejemplos han sido:
ha sido construido por Xu [55] con este método. Esto se puede traducir a la
ajuste de álgebras operador de vértice, como veremos en este artículo más adelante.
3 Teoría de la representación
Una herramienta importante para estudiar las redes de factores es una teoría de la representación. Por una
neto de factores {A(I)}, todos los álgebras A(I) actúan en el espacio Hilbert inicial
H desde el principio, pero también consideramos sus representaciones en otro
Hilbert espacio, es decir, una familia I} de representaciones γI : A(I) → B(K),
donde K es otro espacio de Hilbert, común para todos. Por lo que se refiere a I1 o I2, debemos
tener que la restricción de ηI2 en A(I1) es igual a ηI1. La representación en
el espacio inicial Hilbert se llama la representación de vacío y juega un papel de
una representación trivial. También tenemos que ocuparnos de la simetría espacial.
grupo cuando consideramos una representación, pero esta parte es a menudo automática
(véase [20]), por lo que ahora lo ignoramos por simplicidad. Véase [20] para más detalles
tratamiento. Nótese que una representación de una red de factores es una contraparte de
un módulo sobre un álgebra de operador de vértice.
Las nociones de irreductibilidad y una suma directa para tales representaciones son:
fácil de formular. Las nociones no triviales son dimensiones y productos tensores.
Cada representación I} está en una correspondencia bijectiva a un cierto endo-
morfismo de un álgebra de operador dimensional infinito, llamado un Doblicher-
Endomorfismo de Haag-Roberts (DHR) [13, 15], y podemos restringirlo a un solo
factor A(I) para un intervalo I arbitrariamente pero fijo. Entonces, A(I) (A(I)) A(I) es
un subfactor y tenemos su índice Jones [26]. (Véanse [14, 41, 43] para información general
teoría de los subfactores.) La raíz cuadrada de este índice Jones juega el papel de
la dimensión de la representación [35]. En teoría cuántica algebraica del campo,
tal dimensión fue llamada una dimensión estadística, y es análoga a
una dimensión cuántica en la teoría de los grupos cuánticos. Es un real positivo
números en el intervalo [1,]. También podemos componer endomorfismos y
esta composición da la noción correcta de productos tensores. Entonces conseguiremos un
categoría de tensor trenzado como en [15].
En teoría de representación de un operador de vértice álgebra (y también un cuántico
grupo), a veces sucede que tenemos sólo finitamente muchos irreductible rep-
resentimientos. Tal finitud a menudo se llama racionalidad, posiblemente con algunos
suposiciones adicionales sobre alguna dimensión finita. Esto también juega un impor-
papel en la teoría de los invariantes cuánticos en la topología de baja dimensión. En [32],
hemos introducido una condición algebraica del operador para tal racionalidad para
redes de factores como sigue y lo llamamos racionalidad completa. Dividimos el
círculo en cuatro intervalos I1, I2, I3, I4 en este orden, digamos, en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces
la racionalidad completa es dada por la finitud del índice Jones para un subfac-
A(I1)A(I3)A(I3)A(I2)A(I4))
′ donde ′ significa el conmutante, juntos
con la propiedad dividida. Se sabe que la propiedad split se mantiene si el vacío
carácter,
n=0(dimHn)q
n, es convergente para q < 1 por [9], por lo que generalmente
sostiene y es fácil de verificar. (Aquí H =
n=0Hn es el eigenspace decompo-
posición del espacio original de Hilbert para el generador positivo de la rotación
grupo. Así que esta propiedad de convergencia se puede verificar simplemente mirando
el espacio Hilbert, no los álgebras de von Neumann.) En la definición original
de completa racionalidad en [32], requerimos otra condición llamada fuerte
Aditividad, pero se demostró que era redundante por Longo-Xu [39]. Tenemos
en [32] se demostró que esta completa racionalidad implica que tenemos un
categoría de tensor como categoría de representación de {A(I)}. Un tensor modular
categoría produce una teoría de campo cuántico topológico tridimensional. (Véase [45]
para la teoría general de la teoría del campo cuántico topológico.) El SU(N)k-net de
Wassermann ha demostrado ser completamente racional por [49].
Ahora introducimos una noción importante de α-inducción. Para una inclusión
de redes de factores, A(I) B(I), tenemos un procedimiento de inducción análogo
a la representación del grupo. Así que de una representación de la red más pequeña A,
nos gustaría construir una representación de la red B más grande, pero lo que
que realmente obtenemos no es una representación genuina de la red más grande B en
general, y es algo más débil llamado solitónico. Este procedimiento de inducción
se llama la α-inducción y depende de una elección de trenzado, por lo que escribimos
y. Esto fue definido por primera vez en Longo-Rehren [37] y estudiado en detalle
en Xu [48]. Entonces Böckenhauer-Evans [1] hizo un nuevo estudio, y [2, 3]
Este estudio se unificó con el método gráfico de Ocneanu [42]. La intersección
de los endomorfismos irreductibles que aparecen en las imágenes de la inducción
y -inducción da la categoría de representación verdadera de {B(I)} si A es
completamente racional por [2, 32].
Esta α-inducción abre una conexión importante y nueva con la teoría
de invariantes modulares. Una categoría de tensores modulares produce una
resensación de SL(2,Z) a través de su trenzado como en [44], y su dimensión
es el número de objetos irreducibles. Así que una red completamente racional de fac-
Tors produce tal representación unitaria. (Obsérvese que nuestra representación
de SL(2,Z) viene de la estructura de trenzado, no de la acción de este
grupo sobre los caracteres a través del cambio de variables 7→
a.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.
c-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-
, aunque en
todos los “buen” ejemplos conocidos, estas dos representaciones coinciden. Véase [30]
para un debate sobre este asunto.)
Se ha demostrado en [2] que la matriz (Zel,μ) definida por
Z/23370/,μ = dimHom(α
, α
está en el conmutante de la representación η, utilizando la gráfica de Ocneanu cal-
culus [42]. Tal matriz Z se llama un invariante modular, y sólo tenemos
finitamente muchos tales Z para un dado η. Para cualquier red completamente racional {A(I)},
cualquier extensión {B(I) {A(I)} produce tal Z. Matrices Z son ciertamente
mucho más fácil de clasificar que las extensiones y esto es una fuente de clasificación
teoría en la siguiente sección.
4 Teoría de la Clasificación
Para una red de factores, naturalmente podemos definir una carga central y está bien-
se sabe que toman los valores discretos 1− 6/m(m+1), m = 3, 4, 5,...., por debajo de 1 y
todos los valores indicados en [1,]. por [17, 18]. Tenemos la red Virasoro {Virc(I)} para cada uno
tal c y es la contraparte algebraica del operador del vértice Virasoro
álgebra del operador con la misma c. Cualquier red de factores {A(I)} con central
c es una extensión de la red Virasoro con la misma carga central y
es automáticamente completamente racional si c < 1, como se muestra en [28]. Así que podemos
aplicar la teoría anterior y obtenemos la siguiente lista completa de clasificación
para el caso c < 1 como en [28].
1. Las redes Virasoro {Virc(I)} con c < 1.
2. Las simples extensiones de corriente de las redes Virasoro con índice 2.
3. Cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.
Las representaciones unitarias de SL(2,Z) para las redes de Virasoro son el pozo-
conocidos, y todos los invariantes modulares para estos han sido clasificados por
[6]. Nuestro resultado muestra que cada uno de los llamados invariantes modulares tipo I en
la lista de clasificación de [6] corresponde a una red de factores única. Ellos
están etiquetados con pares de diagramas de Dynkin A-D2n-E6,8 con números de Coxeter
diferenciándose por 1. Tres en (3) de la lista anterior se han identificado con coset
modelos, pero el resto no parece estar relacionado con ningún otro
construcciones conocidas. Esto se construye con “extensión por sistema Q”.
Xu [55] aplicó recientemente esta construcción a muchos otros modelos de coset y
obtener infinitamente muchos ejemplos nuevos basados en [54], llamado
Sions. La clasificación para el caso c = 1 también se ha hecho en algunos casos adicionales.
suposición [7, 53].
Este teorema de clasificación también implica una clasificación de ciertos tipos de
álgebras del operador de vértice como sigue.
Dejar V ser un (racional) álgebra operador de vértice y Wi ser su irreductible
módulos. Nos gustaría clasificar todos los álgebras de operador de vértice que surgen de
poner una estructura de álgebra de operador de vértice en
i niWi y usando el mismo
Virasoro elemento como V, donde ni es multiplicidad y W0 = V, n0 = 1. Desde
un punto de vista de la categoría tensor, este problema de clasificación de las ampliaciones de
un operador de vértice álgebras es el “mismo” como el problema de clasificación de
extensiones de una red de factores completamente racional, como se muestra en [24].
Así que el teorema de clasificación anterior de las redes conformales locales implica un clas-
teorema de sificación de extensiones de los álgebras de operador de vértice Virasoro con
c < 1 como el anterior, y obtenemos la misma lista de clasificación. Es decir, además
el vértice Virasoro operario álgebras sí mismos, tenemos su simple cur-
prórrogas de alquiler, y cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.
Con la notación habitual de L(c, h) para un módulo con carga central c y
peso conformal h de los álgebras del operador de vértice Virasoro con c < 1, el
A continuación se enumeran cuatro casos excepcionales.
1. L(21/22, 0)L(21/22, 8). Tiene 15 representaciones irreductibles y tiene
dos realizaciones de coset, a partir de SU(9)2 (E8)2 y (E8)3 (E8)2 (E8)1.
2. L(25/26, 0) L(25/26, 10). Tiene 18 representaciones irreductibles y
tiene una realización de coset de SU(2)11 SO(5)1 SU(2)1.
3. L(144/145, 0)L(144/145, 24)L(144/145, 78)L(144/145, 189). Lo siento.
tiene 28 representaciones irreductibles y ninguna realización coset ha sido
Lo sé.
4. L(154/155, 0)L(154/155, 26)L(154/155, 84)L(154/155, 203). Lo siento.
tiene 30 representaciones irreductibles y tiene una realización coset de
SU(2)29 (G2)1 SU(2)1.
Tenga en cuenta que no es obvio que la categoría de representación de la Virasoro
net Virc y la categoría de representación del operador Virasoro vértice
álgebra L(c, 0) son isomórficos, pero siempre y cuando los dos son tensor trenzado
categoría y tienen las mismas matrices S y T, los argumentos en [28] trabajo,
por lo que obtenemos el resultado de clasificación anterior para álgebras operador de vértice.
Utilizando los resultados anteriores y más técnicas, también podemos completamente
clasificar las teorías de campo conformal completo dentro del marco cuántico algebraico
teoría de campo para el caso c < 1. Teorías de campo conformales completas se dan como
ciertas redes de factores en el espacio 1 + 1-dimensional Minkowski. Bajo natu...
simetría ral y condiciones de maximidad, aquellas con c < 1 son completamente
etiquetado con los pares de diagramas A-D-E Dynkin con la diferencia de
su número de Coxeter es igual a 1, como se muestra en [29]. Ahora, naturalmente, tenemos
D2n+1, E7 como etiquetas, a diferencia del caso quiral. La principal dificultad en este sentido
trabajo consiste en demostrar la singularidad de la estructura para cada invariante modular
en la lista Cappelli-Itzykson-Zuber [6]. Esto se hace a través de 2-cohomología
desapareciendo para ciertas categorías de tensores. en el espíritu de [25].
Además, utilizando los resultados anteriores y más técnicas también podemos
clasificar completamente las teorías de campo conformal límite para el caso c < 1.
Las teorías de campo de la conformación de la frontera se dan como ciertas redes de factores en un 1+
1-dimensional Minkowski semi-espacio. Bajo una condición de máxima natural,
estos con c < 1 ahora están completamente etiquetados con los pares de A-D-E Dynkin
diagramas con vértices distinguidos que tienen la diferencia de su Coxeter
números iguales a 1, como se muestra en [33] basado en una teoría general en [38]. Los
“campos quiral” en la teoría de campo conformal de la frontera debe producir una red
de factores en el límite (que se compacta a S1) como en el operador
enfoque algebraico. Entonces una teoría de campo conformal de frontera general restringe
a este límite para producir una extensión no local de esta conformación quiral
teoría de campo en la frontera.
5 Conjetura de la luz de la luna
La conjetura Moonshine, formulada por Conway-Norton [8], se trata de mi-
relaciones entre grupos finitos simples y funciones modulares, ya que
una observación debida a McKay.
Hoy en día la clasificación de todos los grupos finitos simples es completa y el
lista de clasificación contiene 26 grupos esporádicos, además de varios infinitos
serie. El grupo más grande entre los 26 grupos esporádicos se llama el Monstruo
grupo y su orden es de aproximadamente 8× 1053
Por una parte, la representación irreductible no trivial del Mon-
ster que tiene la dimensión más pequeña es 196883 dimensional. Por otro lado
mano, la función siguiente, llamada j-función, ha sido clásicamente estudiado
en álgebra.
j() = q−1 + 744 + 196884q +
21493760q2 + 864299970q3 + · · ·
Para q = exp(2lürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürülürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürü
a.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.
c-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-
SL(2,Z), y esta es la única función, hasta
el término constante, satisfaciendo esta propiedad y comenzando con q−1,
McKay notó 196884 = 196883 + 1, y relaciones simples similares para
otros coeficientes de la función j y dimensiones de represen irreductible
las taciones del grupo Monster resultaron ser ciertas. Luego Conway-Norton
[8] formuló la conjetura Moonshine aproximadamente como sigue, que ha sido
ahora probado por Borcherds [4] en 1992.
1. Tenemos un "natural" infinito dimensional grado vector espacio V =
Vn con alguna estructura algebraica que tiene una acción de Monster pre-
servir a la clasificación y cada Vn es dimensional finita.
2. Para cualquier elemento g en el monstruo, la serie de potencia
n=0(Tr gVn)q
es una función especial llamada Hauptmodul para algún subgrupo discreto
de SL(2,R). Cuando g es el elemento de identidad, la serie es la función j
menos el término constante 744.
Por la parte (1) de esta conjetura, Frenkel-Lepowsky-Meurman [16] dio
una definición precisa de “alguna estructura algebraica” como un álgebra operador vértice
y construyó un ejemplo particular V, que ahora se llama la luz de la luna
álgebras del operador del vértice y denotado por V ».
La construcción es aproximadamente la siguiente. En la dimensión 24, tenemos un
celosía excepcional llamada la celosía de sanguijuela. Entonces hay una estafa general...
estructuración de un álgebra operador de vértice de una cierta celosía, y el uno para
la celosía de sanguijuela da algo muy cerca de nuestro objeto final V. Entonces nosotros
tomar un punto fijo álgebra bajo una acción natural de Z/2Z que surge de la
simetría de celosía, y luego hacer una simple extensión de corriente de orden 2. Los
álgebra de operador de vértice resultante es el álgebra de operador de vértice Moonshine
V â € TM. (El paso final se llama construcción retorcida o bifold). La serie
n=0(dimV
n−1 es de hecho la función j menos el término constante 744.
Miyamoto [40] tiene una nueva realización de V ® como una extensión de un tensor
potencia del álgebra del operador de vértice de Virasoro con c = 1/2, L(1/2, 0)48
(basado en Dong-Mason-Zhu [11]. Este tipo de extensión de un tensor Virasoro
la energía se llama álgebra de operador de vértice enmarcada como en [10].
Hemos dado un operador homólogo algebraico de tal construcción
en [31].
Realizamos una red de celosía de sanguijuela de factores en S1 como una extensión de Vir1/2
usando cierto código Z4. Entonces podemos realizar la construcción retorcida o bifold
en el sentido algebraico del operador para obtener una red de factores, la red Moonshine
¡Aaaaaaaaaa! La teoría de la α-inducción se utiliza para obtener varias descomposicións. Nosotros
luego obtener una descripción tipo Miyamoto de esta construcción, como un operador
homólogo algebraico del operador de vértice enmarcado álgebras. Entonces tenemos
las siguientes propiedades.
1. c = 24.
2. La teoría de la representación es trivial.
3. El grupo del automorfismo es el Monstruo.
4. La propiedad Hauptmodul (como anteriormente).
El esquema de la prueba de estas cuatro propiedades es el siguiente.
Es inmediato obtener c = 24. Podemos mostrar pases de completa racionalidad.
a una extensión (y un orbifold) en general con control sobre el tamaño de la
categoría de representación, utilizando el índice Jones. Con esto, obtenemos (2) muy
Con facilidad. Tal red se llama holomórfica. La propiedad (3) es la más difícil
parte. Para el Virasoro VOA L(1/2, 0), el operador de vértice es de hecho un bien-
El campo Wightman y los campos manchados producen la red Virasoro Vir1/2.
Usando esta propiedad y el hecho de que
g g(L(1/2, 0)
48) para todos los g de Aut(V)
generar toda la luz de luna VOA V, podemos probar que el automorfismo
grupo como un álgebra operador de vértice y el grupo de automorfismo como una red
De hecho, los factores son los mismos. Entonces (4) es ahora un corolario trivial de la
Borcherds teorema [4].
Observamos que el monstruo bebé, el segundo más grande entre los 26 esporádicos
grupos finitos simples, se puede tratar de manera similar con la construcción de Höhn de la
álgebra de operador de super vértice Moonshine más corta.
Sin embargo, estos ejemplos se tratan con varios trucos caso por caso. Nosotros
espera una correspondencia bijetiva entre álgebras operadoras de vértice y redes
de factores en S1 en algunas buenas condiciones. En el lado del operador de vértice
álgebras, el candidato más natural para tal condición “agradable” es el C2-
condición de finitud de Zhu [56] (con unidad). En el operador algebraico
lado, nuestra completa racionalidad en [32] parece ser una condición “buena”, pero
las relaciones reales entre las dos nociones no están claras en este momento.
La condición esencial para la racionalidad completa es la finitud de los Jones
índice que surge de cuatro intervalos en el círculo, y esta finitud de alguna manera
tiene similitud formal con la finitud que aparece en la definición de la C2-
finitud.
Al final, enumeramos algunos problemas abiertos. El enfoque algebraico del operador
tiene una ventaja en el control de la teoría de la representación, pero está detrás de la teoría
de álgebras operador de vértice en la teoría de los caracteres.
Para una red de factores, podemos naturalmente definir una noción de un carácter para
cada representación. Pero incluso la convergencia de estos personajes no ha sido
en general, y la propiedad de la invarianza modular, la contrapartida de
El resultado de Zhu [56], es desconocido, aunque ciertamente esperamos que sea cierto. Nosotros
también se espera que la identidad Verlinde se mantiene, lo que se ha demostrado en el contexto
de álgebras de operador de vértice recientemente por Huang [23]. Necesitaríamos un S-
matriz del teorema spin-statistics [21] para redes de factores.
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Introducción
Teoría Cuántica Conformal de Campo
Teoría de la representación
Teoría de la Clasificación
Conjetura de la luz de la luna
| Revisamos los avances recientes en el enfoque algebraico del operador a la conformación cuántica
teoría de campo. Nuestro énfasis está en el uso de la teoría de la representación en la clasificación
teoría. Esto se basa en una serie de trabajos conjuntos con R. Longo.
| Introducción
Una aproximación matemáticamente rigurosa a la teoría cuántica del campo basada en
álgebras erator se llama una teoría de campo cuántico algebraico. Tiene un largo
historia desde obras pioneras de Araki, Haag, Kastker. (Véase [22]
tratamiento eral de la teoría del campo cuántico algebraico.) Esta teoría funciona en
Espacios Minkowski en cualquier dimensión espacio-tiempo, y ha habido algunos
resultados recientes en tiempos de espacio curvos o incluso tiempos de espacio no conmutativos. In
el caso del espacio Minkowski de 1+1-dimensional con simetría espacial superior-
intentar, simetría conformal, tenemos teoría de campo conformal y allí tenemos
hemos visto muchos nuevos acontecimientos en los últimos años, por lo que examinamos tales resultados
Aquí. Nuestro énfasis está en los aspectos teóricos de la representación de la teoría y
hacemos varias comparaciones con otro matemáticamente riguroso y más
enfoque reciente a la teoría de campo conformal, es decir, la teoría del operador de vértice
álgebras.
* Con el apoyo en parte de la JSPS.
http://arxiv.org/abs/0704.0097v1
En términos aproximados, un estudio matemático de la teoría cuántica del campo es un
estudio de los campos de Wightman, que son cierto tipo de operador valorado distri-
butiones en un espacio-tiempo con covarianza con respecto a un espacio-tiempo dado
grupo de simetría. Tenemos axiomas matemáticamente rigurosos para tal Wight-
campos humanos, pero involucran distribuciones y operadores sin límites, por lo que estos
causar varios tipos de dificultad técnica. En contraste, en el quan algebraico-
teoría del campo de tum, nuestro objeto fundamental es una red de álgebras de von Neumann
de operadores lineales limitados en un espacio de Hilbert. (Véase [46] para
ory de von Neumann álgebras.) Problemas técnicos en los ámbitos de definición
Los operadores no vinculados no surgen en este enfoque.
Una idea básica es la siguiente. Supongamos que tenemos un campo Wightman Φ en un
espacio tiempo. Fijar una región limitada O en el tiempo espacial y considerar una prueba
función con soporte contenido en O. Entonces el emparejamiento, produce
un operador (sin límite). Tenemos muchos Φ y ♥ para una O fija y obtener
muchos operadores sin límite de tal emparejamiento. Entonces consideramos un von Neu-
álgebra mann de operadores lineales limitados en este espacio Hilbert generado
por parte de estos operadores sin límites. (Por ejemplo, si tenemos un auto-adjunto un-
operadores limitados, consideramos sus proyecciones espectrales que son, obviamente,
todo delimitado. De esta manera, sólo tratamos con operadores limitados.) Esto es...
considerado como un álgebra de von Neumann generada por observables en el espaciotiempo
región O. Un álgebra de von Neumann es un álgebra de operadores lineales delimitados
que está cerrado bajo la operación contigua y el operador fuerte topol-
Ogy. De esta manera, tenemos una familia {A(O)} de von Neumann álgebras en el
el mismo espacio de Hilbert parametrizado por las regiones del espacio-tiempo. Desde el espacio-tiempo
las regiones hacen una red con respecto a la orden de inclusión, llamamos a tal familia un
red de álgebras de von Neumann. Ahora olvidamos los campos de Wightman y consideramos
sólo una red de álgebras de von Neumann. Tenemos algunas propiedades esperadas para
tales redes de von Neumann álgebras de una consideración física, y ahora
usamos estas propiedades como axiomas. Así que nuestro objeto matemático es una red de
von Neumann álgebras sujetas a ciertos conjuntos de axiomas. Nuestra matemática
objetivo es estudiar tales redes de von Neumann álgebras.
2 Teoría de Campo Cuántico Conformal
Primero explicamos la formulación de la teoría de campo cuántico conformal completa en el
1 + 1-dimensional Minkowski espacio en teoría de campo cuántico algebraico. As a
región del espacio tiempo O arriba, es suficiente considerar sólo los rectángulos abiertos O
con bordes paralelos a t = ± x en el espacio de Minkowski (1 + 1)-dim. De esta manera,
Obtenemos una familia {A(O)} de álgebras de operador parametrizadas por espaciotiempo
regiones O (rectángulos). Con el fin de realizar la simetría conformal, tenemos que
hacer una compactación parcial del espacio Minkowski de 1+1-dimensional. Si
dos rectángulos son espacios como separados, entonces no tenemos interacciones entre
incluso a la velocidad de la luz, por lo que nuestro axioma requiere que el correspondiente
dos álgebras de von Neumann se viajan entre sí. Esta es la localidad
axioma. Dado que este no es nuestro objeto principal en este documento, omitimos los detalles de la
otros axiomas. Véase [29] para más detalles.
A continuación explicamos brevemente que la teoría de campo conformal de la frontera puede ser han-
se desplomó dentro del mismo marco. Ahora consideramos el medio-espacio {(x, t)
x > 0} en el espacio 1+1-dimensional Minkowski y sólo rectángulos O con-
en este medio-espacio. De esta manera, tenemos una red similar de von Neumann
álgebras {A(O)} parametrizadas con rectángulos en el medio espacio. Véase [38]
para los detalles completos de los axiomas.
Si tenemos una red de álgebras de von Neumann sobre el 1 + 1-dimensional
Minkowski espacio, podemos restringir la red de von Neumann álgebras a dos
teorías de campo conformal quiral sobre los conos de luz {x = ±t}. De esta manera, nosotros
tienen dos redes de von Neumann álgebras en el compactado S1 como descripción
de dos teorías de campo conformal quiral. Puesto que esta red es nuestra principal matemática
objeto en este artículo, damos un conjunto completo de axiomas. (Véase [29] para más detalles sobre esto
procedimiento de “restricción”.)
Ahora nuestro “tiempo espacial” es S1 y una “región espacio-tiempo” es un intervalo I,
lo que significa un subconjunto abierto no vacío y no denso de S1. Tenemos
una familia {A(I)} de von Neumann álgebras en un espacio fijo Hilbert H.
von Neumann álgebras son simples y tales álgebras de von Neumann se llaman
factores, por lo que la familia {A(I)} satisfacer los axiomas de abajo se llama una red de
factores (o una red conformal local irreductible de factores, estrictamente hablando).
En realidad, el conjunto de intervalos en S1 no está dirigido con respecto a inclusiones,
Por lo tanto, la terminología neta no es matemáticamente apropiada, pero se utiliza ampliamente.
1. (isotonía) Para los intervalos I1+I2, tenemos A(I1)+A(I2).
2. (localidad) Para intervalos I1, I2 con I1+I2 = فارسى, tenemos [A(I1),A(I2)] = 0
3. (Möbius covarianza) Existe un repre-
Se envía U de PSL(2,R) sobre H que satisfaga U(g)A(I)U(g)* = A(gI) para
cualquier g • PSL(2,R) y cualquier intervalo I.
4. (positividad de la energía) El generador de la rotación de un parámetro sub-
grupo de U, llamado el conformal Hamiltoniano, es positivo.
5. (existencia del vacío) Existe una unidad U -invariante vector
H, llamado el vector de vacío, y el álgebra de von Neumann
I+S1 A(I)
generado por todos los A(I) es B(H).
6. (covarianza formal) Existe una representación unitaria proyectiva
U de Diff(S1) en H ampliando la representación unitaria de PSL(2,R)
de tal manera que para todos los intervalos yo, tenemos
U(g)A(I)U(g)* = A(gI), g • Diff(S1),
U(g)AU(g)* = A, A (I), g (Diff(I ′),
donde Diff(S1) es el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación
de S1 y Diff(I ′) es el grupo de difeomorfismos g de S1 con g(t) = t
para todos los t â € I.
El axioma de isotonía es natural porque tenemos más funciones de prueba (o más
observables) para un intervalo mayor. El axioma de la localidad toma esta forma simple en
S1. La elección de la simetría espacio-tiempo no es única, y podemos utilizar la
Simetría de Poincaré en el espacio de Minkowski o la covarianza de Möbius en S1,
por ejemplo, pero en la teoría de campo conformal, utilizamos la simetría conformal,
lo que significa covarianza de difeomorfismo como arriba. Este conjunto de axiomas implican
varias condiciones agradables como la propiedad Reeh-Schlieder, el Bisognano-
Propiedad Wichmann y la dualidad Haag. Véase [28] y las referencias correspondientes a
detalles.
En la situación habitual, todos los álgebras de von Neumann A(I) son isomórficos
al denominado factor Araki-Woods tipo III1 para todas las redes A y todos los intervalos
I. Así que cada álgebra de von Neumann no contiene ninguna información sobre
la teoría de campo conformal, pero es la posición relativa del von Neumann
álgebras en la familia que codifica la información física de la teoría.
(Es similar a la teoría de los subfactores de Jones donde estudiamos una posición relativa
de un factor en otro.)
Al final de esta sección, comparamos nuestra formulación de conformal
teoría cuántica de campo con otro enfoque matemáticamente riguroso, el-
ORY de álgebras de operador de vértice. Un álgebra operador de vértice es un algebraico
axiomatización de los campos de Wightman en S1, llamados operadores de vértice. Si nosotros
tener una distribución de operador valorada en S1, su expansión de Fourier debe dar
Contablemente muchos (posiblemente sin límite) operadores como los coeficientes de Fourier.
Bajo la llamada correspondencia estado-campo, cualquier vector en el espacio de
“estados” debe dar una distribución valorada por el operador, un “campo” cuántico, y
su expansión de Fourier da cuenta de muchos operadores. De esta manera, un vector
debe dar considerablemente muchos operadores en el espacio de estos vectores. En los demás
palabras, para dos vectores v, w tenemos considerablemente muchas operaciones binarias v(n)w,
n-Z, la acción del n-ésimo operador dada por v en w. Una axiomatización
de esta idea da una noción de álgebra operadora de vértice. (Véase [16] para más información
definición. Hay una noción ligeramente más débil de un álgebra vértice. Véase [27]
para su definición precisa y resultados conexos.) En teoría del operador de vértice
álgebra, se considera un espacio vectorial de estados sin un producto interior y
Incluso cuando tenemos un producto interno definido positivo, se considera que este vec-
espacio sin completar. Aquí en comparación con las redes de factores, estamos
interesado en el caso en el que tenemos productos internos definitivos positivos en el
espacios de estados. Decimos que tal álgebra operadora de vértice es unitaria.
Tanto de un álgebra (unitaria) operador de vértice y una red de factores
debe describir una teoría de campo conformal quiral. Así que operador vértice unitario
álgebras y redes de factores deben estar en una correspondencia bijectiva, al menos
bajo algunas “buenas” condiciones adicionales, pero ningún teorema general ha sido
conocido por tal correspondencia, aunque hay un progreso reciente debido a S.
Carpi y M. Weiner. Sin embargo, si tenemos una construcción o una idea en uno
A menudo podemos “traducir” al otro lado, aunque puede ser altamente no-
trivial desde un punto de vista técnico. Fuentes fundamentales de las construcciones para
álgebras operador de vértice son álgebras afín Kac-Moody y celosías integrales.
Las construcciones correspondientes para redes de factores han sido realizadas por A.
Wassermann [47] y sus estudiantes, y Dong-Xu [12], respectivamente, después de la
construcción inicial de Buchholz-Mack-Todorov [5]. Si tenemos ejemplos con
algunas propiedades agradables, a menudo podemos construir nuevos ejemplos de ellos, y
como tales métodos de construcciones de álgebras operador de vértice, tenemos simples
extensiones actuales, la construcción de coset, y la construcción de orbifold. Los
simples extensiones de corriente para redes de factores son simplemente productos cruzados por
DHR-automorfismos y fácil de realizar. (Ver la siguiente sección para una noción
de DHR-endomorfismos.) Las construcciones de coset y orbifold para redes de
los factores han sido estudiados en detalle por F. Xu [50, 51, 52].
Para redes de factores, hemos introducido una nueva construcción de ejemplos
en [28] basado en la noción de sistemas Q de Longo [36]. Otros ejemplos han sido:
ha sido construido por Xu [55] con este método. Esto se puede traducir a la
ajuste de álgebras operador de vértice, como veremos en este artículo más adelante.
3 Teoría de la representación
Una herramienta importante para estudiar las redes de factores es una teoría de la representación. Por una
neto de factores {A(I)}, todos los álgebras A(I) actúan en el espacio Hilbert inicial
H desde el principio, pero también consideramos sus representaciones en otro
Hilbert espacio, es decir, una familia I} de representaciones γI : A(I) → B(K),
donde K es otro espacio de Hilbert, común para todos. Por lo que se refiere a I1 o I2, debemos
tener que la restricción de ηI2 en A(I1) es igual a ηI1. La representación en
el espacio inicial Hilbert se llama la representación de vacío y juega un papel de
una representación trivial. También tenemos que ocuparnos de la simetría espacial.
grupo cuando consideramos una representación, pero esta parte es a menudo automática
(véase [20]), por lo que ahora lo ignoramos por simplicidad. Véase [20] para más detalles
tratamiento. Nótese que una representación de una red de factores es una contraparte de
un módulo sobre un álgebra de operador de vértice.
Las nociones de irreductibilidad y una suma directa para tales representaciones son:
fácil de formular. Las nociones no triviales son dimensiones y productos tensores.
Cada representación I} está en una correspondencia bijectiva a un cierto endo-
morfismo de un álgebra de operador dimensional infinito, llamado un Doblicher-
Endomorfismo de Haag-Roberts (DHR) [13, 15], y podemos restringirlo a un solo
factor A(I) para un intervalo I arbitrariamente pero fijo. Entonces, A(I) (A(I)) A(I) es
un subfactor y tenemos su índice Jones [26]. (Véanse [14, 41, 43] para información general
teoría de los subfactores.) La raíz cuadrada de este índice Jones juega el papel de
la dimensión de la representación [35]. En teoría cuántica algebraica del campo,
tal dimensión fue llamada una dimensión estadística, y es análoga a
una dimensión cuántica en la teoría de los grupos cuánticos. Es un real positivo
números en el intervalo [1,]. También podemos componer endomorfismos y
esta composición da la noción correcta de productos tensores. Entonces conseguiremos un
categoría de tensor trenzado como en [15].
En teoría de representación de un operador de vértice álgebra (y también un cuántico
grupo), a veces sucede que tenemos sólo finitamente muchos irreductible rep-
resentimientos. Tal finitud a menudo se llama racionalidad, posiblemente con algunos
suposiciones adicionales sobre alguna dimensión finita. Esto también juega un impor-
papel en la teoría de los invariantes cuánticos en la topología de baja dimensión. En [32],
hemos introducido una condición algebraica del operador para tal racionalidad para
redes de factores como sigue y lo llamamos racionalidad completa. Dividimos el
círculo en cuatro intervalos I1, I2, I3, I4 en este orden, digamos, en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces
la racionalidad completa es dada por la finitud del índice Jones para un subfac-
A(I1)A(I3)A(I3)A(I2)A(I4))
′ donde ′ significa el conmutante, juntos
con la propiedad dividida. Se sabe que la propiedad split se mantiene si el vacío
carácter,
n=0(dimHn)q
n, es convergente para q < 1 por [9], por lo que generalmente
sostiene y es fácil de verificar. (Aquí H =
n=0Hn es el eigenspace decompo-
posición del espacio original de Hilbert para el generador positivo de la rotación
grupo. Así que esta propiedad de convergencia se puede verificar simplemente mirando
el espacio Hilbert, no los álgebras de von Neumann.) En la definición original
de completa racionalidad en [32], requerimos otra condición llamada fuerte
Aditividad, pero se demostró que era redundante por Longo-Xu [39]. Tenemos
en [32] se demostró que esta completa racionalidad implica que tenemos un
categoría de tensor como categoría de representación de {A(I)}. Un tensor modular
categoría produce una teoría de campo cuántico topológico tridimensional. (Véase [45]
para la teoría general de la teoría del campo cuántico topológico.) El SU(N)k-net de
Wassermann ha demostrado ser completamente racional por [49].
Ahora introducimos una noción importante de α-inducción. Para una inclusión
de redes de factores, A(I) B(I), tenemos un procedimiento de inducción análogo
a la representación del grupo. Así que de una representación de la red más pequeña A,
nos gustaría construir una representación de la red B más grande, pero lo que
que realmente obtenemos no es una representación genuina de la red más grande B en
general, y es algo más débil llamado solitónico. Este procedimiento de inducción
se llama la α-inducción y depende de una elección de trenzado, por lo que escribimos
y. Esto fue definido por primera vez en Longo-Rehren [37] y estudiado en detalle
en Xu [48]. Entonces Böckenhauer-Evans [1] hizo un nuevo estudio, y [2, 3]
Este estudio se unificó con el método gráfico de Ocneanu [42]. La intersección
de los endomorfismos irreductibles que aparecen en las imágenes de la inducción
y -inducción da la categoría de representación verdadera de {B(I)} si A es
completamente racional por [2, 32].
Esta α-inducción abre una conexión importante y nueva con la teoría
de invariantes modulares. Una categoría de tensores modulares produce una
resensación de SL(2,Z) a través de su trenzado como en [44], y su dimensión
es el número de objetos irreducibles. Así que una red completamente racional de fac-
Tors produce tal representación unitaria. (Obsérvese que nuestra representación
de SL(2,Z) viene de la estructura de trenzado, no de la acción de este
grupo sobre los caracteres a través del cambio de variables 7→
a.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.
c-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-
, aunque en
todos los “buen” ejemplos conocidos, estas dos representaciones coinciden. Véase [30]
para un debate sobre este asunto.)
Se ha demostrado en [2] que la matriz (Zel,μ) definida por
Z/23370/,μ = dimHom(α
, α
está en el conmutante de la representación η, utilizando la gráfica de Ocneanu cal-
culus [42]. Tal matriz Z se llama un invariante modular, y sólo tenemos
finitamente muchos tales Z para un dado η. Para cualquier red completamente racional {A(I)},
cualquier extensión {B(I) {A(I)} produce tal Z. Matrices Z son ciertamente
mucho más fácil de clasificar que las extensiones y esto es una fuente de clasificación
teoría en la siguiente sección.
4 Teoría de la Clasificación
Para una red de factores, naturalmente podemos definir una carga central y está bien-
se sabe que toman los valores discretos 1− 6/m(m+1), m = 3, 4, 5,...., por debajo de 1 y
todos los valores indicados en [1,]. por [17, 18]. Tenemos la red Virasoro {Virc(I)} para cada uno
tal c y es la contraparte algebraica del operador del vértice Virasoro
álgebra del operador con la misma c. Cualquier red de factores {A(I)} con central
c es una extensión de la red Virasoro con la misma carga central y
es automáticamente completamente racional si c < 1, como se muestra en [28]. Así que podemos
aplicar la teoría anterior y obtenemos la siguiente lista completa de clasificación
para el caso c < 1 como en [28].
1. Las redes Virasoro {Virc(I)} con c < 1.
2. Las simples extensiones de corriente de las redes Virasoro con índice 2.
3. Cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.
Las representaciones unitarias de SL(2,Z) para las redes de Virasoro son el pozo-
conocidos, y todos los invariantes modulares para estos han sido clasificados por
[6]. Nuestro resultado muestra que cada uno de los llamados invariantes modulares tipo I en
la lista de clasificación de [6] corresponde a una red de factores única. Ellos
están etiquetados con pares de diagramas de Dynkin A-D2n-E6,8 con números de Coxeter
diferenciándose por 1. Tres en (3) de la lista anterior se han identificado con coset
modelos, pero el resto no parece estar relacionado con ningún otro
construcciones conocidas. Esto se construye con “extensión por sistema Q”.
Xu [55] aplicó recientemente esta construcción a muchos otros modelos de coset y
obtener infinitamente muchos ejemplos nuevos basados en [54], llamado
Sions. La clasificación para el caso c = 1 también se ha hecho en algunos casos adicionales.
suposición [7, 53].
Este teorema de clasificación también implica una clasificación de ciertos tipos de
álgebras del operador de vértice como sigue.
Dejar V ser un (racional) álgebra operador de vértice y Wi ser su irreductible
módulos. Nos gustaría clasificar todos los álgebras de operador de vértice que surgen de
poner una estructura de álgebra de operador de vértice en
i niWi y usando el mismo
Virasoro elemento como V, donde ni es multiplicidad y W0 = V, n0 = 1. Desde
un punto de vista de la categoría tensor, este problema de clasificación de las ampliaciones de
un operador de vértice álgebras es el “mismo” como el problema de clasificación de
extensiones de una red de factores completamente racional, como se muestra en [24].
Así que el teorema de clasificación anterior de las redes conformales locales implica un clas-
teorema de sificación de extensiones de los álgebras de operador de vértice Virasoro con
c < 1 como el anterior, y obtenemos la misma lista de clasificación. Es decir, además
el vértice Virasoro operario álgebras sí mismos, tenemos su simple cur-
prórrogas de alquiler, y cuatro excepcionales en c = 21/22, 25/26, 144/145, 154/155.
Con la notación habitual de L(c, h) para un módulo con carga central c y
peso conformal h de los álgebras del operador de vértice Virasoro con c < 1, el
A continuación se enumeran cuatro casos excepcionales.
1. L(21/22, 0)L(21/22, 8). Tiene 15 representaciones irreductibles y tiene
dos realizaciones de coset, a partir de SU(9)2 (E8)2 y (E8)3 (E8)2 (E8)1.
2. L(25/26, 0) L(25/26, 10). Tiene 18 representaciones irreductibles y
tiene una realización de coset de SU(2)11 SO(5)1 SU(2)1.
3. L(144/145, 0)L(144/145, 24)L(144/145, 78)L(144/145, 189). Lo siento.
tiene 28 representaciones irreductibles y ninguna realización coset ha sido
Lo sé.
4. L(154/155, 0)L(154/155, 26)L(154/155, 84)L(154/155, 203). Lo siento.
tiene 30 representaciones irreductibles y tiene una realización coset de
SU(2)29 (G2)1 SU(2)1.
Tenga en cuenta que no es obvio que la categoría de representación de la Virasoro
net Virc y la categoría de representación del operador Virasoro vértice
álgebra L(c, 0) son isomórficos, pero siempre y cuando los dos son tensor trenzado
categoría y tienen las mismas matrices S y T, los argumentos en [28] trabajo,
por lo que obtenemos el resultado de clasificación anterior para álgebras operador de vértice.
Utilizando los resultados anteriores y más técnicas, también podemos completamente
clasificar las teorías de campo conformal completo dentro del marco cuántico algebraico
teoría de campo para el caso c < 1. Teorías de campo conformales completas se dan como
ciertas redes de factores en el espacio 1 + 1-dimensional Minkowski. Bajo natu...
simetría ral y condiciones de maximidad, aquellas con c < 1 son completamente
etiquetado con los pares de diagramas A-D-E Dynkin con la diferencia de
su número de Coxeter es igual a 1, como se muestra en [29]. Ahora, naturalmente, tenemos
D2n+1, E7 como etiquetas, a diferencia del caso quiral. La principal dificultad en este sentido
trabajo consiste en demostrar la singularidad de la estructura para cada invariante modular
en la lista Cappelli-Itzykson-Zuber [6]. Esto se hace a través de 2-cohomología
desapareciendo para ciertas categorías de tensores. en el espíritu de [25].
Además, utilizando los resultados anteriores y más técnicas también podemos
clasificar completamente las teorías de campo conformal límite para el caso c < 1.
Las teorías de campo de la conformación de la frontera se dan como ciertas redes de factores en un 1+
1-dimensional Minkowski semi-espacio. Bajo una condición de máxima natural,
estos con c < 1 ahora están completamente etiquetados con los pares de A-D-E Dynkin
diagramas con vértices distinguidos que tienen la diferencia de su Coxeter
números iguales a 1, como se muestra en [33] basado en una teoría general en [38]. Los
“campos quiral” en la teoría de campo conformal de la frontera debe producir una red
de factores en el límite (que se compacta a S1) como en el operador
enfoque algebraico. Entonces una teoría de campo conformal de frontera general restringe
a este límite para producir una extensión no local de esta conformación quiral
teoría de campo en la frontera.
5 Conjetura de la luz de la luna
La conjetura Moonshine, formulada por Conway-Norton [8], se trata de mi-
relaciones entre grupos finitos simples y funciones modulares, ya que
una observación debida a McKay.
Hoy en día la clasificación de todos los grupos finitos simples es completa y el
lista de clasificación contiene 26 grupos esporádicos, además de varios infinitos
serie. El grupo más grande entre los 26 grupos esporádicos se llama el Monstruo
grupo y su orden es de aproximadamente 8× 1053
Por una parte, la representación irreductible no trivial del Mon-
ster que tiene la dimensión más pequeña es 196883 dimensional. Por otro lado
mano, la función siguiente, llamada j-función, ha sido clásicamente estudiado
en álgebra.
j() = q−1 + 744 + 196884q +
21493760q2 + 864299970q3 + · · ·
Para q = exp(2lürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürülürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürürü
a.a.a. + b.a.a.a.a. + b.a.a.a.a.a. + b.a.a.a.
c-c-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-d-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-e-
SL(2,Z), y esta es la única función, hasta
el término constante, satisfaciendo esta propiedad y comenzando con q−1,
McKay notó 196884 = 196883 + 1, y relaciones simples similares para
otros coeficientes de la función j y dimensiones de represen irreductible
las taciones del grupo Monster resultaron ser ciertas. Luego Conway-Norton
[8] formuló la conjetura Moonshine aproximadamente como sigue, que ha sido
ahora probado por Borcherds [4] en 1992.
1. Tenemos un "natural" infinito dimensional grado vector espacio V =
Vn con alguna estructura algebraica que tiene una acción de Monster pre-
servir a la clasificación y cada Vn es dimensional finita.
2. Para cualquier elemento g en el monstruo, la serie de potencia
n=0(Tr gVn)q
es una función especial llamada Hauptmodul para algún subgrupo discreto
de SL(2,R). Cuando g es el elemento de identidad, la serie es la función j
menos el término constante 744.
Por la parte (1) de esta conjetura, Frenkel-Lepowsky-Meurman [16] dio
una definición precisa de “alguna estructura algebraica” como un álgebra operador vértice
y construyó un ejemplo particular V, que ahora se llama la luz de la luna
álgebras del operador del vértice y denotado por V ».
La construcción es aproximadamente la siguiente. En la dimensión 24, tenemos un
celosía excepcional llamada la celosía de sanguijuela. Entonces hay una estafa general...
estructuración de un álgebra operador de vértice de una cierta celosía, y el uno para
la celosía de sanguijuela da algo muy cerca de nuestro objeto final V. Entonces nosotros
tomar un punto fijo álgebra bajo una acción natural de Z/2Z que surge de la
simetría de celosía, y luego hacer una simple extensión de corriente de orden 2. Los
álgebra de operador de vértice resultante es el álgebra de operador de vértice Moonshine
V â € TM. (El paso final se llama construcción retorcida o bifold). La serie
n=0(dimV
n−1 es de hecho la función j menos el término constante 744.
Miyamoto [40] tiene una nueva realización de V ® como una extensión de un tensor
potencia del álgebra del operador de vértice de Virasoro con c = 1/2, L(1/2, 0)48
(basado en Dong-Mason-Zhu [11]. Este tipo de extensión de un tensor Virasoro
la energía se llama álgebra de operador de vértice enmarcada como en [10].
Hemos dado un operador homólogo algebraico de tal construcción
en [31].
Realizamos una red de celosía de sanguijuela de factores en S1 como una extensión de Vir1/2
usando cierto código Z4. Entonces podemos realizar la construcción retorcida o bifold
en el sentido algebraico del operador para obtener una red de factores, la red Moonshine
¡Aaaaaaaaaa! La teoría de la α-inducción se utiliza para obtener varias descomposicións. Nosotros
luego obtener una descripción tipo Miyamoto de esta construcción, como un operador
homólogo algebraico del operador de vértice enmarcado álgebras. Entonces tenemos
las siguientes propiedades.
1. c = 24.
2. La teoría de la representación es trivial.
3. El grupo del automorfismo es el Monstruo.
4. La propiedad Hauptmodul (como anteriormente).
El esquema de la prueba de estas cuatro propiedades es el siguiente.
Es inmediato obtener c = 24. Podemos mostrar pases de completa racionalidad.
a una extensión (y un orbifold) en general con control sobre el tamaño de la
categoría de representación, utilizando el índice Jones. Con esto, obtenemos (2) muy
Con facilidad. Tal red se llama holomórfica. La propiedad (3) es la más difícil
parte. Para el Virasoro VOA L(1/2, 0), el operador de vértice es de hecho un bien-
El campo Wightman y los campos manchados producen la red Virasoro Vir1/2.
Usando esta propiedad y el hecho de que
g g(L(1/2, 0)
48) para todos los g de Aut(V)
generar toda la luz de luna VOA V, podemos probar que el automorfismo
grupo como un álgebra operador de vértice y el grupo de automorfismo como una red
De hecho, los factores son los mismos. Entonces (4) es ahora un corolario trivial de la
Borcherds teorema [4].
Observamos que el monstruo bebé, el segundo más grande entre los 26 esporádicos
grupos finitos simples, se puede tratar de manera similar con la construcción de Höhn de la
álgebra de operador de super vértice Moonshine más corta.
Sin embargo, estos ejemplos se tratan con varios trucos caso por caso. Nosotros
espera una correspondencia bijetiva entre álgebras operadoras de vértice y redes
de factores en S1 en algunas buenas condiciones. En el lado del operador de vértice
álgebras, el candidato más natural para tal condición “agradable” es el C2-
condición de finitud de Zhu [56] (con unidad). En el operador algebraico
lado, nuestra completa racionalidad en [32] parece ser una condición “buena”, pero
las relaciones reales entre las dos nociones no están claras en este momento.
La condición esencial para la racionalidad completa es la finitud de los Jones
índice que surge de cuatro intervalos en el círculo, y esta finitud de alguna manera
tiene similitud formal con la finitud que aparece en la definición de la C2-
finitud.
Al final, enumeramos algunos problemas abiertos. El enfoque algebraico del operador
tiene una ventaja en el control de la teoría de la representación, pero está detrás de la teoría
de álgebras operador de vértice en la teoría de los caracteres.
Para una red de factores, podemos naturalmente definir una noción de un carácter para
cada representación. Pero incluso la convergencia de estos personajes no ha sido
en general, y la propiedad de la invarianza modular, la contrapartida de
El resultado de Zhu [56], es desconocido, aunque ciertamente esperamos que sea cierto. Nosotros
también se espera que la identidad Verlinde se mantiene, lo que se ha demostrado en el contexto
de álgebras de operador de vértice recientemente por Huang [23]. Necesitaríamos un S-
matriz del teorema spin-statistics [21] para redes de factores.
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Introducción
Teoría Cuántica Conformal de Campo
Teoría de la representación
Teoría de la Clasificación
Conjetura de la luz de la luna
|
704.0098 | Sparsely-spread CDMA - a statistical mechanics based analysis | CDMA escasamente difundida - una mecánica estadística
Análisis basado
Jack Raymond y David Saad
Grupo de Investigación de Computación Neural, Universidad de Aston, Triángulo de Aston, Birmingham,
B4 7EJ
Correo electrónico: jack.raymond@physics.org
Resumen.
Acceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar
método en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo un número relativamente pequeño
de elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de física estadística. Los
análisis proporciona resultados sobre el rendimiento de la decodificación de máxima probabilidad para la escasa
la difusión de códigos en el gran límite del sistema. Presentamos resultados para ambos casos de
y matrices de propagación irregular para el aditivo binario blanco canal de ruido gaussiano
(BIAWGN) con una comparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.
Números PACS: 64.60.Cn, 75.10.Nr, 84.40.Ua, 89.70.+c
Números del esquema de clasificación AMS: 68P30,82B44,94A12,94A14
http://arxiv.org/abs/0704.0098v5
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 2
1. Antecedentes
El área de las comunicaciones multiusuario es de gran interés tanto teórico como
perspectivas de ingeniería [1]. El acceso múltiple de la división de código (CDMA) es un particular
método para permitir que múltiples usuarios accedan a los recursos de canal en un entorno eficiente y robusto
y desempeña un papel importante en las actuales normas preferidas para la asignación de
recursos de canales en comunicaciones inalámbricas. CDMA utiliza recursos de canal altamente
permitiendo a muchos usuarios transmitir en gran parte del ancho de banda simultáneamente,
cada transmisión está codificada con un código de firma específico del usuario. Desentrañando el
información en el canal es posible mediante el uso de las propiedades de estos códigos y gran parte de
la investigación de CDMA se centra en el desarrollo de códigos y métodos de decodificación eficientes.
En este trabajo se estudia una variante del método original, CDMA escasa, donde la
matriz de propagación contiene sólo un número relativamente pequeño de elementos distintos de cero como fue
originalmente estudiado y motivado en [2]. Mientras que la aplicación directa de la escasa
Las técnicas CDMA para enlazar la comunicación de acceso múltiple son bastante limitadas, como lo es
difícil de sincronizar las escasas transmisiones de los distintos usuarios, el método puede ser
muy útil para la frecuencia y el salto del tiempo. En la división de código de frecuencia de salto múltiple
acceso (FH-CDMA), uno cambia repetidamente frecuencias durante la transmisión de radio, a menudo
reducir al mínimo la eficacia de la interceptación o interferencia de las telecomunicaciones. En
cualquier paso dado del tiempo, cada usuario ocupa un pequeño (finito) número de la (infinito) M-ary
(con la ganancia G, el número total de chip-
los pares de frecuencia es MG.) Los lúpulos entre las frecuencias disponibles pueden ser aleatorios o
preplanificado y se produce después de la transmisión de datos en una banda de frecuencias estrechas. In
tiempo (TH-)CDMA, una secuencia pseudo-ruido define el momento de transmisión para
los diversos usuarios, que pueden ser vistos como CDMA escaso cuando se utiliza en una banda ultraancha
sistema de comunicación por impulso. En este caso las escasas secuencias de salto de tiempo reducen
colisiones entre transmisiones.
Este estudio sigue el trabajo seminal de Tanaka [3], y otras extensiones recientes [4],
en la utilización del análisis de réplicas para CDMA de distribución aleatoria con entradas discretas, que
estableció muchas de las propiedades de CDMA aleatorias densamente difundidas con respecto a
varios detectores diferentes incluyendo Máximo A Posterori (MAP), Postero Marginal
Maximizador (MPM) y mínimo promedio de error cuadrado (MMSE). CMDA escasamente difundida
se diferencia de la CDMA convencional, basada en secuencias de propagación densa, en que cualquier
usuario sólo transmite a un pequeño número de chips (en comparación con la transmisión en todos los chips
en el caso de la CDMA densa). La escasa naturaleza de este modelo facilita el uso de métodos
de la física estadística de los sistemas desordenados diluidos [5, 6] para el estudio de las propiedades de
casos típicos.
La viabilidad de la escasa CDMA para la transmisión de información fue recientemente
se demuestra [2] para el caso de los símbolos de entrada reales (distribuidos por Gaussian) mediante el empleo de un
Aproximación media efectiva de Gaussian; varios resultados han sido reportados para el caso de
patrones de transmisión aleatoria. En un estudio reciente separado, basado en la propagación de creencias
inferencia algoritmo y una entrada binaria de distribución previa, escasa CDMA también ha sido
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 3
considerada como una vía para demostrar los resultados de la CDMA densamente difundida [7]. Además, este
estudio demostró la existencia de un fenómeno de cascada comparable al código denso
para un subconjunto de conjuntos. El fenómeno de cascada se observa en técnicas de decodificación,
donde hay una transición dinámica entre dos soluciones estadísticamente distintas como la
El parámetro ruido es variado. Por último, tomamos nota de una serie de estudios pertinentes relativos a la
la eficacia de la propagación de creencias como método de decodificación del MPM [8, 9, 10, 11], y en
combinar métodos de codificación escasa (LDPC) con CDMA [12]. Muchos de estos documentos
Sin embargo, considerar el régimen de dilución extrema - en el que el número de contribuciones de chips
es grande pero no O(N).
La labor teórica relativa a la escasa difusión de la CDMA seguía careciendo de
respetos. Como se señaló en [2], la difusión de códigos con Poisson distribuido número de no-
elementos cero, por chip y entre los usuarios, están fallando sistemáticamente en que cada usuario
tiene alguna probabilidad de no contribuir a ningún chip (no transmitir información).
Incluso en el código “parcialmente regular” [7] conjunto (donde cada usuario transmite en el mismo
número de chips) algunos chips no tienen contribuyentes debido a la distribución de Poisson en
conectividad de chip, por lo tanto, el ancho de banda no se utiliza eficazmente. Eludimos.
Este problema se debe a la introducción de limitaciones para impedirlo, a saber, la firma regular
códigos restringidos de tal manera que tanto el número de usuarios por chip y chips por usuario toman
valores enteros fijos. Además presentamos análisis analíticos y numéricos sin
recurrir a aproximaciones gaussianas de cualquier cantidad. Uso de nuevas herramientas de estadística
mecánica somos capaces de arrojar mayor luz sobre la naturaleza de la transmisión binaria previa
proceso. En particular, la naturaleza del espacio de decodificación del estado y el rendimiento relativo de la escasa
ensambles versus densos a través de una gama de niveles de ruido; y lo que es más importante, la pregunta
de cómo la coexistencia de las soluciones encontradas por Tanaka [3] se extiende a los conjuntos escasos,
especialmente cerca de los puntos de transición determinados para el conjunto denso.
En este artículo demostramos la superioridad del código CDMA regular escasamente difundido
sobre códigos densamente extendidos en ciertos aspectos, por ejemplo, la tasa de error de bits prevista
la decodificación mejora en el régimen de ruido elevado y la coexistencia de la solución
El comportamiento es menos generalizado. Además, para utilizar la propagación de creencias para tal conjunto
es seguro que será significativamente más rápido y menos computacionalmente exigente [13], esto también ha
implicaciones de consumo de energía que pueden ser importantes en algunas aplicaciones. Otros
cuestiones prácticas de aplicación, siendo la más básica la no sincronización y el poder
control, requiere un estudio detallado y puede hacer que aprovechar plenamente estas ventajas más
complejo y dependiente de la aplicación.
El documento está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 introduciremos el marco general
y notación utilizada, mientras que la metodología utilizada para los diversos códigos se presentará en
sección 3. Los principales resultados de los diversos códigos se presentarán en la sección 4 siguiente
por las observaciones finales que figuran en la sección 5.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 4
i b • j d
1o de enero de 2002
...........................................................................................................................................................
yb yc yd yN
Gráfico 1 Un gráfico bipartito es útil para realizar visualmente un problema. Un nodo de usuario i en
la parte inferior interactúa con otras variables a través de su conjunto de nodos de factor vecinos (
a la que se conecta. Los nodos de factor se determinan a través de un vecindario similar.
La interacción en cada factor (μ) está condicionada a factores de ganancia vecinos (la
componentes no cero de s), y yμ (que es una función implícita del ruido, y
bits de entrada vecinos bμ y factores de ganancia ), asumiendo un uniforme anterior en los bits.
El problema de reconstrucción de la mecánica estadística asocia variables dinámicas
nodos de usuario que interactúan a través de los factores. El estado de equilibrio termodinámico de
Este sistema describe el rendimiento teórico de los detectores óptimos.
2. El modelo
Consideramos un modelo estándar de CDMA consistente en usuarios K transmitiendo en un bit
intervalo de chips N. Asumimos un modelo con perfecto control de potencia y sincronización,
y considerar sólo el intervalo de un bit. En nuestro caso la señal recibida y es descrita por
[skbk] + فارسى, (1)
donde los componentes del vector describen los valores para chips distintos: sk es la propagación
código para el usuario k, bk = ±1 es el bit enviado por el usuario k (símbolos de entrada binarios) y el ruido
vector. La normalización adecuada de la potencia es a través de la definición de la firma
matriz (s). Es posible incluir una variación de amplitud específica del usuario o del chip, que puede
ser debido a la desaparición o el control imperfecto del poder. Consideramos un modelo sin estos efectos.
Los códigos de propagación son escasos de modo que en la expectativa sólo C de los elementos en vector sk
no son cero. Si, con el conocimiento de la matriz de firma en uso, asumimos que la señal tiene
ha sido objeto de ruido de canal gaussiano blanco aditivo de varianza
0 es la
varianza del verdadero ruido del canal 2, podemos escribir el posterior para los bits transmitidos
(desconocidos dada la instancia particular) usando el teorema de Bayes
P ( y) =
[sμk(bk − k)] +
P ( ), (2)
y a partir de esto definir tasa de error de bits, información mutua, y otras cantidades. Los
Mecánica estadística enfoque de aquí es definir un Hamiltoniano y la partición
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 5
función a partir de la cual las diversas estadísticas relativas a esta distribución de probabilidad pueden
determinar - y por lo tanto todas las medidas habituales de la teoría de la información. Una opción adecuada
para el Hamiltoniano es
H( ) =
[sμk(bk − k)] +
hklok. 3)
Aquí podemos identificar a las variables dinámicas en el problema de la inferencia (dependencia).
se muestra explícitamente). Las otras variables apagadas (parámetros), describiendo la instancia de
el trastorno, son la matriz de la firma (s), el ruido () y las entradas (b). Las variables
hk describir nuestras creencias previas sobre las entradas (el sesgo específico del usuario), y podemos asumir
alguna distribución simple para esto, como todos los usuarios que tienen el mismo sesgo hk = H. Máximo
transmisión de velocidad corresponde a bits no sesgados H = 0, y esto se considera a lo largo de
el periódico. Las propiedades de tal sistema pueden reflejarse en un gráfico de factor (Tanner),
un gráfico bipartito en el que los usuarios y los chips están representados por nodos (véase la figura 1).
El cálculo que realizamos es específico para el caso del límite termodinámico en
que se fija el número de chips N → • mientras que la carga α = K/N. Tenga en cuenta que α es
llamado β en muchos documentos CDMA, aquí reservamos β para significar la "temperatura inversa"
en un sentido de mecánica estadística (que define nuestra creencia previa para el nivel de ruido y dar
subir al correspondiente detector MAP.)
En todos los conjuntos podemos identificar el parámetro L como el número medio de contribuciones
a cada chip, y C como el número medio de contribuciones por usuario. Como tal, lo siguiente:
también mantiene
. 4)
El caso en el que α es mayor que 1 se llamará sobresaturado, ya que más de uno
bit se transmite por chip.
Los cálculos presentados a partir de ahora son específicos para el caso del ruido sin memoria,
extraídos de una distribución única de la media cero y la media cuadrada 20
* () = P ( ). 5)
Definir códigos normalizados de propagación de forma que:
sk.sk = N, podemos identificar el “poder
Densidad espectral” (PSD) a lo largo de un intervalo de virutas como medida del ruido del sistema 1/(2
el factor dos está relacionado con consideraciones físicas en la implementación del modelo.
2.1. Conjuntos de código
Consideramos varios conjuntos de código que llamamos irregulares, en parte regulares y regulares, que
difieren en las limitaciones impuestas al factor y al grado variable de las restricciones de la firma
matriz s. La distribución de probabilidad
P (s) = N
(sμk 6= 0)− L
P (L)
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 6
(sμk 6= 0)− C
P (C)
P (sμk), (6)
donde N es una constante de normalización, P (L) es la distribución de probabilidad de grado factorial de
promedio L, P (C) es la distribución de probabilidad de grado variable de la media C, y P (sμk) es la
distribución de probabilidad marginal que es común a todos los conjuntos
P (sμk) =
(sμk) +
*(sμk − •). 7)..................................................................................................................................................
La forma de (6) es entonces suficiente para las distribuciones escasas que consideramos en el sistema grande
limitar, y hace explícitas las propiedades de conectividad del chip y del usuario de los conjuntos. Los
factor de ganancia, se extrae al azar de una sola distribución con la medida cero en = 0,
y momentos finitos, en cualquier caso de un código
(+) = P (sμk = sμk 6= 0). (8)
A diferencia del caso denso, los detalles de esta distribución producirán resultados, pero sólo en un pequeño
forma de tomar decisiones razonables [2]. Aquí investigamos el caso de la tecla de cambio de fase binaria
(BPSK) que corresponde a una distribución uniforme en
}, aunque el análisis
los resultados presentados son aplicables a cualquier distribución del cuadrado medio = 1/L. Tenga en cuenta que
trastorno en los factores de ganancia no es una necesidad, el caso • = 1/
L también permite la decodificación en
Conjuntos escasos.
El caso en el que P (Lu) y P (Cu) se distribuyen Poissonian identifica la irregularidad
conjunto - donde las conexiones entre chips y usuarios se distribuyen de forma independiente.
La segunda distribución llamada en parte regular tiene P (C
conectividad es de nuevo Poisson distribuido con media L, pero cada usuario contribuye a exactamente
Patatas C. Esto evita el fracaso sistemático inherente al conjunto irregular ya que
allí un gran número de usuarios no transmiten en ningún chip. Si además de
la restricción antes mencionada todos los chips reciben exactamente L contribuciones, P (L
el conjunto se llama regular. La conectividad regular del chip entre otras cosas impide
la ineficiencia sistemática debido a la falta de acceso de algunos chips por parte de cualquiera de los usuarios.
El caso de las distribuciones poissonianas es aquel en el que no hay control global. In
muchas aplicaciones de ingeniería que limitan a los usuarios individualmente (no Poissonian P (C
práctica, mientras que la coordinación entre los usuarios (no Poissonian P (Lū)) es difícil. Los
los aspectos prácticos de la aplicación de los diferentes conjuntos que consideramos específicos de la aplicación:
las ventajas inherentes a la distribución más equitativa de los recursos de los canales entre los usuarios pueden
se pierdan a causa de problemas prácticos de implentación.
3. Metodología
3.1. Eficiencia espectral Acoplamiento inferior
La inferioridad de los códigos con conectividad de usuario Poissonian se ha señalado previamente
(por ejemplo, en [2]), sobre la base del entendimiento de que los códigos que dejan a una parte de los usuarios
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 7
desconectado no puede ser óptimo. Analógicamente argumentamos que los códigos con chip irregular
conectividad también debe ser inferior en que dejan una fracción de los chips (ancho de banda)
no se utiliza, lo que constituye una motivación para considerar códigos plenamente regulares.
En esta sección mostramos un caso particular en el que se esperan los códigos regulares
para superar cualquier otro conjunto mediante el análisis de la cantidad de información que puede ser
extraído en los bits enviados por consideración de sólo un chip en aislamiento de los otros chips.
Esto corresponde a un detector que reconstruye bits basados sólo en el valor de un solo chip,
y es independiente de la conectividad del usuario.
La eficiencia espectral se define como la información mutua entre el
señal y piezas reconstruidas por chip. Al considerar sólo un chip (μ) tenemos
I( ; yμ) =
P ( yμ)
P ( )
P0(,yμ)
, (9)
donde el subíndice cero indica que el verdadero (generativo), en lugar del modelo (2),
distribución de probabilidad. Para la brevedad consideramos el caso más simple que el generativo
y las distribuciones de probabilidad del modelo son las mismas con bits imparciales y un ruido gaussiano
distribución, en cuyo caso, después de algún reordenamiento
I( ; yμ) = L
exp(−Hμ( μ))
μ exp(−Hμ( μ))
P0( μ,yμ)
, (10)
donde los bits conectados a los chips μ y el chip Hamiltonian es
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (11)
etiquetado de cada componente interactuante (no cero) en el chip por i, siendo L贸 el chip
conectividad.
Trabajando a partir de esta descripción queremos comparar el rendimiento de los conjuntos
con diferentes conexiones de chip. Para hacer esto consideramos el conjunto medio mutuo
información promediando la información mutua sobre las connectividades (L), los factores de carga,
y los bits transmitidos. Este promedio es complicado, sin embargo es posible calcular el
los términos dominantes en los límites bajos y altos de la PSD.
En el caso de bajo ruido (PSD → فارسى) encontramos los términos asintóticamente dominantes
vienen primero del numerador
•log2 exp−H(• μ) •
/ log(2) =
2 log(2)
, (12)
que es un promedio sobre la energía del estado del suelo, y también el logaritmo del denominador
que es
exp−H( μ)
(bi) (bi) (i)
, (13)
donde yμ se ha descompuesto en sus partes de bit ({bi}) y ruido (), y los promedios son:
ahora sobre los conjuntos, así como yμ. La primera parte de (13) aporta una contribución energética
cancelación (12). Llamamos a la parte restante el promedio sobre la entropía del chip, por
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 8
comparación con (10) esto determina la cantidad de información perdida en la decodificación. Los
término de la entropía del chip contiene una función indicadora contando los estados del suelo - el promedio
la entropía de los chips es cero cuando la única solución es μ = bμ. Sin embargo, para el caso de BPSK
puede haber alguna degeneración en los estados de base con dos términos en la suma que no es cero
pero cancelándose el uno al otro. Esta degeneración depende de la distribución P (L
para L dado. Average sobre los factores de carga y los bits transmitidos encontramos que en el cero
límite de ruido
I(, yμ)
(bi) (bi) (i)
P (L)
, (14)
min(p,Lp)
L p
P (L)
. (15)
Por evaluación numérica de esta función (ver resultados sección 4.2) encontramos que el óptimo
conjunto es de hecho el conjunto regular. Esto se debe a la entropía de chip, cuando se promedia sobre
factores de carga y bits es una función cóncava en L
cuando P (L
. Esta dependencia de Lū puede ser una peculiaridad del detector considerado,
pero muchos otros aspectos del cálculo pueden generalizarse para dar un resultado similar.
Es posible considerar el límite opuesto Encontramos que
los cuatro órdenes principales en 1/0 eran idénticos para todos los conjuntos de código del mismo chip medio
conectividad. Anticiparíamos el comportamiento de la PSD no extrema para caer en alguna parte
entre estos dos regímenes y, por lo tanto, para que el conjunto regular chip sea al menos tan bueno como
los conjuntos irregulares de chip.
Observamos aquí que otra razón para considerar el código regular óptimo entre
pocos códigos aleatorios es considerar el término de campo cuando el Hamiltoniano (11) está escrito
en forma canónica con un conjunto de acoplamientos ({Jójij) y campos externos específicos del usuario ({hi}).
En esta representación el conjunto de campos externos están en la expectativa alineados con el enviado
secuencia de bits, pero sujeto a fluctuaciones para cada instancia de código. La diferencia de estos factores
puede demostrarse que las fluctuaciones son proporcionales al exceso de conectividad del chip sobre el
conectividad verdadera del chip [14], que entre todos los conjuntos es minimizada por el chip regular
Ensamblaje. La interferencia multiusuario es mayor en códigos irregulares y, por lo tanto, en información
la recuperación es más débil como se predice en esta sección.†
3.2. Esquema del método de réplica
Determinamos las propiedades estáticas de nuestro modelo definidas en la sección 2, incluyendo correlaciones
Debido a la estructura de interacción completa, utilizamos el método de réplica. De la expresión de
el Hamiltoniano (3) podemos identificar una función de energía libre y partición como:
f = − 1
lnZ Z = exp (H( ).
† Este argumento se añade desde la versión publicada.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 9
Para progresar hacemos uso de las propiedades de auto-aprovechamiento previstas del sistema.
La suposición es que en el sistema grande limitar cualquier dos instancias seleccionadas al azar
tendrá, con alta probabilidad, propiedades estadísticas indistinguibles. Esta suposición
tiene una base firme en varios problemas relacionados [15], y además es intuitivo después de
Un poco de reflexión. Si esta suposición es verdadera, entonces los estatistas de cualquier instancia en particular pueden
ser descrito completamente por la energía libre promediada en todos los casos del trastorno. Nosotros
por lo tanto, están interesados en la cantidad
F = F = − lim
lnZI, (16)
donde los corchetes en ángulo representan las medias ponderadas sobre I (las instancias). Los
la densidad de entropía puede calcularse a partir de la densidad de energía libre mediante el uso de la relación
s = β(e− f), (17)
donde e es la densidad de energía.
Para determinar la energía libre debemos promedio sobre el desorden en (16), que es un difícil
problema, excepto en casos especiales. Esta es la razón por la que hacemos uso de la identidad de réplica
lnZI = lim
"Zn'I". (18)
Podemos modelar el sistema ahora como uno de réplicas que interactúan, donde Zn está descompuesto como un
producto de un número entero de funciones de partición con condicionalmente independiente (dado
la instancia del trastorno) variables dinámicas. La discreción de las réplicas es esencial
en la primera parte del cálculo, pero se requiere una continuación de los números reales
en la toma de n → 0+ – esta es una suposición notoria, que las matemáticas rigurosas no pueden
Sin embargo, justificar el caso general, a pesar de los progresos realizados en los últimos años [16, 17, 18].
Sin embargo, asumiremos la validez y ya que la metodología para las estructuras escasas es
bien establecidos [19, 20, 15] omitimos nuestros detalles particulares. La forma funcional final para
la energía libre se determina de
# Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # # # Zn # # # # # # Z n # # # # # Zn # # # # Zn # # # # Z n # # # # # Z n # # # # # # # # Z n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
dP (b)dP(b)
exp{lnN +N(G1(n) +G2(n) +G3(n))} ; (19a)
G1(n) = ln
2α/2
P (b)
(b− )
P (L)
; (19b)
G2(n) =
P (b)(b)(f)(f)(c)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(c)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)()(f)()(f)()(f)(c)()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()()()())()))))()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()())()()()()))()()())))()()()()()))()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
G3(n) = α ln
(−L)C
(b, )
P (C)
P0(b)
; (19d)
donde N es una constante debido a la normalización de los conjuntos (6). Esta expresión puede ser
evaluado en el punto de silla de montar para dar una expresión para la energía libre. En el término (19d)
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 10
se contabilizan los casos en que la distribución de probabilidad marginalizada P0(b) y
La distribución de probabilidad marginal supuesta (descrita por H) es asimétrica. En el caso
de la tasa máxima que vamos a considerar, el promedio b es trivial y H = 0. Suministrado
que además la distribución del factor de ganancia es simétrica entonces es posible eliminar
la dependencia b en los parámetros de orden, ya que la simetría P (b,) = P (−b,) y
La energía libre deja invariante a la energía libre.
3.3. Ecuaciones simétricas réplica
La forma concisa para nuestras ecuaciones se logra usando la suposición de réplica de simetría
(RS). Esto equivale a la suposición de que las correlaciones entre réplicas son todas
idéntico, y determinado por una distribución compartida única. La validez de esta suposición
puede ser autoensayado consistentemente (sección 3.5). Esta hipótesis difiere de la utilizada
por Yoshida y Tanaka [2] donde las correlaciones son descritas por sólo un puñado de
parámetros en lugar de una distribución una vez que se asume RS - este enfoque puede, por lo tanto
falta algo de la estructura detallada, aunque es más fácil de manejar numéricamente. La orden
parámetro en nuestro caso es dado por
P (b, ) =
dη(x)
(1 + bx)
; (20a)
(b, ) = qâ °
d(x)
(1 + bx) ; (20b)
donde q es una constante de normalización variacional y γ, son distribuciones normalizadas en
el intervalo [−1, 1]. A partir de aquí podemos considerar el caso en el que las variables de bits
Los factores de ganancia y ganancia se miden a b ( > b → • • • • • b → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Utilizando el método de Laplace, esto da la siguiente expresión para la (RS) energía libre
en el punto de silla de montar
FRS = −
Extrη,bη
G1,RS(L)(n) + G2,RS(n) + G3,RS(C)(n)
donde
G1,RS(n)
= − Ln 2
[dl(xl)]
ln Trl=±1L
* (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) () (l) () (l) () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
P (L)
; (22a)
χL(*;,, {x}) = exp
(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)
(1 + Łlxl) ; (22b)
G2,RS(n) = − L
dη(xc)d(xÃ3c) ln(1 + xxÃ3c) ; (22c)
G3,RS(n) = α
[d(xÃ3c)] ln
(1 + x+c) +
(1 a x + c)
P (C)
. (22d)
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 11
y se ha introducido el valor del punto de sillín para (= L). Los promedios son superiores a los de L° y C°
encapsular las diferencias entre los conjuntos.
Ecuación (22b) describe la interacción en un solo chip en el gráfico de factores (figura 1)
de conectividad L. Los factores de ganancia y reconstruidos son el parámetro â € € TM y la variable â € € TM
bits respectivamente, ambos medidos en el bit transmitido, mientras que • es la instancia del chip
ruido.
Las distribuciones variacionales del orden, son elegidas para extremizar (21). El yo
Las ecuaciones consistentes alcanzadas por el método del punto de sillín son:
(x) =
[dl(xl)]
Trl=±1}
Trl=±1} L
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
P (L)
(23a)
{L} = exp = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)
(1 + Łlxl) (23b)
η(x) =
[d(xc)]
c=1(1 + x+c)−
c=1(1− x+c)
c=1(1 + x+c) +
c=1(1− x+c)
P (C)
. (23 c)
Las variables P (Lū) y P (Cū) son aquí las distribuciones excesivas de los grados de la
conjunto (6). Para conjuntos con restricciones regulares el chip y los excesos del usuario son L − 1
y C − 1 respectivamente. Para las distribuciones de Poissonian la distribución de exceso de grado es la
distribución completa de los títulos.
Aparte de la entropía, las demás cantidades de interés podrán determinarse a partir del
distribución de probabilidad para el solapamiento de variables reconstruidas y enviadas mk = k,
P (m) = lim
*Mk,m*
, (24)
[d(xc)]
c=1(1 + x+c)−
c=1(1− x+c)
c=1(1 + x+c)+
c=1(1− x+c)
P (C)
. (25)
Finalmente observamos que expresiones equivalentes a estas encontradas con la suposición de RS
puede obtenerse utilizando el método de cavidad [6] con la asunción de un único estado puro.
Este enfoque es probabilístico y por lo tanto más intuitivo en algunos niveles.
3.4. Dinámica de la población
El análisis de estas ecuaciones está limitado principalmente por la naturaleza de las ecuaciones (23a-
23c). No hay soluciones exactas aparentes, y los regímenes perturbadores sobre el ferromagnético
solución (que es sólo una solución para el ruido cero) son difíciles de manejar. En consecuencia
Utilizamos dinámica de población [21] – representando las distribuciones (x), (x)} por finito
poblaciones (histogramas) e iterar esta distribución hasta la convergencia. Se espera,
y observó, que cada histograma captura suficiente detalle para describir el continuo
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 12
función y la dinámica (descrita a continuación) permiten la convergencia hacia una verdadera solución
distribución con sólo pequeñas correcciones debido a los efectos de tamaño finito.
Resolver las ecuaciones (23a,23c) con histogramas finitos de dinámica poblacional
se utilizan magnetizaciones de cavidades no dirigidas M. Histogramas aproximándose
cada función se forma
η(x) → W = {x1,. .., xi,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
η(xá) → = {xá1,. ................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
con M lo suficientemente grande como para proporcionar una buena resolución en las medidas de rendimiento deseadas.
La dinámica de minimización discreta de los histogramas se deriva de (23a-23c).
Las actualizaciones del histograma se realizan alternativamente, con toda la magnetización en el histograma
que se actualicen secuencialmente. En la actualización del campo xa los parámetros apagados {L.,..................................................................................................................
se muestrean, siendo Ls el grado de exceso de chip, y las magnetizaciones de Ls se eligen al azar
desde W, definiendo hasta (23a) la actualización
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Trl = ± 1 {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L}
Trl=±1} L
. (28)
La actualización del otro histograma sigue la dinámica en la que se muestra C
el exceso de grado del usuario, junto con las magnetizaciones seleccionadas al azar de C
a través de (23c) la actualización
c=1(1 + x+c)−
c=1(1− x+c)
c=1(1 + x+c) +
c=1(1− x+c)
. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Existe una fuerte analogía entre el algoritmo de dinámica poblacional y el de
mensaje pasando en una instancia particular del gráfico. La iteración de los histogramas
implícito en (28-29) es análogo a la propagación de una población de magnetizaciones de cavidades
entre los nodos del factor (a) y del usuario (i), que pueden escribirse como ecuaciones autosistentes:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Trl=±1i exp
lari
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
lari
(1 + Łlxl→a) ; (30a)
xi→a =
Cira
(1 + x+c→i)−
Cira
(1 - x-c→i)
; (30b)
donde Nx,x® son las normalizaciones relevantes, y la abreviatura ♥y indica el conjunto
de nodos conectados a y. En la dinámica de la población, la noción de un gráfico en particular
con bordes etiquetados está ausente sin embargo, y la única distribución de los dos tipos
de magnetizaciones son relevantes.
3.5. Análisis de estabilidad
Para probar la estabilidad de las soluciones obtenidas consideramos tanto la aparición de
Entropía no negativa, y un parámetro de estabilidad definido a través de una consideración de la
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 13
fluctuación disipación teorema. El primer criterio para que la entropía no sea negativa es
, basado en el hecho de que las soluciones físicamente viables en sistemas discretos deben tener no-
Entropía negativa para que cualquier solución encontrada que no cumpla estos criterios se base en
malas premisas; réplica de simetría es una fuente probable.
El parámetro de estabilidad se define en relación con el método de la cavidad para el giro
gafas [22] y prueba la estabilidad local de las soluciones. Es equivalente a la prueba de la local
estabilidad de las ecuaciones de propagación de creencias como se propone en [23]. Una condición necesaria para
la estabilidad de la solución de RS es que la sensibilidad correspondiente no diverge.
Esta condición asegura que los campos no estén fuertemente correlacionados. La susceptibilidad del vidrio giratorio
cuando se puede definir un promedio sobre las instancias
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
, (31)
donde d es la distancia entre dos nodos en el gráfico factorial, el promedio interno denota
la función de correlación conectada entre estos nodos, Xd describe el número típico
de variables a distancia d, y el promedio externo es sobre las instancias del trastorno (auto-
promedio de la parte). Esta cantidad no es divergente a condición de que:
* = ln. = ln................................................................................................................................
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
es negativo, ya que esto indica una disminución exponencial asympopticamente en los términos de (31)
y, por lo tanto, la convergencia de la suma. En el límite termodinámico la correlación conectada
función está dominada por un único camino directo que puede ser descompuesto como una cadena de local
susceptibilidades lineales
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
i, j)
♥xi→a
* x • b → i
* x • b → i
xj→b
, (33)
donde (i,j) indica el conjunto de variables en la ruta más corta entre los nodos 0 y d en una
ejemplo particular del gráfico (30a).
Esta representación nos permite construir una estimación para basada numéricamente
sobre principios similares a la dinámica de la población [24] – la dirección y la estructura fija
implícita en un problema particular se elimina con la suposición de auto-ahorrar dejando un
descripción funcional similar a (23a-23c), que puede ser iterada. Para aproximar
el parámetro de estabilidad se introduce números positivos adicionales en la población
histogramas dinámicos (27b,27a), xi → {xi, vi} y xáa → {xáa, váa} respectivamente. Estos nuevos
los valores representan los tamaños relativos de las perturbaciones en cada magnetización, y se actualizan
en paralelo a (28,29) como
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = =
, (34)
y con asignaciones similares para la actualización de campo de W
. (35)
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 14
Los derivados parciales se calculan a partir de (28-29) y se evalúan en el
valores en la población muestreada. Si el punto fijo final es estable contra pequeño
las perturbaciones en el campo inicial entonces estos valores {v, v deben decaer exponencialmente en
promedio. Renormalización de {vi} y {va} de tal manera que la media es 1 después de cada actualización es
necesario. La constante de renormalización numérica para cada rendimiento de población (dependiente)
las estimaciones de , que se pueden muestrear en un tiempo de convergencia adecuado (final de la {W,
proceso de minimización).
Al igual que la dinámica de la población, esperamos que el comportamiento sea sensible a la inicialización
condiciones y efectos de tamaño finito en algunas circunstancias. Además, la estimación requiere
buena resolución en los histogramas W y .
4. Resultados
Los resultados se presentan aquí para el caso canónico del teclado de cambio de fase binario (BPSK)
donde {1,−1} {1,} con la misma probabilidad. Además, asumimos un modelo del GTEN para
el verdadero ruido فارسى (de varianza 20). Para fines de evaluación asumimos el ruido del canal
nivel se conoce con precisión, de modo que β = 1, empleando la temperatura de Nishimori [5]. Esto
garantiza que la solución RS es termodinámicamente dominante. Además, la energía
toma un valor constante a la temperatura de Nishimori y por lo tanto la entropía es afín a
la energía libre. Donde de interés trazamos las estadísticas comparables para el Usuario Único
Canal gaussiano (SUG), y el conjunto densamente extendido, cada uno con detectores MPM –
equivalente a la máxima probabilidad para los bits individuales.
Para la dinámica de la población se inicializan dos poblaciones paralelas (27a,27b)
uniformemente al azar, o en estado ferromagnético. Estas dos poblaciones son conocidas
para converger hacia la solución única, donde existe, desde direcciones opuestas, y
por lo que podemos utilizar su convergencia como un criterio para detener el algoritmo y pruebas para el
aparición de múltiples soluciones. En el caso de que converjan en diferentes soluciones
Generalmente podemos identificar la solución convergente desde el estado inicial ferromagnético como
una buena solución - en el sentido de que reconstruye bien, y que llegó de azar
estado inicial como una mala solución. En el algoritmo de propagación de creencias equivalente uno no puede
elegir condiciones iniciales equivalentes a ferromagnética – sabiendo la solución exacta
Por supuesto, hace que la decodificación sea redundante. Por lo tanto, esperamos las propiedades de los malos
solución para ser los realizables por la propagación de la creencia (aunque los algoritmos inteligentes pueden ser
capaz de escapar a la buena solución en algunas circunstancias). Las variables de estabilidad
{v, v fueron inicializados independientemente cada uno como el cuadrado de un valor extraído de un gaussian
distribución – y las pruebas indicaron que otras distribuciones razonables produjeron resultados similares.
Los recursos informáticos limitan los casos estudiados en detalle a una División del Sector Privado intermedia
régimen, y pequeño L. En particular, el problema en PSD bajo, es el ruido gaussiano
promedio, que es poco estimado, mientras que en alta PSD la mayoría del histograma es
concentrados en magnetizaciones x, x+ 1 que no permitan una resolución suficiente en el resto de
el histograma.
Varias medidas diferentes se calculan a partir del parámetro orden convergente,
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 15
que indique el rendimiento de la CDMA escasamente difundida. Usando los histogramas convergentes
para los campos somos capaces de determinar las siguientes cantidades: energía libre, energía y
histograma para la distribución de probabilidad, a partir de discreciones de los previamente presentados
ecuaciones (23a-23c). Usando la distribución de probabilidad también somos capaces de aproximar
la tasa de error de bit de decodificación
dP (m)
1− signo(m)
; (36)
Eficiencia de los usuarios múltiples
MuE =
erfc−1(Pb)
; (37)
e información mutua entre los bits enviados y reconstruidos por chip, I(b; )/N (tomando
una forma factorizada dada la hipótesis de RS)
IM = α
dP (m)
1 + m
1 + m
. 38)
La eficiencia espectral es la capacidad I( ;y) por chip, que es afín a la entropía (y
la energía libre a la temperatura de Nishimori)
............................................................................... (39)
Se puede identificar la entropía negativa cuando la eficiencia espectral medida supera la carga,
y los puntos de transición termodinámica corresponden a puntos de eficiencia espectral coincidente.
Figura 2‡ muestra algunas propiedades generales del conjunto regular en el que el
Las conexiones de grado variable y factor son C : L = 3 : 3, respectivamente. Ecuaciones (23a-
23c) fueron iterados utilizando la dinámica de la población y se calcularon las propiedades relevantes
utilizando las soluciones obtenidas; los datos presentados se promedian en más de 100 ejecuciones y barras de error,
que son típicamente pequeños, se omiten para la brevedad. La figura 2 a) muestra la tasa de error de bits
en los códigos regular y Poissonian, el conjunto se centra en la gama donde la escasa-regular
y casos densos cruzados. Los escasos códigos muestran tendencias similares al caso denso
salvo el código irregular, que presenta un rendimiento más débil en general y, en particular, en
PSD alto. Las tendencias detalladas pueden verse en la figura 2(b) que muestra la eficiencia multiusuario.
Códigos con conectividad de usuario regular muestran un rendimiento superior con respecto a la densa
caso en PSD bajo. En el gráfico 2 c) se observan tendencias similares en la eficiencia espectral y en la
información (mostrada en el conjunto); el efecto del componente desconectado (usuario) es claro
en el hecho de que el código irregular no alcanza la capacidad a niveles de ruido elevados. En general
parece que la distribución de la conectividad del chip no es crítica para cambiar las tendencias presentes,
a diferencia de la distribución de conectividad del usuario. Se encontró en estos casos (y todos los casos con
soluciones únicas para el PSD dado), que el algoritmo convergía a la entropía no negativa
valores y a una medida de estabilidad fluctuando alrededor de un valor inferior a 0, como se muestra en
Figura 2 d). Estos puntos indicarían la idoneidad de la hipótesis de la RS.
‡ Esta cifra ha sido modificada de la versión publicada, la diferencia es que el chip Poissonian
Los códigos de conectividad tienen en todas partes un rendimiento más débil que el conjunto de código regular denso y escaso.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 16
El rendimiento de códigos densos por conjuntos escasos con conectividad de usuario regular
en el régimen PSD bajo es nuevo a nuestro conocimiento, aunque la conectividad de chip Poissonian
es en todas partes inferior tanto a los códigos densos y regulares dispersos. La diferencia entre
los códigos desaparecen rápidamente con el aumento de la densidad (conexión) a α fijo (figura 3). Esto
está en línea con nuestra predicción de que el código regular es un conjunto de alto rendimiento en
Preceding sections.
La figura 3 indica el efecto del aumento de la densidad a α fijo en el caso de la
Código regular. A medida que aumenta la densidad las estadísticas de los códigos escasos enfoque que
del canal denso en todos los conjuntos probados. Para el funcionamiento irregular del conjunto
aumenta monótonamente con densidad en todos los PSD. La rápida convergencia a la densa
El rendimiento de los casos se observó en otros lugares para conjuntos parcialmente regulares, y conjuntos
basado en un insumo previo gaussiano [2, 7]. En todas las densidades para las que las soluciones únicas eran
encontró que la suposición de RS apareció validada en el parámetro de estabilidad y entropía.
La Figura 4 indica el efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento. Primero explicamos los resultados
para los códigos en los que sólo se encontró una solución única (no hay coexistencia de soluciones). Para pequeños
valores de la carga un aumento monotónico en la tasa de error de bits, y la capacidad se observan como α
se incrementa con la constante C, como se muestra en las figuras 4(a) y 4(b), respectivamente. Esto coincide.
la tendencia en el caso denso, el código denso se vuelve superior en el rendimiento a la escasa
códigos a medida que aumenta la PSD. Encontramos que para todos los conjuntos escasos existían regímenes con
α > 1,49 para los que sólo existía una solución estable única, aunque el equivalente denso
Se sabe que los sistemas tienen dos soluciones estables en algún rango de PSD [3]. En todos los solteros
se observó una entropía positiva y un parámetro de estabilidad negativo. Sin embargo,
en casos de grandes α muchas características se hicieron más pronunciadas cerca de la solución de caso denso
• Régimen de coexistencia: en particular, la cúspide en el parámetro de estabilidad, la distancia entre el IMF y el
y el gradiente en Pb.
4.1. Regímenes de Coexistencia de Solución
Como en el caso de la densa CDMA [3], también aquí observamos un régimen donde dos soluciones, de
muy diferente actuación, coexisten. Con el fin de investigar el régimen en el que dos soluciones
coexistimos investigamos los estados llegados desde el inicio aleatorio y ferromagnético
condiciones (dar soluciones malas y buenas, respectivamente). Convergencia heurística separada
criterios fueron encontrados para los histogramas, y estos parecían funcionar bien para el bien
solución. Para la mala solución simplemente presentamos resultados después de un número fijo de histograma
actualizaciones (500) ya que todos los criterios de convergencia probados parecían demasiado estrictos, para exigir
escalas temporales experimentalmente inaccesibles, o no capturaron los valores asintóticos para
cantidades importantes como la entropía. Creemos que 500 actualizaciones son lo suficientemente conservadoras
para captar las propiedades de estas soluciones, sin embargo.
La Figura 4(a) muestra la dependencia de la tasa de error de bits en la carga, que también es
equivalente a L/C. Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con la carga y el
la aparición y coexistencia de dos soluciones separadas por encima de un determinado punto; en el caso
de los 6 : 3 código el punto por encima del cual coexisten las dos soluciones es PSD = 10.23dB como
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 17
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Irreg.
P. Reg.
Dense0 1 2 3 4 5 6 7 8
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Irreg.
P. Reg.
Denso(b)
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Irreg.
P. Reg.
Denso
2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Irreg.
P. Reg.
Reg. Tipo 1
Reg. Tipo 2
Gráfico 2 Desempeño de la escasa configuración CDMA de grado variable y factorial
connectividades C : L = 3 : 3, respectivamente; todos los datos presentados sobre la base de 100 ejecuciones, error
las barras se omiten y son típicamente pequeñas en las subfiguras (a)-(c) la suavidad de las curvas
ser característico de este nivel (precisión numérica fue excelente sólo en
PSDs). (a) La tasa de error de bits está limitada por el componente desconectado en el caso de
códigos irregulares, de lo contrario las tendencias coinciden con el caso denso, más bajo limitado por el SUG. Inset
- el rango donde los casos poco regulares y densos se cruzan.b) Eficiencia de los usuarios múltiples
indica que los códigos de conectividad de usuario regulares superan el caso denso por debajo de algunos PSD.
c) La eficiencia espectral [——] muestra tendencias similares, siendo positiva la entropía.
La brecha entre la información mutua [· · · · · ·] y la eficiencia espectral (mostrada en el
inset) es en todas partes pequeño y especialmente en PSD pequeño y grande, lo que indica poco
pérdida de información en el proceso de decodificación. d) Los dos indicadores muestran los resultados medios
para las dos estimaciones de estabilidad diferentes en el algoritmo para el código regular. Hay
errores sistemáticos en la PSD pequeña, y la convergencia es buena sólo en la PSD intermedia.
Las líneas representan la media de estas cantidades para cada conjunto – todos los conjuntos muestran
una cúspide en algunos PSD, para 3 : 3 códigos los diversos conjuntos muestran tendencias muy similares,
indicando la estabilidad local en todas partes.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 18
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Denso
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Densidad de potencia espectral [dB]
Denso
Gráfico 3 El efecto de aumentar la densidad para el conjunto regular: (a) Multiusuario
eficiencia, b) eficiencia espectral [——] e información mutua [– – –]. Datos presentados sobre
la base de 10 carreras, las barras de error se omiten pero de un tamaño comparable con la suavidad
de las curvas. El rendimiento de códigos escasos se aproxima rápidamente al del código denso
En todas partes. El umbral PSD más allá del cual el denso código supera al escaso
El código es bastante estable.
indicado por la línea punteada vertical.
Utilizamos el código regular 6 : 3 para demostrar la coexistencia de la solución que se encuentra arriba
algunos PSD en varios códigos. El inicio de la distribución bimodal puede ser identificado por
la divergencia en el tiempo de convergencia en el régimen de solución única (el tiempo para
histogramas ferromagnéticos y aleatorios para converger a una distribución común). La hora
para que esto ocurra, en una estadística y precisión elegida heurísticamente, se representa en la figura 4(b).
Por una regresión lineal ingenua a lo largo de 3 décadas encontramos un exponente de la ley de poder de 0,59 y
un punto de transición de PSD = 10.23dB, pero no puede proporcionar una medida de la bondad de ajuste a
estos datos. Esto representaría el punto en el que coexisten al menos dos soluciones estables.
Más allá de PSD 12dB sólo una solución estable se encuentra de ambos al azar y
condiciones iniciales ferromagnéticas, correspondientes estadísticamente a la continuación del
solución. Una solución que se asemeja estadísticamente a una continuación de la mala solución es
a veces llegados de ambas condiciones iniciales, esta solución tuvo una estabilidad positiva
parámetro y entropía negativa – así que no es una solución viable. Así predecimos un segundo
transición dinámica en la región de 12dB, como podría adivinarse en comparación con el
caso denso y observación de la tendencia en el parámetro de estabilidad [véase la figura 4, letra c)].
Los resultados de estabilidad se presentan en la figura 4 c). Sólo se encontraron dos soluciones estables
en la región más allá de este punto crítico y hasta 12dB, que inferimos que es viable RS
soluciones (donde la entropía es positiva). La mala solución hasta 12dB tiene un bien resuelto
valor negativo. La buena solución tiene un valor negativo en su media, pero como otros cerca
soluciones ferromagnéticas investigados resultados son muy ruidosos debido a cuestiones numéricas relacionadas
a resolución de histogramas.
Tanto la capacidad como la eficiencia espectral aumentan monótonamente con la carga como se muestra en
Figura 4 d). Para el código 6 : 3 vemos una separación de las dos soluciones en PSD = 10.23dB
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 19
−4 −2 0 2 4 6 8 10 12
Densidad de potencia espectral [dB]
6:3 (Bad)
6:3 (Bien)
- División del Sector Privado
Media de datos
Ajuste lineal
Límites
−4 −2 0 2 4 6 8 10 12
Densidad de potencia espectral [dB]
6:3 (Bad)
6:3 (Bien)
−4 −2 0 2 4 6 8 10 12
Densidad de potencia espectral [dB]
6:3 (Bad)
6:3 (Bien)
8 10 12
Gráfico 4 El efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento para el conjunto regular. Datos
presentado sobre la base de 10 tiradas, las barras de error omiten pero se caracterizan por la suavidad
de curvas. Las líneas rotas indican los códigos analógicos densos. La línea punteada vertical
indica el punto más allá del cual 6 : 3 condiciones iniciales aleatorias y ferromagnéticas fallaron
para converger a la misma solución, ambas soluciones dinámicamente estables se muestran más allá de
Este punto. (a) Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con el aumento de la carga.
(b) La investigación del código 6 : 3 (α = 2) indica una divergencia en el tiempo de convergencia como
PSD → 10,23dB con exponente 0,59 basado en una regresión lineal simple de 15 puntos (cada uno
punto es la media de 10 carreras independientes). Más allá de este punto diferentes condiciones iniciales
dar lugar a una de dos soluciones. c) Se determinó que el parámetro de estabilidad era negativo
para todas las soluciones convergentes, indicando la idoneidad de la RS. Donde la solución está cerca
ferromagnético la medida de estabilidad se vuelve rápidamente muy ruidoso (como se muestra para el 5 : 3
y 6 : 3 códigos). d) A medida que aumenta la carga α hay un aumento monotónico de la capacidad.
La eficiencia espectral de la solución ’malo’ supera 2 en un pequeño intervalo (equivalente a
Entropía negativa), similar al comportamiento notificado para el caso denso.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 20
(línea vertical punteada.) Las líneas discontinuas corresponden a un comportamiento similar observado en el
caso denso (el rango de interés se magnifica en el conjunto.) Una cruz en la entropía de la
dos soluciones distintas, cerca de PSD 11dB, es indicativo de una transición de fase de segundo orden.
Como en el caso denso, sólo la solución de menor eficiencia espectral es termodinámicamente
relevante en un determinado PSD, aunque es probable que el otro sea importante en la decodificación de la dinámica.
Las tendencias en el caso escaso siguen el caso denso cualitativamente, con la buena solución
tener un rendimiento ligeramente peor que la solución correspondiente en el caso denso
(y viceversa para la mala solución).
La entropía de la mala solución se vuelve negativa en un pequeño intervalo (espectral
la eficiencia supera el 2), aunque no se observa inestabilidad local. La estática y dinámica
Las propiedades de los histogramas parecen estar bien resueltas en esta región. Sin embargo, el
Entropía negativa indica inestabilidad hacia un tipo de solución no capturada
dentro del supuesto RS, o hacia alguna configuración metaestable. No lo haremos.
especular aún más, la mala solución es en cualquier caso termodinámicamente subdominante en
su forma baja y negativa de entropía.
Nuestra hipótesis es, por lo tanto, que las tendencias en los conjuntos escasos coinciden con los de
los conjuntos densos dentro de la región de convivencia y RS siguen siendo válidos para cada
de dos soluciones distintas de entropía positiva. La región de convivencia para los códigos escasos es
Sin embargo más pequeño que en los correspondientes conjuntos densos. Desde la actualización de nuestro histograma
reflejar las propiedades de un algoritmo de propagación de creencias en un gráfico aleatorio que podemos sospechar
que la mala solución puede tener implicaciones para la realización de la propagación de creencias
la decodificación en la región de coexistencia, y que los problemas de convergencia aparecerán cerca de
región. En los códigos regulares del usuario se investigó la mala solución del conjunto escaso
supera la mala solución del conjunto denso, y viceversa para la buena solución.
Por lo tanto, independientemente de si el bajo rendimiento de decodificación es bueno o malo, el dinámico
punto de transición para el conjunto denso correspondería a un PSD más allá del cual denso
CDMA supera a CDMA en una carga en particular.
4.2. Eficiencia espectral Resultados numéricos más bajos
Finalmente presentamos la figura 5, que muestra la información mutua entre una sola
chip y bits transmitidos para conjuntos escasos de conectividad de chips diferentes en el infinito
PSD (límite cero de ruido) (15). Esto muestra que en la expectativa de un chip extraído de la
conjunto regular contiene más información sobre los bits transmitidos que un chip dibujado
de cualquier otro conjunto (incluido el conjunto Poissonian). La diferencia entre la
los conjuntos regulares y poissonianos se vuelven relativamente más pequeños a medida que L aumenta. Esto parece
consistente con los resultados del método de réplica encontrado en alta PSD, aunque chip regular
conectividad subrealizada en comparación con la conectividad de chip distribuida de Poisson
en el régimen de baja PSD, que no estaba previsto por la aproximación de un solo chip.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 21
0 5 10 15 20 25
Conectividad media del chip, L
Poissonian
Gráfico 5 Un PSD → • límite a la información mutua esperada entre un solo chip,
y los bits transmitidos. La información mutua es más alta para las conexiones regulares de chip,
con el resultado de conectividad de chip Poissonian también se muestra, la discrepancia se convierte en
relativamente pequeño a medida que L aumenta. El conjunto muestra la información mutua/bit decodificada
En el caso de las empresas de servicios de inversión, el importe de la ayuda se calcula sobre la base del importe total de la ayuda concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado, de conformidad con el artículo 107, apartado 1, del TFUE.
mostrar más detalles en los casos de pequeño L.
5. Observaciones finales
Nuestros resultados demuestran la viabilidad de códigos regulares escasos para su uso en CDMA. En
PSD moderado parece que el rendimiento de códigos regulares escasos puede ser muy bueno. Con
la suposición simétrica réplica aparentemente válida en PSD práctica es probable que rápido
algoritmos basados en la propagación de creencias pueden ser muy exitosos en el logro de la teoría
resultados. Por otra parte, para los códigos de menor densidad escasa el problema del régimen de coexistencia,
que limita el rendimiento de los métodos prácticos de decodificación, parece ser menos omnipresente
que para conjuntos densos en el régimen sobre saturado.
Una evaluación directa de las propiedades de la propagación de creencias puede demostrar resultados similares
a los que se muestran aquí. En ausencia de réplica de estados de rotura de la simetría es normalmente
verdad que la propagación de la creencia funciona muy bien. Sin embargo, para hacer el mejor uso del canal
los recursos pueden ser preferibles para aplicar regímenes de alta carga en los casos de alta PSD, y
superar los problemas algorítmicos que surgen de la convivencia de la solución es un reto
de importancia práctica en este caso.
Sin duda, otras cuestiones prácticas en la aplicación son importantes. Similar al caso
denso CDMA hay problemas considerables relacionados con el multipath, el desvanecimiento y el poder
control, de hecho se sabe que estos efectos son más perturbadores para los códigos escasos,
especialmente códigos regulares. Sin embargo, ciertas situaciones como la radiodifusión (una a muchas)
canales y enlace descendente CDMA, donde se puede suponer la sincronización, puede ser práctico
puntos para su futura aplicación. Hay ventajas prácticas del caso escaso sobre
códigos densos y ortogonales en algunos regímenes. Es probable que el escaso método CDMA sea
especialmente útil en el acceso múltiple a la división de código de frecuencia y tiempo de salto
Aplicaciones (FH y TH -CDMA) donde el efecto de estas limitaciones prácticas es menor
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 22
En este sentido, se ha hecho hincapié en la necesidad de mejorar la calidad de vida de los trabajadores.
Extensiones basadas en nuestro método a casos sin control de potencia o sincronización
han sido intentados y son bastante difíciles. Examen de los antecedentes de las aportaciones, en
particular los efectos cuando la CDMA escasa se combina con algún método de codificación puede
También ser interesante.
Agradecimientos
Soporte de EVERGROW, IP No. 1935 en el VIPM de la UE es agradecido.
DS quisiera agradecer a Ido Kanter por sus útiles discusiones.
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problema. Phys. Rev. E., 76(1):011101, 2007.
Antecedentes
El modelo
Conjuntos de código
Metodología
Eficiencia espectral Acoplamiento inferior
Esquema del método de réplica
Ecuaciones simétricas réplica
Dinámica de la población
Análisis de estabilidad
Resultados
Regímenes de Coexistencia de Solución
Eficiencia espectral Resultados numéricos más bajos
Observaciones finales
| Acceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar
método en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo una relativamente
el pequeño número de elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de
física estadística. El análisis proporciona resultados sobre el desempeño de
decodificación de máxima probabilidad para códigos de propagación escasos en el sistema grande
límite. Presentamos resultados para ambos casos de propagación regular e irregular
matrices para el aditivo binario blanco Gaussian canal de ruido (BIAWGN) con un
comparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.
| CDMA escasamente difundida - una mecánica estadística
Análisis basado
Jack Raymond y David Saad
Grupo de Investigación de Computación Neural, Universidad de Aston, Triángulo de Aston, Birmingham,
B4 7EJ
Correo electrónico: jack.raymond@physics.org
Resumen.
Acceso Múltiple a la División de Códigos Sparse (CDMA), una variación de la CDMA estándar
método en el que la matriz de propagación (firma) contiene sólo un número relativamente pequeño
de elementos distintos de cero, se presenta y analiza utilizando métodos de física estadística. Los
análisis proporciona resultados sobre el rendimiento de la decodificación de máxima probabilidad para la escasa
la difusión de códigos en el gran límite del sistema. Presentamos resultados para ambos casos de
y matrices de propagación irregular para el aditivo binario blanco canal de ruido gaussiano
(BIAWGN) con una comparación con el código canónico (denso) de propagación aleatoria.
Números PACS: 64.60.Cn, 75.10.Nr, 84.40.Ua, 89.70.+c
Números del esquema de clasificación AMS: 68P30,82B44,94A12,94A14
http://arxiv.org/abs/0704.0098v5
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 2
1. Antecedentes
El área de las comunicaciones multiusuario es de gran interés tanto teórico como
perspectivas de ingeniería [1]. El acceso múltiple de la división de código (CDMA) es un particular
método para permitir que múltiples usuarios accedan a los recursos de canal en un entorno eficiente y robusto
y desempeña un papel importante en las actuales normas preferidas para la asignación de
recursos de canales en comunicaciones inalámbricas. CDMA utiliza recursos de canal altamente
permitiendo a muchos usuarios transmitir en gran parte del ancho de banda simultáneamente,
cada transmisión está codificada con un código de firma específico del usuario. Desentrañando el
información en el canal es posible mediante el uso de las propiedades de estos códigos y gran parte de
la investigación de CDMA se centra en el desarrollo de códigos y métodos de decodificación eficientes.
En este trabajo se estudia una variante del método original, CDMA escasa, donde la
matriz de propagación contiene sólo un número relativamente pequeño de elementos distintos de cero como fue
originalmente estudiado y motivado en [2]. Mientras que la aplicación directa de la escasa
Las técnicas CDMA para enlazar la comunicación de acceso múltiple son bastante limitadas, como lo es
difícil de sincronizar las escasas transmisiones de los distintos usuarios, el método puede ser
muy útil para la frecuencia y el salto del tiempo. En la división de código de frecuencia de salto múltiple
acceso (FH-CDMA), uno cambia repetidamente frecuencias durante la transmisión de radio, a menudo
reducir al mínimo la eficacia de la interceptación o interferencia de las telecomunicaciones. En
cualquier paso dado del tiempo, cada usuario ocupa un pequeño (finito) número de la (infinito) M-ary
(con la ganancia G, el número total de chip-
los pares de frecuencia es MG.) Los lúpulos entre las frecuencias disponibles pueden ser aleatorios o
preplanificado y se produce después de la transmisión de datos en una banda de frecuencias estrechas. In
tiempo (TH-)CDMA, una secuencia pseudo-ruido define el momento de transmisión para
los diversos usuarios, que pueden ser vistos como CDMA escaso cuando se utiliza en una banda ultraancha
sistema de comunicación por impulso. En este caso las escasas secuencias de salto de tiempo reducen
colisiones entre transmisiones.
Este estudio sigue el trabajo seminal de Tanaka [3], y otras extensiones recientes [4],
en la utilización del análisis de réplicas para CDMA de distribución aleatoria con entradas discretas, que
estableció muchas de las propiedades de CDMA aleatorias densamente difundidas con respecto a
varios detectores diferentes incluyendo Máximo A Posterori (MAP), Postero Marginal
Maximizador (MPM) y mínimo promedio de error cuadrado (MMSE). CMDA escasamente difundida
se diferencia de la CDMA convencional, basada en secuencias de propagación densa, en que cualquier
usuario sólo transmite a un pequeño número de chips (en comparación con la transmisión en todos los chips
en el caso de la CDMA densa). La escasa naturaleza de este modelo facilita el uso de métodos
de la física estadística de los sistemas desordenados diluidos [5, 6] para el estudio de las propiedades de
casos típicos.
La viabilidad de la escasa CDMA para la transmisión de información fue recientemente
se demuestra [2] para el caso de los símbolos de entrada reales (distribuidos por Gaussian) mediante el empleo de un
Aproximación media efectiva de Gaussian; varios resultados han sido reportados para el caso de
patrones de transmisión aleatoria. En un estudio reciente separado, basado en la propagación de creencias
inferencia algoritmo y una entrada binaria de distribución previa, escasa CDMA también ha sido
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 3
considerada como una vía para demostrar los resultados de la CDMA densamente difundida [7]. Además, este
estudio demostró la existencia de un fenómeno de cascada comparable al código denso
para un subconjunto de conjuntos. El fenómeno de cascada se observa en técnicas de decodificación,
donde hay una transición dinámica entre dos soluciones estadísticamente distintas como la
El parámetro ruido es variado. Por último, tomamos nota de una serie de estudios pertinentes relativos a la
la eficacia de la propagación de creencias como método de decodificación del MPM [8, 9, 10, 11], y en
combinar métodos de codificación escasa (LDPC) con CDMA [12]. Muchos de estos documentos
Sin embargo, considerar el régimen de dilución extrema - en el que el número de contribuciones de chips
es grande pero no O(N).
La labor teórica relativa a la escasa difusión de la CDMA seguía careciendo de
respetos. Como se señaló en [2], la difusión de códigos con Poisson distribuido número de no-
elementos cero, por chip y entre los usuarios, están fallando sistemáticamente en que cada usuario
tiene alguna probabilidad de no contribuir a ningún chip (no transmitir información).
Incluso en el código “parcialmente regular” [7] conjunto (donde cada usuario transmite en el mismo
número de chips) algunos chips no tienen contribuyentes debido a la distribución de Poisson en
conectividad de chip, por lo tanto, el ancho de banda no se utiliza eficazmente. Eludimos.
Este problema se debe a la introducción de limitaciones para impedirlo, a saber, la firma regular
códigos restringidos de tal manera que tanto el número de usuarios por chip y chips por usuario toman
valores enteros fijos. Además presentamos análisis analíticos y numéricos sin
recurrir a aproximaciones gaussianas de cualquier cantidad. Uso de nuevas herramientas de estadística
mecánica somos capaces de arrojar mayor luz sobre la naturaleza de la transmisión binaria previa
proceso. En particular, la naturaleza del espacio de decodificación del estado y el rendimiento relativo de la escasa
ensambles versus densos a través de una gama de niveles de ruido; y lo que es más importante, la pregunta
de cómo la coexistencia de las soluciones encontradas por Tanaka [3] se extiende a los conjuntos escasos,
especialmente cerca de los puntos de transición determinados para el conjunto denso.
En este artículo demostramos la superioridad del código CDMA regular escasamente difundido
sobre códigos densamente extendidos en ciertos aspectos, por ejemplo, la tasa de error de bits prevista
la decodificación mejora en el régimen de ruido elevado y la coexistencia de la solución
El comportamiento es menos generalizado. Además, para utilizar la propagación de creencias para tal conjunto
es seguro que será significativamente más rápido y menos computacionalmente exigente [13], esto también ha
implicaciones de consumo de energía que pueden ser importantes en algunas aplicaciones. Otros
cuestiones prácticas de aplicación, siendo la más básica la no sincronización y el poder
control, requiere un estudio detallado y puede hacer que aprovechar plenamente estas ventajas más
complejo y dependiente de la aplicación.
El documento está organizado de la siguiente manera: En la sección 2 introduciremos el marco general
y notación utilizada, mientras que la metodología utilizada para los diversos códigos se presentará en
sección 3. Los principales resultados de los diversos códigos se presentarán en la sección 4 siguiente
por las observaciones finales que figuran en la sección 5.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 4
i b • j d
1o de enero de 2002
...........................................................................................................................................................
yb yc yd yN
Gráfico 1 Un gráfico bipartito es útil para realizar visualmente un problema. Un nodo de usuario i en
la parte inferior interactúa con otras variables a través de su conjunto de nodos de factor vecinos (
a la que se conecta. Los nodos de factor se determinan a través de un vecindario similar.
La interacción en cada factor (μ) está condicionada a factores de ganancia vecinos (la
componentes no cero de s), y yμ (que es una función implícita del ruido, y
bits de entrada vecinos bμ y factores de ganancia ), asumiendo un uniforme anterior en los bits.
El problema de reconstrucción de la mecánica estadística asocia variables dinámicas
nodos de usuario que interactúan a través de los factores. El estado de equilibrio termodinámico de
Este sistema describe el rendimiento teórico de los detectores óptimos.
2. El modelo
Consideramos un modelo estándar de CDMA consistente en usuarios K transmitiendo en un bit
intervalo de chips N. Asumimos un modelo con perfecto control de potencia y sincronización,
y considerar sólo el intervalo de un bit. En nuestro caso la señal recibida y es descrita por
[skbk] + فارسى, (1)
donde los componentes del vector describen los valores para chips distintos: sk es la propagación
código para el usuario k, bk = ±1 es el bit enviado por el usuario k (símbolos de entrada binarios) y el ruido
vector. La normalización adecuada de la potencia es a través de la definición de la firma
matriz (s). Es posible incluir una variación de amplitud específica del usuario o del chip, que puede
ser debido a la desaparición o el control imperfecto del poder. Consideramos un modelo sin estos efectos.
Los códigos de propagación son escasos de modo que en la expectativa sólo C de los elementos en vector sk
no son cero. Si, con el conocimiento de la matriz de firma en uso, asumimos que la señal tiene
ha sido objeto de ruido de canal gaussiano blanco aditivo de varianza
0 es la
varianza del verdadero ruido del canal 2, podemos escribir el posterior para los bits transmitidos
(desconocidos dada la instancia particular) usando el teorema de Bayes
P ( y) =
[sμk(bk − k)] +
P ( ), (2)
y a partir de esto definir tasa de error de bits, información mutua, y otras cantidades. Los
Mecánica estadística enfoque de aquí es definir un Hamiltoniano y la partición
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 5
función a partir de la cual las diversas estadísticas relativas a esta distribución de probabilidad pueden
determinar - y por lo tanto todas las medidas habituales de la teoría de la información. Una opción adecuada
para el Hamiltoniano es
H( ) =
[sμk(bk − k)] +
hklok. 3)
Aquí podemos identificar a las variables dinámicas en el problema de la inferencia (dependencia).
se muestra explícitamente). Las otras variables apagadas (parámetros), describiendo la instancia de
el trastorno, son la matriz de la firma (s), el ruido () y las entradas (b). Las variables
hk describir nuestras creencias previas sobre las entradas (el sesgo específico del usuario), y podemos asumir
alguna distribución simple para esto, como todos los usuarios que tienen el mismo sesgo hk = H. Máximo
transmisión de velocidad corresponde a bits no sesgados H = 0, y esto se considera a lo largo de
el periódico. Las propiedades de tal sistema pueden reflejarse en un gráfico de factor (Tanner),
un gráfico bipartito en el que los usuarios y los chips están representados por nodos (véase la figura 1).
El cálculo que realizamos es específico para el caso del límite termodinámico en
que se fija el número de chips N → • mientras que la carga α = K/N. Tenga en cuenta que α es
llamado β en muchos documentos CDMA, aquí reservamos β para significar la "temperatura inversa"
en un sentido de mecánica estadística (que define nuestra creencia previa para el nivel de ruido y dar
subir al correspondiente detector MAP.)
En todos los conjuntos podemos identificar el parámetro L como el número medio de contribuciones
a cada chip, y C como el número medio de contribuciones por usuario. Como tal, lo siguiente:
también mantiene
. 4)
El caso en el que α es mayor que 1 se llamará sobresaturado, ya que más de uno
bit se transmite por chip.
Los cálculos presentados a partir de ahora son específicos para el caso del ruido sin memoria,
extraídos de una distribución única de la media cero y la media cuadrada 20
* () = P ( ). 5)
Definir códigos normalizados de propagación de forma que:
sk.sk = N, podemos identificar el “poder
Densidad espectral” (PSD) a lo largo de un intervalo de virutas como medida del ruido del sistema 1/(2
el factor dos está relacionado con consideraciones físicas en la implementación del modelo.
2.1. Conjuntos de código
Consideramos varios conjuntos de código que llamamos irregulares, en parte regulares y regulares, que
difieren en las limitaciones impuestas al factor y al grado variable de las restricciones de la firma
matriz s. La distribución de probabilidad
P (s) = N
(sμk 6= 0)− L
P (L)
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 6
(sμk 6= 0)− C
P (C)
P (sμk), (6)
donde N es una constante de normalización, P (L) es la distribución de probabilidad de grado factorial de
promedio L, P (C) es la distribución de probabilidad de grado variable de la media C, y P (sμk) es la
distribución de probabilidad marginal que es común a todos los conjuntos
P (sμk) =
(sμk) +
*(sμk − •). 7)..................................................................................................................................................
La forma de (6) es entonces suficiente para las distribuciones escasas que consideramos en el sistema grande
limitar, y hace explícitas las propiedades de conectividad del chip y del usuario de los conjuntos. Los
factor de ganancia, se extrae al azar de una sola distribución con la medida cero en = 0,
y momentos finitos, en cualquier caso de un código
(+) = P (sμk = sμk 6= 0). (8)
A diferencia del caso denso, los detalles de esta distribución producirán resultados, pero sólo en un pequeño
forma de tomar decisiones razonables [2]. Aquí investigamos el caso de la tecla de cambio de fase binaria
(BPSK) que corresponde a una distribución uniforme en
}, aunque el análisis
los resultados presentados son aplicables a cualquier distribución del cuadrado medio = 1/L. Tenga en cuenta que
trastorno en los factores de ganancia no es una necesidad, el caso • = 1/
L también permite la decodificación en
Conjuntos escasos.
El caso en el que P (Lu) y P (Cu) se distribuyen Poissonian identifica la irregularidad
conjunto - donde las conexiones entre chips y usuarios se distribuyen de forma independiente.
La segunda distribución llamada en parte regular tiene P (C
conectividad es de nuevo Poisson distribuido con media L, pero cada usuario contribuye a exactamente
Patatas C. Esto evita el fracaso sistemático inherente al conjunto irregular ya que
allí un gran número de usuarios no transmiten en ningún chip. Si además de
la restricción antes mencionada todos los chips reciben exactamente L contribuciones, P (L
el conjunto se llama regular. La conectividad regular del chip entre otras cosas impide
la ineficiencia sistemática debido a la falta de acceso de algunos chips por parte de cualquiera de los usuarios.
El caso de las distribuciones poissonianas es aquel en el que no hay control global. In
muchas aplicaciones de ingeniería que limitan a los usuarios individualmente (no Poissonian P (C
práctica, mientras que la coordinación entre los usuarios (no Poissonian P (Lū)) es difícil. Los
los aspectos prácticos de la aplicación de los diferentes conjuntos que consideramos específicos de la aplicación:
las ventajas inherentes a la distribución más equitativa de los recursos de los canales entre los usuarios pueden
se pierdan a causa de problemas prácticos de implentación.
3. Metodología
3.1. Eficiencia espectral Acoplamiento inferior
La inferioridad de los códigos con conectividad de usuario Poissonian se ha señalado previamente
(por ejemplo, en [2]), sobre la base del entendimiento de que los códigos que dejan a una parte de los usuarios
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 7
desconectado no puede ser óptimo. Analógicamente argumentamos que los códigos con chip irregular
conectividad también debe ser inferior en que dejan una fracción de los chips (ancho de banda)
no se utiliza, lo que constituye una motivación para considerar códigos plenamente regulares.
En esta sección mostramos un caso particular en el que se esperan los códigos regulares
para superar cualquier otro conjunto mediante el análisis de la cantidad de información que puede ser
extraído en los bits enviados por consideración de sólo un chip en aislamiento de los otros chips.
Esto corresponde a un detector que reconstruye bits basados sólo en el valor de un solo chip,
y es independiente de la conectividad del usuario.
La eficiencia espectral se define como la información mutua entre el
señal y piezas reconstruidas por chip. Al considerar sólo un chip (μ) tenemos
I( ; yμ) =
P ( yμ)
P ( )
P0(,yμ)
, (9)
donde el subíndice cero indica que el verdadero (generativo), en lugar del modelo (2),
distribución de probabilidad. Para la brevedad consideramos el caso más simple que el generativo
y las distribuciones de probabilidad del modelo son las mismas con bits imparciales y un ruido gaussiano
distribución, en cuyo caso, después de algún reordenamiento
I( ; yμ) = L
exp(−Hμ( μ))
μ exp(−Hμ( μ))
P0( μ,yμ)
, (10)
donde los bits conectados a los chips μ y el chip Hamiltonian es
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
, (11)
etiquetado de cada componente interactuante (no cero) en el chip por i, siendo L贸 el chip
conectividad.
Trabajando a partir de esta descripción queremos comparar el rendimiento de los conjuntos
con diferentes conexiones de chip. Para hacer esto consideramos el conjunto medio mutuo
información promediando la información mutua sobre las connectividades (L), los factores de carga,
y los bits transmitidos. Este promedio es complicado, sin embargo es posible calcular el
los términos dominantes en los límites bajos y altos de la PSD.
En el caso de bajo ruido (PSD → فارسى) encontramos los términos asintóticamente dominantes
vienen primero del numerador
•log2 exp−H(• μ) •
/ log(2) =
2 log(2)
, (12)
que es un promedio sobre la energía del estado del suelo, y también el logaritmo del denominador
que es
exp−H( μ)
(bi) (bi) (i)
, (13)
donde yμ se ha descompuesto en sus partes de bit ({bi}) y ruido (), y los promedios son:
ahora sobre los conjuntos, así como yμ. La primera parte de (13) aporta una contribución energética
cancelación (12). Llamamos a la parte restante el promedio sobre la entropía del chip, por
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 8
comparación con (10) esto determina la cantidad de información perdida en la decodificación. Los
término de la entropía del chip contiene una función indicadora contando los estados del suelo - el promedio
la entropía de los chips es cero cuando la única solución es μ = bμ. Sin embargo, para el caso de BPSK
puede haber alguna degeneración en los estados de base con dos términos en la suma que no es cero
pero cancelándose el uno al otro. Esta degeneración depende de la distribución P (L
para L dado. Average sobre los factores de carga y los bits transmitidos encontramos que en el cero
límite de ruido
I(, yμ)
(bi) (bi) (i)
P (L)
, (14)
min(p,Lp)
L p
P (L)
. (15)
Por evaluación numérica de esta función (ver resultados sección 4.2) encontramos que el óptimo
conjunto es de hecho el conjunto regular. Esto se debe a la entropía de chip, cuando se promedia sobre
factores de carga y bits es una función cóncava en L
cuando P (L
. Esta dependencia de Lū puede ser una peculiaridad del detector considerado,
pero muchos otros aspectos del cálculo pueden generalizarse para dar un resultado similar.
Es posible considerar el límite opuesto Encontramos que
los cuatro órdenes principales en 1/0 eran idénticos para todos los conjuntos de código del mismo chip medio
conectividad. Anticiparíamos el comportamiento de la PSD no extrema para caer en alguna parte
entre estos dos regímenes y, por lo tanto, para que el conjunto regular chip sea al menos tan bueno como
los conjuntos irregulares de chip.
Observamos aquí que otra razón para considerar el código regular óptimo entre
pocos códigos aleatorios es considerar el término de campo cuando el Hamiltoniano (11) está escrito
en forma canónica con un conjunto de acoplamientos ({Jójij) y campos externos específicos del usuario ({hi}).
En esta representación el conjunto de campos externos están en la expectativa alineados con el enviado
secuencia de bits, pero sujeto a fluctuaciones para cada instancia de código. La diferencia de estos factores
puede demostrarse que las fluctuaciones son proporcionales al exceso de conectividad del chip sobre el
conectividad verdadera del chip [14], que entre todos los conjuntos es minimizada por el chip regular
Ensamblaje. La interferencia multiusuario es mayor en códigos irregulares y, por lo tanto, en información
la recuperación es más débil como se predice en esta sección.†
3.2. Esquema del método de réplica
Determinamos las propiedades estáticas de nuestro modelo definidas en la sección 2, incluyendo correlaciones
Debido a la estructura de interacción completa, utilizamos el método de réplica. De la expresión de
el Hamiltoniano (3) podemos identificar una función de energía libre y partición como:
f = − 1
lnZ Z = exp (H( ).
† Este argumento se añade desde la versión publicada.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 9
Para progresar hacemos uso de las propiedades de auto-aprovechamiento previstas del sistema.
La suposición es que en el sistema grande limitar cualquier dos instancias seleccionadas al azar
tendrá, con alta probabilidad, propiedades estadísticas indistinguibles. Esta suposición
tiene una base firme en varios problemas relacionados [15], y además es intuitivo después de
Un poco de reflexión. Si esta suposición es verdadera, entonces los estatistas de cualquier instancia en particular pueden
ser descrito completamente por la energía libre promediada en todos los casos del trastorno. Nosotros
por lo tanto, están interesados en la cantidad
F = F = − lim
lnZI, (16)
donde los corchetes en ángulo representan las medias ponderadas sobre I (las instancias). Los
la densidad de entropía puede calcularse a partir de la densidad de energía libre mediante el uso de la relación
s = β(e− f), (17)
donde e es la densidad de energía.
Para determinar la energía libre debemos promedio sobre el desorden en (16), que es un difícil
problema, excepto en casos especiales. Esta es la razón por la que hacemos uso de la identidad de réplica
lnZI = lim
"Zn'I". (18)
Podemos modelar el sistema ahora como uno de réplicas que interactúan, donde Zn está descompuesto como un
producto de un número entero de funciones de partición con condicionalmente independiente (dado
la instancia del trastorno) variables dinámicas. La discreción de las réplicas es esencial
en la primera parte del cálculo, pero se requiere una continuación de los números reales
en la toma de n → 0+ – esta es una suposición notoria, que las matemáticas rigurosas no pueden
Sin embargo, justificar el caso general, a pesar de los progresos realizados en los últimos años [16, 17, 18].
Sin embargo, asumiremos la validez y ya que la metodología para las estructuras escasas es
bien establecidos [19, 20, 15] omitimos nuestros detalles particulares. La forma funcional final para
la energía libre se determina de
# Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # Zn # # # # Zn # # # # Zn # # # Zn # # # # # Zn # # # # # # Z n # # # # # Zn # # # # Zn # # # # Z n # # # # # Z n # # # # # # # # Z n # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
dP (b)dP(b)
exp{lnN +N(G1(n) +G2(n) +G3(n))} ; (19a)
G1(n) = ln
2α/2
P (b)
(b− )
P (L)
; (19b)
G2(n) =
P (b)(b)(f)(f)(c)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(f)(c)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)(f)(f)()(f)(f)(f)(f)()(f)()(f)()(f)(c)()()()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()()()())()))))()()()()()()()()())()()()()()()()()()())()()()())()()()()))()()())))()()()()()))()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
G3(n) = α ln
(−L)C
(b, )
P (C)
P0(b)
; (19d)
donde N es una constante debido a la normalización de los conjuntos (6). Esta expresión puede ser
evaluado en el punto de silla de montar para dar una expresión para la energía libre. En el término (19d)
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 10
se contabilizan los casos en que la distribución de probabilidad marginalizada P0(b) y
La distribución de probabilidad marginal supuesta (descrita por H) es asimétrica. En el caso
de la tasa máxima que vamos a considerar, el promedio b es trivial y H = 0. Suministrado
que además la distribución del factor de ganancia es simétrica entonces es posible eliminar
la dependencia b en los parámetros de orden, ya que la simetría P (b,) = P (−b,) y
La energía libre deja invariante a la energía libre.
3.3. Ecuaciones simétricas réplica
La forma concisa para nuestras ecuaciones se logra usando la suposición de réplica de simetría
(RS). Esto equivale a la suposición de que las correlaciones entre réplicas son todas
idéntico, y determinado por una distribución compartida única. La validez de esta suposición
puede ser autoensayado consistentemente (sección 3.5). Esta hipótesis difiere de la utilizada
por Yoshida y Tanaka [2] donde las correlaciones son descritas por sólo un puñado de
parámetros en lugar de una distribución una vez que se asume RS - este enfoque puede, por lo tanto
falta algo de la estructura detallada, aunque es más fácil de manejar numéricamente. La orden
parámetro en nuestro caso es dado por
P (b, ) =
dη(x)
(1 + bx)
; (20a)
(b, ) = qâ °
d(x)
(1 + bx) ; (20b)
donde q es una constante de normalización variacional y γ, son distribuciones normalizadas en
el intervalo [−1, 1]. A partir de aquí podemos considerar el caso en el que las variables de bits
Los factores de ganancia y ganancia se miden a b ( > b → • • • • • b → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Utilizando el método de Laplace, esto da la siguiente expresión para la (RS) energía libre
en el punto de silla de montar
FRS = −
Extrη,bη
G1,RS(L)(n) + G2,RS(n) + G3,RS(C)(n)
donde
G1,RS(n)
= − Ln 2
[dl(xl)]
ln Trl=±1L
* (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) () (l) () (l) () (l) () () (l) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()
P (L)
; (22a)
χL(*;,, {x}) = exp
(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)
(1 + Łlxl) ; (22b)
G2,RS(n) = − L
dη(xc)d(xÃ3c) ln(1 + xxÃ3c) ; (22c)
G3,RS(n) = α
[d(xÃ3c)] ln
(1 + x+c) +
(1 a x + c)
P (C)
. (22d)
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 11
y se ha introducido el valor del punto de sillín para (= L). Los promedios son superiores a los de L° y C°
encapsular las diferencias entre los conjuntos.
Ecuación (22b) describe la interacción en un solo chip en el gráfico de factores (figura 1)
de conectividad L. Los factores de ganancia y reconstruidos son el parámetro â € € TM y la variable â € € TM
bits respectivamente, ambos medidos en el bit transmitido, mientras que • es la instancia del chip
ruido.
Las distribuciones variacionales del orden, son elegidas para extremizar (21). El yo
Las ecuaciones consistentes alcanzadas por el método del punto de sillín son:
(x) =
[dl(xl)]
Trl=±1}
Trl=±1} L
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
P (L)
(23a)
{L} = exp = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)-)(-)-)(-)
(1 + Łlxl) (23b)
η(x) =
[d(xc)]
c=1(1 + x+c)−
c=1(1− x+c)
c=1(1 + x+c) +
c=1(1− x+c)
P (C)
. (23 c)
Las variables P (Lū) y P (Cū) son aquí las distribuciones excesivas de los grados de la
conjunto (6). Para conjuntos con restricciones regulares el chip y los excesos del usuario son L − 1
y C − 1 respectivamente. Para las distribuciones de Poissonian la distribución de exceso de grado es la
distribución completa de los títulos.
Aparte de la entropía, las demás cantidades de interés podrán determinarse a partir del
distribución de probabilidad para el solapamiento de variables reconstruidas y enviadas mk = k,
P (m) = lim
*Mk,m*
, (24)
[d(xc)]
c=1(1 + x+c)−
c=1(1− x+c)
c=1(1 + x+c)+
c=1(1− x+c)
P (C)
. (25)
Finalmente observamos que expresiones equivalentes a estas encontradas con la suposición de RS
puede obtenerse utilizando el método de cavidad [6] con la asunción de un único estado puro.
Este enfoque es probabilístico y por lo tanto más intuitivo en algunos niveles.
3.4. Dinámica de la población
El análisis de estas ecuaciones está limitado principalmente por la naturaleza de las ecuaciones (23a-
23c). No hay soluciones exactas aparentes, y los regímenes perturbadores sobre el ferromagnético
solución (que es sólo una solución para el ruido cero) son difíciles de manejar. En consecuencia
Utilizamos dinámica de población [21] – representando las distribuciones (x), (x)} por finito
poblaciones (histogramas) e iterar esta distribución hasta la convergencia. Se espera,
y observó, que cada histograma captura suficiente detalle para describir el continuo
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 12
función y la dinámica (descrita a continuación) permiten la convergencia hacia una verdadera solución
distribución con sólo pequeñas correcciones debido a los efectos de tamaño finito.
Resolver las ecuaciones (23a,23c) con histogramas finitos de dinámica poblacional
se utilizan magnetizaciones de cavidades no dirigidas M. Histogramas aproximándose
cada función se forma
η(x) → W = {x1,. .., xi,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
η(xá) → = {xá1,. ................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
con M lo suficientemente grande como para proporcionar una buena resolución en las medidas de rendimiento deseadas.
La dinámica de minimización discreta de los histogramas se deriva de (23a-23c).
Las actualizaciones del histograma se realizan alternativamente, con toda la magnetización en el histograma
que se actualicen secuencialmente. En la actualización del campo xa los parámetros apagados {L.,..................................................................................................................
se muestrean, siendo Ls el grado de exceso de chip, y las magnetizaciones de Ls se eligen al azar
desde W, definiendo hasta (23a) la actualización
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Trl = ± 1 {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L} {L}
Trl=±1} L
. (28)
La actualización del otro histograma sigue la dinámica en la que se muestra C
el exceso de grado del usuario, junto con las magnetizaciones seleccionadas al azar de C
a través de (23c) la actualización
c=1(1 + x+c)−
c=1(1− x+c)
c=1(1 + x+c) +
c=1(1− x+c)
. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Existe una fuerte analogía entre el algoritmo de dinámica poblacional y el de
mensaje pasando en una instancia particular del gráfico. La iteración de los histogramas
implícito en (28-29) es análogo a la propagación de una población de magnetizaciones de cavidades
entre los nodos del factor (a) y del usuario (i), que pueden escribirse como ecuaciones autosistentes:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Trl=±1i exp
lari
(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)
lari
(1 + Łlxl→a) ; (30a)
xi→a =
Cira
(1 + x+c→i)−
Cira
(1 - x-c→i)
; (30b)
donde Nx,x® son las normalizaciones relevantes, y la abreviatura ♥y indica el conjunto
de nodos conectados a y. En la dinámica de la población, la noción de un gráfico en particular
con bordes etiquetados está ausente sin embargo, y la única distribución de los dos tipos
de magnetizaciones son relevantes.
3.5. Análisis de estabilidad
Para probar la estabilidad de las soluciones obtenidas consideramos tanto la aparición de
Entropía no negativa, y un parámetro de estabilidad definido a través de una consideración de la
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 13
fluctuación disipación teorema. El primer criterio para que la entropía no sea negativa es
, basado en el hecho de que las soluciones físicamente viables en sistemas discretos deben tener no-
Entropía negativa para que cualquier solución encontrada que no cumpla estos criterios se base en
malas premisas; réplica de simetría es una fuente probable.
El parámetro de estabilidad se define en relación con el método de la cavidad para el giro
gafas [22] y prueba la estabilidad local de las soluciones. Es equivalente a la prueba de la local
estabilidad de las ecuaciones de propagación de creencias como se propone en [23]. Una condición necesaria para
la estabilidad de la solución de RS es que la sensibilidad correspondiente no diverge.
Esta condición asegura que los campos no estén fuertemente correlacionados. La susceptibilidad del vidrio giratorio
cuando se puede definir un promedio sobre las instancias
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
, (31)
donde d es la distancia entre dos nodos en el gráfico factorial, el promedio interno denota
la función de correlación conectada entre estos nodos, Xd describe el número típico
de variables a distancia d, y el promedio externo es sobre las instancias del trastorno (auto-
promedio de la parte). Esta cantidad no es divergente a condición de que:
* = ln. = ln................................................................................................................................
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
es negativo, ya que esto indica una disminución exponencial asympopticamente en los términos de (31)
y, por lo tanto, la convergencia de la suma. En el límite termodinámico la correlación conectada
función está dominada por un único camino directo que puede ser descompuesto como una cadena de local
susceptibilidades lineales
# No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
i, j)
♥xi→a
* x • b → i
* x • b → i
xj→b
, (33)
donde (i,j) indica el conjunto de variables en la ruta más corta entre los nodos 0 y d en una
ejemplo particular del gráfico (30a).
Esta representación nos permite construir una estimación para basada numéricamente
sobre principios similares a la dinámica de la población [24] – la dirección y la estructura fija
implícita en un problema particular se elimina con la suposición de auto-ahorrar dejando un
descripción funcional similar a (23a-23c), que puede ser iterada. Para aproximar
el parámetro de estabilidad se introduce números positivos adicionales en la población
histogramas dinámicos (27b,27a), xi → {xi, vi} y xáa → {xáa, váa} respectivamente. Estos nuevos
los valores representan los tamaños relativos de las perturbaciones en cada magnetización, y se actualizan
en paralelo a (28,29) como
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ; = = = = = = = = = = = = = = = =
, (34)
y con asignaciones similares para la actualización de campo de W
. (35)
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 14
Los derivados parciales se calculan a partir de (28-29) y se evalúan en el
valores en la población muestreada. Si el punto fijo final es estable contra pequeño
las perturbaciones en el campo inicial entonces estos valores {v, v deben decaer exponencialmente en
promedio. Renormalización de {vi} y {va} de tal manera que la media es 1 después de cada actualización es
necesario. La constante de renormalización numérica para cada rendimiento de población (dependiente)
las estimaciones de , que se pueden muestrear en un tiempo de convergencia adecuado (final de la {W,
proceso de minimización).
Al igual que la dinámica de la población, esperamos que el comportamiento sea sensible a la inicialización
condiciones y efectos de tamaño finito en algunas circunstancias. Además, la estimación requiere
buena resolución en los histogramas W y .
4. Resultados
Los resultados se presentan aquí para el caso canónico del teclado de cambio de fase binario (BPSK)
donde {1,−1} {1,} con la misma probabilidad. Además, asumimos un modelo del GTEN para
el verdadero ruido فارسى (de varianza 20). Para fines de evaluación asumimos el ruido del canal
nivel se conoce con precisión, de modo que β = 1, empleando la temperatura de Nishimori [5]. Esto
garantiza que la solución RS es termodinámicamente dominante. Además, la energía
toma un valor constante a la temperatura de Nishimori y por lo tanto la entropía es afín a
la energía libre. Donde de interés trazamos las estadísticas comparables para el Usuario Único
Canal gaussiano (SUG), y el conjunto densamente extendido, cada uno con detectores MPM –
equivalente a la máxima probabilidad para los bits individuales.
Para la dinámica de la población se inicializan dos poblaciones paralelas (27a,27b)
uniformemente al azar, o en estado ferromagnético. Estas dos poblaciones son conocidas
para converger hacia la solución única, donde existe, desde direcciones opuestas, y
por lo que podemos utilizar su convergencia como un criterio para detener el algoritmo y pruebas para el
aparición de múltiples soluciones. En el caso de que converjan en diferentes soluciones
Generalmente podemos identificar la solución convergente desde el estado inicial ferromagnético como
una buena solución - en el sentido de que reconstruye bien, y que llegó de azar
estado inicial como una mala solución. En el algoritmo de propagación de creencias equivalente uno no puede
elegir condiciones iniciales equivalentes a ferromagnética – sabiendo la solución exacta
Por supuesto, hace que la decodificación sea redundante. Por lo tanto, esperamos las propiedades de los malos
solución para ser los realizables por la propagación de la creencia (aunque los algoritmos inteligentes pueden ser
capaz de escapar a la buena solución en algunas circunstancias). Las variables de estabilidad
{v, v fueron inicializados independientemente cada uno como el cuadrado de un valor extraído de un gaussian
distribución – y las pruebas indicaron que otras distribuciones razonables produjeron resultados similares.
Los recursos informáticos limitan los casos estudiados en detalle a una División del Sector Privado intermedia
régimen, y pequeño L. En particular, el problema en PSD bajo, es el ruido gaussiano
promedio, que es poco estimado, mientras que en alta PSD la mayoría del histograma es
concentrados en magnetizaciones x, x+ 1 que no permitan una resolución suficiente en el resto de
el histograma.
Varias medidas diferentes se calculan a partir del parámetro orden convergente,
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 15
que indique el rendimiento de la CDMA escasamente difundida. Usando los histogramas convergentes
para los campos somos capaces de determinar las siguientes cantidades: energía libre, energía y
histograma para la distribución de probabilidad, a partir de discreciones de los previamente presentados
ecuaciones (23a-23c). Usando la distribución de probabilidad también somos capaces de aproximar
la tasa de error de bit de decodificación
dP (m)
1− signo(m)
; (36)
Eficiencia de los usuarios múltiples
MuE =
erfc−1(Pb)
; (37)
e información mutua entre los bits enviados y reconstruidos por chip, I(b; )/N (tomando
una forma factorizada dada la hipótesis de RS)
IM = α
dP (m)
1 + m
1 + m
. 38)
La eficiencia espectral es la capacidad I( ;y) por chip, que es afín a la entropía (y
la energía libre a la temperatura de Nishimori)
............................................................................... (39)
Se puede identificar la entropía negativa cuando la eficiencia espectral medida supera la carga,
y los puntos de transición termodinámica corresponden a puntos de eficiencia espectral coincidente.
Figura 2‡ muestra algunas propiedades generales del conjunto regular en el que el
Las conexiones de grado variable y factor son C : L = 3 : 3, respectivamente. Ecuaciones (23a-
23c) fueron iterados utilizando la dinámica de la población y se calcularon las propiedades relevantes
utilizando las soluciones obtenidas; los datos presentados se promedian en más de 100 ejecuciones y barras de error,
que son típicamente pequeños, se omiten para la brevedad. La figura 2 a) muestra la tasa de error de bits
en los códigos regular y Poissonian, el conjunto se centra en la gama donde la escasa-regular
y casos densos cruzados. Los escasos códigos muestran tendencias similares al caso denso
salvo el código irregular, que presenta un rendimiento más débil en general y, en particular, en
PSD alto. Las tendencias detalladas pueden verse en la figura 2(b) que muestra la eficiencia multiusuario.
Códigos con conectividad de usuario regular muestran un rendimiento superior con respecto a la densa
caso en PSD bajo. En el gráfico 2 c) se observan tendencias similares en la eficiencia espectral y en la
información (mostrada en el conjunto); el efecto del componente desconectado (usuario) es claro
en el hecho de que el código irregular no alcanza la capacidad a niveles de ruido elevados. En general
parece que la distribución de la conectividad del chip no es crítica para cambiar las tendencias presentes,
a diferencia de la distribución de conectividad del usuario. Se encontró en estos casos (y todos los casos con
soluciones únicas para el PSD dado), que el algoritmo convergía a la entropía no negativa
valores y a una medida de estabilidad fluctuando alrededor de un valor inferior a 0, como se muestra en
Figura 2 d). Estos puntos indicarían la idoneidad de la hipótesis de la RS.
‡ Esta cifra ha sido modificada de la versión publicada, la diferencia es que el chip Poissonian
Los códigos de conectividad tienen en todas partes un rendimiento más débil que el conjunto de código regular denso y escaso.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 16
El rendimiento de códigos densos por conjuntos escasos con conectividad de usuario regular
en el régimen PSD bajo es nuevo a nuestro conocimiento, aunque la conectividad de chip Poissonian
es en todas partes inferior tanto a los códigos densos y regulares dispersos. La diferencia entre
los códigos desaparecen rápidamente con el aumento de la densidad (conexión) a α fijo (figura 3). Esto
está en línea con nuestra predicción de que el código regular es un conjunto de alto rendimiento en
Preceding sections.
La figura 3 indica el efecto del aumento de la densidad a α fijo en el caso de la
Código regular. A medida que aumenta la densidad las estadísticas de los códigos escasos enfoque que
del canal denso en todos los conjuntos probados. Para el funcionamiento irregular del conjunto
aumenta monótonamente con densidad en todos los PSD. La rápida convergencia a la densa
El rendimiento de los casos se observó en otros lugares para conjuntos parcialmente regulares, y conjuntos
basado en un insumo previo gaussiano [2, 7]. En todas las densidades para las que las soluciones únicas eran
encontró que la suposición de RS apareció validada en el parámetro de estabilidad y entropía.
La Figura 4 indica el efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento. Primero explicamos los resultados
para los códigos en los que sólo se encontró una solución única (no hay coexistencia de soluciones). Para pequeños
valores de la carga un aumento monotónico en la tasa de error de bits, y la capacidad se observan como α
se incrementa con la constante C, como se muestra en las figuras 4(a) y 4(b), respectivamente. Esto coincide.
la tendencia en el caso denso, el código denso se vuelve superior en el rendimiento a la escasa
códigos a medida que aumenta la PSD. Encontramos que para todos los conjuntos escasos existían regímenes con
α > 1,49 para los que sólo existía una solución estable única, aunque el equivalente denso
Se sabe que los sistemas tienen dos soluciones estables en algún rango de PSD [3]. En todos los solteros
se observó una entropía positiva y un parámetro de estabilidad negativo. Sin embargo,
en casos de grandes α muchas características se hicieron más pronunciadas cerca de la solución de caso denso
• Régimen de coexistencia: en particular, la cúspide en el parámetro de estabilidad, la distancia entre el IMF y el
y el gradiente en Pb.
4.1. Regímenes de Coexistencia de Solución
Como en el caso de la densa CDMA [3], también aquí observamos un régimen donde dos soluciones, de
muy diferente actuación, coexisten. Con el fin de investigar el régimen en el que dos soluciones
coexistimos investigamos los estados llegados desde el inicio aleatorio y ferromagnético
condiciones (dar soluciones malas y buenas, respectivamente). Convergencia heurística separada
criterios fueron encontrados para los histogramas, y estos parecían funcionar bien para el bien
solución. Para la mala solución simplemente presentamos resultados después de un número fijo de histograma
actualizaciones (500) ya que todos los criterios de convergencia probados parecían demasiado estrictos, para exigir
escalas temporales experimentalmente inaccesibles, o no capturaron los valores asintóticos para
cantidades importantes como la entropía. Creemos que 500 actualizaciones son lo suficientemente conservadoras
para captar las propiedades de estas soluciones, sin embargo.
La Figura 4(a) muestra la dependencia de la tasa de error de bits en la carga, que también es
equivalente a L/C. Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con la carga y el
la aparición y coexistencia de dos soluciones separadas por encima de un determinado punto; en el caso
de los 6 : 3 código el punto por encima del cual coexisten las dos soluciones es PSD = 10.23dB como
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 17
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Irreg.
P. Reg.
Dense0 1 2 3 4 5 6 7 8
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Irreg.
P. Reg.
Denso(b)
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Irreg.
P. Reg.
Denso
2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Irreg.
P. Reg.
Reg. Tipo 1
Reg. Tipo 2
Gráfico 2 Desempeño de la escasa configuración CDMA de grado variable y factorial
connectividades C : L = 3 : 3, respectivamente; todos los datos presentados sobre la base de 100 ejecuciones, error
las barras se omiten y son típicamente pequeñas en las subfiguras (a)-(c) la suavidad de las curvas
ser característico de este nivel (precisión numérica fue excelente sólo en
PSDs). (a) La tasa de error de bits está limitada por el componente desconectado en el caso de
códigos irregulares, de lo contrario las tendencias coinciden con el caso denso, más bajo limitado por el SUG. Inset
- el rango donde los casos poco regulares y densos se cruzan.b) Eficiencia de los usuarios múltiples
indica que los códigos de conectividad de usuario regulares superan el caso denso por debajo de algunos PSD.
c) La eficiencia espectral [——] muestra tendencias similares, siendo positiva la entropía.
La brecha entre la información mutua [· · · · · ·] y la eficiencia espectral (mostrada en el
inset) es en todas partes pequeño y especialmente en PSD pequeño y grande, lo que indica poco
pérdida de información en el proceso de decodificación. d) Los dos indicadores muestran los resultados medios
para las dos estimaciones de estabilidad diferentes en el algoritmo para el código regular. Hay
errores sistemáticos en la PSD pequeña, y la convergencia es buena sólo en la PSD intermedia.
Las líneas representan la media de estas cantidades para cada conjunto – todos los conjuntos muestran
una cúspide en algunos PSD, para 3 : 3 códigos los diversos conjuntos muestran tendencias muy similares,
indicando la estabilidad local en todas partes.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 18
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Densidad de potencia espectral [dB]
Denso
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Densidad de potencia espectral [dB]
Denso
Gráfico 3 El efecto de aumentar la densidad para el conjunto regular: (a) Multiusuario
eficiencia, b) eficiencia espectral [——] e información mutua [– – –]. Datos presentados sobre
la base de 10 carreras, las barras de error se omiten pero de un tamaño comparable con la suavidad
de las curvas. El rendimiento de códigos escasos se aproxima rápidamente al del código denso
En todas partes. El umbral PSD más allá del cual el denso código supera al escaso
El código es bastante estable.
indicado por la línea punteada vertical.
Utilizamos el código regular 6 : 3 para demostrar la coexistencia de la solución que se encuentra arriba
algunos PSD en varios códigos. El inicio de la distribución bimodal puede ser identificado por
la divergencia en el tiempo de convergencia en el régimen de solución única (el tiempo para
histogramas ferromagnéticos y aleatorios para converger a una distribución común). La hora
para que esto ocurra, en una estadística y precisión elegida heurísticamente, se representa en la figura 4(b).
Por una regresión lineal ingenua a lo largo de 3 décadas encontramos un exponente de la ley de poder de 0,59 y
un punto de transición de PSD = 10.23dB, pero no puede proporcionar una medida de la bondad de ajuste a
estos datos. Esto representaría el punto en el que coexisten al menos dos soluciones estables.
Más allá de PSD 12dB sólo una solución estable se encuentra de ambos al azar y
condiciones iniciales ferromagnéticas, correspondientes estadísticamente a la continuación del
solución. Una solución que se asemeja estadísticamente a una continuación de la mala solución es
a veces llegados de ambas condiciones iniciales, esta solución tuvo una estabilidad positiva
parámetro y entropía negativa – así que no es una solución viable. Así predecimos un segundo
transición dinámica en la región de 12dB, como podría adivinarse en comparación con el
caso denso y observación de la tendencia en el parámetro de estabilidad [véase la figura 4, letra c)].
Los resultados de estabilidad se presentan en la figura 4 c). Sólo se encontraron dos soluciones estables
en la región más allá de este punto crítico y hasta 12dB, que inferimos que es viable RS
soluciones (donde la entropía es positiva). La mala solución hasta 12dB tiene un bien resuelto
valor negativo. La buena solución tiene un valor negativo en su media, pero como otros cerca
soluciones ferromagnéticas investigados resultados son muy ruidosos debido a cuestiones numéricas relacionadas
a resolución de histogramas.
Tanto la capacidad como la eficiencia espectral aumentan monótonamente con la carga como se muestra en
Figura 4 d). Para el código 6 : 3 vemos una separación de las dos soluciones en PSD = 10.23dB
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 19
−4 −2 0 2 4 6 8 10 12
Densidad de potencia espectral [dB]
6:3 (Bad)
6:3 (Bien)
- División del Sector Privado
Media de datos
Ajuste lineal
Límites
−4 −2 0 2 4 6 8 10 12
Densidad de potencia espectral [dB]
6:3 (Bad)
6:3 (Bien)
−4 −2 0 2 4 6 8 10 12
Densidad de potencia espectral [dB]
6:3 (Bad)
6:3 (Bien)
8 10 12
Gráfico 4 El efecto de la carga de canal α sobre el rendimiento para el conjunto regular. Datos
presentado sobre la base de 10 tiradas, las barras de error omiten pero se caracterizan por la suavidad
de curvas. Las líneas rotas indican los códigos analógicos densos. La línea punteada vertical
indica el punto más allá del cual 6 : 3 condiciones iniciales aleatorias y ferromagnéticas fallaron
para converger a la misma solución, ambas soluciones dinámicamente estables se muestran más allá de
Este punto. (a) Hay un aumento monotónico en la tasa de error de bits con el aumento de la carga.
(b) La investigación del código 6 : 3 (α = 2) indica una divergencia en el tiempo de convergencia como
PSD → 10,23dB con exponente 0,59 basado en una regresión lineal simple de 15 puntos (cada uno
punto es la media de 10 carreras independientes). Más allá de este punto diferentes condiciones iniciales
dar lugar a una de dos soluciones. c) Se determinó que el parámetro de estabilidad era negativo
para todas las soluciones convergentes, indicando la idoneidad de la RS. Donde la solución está cerca
ferromagnético la medida de estabilidad se vuelve rápidamente muy ruidoso (como se muestra para el 5 : 3
y 6 : 3 códigos). d) A medida que aumenta la carga α hay un aumento monotónico de la capacidad.
La eficiencia espectral de la solución ’malo’ supera 2 en un pequeño intervalo (equivalente a
Entropía negativa), similar al comportamiento notificado para el caso denso.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 20
(línea vertical punteada.) Las líneas discontinuas corresponden a un comportamiento similar observado en el
caso denso (el rango de interés se magnifica en el conjunto.) Una cruz en la entropía de la
dos soluciones distintas, cerca de PSD 11dB, es indicativo de una transición de fase de segundo orden.
Como en el caso denso, sólo la solución de menor eficiencia espectral es termodinámicamente
relevante en un determinado PSD, aunque es probable que el otro sea importante en la decodificación de la dinámica.
Las tendencias en el caso escaso siguen el caso denso cualitativamente, con la buena solución
tener un rendimiento ligeramente peor que la solución correspondiente en el caso denso
(y viceversa para la mala solución).
La entropía de la mala solución se vuelve negativa en un pequeño intervalo (espectral
la eficiencia supera el 2), aunque no se observa inestabilidad local. La estática y dinámica
Las propiedades de los histogramas parecen estar bien resueltas en esta región. Sin embargo, el
Entropía negativa indica inestabilidad hacia un tipo de solución no capturada
dentro del supuesto RS, o hacia alguna configuración metaestable. No lo haremos.
especular aún más, la mala solución es en cualquier caso termodinámicamente subdominante en
su forma baja y negativa de entropía.
Nuestra hipótesis es, por lo tanto, que las tendencias en los conjuntos escasos coinciden con los de
los conjuntos densos dentro de la región de convivencia y RS siguen siendo válidos para cada
de dos soluciones distintas de entropía positiva. La región de convivencia para los códigos escasos es
Sin embargo más pequeño que en los correspondientes conjuntos densos. Desde la actualización de nuestro histograma
reflejar las propiedades de un algoritmo de propagación de creencias en un gráfico aleatorio que podemos sospechar
que la mala solución puede tener implicaciones para la realización de la propagación de creencias
la decodificación en la región de coexistencia, y que los problemas de convergencia aparecerán cerca de
región. En los códigos regulares del usuario se investigó la mala solución del conjunto escaso
supera la mala solución del conjunto denso, y viceversa para la buena solución.
Por lo tanto, independientemente de si el bajo rendimiento de decodificación es bueno o malo, el dinámico
punto de transición para el conjunto denso correspondería a un PSD más allá del cual denso
CDMA supera a CDMA en una carga en particular.
4.2. Eficiencia espectral Resultados numéricos más bajos
Finalmente presentamos la figura 5, que muestra la información mutua entre una sola
chip y bits transmitidos para conjuntos escasos de conectividad de chips diferentes en el infinito
PSD (límite cero de ruido) (15). Esto muestra que en la expectativa de un chip extraído de la
conjunto regular contiene más información sobre los bits transmitidos que un chip dibujado
de cualquier otro conjunto (incluido el conjunto Poissonian). La diferencia entre la
los conjuntos regulares y poissonianos se vuelven relativamente más pequeños a medida que L aumenta. Esto parece
consistente con los resultados del método de réplica encontrado en alta PSD, aunque chip regular
conectividad subrealizada en comparación con la conectividad de chip distribuida de Poisson
en el régimen de baja PSD, que no estaba previsto por la aproximación de un solo chip.
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 21
0 5 10 15 20 25
Conectividad media del chip, L
Poissonian
Gráfico 5 Un PSD → • límite a la información mutua esperada entre un solo chip,
y los bits transmitidos. La información mutua es más alta para las conexiones regulares de chip,
con el resultado de conectividad de chip Poissonian también se muestra, la discrepancia se convierte en
relativamente pequeño a medida que L aumenta. El conjunto muestra la información mutua/bit decodificada
En el caso de las empresas de servicios de inversión, el importe de la ayuda se calcula sobre la base del importe total de la ayuda concedida en virtud del artículo 107, apartado 1, letra b), del Tratado, de conformidad con el artículo 107, apartado 1, del TFUE.
mostrar más detalles en los casos de pequeño L.
5. Observaciones finales
Nuestros resultados demuestran la viabilidad de códigos regulares escasos para su uso en CDMA. En
PSD moderado parece que el rendimiento de códigos regulares escasos puede ser muy bueno. Con
la suposición simétrica réplica aparentemente válida en PSD práctica es probable que rápido
algoritmos basados en la propagación de creencias pueden ser muy exitosos en el logro de la teoría
resultados. Por otra parte, para los códigos de menor densidad escasa el problema del régimen de coexistencia,
que limita el rendimiento de los métodos prácticos de decodificación, parece ser menos omnipresente
que para conjuntos densos en el régimen sobre saturado.
Una evaluación directa de las propiedades de la propagación de creencias puede demostrar resultados similares
a los que se muestran aquí. En ausencia de réplica de estados de rotura de la simetría es normalmente
verdad que la propagación de la creencia funciona muy bien. Sin embargo, para hacer el mejor uso del canal
los recursos pueden ser preferibles para aplicar regímenes de alta carga en los casos de alta PSD, y
superar los problemas algorítmicos que surgen de la convivencia de la solución es un reto
de importancia práctica en este caso.
Sin duda, otras cuestiones prácticas en la aplicación son importantes. Similar al caso
denso CDMA hay problemas considerables relacionados con el multipath, el desvanecimiento y el poder
control, de hecho se sabe que estos efectos son más perturbadores para los códigos escasos,
especialmente códigos regulares. Sin embargo, ciertas situaciones como la radiodifusión (una a muchas)
canales y enlace descendente CDMA, donde se puede suponer la sincronización, puede ser práctico
puntos para su futura aplicación. Hay ventajas prácticas del caso escaso sobre
códigos densos y ortogonales en algunos regímenes. Es probable que el escaso método CDMA sea
especialmente útil en el acceso múltiple a la división de código de frecuencia y tiempo de salto
Aplicaciones (FH y TH -CDMA) donde el efecto de estas limitaciones prácticas es menor
CDMA escasamente difundida - un análisis basado en la mecánica estadística 22
En este sentido, se ha hecho hincapié en la necesidad de mejorar la calidad de vida de los trabajadores.
Extensiones basadas en nuestro método a casos sin control de potencia o sincronización
han sido intentados y son bastante difíciles. Examen de los antecedentes de las aportaciones, en
particular los efectos cuando la CDMA escasa se combina con algún método de codificación puede
También ser interesante.
Agradecimientos
Soporte de EVERGROW, IP No. 1935 en el VIPM de la UE es agradecido.
DS quisiera agradecer a Ido Kanter por sus útiles discusiones.
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Antecedentes
El modelo
Conjuntos de código
Metodología
Eficiencia espectral Acoplamiento inferior
Esquema del método de réplica
Ecuaciones simétricas réplica
Dinámica de la población
Análisis de estabilidad
Resultados
Regímenes de Coexistencia de Solución
Eficiencia espectral Resultados numéricos más bajos
Observaciones finales
|
704.0099 | On Ando's inequalities for convex and concave functions | Sobre las desigualdades de Ando para convexos y cóncavos
funciones
Koenraad M.R. Audenaert
Instituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,
53 Prince’s Gate, Londres SW7 2PG, Reino Unido
Jaspal Singh Aujla
Departamento de Matemáticas Aplicadas, Instituto Nacional de Tecnología,
Jalandhar 144011, Punjab, India
Resumen
Para matrices semidefinidas positivas A y B, Ando y Zhan demostraron las desigualdades
f(A) + f(B) ≥ f(A + B) y g(A) + g(B) ≤ g(A + B), para cualquier
norma unitariamente invariante, y para cualquier monotono de operador no negativo f en [0,
con función inversa g. Estas desigualdades se han generalizado muy recientemente a
funciones cóncavas no negativas f y funciones convexas no negativas g, por Bourin
y Uchiyama, y Kosem, respectivamente.
En este artículo consideramos la pregunta relacionada si las desigualdades f(A)−
f(B) ≤ f(A−B), y g(A)− g(B) ≥ g(A−B), obtenido por Ando,
para el operador monotona f con g inversa, también tienen una generalización similar a non-
negativo cóncavo f y convex g. Contestamos exactamente esta pregunta, en el negativo
para matrices generales, y afirmativamente en el caso especial cuando A ≥ B.
En el curso de este trabajo, introducimos la noción novedosa de Y - majori dominado
sation entre los espectros de dos matrices ermitañas, donde Y es en sí mismo un ermitaño
matriz, y demostrar una cierta propiedad de esta relación que permite fortalecer la
los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem, mencionados anteriormente.
Palabras clave: Desigualdad de las normas de la matriz, funciones convexas, majorización.
1991 MSC: 15A60
Dirección de correo electrónico: k.audienaert@imperial.ac.uk (Koenraad M.R. Audenaert),
aujlajs@nitj.ac.in (Jaspal Singh Aujla).
Preprint enviado a Elsevier el 1 de noviembre de 2018, 20:38
http://arxiv.org/abs/0704.0099v1
1 Introducción
En [1], Ando demostró las siguientes desigualdades por semidefinido positivo (PSD)
matrices A, B, y cualquier norma unitariamente invariante (UI). Para cualquier no negativo
función monotona del operador f(t) en [0,
f(A)− f(B) ≤ f(A−B), (1)
y, cuando f(0) = 0 y f() = , y g es la función inversa de f,
g(A)− g(B) ≥ g(A−B). 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
En un artículo posterior [2], Ando y Zhan demostraron las desigualdades relacionadas (con el
las mismas condiciones en f y g)
f(A) + f(B) ≥ f(A+B), (3)
g(A) + g(B) ≤ g(A+B). 4)
Las condiciones en f son satisfechas por cada función cóncava del operador f con
f(0) = 0.
La desigualdad (4) fue generalizada por Kosem [7] a funciones convexas no negativas
g en [0,l), con g(0) = 0. La desigualdad (3) se generalizó muy recientemente a
función cóncava no negativa en [0,0]) por Bourin y Uchiyama [5], que
También dio una prueba más simple del resultado de Kosem.
En el mismo espíritu, consideramos la cuestión de si las desigualdades (1) y (2)
También se puede generalizar a f cóncavos no negativos y g convexos, respectivamente.
Después de introducir los prerrequisitos necesarios en la sección 2, presentamos nuestra
los resultados relativos a esta cuestión en la sección 3. Lamentablemente, la mayoría de nuestros resultados
son respuestas negativas, y damos contraejemplos a esta generalización. Los
respuesta es incluso negativa para el caso especial A ≥ B, aunque la aparente
la dureza de encontrar contraejemplos nos había llevado temporalmente a creer
que en ese caso la generalización podría realmente sostener.
Sin embargo, no todo son malas noticias. En la Sección 4 respondemos afirmativamente a la pregunta
en el caso especial cuando A ≥ B. En la sección 5, introducimos la noción novedosa
de la mayoría dominada por Y entre los espectros de dos matrices ermitañas,
donde Y es en sí misma una matriz ermitaña. Demostramos cierta propiedad de esto.
la relación, es decir, la Proposición 3, que posteriormente utilizamos, primero en un
moda destructiva. A decir verdad, la Proposición ha sido instrumental finalmente
descubrir un contraejemplo de la generalización de (1) para A ≥ B;
se indicarán en la sección 6. En el lado más constructivo, la Proposición también
permite fortalecer los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem mencionados
arriba. Este es el tema de la sección final, junto con algunas otras aplicaciones.
2 Preliminares
En esta sección, introducimos las anotaciones y los prerrequisitos necesarios; más
Puede encontrarse una exposición detallada, por ejemplo: en [4]. Usaremos las abreviaturas LHS
y RHS para el lado izquierdo y derecho, respectivamente.
Denotamos el vector de entradas diagonales de una matriz A por Diag(A).
Denotamos el valor absoluto por ·, tanto para escalares como para matrices. Por
matrices esto se define como A := (A*A)1/2. Del mismo modo, denotamos el positivo
parte de una matriz escalar real o ermitaña por (·)+, y definirlo por A+ :=
(A+ A)/2.
En este documento, nos ocupamos principalmente del aumento monótono convexo
funciones cóncavas de R a R. Kosem señaló en [7] que tal función
puede ser aproximado por una suma de funciones de ángulo x 7→ ax+ b(x−x0)
+, donde
a ≥ 0, y b > 0 para una función de ángulo convexo (b < 0 para una cóncava).
También nos preocupan las normas de matriz unitariamente invariantes (UI), que
denotamos por ·, y que se definen en términos de los valores singulares
Sólo de la matriz. Aprobamos la convención consuetudinaria de que el singular
los valores se ordenan en orden de no-aumento: 1 ≥ 2 ≥. . ≥ d. Casos especiales
de estas normas son la norma del operador ·, que es justo igual a la más grande
valor singular 1(·), y las normas Ky Fan · (k), que se definen como la
suma de los k valores singulares más grandes:
A(k) :=
j(A).
El famoso teorema de dominio Ky Fan afirma que una matriz B domina
otra matriz A en todas las normas de UI si y sólo si lo hace en todas las normas de Ky Fan.
Este último conjunto de relaciones puede ser escrito como una débil relación de mayorización
entre los vectores de valores singulares de A y B:
(A) (B) :
j(A) ≤
j(B), k.
Para las matrices PSD, la relación de dominación anterior se traduce en un
sación entre los vectores de los valores propios:
El teorema de la monotonicidad de Weyl ([4], corolario III.2.3) afirma que
k(A) ≤
k(A + B), k,
para el ermitaño A y el positivo semi-definido B. Aquí, (A) denota el (real)
vector de valores propios de A ordenados en orden no creciente.
Finalmente, remitimos al lector al Capítulo 2 de [6] para una exposición de un número
de importantes propiedades analíticas funcionales de los valores propios y correspondientes
eigenspaces de una matriz ermitaña, que necesitaremos en la prueba de Propo-
Situación 2.
3 Principales resultados
La cuestión que nos ocupa es la de la generalización directa de las
igualdad (2) a funciones convexas no negativas.
Pregunta 1 Para todas las normas A,B,≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario, y para las convexas no negativas
funciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(A) − g(B) ≥
g(A− B) hold?
La respuesta a esta pregunta es negativa, como lo demuestra la siguiente
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se considera la función del ángulo convexo g(x) = x + (x − 1)+ y la
norma del operador. Para las matrices PSD 2×2
0,9 0
0 0,6
, B =
0,8 0,5
0,5 0,4
, (5)
los valores propios de g(A− B) son 0,65249 y 0,35249, mientras que los de g(A)−
g(B) son 0,65010 y −0,48862. Así, g(A − B) = 0,65249, que es
mayor que g(A)− g(B) = 0,65010. â € € TM TM
Bajo la restricción adicional A ≥ B, el valor absoluto en el argumento
de g en el lado derecho desaparece, lo que conduce a una declaración simplificada, y un
La segunda pregunta, con mejores esperanzas de éxito. Introducción de la matriz • =
A− B,
Pregunta 2 Para todas las normas B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para las convexas no negativas
funciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(B)−g(B) ≥
g() hold?
Este caso restringido también resulta tener una respuesta negativa. Contraexamen...
Sin embargo, los problemas eran mucho más difíciles de encontrar, y requerían una reducción de la prob-
sión, que se basa en ciertos resultados sobre una nueva relación como la de la majorización, que
Llamamos a la mayoría dominada por Y. Este será el tema de las secciones 5
y 6, donde una serie de Proposiciones de interés independiente son probadas.
También es muy razonable preguntar:
Pregunta 3 Para todos los B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para los cóncavos no negativos
funciones f en [0,), hace la desigualdad f(B + ) − f(B) ≤ f()
¿Esperar?
De hecho, si esto fuera cierto, una respuesta positiva a la pregunta 2 vendría fácilmente después,
utilizando el mismo razonamiento que se utilizó en [5] para derivar la generalización de
(3) de la generalización de (4).
De nuevo, esta declaración es falsa, como muestra el siguiente contraejemplo. Considerar
la función del ángulo cóncavo f(x) = min(x), 1) = x − (x − 1)+, y el 3 × 3
Matrices PSD
0,701816 0,317887 0.198910
0,317887 1,014950 −0,093826
0.198910 −0,093826 0,274236
0,192713 0 0
0 0,446505 0
0 0 0,455416
Uno consigue
f() = 0,455416
mientras
f(B )− f(B) = 0,455776.
En la sección 4, consideramos un caso especial aún más restringido, en el que el
Las desigualdades (1) y (2) finalmente se mantienen. De hecho, probamos que un más fuerte
en este caso especial:
Proposición 1 para la función no negativa, monótonamente creciente y cóncava
ciones g, y A,B ≥ 0 tales que A ≥ B, tenemos
(g(A−B)) ≥ (g(A)− g(B)). 6)
Un corolario fácil es la declaración correspondiente para el aumento monótono
funciones convexas.
Corollary 1 Dejar que f sea una función convexa no negativa en [0,] con f(0) = 0.
Dejar A,B ≥ 0 Tal que A ≥ B. Entonces
(f(A−B)) ≤ (f(A)−f(B)). 7)..................................................................................................................................................
Prueba. Que f = g−1, con g satisfaciendo las condiciones de la Proposición 1. Reemplazar
en (6) A por f(A) y B por f(B), produciendo
(g(f(A)− f(B))) ≥ (A− B).
Aplicar la función f en ambos lados no cambia el orden, porque
de la monotonicidad de f, y da validez a la desigualdad (7). â € € TM TM
Estos dos resultados implican obviamente las correspondientes relaciones de mayorización,
y por el dominio de Ky Fan, las relaciones en cualquier norma de la interfaz de usuario.
4 Prueba de la Proposición 1
Queremos demostrar la desigualdad (6):
(g(A)− g(B)) ≤ (g(A−B)),
para A,B ≥ 0,A ≥ B, y cóncavo, aumentando monótonamente y no-
g negativo.
W.l.o.g. asumiremos B = 1, ya que cualquier otro valor puede ser absorbido en
la definición de g.
Está inmediatamente claro que si (6) mantiene para g que además satisfacen g(0) = 0,
entonces también debe mantenerse sin esa restricción, es decir. para las funciones g(x)+c, con
c ≥ 0. Esto se debe a que la constante adicional c cae en el LHS, mientras que
(g(A−B) + c) ≥ (g(A−B)).
Además, (6) sigue siendo válido al sustituir g(x) por ag(x), para un > 0.
Así, w.l.o.g. podemos asumir g(0) = 0 y g(1) = 1. Junto con la concavidad
de g, esto implica que, para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x, mientras que para x ≥ 1, el derivado
g′(x) ≤ 1.
Desde 0 ≤ B ≤ 11, y para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x mantiene, tenemos g(B) ≥ B,
o −g(B) ≤ −B. Por monotonicidad Weyl, esto implica (g(A) − g(B)) ≤
(g(A)-B). Por lo tanto, la declaración (6) estaría implícita en la declaración más fuerte
(g(A)−B) ≤ (g(A−B)). (8)
Ahora tenga en cuenta que el argumento de g en el LHS, A, nunca está por debajo de 1. Por lo tanto, en
principio, podríamos reemplazar g(x) en el LHS por otra función h(x) definida
h(x) =
g(x), si x ≥ 1
x, de lo contrario.
Si también lo hacemos en el RHS, obtenemos una declaración más fuerte que (8). De hecho,
h(x) ≤ g(x) para x ≥ 0 y A − B ≥ 0, y por lo tanto h(A − B) ≤ g(A − B)
Espera. Por la monotonicidad de Weyl de nuevo, vemos que (8) está implícito por
(h(A)−B) ≤ (h(A−B)). (10)
La importancia de este movimiento es que h(x) sigue siendo un aumento monótono
y función cóncava (porque g′(x) ≤ 1 para x ≥ 1), pero ahora tiene gradiente
h′(x) ≤ 1 para x ≥ 0.
Definir C = A−B, que es semi-definido positivo, ahora tenemos que mostrar el
desigualdad
k(h(C +B)− B) ≤
k(h(C)) = h(
k(C)),
por cada k. Fijación de k, e introducción de la taquigrafía x0 =
k(C), podemos
explotar la concavidad de h a la unión superior como h(x) ≤ a(x − x0) + h(x0), donde
a = h′(x0) ≤ 1. De nuevo por la monotonicidad de Weyl, encontramos
k(h(C +B)− B)
k(a(C + B − x0) + h(x0)− B)
k(aC + (a− 1)B − ax0 + h(x0))
k(aC)− ax0 + h(x0) = h(x0),
donde en la segunda línea podríamos eliminar el término (a−1)B porque es nega-
tivo. Esto es cierto para todos k, hemos demostrado (10) y todas las declaraciones anteriores
que se desprenden de ella, incluida la declaración del Teorema. â € € TM TM
5 En la mayoría dominada por Y
Para responder a la pregunta 2, tenemos que considerar la propiedad que una función convexa
f satisface
(f) () (f) (f) (B) (f) (B) (11)
para todos los PSD B y...........................................................................................................................................................................................................................................................
(f(A−B)) (f(A)−f(B)) (12)
para todos los A ≥ B ≥ 0.
El ángulo convexo monotono funciona x 7→ ax + (x − 1)+ (a ≥ 0) ya
han demostrado su valor como campo de ensayo para declaraciones similares, en la sección
3. Los experimentos numéricos que utilizan funciones de ángulo para la desigualdad (11) no
directamente conducen a cualquier contraejemplo, sin embargo. Esto aumentó temporalmente
nuestra creencia de que la desigualdad podría sostenerse, y nos llevó a investigar,
como primer paso hacia una "prueba", si la desigualdad
j(aY +B) ≤
j(aY + C)
puede ser cierto para todos a ≥ 0, donde B = f(Y) y C = f(X + Y)− f(X), y
f(x) = (x−1)+. La observación crucial es ahora que si esto se mantiene para todos a ≥ 0,
entonces, en realidad, una relación mucho más fuerte que sólo la majorización debe sostener
entre aY + B y aY + C.
Para describir este fenómeno, vamos a considerar un entorno algo más amplio. Vamos.
G y C sean matrices ermitañas, y dejen que f1 y f2 sean monótonamente crecientes
funciones reales en R. Supongamos que para todos a ≥ 0, lo siguiente sostiene:
j(aA +B) ≤
j(aA+ C), (13)
con A = f1(G) y B = f2(G).
Se ve fácilmente que si (13) se mantiene para un cierto valor de a, también se mantiene para todos
valores positivos más pequeños. Let b ser un escalar tal que 0 ≤ b < a. Porque ambos
A y B exhiben sus valores propios como elementos diagonales en la eigenbasis de G,
y ambos en orden no creciente, obtenemos
j(aA +B) =
j (bA+B) + (a− b)
j A).
Por otro lado, para aA + C sólo tenemos la desigualdad de subadditividad
j (aA+ C) ≤
j(bA + C) + (a− b)
j(A).
Como consecuencia, obtenemos que, de hecho,
j (bA+B) ≤
j(bA + C)
sigue de (13).
Por lo tanto, nos llevan a considerar lo que sucede cuando una tiende a infinito, porque
ese valor domina a todos los demás. Sustracción
j=1
j(aA) por ambos lados, y
sustituyendo a = 1/t, obtenemos
j(A + tB)−
j(A)) ≤
j(A+ tC)−
j(A)).
En el límite de t va a 0, esto produce una comparación entre derivados:
j(A + tB) ≤
j(A+ tC). (14)
Demostraremos a continuación que los derivados
j (A + tC) son la diagonal
elementos de C en una determinada base dependiendo de G y C. Vamos a introducir primero
el vector (C;A) cuyas entradas satisfagan la siguiente relación:
(C;A) :=
j(A+ tC). (15)
Con esta notación, la relación (14) se convierte en
j(B;G) ≤
j(C;G).
Es decir, las entradas de B;G están “mayorizadas” por las de C;G. ¿Cómo...?
en la mayoría de los casos, ya que la mayoría de los
ausencia de reordenación de las entradas en orden decreciente.
Introduciendo el símbolo "dw" para la débil mayorización con la falta de reordenación-
mento:
a â € € TM € TM € TM TM € TM TM TM TM â € TM TM TM â TM TM TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
bj, (16)
relación (14) se expresa como
(B;G) (C;G) (dw) (C;G). (17)
Para justificar estas anotaciones, ahora mostramos:
Proposición 2 Que A y C sean matrices ermitañas. Con la definición del punto C;A) de la parte siguiente:
(15), las entradas del vector ♥(C;A) son las entradas diagonales de C en un determinado
base en la que A es diagonal y sus entradas diagonales aparecen ordenados en non-
aumento del orden. Cuando todos los valores propios de A son simples (es decir, tener multiplicidad
1), esta base es sólo la eigenbasis de A y no depende de C.
Prueba. Hay tres casos que considerar, según que A no sea
degenerado, A + tC tiene una degeneración accidental en t = 0, o A + tC es
Degenerado permanentemente.
1. El caso más importante es cuando todos los valores propios de A son simples, es decir. cuando
tienen multiplicidad 1. Luego mostramos que la derivada es dada por
j(A+ tC) = Tr[Pk(A) C],
donde Pk(A) denota el proyector en el subespacio extendido por el k eigen-
vectores de A correspondientes a sus valores propios más grandes k.
Por la simplicidad de los valores propios de A, los valores propios de A + tC son también
simple para valores lo suficientemente pequeños de t. Esto sigue fácilmente de las desigualdades deWeyl:
j(A) +
n(tC) ≤
j (A+ tC) ≤
j(A) +
1(tC);
por lo tanto si tC es estrictamente menos de la mitad de la diferencia mínima entre
todos los pares de valores propios de A, la diferencia entre todos los pares de valores propios de
A+tC está limitado a 0. Por lo tanto, para t lo suficientemente pequeño, cada valor propio
de A+ tC tiene un eigenvector único, y como resultado Pk(A+ tC) está bien definido
como la suma de los proyectores en los autovectores pertenecientes a la k más grande
valores propios.
Es bien sabido que los valores propios de A+tC como funciones de la variable real
t puede ordenarse de forma que sean funciones analíticas de t (véase [6], capítulo 2),
y por lo tanto continua. Esto implica que el k-ésimo mayor valor propio de A+ tC
es también una función continua de t, para cualquier k.
Si, además, un valor propio (t) de A + tC es simple en un intervalo de t,
entonces el proyector P (t) en el vector de origen x(t) asociado a él (con P (t) =
x(t)x(t)*) también es analítica, y por lo tanto continua en t en este intervalo. Nosotros
concluir que Pk(A+ tC) es analítico en t, y por lo tanto diferenciable.
Por la maximidad de Pk(A) en la caracterización variacional
j(A) = máx.
Tr[AQk] = Tr[APk(A)],
donde Qk pasa por encima de todos los proyectores ranke-k, tenemos
Tr[APk(A + tC)] = 0,
lo que implica
j (A+ tC)
Tr[(A+ tC)Pk(A+ tC)]
Tr[APk(A+ tC)] +
Tr[(A+ tC)Pk(A)]
=Tr[C Pk(A)].
Que U sea el unitario que diagonaliza A, es decir. UAU* = (A). Entonces
Tr[C Pk(A)] =
(UCU*)jj,
y la declaración de la Proposición sigue.
2. Cuando A ha degenerado valores propios, la situación se vuelve algo más
complicado, pero no hay cambios realmente significativos. Ya no hay
un eigenbasis único de A, por lo que Pk(A) no está bien definido para todos k.
en primer lugar considerar el caso en el que C es tal que elimina la degeneración de la
eigenvalues de A en A+ tC para t lo suficientemente pequeño positivo. En ese caso Pk(A+ tC)
se definirá de forma única para todo positivo t menos que algún valor t0, que es el
t positivo más pequeño para el que A + tC tiene una degeneración accidental (que es
lo que también sucede en t = 0).
Esto ocurre, por ejemplo, cuando C tiene valores propios simples. De hecho, por analyt-
icity de los valores propios de A + tC en t, la degeneración es accidental (para
valores aislados de t) o permanentes (para todos los valores de t). Puesto que todos los valores propios
son simples para t lo suficientemente grande, tienen que permanecer simples para todos los valores de t
excepto posiblemente para algunos valores aislados, como t = 0, en este caso. Deje t0
ser el valor positivo más pequeño, entonces A + tC tiene valores propios simples para
0 < t < t0.
Por lo tanto, podemos definir Pk(A) de una manera única como el límite limt→0 Pk(A +
tC). Esta es una opción permitida debido a la continuidad de los valores propios:
j=0
k(A) = Tr[limt→0 Pk(A + tC) A]. Usando el mismo argumento que en el
En el caso anterior, se obtiene el valor de C;A := Tr[limt→0 Pk(A+ tC) C].
Que Łl sean los valores propios de A (multiplicidad no contada), y Ql el projec-
ciones en los correspondientes espacios propios de A (con Q*l el correspondiente in-
los operadores de la conclusion); el rango de Ql es igual a la multiplicidad de Łl, que denotamos
por ml. Para obtener los bloques diagonales Cl := QlCQ, primero construimos los bloques diagonales Cl := QlCQ
(de tamaño ml), a continuación, tome los valores propios
↓(Cl) en orden no creciente de cada
bloque, y luego concatenar las secuencias obtenidas de valores propios:
(C;A) := ((C1),. .............................................................
↓(Cm)).
Si todos los valores propios de A son distintos, esto se reduce al vector de diagonal
elementos de C en la eigenbasis de A que encontramos en el caso 1.
Por ejemplo, si (A) = (5, 5, 3, 1), entonces
1(C1),
2 (C1), C33, C44),
donde C1 =
C11 C12
C21 C22
y todas las entradas de C se toman en la eigenbasis de A.
Que U sea un unitario (que, en este caso, no es único) que diagonaliza A como
UAU* =, y tomar los bloques diagonales Cl de UCU
∗, como se indica más arriba. Cada bloque
se puede diagonalizar usando una Vl unitaria. Junto con U obtenemos el total
rotación en base W := U(
l Vl). Por construcción,
l Vl hojas invariantes, y
resuelve la ambigüedad en U. Obtenemos que ♥(C;A) es el vector de diagonal
las entradas de C en la base obtenida mediante la aplicación de la W unitaria.
3. Finalmente, nos fijamos en el caso cuando A + tC es permanentemente degenerado, es decir.
cuando tiene valores propios degenerados para todos los valores de t. W.l.o.g. Sólo tenemos que hacerlo.
ver t en un intervalo [0, t0), donde t0 es el valor positivo más pequeño para el cual
Un + tC tiene una degeneración accidental. Denotemos por los valores propios
de A+ tC en orden no creciente, multiplicidad mj no contada, y por Pj(t)
los proyectores en los espacios propios correspondientes. En ese caso, Pk(A + tC) es
solo bien definido si hay un j′ tal que k = m1 +m2 +. .. +mj′; entonces nosotros
tienen Pk(A + tC) = P1(t) + P2(t) +... + Pj′(t).
Si no hay tal j′, que j′ sea el número entero más grande tal que k > m1 + m2 +
... +mj′ =: k
′. Así 0 < k − k′ < mj1. Entonces tenemos
j (A+ tC)
miđi(t) + (k − k)
′)j1(t)
=Tr[(A + tC) (P1(t) +.. + Pj′(t) +
k − k′
mj1
Pj1(t))]
=Tr[(A + tC) (
k − k′
mj1
Pkmj1(A+ tC) + (1−
k − k′
mj1
)Pk′(A+ tC))].
Así, si definimos α := (k − k′)/mj1,
j=1
j(A + tC) interpola linealmente
entre
j=1
j(A+ tC) y
*Kmj1*
j=1
j(A + tC) con parámetro α.
Procediendo de la misma manera que en los dos casos anteriores, obtenemos para el
derivado
j (A+ tC) = Tr[C(αPkmj1(A) + (1− α)Pk′(A))],
donde el Pk(A) debe ser sustituido por los límites limt→0 Pk(A + tC) si en
Además hay degeneraciones accidentales en t = 0. Consideremos las entradas
de C otra vez como antes, en una eigenbasis de A en la que aparecen los valores propios de A
en diagonal, en orden no creciente. Lo conseguimos.
(C;A)k = (1− α)
Cii + α
kmj1
Cii. (18)
Debido a la degeneración permanente, una eigenbasis se determina hasta
rotaciones cal” dentro de los diferentes espacios propios. Consideramos una partición de
C en tal eigenbasis correspondiente a estos espacios propios. Es decir, en C nosotros
puede seleccionar bloques diagonales, cada uno de los cuales corresponde al espacio propio de
eigenvalue ♥j. Podemos usar nuestra libertad para elegir las rotaciones locales para hacer
todos los elementos diagonales de C iguales dentro de cada bloque diagonal. Esto nos permite
deshacerse de la interpolación en (18), y finalmente obtenemos que, de nuevo,
(C;A)k =
con las entradas de C tomadas en la eigenbasis que acabamos de elegir. â € € TM TM
El resultado de esta Proposición es que existe una U unitaria tal que
UAU* = (A) y (C;A) = Diag(UCU*). En el caso genérico de que todos
♥i(A) son distintos, U es único y no depende de C.
Una serie de consecuencias fáciles siguen inmediatamente de esta Proposición:
Corollary 2 Que G y C sean matrices ermitañas, f ser monótonamente
aumentar la función real en R, y g cualquier función real que aumenta estrictamente en
R, entonces
i) (f(G);G) = f((G)).
ii) El Teorema de la mayorización de Schur (C;G) obedece al Teorema de la mayorización de Schur: el Teorema de la mayorización de Schur (C;G) y el Teorema de la mayorización de Schur (C).
iii) (C;G) + a(f(G)) = (C + af(G);G), a ≥ 0.
iv) C; f A) = C; A).
Junto con la equivalencia previamente demostrada de (13) con (17), el
El corolario conduce inmediatamente a la siguiente Proposición:
Proposición 3 Para Hermitan G,C, aumentando monótonamente las funciones reales
f1, f2 en R, y A = f1(G), B = f2(G), los siguientes son equivalentes:
(aA+B) (aA+C), (eA+C), (ea ≥ 0 (19))
* (B;G) * (C;G) (20) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) (20)
(aA+ B;G)(aA+ C;G)(aA+ C;G)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(A+ C;G), (a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)))(a)(a)(a)))(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)()(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)()(a)()()()()()()(a)()()(a)()()()(a)(a)()()()( (21)
Prueba.
(19) implica (20): Esto es sólo la Proposición 2.
(20) implica (21): Añádase a(A) a ambas partes e invoque la declaración iii) de la
Corollary.
(21) implica (19): Por declaración (i) del corolario, el LHS de (21) es igual
a (aA+B), mientras que, por declaración (ii) del corolario, su RHS está mayorizada
por (aA+C). â € € TM TM
6 Contraejemplo de la pregunta 2
Si la respuesta a la pregunta 2 es afirmativa, al menos debería ser válida para todos.
funciones de ángulo f(x) = ax+ b(x−x0)
+. Por la Proposición 3 esto es equivalente a
la declaración
((Y − 11)+; Y ) ((X + Y − 11)
+ − (X − 11)+; Y ).
Considere las matrices 3× 3
0,35614 −0,053243 0,10116
−0,053243 0,87456 0,40559
0,10116 0,40559 0,82474
0,53642 0 0
0 0,42018 0
0 0 0,094866
La eigenbasis de Y es, por lo tanto, la base estándar. A continuación, (Y − 11)+; Y ) =
(0, 0, 0) y
(X + Y − 11)+ − (X − 11)+ =
−0,00018194 0,00052449 −0.0016345
0,00052449 0,2573 0,12368
−0,0016345 0,12368 0,04
de modo que (X+Y −11)(X−11)+; Y ) = (−0,00018194, 0,2573, 0.04). La primera
la entrada es negativa, violando la relación de los dw, y por lo tanto respondiendo a la pregunta
2 en negativo. â € € TM TM
7 Aplicaciones adicionales de la mayoría dominada por Y
Una cuestión que tuvimos que abordar durante nuestros intentos de dar una respuesta positiva
a la pregunta 2 se refiere a la posibilidad de reducir la cuestión de la convexa
funciones de ángulo convexo. Una forma de hacerlo habría sido:
posible si el conjunto de (aumentando monotonamente y convexo) funciones satisfactorias
11) se cerraron por adición. Aunque no pudimos probar esto en particular
(lo que es muy probable que sea falso, de todos modos), la Proposición 3 nos permite
demostrar la declaración correspondiente para la relación
(f(Y); Y) (f(X + Y)− f(X); Y). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Proposición 4 Que todos los valores propios de Y sean distintos. Dejemos que F y G sean func-
ciones de R a R satisfactorias (22). Entonces f + g también satisface (22).
Prueba. Por la suposición en los valores propios de Y, (A; Y ) es igual a Diag(A) en
una base sólo dependiendo de Y y por lo tanto es una función lineal de A. Podemos
por lo tanto sumar las desigualdades (22) para f y g y obtener la correspondiente
Desigualdades para f + g.
Una segunda aplicación de la Proposición 3 es un fortalecimiento de la siguiente Propo-
la situación, que también obtuvimos en el curso de nuestros intentos de
en respuesta a la pregunta 2.
Proposición 5 para X, Y ≥ 0 y ga(x) = ax+
, con un ≥ 0, el siguiente
la declaración de especialización sostiene:
(Ga(Y)) (Ga(X + Y)-ga(X)).
Prueba. De la prueba de Lemma X.1.4 en [4], tenemos, para X, Y ≥ 0,
j ((X + 11)
−1 − (X + Y + 11)−1) ≤
j(11 − (Y + 11)
Definición de la función f(x) = x
= 1− (x+ 1)−1, esto se convierte en:
j(f(X + Y )− f(X)) ≤
j(f(Y)).
Esto implica la declaración de la majorización
j(f(X + Y )− f(X)) ≤
j(f(Y)). 23)
Queremos probar una declaración algo similar para la función ga(x). Desde
ambos f y ga están aumentando monótonamente sobre R
+, y observando que ga(x) =
(a+ 1)x− f(x), tenemos
j(ga(Y ))= ga(
j (Y )) = (a+1)
j(Y )− f(
j(Y))
j(f(Y ))= f(
j(Y)),
para que
j(ga(Y)) = (a+1)
j(Y)−
j(f(Y)).
Esto implica, en particular,
j (ga(Y)) = (a+1)
j (Y)−
j(f(Y))
≤ (a+1)
j (Y)−
j(f(X + Y )− f(X)),
donde hemos insertado (23). Explotar la relación bien conocida ([4], Th.
III.4.1)
j(A+B) ≤
j (A) +
j(B),
para A = (a+ 1)Y − f(X + Y ) + f(X) y B = f(X + Y )− f(X)
j (ga(Y))≤
j(a+1)Y − f(X + Y) + f(X))
j(ga(X + Y )− ga(X)).
Proposición 3, con A = G = Y, B = f(Y ), C = f(X + Y ) − f(X), donde
f(x) = x2/(x+1), luego produce el siguiente fortalecimiento de la Proposición 5:
Proposición 6 para X, Y ≥ 0, y ga(x) = ax+
, con un ≥ 0,
* (ga(Y ); y ) * dw (ga(X + Y )− ga(X); y ).
Aquí observamos que ga(X + Y)− ga(X) = aY + f(X + Y)− f(X).
Para terminar esta Sección, presentamos una tercera aplicación de la Proposición 3, a saber:
a los resultados de Kosem y Bourin-Uchiyama. Considerar la primera desigualdad (3),
que contiene para todas las funciones cóncavas no negativas f(x). En particular, sostiene que
para todas las funciones f = ax+ f0(x), donde f0 es cóncava no negativa, y a ≥ 0.
Insertando esto en la forma de inequidad autovalor-mayorización (3), obtenemos el
Relación de mayorización dominada por A+B
(a(A+B) + f0(A+B)) (a(A +B) + f0(A) + f0(B)),
para A,B ≥ 0. Proposición 3 entonces inmediatamente da la forma más fuerte
(f(A+B);A+B) (dw) (f(A) + f(B);A+B), (24)
para todas las funciones cóncavas no negativas f. El fortalecimiento de la desigualdad (4)
se realiza de una manera completamente idéntica y produce la desigualdad inversa
de (24) para funciones convexas no negativas g tales que g(0) = 0.
Agradecimientos
JSA agradece al profesor Moin Uddin, director de su instituto por
y apoyando su visita para asistir a la conferencia en Nova Sureste
Universidad, Fort Lauderdale, Florida, EE.UU., que llevó a su introducción a
Koenraad M.R. Audenaert y la finalización de este trabajo.
KA agradece al Instituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,
para el apoyo. Su trabajo es parte del QIP-IRC (www.qipirc.org) apoyado por
EPSRC (GR/S82176/0).
Bibliografía
[1] T. Ando, “Comparación de normas f(A)− f(B) y f(A−B)”, Matemáticas. Z.
197, 403 a 409 (1988).
[2] T. Ando y X. Zhan, “Desigualdades de las normas relacionadas con el monotono del operador
funciones”, Math. Ann. 315, 771 a 780 (1999).
[3] J.S. Aujla y F.C. Silva, “Desigualdades de majorización débiles y funciones convexas”,
Lin. Alg. Appl. 369, 217–233 (2003).
[4] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, Heidelberg (1997).
[5] J.-C. Bourin y M. Uchiyama, “Desigualdad de subadditividad matricial para f(A+B)
y f(A) + f(B),” Arxiv.org E-print math.FA/0702475 (2007).
[6] T. Kato, Teoría de la Perturbación para los operadores lineales, Reimpresión de la edición de 1980,
Clásicos en Matemáticas, Springer-Verlag, Berlín (1995).
[7] T. Kosem, “Desigualdades entre f(A + B) y f(A) + f(B)”, Lin. Alg.
Appl. 418, 153–160 (2006).
http://arxiv.org/abs/math/0702475
Introducción
Preliminares
Principales resultados
Prueba de la Propuesta 1
En la mayoría dominada por Y
Contraejemplo de la pregunta 2
Otras aplicaciones de la mayoría dominada por Y
Agradecimientos
Bibliografía
| Para matrices semidefinidas positivas $A$ y $B$, Ando y Zhan demostraron la
Desigualdades $ f(A)+f(B) \ge f(A+B) y $ g(A)+g(B) \le
g(A+B), para cualquier norma unitariamente invariante, y para cualquier no negativo
operador monotone $f$ en $[0,\infty)$ con función inversa $g$. Estos
las desigualdades se han generalizado recientemente a cóncavas no negativas
funciones $f$ y funciones convexas no negativas $g$, por Bourin y Uchiyama,
y Kosem, respectivamente.
En este artículo consideramos la pregunta relacionada si las desigualdades $
f(A)-f(B) \le f(A-B), y $ g(A)-g(B) \ge g(A-B)
, obtenido por Ando, para el operador monotono $f$ con inversa $g$, también tienen un
generalización similar a $f$ cóncavo no negativo y $g$ convex. Contestaremos.
exactamente esta pregunta, en el negativo para las matrices generales, y afirmativamente
en el caso especial cuando $A\ge B$.
En el curso de este trabajo, introducimos la noción novedosa de $Y$ dominado
mayorización entre los espectros de dos matrices ermitañas, donde $Y$ es en sí mismo
una matriz ermitaña, y demostrar una cierta propiedad de esta relación que permite
reforzar los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem, mencionados anteriormente.
| Introducción
En [1], Ando demostró las siguientes desigualdades por semidefinido positivo (PSD)
matrices A, B, y cualquier norma unitariamente invariante (UI). Para cualquier no negativo
función monotona del operador f(t) en [0,
f(A)− f(B) ≤ f(A−B), (1)
y, cuando f(0) = 0 y f() = , y g es la función inversa de f,
g(A)− g(B) ≥ g(A−B). 2..............................................................................................................................................................................................................................................................
En un artículo posterior [2], Ando y Zhan demostraron las desigualdades relacionadas (con el
las mismas condiciones en f y g)
f(A) + f(B) ≥ f(A+B), (3)
g(A) + g(B) ≤ g(A+B). 4)
Las condiciones en f son satisfechas por cada función cóncava del operador f con
f(0) = 0.
La desigualdad (4) fue generalizada por Kosem [7] a funciones convexas no negativas
g en [0,l), con g(0) = 0. La desigualdad (3) se generalizó muy recientemente a
función cóncava no negativa en [0,0]) por Bourin y Uchiyama [5], que
También dio una prueba más simple del resultado de Kosem.
En el mismo espíritu, consideramos la cuestión de si las desigualdades (1) y (2)
También se puede generalizar a f cóncavos no negativos y g convexos, respectivamente.
Después de introducir los prerrequisitos necesarios en la sección 2, presentamos nuestra
los resultados relativos a esta cuestión en la sección 3. Lamentablemente, la mayoría de nuestros resultados
son respuestas negativas, y damos contraejemplos a esta generalización. Los
respuesta es incluso negativa para el caso especial A ≥ B, aunque la aparente
la dureza de encontrar contraejemplos nos había llevado temporalmente a creer
que en ese caso la generalización podría realmente sostener.
Sin embargo, no todo son malas noticias. En la Sección 4 respondemos afirmativamente a la pregunta
en el caso especial cuando A ≥ B. En la sección 5, introducimos la noción novedosa
de la mayoría dominada por Y entre los espectros de dos matrices ermitañas,
donde Y es en sí misma una matriz ermitaña. Demostramos cierta propiedad de esto.
la relación, es decir, la Proposición 3, que posteriormente utilizamos, primero en un
moda destructiva. A decir verdad, la Proposición ha sido instrumental finalmente
descubrir un contraejemplo de la generalización de (1) para A ≥ B;
se indicarán en la sección 6. En el lado más constructivo, la Proposición también
permite fortalecer los resultados de Bourin-Uchiyama y Kosem mencionados
arriba. Este es el tema de la sección final, junto con algunas otras aplicaciones.
2 Preliminares
En esta sección, introducimos las anotaciones y los prerrequisitos necesarios; más
Puede encontrarse una exposición detallada, por ejemplo: en [4]. Usaremos las abreviaturas LHS
y RHS para el lado izquierdo y derecho, respectivamente.
Denotamos el vector de entradas diagonales de una matriz A por Diag(A).
Denotamos el valor absoluto por ·, tanto para escalares como para matrices. Por
matrices esto se define como A := (A*A)1/2. Del mismo modo, denotamos el positivo
parte de una matriz escalar real o ermitaña por (·)+, y definirlo por A+ :=
(A+ A)/2.
En este documento, nos ocupamos principalmente del aumento monótono convexo
funciones cóncavas de R a R. Kosem señaló en [7] que tal función
puede ser aproximado por una suma de funciones de ángulo x 7→ ax+ b(x−x0)
+, donde
a ≥ 0, y b > 0 para una función de ángulo convexo (b < 0 para una cóncava).
También nos preocupan las normas de matriz unitariamente invariantes (UI), que
denotamos por ·, y que se definen en términos de los valores singulares
Sólo de la matriz. Aprobamos la convención consuetudinaria de que el singular
los valores se ordenan en orden de no-aumento: 1 ≥ 2 ≥. . ≥ d. Casos especiales
de estas normas son la norma del operador ·, que es justo igual a la más grande
valor singular 1(·), y las normas Ky Fan · (k), que se definen como la
suma de los k valores singulares más grandes:
A(k) :=
j(A).
El famoso teorema de dominio Ky Fan afirma que una matriz B domina
otra matriz A en todas las normas de UI si y sólo si lo hace en todas las normas de Ky Fan.
Este último conjunto de relaciones puede ser escrito como una débil relación de mayorización
entre los vectores de valores singulares de A y B:
(A) (B) :
j(A) ≤
j(B), k.
Para las matrices PSD, la relación de dominación anterior se traduce en un
sación entre los vectores de los valores propios:
El teorema de la monotonicidad de Weyl ([4], corolario III.2.3) afirma que
k(A) ≤
k(A + B), k,
para el ermitaño A y el positivo semi-definido B. Aquí, (A) denota el (real)
vector de valores propios de A ordenados en orden no creciente.
Finalmente, remitimos al lector al Capítulo 2 de [6] para una exposición de un número
de importantes propiedades analíticas funcionales de los valores propios y correspondientes
eigenspaces de una matriz ermitaña, que necesitaremos en la prueba de Propo-
Situación 2.
3 Principales resultados
La cuestión que nos ocupa es la de la generalización directa de las
igualdad (2) a funciones convexas no negativas.
Pregunta 1 Para todas las normas A,B,≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario, y para las convexas no negativas
funciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(A) − g(B) ≥
g(A− B) hold?
La respuesta a esta pregunta es negativa, como lo demuestra la siguiente
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se considera la función del ángulo convexo g(x) = x + (x − 1)+ y la
norma del operador. Para las matrices PSD 2×2
0,9 0
0 0,6
, B =
0,8 0,5
0,5 0,4
, (5)
los valores propios de g(A− B) son 0,65249 y 0,35249, mientras que los de g(A)−
g(B) son 0,65010 y −0,48862. Así, g(A − B) = 0,65249, que es
mayor que g(A)− g(B) = 0,65010. â € € TM TM
Bajo la restricción adicional A ≥ B, el valor absoluto en el argumento
de g en el lado derecho desaparece, lo que conduce a una declaración simplificada, y un
La segunda pregunta, con mejores esperanzas de éxito. Introducción de la matriz • =
A− B,
Pregunta 2 Para todas las normas B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para las convexas no negativas
funciones g en [0,) con g(0) = 0, hace la desigualdad g(B)−g(B) ≥
g() hold?
Este caso restringido también resulta tener una respuesta negativa. Contraexamen...
Sin embargo, los problemas eran mucho más difíciles de encontrar, y requerían una reducción de la prob-
sión, que se basa en ciertos resultados sobre una nueva relación como la de la majorización, que
Llamamos a la mayoría dominada por Y. Este será el tema de las secciones 5
y 6, donde una serie de Proposiciones de interés independiente son probadas.
También es muy razonable preguntar:
Pregunta 3 Para todos los B ≥ 0, para todas las normas de la interfaz de usuario y para los cóncavos no negativos
funciones f en [0,), hace la desigualdad f(B + ) − f(B) ≤ f()
¿Esperar?
De hecho, si esto fuera cierto, una respuesta positiva a la pregunta 2 vendría fácilmente después,
utilizando el mismo razonamiento que se utilizó en [5] para derivar la generalización de
(3) de la generalización de (4).
De nuevo, esta declaración es falsa, como muestra el siguiente contraejemplo. Considerar
la función del ángulo cóncavo f(x) = min(x), 1) = x − (x − 1)+, y el 3 × 3
Matrices PSD
0,701816 0,317887 0.198910
0,317887 1,014950 −0,093826
0.198910 −0,093826 0,274236
0,192713 0 0
0 0,446505 0
0 0 0,455416
Uno consigue
f() = 0,455416
mientras
f(B )− f(B) = 0,455776.
En la sección 4, consideramos un caso especial aún más restringido, en el que el
Las desigualdades (1) y (2) finalmente se mantienen. De hecho, probamos que un más fuerte
en este caso especial:
Proposición 1 para la función no negativa, monótonamente creciente y cóncava
ciones g, y A,B ≥ 0 tales que A ≥ B, tenemos
(g(A−B)) ≥ (g(A)− g(B)). 6)
Un corolario fácil es la declaración correspondiente para el aumento monótono
funciones convexas.
Corollary 1 Dejar que f sea una función convexa no negativa en [0,] con f(0) = 0.
Dejar A,B ≥ 0 Tal que A ≥ B. Entonces
(f(A−B)) ≤ (f(A)−f(B)). 7)..................................................................................................................................................
Prueba. Que f = g−1, con g satisfaciendo las condiciones de la Proposición 1. Reemplazar
en (6) A por f(A) y B por f(B), produciendo
(g(f(A)− f(B))) ≥ (A− B).
Aplicar la función f en ambos lados no cambia el orden, porque
de la monotonicidad de f, y da validez a la desigualdad (7). â € € TM TM
Estos dos resultados implican obviamente las correspondientes relaciones de mayorización,
y por el dominio de Ky Fan, las relaciones en cualquier norma de la interfaz de usuario.
4 Prueba de la Proposición 1
Queremos demostrar la desigualdad (6):
(g(A)− g(B)) ≤ (g(A−B)),
para A,B ≥ 0,A ≥ B, y cóncavo, aumentando monótonamente y no-
g negativo.
W.l.o.g. asumiremos B = 1, ya que cualquier otro valor puede ser absorbido en
la definición de g.
Está inmediatamente claro que si (6) mantiene para g que además satisfacen g(0) = 0,
entonces también debe mantenerse sin esa restricción, es decir. para las funciones g(x)+c, con
c ≥ 0. Esto se debe a que la constante adicional c cae en el LHS, mientras que
(g(A−B) + c) ≥ (g(A−B)).
Además, (6) sigue siendo válido al sustituir g(x) por ag(x), para un > 0.
Así, w.l.o.g. podemos asumir g(0) = 0 y g(1) = 1. Junto con la concavidad
de g, esto implica que, para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x, mientras que para x ≥ 1, el derivado
g′(x) ≤ 1.
Desde 0 ≤ B ≤ 11, y para 0 ≤ x ≤ 1, g(x) ≥ x mantiene, tenemos g(B) ≥ B,
o −g(B) ≤ −B. Por monotonicidad Weyl, esto implica (g(A) − g(B)) ≤
(g(A)-B). Por lo tanto, la declaración (6) estaría implícita en la declaración más fuerte
(g(A)−B) ≤ (g(A−B)). (8)
Ahora tenga en cuenta que el argumento de g en el LHS, A, nunca está por debajo de 1. Por lo tanto, en
principio, podríamos reemplazar g(x) en el LHS por otra función h(x) definida
h(x) =
g(x), si x ≥ 1
x, de lo contrario.
Si también lo hacemos en el RHS, obtenemos una declaración más fuerte que (8). De hecho,
h(x) ≤ g(x) para x ≥ 0 y A − B ≥ 0, y por lo tanto h(A − B) ≤ g(A − B)
Espera. Por la monotonicidad de Weyl de nuevo, vemos que (8) está implícito por
(h(A)−B) ≤ (h(A−B)). (10)
La importancia de este movimiento es que h(x) sigue siendo un aumento monótono
y función cóncava (porque g′(x) ≤ 1 para x ≥ 1), pero ahora tiene gradiente
h′(x) ≤ 1 para x ≥ 0.
Definir C = A−B, que es semi-definido positivo, ahora tenemos que mostrar el
desigualdad
k(h(C +B)− B) ≤
k(h(C)) = h(
k(C)),
por cada k. Fijación de k, e introducción de la taquigrafía x0 =
k(C), podemos
explotar la concavidad de h a la unión superior como h(x) ≤ a(x − x0) + h(x0), donde
a = h′(x0) ≤ 1. De nuevo por la monotonicidad de Weyl, encontramos
k(h(C +B)− B)
k(a(C + B − x0) + h(x0)− B)
k(aC + (a− 1)B − ax0 + h(x0))
k(aC)− ax0 + h(x0) = h(x0),
donde en la segunda línea podríamos eliminar el término (a−1)B porque es nega-
tivo. Esto es cierto para todos k, hemos demostrado (10) y todas las declaraciones anteriores
que se desprenden de ella, incluida la declaración del Teorema. â € € TM TM
5 En la mayoría dominada por Y
Para responder a la pregunta 2, tenemos que considerar la propiedad que una función convexa
f satisface
(f) () (f) (f) (B) (f) (B) (11)
para todos los PSD B y...........................................................................................................................................................................................................................................................
(f(A−B)) (f(A)−f(B)) (12)
para todos los A ≥ B ≥ 0.
El ángulo convexo monotono funciona x 7→ ax + (x − 1)+ (a ≥ 0) ya
han demostrado su valor como campo de ensayo para declaraciones similares, en la sección
3. Los experimentos numéricos que utilizan funciones de ángulo para la desigualdad (11) no
directamente conducen a cualquier contraejemplo, sin embargo. Esto aumentó temporalmente
nuestra creencia de que la desigualdad podría sostenerse, y nos llevó a investigar,
como primer paso hacia una "prueba", si la desigualdad
j(aY +B) ≤
j(aY + C)
puede ser cierto para todos a ≥ 0, donde B = f(Y) y C = f(X + Y)− f(X), y
f(x) = (x−1)+. La observación crucial es ahora que si esto se mantiene para todos a ≥ 0,
entonces, en realidad, una relación mucho más fuerte que sólo la majorización debe sostener
entre aY + B y aY + C.
Para describir este fenómeno, vamos a considerar un entorno algo más amplio. Vamos.
G y C sean matrices ermitañas, y dejen que f1 y f2 sean monótonamente crecientes
funciones reales en R. Supongamos que para todos a ≥ 0, lo siguiente sostiene:
j(aA +B) ≤
j(aA+ C), (13)
con A = f1(G) y B = f2(G).
Se ve fácilmente que si (13) se mantiene para un cierto valor de a, también se mantiene para todos
valores positivos más pequeños. Let b ser un escalar tal que 0 ≤ b < a. Porque ambos
A y B exhiben sus valores propios como elementos diagonales en la eigenbasis de G,
y ambos en orden no creciente, obtenemos
j(aA +B) =
j (bA+B) + (a− b)
j A).
Por otro lado, para aA + C sólo tenemos la desigualdad de subadditividad
j (aA+ C) ≤
j(bA + C) + (a− b)
j(A).
Como consecuencia, obtenemos que, de hecho,
j (bA+B) ≤
j(bA + C)
sigue de (13).
Por lo tanto, nos llevan a considerar lo que sucede cuando una tiende a infinito, porque
ese valor domina a todos los demás. Sustracción
j=1
j(aA) por ambos lados, y
sustituyendo a = 1/t, obtenemos
j(A + tB)−
j(A)) ≤
j(A+ tC)−
j(A)).
En el límite de t va a 0, esto produce una comparación entre derivados:
j(A + tB) ≤
j(A+ tC). (14)
Demostraremos a continuación que los derivados
j (A + tC) son la diagonal
elementos de C en una determinada base dependiendo de G y C. Vamos a introducir primero
el vector (C;A) cuyas entradas satisfagan la siguiente relación:
(C;A) :=
j(A+ tC). (15)
Con esta notación, la relación (14) se convierte en
j(B;G) ≤
j(C;G).
Es decir, las entradas de B;G están “mayorizadas” por las de C;G. ¿Cómo...?
en la mayoría de los casos, ya que la mayoría de los
ausencia de reordenación de las entradas en orden decreciente.
Introduciendo el símbolo "dw" para la débil mayorización con la falta de reordenación-
mento:
a â € € TM € TM € TM TM € TM TM TM TM â € TM TM TM â TM TM TM TM TM â TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
bj, (16)
relación (14) se expresa como
(B;G) (C;G) (dw) (C;G). (17)
Para justificar estas anotaciones, ahora mostramos:
Proposición 2 Que A y C sean matrices ermitañas. Con la definición del punto C;A) de la parte siguiente:
(15), las entradas del vector ♥(C;A) son las entradas diagonales de C en un determinado
base en la que A es diagonal y sus entradas diagonales aparecen ordenados en non-
aumento del orden. Cuando todos los valores propios de A son simples (es decir, tener multiplicidad
1), esta base es sólo la eigenbasis de A y no depende de C.
Prueba. Hay tres casos que considerar, según que A no sea
degenerado, A + tC tiene una degeneración accidental en t = 0, o A + tC es
Degenerado permanentemente.
1. El caso más importante es cuando todos los valores propios de A son simples, es decir. cuando
tienen multiplicidad 1. Luego mostramos que la derivada es dada por
j(A+ tC) = Tr[Pk(A) C],
donde Pk(A) denota el proyector en el subespacio extendido por el k eigen-
vectores de A correspondientes a sus valores propios más grandes k.
Por la simplicidad de los valores propios de A, los valores propios de A + tC son también
simple para valores lo suficientemente pequeños de t. Esto sigue fácilmente de las desigualdades deWeyl:
j(A) +
n(tC) ≤
j (A+ tC) ≤
j(A) +
1(tC);
por lo tanto si tC es estrictamente menos de la mitad de la diferencia mínima entre
todos los pares de valores propios de A, la diferencia entre todos los pares de valores propios de
A+tC está limitado a 0. Por lo tanto, para t lo suficientemente pequeño, cada valor propio
de A+ tC tiene un eigenvector único, y como resultado Pk(A+ tC) está bien definido
como la suma de los proyectores en los autovectores pertenecientes a la k más grande
valores propios.
Es bien sabido que los valores propios de A+tC como funciones de la variable real
t puede ordenarse de forma que sean funciones analíticas de t (véase [6], capítulo 2),
y por lo tanto continua. Esto implica que el k-ésimo mayor valor propio de A+ tC
es también una función continua de t, para cualquier k.
Si, además, un valor propio (t) de A + tC es simple en un intervalo de t,
entonces el proyector P (t) en el vector de origen x(t) asociado a él (con P (t) =
x(t)x(t)*) también es analítica, y por lo tanto continua en t en este intervalo. Nosotros
concluir que Pk(A+ tC) es analítico en t, y por lo tanto diferenciable.
Por la maximidad de Pk(A) en la caracterización variacional
j(A) = máx.
Tr[AQk] = Tr[APk(A)],
donde Qk pasa por encima de todos los proyectores ranke-k, tenemos
Tr[APk(A + tC)] = 0,
lo que implica
j (A+ tC)
Tr[(A+ tC)Pk(A+ tC)]
Tr[APk(A+ tC)] +
Tr[(A+ tC)Pk(A)]
=Tr[C Pk(A)].
Que U sea el unitario que diagonaliza A, es decir. UAU* = (A). Entonces
Tr[C Pk(A)] =
(UCU*)jj,
y la declaración de la Proposición sigue.
2. Cuando A ha degenerado valores propios, la situación se vuelve algo más
complicado, pero no hay cambios realmente significativos. Ya no hay
un eigenbasis único de A, por lo que Pk(A) no está bien definido para todos k.
en primer lugar considerar el caso en el que C es tal que elimina la degeneración de la
eigenvalues de A en A+ tC para t lo suficientemente pequeño positivo. En ese caso Pk(A+ tC)
se definirá de forma única para todo positivo t menos que algún valor t0, que es el
t positivo más pequeño para el que A + tC tiene una degeneración accidental (que es
lo que también sucede en t = 0).
Esto ocurre, por ejemplo, cuando C tiene valores propios simples. De hecho, por analyt-
icity de los valores propios de A + tC en t, la degeneración es accidental (para
valores aislados de t) o permanentes (para todos los valores de t). Puesto que todos los valores propios
son simples para t lo suficientemente grande, tienen que permanecer simples para todos los valores de t
excepto posiblemente para algunos valores aislados, como t = 0, en este caso. Deje t0
ser el valor positivo más pequeño, entonces A + tC tiene valores propios simples para
0 < t < t0.
Por lo tanto, podemos definir Pk(A) de una manera única como el límite limt→0 Pk(A +
tC). Esta es una opción permitida debido a la continuidad de los valores propios:
j=0
k(A) = Tr[limt→0 Pk(A + tC) A]. Usando el mismo argumento que en el
En el caso anterior, se obtiene el valor de C;A := Tr[limt→0 Pk(A+ tC) C].
Que Łl sean los valores propios de A (multiplicidad no contada), y Ql el projec-
ciones en los correspondientes espacios propios de A (con Q*l el correspondiente in-
los operadores de la conclusion); el rango de Ql es igual a la multiplicidad de Łl, que denotamos
por ml. Para obtener los bloques diagonales Cl := QlCQ, primero construimos los bloques diagonales Cl := QlCQ
(de tamaño ml), a continuación, tome los valores propios
↓(Cl) en orden no creciente de cada
bloque, y luego concatenar las secuencias obtenidas de valores propios:
(C;A) := ((C1),. .............................................................
↓(Cm)).
Si todos los valores propios de A son distintos, esto se reduce al vector de diagonal
elementos de C en la eigenbasis de A que encontramos en el caso 1.
Por ejemplo, si (A) = (5, 5, 3, 1), entonces
1(C1),
2 (C1), C33, C44),
donde C1 =
C11 C12
C21 C22
y todas las entradas de C se toman en la eigenbasis de A.
Que U sea un unitario (que, en este caso, no es único) que diagonaliza A como
UAU* =, y tomar los bloques diagonales Cl de UCU
∗, como se indica más arriba. Cada bloque
se puede diagonalizar usando una Vl unitaria. Junto con U obtenemos el total
rotación en base W := U(
l Vl). Por construcción,
l Vl hojas invariantes, y
resuelve la ambigüedad en U. Obtenemos que ♥(C;A) es el vector de diagonal
las entradas de C en la base obtenida mediante la aplicación de la W unitaria.
3. Finalmente, nos fijamos en el caso cuando A + tC es permanentemente degenerado, es decir.
cuando tiene valores propios degenerados para todos los valores de t. W.l.o.g. Sólo tenemos que hacerlo.
ver t en un intervalo [0, t0), donde t0 es el valor positivo más pequeño para el cual
Un + tC tiene una degeneración accidental. Denotemos por los valores propios
de A+ tC en orden no creciente, multiplicidad mj no contada, y por Pj(t)
los proyectores en los espacios propios correspondientes. En ese caso, Pk(A + tC) es
solo bien definido si hay un j′ tal que k = m1 +m2 +. .. +mj′; entonces nosotros
tienen Pk(A + tC) = P1(t) + P2(t) +... + Pj′(t).
Si no hay tal j′, que j′ sea el número entero más grande tal que k > m1 + m2 +
... +mj′ =: k
′. Así 0 < k − k′ < mj1. Entonces tenemos
j (A+ tC)
miđi(t) + (k − k)
′)j1(t)
=Tr[(A + tC) (P1(t) +.. + Pj′(t) +
k − k′
mj1
Pj1(t))]
=Tr[(A + tC) (
k − k′
mj1
Pkmj1(A+ tC) + (1−
k − k′
mj1
)Pk′(A+ tC))].
Así, si definimos α := (k − k′)/mj1,
j=1
j(A + tC) interpola linealmente
entre
j=1
j(A+ tC) y
*Kmj1*
j=1
j(A + tC) con parámetro α.
Procediendo de la misma manera que en los dos casos anteriores, obtenemos para el
derivado
j (A+ tC) = Tr[C(αPkmj1(A) + (1− α)Pk′(A))],
donde el Pk(A) debe ser sustituido por los límites limt→0 Pk(A + tC) si en
Además hay degeneraciones accidentales en t = 0. Consideremos las entradas
de C otra vez como antes, en una eigenbasis de A en la que aparecen los valores propios de A
en diagonal, en orden no creciente. Lo conseguimos.
(C;A)k = (1− α)
Cii + α
kmj1
Cii. (18)
Debido a la degeneración permanente, una eigenbasis se determina hasta
rotaciones cal” dentro de los diferentes espacios propios. Consideramos una partición de
C en tal eigenbasis correspondiente a estos espacios propios. Es decir, en C nosotros
puede seleccionar bloques diagonales, cada uno de los cuales corresponde al espacio propio de
eigenvalue ♥j. Podemos usar nuestra libertad para elegir las rotaciones locales para hacer
todos los elementos diagonales de C iguales dentro de cada bloque diagonal. Esto nos permite
deshacerse de la interpolación en (18), y finalmente obtenemos que, de nuevo,
(C;A)k =
con las entradas de C tomadas en la eigenbasis que acabamos de elegir. â € € TM TM
El resultado de esta Proposición es que existe una U unitaria tal que
UAU* = (A) y (C;A) = Diag(UCU*). En el caso genérico de que todos
♥i(A) son distintos, U es único y no depende de C.
Una serie de consecuencias fáciles siguen inmediatamente de esta Proposición:
Corollary 2 Que G y C sean matrices ermitañas, f ser monótonamente
aumentar la función real en R, y g cualquier función real que aumenta estrictamente en
R, entonces
i) (f(G);G) = f((G)).
ii) El Teorema de la mayorización de Schur (C;G) obedece al Teorema de la mayorización de Schur: el Teorema de la mayorización de Schur (C;G) y el Teorema de la mayorización de Schur (C).
iii) (C;G) + a(f(G)) = (C + af(G);G), a ≥ 0.
iv) C; f A) = C; A).
Junto con la equivalencia previamente demostrada de (13) con (17), el
El corolario conduce inmediatamente a la siguiente Proposición:
Proposición 3 Para Hermitan G,C, aumentando monótonamente las funciones reales
f1, f2 en R, y A = f1(G), B = f2(G), los siguientes son equivalentes:
(aA+B) (aA+C), (eA+C), (ea ≥ 0 (19))
* (B;G) * (C;G) (20) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (C;G) * (B;G) * (B;G) * (C;G) (20)
(aA+ B;G)(aA+ C;G)(aA+ C;G)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(A+ C;G), (a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)))(a)(a)(a)))(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)(a(a)(a)(a)(a)()(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)()(a)()()()()()()(a)()()(a)()()()(a)(a)()()()( (21)
Prueba.
(19) implica (20): Esto es sólo la Proposición 2.
(20) implica (21): Añádase a(A) a ambas partes e invoque la declaración iii) de la
Corollary.
(21) implica (19): Por declaración (i) del corolario, el LHS de (21) es igual
a (aA+B), mientras que, por declaración (ii) del corolario, su RHS está mayorizada
por (aA+C). â € € TM TM
6 Contraejemplo de la pregunta 2
Si la respuesta a la pregunta 2 es afirmativa, al menos debería ser válida para todos.
funciones de ángulo f(x) = ax+ b(x−x0)
+. Por la Proposición 3 esto es equivalente a
la declaración
((Y − 11)+; Y ) ((X + Y − 11)
+ − (X − 11)+; Y ).
Considere las matrices 3× 3
0,35614 −0,053243 0,10116
−0,053243 0,87456 0,40559
0,10116 0,40559 0,82474
0,53642 0 0
0 0,42018 0
0 0 0,094866
La eigenbasis de Y es, por lo tanto, la base estándar. A continuación, (Y − 11)+; Y ) =
(0, 0, 0) y
(X + Y − 11)+ − (X − 11)+ =
−0,00018194 0,00052449 −0.0016345
0,00052449 0,2573 0,12368
−0,0016345 0,12368 0,04
de modo que (X+Y −11)(X−11)+; Y ) = (−0,00018194, 0,2573, 0.04). La primera
la entrada es negativa, violando la relación de los dw, y por lo tanto respondiendo a la pregunta
2 en negativo. â € € TM TM
7 Aplicaciones adicionales de la mayoría dominada por Y
Una cuestión que tuvimos que abordar durante nuestros intentos de dar una respuesta positiva
a la pregunta 2 se refiere a la posibilidad de reducir la cuestión de la convexa
funciones de ángulo convexo. Una forma de hacerlo habría sido:
posible si el conjunto de (aumentando monotonamente y convexo) funciones satisfactorias
11) se cerraron por adición. Aunque no pudimos probar esto en particular
(lo que es muy probable que sea falso, de todos modos), la Proposición 3 nos permite
demostrar la declaración correspondiente para la relación
(f(Y); Y) (f(X + Y)− f(X); Y). (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Proposición 4 Que todos los valores propios de Y sean distintos. Dejemos que F y G sean func-
ciones de R a R satisfactorias (22). Entonces f + g también satisface (22).
Prueba. Por la suposición en los valores propios de Y, (A; Y ) es igual a Diag(A) en
una base sólo dependiendo de Y y por lo tanto es una función lineal de A. Podemos
por lo tanto sumar las desigualdades (22) para f y g y obtener la correspondiente
Desigualdades para f + g.
Una segunda aplicación de la Proposición 3 es un fortalecimiento de la siguiente Propo-
la situación, que también obtuvimos en el curso de nuestros intentos de
en respuesta a la pregunta 2.
Proposición 5 para X, Y ≥ 0 y ga(x) = ax+
, con un ≥ 0, el siguiente
la declaración de especialización sostiene:
(Ga(Y)) (Ga(X + Y)-ga(X)).
Prueba. De la prueba de Lemma X.1.4 en [4], tenemos, para X, Y ≥ 0,
j ((X + 11)
−1 − (X + Y + 11)−1) ≤
j(11 − (Y + 11)
Definición de la función f(x) = x
= 1− (x+ 1)−1, esto se convierte en:
j(f(X + Y )− f(X)) ≤
j(f(Y)).
Esto implica la declaración de la majorización
j(f(X + Y )− f(X)) ≤
j(f(Y)). 23)
Queremos probar una declaración algo similar para la función ga(x). Desde
ambos f y ga están aumentando monótonamente sobre R
+, y observando que ga(x) =
(a+ 1)x− f(x), tenemos
j(ga(Y ))= ga(
j (Y )) = (a+1)
j(Y )− f(
j(Y))
j(f(Y ))= f(
j(Y)),
para que
j(ga(Y)) = (a+1)
j(Y)−
j(f(Y)).
Esto implica, en particular,
j (ga(Y)) = (a+1)
j (Y)−
j(f(Y))
≤ (a+1)
j (Y)−
j(f(X + Y )− f(X)),
donde hemos insertado (23). Explotar la relación bien conocida ([4], Th.
III.4.1)
j(A+B) ≤
j (A) +
j(B),
para A = (a+ 1)Y − f(X + Y ) + f(X) y B = f(X + Y )− f(X)
j (ga(Y))≤
j(a+1)Y − f(X + Y) + f(X))
j(ga(X + Y )− ga(X)).
Proposición 3, con A = G = Y, B = f(Y ), C = f(X + Y ) − f(X), donde
f(x) = x2/(x+1), luego produce el siguiente fortalecimiento de la Proposición 5:
Proposición 6 para X, Y ≥ 0, y ga(x) = ax+
, con un ≥ 0,
* (ga(Y ); y ) * dw (ga(X + Y )− ga(X); y ).
Aquí observamos que ga(X + Y)− ga(X) = aY + f(X + Y)− f(X).
Para terminar esta Sección, presentamos una tercera aplicación de la Proposición 3, a saber:
a los resultados de Kosem y Bourin-Uchiyama. Considerar la primera desigualdad (3),
que contiene para todas las funciones cóncavas no negativas f(x). En particular, sostiene que
para todas las funciones f = ax+ f0(x), donde f0 es cóncava no negativa, y a ≥ 0.
Insertando esto en la forma de inequidad autovalor-mayorización (3), obtenemos el
Relación de mayorización dominada por A+B
(a(A+B) + f0(A+B)) (a(A +B) + f0(A) + f0(B)),
para A,B ≥ 0. Proposición 3 entonces inmediatamente da la forma más fuerte
(f(A+B);A+B) (dw) (f(A) + f(B);A+B), (24)
para todas las funciones cóncavas no negativas f. El fortalecimiento de la desigualdad (4)
se realiza de una manera completamente idéntica y produce la desigualdad inversa
de (24) para funciones convexas no negativas g tales que g(0) = 0.
Agradecimientos
JSA agradece al profesor Moin Uddin, director de su instituto por
y apoyando su visita para asistir a la conferencia en Nova Sureste
Universidad, Fort Lauderdale, Florida, EE.UU., que llevó a su introducción a
Koenraad M.R. Audenaert y la finalización de este trabajo.
KA agradece al Instituto de Ciencias Matemáticas, Imperial College de Londres,
para el apoyo. Su trabajo es parte del QIP-IRC (www.qipirc.org) apoyado por
EPSRC (GR/S82176/0).
Bibliografía
[1] T. Ando, “Comparación de normas f(A)− f(B) y f(A−B)”, Matemáticas. Z.
197, 403 a 409 (1988).
[2] T. Ando y X. Zhan, “Desigualdades de las normas relacionadas con el monotono del operador
funciones”, Math. Ann. 315, 771 a 780 (1999).
[3] J.S. Aujla y F.C. Silva, “Desigualdades de majorización débiles y funciones convexas”,
Lin. Alg. Appl. 369, 217–233 (2003).
[4] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, Heidelberg (1997).
[5] J.-C. Bourin y M. Uchiyama, “Desigualdad de subadditividad matricial para f(A+B)
y f(A) + f(B),” Arxiv.org E-print math.FA/0702475 (2007).
[6] T. Kato, Teoría de la Perturbación para los operadores lineales, Reimpresión de la edición de 1980,
Clásicos en Matemáticas, Springer-Verlag, Berlín (1995).
[7] T. Kosem, “Desigualdades entre f(A + B) y f(A) + f(B)”, Lin. Alg.
Appl. 418, 153–160 (2006).
http://arxiv.org/abs/math/0702475
Introducción
Preliminares
Principales resultados
Prueba de la Propuesta 1
En la mayoría dominada por Y
Contraejemplo de la pregunta 2
Otras aplicaciones de la mayoría dominada por Y
Agradecimientos
Bibliografía
|
704.01 | Topology Change of Black Holes | Cambio de topología de los agujeros negros
Daisuke Ida
y Masaru Siino
1Departamento de Física, Universidad de Gakushuin, Tokio 171-8588, Japón.
2Departamento de Física, Instituto de Tecnología de Tokio, Tokio 152-8550, Japón.
(1o de abril de 2007)
Resumen.
La estructura topológica del horizonte de eventos ha sido investigada en términos de
Teoría Morse. El proceso elemental de la evolución topológica se puede entender
como un accesorio de manilla. Se ha comprobado que existen ciertas limitaciones a la
la naturaleza de la evolución topológica del agujero negro: (i) Hay n tipos de mango
attachments in (n+1)-dimensional black hole space-times. ii) Las manijas son más amplias
clasificados como de tipo blanco o negro, y sólo los mangos negros aparecen en reales
agujero negro espacio-tiempos. iii) La sección espacial de un exterior del agujero negro
la región siempre está conectada. Como corolario, se demuestra que la formación de un
agujero negro con un horizonte Sn−2 × S1 desde el que con un horizonte Sn−1 debe ser
no aximmétrico en espacios-tiempos asintóticamente planos.
1. Introducción
Los agujeros negros en espacios-tiempos de mayor o igual a cinco dimensiones tienen ricos
estructura topológica. Según los conocidos resultados de Hawking sobre
la topología de los agujeros negros en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el horizonte aparente
o la sección espacial del horizonte de eventos estacionario es necesariamente difteromórfica
a una 2-esfera. [1, 2] Esto se deriva del hecho de que la curvatura total, que es
la integral de la curvatura escalar intrínseca sobre el horizonte, es positiva bajo el
condición energética dominante y del teorema de Gauss-Bonnet. Alternativas y
ha mejorado las pruebas del teorema de Hawking han sido dadas por varios autores. [3, 4, 5, 6]
Sin embargo en el espacio-tiempos dimensionales superiores, un horizonte aparente o el espacio espacial
sección del horizonte de eventos estacionario puede no ser una esfera topológica, [7, 8, 9, 10]
porque el teorema de Gauss-Bonnet no se sostiene en tales casos. Sin embargo,
la positividad de la curvatura total del horizonte todavía se mantiene. Esto pone seguro
restricciones topológicas en la topología del agujero negro, aunque son bastante débiles. Por
ejemplo, el horizonte aparente en el espacio-tiempo de cinco dimensiones puede consistir en finitamente
muchas sumas conectadas de copias de S3/». y copias de S2 × S1. De hecho, exacto
soluciones que representan un agujero negro espacio-tiempo que posee un horizonte no esférico
La topología se ha encontrado recientemente en la relatividad general de cinco dimensiones. Cuando tales
agujeros negros con topologías no triviales se consideran como formadas en el curso
de colapso gravitacional, cuestiones relativas a la evolución de la topología del negro
los agujeros surgen naturalmente. Nuestro propósito aquí es entender la evolución del tiempo de la
topología de horizontes de eventos en un entorno general. La relación entre el conjunto de pliegues,
donde el horizonte de eventos no es diferenciable, y la topología del horizonte de eventos
está estudiado en Refs. [11, 12, 13] para el espacio-tiempos de cuatro dimensiones. En el presente
trabajo, realizamos una investigación sistemática y encontramos reglas útiles para determinar
procesos admisibles de evolución topológica para el corte temporal de un agujero negro.
Nuestro enfoque es utilizar la teoría Morse [14, 15] en la topología diferencial. Los
La teoría de Morse es útil para el propósito de entender la topología de suave
http://arxiv.org/abs/0704.0100v3
multiples. La herramienta básica utilizada en este enfoque es una función fluida en un diferen-
multiples. El horizonte de acontecimientos, sin embargo, no es un múltiple diferenciable, pero
tiene una estructura similar a cuña en los puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos
del horizonte. Por esta razón, primero suavizamos la cuña. Entonces, el suave
función de tiempo que se supone que existe juega el papel de la función Morse en el
alisó el horizonte de eventos. Según la teoría de Morse, la evolución topológica
el horizonte del evento puede entonces ser descompuesto en procesos elementales llamados “han-
En tal proceso, comenzando con un horizonte esférico, se añade
varios mangos, cada uno caracterizado por el índice de los puntos críticos del Morse
función, que es un entero que va de 0 a n (la dimensión de la
horizonte como un colector diferenciable).
El propósito del presente artículo es demostrar que hay varias limitaciones
en los accesorios del mango para los espacios-tiempos del agujero negro reales.
2. La teoría de Morse para horizontes de eventos
Que M sea un espacio-tiempo asintóticamente plano (n+1)-dimensional. Requerimos el
existencia de una función global del tiempo t : M → R que es suave y tiene un en todas partes
gradiente de apuntamiento temporal y futuro. El horizonte de eventos H se define como el
límite del pasado causal del futuro null infinity H = ♥J−(I +). [2] Tratamos
el horizonte de evento definido con respecto a un único extremo asintótico, a menos que lo contrario
indicado. En otras palabras, el futuro infinito nulo, I +, se supone que está conectado.
La región del agujero negro B se define como la región interior de H, específicamente, como B =
M \ J−(I +), y la región exterior E de la región del agujero negro es su complemento,
E = int(J−(I +)). Nos referimos a la intersección de la región del agujero negro y el
time slice (t0) = {t = t0} como el agujero negro B(t0) = B (t0) en el momento t = t0.
La región exterior en el momento t = t0 está, en consecuencia, escrita E (t0) = E (t0).
Una de las propiedades más básicas del horizonte de eventos es que se genera por null
geodésicos sin futuros puntos finales. En general, el horizonte de eventos no es fácil
incrustado en el espacio-tiempo múltiple M, pero tiene una estructura similar a cuña en
los puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos, en los que
Los generadores se cruzan. Llamamos al conjunto de puntos finales pasados de generadores geodésicos nulos
de H, de la cual emanan dos o más generadores geodésicos nulos, el juego de pliegues
S. [11, 12] Cuando no existe un conjunto de pliegues S entre las secciones de tiempo t = t1 y t = t2, la
Los generadores geodésicos nulos de H definen naturalmente un difeomorfismo.
Por lo tanto, la evolución topológica de un agujero negro sólo puede tener lugar cuando el tiempo
S. Por supuesto, el horizonte de eventos en sí mismo es un indicador-
objeto independiente. Sin embargo, a menudo entendemos la dinámica del espacio-tiempo
escaneando a lo largo de rebanadas de tiempo. Así, la evolución topológica de un agujero negro
depende de la función de tiempo.
Se espera que la teoría de Morse [14] proporcione técnicas útiles para analizar
un proceso de evolución topológica. Porque la teoría de Morse se ocupa de
funciones en los colectores lisos, primero regularizamos H alrededor del conjunto de pliegues S.
horizonte de eventos no es necesariamente suave, incluso en H \ S, en el caso de que el futuro
null infinity I + tiene una estructura patológica. [16] Aquí se asume que H es
suave en H \ S. Luego, pequeñas deformaciones de H cerca del conjunto de pliegue S hará
H una hipersuperficie lisa H. en M, mientras que B.(t0) permanece deformada de tal manera
que ♥Bś(t0) = Hś Ł(t0) mantiene y Bś(t0) sigue siendo homeomórfico al original
agujero negro para todos los t0 o R. Esta deformación se supone que es tal que el tiempo
Gráfico 1 Un ejemplo en el que ningún procedimiento de suavizado hace
t eH una función Morse en Hś. Aquí, la intersección del conjunto de pliegues
S del horizonte de evento y t = t0 hipersuperficie tiene una acumulación
punto.
función t eH, que es la restricción de t en H
tiene sólo puntos críticos no degenerados, donde el gradiente de t eH definido en H
se convierte en cero y donde también la matriz de Hessian (?i?jt eH) de t eH no es degenerada.
Aunque esta suposición debe sostener para una amplia clase de sistemas, no siempre
Espera. La figura 1 da un ejemplo para el cual ningún procedimiento de suavizado hace que la
función de tiempo inducida t eH una función de Morse en H, porque la intersección de la
Set de pliegue S del horizonte de evento y la hipersuperficie t = t0 tiene una acumulación
punto. Es altamente no trivial determinar si este procedimiento de suavización es
genéricamente posible. Sin embargo, no es fácil ni el propósito principal de este artículo
para afirmar en el ámbito de la validez de la suposición, y por lo tanto hacemos esto
suposición sin indagar sobre su validez.
Según el Morse Lemma, hay un sistema de coordenadas local {x1, · · ·, xn}
sobre Hû en el barrio del punto crítico p Hû de tal manera que la restricción t eH
de la función de tiempo t en Hś toma la forma
t eH(x
1, · · ·, xn) = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2.
El entero, que va de 0 a n, se llama el índice del punto crítico p.
la topología del agujero negro B(t) cambia cuando (t) pasa por puntos críticos,
o equivalente, cuando la función de tiempo t toma valores críticos. Esto implica que
puntos críticos aparecen sólo cerca del conjunto de pliegues S.
El campo vectorial similar al gradiente para t eH se define como el campo vectorial tangente X
de tal manera que Xt eH > 0 se mantiene en Hū, a excepción de los puntos críticos, y tiene la forma
X = −2x1
− · · · − 2x
+ 2x+1
* x x 1 *
+ · · 2xn
cerca del punto crítico del índice , en términos del sistema de coordenadas estándar
aparece en el Morse Lemma. Elegimos un campo vectorial similar al gradiente X de tal manera que
coincide con el futuro-dirigido campo vectorial tangente de generadores geodésicos nulos
de H, excepto en un pequeño barrio del conjunto de pliegues S (Fig. 2). El efecto de
un punto crítico p del índice es equivalente a la fijación de un ♥-handle. [14, 15]
El manubrio es sólo un n-disco topológico Dn (I = [0, 1]), pero se considera
como el espacio del producto Dn Dn Dn (Fig. 3). El accesorio de la mano de la mano a un n-
el colector dimensional N con un límite consiste en el conjunto h. = (D. ×Dn, f),
donde el mapa adjunto f induce la incrustación de
N (Fig. 4). El nuevo colector obtenido a través de la unión de la mano de N es
Gráfico 2 El procedimiento de suavizado del horizonte de eventos H.
el campo vectorial similar al gradiente en H se puede construir a través de un ligero
deformación de los generadores geodésicos nulos de H. Aquí, el efecto
del conjunto de pliegues S ha sido sustituido por el de los puntos críticos
p1, p2 y p3.
Gráfico 3 La estructura local alrededor del punto crítico p del índice
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se puede ver que Hût(p) es homeomórfico a Hût(p) con una
Atadura de mano.
dado por
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
Vamos a denotar por la parte t ≤ t0 de H Entonces, Hût(p) ( > 0) justo por encima de la
el punto crítico p del índice es homeomórfico (de hecho difeomórfico, teniendo en cuenta
del procedimiento de suavizado) a que justo debajo de p, H
Ht(p) Ht(p)
si no hay otros puntos críticos que satisfagan t(p) ≤ t ≤ t(p). El cuerpo de la manija
a sí mismo es denotado por hl también.
Consideremos varios ejemplos. El accesorio 0-handle no necesita un
adjuntando el mapa f. Simplemente corresponde a la emergencia de la (n − 1)-esfera
Sn−1 Ł ŁDn como horizonte de agujero negro ♥B(t). Un ejemplo típico es la creación de un
agujero negro (fig. 5): Un agujero negro siempre emerge como un accesorio 0-handle. El otro
Gráfico 4 La fijación de un manguito y un 2 manguito a un
3-manifold N crea un nuevo 3-manifold N â € h1 â € h2.
Gráfico 5 La aparición de un agujero negro a través de un accesorio 0-handle.
Gráfico 6 La aparición de una burbuja en la región del agujero negro por
Fijación 0-handle, que no ocurre en el agujero negro real
espacio-tiempos.
Gráfico 7 La colisión de un par de agujeros negros, creando un solo
agujero negro, se realiza a través de un accesorio de 1 mano.
possiblity es la creación de una burbuja que es subconjunto de J−(I +) en una región de agujero negro
(Fig. 6). Uno podría pensar que esto corresponde a la creación de agujeros de gusano entre el
regiones internas y externas del horizonte de acontecimientos. Aunque en el marco de la
teoría estándar de Morse en Hś, estos dos ejemplos son indistinguibles, que a continuación
ver que este último proceso es, de hecho, imposible.
A continuación, consideramos un accesorio de 1 mano. Un ejemplo típico es la colisión de dos
agujeros negros. Un 1-handle sirve como un puente que conecta los agujeros negros, o corresponde
a tomar la suma conectada de cada componente de múltiples agujeros negros (Fig. 7).
Gráfico 8 La bifurcación de un agujero negro en dos está representada
por un accesorio (n − 1)-handle. Esto, sin embargo, nunca ocurre en
verdadero agujero negro espacio-tiempos.
Gráfico 9 La estructura de la mano. El núcleo D. × {0} corre-
sponds al submanifold estable con respecto al generador de flujo-
atendido por el campo vectorial similar al gradiente, y el co-núcleo {0} ×Dn
corresponde al submanifold inestable.
La inversión de tiempo de la colisión de agujeros negros consiste en la bifurcación de uno
agujero negro en dos. Esto se realizaría a través de un accesorio (n - 1),
si tal proceso fuera posible (Fig. 8). Sin embargo, es bien sabido que tal
el proceso está prohibido. [2] En general, la inversión de tiempo de la fijación de la mano
corresponde a la unión (n− )-manilla.
Antes de discutir casos generales, consideremos la estructura de un manillar.
Recordemos que una mano-de-revestimiento consiste en el espacio del producto D♥ × Dn. El subconjunto
Se llama el núcleo del manillar, y {0} ×Dn
Dl ×Dn se llama el co-núcleo. El núcleo y el co-núcleo se cruzan transversalmente en un
punto. Este punto puede ser considerado como un punto crítico p.
Vamos a referirnos al subconjunto Ws(p) de H
(1) Ws(p) = {q M lim
expq tX = p}
que consiste en puntos que convergen a p a lo largo del flujo generado por el gradiente-
como campo vector X, como el colector estable con respecto al punto crítico p.
El colector estable Ws(p) es homeomórfico a R
Si el índice de p es dado por ♥. [17]
Similarmente, vamos a referirnos al subconjunto Wu(p)
a p a lo largo del flujo generado por (-X) como el colector inestable con respecto a p.
Para el colector inestable, Wu(p)
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no... Las porciones del establo y
Los colectores inestables en el cuerpo de la manivela pueden ser considerados como correspondientes al núcleo
y co-núcleo, respectivamente.
El efecto de suavizar el horizonte de eventosH a Hū es deformar el campo vectorial nulo
generar H en un campo vectorial similar al gradiente X. La diferencia principal entre
los generadores geodésicos nulos y el flujo generado por X es que el primero hace
no tienen futuros puntos finales, pero estos últimos pueden. Por lo tanto, son admisibles y
procedimientos inadmisibles para el fluido múltiple H Un procedimiento admisible es el siguiente:
, que se obtiene a partir de un horizonte de acontecimientos realizable en principio, mientras que un
inadmisible se construye a partir de un horizonte de acontecimientos espurios, es decir, uno que consiste en
de la hipersuperficie nula que contiene generadores geodésicos nulos con un punto final futuro.
3. La estructura de los puntos críticos
La topología espacial de un agujero negro cambia sólo cuando la función de tiempo toma un
valor crítico. La evolución del tiempo de la topología del agujero negro se puede entender por
teniendo en cuenta su estructura local en torno a puntos críticos. Para determinar si un determinado
cambio topológico es admisible o inadmisible, no es suficiente considerar sólo
la estructura intrínseca del horizonte de eventos. Más bien, es necesario tener en cuenta
de su estructura empotrada en relación con el espacio-tiempo.
En una rebanada de tiempo, cualquier punto separado de Hś pertenece a cualquiera de los dos agujeros negros
o el exterior de la región del agujero negro. Es útil considerar el comportamiento local
de la región del agujero negro o la región exterior cerca del punto crítico p. Llamemos
el exterior E de la región del agujero negro simplemente la región exterior, para la brevedad. Los
la región exterior está ligeramente deformada por el procedimiento de suavizado. Los deformados
región exterior se denota por , y la región exterior deformada en el momento t por
(t) = (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t).2..............................................................................................................................................................................................................................................................
El mango 0 se coloca en unas t ≥ t(p). Tal apego describe el emer-
sión de la región del agujero negro en el punto crítico p y su expansión con el tiempo.
La aparición de una burbuja, que consiste en una parte de J−(I +), en el fondo
de la región del agujero negro también sería descrito por un accesorio 0-handle. Esto,
Sin embargo, nunca ocurre, como se explica a continuación en detalle. Por lo tanto, un accesorio 0-handle
siempre describe la creación de un agujero negro homeomórfico al n-disco.
Un accesorio n-handle corresponde a la inversión de tiempo de un agregado 0-handle-
mento. Este proceso, sin embargo, nunca ocurre en el espacio-tiempo del agujero negro real. Un n-
manillar se define para t ≤ t(p), lo que significa que termina en el punto crítico
p. El conjunto de pliegues se aísla en puntos críticos durante el curso del suavizado
procedimiento. El campo vectorial similar al gradiente, que se puede considerar tangente
al generador del horizonte del acontecimiento deformado H..., puede tener varios hacia adentro (con-
en el punto crítico debido a este procedimiento de suavización, mientras que el
generador nulo original del horizonte de evento no tiene una dirección interior en
el juego de pliegues. En el caso del n-handle, todas las direcciones se vuelven hacia el interior en el
punto crítico. Esto implica que los generadores nulos del horizonte de eventos H deben
tener puntos finales futuros en el punto crítico, que es, por supuesto, imposible. Lo es.
así visto que un accesorio n-handle nunca ocurre en el espacio-tiempos del agujero negro real.
El resto de los casos son adjuntos con mango para 1 ≤ ≤ n − 1. En estos
En el futuro, el punto crítico se encuentra a ambos lados del punto crítico p.
[t > t(p)] y en el pasado [t < t(p)]. Entonces, consideramos el caso en el que la manija
existe durante el intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño t • [t(p) − •, t(p) +
entender el cambio topológico de la región del agujero negro en el punto crítico p.
Gráfico 10 El barrio U de p está separado por h
región futura, U+, y la región pasada, U−.
Primero, introducimos un sistema de coordenadas {t, xi} (i = 1, · ·, n) en el barrio
U de p, donde t es una función dada del tiempo, y {xi} es la extensión sobre U de
la coordenada canónica que aparece en el Morse Lemma de tal manera que cada curva
(x1, · ·, xn) = [const] es temporal en U. Asumimos que U es el cilindro sólido
dado por t [t(p), t(p)],
xi)2 ≤ . En este sistema de coordenadas, el
la superficie de la silla de montar es dada por la superficie de la silla de montar
t = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2
en U, que es un conjunto acausal si la constante
es tangente a la hipersuperficie similar al espacio t = t(p) en p. Por lo tanto, h
U en dos subconjuntos abiertos, el futuro y las regiones pasadas U+ y U− de U, donde
U+ y U− son los subconjuntos de futuro cronológico y pasado, respectivamente, de
n.c.o.p. Explícitamente, el futuro y las regiones pasadas U± son las regiones
Satisfacción
t t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2
en U, respectivamente (fig. 10).
Debido a que la mano es un subconjunto de la frontera del agujero negro H, uno de U± es
contenido en la región del agujero negro, Bû, y el otro en la región exterior, .
Sin embargo, la futura región U+ de U siempre está incluida en la región del agujero negro, es decir.
U+ â € TM B¬, y por lo tanto tenemos U− â € TM, ya que el horizonte es el límite del pasado
set, J−(I +). Por lo tanto, la región del agujero negro Bû(t(p) − ) U en U en el momento
t = t(p)− justo antes de que el tiempo crítico sea dado por
(x1)2 + · · (xl)2 > (xl)2 + · · (xn)2 +,
la cual es homotópica a la esfera S1. (En el caso de = 1, S0 consiste simplemente en:
dos puntos.) Similarmente, Bū(t(p) + ) U justo después de que el tiempo crítico es dado por
(x1)2 + · · (xl)2 + > (xl)2 + · · (xn)2,
que es homotópico para el n-disco. De esta manera, la región del agujero negro se restringió a
el pequeño barrio del punto crítico p es inicialmente homotópico a una esfera.
Luego, la región interna de la esfera se llena en el momento crítico t = t(p) y
eventualmente se vuelve homotópicamente trivial. La región exterior, (t) U, en U es
inicialmente homotópico a un n-disco para t = t(p) −. Entonces, su (n − ♥)-dimensional
dirección es penetrada por la región del agujero negro en t = t(p), y así se convierte en
homotópico a una (n− 1)-esfera Sn1 para t = t(p) +. Si el suceso espurio
horizonte también se tiene en cuenta, la futura región U+ podría ser un subconjunto de , y
Por lo tanto, la región pasada U- podría ser un subconjunto de B Luego, la región del agujero negro en
la mano de podría ser homotópica a un n-disco inicialmente y llegar a ser homotópica a un
(n1)-esfera finalmente, y viceversa para la región exterior. Vamos a referirnos a tal
un cambio topológico de la región del agujero negro B(t)U de una región homotópica a
esfera a una región homotópica a un disco como un accesorio de mango negro, y que desde
una región homotópica a un disco a una región homotópica a la esfera como un mango blanco
attachment. La observación anterior muestra que sólo un accesorio de mango negro
ocurre si se considera un barrio suficientemente pequeño del punto crítico. Por
por ejemplo, una colisión de agujeros negros corresponde a un accesorio negro de 1 mano, mientras que
la bifurcación de un agujero negro corresponde a un accesorio blanco (n − 1)-handle
en el sentido de que el tipo de homotopía de la región exterior (t)
la de Sn−2 a la de Dn. Este argumento local también elucida la razón de que
choque agujero negro es admisible mientras que una bifurcación agujero negro, que es su tiempo
inversión, es inadmisible. También observamos que el efecto de la inversión de tiempo es convertir
un accesorio negro de la mano en un accesorio blanco de la mano (n− ).
Es conveniente hacer referencia a la fijación 0-handle correspondiente a la cre-
sión de un agujero negro como un accesorio negro de 0 manos. Entonces, la proposición de arriba
también se aplica a un accesorio 0-handle.
4. Conectividad de la región exterior
También existen procesos que son irrealizables debido a las condiciones mundiales. Vamos.
nosotros, por un momento, considerar el horizonte de eventos en Schwarzschild al máximo extendido
espacio-tiempo. Aunque estamos interesados en el horizonte de eventos definido con respecto a
un extremo asintótico específico, para el propósito de la explicación, examinamos el evento
horizonte definido con respecto a un par de extremos asintóticos en el espacio Schwarzschild-
tiempo (Fig. 11).
Dejar I + 1 y I
2 ser el par de futuros infinitos nulos de la máxima extensión
Schwarzschild espacio-tiempo. El horizonte de eventos aquí está definido por H =
2 ), que no es diferenciable en el horizonte bifurcado F = J
−(I +1 )J
− (I + 2).
Que no sea una función de tiempo global y χ ser una función de coordinación radial global tales
que cada t de dos superficies, χ = [const] es invariante bajo la isometría SO(3). Estos
Las coordenadas se eligen de forma que la superficie de bifurcación F se encuentre en t = χ = 0
y el horizonte de eventos H está determinado por t = alrededor de F. El evento suavizado
horizonte también se considera que es invariante en virtud de la isometría SO(3). Debido a la
simetría de la configuración, la función de tiempo t tiene puntos críticos de degenerado
type. De hecho, cualquier punto en el horizonte bifurcado F es crítico. Aquí, no estamos interesados
en una situación tan no genérica. En su lugar, consideramos un tiempo ligeramente diferente cortando
determinado por la nueva función de tiempo
t′ = t+ sin2
en los casos en que ≤ > 0 sea una constante positiva suficientemente pequeña y , que satisfaga 0 ≤ ≤ η,
es la coordenada polar habitual de la 2-esfera. Entonces, sólo aparece un par de
puntos críticos aislados en el polo norte ( = 0) y el polo sur ( ) en
el horizonte bifurcado F, y la función de tiempo t′ se convierte en la función Morse en
Hū. En el momento t′ = 0, el agujero negro aparece en el polo norte. Esta es la
Fijación 0-handle. El agujero negro formado allí crece en un espesor geométrico
caparazón esférica con un agujero en el polo sur, que es, sin embargo, un topológico
3 discos. En el momento t′ =, la punción en el polo sur se llena, y el negro
región de agujero se convierte en topológica S2 × [0, 1]. El horizonte de acontecimientos deformado Hū se divide
en una unión desarticulada de un par de 2 esferas. Este es el accesorio de dos manos.
Este tipo de adjunto de 2 manos ocurre porque el horizonte de eventos está definido
con respecto a los dos extremos asintóticos, que en general es inadmisible si el
futuro infinito nulo está conectado, como suponemos a partir de este punto. Para entender el
supra, cabe señalar que no existe un proceso mediante el cual la
varios componentes conectados de la región exterior (t) = (t) en el momento t
fusionarse en un momento posterior porque un accesorio de tal manija no es admisible.
También se ve que ningún componente conectado de (t) desaparece, porque possi-
ble n-handle adjuntos son inadmisibles. Estos hechos implican que el número de
los componentes conectados de la región exterior (t) no pueden disminuir con el tiempo
función t. Por otro lado, sólo hay un componente conectado de la exte-
región rior (t) para t suficientemente grande, debido a la conexión de I +. Esto
la observación muestra que la región exterior (t) permanece conectada en cualquier proceso.
El único proceso posible a través del cual el número de componentes conectados
de la región exterior (t) los cambios es un accesorio (n− 1)-handle, tal como está construido
arriba en el espacio-tiempo Schwarzschild. Esto se debe a que el subconjunto D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o.
H2 H1
t' = t' (p)
B (t'(p))
II 12
Gráfico 11 La figura de la izquierda es un diagrama conformal de la
Schwarzschild alargado al máximo el espacio-tiempo. La estructura de
el horizonte de evento definido con respecto a los dos extremos asintóticos
se representa a la derecha, con una dimensión omitida. El sombreado
región representa la región del agujero negro en el momento crítico t = t(p).
Esto corresponde al accesorio de 2 manos, donde el exterior
la región se separa en un par de componentes conectados.
el límite de la mano
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa deberán cumplir los requisitos del anexo II del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de junio de 2013, por el que se establecen las normas de homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se modifica el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).
a saber, la parte de la parte de la que se adjunta que es el complemento de la preimagen de la
f :..................................................................................................................................................
se desconecta sólo cuando = n − 1. En este caso, el tipo de homotopía de la
región exterior (t) cambia de la de un n-disco a la de S0, a saber, dos puntos.
Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no implica que la región exterior (t) es siempre
separado en dos partes desconectadas a través de la unión (n− 1)-handle. Por
ejemplo, una transición desde el horizonte de anillo negro Sn−2 × S1 a la esférica
horizonte de agujero negro Sn−1 se realiza a través de un accesorio de mango negro (n−1),
que pellizque la longitud {un puntoS1+Sn−2 ×S1 en un punto. El exterior
región (t) permanece conectado todo el tiempo. Por lo tanto, tanto son admisibles como admisibles.
procedimientos inadmisibles para los accesorios de mano (n−1). Un accesorio de mano (n−1)
es inadmisible si separa la región exterior (t).
5. Observaciones finales
Los argumentos que se dan en este documento se veranizan con las siguientes reglas. Como...
sume que (i) un (n+ 1)-dimensional espacio-tiempo M es asintóticamente plano y el
futuro null infinito I + está conectado, o el horizonte de eventos H = J−(I +) está definido
con respecto a un único extremo asintótico, ii) el espacio-tiempo M admite un suave
función de tiempo global t, (iii) el horizonte de eventos H se puede deformar de modo que el negro
deformado en consecuencia en cada momento t es suave y homeomórfico a orig-
inal uno B(t) en cada momento t y la función de tiempo t se convierte en la función Morse
sobre el asunto H.O.M. Entonces, la evolución topológica del horizonte de eventos puede ser considerada como un
Acoplamiento con mango (0 ≤ ≤ n) sujeto a las siguientes normas:
1) El anexo n-handle es inadmisible.
(2) Únicamente el accesorio negro con mango (0 ≤ ≤ n − 1), en el que el negro
región de hoyo en el barrio del punto crítico varía de la región
homotópico a la esfera S1 (considerado como el conjunto vacío para = 0) a la
N-disk Dn, es admisible.
(3) El accesorio (n − 1)-handle que separa la sección espacial de la
región exterior del agujero negro es inadmisible.
La primera regla simplemente establece que ningún componente conectado de un agujero negro disap-
Peras. También implica que si una burbuja de la región exterior se forma dentro del negro
región del hoyo, no desaparece.
La segunda regla se refiere a la estructura incrustada del horizonte de eventos
relativa al colector espacio-tiempo. El barrio del punto crítico es sep-
se divide en dos regiones por el horizonte de acontecimientos. Uno cambia homotópicamente de un
esfera a un disco y el otro de un disco a una esfera. Lo llamamos un mango negro en...
tacment cuando el primero corresponde a la región del agujero negro y un mango blanco
Por otra parte, el apego. Entonces, la segunda regla dice que un mango blanco...
Nunca ocurre. El proceso inverso, en el que una región de agujero negro homotópicamente
se descartan los cambios de un disco a una esfera. Un accesorio 0-mano blanco, que
Gráfico 12 Formación de anillo negro de un agujero negro esférico debe
ser no aximmétricos en el espacio-tiempo real del agujero negro.
describe el surgimiento de la región exterior, también está prohibido. Esto da un...
otra razón para el resultado bien conocido que un agujero negro no puede bifurcar, porque
corresponde a un accesorio blanco (n− 1)-handle.
La segunda regla se aplica a situaciones más generales. Por ejemplo, consideremos
la evolución topológica del horizonte de eventos de Sn−1 a Sn−2 × S1 en (n+1)-
espacio-tiempo dimensional (n ≥ 3). Cuando se realiza con un solo punto crítico,
corresponde a un accesorio de 1 mano. Aquí, uno podría esperar dos posibilidades si
no se considera la segunda regla. Una posibilidad es que el 1-handle se adjunta en
la región exterior del agujero negro. Esto es localmente equivalente a la fusión de un
un par de agujeros negros, donde estos dos agujeros negros están conectados a otro lugar irrelevante.
La otra posibilidad es que se une desde el interior de tal manera que el 1-handle
perfora la región del agujero negro. En los espacios-tiempos asintóticamente planos, sólo los últimos
incluye configuraciones aximétricas de tal manera que se pellizque un agujero negro esférico
a lo largo del eje simétrico; aquí la configuración aximétrica es tal que
el espacio-tiempo posee la isometría SO(n − 1) y el corte del tiempo respeta
Esta simetría. Sin embargo, esta última posibilidad corresponde a un manguito blanco
apego, que es imposible, y sólo el primero, que corresponde a un negro
Un accesorio de 1 mano, es posible. En particular, una transición de un evento esférico
horizonte ( Sn−1) a un horizonte de anillo negro ( Sn−2×S1) en un espacio asintóticamente plano-
veces no es siempre axisimmétrico en el sentido de que tal configuración no puede
posee simetría SO(n− 1) (Fig. 12).
Mientras que el horizonte aparente debe ser difeomórfico a una dos-esfera en cuatro-
espacio-tiempos dimensionales bajo la condición de energía dominante, un evento torus hori-
zon puede aparecer, incluso bajo la condición energética dominante, a través de un mango negro
fijación al horizonte esférico. Más generalmente, un horizonte de eventos con un
El número arbitrario de genura puede estar formado por varios accesorios negros de 1 mano.
La tercera regla no está directamente determinada por la estructura local de la
punto. En él se afirma que la región exterior E (t) = E (t) en cada momento es siempre
conectado bajo el supuesto de que I + está conectado. Por lo tanto, la posibilidad de que
allí forma una burbuja de la región exterior dentro del horizonte del agujero negro se gobierna
Fuera. Sin embargo, hay que señalar que tal proceso es posible si I + consiste en
de varios componentes conectados. Esto también puede estar relacionado con la topología
teorema de censura. [19] El teorema de censura topológica afirma que todos los factores causales
las curvas de I − a I + son homotópicas bajo la condición de energía nula. Esto también
prohíbe la formación de una burbuja de la región exterior dentro del agujero negro, porque
de lo contrario habría dos curvas causales no homotópicas de I − a I +, una
pasando dentro del horizonte y el otro fuera. Nuestro argumento, sin embargo, no
dependen de las condiciones energéticas.
Bibliografía
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http://arxiv.org/abs/gr-qc/9410004
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9410023
http://arxiv.org/abs/hep-th/0102149
http://arxiv.org/abs/hep-th/0509013
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0509107
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0608118
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9701003
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0405056
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9611032
http://arxiv.org/abs/hep-th/0110260
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9305017
1. Introducción
2. La teoría de Morse para horizontes de eventos
3. La estructura de los puntos críticos
4. Conectividad de la región exterior
5. Observaciones finales
Bibliografía
| La estructura topológica del horizonte de eventos ha sido investigada en términos
de la teoría Morse. El proceso elemental de evolución topológica puede ser
entendido como un accesorio de manija. Se ha encontrado que hay
limitaciones a la naturaleza de la evolución topológica del agujero negro: (i) Hay n
tipos de accesorios de mango en (n+1) dimensiones de agujero negro espacio-tiempos. ii)
Las manijas también se clasifican como de tipo blanco o negro, y sólo negro
los mangos aparecen en el espacio-tiempos del agujero negro real. iii) La sección espacial de un
exterior de la región del agujero negro siempre está conectado. Como corolario, es
muestra que la formación de un agujero negro con un horizonte S**(n-2) x S**1 desde
que con un horizonte S**(n-1) no debe ser aximétrico en asintóticamente plano
espacio-tiempos.
| Introducción
Los agujeros negros en espacios-tiempos de mayor o igual a cinco dimensiones tienen ricos
estructura topológica. Según los conocidos resultados de Hawking sobre
la topología de los agujeros negros en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el horizonte aparente
o la sección espacial del horizonte de eventos estacionario es necesariamente difteromórfica
a una 2-esfera. [1, 2] Esto se deriva del hecho de que la curvatura total, que es
la integral de la curvatura escalar intrínseca sobre el horizonte, es positiva bajo el
condición energética dominante y del teorema de Gauss-Bonnet. Alternativas y
ha mejorado las pruebas del teorema de Hawking han sido dadas por varios autores. [3, 4, 5, 6]
Sin embargo en el espacio-tiempos dimensionales superiores, un horizonte aparente o el espacio espacial
sección del horizonte de eventos estacionario puede no ser una esfera topológica, [7, 8, 9, 10]
porque el teorema de Gauss-Bonnet no se sostiene en tales casos. Sin embargo,
la positividad de la curvatura total del horizonte todavía se mantiene. Esto pone seguro
restricciones topológicas en la topología del agujero negro, aunque son bastante débiles. Por
ejemplo, el horizonte aparente en el espacio-tiempo de cinco dimensiones puede consistir en finitamente
muchas sumas conectadas de copias de S3/». y copias de S2 × S1. De hecho, exacto
soluciones que representan un agujero negro espacio-tiempo que posee un horizonte no esférico
La topología se ha encontrado recientemente en la relatividad general de cinco dimensiones. Cuando tales
agujeros negros con topologías no triviales se consideran como formadas en el curso
de colapso gravitacional, cuestiones relativas a la evolución de la topología del negro
los agujeros surgen naturalmente. Nuestro propósito aquí es entender la evolución del tiempo de la
topología de horizontes de eventos en un entorno general. La relación entre el conjunto de pliegues,
donde el horizonte de eventos no es diferenciable, y la topología del horizonte de eventos
está estudiado en Refs. [11, 12, 13] para el espacio-tiempos de cuatro dimensiones. En el presente
trabajo, realizamos una investigación sistemática y encontramos reglas útiles para determinar
procesos admisibles de evolución topológica para el corte temporal de un agujero negro.
Nuestro enfoque es utilizar la teoría Morse [14, 15] en la topología diferencial. Los
La teoría de Morse es útil para el propósito de entender la topología de suave
http://arxiv.org/abs/0704.0100v3
multiples. La herramienta básica utilizada en este enfoque es una función fluida en un diferen-
multiples. El horizonte de acontecimientos, sin embargo, no es un múltiple diferenciable, pero
tiene una estructura similar a cuña en los puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos
del horizonte. Por esta razón, primero suavizamos la cuña. Entonces, el suave
función de tiempo que se supone que existe juega el papel de la función Morse en el
alisó el horizonte de eventos. Según la teoría de Morse, la evolución topológica
el horizonte del evento puede entonces ser descompuesto en procesos elementales llamados “han-
En tal proceso, comenzando con un horizonte esférico, se añade
varios mangos, cada uno caracterizado por el índice de los puntos críticos del Morse
función, que es un entero que va de 0 a n (la dimensión de la
horizonte como un colector diferenciable).
El propósito del presente artículo es demostrar que hay varias limitaciones
en los accesorios del mango para los espacios-tiempos del agujero negro reales.
2. La teoría de Morse para horizontes de eventos
Que M sea un espacio-tiempo asintóticamente plano (n+1)-dimensional. Requerimos el
existencia de una función global del tiempo t : M → R que es suave y tiene un en todas partes
gradiente de apuntamiento temporal y futuro. El horizonte de eventos H se define como el
límite del pasado causal del futuro null infinity H = ♥J−(I +). [2] Tratamos
el horizonte de evento definido con respecto a un único extremo asintótico, a menos que lo contrario
indicado. En otras palabras, el futuro infinito nulo, I +, se supone que está conectado.
La región del agujero negro B se define como la región interior de H, específicamente, como B =
M \ J−(I +), y la región exterior E de la región del agujero negro es su complemento,
E = int(J−(I +)). Nos referimos a la intersección de la región del agujero negro y el
time slice (t0) = {t = t0} como el agujero negro B(t0) = B (t0) en el momento t = t0.
La región exterior en el momento t = t0 está, en consecuencia, escrita E (t0) = E (t0).
Una de las propiedades más básicas del horizonte de eventos es que se genera por null
geodésicos sin futuros puntos finales. En general, el horizonte de eventos no es fácil
incrustado en el espacio-tiempo múltiple M, pero tiene una estructura similar a cuña en
los puntos finales pasados de los generadores geodésicos nulos, en los que
Los generadores se cruzan. Llamamos al conjunto de puntos finales pasados de generadores geodésicos nulos
de H, de la cual emanan dos o más generadores geodésicos nulos, el juego de pliegues
S. [11, 12] Cuando no existe un conjunto de pliegues S entre las secciones de tiempo t = t1 y t = t2, la
Los generadores geodésicos nulos de H definen naturalmente un difeomorfismo.
Por lo tanto, la evolución topológica de un agujero negro sólo puede tener lugar cuando el tiempo
S. Por supuesto, el horizonte de eventos en sí mismo es un indicador-
objeto independiente. Sin embargo, a menudo entendemos la dinámica del espacio-tiempo
escaneando a lo largo de rebanadas de tiempo. Así, la evolución topológica de un agujero negro
depende de la función de tiempo.
Se espera que la teoría de Morse [14] proporcione técnicas útiles para analizar
un proceso de evolución topológica. Porque la teoría de Morse se ocupa de
funciones en los colectores lisos, primero regularizamos H alrededor del conjunto de pliegues S.
horizonte de eventos no es necesariamente suave, incluso en H \ S, en el caso de que el futuro
null infinity I + tiene una estructura patológica. [16] Aquí se asume que H es
suave en H \ S. Luego, pequeñas deformaciones de H cerca del conjunto de pliegue S hará
H una hipersuperficie lisa H. en M, mientras que B.(t0) permanece deformada de tal manera
que ♥Bś(t0) = Hś Ł(t0) mantiene y Bś(t0) sigue siendo homeomórfico al original
agujero negro para todos los t0 o R. Esta deformación se supone que es tal que el tiempo
Gráfico 1 Un ejemplo en el que ningún procedimiento de suavizado hace
t eH una función Morse en Hś. Aquí, la intersección del conjunto de pliegues
S del horizonte de evento y t = t0 hipersuperficie tiene una acumulación
punto.
función t eH, que es la restricción de t en H
tiene sólo puntos críticos no degenerados, donde el gradiente de t eH definido en H
se convierte en cero y donde también la matriz de Hessian (?i?jt eH) de t eH no es degenerada.
Aunque esta suposición debe sostener para una amplia clase de sistemas, no siempre
Espera. La figura 1 da un ejemplo para el cual ningún procedimiento de suavizado hace que la
función de tiempo inducida t eH una función de Morse en H, porque la intersección de la
Set de pliegue S del horizonte de evento y la hipersuperficie t = t0 tiene una acumulación
punto. Es altamente no trivial determinar si este procedimiento de suavización es
genéricamente posible. Sin embargo, no es fácil ni el propósito principal de este artículo
para afirmar en el ámbito de la validez de la suposición, y por lo tanto hacemos esto
suposición sin indagar sobre su validez.
Según el Morse Lemma, hay un sistema de coordenadas local {x1, · · ·, xn}
sobre Hû en el barrio del punto crítico p Hû de tal manera que la restricción t eH
de la función de tiempo t en Hś toma la forma
t eH(x
1, · · ·, xn) = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2.
El entero, que va de 0 a n, se llama el índice del punto crítico p.
la topología del agujero negro B(t) cambia cuando (t) pasa por puntos críticos,
o equivalente, cuando la función de tiempo t toma valores críticos. Esto implica que
puntos críticos aparecen sólo cerca del conjunto de pliegues S.
El campo vectorial similar al gradiente para t eH se define como el campo vectorial tangente X
de tal manera que Xt eH > 0 se mantiene en Hū, a excepción de los puntos críticos, y tiene la forma
X = −2x1
− · · · − 2x
+ 2x+1
* x x 1 *
+ · · 2xn
cerca del punto crítico del índice , en términos del sistema de coordenadas estándar
aparece en el Morse Lemma. Elegimos un campo vectorial similar al gradiente X de tal manera que
coincide con el futuro-dirigido campo vectorial tangente de generadores geodésicos nulos
de H, excepto en un pequeño barrio del conjunto de pliegues S (Fig. 2). El efecto de
un punto crítico p del índice es equivalente a la fijación de un ♥-handle. [14, 15]
El manubrio es sólo un n-disco topológico Dn (I = [0, 1]), pero se considera
como el espacio del producto Dn Dn Dn (Fig. 3). El accesorio de la mano de la mano a un n-
el colector dimensional N con un límite consiste en el conjunto h. = (D. ×Dn, f),
donde el mapa adjunto f induce la incrustación de
N (Fig. 4). El nuevo colector obtenido a través de la unión de la mano de N es
Gráfico 2 El procedimiento de suavizado del horizonte de eventos H.
el campo vectorial similar al gradiente en H se puede construir a través de un ligero
deformación de los generadores geodésicos nulos de H. Aquí, el efecto
del conjunto de pliegues S ha sido sustituido por el de los puntos críticos
p1, p2 y p3.
Gráfico 3 La estructura local alrededor del punto crítico p del índice
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Se puede ver que Hût(p) es homeomórfico a Hût(p) con una
Atadura de mano.
dado por
En el caso de los vehículos de motor de dos o más ruedas, el valor de los vehículos de motor de dos o más ruedas no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
Vamos a denotar por la parte t ≤ t0 de H Entonces, Hût(p) ( > 0) justo por encima de la
el punto crítico p del índice es homeomórfico (de hecho difeomórfico, teniendo en cuenta
del procedimiento de suavizado) a que justo debajo de p, H
Ht(p) Ht(p)
si no hay otros puntos críticos que satisfagan t(p) ≤ t ≤ t(p). El cuerpo de la manija
a sí mismo es denotado por hl también.
Consideremos varios ejemplos. El accesorio 0-handle no necesita un
adjuntando el mapa f. Simplemente corresponde a la emergencia de la (n − 1)-esfera
Sn−1 Ł ŁDn como horizonte de agujero negro ♥B(t). Un ejemplo típico es la creación de un
agujero negro (fig. 5): Un agujero negro siempre emerge como un accesorio 0-handle. El otro
Gráfico 4 La fijación de un manguito y un 2 manguito a un
3-manifold N crea un nuevo 3-manifold N â € h1 â € h2.
Gráfico 5 La aparición de un agujero negro a través de un accesorio 0-handle.
Gráfico 6 La aparición de una burbuja en la región del agujero negro por
Fijación 0-handle, que no ocurre en el agujero negro real
espacio-tiempos.
Gráfico 7 La colisión de un par de agujeros negros, creando un solo
agujero negro, se realiza a través de un accesorio de 1 mano.
possiblity es la creación de una burbuja que es subconjunto de J−(I +) en una región de agujero negro
(Fig. 6). Uno podría pensar que esto corresponde a la creación de agujeros de gusano entre el
regiones internas y externas del horizonte de acontecimientos. Aunque en el marco de la
teoría estándar de Morse en Hś, estos dos ejemplos son indistinguibles, que a continuación
ver que este último proceso es, de hecho, imposible.
A continuación, consideramos un accesorio de 1 mano. Un ejemplo típico es la colisión de dos
agujeros negros. Un 1-handle sirve como un puente que conecta los agujeros negros, o corresponde
a tomar la suma conectada de cada componente de múltiples agujeros negros (Fig. 7).
Gráfico 8 La bifurcación de un agujero negro en dos está representada
por un accesorio (n − 1)-handle. Esto, sin embargo, nunca ocurre en
verdadero agujero negro espacio-tiempos.
Gráfico 9 La estructura de la mano. El núcleo D. × {0} corre-
sponds al submanifold estable con respecto al generador de flujo-
atendido por el campo vectorial similar al gradiente, y el co-núcleo {0} ×Dn
corresponde al submanifold inestable.
La inversión de tiempo de la colisión de agujeros negros consiste en la bifurcación de uno
agujero negro en dos. Esto se realizaría a través de un accesorio (n - 1),
si tal proceso fuera posible (Fig. 8). Sin embargo, es bien sabido que tal
el proceso está prohibido. [2] En general, la inversión de tiempo de la fijación de la mano
corresponde a la unión (n− )-manilla.
Antes de discutir casos generales, consideremos la estructura de un manillar.
Recordemos que una mano-de-revestimiento consiste en el espacio del producto D♥ × Dn. El subconjunto
Se llama el núcleo del manillar, y {0} ×Dn
Dl ×Dn se llama el co-núcleo. El núcleo y el co-núcleo se cruzan transversalmente en un
punto. Este punto puede ser considerado como un punto crítico p.
Vamos a referirnos al subconjunto Ws(p) de H
(1) Ws(p) = {q M lim
expq tX = p}
que consiste en puntos que convergen a p a lo largo del flujo generado por el gradiente-
como campo vector X, como el colector estable con respecto al punto crítico p.
El colector estable Ws(p) es homeomórfico a R
Si el índice de p es dado por ♥. [17]
Similarmente, vamos a referirnos al subconjunto Wu(p)
a p a lo largo del flujo generado por (-X) como el colector inestable con respecto a p.
Para el colector inestable, Wu(p)
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no... Las porciones del establo y
Los colectores inestables en el cuerpo de la manivela pueden ser considerados como correspondientes al núcleo
y co-núcleo, respectivamente.
El efecto de suavizar el horizonte de eventosH a Hū es deformar el campo vectorial nulo
generar H en un campo vectorial similar al gradiente X. La diferencia principal entre
los generadores geodésicos nulos y el flujo generado por X es que el primero hace
no tienen futuros puntos finales, pero estos últimos pueden. Por lo tanto, son admisibles y
procedimientos inadmisibles para el fluido múltiple H Un procedimiento admisible es el siguiente:
, que se obtiene a partir de un horizonte de acontecimientos realizable en principio, mientras que un
inadmisible se construye a partir de un horizonte de acontecimientos espurios, es decir, uno que consiste en
de la hipersuperficie nula que contiene generadores geodésicos nulos con un punto final futuro.
3. La estructura de los puntos críticos
La topología espacial de un agujero negro cambia sólo cuando la función de tiempo toma un
valor crítico. La evolución del tiempo de la topología del agujero negro se puede entender por
teniendo en cuenta su estructura local en torno a puntos críticos. Para determinar si un determinado
cambio topológico es admisible o inadmisible, no es suficiente considerar sólo
la estructura intrínseca del horizonte de eventos. Más bien, es necesario tener en cuenta
de su estructura empotrada en relación con el espacio-tiempo.
En una rebanada de tiempo, cualquier punto separado de Hś pertenece a cualquiera de los dos agujeros negros
o el exterior de la región del agujero negro. Es útil considerar el comportamiento local
de la región del agujero negro o la región exterior cerca del punto crítico p. Llamemos
el exterior E de la región del agujero negro simplemente la región exterior, para la brevedad. Los
la región exterior está ligeramente deformada por el procedimiento de suavizado. Los deformados
región exterior se denota por , y la región exterior deformada en el momento t por
(t) = (t) • (t) • (t) • (t) • (t) • (t).2..............................................................................................................................................................................................................................................................
El mango 0 se coloca en unas t ≥ t(p). Tal apego describe el emer-
sión de la región del agujero negro en el punto crítico p y su expansión con el tiempo.
La aparición de una burbuja, que consiste en una parte de J−(I +), en el fondo
de la región del agujero negro también sería descrito por un accesorio 0-handle. Esto,
Sin embargo, nunca ocurre, como se explica a continuación en detalle. Por lo tanto, un accesorio 0-handle
siempre describe la creación de un agujero negro homeomórfico al n-disco.
Un accesorio n-handle corresponde a la inversión de tiempo de un agregado 0-handle-
mento. Este proceso, sin embargo, nunca ocurre en el espacio-tiempo del agujero negro real. Un n-
manillar se define para t ≤ t(p), lo que significa que termina en el punto crítico
p. El conjunto de pliegues se aísla en puntos críticos durante el curso del suavizado
procedimiento. El campo vectorial similar al gradiente, que se puede considerar tangente
al generador del horizonte del acontecimiento deformado H..., puede tener varios hacia adentro (con-
en el punto crítico debido a este procedimiento de suavización, mientras que el
generador nulo original del horizonte de evento no tiene una dirección interior en
el juego de pliegues. En el caso del n-handle, todas las direcciones se vuelven hacia el interior en el
punto crítico. Esto implica que los generadores nulos del horizonte de eventos H deben
tener puntos finales futuros en el punto crítico, que es, por supuesto, imposible. Lo es.
así visto que un accesorio n-handle nunca ocurre en el espacio-tiempos del agujero negro real.
El resto de los casos son adjuntos con mango para 1 ≤ ≤ n − 1. En estos
En el futuro, el punto crítico se encuentra a ambos lados del punto crítico p.
[t > t(p)] y en el pasado [t < t(p)]. Entonces, consideramos el caso en el que la manija
existe durante el intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño t • [t(p) − •, t(p) +
entender el cambio topológico de la región del agujero negro en el punto crítico p.
Gráfico 10 El barrio U de p está separado por h
región futura, U+, y la región pasada, U−.
Primero, introducimos un sistema de coordenadas {t, xi} (i = 1, · ·, n) en el barrio
U de p, donde t es una función dada del tiempo, y {xi} es la extensión sobre U de
la coordenada canónica que aparece en el Morse Lemma de tal manera que cada curva
(x1, · ·, xn) = [const] es temporal en U. Asumimos que U es el cilindro sólido
dado por t [t(p), t(p)],
xi)2 ≤ . En este sistema de coordenadas, el
la superficie de la silla de montar es dada por la superficie de la silla de montar
t = t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2
en U, que es un conjunto acausal si la constante
es tangente a la hipersuperficie similar al espacio t = t(p) en p. Por lo tanto, h
U en dos subconjuntos abiertos, el futuro y las regiones pasadas U+ y U− de U, donde
U+ y U− son los subconjuntos de futuro cronológico y pasado, respectivamente, de
n.c.o.p. Explícitamente, el futuro y las regiones pasadas U± son las regiones
Satisfacción
t t(p)− (x1)2 − · · · − (xl)2 + (xl)2 + · · (xn)2
en U, respectivamente (fig. 10).
Debido a que la mano es un subconjunto de la frontera del agujero negro H, uno de U± es
contenido en la región del agujero negro, Bû, y el otro en la región exterior, .
Sin embargo, la futura región U+ de U siempre está incluida en la región del agujero negro, es decir.
U+ â € TM B¬, y por lo tanto tenemos U− â € TM, ya que el horizonte es el límite del pasado
set, J−(I +). Por lo tanto, la región del agujero negro Bû(t(p) − ) U en U en el momento
t = t(p)− justo antes de que el tiempo crítico sea dado por
(x1)2 + · · (xl)2 > (xl)2 + · · (xn)2 +,
la cual es homotópica a la esfera S1. (En el caso de = 1, S0 consiste simplemente en:
dos puntos.) Similarmente, Bū(t(p) + ) U justo después de que el tiempo crítico es dado por
(x1)2 + · · (xl)2 + > (xl)2 + · · (xn)2,
que es homotópico para el n-disco. De esta manera, la región del agujero negro se restringió a
el pequeño barrio del punto crítico p es inicialmente homotópico a una esfera.
Luego, la región interna de la esfera se llena en el momento crítico t = t(p) y
eventualmente se vuelve homotópicamente trivial. La región exterior, (t) U, en U es
inicialmente homotópico a un n-disco para t = t(p) −. Entonces, su (n − ♥)-dimensional
dirección es penetrada por la región del agujero negro en t = t(p), y así se convierte en
homotópico a una (n− 1)-esfera Sn1 para t = t(p) +. Si el suceso espurio
horizonte también se tiene en cuenta, la futura región U+ podría ser un subconjunto de , y
Por lo tanto, la región pasada U- podría ser un subconjunto de B Luego, la región del agujero negro en
la mano de podría ser homotópica a un n-disco inicialmente y llegar a ser homotópica a un
(n1)-esfera finalmente, y viceversa para la región exterior. Vamos a referirnos a tal
un cambio topológico de la región del agujero negro B(t)U de una región homotópica a
esfera a una región homotópica a un disco como un accesorio de mango negro, y que desde
una región homotópica a un disco a una región homotópica a la esfera como un mango blanco
attachment. La observación anterior muestra que sólo un accesorio de mango negro
ocurre si se considera un barrio suficientemente pequeño del punto crítico. Por
por ejemplo, una colisión de agujeros negros corresponde a un accesorio negro de 1 mano, mientras que
la bifurcación de un agujero negro corresponde a un accesorio blanco (n − 1)-handle
en el sentido de que el tipo de homotopía de la región exterior (t)
la de Sn−2 a la de Dn. Este argumento local también elucida la razón de que
choque agujero negro es admisible mientras que una bifurcación agujero negro, que es su tiempo
inversión, es inadmisible. También observamos que el efecto de la inversión de tiempo es convertir
un accesorio negro de la mano en un accesorio blanco de la mano (n− ).
Es conveniente hacer referencia a la fijación 0-handle correspondiente a la cre-
sión de un agujero negro como un accesorio negro de 0 manos. Entonces, la proposición de arriba
también se aplica a un accesorio 0-handle.
4. Conectividad de la región exterior
También existen procesos que son irrealizables debido a las condiciones mundiales. Vamos.
nosotros, por un momento, considerar el horizonte de eventos en Schwarzschild al máximo extendido
espacio-tiempo. Aunque estamos interesados en el horizonte de eventos definido con respecto a
un extremo asintótico específico, para el propósito de la explicación, examinamos el evento
horizonte definido con respecto a un par de extremos asintóticos en el espacio Schwarzschild-
tiempo (Fig. 11).
Dejar I + 1 y I
2 ser el par de futuros infinitos nulos de la máxima extensión
Schwarzschild espacio-tiempo. El horizonte de eventos aquí está definido por H =
2 ), que no es diferenciable en el horizonte bifurcado F = J
−(I +1 )J
− (I + 2).
Que no sea una función de tiempo global y χ ser una función de coordinación radial global tales
que cada t de dos superficies, χ = [const] es invariante bajo la isometría SO(3). Estos
Las coordenadas se eligen de forma que la superficie de bifurcación F se encuentre en t = χ = 0
y el horizonte de eventos H está determinado por t = alrededor de F. El evento suavizado
horizonte también se considera que es invariante en virtud de la isometría SO(3). Debido a la
simetría de la configuración, la función de tiempo t tiene puntos críticos de degenerado
type. De hecho, cualquier punto en el horizonte bifurcado F es crítico. Aquí, no estamos interesados
en una situación tan no genérica. En su lugar, consideramos un tiempo ligeramente diferente cortando
determinado por la nueva función de tiempo
t′ = t+ sin2
en los casos en que ≤ > 0 sea una constante positiva suficientemente pequeña y , que satisfaga 0 ≤ ≤ η,
es la coordenada polar habitual de la 2-esfera. Entonces, sólo aparece un par de
puntos críticos aislados en el polo norte ( = 0) y el polo sur ( ) en
el horizonte bifurcado F, y la función de tiempo t′ se convierte en la función Morse en
Hū. En el momento t′ = 0, el agujero negro aparece en el polo norte. Esta es la
Fijación 0-handle. El agujero negro formado allí crece en un espesor geométrico
caparazón esférica con un agujero en el polo sur, que es, sin embargo, un topológico
3 discos. En el momento t′ =, la punción en el polo sur se llena, y el negro
región de agujero se convierte en topológica S2 × [0, 1]. El horizonte de acontecimientos deformado Hū se divide
en una unión desarticulada de un par de 2 esferas. Este es el accesorio de dos manos.
Este tipo de adjunto de 2 manos ocurre porque el horizonte de eventos está definido
con respecto a los dos extremos asintóticos, que en general es inadmisible si el
futuro infinito nulo está conectado, como suponemos a partir de este punto. Para entender el
supra, cabe señalar que no existe un proceso mediante el cual la
varios componentes conectados de la región exterior (t) = (t) en el momento t
fusionarse en un momento posterior porque un accesorio de tal manija no es admisible.
También se ve que ningún componente conectado de (t) desaparece, porque possi-
ble n-handle adjuntos son inadmisibles. Estos hechos implican que el número de
los componentes conectados de la región exterior (t) no pueden disminuir con el tiempo
función t. Por otro lado, sólo hay un componente conectado de la exte-
región rior (t) para t suficientemente grande, debido a la conexión de I +. Esto
la observación muestra que la región exterior (t) permanece conectada en cualquier proceso.
El único proceso posible a través del cual el número de componentes conectados
de la región exterior (t) los cambios es un accesorio (n− 1)-handle, tal como está construido
arriba en el espacio-tiempo Schwarzschild. Esto se debe a que el subconjunto D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o. D.o.
H2 H1
t' = t' (p)
B (t'(p))
II 12
Gráfico 11 La figura de la izquierda es un diagrama conformal de la
Schwarzschild alargado al máximo el espacio-tiempo. La estructura de
el horizonte de evento definido con respecto a los dos extremos asintóticos
se representa a la derecha, con una dimensión omitida. El sombreado
región representa la región del agujero negro en el momento crítico t = t(p).
Esto corresponde al accesorio de 2 manos, donde el exterior
la región se separa en un par de componentes conectados.
el límite de la mano
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, los vehículos de motor de encendido por chispa y los vehículos de motor de encendido por chispa deberán cumplir los requisitos del anexo II del Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 25 de junio de 2013, por el que se establecen las normas de homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se modifica el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a la homologación de tipo de los vehículos de motor de encendido por chispa y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).
a saber, la parte de la parte de la que se adjunta que es el complemento de la preimagen de la
f :..................................................................................................................................................
se desconecta sólo cuando = n − 1. En este caso, el tipo de homotopía de la
región exterior (t) cambia de la de un n-disco a la de S0, a saber, dos puntos.
Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no implica que la región exterior (t) es siempre
separado en dos partes desconectadas a través de la unión (n− 1)-handle. Por
ejemplo, una transición desde el horizonte de anillo negro Sn−2 × S1 a la esférica
horizonte de agujero negro Sn−1 se realiza a través de un accesorio de mango negro (n−1),
que pellizque la longitud {un puntoS1+Sn−2 ×S1 en un punto. El exterior
región (t) permanece conectado todo el tiempo. Por lo tanto, tanto son admisibles como admisibles.
procedimientos inadmisibles para los accesorios de mano (n−1). Un accesorio de mano (n−1)
es inadmisible si separa la región exterior (t).
5. Observaciones finales
Los argumentos que se dan en este documento se veranizan con las siguientes reglas. Como...
sume que (i) un (n+ 1)-dimensional espacio-tiempo M es asintóticamente plano y el
futuro null infinito I + está conectado, o el horizonte de eventos H = J−(I +) está definido
con respecto a un único extremo asintótico, ii) el espacio-tiempo M admite un suave
función de tiempo global t, (iii) el horizonte de eventos H se puede deformar de modo que el negro
deformado en consecuencia en cada momento t es suave y homeomórfico a orig-
inal uno B(t) en cada momento t y la función de tiempo t se convierte en la función Morse
sobre el asunto H.O.M. Entonces, la evolución topológica del horizonte de eventos puede ser considerada como un
Acoplamiento con mango (0 ≤ ≤ n) sujeto a las siguientes normas:
1) El anexo n-handle es inadmisible.
(2) Únicamente el accesorio negro con mango (0 ≤ ≤ n − 1), en el que el negro
región de hoyo en el barrio del punto crítico varía de la región
homotópico a la esfera S1 (considerado como el conjunto vacío para = 0) a la
N-disk Dn, es admisible.
(3) El accesorio (n − 1)-handle que separa la sección espacial de la
región exterior del agujero negro es inadmisible.
La primera regla simplemente establece que ningún componente conectado de un agujero negro disap-
Peras. También implica que si una burbuja de la región exterior se forma dentro del negro
región del hoyo, no desaparece.
La segunda regla se refiere a la estructura incrustada del horizonte de eventos
relativa al colector espacio-tiempo. El barrio del punto crítico es sep-
se divide en dos regiones por el horizonte de acontecimientos. Uno cambia homotópicamente de un
esfera a un disco y el otro de un disco a una esfera. Lo llamamos un mango negro en...
tacment cuando el primero corresponde a la región del agujero negro y un mango blanco
Por otra parte, el apego. Entonces, la segunda regla dice que un mango blanco...
Nunca ocurre. El proceso inverso, en el que una región de agujero negro homotópicamente
se descartan los cambios de un disco a una esfera. Un accesorio 0-mano blanco, que
Gráfico 12 Formación de anillo negro de un agujero negro esférico debe
ser no aximmétricos en el espacio-tiempo real del agujero negro.
describe el surgimiento de la región exterior, también está prohibido. Esto da un...
otra razón para el resultado bien conocido que un agujero negro no puede bifurcar, porque
corresponde a un accesorio blanco (n− 1)-handle.
La segunda regla se aplica a situaciones más generales. Por ejemplo, consideremos
la evolución topológica del horizonte de eventos de Sn−1 a Sn−2 × S1 en (n+1)-
espacio-tiempo dimensional (n ≥ 3). Cuando se realiza con un solo punto crítico,
corresponde a un accesorio de 1 mano. Aquí, uno podría esperar dos posibilidades si
no se considera la segunda regla. Una posibilidad es que el 1-handle se adjunta en
la región exterior del agujero negro. Esto es localmente equivalente a la fusión de un
un par de agujeros negros, donde estos dos agujeros negros están conectados a otro lugar irrelevante.
La otra posibilidad es que se une desde el interior de tal manera que el 1-handle
perfora la región del agujero negro. En los espacios-tiempos asintóticamente planos, sólo los últimos
incluye configuraciones aximétricas de tal manera que se pellizque un agujero negro esférico
a lo largo del eje simétrico; aquí la configuración aximétrica es tal que
el espacio-tiempo posee la isometría SO(n − 1) y el corte del tiempo respeta
Esta simetría. Sin embargo, esta última posibilidad corresponde a un manguito blanco
apego, que es imposible, y sólo el primero, que corresponde a un negro
Un accesorio de 1 mano, es posible. En particular, una transición de un evento esférico
horizonte ( Sn−1) a un horizonte de anillo negro ( Sn−2×S1) en un espacio asintóticamente plano-
veces no es siempre axisimmétrico en el sentido de que tal configuración no puede
posee simetría SO(n− 1) (Fig. 12).
Mientras que el horizonte aparente debe ser difeomórfico a una dos-esfera en cuatro-
espacio-tiempos dimensionales bajo la condición de energía dominante, un evento torus hori-
zon puede aparecer, incluso bajo la condición energética dominante, a través de un mango negro
fijación al horizonte esférico. Más generalmente, un horizonte de eventos con un
El número arbitrario de genura puede estar formado por varios accesorios negros de 1 mano.
La tercera regla no está directamente determinada por la estructura local de la
punto. En él se afirma que la región exterior E (t) = E (t) en cada momento es siempre
conectado bajo el supuesto de que I + está conectado. Por lo tanto, la posibilidad de que
allí forma una burbuja de la región exterior dentro del horizonte del agujero negro se gobierna
Fuera. Sin embargo, hay que señalar que tal proceso es posible si I + consiste en
de varios componentes conectados. Esto también puede estar relacionado con la topología
teorema de censura. [19] El teorema de censura topológica afirma que todos los factores causales
las curvas de I − a I + son homotópicas bajo la condición de energía nula. Esto también
prohíbe la formación de una burbuja de la región exterior dentro del agujero negro, porque
de lo contrario habría dos curvas causales no homotópicas de I − a I +, una
pasando dentro del horizonte y el otro fuera. Nuestro argumento, sin embargo, no
dependen de las condiciones energéticas.
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http://arxiv.org/abs/gr-qc/9410004
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9410023
http://arxiv.org/abs/hep-th/0102149
http://arxiv.org/abs/hep-th/0509013
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0509107
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0608118
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9701003
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0405056
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9611032
http://arxiv.org/abs/hep-th/0110260
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9305017
1. Introducción
2. La teoría de Morse para horizontes de eventos
3. La estructura de los puntos críticos
4. Conectividad de la región exterior
5. Observaciones finales
Bibliografía
|
704.0101 | The birth of string theory | El nacimiento de la teoría de cuerdas
Paolo Di Vecchia1
Nordita, Blegdamsvej 17, 2100 Copenhague Ø, Dinamarca divecchi@alf.nbi.dk
Resumen. En esta contribución pasamos por los desarrollos que en los años
de 1968 a 1974 condujo del modelo Veneziano a la teoría de cuerdas bosónicas.
Incluyen la construcción de la amplitud de punto N para las partículas escalares, su
factorización a través de la introducción de un número infinito de osciladores y el
prueba de que el subespacio físico era un espacio definitivo de Hilbert positivo. También discutimos
el límite de pendiente cero y el cálculo de diagramas de bucle. Por último, describimos cómo
finalmente se reconoció que una teoría cuántica de cuerdas relativistas era la teoría
subyacente al modelo Veneziano.
1 Introducción
Los años sesenta fueron un período en el que se estudiaron procesos de interacción fuertes
en detalle utilizando los aceleradores de nueva construcción en Cern y otros lugares.
Se encontraron muchos nuevos estados hadrónicos que aparecieron como picos resonantes en var-
se midieron las secciones transversales y transversales hadrónicas con aumento
precisión. En general, los datos experimentales para procesos que interactúan fuertemente
en términos de intercambios de resonancia en el
canal a baja energía y por el intercambio de polos Regge en el transversal
canal a mayor energía. Teoría de campo que había tenido mucho éxito en de-
la inscripción de QED parecía inútil para las interacciones fuertes dado el gran número de
Hadrones para acomodarse en un lagrangiano y la fuerza del pion-nucleón
constante de acoplamiento que no permitió cálculos perturbadores. El único...
principal en el que las técnicas teóricas de campo se utilizaron con éxito fue actual
álgebra. Aquí, asumiendo que las interacciones fuertes fueron descritas por un casi
quiral invariante Lagrangian, que la simetría quiral se rompió espontáneamente
y que el pion era el bosón correspondiente Goldstone, campo teórico
métodos dieron bastante buenas predicciones para la dispersión de amplitudes que implican pi-
a muy baja energía. Sin embargo, ir a una energía más alta no era posible.
con estos métodos.
Debido a esto, mucha gente comenzó a pensar que la teoría de campo era el uso-
menos para describir interacciones fuertes e intentó describir interacciones fuertes
http://arxiv.org/abs/0704.0101v1
2 Paolo Di Vecchia
procesos con métodos alternativos y más fenomenológicos. Lo básico
Los ingredientes para describir los datos experimentales fueron de baja energía.
cambio de resonancias en el canal directo y a mayor energía el intercambio
de los polos de Regge en el canal transversal. Reglas de suma para interactuar fuertemente
los procesos fueron saturados de esta manera y se encontró un buen acuerdo con el
datos experimentales provenientes de los aceleradores recién construidos. Sé...
causa de estos éxitos y de los problemas que la teoría de campo encontró para
describir los datos, se propuso construir directamente la matriz S sin
pasando por un lagrangiano. La matriz S se suponía que se construiría
de las propiedades que debía satisfacer, pero no había un procedimiento claro sobre
cómo implementar esta construcción1. A menudo se utilizaba la palabra “bootstrap”
como la forma de construir la matriz S, pero no ayudó mucho para obtener un
Matriz S para los procesos que interactúan fuertemente.
Una de las ideas básicas que condujeron a la construcción de una matriz S fue
que debe incluir resonancias a baja energía y al mismo tiempo dar
Comportamiento de regge a alta energía. Pero las dos contribuciones de las resonancias
y de los polos de Regge no deben ser añadidos porque esto implicaría doble
Contando. Esto se llamaba dualidad Dolen, Horn y Schmidt [2]. Otra idea
que ayudó en la construcción de una matriz S fue la dualidad planar [3] que
fue visualizado asociándose a un proceso determinado un diagrama de dualidad, mostrado en
Fig. (1), donde cada mesón fue descrito por dos líneas que representan el quark
y el antiquark. Por último, también el requisito de cruzar la simetría jugado
un papel muy importante.
Fig. 1. Diagrama de dualidad para la dispersión de cuatro mesones
Partiendo de estas ideas Veneziano [4] fue capaz de construir una matriz S
para la dispersión de cuatro mesones que, al mismo tiempo, tenía un número infinito
de resonancias de ancho cero yace sobre trayectorias de Regge y Regge en ascenso lineal
comportamiento a alta energía. Veneziano construyó originalmente el modelo para el
1 Para una discusión de la teoría de la matriz S véase Ref.s [1]
El nacimiento de la teoría de cuerdas 3
proceso →, pero se extendió inmediatamente a la dispersión de cuatro
partículas escalares.
En el caso de cuatro partículas escalares idénticas, el scat simétrico de cruce-
la amplitud tering encontrado por Veneziano consiste en una suma de tres términos:
A(s, t, u) = A(s, t) +A(s, u) +A(t, u) (1)
donde
A(s, t) =
* (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a)) (a)
- α(t) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
dxx®(s)−1(1− x)®(t)−1 (2)
con trayectorias de Regge en ascenso lineal
α(s) = α0 + α
′s (3)
Esta era una propiedad muy importante para implementar en un modelo porque era
de acuerdo con los datos experimentales en una amplia gama de energías. s, t y
u son las variables Mandelstam:
s = −(p1 + p2)2, t = −(p3 + p2)2, u = −(p1 + p3)2 (4)
Los tres términos en Eq. (1) corresponden a los tres pedidos de las cuatro partes
que no están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica 2 de la
piernas. Corresponden, respectivamente, a las tres permutaciones: (1234), (1243)
y (1324) de las cuatro patas externas. Sólo tienen singularidades de polo simples.
El primero sólo tiene polos en los canales s y t, el segundo sólo en el s
y u canales y el tercero sólo en los canales t y u. Esta propiedad fol-
bajos directamente del diagrama de dualidad que se asocia a cada inequivalente
permutación de las piernas externas. De hecho, en ese momento uno solía asociar
a cada una de las tres permutaciones inequivalentes un diagrama de dualidad donde cada
la partícula fue dibujada como consistente en dos líneas que rappresentaron el quark y
Antiquark inventando un mesón. Además, se suponía que el diagrama debía
tienen sólo polos singularidades en los canales planos que son los que implican
líneas externas adyacentes. Esto significa que, por ejemplo, el diagrama de dualidad
que corresponde a la permutación (1234) sólo tiene polos en el s y t chan-
nels como se puede ver deformando el diagrama en el plano en los dos posibles
formas que se muestran en la figura (2).
Esta era una propiedad muy importante del diagrama de dualidad que hace
cualitativamente diferente de un diagrama de Feynman en teoría de campo donde cada uno
diagrama tiene sólo un polo en uno de los tres canales s, t y u y no
simultáneamente en dos de ellos. Si aceptamos la idea de que cada término de la
suma en Eq. (1) es descrito por un diagrama de dualidad, entonces está claro que nosotros
2 Una permutación anticíclica correspondiente, por ejemplo, a la orden (1234) es
obtenido tomando el reverso de la orden original (4321) y luego realizando
una permutación cíclica.
4 Paolo Di Vecchia
Fig. 2. El diagrama de dualidad contiene ambos polos de canal s y t
no es necesario añadir términos correspondientes a diagramas equivalentes porque el
diagrama de dualidad correspondiente es el mismo y tiene las mismas singularidades. Lo siento.
Ahora está claro que de alguna manera estaba implícito en este cuadro el hecho de que el
El modelo Veneziano corresponde a la dispersión de cuerdas relativistas. Pero a
esa vez la conexión no era obvia en absoluto. La única propiedad de la matriz S
que el modelo Veneziano no pudo satisfacer era la unitariedad de la matriz S.
porque contenía sólo resonancias de ancho cero y no tenía las diversas
cortes requeridos por la unidad. Veremos cómo se implementará esta propiedad.
Inmediatamente después de la formulación del modelo Veneziano, Virasoro [5]
propuso otra amplitud simétrica de cuatro puntos para las partículas escalares
que consistió en una pieza única dada por:
A(s, t, u)
• (u)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
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• (1 +)
• (1 +)
• (1 +)
donde
α(s) = α0 + α
′s (6)
El modelo tenía polos en los tres canales s, t y u y no podía ser escrito
como suma de tres términos que tienen polos sólo en diagramas planos. En conclusión,
el modelo Veneziano satisface el principio de dualidad plana siendo un cruce
combinación simétrica de tres contribuciones cada uno con polos sólo en el
Canales planos. Por otro lado, el modelo Virasoro consiste en un
cruce de término simétrico con polos en canales planos y no planos.
Los intentos de construir modelos consistentes que estaban de acuerdo
con la fenomenología de la interacción fuerte de los años sesenta impulsado enormemente
la actividad en este campo de investigación. La generalización del modelo Veneziano para
la dispersión de partículas escalares N fue construida, un formalismo de operador que consiste en
de un número infinito de osciladores armónicos fue construido y el
se determinó el espectro de mesons. Resultó que la degeneración de
los estados crecieron exponencialmente con la masa. También se encontró que la N
amplitud de punto tenía estados con norma negativa (fantasmas) a menos que la intercepción
de la trayectoria de Regge fue α0 = 1 [6]. En este caso resultó que el
modelo estaba libre de fantasmas, pero el estado más bajo era un taquión. El modelo era
llamó en la literatura el “modelo de resonancia dual”.
El nacimiento de la teoría de cuerdas 5
El modelo no era unitario porque todos los estados eran de ancho cero reso-
Las nances y los diversos cortes requeridos por la unidad estaban ausentes. La unidad
se implementó de manera perturbadora añadiendo diagramas de bucle obtenidos por
cosiendo algunas de las patas externas después de la inserción de un propagador.
Las amplitudes multilazo mostraron una estructura de superficies de Riemann. Esto será...
se hizo evidente sólo más tarde cuando el modelo de resonancia dual fue reconocido a
corresponden a la dispersión de cuerdas.
Pero el problema principal era que el modelo tenía un taquión si α0 = 1 o tenía
fantasmas para otros valores de α0 y no estaba de acuerdo con el experimental
datos: α0 no fue igual a aproximadamente
según lo requerido por los experimentos para el
La trayectoria del regge y las partículas escalares externas no se comportaron como piones
satisfacer los requisitos actuales de álgebra. Se hicieron muchos intentos de
construir modelos de resonancia dual más realistas, pero el principal resultado de
Los intentos fueron la construcción de los Neveu-Schwarz [7] y los Ramond [8]
modelos, respectivamente, para mesones y fermiones. Fueron construidos como dos
modelos independientes y sólo más tarde se reconoció que eran dos sectores de la
El mismo modelo. El modelo Neveu-Schwarz todavía contenía un taquión que sólo en
1976 a través de la proyección GSO fue eliminado del espectro físico.
Además, no estaba describiendo adecuadamente las propiedades de la
Piones.
En realidad, un modelo que describe la dispersión de una manera bastante satisfactoria
fue propuesto por Lovelace y Shapiro [9] 3. De acuerdo con este modelo el
Tres amplitudes isospinas para la dispersión pion-pion son dadas por:
[A(s, t) +A(s, u)]− 1
A(t, u)
A1 = A(s, t)−A(s, u) A2 = A(t, u) (7)
donde
A(s), t = β
* (1- α(s))* (1 − α(t))
• (1− α(t)− α(s)
; α(s) = α0 + α
′s (8)
Las amplitudes en eq.(7) proporcionar un modelo para la dispersión con elevación lineal
Trayectorias Regge que contienen tres parámetros: la interceptación del Regge
trayectoria α0, la pendiente Regge α
′ y β. Los dos primeros pueden ser determinados por
imponer la condición de auto-coherencia del Adler, que requiere la desaparición de
la amplitud cuando s = t = u = m2η y uno de los piones es sin masa, y el
hecho de que la trayectoria de Regge debe dar el giro del meson que es igual
a 1 cuando
s es igual a la masa del mesón. Estas dos condiciones
determinar que la trayectoria de Regge es:
α(s) =
s−m2
m2π −mη2
= 0,48 + 0,885s (9)
3 Véase también Ref. [10].
6 Paolo Di Vecchia
Después de haber fijado los parámetros de la trayectoria Regge el modelo predice la
las masas y los acoplamientos de las resonancias que decaen en
parámetro único β. Los valores obtenidos están en acuerdo razonable con
los experimentos. Además, uno puede calcular las longitudes de dispersión:
a0 = 0,395β a2 = −0,103β (10)
y uno encuentra que su relación está dentro del 10% de la actual relación de álgebra dada
por a0/a2 = −7/2. La amplitud en eq.(8) tiene exactamente la misma forma que la
para cuatro taquiones del modelo Neveu-Schwarz con el único aparentemente menor
diferencia que α0 = 1/2 (para mη = 0) en lugar de 1 como en el Neveu-Schwarz
modelo. Esta diferencia, sin embargo, implica que la dimensión crítica espacio-tiempo
de este modelo es d = 4 4 y no d = 10 como en el modelo Neveu-Schwarz. In
la conclusión de que este modelo parece ser un modelo perfectamente razonable para describir
dispersión de baja energía. El problema es, sin embargo, que nadie ha sido capaz de
para generalizar a la dispersión multipión y por lo tanto para obtener la completa
espectro meson.
Como hemos visto se construyó la matriz S del modelo de resonancia dual
utilizando ideas y herramientas de fenomenología de hadrones de finales de los años sesenta.
Aunque no parecía posible escribir un modelo realista de resonancia dual
describiendo los piones, era sin embargo tal fuente de fascinación para los
que trabajó activamente en este campo en ese momento por su hermosa estructura interna
y consistencia que mucha energía se utilizó para investigar sus propiedades y
para comprender su estructura básica. Resultó con gran sorpresa que
la estructura subyacente era la de una cadena relativista cuántica.
El objetivo de esta contribución es explicar la lógica del trabajo que fue
hecho en los años de 1968 a 1974 5 con el fin de descubrir las propiedades profundas de
este modelo que parecía desde el principio ser tan hermoso y coherente
para merecer un estudio intensivo.
Esto me parece una muy buena manera de celebrar el 65 aniversario de
Gabriele que es la persona que comenzó y también contribuyó a desarrollar el
todo con su profunda intuición física.
2 Construcción de la amplitud del punto N
Hemos visto que la construcción de la amplitud de cuatro puntos no es suficiente
para obtener información sobre todo el espectro hadrónico porque sólo contiene
esos hadrones que pareja a dos mesons del estado de tierra y no los ve
Estados intermedios que sólo pareja a tres o a un mayor número de
Mesons terrestres [12]. Por lo tanto, era muy importante construir el
Amplitud N-punto que involucra partículas escalares idénticas. La construcción de
4 Esto se puede comprobar computando el acoplamiento de la partícula sin spin en la
nivel α(s) = 2 y ver que desaparece para d = 4.
5 Reseñas de este periodo se pueden encontrar en Ref. [11]
El nacimiento de la teoría de cuerdas 7
la amplitud del punto N se hizo en Ref. [13] (prolongación de la labor de Ref. [14])
por exigir los mismos principios que han conducido a la construcción de la
modelo Veneziano, a saber, el hecho de que los axiomas de la teoría S-matriz ser
satisfecho por un número infinito de resonancias de ancho cero acostados linealmente
crecimiento de las trayectorias Regge y dualidad plana.
La amplitud de dispersión simétrica totalmente cruzada de N escalar idéntico
las partículas se dan por una suma de términos correspondientes a la permu-
tas de las patas externas:
Un (11)
También en este caso dos permutaciones de las patas externas son inequivalentes si
no están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica. Np es el número de
permutaciones inequivalentes de las patas externas y es igual a Np =
(N−1)!
y cada término sólo tiene singularidades de polos simples en los canales planos. Cada uno
canal plano se describe por dos índices (i, j), lo que significa que incluye el
piernas i, i+ 1, i+ 2... j − 1, j, por la variable Mandelstam
sij = −(pi + pi+1 +.. + pj)2 (12)
y por una variable adicional uij cuyo papel será claro pronto. Lo es.
claro que los canales (ij) y (j + 1, i− 1) 6 son idénticos y deben
ser contados sólo una vez. En el caso de N partículas escalares idénticas, el número
de canales planos es igual a
N(N−3)
. Esto puede obtenerse de la siguiente manera. Los
Los diagramas planos independientes que involucran la partícula 1 son del tipo (1, i)
donde i = 2...N − 2. Su número es N − 3. Este es también el número de
diagramas planos que involucran la partícula 2 y no la 1. Número de aviones
diagramas que implican la partícula 3 y no las partículas 1 y 2 es igual a
N − 4. En general, el número de diagramas planos que implican la partícula i y
no los anteriores de 1 a i-1 es igual a N − 1− i. Esto significa que la
el número total de diagramas planos es igual a:
2 (N − 3) +
(N − 1− i) = 2 (N − 3) +
= 2 (N − 3) +
(N − 4) (N − 3)
N(N−3)
Si uno escribe el diagrama de dualidad correspondiente a un planar determinado
orden de las partículas externas, es fácil ver que el diagrama puede tener
singularidades de polo simultáneas sólo en N − 3 canales. Los canales que
permitir singularidades de polo simultáneas se llaman canales compatibles, el otro
6 Este canal incluye las partículas (j + 1,...., N, 1,... i− 1).
8 Paolo Di Vecchia
se llaman incompatibles. Dos canales (i,j) y (h,k) son incompatibles si
se satisfacen las siguientes desigualdades:
i ≤ h ≤ j; j + 1 ≤ k ≤ i− 1 (14)
El objetivo es construir la amplitud de dispersión para cada inequivalente por
mutación de las piernas externas que sólo tiene singularidades de polo en el
N(N−3)
Canales planos. También tenemos que imponer que la amplitud tiene simultáneamente
polos solamente en N − 3 canales compatibles. Con el fin de obtener la intuición sobre cómo
procederemos a reescribir la amplitud de cuatro puntos en Eq. 2) De la siguiente manera:
A(s, t) =
du23 u
•(s12)−1
•(s23)−1
23 (u12 + u23 − 1) (15)
donde u12 y u23 son las variables correspondientes a los dos planos
nels (12) y (23) y la cancelación de polos simultáneos en
los canales son provistos por la función de ♥ que prohíbe u12 y u23 a desaparecer
Simultáneamente.
Ahora extenderemos este procedimiento a la amplitud de los puntos N. Pero para el
En aras de la claridad, comencemos con el caso de N = 5 [14]. En este caso tenemos 5
canales planos descritos por u12, u13, u23, u24 y u34. Ya que sólo tenemos dos
canales compatibles sólo dos de las cinco variables anteriores son independientes.
Podemos elegir que sean u12 y u13. Con el fin de determinar el depen-
dence de las otras tres variables sobre las dos independientes, excluimos
polos simultáneos en canales incompatibles. Esto se puede hacer mediante la imposición de
relaciones que impiden variables correspondientes a canales incompatibles con
Desaparece simultáneamente. Una condición suficiente para excluir los polos simultáneos
en canales incompatibles se impondrán las condiciones siguientes:
uP = 1−
uP̄ (16)
donde el producto está sobre las variables P̄ correspondientes a los canales que
son incompatibles con P. En el caso de la amplitud de cinco puntos obtenemos el
las siguientes relaciones:
u23 = 1− u34u12 ; u24 = 1− u13u12
u13 = 1− u34u24 ; u34 = 1− u23u13 ; u12 = 1− u24u23 (17)
Resolviéndolos en términos de los dos independientes que obtenemos:
u23 =
1− u12
1− u12u13
; u34 =
1− u13
1− u12u13
; u24 = 1− u12u13 (18)
En analogía con lo que hemos hecho por la amplitud de cuatro puntos en Eq. (15)
escribimos la amplitud de cinco puntos como sigue:
El nacimiento de la teoría de cuerdas 9
du34u
•(s12)−1
•(s13)−1
×u®(s24)−124 u
•(s23)−1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
*(u23 + u12u34 − 1)*(u24 + u12u13 − 1)*(u34 + u13u23 − 1) (19)
Realizando la integral sobre las variables u23, u24 y u34 obtenemos:
du13u
•(s12)−1
•(s13)−1
× (1− u12)+(s23)−1(1− u13)+(s13)−1(1− u12u13)+(s24)(s23)(s34)(20)
Hemos asumido implícitamente que la trayectoria de Regge es la misma en todos los chan-
nels y que las partículas escalares externas tengan la misma masa común m
y son los estados de mentira más bajos en la trayectoria de Regge. Esto significa que su
masa viene dada por:
α0 − •p2i = 0 ; p2i •m2 (21)
Usando entonces la relación:
α(s23) + α(s34)− α(s24) = 2+p2 · p4 (22)
Podemos reescribir Eq. (20) según se indica:
•(s2)−1
•(s3)−1
3 (1− u2)+(s23)−1×
× (1 − u3)+(s34)−1
(1− xij)2α
′pi·pj (23)
donde
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. uj−1. (24)
Ahora estamos listos para construir la función de punto N [13]. En analogía con
lo que se ha hecho para las amplitudes de cuatro y cinco puntos podemos escribir el
Amplitud de los puntos N, según se indica:
...
•(sP)−1
(uQ − 1 +
uQ̄) (25)
10 Paolo Di Vecchia
donde el primer producto ha terminado el
N(N−3)
variables correspondientes a todos
canales planos, mientras que el segundo está sobre el
(N−3)(N−2)
independiente
Funciones. El producto en la función de se define en Eq. (16).
La solución de todas las relaciones lineales no independientes impuestas por el
Las funciones son dadas por
uij =
(1 − xij)(1− xi−1,j+1)
(1− xi−1,j)(1− xi,j+1)
donde las variables xij se dan en Eq. (24). Eliminación de la función de
Eq. (25) se obtiene:
• (si)−1
i (1 − ui)
• (si,i+1)−1
j=i+2
(1- xij)ij(27)
donde
γij = α(sij) + α(si+1;j−1)− α(si;j−1)− α(si+1;j) ; j ≥ i+ 2 (28)
Es fácil ver que
α(si,i+1) = +0 − 2+pi · pi+1 ; γij = −2+pi · pj ; j ≥ i+ 2 (29)
Insertándolos en Eq. (27) Obtenemos:
• (si)−1
i (1− ui)
j=i+1
(1− xij)2α
′pi·pj (30)
Esta es la forma de la amplitud de punto N que fue construida originalmente.
Entonces Koba y Nielsen [15] lo pusieron en la forma que es más conocida hoy en día.
Lo construyeron usando las siguientes reglas. Asoció una variable real
Zi a cada pierna i. Luego se asociaron a cada canal (i, j) una anarmónica
relación construida a partir de las variables zi, zi−1, zj, zj+1 de la siguiente manera
(zi, zi+1, zj, zj+1)
•(sij)−1 =
(zi − zj) (zi − 1 − zj+1)
(zi−1 − zj)(zi − zj+1)
*(sij)−1
y finalmente dieron la siguiente expresión para la amplitud de N -point:
dV (z)
i, j)
(zi, zi+1, zj, zj+1)
•(sij)−1 (32)
donde
dV (z) =
1 (zi − zi+1)dzi)
i=1(zi − zi+2)dVabc
; dVabc =
dzadzbdzc
(zb − za) (zc − zb) (za − zc)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 11
y las variables zi se integran a lo largo del eje real en un orden cíclico
forma: z1 ≥ z2. . ≥ zN con a, b, c elegido arbitrariamente.
El integrand de la amplitud de N -point es invariante bajo proyectiva
transformaciones que actúan sobre las variables de la pierna zi:
αzi + β
γzi +
; i = 1... N ; − • = 1 (34)
Esto se debe a que tanto la relación anarmónica en Eq. (31) y la medida dVabc
son invariantes bajo una transformación proyectiva. Desde un proyector transfor-
miento depende de tres parámetros reales, a continuación, el integrand de la N -punto
La amplitud depende sólo de N − 3 variables zi. Con el fin de evitar infinitos, uno
tiene entonces que dividir el volumen de integración con el factor dVabc que es también
invariante bajo las transformaciones proyectivas. El hecho de que el integrand
sólo depende de N − 3 variables está de acuerdo con el hecho de que N − 3 es
también el número máximo de polos simultáneos permitidos en la amplitud.
Es conveniente escribir la amplitud de N - punto en una forma que implica la
producto escalar del momento externo en lugar de las trayectorias de Regge.
Distinguimos tres tipos de canales. La primera es cuando las partículas
i y j del canal (i, j) están separados por al menos dos partículas. En este
los canales que contribuyen al exponente del factor (zi − zj) son
los canales (i, j) con exponente igual a •(sij) − 1, (i + 1, j − 1) con
exponente (si+1,j−1)− 1, (i+1,j) con exponente α(si+1,j)+1 y (i, j− 1)
con exponente α(si,j−1) + 1. Añadiendo estas cuatro contribuciones uno consigue para el
canales donde i y j están separados por al menos dos partículas
− α(sij)− α(si+1,j−1) + α(si+1,j) + α(si,j−1) = 2pi · pj (35)
El segundo viene de los canales que están separados por sólo uno
partícula. En este caso, sólo tres de los cuatro canales anteriores contribuyen. Por
instancia si j = i+2 el canal (i+1, j− 1) consiste en una sola partícula y
Por lo tanto, no debe incluirse. Esto significa que tendríamos:
− α(si;i+2)− 1 + α(s1+1;i+2) + 1 + α(si;i+1 + 1) = 1 + 2+pi · pi+2 (36)
Por último, el tercero que viene de los canales cuyas partículas son adja-
cent, sólo recibe la contribución de:
− α(si;i+1)− 1 = α0 − 1 + 2+pi · pi+1 (37)
Poner todos estos tres términos juntos en Eq. (32) y recordando el factor
en el denominador en la primera ecuación de (33) obtenemos:
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
(zi − zi+1)α0−1
(zi − zj)2α
′pi·pj(38)
Una opción conveniente para que las tres variables se mantengan fijas es:
12 Paolo Di Vecchia
zc = zN = 0 (39); zb = z2 = 1; zc = zN = 0 (39)
Con esta opción la ecuación anterior se convierte en:
(zi − zi+1)
(zi − zi+1)α0−1×
j=i+1
(zi − zj)2α
′pi·pj (40)
Ahora queremos mostrar que esta amplitud es idéntica a la dada en Eq.
(30). Esto se puede hacer realizando el siguiente cambio de variables:
; i = 2, 3...N − 2 (41)
lo que implica
zi = u2u3. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Teniendo en cuenta que el jacobino es igual a:
uN−2−ii (43)
utilizando las dos relaciones siguientes:
(zi − zi+1)α0−1 =
(N−1−i)α0−1
(1− ui)α0−1 (44)
j=i+1
(zj − zi)2α
′pi·pj =
j=i+1
(1− xij)2α
′pi·pj
• (si)− (N−i−1)α0
i (45)
y la conservación del impulso
pi = 0 (46)
junto con Eq. (21), se puede ver fácilmente que Eq.s (30) y (40) son iguales.
El nacimiento de la teoría de cuerdas 13
La amplitud N -punto que hemos construido en esta sección corre-
sponds a la dispersión de N partículas sin spinless sin grados internos de
libertad. Por otro lado, se sabía que los mesones eran clasificados
según los múltiplos de una simetría del sabor SU(3). Esto se puso en práctica.
por Chan y Patón [16] multiplicando la amplitud del punto N con un factor,
llamado factor Chan-Paton, administrado por
Tr(a1a2..................................................................................................................................................... 47)..................................................................................................................................................
donde las matrices de los grupos unitarios en los representa-
tion. Incluyendo los factores Chan-Paton se da la amplitud de dispersión total
Tr(a1a2..................................................................................................................................................... BN (p1, p2,. . pN ) (48)
donde la suma se extiende a la (N − 1)! permutaciones de las patas externas,
que no están relacionados por una permutación cíclica. Originalmente cuando la resolución dual-
modelo nance se suponía que describiría fuertemente interactuando mesones, este factor
se introdujo para representar su sabor grados de libertad. Hoy en día el
la interpretación es diferente y el factor Chan-Paton representa el color
grados de libertad de los bosones de calibre y las otras partículas masivas de la
espectro.
La amplitud N -punto BN que hemos construido en esta sección con-
sólo tiene singularidades de polo simples en todos los canales planos posibles. Ellos cor-
responder a resonancias de ancho cero situadas a valores enteros no negativos n de
la trayectoria de Regge α(M2) = n. El estado más bajo situado en α(m2) = 0 cor-
responde a las partículas en las patas externas de BN. El espectro de excitación
las partículas se pueden obtener factorizando la amplitud de N - punto en la mayoría
canal general con cualquier número de partículas. Esto se hizo en Ref.s [17] y
[18] encontrar un espectro de estados que suben exponencialmente con la masa M.
el modelo relativista invariante se encontró que muchos estados obtenidos por
factorizando la amplitud del punto N eran “fantasmas”, es decir, estados con
norma como se encuentra en QED cuando se cuantifica el campo electromagnético en un
calibrador covariante. La coherencia del modelo requiere la existencia de rela-
ciones satisfechas por las amplitudes de dispersión que son similares a las obtenidas
a través de la invarianza del calibrador en QED. Si el modelo es consistente deben decou-
la norma negativa nos deja con un espectro físico de positivo
los estados de la norma. Con el fin de estudiar de una manera sencilla estos temas, discutimos en el
siguiente sección el formalismo del operador introducido ya en 1969 [19, 20, 21].
Antes de concluir esta sección volvamos a los cuatro puntos no planos
amplitud en Eq. (5) y discutir su generalización a una amplitud de punto N.
Utilizando la técnica del análogo electrostático en la esfera en lugar de en
el disco Shapiro [22] fue capaz de obtener una amplitud de punto N que reduce
a la amplitud de cuatro puntos en Eq. (5) con intercepción α0 = 2. El punto N
Amplitud encontrada en Ref. [22] es:
14 Paolo Di Vecchia
i=1 d
dVabc
zi − zj
′pi·pj (49)
donde
dVabc =
d2zad
za − zb2za − zc2zb − zc2
La integral en Eq. (49) se realiza en todo el plano complejo.
3 Formalismo y factorización del operador
Las propiedades de factorización del modelo de resonancia dual fueron estudiadas por primera vez por
factorizando por fuerza bruta la amplitud del punto N en los diversos polos [17, 18].
El número de términos que factorizan el residuo del polo en α(s) = n,
aumenta rápidamente con el valor de n. Con el fin de encontrar su degeneración se volvió
para ser conveniente reescribir primero la amplitud del punto N en un operador
formalismo. En esta sección introducimos el formalismo del operador y reescribimos
la amplitud N-punto derivada en la sección anterior en este formalismo.
La idea clave [19, 20, 21] es introducir un conjunto infinito de oscil armónico
Lators y operadores de posición e impulso 7 que satisfacen los siguientes requisitos:
relaciones de conmutación:
[anμ, a
m/ ] = nm ; [q, p ] = i (51)
donde es la métrica plana de Minkowski que tomamos para ser = (−1, 1,... 1).
Un estado con impulso p se construye en términos de un estado con cero mo-
mentum de la manera siguiente:
< < p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p = p > p > p = p > p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = 0 = 0 = 0 (52)
normalizado como 8
pp = (2η)dŁ(d)(p+ p′) (53)
Con el fin de evitar menos signos utilizamos la convención que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Una base completa y ortonormal de vectores en el espacio del oscilador armónico
es dada por
1, 2,. • i; p =
(an;n)
n;μn
¡N, μn!
eipq0, 0ó (55)
7 En realidad, la posición y los operadores de impulso se introdujeron en Ref. [23].
8 Aunque ahora usamos un arbitrario d queremos recordarte que todo original
los cálculos se hicieron para d = 4.
El nacimiento de la teoría de cuerdas 15
donde el primer 0 corresponde al aniquilado por toda aniquilación op-
y el segundo al estado de cero impulso:
aμn;n0, 0° = p0, 0° = 0 (56)
Nótese que la invarianza de Lorentz obliga a introducir también osciladores que crean
estados con norma negativa debido al signo menos en la métrica plana de Minkowski.
Esto implica que el espacio extendido por los estados en Eq. (55) no es positivo
Definido. Esto, sin embargo, no está permitido en una teoría cuántica y por lo tanto si
el modelo de resonancia dual es una teoría cuántica-relavista consistente que esperamos
la presencia de relaciones del tipo de las proporcionadas por la invarianza del calibrador en
Presentemos al operador de Fubini-Veneziano [23]:
Qμ(z) = Q
μ (z) +Q
μ (z) +Q
μ (z) (57)
donde
Q(+) = i
z−n ; Q(−) = −i
Q(0) = qá − 2iÃ3pá r log z (58)
En términos de Q introducimos el operador de vértice correspondiente a la externa
pata con impulso p:
V (z; p) =: eip·Q(z)
(−)(z)eipq®e+2α
′pp log zeip·Q
(+)z) (59)
y calcular el siguiente valor de expectativa de vacío:
0, 0
V (zi, pi)0, 0 (60)
Se puede calcular fácilmente utilizando la relación Baker-Haussdorf
eAeB = eBeAe[A,B] (61)
que es válido si el conmutador, como en nuestro caso, [A,B] es un número c. En nuestro
en caso de que las relaciones de conmutación que deban utilizarse sean:
[Q(+)(z), Q(−)(w)] = −2
y el segundo en Eq. (51). Usandolos uno consigue:
V (z; p)V (w; k) =: V (z; p)V (w; k) : (z − w)2α
′p·k (63)
16 Paolo Di Vecchia
0, 0
V (zi, pi)
(zi − zj)2α
′pi·pj (2
pi) (64)
cuando el pedido normal requiera que todos los operadores de creación se pongan en la
izquierda de la aniquilación uno y el operador de impulso pÃ3 ser puesto a la derecha
del operador de posición q». Esto significa que
(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
pi)BN =
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
(zi − zi+1)α0−1
× 0, 0
V (zi, pi)0, 0 (65)
Al elegir las tres variables za, zb y zc como en Eq. (39) podemos reescribir el
ecuación anterior como sigue:
(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
pi)BN =
(zi − zi+1)×
(zi − zi+1)α0−1
0, p1
V (zi; pi)0, pN (66)
donde hemos tomado z2 = 1 y hemos definido (α0 • p2i ; i = 1...N) :
V (zN ; pN )0, 0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
z2α01 V (z1; p1) = 0, p1 (67)
Antes de proceder a factorizar la amplitud N -punto vamos a estudiar la prop-
En el marco del grupo proyectivo de los operadores que hemos introducido.
Ya hemos visto que el grupo proyectivo deja el integrand de la
Koba-Nielsen representación de la amplitud de N -punto invariante. El projec-
El grupo tivo tiene tres generadores L0, L1 y L−1, respectivamente.
dilataciones, inversiones y traducciones. Suponiendo que el Fubini-Veneziano
campos Q(z) se transforma como un campo con peso 0 (como escalar) podemos
ately escribir las relaciones de conmutación que Q(z) debe satisfacer. Esto significa en
hecho de que, bajo una transformación proyectiva, Q(z) se transforma como sigue:
Q(z) → QT (z) = Q
αz + β
γz +
; − • = 1 (68)
Expandiendo para valores pequeños de los parámetros que obtenemos:
QT (z) = Q(z) + (+1 + 2z + 3z
dQ(z)
+ o(+2) (69)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 17
Esto significa que los tres generadores del grupo proyectivo deben satisfacer
después de las relaciones de conmutación con Q(z):
[L0, Q(z)] = z
; [L−1, Q(z)] =
; [L1, Q(z)] = z
Son dadas por las siguientes expresiones en términos de la oscila armónica-
tors:
L0 = α
′p®2 +
na†n · an ; L1 =
2+p · a1 +
n(n+ 1)an+1 · a†n (71)
L−1 = L
2+p· · a†1 +
n(n+ 1)a
n+1 · an (72)
Aniquilan el vacío.
L0, 0 = L1 = 0, 0 = L−1 = 0, 0 = 0 (73)
que por lo tanto se llama el vacío invariante proyectiva, y satisfacer el álgebra
que se llama álgebra de Gliozzi [24]:
[L0, L1] = −L1 ; [L0, L−1] = L−1 ; [L1, L−1] = 2L0 (74)
El operador de vértice con impulso p es un campo proyectivo con peso igual
a α0 = α
′p2. De hecho, se transforma como sigue en el grupo proyectivo:
[Ln, V (z, p)] = z
n+1 dV (z, p)
+ α0(n+ 1)z
nV (z, p) ; n = 0,±1 (75)
o en forma finita como sigue:
UV (z, p)U−1 =
(γz + )2α0
αz + β
γz +
donde U es el generador de una transformación proyectiva finita arbitraria.
Desde U deja el vacío invariante, mediante el uso de Eq. (76) es fácil de mostrar
que:
0, 0
V (z′i, p)0, 0 =
(γzi + )
2α0-0, 0
V (zi, p)0, 0 (77)
que junto con la siguiente ecuación:
(z′i − z′i+1)α0−1 =
(zi − zi+1)α0−1
(γzi + )
−2α0(78)
9 Véase también Ref. [25].
18 Paolo Di Vecchia
implica que la integridad de la amplitud de punto N en Eq. (65) es invariante
bajo transformaciones proyectivas.
Ahora estamos listos para factorizar la amplitud de N -punto y encontrar la especificación-
Trum de mesons.
De los Eq.s (75) y (76) es fácil derivar la transformación de la
operador de vértice bajo una dilatación finita:
zL0V (1, p)z−L0 = V (z, p)zα0 (79)
Cambiar las variables de integración de la siguiente manera:
; i = 2, 3...N − 2 ; det
= z3z4. zN−2 (80)
donde el último término es el jacobio de la trasformación de zi a xi, obtenemos
de Eq.(66) la expresión siguiente:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
donde el propagador D es igual a:
dxxL0−1+0(1− x)α0−1 = • (L0 − α0) • (α0)
(L0)
AN = (2η)
d-(d)
BN (83)
Las propiedades de factorización de la amplitud se pueden estudiar insertando en
el canal (1,M) o equivalente en el canal (M +1, N) descrito por el
Variable Mandelstam
s = −(p1 + p2 +. .. pM )2 = −(pM+1 + pM+2... + pN )2 • −P 2 (84)
el conjunto completo de estados dados en Eq. (55):
P(1,M), P, P D, P, P p(M+1,N) (85)
donde
P(1,M) = 0, p1V (1, p2)DV (1, p3). V (1, pM ) (86)
p(M+1,N) = V (1, pM+1)D... V (1, pN−1)pN, 0 (87)
Introducción de la cantidad:
El nacimiento de la teoría de cuerdas 19
na†n · an (88)
es posible reescribir
, P D, P =
, P
(−1)m
α0 − 1
R+m− α(s)
, P (89)
donde s es la variable definida en Eq. (84). Usando esta ecuación podemos reescribir
Eq. (85) del siguiente modo:
P(1,M), P ®
, P
(−1)m
α0 − 1
R+m− α(s)
, P, P p(M+1,N)(90)
Esta expresión muestra que la amplitud AN tiene un polo en el canal (1,M)
cuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y los estados que contribuyen a
sus residuos son los que satisfacen la relación:
R = (n−m) ; m = 0, 1.. n (91)
El número de estados independientes contribuir al residuo da el
degeneración de los estados para cada nivel n.
Debido a la manifiesta invarianza relativista, el espacio se extiende por la com-
sistema pleto de estados en Eq. (55) contiene estados con una norma negativa corre-
sponding a esos estados que tienen un número impar de osciladores con tiempo similar
instrucciones (véase Eq. (51)). Esto no es consistente en una teoría cuántica donde
los estados de un sistema deben abarcar un espacio definitivo de Hilbert positivo. Esto significa
que debe existir una serie de relaciones satisfechas por los Estados externos que
desacoplar un número de estados dejando con un espacio positivo definido Hilbert. In
para encontrar estas relaciones reescribimos el estado en Eq. (87) volver a la
Variables de Koba-Nielsen:
p(1,M) =
(zi − zi+1)]
(zi − zi+1)α0−1×
× V (1, p1)V (z2, p2). ... V (zM−1, pM−1).......................................................................................................................................................................................................................................................
Consideremos el operador U(α) que genera la transformación proyectiva
que deja los puntos z = 0, 1 invariante:
1− α(z − 1) = z + α(z)
2 − z) + o(α2) (93)
De las propiedades de transformación de los operadores de vértice en Eq. (76)
es fácil ver que la transformación anterior deja el estado en Eq. (92)
invariante:
20 Paolo Di Vecchia
U(α)p(1,M) = p(1,M) (94)
Esto significa que el generador de la transformación previa aniquila el
estado en Eq. (92):
W1p(1,M) = 0; W1 = L1 − L0 (95)
La forma explícita de W1 se deriva de la forma infinitesimal de la transformación-
ciones en Eq. (93). Esta condición que es del mismo tipo de relaciones que
sobre las amplitudes de caparazón con la emisión de fotones satisfacen como consecuencia de
la invarianza del calibre, implica que el residuo en el polo en Eq. (90) puede ser fac-
Torizado con un número menor de estados. Sin embargo, resulta que un
El análisis del espectro muestra que los estados de norma negativos todavía están presentes.
Esto se puede entender cualitativamente de la siguiente manera. Debido a la métrica de Lorentz
tenemos un componente de norma negativo para cada oscilador. Para poder
para desacoplar todos los estados de la norma negativa necesitamos tener una condición de calibre de
el tipo como en Eq. (95) para cada oscilador. Pero el número de osciladores es
infinito y, por lo tanto, necesitamos un número infinito de condiciones del tipo
como en Eq. (95). Fue encontrado en Ref. [6] que, si tomamos α0 = 1, entonces uno puede
construir fácilmente un número infinito de operadores que salen del estado en Eq.
(92) invariante. En la siguiente sección nos concentraremos en este caso.
4 El caso α0 = 1
Si tomamos α0 = 1 muchas de las fórmulas dadas en la sección anterior simplificar.
La amplitud del punto N en Eq. 38) pasa a ser:
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
(zi − zj)2α
′pi·pj (96)
que pueden ser reescritos en el formalismo del operador como sigue:
(2l)4l(
pi)BN =
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
0, 0
V (zi, pi)
Al elegir z1 = فارسى, z2 = 1 y zN = 0 se convierte en
(2l)4l(
pi)BN =
(zi − zi+1)0, p1
V (zi; pi)0, pN (98)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 21
donde
V (zN; pN ) 0, 0 0; pN ; 0; 0 lim
z21V (z1; p1) = 0, p1 (99)
Eq. (81) es como antes, pero ahora el propagador se convierte en:
dxxL0−2 =
L0 − 1
(100)
Esto significa que Eq. (89) pasa a ser:
, P D, P =, P 1
L0 − 1
, P (101)
y Eq. (90) tiene la forma más sencilla:
P(1,M), P, P
R − α(s)
, P, P p(M+1,N)® (102)
BN tiene un polo en el canal (1,M) cuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y
los estados que contribuyen a su residuo son los que satisfacen la relación:
R = n (103)
Su número da la degeneración de los estados que contribuyen al polo en
α(s) = n. La amplitud de N -point se puede escribir como:
BN = P(1,M)Dp(M+1,N)® (104)
donde
p(1,M) =
∫ M−1
[dzil(zi − zi+1)]×
× V (1, p1)V (z2, p2). .. V (zM−1, pM−10, pM • (105)
Usando Eq. (79) y variables cambiantes de zi, i = 2... M−1 a xi = zi+1zi, i =
1...M − 2 con z1 = 1 podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:
p(1,M) = V (1, p1)DV (1, p2)..DV (1, pM−1)0, pM (106)
donde el propagador D se define en Eq. (100).
Ahora queremos demostrar que el estado en Eq.s (105) y (106) no es sólo
aniquilado por el operador en Eq. (95), pero, si α0 = 1 [6], por un conjunto infinito
de los operadores cuyo más bajo es el de Eq. (95). Vamos a derivar esto por
utilizando el formalismo desarrollado en Ref. [26] y seguiremos de cerca sus
derivación.
A partir de Eq.s (70) Fubini y Veneziano se dieron cuenta de que los generadores
del grupo proyectivo que actúa en función de z están dadas por:
22 Paolo Di Vecchia
L0 = −z
; L−1 = −
; L1 = −z2
(107)
Generalizaron los generadores anteriores a un transfor conformal arbitrario.
• la introducción de los siguientes operadores, llamados operadores de Virasoro:
Ln = −zn+1
(108)
que satisfagan el álgebra:
[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m (109)
que no contiene el término con la carga central! También mostraron que
los operadores de Virasoro satisfacen las siguientes relaciones de conmutación con el
operador de vértice:
[Ln, V (z, p)] =
zn+1V (z, p)
(110)
Más en general, en realidad definen un operador Lf que corresponde a un
función arbitraria f(+) y Lf = Ln si elegimos f(+) =
n. En este caso la
relación de conmutación en Eq. (110) se convierte en:
[Lf, V (z, p)] =
(zf(z)V (z, p)) (111)
Al introducir la variable:
* f..............................................................................................................................................................................................................................................................
(112)
donde A es una constante arbitraria, se puede reescribir Eq. (111) en lo siguiente:
forma:
[Lf, zf(z)V (z, p)] =
(zf(z)V (z, p)) (113)
Esto implica que, bajo una transformación conformal arbitraria z → f(z),
generado por U = eαLf, el operador de vértice se transforma como:
eαLfV (z, p) zf(z) eLf = V (z′, p)z′f(z′) (114)
donde el parámetro α es dado por:
* f..............................................................................................................................................................................................................................................................
(115)
Por otro lado, esta ecuación implica:
zf(z)
z′f(z′)
(116)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 23
que, insertado en Eq. (114), implica que la cantidad V (z, p) dz se deja invariante
por la transformación z → f(z):
eαLfV (z, p)dze®Lf = V (z′, p)dz′ (117)
Actuamos ahora con la anterior transformación conformal sobre el estado en
Eq. (105). Tenemos:
eαLf p(1,M) =
eαLfV (1, p1)eαLf×
×eαLfV (z2, p2)e•Lf..... eαLfV (zM−1, pM−1)e•Lf eαLf 0, pM =
*(zi − zi+1)× eαLfV (1, p1)e*Lf×
× V (z′2, p2)dz′2. .. V (z′M−1, pM−1)dz′M−1eαLf 0, pM (118)
donde hemos usado Eq. (117). La transformación anterior deja el estado
invariante si z = 0 y z = 1 son puntos fijos de la transfor-
Mation. Esto sucede si el denominador en Eq. (115) desaparece cuando = 0, 1.
Esto requiere las siguientes condiciones:
f(1) = 0 ; lim
(+) = 0 (119)
Expandiendo cerca del poinr = 1 podemos determinar la relación entre z
y z′ cerca de z = z′ = 1. Tenemos:
zeóf
1− z + zeáf ′(1)
(120)
y a partir de ella podemos determinar el factor de conformación:
(1 − z + zeáf ′(1))2
→ eαf
′(1) (121)
en el límite z → 1. Procediendo en la misma cerca del punto z = z′ = 0 obtenemos:
zf(0)eαf(0)
f(0) + zf ′(0)(1− eαf(0)
→ zeαf(0) (122)
en el límite z → 0. Esto significa que Eq. (118) se convierte en
eα(Lf−f
′(1)−f(0))p(1,M)® = p(1,M)® (123)
Una elección de f que satisface Eq.s (119) es la siguiente:
24 Paolo Di Vecchia
f() = n − 1 (124)
que proporciona el siguiente operador de gálibo:
Wn = Ln − L0 − (n− 1) (125)
que aniquila el estado en Eq. (105):
Wnp1...M = 0 ; n = 1.... (126)
Estas son las condiciones de Virasoro que se encuentran en Ref. [6]. Hay una condición para
cada oscilador de norma negativa y, por lo tanto, en este caso existe la posibilidad
que el subespacio físico es positivo definido. Una alternativa más directa
derivación de Eq. (126) se puede obtener actuando con Wn en el estado en Eq.
(106) y utilizando las siguientes identidades:
WnV (1, p) = V (1, p)(Wn + n) ; (Wn + n)D = [L0 + n− 1]−1Wn (127)
La segunda ecuación es una consecuencia de la siguiente ecuación:
L0 = xL0+nLn (128)
Eq.s (127) implican
WnV (1, p)D = V (1, p)[L0 + n− 1]−1Wn (129)
Esto muestra que el operador Wn no cambia a través de todo el producto
de los términos V D hasta que llega delante del término V (1, pM−1)0, pM. Me voy.
a través del operador de vértice se convierte en Ln − L0 + 1 que luego aniquila el
estado
(Ln − L0 + 1)pM, 0â = 0 (130)
Esto prueba Eq. (126).
Utilizando la representación de los operadores de Virasoro dada en Eq. (108) Fu-
bini y Veneziano mostraron que satisfacen el álgebra dada en eq. (109)
sin la carga central. Se reconoció la presencia de la carga central
por Joe Weis10 en 1970 y nunca publicado. A diferencia de Fubini y Veneziano [26]
Utilizó la expresión de los operadores Ln en términos de los osciladores armónicos:
2 + np · an +
m(n+m)an+m · am+
m(n−m)am−n · am;n ≥ 0 Ln = L†n (131)
10 Véase añadido como prueba en Ref. [26].
El nacimiento de la teoría de cuerdas 25
Obtuvo el siguiente álgebra:
[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m +
n(n2 − 1)•n+m;0 (132)
donde d es la dimensión del espacio-tiempo de Minkowski. Escribimos aquí d para el
dimensión del espacio de Minkowski, pero queremos recordarles que casi
Todo el mundo trabajando en un modelo para mesons en ese momento dio por sentado que
la dimensión del espacio-tiempo fue d = 4. Por lo que recuerdo, la primera
papel donde se introdujo una dimensión d 6= 4 fue Ref. [27] donde estaba
muestra que la unidad violando cortes en el bucle no-planar se convierten en polos
que fueran consistentes con la unitariedad si d = 26.
En la última parte de esta sección generalizaremos el procedimiento de factorización
al modelo Shapiro-Virasoro cuya amplitud de punto N se da en Eq. (49).
En este caso debemos introducir dos conjuntos de osciladores armónicos que se desplazan
con el otro y sólo un conjunto de modos cero que satisfagan el álgebra [28]:
[anμ, a
mν ] = [ãnμ, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
En términos de ellos podemos presentar el operador Fubini-Veneziano
Q(z, z̄) = qâ − 2â € € log(zz̄) + i
− n − a†nzn
ãnz̄
− n − nz̄n
(134)
A continuación, podemos introducir el operador de vértice:
V (z, z̄; p) =: eip·Q(z,z̄) : (135)
y escribir la amplitud de N -punto en Eq. (95) en la siguiente forma factorizada:
i=1 d
dVabc
V (zi, z̄i, pi))
0 =
= (2l)4l(4)(
i=1 d
dVabc
zi − zj
′pi·pj (136)
donde el producto ordenado radial es dado por
V (zi, z̄i, pi))
V (zi, z̄i, pi))
(zi − zi+1) +. (137)
26 Paolo Di Vecchia
y los puntos indican una suma sobre todas las permutaciones de los operadores de vértice.
Fijando z1 = فارسى, z2 = 1, zN = 0 podemos reescribir la expresión anterior
de la siguiente manera:
∫ N−1
d2zi+0, p1R
V (zi, z̄i, pi))
0, pN® (138)
Por el bien de la simplicidad consideremos el término correspondiente a la per-
mutación 1, 2,... N. En este caso las variables Koba-Nielsen se ordenan en
tal manera que zi ≥ zi+1 para i = 1,...N −1. Entonces podemos usar la fórmula:
V (zi, z̄i, pi) = z
L01
i V (1, 1, pi)z
i (139)
y variables de cambio:
; wi ≤ 1 (140)
para reescribir Eq. (138) según se indica:
0, p1V (1, 1, pi1)DV (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pN−1)0, pN (141)
donde
wL0−1w̄Lœ0−1 =
L0 + Lœ0 − 2
· sinl(L0 − L0)
L0 − Lœ0
(142)
Ahora podemos seguir el mismo procedimiento para todas las permutaciones que llegan a la
expresión siguiente:
•0, p1P [V (1, 1, p2)DV (1, 1, p3)D.... V (1, 1, pN−1)]0, pN® (143)
donde P significa una suma de todas las permutaciones de las partículas.
Si queremos considerar la factorización de la amplitud en el polo en
s = −(p1 +. .. pM )2 sólo obtenemos la siguiente contribución:
P(1...M)Dp(M+1...N) (144)
donde
p(M+1...N) = P [V (1, 1, pM+1)D.... V (1, 1, pN−1]0, pN (145)
[V (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pM)] (146]
La amplitud se factoriza mediante la introducción de un conjunto completo de estados y
ing Eq. (141) según se indica:
El nacimiento de la teoría de cuerdas 27
# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #
2, L0, Lœ0,
L0 + Lœ0 − 2
, p(M+1,...N) (147)
Por escrito
p+2 +R; L0 =
pâ € 2 + Rс (148)
na†n · an ; R =
nn · ãn (149)
Podemos reescribir Eq. (147) de la siguiente manera:
# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #
2, R, R,
R + R α(s)
, p(M+1,...N)® (150)
Vemos que la amplitud para el modelo Shapiro-Virasoro tiene polos simples
sólo para valores enteros pares de αSV (s) = 2 +
s = 2n ≥ 0 y el residuo en
los polos factorizan en una suma con un número finito de términos. Nótese que el
Trayectoria Regge del modelo Shapiro-Virasoro tiene doble intercepción y mitad
pendiente de la del modelo Veneziano generalizado.
5 Estados físicos y sus operadores de vértice
En la sección anterior, hemos visto que el residuo en los polos de la N -
las amplitudes de punto factorizan en una suma de un número finito de términos. También lo hemos hecho.
visto que algunos de estos términos, debido a la métrica de Lorentz, corresponden a los estados
con norma negativa. También hemos derivado una serie de “identidades Ward” dadas
en Eq. (126) que implican que algunos de los términos del residuo se disocian. Los
pregunta a ser respondida ahora es: ¿Es el espacio extendido por los estados físicos
¿Una norma positiva, el espacio de Hilbert? Para responder a esta pregunta necesitamos primero
para encontrar las condiciones que caracterizan a los estados físicos de la concha en, P
y luego determinar cuáles son los estados que contribuyen al residuo
del polo en α(s = −P 2) = n. En otras palabras, tenemos que encontrar una manera de
la caracterización de los estados físicos y la eliminación de los estados espurios que
desacoplamiento en Eq. (102) como consecuencia de Eq.s (126). Un estado.P contribuye
en el residuo del polo en Eq.(102) para α(s = −P 2) = n si está en la cáscara,
a saber, si satisface las siguientes ecuaciones:
R, P® = n, P® ; α(−P2) = 1− P2 = n (151)
que se puede escribir en una ecuación única:
28 Paolo Di Vecchia
(L0 − 1), P = 0 (152)
Por Eq. (126) también sabemos que un estado del tipo:
s, P = W †m, P (153)
no va a contribuir al residuo del polo. Lo llamamos espurio o
unphysical state. Empezamos a construir el subespacio de estados espurios que
están en la cáscara en el nivel n. Consideremos el conjunto de estados ortogonales, P
de tal manera que
R, P® = n, P® ; L0, P® = (1-m), P® ; 1− P2 = n (154)
donde
m = n+ nμ (155)
En términos de estos estados podemos construir el estado espurio más general que
está en caparazón en el nivel n. Es dado por
s, = W †m, ; (L0 − 1)s, = 0 (156)
por cualquier entero positivo m. Usando Eq. (154), eq. (156) se convierte en:
s, P â € = L†m, P â € (157)
donde, P es un estado arbitrario que satisface Eq.s (154).
Un estado físico, P se define como el que es ortogonal a todos los espui-
Estados que aparecen en un cierto nivel n. Esto significa que debe satisfacer la
ecuación siguiente:
.P L†l, P = 0 (158)
para cualquier estado, P satisfacer Eq.s (154). En conclusión, la
los estados en el nivel n se caracterizan por el hecho de que satisfacen lo siguiente
condiciones:
P = (L0 − 1), P = 0; 1− P 2 = n (159)
Estas condiciones que caracterizan el subespacio físico fueron encontradas por primera vez por Del
Giudice y Di Vecchia [28] donde se realizó el análisis descrito aquí.
Para encontrar el subespacio físico uno comienza a escribir el más general
en estado de caparazón que contribuye al residuo del polo en el nivel n en Eq. (154).
Luego se impone Eq.s (159) y determina los estados que abarcan el
subespacial. En realidad, entre estos estados se encuentra también un conjunto de estados de cero normas
que son físicos y espurios al mismo tiempo. Esos estados son de la forma
se administra en Eq. (157), pero también satisfacer Eq.s (159). Es fácil ver que son
no realmente físico porque no están contribuyendo al residuo del polo
El nacimiento de la teoría de cuerdas 29
en el nivel n. Esto se deriva de la forma del operador de la unidad que figura en el
espacio de los estados físicos por:
norma 6=0
, P, P
[0, P 0, P 0, P 0, P ] (160)
donde 0, P ® es una norma cero estado físico y espurio y 0, P ® su con-
Estado de la jugata. Un estado conjugado de un estado de norma cero se obtiene cambiando
el signo de los osciladores con dirección temporal. Desde 0, P es un espurio
indicar cuando insertamos el operador de la unidad, dado en Eq. (160), en Eq. (102)
ver que los estados de la norma cero nunca contribuyen al residuo porque su
la contribución es aniquilada ya sea del estado p(1,M) o del estado
p(M+1,N). En conclusión, el subespacio físico contiene sólo los estados en
el primer término en el r.h.s. de Eq. (160).
Analicemos los dos primeros niveles excitados. El primer nivel excitado corre...
sponds a un campo de medición sin masa. Se extiende por los estados a
10, P. In
En este caso, la única condición que debemos imponer es:
10, P = 0 = P · = 0 (161)
Elegir un marco de referencia donde el impulso del fotón es dado por
(P, 0...0, P ), Eq. (161) implica que los únicos estados físicos son:
1i 0, P (a)
1;0 − a
1;d−1)0, P ® ; i = 1... d− 2 (162)
en los que los términos «í» y «í» son parámetros arbitrarios. El estado en Eq. (162) es el más
Estado general del nivel N = 1 que cumple las condiciones de Eq. (159). Los
primer estado en eq. (162) tiene norma positiva, mientras que la segunda tiene norma cero
que es ortogonal a todos los demás estados físicos, ya que puede ser escrito como sigue:
1;0 − a
1;D−1)0, P = L
10, P® (163)
en el marco de referencia en el que Pμ Ł (P,...0, P ). Debido a la anterior
propiedad se desvincula de los estados físicos junto con su conjugado:
1,0 + a
1,d−1)0, P â € (164)
En conclusión, sólo nos quedamos con los estados transversales d− 2 correspondientes
a los grados físicos de libertad de un estado de spin 1 sin masa. En el siguiente nivel
n = 2 el estado más general es dado por:
[a
1 / + β
2,μ]0, P (165)
Si trabajamos en el centro del marco de masa donde Pμ = (M,0) obtenemos lo siguiente
estado físico más general:
Phys > = αij [a†1,ia
1,j −
d - 1)
1,k]0, P
30 Paolo Di Vecchia
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2,i + a
1,i]0, P
1,i +
1,0 − 2a
0, P (166)
donde los índices i, j corren sobre los componentes de d− 1 espacio. El primer término en
(166) corresponde a un giro 2 en (d− 1) espacio dimensional y tiene un positivo
norma hecha con índices espaciales. El segundo término tiene cero norma y es
ortogonal a los otros estados físicos ya que se puede escribir como L+1 a
1,i0, P.
Por lo tanto, debe ser eliminado del espectro físico junto con su
conjugado, como se ha explicado anteriormente. Finalmente, el último estado en (166) es spinless y
tiene una norma dada por:
2 d - 1 (26 - d) (167)
Si d < 26 corresponde a una partícula física de giro cero con norma positiva. Si
d > 26 es un fantasma. Finalmente, si d = 26 tiene una norma cero y también es ortogonal
a los otros estados físicos ya que puede ser escrito en la forma:
2 + 3L
1 )0 > (168)
No pertenece, por lo tanto, al espectro físico. El análisis de esto
nivel se hizo en Ref. [29] con d = 4. Esto no permitió a los autores de
Ref. [29] para ver que había una dimensión crítica.
El análisis de los estados físicos se puede extender fácilmente [28] a la
Modelo Shapiro-Virasoro. En este caso, las condiciones físicas dadas en Eq. (159)
para la cadena abierta, conviértase en [28]:
Lm, = Lm, = (L0 − 1), = (Lū0 − 1), = 0 (169)
para cualquier entero positivo m. Se puede ver fácilmente de las ecuaciones anteriores
que el estado más bajo del modelo Shapiro-Virasoro es el vacío
correspondiente a un taquión con masa p2 = 4, mientras que el siguiente nivel descrito
por el Estado a
1 / 0a, 0ã, p® contiene los estados sin masa correspondientes a la
gravitón, un dilaton y un tensor antisimétrico de dos índices.
Habiendo caracterizado el subespacio físico uno puede seguir adelante y construir
a Amplitud de dispersión N - punto que implica estados físicos arbitrarios. Esto fue
hecho por Campagna, Fubini, Napolitano y Sciuto [30] donde el vértice oper-
ator para un estado físico arbitrario fue construido en analogía con lo que ha
hecho para el estado taquiónico del suelo. Se asociaron a cada físico
un operador de vértice Vα(z, P ) que es un campo conformal con conformal
dimensión igual a 1:
[Ln, Vα(z, p)] =
zn+1Vα(z, p)
(170)
y reproduce el estado correspondiente actuando sobre el vacío como sigue:
Vα(z; p)0, 0 ; ; 0; 0 lim
z2Vα(z; p) =, p (171)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 31
Satisface, además, la relación de hermiticidad:
V (z, P ) = Vα(
,−P )−1)α(−P
2) (172)
Un vértice emocionado que jugará un papel importante en la siguiente sección es el
uno asociado al campo de gálibo sin masa. Está dada por:
(z, k) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () ()) () () () () () ()) () () () ()) () () () () ()) () () ()) () () ()) ()) () ()) () ()) () ()) ()) ()) ()) () () () ()) () () ()) () () ()) () () () () ) () () () () () () () ) () () () () () ) () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () () () ) () () () () () ) ) () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) ) ) () ) ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) ) ) ) )
dQ(z)
eik·Q(z) ; k · = k2 = 0 (173)
Debido a las dos últimas condiciones en Eq. (173) el orden normal no es necesario
Sary. Es conveniente dar la expresión de
dQ(z)
en términos del armónico
osciladores:
P z) dQ z)
−n−1 (174)
Es un campo conformal con dimensión conformal igual a 1. Reescalado
Los osciladores αn son dados por:
nan ; n =
na†n ; n > 0; α0 =
2"p" (175)
En términos de los operadores de vértice introducidos anteriormente el más general
La amplitud que implica estados físicos arbitrarios está dada por [30]:
(2l)4l(
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
0, 0
Vαi(zi, pi)0, 0(176)
En el caso del modelo Shapiro-Virasoro, el operador de vértice taquión es
se administra en Eq. (135). Reescribiendo Eq. (134) según se indica:
Q(z, z̄) = Q(z) + Q(z̄) (177)
donde
Q(z) =
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
− n − a†nzn
(178)
Q?(z̄) =
qâ − 2â € € log(z̄) + i
ãnz̄
− n − nz̄n
(179)
Podemos escribir el operador de vértice taquión de la siguiente manera:
V (z, z̄, p) =: eip·Q(z)eip·Qû(z̄) : (180)
32 Paolo Di Vecchia
Esto muestra que el operador de vértice correspondiente al taquión de la
Shapiro-Virasoro modelo se puede escribir como el producto de dos oper de vértice-
ators correspondientes cada uno al taquión del modelo Veneziano generalizado.
Analógicamente el operador del vértice correspondiente a un físico arbitrario
el estado del modelo Shapiro-Virasoro se puede escribir siempre como un producto de
dos operadores vértices del modelo Veneziano generalizado:
Vα,β(z, z̄, p) = Vα(z,
)Vβ(z̄,
) (181)
El primero contiene sólo los osciladores αn, mientras que el segundo sólo el
osciladores n. Ambos contienen sólo la mitad del impulso total p y
los mismos modos cero pÃ3r y qÃ3r. Los dos operadores vértices de la
El modelo Veneziano son ambos campos conformales con dimensión conformal igual
a 1. Si corresponden a estados físicos en el nivel 2n, satisfacen la
siguiente relación (n = ñ):
+ n = 1 (182)
Se encuentran en la siguiente trayectoria de Regge:
αSV (−p2) = 2n (183)
como ya hemos visto al factorizar la amplitud en Eq. (150).
6 Los estados del DDF y la ausencia de fantasmas
En la sección anterior hemos derivado las ecuaciones que caracterizan la
los estados físicos y sus correspondientes operadores vértices. En esta sección
construirá explícitamente un número infinito de estados físicos ortonormales con
norma positiva.
El punto de partida es el operador DDF introducido por Del Giudice, Di Vec-
chía y Fubini [31] y definido en términos del operador vértice correspondiente
al campo de gálibo sin masa introducido en eq. (173):
Ai,n =
i Pμ(z)e
ik·Q(z) (184)
donde el índice i corre sobre las direcciones transversales d−2, que son ortogonales
al impulso k. También hemos tomado
= 1. Debido al término de registro z
aparece en el modo cero parte de la exponencial, la integral en Eq. (184),
que se realiza alrededor del origen z = 0, está bien definido sólo si limitamos
el impulso del Estado, sobre el cual Ai,n actúa, para satisfacer la relación:
2°p · k = n (185)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 33
donde n es un entero que no desaparece.
El operador en Eq. (184) generará estados físicos porque com-
mutes con los operadores del gálibo Lm:
[Lm, An;i] = 0 (186)
ya que el operador de vértice se transforma como un campo primario con dimensiones conforma-
sión igual a 1 como sigue de Eq. (170).
Por otro lado también satisface el álgebra del oscilador armónico
como vamos a mostrar ahora. De Eq. (184) obtenemos:
[An,i, Am,j] = −
P (z)eik·Q(l)j · P (l)eik
′ ·Q() (187)
donde
2°p · k = n ; 2°p · k′ = m (188)
y k y k′ se supone que están en la misma dirección, a saber:
kμ = nk ; k
μ = mk (189)
2o p · k = 1 (190)
Finalmente las polarizaciones se normalizan como:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Dado que una singularidad para z = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
la contracción de los dos términos P () y P () que es dada por:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, = −
2ij
(z − فارسى)2
(192)
Insertándolo en Eq. (187) obtenemos:
[An,i, Am,j] =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
= inl-j-j-n+m;0
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
donde hemos utilizado el hecho de que el integrand es una derivada total y
Por lo tanto, se obtiene una contribución de desaparición a menos que n + m = 0. Si n + m = 0
de Eq.s (174) y (190) obtenemos:
[An,i, Am,j] = njejn+m;0; i, j = 1... d2 (194)
34 Paolo Di Vecchia
Eq. (194) muestra que los operadores DDF satisfacen el oscilador armónico alge-
En términos de este conjunto infinito de osciladores transversales podemos construir un
Conjunto ortonormal de estados:
i1, N1; i2, N2;. .. im, Nm® =
Aik,-Nk
0, p (195)
en el que h es la multiplicidad del operador Aih,−Nh en el producto en Eq.
(195) y el impulso del estado en Eq. (195) es dada por
P = p+
kâ € ni (196)
Se construyeron en cuatro dimensiones donde no eran una completa
sistema de los Estados 11 y tomó algún tiempo para darse cuenta de que en realidad eran un
sistema completo de estados si d = 26 [32, 33] 12. Brower [32] y Goddard y
Thorn [33] mostró también que el modelo de resonancia dual era libre de fantasmas para cualquier
dimensión d ≤ 26. En d = 26, esto se debe al hecho de que los operadores de DDF
obviamente abarcan un espacio positivo definido Hilbert (Vea Eq. (194)). Para d < 26
hay estados adicionales llamados estados Brower [32]. El primero de estos estados es
el último estado en Eq. (166) que se convierte en un estado de norma cero para d = 26. Pero
También para d < 26 no hay estado de norma negativo entre los estados físicos.
La prueba del teorema sin fantasma en el caso α0 = 1 es muy importante
paso porque muestra que el modelo de resonancia dual construido generalizando
la fórmula Veneziano de cuatro puntos, es un cuántico-relativista plenamente consistente
¡Teoría! Esto no es del todo cierto porque, cuando la intercepción α0 = 1, el más bajo
estado del espectro correspondiente al polo en la amplitud de punto N para
α(s) = 0, es un taquión con masa m2 = − 1
. Entonces se hizo mucho esfuerzo.
construir un modelo sin taquión y con un espectro meson consistente
con los datos experimentales. Los únicos modelos razonablemente consistentes que vinieron
fuera de estos intentos, fueron los Neveu-Schwarz [7] para los mesones y el
Modelo Ramond [8] para los fermiones que sólo más tarde fueron reconocidos como parte de un
modelo único que hoy en día se llama el modelo Neveu-Schwarz-Ramond. Pero
este modelo no era realmente más consistente que la resonancia dual original
11 Debido a esto Fubini no quería publicar nuestro resultado, pero luego fue a un
Reunión en Israel en la primavera de 1971 dando un discurso sobre nuestro trabajo donde encontró que
el público estaba muy interesado en nuestro resultado y cuando volvió al MIT nosotros
decidió publicar nuestro resultado.
12 Todavía recuerdo a Charles Thorn, que vino a mi oficina en Cern y me dijo:
Paolo, ¿sabes que tus estados de DDF están completos si d = 26? Rápidamente reedito.
el análisis realizado en Ref. [29] con un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo
obtener Eq.s (166) y (167) que muestran que el estado sin spin a nivel
α(s) = 2 se desacopla si d = 26. Lamenté mucho no haber utilizado un método arbitrario.
dimensión espacio-tiempo d en el análisis de Ref. [29].
El nacimiento de la teoría de cuerdas 35
modelo porque todavía tenía un taquión con masa m2 = − 1
. El taquión
fue eliminado del espectro sólo en 1976 a través de la proyección GSO
propuesta por Gliozzi, Scherk y Olive [34].
Habiendo comprendido que, al menos por el valor crítico de la dimensión espacio-tiempo,
sión d = 26, los estados físicos son descritos por los estados DDF que tienen solamente
d− 2 = 24 componentes independientes, abrir el camino a Brink y Nielsen [35]
calcular el valor α0 = 1 de la trayectoria Regge con un ar muy físico
Gument. Relacionaron la interceptación de la trayectoria de Regge con el punto cero
energía de un sistema con un número infinito de osciladores que sólo d − 2
componentes independientes:
α0 = −
n (197)
Esta cantidad es obviamente infinita y, para darle sentido,
un corte en las frecuencias de los osciladores armónicos que obtienen un
término infinito que eliminaron al renormalizar la velocidad de la luz y un
término constante universal finito que dio la intercepción de la trayectoria Regge.
En lugar de seguir su enfoque original discutimos aquí una alternativa ap-
proach debido a Gliozzi [36] que utiliza la regularización de la función de. Él reescribe
Eq. (197) como sigue:
α0 = −
n = −
n−s = −
R(−1) = 1 (198)
donde en la última ecuación que hemos utilizado la identidad R(−1) = − 112 y nosotros
han puesto d = 26. Desde el modelo Shapiro-Virasoro tiene dos conjuntos de trans-
osciladores armónicos verso es obvio que su interceptación es el doble de la de la
Modelo Veneziano generalizado.
Usando las reglas discutidas en la sección anterior podemos construir el
operador de vértice correspondiente al estado en Eq. (195). Está dada por:
V(i;Ni)(z, P ) =
P (zi)eiNikQ(zi) : eip·Q(z) : (199)
donde la integral en la variable zi se evalúa a lo largo de una curva del complejo
plano zi que contiene el punto z. La singularidad del integrand para zi = z es
un poste siempre que se cumpla la siguiente condición.
2o p · k = 1 (200)
El último vértice en Eq. (199) es el operador de vértice correspondiente al suelo
estado taquiónico dado en Eq. (59) con â € p2 = 1.
Usando la forma general del vértice uno puede calcular los tres puntos
amplitud que involucra a tres operadores vértices DDF arbitrarios. Este cálculo
36 Paolo Di Vecchia
se ha realizado en Ref. [37] y dado que los operadores del vértice son conformes
campos con dimensión igual a 1 uno obtiene:
0, 0V
(z1, P1)V(i(2)
(z2, P2)V(i(3)
(z3, P3)0, 0 =
(z1 − z2)(z1 − z3)(z2 − z3)
(201)
cuando la forma explícita del coeficiente C123 esté dada por:
C123 = 1 + 0, 0 + 2 + 0, 0 + 3 + 0 e
r.s=1
n,m=1
−n;iN
−m;i+
−n;i×
× e..................................................................................
(2r−1)N (1)k1, i
1 N (2)k2, i
â € ¢ 2N (3)k3, i
•3 (202)
donde
N rsnm = −N rnNsm
nmα1α2α3
nαs +mαr
; N rn =
(−nαr+1
αrn!• (1− nαr+1αr − n)
(203)
Π = Pr+1αr − Prαr+1 ; r = 1, 2, 3 (204)
Π es independiente del valor de r elegido como consecuencia de las ecuaciones:
Pr = 0 (205)
7 El límite de pendiente cero
En la introducción hemos visto que el modelo de resonancia dual ha sido
construido utilizando reglas que son diferentes de las utilizadas en la teoría de campo.
Por ejemplo, hemos visto que la dualidad planar implica que la amplitud
correspondiente a un determinado diagrama de dualidad, contiene polos tanto en s como en t
canales, mientras que la amplitud correspondiente a un diagrama de Feynman en el campo
La teoría contiene sólo un polo en uno de los dos canales. Por otra parte, el
la amplitud de dispersión en el modelo de resonancia dual contiene un número infinito
de resonancia afirma que, a alta energía, promedio hacia fuera para dar Regge comportamiento.
También esta propiedad no se observa en la teoría de campo. La cuestión que se plantea es la siguiente:
natural para preguntar, era entonces: ¿hay alguna relación entre la resonancia dual
¿modelo y teoría de campo? Resultó, para sorpresa de muchos, que el doble
modelo de resonancia no estaba en contradicción con la teoría de campo, sino que fue
una extensión de un cierto número de teorías de campo. Veremos que el límite en
El nacimiento de la teoría de cuerdas 37
que una teoría de campo se obtiene del modelo de resonancia dual corresponde
a tomar la pendiente de la trayectoria de Regge a cero.
Consideremos la amplitud de dispersión de cuatro partículas del estado del suelo en
Eq. (1) que reescribimos aquí con el factor de normalización correcto:
A(s, t, u) = C0N
0 (A(s, t) +A(s, u) +A(t, u)) (206)
donde
2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
4 (207)
es el factor de normalización correcto para cada pierna externa, g es el dimensional
constante de acoplamiento de cadena abierta que hemos ignorado constantemente en el anterior
las secciones C0 y C0 están determinadas por la siguiente relación:
′ = 1 (208)
que se obtiene requiriendo la factorización de la amplitud en el polo
correspondiente a la partícula del estado del suelo cuya masa se da en Eq. (21).
Usando Eq. (21) con el fin de reescribir la interceptación de la trayectoria Regge en
términos de la masa de la partícula del estado del suelo m2 y la siguiente relación
satisfecho por la función de:
* (1 + z) = z (z) (209)
podemos realizar fácilmente el límite para > → 0 de A(s, t) obteniendo:
A(s, t) =
m2 − s
m2 − s
(210)
Realizando el mismo límite en las otras dos amplitudes planas obtenemos el
después de la expresión para la amplitud total en Eq. (206):
A(s, t, u) =
2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
()2
m2 − s
m2 − s
m2 − u
(211)
Introduciendo la constante de acoplamiento:
g3 = 4g(2α
4 (212)
Eq. (211) pasa a ser
A(s, t, u) = g23
m2 − s
m2 − s
m2 − u
(213)
que es igual a la suma de los diagramas del árbol para la dispersión de cuatro partículas
con masa m de la teoría Φ3 con constante de acoplamiento igual a g3. Hemos mostrado
que, manteniendo g3 fijado en el límite α
′ → 0, la amplitud de dispersión de cuatro
38 Paolo Di Vecchia
partículas del estado del suelo del modelo de resonancia dual es igual a los diagramas del árbol
de la teoría Φ3. Esta prueba se puede extender a la dispersión de N estado del suelo
partículas que se recuperan también en este caso los diagramas arbóreos de la teoría Φ3. También lo es.
válida para diagramas de bucles que discutiremos en la siguiente sección. En conclusión,
el modelo de resonancia dual se reduce en el límite de pendiente cero a la teoría Φ3. Los
prueba de que hemos presentado aquí se debe a J. Scherk [38] 13
Un caso más interesante para estudiar es el que tiene intercepción α0 = 1. Lo haremos.
ver que, en este caso, se obtendrán los diagramas de los árboles de Yang-Mills teoría,
como lo muestran Neveu y Scherk [40] 14.
Consideremos la amplitud de tres puntos que involucra tres medidores sin masa
partículas descritas por el operador de vértice en Eq. (173). Se da por la suma
de dos diagramas planos. El primero que corresponde a la orden (123) es
dado por:
3Tr (a1a2a3)
0, 0, 0, 1(z1, p1)V2(z2, p2)V3(z3, p3)0, 0
[(z1 − z2)(z2 − z3)(z1 − z3)]−1
(214)
Usando la conservación del impulso p1+ p2+ p3 = 0 y las condiciones de la carcasa de masa
p2i = pi · i = 0 se puede reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:
0Tr(l
a1oa2oa3)
× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (215)
La segunda contribución proviene del pedido 132 que se puede obtener
de la anterior por la sustitución
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Resumiendo las dos contribuciones que se obtiene
oTr(l)
a1 [.a2,.a3 ])
× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (217)
El factor
N0 = 2g(2α
′(d−2)/4 (218)
es el factor de normalización correcto para cada operador de vértice si normalizamos
los generadores del grupo Chan-Paton, según se indica:
Łij (219)
13 Véase también Ref. [39].
14 Véase también Ref. [41].
El nacimiento de la teoría de cuerdas 39
Se relaciona con C0 a través de la relación
′ = 2 (220)
g es la constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional. Nótese que Eq.s (218)
y (220) difieren de Eq.s (207) y (208) debido a la presencia de la
Chan-Paton factores que no incluimos en el caso de la teoría Φ3.
Usando las relaciones de conmutación:
[e, eb] = ifabclc (221)
y los factores de normalización anteriores que obtenemos para la amplitud de tres gluones:
igYMf
a1a2a3 [(+1 · +2)(+p1 − p2) · +3 +
(p3 − p1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
que es igual al vértice de 3 gluones que se obtiene de la acción Yang-Mills
LYM = −
F a ° F
a, F
= A
β − Aaα + gYMfabcAbαAcβ (223)
donde
gYM = 2g(2α
4 (224)
El procedimiento anterior se puede extender a la dispersión del hallazgo de gluones N
el mismo resultado que uno obtiene de los diagramas de los árboles de la teoría de Yang-Mills.
En la siguiente sección, vamos a discutir los diagramas de bucle. También, en este caso uno
encuentra que los diagramas de h-loop que implican N gluones externos se reproducen en el
la pendiente cero limita la suma de los diagramas de h-loop con N gluones externos de
La teoría de Yang-Mills.
Concluimos esta sección mencionando que también se puede tomar la pendiente cero
límite de una amplitud de dispersión que implica la obtención de tres y cuatro gravitones
acuerdo con lo que se obtiene del Einstein Lagrangian de la rela general-
tividad. Esto ha sido demostrado por Yoneya [43].
8 Diagramas de bucle
La amplitud N -punto construido previamente satisface todos los axiomas de S-
teoría de la matriz excepto unitariedad porque sus únicas singularidades son polos simples
correspondientes a resonancias de ancho cero yace en el eje real del Mandel-
variables estam y no contiene los diversos cortes requeridos por la unitariedad [1].
15 La determinación de los factores de normalización anteriores se puede encontrar en el
Apéndice de Ref. [42].
40 Paolo Di Vecchia
Con el fin de eliminar este problema ya se propuso en los primeros días de
la dualidad de teorías a asumir, en analogía con lo que sucede, por ejemplo, en la pertur-
la teoría de campo bative, que la amplitud de N -punto era sólo el orden más bajo (la
diagrama de árbol) de una expansión perturbadora y, con el fin de implementar unitar-
ity, era necesario incluir diagramas de bucle. Luego, los diagramas de un bucle
fueron construidos a partir del propagador y los vértices que hemos introducido
en las secciones anteriores [44]. La amplitud de un bucle plano con M externa
las partículas se calcularon a partir de una amplitud del árbol (M + 2) y
a continuación, cosiendo dos patas externas después de la inserción de un propagador
D dado en Eq. (100). De esta manera uno consigue:
(+)d/2(+)d
P, V (1, p1) DV (1, p2). V (1, pN)DP, (225)
donde la suma sobre corresponde a la traza en el espacio de la armónico os-
cillators y la integral en ddP corresponde a integrar sobre el impulso
circulando en el bucle. La expresión anterior para la amplitud de un bucle
no puede ser del todo correcto porque todos los estados del espacio generados por el oscil-
Lators en Eq. (51) están circulando en el bucle, mientras que sabemos que debemos
incluir sólo los físicos. Esto se logró primero cancelando a mano
el tiempo y uno de los componentes espaciales de los osciladores armónicos reduciendo
los grados de libertad de cada oscilador de d a d − 2 como sugiere el
Operadores de DDF al menos para d = 26. A continuación, se demostró que este procedimiento era el siguiente:
rect by Brink and Olive [45]. Construyeron el operador que proyecta sobre
los estados físicos y, al insertarlo en el bucle, mostró que la reducción
De hecho, los grados de libertad de los osciladores de d a d-2 eran correctos.
Este era, en ese momento, el único procedimiento disponible para dejar sólo el
los estados circulan en el bucle porque el procedimiento BRST fue descubierto un poco
más tarde también en el marco de las teorías de campo de calibrador!
Para ser más explícito vamos a calcular el rastro en Eq. (225) añadir también el
Factor Chan-Paton. Tenemos:
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
NTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
d/2+1
[f1(k)]
12 (2η)M×
d/M−1................................................................................................................................................
d v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
eG( vji)
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
; k e(226)
donde /JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
G( v) = log
ie
1(i )
f31 (k)
; f1(k) = k
(1 a k2n) (227)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 41
*1(i♥) = −2k1/4 sin.
1− e2ik2n
1− e−2ik2n
(1– k2n)(228)
Finalmente el factor de normalización N0 se da en Eq. (218). Hemos actuado
el cálculo de un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo d. Sin embargo,
de esta manera se obtiene también el factor adicional de k
12 que aparecen en la primera línea
de Eq. (226) que implica que nuestro cálculo es en realidad sólo coherente si
d = 26. De hecho, la presencia de este factor no permite reescribir el
amplitud, obtenida originalmente en el sector Reggeon, en el sector Pomeron
como se explica a continuación. En lo siguiente descuidamos este factor adicional, implícitamente
suponiendo que d = 26, pero, por otro lado, todavía manteniendo una d arbitraria.
Usando las relaciones:
f1(k) =
tf1(q) ; 1(i iŁ) = i1(it)t1/2e
2/t (229)
donde t = 1
y q et, podemos reescribir el diagrama plano de un bucle en el
Canal Pomeron. Tenemos:
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
NTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
dt[f1(q)]
2−d(2η)M×
d/M−1................................................................................................................................................
1( /jiit)
f31 (q)
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
(230)
Nótese que, al factorizar el bucle planar en el canal de Pomeron, un
structed por primera vez lo que ahora llamamos el estado de frontera [46] 16. Esto
Se puede ver fácilmente en la forma que ahora vamos a describir. En primer lugar,
note que la última cantidad en Eq. (230) puede escribirse como sigue:
•1(s)(s))(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(()(s)(()(s)(s)(()(s)(s)((s)(()(()(s)(s)(s()(()(s)(s)(()(s)()(()(s)()()()()()(s()()()()()()(s()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()((()()()()()()()()()()()(()()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()((((((((((((((((((((()()()()()()()()()((((()()()()()()()(
f31 (q)
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
−2 sin(ji)
1 - q2ne2üi/ji
1 - q2ne - 2
(1– q2n)2
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
(231)
Esta ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera:
P = 0q2R
i=1 : e
ipi·Q(e2ii ) : p = 0
Tr (p = 0q2N p = 0)
; R =
na†n · an (232)
16 Véase también el primer artículo en Ref. [47].
42 Paolo Di Vecchia
donde el rastro se toma sólo sobre los modos distintos de cero y el impulso con-
Se ha utilizado la servación. También hay que subrayar que el orden normal de
los operadores de vértice en la ecuación anterior es tal que los modos cero son
se toman para ser ambos en el mismo exponencial en lugar de ser ordenado como en Eq.
(59). Trayendo a todos los operadores de aniquilación a la izquierda de los de la creación,
de la expresión en Eq. (232) se obtiene (zi Ł e2πiνi):
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
(−2 sinji)2α
′pi·pj×
n=1 Tr
n·ane
2° pj ·
znj e
2«pi· anl
Tr (p = 0q2N p = 0)
233)
El rastro puede calcularse utilizando la relación de integridad que implica co-
estados herentes f = efa† 0:
Ef
ff = 1 (234)
Insertar el operador de identidad anterior en Eq. (233) uno consigue después de un poco de cal-
culación:
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
(−2 sinji)2α
′pi·pj×
i.j=1
-2p·pje2inji q
n(1−q2n) (235)
Expandiendo el denominador en el último exponente y realizando la suma sobre
n uno consigue:
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
(−2 sinji)2α
′pi·pj×
2+pi·pj
log(1−e2πi vji q2(m+1)) (236)
que es igual a la última línea de Eq. (231) aparte de la función de
conservación del mentum. En conclusión, hemos demostrado que Eq.s (231) y (232)
son iguales.
Usando Eq. (231) podemos reescribir Eq. (230) según se indica:
NNM0 Tr(
a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
dt[f1(q)]
2-d(2πi)M
d/M−1................................................................................................................................................
El nacimiento de la teoría de cuerdas 43
...
p = 0, q2R
i=1 : e
ipi·Q(e2ii) : p = 0,
p = 0, q2N p = 0,
(237)
donde la suma sobre cualquier estado corresponde a tomar el rastro sobre el
modos distintos de cero. Si d = 26 podemos reescribir Eq. (237) de forma más sencilla:
NNM0 Tr(
a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
dt (2ηi)M
d/M−1................................................................................................................................................
P = 0, q2R−2
: eipi·Q(e)
2ii ) : p = 0, (238)
La ecuación anterior contiene el factor
dtq2R−2 que es como el propa-
Gator del modelo Shapiro-Virasoro, pero con un solo conjunto de osciladores como
en el modelo Veneziano generalizado. En lo siguiente lo reescribiremos com-
Completamente con el formalismo del modelo Shapiro-Virasoro. Esto se puede hacer
mediante la introducción del propagador Pomeron:
dt q2N−2 =
Dâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
zL0−1z̄Lœ0−1; z q = et(239)
y reescribir el bucle plano en la siguiente forma compacta:
# B0DBM # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # B0BO # #
n p = 0, 0a, 0 (240)
donde B0 es el estado de frontera sin ningún Reggeon en él,
Td−1 =
2 d-10)/4
•)−d/2−1 (241)
y BM es en su lugar el que tiene M Reggeons dado por:
BM = NM0 Tr(♥a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
d/M−1................................................................................................................................................
: eipi·Q(e)
2ii ) : B0® (242)
Queremos recalcar una vez más que el orden normal en el anterior equa-
ión se define tomando los modos cero en la misma exponencial. Las dos cosas
los estados límite y el propagador son ahora los estados del Shapiro-Virasoro
modelo. Esto significa que hemos reescrito el diagrama plano de un bucle, donde
los estados del modelo Veneziano generalizado circulan en el bucle, como árbol
44 Paolo Di Vecchia
diagrama del modelo Shapiro-Virasoro que incluye dos estados de frontera y un
Propagador. Esto es lo que hoy en día se llama dualidad de cadena abierta/cerrada.
Además del diagrama plano de un bucle en Eq. (225), que hoy en día se llama
el diagrama anular, también los diagramas no planos y no orientables
fueron construidos y estudiados. En particular, el no-planar, que es ob-
como el planar en Eq. (225) pero con dos propagadores multiplicados
con el operador de giro
= eL−1(−1)R, (243)
tenía unitariedad violando los recortes que desaparecieron [27] si la dimensión de la
espacio-tiempo d = 26, dejando detrás singularidades de polo adicionales. El explicitado
forma del bucle no plano se puede obtener siguiendo los mismos pasos
para el bucle plano. Uno obtiene para el bucle no-planar la siguiente amplitud:
BM (244)
donde ahora ambos estados de frontera contienen, respectivamente, R y M Reggeon
estados. Los polos adicionales encontrados en el bucle no-planar se llamaban Pomerons
porque ocurren en el sector de Pomeron, que hoy se llama la cadena cerrada
canal, para distinguirlos de los Reggeons que en su lugar ocurren en el
sector Reggeon, que hoy se llama el sector de cuerdas abiertas del planar y
diagramas de bucle no planos. En ese momento, de hecho, los estados de la generalización
Los modelos Veneziano se llamaban Reggeons, mientras que los adicionales aparecen
en el bucle no-planar se llamaban Pomerons. Los Reggeons corresponden ahoraa-
días para abrir estados de cadena, mientras que los Pomerons a estados de cadena cerrados. Estos
las cosas son obvias ahora, pero en ese momento tomó un tiempo para demostrar que el
otros estados que aparecen en el sector de Pomeron deben ser identificados con
los del modelo Shapiro-Virasoro. La prueba de que el espectro era el
Lo mismo ocurrió bastante temprano. Esto se obtuvo factorizando el dia no-planar
gramo en el canal de Pomeron [46] como lo hemos hecho en Eq. (244). Fue encontrado.
que los estados del canal de Pomeron se encuentran en una trayectoria Regge lineal que
tiene doble intercepción y media pendiente de la de los Reggeons. Esto es lo siguiente:
inmediatamente desde el propagador DÃ3 en Eq. (239) que tiene polos para valores de
el impulso del Pomeron intercambiado por:
p2 = 2n (245)
que son exactamente los valores de las masas de los estados del Shapiro-Virasoro
modelo [48], mientras que el propagador Reggeon en Eq. (100) tiene polos para valores de
impulso igual a:
1− p2 = n (246)
Sin embargo, todavía no estaba claro que los estados de Pomeron interactuasen entre ellos.
como los estados del modelo Shapiro-Virasoro. Para mostrar esto fue primero
El nacimiento de la teoría de cuerdas 45
necesario para construir amplitudes arbóreas que contienen ambos estados de la general-
modelo Veneziano y del modelo Shapiro-Virasoro [49]. Disminuyeron
a las amplitudes del modelo generalizado Veneziano (Shapiro-Virasoro) si
sólo tenemos estados externos del Veneziano generalizado (Shapiro-Virasoro)
modelo. Esas amplitudes se llaman hoy en día amplitudes de disco que contienen ambos
estados de cadena abiertos y cerrados. Se construyeron [49] utilizando para
Reggeon dice que los operadores de vértice que hemos discutido en la Sección. 5) In-
girando un conjunto de osciladores armónicos y para el Pomeron estados el vértice
los operadores indicados en Eq. (181) que reescribimos aquí:
Vα,β(z, z̄, p) = Vα(z,
)Vβ(z̄,
) (247)
porque ahora ambos vértices componentes contienen el mismo conjunto de os armónicos
ciladores como en el modelo generalizado Veneziano. Además, cada uno de los dos
vértices es por separado normal ordenado, pero su producto no es normal ordenado.
La amplitud que involucra a ambos tipos de estados se construye entonces tomando
el producto de todos los vértices entre el vacío invariante proyectivo e inte-
la rejilla de los Reggeons en el eje real de una manera ordenada y los Pomerons en
el plano de la mitad superior, como se hace para una amplitud de disco.
Hemos mencionado anteriormente que los dos vértices son por separado normales
pedido, pero su producto no es normal pedido. Cuando ordenemos normalmente
los tenemos, por ejemplo para el taquión del sector de Pomeron, un factor
(z − z̄)+p2/2 que describe la transición Reggeon-Pomeron. Esto implica un
Enganche directo [51] entre la parte U(1) del campo de gálibo y el dosíndice
campo antisimétrico B., denominado campo Kalb-Ramond [50], del sector Pomeron,
que hace que el campo de medición masiva [51].
Se demostró entonces que, al factorizar el bucle no plano en el Pomeron
canal, uno reprodujo la amplitud de dispersión que contiene un estado de
el Shapiro-Virasoro y una serie de estados del Veneziano generalizado
modelo [52]. Si tenemos también estados externos que pertenecen a la generalización
Shapiro-Virasoro modelo, a continuación, factorizando el no-planar un bucle amplificar-
tude en el canal Pomeron puro, se obtendrían las amplitudes del árbol de
el modelo Shapiro-Virasoro [52].
Todo esto implica que el modelo generalizado Veneziano y el Shapiro-
Virasoro modelo no son dos modelos independientes, pero son parte de la
mismo y único modelo. De hecho, si uno comenzó con el Veneziano generalizado
modelo y diagramas de bucle añadidos para implementar unitariedad, se encontró el ap-
perencia en el bucle no plano de estados adicionales que tenían la misma masa
e interacción de los del modelo Shapiro-Virasoro.
El diagrama plano, escrito en Eq. (230) en el canal de cadena cerrado, es
divergente para los grandes valores de t. Esta divergencia se reconoció que se debe a
intercambio, en el canal de Pomeron, del taquión del Shapiro-Virasoro
modelo y del dilaton [47]. Corresponden, respectivamente, a los dos primeros
términos de la ampliación:
[f1(q)]
−24 = e2ηt + 24 + O
e−2ηt
(248)
46 Paolo Di Vecchia
El primero podría ser cancelado por una continuación analítica, mientras que el segundo
uno podría ser eliminado a través de una renormalización de la pendiente del Regge
Trayectoria â € [47].
Concluimos la discusión de los diagramas de un solo bucle mencionando
que el diagrama de un bucle para el modelo Shapiro-Virasoro fue calculado por
Shapiro [53] que también encontró que el integrand era modular invariante.
El cálculo de diagramas multilazo requiere una tecnología más avanzada-
nología que también se desarrolló en los primeros días del modelo de resonancia dual
pocos años antes del descubrimiento de su conexión con la teoría de cuerdas. Con el fin de
calcular diagramas multiloop primero se necesita construir un objeto que era
llamado N -Reggeon vértice y que tiene las propiedades de contener conjuntos N
de osciladores armónicos, uno para cada pierna externa, y es tal que, cuando
saturarlo con N estados físicos, obtenemos el correspondiente N -punto ampli-
Tude. A continuación vamos a discutir cómo determinar el vértice N-Reggeon.
El primer paso hacia el N -Reggeon vértice es el Sciuto-Della Selva-
Saito [54] vértice que incluye dos conjuntos de osciladores armónicos que denotamos
con los índices 1 y 2. Es igual a:
VSDS = 2° x = 0, 0 : exp
dzX ′2(z) ·X1(1− z)
: (249)
donde X es la cantidad que hemos llamado Q en Eq. (57) y el prime
denota un derivado con respecto a z. Satisface la propiedad importante
de dar el operador de vértice Vα(z = 1) de un estado arbitrario cuando nos
saturarlo con el estado correspondiente:
VSDS 2 = Vα(z = 1) (250)
Una deficiencia de este vértice es que no es invariante bajo una permu-
dad de las tres piernas. Un vértice simétrico cíclico ha sido construido por
Caneschi, Schwimmer y Veneziano [55] insertando el operador de giro en
Eq. (243). Pero el vértice 3-Reggeon no es suficiente si queremos calcular un
Amplitud multiloop arbitraria. Debemos generalizarlo a un número arbitrario.
de piernas externas. Tal vértice, que se puede obtener de la de Eq. (249)
con un procedimiento muy directo, o que también puede obtenerse cosiendo juntos
tres vértices reggeon, ha sido escrito en su forma final por Lovelace [56] 17.
Aquí no lo derivamos, pero damos directamente su expresión escrita en Ref. [56]:
VN,0 =
i=1 dzi
dVabc
i=1[V
i (0)]
[i<x = 0, Oa]
i,j=1
n,m=0
a) n Dnm(V)
i Vj) a
(251)
17 Véase también Ref. [57]. Documentos anteriores sobre el N-Reggeon se pueden encontrar en Ref.s [58].
El nacimiento de la teoría de cuerdas 47
donde a
0 • αi0 =
2pai es el impulso de la partícula i y el infinito
matriz:
Dnm(γ) =
mz [γ(z)]
nz=0; n,m = 1.. : D00(γ) = − log
AD −BC
Dn0 =
)n ; D0n =
)n ; γ(z) =
Az + B
Cz +D
(252)
es una “representación” del grupo proyectivo correspondiente a la
peso = 0, que satisface los eqs.:
Dnm(γ1γ2) =
Dnl(γ1)Dlm(γ2) +Dn0(γ1)0m +D0m(γ2)n0 (253)
Dnm(γ) = Dmn(
(z) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(254)
Por último, Vi es una transformación proyectiva que mapea 0, 1 y en zi−1, zi
y zi+1.
El vértice anterior puede ser escrito en una forma más elegante como sigue:
VN,0 =
i=1 dzi
dVabc
i=1[V
i (0)]
[i<x = 0, Oa]
dzlX(i)(z)pári logV
i z)
i,j=1
dieX(i)(z) log[Vi(z)− Vj(y)]X(j)(y)
(255)
donde las cantidades X(i) son lo que llamamos Q, a saber, el Fubini-Veneziano
campo, en las secciones anteriores. El vértice N -Reggeon que satisface el impor-
propiedad de dar la amplitud de dispersión de N partícula física cuando
lo saturamos con sus estados correspondientes, es el objeto fundamental para
computando las amplitudes multiloop. De hecho, si queremos calcular un M -loop
amplitud con N estados externos, tenemos que empezar desde el (N+2M)-Reggeon
vértice y luego tenemos que coser los pares M juntos después de haber insertado un
propagador D. De esta manera obtenemos una amplitud que no sólo está integrado
sobre las punciones zi (i = 1... N) de los estados externos N, pero también sobre
3h− 3 modules adicionales correspondientes a las variables de punción de la
48 Paolo Di Vecchia
afirma que cosimos juntos y la variable de integración de la M propaga-
Tors. h es el número de bucles. Se han obtenido las amplitudes multiloop
de esta manera ya en 1970 [59, 60, 61] y, mediante el procedimiento de costura,
uno obtuvo funciones, como la matriz del período, los diferenciales abelianos, el
primera forma, etc., que están bien definidos en la superficie de Riemann! La única cosa
que faltaba, era la medida correcta de las integraciones sobre el 3h-3 vari-
porque técnicamente no era posible dejar que sólo los estados físicos a
circular en los bucles. Este problema sólo se resolvió mucho más tarde [62, 63] cuando
una formulación invariante BRST de la teoría de cuerdas y el cono-luz funcional
integral podría ser utilizado para la computación de multiloops. Son dos muy diferentes.
enfoques que, sin embargo, dieron el mismo resultado. En aras de la integridad
escribimos aquí la amplitud plana h-loop que involucra a los taquiones M:
M (p1,. .., pM ) = N
h Tr(?a1 · · aM ) Ch
2gs (2α)
(d−2)/4
[dm]Mh
G(h)(zi, zj)
V ′i (0)V
j (0)
2+pi·pj
, (256)
donde Nh Tr(?a1 · · aM ) es el factor U(N) Chan-Paton apropiado, g es
la constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional, Ch es un factor de normalización
dado por
(2η)dh
g2h−2s
(2o)d/2
, (257)
y G(h) es la función h-loop bosonic Green
G(h)(zi, zj) = logE(h)(zi, zj)−
(2ηIm)
, (258)
con E(h)(zi, zj) siendo la forma principal,
μ (μ = 1,..., h)
y la matriz del período. Todos estos objetos, así como la medida en
espacio moduli [dm]Mh, se puede escribir explícitamente en la parametrización Schottky
de la superficie de Riemann, y sus expresiones para h arbitrario se puede encontrar para
ejemplo en Ref. [64]. Es dada por
[dm]Mh =
dVabc
V ′i (0)
dkμ d d
k2μ ( − )2
(1– kμ)2
(259)
× [det (−i)]−d/2
(1- knα)−d
(1− knα)2
donde kμ son los multiplicadores, y son los puntos fijos de los generadores
del grupo Schottky,
El nacimiento de la teoría de cuerdas 49
9 De modelos duales a teoría de cuerdas
El enfoque presentado en las secciones anteriores es un verdadero
Proa. Los datos experimentales fueron la fuerza motriz en la construcción de
el modelo Veneziano y de su generalización a las patas externas N. El resto de
el trabajo que hemos descrito anteriormente consistía en derivar sus propiedades. Los
resultado es, a excepción de un taquión, un modelo cuántico-relativista plenamente consistente
que era una fuente de fascinación para los que trabajaban en el campo. Aunque
el modelo creció de la teoría de S-matriz donde la amplitud de dispersión es la
sólo objeto observable, mientras que la acción o el lagrangiano no tienen un centro
Sin embargo, algunas personas comenzaron a investigar lo que era
ing estructura microscópica que dio lugar a una tan consistente y hermosa
modelo. Resultó, como sabemos hoy, que esta estructura subyacente es que
de una cuerda cuántico-relativista. Sin embargo, el proceso de conexión de la
modelo de resonancia (en realidad dos de ellos el Veneziano generalizado y el
Shapiro-Virasoro modelo) a la teoría de cuerdas tomó varios años de la origini-
nal idea de una prueba completa y convincente de la conjetura. El original
la conjetura fue formulada independientemente por Nambu [20, 65], Nielsen [66] y
Susskind [21] 18. Si lo miramos en retrospectiva, fue en ese momento un fantástico
idea que muestra la enorme intuición física de los que la formularon.
Por otro lado, tomó varios años digerirlo antes de que uno fuera capaz de
derivan de ella todas las características profundas del modelo de resonancia dual. Debido a
esto, la idea de que la estructura subyacente era la de una cadena relativista,
no influyó realmente en la mayor parte de la investigación en el campo hasta 1973. Déjame a mí.
Trata de explicar por qué.
Una característica común de la obra de Ref.s [20, 66, 21] es la sugerencia de que
el número infinito de osciladores, que uno consiguió a través de la factorización de
el modelo de resonancia dual, naturalmente sale de un libre bidimensional
Lagrangian para la coordenada Xμ(el, el) de una cadena unidimensional, que es un
generalización obvia del lagrangiano que se escribe para la coordinación
Xμ() de un objeto puntiagudo en el indicador de tiempo adecuado:
+ L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L
(260)
Siendo esta teoría invariante conformal los operadores de Virasoro también fueron con-
structed junto con su álgebra. Sin embargo, en esta primera formulación,
los generadores Virasoro Ln eran sólo los generadores asociados a la confor-
mal simetría de la cadena hoja-mundo Lagrangian dada en Eq. (260) como en
cualquier teoría de campo conformal. No está claro en absoluto por qué deben implicar la
las condiciones de medición encontradas por Virasoro o, en términos modernos, por qué deberían ser
Cero clásicamente. El ingrediente básico para resolver este problema fue proporcionado por
Nambu [65] y Goto [68] que escribió el Lagrangian no lineal proporcional
18 Véase también Ref. [67].
50 Paolo Di Vecchia
al área que se extiende por la cadena en el espacio de destino externo. Procedieron.
en analogía con la partícula de punto y escribió la siguiente acción:
−dd (261)
donde
d =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(262)
Xμ(..,..) es la coordenada de la cadena y..
Las coordenadas de los puntos de contacto son las coordenadas de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto.
la hoja del mundo de la cadena. es un tensor antisimétrico con 01 = 1. Insertar
eq. (262) en (261) y fijando la constante de proporcionalidad se obtiene el Nambu-
Acción Goto [65, 68]:
S = −cT
( ·X ′)2 − 2X ′2 (263)
donde
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # X #
Micrófonos + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(264)
y T 1
es la tensión de la cadena, que reemplaza la masa que aparece en el
caso de una partícula de punto. En esta formulación, la cuerda Lagrangian es invariante
bajo cualquier reparametrización de las coordenadas de la hoja del mundo
sólo bajo las transformaciones conformales. Esto, de hecho, implica que los dos-
dimensional world-sheet energy-momentum tensor de la cadena es en realidad cero
como veremos más adelante. Pero tardó aún algunos años en conectar el Nambu-
Ir a la acción de las propiedades del modelo de resonancia dual. Mientras tanto
se formuló un modelo análogo [69] que reproducía el árbol y el bucle
amplitudes del modelo Veneziano generalizado. Este enfoque se prevé
por varios años la derivación integral del camino de las amplitudes duales. Fue muy
estrechamente relacionado con la formulación funcional integral de Ref.s [70].
Sin embargo, uno tenía que esperar hasta 1973 con el papel de Goddard,
Goldstone, Rebbi y Thorn [71], donde la acción Nambu-Goto fue cor-
rectly tratado, todas sus consecuencias se derivaron y se convirtió en completamente
claro que la estructura subyacente al modelo de resonancia dual era la de un
cuerda cuántica-relativista. La ecuación de movimiento para la cadena fue de-
salido de la acción en Eq. (263) mediante la imposición de la letra S = 0 en el caso de las variaciones de
que Xμ(i) = X
μ(lf ) = 0. Uno se pone:
* X *
Xμ +
* X *
* X= = = 0 * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(265)
donde L es el Lagrangian en Eq. (263). Dado que ŁXμ es arbitrario, a partir de eq. (265)
uno consigue la ecuación de movimiento Euler-Lagrange
El nacimiento de la teoría de cuerdas 51
* X *
= 0 (266)
y las condiciones de los límites
* X *
= 0 o Xμ = 0 a = 0, (267)
para una cadena abierta y
Xμ(l, 0) = Xμ(l, l) (268)
para una cuerda cerrada. En el caso de una cadena abierta, el primer tipo de límite
condición en Eq.(267) corresponde a las condiciones de frontera de Neumann, mientras que
el segundo a las condiciones límite de Dirichlet. Sólo los de Neumann...
ary condiciones preservar la invarianza de traducción de la teoría y, allí-
Antes, se usaban principalmente en los primeros días de la teoría de cuerdas. Debe ser
destacó, sin embargo, que las condiciones de frontera de Dirichlet ya se habían discutido
y utilizado en los primeros días de la teoría de cuerdas para la construcción de modelos con off-
shell states [72].
De Eq. (263) se puede calcular la densidad de impulso a lo largo de la cadena:
Pμ = cT
′2 −X ( ·X ′)
( ·X ′)2 − 2X ′2
(269)
y obtener las siguientes restricciones entre las variables dinámicas Xμ y
c2T 2x′
+ P 2 = x′ · P = 0 (270)
Son una consecuencia de la invarianza de re-parametrización de la cadena La-
Grangiano. Debido a esto se puede elegir el calibrador ortonormal especificado por
las condiciones:
2 +X ′
= ·X ′ = 0 (271)
que hoy en día se llama indicador conformal. En este calibrador eq. (269) pasa a ser:
Pμ = cT
* X *
= −cTX (272)
y por lo tanto el eq. de movimiento en eq.(266) pasa a ser:
−X = 0 (273)
mientras que la condición límite en eq.(267) se convierte en:
X ( = 0, ) = 0 (274)
52 Paolo Di Vecchia
La solución más general del eq. de movimiento y de las condiciones de los límites
puede escribirse como sigue:
= qμ + 2p + i
[aμne
- en- en- an ein- ]
cosn
(275)
para una cadena abierta y
Xμ(e, e) = qμ + 2p +
[ne
−2in() − n e2in()]
[aμne
−2in() − an e2in()]
(276)
para una cuerda cerrada. Este procedimiento demuestra realmente que, a partir de la
Nambu-Goto acción, uno puede elegir un indicador (el ortonormal o confor-
mal calibrador) donde la ecuación de movimiento de la cadena se convierte en el dos-
Ecuación dimensional D’Alembert en Eq. (273). Además, la invarianza
de la acción Nambu-Goto implica que las dos
tensor dimensional de energía-momento es idénticamente cero en el nivel clásico
(Véase Eq. (271)).
Como el medidor Lorentz en QED el medidor ortonormal no fija com-
Completamente el medidor. Todavía podemos realizar reparametrizaciones que dejan en el
calibrador conformal: son transformatiuons conformales. Presentando el vari-
los generadores de las transformaciones conformales para la apertura
la cadena se puede escribir como sigue:
dzzn+1
αn−m · αm = 0 (277)
donde
n =
naμn, si n > 0
2 μ pμ si n = 0 μ
nan si n < 0
(278)
Son cero como consecuencia de Eq.s (270) que en el gálibo conformal
convertirse en Eq.s (271). En el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:
L?n =
dzzn+1
= 0 (279)
dz̄z̄n+1
= 0 (280)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 53
En términos de los osciladores armónicos introducidos en eq. (276) obtenemos
αm · αn−m = 0 ; Ln =
m · n−m = 0 (281)
donde para los modos no cero hemos utilizado la convención en (278), mientras que el
el modo cero viene dado por:
0 =
(282)
En conclusión, el hecho de que tengamos invarianza de reparametrización implica que
los generadores Virasoro son clásicamente idénticos a cero. Cuando cuantizamos el
teoría uno no puede y tampoco tiene que imponer que están desapareciendo en
el nivel del operador. Se imponen como condiciones que caracterizan lo físico
estados.
PhysLn Phys = Phys(L0 − 1) Phys = 0; n 6= 0 (283)
Estas ecuaciones están satisfechas si requerimos:
Ln Phys > = (L0 − 1)
El factor adicional −1 en las ecuaciones anteriores proviene del orden normal
como se explica en Eq. (198).
Los autores de Ref. [71] especificó además el calibrador fijándolo completamente.
Se introdujo el calibrador de cono-luz especificado mediante la imposición de la condición:
X+ = 2p (285)
donde
X0 ±Xd−1
X0 ±Xd−1
(286)
En este indicador los únicos grados físicos de libertad son los transversales.
De hecho, los componentes a lo largo de las direcciones 0 y d − 1 se pueden expresar en
términos de los transversales insertando Eq. (285) en las limitaciones de Eq.
(271) y obtener:
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
4o p+
(2i +X)
i ) X
2+p+
i ·X ′i (287)
que hasta una constante de integración determinan completamente X− como función
de X i. En términos de osciladores obtenemos
n = 0;
2n =
αin−mα
m n 6= 0 (288)
54 Paolo Di Vecchia
para una cadena abierta y
n =
n = 0 n 6 = 0 (289)
junto con
2n =
αin−mα
2n =
in−m
m (290)
en el caso de una cuerda cerrada.
Esto muestra que los estados físicos son descritos sólo por el transverso
osciladores que tengan sólo d − 2 componentes. Esos osciladores transversales corre...
spond a los operadores de DDF transversales que hemos discutido en la Sección 6.
Los autores de Ref. [71] también construyeron los generadores Lorentz sólo en términos
de los osciladores transversales y mostraron que satisfacen el correcto
álgebra de Lorentz sólo si la dimensión espacio-tiempo es d = 26. De esta manera el
espectro del modelo de resonancia dual se reprodujo completamente a partir de
de la acción Nambu-Goto si d = 26! Por otra parte, la elección de
d = 26 es una necesidad si queremos mantener la invarianza de Lorentz!
Inmediatamente después de esto, la interacción también se incluyó, ya sea añadiendo
un término que describe la interacción de la cadena con un campo de ancho externo [73]
o mediante un formalismo funcional [74, 75].
En lo siguiente sólo daremos algunos detalles del primer enfoque para el
caja de una cuerda abierta. Una forma de describir la interacción de cadena es añadiendo
a la acción de cadena libre un término adicional que describe la interacción de
la cadena con un campo externo.
SINT =
dDyΦL(y)JL(y)(291)
donde ΦL(y) es el campo externo y JL es la corriente generada por la cadena.
El índice L representa los posibles índices de Lorentz que están saturados con el fin de
tienen una acción invariante de Lorentz.
En el caso de una partícula de punto, tal término de interacción no dará ninguna
información sobre la auto-interacción de una partícula.
En el caso de una cadena, en su lugar, veremos que SINT describirá la
interacción entre cadenas porque los campos externos que pueden
interactuar con una cadena son sólo los que corresponden a los diversos estados de
la cadena, como quedará claro en la discusión de abajo.
Se trata de una consecuencia del hecho de que, en aras de la coherencia, debemos
poner las siguientes restricciones a SINT :
• Debe ser un operador bien definido en el espacio que abarca la cadena
osciladores.
El nacimiento de la teoría de cuerdas 55
• Debe preservar las invarianzas de la teoría de cuerdas libres. En particular, en
el “calibre conformal” debe ser invariante conformal.
• En el caso de una cadena abierta, la interacción ocurre en el punto final de
una cadena (digamos que está en = 0). Esto se deriva del hecho de que dos cuerdas abiertas
interactúe uniéndose entre sí en los puntos finales.
Se puede escribir la corriente escalar más simple generada por el movimiento de una cadena
del siguiente modo:
J(y) =
d(e)(e)[yμ − xμ(e)(e)] (292)
en la que se ha introducido el método de interacción, ya que la interacción se produce al final de la
la cuerda. En aras de la simplicidad omitimos escribir una constante de acoplamiento g
en (292).
Insertando (292) en (291) y utilizando para el campo exterior escalar Φ(y) = eik·y
una onda de plano, obtenemos la siguiente interacción:
SINT =
eik·X(,0) : (293)
donde se ha introducido el pedido normal para tener un bien definido
Operadora. La invarianza de (293) bajo una transformación conformal
requiere la siguiente identidad:
SINT =
;: eik·X(l,0) : =
dw : eik·X(w,0) : (294)
o, en otras palabras, que
: eik·X(l,0) :=l w′(l) : eik·X(l,0) : (295)
Esto significa que el integrand en Eq. (294) debe ser un campo conforme con
dimensión conformal igual a uno y esto sucede sólo si k2 = 1. Los
campo externo corresponde entonces al estado más bajo taquiónico de la cadena abierta.
Otra corriente simple generada por la cadena es dada por:
Jμ(y) =
d(e)(e, e)
d) y −X(l, )) (296)
Insertando (296) en (291) obtenemos
SINT =
d(l, 0)
μeik·X(,0) (297)
si usamos una onda plana para (y) = e
ik·y. El operador de vértice en eq. (297)
es invariante conforme solamente si
k2 = · k = 0 (298)
56 Paolo Di Vecchia
y, por lo tanto, el vector externo debe ser el estado fotónico sin masa de la
cuerda. Podemos generalizar este procedimiento a un campo externo arbitrario y
el resultado es que sólo podemos utilizar campos externos que corresponden a en shell
estados físicos de la cuerda.
Este procedimiento se ha ampliado en Ref. [73] en el caso de
gravitones mediante la introducción en la acción Nambu-Goto de una métrica espacial objetivo y
obtener el operador de vértice para el gravitón que es un estado sin masa en el
teoría de cuerdas cerradas. Recuerde que, en ese momento, esto podría haberse hecho
sólo con la acción Nambu-Goto porque la acción modelo se introdujo
solo en 1976 primero para la partícula de punto [76] y luego para la cadena [77]. As
en el caso del fotón resultó que el campo externo correspondiente
al gravitón estaba obligado a estar en caparazón. Esta condición es el precursor de
las ecuaciones de movimiento que se obtiene de la acción de modelo
la desaparición de la función β [78].
Uno puede entonces calcular la amplitud de probabilidad para la emisión de un
número de estados de cadena correspondientes a los diversos campos externos, de un
estado inicial de la cadena a uno final. Esta amplitud da precisamente el punto N
amplitud que discutimos en las secciones anteriores [73]. En particular, uno
aprende que, en el caso de la cadena abierta, el campo Fubini-Veneziano es justo
la coordenada de cadena computada en = 0:
Qμ(z) Xμ(z, = 0) ; z = ei/23370/ (299)
En el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:
Qμ(z, z̄) Xμ(z, z̄) ; z = e2i(), z̄ = e2i() (300)
Finalmente, permítanme mencionar que con el enfoque funcional Mandelstam [74]
Cremmer y Gervais [79] calcularon la interacción entre tres arbi-
y reproducido de esta manera el acoplamiento de tres
DDF estados dados en Eq. (202) y obtenido en Ref. [37] utilizando el operador
formalismo. En este punto estaba completamente claro que la estructura subyacente
el modelo generalizado Veneziano era el de una cuerda relativista abierta, mientras que
que subyacente al modelo Shapiro-Virasoro era el de un relativista cerrado
cuerda. Además, estas dos teorías no son independientes porque, si uno
comienza desde una teoría de cuerdas abiertas, uno se cierra automáticamente cadenas por
Correcciones de bucle.
10 Conclusiones
En esta contribución, hemos pasado por los acontecimientos que llevaron a
la construcción del modelo de resonancia dual a la teoría de cuerdas bosónicas
Tratando en la medida de lo posible de incluir todos los detalles técnicos necesarios. Esto
es porque creemos que no sólo son importantes desde un punto de vista histórico
de punto de vista, pero también son parte del formalismo que se utiliza hoy en día en muchos
El nacimiento de la teoría de cuerdas 57
cálculos de cadena. Hemos tratado de ser lo más completos y objetivos posible,
pero muy bien podría ser que algunos de los que participaron en la investigación
de estos años, no estarán de acuerdo con algunas o incluso muchas de las declaraciones que
Hecho. Nos disculpamos con aquellos que hemos olvidado mencionar o no lo hemos hecho
mencionado como les hubiera gustado.
Finalmente, después de haber pasado por los desarrollos de estos años, mi
pensamientos van a Sergio Fubini que compartió conmigo y Gabriele muchos de los
ideas descritas aquí y que se extraña profundamente, y a mis amigos de Flo-
rence, Nápoles y Turín para una agradable colaboración en muchos documentos discutidos
Aquí.
Agradecimientos
Agradezco a R. Marotta y a I. Pesando por una lectura crítica del manuscrito.
Bibliografía
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58 Paolo Di Vecchia
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Ver también P. Di Vecchia en muchos grados de libertad en física de partículas, editado
por H. Satz, Plenum Publishing Corporation, 1978, pág. 493.
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El nacimiento de la teoría de cuerdas 59
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60 Paolo Di Vecchia
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73. M. Ademollo, A. D’Adda, R. D’Auria, P. Di Vecchia, F. Gliozzi, R. Musto, E.
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El nacimiento de la teoría de cuerdas
Paolo Di Vecchia
| En esta contribución vamos a través de los acontecimientos que en los años 1968 a
1974 llevó del modelo Veneziano a la cuerda bosónica.
| Introducción
Los años sesenta fueron un período en el que se estudiaron procesos de interacción fuertes
en detalle utilizando los aceleradores de nueva construcción en Cern y otros lugares.
Se encontraron muchos nuevos estados hadrónicos que aparecieron como picos resonantes en var-
se midieron las secciones transversales y transversales hadrónicas con aumento
precisión. En general, los datos experimentales para procesos que interactúan fuertemente
en términos de intercambios de resonancia en el
canal a baja energía y por el intercambio de polos Regge en el transversal
canal a mayor energía. Teoría de campo que había tenido mucho éxito en de-
la inscripción de QED parecía inútil para las interacciones fuertes dado el gran número de
Hadrones para acomodarse en un lagrangiano y la fuerza del pion-nucleón
constante de acoplamiento que no permitió cálculos perturbadores. El único...
principal en el que las técnicas teóricas de campo se utilizaron con éxito fue actual
álgebra. Aquí, asumiendo que las interacciones fuertes fueron descritas por un casi
quiral invariante Lagrangian, que la simetría quiral se rompió espontáneamente
y que el pion era el bosón correspondiente Goldstone, campo teórico
métodos dieron bastante buenas predicciones para la dispersión de amplitudes que implican pi-
a muy baja energía. Sin embargo, ir a una energía más alta no era posible.
con estos métodos.
Debido a esto, mucha gente comenzó a pensar que la teoría de campo era el uso-
menos para describir interacciones fuertes e intentó describir interacciones fuertes
http://arxiv.org/abs/0704.0101v1
2 Paolo Di Vecchia
procesos con métodos alternativos y más fenomenológicos. Lo básico
Los ingredientes para describir los datos experimentales fueron de baja energía.
cambio de resonancias en el canal directo y a mayor energía el intercambio
de los polos de Regge en el canal transversal. Reglas de suma para interactuar fuertemente
los procesos fueron saturados de esta manera y se encontró un buen acuerdo con el
datos experimentales provenientes de los aceleradores recién construidos. Sé...
causa de estos éxitos y de los problemas que la teoría de campo encontró para
describir los datos, se propuso construir directamente la matriz S sin
pasando por un lagrangiano. La matriz S se suponía que se construiría
de las propiedades que debía satisfacer, pero no había un procedimiento claro sobre
cómo implementar esta construcción1. A menudo se utilizaba la palabra “bootstrap”
como la forma de construir la matriz S, pero no ayudó mucho para obtener un
Matriz S para los procesos que interactúan fuertemente.
Una de las ideas básicas que condujeron a la construcción de una matriz S fue
que debe incluir resonancias a baja energía y al mismo tiempo dar
Comportamiento de regge a alta energía. Pero las dos contribuciones de las resonancias
y de los polos de Regge no deben ser añadidos porque esto implicaría doble
Contando. Esto se llamaba dualidad Dolen, Horn y Schmidt [2]. Otra idea
que ayudó en la construcción de una matriz S fue la dualidad planar [3] que
fue visualizado asociándose a un proceso determinado un diagrama de dualidad, mostrado en
Fig. (1), donde cada mesón fue descrito por dos líneas que representan el quark
y el antiquark. Por último, también el requisito de cruzar la simetría jugado
un papel muy importante.
Fig. 1. Diagrama de dualidad para la dispersión de cuatro mesones
Partiendo de estas ideas Veneziano [4] fue capaz de construir una matriz S
para la dispersión de cuatro mesones que, al mismo tiempo, tenía un número infinito
de resonancias de ancho cero yace sobre trayectorias de Regge y Regge en ascenso lineal
comportamiento a alta energía. Veneziano construyó originalmente el modelo para el
1 Para una discusión de la teoría de la matriz S véase Ref.s [1]
El nacimiento de la teoría de cuerdas 3
proceso →, pero se extendió inmediatamente a la dispersión de cuatro
partículas escalares.
En el caso de cuatro partículas escalares idénticas, el scat simétrico de cruce-
la amplitud tering encontrado por Veneziano consiste en una suma de tres términos:
A(s, t, u) = A(s, t) +A(s, u) +A(t, u) (1)
donde
A(s, t) =
* (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)) (a) (a) (a)) (a) (a) (a) (a) (a)) (a)
- α(t) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
dxx®(s)−1(1− x)®(t)−1 (2)
con trayectorias de Regge en ascenso lineal
α(s) = α0 + α
′s (3)
Esta era una propiedad muy importante para implementar en un modelo porque era
de acuerdo con los datos experimentales en una amplia gama de energías. s, t y
u son las variables Mandelstam:
s = −(p1 + p2)2, t = −(p3 + p2)2, u = −(p1 + p3)2 (4)
Los tres términos en Eq. (1) corresponden a los tres pedidos de las cuatro partes
que no están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica 2 de la
piernas. Corresponden, respectivamente, a las tres permutaciones: (1234), (1243)
y (1324) de las cuatro patas externas. Sólo tienen singularidades de polo simples.
El primero sólo tiene polos en los canales s y t, el segundo sólo en el s
y u canales y el tercero sólo en los canales t y u. Esta propiedad fol-
bajos directamente del diagrama de dualidad que se asocia a cada inequivalente
permutación de las piernas externas. De hecho, en ese momento uno solía asociar
a cada una de las tres permutaciones inequivalentes un diagrama de dualidad donde cada
la partícula fue dibujada como consistente en dos líneas que rappresentaron el quark y
Antiquark inventando un mesón. Además, se suponía que el diagrama debía
tienen sólo polos singularidades en los canales planos que son los que implican
líneas externas adyacentes. Esto significa que, por ejemplo, el diagrama de dualidad
que corresponde a la permutación (1234) sólo tiene polos en el s y t chan-
nels como se puede ver deformando el diagrama en el plano en los dos posibles
formas que se muestran en la figura (2).
Esta era una propiedad muy importante del diagrama de dualidad que hace
cualitativamente diferente de un diagrama de Feynman en teoría de campo donde cada uno
diagrama tiene sólo un polo en uno de los tres canales s, t y u y no
simultáneamente en dos de ellos. Si aceptamos la idea de que cada término de la
suma en Eq. (1) es descrito por un diagrama de dualidad, entonces está claro que nosotros
2 Una permutación anticíclica correspondiente, por ejemplo, a la orden (1234) es
obtenido tomando el reverso de la orden original (4321) y luego realizando
una permutación cíclica.
4 Paolo Di Vecchia
Fig. 2. El diagrama de dualidad contiene ambos polos de canal s y t
no es necesario añadir términos correspondientes a diagramas equivalentes porque el
diagrama de dualidad correspondiente es el mismo y tiene las mismas singularidades. Lo siento.
Ahora está claro que de alguna manera estaba implícito en este cuadro el hecho de que el
El modelo Veneziano corresponde a la dispersión de cuerdas relativistas. Pero a
esa vez la conexión no era obvia en absoluto. La única propiedad de la matriz S
que el modelo Veneziano no pudo satisfacer era la unitariedad de la matriz S.
porque contenía sólo resonancias de ancho cero y no tenía las diversas
cortes requeridos por la unidad. Veremos cómo se implementará esta propiedad.
Inmediatamente después de la formulación del modelo Veneziano, Virasoro [5]
propuso otra amplitud simétrica de cuatro puntos para las partículas escalares
que consistió en una pieza única dada por:
A(s, t, u)
• (u)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
• (1 +)
• (1 +)
• (1 +)
donde
α(s) = α0 + α
′s (6)
El modelo tenía polos en los tres canales s, t y u y no podía ser escrito
como suma de tres términos que tienen polos sólo en diagramas planos. En conclusión,
el modelo Veneziano satisface el principio de dualidad plana siendo un cruce
combinación simétrica de tres contribuciones cada uno con polos sólo en el
Canales planos. Por otro lado, el modelo Virasoro consiste en un
cruce de término simétrico con polos en canales planos y no planos.
Los intentos de construir modelos consistentes que estaban de acuerdo
con la fenomenología de la interacción fuerte de los años sesenta impulsado enormemente
la actividad en este campo de investigación. La generalización del modelo Veneziano para
la dispersión de partículas escalares N fue construida, un formalismo de operador que consiste en
de un número infinito de osciladores armónicos fue construido y el
se determinó el espectro de mesons. Resultó que la degeneración de
los estados crecieron exponencialmente con la masa. También se encontró que la N
amplitud de punto tenía estados con norma negativa (fantasmas) a menos que la intercepción
de la trayectoria de Regge fue α0 = 1 [6]. En este caso resultó que el
modelo estaba libre de fantasmas, pero el estado más bajo era un taquión. El modelo era
llamó en la literatura el “modelo de resonancia dual”.
El nacimiento de la teoría de cuerdas 5
El modelo no era unitario porque todos los estados eran de ancho cero reso-
Las nances y los diversos cortes requeridos por la unidad estaban ausentes. La unidad
se implementó de manera perturbadora añadiendo diagramas de bucle obtenidos por
cosiendo algunas de las patas externas después de la inserción de un propagador.
Las amplitudes multilazo mostraron una estructura de superficies de Riemann. Esto será...
se hizo evidente sólo más tarde cuando el modelo de resonancia dual fue reconocido a
corresponden a la dispersión de cuerdas.
Pero el problema principal era que el modelo tenía un taquión si α0 = 1 o tenía
fantasmas para otros valores de α0 y no estaba de acuerdo con el experimental
datos: α0 no fue igual a aproximadamente
según lo requerido por los experimentos para el
La trayectoria del regge y las partículas escalares externas no se comportaron como piones
satisfacer los requisitos actuales de álgebra. Se hicieron muchos intentos de
construir modelos de resonancia dual más realistas, pero el principal resultado de
Los intentos fueron la construcción de los Neveu-Schwarz [7] y los Ramond [8]
modelos, respectivamente, para mesones y fermiones. Fueron construidos como dos
modelos independientes y sólo más tarde se reconoció que eran dos sectores de la
El mismo modelo. El modelo Neveu-Schwarz todavía contenía un taquión que sólo en
1976 a través de la proyección GSO fue eliminado del espectro físico.
Además, no estaba describiendo adecuadamente las propiedades de la
Piones.
En realidad, un modelo que describe la dispersión de una manera bastante satisfactoria
fue propuesto por Lovelace y Shapiro [9] 3. De acuerdo con este modelo el
Tres amplitudes isospinas para la dispersión pion-pion son dadas por:
[A(s, t) +A(s, u)]− 1
A(t, u)
A1 = A(s, t)−A(s, u) A2 = A(t, u) (7)
donde
A(s), t = β
* (1- α(s))* (1 − α(t))
• (1− α(t)− α(s)
; α(s) = α0 + α
′s (8)
Las amplitudes en eq.(7) proporcionar un modelo para la dispersión con elevación lineal
Trayectorias Regge que contienen tres parámetros: la interceptación del Regge
trayectoria α0, la pendiente Regge α
′ y β. Los dos primeros pueden ser determinados por
imponer la condición de auto-coherencia del Adler, que requiere la desaparición de
la amplitud cuando s = t = u = m2η y uno de los piones es sin masa, y el
hecho de que la trayectoria de Regge debe dar el giro del meson que es igual
a 1 cuando
s es igual a la masa del mesón. Estas dos condiciones
determinar que la trayectoria de Regge es:
α(s) =
s−m2
m2π −mη2
= 0,48 + 0,885s (9)
3 Véase también Ref. [10].
6 Paolo Di Vecchia
Después de haber fijado los parámetros de la trayectoria Regge el modelo predice la
las masas y los acoplamientos de las resonancias que decaen en
parámetro único β. Los valores obtenidos están en acuerdo razonable con
los experimentos. Además, uno puede calcular las longitudes de dispersión:
a0 = 0,395β a2 = −0,103β (10)
y uno encuentra que su relación está dentro del 10% de la actual relación de álgebra dada
por a0/a2 = −7/2. La amplitud en eq.(8) tiene exactamente la misma forma que la
para cuatro taquiones del modelo Neveu-Schwarz con el único aparentemente menor
diferencia que α0 = 1/2 (para mη = 0) en lugar de 1 como en el Neveu-Schwarz
modelo. Esta diferencia, sin embargo, implica que la dimensión crítica espacio-tiempo
de este modelo es d = 4 4 y no d = 10 como en el modelo Neveu-Schwarz. In
la conclusión de que este modelo parece ser un modelo perfectamente razonable para describir
dispersión de baja energía. El problema es, sin embargo, que nadie ha sido capaz de
para generalizar a la dispersión multipión y por lo tanto para obtener la completa
espectro meson.
Como hemos visto se construyó la matriz S del modelo de resonancia dual
utilizando ideas y herramientas de fenomenología de hadrones de finales de los años sesenta.
Aunque no parecía posible escribir un modelo realista de resonancia dual
describiendo los piones, era sin embargo tal fuente de fascinación para los
que trabajó activamente en este campo en ese momento por su hermosa estructura interna
y consistencia que mucha energía se utilizó para investigar sus propiedades y
para comprender su estructura básica. Resultó con gran sorpresa que
la estructura subyacente era la de una cadena relativista cuántica.
El objetivo de esta contribución es explicar la lógica del trabajo que fue
hecho en los años de 1968 a 1974 5 con el fin de descubrir las propiedades profundas de
este modelo que parecía desde el principio ser tan hermoso y coherente
para merecer un estudio intensivo.
Esto me parece una muy buena manera de celebrar el 65 aniversario de
Gabriele que es la persona que comenzó y también contribuyó a desarrollar el
todo con su profunda intuición física.
2 Construcción de la amplitud del punto N
Hemos visto que la construcción de la amplitud de cuatro puntos no es suficiente
para obtener información sobre todo el espectro hadrónico porque sólo contiene
esos hadrones que pareja a dos mesons del estado de tierra y no los ve
Estados intermedios que sólo pareja a tres o a un mayor número de
Mesons terrestres [12]. Por lo tanto, era muy importante construir el
Amplitud N-punto que involucra partículas escalares idénticas. La construcción de
4 Esto se puede comprobar computando el acoplamiento de la partícula sin spin en la
nivel α(s) = 2 y ver que desaparece para d = 4.
5 Reseñas de este periodo se pueden encontrar en Ref. [11]
El nacimiento de la teoría de cuerdas 7
la amplitud del punto N se hizo en Ref. [13] (prolongación de la labor de Ref. [14])
por exigir los mismos principios que han conducido a la construcción de la
modelo Veneziano, a saber, el hecho de que los axiomas de la teoría S-matriz ser
satisfecho por un número infinito de resonancias de ancho cero acostados linealmente
crecimiento de las trayectorias Regge y dualidad plana.
La amplitud de dispersión simétrica totalmente cruzada de N escalar idéntico
las partículas se dan por una suma de términos correspondientes a la permu-
tas de las patas externas:
Un (11)
También en este caso dos permutaciones de las patas externas son inequivalentes si
no están relacionados por una permutación cíclica o anticíclica. Np es el número de
permutaciones inequivalentes de las patas externas y es igual a Np =
(N−1)!
y cada término sólo tiene singularidades de polos simples en los canales planos. Cada uno
canal plano se describe por dos índices (i, j), lo que significa que incluye el
piernas i, i+ 1, i+ 2... j − 1, j, por la variable Mandelstam
sij = −(pi + pi+1 +.. + pj)2 (12)
y por una variable adicional uij cuyo papel será claro pronto. Lo es.
claro que los canales (ij) y (j + 1, i− 1) 6 son idénticos y deben
ser contados sólo una vez. En el caso de N partículas escalares idénticas, el número
de canales planos es igual a
N(N−3)
. Esto puede obtenerse de la siguiente manera. Los
Los diagramas planos independientes que involucran la partícula 1 son del tipo (1, i)
donde i = 2...N − 2. Su número es N − 3. Este es también el número de
diagramas planos que involucran la partícula 2 y no la 1. Número de aviones
diagramas que implican la partícula 3 y no las partículas 1 y 2 es igual a
N − 4. En general, el número de diagramas planos que implican la partícula i y
no los anteriores de 1 a i-1 es igual a N − 1− i. Esto significa que la
el número total de diagramas planos es igual a:
2 (N − 3) +
(N − 1− i) = 2 (N − 3) +
= 2 (N − 3) +
(N − 4) (N − 3)
N(N−3)
Si uno escribe el diagrama de dualidad correspondiente a un planar determinado
orden de las partículas externas, es fácil ver que el diagrama puede tener
singularidades de polo simultáneas sólo en N − 3 canales. Los canales que
permitir singularidades de polo simultáneas se llaman canales compatibles, el otro
6 Este canal incluye las partículas (j + 1,...., N, 1,... i− 1).
8 Paolo Di Vecchia
se llaman incompatibles. Dos canales (i,j) y (h,k) son incompatibles si
se satisfacen las siguientes desigualdades:
i ≤ h ≤ j; j + 1 ≤ k ≤ i− 1 (14)
El objetivo es construir la amplitud de dispersión para cada inequivalente por
mutación de las piernas externas que sólo tiene singularidades de polo en el
N(N−3)
Canales planos. También tenemos que imponer que la amplitud tiene simultáneamente
polos solamente en N − 3 canales compatibles. Con el fin de obtener la intuición sobre cómo
procederemos a reescribir la amplitud de cuatro puntos en Eq. 2) De la siguiente manera:
A(s, t) =
du23 u
•(s12)−1
•(s23)−1
23 (u12 + u23 − 1) (15)
donde u12 y u23 son las variables correspondientes a los dos planos
nels (12) y (23) y la cancelación de polos simultáneos en
los canales son provistos por la función de ♥ que prohíbe u12 y u23 a desaparecer
Simultáneamente.
Ahora extenderemos este procedimiento a la amplitud de los puntos N. Pero para el
En aras de la claridad, comencemos con el caso de N = 5 [14]. En este caso tenemos 5
canales planos descritos por u12, u13, u23, u24 y u34. Ya que sólo tenemos dos
canales compatibles sólo dos de las cinco variables anteriores son independientes.
Podemos elegir que sean u12 y u13. Con el fin de determinar el depen-
dence de las otras tres variables sobre las dos independientes, excluimos
polos simultáneos en canales incompatibles. Esto se puede hacer mediante la imposición de
relaciones que impiden variables correspondientes a canales incompatibles con
Desaparece simultáneamente. Una condición suficiente para excluir los polos simultáneos
en canales incompatibles se impondrán las condiciones siguientes:
uP = 1−
uP̄ (16)
donde el producto está sobre las variables P̄ correspondientes a los canales que
son incompatibles con P. En el caso de la amplitud de cinco puntos obtenemos el
las siguientes relaciones:
u23 = 1− u34u12 ; u24 = 1− u13u12
u13 = 1− u34u24 ; u34 = 1− u23u13 ; u12 = 1− u24u23 (17)
Resolviéndolos en términos de los dos independientes que obtenemos:
u23 =
1− u12
1− u12u13
; u34 =
1− u13
1− u12u13
; u24 = 1− u12u13 (18)
En analogía con lo que hemos hecho por la amplitud de cuatro puntos en Eq. (15)
escribimos la amplitud de cinco puntos como sigue:
El nacimiento de la teoría de cuerdas 9
du34u
•(s12)−1
•(s13)−1
×u®(s24)−124 u
•(s23)−1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
*(u23 + u12u34 − 1)*(u24 + u12u13 − 1)*(u34 + u13u23 − 1) (19)
Realizando la integral sobre las variables u23, u24 y u34 obtenemos:
du13u
•(s12)−1
•(s13)−1
× (1− u12)+(s23)−1(1− u13)+(s13)−1(1− u12u13)+(s24)(s23)(s34)(20)
Hemos asumido implícitamente que la trayectoria de Regge es la misma en todos los chan-
nels y que las partículas escalares externas tengan la misma masa común m
y son los estados de mentira más bajos en la trayectoria de Regge. Esto significa que su
masa viene dada por:
α0 − •p2i = 0 ; p2i •m2 (21)
Usando entonces la relación:
α(s23) + α(s34)− α(s24) = 2+p2 · p4 (22)
Podemos reescribir Eq. (20) según se indica:
•(s2)−1
•(s3)−1
3 (1− u2)+(s23)−1×
× (1 − u3)+(s34)−1
(1− xij)2α
′pi·pj (23)
donde
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. uj−1. (24)
Ahora estamos listos para construir la función de punto N [13]. En analogía con
lo que se ha hecho para las amplitudes de cuatro y cinco puntos podemos escribir el
Amplitud de los puntos N, según se indica:
...
•(sP)−1
(uQ − 1 +
uQ̄) (25)
10 Paolo Di Vecchia
donde el primer producto ha terminado el
N(N−3)
variables correspondientes a todos
canales planos, mientras que el segundo está sobre el
(N−3)(N−2)
independiente
Funciones. El producto en la función de se define en Eq. (16).
La solución de todas las relaciones lineales no independientes impuestas por el
Las funciones son dadas por
uij =
(1 − xij)(1− xi−1,j+1)
(1− xi−1,j)(1− xi,j+1)
donde las variables xij se dan en Eq. (24). Eliminación de la función de
Eq. (25) se obtiene:
• (si)−1
i (1 − ui)
• (si,i+1)−1
j=i+2
(1- xij)ij(27)
donde
γij = α(sij) + α(si+1;j−1)− α(si;j−1)− α(si+1;j) ; j ≥ i+ 2 (28)
Es fácil ver que
α(si,i+1) = +0 − 2+pi · pi+1 ; γij = −2+pi · pj ; j ≥ i+ 2 (29)
Insertándolos en Eq. (27) Obtenemos:
• (si)−1
i (1− ui)
j=i+1
(1− xij)2α
′pi·pj (30)
Esta es la forma de la amplitud de punto N que fue construida originalmente.
Entonces Koba y Nielsen [15] lo pusieron en la forma que es más conocida hoy en día.
Lo construyeron usando las siguientes reglas. Asoció una variable real
Zi a cada pierna i. Luego se asociaron a cada canal (i, j) una anarmónica
relación construida a partir de las variables zi, zi−1, zj, zj+1 de la siguiente manera
(zi, zi+1, zj, zj+1)
•(sij)−1 =
(zi − zj) (zi − 1 − zj+1)
(zi−1 − zj)(zi − zj+1)
*(sij)−1
y finalmente dieron la siguiente expresión para la amplitud de N -point:
dV (z)
i, j)
(zi, zi+1, zj, zj+1)
•(sij)−1 (32)
donde
dV (z) =
1 (zi − zi+1)dzi)
i=1(zi − zi+2)dVabc
; dVabc =
dzadzbdzc
(zb − za) (zc − zb) (za − zc)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 11
y las variables zi se integran a lo largo del eje real en un orden cíclico
forma: z1 ≥ z2. . ≥ zN con a, b, c elegido arbitrariamente.
El integrand de la amplitud de N -point es invariante bajo proyectiva
transformaciones que actúan sobre las variables de la pierna zi:
αzi + β
γzi +
; i = 1... N ; − • = 1 (34)
Esto se debe a que tanto la relación anarmónica en Eq. (31) y la medida dVabc
son invariantes bajo una transformación proyectiva. Desde un proyector transfor-
miento depende de tres parámetros reales, a continuación, el integrand de la N -punto
La amplitud depende sólo de N − 3 variables zi. Con el fin de evitar infinitos, uno
tiene entonces que dividir el volumen de integración con el factor dVabc que es también
invariante bajo las transformaciones proyectivas. El hecho de que el integrand
sólo depende de N − 3 variables está de acuerdo con el hecho de que N − 3 es
también el número máximo de polos simultáneos permitidos en la amplitud.
Es conveniente escribir la amplitud de N - punto en una forma que implica la
producto escalar del momento externo en lugar de las trayectorias de Regge.
Distinguimos tres tipos de canales. La primera es cuando las partículas
i y j del canal (i, j) están separados por al menos dos partículas. En este
los canales que contribuyen al exponente del factor (zi − zj) son
los canales (i, j) con exponente igual a •(sij) − 1, (i + 1, j − 1) con
exponente (si+1,j−1)− 1, (i+1,j) con exponente α(si+1,j)+1 y (i, j− 1)
con exponente α(si,j−1) + 1. Añadiendo estas cuatro contribuciones uno consigue para el
canales donde i y j están separados por al menos dos partículas
− α(sij)− α(si+1,j−1) + α(si+1,j) + α(si,j−1) = 2pi · pj (35)
El segundo viene de los canales que están separados por sólo uno
partícula. En este caso, sólo tres de los cuatro canales anteriores contribuyen. Por
instancia si j = i+2 el canal (i+1, j− 1) consiste en una sola partícula y
Por lo tanto, no debe incluirse. Esto significa que tendríamos:
− α(si;i+2)− 1 + α(s1+1;i+2) + 1 + α(si;i+1 + 1) = 1 + 2+pi · pi+2 (36)
Por último, el tercero que viene de los canales cuyas partículas son adja-
cent, sólo recibe la contribución de:
− α(si;i+1)− 1 = α0 − 1 + 2+pi · pi+1 (37)
Poner todos estos tres términos juntos en Eq. (32) y recordando el factor
en el denominador en la primera ecuación de (33) obtenemos:
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
(zi − zi+1)α0−1
(zi − zj)2α
′pi·pj(38)
Una opción conveniente para que las tres variables se mantengan fijas es:
12 Paolo Di Vecchia
zc = zN = 0 (39); zb = z2 = 1; zc = zN = 0 (39)
Con esta opción la ecuación anterior se convierte en:
(zi − zi+1)
(zi − zi+1)α0−1×
j=i+1
(zi − zj)2α
′pi·pj (40)
Ahora queremos mostrar que esta amplitud es idéntica a la dada en Eq.
(30). Esto se puede hacer realizando el siguiente cambio de variables:
; i = 2, 3...N − 2 (41)
lo que implica
zi = u2u3. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
Teniendo en cuenta que el jacobino es igual a:
uN−2−ii (43)
utilizando las dos relaciones siguientes:
(zi − zi+1)α0−1 =
(N−1−i)α0−1
(1− ui)α0−1 (44)
j=i+1
(zj − zi)2α
′pi·pj =
j=i+1
(1− xij)2α
′pi·pj
• (si)− (N−i−1)α0
i (45)
y la conservación del impulso
pi = 0 (46)
junto con Eq. (21), se puede ver fácilmente que Eq.s (30) y (40) son iguales.
El nacimiento de la teoría de cuerdas 13
La amplitud N -punto que hemos construido en esta sección corre-
sponds a la dispersión de N partículas sin spinless sin grados internos de
libertad. Por otro lado, se sabía que los mesones eran clasificados
según los múltiplos de una simetría del sabor SU(3). Esto se puso en práctica.
por Chan y Patón [16] multiplicando la amplitud del punto N con un factor,
llamado factor Chan-Paton, administrado por
Tr(a1a2..................................................................................................................................................... 47)..................................................................................................................................................
donde las matrices de los grupos unitarios en los representa-
tion. Incluyendo los factores Chan-Paton se da la amplitud de dispersión total
Tr(a1a2..................................................................................................................................................... BN (p1, p2,. . pN ) (48)
donde la suma se extiende a la (N − 1)! permutaciones de las patas externas,
que no están relacionados por una permutación cíclica. Originalmente cuando la resolución dual-
modelo nance se suponía que describiría fuertemente interactuando mesones, este factor
se introdujo para representar su sabor grados de libertad. Hoy en día el
la interpretación es diferente y el factor Chan-Paton representa el color
grados de libertad de los bosones de calibre y las otras partículas masivas de la
espectro.
La amplitud N -punto BN que hemos construido en esta sección con-
sólo tiene singularidades de polo simples en todos los canales planos posibles. Ellos cor-
responder a resonancias de ancho cero situadas a valores enteros no negativos n de
la trayectoria de Regge α(M2) = n. El estado más bajo situado en α(m2) = 0 cor-
responde a las partículas en las patas externas de BN. El espectro de excitación
las partículas se pueden obtener factorizando la amplitud de N - punto en la mayoría
canal general con cualquier número de partículas. Esto se hizo en Ref.s [17] y
[18] encontrar un espectro de estados que suben exponencialmente con la masa M.
el modelo relativista invariante se encontró que muchos estados obtenidos por
factorizando la amplitud del punto N eran “fantasmas”, es decir, estados con
norma como se encuentra en QED cuando se cuantifica el campo electromagnético en un
calibrador covariante. La coherencia del modelo requiere la existencia de rela-
ciones satisfechas por las amplitudes de dispersión que son similares a las obtenidas
a través de la invarianza del calibrador en QED. Si el modelo es consistente deben decou-
la norma negativa nos deja con un espectro físico de positivo
los estados de la norma. Con el fin de estudiar de una manera sencilla estos temas, discutimos en el
siguiente sección el formalismo del operador introducido ya en 1969 [19, 20, 21].
Antes de concluir esta sección volvamos a los cuatro puntos no planos
amplitud en Eq. (5) y discutir su generalización a una amplitud de punto N.
Utilizando la técnica del análogo electrostático en la esfera en lugar de en
el disco Shapiro [22] fue capaz de obtener una amplitud de punto N que reduce
a la amplitud de cuatro puntos en Eq. (5) con intercepción α0 = 2. El punto N
Amplitud encontrada en Ref. [22] es:
14 Paolo Di Vecchia
i=1 d
dVabc
zi − zj
′pi·pj (49)
donde
dVabc =
d2zad
za − zb2za − zc2zb − zc2
La integral en Eq. (49) se realiza en todo el plano complejo.
3 Formalismo y factorización del operador
Las propiedades de factorización del modelo de resonancia dual fueron estudiadas por primera vez por
factorizando por fuerza bruta la amplitud del punto N en los diversos polos [17, 18].
El número de términos que factorizan el residuo del polo en α(s) = n,
aumenta rápidamente con el valor de n. Con el fin de encontrar su degeneración se volvió
para ser conveniente reescribir primero la amplitud del punto N en un operador
formalismo. En esta sección introducimos el formalismo del operador y reescribimos
la amplitud N-punto derivada en la sección anterior en este formalismo.
La idea clave [19, 20, 21] es introducir un conjunto infinito de oscil armónico
Lators y operadores de posición e impulso 7 que satisfacen los siguientes requisitos:
relaciones de conmutación:
[anμ, a
m/ ] = nm ; [q, p ] = i (51)
donde es la métrica plana de Minkowski que tomamos para ser = (−1, 1,... 1).
Un estado con impulso p se construye en términos de un estado con cero mo-
mentum de la manera siguiente:
< < p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p > p = p > p > p = p > p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = p = 0 = 0 = 0 (52)
normalizado como 8
pp = (2η)dŁ(d)(p+ p′) (53)
Con el fin de evitar menos signos utilizamos la convención que
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Una base completa y ortonormal de vectores en el espacio del oscilador armónico
es dada por
1, 2,. • i; p =
(an;n)
n;μn
¡N, μn!
eipq0, 0ó (55)
7 En realidad, la posición y los operadores de impulso se introdujeron en Ref. [23].
8 Aunque ahora usamos un arbitrario d queremos recordarte que todo original
los cálculos se hicieron para d = 4.
El nacimiento de la teoría de cuerdas 15
donde el primer 0 corresponde al aniquilado por toda aniquilación op-
y el segundo al estado de cero impulso:
aμn;n0, 0° = p0, 0° = 0 (56)
Nótese que la invarianza de Lorentz obliga a introducir también osciladores que crean
estados con norma negativa debido al signo menos en la métrica plana de Minkowski.
Esto implica que el espacio extendido por los estados en Eq. (55) no es positivo
Definido. Esto, sin embargo, no está permitido en una teoría cuántica y por lo tanto si
el modelo de resonancia dual es una teoría cuántica-relavista consistente que esperamos
la presencia de relaciones del tipo de las proporcionadas por la invarianza del calibrador en
Presentemos al operador de Fubini-Veneziano [23]:
Qμ(z) = Q
μ (z) +Q
μ (z) +Q
μ (z) (57)
donde
Q(+) = i
z−n ; Q(−) = −i
Q(0) = qá − 2iÃ3pá r log z (58)
En términos de Q introducimos el operador de vértice correspondiente a la externa
pata con impulso p:
V (z; p) =: eip·Q(z)
(−)(z)eipq®e+2α
′pp log zeip·Q
(+)z) (59)
y calcular el siguiente valor de expectativa de vacío:
0, 0
V (zi, pi)0, 0 (60)
Se puede calcular fácilmente utilizando la relación Baker-Haussdorf
eAeB = eBeAe[A,B] (61)
que es válido si el conmutador, como en nuestro caso, [A,B] es un número c. En nuestro
en caso de que las relaciones de conmutación que deban utilizarse sean:
[Q(+)(z), Q(−)(w)] = −2
y el segundo en Eq. (51). Usandolos uno consigue:
V (z; p)V (w; k) =: V (z; p)V (w; k) : (z − w)2α
′p·k (63)
16 Paolo Di Vecchia
0, 0
V (zi, pi)
(zi − zj)2α
′pi·pj (2
pi) (64)
cuando el pedido normal requiera que todos los operadores de creación se pongan en la
izquierda de la aniquilación uno y el operador de impulso pÃ3 ser puesto a la derecha
del operador de posición q». Esto significa que
(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
pi)BN =
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
(zi − zi+1)α0−1
× 0, 0
V (zi, pi)0, 0 (65)
Al elegir las tres variables za, zb y zc como en Eq. (39) podemos reescribir el
ecuación anterior como sigue:
(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d) (d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)()()()()()()()()()()()(d)(d)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
pi)BN =
(zi − zi+1)×
(zi − zi+1)α0−1
0, p1
V (zi; pi)0, pN (66)
donde hemos tomado z2 = 1 y hemos definido (α0 • p2i ; i = 1...N) :
V (zN ; pN )0, 0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
z2α01 V (z1; p1) = 0, p1 (67)
Antes de proceder a factorizar la amplitud N -punto vamos a estudiar la prop-
En el marco del grupo proyectivo de los operadores que hemos introducido.
Ya hemos visto que el grupo proyectivo deja el integrand de la
Koba-Nielsen representación de la amplitud de N -punto invariante. El projec-
El grupo tivo tiene tres generadores L0, L1 y L−1, respectivamente.
dilataciones, inversiones y traducciones. Suponiendo que el Fubini-Veneziano
campos Q(z) se transforma como un campo con peso 0 (como escalar) podemos
ately escribir las relaciones de conmutación que Q(z) debe satisfacer. Esto significa en
hecho de que, bajo una transformación proyectiva, Q(z) se transforma como sigue:
Q(z) → QT (z) = Q
αz + β
γz +
; − • = 1 (68)
Expandiendo para valores pequeños de los parámetros que obtenemos:
QT (z) = Q(z) + (+1 + 2z + 3z
dQ(z)
+ o(+2) (69)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 17
Esto significa que los tres generadores del grupo proyectivo deben satisfacer
después de las relaciones de conmutación con Q(z):
[L0, Q(z)] = z
; [L−1, Q(z)] =
; [L1, Q(z)] = z
Son dadas por las siguientes expresiones en términos de la oscila armónica-
tors:
L0 = α
′p®2 +
na†n · an ; L1 =
2+p · a1 +
n(n+ 1)an+1 · a†n (71)
L−1 = L
2+p· · a†1 +
n(n+ 1)a
n+1 · an (72)
Aniquilan el vacío.
L0, 0 = L1 = 0, 0 = L−1 = 0, 0 = 0 (73)
que por lo tanto se llama el vacío invariante proyectiva, y satisfacer el álgebra
que se llama álgebra de Gliozzi [24]:
[L0, L1] = −L1 ; [L0, L−1] = L−1 ; [L1, L−1] = 2L0 (74)
El operador de vértice con impulso p es un campo proyectivo con peso igual
a α0 = α
′p2. De hecho, se transforma como sigue en el grupo proyectivo:
[Ln, V (z, p)] = z
n+1 dV (z, p)
+ α0(n+ 1)z
nV (z, p) ; n = 0,±1 (75)
o en forma finita como sigue:
UV (z, p)U−1 =
(γz + )2α0
αz + β
γz +
donde U es el generador de una transformación proyectiva finita arbitraria.
Desde U deja el vacío invariante, mediante el uso de Eq. (76) es fácil de mostrar
que:
0, 0
V (z′i, p)0, 0 =
(γzi + )
2α0-0, 0
V (zi, p)0, 0 (77)
que junto con la siguiente ecuación:
(z′i − z′i+1)α0−1 =
(zi − zi+1)α0−1
(γzi + )
−2α0(78)
9 Véase también Ref. [25].
18 Paolo Di Vecchia
implica que la integridad de la amplitud de punto N en Eq. (65) es invariante
bajo transformaciones proyectivas.
Ahora estamos listos para factorizar la amplitud de N -punto y encontrar la especificación-
Trum de mesons.
De los Eq.s (75) y (76) es fácil derivar la transformación de la
operador de vértice bajo una dilatación finita:
zL0V (1, p)z−L0 = V (z, p)zα0 (79)
Cambiar las variables de integración de la siguiente manera:
; i = 2, 3...N − 2 ; det
= z3z4. zN−2 (80)
donde el último término es el jacobio de la trasformación de zi a xi, obtenemos
de Eq.(66) la expresión siguiente:
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
donde el propagador D es igual a:
dxxL0−1+0(1− x)α0−1 = • (L0 − α0) • (α0)
(L0)
AN = (2η)
d-(d)
BN (83)
Las propiedades de factorización de la amplitud se pueden estudiar insertando en
el canal (1,M) o equivalente en el canal (M +1, N) descrito por el
Variable Mandelstam
s = −(p1 + p2 +. .. pM )2 = −(pM+1 + pM+2... + pN )2 • −P 2 (84)
el conjunto completo de estados dados en Eq. (55):
P(1,M), P, P D, P, P p(M+1,N) (85)
donde
P(1,M) = 0, p1V (1, p2)DV (1, p3). V (1, pM ) (86)
p(M+1,N) = V (1, pM+1)D... V (1, pN−1)pN, 0 (87)
Introducción de la cantidad:
El nacimiento de la teoría de cuerdas 19
na†n · an (88)
es posible reescribir
, P D, P =
, P
(−1)m
α0 − 1
R+m− α(s)
, P (89)
donde s es la variable definida en Eq. (84). Usando esta ecuación podemos reescribir
Eq. (85) del siguiente modo:
P(1,M), P ®
, P
(−1)m
α0 − 1
R+m− α(s)
, P, P p(M+1,N)(90)
Esta expresión muestra que la amplitud AN tiene un polo en el canal (1,M)
cuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y los estados que contribuyen a
sus residuos son los que satisfacen la relación:
R = (n−m) ; m = 0, 1.. n (91)
El número de estados independientes contribuir al residuo da el
degeneración de los estados para cada nivel n.
Debido a la manifiesta invarianza relativista, el espacio se extiende por la com-
sistema pleto de estados en Eq. (55) contiene estados con una norma negativa corre-
sponding a esos estados que tienen un número impar de osciladores con tiempo similar
instrucciones (véase Eq. (51)). Esto no es consistente en una teoría cuántica donde
los estados de un sistema deben abarcar un espacio definitivo de Hilbert positivo. Esto significa
que debe existir una serie de relaciones satisfechas por los Estados externos que
desacoplar un número de estados dejando con un espacio positivo definido Hilbert. In
para encontrar estas relaciones reescribimos el estado en Eq. (87) volver a la
Variables de Koba-Nielsen:
p(1,M) =
(zi − zi+1)]
(zi − zi+1)α0−1×
× V (1, p1)V (z2, p2). ... V (zM−1, pM−1).......................................................................................................................................................................................................................................................
Consideremos el operador U(α) que genera la transformación proyectiva
que deja los puntos z = 0, 1 invariante:
1− α(z − 1) = z + α(z)
2 − z) + o(α2) (93)
De las propiedades de transformación de los operadores de vértice en Eq. (76)
es fácil ver que la transformación anterior deja el estado en Eq. (92)
invariante:
20 Paolo Di Vecchia
U(α)p(1,M) = p(1,M) (94)
Esto significa que el generador de la transformación previa aniquila el
estado en Eq. (92):
W1p(1,M) = 0; W1 = L1 − L0 (95)
La forma explícita de W1 se deriva de la forma infinitesimal de la transformación-
ciones en Eq. (93). Esta condición que es del mismo tipo de relaciones que
sobre las amplitudes de caparazón con la emisión de fotones satisfacen como consecuencia de
la invarianza del calibre, implica que el residuo en el polo en Eq. (90) puede ser fac-
Torizado con un número menor de estados. Sin embargo, resulta que un
El análisis del espectro muestra que los estados de norma negativos todavía están presentes.
Esto se puede entender cualitativamente de la siguiente manera. Debido a la métrica de Lorentz
tenemos un componente de norma negativo para cada oscilador. Para poder
para desacoplar todos los estados de la norma negativa necesitamos tener una condición de calibre de
el tipo como en Eq. (95) para cada oscilador. Pero el número de osciladores es
infinito y, por lo tanto, necesitamos un número infinito de condiciones del tipo
como en Eq. (95). Fue encontrado en Ref. [6] que, si tomamos α0 = 1, entonces uno puede
construir fácilmente un número infinito de operadores que salen del estado en Eq.
(92) invariante. En la siguiente sección nos concentraremos en este caso.
4 El caso α0 = 1
Si tomamos α0 = 1 muchas de las fórmulas dadas en la sección anterior simplificar.
La amplitud del punto N en Eq. 38) pasa a ser:
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
(zi − zj)2α
′pi·pj (96)
que pueden ser reescritos en el formalismo del operador como sigue:
(2l)4l(
pi)BN =
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
0, 0
V (zi, pi)
Al elegir z1 = فارسى, z2 = 1 y zN = 0 se convierte en
(2l)4l(
pi)BN =
(zi − zi+1)0, p1
V (zi; pi)0, pN (98)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 21
donde
V (zN; pN ) 0, 0 0; pN ; 0; 0 lim
z21V (z1; p1) = 0, p1 (99)
Eq. (81) es como antes, pero ahora el propagador se convierte en:
dxxL0−2 =
L0 − 1
(100)
Esto significa que Eq. (89) pasa a ser:
, P D, P =, P 1
L0 − 1
, P (101)
y Eq. (90) tiene la forma más sencilla:
P(1,M), P, P
R − α(s)
, P, P p(M+1,N)® (102)
BN tiene un polo en el canal (1,M) cuando α(s) es igual a un entero n ≥ 0 y
los estados que contribuyen a su residuo son los que satisfacen la relación:
R = n (103)
Su número da la degeneración de los estados que contribuyen al polo en
α(s) = n. La amplitud de N -point se puede escribir como:
BN = P(1,M)Dp(M+1,N)® (104)
donde
p(1,M) =
∫ M−1
[dzil(zi − zi+1)]×
× V (1, p1)V (z2, p2). .. V (zM−1, pM−10, pM • (105)
Usando Eq. (79) y variables cambiantes de zi, i = 2... M−1 a xi = zi+1zi, i =
1...M − 2 con z1 = 1 podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:
p(1,M) = V (1, p1)DV (1, p2)..DV (1, pM−1)0, pM (106)
donde el propagador D se define en Eq. (100).
Ahora queremos demostrar que el estado en Eq.s (105) y (106) no es sólo
aniquilado por el operador en Eq. (95), pero, si α0 = 1 [6], por un conjunto infinito
de los operadores cuyo más bajo es el de Eq. (95). Vamos a derivar esto por
utilizando el formalismo desarrollado en Ref. [26] y seguiremos de cerca sus
derivación.
A partir de Eq.s (70) Fubini y Veneziano se dieron cuenta de que los generadores
del grupo proyectivo que actúa en función de z están dadas por:
22 Paolo Di Vecchia
L0 = −z
; L−1 = −
; L1 = −z2
(107)
Generalizaron los generadores anteriores a un transfor conformal arbitrario.
• la introducción de los siguientes operadores, llamados operadores de Virasoro:
Ln = −zn+1
(108)
que satisfagan el álgebra:
[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m (109)
que no contiene el término con la carga central! También mostraron que
los operadores de Virasoro satisfacen las siguientes relaciones de conmutación con el
operador de vértice:
[Ln, V (z, p)] =
zn+1V (z, p)
(110)
Más en general, en realidad definen un operador Lf que corresponde a un
función arbitraria f(+) y Lf = Ln si elegimos f(+) =
n. En este caso la
relación de conmutación en Eq. (110) se convierte en:
[Lf, V (z, p)] =
(zf(z)V (z, p)) (111)
Al introducir la variable:
* f..............................................................................................................................................................................................................................................................
(112)
donde A es una constante arbitraria, se puede reescribir Eq. (111) en lo siguiente:
forma:
[Lf, zf(z)V (z, p)] =
(zf(z)V (z, p)) (113)
Esto implica que, bajo una transformación conformal arbitraria z → f(z),
generado por U = eαLf, el operador de vértice se transforma como:
eαLfV (z, p) zf(z) eLf = V (z′, p)z′f(z′) (114)
donde el parámetro α es dado por:
* f..............................................................................................................................................................................................................................................................
(115)
Por otro lado, esta ecuación implica:
zf(z)
z′f(z′)
(116)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 23
que, insertado en Eq. (114), implica que la cantidad V (z, p) dz se deja invariante
por la transformación z → f(z):
eαLfV (z, p)dze®Lf = V (z′, p)dz′ (117)
Actuamos ahora con la anterior transformación conformal sobre el estado en
Eq. (105). Tenemos:
eαLf p(1,M) =
eαLfV (1, p1)eαLf×
×eαLfV (z2, p2)e•Lf..... eαLfV (zM−1, pM−1)e•Lf eαLf 0, pM =
*(zi − zi+1)× eαLfV (1, p1)e*Lf×
× V (z′2, p2)dz′2. .. V (z′M−1, pM−1)dz′M−1eαLf 0, pM (118)
donde hemos usado Eq. (117). La transformación anterior deja el estado
invariante si z = 0 y z = 1 son puntos fijos de la transfor-
Mation. Esto sucede si el denominador en Eq. (115) desaparece cuando = 0, 1.
Esto requiere las siguientes condiciones:
f(1) = 0 ; lim
(+) = 0 (119)
Expandiendo cerca del poinr = 1 podemos determinar la relación entre z
y z′ cerca de z = z′ = 1. Tenemos:
zeóf
1− z + zeáf ′(1)
(120)
y a partir de ella podemos determinar el factor de conformación:
(1 − z + zeáf ′(1))2
→ eαf
′(1) (121)
en el límite z → 1. Procediendo en la misma cerca del punto z = z′ = 0 obtenemos:
zf(0)eαf(0)
f(0) + zf ′(0)(1− eαf(0)
→ zeαf(0) (122)
en el límite z → 0. Esto significa que Eq. (118) se convierte en
eα(Lf−f
′(1)−f(0))p(1,M)® = p(1,M)® (123)
Una elección de f que satisface Eq.s (119) es la siguiente:
24 Paolo Di Vecchia
f() = n − 1 (124)
que proporciona el siguiente operador de gálibo:
Wn = Ln − L0 − (n− 1) (125)
que aniquila el estado en Eq. (105):
Wnp1...M = 0 ; n = 1.... (126)
Estas son las condiciones de Virasoro que se encuentran en Ref. [6]. Hay una condición para
cada oscilador de norma negativa y, por lo tanto, en este caso existe la posibilidad
que el subespacio físico es positivo definido. Una alternativa más directa
derivación de Eq. (126) se puede obtener actuando con Wn en el estado en Eq.
(106) y utilizando las siguientes identidades:
WnV (1, p) = V (1, p)(Wn + n) ; (Wn + n)D = [L0 + n− 1]−1Wn (127)
La segunda ecuación es una consecuencia de la siguiente ecuación:
L0 = xL0+nLn (128)
Eq.s (127) implican
WnV (1, p)D = V (1, p)[L0 + n− 1]−1Wn (129)
Esto muestra que el operador Wn no cambia a través de todo el producto
de los términos V D hasta que llega delante del término V (1, pM−1)0, pM. Me voy.
a través del operador de vértice se convierte en Ln − L0 + 1 que luego aniquila el
estado
(Ln − L0 + 1)pM, 0â = 0 (130)
Esto prueba Eq. (126).
Utilizando la representación de los operadores de Virasoro dada en Eq. (108) Fu-
bini y Veneziano mostraron que satisfacen el álgebra dada en eq. (109)
sin la carga central. Se reconoció la presencia de la carga central
por Joe Weis10 en 1970 y nunca publicado. A diferencia de Fubini y Veneziano [26]
Utilizó la expresión de los operadores Ln en términos de los osciladores armónicos:
2 + np · an +
m(n+m)an+m · am+
m(n−m)am−n · am;n ≥ 0 Ln = L†n (131)
10 Véase añadido como prueba en Ref. [26].
El nacimiento de la teoría de cuerdas 25
Obtuvo el siguiente álgebra:
[Ln, Lm] = (n-m)Ln+m +
n(n2 − 1)•n+m;0 (132)
donde d es la dimensión del espacio-tiempo de Minkowski. Escribimos aquí d para el
dimensión del espacio de Minkowski, pero queremos recordarles que casi
Todo el mundo trabajando en un modelo para mesons en ese momento dio por sentado que
la dimensión del espacio-tiempo fue d = 4. Por lo que recuerdo, la primera
papel donde se introdujo una dimensión d 6= 4 fue Ref. [27] donde estaba
muestra que la unidad violando cortes en el bucle no-planar se convierten en polos
que fueran consistentes con la unitariedad si d = 26.
En la última parte de esta sección generalizaremos el procedimiento de factorización
al modelo Shapiro-Virasoro cuya amplitud de punto N se da en Eq. (49).
En este caso debemos introducir dos conjuntos de osciladores armónicos que se desplazan
con el otro y sólo un conjunto de modos cero que satisfagan el álgebra [28]:
[anμ, a
mν ] = [ãnμ, ã
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
En términos de ellos podemos presentar el operador Fubini-Veneziano
Q(z, z̄) = qâ − 2â € € log(zz̄) + i
− n − a†nzn
ãnz̄
− n − nz̄n
(134)
A continuación, podemos introducir el operador de vértice:
V (z, z̄; p) =: eip·Q(z,z̄) : (135)
y escribir la amplitud de N -punto en Eq. (95) en la siguiente forma factorizada:
i=1 d
dVabc
V (zi, z̄i, pi))
0 =
= (2l)4l(4)(
i=1 d
dVabc
zi − zj
′pi·pj (136)
donde el producto ordenado radial es dado por
V (zi, z̄i, pi))
V (zi, z̄i, pi))
(zi − zi+1) +. (137)
26 Paolo Di Vecchia
y los puntos indican una suma sobre todas las permutaciones de los operadores de vértice.
Fijando z1 = فارسى, z2 = 1, zN = 0 podemos reescribir la expresión anterior
de la siguiente manera:
∫ N−1
d2zi+0, p1R
V (zi, z̄i, pi))
0, pN® (138)
Por el bien de la simplicidad consideremos el término correspondiente a la per-
mutación 1, 2,... N. En este caso las variables Koba-Nielsen se ordenan en
tal manera que zi ≥ zi+1 para i = 1,...N −1. Entonces podemos usar la fórmula:
V (zi, z̄i, pi) = z
L01
i V (1, 1, pi)z
i (139)
y variables de cambio:
; wi ≤ 1 (140)
para reescribir Eq. (138) según se indica:
0, p1V (1, 1, pi1)DV (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pN−1)0, pN (141)
donde
wL0−1w̄Lœ0−1 =
L0 + Lœ0 − 2
· sinl(L0 − L0)
L0 − Lœ0
(142)
Ahora podemos seguir el mismo procedimiento para todas las permutaciones que llegan a la
expresión siguiente:
•0, p1P [V (1, 1, p2)DV (1, 1, p3)D.... V (1, 1, pN−1)]0, pN® (143)
donde P significa una suma de todas las permutaciones de las partículas.
Si queremos considerar la factorización de la amplitud en el polo en
s = −(p1 +. .. pM )2 sólo obtenemos la siguiente contribución:
P(1...M)Dp(M+1...N) (144)
donde
p(M+1...N) = P [V (1, 1, pM+1)D.... V (1, 1, pN−1]0, pN (145)
[V (1, 1, p2)D.... V (1, 1, pM)] (146]
La amplitud se factoriza mediante la introducción de un conjunto completo de estados y
ing Eq. (141) según se indica:
El nacimiento de la teoría de cuerdas 27
# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #
2, L0, Lœ0,
L0 + Lœ0 − 2
, p(M+1,...N) (147)
Por escrito
p+2 +R; L0 =
pâ € 2 + Rс (148)
na†n · an ; R =
nn · ãn (149)
Podemos reescribir Eq. (147) de la siguiente manera:
# P1... # # M # #, # # # # M # #, # # # # # M # #, # # # # M # #, # # # P1 # # M # #
2, R, R,
R + R α(s)
, p(M+1,...N)® (150)
Vemos que la amplitud para el modelo Shapiro-Virasoro tiene polos simples
sólo para valores enteros pares de αSV (s) = 2 +
s = 2n ≥ 0 y el residuo en
los polos factorizan en una suma con un número finito de términos. Nótese que el
Trayectoria Regge del modelo Shapiro-Virasoro tiene doble intercepción y mitad
pendiente de la del modelo Veneziano generalizado.
5 Estados físicos y sus operadores de vértice
En la sección anterior, hemos visto que el residuo en los polos de la N -
las amplitudes de punto factorizan en una suma de un número finito de términos. También lo hemos hecho.
visto que algunos de estos términos, debido a la métrica de Lorentz, corresponden a los estados
con norma negativa. También hemos derivado una serie de “identidades Ward” dadas
en Eq. (126) que implican que algunos de los términos del residuo se disocian. Los
pregunta a ser respondida ahora es: ¿Es el espacio extendido por los estados físicos
¿Una norma positiva, el espacio de Hilbert? Para responder a esta pregunta necesitamos primero
para encontrar las condiciones que caracterizan a los estados físicos de la concha en, P
y luego determinar cuáles son los estados que contribuyen al residuo
del polo en α(s = −P 2) = n. En otras palabras, tenemos que encontrar una manera de
la caracterización de los estados físicos y la eliminación de los estados espurios que
desacoplamiento en Eq. (102) como consecuencia de Eq.s (126). Un estado.P contribuye
en el residuo del polo en Eq.(102) para α(s = −P 2) = n si está en la cáscara,
a saber, si satisface las siguientes ecuaciones:
R, P® = n, P® ; α(−P2) = 1− P2 = n (151)
que se puede escribir en una ecuación única:
28 Paolo Di Vecchia
(L0 − 1), P = 0 (152)
Por Eq. (126) también sabemos que un estado del tipo:
s, P = W †m, P (153)
no va a contribuir al residuo del polo. Lo llamamos espurio o
unphysical state. Empezamos a construir el subespacio de estados espurios que
están en la cáscara en el nivel n. Consideremos el conjunto de estados ortogonales, P
de tal manera que
R, P® = n, P® ; L0, P® = (1-m), P® ; 1− P2 = n (154)
donde
m = n+ nμ (155)
En términos de estos estados podemos construir el estado espurio más general que
está en caparazón en el nivel n. Es dado por
s, = W †m, ; (L0 − 1)s, = 0 (156)
por cualquier entero positivo m. Usando Eq. (154), eq. (156) se convierte en:
s, P â € = L†m, P â € (157)
donde, P es un estado arbitrario que satisface Eq.s (154).
Un estado físico, P se define como el que es ortogonal a todos los espui-
Estados que aparecen en un cierto nivel n. Esto significa que debe satisfacer la
ecuación siguiente:
.P L†l, P = 0 (158)
para cualquier estado, P satisfacer Eq.s (154). En conclusión, la
los estados en el nivel n se caracterizan por el hecho de que satisfacen lo siguiente
condiciones:
P = (L0 − 1), P = 0; 1− P 2 = n (159)
Estas condiciones que caracterizan el subespacio físico fueron encontradas por primera vez por Del
Giudice y Di Vecchia [28] donde se realizó el análisis descrito aquí.
Para encontrar el subespacio físico uno comienza a escribir el más general
en estado de caparazón que contribuye al residuo del polo en el nivel n en Eq. (154).
Luego se impone Eq.s (159) y determina los estados que abarcan el
subespacial. En realidad, entre estos estados se encuentra también un conjunto de estados de cero normas
que son físicos y espurios al mismo tiempo. Esos estados son de la forma
se administra en Eq. (157), pero también satisfacer Eq.s (159). Es fácil ver que son
no realmente físico porque no están contribuyendo al residuo del polo
El nacimiento de la teoría de cuerdas 29
en el nivel n. Esto se deriva de la forma del operador de la unidad que figura en el
espacio de los estados físicos por:
norma 6=0
, P, P
[0, P 0, P 0, P 0, P ] (160)
donde 0, P ® es una norma cero estado físico y espurio y 0, P ® su con-
Estado de la jugata. Un estado conjugado de un estado de norma cero se obtiene cambiando
el signo de los osciladores con dirección temporal. Desde 0, P es un espurio
indicar cuando insertamos el operador de la unidad, dado en Eq. (160), en Eq. (102)
ver que los estados de la norma cero nunca contribuyen al residuo porque su
la contribución es aniquilada ya sea del estado p(1,M) o del estado
p(M+1,N). En conclusión, el subespacio físico contiene sólo los estados en
el primer término en el r.h.s. de Eq. (160).
Analicemos los dos primeros niveles excitados. El primer nivel excitado corre...
sponds a un campo de medición sin masa. Se extiende por los estados a
10, P. In
En este caso, la única condición que debemos imponer es:
10, P = 0 = P · = 0 (161)
Elegir un marco de referencia donde el impulso del fotón es dado por
(P, 0...0, P ), Eq. (161) implica que los únicos estados físicos son:
1i 0, P (a)
1;0 − a
1;d−1)0, P ® ; i = 1... d− 2 (162)
en los que los términos «í» y «í» son parámetros arbitrarios. El estado en Eq. (162) es el más
Estado general del nivel N = 1 que cumple las condiciones de Eq. (159). Los
primer estado en eq. (162) tiene norma positiva, mientras que la segunda tiene norma cero
que es ortogonal a todos los demás estados físicos, ya que puede ser escrito como sigue:
1;0 − a
1;D−1)0, P = L
10, P® (163)
en el marco de referencia en el que Pμ Ł (P,...0, P ). Debido a la anterior
propiedad se desvincula de los estados físicos junto con su conjugado:
1,0 + a
1,d−1)0, P â € (164)
En conclusión, sólo nos quedamos con los estados transversales d− 2 correspondientes
a los grados físicos de libertad de un estado de spin 1 sin masa. En el siguiente nivel
n = 2 el estado más general es dado por:
[a
1 / + β
2,μ]0, P (165)
Si trabajamos en el centro del marco de masa donde Pμ = (M,0) obtenemos lo siguiente
estado físico más general:
Phys > = αij [a†1,ia
1,j −
d - 1)
1,k]0, P
30 Paolo Di Vecchia
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2,i + a
1,i]0, P
1,i +
1,0 − 2a
0, P (166)
donde los índices i, j corren sobre los componentes de d− 1 espacio. El primer término en
(166) corresponde a un giro 2 en (d− 1) espacio dimensional y tiene un positivo
norma hecha con índices espaciales. El segundo término tiene cero norma y es
ortogonal a los otros estados físicos ya que se puede escribir como L+1 a
1,i0, P.
Por lo tanto, debe ser eliminado del espectro físico junto con su
conjugado, como se ha explicado anteriormente. Finalmente, el último estado en (166) es spinless y
tiene una norma dada por:
2 d - 1 (26 - d) (167)
Si d < 26 corresponde a una partícula física de giro cero con norma positiva. Si
d > 26 es un fantasma. Finalmente, si d = 26 tiene una norma cero y también es ortogonal
a los otros estados físicos ya que puede ser escrito en la forma:
2 + 3L
1 )0 > (168)
No pertenece, por lo tanto, al espectro físico. El análisis de esto
nivel se hizo en Ref. [29] con d = 4. Esto no permitió a los autores de
Ref. [29] para ver que había una dimensión crítica.
El análisis de los estados físicos se puede extender fácilmente [28] a la
Modelo Shapiro-Virasoro. En este caso, las condiciones físicas dadas en Eq. (159)
para la cadena abierta, conviértase en [28]:
Lm, = Lm, = (L0 − 1), = (Lū0 − 1), = 0 (169)
para cualquier entero positivo m. Se puede ver fácilmente de las ecuaciones anteriores
que el estado más bajo del modelo Shapiro-Virasoro es el vacío
correspondiente a un taquión con masa p2 = 4, mientras que el siguiente nivel descrito
por el Estado a
1 / 0a, 0ã, p® contiene los estados sin masa correspondientes a la
gravitón, un dilaton y un tensor antisimétrico de dos índices.
Habiendo caracterizado el subespacio físico uno puede seguir adelante y construir
a Amplitud de dispersión N - punto que implica estados físicos arbitrarios. Esto fue
hecho por Campagna, Fubini, Napolitano y Sciuto [30] donde el vértice oper-
ator para un estado físico arbitrario fue construido en analogía con lo que ha
hecho para el estado taquiónico del suelo. Se asociaron a cada físico
un operador de vértice Vα(z, P ) que es un campo conformal con conformal
dimensión igual a 1:
[Ln, Vα(z, p)] =
zn+1Vα(z, p)
(170)
y reproduce el estado correspondiente actuando sobre el vacío como sigue:
Vα(z; p)0, 0 ; ; 0; 0 lim
z2Vα(z; p) =, p (171)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 31
Satisface, además, la relación de hermiticidad:
V (z, P ) = Vα(
,−P )−1)α(−P
2) (172)
Un vértice emocionado que jugará un papel importante en la siguiente sección es el
uno asociado al campo de gálibo sin masa. Está dada por:
(z, k) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ()) () () () () ()) () () () () () ()) () () () ()) () () () () ()) () () ()) () () ()) ()) () ()) () ()) () ()) ()) ()) ()) () () () ()) () () ()) () () ()) () () () () ) () () () () () () () ) () () () () () ) () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () ) () () () () () () () () ) () () () () () ) ) () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) ) ) () ) ) () () () () () () () () () () () () () () () ) () () () ) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ) ) ) ) )
dQ(z)
eik·Q(z) ; k · = k2 = 0 (173)
Debido a las dos últimas condiciones en Eq. (173) el orden normal no es necesario
Sary. Es conveniente dar la expresión de
dQ(z)
en términos del armónico
osciladores:
P z) dQ z)
−n−1 (174)
Es un campo conformal con dimensión conformal igual a 1. Reescalado
Los osciladores αn son dados por:
nan ; n =
na†n ; n > 0; α0 =
2"p" (175)
En términos de los operadores de vértice introducidos anteriormente el más general
La amplitud que implica estados físicos arbitrarios está dada por [30]:
(2l)4l(
1 dzio (zi − zi+1)
dVabc
0, 0
Vαi(zi, pi)0, 0(176)
En el caso del modelo Shapiro-Virasoro, el operador de vértice taquión es
se administra en Eq. (135). Reescribiendo Eq. (134) según se indica:
Q(z, z̄) = Q(z) + Q(z̄) (177)
donde
Q(z) =
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
− n − a†nzn
(178)
Q?(z̄) =
qâ − 2â € € log(z̄) + i
ãnz̄
− n − nz̄n
(179)
Podemos escribir el operador de vértice taquión de la siguiente manera:
V (z, z̄, p) =: eip·Q(z)eip·Qû(z̄) : (180)
32 Paolo Di Vecchia
Esto muestra que el operador de vértice correspondiente al taquión de la
Shapiro-Virasoro modelo se puede escribir como el producto de dos oper de vértice-
ators correspondientes cada uno al taquión del modelo Veneziano generalizado.
Analógicamente el operador del vértice correspondiente a un físico arbitrario
el estado del modelo Shapiro-Virasoro se puede escribir siempre como un producto de
dos operadores vértices del modelo Veneziano generalizado:
Vα,β(z, z̄, p) = Vα(z,
)Vβ(z̄,
) (181)
El primero contiene sólo los osciladores αn, mientras que el segundo sólo el
osciladores n. Ambos contienen sólo la mitad del impulso total p y
los mismos modos cero pÃ3r y qÃ3r. Los dos operadores vértices de la
El modelo Veneziano son ambos campos conformales con dimensión conformal igual
a 1. Si corresponden a estados físicos en el nivel 2n, satisfacen la
siguiente relación (n = ñ):
+ n = 1 (182)
Se encuentran en la siguiente trayectoria de Regge:
αSV (−p2) = 2n (183)
como ya hemos visto al factorizar la amplitud en Eq. (150).
6 Los estados del DDF y la ausencia de fantasmas
En la sección anterior hemos derivado las ecuaciones que caracterizan la
los estados físicos y sus correspondientes operadores vértices. En esta sección
construirá explícitamente un número infinito de estados físicos ortonormales con
norma positiva.
El punto de partida es el operador DDF introducido por Del Giudice, Di Vec-
chía y Fubini [31] y definido en términos del operador vértice correspondiente
al campo de gálibo sin masa introducido en eq. (173):
Ai,n =
i Pμ(z)e
ik·Q(z) (184)
donde el índice i corre sobre las direcciones transversales d−2, que son ortogonales
al impulso k. También hemos tomado
= 1. Debido al término de registro z
aparece en el modo cero parte de la exponencial, la integral en Eq. (184),
que se realiza alrededor del origen z = 0, está bien definido sólo si limitamos
el impulso del Estado, sobre el cual Ai,n actúa, para satisfacer la relación:
2°p · k = n (185)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 33
donde n es un entero que no desaparece.
El operador en Eq. (184) generará estados físicos porque com-
mutes con los operadores del gálibo Lm:
[Lm, An;i] = 0 (186)
ya que el operador de vértice se transforma como un campo primario con dimensiones conforma-
sión igual a 1 como sigue de Eq. (170).
Por otro lado también satisface el álgebra del oscilador armónico
como vamos a mostrar ahora. De Eq. (184) obtenemos:
[An,i, Am,j] = −
P (z)eik·Q(l)j · P (l)eik
′ ·Q() (187)
donde
2°p · k = n ; 2°p · k′ = m (188)
y k y k′ se supone que están en la misma dirección, a saber:
kμ = nk ; k
μ = mk (189)
2o p · k = 1 (190)
Finalmente las polarizaciones se normalizan como:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Dado que una singularidad para z = • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
la contracción de los dos términos P () y P () que es dada por:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, = −
2ij
(z − فارسى)2
(192)
Insertándolo en Eq. (187) obtenemos:
[An,i, Am,j] =
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
= inl-j-j-n+m;0
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
donde hemos utilizado el hecho de que el integrand es una derivada total y
Por lo tanto, se obtiene una contribución de desaparición a menos que n + m = 0. Si n + m = 0
de Eq.s (174) y (190) obtenemos:
[An,i, Am,j] = njejn+m;0; i, j = 1... d2 (194)
34 Paolo Di Vecchia
Eq. (194) muestra que los operadores DDF satisfacen el oscilador armónico alge-
En términos de este conjunto infinito de osciladores transversales podemos construir un
Conjunto ortonormal de estados:
i1, N1; i2, N2;. .. im, Nm® =
Aik,-Nk
0, p (195)
en el que h es la multiplicidad del operador Aih,−Nh en el producto en Eq.
(195) y el impulso del estado en Eq. (195) es dada por
P = p+
kâ € ni (196)
Se construyeron en cuatro dimensiones donde no eran una completa
sistema de los Estados 11 y tomó algún tiempo para darse cuenta de que en realidad eran un
sistema completo de estados si d = 26 [32, 33] 12. Brower [32] y Goddard y
Thorn [33] mostró también que el modelo de resonancia dual era libre de fantasmas para cualquier
dimensión d ≤ 26. En d = 26, esto se debe al hecho de que los operadores de DDF
obviamente abarcan un espacio positivo definido Hilbert (Vea Eq. (194)). Para d < 26
hay estados adicionales llamados estados Brower [32]. El primero de estos estados es
el último estado en Eq. (166) que se convierte en un estado de norma cero para d = 26. Pero
También para d < 26 no hay estado de norma negativo entre los estados físicos.
La prueba del teorema sin fantasma en el caso α0 = 1 es muy importante
paso porque muestra que el modelo de resonancia dual construido generalizando
la fórmula Veneziano de cuatro puntos, es un cuántico-relativista plenamente consistente
¡Teoría! Esto no es del todo cierto porque, cuando la intercepción α0 = 1, el más bajo
estado del espectro correspondiente al polo en la amplitud de punto N para
α(s) = 0, es un taquión con masa m2 = − 1
. Entonces se hizo mucho esfuerzo.
construir un modelo sin taquión y con un espectro meson consistente
con los datos experimentales. Los únicos modelos razonablemente consistentes que vinieron
fuera de estos intentos, fueron los Neveu-Schwarz [7] para los mesones y el
Modelo Ramond [8] para los fermiones que sólo más tarde fueron reconocidos como parte de un
modelo único que hoy en día se llama el modelo Neveu-Schwarz-Ramond. Pero
este modelo no era realmente más consistente que la resonancia dual original
11 Debido a esto Fubini no quería publicar nuestro resultado, pero luego fue a un
Reunión en Israel en la primavera de 1971 dando un discurso sobre nuestro trabajo donde encontró que
el público estaba muy interesado en nuestro resultado y cuando volvió al MIT nosotros
decidió publicar nuestro resultado.
12 Todavía recuerdo a Charles Thorn, que vino a mi oficina en Cern y me dijo:
Paolo, ¿sabes que tus estados de DDF están completos si d = 26? Rápidamente reedito.
el análisis realizado en Ref. [29] con un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo
obtener Eq.s (166) y (167) que muestran que el estado sin spin a nivel
α(s) = 2 se desacopla si d = 26. Lamenté mucho no haber utilizado un método arbitrario.
dimensión espacio-tiempo d en el análisis de Ref. [29].
El nacimiento de la teoría de cuerdas 35
modelo porque todavía tenía un taquión con masa m2 = − 1
. El taquión
fue eliminado del espectro sólo en 1976 a través de la proyección GSO
propuesta por Gliozzi, Scherk y Olive [34].
Habiendo comprendido que, al menos por el valor crítico de la dimensión espacio-tiempo,
sión d = 26, los estados físicos son descritos por los estados DDF que tienen solamente
d− 2 = 24 componentes independientes, abrir el camino a Brink y Nielsen [35]
calcular el valor α0 = 1 de la trayectoria Regge con un ar muy físico
Gument. Relacionaron la interceptación de la trayectoria de Regge con el punto cero
energía de un sistema con un número infinito de osciladores que sólo d − 2
componentes independientes:
α0 = −
n (197)
Esta cantidad es obviamente infinita y, para darle sentido,
un corte en las frecuencias de los osciladores armónicos que obtienen un
término infinito que eliminaron al renormalizar la velocidad de la luz y un
término constante universal finito que dio la intercepción de la trayectoria Regge.
En lugar de seguir su enfoque original discutimos aquí una alternativa ap-
proach debido a Gliozzi [36] que utiliza la regularización de la función de. Él reescribe
Eq. (197) como sigue:
α0 = −
n = −
n−s = −
R(−1) = 1 (198)
donde en la última ecuación que hemos utilizado la identidad R(−1) = − 112 y nosotros
han puesto d = 26. Desde el modelo Shapiro-Virasoro tiene dos conjuntos de trans-
osciladores armónicos verso es obvio que su interceptación es el doble de la de la
Modelo Veneziano generalizado.
Usando las reglas discutidas en la sección anterior podemos construir el
operador de vértice correspondiente al estado en Eq. (195). Está dada por:
V(i;Ni)(z, P ) =
P (zi)eiNikQ(zi) : eip·Q(z) : (199)
donde la integral en la variable zi se evalúa a lo largo de una curva del complejo
plano zi que contiene el punto z. La singularidad del integrand para zi = z es
un poste siempre que se cumpla la siguiente condición.
2o p · k = 1 (200)
El último vértice en Eq. (199) es el operador de vértice correspondiente al suelo
estado taquiónico dado en Eq. (59) con â € p2 = 1.
Usando la forma general del vértice uno puede calcular los tres puntos
amplitud que involucra a tres operadores vértices DDF arbitrarios. Este cálculo
36 Paolo Di Vecchia
se ha realizado en Ref. [37] y dado que los operadores del vértice son conformes
campos con dimensión igual a 1 uno obtiene:
0, 0V
(z1, P1)V(i(2)
(z2, P2)V(i(3)
(z3, P3)0, 0 =
(z1 − z2)(z1 − z3)(z2 − z3)
(201)
cuando la forma explícita del coeficiente C123 esté dada por:
C123 = 1 + 0, 0 + 2 + 0, 0 + 3 + 0 e
r.s=1
n,m=1
−n;iN
−m;i+
−n;i×
× e..................................................................................
(2r−1)N (1)k1, i
1 N (2)k2, i
â € ¢ 2N (3)k3, i
•3 (202)
donde
N rsnm = −N rnNsm
nmα1α2α3
nαs +mαr
; N rn =
(−nαr+1
αrn!• (1− nαr+1αr − n)
(203)
Π = Pr+1αr − Prαr+1 ; r = 1, 2, 3 (204)
Π es independiente del valor de r elegido como consecuencia de las ecuaciones:
Pr = 0 (205)
7 El límite de pendiente cero
En la introducción hemos visto que el modelo de resonancia dual ha sido
construido utilizando reglas que son diferentes de las utilizadas en la teoría de campo.
Por ejemplo, hemos visto que la dualidad planar implica que la amplitud
correspondiente a un determinado diagrama de dualidad, contiene polos tanto en s como en t
canales, mientras que la amplitud correspondiente a un diagrama de Feynman en el campo
La teoría contiene sólo un polo en uno de los dos canales. Por otra parte, el
la amplitud de dispersión en el modelo de resonancia dual contiene un número infinito
de resonancia afirma que, a alta energía, promedio hacia fuera para dar Regge comportamiento.
También esta propiedad no se observa en la teoría de campo. La cuestión que se plantea es la siguiente:
natural para preguntar, era entonces: ¿hay alguna relación entre la resonancia dual
¿modelo y teoría de campo? Resultó, para sorpresa de muchos, que el doble
modelo de resonancia no estaba en contradicción con la teoría de campo, sino que fue
una extensión de un cierto número de teorías de campo. Veremos que el límite en
El nacimiento de la teoría de cuerdas 37
que una teoría de campo se obtiene del modelo de resonancia dual corresponde
a tomar la pendiente de la trayectoria de Regge a cero.
Consideremos la amplitud de dispersión de cuatro partículas del estado del suelo en
Eq. (1) que reescribimos aquí con el factor de normalización correcto:
A(s, t, u) = C0N
0 (A(s, t) +A(s, u) +A(t, u)) (206)
donde
2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
4 (207)
es el factor de normalización correcto para cada pierna externa, g es el dimensional
constante de acoplamiento de cadena abierta que hemos ignorado constantemente en el anterior
las secciones C0 y C0 están determinadas por la siguiente relación:
′ = 1 (208)
que se obtiene requiriendo la factorización de la amplitud en el polo
correspondiente a la partícula del estado del suelo cuya masa se da en Eq. (21).
Usando Eq. (21) con el fin de reescribir la interceptación de la trayectoria Regge en
términos de la masa de la partícula del estado del suelo m2 y la siguiente relación
satisfecho por la función de:
* (1 + z) = z (z) (209)
podemos realizar fácilmente el límite para > → 0 de A(s, t) obteniendo:
A(s, t) =
m2 − s
m2 − s
(210)
Realizando el mismo límite en las otras dos amplitudes planas obtenemos el
después de la expresión para la amplitud total en Eq. (206):
A(s, t, u) =
2g(2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
()2
m2 − s
m2 − s
m2 − u
(211)
Introduciendo la constante de acoplamiento:
g3 = 4g(2α
4 (212)
Eq. (211) pasa a ser
A(s, t, u) = g23
m2 − s
m2 − s
m2 − u
(213)
que es igual a la suma de los diagramas del árbol para la dispersión de cuatro partículas
con masa m de la teoría Φ3 con constante de acoplamiento igual a g3. Hemos mostrado
que, manteniendo g3 fijado en el límite α
′ → 0, la amplitud de dispersión de cuatro
38 Paolo Di Vecchia
partículas del estado del suelo del modelo de resonancia dual es igual a los diagramas del árbol
de la teoría Φ3. Esta prueba se puede extender a la dispersión de N estado del suelo
partículas que se recuperan también en este caso los diagramas arbóreos de la teoría Φ3. También lo es.
válida para diagramas de bucles que discutiremos en la siguiente sección. En conclusión,
el modelo de resonancia dual se reduce en el límite de pendiente cero a la teoría Φ3. Los
prueba de que hemos presentado aquí se debe a J. Scherk [38] 13
Un caso más interesante para estudiar es el que tiene intercepción α0 = 1. Lo haremos.
ver que, en este caso, se obtendrán los diagramas de los árboles de Yang-Mills teoría,
como lo muestran Neveu y Scherk [40] 14.
Consideremos la amplitud de tres puntos que involucra tres medidores sin masa
partículas descritas por el operador de vértice en Eq. (173). Se da por la suma
de dos diagramas planos. El primero que corresponde a la orden (123) es
dado por:
3Tr (a1a2a3)
0, 0, 0, 1(z1, p1)V2(z2, p2)V3(z3, p3)0, 0
[(z1 − z2)(z2 − z3)(z1 − z3)]−1
(214)
Usando la conservación del impulso p1+ p2+ p3 = 0 y las condiciones de la carcasa de masa
p2i = pi · i = 0 se puede reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:
0Tr(l
a1oa2oa3)
× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (215)
La segunda contribución proviene del pedido 132 que se puede obtener
de la anterior por la sustitución
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Resumiendo las dos contribuciones que se obtiene
oTr(l)
a1 [.a2,.a3 ])
× [(+1 · +2)(p1 · +3) + (+1 · +3)(p3 · +2) + (+2 · +3)(p2 · +1)] (217)
El factor
N0 = 2g(2α
′(d−2)/4 (218)
es el factor de normalización correcto para cada operador de vértice si normalizamos
los generadores del grupo Chan-Paton, según se indica:
Łij (219)
13 Véase también Ref. [39].
14 Véase también Ref. [41].
El nacimiento de la teoría de cuerdas 39
Se relaciona con C0 a través de la relación
′ = 2 (220)
g es la constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional. Nótese que Eq.s (218)
y (220) difieren de Eq.s (207) y (208) debido a la presencia de la
Chan-Paton factores que no incluimos en el caso de la teoría Φ3.
Usando las relaciones de conmutación:
[e, eb] = ifabclc (221)
y los factores de normalización anteriores que obtenemos para la amplitud de tres gluones:
igYMf
a1a2a3 [(+1 · +2)(+p1 − p2) · +3 +
(p3 − p1) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
que es igual al vértice de 3 gluones que se obtiene de la acción Yang-Mills
LYM = −
F a ° F
a, F
= A
β − Aaα + gYMfabcAbαAcβ (223)
donde
gYM = 2g(2α
4 (224)
El procedimiento anterior se puede extender a la dispersión del hallazgo de gluones N
el mismo resultado que uno obtiene de los diagramas de los árboles de la teoría de Yang-Mills.
En la siguiente sección, vamos a discutir los diagramas de bucle. También, en este caso uno
encuentra que los diagramas de h-loop que implican N gluones externos se reproducen en el
la pendiente cero limita la suma de los diagramas de h-loop con N gluones externos de
La teoría de Yang-Mills.
Concluimos esta sección mencionando que también se puede tomar la pendiente cero
límite de una amplitud de dispersión que implica la obtención de tres y cuatro gravitones
acuerdo con lo que se obtiene del Einstein Lagrangian de la rela general-
tividad. Esto ha sido demostrado por Yoneya [43].
8 Diagramas de bucle
La amplitud N -punto construido previamente satisface todos los axiomas de S-
teoría de la matriz excepto unitariedad porque sus únicas singularidades son polos simples
correspondientes a resonancias de ancho cero yace en el eje real del Mandel-
variables estam y no contiene los diversos cortes requeridos por la unitariedad [1].
15 La determinación de los factores de normalización anteriores se puede encontrar en el
Apéndice de Ref. [42].
40 Paolo Di Vecchia
Con el fin de eliminar este problema ya se propuso en los primeros días de
la dualidad de teorías a asumir, en analogía con lo que sucede, por ejemplo, en la pertur-
la teoría de campo bative, que la amplitud de N -punto era sólo el orden más bajo (la
diagrama de árbol) de una expansión perturbadora y, con el fin de implementar unitar-
ity, era necesario incluir diagramas de bucle. Luego, los diagramas de un bucle
fueron construidos a partir del propagador y los vértices que hemos introducido
en las secciones anteriores [44]. La amplitud de un bucle plano con M externa
las partículas se calcularon a partir de una amplitud del árbol (M + 2) y
a continuación, cosiendo dos patas externas después de la inserción de un propagador
D dado en Eq. (100). De esta manera uno consigue:
(+)d/2(+)d
P, V (1, p1) DV (1, p2). V (1, pN)DP, (225)
donde la suma sobre corresponde a la traza en el espacio de la armónico os-
cillators y la integral en ddP corresponde a integrar sobre el impulso
circulando en el bucle. La expresión anterior para la amplitud de un bucle
no puede ser del todo correcto porque todos los estados del espacio generados por el oscil-
Lators en Eq. (51) están circulando en el bucle, mientras que sabemos que debemos
incluir sólo los físicos. Esto se logró primero cancelando a mano
el tiempo y uno de los componentes espaciales de los osciladores armónicos reduciendo
los grados de libertad de cada oscilador de d a d − 2 como sugiere el
Operadores de DDF al menos para d = 26. A continuación, se demostró que este procedimiento era el siguiente:
rect by Brink and Olive [45]. Construyeron el operador que proyecta sobre
los estados físicos y, al insertarlo en el bucle, mostró que la reducción
De hecho, los grados de libertad de los osciladores de d a d-2 eran correctos.
Este era, en ese momento, el único procedimiento disponible para dejar sólo el
los estados circulan en el bucle porque el procedimiento BRST fue descubierto un poco
más tarde también en el marco de las teorías de campo de calibrador!
Para ser más explícito vamos a calcular el rastro en Eq. (225) añadir también el
Factor Chan-Paton. Tenemos:
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
NTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
d/2+1
[f1(k)]
12 (2η)M×
d/M−1................................................................................................................................................
d v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
eG( vji)
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
; k e(226)
donde /JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
G( v) = log
ie
1(i )
f31 (k)
; f1(k) = k
(1 a k2n) (227)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 41
*1(i♥) = −2k1/4 sin.
1− e2ik2n
1− e−2ik2n
(1– k2n)(228)
Finalmente el factor de normalización N0 se da en Eq. (218). Hemos actuado
el cálculo de un valor arbitrario de la dimensión espacio-tiempo d. Sin embargo,
de esta manera se obtiene también el factor adicional de k
12 que aparecen en la primera línea
de Eq. (226) que implica que nuestro cálculo es en realidad sólo coherente si
d = 26. De hecho, la presencia de este factor no permite reescribir el
amplitud, obtenida originalmente en el sector Reggeon, en el sector Pomeron
como se explica a continuación. En lo siguiente descuidamos este factor adicional, implícitamente
suponiendo que d = 26, pero, por otro lado, todavía manteniendo una d arbitraria.
Usando las relaciones:
f1(k) =
tf1(q) ; 1(i iŁ) = i1(it)t1/2e
2/t (229)
donde t = 1
y q et, podemos reescribir el diagrama plano de un bucle en el
Canal Pomeron. Tenemos:
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
NTr(a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
dt[f1(q)]
2−d(2η)M×
d/M−1................................................................................................................................................
1( /jiit)
f31 (q)
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
(230)
Nótese que, al factorizar el bucle planar en el canal de Pomeron, un
structed por primera vez lo que ahora llamamos el estado de frontera [46] 16. Esto
Se puede ver fácilmente en la forma que ahora vamos a describir. En primer lugar,
note que la última cantidad en Eq. (230) puede escribirse como sigue:
•1(s)(s))(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)(s)((s)(s)(s)(s)((s)(s)((s)(s)(s)(()(s)(()(s)(s)(()(s)(s)((s)(()(()(s)(s)(s()(()(s)(s)(()(s)()(()(s)()()()()()(s()()()()()()(s()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()()()()()()()()((()()()()()()()()()()()(()()()()()()()((()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()((((((((((((((((((((()()()()()()()()()((((()()()()()()()(
f31 (q)
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
−2 sin(ji)
1 - q2ne2üi/ji
1 - q2ne - 2
(1– q2n)2
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
(231)
Esta ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera:
P = 0q2R
i=1 : e
ipi·Q(e2ii ) : p = 0
Tr (p = 0q2N p = 0)
; R =
na†n · an (232)
16 Véase también el primer artículo en Ref. [47].
42 Paolo Di Vecchia
donde el rastro se toma sólo sobre los modos distintos de cero y el impulso con-
Se ha utilizado la servación. También hay que subrayar que el orden normal de
los operadores de vértice en la ecuación anterior es tal que los modos cero son
se toman para ser ambos en el mismo exponencial en lugar de ser ordenado como en Eq.
(59). Trayendo a todos los operadores de aniquilación a la izquierda de los de la creación,
de la expresión en Eq. (232) se obtiene (zi Ł e2πiνi):
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
(−2 sinji)2α
′pi·pj×
n=1 Tr
n·ane
2° pj ·
znj e
2«pi· anl
Tr (p = 0q2N p = 0)
233)
El rastro puede calcularse utilizando la relación de integridad que implica co-
estados herentes f = efa† 0:
Ef
ff = 1 (234)
Insertar el operador de identidad anterior en Eq. (233) uno consigue después de un poco de cal-
culación:
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
(−2 sinji)2α
′pi·pj×
i.j=1
-2p·pje2inji q
n(1−q2n) (235)
Expandiendo el denominador en el último exponente y realizando la suma sobre
n uno consigue:
(v) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d) d)
(−2 sinji)2α
′pi·pj×
2+pi·pj
log(1−e2πi vji q2(m+1)) (236)
que es igual a la última línea de Eq. (231) aparte de la función de
conservación del mentum. En conclusión, hemos demostrado que Eq.s (231) y (232)
son iguales.
Usando Eq. (231) podemos reescribir Eq. (230) según se indica:
NNM0 Tr(
a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
dt[f1(q)]
2-d(2πi)M
d/M−1................................................................................................................................................
El nacimiento de la teoría de cuerdas 43
...
p = 0, q2R
i=1 : e
ipi·Q(e2ii) : p = 0,
p = 0, q2N p = 0,
(237)
donde la suma sobre cualquier estado corresponde a tomar el rastro sobre el
modos distintos de cero. Si d = 26 podemos reescribir Eq. (237) de forma más sencilla:
NNM0 Tr(
a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
8,2o, 2o, 2o, 2o, 2o, 3o, 3o, 3o, 3o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o, 4o
dt (2ηi)M
d/M−1................................................................................................................................................
P = 0, q2R−2
: eipi·Q(e)
2ii ) : p = 0, (238)
La ecuación anterior contiene el factor
dtq2R−2 que es como el propa-
Gator del modelo Shapiro-Virasoro, pero con un solo conjunto de osciladores como
en el modelo Veneziano generalizado. En lo siguiente lo reescribiremos com-
Completamente con el formalismo del modelo Shapiro-Virasoro. Esto se puede hacer
mediante la introducción del propagador Pomeron:
dt q2N−2 =
Dâ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
zL0−1z̄Lœ0−1; z q = et(239)
y reescribir el bucle plano en la siguiente forma compacta:
# B0DBM # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # # B0DBM # # B0BO # #
n p = 0, 0a, 0 (240)
donde B0 es el estado de frontera sin ningún Reggeon en él,
Td−1 =
2 d-10)/4
•)−d/2−1 (241)
y BM es en su lugar el que tiene M Reggeons dado por:
BM = NM0 Tr(♥a1. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
d/M−1................................................................................................................................................
: eipi·Q(e)
2ii ) : B0® (242)
Queremos recalcar una vez más que el orden normal en el anterior equa-
ión se define tomando los modos cero en la misma exponencial. Las dos cosas
los estados límite y el propagador son ahora los estados del Shapiro-Virasoro
modelo. Esto significa que hemos reescrito el diagrama plano de un bucle, donde
los estados del modelo Veneziano generalizado circulan en el bucle, como árbol
44 Paolo Di Vecchia
diagrama del modelo Shapiro-Virasoro que incluye dos estados de frontera y un
Propagador. Esto es lo que hoy en día se llama dualidad de cadena abierta/cerrada.
Además del diagrama plano de un bucle en Eq. (225), que hoy en día se llama
el diagrama anular, también los diagramas no planos y no orientables
fueron construidos y estudiados. En particular, el no-planar, que es ob-
como el planar en Eq. (225) pero con dos propagadores multiplicados
con el operador de giro
= eL−1(−1)R, (243)
tenía unitariedad violando los recortes que desaparecieron [27] si la dimensión de la
espacio-tiempo d = 26, dejando detrás singularidades de polo adicionales. El explicitado
forma del bucle no plano se puede obtener siguiendo los mismos pasos
para el bucle plano. Uno obtiene para el bucle no-planar la siguiente amplitud:
BM (244)
donde ahora ambos estados de frontera contienen, respectivamente, R y M Reggeon
estados. Los polos adicionales encontrados en el bucle no-planar se llamaban Pomerons
porque ocurren en el sector de Pomeron, que hoy se llama la cadena cerrada
canal, para distinguirlos de los Reggeons que en su lugar ocurren en el
sector Reggeon, que hoy se llama el sector de cuerdas abiertas del planar y
diagramas de bucle no planos. En ese momento, de hecho, los estados de la generalización
Los modelos Veneziano se llamaban Reggeons, mientras que los adicionales aparecen
en el bucle no-planar se llamaban Pomerons. Los Reggeons corresponden ahoraa-
días para abrir estados de cadena, mientras que los Pomerons a estados de cadena cerrados. Estos
las cosas son obvias ahora, pero en ese momento tomó un tiempo para demostrar que el
otros estados que aparecen en el sector de Pomeron deben ser identificados con
los del modelo Shapiro-Virasoro. La prueba de que el espectro era el
Lo mismo ocurrió bastante temprano. Esto se obtuvo factorizando el dia no-planar
gramo en el canal de Pomeron [46] como lo hemos hecho en Eq. (244). Fue encontrado.
que los estados del canal de Pomeron se encuentran en una trayectoria Regge lineal que
tiene doble intercepción y media pendiente de la de los Reggeons. Esto es lo siguiente:
inmediatamente desde el propagador DÃ3 en Eq. (239) que tiene polos para valores de
el impulso del Pomeron intercambiado por:
p2 = 2n (245)
que son exactamente los valores de las masas de los estados del Shapiro-Virasoro
modelo [48], mientras que el propagador Reggeon en Eq. (100) tiene polos para valores de
impulso igual a:
1− p2 = n (246)
Sin embargo, todavía no estaba claro que los estados de Pomeron interactuasen entre ellos.
como los estados del modelo Shapiro-Virasoro. Para mostrar esto fue primero
El nacimiento de la teoría de cuerdas 45
necesario para construir amplitudes arbóreas que contienen ambos estados de la general-
modelo Veneziano y del modelo Shapiro-Virasoro [49]. Disminuyeron
a las amplitudes del modelo generalizado Veneziano (Shapiro-Virasoro) si
sólo tenemos estados externos del Veneziano generalizado (Shapiro-Virasoro)
modelo. Esas amplitudes se llaman hoy en día amplitudes de disco que contienen ambos
estados de cadena abiertos y cerrados. Se construyeron [49] utilizando para
Reggeon dice que los operadores de vértice que hemos discutido en la Sección. 5) In-
girando un conjunto de osciladores armónicos y para el Pomeron estados el vértice
los operadores indicados en Eq. (181) que reescribimos aquí:
Vα,β(z, z̄, p) = Vα(z,
)Vβ(z̄,
) (247)
porque ahora ambos vértices componentes contienen el mismo conjunto de os armónicos
ciladores como en el modelo generalizado Veneziano. Además, cada uno de los dos
vértices es por separado normal ordenado, pero su producto no es normal ordenado.
La amplitud que involucra a ambos tipos de estados se construye entonces tomando
el producto de todos los vértices entre el vacío invariante proyectivo e inte-
la rejilla de los Reggeons en el eje real de una manera ordenada y los Pomerons en
el plano de la mitad superior, como se hace para una amplitud de disco.
Hemos mencionado anteriormente que los dos vértices son por separado normales
pedido, pero su producto no es normal pedido. Cuando ordenemos normalmente
los tenemos, por ejemplo para el taquión del sector de Pomeron, un factor
(z − z̄)+p2/2 que describe la transición Reggeon-Pomeron. Esto implica un
Enganche directo [51] entre la parte U(1) del campo de gálibo y el dosíndice
campo antisimétrico B., denominado campo Kalb-Ramond [50], del sector Pomeron,
que hace que el campo de medición masiva [51].
Se demostró entonces que, al factorizar el bucle no plano en el Pomeron
canal, uno reprodujo la amplitud de dispersión que contiene un estado de
el Shapiro-Virasoro y una serie de estados del Veneziano generalizado
modelo [52]. Si tenemos también estados externos que pertenecen a la generalización
Shapiro-Virasoro modelo, a continuación, factorizando el no-planar un bucle amplificar-
tude en el canal Pomeron puro, se obtendrían las amplitudes del árbol de
el modelo Shapiro-Virasoro [52].
Todo esto implica que el modelo generalizado Veneziano y el Shapiro-
Virasoro modelo no son dos modelos independientes, pero son parte de la
mismo y único modelo. De hecho, si uno comenzó con el Veneziano generalizado
modelo y diagramas de bucle añadidos para implementar unitariedad, se encontró el ap-
perencia en el bucle no plano de estados adicionales que tenían la misma masa
e interacción de los del modelo Shapiro-Virasoro.
El diagrama plano, escrito en Eq. (230) en el canal de cadena cerrado, es
divergente para los grandes valores de t. Esta divergencia se reconoció que se debe a
intercambio, en el canal de Pomeron, del taquión del Shapiro-Virasoro
modelo y del dilaton [47]. Corresponden, respectivamente, a los dos primeros
términos de la ampliación:
[f1(q)]
−24 = e2ηt + 24 + O
e−2ηt
(248)
46 Paolo Di Vecchia
El primero podría ser cancelado por una continuación analítica, mientras que el segundo
uno podría ser eliminado a través de una renormalización de la pendiente del Regge
Trayectoria â € [47].
Concluimos la discusión de los diagramas de un solo bucle mencionando
que el diagrama de un bucle para el modelo Shapiro-Virasoro fue calculado por
Shapiro [53] que también encontró que el integrand era modular invariante.
El cálculo de diagramas multilazo requiere una tecnología más avanzada-
nología que también se desarrolló en los primeros días del modelo de resonancia dual
pocos años antes del descubrimiento de su conexión con la teoría de cuerdas. Con el fin de
calcular diagramas multiloop primero se necesita construir un objeto que era
llamado N -Reggeon vértice y que tiene las propiedades de contener conjuntos N
de osciladores armónicos, uno para cada pierna externa, y es tal que, cuando
saturarlo con N estados físicos, obtenemos el correspondiente N -punto ampli-
Tude. A continuación vamos a discutir cómo determinar el vértice N-Reggeon.
El primer paso hacia el N -Reggeon vértice es el Sciuto-Della Selva-
Saito [54] vértice que incluye dos conjuntos de osciladores armónicos que denotamos
con los índices 1 y 2. Es igual a:
VSDS = 2° x = 0, 0 : exp
dzX ′2(z) ·X1(1− z)
: (249)
donde X es la cantidad que hemos llamado Q en Eq. (57) y el prime
denota un derivado con respecto a z. Satisface la propiedad importante
de dar el operador de vértice Vα(z = 1) de un estado arbitrario cuando nos
saturarlo con el estado correspondiente:
VSDS 2 = Vα(z = 1) (250)
Una deficiencia de este vértice es que no es invariante bajo una permu-
dad de las tres piernas. Un vértice simétrico cíclico ha sido construido por
Caneschi, Schwimmer y Veneziano [55] insertando el operador de giro en
Eq. (243). Pero el vértice 3-Reggeon no es suficiente si queremos calcular un
Amplitud multiloop arbitraria. Debemos generalizarlo a un número arbitrario.
de piernas externas. Tal vértice, que se puede obtener de la de Eq. (249)
con un procedimiento muy directo, o que también puede obtenerse cosiendo juntos
tres vértices reggeon, ha sido escrito en su forma final por Lovelace [56] 17.
Aquí no lo derivamos, pero damos directamente su expresión escrita en Ref. [56]:
VN,0 =
i=1 dzi
dVabc
i=1[V
i (0)]
[i<x = 0, Oa]
i,j=1
n,m=0
a) n Dnm(V)
i Vj) a
(251)
17 Véase también Ref. [57]. Documentos anteriores sobre el N-Reggeon se pueden encontrar en Ref.s [58].
El nacimiento de la teoría de cuerdas 47
donde a
0 • αi0 =
2pai es el impulso de la partícula i y el infinito
matriz:
Dnm(γ) =
mz [γ(z)]
nz=0; n,m = 1.. : D00(γ) = − log
AD −BC
Dn0 =
)n ; D0n =
)n ; γ(z) =
Az + B
Cz +D
(252)
es una “representación” del grupo proyectivo correspondiente a la
peso = 0, que satisface los eqs.:
Dnm(γ1γ2) =
Dnl(γ1)Dlm(γ2) +Dn0(γ1)0m +D0m(γ2)n0 (253)
Dnm(γ) = Dmn(
(z) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(254)
Por último, Vi es una transformación proyectiva que mapea 0, 1 y en zi−1, zi
y zi+1.
El vértice anterior puede ser escrito en una forma más elegante como sigue:
VN,0 =
i=1 dzi
dVabc
i=1[V
i (0)]
[i<x = 0, Oa]
dzlX(i)(z)pári logV
i z)
i,j=1
dieX(i)(z) log[Vi(z)− Vj(y)]X(j)(y)
(255)
donde las cantidades X(i) son lo que llamamos Q, a saber, el Fubini-Veneziano
campo, en las secciones anteriores. El vértice N -Reggeon que satisface el impor-
propiedad de dar la amplitud de dispersión de N partícula física cuando
lo saturamos con sus estados correspondientes, es el objeto fundamental para
computando las amplitudes multiloop. De hecho, si queremos calcular un M -loop
amplitud con N estados externos, tenemos que empezar desde el (N+2M)-Reggeon
vértice y luego tenemos que coser los pares M juntos después de haber insertado un
propagador D. De esta manera obtenemos una amplitud que no sólo está integrado
sobre las punciones zi (i = 1... N) de los estados externos N, pero también sobre
3h− 3 modules adicionales correspondientes a las variables de punción de la
48 Paolo Di Vecchia
afirma que cosimos juntos y la variable de integración de la M propaga-
Tors. h es el número de bucles. Se han obtenido las amplitudes multiloop
de esta manera ya en 1970 [59, 60, 61] y, mediante el procedimiento de costura,
uno obtuvo funciones, como la matriz del período, los diferenciales abelianos, el
primera forma, etc., que están bien definidos en la superficie de Riemann! La única cosa
que faltaba, era la medida correcta de las integraciones sobre el 3h-3 vari-
porque técnicamente no era posible dejar que sólo los estados físicos a
circular en los bucles. Este problema sólo se resolvió mucho más tarde [62, 63] cuando
una formulación invariante BRST de la teoría de cuerdas y el cono-luz funcional
integral podría ser utilizado para la computación de multiloops. Son dos muy diferentes.
enfoques que, sin embargo, dieron el mismo resultado. En aras de la integridad
escribimos aquí la amplitud plana h-loop que involucra a los taquiones M:
M (p1,. .., pM ) = N
h Tr(?a1 · · aM ) Ch
2gs (2α)
(d−2)/4
[dm]Mh
G(h)(zi, zj)
V ′i (0)V
j (0)
2+pi·pj
, (256)
donde Nh Tr(?a1 · · aM ) es el factor U(N) Chan-Paton apropiado, g es
la constante de acoplamiento de cadena abierta adimensional, Ch es un factor de normalización
dado por
(2η)dh
g2h−2s
(2o)d/2
, (257)
y G(h) es la función h-loop bosonic Green
G(h)(zi, zj) = logE(h)(zi, zj)−
(2ηIm)
, (258)
con E(h)(zi, zj) siendo la forma principal,
μ (μ = 1,..., h)
y la matriz del período. Todos estos objetos, así como la medida en
espacio moduli [dm]Mh, se puede escribir explícitamente en la parametrización Schottky
de la superficie de Riemann, y sus expresiones para h arbitrario se puede encontrar para
ejemplo en Ref. [64]. Es dada por
[dm]Mh =
dVabc
V ′i (0)
dkμ d d
k2μ ( − )2
(1– kμ)2
(259)
× [det (−i)]−d/2
(1- knα)−d
(1− knα)2
donde kμ son los multiplicadores, y son los puntos fijos de los generadores
del grupo Schottky,
El nacimiento de la teoría de cuerdas 49
9 De modelos duales a teoría de cuerdas
El enfoque presentado en las secciones anteriores es un verdadero
Proa. Los datos experimentales fueron la fuerza motriz en la construcción de
el modelo Veneziano y de su generalización a las patas externas N. El resto de
el trabajo que hemos descrito anteriormente consistía en derivar sus propiedades. Los
resultado es, a excepción de un taquión, un modelo cuántico-relativista plenamente consistente
que era una fuente de fascinación para los que trabajaban en el campo. Aunque
el modelo creció de la teoría de S-matriz donde la amplitud de dispersión es la
sólo objeto observable, mientras que la acción o el lagrangiano no tienen un centro
Sin embargo, algunas personas comenzaron a investigar lo que era
ing estructura microscópica que dio lugar a una tan consistente y hermosa
modelo. Resultó, como sabemos hoy, que esta estructura subyacente es que
de una cuerda cuántico-relativista. Sin embargo, el proceso de conexión de la
modelo de resonancia (en realidad dos de ellos el Veneziano generalizado y el
Shapiro-Virasoro modelo) a la teoría de cuerdas tomó varios años de la origini-
nal idea de una prueba completa y convincente de la conjetura. El original
la conjetura fue formulada independientemente por Nambu [20, 65], Nielsen [66] y
Susskind [21] 18. Si lo miramos en retrospectiva, fue en ese momento un fantástico
idea que muestra la enorme intuición física de los que la formularon.
Por otro lado, tomó varios años digerirlo antes de que uno fuera capaz de
derivan de ella todas las características profundas del modelo de resonancia dual. Debido a
esto, la idea de que la estructura subyacente era la de una cadena relativista,
no influyó realmente en la mayor parte de la investigación en el campo hasta 1973. Déjame a mí.
Trata de explicar por qué.
Una característica común de la obra de Ref.s [20, 66, 21] es la sugerencia de que
el número infinito de osciladores, que uno consiguió a través de la factorización de
el modelo de resonancia dual, naturalmente sale de un libre bidimensional
Lagrangian para la coordenada Xμ(el, el) de una cadena unidimensional, que es un
generalización obvia del lagrangiano que se escribe para la coordinación
Xμ() de un objeto puntiagudo en el indicador de tiempo adecuado:
+ L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L + L
(260)
Siendo esta teoría invariante conformal los operadores de Virasoro también fueron con-
structed junto con su álgebra. Sin embargo, en esta primera formulación,
los generadores Virasoro Ln eran sólo los generadores asociados a la confor-
mal simetría de la cadena hoja-mundo Lagrangian dada en Eq. (260) como en
cualquier teoría de campo conformal. No está claro en absoluto por qué deben implicar la
las condiciones de medición encontradas por Virasoro o, en términos modernos, por qué deberían ser
Cero clásicamente. El ingrediente básico para resolver este problema fue proporcionado por
Nambu [65] y Goto [68] que escribió el Lagrangian no lineal proporcional
18 Véase también Ref. [67].
50 Paolo Di Vecchia
al área que se extiende por la cadena en el espacio de destino externo. Procedieron.
en analogía con la partícula de punto y escribió la siguiente acción:
−dd (261)
donde
d =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(262)
Xμ(..,..) es la coordenada de la cadena y..
Las coordenadas de los puntos de contacto son las coordenadas de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto de los puntos de contacto.
la hoja del mundo de la cadena. es un tensor antisimétrico con 01 = 1. Insertar
eq. (262) en (261) y fijando la constante de proporcionalidad se obtiene el Nambu-
Acción Goto [65, 68]:
S = −cT
( ·X ′)2 − 2X ′2 (263)
donde
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # X #
Micrófonos + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(264)
y T 1
es la tensión de la cadena, que reemplaza la masa que aparece en el
caso de una partícula de punto. En esta formulación, la cuerda Lagrangian es invariante
bajo cualquier reparametrización de las coordenadas de la hoja del mundo
sólo bajo las transformaciones conformales. Esto, de hecho, implica que los dos-
dimensional world-sheet energy-momentum tensor de la cadena es en realidad cero
como veremos más adelante. Pero tardó aún algunos años en conectar el Nambu-
Ir a la acción de las propiedades del modelo de resonancia dual. Mientras tanto
se formuló un modelo análogo [69] que reproducía el árbol y el bucle
amplitudes del modelo Veneziano generalizado. Este enfoque se prevé
por varios años la derivación integral del camino de las amplitudes duales. Fue muy
estrechamente relacionado con la formulación funcional integral de Ref.s [70].
Sin embargo, uno tenía que esperar hasta 1973 con el papel de Goddard,
Goldstone, Rebbi y Thorn [71], donde la acción Nambu-Goto fue cor-
rectly tratado, todas sus consecuencias se derivaron y se convirtió en completamente
claro que la estructura subyacente al modelo de resonancia dual era la de un
cuerda cuántica-relativista. La ecuación de movimiento para la cadena fue de-
salido de la acción en Eq. (263) mediante la imposición de la letra S = 0 en el caso de las variaciones de
que Xμ(i) = X
μ(lf ) = 0. Uno se pone:
* X *
Xμ +
* X *
* X= = = 0 * = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
(265)
donde L es el Lagrangian en Eq. (263). Dado que ŁXμ es arbitrario, a partir de eq. (265)
uno consigue la ecuación de movimiento Euler-Lagrange
El nacimiento de la teoría de cuerdas 51
* X *
= 0 (266)
y las condiciones de los límites
* X *
= 0 o Xμ = 0 a = 0, (267)
para una cadena abierta y
Xμ(l, 0) = Xμ(l, l) (268)
para una cuerda cerrada. En el caso de una cadena abierta, el primer tipo de límite
condición en Eq.(267) corresponde a las condiciones de frontera de Neumann, mientras que
el segundo a las condiciones límite de Dirichlet. Sólo los de Neumann...
ary condiciones preservar la invarianza de traducción de la teoría y, allí-
Antes, se usaban principalmente en los primeros días de la teoría de cuerdas. Debe ser
destacó, sin embargo, que las condiciones de frontera de Dirichlet ya se habían discutido
y utilizado en los primeros días de la teoría de cuerdas para la construcción de modelos con off-
shell states [72].
De Eq. (263) se puede calcular la densidad de impulso a lo largo de la cadena:
Pμ = cT
′2 −X ( ·X ′)
( ·X ′)2 − 2X ′2
(269)
y obtener las siguientes restricciones entre las variables dinámicas Xμ y
c2T 2x′
+ P 2 = x′ · P = 0 (270)
Son una consecuencia de la invarianza de re-parametrización de la cadena La-
Grangiano. Debido a esto se puede elegir el calibrador ortonormal especificado por
las condiciones:
2 +X ′
= ·X ′ = 0 (271)
que hoy en día se llama indicador conformal. En este calibrador eq. (269) pasa a ser:
Pμ = cT
* X *
= −cTX (272)
y por lo tanto el eq. de movimiento en eq.(266) pasa a ser:
−X = 0 (273)
mientras que la condición límite en eq.(267) se convierte en:
X ( = 0, ) = 0 (274)
52 Paolo Di Vecchia
La solución más general del eq. de movimiento y de las condiciones de los límites
puede escribirse como sigue:
= qμ + 2p + i
[aμne
- en- en- an ein- ]
cosn
(275)
para una cadena abierta y
Xμ(e, e) = qμ + 2p +
[ne
−2in() − n e2in()]
[aμne
−2in() − an e2in()]
(276)
para una cuerda cerrada. Este procedimiento demuestra realmente que, a partir de la
Nambu-Goto acción, uno puede elegir un indicador (el ortonormal o confor-
mal calibrador) donde la ecuación de movimiento de la cadena se convierte en el dos-
Ecuación dimensional D’Alembert en Eq. (273). Además, la invarianza
de la acción Nambu-Goto implica que las dos
tensor dimensional de energía-momento es idénticamente cero en el nivel clásico
(Véase Eq. (271)).
Como el medidor Lorentz en QED el medidor ortonormal no fija com-
Completamente el medidor. Todavía podemos realizar reparametrizaciones que dejan en el
calibrador conformal: son transformatiuons conformales. Presentando el vari-
los generadores de las transformaciones conformales para la apertura
la cadena se puede escribir como sigue:
dzzn+1
αn−m · αm = 0 (277)
donde
n =
naμn, si n > 0
2 μ pμ si n = 0 μ
nan si n < 0
(278)
Son cero como consecuencia de Eq.s (270) que en el gálibo conformal
convertirse en Eq.s (271). En el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:
L?n =
dzzn+1
= 0 (279)
dz̄z̄n+1
= 0 (280)
El nacimiento de la teoría de cuerdas 53
En términos de los osciladores armónicos introducidos en eq. (276) obtenemos
αm · αn−m = 0 ; Ln =
m · n−m = 0 (281)
donde para los modos no cero hemos utilizado la convención en (278), mientras que el
el modo cero viene dado por:
0 =
(282)
En conclusión, el hecho de que tengamos invarianza de reparametrización implica que
los generadores Virasoro son clásicamente idénticos a cero. Cuando cuantizamos el
teoría uno no puede y tampoco tiene que imponer que están desapareciendo en
el nivel del operador. Se imponen como condiciones que caracterizan lo físico
estados.
PhysLn Phys = Phys(L0 − 1) Phys = 0; n 6= 0 (283)
Estas ecuaciones están satisfechas si requerimos:
Ln Phys > = (L0 − 1)
El factor adicional −1 en las ecuaciones anteriores proviene del orden normal
como se explica en Eq. (198).
Los autores de Ref. [71] especificó además el calibrador fijándolo completamente.
Se introdujo el calibrador de cono-luz especificado mediante la imposición de la condición:
X+ = 2p (285)
donde
X0 ±Xd−1
X0 ±Xd−1
(286)
En este indicador los únicos grados físicos de libertad son los transversales.
De hecho, los componentes a lo largo de las direcciones 0 y d − 1 se pueden expresar en
términos de los transversales insertando Eq. (285) en las limitaciones de Eq.
(271) y obtener:
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
4o p+
(2i +X)
i ) X
2+p+
i ·X ′i (287)
que hasta una constante de integración determinan completamente X− como función
de X i. En términos de osciladores obtenemos
n = 0;
2n =
αin−mα
m n 6= 0 (288)
54 Paolo Di Vecchia
para una cadena abierta y
n =
n = 0 n 6 = 0 (289)
junto con
2n =
αin−mα
2n =
in−m
m (290)
en el caso de una cuerda cerrada.
Esto muestra que los estados físicos son descritos sólo por el transverso
osciladores que tengan sólo d − 2 componentes. Esos osciladores transversales corre...
spond a los operadores de DDF transversales que hemos discutido en la Sección 6.
Los autores de Ref. [71] también construyeron los generadores Lorentz sólo en términos
de los osciladores transversales y mostraron que satisfacen el correcto
álgebra de Lorentz sólo si la dimensión espacio-tiempo es d = 26. De esta manera el
espectro del modelo de resonancia dual se reprodujo completamente a partir de
de la acción Nambu-Goto si d = 26! Por otra parte, la elección de
d = 26 es una necesidad si queremos mantener la invarianza de Lorentz!
Inmediatamente después de esto, la interacción también se incluyó, ya sea añadiendo
un término que describe la interacción de la cadena con un campo de ancho externo [73]
o mediante un formalismo funcional [74, 75].
En lo siguiente sólo daremos algunos detalles del primer enfoque para el
caja de una cuerda abierta. Una forma de describir la interacción de cadena es añadiendo
a la acción de cadena libre un término adicional que describe la interacción de
la cadena con un campo externo.
SINT =
dDyΦL(y)JL(y)(291)
donde ΦL(y) es el campo externo y JL es la corriente generada por la cadena.
El índice L representa los posibles índices de Lorentz que están saturados con el fin de
tienen una acción invariante de Lorentz.
En el caso de una partícula de punto, tal término de interacción no dará ninguna
información sobre la auto-interacción de una partícula.
En el caso de una cadena, en su lugar, veremos que SINT describirá la
interacción entre cadenas porque los campos externos que pueden
interactuar con una cadena son sólo los que corresponden a los diversos estados de
la cadena, como quedará claro en la discusión de abajo.
Se trata de una consecuencia del hecho de que, en aras de la coherencia, debemos
poner las siguientes restricciones a SINT :
• Debe ser un operador bien definido en el espacio que abarca la cadena
osciladores.
El nacimiento de la teoría de cuerdas 55
• Debe preservar las invarianzas de la teoría de cuerdas libres. En particular, en
el “calibre conformal” debe ser invariante conformal.
• En el caso de una cadena abierta, la interacción ocurre en el punto final de
una cadena (digamos que está en = 0). Esto se deriva del hecho de que dos cuerdas abiertas
interactúe uniéndose entre sí en los puntos finales.
Se puede escribir la corriente escalar más simple generada por el movimiento de una cadena
del siguiente modo:
J(y) =
d(e)(e)[yμ − xμ(e)(e)] (292)
en la que se ha introducido el método de interacción, ya que la interacción se produce al final de la
la cuerda. En aras de la simplicidad omitimos escribir una constante de acoplamiento g
en (292).
Insertando (292) en (291) y utilizando para el campo exterior escalar Φ(y) = eik·y
una onda de plano, obtenemos la siguiente interacción:
SINT =
eik·X(,0) : (293)
donde se ha introducido el pedido normal para tener un bien definido
Operadora. La invarianza de (293) bajo una transformación conformal
requiere la siguiente identidad:
SINT =
;: eik·X(l,0) : =
dw : eik·X(w,0) : (294)
o, en otras palabras, que
: eik·X(l,0) :=l w′(l) : eik·X(l,0) : (295)
Esto significa que el integrand en Eq. (294) debe ser un campo conforme con
dimensión conformal igual a uno y esto sucede sólo si k2 = 1. Los
campo externo corresponde entonces al estado más bajo taquiónico de la cadena abierta.
Otra corriente simple generada por la cadena es dada por:
Jμ(y) =
d(e)(e, e)
d) y −X(l, )) (296)
Insertando (296) en (291) obtenemos
SINT =
d(l, 0)
μeik·X(,0) (297)
si usamos una onda plana para (y) = e
ik·y. El operador de vértice en eq. (297)
es invariante conforme solamente si
k2 = · k = 0 (298)
56 Paolo Di Vecchia
y, por lo tanto, el vector externo debe ser el estado fotónico sin masa de la
cuerda. Podemos generalizar este procedimiento a un campo externo arbitrario y
el resultado es que sólo podemos utilizar campos externos que corresponden a en shell
estados físicos de la cuerda.
Este procedimiento se ha ampliado en Ref. [73] en el caso de
gravitones mediante la introducción en la acción Nambu-Goto de una métrica espacial objetivo y
obtener el operador de vértice para el gravitón que es un estado sin masa en el
teoría de cuerdas cerradas. Recuerde que, en ese momento, esto podría haberse hecho
sólo con la acción Nambu-Goto porque la acción modelo se introdujo
solo en 1976 primero para la partícula de punto [76] y luego para la cadena [77]. As
en el caso del fotón resultó que el campo externo correspondiente
al gravitón estaba obligado a estar en caparazón. Esta condición es el precursor de
las ecuaciones de movimiento que se obtiene de la acción de modelo
la desaparición de la función β [78].
Uno puede entonces calcular la amplitud de probabilidad para la emisión de un
número de estados de cadena correspondientes a los diversos campos externos, de un
estado inicial de la cadena a uno final. Esta amplitud da precisamente el punto N
amplitud que discutimos en las secciones anteriores [73]. En particular, uno
aprende que, en el caso de la cadena abierta, el campo Fubini-Veneziano es justo
la coordenada de cadena computada en = 0:
Qμ(z) Xμ(z, = 0) ; z = ei/23370/ (299)
En el caso de una cadena cerrada obtenemos en su lugar:
Qμ(z, z̄) Xμ(z, z̄) ; z = e2i(), z̄ = e2i() (300)
Finalmente, permítanme mencionar que con el enfoque funcional Mandelstam [74]
Cremmer y Gervais [79] calcularon la interacción entre tres arbi-
y reproducido de esta manera el acoplamiento de tres
DDF estados dados en Eq. (202) y obtenido en Ref. [37] utilizando el operador
formalismo. En este punto estaba completamente claro que la estructura subyacente
el modelo generalizado Veneziano era el de una cuerda relativista abierta, mientras que
que subyacente al modelo Shapiro-Virasoro era el de un relativista cerrado
cuerda. Además, estas dos teorías no son independientes porque, si uno
comienza desde una teoría de cuerdas abiertas, uno se cierra automáticamente cadenas por
Correcciones de bucle.
10 Conclusiones
En esta contribución, hemos pasado por los acontecimientos que llevaron a
la construcción del modelo de resonancia dual a la teoría de cuerdas bosónicas
Tratando en la medida de lo posible de incluir todos los detalles técnicos necesarios. Esto
es porque creemos que no sólo son importantes desde un punto de vista histórico
de punto de vista, pero también son parte del formalismo que se utiliza hoy en día en muchos
El nacimiento de la teoría de cuerdas 57
cálculos de cadena. Hemos tratado de ser lo más completos y objetivos posible,
pero muy bien podría ser que algunos de los que participaron en la investigación
de estos años, no estarán de acuerdo con algunas o incluso muchas de las declaraciones que
Hecho. Nos disculpamos con aquellos que hemos olvidado mencionar o no lo hemos hecho
mencionado como les hubiera gustado.
Finalmente, después de haber pasado por los desarrollos de estos años, mi
pensamientos van a Sergio Fubini que compartió conmigo y Gabriele muchos de los
ideas descritas aquí y que se extraña profundamente, y a mis amigos de Flo-
rence, Nápoles y Turín para una agradable colaboración en muchos documentos discutidos
Aquí.
Agradecimientos
Agradezco a R. Marotta y a I. Pesando por una lectura crítica del manuscrito.
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36. F. Gliozzi, sin publicar.
Ver también P. Di Vecchia en muchos grados de libertad en física de partículas, editado
por H. Satz, Plenum Publishing Corporation, 1978, pág. 493.
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El nacimiento de la teoría de cuerdas 59
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El nacimiento de la teoría de cuerdas
Paolo Di Vecchia
|
704.0102 | Duality and Tameness | arXiv:0704.0102v1 [math.AC] 1 Apr 2007
DUALIDAD Y TAMENESS
MARC CHARDIN, STEVEN DALE CUTKOSKY, JÜRGEN HERZOG Y HEMA SRINIVASAN
Resumen. Demostramos un teorema de dualidad para ciertos álgebras graduadas y mostrar por varios
ejemplos de diferentes tipos de fracaso de la domesticación de la cohomología local.
Introducción
El propósito de este trabajo es construir ejemplos de comportamiento extraño de coho local.
Moology. En estas construcciones seguimos una estrategia que ya se utilizó en [CH] y
que se refiere, a través de una secuencia espectral introducida en [HR], la cohomología local para el
dos distinguidos ideales primos bigraded en un álgebra bigraded estándar.
En la primera parte consideramos álgebras con clasificaciones más bien generales y deducir un similar
secuencia espectral en esta situación más general. Un ejemplo típico de tal álgebra
es el álgebra de Rees de un ideal calificado. La prueba de la secuencia espectral dada aquí es
más simple que la de la secuencia espectral correspondiente en [HR].
En la segunda parte de este artículo construimos ejemplos de los anillos de clasificación estándar A,
que son álgebras sobre un campo K, de tal manera que la función
(1) j 7→ dimK(H iA+(A)−j)
es una función interesante para j â € 0. En nuestros ejemplos, esta dimensión será finita para todos
Supongamos que A0 es un anillo local de Noetherian, A =
j≥0Aj es un anillo graduado estándar y
conjunto A+ :=
j>0Aj. Que M sea un modulo A finitamente generado y F := M
división de M en Y = Proj(A). Luego hemos clasificado los isomorfismos del módulo A
H i+1A+ (M)
H i(Y,F(n))
para i ≥ 1, y una expresión similar para i = 0 y 1.
Por desaparición de Serre, H iA+(M)j = 0 para todos los i y j 0. Sin embargo, la asintótica
el comportamiento de H iA+(M)−j para j â € 0 es mucho más misterioso.
En el caso cuando A0 = K es un campo, la función (1) es de hecho un polinomio para grandes
Suficiente j. La prueba es una consecuencia de la dualidad local calificada ([BS, 13.4.6] o [BH, 3.6.19])
o sigue de la dualidad Serre en una variedad proyectiva.
Para los módulos A0 más generales, HA+(M)−j son finitamente generados, pero no necesitan tener
longitud finita.
El siguiente problema fue propuesto por Brodmann y Hellus [BrHe].
El segundo autor fue parcialmente apoyado por NSF.
http://arxiv.org/abs/0704.0102v1
Problema de domesticación: ¿Son los módulos de cohomología locales H iA+(M) domesticados? Es decir, ¿es eso?
cierto que o bien
{H iA+(M)j 6= 0,
¿A+(M)j = 0?
El problema tiene una solución positiva para A0 de pequeña dimensión (algunas de las referencias
son Brodmann [Br], Brodmann y Hellus [BrHe], Lim [L], Rotthaus y Sega [RS]).
Teorema 0.1 ([BrHe]). Si dim(A0) ≤ 2, entonces M es domesta.
Sin embargo, dos de los autores han demostrado recientemente que la domesticación puede fallar si
dim(A0) = 3.
Teorema 0,2 ([CH]). Hay ejemplos con dim(A0) = 3 donde M no es domesta.
La declaración de este ejemplo se reproduce en el Teorema 3.1 de este artículo. La función
(1) es periódico para j grande. Específicamente, la función (1) es 2 para grande incluso j y es 0 para
gran j impar.
En Teorema 3.3 construimos un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local
que no es periódico, y ni siquiera es un cuasi polinomio (en −j) para j grande. Específicamente,
tenemos para j > 0,
dimK(H
(A)-j) =
1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),
1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,
0 en caso contrario,
donde la característica de K es p. Tenemos pt • −1 (mod) (p + 1) para todos los impares t ≥ 0.
También damos un ejemplo (Teorema 3.5) de fracaso de la domesticación donde (1) es un cuasi
polinomio con crecimiento lineal en grado par y es 0 en grado impar.
En Teorema 3.6, damos un ejemplo dócil, pero tenemos
dimK(H
A) a j)
así que (1) está lejos de ser un cuasi polinomio en −j para j grande.
Mientras que el ejemplo de [CH] es para M = A, donde A es el módulo canónico de A, el
ejemplos del papel son todos para M = A. Esto nos permite reinterpretar fácilmente nuestros ejemplos
como álgebras Rees en la Sección 4, y por lo tanto tenemos ejemplos de álgebras Rees sobre anillos locales
para lo cual el fracaso de la mansedumbre antedicho sostiene.
En la sección final, sección 5, damos un análisis del papel explícito e implícito de
bigraded duality en la construcción de los ejemplos, y algunos comentarios sobre cómo afecta
la geometría de las construcciones.
1. Dualidad para anillos polinomios en dos conjuntos de variables
Deja que K sea cualquier anillo conmutativo (con unidad). En aplicaciones posteriores K será en su mayoría
un campo. Además dejar S = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn], P = (x1,. .., xm) y Q =
(y1,. ., yn).
La homología del complejo Čech CP ( ) (resp. CQ( )) será denotado por HP ( ) (resp.
HQ( )). Note que para cualquier anillo conmutativo K, esta homología es la cohomología local
soportado en P (resp. Q), como P y Q son generados por una secuencia regular.
Asumir que S está clasificado para algún grupo abeliano, y que deg(a) = 0 para un K.
Si xsyp R, deg(xsyp) = l(s) + l′(p) con l(s) :=
i si deg(xi) y l
′(p) :=
j pj deg(yj).
Definición 1.1. Deja que yo sea un ideal de grado. La clasificación de S es I-afilada si H iI(S)γ
es un K-módulo finitamente generado, para cada i y γ.
Lemma 1.2. Las condiciones siguientes son equivalentes:
(i) la clasificación de S es P -afilada.
ii) la clasificación de S es Q-sharp.
iii) para todos los γ, (α, β): α ≥ 0, β ≥ 0, l(α) = γ + l′(β) <
Nótese que si K es Noetherian, M es un módulo S de grado S de generación finita, y el
El grado de S es I-afilado, entonces H iI(M)γ es un K-módulo finito, para cada i y γ. Esto
sigue de la secuencia espectral convergente Hp−q (H)
I (F) H
I (M), donde F
es una resolución S libre de grado de M con Fi finito para cada i.
A partir de ahora asumiremos que la clasificación de S es P -afilada (equivalentemente Q-
afilada). Set = deg(x1 · · · xmy1 · · · · yn), y si N es un módulo graduado, a continuación, dejar que N =
HomS(N,S()) y N* = *HomK(N,K) donde la clasificación de N* es dada por (N*)γ =
HomK(N,K). Más generalmente, siempre denotamos el K-dual calificado de un mod-
ule N (por encima de lo que calificaba de K-álgebra en cualquier caso) por N*. Finalmente denotamos por el mapa
S(−a) → S(−b) inducido por la multiplicación por xαyβ donde a = deg xα y b = − deg yβ.
Lemma 1.3. HmP ()γ
* HnQ()*.
Prueba. El K-moduleHmP libre (S)γ es generado por los elementos x
− s− 1yp con s, p ≥ 0 y
−l(s)− l(1) + l′(p) = γ, y HnQ(S) se genera por los elementos xty−q−1 con t, q ≥ 0
y l(t)− l′(q)− l′(1) =.
Let dγ : H
P (S)γ → (HnQ(S):*)γ = HnQ(S) ser el mapa K-lineal definido por
−s−1yp(xty−q−1) =
1, si s = t y p = q,
0, si no.
Entonces dγ es un isomorfismo (porque el grado de R es Q-afilado) y hay un com-
diagrama mutatis mutandis
HmpP (S)a
() HmP (S)b
(HnQ(S)a)
(HnQ(S)b)*.
La afirmación es la siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Como consecuencia inmediata obtenemos
Corollary 1.4. (a) Que f • S sea un elemento homogéneo de grado a–b, y • S(−a) →
S(−b) el mapa grado cero inducido por la multiplicación con f.
HmP () HnQ()*.
(b) Que F sea un complejo de S-módulos libres finitamente generados. Entonces
i) H iP (F) = 0 para i 6= m y H
Q(F) = 0 para j 6= n,
ii) HmP (F) HnQ(F)*.
Como resultado principal de esta sección tenemos
Teorema 1.5. Suponga que K es Noetheriano, el grado-de-S es P -afilado (equivalentemente
Q-sharp) y M es un modulo S de grado finitamente generado. Set S/K := S(). Dejad en paz a F.
una resolución S mínima de M. Entonces,
(a) Para todos i, hay un isomorfismo functorial
HiP (M) Hm−i(HmP (F)).
(b) Hay una secuencia espectral convergente de la categoría.
H iQ(Ext
S(M,S/K)) H
i+j−n(HmP (F)
En particular, si K es un campo, hay una secuencia espectral convergente de grado.
H iQ(Ext
S(M,.............................................................................................................................................................................................................................................................
dimS−(i+j)
P (M)
Prueba. La reclamación a) es una consecuencia inmediata del corolario 1.4 a través de las especificaciones de la categoría...................................................................................................................................................
secuencia tral Hp−i(H
P (F)) H iP (M). Para (b), las dos secuencias espectrales que surgen de
el CQF+ doble complejo tiene como segundo términos respectivamente ′Eij2 = H iQ(Ext
S(M,S/K)),
2 = 0 para i 6 = n y ′′E
2 = H
j(HnQ(F)
*) Hj(HmP (F)*). Si K más es un campo,
Hj(HmP (F)
*) (Hj(HmP (F))* H
P (F)
Corollary 1.6. Bajo las hipótesis del teorema, si K es un campo, entonces para cualquier γ
hay secuencias espectrales convergentes de espacios K-vector de dimensión finita
H iQ(Ext
S(M,R)
dimS−(i+j)
P (M),
H iP (Ext
S(M,R)
dimS−(i+j)
Q (M).
Ahora consideramos el caso especial de que = Z2, S := K[x1,. .., xm, y1,. .., yn] con
deg(xi) = (1, 0) y deg(yj) = (dj, 1) con dj ≥ 0. Set T := K[x1,. .., xm] y dejar M ser
a Módulo S de categoría S. Vemos a M como un módulo de grado Z definiendo Mk =
j M(j,k).
Observe que cada Mk en sí es un modulo T graduado con (Mk)j = M(j,k) para todos j. Nosotros también.
note que HiP (M)k
• = H iP0(Mk), como se puede ver en la definición de la cohomología local
utilizando el complejo Čech. Aquí P0 = (x1,. .., xm) es el ideal máximo clasificado de T.
Corollary 1.7. Con la notación introducida, s := dimS = m + n y d := dimM.
a) H0P (Ext
S (M,.............................................................................................................................................................................................................................................................
• = HdQ(M)* para cualquier k,
(b) hay una secuencia exacta
0→H1P (Exts−dS (M,S))→H
Q (M)
H0P (Exts-d+1S (M,S)).
c) Dejar i ≥ 2. Si ExtjS(M,?S) es aniquilado por un poder de P para todos s-d < j < s-d+i,
entonces hay una secuencia exacta
Exts−d+i−1S (M,S)→H
P (Ext
S (M,S))→H
Q (M)
H0P (Exts-d+iS (M,S)).
En particular, si Ext
S(M) tiene longitud finita para todos los s − d < j ≤ s − d+ i0, para algunos
entero i0, entonces
H iP0(Ext
S (M,S)k)
= (Hd-iQ (M)−k)
* para todos los i ≤ i0 y k ≤ 0.
En consecuencia, si M es un módulo generalizado Cohen-Macaulay (es decir, Exts-iS (M,
longitud finita para todos los i 6=d), y si establecemos N = Exts−dS (M,
H iP0 (Nk)
= (Hd-iQ (M)−k)
* para todos los i y todos los k â € 0.
Prueba. a), b) y c) son consecuencias directas del corolario 1.6. Para la solicitud, notificación
que si γ = (l, k) • • con k • 0 uno tiene ExtjS(M,•S)γ = 0 para todos los s− d < j ≤ s− d+ i0.
Por lo tanto, para tal γ, la conclusión deseada sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Un ejemplo típico al que se aplica esta situación es el álgebra de Rees de un ideal calificado
I en el anillo polinomio estándar T = K[x1,. .., xm]. Digamos, yo soy generado ser el
polinomios homogéneos f1,. ..., fn con deg fj = dj para j = 1,..., n. Entonces el Rees
álgebra R(I) T [t] se genera los elementos fjt. Si establecemos deg fjt = (dj, 1) para todos j
y deg xi = (1, 0) para todos los i, entonces R(I) se convierte en un modulo S de grado S a través de la álgebra-K
homomorfismo S → R(I) con xi 7→ xi y yj 7→ fjt.
De acuerdo con esta definición tenemos R(I)k = Ik para todos k.
Puesto que dimR(I) = m+1, el módulo R(I) = Extn−1S (R(I), فارسىS) es el módulo canónico
de R(I) (en el sentido de [HK, 5. Vortrag]. Recordemos que si un anillo R es un módulo S finito
de la dimensión m + 1, el mapa finito natural R→Hom(R, R) = Extn−1S (R, S) es un
isomorfismo si y sólo si R es S2. Así, en combinación con el corolario 1.7 obtenemos
Corollary 1.8. Let R := R(I). Supongamos que Rp es Cohen-Macaulay para todos p 6= (m, R+)
donde m = (x1,. .., xm) y R+ =
k>0 I
ktk. Entonces
H im(I)
k) (Hm+1−iR+ (R)−k)
* para todos los i y todos los k â € 0.
Prueba. Puesto que la R se localiza, las condiciones implican que (R)p es Cohen-Macaulay para todos p 6=
(m, R+). Por lo tanto lo natural en el mapa R→R′ := Extn−1S (R, S) tiene un cokernel de finito
longitud. En particular, R′k = Rk = I
k para k + 0. Así pues, el corolario 1,7 se aplicó a M = R
da la conclusión deseada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 1.9. Let R := R(I). Si el cokernel de R→Hom(?R,?R) es aniquilado por un
potencia de R+ (en otras palabras, la explosión es S2, como un esquema proyectivo sobre Spec(T)),
entonces R′k = I
k para k 0 y por lo tanto uno tiene una secuencia exacta
0→H0m(T/Ik)→(HmR+(R)−k)
H0m(ExtnS(R,S)k)→H1m(T/Ik)→(Hm−1R+ (R)k)
para tal k.
2. Un método de construcción de ejemplos
Supongamos que R =
i,j≥0Rij es un álgebra bigrada estándar sobre un anillo K = R00.
Definir Ri =
j≥0Rij y Rj =
i≥0Rij. Definir ideales P =
i y Q =
j>0Rj
en R. Supongamos que M =
ijÃ3zMij es un modulo R de generación finita, bigraded. Definir
M i =
jáZMij y Mj =
iZMij. M
i es un R0-módulo graduado y Mj es un graduado
R0-módulo. Dejar Q0 = R01R
0, por lo que Q = Q0R. Dejar P0 = R10R0 para que P = R10R. Nosotros
tienen isomorfismos del módulo K
H lQ(M)m,n
• = H lQ0(M
para m,n â € Z. Dejemos que Mìm sea la sheafificación del módulo R0-Mm graduado en Proj(R0).
Tenemos isomorfismos del módulo K
H lQ0(M
m)n = H l−1(Proj(R0), Mśm(n))
para l ≥ 2 y secuencias exactas
0 → H0Q0(M
m)n → (Rm)n = Rm,n → H0(Proj(R0), Mśm(n)) → H1Q0(M
m)n → 0.
Tenemos fórmulas similares para el cálculo de H lP (M).
Ahora supongamos que X es un esquema proyectivo sobre K y F1 y F2 son una línea muy amplia
paquetes en X. Vamos.
Rm,n=(X,Fm1 F
Requerimos que R =
m,n≥0Rm,n ser una álgebra K bigranada estándar. Tenemos
X = Proj(R0) = Proj(R0).
La sheafification del R0-módulo grado Rm en X es Rśm = Fm1, y la sheafification
del módulo R0-Rn clasificado en X es Rn = Fn2 (Ejercicio II.5.9 [Ha]).
Para l ≥ 2 tenemos isomorfismos bigrado
H lQ(R)
H lQ0(R
m)n â € =
m≥0,nÃ3rZ
H l−1(X,Fm1 F
Viendo R como un álgebra R0 graduada, por lo tanto hemos clasificado isomorfismos
(2) H lQ(R)n
H l−1(X,Fm1 F
para l ≥ 2 y n ≤ Z. Let d = dim(R) = dim(X) + 2.
Ahora suponemos además que K es un campo cerrado algebraicamente y X es un nonsingular
Variedad K. Vamos.
V = P(F1+F2),
un paquete de espacio proyectivo sobre X con proyección η : V → X. Dado que F1+F2 es un amplio
paquete en X, OV (1) es amplio en V. Desde
(V,OV (t))
• (V,OV (t)) • (X,St (F1) • (F2)) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
i+j=t
y R se genera en grado 1 con respecto a esta clasificación, OV (1) es muy amplio en V y
R es el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad proyectiva no singular V, de modo que R
es generalizado Cohen Macaulay (todos los módulos de cohomología local H iR+(R) de R con respeto
a la máxima bitraded ideal R+ de R tienen longitud finita para i < d). Además, tenemos que
V es proyectivamente normal por esta incrustación (Ejercicio II.5.14 [Ha]) de modo que R es normal.
3. Comportamiento extraño de la cohomología local
En [CH], construimos el siguiente ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local.
En el ejemplo, R0 tiene la dimensión 3, que es la más baja posible para el fracaso de la domesticación
[Br].
Teorema 3.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal
R con dim(R) = 4 tales que para j â € 0,
dimK(H
Q(R)j) =
2 si j es par,
0 si j es impar,
donde R es el módulo canónico de R, Q =
n>0Rn.
Primero mostramos que el teorema anterior también es cierto para la cohomología local de R.
Teorema 3.2. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal
R con dim(R) = 4 tales que para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) =
2 si j es par,
0 si j es impar,
donde Q =
n>0Rn.
Prueba. Calculamos esto directamente para la R del Teorema 3.1 a partir de (2) y los cálculos de
[CH]. Traduciendo de la notación de este artículo a la notación de [CH], tenemos X = S
es una superficie abeliana, F1 = OS(r2laH) y F2 = OS(r2(D + alH)).
Por (2) de este documento, para n â € N, tenemos
dimK(H
Q(R)n) =
m≥0 h
1 (X,Fm1 F)
m≥0 h
1 (S,OS((m+ n)r2alH + nr2D)).
La fórmula (1) de [CH] nos dice que para m,n-n-Z,
(3) h1(S,OS(mH + nD)) =
2 si m = 0 y n es par,
De lo contrario.
Así para n < 0, tenemos
dimK(H
Q(R)n) =
2 si n es par,
0 si n es impar,
dando las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente ejemplo muestra un fallo no periódico de domesticación.
Teorema 3.3. Supongamos que p es un número primo tal que p • 2 (mod) 3 y p ≥ 11.
Entonces existe un estándar normal de K-álgebra R0 sobre un campo K de características
p con dim(R0) = 4, y un R0-álgebra R normal graduado con dim(R) = 5 tales
que para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) =
1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),
1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,
0 en caso contrario,
donde Q =
n>0Rn. Tenemos p
t • −1(mod)(p + 1) para todos los t impares ≥ 0.
Para establecer esto, necesitamos el siguiente simple lema.
Lemma 3.4. Supongamos que C es una curva no singular del género g sobre un algebraicamente cerrado
campo K, y M, N son paquetes de línea en C. Si deg(M) ≥ 2(2g+1) y deg(N) ≥ 2(2g+1),
luego el mapa natural
(C,M) (C,N) (C,N) → (C,MN)
es una suposición.
Prueba. Si L es un paquete de línea en C, entonces H1(C,L) = 0 si deg(L) > 2g − 2 y L es muy
amplio si deg(L) ≥ 2 g + 1 (capítulo IV, sección 3 [Ha]).
Supongamos que L es muy amplia y G es otro paquete de línea en C. Si deg(G) > 2g − 2−
deg(L), entonces G es 2-regular para L (Lectura 14, [M1]. Así, si deg(G) > 2g − 2 + deg(L),
(C,G) (C,L) (C,L) → (C,G L)
es una suposición de la Proposición de Castelnuovo, Conferencia 14, página 99 [M1].
Ahora aplicamos lo anterior para probar el lema. Escribe M = Aq B donde A es una
conjunto de líneas de modo que deg(A) = 2g + 1, y 2g + 1 ≤ deg(B) < 2,2g + 1). deg(N) >
2g − 2 + deg(A). Por lo tanto, existe una superposición
* (C,N ) * (C,A) * (C,A) * (C,AN ).
Hacemos iteraciones para conseguir surjecciones
(C,Ai N ) (C,A) → (C,A(i+1) N )
para i ≤ q, y una superficie
(C,Aq N ) (C,B) → (C,MN ).
Ahora probamos el Teorema 3.3. Para la construcción, comenzamos con un ejemplo de
Sección 6 de [CS]. Existe un campo cerrado algebraicamente K de p característica, una curva
C del género 2 sobre K, un punto q ° C y un haz de líneas M sobre C de grado 0, de tal manera que para
n ≥ 0,
H1(C,OC (q)Mn) =
1 si n = pt para algunos t ≥ 0,
De lo contrario.
Además, H1(C,OC (2q)Mn) = 0 para todos los n > 0.
Dejar a = p+ 1. Dejar E ser una curva elíptica sobre K, y dejar T = E × E, con proyecciones
ηi : T → E. Let b E be a point and let A = 1(OE(b)) 2(OE(b)). Dejar X = T × C,
con proyecciones de 1°: X → T, 2°: X → C. Let L = OC(q). Vamos.
F1 = 1(A)a 2(L)a,
F2 = 1(A)(1+a) 2(L(1+a) M−1).
Para m,n ≥ 0, tenemos
(X,Fm1 F)
2 ) = (T,A(ma+n(1+a))) (C,L(ma+n(1+a)) Mn)
= (T,Aa) m (T,A(1+a))n (C,La)m (C,L(1+a) M−1)n
= (X,F1)m (X,F2)n
por la fórmula Künneth (IV de la Conferencia 11 [M1]) y Lemma 3.4.
Let Rm,n = (X,Fm1 F)
2 ). R =
m,n≥0Rm,n es una álgebra K bigranada estándar por
4). Por lo tanto (2) se mantiene.
Por el teorema de Roch Riemann, calculamos,
(5) h0(C,Lr Ms) = h1(C,Lr Ms) + r − 1,
y para s < 0,
(6) h1(C,Lr Ms) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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1− r r < 0,
1 r = 0, s < 0,
1 r = 1, s = −pt, para algunos t • N,
0 r = 1, s 6 = −pt para algunos t â € N,
0 r = 2, s < 0,
0 r ≥ 3.
Más adelante tenemos
(7) h1(T,Ar) =
0 r 6= 0,
2 r = 0,
(8) h0(T,Ar) =
0 r < 0,
1 r = 0,
r2 r > 0.
Por (2), para n â € Z, tenemos
dimK(H
Q(R)n) =
h1(X,Fm1 F
Por la fórmula Künneth,
H1(X,Fm1 F
= H0(T,A(ma+n(1+a)))H1(C,L(ma+n(1+a)) Mn)
•H1(T,A(ma+n(1+a)))H0(C,L(ma+n(1+a)) Mn).
Así por (5) - (8), tenemos para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) =
1 j 0 (mod) a,
1 j = pt para algunos t impar â € N,
De lo contrario.
y tenemos las conclusiones del Teorema 3.3.
Teorema 3.5 da un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local con mayor
crecimiento.
Teorema 3.5. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra K R0 de grado estándar sobre K con dim(R0) = 4, y un estándar normal graduado
R0-álgebra R con dim(R) = 5 tales que para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) =
6j si j es par,
0 si j es impar,
donde Q =
n>0Rn.
Prueba. Deja que E sea una curva elíptica sobre K, y deja que q E sea un punto. Let L = OE(3q). Por
Proposición IV.4.6 [Ha], L es muy amplia en E, y
(9) N ≥ 0(E,Ln)
se genera en grado 1 como álgebra-K. En el caso de n° N,
(10) h0(C,Ln) =
0 n < 0,
1 n = 0,
3n n > 0.
(11) h1(C,Ln) =
−3n n < 0,
1 n = 0,
0 n > 0.
Let X = E3, con las tres proyecciones canónicas πi : X → E. Definir
F1 = 1(L2) 2(L2) 3(L2)
F2 = 1(L) 2(L) 3(L2).
Rm,n=(X,Fm1 F
m,n≥0
Rm, n.
Por (9) y la fórmula Künneth, R es bigraded estándar. Por (2), el hecho de que X = OX
y la dualidad Serre,
dimK(H
Q(R)−j) =
h2(X,Fm1 F
2 ) =
h1(X,Fm1 F
para j â € Z.
Ahora por (10), (11) y la fórmula Künneth, tenemos que para n > 0,
h1(X,Fm1 F
2 ) =
0 si 2m+ n 6= 0,
2h0(X,Ln) si 2m+ n = 0.
Así, las conclusiones de Teorema 3.5 sostienen. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente teorema da un ejemplo de domesticación, pero aún así bastante extraño cohomol local-
Ogy. Que [x] sea el número entero más grande en un número real x.
Teorema 3.6. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal
R con dim(R) = 4 tales que para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) = 162
dimK(H
Q(R)-j)
donde Q =
n>0Rn.
Prueba. Utilizamos el método del Ejemplo 1.6 [Cu]. Dejar E ser una curva elíptica sobre un
campo algebraicamente cerrado K, y dejar que p â € E ser un punto. Let X = E × E con proyecciones
ηi : X → E. Let C1 = 1(p), C2 = 2(p) y
* = {(q, q) * q * E}
ser la diagonal de X. Calculamos (como en [Cu]) que
(12) (C21 ) = (C
2 ) = ( )
2) = 0
(13) (• · C1) = (• · C2) = (• C1 · C2) = 1.
Si N es un paquete de líneas amplias en X, entonces
(14) H i(X,N ) = 0 para i > 0
por el teorema de desaparición de la Sección 16 [M2].
Supongamos que L es un paquete de línea muy amplio en X, y M es un efectivo numérico (nef)
Un paquete de líneas. Entonces M es 3 regular para L, por lo que
(X,MLn) (X,L) → (X,ML(n+1))
es una sobreyección si n ≥ 3. C1 + 2C2 es un divisor amplio por el criterio Moishezon Nakai
(Teorema V.1.10 [Ha]), de modo que 3(C1+2C2) es muy amplio por el teorema de Lefschetz (Teorema,
Sección 17 [M2]). Vamos.
F1 = OX(9(C1 + 2C2)).
Entonces OX es 3 regular para OX(3(C1 + 2C2)), por lo que tenemos suposiciones
* (X,Fn1 ) * (X,F1) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F)
(n+1)
para todos los n ≥ 1.
C2 es amplio por el criterio de Moishezon Nakai. Dejar D = 3(C2). D es muy amplio
por el teorema de Lefschetz, y por lo tanto OX(D)F1 es muy amplio. Vamos.
F2 = OX(3D)F31.
OX es 3 regular para OX(D)F1, por lo que tenemos suposiciones
(X,F2n) (X,F2) → (X,F(n+1)2 )
para todos los n ≥ 1.
para n > 0 y m ≥ 0, tenemos
Fm1 F
= OX(3nD)F(m+3n)1.
Dado que D es nef, es 3 regular para F1, y tenemos una superficie para todos m ≥ 0, n > 0,
(X,Fm1 F)
2 ) •(X,F1) → •(X,F
(m+1)
Rm,n=(X,Fm1 F
Hemos demostrado que m,n≥0Rm,n es un estándar bigrad K-álgebra. Por lo tanto (2) se mantiene.
Para m,n Z, let G = Fm1 F
2. Como en el ejemplo 1.6 [Cu], y por (14) y Serre
Dualidad (X=OX ya que X es una variedad abeliana), deducimos que
1. (G2) > 0 y (G · F1) > 0 implican que G es amplio y h1(X,G) = h2(X,G) = 0.
2. (G2) < 0 implica h0(X,G) = h2(X,G) = 0.
3. (G2) > 0 y (G · F1) < 0 implican que G−1 es amplio y h0(X,G) = h1(X,G) = 0.
Dejemos que el valor de 2 ° = −4−
y فارسى1 = −4 +
Usando (12) y (13), computamos
(F21 ) = 2 · 162, (F2)2 = 31 · 162, (F1 · F2) = 8 · 162.
Tenemos
(G2) = 324(m2 + 8mn+ 31
= 324(m− Ł1n)(m− Ł2n).
(G · F1) = 324(m + 4n).
A partir de 2 °C < 4 < 1 °C < 0, para n < 0 y m °C, tenemos
1. m > Ł2n si y sólo si G2 > 0 y G · F1 > 0
2...............................................................................................................................................................................................................................................................
3. m < Ł1n si y sólo si (G2) > 0 y (G · F1) < 0.
Por el Teorema de Roch de Riemann para una superficie Abeliana (Sección 16 [M2]),
χ(G) = 1
(G2).
Por lo tanto, para m+ Z y n < 0,
h1(X,G) =
(G2) = −162(m2 + 8mn+ 31
n2), si Ł1n < m < Ł2n,
De lo contrario.
En el caso de n+Z, déjese (n) = dimK(H2Q(Rn)). Por (2),
(n) =
h1(X,Fm1 F
Para n < 0, tenemos
(n) = −162(
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(m2 + 8mn+
n2)).
Ajuste r = m+ 4n, tenemos
(n) = −162(
n<r
(r2 − 1
= −324
r=1 (r
2 − 1
n2) + 81n2
= −324
+ 81n2
= 162
Así pues, tenemos las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4. Ejemplos extraños de álgebras de Rees
Que la notación y las suposiciones sean como en la Sección 2. Dado que F1 es amplio, existe l > 0
Tal que (X,Fl1 F
2 ) 6= 0. Así tenemos una incrustación F2 F
1 • OX. Vamos.
A = F2 F−l1, que hemos incrustado como una vaina ideal de X. Para j ≥ 0 e i ≥ jl,
Tij = (X,Fi1 Aj) = Ri−jl,j.
Para j ≥ 0, Tj =
i≥jl Tij y T =
j≥0 Tj. Let B =
j>0 Tj. R
= T como anillos clasificados
sobre R0 T0, aunque tienen diferentes estructuras bigraded. Así que para todos i, j tenemos
(15) H iB(T)j
= H iQ(R)j.
T1 es un ideal homogéneo de T0, y T es el álgebra de Rees de T1. Así que todo el examen...
ples de la sección 3 se puede interpretar como álgebras Rees sobre anillos normales T0 con aislados
singularidades.
Así obtenemos los siguientes teoremas de los teoremas 3.2 - 3.6. Teoremas 4.1, 4.2 y
4.3 dar ejemplos de álgebras Rees con cohomología local no domestica.
Teorema 4.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,
álgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3 y un ideal graduado A T0 tal que el
Rees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,
dimK(H
B(T)-j) =
2 si j es par,
0 si j es impar.
donde B es el ideal clasificado AtT de T.
Teorema 4.2. Supongamos que p es un número primo de tal manera que p 2 (mod)3 y p ≥ 11.
Luego existe un estándar normal de K-álgebra T0 sobre un campo K de características
p con dim(T0) = 4, y un ideal calificado A â € T0 tal que el álgebra de Rees T = T0[En] de
A es normal, y para j > 0,
dimK(H
Q(T)−j) =
1 en el caso de j Ł 0(mod)(p + 1),
1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,
0 en caso contrario,
donde B es el AtT ideal clasificado de T. Tenemos pt • −1(mod)(p + 1) para todos los impares t ≥ 0.
Teorema 4.3. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,
T0 K-álgebra grado estándar con dim(T0) = 4 y un ideal grado A â € T0 tal que el
Rees álgebra T = R0[En] de A es normal, y para j > 0,
dimK(H
B(T)-j) =
6j si j es par,
0 si j es impar,
donde B es el ideal clasificado AtT de T.
Teorema 4.4. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3, y un ideal de clasificación A T0 tal que el
Rees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,
dimK(H
B(T)-j) = 162
dimK(H
B(T)-j)
donde B es el ideal clasificado AtT de T.
Al localizar en el ideal máximo graduado de T0, obtenemos ejemplos de álgebras de Rees
de anillos locales con extraña cohomología local.
En todos estos ejemplos, T0 es generalizado Cohen Macaulay, pero no es Cohen Macaulay.
Esto sigue desde que en todos estos ejemplos,
H2P0(R0)0
= H1(X,OX) 6= 0.
5. La dualidad local en los ejemplos
El ejemplo de [CH], dando el fracaso de la domesticación de la cohomología local, se indica en el
orem 3.1 de este documento. La prueba de [CH] utiliza el teorema de dualidad local bigraded de
[HR], que ahora sigue del teorema de dualidad local mucho más general, The-
orem 1.5 y el corolario 1.7 de este documento, para concluir que en nuestra situación, donde R es
generalizado Cohen Macaulay,
16) (Hd-iQ (R)j)
* = H.i.P. (R)j
para j â € 0.
En [CH], la fórmula
H iP (R)j
= H iP0(Rj)
i−1(X, Rśj(m))
i−1(X,Fm1 F
para i ≥ 2 y j ≥ 0 se utiliza entonces con la fórmula (1) de [CH] ((3) de este documento) para demostrar
Teorema 3.1.
En la sección 2 derivamos (2) de la cual calculamos directamente la cohomología local en el
ejemplos de este documento. Hacemos uso esencial de la dualidad Serre en X en la computación
ejemplos.
En esta sección, mostramos cómo (16) se puede obtener directamente a partir de la geometría de X y
V, y cómo esta fórmula puede ser interpretada directamente como dualidad Serre en X.
Que la notación sea como en la sección 2, de modo que K es un campo algebraicamente cerrado, F1 y F2
son paquetes de línea muy amplios en la variedad nonsingular X.
Deja que R sea el módulo de dualización de R, y deja que X sea el paquete canónico de X (que
es una vaina dualizante en X). Para un módulo K W, deje W ′ = HomK(W,K).
Lemma 5.1. Tenemos eso.
(R)ij =
(X,Fi1 F)
2 X) si i ≥ 1 y j ≥ 1
De lo contrario.
Conjunto (R)
(R)i, j, una calificación R
Módulo 0. La esquilación de (R)
i en X es
(18) (R)i =
Fi1 X si i ≥ 1
0 si i ≤ 0.
Conjunto (R)j =
El módulo R0 es un módulo de R0 graduado. La esquilación de (R)j en X es
(19) (R)j =
Fj2 X si j ≥ 1
0 si j ≤ 0.
Prueba. Dar R la clasificación donde los elementos de grado e en R son [R]e =
i+j=eRij.
Nos hemos dado cuenta de R (con esta clasificación) como el anillo de coordinación de la incrustación proyectiva-
ding de V = P(F1+F2) por el divisor muy amplio OV (1), con proyección η : V → X.
Vamos a V ser el paquete de línea canónica en V. Primero calculamos V. Deja que f sea una fibra de
el mapa : V → X. Por adjunción, tenemos que (f · • V ) = − 2. Desde
Pic(V) = ZOV (1) (Pic(X)),
vemos que existe un paquete de línea G en X de tal manera que
V = OV (−2) (G).
La secuencia exacta de división natural
(20) 0 → F2 → F1+F2 → F1 → 0
determina una sección X0 de X, tal que de la secuencia exacta
0 → OV (1)OV (−X0) → OV (1) → OV (1) OX0 → 0
es (20) (Proposición II.7.12 [Ha]). Por lo tanto
OV (1) OV (−X0) = (F2)
OV (1)OX0 = F1.
Por adición, tenemos que el paquete de línea canónica de X0 es
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Juntando lo anterior, vemos que
G F1 F2 X.
V = OV (−2) (F1 F2 X).
Nos damos cuenta de R como un cociente bigraded de un anillo polinomio bigraded
S = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn],
con deg(xi) = (1, 0) para todos los i y deg(yj) = (0, 1) para todos los j. Viendo a S como un K-
álgebra con la clasificación determinada por d(xi) = d(yj) = 1 para todos i, j, tenemos un proyectivo
incrustado V-P = Proj(S). Puesto que V es no-singular, vemos en la Sección III.7 de [Ha]
V = ExtrP(OV,Op(−e))
donde e = m+ n es la dimensión de S, y r = e− dim(R). Se define como:
R = *Ext
S(R,S(−e))
ExtrP(OV,OP(m− e)).
En el caso de m â € 0,
(P, ExtrP(OV,Op(m− e))) = ExtrP(OV,OP(m− e))
(Proposición III.6.9 [Ha]). Por lo tanto, R y
(V ) =
(V, V (m))
son isomórficos en alto grado. Dado que ambos módulos tienen una profundidad ≥ 2 en el bigrad máximo
ideal de R, vemos que
* R = (V ).
mâ € € (V, â € € (m))
(V,OV (m-2) (F1 F2 -X)).
Puesto que una fibra f de η satisface (f ·OV (m− 2)(F1F2)) < 0 si m < 2, vemos que (con
Esta clasificación) [R]m = 0 si m < 2 y para m ≥ 2, tenemos
[R]m = (X,S
m−2(F1 F2)F1 F2)
i+j=m−2 فارسى(X,F
(i+1)
(j+1)
2 X).
A continuación figuran las conclusiones del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Supongamos que 2 ≤ i ≤ d − 2. Dado que F1 y F2 son amplias, y d − (i + 1) > 0, hay
existe un número natural n0 tal que
(21) Hd−(i+1)(X,Fm1 Fn2 X) = 0
para n ≥ n0 y todos los m ≥ 0.
Para (18), hemos clasificado los isomorfismos
(22) H iQ(R)n
H i−1(X,Fm1 F
2 X)
para n.o Z.o.p.
Por la dualidad Serre,
(23) H iQ(R)n
(Hd−i−1(X,Fm1 F)
Por (21), no existe tal que
(24) H iQ(R)−n
(Hd−i−1(X,Fm1 F)
para n ≥ n0.
Ahora aplique el functor L* = HomK(L,K) en módulos R0 clasificados, con la clasificación
(L*)i = HomK(L-i,K)
a (24), y comparar con (17), para obtener
(25) Hd−iP (R)n
= (H iQ(R)−n)*
para n ≥ n0, del que (16) sigue inmediatamente.
Ahora podemos verificar que el teorema 3.1 es de hecho cierto para todos j > 0, usando (22) y (3).
Finalmente comentamos que se obtiene una prueba alternativa de Teorema 3.2 para j â € 0
de Teorema 3.1, Fórmulas (2) y (22), el hecho de que X es una variedad abeliana para que
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
h1(X,Fn2 ) = h
1 (X,Fn2 ) = 0
para n > 0.
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Marc Chardin, Institut Mathématique de Jussieu Université Pierre et Marie Curie, Boite
247, 4, lugar Jussieu, F-75252 PARIS CEDEX 05
Dirección de correo electrónico: chardin@math.jussieu.fr
Dale Cutkosky, Departamento de Matemáticas, 202 Mathematical Sciences Bldg, Universidad
de Missouri, Columbia, MO 65211 EE.UU.
Dirección de correo electrónico: dale@math.missouri.edu
Jürgen Herzog, Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Duisburg-Essen,
Campus Essen, 45117 Essen, Alemania
Dirección de correo electrónico: juergen.herzog@uni-essen.de
Hema Srinivasan, Departamento de Matemáticas, 202 Mathematical Sciences Bldg, Universidad
de Missouri, Columbia, MO 65211 EE.UU.
Dirección de correo electrónico: srinivasanh@math.missouri.edu <srinivasan@math.missouri.edu>
| Demostramos un teorema de dualidad para ciertos álgebras graduadas y mostrar por varios
ejemplos de diferentes tipos de fracaso de la domesticación de la cohomología local.
| Introducción
El propósito de este trabajo es construir ejemplos de comportamiento extraño de coho local.
Moology. En estas construcciones seguimos una estrategia que ya se utilizó en [CH] y
que se refiere, a través de una secuencia espectral introducida en [HR], la cohomología local para el
dos distinguidos ideales primos bigraded en un álgebra bigraded estándar.
En la primera parte consideramos álgebras con clasificaciones más bien generales y deducir un similar
secuencia espectral en esta situación más general. Un ejemplo típico de tal álgebra
es el álgebra de Rees de un ideal calificado. La prueba de la secuencia espectral dada aquí es
más simple que la de la secuencia espectral correspondiente en [HR].
En la segunda parte de este artículo construimos ejemplos de los anillos de clasificación estándar A,
que son álgebras sobre un campo K, de tal manera que la función
(1) j 7→ dimK(H iA+(A)−j)
es una función interesante para j â € 0. En nuestros ejemplos, esta dimensión será finita para todos
Supongamos que A0 es un anillo local de Noetherian, A =
j≥0Aj es un anillo graduado estándar y
conjunto A+ :=
j>0Aj. Que M sea un modulo A finitamente generado y F := M
división de M en Y = Proj(A). Luego hemos clasificado los isomorfismos del módulo A
H i+1A+ (M)
H i(Y,F(n))
para i ≥ 1, y una expresión similar para i = 0 y 1.
Por desaparición de Serre, H iA+(M)j = 0 para todos los i y j 0. Sin embargo, la asintótica
el comportamiento de H iA+(M)−j para j â € 0 es mucho más misterioso.
En el caso cuando A0 = K es un campo, la función (1) es de hecho un polinomio para grandes
Suficiente j. La prueba es una consecuencia de la dualidad local calificada ([BS, 13.4.6] o [BH, 3.6.19])
o sigue de la dualidad Serre en una variedad proyectiva.
Para los módulos A0 más generales, HA+(M)−j son finitamente generados, pero no necesitan tener
longitud finita.
El siguiente problema fue propuesto por Brodmann y Hellus [BrHe].
El segundo autor fue parcialmente apoyado por NSF.
http://arxiv.org/abs/0704.0102v1
Problema de domesticación: ¿Son los módulos de cohomología locales H iA+(M) domesticados? Es decir, ¿es eso?
cierto que o bien
{H iA+(M)j 6= 0,
¿A+(M)j = 0?
El problema tiene una solución positiva para A0 de pequeña dimensión (algunas de las referencias
son Brodmann [Br], Brodmann y Hellus [BrHe], Lim [L], Rotthaus y Sega [RS]).
Teorema 0.1 ([BrHe]). Si dim(A0) ≤ 2, entonces M es domesta.
Sin embargo, dos de los autores han demostrado recientemente que la domesticación puede fallar si
dim(A0) = 3.
Teorema 0,2 ([CH]). Hay ejemplos con dim(A0) = 3 donde M no es domesta.
La declaración de este ejemplo se reproduce en el Teorema 3.1 de este artículo. La función
(1) es periódico para j grande. Específicamente, la función (1) es 2 para grande incluso j y es 0 para
gran j impar.
En Teorema 3.3 construimos un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local
que no es periódico, y ni siquiera es un cuasi polinomio (en −j) para j grande. Específicamente,
tenemos para j > 0,
dimK(H
(A)-j) =
1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),
1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,
0 en caso contrario,
donde la característica de K es p. Tenemos pt • −1 (mod) (p + 1) para todos los impares t ≥ 0.
También damos un ejemplo (Teorema 3.5) de fracaso de la domesticación donde (1) es un cuasi
polinomio con crecimiento lineal en grado par y es 0 en grado impar.
En Teorema 3.6, damos un ejemplo dócil, pero tenemos
dimK(H
A) a j)
así que (1) está lejos de ser un cuasi polinomio en −j para j grande.
Mientras que el ejemplo de [CH] es para M = A, donde A es el módulo canónico de A, el
ejemplos del papel son todos para M = A. Esto nos permite reinterpretar fácilmente nuestros ejemplos
como álgebras Rees en la Sección 4, y por lo tanto tenemos ejemplos de álgebras Rees sobre anillos locales
para lo cual el fracaso de la mansedumbre antedicho sostiene.
En la sección final, sección 5, damos un análisis del papel explícito e implícito de
bigraded duality en la construcción de los ejemplos, y algunos comentarios sobre cómo afecta
la geometría de las construcciones.
1. Dualidad para anillos polinomios en dos conjuntos de variables
Deja que K sea cualquier anillo conmutativo (con unidad). En aplicaciones posteriores K será en su mayoría
un campo. Además dejar S = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn], P = (x1,. .., xm) y Q =
(y1,. ., yn).
La homología del complejo Čech CP ( ) (resp. CQ( )) será denotado por HP ( ) (resp.
HQ( )). Note que para cualquier anillo conmutativo K, esta homología es la cohomología local
soportado en P (resp. Q), como P y Q son generados por una secuencia regular.
Asumir que S está clasificado para algún grupo abeliano, y que deg(a) = 0 para un K.
Si xsyp R, deg(xsyp) = l(s) + l′(p) con l(s) :=
i si deg(xi) y l
′(p) :=
j pj deg(yj).
Definición 1.1. Deja que yo sea un ideal de grado. La clasificación de S es I-afilada si H iI(S)γ
es un K-módulo finitamente generado, para cada i y γ.
Lemma 1.2. Las condiciones siguientes son equivalentes:
(i) la clasificación de S es P -afilada.
ii) la clasificación de S es Q-sharp.
iii) para todos los γ, (α, β): α ≥ 0, β ≥ 0, l(α) = γ + l′(β) <
Nótese que si K es Noetherian, M es un módulo S de grado S de generación finita, y el
El grado de S es I-afilado, entonces H iI(M)γ es un K-módulo finito, para cada i y γ. Esto
sigue de la secuencia espectral convergente Hp−q (H)
I (F) H
I (M), donde F
es una resolución S libre de grado de M con Fi finito para cada i.
A partir de ahora asumiremos que la clasificación de S es P -afilada (equivalentemente Q-
afilada). Set = deg(x1 · · · xmy1 · · · · yn), y si N es un módulo graduado, a continuación, dejar que N =
HomS(N,S()) y N* = *HomK(N,K) donde la clasificación de N* es dada por (N*)γ =
HomK(N,K). Más generalmente, siempre denotamos el K-dual calificado de un mod-
ule N (por encima de lo que calificaba de K-álgebra en cualquier caso) por N*. Finalmente denotamos por el mapa
S(−a) → S(−b) inducido por la multiplicación por xαyβ donde a = deg xα y b = − deg yβ.
Lemma 1.3. HmP ()γ
* HnQ()*.
Prueba. El K-moduleHmP libre (S)γ es generado por los elementos x
− s− 1yp con s, p ≥ 0 y
−l(s)− l(1) + l′(p) = γ, y HnQ(S) se genera por los elementos xty−q−1 con t, q ≥ 0
y l(t)− l′(q)− l′(1) =.
Let dγ : H
P (S)γ → (HnQ(S):*)γ = HnQ(S) ser el mapa K-lineal definido por
−s−1yp(xty−q−1) =
1, si s = t y p = q,
0, si no.
Entonces dγ es un isomorfismo (porque el grado de R es Q-afilado) y hay un com-
diagrama mutatis mutandis
HmpP (S)a
() HmP (S)b
(HnQ(S)a)
(HnQ(S)b)*.
La afirmación es la siguiente. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Como consecuencia inmediata obtenemos
Corollary 1.4. (a) Que f • S sea un elemento homogéneo de grado a–b, y • S(−a) →
S(−b) el mapa grado cero inducido por la multiplicación con f.
HmP () HnQ()*.
(b) Que F sea un complejo de S-módulos libres finitamente generados. Entonces
i) H iP (F) = 0 para i 6= m y H
Q(F) = 0 para j 6= n,
ii) HmP (F) HnQ(F)*.
Como resultado principal de esta sección tenemos
Teorema 1.5. Suponga que K es Noetheriano, el grado-de-S es P -afilado (equivalentemente
Q-sharp) y M es un modulo S de grado finitamente generado. Set S/K := S(). Dejad en paz a F.
una resolución S mínima de M. Entonces,
(a) Para todos i, hay un isomorfismo functorial
HiP (M) Hm−i(HmP (F)).
(b) Hay una secuencia espectral convergente de la categoría.
H iQ(Ext
S(M,S/K)) H
i+j−n(HmP (F)
En particular, si K es un campo, hay una secuencia espectral convergente de grado.
H iQ(Ext
S(M,.............................................................................................................................................................................................................................................................
dimS−(i+j)
P (M)
Prueba. La reclamación a) es una consecuencia inmediata del corolario 1.4 a través de las especificaciones de la categoría...................................................................................................................................................
secuencia tral Hp−i(H
P (F)) H iP (M). Para (b), las dos secuencias espectrales que surgen de
el CQF+ doble complejo tiene como segundo términos respectivamente ′Eij2 = H iQ(Ext
S(M,S/K)),
2 = 0 para i 6 = n y ′′E
2 = H
j(HnQ(F)
*) Hj(HmP (F)*). Si K más es un campo,
Hj(HmP (F)
*) (Hj(HmP (F))* H
P (F)
Corollary 1.6. Bajo las hipótesis del teorema, si K es un campo, entonces para cualquier γ
hay secuencias espectrales convergentes de espacios K-vector de dimensión finita
H iQ(Ext
S(M,R)
dimS−(i+j)
P (M),
H iP (Ext
S(M,R)
dimS−(i+j)
Q (M).
Ahora consideramos el caso especial de que = Z2, S := K[x1,. .., xm, y1,. .., yn] con
deg(xi) = (1, 0) y deg(yj) = (dj, 1) con dj ≥ 0. Set T := K[x1,. .., xm] y dejar M ser
a Módulo S de categoría S. Vemos a M como un módulo de grado Z definiendo Mk =
j M(j,k).
Observe que cada Mk en sí es un modulo T graduado con (Mk)j = M(j,k) para todos j. Nosotros también.
note que HiP (M)k
• = H iP0(Mk), como se puede ver en la definición de la cohomología local
utilizando el complejo Čech. Aquí P0 = (x1,. .., xm) es el ideal máximo clasificado de T.
Corollary 1.7. Con la notación introducida, s := dimS = m + n y d := dimM.
a) H0P (Ext
S (M,.............................................................................................................................................................................................................................................................
• = HdQ(M)* para cualquier k,
(b) hay una secuencia exacta
0→H1P (Exts−dS (M,S))→H
Q (M)
H0P (Exts-d+1S (M,S)).
c) Dejar i ≥ 2. Si ExtjS(M,?S) es aniquilado por un poder de P para todos s-d < j < s-d+i,
entonces hay una secuencia exacta
Exts−d+i−1S (M,S)→H
P (Ext
S (M,S))→H
Q (M)
H0P (Exts-d+iS (M,S)).
En particular, si Ext
S(M) tiene longitud finita para todos los s − d < j ≤ s − d+ i0, para algunos
entero i0, entonces
H iP0(Ext
S (M,S)k)
= (Hd-iQ (M)−k)
* para todos los i ≤ i0 y k ≤ 0.
En consecuencia, si M es un módulo generalizado Cohen-Macaulay (es decir, Exts-iS (M,
longitud finita para todos los i 6=d), y si establecemos N = Exts−dS (M,
H iP0 (Nk)
= (Hd-iQ (M)−k)
* para todos los i y todos los k â € 0.
Prueba. a), b) y c) son consecuencias directas del corolario 1.6. Para la solicitud, notificación
que si γ = (l, k) • • con k • 0 uno tiene ExtjS(M,•S)γ = 0 para todos los s− d < j ≤ s− d+ i0.
Por lo tanto, para tal γ, la conclusión deseada sigue. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Un ejemplo típico al que se aplica esta situación es el álgebra de Rees de un ideal calificado
I en el anillo polinomio estándar T = K[x1,. .., xm]. Digamos, yo soy generado ser el
polinomios homogéneos f1,. ..., fn con deg fj = dj para j = 1,..., n. Entonces el Rees
álgebra R(I) T [t] se genera los elementos fjt. Si establecemos deg fjt = (dj, 1) para todos j
y deg xi = (1, 0) para todos los i, entonces R(I) se convierte en un modulo S de grado S a través de la álgebra-K
homomorfismo S → R(I) con xi 7→ xi y yj 7→ fjt.
De acuerdo con esta definición tenemos R(I)k = Ik para todos k.
Puesto que dimR(I) = m+1, el módulo R(I) = Extn−1S (R(I), فارسىS) es el módulo canónico
de R(I) (en el sentido de [HK, 5. Vortrag]. Recordemos que si un anillo R es un módulo S finito
de la dimensión m + 1, el mapa finito natural R→Hom(R, R) = Extn−1S (R, S) es un
isomorfismo si y sólo si R es S2. Así, en combinación con el corolario 1.7 obtenemos
Corollary 1.8. Let R := R(I). Supongamos que Rp es Cohen-Macaulay para todos p 6= (m, R+)
donde m = (x1,. .., xm) y R+ =
k>0 I
ktk. Entonces
H im(I)
k) (Hm+1−iR+ (R)−k)
* para todos los i y todos los k â € 0.
Prueba. Puesto que la R se localiza, las condiciones implican que (R)p es Cohen-Macaulay para todos p 6=
(m, R+). Por lo tanto lo natural en el mapa R→R′ := Extn−1S (R, S) tiene un cokernel de finito
longitud. En particular, R′k = Rk = I
k para k + 0. Así pues, el corolario 1,7 se aplicó a M = R
da la conclusión deseada. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 1.9. Let R := R(I). Si el cokernel de R→Hom(?R,?R) es aniquilado por un
potencia de R+ (en otras palabras, la explosión es S2, como un esquema proyectivo sobre Spec(T)),
entonces R′k = I
k para k 0 y por lo tanto uno tiene una secuencia exacta
0→H0m(T/Ik)→(HmR+(R)−k)
H0m(ExtnS(R,S)k)→H1m(T/Ik)→(Hm−1R+ (R)k)
para tal k.
2. Un método de construcción de ejemplos
Supongamos que R =
i,j≥0Rij es un álgebra bigrada estándar sobre un anillo K = R00.
Definir Ri =
j≥0Rij y Rj =
i≥0Rij. Definir ideales P =
i y Q =
j>0Rj
en R. Supongamos que M =
ijÃ3zMij es un modulo R de generación finita, bigraded. Definir
M i =
jáZMij y Mj =
iZMij. M
i es un R0-módulo graduado y Mj es un graduado
R0-módulo. Dejar Q0 = R01R
0, por lo que Q = Q0R. Dejar P0 = R10R0 para que P = R10R. Nosotros
tienen isomorfismos del módulo K
H lQ(M)m,n
• = H lQ0(M
para m,n â € Z. Dejemos que Mìm sea la sheafificación del módulo R0-Mm graduado en Proj(R0).
Tenemos isomorfismos del módulo K
H lQ0(M
m)n = H l−1(Proj(R0), Mśm(n))
para l ≥ 2 y secuencias exactas
0 → H0Q0(M
m)n → (Rm)n = Rm,n → H0(Proj(R0), Mśm(n)) → H1Q0(M
m)n → 0.
Tenemos fórmulas similares para el cálculo de H lP (M).
Ahora supongamos que X es un esquema proyectivo sobre K y F1 y F2 son una línea muy amplia
paquetes en X. Vamos.
Rm,n=(X,Fm1 F
Requerimos que R =
m,n≥0Rm,n ser una álgebra K bigranada estándar. Tenemos
X = Proj(R0) = Proj(R0).
La sheafification del R0-módulo grado Rm en X es Rśm = Fm1, y la sheafification
del módulo R0-Rn clasificado en X es Rn = Fn2 (Ejercicio II.5.9 [Ha]).
Para l ≥ 2 tenemos isomorfismos bigrado
H lQ(R)
H lQ0(R
m)n â € =
m≥0,nÃ3rZ
H l−1(X,Fm1 F
Viendo R como un álgebra R0 graduada, por lo tanto hemos clasificado isomorfismos
(2) H lQ(R)n
H l−1(X,Fm1 F
para l ≥ 2 y n ≤ Z. Let d = dim(R) = dim(X) + 2.
Ahora suponemos además que K es un campo cerrado algebraicamente y X es un nonsingular
Variedad K. Vamos.
V = P(F1+F2),
un paquete de espacio proyectivo sobre X con proyección η : V → X. Dado que F1+F2 es un amplio
paquete en X, OV (1) es amplio en V. Desde
(V,OV (t))
• (V,OV (t)) • (X,St (F1) • (F2)) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
i+j=t
y R se genera en grado 1 con respecto a esta clasificación, OV (1) es muy amplio en V y
R es el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad proyectiva no singular V, de modo que R
es generalizado Cohen Macaulay (todos los módulos de cohomología local H iR+(R) de R con respeto
a la máxima bitraded ideal R+ de R tienen longitud finita para i < d). Además, tenemos que
V es proyectivamente normal por esta incrustación (Ejercicio II.5.14 [Ha]) de modo que R es normal.
3. Comportamiento extraño de la cohomología local
En [CH], construimos el siguiente ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local.
En el ejemplo, R0 tiene la dimensión 3, que es la más baja posible para el fracaso de la domesticación
[Br].
Teorema 3.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal
R con dim(R) = 4 tales que para j â € 0,
dimK(H
Q(R)j) =
2 si j es par,
0 si j es impar,
donde R es el módulo canónico de R, Q =
n>0Rn.
Primero mostramos que el teorema anterior también es cierto para la cohomología local de R.
Teorema 3.2. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal
R con dim(R) = 4 tales que para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) =
2 si j es par,
0 si j es impar,
donde Q =
n>0Rn.
Prueba. Calculamos esto directamente para la R del Teorema 3.1 a partir de (2) y los cálculos de
[CH]. Traduciendo de la notación de este artículo a la notación de [CH], tenemos X = S
es una superficie abeliana, F1 = OS(r2laH) y F2 = OS(r2(D + alH)).
Por (2) de este documento, para n â € N, tenemos
dimK(H
Q(R)n) =
m≥0 h
1 (X,Fm1 F)
m≥0 h
1 (S,OS((m+ n)r2alH + nr2D)).
La fórmula (1) de [CH] nos dice que para m,n-n-Z,
(3) h1(S,OS(mH + nD)) =
2 si m = 0 y n es par,
De lo contrario.
Así para n < 0, tenemos
dimK(H
Q(R)n) =
2 si n es par,
0 si n es impar,
dando las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente ejemplo muestra un fallo no periódico de domesticación.
Teorema 3.3. Supongamos que p es un número primo tal que p • 2 (mod) 3 y p ≥ 11.
Entonces existe un estándar normal de K-álgebra R0 sobre un campo K de características
p con dim(R0) = 4, y un R0-álgebra R normal graduado con dim(R) = 5 tales
que para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) =
1 si se trata de j • 0 (mod) (p + 1),
1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,
0 en caso contrario,
donde Q =
n>0Rn. Tenemos p
t • −1(mod)(p + 1) para todos los t impares ≥ 0.
Para establecer esto, necesitamos el siguiente simple lema.
Lemma 3.4. Supongamos que C es una curva no singular del género g sobre un algebraicamente cerrado
campo K, y M, N son paquetes de línea en C. Si deg(M) ≥ 2(2g+1) y deg(N) ≥ 2(2g+1),
luego el mapa natural
(C,M) (C,N) (C,N) → (C,MN)
es una suposición.
Prueba. Si L es un paquete de línea en C, entonces H1(C,L) = 0 si deg(L) > 2g − 2 y L es muy
amplio si deg(L) ≥ 2 g + 1 (capítulo IV, sección 3 [Ha]).
Supongamos que L es muy amplia y G es otro paquete de línea en C. Si deg(G) > 2g − 2−
deg(L), entonces G es 2-regular para L (Lectura 14, [M1]. Así, si deg(G) > 2g − 2 + deg(L),
(C,G) (C,L) (C,L) → (C,G L)
es una suposición de la Proposición de Castelnuovo, Conferencia 14, página 99 [M1].
Ahora aplicamos lo anterior para probar el lema. Escribe M = Aq B donde A es una
conjunto de líneas de modo que deg(A) = 2g + 1, y 2g + 1 ≤ deg(B) < 2,2g + 1). deg(N) >
2g − 2 + deg(A). Por lo tanto, existe una superposición
* (C,N ) * (C,A) * (C,A) * (C,AN ).
Hacemos iteraciones para conseguir surjecciones
(C,Ai N ) (C,A) → (C,A(i+1) N )
para i ≤ q, y una superficie
(C,Aq N ) (C,B) → (C,MN ).
Ahora probamos el Teorema 3.3. Para la construcción, comenzamos con un ejemplo de
Sección 6 de [CS]. Existe un campo cerrado algebraicamente K de p característica, una curva
C del género 2 sobre K, un punto q ° C y un haz de líneas M sobre C de grado 0, de tal manera que para
n ≥ 0,
H1(C,OC (q)Mn) =
1 si n = pt para algunos t ≥ 0,
De lo contrario.
Además, H1(C,OC (2q)Mn) = 0 para todos los n > 0.
Dejar a = p+ 1. Dejar E ser una curva elíptica sobre K, y dejar T = E × E, con proyecciones
ηi : T → E. Let b E be a point and let A = 1(OE(b)) 2(OE(b)). Dejar X = T × C,
con proyecciones de 1°: X → T, 2°: X → C. Let L = OC(q). Vamos.
F1 = 1(A)a 2(L)a,
F2 = 1(A)(1+a) 2(L(1+a) M−1).
Para m,n ≥ 0, tenemos
(X,Fm1 F)
2 ) = (T,A(ma+n(1+a))) (C,L(ma+n(1+a)) Mn)
= (T,Aa) m (T,A(1+a))n (C,La)m (C,L(1+a) M−1)n
= (X,F1)m (X,F2)n
por la fórmula Künneth (IV de la Conferencia 11 [M1]) y Lemma 3.4.
Let Rm,n = (X,Fm1 F)
2 ). R =
m,n≥0Rm,n es una álgebra K bigranada estándar por
4). Por lo tanto (2) se mantiene.
Por el teorema de Roch Riemann, calculamos,
(5) h0(C,Lr Ms) = h1(C,Lr Ms) + r − 1,
y para s < 0,
(6) h1(C,Lr Ms) =
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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1− r r < 0,
1 r = 0, s < 0,
1 r = 1, s = −pt, para algunos t • N,
0 r = 1, s 6 = −pt para algunos t â € N,
0 r = 2, s < 0,
0 r ≥ 3.
Más adelante tenemos
(7) h1(T,Ar) =
0 r 6= 0,
2 r = 0,
(8) h0(T,Ar) =
0 r < 0,
1 r = 0,
r2 r > 0.
Por (2), para n â € Z, tenemos
dimK(H
Q(R)n) =
h1(X,Fm1 F
Por la fórmula Künneth,
H1(X,Fm1 F
= H0(T,A(ma+n(1+a)))H1(C,L(ma+n(1+a)) Mn)
•H1(T,A(ma+n(1+a)))H0(C,L(ma+n(1+a)) Mn).
Así por (5) - (8), tenemos para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) =
1 j 0 (mod) a,
1 j = pt para algunos t impar â € N,
De lo contrario.
y tenemos las conclusiones del Teorema 3.3.
Teorema 3.5 da un ejemplo de fracaso de la domesticación de la cohomología local con mayor
crecimiento.
Teorema 3.5. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra K R0 de grado estándar sobre K con dim(R0) = 4, y un estándar normal graduado
R0-álgebra R con dim(R) = 5 tales que para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) =
6j si j es par,
0 si j es impar,
donde Q =
n>0Rn.
Prueba. Deja que E sea una curva elíptica sobre K, y deja que q E sea un punto. Let L = OE(3q). Por
Proposición IV.4.6 [Ha], L es muy amplia en E, y
(9) N ≥ 0(E,Ln)
se genera en grado 1 como álgebra-K. En el caso de n° N,
(10) h0(C,Ln) =
0 n < 0,
1 n = 0,
3n n > 0.
(11) h1(C,Ln) =
−3n n < 0,
1 n = 0,
0 n > 0.
Let X = E3, con las tres proyecciones canónicas πi : X → E. Definir
F1 = 1(L2) 2(L2) 3(L2)
F2 = 1(L) 2(L) 3(L2).
Rm,n=(X,Fm1 F
m,n≥0
Rm, n.
Por (9) y la fórmula Künneth, R es bigraded estándar. Por (2), el hecho de que X = OX
y la dualidad Serre,
dimK(H
Q(R)−j) =
h2(X,Fm1 F
2 ) =
h1(X,Fm1 F
para j â € Z.
Ahora por (10), (11) y la fórmula Künneth, tenemos que para n > 0,
h1(X,Fm1 F
2 ) =
0 si 2m+ n 6= 0,
2h0(X,Ln) si 2m+ n = 0.
Así, las conclusiones de Teorema 3.5 sostienen. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
El siguiente teorema da un ejemplo de domesticación, pero aún así bastante extraño cohomol local-
Ogy. Que [x] sea el número entero más grande en un número real x.
Teorema 3.6. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra K R0 graduada estándar con dim(R0) = 3, y una álgebra R0 graduada normal
R con dim(R) = 4 tales que para j > 0,
dimK(H
Q(R)−j) = 162
dimK(H
Q(R)-j)
donde Q =
n>0Rn.
Prueba. Utilizamos el método del Ejemplo 1.6 [Cu]. Dejar E ser una curva elíptica sobre un
campo algebraicamente cerrado K, y dejar que p â € E ser un punto. Let X = E × E con proyecciones
ηi : X → E. Let C1 = 1(p), C2 = 2(p) y
* = {(q, q) * q * E}
ser la diagonal de X. Calculamos (como en [Cu]) que
(12) (C21 ) = (C
2 ) = ( )
2) = 0
(13) (• · C1) = (• · C2) = (• C1 · C2) = 1.
Si N es un paquete de líneas amplias en X, entonces
(14) H i(X,N ) = 0 para i > 0
por el teorema de desaparición de la Sección 16 [M2].
Supongamos que L es un paquete de línea muy amplio en X, y M es un efectivo numérico (nef)
Un paquete de líneas. Entonces M es 3 regular para L, por lo que
(X,MLn) (X,L) → (X,ML(n+1))
es una sobreyección si n ≥ 3. C1 + 2C2 es un divisor amplio por el criterio Moishezon Nakai
(Teorema V.1.10 [Ha]), de modo que 3(C1+2C2) es muy amplio por el teorema de Lefschetz (Teorema,
Sección 17 [M2]). Vamos.
F1 = OX(9(C1 + 2C2)).
Entonces OX es 3 regular para OX(3(C1 + 2C2)), por lo que tenemos suposiciones
* (X,Fn1 ) * (X,F1) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F1) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F) * (X,F)
(n+1)
para todos los n ≥ 1.
C2 es amplio por el criterio de Moishezon Nakai. Dejar D = 3(C2). D es muy amplio
por el teorema de Lefschetz, y por lo tanto OX(D)F1 es muy amplio. Vamos.
F2 = OX(3D)F31.
OX es 3 regular para OX(D)F1, por lo que tenemos suposiciones
(X,F2n) (X,F2) → (X,F(n+1)2 )
para todos los n ≥ 1.
para n > 0 y m ≥ 0, tenemos
Fm1 F
= OX(3nD)F(m+3n)1.
Dado que D es nef, es 3 regular para F1, y tenemos una superficie para todos m ≥ 0, n > 0,
(X,Fm1 F)
2 ) •(X,F1) → •(X,F
(m+1)
Rm,n=(X,Fm1 F
Hemos demostrado que m,n≥0Rm,n es un estándar bigrad K-álgebra. Por lo tanto (2) se mantiene.
Para m,n Z, let G = Fm1 F
2. Como en el ejemplo 1.6 [Cu], y por (14) y Serre
Dualidad (X=OX ya que X es una variedad abeliana), deducimos que
1. (G2) > 0 y (G · F1) > 0 implican que G es amplio y h1(X,G) = h2(X,G) = 0.
2. (G2) < 0 implica h0(X,G) = h2(X,G) = 0.
3. (G2) > 0 y (G · F1) < 0 implican que G−1 es amplio y h0(X,G) = h1(X,G) = 0.
Dejemos que el valor de 2 ° = −4−
y فارسى1 = −4 +
Usando (12) y (13), computamos
(F21 ) = 2 · 162, (F2)2 = 31 · 162, (F1 · F2) = 8 · 162.
Tenemos
(G2) = 324(m2 + 8mn+ 31
= 324(m− Ł1n)(m− Ł2n).
(G · F1) = 324(m + 4n).
A partir de 2 °C < 4 < 1 °C < 0, para n < 0 y m °C, tenemos
1. m > Ł2n si y sólo si G2 > 0 y G · F1 > 0
2...............................................................................................................................................................................................................................................................
3. m < Ł1n si y sólo si (G2) > 0 y (G · F1) < 0.
Por el Teorema de Roch de Riemann para una superficie Abeliana (Sección 16 [M2]),
χ(G) = 1
(G2).
Por lo tanto, para m+ Z y n < 0,
h1(X,G) =
(G2) = −162(m2 + 8mn+ 31
n2), si Ł1n < m < Ł2n,
De lo contrario.
En el caso de n+Z, déjese (n) = dimK(H2Q(Rn)). Por (2),
(n) =
h1(X,Fm1 F
Para n < 0, tenemos
(n) = −162(
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(m2 + 8mn+
n2)).
Ajuste r = m+ 4n, tenemos
(n) = −162(
n<r
(r2 − 1
= −324
r=1 (r
2 − 1
n2) + 81n2
= −324
+ 81n2
= 162
Así pues, tenemos las conclusiones del teorema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
4. Ejemplos extraños de álgebras de Rees
Que la notación y las suposiciones sean como en la Sección 2. Dado que F1 es amplio, existe l > 0
Tal que (X,Fl1 F
2 ) 6= 0. Así tenemos una incrustación F2 F
1 • OX. Vamos.
A = F2 F−l1, que hemos incrustado como una vaina ideal de X. Para j ≥ 0 e i ≥ jl,
Tij = (X,Fi1 Aj) = Ri−jl,j.
Para j ≥ 0, Tj =
i≥jl Tij y T =
j≥0 Tj. Let B =
j>0 Tj. R
= T como anillos clasificados
sobre R0 T0, aunque tienen diferentes estructuras bigraded. Así que para todos i, j tenemos
(15) H iB(T)j
= H iQ(R)j.
T1 es un ideal homogéneo de T0, y T es el álgebra de Rees de T1. Así que todo el examen...
ples de la sección 3 se puede interpretar como álgebras Rees sobre anillos normales T0 con aislados
singularidades.
Así obtenemos los siguientes teoremas de los teoremas 3.2 - 3.6. Teoremas 4.1, 4.2 y
4.3 dar ejemplos de álgebras Rees con cohomología local no domestica.
Teorema 4.1. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,
álgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3 y un ideal graduado A T0 tal que el
Rees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,
dimK(H
B(T)-j) =
2 si j es par,
0 si j es impar.
donde B es el ideal clasificado AtT de T.
Teorema 4.2. Supongamos que p es un número primo de tal manera que p 2 (mod)3 y p ≥ 11.
Luego existe un estándar normal de K-álgebra T0 sobre un campo K de características
p con dim(T0) = 4, y un ideal calificado A â € T0 tal que el álgebra de Rees T = T0[En] de
A es normal, y para j > 0,
dimK(H
Q(T)−j) =
1 en el caso de j Ł 0(mod)(p + 1),
1 si j = pt para algunas t impares ≥ 0,
0 en caso contrario,
donde B es el AtT ideal clasificado de T. Tenemos pt • −1(mod)(p + 1) para todos los impares t ≥ 0.
Teorema 4.3. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad,
T0 K-álgebra grado estándar con dim(T0) = 4 y un ideal grado A â € T0 tal que el
Rees álgebra T = R0[En] de A es normal, y para j > 0,
dimK(H
B(T)-j) =
6j si j es par,
0 si j es impar,
donde B es el ideal clasificado AtT de T.
Teorema 4.4. Supongamos que K es un campo algebraicamente cerrado. Entonces existe una normalidad.
álgebra estándar K álgebra T0 con dim(T0) = 3, y un ideal de clasificación A T0 tal que el
Rees álgebra T = T0[En] de A es normal, y para j > 0,
dimK(H
B(T)-j) = 162
dimK(H
B(T)-j)
donde B es el ideal clasificado AtT de T.
Al localizar en el ideal máximo graduado de T0, obtenemos ejemplos de álgebras de Rees
de anillos locales con extraña cohomología local.
En todos estos ejemplos, T0 es generalizado Cohen Macaulay, pero no es Cohen Macaulay.
Esto sigue desde que en todos estos ejemplos,
H2P0(R0)0
= H1(X,OX) 6= 0.
5. La dualidad local en los ejemplos
El ejemplo de [CH], dando el fracaso de la domesticación de la cohomología local, se indica en el
orem 3.1 de este documento. La prueba de [CH] utiliza el teorema de dualidad local bigraded de
[HR], que ahora sigue del teorema de dualidad local mucho más general, The-
orem 1.5 y el corolario 1.7 de este documento, para concluir que en nuestra situación, donde R es
generalizado Cohen Macaulay,
16) (Hd-iQ (R)j)
* = H.i.P. (R)j
para j â € 0.
En [CH], la fórmula
H iP (R)j
= H iP0(Rj)
i−1(X, Rśj(m))
i−1(X,Fm1 F
para i ≥ 2 y j ≥ 0 se utiliza entonces con la fórmula (1) de [CH] ((3) de este documento) para demostrar
Teorema 3.1.
En la sección 2 derivamos (2) de la cual calculamos directamente la cohomología local en el
ejemplos de este documento. Hacemos uso esencial de la dualidad Serre en X en la computación
ejemplos.
En esta sección, mostramos cómo (16) se puede obtener directamente a partir de la geometría de X y
V, y cómo esta fórmula puede ser interpretada directamente como dualidad Serre en X.
Que la notación sea como en la sección 2, de modo que K es un campo algebraicamente cerrado, F1 y F2
son paquetes de línea muy amplios en la variedad nonsingular X.
Deja que R sea el módulo de dualización de R, y deja que X sea el paquete canónico de X (que
es una vaina dualizante en X). Para un módulo K W, deje W ′ = HomK(W,K).
Lemma 5.1. Tenemos eso.
(R)ij =
(X,Fi1 F)
2 X) si i ≥ 1 y j ≥ 1
De lo contrario.
Conjunto (R)
(R)i, j, una calificación R
Módulo 0. La esquilación de (R)
i en X es
(18) (R)i =
Fi1 X si i ≥ 1
0 si i ≤ 0.
Conjunto (R)j =
El módulo R0 es un módulo de R0 graduado. La esquilación de (R)j en X es
(19) (R)j =
Fj2 X si j ≥ 1
0 si j ≤ 0.
Prueba. Dar R la clasificación donde los elementos de grado e en R son [R]e =
i+j=eRij.
Nos hemos dado cuenta de R (con esta clasificación) como el anillo de coordinación de la incrustación proyectiva-
ding de V = P(F1+F2) por el divisor muy amplio OV (1), con proyección η : V → X.
Vamos a V ser el paquete de línea canónica en V. Primero calculamos V. Deja que f sea una fibra de
el mapa : V → X. Por adjunción, tenemos que (f · • V ) = − 2. Desde
Pic(V) = ZOV (1) (Pic(X)),
vemos que existe un paquete de línea G en X de tal manera que
V = OV (−2) (G).
La secuencia exacta de división natural
(20) 0 → F2 → F1+F2 → F1 → 0
determina una sección X0 de X, tal que de la secuencia exacta
0 → OV (1)OV (−X0) → OV (1) → OV (1) OX0 → 0
es (20) (Proposición II.7.12 [Ha]). Por lo tanto
OV (1) OV (−X0) = (F2)
OV (1)OX0 = F1.
Por adición, tenemos que el paquete de línea canónica de X0 es
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Juntando lo anterior, vemos que
G F1 F2 X.
V = OV (−2) (F1 F2 X).
Nos damos cuenta de R como un cociente bigraded de un anillo polinomio bigraded
S = K[x1,. .., xm, y1,. .., yn],
con deg(xi) = (1, 0) para todos los i y deg(yj) = (0, 1) para todos los j. Viendo a S como un K-
álgebra con la clasificación determinada por d(xi) = d(yj) = 1 para todos i, j, tenemos un proyectivo
incrustado V-P = Proj(S). Puesto que V es no-singular, vemos en la Sección III.7 de [Ha]
V = ExtrP(OV,Op(−e))
donde e = m+ n es la dimensión de S, y r = e− dim(R). Se define como:
R = *Ext
S(R,S(−e))
ExtrP(OV,OP(m− e)).
En el caso de m â € 0,
(P, ExtrP(OV,Op(m− e))) = ExtrP(OV,OP(m− e))
(Proposición III.6.9 [Ha]). Por lo tanto, R y
(V ) =
(V, V (m))
son isomórficos en alto grado. Dado que ambos módulos tienen una profundidad ≥ 2 en el bigrad máximo
ideal de R, vemos que
* R = (V ).
mâ € € (V, â € € (m))
(V,OV (m-2) (F1 F2 -X)).
Puesto que una fibra f de η satisface (f ·OV (m− 2)(F1F2)) < 0 si m < 2, vemos que (con
Esta clasificación) [R]m = 0 si m < 2 y para m ≥ 2, tenemos
[R]m = (X,S
m−2(F1 F2)F1 F2)
i+j=m−2 فارسى(X,F
(i+1)
(j+1)
2 X).
A continuación figuran las conclusiones del lema. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Supongamos que 2 ≤ i ≤ d − 2. Dado que F1 y F2 son amplias, y d − (i + 1) > 0, hay
existe un número natural n0 tal que
(21) Hd−(i+1)(X,Fm1 Fn2 X) = 0
para n ≥ n0 y todos los m ≥ 0.
Para (18), hemos clasificado los isomorfismos
(22) H iQ(R)n
H i−1(X,Fm1 F
2 X)
para n.o Z.o.p.
Por la dualidad Serre,
(23) H iQ(R)n
(Hd−i−1(X,Fm1 F)
Por (21), no existe tal que
(24) H iQ(R)−n
(Hd−i−1(X,Fm1 F)
para n ≥ n0.
Ahora aplique el functor L* = HomK(L,K) en módulos R0 clasificados, con la clasificación
(L*)i = HomK(L-i,K)
a (24), y comparar con (17), para obtener
(25) Hd−iP (R)n
= (H iQ(R)−n)*
para n ≥ n0, del que (16) sigue inmediatamente.
Ahora podemos verificar que el teorema 3.1 es de hecho cierto para todos j > 0, usando (22) y (3).
Finalmente comentamos que se obtiene una prueba alternativa de Teorema 3.2 para j â € 0
de Teorema 3.1, Fórmulas (2) y (22), el hecho de que X es una variedad abeliana para que
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
h1(X,Fn2 ) = h
1 (X,Fn2 ) = 0
para n > 0.
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283, 232 - 247 (2005).
Marc Chardin, Institut Mathématique de Jussieu Université Pierre et Marie Curie, Boite
247, 4, lugar Jussieu, F-75252 PARIS CEDEX 05
Dirección de correo electrónico: chardin@math.jussieu.fr
Dale Cutkosky, Departamento de Matemáticas, 202 Mathematical Sciences Bldg, Universidad
de Missouri, Columbia, MO 65211 EE.UU.
Dirección de correo electrónico: dale@math.missouri.edu
Jürgen Herzog, Fachbereich Mathematik und Informatik, Universität Duisburg-Essen,
Campus Essen, 45117 Essen, Alemania
Dirección de correo electrónico: juergen.herzog@uni-essen.de
Hema Srinivasan, Departamento de Matemáticas, 202 Mathematical Sciences Bldg, Universidad
de Missouri, Columbia, MO 65211 EE.UU.
Dirección de correo electrónico: srinivasanh@math.missouri.edu <srinivasan@math.missouri.edu>
|
704.0103 | Generalized regularly discontinuous solutions of the Einstein equations | Soluciones discontinuas generalizadas regularmente
de las ecuaciones de Einstein
Gianluca Gemelli
L.S. B. Pascal, V. P. Nenni 48, Pomezia (Roma), Italia.
Correo electrónico: gianluca.gemelli@poste.it
Resumen
La consistencia física de la coincidencia de las métricas tipo C0 es
Debatida. La teoría matemática de la discontinuidad gravitacional hy-
persuperficies se generaliza para cubrir el partido de regular discontinua
métricas. El marco de geometría diferencial de valor medio en un hy-
se introduce persuperficie, y las condiciones de compatibilidad correspondientes
se deducen. Ejemplos de capas de contorno generalizadas, gravitacional
Se estudian las ondas de choque y las conchas delgadas.
Presentado a Int. J. Theor. Phys.
1 Introducción
¿Es posible definir soluciones débiles de las ecuaciones Einstein de clase
C0 a trozos, es decir, generalizar las condiciones de compatibilidad que sustituyen
las ecuaciones de campo en una hipersuperficie singular al caso cuando la métrica es
¿Con regularidad discontinua?
Alcanzar este objetivo significaría probablemente definir la clase más general
de soluciones débiles regularmente discontinuas de las ecuaciones de Einstein. Parece
que este problema nunca había sido estudiado antes en la literatura. Pero, antes de que nosotros
Procede, tenemos que discutir si estamos hablando de algo mathemat-
cial y físicamente consistente o no.
Un concepto fundamental de la geometría Riemanniana es que en cualquier punto de
un submanifold hay opciones de coordenadas para las que la métrica se reduce a
http://arxiv.org/abs/0704.0103v1
la métrica plana de Minkowski. Evidentemente, si esta elección se hace en ambos lados de la
la superficie de discontinuidad, cualquier “salto” en la métrica desaparece. Por lo tanto, la
discontinuidad métrica aparece como un concepto dependiente de coordenadas, que es
ni geométricamente (ni físicamente) aceptable en el contexto de
Relatividad.
Pero también tenemos que considerar que la regularidad de las coordenadas globales juega
un papel importante en nuestro enfoque, que es el de [1] y de la literatura
citado en el mismo. En particular, ya que aquí el espacio tiempo es sólo C0, nos llevan a
considerando las transformaciones de coordenadas (C0, C1) a trozos. Si la métrica es
discontinuo en algún gráfico global de C0, es en general imposible obtener
la desaparición del salto métrico a ambos lados de una hipersuperficie con un C0
transformación de coordenadas (ver sección 2). Moeover en el siguiente somos
llevó de una manera natural a considerar las transformaciones de coordenadas C1; la métrica
¡La discontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas!
En otras palabras, el salto de la métrica tiene una media matemática precisa-
ing, si lo consideramos en relación con las coordenadas regulares globales.
En un procedimiento bien consolidado, el supuesto de continuidad para el
métrica a través de una interfaz gravitacional generalmente se da por sentado; sin embargo
se deriva del proceso de limitación de la modelización sándwich fino, en
consecuencia de la hipótesis de que los derivados externos de la métrica
se delimitan [2]. Sin embargo, en este documento vamos a ver que, incluso la eliminación
la suposición de continuidad, todavía es posible definir un interior generalizado
geometría de la hipersuperficie de discontinuidad; uno así puede encontrar consistentemente
un conjunto generalizado correspondiente de condiciones de compatibilidad, que, evidentemente,
se reduce a los habituales cuando se restablece la hipótesis de continuidad.
Sin embargo, ¿cuáles son las motivaciones físicas para pasar a tal generalización?
En realidad las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas son generalmente definidas por el
presencia de curvatura singular con un componente “delta” concentrado en una
hipersuperficie, situación que está bien moldeada dentro del clásico C0 piecewise-C1
Coincidencia de las métricas [1, 3].
Originalmente fuimos llevados a considerar soluciones de clase-C0, como pos-
generalizaciones de ondas de choque y conchas delgadas, por el bien de la mathe-
matical completo, con la idea de que la interpretación física seguiría.
En realidad encontramos un marco de alcance más que el habitual, con algunos en-
nuevas características teresantes (e incluso algunas más bien indeseables), que nosotros
exhibido en este papel.
Hay dos teorías principales en la literatura para las soluciones de la clase C0
C1, es decir, que en términos de la segunda forma fundamental (heurística
la teoría, véase, por ejemplo, [4, 5]) y que en términos de la curvatura tensor-distribución
(Teoría axiomática, véase, por ejemplo, [6, 1]); son equivalentes por medio de la asignación
extensiones (para una visión general autónoma véase, por ejemplo, [1]).
La teoría axiomática parece no ser apropiada para el estudio de
las soluciones izadas, ya que la teoría de las distribuciones es básicamente lineal. Incluso si nosotros
En principio, podría sustituir la métrica discontinua por sus distri-
bution gD, entonces sería imposible definir, por ejemplo, los reemplazos
para los símbolos Christoffel, ya que esto implicaría producto de distribuciones,
que, como se cree en general, es imposible de definir. De hecho, se demostró que
Schwarz [7] que, bajo hipótesis razonables, no puede haber una definición
de funcionamiento conmutativo y asociativo en distribuciones que se reducen a
multiplicación ordinaria en distribuciones integrables (por ejemplo, en funciones regulares);
Por lo tanto, en una palabra es imposible definir el producto de las distribuciones.
¿O lo es? Colombeau [8, 9, 10] desarrolló una teoría que aparentemente
Tradice el resultado de Schwarz. Introdujo un espacio muy amplio de
funciones, que extiende el espacio habitual de distribuciones, un subespacio de las cuales
corresponde, en cierto sentido (la correspondencia no es 1 a 1), a lo habitual
distribuciones. El formalismo de Colombeau permite la multiplicación de
funciones; pero la contradicción con el teorema de imposibilidad es sólo ap-
padre, de hecho la hipótesis de Schwarz se violan, ya que la operación hace
no coinciden con la multiplicación ordinaria en funciones regulares ni con mul-
tiplicación de una función regular veces una distribución (aunque hace al menos
para las funciones de C.O.C.).
Esta teoría, sin embargo, no encaja de una manera natural en la relatividad general,
ya que es imposible definir objetos geométricos covariantemente invariantes; en
El espacio de Colombeau no es invariable para la transformación de coordenadas fluidas.
ciones, a menos que sean lineales. Sin embargo, tal dificultad parece haber sido
superado en posteriores ajustes de la teoría, con la introducción de
un marco matemático más rico [11, 12], de modo que las funciones generalizadas
aparatos actuales se pueden utilizar en la relatividad general, y de hecho ha sido
se aplica al menos al cálculo de las curvaturas singulares de los espacios-tiempo
de Kerr [13], Reissner-Nordstrom [14], y el llamado espacio-tiempo de cuerdas cósmicas
[15]. En esta literatura la teoría de Colombeau se adapta al manejo de
curvatura cuando la métrica tiene una singularidad en el sentido de funciones, es decir. la
la curvatura ordinaria explotaría, en un punto de acontecimiento singular o en un singular
worldline. No parece haber ninguna razón en particular para prohibir a Colombeau
método también para definir la coincidencia de la pieza-C0 regularmente discontinuo
métricas en una hipersuperficie singular; sin embargo, por lo que el autor sabe, no
Se ha intentado aún utilizarlo en este marco.
El método directo que vamos a introducir en las siguientes secciones, sin embargo,
es tan conceptualmente simple que preferimos no experimentar con Colombeau
funciones generalizadas, lo que significaría, en cambio, la introducción de un
aparato matemático complicado y desconocido.
En este artículo proponemos de hecho una nueva teoría generalizada para regularmente
soluciones discontinuas, que cubren también la combinación de métricas tipo C0. Nuestro
la teoría es heurística, ya que se construye de una manera similar a la heurística el-
ory de C0, las soluciones por pieza-C1 se originaron de los estudios de Israel, pero
evitamos completamente el marco tradicional o proyectual Gauss-Codazzi
(que no incluye el caso liviano [4, 5], o necesita un adap-
e introducir lo que llamamos “diferencia de valor medio”
En cambio, el marco de geometría” (véase la sección 3). Esto es conceptualmente muy sim-
y permite construir de una manera natural una teoría generalizada, donde
el papel principal (que solía ser el del salto del secund fundamental
forma) se juega aquí por el salto de los símbolos de Christoffel. La teoría es un
extensión de la teoría de hipersuperficies de discontinuidad gravitacional que tenemos
estudiado en [1], al que se reduce cuando la métrica es C0. Incluso si deberíamos
limitar a la solución C0, añadiendo el supuesto tradicional de continuidad para
la métrica, nuestra teoría sin duda tendría al menos las buenas cualidades de
no necesita el tiempo y el caso de luz para ser distinguido (diferente
de la teoría heurística habitual), y de sólo requerir la continuidad C0 para la co-
ordenadas (diferentes de la teoría axiomática). Por otra parte, es completamente
en el marco de las coordenadas generales del espacio ambiente (encolado)-
tiempo, sin uso de ecuaciones paramétricas de la hipersuperficie, ni de
coordenadas y 3 bases holonómicas, que podrían considerarse una buena calidad
en algunas aplicaciones también.
Soluciones débiles Pickwise-C0 de las ecuaciones de Einstein, hasta el au-
thor es consciente, nunca se han considerado previamente en la literatura. Ellos
generalizar las soluciones C0 correspondientes, como muestran los ejemplos de este artículo;
Sin embargo, hay más. Aparentemente de hecho la teoría permite la propagación
de discontinuidad gravitacional libre a una velocidad inferior a la velocidad de la luz (seg-
En el caso de que se trate de un problema de salud pública, la Comisión no está de acuerdo con lo que ha dicho el Sr. Van den Broek.
la energía concentrada en el tiempo debería implicar necesariamente la
degeneración de la solución generalizada a la capa de contorno, aunque lo hace
al menos para una amplia clase de emparejamientos esféricos (véase la sección 6). Por otra parte, no
se permite la energía de estrés simétrica en la hipersuperficie (sección 9), como, por ejemplo, en
Dinámica Einstein-Cartán. Este posible vínculo con las teorías clásicas de unificación
Es sorprendente, ya que en nuestro marco no tenemos nada similar a Einstein.
Torsión cartánica. Por lo tanto, vemos mucho espacio para futuras investigaciones.
2 métricas discontinuas
Supongamos que V4 un multiple orientado diferenciable de la dimensión 4, de clase
(C0, C2), provisto de una métrica de firma estrictamente hiperbólica
- Y clase a destajo-C0. Deja que V4 sea un subconjunto abierto conectado con
cierre compacto. Dejar que las unidades se elijan para tener la velocidad de la luz en
espacio vacío c • 1. Los índices griegos van de 0 a 3.
Vamos a ser una hipersuperfaz regular de la ecuación f(x) = 0; vamos a y
denotan los subdominios distinguidos por el signo de f.
métrica y sus derivados parciales primero y segundo que se discontinuarán regularmente.
en todos los gráficos de la clase C0(). Let f C0(♥) C2(), and let
los derivados segundo y tercero de f deben ser discontinuas regularmente en Por último,
let lα f denotar el gradiente de f.
Que la métrica sea una solución de las ecuaciones ordinarias de Einstein en cada uno de
los dos dominios y. En esta situación es la interfaz entre dos
general relativista espaciotiempos y se llama un (generalizado) gravitacional
hipersuperficie de discontinuidad.
En lo siguiente vamos a desarrollar una teoría para justificar la introducción de
condiciones adecuadas de compatibilidad generalizada para sustituir el equa- de Einstein
(sección 5); si dichas condiciones se cumplen en el
generalización de la hipersuperficie gravitacional
solución discontinua de las ecuaciones de Einstein.
Ahora vamos a recordar brevemente algunas nociones básicas sobre regularmente discontinuo
campos, que utilizaremos como herramientas. En cualquier caso, para notación y terminología
nos referimos a [1].
Un campo se dice que es regularmente discontinuo en si sus restricciones a
los dos subdominios y ambos tienen un límite finito para f 0; nosotros
denotar tales límites por y, respectivamente.
En este caso, el salto a través de la línea y su valor medio aritmético son:
bien definido en la hipersuperficie:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* = (1/2)( + )
Si es continuo a lo largo de la línea, obviamente tenemos: [] = 0, = . También tenemos
las fórmulas inversas:
= (1/2)[l]
= (1/2).
En cuanto al producto de dos funciones, tenemos:
[] = [] + []
= + (1/4)[
Si un campo es regularmente discontinuo en el campo, su salto se llama a veces
su discontinuidad del orden 0.
El salto de una función regularmente discontinuo tiene soporte en....................................................................................................................
general, la derivada parcial del salto está bien definido como el salto de la
derivado de la función (véase [17, 18]). En particular, el derivado de la
salto de un campo continuo no es nulo, a menos que el campo sea también C1.
Del mismo modo, definimos la derivada parcial del valor medio como la media
valor del derivado parcial. También podemos utilizar prolongaciones regulares a
extender, en cierto sentido, la definición de.a y [.a] a todo el dominio.a. Por lo tanto
pueden ser considerados como campos regulares y derivables en , pero sus valores
(y los de sus derivados) están bien definidos sólo en.........................................................................................................................................................................................................................................................
dependen de la elección de la prolongación. Para más detalles sobre el método de
las prórrogas regulares, véase, por ejemplo, [17, 18].
Definimos por otro lado la derivada covariante de un campo con soporte sobre
por medio del valor medio
de los símbolos Christoffel. Para el salto de un
vector discontinuo regularmente, por ejemplo, con esta definición uno tiene que
el salto del derivado covariante es diferente al derivado covariante
del salto. Así, por definición, tenemos:
β] = [V
β] +
β[V ] (4)
y como consecuencia de (3):
β] = [V
β]− [
, (5)
y de manera similar para el salto de cualquier tensor regularmente discontinuo.
Puesto que el espacio-tiempo es sólo C0, nos llevan a considerar (C0,
C1) coordinar las transformaciones, con regular discontinua primera deriva-
la discontinuidad métrica [g®] no es un tensor con respecto a tales
cambios de coordenadas. De hecho tenemos:
[g] = [g]
+ q
+ q
donde:
q =
[G]
+
Por lo tanto, podemos simular todos los cambios de coordenadas (C0, C1)
Enlazar cambios C1 con cambios en el gálibo métrico:
[gá] [gá] + qá
+ q
que generalizan los cambios usuales del calibre gravitacional de la teoría de (C0, pieza-
soluciones prudentes C1) [1].
¿Es siempre posible hacer [gá] desaparecer con un C apropiado
0 trans-
¿Formación? Claramente la respuesta es negativa. De hecho, basta con considerar la
caso cuando [g] y son ambos definitivamente positivos en un gráfico dado para ver que
la ecuación obtenida de (6) sustituyendo el lado de primera mano por 0 no tiene
solución para [lxα
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí. Por lo tanto, el conjunto de eficacia generalizada
Las hipersuperficies de discontinuidad gravitacional no están vacías.
Por otra parte se producirá en muchas aplicaciones para tener lα C
0. Por lo tanto
a menudo será deseable trabajar en el marco de (C1, C2 a partes)
coordinar las transformaciones, que conservan tal condición. La métrica des-
continuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas, pero el
salto de los símbolos de Christoffel, que parecen jugar un papel principal en el
a continuación, no lo es; de hecho tenemos:
[] = []
xxβ
Si las coordenadas son C0 y así es la forma lα podemos escribir:
xxβ
= lαl
en la que el punto 2 denota la débil discontinuidad del orden 2 (véase, por ejemplo, [17, 18]). Por lo tanto, en
Podemos generar todas las transformaciones (C1, C2) a medida para combinar
Transformaciones de C2 (con respecto a las cuales • es un tensor) y Christoffel
transformaciones de calibres, es decir, del tipo:
]↔ [
] + lαlβQ
(11)
con alguna analogía con el caso de las métricas C0 (donde se juega el papel principal
por la discontinuidad métrica de primer orden (g), véase [1] sección 3).
En cualquier caso, ni el valor medio de la g métrica ni su salto [g] ahora
tienen derivados covariantes nulos. Considerar de hecho la identidad g = 0 en
el dominio ; a partir del límite f 0+, en tenemos:
− (
ü)+g − ()
v)+g = 0 (12)
Aquí, con el significado obvio de los símbolos, denotamos: g = (g)
+, g =
g, etc. En consecuencia, a partir de (2)1 tenemos:
g + (1/2)[g]−
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
−(1/2)([
/ ]g +
/ [g] + []
/ ]g +
/ [g ])+
−(1/4)([
/ [g] + []
/ [g ]) = 0
Del mismo modo, desde el límite f 0− y a partir de (2)2 también tenemos en فارسى:
g − (1/2)[g]−
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
+(1/2)([
/ ]g +
/ [g] + []
/ ]g +
/ [g ])+
−(1/4)([
/ [g] + []
/ [g ]) = 0
De la suma de expresiones (13) y (14) tenemos así:
g = (1/4)[
/ [g] + []
/ [g ]) (15)
y, a partir de la diferencia:
[g] = [] + [ ] (16)
A partir de (16), (3), y de la definición de derivado covariante sobre
a continuación:
[g] = []
& / ]g + [
/ ]g (17)............................................................................................................................................................................................................................................................
En cuanto al salto y el valor medio de los símbolos Christoffel que tenemos, de
El Tribunal de Primera Instancia decidió:
+(1/4)[g]([g] + [g]− [g ])}
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+[g](g + g − g)
o, de (15) y (17):
El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior.
No obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia no puede pronunciarse sobre la compatibilidad de la medida con el mercado común.
3 Geometría de valor medio en una hipersuperficie
Consideremos un V α 4-vector, regularmente discontinuo en Ł, el salto y el
el valor medio de los cuales funcionará como prototipo de vectores con el valor de soporte.
Tenemos, por definición:
[V
] = [V
[]− []
- ¿Qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué?
Asunto C-212/90 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos
donde [V
] = [V
]+ [
y donde, de nuevo por definición, tenemos:
V =
(V)
+) + ()
(V +) + (V)
-)-()-()-()-()-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(......)-(.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(V −) (22)
Así, a partir de (2) tenemos:
V ♥ = V + (1/4)[
[V], (23)
que, por cierto, es el mismo resultado que podríamos obtener de la aplicación formal
sión de (3), que puede aplicarse realmente a los derivados covariantes, siempre y cuando
uno interpreta â € = â € TM. Por lo tanto, tenemos:
[V
] = [V
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
+ [
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
−[]
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
− (1/4)[][
][V ]+
+[
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
+ (1/4)[
][
[V]] [V]
y por lo tanto, por antisimetría:
[[]V
] = [][V
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[β[β]
][]
v. [V.] (25)
Ahora, de la identidad de Ricci tenemos: [[]V
] = [R
y, a continuación, por
[[]V
] = [R
+R
[V], (26)
y, por lo tanto, de una identidad bien conocida que se deriva de (3) como consecuencia
nuestra definición (5) para el derivado covariante en فارسى, es decir. (véase [1]):
[R
] = [
¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
] (27)
tenemos que el conmutador de los derivados covariantes del salto de un
vector genérico discontinua regularmente obedece a la siguiente fórmula tipo Ricci:
[[][V]
(1/2)R
− (1/4)[β
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[V.]. (28)
No es de extrañar, trabajar de una manera similar a partir de V y anti-
Simetrizando, encontramos de nuevo:
[]V
(1/2)R
− (1/4)[β
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
; (29)
de hecho, cualquier campo dado con el apoyo en el • puede ser considerado, con la ayuda de
prolongaciones adecuadas, como el salto (o como el valor medio de) algunos regularmente
campo discontinuo. Por lo tanto, para cualquier vector V con el apoyo en.......................................................................................................................................................
introducir la siguiente fórmula de Ricci similar a la geometría de valor medio en el punto de referencia:
([])V
= (R)
V l; (30)
donde hemos introducido la curvatura de la geometría del valor medio (R), definida
por la siguiente geometría de valor medio primera identidad Gauss-Codazzi:
(R)
= R
− (1/4)[
][
- [] - []
][
/ ]) (31)
Nótese que, en aras de la simplicidad, hemos introducido un ligero abuso
de notación, ya que en [1] y [16] el mismo símbolo R
curvatura interior definida con la ayuda de proyecciones. En realidad, todo vale.
como en [1] sección 4 con el marco Gauss-Codazzi, con la diferencia
que aquí no tenemos que hacer proyecciones, lo que implicaría producto
veces una métrica tangente discontinua. Por otra parte, aquí ni siquiera tenemos
para distinguir entre los casos de tiempo o luz. En otras palabras:
nuestra geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie es muy simple, en
términos conceptuales, análogo del aparato Gauss-Codazzi.
Así, con la teoría heurística de [1] sección 6 (véase también [4] para el tiempo
en mente como un prototipo, esperamos el salto de los símbolos de Christoffel a
desempeñar el papel principal, en lugar de la forma fundamental secundaria, en la definición
de las condiciones de compatibilidad para soluciones muy débiles de las ecuaciones de Einstein.
De hecho, esto sucede, como se mostrará en el siguiente.
4 Formalismo complejo de valor medio
La métrica es dicontinuous en..............................................................................................................................................
aumentar y bajar los índices, y construir la curvatura de la manera tradicional.
Esta es la razón por la que a veces uno se siente tentado a introducir algún híbrido
objeto métrico en para reemplazar la métrica, incluso en el caso (C0, tipo C1)
(véase, por ejemplo, [5]). Es tranquilizador descubrir que el marco de la preselección
la sección puede ser confirmada por este tipo de enfoque.
Sería deseable simplemente reemplazar g con g en Ł, pero es fácil de
comprobar que g no tiene los requisitos algebraicos necesarios; en particular tenemos
# 6 = # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 #
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Considere en su lugar:
g = gÃ3 + i(1/2)[gÃ3], g
• = g − i(1/2)[g} (32)
donde i es la unidad imaginaria (i.e. tenemos i2 = −1). Es fácil de comprobar,
con la ayuda de (3), que tenemos:
¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
• (33)
Es decir, en particular:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En aras de la brevedad en lo siguiente:
vamos a denotar A B la relación R(A) = R(B). Así el par g y
g es un buen candidato para la sustitución de la métrica en, a los efectos de
Índices ascendentes y decrecientes. Ahora, similar a (32) vamos a presentar:
= + i(1/2)[ ],
=
− i(1/2)[
] (34)
para que tengamos:
En el caso de los animales de la especie bovina, el número de animales de la especie bovina se determinará de conformidad con el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la carne de porcino y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).
Y a la inversa:
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Déjanos
ahora introducir el operador diferencial en, que hace uso de en
lugar de la ciudad. Como podríamos esperar, tenemos:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
0 (35)
que es el reemplazo en Ł para la conservación covariante de la métrica
Tensor.
Ahora vamos a construir sobre el tensor de curvatura complejo R
manera, pero con en lugar de los símbolos Christoffel ordinario (que son
undefined on Ł):
R
=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
+
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
μ −
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
μ (36)
Nos enteramos de eso de manera poco escrupulosa.
R
= (R)
+ i(1/2)[R
] (37)
i.e. en particular tenemos: R
(R)
, en el que R es dado por (31).
Esta es sólo otra razón para identificar a R.o como el reemplazo de la
el tensor de curvatura de, que es el primer paso de nuestro camino a la generalización
condiciones de compatibilidad.
5 Condiciones de compatibilidad generalizadas
Consideremos ahora el límite f → 0+ del tensor de curvatura del subdominio
; por (2) tenemos:
(R
)+ = R
+ (1/2)[R
] (38)
y, por (27):
(R
)+ = R
[β[]
] (39)
También tenemos, por (31):
(R
)+ = (Rl)
[β[]
] + [β
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(40)
Vemos que R y R. sólo difieren por términos proporcionales a [. ], y no
que impliquen derivados de la misma. Por lo tanto, en vista de descuidar estos tems, en el
a continuación vamos a considerar R en lugar de R. Esto simplemente evita la introducción
del símbolo “ ” con el significado de igualdad pero para términos que no impliquen
(que aquí sustituye a la segunda forma fundamental K) como en
[1] sección 6. Entonces para el tensor Ricci R = R
α tenemos:
(R)
+ = R + (1/2)
μ[
- [] - []
y para la curvatura escalar R = Rα
R+ = R + (1/2)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Ahora, para construir el tensor de Einstein G+ tenemos que recordar que, desde
la métrica también es discontinua:
g)
+ = g + (1/2)[g] (43)
para que tengamos:
(G)
+ = G + (1/2)
μ − (1/8)[g]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
donde hemos denotado, por razones de brevedad:
μ[
- [] - []
μ]− (1/2)g
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Vamos a fijar un gráfico de coordenadas y considerar un genérico (por el momento) regular
prolongación para G, de modo que su valor medio se defina en el conjunto de . Ahora
considerar la integral de 4 volúmenes de Riemann de G+ sobre el dominio ; de
el teorema verde que obtenemos (para la definición general de integral en un
hipersuperficie ver [6] p. 6):
G =
G + (1/2)
lH
μ − (1/8)
l [g]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
La fórmula análoga para implica −l− como el vector normal saliente
y la métrica g = gÃ3 − (1/2)[gÃ3], por lo que tenemos:
G =
G + (1/2)
lH
μ + (1/8)
l [g]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
y, por consiguiente, tenemos:
G =
G +
lμH
μ (48)
Por lo tanto, razones similares a las de la teoría heurística (véase [4] y [1] sección
6) llevar a la hipótesis razonable de que G permanece limitado en el
, para cualquier prolongación admisible, de modo que del volumen
integral de las ecuaciones de Einstein, con la presencia de una fuente eventual
Término concentrado en la letra...........................................................................................................................................................................................................................................................
Gó =
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
T (49)
donde χ denota la constante gravitacional, concluimos que
lμH
μ =
T (50)
que es nuestra razón heurística para considerar el siguiente conjunto de
las condiciones de compatibilidad con el sistema para mantener el sistema Einstein como reemplazo del sistema Einstein;
ecuaciones:
lμH
μ = T (51)
Aquí TÃ3 representa el contenido stress-energy de la hipersuperficie.
En el caso más sencillo lα C
0, es muy fácil comprobar que el objeto lμH
es calibrado-invariante en el sentido de (11), como podríamos esperar.
Pasando ahora a la comparación con el caso C0, vemos en eq.s (71)
y (85) de [1] que nuestras condiciones generalizadas (51) son formalmente idénticas a
condiciones ordinarias de compatibilidad [eq. (110) del mismo documento], si se expresa
(que en el caso general es una función del salto de la
métrica [g], así como de su débil discontinuidad. Por lo tanto, está claro
que las condiciones generalizadas de compatibilidad se reducen a las normales en caso de
métrica es continua, es decir. en el caso de [g] = 0.
En particular, supongamos que g (C0, a medida C1) y f (C0, a medida);
nosotros por otra parte supongamos (l · l) > 0, es decir. # Como en el tiempo. # Por definición de Christoffel
símbolos, y a partir de (11) de [1], tenemos:
] = (l · l)-1/2(NβG
+N/23370/Gβ
(l · l)............................................................................................................................................................................................................................................................
1/2NβNlQ
(52)
Q es un vector que se puede establecer en cero con una elección de calibre adecuada; se reproduce
Ningún papel en (51), como cabría esperar, de hecho tenemos:
lμ[
μ] = −G + (l · l)N(Q ·N)
lβ[
Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Federal de Alemania
/ + (l · l)NβN/23370/(Q ·N)
lμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
v. + (l · l) (Q ·N)
lμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
] = −G/
v. + (l · l) (Q ·N)
y, puesto que g = g = h(N) +N N, tenemos de (45):
lμH
μ = G − h(N)G/
/ (54)
Es decir, según (88) de [1]:
lμH
μ = H (55)
como se esperaba. Ahora supongamos (l · l) = 0, es decir. - Sí, claro. Vamos.
u C0() ser un marco de referencia auxiliar dado. De eq.s (21) y (16) de
[1] Tenemos:
(u ·l)−1(−LβF(u)
L/23370/F(u)β
LÔF(u))+(u ·l)
2LβLQ
(56)
y, por consiguiente, de (18) y (19) del mismo documento:
lμ[
μ] = LβB(u, n)
3LβL(Q · L)
lβ[
Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Helénica y República Helénica
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
lμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(+) = lμ[+)
] = 0
Por lo tanto, tenemos:
lμH
μ = G(u, n) v
- LβB(u, n)
i.e. una vez más, según (83) de [1], tenemos: lμH
μ = H, como se esperaba.
Por lo tanto, el conjunto (51) de condiciones de compatibilidad, junto con
Ecuaciones Einstein para sostener a cada lado de la hipersuperficie de discontinuidad,
define la clase de soluciones generalizadas regularmente discontinuas de la Ein-
Ecuaciones de stein. Y en caso [g] = 0, es decir. para la medición continua, a partir de
condiciones que recuperamos las condiciones normales de compatibilidad para regular des-
soluciones continuas y débiles.
Sin embargo, en el caso genérico tenemos algunas diferencias, como vamos a
mostrar en el siguiente.
6 Una clase de capas esféricas de contorno
Consideremos el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinua spher-
soluciones icales de las ecuaciones de Einstein al vacío, de la forma
ds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + r2d
a través de una desgravación gravitacional admisible esférica
continuidad hipersuperficie de la ecuación r = Por lo tanto
la forma lα =
r −
t es continuo (mientras que lβ = glα en general no lo es).
Suponemos globalmente coordenadas C0, la misma forma de la métrica en ambos
dominios y, y la identificación t+ = t−, r+ = r−, =,
Leta, b > 0 y dejar que a, b • piecewise-C0 sea regularmente dis-
continua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Déjanos
denotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que
con respecto a r. Dejar por otra parte condición a− b > 0, es decir, (l · l) > 0, espera
A ambos lados en la parte superior.
Tenemos:
= −[a]
t + [b]
r (60)
Ahora definamos la coincidencia como una solución generalizada regularmente discontinua
por (51), con Tó = 0, es decir, en ausencia de energía-estrés concentrada en..........................................................................................................................................................................................................................................................
En este caso, nuestras condiciones de compatibilidad se reducen a:
lβ[
μ]− lμ[
μ] = 0 (61)
que, para un emparejamiento de métricas del tipo (59), son equivalentes a las siguientes:
sistema:
[b−1] + [a′b−1] = 0
[a−1] + [a′a−1] = 0
[a′a−1] + [a−1] = 0
[b′b−1] + [b−1] = 0
[b-1] = 0
i.e. tenemos [b] = 0 y, en consecuencia:
[] + [a′] = 0
[a−1] + [a′a−1] = 0
[a′a−1] + [a−1] = 0
[b′] + [] = 0
y a partir de (3):
[] + [a′] = 0
( a′)[a−1] = 0
( a′ + )[a−1] + ([a′] + [])a−1 = 0
[b′] + [] = 0
Ahora si tuviéramos ambos [] + [a′] = 0 y + a′ = 0, por (2) tendríamos
+ a′ = 0 a ambos lados de la hipersuperficie. Descartamos por el momento.
esta situación singular, y de (64)2 llegamos a la conclusión de que [a
−1) = 0.
Así, en este caso, nuestras condiciones de compatibilidad generalizada implican [a] =
[b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0, a pie-C1.
En [1] ya hemos estudiado algunos ejemplos de coincidencias C0, tipo-C1
de métricas del tipo (59) en una hipersuperficie de radio constante r = rb, con
lα =
r. Es decir, hemos considerado: Schwarzschild externo - interno
Schwarzschild; Schwarzschild externo - Tolman VI; Schwarzschild externo -
Tolman V. Tales coincidencias obviamente tienen lα C
0; además condición a′ 6=
0 reducir en este caso a a′ 6= 0, que está obviamente satisfecho. En cada caso nosotros
han verificado que la condición [a] = [b] = 0 implica
orden discontinuidad), que luego define la coincidencia como una capa límite [1] (es
En realidad, también implica b = 0, como se puede verificar). Semejante es un resultado general, ya que
para una métrica del tipo (59) los componentes totalmente temporales y radiales
del tensor Einstein son independientes de los segundos derivados de la
métrica:
Gtt = −a(b)
′r + b2 − b)/r2b2
Grr = −(a)
′r − ab+a)/ar2
de modo que las ecuaciones de Einstein correspondientes al vacío se reduzcan a:
b′r + b2 − b = 0,
a′r − ab+ a = 0.
Ahora, ya que en la coincidencia de (59) soluciones de vacío ecuaciones (66) se satisfacen
en cada lado de la interfaz فارسى, su salto es en particular nulo, y a partir de (3)
tenemos:
′] + (2b− 1)[b] = 0
′]− a[b]− (b+1)[a] = 0
de la cual se desprende claramente que las condiciones [a] = [b] = 0 implican [a′] = [b′] = 0,
i.e. A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A
Resumiendo, para el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinuo
soluciones esféricas, en la hipótesis anterior, la compatibilidad generalizada con
dicciones (51) implican [a] = [b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0. Activar
las condiciones de la otra mano [a] = [b] = 0 implican que فارسى es una capa límite.
Por lo tanto, para tales compatibilidades esféricas condiciones de compatibilidad generalizada (51)
son necesarios y suficientes para que el partido sea una capa límite.
7 Ondas de choque gravitacional generalizadas
Consideremos la coincidencia de dos métricas de onda plana de la forma
ds2 = −2ddη + F ()2dx2 + G()2dy2 (68)
a través de una hipersuperficie de la ecuación de 0 = 0. Aquí y η son los dos nulos
coordenadas. Suponemos que coinciden continuamente coordenadas y F,G reg-
ulularmente discontinuos, junto con sus derivados primero y segundo. Los
vector de gradiente de فارسى es la característica continua (a cada lado de فارسى) vector
lα =
Condiciones de compatibilidad generalizadas (51) en el caso T. = 0 (es decir, Sin estrés...
energía concentrada en la hipersuperficie) reducir a la siguiente escalar
ecuación:
[F-1F ′ +G-1G′] = 0 (69)
que caracterizan la onda de choque gravitacional generalizada. Vamos ahora.
estudio de compatibilidad de (69) con las ecuaciones de Einstein. El vacío de Einstein
las ecuaciones también reducen a una sola ecuación escalar:
F−1F ′′ +G−1G′′ = 0 (70)
que se supone que sostengamos a cada lado de la hipersuperficie; reemplazando así
F+ y G+ por sus expresiones en términos de F, [F ], G y [G] según
(2) da lugar a las siguientes condiciones escalares de pareja:
(2F ′′ + [F ′′])(2G+ [G]) + (2G′′ + [G′′])(2F + [F ]) = 0 (71)
(2F ′′ − [F ′′])(2G− [G]) + (2G′′ − [G′′])(2F − [F ]) = 0 (72)
Las ecuaciones (71) a (72) son compatibles con (69), es decir: las tres ecuaciones establecidas
se puede resolver algebraicamente con respecto a F, [G] y a cualquier miembro de la
par (F, G), y la solución no es necesariamente trivial.
Finalmente vamos a notar que, si la condición adicional [F ] = [G] = 0 mantiene,
i.e. si la solución es C0, la condición (69) se reduce a F−1[F ′]+G−1[G′] = 0 es decir.:
F - 1-F + G - 1-G = 0 (73)
que es la condición análoga para la onda de choque ordinaria, de acuerdo con
[1] sección 10.5.
8 Ondas gravitacionales generalizadas lentas
Comencemos a intentar combinar dos soluciones de vacío del tipo (68) a través
la hipersuperficie temporal (en ambos lados) de la ecuación • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Otra vez nosotros.
Suponga que las coordenadas coinciden continuamente, F, G regularmente discontinua a-
gether con sus derivados primero y segundo, y Tâ = 0. Esta vez, gener...
las condiciones de compatibilidad alizadas incluyen (69) y las dos siguientes:
condiciones escalares:
[FF ′] = 0, [GG′] = 0 (74)
Es decir, en términos de F, [F ], G y [G], de acuerdo con (3):
F [F ′] + [F]F ′ = 0 (75)
G[G′] + [G]G′ = 0 (76)
Es fácil comprobar que el sistema (75)-(76) no es compatible con (71)-(72),
en el sentido de que todo el sistema no admite soluciones no triviales para
F, [F], G y [G].
Por otra parte, hemos demostrado en la sección 6 que una amplia clase de
Coinciden esféricas borradas en una hipersuperficie de radio constante necesariamente
Degenerado a una coincidencia de C0.
Otros ejemplos de degeneración no se han incluido en el documento para
el bien de la brevedad, pero al menos parece ser una tarea difícil de construir un no-
coincidencia generalizada trivial a través de un tiempo (en cada lado) hipersuperficie, con
sin contenido de energía-estrés. Tal dificultad no es ciertamente una prueba de que esto sea
una tarea imposible, pero nos hace preguntarnos si tal solución debería
necesariamente degeneran en una capa de frontera, al igual que sucede para el ordinario
Soluciones C0 (véase, por ejemplo, [1]). Esto prohibiría la existencia de
soluciones que se propagan a una velocidad más lenta que la luz. Tal sería un
prohibiciones indeseables bajo cierto respeto, ya que se podía esperar que
las interacciones gravitacionales en el vacío deben necesariamente propagarse a la velocidad
de la luz también en una teoría generalizada.
En términos generales, ya que para soluciones generalizadas la métrica es discontinua
ous, una hipersuperficie puede en principio tener diferentes firmas en los diferentes
lados; por esta razón no podemos simplemente distinguir entre el tiempo y
el caso claro, como para las soluciones habituales C0. Más bien deberíamos distinguir
entre tres casos: timelike-timelike, timelike-lightlike (o por el contrario) y
Luz-luz-luz.
En cualquier caso, es legítimo esperar que, al menos en el tiempo-como
caso, similar al caso temporal de soluciones (C0, a medida C1), ausencia de
la energía de estrés concentrada en la energía debería implicar la solución para degenerar a
una capa límite [1].
Desafortunadamente para las soluciones generalizadas todavía no tenemos pruebas de que la ausencia
de la energía de estrés concentrada en • implica necesariamente la degeneración de
la solución a una capa de contorno.
Por lo tanto, aunque los ejemplos considerados en este documento parecen
que tal propiedad podría ser válida también en el caso generalizado, para el
en el momento en que tal resultado sigue siendo una conjetura; por lo tanto, tenemos que admitir que la
en principio permite la propagación de ondas de choque gravitacional generalizadas
a menor velocidad que la velocidad de la luz. Llamaríamos a tales ondas “la gen-
ondas de choque gravitacional borradas”. Sería razonable prohibir esto.
la situación como antifísica, pero por ahora esto sólo se puede hacer ad hoc, por medio de
de una hipótesis adicional correspondiente.
9 Energía de estrés no simétrica
Note que lμH
μ no es necesariamente simétrico; a partir de la identidad:
/ = (1/2)g−1g (77)
donde g denota el determinante de la métrica contravariante, tenemos:
lμH[]
μ = (1/4)(lβ[g
− 1 g]− l[g
−1g]) (78)
Por lo tanto, el esquema generalizado permite en principio la presencia de
tensión métrica-energía en la hipersuperficie de discontinuidad. Vamos a mostrar no-
ejemplos triviales de no simetría en la siguiente sección. Nótese que el
La parte derecha de (78) es idénticamente nula en el caso de g-C0 y lα-C
0, desde
en este caso tenemos [g−1g] = lβg
−1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og.
Un tensor Einstein no simétrico es una característica de la teoría Einstein-Cartán de
gravedad (véase [19], véase también [3] sección 7.2), donde se debe a la presencia
de torsión en la conexión no simétrica utilizada para construir generalizada
curvatura. Por lo tanto, la teoría generalizada se puede interpretar, al menos a algunos
extensión, como la introducción de una herramienta equivalente a la torsión en el shell solamente, incluso si hay
no son objetos geométricos en nuestra teoría que pueden ser interpretados directamente
como torsión. Sin embargo, la teoría Einstein-Cartán también tiene un giro - angular mo-
ecuación de campo mentum, además de las ecuaciones de Einstein, que aquí es
Falta.
En la literatura, condiciones de compatibilidad para soluciones C0 de límite
capas [20], y recientemente de ondas de choque y conchas delgadas [21], se han estudiado
también en el marco de la teoría Einstein-Cartán; en realidad, esto puede conducir a
energía de estrés no simétrica en el caparazón. Pero en esa teoría esta característica
se hereda del espacio-tiempo ambiente, que no está aquí: no-simétrico
stress-energy surge sólo en la cáscara, en consecuencia de la teoría. Esto
Es probable que valga la pena investigar una feauture interesante.
10 Conchas delgadas generalizadas
Ahora consideremos una forma más general de la métrica esférica:
ds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + c(r, t)d
Consideremos una coincidencia de dos soluciones esféricas de las ecuaciones de Einstein
a través de una hipersuperficie temporal (en cada lado) de la ecuación r = (t). Otra vez nosotros.
Supóngase C1 (t) y por lo tanto lα =
r −
t â € C0. Deje que las coordenadas
ser C0 globalmente, y dejar que la métrica tenga la misma forma (79) en ambos dominios
y, con la identificación t+ = t−, r+ = r−, =, = on
Que por otra parte a, b, c > 0 y dejar que a, b, c • piecewise-C0 sea regularmente dis-
continua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Otra vez nosotros.
denotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que
con respecto a r.
En este caso para el lado izquierdo de la condición de compatibilidad generalizada
ciones lμH
μ obtenemos:
lμH
μ = −
[a′b−1/2] + [b−1/2 + c−1]
+([a′a−1/2 + c′c−1] + [a−1/2]
+([a−1/2 + c−1] + [a′a−1/2]
−([b−1/2] + [b′b−1/2 + c′c−1)]
+([c′b−1/2] + [a−1/2])
* + sin2 *
[b−1(a′a−1/2 + c′c−1)] + [a−1(b−1/2 + c−1)]
donde, obviamente:
g = −a®
t + b+
r + c(+)
* + sin2 *
(81)
Ahora queremos interpretar (80) como la materia-energía de un caparazón delgado. Vamos.
nosotros primero volver al caso particular = 0 (concha estática) y = =
• = 0, para simplificar la interpretación eliminando el no-simétrico
componente; reorganizar algunos términos que de hecho obtenemos:
lμH
μ = (−[a′b−1/2] + ac−1[c′b−1/2]
+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]
c−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]
Esto se puede interpretar como una perfecta capa delgada de magneto-fluido isotrópico con
Conductividad infinita, es decir. podemos resolver las condiciones de compatibilidad mediante
sidering la siguiente energía de estrés como el lado derecho:
T = (0 + p+ μh
2)UαUβ + (p+ (1/2)μh
2)g® − μhαhβ (83)
donde 0 es la densidad adecuada, h el campo magnético y μ el magnético
permeabilidad [22, 23, 24, 25, 6]; aquí definimos h2 = hαhβg
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De hecho, sí.
basta para definir el siguiente vector de 4 velocidades:
a– (1/4)[a2]a−1
t = (a−1)1/2
t (84)
que, por construcción, es unitaria en el sentido siguiente: UαUβg
• = −1,
y las siguientes variables magnetohidrodinámicas:
0 = χ
−1a−1[a′b−1]/2 + 1c−1(b b−1/2− aa−1 + 1)[c′b−1]/2+
1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)− (3/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1)
p = 1c−1(bb−1/2− 1)[c′b−1/2] + (1/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1]+
1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)
hα = ±
b−11([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2])
para emparejar (82) y (83) a través de lμH
μ = T. Si [a] = [b] = [c] = 0
Concha generalizada (85) degenera en la capa magnetohidrodinámica C0
considerado en [1] sección 10.1, en el caso particular = 0.
El caso ligeramente más general de = = 0, pero 6= 0, muestra
en términos no simétricos (80); sin embargo, no es difícil ver que la
la interpretación del magnetofluido todavía se mantiene, siempre y cuando no
términos simétricos son interpretados, o descuidados. De hecho, en este caso tenemos:
lμH
μ = (−[a′b−1/2] + c−1[c′b−1/2]
+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]
+(1/2)[a′a−1/2− b′b−1/2− c′c−1](
t + â €
+(1/2)[a′a−1/2 + b′b−1/2 + c′c−1]
t − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
c−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]
Consideremos ahora, en aras de la brevedad, las siguientes cantidades:
2[ a
2b−1 − (a)
− [a]
))2a−1
− [a]
− [a]
y supongamos que la desigualdad α < 0 sostiene, que es necesario para el
interpretación física. De hecho, en este caso el siguiente vector:
− [a]
t + 1
[ a]
− [a]
es un vector tipo tiempo de unidad en el sentido de que UαUβg
• = −1. Reordenar
términos, (86) ahora dice:
lμH
μ = αUβU/23370/ +
r + 1
[ a]
t − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
c−1[ c
− [b−1(a)
que se puede igualar a través de lμH
μ = T con un tensor de tensión-energía de
el tipo siguiente:
T = (0 + p+ μh
2)UαUβ + (p+ (1/2)μh
2)g® − μhαhβ + A® (91)
donde A denota el término anti-simétrico. Tenemos:
0 =
−1α + 1 1
− 1[b−1( a)
)]− 1
p = 1 1
] + 1[b−1( a
)]− 1
μh2 = 1βb−1
mientras que el término anti-simétrico A dice:
A =
t − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
r) (93)
La interpretación de este término aún no se ha hecho; por el contrario, podría ser
negándose añadiendo la hipótesis adicional:
= 0 (94)
que es equivalente a [g−1g′] = 0, como podríamos esperar de (78).
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Introducción
métricas discontinuas
Geometría de valor medio en una hipersuperficie
Formalismo complejo de valor medio
Condiciones de compatibilidad generalizada
Una clase de capas esféricas de contorno
Ondas de choque gravitacional generalizadas
Ondas gravitacionales generalizadas lentas
Energía de estrés no simétrica
Conchas delgadas generalizadas
| La consistencia física de la combinación de las métricas por pieza-$C^0$ es
Debatida. La teoría matemática de las hipersuperficies de discontinuidad gravitacional
se generaliza para cubrir la coincidencia de métricas regularmente discontinuas. Los
Se introduce un marco de geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie, y
se deducen las condiciones de compatibilidad correspondientes. Ejemplos de
Se estudian las capas límite, las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas.
| Introducción
¿Es posible definir soluciones débiles de las ecuaciones Einstein de clase
C0 a trozos, es decir, generalizar las condiciones de compatibilidad que sustituyen
las ecuaciones de campo en una hipersuperficie singular al caso cuando la métrica es
¿Con regularidad discontinua?
Alcanzar este objetivo significaría probablemente definir la clase más general
de soluciones débiles regularmente discontinuas de las ecuaciones de Einstein. Parece
que este problema nunca había sido estudiado antes en la literatura. Pero, antes de que nosotros
Procede, tenemos que discutir si estamos hablando de algo mathemat-
cial y físicamente consistente o no.
Un concepto fundamental de la geometría Riemanniana es que en cualquier punto de
un submanifold hay opciones de coordenadas para las que la métrica se reduce a
http://arxiv.org/abs/0704.0103v1
la métrica plana de Minkowski. Evidentemente, si esta elección se hace en ambos lados de la
la superficie de discontinuidad, cualquier “salto” en la métrica desaparece. Por lo tanto, la
discontinuidad métrica aparece como un concepto dependiente de coordenadas, que es
ni geométricamente (ni físicamente) aceptable en el contexto de
Relatividad.
Pero también tenemos que considerar que la regularidad de las coordenadas globales juega
un papel importante en nuestro enfoque, que es el de [1] y de la literatura
citado en el mismo. En particular, ya que aquí el espacio tiempo es sólo C0, nos llevan a
considerando las transformaciones de coordenadas (C0, C1) a trozos. Si la métrica es
discontinuo en algún gráfico global de C0, es en general imposible obtener
la desaparición del salto métrico a ambos lados de una hipersuperficie con un C0
transformación de coordenadas (ver sección 2). Moeover en el siguiente somos
llevó de una manera natural a considerar las transformaciones de coordenadas C1; la métrica
¡La discontinuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas!
En otras palabras, el salto de la métrica tiene una media matemática precisa-
ing, si lo consideramos en relación con las coordenadas regulares globales.
En un procedimiento bien consolidado, el supuesto de continuidad para el
métrica a través de una interfaz gravitacional generalmente se da por sentado; sin embargo
se deriva del proceso de limitación de la modelización sándwich fino, en
consecuencia de la hipótesis de que los derivados externos de la métrica
se delimitan [2]. Sin embargo, en este documento vamos a ver que, incluso la eliminación
la suposición de continuidad, todavía es posible definir un interior generalizado
geometría de la hipersuperficie de discontinuidad; uno así puede encontrar consistentemente
un conjunto generalizado correspondiente de condiciones de compatibilidad, que, evidentemente,
se reduce a los habituales cuando se restablece la hipótesis de continuidad.
Sin embargo, ¿cuáles son las motivaciones físicas para pasar a tal generalización?
En realidad las ondas de choque gravitacional y las conchas delgadas son generalmente definidas por el
presencia de curvatura singular con un componente “delta” concentrado en una
hipersuperficie, situación que está bien moldeada dentro del clásico C0 piecewise-C1
Coincidencia de las métricas [1, 3].
Originalmente fuimos llevados a considerar soluciones de clase-C0, como pos-
generalizaciones de ondas de choque y conchas delgadas, por el bien de la mathe-
matical completo, con la idea de que la interpretación física seguiría.
En realidad encontramos un marco de alcance más que el habitual, con algunos en-
nuevas características teresantes (e incluso algunas más bien indeseables), que nosotros
exhibido en este papel.
Hay dos teorías principales en la literatura para las soluciones de la clase C0
C1, es decir, que en términos de la segunda forma fundamental (heurística
la teoría, véase, por ejemplo, [4, 5]) y que en términos de la curvatura tensor-distribución
(Teoría axiomática, véase, por ejemplo, [6, 1]); son equivalentes por medio de la asignación
extensiones (para una visión general autónoma véase, por ejemplo, [1]).
La teoría axiomática parece no ser apropiada para el estudio de
las soluciones izadas, ya que la teoría de las distribuciones es básicamente lineal. Incluso si nosotros
En principio, podría sustituir la métrica discontinua por sus distri-
bution gD, entonces sería imposible definir, por ejemplo, los reemplazos
para los símbolos Christoffel, ya que esto implicaría producto de distribuciones,
que, como se cree en general, es imposible de definir. De hecho, se demostró que
Schwarz [7] que, bajo hipótesis razonables, no puede haber una definición
de funcionamiento conmutativo y asociativo en distribuciones que se reducen a
multiplicación ordinaria en distribuciones integrables (por ejemplo, en funciones regulares);
Por lo tanto, en una palabra es imposible definir el producto de las distribuciones.
¿O lo es? Colombeau [8, 9, 10] desarrolló una teoría que aparentemente
Tradice el resultado de Schwarz. Introdujo un espacio muy amplio de
funciones, que extiende el espacio habitual de distribuciones, un subespacio de las cuales
corresponde, en cierto sentido (la correspondencia no es 1 a 1), a lo habitual
distribuciones. El formalismo de Colombeau permite la multiplicación de
funciones; pero la contradicción con el teorema de imposibilidad es sólo ap-
padre, de hecho la hipótesis de Schwarz se violan, ya que la operación hace
no coinciden con la multiplicación ordinaria en funciones regulares ni con mul-
tiplicación de una función regular veces una distribución (aunque hace al menos
para las funciones de C.O.C.).
Esta teoría, sin embargo, no encaja de una manera natural en la relatividad general,
ya que es imposible definir objetos geométricos covariantemente invariantes; en
El espacio de Colombeau no es invariable para la transformación de coordenadas fluidas.
ciones, a menos que sean lineales. Sin embargo, tal dificultad parece haber sido
superado en posteriores ajustes de la teoría, con la introducción de
un marco matemático más rico [11, 12], de modo que las funciones generalizadas
aparatos actuales se pueden utilizar en la relatividad general, y de hecho ha sido
se aplica al menos al cálculo de las curvaturas singulares de los espacios-tiempo
de Kerr [13], Reissner-Nordstrom [14], y el llamado espacio-tiempo de cuerdas cósmicas
[15]. En esta literatura la teoría de Colombeau se adapta al manejo de
curvatura cuando la métrica tiene una singularidad en el sentido de funciones, es decir. la
la curvatura ordinaria explotaría, en un punto de acontecimiento singular o en un singular
worldline. No parece haber ninguna razón en particular para prohibir a Colombeau
método también para definir la coincidencia de la pieza-C0 regularmente discontinuo
métricas en una hipersuperficie singular; sin embargo, por lo que el autor sabe, no
Se ha intentado aún utilizarlo en este marco.
El método directo que vamos a introducir en las siguientes secciones, sin embargo,
es tan conceptualmente simple que preferimos no experimentar con Colombeau
funciones generalizadas, lo que significaría, en cambio, la introducción de un
aparato matemático complicado y desconocido.
En este artículo proponemos de hecho una nueva teoría generalizada para regularmente
soluciones discontinuas, que cubren también la combinación de métricas tipo C0. Nuestro
la teoría es heurística, ya que se construye de una manera similar a la heurística el-
ory de C0, las soluciones por pieza-C1 se originaron de los estudios de Israel, pero
evitamos completamente el marco tradicional o proyectual Gauss-Codazzi
(que no incluye el caso liviano [4, 5], o necesita un adap-
e introducir lo que llamamos “diferencia de valor medio”
En cambio, el marco de geometría” (véase la sección 3). Esto es conceptualmente muy sim-
y permite construir de una manera natural una teoría generalizada, donde
el papel principal (que solía ser el del salto del secund fundamental
forma) se juega aquí por el salto de los símbolos de Christoffel. La teoría es un
extensión de la teoría de hipersuperficies de discontinuidad gravitacional que tenemos
estudiado en [1], al que se reduce cuando la métrica es C0. Incluso si deberíamos
limitar a la solución C0, añadiendo el supuesto tradicional de continuidad para
la métrica, nuestra teoría sin duda tendría al menos las buenas cualidades de
no necesita el tiempo y el caso de luz para ser distinguido (diferente
de la teoría heurística habitual), y de sólo requerir la continuidad C0 para la co-
ordenadas (diferentes de la teoría axiomática). Por otra parte, es completamente
en el marco de las coordenadas generales del espacio ambiente (encolado)-
tiempo, sin uso de ecuaciones paramétricas de la hipersuperficie, ni de
coordenadas y 3 bases holonómicas, que podrían considerarse una buena calidad
en algunas aplicaciones también.
Soluciones débiles Pickwise-C0 de las ecuaciones de Einstein, hasta el au-
thor es consciente, nunca se han considerado previamente en la literatura. Ellos
generalizar las soluciones C0 correspondientes, como muestran los ejemplos de este artículo;
Sin embargo, hay más. Aparentemente de hecho la teoría permite la propagación
de discontinuidad gravitacional libre a una velocidad inferior a la velocidad de la luz (seg-
En el caso de que se trate de un problema de salud pública, la Comisión no está de acuerdo con lo que ha dicho el Sr. Van den Broek.
la energía concentrada en el tiempo debería implicar necesariamente la
degeneración de la solución generalizada a la capa de contorno, aunque lo hace
al menos para una amplia clase de emparejamientos esféricos (véase la sección 6). Por otra parte, no
se permite la energía de estrés simétrica en la hipersuperficie (sección 9), como, por ejemplo, en
Dinámica Einstein-Cartán. Este posible vínculo con las teorías clásicas de unificación
Es sorprendente, ya que en nuestro marco no tenemos nada similar a Einstein.
Torsión cartánica. Por lo tanto, vemos mucho espacio para futuras investigaciones.
2 métricas discontinuas
Supongamos que V4 un multiple orientado diferenciable de la dimensión 4, de clase
(C0, C2), provisto de una métrica de firma estrictamente hiperbólica
- Y clase a destajo-C0. Deja que V4 sea un subconjunto abierto conectado con
cierre compacto. Dejar que las unidades se elijan para tener la velocidad de la luz en
espacio vacío c • 1. Los índices griegos van de 0 a 3.
Vamos a ser una hipersuperfaz regular de la ecuación f(x) = 0; vamos a y
denotan los subdominios distinguidos por el signo de f.
métrica y sus derivados parciales primero y segundo que se discontinuarán regularmente.
en todos los gráficos de la clase C0(). Let f C0(♥) C2(), and let
los derivados segundo y tercero de f deben ser discontinuas regularmente en Por último,
let lα f denotar el gradiente de f.
Que la métrica sea una solución de las ecuaciones ordinarias de Einstein en cada uno de
los dos dominios y. En esta situación es la interfaz entre dos
general relativista espaciotiempos y se llama un (generalizado) gravitacional
hipersuperficie de discontinuidad.
En lo siguiente vamos a desarrollar una teoría para justificar la introducción de
condiciones adecuadas de compatibilidad generalizada para sustituir el equa- de Einstein
(sección 5); si dichas condiciones se cumplen en el
generalización de la hipersuperficie gravitacional
solución discontinua de las ecuaciones de Einstein.
Ahora vamos a recordar brevemente algunas nociones básicas sobre regularmente discontinuo
campos, que utilizaremos como herramientas. En cualquier caso, para notación y terminología
nos referimos a [1].
Un campo se dice que es regularmente discontinuo en si sus restricciones a
los dos subdominios y ambos tienen un límite finito para f 0; nosotros
denotar tales límites por y, respectivamente.
En este caso, el salto a través de la línea y su valor medio aritmético son:
bien definido en la hipersuperficie:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* = (1/2)( + )
Si es continuo a lo largo de la línea, obviamente tenemos: [] = 0, = . También tenemos
las fórmulas inversas:
= (1/2)[l]
= (1/2).
En cuanto al producto de dos funciones, tenemos:
[] = [] + []
= + (1/4)[
Si un campo es regularmente discontinuo en el campo, su salto se llama a veces
su discontinuidad del orden 0.
El salto de una función regularmente discontinuo tiene soporte en....................................................................................................................
general, la derivada parcial del salto está bien definido como el salto de la
derivado de la función (véase [17, 18]). En particular, el derivado de la
salto de un campo continuo no es nulo, a menos que el campo sea también C1.
Del mismo modo, definimos la derivada parcial del valor medio como la media
valor del derivado parcial. También podemos utilizar prolongaciones regulares a
extender, en cierto sentido, la definición de.a y [.a] a todo el dominio.a. Por lo tanto
pueden ser considerados como campos regulares y derivables en , pero sus valores
(y los de sus derivados) están bien definidos sólo en.........................................................................................................................................................................................................................................................
dependen de la elección de la prolongación. Para más detalles sobre el método de
las prórrogas regulares, véase, por ejemplo, [17, 18].
Definimos por otro lado la derivada covariante de un campo con soporte sobre
por medio del valor medio
de los símbolos Christoffel. Para el salto de un
vector discontinuo regularmente, por ejemplo, con esta definición uno tiene que
el salto del derivado covariante es diferente al derivado covariante
del salto. Así, por definición, tenemos:
β] = [V
β] +
β[V ] (4)
y como consecuencia de (3):
β] = [V
β]− [
, (5)
y de manera similar para el salto de cualquier tensor regularmente discontinuo.
Puesto que el espacio-tiempo es sólo C0, nos llevan a considerar (C0,
C1) coordinar las transformaciones, con regular discontinua primera deriva-
la discontinuidad métrica [g®] no es un tensor con respecto a tales
cambios de coordenadas. De hecho tenemos:
[g] = [g]
+ q
+ q
donde:
q =
[G]
+
Por lo tanto, podemos simular todos los cambios de coordenadas (C0, C1)
Enlazar cambios C1 con cambios en el gálibo métrico:
[gá] [gá] + qá
+ q
que generalizan los cambios usuales del calibre gravitacional de la teoría de (C0, pieza-
soluciones prudentes C1) [1].
¿Es siempre posible hacer [gá] desaparecer con un C apropiado
0 trans-
¿Formación? Claramente la respuesta es negativa. De hecho, basta con considerar la
caso cuando [g] y son ambos definitivamente positivos en un gráfico dado para ver que
la ecuación obtenida de (6) sustituyendo el lado de primera mano por 0 no tiene
solución para [lxα
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
- Sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí, sí. Por lo tanto, el conjunto de eficacia generalizada
Las hipersuperficies de discontinuidad gravitacional no están vacías.
Por otra parte se producirá en muchas aplicaciones para tener lα C
0. Por lo tanto
a menudo será deseable trabajar en el marco de (C1, C2 a partes)
coordinar las transformaciones, que conservan tal condición. La métrica des-
continuidad es un tensor con respecto a tales cambios de coordenadas, pero el
salto de los símbolos de Christoffel, que parecen jugar un papel principal en el
a continuación, no lo es; de hecho tenemos:
[] = []
xxβ
Si las coordenadas son C0 y así es la forma lα podemos escribir:
xxβ
= lαl
en la que el punto 2 denota la débil discontinuidad del orden 2 (véase, por ejemplo, [17, 18]). Por lo tanto, en
Podemos generar todas las transformaciones (C1, C2) a medida para combinar
Transformaciones de C2 (con respecto a las cuales • es un tensor) y Christoffel
transformaciones de calibres, es decir, del tipo:
]↔ [
] + lαlβQ
(11)
con alguna analogía con el caso de las métricas C0 (donde se juega el papel principal
por la discontinuidad métrica de primer orden (g), véase [1] sección 3).
En cualquier caso, ni el valor medio de la g métrica ni su salto [g] ahora
tienen derivados covariantes nulos. Considerar de hecho la identidad g = 0 en
el dominio ; a partir del límite f 0+, en tenemos:
− (
ü)+g − ()
v)+g = 0 (12)
Aquí, con el significado obvio de los símbolos, denotamos: g = (g)
+, g =
g, etc. En consecuencia, a partir de (2)1 tenemos:
g + (1/2)[g]−
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
−(1/2)([
/ ]g +
/ [g] + []
/ ]g +
/ [g ])+
−(1/4)([
/ [g] + []
/ [g ]) = 0
Del mismo modo, desde el límite f 0− y a partir de (2)2 también tenemos en فارسى:
g − (1/2)[g]−
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
+(1/2)([
/ ]g +
/ [g] + []
/ ]g +
/ [g ])+
−(1/4)([
/ [g] + []
/ [g ]) = 0
De la suma de expresiones (13) y (14) tenemos así:
g = (1/4)[
/ [g] + []
/ [g ]) (15)
y, a partir de la diferencia:
[g] = [] + [ ] (16)
A partir de (16), (3), y de la definición de derivado covariante sobre
a continuación:
[g] = []
& / ]g + [
/ ]g (17)............................................................................................................................................................................................................................................................
En cuanto al salto y el valor medio de los símbolos Christoffel que tenemos, de
El Tribunal de Primera Instancia decidió:
+(1/4)[g]([g] + [g]− [g ])}
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+[g](g + g − g)
o, de (15) y (17):
El Tribunal de Primera Instancia decidió, en primer lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior y, en segundo lugar, si la Decisión impugnada era compatible con el mercado interior.
No obstante, el Tribunal de Primera Instancia considera que, en el caso de autos, el Tribunal de Primera Instancia no puede pronunciarse sobre la compatibilidad de la medida con el mercado común.
3 Geometría de valor medio en una hipersuperficie
Consideremos un V α 4-vector, regularmente discontinuo en Ł, el salto y el
el valor medio de los cuales funcionará como prototipo de vectores con el valor de soporte.
Tenemos, por definición:
[V
] = [V
[]− []
- ¿Qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué? - ¿Por qué?
Asunto C-212/90 Comisión de las Comunidades Europeas / Reino de los Países Bajos
donde [V
] = [V
]+ [
y donde, de nuevo por definición, tenemos:
V =
(V)
+) + ()
(V +) + (V)
-)-()-()-()-()-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(...)-(......)-(.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(V −) (22)
Así, a partir de (2) tenemos:
V ♥ = V + (1/4)[
[V], (23)
que, por cierto, es el mismo resultado que podríamos obtener de la aplicación formal
sión de (3), que puede aplicarse realmente a los derivados covariantes, siempre y cuando
uno interpreta â € = â € TM. Por lo tanto, tenemos:
[V
] = [V
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
+ [
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
−[]
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
− (1/4)[][
][V ]+
+[
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
+ (1/4)[
][
[V]] [V]
y por lo tanto, por antisimetría:
[[]V
] = [][V
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[β[β]
][]
v. [V.] (25)
Ahora, de la identidad de Ricci tenemos: [[]V
] = [R
y, a continuación, por
[[]V
] = [R
+R
[V], (26)
y, por lo tanto, de una identidad bien conocida que se deriva de (3) como consecuencia
nuestra definición (5) para el derivado covariante en فارسى, es decir. (véase [1]):
[R
] = [
¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
] (27)
tenemos que el conmutador de los derivados covariantes del salto de un
vector genérico discontinua regularmente obedece a la siguiente fórmula tipo Ricci:
[[][V]
(1/2)R
− (1/4)[β
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
[V.]. (28)
No es de extrañar, trabajar de una manera similar a partir de V y anti-
Simetrizando, encontramos de nuevo:
[]V
(1/2)R
− (1/4)[β
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
; (29)
de hecho, cualquier campo dado con el apoyo en el • puede ser considerado, con la ayuda de
prolongaciones adecuadas, como el salto (o como el valor medio de) algunos regularmente
campo discontinuo. Por lo tanto, para cualquier vector V con el apoyo en.......................................................................................................................................................
introducir la siguiente fórmula de Ricci similar a la geometría de valor medio en el punto de referencia:
([])V
= (R)
V l; (30)
donde hemos introducido la curvatura de la geometría del valor medio (R), definida
por la siguiente geometría de valor medio primera identidad Gauss-Codazzi:
(R)
= R
− (1/4)[
][
- [] - []
][
/ ]) (31)
Nótese que, en aras de la simplicidad, hemos introducido un ligero abuso
de notación, ya que en [1] y [16] el mismo símbolo R
curvatura interior definida con la ayuda de proyecciones. En realidad, todo vale.
como en [1] sección 4 con el marco Gauss-Codazzi, con la diferencia
que aquí no tenemos que hacer proyecciones, lo que implicaría producto
veces una métrica tangente discontinua. Por otra parte, aquí ni siquiera tenemos
para distinguir entre los casos de tiempo o luz. En otras palabras:
nuestra geometría diferencial de valor medio en una hipersuperficie es muy simple, en
términos conceptuales, análogo del aparato Gauss-Codazzi.
Así, con la teoría heurística de [1] sección 6 (véase también [4] para el tiempo
en mente como un prototipo, esperamos el salto de los símbolos de Christoffel a
desempeñar el papel principal, en lugar de la forma fundamental secundaria, en la definición
de las condiciones de compatibilidad para soluciones muy débiles de las ecuaciones de Einstein.
De hecho, esto sucede, como se mostrará en el siguiente.
4 Formalismo complejo de valor medio
La métrica es dicontinuous en..............................................................................................................................................
aumentar y bajar los índices, y construir la curvatura de la manera tradicional.
Esta es la razón por la que a veces uno se siente tentado a introducir algún híbrido
objeto métrico en para reemplazar la métrica, incluso en el caso (C0, tipo C1)
(véase, por ejemplo, [5]). Es tranquilizador descubrir que el marco de la preselección
la sección puede ser confirmada por este tipo de enfoque.
Sería deseable simplemente reemplazar g con g en Ł, pero es fácil de
comprobar que g no tiene los requisitos algebraicos necesarios; en particular tenemos
# 6 = # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 #
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Considere en su lugar:
g = gÃ3 + i(1/2)[gÃ3], g
• = g − i(1/2)[g} (32)
donde i es la unidad imaginaria (i.e. tenemos i2 = −1). Es fácil de comprobar,
con la ayuda de (3), que tenemos:
¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío! ¡Oh, Dios mío!
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
• (33)
Es decir, en particular:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. En aras de la brevedad en lo siguiente:
vamos a denotar A B la relación R(A) = R(B). Así el par g y
g es un buen candidato para la sustitución de la métrica en, a los efectos de
Índices ascendentes y decrecientes. Ahora, similar a (32) vamos a presentar:
= + i(1/2)[ ],
=
− i(1/2)[
] (34)
para que tengamos:
En el caso de los animales de la especie bovina, el número de animales de la especie bovina se determinará de conformidad con el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2013, por el que se establece la organización común de mercados en el sector de la carne de porcino y por el que se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. 1).
Y a la inversa:
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Déjanos
ahora introducir el operador diferencial en, que hace uso de en
lugar de la ciudad. Como podríamos esperar, tenemos:
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
0 (35)
que es el reemplazo en Ł para la conservación covariante de la métrica
Tensor.
Ahora vamos a construir sobre el tensor de curvatura complejo R
manera, pero con en lugar de los símbolos Christoffel ordinario (que son
undefined on Ł):
R
=
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
+
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
μ −
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
μ (36)
Nos enteramos de eso de manera poco escrupulosa.
R
= (R)
+ i(1/2)[R
] (37)
i.e. en particular tenemos: R
(R)
, en el que R es dado por (31).
Esta es sólo otra razón para identificar a R.o como el reemplazo de la
el tensor de curvatura de, que es el primer paso de nuestro camino a la generalización
condiciones de compatibilidad.
5 Condiciones de compatibilidad generalizadas
Consideremos ahora el límite f → 0+ del tensor de curvatura del subdominio
; por (2) tenemos:
(R
)+ = R
+ (1/2)[R
] (38)
y, por (27):
(R
)+ = R
[β[]
] (39)
También tenemos, por (31):
(R
)+ = (Rl)
[β[]
] + [β
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(40)
Vemos que R y R. sólo difieren por términos proporcionales a [. ], y no
que impliquen derivados de la misma. Por lo tanto, en vista de descuidar estos tems, en el
a continuación vamos a considerar R en lugar de R. Esto simplemente evita la introducción
del símbolo “ ” con el significado de igualdad pero para términos que no impliquen
(que aquí sustituye a la segunda forma fundamental K) como en
[1] sección 6. Entonces para el tensor Ricci R = R
α tenemos:
(R)
+ = R + (1/2)
μ[
- [] - []
y para la curvatura escalar R = Rα
R+ = R + (1/2)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Ahora, para construir el tensor de Einstein G+ tenemos que recordar que, desde
la métrica también es discontinua:
g)
+ = g + (1/2)[g] (43)
para que tengamos:
(G)
+ = G + (1/2)
μ − (1/8)[g]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
donde hemos denotado, por razones de brevedad:
μ[
- [] - []
μ]− (1/2)g
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Vamos a fijar un gráfico de coordenadas y considerar un genérico (por el momento) regular
prolongación para G, de modo que su valor medio se defina en el conjunto de . Ahora
considerar la integral de 4 volúmenes de Riemann de G+ sobre el dominio ; de
el teorema verde que obtenemos (para la definición general de integral en un
hipersuperficie ver [6] p. 6):
G =
G + (1/2)
lH
μ − (1/8)
l [g]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
La fórmula análoga para implica −l− como el vector normal saliente
y la métrica g = gÃ3 − (1/2)[gÃ3], por lo que tenemos:
G =
G + (1/2)
lH
μ + (1/8)
l [g]
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
y, por consiguiente, tenemos:
G =
G +
lμH
μ (48)
Por lo tanto, razones similares a las de la teoría heurística (véase [4] y [1] sección
6) llevar a la hipótesis razonable de que G permanece limitado en el
, para cualquier prolongación admisible, de modo que del volumen
integral de las ecuaciones de Einstein, con la presencia de una fuente eventual
Término concentrado en la letra...........................................................................................................................................................................................................................................................
Gó =
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
T (49)
donde χ denota la constante gravitacional, concluimos que
lμH
μ =
T (50)
que es nuestra razón heurística para considerar el siguiente conjunto de
las condiciones de compatibilidad con el sistema para mantener el sistema Einstein como reemplazo del sistema Einstein;
ecuaciones:
lμH
μ = T (51)
Aquí TÃ3 representa el contenido stress-energy de la hipersuperficie.
En el caso más sencillo lα C
0, es muy fácil comprobar que el objeto lμH
es calibrado-invariante en el sentido de (11), como podríamos esperar.
Pasando ahora a la comparación con el caso C0, vemos en eq.s (71)
y (85) de [1] que nuestras condiciones generalizadas (51) son formalmente idénticas a
condiciones ordinarias de compatibilidad [eq. (110) del mismo documento], si se expresa
(que en el caso general es una función del salto de la
métrica [g], así como de su débil discontinuidad. Por lo tanto, está claro
que las condiciones generalizadas de compatibilidad se reducen a las normales en caso de
métrica es continua, es decir. en el caso de [g] = 0.
En particular, supongamos que g (C0, a medida C1) y f (C0, a medida);
nosotros por otra parte supongamos (l · l) > 0, es decir. # Como en el tiempo. # Por definición de Christoffel
símbolos, y a partir de (11) de [1], tenemos:
] = (l · l)-1/2(NβG
+N/23370/Gβ
(l · l)............................................................................................................................................................................................................................................................
1/2NβNlQ
(52)
Q es un vector que se puede establecer en cero con una elección de calibre adecuada; se reproduce
Ningún papel en (51), como cabría esperar, de hecho tenemos:
lμ[
μ] = −G + (l · l)N(Q ·N)
lβ[
Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Federal de Alemania
/ + (l · l)NβN/23370/(Q ·N)
lμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
v. + (l · l) (Q ·N)
lμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
] = −G/
v. + (l · l) (Q ·N)
y, puesto que g = g = h(N) +N N, tenemos de (45):
lμH
μ = G − h(N)G/
/ (54)
Es decir, según (88) de [1]:
lμH
μ = H (55)
como se esperaba. Ahora supongamos (l · l) = 0, es decir. - Sí, claro. Vamos.
u C0() ser un marco de referencia auxiliar dado. De eq.s (21) y (16) de
[1] Tenemos:
(u ·l)−1(−LβF(u)
L/23370/F(u)β
LÔF(u))+(u ·l)
2LβLQ
(56)
y, por consiguiente, de (18) y (19) del mismo documento:
lμ[
μ] = LβB(u, n)
3LβL(Q · L)
lβ[
Asunto C-372/98 Comisión de las Comunidades Europeas / República Helénica y República Helénica
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lμ[+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
(+) = lμ[+)
] = 0
Por lo tanto, tenemos:
lμH
μ = G(u, n) v
- LβB(u, n)
i.e. una vez más, según (83) de [1], tenemos: lμH
μ = H, como se esperaba.
Por lo tanto, el conjunto (51) de condiciones de compatibilidad, junto con
Ecuaciones Einstein para sostener a cada lado de la hipersuperficie de discontinuidad,
define la clase de soluciones generalizadas regularmente discontinuas de la Ein-
Ecuaciones de stein. Y en caso [g] = 0, es decir. para la medición continua, a partir de
condiciones que recuperamos las condiciones normales de compatibilidad para regular des-
soluciones continuas y débiles.
Sin embargo, en el caso genérico tenemos algunas diferencias, como vamos a
mostrar en el siguiente.
6 Una clase de capas esféricas de contorno
Consideremos el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinua spher-
soluciones icales de las ecuaciones de Einstein al vacío, de la forma
ds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + r2d
a través de una desgravación gravitacional admisible esférica
continuidad hipersuperficie de la ecuación r = Por lo tanto
la forma lα =
r −
t es continuo (mientras que lβ = glα en general no lo es).
Suponemos globalmente coordenadas C0, la misma forma de la métrica en ambos
dominios y, y la identificación t+ = t−, r+ = r−, =,
Leta, b > 0 y dejar que a, b • piecewise-C0 sea regularmente dis-
continua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Déjanos
denotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que
con respecto a r. Dejar por otra parte condición a− b > 0, es decir, (l · l) > 0, espera
A ambos lados en la parte superior.
Tenemos:
= −[a]
t + [b]
r (60)
Ahora definamos la coincidencia como una solución generalizada regularmente discontinua
por (51), con Tó = 0, es decir, en ausencia de energía-estrés concentrada en..........................................................................................................................................................................................................................................................
En este caso, nuestras condiciones de compatibilidad se reducen a:
lβ[
μ]− lμ[
μ] = 0 (61)
que, para un emparejamiento de métricas del tipo (59), son equivalentes a las siguientes:
sistema:
[b−1] + [a′b−1] = 0
[a−1] + [a′a−1] = 0
[a′a−1] + [a−1] = 0
[b′b−1] + [b−1] = 0
[b-1] = 0
i.e. tenemos [b] = 0 y, en consecuencia:
[] + [a′] = 0
[a−1] + [a′a−1] = 0
[a′a−1] + [a−1] = 0
[b′] + [] = 0
y a partir de (3):
[] + [a′] = 0
( a′)[a−1] = 0
( a′ + )[a−1] + ([a′] + [])a−1 = 0
[b′] + [] = 0
Ahora si tuviéramos ambos [] + [a′] = 0 y + a′ = 0, por (2) tendríamos
+ a′ = 0 a ambos lados de la hipersuperficie. Descartamos por el momento.
esta situación singular, y de (64)2 llegamos a la conclusión de que [a
−1) = 0.
Así, en este caso, nuestras condiciones de compatibilidad generalizada implican [a] =
[b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0, a pie-C1.
En [1] ya hemos estudiado algunos ejemplos de coincidencias C0, tipo-C1
de métricas del tipo (59) en una hipersuperficie de radio constante r = rb, con
lα =
r. Es decir, hemos considerado: Schwarzschild externo - interno
Schwarzschild; Schwarzschild externo - Tolman VI; Schwarzschild externo -
Tolman V. Tales coincidencias obviamente tienen lα C
0; además condición a′ 6=
0 reducir en este caso a a′ 6= 0, que está obviamente satisfecho. En cada caso nosotros
han verificado que la condición [a] = [b] = 0 implica
orden discontinuidad), que luego define la coincidencia como una capa límite [1] (es
En realidad, también implica b = 0, como se puede verificar). Semejante es un resultado general, ya que
para una métrica del tipo (59) los componentes totalmente temporales y radiales
del tensor Einstein son independientes de los segundos derivados de la
métrica:
Gtt = −a(b)
′r + b2 − b)/r2b2
Grr = −(a)
′r − ab+a)/ar2
de modo que las ecuaciones de Einstein correspondientes al vacío se reduzcan a:
b′r + b2 − b = 0,
a′r − ab+ a = 0.
Ahora, ya que en la coincidencia de (59) soluciones de vacío ecuaciones (66) se satisfacen
en cada lado de la interfaz فارسى, su salto es en particular nulo, y a partir de (3)
tenemos:
′] + (2b− 1)[b] = 0
′]− a[b]− (b+1)[a] = 0
de la cual se desprende claramente que las condiciones [a] = [b] = 0 implican [a′] = [b′] = 0,
i.e. A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A = A
Resumiendo, para el partido de dos piezas-C0 regularmente discontinuo
soluciones esféricas, en la hipótesis anterior, la compatibilidad generalizada con
dicciones (51) implican [a] = [b] = 0, es decir, fuerzan a la cerilla a ser C0. Activar
las condiciones de la otra mano [a] = [b] = 0 implican que فارسى es una capa límite.
Por lo tanto, para tales compatibilidades esféricas condiciones de compatibilidad generalizada (51)
son necesarios y suficientes para que el partido sea una capa límite.
7 Ondas de choque gravitacional generalizadas
Consideremos la coincidencia de dos métricas de onda plana de la forma
ds2 = −2ddη + F ()2dx2 + G()2dy2 (68)
a través de una hipersuperficie de la ecuación de 0 = 0. Aquí y η son los dos nulos
coordenadas. Suponemos que coinciden continuamente coordenadas y F,G reg-
ulularmente discontinuos, junto con sus derivados primero y segundo. Los
vector de gradiente de فارسى es la característica continua (a cada lado de فارسى) vector
lα =
Condiciones de compatibilidad generalizadas (51) en el caso T. = 0 (es decir, Sin estrés...
energía concentrada en la hipersuperficie) reducir a la siguiente escalar
ecuación:
[F-1F ′ +G-1G′] = 0 (69)
que caracterizan la onda de choque gravitacional generalizada. Vamos ahora.
estudio de compatibilidad de (69) con las ecuaciones de Einstein. El vacío de Einstein
las ecuaciones también reducen a una sola ecuación escalar:
F−1F ′′ +G−1G′′ = 0 (70)
que se supone que sostengamos a cada lado de la hipersuperficie; reemplazando así
F+ y G+ por sus expresiones en términos de F, [F ], G y [G] según
(2) da lugar a las siguientes condiciones escalares de pareja:
(2F ′′ + [F ′′])(2G+ [G]) + (2G′′ + [G′′])(2F + [F ]) = 0 (71)
(2F ′′ − [F ′′])(2G− [G]) + (2G′′ − [G′′])(2F − [F ]) = 0 (72)
Las ecuaciones (71) a (72) son compatibles con (69), es decir: las tres ecuaciones establecidas
se puede resolver algebraicamente con respecto a F, [G] y a cualquier miembro de la
par (F, G), y la solución no es necesariamente trivial.
Finalmente vamos a notar que, si la condición adicional [F ] = [G] = 0 mantiene,
i.e. si la solución es C0, la condición (69) se reduce a F−1[F ′]+G−1[G′] = 0 es decir.:
F - 1-F + G - 1-G = 0 (73)
que es la condición análoga para la onda de choque ordinaria, de acuerdo con
[1] sección 10.5.
8 Ondas gravitacionales generalizadas lentas
Comencemos a intentar combinar dos soluciones de vacío del tipo (68) a través
la hipersuperficie temporal (en ambos lados) de la ecuación • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Otra vez nosotros.
Suponga que las coordenadas coinciden continuamente, F, G regularmente discontinua a-
gether con sus derivados primero y segundo, y Tâ = 0. Esta vez, gener...
las condiciones de compatibilidad alizadas incluyen (69) y las dos siguientes:
condiciones escalares:
[FF ′] = 0, [GG′] = 0 (74)
Es decir, en términos de F, [F ], G y [G], de acuerdo con (3):
F [F ′] + [F]F ′ = 0 (75)
G[G′] + [G]G′ = 0 (76)
Es fácil comprobar que el sistema (75)-(76) no es compatible con (71)-(72),
en el sentido de que todo el sistema no admite soluciones no triviales para
F, [F], G y [G].
Por otra parte, hemos demostrado en la sección 6 que una amplia clase de
Coinciden esféricas borradas en una hipersuperficie de radio constante necesariamente
Degenerado a una coincidencia de C0.
Otros ejemplos de degeneración no se han incluido en el documento para
el bien de la brevedad, pero al menos parece ser una tarea difícil de construir un no-
coincidencia generalizada trivial a través de un tiempo (en cada lado) hipersuperficie, con
sin contenido de energía-estrés. Tal dificultad no es ciertamente una prueba de que esto sea
una tarea imposible, pero nos hace preguntarnos si tal solución debería
necesariamente degeneran en una capa de frontera, al igual que sucede para el ordinario
Soluciones C0 (véase, por ejemplo, [1]). Esto prohibiría la existencia de
soluciones que se propagan a una velocidad más lenta que la luz. Tal sería un
prohibiciones indeseables bajo cierto respeto, ya que se podía esperar que
las interacciones gravitacionales en el vacío deben necesariamente propagarse a la velocidad
de la luz también en una teoría generalizada.
En términos generales, ya que para soluciones generalizadas la métrica es discontinua
ous, una hipersuperficie puede en principio tener diferentes firmas en los diferentes
lados; por esta razón no podemos simplemente distinguir entre el tiempo y
el caso claro, como para las soluciones habituales C0. Más bien deberíamos distinguir
entre tres casos: timelike-timelike, timelike-lightlike (o por el contrario) y
Luz-luz-luz.
En cualquier caso, es legítimo esperar que, al menos en el tiempo-como
caso, similar al caso temporal de soluciones (C0, a medida C1), ausencia de
la energía de estrés concentrada en la energía debería implicar la solución para degenerar a
una capa límite [1].
Desafortunadamente para las soluciones generalizadas todavía no tenemos pruebas de que la ausencia
de la energía de estrés concentrada en • implica necesariamente la degeneración de
la solución a una capa de contorno.
Por lo tanto, aunque los ejemplos considerados en este documento parecen
que tal propiedad podría ser válida también en el caso generalizado, para el
en el momento en que tal resultado sigue siendo una conjetura; por lo tanto, tenemos que admitir que la
en principio permite la propagación de ondas de choque gravitacional generalizadas
a menor velocidad que la velocidad de la luz. Llamaríamos a tales ondas “la gen-
ondas de choque gravitacional borradas”. Sería razonable prohibir esto.
la situación como antifísica, pero por ahora esto sólo se puede hacer ad hoc, por medio de
de una hipótesis adicional correspondiente.
9 Energía de estrés no simétrica
Note que lμH
μ no es necesariamente simétrico; a partir de la identidad:
/ = (1/2)g−1g (77)
donde g denota el determinante de la métrica contravariante, tenemos:
lμH[]
μ = (1/4)(lβ[g
− 1 g]− l[g
−1g]) (78)
Por lo tanto, el esquema generalizado permite en principio la presencia de
tensión métrica-energía en la hipersuperficie de discontinuidad. Vamos a mostrar no-
ejemplos triviales de no simetría en la siguiente sección. Nótese que el
La parte derecha de (78) es idénticamente nula en el caso de g-C0 y lα-C
0, desde
en este caso tenemos [g−1g] = lβg
−1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og. −1og.
Un tensor Einstein no simétrico es una característica de la teoría Einstein-Cartán de
gravedad (véase [19], véase también [3] sección 7.2), donde se debe a la presencia
de torsión en la conexión no simétrica utilizada para construir generalizada
curvatura. Por lo tanto, la teoría generalizada se puede interpretar, al menos a algunos
extensión, como la introducción de una herramienta equivalente a la torsión en el shell solamente, incluso si hay
no son objetos geométricos en nuestra teoría que pueden ser interpretados directamente
como torsión. Sin embargo, la teoría Einstein-Cartán también tiene un giro - angular mo-
ecuación de campo mentum, además de las ecuaciones de Einstein, que aquí es
Falta.
En la literatura, condiciones de compatibilidad para soluciones C0 de límite
capas [20], y recientemente de ondas de choque y conchas delgadas [21], se han estudiado
también en el marco de la teoría Einstein-Cartán; en realidad, esto puede conducir a
energía de estrés no simétrica en el caparazón. Pero en esa teoría esta característica
se hereda del espacio-tiempo ambiente, que no está aquí: no-simétrico
stress-energy surge sólo en la cáscara, en consecuencia de la teoría. Esto
Es probable que valga la pena investigar una feauture interesante.
10 Conchas delgadas generalizadas
Ahora consideremos una forma más general de la métrica esférica:
ds2 = −a(r, t)dt2 + b(r, t)dr2 + c(r, t)d
Consideremos una coincidencia de dos soluciones esféricas de las ecuaciones de Einstein
a través de una hipersuperficie temporal (en cada lado) de la ecuación r = (t). Otra vez nosotros.
Supóngase C1 (t) y por lo tanto lα =
r −
t â € C0. Deje que las coordenadas
ser C0 globalmente, y dejar que la métrica tenga la misma forma (79) en ambos dominios
y, con la identificación t+ = t−, r+ = r−, =, = on
Que por otra parte a, b, c > 0 y dejar que a, b, c • piecewise-C0 sea regularmente dis-
continua en el caso de los primeros derivados discontinuos con regularidad y en el caso de los primeros derivados discontinuos. Otra vez nosotros.
denotar por un punto la derivada parcial con respecto a t, y por un primo que
con respecto a r.
En este caso para el lado izquierdo de la condición de compatibilidad generalizada
ciones lμH
μ obtenemos:
lμH
μ = −
[a′b−1/2] + [b−1/2 + c−1]
+([a′a−1/2 + c′c−1] + [a−1/2]
+([a−1/2 + c−1] + [a′a−1/2]
−([b−1/2] + [b′b−1/2 + c′c−1)]
+([c′b−1/2] + [a−1/2])
* + sin2 *
[b−1(a′a−1/2 + c′c−1)] + [a−1(b−1/2 + c−1)]
donde, obviamente:
g = −a®
t + b+
r + c(+)
* + sin2 *
(81)
Ahora queremos interpretar (80) como la materia-energía de un caparazón delgado. Vamos.
nosotros primero volver al caso particular = 0 (concha estática) y = =
• = 0, para simplificar la interpretación eliminando el no-simétrico
componente; reorganizar algunos términos que de hecho obtenemos:
lμH
μ = (−[a′b−1/2] + ac−1[c′b−1/2]
+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]
c−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]
Esto se puede interpretar como una perfecta capa delgada de magneto-fluido isotrópico con
Conductividad infinita, es decir. podemos resolver las condiciones de compatibilidad mediante
sidering la siguiente energía de estrés como el lado derecho:
T = (0 + p+ μh
2)UαUβ + (p+ (1/2)μh
2)g® − μhαhβ (83)
donde 0 es la densidad adecuada, h el campo magnético y μ el magnético
permeabilidad [22, 23, 24, 25, 6]; aquí definimos h2 = hαhβg
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * De hecho, sí.
basta para definir el siguiente vector de 4 velocidades:
a– (1/4)[a2]a−1
t = (a−1)1/2
t (84)
que, por construcción, es unitaria en el sentido siguiente: UαUβg
• = −1,
y las siguientes variables magnetohidrodinámicas:
0 = χ
−1a−1[a′b−1]/2 + 1c−1(b b−1/2− aa−1 + 1)[c′b−1]/2+
1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)− (3/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1)
p = 1c−1(bb−1/2− 1)[c′b−1/2] + (1/2)1b−1[a′a−1/2 + c′c−1]+
1[b−1](a′a−1/2 + c′c−1)
hα = ±
b−11([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2])
para emparejar (82) y (83) a través de lμH
μ = T. Si [a] = [b] = [c] = 0
Concha generalizada (85) degenera en la capa magnetohidrodinámica C0
considerado en [1] sección 10.1, en el caso particular = 0.
El caso ligeramente más general de = = 0, pero 6= 0, muestra
en términos no simétricos (80); sin embargo, no es difícil ver que la
la interpretación del magnetofluido todavía se mantiene, siempre y cuando no
términos simétricos son interpretados, o descuidados. De hecho, en este caso tenemos:
lμH
μ = (−[a′b−1/2] + c−1[c′b−1/2]
+([a′a−1/2 + c′c−1]− bc−1[c′b−1/2]
+(1/2)[a′a−1/2− b′b−1/2− c′c−1](
t + â €
+(1/2)[a′a−1/2 + b′b−1/2 + c′c−1]
t − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
c−1[c′b−1/2]− [b−1(a′a−1/2 + c′c−1)]
Consideremos ahora, en aras de la brevedad, las siguientes cantidades:
2[ a
2b−1 − (a)
− [a]
))2a−1
− [a]
− [a]
y supongamos que la desigualdad α < 0 sostiene, que es necesario para el
interpretación física. De hecho, en este caso el siguiente vector:
− [a]
t + 1
[ a]
− [a]
es un vector tipo tiempo de unidad en el sentido de que UαUβg
• = −1. Reordenar
términos, (86) ahora dice:
lμH
μ = αUβU/23370/ +
r + 1
[ a]
t − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
c−1[ c
− [b−1(a)
que se puede igualar a través de lμH
μ = T con un tensor de tensión-energía de
el tipo siguiente:
T = (0 + p+ μh
2)UαUβ + (p+ (1/2)μh
2)g® − μhαhβ + A® (91)
donde A denota el término anti-simétrico. Tenemos:
0 =
−1α + 1 1
− 1[b−1( a)
)]− 1
p = 1 1
] + 1[b−1( a
)]− 1
μh2 = 1βb−1
mientras que el término anti-simétrico A dice:
A =
t − • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
r) (93)
La interpretación de este término aún no se ha hecho; por el contrario, podría ser
negándose añadiendo la hipótesis adicional:
= 0 (94)
que es equivalente a [g−1g′] = 0, como podríamos esperar de (78).
Bibliografía
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[25] A. M. Anile Fluidos relativistas y magneto - fluidos Cambridge Univer-
sity Press, Cambridge (1989).
Introducción
métricas discontinuas
Geometría de valor medio en una hipersuperficie
Formalismo complejo de valor medio
Condiciones de compatibilidad generalizada
Una clase de capas esféricas de contorno
Ondas de choque gravitacional generalizadas
Ondas gravitacionales generalizadas lentas
Energía de estrés no simétrica
Conchas delgadas generalizadas
|
704.0104 | A geometric realization of sl(6,C) | UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C)
GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
Resumen. Dada una débilmente orientable auto-dual multiple X de rango dos, nosotros
construir una realización geométrica del álgebra Lie sl(6,C) como una definición natural
álgebra LC de endomorfismos del espacio de formas diferenciales de X. Nosotros pro-
vide una descripción explícita de los generadores Serre en términos de generadores naturales
de LC. Esta construcción da un paquete en X que está relacionado con la búsqueda
para una teoría del medidor natural en X. Consideramos este documento como un primer paso en la
estudio de una estructura algebraica rica e interesante.
1. Introducción
Este trabajo es un paso en un programa más amplio, que tiene como objetivo encontrar un geomet-
ric homólogo a la simetría espejo faenomenon, y posiblemente una geométrica
lenguaje en el que formular una teoría física interpolando entre diferentes
Modelos. Mientras dirigimos al lector a [G2],[G3] para más detalles, enumeramos aquí
sólo algunos aspectos de esta teoría para poner el presente trabajo en contexto.
En la aproximación Strominger-Yau-Zaslow a la simetría espejo tienes que dos
espejo doble Calabi-Yaus debe poseer (en cierto sentido limitante) semi-plano especial
Fibraciones de toro lagrangiano f : M → B, fâ € : Mâ → B que tienen como fibras toris planas
que son duales en el sentido métrico (véase [SYZ], y [G2] para la terminología y el
definiciones). Como es ampliamente conocido, el principal inconveniente de este enfoque es que
es muy difícil construir fibras tori lagrangianas especiales. Usualmente esta construcción
sólo se puede llevar a cabo cuando los colectores de Calabi-Yau duales son en realidad hiper-
kahler, y el tori lagrangian especial se puede ver como complejos submanifolds (con
respeto a una estructura compleja rotada), de modo que los métodos de complejo algebraico
La geometría se puede poner a trabajar.
Cuando usted tiene las fibras, entonces la idea es construir el mapa del espejo como
una especie de transformación de Fourier-Mukai (véase, por ejemplo, [BMP]). Este Fourier-Mukai
transformar es una correspondencia inducida por el retroceso y empujar hacia adelante de la
espacio X = M × B Mâ. En el caso de hiperkähler este espacio es un complejo colector,
mientras que en el caso general (por ejemplo, para Mirror Symmetry para Calabi-Yau tres-
pliegues) es sólo un verdadero múltiple de dimensión (real) 3 · dimC(M).
Antecedentes. La noción de (débilmente) auto-doble múltiple (cf. [G2]) fue con-
recibido en primer lugar para aislar los aspectos geométricos de la X arriba que son
necesaria para obtener la Simetría Espejo entre M y Mâ. Aquí reproducimos el def-
inición para el lector, mientras se refiere a [G2] y [G3] para todas las observaciones, ejemplos
y observaciones:
Definición 1.1. Se da un colector débilmente auto-dual (multiplicador de WSD para la brevedad)
por un suave colector X, junto con dos lisos de 2 formas........................................................................................................................................................................................................................................................
métrica y un tercero liso de 2 formas • D (la forma dualizante) en él, que satisfacen la
las siguientes condiciones:
1 ° d ° 1 = d ° 2 = d ° D = 0 y la distribución °
1 + فارسى
2 es integrable.
2) Para todos los p • X existe una base ortogonal dx1,.., dxm, dy
1,..., dy
m, dy
1,..., dy
Fecha: 24 de octubre de 2006.
http://arxiv.org/abs/0704.0104v1
2 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
dz1,..., dzc, dw1,..., dwc de T
pX tal que el dx1,.., dxm, dy
1,..., dy
m, dy
1,..., dy
son ortonormales y
(1)p =
dxi Ł dy
i, (+2)p =
dxi Ł dy
i, (D)p =
dy1i
dzi Ł dwi
Cualquier base ortogonal de TpX dual a una base de 1- formas como se dice anteriormente
adaptado a la estructura, o estándar. El número m es el rango de la estructura.
Para una definición más intrínseca de múltiples WSD el lector debe referirse a [G2].
Aquí hemos elegido la forma más rápida de presentarlos.
Cuando las formas #1, #2, #D son constantes covariantes con respecto a la Levi-Civita
conexión, hablamos de 2-Kähler colectores. Un ejemplo de esto viene del espejo
simetría para las variedades abelianas.
Observación 1.2. La forma D es simpléctica, una vez restringida a
1 + فارسى
2. Tenemos
por lo tanto, que
dim(X)−m
6= 0.
Definición 1.3. 1) Un colector de la WSD no es degenerado si dim( +01 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2) p = 0 en absoluto
puntos (equivalente si su dimensión es 3 veces el rango).
2) Un colector de WSD es auto-dual (diverso de SD para la brevedad) si todas las hojas de la
Distribución de los productos 01 +
2 tienen volumen uno (con respecto a la forma de volumen inducida por
la métrica)
Usando Auto colectores duales, usted puede dar una primera definición geométrica nóve de Mir-
ror Simetría según se indica:
Dos colectores Calabi-Yau con campo B (M, BM ) y (Más, BMâs ) son espejo dual
si hay una auto-doble multiple X junto con las conjeturas η : X → M y
: X → Más tales que:
a) (M) = 1,
) = 2.
b) Las hojas de 1 son las fibras de
c) Las hojas de 2 son las fibras de
d) Los campos B inducidos en M y Mâ € son los que se dan.
Aquí hacen su primera aparición el B-campos BM y BM®, que son unitarias planas
gerbes sobre M y M, respectivamente, y que no son pertinentes para los debates de
Este periódico. En [G2] se demostró que esta imagen funciona bien en el caso de la elíptica
curvas, y para algunas otras situaciones planas.
Motivación física. Sin embargo, una de las razones para introducir múltiples SD
se deshizo de las fibraciones lagrangianas especiales, que son tan difíciles de construir,
y ser capaz de atacar el problema de la simetría espejo también cuando estos fibra-
No se espera que existan. En este contexto más general se espera que el
Espejo de simetría faenomenon no se obtendrá directamente de las fibras de
un colector SD para el doble Calabi-Yaus, pero a través de un procedimiento más sofisticado,
que implica un tipo de límite Gromov-Hausdorff. En [G3] se demostró que para
la familia de divisores anticanónicos en espacio proyectivo complejo se puede construir un
(real) familia bidimensional de los múltiples de la CMD, que degeneran en una normalización
Gromov-Hausdorff siente los límites correctos del espejo doble Calabi-Yaus. Los
la imagen es la siguiente:
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 3
MB MAS
donde MA y MB son los grandes Kähler y grandes límites de estructura compleja de M
y Mós, respectivamente. Para ser precisos, los colectores que salen de la co-
ciones de [G3] son 11 dimensionales (degeneradas) Debilmente auto-duales múltiples o rango 3.
Dimensión 11 es muy atractivo en este contexto desde un punto de vista físico, y
nos lleva a la motivación del presente trabajo.
El punto de vista de [G3] es muy diferente del actual en el litro principal-
ature on matemática Mirror Symmetry: en lugar de considerar el producto de fibra
M×B MÃ3 (cuando exista) como dispositivo para probar la Simetría de Espejos para Calabi-Yaus,
la limitación Calabi-Yaus de Simetría Espejo son vistos como límites muy especiales de una
familia de colectores Self-Dual, que son los principales objetos de estudio. Esto es en realidad
más en línea con lo que se puede encontrar en la literatura física, donde los modelos
definir las teorías de cuerdas de las que se origina la simetría espejo se ven como
sólo “fases” de una teoría única, que no está necesariamente en la forma de un modelo
pero muy probablemente podría ser similar a una teoría de calibre cuantificado en un 11-dimensional
multiple. Para hacer este círculo de ideas más concreto (y por lo tanto más verificable) en
el final de [G3] se sugiere que uno debe tratar de construir una teoría de calibre natural
La esperanza es que una vez cuantificado esta teoría de la medición podría en-
terpolado entre los modelos asociados a los Calabi-Yau, y como subproducto
prueban la simetría del espejo para ellos. Por supuesto, uno siempre puede poner un paquete de calibre en
los colectores auto-duales "artificialmente", pero un haz natural que depende sólo de
la estructura geométrica sería mucho más atractiva. Ignoramos aquí la cuestión.
de los cuales la acción para poner en la teoría, pero también debe ser una geométrica natural.
Finalmente, en [GG] analizamos la situación para el rango tres de múltiples de la WSD, y nosotros
encontrado que en este caso el paquete natural correspondiente está formado por complejo Lie
superálgebras. Fuimos capaces de encontrar una forma geométricamente motivada real, y para
dividirlo en factores simples. Los resultados de [GG] confirman la sospecha de que en un WSD
múltiple de rango lo suficientemente alto podría haber suficientes paquetes algebraicos naturales de
operadores para construir teorías de medición interesantes.
La construcción de LC. Desde el punto de vista físico, el caso de Calabi-
Yau tres veces (es decir, clasificar tres colectores WSD) o cuádruples (es decir, clasificación de cuatro WSD
cúltiples) sería el más interesante para empezar. Sin embargo, su
la dificultad nos convenció de que partiéramos más modestamente del caso de Calabi-Yau dos-
pliegues (es decir, K3 superficies) que corresponden al rango de dos colectores Self-dual. Nosotros también.
no degenerado, por lo tanto, de los múltiples auto-duales de rango dos, por lo que
dimensión 6. Esto podría considerarse una prueba de concepto desde el punto de vista físico
de vista, sin embargo Mirror Symmetry para K3 es en sí mismo muy interesante mathemati-
Cally, así que esperamos que nuestros resultados puedan tener algunas consecuencias geométricas útiles.
El caso de rango tres se trata en nuestro siguiente [GG], como se mencionó en el anterior
sección de la presente introducción. El principal resultado del presente documento es el siguiente:
4 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
(que es una reafirmación geométrica del Teorema 5.11):
La Lie álgebra sl(6,C) actúa a través de operadores canónicos (dependiendo sólo de la geo-
estructura métrica) en las formas diferenciales lisas de cualquier no degenerado orientable
WSD multiple de rango 2.
Esta acción generaliza naturalmente la acción de sl(2,C) sobre diferencial suave
formas de cualquier colector casi Kähler, y es inducido por una acción de paquete en el
potencia exterior del haz de cotangente.
Recordemos que un colector débilmente auto-dual es un colector Riemanniano con tres
Formas diferenciales “compatibles” cerradas. Construiremos un álgebra de Lie de punto
operadores en formas diferenciales complejas en X, como secciones lisas de un paquete de Lie
álgebras de los operadores en el complejo paquete cotangente de X. Para empezar, uno puede
definir los siguientes operadores:
Definición 1.4. Por lo que se refiere a la letra a) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013
L0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1
Uno puede notar inmediatamente el fuerte parecido de los operadores de arriba con
el operador Lefschetz de la geometría Kähler. De hecho, se puede profundizar en esta simi-
larity, y utilice la métrica para definir los contiguos Łj = L
j (utilizando un procedimiento
como en el caso casi Kähler).
Simplemente usando el Lj y el Łj, uno puede mostrar que el álgebra generada es iso-
morfo a SL(4,C) ([G2]). Sin embargo, hay otras formas diferenciales naturales en
un colector de la CMD (que no tiene una contraparte en el caso Kähler), a saber:
formas de volumen de las distribuciones 1,
1, 2.................................................................................................
D de vectores que se contraen a cero
con los formularios +1, +2 y +D, respectivamente. Si uno llama V0, V1, V2 el correspondiente
los operadores de cuña, y A0, A1, A2 sus colindantes, la complejidad de los cálculos
para describir el álgebra de Lie generada crece mucho. Llamamos L el álgebra generada
por el Lj, Vj y sus colindantes, y LC su complejidad. Para estudiar LC introducimos...
un operador J, que es una estructura compleja en cada una de las dos dimensiones
distribuciones mencionadas anteriormente y genera un grupo isomórfico a SO(2,R) (recordar
que estamos en el caso "hiperkahler", correspondiente a la simetría de espejo para K3,
por lo que una estructura “extra” compleja no debería sorprender; además, la holonomía de
un colector de la WSD en el que todos los â € € TM € TM, â € € TM ; D son invariantes en realidad siempre se incluye en
el grupo generado por J). Un control de que todos los operadores introducidos conmutan
con él:
[Jj, J] = [Jj, J] = [Vj, J] = [Aj, J] = 0
y por lo tanto uno puede tratar de descomponer T*
X con respecto a J y luego utilizar
Lemma de Shur para reducir al estudio de los operadores sobre los componentes isotípicos.
Cabe mencionar que en los casos (muy) buenos (por ejemplo, los colectores 2-Kähler)
los operadores anteriores son todos constante covariante con respecto a la connec-
y definir una acción sobre la cohomología de X mucho de la misma manera que en el
Kähler fijando los operadores L y Ł do (debido a las identidades del tipo Hodge). Nosotros no
explorar este aspecto aquí, aunque puede ser relevante para el espejo (homológico)
construcción de mapas.
Volviendo a la construcción, señalamos la inclusión de la Lie álgebra LC
dentro de una copia del álgebra de Clifford Cl6,6.
Utilizando este álgebra de Clifford se puede identificar a los operadores de “grado dos” o “cuadratic”
(de una manera similar a los involucrados en las representaciones de Espinor en el estándar
Spin multiples) y entre estos los SO(2,R)-invariantes. A posteriori, gira.
de que los operadores de LC® < J > son todos los operadores J-invariantes de ”grado
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 5
dos”, y esto refuerza la razón de ser en nuestra selección de operadores naturales.
Como último paso uno encuentra que dentro de T ∗X hay un SO(2,R)-isotípico compo-
nent de la dimensión 6, y por el cálculo directo demostramos que de hecho los operadores
restringido a esta sub-representación determinar una copia de sl(6,C) (con la defin-
■ representación). Utilizando el límite de la dimensión de la computación obtenida por LC
“cuadratica” invariantes, se muestra entonces que la representación en este isotípico
componente es fiel. Esto proporciona como subproducto un método para dar presenta-
de los generadores estándar Serre de LC, expresamente escritos en términos de
generadores geométricos.
2. Operadores básicos
En esta sección fijamos un punto p en el múltiple X de la WSD. La estructura de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible
divide el espacio cotangente como T *pX = W0â € € TM W1â € TM W2 donde el Wj son tres mutuamente
distribuciones canónicas ortogonales definidas como:
W0 = T
pX
2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2 = 0}
W1 = T
pX
2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
D = 0}
W2 = T
pX
1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
D = 0}
La estructura WSD también determina identificaciones lineales canónicas de par
entre W0, W1 y W2, por lo que también se puede escribir T
pX = W0 R R
3 o más
simplemente
T ∗pX =W R R
donde W = W0 = W1 = W2.
Volvamos ahora a los operadores canónicos Lj mencionados en la introducción:
Definición 1.4
L0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1
Ahora elegimos una base ortonormal (no canónica) γ1, γ2 para W0, y esto juntos
con las identificaciones estándar del Wj determina una base ortonormal para
T *pX, que escribimos como {vij = γi ej i = 1, 2, j = 0, 1, 2}. Observamos que
el vij son un coframe adaptado para la estructura de la WSD, y por lo tanto tenemos el
expresiones explícitas:
• 1 = v10 • v11 + v20 • v21
2 ° = v10 ° v12 + v20 ° v22
D = v11 v12 + v21 v22
Una elección diferente de la γ1, γ2 estaría relacionada con la anterior por un elemento en
O(2,R) o, teniendo en cuenta la orientabilidad de X mencionada en la introducción,
un elemento de SO(2,R). El álgebra de Lie del grupo SO(2,R) expresando la
cambio de una base adaptada orientada a otra se genera (punto por punto) por
el operador global J :
Definición 2.1. El operador J. EndR.
∗(X)) es inducida por su acción puntual
en el T ∗pX para variar p X, definido en términos de la base estándar vij como
J(v1j) = v2j, J(v2j) = −v1j para j {0, 1, 2}
y J(v) W = J(v) W + v) J(w) para v, w T ∗pX
Observación 2.2. A medida que J se desplaza consigo mismo, está bien definido, independientemente de la
elección de una base adaptada orientada.
Utilizando la base escogida (ortonormal), se puede definir la correspondiente (no canon-
los operadores de cuñas y contracciones:
6 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
Definición 2.3. Vamos a {1, 2} y j {0, 1, 2}. Los operadores Eij y Iij son
respectivamente la cuña y el operador de contracción con la forma vij en
(definido utilizando la base dada); utilizamos la notación
para indicar el elemento de
TpX dual a vij T
Eij() = vij (), Iij () =
Proposición 2.4. Los operadores Eij, Iij satisfacen las siguientes relaciones:
I, j, k, l EijEkl = −EklEij, IijIkl = −IklIij
EijIij + IijEij = Id
(i, j) 6= (k, l) EijIkl = −IklEij
i, j E*ij = Iij, I
ij = Eij
donde ∗ es adjunción con respecto a la métrica.
Prueba La prueba es una simple verificación directa, que omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Es entonces inmediato verificar que:
Proposición 2.5. J puede expresarse como
(E2jI1j − E1jI2j)
en su conjunto
T ∗pX. De esta expresión y de la proposición anterior uno ob-
que J* = −J, es decir, para cada p el álgebra Lie generada por J es un subalgebra
de o(
T ∗pX) isomórfico a so(2,R)
Por otra parte, las imágenes exponenciales en-
lado AutR(
*(X)) de los operadores del tipo tJ para t â € R forman un grupo isomórfico a
SO(2,R) = S1, ya que este isomorfismo sostiene la restricción (fiel) del grupo
acción a T ∗pX.
Utilizando los operadores (no canónicos) Eij podemos obtener expresiones simples para el
acción puntual de los demás operadores canónicos, el volumen forma Vj :
Definición 2.6. En nombre de la República Popular Democrática de Corea
T ∗pX,
V0(l) = E10E20(l), V1(l) = E11E21(l), V2(l) = E12E22(l)
Recuerde, sin embargo, que los operadores Vj no dependen de la elección de una base,
como son simplemente multiplicación por las formas de volumen de los espacios Wj.
Utilizamos el vij también como una base ortonormal para el espacio complejo T
p R C
(con respecto al producto interno del ermitaño inducido). Indicamos con la misma
símbolos Vj los operadores complejos que actúan sobre los espacios
T ∗pX.
La métrica riemanniana induce una métrica riemanniana en T*pX y en el espacio
T ∗pX.
Definición 2.7. Para j {0, 1, 2}
•j = L
j, Aj = V
Por la construcción de los operadores canónicos Lj, Vj,
T *pX son el punto-
restricciones prudentes de los operadores mundiales correspondientes sobre formas diferenciales fluidas,
que indicamos con los mismos símbolos: para j {0, 1, 2},
Lj, Vj,
*(X) → (X)
Resumiendo:
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 7
Definición 2.8. El ∗-Lie álgebra L es el ∗-Lie subalgebra de EndR (
∗ (X)
por parte de los operadores
{Lj, Vj,j, Aj para j = 0, 1, 2}
El operador ∗ en L es inducido por el contiguo con respecto al Riemannian
métrica. El *-Lie álgebra LC es L C, y es de una manera natural un ∗-Lie subalgebra
de fin de período de sesiones de la Comisión de las Naciones Unidas para la Eliminación de la Discriminación Racial
(X)). El operador ∗ en LC es inducido por el contiguo con respecto a
la métrica de Hermitia inducida.
La división canónica T *pX = W0 â € € TM W1 â € TM W2 junto con la canónica
las identificaciones W0 = W1 = W2 inducen una acción del grupo simétrico S3, que
se propaga a
T * X y sus secciones C. En cada momento, la acción puede ser
escrito explícitamente en términos de la base como
(vij) = vi(j)
La acción inducida sobre los endomorfismos vía conjugación,
LC. De hecho, uno puede comprobar directamente utilizando la base vij en cada punto que para
(Vj) = V(j), (Lj) =
Puesto que S3 actúa sobre LC por conjugación con operadores unitarios, su acción conmuta
con la adjunción (el operador ∗), y por lo tanto
(Aj) = A
Por otra parte, también se tiene que (J) = J lo que significa que la acción de S3 conmuta
con el de so(2,R).
3. La acción de so(2,R)
Cuando se trata de la simetría del espejo para los colectores de 2-Kähler (ver el Introduc-
), los múltiples WSD que surgen tienen la propiedad de que las formas.......................................................................................................................................................................................................................................................
D son constantes covariantes con respecto a la métrica. En este caso, el máximo
la posible holonomía del colector X de la WSD se incluye en el so(2,R) generado
por el operador J. Demostraremos ahora que J viaja con LC. Nuestra prueba lo hará.
ser estrictamente algebraico, por lo que la computatividad entre so(2,R) y LC se mantendrá
También en los colectores de la CMD para los cuales la holonomía es más general.
Definición 3.1. Dado n â € Z, indicamos con Vn el complejo unidimensional
representación de SO(2,R) < S1 > = R/Z dada por el carácter:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Proposición 3.2. Bajo la representación SO(2,R) inducida por el operador J,
para cualquier p â € X :
1) El espacio
Xp) escisiones como
V â € 31
8 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
2) Todo el espacio
Xp) se divide de acuerdo con la siguiente imagen:
Xp) = V0
Xp) = V
V â € 31
Xp) = V
V â € 90
V â € 32
Xp) = V−3
V â € 91
Xp) = V
V â € 90
V â € 32
Xp) = V
V â € 31
Xp) = V0
Prueba 1) El espacio T *
Xp es una suma directa de los tres Wj, y cada uno de estos
es la representación real bidimensional estándar de so(2,R). Por lo tanto, diag-
onalize la representación introduciendo una nueva base para cada Wj =< v1j, v2j >:
wj = v1j + ı v2j, wj = v1j − ıv2j
A partir de la definición de J, uno tiene entonces para cada j {0, 1, 2}
J(wj) = wj, J(wj) = ıwj
Por lo tanto, uno tiene para cada j. {0, 1, 2}
< wj = V−1, < wj = V1
2) Para probar el caso general, utilizamos el hecho de que el operador J determina un
estructura casi compleja en el colector X, compatible con la métrica. Desde
esto, siguiendo los argumentos estándar, las formas diferenciales complejas y también el
elementos de
Xy para cualquier y • Y se puede dividir de acuerdo a su tipo:
p+q=n
En la notación adoptada en la prueba de la primera declaración,
Xy = < wi1 · · · • wip wj1 · · · · • wjq i1,..., jq • {0, 1, 2} >
De la definición de la acción de J se tiene por lo tanto que para cualquier p, q
Xy â € = V
con k =
a partir de la cual la segunda declaración de la proposición puede ser
Deducido. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.3. Los operadores Lj, Vj para j {0, 1, 2} viajan con el generador
J de so(2,R).
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 9
Prueba Demostramos las declaraciones mediante un cálculo directo utilizando la base vij ;
por otra parte, utilizando la acción de S3 (que permuta el Lj, Vj y corrige J), es
suficiente para probar la computatividad para L0 y V0. Es útil volver a escribir 0 (y
Por lo tanto, L0 que es cuña con 0) en términos de la base generada por el wj :
• 0 = v11 • v12 + v21 • v22 =
(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)
y luego:
[J, L0](wi1 • · · · • wip • wj1 • · · • wjq ) =
(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(w1 • w2 • w2 • • • J(wi1 • · · • • wip • wj1 • · · • • wjq )
Por lo tanto, el resultado se deriva del hecho de que
(w1 •w2 − w2 • w1) = 0
como wj y wk tienen peso opuesto con respecto a J para cualquier j, k.
Del mismo modo, [J, V0] = 0 se deriva del hecho de que para cualquier α
V0(α) = v10 • v20 • α =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Desde el teorema anterior se obtiene el siguiente corolario, que se mantiene sobre cualquier
Multiplex WSD (no necesariamente 2-Kähler ):
Corolario 3.4. El álgebra LC se desplaza con la acción de so(2,R) inducido por
Prueba Ya sabemos que [J, Lj] = [J, Vj ] = 0 para j {0, 1, 2}. El corre...
sponding relaciones de conmutación para los grupos electrógenos contiguos......................................................................................................................................................................................................................................................
el hecho de que J* = −J, como se observa en la Proposición 2.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.5. Del lema de Schurs se desprende que las columnas del diagrama de
La Proposición 3.2 está preservada por la acción de LC.
4. Una representación irreductible de LC
Mirando la tabla de la Proposición 3.2 notamos que la segunda columna de
la izquierda es una representación de LC (por Observación 3.5) de la dimensión 6:
V = V
−2 = < w0 • w1, w0 • w2, w1 • w2, w0 • w1 • w2 • w0,
W0 W1 W2 W2 W1 W1 W2 W2 W2
En esta sección computaremos explícitamente esta representación.
Utilizando la base descrita anteriormente, no es difícil calcular las matrices por
mano:
Proposición 4.1. Indicando con β la base ordenada para V indicada anteriormente, la
las matrices para los (restricciones a V de) generadores de LC son las siguientes:
Mβ(L0) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
, Mβ(0) =
0 0 0 0 −2 0
0 0 0 0 0 −2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
10 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
Mβ(L1) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 −
0 0 0
, Mβ(1) =
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Mβ(L2) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
, Mβ(2) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Mβ(V0) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, Mβ(A0) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 −2ı 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Mβ(V1) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, Mβ(A1) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2ı 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Mβ(V2) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
, Mβ(A2) =
0 0 0 0 0 −2ı
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Prueba Cálculo directo utilizando la base generada por el wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 4.2. El álgebra generada por la restricción de LC a V es isomórfica
a sl(6,C), con V su representación natural.
Uno puede resumir los cálculos anteriores en el siguiente teorema:
Teorema 4.3. Hay una secuencia exacta de álgebras de Lie
0 → K → LC → sl(6,C) → 0
dada por la restricción a V.
En la siguiente sección probaremos que K = {0}, y por lo tanto la representación
V es fiel y LC = sl(6,C).
5. Invariantes cuadráticas
Comenzamos por mostrar que la acción de Lie álgebra LC es inducida por un (no-
Canónico) representación de álgebra de Clifford. Utilizamos para la simplicidad el canónico
identificación T Xp = T Xp sin más comentarios, de modo que si {vij} es una base
para T ∗pX, entonces {
} es la base dual correspondiente para TpX.
Definición 5.1. Para p X, el álgebra de Clifford Cp es
Cp = Cl(TpX + T
pX, q)
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 11
con la forma cuadrática q inducida por la métrica
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
*, j, h, k <...............................................................................................................
6 = (h, k) < vij,
i, j < vij,
> = − 1
Observación 5.2. El Clifford álgebras Cp para variar p definir un paquete de Clifford C
sobre X, ya que la definición de Cp es independiente en la elección de una base. De hecho, la
La forma cuadrática utilizada para definirla es simplemente inducida por − 1
veces el bilineal natural
emparejamiento TpX T
pX → R.
Proposición 5.3. El álgebra Clifford Cp tiene una representación canónica
T ∗pX, inducido por los operadores Eij y Iij a través del mapa
P(vij) = Eij, P
= Iij
Prueba de las relaciones de Clifford
+ = −2 <
son precisamente el contenido de la Proposición 2.4. La representación es canónica, aunque
los operadores Eij y Iij no son, porque puede definirse en una base independiente
manera como
lp(v)(α) = v l, lp
Abusando ligeramente de la notación, identificaremos a Cp con su imagen (fiel) dentro
T ∗pX
, y omitiremos cualquier referencia al mapa. En realidad, como la
representación arriba es un análogo real de la representación de Spinor, es fácil de
verifique que el mapa p es un isomorfismo de álgebras asociativas. Uno entonces tiene:
Definición 5.4. El subespacio lineal C2p de Cp es la imagen del mapa natural
(TpX-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T
pX) → Cp. El subespacio lineal C
p de Cp es el subespacio generado por
Recuerde que C2p es un subalgebra de Lie de Cp (con el soporte del conmutador).
Proposición 5.5. El Lie álgebra Lp y el operador J se sientan dentro de C
p para todos
ÍNDICE (continuación)
Prueba Los operadores Lj, el?j, el Vj y el Aj mienten dentro de C
p por Propo-
Situación 2.4 y el hecho de que â € 1, â € TM TM y D mienten en
T ∗pX. El operador J se encuentra dentro
C2p â € C
p por Proposición 2.5. Por definición, los elementos C
p son conmutadores, y
Por lo tanto, tienen traza cero en cualquier representación, y por lo tanto también en la p. Además,
de nuevo por inspección todos los generadores de Lp tienen traza cero una vez representado a través de
(son nilpotentes), y por lo tanto deben estar dentro de C
p. El operador J es
en el álgebra de Lie del grupo de isometría, y por lo tanto también tiene traza cero y
por lo tanto se sienta dentro de C2p. As C
p se cierra bajo el soporte del conmutador de Cp, y
este conmutador coincide con el soporte de composición de los operadores, tenemos el
conclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 5.6. Dar el grado 1 a los operadores Eij y el grado −1 a la ópera-
Tors Iij, inducimos un grado Z en Cp. Este grado coincide con el grado de la
operadores inducidos por la clasificación en los formularios a partir de
T ∗X.
12 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
Observación 5.7. Para cualquier p • X, el álgebra Clifford Cp es isomórfico a Cl6,6, como
la métrica utilizada para definirla tiene firma (6, 6). Por consiguiente, la propuesta anterior
muestra que Lp es una mentira subalgebra de Cl
= spin(6, 6) = so(6, 6), generado por
secciones globales suaves del paquete C de Clifford.
El operador J actúa sobre toda la Cp mediante la adición con respecto al conmutador
y envía su parte cuadrática C2p a sí misma desde la Proposición 5.5.
Mostraremos que el espacio de J-invariantes dentro de C2p (los "cuadraticos" J-invariantes)
coincide con LC. Para describirlo explícitamente, vamos a introducir la siguiente notación:
Definición 5.8.
Ewj = E1j + ıE2j, Ewj = E1j − ıE2j
Iwj = I1j − ıI2j, Iwj = I1j + ıI2j
Lemma 5.9. La acción adjunta del operador J en Ewj, Iwj, Ewj, Iwj es:
[J, Ewj] = Ewj, [J, Iwj] = ıIwj
[J, Ewj ] = ıEwj, [J, Iwj ] = Iwj
Prueba Es suficiente considerar los pesos J correspondientes del wj, wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 5.10. Los 36 operadores siguientes proporcionan una base lineal para la
dratic J-invariantes:
(1) [Ew0, Ew1 ], [Ew0, Ew2 ], [Ew1, Ew2 ], [Ew1, Ew0 ], [Ew2, Ew0 ], [Ew2, Ew1 ]
(2) [Iw0, Iw1 ], [Iw0, Iw2 ], [Iw1, Iw2 ], [Iw1, Iw0 ], [Iw2, Iw0 ], [Iw2, Iw1 ]
(3) [Ew0, Ew0 ], [Ew1, Ew1 ], [Ew2, Ew2 ]
(4) [Iw0, Iw0 ], [Iw1, Iw1 ], [Iw2, Iw2 ]
(5) [Ew0, Iw1], [Ew0, Iw2], [Ew1, Iw0], [Ew1, Iw2], [Ew2, Iw0], [Ew2, Iw1]
(6) [Ew0, Iw1 ], [Ew0, Iw2 ], [Ew1, Iw0 ], [Ew1, Iw2 ], [Ew2, Iw0 ], [Ew2, Iw1 ]
(7) [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ], [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ]
Prueba El peso J de un grupo de operadores J-homógenos es la suma de
los pesos respectivos. Los “monomios” cuadráticos (con respecto al soporte)
en el Ewj, Iwj, Ewj, Iwj son todos J-homogéneos, y por lo tanto para encontrar una base de
J-invariante operadores cuadráticos es suficiente para identificar el J-invariante cuadrático
monomios. Ser J-invariante significa simplemente tener peso cero, y el compu-
de los mononios cuadráticos sigue inmediatamente de los
de Ewj, Iwj, Ewj, Iwj, que son respectivamente, ı, ı,. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Terminamos esta sección con lo siguiente:
Teorema 5.11. En la secuencia exacta del Teorema 4.3 el núcleo K es igual a {0}.
El álgebra LC es por lo tanto isomórfico a sl(6,C).
Prueba Dado que LC está incluido en el álgebra de Lie de invariantes cuadráticas, es
suficiente para demostrar que J 6o LC, a partir de esta y la proposición anterior que sigue
que dimC(LC) ≤ 35. Como los mapas de LC surjetivamente a sl(6,C) que tiene dimensión 35,
el núcleo debe ser cero. Cuando se limita a la subrepresentación V, los generadores
de LC tienen todos rastro cero por inspección de sus matrices. Sin embargo, por definición
de V, J restringido a él es la multiplicación por −2ı, y por lo tanto tiene traza igual a
−12ı. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollary 5.12. El álgebra de Lie LCâ < J > es igual al álgebra de Lie de cuadrática
invariantes dentro de C2p.
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 13
6. Una presentación geométrica de los generadores Serre
En esta sección, para obtener una mejor comprensión geométrica de la representación
LC de sl(6,C), exploramos con mayor detalle su relación con la estructura geométrica de
a Multiples de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible. En particular, ofrecemos una presentación de una elección natural de Cartan
generadores de subalgebra y Serre en términos de los generadores geométricos Lj,?j, Vj, Aj.
Los operadores LJ son similares en naturaleza a los operadores Lefschetz de un Kähler
multiple. Esta analogía es lo que proporcionó el interés inicial en la estructura algebraica
tura de LC. Del mismo modo que la construcción estándar correspondiente de una representación
de sl(2,C), definimos
Definición 6.1. Para j {0, 1, 2}
Hj = [Lj,lj]
Estos operadores son autoadjuntos, como L*j = Łj por definición. Al igual que en el contexto de
La geometría kähleriana, para cada j el álgebra < Lj,j, Hj > resulta ser una copia
de sl(2,C). Por otra parte, la propuesta siguiente muestra que los operadores Hj son
semisimple en el conjunto de álgebra LC, y por lo tanto generar un subalgebra toral de
Proposición 6.2. Los operadores geométricos Hj generan una subalgebra toral de LC,
y mantener las siguientes relaciones: para j 6= k {0, 1, 2}
(1) [Hj, Lj] = 2Lj, [Hj,
(2) [Hj, Lk] = Lk, [Hj,lk] = k
(3) [Hj, Vj ] = 0, [Hj, Aj ] = 0
(4) [Hj, Vk] = 2Vk, [Hj, Ak] = −2Ak
Prueba En vista de Teorema 5.11, en este punto el método más rápido de prueba de
esta proposición es referirse a las matrices explícitas de la restricción (fiel) de LC
a V.
Todo el álgebra LC se divide en una suma directa de espacios de peso con respecto a
< H0, H1, H2 >, ya que este subalgebra es toral. El peso de L0 con respecto a la
base dual a H0, H1, H2 es:
αL0 = (αL0(H0), αL0(H1), αL0(H2)) = (2, 1, 1)
La lista completa es:
αL0 = (2, 1, 1), 0 = L0
αL1 = (1, 2, 1), 1 = L1
αL2 = (1, 1, 2), 2 = L2
αV0 = (0, 2, 2), αA0 = V0
αV1 = (2, 0, 2), αA1 = V1
αV2 = (2, 2, 0), αA2 = V2
Para encontrar una expresión geométrica natural para dos elementos ad-semisimple que com-
plete < H0, H1, H2 > a una subalgebra cartán miramos los generadores Vj y Aj.
Sin embargo, resulta que los candidatos naturales [Vj, Aj ] ya se encuentran en el álgebra
< H0, H1, H2 > En cambio, construimos los nuevos operadores por “sustracción” de la Vj
su peso αVj :
Definición 6.3. Definimos
S0 = ı[[[V0,1],2], L0]
S1 = ı[[[V1,2],0], L1]
S2 = ı[[[V2,0],1], L2]
14 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
y denotar por H el álgebra de Lie (sobre C):
H = < H0, H1, H2, S0, S1, S2 >
Los coeficientes ı que aparecen en las fórmulas anteriores son dictados por el hecho
que con esta opción las matrices (diagonales) del Sj restringido a V tienen entero
entradas.
Proposición 6.4. El álgebra H es un subálgebra cartán de LC. Más precisamente,
las siguientes son las diagonales de los operadores H0,..., S2 una vez restringidos a V
, H1 :
, H2 :
, S0 :
, S1 :
, S2 :
Prueba El cálculo de las matrices anteriores muestra que, una vez restringido a
V, el álgebra H abarca el espacio de matrices diagonales de traza cero en el dado
base. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 6.5. El cálculo anterior muestra también que los operadores S0, S1, S2 safisfy
la relación
S0 + S1 + S2 = 0
Incluso si de la proposición anterior sabemos que H es máxima toral dentro de LC,
los generadores geométricos naturales Lj,j no son autovectores para la acción contigua
del Sk. En este punto, sin embargo, es posible distinguir en geométrico natural
términos operadores de LC que tienen peso “puro” con respecto al álgebra H y
que contienen en su margen lineal el Lj,
Definición 6.6. Para j {0, 1, 2}
L1j = −2Lj + [Sj, Lj], L2j = 2Lj + [Sj, Lj]
* 1j = − 2j − [Sj,?j], * 2j = 2j − [Sj,?j]
Proposición 6.7. Indicando con ehk la matriz 6×6 con 1 en posición k (fila)
y h (columna) y cero de otro modo, las matrices de los operadores Lij y
Las restricciones impuestas en V son las siguientes:
L10 = 2e
6 L11 = −2e
4 L12 = −2e
L20 = −2e
5 L21 = −2e
6 L22 = 2e
10 ° = 8 e
2 °11 = −8e
1 °12 = −8e
•20 = −8e
1 °21 = −8e
3 °22 = 8e
Corollary 6.8. Tenemos las siguientes relaciones para los operadores de LC restringidos
a V:
[Hk, Lij] = (1 + Łkj)Lij, [Hk,
[Sk, Lij] = (−1)
i+1(1− 3kj)Lij, [Sk,ğij] = (−1)
i(1− 3kj)
[Sk, Vj] = 0, [Sk, Aj] = 0
Guiado por todos los cálculos explícitos de la acción sobre el componente isotípico
V = V â € 6
−2 compuesto hasta este punto, ahora definimos en términos de la geométrica natural
operadores un conjunto de generadores Serre para el álgebra LC.
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 15
Definición 6.9.
[L20, A1] f1 =
[V1;20]
[L22, A0] f2 =
[V0,~22]
e3 = V0 f3 = A0
[L12, A0] f4 =
[V0,?12]
[L10, A1] f5 =
[V1; 10]
Además, para todos los i {1,.., 5} definimos hi = [ei, fi].
Como los ei tienen por construcción matriz asociada e
i+1 una vez restringido a V y
los fi son sus respectivos contiguos, uno obtiene:
Proposición 6.10. Los operadores ei, fj,hk satisfacen las relaciones Serre para sl(6,C)
y el hi span el cartán subalgebra H:
(H1 − H2 − S1 − S2)
(H0 −H1 + S2)
(−H0 +H1 +H2)
(H0 − H1 − S2)
(H1 −H2 + S1 + S2)
Sería interesante como última observación identificar en la lista de cuadráticas in-
Variantes de los operadores geométricos Lij,JJ,Vj,Aj, el álgebra H y el so(2,R)
generador J. Para hacer esto uno podría por supuesto utilizar las matrices explícitas para el qua-
dratic invariants una vez restringido a V, que no son difíciles de calcular. Uno puede
Sin embargo, obtener muy rápidamente un cuadro cualitativo mediante el uso de la noción de multigrado
que ahora presentamos.
La descomposición T *X = W0 â € € TM W1 â € TM W2 induce naturalmente un multi-grado en
X con valores en Z3, que indicamos con mdeg. Esto es lo que se desprende de la
ecuación
p+q+r=n
(W0 C)
(W1 C)
(W2 C)
Observamos además que la descomposición (complejada) anterior se conserva por
el operador J, y por lo tanto mdeg se desplaza con la acción de so(2,R).
Proposición 6.11. Los operadores Lj, Vj,J, Aj, Hj, Sj son mdeg-homogéneos,
con múltiples grados:
mdeg(L0) = (0, 1, 1) mdeg(L1) = (1, 0,1) mdeg(L2) = (1, 1, 0)
mdeg(0) = (0,1,1) mdeg(1) = (1,0,1) mdeg(2) = (1,1,0)
mdeg(V0) = (2, 0, 0) mdeg(V1) = (0, 2, 0) mdeg(V2) = (0, 0, 2)
mdeg(A0) = (−2, 0, 0) mdeg(A1) = (0,−2, 0) mdeg(A2) = (0, 0,−2)
mdeg(H0) = (0, 0, 0) mdeg(H1) = (0, 0, 0) mdeg(H2) = (0, 0, 0)
mdeg(S0) = (0, 0, 0) mdeg(S1) = (0, 0, 0) mdeg(S2) = (0, 0, 0)
Prueba Los valores de mdeg para el Lj y el Vj siguen inmediatamente desde mdeg
de las formas correspondientes y de los operadores duales (contracción) tienen un valor opuesto
16 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
de mdeg. Los valores restantes se pueden calcular utilizando la aditividad de mdeg con
con respecto al soporte. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 6.12. Let {j, k, l} = {0, 1, 2}. Entonces
Span (L1j, L2j) = Span ([Ewk, Ewl], [Ewl, Ewk])
Espadín (1j 2j) = Espadín ([Iwk, Iwl ], [Iwl, Iwk ])
Span (Vj) = Span
[Ewj, Ewj]
Span (Aj) = Span
[Iwj, Iwj]
Span (J) =
Span ([Ewm, Iwm], [Ewm, Iwm])
Prueba El mdeg del Lij es el mismo de la Lj correspondiente, y sim-
Ilaramente por sus contiguos. Los mdegs de los monomios cuadráticos son immedi-
comtely calculado como son la suma de los de sus componentes. Por ejemplo,
mdeg(Ew0) = mdeg(Ew0) = (1, 0, 0), mdeg(Ew1) = mdeg(Ew1) = (0, 1, 0) y
Por lo tanto mdeg([Ew0, Ew1 ] = (1, 1, 0), igual a la de L12 y L22. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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http://arxiv.org/abs/math/0202016
http://arxiv.org/abs/math/0008018
http://arxiv.org/abs/math/0011041
http://arxiv.org/abs/hep-th/9606040
1. Introducción
2. Operadores básicos
3. La acción de so(2,R)
4. Una representación irreductible de LC
5. Invariantes cuadráticas
6. Una presentación geométrica de los generadores Serre
Bibliografía
| Dada una débilmente orientable auto-dual multiple X de rango dos, construimos un
realización geométrica de la Lie álgebra sl(6,C) como un álgebra definida naturalmente
L de endomorfismos del espacio de formas diferenciales de X. Nosotros proporcionamos un
descripción explícita de los generadores Serre en términos de generadores naturales de L.
Esta construcción da un paquete en X que está relacionado con la búsqueda de un
teoría del medidor natural en X. Consideramos este trabajo como un primer paso en el estudio
de una estructura algebraica rica e interesante.
| Introducción
Este trabajo es un paso en un programa más amplio, que tiene como objetivo encontrar un geomet-
ric homólogo a la simetría espejo faenomenon, y posiblemente una geométrica
lenguaje en el que formular una teoría física interpolando entre diferentes
Modelos. Mientras dirigimos al lector a [G2],[G3] para más detalles, enumeramos aquí
sólo algunos aspectos de esta teoría para poner el presente trabajo en contexto.
En la aproximación Strominger-Yau-Zaslow a la simetría espejo tienes que dos
espejo doble Calabi-Yaus debe poseer (en cierto sentido limitante) semi-plano especial
Fibraciones de toro lagrangiano f : M → B, fâ € : Mâ → B que tienen como fibras toris planas
que son duales en el sentido métrico (véase [SYZ], y [G2] para la terminología y el
definiciones). Como es ampliamente conocido, el principal inconveniente de este enfoque es que
es muy difícil construir fibras tori lagrangianas especiales. Usualmente esta construcción
sólo se puede llevar a cabo cuando los colectores de Calabi-Yau duales son en realidad hiper-
kahler, y el tori lagrangian especial se puede ver como complejos submanifolds (con
respeto a una estructura compleja rotada), de modo que los métodos de complejo algebraico
La geometría se puede poner a trabajar.
Cuando usted tiene las fibras, entonces la idea es construir el mapa del espejo como
una especie de transformación de Fourier-Mukai (véase, por ejemplo, [BMP]). Este Fourier-Mukai
transformar es una correspondencia inducida por el retroceso y empujar hacia adelante de la
espacio X = M × B Mâ. En el caso de hiperkähler este espacio es un complejo colector,
mientras que en el caso general (por ejemplo, para Mirror Symmetry para Calabi-Yau tres-
pliegues) es sólo un verdadero múltiple de dimensión (real) 3 · dimC(M).
Antecedentes. La noción de (débilmente) auto-doble múltiple (cf. [G2]) fue con-
recibido en primer lugar para aislar los aspectos geométricos de la X arriba que son
necesaria para obtener la Simetría Espejo entre M y Mâ. Aquí reproducimos el def-
inición para el lector, mientras se refiere a [G2] y [G3] para todas las observaciones, ejemplos
y observaciones:
Definición 1.1. Se da un colector débilmente auto-dual (multiplicador de WSD para la brevedad)
por un suave colector X, junto con dos lisos de 2 formas........................................................................................................................................................................................................................................................
métrica y un tercero liso de 2 formas • D (la forma dualizante) en él, que satisfacen la
las siguientes condiciones:
1 ° d ° 1 = d ° 2 = d ° D = 0 y la distribución °
1 + فارسى
2 es integrable.
2) Para todos los p • X existe una base ortogonal dx1,.., dxm, dy
1,..., dy
m, dy
1,..., dy
Fecha: 24 de octubre de 2006.
http://arxiv.org/abs/0704.0104v1
2 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
dz1,..., dzc, dw1,..., dwc de T
pX tal que el dx1,.., dxm, dy
1,..., dy
m, dy
1,..., dy
son ortonormales y
(1)p =
dxi Ł dy
i, (+2)p =
dxi Ł dy
i, (D)p =
dy1i
dzi Ł dwi
Cualquier base ortogonal de TpX dual a una base de 1- formas como se dice anteriormente
adaptado a la estructura, o estándar. El número m es el rango de la estructura.
Para una definición más intrínseca de múltiples WSD el lector debe referirse a [G2].
Aquí hemos elegido la forma más rápida de presentarlos.
Cuando las formas #1, #2, #D son constantes covariantes con respecto a la Levi-Civita
conexión, hablamos de 2-Kähler colectores. Un ejemplo de esto viene del espejo
simetría para las variedades abelianas.
Observación 1.2. La forma D es simpléctica, una vez restringida a
1 + فارسى
2. Tenemos
por lo tanto, que
dim(X)−m
6= 0.
Definición 1.3. 1) Un colector de la WSD no es degenerado si dim( +01 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2) p = 0 en absoluto
puntos (equivalente si su dimensión es 3 veces el rango).
2) Un colector de WSD es auto-dual (diverso de SD para la brevedad) si todas las hojas de la
Distribución de los productos 01 +
2 tienen volumen uno (con respecto a la forma de volumen inducida por
la métrica)
Usando Auto colectores duales, usted puede dar una primera definición geométrica nóve de Mir-
ror Simetría según se indica:
Dos colectores Calabi-Yau con campo B (M, BM ) y (Más, BMâs ) son espejo dual
si hay una auto-doble multiple X junto con las conjeturas η : X → M y
: X → Más tales que:
a) (M) = 1,
) = 2.
b) Las hojas de 1 son las fibras de
c) Las hojas de 2 son las fibras de
d) Los campos B inducidos en M y Mâ € son los que se dan.
Aquí hacen su primera aparición el B-campos BM y BM®, que son unitarias planas
gerbes sobre M y M, respectivamente, y que no son pertinentes para los debates de
Este periódico. En [G2] se demostró que esta imagen funciona bien en el caso de la elíptica
curvas, y para algunas otras situaciones planas.
Motivación física. Sin embargo, una de las razones para introducir múltiples SD
se deshizo de las fibraciones lagrangianas especiales, que son tan difíciles de construir,
y ser capaz de atacar el problema de la simetría espejo también cuando estos fibra-
No se espera que existan. En este contexto más general se espera que el
Espejo de simetría faenomenon no se obtendrá directamente de las fibras de
un colector SD para el doble Calabi-Yaus, pero a través de un procedimiento más sofisticado,
que implica un tipo de límite Gromov-Hausdorff. En [G3] se demostró que para
la familia de divisores anticanónicos en espacio proyectivo complejo se puede construir un
(real) familia bidimensional de los múltiples de la CMD, que degeneran en una normalización
Gromov-Hausdorff siente los límites correctos del espejo doble Calabi-Yaus. Los
la imagen es la siguiente:
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 3
MB MAS
donde MA y MB son los grandes Kähler y grandes límites de estructura compleja de M
y Mós, respectivamente. Para ser precisos, los colectores que salen de la co-
ciones de [G3] son 11 dimensionales (degeneradas) Debilmente auto-duales múltiples o rango 3.
Dimensión 11 es muy atractivo en este contexto desde un punto de vista físico, y
nos lleva a la motivación del presente trabajo.
El punto de vista de [G3] es muy diferente del actual en el litro principal-
ature on matemática Mirror Symmetry: en lugar de considerar el producto de fibra
M×B MÃ3 (cuando exista) como dispositivo para probar la Simetría de Espejos para Calabi-Yaus,
la limitación Calabi-Yaus de Simetría Espejo son vistos como límites muy especiales de una
familia de colectores Self-Dual, que son los principales objetos de estudio. Esto es en realidad
más en línea con lo que se puede encontrar en la literatura física, donde los modelos
definir las teorías de cuerdas de las que se origina la simetría espejo se ven como
sólo “fases” de una teoría única, que no está necesariamente en la forma de un modelo
pero muy probablemente podría ser similar a una teoría de calibre cuantificado en un 11-dimensional
multiple. Para hacer este círculo de ideas más concreto (y por lo tanto más verificable) en
el final de [G3] se sugiere que uno debe tratar de construir una teoría de calibre natural
La esperanza es que una vez cuantificado esta teoría de la medición podría en-
terpolado entre los modelos asociados a los Calabi-Yau, y como subproducto
prueban la simetría del espejo para ellos. Por supuesto, uno siempre puede poner un paquete de calibre en
los colectores auto-duales "artificialmente", pero un haz natural que depende sólo de
la estructura geométrica sería mucho más atractiva. Ignoramos aquí la cuestión.
de los cuales la acción para poner en la teoría, pero también debe ser una geométrica natural.
Finalmente, en [GG] analizamos la situación para el rango tres de múltiples de la WSD, y nosotros
encontrado que en este caso el paquete natural correspondiente está formado por complejo Lie
superálgebras. Fuimos capaces de encontrar una forma geométricamente motivada real, y para
dividirlo en factores simples. Los resultados de [GG] confirman la sospecha de que en un WSD
múltiple de rango lo suficientemente alto podría haber suficientes paquetes algebraicos naturales de
operadores para construir teorías de medición interesantes.
La construcción de LC. Desde el punto de vista físico, el caso de Calabi-
Yau tres veces (es decir, clasificar tres colectores WSD) o cuádruples (es decir, clasificación de cuatro WSD
cúltiples) sería el más interesante para empezar. Sin embargo, su
la dificultad nos convenció de que partiéramos más modestamente del caso de Calabi-Yau dos-
pliegues (es decir, K3 superficies) que corresponden al rango de dos colectores Self-dual. Nosotros también.
no degenerado, por lo tanto, de los múltiples auto-duales de rango dos, por lo que
dimensión 6. Esto podría considerarse una prueba de concepto desde el punto de vista físico
de vista, sin embargo Mirror Symmetry para K3 es en sí mismo muy interesante mathemati-
Cally, así que esperamos que nuestros resultados puedan tener algunas consecuencias geométricas útiles.
El caso de rango tres se trata en nuestro siguiente [GG], como se mencionó en el anterior
sección de la presente introducción. El principal resultado del presente documento es el siguiente:
4 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
(que es una reafirmación geométrica del Teorema 5.11):
La Lie álgebra sl(6,C) actúa a través de operadores canónicos (dependiendo sólo de la geo-
estructura métrica) en las formas diferenciales lisas de cualquier no degenerado orientable
WSD multiple de rango 2.
Esta acción generaliza naturalmente la acción de sl(2,C) sobre diferencial suave
formas de cualquier colector casi Kähler, y es inducido por una acción de paquete en el
potencia exterior del haz de cotangente.
Recordemos que un colector débilmente auto-dual es un colector Riemanniano con tres
Formas diferenciales “compatibles” cerradas. Construiremos un álgebra de Lie de punto
operadores en formas diferenciales complejas en X, como secciones lisas de un paquete de Lie
álgebras de los operadores en el complejo paquete cotangente de X. Para empezar, uno puede
definir los siguientes operadores:
Definición 1.4. Por lo que se refiere a la letra a) del apartado 1 del artículo 4 del Reglamento (UE) n.o 1308/2013
L0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1
Uno puede notar inmediatamente el fuerte parecido de los operadores de arriba con
el operador Lefschetz de la geometría Kähler. De hecho, se puede profundizar en esta simi-
larity, y utilice la métrica para definir los contiguos Łj = L
j (utilizando un procedimiento
como en el caso casi Kähler).
Simplemente usando el Lj y el Łj, uno puede mostrar que el álgebra generada es iso-
morfo a SL(4,C) ([G2]). Sin embargo, hay otras formas diferenciales naturales en
un colector de la CMD (que no tiene una contraparte en el caso Kähler), a saber:
formas de volumen de las distribuciones 1,
1, 2.................................................................................................
D de vectores que se contraen a cero
con los formularios +1, +2 y +D, respectivamente. Si uno llama V0, V1, V2 el correspondiente
los operadores de cuña, y A0, A1, A2 sus colindantes, la complejidad de los cálculos
para describir el álgebra de Lie generada crece mucho. Llamamos L el álgebra generada
por el Lj, Vj y sus colindantes, y LC su complejidad. Para estudiar LC introducimos...
un operador J, que es una estructura compleja en cada una de las dos dimensiones
distribuciones mencionadas anteriormente y genera un grupo isomórfico a SO(2,R) (recordar
que estamos en el caso "hiperkahler", correspondiente a la simetría de espejo para K3,
por lo que una estructura “extra” compleja no debería sorprender; además, la holonomía de
un colector de la WSD en el que todos los â € € TM € TM, â € € TM ; D son invariantes en realidad siempre se incluye en
el grupo generado por J). Un control de que todos los operadores introducidos conmutan
con él:
[Jj, J] = [Jj, J] = [Vj, J] = [Aj, J] = 0
y por lo tanto uno puede tratar de descomponer T*
X con respecto a J y luego utilizar
Lemma de Shur para reducir al estudio de los operadores sobre los componentes isotípicos.
Cabe mencionar que en los casos (muy) buenos (por ejemplo, los colectores 2-Kähler)
los operadores anteriores son todos constante covariante con respecto a la connec-
y definir una acción sobre la cohomología de X mucho de la misma manera que en el
Kähler fijando los operadores L y Ł do (debido a las identidades del tipo Hodge). Nosotros no
explorar este aspecto aquí, aunque puede ser relevante para el espejo (homológico)
construcción de mapas.
Volviendo a la construcción, señalamos la inclusión de la Lie álgebra LC
dentro de una copia del álgebra de Clifford Cl6,6.
Utilizando este álgebra de Clifford se puede identificar a los operadores de “grado dos” o “cuadratic”
(de una manera similar a los involucrados en las representaciones de Espinor en el estándar
Spin multiples) y entre estos los SO(2,R)-invariantes. A posteriori, gira.
de que los operadores de LC® < J > son todos los operadores J-invariantes de ”grado
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 5
dos”, y esto refuerza la razón de ser en nuestra selección de operadores naturales.
Como último paso uno encuentra que dentro de T ∗X hay un SO(2,R)-isotípico compo-
nent de la dimensión 6, y por el cálculo directo demostramos que de hecho los operadores
restringido a esta sub-representación determinar una copia de sl(6,C) (con la defin-
■ representación). Utilizando el límite de la dimensión de la computación obtenida por LC
“cuadratica” invariantes, se muestra entonces que la representación en este isotípico
componente es fiel. Esto proporciona como subproducto un método para dar presenta-
de los generadores estándar Serre de LC, expresamente escritos en términos de
generadores geométricos.
2. Operadores básicos
En esta sección fijamos un punto p en el múltiple X de la WSD. La estructura de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible
divide el espacio cotangente como T *pX = W0â € € TM W1â € TM W2 donde el Wj son tres mutuamente
distribuciones canónicas ortogonales definidas como:
W0 = T
pX
2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2 = 0}
W1 = T
pX
2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + 1 + + + + + + + + + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
D = 0}
W2 = T
pX
1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1
D = 0}
La estructura WSD también determina identificaciones lineales canónicas de par
entre W0, W1 y W2, por lo que también se puede escribir T
pX = W0 R R
3 o más
simplemente
T ∗pX =W R R
donde W = W0 = W1 = W2.
Volvamos ahora a los operadores canónicos Lj mencionados en la introducción:
Definición 1.4
L0() = D , L1() = 2 ·, L2() = 1
Ahora elegimos una base ortonormal (no canónica) γ1, γ2 para W0, y esto juntos
con las identificaciones estándar del Wj determina una base ortonormal para
T *pX, que escribimos como {vij = γi ej i = 1, 2, j = 0, 1, 2}. Observamos que
el vij son un coframe adaptado para la estructura de la WSD, y por lo tanto tenemos el
expresiones explícitas:
• 1 = v10 • v11 + v20 • v21
2 ° = v10 ° v12 + v20 ° v22
D = v11 v12 + v21 v22
Una elección diferente de la γ1, γ2 estaría relacionada con la anterior por un elemento en
O(2,R) o, teniendo en cuenta la orientabilidad de X mencionada en la introducción,
un elemento de SO(2,R). El álgebra de Lie del grupo SO(2,R) expresando la
cambio de una base adaptada orientada a otra se genera (punto por punto) por
el operador global J :
Definición 2.1. El operador J. EndR.
∗(X)) es inducida por su acción puntual
en el T ∗pX para variar p X, definido en términos de la base estándar vij como
J(v1j) = v2j, J(v2j) = −v1j para j {0, 1, 2}
y J(v) W = J(v) W + v) J(w) para v, w T ∗pX
Observación 2.2. A medida que J se desplaza consigo mismo, está bien definido, independientemente de la
elección de una base adaptada orientada.
Utilizando la base escogida (ortonormal), se puede definir la correspondiente (no canon-
los operadores de cuñas y contracciones:
6 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
Definición 2.3. Vamos a {1, 2} y j {0, 1, 2}. Los operadores Eij y Iij son
respectivamente la cuña y el operador de contracción con la forma vij en
(definido utilizando la base dada); utilizamos la notación
para indicar el elemento de
TpX dual a vij T
Eij() = vij (), Iij () =
Proposición 2.4. Los operadores Eij, Iij satisfacen las siguientes relaciones:
I, j, k, l EijEkl = −EklEij, IijIkl = −IklIij
EijIij + IijEij = Id
(i, j) 6= (k, l) EijIkl = −IklEij
i, j E*ij = Iij, I
ij = Eij
donde ∗ es adjunción con respecto a la métrica.
Prueba La prueba es una simple verificación directa, que omitimos. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Es entonces inmediato verificar que:
Proposición 2.5. J puede expresarse como
(E2jI1j − E1jI2j)
en su conjunto
T ∗pX. De esta expresión y de la proposición anterior uno ob-
que J* = −J, es decir, para cada p el álgebra Lie generada por J es un subalgebra
de o(
T ∗pX) isomórfico a so(2,R)
Por otra parte, las imágenes exponenciales en-
lado AutR(
*(X)) de los operadores del tipo tJ para t â € R forman un grupo isomórfico a
SO(2,R) = S1, ya que este isomorfismo sostiene la restricción (fiel) del grupo
acción a T ∗pX.
Utilizando los operadores (no canónicos) Eij podemos obtener expresiones simples para el
acción puntual de los demás operadores canónicos, el volumen forma Vj :
Definición 2.6. En nombre de la República Popular Democrática de Corea
T ∗pX,
V0(l) = E10E20(l), V1(l) = E11E21(l), V2(l) = E12E22(l)
Recuerde, sin embargo, que los operadores Vj no dependen de la elección de una base,
como son simplemente multiplicación por las formas de volumen de los espacios Wj.
Utilizamos el vij también como una base ortonormal para el espacio complejo T
p R C
(con respecto al producto interno del ermitaño inducido). Indicamos con la misma
símbolos Vj los operadores complejos que actúan sobre los espacios
T ∗pX.
La métrica riemanniana induce una métrica riemanniana en T*pX y en el espacio
T ∗pX.
Definición 2.7. Para j {0, 1, 2}
•j = L
j, Aj = V
Por la construcción de los operadores canónicos Lj, Vj,
T *pX son el punto-
restricciones prudentes de los operadores mundiales correspondientes sobre formas diferenciales fluidas,
que indicamos con los mismos símbolos: para j {0, 1, 2},
Lj, Vj,
*(X) → (X)
Resumiendo:
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 7
Definición 2.8. El ∗-Lie álgebra L es el ∗-Lie subalgebra de EndR (
∗ (X)
por parte de los operadores
{Lj, Vj,j, Aj para j = 0, 1, 2}
El operador ∗ en L es inducido por el contiguo con respecto al Riemannian
métrica. El *-Lie álgebra LC es L C, y es de una manera natural un ∗-Lie subalgebra
de fin de período de sesiones de la Comisión de las Naciones Unidas para la Eliminación de la Discriminación Racial
(X)). El operador ∗ en LC es inducido por el contiguo con respecto a
la métrica de Hermitia inducida.
La división canónica T *pX = W0 â € € TM W1 â € TM W2 junto con la canónica
las identificaciones W0 = W1 = W2 inducen una acción del grupo simétrico S3, que
se propaga a
T * X y sus secciones C. En cada momento, la acción puede ser
escrito explícitamente en términos de la base como
(vij) = vi(j)
La acción inducida sobre los endomorfismos vía conjugación,
LC. De hecho, uno puede comprobar directamente utilizando la base vij en cada punto que para
(Vj) = V(j), (Lj) =
Puesto que S3 actúa sobre LC por conjugación con operadores unitarios, su acción conmuta
con la adjunción (el operador ∗), y por lo tanto
(Aj) = A
Por otra parte, también se tiene que (J) = J lo que significa que la acción de S3 conmuta
con el de so(2,R).
3. La acción de so(2,R)
Cuando se trata de la simetría del espejo para los colectores de 2-Kähler (ver el Introduc-
), los múltiples WSD que surgen tienen la propiedad de que las formas.......................................................................................................................................................................................................................................................
D son constantes covariantes con respecto a la métrica. En este caso, el máximo
la posible holonomía del colector X de la WSD se incluye en el so(2,R) generado
por el operador J. Demostraremos ahora que J viaja con LC. Nuestra prueba lo hará.
ser estrictamente algebraico, por lo que la computatividad entre so(2,R) y LC se mantendrá
También en los colectores de la CMD para los cuales la holonomía es más general.
Definición 3.1. Dado n â € Z, indicamos con Vn el complejo unidimensional
representación de SO(2,R) < S1 > = R/Z dada por el carácter:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Proposición 3.2. Bajo la representación SO(2,R) inducida por el operador J,
para cualquier p â € X :
1) El espacio
Xp) escisiones como
V â € 31
8 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
2) Todo el espacio
Xp) se divide de acuerdo con la siguiente imagen:
Xp) = V0
Xp) = V
V â € 31
Xp) = V
V â € 90
V â € 32
Xp) = V−3
V â € 91
Xp) = V
V â € 90
V â € 32
Xp) = V
V â € 31
Xp) = V0
Prueba 1) El espacio T *
Xp es una suma directa de los tres Wj, y cada uno de estos
es la representación real bidimensional estándar de so(2,R). Por lo tanto, diag-
onalize la representación introduciendo una nueva base para cada Wj =< v1j, v2j >:
wj = v1j + ı v2j, wj = v1j − ıv2j
A partir de la definición de J, uno tiene entonces para cada j {0, 1, 2}
J(wj) = wj, J(wj) = ıwj
Por lo tanto, uno tiene para cada j. {0, 1, 2}
< wj = V−1, < wj = V1
2) Para probar el caso general, utilizamos el hecho de que el operador J determina un
estructura casi compleja en el colector X, compatible con la métrica. Desde
esto, siguiendo los argumentos estándar, las formas diferenciales complejas y también el
elementos de
Xy para cualquier y • Y se puede dividir de acuerdo a su tipo:
p+q=n
En la notación adoptada en la prueba de la primera declaración,
Xy = < wi1 · · · • wip wj1 · · · · • wjq i1,..., jq • {0, 1, 2} >
De la definición de la acción de J se tiene por lo tanto que para cualquier p, q
Xy â € = V
con k =
a partir de la cual la segunda declaración de la proposición puede ser
Deducido. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Teorema 3.3. Los operadores Lj, Vj para j {0, 1, 2} viajan con el generador
J de so(2,R).
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 9
Prueba Demostramos las declaraciones mediante un cálculo directo utilizando la base vij ;
por otra parte, utilizando la acción de S3 (que permuta el Lj, Vj y corrige J), es
suficiente para probar la computatividad para L0 y V0. Es útil volver a escribir 0 (y
Por lo tanto, L0 que es cuña con 0) en términos de la base generada por el wj :
• 0 = v11 • v12 + v21 • v22 =
(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)
y luego:
[J, L0](wi1 • · · · • wip • wj1 • · · • wjq ) =
(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(w1 (w2 (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w1) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1) (w1)) (w1)) (w1) (w1) (w1)) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w2) (w1)
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
(w1 • w2 • w2 • • • J(wi1 • · · • • wip • wj1 • · · • • wjq )
Por lo tanto, el resultado se deriva del hecho de que
(w1 •w2 − w2 • w1) = 0
como wj y wk tienen peso opuesto con respecto a J para cualquier j, k.
Del mismo modo, [J, V0] = 0 se deriva del hecho de que para cualquier α
V0(α) = v10 • v20 • α =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Desde el teorema anterior se obtiene el siguiente corolario, que se mantiene sobre cualquier
Multiplex WSD (no necesariamente 2-Kähler ):
Corolario 3.4. El álgebra LC se desplaza con la acción de so(2,R) inducido por
Prueba Ya sabemos que [J, Lj] = [J, Vj ] = 0 para j {0, 1, 2}. El corre...
sponding relaciones de conmutación para los grupos electrógenos contiguos......................................................................................................................................................................................................................................................
el hecho de que J* = −J, como se observa en la Proposición 2.5. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 3.5. Del lema de Schurs se desprende que las columnas del diagrama de
La Proposición 3.2 está preservada por la acción de LC.
4. Una representación irreductible de LC
Mirando la tabla de la Proposición 3.2 notamos que la segunda columna de
la izquierda es una representación de LC (por Observación 3.5) de la dimensión 6:
V = V
−2 = < w0 • w1, w0 • w2, w1 • w2, w0 • w1 • w2 • w0,
W0 W1 W2 W2 W1 W1 W2 W2 W2
En esta sección computaremos explícitamente esta representación.
Utilizando la base descrita anteriormente, no es difícil calcular las matrices por
mano:
Proposición 4.1. Indicando con β la base ordenada para V indicada anteriormente, la
las matrices para los (restricciones a V de) generadores de LC son las siguientes:
Mβ(L0) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
, Mβ(0) =
0 0 0 0 −2 0
0 0 0 0 0 −2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
10 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
Mβ(L1) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 −
0 0 0
, Mβ(1) =
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Mβ(L2) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
, Mβ(2) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Mβ(V0) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, Mβ(A0) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 −2ı 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Mβ(V1) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, Mβ(A1) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2ı 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Mβ(V2) =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
, Mβ(A2) =
0 0 0 0 0 −2ı
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Prueba Cálculo directo utilizando la base generada por el wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corolario 4.2. El álgebra generada por la restricción de LC a V es isomórfica
a sl(6,C), con V su representación natural.
Uno puede resumir los cálculos anteriores en el siguiente teorema:
Teorema 4.3. Hay una secuencia exacta de álgebras de Lie
0 → K → LC → sl(6,C) → 0
dada por la restricción a V.
En la siguiente sección probaremos que K = {0}, y por lo tanto la representación
V es fiel y LC = sl(6,C).
5. Invariantes cuadráticas
Comenzamos por mostrar que la acción de Lie álgebra LC es inducida por un (no-
Canónico) representación de álgebra de Clifford. Utilizamos para la simplicidad el canónico
identificación T Xp = T Xp sin más comentarios, de modo que si {vij} es una base
para T ∗pX, entonces {
} es la base dual correspondiente para TpX.
Definición 5.1. Para p X, el álgebra de Clifford Cp es
Cp = Cl(TpX + T
pX, q)
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 11
con la forma cuadrática q inducida por la métrica
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los neumáticos de encendido por chispa no será superior al 50 % del precio franco fábrica del vehículo.
*, j, h, k <...............................................................................................................
6 = (h, k) < vij,
i, j < vij,
> = − 1
Observación 5.2. El Clifford álgebras Cp para variar p definir un paquete de Clifford C
sobre X, ya que la definición de Cp es independiente en la elección de una base. De hecho, la
La forma cuadrática utilizada para definirla es simplemente inducida por − 1
veces el bilineal natural
emparejamiento TpX T
pX → R.
Proposición 5.3. El álgebra Clifford Cp tiene una representación canónica
T ∗pX, inducido por los operadores Eij y Iij a través del mapa
P(vij) = Eij, P
= Iij
Prueba de las relaciones de Clifford
+ = −2 <
son precisamente el contenido de la Proposición 2.4. La representación es canónica, aunque
los operadores Eij y Iij no son, porque puede definirse en una base independiente
manera como
lp(v)(α) = v l, lp
Abusando ligeramente de la notación, identificaremos a Cp con su imagen (fiel) dentro
T ∗pX
, y omitiremos cualquier referencia al mapa. En realidad, como la
representación arriba es un análogo real de la representación de Spinor, es fácil de
verifique que el mapa p es un isomorfismo de álgebras asociativas. Uno entonces tiene:
Definición 5.4. El subespacio lineal C2p de Cp es la imagen del mapa natural
(TpX-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T
pX) → Cp. El subespacio lineal C
p de Cp es el subespacio generado por
Recuerde que C2p es un subalgebra de Lie de Cp (con el soporte del conmutador).
Proposición 5.5. El Lie álgebra Lp y el operador J se sientan dentro de C
p para todos
ÍNDICE (continuación)
Prueba Los operadores Lj, el?j, el Vj y el Aj mienten dentro de C
p por Propo-
Situación 2.4 y el hecho de que â € 1, â € TM TM y D mienten en
T ∗pX. El operador J se encuentra dentro
C2p â € C
p por Proposición 2.5. Por definición, los elementos C
p son conmutadores, y
Por lo tanto, tienen traza cero en cualquier representación, y por lo tanto también en la p. Además,
de nuevo por inspección todos los generadores de Lp tienen traza cero una vez representado a través de
(son nilpotentes), y por lo tanto deben estar dentro de C
p. El operador J es
en el álgebra de Lie del grupo de isometría, y por lo tanto también tiene traza cero y
por lo tanto se sienta dentro de C2p. As C
p se cierra bajo el soporte del conmutador de Cp, y
este conmutador coincide con el soporte de composición de los operadores, tenemos el
conclusión. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 5.6. Dar el grado 1 a los operadores Eij y el grado −1 a la ópera-
Tors Iij, inducimos un grado Z en Cp. Este grado coincide con el grado de la
operadores inducidos por la clasificación en los formularios a partir de
T ∗X.
12 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
Observación 5.7. Para cualquier p • X, el álgebra Clifford Cp es isomórfico a Cl6,6, como
la métrica utilizada para definirla tiene firma (6, 6). Por consiguiente, la propuesta anterior
muestra que Lp es una mentira subalgebra de Cl
= spin(6, 6) = so(6, 6), generado por
secciones globales suaves del paquete C de Clifford.
El operador J actúa sobre toda la Cp mediante la adición con respecto al conmutador
y envía su parte cuadrática C2p a sí misma desde la Proposición 5.5.
Mostraremos que el espacio de J-invariantes dentro de C2p (los "cuadraticos" J-invariantes)
coincide con LC. Para describirlo explícitamente, vamos a introducir la siguiente notación:
Definición 5.8.
Ewj = E1j + ıE2j, Ewj = E1j − ıE2j
Iwj = I1j − ıI2j, Iwj = I1j + ıI2j
Lemma 5.9. La acción adjunta del operador J en Ewj, Iwj, Ewj, Iwj es:
[J, Ewj] = Ewj, [J, Iwj] = ıIwj
[J, Ewj ] = ıEwj, [J, Iwj ] = Iwj
Prueba Es suficiente considerar los pesos J correspondientes del wj, wj. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 5.10. Los 36 operadores siguientes proporcionan una base lineal para la
dratic J-invariantes:
(1) [Ew0, Ew1 ], [Ew0, Ew2 ], [Ew1, Ew2 ], [Ew1, Ew0 ], [Ew2, Ew0 ], [Ew2, Ew1 ]
(2) [Iw0, Iw1 ], [Iw0, Iw2 ], [Iw1, Iw2 ], [Iw1, Iw0 ], [Iw2, Iw0 ], [Iw2, Iw1 ]
(3) [Ew0, Ew0 ], [Ew1, Ew1 ], [Ew2, Ew2 ]
(4) [Iw0, Iw0 ], [Iw1, Iw1 ], [Iw2, Iw2 ]
(5) [Ew0, Iw1], [Ew0, Iw2], [Ew1, Iw0], [Ew1, Iw2], [Ew2, Iw0], [Ew2, Iw1]
(6) [Ew0, Iw1 ], [Ew0, Iw2 ], [Ew1, Iw0 ], [Ew1, Iw2 ], [Ew2, Iw0 ], [Ew2, Iw1 ]
(7) [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ], [Ew0, Iw0 ], [Ew1, Iw1 ], [Ew2, Iw2 ]
Prueba El peso J de un grupo de operadores J-homógenos es la suma de
los pesos respectivos. Los “monomios” cuadráticos (con respecto al soporte)
en el Ewj, Iwj, Ewj, Iwj son todos J-homogéneos, y por lo tanto para encontrar una base de
J-invariante operadores cuadráticos es suficiente para identificar el J-invariante cuadrático
monomios. Ser J-invariante significa simplemente tener peso cero, y el compu-
de los mononios cuadráticos sigue inmediatamente de los
de Ewj, Iwj, Ewj, Iwj, que son respectivamente, ı, ı,. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Terminamos esta sección con lo siguiente:
Teorema 5.11. En la secuencia exacta del Teorema 4.3 el núcleo K es igual a {0}.
El álgebra LC es por lo tanto isomórfico a sl(6,C).
Prueba Dado que LC está incluido en el álgebra de Lie de invariantes cuadráticas, es
suficiente para demostrar que J 6o LC, a partir de esta y la proposición anterior que sigue
que dimC(LC) ≤ 35. Como los mapas de LC surjetivamente a sl(6,C) que tiene dimensión 35,
el núcleo debe ser cero. Cuando se limita a la subrepresentación V, los generadores
de LC tienen todos rastro cero por inspección de sus matrices. Sin embargo, por definición
de V, J restringido a él es la multiplicación por −2ı, y por lo tanto tiene traza igual a
−12ı. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Corollary 5.12. El álgebra de Lie LCâ < J > es igual al álgebra de Lie de cuadrática
invariantes dentro de C2p.
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 13
6. Una presentación geométrica de los generadores Serre
En esta sección, para obtener una mejor comprensión geométrica de la representación
LC de sl(6,C), exploramos con mayor detalle su relación con la estructura geométrica de
a Multiples de la Cumbre Mundial sobre el Desarrollo Sostenible. En particular, ofrecemos una presentación de una elección natural de Cartan
generadores de subalgebra y Serre en términos de los generadores geométricos Lj,?j, Vj, Aj.
Los operadores LJ son similares en naturaleza a los operadores Lefschetz de un Kähler
multiple. Esta analogía es lo que proporcionó el interés inicial en la estructura algebraica
tura de LC. Del mismo modo que la construcción estándar correspondiente de una representación
de sl(2,C), definimos
Definición 6.1. Para j {0, 1, 2}
Hj = [Lj,lj]
Estos operadores son autoadjuntos, como L*j = Łj por definición. Al igual que en el contexto de
La geometría kähleriana, para cada j el álgebra < Lj,j, Hj > resulta ser una copia
de sl(2,C). Por otra parte, la propuesta siguiente muestra que los operadores Hj son
semisimple en el conjunto de álgebra LC, y por lo tanto generar un subalgebra toral de
Proposición 6.2. Los operadores geométricos Hj generan una subalgebra toral de LC,
y mantener las siguientes relaciones: para j 6= k {0, 1, 2}
(1) [Hj, Lj] = 2Lj, [Hj,
(2) [Hj, Lk] = Lk, [Hj,lk] = k
(3) [Hj, Vj ] = 0, [Hj, Aj ] = 0
(4) [Hj, Vk] = 2Vk, [Hj, Ak] = −2Ak
Prueba En vista de Teorema 5.11, en este punto el método más rápido de prueba de
esta proposición es referirse a las matrices explícitas de la restricción (fiel) de LC
a V.
Todo el álgebra LC se divide en una suma directa de espacios de peso con respecto a
< H0, H1, H2 >, ya que este subalgebra es toral. El peso de L0 con respecto a la
base dual a H0, H1, H2 es:
αL0 = (αL0(H0), αL0(H1), αL0(H2)) = (2, 1, 1)
La lista completa es:
αL0 = (2, 1, 1), 0 = L0
αL1 = (1, 2, 1), 1 = L1
αL2 = (1, 1, 2), 2 = L2
αV0 = (0, 2, 2), αA0 = V0
αV1 = (2, 0, 2), αA1 = V1
αV2 = (2, 2, 0), αA2 = V2
Para encontrar una expresión geométrica natural para dos elementos ad-semisimple que com-
plete < H0, H1, H2 > a una subalgebra cartán miramos los generadores Vj y Aj.
Sin embargo, resulta que los candidatos naturales [Vj, Aj ] ya se encuentran en el álgebra
< H0, H1, H2 > En cambio, construimos los nuevos operadores por “sustracción” de la Vj
su peso αVj :
Definición 6.3. Definimos
S0 = ı[[[V0,1],2], L0]
S1 = ı[[[V1,2],0], L1]
S2 = ı[[[V2,0],1], L2]
14 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
y denotar por H el álgebra de Lie (sobre C):
H = < H0, H1, H2, S0, S1, S2 >
Los coeficientes ı que aparecen en las fórmulas anteriores son dictados por el hecho
que con esta opción las matrices (diagonales) del Sj restringido a V tienen entero
entradas.
Proposición 6.4. El álgebra H es un subálgebra cartán de LC. Más precisamente,
las siguientes son las diagonales de los operadores H0,..., S2 una vez restringidos a V
, H1 :
, H2 :
, S0 :
, S1 :
, S2 :
Prueba El cálculo de las matrices anteriores muestra que, una vez restringido a
V, el álgebra H abarca el espacio de matrices diagonales de traza cero en el dado
base. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Observación 6.5. El cálculo anterior muestra también que los operadores S0, S1, S2 safisfy
la relación
S0 + S1 + S2 = 0
Incluso si de la proposición anterior sabemos que H es máxima toral dentro de LC,
los generadores geométricos naturales Lj,j no son autovectores para la acción contigua
del Sk. En este punto, sin embargo, es posible distinguir en geométrico natural
términos operadores de LC que tienen peso “puro” con respecto al álgebra H y
que contienen en su margen lineal el Lj,
Definición 6.6. Para j {0, 1, 2}
L1j = −2Lj + [Sj, Lj], L2j = 2Lj + [Sj, Lj]
* 1j = − 2j − [Sj,?j], * 2j = 2j − [Sj,?j]
Proposición 6.7. Indicando con ehk la matriz 6×6 con 1 en posición k (fila)
y h (columna) y cero de otro modo, las matrices de los operadores Lij y
Las restricciones impuestas en V son las siguientes:
L10 = 2e
6 L11 = −2e
4 L12 = −2e
L20 = −2e
5 L21 = −2e
6 L22 = 2e
10 ° = 8 e
2 °11 = −8e
1 °12 = −8e
•20 = −8e
1 °21 = −8e
3 °22 = 8e
Corollary 6.8. Tenemos las siguientes relaciones para los operadores de LC restringidos
a V:
[Hk, Lij] = (1 + Łkj)Lij, [Hk,
[Sk, Lij] = (−1)
i+1(1− 3kj)Lij, [Sk,ğij] = (−1)
i(1− 3kj)
[Sk, Vj] = 0, [Sk, Aj] = 0
Guiado por todos los cálculos explícitos de la acción sobre el componente isotípico
V = V â € 6
−2 compuesto hasta este punto, ahora definimos en términos de la geométrica natural
operadores un conjunto de generadores Serre para el álgebra LC.
UNA REALIZACIÓN GEOMÉTRICA DE sl(6,C) 15
Definición 6.9.
[L20, A1] f1 =
[V1;20]
[L22, A0] f2 =
[V0,~22]
e3 = V0 f3 = A0
[L12, A0] f4 =
[V0,?12]
[L10, A1] f5 =
[V1; 10]
Además, para todos los i {1,.., 5} definimos hi = [ei, fi].
Como los ei tienen por construcción matriz asociada e
i+1 una vez restringido a V y
los fi son sus respectivos contiguos, uno obtiene:
Proposición 6.10. Los operadores ei, fj,hk satisfacen las relaciones Serre para sl(6,C)
y el hi span el cartán subalgebra H:
(H1 − H2 − S1 − S2)
(H0 −H1 + S2)
(−H0 +H1 +H2)
(H0 − H1 − S2)
(H1 −H2 + S1 + S2)
Sería interesante como última observación identificar en la lista de cuadráticas in-
Variantes de los operadores geométricos Lij,JJ,Vj,Aj, el álgebra H y el so(2,R)
generador J. Para hacer esto uno podría por supuesto utilizar las matrices explícitas para el qua-
dratic invariants una vez restringido a V, que no son difíciles de calcular. Uno puede
Sin embargo, obtener muy rápidamente un cuadro cualitativo mediante el uso de la noción de multigrado
que ahora presentamos.
La descomposición T *X = W0 â € € TM W1 â € TM W2 induce naturalmente un multi-grado en
X con valores en Z3, que indicamos con mdeg. Esto es lo que se desprende de la
ecuación
p+q+r=n
(W0 C)
(W1 C)
(W2 C)
Observamos además que la descomposición (complejada) anterior se conserva por
el operador J, y por lo tanto mdeg se desplaza con la acción de so(2,R).
Proposición 6.11. Los operadores Lj, Vj,J, Aj, Hj, Sj son mdeg-homogéneos,
con múltiples grados:
mdeg(L0) = (0, 1, 1) mdeg(L1) = (1, 0,1) mdeg(L2) = (1, 1, 0)
mdeg(0) = (0,1,1) mdeg(1) = (1,0,1) mdeg(2) = (1,1,0)
mdeg(V0) = (2, 0, 0) mdeg(V1) = (0, 2, 0) mdeg(V2) = (0, 0, 2)
mdeg(A0) = (−2, 0, 0) mdeg(A1) = (0,−2, 0) mdeg(A2) = (0, 0,−2)
mdeg(H0) = (0, 0, 0) mdeg(H1) = (0, 0, 0) mdeg(H2) = (0, 0, 0)
mdeg(S0) = (0, 0, 0) mdeg(S1) = (0, 0, 0) mdeg(S2) = (0, 0, 0)
Prueba Los valores de mdeg para el Lj y el Vj siguen inmediatamente desde mdeg
de las formas correspondientes y de los operadores duales (contracción) tienen un valor opuesto
16 GIOVANNI GAIFFI, MICHELE GRASSI
de mdeg. Los valores restantes se pueden calcular utilizando la aditividad de mdeg con
con respecto al soporte. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
Proposición 6.12. Let {j, k, l} = {0, 1, 2}. Entonces
Span (L1j, L2j) = Span ([Ewk, Ewl], [Ewl, Ewk])
Espadín (1j 2j) = Espadín ([Iwk, Iwl ], [Iwl, Iwk ])
Span (Vj) = Span
[Ewj, Ewj]
Span (Aj) = Span
[Iwj, Iwj]
Span (J) =
Span ([Ewm, Iwm], [Ewm, Iwm])
Prueba El mdeg del Lij es el mismo de la Lj correspondiente, y sim-
Ilaramente por sus contiguos. Los mdegs de los monomios cuadráticos son immedi-
comtely calculado como son la suma de los de sus componentes. Por ejemplo,
mdeg(Ew0) = mdeg(Ew0) = (1, 0, 0), mdeg(Ew1) = mdeg(Ew1) = (0, 1, 0) y
Por lo tanto mdeg([Ew0, Ew1 ] = (1, 1, 0), igual a la de L12 y L22. - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
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http://arxiv.org/abs/math/0202016
http://arxiv.org/abs/math/0008018
http://arxiv.org/abs/math/0011041
http://arxiv.org/abs/hep-th/9606040
1. Introducción
2. Operadores básicos
3. La acción de so(2,R)
4. Una representación irreductible de LC
5. Invariantes cuadráticas
6. Una presentación geométrica de los generadores Serre
Bibliografía
|
704.0105 | Rigid subsets of symplectic manifolds | 8 Subconjuntos rígidos de colectores simpléticos
Michael Entova y Leonid Polterovichb
31 de agosto de 2018
Resumen
Demostramos que hay una jerarquía de la rigidez de la intersección apropiada-
ataduras de conjuntos en un colector simplético cerrado: algunos conjuntos no pueden ser dis-
colocados por simplictomorfismos de más conjuntos que los otros. Nosotros
También encontrar nuevos ejemplos de rigidez de las intersecciones que implican, en par-
ticular, fibras específicas de los mapas momentáneos de las acciones del toro Hamiltoniano,
monotona Lagrangian submanifolds (siguiendo las obras de P.Albers
y P.Biran-O.Cornea), así como ciertos, posiblemente singulares, conjuntos de-
multada en términos de subálgebras conmutativas Poisson de func-
ciones. Además, tenemos algunas obstrucciones geométricas a semi-simpli-
ciudad de la homología cuántica de los colectores simpléticos. Las pruebas son
basado en la maquinaria teórica de Floer de cuasi-simple práctica parcial
estados.
aCon el apoyo parcial de E. y J. Bishop Research Fund y del Instituto de Ciencias de Israel
Subvención de la Fundación # 881/06.
bCon el apoyo parcial de la subvención de la Fundación Científica Israelí # 11/03.
http://arxiv.org/abs/0704.0105v2
Sumario
Introducción y principales resultados 3
1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad...........................................................................................................................................................................................................................................................
1.2 Preliminares sobre la homología cuántica. .................................................................................. 8
1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer. ......................................................................................................................................................................
1.4 Acciones de toros de Hamilton...........................................................................................................................................................................................................................................................
1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos. ...................................................................................................................
1.6 Efecto de la semisimplicidad...........................................................................................................................................................................................................................................................
1.7 Debate y preguntas abiertas 27...................................................................................................................................................................
1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer? .....................................................................................................................................
1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson 28
2 Detectar la desplazabilidad estable 32
3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer 33
3.1 Valoración de QH*(M)..........................................................................................................................................................................................................................................................
3.2 Teoría de Hamilton Floer...........................................................................................................................................................................................................................................................
3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov. ........... 36
3.4 Números espectrales. ................... 42
3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales..........................................................................................................................................................................................................................................................
4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados 45
5 Productos de juegos (super) pesados 48
5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales. ................................................................ 48
5.2 Complejos Z2 decorados. .................................................................... 49
5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida. ....................................................................
5.4 Prueba del teorema 5.1................... 51
5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2.............. 52
6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados 57
7 Análisis de los tallos estables 59
8 Submanifolds Lagrangiano Monotone 61
9 Rigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas 66
9.1 Calabi y acción mixta - Maslov. ............ 76
1 Introducción y principales resultados
1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad
Una propiedad bien estudiada y fácil de visualizar la rigidez de los subconjuntos de un simplec-
la rigidez de las intersecciones: un subconjunto X
ser desplazado del cierre de un subconjunto Y â € M por un soporte compacto
Isotopía Hamiltoniana:
* (X) * Y 6= * * Ham(M) *
Decimos en tal caso que X no puede ser desplazado de Y. Si X no puede ser
Desplazado de sí mismo lo llamamos no desplazable. Estas propiedades se convierten en
especialmente interesante y puramente simplético cuando X puede ser desplazado de
o de Y por una isotopía suave (compactamente soportada).
Uno de los temas principales del presente documento es que “algunos
conjuntos capaces son más rígidos que otros.” Para explicar esto, necesitamos lo siguiente
ramificaciones de la noción de conjunto no desplazable:
Fuerte no-desplazabilidad: Un subconjunto X-M se llama fuertemente no-
desplazable si uno no puede desplazarlo por ninguno (no necesariamente Hamiltoniano)
el simplectomorfismo de (M.
No desplazabilidad estable: Considere T ∗S1 = R × S1 con el coordi-
los nates (r, Ł) y la forma simpléctica dr. Decimos que X-M es estable.
no desplazable si X × {r = 0} no es desplazable en M × T ∗S1 equipado
con la forma simpléctica de la división = (dr dŁ). Mencionemos que de-
tecting subconjuntos estable no desplazables es útil para el estudio de la geometría y
dinámica de los flujos Hamiltonianos (véase, por ejemplo, [50] por su papel en Hofer
geometría y [51] por su apariencia en el contexto de la estabilidad de la patada en
Dinámica hamiltoniana).
Formalmente hablando, las propiedades de la no-desplazabilidad fuerte y estable
son mutuamente independientes y ambos son estrictamente más fuertes que la desplazabilidad.
En el presente trabajo refinamos la maquinaria de parcial simplético cuasi-
los estados introducidos en [23] y obtener nuevos ejemplos de
conjuntos, incluyendo ciertas fibras de mapas momentáneos de acciones de toros Hamiltonianos
así como monotones Lagrangian submanifolds discutidos por Albers [2] y
Biran-Cornea [15]. Además, abordamos la siguiente pregunta: dada la clase
de conjuntos estable no desplazables, se puede distinguir aquellos de ellos que son
también fuertemente no-desplazable por medio de la teoría de Floer? O, de otra manera
alrededor, ¿cuáles son las características Homológicas de Floer estable no desplazable
pero sets fuertemente desplazables? Ejemplos de juguetes son dados por el ecuador de la
Dos esferas simpléticas y por el meridiano en un dos torso simplés. Ambas cosas.
son establemente no-desplazables ya que sus homologías Lagrangian Floer son no-
trivial. Por otro lado, el ecuador es fuertemente no desplazable, mientras que
el meridiano es fuertemente desplazable por un cambio no hamiltoniano. Más tarde
explicará la diferencia entre estos dos ejemplos desde el punto de vista
de la homología hamiltoniana Floer y presentar diversas generalizaciones.
La pregunta sobre la caracterización homológica de Floer de (fuertemente)
los conjuntos que se pueden desplazar pero que se pueden desplazar de forma estable están totalmente abiertos, véase la sección 1.7.1 infra para
un ejemplo que involucra el teorema de embalaje de Gromov y la discusión.
Dejando consideraciones teóricas de Floer para la siguiente sección, vamos a esbozar
(en parte, informalmente) el esquema general de nuestros resultados: Dado un simplético
multiple (M,), definiremos (en el lenguaje de la teoría de Floer) dos
colecciones de subconjuntos cerrados de M, subconjuntos pesados y subconjuntos superpesados.
Cada subconjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa. Formalmente
hablando, la jerarquía pesada-superpesada depende de una manera delicada de la
elección de un idempotente en el anillo de homología cuántica de M. Esto y otros
los matices serán ignorados en este esquema. Las propiedades clave de estas colecciones
son los siguientes (véanse los teoremas 1.2 y 1.5 infra):
Invarianza: Ambas colecciones son invariantes bajo el grupo de todos los symplec-
tomorfismos de M.
No-desplazabilidad estable: Cada subconjunto pesado es estable no-desplazamiento-
Capaz.
Intersecciones: Cada subconjunto superpesado intersecta cada subconjunto pesado. In
En particular, los subconjuntos superpesados son fuertemente no desplazables. En contraste con
Esto, subconjuntos pesados pueden ser mutuamente desconectados y fuertemente desplazables.
Productos: El producto de dos subconjuntos (super)pesados es (super)pesado.
¿Qué hay dentro de las colecciones? Las colecciones de pesados y superpesados
se incluyen los siguientes ejemplos:
Tallos estables: Dejemos que A C(M) sea un Poisson-commuta de dimensión finita.
tivo subespacio (es decir, cualquiera de las dos funciones de un viaje con respecto a la
Poisson brackets). Let Φ :M → A* ser el mapa del momento: (x), F = F (x).
Una fibra no vacía 1(p), p A*, se llama un tallo de A (véase [23]).
fibras no vacías 1(q) con q 6= p son desplazables y un tallo estable si
son establemente desplazables. Si un subconjunto de M es un tallo (estable) de un finito-
subespacio dimensional de Poisson-commutativo de C(M), se llamará justo
a Tallo (estable). Claramente, cualquier tallo es un tallo estable. La colección de
Los subconjuntos superpesados incluyen todos los tallos estables (ver Teorema 1.6 abajo).
Uno muestra fácilmente que un producto directo de tallos estables es un tallo estable y
que la imagen de un tallo estable bajo cualquier simplectomorfismo es de nuevo un
vástago estable.
El siguiente ejemplo de un tallo estable se toma prestado (con un mod-
) de [23]: Que X â € M sea un subconjunto cerrado cuyo complemento es
una unión finita disyuntiva de conjuntos estable desplazables. Entonces X es un tallo estable.
Por ejemplo, el esqueleto de la codimensión-1 de una triangulación suficientemente fina de
cualquier colector simplético cerrado es un tallo estable. Otro ejemplo es dado por
el ecuador de S2: divide la esfera en dos discos abiertos desplazables y
por lo tanto es un tallo estable. Al tomar productos, uno puede llegar a ser más sofisticado
ejemplos de tallos estables. Ya el producto de los ecuadors de las dos esferas
da lugar a un Lagrangian Clifford toro en S2×...×S2. Para demostrar su rigidez
propiedades (como no desplazabilidad estable) uno tiene que usar sim-
Herramientas plécticas como la homología Lagrangian Floer, véase, por ejemplo. [44]. Productos de
los 1-esqueletos de las triangulaciones finas de las dos esferas pueden ser considerados como
singular Lagrangian submanifolds, un objeto que actualmente está fuera de alcance
de la teoría Lagrangian Floer.
Otro ejemplo de los tallos estables proviene de las acciones de toros de Hamilton.
Considerar una acción Hamiltoniana eficaz : Tk → Ham(M) con el mo-
Φ = (Φ1,............................................................................................ ...............................................................................................
k. Supongamos que Φi es un
Hamiltonian, eso es
Φi = 0 para todos los i = 1,...., k. Una acción de toro se llama
comprimible si la imagen del homomorfismo : η1(T
k) → η1(Ham(M)),
inducido por la acción............................................................................................................................................................................................................................................................. Uno puede demostrar que por compresible
acciones la fibra 1(0) es un tallo estable (ver Teorema 1.7 abajo).
Fibras especiales de las acciones de toros Hamiltonianos: Considere un eficaz
Hamiltonian torus action (acción de toros) sobre un colector simplético esféricamente monótono.
Let I : η1(Ham(M)) → R ser la acción mixta-Homomorfismo Maslov intro-
En el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, el importe de las importaciones objeto de dumping procedentes de la República Popular China se estima en [...] millones EUR. Puesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ es naturalmente
identificado con Hom(η1(T)
k), R), la pull back pspec :=
I de la mezcla
acción-Homomorfismo Maslov con el signo inverso puede ser considerado como un
punto de Rk. La preimagen 1(pspec) se llama la fibra especial de la acción.
Veremos abajo que la fibra especial siempre no está vacía. Para monotona
los colectores toricos simpléticos (es decir, cuando 2k = dimM) la fibra especial es un
Monotone Lagrangian Torus. Tenga en cuenta que cuando la acción es comprimible
tienen pspec = 0 y por lo tanto la fibra especial es un tallo estable según el
ejemplo anterior. Se desconoce si estos últimos bienes persisten para
acciones no comprimibles. Así en lo que sigue tratamos los tallos estables
y fibras especiales como ejemplos separados. La colección de superpesados
Los subconjuntos incluyen todas las fibras especiales (ver Teorema 1.9 abajo).
Por ejemplo, considere el CP 2 y el Torus Lagrangian Clifford en él (i.e.
el toro {[z0 : z1 : z2] • CP
2 Toma el estándar
Acción Hamiltoniana T2 sobre el CP 2 preservando el toro Clifford. Tiene tres.
puntos fijos globales lejos del toro de Clifford. Hacer un sym equivariante...
blow-up pléctico, M, de CP 2 a k de estos puntos fijos, 0 ≤ k ≤ 3, de modo que
el colector simplético obtenido es esféricamente monotono. La acción de los toros
se eleva a una acción Hamiltoniana en M. Uno puede demostrar que su fibra especial es
la transformación adecuada del toro de Clifford.
Monotone Lagrangian submanifolds: Let (M2n, Ł) ser una esférica
monotone simplectic multiple, y dejar L â € M ser un monótono cerrado La-
Submanifold grangiano con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Nosotros decimos
que L satisface la condición de Albers [2] si la imagen del morfismo natural
H*(L;Z2) → H*(M;Z2) contiene un elemento S no cero con
deg S > dimL+ 1−NL.
La colección de juegos pesados incluye todos los monótonos cerrados Lagran-
Submanifolds gian que satisfacen la condición de Albers (véase Teorema 1.15
infra).
Ejemplos específicos incluyen el meridiano en T2, RP n • CP n y todos los La-
Esferas grangianas en hipersuperficies proyectivas complejas de grado d en CP n+1
con n > 2d − 3. En el caso de que la clase fundamental [L] de L se divida
un idempotente no trivial en el álgebra homológica cuántica de M, L es, en
hecho, superpesado (ver Teorema 1.18 más abajo). Por ejemplo, este es el caso
para RP n • CP n. Además, una versión de superpeso se mantiene para cualquier
Esfera lagrangiana en el complejo cuadrático de dimensión par (compleja).
Sin embargo, existen ejemplos de pesado, pero no superpesado, Lagrangian
submanifolds: Por ejemplo, el meridiano del 2-torus es
ceable por un (no-Hamiltoniano!) cambio y por lo tanto no es superpesado. Otro
ejemplo de pesado pero no superpesado submanifold Lagrangian es la esfera
surgida como la parte real de la hipersuperficie de Fermat
M = zd0 + z
1 +... + z
n+1 = 0}
con d ≥ 4 y n > 2d− 3. Nos remitimos a la sección 1.5 para más detalles sobre
(super) monótono pesado submanifolds Lagrangian.
Motivación: Nuestra motivación para la selección de ejemplos que aparecen en el
La lista anterior es la siguiente. Tallos estables proporcionan un patio de recreo para estudiar
rigidez simpléctica de subconjuntos singulares. En particular, ningún análogo visible de
la técnica convencional de homología Lagrangian Floer es aplicable a ellos.
Detectar (estable) la no-desplazabilidad de los submanifolds Lagrangian vía La-
La homología grangiana Floer es uno de los temas centrales de la topología simpléctica.
En contraste con esto, la detección de una fuerte no-desplazabilidad tiene en el momento la
condición del arte en lugar de la ciencia. Por eso nos intrigaba Albers’
observación de que la monotona Lagrangian submanifolds satisfacer su condición
se encuentran en algunas situaciones fuertemente no desplazables. En el presente trabajo lo intentamos
digerir los resultados de Albers [2] y mirarlos desde el punto de vista teórico
de cuasiestados simpléticos parciales desarrollados en [23]. Además, nuestro resultado
sobre la superpeso del antidiagonal lagrangiano en S2 × S2 nos permite
detectar un toro Lagrangiano “exótico” en este colector simplético:
este toro no se interseca el antidiagonal, y por lo tanto no es pesado en
contraste con el toro estándar Clifford, véase el ejemplo 1.20 a continuación.
En [23] probamos un teorema que dice que cada
La foliación coisotrópica tiene al menos una fibra no desplazable. ¿Cómo...?
siempre, nuestra prueba es no-constructiva y no nos dice qué fibras específicas
no se pueden desplazar. La noción de la fibra especial surgió como un intento de
resolver este problema para las acciones del círculo hamiltoniano.
Mencionemos también que la propiedad del producto nos permite producir
más ejemplos de subconjuntos (super)pesados tomando productos de los subconjuntos
que aparecen en la lista.
Algunos comentarios sobre los métodos involucrados en nuestro estudio de la pesada y su-
los subconjuntos perheavy están en orden. Estas colecciones se definen en términos de:
cuasiestados simpléticos parciales introducidos en [23]. Estos son...
con propiedades algebraicas ricas que
se construyen por medio de la teoría de Hamiltonian Floer y que conve-
Codificar una parte de la información contenida en esta teoría. En general,
la definición de un cuasiestado simplético parcial implica la elección de un
elemento idempotente en la parte conmutativa QH•(M)
álgebra de mología de M. Aunque la opción por defecto es sólo la unidad de la
álgebra, existen algunas otras opciones significativas, en particular en el caso
cuando QH•(M) es semisimple. Esto da lugar a otro tema discutido en
Este artículo: obstrucciones topológicas “visibles” a la semisimplicidad (ver Corol-
lary 1,24 y Teorema 1,25 infra). Por ejemplo, demostraremos que si
monotone simplectic multiple M contiene “demasiado” disjoint monotone
Esferas lagrangianas cuyos números mínimos de Maslov superan n+1, el quan-
QH•(M) no puede ser semi-simple.
Pasemos a la configuración precisa. Para la comodidad del lector, la
terial presentado en este breve esquema se repetirá en partes en el siguiente
secciones en una forma menos comprimida.
1.2 Preliminares sobre la homología cuántica
El Anillo Novikov: Deja que F denote un campo base que en nuestro caso será
o bien C o Z2, y dejar que R sea un subgrupo contable (con respecto a la
added). Let s, q ser variables formales. Definir un campo K® cuyos elementos son
Serie Laurent generalizada en s de la forma siguiente:
K. :=
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Definir un anillo := K[q, q
−1) como anillo de polinomios en q, q−1 con
Coeficiente de K............................................................................................................................................... Convertimos en un anillo clasificado estableciendo el grado de s
ser 0 y el grado de q ser 2.
El anillo sirve como un modelo abstracto del anillo Novikov asociado a
un colector simplés. Vamos a ser (M,) un colector simplético conectado cerrado.
Denotar por HS2 (M) el subgrupo de clases de homología esférica en la integral
grupo homológico H2(M ;Z). Abusando de la notación escribiremos فارسى(A), c1(A)
para los resultados de la evaluación de las clases de cohomología y c1(M)
A H2(M ;Z). Establecer
2(M) := H
2 (M)/
donde, por definición,
B iff (A) = (B) y c1 (A) = c1 (B).
Denotar por el subgrupo de períodos de la
forma simpléctica en M en las clases de homología esférica. Por definición, el
El anillo de Novikov de un colector simplés (M.) es (M.). En lo que sigue,
cuando se fija (M,), abreviamos y escribimos, K y en lugar de (M,),
(M.) y (M.) (M.) respectivamente.
Homología cuántica: Conjunto 2n = dimM. La homología cuántica QH*(M)
se define como sigue. En primer lugar, se trata de un módulo graduado sobre.............................................................................................................................................
QH*(M) := H*(M;F)F
con la clasificación definida por las clasificaciones en H*(M;F) y
deg (a zsŁqk) := deg (a) + 2k.
En segundo lugar, y lo más importante, QH*(M) está equipado con una pro-
ect: si a • Hk(M ;F), b • Hl(M ;F), su producto cuántico es una clase
a* b • QHk+l−2n(M), definido por
a * b =
A2(M)
a ∗ b) A s
(A)q−c1(A),
donde (a ∗ b) A Hk+l−2n+2c1(A)(M) se define por el requisito
a ∗ b) A c = GW
A (a, b, c)
Aquí significa el índice de intersección y GWFA (a, b, c)
Gromov-Witten invariante que, en términos generales, cuenta el número de
esferas pseudo-holomórficas en M en la clase A que cumplen los ciclos que representan
a), b), c) H*(M;F) (véase [55], [56], [41] para la definición precisa).
Extender esta definición por linealidad a todo el QH*(M) que se obtiene
una operación de producto asociativo clasificada y conmutativa correctamente definida* en
QH*(M) que es una deformación del producto clásico en singular
En el caso de las empresas de seguros de vida, el importe de las primas de seguro de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de vida de seguros de vida de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de vida de vida de vida de vida de vida de vida. El álgebra cuántica de homología QH*(M)
es un anillo cuya unidad es la clase fundamental [M] y que es un módulo
de rango finito por encima de. Si a, b • QH*(M) han graduado grados grados grados de g (a), deg (b)
deg (a ∗ b) = deg (a) + deg (b)− 2n. 1)..........................................................................................................................................................
Estaremos principalmente interesados en la parte conmutativa del cuántico
anillo de homología (que en el caso F = Z2 es, por supuesto, todo el cuántico
anillo de homología). Para ello se introduce la siguiente notación:
Denotamos por QH•(M) toda la homología cuántica QH*(M) si
F = Z2 y la parte de grado par de QH*(M) si F = C.
En general, dado un espacio topológico X, denotamos por H•(X ;F) la
grupo H*(X;F) si F = Z2 y el par-
grado parte de H*(X;F) si F = C.
Por lo tanto, en nuestra notación el anillo QH•(M) = H•(M ;F)F
mutatisticve subring con la unidad de QH*(M) y un módulo de rango finito por encima de.
Nos identificaremos con un suburbio de QH•(M) por 7→ [M ] ♥.
1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer
Fijar un idempotente distinto de cero a QH2n(M) (por obvia clasificación considera-
ciones el grado de cada idempotente es igual a 2n). Nos ocuparemos de los espectrales.
invariantes c(a,H), donde H = Ht : M → R, t â € R, es un tiempo suave-
dependiente y 1-periódico en el tiempo Hamiltoniano función en M, o c(a, H),
donde H es un elemento de la cobertura universal Hśam (M) de Ham(M) rep.
resentida por un camino basado en la identidad dado por el flujo Hamiltoniano del tiempo-1
generado por H. Si H se normaliza, lo que significa que
dimM/2 = 0 para todos
t, entonces c(a,H) = c(a, H). Estos invariantes, que hoy en día son estándar
objetos de la teoría de Floer, fueron introducidos en [45] (cf. [59] en la asférica
caso; véase también [42], [43] para una versión anterior de la construcción y [22] para un
resumen de las definiciones y resultados en el caso monotono).
Descargo de responsabilidad: A lo largo de todo el documento suponemos tácitamente que (M,.......................................................................................................................................................
como (M ×T2, ), cuando hablamos de desplazabilidad estable) pertenece a la clase
S de colectores simpléticos cerrados para los que los invariantes espectrales están bien
definir y disfrutar de la lista estándar de propiedades (véase, por ejemplo, [41, Teorema
12.4.4]). Por ejemplo, S contiene todo asférica y esféricamente
colectores monotónicos. Además, S contiene todos los colectores simpléticos M2n
para los cuales, por un lado, c1 = 0 o el número mínimo de Chern (en
HS2 (M)) es al menos n − 1 y, por otra parte,
2 (M)) es un
subgrupo de R (cf. [64]). La creencia general es que la clase S incluye a todos
colectores simpléticos.
Definir un funcional : C(M) → R por
(H) := lim
c(a, lH)
Se muestra en [23] que el funcional tiene algún algebraico muy especial
propiedades (véase Teorema 3.6) que forman los axiomas de un simplés parcial
el cuasi-estado introducido en [23]. La siguiente definición está motivada en parte por
la obra de Albers [2].
Definición 1.1. Un subconjunto cerrado X â € M se llama pesado (con respecto a â €
o con respecto a un utilizado para definir
(H) ≥ inf
H. H. C. M., (3)
y se llama superpesado (con respecto a o a) si
(H) ≤ sup
H. H. C. M....................................................................................................................................... 4)
La elección por defecto de un idempotente a es la unidad [M ] QH*(M). En este
caso, como veremos a continuación, las colecciones de conjuntos pesados y superpesados
satisfacer las propiedades enumeradas en la sección 1.1 e incluir los ejemplos en ella.
Teniendo en cuenta las posibles aplicaciones (incluidas las obstrucciones geométricas a
la simplicidad de la homología cuántica), trabajaremos, siempre que sea posible, con
Ídempotentes generales.
La asimetría entre supX H e infX H está relacionada con el hecho de que
los números espectrales satisfacen una desigualdad triangular c(a ∗ b,
c(b, ŁG), mientras que puede no haber una desigualdad adecuada “en la dirección opuesta-
tion”. En el caso de que exista tal desigualdad “opuesta” (por ejemplo: cuando a = b
es un idempotente y • definido por él es un verdadero cuasi-estado simplético – ver
Sección 1.6 a continuación) la simetría entre supX H e infX H se restaura
y las clases de conjuntos pesados y superpesados coinciden.
Enfaticemos que la noción de (super)peso depende de la
elección de un anillo de coeficiente para la teoría de Floer. En este artículo los coeficientes
para la teoría Floer será Z2 o C dependiendo de la situación. A menos que
de lo contrario, nuestros resultados en subconjuntos (super)pesados son válidos para cualquier elección
los coeficientes.
El grupo Symp (M) de todos los simplectomorfismos de M actúa naturalmente sobre
H*(M;F) y, por lo tanto, en QH*(M) = H*(M;F) F. Claramente, la identidad
componente Symp0(M) de Symp (M) actúa trivialmente sobre QH*(M) y por lo tanto para
cualquier idempotente a • QH*(M) el correspondiente • es invariante Symp0(M).
Así, la imagen de un (super)pesado conjunto bajo un elemento de Symp0(M) es de nuevo
a (super)conjunto pesado con respecto al mismo idempotente a. Si a es invariante
bajo la acción de todo el Symp (M) (por ejemplo, si a = [M ]) las clases
de conjuntos pesados y superpesados con respecto a a son invariantes bajo la acción
de todo el Symp (M) de acuerdo con la propiedad de la invarianza presentada
en la sección 1.1 supra.
Mencionemos también que las colecciones de (super) sets pesados disfrutan de un
propiedad de estabilidad en inclusiones: Si X, Y, X â € ¢ Y, son subconjuntos cerrados de M
y X es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a un idempotente a
entonces Y también es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a la misma a.
Ahora estamos dispuestos a formular los principales resultados de la presente sección.
Teorema 1.2. Suponga que una y la otra son fijas. Entonces
(i) Cada conjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa.
ii) Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.
iii) Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado. En particular, un super-
un conjunto pesado no puede ser desplazado por un simplético (no necesariamente Hamil-
toniano) isotopía y si el idempotente a es invariante bajo el symplec-
grupo de tomorfismo de (M.o) (p.e. si a = [M ]), cada conjunto superpesado es
fuertemente no desplazable.
El siguiente teorema discute la relación entre pesadez/super-
propiedades de pesadez con respecto a diferentes idempotentes. En particular,
muestra que [M] juega un papel especial entre todos los otros idempotentes no cero
en QH*(M).
Teorema 1.3. Supongamos que a es un idempotente no cero en la homología cuántica.
(i) Cada conjunto que es superpesado con respecto a [M] también es superpesado con
respeto a a.
(ii) Cada conjunto que es pesado con respecto a a es también pesado con respecto a
[M]
iii) Suponga que el idempotente a es una suma de idempotentes distintos de cero
e1,. ..., el y asumir que un subconjunto cerrado X • M es pesado con re-
spect a a. Entonces X es pesado con respecto a ei para al menos una i.
La siguiente propuesta muestra que, en general, la pesadez de un conjunto
depende de la elección de un idempotente en la homología cuántica.
Proposición 1.4. Considere el toro T2n equipado con el sim-
estructura pléctica • = dpÃ3dq. Que M2n = T2n+CP n sea una explosión simpléctica de
T2n en un punto (la explosión se realiza en una pequeña bola alrededor del punto).
Asumir que el toro lagrangiano L • T2n dado por q = 0 no se intersecta
la bola en T2n, donde se realizó la explosión.
Entonces la transformación apropiada de L (identificado con L) es un sub-
múltiple de M, que no es pesado con respecto a algunos no cero idempotente
a QH*(M) pero pesado con respecto a [M]. (Aquí trabajamos con F = Z2).
A continuación, considere los productos directos de (super) sets pesados. Comenzamos con el fol-
convención de reducción en los productos tensores. Vamos a i, i = 1, 2, ser dos contables
Subgrupos de R. Dejemos que Ei sea un módulo sobre K.i. Pusimos
E1KE2 =
E1 K1 K1 K1 K2
K12
E2 KÃ32 KÃ12
. 5)
Si E1, E2 son también anillos automáticamente suponemos que el tensor medio prod-
uct es el producto tensor de los anillos. En palabras simples, ampliamos ambos módulos
a los módulos K. 1 ó 2 y considerar el producto tensor habitual sobre K. 1 ó 2.
Habida cuenta de dos colectores simpléticos (M1, M1,.......................................................................................................................................................................................................................................................
subgrupos de períodos de las formas simpléticas satisfacen
*(M1 ×M2, *(M1 ×M2) =*(M1, *1) +*(M2, *2).
Además, debido a la fórmula Künneth para la homología cuántica (véase, por ejemplo,
[41, Ejercicio 11.1.15] para la declaración en el caso monotono; el
caso en nuestra configuración algebraica se puede tratar de manera similar) existe un
monomorfismo de anillo lineal sobre K. 1 2
QH2n1(M1)KQH2n2(M2) QH2n1+2n2(M1 ×M2),
Fijaremos un par de idempotentes ai QH*(Mi), i = 1, 2. Las nociones
de (super)peso en M1, M2 y M1 ×M2 se entienden en el sentido de
idempotents a1, a2 y a1 a2 respectivamente.
Teorema 1.5. Supongamos que Xi es un pesado (resp. superpesados) subconjunto de Mi
con respecto a algunos idempotent ai, i = 1, 2. Entonces el producto X1 × X2
es un pesado (resp. superpesados) subconjunto de M con respecto al idempotente
a1 a2 QH•(M1 ×M2).
Una clase importante de conjuntos superpesados es dada por tallos estables introducidos
e ilustrado en la sección 1.1.
Teorema 1.6. Cada tallo estable es un subconjunto superpesado con respecto a cualquier
Ídempotente no cero a QH*(M). En particular, es fuerte y estable
no desplazable.
En la siguiente sección presentamos un ejemplo de tallos estables provenientes de Hamil-
acciones de toro toniano.
1.4 Acciones de toros hamiltonianos
Fibras del momento mapas de acciones de toros Hamiltonianos forman un interesante
parque infantil para probar las diversas nociones de desplazabilidad y pesadez
Introducción anterior. A lo largo del documento nos ocupamos de acciones eficaces solamente,
que es suponemos que el mapa : Tk → Ham(M) definir la acción
es un monomorfismo. Además, suponemos que el mapa del momento Φ =
(Φ1,. ...............................................................................................
k de la acción se normaliza: Φi es un normalizado
Hamiltonian para todos i = 1,..... por el teorema de Atiyah-Guillemin-Sternberg
[6], [30], la imagen = Φ(M) de Φ es un politopo convexo k-dimensional,
llamó al momento politopo. Los subconjuntos 1(p), p, se llaman fibras de
el mapa del momento. Una acción de toro se llama comprimible si la imagen de la
homomorfismo : η1(T
k) → η1(Ham(M)), inducido por la acción
grupo finito.
Teorema 1.7. Supongamos que está equipado con un Hamilto comprimible.
nian Tk-action con mapa del momento Φ y politopo del momento. Dejad que Y # # # sea #
cualquier subconjunto convexo cerrado que no contenga 0. Entonces el subconjunto 1(Y)
es establemente desplazable. En particular, la fibra 1(0) es un tallo estable.
Tenga en cuenta que para los colectores tóricos simpléticos, es decir, cuando 2k = dimM, el punto
0 es el baricentro del politopo del momento con respecto a la Lebesgue
medida. Esto se deriva de nuestra suposición sobre la normalización de la
mapa del momento.
Los teoremas 1.6 y 1.7 implican que la fibra 1(0) del toro comprimible
acción es estable no desplazable, y así obtenemos la descripción completa
de fibras establemente desplazables para tales acciones.
En el caso de que la acción no sea comprimible, la cuestión de la
La descripción completa de las fibras estable no desplazables permanece abierta. Hacemos un
progreso parcial en esta dirección mediante la presentación de al menos una de esas fibras, llamado
la fibra especial, explícitamente en el caso de que (M,•) sea esféricamente monotona:
HS2 (M)
= c1(TM)HS2 (M)
.......................................................................
La fibra especial se puede describir a través de la acción mixta-Homomor Maslov-
phism introducido en [49]: Dejar (M2n, ) ser una esférica monotona simplectic
múltiple, y que {ft}, t [0, 1], sea cualquier bucle de difeomorfismos hamiltonianos,
con f0 = f1 = 1, generado por un func de Hamilton normalizado 1-periódico-
tion F (x, t). Las órbitas de cualquier bucle hamiltoniano son contractibles debido a la
teoría estándar de Floer1. Elija cualquier punto x â € M y cualquier disco u : D2 → M
abarcando la órbita γ = {ftx}. Definir la acción
2 de la órbita por
AF (γ, u) :=
F (γ(t), t)dt−
u.
Trivialize el paquete de vectores simplés u*(TM) sobre D2 y denote por
mF (γ, u) el índice Maslov del bucle de matrices simpléticas correspondientes
a {ft con respecto a la trivialización elegida. Uno comprueba fácilmente que,
en vista de la monotonicidad esférica, la cantidad
I(F) := −AF (γ, u)−
mF (γ, u)
no depende de la elección del punto x y el disco u, y es invariante
bajo los homotopies del bucle Hamiltoniano {ft}. De hecho, yo soy un bien definido
homomorfismo de η1(Ham(M)) a R (véase [49], [68]).
Supóngase de nuevo que : Tk → Ham(M,) es un torus hamiltoniano ac-
tion. Escriba para el homomorfismo inducido de los grupos fundamentales.
Puesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ se identifica naturalmente con
Hom(π1(T)
k), R), la retirada I de la acción mixta-Homomor Maslov-
phism con el signo inverso puede ser considerado como un punto de Rk. Llamamos
es un punto especial y denota por pspec. La preimagen Φ
−1(pspec) se llama
fibra especial del mapa del momento. En el caso k = 1, cuando Φ es un valor real
función en M, llamaremos pspec el valor especial de Φ.
1La teoría de Floer garantiza la existencia de al menos una órbita periódica contractible –
Esto no es obvio a priori si {ft} no es un flujo autónomo. Desde todas las órbitas de {ft}
son homotópicos, todos son contráctiles.
2Tenga en cuenta que nuestra acción funcional y la de [49] son de signos opuestos.
Si k = n y M es un colector torico simplético, entonces pspec se puede definir
en términos puramente combinatorios que implican sólo el politopo. Es decir, elegir
un vértice x de Ł. Puesto que en este caso es un politopo Delzant [20], hay un
única (hasta una permutación) elección de vectores v1,. .................................................
• oriundo de x;
• abarcan los rayos n que contienen los bordes de • adyacentes a x;
• formar una base de Zn sobre Z.
Proposición 1.8.
pspec = x+
vi. 6)
Prueba. Los vértices del momento politopo están en correspondencia uno-a-uno
con los puntos fijos de la acción. Que x â € ¢ M sea el punto fijo corre-
sponding al vértice x = (x1,. ..,xn). Entonces los vectores vj = (v
j,. v..............................................................
j = 1,..., n, son simplemente los pesos de la isotropía Tn-acción en TxM. Desde
la definición de la acción mixta-Maslov invariante de un círculo hamiltoniano
la acción no depende de la elección de una órbita 1-periódica y
ning, vamos a calcular todos los II, l = 1,..., n, utilizando la órbita periódica constante
concentrado en el punto fijo x y el disco constante u que lo abarca. Claramente,
AΦi(x, u) = Φi(x) = xi y mΦi(x, u) = 2
vij Łi = 1,..., n,
que produce fácilmente la fórmula (6).
E.Shelukhin nos señaló que al resumir las ecuaciones (6) sobre todo el
vértices x(1). ..,x(m) • Rn del politopo del momento, uno consigue fácilmente que
pspec =
Teorema 1.9. Suponga que M2n es un colector simplético esféricamente monótono
equipado con un Hamiltonian Tk-action. Entonces la fibra especial del momento
mapa es superpesado con respecto a cualquier (no-cero) idempotente a QH2n(M).
En particular, es estable y no desplazable.
Mencionemos que, en particular, la fibra especial no está vacía y así
pspec â â € € TM. Por otra parte pspec es un punto interior de • – de lo contrario Φ
−1(pspec) es
isotrópico de dimensión < n y, por lo tanto, desplazable (véase, por ejemplo, [9]).
Observación 1.10. Si dimM = 2dimTk (es decir, nos ocupamos de un
múltiple), la fibra especial, dicen L, es un toro lagrangiano. De hecho, este toro
es monotona: por cada D • η2(M,L) que tenemos
* = * mL(D),
donde mL representa la clase Maslov de L. Esto es una consecuencia inmediata
de las definiciones.
Observación 1.11. Tenga en cuenta que cuando M es esféricamente monotona y la acción es
Los teoremas comprimibles 1.7 y 1.9 coinciden entre sí: en este caso pspec = 0
y por lo tanto la fibra especial es un tallo estable por Teorema 1.7. Se desconoce
si esta propiedad persiste para las fibras especiales de ac-
ciones.
Ejemplo 1.12. Dejar que M sea el monótono simplético explosión de CP 2 en k
puntos (0 ≤ k ≤ 3) que sean equivariantes con respecto a la norma T2-
acción y que se realiza lejos del toro de Clifford en CP 2. Desde
la explosión es equivariante, M viene equipado con una acción Hamiltonian T2-
ampliación de la acción T2 sobre CP 2. El toro Clifford es una fibra del momento
mapa de la acción T2 sobre CP 2. Que L M sea el toro lagrangiano que es
la transformación adecuada del toro de Clifford bajo la explosión – es una fibra de
el mapa del momento de la T2-acción en M. Usando la Proposición 1.8 es fácil
ver que L es la fibra especial de M. De acuerdo con Teorema 1.9, es estable
y fuertemente no desplazable. De hecho, es un tallo: la desplazabilidad de
todas las demás fibras se comprobaron para k = 0 en [10], para k = 1 en [23] y para
k = 2, 3 in [40].
Nos remitimos a la sección 1.7.2 para seguir examinando los problemas conexos y muy
avances recientes.
Digresión: Calabi vs. acción-Maslov. El método utilizado para demostrar
Teorema 1.9 también permite probar el siguiente resultado que implica la mezcla
acción-Homomorfismo Maslov. Denotar por vol (M) el volumen simplético de
M. Considere la función μ : Hśam (M) → R definido por
μ(H) := −vol (M) lim
c(a, ŁlH)/l.
En el caso cuando a es la unidad en un campo que es un resumen directo en el
la descomposición de la K-álgebra QH2n(M), como álgebra, en un directo
suma de subalgebras, μ es un cuasimorfismo homogéneo en H
Calabi cuasi-morfismo [22],[24],[46]; en el caso general tiene utilería más débil
erties [23]. Con este lenguaje, la función de • (en funciones normalizadas) es
inducido (hasta un factor constante) por el retroceso de μ a la Lie álgebra de
Hśam (M).
Después de P.Seidel describimos en [22] la restricción de μ (de hecho, para cualquier
M esféricamente monótono) en el η1(Ham(M))
homomorfismo η1(Ham(M)) → QH
* (M), donde QH
* (M) denota:
grupo de elementos invertibles en el anillo QH*(M). Aquí damos una alternativa
descripción de 1(Ham(M)) en términos de la acción mixta-Homomor Maslov-
phism I que, a su vez, también proporciona cierta información sobre el Seidel
homomorfismo.
Teorema 1.13. Asumir que M es esféricamente monotona y dejar que μ se defina como
arriba para algunos idempotentes distintos de cero a QH*(M). Entonces
1(Ham(M)) = vol (M) · I.
Nótese que, en particular, 1(Ham(M)) no depende de un utilizado para de-
Bien μ. El teorema también implica que μ desciende a un cuasi-morfismo en
Ham(M) si y sólo si I : η1(Ham(M)) → R desaparece idénticamente (desde μ
desciende a un cuasi-morfismo en Ham(M) si y sólo si 1(Ham(M)) 0 –
Véase, por ejemplo, [22], Prop. 3.4). La prueba del teorema figura en la sección 9.1.
Mencionemos también que, curiosamente, el homomorfismo I
coincide con la restricción a η1(Ham(M)) de otro cuasimorfismo
sobre la Hśam (M) construida por P.Py (véanse [52, 53]).
Digresión: Acción-Homomorfismo Maslov y Futaki invari-
hormiga. Esta observación surgió de una observación que nos señaló Chris
Woodward – le estamos agradecidos por ello. Asume que nuestro simplés
multipleM es complejo Kähler (es decir. se induce la estructura simpléctica sobre M
por el Kähler uno) y Fano (con esto queremos decir aquí que [] = c1). Asumir
también que una acción Hamiltoniana S1 {ft} preserva la métrica de Kähler y el
estructura compleja. Por ejemplo, si M2n es un colector torico simplético puede
estar equipados canónicamente con una estructura compleja y una métrica de Kähler invari-
en el marco de la acción Tn sobre M, por lo tanto, en el marco de la acción de cualquier subgrupo S1-
{ft} de T
Que V sea el campo vectorial Hamiltoniano que genera el flujo Hamiltoniano
{ft}. Puesto que {ft} preserva la estructura compleja, uno puede asociar a V su
Futaki invariante F (V ) C [29]. Ha sido comprobado por E.Shelukhin [63]
que, hasta un factor constante universal, este invariante Futaki es igual a la
valor del homomorfismo de acción mixta-Maslov en el bucle {ft}:
F(V) = const · I({ft}).
Tenga en cuenta que si tal M admite una métrica de Kähler-Einstein entonces el Futaki
invariante tiene que desaparecer [29] – así si I({ft}) 6= 0 el colector no admite
a métrica de Kähler-Einstein. Por otra parte, si M2n es toric lo contrario también es cierto:
si el invariante Futaki desaparece para cualquier V generando un subgrupo del toro
Actuando en M entonces M admite una métrica de Kähler-Einstein – esto sigue de una
teorema de Wang y Zhu [67], combinado con un resultado previo de Mabuchi
[38]. En términos del politopo del momento, la desaparición de la invariante Futaki,
y, en consecuencia, la existencia de una métrica de Kähler-Einstein, en un Fano de Kähler
múltiplo tórico significa precisamente que el punto especial del politopo coincide
con el baricentro.
1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos
Que (M2n, ) sea un colector simplético cerrado esféricamente monótono con [] =
• c1(TM) en el punto η2(M), • • > 0. Deja que L-M sea un monótono cerrado Lagrangiano
submanifold con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Como de costumbre, ponemos
NL = + + η2(M,L) = 0. Como antes, trabajamos con el campo básico F que
es Z2 o C. En el caso F = C, suponemos que L es relativamente vuelta, que
es L es orientable y la 2a clase Stiefel-Whitney de L es la restricción de
alguna clase de cohomología integral de M.
Descargo de responsabilidad: En el caso F = C los resultados de esta sección son condicionales:
Damos por sentado que la Proposición 8.1 a continuación, que fue probada por Biran
y Cornea [15] para las homologías con coeficiente Z2, se extiende a las homologías
con C-coeficiente. En cada uno de los ejemplos específicos a continuación vamos a explícitamente
indicar qué F estamos utilizando y cada vez que usamos F = C suponemos que L
es relativamente girar.
Denotar por j el morfismo natural j : H•(L;F) → H•(M ;F). Nosotros decimos que
L cumple la condición de Albers [2] si existe un elemento S • H•(L;F) así
que j(S) 6= 0 y
deg S > dimL+ 1−NL.
Nos referiremos a S como a un elemento de Albers de L.
Ejemplo 1.14. Suponga que [L] H•(L;F) y j([L]) H•(M;F) no es cero.
Esto significa precisamente que [L] es un elemento de Albers de L.
Un monótono cerrado Lagrangian submanifold L que satisface esta
(y cuyo número mínimo de Maslov es mayor que 1) se llamará
homológicamente no trivial en M.
Teorema 1.15. Que L sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold satisfacer-
En el estado de Albers. Entonces L es pesado con respecto a [M ]. En particular,
cualquier submanifold Lagrangiano homológicamente no trivial es pesado con respeto
a [M].
Ejemplo 1.16. Asumir que η2(M,L) = 0. Entonces la clase de homología de un
punto es un elemento Albers de L, y por lo tanto L es pesado. Tenga en cuenta que en este
la pesadez del caso no se puede mejorar a la pesadez super: el meridiano en el
Dos torso es pesado pero no superpesado. Aquí tomamos F = Z2.
Ejemplo 1.17 (Esferas lagrangianas en las hipersuperficies de Fermat). Más examen...
(pero no necesariamente superpesada) monotona Lagrangian sub-
Los colectores pueden ser construidos de la siguiente manera3.
Dejar que M • CP n+1 sea una hipersuperficie compleja suave de grado d. La
el retroceso de la estructura simpléctica estándar de CP n+1 convierte M en una
colectores simpléticos (de dimensión real 2n). Si d ≥ 2, entonces, como se explica,
por ejemplo, en [12],M contiene una esfera lagrangiana: M se puede incluir en
una familia de hipersuperficies algebraicas de CP n+1 con degeneraciones cuadráticas en
puntos aislados y el ciclo de desaparición de tal degeneración se pueden realizar
por una esfera lagrangiana que sigue [5], [21], [60], [61], [62].
Dejemos que M • CP n+1 sea una hipersuperficie proyectiva de grado d, 2 ≤ d < n+ 2.
El número mínimo de Chern de M es igual a N := n+2− d > 0. Let Ln â € M2n
ser un simple submanifold Lagrangian conectado (por ejemplo, un Lagrangian
esfera).
En primer lugar, considerar el caso cuando n es par, L es relativamente vuelta y el Euler
las características de L no desaparecen (este es el caso de una esfera). Entonces el
3Agradecemos a P.Biran su ayuda indispensable con estos ejemplos.
clase de homología j([L]) Hn(M;Z) no es cero: su número de auto-intersección
en M hasta el signo es igual a la característica de Euler. Así [L] es un Albers
elemento. (Aquí usamos F = C). En vista de Teorema 1.15, L es pesado con
con respecto a [M].
Segundo, supongamos que n es de paridad arbitraria pero n > 2d − 3, y no
ya se asume la restricción de las características de Euler de L. Esto da resultados
NL = 2N > n+ 1 y por lo tanto L satisface la condición de Albers con la clase de
un punto P como elemento de Albers. Así L es pesado con respecto a [M ] – aquí
Utilizamos F = Z2.
Finalmente, fijar n ≥ 3 y un número par d tal que 4 ≤ d < n+2. Considerar
a Fermat hipersuperficie de grado d
M = zd0 + z
1 +... + z
n+1 = 0}
n+1.
Su parte real L := M • RP n+1 se encuentra en el gráfico afín z0 6= 0 y está dada por
la ecuación
xd1 +.. + x
n+1 = 1,
donde xj := Re(zj/z0). Dado que d es par, L es una esfera n-dimensional. As
se explicó anteriormente, L es pesado con respecto a [M ] si n es uniforme
(y F = C) o n > 2d − 3 (y F = Z2). Sin embargo, en cualquiera de los dos casos L no es
superpesados con respecto a [M]. De hecho, vamos a hacer que Zd sea el grupo de complejos
raíces de la unidad. Dado un vector α = (α1,. ..................................................................................................
n+1, denotar por fα la
simplectomorfismo de M dado por
fα(z0 : z1 :. .. : zn+1) = (z0 : α1z1 :. .. : αn+1zn+1). 7)..................................................................................................................................................
Si todos los αj â ¬ C\R, entonces αjx /â € R siempre que x â € Râ € €, y por lo tanto fα(L)â € L = â €.
Por lo tanto, L es muy desplazable y la reclamación se deriva de la parte iii)
de Teorema 1.2.
El siguiente resultado da una condición suficiente de superpeso fácil de usar.
Teorema 1.18. Suponga que L es homológicamente no trivial en M y asuma
a QH2n(M) es un idempotente divisible distinto de cero por j([L]) en QH•(M), que
es un j([L])*QH•(M). Entonces L es superpesada con respecto a a.
La no trivialidad homológica de L en la hipótesis del teorema significa
sólo que [L] es un elemento Albers de L (véase el ejemplo 1.14). De hecho, la
teorema se puede generalizar a los casos cuando L tiene otros elementos Albers -
Véase la Observación 8.3 ii).
Ejemplo 1.19 (Esferas lagrangianas en cuadriciclos). Aquí trabajamos con F = C.
Que M sea la parte real del Fermat cuadrático M = z20 +
j=1 z
j = 0}.
Supongamos que n es par y L es un simple submanifold Lagrangian conectado
con una característica Euler no discontinua (por ejemplo: a Esfera lagrangiana). Bajo
Esta suposición, [L] H•(L) y j([L]) 6= 0, ya que L tiene autodesvanecimiento
intersección. Denotar por p • H*(M ;F) la clase de un punto. El cuántico
El anillo de homología de M fue descrito por Beauville en [8]. En particular, p * p =
w−2[M], donde w = snqn. Por lo tanto
a± :=
[M]± pw
son idempotentes. Uno puede mostrar que j([L]) divide a− y por lo tanto L es a−-
superpesado. Puesto que a- es invariante bajo la acción de Symp(M), el
L es fuertemente no desplazable.
Para simplificar, presentamos el cálculo en el caso n = 2 – el general
El caso es absolutamente análogo. El cuadrical de 2 dimensiones es simplectomórfico
a (S2 × S2, â € € ¬). Denotar por A y B las clases de [S2] × [punto] y
[punto] × [S2], respectivamente. Puesto que la forma simpléctica desaparece en j([L]) nosotros
obtener que j([L]) = l(B − A) con l 6= 0. Se sabe que A * B = p y
B*B = w−1[M ]. Por lo tanto j([L]) ∗ 1
wB = a−, es decir j([L]) divide a−.
En particular, el antidiagonal lagrangiano
S2 × S2 : x = −y},
que es difeomórfico a la 2-esfera, es superpesado con respecto a a-. Lo es.
no se sabe si es superpesada con respecto a a+. Información adicional
en superpesados submanifolds Lagrangian en los cuadriculos se puede extraer
a partir de [15].
Ejemplo 1.20 (Un toro Lagrangiano no pesado en S2 × S2). Con-
sider el cuadro M = S2 × S2 del ejemplo anterior. Pensaremos en
S2 a partir de la esfera de unidad en R3 cuya forma simpléctica es la forma de área dividida
por 4η. Vamos a trabajar de nuevo con F = C. Curiosamente, tal M
contiene un toro Lagrangiano monotona que no es pesado con respecto a a−.
Es decir, considere un submanifold K dado por ecuaciones4
K = (x, y) S2 × S2 : x1y1 + x2y2 + x3y3 = −
, x3 + y3 = 0}.
4Agradecemos a Frol Zapolsky su ayuda con los cálculos en este ejemplo.
Uno comprueba fácilmente que K es un toro monótono Lagrangiano con NK = 2
que representa un elemento cero en H2(M ;F) (ambos con F = C y F = Z2).
Así H•(K;F) no contiene ningún elemento de Albers. Además, K es
disjunto del antidiagonal lagrangiano y por lo tanto no es pesado con
a) ya que, como se ha demostrado anteriormente, • es superpesada con respecto a
a−. En particular, K es un toro monótono exótico: no es simplectomórfico
al toro de Clifford que es un tallo y por lo tanto un--superpesado. Otro
estudio de los toros exóticos en productos de esferas se está llevando a cabo actualmente por
Y.Chekanov y F.Schlenk.
Es un problema interesante para entender si K es superpesada con
respecto a a+, o al menos no desplazable. Identificar M \ {la diagonal} con
el paquete de co-bola de la unidad de la 2-esfera. Después de tal identificación, corre...
sponds a la sección cero, mientras que K corresponde a un Lagrangiano monotone
Torus, di K ′. Curiosamente, la homología Lagrangia Floer de K ′
en T ∗S2 (con F = Z2) no desaparece como lo demostraron Albers y Frauen-
felder en [3], y por lo tanto K no es desplazable en M \ {la diagonal}. Por lo tanto
la cuestión de la (no)-desplazabilidad de K está relacionada con la comprensión de la
efecto de la compactación del conjunto de co-bolas de la unidad a S2 × S2.
Las pruebas de los teoremas anteriores se basan en estimaciones espectrales debido a
Albers [2] y Biran-Cornea [15]. Además, los resultados anteriores admiten
varias generalizaciones en el marco de la teoría de Biran-Cornea de la cuántica
invariantes para los submanifolds monotónicos lagrangianos, véase [15] y la discusión
en la sección 8 infra.
1.6 Efecto de la semisimplicidad
Recuerde que un álgebra conmutativa (finito-dimensional) Q sobre un campo A es
llamado semi-simple si se divide en una suma directa de campos como sigue: Q =
Q1 â € TM..â € Qd, donde
• cada Qi Q es un subespacio lineal de dimensión finita sobre A;
• cada Qi es un campo con respecto a la estructura de anillo inducida;
• la multiplicación en Q respeta la división:
(a1,. .., ad) · (b1,......................................................... .., bd) = (a1b1,. ., adbd).
Un teorema clásico de Wedderburn (véase, por ejemplo, [66], §96) implica que la
simplicidad es equivalente a la ausencia de nilpotents en el álgebra.
Observación 1.21. Asumir que el K-álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra,
en una suma directa de dos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y dejar e
ser la unidad en ese campo. En particular, este es el caso cuando QH2n(M,
Q1â €...â € Qd es semi-simple y e es la unidad en uno de los campos Qi. Un poco.
generalización del argumento en [23, 46] (véase [24], la observación en pp. 56 a 57)
muestra que el cuasi-estado parcial asociado a e es R-homógeno
(y no sólo R+-homógeno como en el caso general).
Esto inmediatamente produce que cada conjunto que es pesado con respecto a e es
automáticamente superpesados con respecto a e.
De hecho, en esta situación es un verdadero cuasi-estado simplético en el sentido de
[23] y, en particular, un cuasiestado topológico en el sentido de Aarnes [1] (véase
[23] para más detalles). En [1] Aarnes demostró ser un análogo de la representación Riesz
teorema para cuasiestados topológicos que generalizan la correspondencia
entre los estados genuinos (es decir, las funciones lineales positivas en C(M)) y
medidas. El objeto que corresponde a un cuasi-estado se llama un cuasi-
medida (o una medida topológica). Con este lenguaje en su lugar, los conjuntos que
son (super)pesados con respecto a no son nada más que los conjuntos cerrados de la
Cuasi-medida completa . Cualquiera de estos dos conjuntos tiene que intersecar para el siguiente
razón básica: cualquier cuasi-medida es finitamente aditivo en subconjuntos cerrados disjuntos
y, por tanto, si dos subconjuntos cerrados de M de la cuasimedida completa no
intersecta, la cuasi-medida de su unión debe ser mayor que el total
casi-medida de M, lo cual es imposible.
Ejemplo 1.22. En este ejemplo volvemos a asumir que F = Z2. Dejar M =
El CP n estará equipado con la estructura simpléctica Fubini-Study, normalizada.
de modo que la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M) sea la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M)
avión. Uno verifica fácilmente el siguiente isomorfismo K-álgebra
QH2n(M) ≤ K[X ]/+X
n+1 − u−1®,
donde
K = Z2[[u] = {zku
k + zk−1u
k−1 +. .............................................
es el campo de la serie tipo Laurent en u := sn+1 con coeficientes en Z2 y
X = qA. Puesto que ninguna raíz de grado 2 o más de u−1 está contenida en K, la
el polinomio P es irreductible sobre K para cualquier n (véase, por ejemplo, [34], Teorema 9.1) y
por lo tanto QH2n(M) es un campo. De ahí las colecciones de pesados y superpesados
los conjuntos con respecto a la clase fundamental coinciden.
Alegamos que L := RP n + CP n es superpesada. El caso n = 1 cor-
responde al ecuador de la esfera, que se sabe que es un tallo estable.
Para n ≥ 2, tenga en cuenta que NL = n + 1 y S = [RP]
2] es un elemento de Albers de L.
Por lo tanto, L es [M]-pesada por Teorema 1.15, y por lo tanto superpesada.
El siguiente resultado sigue directamente de Teorema 1.3 iii) y Observación 1.21:
Teorema 1.23. Supongamos que QH2n(M) es semi-simple y se divide en un
suma directa de los campos d cuyas unidades serán denotadas por e1,. ., ed. Asumir que
un subconjunto cerrado X â € M es pesado con respecto a un idempotente no cero a – como
uno puede ver fácilmente, tal idempotente tiene que ser de la forma a = ej1+...+ejl
para unos 1 ≤ j1 <. .. < jl ≤ d. Entonces X es superpesada con respecto a algunos
eji, 1 ≤ i ≤ l.
El teorema produce la siguiente caracterización geométrica de no-semi-
simplicidad de QH2n(M). Es decir, definir el grupo Torelli simplés como el
grupo de todos los simplectomorfismos de M que inducen el mapa de identidad en
H•(M;F). Por ejemplo, este grupo contiene Symp0(M). Tenga en cuenta que cualquier ele-
del simplés grupo Torelli actúa trivialmente sobre la homología cuántica
de M y, por lo tanto, los mapas conjuntos (super)pesados con respecto a un idempotente a a
sets (super)pesados con respecto a a.
Ahora Teorema 1.23 implica fácilmente lo siguiente
Corolario 1.24. Supóngase que (M,) contiene un subconjunto cerrado X que es
pesado con respecto a un idempotente no cero y desplazable por un simplec-
tomorfismo del simplético grupo Torelli. Entonces QH2n(M) no es semi-
Simple.
Los ejemplos más simples son proporcionados por conjuntos de la forma Xa meridian}
en M × T2 con una X pesada.
Otro resultado en la misma vena es el siguiente5. Dado un conjunto Y de positivo
enteros, poner βY (M) =
i-Y βi(M), donde βi(M) significa el i-th Betti
número de M sobre F.
5En el caso F = C, el teorema 1.25 es condicional, ver la descargo de responsabilidad en el anterior
sección.
Teorema 1.25. Asumir que cualquiera de los siguientes (sin excluirse mutuamente)
las condiciones son las siguientes:
a) M contiene m > βY (M) + 1 monotono cerrado disjunto por pares La-
Submanifolds grangianos cuyos números mínimos de Maslov son mayores que n+1
y pertenecen a un conjunto Y de enteros positivos.
(b) M contiene un par de par desjuntos homológicamente no trivial Lagrangian sub-
sus clases fundamentales, consideradas como elementos (no nulos) de
H•(M ;F), son linealmente dependientes sobre F.
(En el caso F = C asumir que todos los submanifolds Lagrangian arriba son
también girar relativamente.)
Entonces QH2n(M) no es semi-simple.
La prueba se presenta en la sección 8.
Ejemplo 1.26. Por ejemplo, si todos los submanifolds Lagrangian de parte
(a) del teorema están simplemente conectados, sus números mínimos de Maslov son
igual a 2N, de modo que el conjunto Y consta de un elemento: Y = {2N}. Por lo tanto
si 2N > n + 1 y QH2n(M) es semisimple, M no puede contener más de
β2N(M)+ 1 par-desjunto simplemente-conectados Lagrangians (proporcionó todo de
son relativamente girar si trabajamos con F = C).
Ejemplo 1.27. Set F = C. Fix n ≥ 11 y un número par d de tal manera que
6 ≤ d < (n + 3)/2. Considerar una hipersuperficie de Fermat de grado d
M = zd0 + z
1 +... + z
n+1 = 0}
Como ya vimos en el ejemplo 1.17, el colector L := M • RP n+1 es un
Esfera n-dimensional lagrangiana. Considere las imágenes fα(L), donde sim-
los plectomorfismos fα se definen por (7). Tenga en cuenta que, siempre y cuando αj/βj 6= ±1
Para todas las j, las esferas lagrangianas fα(L) y fβ(L) son discontinuos. Usando esto
observación, es fácil encontrar d/2 esferas Lagrangian disjuntas en M.
El número mínimo de Chern N deM es igual a n+2-d, y así 2N se encuentra en la
intervalo [n+2, 2n−4]. En este caso β2N(M) = 1 (véase, por ejemplo, [31]). Desde d/2 > 2,
Concluimos del ejemplo anterior que QH2n(M) no es semi-simple.
Esta conclusión concuerda con el cálculo de QH*(M) por Beauville [8].
6Vea el ejemplo 1.14 para la definición. Como en ese ejemplo volvemos a asumir que todos nuestros
Los submanifolds lagrangianos están cerrados, monotonas y tienen un número mínimo de Maslov mayor
que 1.
Sería interesante encontrar ejemplos de colectores simpléticos donde el
homología cuántica no se conoce a priori y donde los teoremas anteriores son
aplicable. Mencionemos que las diferentes obstrucciones a la semi-simplicidad
de QH•(M) procedentes de submanifolds lagrangianos fueron encontrados recientemente por
Biran y Cornea [14].
1.7 Debate y preguntas abiertas
1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer?
Claramente, la deslocalización implica una deslocalización estable. Lo contrario no es
true, como muestra el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.28. Considerar el complejo espacio proyectivo CP n equipado con
la forma simpléctica Fubini-Study (en nuestra normalización el área de una línea
es igual a 1). Identificar la CP n con el corte simplético de la bola euclidiana B(1)
Cn (que es el límite de B(1) se colapsa a CP n−1 a lo largo de las fibras de
la fibración Hopf, véase [36], donde B(r) := z2 ≤ r}. Entonces B(r) â € ¢ CP n
i) Desplazables para r < 1/2;
ii) muy no desplazable, pero establemente desplazable, para r • [1/2, n/n+1];
iii) fuerte y estable no desplazable para r ≥ n/n+ 1.
Es instructivo analizar las técnicas involucradas en las pruebas:
el resultado de no desplazabilidad ii) es una consecuencia inmediata de Gromov
teorema de embalaje por dos bolas, que se prueba a través de la variante J-holomorphic
del teorema que afirma que existe una línea J-holomorphic en CP n
pasando por cualquier dos puntos. En el caso iii) la bola B(r) contiene la
Clifford Torus, que es establemente no desplazable. Esto es lo que se desprende de la
el hecho de que el toro de Clifford es un tallo (véase [10]), o de la no desaparición de su
Homología Lagrangian Floer [16].
La deslocalización de B(r) en i) se deriva de la construcción explícita
del embalaje de las dos bolas (véase [33]). La dislocabilidad estable en (ii) es un
consecuencia directa del teorema 1.7 anterior: En efecto, considerar la norma Tn-
acción sobre el CP n. El politopo del momento normalizado............................................................................................................................................
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
I ≤ 1 } en
Rn, donde (1,. .., ln) denotan las coordenadas en R
n, y w = − 1
(1,.., 1).
Nótese que la bola B(r) es igual a 1(r) donde r := r stand + w. Nota
que no contiene el origen exactamente cuando r ≤
que da lugar a la
Desplazabilidad estable en el inciso ii) supra.
Una característica misteriosa del Ejemplo 1.28 es la siguiente. Por un lado, nosotros
creen en el siguiente principio empírico general: cada vez que se puede establecer
la no-desplazabilidad de un subconjunto por medio de la teoría de la homología Floer,
se obtiene de forma gratuita la estabilidad de no-desplazabilidad. Por otro lado, nosotros...
, siguiendo una explicación filosófica proporcionada por Biran, que Gromov
El teorema de empaquetado de dos bolas puede extraerse de algunas “operaciones” en
Homología Floer. Ejemplo 1.28 muestra que al menos una de estas creencias es
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Sería interesante aclarar esta cuestión.
1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson
Se demostró en [23] que para cualquier Poisson-commutativo de dimensión finita
al menos una de las fibras de su mapa de momento Φ tiene que
ser no-desplazable.
Pregunta. ¿Es cierto que al menos una fibra de Φ tiene que ser pesada (con respeto
a algún idempotente que no sea cero un QH*(M)?
Es fácil construir un ejemplo de A cuyo mapa de momento Φ no tiene
fibras superpesadas: tomar T2 con las coordenadas p, q mod 1 en él y tomar A
ser el conjunto de todas las funciones lisas dependiendo solamente de p – el correspondiente
Φ define la fibración de T2 por meridianos, ninguno de los cuales es superpesado.
Esta es otra pregunta que se refiere a las fibras del hombre torico simplés.
ifolds, es decir. fibras de un mapa de momento Φ de una eficaz acción Hamiltoniana Tn
el (M2n, فارسى). Suponga que M es (esféricamente) monotona. Teorema 1.9 muestra que
en tal caso la fibra especial de M es superpesada, por lo tanto estable y fuerte
no desplazable. En todos los ejemplos donde se ha comprobado este turno
para ser la única fibra no desplazable de M.
Pregunta. Es la fibra especial para un monótono tórico simplético M siempre
¿Un tallo? En particular, es la única fibra no desplazable del momento
En el caso del monótono la fibra especial es claramente la única fibra pesada de
el mapa del momento, porque es superpesada y cualquier otra fibra pesada
han tenido que intersecarlo. Por otro lado, si consideramos un Hamiltonian Tk-
acción sobre M2n con k < n puede haber más de una fibra no desplazable
del mapa del momento – por ejemplo, debido a obstrucciones puramente topológicas:
la más simple acción Hamiltoniana T1-en CP 2 proporciona tal ejemplo. In
el caso de los colectores tóricos simpléticos monotónicos de dimensión superior a 4
La pregunta anterior está absolutamente abierta.
Después de la aparición del primer borrador de este documento, un progreso notable en este
la dirección se ha logrado en las obras de Cho [17] y Fukaya, Oh, Ohta
y Ono [28]: En particular, resulta que un simplés no monótono
colector torico puede tener más de una fibra no desplazable – esto sucede
ya para ciertas explosiones equivariantes de CP 2.
Organización del documento:
En la sección 2 probamos el teorema 1.7 que, en particular, declara que el
fibra especial de un toro comprimible acción es un tallo estable.
En la Sección 3 se resumen varios preliminares de la teoría de Floer, incluyendo
propiedades básicas de invariantes espectrales y cuasiestados simpléticos parciales. In
adicional deletreamos una propiedad útil del índice de Conley-Zehnder: es un
casi-morfismo en la cobertura universal del grupo simplés (ver Propo-
Situación 3.5). Para la integridad extraemos una prueba de esta propiedad de [54];
Alternativamente, se pueden utilizar los resultados de [19].
En la sección 4 demostramos las partes i) y iii) del Teorema 1.2 y el Teorema 1.3
sobre las propiedades básicas de los conjuntos (super)pesados.
En la sección 5 probamos Teorema 1.5 en productos de (super) sets pesados. Nuestro
enfoque se basa en una fórmula de producto bastante general para invariantes espectrales
(Teorema 5.1), que se demuestra por un argumento algebraico bastante largo.
En la sección 6 demostramos el teorema 1.2 ii) sobre la no-desplazabilidad estable de
subconjuntos pesados. El argumento implica una “versión de bebé” de los hombres arriba mencionados.
la fórmula del producto tionado.
En la Sección 7 demostramos sobrepeso de tallos estables.
En la Sección 8 reunimos las pruebas de varios resultados relacionados con
(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monotona satisfaciendo los Albers
condición, incluidos los teoremas 1.15, 1.18, 1.25 y la Proposición 1.4.
En la Sección 9 probamos Teorema 1.9 sobre la superpeso de las fibras especiales de
Acciones de toros Hamiltonianos sobre colectores simpléticos monotónicos. La prueba es
bastante involucrado. De hecho, dos trucos nos permitieron acortar nuestro
En primer lugar, utilizamos la transformación de Fourier en el espacio de rápida decadencia
funciones sobre la Lie coargebra del toro para reducir el problema
al caso de las acciones del círculo Hamiltoniano. En segundo lugar, utilizamos sistemáticamente el
casi-morfismo propiedad del índice de Conley-Zehnder para el calcu asintótico-
Laciones con invariantes espectrales Hamiltonianos. Finalmente, en la Sección 9.1 probamos
Teorema 1.13.
En la figura 1 se resume la jerarquía de las propiedades no desplazables
maldecidos arriba.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
MHierarchy de las propiedades de no-desplazabilidad de un subconjunto cerrado de
Pesado
aidempotente
Superpesado
idempotente a
con un no-cero con un no-cero
3) 4) 5) (6)
acción sobre una esféricamente
acción de los toros sobre un (no
un hamiltoniano comprimible
necesariamente monotona)
Fibra especial de
monotona M
Siempre es verdad.
Verdadero bajo ciertas condiciones (ver abajo)
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Monotona
Lagrangian
submanifold L
(14) (15)
(17) (18)
21) (22)
(16 b)
Producto de la codimensión-1
esqueletos de multa
triangulaciones
Fuertemente.
no desplazables
un toro hamiltoniano
No desplazables
una isotopía simpléctica
No desplazable por
wrt [M]
Pesado
(16a)
Superpesado
wrt [M]
Tallo estable
Estable
no desplazables
Cero fibra de
Figura 1: Jerarquía de las propiedades no desplazables
(1),(2),(6),(19) - Trivial.
(3) Verdadero si a es invariante bajo la acción de todo el grupo Symp (M) –
Teorema 1.2, parte iii).
4), 9) Teorema 1.2, parte iii).
(5) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – ver corolario 1.24.
(7a) Verdadero si el álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra, en una suma directa de
dos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y a es el elemento de unidad en
ese campo – véase la Observación 1.21.
(7b), (16b) Teorema 1.2, parte i).
8) Teorema 1.2, parte ii).
(10) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L).
(11) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – vea el corolario 1.24.
(12) Teorema 1.3, parte i).
13) Teorema 1.3, parte ii).
(14) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L) con a = [M ] – es decir: j(L)
es invertible en QH•(M).
(15) L cumple la condición de Albers – ver Teorema 1.15.
(16a) Verdadero si QH2n(M) es un campo – ver Observación 1.21.
(17) Teorema 1.6.
(18) Teorema 1.9.
(20) Teorema 1.7.
(21) ¿Es siempre un tallo la fibra especial para un átrico simplético monótono M?
Véase la sección 1.7.2.
(22) Verdadero si M es esféricamente monotona y la acción del toro es comprimible
– Véase la Observación 1.11.
(23) Véase [23].
2 Detectar la desplazabilidad estable
Para detectar la desplazabilidad estable de un subconjunto de un colector simplético nosotros
usará el siguiente resultado (cf. [48, cap. 6]).
Teorema 2.1. Que X sea un subconjunto cerrado de un colector simplético cerrado
(M.A.). Supongamos que existe un bucle contráctil de diffeo hamiltoniano.
morfismos de (M.o) generados por un hamiltoniano regularizado del tiempo-periódico
Ht(x) de manera que Ht(x) 6= 0 para todos los t â € [0, 1] y x â € X. Entonces X es estable.
Desplazable.
Prueba. Denotar por ht el bucle Hamiltoniano generado por H. Let h
no es su
homotopía al bucle constante: h
t = ht y h
t = 1. Escribir H
s)x, t) para
los correspondientes Hamiltonianos normalizados. Consideremos la familia de los dif-
morfismos de M × T
∗S1 dada por
(x, r, ) = (h)
x, r −H
s)h
* x, *), *)......................................................................................................................................................
Uno comprueba fácilmente que el "s", s [0, 1], es una isotopía Hamiltoniana (no com-
en el marco de un pacto de apoyo). Alegamos que el 1 desplaza Y := X × {r = 0}. De hecho,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
suposición del teorema. Esto completa la prueba.
Prueba de Teorema 1.7: Elija un funcional lineal F : Rk → R con
coeficientes racionales que es estrictamente positivo en Y. Entonces para un poco de suffi...
el número entero positivo N el Hamiltoniano H:= NF genera un
acción contráctil círculo Hamiltoniano en M y H es estrictamente positivo en
X := 1(Y ). Por lo tanto, X es establemente desplazable en vista de la teo-
3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer
3.1 Valoración de QH*(M)
Definir una función ν : K →
(+) = máx{ + + + z + 6 = 0}. = máx{ + z + 6 = 0 = 0 }.
La convención es la siguiente: En términos algebraicos, exp / es un non-
Valor absoluto arquimedeano en K.
La función / admite una extensión natural a la letra a) y, a continuación, a la letra a) del apartado M) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) del apartado 1 de la letra b) del apartado 1 de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra
abusar de la notación que vamos a denotar todos ellos por. Es decir, cualquier elemento
puede ser representado de forma única como...........................................................................................................................................................................................................................................................
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
A donde pertenece cada uno de ellos.
a F [q, q−1], y cualquier no-cero a QH*(M) puede ser representado como
i Łibi, 0 6= Łi, 0 6= bi H*(M;F). Definir
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
6 = 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
/(a) := máx.
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.
3.2 Teoría de Hamilton Floer
Recordamos brevemente la notación y las convenciones para el establecimiento de la Hamilto-
Nian Floer teoría que se utilizará en las pruebas.
Que L sea el espacio de todos los bucles contractibles suaves γ : S1 = R/Z → M.
Vamos a ver tal γ como un mapa 1-periódico γ : R → M. Dejar D2 ser el
unidad de disco estándar en R2. Considerar una cubierta de L de L cuyos elementos son
clases de equivalencia de pares (γ, u), donde γ L, u : D2 → M, uD2 = γ (i.e.
u(e2π)
−1t) = γ(t)), es un disco (por pieza liso) que abarca γ en M y el
la relación de equivalencia se define de la siguiente manera: (γ1, u1) (γ2, u2) si y sólo si γ1 =
γ2 y la 2-esfera u1#(−u2) desaparece en H
2 (M). La clase de equivalencia de
un par (γ, u) será denotado por [γ, u]. El grupo de transformaciones de cubierta de
la cubierta L → L puede identificarse naturalmente con HS2 (M). Un elemento
A HS2 (M) actúa por la transformación
A([γ, u]) = [γ, u#(−A)]. (8)
Let F :M× [0, 1] → R ser una función Hamiltoniana (que es temporal-periódico
como siempre asumimos). Set Ft := F (·, t). Denotaremos por pies el Hamiltoniano
flujo generado por F, es decir, el flujo del Hamiltoniano dependiente del tiempo
campo vector Xt definido por la fórmula
•(·, Xt) = dFt(·) •t.
(¡Tenga en cuenta nuestra convención de la firma!)
Que el PF sea el conjunto de todas las órbitas contráctiles 1-periódicas del Hamilto-
flujo nian generado por F, es decir, el conjunto de todos los γ • L tales que γ(t) = ft(γ(0)).
Denote por la F.P. el ascensor completo de PF a L.P.
Denotar por Fix (F ) el conjunto de los puntos fijos de f que son puntos finales de
órbitas periódicas contráctiles del flujo:
Fix (F ) := {x M PF, x = γ(0)}.
Decimos que F es regular si para cualquier x - Fix (F) el mapa dxf : TxM → TxM
no tiene valor propio 1.
Recordemos que la acción funcional se define en Lс por la fórmula:
AF ([γ, u]) =
F (γ(t), t)dt−
Tenga en cuenta que
AF (Ay) = AF (y) + A(A) (9)
para todos los y â € € € € TM y A â € HS2 (M).
Para un regular Hamiltonian F definir un espacio vectorial C(F) sobre F como el
conjunto de todas las sumas formales
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
modulo las relaciones
Ay = s(A)q−c1(A)y,
para todos y â € € TM, A â € TM H
2 (M). La clasificación en........................................................................................................................................
El índice de Zehnder sobre los elementos de la PF (véase la sección 3.3) define un grado Z en
C(F). Denotaremos el componente de grado i-th por Ci(F ).
Dado un bucle {Jt},
1, de las estructuras casi complejas compatibles con los requisitos de la letra a),
definir una métrica Riemanniana en L por
(+1, +2) =
(l) (t), (t) (t) (t) (t) (t), (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)
en la que se citan los puntos 1, 2 y 3 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo y se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. Elevar esta métrica a Lś y considerar el gradiente negativo
flujo de la acción funcional AF. Para una elección genérica del Hamiltoniano
F y el bucle {Jt} (como un par (F, J) se llama regular) el con-
lated gradiente trayectorias que conectan puntos críticos de AF da lugar en el
método estándar [26], [32], [58] a un diferencial de tipo Morse
d : C(F ) → C(F ), d2 = 0. (10)
El diferencial d es lineal y tiene el grado graduado −1. Estrictamente de-
Redobla la acción. La homología, definida por d, se llama la homología Floer
y será denotado por HF* (F, J). Es un modulo. Diferentes opciones de una
par regular (F, J) conducen a isomorfismos naturales entre la homología de Floer
grupos.
La siguiente propuesta resume algunas propiedades algebraicas básicas de
Complejos Floer y homología Floer que serán importantes para nosotros más adelante.
La prueba es directa y la omitimos.
Proposición 3.1.
1) Cada Ci(F) y cada HFi(F, J), i + Z, es un vector finito-dimensional
espacio sobre K.
2) Multiplicación por q define los isomorfismos Ci(F) → Ci+2(F) y
HFi(F, J) → HFi+2(F, J) de espacios K-vector.
3) Para cada i â € Z existe una base de Ci(F) sobre K que consiste en la
los elementos de la forma ql[γ, u], con [γ, u]
4) Una colección finita de los elementos de la forma ql[γ, u], [γ, u]
En C0(F ) C1(F ) es una base del espacio vectorial C0(F ) C1(F ) sobre el campo
K si y sólo si se trata de una base del módulo C(F) sobre el anillo.
3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov
En esta sección esbozamos brevemente la definición y recordamos la
los vínculos del índice de Conley-Zehnder que se refieren a [54, 58, 57] para más detalles. En par-
ticular, mostramos que el índice de Conley-Zehnder es un cuasi-morfismo en el
cubierta universal S‡p (2k) del grupo simplés Sp(2k) (véase la Proposición 3.5)
abajo), un hecho que será útil para los cálculos asintóticos con Floer
homología en las siguientes secciones. Hay varias rutas que conducen a este hecho,
que es bastante natural, ya que todos los cuasimorfismos homogéneos en Sœp (2k) son
proporcional, y por lo tanto el mismo cuasi-morfismo admite bastante diferente
definiciones [7]. Extraemos la propiedad cuasi-morfismo del papel de
Robbin y Salamon [54] al reunir varias declaraciones contenidas
En ella7.
El índice Conley-Zehnder asigna un número a cada uno [γ, u]. Orig...
inally el índice Conley-Zehnder fue definido sólo para los Hamiltonianos regulares
[18] – en este caso es valorado en número entero y da lugar a una clasificación de la ho-
grupos de teología en la teoría de Floer. Más tarde, la definición se amplió en diferentes
formas de diferentes autores a los hamiltonianos arbitrarios. Usaremos un ex-
tensión introducida en [54] (véase también [57, 58]). En este caso, el Conley-Zehnder
índice puede tomar también los valores de medio entero.
Que k sea un número natural. Considere el espacio vectorial simplés R2k
con una forma simpléctica de 2k en él. Denota por p = (p1,. .., pk), q = (q1,. .., qk)
las coordenadas correspondientes de Darboux en el espacio vectorial R2k.
7Agradecemos a V.L. Ginzburg para estimular discusiones sobre el material de esta sección.
Índice de Robbin-Salamon de rutas lagrangianas: Let V R2k ser un
Subespacio lagrangiano. Considere el Lagr (k) de Grassmann de todos los lagrangianos
subespacios en R2k y considerar la hipersuperficie Lagr (k) formado por todos
los subespacios lagrangianos que no son transversales a V. A tal V y
a cualquier trayectoria lisa {Lt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Lagr (k) Robbin y Salamón [54]
asociar un índice, que puede tomar valores enteros o medios enteros y que
denotaremos por RS({Lt}, V ). La definición del índice puede ser esbozada
del siguiente modo.
Un número t [0, 1] se llama un cruce si el Tte. A cada cruce t uno
asocia una determinada forma cuadrática Qt en el espacio L(t) V – véase [54] para
la definición precisa. El cruce t se llama regular si la forma cuadrática
Qt no es degenerado. El índice de tal cruce regular t se define como el
firma de Qt si 0 < t < 1 y como la mitad de la firma de Qt si t = 0, 1.
Uno puede demostrar que los cruces regulares están aislados. Para una ruta {Lt} con sólo
cruces regulares el índice RS({Lt}, V ) se define como la suma de los índices
de sus cruces. Una ruta arbitraria puede ser perturbada, manteniendo los puntos finales
fija, en un camino con sólo cruces regulares y el índice de la perturbada
camino no depende de la perturbación – de hecho, depende sólo de la
endpoints fijos clase homotopy de la ruta. Además, es aditivo con
respeto a la concatenación de caminos y satisface la propiedad de la naturalidad:
RS({ALt}, AV ) = RS({Lt}, V ) para cualquier matriz simpléctica A.
Índices de caminos en Sp (2k): Considere el grupo Sp (2k) de simplés
2k × 2k-Matrices. Denotar por Sûp (2k) su cubierta universal. Uno puede usar el
índice RS con el fin de definir dos índices sobre el espacio de rutas lisas en
Sp (2k).
El primer índice, denotado por Ind2k, se define como sigue. Arreglar un lagrangiano
subespacio V+R2k. Para cada trayectoria lisa {A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir
Ind2k ({a}, V ) como
Ind2k ({En}, V ) := RS({EnV}, V ).
La naturalidad del índice RS implica que
RS({BAtB
−1(BV )}, BV ) = RS({BAtV )}, BV ) =
= RS({AtV )}, V ) para cualquier B • Sp (2k)
y así obtenemos la siguiente condición de naturalidad para Ind2k:
Ind2k ({BAtB)
−1}, BV ) = Ind2k ({A}, V ) para cualquier B • Sp (2k). (11)
El segundo índice, que llamaremos el índice Conley-Zehnder de una matriz
ruta y que será denotado por CZmatr, se define como sigue. Para cada una de ellas
A Sp (2k) denotar por GrA la gráfica de A que es un subespacio lagrangiano
del espacio vectorial simplés R4k = R2k×R2k equipado con el espacio vectorial simplés
Estructura: 4k=2k=2k=2k. Denotar por la diagonal en R
4k = R2k × R2k
– es un subespacio lagrangiano con respecto a 4k. Ahora para cualquier camino suave
{A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir CZmatr como
CZmatr({A}):= RS({GrAt},
Equivalentemente, se puede definir CZmatr({At}) similar al índice RS por look-
en las intersecciones de {A(t)} con la hipersuperficie • • Sp (2k) formada
por todas las matrices simpléticas de 2k×2k con valor propio 1 y traduciendo el
nociones de un cruce regular y la forma cuadrática correspondiente a este
Prepárate.
Ambos índices Ind2k ({A}, V ) y CZmatr({A}) dependen sólo de la
endpoints homotopy class of the path {At} y son aditivos con respecto a
la concatenación de las sendas en Sp (2k). La relación entre los dos índices
es el siguiente. Denotar por I2k la matriz de identidad 2k × 2k. Dado un suave
ruta {At}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), set Ât := I2k â € A â € Sp (4k). Entonces
CZmatr({A}) = Ind4k(t}, (12)
Observación 3.2. Tenga en cuenta que cerca de cada W â € ¢ V existe una coordenada local
gráfico (en Lagr (k)) en el que ŁV se puede definir por una ecuación algebraica de
grado limitado desde arriba por una constante C dependiendo sólo de k y W.
Por otra parte, puesto que para cualquier V, V ′ Lagr (k) existe un difeomorfismo de
Lagr (k) mapeo de V en V ′ podemos asumir que C = C(k) es independiente
de W y depende sólo de k. Por lo tanto para cualquier V, para cualquier punto W
y para cualquier barrio suficientemente pequeño abierto UW de W en Lagr (k) la
número de componentes conectados de UW \(UW V ) está limitado por una constante
dependiendo sólo de k.
Usando estas observaciones y el hecho de que los cruces regulares están aislados
es fácil demostrar que existe una constante C(k), dependiendo sólo de k, tales
que para cualquier subespacio Lagrangiano V â R2k y cualquier camino {A} â Sp (2k),
0 ≤ t ≤ 1, existe un > 0 tal que para cualquier trayectoria lisa {A′t} • Sp (2k),
0 ≤ t ≤ 1, que es -cerca de {En} en la C
0-métrico, uno tiene
Ind2k({En}, V)−Ind2k({A)
t}, V < C(k),
CZmatr({En})− CZmatr({A)
t < C(k).
Teorema de leray en el índice Ind2k: El siguiente resultado es
Teorema 5.1 en [54] que Robbin y Salamon acreditan a Leray [35], p.52.
Nota de L el lagrangiano (q1,. .., qk)-plano de coordenadas en R
2k. Cualquier sim...
matriz pléctica S • Sp (2k) se puede descomponer en k × k bloques como
cuando los bloques satisfagan, en particular, la condición de que:
EF T − FET = 0. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
En caso de que SL • L = 0, la k × k-matrix F sea invertible y se multiplique (13)
por F−1 a la izquierda y (F T )−1 = (F−1)T a la derecha, obtenemos ese F−1E −
ET (F−1)T = 0. Por lo tanto la matriz QS := F
−1E es simétrico.
Teorema 3.3 ([54], Teorema 5.1; [35], p.52). Asumir {a}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1,
son dos caminos lisos en Sp (2k), de tal manera que A0 = B0 = I2k y A1L + L = 0,
B1L • L = 0, A1B1L • L = 0. Entonces
Ind2k({AtBt}, L) = Ind2k({At}, L) + Ind2k({Bt}, L) +
signo (QA1 + QB1),
donde el signo (QA1 + QB1) es la firma del formulario cuadrático definido por el
k × k-matriz QA1 + QB1.
Corolario 3.4. Que V sea cualquier subespacio Lagrangiano de R2k. Entonces existe
una constante positiva C, dependiendo sólo de k, de tal manera que para cualquier camino liso
{Xt}, {Yt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), de manera que X0 = Y0 = I2k (no hay
suposiciones en X1, Y1!),
Ind2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C.
Prueba. Escribiremos C1, C2,. .. para las constantes positivas (posiblemente diferentes) de-
pendiente sólo en k.
Escoja un mapa • • Sp (2k) de tal manera que • V = L. Denote At = • Xt
Bt =
−1. Tenga en cuenta que las rutas {A}, {Bt} se basan en la identidad.
Usando la propiedad de la naturalidad (11) de Ind2k obtenemos
Ind2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =
= Ind2k(XtYt
− 1},~ V )− Ind2k(Xt
− 1},~V)−
−Ind2k(Yt
- 1},~ V ) =
= Ind2k({(
−1)(•Yt•
− 1)}, L)− Ind2k(Xt
− 1}, L)−
−Ind2k(Yt
−1}, L) =
= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L).
Ind2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =
= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L). (14)
Más adelante, la Observación 3.2 implica que podemos encontrar una identidad suficientemente cercana a C0.
perturbaciones basadas {A′t}, {B
t} de {A}, {B} tales que
A′1L • L = 0, B
1L • L = 0, A
1L • L = 0. (15)
Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L)
Ind2k({A)
t}, L)− Ind2k({A)
t}, L)− Ind2k({B
t}, L) < C1, (16)
para un poco de C1. Por otra parte, desde los tres caminos basados en la identidad {A
{B′t}, {A
t}, satisfacer las condiciones (15), podemos aplicar a ellos Teorema 3.3.
Por lo tanto existe C2 tal que
Ind2k({A)
t}, L)− Ind2k({A)
t}, L)− Ind2k({B
t}, L) < C2.
Combinando con (14) y (16) obtenemos que existe C3 tal que
Ind2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C3,
que termina la prueba.
Índice de Conley-Zehnder como cuasimorfismo: Recordar que 2n = dimM.
Restringiendo CZmatr a las rutas basadas en la identidad en Sp (2n) se obtiene una función
en la página (2n) que todavía será denotado por CZmatr.
Proposición 3.5 (cf. [19]). La función CZmatr : Sśp (2n) → R es un cuasi-
Morfismo. Significa que existe una constante C > 0 tal que
CZmatr(ab)− CZmatr(a)− CZmatr(b) ≤ C
Prueba. Representar a y b por rutas basadas en la identidad {En}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1, en
Sp (2n). A continuación, utilice (12) y aplique el corolario 3.4 para k = 2n, V = a t},
{B}t} en Sp (4n).
Índice Maslov de bucles simpléticos: El índice Conley-Zehnder para
Los bucles basados en identidad en Sp (2n) se llaman el índice Maslov de un bucle. Su
definición original, volviendo a [4], es la siguiente: es la intersección
número de un bucle basado en la identidad con la hipersuperficie estratificada
El estrato principal está equipado con una cierta coorientación. Tenga en cuenta que lo hacemos
no dividir el número de intersección por 2 y por lo tanto en nuestro caso el índice de Maslov
toma sólo valores pares; por ejemplo, el índice de Maslov de un sentido contrario a las agujas del reloj
2η-twist de la R2 simpléctica estándar es 2. Denotamos el índice Maslov de
un bucle {B(t)} de Maslov ({B(t)}).
Índices de órbitas periódicas de Conley-Zehnder y Maslov:
Índice de ley-Zehnder para órbitas periódicas se define por medio de la Conley-
Índice de Zehnder para rutas de matriz de la siguiente manera. Teniendo en cuenta [γ, u]
ruta basada en la identidad {A(t)} en Sp (2n)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
flujo linealizado dγ(0)ft, 0 ≤ t ≤ 1, junto con γ con una matriz simpléctica
{A(t)}. Entonces el índice de Conley-Zehnder CZF ([γ, u]) se define como
CZF ([γ, u]) := n− CZmatr ({A(t)}). (17)
Con tal normalización de CZF para cualquier C
2-pequeño autónomo
Morse Hamiltonian F, el índice de Conley-Zehnder de un elemento de P
resentida por un par [x, u] que consiste en un punto crítico x de F (visto como un
ruta constante en M) y el disco trivial u, es igual al índice de Morse de
x. Tenga en cuenta que con tal normalización CZF (Sy) = CZF (y)+2
c1(M) para
todos los y â € € € TM € € € TM € TM € TM € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
2 (M).
Del mismo modo, si el flujo de tiempo-1 generado por F define un bucle en Ham(M) entonces
a cada uno [γ, u] â € € ¢ F se puede asociar su índice de Maslov. Es decir, trivializar el
paquete u*(TM) sobre D2 e identificar el flujo linealizado {dxft} a lo largo de γ con
un bucle basado en la identidad de matrices simpléticas 2n × 2n. Definir el Maslov
índice mF ([γ, u]) como el índice Maslov para el bucle de matrices simplécticas.
En el marco de la acción HS2 (M) sobre la PF, el índice de Maslov cambia de la siguiente manera:
mF (S · [γ, u]) = mF ([γ, u])− 2
c1(M), S-H
2 (M).
Hagamos la siguiente observación. Asumir γ PF y asumir que un
banalización simpléctica del haz (TM) sobre S1 identifica {dγ(0)ft}
con una trayectoria basada en la identidad {A(t)} de matrices simpléticas. Supón que está ahí.
es otra trivialización simpléctica del mismo paquete, coincidiendo con el
el primero en γ(0), y denotar por {B(t)} el bucle de transición basado en la identidad
matrices desde la primera trivialización simpléctica hasta la segunda. Usar la
segunda trivialización para identificar {dγ(0)ft} con una ruta basada en la identidad {A
′(t)}.
CZmatr ({A)
′(t)}) = CZmatr ({A(t)}) +Maslov ({B(t)}), (18)
y si {A(t)} es un bucle entonces es {A′(t)} y
Maslov ({A′(t)} = Maslov ({A(t)}) + Maslov ({B(t)}). (19)
3.4 Números espectrales
Dada la configuración algebraica como arriba, la construcción del Piunikhin-Sala-
El isomorfismo mon-Schwarz (PSS) [47] produce un isomorfismo lineal (PSS-
Isomorfismo) M : QH*(M) → HF*(F, J) que preserva la clasificación y
que es en realidad un anillo isomorfismo (el producto par de pantalones define un anillo
estructura sobre HF* (F, J)).
Usando el PSS-isomorfismo se definen los números espectrales c(a, F),
donde 0 6 = un QH*(M), de la manera habitual [45]. Es decir, la acción funcional
AF define una filtración en C(F) que induce una filtración HF
* (F, J),
HF*(F, J), con HF
* (F, J) • HF
* (F, J) siempre que α < β. Entonces
c(a, F ) := inf â € € € € M(a) â € € € €
* (F, J)}.
Tal número espectral es finito y bien definido (no depende de J). Toma.
es una breve descripción de las propiedades relevantes de los números espectrales – para más detalles
Véase [45] (véase también [65, 42, 59, 43] para versiones anteriores de esta teoría).
(Espectralidad) c(a,H) • spec (H), donde la especificación del espectro (H) de H es
definido como el conjunto de valores críticos de la acción funcional AH, es decir,
spec (H):= AH(P
(Propiedad de desplazamiento de la homología de quantum) c(l,H) = c(l,H) + (l) para todos
En el caso de que se trate de una tasación definida en la sección 3.1.
(propiedad de desplazamiento hamiltoniano) c(a,H + (t)) = c(a,H) +
(t) dt para
cualquier Hamiltonian H y función : S1 → R.
(Monotonicidad) Si H1 ≤ H2, entonces c(a,H1) ≤ c(a,H2).
(Propiedad Lipschitz) El mapa H 7→ c(a,H) es Lipschitz en el espacio de
(dependiendo del tiempo) Hamiltonians H : M × S1 → R con respecto a la
C0-norm.
(invarianza simpléctica) c(a, H) = c(a, H) por cada
H (M); más generalmente, Symp (M) actúa sobre H* (M ;F), y por lo tanto
sobre QH*(M), y c(a,
∗H) = c(a,H) para cualquier síntoma (M). • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(Normalización) c(a, 0) = ν(a) por cada • QH*(M).
(Invarianza de Homotopy) c(a,H1) = c(a,H2) para cualquier H1, H2 normalizado
la generación de la misma Hśam (M). Por lo tanto, se puede definir c(a, ♥) para cualquier
Para cualquier generación normalizada de H, H (M) como c(a, H).
(Desigualdad triángulo) c(a ∗ b, ) ≤ c(a,
El anillo conmutativo QH•(M) admite una forma K-bilineal y K-valuada
sobre QH•(M) que se asocia a un par de clases de homología cuántica a, b
QH•(M) el coeficiente (perteneciente a K) en la clase [punto] = [punto] · q
a punto en su producto cuántico a * b • QH•(M) (la estructura Frobenius).
Let : K → F ser el mapa que envía cada serie
* * * * *, * * * * *, * * *, * * * * F, * *, * * a su libre, * *, * * a su libre, * *, *
Término z0. Definir un emparejamiento no degenerado F -valuado F -lineal en QH•(M) por
Π(a, b) := (a, b) = (a ∗ b, [M ]). (20)
Nótese que Π es simétrico y
Π(a ∗ b, c) = Π(a, b ∗ c) (21)
Con esta noción a la mano, podemos presentar otra propiedad importante de
Números espectrales:
(Poincaré duality) c(b, ) = − infa(b) c(a,
−1) para todos los b • QH•(M) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
y.................................................................................................. Aquí (b) denota el conjunto de todo un QH•(M) con Π(a, b) 6= 0.
La dualidad de Poincaré se puede extraer de [47] (cf. [22]) – Para una prueba véase
[46].
La siguiente propiedad es una consecuencia inmediata de las definiciones (véase [22]
para una discusión en el caso monotono:
(Propiedad exponente característica) Dado 0 6=
a, b, a + b 6= 0, y a (dependiendo del tiempo) Hamiltonian H, uno tiene
c( · a,H) = c(a,H) y c(a+ b,H) ≤ max(c(a,H), c(b,H)).
3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales
Teniendo en cuenta un idempotente distinto de cero un QH2n(M) y un Hamil-
toniano H :M → R, definir
(a,H) := lim
c(a, lH)
. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Cuando una es fija, a menudo abreviaremos •(H) en lugar de •(a,H). El límite
en la fórmula (22) siempre existe y, por lo tanto, el funcional.......................................................................................................................................................................................................................................................
bien definido. El funcional de la "C" es Lipschitz con respecto a la C0-
norma H = maxM H y por lo tanto se extiende a un funcional : C(M) → R,
donde C(M) es el espacio de todas las funciones continuas en M. Estos hechos fueron
probado en [23] en el caso a = [M ] pero las pruebas realmente pasan por cualquier
Ídempotente no cero a QH2n(M).
Aquí vamos a enumerar las propiedades de • para tal M. De nuevo, estos proprie-
se probaron en [23] en el caso a = [M ] pero la prueba pasa por
cualquier idempotente distinto de cero a QH2n(M). La aditividad con respecto a la
propiedad de stants no estaba explícitamente enumerado en [23], pero sigue inmediatamente de
la definición de la propiedad de los números espectrales y el cambio Hamiltoniano.
La desigualdad del triángulo se deriva fácilmente de la definición de
desigualdad triangular para los números espectrales.
Teorema 3.6. El funcional : C(M) → R satisface los siguientes prop-
erties:
Semi-homogeneidad: (αF ) = (F ) para cualquier F y cualquier α-R≥0.
Desigualdad del triángulo: Si F1, F2 o C
(M), {F1, F2} = 0 a continuación (F1 + F2) ≤
(F1) + (F2).
Aditividad parcial y desaparición: Si F1, F2 + C
(M), {F1, F2} = 0 y la
soporte de F2 es desplazable, a continuación, •(F1 + F2) = •(F1); en particular, si el
el soporte de F • C(M) es desplazable, • (F) = 0.
Aditividad con respecto a las constantes y normalización: (F ) = (F )
para cualquier F y cualquier α â € R. En particular, â € (1) = 1.
Monotonicidad: ≤ (F ) ≤ (G) para F ≤ G.
Invarianza simpléctica: •(F) = •(F) •(f) para cada difeomorfismo simpléctico
f) Symp0 (M).
Característica de la propiedad exponente: (a1+a2, F ) ≤ max(a1, F ), (a2, F ) para
cada par de idempotentes no cero a1, a2 con a1 ∗ a2 = 0, a1+ a2 6= 0 (en este
el caso a1 + a2 es también un idempotente distinto de cero), y para todos los F + C(M).
Llamaremos al funcional : C(M) → R satisfaciendo todas las propiedades
enumerado en Teorema 3.6 un cuasi estado simplético parcial.
4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados
En esta sección demostramos las partes (i) y (iii) del Teorema 1.2, así como la
orem 1.3. Usaremos que un cuasi-estado simplético parcial se extiende por
continuidad en la norma uniforme a un monótono funcional en el espacio de
funciones continuas C(M), véase la sección 3.5 supra. En particular, se puede
utilizar funciones continuas en lugar de las suaves en la definición de (su-
por)peso en las fórmulas (3) y (4).
Suponga que se fija un cuasiestado parcial definido por un idempotente distinto de cero
y consideramos pesadez y superpeso con respecto a................................................................................................................. Comenzamos
con la siguiente elemental
Proposición 4.1. Un subconjunto cerrado X • M es pesado si y sólo si por cada
H (M) con H(X) = 0, H (H) ≤ 0 Un subconjunto cerrado
X M es superpesada si y sólo si por cada H C • M con H = 0,
H ≥ 0 una persona presenta un intervalo de tiempo de 0 a 0.
Prueba. Las partes “solo si” siguen fácilmente de la propiedad de la monotonicidad de
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Demostremos la parte “si” en el “caso pesado” – el caso “superpesado” es
similar. Tomar una función H en M y poner
F = min(H − inf
H, 0).
Nótese que F X = 0 y F ≤ 0. Por lo tanto (F ) = 0 por la suposición de la
Proposición. Por lo tanto
0 = (F ) ≤ (H − inf
H) = فارسى(H)− inf
que produce pesadez de X.
La siguiente proposición prueba la parte i) del Teorema 1.2.
Proposición 4.2. Cada juego superpesado es pesado.
Prueba. Let X â € ¢ M ser un subconjunto superpesado. Supongamos que HX = 0, H ≤ 0.
Por la desigualdad del triángulo para.... tenemos...................................................................................... Tenga en cuenta que
−HX = 0, −H ≥ 0. Los rendimientos de la superpeso (−H) ≤ 0, así que ≤(H) ≥ 0. Pero
por monotoniicidad (H) ≤ 0. Por lo tanto, el valor de la reclamación es 0 y la reclamación se deriva de:
Proposición 4.1.
Los juegos superpesados tienen la siguiente propiedad fácil de usar.
Proposición 4.3. Deja que X-M sea un juego superpesado. Entonces por cada α â € TM TM R
y H °C(M) con HX • α uno tiene •(H) = α.
Prueba. Dado que el término «H» + «α» = «H» + «α», basta con demostrar la
α = 0. Tome cualquier función H con HX = 0. Dado que X es superpesada y, por
Proposición 4.2, también pesado, tenemos
0 = (H) ≤ (H) ≤ (H) = 0,
que produce •(H) = 0.
Como consecuencia inmediata obtenemos parte (iii) del Teorema 1.2.
Proposición 4.4. Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado.
Prueba. Deja que X sea un conjunto superpesado y Y sea un conjunto pesado. Asumir en el
Al contrario que X â € Y = â € €. Tomar una función H ≤ 0 con HY فارسى 0 y
HX-−1. A continuación, en la Proposición 4.3, el punto H = −1. Por otra parte,
(H) = 0 ya que Y es pesado, y obtenemos una contradicción.
Tenga en cuenta que dos conjuntos pesados no necesariamente se cruzan entre sí: un meridiano
de T2 es pesado (véase el corolario 6.4 más abajo), mientras que dos meridianos pueden ser desarticulados.
Prueba del teorema 1.3 i) y ii): la desigualdad triangular produce
c(a,H) = c(a ∗ [M], 0 +H) ≤ c(a, 0) + c([M ], H) = v(a) + c([M ], H).
Pasando a los cuasi-estados parciales (a,H) y ([M ], H) obtenemos:
•(a,H) = lim
c(a, kH)/k ≤
≤ lim
( v.a) + c([M ], kH))/k = lim
c([M], kH)/k = فارسى([M], H).
El resultado ahora se deriva de la definición de conjuntos pesados y superpesados (véase
Definición 1.1).
Prueba de Teorema 1.3 (iii): Por la característica propiedad exponente de
invariantes espectrales,
(a, F ) ≤ máx.
i=1,...,l
* (ei, F ) * (F ) * (C )
* (M). 23)
Elija una secuencia de funciones Gj â € C
• (M), j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
propiedades de descenso: Gk ≤ Gj para k > j, Gj = 0 en X, Gj ≤ 0 y para
cada función F ≤ 0 que desaparece en un barrio abierto de X allí
existe j para que Gj ≤ F (la existencia de tal secuencia se puede comprobar fácilmente).
En vista de la desigualdad (23), tenemos que para cada j existe i para que
• (a,Gj) ≤ (ei, Gj). Pasando, si es necesario, a una subsecuencia Gjk, jk →.
podemos asumir sin pérdida de generalidad que yo es el mismo para todos j. A la vista
de pesadez de X con respecto a a, tenemos que •(a,Gj) = 0. Por lo tanto
• (ei, Gj) ≥ 0.
Elija cualquier función F ≤ 0 onM que desaparezca en un barrio abierto
de X. Entonces existe j lo suficientemente grande como para que F ≥ Gj. Por monotonicidad
combinado con la estimación anterior que tenemos
0 ≥ (ei, F ) ≥ (ei, Gj) ≥ 0,
que produce (ei, F ) = 0.
Ahora que F sea cualquier función continua en M que desaparece en X. Toma
una secuencia de funciones continuas Fj, convergiendo a F en la C
0-norm, así que
que cada FJ desaparece en un barrio abierto de X. Entonces, (ei, Fj) =
limj (ei, Fj) = 0, porque (ei, ·) es Lipschitz con respecto a la C
norma. La pesadez de X con respecto a ei se deriva ahora de la Proposición 4.1.
Esto termina la prueba del teorema.
5 Productos de conjuntos (super) pesados
En esta sección probamos Teorema 1.5 en productos de subconjuntos (super) pesados.
5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales
La prueba de Teorema 1.5 se basa en el siguiente resultado general.
Teorema 5.1. Por cada par de Hamiltonianos dependientes del tiempo G1, G2 onM1
y M2, y todos los no-cero a1 QHi1(M1), a2 QHi2(M2) tenemos
c(a1 a2, G1(z1, t) + G2(z2, t)) = c(a1, G1) + c(a1, G2).
Aquí G1(z1, t) +G2(z2, t) es un Hamiltoniano dependiente del tiempo en M1 ×M2.
Deduzcamos el Teorema 1.5 del Teorema 5.1.
Prueba de Teorema 1.5: Demostramos que el producto de los juegos superpesados es
superpesados (la prueba para conjuntos pesados va sin ningún cambio). Denotamos
por..............................................................................................................................................................................................................................................................
sociated a los idempotentes a1, a2 y a1 a2 respectivamente. Deja que Xi Mi,
i = 1, 2, ser un conjunto superpesado. Por la Proposición 4.1 basta con demostrar que si un
La función no negativa G-C-(M) desaparece en algún barrio, dicen U,
de X := X1 × X2 a continuación (G) = 0. (Puesto que es Lipschitz con respecto a la
C0-norm esto implicaría que •(G) = 0 para cualquier G • C(M) no negativo
que desaparece en X). Put K := maxM G. Elegir barrios Ui de Xi así
que U1 × U2 + U. Elegir funciones no negativas Gi on Mi que desaparecen en
Xi y tal que Gi(z) > K para todos z â € Mi \Ui. Observe que G ≤ G1 + G2.
Pero, en vista del Teorema 5.1 y la superpeso de Xi, tenemos
*(G1 +G2) = *1(G1) + *2(G2) = 0.
Por monotonicidad
0 ≤ G ≤ G1 + G2 = 0,
y, por lo tanto, (G) = 0.
Queda por probar el Teorema 5.1. Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la igualdad
en el teorema no excede del lado derecho: se trata de un imme-
diate consecuencia de la desigualdad triangular para invariantes espectrales. Sin embargo,
No pudimos usar esta observación para probar el teorema. Nuestro ap-
proach se basa en un análisis algebraico bastante largo que nos permite
calcular por separado los lados izquierdo y derecho “en el nivel de la cadena”. A
La simple inspección de los resultados de este cálculo da lugar a la igualdad deseada.
5.2 Complejos degradados de grado Z2
Un complejo Z2 es un espacio vectorial de dimensiones finitas V de grado Z2 sobre un campo
K equipado con un diferencial K-lineal
cambiar la clasificación. Un complejo decorado sobre K = K.o. incluye lo siguiente:
datos:
• un subgrupo contable
• un complejo de grado Z2 (V, d) sobre K
• una base preferida x1,. ...........................................................
• una función F : {x1,. .., xn} → R (llamado el filtro) que se extiende a V
jxj) = max(lj) + F (xj)
6 = 0},
y satisface F (dv) < F (v) para todos v < V \ {0}. La convención es que
F (0) =. Aquí está la valoración definida en la sección 3.1 anterior.
Usaremos la notación.
V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,
para un complejo decorado.
El producto K-tensor V = V1KV2 de complejos decorados
Vi = (Vi, {x)
j }j = 1,...,ni, Fi, di,Í), i = 1, 2
se define como sigue. Considerar el espacio V = V1KV2 (véase la fórmula (5) anterior)
con el grado natural Z2. Definir el diferencial d en V por
d(x y) = d1x y + (−1)
xx d2y.
La base preferida en V es dada por {xpq := x
p x
q } y el filtro F es
definido por
F (xpq) = F1(x)
p ) + F2(x
Finalmente, pusimos V := (V, {xpq}, F, d,
La homología (de grado Z2) de los complejos decorados está denotada por H*(V)
– son espacios K-vector. Por la fórmula Künneth, H(V1KV2) =
H(V1)KH(V2).
A continuación definimos invariantes espectrales asociados a un complejo decorado V :=
(V, {xpq}, F, d). Es decir, para un â ¬ H(V) puesto
c(a) := inf{F (v) a = [v], v Ker d}.
Veremos más abajo que c(a) > â € para cada 6= 0.
El propósito de esta digresión algebraica es declarar el siguiente resultado:
Teorema 5.2. Para cualquier dos complejos decorados V1,V2
c(a1 a2) = c(a1) + c(a2)
5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida
La 2-periodicidad del complejo Floer y la homología Floer definida por el
la multiplicación por q (véase la Proposición 3.1 anterior) permite codificar su
estructura gebraica en un complejo Z2 decorado. Considerar un par regular (G, J)
que consiste en una función Hamiltoniana y una estructura casi compleja compatible
En general, ambos dependen del tiempo. Let (C*(G), dG,J) be the
el correspondiente complejo Floer. Asociémoslo a un complejo Z2-: un Z2-
VG de espacio vectorial graduado sobre K.o., definido como
VG := C0(G)+ C1(G),
con el grado de Z2 obvio, y un diferencial ŁG,J : VG → VG, definido como
la suma directa de dG,J : C1(G) → C0(G) y qdG,J : C0(G) → C1(G). Uno
comprueba fácilmente que se trata de un complejo Z2 porque dG,J : C(G) → C(G)
es -lineal. Llamaremos (VG, G, J) al complejo Z2 asociado a (G, J).
Tenga en cuenta que los ciclos y los límites de (VG, G) que tienen Z2-grado
i {0, 1} en VG coinciden, respectivamente, con los ciclos y los límites
que tengan un grado Z i de (C(G), dG,J). Por lo tanto la homología Floer HFi (G, J)
es isomórfico, como un espacio vectorial sobre K.O., al componente i-ésimo grado de la
la homología del complejo (VG, G, J).
El Z2-complejo (VG, G, J) lleva una estructura del complejo decorado
VG,J como sigue. Que γi(t), i = 1,.., m, sea la colección de todos los contractibles
Órbitas 1-periódicas del flujo Hamiltoniano generadas por G. Elija el disco ui
en M que abarca γi. Para cada i existe un entero único, decir ri, de modo que
el índice Conley-Zehnder del elemento xi := q
ri · [γi, ui] se encuentra en el conjunto
{0, 1}. Claramente, la colección {xi} forma una base de VG sobre K. Lo haremos.
considerarlo como una base preferida. Tenga en cuenta que la base preferida es única hasta
multiplicación de xis por elementos de la forma s
αi, αi â € â € €. Por último, la acción
funcional asociado a G define una filtración en VG.
La homología de (VG, G, J) se puede identificar canónicamente a través de la PSS-
isomorfismo con el objeto que llamamos homología cuántica reducida:
QHred(M):= QH0(M)+QH1(M).
Llamamos a esto isomorfismo el reducido PSS-isomorfismo y lo denotamos por G,J.
Tenga en cuenta que tenemos una proyección natural p : QH*(M) → QHred(M) que
envía cualquier elemento homogéneo de grado a aqr con deg a + 2r {0, 1}.
Con esta notación, el habitual Floer-homológico invariante espectral c(a,G)
coincide con el invariante espectral c(p(a)) del complejo decorado VG,J.
5.4 Prueba del teorema 5.1
Por la propiedad Lipschitz de los números espectrales es suficiente considerar la
caso cuando G1 y G2 pertenecen a pares regulares (Gi, Ji), i = 1, 2. Establecer
G(z1, z2, t) := G1(z1, t) +G(z2, t)
y J := J1 × J2. Entonces (G, J) es también un par regular. Puso "i" = "(Mi", "i"). Lo siento.
es sencillo ver que el complejo decorado VG,J es el K-tensor
producto de los complejos decorados VGi,Ji para i = 1, 2.
Put (M,) = (M1×M2, 12). Una modificación obvia de los Künneth
fórmula para la homología cuántica (véase, por ejemplo, [41, Ejercicio 11.1.15] para el Estado
En el caso de los monótonos, se produce un monomorfismo natural.
ı : QHi1(M1, #1)KQHi2(M1, #1) → QHi1+i2(M,#).
Puesto que en nuestro entorno las homologías cuánticas son 2-periódicas, la colección de estos
isomorfismos para todos los pares (i1, i2) del conjunto {0, 1} induce un isomorfismo
j : QHred(M1)KQHred(M2) → QHred(M).
Tiene las siguientes propiedades: En primer lugar, dados dos elementos a1 â € QHi1(M1, â € TM 1)
y a2 QHi2(M2, 2) tenemos que
p(a1) p(a2) = p(a1 a2).
En segundo lugar, el siguiente diagrama se desplaza:
H(VG1, ŁG1,J1)KH(VG2, ŁG2,J2)
G1,J1G2,J2
H (VG, G, J)
QHred(M1)KQHred(M2)
// QHred(M)
Aquí k es el isomorfismo que viene de la fórmula Künneth para Z2-comple-
xes, y Gi, Ji, G, J representan el reducido PSS-isomorfismos. De ello se deduce que
la definición de c(ai, Gi), c(a1a2, G) coincide con la definición de c(pai) y
c(p(a1) p(a2)). Por Teorema 5.2 obtenemos eso
c(a1a2, G) = c(p(a1)p(a2)) = c(p(a1))+ c(p(a2)) = c(a1, G1)+ c(a2, G2).
Esto demuestra Teorema 5.1 módulo Teorema 5.2.
5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2
Un complejo decorado se llama genérico si F (xi) − F (xj) / para todos i 6= j
(recordemos que bajo nuestras suposiciones, el grupo de períodos del simplés
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Comenzamos desde algunos
hechos auxiliares del álgebra lineal. Let V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,
complejo decorado genérico. Recordamos una vez más que por brevedad escribimos K
en lugar de "K" donde sea que esté claro lo que se toma.
Un elemento x • V se llama normalizado si
x = xp +
i 6=p
(xp) > máx.
i 6=p
F (lxixi).
Usaremos la notación x = xp+o(xp). En los complejos genéricos, cada elemento
x 6= 0 se puede escribir de forma única como x = ♥(xp+o(xp)) para algunos p = 1,..., n y
K. Un sistema de vectores e1,. ..., em en V se llama normal si cada ei tiene
la forma ei = xji +o(xji) para ji {1,...., n} y los números ji son pares
Distinto.
Lemma 5.3. Let e1,. ............................................................................... Entonces
(+) = máx.
F ()...................................................................................................................................................................
Prueba. Demostramos el resultado utilizando la inducción en m. Para m = 1 la declaración es
Es obvio. Vamos a comprobar el paso de inducción m− 1 → m. Observe que es suficiente
para comprobar que
F (e1 +
(e1), ≥ F (e1). (24)
Entonces, obviamente.
(+) ≥ máx.
F (l'iei),
mientras que la desigualdad inversa es una consecuencia inmediata de las definiciones.
Por el paso de inducción,
(+) = máx.
i=2,...,n
F ()...................................................................................................................................................................
En vista de la genericidad, el máximo en el lado derecho puede ser único
escrito con la letra F (0xi0). Sin pérdida de generalidad asumiremos que ei =
xi + o(xi) e i0 = 2.
12 ♥iei = x2 + o(x2).
Escribir
e1 = x1 + αx2 +X, v = x2 + βx1 + Y,
donde α, β-K y X, Y-SpanK(x3,. ., xn). Tenga en cuenta que F (x1) > F (αx2),
F (x2) > F (βx1), que rinde
/(α) < F (x1)− F (x2) < (β) = /(β)
−1). (25)
En particular, /(α) < /(1). Tenga en cuenta que
e1 + 2v = (1 + 2β)x1 + (α + 2)x2 + Z, Z • SpanK(x3,. .., xn).
F (e1 + 2v) ≥ max( v(1 + 2β) + F (x1), ν(α + 2) + F (x2)).
Si ν(1 + ♥2β) ≥ 0 tenemos F (e1 + ♥2v) ≥ F (x1) = F (e1) y desigualdad (24)
sigue. Asumir que < 0 = 1 / 1. A continuación, el apartado 2 del artículo 2 del Reglamento n° 1408/71 se sustituye por el texto siguiente:
y, por lo tanto, /(l) 2 = /(l)
-1) 6 = /(α). Por lo tanto
≥ < = (β).........................................................................................................................................................................................................................................................
Combinando esta desigualdad con (25) obtenemos eso
F (e1 + 2v) ≥ ν(α + 2) + F (x1) + (F (x2)− F (x1))
≥ F (x1) + ( v(α + 2) + ν(β)) ≥ F (x1) = F (e1).
Esto completa la prueba de la desigualdad (24), y por lo tanto del lema.
Se deduce fácilmente del lema que cada sistema normal es linealmente inde-
Pendent.
Lemma 5.4. Todos los subespacios L+V tienen una base normal.
Prueba. Utilizamos inducción sobre m = dimK L. El caso m = 1 es obvio,
así que vamos a manejar el paso de inducción m − 1 → m. Basta con mostrar el
siguiente: Let e1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
′, y let v / L′
ser cualquier vector. Poner L = SpanK(L
′ {v}). Entonces existe em â € L para que
e1,. ........................................................................ De hecho, asumir sin pérdida de generalidad que
para todos los i = 1,..., m−1 uno tiene ei = xi+ o(xi). Poner W = SpanK(xm,. ., xn).
Alegamos que L′ W = {0}. De hecho, de lo contrario
1e1 +... •m−1em−1 = mxm +... + nxn
donde las combinaciones lineales en los lados derecho e izquierdo son no-
trivial. Aplicar F a ambos lados de esta igualdad. Por Lemma 5.3
F (1e1 +.... + m1em1) = F (xp) mod •, donde 1 ≤ p ≤ m− 1,
mientras
F (........nxn) = F (xq) mod................................................................................................................................................................................................................................................
Esto contradice la genericidad de nuestro complejo decorado, y la afirmación fol-
Bajas. Desde dimLdimW = dimV, tenemos que V = LW. Descomponer v
como u+w con u â L′, w â W, y tenga en cuenta que w â L. Tenga en cuenta que e1,. .., em−1, w
son linealmente independientes. Además, w = (xp + o(xp)) para algunos p ≥ m.
Put em =
−1w. Los vectores e1,. ...............................................................
La misma prueba muestra que si L1 + L2 son subespacios de V, cada base normal
en L1 se extiende a una base normal en L2.
Ahora nos dirigimos al análisis del diferencial d. Elija una base normal
g1,. .., gq en Im d, y extenderlo a una base normal g1,. .., gq, h1,. ...........................................................
Ker d. Tenga en cuenta que cada uno de estos vectores p + q tiene la forma xj + o(xj) con
distinto j. Asumamos sin pérdida de generalidad que el n−p−q restante
los elementos de la base preferida en V son x1,. .., xq, y
gi = xi+q + o(xi+q), hj = xj+2q + o(xj+2q).
Aquí usamos eso, por el teorema de la dimensión, n = p+ 2q. Tenga en cuenta que
x1,. .., xq, g1,. .., gq, h1,. .., hp
es un sistema normal, y por lo tanto una base en V. Llamamos a tal base un espectral
base del complejo decorado V.
Tenga en cuenta que [h1],. .., [hp] es una base en la homología H (V). Considerar cualquier
homología clase a =
[hola]. Cada elemento v V con a = [v] puede ser
escrito como v =
♥ihi +
αjgj. Por lo tanto, por Lemma 5.3, F (v) ≥ maxi F (đihi)
y, por lo tanto,
c(a) = máx.
F (l'ihi). 26)
Esto demuestra en particular que los invariantes espectrales son finitos siempre que un 6= 0.
Para conjuntos finitos A = {v1,. .., vs} y B = {w1,. ..........................................................
conjunto finito {vi wj}.
Supongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados genéricamente. Nosotros decimos que ellos
están en posición general si su producto tensor V = V1KV2 es genérico. Vamos.
Bi = {x
1,. .., x
1,. .., g
1,. .., h
}, i = 1, 2
ser una base espectral en Vi. Obviamente, B1 B2 es una base normal en V1KV2.
Denotaremos por d1, d2, d los diferenciales y por F1, F2, F los filtros en
V1, V2 y V respectivamente. Ponga Gi = {g
1,. .., g
qi }, Hi = {h
1,. .., h
y K = G1 B2 B1 G2. Observar que
Im d â € ¢ W := Span(K).
Tomar cualquier dos clases
j ] H(Vi), i = 1, 2.
Supongamos que a1 a2 = [v]. Entonces v es de la forma
(1)m
m h
l + w
donde w debe estar en W. Observar que (H1 H2) Por Lemma 5.3,
F v) ≥ máx.
F (de 1 m)
m h
l ),
y, por lo tanto,
c(a1 a2) = máx.
F (de 1 m)
m h
= máx.
m ) + F2(
= máx.
m ) + máx.
l ) = c(a1) + c(a2).
En la última igualdad usamos (26). Esto completa la prueba del Teorema 5.2
para complejos decorados en posición general.
Queda por eliminar el supuesto de posición general. Esto se hará.
con la ayuda del siguiente lema. Trabajaremos con una familia de...
Complejos clasificados
V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,
que tienen exactamente los mismos datos (base preferida, clasificación, diferencia y
Con la excepción del filtro F, que podrá variar en la clase
de filtros. Los invariantes espectrales correspondientes serán denotados por c(a, F ).
Lemma 5.5.
i) Si los filtros F, F ′ satisfacen F (xi) ≤ F
′(xi) para todos los i = 1,..............................................................................................................................................
c(a, F ′) para todas las clases distintas de cero a H(V).
(ii) Si F es un filtro y R, entonces F + es de nuevo un filtro y c(a, F + R) =
c(a, F ) + para todas las clases distintas de cero a • H(V).
La prueba es obvia y la omitimos. De ello se deduce que para los dos filtros F, F ′
c(a, F )− c(a, F ′) ≤ F − F C0
Supongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados. Denota por F1, F2 sus
filtros. Arreglar â € > 0. Por una pequeña perturbación de los filtros obtenemos nuevos filtros,
F ′1 y F
2, en nuestros complejos para que los complejos se conviertan en genéricos y en
posición general y, además,
F1 − F
1C0 ≤ , F2 − F
2C0 ≤ .
Teniendo en cuenta las clases de homología ai H(Vi) tenemos
c(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) ≤
c(a1, F
1) + c(a2, F
2) - c(a1 a2, F
1 + F
2 = 4 = 4 = 2 = 4 = 2 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4.
Aquí hemos utilizado que el teorema 5.2 ya está probado para los complejos genéricos en
posición general. Puesto que â € > 0 es arbitrario, obtenemos que
c(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) = 0,
que completa la prueba de Teorema 5.2 en toda generalidad.
6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados
En esta sección demostramos la parte (ii) del Teorema 1.2.
Proposición 6.1. Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.
Para la prueba necesitaremos la siguiente declaración auxiliar. Dado R > 0,
considerar el toro T2R obtenido como cociente del cilindro T
∗S1 = R(r)×
S1 ( mod 1) por el cambio (r, ) 7→ (r + R, ). Para α > 0 definir la función
Fα(r, ) := αf(r) en T
R, donde f(r) es cualquier función R-periódica que
dos puntos críticos no degenerados en [0, R]: un punto máximo en r = 0 con
f(0) = 1, y un punto mínimo en r = R/2, f(R/2) =: < 0. Denotamos
por [T] la clase fundamental de T2R. Trabajamos con la forma simpléctica dr.d.
en T2R.
Lemma 6.2. c([T ], Fα) = α.
Prueba. Tenga en cuenta que las órbitas cerradas contractibles del período 1 del Hamiltonian
flujo generado por Fα son puntos fijos formando círculos S+ = {r = 0} y
S− = {r = R/2}. Las acciones de los puntos fijos en S± igual, respectivamente, a
α y, y por lo tanto los invariantes espectrales de Fα se encuentran en el conjunto,.
Recordemos de [59] que c([T ], Fα) > c([punto], Fα). Así c([T ], Fα) = α.
Lemma 6.3. Dejemos que H (C) (M) sea desplazable para que H-1 (maxH). Entonces
(H) < maxH.
Prueba. Elija â € > 0 para que el conjunto
H−1((máx.
es desplazable. Elija una función de corte de valor real : R → [0, 1] que
es igual a 1 cerca de maxH y que se apoya en (maxH,maxH). Por lo tanto
En H−1((maxH − •; maxH ]) y en 0, se admite el uso de H−1(H) (maxH − •; maxH ]. Desde H
y (H) Poisson-computar, la desaparición y la monotonicidad axiomas rendimiento
(H) ≤ máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máxH.
Prueba de la Proposición 6.1: Basta con demostrar que por cada R > 0 el conjunto
Y := X × {r = 0} M ′ := M × T2R
no es desplazable. Supongamos por el contrario que Y es desplazable. Elegir
a función H en M con H ≤ 0, H−1(0) = X. Poner
H ′ = H + F1 = H + f(r) :M
′ → R.
Asumir que el cuasi-estado parcial en M está asociado a algunos no-cero
idempotente a QH*(M) por medio de (2). Denotación de.................................................................................................
′ el cuasiestado en
M ′ asociado a a T. Tenga en cuenta que
Y = (H ′)−1(maxH ′), donde maxH ′ = 1,
mientras que el teorema 5.1 y Lemma 6.2 implican que
فارسى ′(H ′) = فارسى(H) + 1.
Por Lemma 6.3 ≤ ′(H ′) < 1 y por Lemma (H) < 0. En vista de la Proposición 4.1,
obtener una contradicción con la pesadez de X.
Lemma 6.2 también da una simple prueba del siguiente resultado, que también sigue
del corolario 1.15:
Corolario 6.4. Cualquier meridiano de T2 es pesado (con respecto a la fundamental
clase [T]).
Prueba. En la notación anterior identificar T2 con T21 para R = 1. Desde cualquier
dos meridianos de T2 pueden ser mapeados entre sí por una isotopía simpléctica
y puesto que tal isotopía preserva la pesadez, basta probar que la
el meridiano S := S+ = {r = 0} (ver la prueba de Lemma 6.2) es pesado.
Let H : T2 → R ser un hamiltoniano y vamos a mostrar que •(H) ≥ infSH,
donde se defina el valor de los valores de referencia utilizando [T ]. Cambiando H, si es necesario, por una constante, podemos
asumir sin pérdida de generalidad que infSH = 1. Pick f = f(r) : T
2 → R
como en la definición de Fα para que F1 = f ≤ H en T
2 (nota que f es igual a 1 en
S). Entonces Lemma 6,2 rendimientos
• (H) ≥ (F1) = 1 = inf
7 Analizar tallos estables
Prueba de Teorema 1.6: Supongamos que A es un subespacio Commutativo Poisson
Φ : M → A* su mapa del momento con la imagen, y let X =
1(p) ser un tallo estable de A.
Tome cualquier funciónH • C•(A*) con H ≥ 0 y H(p) = 0. Nosotros afirmamos que
*(H) = 0. Por una arbitrariamente pequeña C0-perturbación de H podemos asumir
que H = 0 en un barrio pequeño, digamos U, de p. Elija una cubierta abierta
U0, U1,. ...................................................................................................................................................
− 1 (Ui) son establemente desplazables
para i ≥ 1 (existe por la definición de tallo). Let.......................................................................................................................................................................................
ser una partición de unidad subordinada a la cubierta {Ui}.
Tome el T2R de dos torsión como en la Sección 6. Elija R > 0 lo suficientemente grande para que
1(Ui)× {r = const} es desplazable en M × T
R para todos los i ≥ 1. Elija ahora
una cobertura suficientemente fina Vj, j = 1,..., K, del toro T.
R por lo suficiente
delgada anular r − rj < de modo que los conjuntos Φ
−1(Ui) × Vj son desplazables en
M × T2R para todos los i ≥ 1 y todos los j. Let â € ~ j = â € ~ j(r), j = 1,..., K, ser una partición
de unidad subordinada a la cubierta {Vj}.
Denotar por el estado cuasi parcial correspondiente a aT. Puso F (r, ) =
cos(2γr/R). Escribir
H + F =
(H + F )
(H0) + F · Φ
0 +
(H + F ) · i · j.
Nótese que H0 = 0 y F · Φ
0 ≤ 1. Aplicación de la cuasiadditividad parcial
y la monotonicidad tenemos eso
′(H + F ) = ′(F · 0) ≤ 1.
Por Lemma 6.2 y la fórmula del producto (Teorema 5.1 arriba) tenemos
(H + F ) = (H + F ) = (H ) + 1 ≤ 1
y, por lo tanto, «(H)» ≤ 0. Por otra parte, el valor de H ≥ 0 (H) ≥ 0 desde el punto de vista de H ≥ 0. Por lo tanto
A continuación figura una reclamación de 0 (H) = 0.
Además, dada cualquier función G en M con G ≥ 0 y GX = 0, se puede
encontrar una función H en A* con H(p) = 0 para que G ≤ H. Por monotonicidad
y la reclamación supra
0 ≤ G ≤ H = 0,
y, por lo tanto, el punto G = 0. Así X es superpesada.
8 Submanifolds monotónicos lagrangianos
La principal herramienta de prueba (super)peso de la monotona Lagrangian subman-
ilolds que satisfacen la condición de Albers es la estimación espectral en Proposi-
sión 8.1(iii) a continuación, que se originó en la obra de Albers [2]. Más tarde.
Biran y Cornea señalaron un error en [2], y sugirieron una corrección
junto con una generalización de largo alcance en [15]. Mencionemos que el
La estimación original de Albers se utilizó en la primera versión del presente documento. Nosotros
gracias Biran y Cornea por informarnos sobre el error, explicando a
nos su enfoque y nos ayuda a corregir una serie de nuestros resultados afectados
por este error.
El ingrediente principal de las técnicas de Biran-Cornea que se necesita para nuestro
la finalidad es el siguiente resultado. Vamos a ser un simplético monótono cerrado
Células de hierro o acero sin alear, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso EscribeN para el número mínimo de Chern
de (M. Deja que Ln M2n sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold con
el número mínimo de Maslov NL ≥ 2.
Trataremos de manera ligeramente diferente los casos en que NL es paritario y extraño. Vamos.
Mencionamos que para L orientable, NL es automáticamente uniforme. Por lo tanto, debido a
nuestra convención, cuando NL es raro trabajamos con el campo básico F = Z2. Vamos.
N · Z sea el grupo de períodos de M. Recuerde que el anillo cuántico tiene
la forma QH*(M) = H*(M;F) F
como = [q, q
−1]. Put = (N/2) · Z. Considere un anillo Novikov extendido
:= K [q
2, q−
2 ]. Definir ahora QH (M) como QH*(M) si NL es par, y como
H*(M,Z2)Z2
′ si NL es raro. En este último caso, QH
∗(M) es una extensión de
QH*(M), y lo consideraremos sin mencionar de manera especial QH*(M),
como subrenglones de QH (M),
′, K. La clasificación de QH
* La letra M) está determinada por:
la condición deg q
2 = 1. Como antes, utilizaremos la notación QH (M), donde
• = “equivalente” cuando F = C y • = * cuando F = Z2.
Tenga en cuenta que los invariantes espectrales (y por lo tanto parcial simplés cuasi-
los estados) están bien definidos sobre el anillo extendido, y además, sus valores
y las propiedades, por razones tautológicas, no se alteran bajo tal extensión
(cf. una discusión en [15], sección 5.4. Put w := sNL/2qNL/2. Recordemos que j
representa el morfismo natural H•(L;F) → H•(M;F).
Proposición 8.1. Supongamos que k > n+1−NL. Si F = C asumen además
Que k está a mano. Entonces existe un homomorfismo canónico jq : Hk(L;F) →
QH ′k(M) con las siguientes propiedades
8La letra “q” en jq significa cuántica.
i) jq(x) = j(x) + w−1y, donde y es un polinomio en w−1 con coeficientes
en H•(M ;F);
ii) jq([L]) = j([L]);
iii) Si jq(x) 6= 0 entonces c(jq(x), H) ≤ supLH por cada H + C
(M).
En particular, si S es un elemento Albers de L, tenemos jq(S) = j(S)+O(w−1) 6=
Esta proposición fue probada por Biran y Cornea en [15] en el caso
F = Z2: El mapa j
q es esencialmente el mapa iL que aparece en Teorema A(iii)
en [15]. La Proposición 8.1 i) es una combinación de Teorema A iii) y
Proposición 4.5.1 i) en [15]. Nuestra variable w corresponde a la variable t−1 en
[15], mientras que nuestro sNŁqN corresponde a la variable s−1 en la Sección 2.1.2 de [15].
Después de tal ajuste de la notación, la fórmula w := sNL/2qNL/2 arriba
puede extraerse de la sección 2.1.2 de [15]. Para la propuesta 8.1 ii) supra
Véase la Observación 5.3.2.a en [15]. La Proposición 8.1 iii) se deriva de Lemma
5.3.1 ii) en [15]. Por último, vamos a repetir el descargo de responsabilidad hecho en la sección 1.5: nosotros
dar por sentado que la Proposición 8.1 sigue siendo válida para el caso F = C.
Pasemos a las pruebas de nuestros resultados sobre (super)-peso del monotono
Submanifolds lagrangianos. Comenzamos con la siguiente observación. Deja que S sea un
Albers elemento de L. La propiedad de dualidad Poincaré de invariantes espectrales
(véase la sección 3.4 supra) se extiende literalmente al caso del anillo QH ′(M)
con la siguiente modificación: Cuando NL es impar, el emparejamiento Π introducido
en la sección 3.4 se extiende de manera obvia a un valor F no degenerado
emparejamiento en QH (M) que todavía denotamos por Π. Aplicación de la dualidad de Poincaré
y sustituyendo H := −F en la Proposición 8.1 iii) arriba obtenemos eso para
todas las funciones F + C+(M)
c(T, F ) ≥ inf
F T T QH (M) con Π(T, j
q(S) 6= 0.
En particular, dado un idempotente distinto de cero a • QH (M) y una clase b •
QH (M), de modo que Π(a*b, j
q(S) 6= 0, obtenemos, usando la propiedad de normalización
de invariantes espectrales, que
c(a, F ) + (b) ≥ c(a ∗ b, F ) ≥ inf
F. F. C. M........................................................................................................... (27)
Por lo tanto, aplicando (27) a kF para k â € N, dividiendo por k y pasando a la
límite como k → #, obtenemos que para el cuasi-estado parcial #, definido por a,
(F ) ≥ inf
F. F. C. M.
lo que significa que L es pesado con respecto a a.
Prueba de Teorema 1.15: Que S sea un elemento Albers de L. Let T
H•(M;F) ser cualquier clase de homología singular tal que T • j(S) 6= 0. Por lo tanto,
aplicando la Proposición 8.1 i) vemos que Π([M]*T, jq(S)) = Π(T, jq(S)) 6= 0,
y por lo tanto desigualdad (27), aplicado a a = [M ], b = T, rendimientos que L es pesado
con respecto a [M].
Pasemos a la prueba del Teorema 1.25 sobre el efecto de la semi-simplicidad
de la homología cuántica. Se sigue fácilmente de la siguiente más general
declaración. Let L1,. ...............................................................................
condición. Que Si sea cualquier elemento Albers de Li. Nota de Zi = j
q(Si)
QH (M) su imagen bajo el morfismo de inclusión de la Proposición 8.1 anterior.
Teorema 8.2. Teniendo en cuenta tal L1,. ............................................. .., Zm, asumir, además,
que QH2n(M) es semi-simple y los submanifolds lagrangianos L1,. ..............................................................
son desarticulados en el sentido del par. Luego las clases Z1,. .., Zm son linealmente independientes
sobre K.
Prueba. Argumentando por contradicción, asumir que
Z1 = α2Z2 +... + αmZm (28)
para algunos α2,. ............................................................... Puesto que QH2n(M) es semi-simple, se descompone
en una suma directa de campos con unidades e1,. ., ed. Desde el apareamiento Π (en
QH (M;F)) no es degenerado, existe T QH
•(M;F) de tal manera que
Π(T, Z1) 6= 0. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Escribamos T como
T = [M ] * T =
* T. (30)
Ecuaciones (29), (30) implican que existe l â € [1, d] de tal manera que
Π(el ∗ T, Z1) 6= 0. 31)
Entonces (28) implica que existe r [2, m] de tal manera que
Π(el ∗ T, αrZr) 6= 0.
Usando (21) (para Π en QH (M;F)) podemos reescribir la última ecuación como
Π(el ∗ αrT, Zr) 6= 0. (32)
Aplicando ahora la fórmula (27) para S = Z1 H•(L1;F), a = el, b = T, y también
para S = Zr H•(Lr;F), a = el, b = αrT, concluimos que tanto L1 como Lr
son pesados con respecto a El. Por lo tanto son superpesados con respecto a el,
porque el es la unidad en un factor de campo de QH2n(M) (ver Sección 1.6). Por lo tanto
deben intersecarse, en contradicción con la suposición del teorema. Esto
termina la prueba de la primera parte del teorema.
Prueba de Teorema 1.25(a): Supongamos que L1,. ...............................................................
Submanifolds lagrangianos que satisfacen la condición (a) de la formulación
del teorema. Denotar por Ni el número mínimo Maslov de Li. Desde
Ni > n + 1, la clase de un punto de H0(Li;F) es un elemento de Albers para Li.
Dejemos que Zi QH
0(M) ser su imagen bajo el morfismo de inclusión de Biran-Cornea
asociado a Li. Note que por la Proposición 8.1(i) Zi = p + aiw
i, donde
wi = s
Ni/2qNi/2, ai, HNi(M;F) y p, H0(M;F) es la clase de homología de
un punto. Observar que degwi = Ni > n + 1, y por lo tanto la expresión para Zi
no puede contener términos en w−1i de orden dos y superior, ya que HkNi(M ;F) = 0
para k ≥ 2.
Recordar ahora que toda la mentira de Ni en algún conjunto Y de enteros positivos. Dejad que W...
QH ′0(M) ser el lapso sobre K de
H0(M;F)
sE/2q−E/2 ·HE(M;F).
Tenga en cuenta que
dimK W = βY (M) + 1 < m.
Así los elementos Zi, i = 1,..., m, son linealmente dependientes sobre K. Por
El teorema 8.2, QH2n(M) no es semisimple.
Prueba de Teorema 1.25(b): Supongamos que L1,. ...............................................................
Submanifolds Lagrangianos homológicamente no triviales. Por la Proposición 8.1 ii)
jq([Li]) = j([Li]) para cada i = 1,..., m. Dado que las clases j([Li]) son linealmente
dependiente, Teorema 8.2 implica que QH2n(M) no es semi-simple.
Prueba del Teorema 1.18: Combinando la Proposición 8.1 ii) y iii) obtenemos
que para cualquier H â € TM Câ TM (M)
c(j([L]), H) ≤ sup
H. H. C. M.......................................................................................................................................
Por la hipótesis del teorema, podemos escribir j([L]) * b = a para algunos b.
c(a,H) = c(j([L]) ∗ b,H) ≤ c(j([L]), H) + c(b, 0).
c(a,H) ≤ sup
H + c(b, 0).
Aplicando esta desigualdad a E · H con E > 0, dividiendo por E y pasando
hasta el límite como E → â € € TM € ~ (H) ≤ supLH para todos los H. Por lo tanto L es
superpesado.
Observación 8.3. Los resultados anteriores admiten las siguientes generalizaciones en el
marco de la teoría de Biran-Cornea. El principal objeto de esta teoría es la
anillo de homología cuántica QH*(L) de un submanifold Lagrangiano monotono,
que es isomórfico a la homología Lagrangia Floer HF*(L, L) de L hasta
un cambio en la clasificación.
i) Si QH*(L) no desaparece, L es pesada (véase la Observación 1.2.9b en [15]).
De hecho, de [15] se deduce que si L cumple la condición de Albers,
QH*(L) no desaparece.
(ii) El mapa jq de la Proposición 8.1 anterior es una huella de la
Mapa de inclusión de tum iL : QH*(L) → QH
*(M) construido en [15]. Los
la estimación de la acción en el inciso iii) de la propuesta es
que figuran en [15] para las clases iL(x) para los elementos x • QH*(L) de una determinada
forma especial, dando la siguiente generalización del Teorema 1.18: para
estas clases especiales x • QH*(L) la condición de que la clase iL(x)
no desaparece y divide un idempotente no trivial a implica que L
es superpesado con respecto a a. Esto permite, por ejemplo,
ize Ejemplo 1.19 sobre las esferas lagrangianas en los cuadros anteriores al caso
cuando dimL es raro.
(iii) En [15] uno puede encontrar otra estimación de acción que viene de la
Estructura del módulo QH*(M) en QH*(L), que da más resultados sobre
(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monótono.
Prueba de la Proposición 1.4: La homología cuántica QH2n(M) se divide como una
álgebra sobre K en una suma directa de dos álgebras uno de los cuales es un campo. Esto
fue probado por McDuff para el campo F = C (véase [39] y [24, sección 7]), pero
la prueba pasa por el caso F = Z2 también. Denotar la unidad de la
campo por a. Es un idempotente no cero en QH2n(M). Como ya hemos señalado
hacia fuera en la Observación 1.21, tal idempotente a define un verdadero simplés cuasi-
y por lo tanto las clases de conjuntos pesados y superpesados con respecto a
Coincidencia.
Por el teorema 1.2, el toro lagrangiano L-M no puede ser superpesado
con respecto a un, ya que puede ser desplazado de sí mismo por un simplético (no-
Hamiltonian) isotopía. De hecho, tome una isotopía simpléctica obvia............................................................................................................................................
que desplaza L (un cambio paralelo) y lo compone con una isotopía Hamiltoniana
Para que por cada t que tenemos que es constante en t (L) y t (t) es la identidad
en la bola donde se realizó la explosión de T2n. Sin lugar a dudas, el resultado
la isotopía simpléctica se extiende a una isotopía simpléctica de M que desplaza
Por otro lado, NL ≥ 2 porque en este caso NL = 2N, donde N ≥ 1
es el número mínimo Chern de M. Por último, tenga en cuenta que L representa un no-
clase de homología trivial en Hn(M ;Z2). Por lo tanto podemos aplicar Teorema 1.15
y conseguir que L es pesado con respecto a [M ].
9 Rigidez de fibras especiales de ac-
ciones
En esta sección probamos Teorema 1.9. Denotar la fibra especial de Φ por
L := 1(pspec).
Reducción al caso de las acciones T1: En primer lugar, afirmamos que es suficiente
para probar el teorema de las acciones Hamiltonian T1- y el caso general
Sígueme de ahí. De hecho, supongamos que esto está probado. La superpeso de la
fibra especial inmediatamente produce que para cualquier función H̄ : R → R
*(H̄) = H̄(pspec), (33)
donde Φ :M → R es el mapa del momento de la acción T1.
Volvamos a la situación multidimensional y vamos a Φ : M → Rk
ser el mapa del momento normalizado de un Hamiltonian Tk-action en M. Para un
v Rk denotar por Φv(x) = Φv,Φ(x), donde, es el estándar euclidiano
producto interior en Rk. Tenga en cuenta que si v • Zk la función Φv es el normalizado
mapa del momento de una acción del círculo Hamiltoniano y su valor especial es v, pspeñá.
Así por (33)
K) = K(v, pspeñá)
*(R). (34)
Por la homogeneidad de la igualdad (34) se mantiene para todos v. Qk, y por la continuidad
para todos los v â € Rk.
Obsérvese que para cada par de funciones lisas P,Q,C,C,(R) y para cada
par de vectores v,w Rk las funciones
P y
Q Poisson-computar en
M. Así la desigualdad triangular para los números espectrales (ver Sección 3.4)
rendimientos
P +
Q) ≤ ()
P ) + ()
P). (35)
Puesto que M es compacto, basta con asumir que la función H̄ â € TM TM Câ TM (Rk) en
Rk es compatible de forma compacta. Por la inversa transformación de Fourier podemos escribir
H̄(p) =
(v) + cosáv, páv) · F (v) + cosáv, páv) ·G(v)
para algunos rápidamente (digamos, más rápido que (p + 1)-N para cualquier N N) decayendo
funciones F y G en Rk. Para cada v â € TM Rk definir una función Kv â € C
Kv(s) := sin s · F (v) + cos ·G(v).
Observar que
H̄ =
Kv dv.
Denotar por B(R) la bola euclidiana de radio R en Rk con el centro en el
origen. Poner
H̄R(p) =
Kv(v, ) dv, p R
Dado que las funciones F y G están decayendo rápidamente, tenemos que
H̄R − HC0(Rk) → 0 como R → فارسى. (36)
Afirmamos que por cada R
*(H̄R) ≤ H̄R(pspec). (37)
De hecho, para â > 0 introducir la suma integral
H̄R (p) =
vÃ3r ZkÃ3B(R)
Kv (v, p)...........................................................................................................................................
H̄R, =
vÃ3r ZkÃ3B(R)
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
Aplicando repetidamente (35) y (34) obtenemos eso
*(H̄R,♥) ≤ H̄R,/23370/(pspec).
Tenga en cuenta ahora que para R fijo la familia H̄R, fue convergente a H̄R como فارسى → 0 en
la norma uniforme sobre C0(Rk). El uso de que es Lipschitz con respecto a la
norma uniforme en C0(M) obtenemos fácilmente la desigualdad (37).
Combinando el hecho de que es Lipschitz con (36) y (37) obtenemos que
(H̄) = lim
(H̄R) ≤ lim
H̄R(pspec) = H̄(pspec).
Ahora, asuma que H̄ ≥ 0 y H̄(pspec) = 0. Acabamos de demostrar que
•(H̄) ≤ 0, y por lo tanto •(H) = 0, que inmediatamente produce el su- deseado
la permeabilidad de la fibra especial. Esto completa la reducción de la
caso al caso 1-dimensional.
A partir de ahora consideraremos sólo el caso de un Hamil efectivo...
toniano T1-acción en M con un mapa de momento Φ :M → R. Su momento
El politopo es un intervalo cerrado en R y pspec = −I(Φ) R.
Reducción al caso de una función estrictamente convexa: Nosotros reclamamos
que es suficiente para mostrar la siguiente proposición:
Proposición 9.1. Suponga H̄ : R → R es una función lisa estrictamente convexa
alcanzar su mínimo en pspec. Conjunto H := Φ
*H̄. A continuación, Ł(H) = H̄(pspec).
Aplazando la prueba de la proposición por un momento vamos a demostrar que
implica el teorema. De hecho, let F : M → R ser un hamiltoniano en M. En
orden para mostrar la superpeso de L = 1(pspec) tenemos que mostrar que
•(F ) ≤ supL F. Elija una función muy pronunciada estrictamente convexa H̄ : R → R con
el valor mínimo de supL F alcanzado en pspec y tal que Φ
*H̄ =: H ≥ F
en todas partes en M. Entonces utilizando la Proposición 9.1 y la monotonicidad de
•(F) ≤ (H) = H̄(pspec) = sup
por lo que se refiere a la presentación de la reclamación.
Preparativos para la prueba de la Proposición 9.1: Dado un (tiempo-
dependiente, no necesariamente regular) Hamiltonian G, nos asociamos a cada
par [γ, u] â € € € TM TM un número
DG([γ, u]) := AG([γ, u])−
· CZG([γ, u]).
(Recuerde que definimos el índice Conley-Zehnder para todos los Hamiltonianos y
no sólo los regulares – ver sección 3.3). El número DG([γ, u]) está in-
variante bajo un cambio del disco de extensión u – una adición de una esfera
jS HS2 (M) en el disco u cambia tanto AG([γ, u]) como CZG([γ, u]) por
el mismo número. Así podemos escribir DG([γ, u]) = DG(γ).
Teniendo en cuenta lo siguiente:
(l) y u(l) como las composiciones
de γ y u con el mapa z → zl en la unidad de disco D2 o C (aquí z es un
Coordenada compleja sobre C). Denotar por t 7→ gt el flujo de tiempo de G y por
G(l) :M × R → R el Hamiltoniano cuyo flujo temporal es t 7→ (gt)
l y qué
es definido por
G(l) := G®. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
donde GÃ3K(x, t) := G(x, t) +K(g−1t x, t) para cualquier K :M × R → R.
Proposición 9.2. Existe una constante C > 0, dependiendo sólo de n, con
la siguiente propiedad. Teniendo en cuenta una órbita 1-periódica γ PG del flujo t 7→ gt
generado por G, asumir que γ(l) es una órbita 1-periódica del flujo t 7→ glt
generado por G(l), y por lo tanto para cualquier u tal que [γ, u]
[γ(l), u(l)].......................................................................................................................................................................................................................................................... Entonces
DG(l)([γ
(l), u(l)]— LDG([γ, u]) ≤ l · C.
Prueba. El término de acción en DG se multiplica por l a medida que pasamos de G a G
En cuanto al término Conley-Zehnder, la propiedad cuasimorfista del Conley-
El índice de Zehnder (véase la Proposición 3.5) implica que existe una constante C > 0
(dependiendo solamente de n) tal que
lCZG[γ, u]− CZG(l)([γ
(l), u(l)]) ≤ C.
Esto prueba inmediatamente la proposición.
Proposición 9.3. Let G :M × [0, 1] → R ser un hamiltoniano como arriba. Entonces
se puede elegir > 0, dependiendo de G, y una constante Cn > 0, dependiendo de
sólo en n = dimM/2, de modo que cualquier función F : M × [0, 1] → R que es
cerca de G, en una medida métrica-C. sobre C.(M×[0, 1]) cumple la condición siguiente:
por cada γ0 • PF existe γ • • PG de tal manera que la diferencia entre DF (γ0)
y la DG(γ) está limitada por Cn.
Prueba. Denote el flujo de G por gt (como antes) y el flujo de F por ft.
verá las trayectorias periódicas de tiempo-1 de estos flujos tanto como mapas de [0, 1] a
M que tengan el mismo valor en 0 y 1 y como mapas de S1 a M.
Primero, considere la fibración D2×M →M y, abusando ligeramente de la notación,
denotar la retirada natural de............................................................................................................ Segundo, mira la fibración.
pr : D2 ×M → D2. Denotar por V ert el haz vertical sobre D2 × M formado
por los espacios tangentes a las fibras de pr. Para cada bucle : S1 →M define por
: S1 → D2 ×M el mapa (t) := (t, γ(t)). Los paquetes TM y V ert
sobre S1 coinciden. Similarmente para cada w : D2 →M denotar por : D2 → D2×M
el mapa (z) := (z, w(z)).
Existe > 0, dependiendo de G, de tal manera que para cada γ PG un tubular
El término «vecindario» de la imagen de en S1 ×M D2 ×M, denotado por Ubγ, tiene
las siguientes propiedades:
• existe un 1-formo en Ubγ que satisface d
• V ert admite una trivialización sobre Ubγ.
Dado un â € > 0, podemos elegir F lo suficientemente cerca de G para que el
rutas t 7→ pies y t 7→ gt en Ham(M) son arbitrariamente C
- Muy cerca y, por lo tanto,
• por cada x • Fix (F) existe y • Fix (G) que está cerca de x
(pensar en los puntos fijos como puntos de intersección de la gráfica de un
difeomorfismo con la diagonal;
• la distancia entre los mapas γ0 : t 7→ ft(x) y γ : t 7→ gt(y)
de [0, 1] a M está limitada por y la imagen de 0 se encuentra en Ubγ.
Elija un mapa u0 : D
2 → M, uD2 = γ0. Dado que γ0 y γ son C
- ¡Cerca! - ¡Cerca!
puede agrandar D2 a un disco más grande D21 D
2 y encontrar un mapa suave u : D21 →M
para que
• uD21
= u0;
• u(D21 \ D
2) Ubγ.
Rescatar D21 podemos asumir sin pérdida de generalidad que [γ, u] PG.
Trivializar los paquetes de vectores 0TM y γ
* TM para que las trivializaciones
se extienden a una trivialización de u*TM sobre D21 (y por lo tanto de u
0TM sobre D
Utilizando las trivializaciones podemos identificar las rutas t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt
con algunos caminos basados en la identidad de matrices simpléticas A(t), B(t). Fijación de un
pequeño como el anterior, también podemos asumir que F es elegido para C-cerca de G que,
además de todo lo anterior, la distancia C-entre los caminos t 7→ A(t)
y t 7→ B(t) en Sp (2n) está limitado por (por ejemplo, asegúrese primero de que
las trayectorias de matriz obtenidas escribiendo las trayectorias t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt
usando alguna trivialización de V ert sobre Ubγ son lo suficientemente cerca – entonces la matriz
rutas t 7→ A(t) y t 7→ B(t) también estarán lo suficientemente cerca).
Nosotros afirmamos que al elegir lo suficientemente pequeño en la construcción de arriba nosotros
puede vincular la diferencia entre DF ([γ0, u0]) y DG([γ, u]) en una cantidad
dependiendo sólo de dimM.
De hecho, la diferencia
F (γ0(t), t)dt −
G(γ(t))dt está limitado por una
cantidad dependiendo sólo de algunas constantes universales y, porque γ0 es
Cerca de γ y F se encuentra cerca de G con respecto a la medida. Puede ser
hecho arbitrariamente pequeño al elegir un lo suficientemente pequeño. La diferencia
* −
u =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
está limitado por la diferencia
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Desde entonces, γ0 y γ son
la diferencia posterior se puede hacer menos de 1 si elegimos
a lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, hemos demostrado que al elegir un suficientemente
pequeño podemos unir AF ([γ0, u0])-AG([γ, u]) por 1.
Ahora, en lo que respecta a los índices de Conley-Zehnder, nuestra elección
de las trivializaciones significa que la diferencia entre CZF ([γ0, u0]) y
CZG([γ, u]) es sólo la diferencia entre los índices de Conley-Zehnder para el
vías de matriz t 7→ A(t) y t 7→ B(t). Pero los últimos caminos en Sp (2n) son
Por lo tanto, representan los elementos cercanos de Sœp (2n) y si
se eligió suficientemente pequeño, entonces, como mencionamos en la sección 3.3, su
Los índices de Conley-Zehnder difieren a lo sumo por una constante dependiendo solamente de n.
Esto termina la prueba de la reclamación y la proposición.
Plan de la prueba de la Proposición 9.1: Asumimos ahora que H̄ es
una función fija estrictamente convexa en R. Nuestros cálculos contarán con E como un
parámetro grande. Para las cantidades α, β dependiendo de E escribiremos α β si
α ≤ const se mantiene para E lo suficientemente grande, donde el const depende solamente de (M,
Φ y H̄, y en particular no depende de E. Vamos a escribir α • β si
α β y β α. Usando este lenguaje la proposición puede ser reafirmada como
c(a, EH) EH̄(pspec). 38)
En general, las órbitas 1-periódicas del flujo de EH no están aisladas y allí-
El Hamiltoniano no es regular. Dejar F ser un regular (tiempo-periódico)
perturbación de EH.
Por el axioma de espectralidad, el número espectral c(a, F) para un QH2n(M)
es igual a AF ([γ0, u0]) para algunos pares [γ0, u0] â € € con CZF ([γ0, u0]) = 2n. Por lo tanto
c(a, F ) • DF (γ0). Combinando esto con la Proposición 9.3 obtenemos eso para algunos
γ • PEH
EH̄(pspec) c(a, EH) فارسى c(a, F ) ♥ DF (γ0) DEH(γ). (39)
Por lo tanto, sería suficiente para demostrar que
DEH(γ) EH̄(pspec) para todos los γ PEH, (40)
que junto con (39) implicaría (38).
La desigualdad (40) se demostrará de la siguiente manera. Nótese que cada uno de ellos
PEH se encuentra en Φ
−1(p) para algunos p • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vamos a demostrar que
DEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄
′(p)(pspec − p). 41)
Tenga en cuenta que (41) implica (40). De hecho, ya que H̄ es estrictamente convexo y alcanza
su mínimo en pspec, se deduce de (41) que
DEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄
′(p)(pspec − p) ≤ EH̄(pspec),
lo que es cierto para cualquier γ â € ¢ PEH por lo tanto rindiendo (40).
Prueba de (41): Que la acción T1 sobre M sea dada por un bucle de sim-
plectomorfismos t}, t R, t = t+1. El flujo de EH tiene la forma
htx = ♥EH(Φ(x))tx.
Vemos γ como un mapa γ : [0, 1] → M satisfaciendo γ(0) = γ(1). Denotar
x := γ(0). La curva γ se encuentra en 1(p).
Nota N := γ([0, 1]). Este es el T1-órbita de x y es o bien un punto o
un círculo.
En el primer caso γ es una trayectoria constante concentrada en un punto fijo
N.M. de la acción. Usando esta curva constante γ junto con la constante
disco u que abarca las definiciones de I(Φ) y DEH(γ) se obtiene
pspec − p = mΦ(γ, u)
DEH(γ) = EH̄(p)− فارسى/2 · CZEH([γ, u]).
Así pues, la prueba (41) reduce en este caso a la prueba
-CZEH([γ, u])
′(p) ·mΦ(γ, u).
Vamos a fijar una base simpléctica de TNM y ver cada diferencial dN
matriz simpléctica A(t), de modo que {A(t)} es un bucle basado en la identidad en Sp (2n).
-CZEH([γ, u]) -CZmatr({A(EH̄)
′(p)t)},
mientras
EH̄ ′(p) ·mΦ(γ, u)
′(p)Maslov({A(t)}).
Por lo tanto, tenemos que demostrar
CZmatr({A(EH̄)
′(p)t)}) فارسى EH̄ ′(p)Maslov({A(t)},
que se sigue fácilmente de las definiciones del índice de Conley-Zehnder y
la clase Maslov.
Así que a partir de ahora asumiremos que N es un círculo. Toma cualquier punto.
x N. El estabilizador de x bajo la acción T1 es un grupo cíclico finito de
orden k N. Así la órbita de la T1-acción gira k veces a lo largo de N. Desde γ
es una órbita cerrada no constante del flujo hamiltoniano generado por EH̄,
gira r veces a lo largo de N con r Z \ {0}. Esto implica que EH̄ ′(p) = r/k.
Alegamos que sin pérdida de generalidad podemos asumir que l := r/k es un
entero.
De hecho, siempre podemos pasar a γ(k) PkEH, de modo que (kEH̄)
′(p)+Z, y
si podemos probar la proposición para γ(k), entonces
DkEH(γ
k) kEH̄(p) + kEH̄ ′(p)(pspec − p).
Aplicando la Proposición 9.2 obtenemos
kDEH(γ) kEH̄(p) + kEH̄
′(p)(pspec − p) + k · const,
y, por lo tanto,
DEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄
′(p)(pspec − p),
la prueba de la reclamación de la γ original.
A partir de ahora suponemos que l := EH̄ ′(p) â € € € € € TM y que [γ, u] â € € € € TM.
Considere el campo vectorial de Hamilton X := sgradΦ en un punto x â € N. Desde
N es una órbita no constante obtenemos X 6= 0. Entonces V = Tx(Φ
−1(p)) es el sesgo
Complemento ortogonal a X. Elija un T1-invariante casi compatible con
estructura compleja J en un barrio de N. Juntos Ł y J definen un T1-
métrica de Riemannia invariante g. Descomponga el haz tangente TM a lo largo
N como se indica a continuación. Poner Z = Span(JX,X) y establecer W para ser el g-ortogonal
complemento a X en V. Así tenemos una descomposición invariante T1-
TxM = W â € Z, x â € N. (42)
Además, W y Z llevan formas canónicas simplécticas. Por lo tanto W y Z
definir subbundles simpléticos (y por lo tanto triviales) de TM sobre N. Inducen
subbundles triviales del paquete TM sobre S1.
Calculamos
dht(x) = dŁEH′(Φ(x))t(x) + EH
′′(Φ(x)) · dΦ() ·X. (43)
Consideramos dos trivializaciones del paquete TM sobre S1. El primer trivi-
la alización se define por medio de secciones invariantes bajo la acción T1. Los
segundo se elige de tal manera que se extiende a una trivialización de u*TM
sobre D2. Usando estas trivializaciones podemos identificar dht(x), respectivamente, con
dos rutas basadas en la identidad {Ct}, {C
De matrices simpléticas. El decompo-
Situación (42) induce una división
Ct = 1° Bt.
Afirmamos que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E.
De hecho, observar que en la base (X, JX) de Z
1 b12(t)
Denote por L la línea que abarca X = (1, 0). Perturb {Bt} a una ruta {B]
RtBt}, donde Rt es la rotación por el ángulo t, y > 0 es lo suficientemente pequeño.
Obsérvese queB′(t)LÃ3L = {0} para t > 0. Se desprende fácilmente de las definiciones
que CZmatr(B
t) y CZmatr(RŁt) no excedan de 2. Por lo tanto, por la cuasi-
propiedad del morfismo del índice de Conley-Zehnder (ver Proposición 3.5)
tienen que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E, que
da lugar a la reclamación. Por lo tanto
CZmatr ({Ct}) 0.
Por otra parte, por fórmula (18)
CZmatr ({C)
t}) = CZmatr ({Ct}) +mlΦ([γ, u]).
CZEH([γ, u]) := n− CZmatr ({C)
t}) -mlΦ([γ, u]). (44)
Puesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), obtenemos
AEH([γ, u]) =
EH(γ(t))dt−
u = EH̄(p)−
u. (45)
Usando (45) y (44) la igualdad precisa
DEH([γ, u]) = AEH([γ, u])−
· CZEH([γ, u])
puede convertirse en una desigualdad asintótica
DEH([γ, u]) فارسى EH̄(p)−
u +
mlΦ([γ, u]). (46)
Puesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), tenemos
AlΦ([γ, u]) =
lΦ(γ(t))dt−
u = lp−
u. (47)
Sumando y restando lp del lado derecho de (46) y utilizando (47)
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
DEH(γ) = DEH([γ, u])
EH̄(p)− lp)
mlΦ([γ, u])
EH̄(p)−
AlΦ([γ, u])+
mlΦ([γ, u])
EH̄(p)−
− I(lΦ) =
= EH̄(p) + l(−I(Φ)− p) = EH̄(p) + l(pspec − p).
Recordando que l = EH ′(p), finalmente obtenemos que
DEH(γ) = EH̄(p) + EH
′(p)(pspec − p),
que es precisamente la ecuación (41) que queríamos obtener. Esto termina el
prueba de la Proposición 9.1 y del Teorema 1.9.
9.1 Calabi y acción mixta-Maslov
Prueba de Teorema 1.13.
Suponga H :M × [0, 1] → R es un Hamiltoniano normalizado que genera
un bucle en Ham(M) que representa una clase α • η1(Ham(M)) • Hśam (M). Entonces
H(l) también se normaliza y genera un bucle que representa αl. Vamos a calcular
μ(α) = −vol (M) · liml c(a,H
(l))/l.
Argumentando como en la prueba de (39) obtenemos que existe una constante C >
0 De tal manera que para cada l N existe γ • PH(l) para el cual c(a,H
l) −
DH(l)(γ) ≤ C. Pero, como se desprende de las definiciones y del hecho de que
I es un homomorfismo, DH(l)(γ) no depende de γ y es igual a −I(α
− lI(α). Esto implica inmediatamente que μ(α) = vol (M) · I(α).
Agradecimientos. Los orígenes de este documento se encuentran en nuestro trabajo conjunto con
P.Biran en el papel [10] – le agradecemos por su fructífera colaboración en un
etapa inicial de este proyecto, así como por su ayuda crucial con el ejemplo 1.17
sobre las esferas lagrangianas en hipersuperficies proyectivas. También le damos las gracias y
O.Cornea por señalarnos un error en la versión original de este artículo
y ayudándonos con la corrección (ver Sección 8). Damos las gracias a F. Zapolsky
por su ayuda con el "exótico" monótono Lagrangiano toro en S2 × S2 dis-
tachado en el ejemplo 1.20. Agradecemos a C. Woodward por señalarnos el
enlace entre el punto especial en el momento politopo de un áurico simplés
múltiples y la invariante Futaki, y E. Shelukhin para discusiones útiles
sobre esta cuestión. También estamos agradecidos a V.L. Ginzburg, Y. Karshon, Y. Largo.
D. McDuff, M. Pinsonnault, D. Salamon y M. Sodin para debates útiles
y las comunicaciones. Damos las gracias a K. Fukaya, H. Ohta y K. Ono, la...
los nizers de la Conferencia sobre topología simplética de Kioto (febrero de 2006),
M. Harada, Y. Karshon, M. Masuda y T. Panov, los organizadores de
ference on Toric Topology in Osaka (mayo de 2006), O. Cornea, V.L. Ginzburg,
E. Kerman y F. Lalonde, los organizadores del Taller de Teoría Floer
(Banff, 2007), y A. Fathi, Y.-G. Oh y C. Viterbo, los organizadores de
Conferencia de verano de la AMS sobre topología simplética y conservación de medidas
Sistemas Dinámicos (Snowbird, julio de 2007), por darnos la oportunidad de
presentar una versión preliminar de este trabajo y por el excelente trabajo que hicieron
en la organización de estas conferencias. Finalmente, agradecemos a un árbitro anónimo por
comentarios útiles y correcciones.
Bibliografía
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Michael Entov Leonid Polterovich
Departamento de Matemáticas Escuela de Ciencias Matemáticas
Technion Tel Aviv University
Haifa 32000, Israel Tel Aviv 69978, Israel
entov@math.technion.ac.il polterov@post.tau.ac.il
http://arxiv.org/abs/0709.1127
Introducción y principales resultados
Muchas facetas de la desplazabilidad
Preliminares sobre homología cuántica
Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer
Acciones de toros hamiltonianos
Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos
Efecto de la semisimplicidad
Debate y preguntas abiertas
¿Fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer?
Fibras pesadas de subespacios conmutativos Poisson
Detectar la desplazabilidad estable
Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer
Valoración sobre QH* (M)
Teoría hamiltoniana de Floer
Índices de Conley-Zehnder y Maslov
Números espectrales
Casi-estados simpléticos parciales
Propiedades básicas de (super) juegos pesados
Productos de (super)conjuntos pesados
Fórmula de producto para invariantes espectrales
Complejos degradados de grado Z2
Homología Floer y Cuántica Reducida
Prueba del teorema 5.1
Prueba del teorema algebraico 5.2
No desplazabilidad estable de conjuntos pesados
Analizar tallos estables
Submanifolds monotónicos lagrangianos
Rigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas
Calabi y acción mixta-Maslov
| Demostramos que hay una jerarquía de las propiedades de rigidez de la intersección de
conjuntos en un colector simplético cerrado: algunos conjuntos no pueden ser desplazados por
simplectomorfismos de más conjuntos que los otros. También encontramos nuevos ejemplos de
rigidez de las intersecciones que implican, en particular, fibras específicas del momento
mapas de acciones de toros Hamiltonianos, monotones Lagrangian submanifolds (siguiendo
las obras de P.Albers y P.Biran-O.Cornea), así como ciertas, posiblemente
singular, conjuntos definidos en términos de Poisson-commutativo subalgebras de suave
funciones. Además, obtenemos algunas obstrucciones geométricas a la semi-simplicidad
de la homología cuántica de los colectores simpléticos. Las pruebas se basan en el
Maquinaria teórica flotante de cuasi-estados simpléticos parciales.
| Introducción y principales resultados 3
1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad...........................................................................................................................................................................................................................................................
1.2 Preliminares sobre la homología cuántica. .................................................................................. 8
1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer. ......................................................................................................................................................................
1.4 Acciones de toros de Hamilton...........................................................................................................................................................................................................................................................
1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos. ...................................................................................................................
1.6 Efecto de la semisimplicidad...........................................................................................................................................................................................................................................................
1.7 Debate y preguntas abiertas 27...................................................................................................................................................................
1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer? .....................................................................................................................................
1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson 28
2 Detectar la desplazabilidad estable 32
3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer 33
3.1 Valoración de QH*(M)..........................................................................................................................................................................................................................................................
3.2 Teoría de Hamilton Floer...........................................................................................................................................................................................................................................................
3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov. ........... 36
3.4 Números espectrales. ................... 42
3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales..........................................................................................................................................................................................................................................................
4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados 45
5 Productos de juegos (super) pesados 48
5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales. ................................................................ 48
5.2 Complejos Z2 decorados. .................................................................... 49
5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida. ....................................................................
5.4 Prueba del teorema 5.1................... 51
5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2.............. 52
6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados 57
7 Análisis de los tallos estables 59
8 Submanifolds Lagrangiano Monotone 61
9 Rigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas 66
9.1 Calabi y acción mixta - Maslov. ............ 76
1 Introducción y principales resultados
1.1 Muchas facetas de la desplazabilidad
Una propiedad bien estudiada y fácil de visualizar la rigidez de los subconjuntos de un simplec-
la rigidez de las intersecciones: un subconjunto X
ser desplazado del cierre de un subconjunto Y â € M por un soporte compacto
Isotopía Hamiltoniana:
* (X) * Y 6= * * Ham(M) *
Decimos en tal caso que X no puede ser desplazado de Y. Si X no puede ser
Desplazado de sí mismo lo llamamos no desplazable. Estas propiedades se convierten en
especialmente interesante y puramente simplético cuando X puede ser desplazado de
o de Y por una isotopía suave (compactamente soportada).
Uno de los temas principales del presente documento es que “algunos
conjuntos capaces son más rígidos que otros.” Para explicar esto, necesitamos lo siguiente
ramificaciones de la noción de conjunto no desplazable:
Fuerte no-desplazabilidad: Un subconjunto X-M se llama fuertemente no-
desplazable si uno no puede desplazarlo por ninguno (no necesariamente Hamiltoniano)
el simplectomorfismo de (M.
No desplazabilidad estable: Considere T ∗S1 = R × S1 con el coordi-
los nates (r, Ł) y la forma simpléctica dr. Decimos que X-M es estable.
no desplazable si X × {r = 0} no es desplazable en M × T ∗S1 equipado
con la forma simpléctica de la división = (dr dŁ). Mencionemos que de-
tecting subconjuntos estable no desplazables es útil para el estudio de la geometría y
dinámica de los flujos Hamiltonianos (véase, por ejemplo, [50] por su papel en Hofer
geometría y [51] por su apariencia en el contexto de la estabilidad de la patada en
Dinámica hamiltoniana).
Formalmente hablando, las propiedades de la no-desplazabilidad fuerte y estable
son mutuamente independientes y ambos son estrictamente más fuertes que la desplazabilidad.
En el presente trabajo refinamos la maquinaria de parcial simplético cuasi-
los estados introducidos en [23] y obtener nuevos ejemplos de
conjuntos, incluyendo ciertas fibras de mapas momentáneos de acciones de toros Hamiltonianos
así como monotones Lagrangian submanifolds discutidos por Albers [2] y
Biran-Cornea [15]. Además, abordamos la siguiente pregunta: dada la clase
de conjuntos estable no desplazables, se puede distinguir aquellos de ellos que son
también fuertemente no-desplazable por medio de la teoría de Floer? O, de otra manera
alrededor, ¿cuáles son las características Homológicas de Floer estable no desplazable
pero sets fuertemente desplazables? Ejemplos de juguetes son dados por el ecuador de la
Dos esferas simpléticas y por el meridiano en un dos torso simplés. Ambas cosas.
son establemente no-desplazables ya que sus homologías Lagrangian Floer son no-
trivial. Por otro lado, el ecuador es fuertemente no desplazable, mientras que
el meridiano es fuertemente desplazable por un cambio no hamiltoniano. Más tarde
explicará la diferencia entre estos dos ejemplos desde el punto de vista
de la homología hamiltoniana Floer y presentar diversas generalizaciones.
La pregunta sobre la caracterización homológica de Floer de (fuertemente)
los conjuntos que se pueden desplazar pero que se pueden desplazar de forma estable están totalmente abiertos, véase la sección 1.7.1 infra para
un ejemplo que involucra el teorema de embalaje de Gromov y la discusión.
Dejando consideraciones teóricas de Floer para la siguiente sección, vamos a esbozar
(en parte, informalmente) el esquema general de nuestros resultados: Dado un simplético
multiple (M,), definiremos (en el lenguaje de la teoría de Floer) dos
colecciones de subconjuntos cerrados de M, subconjuntos pesados y subconjuntos superpesados.
Cada subconjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa. Formalmente
hablando, la jerarquía pesada-superpesada depende de una manera delicada de la
elección de un idempotente en el anillo de homología cuántica de M. Esto y otros
los matices serán ignorados en este esquema. Las propiedades clave de estas colecciones
son los siguientes (véanse los teoremas 1.2 y 1.5 infra):
Invarianza: Ambas colecciones son invariantes bajo el grupo de todos los symplec-
tomorfismos de M.
No-desplazabilidad estable: Cada subconjunto pesado es estable no-desplazamiento-
Capaz.
Intersecciones: Cada subconjunto superpesado intersecta cada subconjunto pesado. In
En particular, los subconjuntos superpesados son fuertemente no desplazables. En contraste con
Esto, subconjuntos pesados pueden ser mutuamente desconectados y fuertemente desplazables.
Productos: El producto de dos subconjuntos (super)pesados es (super)pesado.
¿Qué hay dentro de las colecciones? Las colecciones de pesados y superpesados
se incluyen los siguientes ejemplos:
Tallos estables: Dejemos que A C(M) sea un Poisson-commuta de dimensión finita.
tivo subespacio (es decir, cualquiera de las dos funciones de un viaje con respecto a la
Poisson brackets). Let Φ :M → A* ser el mapa del momento: (x), F = F (x).
Una fibra no vacía 1(p), p A*, se llama un tallo de A (véase [23]).
fibras no vacías 1(q) con q 6= p son desplazables y un tallo estable si
son establemente desplazables. Si un subconjunto de M es un tallo (estable) de un finito-
subespacio dimensional de Poisson-commutativo de C(M), se llamará justo
a Tallo (estable). Claramente, cualquier tallo es un tallo estable. La colección de
Los subconjuntos superpesados incluyen todos los tallos estables (ver Teorema 1.6 abajo).
Uno muestra fácilmente que un producto directo de tallos estables es un tallo estable y
que la imagen de un tallo estable bajo cualquier simplectomorfismo es de nuevo un
vástago estable.
El siguiente ejemplo de un tallo estable se toma prestado (con un mod-
) de [23]: Que X â € M sea un subconjunto cerrado cuyo complemento es
una unión finita disyuntiva de conjuntos estable desplazables. Entonces X es un tallo estable.
Por ejemplo, el esqueleto de la codimensión-1 de una triangulación suficientemente fina de
cualquier colector simplético cerrado es un tallo estable. Otro ejemplo es dado por
el ecuador de S2: divide la esfera en dos discos abiertos desplazables y
por lo tanto es un tallo estable. Al tomar productos, uno puede llegar a ser más sofisticado
ejemplos de tallos estables. Ya el producto de los ecuadors de las dos esferas
da lugar a un Lagrangian Clifford toro en S2×...×S2. Para demostrar su rigidez
propiedades (como no desplazabilidad estable) uno tiene que usar sim-
Herramientas plécticas como la homología Lagrangian Floer, véase, por ejemplo. [44]. Productos de
los 1-esqueletos de las triangulaciones finas de las dos esferas pueden ser considerados como
singular Lagrangian submanifolds, un objeto que actualmente está fuera de alcance
de la teoría Lagrangian Floer.
Otro ejemplo de los tallos estables proviene de las acciones de toros de Hamilton.
Considerar una acción Hamiltoniana eficaz : Tk → Ham(M) con el mo-
Φ = (Φ1,............................................................................................ ...............................................................................................
k. Supongamos que Φi es un
Hamiltonian, eso es
Φi = 0 para todos los i = 1,...., k. Una acción de toro se llama
comprimible si la imagen del homomorfismo : η1(T
k) → η1(Ham(M)),
inducido por la acción............................................................................................................................................................................................................................................................. Uno puede demostrar que por compresible
acciones la fibra 1(0) es un tallo estable (ver Teorema 1.7 abajo).
Fibras especiales de las acciones de toros Hamiltonianos: Considere un eficaz
Hamiltonian torus action (acción de toros) sobre un colector simplético esféricamente monótono.
Let I : η1(Ham(M)) → R ser la acción mixta-Homomorfismo Maslov intro-
En el caso de las importaciones procedentes de la República Popular China, el importe de las importaciones objeto de dumping procedentes de la República Popular China se estima en [...] millones EUR. Puesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ es naturalmente
identificado con Hom(η1(T)
k), R), la pull back pspec :=
I de la mezcla
acción-Homomorfismo Maslov con el signo inverso puede ser considerado como un
punto de Rk. La preimagen 1(pspec) se llama la fibra especial de la acción.
Veremos abajo que la fibra especial siempre no está vacía. Para monotona
los colectores toricos simpléticos (es decir, cuando 2k = dimM) la fibra especial es un
Monotone Lagrangian Torus. Tenga en cuenta que cuando la acción es comprimible
tienen pspec = 0 y por lo tanto la fibra especial es un tallo estable según el
ejemplo anterior. Se desconoce si estos últimos bienes persisten para
acciones no comprimibles. Así en lo que sigue tratamos los tallos estables
y fibras especiales como ejemplos separados. La colección de superpesados
Los subconjuntos incluyen todas las fibras especiales (ver Teorema 1.9 abajo).
Por ejemplo, considere el CP 2 y el Torus Lagrangian Clifford en él (i.e.
el toro {[z0 : z1 : z2] • CP
2 Toma el estándar
Acción Hamiltoniana T2 sobre el CP 2 preservando el toro Clifford. Tiene tres.
puntos fijos globales lejos del toro de Clifford. Hacer un sym equivariante...
blow-up pléctico, M, de CP 2 a k de estos puntos fijos, 0 ≤ k ≤ 3, de modo que
el colector simplético obtenido es esféricamente monotono. La acción de los toros
se eleva a una acción Hamiltoniana en M. Uno puede demostrar que su fibra especial es
la transformación adecuada del toro de Clifford.
Monotone Lagrangian submanifolds: Let (M2n, Ł) ser una esférica
monotone simplectic multiple, y dejar L â € M ser un monótono cerrado La-
Submanifold grangiano con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Nosotros decimos
que L satisface la condición de Albers [2] si la imagen del morfismo natural
H*(L;Z2) → H*(M;Z2) contiene un elemento S no cero con
deg S > dimL+ 1−NL.
La colección de juegos pesados incluye todos los monótonos cerrados Lagran-
Submanifolds gian que satisfacen la condición de Albers (véase Teorema 1.15
infra).
Ejemplos específicos incluyen el meridiano en T2, RP n • CP n y todos los La-
Esferas grangianas en hipersuperficies proyectivas complejas de grado d en CP n+1
con n > 2d − 3. En el caso de que la clase fundamental [L] de L se divida
un idempotente no trivial en el álgebra homológica cuántica de M, L es, en
hecho, superpesado (ver Teorema 1.18 más abajo). Por ejemplo, este es el caso
para RP n • CP n. Además, una versión de superpeso se mantiene para cualquier
Esfera lagrangiana en el complejo cuadrático de dimensión par (compleja).
Sin embargo, existen ejemplos de pesado, pero no superpesado, Lagrangian
submanifolds: Por ejemplo, el meridiano del 2-torus es
ceable por un (no-Hamiltoniano!) cambio y por lo tanto no es superpesado. Otro
ejemplo de pesado pero no superpesado submanifold Lagrangian es la esfera
surgida como la parte real de la hipersuperficie de Fermat
M = zd0 + z
1 +... + z
n+1 = 0}
con d ≥ 4 y n > 2d− 3. Nos remitimos a la sección 1.5 para más detalles sobre
(super) monótono pesado submanifolds Lagrangian.
Motivación: Nuestra motivación para la selección de ejemplos que aparecen en el
La lista anterior es la siguiente. Tallos estables proporcionan un patio de recreo para estudiar
rigidez simpléctica de subconjuntos singulares. En particular, ningún análogo visible de
la técnica convencional de homología Lagrangian Floer es aplicable a ellos.
Detectar (estable) la no-desplazabilidad de los submanifolds Lagrangian vía La-
La homología grangiana Floer es uno de los temas centrales de la topología simpléctica.
En contraste con esto, la detección de una fuerte no-desplazabilidad tiene en el momento la
condición del arte en lugar de la ciencia. Por eso nos intrigaba Albers’
observación de que la monotona Lagrangian submanifolds satisfacer su condición
se encuentran en algunas situaciones fuertemente no desplazables. En el presente trabajo lo intentamos
digerir los resultados de Albers [2] y mirarlos desde el punto de vista teórico
de cuasiestados simpléticos parciales desarrollados en [23]. Además, nuestro resultado
sobre la superpeso del antidiagonal lagrangiano en S2 × S2 nos permite
detectar un toro Lagrangiano “exótico” en este colector simplético:
este toro no se interseca el antidiagonal, y por lo tanto no es pesado en
contraste con el toro estándar Clifford, véase el ejemplo 1.20 a continuación.
En [23] probamos un teorema que dice que cada
La foliación coisotrópica tiene al menos una fibra no desplazable. ¿Cómo...?
siempre, nuestra prueba es no-constructiva y no nos dice qué fibras específicas
no se pueden desplazar. La noción de la fibra especial surgió como un intento de
resolver este problema para las acciones del círculo hamiltoniano.
Mencionemos también que la propiedad del producto nos permite producir
más ejemplos de subconjuntos (super)pesados tomando productos de los subconjuntos
que aparecen en la lista.
Algunos comentarios sobre los métodos involucrados en nuestro estudio de la pesada y su-
los subconjuntos perheavy están en orden. Estas colecciones se definen en términos de:
cuasiestados simpléticos parciales introducidos en [23]. Estos son...
con propiedades algebraicas ricas que
se construyen por medio de la teoría de Hamiltonian Floer y que conve-
Codificar una parte de la información contenida en esta teoría. En general,
la definición de un cuasiestado simplético parcial implica la elección de un
elemento idempotente en la parte conmutativa QH•(M)
álgebra de mología de M. Aunque la opción por defecto es sólo la unidad de la
álgebra, existen algunas otras opciones significativas, en particular en el caso
cuando QH•(M) es semisimple. Esto da lugar a otro tema discutido en
Este artículo: obstrucciones topológicas “visibles” a la semisimplicidad (ver Corol-
lary 1,24 y Teorema 1,25 infra). Por ejemplo, demostraremos que si
monotone simplectic multiple M contiene “demasiado” disjoint monotone
Esferas lagrangianas cuyos números mínimos de Maslov superan n+1, el quan-
QH•(M) no puede ser semi-simple.
Pasemos a la configuración precisa. Para la comodidad del lector, la
terial presentado en este breve esquema se repetirá en partes en el siguiente
secciones en una forma menos comprimida.
1.2 Preliminares sobre la homología cuántica
El Anillo Novikov: Deja que F denote un campo base que en nuestro caso será
o bien C o Z2, y dejar que R sea un subgrupo contable (con respecto a la
added). Let s, q ser variables formales. Definir un campo K® cuyos elementos son
Serie Laurent generalizada en s de la forma siguiente:
K. :=
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # F # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
En el caso de los vehículos de motor de motor de encendido por chispa, el valor de los vehículos de motor de encendido por chispa no será superior al 10 % del precio franco fábrica del vehículo.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Definir un anillo := K[q, q
−1) como anillo de polinomios en q, q−1 con
Coeficiente de K............................................................................................................................................... Convertimos en un anillo clasificado estableciendo el grado de s
ser 0 y el grado de q ser 2.
El anillo sirve como un modelo abstracto del anillo Novikov asociado a
un colector simplés. Vamos a ser (M,) un colector simplético conectado cerrado.
Denotar por HS2 (M) el subgrupo de clases de homología esférica en la integral
grupo homológico H2(M ;Z). Abusando de la notación escribiremos فارسى(A), c1(A)
para los resultados de la evaluación de las clases de cohomología y c1(M)
A H2(M ;Z). Establecer
2(M) := H
2 (M)/
donde, por definición,
B iff (A) = (B) y c1 (A) = c1 (B).
Denotar por el subgrupo de períodos de la
forma simpléctica en M en las clases de homología esférica. Por definición, el
El anillo de Novikov de un colector simplés (M.) es (M.). En lo que sigue,
cuando se fija (M,), abreviamos y escribimos, K y en lugar de (M,),
(M.) y (M.) (M.) respectivamente.
Homología cuántica: Conjunto 2n = dimM. La homología cuántica QH*(M)
se define como sigue. En primer lugar, se trata de un módulo graduado sobre.............................................................................................................................................
QH*(M) := H*(M;F)F
con la clasificación definida por las clasificaciones en H*(M;F) y
deg (a zsŁqk) := deg (a) + 2k.
En segundo lugar, y lo más importante, QH*(M) está equipado con una pro-
ect: si a • Hk(M ;F), b • Hl(M ;F), su producto cuántico es una clase
a* b • QHk+l−2n(M), definido por
a * b =
A2(M)
a ∗ b) A s
(A)q−c1(A),
donde (a ∗ b) A Hk+l−2n+2c1(A)(M) se define por el requisito
a ∗ b) A c = GW
A (a, b, c)
Aquí significa el índice de intersección y GWFA (a, b, c)
Gromov-Witten invariante que, en términos generales, cuenta el número de
esferas pseudo-holomórficas en M en la clase A que cumplen los ciclos que representan
a), b), c) H*(M;F) (véase [55], [56], [41] para la definición precisa).
Extender esta definición por linealidad a todo el QH*(M) que se obtiene
una operación de producto asociativo clasificada y conmutativa correctamente definida* en
QH*(M) que es una deformación del producto clásico en singular
En el caso de las empresas de seguros de vida, el importe de las primas de seguro de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de vida de seguros de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de seguros de vida de vida de seguros de vida de vida de las empresas de seguros de seguros de seguros de vida de vida de vida de vida de vida de vida. El álgebra cuántica de homología QH*(M)
es un anillo cuya unidad es la clase fundamental [M] y que es un módulo
de rango finito por encima de. Si a, b • QH*(M) han graduado grados grados grados de g (a), deg (b)
deg (a ∗ b) = deg (a) + deg (b)− 2n. 1)..........................................................................................................................................................
Estaremos principalmente interesados en la parte conmutativa del cuántico
anillo de homología (que en el caso F = Z2 es, por supuesto, todo el cuántico
anillo de homología). Para ello se introduce la siguiente notación:
Denotamos por QH•(M) toda la homología cuántica QH*(M) si
F = Z2 y la parte de grado par de QH*(M) si F = C.
En general, dado un espacio topológico X, denotamos por H•(X ;F) la
grupo H*(X;F) si F = Z2 y el par-
grado parte de H*(X;F) si F = C.
Por lo tanto, en nuestra notación el anillo QH•(M) = H•(M ;F)F
mutatisticve subring con la unidad de QH*(M) y un módulo de rango finito por encima de.
Nos identificaremos con un suburbio de QH•(M) por 7→ [M ] ♥.
1.3 Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer
Fijar un idempotente distinto de cero a QH2n(M) (por obvia clasificación considera-
ciones el grado de cada idempotente es igual a 2n). Nos ocuparemos de los espectrales.
invariantes c(a,H), donde H = Ht : M → R, t â € R, es un tiempo suave-
dependiente y 1-periódico en el tiempo Hamiltoniano función en M, o c(a, H),
donde H es un elemento de la cobertura universal Hśam (M) de Ham(M) rep.
resentida por un camino basado en la identidad dado por el flujo Hamiltoniano del tiempo-1
generado por H. Si H se normaliza, lo que significa que
dimM/2 = 0 para todos
t, entonces c(a,H) = c(a, H). Estos invariantes, que hoy en día son estándar
objetos de la teoría de Floer, fueron introducidos en [45] (cf. [59] en la asférica
caso; véase también [42], [43] para una versión anterior de la construcción y [22] para un
resumen de las definiciones y resultados en el caso monotono).
Descargo de responsabilidad: A lo largo de todo el documento suponemos tácitamente que (M,.......................................................................................................................................................
como (M ×T2, ), cuando hablamos de desplazabilidad estable) pertenece a la clase
S de colectores simpléticos cerrados para los que los invariantes espectrales están bien
definir y disfrutar de la lista estándar de propiedades (véase, por ejemplo, [41, Teorema
12.4.4]). Por ejemplo, S contiene todo asférica y esféricamente
colectores monotónicos. Además, S contiene todos los colectores simpléticos M2n
para los cuales, por un lado, c1 = 0 o el número mínimo de Chern (en
HS2 (M)) es al menos n − 1 y, por otra parte,
2 (M)) es un
subgrupo de R (cf. [64]). La creencia general es que la clase S incluye a todos
colectores simpléticos.
Definir un funcional : C(M) → R por
(H) := lim
c(a, lH)
Se muestra en [23] que el funcional tiene algún algebraico muy especial
propiedades (véase Teorema 3.6) que forman los axiomas de un simplés parcial
el cuasi-estado introducido en [23]. La siguiente definición está motivada en parte por
la obra de Albers [2].
Definición 1.1. Un subconjunto cerrado X â € M se llama pesado (con respecto a â €
o con respecto a un utilizado para definir
(H) ≥ inf
H. H. C. M., (3)
y se llama superpesado (con respecto a o a) si
(H) ≤ sup
H. H. C. M....................................................................................................................................... 4)
La elección por defecto de un idempotente a es la unidad [M ] QH*(M). En este
caso, como veremos a continuación, las colecciones de conjuntos pesados y superpesados
satisfacer las propiedades enumeradas en la sección 1.1 e incluir los ejemplos en ella.
Teniendo en cuenta las posibles aplicaciones (incluidas las obstrucciones geométricas a
la simplicidad de la homología cuántica), trabajaremos, siempre que sea posible, con
Ídempotentes generales.
La asimetría entre supX H e infX H está relacionada con el hecho de que
los números espectrales satisfacen una desigualdad triangular c(a ∗ b,
c(b, ŁG), mientras que puede no haber una desigualdad adecuada “en la dirección opuesta-
tion”. En el caso de que exista tal desigualdad “opuesta” (por ejemplo: cuando a = b
es un idempotente y • definido por él es un verdadero cuasi-estado simplético – ver
Sección 1.6 a continuación) la simetría entre supX H e infX H se restaura
y las clases de conjuntos pesados y superpesados coinciden.
Enfaticemos que la noción de (super)peso depende de la
elección de un anillo de coeficiente para la teoría de Floer. En este artículo los coeficientes
para la teoría Floer será Z2 o C dependiendo de la situación. A menos que
de lo contrario, nuestros resultados en subconjuntos (super)pesados son válidos para cualquier elección
los coeficientes.
El grupo Symp (M) de todos los simplectomorfismos de M actúa naturalmente sobre
H*(M;F) y, por lo tanto, en QH*(M) = H*(M;F) F. Claramente, la identidad
componente Symp0(M) de Symp (M) actúa trivialmente sobre QH*(M) y por lo tanto para
cualquier idempotente a • QH*(M) el correspondiente • es invariante Symp0(M).
Así, la imagen de un (super)pesado conjunto bajo un elemento de Symp0(M) es de nuevo
a (super)conjunto pesado con respecto al mismo idempotente a. Si a es invariante
bajo la acción de todo el Symp (M) (por ejemplo, si a = [M ]) las clases
de conjuntos pesados y superpesados con respecto a a son invariantes bajo la acción
de todo el Symp (M) de acuerdo con la propiedad de la invarianza presentada
en la sección 1.1 supra.
Mencionemos también que las colecciones de (super) sets pesados disfrutan de un
propiedad de estabilidad en inclusiones: Si X, Y, X â € ¢ Y, son subconjuntos cerrados de M
y X es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a un idempotente a
entonces Y también es pesado (respectivamente, superpesado) con respecto a la misma a.
Ahora estamos dispuestos a formular los principales resultados de la presente sección.
Teorema 1.2. Suponga que una y la otra son fijas. Entonces
(i) Cada conjunto superpesado es pesado, pero, en general, no viceversa.
ii) Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.
iii) Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado. En particular, un super-
un conjunto pesado no puede ser desplazado por un simplético (no necesariamente Hamil-
toniano) isotopía y si el idempotente a es invariante bajo el symplec-
grupo de tomorfismo de (M.o) (p.e. si a = [M ]), cada conjunto superpesado es
fuertemente no desplazable.
El siguiente teorema discute la relación entre pesadez/super-
propiedades de pesadez con respecto a diferentes idempotentes. En particular,
muestra que [M] juega un papel especial entre todos los otros idempotentes no cero
en QH*(M).
Teorema 1.3. Supongamos que a es un idempotente no cero en la homología cuántica.
(i) Cada conjunto que es superpesado con respecto a [M] también es superpesado con
respeto a a.
(ii) Cada conjunto que es pesado con respecto a a es también pesado con respecto a
[M]
iii) Suponga que el idempotente a es una suma de idempotentes distintos de cero
e1,. ..., el y asumir que un subconjunto cerrado X • M es pesado con re-
spect a a. Entonces X es pesado con respecto a ei para al menos una i.
La siguiente propuesta muestra que, en general, la pesadez de un conjunto
depende de la elección de un idempotente en la homología cuántica.
Proposición 1.4. Considere el toro T2n equipado con el sim-
estructura pléctica • = dpÃ3dq. Que M2n = T2n+CP n sea una explosión simpléctica de
T2n en un punto (la explosión se realiza en una pequeña bola alrededor del punto).
Asumir que el toro lagrangiano L • T2n dado por q = 0 no se intersecta
la bola en T2n, donde se realizó la explosión.
Entonces la transformación apropiada de L (identificado con L) es un sub-
múltiple de M, que no es pesado con respecto a algunos no cero idempotente
a QH*(M) pero pesado con respecto a [M]. (Aquí trabajamos con F = Z2).
A continuación, considere los productos directos de (super) sets pesados. Comenzamos con el fol-
convención de reducción en los productos tensores. Vamos a i, i = 1, 2, ser dos contables
Subgrupos de R. Dejemos que Ei sea un módulo sobre K.i. Pusimos
E1KE2 =
E1 K1 K1 K1 K2
K12
E2 KÃ32 KÃ12
. 5)
Si E1, E2 son también anillos automáticamente suponemos que el tensor medio prod-
uct es el producto tensor de los anillos. En palabras simples, ampliamos ambos módulos
a los módulos K. 1 ó 2 y considerar el producto tensor habitual sobre K. 1 ó 2.
Habida cuenta de dos colectores simpléticos (M1, M1,.......................................................................................................................................................................................................................................................
subgrupos de períodos de las formas simpléticas satisfacen
*(M1 ×M2, *(M1 ×M2) =*(M1, *1) +*(M2, *2).
Además, debido a la fórmula Künneth para la homología cuántica (véase, por ejemplo,
[41, Ejercicio 11.1.15] para la declaración en el caso monotono; el
caso en nuestra configuración algebraica se puede tratar de manera similar) existe un
monomorfismo de anillo lineal sobre K. 1 2
QH2n1(M1)KQH2n2(M2) QH2n1+2n2(M1 ×M2),
Fijaremos un par de idempotentes ai QH*(Mi), i = 1, 2. Las nociones
de (super)peso en M1, M2 y M1 ×M2 se entienden en el sentido de
idempotents a1, a2 y a1 a2 respectivamente.
Teorema 1.5. Supongamos que Xi es un pesado (resp. superpesados) subconjunto de Mi
con respecto a algunos idempotent ai, i = 1, 2. Entonces el producto X1 × X2
es un pesado (resp. superpesados) subconjunto de M con respecto al idempotente
a1 a2 QH•(M1 ×M2).
Una clase importante de conjuntos superpesados es dada por tallos estables introducidos
e ilustrado en la sección 1.1.
Teorema 1.6. Cada tallo estable es un subconjunto superpesado con respecto a cualquier
Ídempotente no cero a QH*(M). En particular, es fuerte y estable
no desplazable.
En la siguiente sección presentamos un ejemplo de tallos estables provenientes de Hamil-
acciones de toro toniano.
1.4 Acciones de toros hamiltonianos
Fibras del momento mapas de acciones de toros Hamiltonianos forman un interesante
parque infantil para probar las diversas nociones de desplazabilidad y pesadez
Introducción anterior. A lo largo del documento nos ocupamos de acciones eficaces solamente,
que es suponemos que el mapa : Tk → Ham(M) definir la acción
es un monomorfismo. Además, suponemos que el mapa del momento Φ =
(Φ1,. ...............................................................................................
k de la acción se normaliza: Φi es un normalizado
Hamiltonian para todos i = 1,..... por el teorema de Atiyah-Guillemin-Sternberg
[6], [30], la imagen = Φ(M) de Φ es un politopo convexo k-dimensional,
llamó al momento politopo. Los subconjuntos 1(p), p, se llaman fibras de
el mapa del momento. Una acción de toro se llama comprimible si la imagen de la
homomorfismo : η1(T
k) → η1(Ham(M)), inducido por la acción
grupo finito.
Teorema 1.7. Supongamos que está equipado con un Hamilto comprimible.
nian Tk-action con mapa del momento Φ y politopo del momento. Dejad que Y # # # sea #
cualquier subconjunto convexo cerrado que no contenga 0. Entonces el subconjunto 1(Y)
es establemente desplazable. En particular, la fibra 1(0) es un tallo estable.
Tenga en cuenta que para los colectores tóricos simpléticos, es decir, cuando 2k = dimM, el punto
0 es el baricentro del politopo del momento con respecto a la Lebesgue
medida. Esto se deriva de nuestra suposición sobre la normalización de la
mapa del momento.
Los teoremas 1.6 y 1.7 implican que la fibra 1(0) del toro comprimible
acción es estable no desplazable, y así obtenemos la descripción completa
de fibras establemente desplazables para tales acciones.
En el caso de que la acción no sea comprimible, la cuestión de la
La descripción completa de las fibras estable no desplazables permanece abierta. Hacemos un
progreso parcial en esta dirección mediante la presentación de al menos una de esas fibras, llamado
la fibra especial, explícitamente en el caso de que (M,•) sea esféricamente monotona:
HS2 (M)
= c1(TM)HS2 (M)
.......................................................................
La fibra especial se puede describir a través de la acción mixta-Homomor Maslov-
phism introducido en [49]: Dejar (M2n, ) ser una esférica monotona simplectic
múltiple, y que {ft}, t [0, 1], sea cualquier bucle de difeomorfismos hamiltonianos,
con f0 = f1 = 1, generado por un func de Hamilton normalizado 1-periódico-
tion F (x, t). Las órbitas de cualquier bucle hamiltoniano son contractibles debido a la
teoría estándar de Floer1. Elija cualquier punto x â € M y cualquier disco u : D2 → M
abarcando la órbita γ = {ftx}. Definir la acción
2 de la órbita por
AF (γ, u) :=
F (γ(t), t)dt−
u.
Trivialize el paquete de vectores simplés u*(TM) sobre D2 y denote por
mF (γ, u) el índice Maslov del bucle de matrices simpléticas correspondientes
a {ft con respecto a la trivialización elegida. Uno comprueba fácilmente que,
en vista de la monotonicidad esférica, la cantidad
I(F) := −AF (γ, u)−
mF (γ, u)
no depende de la elección del punto x y el disco u, y es invariante
bajo los homotopies del bucle Hamiltoniano {ft}. De hecho, yo soy un bien definido
homomorfismo de η1(Ham(M)) a R (véase [49], [68]).
Supóngase de nuevo que : Tk → Ham(M,) es un torus hamiltoniano ac-
tion. Escriba para el homomorfismo inducido de los grupos fundamentales.
Puesto que el espacio objetivo Rk del mapa del momento Φ se identifica naturalmente con
Hom(π1(T)
k), R), la retirada I de la acción mixta-Homomor Maslov-
phism con el signo inverso puede ser considerado como un punto de Rk. Llamamos
es un punto especial y denota por pspec. La preimagen Φ
−1(pspec) se llama
fibra especial del mapa del momento. En el caso k = 1, cuando Φ es un valor real
función en M, llamaremos pspec el valor especial de Φ.
1La teoría de Floer garantiza la existencia de al menos una órbita periódica contractible –
Esto no es obvio a priori si {ft} no es un flujo autónomo. Desde todas las órbitas de {ft}
son homotópicos, todos son contráctiles.
2Tenga en cuenta que nuestra acción funcional y la de [49] son de signos opuestos.
Si k = n y M es un colector torico simplético, entonces pspec se puede definir
en términos puramente combinatorios que implican sólo el politopo. Es decir, elegir
un vértice x de Ł. Puesto que en este caso es un politopo Delzant [20], hay un
única (hasta una permutación) elección de vectores v1,. .................................................
• oriundo de x;
• abarcan los rayos n que contienen los bordes de • adyacentes a x;
• formar una base de Zn sobre Z.
Proposición 1.8.
pspec = x+
vi. 6)
Prueba. Los vértices del momento politopo están en correspondencia uno-a-uno
con los puntos fijos de la acción. Que x â € ¢ M sea el punto fijo corre-
sponding al vértice x = (x1,. ..,xn). Entonces los vectores vj = (v
j,. v..............................................................
j = 1,..., n, son simplemente los pesos de la isotropía Tn-acción en TxM. Desde
la definición de la acción mixta-Maslov invariante de un círculo hamiltoniano
la acción no depende de la elección de una órbita 1-periódica y
ning, vamos a calcular todos los II, l = 1,..., n, utilizando la órbita periódica constante
concentrado en el punto fijo x y el disco constante u que lo abarca. Claramente,
AΦi(x, u) = Φi(x) = xi y mΦi(x, u) = 2
vij Łi = 1,..., n,
que produce fácilmente la fórmula (6).
E.Shelukhin nos señaló que al resumir las ecuaciones (6) sobre todo el
vértices x(1). ..,x(m) • Rn del politopo del momento, uno consigue fácilmente que
pspec =
Teorema 1.9. Suponga que M2n es un colector simplético esféricamente monótono
equipado con un Hamiltonian Tk-action. Entonces la fibra especial del momento
mapa es superpesado con respecto a cualquier (no-cero) idempotente a QH2n(M).
En particular, es estable y no desplazable.
Mencionemos que, en particular, la fibra especial no está vacía y así
pspec â â € € TM. Por otra parte pspec es un punto interior de • – de lo contrario Φ
−1(pspec) es
isotrópico de dimensión < n y, por lo tanto, desplazable (véase, por ejemplo, [9]).
Observación 1.10. Si dimM = 2dimTk (es decir, nos ocupamos de un
múltiple), la fibra especial, dicen L, es un toro lagrangiano. De hecho, este toro
es monotona: por cada D • η2(M,L) que tenemos
* = * mL(D),
donde mL representa la clase Maslov de L. Esto es una consecuencia inmediata
de las definiciones.
Observación 1.11. Tenga en cuenta que cuando M es esféricamente monotona y la acción es
Los teoremas comprimibles 1.7 y 1.9 coinciden entre sí: en este caso pspec = 0
y por lo tanto la fibra especial es un tallo estable por Teorema 1.7. Se desconoce
si esta propiedad persiste para las fibras especiales de ac-
ciones.
Ejemplo 1.12. Dejar que M sea el monótono simplético explosión de CP 2 en k
puntos (0 ≤ k ≤ 3) que sean equivariantes con respecto a la norma T2-
acción y que se realiza lejos del toro de Clifford en CP 2. Desde
la explosión es equivariante, M viene equipado con una acción Hamiltonian T2-
ampliación de la acción T2 sobre CP 2. El toro Clifford es una fibra del momento
mapa de la acción T2 sobre CP 2. Que L M sea el toro lagrangiano que es
la transformación adecuada del toro de Clifford bajo la explosión – es una fibra de
el mapa del momento de la T2-acción en M. Usando la Proposición 1.8 es fácil
ver que L es la fibra especial de M. De acuerdo con Teorema 1.9, es estable
y fuertemente no desplazable. De hecho, es un tallo: la desplazabilidad de
todas las demás fibras se comprobaron para k = 0 en [10], para k = 1 en [23] y para
k = 2, 3 in [40].
Nos remitimos a la sección 1.7.2 para seguir examinando los problemas conexos y muy
avances recientes.
Digresión: Calabi vs. acción-Maslov. El método utilizado para demostrar
Teorema 1.9 también permite probar el siguiente resultado que implica la mezcla
acción-Homomorfismo Maslov. Denotar por vol (M) el volumen simplético de
M. Considere la función μ : Hśam (M) → R definido por
μ(H) := −vol (M) lim
c(a, ŁlH)/l.
En el caso cuando a es la unidad en un campo que es un resumen directo en el
la descomposición de la K-álgebra QH2n(M), como álgebra, en un directo
suma de subalgebras, μ es un cuasimorfismo homogéneo en H
Calabi cuasi-morfismo [22],[24],[46]; en el caso general tiene utilería más débil
erties [23]. Con este lenguaje, la función de • (en funciones normalizadas) es
inducido (hasta un factor constante) por el retroceso de μ a la Lie álgebra de
Hśam (M).
Después de P.Seidel describimos en [22] la restricción de μ (de hecho, para cualquier
M esféricamente monótono) en el η1(Ham(M))
homomorfismo η1(Ham(M)) → QH
* (M), donde QH
* (M) denota:
grupo de elementos invertibles en el anillo QH*(M). Aquí damos una alternativa
descripción de 1(Ham(M)) en términos de la acción mixta-Homomor Maslov-
phism I que, a su vez, también proporciona cierta información sobre el Seidel
homomorfismo.
Teorema 1.13. Asumir que M es esféricamente monotona y dejar que μ se defina como
arriba para algunos idempotentes distintos de cero a QH*(M). Entonces
1(Ham(M)) = vol (M) · I.
Nótese que, en particular, 1(Ham(M)) no depende de un utilizado para de-
Bien μ. El teorema también implica que μ desciende a un cuasi-morfismo en
Ham(M) si y sólo si I : η1(Ham(M)) → R desaparece idénticamente (desde μ
desciende a un cuasi-morfismo en Ham(M) si y sólo si 1(Ham(M)) 0 –
Véase, por ejemplo, [22], Prop. 3.4). La prueba del teorema figura en la sección 9.1.
Mencionemos también que, curiosamente, el homomorfismo I
coincide con la restricción a η1(Ham(M)) de otro cuasimorfismo
sobre la Hśam (M) construida por P.Py (véanse [52, 53]).
Digresión: Acción-Homomorfismo Maslov y Futaki invari-
hormiga. Esta observación surgió de una observación que nos señaló Chris
Woodward – le estamos agradecidos por ello. Asume que nuestro simplés
multipleM es complejo Kähler (es decir. se induce la estructura simpléctica sobre M
por el Kähler uno) y Fano (con esto queremos decir aquí que [] = c1). Asumir
también que una acción Hamiltoniana S1 {ft} preserva la métrica de Kähler y el
estructura compleja. Por ejemplo, si M2n es un colector torico simplético puede
estar equipados canónicamente con una estructura compleja y una métrica de Kähler invari-
en el marco de la acción Tn sobre M, por lo tanto, en el marco de la acción de cualquier subgrupo S1-
{ft} de T
Que V sea el campo vectorial Hamiltoniano que genera el flujo Hamiltoniano
{ft}. Puesto que {ft} preserva la estructura compleja, uno puede asociar a V su
Futaki invariante F (V ) C [29]. Ha sido comprobado por E.Shelukhin [63]
que, hasta un factor constante universal, este invariante Futaki es igual a la
valor del homomorfismo de acción mixta-Maslov en el bucle {ft}:
F(V) = const · I({ft}).
Tenga en cuenta que si tal M admite una métrica de Kähler-Einstein entonces el Futaki
invariante tiene que desaparecer [29] – así si I({ft}) 6= 0 el colector no admite
a métrica de Kähler-Einstein. Por otra parte, si M2n es toric lo contrario también es cierto:
si el invariante Futaki desaparece para cualquier V generando un subgrupo del toro
Actuando en M entonces M admite una métrica de Kähler-Einstein – esto sigue de una
teorema de Wang y Zhu [67], combinado con un resultado previo de Mabuchi
[38]. En términos del politopo del momento, la desaparición de la invariante Futaki,
y, en consecuencia, la existencia de una métrica de Kähler-Einstein, en un Fano de Kähler
múltiplo tórico significa precisamente que el punto especial del politopo coincide
con el baricentro.
1.5 Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos
Que (M2n, ) sea un colector simplético cerrado esféricamente monótono con [] =
• c1(TM) en el punto η2(M), • • > 0. Deja que L-M sea un monótono cerrado Lagrangiano
submanifold con el número mínimo de Maslov NL ≥ 2. Como de costumbre, ponemos
NL = + + η2(M,L) = 0. Como antes, trabajamos con el campo básico F que
es Z2 o C. En el caso F = C, suponemos que L es relativamente vuelta, que
es L es orientable y la 2a clase Stiefel-Whitney de L es la restricción de
alguna clase de cohomología integral de M.
Descargo de responsabilidad: En el caso F = C los resultados de esta sección son condicionales:
Damos por sentado que la Proposición 8.1 a continuación, que fue probada por Biran
y Cornea [15] para las homologías con coeficiente Z2, se extiende a las homologías
con C-coeficiente. En cada uno de los ejemplos específicos a continuación vamos a explícitamente
indicar qué F estamos utilizando y cada vez que usamos F = C suponemos que L
es relativamente girar.
Denotar por j el morfismo natural j : H•(L;F) → H•(M ;F). Nosotros decimos que
L cumple la condición de Albers [2] si existe un elemento S • H•(L;F) así
que j(S) 6= 0 y
deg S > dimL+ 1−NL.
Nos referiremos a S como a un elemento de Albers de L.
Ejemplo 1.14. Suponga que [L] H•(L;F) y j([L]) H•(M;F) no es cero.
Esto significa precisamente que [L] es un elemento de Albers de L.
Un monótono cerrado Lagrangian submanifold L que satisface esta
(y cuyo número mínimo de Maslov es mayor que 1) se llamará
homológicamente no trivial en M.
Teorema 1.15. Que L sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold satisfacer-
En el estado de Albers. Entonces L es pesado con respecto a [M ]. En particular,
cualquier submanifold Lagrangiano homológicamente no trivial es pesado con respeto
a [M].
Ejemplo 1.16. Asumir que η2(M,L) = 0. Entonces la clase de homología de un
punto es un elemento Albers de L, y por lo tanto L es pesado. Tenga en cuenta que en este
la pesadez del caso no se puede mejorar a la pesadez super: el meridiano en el
Dos torso es pesado pero no superpesado. Aquí tomamos F = Z2.
Ejemplo 1.17 (Esferas lagrangianas en las hipersuperficies de Fermat). Más examen...
(pero no necesariamente superpesada) monotona Lagrangian sub-
Los colectores pueden ser construidos de la siguiente manera3.
Dejar que M • CP n+1 sea una hipersuperficie compleja suave de grado d. La
el retroceso de la estructura simpléctica estándar de CP n+1 convierte M en una
colectores simpléticos (de dimensión real 2n). Si d ≥ 2, entonces, como se explica,
por ejemplo, en [12],M contiene una esfera lagrangiana: M se puede incluir en
una familia de hipersuperficies algebraicas de CP n+1 con degeneraciones cuadráticas en
puntos aislados y el ciclo de desaparición de tal degeneración se pueden realizar
por una esfera lagrangiana que sigue [5], [21], [60], [61], [62].
Dejemos que M • CP n+1 sea una hipersuperficie proyectiva de grado d, 2 ≤ d < n+ 2.
El número mínimo de Chern de M es igual a N := n+2− d > 0. Let Ln â € M2n
ser un simple submanifold Lagrangian conectado (por ejemplo, un Lagrangian
esfera).
En primer lugar, considerar el caso cuando n es par, L es relativamente vuelta y el Euler
las características de L no desaparecen (este es el caso de una esfera). Entonces el
3Agradecemos a P.Biran su ayuda indispensable con estos ejemplos.
clase de homología j([L]) Hn(M;Z) no es cero: su número de auto-intersección
en M hasta el signo es igual a la característica de Euler. Así [L] es un Albers
elemento. (Aquí usamos F = C). En vista de Teorema 1.15, L es pesado con
con respecto a [M].
Segundo, supongamos que n es de paridad arbitraria pero n > 2d − 3, y no
ya se asume la restricción de las características de Euler de L. Esto da resultados
NL = 2N > n+ 1 y por lo tanto L satisface la condición de Albers con la clase de
un punto P como elemento de Albers. Así L es pesado con respecto a [M ] – aquí
Utilizamos F = Z2.
Finalmente, fijar n ≥ 3 y un número par d tal que 4 ≤ d < n+2. Considerar
a Fermat hipersuperficie de grado d
M = zd0 + z
1 +... + z
n+1 = 0}
n+1.
Su parte real L := M • RP n+1 se encuentra en el gráfico afín z0 6= 0 y está dada por
la ecuación
xd1 +.. + x
n+1 = 1,
donde xj := Re(zj/z0). Dado que d es par, L es una esfera n-dimensional. As
se explicó anteriormente, L es pesado con respecto a [M ] si n es uniforme
(y F = C) o n > 2d − 3 (y F = Z2). Sin embargo, en cualquiera de los dos casos L no es
superpesados con respecto a [M]. De hecho, vamos a hacer que Zd sea el grupo de complejos
raíces de la unidad. Dado un vector α = (α1,. ..................................................................................................
n+1, denotar por fα la
simplectomorfismo de M dado por
fα(z0 : z1 :. .. : zn+1) = (z0 : α1z1 :. .. : αn+1zn+1). 7)..................................................................................................................................................
Si todos los αj â ¬ C\R, entonces αjx /â € R siempre que x â € Râ € €, y por lo tanto fα(L)â € L = â €.
Por lo tanto, L es muy desplazable y la reclamación se deriva de la parte iii)
de Teorema 1.2.
El siguiente resultado da una condición suficiente de superpeso fácil de usar.
Teorema 1.18. Suponga que L es homológicamente no trivial en M y asuma
a QH2n(M) es un idempotente divisible distinto de cero por j([L]) en QH•(M), que
es un j([L])*QH•(M). Entonces L es superpesada con respecto a a.
La no trivialidad homológica de L en la hipótesis del teorema significa
sólo que [L] es un elemento Albers de L (véase el ejemplo 1.14). De hecho, la
teorema se puede generalizar a los casos cuando L tiene otros elementos Albers -
Véase la Observación 8.3 ii).
Ejemplo 1.19 (Esferas lagrangianas en cuadriciclos). Aquí trabajamos con F = C.
Que M sea la parte real del Fermat cuadrático M = z20 +
j=1 z
j = 0}.
Supongamos que n es par y L es un simple submanifold Lagrangian conectado
con una característica Euler no discontinua (por ejemplo: a Esfera lagrangiana). Bajo
Esta suposición, [L] H•(L) y j([L]) 6= 0, ya que L tiene autodesvanecimiento
intersección. Denotar por p • H*(M ;F) la clase de un punto. El cuántico
El anillo de homología de M fue descrito por Beauville en [8]. En particular, p * p =
w−2[M], donde w = snqn. Por lo tanto
a± :=
[M]± pw
son idempotentes. Uno puede mostrar que j([L]) divide a− y por lo tanto L es a−-
superpesado. Puesto que a- es invariante bajo la acción de Symp(M), el
L es fuertemente no desplazable.
Para simplificar, presentamos el cálculo en el caso n = 2 – el general
El caso es absolutamente análogo. El cuadrical de 2 dimensiones es simplectomórfico
a (S2 × S2, â € € ¬). Denotar por A y B las clases de [S2] × [punto] y
[punto] × [S2], respectivamente. Puesto que la forma simpléctica desaparece en j([L]) nosotros
obtener que j([L]) = l(B − A) con l 6= 0. Se sabe que A * B = p y
B*B = w−1[M ]. Por lo tanto j([L]) ∗ 1
wB = a−, es decir j([L]) divide a−.
En particular, el antidiagonal lagrangiano
S2 × S2 : x = −y},
que es difeomórfico a la 2-esfera, es superpesado con respecto a a-. Lo es.
no se sabe si es superpesada con respecto a a+. Información adicional
en superpesados submanifolds Lagrangian en los cuadriculos se puede extraer
a partir de [15].
Ejemplo 1.20 (Un toro Lagrangiano no pesado en S2 × S2). Con-
sider el cuadro M = S2 × S2 del ejemplo anterior. Pensaremos en
S2 a partir de la esfera de unidad en R3 cuya forma simpléctica es la forma de área dividida
por 4η. Vamos a trabajar de nuevo con F = C. Curiosamente, tal M
contiene un toro Lagrangiano monotona que no es pesado con respecto a a−.
Es decir, considere un submanifold K dado por ecuaciones4
K = (x, y) S2 × S2 : x1y1 + x2y2 + x3y3 = −
, x3 + y3 = 0}.
4Agradecemos a Frol Zapolsky su ayuda con los cálculos en este ejemplo.
Uno comprueba fácilmente que K es un toro monótono Lagrangiano con NK = 2
que representa un elemento cero en H2(M ;F) (ambos con F = C y F = Z2).
Así H•(K;F) no contiene ningún elemento de Albers. Además, K es
disjunto del antidiagonal lagrangiano y por lo tanto no es pesado con
a) ya que, como se ha demostrado anteriormente, • es superpesada con respecto a
a−. En particular, K es un toro monótono exótico: no es simplectomórfico
al toro de Clifford que es un tallo y por lo tanto un--superpesado. Otro
estudio de los toros exóticos en productos de esferas se está llevando a cabo actualmente por
Y.Chekanov y F.Schlenk.
Es un problema interesante para entender si K es superpesada con
respecto a a+, o al menos no desplazable. Identificar M \ {la diagonal} con
el paquete de co-bola de la unidad de la 2-esfera. Después de tal identificación, corre...
sponds a la sección cero, mientras que K corresponde a un Lagrangiano monotone
Torus, di K ′. Curiosamente, la homología Lagrangia Floer de K ′
en T ∗S2 (con F = Z2) no desaparece como lo demostraron Albers y Frauen-
felder en [3], y por lo tanto K no es desplazable en M \ {la diagonal}. Por lo tanto
la cuestión de la (no)-desplazabilidad de K está relacionada con la comprensión de la
efecto de la compactación del conjunto de co-bolas de la unidad a S2 × S2.
Las pruebas de los teoremas anteriores se basan en estimaciones espectrales debido a
Albers [2] y Biran-Cornea [15]. Además, los resultados anteriores admiten
varias generalizaciones en el marco de la teoría de Biran-Cornea de la cuántica
invariantes para los submanifolds monotónicos lagrangianos, véase [15] y la discusión
en la sección 8 infra.
1.6 Efecto de la semisimplicidad
Recuerde que un álgebra conmutativa (finito-dimensional) Q sobre un campo A es
llamado semi-simple si se divide en una suma directa de campos como sigue: Q =
Q1 â € TM..â € Qd, donde
• cada Qi Q es un subespacio lineal de dimensión finita sobre A;
• cada Qi es un campo con respecto a la estructura de anillo inducida;
• la multiplicación en Q respeta la división:
(a1,. .., ad) · (b1,......................................................... .., bd) = (a1b1,. ., adbd).
Un teorema clásico de Wedderburn (véase, por ejemplo, [66], §96) implica que la
simplicidad es equivalente a la ausencia de nilpotents en el álgebra.
Observación 1.21. Asumir que el K-álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra,
en una suma directa de dos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y dejar e
ser la unidad en ese campo. En particular, este es el caso cuando QH2n(M,
Q1â €...â € Qd es semi-simple y e es la unidad en uno de los campos Qi. Un poco.
generalización del argumento en [23, 46] (véase [24], la observación en pp. 56 a 57)
muestra que el cuasi-estado parcial asociado a e es R-homógeno
(y no sólo R+-homógeno como en el caso general).
Esto inmediatamente produce que cada conjunto que es pesado con respecto a e es
automáticamente superpesados con respecto a e.
De hecho, en esta situación es un verdadero cuasi-estado simplético en el sentido de
[23] y, en particular, un cuasiestado topológico en el sentido de Aarnes [1] (véase
[23] para más detalles). En [1] Aarnes demostró ser un análogo de la representación Riesz
teorema para cuasiestados topológicos que generalizan la correspondencia
entre los estados genuinos (es decir, las funciones lineales positivas en C(M)) y
medidas. El objeto que corresponde a un cuasi-estado se llama un cuasi-
medida (o una medida topológica). Con este lenguaje en su lugar, los conjuntos que
son (super)pesados con respecto a no son nada más que los conjuntos cerrados de la
Cuasi-medida completa . Cualquiera de estos dos conjuntos tiene que intersecar para el siguiente
razón básica: cualquier cuasi-medida es finitamente aditivo en subconjuntos cerrados disjuntos
y, por tanto, si dos subconjuntos cerrados de M de la cuasimedida completa no
intersecta, la cuasi-medida de su unión debe ser mayor que el total
casi-medida de M, lo cual es imposible.
Ejemplo 1.22. En este ejemplo volvemos a asumir que F = Z2. Dejar M =
El CP n estará equipado con la estructura simpléctica Fubini-Study, normalizada.
de modo que la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M) sea la clase homóloga de la hiper-H2n−2(M)
avión. Uno verifica fácilmente el siguiente isomorfismo K-álgebra
QH2n(M) ≤ K[X ]/+X
n+1 − u−1®,
donde
K = Z2[[u] = {zku
k + zk−1u
k−1 +. .............................................
es el campo de la serie tipo Laurent en u := sn+1 con coeficientes en Z2 y
X = qA. Puesto que ninguna raíz de grado 2 o más de u−1 está contenida en K, la
el polinomio P es irreductible sobre K para cualquier n (véase, por ejemplo, [34], Teorema 9.1) y
por lo tanto QH2n(M) es un campo. De ahí las colecciones de pesados y superpesados
los conjuntos con respecto a la clase fundamental coinciden.
Alegamos que L := RP n + CP n es superpesada. El caso n = 1 cor-
responde al ecuador de la esfera, que se sabe que es un tallo estable.
Para n ≥ 2, tenga en cuenta que NL = n + 1 y S = [RP]
2] es un elemento de Albers de L.
Por lo tanto, L es [M]-pesada por Teorema 1.15, y por lo tanto superpesada.
El siguiente resultado sigue directamente de Teorema 1.3 iii) y Observación 1.21:
Teorema 1.23. Supongamos que QH2n(M) es semi-simple y se divide en un
suma directa de los campos d cuyas unidades serán denotadas por e1,. ., ed. Asumir que
un subconjunto cerrado X â € M es pesado con respecto a un idempotente no cero a – como
uno puede ver fácilmente, tal idempotente tiene que ser de la forma a = ej1+...+ejl
para unos 1 ≤ j1 <. .. < jl ≤ d. Entonces X es superpesada con respecto a algunos
eji, 1 ≤ i ≤ l.
El teorema produce la siguiente caracterización geométrica de no-semi-
simplicidad de QH2n(M). Es decir, definir el grupo Torelli simplés como el
grupo de todos los simplectomorfismos de M que inducen el mapa de identidad en
H•(M;F). Por ejemplo, este grupo contiene Symp0(M). Tenga en cuenta que cualquier ele-
del simplés grupo Torelli actúa trivialmente sobre la homología cuántica
de M y, por lo tanto, los mapas conjuntos (super)pesados con respecto a un idempotente a a
sets (super)pesados con respecto a a.
Ahora Teorema 1.23 implica fácilmente lo siguiente
Corolario 1.24. Supóngase que (M,) contiene un subconjunto cerrado X que es
pesado con respecto a un idempotente no cero y desplazable por un simplec-
tomorfismo del simplético grupo Torelli. Entonces QH2n(M) no es semi-
Simple.
Los ejemplos más simples son proporcionados por conjuntos de la forma Xa meridian}
en M × T2 con una X pesada.
Otro resultado en la misma vena es el siguiente5. Dado un conjunto Y de positivo
enteros, poner βY (M) =
i-Y βi(M), donde βi(M) significa el i-th Betti
número de M sobre F.
5En el caso F = C, el teorema 1.25 es condicional, ver la descargo de responsabilidad en el anterior
sección.
Teorema 1.25. Asumir que cualquiera de los siguientes (sin excluirse mutuamente)
las condiciones son las siguientes:
a) M contiene m > βY (M) + 1 monotono cerrado disjunto por pares La-
Submanifolds grangianos cuyos números mínimos de Maslov son mayores que n+1
y pertenecen a un conjunto Y de enteros positivos.
(b) M contiene un par de par desjuntos homológicamente no trivial Lagrangian sub-
sus clases fundamentales, consideradas como elementos (no nulos) de
H•(M ;F), son linealmente dependientes sobre F.
(En el caso F = C asumir que todos los submanifolds Lagrangian arriba son
también girar relativamente.)
Entonces QH2n(M) no es semi-simple.
La prueba se presenta en la sección 8.
Ejemplo 1.26. Por ejemplo, si todos los submanifolds Lagrangian de parte
(a) del teorema están simplemente conectados, sus números mínimos de Maslov son
igual a 2N, de modo que el conjunto Y consta de un elemento: Y = {2N}. Por lo tanto
si 2N > n + 1 y QH2n(M) es semisimple, M no puede contener más de
β2N(M)+ 1 par-desjunto simplemente-conectados Lagrangians (proporcionó todo de
son relativamente girar si trabajamos con F = C).
Ejemplo 1.27. Set F = C. Fix n ≥ 11 y un número par d de tal manera que
6 ≤ d < (n + 3)/2. Considerar una hipersuperficie de Fermat de grado d
M = zd0 + z
1 +... + z
n+1 = 0}
Como ya vimos en el ejemplo 1.17, el colector L := M • RP n+1 es un
Esfera n-dimensional lagrangiana. Considere las imágenes fα(L), donde sim-
los plectomorfismos fα se definen por (7). Tenga en cuenta que, siempre y cuando αj/βj 6= ±1
Para todas las j, las esferas lagrangianas fα(L) y fβ(L) son discontinuos. Usando esto
observación, es fácil encontrar d/2 esferas Lagrangian disjuntas en M.
El número mínimo de Chern N deM es igual a n+2-d, y así 2N se encuentra en la
intervalo [n+2, 2n−4]. En este caso β2N(M) = 1 (véase, por ejemplo, [31]). Desde d/2 > 2,
Concluimos del ejemplo anterior que QH2n(M) no es semi-simple.
Esta conclusión concuerda con el cálculo de QH*(M) por Beauville [8].
6Vea el ejemplo 1.14 para la definición. Como en ese ejemplo volvemos a asumir que todos nuestros
Los submanifolds lagrangianos están cerrados, monotonas y tienen un número mínimo de Maslov mayor
que 1.
Sería interesante encontrar ejemplos de colectores simpléticos donde el
homología cuántica no se conoce a priori y donde los teoremas anteriores son
aplicable. Mencionemos que las diferentes obstrucciones a la semi-simplicidad
de QH•(M) procedentes de submanifolds lagrangianos fueron encontrados recientemente por
Biran y Cornea [14].
1.7 Debate y preguntas abiertas
1.7.1 ¿Una fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer?
Claramente, la deslocalización implica una deslocalización estable. Lo contrario no es
true, como muestra el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.28. Considerar el complejo espacio proyectivo CP n equipado con
la forma simpléctica Fubini-Study (en nuestra normalización el área de una línea
es igual a 1). Identificar la CP n con el corte simplético de la bola euclidiana B(1)
Cn (que es el límite de B(1) se colapsa a CP n−1 a lo largo de las fibras de
la fibración Hopf, véase [36], donde B(r) := z2 ≤ r}. Entonces B(r) â € ¢ CP n
i) Desplazables para r < 1/2;
ii) muy no desplazable, pero establemente desplazable, para r • [1/2, n/n+1];
iii) fuerte y estable no desplazable para r ≥ n/n+ 1.
Es instructivo analizar las técnicas involucradas en las pruebas:
el resultado de no desplazabilidad ii) es una consecuencia inmediata de Gromov
teorema de embalaje por dos bolas, que se prueba a través de la variante J-holomorphic
del teorema que afirma que existe una línea J-holomorphic en CP n
pasando por cualquier dos puntos. En el caso iii) la bola B(r) contiene la
Clifford Torus, que es establemente no desplazable. Esto es lo que se desprende de la
el hecho de que el toro de Clifford es un tallo (véase [10]), o de la no desaparición de su
Homología Lagrangian Floer [16].
La deslocalización de B(r) en i) se deriva de la construcción explícita
del embalaje de las dos bolas (véase [33]). La dislocabilidad estable en (ii) es un
consecuencia directa del teorema 1.7 anterior: En efecto, considerar la norma Tn-
acción sobre el CP n. El politopo del momento normalizado............................................................................................................................................
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
I ≤ 1 } en
Rn, donde (1,. .., ln) denotan las coordenadas en R
n, y w = − 1
(1,.., 1).
Nótese que la bola B(r) es igual a 1(r) donde r := r stand + w. Nota
que no contiene el origen exactamente cuando r ≤
que da lugar a la
Desplazabilidad estable en el inciso ii) supra.
Una característica misteriosa del Ejemplo 1.28 es la siguiente. Por un lado, nosotros
creen en el siguiente principio empírico general: cada vez que se puede establecer
la no-desplazabilidad de un subconjunto por medio de la teoría de la homología Floer,
se obtiene de forma gratuita la estabilidad de no-desplazabilidad. Por otro lado, nosotros...
, siguiendo una explicación filosófica proporcionada por Biran, que Gromov
El teorema de empaquetado de dos bolas puede extraerse de algunas “operaciones” en
Homología Floer. Ejemplo 1.28 muestra que al menos una de estas creencias es
No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Sería interesante aclarar esta cuestión.
1.7.2 Fibras pesadas de subespacios conmutativos de Poisson
Se demostró en [23] que para cualquier Poisson-commutativo de dimensión finita
al menos una de las fibras de su mapa de momento Φ tiene que
ser no-desplazable.
Pregunta. ¿Es cierto que al menos una fibra de Φ tiene que ser pesada (con respeto
a algún idempotente que no sea cero un QH*(M)?
Es fácil construir un ejemplo de A cuyo mapa de momento Φ no tiene
fibras superpesadas: tomar T2 con las coordenadas p, q mod 1 en él y tomar A
ser el conjunto de todas las funciones lisas dependiendo solamente de p – el correspondiente
Φ define la fibración de T2 por meridianos, ninguno de los cuales es superpesado.
Esta es otra pregunta que se refiere a las fibras del hombre torico simplés.
ifolds, es decir. fibras de un mapa de momento Φ de una eficaz acción Hamiltoniana Tn
el (M2n, فارسى). Suponga que M es (esféricamente) monotona. Teorema 1.9 muestra que
en tal caso la fibra especial de M es superpesada, por lo tanto estable y fuerte
no desplazable. En todos los ejemplos donde se ha comprobado este turno
para ser la única fibra no desplazable de M.
Pregunta. Es la fibra especial para un monótono tórico simplético M siempre
¿Un tallo? En particular, es la única fibra no desplazable del momento
En el caso del monótono la fibra especial es claramente la única fibra pesada de
el mapa del momento, porque es superpesada y cualquier otra fibra pesada
han tenido que intersecarlo. Por otro lado, si consideramos un Hamiltonian Tk-
acción sobre M2n con k < n puede haber más de una fibra no desplazable
del mapa del momento – por ejemplo, debido a obstrucciones puramente topológicas:
la más simple acción Hamiltoniana T1-en CP 2 proporciona tal ejemplo. In
el caso de los colectores tóricos simpléticos monotónicos de dimensión superior a 4
La pregunta anterior está absolutamente abierta.
Después de la aparición del primer borrador de este documento, un progreso notable en este
la dirección se ha logrado en las obras de Cho [17] y Fukaya, Oh, Ohta
y Ono [28]: En particular, resulta que un simplés no monótono
colector torico puede tener más de una fibra no desplazable – esto sucede
ya para ciertas explosiones equivariantes de CP 2.
Organización del documento:
En la sección 2 probamos el teorema 1.7 que, en particular, declara que el
fibra especial de un toro comprimible acción es un tallo estable.
En la Sección 3 se resumen varios preliminares de la teoría de Floer, incluyendo
propiedades básicas de invariantes espectrales y cuasiestados simpléticos parciales. In
adicional deletreamos una propiedad útil del índice de Conley-Zehnder: es un
casi-morfismo en la cobertura universal del grupo simplés (ver Propo-
Situación 3.5). Para la integridad extraemos una prueba de esta propiedad de [54];
Alternativamente, se pueden utilizar los resultados de [19].
En la sección 4 demostramos las partes i) y iii) del Teorema 1.2 y el Teorema 1.3
sobre las propiedades básicas de los conjuntos (super)pesados.
En la sección 5 probamos Teorema 1.5 en productos de (super) sets pesados. Nuestro
enfoque se basa en una fórmula de producto bastante general para invariantes espectrales
(Teorema 5.1), que se demuestra por un argumento algebraico bastante largo.
En la sección 6 demostramos el teorema 1.2 ii) sobre la no-desplazabilidad estable de
subconjuntos pesados. El argumento implica una “versión de bebé” de los hombres arriba mencionados.
la fórmula del producto tionado.
En la Sección 7 demostramos sobrepeso de tallos estables.
En la Sección 8 reunimos las pruebas de varios resultados relacionados con
(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monotona satisfaciendo los Albers
condición, incluidos los teoremas 1.15, 1.18, 1.25 y la Proposición 1.4.
En la Sección 9 probamos Teorema 1.9 sobre la superpeso de las fibras especiales de
Acciones de toros Hamiltonianos sobre colectores simpléticos monotónicos. La prueba es
bastante involucrado. De hecho, dos trucos nos permitieron acortar nuestro
En primer lugar, utilizamos la transformación de Fourier en el espacio de rápida decadencia
funciones sobre la Lie coargebra del toro para reducir el problema
al caso de las acciones del círculo Hamiltoniano. En segundo lugar, utilizamos sistemáticamente el
casi-morfismo propiedad del índice de Conley-Zehnder para el calcu asintótico-
Laciones con invariantes espectrales Hamiltonianos. Finalmente, en la Sección 9.1 probamos
Teorema 1.13.
En la figura 1 se resume la jerarquía de las propiedades no desplazables
maldecidos arriba.
- No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no.
MHierarchy de las propiedades de no-desplazabilidad de un subconjunto cerrado de
Pesado
aidempotente
Superpesado
idempotente a
con un no-cero con un no-cero
3) 4) 5) (6)
acción sobre una esféricamente
acción de los toros sobre un (no
un hamiltoniano comprimible
necesariamente monotona)
Fibra especial de
monotona M
Siempre es verdad.
Verdadero bajo ciertas condiciones (ver abajo)
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Monotona
Lagrangian
submanifold L
(14) (15)
(17) (18)
21) (22)
(16 b)
Producto de la codimensión-1
esqueletos de multa
triangulaciones
Fuertemente.
no desplazables
un toro hamiltoniano
No desplazables
una isotopía simpléctica
No desplazable por
wrt [M]
Pesado
(16a)
Superpesado
wrt [M]
Tallo estable
Estable
no desplazables
Cero fibra de
Figura 1: Jerarquía de las propiedades no desplazables
(1),(2),(6),(19) - Trivial.
(3) Verdadero si a es invariante bajo la acción de todo el grupo Symp (M) –
Teorema 1.2, parte iii).
4), 9) Teorema 1.2, parte iii).
(5) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – ver corolario 1.24.
(7a) Verdadero si el álgebra QH2n(M) se divide, como un álgebra, en una suma directa de
dos álgebras, al menos uno de los cuales es un campo, y a es el elemento de unidad en
ese campo – véase la Observación 1.21.
(7b), (16b) Teorema 1.2, parte i).
8) Teorema 1.2, parte ii).
(10) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L).
(11) Verdadero si el álgebra QH2n(M) es semi-simple – vea el corolario 1.24.
(12) Teorema 1.3, parte i).
13) Teorema 1.3, parte ii).
(14) Teorema 1.18 (véanse los supuestos en L) con a = [M ] – es decir: j(L)
es invertible en QH•(M).
(15) L cumple la condición de Albers – ver Teorema 1.15.
(16a) Verdadero si QH2n(M) es un campo – ver Observación 1.21.
(17) Teorema 1.6.
(18) Teorema 1.9.
(20) Teorema 1.7.
(21) ¿Es siempre un tallo la fibra especial para un átrico simplético monótono M?
Véase la sección 1.7.2.
(22) Verdadero si M es esféricamente monotona y la acción del toro es comprimible
– Véase la Observación 1.11.
(23) Véase [23].
2 Detectar la desplazabilidad estable
Para detectar la desplazabilidad estable de un subconjunto de un colector simplético nosotros
usará el siguiente resultado (cf. [48, cap. 6]).
Teorema 2.1. Que X sea un subconjunto cerrado de un colector simplético cerrado
(M.A.). Supongamos que existe un bucle contráctil de diffeo hamiltoniano.
morfismos de (M.o) generados por un hamiltoniano regularizado del tiempo-periódico
Ht(x) de manera que Ht(x) 6= 0 para todos los t â € [0, 1] y x â € X. Entonces X es estable.
Desplazable.
Prueba. Denotar por ht el bucle Hamiltoniano generado por H. Let h
no es su
homotopía al bucle constante: h
t = ht y h
t = 1. Escribir H
s)x, t) para
los correspondientes Hamiltonianos normalizados. Consideremos la familia de los dif-
morfismos de M × T
∗S1 dada por
(x, r, ) = (h)
x, r −H
s)h
* x, *), *)......................................................................................................................................................
Uno comprueba fácilmente que el "s", s [0, 1], es una isotopía Hamiltoniana (no com-
en el marco de un pacto de apoyo). Alegamos que el 1 desplaza Y := X × {r = 0}. De hecho,
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
suposición del teorema. Esto completa la prueba.
Prueba de Teorema 1.7: Elija un funcional lineal F : Rk → R con
coeficientes racionales que es estrictamente positivo en Y. Entonces para un poco de suffi...
el número entero positivo N el Hamiltoniano H:= NF genera un
acción contráctil círculo Hamiltoniano en M y H es estrictamente positivo en
X := 1(Y ). Por lo tanto, X es establemente desplazable en vista de la teo-
3 Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer
3.1 Valoración de QH*(M)
Definir una función ν : K →
(+) = máx{ + + + z + 6 = 0}. = máx{ + z + 6 = 0 = 0 }.
La convención es la siguiente: En términos algebraicos, exp / es un non-
Valor absoluto arquimedeano en K.
La función / admite una extensión natural a la letra a) y, a continuación, a la letra a) del apartado M) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra a) de la letra b) de la letra a) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) del apartado 1 de la letra b) del apartado 1 de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra b) de la letra
abusar de la notación que vamos a denotar todos ellos por. Es decir, cualquier elemento
puede ser representado de forma única como...........................................................................................................................................................................................................................................................
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
A donde pertenece cada uno de ellos.
a F [q, q−1], y cualquier no-cero a QH*(M) puede ser representado como
i Łibi, 0 6= Łi, 0 6= bi H*(M;F). Definir
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
6 = 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
/(a) := máx.
El Abogado General Sr. F.G. Jacobs presentó sus conclusiones en audiencia pública del Tribunal de Justicia en Pleno el 16 de octubre de 2001.
3.2 Teoría de Hamilton Floer
Recordamos brevemente la notación y las convenciones para el establecimiento de la Hamilto-
Nian Floer teoría que se utilizará en las pruebas.
Que L sea el espacio de todos los bucles contractibles suaves γ : S1 = R/Z → M.
Vamos a ver tal γ como un mapa 1-periódico γ : R → M. Dejar D2 ser el
unidad de disco estándar en R2. Considerar una cubierta de L de L cuyos elementos son
clases de equivalencia de pares (γ, u), donde γ L, u : D2 → M, uD2 = γ (i.e.
u(e2π)
−1t) = γ(t)), es un disco (por pieza liso) que abarca γ en M y el
la relación de equivalencia se define de la siguiente manera: (γ1, u1) (γ2, u2) si y sólo si γ1 =
γ2 y la 2-esfera u1#(−u2) desaparece en H
2 (M). La clase de equivalencia de
un par (γ, u) será denotado por [γ, u]. El grupo de transformaciones de cubierta de
la cubierta L → L puede identificarse naturalmente con HS2 (M). Un elemento
A HS2 (M) actúa por la transformación
A([γ, u]) = [γ, u#(−A)]. (8)
Let F :M× [0, 1] → R ser una función Hamiltoniana (que es temporal-periódico
como siempre asumimos). Set Ft := F (·, t). Denotaremos por pies el Hamiltoniano
flujo generado por F, es decir, el flujo del Hamiltoniano dependiente del tiempo
campo vector Xt definido por la fórmula
•(·, Xt) = dFt(·) •t.
(¡Tenga en cuenta nuestra convención de la firma!)
Que el PF sea el conjunto de todas las órbitas contráctiles 1-periódicas del Hamilto-
flujo nian generado por F, es decir, el conjunto de todos los γ • L tales que γ(t) = ft(γ(0)).
Denote por la F.P. el ascensor completo de PF a L.P.
Denotar por Fix (F ) el conjunto de los puntos fijos de f que son puntos finales de
órbitas periódicas contráctiles del flujo:
Fix (F ) := {x M PF, x = γ(0)}.
Decimos que F es regular si para cualquier x - Fix (F) el mapa dxf : TxM → TxM
no tiene valor propio 1.
Recordemos que la acción funcional se define en Lс por la fórmula:
AF ([γ, u]) =
F (γ(t), t)dt−
Tenga en cuenta que
AF (Ay) = AF (y) + A(A) (9)
para todos los y â € € € € TM y A â € HS2 (M).
Para un regular Hamiltonian F definir un espacio vectorial C(F) sobre F como el
conjunto de todas las sumas formales
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
modulo las relaciones
Ay = s(A)q−c1(A)y,
para todos y â € € TM, A â € TM H
2 (M). La clasificación en........................................................................................................................................
El índice de Zehnder sobre los elementos de la PF (véase la sección 3.3) define un grado Z en
C(F). Denotaremos el componente de grado i-th por Ci(F ).
Dado un bucle {Jt},
1, de las estructuras casi complejas compatibles con los requisitos de la letra a),
definir una métrica Riemanniana en L por
(+1, +2) =
(l) (t), (t) (t) (t) (t) (t), (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t)
en la que se citan los puntos 1, 2 y 3 del anexo I del Reglamento de Ejecución (UE) n.o 575/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo, de 17 de diciembre de 2013, por el que se establecen las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo y se deroga el Reglamento (UE) n.o 1303/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo en lo que respecta a las normas de desarrollo del Reglamento (UE) n.o 1308/2013 del Parlamento Europeo y del Consejo (DO L 347 de 20.12.2013, p. Elevar esta métrica a Lś y considerar el gradiente negativo
flujo de la acción funcional AF. Para una elección genérica del Hamiltoniano
F y el bucle {Jt} (como un par (F, J) se llama regular) el con-
lated gradiente trayectorias que conectan puntos críticos de AF da lugar en el
método estándar [26], [32], [58] a un diferencial de tipo Morse
d : C(F ) → C(F ), d2 = 0. (10)
El diferencial d es lineal y tiene el grado graduado −1. Estrictamente de-
Redobla la acción. La homología, definida por d, se llama la homología Floer
y será denotado por HF* (F, J). Es un modulo. Diferentes opciones de una
par regular (F, J) conducen a isomorfismos naturales entre la homología de Floer
grupos.
La siguiente propuesta resume algunas propiedades algebraicas básicas de
Complejos Floer y homología Floer que serán importantes para nosotros más adelante.
La prueba es directa y la omitimos.
Proposición 3.1.
1) Cada Ci(F) y cada HFi(F, J), i + Z, es un vector finito-dimensional
espacio sobre K.
2) Multiplicación por q define los isomorfismos Ci(F) → Ci+2(F) y
HFi(F, J) → HFi+2(F, J) de espacios K-vector.
3) Para cada i â € Z existe una base de Ci(F) sobre K que consiste en la
los elementos de la forma ql[γ, u], con [γ, u]
4) Una colección finita de los elementos de la forma ql[γ, u], [γ, u]
En C0(F ) C1(F ) es una base del espacio vectorial C0(F ) C1(F ) sobre el campo
K si y sólo si se trata de una base del módulo C(F) sobre el anillo.
3.3 Índices de Conley-Zehnder y Maslov
En esta sección esbozamos brevemente la definición y recordamos la
los vínculos del índice de Conley-Zehnder que se refieren a [54, 58, 57] para más detalles. En par-
ticular, mostramos que el índice de Conley-Zehnder es un cuasi-morfismo en el
cubierta universal S‡p (2k) del grupo simplés Sp(2k) (véase la Proposición 3.5)
abajo), un hecho que será útil para los cálculos asintóticos con Floer
homología en las siguientes secciones. Hay varias rutas que conducen a este hecho,
que es bastante natural, ya que todos los cuasimorfismos homogéneos en Sœp (2k) son
proporcional, y por lo tanto el mismo cuasi-morfismo admite bastante diferente
definiciones [7]. Extraemos la propiedad cuasi-morfismo del papel de
Robbin y Salamon [54] al reunir varias declaraciones contenidas
En ella7.
El índice Conley-Zehnder asigna un número a cada uno [γ, u]. Orig...
inally el índice Conley-Zehnder fue definido sólo para los Hamiltonianos regulares
[18] – en este caso es valorado en número entero y da lugar a una clasificación de la ho-
grupos de teología en la teoría de Floer. Más tarde, la definición se amplió en diferentes
formas de diferentes autores a los hamiltonianos arbitrarios. Usaremos un ex-
tensión introducida en [54] (véase también [57, 58]). En este caso, el Conley-Zehnder
índice puede tomar también los valores de medio entero.
Que k sea un número natural. Considere el espacio vectorial simplés R2k
con una forma simpléctica de 2k en él. Denota por p = (p1,. .., pk), q = (q1,. .., qk)
las coordenadas correspondientes de Darboux en el espacio vectorial R2k.
7Agradecemos a V.L. Ginzburg para estimular discusiones sobre el material de esta sección.
Índice de Robbin-Salamon de rutas lagrangianas: Let V R2k ser un
Subespacio lagrangiano. Considere el Lagr (k) de Grassmann de todos los lagrangianos
subespacios en R2k y considerar la hipersuperficie Lagr (k) formado por todos
los subespacios lagrangianos que no son transversales a V. A tal V y
a cualquier trayectoria lisa {Lt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Lagr (k) Robbin y Salamón [54]
asociar un índice, que puede tomar valores enteros o medios enteros y que
denotaremos por RS({Lt}, V ). La definición del índice puede ser esbozada
del siguiente modo.
Un número t [0, 1] se llama un cruce si el Tte. A cada cruce t uno
asocia una determinada forma cuadrática Qt en el espacio L(t) V – véase [54] para
la definición precisa. El cruce t se llama regular si la forma cuadrática
Qt no es degenerado. El índice de tal cruce regular t se define como el
firma de Qt si 0 < t < 1 y como la mitad de la firma de Qt si t = 0, 1.
Uno puede demostrar que los cruces regulares están aislados. Para una ruta {Lt} con sólo
cruces regulares el índice RS({Lt}, V ) se define como la suma de los índices
de sus cruces. Una ruta arbitraria puede ser perturbada, manteniendo los puntos finales
fija, en un camino con sólo cruces regulares y el índice de la perturbada
camino no depende de la perturbación – de hecho, depende sólo de la
endpoints fijos clase homotopy de la ruta. Además, es aditivo con
respeto a la concatenación de caminos y satisface la propiedad de la naturalidad:
RS({ALt}, AV ) = RS({Lt}, V ) para cualquier matriz simpléctica A.
Índices de caminos en Sp (2k): Considere el grupo Sp (2k) de simplés
2k × 2k-Matrices. Denotar por Sûp (2k) su cubierta universal. Uno puede usar el
índice RS con el fin de definir dos índices sobre el espacio de rutas lisas en
Sp (2k).
El primer índice, denotado por Ind2k, se define como sigue. Arreglar un lagrangiano
subespacio V+R2k. Para cada trayectoria lisa {A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir
Ind2k ({a}, V ) como
Ind2k ({En}, V ) := RS({EnV}, V ).
La naturalidad del índice RS implica que
RS({BAtB
−1(BV )}, BV ) = RS({BAtV )}, BV ) =
= RS({AtV )}, V ) para cualquier B • Sp (2k)
y así obtenemos la siguiente condición de naturalidad para Ind2k:
Ind2k ({BAtB)
−1}, BV ) = Ind2k ({A}, V ) para cualquier B • Sp (2k). (11)
El segundo índice, que llamaremos el índice Conley-Zehnder de una matriz
ruta y que será denotado por CZmatr, se define como sigue. Para cada una de ellas
A Sp (2k) denotar por GrA la gráfica de A que es un subespacio lagrangiano
del espacio vectorial simplés R4k = R2k×R2k equipado con el espacio vectorial simplés
Estructura: 4k=2k=2k=2k. Denotar por la diagonal en R
4k = R2k × R2k
– es un subespacio lagrangiano con respecto a 4k. Ahora para cualquier camino suave
{A}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k) definir CZmatr como
CZmatr({A}):= RS({GrAt},
Equivalentemente, se puede definir CZmatr({At}) similar al índice RS por look-
en las intersecciones de {A(t)} con la hipersuperficie • • Sp (2k) formada
por todas las matrices simpléticas de 2k×2k con valor propio 1 y traduciendo el
nociones de un cruce regular y la forma cuadrática correspondiente a este
Prepárate.
Ambos índices Ind2k ({A}, V ) y CZmatr({A}) dependen sólo de la
endpoints homotopy class of the path {At} y son aditivos con respecto a
la concatenación de las sendas en Sp (2k). La relación entre los dos índices
es el siguiente. Denotar por I2k la matriz de identidad 2k × 2k. Dado un suave
ruta {At}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), set Ât := I2k â € A â € Sp (4k). Entonces
CZmatr({A}) = Ind4k(t}, (12)
Observación 3.2. Tenga en cuenta que cerca de cada W â € ¢ V existe una coordenada local
gráfico (en Lagr (k)) en el que ŁV se puede definir por una ecuación algebraica de
grado limitado desde arriba por una constante C dependiendo sólo de k y W.
Por otra parte, puesto que para cualquier V, V ′ Lagr (k) existe un difeomorfismo de
Lagr (k) mapeo de V en V ′ podemos asumir que C = C(k) es independiente
de W y depende sólo de k. Por lo tanto para cualquier V, para cualquier punto W
y para cualquier barrio suficientemente pequeño abierto UW de W en Lagr (k) la
número de componentes conectados de UW \(UW V ) está limitado por una constante
dependiendo sólo de k.
Usando estas observaciones y el hecho de que los cruces regulares están aislados
es fácil demostrar que existe una constante C(k), dependiendo sólo de k, tales
que para cualquier subespacio Lagrangiano V â R2k y cualquier camino {A} â Sp (2k),
0 ≤ t ≤ 1, existe un > 0 tal que para cualquier trayectoria lisa {A′t} • Sp (2k),
0 ≤ t ≤ 1, que es -cerca de {En} en la C
0-métrico, uno tiene
Ind2k({En}, V)−Ind2k({A)
t}, V < C(k),
CZmatr({En})− CZmatr({A)
t < C(k).
Teorema de leray en el índice Ind2k: El siguiente resultado es
Teorema 5.1 en [54] que Robbin y Salamon acreditan a Leray [35], p.52.
Nota de L el lagrangiano (q1,. .., qk)-plano de coordenadas en R
2k. Cualquier sim...
matriz pléctica S • Sp (2k) se puede descomponer en k × k bloques como
cuando los bloques satisfagan, en particular, la condición de que:
EF T − FET = 0. (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
En caso de que SL • L = 0, la k × k-matrix F sea invertible y se multiplique (13)
por F−1 a la izquierda y (F T )−1 = (F−1)T a la derecha, obtenemos ese F−1E −
ET (F−1)T = 0. Por lo tanto la matriz QS := F
−1E es simétrico.
Teorema 3.3 ([54], Teorema 5.1; [35], p.52). Asumir {a}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1,
son dos caminos lisos en Sp (2k), de tal manera que A0 = B0 = I2k y A1L + L = 0,
B1L • L = 0, A1B1L • L = 0. Entonces
Ind2k({AtBt}, L) = Ind2k({At}, L) + Ind2k({Bt}, L) +
signo (QA1 + QB1),
donde el signo (QA1 + QB1) es la firma del formulario cuadrático definido por el
k × k-matriz QA1 + QB1.
Corolario 3.4. Que V sea cualquier subespacio Lagrangiano de R2k. Entonces existe
una constante positiva C, dependiendo sólo de k, de tal manera que para cualquier camino liso
{Xt}, {Yt}, 0 ≤ t ≤ 1, en Sp (2k), de manera que X0 = Y0 = I2k (no hay
suposiciones en X1, Y1!),
Ind2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C.
Prueba. Escribiremos C1, C2,. .. para las constantes positivas (posiblemente diferentes) de-
pendiente sólo en k.
Escoja un mapa • • Sp (2k) de tal manera que • V = L. Denote At = • Xt
Bt =
−1. Tenga en cuenta que las rutas {A}, {Bt} se basan en la identidad.
Usando la propiedad de la naturalidad (11) de Ind2k obtenemos
Ind2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =
= Ind2k(XtYt
− 1},~ V )− Ind2k(Xt
− 1},~V)−
−Ind2k(Yt
- 1},~ V ) =
= Ind2k({(
−1)(•Yt•
− 1)}, L)− Ind2k(Xt
− 1}, L)−
−Ind2k(Yt
−1}, L) =
= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L).
Ind2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) =
= Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L). (14)
Más adelante, la Observación 3.2 implica que podemos encontrar una identidad suficientemente cercana a C0.
perturbaciones basadas {A′t}, {B
t} de {A}, {B} tales que
A′1L • L = 0, B
1L • L = 0, A
1L • L = 0. (15)
Ind2k({AtBt}, L)− Ind2k({At}, L)− Ind2k({Bt}, L)
Ind2k({A)
t}, L)− Ind2k({A)
t}, L)− Ind2k({B
t}, L) < C1, (16)
para un poco de C1. Por otra parte, desde los tres caminos basados en la identidad {A
{B′t}, {A
t}, satisfacer las condiciones (15), podemos aplicar a ellos Teorema 3.3.
Por lo tanto existe C2 tal que
Ind2k({A)
t}, L)− Ind2k({A)
t}, L)− Ind2k({B
t}, L) < C2.
Combinando con (14) y (16) obtenemos que existe C3 tal que
Ind2k({XtYt}, V )− Ind2k({Xt}, V )− Ind2k({Yt}, V ) < C3,
que termina la prueba.
Índice de Conley-Zehnder como cuasimorfismo: Recordar que 2n = dimM.
Restringiendo CZmatr a las rutas basadas en la identidad en Sp (2n) se obtiene una función
en la página (2n) que todavía será denotado por CZmatr.
Proposición 3.5 (cf. [19]). La función CZmatr : Sśp (2n) → R es un cuasi-
Morfismo. Significa que existe una constante C > 0 tal que
CZmatr(ab)− CZmatr(a)− CZmatr(b) ≤ C
Prueba. Representar a y b por rutas basadas en la identidad {En}, {Bt}, 0 ≤ t ≤ 1, en
Sp (2n). A continuación, utilice (12) y aplique el corolario 3.4 para k = 2n, V = a t},
{B}t} en Sp (4n).
Índice Maslov de bucles simpléticos: El índice Conley-Zehnder para
Los bucles basados en identidad en Sp (2n) se llaman el índice Maslov de un bucle. Su
definición original, volviendo a [4], es la siguiente: es la intersección
número de un bucle basado en la identidad con la hipersuperficie estratificada
El estrato principal está equipado con una cierta coorientación. Tenga en cuenta que lo hacemos
no dividir el número de intersección por 2 y por lo tanto en nuestro caso el índice de Maslov
toma sólo valores pares; por ejemplo, el índice de Maslov de un sentido contrario a las agujas del reloj
2η-twist de la R2 simpléctica estándar es 2. Denotamos el índice Maslov de
un bucle {B(t)} de Maslov ({B(t)}).
Índices de órbitas periódicas de Conley-Zehnder y Maslov:
Índice de ley-Zehnder para órbitas periódicas se define por medio de la Conley-
Índice de Zehnder para rutas de matriz de la siguiente manera. Teniendo en cuenta [γ, u]
ruta basada en la identidad {A(t)} en Sp (2n)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
flujo linealizado dγ(0)ft, 0 ≤ t ≤ 1, junto con γ con una matriz simpléctica
{A(t)}. Entonces el índice de Conley-Zehnder CZF ([γ, u]) se define como
CZF ([γ, u]) := n− CZmatr ({A(t)}). (17)
Con tal normalización de CZF para cualquier C
2-pequeño autónomo
Morse Hamiltonian F, el índice de Conley-Zehnder de un elemento de P
resentida por un par [x, u] que consiste en un punto crítico x de F (visto como un
ruta constante en M) y el disco trivial u, es igual al índice de Morse de
x. Tenga en cuenta que con tal normalización CZF (Sy) = CZF (y)+2
c1(M) para
todos los y â € € € TM € € € TM € TM € TM € TM € TM € TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM TM
2 (M).
Del mismo modo, si el flujo de tiempo-1 generado por F define un bucle en Ham(M) entonces
a cada uno [γ, u] â € € ¢ F se puede asociar su índice de Maslov. Es decir, trivializar el
paquete u*(TM) sobre D2 e identificar el flujo linealizado {dxft} a lo largo de γ con
un bucle basado en la identidad de matrices simpléticas 2n × 2n. Definir el Maslov
índice mF ([γ, u]) como el índice Maslov para el bucle de matrices simplécticas.
En el marco de la acción HS2 (M) sobre la PF, el índice de Maslov cambia de la siguiente manera:
mF (S · [γ, u]) = mF ([γ, u])− 2
c1(M), S-H
2 (M).
Hagamos la siguiente observación. Asumir γ PF y asumir que un
banalización simpléctica del haz (TM) sobre S1 identifica {dγ(0)ft}
con una trayectoria basada en la identidad {A(t)} de matrices simpléticas. Supón que está ahí.
es otra trivialización simpléctica del mismo paquete, coincidiendo con el
el primero en γ(0), y denotar por {B(t)} el bucle de transición basado en la identidad
matrices desde la primera trivialización simpléctica hasta la segunda. Usar la
segunda trivialización para identificar {dγ(0)ft} con una ruta basada en la identidad {A
′(t)}.
CZmatr ({A)
′(t)}) = CZmatr ({A(t)}) +Maslov ({B(t)}), (18)
y si {A(t)} es un bucle entonces es {A′(t)} y
Maslov ({A′(t)} = Maslov ({A(t)}) + Maslov ({B(t)}). (19)
3.4 Números espectrales
Dada la configuración algebraica como arriba, la construcción del Piunikhin-Sala-
El isomorfismo mon-Schwarz (PSS) [47] produce un isomorfismo lineal (PSS-
Isomorfismo) M : QH*(M) → HF*(F, J) que preserva la clasificación y
que es en realidad un anillo isomorfismo (el producto par de pantalones define un anillo
estructura sobre HF* (F, J)).
Usando el PSS-isomorfismo se definen los números espectrales c(a, F),
donde 0 6 = un QH*(M), de la manera habitual [45]. Es decir, la acción funcional
AF define una filtración en C(F) que induce una filtración HF
* (F, J),
HF*(F, J), con HF
* (F, J) • HF
* (F, J) siempre que α < β. Entonces
c(a, F ) := inf â € € € € M(a) â € € € €
* (F, J)}.
Tal número espectral es finito y bien definido (no depende de J). Toma.
es una breve descripción de las propiedades relevantes de los números espectrales – para más detalles
Véase [45] (véase también [65, 42, 59, 43] para versiones anteriores de esta teoría).
(Espectralidad) c(a,H) • spec (H), donde la especificación del espectro (H) de H es
definido como el conjunto de valores críticos de la acción funcional AH, es decir,
spec (H):= AH(P
(Propiedad de desplazamiento de la homología de quantum) c(l,H) = c(l,H) + (l) para todos
En el caso de que se trate de una tasación definida en la sección 3.1.
(propiedad de desplazamiento hamiltoniano) c(a,H + (t)) = c(a,H) +
(t) dt para
cualquier Hamiltonian H y función : S1 → R.
(Monotonicidad) Si H1 ≤ H2, entonces c(a,H1) ≤ c(a,H2).
(Propiedad Lipschitz) El mapa H 7→ c(a,H) es Lipschitz en el espacio de
(dependiendo del tiempo) Hamiltonians H : M × S1 → R con respecto a la
C0-norm.
(invarianza simpléctica) c(a, H) = c(a, H) por cada
H (M); más generalmente, Symp (M) actúa sobre H* (M ;F), y por lo tanto
sobre QH*(M), y c(a,
∗H) = c(a,H) para cualquier síntoma (M). • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(Normalización) c(a, 0) = ν(a) por cada • QH*(M).
(Invarianza de Homotopy) c(a,H1) = c(a,H2) para cualquier H1, H2 normalizado
la generación de la misma Hśam (M). Por lo tanto, se puede definir c(a, ♥) para cualquier
Para cualquier generación normalizada de H, H (M) como c(a, H).
(Desigualdad triángulo) c(a ∗ b, ) ≤ c(a,
El anillo conmutativo QH•(M) admite una forma K-bilineal y K-valuada
sobre QH•(M) que se asocia a un par de clases de homología cuántica a, b
QH•(M) el coeficiente (perteneciente a K) en la clase [punto] = [punto] · q
a punto en su producto cuántico a * b • QH•(M) (la estructura Frobenius).
Let : K → F ser el mapa que envía cada serie
* * * * *, * * * * *, * * *, * * * * F, * *, * * a su libre, * *, * * a su libre, * *, *
Término z0. Definir un emparejamiento no degenerado F -valuado F -lineal en QH•(M) por
Π(a, b) := (a, b) = (a ∗ b, [M ]). (20)
Nótese que Π es simétrico y
Π(a ∗ b, c) = Π(a, b ∗ c) (21)
Con esta noción a la mano, podemos presentar otra propiedad importante de
Números espectrales:
(Poincaré duality) c(b, ) = − infa(b) c(a,
−1) para todos los b • QH•(M) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
y.................................................................................................. Aquí (b) denota el conjunto de todo un QH•(M) con Π(a, b) 6= 0.
La dualidad de Poincaré se puede extraer de [47] (cf. [22]) – Para una prueba véase
[46].
La siguiente propiedad es una consecuencia inmediata de las definiciones (véase [22]
para una discusión en el caso monotono:
(Propiedad exponente característica) Dado 0 6=
a, b, a + b 6= 0, y a (dependiendo del tiempo) Hamiltonian H, uno tiene
c( · a,H) = c(a,H) y c(a+ b,H) ≤ max(c(a,H), c(b,H)).
3.5 Los cuasiestados simpléticos parciales
Teniendo en cuenta un idempotente distinto de cero un QH2n(M) y un Hamil-
toniano H :M → R, definir
(a,H) := lim
c(a, lH)
. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Cuando una es fija, a menudo abreviaremos •(H) en lugar de •(a,H). El límite
en la fórmula (22) siempre existe y, por lo tanto, el funcional.......................................................................................................................................................................................................................................................
bien definido. El funcional de la "C" es Lipschitz con respecto a la C0-
norma H = maxM H y por lo tanto se extiende a un funcional : C(M) → R,
donde C(M) es el espacio de todas las funciones continuas en M. Estos hechos fueron
probado en [23] en el caso a = [M ] pero las pruebas realmente pasan por cualquier
Ídempotente no cero a QH2n(M).
Aquí vamos a enumerar las propiedades de • para tal M. De nuevo, estos proprie-
se probaron en [23] en el caso a = [M ] pero la prueba pasa por
cualquier idempotente distinto de cero a QH2n(M). La aditividad con respecto a la
propiedad de stants no estaba explícitamente enumerado en [23], pero sigue inmediatamente de
la definición de la propiedad de los números espectrales y el cambio Hamiltoniano.
La desigualdad del triángulo se deriva fácilmente de la definición de
desigualdad triangular para los números espectrales.
Teorema 3.6. El funcional : C(M) → R satisface los siguientes prop-
erties:
Semi-homogeneidad: (αF ) = (F ) para cualquier F y cualquier α-R≥0.
Desigualdad del triángulo: Si F1, F2 o C
(M), {F1, F2} = 0 a continuación (F1 + F2) ≤
(F1) + (F2).
Aditividad parcial y desaparición: Si F1, F2 + C
(M), {F1, F2} = 0 y la
soporte de F2 es desplazable, a continuación, •(F1 + F2) = •(F1); en particular, si el
el soporte de F • C(M) es desplazable, • (F) = 0.
Aditividad con respecto a las constantes y normalización: (F ) = (F )
para cualquier F y cualquier α â € R. En particular, â € (1) = 1.
Monotonicidad: ≤ (F ) ≤ (G) para F ≤ G.
Invarianza simpléctica: •(F) = •(F) •(f) para cada difeomorfismo simpléctico
f) Symp0 (M).
Característica de la propiedad exponente: (a1+a2, F ) ≤ max(a1, F ), (a2, F ) para
cada par de idempotentes no cero a1, a2 con a1 ∗ a2 = 0, a1+ a2 6= 0 (en este
el caso a1 + a2 es también un idempotente distinto de cero), y para todos los F + C(M).
Llamaremos al funcional : C(M) → R satisfaciendo todas las propiedades
enumerado en Teorema 3.6 un cuasi estado simplético parcial.
4 Propiedades básicas de (super) juegos pesados
En esta sección demostramos las partes (i) y (iii) del Teorema 1.2, así como la
orem 1.3. Usaremos que un cuasi-estado simplético parcial se extiende por
continuidad en la norma uniforme a un monótono funcional en el espacio de
funciones continuas C(M), véase la sección 3.5 supra. En particular, se puede
utilizar funciones continuas en lugar de las suaves en la definición de (su-
por)peso en las fórmulas (3) y (4).
Suponga que se fija un cuasiestado parcial definido por un idempotente distinto de cero
y consideramos pesadez y superpeso con respecto a................................................................................................................. Comenzamos
con la siguiente elemental
Proposición 4.1. Un subconjunto cerrado X • M es pesado si y sólo si por cada
H (M) con H(X) = 0, H (H) ≤ 0 Un subconjunto cerrado
X M es superpesada si y sólo si por cada H C • M con H = 0,
H ≥ 0 una persona presenta un intervalo de tiempo de 0 a 0.
Prueba. Las partes “solo si” siguen fácilmente de la propiedad de la monotonicidad de
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Demostremos la parte “si” en el “caso pesado” – el caso “superpesado” es
similar. Tomar una función H en M y poner
F = min(H − inf
H, 0).
Nótese que F X = 0 y F ≤ 0. Por lo tanto (F ) = 0 por la suposición de la
Proposición. Por lo tanto
0 = (F ) ≤ (H − inf
H) = فارسى(H)− inf
que produce pesadez de X.
La siguiente proposición prueba la parte i) del Teorema 1.2.
Proposición 4.2. Cada juego superpesado es pesado.
Prueba. Let X â € ¢ M ser un subconjunto superpesado. Supongamos que HX = 0, H ≤ 0.
Por la desigualdad del triángulo para.... tenemos...................................................................................... Tenga en cuenta que
−HX = 0, −H ≥ 0. Los rendimientos de la superpeso (−H) ≤ 0, así que ≤(H) ≥ 0. Pero
por monotoniicidad (H) ≤ 0. Por lo tanto, el valor de la reclamación es 0 y la reclamación se deriva de:
Proposición 4.1.
Los juegos superpesados tienen la siguiente propiedad fácil de usar.
Proposición 4.3. Deja que X-M sea un juego superpesado. Entonces por cada α â € TM TM R
y H °C(M) con HX • α uno tiene •(H) = α.
Prueba. Dado que el término «H» + «α» = «H» + «α», basta con demostrar la
α = 0. Tome cualquier función H con HX = 0. Dado que X es superpesada y, por
Proposición 4.2, también pesado, tenemos
0 = (H) ≤ (H) ≤ (H) = 0,
que produce •(H) = 0.
Como consecuencia inmediata obtenemos parte (iii) del Teorema 1.2.
Proposición 4.4. Cada conjunto superpesado se cruza con cada conjunto pesado.
Prueba. Deja que X sea un conjunto superpesado y Y sea un conjunto pesado. Asumir en el
Al contrario que X â € Y = â € €. Tomar una función H ≤ 0 con HY فارسى 0 y
HX-−1. A continuación, en la Proposición 4.3, el punto H = −1. Por otra parte,
(H) = 0 ya que Y es pesado, y obtenemos una contradicción.
Tenga en cuenta que dos conjuntos pesados no necesariamente se cruzan entre sí: un meridiano
de T2 es pesado (véase el corolario 6.4 más abajo), mientras que dos meridianos pueden ser desarticulados.
Prueba del teorema 1.3 i) y ii): la desigualdad triangular produce
c(a,H) = c(a ∗ [M], 0 +H) ≤ c(a, 0) + c([M ], H) = v(a) + c([M ], H).
Pasando a los cuasi-estados parciales (a,H) y ([M ], H) obtenemos:
•(a,H) = lim
c(a, kH)/k ≤
≤ lim
( v.a) + c([M ], kH))/k = lim
c([M], kH)/k = فارسى([M], H).
El resultado ahora se deriva de la definición de conjuntos pesados y superpesados (véase
Definición 1.1).
Prueba de Teorema 1.3 (iii): Por la característica propiedad exponente de
invariantes espectrales,
(a, F ) ≤ máx.
i=1,...,l
* (ei, F ) * (F ) * (C )
* (M). 23)
Elija una secuencia de funciones Gj â € C
• (M), j → • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
propiedades de descenso: Gk ≤ Gj para k > j, Gj = 0 en X, Gj ≤ 0 y para
cada función F ≤ 0 que desaparece en un barrio abierto de X allí
existe j para que Gj ≤ F (la existencia de tal secuencia se puede comprobar fácilmente).
En vista de la desigualdad (23), tenemos que para cada j existe i para que
• (a,Gj) ≤ (ei, Gj). Pasando, si es necesario, a una subsecuencia Gjk, jk →.
podemos asumir sin pérdida de generalidad que yo es el mismo para todos j. A la vista
de pesadez de X con respecto a a, tenemos que •(a,Gj) = 0. Por lo tanto
• (ei, Gj) ≥ 0.
Elija cualquier función F ≤ 0 onM que desaparezca en un barrio abierto
de X. Entonces existe j lo suficientemente grande como para que F ≥ Gj. Por monotonicidad
combinado con la estimación anterior que tenemos
0 ≥ (ei, F ) ≥ (ei, Gj) ≥ 0,
que produce (ei, F ) = 0.
Ahora que F sea cualquier función continua en M que desaparece en X. Toma
una secuencia de funciones continuas Fj, convergiendo a F en la C
0-norm, así que
que cada FJ desaparece en un barrio abierto de X. Entonces, (ei, Fj) =
limj (ei, Fj) = 0, porque (ei, ·) es Lipschitz con respecto a la C
norma. La pesadez de X con respecto a ei se deriva ahora de la Proposición 4.1.
Esto termina la prueba del teorema.
5 Productos de conjuntos (super) pesados
En esta sección probamos Teorema 1.5 en productos de subconjuntos (super) pesados.
5.1 Fórmula de producto para invariantes espectrales
La prueba de Teorema 1.5 se basa en el siguiente resultado general.
Teorema 5.1. Por cada par de Hamiltonianos dependientes del tiempo G1, G2 onM1
y M2, y todos los no-cero a1 QHi1(M1), a2 QHi2(M2) tenemos
c(a1 a2, G1(z1, t) + G2(z2, t)) = c(a1, G1) + c(a1, G2).
Aquí G1(z1, t) +G2(z2, t) es un Hamiltoniano dependiente del tiempo en M1 ×M2.
Deduzcamos el Teorema 1.5 del Teorema 5.1.
Prueba de Teorema 1.5: Demostramos que el producto de los juegos superpesados es
superpesados (la prueba para conjuntos pesados va sin ningún cambio). Denotamos
por..............................................................................................................................................................................................................................................................
sociated a los idempotentes a1, a2 y a1 a2 respectivamente. Deja que Xi Mi,
i = 1, 2, ser un conjunto superpesado. Por la Proposición 4.1 basta con demostrar que si un
La función no negativa G-C-(M) desaparece en algún barrio, dicen U,
de X := X1 × X2 a continuación (G) = 0. (Puesto que es Lipschitz con respecto a la
C0-norm esto implicaría que •(G) = 0 para cualquier G • C(M) no negativo
que desaparece en X). Put K := maxM G. Elegir barrios Ui de Xi así
que U1 × U2 + U. Elegir funciones no negativas Gi on Mi que desaparecen en
Xi y tal que Gi(z) > K para todos z â € Mi \Ui. Observe que G ≤ G1 + G2.
Pero, en vista del Teorema 5.1 y la superpeso de Xi, tenemos
*(G1 +G2) = *1(G1) + *2(G2) = 0.
Por monotonicidad
0 ≤ G ≤ G1 + G2 = 0,
y, por lo tanto, (G) = 0.
Queda por probar el Teorema 5.1. Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la igualdad
en el teorema no excede del lado derecho: se trata de un imme-
diate consecuencia de la desigualdad triangular para invariantes espectrales. Sin embargo,
No pudimos usar esta observación para probar el teorema. Nuestro ap-
proach se basa en un análisis algebraico bastante largo que nos permite
calcular por separado los lados izquierdo y derecho “en el nivel de la cadena”. A
La simple inspección de los resultados de este cálculo da lugar a la igualdad deseada.
5.2 Complejos degradados de grado Z2
Un complejo Z2 es un espacio vectorial de dimensiones finitas V de grado Z2 sobre un campo
K equipado con un diferencial K-lineal
cambiar la clasificación. Un complejo decorado sobre K = K.o. incluye lo siguiente:
datos:
• un subgrupo contable
• un complejo de grado Z2 (V, d) sobre K
• una base preferida x1,. ...........................................................
• una función F : {x1,. .., xn} → R (llamado el filtro) que se extiende a V
jxj) = max(lj) + F (xj)
6 = 0},
y satisface F (dv) < F (v) para todos v < V \ {0}. La convención es que
F (0) =. Aquí está la valoración definida en la sección 3.1 anterior.
Usaremos la notación.
V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,
para un complejo decorado.
El producto K-tensor V = V1KV2 de complejos decorados
Vi = (Vi, {x)
j }j = 1,...,ni, Fi, di,Í), i = 1, 2
se define como sigue. Considerar el espacio V = V1KV2 (véase la fórmula (5) anterior)
con el grado natural Z2. Definir el diferencial d en V por
d(x y) = d1x y + (−1)
xx d2y.
La base preferida en V es dada por {xpq := x
p x
q } y el filtro F es
definido por
F (xpq) = F1(x)
p ) + F2(x
Finalmente, pusimos V := (V, {xpq}, F, d,
La homología (de grado Z2) de los complejos decorados está denotada por H*(V)
– son espacios K-vector. Por la fórmula Künneth, H(V1KV2) =
H(V1)KH(V2).
A continuación definimos invariantes espectrales asociados a un complejo decorado V :=
(V, {xpq}, F, d). Es decir, para un â ¬ H(V) puesto
c(a) := inf{F (v) a = [v], v Ker d}.
Veremos más abajo que c(a) > â € para cada 6= 0.
El propósito de esta digresión algebraica es declarar el siguiente resultado:
Teorema 5.2. Para cualquier dos complejos decorados V1,V2
c(a1 a2) = c(a1) + c(a2)
5.3 Homología Floer y Cuántica Reducida
La 2-periodicidad del complejo Floer y la homología Floer definida por el
la multiplicación por q (véase la Proposición 3.1 anterior) permite codificar su
estructura gebraica en un complejo Z2 decorado. Considerar un par regular (G, J)
que consiste en una función Hamiltoniana y una estructura casi compleja compatible
En general, ambos dependen del tiempo. Let (C*(G), dG,J) be the
el correspondiente complejo Floer. Asociémoslo a un complejo Z2-: un Z2-
VG de espacio vectorial graduado sobre K.o., definido como
VG := C0(G)+ C1(G),
con el grado de Z2 obvio, y un diferencial ŁG,J : VG → VG, definido como
la suma directa de dG,J : C1(G) → C0(G) y qdG,J : C0(G) → C1(G). Uno
comprueba fácilmente que se trata de un complejo Z2 porque dG,J : C(G) → C(G)
es -lineal. Llamaremos (VG, G, J) al complejo Z2 asociado a (G, J).
Tenga en cuenta que los ciclos y los límites de (VG, G) que tienen Z2-grado
i {0, 1} en VG coinciden, respectivamente, con los ciclos y los límites
que tengan un grado Z i de (C(G), dG,J). Por lo tanto la homología Floer HFi (G, J)
es isomórfico, como un espacio vectorial sobre K.O., al componente i-ésimo grado de la
la homología del complejo (VG, G, J).
El Z2-complejo (VG, G, J) lleva una estructura del complejo decorado
VG,J como sigue. Que γi(t), i = 1,.., m, sea la colección de todos los contractibles
Órbitas 1-periódicas del flujo Hamiltoniano generadas por G. Elija el disco ui
en M que abarca γi. Para cada i existe un entero único, decir ri, de modo que
el índice Conley-Zehnder del elemento xi := q
ri · [γi, ui] se encuentra en el conjunto
{0, 1}. Claramente, la colección {xi} forma una base de VG sobre K. Lo haremos.
considerarlo como una base preferida. Tenga en cuenta que la base preferida es única hasta
multiplicación de xis por elementos de la forma s
αi, αi â € â € €. Por último, la acción
funcional asociado a G define una filtración en VG.
La homología de (VG, G, J) se puede identificar canónicamente a través de la PSS-
isomorfismo con el objeto que llamamos homología cuántica reducida:
QHred(M):= QH0(M)+QH1(M).
Llamamos a esto isomorfismo el reducido PSS-isomorfismo y lo denotamos por G,J.
Tenga en cuenta que tenemos una proyección natural p : QH*(M) → QHred(M) que
envía cualquier elemento homogéneo de grado a aqr con deg a + 2r {0, 1}.
Con esta notación, el habitual Floer-homológico invariante espectral c(a,G)
coincide con el invariante espectral c(p(a)) del complejo decorado VG,J.
5.4 Prueba del teorema 5.1
Por la propiedad Lipschitz de los números espectrales es suficiente considerar la
caso cuando G1 y G2 pertenecen a pares regulares (Gi, Ji), i = 1, 2. Establecer
G(z1, z2, t) := G1(z1, t) +G(z2, t)
y J := J1 × J2. Entonces (G, J) es también un par regular. Puso "i" = "(Mi", "i"). Lo siento.
es sencillo ver que el complejo decorado VG,J es el K-tensor
producto de los complejos decorados VGi,Ji para i = 1, 2.
Put (M,) = (M1×M2, 12). Una modificación obvia de los Künneth
fórmula para la homología cuántica (véase, por ejemplo, [41, Ejercicio 11.1.15] para el Estado
En el caso de los monótonos, se produce un monomorfismo natural.
ı : QHi1(M1, #1)KQHi2(M1, #1) → QHi1+i2(M,#).
Puesto que en nuestro entorno las homologías cuánticas son 2-periódicas, la colección de estos
isomorfismos para todos los pares (i1, i2) del conjunto {0, 1} induce un isomorfismo
j : QHred(M1)KQHred(M2) → QHred(M).
Tiene las siguientes propiedades: En primer lugar, dados dos elementos a1 â € QHi1(M1, â € TM 1)
y a2 QHi2(M2, 2) tenemos que
p(a1) p(a2) = p(a1 a2).
En segundo lugar, el siguiente diagrama se desplaza:
H(VG1, ŁG1,J1)KH(VG2, ŁG2,J2)
G1,J1G2,J2
H (VG, G, J)
QHred(M1)KQHred(M2)
// QHred(M)
Aquí k es el isomorfismo que viene de la fórmula Künneth para Z2-comple-
xes, y Gi, Ji, G, J representan el reducido PSS-isomorfismos. De ello se deduce que
la definición de c(ai, Gi), c(a1a2, G) coincide con la definición de c(pai) y
c(p(a1) p(a2)). Por Teorema 5.2 obtenemos eso
c(a1a2, G) = c(p(a1)p(a2)) = c(p(a1))+ c(p(a2)) = c(a1, G1)+ c(a2, G2).
Esto demuestra Teorema 5.1 módulo Teorema 5.2.
5.5 Prueba del teorema algebraico 5.2
Un complejo decorado se llama genérico si F (xi) − F (xj) / para todos i 6= j
(recordemos que bajo nuestras suposiciones, el grupo de períodos del simplés
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Comenzamos desde algunos
hechos auxiliares del álgebra lineal. Let V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,
complejo decorado genérico. Recordamos una vez más que por brevedad escribimos K
en lugar de "K" donde sea que esté claro lo que se toma.
Un elemento x • V se llama normalizado si
x = xp +
i 6=p
(xp) > máx.
i 6=p
F (lxixi).
Usaremos la notación x = xp+o(xp). En los complejos genéricos, cada elemento
x 6= 0 se puede escribir de forma única como x = ♥(xp+o(xp)) para algunos p = 1,..., n y
K. Un sistema de vectores e1,. ..., em en V se llama normal si cada ei tiene
la forma ei = xji +o(xji) para ji {1,...., n} y los números ji son pares
Distinto.
Lemma 5.3. Let e1,. ............................................................................... Entonces
(+) = máx.
F ()...................................................................................................................................................................
Prueba. Demostramos el resultado utilizando la inducción en m. Para m = 1 la declaración es
Es obvio. Vamos a comprobar el paso de inducción m− 1 → m. Observe que es suficiente
para comprobar que
F (e1 +
(e1), ≥ F (e1). (24)
Entonces, obviamente.
(+) ≥ máx.
F (l'iei),
mientras que la desigualdad inversa es una consecuencia inmediata de las definiciones.
Por el paso de inducción,
(+) = máx.
i=2,...,n
F ()...................................................................................................................................................................
En vista de la genericidad, el máximo en el lado derecho puede ser único
escrito con la letra F (0xi0). Sin pérdida de generalidad asumiremos que ei =
xi + o(xi) e i0 = 2.
12 ♥iei = x2 + o(x2).
Escribir
e1 = x1 + αx2 +X, v = x2 + βx1 + Y,
donde α, β-K y X, Y-SpanK(x3,. ., xn). Tenga en cuenta que F (x1) > F (αx2),
F (x2) > F (βx1), que rinde
/(α) < F (x1)− F (x2) < (β) = /(β)
−1). (25)
En particular, /(α) < /(1). Tenga en cuenta que
e1 + 2v = (1 + 2β)x1 + (α + 2)x2 + Z, Z • SpanK(x3,. .., xn).
F (e1 + 2v) ≥ max( v(1 + 2β) + F (x1), ν(α + 2) + F (x2)).
Si ν(1 + ♥2β) ≥ 0 tenemos F (e1 + ♥2v) ≥ F (x1) = F (e1) y desigualdad (24)
sigue. Asumir que < 0 = 1 / 1. A continuación, el apartado 2 del artículo 2 del Reglamento n° 1408/71 se sustituye por el texto siguiente:
y, por lo tanto, /(l) 2 = /(l)
-1) 6 = /(α). Por lo tanto
≥ < = (β).........................................................................................................................................................................................................................................................
Combinando esta desigualdad con (25) obtenemos eso
F (e1 + 2v) ≥ ν(α + 2) + F (x1) + (F (x2)− F (x1))
≥ F (x1) + ( v(α + 2) + ν(β)) ≥ F (x1) = F (e1).
Esto completa la prueba de la desigualdad (24), y por lo tanto del lema.
Se deduce fácilmente del lema que cada sistema normal es linealmente inde-
Pendent.
Lemma 5.4. Todos los subespacios L+V tienen una base normal.
Prueba. Utilizamos inducción sobre m = dimK L. El caso m = 1 es obvio,
así que vamos a manejar el paso de inducción m − 1 → m. Basta con mostrar el
siguiente: Let e1,. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
′, y let v / L′
ser cualquier vector. Poner L = SpanK(L
′ {v}). Entonces existe em â € L para que
e1,. ........................................................................ De hecho, asumir sin pérdida de generalidad que
para todos los i = 1,..., m−1 uno tiene ei = xi+ o(xi). Poner W = SpanK(xm,. ., xn).
Alegamos que L′ W = {0}. De hecho, de lo contrario
1e1 +... •m−1em−1 = mxm +... + nxn
donde las combinaciones lineales en los lados derecho e izquierdo son no-
trivial. Aplicar F a ambos lados de esta igualdad. Por Lemma 5.3
F (1e1 +.... + m1em1) = F (xp) mod •, donde 1 ≤ p ≤ m− 1,
mientras
F (........nxn) = F (xq) mod................................................................................................................................................................................................................................................
Esto contradice la genericidad de nuestro complejo decorado, y la afirmación fol-
Bajas. Desde dimLdimW = dimV, tenemos que V = LW. Descomponer v
como u+w con u â L′, w â W, y tenga en cuenta que w â L. Tenga en cuenta que e1,. .., em−1, w
son linealmente independientes. Además, w = (xp + o(xp)) para algunos p ≥ m.
Put em =
−1w. Los vectores e1,. ...............................................................
La misma prueba muestra que si L1 + L2 son subespacios de V, cada base normal
en L1 se extiende a una base normal en L2.
Ahora nos dirigimos al análisis del diferencial d. Elija una base normal
g1,. .., gq en Im d, y extenderlo a una base normal g1,. .., gq, h1,. ...........................................................
Ker d. Tenga en cuenta que cada uno de estos vectores p + q tiene la forma xj + o(xj) con
distinto j. Asumamos sin pérdida de generalidad que el n−p−q restante
los elementos de la base preferida en V son x1,. .., xq, y
gi = xi+q + o(xi+q), hj = xj+2q + o(xj+2q).
Aquí usamos eso, por el teorema de la dimensión, n = p+ 2q. Tenga en cuenta que
x1,. .., xq, g1,. .., gq, h1,. .., hp
es un sistema normal, y por lo tanto una base en V. Llamamos a tal base un espectral
base del complejo decorado V.
Tenga en cuenta que [h1],. .., [hp] es una base en la homología H (V). Considerar cualquier
homología clase a =
[hola]. Cada elemento v V con a = [v] puede ser
escrito como v =
♥ihi +
αjgj. Por lo tanto, por Lemma 5.3, F (v) ≥ maxi F (đihi)
y, por lo tanto,
c(a) = máx.
F (l'ihi). 26)
Esto demuestra en particular que los invariantes espectrales son finitos siempre que un 6= 0.
Para conjuntos finitos A = {v1,. .., vs} y B = {w1,. ..........................................................
conjunto finito {vi wj}.
Supongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados genéricamente. Nosotros decimos que ellos
están en posición general si su producto tensor V = V1KV2 es genérico. Vamos.
Bi = {x
1,. .., x
1,. .., g
1,. .., h
}, i = 1, 2
ser una base espectral en Vi. Obviamente, B1 B2 es una base normal en V1KV2.
Denotaremos por d1, d2, d los diferenciales y por F1, F2, F los filtros en
V1, V2 y V respectivamente. Ponga Gi = {g
1,. .., g
qi }, Hi = {h
1,. .., h
y K = G1 B2 B1 G2. Observar que
Im d â € ¢ W := Span(K).
Tomar cualquier dos clases
j ] H(Vi), i = 1, 2.
Supongamos que a1 a2 = [v]. Entonces v es de la forma
(1)m
m h
l + w
donde w debe estar en W. Observar que (H1 H2) Por Lemma 5.3,
F v) ≥ máx.
F (de 1 m)
m h
l ),
y, por lo tanto,
c(a1 a2) = máx.
F (de 1 m)
m h
= máx.
m ) + F2(
= máx.
m ) + máx.
l ) = c(a1) + c(a2).
En la última igualdad usamos (26). Esto completa la prueba del Teorema 5.2
para complejos decorados en posición general.
Queda por eliminar el supuesto de posición general. Esto se hará.
con la ayuda del siguiente lema. Trabajaremos con una familia de...
Complejos clasificados
V := (V, {xi}i=1,...,n, F, d,
que tienen exactamente los mismos datos (base preferida, clasificación, diferencia y
Con la excepción del filtro F, que podrá variar en la clase
de filtros. Los invariantes espectrales correspondientes serán denotados por c(a, F ).
Lemma 5.5.
i) Si los filtros F, F ′ satisfacen F (xi) ≤ F
′(xi) para todos los i = 1,..............................................................................................................................................
c(a, F ′) para todas las clases distintas de cero a H(V).
(ii) Si F es un filtro y R, entonces F + es de nuevo un filtro y c(a, F + R) =
c(a, F ) + para todas las clases distintas de cero a • H(V).
La prueba es obvia y la omitimos. De ello se deduce que para los dos filtros F, F ′
c(a, F )− c(a, F ′) ≤ F − F C0
Supongamos ahora que V1,V2 son complejos decorados. Denota por F1, F2 sus
filtros. Arreglar â € > 0. Por una pequeña perturbación de los filtros obtenemos nuevos filtros,
F ′1 y F
2, en nuestros complejos para que los complejos se conviertan en genéricos y en
posición general y, además,
F1 − F
1C0 ≤ , F2 − F
2C0 ≤ .
Teniendo en cuenta las clases de homología ai H(Vi) tenemos
c(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) ≤
c(a1, F
1) + c(a2, F
2) - c(a1 a2, F
1 + F
2 = 4 = 4 = 2 = 4 = 2 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4.
Aquí hemos utilizado que el teorema 5.2 ya está probado para los complejos genéricos en
posición general. Puesto que â € > 0 es arbitrario, obtenemos que
c(a1, F1) + c(a2, F2)− c(a1 a2, F1 + F2) = 0,
que completa la prueba de Teorema 5.2 en toda generalidad.
6 No desplazabilidad estable de conjuntos pesados
En esta sección demostramos la parte (ii) del Teorema 1.2.
Proposición 6.1. Cada subconjunto pesado es establemente no desplazable.
Para la prueba necesitaremos la siguiente declaración auxiliar. Dado R > 0,
considerar el toro T2R obtenido como cociente del cilindro T
∗S1 = R(r)×
S1 ( mod 1) por el cambio (r, ) 7→ (r + R, ). Para α > 0 definir la función
Fα(r, ) := αf(r) en T
R, donde f(r) es cualquier función R-periódica que
dos puntos críticos no degenerados en [0, R]: un punto máximo en r = 0 con
f(0) = 1, y un punto mínimo en r = R/2, f(R/2) =: < 0. Denotamos
por [T] la clase fundamental de T2R. Trabajamos con la forma simpléctica dr.d.
en T2R.
Lemma 6.2. c([T ], Fα) = α.
Prueba. Tenga en cuenta que las órbitas cerradas contractibles del período 1 del Hamiltonian
flujo generado por Fα son puntos fijos formando círculos S+ = {r = 0} y
S− = {r = R/2}. Las acciones de los puntos fijos en S± igual, respectivamente, a
α y, y por lo tanto los invariantes espectrales de Fα se encuentran en el conjunto,.
Recordemos de [59] que c([T ], Fα) > c([punto], Fα). Así c([T ], Fα) = α.
Lemma 6.3. Dejemos que H (C) (M) sea desplazable para que H-1 (maxH). Entonces
(H) < maxH.
Prueba. Elija â € > 0 para que el conjunto
H−1((máx.
es desplazable. Elija una función de corte de valor real : R → [0, 1] que
es igual a 1 cerca de maxH y que se apoya en (maxH,maxH). Por lo tanto
En H−1((maxH − •; maxH ]) y en 0, se admite el uso de H−1(H) (maxH − •; maxH ]. Desde H
y (H) Poisson-computar, la desaparición y la monotonicidad axiomas rendimiento
(H) ≤ máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máx(H) (H) < máxH.
Prueba de la Proposición 6.1: Basta con demostrar que por cada R > 0 el conjunto
Y := X × {r = 0} M ′ := M × T2R
no es desplazable. Supongamos por el contrario que Y es desplazable. Elegir
a función H en M con H ≤ 0, H−1(0) = X. Poner
H ′ = H + F1 = H + f(r) :M
′ → R.
Asumir que el cuasi-estado parcial en M está asociado a algunos no-cero
idempotente a QH*(M) por medio de (2). Denotación de.................................................................................................
′ el cuasiestado en
M ′ asociado a a T. Tenga en cuenta que
Y = (H ′)−1(maxH ′), donde maxH ′ = 1,
mientras que el teorema 5.1 y Lemma 6.2 implican que
فارسى ′(H ′) = فارسى(H) + 1.
Por Lemma 6.3 ≤ ′(H ′) < 1 y por Lemma (H) < 0. En vista de la Proposición 4.1,
obtener una contradicción con la pesadez de X.
Lemma 6.2 también da una simple prueba del siguiente resultado, que también sigue
del corolario 1.15:
Corolario 6.4. Cualquier meridiano de T2 es pesado (con respecto a la fundamental
clase [T]).
Prueba. En la notación anterior identificar T2 con T21 para R = 1. Desde cualquier
dos meridianos de T2 pueden ser mapeados entre sí por una isotopía simpléctica
y puesto que tal isotopía preserva la pesadez, basta probar que la
el meridiano S := S+ = {r = 0} (ver la prueba de Lemma 6.2) es pesado.
Let H : T2 → R ser un hamiltoniano y vamos a mostrar que •(H) ≥ infSH,
donde se defina el valor de los valores de referencia utilizando [T ]. Cambiando H, si es necesario, por una constante, podemos
asumir sin pérdida de generalidad que infSH = 1. Pick f = f(r) : T
2 → R
como en la definición de Fα para que F1 = f ≤ H en T
2 (nota que f es igual a 1 en
S). Entonces Lemma 6,2 rendimientos
• (H) ≥ (F1) = 1 = inf
7 Analizar tallos estables
Prueba de Teorema 1.6: Supongamos que A es un subespacio Commutativo Poisson
Φ : M → A* su mapa del momento con la imagen, y let X =
1(p) ser un tallo estable de A.
Tome cualquier funciónH • C•(A*) con H ≥ 0 y H(p) = 0. Nosotros afirmamos que
*(H) = 0. Por una arbitrariamente pequeña C0-perturbación de H podemos asumir
que H = 0 en un barrio pequeño, digamos U, de p. Elija una cubierta abierta
U0, U1,. ...................................................................................................................................................
− 1 (Ui) son establemente desplazables
para i ≥ 1 (existe por la definición de tallo). Let.......................................................................................................................................................................................
ser una partición de unidad subordinada a la cubierta {Ui}.
Tome el T2R de dos torsión como en la Sección 6. Elija R > 0 lo suficientemente grande para que
1(Ui)× {r = const} es desplazable en M × T
R para todos los i ≥ 1. Elija ahora
una cobertura suficientemente fina Vj, j = 1,..., K, del toro T.
R por lo suficiente
delgada anular r − rj < de modo que los conjuntos Φ
−1(Ui) × Vj son desplazables en
M × T2R para todos los i ≥ 1 y todos los j. Let â € ~ j = â € ~ j(r), j = 1,..., K, ser una partición
de unidad subordinada a la cubierta {Vj}.
Denotar por el estado cuasi parcial correspondiente a aT. Puso F (r, ) =
cos(2γr/R). Escribir
H + F =
(H + F )
(H0) + F · Φ
0 +
(H + F ) · i · j.
Nótese que H0 = 0 y F · Φ
0 ≤ 1. Aplicación de la cuasiadditividad parcial
y la monotonicidad tenemos eso
′(H + F ) = ′(F · 0) ≤ 1.
Por Lemma 6.2 y la fórmula del producto (Teorema 5.1 arriba) tenemos
(H + F ) = (H + F ) = (H ) + 1 ≤ 1
y, por lo tanto, «(H)» ≤ 0. Por otra parte, el valor de H ≥ 0 (H) ≥ 0 desde el punto de vista de H ≥ 0. Por lo tanto
A continuación figura una reclamación de 0 (H) = 0.
Además, dada cualquier función G en M con G ≥ 0 y GX = 0, se puede
encontrar una función H en A* con H(p) = 0 para que G ≤ H. Por monotonicidad
y la reclamación supra
0 ≤ G ≤ H = 0,
y, por lo tanto, el punto G = 0. Así X es superpesada.
8 Submanifolds monotónicos lagrangianos
La principal herramienta de prueba (super)peso de la monotona Lagrangian subman-
ilolds que satisfacen la condición de Albers es la estimación espectral en Proposi-
sión 8.1(iii) a continuación, que se originó en la obra de Albers [2]. Más tarde.
Biran y Cornea señalaron un error en [2], y sugirieron una corrección
junto con una generalización de largo alcance en [15]. Mencionemos que el
La estimación original de Albers se utilizó en la primera versión del presente documento. Nosotros
gracias Biran y Cornea por informarnos sobre el error, explicando a
nos su enfoque y nos ayuda a corregir una serie de nuestros resultados afectados
por este error.
El ingrediente principal de las técnicas de Biran-Cornea que se necesita para nuestro
la finalidad es el siguiente resultado. Vamos a ser un simplético monótono cerrado
Células de hierro o acero sin alear, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % pero inferior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, y con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, pero inferior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso, con un contenido de carbono superior o igual al 85 % en peso EscribeN para el número mínimo de Chern
de (M. Deja que Ln M2n sea un monótono cerrado Lagrangian submanifold con
el número mínimo de Maslov NL ≥ 2.
Trataremos de manera ligeramente diferente los casos en que NL es paritario y extraño. Vamos.
Mencionamos que para L orientable, NL es automáticamente uniforme. Por lo tanto, debido a
nuestra convención, cuando NL es raro trabajamos con el campo básico F = Z2. Vamos.
N · Z sea el grupo de períodos de M. Recuerde que el anillo cuántico tiene
la forma QH*(M) = H*(M;F) F
como = [q, q
−1]. Put = (N/2) · Z. Considere un anillo Novikov extendido
:= K [q
2, q−
2 ]. Definir ahora QH (M) como QH*(M) si NL es par, y como
H*(M,Z2)Z2
′ si NL es raro. En este último caso, QH
∗(M) es una extensión de
QH*(M), y lo consideraremos sin mencionar de manera especial QH*(M),
como subrenglones de QH (M),
′, K. La clasificación de QH
* La letra M) está determinada por:
la condición deg q
2 = 1. Como antes, utilizaremos la notación QH (M), donde
• = “equivalente” cuando F = C y • = * cuando F = Z2.
Tenga en cuenta que los invariantes espectrales (y por lo tanto parcial simplés cuasi-
los estados) están bien definidos sobre el anillo extendido, y además, sus valores
y las propiedades, por razones tautológicas, no se alteran bajo tal extensión
(cf. una discusión en [15], sección 5.4. Put w := sNL/2qNL/2. Recordemos que j
representa el morfismo natural H•(L;F) → H•(M;F).
Proposición 8.1. Supongamos que k > n+1−NL. Si F = C asumen además
Que k está a mano. Entonces existe un homomorfismo canónico jq : Hk(L;F) →
QH ′k(M) con las siguientes propiedades
8La letra “q” en jq significa cuántica.
i) jq(x) = j(x) + w−1y, donde y es un polinomio en w−1 con coeficientes
en H•(M ;F);
ii) jq([L]) = j([L]);
iii) Si jq(x) 6= 0 entonces c(jq(x), H) ≤ supLH por cada H + C
(M).
En particular, si S es un elemento Albers de L, tenemos jq(S) = j(S)+O(w−1) 6=
Esta proposición fue probada por Biran y Cornea en [15] en el caso
F = Z2: El mapa j
q es esencialmente el mapa iL que aparece en Teorema A(iii)
en [15]. La Proposición 8.1 i) es una combinación de Teorema A iii) y
Proposición 4.5.1 i) en [15]. Nuestra variable w corresponde a la variable t−1 en
[15], mientras que nuestro sNŁqN corresponde a la variable s−1 en la Sección 2.1.2 de [15].
Después de tal ajuste de la notación, la fórmula w := sNL/2qNL/2 arriba
puede extraerse de la sección 2.1.2 de [15]. Para la propuesta 8.1 ii) supra
Véase la Observación 5.3.2.a en [15]. La Proposición 8.1 iii) se deriva de Lemma
5.3.1 ii) en [15]. Por último, vamos a repetir el descargo de responsabilidad hecho en la sección 1.5: nosotros
dar por sentado que la Proposición 8.1 sigue siendo válida para el caso F = C.
Pasemos a las pruebas de nuestros resultados sobre (super)-peso del monotono
Submanifolds lagrangianos. Comenzamos con la siguiente observación. Deja que S sea un
Albers elemento de L. La propiedad de dualidad Poincaré de invariantes espectrales
(véase la sección 3.4 supra) se extiende literalmente al caso del anillo QH ′(M)
con la siguiente modificación: Cuando NL es impar, el emparejamiento Π introducido
en la sección 3.4 se extiende de manera obvia a un valor F no degenerado
emparejamiento en QH (M) que todavía denotamos por Π. Aplicación de la dualidad de Poincaré
y sustituyendo H := −F en la Proposición 8.1 iii) arriba obtenemos eso para
todas las funciones F + C+(M)
c(T, F ) ≥ inf
F T T QH (M) con Π(T, j
q(S) 6= 0.
En particular, dado un idempotente distinto de cero a • QH (M) y una clase b •
QH (M), de modo que Π(a*b, j
q(S) 6= 0, obtenemos, usando la propiedad de normalización
de invariantes espectrales, que
c(a, F ) + (b) ≥ c(a ∗ b, F ) ≥ inf
F. F. C. M........................................................................................................... (27)
Por lo tanto, aplicando (27) a kF para k â € N, dividiendo por k y pasando a la
límite como k → #, obtenemos que para el cuasi-estado parcial #, definido por a,
(F ) ≥ inf
F. F. C. M.
lo que significa que L es pesado con respecto a a.
Prueba de Teorema 1.15: Que S sea un elemento Albers de L. Let T
H•(M;F) ser cualquier clase de homología singular tal que T • j(S) 6= 0. Por lo tanto,
aplicando la Proposición 8.1 i) vemos que Π([M]*T, jq(S)) = Π(T, jq(S)) 6= 0,
y por lo tanto desigualdad (27), aplicado a a = [M ], b = T, rendimientos que L es pesado
con respecto a [M].
Pasemos a la prueba del Teorema 1.25 sobre el efecto de la semi-simplicidad
de la homología cuántica. Se sigue fácilmente de la siguiente más general
declaración. Let L1,. ...............................................................................
condición. Que Si sea cualquier elemento Albers de Li. Nota de Zi = j
q(Si)
QH (M) su imagen bajo el morfismo de inclusión de la Proposición 8.1 anterior.
Teorema 8.2. Teniendo en cuenta tal L1,. ............................................. .., Zm, asumir, además,
que QH2n(M) es semi-simple y los submanifolds lagrangianos L1,. ..............................................................
son desarticulados en el sentido del par. Luego las clases Z1,. .., Zm son linealmente independientes
sobre K.
Prueba. Argumentando por contradicción, asumir que
Z1 = α2Z2 +... + αmZm (28)
para algunos α2,. ............................................................... Puesto que QH2n(M) es semi-simple, se descompone
en una suma directa de campos con unidades e1,. ., ed. Desde el apareamiento Π (en
QH (M;F)) no es degenerado, existe T QH
•(M;F) de tal manera que
Π(T, Z1) 6= 0. 29)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Escribamos T como
T = [M ] * T =
* T. (30)
Ecuaciones (29), (30) implican que existe l â € [1, d] de tal manera que
Π(el ∗ T, Z1) 6= 0. 31)
Entonces (28) implica que existe r [2, m] de tal manera que
Π(el ∗ T, αrZr) 6= 0.
Usando (21) (para Π en QH (M;F)) podemos reescribir la última ecuación como
Π(el ∗ αrT, Zr) 6= 0. (32)
Aplicando ahora la fórmula (27) para S = Z1 H•(L1;F), a = el, b = T, y también
para S = Zr H•(Lr;F), a = el, b = αrT, concluimos que tanto L1 como Lr
son pesados con respecto a El. Por lo tanto son superpesados con respecto a el,
porque el es la unidad en un factor de campo de QH2n(M) (ver Sección 1.6). Por lo tanto
deben intersecarse, en contradicción con la suposición del teorema. Esto
termina la prueba de la primera parte del teorema.
Prueba de Teorema 1.25(a): Supongamos que L1,. ...............................................................
Submanifolds lagrangianos que satisfacen la condición (a) de la formulación
del teorema. Denotar por Ni el número mínimo Maslov de Li. Desde
Ni > n + 1, la clase de un punto de H0(Li;F) es un elemento de Albers para Li.
Dejemos que Zi QH
0(M) ser su imagen bajo el morfismo de inclusión de Biran-Cornea
asociado a Li. Note que por la Proposición 8.1(i) Zi = p + aiw
i, donde
wi = s
Ni/2qNi/2, ai, HNi(M;F) y p, H0(M;F) es la clase de homología de
un punto. Observar que degwi = Ni > n + 1, y por lo tanto la expresión para Zi
no puede contener términos en w−1i de orden dos y superior, ya que HkNi(M ;F) = 0
para k ≥ 2.
Recordar ahora que toda la mentira de Ni en algún conjunto Y de enteros positivos. Dejad que W...
QH ′0(M) ser el lapso sobre K de
H0(M;F)
sE/2q−E/2 ·HE(M;F).
Tenga en cuenta que
dimK W = βY (M) + 1 < m.
Así los elementos Zi, i = 1,..., m, son linealmente dependientes sobre K. Por
El teorema 8.2, QH2n(M) no es semisimple.
Prueba de Teorema 1.25(b): Supongamos que L1,. ...............................................................
Submanifolds Lagrangianos homológicamente no triviales. Por la Proposición 8.1 ii)
jq([Li]) = j([Li]) para cada i = 1,..., m. Dado que las clases j([Li]) son linealmente
dependiente, Teorema 8.2 implica que QH2n(M) no es semi-simple.
Prueba del Teorema 1.18: Combinando la Proposición 8.1 ii) y iii) obtenemos
que para cualquier H â € TM Câ TM (M)
c(j([L]), H) ≤ sup
H. H. C. M.......................................................................................................................................
Por la hipótesis del teorema, podemos escribir j([L]) * b = a para algunos b.
c(a,H) = c(j([L]) ∗ b,H) ≤ c(j([L]), H) + c(b, 0).
c(a,H) ≤ sup
H + c(b, 0).
Aplicando esta desigualdad a E · H con E > 0, dividiendo por E y pasando
hasta el límite como E → â € € TM € ~ (H) ≤ supLH para todos los H. Por lo tanto L es
superpesado.
Observación 8.3. Los resultados anteriores admiten las siguientes generalizaciones en el
marco de la teoría de Biran-Cornea. El principal objeto de esta teoría es la
anillo de homología cuántica QH*(L) de un submanifold Lagrangiano monotono,
que es isomórfico a la homología Lagrangia Floer HF*(L, L) de L hasta
un cambio en la clasificación.
i) Si QH*(L) no desaparece, L es pesada (véase la Observación 1.2.9b en [15]).
De hecho, de [15] se deduce que si L cumple la condición de Albers,
QH*(L) no desaparece.
(ii) El mapa jq de la Proposición 8.1 anterior es una huella de la
Mapa de inclusión de tum iL : QH*(L) → QH
*(M) construido en [15]. Los
la estimación de la acción en el inciso iii) de la propuesta es
que figuran en [15] para las clases iL(x) para los elementos x • QH*(L) de una determinada
forma especial, dando la siguiente generalización del Teorema 1.18: para
estas clases especiales x • QH*(L) la condición de que la clase iL(x)
no desaparece y divide un idempotente no trivial a implica que L
es superpesado con respecto a a. Esto permite, por ejemplo,
ize Ejemplo 1.19 sobre las esferas lagrangianas en los cuadros anteriores al caso
cuando dimL es raro.
(iii) En [15] uno puede encontrar otra estimación de acción que viene de la
Estructura del módulo QH*(M) en QH*(L), que da más resultados sobre
(super)peso de los submanifolds Lagrangiano monótono.
Prueba de la Proposición 1.4: La homología cuántica QH2n(M) se divide como una
álgebra sobre K en una suma directa de dos álgebras uno de los cuales es un campo. Esto
fue probado por McDuff para el campo F = C (véase [39] y [24, sección 7]), pero
la prueba pasa por el caso F = Z2 también. Denotar la unidad de la
campo por a. Es un idempotente no cero en QH2n(M). Como ya hemos señalado
hacia fuera en la Observación 1.21, tal idempotente a define un verdadero simplés cuasi-
y por lo tanto las clases de conjuntos pesados y superpesados con respecto a
Coincidencia.
Por el teorema 1.2, el toro lagrangiano L-M no puede ser superpesado
con respecto a un, ya que puede ser desplazado de sí mismo por un simplético (no-
Hamiltonian) isotopía. De hecho, tome una isotopía simpléctica obvia............................................................................................................................................
que desplaza L (un cambio paralelo) y lo compone con una isotopía Hamiltoniana
Para que por cada t que tenemos que es constante en t (L) y t (t) es la identidad
en la bola donde se realizó la explosión de T2n. Sin lugar a dudas, el resultado
la isotopía simpléctica se extiende a una isotopía simpléctica de M que desplaza
Por otro lado, NL ≥ 2 porque en este caso NL = 2N, donde N ≥ 1
es el número mínimo Chern de M. Por último, tenga en cuenta que L representa un no-
clase de homología trivial en Hn(M ;Z2). Por lo tanto podemos aplicar Teorema 1.15
y conseguir que L es pesado con respecto a [M ].
9 Rigidez de fibras especiales de ac-
ciones
En esta sección probamos Teorema 1.9. Denotar la fibra especial de Φ por
L := 1(pspec).
Reducción al caso de las acciones T1: En primer lugar, afirmamos que es suficiente
para probar el teorema de las acciones Hamiltonian T1- y el caso general
Sígueme de ahí. De hecho, supongamos que esto está probado. La superpeso de la
fibra especial inmediatamente produce que para cualquier función H̄ : R → R
*(H̄) = H̄(pspec), (33)
donde Φ :M → R es el mapa del momento de la acción T1.
Volvamos a la situación multidimensional y vamos a Φ : M → Rk
ser el mapa del momento normalizado de un Hamiltonian Tk-action en M. Para un
v Rk denotar por Φv(x) = Φv,Φ(x), donde, es el estándar euclidiano
producto interior en Rk. Tenga en cuenta que si v • Zk la función Φv es el normalizado
mapa del momento de una acción del círculo Hamiltoniano y su valor especial es v, pspeñá.
Así por (33)
K) = K(v, pspeñá)
*(R). (34)
Por la homogeneidad de la igualdad (34) se mantiene para todos v. Qk, y por la continuidad
para todos los v â € Rk.
Obsérvese que para cada par de funciones lisas P,Q,C,C,(R) y para cada
par de vectores v,w Rk las funciones
P y
Q Poisson-computar en
M. Así la desigualdad triangular para los números espectrales (ver Sección 3.4)
rendimientos
P +
Q) ≤ ()
P ) + ()
P). (35)
Puesto que M es compacto, basta con asumir que la función H̄ â € TM TM Câ TM (Rk) en
Rk es compatible de forma compacta. Por la inversa transformación de Fourier podemos escribir
H̄(p) =
(v) + cosáv, páv) · F (v) + cosáv, páv) ·G(v)
para algunos rápidamente (digamos, más rápido que (p + 1)-N para cualquier N N) decayendo
funciones F y G en Rk. Para cada v â € TM Rk definir una función Kv â € C
Kv(s) := sin s · F (v) + cos ·G(v).
Observar que
H̄ =
Kv dv.
Denotar por B(R) la bola euclidiana de radio R en Rk con el centro en el
origen. Poner
H̄R(p) =
Kv(v, ) dv, p R
Dado que las funciones F y G están decayendo rápidamente, tenemos que
H̄R − HC0(Rk) → 0 como R → فارسى. (36)
Afirmamos que por cada R
*(H̄R) ≤ H̄R(pspec). (37)
De hecho, para â > 0 introducir la suma integral
H̄R (p) =
vÃ3r ZkÃ3B(R)
Kv (v, p)...........................................................................................................................................
H̄R, =
vÃ3r ZkÃ3B(R)
- ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! ¡No!
Aplicando repetidamente (35) y (34) obtenemos eso
*(H̄R,♥) ≤ H̄R,/23370/(pspec).
Tenga en cuenta ahora que para R fijo la familia H̄R, fue convergente a H̄R como فارسى → 0 en
la norma uniforme sobre C0(Rk). El uso de que es Lipschitz con respecto a la
norma uniforme en C0(M) obtenemos fácilmente la desigualdad (37).
Combinando el hecho de que es Lipschitz con (36) y (37) obtenemos que
(H̄) = lim
(H̄R) ≤ lim
H̄R(pspec) = H̄(pspec).
Ahora, asuma que H̄ ≥ 0 y H̄(pspec) = 0. Acabamos de demostrar que
•(H̄) ≤ 0, y por lo tanto •(H) = 0, que inmediatamente produce el su- deseado
la permeabilidad de la fibra especial. Esto completa la reducción de la
caso al caso 1-dimensional.
A partir de ahora consideraremos sólo el caso de un Hamil efectivo...
toniano T1-acción en M con un mapa de momento Φ :M → R. Su momento
El politopo es un intervalo cerrado en R y pspec = −I(Φ) R.
Reducción al caso de una función estrictamente convexa: Nosotros reclamamos
que es suficiente para mostrar la siguiente proposición:
Proposición 9.1. Suponga H̄ : R → R es una función lisa estrictamente convexa
alcanzar su mínimo en pspec. Conjunto H := Φ
*H̄. A continuación, Ł(H) = H̄(pspec).
Aplazando la prueba de la proposición por un momento vamos a demostrar que
implica el teorema. De hecho, let F : M → R ser un hamiltoniano en M. En
orden para mostrar la superpeso de L = 1(pspec) tenemos que mostrar que
•(F ) ≤ supL F. Elija una función muy pronunciada estrictamente convexa H̄ : R → R con
el valor mínimo de supL F alcanzado en pspec y tal que Φ
*H̄ =: H ≥ F
en todas partes en M. Entonces utilizando la Proposición 9.1 y la monotonicidad de
•(F) ≤ (H) = H̄(pspec) = sup
por lo que se refiere a la presentación de la reclamación.
Preparativos para la prueba de la Proposición 9.1: Dado un (tiempo-
dependiente, no necesariamente regular) Hamiltonian G, nos asociamos a cada
par [γ, u] â € € € TM TM un número
DG([γ, u]) := AG([γ, u])−
· CZG([γ, u]).
(Recuerde que definimos el índice Conley-Zehnder para todos los Hamiltonianos y
no sólo los regulares – ver sección 3.3). El número DG([γ, u]) está in-
variante bajo un cambio del disco de extensión u – una adición de una esfera
jS HS2 (M) en el disco u cambia tanto AG([γ, u]) como CZG([γ, u]) por
el mismo número. Así podemos escribir DG([γ, u]) = DG(γ).
Teniendo en cuenta lo siguiente:
(l) y u(l) como las composiciones
de γ y u con el mapa z → zl en la unidad de disco D2 o C (aquí z es un
Coordenada compleja sobre C). Denotar por t 7→ gt el flujo de tiempo de G y por
G(l) :M × R → R el Hamiltoniano cuyo flujo temporal es t 7→ (gt)
l y qué
es definido por
G(l) := G®. ...............................................................................................................................................................................................................................................................
donde GÃ3K(x, t) := G(x, t) +K(g−1t x, t) para cualquier K :M × R → R.
Proposición 9.2. Existe una constante C > 0, dependiendo sólo de n, con
la siguiente propiedad. Teniendo en cuenta una órbita 1-periódica γ PG del flujo t 7→ gt
generado por G, asumir que γ(l) es una órbita 1-periódica del flujo t 7→ glt
generado por G(l), y por lo tanto para cualquier u tal que [γ, u]
[γ(l), u(l)].......................................................................................................................................................................................................................................................... Entonces
DG(l)([γ
(l), u(l)]— LDG([γ, u]) ≤ l · C.
Prueba. El término de acción en DG se multiplica por l a medida que pasamos de G a G
En cuanto al término Conley-Zehnder, la propiedad cuasimorfista del Conley-
El índice de Zehnder (véase la Proposición 3.5) implica que existe una constante C > 0
(dependiendo solamente de n) tal que
lCZG[γ, u]− CZG(l)([γ
(l), u(l)]) ≤ C.
Esto prueba inmediatamente la proposición.
Proposición 9.3. Let G :M × [0, 1] → R ser un hamiltoniano como arriba. Entonces
se puede elegir > 0, dependiendo de G, y una constante Cn > 0, dependiendo de
sólo en n = dimM/2, de modo que cualquier función F : M × [0, 1] → R que es
cerca de G, en una medida métrica-C. sobre C.(M×[0, 1]) cumple la condición siguiente:
por cada γ0 • PF existe γ • • PG de tal manera que la diferencia entre DF (γ0)
y la DG(γ) está limitada por Cn.
Prueba. Denote el flujo de G por gt (como antes) y el flujo de F por ft.
verá las trayectorias periódicas de tiempo-1 de estos flujos tanto como mapas de [0, 1] a
M que tengan el mismo valor en 0 y 1 y como mapas de S1 a M.
Primero, considere la fibración D2×M →M y, abusando ligeramente de la notación,
denotar la retirada natural de............................................................................................................ Segundo, mira la fibración.
pr : D2 ×M → D2. Denotar por V ert el haz vertical sobre D2 × M formado
por los espacios tangentes a las fibras de pr. Para cada bucle : S1 →M define por
: S1 → D2 ×M el mapa (t) := (t, γ(t)). Los paquetes TM y V ert
sobre S1 coinciden. Similarmente para cada w : D2 →M denotar por : D2 → D2×M
el mapa (z) := (z, w(z)).
Existe > 0, dependiendo de G, de tal manera que para cada γ PG un tubular
El término «vecindario» de la imagen de en S1 ×M D2 ×M, denotado por Ubγ, tiene
las siguientes propiedades:
• existe un 1-formo en Ubγ que satisface d
• V ert admite una trivialización sobre Ubγ.
Dado un â € > 0, podemos elegir F lo suficientemente cerca de G para que el
rutas t 7→ pies y t 7→ gt en Ham(M) son arbitrariamente C
- Muy cerca y, por lo tanto,
• por cada x • Fix (F) existe y • Fix (G) que está cerca de x
(pensar en los puntos fijos como puntos de intersección de la gráfica de un
difeomorfismo con la diagonal;
• la distancia entre los mapas γ0 : t 7→ ft(x) y γ : t 7→ gt(y)
de [0, 1] a M está limitada por y la imagen de 0 se encuentra en Ubγ.
Elija un mapa u0 : D
2 → M, uD2 = γ0. Dado que γ0 y γ son C
- ¡Cerca! - ¡Cerca!
puede agrandar D2 a un disco más grande D21 D
2 y encontrar un mapa suave u : D21 →M
para que
• uD21
= u0;
• u(D21 \ D
2) Ubγ.
Rescatar D21 podemos asumir sin pérdida de generalidad que [γ, u] PG.
Trivializar los paquetes de vectores 0TM y γ
* TM para que las trivializaciones
se extienden a una trivialización de u*TM sobre D21 (y por lo tanto de u
0TM sobre D
Utilizando las trivializaciones podemos identificar las rutas t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt
con algunos caminos basados en la identidad de matrices simpléticas A(t), B(t). Fijación de un
pequeño como el anterior, también podemos asumir que F es elegido para C-cerca de G que,
además de todo lo anterior, la distancia C-entre los caminos t 7→ A(t)
y t 7→ B(t) en Sp (2n) está limitado por (por ejemplo, asegúrese primero de que
las trayectorias de matriz obtenidas escribiendo las trayectorias t 7→ dγ0(0)ft y t 7→ dγ(0)gt
usando alguna trivialización de V ert sobre Ubγ son lo suficientemente cerca – entonces la matriz
rutas t 7→ A(t) y t 7→ B(t) también estarán lo suficientemente cerca).
Nosotros afirmamos que al elegir lo suficientemente pequeño en la construcción de arriba nosotros
puede vincular la diferencia entre DF ([γ0, u0]) y DG([γ, u]) en una cantidad
dependiendo sólo de dimM.
De hecho, la diferencia
F (γ0(t), t)dt −
G(γ(t))dt está limitado por una
cantidad dependiendo sólo de algunas constantes universales y, porque γ0 es
Cerca de γ y F se encuentra cerca de G con respecto a la medida. Puede ser
hecho arbitrariamente pequeño al elegir un lo suficientemente pequeño. La diferencia
* −
u =
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
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está limitado por la diferencia
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Oh, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. Desde entonces, γ0 y γ son
la diferencia posterior se puede hacer menos de 1 si elegimos
a lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, hemos demostrado que al elegir un suficientemente
pequeño podemos unir AF ([γ0, u0])-AG([γ, u]) por 1.
Ahora, en lo que respecta a los índices de Conley-Zehnder, nuestra elección
de las trivializaciones significa que la diferencia entre CZF ([γ0, u0]) y
CZG([γ, u]) es sólo la diferencia entre los índices de Conley-Zehnder para el
vías de matriz t 7→ A(t) y t 7→ B(t). Pero los últimos caminos en Sp (2n) son
Por lo tanto, representan los elementos cercanos de Sœp (2n) y si
se eligió suficientemente pequeño, entonces, como mencionamos en la sección 3.3, su
Los índices de Conley-Zehnder difieren a lo sumo por una constante dependiendo solamente de n.
Esto termina la prueba de la reclamación y la proposición.
Plan de la prueba de la Proposición 9.1: Asumimos ahora que H̄ es
una función fija estrictamente convexa en R. Nuestros cálculos contarán con E como un
parámetro grande. Para las cantidades α, β dependiendo de E escribiremos α β si
α ≤ const se mantiene para E lo suficientemente grande, donde el const depende solamente de (M,
Φ y H̄, y en particular no depende de E. Vamos a escribir α • β si
α β y β α. Usando este lenguaje la proposición puede ser reafirmada como
c(a, EH) EH̄(pspec). 38)
En general, las órbitas 1-periódicas del flujo de EH no están aisladas y allí-
El Hamiltoniano no es regular. Dejar F ser un regular (tiempo-periódico)
perturbación de EH.
Por el axioma de espectralidad, el número espectral c(a, F) para un QH2n(M)
es igual a AF ([γ0, u0]) para algunos pares [γ0, u0] â € € con CZF ([γ0, u0]) = 2n. Por lo tanto
c(a, F ) • DF (γ0). Combinando esto con la Proposición 9.3 obtenemos eso para algunos
γ • PEH
EH̄(pspec) c(a, EH) فارسى c(a, F ) ♥ DF (γ0) DEH(γ). (39)
Por lo tanto, sería suficiente para demostrar que
DEH(γ) EH̄(pspec) para todos los γ PEH, (40)
que junto con (39) implicaría (38).
La desigualdad (40) se demostrará de la siguiente manera. Nótese que cada uno de ellos
PEH se encuentra en Φ
−1(p) para algunos p • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vamos a demostrar que
DEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄
′(p)(pspec − p). 41)
Tenga en cuenta que (41) implica (40). De hecho, ya que H̄ es estrictamente convexo y alcanza
su mínimo en pspec, se deduce de (41) que
DEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄
′(p)(pspec − p) ≤ EH̄(pspec),
lo que es cierto para cualquier γ â € ¢ PEH por lo tanto rindiendo (40).
Prueba de (41): Que la acción T1 sobre M sea dada por un bucle de sim-
plectomorfismos t}, t R, t = t+1. El flujo de EH tiene la forma
htx = ♥EH(Φ(x))tx.
Vemos γ como un mapa γ : [0, 1] → M satisfaciendo γ(0) = γ(1). Denotar
x := γ(0). La curva γ se encuentra en 1(p).
Nota N := γ([0, 1]). Este es el T1-órbita de x y es o bien un punto o
un círculo.
En el primer caso γ es una trayectoria constante concentrada en un punto fijo
N.M. de la acción. Usando esta curva constante γ junto con la constante
disco u que abarca las definiciones de I(Φ) y DEH(γ) se obtiene
pspec − p = mΦ(γ, u)
DEH(γ) = EH̄(p)− فارسى/2 · CZEH([γ, u]).
Así pues, la prueba (41) reduce en este caso a la prueba
-CZEH([γ, u])
′(p) ·mΦ(γ, u).
Vamos a fijar una base simpléctica de TNM y ver cada diferencial dN
matriz simpléctica A(t), de modo que {A(t)} es un bucle basado en la identidad en Sp (2n).
-CZEH([γ, u]) -CZmatr({A(EH̄)
′(p)t)},
mientras
EH̄ ′(p) ·mΦ(γ, u)
′(p)Maslov({A(t)}).
Por lo tanto, tenemos que demostrar
CZmatr({A(EH̄)
′(p)t)}) فارسى EH̄ ′(p)Maslov({A(t)},
que se sigue fácilmente de las definiciones del índice de Conley-Zehnder y
la clase Maslov.
Así que a partir de ahora asumiremos que N es un círculo. Toma cualquier punto.
x N. El estabilizador de x bajo la acción T1 es un grupo cíclico finito de
orden k N. Así la órbita de la T1-acción gira k veces a lo largo de N. Desde γ
es una órbita cerrada no constante del flujo hamiltoniano generado por EH̄,
gira r veces a lo largo de N con r Z \ {0}. Esto implica que EH̄ ′(p) = r/k.
Alegamos que sin pérdida de generalidad podemos asumir que l := r/k es un
entero.
De hecho, siempre podemos pasar a γ(k) PkEH, de modo que (kEH̄)
′(p)+Z, y
si podemos probar la proposición para γ(k), entonces
DkEH(γ
k) kEH̄(p) + kEH̄ ′(p)(pspec − p).
Aplicando la Proposición 9.2 obtenemos
kDEH(γ) kEH̄(p) + kEH̄
′(p)(pspec − p) + k · const,
y, por lo tanto,
DEH(γ) ♥ EH̄(p) + EH̄
′(p)(pspec − p),
la prueba de la reclamación de la γ original.
A partir de ahora suponemos que l := EH̄ ′(p) â € € € € € TM y que [γ, u] â € € € € TM.
Considere el campo vectorial de Hamilton X := sgradΦ en un punto x â € N. Desde
N es una órbita no constante obtenemos X 6= 0. Entonces V = Tx(Φ
−1(p)) es el sesgo
Complemento ortogonal a X. Elija un T1-invariante casi compatible con
estructura compleja J en un barrio de N. Juntos Ł y J definen un T1-
métrica de Riemannia invariante g. Descomponga el haz tangente TM a lo largo
N como se indica a continuación. Poner Z = Span(JX,X) y establecer W para ser el g-ortogonal
complemento a X en V. Así tenemos una descomposición invariante T1-
TxM = W â € Z, x â € N. (42)
Además, W y Z llevan formas canónicas simplécticas. Por lo tanto W y Z
definir subbundles simpléticos (y por lo tanto triviales) de TM sobre N. Inducen
subbundles triviales del paquete TM sobre S1.
Calculamos
dht(x) = dŁEH′(Φ(x))t(x) + EH
′′(Φ(x)) · dΦ() ·X. (43)
Consideramos dos trivializaciones del paquete TM sobre S1. El primer trivi-
la alización se define por medio de secciones invariantes bajo la acción T1. Los
segundo se elige de tal manera que se extiende a una trivialización de u*TM
sobre D2. Usando estas trivializaciones podemos identificar dht(x), respectivamente, con
dos rutas basadas en la identidad {Ct}, {C
De matrices simpléticas. El decompo-
Situación (42) induce una división
Ct = 1° Bt.
Afirmamos que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E.
De hecho, observar que en la base (X, JX) de Z
1 b12(t)
Denote por L la línea que abarca X = (1, 0). Perturb {Bt} a una ruta {B]
RtBt}, donde Rt es la rotación por el ángulo t, y > 0 es lo suficientemente pequeño.
Obsérvese queB′(t)LÃ3L = {0} para t > 0. Se desprende fácilmente de las definiciones
que CZmatr(B
t) y CZmatr(RŁt) no excedan de 2. Por lo tanto, por la cuasi-
propiedad del morfismo del índice de Conley-Zehnder (ver Proposición 3.5)
tienen que CZmatr({Bt}) está limitado por una constante independiente de E, que
da lugar a la reclamación. Por lo tanto
CZmatr ({Ct}) 0.
Por otra parte, por fórmula (18)
CZmatr ({C)
t}) = CZmatr ({Ct}) +mlΦ([γ, u]).
CZEH([γ, u]) := n− CZmatr ({C)
t}) -mlΦ([γ, u]). (44)
Puesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), obtenemos
AEH([γ, u]) =
EH(γ(t))dt−
u = EH̄(p)−
u. (45)
Usando (45) y (44) la igualdad precisa
DEH([γ, u]) = AEH([γ, u])−
· CZEH([γ, u])
puede convertirse en una desigualdad asintótica
DEH([γ, u]) فارسى EH̄(p)−
u +
mlΦ([γ, u]). (46)
Puesto que la trayectoria periódica γ se encuentra dentro de 1(p), tenemos
AlΦ([γ, u]) =
lΦ(γ(t))dt−
u = lp−
u. (47)
Sumando y restando lp del lado derecho de (46) y utilizando (47)
¡Vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos, vamos.
DEH(γ) = DEH([γ, u])
EH̄(p)− lp)
mlΦ([γ, u])
EH̄(p)−
AlΦ([γ, u])+
mlΦ([γ, u])
EH̄(p)−
− I(lΦ) =
= EH̄(p) + l(−I(Φ)− p) = EH̄(p) + l(pspec − p).
Recordando que l = EH ′(p), finalmente obtenemos que
DEH(γ) = EH̄(p) + EH
′(p)(pspec − p),
que es precisamente la ecuación (41) que queríamos obtener. Esto termina el
prueba de la Proposición 9.1 y del Teorema 1.9.
9.1 Calabi y acción mixta-Maslov
Prueba de Teorema 1.13.
Suponga H :M × [0, 1] → R es un Hamiltoniano normalizado que genera
un bucle en Ham(M) que representa una clase α • η1(Ham(M)) • Hśam (M). Entonces
H(l) también se normaliza y genera un bucle que representa αl. Vamos a calcular
μ(α) = −vol (M) · liml c(a,H
(l))/l.
Argumentando como en la prueba de (39) obtenemos que existe una constante C >
0 De tal manera que para cada l N existe γ • PH(l) para el cual c(a,H
l) −
DH(l)(γ) ≤ C. Pero, como se desprende de las definiciones y del hecho de que
I es un homomorfismo, DH(l)(γ) no depende de γ y es igual a −I(α
− lI(α). Esto implica inmediatamente que μ(α) = vol (M) · I(α).
Agradecimientos. Los orígenes de este documento se encuentran en nuestro trabajo conjunto con
P.Biran en el papel [10] – le agradecemos por su fructífera colaboración en un
etapa inicial de este proyecto, así como por su ayuda crucial con el ejemplo 1.17
sobre las esferas lagrangianas en hipersuperficies proyectivas. También le damos las gracias y
O.Cornea por señalarnos un error en la versión original de este artículo
y ayudándonos con la corrección (ver Sección 8). Damos las gracias a F. Zapolsky
por su ayuda con el "exótico" monótono Lagrangiano toro en S2 × S2 dis-
tachado en el ejemplo 1.20. Agradecemos a C. Woodward por señalarnos el
enlace entre el punto especial en el momento politopo de un áurico simplés
múltiples y la invariante Futaki, y E. Shelukhin para discusiones útiles
sobre esta cuestión. También estamos agradecidos a V.L. Ginzburg, Y. Karshon, Y. Largo.
D. McDuff, M. Pinsonnault, D. Salamon y M. Sodin para debates útiles
y las comunicaciones. Damos las gracias a K. Fukaya, H. Ohta y K. Ono, la...
los nizers de la Conferencia sobre topología simplética de Kioto (febrero de 2006),
M. Harada, Y. Karshon, M. Masuda y T. Panov, los organizadores de
ference on Toric Topology in Osaka (mayo de 2006), O. Cornea, V.L. Ginzburg,
E. Kerman y F. Lalonde, los organizadores del Taller de Teoría Floer
(Banff, 2007), y A. Fathi, Y.-G. Oh y C. Viterbo, los organizadores de
Conferencia de verano de la AMS sobre topología simplética y conservación de medidas
Sistemas Dinámicos (Snowbird, julio de 2007), por darnos la oportunidad de
presentar una versión preliminar de este trabajo y por el excelente trabajo que hicieron
en la organización de estas conferencias. Finalmente, agradecemos a un árbitro anónimo por
comentarios útiles y correcciones.
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Michael Entov Leonid Polterovich
Departamento de Matemáticas Escuela de Ciencias Matemáticas
Technion Tel Aviv University
Haifa 32000, Israel Tel Aviv 69978, Israel
entov@math.technion.ac.il polterov@post.tau.ac.il
http://arxiv.org/abs/0709.1127
Introducción y principales resultados
Muchas facetas de la desplazabilidad
Preliminares sobre homología cuántica
Una jerarquía de subconjuntos rígidos dentro de la teoría de Floer
Acciones de toros hamiltonianos
Monotonas super(pesadas) submanifolds lagrangianos
Efecto de la semisimplicidad
Debate y preguntas abiertas
¿Fuerte desplazabilidad más allá de la teoría de Floer?
Fibras pesadas de subespacios conmutativos Poisson
Detectar la desplazabilidad estable
Preliminares sobre la teoría de Hamilton Floer
Valoración sobre QH* (M)
Teoría hamiltoniana de Floer
Índices de Conley-Zehnder y Maslov
Números espectrales
Casi-estados simpléticos parciales
Propiedades básicas de (super) juegos pesados
Productos de (super)conjuntos pesados
Fórmula de producto para invariantes espectrales
Complejos degradados de grado Z2
Homología Floer y Cuántica Reducida
Prueba del teorema 5.1
Prueba del teorema algebraico 5.2
No desplazabilidad estable de conjuntos pesados
Analizar tallos estables
Submanifolds monotónicos lagrangianos
Rigidez de las fibras especiales de las acciones Hamiltonianas
Calabi y acción mixta-Maslov
|
704.0106 | Multiple Parton Scattering in Nuclei: Quark-quark Scattering | Dispersión múltiple de Parton en Nuclei:
Dispersión de quark-quark
Andreas Schäfer, a Xin-Nian Wang b y Ben-Wei Zhang c,d,a
aInstitut für Theoretische Physik, Universität Ratisbona
D-93040 Ratisbona, Alemania
b División de Ciencia Nuclear, MS 70R0319
Lawrence Berkeley National Laboratory, Berkeley, CA 94720
cCyclotron Institute and Physics Department, Texas A&M University
College Station, Texas 77843-3366
dInstituto de Física de Partículas, Universidad Normal de China Central
Wuhan 430079, China
Resumen
Modificaciones de las funciones de fragmentación de quark y antiquark debido al quark-quark
(antiquark) la dispersión doble en medio nuclear se estudian sistemáticamente hasta
ordenar O(α2s) en la dispersión (DIS) profundamente inelástica de objetivos nucleares. En el orden
O(α2s), twist-cuatro contribuciones de quark-quark (antiquark) rescattering también ex-
prohibir la característica de interferencia Landau-Pomeranchuck-Midgal (LPM) similar al gluón
bremsstrahlung inducido por la dispersión de múltiples parten. Comparado con quark-gluon
scattering, la modificación, que está dominada por el quark-quark del canal t (anti-
) dispersión, es sólo menor por un factor de CF /CA = 4/9 veces la relación de
distribuciones de quark y gluon en el medio. Tal modificación no es negli-
gible para cinemática realista y tamaño mediano finito. Las modificaciones al quark
(antiquark) funciones de fragmentación de los procesos de aniquilación quark-antiquark
se muestran determinados por la densidad de distribución del anticuarco (cuarco) en el
Medio. La asimetría en las distribuciones quark y antiquark en los núcleos conducirá
a diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark en el interior
un núcleo, que cualitativamente explica el sabor observado experimentalmente depen-
Dence de la represión de hadron líder en el DIS semi-inclusive fuera de objetivos nucleares.
Los procesos de aniquilación quark-antiquark también mezclan la fragmentación quark y gluon
funciones en la región de gran impulso fraccionario, lo que conduce a una dependencia del sabor
de un chorro que se apaga en colisiones de iones pesados.
Palabras clave: Atenuación de chorros, fragmentación modificada, pérdida de energía de parten.
PACS: 24.85.+p, 12.38.Bx, 13.87.Ce, 13.60.-r
Preimpresión enviada a Elsevier el 30 de octubre de 2018
http://arxiv.org/abs/0704.0106v2
1 Introducción
La dispersión de múltiples partes en un medio denso se puede utilizar como una herramienta útil para estudiar
propiedades de la materia nuclear caliente y fría. El éxito de este enfoque ha sido
demostrado por el descubrimiento de fuertes fenómenos de apagado de chorro en el centro de Au + Au
colisiones en el colisionador de iones pesados relativistas (RHIC) [1,2,3] y sus implicaciones
sobre la formación de un plasma de quark-gluón fuertemente acoplado en RHIC [4,5]. Sin embargo,
para un estudio fenomenológico convincente de los datos experimentales existentes y futuros,
una descripción unificada de todos los efectos medios en procesos duros en los que participan núcleos, tales como
colisiones electrón-núcleo (e + A), hadrón-núcleo (h + A) y núcleo-núcleo (A +
A) tiene que ser desarrollado [6,7]. Esto debe incluir la física del impulso transversal
ampliación [8], fuerte mejora nuclear en la producción de DIS [9] y Drell-Yan [10,11],
la sombra nuclear [12], y la pérdida de energía de parten debido a la radiación de gluón inducida por múltiples
dispersión [13,14,15,16,17,18,19].
Existen muchos marcos diferentes en la literatura para describir la dispersión múltiple
en un medio nuclear [20,21,22]. Entre ellos, el enfoque de expansión de giro se basa en
la factorización generalizada en QCD perturbante como desarrollado inicialmente por Luo, Qiu
y Sterman (LQS) [23]. En el formalismo LQS, los procesos de dispersión múltiple generalmente
En el caso de la distribución de la parten, las correlaciones de múltiples partes de alta torsión son similares a las de la distribución de la parten.
en los procesos de torsión líderes. Aunque las correcciones correspondientes de giro superior son
Suprimidas por poderes de 1/Q2, son reforzadas al menos por un factor de A1/3 debido a
dispersión múltiple en un núcleo grande. Este marco se ha aplicado recientemente al estudio
modificación media de las funciones de fragmentación como parten principal se propaga
a través del medio [18,19]. Debido al Landau-Pomeranchuck-Midgal no abeliano
interferencia en el gluon bremsstrahlung inducida por la dispersión de múltiples partes en los núcleos,
las modificaciones nucleares de mayor torsión a las funciones de fragmentación se mejoran de hecho
por A2/3, cuadrático en el tamaño nuclear [18,19]. Estudio fenomenológico de la energía Parton
pérdida y modificación nuclear de las funciones de fragmentación en materia nuclear fría [24]
da una buena descripción de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones en semi-
Inclusive diseminación profundamente inelástica del leptón-núcleo observado por el experimento HRMES
[25,26]. El mismo marco también da una explicación convincente para la supresión de
grandes hadrones de impulso transversal descubiertos en RHIC [27].
El énfasis de los estudios recientes de la modificación media de las funciones de fragmentación tiene
ha estado en la pérdida de energía radiativa parten inducida por la dispersión múltiple con gluones. Semejante
procesos de hecho son dominantes en relación con la dispersión múltiple con quarks debido a la
abundancia de gluones blandos en núcleos fríos o materia caliente densa producida en iones pesados
colisiones. Dado que gluon bremsstrahlung inducido por la dispersión con gluones medios es el
igual para quarks y anti-quarks, también se espera la pérdida de energía y la fragmentación
modificación para ser idéntica para quarks y anti-quarks. Sin embargo, en un medio con fi-
la densidad de los bariones, como los núcleos fríos y la región delantera de las colisiones de iones pesados,
la diferencia entre las distribuciones de quark y antiquark en el medio debe dar lugar a
ent pérdida de energía y funciones de fragmentación modificadas para quarks y antiquarks a través de
Procesos de aniquilación quark-antiquark. Para estudiar tal asimetría, uno debe considerar
sistemáticamente todos los posibles procesos de dispersión quark-quark y quark-antiquark, que
será el centro de atención de este documento.
En este estudio vamos a calcular las modificaciones de la fragmentación quark y antiquark
funciones (FF) debidas a la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en un medio nuclear,
trabajar dentro del marco LQS para la factorización generalizada en QCD perturbador.
Para una descripción completa de la modificación nuclear de la especificación de hadron
tra, todavía hay que considerar la modificación media de las funciones de fragmentación del gluón en
Además de la función de fragmentación de quark modificada debido a la dispersión de quark-gluón [18].
Los resultados teóricos presentados en este trabajo serán un segundo paso hacia una completa
descripción de las funciones de fragmentación de mediana modificación. Sin embargo, ya se puede encontrar
que quark-quark (antiquark) doble dispersión dará diferentes correcciones a quark
y antiquark FF, dependiendo de la densidad antiquark y quark del medio, respec-
Tily. Esta diferencia entre quark modificado y antiquark FF puede arrojar luz sobre el
interesante observación por el experimento HERMES [25,26] de una gran diferencia entre
supresión nuclear de los principales espectros de protones y antiprotones en el DIS semi-inclusivo
de grandes núcleos. Tal imagen de quark-quark (antiquark) dispersión puede proporcionar un com-
mecanismo de contacto para el fenómeno observado experimentalmente, además de posible
absorción de hadrones de estado final dentro de la materia nuclear [28,29].
El documento se organiza de la siguiente manera. En la próxima sección vamos a presentar la general para
malismo de nuestro cálculo incluyendo la factorización generalizada de los procesos twist-4.
En la Sección III ilustraremos el procedimiento de cálculo de las partes
Quark-quark doble dispersión en núcleos. En la Sección IV discutiremos las modificaciones
a funciones de fragmentación quark y antiquark debido a quark-quark (antiquark) dou-
ble dispersión en los núcleos. En la Sección V, nos centraremos en la parte dependiente del sabor de la
mediana modificación al quark FF debido a la aniquilación quark-antiquark y lo haremos
discutir las implicaciones para la dependencia del sabor de los principales espectros de hadrones en ambos
DIS de un núcleo y colisiones de iones pesados. Resumiremos nuestra labor en la Sección VI. In
el Apéndice A-1, recogemos los resultados completos para las partes duras de
diagramas cortados de quark-quark (antiquark) rescattering doble en núcleos. También proporcionamos
un cálculo alternativo de las partes duras de los diagramas de corte central del apéndice A-3
a través de la dispersión elástica quark-quark o aniquilación quark-antiquark como un control cruzado.
2 Formalismo general
Con el fin de estudiar quark y antiquark FF en semi-inclusive profundamente inelástico leptón-
dispersión del núcleo, consideramos los siguientes procesos,
e(L1) + A(p) e(L2) + h(lh) +X,
Ap Ap
Fig. 1. El orden más bajo y la contribución líder-twist al DIS semi-inclusive.
donde L1 y L2 son los cuatro momentos de los leptones entrantes y salientes, y lh
es el impulso de hadron observado. La sección transversal diferencial para el semi-inclusivo
proceso puede expresarse como
EL2Elh
dđhDIS
d3L2d3lh
LŁElh
dW فارسى
, (1)
donde p = [p+, 0, 0] es el momento por nucleón en el núcleo, q = L2 − L1 =
[−Q2/2q−, q−, 0] la transferencia de impulso transportada por el fotón virtual, s = (p + L1)2
el centro de energía de masa leptón-nucleón y αEM es el acoplamiento electromagnético (EM)
constante. El tensor leptonico es dado por L = 1/2Tr (γ · L1 · L2) mientras que el semi-
el tensor hadrónico inclusivo se define como,
«AJμ(0)X, hX, hJ/(0)A24(q + p- pX- lh) (2)
donde
X recorre todos los estados finales posibles y Jμ =
q eqqq es el EM hadronic
actual.
Asumiendo la factorización colineal en el modelo de parten, la contribución
la sección transversal semi-inclusive se puede factorizar en un producto de distribuciones de partón,
funciones de fragmentación de parten y la sección transversal de parten. Incluyendo todos los registros principales
correcciones radiativas, la contribución de orden más bajo [O(α0s)] de un solo duro + q
esparciendo, como se ilustra en la Fig. 1, se puede escribir como
dW S..............................................................................................................................................................................................................................................................
dxfAq (x, μ
(x, p, q)Dq→h(zh, μ
2) ; (3)
H(0)-(x, p, q) =
Tr(γ · p · (q + xp))
2p · q
(x– xB), (4)
donde la fracción de impulso transportada por el hadrón se define como zh = l
−, xB =
Q2/2p+q− es la variable de escala de Bjorken, μ2I y μ
2 son las escalas de factorización para
las distribuciones de quark iniciales fAq (x, μ
I) en un núcleo y las funciones de fragmentación
en vacío Dq→h(zh, μ
2), respectivamente. Función de fragmentación de quarks renormalizada
Dq→h(zh, μ
2) cumple las ecuaciones de evolución del QCD DGLAP [30]:
Dq→h(zh, μ
lnμ2
γq→qg(z)Dq→h(zh/z, μ
+ γq→gq(z)Dg→h(zh/z, μ
; (5)
Dg→h(zh, μ
lnμ2
γg→qq̄(z)Dq→h(zh/z, μ
+ γg→gg(z)Dg→h(zh/z, μ
, (6)
donde γa→bc(z) denota las funciones de división de los procesos radiativos correspondientes
[31,32].
En DIS fuera de un objetivo nuclear, el quark de propagación experimentará scatterings adicionales
con otras partes del núcleo. Los rescatterings pueden inducir parten adicional
(cuark o gluon) radiación y hacer que el quark principal pierda energía. Tal inducido
La radiación dará lugar efectivamente a términos adicionales en la ecuación de evolución de la DGLAP
dando lugar a una modificación de las funciones de fragmentación en un medio. Estos son el poder...
Suprimió las correcciones de la twist superior e involucran elementos de la matriz de la parten de la twist superior.
Sólo vamos a considerar aquellas contribuciones que implican correlaciones de dos partes de dos
diferentes nucleones dentro del núcleo. Son proporcionales al espesor del núcleo
[18,23,33] y, por lo tanto, se ven reforzadas por un factor nuclear A1/3 en comparación con dos partes
correlaciones en un nucleón. Al igual que en estudios anteriores [18,19], limitaremos nuestro estudio a
procesos de dispersión doble en un medio nuclear. Estos son torsión-cuatro procesos y dar
las principales contribuciones a los efectos nucleares. Las contribuciones de procesos de torsión superior o
Por el momento no se tendrán en cuenta las contribuciones no mejoradas por el medio nuclear.
Al considerar la doble dispersión con la mejora nuclear, un proceso muy importante
es doble dispersión quark-gluon como se ilustra en la Fig. 2. Tales procesos dan a la dominante
contribución a la principal pérdida de energía quark y han sido estudiados en detalle en Refs.
[18,19]. La modificación a la función de fragmentación quark vacío de quark-gluon
la dispersión es,
qg→qg
q→h (zh)=
α2sCA
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)+
TAqg(x, xL)
fAq (x)
+ (z − 1)
TTAqg(x, l
fAq (x)
+Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
TAqg(x, xL)
fAq (x)
, (7)
Fig. 2. Un diagrama típico para la dispersión doble quark-gluon con tres posibles cortes [central(C),
izquierda (L) y derecha (R)].
donde la función + se define como
F (z)
(1 − z)+
F (z)− F (1)
para cualquier F (z) suficientemente suave a z = 1 y la torsión-cuatro quark-gluon correla-
función de tion,
TAqg(x, xL) =
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
Aq(0)
F (y
(y−1)q(y
−)A(−y−2 )فارسى(y− − y−1 ), (9)
tiene interferencia explícita incluida. El elemento matricial en la corrección virtual [el término
se define de la siguiente manera:
TTAqg(x, l
T )
2TAqg(x, xL)z=1 − (1 + z2)TAqg(x, xL)
. (10)
Desde TAqg(x, xL)/f
q (x) es proporcional a la distribución del gluón e independiente del sabor
del quark principal, la supresión del espectro de hadrones causada por el quark-gluón o
la dispersión antiquárk-gluón debe ser proporcional a la densidad de gluón del medio
y es idéntico para la fragmentación de quark y antiquark. Fue mostrado en Ref. [24] que
tal modificación de las funciones de fragmentación de Parton por doble dispersión quark-gluon
y gluon bremsstrahlung en un medio nuclear describe muy bien el reciente HERMES
datos [25] sobre el DIS semi-inclusivo fuera de los objetivos nucleares.
Fig. 3. Diagrama para la orden principal de aniquilación quark-antiquark con tres posibles cortes [cen-
tral(C), izquierda(L) y derecha(R)].
Fig. 4. Un diagrama típico para la corrección de orden siguiente a líder a la aniquilación quark-antiquark
con tres posibles cortes [central(C), izquierda(L) y derecha(R)].
En este artículo, vamos a considerar quark-quark (antiquark) doble dispersión como el
proceso mostrado en la Fig. 3 y sus correcciones radiativas en orden O(α2s) en la Fig. 4. Los
contribuciones de quark-quark doble dispersión es proporcional a la densidad de quark en
un nucleón, mientras que la contribución de doble dispersión quark-gluón es proporcional a
la densidad de gluón en un nucleón; y la densidad de gluón es generalmente mayor que el quark
densidad en un nucleón a pequeña fracción de impulso. Sin embargo, como se ha señalado en trabajos anteriores
[18], quark-quark mezcla de dispersión doble quark y funciones de fragmentación de gluón y
Por lo tanto, da lugar a nuevos efectos nucleares. Los procesos de aniquilación como se muestra en las Figs. 3
y 4 conducirá a diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark
en un medio con densidad de bariones finitos (o quarks de valencia). Estas diferencias se producirán en los Estados miembros y en los Estados miembros de la Unión Europea.
vuelta conducen a la dependencia del sabor de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones como
observado en el experimento HERMES [25,26].
Quark-cuark doble dispersión, así como quark-gluon doble dispersión son twist-4 pro-
cestos. Aplicaremos el mismo procedimiento de factorización generalizada para los procesos twist-4
según lo desarrollado por LQS [23] para procesos semi-inclusivos en DIS. En general, el giro-cuatro
contribuciones se pueden expresar como la convolución de partes duras partónicas y dos partes
los elementos de la matriz de correlación. En este marco, las contribuciones de doble quark-quark
dispersión en cualquier orden de αs, por ejemplo, el proceso de aniquilación quark-antiquark como se ilustra
en Fig. 4, puede ser escrito en la forma siguiente,
dWD
p+dy−
dy−1 dy
−, y−1, y
2, p, q, zh)
Aq(0)
−)q(y
2 )A. (11)
Aquí hemos descuidado el momento transverso de todos los quarks en la parte dura de la parte partónica.
Las contribuciones dependientes del impulso transversal son giros más altos y son suprimidas por
Por lo tanto, todos los quarks’ momentaa se asumen colineales, k2 = x2p y k3 = x3p.
−, y−1, y
2, p, q, zh ) es la transformación de Fourier de la parte dura partónica H (x, x 1, x 2, p, q, zh )
en el espacio de impulso,
−, y−1, y
2, p, q, zh) =
eix1p
+yix2p
+i(x−x1−x2)p
(x, x1, x2, p, q, zh)
dxH(0)-(x, p, q)H
(y−, y−1, y
2, x, p, q, zh), (12)
donde, en aproximación colineal, la parte dura de la parte partónica H(0) (x, p, q) [Eq. 4)] en el
giro principal sin dispersión múltiple parten se puede factorizar fuera de la alta torsión
parte dura HûD(x, x1, x2, p, q, zh). Las fracciones de impulso x, x1 y x2 se fijan por
Las funciones de las condiciones generales de los Estados miembros y de los polos de los Estados miembros de que se trate.
agators en la parte dura partónica. Los factores de fase en H
−, y−1, y
2, p, q, zh ) puede entonces
se tendrá en cuenta, que a su vez se combinará con los campos partónicos en Eq. (11)
para dar twist-cuatro elementos de matriz partónica o correlaciones de dos partes. El quark-quark
corrección de dispersión doble en Eq. (11) puede entonces ser factorizado como la convolución de
funciones de fragmentación, torsión-cuatro elementos de la matriz partónica y el scat duro partónico-
secciones transversales de tering. Para dispersar (contra la aniquilación) con quarks (antiquarks),
una suma sobre el sabor de los quarks secundarios (antiquarks) debe ser incluido
en elementos de matriz de correlación de dos cuartetos y ambos canales t, u y sus interferencias
debe considerarse para la dispersión de quarks idénticos en las partes duras del partónico.
Después de la factorización, definimos la corrección twist-cuatro al quark de giro principal
función de fragmentación en la misma forma [Eq. 3)],
dWD
dxfAq (x)H
* (x, p, q)* Dq→h(zh). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
3 procesos de dispersión doble Quark-quark
En esta sección vamos a discutir el cálculo de la parte dura de quark-quark doble
dispersando en detalle. El proceso de orden más bajo de quark-quark (antiquark) doble dispersión
en los núcleos es aniquilación quark-antiquark (o conversión quark-gluon) como se muestra en la Fig. 3.
Las partes duras de los tres diagramas de corte de esta figura son [18]:
0,C(y)
−, y−1, y
2, x, p, q, zh)=Dg→h(zh)
(−y−2)•(y− − y−1), (14)
0,L(y)
−, y−1, y
2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)
(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (15)
0,R(y)
−, y−1, y
2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)
(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 16)
El tema principal de este documento es sobre las contribuciones de la siguiente orden de dirección correc-
ciones al proceso de orden más bajo anterior. Hay un total de 12 diagramas para correcciones reales
a nivel de un bucle, como se ilustra en la Fig. 5 a Fig. 16 en el Apéndice A-1, cada uno teniendo
a tres cortes diferentes. En esta sección, demostramos el cálculo de las piezas duras
de la aniquilación quark-antiquark en la Fig. 4 en detalle como ejemplo. Vamos a listar la
resultados completos de todos los diagramas del Apéndice A.
Uno puede escribir la parte dura del diagrama de corte central de la Fig. 4 (Fig. 5
en el apéndice A-1), de conformidad con la norma convencional Feynman,
C (y)
−, y−1, y
2, p, q, zh)=
Dg→h(
eix1p
+yix2p
×ei(x−x1−x2)p+y
(2η)4
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2(l)
2) 2(l)
g) (1− z −
γ · (q + x1p)
(q + x1p)2
γ · (q + x1p− l)
(q + x1p− l)2 − i
γ · (q + xp− l)
(q + xp− l)2 + i.........................................................................................................................................................................................................................................................
γ · (q + xp)
(q + xp)2 + i..........................................................................................................................................................................................................................................................
(l) (lg), (17)
donde es una función delta de Dirac con sólo la solución positiva en su variable funcional,
(l) = −gÃ3 + (nαlс + nlα)/n · l es el tensor de polarización de un propagador de gluon en
un medidor axial (n · A = 0) con n = [1, 0−,~0], l y lg = q + (x1 + x2)p − l son los
4-momenta llevado por los dos gluones finales respectivamente. El gluón fragmentante lleva
a fracción, z = l−g /q
−, del impulso longitudinal del quark inicial (el
componente).
Para simplificar el cálculo en el caso de un pequeño impulso transversal lT q−, p+, nosotros
puede aplicar la aproximación colineal para completar el rastro del producto de las matrices γ,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
γ · lq
. (18)
De acuerdo con la convención en Eqs. (11) y (12), las contribuciones de quark-quark doble
dispersión en el medio nuclear al tensor semi-inclusivo hadrónico en DIS de un núcleo
puede expresarse en la forma factorizada general:
dWDqq̄,
dxH(0)-(x, p, q)
p+dy−
dy−1 dy
(y−, y−1, y
2, x, p, q, zh)
× Aq(0)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
−)q(y
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2 )A. (19)
Después de llevar a cabo la integración de impulso en x, x1, x2 y l
± en Eq. (17) con la
ayuda de la integración del contorno y de las funciones de.........................................................................................................................................................................................................................................................
el reescattering para el diagrama de corte central en la Fig. 4 (Fig. 5) como
5,C(y
−, y−1, y
2, x, p, q, zh) =
α2sxB
Dg→h(zh/z)
× 2,1 + z
z(1− z)
I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p), (20)
I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) = e
i(x+xL)p
+y(−y−2)•(y− − y−1)
× (1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (21)
donde las fracciones de impulso xL se definen como
2p+q−z(1− z)
. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenga en cuenta que la función I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) contiene sólo factores de fase. Uno puede
combinar estos factores de fase con los elementos de matriz de los campos de quark para definir un
función especial de correlación de dos cuartetos
A(5,C)
qq̄ (x, xL) =
p+dy−
dy−1 dy
2 Aq(0)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
−)q(y
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2 )A
× I5,C(y−, y−1, y−2, x, xL, p). 23)
La contribución de la aniquilación quark-antiquark en el diagrama de corte central en la Fig. 4
al tensor hadrónico se puede entonces expresar como
dWDqq̄,
dxH(0)-(x, p, q)
α2sxB
Dg→h(
2 (1 + z2)
z(1 − z)
A(5,C)
qq̄ (x, xL). (24)
Las contribuciones de todos los procesos de dispersión doble quark-quark (antiquark) se pueden fundir
en la forma factorizada anterior.
La estructura de los factores de fase en I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) es exactamente lo mismo que para
gluon bremsstrahlung inducido por la dispersión de quark-gluon, como se ha estudiado en Ref. [18,19]. Lo siento.
se asemeja a la sección transversal de dispersión del dipolo y representa las contribuciones de dos
diferentes procesos y sus interferencias. Contiene esencialmente cuatro términos,
I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×[1 + e−ixLp+(yy
) − e−ixLp+y
2 − e−ixLp+(yy
)]. (25)
El primer término corresponde a los llamados procesos hard-soft donde la emisión de gluon
es inducido por la dispersión dura entre el fotón virtual y el quark inicial
con el impulso (x + xL)p. El quark entonces se convierte en capa antes de aniquilar con
un suave antiquark del núcleo que lleva cero impulso y se convierte en un real
Gluon en el estado final. El segundo término corresponde a un proceso en el que el
quark con el impulso xp es on-shell después de la primera dispersión dura -cuark. Entonces.
aniquila con otro antiquark y produce dos gluones finales en el estado final. In
este proceso, el antiquark lleva un momento finito (duro) xLp. Por lo tanto, uno a menudo se refiere
a este proceso como dispersión doble-duro en comparación con el primer proceso en el que el
el antiquark lleva un impulso cero. Deja a un lado el cambio de sabores en la inicial y final
los estados, la dispersión doble-duro corresponde esencialmente a la dispersión elástica de dos partes
con impulso finito y transferencia de energía. Esto es en contraste con el scattering duro-blando
que es esencialmente la radiación del estado final de la dispersión de -cuark y el total
la energía y el impulso de los dos gluones del estado final vienen todos del quark inicial. Los
los elementos de matriz correspondientes de las funciones de correlación de dos cuartetos de estos dos primeros
los términos se llaman elementos ‘diagonales’.
Los términos tercero y cuarto con signos negativos en I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) son interfer-
entre procesos duros y procesos duros dobles. Los elementos de matriz correspondientes
se denominan «off-diagonales». La cancelación entre las dos diagonales y off-diagonal
los términos esencialmente da lugar a la interferencia destructiva que es muy similar a la
Landau-Pomeranchuk-Migdal (LPM) interferencia en gluon bremsstrahlung inducido por
Doble dispersión quark-gluon [18,19]. Uno puede definir de manera similar el tiempo de formación de la
emisión de partón (cuarto o gluón) como
. 26)
En el límite de emisión colineal (xL → 0) o cuando el tiempo de formación de la parten
la emisión, f, es mucho más grande que el tamaño nuclear, el elemento de matriz eficaz desaparece
porque
I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p)xL=0 → 0, (27)
cuando los procesos duros y duros dobles tienen interferencia destructiva completa.
Hay que tener en cuenta que en el diagrama de corte central de la Fig. 4, las partes del estado final son dos
gluones. Por lo tanto, en Eq. (20) la función de fragmentación del gluón en el vacío Dg→h(zh/z)
Entra. Si el otro gluon (cerca de la interacción -cuark) fragmentos, la contribución
al tensor semi-inclusivo hadrónico es similar, excepto que el
“función de división” debe sustituirse por “función de división”
1 + z2
z(1 − z)
→ 1 + (1− z)
z(1 − z)
. (28)
Como veremos en el Apéndice A-1, los dos gluones en la aniquilación quark-antiquark
los procesos (diagramas de corte central) son simétricos cuando las contribuciones de todas las
Los procesos de nihilación y sus interferencias se resumen. Por lo tanto, uno puede simplemente mul-
los resultados finales por un factor de 2 para tener en cuenta la hadronización de la segunda
gluon del estado final.
Además del diagrama de corte central, también se debería tener en cuenta la
diagramas cortados en la Fig. 4, que representan la interferencia entre la emisión de gluón de una sola
y triple dispersión. Las partes duras son principalmente las mismas que para el corte central.
diagrama. Las únicas diferencias son los factores de fase y las funciones de fragmentación
ya que el fragmento parten puede ser el quark o gluon del estado final. Estas partes duras pueden
se calculan siguiendo un procedimiento similar y se obtiene,
5,L(R)(y)
−, y−1, y
2, x, p, q, zh) =
α2sxB
Dq→h(
2 (1 + z2)
z(1 − z)
× I5,L(R)(y−, y−1, y−2, x, xL, p), (29)
I5,L(y)
−, y−1, y
2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (30)
I5,R(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 31)
En los diagramas asimétricos de corte, las contribuciones anteriores provienen de la fragmentación
del quark del estado final. Por lo tanto, la función de fragmentación de quark Dq→h(zh/z) entra en esta
contribución. Para la fragmentación del gluón en el hadron observado en este corte asimétrico
diagramas, la contribución puede obtenerse simplemente sustituyendo la fragmentación quark
función por la función de fragmentación de gluón Dg→h(zh/z) y sustituir z por 1 − z.
Resumiendo las contribuciones de tres diagramas de corte diferentes de la Fig. 4, podemos observar
otros ejemplos de mezcla (o conversión) de funciones de fragmentación de quark y gluon.
Esta mezcla inducida por el medio fue observada por primera vez por Wang y Guo [18] y es una mezcla única.
característica de quark-quark (antiquark) dispersión doble entre todos los múltiples scattering parten
procesos.
Con el mismo procedimiento podemos calcular las contribuciones de todos los otros diagramas de corte
de quark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s), que se enumeran en Ap-
pendix A-1. Hay tres tipos de procesos: dos procesos de aniquilación, qq̄ → gg
(Diágramas de corte central en Figs. 5, 6, 7, 8 y 9), qq̄ → qiq̄i (diagrama de corte central en la Fig. 10)
y la dispersión de quark-quark (antiquark), qqi(q̄i) → qqi(q̄i) ( diagrama de corte central en la Fig. 11).
También hay que considerar la interferencia de la amplitud del canal s y t para la aniquilación
en un par de quark idéntico, qq̄ → qq̄ (diagramas de corte central en Figs. 12 y 13) y la
interferencia entre los canales t y u de cuark idéntico scattering qq → qq (corte central)
diagrama en la Fig. 14).
Las contribuciones de los diagramas de corte izquierdo y derecho corresponden a la interferencia entre el
Amplitud de la radiación gluon de dispersión de un solo -cuark y dispersión de quark triple.
Las amplitudes de la radiación gluon a través de la dispersión de quark triple esencialmente provienen de ra-
Correcciones diativas a los diagramas de corte izquierdo y derecho del quark-antiquark de orden más bajo
aniquilación en la Fig. 3 (como se muestra en los diagramas de corte izquierdo y derecho en las Figs. 5, 6, 8, 9, 12,
13, 15 y 16). Otros dos triples quark dispersión con la radiación gluon, se muestra como el
Diagramas de corte izquierdo y derecho en Figs. 11 y 14, corresponden al caso en que uno de los
los quarks del estado final, después de la dispersión de quark-quark, aniquilan con otro antiquark y
se convierte en un gluon de estado final.
4 Funciones de fragmentación modificadas
Con el fin de simplificar las contribuciones de quark-quark (antiquark) dispersión (annhi-
), primero se pueden organizar los resultados de las partes duras en términos de contribuciones de
diagramas de corte central, izquierdo o derecho, que están asociados por integrales de contorno con específicos
los productos de las funciones de la letra Β,
= HDC (−y−2 )•(y− − y−1 )•HDL (y−1 − y−2 )•(y− − y−1 )
- HDR (−y−2 )-(y−2 − y−1 ).................................................................................................................................................................................................................................................... (32)
Estas funciones proporcionan un orden espacio-tiempo de la correlación de parten y restringirán
el rango de integración a lo largo del cono-luz. Para las contribuciones de la central, izquierda y derecha-
diagramas de corte que tienen las mismas partes duras, H
C = H
L = H
R, lo harán
tienen una combinación común de funciones de ♥ que produce una integral ordenada por trayectoria,
dy−2 =−
dy−1 dy
(- y - 2 ) • (- y - 1 ) • ( - y - 2 ) • ( - 2 − y - 1 ) • ( - 2 − y - 1 )
(y− − y−1 •(y−1 − y−2 )
que está limitado sólo por la extensión espacial y- de la primera parteon a lo largo del cono de luz
coord. Para un partón de alta energía que transporta fracción de impulso xp+, y− 1/xp+
debe ser muy pequeño. Las contribuciones que son proporcionales a la ruta arriba ordenada
integral se denominan contribuciones de contacto (o interacciones de contacto).
Del mismo modo, y-1 − y−2 es la propagación espacial de la segunda parte y sólo puede ser limitada
por el tamaño espacial de su nucleón huésped, incluso para un pequeño valor de fracción de impulso. Los
posición espacial de su nucleón huésped, y−1 + y
2, sin embargo, puede estar en cualquier lugar dentro de la nu-
cleus. Por lo tanto, cualquier contribución de la dispersión de doble parten que tienen sin restricciones
integración sobre y-1 y y
2 debe ser proporcional al tamaño nuclear del objetivo A
y por lo tanto son potenciados nuclearmente. En este documento, sólo vamos a mantener la energía nuclear mejorada
contribuciones y descuidar las contribuciones de contacto. Esto simplificará en gran medida la
resultados para la dispersión de doble parten.
4.1 qq̄ → g aniquilación
Para el orden más bajo de aniquilación quark-antiquark en Eqs. (14)-(16), las partes duras
de los tres diagramas de corte son casi los mismos, excepto por la fragmentación del partón
funciones. El diagrama de corte central es proporcional a la función de fragmentación del gluón
mientras que los diagramas de corte izquierdo y derecho son proporcionales a las funciones de fragmentación de quark.
Reorganizando las contribuciones de los tres diagramas de corte y descuidando el contacto
término que es proporcional a la integral ordenada como en Eq. 33), la contribución total
puede ser escrito como
dWD(0)
qq̄ (x, 0)
H(0)-(x, p, q)
× [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]. (34)
Según nuestra definición en Eq. (13) de la corrección twist-cuatro al fragmen quark-
funciones de la estación, la modificación de la función de fragmentación quark desde la más baja
orden de aniquilación quark-antiquark es entonces,
(qqg)
q→h (zh) =
[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]
qq̄ (x, 0)
fAq (x)
. (35)
Aquí la efectiva correlación quark-antiquark T
qq̄ (x, 0) se define como,
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
• (−y−2 ) •(y− − y−1 )
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A, (36)
con el antiquark q̄i cargando fracción de impulso xL. Esta función de correlación de dos partes...
sión se asocia siempre con procesos de redispersión de doble duro. De igual manera, definimos
otros tres elementos de matriz de correlación quark-antiquark
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y(y− − y−1)
× (−y−2 )â € Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 ) A, (37)
A(I−L)
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+yixLp
+(yy)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
× (−y−2 )â € Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A, (38)
A(I−R)
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+yixLp
2 (y− − y−1 )
× (−y−2 )â € Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 ) A, (39)
que se asocian con rescattering suave duro y la interferencia entre doble duro
y rescattering suave y duro. En la primera parten correlación T
qq̄i (x, xL), el antiquark q̄i
lleva fracción de impulso xL mientras que el quark inicial tiene la fracción de impulso x. Los
correlación de dos partes T
qq̄i (x, xL) corresponde al caso cuando el quark líder tiene
x+ xL pero el antiquark lleva cero impulso. Los dos elementos de la matriz de interferencia
son aproximadamente el mismo para el pequeño valor de xL y se denotará como T
qq̄i (x, xL).
4.2 qq̄ → aniquilación qiq̄i
Contribuciones de la orden siguiente a la primera aniquilación quark-antiquark o quark-
la dispersión de quark (antiquark) son más complicados ya que involucran a muchos reales y vir-
Correcciones de tual. La corrección real más simple viene de qq̄ → aniquilación qiq̄i (qi 6= q)
[Fig. 10 y Eqs. (A-25) y (A-26)] que sólo tiene un diagrama de corte central,
(qqqiq̄i)
q→h (zh) =
α2sxB
[z2 + (1− z)2]
qi 6=q
[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]
qq̄ (x, xL)
fAq (x)
. (40)
Este tipo de aniquilación qq̄ es realmente un proceso duro y por lo tanto requiere la segunda y-
tiquark para llevar fracción de impulso inicial finita xL. Además, no hay otros
procesos de interferencia.
4.3 qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión
Contribuciones de quark-quark no idéntico dispersión qq̄i → qq̄i (qi 6= q) son un poco
complicados porque involucran los tres diagramas de corte (central, izquierdo y derecho) [Eqs. (A-
28)-(A-32)]. Uno puede tener en cuenta las funciones de las partes duras de acuerdo con Eq. (32)
y reorganizar los factores de fase en cada diagrama de corte,
I11,C = e
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
= ei(x+xL)p
+y−[1− e−ixLp+y
2 − e−ixLp+(yy
) + e-ixLp
+(yy)
I11,L = e
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
= ei(x+xL)p
+y−[1− e−ixLp+y
2 − e−ixLp+(yy
) + e-ixLp
2 ] ;
I11,R = e
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
= ei(x+xL)p
+y−[1− e−ixLp+y
2 − e−ixLp+(yy
) + e-ixLp
+(yy)
)], (41)
de tal manera que los tres primeros términos en cada amplitud son los mismos. Estas tres fases comunes
factores darán lugar a una contribución de contacto para todas las partes duras similares de los tres
los diagramas cortados, que vamos a descuidar ya que no son potenciados nuclearmente. El resto
parte tendrá los siguientes factores de fase,
I11=e
i(x+xL)p
+y−[(−y−2 )•(y− − y−1 )e−ixLp
+(yy)
(y−1 − y−2 )(y− − y−1 )e−ixLp
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+(yy)
)]. (42)
Tenga en cuenta que los factores de fase de los dos últimos términos en la ecuación anterior dan identi-
contribución a los elementos de la matriz cuando intergated sobre y-1 y y
2 como dif-
sólo por la sustitución y−2 ↔ y−1 − y−. Por lo tanto, se puede combinar con
*(−y−2 )*(y− − y−1 )e−ixLp
+(yy)
) para formar otra contribución de contacto (path-ordened)
que se puede descuidar. El factor final de la fase efectiva es entonces
I11 = e
ixp+yixLp
)1− eixLp+y
2 ). (43)
Utilizando el factor de fase eficaz anterior, se puede obtener la modificación efectiva a la
función de fragmentación quark debido a la dispersión quark-antiquark, qq̄i → qq̄i,
(qq̄i→qq̄i)
q→h (zh) =
α2sxB
q̄i 6=q̄
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+ Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
A(HI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x)
+ [Dq̄i→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
A(HS)
qq̄i (x, xL)
fAq (x)
α2sxB
q̄i 6=q̄
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+ Dq̄i→h(zh/z)
1 + (1− z)2
A(HI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x)
+ [Dq̄i→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
A(SI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x)
, (44)
donde se definen tres tipos de correlaciones de dos partes:
A(HI)
qq̄i (x, xL)
qq̄i (x, xL)− T
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
)1− eixLp+y
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (45)
A(SI)
qq̄i (x, xL)
qq̄i (x, xL)− T
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (46)
A(HS)
qq̄i (x, xL)
A(HI)
qq̄i (x, xL) + T
A(SI)
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
× (1− e−ixLp+(yy)
))•(−y−2 )•(y− − y−1 )
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A. (47)
De manera similar, se puede obtener la modificación de la fragmentación de quark a partir de no idénticos
scattering quark-quark reemplazando q̄i → qi en Eq. (44),
(qqi→qqi)
q→h (zh) =
α2sxB
qi 6=q
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+ Dqi→h(zh/z)
1 + (1− z)2
TA(HI)qqi (x, xL)
fAq (x)
+ [Dqi→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
TA(SI)qqi (x, xL)
fAq (x)
. (48)
Las correlaciones de dos cuartetos, TA(HI)qqi (x, xL) y T
A(SI)
(x, xL) puede obtenerse en T
A(HI)
qq̄i (x, xL)
y T
A(SI)
qq̄i (x, xL), respectivamente, al hacer los reemplazos qi(y2) → qi(y2) y qi(y1) →
(y1) en Eqs. (45) y (46),
TA(HI)qqi (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
)1− eixLp+y
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (49)
TA(SI)qqi (x, xL) =
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (50)
y TA(HS)qqi (x, xL) = T
A(HI)
(x, xL) + T
A(SI)
(x, xL).
Tenga en cuenta que la contribución de la fragmentación de quark qi o antiquark q̄i sólo proviene de
el diagrama de corte central. Esta contribución es positiva y es proporcional a T
A(HI)
qq̄i (x, xL)+
A(SI)
qq̄i (x, xL), que contiene los cuatro términos: hard-soft, doble-hard y ambas interferencias
términos. La fragmentación del gluón proviene sólo de las interferencias de un triple (izquierda y
diagramas de corte derecho). Por lo tanto, su contribución es negativa y anula parcialmente el
la inducción de qi(q̄i) del rescattering duro-blando. La cancelación no está completa desde
las funciones de fragmentación de gluón y quark son diferentes. La estructura de este hard-soft
rescattering (quark plus gluon) es muy similar al resultado de orden más bajo de qq̄ → g en
Eq. (35). Contribuye a la modificación de la función de fragmentación efectiva, pero
no contribuye a la pérdida de energía. La pérdida de energía del quark líder viene sólo
de rescattering doble-duro, ya que la principal fragmentación quark viene tanto de
las interferencias de corte central y de triple único, y los términos de interferencia de triple único pueden-
cel el efecto de la dispersión suave duro para la fragmentación principal. Su contribución neta es la siguiente:
por lo tanto proporcional a T
A(HI)
qq̄i(q̄i)
. Puesto que el redispersión de doble duro equivale a elástico
qqi(q̄i) dispersión, la pérdida de energía efectiva es esencialmente la pérdida de energía elástica como se muestra en
Ref. [34]. Hay, sin embargo, supresión de LPM debido a la cancelación parcial por un solo triple
contribuciones de interferencia. Durante un largo período de formación, 1/xLp
+ RA, la cancelación es
Completado. Por lo tanto, la interferencia LPM impone efectivamente el límite inferior xL ≥ 1/p+RA
sobre el impulso fraccional llevado por el segundo quark (antiquark).
4.4 qq → dispersión qq
Para la dispersión de quark-quark idéntico, qq → qq, uno tiene que incluir los canales t y u,
sus interferencias, y las correspondientes contribuciones de interferencia de un solo trilo. Usando el mismo
técnica para identificar y descuidar las contribuciones de contacto, se puede encontrar la correspondencia
modificación de la función de fragmentación de quark a partir de Eqs. (48) y (A45)-(A49),
(qq→qq)
q→h (zh) =
α2sxB
TA(HS)qq (x, xL)
fAq (x)
× [Dq→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
z(1 − z)
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
z(1 − z)
+Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
z(1 − z)
TA(HI)qq (x, xL)
fAq (x)
α2sxB
TA(SI)qq (x, xL)
fAq (x)
P (s)qq→qq(z)[Dq→h(zh/z)
−Dg→h(zh/z)] +Dq→h(zh/z)Pqq→qq(z)
TA(HI)qq (x, xL)
fAq (x)
, (51)
donde las funciones de división efectivas se definen como
P (s)qq→qq(z) =
1 + (1− z)2
z(1 − z)
, (52)
Pqq→qq(z) =
1 + (1− z)2
1 + z2
(1- z)2
z(1− z)
. (53)
4.5 qq̄ → qq̄, aniquilación gg
Los cuatro procesos más complicados que involucran a cuatro operadores de campo de quark son quark-
Aniquilación antiquark en dos gluones o un par de quark-antiquark idéntico. Tenemos que hacerlo.
considerarlos juntos ya que tienen procesos de interferencia de un solo trilo similares y
involucran el mismo tipo de elementos de matriz de correlación quark-antiquark, T
qq̄ (x, xL),
(i = HI, SI, HS).
Para el propósito de la notación, primero tenemos en cuenta el factor común (CF/Nc)α
sxB/Q
2/fAq (x) y
la integración sobre lT y z y definir
(qqgg,qq̄)
q→h (zh)
α2sxB
Q2fAq (x)
(qqgg,qq̄)
q→h (zh, z, x, xL). (54)
Después de reorganizar los factores de fase e identificar (combinando central, izquierda y derecha)
los diagramas de corte) y descuidando las contribuciones de contacto que podemos enumerar en el siguiente giro-
cuatro correcciones a la fragmentación quark de las partes duras de cada corte
diagrama (véase el apéndice A):
Fig. 5 (t-canal qq̄ → gg),
(qqgg,qq̄)
q→h(5) =Dg→h(zh/z)2CF
1 + (1− z)2
z(1 − z)
1 + z2
z(1− z)
A(HI)
qq̄ (x, xL)
+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)] 2CF
1 + z2
z(1− z)
A(SI)
qq̄ (x, xL) ; (55)
Fig. 6 (interferencia entre u y t-canal de qq̄ → gg),
(qqgg,qq̄)
q→h(6) =Dg→h(zh/z)
−4(CF − CA/2)
z(1 − z)
A(HI)
qq̄ (x, xL)
+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)]
−2(CF − CA/2)
z(1 − z)
A(SI)
qq̄ (x, xL) ; (56)
Fig. 7 (s-canal de qq̄ → gg),
(qqgg,qq̄)
q→h(7) = Dg→h(zh/z)4CA
(1− z + z2)2
z(1 − z)
qq̄ (x, xL) ; (57)
Higos. 8 y 9 (interferencia de s y t-canal qq̄ → gg),
(qqgg,qq̄)
q→h(8+9) =Dg→h(zh/z)(−2CA)
1 + z3
z(1− z)
1 + (1− z)3
z(1 − z)
×TA(HI)qq̄ (x, xL) + CA
Dq→h(zh/z)
1 + z3
z(1 − z)
+Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)3
z(1 − z)
× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T
qq̄ (x, xL)] ; (58)
Fig. 10 (s-canal de qq̄ → qq̄),
(qqgg,qq̄)
q→h(10) = [Dq→h(zh/z) +Dqh(zh/z)] [z
2 + (1− z)2]
×TA(H)qq̄ (x, xL), (59)
Fig. 11 (t-canal de qq̄ → qq̄), similar a Eq. (44),
(qqgg,qq̄)
q→h(11) =Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1 − z)2
A(HI)
qq̄ (x, xL)
+Dqh(zh/z)
1 + (1− z)2
A(HS)
qq̄ (x, xL)
−Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
A(SI)
qq̄ (x, xL) ; (60)
Higos. 12 y 13 (interferencia entre s y t-canal qq̄ → qq̄),
(qqgg,qq̄)
q→h(12+13) =−4(CF − CA/2)
Dq→h(zh/z)
1 − z
+ Dqh(zh/z)
(1- z)2
A(HI)
qq̄ (x, xL)
+2(CF − CA/2)
Dq→h(zh/z)
+Dg→h(zh/z)
(1- z)2
× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T
qq̄ (x, xL)] ; (61)
Higos. 15 y 16 (dos diagramas adicionales de interferencia de un triple),
(qqgg,qq̄)
q→h(15+16) =−2CF
Dq→h(zh/z)
1 + z2
+ Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
A(I2)
qq̄ (x, xL). (62)
La mayoría de los procesos implican tanto TA(HI)(x, xL) para la redispersión de doble duro con interferencia
y TA(SI)(x, xL) para la redispersión suave con interferencia. Todos los canales S (Figs. 7
y 10) los procesos implican una dispersión de doble dureza solamente. Por lo tanto, dependen sólo de la
qq̄ (x, xL) = T
A(HI)
qq̄ (x, xL) + T
qq̄ (x, xL). Para interferencias entre uno y tres
dispersión (diagramas cortados a la izquierda y a la derecha en las Figs. 8, 9, 12 13, 15 y 16), donde un
rescattering con el segundo quark (antiquark) sigue un suave rescattering con el tercero
anticuarco (cuarco), solo elementos de la matriz de interferencia, T
qq̄ (x, xL) y T
A(I2)
qq̄ (x, xL), son
Envuelto. Aquí,
A(I2)
qq̄ (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
Aq(0)
−)q(y
2 )A(−y−2 )(y− − y−1 )
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
+(yy)
Aq(0)
−)q(y
2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (63)
es un nuevo tipo de elementos de la matriz de interferencia que sólo está asociado con este tipo de
procesos de interferencia de triple único. Uno puede categorizar las contribuciones anteriores de acuerdo a
a los elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos asociados y reescriba el contribu-
ciones como,
qqqq̄,gg
q→h(HI) = T
A(HI)
qq̄ (x, xL)[Dg→h(zh/z)Pqqgg(z) +Dq→h(zh/z)Pqqq̄(z)
+Dqh(zh/z)Pqqqq̄(1− z)] (64)
qqqq̄,gg
q→h(SI) = T
A(SI)
qq̄ (x, xL)
z(1 − z)
+ 2CF
1 + (1− z)2
×Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)
z(1− z)
+ 2CF
+ Dqh(zh/z)
1 + (1− z)2
A(SI)
qq̄ (x, xL)
[Dq→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]
P (s)qq→qq(z)
− 2CF
1 + z2
z(1− z)
+ [Dqh(zh/z)−Dq→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
qqqq̄,gg
q→h(I) = T
qq̄ (x, xL)
4(1− z + z2)2 − 1
z(1 − z)
− 2CF
(1- z)2
×Dg→h(zh/z) + [z2 + (1− z)2]Dqh(zh/z)]
+ Dq→h(zh/z)
z2 + (1− z)2 −
z(1 − z)
− 2CF
A(I2)
qq̄ (x, xL)
Dq→h(zh/z)
z(1 − z)
− 2CF
+ Dg→h(zh/z)
z(1 − z)
− 2CF
, (66)
donde P (s)qq→qq(z) se indica en Eq. (52) y las funciones de división efectivas para qq̄ → gg y
qq̄ → qq̄ se definen como
Pqqgg(z) = 2CF
z2 + (1− z)2
z(1− z)
− 2CA[z2 + (1− z)2] ; (67)
Pqqqq̄(z) = z
2 + (1− z)2 +
1 + z2
(1- z)2
, (68)
que vienen de los elementos de la matriz completa de qq̄ → gg y qq̄ → qq̄ dispersión (ver
Apéndice A-3). Una vez más, el rescattering doble-duro corresponde a la dispersión elástica de
el quark líder con otro antiquark en el medio y la interferencia contribu-
ciones. La estructura de la contribución hard-soft rescattering que identificamos arriba muestra
el mismo tipo de mezcla gluon-cuark (o quark-antiquark) en las funciones de fragmentación
y no contribuye a la pérdida de energía del quark líder. Las contribuciones únicas
en el qq̄ → qq̄, los procesos gg son las contribuciones de sólo interferencia. Vienen principalmente
de procesos de interferencia de un solo trilo en la dispersión de múltiples partones.
5 Modificación debida a la mezcla quark-gluon
Hasta ahora hemos lanzado la modificación de la función de fragmentación quark debido a quark-
Quark (antiquark) dispersión (o aniquilación) en una forma similar a la evolución de la DGLAP
ecuación en vacío. De hecho, también se puede ver la evolución de las funciones de fragmentación en
vacío como modificación debido a la radiación gluon del estado final. En ambos casos, la modificación
en zh grande es determinado principalmente por el comportamiento singular de las funciones de división para
z → 1, mientras que las modificaciones en el centro comercial zh está dominado por el comportamiento singular de la
función de división para z → 0.
Centrémonos primero en la modificación en general zh. Un examen cuidadoso de la contribución
ciones de todos los procesos posibles muestran que la modificación dominante a la eficacia
La función de fragmentación de quark proviene del canal t de doble capa dura de quark-quark scat-
los procesos de tering,
* Dq→h(zh)*
α2sxB
Dq→h(
TA(HI)qqi (x, xL)
fAq (x)
× 1 + z
(1 − z)2+
(1 - z)qi(l2T)
Dq→h(
A(HI)
(x, xL)
fAq (x)
×z(1 + z
(1 − z)+
+ 1- z)qi(l2T )
, (69)
donde la suma es sobre todos los posibles sabores quark y antiquark incluyendo qi = q, q̄
I y I (l)
T ) representa la contribución de las correcciones virtuales. Hemos expresado la
modificación en una forma que es proporcional a los elementos de la matriz xLT
A(HI)
(x, xL)/f
q (x)
A1/3xLf
(xL) en comparación con la modificación de la dispersión de quark-gluon
elemento matricial correspondiente [Eq. 9)] es TA(HI)qg (x, xL)/f
q (x) • A1/3xLGN(xL). Aquí,
fNqi (x) y G
N(x) son distribuciones de quark y gluon, respectivamente, en un nucleón. Esto
la contribución principal a la modificación de la dispersión quark-quark es muy similar en
forma a la de la dispersión quark-gluon [véase Eq. 7)]. Sin embargo, es más pequeño debido a la
diferentes factores de color CF/CA = 4/9 y las diferentes distribuciones de quark y gluon,
fNqi (xL) y G
N(xL) en un nucleón. Debido a la intereferencia LPM, dispersión de ángulo pequeño
con un largo tiempo de formación f = 1/xLp
+ se suprime, dando lugar a un valor mínimo de
xL ≥ xA = 1/mNRA = 0,043 para un objetivo Kr. Para este valor de xL, la relación
fNqi (xL, Q
GN(xL, Q2)
≥ 1,40/1,85 + 0,75, (70)
a Q2 = 2 GeV2 según la parametrización CTEG4HJ [35]. Por lo tanto, uno tiene que
incluir el efecto de dispersión quark-quark para un cálculo completo del quark total
pérdida de energía y modificación media de las funciones de fragmentación de quark.
En un plasma de quark-gluón débilmente acoplado y totalmente equilibrado, quark a gluón número
La relación de densidad es de lq/lg = nf (3/2)Nc/(N)
c - 1) = 9nf/16. Una energía asintótica
chorro en un medio infinitamente grande realmente sondea el pequeño x = q2T /2ET régimen, donde
Los pares quark-antiquark y gluones son predominantemente generados por gluones térmicos a través de
Evolución del PCQD. En este escenario ideal se espera Nq/Ng â € 1/4CA = 1/12 y por lo tanto
puede descuidar la dispersión de quark-quark. La modificación de la función de fragmentación de quark será
ser dominado por quark-gluon rescattering. Sin embargo, para la energía de chorro moderada E 20 GeV
y un medio finito L + 5 fm, las distribuciones de parten en un quark-gluon plamsa están cerca de
la distribución térmica. En particular, si la producción de quark y gluon está dominada por
producción de pares no-perturbativos de campos de color fuertes en la etapa inicial de iones pesados
colisiones [36], la relación entre quark y gluon es comparable al valor de equilibrio. En este
caso, debemos tener en cuenta la modificación media de la fragmentación quark
funciones por dispersión quark-quark.
Un proceso duro doble importante en la dispersión quark-quark (antiquark) es qq̄ → gg
[Eq. (64)]. En este proceso, la aniquilación convierte el quark inicial en dos gluones finales
que posteriormente se fragmentan en hadrones. Esto llevará a la supresión de los líderes
hadrones no sólo debido a la pérdida de energía (energía transportada por el otro gluón), pero
también debido al comportamiento más suave de las funciones de fragmentación de gluón en zh grande. A pesar de que
el comportamiento principal de la función de división efectiva [Eq. (67)]
Pqqgg(z) 2CF
z2 + (1− z)2
z(1− z)
no es tan dominante como el de la dispersión quark quark-quark de canal en t, es realzado por un color
factor 2CF = 8/3. Se espera que esto contribuya de manera significativa al medio ambiente.
modificación en zh intermedio.
En las colisiones de iones pesados de alta energía, las proporciones de las tasas iniciales de producción de valencia
Los quarks, gluones y antiquarks varían con el impulso transversal pT. Producción de gluon
la velocidad domina en pT bajo mientras que la fracción de chorros de quark de valencia aumenta en pT grande.
Los quarks tienen más probabilidades de fragmentarse en protones que los antiprotones, mientras que los gluones se fragmentan
en protones y antiprotones con iguales probabilidades. Por lo tanto, la relación de pT grande
el rendimiento del antiprotón y del protón en las colisiones de p + p es menor que 1 y disminuye con pT
a medida que aumenta la fracción de los chorros de valencia quark. Dado que se espera que los gluones pierdan más
energía que los chorros de quark, uno ingenuamente esperaría ver la relación antiprotón a protón
p̄/p se vuelve más pequeño debido a la extinción del chorro. Sin embargo, si la conversión quark-gluon debido
a qq̄ → gg se vuelve importante, uno esperaría que las fracciones de quark y gluon
los chorros se modifican hacia sus valores de equilibrio. La relación final p̄/p podría ser mayor que
o comparable a la de las colisiones p+ p. Tal escenario de conversión quark-gluon fue
considerado recientemente en Ref. [37] a través de una ecuación de tasa maestra.
La mezcla entre los chorros de quark y gluon también ocurre en el orden más bajo de quark-
aniquilación anticuarto como se muestra en la Fig. 3. En NLO, todos los quark-quark blandos (antiquark)
Los procesos de dispersión tienen este tipo de mezcla entre la fragmentación de quark y gluon
funciones. Sus contribuciones generalmente tienen la forma,
α2sxB
Dqi→h(
)−Dg→h(
×Pqqi→qqi(z)
TA(SI)qqi (x, xL)
fAq (x)
, (72)
donde de nuevo la suma sobre el sabor quark incluye qi = q, q̄. Esta mezcla hace
no se producen en la probabilidad, sino más bien en el nivel de amplitud, ya que implica en
terferencias entre dispersión simple y triple. Por lo tanto, esta contribución depende de
la diferencia entre las funciones de fragmentación de gluón y quark [Eq. (35)] y puede ser
positivo o negativo en diferentes regiones de zh. Sin embargo, contribuyen a la mod-
ificación de la función eficaz de fragmentación de quark y la dependencia del sabor de la
Los espectros finales de Hadron.
6 La dependencia del sabor de la fragmentación media modificada
Resumiendo todas las contribuciones a quark-quark (antiquark) scattering doble como
tion 4, podemos expresar la corrección total twist-cuatro hasta O(α2s) a los fragmen quark-
función de tentaciùn como
Dq→h(zh)=
2 [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]
qq̄ (x, 0)
fAq (x)
a,b,i
Db→h(zh/z)P
qa→b(z)
TA(i)qa (x, xL)
fAq (x)
, (73)
donde la sumación es sobre todos los procesos posibles q+a→ b+X y todas las matrices diferentes
elementos TA(i)qa (x, xL) (i = HI, SI, I, I2), que serán cuatro elementos básicos de la matriz que vamos a
uso. Las funciones de división efectivas P
qa→b(z) se enumeran en el apéndice A-2. Uno también debería
incluir correcciones virtuales que se pueden construir a partir de las correcciones reales a través de
Limitaciones de unitariedad [18].
Del mismo modo, también podemos escribir las cuatro correcciones a la fragmentación anticuarto
en un medio nuclear,
Dqh(zh)=
2 [Dg→h(zh)−Dqh(zh)]
q̄q (x, 0)
fAq̄ (x)
a,b,i
Db→h(zh/z)P
q̄a→b(z)
q̄a (x, xL)
fAq̄ (x)
, (74)
donde los elementos de la matriz T
q̄a (x, xL) y las funciones de división efectivas P
q̄a→b(z) can
se obtendrán de los correspondientes para quarks. Dado un modelo para el dos-cuarco
funciones de correlación, uno será capaz de utilizar las expresiones anteriores para evaluar numéricamente
twist-cuatro correcciones a las funciones de fragmentación de quark (antiquark). En este artículo,
vamos a dar una estimación cualitativa de la dependencia del sabor de la corrección en
DIS de un gran núcleo.
A los efectos de una estimación cualitativa, se puede suponer que todos los twist-cuatro dos-cuarto
funciones de correlación se pueden factorizar, como se ha hecho en Refs. [18,19,23,33],
p+dy−
dy−1 dy
+yix2p
• (−y−2 ) •(y− − y−1 )
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A
fAq (x1) f
(x2), (75)
p+dy−
dy−1 dy
+yix2p
) ±ixLp
2 (−y−2 )(y− − y−1 )
Aq(0)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
−)qi(y
•qi(y)
2 )A
fAq (x1) f
(x2)e
A, (76)
donde xA = 1/mNRA, mN es la masa de nucleón, RA el tamaño del núcleo, f
(x2) es la
distribución antiquark en un nucleón y C se supone que es una constante, parametrizante
la fuerza de las correlaciones de dos partes dentro de un núcleo. La integración sobre la posición
del anticuarco (y−1 +y
2 )/2 en el twist-cuatro elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos da
aumento del factor de mejora nuclear 1/xA = mNRA = 0,21A
Debemos tener en cuenta que establecemos kT = 0 para la expansión colineal. Como consecuencia de ello, el
campo quark secundario en los elementos de matriz twist-cuatro parten llevará cero impulso
en el proceso suave-duro. El impulso transversal intrínseco finito lleva a un cor-
las recciones. Si un subconjunto de los términos más altos en la expansión colineal se puede volver a resumir
para restaurar los factores de fase como eixT p
+y−, en el que xT • • k2T •/2p+q−z(1 − z), el
Los campos de quark en los elementos de matriz de Parton llevarán un momento fraccionario finito xT.
Bajo tal suposición de factorización, uno puede obtener toda la correlación de dos cuartetos
elementos de matriz:
A(HI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x) f
(xL + xT )[1− e−x
A], (77)
A(SI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x+ xL) f
(xT )[1− e−x
A], (78)
qq̄i (x, xL)
A(I2)
qq̄i (x, xL)
fAq (x+ xL) f
(xT )e
fAq (x) f
(xL + xT )e
A. (79)
En la última aproximación, hemos asumido xL xT x. Del mismo modo, uno puede obtener
TA(i)qqi (x, xL), T
q̄qi (x, xL) y T
q̄q̄i (x, xL). Con estas formas de correlación de dos quarks
elementos de matriz, podemos estimar la dependencia del sabor de la modificación nuclear a
el quark (antiquark) funciones de fragmentación.
Las correcciones de orden más bajas [O(αs)] son muy simples
q→h (zh) CA1/3[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]fNq̄ (xT ), (80)
qh̄
(zh) CA1/3[Dg→h̄(zh)−Dqh̄(zh)]fNq (xT ). (81)
Consideramos la contribución dominante de la fragmentación de un quark (antiquark)
que es uno de los quarks de valencia (antiquarks) de la partícula final h (antipartícula h̄).
Las funciones de fragmentación del gluón en h y h̄ son las mismas. Para el zh grande, el gluon
La función de fragmentación es siempre más suave que la valencia quark (antiquark) fragmenta-
ión [38]. Por lo tanto, las correcciones de giro-cuatro ordenes más bajas son siempre negativas para grandes
zh, llevando a una supresión de la función de fragmentación de quark de valencia (antiquark),
Dqv→h(zh) [Dq̄v→h̄(zh)]. Considere aquellos quarks que también son quarks de valencia de un nucleón:
n = udd
p = uud, p̄ = d̄, (82)
K+ = us̄,K− = ūs. (83)
, η0, = ud̄, (uū − dd̄ )/
2, dū. (84)
Uno puede encontrar la siguiente dependencia del sabor de la orden más baja torsión cuatro correcciones
a las funciones de fragmentación quark (antiquark),
q̄v→h̄
D(LO)
q̄v→h̄
(zh)
D(LO)qv→h(zh)
fNqv (xT )
fq̄v(xT )
> 1, (85)
q̄v→h̄
1 + D
q̄v→h̄
(zh)/Dqh̄(zh)
1 + D
(zh)/Dq→h(zh)
< 1, (86)
donde R
es la correspondiente orden de supresión de la función de fragmentación
en zh grande para el protón (antiprotón) y K
+ (K−). Dado que los piones contienen ambos valencia
quark y antiquark, los factores de supresión deben ser similares para todos los piones. Para xT ≥
0,043, u(x)/ū(x) ≥ 3 y d(x)/d̄(x) ≥ 2 [35]. Por lo tanto, la modificación de antiquark
funciones de fragmentación debido a la aniquilación quark-antiquark es significativamente mayor que
el de un quark.
La dependencia del sabor de los resultados NLO son más complicados ya que implican dispersión-
ing con quarks y antiquarks en el medio. Uno puede observar primero que efectivo
funciones de división (o sección transversal de dispersión quark-quark) son las mismas para el canal en t
qq′ → qq′ y qq → qq (q′ 6= q) scatterings,
qq.»b(z) = P
q̄q.»b(z) = P
qqb(z) = P
q̄qb(z). (87)
Para la dispersión de quark-quark idéntico o aniquilación de quark-antiquark, uno puede separar
la aniquilación qq̄ funciones de división (o secciones transversales) en singlet y no-singlet
contribuciones mediante la selección de las contribuciones en t-canal,
qqb(z)
qq→b(z) + P
qqb(z), (88)
q̄q→b(z)
q̄qb(z) + P
q̄q→b(z). (89)
Estas contribuciones individuales a las funciones de fragmentación modificadas son,
S(NLO)
q→h (zh)
b,q′,i
Db→h P (i)qqÃ3b(zh)
×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (90)
S(NLO)
qh̄
(zh)
b,q′,i
Dbh̄ P
q̄qb̄
×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (91)
donde la suma sobre q′ ahora incluye q′=q y C(i)(xL) son independientes del sabor
funciones determinadas a partir de Eqs. 77)-(79),
C(HI) =C(SI) = C(xL)(1− e−x
C(I) =C(I2) = C(xL)e
A, (92)
y C(xL) es un coeficiente común que es una función de xL. Uso de P
q̄qb̄
(z) = P
qq→b(z)
, se puede concluir que las contribuciones singlet al quark modificado y antiquark
las funciones de fragmentación son las mismas,
S(NLO)
q→h (zh) = D
S(NLO)
qh̄
(zh).
Las contribuciones no individuales, principalmente de interferencias s-canal y s-t, son,
N(NLO)
q→h (zh)
Db→h PN(i)qqb(zh)fNq̄ (xT )C(i), (93)
N(NLO)
qh̄
(zh)
Dbh̄ P
q̄q→b̄
(zh)f
q (xT )C
i), (94)
donde otra vez
qqb(z) = P
q̄q→b̄
(z) debido a la simetría de cruce. Hemos enumerado todos los no-
Desvanecimiento de las funciones de división singlet
qqb(z) del apéndice A-2.
De nuevo consideramos el límite zh → 1. En esta región la convolución en el
función de fragmentación está dominada por el gran z → 1 comportamiento de la división efectiva-
funciones de ting. De la lista P
qqb(z) en el Apéndice A-2, podemos obtener el
contribuciones,
C(i)P
qqq(z)4CF
C(xL)
C(i)P
qqg(z)
2CF + CF (1− e−x
A) + CAe
C(xL)
, (95)
donde también hemos descuidado términos proporcionales a 1/Nc. Todos los P
qqq̄(z) no son líderes
en el límite z → 1 y por lo tanto puede ser descuidado. Con estas importantes contribuciones,
la modificación no-singlet a las funciones de fragmentación quark y antiquark puede ser
estimado como
N(NLO)
q→h (zh)
C(xL)
(1- z)+
CF (1− e−x
A) + CAe
+ (1− z)(lT)
−Dq→h
C(xL)
(1- z)+
+ (1− z)(lT)
fNq̄ (xT ), (96)
N(NLO)
qh̄
(zh)
Dg→h̄
C(xL)
(1- z)+
CF (1− e−x
A) + CAe
+ (1− z)(lT)
Dg→h̄
−Dqh̄
C(xL)
(1- z)+
+ (1− z)(lT)
fNq (xT ), (97)
donde el punto 1(IT ) y el punto 2(IT ) proceden de correcciones virtuales,
1(lT )=
CFC(xL)z=1 − [CF (1− e−x
+ CAe
A]C(xL)
, (98)
2(lT )=
2CF [C(xL)z=1 − C(xL)]. (99)
Debido a la conservación del impulso, C(xL) = 0 cuando xL → • para z = 1. Por lo tanto,
las correcciones virtuales anteriores siempre son negativas. En general zh, estas correcciones virtuales
dominar sobre los reales.
Hay dos tipos de contribuciones no individuales en las expresiones dadas anteriormente. Uno que
es proporcional a las funciones de fragmentación de gluón se debe a la aniquilación quark-antiquark
en gluones que luego se fragmentan. El gluón fragmentante no sólo transporta menos energía que
el quark inicial pero también tiene una función de fragmentación más suave, lo que conduce a la supresión de
los hadrones líderes finales. El segundo tipo de contribuciones es proporcional a Dg→h(zh)−
Dq→h(zh) y por lo tanto mezcla funciones de fragmentación quark y gluon, del mismo modo que el
los procesos de aniquilación quark-antiquark de orden más bajo [véase Eqs. (80) y (81)]. Desde un gluon
función de fragmentación es más suave que un quark uno, las correcciones reales de este tipo de
los procesos son positivos para los pequeños zh y negativos para los grandes zh. Las correcciones virtuales
tienen exactamente el comportamiento opuesto. Por lo tanto, el segundo tipo de contribuciones reducirá
la modificación neta total. Para los valores intermedios de zh donde 2Dg→h(zh) > Dq→h(zh),
el efecto neto sigue siendo la supresión de las funciones de fragmentación eficaces para
Hadrons.
Desde fNq (xT ) > f
q̄ (xT ), podemos concluir que la LO y la NLO combinados no-singlet
La supresión de la fragmentación anticuarto en hadrones de valencia es más grande que la de quark.
fragmentación en hadrones de valencia. Esto explica cualitativamente la dependencia del sabor de
la supresión nuclear de los principales hadrones del DIS frente a objetivos nucleares pesados medidos por
el experimento HERMES [25,26]. La relación de las secciones transversales semi-inclusivas diferenciales
para los objetivos de núcleo y deuterón se utilizaron para estudiar la supresión nuclear de la
funciones de mentation. Se observó que la supresión de los principales antiprotones es más fuerte
que para el protón líder y la supresión de K− es más fuerte que K+. En el quark de Valence
imagen de fragmentación, el protón principal (K+) se produce principalmente a partir de u, d (u) quark
fragmentación mientras que los antiprotones provienen principalmente de la fragmentación ū, d̄ (ū). Por lo tanto,
Los datos de HERMES son consistentes con una mayor supresión de la fragmentación anticuarto.
Desde gluon bremsstrahlung y el singlet qqi(q̄i) dispersión también suprimir quark y
antiquark fragmentación, pero independientemente del sabor quark, uno tiene que incluir todos los
procesos con el fin de tener una evaluación numérica completa y cuantitativa del sabor
dependencia de la modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark. Además...
más, las contribuciones de la ONL son proporcionales a αs ln(Q)
2)/2ň. Son tan importantes.
como la corrección de orden más baja para grandes valores de Q2. En principio, hay que volver a resumir estos
corrección de orden superior mediante la resolución de un conjunto de ecuaciones de evolución acopladas DGLAP, in-
modificación del medio para las funciones de fragmentación del gluón. Las contribuciones de
quark-quark (antiquark) la dispersión derivada en este documento será una parte importante de la
Dscripción completa. Estudio numérico detallado del efecto del quark-quark (antiquark)
la dispersión será posible sólo después de la terminación de esta descripción completa en el
futuro.
7 Resumen
Utilizando el marco de factorización generalizada para twist-cuatro procesos tenemos
la modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark y antiquark (FF) debida
a quark-quark (antiquark) doble dispersión en materia nuclear densa hasta el orden O(α2s).
Calculamos y analizamos el conjunto completo de todos los diagramas de corte posibles. Resultados
se pueden clasificar en contribuciones de procesos de doble-duro, duro-suave y su
interferencias. Los rescatterings de doble dureza corresponden a la dispersión elástica del plomo-
ing quark con otro quark medio. Requiere el segundo quark para llevar un finito
momento fraccionario xL. Por lo tanto, la pérdida de energía del quark líder a través de tales
procesos pueden ser identificados como pérdida de energía elástica en el orden O(α2s). La pérdida de energía quark
y la modificación de las funciones de fragmentación quark están dominadas por el canal t de
la dispersión de quark-quark (antiquark) y se demuestra que es similar a la causada por quark-
Gluon esparciendo. La contribución de la dispersión quark-quark es más pequeña que la de
Dispersión del quark-gluon por un factor de CF/CA multiplicado por la relación de distribución del quark y del gluon-
ciones en el medio. Hemos demostrado que esas contribuciones no son insignificantes.
para cinemática realista y tamaño mediano finito. Los rescatterings blandos y duros mezclan gluon y
scattering quark, de la misma manera que el orden más bajo qq̄ → g procesos. Tales procesos
modifica los espectros de hadrones finales o las funciones de fragmentación eficaces, pero no
tributo a la pérdida de energía del quark líder. Para qq̄ → qq̄, gg procesos, también existen
contribuciones de interferencia puras procedentes principalmente de interferencias de dispersión de un solo triple.
Con un modelo simple de funciones factorizadas de correlación de dos cuartetos, investi-
la dependencia del sabor del medio modificado funciones de fragmentación de quark en una
núcleo grande. Identificamos la parte dependiente del sabor de la modificación y encontramos que
la modificación nuclear para una fragmentación antiquark en un hadron de valencia es más grande
que el de un quark. Esto ofrece una explicación cualitativa para la dependencia del sabor de
la principal supresión de hadrones en el DIS semi-inclusivo frente a objetivos nucleares, como se observa en
el experimento HERMES [25,26].
Agradecimientos
Los autores agradecen a Jian-Wei Qiu y Enke Wang por su útil discusión. Este trabajo
fue apoyado por NSFC en el marco del proyecto No. 10405011, por el Ministerio de Educación de China en el marco del proyecto
IRT0624, por Alexander von Humboldt Foundation, por BMBF, por el Director de la Oficina
de Investigación Energética, Oficina de Energía Alta y Física Nuclear, Divisiones de Energía Nuclear
Física, del Departamento de Energía de los Estados Unidos bajo el Contrato No. DE-AC02-05CH11231,
y por el US NSF bajo Grant No. PHY-0457265, la Fundación Welch en virtud de la subvención
No. A-1358.
A-1 Partes duras para doble dispersión quark-quark
En la Sección 3 hemos discutido el cálculo de la parte dura de un ejemplo de corte-diagrama
(Fig. 5) en detalle. En este apéndice enumeramos los resultados de todas las posibles correcciones reales a
quark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s). Hay
un total de 12 diagramas como se ilustra en las Figs. 5-16. Para el propósito de abreviar, nosotros
suprimirá las variables en las anotaciones de las partes duras partonicas
D HD(y−, y−1, y−2, x, p, q, zh), (A-1)
y funciones de los factores de fase
I (y−, y−1, y−2, x,, xL, p). (A-2)
Primero consideramos todos los diagramas de aniquilación qq̄ → gg con diferentes cortes posibles. Los
contribuciones de la Fig. 5 son:
5,C =
α2sxB
I5,CDg→h(zh/z)
1 + z2
z(1 − z)
1 + (1− z)2
z(1 − z)
, (A-3)
Fig. 5. El canal t de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con tres posibles cortes, central(C),
izquierda (L) y derecha (R).
Fig. 6. La interferencia entre t y u-canal de qq̄ → aniquilación gg.
I5,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (A-4)
5,L(R) =
α2sxB
I5,L(R)
Dq→h(zh/z)2
1 + z2
z(1 − z)
+Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)2
z(1 − z)
, (A-5)
I5,L =(y−1 − y−2 )♥(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
), (A-6)
I5,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 ). (A-7)
Aquí hemos incluido la fragmentación de ambas partes del estado final.
Las contribuciones de la Fig. 6 son:
Fig. 7. El canal s de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con sólo un corte central.
6,C =
α2sxB
I6,C 2Dg→h(zh/z)
(1- z)z
CF (CF − CA/2)
, (A-8)
6,L(R) =
α2sxB
I6,L(R) [Dg→h(zh/z) +Dq→h(zh/z)]
(1- z)z
CF (CF − CA/2)
, (A-9)
I6,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
× (1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (A-10)
I6,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
) ). (A-11)
I6,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 ), (A-12)
Tenga en cuenta que el diagrama de corte central en la Fig. 6 corresponde a la interferencia entre t y
u-canal de los procesos de aniquilación qq̄ → gg en la Fig. 5. Puesto que la función de división es
simétrico en z y 1 − z, un factor de 2 proviene de la fragmentación de ambos gluones en
el diagrama de corte central.
El canal s de qq̄ → gg se muestra en la Fig. 7 que sólo tiene un corte central. Su contri-
bution a la parte dura partónica es,
7,C =
α2sxB
I7,C 2Dg→h(zh/z)
2-z2 − z + 1)2
z(1 − z)
, (A-13)
I7,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−e−ixLp
+(yy−
)e-ixLp
2. (A-14)
Tenga en cuenta que la función de división 2(z2 − z + 1)2/z(1 − z) = 2[1 − z(1 − z)]2/z(1 − z) es
simétrico en z y 1− z. Por lo tanto, la fragmentación de los dos gluones finales da lugar a
el factor de 2 frente a la función de fragmentación del gluón.
Fig. 8. La interferencia entre el canal t y s de qq̄ → aniquilación gg.
Fig. 9. El conjugado complejo de la Fig. 8.
Las interferencias entre t y s-canal de qq̄ → gg procesos se muestran en Figs. 8 y
9. Hay sólo dos cortes posibles en estos diagramas. Las contribuciones de la Fig. 8 son:
8,C =
α2sxB
I8,C Dg→h(zh/z)
1 + z3
z(1 − z)
1 + (1− z)3
z(1 − z)
, (A-15)
α2sxB
Dq→h(zh/z)2
1 + z3
z(1− z)
+ Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)3
z(1 − z)
, (A-16)
I8,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+y
2 )e−ixLp
+(yy−
), (A-17)
I8,L = (y
1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p
×(e−ixLp+(yy)
) − e−ixLp+(yy
) ). (A-18)
Contribuciones de la Fig. 9, que son sólo el complejo conjugado de la Fig. 8, son:
9,C =
α2sxB
I9,C Dg→h(zh/z)
1 + z3
z(1 − z)
1 + (1− z)3
z(1 − z)
, (A-19)
9,R =
α2sxB
Dq→h(zh/z)2
1 + z3
z(1 − z)
+ Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)3
z(1 − z)
, (A-20)
I9,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+(yy
))e-ixLp
2, (A-21)
I9,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+(y
))e-ixLp
1. (A-22)
Uno puede recoger todas las contribuciones del doble duro qq̄ → gg procesos de la central-
diagramas de corte, que deben tener el factor de fase común
* C = (−y−2 ) * (y− − y−1 ) eixp
+y−e−ixLp
), (A-23)
y obtener la función de división efectiva total en la parte dura,
Pqqgg(z) =
z(1 − z)
{C2F [1 + z2 + 1 + (1− z)2]− 2CF (CF − CA/2)
+2CFCCA(1− z + z2)2 − CFCA[1 + z3 + 1 + (1− z)3]}
z2 + (1− z)2
z(1− z)
− 2CA[z2 + (1− z)2]
. (A-24)
Más adelante, en el Apéndice A-3, veremos que el resultado anterior también puede obtenerse del
elementos de matriz total al cuadrado para qq̄ → aniquilación gg.
Ahora consideramos los procesos de aniquilación qq̄ → qiq̄i con qi 6= q. Sólo está el
proceso de canal s con un diagrama de corte central como se muestra en la Fig. 10. Su contribución a
la parte difícil es
10,C =
α2sxB
I10,C
qi 6=q
[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]
Fig. 10. s-canal qq̄ → aniquilación qiq̄i.
Fig. 11. t-canal qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión.
×[z2 + (1− z)2]
, (A-25)
I10,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−e−ixLp
+(yy)
)e-ixLp
2. (A-26)
Aquí definimos la función de división efectiva para qq̄ → aniquilación qiq̄i como,
Pqqqiq̄i(z) =
[z2 + (1− z)2]. (A-27)
Del mismo modo, para qq̄i → qq̄i dispersión con qi 6= q, sólo hay el canal t como se muestra en
Fig. 11. Hay, sin embargo, tres diagramas de corte. Sus contribuciones a la dura particónica
parte son:
11,C =
α2sxB
I11,C
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+Dq̄i→h(zh/z)
1 + (1− z)2
, (A-28)
11,L(R) =
α2sxB
I11,L(R)
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
, (A-29)
I11,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
× (1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (A-30)
I11,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
), (A-31)
I11,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 ). (A-32)
El elemento de matriz de correlación twist-cuatro dos-parten asociado con el quark anterior-
la dispersión antiquark es el correlator quark-antiquark,
TAqq̄i(x, xL)
ixp+yixLp
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 ) A, (A-33)
y uno debe sumar sobre todos los posibles sabores qi 6= q. Tenga en cuenta que en el elemento de matriz anterior,
el flujo de impulso para el antiquark (q̄i) es opuesto al de los campos quark (q).
Para la dispersión quark-quark, qqi → qqi, la parte dura es esencialmente la misma. El único
diferencia es el elemento de matriz asociado para el correlator quark-quark que es ob-
proveniente de la del correlator quark-antiquark a través del intercambio qi(y2) → qi(y2)
y qi(y1) → qi(y1),
TAqqi(x, xL)
ixp+yixLp
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
1 )A. (A-34)
Tenga en cuenta que los flujos de impulso de los dos quarks (q y qi) apuntan en la misma dirección.
La función de división efectiva de este proceso de dispersión se define a través de los fragmen-
la puesta del quark en el diagrama de corte central,
Pqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =
1 + z2
(1- z)2
. (A-35)
Para aniquilación qq̄ → qq̄ en pares de quark y antiquark idénticos, además de la
s-canal (Fig. 10 para qi = q) y t-canal (Fig. 11 para qi = q̄), uno también tiene que considerar
la interferencia entre las amplitudes s y t-canal como se muestra en las Figs. 12 y 13, cada uno
tener dos cortes. Sus contribuciones a las partes duras son, respectivamente:
Fig. 12. Interferencia entre s y t-canal de qq̄ → qq̄ dispersión
Fig. 13. El conjugado complejo de la Fig. 12.
12,C =
α2sxB
I12,C
Dq→h(zh/z)
(1 a z)
+Dqh(zh/z)
2(1− z)2
CF (CF − CA/2)
, (A-36)
12,L =
α2sxB
I12,L
Dq→h(zh/z)
(1 a z)
+Dg→h(zh/z)
2(1− z)2
CF (CF − CA/2)
, (A-37)
I12,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+y
2 )e−ixLp
+(yy−
), (A-38)
I12,L = (y
1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p
×(e−ixLp+(yy)
) − e−ixLp+(yy
) ; (A-39)
Fig. 14. La interferencia entre t y u-canal de cuark-cuark idéntico dispersión qq → qq.
13,C =
α2sxB
I13,C
Dq→h(zh/z)
(1 a z)
+Dqh(zh/z)
2(1− z)2
CF (CF − CA/2)
, (A-40)
13,R =
α2sxB
I13,R
Dq→h(zh/z)
(1 a z)
+Dg→h(zh/z)
2(1− z)2
CF (CF − CA/2)
, (A-41)
I13,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+(yy
))e-ixLp
2, (A-42)
I13,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
×(e−ixLp+y
1 − e−ixLp+y
2 ). (A-43)
Una vez más se pueden recoger contribuciones de los diagramas de corte central de la dispersión doble
procesos en Figs. 10, 11 12 y 13 y obtener la función de división efectiva total para
qq̄ → qq̄,
Pqqqq̄(z) =
[z2 + (1− z)2] +
1 + z2
(1- z)2
CF (CF − CA/2)
z2 + (1− z)2 +
1 + z2
(1- z)2
. (A-44)
Aquí hemos usado CF − CA/2 = −1/2Nc. Para la fragmentación anticuarto, Pqqq̄q(z) =
Pqqqq̄(1 − z). Uno también puede obtener el resultado anterior de qq̄ → qq̄ matriz de dispersión
al cuadrado como se muestra en el apéndice A-3.
Del mismo modo, para la dispersión de quarks idénticos qq → qq, uno debe establecer qi = q en Fig. 11[en
Eq. (A-28)]. Además, también debería incluirse la interferencia entre t y u-canal
de la dispersión como se muestra en la Fig. 14. Las contribuciones de este diagrama de interferencia
14,C =
α2sxB
I14,C
× 2Dq→h(zh/z)
z(1 − z)
CF (CF − CA/2)
, (A-45)
14,L(R) =
α2sxB
I14,L(R)
× [Dq→h(zh/z) +Dg→h(zh/z)]
z(1− z)
CF (CF − CA/2)
, (A-46)
I14,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
× (1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (A-47)
I14,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
), (A-48)
I14,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 ). (A-49)
Nótese de nuevo que la fragmentación de ambos quarks contribuye al factor 2 en Eq. (A-
45) ya que la función de división es simétrica en z y 1 − z. El giro-cuatro dos-cuarto
elemento de matriz de correlación asociado con qq → dispersión qq es TAqq(x, xL) en comparación
a TAqq̄(x, xL) para procesos de aniquilación quark-antiquark.
Podemos sumar las contribuciones de la dispersión dura doble en todos los diagramas de corte central
en Figs. 11 y 14 y obtener la función de división efectiva total para procesos qq → qq,
Pqq→qq(z) =
1 + z2
(1- z)2
1 + (1− z)2
CF (CF − CA/2)
z(1 − z)
1 + z2
(1- z)2
1 + (1− z)2
z(1 − z)
. (A-50)
Hay dos diagramas de corte restantes que contribuyen a la aniquilación quark-antiquark
al orden de O(α2s) como se muestra en las Figs. 15 y 16. Sus contribuciones son las siguientes:
15,L =
α2sxB
I15,L
Dq→h(zh/z)2
1 + z2
+Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)2
, (A-51)
I15,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−e−ixLp
+(yy)
), (A-52)
Fig. 15. Interferencia entre la radiación gluon del estado final de dispersión de un solo y triple cuarteto.
Fig. 16. El conjugado complejo de la Fig. 15.
16,R =
α2sxB
I16,R
Dq→h(zh/z)2
1 + z2
+Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)2
, (A-53)
I16,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−e−ixLp
1. (A-54)
A-2 Funciones efectivas de división
En este Apéndice, enumeramos las funciones de división efectivas asociadas a cada proceso
qa→ b y el doble duro (HI), hard-soft (SI) o sus interferencias (I, I2) según
a Eq. (73).
qqi(q̄i)→qi(q̄i)
z) =
1 + (1− z)2
qqi(q̄i)→q
z) =
1 + z2
(1- z)2
qqi(q̄i)→qi(q̄i)
z) =
1 + (1− z)2
qqi(q̄i)→g
(z) = −1 + (1− z)
(A-55)
qqqi(z) =P
qqq̄i(z) = z
2 + (1− z)2,
qqqi(z) =P
qqq̄i(z) = z
2 + (1− z)2, (A-56)
P (HI)qq→q(z) =
1 + (1− z)2
1 + z2
(1- z)2
z(1 − z)
P (SI)qq→g(z) =−P (SI)qq→q(z), (A-57)
P (SI)qq→q(z) =
1 + (1− z)2
z(1 − z)
qqq(z) = z
2 + (1− z)2 + 1 + z
(1- z)2
qqq̄(z) =P
qqq(1− z),
qqg(z) = 2CF
z2 + (1− z)2
z(1 − z)
− 2CA[z2 + (1− z)2], (A-58)
qqq(z) =−
z(1 − z)
+ 2CF
qqq̄(z) =
1 + (1− z)2
qqg(z) =
z(1 − z)
+ 2CF
− 1 + (1− z)
(A-59)
qqq(z) = z
2 + (1− z)2 −
z(1 − z)
− 2CF
qqq̄(z) = z
2 + (1− z)2,
qqg(z) =CA
4(1− z + z2)2 − 1
z(1 − z)
− 2CF
(1- z)2
, (A-60)
qqq(z) =
z(1 − z)
− 2CF
qqg(z) =
z(1 − z)
− 2CF
. (A-61)
Las funciones de división no-singlet para qq̄ → b, definido como
qqb(z) P
qqb(z)− P
qq→b(z), (A-62)
se enumeran a continuación:
N(HI)
qqqi(q̄i)
(z) =P
qqqi(q̄i)
(z), (P)
qqqi(q̄i)
(z) = P
qqqi(q̄i)
z), (A-63)
N(HI)
qqq (z) =−
(1− z2)(1 + z2 + (1− z)2)
1 + z3
z(1− z)
N(HI)
qqq̄ (z) =P
qqq̄(z), ŁP
N(HI)
qqg (z) = P
qqg(z), (A-64)
N(SI)
qqq (z) =−
1 + z2
1 + (1− z)2
N(SI)
qqq̄ (z) =P
qqq̄(z)
N(SI)
qqg (z) = 2CF
1 + z2
z(1 − z)
1 + (1− z)2
(A-65)
qqb(z) =P
qqb(z), ŁP
N(I2)
qqb (z) = P
qqb(z) (b = q, q̄, g) (A-66)
A-3 Cálculos alternativos de diagramas de corte central
Como control cruzado de las partes duras de la parte partónica calculadas a partir de diferentes diagramas de corte en
Apéndice A-1, proporcionamos un cálculo alternativo de todos los diagramas de corte central,
que corresponden a la dispersión quark-quark (antiquark).
Considerando una parten (a) con impulso q dispersando con otra parten (b) que
lleva un momento fraccionario xp, a(q) + b(xp) → c(l) + d(p′), la sección transversal puede ser
por escrito como
dđab =
M 2ab→cd(t/, û/)
(2l)32l0
2[(p+ q − l)2]
(4η)2
M 2ab→cd(t/, û/)
z(1− z)
dl2T
, (A-67)
donde q = [0, q−, 0] y p = [xp+, 0, 0] son momentáneas de las partes iniciales y
, zq−, ~lT
(A-68)
es el impulso de una de las partes finales. Con la cinemática dada, el on-shell
condición en la sección transversal se puede refundir como
(xp + q − l)2 = 2(1− z)xp+q−
1 - xL
, xL =
2z(1− z)p+q−
. (A-69)
Las variables Mandelstam de la colisión son,
=(q + xp)2 = 2xp+q− =
z(1 − z)
, û = (l− xp)2 = −z
t=(l− q)2 = −(1 − z)
• = −(1− z), (A-70)
donde hemos utilizado la condición en la cáscara x = xL.
Con Eq. (A-67) y funciones de distribución de parten fNb (x), se puede obtener la parten-
sección transversal de nucleón,
daN =
dđabf
b (x)dx
fNb (xL)xLM 2ab→cd(tÃ3rÃ, û/)
z(1− z)
fNb (xL)
C0Pab→cd(z)dz
, (A-71)
donde s = 2p+q− es la energía del centro de la masa para la colisión aN, C0 es algún color común
factor en los elementos de la matriz de dispersión y
Pab→cd(z) = (1/C0)M 2ab→cd(tÃ3rá/, û/) (A-72)
es lo que hemos definido como la función de división efectiva para los procesos correspondientes.
Por lo tanto, se puede obtener fácilmente estas funciones de división efectiva de la correspondiente
elementos de matriz para la dispersión elemental de parten-parten [39]. Los enumeraremos en el fol-
Loading. Un factor de color común para toda dispersión quark-quark(antiquark) es C0 = CF/Nc.
qq̄ → aniquilación qiq̄i:
M 2qqqiq̄i =
tâ € 2 + û2
Pqqqiq̄i(z) = z
2 + (1− z)2. (A-73)
qq̄ → aniquilación qq̄:
M 2qqqq̄ =
û2 + â € 2
û2 + tâ € 2
Pqqqq̄(z) =
1 + z2
(1- z)2
+ z2 + (1− z)2 +
. (A-74)
qq̄ → aniquilación gg:
M 2qqgg =
− 2CA
û2 + tâ € 2
Pqqgg(z) = 2CF
z2 + (1− z)2
z(1− z)
− 2CA(z2 + (1− z)2). (A-75)
qqi(q̄i) → qqi(q̄i) scattering:
M 2qqi(q̄i)→qqi(q̄i)=
û2 + â € 2
Pqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =
1 + z2
(1- z)2
. (A-76)
qq → dispersión qq:
M 2qq→qq =
û2 + â € 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
Pqq→qq(z) =
1 + z2
(1- z)2
1 + (1− z)2
z(1− z)
. (A-77)
Para la dispersión de quark-gluon Compton, la función de distribución de gluon relevante es xLGN (xL).
Por lo tanto, se puede reescribir la contribución de qg → qg a Eq. (A-71) como,
dqN = xLGN(xL)
sz(1 − z)M 2qg→qg(tÃ3rá, û/Ã)dz
xLGN(xL)+2s
Pqg→qg(z)dz
. (A-78)
Tenemos entonces para qg → qg dispersión,
M 2qg→qg =
•2 + û2
û2 + â € 2
Pqg→qg(z) = z(1 − z)
1 + z2
(1- z)2
1 + z2
. (A-79)
Comparando este resultado con el de Ref. [18] para el rescatado quark-gluon, podemos ver
que están de acuerdo en el límite 1 − z → 0. Esto es una consecuencia de la aproximación colineal
mación empleada en Ref. [18] en el cálculo de la parte dura del quark-gluón
Rescatando.
También podemos extender este cálculo al caso de dispersión gluon-nucleón. Uno puede usar
Eq. (A-71) para definir la función de división para la dispersión de gq → gq,
M 2gq→gq =
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
t+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + 2 + 2 + 2 + + + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + 2 + + + 2 + 2
Pgq→gq(z) = z(1 − z)
1 + (1− z)2
1 + (1− z)2
(1 a z)
. (A-80)
Aquí para la dispersión gluon-partón, no hay factor de color común.
gg → aniquilación qq̄,
M 2gg→qq̄ =
tâ € 2 + û2
tâ € 2 + û2
Pgg→qq̄(z) = z(1 − z)
z2 + (1− z)2
z(1− z)
[z2 + (1− z)2]
. (A-81)
gg → gg scattering
M 2gg→gg=2
3 - t
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
− t
Pgg→gg(z) = 2
(1− z + z2)3
z(1− z)
. (A-82)
Se puede utilizar esta técnica para extender el estudio de funciones de fragmentación modificadas a
Gluones de propagación. Dado que la modificación está dominada por quark-gluon y gluon-gluon
scattering, comparando las funciones de división efectivas,
Pqg→qg(z)
, (A-83)
Pgg→gg(z)
, (A-84)
en el límite z → 1, se puede concluir que la pérdida de energía radiativa de un gluón es mayor que
a quark por un factor de Nc/CF = CA/CF = 9/4. Dejaremos la derivación completa de
modificación media de las fragmentaciones de gluón a una publicación futura.
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[31] R. D. Field, Aplicaciones del QCD Perturbativo, Frontiers in Physics Lecture, Vol. 77, Ch.
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[32] M. E. Peskin y D. V. Schroeder, Introducción a la Teoría de Campo de Quantuam, (Addison-
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[33] J. Osborne y X.-N. Wang, Nucl. Phys. A 710, 281 (2002) [arXiv:hep-ph/0204046].
[34] X. N. Wang, arXiv:nucl-th/0604040.
[35] H. L. Lai y otros [Colaboración CTEQ], Eur. Phys. J. C 12, 375 (2000)
[arXiv:hep-ph/9903282]; Uno puede utilizar la calculadora de distribución de parten en línea en
http://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF.
[36] F. Gelis, K. Kajantie y T. Lappi, Phys. Rev. Lett. 96, 032304 (2006)
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[37] W. Liu, C. M. Ko y B. W. Zhang, arXiv:nucl-th/0607047.
[38] J. Binnewies, B. A. Kniehl y G. Kramer, Phys. Rev. D 52, 4947 (1995)
[arXiv:hep-ph/9503464].
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http://arxiv.org/abs/hep-ex/0307023
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0305010
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0406023
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0311220
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0204046
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0604040
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9903282
http://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF
http://arxiv.org/abs/hep-ph/5508229
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0607047
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9503464
Introducción
Formalismo general
Procesos de dispersión doble Quark-quark
Funciones de fragmentación modificadas
q"7016q g aniquilación
q"7016q qi"7016qi aniquilación
qqi("7016qi) qqi("7016qi) scattering
dispersión qqqqq
q"7016q q"7016q, gg aniquilation
Modificación debida a la mezcla quark-gluon
La dependencia del sabor del medio modificado fragmentación
Resumen
Partes duras para doble scattering quark-quark
Funciones de división eficaces
Cálculos alternativos de diagramas de corte central
Bibliografía
| Modificaciones de las funciones de fragmentación de quark y antiquark debido a
se estudia la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en medio nuclear
sistemáticamente hasta el orden \cal{O}(\alpha_{s2)$ en profundamente inelástico
dispersión (DIS) de objetivos nucleares. En el orden $\cal{O}(\alpha_s^2)$,
twist-cuatro contribuciones de quark-quark (antiquark) rescattering también exhiben
la característica de interferencia Landau-Pomeranchuck-Midgal (LPM) similar al gluón
bremsstrahlung inducido por la dispersión de múltiples parten. Comparado con quark-gluon
dispersión, la modificación, que está dominada por $t$-canal quark-cuark
(antiquark) dispersión, es sólo más pequeño por un factor de $C_F/C_A=4/9$ veces el
relación de las distribuciones de quark y gluon en el medio. Esa modificación es la siguiente:
no es insignificante para la cinemática realista y el tamaño mediano finito. Los
modificaciones de las funciones de fragmentación quark (antiquark) desde quark-antiquark
los procesos de aniquilación se muestran determinados por el anticuarco (cuarco)
densidad de distribución en el medio. La asimetría en quark y antiquark
las distribuciones en los núcleos conducirán a diferentes modificaciones de quark y
fragmentación antiquark funciona dentro de un núcleo, que cualitativamente
explica la dependencia del sabor observada experimentalmente del hadrón principal
supresión en el DIS semi-inclusivo de objetivos nucleares. El quark-antiquark
procesos de aniquilación también mezclan funciones de fragmentación de quark y gluon en el
gran región de impulso fraccionario, lo que conduce a una dependencia del sabor de jet
amortiguación en colisiones de iones pesados.
| Introducción
La dispersión de múltiples partes en un medio denso se puede utilizar como una herramienta útil para estudiar
propiedades de la materia nuclear caliente y fría. El éxito de este enfoque ha sido
demostrado por el descubrimiento de fuertes fenómenos de apagado de chorro en el centro de Au + Au
colisiones en el colisionador de iones pesados relativistas (RHIC) [1,2,3] y sus implicaciones
sobre la formación de un plasma de quark-gluón fuertemente acoplado en RHIC [4,5]. Sin embargo,
para un estudio fenomenológico convincente de los datos experimentales existentes y futuros,
una descripción unificada de todos los efectos medios en procesos duros en los que participan núcleos, tales como
colisiones electrón-núcleo (e + A), hadrón-núcleo (h + A) y núcleo-núcleo (A +
A) tiene que ser desarrollado [6,7]. Esto debe incluir la física del impulso transversal
ampliación [8], fuerte mejora nuclear en la producción de DIS [9] y Drell-Yan [10,11],
la sombra nuclear [12], y la pérdida de energía de parten debido a la radiación de gluón inducida por múltiples
dispersión [13,14,15,16,17,18,19].
Existen muchos marcos diferentes en la literatura para describir la dispersión múltiple
en un medio nuclear [20,21,22]. Entre ellos, el enfoque de expansión de giro se basa en
la factorización generalizada en QCD perturbante como desarrollado inicialmente por Luo, Qiu
y Sterman (LQS) [23]. En el formalismo LQS, los procesos de dispersión múltiple generalmente
En el caso de la distribución de la parten, las correlaciones de múltiples partes de alta torsión son similares a las de la distribución de la parten.
en los procesos de torsión líderes. Aunque las correcciones correspondientes de giro superior son
Suprimidas por poderes de 1/Q2, son reforzadas al menos por un factor de A1/3 debido a
dispersión múltiple en un núcleo grande. Este marco se ha aplicado recientemente al estudio
modificación media de las funciones de fragmentación como parten principal se propaga
a través del medio [18,19]. Debido al Landau-Pomeranchuck-Midgal no abeliano
interferencia en el gluon bremsstrahlung inducida por la dispersión de múltiples partes en los núcleos,
las modificaciones nucleares de mayor torsión a las funciones de fragmentación se mejoran de hecho
por A2/3, cuadrático en el tamaño nuclear [18,19]. Estudio fenomenológico de la energía Parton
pérdida y modificación nuclear de las funciones de fragmentación en materia nuclear fría [24]
da una buena descripción de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones en semi-
Inclusive diseminación profundamente inelástica del leptón-núcleo observado por el experimento HRMES
[25,26]. El mismo marco también da una explicación convincente para la supresión de
grandes hadrones de impulso transversal descubiertos en RHIC [27].
El énfasis de los estudios recientes de la modificación media de las funciones de fragmentación tiene
ha estado en la pérdida de energía radiativa parten inducida por la dispersión múltiple con gluones. Semejante
procesos de hecho son dominantes en relación con la dispersión múltiple con quarks debido a la
abundancia de gluones blandos en núcleos fríos o materia caliente densa producida en iones pesados
colisiones. Dado que gluon bremsstrahlung inducido por la dispersión con gluones medios es el
igual para quarks y anti-quarks, también se espera la pérdida de energía y la fragmentación
modificación para ser idéntica para quarks y anti-quarks. Sin embargo, en un medio con fi-
la densidad de los bariones, como los núcleos fríos y la región delantera de las colisiones de iones pesados,
la diferencia entre las distribuciones de quark y antiquark en el medio debe dar lugar a
ent pérdida de energía y funciones de fragmentación modificadas para quarks y antiquarks a través de
Procesos de aniquilación quark-antiquark. Para estudiar tal asimetría, uno debe considerar
sistemáticamente todos los posibles procesos de dispersión quark-quark y quark-antiquark, que
será el centro de atención de este documento.
En este estudio vamos a calcular las modificaciones de la fragmentación quark y antiquark
funciones (FF) debidas a la doble dispersión de quark-quark (antiquark) en un medio nuclear,
trabajar dentro del marco LQS para la factorización generalizada en QCD perturbador.
Para una descripción completa de la modificación nuclear de la especificación de hadron
tra, todavía hay que considerar la modificación media de las funciones de fragmentación del gluón en
Además de la función de fragmentación de quark modificada debido a la dispersión de quark-gluón [18].
Los resultados teóricos presentados en este trabajo serán un segundo paso hacia una completa
descripción de las funciones de fragmentación de mediana modificación. Sin embargo, ya se puede encontrar
que quark-quark (antiquark) doble dispersión dará diferentes correcciones a quark
y antiquark FF, dependiendo de la densidad antiquark y quark del medio, respec-
Tily. Esta diferencia entre quark modificado y antiquark FF puede arrojar luz sobre el
interesante observación por el experimento HERMES [25,26] de una gran diferencia entre
supresión nuclear de los principales espectros de protones y antiprotones en el DIS semi-inclusivo
de grandes núcleos. Tal imagen de quark-quark (antiquark) dispersión puede proporcionar un com-
mecanismo de contacto para el fenómeno observado experimentalmente, además de posible
absorción de hadrones de estado final dentro de la materia nuclear [28,29].
El documento se organiza de la siguiente manera. En la próxima sección vamos a presentar la general para
malismo de nuestro cálculo incluyendo la factorización generalizada de los procesos twist-4.
En la Sección III ilustraremos el procedimiento de cálculo de las partes
Quark-quark doble dispersión en núcleos. En la Sección IV discutiremos las modificaciones
a funciones de fragmentación quark y antiquark debido a quark-quark (antiquark) dou-
ble dispersión en los núcleos. En la Sección V, nos centraremos en la parte dependiente del sabor de la
mediana modificación al quark FF debido a la aniquilación quark-antiquark y lo haremos
discutir las implicaciones para la dependencia del sabor de los principales espectros de hadrones en ambos
DIS de un núcleo y colisiones de iones pesados. Resumiremos nuestra labor en la Sección VI. In
el Apéndice A-1, recogemos los resultados completos para las partes duras de
diagramas cortados de quark-quark (antiquark) rescattering doble en núcleos. También proporcionamos
un cálculo alternativo de las partes duras de los diagramas de corte central del apéndice A-3
a través de la dispersión elástica quark-quark o aniquilación quark-antiquark como un control cruzado.
2 Formalismo general
Con el fin de estudiar quark y antiquark FF en semi-inclusive profundamente inelástico leptón-
dispersión del núcleo, consideramos los siguientes procesos,
e(L1) + A(p) e(L2) + h(lh) +X,
Ap Ap
Fig. 1. El orden más bajo y la contribución líder-twist al DIS semi-inclusive.
donde L1 y L2 son los cuatro momentos de los leptones entrantes y salientes, y lh
es el impulso de hadron observado. La sección transversal diferencial para el semi-inclusivo
proceso puede expresarse como
EL2Elh
dđhDIS
d3L2d3lh
LŁElh
dW فارسى
, (1)
donde p = [p+, 0, 0] es el momento por nucleón en el núcleo, q = L2 − L1 =
[−Q2/2q−, q−, 0] la transferencia de impulso transportada por el fotón virtual, s = (p + L1)2
el centro de energía de masa leptón-nucleón y αEM es el acoplamiento electromagnético (EM)
constante. El tensor leptonico es dado por L = 1/2Tr (γ · L1 · L2) mientras que el semi-
el tensor hadrónico inclusivo se define como,
«AJμ(0)X, hX, hJ/(0)A24(q + p- pX- lh) (2)
donde
X recorre todos los estados finales posibles y Jμ =
q eqqq es el EM hadronic
actual.
Asumiendo la factorización colineal en el modelo de parten, la contribución
la sección transversal semi-inclusive se puede factorizar en un producto de distribuciones de partón,
funciones de fragmentación de parten y la sección transversal de parten. Incluyendo todos los registros principales
correcciones radiativas, la contribución de orden más bajo [O(α0s)] de un solo duro + q
esparciendo, como se ilustra en la Fig. 1, se puede escribir como
dW S..............................................................................................................................................................................................................................................................
dxfAq (x, μ
(x, p, q)Dq→h(zh, μ
2) ; (3)
H(0)-(x, p, q) =
Tr(γ · p · (q + xp))
2p · q
(x– xB), (4)
donde la fracción de impulso transportada por el hadrón se define como zh = l
−, xB =
Q2/2p+q− es la variable de escala de Bjorken, μ2I y μ
2 son las escalas de factorización para
las distribuciones de quark iniciales fAq (x, μ
I) en un núcleo y las funciones de fragmentación
en vacío Dq→h(zh, μ
2), respectivamente. Función de fragmentación de quarks renormalizada
Dq→h(zh, μ
2) cumple las ecuaciones de evolución del QCD DGLAP [30]:
Dq→h(zh, μ
lnμ2
γq→qg(z)Dq→h(zh/z, μ
+ γq→gq(z)Dg→h(zh/z, μ
; (5)
Dg→h(zh, μ
lnμ2
γg→qq̄(z)Dq→h(zh/z, μ
+ γg→gg(z)Dg→h(zh/z, μ
, (6)
donde γa→bc(z) denota las funciones de división de los procesos radiativos correspondientes
[31,32].
En DIS fuera de un objetivo nuclear, el quark de propagación experimentará scatterings adicionales
con otras partes del núcleo. Los rescatterings pueden inducir parten adicional
(cuark o gluon) radiación y hacer que el quark principal pierda energía. Tal inducido
La radiación dará lugar efectivamente a términos adicionales en la ecuación de evolución de la DGLAP
dando lugar a una modificación de las funciones de fragmentación en un medio. Estos son el poder...
Suprimió las correcciones de la twist superior e involucran elementos de la matriz de la parten de la twist superior.
Sólo vamos a considerar aquellas contribuciones que implican correlaciones de dos partes de dos
diferentes nucleones dentro del núcleo. Son proporcionales al espesor del núcleo
[18,23,33] y, por lo tanto, se ven reforzadas por un factor nuclear A1/3 en comparación con dos partes
correlaciones en un nucleón. Al igual que en estudios anteriores [18,19], limitaremos nuestro estudio a
procesos de dispersión doble en un medio nuclear. Estos son torsión-cuatro procesos y dar
las principales contribuciones a los efectos nucleares. Las contribuciones de procesos de torsión superior o
Por el momento no se tendrán en cuenta las contribuciones no mejoradas por el medio nuclear.
Al considerar la doble dispersión con la mejora nuclear, un proceso muy importante
es doble dispersión quark-gluon como se ilustra en la Fig. 2. Tales procesos dan a la dominante
contribución a la principal pérdida de energía quark y han sido estudiados en detalle en Refs.
[18,19]. La modificación a la función de fragmentación quark vacío de quark-gluon
la dispersión es,
qg→qg
q→h (zh)=
α2sCA
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)+
TAqg(x, xL)
fAq (x)
+ (z − 1)
TTAqg(x, l
fAq (x)
+Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
TAqg(x, xL)
fAq (x)
, (7)
Fig. 2. Un diagrama típico para la dispersión doble quark-gluon con tres posibles cortes [central(C),
izquierda (L) y derecha (R)].
donde la función + se define como
F (z)
(1 − z)+
F (z)− F (1)
para cualquier F (z) suficientemente suave a z = 1 y la torsión-cuatro quark-gluon correla-
función de tion,
TAqg(x, xL) =
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
Aq(0)
F (y
(y−1)q(y
−)A(−y−2 )فارسى(y− − y−1 ), (9)
tiene interferencia explícita incluida. El elemento matricial en la corrección virtual [el término
se define de la siguiente manera:
TTAqg(x, l
T )
2TAqg(x, xL)z=1 − (1 + z2)TAqg(x, xL)
. (10)
Desde TAqg(x, xL)/f
q (x) es proporcional a la distribución del gluón e independiente del sabor
del quark principal, la supresión del espectro de hadrones causada por el quark-gluón o
la dispersión antiquárk-gluón debe ser proporcional a la densidad de gluón del medio
y es idéntico para la fragmentación de quark y antiquark. Fue mostrado en Ref. [24] que
tal modificación de las funciones de fragmentación de Parton por doble dispersión quark-gluon
y gluon bremsstrahlung en un medio nuclear describe muy bien el reciente HERMES
datos [25] sobre el DIS semi-inclusivo fuera de los objetivos nucleares.
Fig. 3. Diagrama para la orden principal de aniquilación quark-antiquark con tres posibles cortes [cen-
tral(C), izquierda(L) y derecha(R)].
Fig. 4. Un diagrama típico para la corrección de orden siguiente a líder a la aniquilación quark-antiquark
con tres posibles cortes [central(C), izquierda(L) y derecha(R)].
En este artículo, vamos a considerar quark-quark (antiquark) doble dispersión como el
proceso mostrado en la Fig. 3 y sus correcciones radiativas en orden O(α2s) en la Fig. 4. Los
contribuciones de quark-quark doble dispersión es proporcional a la densidad de quark en
un nucleón, mientras que la contribución de doble dispersión quark-gluón es proporcional a
la densidad de gluón en un nucleón; y la densidad de gluón es generalmente mayor que el quark
densidad en un nucleón a pequeña fracción de impulso. Sin embargo, como se ha señalado en trabajos anteriores
[18], quark-quark mezcla de dispersión doble quark y funciones de fragmentación de gluón y
Por lo tanto, da lugar a nuevos efectos nucleares. Los procesos de aniquilación como se muestra en las Figs. 3
y 4 conducirá a diferentes modificaciones de funciones de fragmentación quark y antiquark
en un medio con densidad de bariones finitos (o quarks de valencia). Estas diferencias se producirán en los Estados miembros y en los Estados miembros de la Unión Europea.
vuelta conducen a la dependencia del sabor de la modificación nuclear de los principales espectros de hadrones como
observado en el experimento HERMES [25,26].
Quark-cuark doble dispersión, así como quark-gluon doble dispersión son twist-4 pro-
cestos. Aplicaremos el mismo procedimiento de factorización generalizada para los procesos twist-4
según lo desarrollado por LQS [23] para procesos semi-inclusivos en DIS. En general, el giro-cuatro
contribuciones se pueden expresar como la convolución de partes duras partónicas y dos partes
los elementos de la matriz de correlación. En este marco, las contribuciones de doble quark-quark
dispersión en cualquier orden de αs, por ejemplo, el proceso de aniquilación quark-antiquark como se ilustra
en Fig. 4, puede ser escrito en la forma siguiente,
dWD
p+dy−
dy−1 dy
−, y−1, y
2, p, q, zh)
Aq(0)
−)q(y
2 )A. (11)
Aquí hemos descuidado el momento transverso de todos los quarks en la parte dura de la parte partónica.
Las contribuciones dependientes del impulso transversal son giros más altos y son suprimidas por
Por lo tanto, todos los quarks’ momentaa se asumen colineales, k2 = x2p y k3 = x3p.
−, y−1, y
2, p, q, zh ) es la transformación de Fourier de la parte dura partónica H (x, x 1, x 2, p, q, zh )
en el espacio de impulso,
−, y−1, y
2, p, q, zh) =
eix1p
+yix2p
+i(x−x1−x2)p
(x, x1, x2, p, q, zh)
dxH(0)-(x, p, q)H
(y−, y−1, y
2, x, p, q, zh), (12)
donde, en aproximación colineal, la parte dura de la parte partónica H(0) (x, p, q) [Eq. 4)] en el
giro principal sin dispersión múltiple parten se puede factorizar fuera de la alta torsión
parte dura HûD(x, x1, x2, p, q, zh). Las fracciones de impulso x, x1 y x2 se fijan por
Las funciones de las condiciones generales de los Estados miembros y de los polos de los Estados miembros de que se trate.
agators en la parte dura partónica. Los factores de fase en H
−, y−1, y
2, p, q, zh ) puede entonces
se tendrá en cuenta, que a su vez se combinará con los campos partónicos en Eq. (11)
para dar twist-cuatro elementos de matriz partónica o correlaciones de dos partes. El quark-quark
corrección de dispersión doble en Eq. (11) puede entonces ser factorizado como la convolución de
funciones de fragmentación, torsión-cuatro elementos de la matriz partónica y el scat duro partónico-
secciones transversales de tering. Para dispersar (contra la aniquilación) con quarks (antiquarks),
una suma sobre el sabor de los quarks secundarios (antiquarks) debe ser incluido
en elementos de matriz de correlación de dos cuartetos y ambos canales t, u y sus interferencias
debe considerarse para la dispersión de quarks idénticos en las partes duras del partónico.
Después de la factorización, definimos la corrección twist-cuatro al quark de giro principal
función de fragmentación en la misma forma [Eq. 3)],
dWD
dxfAq (x)H
* (x, p, q)* Dq→h(zh). (13)..............................................................................................................................................................................................................................................................
3 procesos de dispersión doble Quark-quark
En esta sección vamos a discutir el cálculo de la parte dura de quark-quark doble
dispersando en detalle. El proceso de orden más bajo de quark-quark (antiquark) doble dispersión
en los núcleos es aniquilación quark-antiquark (o conversión quark-gluon) como se muestra en la Fig. 3.
Las partes duras de los tres diagramas de corte de esta figura son [18]:
0,C(y)
−, y−1, y
2, x, p, q, zh)=Dg→h(zh)
(−y−2)•(y− − y−1), (14)
0,L(y)
−, y−1, y
2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)
(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (15)
0,R(y)
−, y−1, y
2, x, p, q, zh)=Dq→h(zh)
(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 16)
El tema principal de este documento es sobre las contribuciones de la siguiente orden de dirección correc-
ciones al proceso de orden más bajo anterior. Hay un total de 12 diagramas para correcciones reales
a nivel de un bucle, como se ilustra en la Fig. 5 a Fig. 16 en el Apéndice A-1, cada uno teniendo
a tres cortes diferentes. En esta sección, demostramos el cálculo de las piezas duras
de la aniquilación quark-antiquark en la Fig. 4 en detalle como ejemplo. Vamos a listar la
resultados completos de todos los diagramas del Apéndice A.
Uno puede escribir la parte dura del diagrama de corte central de la Fig. 4 (Fig. 5
en el apéndice A-1), de conformidad con la norma convencional Feynman,
C (y)
−, y−1, y
2, p, q, zh)=
Dg→h(
eix1p
+yix2p
×ei(x−x1−x2)p+y
(2η)4
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2(l)
2) 2(l)
g) (1− z −
γ · (q + x1p)
(q + x1p)2
γ · (q + x1p− l)
(q + x1p− l)2 − i
γ · (q + xp− l)
(q + xp− l)2 + i.........................................................................................................................................................................................................................................................
γ · (q + xp)
(q + xp)2 + i..........................................................................................................................................................................................................................................................
(l) (lg), (17)
donde es una función delta de Dirac con sólo la solución positiva en su variable funcional,
(l) = −gÃ3 + (nαlс + nlα)/n · l es el tensor de polarización de un propagador de gluon en
un medidor axial (n · A = 0) con n = [1, 0−,~0], l y lg = q + (x1 + x2)p − l son los
4-momenta llevado por los dos gluones finales respectivamente. El gluón fragmentante lleva
a fracción, z = l−g /q
−, del impulso longitudinal del quark inicial (el
componente).
Para simplificar el cálculo en el caso de un pequeño impulso transversal lT q−, p+, nosotros
puede aplicar la aproximación colineal para completar el rastro del producto de las matrices γ,
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
γ · lq
. (18)
De acuerdo con la convención en Eqs. (11) y (12), las contribuciones de quark-quark doble
dispersión en el medio nuclear al tensor semi-inclusivo hadrónico en DIS de un núcleo
puede expresarse en la forma factorizada general:
dWDqq̄,
dxH(0)-(x, p, q)
p+dy−
dy−1 dy
(y−, y−1, y
2, x, p, q, zh)
× Aq(0)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
−)q(y
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2 )A. (19)
Después de llevar a cabo la integración de impulso en x, x1, x2 y l
± en Eq. (17) con la
ayuda de la integración del contorno y de las funciones de.........................................................................................................................................................................................................................................................
el reescattering para el diagrama de corte central en la Fig. 4 (Fig. 5) como
5,C(y
−, y−1, y
2, x, p, q, zh) =
α2sxB
Dg→h(zh/z)
× 2,1 + z
z(1− z)
I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p), (20)
I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) = e
i(x+xL)p
+y(−y−2)•(y− − y−1)
× (1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (21)
donde las fracciones de impulso xL se definen como
2p+q−z(1− z)
. (22)..............................................................................................................................................................................................................................................................
Tenga en cuenta que la función I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) contiene sólo factores de fase. Uno puede
combinar estos factores de fase con los elementos de matriz de los campos de quark para definir un
función especial de correlación de dos cuartetos
A(5,C)
qq̄ (x, xL) =
p+dy−
dy−1 dy
2 Aq(0)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
−)q(y
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2 )A
× I5,C(y−, y−1, y−2, x, xL, p). 23)
La contribución de la aniquilación quark-antiquark en el diagrama de corte central en la Fig. 4
al tensor hadrónico se puede entonces expresar como
dWDqq̄,
dxH(0)-(x, p, q)
α2sxB
Dg→h(
2 (1 + z2)
z(1 − z)
A(5,C)
qq̄ (x, xL). (24)
Las contribuciones de todos los procesos de dispersión doble quark-quark (antiquark) se pueden fundir
en la forma factorizada anterior.
La estructura de los factores de fase en I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) es exactamente lo mismo que para
gluon bremsstrahlung inducido por la dispersión de quark-gluon, como se ha estudiado en Ref. [18,19]. Lo siento.
se asemeja a la sección transversal de dispersión del dipolo y representa las contribuciones de dos
diferentes procesos y sus interferencias. Contiene esencialmente cuatro términos,
I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×[1 + e−ixLp+(yy
) − e−ixLp+y
2 − e−ixLp+(yy
)]. (25)
El primer término corresponde a los llamados procesos hard-soft donde la emisión de gluon
es inducido por la dispersión dura entre el fotón virtual y el quark inicial
con el impulso (x + xL)p. El quark entonces se convierte en capa antes de aniquilar con
un suave antiquark del núcleo que lleva cero impulso y se convierte en un real
Gluon en el estado final. El segundo término corresponde a un proceso en el que el
quark con el impulso xp es on-shell después de la primera dispersión dura -cuark. Entonces.
aniquila con otro antiquark y produce dos gluones finales en el estado final. In
este proceso, el antiquark lleva un momento finito (duro) xLp. Por lo tanto, uno a menudo se refiere
a este proceso como dispersión doble-duro en comparación con el primer proceso en el que el
el antiquark lleva un impulso cero. Deja a un lado el cambio de sabores en la inicial y final
los estados, la dispersión doble-duro corresponde esencialmente a la dispersión elástica de dos partes
con impulso finito y transferencia de energía. Esto es en contraste con el scattering duro-blando
que es esencialmente la radiación del estado final de la dispersión de -cuark y el total
la energía y el impulso de los dos gluones del estado final vienen todos del quark inicial. Los
los elementos de matriz correspondientes de las funciones de correlación de dos cuartetos de estos dos primeros
los términos se llaman elementos ‘diagonales’.
Los términos tercero y cuarto con signos negativos en I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) son interfer-
entre procesos duros y procesos duros dobles. Los elementos de matriz correspondientes
se denominan «off-diagonales». La cancelación entre las dos diagonales y off-diagonal
los términos esencialmente da lugar a la interferencia destructiva que es muy similar a la
Landau-Pomeranchuk-Migdal (LPM) interferencia en gluon bremsstrahlung inducido por
Doble dispersión quark-gluon [18,19]. Uno puede definir de manera similar el tiempo de formación de la
emisión de partón (cuarto o gluón) como
. 26)
En el límite de emisión colineal (xL → 0) o cuando el tiempo de formación de la parten
la emisión, f, es mucho más grande que el tamaño nuclear, el elemento de matriz eficaz desaparece
porque
I5,C(y
−, y−1, y
2, x, xL, p)xL=0 → 0, (27)
cuando los procesos duros y duros dobles tienen interferencia destructiva completa.
Hay que tener en cuenta que en el diagrama de corte central de la Fig. 4, las partes del estado final son dos
gluones. Por lo tanto, en Eq. (20) la función de fragmentación del gluón en el vacío Dg→h(zh/z)
Entra. Si el otro gluon (cerca de la interacción -cuark) fragmentos, la contribución
al tensor semi-inclusivo hadrónico es similar, excepto que el
“función de división” debe sustituirse por “función de división”
1 + z2
z(1 − z)
→ 1 + (1− z)
z(1 − z)
. (28)
Como veremos en el Apéndice A-1, los dos gluones en la aniquilación quark-antiquark
los procesos (diagramas de corte central) son simétricos cuando las contribuciones de todas las
Los procesos de nihilación y sus interferencias se resumen. Por lo tanto, uno puede simplemente mul-
los resultados finales por un factor de 2 para tener en cuenta la hadronización de la segunda
gluon del estado final.
Además del diagrama de corte central, también se debería tener en cuenta la
diagramas cortados en la Fig. 4, que representan la interferencia entre la emisión de gluón de una sola
y triple dispersión. Las partes duras son principalmente las mismas que para el corte central.
diagrama. Las únicas diferencias son los factores de fase y las funciones de fragmentación
ya que el fragmento parten puede ser el quark o gluon del estado final. Estas partes duras pueden
se calculan siguiendo un procedimiento similar y se obtiene,
5,L(R)(y)
−, y−1, y
2, x, p, q, zh) =
α2sxB
Dq→h(
2 (1 + z2)
z(1 − z)
× I5,L(R)(y−, y−1, y−2, x, xL, p), (29)
I5,L(y)
−, y−1, y
2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
(y−1 − y−2 )•(y− − y−1 ), (30)
I5,R(y
−, y−1, y
2, x, xL, p) =−ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
(−y−2 )(y−2 − y−1 ). 31)
En los diagramas asimétricos de corte, las contribuciones anteriores provienen de la fragmentación
del quark del estado final. Por lo tanto, la función de fragmentación de quark Dq→h(zh/z) entra en esta
contribución. Para la fragmentación del gluón en el hadron observado en este corte asimétrico
diagramas, la contribución puede obtenerse simplemente sustituyendo la fragmentación quark
función por la función de fragmentación de gluón Dg→h(zh/z) y sustituir z por 1 − z.
Resumiendo las contribuciones de tres diagramas de corte diferentes de la Fig. 4, podemos observar
otros ejemplos de mezcla (o conversión) de funciones de fragmentación de quark y gluon.
Esta mezcla inducida por el medio fue observada por primera vez por Wang y Guo [18] y es una mezcla única.
característica de quark-quark (antiquark) dispersión doble entre todos los múltiples scattering parten
procesos.
Con el mismo procedimiento podemos calcular las contribuciones de todos los otros diagramas de corte
de quark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s), que se enumeran en Ap-
pendix A-1. Hay tres tipos de procesos: dos procesos de aniquilación, qq̄ → gg
(Diágramas de corte central en Figs. 5, 6, 7, 8 y 9), qq̄ → qiq̄i (diagrama de corte central en la Fig. 10)
y la dispersión de quark-quark (antiquark), qqi(q̄i) → qqi(q̄i) ( diagrama de corte central en la Fig. 11).
También hay que considerar la interferencia de la amplitud del canal s y t para la aniquilación
en un par de quark idéntico, qq̄ → qq̄ (diagramas de corte central en Figs. 12 y 13) y la
interferencia entre los canales t y u de cuark idéntico scattering qq → qq (corte central)
diagrama en la Fig. 14).
Las contribuciones de los diagramas de corte izquierdo y derecho corresponden a la interferencia entre el
Amplitud de la radiación gluon de dispersión de un solo -cuark y dispersión de quark triple.
Las amplitudes de la radiación gluon a través de la dispersión de quark triple esencialmente provienen de ra-
Correcciones diativas a los diagramas de corte izquierdo y derecho del quark-antiquark de orden más bajo
aniquilación en la Fig. 3 (como se muestra en los diagramas de corte izquierdo y derecho en las Figs. 5, 6, 8, 9, 12,
13, 15 y 16). Otros dos triples quark dispersión con la radiación gluon, se muestra como el
Diagramas de corte izquierdo y derecho en Figs. 11 y 14, corresponden al caso en que uno de los
los quarks del estado final, después de la dispersión de quark-quark, aniquilan con otro antiquark y
se convierte en un gluon de estado final.
4 Funciones de fragmentación modificadas
Con el fin de simplificar las contribuciones de quark-quark (antiquark) dispersión (annhi-
), primero se pueden organizar los resultados de las partes duras en términos de contribuciones de
diagramas de corte central, izquierdo o derecho, que están asociados por integrales de contorno con específicos
los productos de las funciones de la letra Β,
= HDC (−y−2 )•(y− − y−1 )•HDL (y−1 − y−2 )•(y− − y−1 )
- HDR (−y−2 )-(y−2 − y−1 ).................................................................................................................................................................................................................................................... (32)
Estas funciones proporcionan un orden espacio-tiempo de la correlación de parten y restringirán
el rango de integración a lo largo del cono-luz. Para las contribuciones de la central, izquierda y derecha-
diagramas de corte que tienen las mismas partes duras, H
C = H
L = H
R, lo harán
tienen una combinación común de funciones de ♥ que produce una integral ordenada por trayectoria,
dy−2 =−
dy−1 dy
(- y - 2 ) • (- y - 1 ) • ( - y - 2 ) • ( - 2 − y - 1 ) • ( - 2 − y - 1 )
(y− − y−1 •(y−1 − y−2 )
que está limitado sólo por la extensión espacial y- de la primera parteon a lo largo del cono de luz
coord. Para un partón de alta energía que transporta fracción de impulso xp+, y− 1/xp+
debe ser muy pequeño. Las contribuciones que son proporcionales a la ruta arriba ordenada
integral se denominan contribuciones de contacto (o interacciones de contacto).
Del mismo modo, y-1 − y−2 es la propagación espacial de la segunda parte y sólo puede ser limitada
por el tamaño espacial de su nucleón huésped, incluso para un pequeño valor de fracción de impulso. Los
posición espacial de su nucleón huésped, y−1 + y
2, sin embargo, puede estar en cualquier lugar dentro de la nu-
cleus. Por lo tanto, cualquier contribución de la dispersión de doble parten que tienen sin restricciones
integración sobre y-1 y y
2 debe ser proporcional al tamaño nuclear del objetivo A
y por lo tanto son potenciados nuclearmente. En este documento, sólo vamos a mantener la energía nuclear mejorada
contribuciones y descuidar las contribuciones de contacto. Esto simplificará en gran medida la
resultados para la dispersión de doble parten.
4.1 qq̄ → g aniquilación
Para el orden más bajo de aniquilación quark-antiquark en Eqs. (14)-(16), las partes duras
de los tres diagramas de corte son casi los mismos, excepto por la fragmentación del partón
funciones. El diagrama de corte central es proporcional a la función de fragmentación del gluón
mientras que los diagramas de corte izquierdo y derecho son proporcionales a las funciones de fragmentación de quark.
Reorganizando las contribuciones de los tres diagramas de corte y descuidando el contacto
término que es proporcional a la integral ordenada como en Eq. 33), la contribución total
puede ser escrito como
dWD(0)
qq̄ (x, 0)
H(0)-(x, p, q)
× [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]. (34)
Según nuestra definición en Eq. (13) de la corrección twist-cuatro al fragmen quark-
funciones de la estación, la modificación de la función de fragmentación quark desde la más baja
orden de aniquilación quark-antiquark es entonces,
(qqg)
q→h (zh) =
[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]
qq̄ (x, 0)
fAq (x)
. (35)
Aquí la efectiva correlación quark-antiquark T
qq̄ (x, 0) se define como,
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
• (−y−2 ) •(y− − y−1 )
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A, (36)
con el antiquark q̄i cargando fracción de impulso xL. Esta función de correlación de dos partes...
sión se asocia siempre con procesos de redispersión de doble duro. De igual manera, definimos
otros tres elementos de matriz de correlación quark-antiquark
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y(y− − y−1)
× (−y−2 )â € Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 ) A, (37)
A(I−L)
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+yixLp
+(yy)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
× (−y−2 )â € Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A, (38)
A(I−R)
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+yixLp
2 (y− − y−1 )
× (−y−2 )â € Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 ) A, (39)
que se asocian con rescattering suave duro y la interferencia entre doble duro
y rescattering suave y duro. En la primera parten correlación T
qq̄i (x, xL), el antiquark q̄i
lleva fracción de impulso xL mientras que el quark inicial tiene la fracción de impulso x. Los
correlación de dos partes T
qq̄i (x, xL) corresponde al caso cuando el quark líder tiene
x+ xL pero el antiquark lleva cero impulso. Los dos elementos de la matriz de interferencia
son aproximadamente el mismo para el pequeño valor de xL y se denotará como T
qq̄i (x, xL).
4.2 qq̄ → aniquilación qiq̄i
Contribuciones de la orden siguiente a la primera aniquilación quark-antiquark o quark-
la dispersión de quark (antiquark) son más complicados ya que involucran a muchos reales y vir-
Correcciones de tual. La corrección real más simple viene de qq̄ → aniquilación qiq̄i (qi 6= q)
[Fig. 10 y Eqs. (A-25) y (A-26)] que sólo tiene un diagrama de corte central,
(qqqiq̄i)
q→h (zh) =
α2sxB
[z2 + (1− z)2]
qi 6=q
[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]
qq̄ (x, xL)
fAq (x)
. (40)
Este tipo de aniquilación qq̄ es realmente un proceso duro y por lo tanto requiere la segunda y-
tiquark para llevar fracción de impulso inicial finita xL. Además, no hay otros
procesos de interferencia.
4.3 qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión
Contribuciones de quark-quark no idéntico dispersión qq̄i → qq̄i (qi 6= q) son un poco
complicados porque involucran los tres diagramas de corte (central, izquierdo y derecho) [Eqs. (A-
28)-(A-32)]. Uno puede tener en cuenta las funciones de las partes duras de acuerdo con Eq. (32)
y reorganizar los factores de fase en cada diagrama de corte,
I11,C = e
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
= ei(x+xL)p
+y−[1− e−ixLp+y
2 − e−ixLp+(yy
) + e-ixLp
+(yy)
I11,L = e
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
= ei(x+xL)p
+y−[1− e−ixLp+y
2 − e−ixLp+(yy
) + e-ixLp
2 ] ;
I11,R = e
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
= ei(x+xL)p
+y−[1− e−ixLp+y
2 − e−ixLp+(yy
) + e-ixLp
+(yy)
)], (41)
de tal manera que los tres primeros términos en cada amplitud son los mismos. Estas tres fases comunes
factores darán lugar a una contribución de contacto para todas las partes duras similares de los tres
los diagramas cortados, que vamos a descuidar ya que no son potenciados nuclearmente. El resto
parte tendrá los siguientes factores de fase,
I11=e
i(x+xL)p
+y−[(−y−2 )•(y− − y−1 )e−ixLp
+(yy)
(y−1 − y−2 )(y− − y−1 )e−ixLp
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
+(yy)
)]. (42)
Tenga en cuenta que los factores de fase de los dos últimos términos en la ecuación anterior dan identi-
contribución a los elementos de la matriz cuando intergated sobre y-1 y y
2 como dif-
sólo por la sustitución y−2 ↔ y−1 − y−. Por lo tanto, se puede combinar con
*(−y−2 )*(y− − y−1 )e−ixLp
+(yy)
) para formar otra contribución de contacto (path-ordened)
que se puede descuidar. El factor final de la fase efectiva es entonces
I11 = e
ixp+yixLp
)1− eixLp+y
2 ). (43)
Utilizando el factor de fase eficaz anterior, se puede obtener la modificación efectiva a la
función de fragmentación quark debido a la dispersión quark-antiquark, qq̄i → qq̄i,
(qq̄i→qq̄i)
q→h (zh) =
α2sxB
q̄i 6=q̄
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+ Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
A(HI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x)
+ [Dq̄i→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
A(HS)
qq̄i (x, xL)
fAq (x)
α2sxB
q̄i 6=q̄
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+ Dq̄i→h(zh/z)
1 + (1− z)2
A(HI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x)
+ [Dq̄i→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
A(SI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x)
, (44)
donde se definen tres tipos de correlaciones de dos partes:
A(HI)
qq̄i (x, xL)
qq̄i (x, xL)− T
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
)1− eixLp+y
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (45)
A(SI)
qq̄i (x, xL)
qq̄i (x, xL)− T
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (46)
A(HS)
qq̄i (x, xL)
A(HI)
qq̄i (x, xL) + T
A(SI)
qq̄i (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
× (1− e−ixLp+(yy)
))•(−y−2 )•(y− − y−1 )
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A. (47)
De manera similar, se puede obtener la modificación de la fragmentación de quark a partir de no idénticos
scattering quark-quark reemplazando q̄i → qi en Eq. (44),
(qqi→qqi)
q→h (zh) =
α2sxB
qi 6=q
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+ Dqi→h(zh/z)
1 + (1− z)2
TA(HI)qqi (x, xL)
fAq (x)
+ [Dqi→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
TA(SI)qqi (x, xL)
fAq (x)
. (48)
Las correlaciones de dos cuartetos, TA(HI)qqi (x, xL) y T
A(SI)
(x, xL) puede obtenerse en T
A(HI)
qq̄i (x, xL)
y T
A(SI)
qq̄i (x, xL), respectivamente, al hacer los reemplazos qi(y2) → qi(y2) y qi(y1) →
(y1) en Eqs. (45) y (46),
TA(HI)qqi (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
)1− eixLp+y
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (49)
TA(SI)qqi (x, xL) =
p+dy−
dy−1 dy
i(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
1 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (50)
y TA(HS)qqi (x, xL) = T
A(HI)
(x, xL) + T
A(SI)
(x, xL).
Tenga en cuenta que la contribución de la fragmentación de quark qi o antiquark q̄i sólo proviene de
el diagrama de corte central. Esta contribución es positiva y es proporcional a T
A(HI)
qq̄i (x, xL)+
A(SI)
qq̄i (x, xL), que contiene los cuatro términos: hard-soft, doble-hard y ambas interferencias
términos. La fragmentación del gluón proviene sólo de las interferencias de un triple (izquierda y
diagramas de corte derecho). Por lo tanto, su contribución es negativa y anula parcialmente el
la inducción de qi(q̄i) del rescattering duro-blando. La cancelación no está completa desde
las funciones de fragmentación de gluón y quark son diferentes. La estructura de este hard-soft
rescattering (quark plus gluon) es muy similar al resultado de orden más bajo de qq̄ → g en
Eq. (35). Contribuye a la modificación de la función de fragmentación efectiva, pero
no contribuye a la pérdida de energía. La pérdida de energía del quark líder viene sólo
de rescattering doble-duro, ya que la principal fragmentación quark viene tanto de
las interferencias de corte central y de triple único, y los términos de interferencia de triple único pueden-
cel el efecto de la dispersión suave duro para la fragmentación principal. Su contribución neta es la siguiente:
por lo tanto proporcional a T
A(HI)
qq̄i(q̄i)
. Puesto que el redispersión de doble duro equivale a elástico
qqi(q̄i) dispersión, la pérdida de energía efectiva es esencialmente la pérdida de energía elástica como se muestra en
Ref. [34]. Hay, sin embargo, supresión de LPM debido a la cancelación parcial por un solo triple
contribuciones de interferencia. Durante un largo período de formación, 1/xLp
+ RA, la cancelación es
Completado. Por lo tanto, la interferencia LPM impone efectivamente el límite inferior xL ≥ 1/p+RA
sobre el impulso fraccional llevado por el segundo quark (antiquark).
4.4 qq → dispersión qq
Para la dispersión de quark-quark idéntico, qq → qq, uno tiene que incluir los canales t y u,
sus interferencias, y las correspondientes contribuciones de interferencia de un solo trilo. Usando el mismo
técnica para identificar y descuidar las contribuciones de contacto, se puede encontrar la correspondencia
modificación de la función de fragmentación de quark a partir de Eqs. (48) y (A45)-(A49),
(qq→qq)
q→h (zh) =
α2sxB
TA(HS)qq (x, xL)
fAq (x)
× [Dq→h(zh/z))−Dg→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
z(1 − z)
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
z(1 − z)
+Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
z(1 − z)
TA(HI)qq (x, xL)
fAq (x)
α2sxB
TA(SI)qq (x, xL)
fAq (x)
P (s)qq→qq(z)[Dq→h(zh/z)
−Dg→h(zh/z)] +Dq→h(zh/z)Pqq→qq(z)
TA(HI)qq (x, xL)
fAq (x)
, (51)
donde las funciones de división efectivas se definen como
P (s)qq→qq(z) =
1 + (1− z)2
z(1 − z)
, (52)
Pqq→qq(z) =
1 + (1− z)2
1 + z2
(1- z)2
z(1− z)
. (53)
4.5 qq̄ → qq̄, aniquilación gg
Los cuatro procesos más complicados que involucran a cuatro operadores de campo de quark son quark-
Aniquilación antiquark en dos gluones o un par de quark-antiquark idéntico. Tenemos que hacerlo.
considerarlos juntos ya que tienen procesos de interferencia de un solo trilo similares y
involucran el mismo tipo de elementos de matriz de correlación quark-antiquark, T
qq̄ (x, xL),
(i = HI, SI, HS).
Para el propósito de la notación, primero tenemos en cuenta el factor común (CF/Nc)α
sxB/Q
2/fAq (x) y
la integración sobre lT y z y definir
(qqgg,qq̄)
q→h (zh)
α2sxB
Q2fAq (x)
(qqgg,qq̄)
q→h (zh, z, x, xL). (54)
Después de reorganizar los factores de fase e identificar (combinando central, izquierda y derecha)
los diagramas de corte) y descuidando las contribuciones de contacto que podemos enumerar en el siguiente giro-
cuatro correcciones a la fragmentación quark de las partes duras de cada corte
diagrama (véase el apéndice A):
Fig. 5 (t-canal qq̄ → gg),
(qqgg,qq̄)
q→h(5) =Dg→h(zh/z)2CF
1 + (1− z)2
z(1 − z)
1 + z2
z(1− z)
A(HI)
qq̄ (x, xL)
+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)] 2CF
1 + z2
z(1− z)
A(SI)
qq̄ (x, xL) ; (55)
Fig. 6 (interferencia entre u y t-canal de qq̄ → gg),
(qqgg,qq̄)
q→h(6) =Dg→h(zh/z)
−4(CF − CA/2)
z(1 − z)
A(HI)
qq̄ (x, xL)
+ [Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)]
−2(CF − CA/2)
z(1 − z)
A(SI)
qq̄ (x, xL) ; (56)
Fig. 7 (s-canal de qq̄ → gg),
(qqgg,qq̄)
q→h(7) = Dg→h(zh/z)4CA
(1− z + z2)2
z(1 − z)
qq̄ (x, xL) ; (57)
Higos. 8 y 9 (interferencia de s y t-canal qq̄ → gg),
(qqgg,qq̄)
q→h(8+9) =Dg→h(zh/z)(−2CA)
1 + z3
z(1− z)
1 + (1− z)3
z(1 − z)
×TA(HI)qq̄ (x, xL) + CA
Dq→h(zh/z)
1 + z3
z(1 − z)
+Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)3
z(1 − z)
× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T
qq̄ (x, xL)] ; (58)
Fig. 10 (s-canal de qq̄ → qq̄),
(qqgg,qq̄)
q→h(10) = [Dq→h(zh/z) +Dqh(zh/z)] [z
2 + (1− z)2]
×TA(H)qq̄ (x, xL), (59)
Fig. 11 (t-canal de qq̄ → qq̄), similar a Eq. (44),
(qqgg,qq̄)
q→h(11) =Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1 − z)2
A(HI)
qq̄ (x, xL)
+Dqh(zh/z)
1 + (1− z)2
A(HS)
qq̄ (x, xL)
−Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
A(SI)
qq̄ (x, xL) ; (60)
Higos. 12 y 13 (interferencia entre s y t-canal qq̄ → qq̄),
(qqgg,qq̄)
q→h(12+13) =−4(CF − CA/2)
Dq→h(zh/z)
1 − z
+ Dqh(zh/z)
(1- z)2
A(HI)
qq̄ (x, xL)
+2(CF − CA/2)
Dq→h(zh/z)
+Dg→h(zh/z)
(1- z)2
× [TA(I2)qq̄ (x, xL)− T
qq̄ (x, xL)] ; (61)
Higos. 15 y 16 (dos diagramas adicionales de interferencia de un triple),
(qqgg,qq̄)
q→h(15+16) =−2CF
Dq→h(zh/z)
1 + z2
+ Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
A(I2)
qq̄ (x, xL). (62)
La mayoría de los procesos implican tanto TA(HI)(x, xL) para la redispersión de doble duro con interferencia
y TA(SI)(x, xL) para la redispersión suave con interferencia. Todos los canales S (Figs. 7
y 10) los procesos implican una dispersión de doble dureza solamente. Por lo tanto, dependen sólo de la
qq̄ (x, xL) = T
A(HI)
qq̄ (x, xL) + T
qq̄ (x, xL). Para interferencias entre uno y tres
dispersión (diagramas cortados a la izquierda y a la derecha en las Figs. 8, 9, 12 13, 15 y 16), donde un
rescattering con el segundo quark (antiquark) sigue un suave rescattering con el tercero
anticuarco (cuarco), solo elementos de la matriz de interferencia, T
qq̄ (x, xL) y T
A(I2)
qq̄ (x, xL), son
Envuelto. Aquí,
A(I2)
qq̄ (x, xL)
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
Aq(0)
−)q(y
2 )A(−y−2 )(y− − y−1 )
p+dy−
dy−1 dy
ixp+yixLp
+(yy)
Aq(0)
−)q(y
2 )A(−y−2 )(y− − y−1 ), (63)
es un nuevo tipo de elementos de la matriz de interferencia que sólo está asociado con este tipo de
procesos de interferencia de triple único. Uno puede categorizar las contribuciones anteriores de acuerdo a
a los elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos asociados y reescriba el contribu-
ciones como,
qqqq̄,gg
q→h(HI) = T
A(HI)
qq̄ (x, xL)[Dg→h(zh/z)Pqqgg(z) +Dq→h(zh/z)Pqqq̄(z)
+Dqh(zh/z)Pqqqq̄(1− z)] (64)
qqqq̄,gg
q→h(SI) = T
A(SI)
qq̄ (x, xL)
z(1 − z)
+ 2CF
1 + (1− z)2
×Dg→h(zh/z)−Dq→h(zh/z)
z(1− z)
+ 2CF
+ Dqh(zh/z)
1 + (1− z)2
A(SI)
qq̄ (x, xL)
[Dq→h(zh/z)−Dg→h(zh/z)]
P (s)qq→qq(z)
− 2CF
1 + z2
z(1− z)
+ [Dqh(zh/z)−Dq→h(zh/z)]
1 + (1− z)2
qqqq̄,gg
q→h(I) = T
qq̄ (x, xL)
4(1− z + z2)2 − 1
z(1 − z)
− 2CF
(1- z)2
×Dg→h(zh/z) + [z2 + (1− z)2]Dqh(zh/z)]
+ Dq→h(zh/z)
z2 + (1− z)2 −
z(1 − z)
− 2CF
A(I2)
qq̄ (x, xL)
Dq→h(zh/z)
z(1 − z)
− 2CF
+ Dg→h(zh/z)
z(1 − z)
− 2CF
, (66)
donde P (s)qq→qq(z) se indica en Eq. (52) y las funciones de división efectivas para qq̄ → gg y
qq̄ → qq̄ se definen como
Pqqgg(z) = 2CF
z2 + (1− z)2
z(1− z)
− 2CA[z2 + (1− z)2] ; (67)
Pqqqq̄(z) = z
2 + (1− z)2 +
1 + z2
(1- z)2
, (68)
que vienen de los elementos de la matriz completa de qq̄ → gg y qq̄ → qq̄ dispersión (ver
Apéndice A-3). Una vez más, el rescattering doble-duro corresponde a la dispersión elástica de
el quark líder con otro antiquark en el medio y la interferencia contribu-
ciones. La estructura de la contribución hard-soft rescattering que identificamos arriba muestra
el mismo tipo de mezcla gluon-cuark (o quark-antiquark) en las funciones de fragmentación
y no contribuye a la pérdida de energía del quark líder. Las contribuciones únicas
en el qq̄ → qq̄, los procesos gg son las contribuciones de sólo interferencia. Vienen principalmente
de procesos de interferencia de un solo trilo en la dispersión de múltiples partones.
5 Modificación debida a la mezcla quark-gluon
Hasta ahora hemos lanzado la modificación de la función de fragmentación quark debido a quark-
Quark (antiquark) dispersión (o aniquilación) en una forma similar a la evolución de la DGLAP
ecuación en vacío. De hecho, también se puede ver la evolución de las funciones de fragmentación en
vacío como modificación debido a la radiación gluon del estado final. En ambos casos, la modificación
en zh grande es determinado principalmente por el comportamiento singular de las funciones de división para
z → 1, mientras que las modificaciones en el centro comercial zh está dominado por el comportamiento singular de la
función de división para z → 0.
Centrémonos primero en la modificación en general zh. Un examen cuidadoso de la contribución
ciones de todos los procesos posibles muestran que la modificación dominante a la eficacia
La función de fragmentación de quark proviene del canal t de doble capa dura de quark-quark scat-
los procesos de tering,
* Dq→h(zh)*
α2sxB
Dq→h(
TA(HI)qqi (x, xL)
fAq (x)
× 1 + z
(1 − z)2+
(1 - z)qi(l2T)
Dq→h(
A(HI)
(x, xL)
fAq (x)
×z(1 + z
(1 − z)+
+ 1- z)qi(l2T )
, (69)
donde la suma es sobre todos los posibles sabores quark y antiquark incluyendo qi = q, q̄
I y I (l)
T ) representa la contribución de las correcciones virtuales. Hemos expresado la
modificación en una forma que es proporcional a los elementos de la matriz xLT
A(HI)
(x, xL)/f
q (x)
A1/3xLf
(xL) en comparación con la modificación de la dispersión de quark-gluon
elemento matricial correspondiente [Eq. 9)] es TA(HI)qg (x, xL)/f
q (x) • A1/3xLGN(xL). Aquí,
fNqi (x) y G
N(x) son distribuciones de quark y gluon, respectivamente, en un nucleón. Esto
la contribución principal a la modificación de la dispersión quark-quark es muy similar en
forma a la de la dispersión quark-gluon [véase Eq. 7)]. Sin embargo, es más pequeño debido a la
diferentes factores de color CF/CA = 4/9 y las diferentes distribuciones de quark y gluon,
fNqi (xL) y G
N(xL) en un nucleón. Debido a la intereferencia LPM, dispersión de ángulo pequeño
con un largo tiempo de formación f = 1/xLp
+ se suprime, dando lugar a un valor mínimo de
xL ≥ xA = 1/mNRA = 0,043 para un objetivo Kr. Para este valor de xL, la relación
fNqi (xL, Q
GN(xL, Q2)
≥ 1,40/1,85 + 0,75, (70)
a Q2 = 2 GeV2 según la parametrización CTEG4HJ [35]. Por lo tanto, uno tiene que
incluir el efecto de dispersión quark-quark para un cálculo completo del quark total
pérdida de energía y modificación media de las funciones de fragmentación de quark.
En un plasma de quark-gluón débilmente acoplado y totalmente equilibrado, quark a gluón número
La relación de densidad es de lq/lg = nf (3/2)Nc/(N)
c - 1) = 9nf/16. Una energía asintótica
chorro en un medio infinitamente grande realmente sondea el pequeño x = q2T /2ET régimen, donde
Los pares quark-antiquark y gluones son predominantemente generados por gluones térmicos a través de
Evolución del PCQD. En este escenario ideal se espera Nq/Ng â € 1/4CA = 1/12 y por lo tanto
puede descuidar la dispersión de quark-quark. La modificación de la función de fragmentación de quark será
ser dominado por quark-gluon rescattering. Sin embargo, para la energía de chorro moderada E 20 GeV
y un medio finito L + 5 fm, las distribuciones de parten en un quark-gluon plamsa están cerca de
la distribución térmica. En particular, si la producción de quark y gluon está dominada por
producción de pares no-perturbativos de campos de color fuertes en la etapa inicial de iones pesados
colisiones [36], la relación entre quark y gluon es comparable al valor de equilibrio. En este
caso, debemos tener en cuenta la modificación media de la fragmentación quark
funciones por dispersión quark-quark.
Un proceso duro doble importante en la dispersión quark-quark (antiquark) es qq̄ → gg
[Eq. (64)]. En este proceso, la aniquilación convierte el quark inicial en dos gluones finales
que posteriormente se fragmentan en hadrones. Esto llevará a la supresión de los líderes
hadrones no sólo debido a la pérdida de energía (energía transportada por el otro gluón), pero
también debido al comportamiento más suave de las funciones de fragmentación de gluón en zh grande. A pesar de que
el comportamiento principal de la función de división efectiva [Eq. (67)]
Pqqgg(z) 2CF
z2 + (1− z)2
z(1− z)
no es tan dominante como el de la dispersión quark quark-quark de canal en t, es realzado por un color
factor 2CF = 8/3. Se espera que esto contribuya de manera significativa al medio ambiente.
modificación en zh intermedio.
En las colisiones de iones pesados de alta energía, las proporciones de las tasas iniciales de producción de valencia
Los quarks, gluones y antiquarks varían con el impulso transversal pT. Producción de gluon
la velocidad domina en pT bajo mientras que la fracción de chorros de quark de valencia aumenta en pT grande.
Los quarks tienen más probabilidades de fragmentarse en protones que los antiprotones, mientras que los gluones se fragmentan
en protones y antiprotones con iguales probabilidades. Por lo tanto, la relación de pT grande
el rendimiento del antiprotón y del protón en las colisiones de p + p es menor que 1 y disminuye con pT
a medida que aumenta la fracción de los chorros de valencia quark. Dado que se espera que los gluones pierdan más
energía que los chorros de quark, uno ingenuamente esperaría ver la relación antiprotón a protón
p̄/p se vuelve más pequeño debido a la extinción del chorro. Sin embargo, si la conversión quark-gluon debido
a qq̄ → gg se vuelve importante, uno esperaría que las fracciones de quark y gluon
los chorros se modifican hacia sus valores de equilibrio. La relación final p̄/p podría ser mayor que
o comparable a la de las colisiones p+ p. Tal escenario de conversión quark-gluon fue
considerado recientemente en Ref. [37] a través de una ecuación de tasa maestra.
La mezcla entre los chorros de quark y gluon también ocurre en el orden más bajo de quark-
aniquilación anticuarto como se muestra en la Fig. 3. En NLO, todos los quark-quark blandos (antiquark)
Los procesos de dispersión tienen este tipo de mezcla entre la fragmentación de quark y gluon
funciones. Sus contribuciones generalmente tienen la forma,
α2sxB
Dqi→h(
)−Dg→h(
×Pqqi→qqi(z)
TA(SI)qqi (x, xL)
fAq (x)
, (72)
donde de nuevo la suma sobre el sabor quark incluye qi = q, q̄. Esta mezcla hace
no se producen en la probabilidad, sino más bien en el nivel de amplitud, ya que implica en
terferencias entre dispersión simple y triple. Por lo tanto, esta contribución depende de
la diferencia entre las funciones de fragmentación de gluón y quark [Eq. (35)] y puede ser
positivo o negativo en diferentes regiones de zh. Sin embargo, contribuyen a la mod-
ificación de la función eficaz de fragmentación de quark y la dependencia del sabor de la
Los espectros finales de Hadron.
6 La dependencia del sabor de la fragmentación media modificada
Resumiendo todas las contribuciones a quark-quark (antiquark) scattering doble como
tion 4, podemos expresar la corrección total twist-cuatro hasta O(α2s) a los fragmen quark-
función de tentaciùn como
Dq→h(zh)=
2 [Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]
qq̄ (x, 0)
fAq (x)
a,b,i
Db→h(zh/z)P
qa→b(z)
TA(i)qa (x, xL)
fAq (x)
, (73)
donde la sumación es sobre todos los procesos posibles q+a→ b+X y todas las matrices diferentes
elementos TA(i)qa (x, xL) (i = HI, SI, I, I2), que serán cuatro elementos básicos de la matriz que vamos a
uso. Las funciones de división efectivas P
qa→b(z) se enumeran en el apéndice A-2. Uno también debería
incluir correcciones virtuales que se pueden construir a partir de las correcciones reales a través de
Limitaciones de unitariedad [18].
Del mismo modo, también podemos escribir las cuatro correcciones a la fragmentación anticuarto
en un medio nuclear,
Dqh(zh)=
2 [Dg→h(zh)−Dqh(zh)]
q̄q (x, 0)
fAq̄ (x)
a,b,i
Db→h(zh/z)P
q̄a→b(z)
q̄a (x, xL)
fAq̄ (x)
, (74)
donde los elementos de la matriz T
q̄a (x, xL) y las funciones de división efectivas P
q̄a→b(z) can
se obtendrán de los correspondientes para quarks. Dado un modelo para el dos-cuarco
funciones de correlación, uno será capaz de utilizar las expresiones anteriores para evaluar numéricamente
twist-cuatro correcciones a las funciones de fragmentación de quark (antiquark). En este artículo,
vamos a dar una estimación cualitativa de la dependencia del sabor de la corrección en
DIS de un gran núcleo.
A los efectos de una estimación cualitativa, se puede suponer que todos los twist-cuatro dos-cuarto
funciones de correlación se pueden factorizar, como se ha hecho en Refs. [18,19,23,33],
p+dy−
dy−1 dy
+yix2p
• (−y−2 ) •(y− − y−1 )
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 )A
fAq (x1) f
(x2), (75)
p+dy−
dy−1 dy
+yix2p
) ±ixLp
2 (−y−2 )(y− − y−1 )
Aq(0)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
−)qi(y
•qi(y)
2 )A
fAq (x1) f
(x2)e
A, (76)
donde xA = 1/mNRA, mN es la masa de nucleón, RA el tamaño del núcleo, f
(x2) es la
distribución antiquark en un nucleón y C se supone que es una constante, parametrizante
la fuerza de las correlaciones de dos partes dentro de un núcleo. La integración sobre la posición
del anticuarco (y−1 +y
2 )/2 en el twist-cuatro elementos de la matriz de correlación de dos cuartetos da
aumento del factor de mejora nuclear 1/xA = mNRA = 0,21A
Debemos tener en cuenta que establecemos kT = 0 para la expansión colineal. Como consecuencia de ello, el
campo quark secundario en los elementos de matriz twist-cuatro parten llevará cero impulso
en el proceso suave-duro. El impulso transversal intrínseco finito lleva a un cor-
las recciones. Si un subconjunto de los términos más altos en la expansión colineal se puede volver a resumir
para restaurar los factores de fase como eixT p
+y−, en el que xT • • k2T •/2p+q−z(1 − z), el
Los campos de quark en los elementos de matriz de Parton llevarán un momento fraccionario finito xT.
Bajo tal suposición de factorización, uno puede obtener toda la correlación de dos cuartetos
elementos de matriz:
A(HI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x) f
(xL + xT )[1− e−x
A], (77)
A(SI)
qq̄i (x, xL)
fAq (x+ xL) f
(xT )[1− e−x
A], (78)
qq̄i (x, xL)
A(I2)
qq̄i (x, xL)
fAq (x+ xL) f
(xT )e
fAq (x) f
(xL + xT )e
A. (79)
En la última aproximación, hemos asumido xL xT x. Del mismo modo, uno puede obtener
TA(i)qqi (x, xL), T
q̄qi (x, xL) y T
q̄q̄i (x, xL). Con estas formas de correlación de dos quarks
elementos de matriz, podemos estimar la dependencia del sabor de la modificación nuclear a
el quark (antiquark) funciones de fragmentación.
Las correcciones de orden más bajas [O(αs)] son muy simples
q→h (zh) CA1/3[Dg→h(zh)−Dq→h(zh)]fNq̄ (xT ), (80)
qh̄
(zh) CA1/3[Dg→h̄(zh)−Dqh̄(zh)]fNq (xT ). (81)
Consideramos la contribución dominante de la fragmentación de un quark (antiquark)
que es uno de los quarks de valencia (antiquarks) de la partícula final h (antipartícula h̄).
Las funciones de fragmentación del gluón en h y h̄ son las mismas. Para el zh grande, el gluon
La función de fragmentación es siempre más suave que la valencia quark (antiquark) fragmenta-
ión [38]. Por lo tanto, las correcciones de giro-cuatro ordenes más bajas son siempre negativas para grandes
zh, llevando a una supresión de la función de fragmentación de quark de valencia (antiquark),
Dqv→h(zh) [Dq̄v→h̄(zh)]. Considere aquellos quarks que también son quarks de valencia de un nucleón:
n = udd
p = uud, p̄ = d̄, (82)
K+ = us̄,K− = ūs. (83)
, η0, = ud̄, (uū − dd̄ )/
2, dū. (84)
Uno puede encontrar la siguiente dependencia del sabor de la orden más baja torsión cuatro correcciones
a las funciones de fragmentación quark (antiquark),
q̄v→h̄
D(LO)
q̄v→h̄
(zh)
D(LO)qv→h(zh)
fNqv (xT )
fq̄v(xT )
> 1, (85)
q̄v→h̄
1 + D
q̄v→h̄
(zh)/Dqh̄(zh)
1 + D
(zh)/Dq→h(zh)
< 1, (86)
donde R
es la correspondiente orden de supresión de la función de fragmentación
en zh grande para el protón (antiprotón) y K
+ (K−). Dado que los piones contienen ambos valencia
quark y antiquark, los factores de supresión deben ser similares para todos los piones. Para xT ≥
0,043, u(x)/ū(x) ≥ 3 y d(x)/d̄(x) ≥ 2 [35]. Por lo tanto, la modificación de antiquark
funciones de fragmentación debido a la aniquilación quark-antiquark es significativamente mayor que
el de un quark.
La dependencia del sabor de los resultados NLO son más complicados ya que implican dispersión-
ing con quarks y antiquarks en el medio. Uno puede observar primero que efectivo
funciones de división (o sección transversal de dispersión quark-quark) son las mismas para el canal en t
qq′ → qq′ y qq → qq (q′ 6= q) scatterings,
qq.»b(z) = P
q̄q.»b(z) = P
qqb(z) = P
q̄qb(z). (87)
Para la dispersión de quark-quark idéntico o aniquilación de quark-antiquark, uno puede separar
la aniquilación qq̄ funciones de división (o secciones transversales) en singlet y no-singlet
contribuciones mediante la selección de las contribuciones en t-canal,
qqb(z)
qq→b(z) + P
qqb(z), (88)
q̄q→b(z)
q̄qb(z) + P
q̄q→b(z). (89)
Estas contribuciones individuales a las funciones de fragmentación modificadas son,
S(NLO)
q→h (zh)
b,q′,i
Db→h P (i)qqÃ3b(zh)
×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (90)
S(NLO)
qh̄
(zh)
b,q′,i
Dbh̄ P
q̄qb̄
×[fNq′ (xT ) + fNq (xT )]C(i), (91)
donde la suma sobre q′ ahora incluye q′=q y C(i)(xL) son independientes del sabor
funciones determinadas a partir de Eqs. 77)-(79),
C(HI) =C(SI) = C(xL)(1− e−x
C(I) =C(I2) = C(xL)e
A, (92)
y C(xL) es un coeficiente común que es una función de xL. Uso de P
q̄qb̄
(z) = P
qq→b(z)
, se puede concluir que las contribuciones singlet al quark modificado y antiquark
las funciones de fragmentación son las mismas,
S(NLO)
q→h (zh) = D
S(NLO)
qh̄
(zh).
Las contribuciones no individuales, principalmente de interferencias s-canal y s-t, son,
N(NLO)
q→h (zh)
Db→h PN(i)qqb(zh)fNq̄ (xT )C(i), (93)
N(NLO)
qh̄
(zh)
Dbh̄ P
q̄q→b̄
(zh)f
q (xT )C
i), (94)
donde otra vez
qqb(z) = P
q̄q→b̄
(z) debido a la simetría de cruce. Hemos enumerado todos los no-
Desvanecimiento de las funciones de división singlet
qqb(z) del apéndice A-2.
De nuevo consideramos el límite zh → 1. En esta región la convolución en el
función de fragmentación está dominada por el gran z → 1 comportamiento de la división efectiva-
funciones de ting. De la lista P
qqb(z) en el Apéndice A-2, podemos obtener el
contribuciones,
C(i)P
qqq(z)4CF
C(xL)
C(i)P
qqg(z)
2CF + CF (1− e−x
A) + CAe
C(xL)
, (95)
donde también hemos descuidado términos proporcionales a 1/Nc. Todos los P
qqq̄(z) no son líderes
en el límite z → 1 y por lo tanto puede ser descuidado. Con estas importantes contribuciones,
la modificación no-singlet a las funciones de fragmentación quark y antiquark puede ser
estimado como
N(NLO)
q→h (zh)
C(xL)
(1- z)+
CF (1− e−x
A) + CAe
+ (1− z)(lT)
−Dq→h
C(xL)
(1- z)+
+ (1− z)(lT)
fNq̄ (xT ), (96)
N(NLO)
qh̄
(zh)
Dg→h̄
C(xL)
(1- z)+
CF (1− e−x
A) + CAe
+ (1− z)(lT)
Dg→h̄
−Dqh̄
C(xL)
(1- z)+
+ (1− z)(lT)
fNq (xT ), (97)
donde el punto 1(IT ) y el punto 2(IT ) proceden de correcciones virtuales,
1(lT )=
CFC(xL)z=1 − [CF (1− e−x
+ CAe
A]C(xL)
, (98)
2(lT )=
2CF [C(xL)z=1 − C(xL)]. (99)
Debido a la conservación del impulso, C(xL) = 0 cuando xL → • para z = 1. Por lo tanto,
las correcciones virtuales anteriores siempre son negativas. En general zh, estas correcciones virtuales
dominar sobre los reales.
Hay dos tipos de contribuciones no individuales en las expresiones dadas anteriormente. Uno que
es proporcional a las funciones de fragmentación de gluón se debe a la aniquilación quark-antiquark
en gluones que luego se fragmentan. El gluón fragmentante no sólo transporta menos energía que
el quark inicial pero también tiene una función de fragmentación más suave, lo que conduce a la supresión de
los hadrones líderes finales. El segundo tipo de contribuciones es proporcional a Dg→h(zh)−
Dq→h(zh) y por lo tanto mezcla funciones de fragmentación quark y gluon, del mismo modo que el
los procesos de aniquilación quark-antiquark de orden más bajo [véase Eqs. (80) y (81)]. Desde un gluon
función de fragmentación es más suave que un quark uno, las correcciones reales de este tipo de
los procesos son positivos para los pequeños zh y negativos para los grandes zh. Las correcciones virtuales
tienen exactamente el comportamiento opuesto. Por lo tanto, el segundo tipo de contribuciones reducirá
la modificación neta total. Para los valores intermedios de zh donde 2Dg→h(zh) > Dq→h(zh),
el efecto neto sigue siendo la supresión de las funciones de fragmentación eficaces para
Hadrons.
Desde fNq (xT ) > f
q̄ (xT ), podemos concluir que la LO y la NLO combinados no-singlet
La supresión de la fragmentación anticuarto en hadrones de valencia es más grande que la de quark.
fragmentación en hadrones de valencia. Esto explica cualitativamente la dependencia del sabor de
la supresión nuclear de los principales hadrones del DIS frente a objetivos nucleares pesados medidos por
el experimento HERMES [25,26]. La relación de las secciones transversales semi-inclusivas diferenciales
para los objetivos de núcleo y deuterón se utilizaron para estudiar la supresión nuclear de la
funciones de mentation. Se observó que la supresión de los principales antiprotones es más fuerte
que para el protón líder y la supresión de K− es más fuerte que K+. En el quark de Valence
imagen de fragmentación, el protón principal (K+) se produce principalmente a partir de u, d (u) quark
fragmentación mientras que los antiprotones provienen principalmente de la fragmentación ū, d̄ (ū). Por lo tanto,
Los datos de HERMES son consistentes con una mayor supresión de la fragmentación anticuarto.
Desde gluon bremsstrahlung y el singlet qqi(q̄i) dispersión también suprimir quark y
antiquark fragmentación, pero independientemente del sabor quark, uno tiene que incluir todos los
procesos con el fin de tener una evaluación numérica completa y cuantitativa del sabor
dependencia de la modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark. Además...
más, las contribuciones de la ONL son proporcionales a αs ln(Q)
2)/2ň. Son tan importantes.
como la corrección de orden más baja para grandes valores de Q2. En principio, hay que volver a resumir estos
corrección de orden superior mediante la resolución de un conjunto de ecuaciones de evolución acopladas DGLAP, in-
modificación del medio para las funciones de fragmentación del gluón. Las contribuciones de
quark-quark (antiquark) la dispersión derivada en este documento será una parte importante de la
Dscripción completa. Estudio numérico detallado del efecto del quark-quark (antiquark)
la dispersión será posible sólo después de la terminación de esta descripción completa en el
futuro.
7 Resumen
Utilizando el marco de factorización generalizada para twist-cuatro procesos tenemos
la modificación nuclear de las funciones de fragmentación de quark y antiquark (FF) debida
a quark-quark (antiquark) doble dispersión en materia nuclear densa hasta el orden O(α2s).
Calculamos y analizamos el conjunto completo de todos los diagramas de corte posibles. Resultados
se pueden clasificar en contribuciones de procesos de doble-duro, duro-suave y su
interferencias. Los rescatterings de doble dureza corresponden a la dispersión elástica del plomo-
ing quark con otro quark medio. Requiere el segundo quark para llevar un finito
momento fraccionario xL. Por lo tanto, la pérdida de energía del quark líder a través de tales
procesos pueden ser identificados como pérdida de energía elástica en el orden O(α2s). La pérdida de energía quark
y la modificación de las funciones de fragmentación quark están dominadas por el canal t de
la dispersión de quark-quark (antiquark) y se demuestra que es similar a la causada por quark-
Gluon esparciendo. La contribución de la dispersión quark-quark es más pequeña que la de
Dispersión del quark-gluon por un factor de CF/CA multiplicado por la relación de distribución del quark y del gluon-
ciones en el medio. Hemos demostrado que esas contribuciones no son insignificantes.
para cinemática realista y tamaño mediano finito. Los rescatterings blandos y duros mezclan gluon y
scattering quark, de la misma manera que el orden más bajo qq̄ → g procesos. Tales procesos
modifica los espectros de hadrones finales o las funciones de fragmentación eficaces, pero no
tributo a la pérdida de energía del quark líder. Para qq̄ → qq̄, gg procesos, también existen
contribuciones de interferencia puras procedentes principalmente de interferencias de dispersión de un solo triple.
Con un modelo simple de funciones factorizadas de correlación de dos cuartetos, investi-
la dependencia del sabor del medio modificado funciones de fragmentación de quark en una
núcleo grande. Identificamos la parte dependiente del sabor de la modificación y encontramos que
la modificación nuclear para una fragmentación antiquark en un hadron de valencia es más grande
que el de un quark. Esto ofrece una explicación cualitativa para la dependencia del sabor de
la principal supresión de hadrones en el DIS semi-inclusivo frente a objetivos nucleares, como se observa en
el experimento HERMES [25,26].
Agradecimientos
Los autores agradecen a Jian-Wei Qiu y Enke Wang por su útil discusión. Este trabajo
fue apoyado por NSFC en el marco del proyecto No. 10405011, por el Ministerio de Educación de China en el marco del proyecto
IRT0624, por Alexander von Humboldt Foundation, por BMBF, por el Director de la Oficina
de Investigación Energética, Oficina de Energía Alta y Física Nuclear, Divisiones de Energía Nuclear
Física, del Departamento de Energía de los Estados Unidos bajo el Contrato No. DE-AC02-05CH11231,
y por el US NSF bajo Grant No. PHY-0457265, la Fundación Welch en virtud de la subvención
No. A-1358.
A-1 Partes duras para doble dispersión quark-quark
En la Sección 3 hemos discutido el cálculo de la parte dura de un ejemplo de corte-diagrama
(Fig. 5) en detalle. En este apéndice enumeramos los resultados de todas las posibles correcciones reales a
quark-quark (antiquark) doble dispersión en el orden O(α2s). Hay
un total de 12 diagramas como se ilustra en las Figs. 5-16. Para el propósito de abreviar, nosotros
suprimirá las variables en las anotaciones de las partes duras partonicas
D HD(y−, y−1, y−2, x, p, q, zh), (A-1)
y funciones de los factores de fase
I (y−, y−1, y−2, x,, xL, p). (A-2)
Primero consideramos todos los diagramas de aniquilación qq̄ → gg con diferentes cortes posibles. Los
contribuciones de la Fig. 5 son:
5,C =
α2sxB
I5,CDg→h(zh/z)
1 + z2
z(1 − z)
1 + (1− z)2
z(1 − z)
, (A-3)
Fig. 5. El canal t de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con tres posibles cortes, central(C),
izquierda (L) y derecha (R).
Fig. 6. La interferencia entre t y u-canal de qq̄ → aniquilación gg.
I5,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (A-4)
5,L(R) =
α2sxB
I5,L(R)
Dq→h(zh/z)2
1 + z2
z(1 − z)
+Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)2
z(1 − z)
, (A-5)
I5,L =(y−1 − y−2 )♥(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
), (A-6)
I5,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 ). (A-7)
Aquí hemos incluido la fragmentación de ambas partes del estado final.
Las contribuciones de la Fig. 6 son:
Fig. 7. El canal s de qq̄ → diagrama de aniquilación gg con sólo un corte central.
6,C =
α2sxB
I6,C 2Dg→h(zh/z)
(1- z)z
CF (CF − CA/2)
, (A-8)
6,L(R) =
α2sxB
I6,L(R) [Dg→h(zh/z) +Dq→h(zh/z)]
(1- z)z
CF (CF − CA/2)
, (A-9)
I6,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
× (1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (A-10)
I6,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
) ). (A-11)
I6,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 ), (A-12)
Tenga en cuenta que el diagrama de corte central en la Fig. 6 corresponde a la interferencia entre t y
u-canal de los procesos de aniquilación qq̄ → gg en la Fig. 5. Puesto que la función de división es
simétrico en z y 1 − z, un factor de 2 proviene de la fragmentación de ambos gluones en
el diagrama de corte central.
El canal s de qq̄ → gg se muestra en la Fig. 7 que sólo tiene un corte central. Su contri-
bution a la parte dura partónica es,
7,C =
α2sxB
I7,C 2Dg→h(zh/z)
2-z2 − z + 1)2
z(1 − z)
, (A-13)
I7,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−e−ixLp
+(yy−
)e-ixLp
2. (A-14)
Tenga en cuenta que la función de división 2(z2 − z + 1)2/z(1 − z) = 2[1 − z(1 − z)]2/z(1 − z) es
simétrico en z y 1− z. Por lo tanto, la fragmentación de los dos gluones finales da lugar a
el factor de 2 frente a la función de fragmentación del gluón.
Fig. 8. La interferencia entre el canal t y s de qq̄ → aniquilación gg.
Fig. 9. El conjugado complejo de la Fig. 8.
Las interferencias entre t y s-canal de qq̄ → gg procesos se muestran en Figs. 8 y
9. Hay sólo dos cortes posibles en estos diagramas. Las contribuciones de la Fig. 8 son:
8,C =
α2sxB
I8,C Dg→h(zh/z)
1 + z3
z(1 − z)
1 + (1− z)3
z(1 − z)
, (A-15)
α2sxB
Dq→h(zh/z)2
1 + z3
z(1− z)
+ Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)3
z(1 − z)
, (A-16)
I8,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+y
2 )e−ixLp
+(yy−
), (A-17)
I8,L = (y
1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p
×(e−ixLp+(yy)
) − e−ixLp+(yy
) ). (A-18)
Contribuciones de la Fig. 9, que son sólo el complejo conjugado de la Fig. 8, son:
9,C =
α2sxB
I9,C Dg→h(zh/z)
1 + z3
z(1 − z)
1 + (1− z)3
z(1 − z)
, (A-19)
9,R =
α2sxB
Dq→h(zh/z)2
1 + z3
z(1 − z)
+ Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)3
z(1 − z)
, (A-20)
I9,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+(yy
))e-ixLp
2, (A-21)
I9,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+(y
))e-ixLp
1. (A-22)
Uno puede recoger todas las contribuciones del doble duro qq̄ → gg procesos de la central-
diagramas de corte, que deben tener el factor de fase común
* C = (−y−2 ) * (y− − y−1 ) eixp
+y−e−ixLp
), (A-23)
y obtener la función de división efectiva total en la parte dura,
Pqqgg(z) =
z(1 − z)
{C2F [1 + z2 + 1 + (1− z)2]− 2CF (CF − CA/2)
+2CFCCA(1− z + z2)2 − CFCA[1 + z3 + 1 + (1− z)3]}
z2 + (1− z)2
z(1− z)
− 2CA[z2 + (1− z)2]
. (A-24)
Más adelante, en el Apéndice A-3, veremos que el resultado anterior también puede obtenerse del
elementos de matriz total al cuadrado para qq̄ → aniquilación gg.
Ahora consideramos los procesos de aniquilación qq̄ → qiq̄i con qi 6= q. Sólo está el
proceso de canal s con un diagrama de corte central como se muestra en la Fig. 10. Su contribución a
la parte difícil es
10,C =
α2sxB
I10,C
qi 6=q
[Dqi→h(zh/z) +Dq̄i→h(zh/z)]
Fig. 10. s-canal qq̄ → aniquilación qiq̄i.
Fig. 11. t-canal qqi(q̄i) → qqi(q̄i) dispersión.
×[z2 + (1− z)2]
, (A-25)
I10,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−e−ixLp
+(yy)
)e-ixLp
2. (A-26)
Aquí definimos la función de división efectiva para qq̄ → aniquilación qiq̄i como,
Pqqqiq̄i(z) =
[z2 + (1− z)2]. (A-27)
Del mismo modo, para qq̄i → qq̄i dispersión con qi 6= q, sólo hay el canal t como se muestra en
Fig. 11. Hay, sin embargo, tres diagramas de corte. Sus contribuciones a la dura particónica
parte son:
11,C =
α2sxB
I11,C
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+Dq̄i→h(zh/z)
1 + (1− z)2
, (A-28)
11,L(R) =
α2sxB
I11,L(R)
Dq→h(zh/z)
1 + z2
(1- z)2
+Dg→h(zh/z)
1 + (1− z)2
, (A-29)
I11,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
× (1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (A-30)
I11,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
), (A-31)
I11,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 ). (A-32)
El elemento de matriz de correlación twist-cuatro dos-parten asociado con el quark anterior-
la dispersión antiquark es el correlator quark-antiquark,
TAqq̄i(x, xL)
ixp+yixLp
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
2 ) A, (A-33)
y uno debe sumar sobre todos los posibles sabores qi 6= q. Tenga en cuenta que en el elemento de matriz anterior,
el flujo de impulso para el antiquark (q̄i) es opuesto al de los campos quark (q).
Para la dispersión quark-quark, qqi → qqi, la parte dura es esencialmente la misma. El único
diferencia es el elemento de matriz asociado para el correlator quark-quark que es ob-
proveniente de la del correlator quark-antiquark a través del intercambio qi(y2) → qi(y2)
y qi(y1) → qi(y1),
TAqqi(x, xL)
ixp+yixLp
Aq(0)
−)qi(y
•qi(y)
1 )A. (A-34)
Tenga en cuenta que los flujos de impulso de los dos quarks (q y qi) apuntan en la misma dirección.
La función de división efectiva de este proceso de dispersión se define a través de los fragmen-
la puesta del quark en el diagrama de corte central,
Pqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =
1 + z2
(1- z)2
. (A-35)
Para aniquilación qq̄ → qq̄ en pares de quark y antiquark idénticos, además de la
s-canal (Fig. 10 para qi = q) y t-canal (Fig. 11 para qi = q̄), uno también tiene que considerar
la interferencia entre las amplitudes s y t-canal como se muestra en las Figs. 12 y 13, cada uno
tener dos cortes. Sus contribuciones a las partes duras son, respectivamente:
Fig. 12. Interferencia entre s y t-canal de qq̄ → qq̄ dispersión
Fig. 13. El conjugado complejo de la Fig. 12.
12,C =
α2sxB
I12,C
Dq→h(zh/z)
(1 a z)
+Dqh(zh/z)
2(1− z)2
CF (CF − CA/2)
, (A-36)
12,L =
α2sxB
I12,L
Dq→h(zh/z)
(1 a z)
+Dg→h(zh/z)
2(1− z)2
CF (CF − CA/2)
, (A-37)
I12,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+y
2 )e−ixLp
+(yy−
), (A-38)
I12,L = (y
1 - y -2 )-(y - - y -1 )ei(x+xL)p
×(e−ixLp+(yy)
) − e−ixLp+(yy
) ; (A-39)
Fig. 14. La interferencia entre t y u-canal de cuark-cuark idéntico dispersión qq → qq.
13,C =
α2sxB
I13,C
Dq→h(zh/z)
(1 a z)
+Dqh(zh/z)
2(1− z)2
CF (CF − CA/2)
, (A-40)
13,R =
α2sxB
I13,R
Dq→h(zh/z)
(1 a z)
+Dg→h(zh/z)
2(1− z)2
CF (CF − CA/2)
, (A-41)
I13,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
×(1− e−ixLp+(yy
))e-ixLp
2, (A-42)
I13,R = فارسى(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
×(e−ixLp+y
1 − e−ixLp+y
2 ). (A-43)
Una vez más se pueden recoger contribuciones de los diagramas de corte central de la dispersión doble
procesos en Figs. 10, 11 12 y 13 y obtener la función de división efectiva total para
qq̄ → qq̄,
Pqqqq̄(z) =
[z2 + (1− z)2] +
1 + z2
(1- z)2
CF (CF − CA/2)
z2 + (1− z)2 +
1 + z2
(1- z)2
. (A-44)
Aquí hemos usado CF − CA/2 = −1/2Nc. Para la fragmentación anticuarto, Pqqq̄q(z) =
Pqqqq̄(1 − z). Uno también puede obtener el resultado anterior de qq̄ → qq̄ matriz de dispersión
al cuadrado como se muestra en el apéndice A-3.
Del mismo modo, para la dispersión de quarks idénticos qq → qq, uno debe establecer qi = q en Fig. 11[en
Eq. (A-28)]. Además, también debería incluirse la interferencia entre t y u-canal
de la dispersión como se muestra en la Fig. 14. Las contribuciones de este diagrama de interferencia
14,C =
α2sxB
I14,C
× 2Dq→h(zh/z)
z(1 − z)
CF (CF − CA/2)
, (A-45)
14,L(R) =
α2sxB
I14,L(R)
× [Dq→h(zh/z) +Dg→h(zh/z)]
z(1− z)
CF (CF − CA/2)
, (A-46)
I14,C = فارسى(−y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
× (1− e−ixLp+y
2 )(1− e−ixLp+(yy
), (A-47)
I14,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+(yy
), (A-48)
I14,R =(−y−2 )فارسى(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−(1− e−ixLp+y
2 ). (A-49)
Nótese de nuevo que la fragmentación de ambos quarks contribuye al factor 2 en Eq. (A-
45) ya que la función de división es simétrica en z y 1 − z. El giro-cuatro dos-cuarto
elemento de matriz de correlación asociado con qq → dispersión qq es TAqq(x, xL) en comparación
a TAqq̄(x, xL) para procesos de aniquilación quark-antiquark.
Podemos sumar las contribuciones de la dispersión dura doble en todos los diagramas de corte central
en Figs. 11 y 14 y obtener la función de división efectiva total para procesos qq → qq,
Pqq→qq(z) =
1 + z2
(1- z)2
1 + (1− z)2
CF (CF − CA/2)
z(1 − z)
1 + z2
(1- z)2
1 + (1− z)2
z(1 − z)
. (A-50)
Hay dos diagramas de corte restantes que contribuyen a la aniquilación quark-antiquark
al orden de O(α2s) como se muestra en las Figs. 15 y 16. Sus contribuciones son las siguientes:
15,L =
α2sxB
I15,L
Dq→h(zh/z)2
1 + z2
+Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)2
, (A-51)
I15,L =(y−1 − y−2 )فارسى(y− − y−1 )ei(x+xL)p
+y−e−ixLp
+(yy)
), (A-52)
Fig. 15. Interferencia entre la radiación gluon del estado final de dispersión de un solo y triple cuarteto.
Fig. 16. El conjugado complejo de la Fig. 15.
16,R =
α2sxB
I16,R
Dq→h(zh/z)2
1 + z2
+Dg→h(zh/z)2
1 + (1− z)2
, (A-53)
I16,R =(−y−2 )♥(y−2 − y−1 )ei(x+xL)p
+y−e−ixLp
1. (A-54)
A-2 Funciones efectivas de división
En este Apéndice, enumeramos las funciones de división efectivas asociadas a cada proceso
qa→ b y el doble duro (HI), hard-soft (SI) o sus interferencias (I, I2) según
a Eq. (73).
qqi(q̄i)→qi(q̄i)
z) =
1 + (1− z)2
qqi(q̄i)→q
z) =
1 + z2
(1- z)2
qqi(q̄i)→qi(q̄i)
z) =
1 + (1− z)2
qqi(q̄i)→g
(z) = −1 + (1− z)
(A-55)
qqqi(z) =P
qqq̄i(z) = z
2 + (1− z)2,
qqqi(z) =P
qqq̄i(z) = z
2 + (1− z)2, (A-56)
P (HI)qq→q(z) =
1 + (1− z)2
1 + z2
(1- z)2
z(1 − z)
P (SI)qq→g(z) =−P (SI)qq→q(z), (A-57)
P (SI)qq→q(z) =
1 + (1− z)2
z(1 − z)
qqq(z) = z
2 + (1− z)2 + 1 + z
(1- z)2
qqq̄(z) =P
qqq(1− z),
qqg(z) = 2CF
z2 + (1− z)2
z(1 − z)
− 2CA[z2 + (1− z)2], (A-58)
qqq(z) =−
z(1 − z)
+ 2CF
qqq̄(z) =
1 + (1− z)2
qqg(z) =
z(1 − z)
+ 2CF
− 1 + (1− z)
(A-59)
qqq(z) = z
2 + (1− z)2 −
z(1 − z)
− 2CF
qqq̄(z) = z
2 + (1− z)2,
qqg(z) =CA
4(1− z + z2)2 − 1
z(1 − z)
− 2CF
(1- z)2
, (A-60)
qqq(z) =
z(1 − z)
− 2CF
qqg(z) =
z(1 − z)
− 2CF
. (A-61)
Las funciones de división no-singlet para qq̄ → b, definido como
qqb(z) P
qqb(z)− P
qq→b(z), (A-62)
se enumeran a continuación:
N(HI)
qqqi(q̄i)
(z) =P
qqqi(q̄i)
(z), (P)
qqqi(q̄i)
(z) = P
qqqi(q̄i)
z), (A-63)
N(HI)
qqq (z) =−
(1− z2)(1 + z2 + (1− z)2)
1 + z3
z(1− z)
N(HI)
qqq̄ (z) =P
qqq̄(z), ŁP
N(HI)
qqg (z) = P
qqg(z), (A-64)
N(SI)
qqq (z) =−
1 + z2
1 + (1− z)2
N(SI)
qqq̄ (z) =P
qqq̄(z)
N(SI)
qqg (z) = 2CF
1 + z2
z(1 − z)
1 + (1− z)2
(A-65)
qqb(z) =P
qqb(z), ŁP
N(I2)
qqb (z) = P
qqb(z) (b = q, q̄, g) (A-66)
A-3 Cálculos alternativos de diagramas de corte central
Como control cruzado de las partes duras de la parte partónica calculadas a partir de diferentes diagramas de corte en
Apéndice A-1, proporcionamos un cálculo alternativo de todos los diagramas de corte central,
que corresponden a la dispersión quark-quark (antiquark).
Considerando una parten (a) con impulso q dispersando con otra parten (b) que
lleva un momento fraccionario xp, a(q) + b(xp) → c(l) + d(p′), la sección transversal puede ser
por escrito como
dđab =
M 2ab→cd(t/, û/)
(2l)32l0
2[(p+ q − l)2]
(4η)2
M 2ab→cd(t/, û/)
z(1− z)
dl2T
, (A-67)
donde q = [0, q−, 0] y p = [xp+, 0, 0] son momentáneas de las partes iniciales y
, zq−, ~lT
(A-68)
es el impulso de una de las partes finales. Con la cinemática dada, el on-shell
condición en la sección transversal se puede refundir como
(xp + q − l)2 = 2(1− z)xp+q−
1 - xL
, xL =
2z(1− z)p+q−
. (A-69)
Las variables Mandelstam de la colisión son,
=(q + xp)2 = 2xp+q− =
z(1 − z)
, û = (l− xp)2 = −z
t=(l− q)2 = −(1 − z)
• = −(1− z), (A-70)
donde hemos utilizado la condición en la cáscara x = xL.
Con Eq. (A-67) y funciones de distribución de parten fNb (x), se puede obtener la parten-
sección transversal de nucleón,
daN =
dđabf
b (x)dx
fNb (xL)xLM 2ab→cd(tÃ3rÃ, û/)
z(1− z)
fNb (xL)
C0Pab→cd(z)dz
, (A-71)
donde s = 2p+q− es la energía del centro de la masa para la colisión aN, C0 es algún color común
factor en los elementos de la matriz de dispersión y
Pab→cd(z) = (1/C0)M 2ab→cd(tÃ3rá/, û/) (A-72)
es lo que hemos definido como la función de división efectiva para los procesos correspondientes.
Por lo tanto, se puede obtener fácilmente estas funciones de división efectiva de la correspondiente
elementos de matriz para la dispersión elemental de parten-parten [39]. Los enumeraremos en el fol-
Loading. Un factor de color común para toda dispersión quark-quark(antiquark) es C0 = CF/Nc.
qq̄ → aniquilación qiq̄i:
M 2qqqiq̄i =
tâ € 2 + û2
Pqqqiq̄i(z) = z
2 + (1− z)2. (A-73)
qq̄ → aniquilación qq̄:
M 2qqqq̄ =
û2 + â € 2
û2 + tâ € 2
Pqqqq̄(z) =
1 + z2
(1- z)2
+ z2 + (1− z)2 +
. (A-74)
qq̄ → aniquilación gg:
M 2qqgg =
− 2CA
û2 + tâ € 2
Pqqgg(z) = 2CF
z2 + (1− z)2
z(1− z)
− 2CA(z2 + (1− z)2). (A-75)
qqi(q̄i) → qqi(q̄i) scattering:
M 2qqi(q̄i)→qqi(q̄i)=
û2 + â € 2
Pqqi(q̄i)→qqi(q̄i)(z) =
1 + z2
(1- z)2
. (A-76)
qq → dispersión qq:
M 2qq→qq =
û2 + â € 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
Pqq→qq(z) =
1 + z2
(1- z)2
1 + (1− z)2
z(1− z)
. (A-77)
Para la dispersión de quark-gluon Compton, la función de distribución de gluon relevante es xLGN (xL).
Por lo tanto, se puede reescribir la contribución de qg → qg a Eq. (A-71) como,
dqN = xLGN(xL)
sz(1 − z)M 2qg→qg(tÃ3rá, û/Ã)dz
xLGN(xL)+2s
Pqg→qg(z)dz
. (A-78)
Tenemos entonces para qg → qg dispersión,
M 2qg→qg =
•2 + û2
û2 + â € 2
Pqg→qg(z) = z(1 − z)
1 + z2
(1- z)2
1 + z2
. (A-79)
Comparando este resultado con el de Ref. [18] para el rescatado quark-gluon, podemos ver
que están de acuerdo en el límite 1 − z → 0. Esto es una consecuencia de la aproximación colineal
mación empleada en Ref. [18] en el cálculo de la parte dura del quark-gluón
Rescatando.
También podemos extender este cálculo al caso de dispersión gluon-nucleón. Uno puede usar
Eq. (A-71) para definir la función de división para la dispersión de gq → gq,
M 2gq→gq =
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +
t+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + 2 + 2 + 2 + + + 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + + + + + + 2 + + + 2 + 2
Pgq→gq(z) = z(1 − z)
1 + (1− z)2
1 + (1− z)2
(1 a z)
. (A-80)
Aquí para la dispersión gluon-partón, no hay factor de color común.
gg → aniquilación qq̄,
M 2gg→qq̄ =
tâ € 2 + û2
tâ € 2 + û2
Pgg→qq̄(z) = z(1 − z)
z2 + (1− z)2
z(1− z)
[z2 + (1− z)2]
. (A-81)
gg → gg scattering
M 2gg→gg=2
3 - t
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
− t
Pgg→gg(z) = 2
(1− z + z2)3
z(1− z)
. (A-82)
Se puede utilizar esta técnica para extender el estudio de funciones de fragmentación modificadas a
Gluones de propagación. Dado que la modificación está dominada por quark-gluon y gluon-gluon
scattering, comparando las funciones de división efectivas,
Pqg→qg(z)
, (A-83)
Pgg→gg(z)
, (A-84)
en el límite z → 1, se puede concluir que la pérdida de energía radiativa de un gluón es mayor que
a quark por un factor de Nc/CF = CA/CF = 9/4. Dejaremos la derivación completa de
modificación media de las fragmentaciones de gluón a una publicación futura.
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Introducción
Formalismo general
Procesos de dispersión doble Quark-quark
Funciones de fragmentación modificadas
q"7016q g aniquilación
q"7016q qi"7016qi aniquilación
qqi("7016qi) qqi("7016qi) scattering
dispersión qqqqq
q"7016q q"7016q, gg aniquilation
Modificación debida a la mezcla quark-gluon
La dependencia del sabor del medio modificado fragmentación
Resumen
Partes duras para doble scattering quark-quark
Funciones de división eficaces
Cálculos alternativos de diagramas de corte central
Bibliografía
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